JACOBI BERNOULLI, ... ARS CONJECTANDI, OPUS POSTHUMUM. ACCEDIT TRACTATUS DE SERIEBUS... Jakob Bernoulli OigiisoOBy Googte ' — > i JACOBI BERNOULLI, ProfciE Bafil. & utriufque Sociec Reg. Scientiar. GalL & Prufl: Sodal, MaTHEMATICI CeLEBESHIMI,. ARS CONJECTANDI, OPUS POSTHUMUM- TRACTATUS DE SERIEBUS INFINITIS, EtEpisTctLAGallicefcripta D E L U 1> O P I L M. 1ETICU11IU B A S I L E jE , ImpcBGs THURNISIORUM, F iatmm, Cl3 Ic-CC Xlllf ■ n LETTRE a un Amy, fur les Tarties dtt Jett de Taume., JOus me marquez, Monfieur, que vous avexvft unedcmesThefb,ou javancc quelques Propofitions nouvclles, touchine Ics Partics da | JeudePaumc; 3t vousmedemandez,siees Pro poucions icnfcimene quelque realite qui puifli ecic demontree , ou ii clles ne fonc fondccs que fur dc pures conjefluici fsices en 1'air, & qui nortt ricn icpouvant pas concevoir, i ce que vous dites, quel'on rer les fbrces des joueurs par nombre», Sc encore moms ,. iteslescondufions, quejen ay tirecs. Ccqui mbblige de metiie par ecrit tout ce que j'ay medite fiurcetce matiere, & den fajreleiujct de cette Lettre.queje vous icris en Francois, pour nc vous pas rebucer dans 6 lecture par la traduction des termes qui fbnt en ularje parmy les jouturs, &quideviendroient peu intelligibles, u on les mettoic en une autte Langue . Je ne nVarrete pas a vous y ex- pliqueilesReglesduJcu, nile principede 1'Ait de conjecturer, qui doit feryii de fondemcnt i a& tte recheiche , ttcltfM gue fun & lautre defblide; puifle meli DigitizGd byGoogle m c 3 > vous fon: patfaitementconnus. Maisau refte jentrc dans Ic Jcraii de toures Ies particularitcs de mon lujcr, fans craindre lc reproche, quc I'on me pourroit fairc dc vous cntretcnir trop fur une bagarelle ; car vous Gvez , que ce noble jeu a roujours fait le divertiuement des perfonnes de la prcmiere quaiite, & bicnt6t vousverrez, que f'il eft utile pour lexercice du cotps, il eli tres-capable Bitres-digne auffi dcfixcr les meditatiotis delefpiir. Je vous fcray remarquer avant toutcs choles, que la railbn » pour laquclle dans lcs jeux de hazard on peut fuppurer exaclement les avantages & Ics defivantages des Joueurs, c'cft parce que le pluS fouvanr I'on connoit au jufte le notnbieds cas, qui leut ilontfavc- rables ou contraircs : & je dois vous dite, qu'il n'en cll pas de mft* me des jeux, qui dependent uniquement, oucn partic, dugenie, dc J'induftrie ou de 1'adiclTe des joueurs, tels que lbnt les jeux de la paume, deseehecs, & la pluspart des jcuxde cattes; etant bien vi!i- ble, que l'on ne (auroir dererminer par les caufes , ou i pritri ,.com- me t'on parle , de combien un homme cll ptus (avanr, plus adtoit ou plus habile quun autte , lansavoir une parfaite connoiflance dela nature defame, Si de la dilpolition des organes du corps humain, laquelle mille caufes occultes, qui y concourent, rendent abfolu» mcnt impoffible, Mais cela neinpechc pas, qu'on ne puilTe le f^a- voir prelque aufli certainemenr , Apefitritri, par 1'oblervation dc \t- venemcnr plufieuts fbis reiteree, en fai&nr ce qui le peut pratiquer dans les jeux m*me de pur hazardjors qu'on ne C^ait pas le nom- bre des cas, qui peuvenr arrivcr. Pofons, quil y ait dans unfic quantite de billets en partie blancs & cn parric noits , & que jc ne fache pas Ic nombre des uns ni des autres; quc ferois-je pour le decouvrir? je les nrcrais l'un aptes 1'autre, (en rcmettant ehaque fois dans le fac le billct, que j'en aurois tiie, avantqucdc prendre le fuivant, afin quel= nombrc des billcis du lac nediminiiatpoinr} & fi j'oblervois cent (bis que j'en tiralfe un noir, & deux centfbis, que j'en tirSfte un blanc, je ne hefitctois pas a conclure, quc le nombre des blancs ne fflt eiviron le doubie de ccluy des noirs; c.ir il elt tres-fut, que plul jefttois de ces obftrvations en rirant, pl s ;e pourtois elpcrer d'approcher dela ventablc rtiibn, qui fitroure entre m t ) ) s* eiitrcl;s nombres tiesces deux fortes de billets; e^taot meme un; choft ilemonttee , qu'on en peut tant faire, qu'il feia k 1a fin pio- t.ible de toute piobabilite clonnee, & pai conficjLient qu'il fera rao- alnli tiouvee par expetience, difcre de la vetitable daufli peu qne l'on voudra: cpi elt rout ce quon peut fouhaiter, Ccflaufll dc cette maniere, que dans les jcux dsrt & dadreffe on peut con- noitre de combien un joueur cft plus fort que 1'autte joucur. Je vois par exemple deux hommes, qui jouent i la paume: jt lesob- firve long temps, & je rcrn.irque , quc !'on deux gsgne aoo ou ;oo coups, pendant que 1 auire n'cn gagne que ecnt: je juge pat lk,avccair.z dcecrtitude, que le premier eft deux ou trais foismeil- leur joueui que 1'autre, ayant pour ainli dite deux ou trois parties dadrelTe, comme lutant de eas ou de eauics qui Iuy font gagner la bale , li ou 1'autrc ncn a quonc . I. Ceey etantcompris, mcttons, paurentTerenmatiere,deux joueurs egaujc A ScB (cefti diie, 1 qui nous ayons vu gagner Sc perdreun pjreil nombredecoups) qui fcient premierement ideux, ou trentains, ou qufniains, ou a but. 11 eft evidenr, qu'ils ont tous deux une eeale efperance de faiie les coups qui leur manqitenr, & degagner ainfi lejeu; c'eft pourquoy le fbrr dechacun efl eftime yjou^jeu. Mettons enfuite, qu'A ait jo fk B 45 , ou (cequi tevieni a un) queeeluy-ey ait 1'avantage : vous voyei, qu'il ell bicn aucant probable, qu'A gagncra ou perdralecoup fuivant; maiss'il legagne, iis redeviendront i deulc Stchacunaura, commc j'ay dir, f J ; 8c s'il le pcid , ii petdra aulTi Je jeu s ceft ce qui luy vaut , pat la Doarine que vous fcaver, — ^ —-30 £j. Metrons encore, que Aait if a 4f ; 11 eit clairauiTi, qu'illuy cfl egalement pofTible, dcgagner ;o »4f , & davoir ainst le fort precedent JJ, ou dc per- dielejeu (fclon qu'il gagne ou pcrd le premier eoup; ceft-ccqui rendmainrenantfonfort- — »£J. Quesi Aavoit 1 fa ;o, uncaslerendtoit trcntain & un autrc if 1 4f , f dontceluy-Iiluy amcnc £J, & eeluy-cy-J J) cequiuiyvaudroitalors - — ^ — * 3- X is it B A i J J |p P : 3 S'- 4P- «IU)8 X f.;}. Lonttouvera tout de miirie lea fortsd'Apour les auties hipoteTes, com- me ils fonr matques dans cette Table. Pourceuxde B, ils font aises a fuppleet, etant toujouts Its relles dc ccux d'A a l'u- II. DomSmcfilcsdeuvjoutnrs fortr a deux dc jeu , il eft manifefle , que cha- cun deux peut cgalement cfpeier de g?.- gner la Partic, en faifinr deux jeux de fuite ; 6t que par coniequent le fott de "' mcltiPouiPartie. Maisfi(I» : fe Faifmt pat eicmplc a quitra jeux ) A en avoit gagne i , & B ; , ou {cequieftle meme)siB avoit 1'avantage du jeu, ily auroitatitant d'apparence,que le ptemier icu les rendlt a deux de jeu, ou " qu'il fit perdre b Panie a A ( felonquece- luy-cy gagncroit ou perdroit ce jcu) ce quiluy feroit avoir — ~— ■' — 30 £ P. L'on conclud de mime, que fi A avoic un jeu.&Bttois,]efortd'AferoitiP. Et ainsi du telte, comme vous voyez dans cette iutte Table, qui comprend Ics fons d'A par rapport a toute la Paitie. Vous jugcz, quelle doit etre la mime que la premicie ; cat ce que lcs 4 coups d'un jcu fonti legjid de ce jcu , les 4. jeux le (bnt a legaid de toute U Panie, III. Confideionscnmielcsdeuxjnu- voyezqucle piemiei coup doirles mettrs j deux, & ainsi egaUr leui fort, si Aga- gncle gne le coup; & s'il !e perd, que B doic avoii iavantapc du j'eu, au- quel cas nous avons trouv-e lc fbrt d'A ' P: celr pourcjuoy refpcran- cequ'iIadeg*gnerIaPartiee(t maintenanc ^~ — - X j P. Suppofonsenfuite,_que A.aic deux jeux (ou un jeu) &B troii, 8c qu'iIsfoient ideuv, ou trenrains , ou quinzains; il eft viiible,quc chacun pouvant igalement gagner le jeu, c'eft tout comme s'i!sn'a- voient rien au de I i dc reurs jeux , de forte que le fort d'A efl encore, commeilaete' rrouve dans I'article precedenc, £P fou^ P). Mais si Aavoit i jeux a ) ,& jo l+f , il pourroitegalcmeiit acquerir +J, ou perdre la Partie avcclc jeu (fuivanrquil gagnccoicou pecdroit Ic prcmietcoup) ce quiluy vaudioic — — ^ — XJPi Etsi outre les i jcuxi 3 il navoitque if i j.f , lc premier coupluy pourroit &• galement donner ;o a^f', ou luy fiirc perdrelc jcu 8cl» Panie; ce ,„i don radnn fon li„ „2 X V, P . , & confiderons cc quiairiveroit, fi l'un ou l'autrc gagnoit lavantage. Or fi A le gagne, qui cft n fois plus habile joueur que 1'autre, il y aura pour luy n aparences de gagner le jeu , & une aparcnce dc ic remettre a dtui ( fuivant cuil gagncra auffi ou perdra 1'autrc coup ) ce qui luy » 5& = & si c "efc B qui gagne l'«Wtt. tage, il y aura pour A n vrayfemblances de fe lemettic k deux, & une vrayfembiance dc petdre le jeu ; ce qui luy fait "-^^^- 00 Douil s'enfuit, que les joueurs etant encorel deux, auquel cas 11 y apour A parla mime iaifon !I y a BCU qui mettentfc jeuldrux, Scun Cis quilcfiut perdreaA; cequiluy vaut - n + i +l ' 33 ^j +iZ+n+ i • PosequA air i ci^c, ily * » cas,qui luy font R^gncr ;oa4f & cn- coic un eas qui luy fait perdre le jeu; ee qui luy fart naicrc Iciort II .l!.J+.l.+ « + ' + l 0 „ 4 IT+T *> .++,.,,+,-■+.■■+■ : Ontrou- ve de I* mime maniere lefort d'A, quaiidil n'a rren & B 4f . Lors quilc iont rrencains, ils onclc memefbitquetant adeux,paice qu'il leur feut aufli gagner dsux coups de furte, poui faite le jcu. On tcouverade meme leur ibrc, A ayant ic ou o, St B jo. Sembla- blement oncherche lesfbirs, Aivant 4f , BcB jo, i f ou o; com- me aufli A ayant 50, & B if ouo. Ainsi 1'onnepeut ignorer les Ibrts, quand ils font tjurnzains , ou A ayant o Bc Bi f , ou au con- - traire A ic &B c.ouenfin quandils font encoiea but. Ceft. ce qui produit la quatrieme Tabla, ou eft contcniie la valeui des efpe- rancea de A ( par rapoit a chaque jeu ) gcneralement poui taute Coc- te de raifont, qu'on puifTe imaginer entre les forces dcs joucuR: V. Vousjugezbien, quesi vousy preneiw pour 1 ,ilendoit refulter la premieie Table, faite pour dcs joueurs degale fbrce: & G vous faites valorr fucceOlvement eette lettre pour 1, j, 4. &c la Table feiviia poui des joueurs, dontTuneftdeux, trois, ouquatre fois plus fbtt que I autre. Si par exemple A eft deux fois plus fbrc que B, voustiouverezftn lbrt> erantldcux, i J; &ayant jo i 4f vpus le trouverez T a f J ; de fone qu'il reflera pour eeluy de B , ) J & j' T J ; 8eparconfequcntle(lbrtsdesdeux joueursen cescas feronrentre eux enrarfonde + i 1, & de S i 7. &ainsi detoutlerefle, commeileft reprefemi dans la cinquieme Table , Vous vous Ibuviendrez pourcant de ce que jay dit , que ces Ta- bles ne fervent que poui chaque jeu ftparfment; caril cn faudrorc encore donner une femblable, qai compiic les Jbrts des joueurs par raporc a toute U Paitie, lors qu'ils jouent i plufieurs jeux, dontils ontdeja gagnc quefques uns, avec quelqucs points encore, (i vous voulezj comme jayfart la troifieme Tablc pouides joueurs egaux: toais parce que la continuation de cette recherche par lettres leroit Table V. Peii de lem fstis , A hdnt plttt firt que B , A |B ; f» + /"«. 9 • JO K 8 ." 7 64 . 21 *f 4f 16 . 81 '. 79 2J 6 . iS 9 45 )» . m ■ 397 1024 . 1 101 4f 14 . \ J9 - ;o 4 ■ 16 . 1 if 88 . 47 fl? • i»7 i8f6 . 269 jo 308 . 37 891 • )89 8448 • 2177 44 ■ 3^ if 124 . 621 '. 2096 '. 29 If H 197 . *3 2048 . 77 if 176 ' <7 891 . ijj 49408 . 1717 4f IJ+ • 6J9 • 2.124 . 1 J9* • IJ 1269 . 11 10591 • I) if 114 . 19 999 • *f (:6o8 - f 1 7 208 . tf 24I - i! 11968 . MJ7 trts-penible, & demanderoit un calcul irnmenfc, jemecontenteray defarre voit dins un cxemple patticulier, comment il s'y faudroit Erendre, pour ttouver en abregece qu'on cherthe. Sopofons, quc : Partie k face i + jeux: que Aaii un jcu & ourre cela 1 f , H deux jeuxavec 4f , Btque A fbit dcux fois plus fort que B; on veut (^i- voir la valcur dei efperances qu" ils ont de gagncr la Partie. Remar- quons avant touts chofe que lesfacihris, quontces joueurs a gi- gnerchaque (euetant encorel but, fontentre elles par lacinquicme T.ible en raifon de 308 1 )f , ou bien de 1 1 ; &quc parcon- Suent celuyqui ell dem toisplus fort qo*un autrc, aura (ais ,fl pres de fix fois ) plus de faciliiepourgagner cejcu: en&ite de quoy confiderons, que le jeux, dont ilt ow dejj fait unoPartie, i « ( ) M etant achevi, ili aurantou deux jcux a deux, au un jeu i rtois (fui- vant que l'un ou 1'auttc 1'aura gjgne ) en quellc ITtuation il lcut man- tjuera cntorc ou dcux jeuxa chacun, ou ticis jcux .i A &un jeu a B. Or il clt bien clair , quc c c(t alors tout comme s'il lcur manquoic (eulemcnt autanr de coups, qu'il lcur manque de jeux (Veft idire comme s ils elloient trentains, ou if i4f ) fupose que la facilite, que le plus fort * dc gagner un jeu cntiet, fflt celle, qiTilade gapnel □ii limpU coup , & que nous avons nommee n . Mais cette facilite, comme je viens de dire , ell exprimee par ; si vous fubftituez donc cctte fraftion numerique i la place dc n dans Ics quantites M ^., & „ )+ i„, + \ „, + — "+1 > "3 ui niarquent, pat U 4™* Table, le foir de A quand ileft rtentain ou 1 t 1 4? , vous aurez les ibrts, qui luy tombent quand il a deux jeux i deux, ou un jeu a trois, quifiront ainsi j!j**P& i|i*Jf|j|iP. Etparcequelbn fuposc, que cejoueur 1 if i 4? du jeuqubn joue ptefentement.au- quelerat ila ibcas de gagner ce jeu , & 19 oS deleperdre, patla cinquieme Table ; iisenluit, quily a 16 cas qui luyacquierent dcux jeux adeux, &ag cas, qui luy fonravoirjun jcu itrois, ccquirend la valeur de fon efperancc a gagner U Partic, l6 ' i&i+J^BiW&t x iffUUf*|j P}&ilrcflepour celle de B , sffi }ifa* *| p i * I"™ ces efpcrances iont entre elles cn railon de i90Jiti+4Ji 1 4611364117, qui eft un peu plus que quadruple. Mais panons plus outre. VI. Si 'c raport des fbrces dc deux joueurs efl conmt, l'on peut fc,avoir, combicn I'un doitdonncrdavantagearautre pourren- dtclc jcu egil. On n'a qu'ijetter les jettxfur U cinquiemeTablc, pour voiroii ltsnombrcs, qui marquent le raport de leurs elperan- ccs , saprochent le plos . Ccft ainsi que nous obfervons , quc lors- que A elrdeoxfbis plus fott que B, leurs foits different lc moins, A nayanr tien & B jo; de lorte que A peut donner iB Jo , & m!me avec quelque petitavantage pour foy , fbn elperancei gagnet le jeu erant tant foit peu plus grande que celle de B. Si A elf irois Fois plus fott que B, & qu'il luy donne 4f , nous voyons, qu'il y aunavantage^orable poutB, maisquil ya beauwup plus davanta- m ( >o i* ge rout luy incmc, s'il ne luy donnequejo. Pour rendre donc l.i P3itic egale autant qu'il fe peut, il faudroil qu' U donuit a B 4f', prcnant pour luy i f . Si A eft quatre fbis plus fbrr , il peut donncr i U 4 f , pourtant avec quclque perit avantage pour B ; mais s' il etoir cinq fbis plus fort que B, il pourroir Juy donntr 4f , & au. roit encore un avantsge ikis confidirable pour foy - mimc, puifque leur» fons fe trouveroient ctre comme j nf & 1431 8k. VII. Si A donnc i B 1 f , ou 10, ou 4f , fcavoir aucontrai" re, de combien A cf{ plusfbrtque B? Pour rtfoudrc ceicc qucflion il faur confiderer , quc lors que pour egaler la Pittie A donnc i B un avantage dequelquespoints, lc fbrt dechacundoir etre £; ccftpour- quoii'ori prcndra dans ta Table IV les quantites, qui marquent le fort de A, lors qu'il naiien, & B 4f , ou 10, ou 1 f , & on lei ferachacune 30 §; ce qoi nous fournit troisegalites; 7*ii lesquelles etant reduites feront ni+iKi — j n+—8n>— 7 n» — li n~ l 00 o, n T +r« s + ii» 1 — ffl*— if »» — unu— fB — j xo. Et parte quelesratinesde ctscqnarions, qui marquent la valeur de 1'mconnue *, (bnt foutdes, ils'enfuit que les fbrces des joueurs, dont 1" un donne a 1'airtre un avantage dc quelques toups , (bnc in- eommenfiirablesentreelles. Latacine delapremierc efl 3 peupres 4.216 (ouenviron+f), de la ftconde 1.946 (ou iy|), rfc Isj troifieme 1 . j 1 } ( ou 1 T ' ; ) ; ce qui fait voir, que celuy qui pcut clonnet al'autrec;uaiinte-cinq,doit enc 4| fois plut fbrt: quece- luy qui peut donncr trcnte, doit etre \-% fbis; & qui peut donna tjuiniej 1 jj fbis phis fwt que lautic ; sefiadiie, que le premiet Digitizod B/Cooglc ftg< *r>S» doit gagncr 41 , le fecond 19 , & Ic trojfieme 1; coups, I Partiesengagnent 10. Or si A donne i B ravantage, qui eftnceefliire pourrendie le jeu igal , ce fera toute U meme chole, de joueri nn jeu, ou i deux jeox, ouitrois, ou i canc qu" il voui plaira: car s'il eft igalement probable.que A gagiie unjeu, ouqu'il le perde; il eft aufliegale- ment polTible , qu'il faeedeux jeux de fuice, ouqu'iI tes perde;quand lapartiefc faiti deux jeux; ou bienqudgagrieouperde trois jeujc, quand elle fc fait i irois jeux &c. VIII. Si Adonne i Bdemi- ir , oudemi- jo, oudemi-4f, f^voii dccombicn A efi plui fbrtque B? Merrons, qu'Adonnel B demi-+f , que ]a Rartie fc joue 1 deux jeux; que B prcnne au premier jeu 30, Sc 1 Tautte +e; puis derechef j~,si h Pjrtie fc rc- meti deuxdc jeu, puis 45, fk ainsi alrernarivement; & que tou- tes ks fois qu'il prend ;o, ibn efperance de gagnei Ic jcu fbit 1 celle dc Acn raifoii de i i a, St csutes les fbis qu' il prencl 45 , ermilotl dc di i. CeUpose, taifons le forr d'Aau cotnmencement dc h Par- tie OO * , St confiderons ce qui arriveroit , si B gagnoit le prcmter jeu: Alors B prendroit 45, & par 1'hipotefe A auroit t vraifem- btances dc gagner le jeu luivant, & d vraifcmblanccs dc lc perdre. Orsi Ale gagne, h Partie fe remer 1 deux de jru.&it faucquc Bte- Eenue 10, cout de mSrtie quiu cornence ncnt de la Parcia: mais si A perd, ilpcrdenfembfe hPariie: d'ouiIfair, quele fbrt di A ferofc tncecas' • K) t'+~d' QSe^*ueontraireAavoirgagri« leprf. mterjeu, B prendroic auffi 4f & A auroit apris cela ( apaicnces de gagnei enfemble le jcu & la Parrie ; & d aparencea de temctrre fa Partie i deux dc j eu , enperdintfe jeu: ainsi (bn fbrt feroit alots ^-^$5 — 30 Enfin confiderans les joueuiscofnmeau eom- mencetncnt de 1« P.irric, nii B prend 10, nous voyons qu'ily I pout A, " probabilicis di gagner l'avantagcdu jcu, c'eft a dircde parve- nir au fort pnkeJent 6£* probabilitesdeperdre cetavarit*- ge Sc d' acquerir ainji le fort } ce qui luy viut fcj ..•> fupoiioiis le niSme fbrt, quobtient A au commaneement de la Parrie 00 c'eil pourquoi il y a egajite entre t Seb dite quancite f ffi ffi ' % Uqtwlfe erant reduice on trouveras 00 jj^^P. Et patce quc la Partie i dcmi-4f c(t fiiposee egale, dans laquelle avant le commeneement du jcu le fott de chacun fbit fP.il doit y avoir cncoie egalite entre f P , & la valeur trouvee de t , d'ou il re- fulte cclle-cy *c co bd , qui nous donne 1'analogie s.b : ■ d. i. Ceb fait voir, que la Partie ftra egale, quand ces quatre quan- tites j, i, d, i, font proportionnelles ; c'efi i dire, quandrelperance du plus fort a gagner le jeu eil a lefperance du plus fbible ( ayant j o ) comme reciproqucment 1'cfperancc du plus fbible (ayant^c ) eft i cdle du plusfort: ou bien, quandily a a, j ou4 fois plus d'apa- rence, que le fotbleperdclc jeu, ayant jo, & qu'ily ait aucontrai- reautant d'aparcnce, qu'illegagn.c, ayant 4f, on fuy pcutdonner demi-4f. Etit cftl remarquer, qu'il n'impotte, fbit que B prenne au ptemier jcu jo & i 1'autre +f j ouqu'au concrairc il prennc dabord 4f,&puisjo: car ayant fait nocre calcul , poux cette demiete hi- + 4 j P, comme aupar*. vanc. Par confiquentceux-la retrompcnc, quis'imagincnt, qu' il y i de 1' avantage a prendcc au premier jcu ]e moins , & 1 f aucre le plus. Or parce que le m£me raifonnement fublifte toujours , quel- quc raifbn que puilTent marquer les lertres a,t & rf,< ; il s'enfuit, quilen ferademtmede la Pattie, qui fe joue a demi- jo, ouade- mi-if i fcavoir, qu'ellefiraegiie toutes les fbis , quelefperancede A par raport a chaque jeu furpalTe cellc de B Sc en eft furpaiTee al- tcrnativcment en mime raifon. Pourfaire l'aplicationdc «cpe nous vcnonsd'etablir, il faue diter- ■*§ ( if ) s» dererminer pour chaque hipotefe h valeur des lettres *, &, i, d; ct qui fe&itfans peine. On n'« q u'i prendre dans la 4 1 " Tableles (orn de A , quand B cfl /upose avoir 45« ou ;o, 011 lf> ouo, 1 lien; fcquels itanr par ordre iq^j^, ^, »'+pi s +iiBH-ir n *+if»'+ii™+P'4-i : ' B * tDmu,E l w reftes 1 IW, feronr » ^+4-»' +4»" + ? "+ 1 _ , , 1 i+ J jj«+ 4B i+ +r , n + J ,,+ 1 6 « * +S"'+-7" B +4''+i ««+4 n < + 7- l ' + 8B» + 7n» + 4»+-i' ien 4 + if "'+ - 1 inn + f n+_i „t+ fM » + tl»*+ ifn*+if »* + u na+jn+x ' i f n» + lin«+fn+i . B ?+ f «*+ll« , + Ifs«+if»»'+iii>»+f «+I ' &parconfiquerit Icscfperanees d'A auronti cellesde B les railoit» n' " s +4"'+"* j n *+4i.'+4»fl+jn+i > gn^ + gnl + ^nB + ^n + l* nT+ fn i+ I 1H '+ fH * „7 +fB i+ u ^ + lfB 4 Dou iluft clair, quequand la Partie (e joue i derni-4 f , 1'ondoic .^;» < .,;;.t«' 7 '.i:;;. + , . *;» DigitizGd t>y Coogle ■M-»H-f+- &ix - : ScenGn qiwnd on la jo W 7+t» « + iiB<+r»» Subftituans done ces M- ~ a B , _L jj B l-|_ s l BB + f n-J- i leurs , nous aurons a U plac e deatX id, dansla prcmicre hipoiile , ^^»'+ ji2jn^^3^6n* + 8» } + 7 »" + 4 B + i in j^+^bH^bb + J h +i : dJnsUfeona , c,B'+ i B° + UB;+fn+ in,"t.j. 4 ,4ii'.'x io»* + ir"'+ii»"+f »+i i" 6 «*+8» i + 7BB + 4»+ i : & dans btroificmc, »7+^+77^+77^-» in n^ + f b* + h b' + r"* X lf"*+ll"» + f»+I in 10"*+ If H *+ II HB+f »+I i c'eftidiie,qu*UmuIupIicaticfflriite, nousaurons les trois egalires: B-+4"' 0 +n9 WiBn* + 48»'+77» < + 9 0 " , + 77»* +49»'+ajnn + 7B + i, + 9 „" + J3B "+ f4n' 8 + ;ib9+ r B 9 X 6o» ! + 17 o»'' + i)-Si» 6 +i6j» , + i9ji»++i03«J + j8i«» + 9« + i» ■ >« + ion"+4 7 n" + ijoJi n +2ii«' 0 + iaoB' +7f »* 30ifo«'+JJTB 6 +jSo* , +a8i»*+i40» l +47» B +io"+«i Itsquelles enfuite fe reduifent i eelies - cy : n"+4» lD +B°— iSn» — 48n T — 77»* — 90»'— 77»* — +9»' — ij »h — 7 h— iMo, »1)4-9»» + J 2 "" + f4»'° + ji «? — ff» 1 — 170B* -affin*— ifij» 1 — 19JB + — iozbJ — j8n« — 90-1X0, (,'* + lOB^+^^B^+ljOB 1 ' + 121 ■ , ° + jion' + 7 f n* — ifoB*— JJf"*— 38o«f— 181 i+o» 5 — 47«*— io»-i xoi 06 1' ineonnuE » nous marque Ja raifon d' entre les fbrces des deux ioiKurs. Ceiuycjuiauraleloifir, pourratherchciles raeinesdeces m (17) m iquarionsi je conjeilure, quclles font environ a T T , i T £, fltl^i teliement que ccluy qui peut dormerdemi-^f , doit gagner 27 : qui peutdonner demi- jo, doiigsgnri 16 : &enfin qui peut donner de- mi- I ( , doitgagner 1 1 coups contce dix coups delii Paitie. Avantque definircetarticle, je dois encoreremarquei, que si 1'avantagc quon donne alteinativement au joueuiB, eft tel, comme jeiai dit, e'efl .1 direquelesdeux joueuis falTenturU i chaque jeu uneckangecontinuel dcleuiselperances, laPaitie feu toujouis egale, non feulement quand 011 h jouii i un ou plufieuis couples de jeux, comme l'on pourroit s'imaginer, mais aulTi a quelnombie de jeux, qu'on voudia la jouci. "Car posequon joue i 3, 4011 e jcux, que A donne a B un avanrage altemativement plus petit & plus grand.- Javoir le plus petit , quand la fomme det jcux qui leur reftent eft un nombre pair.&u^lusgrai^quandceccefomeeft un nombrcimpair; Si qu'au premiercas ilyair deUKfoi* plusd'aparencc que A gagnele Cn, & quilautreily airaucontraiiedeuxroijplus d'aparencc queB gagnc: on trouveralefort dc chacun a ehaquejeu par ordrc, come l'on voiciti. (Tab.vr.) Les pecics rondsvous maiquent les jeux qui lcurrclientafairej Sc tl p.iroir, que quind lenombrcdccesjeuxell cgal dcpair&daune, le foic de chaque joueucell coujouis£P. IX. A donne a B demi- jo, & i C 41 ; combicn B peut-il donnerlC? Parce que la forcedeBefciceUedA, comme 10 Si6,pail'aniclcprecedenr; 8i celIed'A k celle deC, comme42i ic.pariait.7. on doit conclore tx t/pttft\iMtbni t quc la fbrcc d e B eft i cellc de C , comme 423 iS, ou-i peu piescomme 26 i 10; de Ibitequc B poucia donner aCdemi-4f , par lair. preted, ' X. A dtmne a B demi- jo, & B i C demi-4f ; quepeut done A donnciiC? firjp. Iafbrccd'Aetant iceHc de B, comme 16 i lo:&«l!ede Bi cellcde C, comme 27 i 10, par 1'arricle g ; il senfuft pai la compolition dcs laifons, qucla fbrce d' AeftacelJe de C, commc 4jaa ico, ccAadireque eclui-lipeuE donnei 4 celui- ty quaranlc-cinq. parfan. 7. Xf. A eft deux fois plus fbtc que B, 8c cinq fois plut forr que C. DoncBeft£raisplusforcqueC,&lui peut donneipatcon- iequemprefquedemi-^jjpirrari. 8. c XU, «s c •! ) m Table VI. J Jatx ijai Kftmi A B smitA o o ' O 0 l ° o '■"', + ''xS °o° ° .p °° ° , /■"»+•.• a, • >l ° P ^^** o o I o oo P 'itl^xj ° O 0 I ■■■+>■■" x a 0 o°o P ■•'+'•""' x 5 P ■■'■■»+■ "" ,jt V ° \ i ° ° ° 1 ■■■""+■■"" »^ 5«w f»i rtfm Smmt dc sm Je i . Q 0 O I ■'■-'+-'" x .2 o o o P o c o I o o o o P oo oo I oo o o P '■' i7;4 " +, -' : "' x uk o o o o I o o o Q o P ». 7 '-'"+i. i, ' 9;i +' — , X fjg o o oo P 1*1; 14) . , U7-»S« f^— X i o o o . o o I , ~ 30 iff4 ~~ o ' I > ' i74 '"^'* t -— x iifj o°o o°o P Ijoj.lll? , '1)49:074 ■ aof. XII. AefH foisplusfbrtque B,& B 4 foisplus fortque'C. Donc Acd i? fbispIusfortqueC, & ainsilui pouria donner plus de demi-+?, &moinsde45. XIII. ComioilTantlesraifbnsdentrelcs forces de tioii joueurs A, B,C, Jouans una un en tous fens, on connoitia auffi le raport de leurs fortcs,, quand deux de ces joueurs jouenc dc compagnie contrc le rioifieme . Supofons, que les forces abfolues dcs trois jou- eurs foient marquces pai les lettres /, m, ■ ; que A joue conrre les dcux autics , &; qu' il joue indiffercmment tantflt a B , tant6t 1 C: S'iljoue i B, il a / degres de facilire dc gagnei lecoup. &cm dcgres deleperdrc; ce qui luy vauc '• fcVif jouea C, il a encore / degrcs d'aparcnce de gagnct Ic coup, Sc n dcgres de le perdre ; ee qui fait ,-_£-„-,* Do"cs'il efl egalement pofllHe, qu'il envoie la balle i B ouaC, commenous fupofons, il y a uu cas, quiluy fait avoir j^, i & un autre, qui luy fait acquetit ; ce qui luy danne par rapport a ceeoup-Ia, — — J — 30 1/4-11» filki 30 tg+aST ^a-; ' «Uementquil-eftepourlc fort des autres B & C, rt^t&tri +w * Ainsi leuR fcN ces eiant par exemple en raifbn de i, i, le fort d'A eft -'| , & Celuy des B & C il i c'eft a drre quc A peut gagner 17 coups , lorsque les aunes n'en petrvent gagnerque 1 J ; de forre qu'il leui peutdon- ner trente avec qucfque avanrage poui foi , comme il paroit par la cinquicme Table. Que li vous Euttt 30 nf+T iw + w ^+""i^ ) vollsauteI faOmB; ce qui vous marqut, que quand la fbrce ab/bluc de celui, qut joue contre les deuxaurres, ell moienne proportionnelle enrre ies forccs dcceux-cy, la Partie fc pcutjoueraeue. - Quand noas avanconi, comme egafemenr probablc, que le joueur A envoie la baflea BouiC, ccn'e/1 qu'une fupolition, 6c la veriteeft, quepfusle joileut efi habile, plus fbuventil envoiera . latwlle •tOOtt. h baCc au plus fbiMe . Pour avoir egjrd a cela, fupofei que tonics Ics ibisquil joue ;> ballesauplus forrB, ilenjouiiunplusgrand nombre jauplusfoible C: donc il y I p cas , qui luy fbnr avoir - , & j cas qui Iny fbnt obtenir ; « qui luy va WrV-**?*».» oU5ivousinterprereiles]ettres/,m,n, par x, i, commeaupara- vant, & ouire cela f par i,& <; par j , vous rrouverez Ie fort d' A a 1'egard de chaque coup x|! , plus grand que !e fort qu'il a-, lors qu'il envoie les balles indifeitmment a chacun des autres ; en fortequ'i]leufpeutmainrenam donner presquedemi-4f . Sivous Ai„ F U+,U+if.+t'» n . vousaures "" a f B+,a+flM+ } le nombre de ceux que A gagne eil au nembre ie ceux que gagneC,comme /1»; il efi: clair, queles foiecs abfolues des tcois joiieurs A, B, C feront alors en raifon def, r,i ; d'oii leutsfbrtsfe deduifentenfuire commc deflus, eiiforrc qu'onnaqu'1 fubftitucr fimpiement les leetres i& i ila plaecdewi & ». XIV. Connoifiant lesraifons desforces de quarre joueurs A, B, C, D.joiiansunlun encousftns, on connoina leraport deleurs focces, quandilsjoiienr deux i deux, A & B concre C Bi D. Su- - pofons quc leucs forces abfblues foiene ejcprimecs par kj i , ™ i " ; f«.pcurfiirc, que A(dememe queB) joue i Cou a D. Si A joue iC,iI* 8c s il joue iD, il t -^- V raifemblinccs de gj- gncrle coup ; ceft-cc quilc fait parvcnir 10 foct raifon siceftBqui jouc, Ibn fort cft — x i B +'xi£+ ^i£i+~**i> • 01 " eft egalemene poff.ble, queAou B joiie: doncilya uncas, quilcuc aporre i ^ +rj ^- * w» > & un aucre, qni leur donne — ^f^p J^. , „, „ i « qui leur v" 4 ^f4;t.+... +w5^s- Ai ™ tefc - ces ablblues des quacee joueurs A, B, C, D , erane comme 1 , f , 3, f, le (bn d' A Sc B par raport i chaque coup fera , 6i ce- luydeC&D (i bicn que ceux-cypeuvcnt donneri ceux-li presque demi -quinie. Si dans les denominaieurs de ces fraflions li- tcrales vous mettez au lieo de 411111, vousaurei , ^KK+V^+K" , , „ ^+»+» 4< v f+ i 'L"+T5»+5»3 +ZI-(-V»+.'- + 4y* J 4'(+4»+4" + 4' + jqri&J+T^ * ^iJ±^+S X is ce qui montre, que si les fbrces des joiieurs d'un c6rf & d'aune fc trouvcnc recipro- quemenr proporrionnelles, la Partie qu'ils joiient i buc fcta egale. Toutes tbis il faut ici repctei ravertifiement du piicedenc aiticle, fcavoir Digitized o/Google m c »i ) m fcavoir que les habiles ioiieuri' ilchent toujoura d'envoier les balles au plus foible, i quoi il fautavoir egard, sii'on y veutillci bien XV. Sidedcuxjoueuw A & B I'un pcut donncr a 1'autTe un «vantage de quelques coups , & qu'il aime mieux luy donncrceta- vantage en jeux entiersqu'en poinrs; on veuc fcavoir, combien de jeuxil luy doit doniier? Parexemple, si A pcltt doilncr a B 4.5, & cruil veiiille joiicr a but avecluy on demande , decombien dc jeux illesluy peut donner tous a la reierve d'un ftull Pour refoudrecet- requeftion, ilfauteonliderer, que 1. A pouvanr d,onncr i B 4< , lavaleurdefafbrce, maiqHee pir-h Ieare «, firaf^J* parTarc. 7"". 3. Quand ii cft a but avec B, 1'efpjrancequ'il a dc gagner le jcu eft par la ^mcTable, ■ + , f «4+, s .J + i.« 1 ,-i-r» + > Jle de B cli + '-+!■+■ - ; Bilaraifondeleurs cfp&ances ' 1 '^^^^^^" 4 • J. Pourexpliquer eerre raifon par nombres, en y fubftituanr i U place de 0, on peut fe fcr- vir Jes Logaritmet, par le moien dcsquels on la determinc lans peine i -}>"'|J* - Nommons cette railbn m, & cherchons fuccefii. vement, quel eft le Ibrr de A par raport i la Parrie, quani il luy manque i, i, j,4&c. jeux, pcndanc qu'a B il n'en manque rou- joursquun; julqua ccque nous voions par la progrcffion, quel doit «re celart, Iorsqu'il iuy manque x jcux. Or s'il luy manque un jeu, de mime au'a B, c'e(l a direiiles deux joiieurs fonr a deux de jeux, il efl aise de juget par ce quej ay dcmonrrc dans lart. 4. , que le (brt deAeli £*fT ■ S'illuy manquc deuxjeux.il efl clair qu'il y a m cas, qui le pouiront mettre i deux de jeu avec B en luy faifantgagner le jeu, & uncasqui luyfair perdrele jcu & la Partic; te qui luy vaut " " ' * 1 : " ao wT^h^x ■ ffil Juy manqucttois jeux, ilneflpas moins clair,que m casluyen feronc lella deux en luy raifantgaguerlejeu, Br. qu'un cas luy fera sncore perdrc petdtelaParticj cc qur Iuy produir — — w4 , P i^+,"^^V' ' Eti'i! luyen manque quatre , ily t m CM qui luy enferont refler ttois, &uncas qui luy fera perdre h Partiej ccqui „**:-" + -^+' l + ,° ~ - En un luy aporte X » m+ ,.^4-,' mor,quelnombre de jeux qu'il luy manque , fbn forc ie rrouvetou- jours exprime par une fraflion, dans laquelle lexpofant de w eft plus orand, &cduy dc m + 1 plus petit d'une unrre.que Ic nombre de „ s . e0Xl D'oiii'on mfere, quc s'il maaque * jeux a A & un jeu a B, c'eft adirea'ils joiicnt a * jeux , dont A donne*- id'avan« iB,le fott de A fera " — . & patcc qu'en cct etatl* > »+1 Partie eft fuposce egale, ilyaura ^jr.i"-. Xi,e'efti dircl.«* +1 CO mm +l .m +i'—' ; & enprenant les iogaritmcs, L% + x+~i Lm CO LBtm +i + a-i Lm + i ou par_]a tranfpoft. tion*I.M+ 1 -mnXin+i + lm +H- Iw+ij &ennrt p« la divifion x CO lB, + 1 +^^^ £ ' . Pour aehever mamtenant la folmionon n'a quly mettre -?)-Jfj* au lieu de n, & fbn logaritmc au lieu de Lm &c. moiennant quor fon rrouve quc x cfttant foit pcuplus grand que j8;defbrre quc ccluyqurpcur doiiner 1 1'awre 4C pouira luy donner jufqucs a J7 jeux entiersde jSi s'ils vculcnr joiier a but enfemblc. D'oii il paroir, qu'il y a bien de la difcrcnce entre donner de 4 coups trois, & donncr dc + jeuxtrois; vfi que nous vcnons dc voir, quc celuy qui pcurdonnci a l'antre 45- , c'eft 1 dire trois coups de quatre, peut bien luy doll- ner davanrage que rrois jeux dcquatre. En voicr lccaltul: • =°'-%s,- lyir + ti? =0 6.8111462, £7248696 X 6.8602^99, l Hjl&Z ™ f ■ '^7^4)7. j. 11764^7, im 33 Digiiizcd t>y Googltf x I. 7316141, immCQ zLm '. . 00 ; ■ 449 010 L»;m + I X j-449lfff- + i . . . . . X 1 ■ 7* l6l 4i I"i -X i,7i4foof S' £.2 . X o . jOlOJCO Jw j-1+ t.m + l.i . Xj. 7^81447 t iwn + 1 .... X ; . 44$ifff lm+,+UK+Li- imm + i Xo. $089891 i^+i-Luj . . . Xo.ooguj7 XVI. Le Joiicur A pouvant dotmer iB 4f .rondemandede eombien de j:ux illesluy pcuc donner rousala referve d'un ftul , si ourrc les jeujc entiers qu' il luy donne , il luy vcuc encore donner 15 ou 10 ichaque jeu? Poui (atisfatiei h queition, vousn'»vt3qu'i ' _«7+i^ S +l'"5 + i-« ■,„„■ . ,6+ 4 * f + »4 mectrc „;»4+, ( «r+..-.+s-.+< & P u "^ + iB T+ 7 ^£+^ (raifons des efperances, qu'on leur crouvc par 144"" Tablcjlorsque B a 1 f ou jo irien) llaplacede («*«>««« cfpcrances qu'ils obriennent quand ils joiient a but) , en y interpre- tant encore « p.ir *£$£: ce qui vous fera trouvei m X ^"t??- Sc puismX "if/IJs doiilereftc fcdeduit con.medcflus, &il pro- viendra a pea pres 1 X 11, & enfuite * X +; de ftute que A peut donner iB 1 1 jeuxde 11, & cncorc 1 f points cn chaque jsu, ou bien j jcux de 4 Bcencore jo pointsen chacun. ' XVII. Si A peutdonneri B jo, & qu'on demande combien de jenx entiers il luy peut donner ; il fiuc leulement changcr la valeur de n, qui marque U force, e.i fcf? par l'art. 7'", & faire enfuite comme deiTus, pour trouver cellede 1. Lecalcul nous aprend,qu'il peut luy donnerenvirondecinq jeux quatre , & jouer ibut ; ou detuc jeux de trois, Sc encore if poinrs enchaque jcu . Si Anepeut don- nei i B que if , 1» nleur. dc ■ fera eenfee par l'art. 7. &l'on d trouvera . Digitizcd byGoogle m ('<■■> ix OTjnvenqu'iI ne fauroit luy dunner qu'un jcu dc deux, s'if pretcnd de joiiera bur avec luy . XVIII, On peut foimer pJuficnn queftions fur Ies Bifques , qui font descoups davance donncs pjr l'une des panies i 1'jntrc , qui CFi profite quand bon luy fcmMc ; & demander par exemplc : si dans un cas donne il clt plus avantageux dc prendre la bilque, ou dc nela paspicndre? si deux bifquu cn quatrc jeux valene micux qucdcmi-quinze: ouquirae& deux bifqucs mteux que demi-tien- te ? Bl autKS ftmblsbles . Mais tomme ces qudlions nous mcne- roient irc-p loin , je ne veux pas les toutes cntiepreridrc : jc mc con- icnterai feulcmcnt de nVarrecer un pcu fur la premiere. Supofons, que les juiteiirs nc jouenc qu'a un jeu : que la force de A foit a celle de B en raifon d egalite ou d':nej;a!ite' quelconque, n a i : & que B donne a A bifque (car bicn que cela ne fe pratique pas, quand on f^aitqueles joticurs font egaux: il arrive fouv.mr, que B ne connok pas lcs fbrces d'A, celuy-ey ayant diiiimule .upiravanc fon jeu; ouque A !a demailde par opiniitrcie, ou paice qu'il a peidu lejeu precedent qu'il jouoic a but, quoyqu'on fache d'aiilcurs qu'ils fbnt egaux ) puis fupofons ; ils fofent a dcu* & que A n'art pas eii- cocc prts (a bifque; l'on dcmande, qiidle cll fon cfpciJiice de ga- gnerkjeu? 6i s'ilfa.it micux dc prendiefa bjfquc, eu de fagaidec plus long temps? Sut quoi je fats ce laifonnernciir: S'tl piend fa bifque, il gagne i avantage, maisil nauiaplus de bifque: par coii- fequem fon (brt feia par Ii TablelV^^^^"!^ ;s'ilncprcndpas la bifque, il fc p^ut fairequ'il gagne ou peide lecoupprothain: s'il legagne, il a gignele jeu; car ayant ravantage il ne manqucra pas de prendre apres fa bifque: mais s ii pcrd Ie coup, il aura bien cn- corc fa bifque, rnais B aura 1'avantage; Sc puisi;ue le (btt d' A en tctte renconcrea caufede labifque m'eft encoreinconnu, je I' apel- ley. Yayantdoncparfhipotele n cas qui luy fbnt gagne; lecoup, &uncasquileh]y fait pcidie ; Ie ibttqu ilobttent quandilne prend pas la bifque feia -„^" r — 00 pT+T - Or, par Ic privilege des bifques, A cil egaJtment cn pouvoir de prendre fa bifque ou de ne j la pas , - Digrlized b/ Gt la p"js pren.irc; cefta Jitc, il pem egalelnent acquerir ^r^f^Tt . ou ^ +i ; c'eft poiKquoi si le fort, qui luy eonvicit pendvu cette injitfcrcnce, ell apclle X , il y aurax 00 lni +i"tlx^^{ + a ^T, ' Pour cJietchcr le forrr, il faut faire un (emblablc raironnemcntr Si A prcnd fa bifquc, il rcmi"t lc |eu a dcux, & naura plus dc bifque ; c'il)-ccqui Juy donne pn la Tablc IV ~— ■ S'il ne prcnd pas Ia Hfquc, & qu'il najjnclc coup,.il g.igne icfort * ( p.itce qu'il fcral (icux.&auraencoie fa bifquc ; mais s il le perd il perdenfemble le jsu; c'eftee qui luy vautalors ".' jjp^ '- X „-+-, ■ Or Aeftegalemenc en droit de prcndre (t bi/queou de nc lapas prcndre, c'eft Idirecfae- querir — v ou j- ; c'eft pourquoi (bn fort pcndanc cctre indi- fcrence,cjue nous apellons/, fcra ^^+-7 + , „" +1 ■ Mcmntdonc cctte valeurde } danj lcquation x '30 n,i ^^^nq Ta+ nous trouverons * 30 -V+^J ;+^"+ ^a~+"4 30 ■ ~^+~f7 J a +T i+<~ i ^ ptl ' s fi n 'ft' tnanl r-ciproqusment eelle- cynoutauronsy (,-^.7+ r; ) 30 ^+TT^+T^+H' Ainsi Ic jcu erant a deux, il fe picTentcnt trois quantit", "■ + ■'" + ■■ "+->■ °. ■+'■.""+ ;" "+* » „) + „., + „ + , U l ,+ 1 ." + l />■.+ ■ »« + ,.,»»+,„ + ?' qui marquent le iort de A dans tiois diHerentes hipotefes: l une, quand i! prend fa bifque r 1'autre , quand il ne la prend pas : _ Sc li ttoifjeme (qui doit eire moienne cntre lcs deux auries), quandil cft cncore dans I' indifetcnce de h prcr.dic ou de ne ia ptcndtc pas . Et parce quc h premiere spres la reiiuc" ion a un memr (icnoiJiinatsur fc tiouve plus grandcquc ia tioifemc , ilsenfuit qu'a plus forte r.ii- d 1 foii fcn elle fiia plus grande que la feconde, 8: que par confequenr A ,fait mieuxde prcndie fa bi/ijne, quede lagaidet puurune autrefois. Si l*on examine ces trois aurres quanritez > 8c ^fiT^jltj^y J~ > <) uc nous ivons nouvees par la rairae opera- rion, &qui marqucnt le fc.it de A dans lcs dires hipotefes, quand B a 1'avantagc, ou (ce qui eft autant) quand il a 4f 1 jOi I'on peutretnarquer, que la premiiie eft aulli plus grande que Ics deux autits ; de fotte qu' en cec etat A fait encore mieux: de prendra fa bifque. Vous rrouverez enfin avecces raifonnemens les lorts du joueur A, pourtoutes lesautres conflirutions du jeu, lorsque B a 4f a i f , ou 4ja lien, ou ;oa ]f &c. & mimcavec moins dcpeine, fi vousy allez pat otdre; cai vous ne rencontrerez plus dans vfitie opcration quc dcs forrs dcja trouvcs & connus . je me contentc de vous les donner pour des joiieurs cgaux dans les trois colonnes marquees 1. II. III. dcla Tabie lepneme : la prcmieie confidire lc jou- eur A, comme prenant fa bifque; la trnilieme, comme nc la pre- nant pas; & cclle du milieu, commc ne s'etanr pas encore derer- mine s'il la prendra ou non: & I'on remarque par tout, que les fraclions de lapiemiere colonne foniun peu plus grandes quecelles desauties; d'oul'on pcui geneialemenr tonchne, qu'i! efl roujours plui avantageux poui A deprendie d abord fabifque, qucde lagit- der plus long temps. XIX. Lccalcul du pietcdcnt nrritle fupofe le joiieur A dans une paifaitc indifeicnce auregard dc fa bilque, qui luy donne tou- jouts un panchant cgal dela prendie ou dene b ptciidie pas: cepen- pcndani il faui remaiqner, quc quoi qu'il foit eg.Iement en pou- voir dc la prendre a chaque coup, il n'cft pas toujotirs eg'lcmenr ptobahlc qu'illa prcnne; y ajani des endioiis, oit il peutla faire mieu* valoirqu'en d auttes ; li cencft pcut-ettc qu.-nd onjoiiefins faire des chaffis , auquel cas je nc vois aucune raifnn , pouiquoi il faudioit dtfeicr Ja bifquc d'un fcul coup: mais faifaiit dcs chafles, il yadesiencotitics.oii on Ja p?ut empbier si utilemcnt.quclle fert Digitized ti/Google «S ( »9 > S* Tablc VII. NB. h& B/intdujoiauTi iftanet A i ww Ufipit i fmJrr. . rn A 4f JO 11 B i. ii. J III. it A B s IL [W. tcl. dt! cttf. 4r 4f +f 4f i 4 H !; ii If if If If § 12 s if JO JO J° ;° l Tll 41 I V H prefque de trente ; ai y ayant une chaue di/Icilc a gagner pour A, elle eft autant queperdui pour luy; prenanr donc fa bilquc, il em- ptche non flulement fa Partie de gagner i f , mais il lei gagne luy- meme, cequi luy vaur Jo. Comme dotic la determination dufort desjoiieuts, qui demande la confideratfon des bifques, depend dcla confurution particuliercduieu, dela. diverfite deschafles, &meme ducapricedes joiieurs, qui nohfervenr poinr de regles, il eftdifici- led^enformerdesconjectures bien fures. Voici pourtant h ma- nicre, dont je voudrois m'y prendre, s'il falloit entore avoir igard auxchaffes: Pbsequeles joiieurs foienr trenrains ouadcux, &qu'il y air une chafle plus dificile a gagner a J'un qu'a 1'autre ( le nom- brc dcs fois , qu'on en a vu gagncr une fcmbiabfe au joiieur A , erant au nombre des fois, qu'on en a vfl gagner i B, cnraifon dinegali- te quelconque de m i l ) bien que les deux joucurs foienr dailfeurs ieiux; jeconfidere, que si lejoiteur A gagne UchafTe Jans prendre fabifque, il gagne le jcu , car ilnc manquera pas de la prendreapres: & s'il perd lachafle, B aura 1'avanrage, mais A rericndra fa bilque, qui luy vaut, pat la II rat colonne de la VII m e Table, -J- ! . Parce donc que par 1'fiipotife ce joueut a m dcgrezdefacilite de gagner !a chaliecontte undegri de laperdte, le foit, qu'il poffede quand il nc prcndpas fa bifque, fera 30 ■ Mlis Sl auconirair- il pretld ccttc brf.}ue,.la clniTe ell moice, & lon fort fe rrouve, parla L colonne de la ditaTable, t. je n'»y doiictju'i chcrcbet, Uquille d.-sdeux fraflions, ou de psi» ou de^,fuJ> p.ilti 1' .tutrc ; en faiJjnt /lir elles les mSnies opetJtions, ques'ily 1- voit fgalitt eiltte clles jufqua cc que »: deincUre feule d'un cote; ■noiennaiit qu.n je rrouve, que Ic joiieur A fait mieuxtmtor dcear- der, 1.11116;.'!- fi ■ .■H(.i:c '.i brfijuc, fuivant que m efc plus grandc ou plus petite que -|y ; & qu'il luj' doit etrc indiferait de l.i prendre ou dc kgatder, li lusft aujuih 3C jf. Pose dcnouveau, que A air;oa4j, ou qui Baic l'avjiitag:, & quily ait h tneme chalTc; il e.t dair, que ■ i A ia gagne larts prendre fa b-fjuc, il fera a deux, p.r conscqumt par la II. col.de la VII^Table il aura \l : ma ij quc sil perd la clialfe, il pcrdrj lc jeu. Ayant donc m cas de laga- gncr& uncasdc Ij perdrc, il aura (quand il nc prend pas fa'bifque ) "'" M ^ jy-- W TfST^rii - Si A veut au conrraireprcndrela bit quc , k jeu fe mct a deux , & la chaiTe etant morte le Ibrt de chacun f.raj. Faifanrdonc compaaifoii entrc &£> nous trou- vons, qu'il vaut mieux pouc A dc gjrder ou de prendre Ia bifaue , fek>n quc m cii plus grairde ou plus pecite que '/ tV que I un vauc aut.tnt qucl aucre, si m x 'j Dt c que jev.eiis de faire voir, nou» pouvoiis encote cunclure, que la faciliie. qua le joiieur A dc^ga- gner une chafle ftani exprimee pir un nombre compris enire |fi 8c '-* , il fera rnieux .:■-■ gaiiicr f. bilijuc, si le jcu clt a deux; mais que s'i B a lavantigt rl feroit roieuxde la preudre.' Enfin c'eft decet. te maniere, que jay determinc tnu> lcs autres nombrcs de la tolon- nedeschjncsdela VlI"=TabL, qui r.ous peuvcnt marquet, qujnd le joiieur A doit prcnJic ou g.irJcr fi bifque: car s il a plus de fad- lice de eagnet quilqueclialle, qu il n cii potci pai ccs nombEes, il foic niieux de g rdti la b.fque; s il en a moins, il fait micux dela prendre ; & s' il cu a tuut jullc jucanc, il psut faiie fans prejudice ce ou il veut. XX, DigMnd b/Ci XX. Ilmcrefle encorea parlei des fertuei, & deravantagequ' il y a de les donner. Vous fcavea, que le piemier coup de chaquc balc, qu'on donne fur le toit, s'apelie/rrvitf . Ccluy quile donne femble avoir quelque avantage par deffus celuy qui le re^oit, pour deux raifons: l'une, parce quc lc coup de fervice efl un coupfeui, qui fedonnela bale i la mainj au lieu que les coups qui fe joiienc enfuite la bale en l'air font fujets d'itiemanques: raurre, parce que quand celuy qui fert msnque quelquc bale, c'eft une ikift , au licu que qu.md 1'autie la manquc, ifpeid toujouis quinze (du moinssi la balc cntic dans le jcuj car pour Ics Jwfft dr •■'•! & la raifon deees cfperances i +/> kq. D'oii ilparoir, quefiles deux joueuts font egaux,&quechacunpuilTe fcaper par ex. dixbonscoupscontre un qui ne vautricn, les lcttres p & q valant chacune 10, l'»vantagedeceluy quidonne lc fcrvice fiir celuy qui Ic recoit eft commede u fur 105 mais quc cet avantage augmentei mefuic que les joiieurs lont plus foibles, & qu'il diminue jufqucs a saneantirentnirement, a mefiue qfi ils fe tiouventplusha- btles. XXI. Joignons y maincetiant la confideration des chafles, mais fans llous cmbarafler de leuc inegalire, en nousimaginanti com- mc si clleseroicnt touces ddlous laeorde; c'eft i dire, comesi tou- tes les bales qui paflenr la corde, pouvoient les gagnet. Vous fca- vez que quandilya chafle, les joiieurs font un echange deleurspla- ees, Si paflant chacun dc I'autre e6ie du jcu, celuy qui a donne les lecvices, eft oblige de les prendre apres. Que ccs quatte lettces v, x,j, t, marqucnt donc lefperante d'A en quatre direcens icars; fcavoir, les deux premieres t & x , avantqoily aitchafTe; les antres jBc t apres lachafle, quand les joiieurs onc pafce: la premierev 8£ troilieme j , quand cetl a A dejoiier; & lalecondex &4 mc t,quand laucre B doic joiier. Cela pose, & le raifonncment du precedenr artidc compris, vous comprendrez aufli fans peinelaraifondesqua- crc egalitci fuivanccs, fjns qu' U.foit befoin d'aIongerd'avant»ge ce i.J+f.* ^.l±?x i.' + f.' i + ?» difcours : }iAJ i+p i+f i+j i+f deregjlicexlalettrer, &del'egalice7 lalecrre c, vousaurez ix -Digitizod b/Googlc ,^Si* cclllfe;»^- Chalfo encorc y de 1, t^rdfe egdiri *, vous troW, «&» * X l±M±3±MpM &r 0I ircfleirunicri-*X-~i~T- Doii d fauc conclut- re, que lefperance d'A , dans le rcmps que B doic recevoir de luy le coup de fcrvice, eft i ceUe de B en raifon de i + -t-f>» + zfq a ?+flf j oil vous pouves rcmarquer , que p £c j etant ejjales plus on augmcnte leur valeiir , plus cette raifon approchc dc la triple, de forte que de deux joueurs , qui joucnr egalement & parfaitemenr bien, ccluy qui fert aenviron rrois fois plus dVfpenn- ce degagnet lablle, que laurre,- mais fouvenesvous, queceft dani la fuppofuion, quonnejaiTe point de diliinflionentre les chafles, Sc quon nadmette pas celles,qu'on apellc dt i !a force de A doit aufli etre dduble de cclle des deux autres priv enfemble. D' aurics rai- ionneroienr peut-etre comrat cila: Puis que pari'hiporele A ga- gne trois coups> la oii B n'en gagne que dcux, & qu' il cn gagno encore rrois, la oiiC n'cn faic qu'un; il s'enfuir, qu'il doit gagner fixcoups, lorsque lcs dcux autres enfcmble n'en ronc que ; + 1 00 ; i & que par corviequent fa force doit encore furpalTer au dou. blecclie des autres, comme nous avons conrju par le premier diA cours : Or cela eft contraire au calcul du 1;™ arcicle , qui nous a 6it trouvci le fctt de A phw q,ue le double de etiuy des auties. Je -Digitizcd B/Coogli] puis ripondre en peu dc mors a ee dcuic raifbnnemens : Pour le primier, vous fcaves, que les analogies ne prouvenr rien ; & pour l'aucre,'fbn paralogifme paroic, en ce qu'on doic raifonnablement fuppofer, que A joue autint de fois ou plus fbuvenc au plus foible C q,u'a B. otquefuivant eeraifonnemme ils'en fait cout le conttai- re; parceque A joueroica B cinq coups, dont ilgjgneroir crois; 6i 1 C il ne joueroic que quatre coups, donc il gagneroit encote tiois: aulieuque n&tre calcut remplit pattfaieement cecte condition; cal mettei que A joue 10 coups a B, il cn doit gagner ia : s'il en joui doncaueanc a C, il endoirgagner i r ; cequi faic en touc ij, 8c B Bc C gagnent les aucres 1 ;: mais s'il joue trois fois aueant, c'eft & dire 60 coups, aC, il endoic gaguer 4.5, lcfquels joines au 1 i,qu'il gagne furB,fbnt [7. Pi il refte pour B & C fcsauties 2; ;cequi cfl wuc i fiuc conforme a ce que porcc [e cakul du 1 } "» arcicle. Je linis, Monfitur, par cecce reflexion: c'efi qu'il cf! exticmc menc racile de fc mcprendre dans toutes fes connoilTjnces, si 1 on n'y fait pas coujours une fericufe actention : cat les raifbnnemens, qu'on fair communement dans le monde, ne fbnt pas meilleurs, queceux que je viens de rapporter, mais fouvant beaucoup pires: " lon voit tous le jours, que le plus fcavans taifonncnt fur de pures 1- nalogies; ous'iIs s'imigincnt de voirclair dans lcs chofes, ils pcen- nentpour ties-evidcntce qui ne Feil pas, & donc U n'y a quc ceux, iqui lufage des Machcmaeiques a eclaire lefpric, qui foienc capa- Ua d'en dieouvrir l'impofture. Je fuis &c Digitized byGoogle E R R A T A. PJg.41.lin.1i.13.14. dele [■ , ^mim itmiittgtrt pfftt, ut in ntMt ti ttgir&um padtat qad fttfttptiwt J"' hLlmuscur *Thurnilku-umFratrum, qui ' (•• -'■■\ van gvztam publico facturi Manufcri- ©SJfflgNil ptuni Auctoris ab heredibus deruncti A^-E***™-** comparatum fuis fumtibus imprimi cu- raverunt. PropofitunifuitAu&orimonftrare eximium ufum quem in vitacivilihabet ea Mathefeos pars, apau- rishailenustra&ata, qua: de probabilitatibus dimerien- dis.agit. Qua ratione & quouique Auctor hoc fuum propofitum executus fuerit jam recenfitumcft inCom- mentariis AcadeiruV Regia? Scientiarum Gallicffl Anni I70f. & in Ephcmeridibus Eruditorum Pari/ienfibus Annii7o6. Divifit AuclorOpusittudinquatuorPaites, quarum I°" continet Illuftris Hugenii Diatribam de Ra- tiociniis in Alea?Ludo cumAnnotarionibus, quamTra- ctatui fiio tanquam prima Artis Conjectandi elementa pra?mittendam elle judicavit. H* Pars complcctitur Doctrinam de Permutationibus & Combinationibus ad dimetiendasprobabilitates fumopere neceilariam, cujus UfumPartelir^invarusSorririonibus&LudisAlea: ex- plicuit. -IV™ Partem qua ufiim & applicationem pra> cedenrium ad res civiles, morales & ccconomicas oiten- dere voluit, adverfa diu ufus valetudine tandemque ipfa morte pra;ventus imperfcctam reliquit. Optafient qui- dem Edkores, UtDetunctiFrater, quiunice abfolvendo huic operi maxime idoneus fuillet, defeetum fupple- yiflet; fedipfi plurimis alusdiftrictonegotiisoperajhu- ju9demandationenoluerunteiIemoIeIb> Mihiquoque, quem olimSpcciminaquttdam hujusArtis adjus appli- catie inDiflertationelnaugurali dedille noverant, id ne- gotii deferre in animo habebant, quodvero abfens &.in Digitized byGoogle peregrinatione cooflatutusfulciperenonpoteram. Ee- verfus in Patriam dcnuoque rogatus operam hanc decli- navi, cumjuvenem melongoquererum ufu & experien- . tiaad materiamhanctraciandam neceflaria haud inftra- c"tum negotiohuicimparemforefentirem, racilequeju- dicarem, non tantajmLeflorinonfatisfaitum, ied etiam reliquispretiumademtum iri, fi vulgariaduntaNat&trka arFerrem. Suaforkaquefui, utTraitatusiftequimaxiraa ex parte jam imprellus erat, in codem quo eum Auctor rehquit ilatu cum publico comtnunicaretur. Ncverc resutiliflima,applicatio lcilicetcalculiprobabiliratumad oeconomica & politica, plane negligamr, rogamus Nobi- luT. D.Auaorem LibiiGallici^/ tAmtljfi fur tajwx dtHaz,ard\ GlarifE itemMoyvra:um, quorum uterque egregiahujusArtis Specirmrunonitapridempublicavit, utipfi negotiumhocinfefufcipere,eximiaquefuainven- ta cum publico fuo tempore communicare dignentur- . Speramus interimgeneralia iUa,qua?Auclor quinquepo- flrema; Partiscapitibus tradk,Lcctori indultrio in Ipecia- lium qiueftionum enodatione non contemnendo ufui fore. Ha:cdeipfoTractatupra:fandaellecenluimus. Ad- jurtclaifuntabEditoribusPoiitioncsAuctomdeSeriL-bus: Infinitis, quinque Difputationibus olim ab ipfb pertra- £tat&, quarum cum exemplaria multa hactenus huitra: apudEibliopolas noftros qua:fita fuerint, illas iimul im- prcllas Traitatuiiftifubjccemht.AccoditquoqueoLicffl- ,&c. Iliud etiam monendum eftTypum variationum Verfus Bauiiufiani,Toi tihi &c. inter fchedas Auiloris repertum ii CorreStore ingratiam Curioforum infertum fuiflc , adeoque poftrema verba pagina?78. omitcentlaeile- Keliquos errores, paucos quidem, a Cor- re&ore. non obfcrvatos in caJceLibri notavirous, q,uos titulusr utLcxtor benevulus corrigat, precamur.. ALTIS- Digitized B/Google ARTIS CONJECTANDI PARS PRIMA, Ctmfltfttnt Tra£htumJHugenii de Ratiociniis in Ludo Alcse , Cum , PJRSPRIMA. 3 nulla *m finc operis addidifle me invcnies, omifsS tamen analyfi, cum quoct prolixam nimis opcram pofcebant, fi perfpicue omnia cxcciui voluiflcm , tum quod rclin- quendum aliquid vidcDatur excrcitationi noflrorum, fi qui eruut , Leftorum. VaUj. DE RATIOCINIIS in Ludo Akar. |TIi lulionum , quas fola fors moderatur, incerti folcnr Tt evcntus, aecamen in his, quancoquis ad vincendum ,iiim perdendum propior iit, eertam lemper tutnt de- I terminarionem. Ut fi quis primo jadlu uni cefleri fc- at quinrb raifimilius fireum perdeie quim vineeie,ieipsa definitum efc, ealculoquc fubdueitur. Ira quoque, 1j cum aliquo certcm hSc rationc, ut tcrnis luJibus conflct vicloria , atquc cgo jarn unum lufum vicerim , incecrum adhuc uccc nofcnlm prior tcrtii viftor fit evafurus. Veriun quanti exfpeftatio mca , & contn quanti illius , xlrimari de- beat, certiflimo ratiocinio coniequi L*cct, atque hinc dcfiniie, fi fu- dum uti eft imptrfeftum linquere inrer nos convenerir, quantb na- }or pottio ejus quod dcpolitum efl mihi quam adverfario meo tri- buenda eflet : vel etiam fi quis m locum fortem^ue i meam fuccedere cupiat, quo pretio rat eam ipfi vendere sequum fit. Atque hinc in- numene quzftiones exoiirJ pofTuiit intcr duos, trcs, pluresvc eollulc- res. Cumquc minimc vulgaris fit hujusmodi fupputatio, & fxpk utiliter adhibeacur, breviter hic quS rarione aut methodo cjtpedienda fit exponam , ac dcinde etiam, qus ad aieam fivc tcifcias proprie peitinent , explicabo. Hoe autem utrobique utar fundamento : nimirum , in aleas lu- do tanti atftimandam eCTe cujusquc lortem feu expeftationcm ad ali- . quid obtinenduro, qumtum fi habear, poflit dcnub ad fimilem for- A 1 tcn( 4 CO N J £ CTA JV D I tcm five expefiationem petvenire, squi eondirione cetttm. TJr, excmpli gratia, fi quis me infi.io alrerl manu j folidos occultct, al- eera 7 folidos, mihique optionem dct ex utti manu folidos accipcre malim ; hoc rantundcm mihi valcre dico , ac fi y iolidi mihi dcntur. Quoniam qirinquc folidos habcns, denuo co pervcnire polTum, ut «equam expectationem nancilcar ad } vel 7 folidos obtinendos : id- tjue «quo Jufu eontendens, Propositio I. Sl "-~^-, pro valore mea «c- peOacionis, Eodem modo invenicur, fi ad s, i, (, auc i sequalbrs miht obtingat , id tanti yaloris eflfe , quanti «+*+'+«" ^ Acque ica porr6 # nAtmotat. Aliter fic demonfirabitiir : Fingamus, tres efie loculos, in qi«* rum uno recondirum lit d,in aitero i, in tertio 1, mihitjuecum duo- bus aliis poteftatem ficri , ut quisque pro fe loeulum acripiat, (ervet- que quod inibi repererit : fic fiet , ut omnes rres acciptamus omnes IocuIos,habeamusdue qutcquid in iis reconditum eft, fcil. <\ + b + i ; nnde, cum dici nequeat, unum altero potiorem Ipem vel expcfratio- nem habere, coniequens eft uniuscujusque etpettarioneiri feotiim ae- quivalere eereia; parti hujus aggregati , vid, , Eodem mo- ' do.il PARSPKIMA. 7 do, fi 4 fint locnli, in quibus abfcendita fint *, t, t Sc i, mihique unus eorum in fottem eedere debeat, cenfebirur mea cxpetlaiio ae- quare 4"'" partem totius aggregati , five * ±*±l± j _ Sic fi j lint loculi , erit mea expeftatio ' - — ' , &c. cor. Patet etiam, fi in uno pluribusve loculis nihil lit abfion- ditum, quod tum limiliter expeftatio rnea , ejus quod in reliquo vel rcliquis continctut , futura fit pais terria, fi loculi fint trcs , vel quarta fi 4 , vel {'* fi S , &c Propositio II I._ SI numerus cafuum , quibus mihi eveniet a , fit p ; numerus autcm cafuum, quibus mihi eveniet £,fit y, fumendo omncs caffis aque in proclivi efTe : cxpe- ctatio mea valebit Ad lianc reguUm eruendam, porurur mrfiis * pro valore expe- ftationis mce : ergo oportet me, cum x habeo, ad eandem cxpefU- tionem pervenire polfe, ut ante, jufto lufu. Ad hoc autem tot col- lufores fumam,ut una mecum numerum ipfius p + q emciant , quo- rum deponat quisque x, ita nt depolimm fit fx+qx, & quisque iibi ludar iqui cxpeftatione ad vinccndum. Porio cum tot ex hifce eollufbribus , quot indtcat numerus q, figillatim hoc paftum inibo, uc eorum qui vincat mihi fit darurus i, aut ego contra ipfi idem b, fi vincam. Similitcr cum rcliquis colluforibus, conditucntihrs p — 1 iigillatiin hanc conditionem aggrediar, ut eorum quisque, qui ludum vincic, mihi fit daturrts 4, & ego tantundem (.1 fcilicet) ipfi, fiego vincam. fc't patet hunc lufum hk conditionc juftum ciTe, nemine videlicet injuriam patiente. Dcinde patet me nunc q expeftationes habere ad b, & p — 1 expeftaiiones ad *, & 1 cxpcftalionem ( mc ncmpe vincente) ad fx+qx — tq — *p+*t tune enim obtineo fx + qx, id quod dcpolitum eft, de quo tradere debeo * unicuique 9 luiorum, & * unicuique p — i lulbrum, qua: limul cunfieiunt J>q+*f — *. Si ilaque px+qx — bq — *p+* arquale effct ipfi *, luberem p expef14rion.es ad unde ciim haic mea fors vocettir t , erit * 30 ^L^ +i-— » noc cfl » midtipiieatione, «.r + fjt+rx Xf *+« *+»*> & d=l«o rx, px+qx00f+qt , feu denique 5. Si habcam p casfis ad obtincnrium 1 (quidpiam enjus ego femuTem contuli ) , 8c ? casQs ad obtiiiendum nihil , cxpcflatio , quas per Cor. 1. hujus invenitut , totum dcpolitum refpicit, & pattem (ignificac qui mihi ex illo dcbetur, non quantitatem fo- lius lucri vcldtmni : dc hoc cnim folo (i qiiKftin lit, confidcio, qubd dum obtinco dcpoiitum a, Iticiifsicio rantiim ^.i ; & dum obtineo njhil depoliti, pcrdo \ 1 , hoc cft , acquito — f 4 j uilde fors mea hoc icnfu aecepta fit & — 00 '~ — > & in- Buit luctum, li p fupexet j; damnum, n b*c fupciat ijjam. JJ 6. Si Digiiizcd byGoogle io i^fXTIS CONjECTANDl S. Si h-bcam p casfls ad acquiiendum & j cssus ad ob- tincndum b, quocum quidem cgo nihil contulero, attamen jaftus alca: mihi rcdimendus (it prerio n, expcflatio mea itcrum non tota inlucco poncnda cft, lcd priiis diminucnda valoce ». Eie- nim cum alteii do n, & ipfc mi!li viciflim icddit * vel i, perindc eft,acli ego ciihil darem , acciperem vcib tantum i — n, vel * — u; id quud effitit eipedlationem meam ita rcfliiflam — y±j ~ jfj .f n , quat ruclus vel lucrum vel damnum (Ignificat, prout pais affirmata pra.poIlet negata:, auc haec illi, Sibit, Perfpicuum efl ex calculi hujus confideiatione , ma- gruim illi intercederc afrmitatem cum RegulS Arithm, Alligitianii difta, qui les diverfi prelii in dara quantitate mifcenrur, & quairi- tur pretium rei mixtae ; aur potiiis calmlum urrinque plane eundcni elTe. Sicut enim fumma produftorum ex quantitatibus (ingulacum __.-__-L-l: :_ i. j:..:r_ , _. :. mifcibilium, exhibet pretium qusficum , quod femper medium eft inter pretia excremorum : ira fumma produflorum ac numcris ca- fiium inidquod quovis cafu acquiritur, divifa pcr numeium om- nium cafuum, oliendit valorem expeftationis , qui proinde fempei intermedius erir inter maximum Si minimum quod acquiri poteft. Unde fi iidcm numcri aflumancuc, ibi pco quancitace milcibilium, eocumque pretiis ; hic pro calibus, & co quod quovis cafil obtinc- tur ; idem quoque numerus denocabic ibi precium rci mixcse, 8c hic expcflationcm. Ex. gr. fi ■ catirhari vini pcetii ij mifceanrur cum * eanrhatis precii g ; multiplkaris j per i j & z per 8 , exur- git prerium omnium cantharocum ■-, quo divifb per * numecum canrlrarorum, habetur n pcetium unius canthaci mixti s quania quo- que juxta rcgulam cxpeflatio (ujuspiam «jltimanda cft , qui j ha- buecit casiis ad 1; , Bc 1 ad S. .ifdhtli PRO- □igiiized b/Cooglc PA&SPRIMA. ii Propositio IV. SUnipto itaque me cum aliquo certarc, hoc pafto: ut qui priiii ter viccrit, quod dcpofitum cit, lu- crctur, & me jam bis vicifle , altcrum verd femel. Scire cupio , fi lufum profequi non velimus , fed pe- cuniam, de qua ccrtamus, prout xquum clt, partiri, quantum ejus mihi obtingcrct. Ut igitur ad primb propofiram quieftionem vcniamus, nimi. rum , dc facienda diftriburione inier diverfos cofluforcs , quando co- rum lortts insequales funt, opiis eft ur a facilioribus incipiamus. Primb confiderare opoitec lusus , qui ucrobique deficfunt. A Ccrtum cnim eft, fi inter nos convenerit, verbi gratia, utquod de- poficum eft lucretur is, qui priiis vigefics viccnt, & cgo dccies & noviei vicero, at alter decies Sc oflies , tantb meliorem fbre eo ca- ' fu forrem meam , quantb hic mclior efl, ubi a tlibus lufibus binos confequutus fum, illc verb unum duntajcat: quia nimirum utrobi- que mihi unus untummodb lufus led ipfi duo deficiunt. Ponb ad inveniendum quanta pars utrique debeatur, adver- tendum cfl quid fieret, fi in lufu pergeremus, Certum cnim eft, fi primum ludum vincerem , me prafcriptum numenim impletu- mm & omne depoficum confecuturum , id quod vocetut t. Qubd B fi auccm alcer primum ludum vinceret, turre aKJuaca ucriusque fors fbrec, (quippe ucrique uno adhuc deficiente ludo,) adeoque «de. rcc cuique £*. Manifcftum autem eft, me aquam habcic fortem ad primum ludum vincendum auc pcrdcndum, ira uc mihi nunc *qua fit expefladoad obcinendum 4iar$4: quod ipfum per ( m,m Propofitionem tantum eft ac fi utriusque fortis dimidium , id eft , jj, habcrem; & relinquitur alceri meo collulbri i«, qux ipfius C portio ftarim ab inirio eodem modo reperiri pocuiflet. Undc pa- D ttt, cum, qui ludum meum in fe recipere vellec, mihi j* pro co tradcre debere , ac proinde fcmper tria contra unum dcponere eum E pofle, qui unum ludum viincrc contendat, priusqium alter duot vincat. ■■ ,-. . 8 % KsiXM- Digitizcd b/Googfe n i_4RTl$ C0NJECT4XD1 ndnnotat. A Prime cm/i -tcrjrc cpsrict tusiii ,qai utroliqut de/rcitt/it.J Adcwjuc in computandis foiribus folummodo futuroium lufuum,- nulla prajccrirorum habcnda cft ratio ; ciim pro unoquoque fequen- tium lufuum nulla major fir probabiliras , ut forruna iisdem frvere pcrgar , quibus favic antea, quam iis qui omnium fuere infbrtuna- uliimi : quod obfovandum conrra ridiculam plurimorum opinio- ncm , qui fortunam ut nclao qurm habitum confiderant, qui ali- qu.iniliu in hcmine p;rmaneat, eiijue jus quafi tribuar /perandi irt poilcrum fimilcm forcunam. B 14 quod vccetur Pex lir. a non /oliim (um Audtore imclligcre polfLimiis dcpolitam pccuniam , qu* intcr collulorcs pro ntionc fortium diflribui poscll ; fed eciam in gcncrc omne illud , . quod licir indivifum cft in fc, concipi tamcn potelt ur divilibile pro numero csfuum , quibus acquiri vel amitti, effici vel non effici potell, ut in ultimi libri parte fiilius oliendctur: puta, pratmium quodcuiique, laureola, vidtoria, ftatus ve! condirio perfonteaur rei, munus quoddam publicum, opus quodcunque fufceptum, vita vel mots, &c. Itafiduobus maleficis ex ipeciali graria Principis a>qul farte de viri decertandum lit, utervis eomm habere ecnfebitur per l.Trop. ^vitaj 6t |moitis, fic ut ejnsmodi homo etiam in proprio (cnfu iemi.vivui vcl fcmi-mortuus nuncupari pofTit. c Et Teiinqaitttr atteri meo cotluftri '- a . ] Hoe efl , refi- Huum totius d;politi a; quia fcil, finito cettamine ambo fimul in- fillibiliter h.ihicuci fumus integrum a: at fi ficri quodrm cafu pot fic, ur amboludentcs impctreiit plus miniisve integro j,evidens eli, quod tunc unius expeftario alterius expedbrionem nequear comple- re ad J. Ex. gr. Si duo laqueo digni ludere cogantur relTerl ca Jegc, uc qui pauciora punfla jecerit fufpendarur , altero manente vi- vo ; fi veib eundcm jaciant punitorum numerum , ut ambo viti doncntur ; repcritur pro unius expcdf arione , ut luo loco patebit, - 7 , a fu , 7 , vita; ; unde tamen non fequitur alccrius expeclarionem fiirc tantiim vitE: cutn enim hic forres manifefle fint stquales, txpcdubir. & ifle /ivita;, proinde utcrquc Cmul \ vitre, hoc efi, pigiiizcd ti/Cciogli; PARS PRIitA, ij plus intcgri vita 5 quod indc fit, quia nullus quidem cafuscft, quo non finiri alcS uiws minimum fupcrfles mancar, poffunttamen non- nullis cafibus ambo vivi fuperefle. £u* tpfim rertie fistim al> initie drc. ] Ncmpc hac D ra: j^tic : Si collufbr meus proximum ludum vmcat , a-quira erit utriusquc fois, proinJc cedet cuiquc £1 : fin ego vincam , obtinc- bir ille nihil. Ciim igitur pari faciiitatc obtinere poflit \s vel ni- hil, expcclatio ejus per Coroll. t. Prop. III. dicenda efl <^4c prointit fimptr tris cantrt unum qc, } Oftcndcn- E dum , qubd is qUi tres habet caifis ad vinccndum , & unum ad per- dendum, fiu qut tres qu.irtas partes depofiti cxpeitot , tna poflit deponere contra unum. Hunc in finem folummodb fupponi de- bet, eum rrium collulbrum vicem fufiinete. Etenim fi fint 4 co!- lufores, qui tequi foite ludant, Sc quorum finguli dcponant I, expcflabir unusquisquc. id ipfurn quod dcpofilit, hoc efl > 4- llm par- icm totiusdepofiti,pet Cor. j. Prop. II L adeoque tcrnteorum quivis tres quartas partes depofiti , & quattus non nifi Sed quia illi tres quoque tria depofuerunt,cum quarrus ranriim dcpofiicrir unum, paret omnino jufhim cffe, uc is, qui cupfc in fbrrem trium fucccJe- re, hoc eft, triplb plus expefbare alio, triplb quoquc plus dcponat. Aliter ita .- Qui tres Iiabet caius ad vinccndum , & unicum ad pcr- dcndum, is toties ter vincerc pctefl, quotics alrer fcmcl ranriim ; proinde fi Iufus juftui efTe debet, oportet ut rribus ille vicibus tan- tundem fucrt reportet, quantum alrer uniei vice; quod fieri ncquit, nifi tria deponar contra unum, Et fic in gencre oftendetur, qubd quanrb quis alteto potiorem ad vincendum expeflationcm habet, tantb etiam plus eurn deponere juftum fit, fi xquk lortc contcndere velint. ■ ■ PrOPOSITIO V. POnamus unum mihi dcficerc Iudum & collufori meo tres lufus. Oportethic facerc diftributionem. Advertamus itaq^e rurfus, in quo elfcmus ftatu , fi ego vcl ipfe primum virtceret Iufum. Si ego vincerem , obrinerem dcpofirum, id eft, a ; quid fi iutem ille piimum ludum vinceret, dsficerent ipfi 14- (-^ RTI $ CONJ &CTANVI duo lusus & mihi unus , ac proindc in eodem lUcu cITemus, qui in prseeedenti Propolitione pofitus fuit, mihid,ue obtingeret \t, ut ibi oflcnCum eli. Iraque pari facilitatc vei * mihi obtinget vel \ j , id quod tanrum eft, pei i m,n> Propofitionem , ac Et lelinqui- tur ;j collufbii mco; ita ut mea fors ad fortem illms fe tuhcat, (icut 7 ad i, Quemadmodiim autem ,id hunc calculum requilitus e(i prx- ccdcns, ita rurfus hicce infeivit fequenti: nimirum, fi ponamus mihi Unum ludum deficerc 8c collufori meo 4° r lusfjj. Et inveni- tur codemmodo, mihi debwi illius quod dcpoiitum eft, Sc -P» r>. sAnnotat. Ex progreftione hanim fra&onum, |* , \t, quas pct praccd. & hanc Propofitionem invent-e funt, potro infiertur, li col- lufori mco deficiant ludi 5, fbre foitcm mcam fi fex, |*4 -* li feptem, {K* i Sc in genere, fi mihi ddiciar unus lufus Sc col- lulbri mco ludi quotcunque, itieam fottem fore ad Ibttem illius in ca ratione, quam habee, demti unitatc, produfrum binarii totrcs pofitr & multrplicati in (e, quoties indicat numerus lufuum alteri deiicientiutn , ad unitatent, Propositio VI. (Onamus mihi deficerc duos lufus St collufori mco tres lulQs. , . Fiet itaquc ptinio lufii ; vcl ut mihi unus luliis deficiat Bc ipli trcs (undc mihi per praecedentem Propofitionem obtinget |< Ji vel ut cuique nofltum adhuc duo lusfe deficUnt , unde mihi dcbe-. bitui 44, quandoquidem lie uttique sequa fois futura eft. Eft mi- hi aurem aequalis facilitas ad primum ludum vincendum aut pcr- dcndum ; ita ut mihi xqua fit ejcpeftatio ad obtinendum |* aut ±a, id quod mihi valet f^4, per i mJm Ptopofitionem. Et dc- bentui mihi n pattes ejus quod dcpolitum eft, Sc collufori mco % partes. PRO- Digiiizod byGoogle P A RS f RI MA. PROPOSITIO VII. PDnamus mihi deficcre duos lulus & collufori meo quacuor. Fie* iraque, ut,li primum ludum vincam,unum ludum rin- ecre debeam Bc alrcr quatuor; vel , fi eundem perdam, duos & al- tcr tres. Ita ut stmn mihi fors obtingai ad aur id qund tantum vatet ac ±t* , per i™ lnl Propofitionem. Unde paret , eitm F mcliorem habere forrem , qui duos lusfis vincere debet dum alter quatuor,qulm eum, qui unum dum alrct duos. In hoc enim po- fleriori cafu, nimirum ipfius i ad j, portio mea, per a 11 ™ Propo- liW* rjn» mtliortm &c,] Sic adhue meliorem F fbrtcm habet, qui tres lusus vincere deber, dum alcer lex ; reperi- tur enim ejus portio iifn, major quirtt Ita etiam, cjui nnum ludum vincere futeipir dum alius quaraor , non parem fubit fbrtunam cum illo , qui duos vincere debec dam alter o&o ; fed cum illo , qui duos vincere renerur dum alter lex : quanquam ne- mo tbrtaffis eft } qui libi non periuaderet , eandem intei fcrtes ra- tionem obtinere debere, ubi numeri lufuum utrobrque deficienrium eandem quoque inter fe rationcm fcrvant ; nili nos caieulus aiiud docuuTec. Quo iprfb proin monemur,ut cauti limus in judicando, nee tatiocinia noftra fuper quicunqite liatjm analogiS in rebus de- prehensa fundare fiiefeamus ; quod ipfiim tamen etiam ab iis, qui vel maximi fapere videntur, nimts frcquenrcr fieri folet. Ccererum lubet hicTabuIam adjicere pto duobuscolluforibus, qualcm infia in Propof. IX pro tribus fubjungir Auftor: nAnnotat. Tabu- Digiiizcdb/Coogle i_JE7IS CONj BC7AND1 Tabella haeccc lc- vilTimonCROiioqLio- ufque opus fuerit cominuibitur, in fu- prcmi quidem fetie qtistadPropofs.m- noiau funt; in pi imi fcrie pcrpendiculaii per continuarh bife- flionem dimidii; in locis iiitetmeJi« per ma: duarum areola- tuniimmediatepr*- cedcnrium in tidem ferie perpendiculari &transverfali;cu)us conftiuflioiiis ratio cx diftis plus fatis perfpicuaeft. Quo- modo autem cxpe- flationes duorom iu- deutiumabsque con- (MUfttiolK Tabellx indelinite ad quotvis de.fi cientes luius ex- hiueri poffint , inira inApjJuidiceCap +. pj.rt. i I, oJtendetur. V S ! ,0 J"II°D ►I £$ - 5 ^ 1 11 = .. ixt- » i£I £i$ sr H5 III f SS I| = III t8S 9 »1 Dnt':o"J L-.-Gi PJRSPXIMA. 17 FaoposiTio VIII. NUnc verd ponamus trcs cfle coliulbres, quorum primo ut & fecundo unus lufus deficiat ,ied ter- Ut igitur inveniatur primi pars, lurfus adverrendum eft.quicj ipfi debereiur, fi vel iple vel alter reliquorum duoium piimum lufum vinrerer. Si iple vinceret, hatierer depofitum, id quod iii *. ' Quod fi fecundus vincerer, ptimus mhil haberer, quotiiim fccun- dus fic iufui finem impofuiirct. At fi tercius vincerei, tune cui- que tiium adhuc uilus deficcrct Iufus , ideoque tim primo quim utrique reliquorum deberetui ji. Et fit primo una expeflatio sd J, um ad o, & unj ad j-4, ( quandaquidem xque ftcilc con- tingctc poteft cuique trium ur primum ludum vincat,) quod ipli tannwdem valet ac ** , pet i Jlm Propofitionem, Ec fit fimiliter fecutido **, & rcmanct tcrtio \t. Cujus pars (epatatim etiam G inveniri poruerat , atquc indc reliquorum paites determinari, ndnnotat. ..: Cujtu p/tri fepararim ttiam invtniri poiutrat. ] Nem. q pc hoc pafto: Si ipfe fequenrem ludum vincercc, expcclatio ejus foiet j-j ; fed fi vel primus vel fecundus proximi ludi viflor eva- deret, terrius nihil habetet: quate unum cafum habet ad \a, Sc duos ad 0 ; id quod ipfi per Corall. 1. Prop. 111, valet lt, Propositio IX. UTtot coliuforum, quot quis voluerit,ex quibus. uni plures & alii pauciorcs lusus deficiunt, cu- jusquc pars- invcniarur, confiderandum eft, quid illt,' cujus partem invenirc volumus, dcberetur, ii vel iple, vei quilibct reliquorum primuin fequcntem ludum viticerct. Ha atitem partes fi in unam fummain coili- gantur, & aggregatum pcr numerum colluforum di.vi- darur, quotiens oftcndct unius quafitam partem. , C Pona- i8 x^RTJS CONfECTANDt Ponamus tres effe colluforcj A, B, & C, & ipfi A unum lu« dum deficere, ip r i B duos ksfls, & ipfi C firniliter duos lusfts. In- venire oportet , quid ipfi B , ejus quod depofirum eft , debeatur. Id quod vocctur f. Fiimb examinandum cfi , quid ipfi B debererur , fi vel ipfe, vel A , vel C primum fcqucntem ludum vinceret. Si A vincetct , ludo finem imrwfiuiTet , sc per eonfequeni ipG B debcrerur o. Si ipfe B vincetet , dcficcrct iili adhuc unus lufus, & ipfi A unus hlfus, at ipfl C duo Iusfis. Qgpcirca ipfi B hoc in cafu deieretur %q, pet 8"» Propofitionem. Dcnique li C primum fcquentem ludum vincem, tunc ipfis A & C fingulii utius deficcret lufus , fed ipfi B duo tolfts, ac pct confequens ipfi B debetetut i q, per eandem Propofitionem g™". Nunc autcm in unam fummam colltgendum efl, id quod in tribus hilce cafibus ipfi B debctecur : nimirum, o, &q , ij • quorum fummaefl £ j. Quod ipfum diviCum pert, numerum collufbrum, dat / f fi Qus ipfius B quwlica pars cft. Detnonftrario autem hujus patet ex i Ji Propofitionc Quoniam enim B xquam habet fortem ad obtinendum o , * $ , vel i a , habec per i dl ™ Propofitio- nem rantundem ae o + |f +|- dum vincat: oportct fimpliriores casfis primo inveftigare , & botum medio fequenres, Nam ficut hic ultimus cafiis fblvi non potuit, priusquim ille oftavte Propofitionis calculo fubduftus eflet , in quo dcficicntes lustts etant 1,1,1, ira eriam cujusque pars fupputari tiequit in tali cafu , ubi deficientes lusfls funt 1,1,3, 1 um primiim calculo fubduftus fit cafus defcientium lufiium l,l,9> qucmad- modum jam fecfmus, & praiterea tl!e, in quo lufui dcficitnrcs funt l, 1, j; qui fimilitcT per S" lm Propofitionem tuppntati potuiflet. Atque hoc quidem paflo confequenter fupputare licet casfis omncs, qui in fequenti tabuU comprehcnduntur, & inntiitoi alios, Tabu- Dlj j D, dfl r A B. S P R I UA, Digitizcd by GdOgle 5J0 CONjECTANDI D E TESSERIS. QUod id Tefieras attinet, de iis hx quajftiones pioponi pof- funl : videlicec, quota vice unS tellcra fenarium jacere peii- clicandum iil, aut aliquod rcliquorum punftoium. Itcm quoti vicc duos (cnarios dtiabus telTciis, aut ires finarios Ciibns tcftcris jaccrc fit tericandum. Et plures alia; hujusmodi quaJtioncs. ■ Adquas folvendas advcitendum eft. Primi unius tefictte . fex efle jafljs diveilos, quoium quivis arquc facile eveniac Sumo cnim tefteram habeie figurarn cubi perfedram. Poiri duarum iclTe- ranim i& eflc diveilos jaflfis, quorum (imilitcr quivis leque facile obtingere pocelt. Nim ratione cujusque jaftus unius telTerre poceft unus fex jadluum alteiius ceffcras iimul concingcre. Ec (cxici 6 ef- ficiunt jct jaflAc. Item ttium celTeiarum elTe 116 jaclfis divcrfoj. Nam ratione cujusque ;S jattuum duarum telleranim potcit unus fcx jaftuum, qui in j'« funt, evenire. Et fexies jd efficiunr 216 jadcQs, Eodem modo patet , quacuor relTerarum jactus elTe fexies litf, id eft, 1196 ; aiquc fic ulteiiiis jaftus quotlibel telfeiarum fupputaii polTejfumendo lempcr pio accefiione unius lelfeix iixics jadlus praxedencis. Pono noundum, duarum telTerarum unum duntaxat clfe ja- flnm , qui 1 auc 12 punfia cfficiat , duos verb jaccirs, qui j aur 11 punfU citic iant. Si enim teifcias voccmus A Bc B , patet , ad j pundla jacicnda in A unum & in B duo, vcl in B unum & jn A duo pundta repciiri pofTc Similicci ad 11 punfta jacienda in A quinque 8i in B fcx , vd in A fex & in B quinquc punfta pacere poflc. Quatuoc ptrndtorum ties funt jaftiis, videlicct,ip(ius A 1 & B j pundtj , vel iplius A j & B 1 punflum ; vel iplius A 1 6d B 1 Dccem punftorum frmiliccr trcs funt j.-dttV. Quinque vel novem punftorum 4° r firnt jadtus, Sex vel oflo punftorum 5l ut funr jadtiis. Scpccm punftorum 6 lunc jadtiis. In Digiiizcd by Google P A R S P X I M .J. ' jvcliSl 4 vel >7 J En triLus tifleris reperiuntur ■ ■ tdnnotat. ' Quod htc Auflor priemtit in duobus & tribus tcfleris , prafli- ri quoque poceft 111 quatuor quinque pluribiisve , in quibus numeri jafluum quotvis punflorum haud alicer invenieneur. At quia facili tieri poreft , pralertim ubi telTene mulcie fucrint, ut quampfuiimi jafliis pntereanrur , nili aiiquem in iis inquirentiis ordincm obfer- ves, oftendam qul quls methodo uti debeac , ut cercus effc poffit, fe omnes adinvenilTe nullo prajtermiflb. Ptimo inquirendum, quot modis diverfis componi poflit propofieus punflorum «umerus, eic tot partibus quoc /unt eelferaf, quarumuli (enarium non quos eo oro 6.. 4. 1. 1 ' 6 f. 4! *. 1 14 r- i- }■ 1 4. 4. }. 1 M 6. 2. 2. 1 4 f. J. a. % 6 4- ?■ i- 1 i- j- i- i 11 54 L-4 HTIS Co Nj BCTA NDI eft, oflendam porro, qui arte idem confequi pofTimui non uncucn pro cciro puufloium numeio, fed pio omnibus omnino pundtis, bcneficio appoficx Tabula; , qux & «ipedice admodiim confliui potefl, & naruram progieflionemque , quam numeii jjdtuum incec k (ervani , apcrtiirs ob oculos ponii, Conftiudtio calis eft : Scri- bancur oidine numeri omnium prrnfiorum quotquoc tefletie lecipe- le pofiunt i minrmo ad maJtimum, puci, +.1.6.7 &c ufque ad 14 pio telTcrfs quaiuoi ; aut 5. 6.7. S &c ufque ad jo pio telfciis qui::quc, &c Sc fiib eorum fcx primis collocenrur fex unicates , quibus fubjungantur fex aliie unicaces, & his icerum fcx alia:, id- tjuc liac fexies , promovcndo lingulis vrcibus carum piimam uno gradu vcrsirs dexctam : quo fafto addendae quae in cidem feiie per- pcndiculari libi invicem iclpondent , uc franc numerr 1.1.3.4. &c Korum dcindc numcroium lex cjuoque conftitucndi lunt ordines, ita uc lequentium quilibet pra:cedcnti uno punfto ancerior liac ; & cum addcndr , uc prodcanr numeri i.j.d.10 &c. Hi iteium fexics gtadjrim poncndi & addcndi ; idque camdiu concinuandutn eft, donec tot cx ultimi addirione lelulcantes liabeantui numcii , tjuor icperiuneur divcrfj ^punfla rn propofito tefTerarum numeto ; dtus, Ica 4 tellccarum jaftus unus efl , qui 4 auc 14 pundta pio- ducit, quacuor j,?diiis, qui 5 aut ij , decem qui 6 auc 11 , viginti qui 7 aut ii pundia efficiunc &c. Rationcm hujus conltruftronis attendenri petcipeie haud diSicile clt : Cum enim Irngulat acceden- tcs tef&rse jaftus pr.rccdcntium fexcuplicent , mstiifcftum elt , cur ilumeii jadtuum pncccdentium tellciaium fexics repcccndi & ad- dcndi lint ; & quia numcrr punfioium , qui fingulis iftis jadlibus relpoodent , augcniur uniiacc , vel binario , vel rerrralio &c. ptouc in acccdentc tellcra vcl unum , vcl duo , vcl cria &c. inveniuncur puiidla , patct cciam , cui feiies ifla jaftuum fmeulis vicibus uno Nwa, non omnes punfloium numeros pro e & fex tcfTcris ob fpacii dcfcftum apponi potuille; fcd facile fupplenrur, qui defunc. ex pacallclis : nam bini puuftorum numcii ab cxtremis ajqualitc J> A * ■} P R I jtf A. ij rcmoti (quos parjllelos voco) asquali femper jafluum numcro gaudenr. Non inopportunum erit hic loci indigitare , ciim id fcirc non-' nunquam interiit, quot jaflibus effici poflinr. in tribus tdleris pu t- fla triplicata vel duplicata, (Galli vocanc raflts & dmbltti) hoccft, quoties contingerc quear, ut vel in omnibus tribus, vc! faliem in duabus tciTcris , reperiatur acquaiis punftorum numerus : Liquet veio, unum ranriirn effe jaftum , quo produci pofliint trcs fenatii, itcm unum tjuo trcs quinarii , unum quo tres ouaicmaiii &c. adeo- que non nifi 6 puncrorum triplicatorum jatlus exiltere polTe. Sed eontra rj func jaftus.quibus duo ex.gr. fcnarii contingere poflunt: etenim ii relieisj voceotur A, B, & C, ficii porert, ut duo iili fe- naiii repciiantur vel in tclferis A & B, vel in A Sc C, vel in B Sc C, quod trcs casfls cfficit : ac deinde rattone cujusque horum ca- fuum jaftus teiria; tefleia;, in qua divetfus punftorum numerus conlpici debet , variari poteft quinquies ; unde quinquies tres fiu if exiftunt duorum fenariorum jactus j quod ciim idem de duobus quinariis, quarernariis & reliquis intelligendum , fequiiur pilnfto- rum duplicatorum elTe iexies quindecim feu 50 jaftus : Pioinde ciim trium teireraium jaitus in univeifum exiftant 116, erunt reli- qui 110 jactds fijnplices, quorum numerus etiam initio inveiligari potuiiTet. Propositio X. INvenire, quot vicibus fufcipere quis poflit, Ut una teiTera 6 punfla jaciat. Si quis prima viee fcnarium jaeere contendar, apparet unum effe cafum, quo vincar, habeatque id, quod pignoris loco depofi- tum eft ; quinque vero efle casfls, quibus perdat, 8c nihil habeac Sunr enim j jaflui contra ipfum , & tantiim unus pto ipfo. Quod autem depofitum eft vocerur 4. Eft itaque ipfi unica expectatioad obimendum a, fed quinque ad obtinendum o } id quod per i ilni Propofitionem tantundem valet ae Et manet pro eo qui ipli hunc cafum offert Jj. Ita ut tanrummodo i contra J deponere poilit, qui priml vice fufcipere velit. DigiiizGd tiyGoogle 26 uSRTlS CO Nj ECT4 NDI Qui duabus vicibus fomel lcnarium jaccrc certet, fors cjtw hoc paflo computatur. Si primi vice tf jaciat, ebtinct t. Si diverfum evcuiat, unus ipll reftat jafuis, qui ex prtEcedenti tanrum valet, quanrum }t. Atqui ut primi vice 6 jaciat, unus tantiim cafus efl, & quinque casus, quibus diverfum eveniar. Itaque ab initio unils cafits rfi , qui det ipfi t; & quinque qui dent ±4, id quod per i danl Piopofirionem valet Unde eontracertanti lufori ce- dit reliquum adeb ut fois utriuique five xftimatio expefta» tionis eam fetvec rationem , quarn tl M if{ id eft , ininus quam Hinc eodem modo caleulo fubducinir, quod fors ejus, qui ttibus vicibus femel icnarium jacere fufcipit , fit futura /Jj * ; ita ut oi eontr* i:; deponere poflit; id eft, paulb minus quam j ad 4. K Qui quatuor vicibus idem fulcipir, fbrs ejus cil xl^g* ; ita ut 6>i contra 615 deponere poflit; id eft, plusquam 1 ad r. Qui quinque vicibus idem lufcipit, fors ejus eft f£fj4, & poteft 4.65:1 contra jiij deponere; id eft, paulo minusqulm j ad 1. Qyi ler vicibus idem fufcipit, fors ejus efl " , !c po- reft Jioji contra icrfij: deponerc; id eft,pauIo minus qulm *ad t. Atque ira confc(]Uenter quilibet jafluum numems inveniri po- reft. Sed licet majori compendio progredi , ut in lequenti Propofi- tione oftendetur ; frne quo calculus alils multo prolixtor foret. ^Annotnt. H gui ijuttuor muihus idem fnfcipit , &c. ] Subiit alf— quando cogitatio , poffe fbrti quemptatn calcufum Auctoris taii di£ eurfu fufpeftum reddere : Si quis quaruor jafiibus fenarium jacere contendens, aequam circiter ad vincendum ac perdendum exptfti- rionem habeat.hoceft.eequeracilevinqt ac perdar, fier ur aliquan- diu ludens toties vineat quoties perdit, G 8c pari fbrtuna utatuT) adeoquc ut e quaremis jattibus toties unus fenariu» exiftat , quoties e quaretnis aliis nullus : quare in ofronis jaAibus unus leperietux lcnarius, ac proinde in fcxcentis vcrb.gr. jaQibus fenarii 7;. Sunto jam fex alii, qut ci coodiiione ludant, ut primus vineac, fi unum punccum jaciatur, fecundus fi duo, tnrius ft tris SiC. quo utiquc Digiiizcd t>y Google F A X S P Jt I M A~. pafto sequi forte certabuiit 5 fcd ludant eriam pari forruna , fic fiet neceflario, ut in /cjtcenris jaftibus ccntum eveniant fcnatii : ideircb ciim a;quS forte & p.iti forruna Juditur , in fexcentis jaftibus fenarii prodibunt centum & pauciores quam eenrum , quod abfurdum. Huic fallacia; ut farisfiar, pono quidem,quod ubi aiquaforruna lu- ditur, ibi in jafiibus 600 eveniic debcnt fcnarii centum; fed nego, qubd fi quis quattmis jaflibus femel fenarium jacere ceraverit, proprerea quatuoi jaftibus ad vincendum opus habeat ; poteft enim vcl primus, vel fecundus, vcl tertius jaftus fenarius exiftcre , quo cafii reliqui jaftfls Jequenti quatenurio annumerantur ; (ic ut pau- ciorcs quam ofto ad fcmel vincendum ae perdendum fuJficere pot fint. Id verb quo pafto buc quadier, fic oftendo ; Fingo , in om- nibus jaftuum quaremariis,qui me ludi viflorcm reddunt, primam qucmquc jaflum feruuium exiftere ; fic centies vinccndo non nifi centum jaftfts iiifumuntui, reliqui joo per 4 divifi indigitant mc uj'« peiditurum. Si vero illorum quatcmorum jaftuum poflre- mus quisque fenarius foret , vincendo cenries 400 jaftfli abfumeicn- tur, lefiduis tantiim ducentis, qui oltetiderent me qumquagies per- diturum, Quocirci cum nonnullis cafibus fepius perderem eniijn vincerem, aliis pluries vincerem quam perderem, colligo fieri beni pofie, ut Mc conditione sequi forte certerur. Contta verb, fi quis tribus vicibus femel ftnarium jacere iufcipiat, is quidem aliquotca- fibus toties vinccrct quoties perderet , nempe fi tcrtius quivis jafhut fenarius eitifleret ; atliis multb pluries perderet quatn vinceret, fi nim. piimus quisque fenirius foret; fed nullo cafu faepius vince- retqulm perdcret : undeconflare liquido poteft.neminem nificum dctrimento tali condi tionc ccrtare pofle. Quie quidcm eum in fi- ncm hlc addueo, ut palim fi«, quim parijm fidendum fit ejusmo- di ratiociniis, qua: coiticem tantiim attingunt, nee in ipfam rei iiatuiam altiiis pcnetrant ; tametfi in toto vita: ufu etiam apud fa- pientiiiimos quosqm nihU lit ficqucntius. Propositio XI. INvenire,quot bus tefleris 12 lot vtcibi» lufcipcre quis poflit, ut dua- 12 pun£>a jaciar. Digitizod t>y Google 2 S x^RTIS CO.NjECTANDI Si quis prima vice duos fenarios jacere conreudat , apparct unum eflc eafuin , quo vincar , id eft , ad obtinendum 4 ; 8c 3; efie casfis, quibus pcrdat fivc nil.il habeat, quoniam jfi funt jaflus. Ita- que habet pcr i Jam Propofirionem fg*t , Qui duabus vicibus idem fulcipit, fi priml vice duos fenarios jaciat, obtinebit *; fi veri prima vice diverfum eveniar, unus ipfi reftat jsflus, id quod ipfi , pei illud quod jim didtum eft , valet &*• Aiqui ut prima vice duos fcnarios jaciar, unus ranriim efl ca- fus, fed 35 casiis, quibus diveifum cvcnijt. luque ab initio unus cafus cft , qui det ipii 4, Sc 3; qui dent j.t ; id quod pcr id' m Propohtionem valet jjjy*. Et icmanet conrraccrtanti ffi|«. £x his inveniie licct, qualis fit ei fors aut pars,qui idcm fuf- cipic quatcmis jaftibus , pt.xteicundo cafum eum , cum quis illud rernis jaftibus fufcipir. Etenim , qui +° r vicibus duos fenarios jacere contendit , fi il- lud i m * aur vice faciat , obtinet * ; fin minus , reftant ipli duo jaflfls , qui per illuii quod fupeiius diflum eft, valenc rBs" 1 - Scd I proprcr eandcm lationem habet etiam 71 casus, ut ex duobus pti- mis jaorbus femel duos linaiios jaciat , contra 111; casus , quibus diverliim evcniar. Habet itaque ab iniiio 71 casfls, qui ipli dent 1, 6t 111; casiis, qui dent ipfi T5jf'« Quod ipfi pcr Propofi- tionem valet Et remanet contracettanti i|^ T |*. Id quod oftendit eomm fortes effe id fe invicem , ut 17(901 ad ■ftttflf, E' quibus porro cadem ratione invcnitur expeflatio ejus , qui S vicjfius leme! duos lenarios jacerc ccrtat. Ac inde rurfiis cxpefta- tio ejus, qui idem fufcipit 16 vicibus. Arque ex hujus expeftatio- ne, ut etiam ex expeftatiane illius, qu: iflud S vicibus fufclpic, in- venitur expeitatio ejus, qui iliud 14. vicibus in fe recipir. In qul opcraiione , quoniam prscipue qua?iirur in quo numero jaftuum squalis fors incipiat, intct cum qui id lulcipit £i cum qui ofTcit, licebit a numcris, qui alioquiu in immciilum excrdccrent , pofte- K riotes aliquor charaftcres auferre. Atque ita quidcm reperio ei , qui illud 14. vicibus fufcipit, adhuc aiiquid dcfecre; tumque demum eum potiorem conditionem inire, cijm jj jaftibus agEreditui, Digitized b/Coogle r A X S / R I M A. aAnnotat. Sed prepter tditdem rdtiontm htbet etidm 7 1 casus cV.] I Juvai hie oblervare, quod Auftor (upponic, expeftationcm quam- cunque rraftione exprelTam confidcrari etiam polTc canquam reful- rancem cx rot cafibus ad obtinendum depofitum n , quot indrgicat numeraror fcaflionis, & ror cafibus ad nihilum, quot fignificar diiferentia intet illum & denominacorem ; camctll fortiflis alitcr ad expcftationem "llam perventum fuerit : Sie quinquam ille , qui duabus vicibus duos lenarios jacere fufcipit , ad expeftationem liiam. jAg* perveniar pcr 1 cafum ad *, & 3; casfis ad -^t ; nihilomi- nits cenferi etiam porerit eam iihi accjuicere per 71 casfis ad j, & 1115 casus ad 0. Quoniam habcns 71 casfls ad tt, & 1115 ad o, haber hanc eypeftacionem ji',^* i & cju> plurcs casus ad * habc- rel ac paueiores ad nihilum , aut vicc versi , cjus quoque expcflatio concra hypoth. major minorve foret, quim Tjj^a, per Coroll. I, Propolir, III. t^ftfut ita quidem rtftrie ei, qui illud 24 vicibui fifii- K fit.&c^ In praced. Propofi adflruxir Auclor , polTe cjuaruot jaclibus cum lucro fufcipi , uc uni refleri fenarius jaciatur ; nunc aiferit, nondum illud 24 jaftibus poiTe , uc duabus tcueris duo ja- ciantur fcnarii ; qua: mulcis plant videbuncui t*it& , cum 14 ja« flus ad omnes }6 jaftils duarum tcflcrarum candem prseeisc rarfo- ncm fervent , quam 4 jaflfis ad omncs fcx jjftfis unius reucrse. ES- dem olim dimcuitare coniiriflus haific, rcference Pafcalio in literis ad Fermacium, qu« hujus optribus Tolofse A". itf7p. imprclTis pa- gin, igi, infcrts Itgunmr, Anonymus quidam cseteia fubafti judi- cii Vir, fed Geomeirire exptrs. Hic cnim qui imbuti funt , ejus- quae admoco calculo alitcr fe habcre compcriunrur , quam inirio appaiebanc ; ideoque fedulo cavent, juxri id quod ftmel irerum- cjue monui, ne quicquam anaiogiis temeri tribuant. D 3 Digiiizod byGoogle t_JA71S CON J ECTANDl Ad Propofitionem in genere : SI pto numeris iiteras fubftituiiTet Auitor , potuilTet hanc & pra* cedentern Piopofitionem uno Problcmate complefH , cjusque folutiouem generalem pari facilitate inveltigare , hoc pafto : Pona- tut 4Xl+< pto numero omnium cafuum , qui reperiuntur in unl pluribusve tdTeris, aut in quSvis alet, (cum luec non magis teile- ris applicari debeant, quam quibusvis ibiritionibus aliquories reitc- randis, & in quibus numeius cafuum pcrpetub coniUot idemque maner) b verb fumatur pro numero cafuum , qulbus prsfcriptux punftorum numerus obtinetur , feu quibus obtinetur quod fuicep. tum efl ; Sc ( pra numero cafuum , quibug illud non obtinctur, leu quibus non ptxliatur quod intenditur. Jam li quis piima vice fiilcipiat prdtare aliquid, patct, eum habeic t ieu ,t — c casfls ad illud piaillandum, hoc eft, ad obtinen- dum depoCtutn , quod nune fit i , & c casus ad obtinendum o ; quate ejus fors per Cor. i. Prop. 1 1 1. fit : Si quis duabus vi- tibus illud fuicipiat, rurfiis habct *—c casuj ad ■ vel \ t fed c ci- sfis quibui pertingtt ad pnecedentem eipeftKionem ^ 1 ' 5 id quod per IIL Prop. valet ^ — : 1"^ uu >us vicibus idem pneftara contendat, habet denuo 4—t cisus ad 1 leu jj, Bc ' cacus ad for- tem proxime inventam i quod ipfi tanrundern valet, »e ■ ; Eodem modo, fi 4 vicibus illud in fe teeipiat, invenirur Pneter hanc methodum , qu* Auiioris cfl , duo alii fuppetunt modi haud inelegantes Problcma iolvendi, quorum unui hic eftt Quasrantur ordine expcetationea alsworis pro fingulis jaftibus ieor- 1 fim, fim , hoe efl, qusatmt qua: (int tllius fortcs, (i primo, teeundo, tertio, quaito 8tc. detniitn jaflu , non alio, praflare quitl vdit; quod enim c-x omnium expeftationum additione icfultat, etit tx- pcftatio quxfita. Qut primo jaftu quid fufcipit, ejus fots oltenta efl e(Te X *. Qui lecundo jaftu prteftare vult, ilie fi primo prteflat, non praflat quod intendit, tum folo feeundo praeflarc de- buifitr ; ideocjuc depo/ito fruflratur : Cn autem primo non praftat, reftat illi unus jaflus quo id prxflate tenctur, qut ipli valet, ut di- t*tum * ; fid numeruj cafuum , quibus primo jaftu id cJHctr , per hyp. eft *,&eorumquibus non efficit t; undeperi.Co-otLHI.Iore ejus fit — . Qui teitio demiim jaflu pratftare intendic, is fl pitmo prteftat turfui depofito exciilit, qnia mtentum non afiecutus cfl, quod eb tcndcbat , ut fclo tenio piafftaret : lin primo jaGu non praftet, fuperfunt ipfi duo jaclus, quoium folo pofterioti prfeftare renctur, quo cafu oflenfum. efl ipfi deberi ^ ; fed prius illud b, hoc t calibus eontingere potefl, quod proin fortem ejus pcr idcm Coroll. cificit --J . Qui folo 4'° jaita prteftarc aggreditur, is li primo prafht, dcpolito identidem privatur : fl fecus, per tres re- flduos jailus ad pneeecL expeOationem -~ pertingit- qnod illi nune fbrttm parit -y . Atque eodem modo colligitur , qubd fora ejns.qui 5*° jaflu in 6 recepit,lit ; qui fexto,-^- j &ge- neralittr qui w jaflu, - ' n ■ , Ergo eum iors ejus, qm" primo ja- flu aggreffus efl, fit J; qui leetmdo, ^; qui terrio,^} q«i nl* timo,— ~- 5 atqoe etpetlatio ejus, qui illnd indcfinite in ali- fumris confl-tur , fcquite» hanc fo» ejus cxpcOitionem omnibus illis 3 2 ^tXTTS COXj ECTAKDI ! -f- J~ 4- . . . ufque ad - — - , qua; ferics eft quauti- tarum gcometiice - propoitionalium , quarum fumma inveninr " — , ut fuprl. Aiitr msim ; Qui n jaitibus uniuc teffera: prajfcriptum punilo- rum numerum jacere fufcipit , perindc facit, ut ad fcq. Prop. oftcn- dtiut , ac fi eundem unico jadtu n teifeiarum in aliqua minimiim teflcrl jacicndum fufciperer. Concipiantur itaque » teflene, fingii- 1* inftrudta: * hcdris , quas intet fint c iflo punciorum numero non fignata:. Sic erit numeius omnium cafuum in univeifis » tefferis, a" ; (ut fupra poft Pcop. IX. evicic Auftor) & per eandcm rario- ncm numerus eorum , quibus optara punfta in nulla tejTerartim emicant, ("} quia nimitum tationc cujuslibct ex t hedris unius tet fcrje, quxlibet fimilium licdrarum alterius rcJTcne fimuf cadere po- teft. NccefTe igitut efl , ut reliquis a" — f cafibus ha:c punfla faltem in aliquS teiTerarum repetiantur. Quare qui tali conditione certat, habet 4" — (■ casils ad obtinendum dep»fitum i, & f" ca- ius ad bbrincndum o ; quod rurfus ut antea foitem illi paiit "~—> fic ut contraccrtanti fempcr rclinquatut '—. Exhibita (ic generali Pioblematis folutione,ii nunc porro cum Auflore frire cupiamus, quo jatluum numcro scqualis fors inter contracettantes incipiat , squands tantirm inrer fe erunt eorum in- venta: foites , ut fiat 4"-("a3«' , hoc eft, n"X:i"; quo in- dicstur nil aliud requiri , qulm ut numetus omnium cafuum , & numerus eoium quibus llon obrinetur quod fufceptum efl, eonti- nuo in le dufcu ad fimiles poteftates attollantur , quoufque produ- ftum ptioris numcri fiat poflerioris duplum : tum enim index po- rciiatis , ad quam uterquc clcvarus cfl , indigitabir quajfitum. Qiia: operatio illud infuper eommodi pras Hugcniana habet, qubd non fupponat ullius praccdenris casiis fortcm cognitam elfe : cxtera euini compendiai quottim men caciir irtter 1230 . . & iil» . . ) deficens a »4.'* poreftatis nufneri 3; duplo (quod cai dit inter 1176 . , & npt. ■ ) ; fed if"™ poieltatem iilius rtume- ti (cujus limires fitnt so6a . . & 8100 . ■> exeedere vfcifiim du- plum if'* hujus, (utpote quod terminis conrjrictur 7966 . . & |o«. O- Monendum tamen eft, totum hoe expediri pofie ncgotium com- pendio citra compararionem majori per logarithmos , ira : Quia habemus X 1 1" , & aiqualium numerorum «qualcs funt log*. rithmi, erit quoque n/rjj/i+n/i, five «1* — sf(X'i, feu de- nique n X f — ; quo indicatur quacfitum numerum jiQuum hi- beri, dividendo fimplidtcr Jog-um binarii pcr difierenriim iattcr log-os numerorum t&c.'. En opeMUoriem : . 4 X }6\1* X t. ff6;oif ( X iflh X' 1 . ^440680 U~lt x o. otiaj+f ) Ii X o. roiojoo C P'ui quim 14» K minus S uim af i qu* catculo Aufloria flc noftro pJane funt cotilbtia. E Cate- J4 R7 1 S CO N J ECTA H H I CEetcium fulutio noftra Prupofitionis piarfenrij .-nljrn nobiJ fuppcditavit invcitigandi pratercanonnulla nli.i huk affinm Ptoble- mara , quoium unum hoc eff : Si pluies collufbrcs jaceie fiifi ipiatit ptiefiiipnini punfloium nurariiim , ii (ute lt"p>lis unt p->tt a'nrum uolinuJli jaflus, huic plutcs illi pauciorcs, conrinub iniliruendi con- cedanrur, quserirur cujuique for»? Anre omnia L-^uet , qubd ille funt, fors ejus minoris seftimmd* venit, Deinde pjrct , qiiid ex- beant cxpeftationL unius folius, qui in locum corum fuccedere vel- fct, & «ui tot jaflus concedercntur quor omnibu» illis fimul. Sed pet eandem rationem , fi numerus horum jafluum dtcatur s , otpe- jus fbrs quxrirur, tum, cum ptimus ludere incipit, habcrc eenfcttrr *> — £' cafus, quibus aliquis prscedentium vincat fibiqu depofitum prseripiats & t* cafiis, quibus ludendi vices ad fe devolvunturi evincitur : Quia univerlis coUuforibus indufo ultimo per fiyp. con- ut antea. Nota, infignirer hk abbieviari caleulum, fi numcri ca- fuum * 6c c «unpofiti fint, 6t eoium loco per j.Cor.III.injru'rni PARSPRIMJ. j; iji cidcm ntionc rcrmini accipianrur : Proponantur nr. gr. aliquot collnloribu* j.icicnda doabui rclfrris punfta feprem, Sc eonim pri- nio pcrmiirarur unus , iccundo t , rcttio j , quano 4. ; a£lus confc- o.irive inftituendi , velimcjue fciie cxpjccaiioncm qu.ini. Quonian» liic numerus jafluum quarri »X+> & fiimma corum, qui price- demibus tribus funr conceffi, iXi + i+JXS; & proin » i infuperque numeri * & t cafuum fcfl. tum omnium in duabus rclTcris, rum eorum quibus noti obtinetur prscrcriprus puticlorum feptcmrius , fuiu jfi 8£ jo,pra quibus piino tantiim 6 Sc y ; idcirco i produflo ex 4.1* poteftace fcnarii in fi'"" tjuinarii aufcro decimam quinarii , relicjuumque divido per dccimam. fcnarii , 8£ prodibit pro gucefita expeaitione colhfbris quarti OO4 HIS175* Manifcftum ell in hocce Problemate, omnium eolhilqrum, quorquoi criam fiierint & quotcuncjue jaftus ipfis eoncedanrur, ex- peOationcs in unam fummam eolleaas neceflirib ab ono inicgro deficcre debcre 5 quandoquidem femper cafu quodam uccunquc ra- riDinto accidere poteft , ut eorum nuKus prsefcriptum punitorum numerum confequatur. Deinde eriam per (e clarum ell , qu&d in -pari j.icluum numcro unusquisque pofterionim cotlufornm dercrio- rem foticm nancilci debeat unoquoque priotum, eoque magis quo plures unicuiqui: ja&is conrinuo inltiruendi conceduntur ; ciim uti- que 101 concedi poflint, uc primi hidentis fpes in certitudinem feii abeat , teliquis vero omnis vincendi fpes «vanefcac. Qu^ proin lonlidcraiio aliud nobis fuggelTitProblcmj,c|uod eo tendit, utdato .numero jaftuum a piimo confccutive inftiracndoium invefrigerar, nuot jaftus fccundo reliquisque concedendi lint, ui fbrtcs omniurn fiant xquales : oportet autcm , ut numcrus jaftuum primi non pa- riar ci lortcm excedentcm unum dimidium,(1 collulbres (iint rtuo; »ut tcrciam paitcm integri , fi funt tres ; aut + n,n fi quatuor Stc. ciim fecus Problema impoflibile foret. Sint collufores t», numeruj jiftuum ab univcriis inlliruendorum vocetur x, ab omnibus cxcept» ultimo^, adeoque a folo ulcimo x—y, numenis ver6 jaaunm 3 « ^JttJS CONjECTANDI primi fit n ; aic ejus erpeflatio — ~-— , & omnium m eollulbnim expeflationes eonjunQim— — ; — ; cumque fingu!* expeflationi primi ponantur sequalcs , erit quoque earum fumma ~' ; quare ~° - 00 — "^— , lioc cll m — - 30 1 — — , liu faQi ttanspoCtione, '~ 00 —„ — t-i-mOO — + 1 Sc fum- tis logaritfimis , xti — xl* CO 1»'"+ l—m** — nU, fafliqUe divilionc t «.Tn ■«"— | live(mitnria fignis ob j S> (} * X '"— '"■"+'— . Ob eandem tatroncrn omnium eollu- fcrum prBsxdeniiuni dtimnm , hoc tft, primonim «— i collulb- nim expefotiones fimul fumt* filnt — X- — ~ i unde fimili mado cLeitin /X ■<«—*"—■«"+»—■■«* • quaie randem habetut *— rOO f ~ r i.'"+»— »«"— r-."-f- i~^i« " quc*f requirebatur. Ita fi (int tres tollufores, Sc eomm primo duo toncedantur jaflus, jacicnda vero proponanrur duabus tefleris pun- Qa fcptem (vel etiam unS telftra puncta lex ; quia utrobioue ratia numeri a ad numerum t ea eft, quam habct 6 ad 5 ) quo cafu pri- mi Ibrs pcr fupra oftenia, propter «OOi, eft "~" 00 J£ paulo minor trienre depofiti : racio primh mOO t, deinde mOO J, & hoc pafto reperio, quod ad xqilandas quam proxime reliquomm Jbrtct conccdendi fint fecuiido collufori tres , & tcrtio ofto jafttis. PRO- P A R S P Rl H A. S7 Propdsitio XII. , INvenire , quot tcueris fufcipcrc quis pofllt, uc plimS vice duos fcnarios jaciat. Hoc autem tantundem efl , ac fi quis lcire velit , quoto jaflu L quispiam uni tefleri C/fdpere polTit, uc bis fenarium jaciar. Qucd li quii duobus jaflibus iulcipcrer , obcingerct ei , per ea qux ante M oflenfi funr, J f *. Qui illud tribus jailibus in fe reciperet, li pri- mus ejns jailus fenarius non foret , haberet adhuc duos jaftus , quo- rum uterque fenarius tile deberct , id quod tantundem valcre diftum efl k A4. At verb erimo cjiw jatlu exiflente fenario, opus eff, ut cx duobus jaclibus non niii femel lenarium jaciat. Quod per X. Propolitionam tantundem valet ac ft j£< haberet. Atqui cer- tum efl tplum unum habere cafum , quo priml vke fenarium ja- ciat , Bc qumque cafus quibus diverfum evcniar. Habet itaquc ab initio unum cafum ad Sr c cafus ad quod pet II. Propofitionem tantundcm valet ac jV^* fea Hoc pac*> af- fumendo concinui unUm jadtnm amplius, invenitur 10 jaftibus un& tefleri, aut io tcfTcris primo jafhi lufcipi pofle, uc duo lenaiii ja- riancur, idque cum lucro. tkdrmotat. J7lC dultm tintundem 1& (J-f.] Si flti detem «r. gr. L teneris unus jailus concedatur , evidens urique efl nihil refcrre , five dccem illas refleias lirnul & femel fcu fucceflivc unam pofi alreram in alveum projiciat: &£ fuccelTjvc id facir,pcrinde rurfusefTe con- ftot , five teffent ilfae dccem qua- projiciuncur fint totidem dfverlae teflerae, five ima cadcmquc decies ei alveo fublaca & projedla. Ptr m an* Mte efttnjk fk»t firf.] Oftenfum eft in M prseced. Propof. j^w efle partem tjus.qoi imo jaflu duabus teffetis duos (cnarios jaeere contendit, fed modo audivimus perinde effe, five quis unum jairum duabus tefferis , frre duos jaflus uni refferl inilituat : quare & ilii , qui un5 tcTfera duobus jaftibus duos lenarios, hoc efrj bis feiuiiutn jacere fufcipit , eadcrrk dcbetur portio ^y*» E 3 Ad Digitized b/Googlc j8 ^ARTIS CO Nj EC TA N D I Ad Propofitionem in genere : 1)Rob!ema hic loci propofitum, non feciis atque pra:;edens, fc~ lurionem quoque admittit pei lymbola, & generaliter conce- ptum liucretlit, ut inveniatur expe&ario ejus, qui certojafluum nu- mtro fufcepit aliquid pra:ftarc bis, vel ter, vel quater plunesve. Nam qui fcmel tamum id prseftare fufcipit, ejus lors in praced. j.im Propofitione calculo fubducta babetur. Qui duabus vicibus aliquid bis prsftare fufcipit, ille fi primi vice non praftat niliil depoliti habebit, fed totum adverfirio cedet: lin id primi vice praltireiit , reliquo alcae jaflu adhuc ftmel pn- Itare tenetur ; quo cafu per annorata pneeed. Propof ( pofiri figni- ficaiione litcrarum a , b & i , m ibi ) ipii debetui °-~'-t & advcr- fario ejus - j ( praftit cnim hujus fortcm , ccu bievioribus rerminis comprehenfam , inquiicrc } Arqui funt b cafus , quibus id primi vice efficcre poJIit; Sc t cafus j quibus feeiis cveniat : quocirca funt contraccrtanti c cafus ad obtinendum depofitum i 00 & * cafus ad acquirendum ; id quod ipfi valet-^^—j— ' . Qui tribus vieibus aliquid bis ciHcere contendit, ille fi prima vice emciat, quod Icmpcr b cafibus evcnit , duabus rcliquis vicibus idcm non nifi femcl erficerc obftriftus eft, fortemque adco Anrago. iiillfe fui per Annotat. prac. Plop. facit-£~ : fm primS vicc id non eftSciat , quod cafibus c contingit , tenebitur iilud duabus reliquis vicibus bis prsftare ; quod valere modo diximus Adverfario ejus ~ • Habet '8 icur '" e ( ealus 'ai~~ c , Bc b cafbs id ~; id quod ei parit expeftationem - [? "^/ — . Sic qui quatuor vicibus aliquid bis effeflui dare tentat, is $ cafibus , quibus primus ei jaclus ex voto fuccederc poteft , adverfa- rio Ibrtem acquirirj, , & ( caCbus , quibus conmiium accidir, P 4 R S P R 1 M A. Qui vero tribus vieibus ter prseftare quippiam conatur, is li primo jartu ftopo aberret , antagoniitam fuum depofrci t 30 Sl±jJliAi vietorem reddit : fin coniequatur quod intendit, re- liduos habct duos jaflus, cjuorum etiam uterque ejus voto rcfpon- dcre dcberer; quo in rtatu adveriarii fortem oflendimus efTe Polterius autem * , prius ( cafibus aecidere diximus ; undc conrra- cerrantis ejtpeflatio refultat £±ii5pfci££j, E' quibus porrib haud ablimili ratione inveniri pofliint expe- ftationes ejiis, qui alrcri + ,5,6 &c. i\ex jadtibus aliquid bis, ter, quatcr, pluriesve prarftandum offcir : unde nata eft lequens Tabel- la,quam quis levi labore conrinuabit, quoufque opus fuerit; fi cotifidertt, columnas amsvadlei tabellx oidine eomplefii quan- titites omnium poteftarum binomii ~—> ftcnndam nim. quadta- ri, tertiam cubi, quartam biquadrati 3ce. ica quidem , ut prima eo- lumna veiticalium folos primi>s, fecunda duos, tertia tres , quarta 4°r priores harum poteflarum terminos exhibear. Hinc enim col- ligirur facile, illum qui indehnire n jattibus aliquid bis prifhn- dcm offeit, forrem habere — ^""^* iquiter,("+Mi("— ■+ ^~^ibc"— ^^«■jqwqnatei»'"^»*^» - '+-~^ ' tti*— ' + " "~' T~~ *'<""': *■ j 8t generalitcr denique, qui illud m vi- cibu» ptaelUndum offert, huic fortem competere r" + «ir" — ' + ^^**'"T.' + " &t ' Tt ' " * d + Esdcm etiam rormula aliter & fcite elici poteft , in auxrlium voatl wmbinationum doOrinS , hoc modd : Conllat ex lupra Tabu- t^XTIS COXj&CTANDI PARSPRIMA. 4,1 ' diftilj eodem recidetc, five quis fi jaclibus unius teiTcraa aliquid « vicibus piteftandum fufcipiat, five id unico jaflu n telTetarum in m leiTeris priiiandutn fibi fumit: Smr igitui tclfcia: A,H,C,D &c. quarum numcrus fit >i , fin-ul- iiiftruft- •■ hedris, qius imer l> vo- to fufcipicnris refponiieani > reliqu:- i non refpondeiiit ; & qufeta- tur, quot cafibus accideie polfit , ut tum in nulll tefietarum , tum in una tantiim tcfier5, tum in folis duabus, + &_ tum denique in m — 1 tatitum teiTcris pr_ftetut quod fufceptum eft: omnibus enim his cafibus fufeipiens voto fuo excidit , & aniJg 'iiifti ejus viftorii potitut. Oftcnfum autem fuit in annot. prac, Ptop. cafus eife ■ " , quibus contingere poflie ut in nuliS n tefleiatum ptodeat quod fut ceptum eft: _ fimili mado calligicur,cafu5efi".: t» , quibus contin- gcre poffit ut in nulli » teflerarum prodeat quod fufcepcumeft , & li- mili modocolIigiturcufu5cl^eiveliiveli , &c. quibusunatefieraiuni puta A, aut du_ A & B, aut ttes A, B & C &c. fufcipien tis voto rcfpou- dewt-,ficutStcafust n— ',auC(°- 1 auti»-' &c.quibus c_ter_n — 1, vel 11 — 1 > vel 11 — ) &c. icflerai fpem ejus fallant : unde ciim finguli ho- iu m cafuu m cum unoquo-ue prioru m con jungi poflint,e- ducl u horutn in illos nafcentut cafus ( t " - ' , aut bb 1 » ~ ' , aut 4> t » - ' 6cc. Et quia tefieia illa vel iili-,qu_ favent fufcipienti , poteft efievel A vel B vel C &c. fifit una: vel A & B, sur A & C, aut B & C &c. (i finc du_: vei A, B & C, auc A,B & D &C fi fint tres, &c. hinc numeti cafuum tutfus toties mulrlplicabuntur , quoties e- univeifis n lelleris fingulas , binas aut ternas &c. aecipere licet ; fed licet hoc, pei doitrinam combinationum fixundi partc ttadendam , n , vel vel """7i t ~ : 1"-" -"^ 13 ' lic *' [er - mu '" tiplicatione cafus emergent nit"— ' , aut hht»—- > aut ^_I1L_^__ i>i»— 1 Bic. quibus in uni, duabus, aut tribus &C. v duntaxac tefietis , fcd quomodolibet fumptis, eveniat quod fu„e- ptum eft ; & confequentet eciam cafus ~ — -- ^ ,. 4 .''.„_| in ,_ 1(n - m + , )quibusid cvcni , t in teifctis. Ciimitaqu- omnes hi recenliti cafus ancagoniltam fufcipientis , uti diitum.ludi viflorem reddint , prateicaquc in univerfis n tcfieiis cafus e-iftaiic 4 S t^fST/S CONj ECTANDI fiet per i. Corall, j. iors ejus £»+Hi t »—i 4-^^.' **(■—> + jj=iip.» t .-i .... 4- - a ~!^::;:z7 +t *— ( n— n+i J j»,utfupra. Quoniam autem in propofnS qiiaftione, ficut in pneeedenre , pneeipue hoc intendirur , ut inveftigeror , quoc al™ jaflibui eipefUtionei luforis & adverSrii inripiant sequari , fi- ve utrivii competere dimidium depoftti ; idcircb nunc porrb aiqua- ticnem inftituo inter lepcrtam advertaiii fortem 8t f > indeque va- lorem numeri o quoad poflum determino. Ex. gr. Si cum Auflo- re frite defidetem, quo jafhium numero quid bis psftandum fu- fripi pofljt , puti uni teffera fenarius bis jadendul , ut xtpl fone certetur ; racio — — XJ ,6ehabebo <"Mt("+»''" 1 3bie+**l, ( B— quo mdieamr,numeram * ad eam potcftatem elcvajidum eflc, quat prcatime fit «equilis produfto ei poreftate uno gradu deprefliote ipfius t, Je duplo fummas, quam numerus t cum ipfo i dufto in indicem poteftatii > conflituir. Hoe enim taclo index poceluui* j cknotabit numerum jaftmjm , quo quid bis prteftandum fuicipi poreft. Addo cakulum pro Auclorii exemplo, in quo t nu- merus otnnium catuum unius tefletre valet 6 , * numenu eotum qut- but obrinetui fcinuius i , & i eotum quibus non obnnetur j ; ( X f * X 6 (1 X i> X 116 t* X j 0077696 t* X )9o6if 60466176 (» X I9f,i2f Xioo77696 f8f9I7joX}oini9cji2jX*(4-io«,('. quare ciim nona poteftas ipfios <• adhuc deficiat, decima verb exce- dac poteftatem ipfius ( uno fjradu infetiotem S: dicH ratione mul- tiplicatam, colligi debet, novem jaftus nondum fufficcrc, at jafli- bus dcccm cum IiKto fufripi polle, ut unl tefleii bis fcnaiius jacia. tARS PitUA. 4f Idcm etiam pcr conftru&ionem Gwmettiam nwi inconeinnam ob- cinere licee, ope Cutvk quam vocant Logirithmioe ; Infift.it ixi CH Loguiihmia quatvii FEG.cui applicentnr rectae AE &CF, qute fmt in tarione * ad i , producendie id dupUm longitudincm m B & D ; & igamr Kftl DB, occurrens cUCVfe in G: fumia pro unilate C A , abCindet demifl* applicit* C H in ajce portionem CH»w, numero jactuum , quo aliquid bis pneftandum fufcipi -poceft. Et quemadmodum hoc confecuti fumus occucfu lincas icflae & logarithmicse : ik numerum jacTuum , quo quid tcr prieft.indum poltft fufcipi.per inierfeiiionem Paiabota- U loRaiiihniic.t i St quO id quatei fiepiusvc, ejusdem & aJtiorii giadatim curvae algebiaicie ope delinicc licer. Cflctcrurn poflcmus Bc hic, Uti fecimus in prsced. PropoC ma- tcriam hinc profiqui ulterini & inveftigire forrcj plurium Aleaio- rum , qai Imguli sqiuii an inaequaii numero jaeruum ccnfccurivi inJotuendorum fuiciperent aliqujd praftaii aliquoties ; aliuque plu- res cjusmodi qujefooncs tormire; niii Gc brevinti confulendum , Sc Lefiorit induftriat qusedam iclinouendi efle viderencur. Unicum tamcn , ne h;£tcnus difta finiftie acciperencur , mo* nere adhue opeiat prerium duiimus : nempe , Problemata hujus Jc pisccdcntis Piopaiicionit , ubi qunerirur expcflatio ejm, qui aliquor alex jaftibus quippiam fcmcl vel aiiqtiocies piajflandum fufeipit.ica F i elTe 44 t^lRTlS CONjECTANDI eflc intclligenda , ur fenfiis fir, etiam mm luctatunim qui fufccpir, ii.Iiepius quam fufccpir prafliterir. N.im li (enfus efler, eum hix eafu pcrdicurum , aliud fbrcr Problcm.i , $c alice mfccrcntur cj pcfla- tiones, qua: quia in fequentibus ufum habebunt, dcterminands 110- bii Ihperliint , priusqium hinr difiedamus. Ut autem generalior Fat folutio , ponamus non in omnibus alcis «qufc-tnultos regnare c.ifiis, Lti hucufque fuppofuimus , led numeriim corum in diicilis jafhtius urcurque variare, vocando in jaflu Pr. lo. Ttit. Qttrt, Qjint. Nxm. tifaam i«m:m - - - t J. j. f. qno pofito, (t aliquor aleat jaflus , pura quiriiue linr inrtiriiendr, K: quierarur ejtpeciitio ad id prajlbiridum in nonnullis liorum jaftuum, tx. e porell, ut in piimfe tribus jartibus praftnur pra-llanrlum, in pofbcmis duobus non pne- &tms,btbrtli &quiaobfimiIcm rarionem numeius omnium omni- n6 cafuum in univerlis quinque j.,clihus eft *igfi, fequiiur cxpe. flatiauem quatGtam per i. Cor. 3. foie • unde talis fotmatut Kegula pro cognofendS forte Alcaroris, cui plures ilee jaflus conce/Ii, & qui prxcisc in ccrcis quibusdam, non aliis jafli- bus quippiam prxllatc tcnctur. Pllodufium concinuum ci numerij cafuum , quibus quid prae- flacu' in j.dibus, in quihus prsliari dcbct , & eoium quibus non pnellaiur, ubi non prallari dcbet , divitiacur pet produftum P A S S P X I 45 eontintmm ex nnmeris omnium eafuum in jaflibus univcrfis ; Sc quotieni exhibcbi: tjuxfitum. CtrsH i. Si iidem numeri cafuum legneitt in omnibus aleis, hoc dt, fi finguli tt , g ■ p , • Cc i ; liieuli ii,j,inli & linguli » pro numero eonim , tn cjutbus pralbndum pixliui debet. Cw. 1. Si iidem numeri cafiium regnent in omnibus aleis, & dererminatus etiam lit numerus altaium feu jadruum , quibus quid pistlliri debec j ipli ver(> ydas non fint difiniti , fed quomodolibet accipiendi ; puti , Ir ( jaflus lint inliituendi , & iti ttibns eoium quibuslibct quid priltaiidum lit , parct fiirtc quiniiutem eipeflatio- nis inventam totics adhuc multiplitari , quoties ex jaelibus quinque diverfimode tcmi , h, e. generalicer , tx i. rcbui divtrfae ». les aceipi pofliint. Potefl aurem hoc fieti , per Combinationum doftrinam PROPOSITIO XIII. Sl cum alio ludam duabus telTeris unum folummo- do jacrum, hac conditione ,ut, fi feptenanus eve- mat , ego vincam ; at illc , fi dcnarius obtingat ; fi ve- ro quidquam aliud accidat , ut tum id quod depofi- tum clt iqualiter drvidatnus: Invcnire qualis illius pars cuiquc noltrum dcbeatur. F 3 Digitized byGooglc UU/J CONJ ECTjtNDI Quoniam ;fi fiOuum , qui duabus refTerii praveniunl, 6 j*0ut exillunt leptem punitorum , Sc ; jifhis deccm punilorum , KftiUiI adhuc 27 jaflus, qui ludum «njuare porTunt; id quod fi fiat, cui- N que nolUfljn debebitur f 4. Verum li id non obringat, h.ibebo 6 caliis, qmbuc vincam, id efl, ut 4 habtam ; Sc } tafus, quibui di- veriiim eveniat, nihilque habeam : id quod pet 1 1. Piopofirionem , tantundem eft ac fi tali cifu i -> habeiem. Habco iraque ib inirio 17 cafus ad , & (> cafus ad *«, id quod.per II. Propofirionon, Q tantundem eft ac J*<. Et lemanet contracertanti ||4, N Ytrmn Ji id ntn tbtingtt , &«M# 6 «/ir {>,:.] Au- ftor prtiis quajrit expeOationem ejus , qui 6 habct calus id vinccn- dum & } ad perdendum , cjuae cxpeOatio efi j-j ; caque demum mediante inriri quttfitum : fcd poceft idcm quoque non cognitt illi cxpeccstione immediate condudi } nam 17 atus ad -| 4 , S ca- fus ad 4, & j ad o,quos habeo fi propofiti eonditionc ludo, etiam tmtundem valent pet 1. Coroll.;, lc \\t; uti quoque 17 cafus ad f'i ] li b , i Si ' , ut 31 ad 30 , pkne ut fupri. A PPENDIX. COronidis loco Auftor Ttailatui luo fubjnnxit fequentia quinqtle Problemata, fed omtiii analyfi vcl demorrfttationc , qnam Lo- Qori eruendam reliquit. Hanc itaque nos paitim hlc fupplere , paitim in Librum fecundum icjiceie «oafli fumus, PROBIEMA I. A& B una iudunt duabu» tefletis , hac conditione, ut A vincat , fi fenarium jaciat , at B fi feptcna- tium jaciat. A primo unum jaerum inftituat ; dcin- dc B duoi jactus confcquenter ; tum ruifiis A duos jactus , atque fic deinceps , donec hic vel ille viftor evadat. Quatritui ratio lortis ipfius A ad fortem ipfius B. ; Refp. ut lojsf ad 11276. 5 0 lARltS CONjBCTANDI' SeluM : Ponamus, fbitem ipllus A valere i , rum ciim lude- re incipii ; ar ciim ordo jaciendi eollulorcin B tangit , x : dim B ftmel Iufit,j: ciim bis, hoc eft , ciim ludendi vices ad ipram A ledeunt, l. Qjioniam enim omnes ill.-e (orrcs difltrcntes funt & incognitie, earumque pncedcns quielibct a leouente 8c pollrema vicifiim a prima depcndct, uti cx ftibjunfla opcrJtionc conilabir, non potcrir Problcma ifcud Aufloris faltem mcthodo, per ea quas id Propof. ult. annotata funt , aliter quam mediancc analyfi algc- braica expcdiri. Primo iraque quia in j5 jaflibus duarum tcflcra- rum icpcriuntiir 5, qui ipfi A fenaiium dare, eumque ludi viflo- rem reddcie polTu.it ; & ;i jaflus, qui ordincm jjciendi in collu- Jbrem B transfcrunt ; habebit A , cum ciim hidum inchoat , f ca- fus ad obtinendurn » ( id ijuod depolitum eft) & 31 ad obtinen- dum x ; id ouod per fepiiis laudaiara PiopoC va'et — * : euro, lutem eadem i principio fors vocaca fuerit r, erir proprecca 1 X — - "j^"* . Deinde cum ordo ludendi tangic collufbrem B , habct A 6 eafus ad obtinendunt nihil ( quandoquidem 6 lunt jaftus 7 punctorum , uui advcrlario ejus favenc) & jo cafus ad acquiren- dum j , cjuod Ibrtem ipii paik \j. Eadcmmct vcio Ibrs fupra nobis dicla fuit 1; cjuare ixff. Porrb cum collufor B, abfo- luto primo jailu alteium aggicflurus eft, habet A ob eandem tionetn 6 cafus ad 0, & 30 ad foitem fcquentem : ; & Itquidem obtiners tum etiam fijpponatur j , erit J X £ t . Denique vicibus Iudendl ad ipfum A revertentibus , quo cafu ejus expecrationem z. vocamus , habec is 7 cafus ad 4 , fi nempe fenarium jaciar , fir. 31 caius ad obtinendam fortem priAinam 1,6 fecus eveniac ; quan- doquidem tunc colltifores in eo flatu erunt, in quo fuetant a prin- eipio, dum ipfi A nnus iuperelt jacras, quem cxcipcrc debent duo jafius 1 B inftiruendi , & hos duo alii ab A , atque ita deinceps , omnino Ccut ab initio : conltat autcm 5 cafus ad * , St }t ad 1 va- kre ; quocirca 1 00 ''^ . mventis hle ratione tot icquationibus, cjuot fuppolitc iuerunt litcrz incognirae , oportet i pofiicmis ad primas ittrogredi , fubftiruenclo valoiem « per ulti- Duiizod b, Gu PARSPS.IMA. S l mim repeitum in proxime piaecedente , ut bbeaiurjx^f—j & hunc valorem in anttpenultima , ut fin *X — >L i ac t.indem vaiorem illum in primJ ; qui raiione fors qua;lita hibccur ' 30 'Slf ' & tdinquetur pto (oiie coliulbris B . unde foit A ad Ibrtem B ciii , ut ioj;,- ari 1117^ ; uti Audor invenit. Idem veri) etiam aliquantb compendiofiiis invcftigari poceft, adhibitis tantum tiibus Jiteiis incognitis ( , * & « , pntcicundo foitem J , quam acquicit A , pollquam B uno jaftu dcfundtus eft. Ex Annot. Propof. XI, conftat, quod (ors cjus, qui duobuJ ja£ti- bus remel ftptenarium jacere fufciperec , clfet >| depoliti (quippe tiim j numetUS omnium jaciuum, ad £ numeium eorum quibus ncm obiiueiur fepteiiatiiis , eli in raiionc S ad ; ; & piapterea X [ ( ! ) unde , pet ea qui ibid. ad lit. L monuimus , con- cludendum, 11 elTc cailis, quibus collufbi B ludendi vicihus ad fe devolutis alteiutro fuoium jattuum feptenaiium jaciat flc vincat, ipleque A nihil acquiiat ; & 1; alios, quibus id neutro jadtuum pracftec, ludendique ocdo inde ad A revcrliis huic (briem s. pariac; id quod rpfi A , qui eo ftacu poflidere fupponitur x, ontundem valet ac li haberct —^- ; adeb ut x x ~ . Canerii enim politis ut piius, fi valor ipfius t fupia invcncus hic mbltituatiir, invenie- tnr ut ibi t» ' "'| 1W , ~ ' ■ & conlequcntcr 'X ^tj^*' Atque hinc perlpicitur methodus Audioris, tjuam imicari con- venit in omnibQs (imilibus fortitionibus 3c ludis ale* , in quibus pluics coniinub Ibrtes ineognine le mutub excipiunt, dummodo pofl jafius aliquot priftina. iccurrat letum /acies, exdemcjue tever- tantut foitei incognita: , quas aleatorei ab initio ludi habutrc Sed non cam facile apparet, quo pafto illa Pcoblcmata trafianda fint, in quibus ludum piofcqucndo fones nunquam in orbcm ic- demu, fcd fubindc alix novs prodeunc i piioribus divccfx & a=qul ignoca:, idque in infinitum ; cujusmodi quidem nulla cn hoc Aucto- ris Tiaccatu habentur. Eorum aliqiu propofui olim in Ephemer. G 2 Erud. Digitizod b/Google 52 RTI S CONjECTAND I Erud. Gall. 1685. art. IJ, fpe frctiis fore, ut nonnemo illorum fo- luiionem ageredi dignaretur , quam CUni roto quinquennio nemo dedilTec , ipicroet poilea in Aflis Emd. Lipf. m. Maj. 1690. com- municavi, fecuco moT etiam fundamcnco folutionis ab ingeniofif- (imo Leibnicio ibid. m. Jul. cjusdcm anni occulciiis CKhibico, quod ego nunc apcrtius caponam. Prius autem oflcndam , quo pacto pcr illud prasfens Audtoiii Problema folvatur 5 ncc enim differt hoc fundamencum ab eo , quo ad fblutioncm quoque pruced. Pic pof in annocat, fui ufus, eadcmque promi/c.ue facilirare applicatur ad quiftiones, in quibus exdem perpctuo expecraiiones in circu- lum rcdeunt , 8c in quibus nulla calis carum daiur apacatafialls, hoe folo dilcrimine , qubd in prioribus ad leries infiniras unim pluresve, quarurn lumma; unl aliqua quantitatc exptimi poffunt; in pollerioribiis veriY ad alias leiics tiaud :«]ue fummabiles nos deducac. Supponamui infinicos lufores , qul finguli ad fingulos fuccelTi- vc iactui idmittanrar, Sc quorum ptimus, quartus & cjuintus', oftavus Sc nonus , & lic porro rnccrmilTii duobus iemper duo fc- , quentes , feiurii jafhi : caetcii , ftcundus & tcitius, Icxcus & Icpti- mus &c. feptenarii jaftu vincere poflint. Ac tum pcr Regulam annot. Prop, XII. annexam qurcrancur fingulorum expiflationes , qua? fumco valoic lic, *, t,(,iSc f, ut in arinoc prxc. Piop. ita habebunt : Cd.LRIIi.IV. V, VI. VII. VIII. IX. X, XI. XII &c. A. B. BA ABB A AB BA uno folo B, habebin cludcmus, foitem ipfms A hn-~+~f-+ ~r^ + — 'r^-+-^ + ~P & fortem ipfius B , ^ + + *'J- +4 + &c. Ec quii in utiaque hic feiie rermmi locorum r PARSPKTMA. jj parium tum impanum fepar.irim accepti GeomerticaS progrefliones cotiftiruunt decieiccntcs ui ratione Itquct hinc etiam ambarum fnmmas in poteftate habcri. Reperitur autem fumma prioris feriei "li^f T jjr t & polferioris - ' g - i fic ut ratio Ibrtis Aad for- tem B &, ut * , poni 11 , ii, 13, 14, ij«» , & fic deinceps, hinc expaftaiiones co!lu(bium his numeiis defignatorum , primi , 4" > 5 li 1 6° &c. ln peculiarem feiiem compingo ; atque expefta- tioncs i Ji , )"' , 7™', & teliquorum, in quoium locum B fuccedit, in aliam (etiem ; quo pailo fiet fbts ipfius Ax ;+~^r + ;r + vV^ 1 0 +4^+tl"+tii'+iC+ &c - &foisi P fillsBx ^+ ^ + ^+^S+tf +!t5+*^6+^+4iT + Bcc ' ini,t 9 ue P° r - ro,eliminando b ubique,8cejus loco fiinogindo * — (,(ors Axi — f 4+i?~^+^ ~ .1? &c - & fors B X ; — % 4 - 1 — + ^ fa. piiotis complementum ad unitatem. Idem adhuc alitci ita elicio: Pono denui loco duorum A & B, infinitos lufoies A, B, C, D, E, F, G,te. fed unicuiquc co- lum toc jaflus continuc inllituendos ttibuo , quoc pio tenorc quae- ftionis conceduntur altemtii A vel B , quoties ludendi otdo de no- vo ipfum cangit. Vetbi gtatii, in exemplo ante allato quano, pio eo qubd A ludeie debet femcl , B bis, hinc itetum A ttr, B quater Scc concipio A ludcic debere (cmcl , B his, alium C ter, alium D quatet Scc. tuto feparatim uniuseujusque tortem invefti- go , attendcndo ad numeium jafluum dim ab ipfb mltituendotum , tum etiam ab iis (imu! omnibus , qui eum ludendo pnvcedere dc- bcnt , quod nullo negotio fit , poflquam jam fupca in annotatis Piopof. XI. {politis illoium numcio a & horum 1) fottem hanc genetalitei oltendimus cfle -—- ~z r , — X ' '„+, ' enim in 4' 0 cxemplo pro n otdine numeris 1, 1 , 4 fa. & pto 1 numeris 0 , 1 , ;, 6, 10 &c. ceu fummis ipforum 1,1,3,4 &c. ab initio collcctis, emetgent Hatim finguloium foites, ut fequituf allnf. A. B. C. D. E. F. G. &c. «_,„.'. ' • * <* iio i'f i'f 1" 1" <'* . Diailizedb/Googl PARSPRIMJ, 55 quo fafto nil fupcrcll aliud, quim ut omntum lufonirn in locis im-. paribus A , C, E, G &c. ncc nou omnium in paribus B.D.FBcc" expeftariones in unam fummam colligantur ad produccndas, qucs ancea, expeilariones unius A & unius B alcematim ludcntium, ut- pote quas fummis illis sequar: debete quivis per le videt. Nec difTerret operatio, fi ttes, quatuor pliitesve collulbres, in quiilio- ia m X - : Inqu.I.fors.Axi— m+m'— m^+m 1 — m*+wf— m"4-m ,4 ~"!^-f-S:r, BX + m — m'+m*— m^+m*— m?+m"— m'4+m"'— &c. . II, . A»i—»i+»i'— m s +iBP—iB" , -i-)n" , —Bi^+&c. BX +m — ■ bi" + Hi , ^m l + m'---Br' + m lo '~m'*+m , * — -6cc. III . . A»i— m+m'— m«+m s — ms+m^-m^+m' 0 — «'■+£•«. BX + m— m' + m->— hi 4 +bi 0 — bi^+bi" 1 — ib'°+bi'— -&c. IV . . AXi— m+m*~ bi*+ib' 0 — m"+Bi ;l ~m"+m !4 — m^+Sic. BX + m—m'+m 6 —m ,0 +m»—m"+m ,8 —m' '+»*'—&„ Singula; hae Ibtres ex primuntur , ut videte eft , pec icricin aliquam infinitam, in qui figna + & — perpetuo alcernam,& cujits ter- muii ex lcrie hSc conrinui proportionalium i . m. m'.m , .n". irf- &c. per filrus inssquales furit exccrpti , quod impedit iDius fum- marionem abfolutam ; Sed facilis cft approximatio in numeris quantumf ibet exaftis, Sic peliris *30}6, numero omnium cafuum in tefleris duabus, & i X jo numero eorum quibus non obtinetur prsefcriptus ieptenartui , adeoqoe '- leu mXj-f x£ > reperitm fors ipfius A b primo cxcmplo in **>S» in J' fo ^' m + 10 ~~ i ubique non una eenties millefimS paite major mi- norve , ic proindc ratio iortis A , ad forrem B in i mo ut 71531 ad jljotfo , in *<~ at 400J8 ad 55-041 > in i"° ut W670 ad 403x1 , irt 4 1 " ut jijji ad 47608. □igiiizcd b/Cooglc <6 KsfRTIS CONjECTANDI qua: rerminos harum icrierum conllituunc , deprthendet illorum diifcrentias ubique coincidere cum ipfis numeris jaftuum, qui col- Infoiibus A & B juxta quullionis tenoiem altematim inflituendi funt : Ita in prima fcrie i — fB + m ; — m* +/H 1 — m* +nt? Stc indiccs poteftarum ordinc funt o, i , t, 4,, 5, 8,51 &c. & indi- cum dirTerenris 1 , 1 , 1 , 1 , 3 1 1 fic. pracise icfpondentci numeris jafhium , quos hypothefis prima: qu.-rftionis requirit , quippe qux ipli A 1, B 1 , A 1 , B i, A 3, Bi &c. jaftui ordine tiibuit. Ope- ta: pietium autem eft obfervaie, hoc adei geneiale elfe, ut eriam valeat in iis eKemplis.in quibus duobus alrtrrurim ludeotibus nu- meri jjftuum aifignantur, quales foituitb e calamo lciibcntis fluerc poffunr, nulla cerrS & conftante latione progrcdienrcs ; cum ilta confideiario regulam nobis fuppeditet imborum foncs momenro exhibendi , quse talis : Hegula pro cognofcenda firte duorum ctrta- tim ludmtium, donec alteruter eorum i)in~ cat » quando utrique alternU 'vicibus ali- tfuot alex jacJm continue infiituendi con- ceduntur fecundum quosvis numeros datos in infinitum conhnuatos. ( Pano 4Uttm eoidem regngrt mmeres ctfkam /eu tundem mnatre vtlartm quamintis - uei m in emni- btts dets.) SCribantur oidine primb dati numeri jaftuum utrique conccifo- rum , dein fumma: eorum ab iniiio collefta; ; rum fummi ha fiant indiccs loridem poreftatum quantiiatis at, cjuibui per ligna + & — altematim cannexis habrrur cxpeftatio piimi ludentis ; omilTa vcrb unicare qus femper primus feriei terminus cfl , lignis.. que cffiicioium invcrlis habetur cxpeftatio colluforis. Ex.gr, Si alretiiatim inftituere jubeantur, ipfe A jaftus tres, B unum, A + , , ' t A Jf S F R r M A. 5? Bij A I, R p> & fie deinceps m infiniium, pati (ecundum nume- ioi Cyclomeiricos Ludolfi , qui nulll dererminari lege progrediun- iui , erunr oidine numeri jifluum j i 4, i f 0 1 6" J &c hotumquefi-mma-ab initio colleQre, 0,3,4, 8,0,14, ij, "■<,--, 36,8«, ac proinde fois iplius A,i— ■ m'+«i*~m'+ m '>—m'4+m"— n-x+m"— n." + 8ce. . Nora, fi numenn omnium j.iiluum fic limit-tus , ulrra quem eifi neuiet adhue viccrit ludete prohibeintut , eidem regula v.ilcbrt, ni- li ouiid ultimus terminus , cujus exponens cx omniuin jafhium fumml conflatur, in illl ferie in qui fignum + habet redundat, adeocjue abjiciendus , quo £1, ut expeclationes amborum fimul fumpue eodem illo rcrmino deliciant ab unitate. Stc in pnced. exemplo li polt ultimb adlcripcum quinirium , h.e. pcft jifhim jrfwai ciTcf fubftllendum , fierer fors A,i — »»+m*— m ! +»»— ™"+«''--»« ,s . fors B, +w'— m 4 +» ! — m?+m"— m^+n"— m". adeoque ambomm (imul 1— n lS . Problema II. TRcs Collufores A , .B & C aflumentes 11 calcui los , quorum 4 albi & 8 nigri exiltunt , ludunt hac condltionc : ut, qui primus iplbrum velatis ocu- lis album calculum elegerit, vincat *, & ut ptima ele- ciio fit penes A, fecunda penes B, & tettia penes C, & tum fequens rurfus penes A, atquc fic dcinceps alternatim. Quferitur, qua;nam fiitura fit ratio illo- rum fortium? Senfus hujas Pioblematis lmbiginn e(l, unde viriis quoque (blutionibus locus. Vel cnim lupponirur , eleflni c lculos poft flngulai elcdliones in urnam recondendos efic , priusquam fequens eligit, lic uc numerus eorum perpetub maneat idem -, ve[ non efle recondendw, fic ui corum numeius continuo. decreTcit: delnde H fuppc- eS t^fKT/S CONjF.CTAKDt fupponi pote". , vel a lingubs afiumpros elTe :i cakulos , vei ab muveffis w commune. t Si cjloili poft fingutu ele.Lon-s fn; tecondendr ( cuo tjuidcm fcnfi, ni | intetef», five in commune feu i fu.gul.s 11 cil- cul. alTumpii fueiim ) quif.^e tollulbtom fones Mc ratione tn- veftiganrar: i. M«M» it»&r«i, Vocena 17>rs primi *, fccundi reiiii u Jam ptumis A eiim Ijdce incipit , 4. habci ofis ad vlncendam fcu obiinendom depofitum , { ob 4 ljI ulos albos ) , & g c fus ( ob 8 mgtos) , qutbas perdil fuam pirced.ntiam & ctansfcirur in ftatum lercii , adeoque acquttic fwtem t ; quod valet ■ *"|^ - X ' -^— ^ ; ac proinde fors primi »00 - ' * V Ob eandem ra- tioncm habct (ecundus B,cum piimus ludum inchoat, 4 eafus ad obtiii.udum nihil,.& S cifus ad acquirendam pisrcedcntiam , qui ttansfenur in Hatiim primi acquiritque fottcm x ; quod valet *i*00 } quarc fecundi fbrs j X |x. Parirer quoque tertius C a principio habet 4. caliis ad nihilum, & B ad obrinendum fecun- dum cligendi locum five lecundi fbrtcm y ; quod tantundem cfl ac }j; quocirci tenii fois i.X hoc eic.i-» ft, fi quia j etiam reperta fuit X ?*, habcrui Ucofi, hoc cS , t X *r, qui valor iplius £ in primi ajquaiione iX —- 1 fublliiutus exhibct *X j - + 1? * >' h X 3P t's - ""de P°"° inveniiur j ( j*) x/jl-flt 30:^1 ac propicrcirario fortium x, j & t, « ?• «• 4» " : 1. Mttbedn niffji, Pofito generaliter c.ilculbrumomnium nu- mero j, alborum '', 'nigrorum i ', concipiantur , ut jam farpius fa- ilum, infiniti collulbies , qut prcelciipta condiiione ludant , unus- que poll alreram calculum cducat & icpon.it ; erunt ruifus per Cur. 1. Reg. ad Prop. XI!. cxbrbira* pioptcr invariatum manenrem in omnihus ekflioiijrf.ii .i^horrm ,V fgrnrum numerum , expe;la- liones liitguloium collurorum ftqucntcs : Cil. Digitizod B/Coogl^ PARSPRIMA. 59 olL IUlLIV.V.VLVttVIlLK.X. XI. XIL X1IT.X1V.XV. &e. ABCABCA B C A B C A BC _ , * -*i *« i~- ia -7i3 - _n • _fs • 6 ' c ' unde riim pet bypoth. ptima , 4« , 7°" . i-™ 1 &c elccciones lint penesA; i J1 , 5 ,a , I - *, n ml &c. pents B ; > S>"> >-' nl &c. pcne. C i additis collufoium hu lods lefpondcniium expefU- tioni-us in una'm fummam, haheruc eipeflatio unius A 30 - + _T + ^ + % + 'M + &c -] f X n-Vf Bx « + -f + -I + ^'i° + 7iT +&c M oi) P ro 6 r, S eon, 'i x -J-^3» adeoque ratio Ibitium , ut tt.tt.tt, id cft, hic (ob «.c:: 11. S::J.i)ut 9.6.4 ur antca. NoCa, fl qiuelcio pcoponcretur in collulbribui quatuor , Ibrtes eorum codem pafto rcpertum iri li habeie , cit /P. ttt. tCI. ( J 5 & ll generaliier in colluforibu- », UC <»•'. (•■'<. 4»->(t. Scc. pergendo femper in ratione coniinui * ad i. • n. Si poiil fenfus Piotlcmatis fit, uc aflumpti in commu- ne calculi 11 non reponantur , poflquam ex uinl exempti fuetint i obfervatidum eft, quM per cominuam eduflionem calculoiuni ni- gioium , piimus quidem collulbr rranscat in locum terrii , Cectius in locum »*, forundus in locum primi, non idcirco tamen pariier fbrtes, quas ab inirio Indl tj-butre, invicem pecmutoit, uc cactum. fuit in pifec, hyp. fed quod fubinde alias novas & a prioribus di- , veifis ob mutatum caiculorum numeium acquirant, easque tametl limplicioces qub plures calculi nigii edufli fuerint, aique ita com- pararas, ut tandem delinant in Ibries omnino cognitas. Quapropter incipiendo conluerS Auflocis methodo ab omnrum limplicillimis, & pergeitdo recro per omnes incertnedias , pcrveniemus ultimo foli lyntheli utcndo ad cafiim in quillione propolitum. Hune in fincm fupponamus, edu-tos jam elTc 7 cafculos ni- gios, adeoque proximum digcndi locum ipfi B debeii. Sic pri- H 1 mus Oigiiized b/Google 60 x^fXTIS CONjECTANDl mus A nihi! amplius expeclabit ; quandoquidem reliquorum alter- utcr B vel C ob rcfiduum nigium unicum iicccAaiib. album cdu- cet & vineet. Sccundu5 verb Bob4albos 4 habebit cafus ad vin- cendum , unumqut ob rtfiduum nigium ad perdendum ; qmtido- quidem (i hunc eduicerit , tercius C infallibilicer vincct, Std ob eandem rationem tertjus C 4 habibit cafus ad perdendum & unum ad vincendum, Unde coJJigitnus, fbrtes aium A,B,C,eoci- fu fore o , Supponamus deinde, eduilos efie nijjios fex. Sic habebunt, primus quidem A, quem proximus cunc ludcndi oido tangir, 4 cafus ad vincendum , toridemquc ad perdaidum duo rcjiqui : omnts vcrb trcs ob refiduos duos nigros duos calus ad obtinendum prs- cedentts fuas expefbiiones , quandoquidcm altero horam eduiio unicus rtftat nigtr, ordoque ludcndi ipfum B pofiit.qm cafui efl praccd. hypothcfis, Un je Ibrtes iplbrum nunc func i , A , _l . Fingamus porrb, eduicos tfie nigros quinque. Sic habtbit tettius C , quem tangcient eligendi vicis , ad vincendum ; rcliqui- que duo ad perdcndum 4 calus : ob refiduos autem ces nigros, quivls illoium etiam j h.ib.t cafus ad expcQationem fu_m modb invencam, Unde jam fbrtcs ipfoium liunc , } > * , j . Rurfits fi cdufli concipianrur nigri quatuor, fic uc atqnalis aE- borum & nigrorum numerus fupcrfic, crit un_ mtdiccu cafiium pro B, utpotc penes qucm cunc proxima forct elcctio , eadtmque contra A & C ; altera verb medietas omncs ttts ad prxcedentes expeiUtiones promovebit. Unde mfcuntur fones . E_dem ratione (i educti fint nigri ttcs , inveniunrur fortes ' { , il.i- Si nign duo, }J , y- , Si nigcr unus, 4 , TI5 , J,. Si denique nullus adhuc cdculus edu-Lus fucrit, qucm Ibkim calum primb intcndimus , & prcpter qucm prscedenies omnes ex- pcdiie prius oportuit , Ibitcs coliufbrum A, B, C, fimili mocio rt- peiiuntur ;'. , five ad idem nomen r.du&e , iVf > tVi i fic ut °P"" «tio fortium lit , uc 77 , J) , 35 . Mcthodus ponb nobis familiaiis eiism in prafcnte hjpochcfi locum Digitized by GoOgle r ARS P RIMA. 61 locom hibet ; neqi» enim hanc magii refpuunt m quatflionei, qux comniunitir foli fynthefi iolvunrui, qulm cju» aiulyfi opus habenr. Quoniam ofto liint calculi nigti non reponendi , polt- quam edufci fueiint , fingo novem eife collulbxes, qui finguli oldi- nc fingulu eleftiones inliinunt 5 quo fiet ut uriui corum necelTa- rio tlndcm album educac ac vincae. NuUus autem Ipcm viucen- di habere poteft , nili omnes ipliun prarcedentes continui) nigios cduietint ; quoeirci fuppono ..,-./■ txftH. tum, quii prinu, 4." Sc 7 ral ek&iones debentui ipli A 5 & t" ipii B ; f , 6<* 8t J M ipfi C ; eipeftationej col icrii delignstorum collective aecipi " ' ' "' ' 6z i^ARTlS CONjECTJNDl ne 1.5.7. S. 'j . r°- ti, ii, ndufts numcruorci nancifcuntur le- tiucjites: 4. f. 6. 7. 8- 9. 10. 11 + 4- f - 6-7 - 8. 6. 7. 8 + 4-f.;.4 -T-^-7-8 xi 4. f .6.7.8 ia j. + .f + 6.7.8 ■+- 9.tO.«, 4.1.6.7.8.8.9.10 + 4 .f. 6.7- 8.f.6.7 + 4 . j. 3 .4. f. 6. 7. 8 00 4. f. 6. 7. 8 in 2.J.4+ f.6.7 + S. 9- 10. 4. f- 6- 7- 3- 9.7. 8 +4. f. 6._4__f. 6_. 7. 8 + i . a, j .4. f. 6.7. 8 X 4. f. 6.7. 8 in i.i.j +4. f.6 + 7- 8. .9, uade tlilo communi fa£Jore 4. f , 6.7. 8, ettio for- riutn -exnrgic, Ut J. 4. f + fi. 7. 8 + 9. 10. 1 1 . 1. J .4 + f. 6-7 + 8-9-iO. 1.1. J + 4-F-6 + ?-8.9, feu di- vid. per-fi, ut io + f6 + i6f»iJi, 4 + Jf + 110X if9, 1 +30 + 84X lOf , rurfusqne divid. per j, ut 77, f J , J f , aa fupra. Et quia in numeiis iftis. cerram .progreliionis legem ob- ftrvjmus , facile pofTemus regulam Jarc generalem pio numero tolluforam 6c Calcularum quocunque, fi tanti referret his im- 1 1 1, Tcrrio fenfu Kceprum Problcma (cum iinguli trium eollufonjm aflumunt 11 cjknlos , aliusque poil alium c fuis unum «Jepromii &C non recondit) pariim duTert i praradenre hypotheli, nifi qu&d oh auftum «Iculorum riuroemrn multo proludorem o- peiam depofcrt SuppoHamus prirrjo, ipfis A jk B niillum impliiu! fupeielTE caleulum nigtum, ipfi C verfi adhue unum, quem propterei eli- gendi vices tangent. k proprer 4 calculce albos & ■ nigrum , 4. habet cjfiis ad vincendum & unum ad perdendum ; quandoqui- dcm fi hunc edmtcrii, ipfc A coi non nifi albi fupcrfunt infallibi- titer vincec : fed & ob eandera rmoncrn prinrus A viciflrm 4 ha- bet cafus ad perdendum & utiicum ad vmcendum ; fccundo vero B nihil omnino relinquitur , eo qood alrerutri reliquorum necefla- ii6 cedet viftoiia. Unde colligirur, forws ipfoium A , B , C, Supponamus dcinde s i pft A rcil.irc nullnm, & (ingulis rcli- *juorum unum nigrum. Sic ipfe B, quem eligendi ordo tangit, 4 ad vincendum cafus habet, totidemque ad pcrdenchun reiiqui ; P A X S P R I M A. 6j unos vcro eafus etl, qui unicuique illonim prsecedentis csfus cx- peftationem arrerr ; -id quod ipfis A, B, C , foitem parit 5 'j , ' 'Supponamus teitii, lingulis A, B& C, rellire unum calcu- lum nigrum. Sic A quem penis proxima elefljo eft , 4 habebit ad vincendum, rclicjuique ad peidendum. eafus ; unum veib, quo " pciducuntur orrmes rres ad praceedcntei fuas expettaiioncs. Unde nafcuntur ipfis foiies , ^ > T ^ s quas inter ratio. elt , ucioi, Eodem modo ulteriiis invefligandum effct ,quid deberetitr eol- lufbribus A,B Sc C , ciun iplis rcftjrtr ealculi nigti, 1,1. 1,1.1.1, !. J, Bcc. quoufque p buic. Sed quia hax figillatim peifequi fiipra modum ifdiolum forct, idcirco oftcndam, quo pafio qttrfitum per falrum obtincri quear, inveniendo fblummodo forra ilforum (Utuum, in quibus unicuique coilulorum aequalis nigrorum ealculorum numerus fuper- cH ; quem numerum fimpcr vocemus c , ficuci alborum i , Pc 0- Oponei piimb conliderare omnes variationcs , qux accidere pofTunt cirm unusquisque collufbnim unurn calculum e fuis depro- mir ; perlpicuum autem cfi (ieri pofle , ut vej omnes rres educanr album calculum , vel duo tanriim, vel unus, vel nullus. Deinde attendendum , quot cafus fingulis iiarum variationum refpondeanr ; quorum quidcm numenrs Itoc modd initur : Si ijuis Cortarct fore, nt omnes: tres educant album , ejus (bts fbtet 3 : fi futuium toi>» tenderet, ui duo A Sc B , vel duo A & C , vel B & C,alhum eli- gant Gc teitius. nigium , (brtem haberet : fi propugiuret fbre , ui folus A vel B vel C album cxirrar, rcllqui nigrum , Ibttem pof- fideret * " : fi denique nuili album conctdere vellcc, fotrem obti- netet j f , ( qu» omnia ex Cor. 1. Regula: Prop. X 1 1.. fubjttnfli pa- rcfunt, cum tantundem hax valeanc , acfi iplc in iequali numero tafuum iribus jactinus quippiam pr.rcist ter , aut bis , aui iemc! , 0+'1 • m ,:T4-+'\ hoc efl , elifo eommuni nomine St fa£ti. muiriplicatione pet erit ittio fortium ipfbtum A,B,C,i V + itU+tH l . — ti, +1« > m F --^ Quibus P AS S P RIMA.' Quibus ica ptamiflii, ut ad Iblution umur, fupponendum porro eft, ftngulit coilufbium reftare duot calculos nigros: Sic lit. b & t vjleiiunt 4 & ■ (pto quibui fiih- iliiiii poflunt minimi in eldem rationc termini 1 8c ■ ) ; & quit rario ibrtium in csfu pt*cedenri cum lingulis unua rcflabit calcu- )us nigcr, quam lilerii f, 1, 1 indigiomui, ciprcfla fuit pet nu- metoi 101 , 10 , 4, cjuomm fumma f+i+iXnji hinc juxri ptimiuam totmulam expedite inveninntur nuraeri 1351,770, 174, «piimoitts rationem ftMtiuni , qu.it eollulbres in cifu prxfenri Eodem piAo , fi fmgulis ttes nigti fupcreffc fupptmrmrur^ quo calu lit. f fic ' valent 46C3, ipfieque p, 1,1 numcros modo inventos »351, 770, 174 ; rario fbrcium rcpeiitur deugnui pet nu- meros K!jt( 11170, +7J+. Si relidui finr fingulis 4 nigrl,licuc valor lic i Sc c lit + &4 (hoceft, in minimk termtnii 1 Bc 1) inveniuncur foitci fc habere in ntione ■ ficut ex icliqui* duabus fblia 10. Quapropter terrium fblium exem-. prurus ig cafus babet ad perdcndum , & 10 ad obrinendum tres charcas diverfarum fpeuerum , hoc eil , ad obtincndum preceden- tem expcfhtioncm jf ; id qubd ei forrem paiit ±%J. Pone rcitib , extractam elfc unam charram ; fic ex eSdem hAc fperie, cujus ell exrraila, fupeifunr eharw p, ex reliquis wr6 rri- bus fpeciebus chartx ;o. Idcircb (ecundum fblium acceprurtis 9 Jiabet eafus ad pcrdendum, & jo ad acquirendum diverfie ipeciei fbiium , hoc eft , ad impenandam fonem modo inventam )% j ; id quod tanrundcm ell ac 11 haberet ,'. J~ , Si null* adhuc charta exrrafta fir , fbrs exrrahentis eadem cft cum praccedente,manetque ; quoniam omnes ^oeafus ipfum nectdtjno in eum ftatum conjiciunt, qui in paragiapho pteeced. fijp- pofirua fuit. Quare tum criam fors conrraccrtantrs erit £} T £ i & rario forcuim, ur tooo ad gijo> quemadmodiim habcr Auflor. Ejusdem Probkmatis fnlutio etiam aliter per Combinmonum dofbinam confici poreft, uti parte tertii poft hujus doOrinjc ex- plicitionem oftendemus, PRO- DigitizM 6y Coogle f A XS P X I M A. P R O BL E M A IV. ASfumpris, ut aute, 13 calculis , 4 albis 8t 8 ni- . gris, cercat A eum B, quod vclatis oculis 7 cakulos exiis exempturus fit,inter quos 3 albi erunt. Quacritur ratio fortis ipfius A ad fortem ipfius B, Eciani i/hid Problema in terciam libri parttm rejictre eogi- mur, quaniam ad ejus Iblutionem artis combinatori* notitia pne- icquiii videtur. - A & B amjmentcs llnguLi 12 nummos ludunt. tti r -^- bus tcfleris hac conditione : ut, fi 1 1 puncta ja- ciantur , A tradat nummum ipfi B ; at fi 14 puntta jaciantur, B tradat nummum ipfi A ; & ut ille ludum vi&urus fit, qui primiim omncs habuerit nummos. Et invenitur ratio (brtis ipfius A ad fortcm ipfius B, ut 244140625 ad 28z42(jf;648i, sriidii : Confiderandum primb, in rribus tefleris contincri 21S jadtus diverlbs, & iniei hos dari ij jaftut punciorum quatuor- dccim , Sc 17 j'ftut pundlorum undecim ; adeoque le cafus cfle in quolibec jafiu, quibus etficirur ui aleaior A a collulbreB nummum accipiat , Sc 17 cafus quibus contingit ut hic ab iilo nummum coniequarui ; alios verb 174 cilus , quibus uterque eundem nura- moijim numenlm priftinamque proin fortem retinet. Deinde arrendendum , qubd illi 174 cafus irrici , quibus col- luforum foites incariara: mancnr, per 4 CoroU. ;. dillirnulari pot lint ac IT prorsus abejTeni, inque tcflcris rribus lolumm;do 41 r». perirentur jailus, quonun 1; ipfum A nummo potiri faciant, 6c ipfum B. Tertib & illud conliderandum , qubd pro numtris cafuilm ■4*,- if & 27 , utpott eonujolieis inter fe fubltirai poflint pcr 1 PrObLEMA V. Cor. 68 yjitltS CONj ECTANI>I Cor. 3 , minimi in eadem tatione termini 1^,1 kt>; m quortmt tamen ruifus locurh, ui generalioi fiat folutio, aos literas j, i & f fiinogamuj. Quibus animadveilis in enodatione propofitae cjuseilionit ita detnceps pioeredior , ut inquinm oidine , qnsenam futurat furlTent Collufoium fottcs, fi finguli aflun pfifTent nummum unum, deinde li duot, poftea fi rres, qtutuor &c quoufque pet induilionem pa- teat , quznam iil fones uunc competatit , ubi linguli aflumfeiunt nummos 1*. Si frnguli alfuniant nummum unum , peifpicuum eft , ioltes coium forc in racione iprotum numerorum * St (. Si ftnguli accipiant nummos duoi, piimus jaftus cfficicc , ut collufor A vel 3 poifidejt nummos, vel ut unus tajitum ei fuperfic. Sr tres poflidet, habet l cafus ad acquirendum omnes qnatuor, hoe «ll , ad vineendum fcu obtinendum depofitum 1 ; Sc c cafii , qui. bus ei relimjuuntux nummi duo, hoc cll, quibui revertirur ad for. tem initic- poficam , qmm vocire lubet e j quod proin valet Si unicus illi nummus liiperelt , habct i cafui ad recupeiandum duoi , hoc tfl, fortem c ; & t cafiis ad perdendum ludum ; id quod efljcit — . Atqui ut poft primum jatlum tret nummos nu- merct , tuifus i funt cjfus ; 1 veri cafus quibus ipfi uiuts tantum relinquitur. Itaque ab initio i cafus eitatit qui ci dent Sc c qui dent j id quod fortem gignit ^'^'S quare t X ""^ ; '' S Cve tx X ifbi' * relinqtrittjt eoIluTciti B ir lp cc - i »de6 uc forres ipfbmm fmt iri mione JJ ad tt, Si finguli ajTumant nummos ttet, primo jattu ebntmget , rtt colluior A vel 4 nummotum compotem & videac, vel ut duonun tantirm ; in quibus fbtibus expeflatiotiet ejua appellentur K flc y. Si quatuoi nummorum compos eft, ulcetius vel iple primus ab al- tero duos nummoc impetrabir ac vincet , vtl ab ipfo duos confe- querm Digitizcd by GtJOgfe cjuetur alter , fie ut ei telinquantur adhue nutnmi duo : fcrf nt ipft primuj duoi proximos nummos confequarur,iicafus praclm funt, & (( cilus quibus idem aJteri obtingit (uti tx eo quod modb oltcnfum eft coilato cum annot. Propof. XI. ad lit. I colligitur) qiuptopter it csfus habct ad l, & (l cafus ad fortem^, quod ei valet Tjfe^-I cumque id ipfum etiam appellemut x , erit (X Vf4l'« » ft";^'— Similiter cum duo tantum ipli reftant nummi, ii cafus fubet ad rccupclandum adhuc duos alios, hoc eft, ad impettjndam fottem x, & tc cafus ad petdendum fuos & cum iis omne depofitum j quod tantundem ef( ac fi habetet il-£cc > cnmcjie tttm triam haberc fipporatut f, fet >00j*-*~; ■ ftd Juprl inventa quoque 7 X ** J +^"~°* s quare * - '+ "*—* . * °0 iT+7. i *que hine > X sqriir^-rf S n« non / ( X jj^T, ) 30 ff+» * { -t- I 4 » QU. 0 6tw d^nuni accedendum ad flatum ini- tii politum, cogitandumque quid ubi linguli tres nummoi aflii- munt, i caubui contingere poflit , ut collufor A poft piimum |3> . ttum 4. nummot poflideat , hoe eft, ut (brtem * (cu ^ + ^„ + ^ acqutrat; &fcaltbus,utduoireliduoshibeatnummo>,idel) l ut fcrrem 7 five eonfequatur. Unde tunc ejus expefla- *<> fe g+Tgi^^ra+T-t- 30 1 per confequens in propofitn Aucioris exempfo, ubi ab unoquoque ii alTtNiipti (uppotiuntur > lortes hae le habcaut, at t>" & i" , hoc eft,reftiruendo ; & p, pro ( 3c (, ur 14414061} Sc 1814.155364!' "> qucmadmodum hifsti Auflor. Quod ipfum etiam vel absque cal- culo utcunque (ic iuferii poieft : A habens omnes nummos priter unurn habet ( cafus ad vincendum , Bc B habens omnes pretet unum , habet 1 cafiis ad vinccnJum j dein A hibcns omnes num- mos prxtcr duos habet i cafus ad obtinendum omrvcs pratcr unum, jd cfl, ad 6 cafus praccdcntcs , ideoque * vicibus b caius ieu bb ca- fus habet ad vinccndum ; & B habens omtics pixtcr duos ob fi- milem titioncm habet 11 cafiis ad vincendum : atque ita pro fin- gulis nummis qui coHuforibus ad vincendum defunt , prafto funt ipfi A *, & ipfi B < cafus, quibus iplis acccffus fit ad caftis ptjece- dentes ; quate cfim ab iiritio ludi uteique habe« nummos 11 , Sc proindc utrique totidem ad vincendum deficianr, numeri t Sc 1 duo- decies pofiti ac m fe ducli exhibebunt tationem £ntium, Ut antei, Qubd fi quis tamen ratiociniurti iftud non, fic evidentiat ha- here exiftimet, ncque etiam indufliotii Gris iidat, ii deinceps fimi- ]i compendio, quo Auilor in Propof. XL ufus fiut, progredi po- terit , nempe transeundo ftatim ad nummos fcx , 8c hmc ad duo- decim , omidis omnibus intermediis cafibus. Quanquam ne lie qui- dcm ultctioti calculo indigcmus ; idem enim qui fupra fubduftus habcrur in hypothefi duorum aflumtoium nummorum , eriam va- let, fi loco unius nummi quotlibec » inimmos, & loco duorum tn nummos aflumtos intelligamus, dummodb pto numeris cafuum i £c t quibui alrerutii colluforum uitus nummus acquiritur vcl dc- perditur fubftituamus quoque numeios cafuum, quibus ille n num- mos acquirere vc) amittere poteft ; adeo ut hinc (egitime infera- mus , rarionem foitium quas Itabcnr collufoies com, flnguli in nummo* aflumunt perpetub duplicatam eife debere ejul quae- obri- net cum fmgulis tantum n nummit iflumpti fiint. Quaie ciim fu- pri in calu tiium aflumtorum nummoium ratio (brtium repcria (it ut !>• ad crit ilk irt cafu nummorum 6 ut t° ad i*, indeque porro in cafu nummoi'- 1 1» ut f l ad quematlriiodum indu- fiione «illegitunusi - ' tslRSPRlMJ. 71 Er fic quidem. liquet dc fortibus colluforuni, ciim «jibo aequi multos nummo* scccpcrunt ; led nondum conitat dc lortibus quas acquirunt in quolibet fiacu , in quem ludum prorequcndo pavenire pofliinc , quando uni plures,alii pauciores nummi concigerc Inicrim eiiam pro iliis regula generalis datut ; pofito namquc m pro numcro nummorum quos habct A , & » pro numcio corum quos habet B , lepetio qu&d racio fortis A ad ibrcem B fcmper iit futurl, R b Sc t nqujmur, uc m adn; fin r excedic i,ut i»c« — i»+»ad («+>._ («(■} quorum demonftratio, ciim opcroliorem calculum depofcat, Lectori enodanda relinrjuitur. Nos verb absque ulceiioie morl id altcnm propoliti noflri paitem ARTIS ' □igitizcd b/Coogle ARTIS CONJECTANDI PARS SECUNDA, Doctrinam de Permutationibus 6c Combinationibus. Trocemium. EPTffiS Nfinitam varictatcm , qus cum in natur* BS| °P cr it> ut j tum m aclionibus mortalium clu- KS f!jj|j cct, ouatque pracipuam hujus Univerfi pul- BnT m critudinem conftituit,non aliunde quam ex diverfimoda' compofitionc , mixturi & transpofitionc parcium ejus inter fe originem ducere palam cft. Sed 3uia multitudo rerum adcffe&um aliquem producen- um concurrentium fitpenumcr6 tanta eft tamque va- ria , ut difficillimum fit recenlcre vias omnes , quibus carundem compofirio vel mixtura fieri vel non ficri poteft, hinc fit ut nullum fit vitium, in quod homines etiam maxime prudentes & circumlpecYi freaucntius incidant illo, quod Logici communiter appeflant in- fiijfiiimtm titumtTMSiintm pmwm ; ade6 quidem ut non PJRS SECUHSA. yj- verear dicere, hanc unicam fere fcaturiginem efie in- Hnitorum eorumque graviflimorum crrorum, quos in ratiociniis noftris circa res tum cognofcendas rum agcndas quotidie committimus. Quare merito fuo utiliflima ccufcnda eft Ars , CambiiumU dicta , qu-.c huic mentis noltrte defeftui medetur , docetque fic cnumerarc modos omnes poflibilcs, fecundum quos res plures permifceri , transponi vel conjungi invicem poflurit , ut certi fimus , nos nullum corum prattermi- iifle , qui inftituto noflro conducere valcnt. Quan- quam enim hoc negotii catenus fit confiderationis Mathcmaticx, quatcniis in fubducendo calculo tertni- natur; fi tamen ufum & neceflltatem fpccres, univer- falc prorfus eft & ita comparatum , ut finc illo ncc fa- pientia Philofophi , ncc Hiftorid exaflitudo, nec Mc- dici dexteritas,aut Politici prudentia confiflere queat. Argumento fit hoc unicum , quod omnis horum labor in tonjeEinnda , & omnis conjcdtura in trutinandis cau- farum complexionibus aut combinationibus verfatur. Unde quoque nonnulli eximii Viri , ac nominatim Schootenius , Leibnitius , Wallifius , Prcftetus , mate- riam hanc fibi trac-tandam fumpfere,nc quis exiftimet nova efle.htc omnia qua; prolaturi fumus ; tametfi quatdam non contemnenda de noflro adiecimus , in- primis demonftrationcm generalem & facilcm propric- tatis «umerorum figuratorum , cui csetcra pleraque in- nituntur,& quam nemo quod fciam ante nos dcdit eruitve. Cum itaque nondum plenum Artis iyftema. habcamus , tum vero ne illa quse habemus aliunde petere fit opus , vifum eft totam Doftiinam ab ovo ordiri ac nc quid indemonftratum relinquatur ex pri- mis fundamentis eruere ; quod tamcti brevitcr fiet & K fuc- 74 l^tRTIS CONjECTANDI fucchiclc ,nec nifi in quantum initituti noflri ratio exi- gcre videtur. Totam Trattaiioncm ad duo fumma capita rcferimus, quorum unum Pcrmutationum , al- terum Combinaiionum dotlrinam perlequitur ; cui accedit tertium, quod utrasque mixum contemplatur. Caput I. 'De TtrmutationibHS. \ Ermuutienei rerum voro Variationes , juxta quas leivati j eadem rerum muiiitudine otdo fitusquc intcr ipfis divtr- | (imode peimutarur. Iraque li qus-iaiur, quories nonnulla: res transponi vel per- mifceri invicem poflint, fic ut lemper aceipiantur oranes folo or- dine (iiuve mutato , dicentur tjusri omnes Permutationes icium illaium. Res iw.em petmutandar vcl omncs poifunt eiTe diverfar, vel aliquot earum csedem ; qus quidem per totidcm Alphabeti litcras fivc diveilas live easdem eommode defignabuntur, 1. Si rtt tmner fermuuni* Junt diverfx : Ciim numeros peimntationum in icbus pluribus iniri ncquelt, nifi idem prius in omnibus aliis numcro paucioribus torciper- tus babcarur , liquct in hic inquifiiione utcndum vii fynrfieticS, h. e. ordiendum nobis effe ab Iiypocheiibus omniuni piimis 5c lim- pliciffimis : Unius ici vel litcnt * , ima tanriim fum tio vcl politio eft. Duaium teium aut literarum t tk * , vel * prxcedic & * fc- cjuitiK, vel ptaxedente i fequiaw 4; unde duo ipfctum fiunt or- dinex ab & ta. Tres poni lirera: A X S S EC U n D A. 75. reliquje du* duobos, ui diximus, modis dilponi queunt:. fi i itt ptimum locum transfeatur , reliauaium dimum duplex itidem poreiit efle politio; quod & intclligendum , ubi rertia i primam fedem occupavecit. Unde tiium lilerarum in unn-crfiim tet dutc Ccu 6 exiliunt permutationes tbt, tti: t-it, in: tti,ii*. Similiter fi 4 extent litera t, i, t, d, earum unaqu*oue pri- mum obtincte locum poreft , inierea dum rres reliqure , ut nunc oAenfum,ter bis feu fernes otdinem variabuw: quare ciim orum, qute ptimo loco poni poflunt, fint quacuor, lcquirut omnes qua- tuor quatet tet bis, ftu quatei fcxics, hoc e(l, vicics qiiatQ fitum inter fe permutate pofle. Ob ondcm rjtionem sccedente 5" licera r inditui poflunc quinqutes coc viriationes , quot in cafii ptacsdenri , hoc efl , quin- quies 14., feii iio. Ec gcneraliter, datis quotcunque litcris, nu- meiua permutationum , quas fubitc pofluni o fponte mi- Uhde Regula pr» invtniendis emnibm permntttienAut rerum quit- cunqm ditarum. OMnes numeri ab unitate fc confequentes natura- li ordine ad datum ufque rerum numerum in- clufive ducantur tn le invtcem , prodiiflum manifefta- bit quafitum. Puti, li datus rerum numerus lit n , numerus rjejmutariomim etit t. 1.3. + .;. &c. ufque ad n ; vel etiam (quia unicas non mulciplirac) 1. j. 4. 5 r. Nota, punfhila numeris inrcr- jecta hic & nbique in fimili maretil cotitinuum numcroram in Ic duflum fignincsnt. Ejt. gr. fcptcm rcrum penrturationes func ». s.+.j.<.7 X 5040. Ratio pacet ei dietis , operario cx ad- juncia TabelU: - K * - ■ >.■««*■ J Rcwm, mmaUliuaim, 1 " - - i J - 3 _+ f ' 6 6 . 7 7 8 - 40J ^ ■ j £28800 j'6i88oo , ii - - 39916800 479001600 1 itcra * bis rcpetitur le fidum ad 60 fe COtfJ EC-tArfD I 1. Si rtrum ptTmatdndtTnni mbbhIU funt esicm : Qubd fi litcrtc una plureive reeuriane Istpiiis , hoc eft, fi in dato lerum nume. 10 aliqus rea fimilcs fint livc cadem; uc, fi dati fint Attici, ubi litcra * ta repctitur, numcrus peimutaciorium mul- to minor evadit : ad quem inveniendum cogitandum eft , qnod , fi. on divcrfc , putl , fi loco ttt 4u- 1« rcs fimiles, fecundum multitudincm luatn , fi plu- res fint quEf ftcpius rccurrant ; & quoticns exhibebit quarfitum. Ufuf Doetrinas Permut»rj'onimi inlignis e(l in definiendb nu- mero Anunmmicnm alicujus vocis : Ex. gt. Trauspafiriones o- mnes poflibiles lietraium in vocc Rtmt iunt i . i. 3 . 4 X :+ , ob + dilfetentM,litenj,pei iReg. in voce LafeUnt 30907*0; in voce Jtmfw/w^^XJoi^Oj ob 9 utrobique liceras , inter- ^ue illu ibi gemitnrm i Sc genunum «, hfc gcminum u 2c tri- plejt/.per t Keg k Huc pertthent verlu* nonmilli ob viriariontmr multirudinem. jVir» difli , quos inter eelebramur Lanfii , Saligeri , Bauhufli. Thonue Linlio hoc dulidlon debemus.- Ztx , RH, Grtx, Sei, Xfu , Jm , Ttw , S*!, Stl, (boni) lMX,Um: jlbi, M*ti,Sms,Ui, » , »;* , n. , J**, fcx, [nulaj cm, ■ K * 7 8 i^iRTIS CONjECTJJtDT cujus linguli verfus pet Rcg. pr. ob n monofyllaba ( diJTvIlabij vocibus btit flc t**l* J'* femper regioni affixis) Jalvi mecri Jege variari poJTiint 3901(1800 vicibus. Ec quanquam aliis contingac, ut plerseque variarioncs in merri leges arietcnt, nei non ut pteri- cjue Anagrammariimi lint non - lignificantes & batbari ; lcvi ta- men plerunque indulrril opus eft ad fecemendum urilw ab inuci-. libus, illocumque numcrum feorlim ineundum, ii aliquem in.'iil inquitcndis ordinem obferves. Quemadmodum cemere eJl rn he- xamerro a Bemh. muhufio Jefuiri LovanienG in laudcm Virginis Deipara conJrru£to : IW Titi f»nt itut , Ftrjf , iput fHer* tali ; quem dignum peculiari opcri duxenmt plurei Viri cclebres. E- rycius Puceanus in libello, qucm Thaumira Pietatis inieripfir, vanariones ejus uiilcs intcgris +S paginis cnumerac , easque nu- mcro fWIarum, quarum vulgi ioii reccnfcnrur , accommodat, omiilis fciupulofiiis illis , quat dicere videntur, tot fideri ccelo eJTe , quor Maris doces ; nam Mariae dores cJTe mulro plures, Eundem numerum 1011 tx Puteano repetit Gcrh. VoMius cap. 7. de Scienc Machcmar, Prelletus Gallus iu primi edirione Ele- mcnc. Mathemar. pag. 34,8. Prateo huic a$6 variatiotics attri- buit , Jed fadU rcvilione in alrcri edir. tom. pr. pag. ij). numa- tum earum dimidio ferc auflum ad 5176 extendit. Induftrii Aftorum Lipf Colleciores m. Jun. i6S6 , in «eenJione TraOatus Walliliani de.Algcbrl, numeruHi in ouaelHone (quem Auflor ipfe dcfinite non fuit aufus) ad i(8o dererminanr. Et ipfc poflmodum Wallilius in edir. Jatini operis fui Oxon. anno iSoj. imprelli pa- gin. +p+ , eundem ad jopri prolcrt. Sed omnes adhuc a vero de- neientcs, ut ilelu&m tot Viroium pol) adhibitas quoquc (ecundas curas in re levi perfpicaciam meriri miretis. Fafto etlirn exaroi- nc deprehendo , fxtum hunc Bauhulianum cxclufis ctiam fpon- daicis, admiJIis vern its qui cifuri delhruti funt, filvi metri Jege omnino cec millies tercenties ac duodecies variabilem elfe. At- prolixiuc de his agere tanti non inteielr, nec inllitutum noftrum • Typus . Digitizod byCoogll! P A RS SECU N D A. Typus Variationum Versus Bauhufiani : Tet Tibi fitnt datti , Virg» , qust fidtra iah. Quincam Rcgioncm Hexamccri occupac vel Siitrt , quam voctm excipit aut vox , nempe vel awo, iciurn vox Jiii inter ftxreliqms owuplt loeum vel | Stiimdiim , prsecedente voce nunc | Uinifjttt* , eique vel ' ~ f , eui cafui refpondent - - Variarione* i Digfaii vhfi, Tenuan , praKuntibas ' Unt mmafjUM & laut iifij&U, prinus tenenre vel pntt: 6 ) | UuuftStii, m, I ' , l''ffi ' 6 • 1 - Snm, I ■ . " ' DiffjUtbi , Dtlti , qnjm lequicUr 1 I sm : 6 } Otwiw tifyMn, nempe, Dmi fbgt, Kjt&TtS CONj.ECTAHHI t d 174 J Qunm, prsecedentibus j rtmt mv&BM, - - - « | Oumtmm0IM-tm StfyBtUrirgi, . ia, | uiu miMfilUbZ & dudm tUBjMi , - }6 I QtttHtWD , praemuTis | lYifw wmfylUbx ttm ml d$Ul, - - 48 J md m mm ffh Ui i m wM w t Rfjt mm 1 T 1 " | rum poftcrior F.tjo, - 18 J Scxtnm, ----- iao Dsrrf, unde totidein vanaciones, quat.in Grfi, iiempe fu|», una> rurfus totidem,.quoi ih eafo,-exceptis fc~ liinv iflis 60 vaiiationibus, ubi pdftrenu fylUbs in Vttgt correpta r cft. ; qurbus ~proui dcmtis ex Stmdm , primo rcl ■ UitafjM*, Tti: ', Diffjlbbt, yirgt : - • Mmefylldi ium DjfljMA, 14. ', uiukaDifljUMi (juaruin port. IVjS, ■ 8 QmWIOH, pra-euntibus . MwfftUbi tm-iwm-DifiUd*, - - 36 ', THbnt DiJfjMi t quuiun uhinu P&jS, ■ - 4 Cjiwwn, .... 48 H4--i44 1M /iffl/, vcl, MM, toticlcm - 144 $«et iti , toridem ; - « 144 PAXS SECVJfDJ. .'8, 3W, quam vocem fequitut vox , 6?1 Diijilibi «m , eaque vel | calt, voce £&m occupante locum aut , \hmmm, - V . . . , 20 I , 4 « J Terriiwi, pnmims vel [ | D*dm MiBfiWi, . . . , 6 | rmtaijdUk, - - - . .„ J S«i«m,p ra ei J ntibusD ui b UE MonoC&oniDHT. „ J e^munj pzc duibus MonoC totidcmq;. Di%a. 72 ■I 1 j tenente Jocum . I *'"»"»-■ 4 3 | StmiMM-, poft Diflyll.bam vocem, - . j6 | Jrrriim, pofl duas DilTyllabas, ■ . - 24. j Qwtsm, pcJl ttes Dilfyllabas, :J I tm fM % vel, Swa «t, (otidem - . _ ~ sl0 1 IWfwf, vel, Qgil w, totidem - .. , . ,. 0 UMfjMiKnl, Cquocafurate Ttfifempw habeturWrri,) neropevcj Stw , vocc sidtT'! locum poJljdentc jut j Pnmm: - - . - - 14 | lenoaij preced.-Auiw ««u^ff^t», . . ■ - intmDifiilUiii, 4. 1 fi*«ifl», ,1 : h 80 . . 80 I», totidetn quot in 8"«, toudent im jjri CAP. t^d&TIS CO NjECTANDI C A P. II. De CombinaUonibw , iis-qut primb tonfi- deratts fimpliater. COmbintiicnct rerum lunr Conjunttiones , juxa quas, « ditl rcium mulriradine nonnulla: eximuntur, interoue fe conjun- gunrat nullo otdinii fitusve ipfanim refpeibi hjbito» Idcitib cfim quasrirur, quories ex dato renun numero vel bi- nte , vel renw , vel quatema; &Ci aceipi poflinr , fic ut nunqmm omms esedem itt fumanrur fsepiis qulm femel , dicentnt' qusri omnes Combinariones dimfe icrum dararum. Numerus, feiundum quem tes data; conjunguntut, dicitur Esptmia Combinationis ; iti fl res binx fumuntur , Eiponcna etie i ; li tcrnEj J ; fi quatcma;, 4. Res vcrb fccunciim hos expo- ncntes jundue dicuntur Einirii, Tcritra, Qiuunum Scc Vel flni»- 11« , Tcniitnti , QtuariBnni &c. Bt conlbnanrcr crtam uhwbm veY WMitti quando res fiimuntur finguls; , Sc NuBUmi ciun mtlla pla- ne fumhur. Conjunftiones iplas nonnullt'vocjnt CmHiuiisnti , CmjMm- nn, con^uiioiui &c. quas omnes vulgi nnl voce nnliiMtinxm eompledii (olent, tamerli hxx vox (Iriflioti figtiificatu proprie non nlfi illas conjunfHones indigitare vidcatur, quibtts res binss invi- tcm jungunrur. Quamobcem atii generaliori voce CmfStmmm vcl Cmplexiiimm uti malunt ; alii magis appoltrt licMinc! vocant» ut Bc illa» fubintelligL poffint retum acieptiones , quibus ros fingu- 1,-c feorfim fumuntur, aur quibus etiatn nulla plane fumitut. Res autem incer (e combrnandar vel omncs polTunt eflt dr- vetfat, vel aliquot iplatum eatdem ; eatnue vel ita combinari de- bet1t,ut in nulli combinauoric res eadem fepiiis contineatur, quim ijila r^pcritnr irLCOW rcrum numero : vel fic, ur in eldem combi- natione rts eadam criam fiepiis recurrere y h. e. ut fecum ipsi quo. quc conibuwi poffic, Iterumquc quferi poteft numcrus combina- PASSSSCUNDA. ,*j tionum vd fecundiim omnes expor.emes conjunctim , vel feciindiHn fmgulos fcorfim. Atque infupcr circa unumqucmquc rionim com- binandi modorum plurea formari poiTunt qua^lioncs tt problenia- ta , c quibus illat tantiim delibabinius , qiue in fcquentibus alicui ufui fore iudicamus, J.. Si res emnes ctmbindni* Jknt divcrfi, irnjne mlla (tmhirwtitnt ttdtm rei bu eccurrtre debet , invt- nirt emnes Cembinationes fimplicittr fivt ficundim emnci txfsHtmes (onjnnUsm ; SVnto eombinanda: modis omnibus literae *, b, c,i,e Brc. Fiant tcc feries quot Jitcifc, hoc modoi In priml fcric ponatur fola In fecundi porunir b, nunc feoriim , nune junftim cum a, ut habcatur ab vcl bt. Eadem enim eonjunftio eft, qux b cum *, & ' cum b jungit, cum ordo non attendi fupponatut, In tertia coUocetur f , eaque primb fola, dein juncla, partitn cum i & b, ut fiant binioncs tt, bt; partim cum ipfb binionc 'i- , ut fiat tcinio abi. i. ad, bd. ti.abi. aci.bci.tbci. t.tt.bi.ce.it.abt.att. btt.tdt.bit.tit.altt.abdt.atit.btii.abtde, In quaita ponatur i, piimb foli, demde juncta Cum iingulic pracsdeniium literarum a, b, t, lingulisquc catum tum binariii ab, ac,bt, tum ranario tbt; ut fiant novi binioncs ad , i d, ci, tcmioncs abi, aid, bti, Bt quatcmio abtd. Similiter quintse fcriei agmen ducit literi t, quam primtj in- grediatur fo]a , dein junfla cum omnibus pricedentium feiietum eleflionibui. Eademque metriodo ptocedendum , fi pluies eflenc . L i datie '84 <^4RTIS CONjECTAXDI dsra: litera:. Qiia rarione fatrs manifcfium eft, daras Iitews in iflis; fericbus omnifjiiiin intcr fc junihs cflc , nullamque eaium ficri poiii i!ci"tioncm , qute non in uni liarum ferierum rcpctititur , fcd & nullam efls qu.c alicubi bis occurrat ; adeoqiie omncs una fsries fuppedirjturas omncs elcflioncs pofJibiks, quts circa daas litcras inllitut qucunt. Hatum igitur numerus initur facili , (i attcndarur quid in qu5- librt fempcr ferie una ampliiis invcniri dcbeac eletTio , quam in an- recedentibus omniiuis (iuciins (iiiit;l ; quoniam lirera,qua: illius ferici esput efl, ibidcm fcmcl ponirur fola, & pncterea una aflii- mit fecum omncs clettiones piitscdcnrium fcrierum. Hinc enim lcquitur , quia in piim i fcnc cll clcftio unica , forc in fecundS elc- ftiones duas, in tertii 4, in cuirri | , Si fic deinceps in progref. lionc geomcrrica dupla : quindoquidem progrclfionis dupls ab unitate hanc quoque narutam elTc conibr, uc fumma terminorum qaotlibet unitate aulla fcquentem rerminum exhibear. Quocirca /umrna eleftionum in feriebus omuibus ajqualis cft lumma; termi- norum toiidem progredionis dupla; ab uuiiate, hoc ed, per modo memoraram proprietatcm , ipfi tetmino fubfequcnti ejuidem pro- grembnis unirare muliato ; qui quidem teiminus fubfequens idcm eft cum produflo binarii toties politi Sc in fc dufli, quot ipfum iit progreltionc termini pra*edunr, hoe eft, quot funt feries , quaxum, elefliones quaeruntur, Unde talii exurgir Regula prt invcrtitndis emmbra elttficnilia rtrttr» datarum jccundkm tmnts cxpencnics ; A' producTto binarii toties pofiti & multiplicati in- fe, quot funt data rcs, auferatur unitas , reli- quum indicabit quiciitum., Hoc eft, pofico rctum datarum numeio n, numcrus omnium eleccionum fimpliciter, puti , omnium uniorjum, binionum, ter- nionum &e. erit ( r. ^ Hinc li nullionem feu elefhonem , qui ej: rebus ditis nnlk fumitur, quajque in quivis [cnur^mulritudine DigitizGd D/Googlc ■ PASSSECUNDJ, 85 tina femper cfl & unica, fimul comprehendas, (ict numcrus jffe t«: fincum uullione ipfbs quoqus uniones isicces, {juoium numcrusipli rerum numeto perpetuii tequatur, erit numerus binionum, t;mto- num, csreraiumque (omplcxionum i" — B ~t. Ex.gr. Septcm Planetarum CDnjLin£lioncs vel coniplicttioneN omts dii/stfj; iwv.i » 7 — ;l30 t COllS — 1 CO 117; unde Irdemas e- lcfliones 7, quibus linguli Maneta; fcotfimaccipiuntur.quiqLie pro- prii- non conjunflioncs ftd disjunflioncs Planctarum funr, rclinqiis- tLtnumerusomniiim eonjunflionum fiYiiTtc didtarum, qtribits Pl.inc- ta: vcl bini veltemi 8cc. vel denique lepteni junguntur, i r — 7 — 1 CO 1=0. Sic eriam duodecim, uti vocant, Rcgiftra fcu fiflularum ordines in organo pneumarico, quibus fonus mox fibilans mox tre- mebundus efficirur, aut aliter modificatur, variari polTunr. t" — r 20 40515 vicibus. Nota: Si quis examinet feries eombinarionum fupra in typo etpofitas, oblervabit, in quilibet lerie (fbli priml excepta, qase rniicum unionem * complectitur ) numerum eleftionum (eiuiidum eiponentes pares asquari numerO eleftionum fecundfcm impares; laltcm ciim td in aliquot ab initio leriebus veium deprehenderit, idemque qnoque in feric proxinie leqaente locum habeti contludet : namlirera, quae illius fcriei caput cft , jtintb. prteecdenrium. ferie- rum eleflionibus iis, quas impares exponentes habent, parium; &: iis vidlTim qus pares habcnt junfla, imparium exponenrium com- plcxiones emcir; adfcifrens verb primas letiei unioncm J, paris , !c ipfi pcr fe fola accepta imparis exptmenris eleftionem conlhtuit; unde & in hic fitie numerum hatum numero illarum aaquari con- flat, In omnibus igitur lcriebus fimul iumris numerus eleAionum fciundiim impres exponentes mimerum eleclicmum faundum pates unitate fiiperabir; aur fi his infuper nullionem accenfeas, aequabir. Quocirca cumnumerus omnium eleaionnm fimpliciter inclulb nul- iione ofletilus fit 1 ■ erit ejus fimiflis five poteJtas hinarii prosimc- minon^^numerus elcttionum ficundum. Iblosimparei;&,cIeni- torurfumnullione, i" — — 1 numemseJeaianuni (ecuridiim folos pares ccponsntts, Idem quooue dOTMuTabinu: infil in.CoiolL Cip.4. Li. CAPJ. Digiiizcdb/Cooglc tO i^RTIS CONj BCTANDI CAP. III. De Combinationibm ficundum fngulos ex- poncntes feorjtm ; ubi de bhtmtru l~tgu- ratis, eorumque proprietattbus agttur. "FJX typo Combinationum pracedentis capitis matiileftum fit, lit*. XZiiwa qua; cujuslibet feriei caput ell, adjunilam unionibus fetie- rum ptgecedentium elficere fux feiiei biniones, adjunitam binioni- faus efficere temiones. temionibus 4.° nt ? , & fic poiib : adeoque nu- sneium btnionum in quivis feiie asquari fumme unionum in omni- mcium combinauonum I rem in jTerie quicunque k , pnecedentium letietum feoindum exponenrem Ui to. Sequituthinc, quod Unioncs, quia in fingulis feriebus reperiuntur finguli , omnes inteife conllituunt fcrietn i. i.i. i.i. Scc feu, feriem unitatum. Biniones in piimi feiic nulli funt,in fecundi i, in terrii i + i 30», in 4" i + i + i00 J, in 5« 1 + 1 + 1 + 1X46:0. pioinde omnes biniones intct fe conftituunc fciiem 0. 1 . i. 3 . 4. &c. hoc eli, feiiem numeiotum Aiithmetice piOEtcilionalium five.Lateia- iiuin. Tcmiones in primi & fccundi ferie nulli funt, in 1 , in 4" 1 + sXJ, in i'ii + i + }X6,tn 6l o| of o | o L_ol o| o| ol o| o 61 il f j 7U1I FF1 Tfl 7 •I . S.lhl 8U8 ffrl 70I s8 1 81 rl o| 10.II i| 9I.S 84-!ii4|ii6I 8+1 }6\ °| 1 I20llfo|2flblo|l»l 4fl IO o| ' ) o| o| < ■Il'l"lff|i6fl»0[4^l46^l;i°l^flfi-|" □igilized byGoogle $8 utXTIS CONjECTANDl ■qnouGjue volueiic cum deoifum tum dcxtrorfum conrinuabit, Nii- meii barbaii in finiftro Tabula; maiginc adfcripti numeranc eolu- mnas ttanfvcifas, & hmul rcrurn combinandamm multitudincm : nutneri veto Romaui in fuprcmo matginc confpicuinumciant Colu- mnas vcrticalcs & una exponences coinbinacianum innuunr. Co- lumLiitum venicalium primacll feiies Manadum ftu unicaium ,Ie- cunda feties numetoram mturslium feu htecalium ab utii eypba incipicns, tcrtia feries Tnr-onaliLim incipiens i cyphris dtiabus, ^."Pjiamidalium incipicni i tribus, 5" Tiianguli-nyiamidalium iincipieits.i + ^cypbris; 8c iic deinceps, Hiber luec Tabula pioprietatts plani eximias & admirandas; prajteiquam enim qttod Combtnat ionum my Ikr ium in illa lateie jam oitcndimus, notum eflinterioris Ceomecrix peritis , prjecipua eciam tottus ruliqua: Maihefeas arcana inibi delicefcere. Nos proprietaram aliquas hic dclibabimus, & qiiidem dclibabimus rantiim, nullius nili primaria: illius, qua: propoGto noibro infervit demonftratioircm. accuratiorem aUatuii ,ciim cactra; vel exhac oflcndi poilinc, vel ex ipsi TabcIIa:^im^one& numcrortim fij^arcu^^ Mirificx pTBpricuiei Tahdt Combiammmnt^ 1, Columnamm |venicalium fecunda inetpit abuni cyphtl, tenia icyphris duabus, ^ a '; flc generalirer columna < a cy- 2. Columnanrm verticaliumicrmint primi fignificacivi a fini- Ati dextrorfumoblique defcendendo ordineuimci reddunt iplos rei- ntinos piinia; ccUiimns: verticalis, fecundi /ccundx , teitti tcitia:, & itadeinceps: puta, pcimi conftiiuunt feriem mopadum, fccundi lacerilium, teitii trigonaliurn Stc j. Sccundus ab unitate terminus r)jr frj J) .» Cwi 6) 4C/=J lo) 10 (j if) ■» C4 Non diificulter fuec proprittai,, Ti opus foret, deduci polfit exfe- 11. Sumnu terminorum quotcunque (eriei vertridii tujuiii- bet 1 fuis refpefityi cyphris incipientis ad fammm- ten nin omm- w ridem ultimo .■cqualium eom habet lationem , ouam hiberunitu td lareralium. ab uni cyphri fericm: aufpicantium eft-«i aggregaium numerarufii rotidcm maitimo wium ceu ulrimo aspulium, ut 1 ad li.irigonaliumi Cjrphtjs duabus, utii.ad j, pyiaruidalium a irihus,. 1 ad 4. &c. Idem c.uoquc valttdc rationc, quamhibet (iimma. juslibet ab uniute incipienris ad fummtttl tori- Duiizcd b, Gu P A RS SECUKD A. I: ; _f.6o:. i 70.180:: D hsec pncipua.fit, ei- demquefeaponoflco p-imaii() infttviat, vidmliic dlexponert m_ thodum , quS ultm proprietati» iiJJnf- ahibeo, qu* liniiil 8_-cien- tincjfii, & fJ.opofi.um ut.ive.falitcr condudac Quem in fincm ft> 1. Intm»; Sumrna tcrminorum qnotlibtt prima. f.riciidfum- iriam totideoi cerminonim uicimo -cquaiium fationem habet Kqtuli-* tatis, l.vcutiadi, tctminotum quodibct, fumma coc uniiatum, h, e. tot terminorum 1. Laimui Irt qualibet lecie afuis refpe&ivi cyphris incipien- tc, fiquotaeft ip& inter feries, totabinitio ruimntuttcnnini, erit Itnrri , ut 1 ad fcriei numemm. m cyphraiuo- quameunque leriein aufpic.n- ciiei numeio , per prc.pt. 1, ha igitur fl ac- , quip_o-ameejT.-_rMftquiii_r, dlur__tM, pet M • propr. 92 i^fRTIS CO ,Y J ECTAN D I propr. i. unde teiminorum ajigrcg.itum aiquatur unititi, & aggre. gatumtoridem ultimo sequilium ipfi feiki numeroj quareconllat. f. lemma: In quacunque numerorum ferie, fi fumma fermi- norum ab initio fumrorum ad fummam toridem ultimo aequaliuin peipetubeandem hibear tationcm , quotcunque accipianrur tcrmini, putaui t ad R, icaut lumma rerminorum ajquerur iummx- toridcm ulrimo stqualium divifse pcr R; erii numeius rcrminomm afium- mm pcnulrimus id ultimum. rum. Sumti fintab initio teimini quotKbet A. B. C. D. quorum numerus iiiN, penullimusC, & uliimus D. E(l utique A+B + C X A + B + C + D— D,hocert,perhyporh. !^^-x ^f^-D- Binque-multiplicando, CinN— • IX D in N — Din R CO D m N— R, adeoq; N — R. N— i ; : C!D. Quod eratdemonflrandurn. 4, Lmnu; In Tabula numcforam figuiaiorum ii duasfinico- lumnse verticalescontigux, in qusium priore quoclibetab initiotcr- mini ad cotidem ultimo eorum ajquales habeant conlbntcm ratio- nem ut 1 adr; habceot ver» in pofleriore teimlni iliquot ab initio fumti ad totidem fumroium ulcimo fequales rationem ut i ad r+i: habebicquoque addico lequenti cerrrtino, lumma omnium termino- nim unacum adjetto ad tot teiminos idje&o a^uales, cpot funtcum Dim. Samti Gnt inpolteriore cotumnS termmi E. F. G. H, quoe proximc fequitur I; aique fumantui in columni iiniTiediare prace- dente termrni totidem A. B. C D; fumcorum vero uiiinque nume- ruslit». Eiirr H X ( cx num. figurat. genefi perpropr. 4.) r in A + B+ C X (per hyp.) n — 1 ill C 00 ( peclemmi j ) n — 1 in D; quareii— r.H::r.D:: (hypoth.) ». A+ B+C+D : : (exrlum. lig. geneli pet pcopr, 4 ) n . I. Undc n — r in I X " H X ( hypoth.) r + iinE + F+C + H; adcoque n — r.r+t :: E+F + G+H. 'I,&componendo » + 1. r+iti E + F + G+H+>I. I,hoe tlC,E + F + G + H+I.n + tmI::i.r+r. C^E . D . Cum olim borum Fiatrl copiam fccilTcm, aninudvcitic ille polie P A Jt S SECGN O A. Lemmi: Irc Tab. num. fig. fi (iimma lerminnrum ab mirro fcrici rancalis cujufris ad mmmam toiidem maitimo aiqujlium ubircue rarionem habeat ut i adr, habebit iumma terminorum fcrici prosioie fequentis ad lummam totidem maximo iqualium lationcmut i ad _ Dtm: Sintfciieafequentes/.J.i.J.&c. Sio. (.*.>. &c. nu- J - ■ »1 rnerus rerminorum prioris fir porterioris b - ■ g\ ii + i. Eltprimo ,+,+ /+;+;,+;, ' " " *! + o X fex hyp. & genefi num. fig. per I " '}" +'* MOW; *V+"~;-' }-— ^^i — > - ■ ;j ■i M Vv""^ x t+.-.-U-;.— 4 i-M ^(er-n.num. fig ) •f-f-l.-i-b -t Erf^ra + r.f+7+r+T +l X iig— f — — ; faOaque tramlatione comrenienci * + 1 . (•+< + '+'' +i Xnj-rf: dividatui utrinq, pcrr + i, erit o+i+i+*+i> X ^jqr^', additoque ftu- bebitur ,+, + / + 1+1+^01^+1»^ hoc tfi, ,<+* + '+< + /> + ?■ •+i.»;.i.r+i. Q.E.D. Se- quiiuinunc Prtptjliia ftmipitki In TaKnum. fig. fumma retmino- rum quotliber k fiiis refpeilive cyphnt incipiaitium ad fummajm tc- ridem ultimo sequalium , item (timma terminorum quorvis incipi- entium a!> unicaread fummam cotidem uftimum Icquenriiecjnalium, in feiie primi feu monadum eft uc 1 ad 1, in ferie fecundS ftu late. raliumuc 1 ad 1; in tcrtiiieu ttigonaJium uc 1 adj, in 4" fcu pyra* ■nidalium ut 1 att 4 , Sc generaliier in fcric quitunque ut 1 ad ilhus icciei numeium. Drju. L Deprimi ferie eonHatexprimo lemmate: de iecun- di, rertia, +"&c. i rcliquis. Nam quialumma lerminorum quot> libet ad- lummam cocidem ultimo icquaiium in primi ietie eit ttri ad ij erit vi hcjfum lcmmjtum io a d3 ut iacti+i X »> & q uia "* j>4 t^t&TIS CONJ ECTAKD I i30- ! P-+/ii fed/i (furarai omnitim uniutum) cfl n; quaie fumma omnium n fiu/it X -; t- = X Porro cnm terminus tertia? columni indefituti icceprus pei idem «wiIeQ. ftt *^^ "~* X "~[" + * ) St fumttuomnium tcr- mmcmim ( hoc cft, omnium * "~';*~' X "-LZ g ; erit /""-.^+J liye/-j--/-I B +/i x %^ '■ , fl t /"i^x "'~'r + " + /l"-^ l i Cfwmo- do often&) + &fiXn: unde his fubfumtisfic/i-x -— 1~±*L + J"±i2 — „x|nl+ JM+ r ' i B,ejusq;dupitin» fm (fumma ejuadrato rum ex omnibujnj X }» , +|nii + J«. Rurfus quia rcrminui b 4.'« columna; ell "~|' , ~*-*~ J f x ' X*M P J R S S E C U NIX A, - 97 CO erit nciqne 7— — &yr _J-*_; f hcx ^ />' — flw+ZV»— /1 00 " 4 -"H' . 'r~? , * i indeoue />S GO ^ - '"' jr^— — ft*-~f*j >'+ {>• Etquoniam pcrmodo irt- vcnca/«» X inJ+^Bi»+ ■» ; necnon TV» fi « yfn X fiw+J.!», 8t/i CC «; hinc faftj hoiuin fubfticuiione emeiget /^n' 00 " 4 ~;° !. + "r . t i'+i«» + |(m + £« — }i»w— fi«+»30 1 ;|n 4 + ,>' + 4""' ejusque proin fcxtuplum /«' {fummacubo- rum) X -|«* -+-!«+ jn«. Acuue ilc pono ad albores gradarira poteftatespergere, lcvique negocio fequcnrem adon_e Jjiercuiuim Sumtnx HttjfMHm. j» x f««+f»; , /™ x *«» + i ». /»» X 4»* +f«' + *M. /»*oo|»' +i»*+I» J *- r V x K +t* l+l * - r* 6 x 4 /■' _ jo* Xt^» ,0 +£"* + j" 8 5*i— f 5 «- ¥-t-t n " , ^>qoA* u +f* w + |«*— '!■'*+ i* 1 *— *»' *+; Qjiinimb quilegem progreflionis inibi atrentius infpexeiit, cundem eiiarn continuare potcric sblq; his latinciniorum ambagibns : Sumti enim ( po potefratis cujuslibet «ponenre, nt_rnn_omniumn'fcu f„c x f 4 ;i n*+> + _*+ i A "'~' + - 'i7 , K T* Bb ' -!+ JV x K +i» s +/****—_»«>. /«* x +■" + *— t ^ * +iV- yft' x i» ! +i«'+-A« 6 *— il«- , * + i 1 i»«- /»* x i»' + _■»* + >**— 7>»' * + ?»' *— jV». fi» x^» ,0 +i»* + i" a *— ft» 6 # + £»" *— J . . .111 I.IIX U J, _» J. J . -1 -A- — nl Dn'-7 . ■ . . —icadeinceps, exponentem potellatis ipfius «con- tinue minuendo binario, tjuoulque perveniacur ad »vel™. Licem capitales A,B,C,D8(t, ordine denotant coeflicieiices uitimo- tum teiminonun pro fku , fn" , /ft* > /«« &c . nempe A X } > B N X- f~, p 8 u(!t;j conJectakdi 30 - t| t C X vi > D X-?! . Sunt autem hi coemcientes itacom. parati, ut iinguTi cum caiteris fiii ordinis coclTicientibus complcce debcsnt uncuiem ; licD valcte diximus - =J , quia g + ! + ;— -, : T + * (+D)- j-J 30 1. Huius htcrculi beneficio intca fcmi-quadran- cem hora; reperi, qubd poteflatcs decimx five quadrato- furlblida mille pnmoium numcrorum ab unitateinfiimmam collefta efficiunt 5 140^3:^14141^14^41^1+1 514.141^00. Equibusapparet,quam inotiliacenfcndi lit opera I/maclis Bul- tialdi, quamconfcribendo tam fpilTo volumini Arithmetica: fiic In- tinitoram impendit, ubi nihil pr.vlritit aliud, quim ut primarum cantum fex poccAatum fijmmas ( parrem cjui quod unid nos con- fccuti fumus pagina ) immcnfo labore demonllmas exhiberet. Antequam caput huc finiamus , paucis adhuc indicare lubet , quomodo fuppofitis iis, qus deferiebus figuratis oftenfa funt.pof- lint qurevis etiam alia; feries figuratarum aualog* (qus fcil. duTo rcntiasfuas primas, feaindas, rertias &c. asqualeshabent.adeoque cxconcinua additionctccminomm alicujus ferici «qualium generan- cur) ad homologas figuratas rcduci, ac proinde fummari, vel po- r-- f-tjej qu^vis^qualium o,ex x hujus addicione (eries B, & ic feries A , fumtis ad stbitrium primis fe- Vocabitut feries A figuiataiuin anaJoga, m B t fecunda» feriem C > D c B A. •4 t 4 < + i • + < 4+ h 4 t +xi *+li+ d „ + ii+ c 4 t+td * + JC+ %A _ + ji+ }t+ d 4 c+4* f + 4'+ 6d 4+4*+ 6(+ 4- 4 .+ trf i+ft+IO- 4 + r i-f-,o-+ioJ &CC. Er quo- niam apparet,le- riem A compoui ex feriebut uni- feorfim duftis, quarumque te diCbhabcntuX] ipnus fAXS SECUNDA. 50 — loque hine feriei A pofljemum terminum & fummam termino- tum obiineii pofle eonllat ; niminim (i numerus tcrminoru— voce- tin n , etit ultimus ictminus faiei A CO ' 4- n — i . * -f- " — J (-4- ° | — '^j & fumma omnium teimino- rura 30 i» -f- B "7)''°~ - l+ m '*~~ '~ J'~' -i. C A P U T IV. JnvenirenumerumCombinationum (icundum fmgulos expontntes jeorj/m; ubi Jimut o- fienditur , in quot combinationibttf una plitresve res prJjcripu conjunclim •uet di- vifivt reperiantur. EX cap. prac. conftat, numcrum combinationum fecundiim s uemcunque exponcntem aaiuari aggrt S ito refpeai- vse rerieinumcroium Fguraroium, idtot term inos contmuati, quoc fuerint eombinanda: res, Quare ciim ibidem fit ofienfum, pofiro numero rerminorum n fiimmam ieiiei cujusvis t efie *-*~ 1 • - '. • : J . ~'" f * fiquitur , eandcm hancqain- titatem exprimcie quoqnc numetum combinationum , fumtis tt pra multmidine rerum com binandarum , & ( pio exponeritecombinatio- Patet iatcni, quantitatem iftam defignari per geminim pro- giefitonetn arithmeticam , unam i ntimei» reium deJcendemem , afcendentem ab unirarealieiam, cjuarum communis exeeflVs eft u- nitas , Bf, utraque tot terminoram , ouot unitates habet combina- lionis esponens i; quippe eiim in urrique differentia primi 8c ul- timitermini iit c— >i, Undc talis emergic Digiiized b/Coogle 100 KjiRTIS CojECTANDI Regula " pro iavtnienda 'Cdmbiatlhmbm ficutti'um ddtum expinentem: T71ant dua: ProgrefTiones Arithmerica:, una defceti- X. dcns a numero rerum combinandarum , altera af- ccndens ab uuitate.quarum communis diffcrentia fit unitas^, & urraqtK: tot terminorum, quot unitates ha- bet combinationis exponcns: tum fa^tum ex duclu tcrminorum prioris progrcllionis dividatur per faeturn cx duftu terminorum poltcrioris. Quotiens crit qua:- fita combinationum, qua: fecundum datum cxponen- tem infiituipofTunt, multitudo. ' '• Ita a. gr. ac 10 diveifis rebus fumi pofTunt oiiarernarii ■°.P.8.7 x ?Q4° aj 1.1.3.4. i + Nora: Si plufcularres ad combiriandum fint propolin , pra^ feitim fecundum exponentem itidem majufculum ; ut fi propoliium litinquirere, quotiea ex rcbus cenium vicena: poflblt accipi , fuppu- rario fecundum regulam inftituenda peio,uam prolixa & tadiofa e- vadeiet, exciefceritt produfto mulriplicationis ad / r o ufouc notaj. Qyaie rum , ur tjiwfitum compendio coiifequamur, poterimus ler- miuos progrellionum ante mulriplicationem pei commmresdivifotei tolierc, hacrarione: ^eo.?9.oS.07^^.PT-g4-p;.pi.^^^E9 -S E.S7. Si;.gi.S 4.S3.gi.Si i.±. i .$.f.>>.*.*.'>.\o,**.*±.*i.*i.?.itA?A>>. Dividoutninn|;fiaftionis ttrminumpero. n 30 cp, cerS. it ODp*, perr. i^X 91 ,pero\ 14. tr -gjy, per j. 17 X' fi<, 8: ptr 1. J.IJ 00 90, delcndo numcros alieroscx numei.itrire, cx dmominatore ake- ros, ur ftaflio ad minores termiiios tcdutta fitlisc : ieo.. l 8.97.9 f . 94.9;.92.8 ! ).h8 .S7. SC.g?.Si.Bi Digiiizcd tiyGoogle J> A H S S ECU N D A. 101 Deindedivido utrinqueperioo, delendo fuperius 150 , &fcribendo infcrius 1 locoio.ioOO loo; irerum divido pei S> fcribcndo lupe- rius 11 loco 83, infcrius delendo modi aicripra 1. 4 X !: pcnro quia $ . ip X pj , deleo infra ip, fupra locopj fcribo 5: divido u- trinque perp , iciibendo fuperiusp loco Si, & iufcrius 1 Joco ig : divido per 4, potiendo fupcrius 13 loco pi, inferitis 4 loco irl: tan- dem divido ttr pcr 1, fubftitucndo fupeiius 41. 43 & 47 loco S:, Si & 9+1 inferius delcndo omnia. Sic eiit rcduSa icries adhos tcr- minos.pS > ' * B(c. qui juxra regulam fiint numeri binionum, temio- num, quarernionum , quinionum, (enionum {fcc, Uiideciimpiio rum faflorum \. f . J linguli fint majorcs unirate , reliqui * . £ &c. unirate minores, fequitur, fucccfliva produfta ex iflis failo- ribus, hoceft, nunieros combinationum aliquoufque continui cret ccre, 8c poflmodutn iterum decrefcere dcbere. Qjjod verb crcfcant, donee expDntns combinarionis dimidium remm numcrum attingit, indeliquet, quod frafiionum iftarum f.T.^.J.Scc. (exquaium continuo dudtu numeri combinarionum refulrant, quaiumque pii- mus numeraror pc-rpetuo rcrum numerum, denominator primus uni- ratem iEquit) termini fuperiores Sc inferiores pro unoquoque fe- quentiumejtponcntium binario fibipropiorts fiunt ( illt* unitatis de* ciementum , his incremcntum paflis ) proindeque k mutub aAequun- turin tot terminis, quor indicar femiUis primi numeiaroris livc di- midius terum datarummimemi; pollquos tciminosipfidenomiua- torcsfuis viciflim numeutoribus majores fiunt, 6c abiis majoiifub- inde intcrvallo recedunt. Cer, 2. Duo exponmtes, qui fimd componunt ipfum rcrum numcrum {qum ptrMsi vocabimusj combinationes liabcnt sque mulcas. Sic in tebul oflo tot Kabcntui feptcnarii quot unitarcs, toc lenarii quot binarii,& tot quinarii quot temaiii, proprer JX7+I X6+1X5+!. Hucrererpropr.oo:7Tab.num.lig, Rarioe- videns : Quoties enim cx rebus oflo ex, gr. binse accipiunrur totiea utiquc alia: lcns relinquuntur: cigo totiesquoque e converlb Cenx polfunt accipi , fumtis nimirum iis qux telinquebantur antea &reli- ftisquiefiimebantur. Idemex prsfciipco regulse fic evincirur : Juiw ratori 8c denominjcori faftorcs progrellivi mjuc-multi, quoad ad- jedtorum ultimus in denominatorc primo adjccloium in numeratorc ajquetur, ftil. s j fic faftum ex adjcflii aMjuatur Unitati, nu- meraroribus & dcnominatoribus inverfo ordine fc muruo dcftru- entibus j iplumque ideo ptoduftum intcgrum ' -- ^ - * • '' ' ' l nondif- ' ■ " ' ' fet a r AJt S SECUNDA. 10; feit i numero binariorum : patet autem &d!e, proJuftum illact indigitare numerum fcnarioram, feu eombinationum quarum expo- nens unl cum binario datum lerum numerum eomplcr; ouandoqui- dcm primus adjeftorum in numeratore [qui pcr hyp. poftremoail- jectorum in]denominarore, h.e.iplieombinarionisexponentijequitur) i primo omnium (eu iplb lerum numeto tot unitatibus dinetr, quoc ipliim alii pisccdun t , hoc cfi , quot unitates habet exponens com- binaironum, quaram] numeram pnecedcmcs frilorcs p^inlinuibant, ai. }. Exponens aequalis fimiiil numcri rctum, li datui rc- tum numerai eftpaij autduo exponemes contigui quorum fumma eonftituit teium numerum, li hic eft impit , fuppeditant maximum numerum combinationum. FJuit ex ptiecedd Coroilariii. Namex. gr. in rebns oflo nuroeri lepreniriorum & uniutum, lenarioium & binatiorum, qiiiimiorum fit temarioram sequanrur. pet l. Coioll. Cum eigb pluto dcntur quaremarii, quim teinarii, binariivelu- nirates per r.Coi. eriam plurescnini quJtemarii, quam combinitio- ncs fecundum ullum ilium exponentem. Similitcr in rebus novem turioram Sc temjrionim, quinariorum & quatemariorum lequan- tui pei i. Col. Cum igitur quinarii & quaicrnarii qucud liios expo- ncntes (int medio mimeri rerum proximi, patet «orundem numeros Ctr. +. Numeruc combinationum leram quorctmque fecon- dnmexponenttm quemlibet ejusve parattelum a>qustut numero pcr- mutationnm lerum totidem, quas duflm cantfim fint generum ta- lesque ut rei ejusdem generis numcro conveniant eum exponentibus paiallelis combinationum ; puti, tot funt, mnarii vel quatemarii, in rebus 7 , quot permutitione» rctum totidem , ii n« ip&rum fune juxta regulam 00 \~\ 00 \'\ ' ' 30 numcr0 peimut::ia- num dicUium pet Reg. 1. Cap. I hujus . Ctr e. In qoolibet rerum numera, multitudo combinitio- ■umlccundum datum expoiicntem aquatui lumm* combinationuni 104 x^/STIS CO NjECTANDI ftcundum exponencem ancwedencem 8£datumii) numeiorerum pra> ccdcnri; ex gr, cot fhnt quatcmiones iniebus decem, quot temio- ncs 6: quatcrniones iimul in rebus novem. Njmque per icguhm numcius quacemionum iu tcbusdeecm X '"(^"ff" X ;".'^ " * x *7r:rv + rrr^ 30 Hrrl+rrH 30num "° quw™ 1 '*- num pius numeioteinionum in rebus novem. Aliter iu: Una de- cem reium dacarum vocecut A j imiiifelcum, totdari pratrise qua- iiirnitios in quibus A non tepcritui, quot quatcinarii cx icliquis ndvcm pollunt accipi ; tot vcrbcuc alios in quibnsreperiiur A, quoc cemioncs comprehenduntui in novem cfljcens, liquidem lingulis iftis tecnionibus adjefcum ipfum A toiidem qtutemioncs entcit, quos o- snncs A ingreditut ex conlccuft. Quare ciim qiiJtecniones iUi m quibus repecitur A, & inquibus non tepctitut, exhauriant omnes qujtcmiones pombiles cx daris rebus accipiendos, conftac ptopofi- cum. Conf. propr. 4 & f Tab. num, 6g. Cer. 6. Numcms combinationum fecundiim omnes csponcri- tes pares ( inclufo nullione) sequacuc numero combinacionum fccun- combinarinnum (impliciter (inelufo quoquenullione ) h. e. cumifte in rehusn (ic 1* pel Reg. cap. i . urervis illocum crit i° — ' . Oemon- liratuni habetur ibidcm ad ealcem difti capitis, fed idem quoque ex pra;ced. Coioll. lic dcducitut : In rcbus ex. gr. novem eli unus no- venarius , ficut in itbae decem umu denariut, deindc utfobique ell unus nullio, ac pneteiea tot tunr unicates & binarii iimul in rebus novem, quat foli binaiii in rebus dccem; lotibi tematii Bc quatci- narii fimui, quot hic foli quatematii; tot quinaiii Bt faiarii ibi, quothic fenarii; tot denique feptenarii & oilonarii ibi, quat foii o£konaiii hic, pcr piirced' Cotoll. j. qujre numctus. omnium fimpli- citcicombinaiionum rerumuovem sequaturnumero combinationum rcrum dcccm fccundiim exponcnres pires. Rurfus, pu idcm Coroll, tot h.ibentuc in ichus novem nulliaiics & unititcs fimu! , quot uni- Mtet tantiim in rcbus deccm ; tet ibi binarii & cemnii limul, Cot miatetnacii Stquiiiarii, torfcmiii & fepceitarii, tot dcnique oilona- ni 6i novenarii, quot hic feotlim ternarii, quot quinatii, quot fe- PARSSECUNDA. ■ 10; fcptenarii 6c quoc novcnarii : quocirca numcrus omnfum fimplrci ter combinationum renlm novcm sequacur eciam numero corobi nationum reium deccm fLtimdiim exponentes impares, Eigo nu mcri combinationum lecum decem fecundum e*ponentes pares 81 fecundtim impares inter le aq«sri:ur. Ecce rem in fjnopfi: ExptntBtei Cimbimti, o + n + iv + vi + vnr t- Ili + IV + V + VI + VII + VIII + IX + m + v + vn + i Supetfunr nobis hlc Joci nonnuila quseftiones enodanite , quae cicca combinacionum maceriam formari pofliint, fuumque aliquan- do ufum habent ; ut, cum hidagindum proponitur, in quot com- binarionibus una pluresve res impeiats five conjunflim five dfvifim leperiantur. Ejufinodi quiftiones cfim in infinkum mulciplicari poflint, omncs ad unum genus, Pioblcmatis rcduccrc cotisbimur, quod univerfiucer fic enuneiamui : Daeo numero terum combinan- darum Sc cm x aliquor dcf"gnaris tebus nonnulls, qux & ipfie pcxlccipcx Sc dctcrminai.t fuic, exclulis cxreris rcperiantur; purl, fi ex numero rerum omnium n, combinatatum (ecum invicem Is- cundiim exponentem t, delignentur aliqua; A , B, C, D, E, qin- rum numerus (it m, five majoc five minor exponente t, & quajra... rui in quor combinationibus dclignaiarum nonnuJla: A, B, C, quamm numerus fic b, una junfla; reperiancuc cxclufur cietecis D Bc E. Dico, Pcoblcmacis gcneralicer fic concepti folutioncm non mi- nus promptam efle, ac Ipecialis cujusvis cafusi Bc numcrum com- binationum quas cecipiunt ces » — m faundiim exponentem ( — i flim quslico fatisfacere. Nam quia riumerus reium combinatacum e(l ", & defignararum cx illis m, erit eicempiis dirfi^natis reliqua- rum numetus n — m, quisfi combinesmccr fcfccuniium exponen- Digitizcd byGoogle lo6 <^ARrSS COjECtANDI tem c — *, habcbis novis eombinaciones, in quibus nulla deligtM- tarum reperitur; quare ii illaram lingulis adjungis pr_fcriptis A , B, C, quarum numerus ponitur b, fiet tum utitjne comhinsiionum exponens i, ipfe ver6 eombinationes lingnls comprehendcntex de- fignaris lolas A, B, C, ftdulis reliquis, quod imperatum fuit. Qnbd II numems b, eatum ex deligiutis, quae combinationes opca- tasingredi debent, litquidem dctciminacus , ipfe veri res non linr dcteiminatx, Icd quomodoubet ex difignatis accipiends ; paiet, numeium combimtionum hinc torics mulciplicari , quotiej exde- lignatis m rcbus diveife i res eligi pofliinc, nempe per regulam. *+l „:_:_,,„. fi- „, „,„, ,,„_„„., „-,(,: ti quajlicus lit - Nota, lin — m <.(—(, nulla inflitui porell cl qua: prafcriptam conditionem habeat. Sedhaec ad notuiullos fpc- ciales cafus tf~"-' Quaaitur piirno, in quot combinarionibia reperiarar dira quae- libetresf Quia hic defignafur res unica,eriCNi & * 00 1, adeoque ...... ... ^.^^, CO numcro combinacionum quslico, qui quidem adnumerum omniu combinationiim * "~' [ '"~ 1 / , ~'" - fehabetuc t ad », cjtpoi.ens icil. contbimcionis ad numeium retum con.bii.aF_.rum, uti conllat, li utraque fra__io dividacur pei h — i.b — i.b — j„,,b — e + i, & multiplicetur pet i.i.j. + ....(. 1. Sunto jam delignata. rei dua. A & B, & definiendus frc combinationum numeius, in quibus repeiitui A ablque B. Quia hic jb CO 1, & i X t,eritnitmerus qu_litus cujus pioinde duplum, numeium combii bus alteiutia iplaium A & B abfque alre }. Porri li quscatut, in quot ci Digiiizcd by GoOgle ! PARS SECUNDA. 107 ambtE A & B; liet, proptei »8:lx 1, optitus namemi 4 , Sin quitrarur , iti nuoc combinarionibus neutra defigni- raium reperiatur, invenicur,, ob m 03 1 &; b CO 0, quxfita com- binationum mulritudo --^'-^ J J * ~ * ^ ' ' ' ■ j. Ita etiam fi remm dcfignataiu— tres fint, Scquiftio fit, quot combinationes ingrediantur du~ A & B abfque tertij C; quo tjiu m valei iⅈ quzlitus combinatiatium numerui invenitut "~| ' ' ' Etquiiexttibus ter binae polTuntac- cipi , tiiplum illius numerum combinatiotium exhibebit , quis rluas delignararum quaKunque exdusi lertia ingrediuotur . Atque it» poiii in aliis. n figuratorum naturi, ufuque irifpcr n finc Propof.7 Part. I faili m pono hk oftmderimus, quomodo expeaationes duorum eollufo- mm indefinite ad quotns dtficientei lufus in fymho-lis exhiberi pof- lint, quod olim quoque Pafcalium oceupavit; Duo autem prasfto liintmodi, quibus id confequi licet: trnus recondirior, exconfbu- clioneTabellasibideminfertai & confideratione progrelIionis,qmm numcii illius inrer fi fervani, petitus ; quem nunquam feailcqui po- tuiffe fcribit Pafcalius in epiiloli ad Feimaiium, ut legeie eft in hu- jus opctibus Tolof- impreflis A. 1639, p. i!o: alter magis planus & obvius, tx combinationum dotlrini immediate dimanans , quo Au- clor ilie in fua Probiematis folutionc vidctur ufus. I. MtJ. Sintduocollufoies A&B, quoiumilii (i, huic « ludiadvincendum defint, Sc quaiietida lit utriufqueexpedtario, h.e, quatrendus iit in diftl Tabelll numcius aieolx n columna; verticalis m. Adjerti intelligantur in columnaium capirellis tot tcimini pio- firefiionis dupbs ab unitate, quota eft unaquirque inter columnas; ":c, hocpaflo.- 103 ^tRTIS CONjECTJNDI Ei apparebit crimn intuiru, progrefliones has duplas ordine rontinuaii pcr dcnommarores fracHonum in columnis, adeb ut deno- rninatot areoisr « tolumnweujuslibcrin fittenninus rn + n progreflio- liW, »»+■—>, Ad nurfrerarorej wiii fraftionum quod atrinet, per- pendi debet qtiidunusquilq; coiumex corifiruftioneTabt]]:? loc. cir. inlinuata sequetur duobui aliis, quorumunus illi immediat& fupra, alter ad linifiram pofittiseft'; hincenim inrerri poteft, numerarorem areokencolumnpecujuslibet iequari quotrue lummx omnium n nu- j:ftis ac piacerej unitati ; indirque pomV h™d difficilius colhpiiur, qubd feriesnumerarorum ft cunda; coliimua; " (eries, &c. quarum primx icmpei lint fciics mouadum, fecundaj ftries latera- phiis Huabus, quaitaj pyiamidalium cum cyphris tiiliui, & iwdein- Unde □igitizcd b/Cooglc ¥ A « S SECU ND A. J l+Ji-I- o+ 01+1+ o+ o+ o = 1+0+ 0I1+1+ 0+ 01+1+ 1+0+0 ,,'^1+0 1+1+ o;i+24- 1+ OI + J + ) + 1+ O H1I1+1 i+j+ ■'!+;+ ;+ 1)1+4+ 6+ 4+ ■ I l ||tll+lfi+)+ )|r+4+ 6+ 4 ;i+ r +r D +io+ f I i!!i i + i 1+4+ « i+r+10+io'i+S+ir+ic+ir I 1 r+4.U+(+io!r+6+if+:ia ; r+7+ii+jr+)[ +|| ili+f i+M-ij,i+7+ii+;ri+8+i8+r«+7o|. Unde iimterminw » + *, perconfta. Ciffc ) hu(ai> in ftrie mon». dum lir-r, infaielateralium^i^!, crigonalium p^ramidalium .— j-"— |-"+™T-"+rZl gft. &: gencraliter in Cap, 4. Jisdsm! hujuJ! quantiuris membris eriam multicudo dcnc- carur nullionum, unionum, binionum, remionum &e. in rebus m + n — 1 comprehenibrum , ftquirur dietum numeraroiem confiari eit aggregaro omnium nulbonum, unionum, binionum, cxreia- rumque ordine combinarionam rCTutrtfli + n — 1 ulque id iilas in- clufivi combiimiones, ouarum exponens fit m — 1 : idemque proin aggregacum dififim* per i m + *■— ■ exhioicurum toram fraflionem daraareoliEi h.t. perhyp. optaram expefbitioneni collufncit A, ftu partem depofiti 1 , qu* coilufori debccur, cui s ludi deficiurlr, dum alteri Indi m. Nota: " m X n + r , hoc eft, li collufiiri B unus rantim lufiiS dcficiae amplius quam ip(i A, portin dcpofiti •jax huic deberur lequalis cenfcbiiur aKgrcgaco combinacionum te- 110 KstXTIS CONjECTANDI rum », \ nullione a.I illas indufive qus habent 11 pro exponeme, diiifo pcr j"( qui numcriis cftomnrum fimpl citcr coinbinaiiomiin rerum 1« pcr Cap. 1 J Hinc ergb fi dcmas fcmilTcm omnium fim- pliiiter Combhtationum ( ncmpe a nullione ad dimidrum earuin numcrum qux exponente n gaudent , uti colligitur ex Coroll. : & j hu)us) divifum per integtam fummim omnium abfoluic combr- nationum, h. e. fi dcmas ; ( partem depofiti quam contulit collu- (br A) rclinqueiur pro Jucro ipfius A, five pto eo quod ipfi ex pe- cunia alterius dcbciur , fcmillis combiiutionum fecundum fulumex- poncntcm n divilus per lumrrum cmnium ablolaic combinationuni i'"; qui quidem lemilTis tum fe habcat ad j ;' id quod depofuit akcrBJ ut integer numerus combinationum tecundiim cxponen- tem n difli ratione diviliis ( hoc eft, pcr Rcg, cap. hujus, ut ■ "" '*" j J "~''' . * . T'^-;" + -'|ji v ifus per x m j a d manifcllum facit, panem qux debetur collufori A cx co quod depofuic lIierB, exprimi pcr * " * ^ tn ~ jj T< per i 1 " ■ Ex. gr, iibi X S Bem Xs>, "•^fi collufori A deficianr g Ituu», ipfique B j, debebitur illi tx pctuiiii lutjijs portio , '^~~'-~~rj &c. div. per i»,qua po«io lacloiibus paribus numeratoris reapfc oflies per i divifis, & lingulis facloiibus denominatoris pcr i multrplicatis icdutiiur ad fraflionem ' fi ' ? ' f 0 " "' ~ -' g oriuniUiri ex divilionc pioduQi oflo primorum imparium per produfhim totidem primo- rum parium nnmerorum. Ipfa foludo Pafcaliana, qua; Aufloiifuo tantopeie artilit. II. M«f. Altermodus folvendi Problema, qui ex confide- ratione combinationum immediate fluit, frc habet: Difquiro, quoc ludi inliitucnJi fint , ut unus coUuIbrum (nec nifi unus) numemm fuorum lufuum necefiario compleat ac vincat; vidcoque rcqwii uj 4 ■'- 1 L.inv^i: i .i!>(ij]ucis"i + "-iludis,quorum unuseviceiir iB- i, alrcr ii- 1 fic ut utriq; unicus dcfir pioximus lufus alterutrum tolluforuni infallibiliret viclorem teddet , Fingo itaque inJlitui ab ipfis ni + n — i ludos non qu6d paucioribus iudis altetutri con- ilarc vicloria non pollit qua ftmei obtcntJ fiiiiu clt alea, fcd quia re- Dlgiiizcd &/Coogle P A R S $ ZC U N D J, ut fidui ad m + a — i ludi , fi maximi inftituerentur, eomplcndo quoque alterius numero non fufficiunt, eouue vitlori ncquicquam prajudrcare polfunt) fingo inquam inflitui 1 colluloribus m+« — r ludos, & confidero quod iple A depofico poriatur, quoties accidit ut alter B aut nullum, aut unmn, aut duos, auttris, &a aur de- riquem — t horum ludorum,.necp]uies,evincit; id verotor cafibus eonringere polTe liquet, quot nullioncs, uniones, biniones.temiones, &c. acdeniq; combinationes fecundiim exponentem m — 1 inludis m + n-t contincntur . Quiiecum rotidemcasus habeat A ad obrincn- ■dumdepofrrumi, & reliquos ad perdcndum , rirqi numerus omnium eafuum i H +' ,— i ceu omnium fimplicitet eombinationum ;eritipfi- us fbrsper i. Cor.j. Prop. i . part, a*qualis aggregato difiarum com- binationum (a nullione ad illas inclulive, quce exponenre in — i gaudent) divilo per i m +"—>, ut fupra. Nora: finumcri defi- cicntium lufuum n & nexiguo difTerant, litius ett quarcre pcr j. Coroll. cit. Prop. quantitatem ioliuslucii, leu quantitatem expe- ctarionis collufotis A non refpeftu totius depoliri fed refpeflu fo- liuspecunia: alterius. Ex. gr. limXi+i, adeoque m + » — i X m; dcnotabimr numcnis caliium, quoshabct Aad obtinendam pecuniam alterius (qua nunclic i) P=r numetum combinationum in ludis m ab exponente o ufque ad enponentcm n; & numerus cafuum,quos haberad perdendum tantundem, h.e. adobrinendum — i, pernumeramieliquarumcombrnationum fecundiim exponen- tesruperiores: cuarecum bini exponentes paralleli, inferioi & fu- periot, per Cor. i hujus combinariones habeantieque-multas, eoq; fc mutub deltruant, relinquenrur pro excelTu, quo numenis illamm combinationum harum numerum fuperat, fola combinationes fe. cundiim exponemcm * femiflem ipiius in , quarum numerus cfl ~~y j ' — — ■ " ■ ■ ' ); , frc ur inde pcr diflum CoroII. ;, lu- crum colluforis A refpeclu pccunia* altcrius emergac — '"■' ■■ '" + -1 djv, per i'« , itidem ut fupta. Ne- que ablimili modo definiemr hoc lucrum in calu m X " + ; , sut ni X" + J Sic. Reperio aurem , qubd daro numeto n, lucrum iplius Ain cafumXn + i, fitadluctum illius in cafu mX s + J, 112 t^RJIS CONjMCTJNDI rn ratront » + i ad i» + i ; & luerum incafu tn 00 n+1, ad lu- crum incafu »B«+j, in raiionc m + 4ad 3 B+4. &c. In gratiam coruni, qui fpcculationibus numerorum delcilJn- tur, obittr adhuc addo duas proprietates Tabclla Prop. 7. Part . 1 fubmxx e cjuarum utraVis idem quadltum eafculpi paruiflet. Una elt» quod numeratorei columnse verticalis terriae finc Trigonales 3, 6, io, ij,' 11. &e". uiQi numewtoribui columnse *'*4, 7, g,&c. cjubd numeratorescol, CjUirtE fint Pyramidalcs 4, 10 , 10,-31, tS.tke. auSi luimeraiaribus j»*n,itf, M, 10,37, &c. numcrarorcs columna: f* Triang. Pjraraidalci 5, if, 3(, 70,116", &c. jufii numeratoribus 4" arj, 41,^4, 9;, 130, &c, incipicn- do perperuii i (ecundis terrninis. Aitera, cpod numcratoietCDLj 1 ™ 1 , 1 , &c. numeritores 4" lyarniilalei 10, to, 3* , jrS, 3« . auai nunieratoribus i dl e, tS, 7, S, &c- numeratores f* Triang. Pyr*. midalcs ic, 35, 70, 116, Bee. auai numenitoribu* 3"* itf, 11, 1J.37.&C. irUiiofemper6itoi tciriis; atque fic pono. Cap. V. /nvenire nttmtrum combinationum, cum qux- libetrerum combinandarum a cateris -fr _. H M 1- •s -=- i - "3. - <> n .___- _ s ! 1 s - " s «1. -f s 1 * _, -* |-| 1 "I 1 1 * S * * I g s 5 ___ i 1 I s » '= I 1 I 1 5 * 3 ___ - r PARS SECUNDA. 115 Toiqualium, fumma terniinorum columnaepr». cedcntii iquatur poltremo tcrmino columnat fequentis. E quibus f:cilc efi, invenire lummam terminorum leriei cu- jusvis, adeoque & numcrum combinatio um leeundum eiponen- tem quemcunque. Namli numeius rerminorutn, hoc eft, icrum eombinandarum dicatur n , erit fumma unionum feu terminorum lerici primx, hoceil, ultimus tetminus leriei feiuids, itidem n. Inrelligaiui feriei fecunds prsfixa cyphra, ut numerus termi- notumfiat » + 15 pet cujiu dimidiumii mliltiplicetui tciminusul- timus « , erit pioduQum - ' '"t -- lumma binionum fcu tcrrninorum fecunda- fcriei, per 11 propr. cap.j; adeoque & poltiemus ter- minus terria;, pei a piopr. hujus. Intclligantui feriei tenia; pranxie du* cyphra, lietque nume- rus teiminoium »+1; in cuju* uientem fi ducatur teiminus ulti- ' ' jet "-^^"--"j" 1 fumma temio- Sc fimul etiam poftremus 4« . : lumma terminorum quarra: ferici leu quatemio- 'JLzbi j quiiuaz feiiei feu quinionum ; in gcnete iuirr . , Ubinotandum, quod exiflent* 1 -v n fattores fraflionis polTunt abbicviari dividcndo numeratoiem & denominatotem pet 11 .b + i .n + i..,.c, ut habeatut '+'-■+*• '.+ i: ;•• ■ ' j & quia hsec ftaftio ad fbrmulam ex- afta limul indicare debet fiimmam teiminotum fiiici » — i, fcquitur quad aggregatum n teiminorum in ferie 1 femperarquetuc aggregato ( + 1 tetminorum in ferie ■ — 1 ; qust alia non inele- gans hujus TabcUse proprietas efl , Inde verb reiultat fequens p 3 XtfftU, Digilizcd by Gtwgfe 116 \JIRT1S CO Nj ECTA NDI Regtda fre iuveniendit cembinMumbm fi:ttnditm dtttttm tXf+ BctitaOi cum eadem ret eandem eemtinatienem fifiit ingrcdi ptltB . Flant dua: ProgrclTiones'Arithmetics afcendenres T altcraanumeio rcrum combinandarum, ab unlta- tc altcta, quarum communis cxccfTus fit unitas, 8cu- traquc tot tcrminorum , quot unitares habet combina- tionis exponens: tum facluin ex duftu terminorum prioris progreffianis dividatur per iaftum cx duilu ter- minorum polterioris; eritque quotiens quaiita com- binationum fccundum datum exponcntem multitudo. Hoc fcnfu numeius quactmionnm in io divcrfis icbus contentorunt Nota : Si eombinacionis expcmcns fit nupr rtram nnmcra (.rpoi utique fieri poffe in piajfince hvpotheli liquet ) compendio- liuserit, inchoari priorem progremonem ab hoc exponence unitatc aufto, &utrunquencutuminerumunopauciomm, quam funtda- ■se tes. Ita numerus combinitionum iecundum .exponentem 10 irr icbus 4 fic 30 ijo'. Sed Ucncimecum eombinationum ficun^um plurcs ejrponenres ab uniracele aliquoufque confnjuentes , hoc clt, lummam firiewcn quotcitnque vcrncaliuni , nihilo difficiliiis venari licet: Ciim eitim tx.gr. to primi termini+ primanim eolumnaiurn verticalium iidenr .fint qui 4 primi rermini io pcimaium transverianjm atque infuper funutiiE horumtaminorumcquenturundeciniterminis 4'»coIumnE vercicafis demco fol»primo leuunicacc (finguke leiL Itimmae fingu- lis cerminis, utex propr. i^Tabella; liquet j numifefhim cfl, ctiam to primosceiminos4p[imarumcolumnanjm verticalium, h. e. lum- jrnam omnium unionum, binionum, teruionum & quaremionuni fiimciu orum ei:rcbusio v uniDaiedeficere ab undccim primit retmi- Digilizcd by GoOgfe nis-column* 4.'*, boc eft, a numero fjuaremionum fumcndottim ex rebus 11. hocell, 1 nnmero combinarionum fumendmum ex re- bus unl pluribue fecundiim daiomm expoiieiiriuTn maximum. Quodidem eiiam ficofiendo; Singulos quarernionei fumendos ex rebus uodecimres undecima vel rron ineredimi plani, vil ingrcdituc femel, »el bis, vel ter, vei quitei; fed manifeftum eA, ijuitet- niones, quosies undccima non ingiedimr, efle illos ipfos quos de- eemieliquaimterfeforiiiarepoflunt; nec mimu peifpicunm , quod numenis illoium quos lctnel ranttim difla ies undeeiira kigreditur, sequari dcbcat numero remionum fumendorum ex 10 reiiquis ; fieut eriam numems iiloium quos bis ingreditut , nttmero binionunt ; BC lemel, binionibus bis, Scnnionibus teradjunfla cniaremiones efficir : piaetereaque conftat, qubd unus fit qnaremio, quem rcs undeeinw quater lepetita ctmftiruit. Unde eondudirur, numerumquarernio- num comprehenforum in rebus 11, hoc eft, unl pluiibus quam funr nesBcquaterniones rerutn dararum decem; nifi his quoque nullio- nem aceenlere velimus, quo eafu ipfis ajquabiiur. Quaproptcr, eum exiftenre numcro rerum dataium n, 5; «t- ponentium maximor, nnmerus combinarionum hujus exponenris in rcbus »+ ' pcr Reg, cap . 4. invcniaruc mcio, polerunt frailionis teimini eo cafii dividi per »+i.« + i.n+i.... t,ac ptoindequantitas compendiafiiis expri- 1: qusndoquidem temionibu» P , Rtguk JliJ ^AkTlS CONj ECTANDI Regula. fro invtnitndis Cemimxrhnibm fecnnJim pturtt txpt~ nentei xb nnitmi fe confe^uentes : COnftituantur dua; ProgtetTiones Arithmetica; a£ ccndemcs, altera a numcro rerum combinanda-- rum unitatc auclo , ab ipsi* unitate altcra, quarum communis excefius fit unitas, & utraquc tot termi- horum, quot unitatibus conftat eiponentium maxi- mus. ( Quod fi tamen exponcntium maximus major fit rerum numero, fatitis cit, priorcm inchoari ab hoc exponcnte unitatc aucto , & utramque fieri tot .ter- minorum, quot funt datte res.) TumfaQumex du- clu tcrminorum prioris progrelTionis dividatur perfa- clum ex du£lu tcrminorum poftcrioris; eritque quo- tiens quEcfita combinationum multitudo, fifciLipliim nullionem una comprehenfum velis ; fin velis exclu- fum, quoticns unitatc multatus quEefitum Indlcabit. Icinumerus omnium cum nullione unionum,biniorium,temionum . & ouatemionum in lebus 10 cft "," X X 1001 , in itbus tamumtribus 00 ™ 30 3f; at nullione exclufo nu* mcnls combinationum cic ibi 1000, h!c 3.;. . C A P U T VI- Inventre numerum combinationum, cttmnon- nuUx rerum combinandarum (unt etdem, nulla vtrb fipius in combinationt repeti debet, quam ipfa rtptritur in toto rerum numero. I" Digitizcd b/Coogle S EC U ND A. erac, quamlibec dacanl i ipiiconjungere roties in combinaeione, quot unita- KS habct ejus exponens ; quo pafto dari poreff eombinatio fecun- diim lexponentem quemlibet , qu» ex unl foll re fiepins repetiti conlfet. AUat quaiflioelt, cilm dererminatus eft numerus vicium, quibus unaqlia-que rerum daiarum lecum fpsa jungi pocelt : urctun Combinandx veniunt litecae t, (, i, i, ei lege, ut in rmllS combi- narione litcia J fajpius quim quinquies, b quam [quarer , £ qulm RT, Sc rfquim bis rcpetatut; ubi manifelrum elt, |nullam earum tombinacionum, quaium exponens quinariujn fuptrat, exuni fola litetS conflaii poffc. Tannindem autemeft, fi quaraor iJW litera: difU lege mter le eombmandae.fimt, acfi datae fbsenc liteiae qtutuordecim , incerque ilks qutnque*, quatuor *, rriac oc duo d, modis omnibus inrerfe; «ombinandat, led eS eonditione, uc nulla fiepiiii in combinitione occurrat, qukm ipfi lepeiitut in toeo rerum numcio; hocel), acli dacaforec quancitas algebiaica tttttbbbbmdi five cujusomnei divifores qtnererenrur; quandoquidem divifotes alicu- jus quantiratis aliicr non expcimunmi, nifi pcr toddem combinario- nesrafloiumcjus: adeb uc doffrina hujus capiris ptaxipue pro in- ventendo numero divifoium daca: alicujus quancitatis iiifcivire Liquet primb, imins literar * tot eleftianes aut divilbret dari pofle, quoties ipfain lerumnumeto occurrit, fiuquocipfi inquan- ticate mbinmrui dimenfiones ; adeoque fr nuUionem eleaionibus vel uniratem divifbribus accenlere quoque vclis, unam dari cleftioiiem lurdivilbrcmampliui, puta lex: \,* t 44, 4*, 4*, 4'. Deinde, (i liiccai acccdjr, conltat illam infingulas (ac pncc- dentium defeionum aut divifoium duci pofie ; unde tocidem alia; nafcuncur electiones; f , tb, *tb,tW, 4*b, Qpjbn* ft ali *>bb, &c. Ethisfitcnium* applicerur, feic alia: elefliones emerl gent, iterumquefeK ali», fi hii applrcerur quarrum: adeb uc lite- totiesieic ncivaielecrioriesfuppedicet, quoties ipfi in dato rerum aumeio occwrir , leu quot ipfj iti piopofili quanticace dimenfiones il» RTIS CO N J SCT A ND 1 otirmet ; nimiiinn fi-x ck-^ionrs j quas omncsf higrcditur ex conllructioiic. Utiiit h tii» ks pnirMs clecliones, quas i noningre- ditui , annnumciet, habcbis in univeifum quinquies fcx fivc 30 c- kfliunes. In fingulas porrb harum joelcftiomim ieu diviftium fi tettii li- tera 1 ducarur, prcdibuntjo novae elecciones ; & fi prodimris adem Inura adjunguur denub, piodibunt 30 aiise ; iterumque 30 aln, fi applicetur tertium: unde tet jo clediiones exurgunr, in quibus o- mnibus lit. c reperirur. Quibus prom fiaddas p.xcedentes 30, in qiiilvjs illanon repeikur, uumciabis in rotum quarcr jo fivctlo e- lcctiones. Tandemli fingulas furum Ilo eleitionum vel divilonim eidcm rarione per qujrtarn litcram d ob duiscjus dimenliones bis multiph- ees, produces bis 110 novas eledbones, qu;e omnes lireram d con- tincnt; adeoque (compueatit una prioribus tio qux eandem non continent) omninb ter 110 five jdo clecliones. Et tjntus quoque in uuiveifurn diviforum numeius exiltit piopofiis quantitatis eJ(f, dummodb, quod htc lempcr fubinceiligendum efl , litene a, b,iftd totidem primos ab unirate 8t i fe invicem diverfos 1111- mcios indigiienc. Patct autem, acceflione cujulque lirerae numeiurn oninium praxcdcntium eleftionum vel diviloium rories multiplicari, & fcmel ampliiis , quot litera; accedentis fuerint dimeiiiiones. Quo obfcivato ratiopeicipi potclc fequcntis Kcguls: Regula fri imotfNgdmU numeri dtuifirum alicnjm tjutntiuti, daU , five numere umbinitianum rernm plu- num, qumiwiatmn&tfiutt NUmeros dimenfionum, auibus conflant finguk diverfa litera: quantitatcm propofitam conitituen- rcs.unitate auge, iicuue auclos in fe invicem ducito : cm produaum eoruni continuum numerus omnium -\ divilb- P A R S S E C U N D A. III diviforum ciatK quantitatis, fcu omnium combinatio- jium, quarum litera illam conftituentes funt capaccs. L'bi tamcn unitatcm dcmcre mcmincris, (i nullionem c combtnationibus aut unitatcrn e divifonbus expun- ttam velis. Ex, gr. in ouantitate piopofici i* t J d' litcrar t,b,i,i dimcnlioncs habent 7,4,3,1, qtii numcti unitate figilla- lim aucli emciunt 6, J, + , 3> hivcro in fe dufli j6o numerum o- mrtium cum nutlione combinacionum, feu otnnium cum unitate di- vifoium quantitatis datx. Nota : Si numerus divecGnim licerarum /','> ^ daram quan- titatem conftituentium fit «, omnesque liteis zquali dimenlionum numero gaudeant, quifitf ; Set per regulam numerus combinatio- num vd divilbium f-t-i Ec (pecialiiis (\p X i> hocdl, iidati quamitatis fingula: licetae unim lantiim dimcnlionem habent, autfi dafieres combinanda: omnesfunt diverfa;, numeius divifotum vel combinationum determioatur ad 1", rcditque hjpotheHs capiiis (0- cundi; cujusproinde folucio curn iftl conferii poterit, ut utriusque Quiautem ad difcuifum pcifeiitis capitis vel leviccrartendeiit, ftcile pqnb fi opus detciminabit, in quoc cleflionibus vel divifoti- bus quadibet resautliterarepcmtur. Natn li quararut ex . gr . quor divifoies piopoliise quantiutis * 1 b* t> d* ingredijtur litcra * , in- dajjandum folummod^ eft, quot divifotes inclusa unicate idmittat reliqua quanticas i* (' d' ; his enim (riimin iis * non repetiatutj li lueiam iftam adjungas femel , habebis omnes divilbrcs, in quibus * reperitur uniusdimenfionis: & li adjuiigas bis, habebis omncseos in qoibm eft duarum dimcnlionum: 6c fi cer, iLosin quibusttium &c. unde condudicur, toi effc divilbies , in quibuslircra quadibec fecundiim eundem dimenlionum numctum repccitui, quocieliqust litcratinuniveclumdivimics admittunticum igitui quancitas£*f ! i/' pcr regulam pntced, recipiat j. 4. 3 00 60 divifores (connume- rando ulis unicatenO compleiietur etiam quantitasi 1 *«(>d' di- viforcs cotidem, in quibus 4 unam obrinet dimenfioncm, totidcm- tjuein quibus duas, tres&e. dimenliones; adeoque obquinque di- menuones iplius - quinquies 60 five 300 diviiores obtinebit, in Digitizcd b/Coogle izs t^/RTIS CONjECTA ND I quibus ilti litera urcunque fecundum aliqucm dimenfionum nume- rum occunii. Neque diftlcilius definirur numerus elefliontim aur divilbrum, in quibus rcpcrianrur cx.gr. du.-elitera, t cum dua- bus & bcum tribus dimenfionibus; nam II fingulis diviforibus re- liquat quantitatis i' (quorum numcrus pcr rcgulam invenitut 4,-3 X ii ) adjungai 4 : * ', pallm ell oriri totidem diviforeJ opra» ta: condirioms , ncc diri plurcs , ScGc in aliii . Plus difficultatis babcre fotfan videbitur quttfKo, qOfE ntime* rum iniieiubet divilbrum onmium ex sequc-multis dimenliunibus conlknrium, hoc cfi , combinationum (ccundnm lingulos espo- nenres feorflm. Ad id perquirendum mcthodum adhibeo , (imilem illi, qui fupra in pait. i,po!i prop. p ad numeros jacluum in rclTe- ris inveliigandoi fuiufus: Sciiho oidinc omnes exponentcs corn- binirionum Icu omnes dimcnfionum numeros, quarum propolita quintiias capai eft, ncmpc .i o ufque ad 14 pro quantitare -Subhorum primis eolloco fex unitates, uuS vid. plutesquam eft numerus dimenftonuro titima* Iiterae, quibuj fiibjungo fcx alias u- nitares, St hrirutfum Icx ahas &c. donec habeam feries unicaium tuia pltires qulm eft numertis dimenftonum fccundrc litcrx, Icd fm- gulas (eries uno gradu dexrrorfum prnmoveo, atquc ram addo qrce pcrpendiculariter in eodem gradu fibi refpondenc unitates, ut fiim liesunl plures eonflituo quam eft numeiui dimenlionnm tettiae li- ters, iltas fimilitcr gtadatim ad dexrram promovendo, & poftmo» diim addendo, ut prodeant numeri 1.3,6, 10, 14 &c. quorum numerorum mox rutfus oidines uno plures, quim c(l numerus di- mcnfionum quaica:, gradatim pono & addo, continuaturus codcm tenore ultcrias, fi pluics litcrat adefTenr, EnTabulaHij PARS SECUNDJ. I 4 r t 4 I 14 17 1« 17 14 10 fi 10 14 17 18 17 14 10 6 10 14 17 18 17 14 1 „<(4 ( iiY 4 10 19 jo 41 45 f* 49 41 jo 19 10 4 Quo fjflo qui ex additionc ultimJ icfultant numeri finguli, denoti- bunt multiiudincm divilbnjmvel combinarionum fecundiim (ingu- los dimenfionuni numcros fcu exponentes fupra fciiptos. Sk indi- cante Tabclli icperio, qu&d quantiias pfopofia hibcatunum divi- forcmnullius, 4 diviibtcs unius, 10 duatum , rp tiium &C, dimen- lionum, iiv«,qubd habcst unum millionem, 4 unioncs, lobinio- iks, ip ternioncs , & iicpotrO; qui omncs colieilive iumti liimmam conficiunt jSo.ut opotrebat. Qui rJtionem llmilisopeiationrs pro tcifciis intellexerit, fationem hujusquoque non difficulter capiet. Plurade his, divifoiibus prieierttm (u nimium ab infltruto aliena) legeteelTin r prioribus feftionibus rrifcellaneis Exetcit. Mitth. Fr. Schootcnii, ncc non cap. ; Sc 4 Differt. Joh. Wallifii decombinationihusTiaftatuiejusdeAIgebiafubnexe. QuosAuiro- resadcat qui voiet. Nos properamus adilia. U4 ^RTIS CoHJ ECTAKDl C A P. VII. %)e CombttiAtiombus Termutationibftf mixttm [j/cBatts. IN Combinationibus , de tnribtu huculque ftrmo nobis fuit, nulla ordinis fitusque ratio habcbarui, & unum eundemque ex . fp . icrnarium conflituere intelligebantur litera quocunn,; fcribe- ientutordiiie,feu*t<, Ceatti, fcutjr &c Sed quandoque pratcr complexionum vatietatem ip&quoq; ordinit &difpolitionij vaiiatio tn rtbus combimndis arandenda di ; quemadmodum ficri (blet in vocibus & numeris: Aliaenimvox. ctt velfyllabijl, Sc aJia l j; Ec aliusnumerusii, aiius 11 ; quanquam eaedem lieene cndemque no- tae numerales concumnr ad formandu rum fylUbas *b & tt, rum numcrosn fltiH licuttotum difcrimeu i diversl earundem difpo- liiione proficifcacur. Reflat itaquc. ut hoc Sc fequentibus capiribns eombinatiomrm & pcrmucarionu dofltinam mixtim contcmplcmur, indasando, qulm varic plures drverfe res , aut quarum noimulla: (imt eieaem, & com- binaii fccuminvicem, 6: combinata: mtcr le transponi poflinr, idq; nunc fccundum imum exponentem, nuncfecundum plnres; eemodb iic,UtnulIaretumcUtarum fecum ipfa combinari debear, modo fici ut cuadibet etiam fecum tpfa combiniti , plurienrue ade6 ia eaden» combinatione rcperi qucat . ). Invenirt tiumirum tktlicnum plurium diverftrum rt- rum, quarutn nutU ficum iffn tcmiinert debtt , fttuniitm nnum txpentmtm . Solutio quxfiionis cx precedentibus promta cft & facilti: Si multitudo rerum combinandarum dicitur n, atque «pontni combi- narionis i, numerus combinarionum negledia conlideracione ordiniai inter res combinatas ell " " 7 ■" S T " V °~' + - per cap. 4. Et quia fuigulae hte combinationes ex hypoth, conlrant te- DigitizGd tiyGoogle P JRS SECUN T) A. I3J bus diverfis c, qua: per ctp. i. ordinem inter fi variare poflunt i. ». J.+ < vicibus, lequitur, fi 8t ordinis in combinscioni- bus hsbeararrsiio, earam numcium totidem quoque vieibus majo- lemfbre qulm ubi bzc conlideratio negligitur, ac proindc xqiuji COnftituatur Progrertio Arithmctica, cujus cotn- munisdiflcrcntia fit i, incipiciis a iiumero rerum combinandarum , & defcendcns per tot terminos , quot unitates habet combinationis exponens ; critque fafium ex duftu terminorum ejus quaffita eombina- tionum multitudo. Ex.gr. Quateiiiionesomnesinrebus 10, iique modis omnibus OMJispoliti funt 10. o. 8. 7 X 5040 . CmftHtrU r 1 . Si combiriaiaonis exponens ipfi rerum numero requaror, tanrandem eil, acli limplices permutationes lenim d.ira- rum quirelenrar ; quippe clim omnes fcmper ilmul accipiendte, quce hypothefis eft cipicis ■: eritque tum X 1.1.3.4... .1, quod convenir cum reguU cap. 1. >■ Omncs res limul accepta:, fioceft, combinatae fcctmdufi dhm cxpnncntcm unitjtc minorcm : Itares f toties difponi poliinc diverlimodi quinai, quoties quattrnie; nam pcrmutationcs omnes quinqueietum funt 1 . *. j , +. t feu r.+.j.j.ipet reguiam hr-ju s & primi capitis; & 'permucationes qualetnionum •mnimn fun t exponcnccm aequaiem rernm mulrirud ini , tot : nesordinis, quot iteipiunt earandem eomoin; :reeipiunt permutatio- i .4 Digiiized DyGoogle 12.5 <_ARTIS CONjBCtAN DT 1.4.3,1 per eandem hanc regulam : efl va6 5 . 4, . j . 1 X 5. 4.J.1.L unde liouct &c. j, Summa unionum & binionum in rebus quotlibet aiquatur qnadrjto numeii rerum: pofito namijuc rerum numero n, imionum ouurum fumma i+u — nao. *». Sicex.gr. colligeie poflu- mus, ') noras numeralcs fignilicativas acceptas lingulas& binas mo- di; omnibuseonlliruere novies p feu Si divcrfos numctos, totidcm fcil. ab 1 ad 100 rtjpCe invenimus non plures, fi rclccemus illos, quos ve! cyphra ingreditur, vcl idcm gcminatus charaft— conflirait. libet seqtutur numero pennuutionum rerum rotidem, cjuarurn tot fintexdem, quot unitatcs habet exponentis parallelus , reliquarum verii fingul;e a Gngulis diveili. Sic tot funt ternarii in rebus 8, quor permurationes rerum 8> quarum 5 funteatdem , nempc t.7.i X. ~ ',' 'i*','. s ~ 30 niua • permueat. P" R=g. *. cap. 1. buros, t. Iirvenire nmmrum eleclitwim plurixm diverftrrm re- rmm, q*4rtm nnIU fitum ipfit combinAndt tfl, tb- (iimi ftm fttUBditm omnts txpemniet, Si addantur numeri combuutirmurn per pi_rxd. tegnlam fe- cundiim fingulos e-ponentei feorfim qu-fiti obtinebitut numerui omnium combinationum abfblute. Idem tamen paul& cxpeditiiis inveniri potcfl, fi attendatur ad proprietaterti aliquam non concem- ncndam, quse excollatrs duobus tjusmodi numcrisdkitur. Sint primb combinanda: rcs quatuor- [Conftat per prieced. combinarionum abroluw 4 + +. ; + + . ;. J++. j.1,1. Sintdein combinand— ics qninque; ubi fimili modo collijrr- tur, fummam umonum, binionum, ternionum-, quatemionum & tjuinionum, fcu numcmm omnium abfolute combinationum efle j + J. + +J-.4-J+J.+.J.*+f.+.J.i.i. Eft vcib 5 + 5.4. + 5.4.j+5.4.j.J+f.+.j.i.i »f'n <+ + PAS.S SZCUNHA. 127 i+4+t.i + hoc «H, numerus combinjiionum rerum J quinquies major numero combinJtionum lerum 4. tmitste au£to. Unde difiimus, numerum combimtionum in rebus quor- cunquedaris toties excederc numertim combinationum in rebus uni paucioribus unitate auflum, quotfunr daia; tes, f Intellige, non compurato urroque nullionc. ) Quocirca ciim unius reiunica iit elcftio, addito 1 ad ( fummj- que 1 multiplicjtH peri, erit produaum 4 numents omnium eom- binitionum in icbus duabus . Ruifusaddito t ad 4, fummSque 5 muhiplicata pct itgnifi- cabit produfiam tj numcnim combinationum in rebuS tribus. Similitet addiio 1 ad jj, fumman,ue 16 dufti in 4, exuigie tf4 numeruscornbinationum in rebus quatuor. Hunc unitate aufium fi ducjs in 5, habebis omnes combina- tiones teium quinque; *tque itaporio iijinfinitum, utex lequenti latetculo apparc: . Wm.Tcr.dtunm\ul.j.4,. f. t. 7. 8- s. 10, KHiu.ismHiuiim. \ 1. 4. 1;. ^+.32;. ipjtf. \}6^y. [optfce.j>8tf4op. pStf^n Hac rationc colligimus, pnotas numerales, li (iiniantur lingu- Ixjbinte, teniK, &c. & tandem noven* , ae ttansponantur mo- Djsomnibns, reeipete p8tf4op murationes , totidcmque proin diver- fos numeros formari polfe, in quorum nullo chirailer aliquis plus Caput VIII. 3 . Invenire numerum eleBionum pluruirn drverfarum rerum, cum qu&libet ea- rum etiam fecum ibfa combinari po- teft.Jecundum unum exponentem . 2 8 <^4RTIS CONjECTANDI N cap. prxced, quxfttiis fiiic combinationum numenu, quando .milla IW plui lemel in eidem combinatione repeci pocerac. Nunc fupponcmus , ccm quamlibct ctiam fecum ipsi jungi , adeoque bis, — quarer phiriesve in eadem combinatione repecipofle; inveflip- - ! lumernijiiin I numeius lit m, patec iliaium toc uniones poffe accipi , quot fu tsics, puti m, Applicecui iii prima liter**, pieponendo illam fingulis, ita: 4i, ti, *i, Ji &c .&habcntut binioncs, qui omncs incipiunt sb t, iebec ipfi lerum numcto m. ji iisdem fecutida i, prjtfjgctido illlm (ingulis. ut fiant it, bb,bi,bi 6ic. qui omncs funt biniones a i incipiences, quorum pcoinde ttumenis itidem ipli m aequatur. Simili ratione teccia (, & quarta i, cstcneque li pluies fuerint, fingulis datatum cctum femel piacfigantur , Sc «ruigent novi binio- iks, quorum nonnulli incipiuiit i lirerii, alii a d, aiii i cauciatum aiiquS i corum veii numerus , qui ab eadem iiteti incipiunt, perpe- tuo ipfi m iquabinir. Qno pafto manifelhim omnes in univcifum biniones repertos elTe , eosque modis omnibus ineer fc trampofitos; quoium proindc numcrus toties fiipciabic iplum remm numerum, quot func datx rcs: qmrumciim hie fn», binionum omnium nu- Hlsveio binionibus li denufj applicarc pergas datai res, uni. cuique illorum fingulashas piatponendo, rormabisomnes ccmionum ordines 111, «1(4, ttt, ttt, tbb, Stc. quoium qui ab eidem licecS inclpiunc ftmper tot exiltunt, quot funt inventi biniones; o- mniumquc proin numenis binionum numetum rocics cicccdct quoc fucrinc dacacics, ac conlequentei crit m ', Similitci li cunflis tcrnionibus identidem puefigi inteltiganrur lingula: litciat, elicientur omncs quacemiones pollibiles, quoiuin per confcquens numenis temionum numcmm lucfui n vicioui fu- perabit, eotquem*, Atque Digitizod b/Google P A ft S S F.Ctl K D A. . 139 Atq; itaapparet, combinarionum numerum (eaindiim queir- cunque exponenrem perpcrub w vicibui fuperaiiifum iflc 1 numeta combtnationum fecundiim eiponmtem pioximi fequentem: fcilicet ciim numerus quatemionum fu m *, erit quinionuro numerui m 1 , ieniomimm 6 , & generaliter f\ exponeni dicatur n, numerus combi- nationum iecundiim Iiunc ettponentem erit Unde. expcdit» habetur R tgttta fre imitnitnd» nrnmer» ctmbinttienum mtdi omnibui ftrmuuurum ficundiim dmum txpentntem, cum ijuihkn tct iti.tm fecum ipfi combintri pttcfi. DAtus rerum nurncrus elevctur adjcam poteftatem, cujus index eft datus combinationis exponens ; & habctur quarfitum. Ex. gr. Omnes novem notaium nume- ralium quatenutii fumti BidifpoGti modis omnibul exlubent 9* 30 j-j.o.pX tfjit variationes 5 tottdcm fcil . numeros diverfos , re- jeflii iil qui cyphram unam plureive includunt, inter 1000 Bc 10000 (limites corum qui 4 eharafteiibus lcribunrur) inlerjici necefieelt. Stc 4 vocalw A.E.I.O, quibui quadruplex diffcrentia propoli. tionuni fecundum quantitatem Si qualitatem in Logicis innuitur, admitrunt remionts 4 ! X «4.1 Unde totidem oriuntur modi fjllo- gifini categorici boni malive, non %6 tinmm ut voluit Ariftoteles cum Interpretibui. Qgod fi indefiniia: & fingulaies propofltiones ab □iiiverialibns & particularibus diilinguerenrur, unde oftuplex ea- nim nafccretur difcrimen, numctus modorum omninbad 511, :cu- bumnirn. oaonarii, aflurgetit. 4. Iimcnire numtrum combindtienum cjmmodi ficundum plurct exptnentes Qyoniam ex iisqute modi difta funt apparer, numerumunio- num in datii «bus m dfe m, binionum mm, rerntonum m 1 , qua- DiojtizGd byGoogle i;o tsiRTlS CONjECTANDI lernionumt»* Stc, confiat, numenim combinationum fieimdoni exponentes plures ab unitate naturali ordine fe confequentes , quo- rum ultimus lit n, fbre m + miii + m» + «+,.<+«"( fummim Jcil. pugicflionis aficujus gcometiica; fecundum lationem i ad m, cujus piinms rccniiiiuseH m , & ufrimus m"; quaque fumma vulgi notS methodo compendiofiul expiimitur & unl quantitace fic eHcr- tur: ~' !L? ica ut inftituti pcoporrionc u — t fitadm, ut iij" — i ad quailitum: undc fcquens manac ReguU frt invumnde nnmert wiibm.uhi.nm ficuntTum pluret expencntts , qnermn maximm efi datm . Flat, ut rerum datatum numetus unitate truncatus ad cundem integrum; fic illius poteilas, quamin- dicat exponentium maximus , unitate truncata ad nu- merum quartum, qui optatam combinationum mul- titudinem exhibebit. Ex. gr. ad indagandum, quoc diver- fis modis inttr fe cransponi pollint to nora numerales, li accipian- ttic cum lingula:, nim bina; , ternai , quatemw , quim& fins: vel addi polfunt fcx piimi tetmini ptogteffionis gcometrics 10.100, 1000. &c. vd, fi videatur cotnmodiils, faciendum, ut o numerus hotaium uhitate minucus ad 10 cundcm integrum, lic $99999 «juf- dcm poteftas fexta (ive quadrato- cubica unitate mincata ad quazfi- tum: utroquc cnim modo obtlnctur 1111 1 1 o quslita difpofitio- num mtilritudo. Nocandum vccb, non omnes iflas difpolitionescFficcrepccuIia- iesnumeios;quotquor enim numeri a cypfiris unS plutibusve incipi-. UHt, non difFerunt ab iis , quos foli charaflcrcs rcliqui neji-cliscy- phris conftituerent : quocircaut fecenuuitur utiles s fupeifiuis, con- fidcrandum, quod ex deccm notis (oliraiiis unica eit inutilis, ipfa lcil. cyphra:eit numecis, qui duabus conftsnt notis , redundant 10 5 qu ' doquidem o iingulis dccem notis iemel prxponi poteft: cx iis qui fciibunim notis tribus, iupeiHui funt 100 j ipfa enim o aut ter PJRSSECUNDA. iji pofita eft fola, aut bis prenxa (ingulis novem primis nurneris , aut f trrcl lingulis inter y & iod intcrccptis . Ica ex iis qui quaruor ch»- taftciibus exptimuntur, fupcrvac.mci funt looo ; lingulis namijue numeris, qni pauciotibus notis lcrihuntur, quotumouc (i cyphram una complcftaris funt manifcftb millc, prxiigi poted una alterave cyphra, ut notaruni quatemarius complcatur. Ob fimilem rarro- nem tx iis, qui icribuntur notis quinque, climinandi loooo, 8c lcoooocx iisqui conliant notis fcx : adcout i fianumero iiima X 10 + ] 00+ 1000+ iocoo+ 100000 + ioooooo,feufum- ma fex tenninorurn progtcnionis decupla: incipientis i 10, auferas iiim X i + io + ioo+iooo+ioooo+iooooofumnum tocidcm terminorum ejusdcm progreJfionis incipienris ab unicate (quodcompcndio h"r,auferendo(blummodh primum tetminum hujus ab ultimo illius, ciim reliqui omnes (e mutuo delliiunt) refiduuni 959993 indicer numeium omnium differentium ordinum, qui tri- bui polfunc 10 noris numeralibus non ultia fenas acceptii, ad ex- ptimendum per illos totidcm numeros diverios. Prouc lanc evidens admodumell, quhdabunitatcnumerando adulque ioooooo, pri- mum & minimum eorum numerorum qui lepcem^iotis confUnr, in- veniunrur pricise 999999 diffetentcs numerii edm numerus 999999, eorumqui fex fciibunrurnotismaximus& ultimus, immediate exci- piatut 1 iocoooo, ab eoquefola unitatcdifferat. Non fecus iniri potefi numerus omnium combiiutionum ac peimutationumi+IirerarumAlphahcti.lilijt, utiiad 14, ficvige- lima quarta potdlas numcri 14 (neglcfia unitatis abbtione, quSin tam vallo numero non opus eft j ad numerum quieftrum ; qui pcr Logarithmos expedire invenirur conflaie debete 34 nocis, &fuperare ijpi quinti-mdlionei. Tantus vid. e|} numerusomnium vocumu- tilium & inurilium, qux ex 24 Alphaheti literis modis omnibui focmari poffunt, faltem lj illas non ultra vicciME quaccnus combint- ripoffeintelligas. Notate hlc convenit peculiarem nftxii**, inter combinationes illas 6c poteftates multinomiorum : Cum enim ad inveniendum hi- niones omnes litetarum a, i, t, i , finguls cunflis fmt prafigenda:, tvad mvenicndum tcmiones omncs, cunflis binionibui fingids licc- R 1 isdt- Ijj t^Jtl/J CQNJ EClJtXDI isivcsah applicanda;, 8c fic porro, ut inirio hujus capiris diflom; idemque etiam fieri foleat, ubi quantitas iitetalis t + i+t + i du- eendaeft in fi quadiate , eubice &c. fequirur, easdem literas, li fpe- eteimiiut paires radicis alicujus mulrinomiar , binionibus fnis exhi- bere omnia membta quadrati illiui, ternionibus cubi, quatemioni- bus biquadrati &c. adeo ut membrapoteltatis cujusvis aliter nonex- primantur nili per coacemtionem cortibjiationum parrium rsdicis, ficlarum fccundum exponentem nqualem porellitis indici : hoc tan- riim cum dilciimine. quid omnii illa membra, qua: iisdem con- fonr L* teiis varie tantim transpolitii, cum eandetn quantitatem dc- figncnt, brevitatis fludio rn unum terminum conflari fbleant, prafixo illi membiorum sequivaienrium numcro,- qui coefficiens termini vo- eari confuevit . Unde difcere proclive efl , quod coefficictis termini eujusvis eKprimat numerum permutationum litcrarum illum termi- num conftiruentium, ipfa vcio rerminomm multitudoin quivis po- teftate lequenrr numeio combinationum , quf mter partes radicis ne- glefto earum ordine lccundiim indicem poteftatis datie inltitui pofc liint, quarmnquenumeiusper cap. f""" invenitnr. Quod obrervaiTc opera pretium aliquando non exiguum erit > cum exindepromtedefiniripolTir tum muititudo teiminorum, tum termini cujusvis coefficietis in quacunque poteflatc. Ita, cx. gt. decima poteftai trinomii s+i+i, pec teg. cap. 5» eonllibit ter- minis'i^-00 66, quorum*' t-' «perreg. 1 eap. i ml coefficienrem habebit , t :r^7 n 7 . ; , g rfr X 1510 . Paritec cubus radieir qua- diunembrisj+i-f-i-r-iirantinehLturteimimji-^ x 10, ejusq; lentvini4 alisecaidem, fitque deteiminandus numems harum. eombinarionum, tam (ecundum lingufos qulm (ecundum omnes exponentes . Conflat , ante omnia eic cijoncs folius 4 *, incltifb nul- lionequemunitatis notl defigrumns, fflehuquinquer l,/,m,4 ! ,J*. Singulis harum applicerul litera b, primb femel, dein bis, tcttib ter.utfiancnovas eletriones: 4,4*, 4 j*,4J'i,i^*:tiection, ib, * (f, **hh, *Hb, j*W; utflr.4', *i', rfji 4'*', 4**', plaue ut faftum cap. 6 , Sed harum electionum illae, quas t femel tngredi- rui, pericg. 1, cap. 1 ardine infuper recipiunt permutariones 1,1, J>4>5i prima vid. unam b, teunda duas 44 8c *4 , tertia ties jjt, jij,tji8;c. JlltEverb, qnu i ingreditur bis, oidine per- mutationes admirtunt 1,3, 6, 10, ij, juxta numeros fcilj. trigona- les; ptimaTiempe unam bb; fecunda rres, 4*4, b*b,bb*- s tertia (ai,**bb,*b*b,*bb*,b**b,b*b«,bb**.$K. Erilla, in quibus * teroccurrit, permutationes otdine capiunt 1,4,10,10,35, juxta numcros pyramidales: quemtdmodum eriam illa;, ft qux datentur ejecciones, in quibus i fipiiis adhuc recuirit , peimntiriones admit- rtrent fuxta alios Sc alios figutatos gradatim altiores in infinitum , Hoc peraao, fingulis prscedentium eleaionum permutationibus 1 5 4,4; 44, *b,b*,bbi **, 444, 4*4,444, *bb,b*b,bb*,bi;Bu. terria porrb Jitera ( nunc femc! nunc bisadjungi intelligatur; ita no- we piodibunteleOiotKS, **f, *bt,btt, bbt; *U &c. ij4 KAKri S CONjECTANDl necnon, f(; tcc,bcc; atic,tlci,i : •mUc JO 4*0 btt J 4#f rifcf J° ffo tci J JO t'bht ('« 10 Ptrmtt. 401 f CoUigittir hinc, qui>d ex rribus divcr/is notis numenJibils ( non computato nallione , quo nulLi euum Mcipiiur ) formjri polTunt 4,014, diverfi numeti , in quorum nullo uni nocuum lsepius quJm quater, altcra quim ter, & tertia quirn bis repeatur. Sem- per autemomnes not*, quoties polTunt, fimul liimtsc, hoceft, combirutse ftcundum cjtponentium miximum rot numeros fuppe- diranr, quot uumeros easdcm cxhibeot combinat* fecundtm eac- poneiicem proximi minorem; quod Thcorema notatu dignum. Hic Junt, qug de Arrt Combinturu dicere in prafcis fultepi- mus. Potuinemus quidcm pofiiemis hiice capitibus, ubi in com- binttio- DigiiizGd byGooglt PARS SECtlNDJ. 157 fcinationibus & ordo attenditur, Sc una eademque res eandem ele- flionem fopiiis ingredi polTe concipirur, varias iterum quiftioncs nobis enodindas proponere , St inquirere, in quot combinatiouibus una pluicsve rcs eonjunQione vel divilim reperiantur,uti faQumcap. 4'° ; aut, quot combinationes aliqua ics femel, bis,ter, quater &c. politaingtediatut; aut, quot fint ilurum combirationum, incjuibus nulla rerum datarum plus un5, duabus, tribus&c, vicibusoccuriit; aui inquibus delignau quapiam res ptimum, fccundum, tertium &c. locumoccupac, aliisve circumilantiis veititaapparet, Sed quia qmeftiones ejufinodi in iniinirum multiplicari polTunt, maluraus eas omnes faic (icco pede preterire , & (i quas caium deinceps ex ufu nottro fore videbimui , earundem applicationem & enodationem in 'reUquax partes rcJervare, qulm ad paiticubria nonnulla hk loci dc- fceodendo opus nunquam pctficienclumaggredi. Hk itaque fecun- dx Paiti limites rtgimus, mox tranfituri ad cxtera inltitutl noftri capiu, ufumque prolixum doctrinz hujus de Combinarionibus in Artis IjS TIS CONjECTANDI ARTIS CONJECTANDI PARS TERTIA, Ufum praecedentis Do&rinae in variis Sortitionibus & Ludis alca: . ifcgjCTJ^f finicndis Expcctationibus Aleatorum per varias Sorcitiones & Ludos alea: hac partc explicemus. Fundamcntum generalc hujus tndaginis in eo confiftit, ut omnes permutationcs vel combinationcs quarum fubjecta materia capax eft, pro totidem babeantur cafibus ique poiiibilibus , & ut drligcnter attendatur, quot horum cafuum huic illive collufori faveant vel advcrfentur, e quo dein czetera per doctrinam prima: partis abfolvuntur. Cum vcro fpccialis fundamcnti applicatio non levem ftepe induftriam requirat , & excmplis melius quam pritceptis addifcatur, noIoLc- tlorem prolixiDribus prolegoinenis detinere, (cd abf- quc mora ad ipfam cnodationera fequentium Proble- expti(*nt matum Digitizcd B/Cooglc PASS TE R TIA. i J9 matum tranfeo, quse nullo fere habito feleQu, prout in adverfariis reperi, proponam, primitTis etiam vel interfperfis nonnullis facilioribus, & in quibus nullus combinationum ufus apparet. Problema I. Quidam duobut calculis albo nigro^ in urna reconditis pramium froponit tribuf AfBfa ca lege, ut quialbum extraxerit, pramio potiatun fi [ecus omncs faxint, pr^mio quotfe careant. Primus autem extrahetipfi -d, f$ reponet; fccundtls B, tertius C, Quxruntur fingulomm firtes ? Iquet, hune cafum tanriim fpecialem effe Problematis gcncra- lioriSDCcalionePropofXI. part, i. pag, j+, tbluti, quoplu- Hum Alearorum forees explorsvimus^qui ajquaJi an iniqua- L,(brtitionum a fingulis conrinui inftitucndarum numcro aliquid jte- ftare fufccperunt; ubi fortetn eujuslibet hlc generaliformutt cxpref Gmus; ( " + '_ Itaquecum in prasfenti exemplo lit. a (nu- metus omniutn eafiium ) ob duos tanrum calculos vaJeat * ; c (na- merus eorum , quibus pralcriptum non impletur ) ob unicum ni- gnim valeat i ; n oh unicam (bititionem k ftngulis inftituendam iti- dem i j i veri ( numerus omnium foititioniim hane praeeedentium ) pro ptimo A valcat o, profccundo B i, pio tetcioC i) fict (fub- flitutis iltis literarum valoribuaj fors primi A^, fecuudi Bj_, tcrtii C Cc utipil qiioq; aieam ptoponcnti relinquatur ifuiprKmii. . . S 2 P&o- i 4 0 i^tJtTIS CONj ECTJXD/ Problema II. Ctsteru poptu , ut prius,fi alu Hrabeuta o- mni jure in pramium fi abdicart uoltns, jubeat reliquos tripartiri pramium inter fe, Jt nuUm eomm album calculum tlegerit; Qu&runtur tum eorum fortes? Quia lic omnc jus prsmii in folidum mnfir in tres reliquos , petrpicoumeftjUniuKaiusqueejtpcascionern meliowri jL, hocell, incnreeju* . quod jiucu pratctd. hypoth. fbli Brabeura: eonveniflet. Quoc.rca addiro ,\ feorfim adi, &J , hafaerur expeOHw primi H , fecundi & certii PROBLEMA III. Sex, A,\B,C, T>,E,F, jujfu Trincipu, qui poftremismagufa^vetquamprimu^aleaptri- clitantur ; primi duo J$ B feorfim fortiri incipitnt; utertorum mcerit,fortietur cum tertio C, uter horum fuperior evaferit, cer- tabitcump; ficporroufyadultimumF; prammma^ reportabit, qui pofi ultimum congreffum viclor/uperent. Supponitur au- tem, binos quoscun^ ■equa firte inttrfe cer~ tare, hocefljieutrum alttro potiorem advin- ctndum expetlationem habere. QuaruntUY sfforum fortes? PARS TERHA. 141 Primus A pramio potiti nequit, nifi omnium reliquorum quin- ique vitlorevadtt, hoceft, nifiquinquiesconrinuovincar; uti&fe- cundusB: fed necterriusCpalmam reportabicnili alterutmm pr*- Cedentium A & B, 8c omnes cres lequenies fuperet, hoc eft, nifl quater contfnuo vincat, nec + ,ul D, nifi cum uno trium praeccden- cium imWs ftquentes, hoc eft. (nifi ter continub vincat , & fimili- ter dereliquis. Unde conftat, Problcma hocprocafu Ipecialihj.- bcndum eflecjus, quo quauunrur expeftariones cofIuforum,quiali- quoc forritionibus quidpum aliquoties prajfhre fufcipiunt; cujus fo- lutionemtdPtopof XlIpart.r.pag,j8.tradidi,Tabelli ineumufum fuppuMtl, juxt* quam primi vel fecundi fors eric^j tertii quarri qtunti " , & fctri i, hoc efr, ( quia * ad i haber rario- nemduplam ob *qualem in quivis fbrtirione numerum cafiium sd vincendum & perdcndum) fors primi vel fecundi , tercii & , quar- ti j, quinrU, Sc ftstri ? . Undcparer, exceptis duobusprimis, qui aequali expeftarione gaudenc, cjuemlibet reliquorum proxime praj- tedenri duplo poriorem forrem nancifci 5 omnium verb expeaario- PROBLEMA IV". Cxteru pofitu, ut prius, fifingamus non aquam ohtmtrt fortem in quavu alea, fed unum- quem^cum fecundo a fe congredienttm du- plb, cum tertio 4&, cum quarto $c. plures ad Dtncendum quam perdendumca- sushabtre, exceptis tantum duohus primu, quos aquo Marte certare ponimus: quari- tur, anfic omntsfex aquale jut acquirant in S 3 pra- i 4 3 L^XT/J CONjECTAND I pramium propojitum, compenfatis per du- plam proportionem captum fubduplU txpe- Bationibm prAcedentis propofitionis ? H!c ob divecrtratem fortium, quae in diverfis aleis regnat , eaJ- culus paulb incricatioc: Confulatiu Regula ad calcem Propof. XII put. I. pag. 44. & fbrmula,quam fuggerit, ubi literx bth Scc. numeras cafuum ad vincendum, & *-«*— «■««*• m, ,c». -m. Mi»jM qua: ad idem nomen j44.1t reduQx monftrant, illas valde diverlas efle-Sc fehabereut 7680,7680, f+4-O, 4488, 4210, 48I7S & quia prateisi unum integrum exhauriunc, eoiplb piobitatem me. Problema V. aA ccrtat cum B, qubd tp/e ex 4.0 chartu Itt- foriis , id efl , 10 cttjusfy /peciei, 4 chartat extracrurtts fit, ita ut ex itnaqua% /pecie habeat unam. Qu&ritur ratio fortium ? Problematis hujui in Appendice Prcblematum Hugenianonim oidine tertii folutionem jam parte piirai exhibuimus : nunc oflen- dtmus, quo paito idem alitei, in auxilium vocata Combinationum dottrinl eonfici poflit, Huncin fincm quearatur , quoties tx 40 chanis luforiis quater- nte poflint accipi, hoc eft , quxrstur numerus quatemiomim in re- bus 40, Inveniuntur auccm per Cap. IV. part, >. quaterniones ifti Digilizsd b/Coogl PARS TEJtTIJ. t+c ifti ;rj gijgchabtndiprototidemaleaeejfibus^qui o- mnesa^ue faciie evenire poflW. At hoiutn cafiium func 10000, qui Pioblemjtil condirionem implenc , faeiuncque ut cx unaquaque chattarum fpecic habeatur una, quod fic oftendi potcll: Pono pro 4 fpeciebus chartjrum 4 celTerJs, & pro lo charti* tujufque fpcciei deccm facies feu hcdras in quaque tellera : fic toti- derrl erunc divcrii jaftut in his celTeris, quot chaitarum funt quatcr- nioncs prslcriptam conditioticm adimplenccl; ficuc cnim ad hanc implendam exquavfa Ipecie neceflario una rcquiiicur chatta & non nifi una, ita ki quovis rcHeraium jafcu lingula: tcflera: ncceffaiib u- nam St non nili uruun faciem fuperneolteutatK. Sed e* iisqua; Hugc- nius ad Prap. X. part. I.pncBtut, coiligi poieft , qubd in a-cjuf- modi tefleris reperientur fSQus 10.10. 10.10. X 10000; CTim crgb tocidem lint chaicarum efeftiones ipfl A faventcs, cajtera-que S 1 i^o concra certaiiii praflnt, Icquitui fortem A ad fortcm B efle ut ioogo ad g j jyo, leu uc 1000 ad 81 jj. Problema VI. ^Affumtis \i calculis , 4 albis 3 nigris, cer- tat A cum B , quod velatis oculis 7 calcu- tos ex iis exempturus Jit, inter quos tres al~ bierunt. Qufritur ratio firtis ipjius A ad Jorttm ip/iits B ? Prablema hoc , quod in Appendicc Problcmacum Hugenia- norum eft ordinc quartum , in hanc Partem rcjicere coaili fuimus, pcopcerea qubd ejus Ibiutio alitei quam combinacionum ope, qua- rum DoAiina fecunda demum Paite tradcnda eiat , dirficulcer inve- fligaci pocuilfet. Conftlt primo, tot elfe ill univcrfum aka: pcopoflta: eafus, quociei ex 11 calculis (cpceni poffunt eligi , nempe ; '' 7 T X 7?i. i-4 ut prius> fiin manipulo char- tarum plures konifmu Jignat* exiflantytlle- que vincere cenjendus fit , qui f>rimam ea- rum traxerit. Qu&ritur tum ratio for- tium ? Hk lortcJ collulbrum non ampliiis feqiutfes lunt, fed quivis pracedentium unoquovii fequentium poriorem conditioncm nancifc citut, live eorum numerus numcri ehaitarum pars aliquota fit fcu fc- cus,obrationem , quod (ignaraium piiim, aqui fo\i viclori» dcpcn- det, faciliiis primum locum qulra lccundum, & hunc racilius quim teirium &c. occupare potcft. Etciiirn qu6 anreriorem ift.i locurn uccupar, eb plura crereris Jignatis pn!\ fe loca occupanda iclinquit. tft vcrii dererminemus numerum eafuum , quibus unumquodq; (iar, fumamus ex. gr. charras n, LltcTqtK illas 4 iconihns confpicuas, nam cadem oprrnndi mcthodus nbique. Tum (i ptima charra iconc %nata prinram locum occupet, reliquis nibus utidacim parent loca rehqua ; undc tcina hoium qualiacunque occupando rot cafus divcrfbs erBciunt , quot contraentuircinariiinrebusundecim, nempe X i£c. Patiterli prima lignata charta fccundum locuir» tcncar , icliqua; tces exdecf m locisreliquis tria qualiacunque occupa- bunr; quod tot diverfos cafuspisber, quot tcmarii comprehendun- tur in rcbus dcccm , vid . '''^ 1 ' X 1 10 . Ruifui, lignatarum pri- mi [cttlum locum occup.inte, reliquistantum parcnt locanovem, un- de toicafusemergunt, quoc ternarii cominentur in rebus o; 8cf(cul- ccritis;uxra lubjunclumlaterculum, in quo prima (cries ordincmcol- lulbrum, li vis, trium A, B, C alrcrnatim trahoitium; fecundalu- ries loca foliorum; tcnia numeros caiuum. quibus primum Iblium Ggrutum in loca refpondentia incidere potell, exhibct , Hos cafua dcter. >ARS TSHTIA. i 49 dettrminant ipfiflimi ccmarii, quos ordine rwipiunt res 11,10,9, &c. eofdem d^terminarent earundcm binarii, fi 3 tantiun foiia li- gnaca ponerentur; &unitates, fi duo. OidiCiHif.. I A.-B. C. A, B, C. A. B. C. A. B. C. Ltufitwnm, 1. x. 4. ;. e. 7. 8. a- IO. II. 12. N««.m/«bb j i6 f . 110.84. ffi.j;. 10. 10.4,. ,. o. 0. o. Omnes vero hi eafusieque fccile evenire pofliwt, & fumm» eorum icqualis numero qustemionum in rebus 1 1 CO " "' co 40;: quanquam enim finguli horum eaiuum ingentem numerum ali«rum cafuum ficundariorum fub fe comprehcndunt: (eorum fal, quiexfoll tranipofirione + foliorumiignacorum inter fi, & g non- fignatorum inter ferefoltantj attamen hi cafus fecundarii magno compendio infupcrhaberipouW, qufid tum ipfi a-que funt procli- ves,tumidemipforum numerus (ob conftantem foliorum 4 Jigna- torum& gnon-iignarorumnumeiumjuni ptimario relpondet: cui- quc videl. primario 1.1.1.4 in I.».j4.f.<. 7 ,j X j+ 111 4 0 }» 1 X pi(7iS8o ficundarii, pcr Cap.I, parc. 1, Etveroajqua- lis numerui cafuum feoindaiibrum ;eque proclivium caCim mque piodivcm primariumefficit, pcr Cor. j. Prop. j.part. 1. Quibus ica oilcnfis, li Ibncs collulbrum deiidcrcs, necefletan- tiim habes adderc in unam fummam numeros cafuum, locis illin refpondentcs, in quae quifque collufor incidit. Atque fic rcpcri- tur numcius cafuum ipfi A raventium nJf+ci+^o 00 111, ipfi 8 '!■>+;; +4X1;?, ipfiC »4+« + ' X io; ; undc ratio for- lium fic. ut 131, i«p, 10;, five ur 7? , ;j,,;. Notandum lioc Problema relpfeidcm tflecum ficundo AppendicisHugenianreparr, 1. nomine tantum calculorum in tblia lulbria muiato: cujus proin- de foiutio quo patto aliterquam ibi hiberi , & ex eombinationuni conuderatione elici poflit, nunc oftendimus, Paulb intricatius cft hoc, quod fequitur , T j PlO- i 5 o ^AKTIS CONJECTANDI Problema IX. Caterif pofitis, ut antea,(i CoUuJbres ita pactf cantur interfi,utvincat ille qui plures ima- gines traxerit; fi 'vero duo pluresve *qua- lcm accepcrint imaginumnumerum, nqua- Itterquoque depofitum inter fe partiantur , reliquis, quibus minor earum contigit nu- merus, nihil habentibus. Qutritur tum ratio fortium ? Si numcrui eolluforum eft pirs aliquou iHirncri eharrarum, noit opus cft fpcciali dcterminacione cafuum : icd abfq; omni calcu- lo conflare pctcft, quantuscunque fit uterquc & qualiscunquc etiam imaginum numetuscxiftat, fottcs omnium coliulbrum intet fe x~ qualcs clTe debete ; ciim cnim iis omnibus sque multa folia in pat- tcm cadant, & fignatorom quodlibct ad qucmlibet locum indiffe- remer le habear, nulla rario eft, cut ina-quali fbliorum numerohic potius qulm iUc majoiem minoremve fignatorum numerutri c.x- peflet. At fi numerus chattatum numeti collufbrum non fit exafle multiplex, aut ttiam alias non aique multafoliaomnibusextrahenda concedantur, ( qm fivc alternatim livecontinuoextr» hanc, perinde, cum circumftanria ordmisinexttahendo hic nihil mutet) tum for- tes eoiumitidem runtinatquaIes,eoq;difficiliusreperiuntur, quoma- }orrumcolluforumtum fignatoiumfoliorumnumerusexiftit. Obfer- vo tamen, qubdfiduo tantiirnfignaiaadfinr, collufbrcs vcrb quotcun- quc, fortes iflaifcmperfuntfurura; utipfinumerifolionun , qua; quifq; extrahet ; prorfus ut fupra Probl. VII, in hy pothefi unius fblii (ign . Po- naturenim numerus chartaium t, equibus uni collufbrum cedant *, alii t , tertio i ehaita;, Sc eonfiderctur , qucd in charris b t quas Dulizod b. !• 4 B S TEILTtA. 15] prirnus obtinet, figrutarum vel altera, ve! utraqne, vcl neutra re- pttiri poflic. Si alter.1 tancum adlit, illa vel primum vel foundum vel tettium &c. locum in iliis ichartis ocoipabit, inrerei dum al- tora cjuooue promifcui unumquemvis.reliquoium »— ilocoium ot- cupire pocelt^ quod proin t.t-t 30 *t~ib diverfos cafus fup- peditac, Siu »mbfe lignaca: chaitaj- primi ingredianrur, ea: vel pnmum &fecundum, piimum & teitium&e. item 2 dum & ;'! , " n &c. locum obtinebunt; unde tot cafuum variclatei emergunc, quot biniones in rebus i habcncui, nempe ' t ' ■' co : qucmad- modum eciam ob candem rationem univerfus numetus cafuum x- quacuc numeio binionum contentoium in univerfis * chartis, vidcl . 30 ~ ■ - ! intellige, negleflis iis cailbus fecundariis, qui exfoli ucriusque lignata: inrer fe, & non-fignatanim inter k pei- mutarione oriuntur, utpoie quorum numeius obconluntem (igni- carum & non- lignacarum numeium perpetub eonftans manet : quod moxinfraquoque, ut&infequenti Pioblemace &limilibus exetn- plis femper fubintelligendum elt, etiamli exprelsi non dicatur. Jam veib diclus collufur , cum unam lignatam obtinuerit, fcmif- fcm depolici ex pifto confequetur; & ciim utiamque, torum depo- litum : quapiopcer habcc *t — it cafus ad *J, -^^cafusadi, &cie» teros, qui complent numerum — — -, ad o; id quod ei per Prop, j, pirt. i .foitem parit Eodem modo forscjus, cui cedu.it chaieac' ( , invenitur ? j & ejus , cui i chatKe , \, &c . adeoque rario forci- um, mt,e,d, numeci £il. chartarum, quas finguli aceipiunt; quod oftendendum erat. Emri verh hunccafum calculus paulb morolior evadit, & fc- . pe tidii p'eni(Timus , prsfeirim in hypoihcli fignataium chartarum &colluforum pauli plurium, ubi multiplex compleiionum vatie- tas diificuher fub regula generaji cogi potcft. Inierim moduj ope- randi fcmpcr idem, & in eo eonfiftic, ut ptimb exploiecur, quim vaiie fblia (ignaM inter coilu/brcs difliibui pollinc, hoc eft,quotma> dis pjiiibilibus numcrus corum difpefci queac in cot paites> quot. 152 ^iXTJS CONj ECTANDt fiiuc collutbrcs, quiTuintjuepattiuiiinDllanumciumfblioluinrefp^ ctivo coliufbri cedentium fupercc (quod eoftrc modoeJficirur , quo fupiapart. i. pag. 10. ad jaQus punfloium incciTerii invcliigandosufi futmus, nifi quod hiciplam quijque cjphrim pinibus accenfcamus ; cuoi utique fieri polTit, uc unus alcerve coUiilorum nullum ex foliis (ignatis confequatur); deinde ut fiippucttui, qtlot cafiii (inguiisiftit ivriatioiiibus icfpondsant; quorum numeius inirui fumendo pro- du&um continuum eombinauonumex icbus cor, quot quifque char- tas acoipit, lecundiim numeium liguata.iurii iis permiluium ceuex- ponenccm; veluti fi CJt ch.:nis 40, qu:.cum 10 funt lignatae, unus coliufoium eximete d.b.-ai tS, alius 10, iertiu5 8,&quarr.iJso';qui- raturque quotcafibus conriiigerepolTit, ut limul inienhaiiis primi icperiantul iignata: 4, fecundi ), tcrtii 3, 84 quarci o; mulciplico nunietuui quaranionum in icbus 16, ceinionum in 10, ccinioniun in S> Si nullionum in 6, in fe invicem, & produdlum '*''* ia f '*' . in in 1 X 1810.110. 56. 1 X 12130+00 qucefico la- rsfjfict ; un ex fup;a oftc.ilis coKigert facdecll. Quoniam .r.itcm :n integri l'roblenij:is crodatiorie cakulonoii. nunquam conruclioie u;i liceti non abs ic euc. lem toum fpeciili .-.i'c|ja e*emplo iicclara;e ; iuiiw chaiije 10 ( i;uajum 10 flgrutar ) altenutim ajlinbucnlr intei collufo.es uesA , B, C, fiem pnmus «tnfcqujcut chirtas 7, altei 7, & ceitius uwum 6; quacaiicuique euium cxpccbuone< . Ijquet pnnio, neii poife, utin 7 chaitis pri- fpi collufotti t.i nulla, vej uru, vel iiue, ;, 4.,S,6, velde;iiquC7 fi- icperijniur . Si fr rjniiun una vtl 1 vci 3 iign;m adli.-it, eum iiujiltbi!it:r pcruituiurn; quandoquidem reiiquorum alteruter ncceC- farii plures ti iiius acquiret, & fic cx pidco vin.et : quare nume.um Jiorum calituni inirc liipciicdeo , (j£ llatim fuppono , ipii A 4. fignjtas obtingere; quo |>adlo uni rcliijuorum cedere poiTunr vel fex itgnara: riiiqua:, vel vel pauciorcs: fcd quoniam (juatcnus ei ; vel dce- dunr, catc.ms pii.i-jic c.>ILif>ro.ii A ; l.kirco Gc hos cafus clu inutiks pratLico, & niox tranfLoad fignatas + Sc 3, tiibuendo jpi li 4. & C : , vel B 2 & C + , vel denique utrique J. ( q u -rum hy- podvdiuni dua; prions colluforem A ex fcmiire , tcuiaex aliedepo- OiqilizMD/Googlc P A R S TE J! T IA. 155 fti poflcfToicm rcddunt) atque per doftrinam piseced. reperio, ca- fuseiTc[S;7jquicolluforibus A,B, C, (ignatas 4 , 4 , 1 : eafus noif, quiiis4, 1, 4SCCIUU 14500, qu: 4, 3, 3, iignatas advehunt. Dcinde fmgocollufoii A obringcre (ignatas j,fic reliquas j vd folusBvelfo- lus C habcbit; vtl pariero cjrum hic, partcm ilicaccipict.-atq'; idcirci 31 numerum quinionum in rcbuS7, duco tum in n numerum toti- demquinionum in aliis rebus 7, tum in 6 nomerum quinionum in rebus d,ad habendum cafus 441 + 11« X ciS7,ejui" Ihiguli coHufori A5 fignatas fk aitcruni rcliijuoium 5 rcliquasaflciufit, adcoque ipli A ierailTem depoliti luciantur. Haud icciij etiairr fiipputantur ca- fus, quibusfietipotcft, utdum A ; lignatasobtineti reliquorum uni obtingant4 Scalteri 1, vcl uni 3 & alteri 1; fed nonopus eft iflhac defcendcre j polTum enim collufores B 8c C fumere pro unocodcm- que , Bc qurefitum abfque diftmftione cafuum breviiis obcinere, (i i llg/numeroquinionum in chartis ij,quas(imul amboreliqui con- fequuntur, fubducantur pr.tccdentes 11-]- 6 X 17 cafus, quibuso- mnes ; lignatse eorum alterutri obtingunt ; ac reliduum litfo duca,- tur in 11 numtrumquinionumin 7 chartis ptimi: lic cnim prodeunt cafus 26460, qui linguli coilufori A iniegrum depofitum acquirurif . Tandem etiam pono collufori Acvenire lignacas C vel 7, & orii* nunc ultri (ignatanim femifTem habct, vide6 illum neceflarib vi- ftorem evafurum, quomodoeunque cetera 4aut j (ignata:iniercol- lufores B 8c Cdiltribuanturj quare neglefta Sz hic fpecialiote paiti- tione, ipCsque B 8c C pro uno eodemque collufore habitis, fumo «x ij eoium foliis omiies promifcue quatemiones & tcmiones, eo- rumque numerum pcr numerum fenaiiorum Sc leptenariorum in 7 chlttis piimi compiehenforum figillatim mulriplico , ut Jiant joof + 18S X tiji novi cafus, qui colluforem A totius dcpofiti domi- num fcciunt, prout tX appofitolaterculo appaict: □igiiizcd b/Google x^iRIIS CONjECTJNDT 6 4 7 3 16460 fQOf 186 His peraftis numaros cafiium , quibiu collufa t" A inregro dcpolito Cbdrunahttft conjicio; nec non iilos, quibus dimidium dcpoftti acquirir, in aliam fum- mam addoi tandemque etiam numerum omnium abfolure cafuum, quosio iignatae in chaitii 20 for- maic pofTunt , inquiro , qui eft i847f6: & fc leperio, illum habcrc ffiif 1 cafus ad 1, »9967 «d &c reliquos ado; quod expeflationem ipfi parit ffi^Tii Et quiafeundus B ex manitwlochartarumtotidem, qnotpnmus A nancifcitur, habc- bit & ipfe ; undererno C relinquirur yljy^, qiueportio etiam ab initio eodemmodo computari potuufet. Eritigiturfcrs alterutrius ex duobus primis sd fortemtertii.ut 141469 *d&4f74> mijot multo qulm 7 ad 6 , qui iunr numeri folioium qua; flngulis ex manipulo debcnrur. Problema X. Quatuor CoUufores ^S.CD, eodtm patlo quoin praced. tnter fe inito, luduntibfoliu^ quorum 16 iconifmis fignatafunUatquefin- gulis fingulafolia ordine atque alternatim dtflribtmnt . tAccidit autem, ut diflributis jaml^foliu, ipfi-d in fortem cejferint 4 ima- gines, tpfrB itCttfDltficut refidua fint 13 folia, interque iila 6 fignata. Quartus ; D (qucm nunc ordo tangeret proximum acci- P J R S TSXTIA rjs ptendi folium ) videns fibi omnem fere vin- cendi ftem cvanuiffe, alteri cutdamjut fuuni •vendere wlt . Qu&ritur, quantt? $ qua Jingulorum expeiJationes ? Pi^Ienunondiffertl pracedenci, niG quod collufores jarn iliquoufque lufum profecuti fupponuntur, Quoniam refidua ponii mus i; chartarum fblia , quorum primum ipfi D deftinarum, fcquens ipfi A, senium ipfi B, acque ica ordine ad ulcimum ufque, quod nirfus ipfi D continger, fequirur, iplum D 4. fblia ex illis tj accc- pturum , fuigulos vero reliquorum tri.i ; adeoque D non plura figna- tiquam^., nec fingulos reliquorum plura qulm ) (ultra illaijuas jam liabere fupponuniur) confcqui pofl*. Quo obfemco difpi- ciendum, quot diverfis modis relidua 6 fbJja fignara inter collulb- res diftribui poDinc , fic ut ipfi D nunquam plurs qulm 4 , nec fin- gulis reliqorum plurs quam tria obiinganr : ac deinde fuppuran- dum, quot rurlurn cafibus fingulae ha; murationes fint obnoxue; prouth:ecomniain col. 1 fubjunQae tabelte cxhibcntur. Fit au- tem operatio prorfus ur in prsced. Probl. ur non opus fit ejusex- plicationi fufiiis inhaaere . Solum hoc artendendum, qudd fuppu- tatis cafibus, priufquam conilare poffic, quinam huic illive collu- fori ftveanc, nuineri fignacarumdiattanimaugendifint illis fignatis, quasfinguli collufores (antequam D fortem iuam vendiihlTet) ha- buetant; ( quandoquidcm ab utrifque comundtim viftoria depen- dci;) numerus fcil. fignatarum ipflus D augendus unitaw, ipfius A quacemario, B temario, & C binario; uti videre efl in col. s tabelUe Joco piioris furrcgandi. Tum vero colligendi funt in u- nam fiimm.m omncs cafus , quibus fuiguli collufores vel torum de- pofitum, vel dimi iam, aut j aut + tim partem dcpofiti auferunt, vel quibus omnino nihil impecrant: quo pacio invcnittur A habere 10) f cafus ad obiinendum i, 399 cafusad &c. ( ut feorfim in adjunclo ubcllae latctcnlo notatum cemis,) qui omnes colleifi ta- eiunc 1716, (quantus quoque prajcisi efl (enaiiorum numtiui in chirtis 1 J , J Quocuca fiec fors ipfrus A 30 ^ARTIS CONj ECTANDI <'-••)■ '+)»»■"*+ » ■ _ +!*■ "* + ' J> ■ ° ' : ~ X !+'! :8cfimiticeripfiiis B X T |+; ; ipfius C X jtff ; ac tandem. ipiius D X U U; Ik utratio fbrtiumfit, ut 1453 , 7+1, 1 ;+> 6j . Nocandum , qu&d li durta refiduiE non fiiifTenc nm paucae , neqilc numeri cafuum invenru «deo facilcs, oparie prctium fuiflcc, eodemquo in praced. Probl. compcndio uti; priefertim si unius tancum colluloris D quarenda eJtpeiUtio fuifiet: tum cnim licuif- fet pioterire omnes paititionum modos , qui ipsi non plures quant duas, h.e. (cum ea quam jam habere mpponitur) quim crcs fi- gnacas atrribuunt; & ex reliquis dunuxat illoa paucos confidcrare , qui nulli cKterorum colluforum pluresquim huic fignatasaddicunt, quiqueintabulalit. N notati confpiciuntur ; ciim in caneris ligna- tanim parritionibus omnibus eum vi pafli toto dcposieo privari sit confpicuum. Nota denique idcm fbie genus Problematis, si loco chartarum luforiarum alternatim accipiendarum caiculi sive fchedu- Bsalissve res fimiles, quarum aliquat finrfignatse, in loeufo vel ur- na recondanrui, atquc ex iis eollufoies aliquot alii paucions alii pluies, sive fimulSc femel fcu fucceflivi, eximant, el condicione» ut ille vincere cenftndus fit, qui plures fignatas ejcemerir . Sup- potandi enim racio ubique eadem, neque (quod iterach fiic mo- ato) circumfUntia hsc de eximendis continuo vd al- tcinatim cakulis quicquaut ad rem. &cnv P A It S 7EK1IA. »57 D A. B. C J. — ■ ■ l" T f" I 16 4" 6* 4 J ' 1.—. — : .\\ '. ,2 1. f. 6. 4 J — 1*. 1 j6 4' 4* f ■ J — .a. . 3 9 l. 6. 4. f J 1. — . 2 36 4. f. j. 4 —.1. t. 3 9 1. t. f. r J6 4. 4. 4. 4 1« *7 1. 6. f. 4 J 1. I. 1 108 4- f- 4- 1 4 1. — .— ., 1." 1. 1* 1. 6. 6. 2 4 —"-.2 | r! 4. 3* 4 . 2 1. 4 - 6.4 1. 1.— 3 f. f. 4. * N ■• 3 2, 6. J. f 4 9 f, r- 1- 4 — . I. I 9 r. 4. 4. 4 1; \\ ■ J 3& 2' f' 6* J ,1716-C^iu. • 3 16 2. f. 4. f I. z. 108 2. 6. f . j \' r' t H 1C.8" %. f. f. 4 A B | C \ D. a " I* - °>f 188I 21 -T * 18 J. 7! j! J i 555 J42 66 2*. 1". 18 j! f! z 9 9 9 ig ! ;6 J6| 36 6 237)"4i|'f8j 1647 2 T" *— . f4 j. 6. f. a c**» II 14 J. 6, J r 4 f4 3-4- f ■ 4 f6i J. 6. 4. j rfia 162 j. r- r^ 3 J. r*4-4 Digitized b/Cooglc 158 LJXTIS CONjECTAXDI Problema XI. Tropofitum fit , fex ttfftra jaHibm ftx ejus bt- dras jactre,fingulasfnrulv,/ic utnulia ht- drarum bts rtdtat. Qutritur expeStatio ad boc efficiendum? Patet, iinRulos teflm jafliw f« cafibtu fubefle pro numera ne- dtaram. H»njm nulla aleitori primo jaflu contraria eft } fectmdo laftuhedrapnmi jaetto ci eft advetfi, citeristatramqu.nque ftven- tibus . Tertto jadlu hedrae duoram prtecedentium jsfiuum ipfi no- cenr, faventqne tantiun 4 reliqu*. lu quarro jaflu dunraxit ipti prorunt hednE j.quinto tantiimduat, & fexto unica. Proc&tna Ehuc redit, ut inveniatur expeccatio cjus, qui fucccffive fexiei re dcbctahquid, /umrna omnium cafuum in lingulis alereejti- 6, mimcro verocafuum ipsi favenrium in primialeStf, mle- condd j, intertiS+^&fic porro. Hiecad Prop.XII. pr.parr. ge- ncralitcr inventa cll ~? ubtt,c,b &c. fcotllm vaJent 6, * 4 &c *> d,g &e. vero llngula; 6: unde ^j^-' X e'«' t 'j'a' « X> Problema XII. Tropofltum fit, fex teftra jaciibus ftx hedras ordine jacere, primo jafiu unum punclum, fecundo duo puncla, tertio tria tfc . Qu&- ntur expefiatio ad hoc prafiandum ? Quia fcx hedra: ordine jaciendae funt, aleatotin fingulis iaflf fcus non nifi unum cafum habet, qu, fibi pmdef r e p^. ■ unde cim riil" 8 " Lccranim &c> wImmi, erit expeOirio quefi» . . PftO DigiiizGd B/Coogl PAXS TEETIA. 159 Problema XUI. Tres colluforcs A, % C, quorum finguiifcriptas ante fe habent fix primas notas numerales, alternatimtejferdludunt bdc conditione y ut quemquu/jue punclorum numerumjcccrit, txjuisnotis deleat; aut, finon habtat am- plius , fecfuens ludert pergat, donec quis pri- mus omnesftxnotas aeleverit, Contingit au~ tem, ludo aliquandiu continuato , ut ipfi A reflcnt adhuc nottt 2 , ipfi JB 4 , f£ C 3 ; or- doque jaciendi tangat tpjum A. Quarun- tur ipforum fortes ? Problcma hocce plus laboris Sc patienti* quam Ingenii requirit : obmagnamenim caluum varietarem numeri protinus in immenfum ■excrcfcunti nec novi malo mcdelam, nili puremirs operarionem a- liquintuIumcontrahipofTe, fiex fortibus alcatorum, qua> in lingulos jiflus mutanrur, illas tantiim invdligemus, qtias pofi ternos quot que jaftus acquirunt,ciim vices ludendiad iplum A redierint, Hune infiuem confidero , qu&d , dum collufores fucccflive cres jadlus inlli- cuunt, ficri poilit, ut vcl nulluscolluforum, vel unus, vel duo, vel omnes tres aiiquam ex fuil notis fuperflitibus jaciani: quot cafibus autem unumquodque hoium fiat , ex Reg . Pi , Xllpart.i. (tihne- xa perfpicuum e/i , juxca quam ( si numcrum notarum fuperftitum pro oidine collufotum vocemus b,t,b, numerum delctaiumc,/ , ,rj fummim utriulque i + t vel t-\-f vel b+i 00 ' X 6 numero he- drarum unius tertera ) numerus cafiium, qui nulli collulorum de- lendam notam fignificant , eosque adei in priflino (btu relinquunt , iiveniturt/ii eorum qui foli A, qui foli B, tii, 6tc. ut ex ( So -kARTIS COJXfECTANDI appofiro laterculo apparct; numerus vctb omnium cafuum a' 30 fi.tf.tf 00 it quosludttm continuindo perverure pofTunt, incipiendo i iimpli. irfiimo, & pergendo ad omnes fequentes ulque ad ilatum ptopofi- tum, ordine qucm hic fubjungo; quandoquidcm nullius fequen- tium fors habeii poteft, quin fortcsor— ' ta:habcantur: i.z.x Ij.J.jL Primb pono, finguliscolluforum unicam fuperefle notam,quo icafu litcra: t>,t ,h, fingulat valebunr i, 8c fingulae ',/> r, J; confi. dcroquequid primus A viftoriS potiarur, five ipfe folus, five una cum alterutro vel utroque reliquorurn , proximis tiibus jadlibus no- tam fujmfuperliitcmjecerit: fcd qu6d iecundusB tumdemum vin- cerepoflit, cumvelfolus velcum teitio C id piacfliterir: teitiusve- ro C non oifi ciim folus id effeceiit ; unde lortcs ipfbrum hte ficnt: fots A 33 l J?±!£ t^fi— 30 JT^X^forsBX Sjj±jg Fingo deindc , fingulis prioram duornm rellire urum; & tcrtio Cduasnotas; quo pafto valot lit. dcft t , &',4: peipendoq; qubd in ptoximo jafluum rernario omnia eodem modo eveniant, licutin prseced. hypoth. cvcepto tantum , ciim folus C notam fuam fupcr- ftitemjecenr: tum enim nemoadhue vincir, ledomnes ineumfta- tum perveniunt, qui indiftShyp, pr;eced. fuppoficus fuir, Unde tient - fJlS TEKTIA. ' ISI fc»f««, A X " , X 'i^^X & B30 ■-^jy.-gi' 1 x x c M ; Atque ira relicjuonim eriun Ifitmnn (ortes prr^uiri polTunt. Sed cilculuc intcger clt homini* orio abundanris : ww occupuioni Ad ilie tnn&nUt PROBLEMA XIV. ©«fl CoUufores A$ B, tefera in alvtumpro- jcela, conveniunt inter fe, utquotcjuspuncla ceciderint, totjaftusutcrqueinftituat , tfe-% depofitum auferat, qui plura fummatim puncla jccerit ; fin autcm Pommusdeinde , primum leflera" jaflum, qui numetum ja- chium Colluforis A deteiminare debet, & iplum his jaftibus accen- fendumefle: quo posito, si primavice unum puiiftum cadir, liquet Apciditurum. IdeminteJIige, siduopunflaccddttintj rum enitn ipsi PsiXS TBATIJ, i6j ipsi A unicui jaflus reflat. quo fear ad fummum puncla faeere po. eeft, quse addita piimi jaflus btnatio non nifi 8 punfla efficiunt, dun aiteri B uconosfleiic. Si prima vicc rri* jaciantur punfla , duo luperfunt peragendi ja- ftus a collufore A, quibus jfi cafus rcfpondent. Hos intcc lunc 4, qui ipf i afferunr punfla p ( h . c . eonnurneiato pt im i jaflus tetna. riq, punfta 11J j£cafuj, qut paucioiai 8c tf qui p!uri. Hibet eigo cum 4 cafusadf, 16 id 6c6 ad rj id quod iiui fortem puit *. Si primo jaflu eollufoti A quaternarius obringat, tres ipti ja- hus infuper inftjcuendi func, in quibus lificauu teperiuntur. Ho- tutniunt it, qui ipsi idjjucunt punfta 8 ( idcA, si 4 primi j.iflus punOaacccn£as,punaaii) 35 cafus.qui puncb pauciora, U 160 qui pIuM} Un.de fors collufnris A fiet — ■ +, *°' X M eundern niodum repericuc fors cjus, li piimo jaQu quina- rius evenctit, j~ J & ubi feturius, '^jf. Eigo, ciim ptimo jaflu omncs fex hcdr.v uniui teflere afqui /iuriii pioclivi, fequitur, fortem collufoiis A, quarnab initio ludi obrincc , fote Jcxtam parcem aggregari omnium fcrtium parcicularw um c, o, |, 1*!, vidd. *|f*f i lic « collufori B relinquitui S)l, qui pioiodc in unaque hypotheli porioiet» vinccndi ipem rubec. Ut Lcetores noflri excmplo dilcant, quarncaute in hii rarioci- njis sit verfandum , ne quii nubem pio Junone capcer 5 non abs r< me raflurum fpero, li hlc fubncflam fpccimen folutiodi alicujus Iputiz atquefallaeisejufdeinPiobktnatis, qulquierere quiipofltc valorecn expedhtionisin ipfis punflia , & quam , ptiorc folurione non cogni- ci, legirimam ficeenuinam eftefacile juraret. Nimimm in 1 .hjpesb. aicontingic.utcolhiloiA unicum jaclum infticuere debeac,illo jaflu vel i.vel 2,), 4, f ,vel dcniq;opunOi impctr3bit,quorum unum- quodque eum pari facilitite accidere poflit , valebit hoc ipsi per Prop . *. pwt. 1. '±'± i ^ , - *'fa -'^ x i\ punQa, medium arithme. i«4 tfl S CO NJ ECTA N D 1 tkam intet i & 6, Sinipfocontingunrduo jjflus inltituendi , IBSj jaflibus vel », }, + 8«. veldcniquc npunrta cofifequetur; &cniii unuscifus ei1,qt!.o i punfla, Scunus quo »: dub verocafusquibu» jSt duoquibus 11 : nee ncnrttes tafus -quibus 4, 8c totidem quibu* te pundlaaequirir, &ficpotTO; cenlebirur ejus expeclatio, perProp. j.pin. ..panaotu m'^'"^ 1 ^--"^'^''^-^- - ±>J+jSml x ,.>+»+>.'+■'-^.,.*+'°+4.>+>■^- t .*+ , !■ ■'«+, .'»4.,.'* + 4.'*4. ) .u +< .7 x K .*+t.T ia J , ^ & ■ »'-'* X 7, quod medium quoq; arithmeticum elt inter exttema pun- fta 1 Sc II. Quod (l iplum cres jaituc inflitucrecontingit , potejit iliis jjttibus impepare z, 4., 5 Scc. ufq; ad 18 iiunfta, quoium quae ib extremis jSc ll «qui funt rcmota, tequali lemper cafuum nume- ro fubjjccnt ; ande eodcm modo oftendetur, quod ejus expc&tio tum v.ileat pundla io|, piedium itidem arithmerieam inter cxtrcm* }8i>!- Pariter ctiim, fi 4, f aut 6 jaflniipsi peragendi liint, ejui ex- peelatio intet 48C 14, interj Pc;o, intertf Si i6,qul funt exticmi tiu- meri pundtorum qux 4, 5 ft 6 teflerii evenirepoflunt, medis erir, jJeoquepr iflorum 14, i7fi8t tr, Qrjste ciim aeque facile contin- gere poflir, ut eollulbr A vel 1, vel 1. j, 4, f auttf jadlibus defiu>gi . tet)eatuf>xquamctiamfubebitcxpeftationemad puncta i|, 7, io-J-, ■4, 17$ Sc l(J qui numeri cum St ipsi fint in arirhmetica pfogtef- fione, interque exrremos medius exiflat n^, indicant cxpedtatio- nemhanc teltimandamefTe punftorum . Haud abiimili ratione mi dI hjpiih. procedere licet: namfi collufor A prima vice unum jaciat punfium,habebit unum. Siduo jeeerit punOa, habebit punita i.&pritereaadhucunumjaftum, qoi jpsiperanrediclavaletjjpunfta ; adeoq; cum duobus illishabebit punila . Si tria ipsi punQa eecideriiir, habcbit pr*terh*c ; puufia duosjietus, quos ipii valere diximus 7 pundtaj proinde in rotum habebit pundla Aa advehunr : adeoque i cafur qui ipfum ex (cmifle, ficequiipfum waffiviaoremreddiUK;idquodibrtemeiparic - — 00 ,T* Si primo jaftu cadit binariui, ipfe Bex pafto habehic bis duo fcu 4. puntti, dum collulbri A duo jaflua coneedendi: funt auttm m 1 jafribus jS cafus , interque illos tiej punttorum tot quot habct B, nempe puncrorom^.; ut & tret pauciorum punetontm, & jc- plurium : unde Ibrs ipfiui A fit - '°' — X f • * Siprimo jadtutemariusevenit, acquiruntur ipsi B tertria feu j punOa , ipfique A } jaflus, oui cafus ptibent Htf . Hot inttr fun t 166 ofJIT/J CO N f ECTANDI ty ponQomm novem (wt Jcil. quot h*t>cB) jiS pauciorum tc ifl! plur Simili difcuifu icpciitur, fi prinra jaftu quitctniriut, quina- liu* vel fcnarms prodierir, fortem colluforis A forc Jgg , lut jrfrj» Ciim igitut omrics 6 cafus primi jattus fint Kque procli- ves, fextJ pars aggregali hirum frjctionum f£ , |, r ;„ & rrh-n ncmpe | indicahit quxfitum; unde ilceti B telinqui. 1, /i/foi*. Sit nunc primus jaflus Bt iplc computindui cutu jaflibus colluforis A; quopolito Si unum prodeat punSum, Iiquct atrumquc coMufoium fut- bere punclum, adeoque depoliti femiffem. Siduo cnragant punfta, habcisit B ex pafto punfla. alterq; A pneter jafium quo jim funflus cfl idhuc alium inftituct, ecujut 6 caJibiu unus cil, qui * punfb (j. e. li primi jattus biiurium uni computcs, 4 punfla, totfctl. qubt B habct) uuus itidem caTusqui pauciora, & 4 qui plura ipii alFeiunt! unde fo« ejui runeeiit — »h Si triajaciintur puiiftij B punfta 0 habehir, A vero pracedemi jafluiduos adhuc fupeuddtt , qui jct cafibus func fubjecti , . Ex ho- ium numero funt 5 qui fei ipti pun&a pioducunt (h. e. compte- henfo primi jactus ternario totidem, quot B habet) 10 cafut qui pauciora, & 11 qui plura; id quod collufoii A " - 30 *l Simili ratiocinio eolliges, fi piiml vice 4, t vcl 6 punfla ca. dant, foitem collufoiis A futuiam ^ rel T;; ; ; j. Ob fex igitur cafu»primi jiftus (equiprodives, fexta pars aggregati omnium ftaflionum '., i, fl> ifr, srV^&ntrs» n=n>pe ffj-f? often- detqureiimm; ita ut eollufori B iclinquacut £'-}tJ, cui ficiurfu* ' fi potioi expectatto Cootingit , Pb.0- :"• >J*S TERTIA. ttf; PROBLE M A XVI. Mfiimatto foriU in ludo, difta Cinq & neuf. In Gallia, Daria, Succia, Belgio, mferiore Germania & lo- Cil finitimis alcs quoddam genus in ulueft, quod vocant Cmq & quodque inter duos collulores A 8c B dnabus telTeris infiitui- tur , ludendi vice* perpetuaa in k retipiente altero eorutn A . Coo- ditione* ludiiimt talct: Si A prima vice jadac ) vel n, aut punfla duplicata quacnnque (<» dsutla, rilt Qtafdj) puti duas unitares , duoa binarios, ternaiioa &c. vindt ip(e A: li jaciat j vel 9, vin- cit alter B , fi alinm quemvis punOorum jeccrit numerum , puti 4,i 7,1, vel 10 neutcreoium adhuc vicir, fed ludum profequi tenentur, donec aut j vel ji pun&a cecidcrint, quo eafii iple fem- per B viitorerit-, aut donec idem pracise punOorum numerus, qui primn jaOu prodiit, rediciit ; qui safus ipfum A vidtotem reddir: condiiio enim de jaciendia pundlis j vel 11 , aut duplicatis quibuivra ipsi non niii in primo jaftu prodeft . Quibus pofitis qufcrirur ratio fiutium ! ' Quorrfam collufor A, ejuatenus prima vice 4, 5, 7, g aut 10 punfh jaeere poteft , id fortes pervenit eriamnum incognitas & in- cxploratas , hi ante omnia veniurit inveiugandae . Ponamus itaque prrma vice jecifle quatetnatium, & nunc iri ptocinttu dTc alteium inllituendi jaflum . Quare cum in duabui tefletis tres Gnt eafus, qui eundem quatemarium tevehunt, ipfum- que 4 viftorem ludi reddunt; & aftoaiii qui t vd p pundfc affe- nmt,eique depolrti jafluram caularitun dum «eteri omnes ipfumad repetrtionem jaftus obligant, eoquenon plus efficiunt perCor . + ,~ Prop . 3 , parr , \ . quim si prorfus abeflenr ; iucirco fiet ejus expecla- tio '* "fj— x TT- Atquehiecquoque illi forsacquiritut, (ipri- mo jaflu denarius eeciderit , ilrai in duabus telTeris dcnario & qua- tetnario scqualis cafuum numcrus refpondeat . Poru- 16% CONj ECTAXDI Ponimu* ddnde, primo jaQu prodnrTe ferurium. Itaque Asa 5 ufiis finc, quibusaltero idem rcdire poceft fenarius, dum rurfus t altis } v-ei nve eodem detetminato nu- mero puti I notati, li globu- lorum nonnulli pur.i tres ab iflis loculisfuntexcipicndi, B- quet hoc tot calibus continge- re polfe , quot temiones in ie- bus 4 continentur, nempe quatuor; adeo ut a quartus mliiper glo- bultis in aliquem loculum alio numero, tx. gr. H. lignatum fered- pere debear ( quod ob qultuor uniones in rebus 4. rurlum quaruol ca- Cbus evenic) concludi poflit, quater quaiuor leu itf in univerfum' cafus exiliere, qui etriciant , ut tres globuli cres loculos n. I fignatos Sc ffmttlquarTusunum locu1orumn. c II notarorum fubintrct. Qjtem- admoJum etram colligeie promrumeli, ob fex biniones rerum qua- tuor, fexies fcx feu jS cafus haberi, quibus coniinj;ac, utduo loculi n, I confpicui i duobns , & duo n.° II noratiabaliis duobus globu- lis occupentur: nec non fcxies qunter qujtuoi, h .e. otf caujs, qui- bus duo loculi num. I i duobus, unuj loculorurn n. II a icrrio, Sc unusn.° Uf-i 4' 0 globulo occupetur: ac denique 4. . 4 . 4 . 4 h.e, ajtf cafus, quibus umis globulorum in loculum n. I, alius in locu- lumn,' Il.tertiusinloculum III, &quarrus in IV lerecipiat. Ubi tandem noiandum, quad ad variariones illas 24, qvs ex foli 4 globubrum permuratro ;e mutuj oriuriinr, non artendamus, rjuip- pequie infupei habeii poftuntceu totidem cafuslecundatii, ei qui- bus unusquifque primarioiurii confkiur. i^tRTIS CON > A Jt S TEXTI4. i;i H!s its prcemillis & inreilefris inquirencfurn cfl iu mimenim ca- firum cuivis punclorum nuntcro convenientem , eo fere modo quo tiipra poft Prop.o. part. i, »d numeros jafluum in tdferis invclti- gmdos ufi fuimus; refolveiido vid. propotiium puufrorum nume- rnm ob 4 globtilos in ^partes, qu.num nulla oflon.iium fupeict {quod loculis majores numeri non fuit adfirtpri ) idquc ornnibu» inodii polfibiiibus, acdeinde ilneulis modis juxta fupra obfervata fuostribuendo cafuum numeros; horum fnim fumma quailitumeJC- hibebit. Ar quoniam cj rarionc numerus cafuum duntaxat pro da- 10 punitoium numcto invcniretur , nobis verb cafuum notiiia pro utuvcifis punflis necelTaria dt, porerimus aliam compendiafiorem itlire viam , & omnia una operationc confcqui , hoc modo : In fuprenjo fequentis Tabulae maigine fcribantur ordine nu_ meri punftorum i IV ufque ad XVIU; fufficir enim horum dt-rer- ititnanecafus, cum linguli fupraXVIU cum fingulis infra incaliiuni muliimuinc, uti diflum, conveniant. Ponamus, globulos omnes excipi 4. joculis homologis, erunt torum numerivcl 4. unitates, vel + bmarii, temani, quarernarii &e. quoium fummasfunt, +, 8, it, 16, &c. quare fignetur in msigi- nefiniftro 1. 1. 1.1 (cancris z. z. z. z &c. ufq-, »d 8. 8. 8. 8 rnen- tefubintclleftis) & i rcgione fub fmgulis punftoium numeiis IV. Vlir.XI!. XVI. Stc. notentur iingufe unhates. Ponamus tres globulos excipi loculis homologis, quamam di- verfo: erunt homologorum numcri vel tics unitales, vel toridem binarii,ternarii&c. Si tres unirares, quartus numeiuscrit vei bi- fiaiius, vel ternaiius.quatemarius &c. qui fmguli junfli unitatibus fiimmas eificiunt V. VI. VII. VIII. ... XI; quocjrca in margine lignetur [. 1. 1. 3 (reliquis 1. 1. 1. J &c. ufque ad [. 1. 1. 8 mente luppletis) &eregioneIubpunil!sV.VLVII...XI.fcribarur 16. Si homologonim numeri fint tres binarii, quartus etit vel 1, velj, vel 4&c. qui iunfti binariis fummas exhibenr VII. IX. X... XIV; quarc in margine ponarur s, z.z. 1 (caeteris z. 1. z. j &c. fubin- tellsftis)& eregione fublingulis punaorum VII. IX. X XIV. lurfus lciibarur 16. Similiter etiam piocedendum, ubi homologo- tum numtarifunc tres temarii,exiftente quano 1. 1. 41« f &c. aut Y 1 it« Dlglilzed b/Cooglc i 7 a KJIRU& CO XjECTANDI trts quaternarii , exiftente quirto i , i. J. tat j- &c . aut rres quina- rii &c. exiftente fempei quatro Uno reliquorum, fcnbendo nempe 16 fub fmgulbpunfloiumfummis^quasadditi + loculonim nume- ii erriciunr. Ponimut ponbloculos globulorum duos homologos, &abo» duos rurfus homologos, lcd a prioribus diverfos. crunr numeri lo- culorum vel dua» unitarss cum duobus binanis, remariis, quarema. riis &c. qui unitaribus junfli faciunt VI, VIII. X....XVIH: vel duo btrurii cum l ternariis , quaternariis &c, qui additi binariis eoiifliruum X. XII. XIV. &c. vel duo tcinaiiicum totidcm quater- nariis&c. vcl duoquaremarii cum toridem quinariis&c. &c. id- circo notenturin margine Tabulae i. i.a.a, a.i.j.j, 1.^.4,4 &c. (cateris I. I.J.J, I. 1.4.4 &c. nee non 1.1.4.4 &c. I* j.f.f&c. compendiigratjl omifljj) i regione vwo fub lingulis numcrorum tam exprcflorum quam mente retentoium fummis fcri- bantur 36. Pergamui deinde ponere loculos globulorum duos homologos, reliquos ab his & inrer fe diverfos! erunt homologorum numeri rurfusvel dua; unitaces, vel duo binirii , rerrurii &c . &Iiuiutates, rertius erit vel binaiius cum quarto lemario, quatemario,quiriario &c. vel temarius eum quarto quaremitio/ quinario &c. & ir» confe* quenter: li duobinarii, terdus elfe porelt vcl 1 cum quarro 3, 4, f, 6 &c. vel ; cum 4.'" 4, 5, 6 &c. vel 4 cum, 4.'« 6 &c. &c. li illi funt duo tcmarir , teitius exiftet vcl 1 cum 4 10 1,4,5, *&c. vel 1 cum + tD +, 5- 6 &c. vel 4 cum +."e,S&c. &c. fiilli funt quatemaiii, ^t""" poterir effe vel 1 cum+'° 1,3, j &c. vel icum+ 10 3, 5 &c. &c. & traparircrin reiiquisomnibus, quamobrem primis harum combinationum 1. 1.2. 3 , 1. 1. j.4, &c. necnon a. 2. 1. ) &c. J. 3. 1.a &c.in margine notatis & careris mente fupplcris, fcribanrur fub fingulis punccorum fummisy quas finguli numcrorum quatemaiii efficiunr, pti". Tandcm etiam ponamus , loculos globulorum orrines diffeien- tibus numeris affeaos cffe ; eninc ipforum combinaciones tales : 1 .1. 3 wm4'°4,f,6&e. i.3,+cum+«» f, 6, 7 &c.&e. icem 1.J.4: amfo*.\\lV. | V. | VI.|V1L|VIII.| i | . | . | - | i | • | IJJ., || • | • | • * 1 Digiiizcd b/Coogle ■ •• - *-AAS TE R 71 A. ryj I.J. f : &C. 1.4. f &c. mm +"> &c. nec non a. J.4: 2, j. f&c cum quarto ditTerenti nurrtero &c.8cc.&c. ulquead j.4. f.6 qui eum omncs poflibiles combinationes funt complct;e: quoeirca pri- misharum combinarionum in margine cxprcflis & praiermiiTis re- liquis, notenrur 4 regione fub finguiisquaretnorum numerorum fum- mis, ijSi preut hiic omnia in adjun&a TsbulS praftita eeniun- tut. Additis igitur inurura fummam, qui in eSdem lerie perpendi- culari iibi rcfpondenr, numeris, habebunrur omnes punilorum in ver- tice fcriptorum cafus, vidcl.l c-fus piopunfrisIV, rfi cafus propun- ctisV, 51 pro punclis VI; & ita dcinceps ufque ad puncta XVIII, qui numerus bis ]fi, quater Jtf, decics yfi & oflies jffi, id eft, ia univerfum J184 cafibus expofitus eft. Et quoniam numeri pun. ilorum fupr» XVllTeum reliquij infra, (inguli cum iinguiis, putl XIX cum XVII, XX cum XVI 5ts. in numcro eafuum corrveni- unt, ucinitiomonuiitius & oftenfu facile eft, fequirur, fi colleclil rwnctis IV *d XVII cafiium numeri duplentur, duploque J1776 addantur Ji84cafus punflorum XVIII, aggregatum jfjfic cxlii- biturum fummam omnium omnino cafuum. Qu&d sutem enn- merario riti faQa frt, nullaquecombinationum pnecermifta, vel in- dc patel. quM "onmu. uwusnruuujii in iedus ( pura Jutulis.) ja, pi^cisc idem reperitur ; eft enirn illc, per Cap , 4 , part . 1 , Invcntis fie numeris eafuum pro quovis ptinftorum numcro , oetcra oppidb levia fiuit, & expediuntur per Prop. 3. part. t. multiplicando videl. lingulos cafuum numeros per fingula prremia> qux iftis cafibus acquiruntur: nempe (cum punftis IV in f. p. l.i- terculo tribuantur nummi 120, puuflis XXXII nnnimi iSc,pun- ftis V nummi 100, punCrrs XXXI nummi jz, punclis VI jo> punflisXXXi! &c.) mulriplicando 1 cafumper no, rurfiuque per i3o; 16 cafus per 100, iterumque pet ji ; fieafiis per 10, nec non peraf &c. five brevius, 1 per joo X 120 + l 80, 16 fti lji X 100 + J3j fl per f f X JO + af , arque ita dein- eeps ulque ad 3184 pct a; ac wndem dividendo omnium produ- Y j aorurti , 74 ^STTS COXjECtANJii floram fummam psr fummam omnium cafuum JfgGo. Sicenimi exibunt in nuotientepro cxpeclacione aleatoris nummi 4 : nn- de ciim tpfe cxhypotli. folis 4 nummis jaitum redemerir, apparet poiiorem illius cjuim circulatoris fortem effe , iftutnque proin hoc ale* genere, ni piasmia minuat, non multuro luccaripoffe. Froblema XVIII. De Ludo chartarum, uulgo TrijaquesJ UfuaiiHimuni elt intec Gcrmanos ludi genus, quod nijtquti appellatur, & airiniiatetn quandam habet cum Gallorum Brelim; Sumuntur ex Ludo chartarum folia 24 (rejeclis cjeteris) «cunaqus- que fcii, fpecie fex i nimirum Havtnati, Dtiurii, Ftmuli, ffc", Rf- ffstkttauitr, QUS2 fuis pollhac literis iniiialibus N. D.F.H. R. M dcnotabuntur, & hunc dignitatis ordinem inter ft (ervant: Pti- mas tenct Marw, fcquiturEex, inde Htr*, ftmilm, Dautrim; fedo- mnibus fupcrcminenrJ.'av(fMTiiuna cum Fimutt iriftlii (quem proin etiam Novenatiis accenfemus, ilc ue $ habeamus Novenarios , at j tantiim Famnlos). Novcnariorum pneftantia, llmilisfeie horum, qnoi iii luJu 1 lifpxniv" J— J- JVwu.tr* id« Maljdcri, iatrones, ho- micidas five iicarios appellanc, in eo confiitit, ut cujusvii dignitatis & fpcciei chanisaccenfeantut: fic duo Novenarii cumMonade.aut unus cum duabus juncli cres Monadas, feuiiijjw (unTrittn') Mona- dum cfficiunt : unus, duo vel tres Novenarii llipati rribus, duobue uiiove Regibus Q*ti'ig*m Regum eonJiicuunt : unus duove Novena- rii 111 confortio tiium duorumve ejufiiem fpeciei foliotum , quatcina illius fpeciei exhibcnt, ex.gr. quatemaeorda, fpicula , trifblia 8cc. cujufmodi chartirum complexio F/urnu, cill glu|I, diri confuevit, qui praeterea numcio puncrorum iftimatuti nummntur autein pro Novenarioaut Monadcpuncta 1 1 , pro cxtetarum dignitatumdiar- tis fmgulis puiicla 10 . Modus ludcndi talis : Sincuiis colludentium ordine bina diflribuunrur fblia, quibus clam inlpettis lib.rum eft p iim arbitrariam pccunire fumiium rleponetS] ^uocum ll congredi velit alter, nntundcm deponct, atic Digiiizcd ByGoOgle P A R S TE Jt TJA. i;j triim, ubi vifum fucrit, infuper adjkiet aliquid; quod pariter prior fuperadiere renctur , li depofiri fui j.itluram fitcere nolir. Qlo fiflo fmgulis, qui ludum ingrefli funr, bina ruifum folia cx- hibentur, fed omnium paiam oculisin mensl expofira; utiitcuju£ que colluforis ludus cxtetis ex paite deteftus, ex parte occulrus lit : tum verode novopecunia ccirare incipiunr, autlo, ur antea, alicrnis dcpoliro, provocatoque pluris Icmper licitandi poteftare ronce/sa . Tandem aperit unusquifnue ludum lunm colluforibus, & qui ca;te- rts potiorem habere deprehenditur, univerfo depofito porirur . Po. tiorauttm eft Quadriga. Fluvio, & Fluvius Triga, qtiibus omnihus prajrenur Qua iriga Novenariorum. In Trigis p£ Qiiadrigis ca;reris dignitacis ordo, in FJuviis punflorum numerus «Rndjrar; ficTri- ga-vel Quadriga Monadum prsvalet Trigas vcl QuadrigB Rsgum & Fluvius 4; punftorum alium 41 anteccllir. Sinemo rjliufbrum Triga, Quadriga Fluviove fit inltiuttus, is quipluia tjufdtm fpcciei puncta numerare potcft, depofito potirur. In cafu vcro omnimo- (Ue paritatisludorum , ut ciim duo ejufdem dignitatis Tiigam auc Quadrigam, vel totidem punflorum Fluvium numerant, is alctri victoriam praaipit> qui ordme prioc ert,ieuqui primus chartas ac- Quibus fuppnfi™ tt .'ntellectfs poterfi nuH ltiu i uHu fimi" vifis primis fuis duobus foliis calculo fubduc.rc, qus fibi fit expeclatio ad vincendum, indequecolligere, qu>s in cerrando modus fit renen- dus: qnanquam enim licicationem rron fcmper qualitati ludi pro- portionare debear, nc collufbribus ludum fuum prodat fquando- quidem anima hujuj ludi eft fimul.irio, & hic prarcipui in ufum vertendum, quod Galli vocanc, fatt imne mhu a m^uvtii ku, ut ilii, quibus melior fonafTe ludus conrigit, fifta huius confidentii deccpriab ultra-eertindo abfterreantur) negari tJmen non poteft, «ftlin prtevia cpcftaiionis cognirio ad ipfam haiic fimulatronem mo- dcrandam & gubemandam atijumenmm h;ud leve eonf rre poflit. Nos ealculi ipecimeri in unico tantum exemplo exhibebimus; Quoniam obfcrvarum ohm mihi miilroties recordor, hunc cui ab inirioduoNovenariiobrigeranr, non obftantc hac ludi bomtjre I^didilTe, eupidus liim lcicndi,quanto majorcmtaiis vincendi quam perdendi i 7 6 ^RTtS CONjSCTANDI perdendi fpem habeM. Atqueut quseftionem plene detertninern , pono me ordine priocem elTe collufore, mihi primis duabus eharti* duos obiigUIe Novenarios , alterique unum (live quod hoc ex provo- cationts me* acceptarione prsfumam , five ouod aiiunde mihi eon- ftet ) & qusrendam efie uniufqueexpcQationem, Primb confideroomnes poifibiles llarus, in quoi Indum profe- quendo pcrvenire pofTum. Fieri autem poteft, ut reliquse du», quasexpeceo, pagellaiarTerant mifu" (proutin fubjunOa Tabuli or- dine fublit. A videre eft,) velduos alios Novenarios, vel Novcn*. rium cum Monade, Rege, Hen, Famulo, Denariove; vel duas Monadas, duos Reges, H. F. Denariosve: vel Monadem cum Re- ge, H. F. D-riove: RegemcumH, F. D-riovej HerameumF*. mulo Denariove: Fsmulum deniquecum Denario; easque digniea- tes vel ambas ejufdcm fpcciei; vel divcrfarum fpecicrum, easque rurfumtilcs, ut vel alterutra fit ex fpecie trifolioium, vel neutra: obfamulumenim trifblii, qui Novenariis accenietuc, difparitas haee fo.res aliquantulum vatiat. Deinde examino, quot callbus fingula horum evenire poflurt, confiderando, qubd poil accepeos i me duos Novenarioi & unumi Collufore, fui^i/tu.t fijii. 11, i"isnju«ilU4iinadhuc Novenarii, 4- Monades, totidem Reges, Herae, Dcnarii, ac j Famuli, (nam etiamfi coliu/or duo quoque folia «ccepetit , eoque proprie non nisi relient 20; quoniam tanienaiterum illorum mihi ignomm eft , catt- tundem hocvaletrefpeflu nefcienria: meae,aesi nonaeeepifiet, ego- queadduo qualiacunquc ex 11 fbliis sequalem cxpcctationem habe» tem.) Quibus petpenfis facillimum eft cnumetarc cafiis: cafus e- nim tot funt, quot foliorum lefiduorum combinariones , PofTunt autem Novenarii refidui ambo fimul non nisi femel accipi : Nove- natius cum Monide aut Rege &c. bis quater ftu ofticj, cum Famu- lo ranrum bis tei feu fexies combinari potefl: Binarum autem Mo- nadum aut binorum Rcgum &c . funt lex, binorum Fimulonim trcseleaioncs: Porr6 monascumRege, aut Hera&c. cjusdem fpe* ciei, pronumero fpecierumquatcr; Monas aur Rcx&c. cumFamulo tcitarrtum fumi poteft. Rurfum Monadis Sc Regis fkc. diverfarum fpe;ierum , qu:rum tamcn alrcia fit nifoliorum, feifunt acceptiones ; L'ij i.:e"J lv PAKS TERTIJ. T77 Sindoquidem Monas erifolii tvm fingulis Rcgibus, & Rnt tri? ii cum (tngulis Monadibus triuni tcliquarum fpecieium conjungi potefh quemadmodum etram Monas rrifolii cum Famulo alieriuS fpecjei ter eonjungrtur . Monasdenique cum Rege, Heri, Famulo &C. autalra duo folra datarum differentium dighiratum 8c diverfi- rum fpecierum f (edexclufo trifolio) fexicsiombinamur} cum liti- gulaex.gr. triumMonadumcumfingulis reliquarum duarumfpe. cieium Regibui femcl compingi poflint. Etficfacili negoriocom- binationum feu eafuum numtri finguli 'determinabuntur, quemad- modum in mediacolumtiafub lic. B notati funt. Eotum omnium fummavelaggregatumreperitur 110 X -7—'- quancusetiameft nu- merus binionum in chanis : 1 . Tertrbcalculoperquiro, qux cnae vel collufbrii lintcxpectatio^ nes in lingulis recenficis Itatibus ; quem in finem conlidero ante c- mnia , quhd exhibiris milii duobus aliis foliis refidua funt folia 19 r quorum n» collufbri debeniur ; lic ut ejus ludus tot vaciarionibus obnoxius fit, quot nanioncs in rebus ip habentur, nempe X 9&9i e qurbusquotipsifaveant, quotadverfentur, inqltavislu- di mei conltitutionc porrb explorandumeft} Paiet aurcm , qubd five duobus meis Novenariis accedant duo alii Novenarii, feu Novena- riusunus cum Monade, neceflarioperdere debttcollulor; tuncenim habebo Qyadrigam Nbvenariorum aut Monadum, &egofumcxhy- poth. ordine prior collufore, qui Monadum tantiim Quadrigam ad (ummum confequi poteft. Sin Novenariis meis aeeedat Noveiurius cum Rege , habebo Quadrigam Regum, &vinei pcuTumacoIluIbre, fi hic Quadrigam Monadum obtintit ; undecurn in rcfiduis 19 rolris latean t 5 ( unus videl . Novenarius & 4 Monades ) quonim terna qua- liacunque addita Novenario, quem faabere picfumitur collufor, Mo. nadum Quadiigam efticiunt; atque in rebus 5 contuieanrur temio- nes 10, fcquitur colluforcm meum in variatienibus oSshabcreio ad vincendum&cxtcros ad pcrdcndum; id quod ipeuforremparit Sicum Novenario Hera mihi contingar, habebo Quadrigam Hera- nim, tkvincere potxftcolIufor,fiveMoiiadumftve Regum Quadrigam contequatur; quare praier locafLiptioresnune diosio, h.e.ioad Z vincen- 178 i^ltTJS CQ Nj ECTA ND I vincendutnhaott, M quodipsi valet =y 5 ■ Similiter si cum Nownariq Famulumobtj/.cam, preter 10 cafus memoratosvincere poteft eol- luP-i ioaliis,quibus quadrigam Heraium conftquitur ; unde jame- juslois exiftit Stdli Novenarius mcus Denario ftipetur, iicut infupet QujdrigaFimiilorum collulorem viflotem leddeie poflit, k- «dentibus ad prioics 30 calus dunraxat 4 aliis, fors ejus liet z 'i\ ; quippe ciun in fbliis + fqu* iplius Novcnario Trigam Famulorum addere poflunr} tribus ftil. Famulis & uno tefiduo Nowiurio noii riifi ternion«s4 habentut. M&R 6 irr M&H 6 irj M& F J tf7 M&D £ »rr R&H 6 jo? jij R&D « ' j»> H&F j 44F H&D 6 441 F&D m M&R e 14S M&H 6 14» M&F ■6 i[i M&D 6 14R R&H 6 J04 R&F 6 joi R&O 6 J04 H&F 6 440 H&D « 4J6 F&D J4S 110 .69 fARS TES7IA. 179 QuoJ 51 Novcnariis mcis dute MonadcsaccclTcrint, rurfus in- fallibihti-F pcrdet collufor: fi duo Reges , ipfe vincerc cum Monadum Q11 drigl poteit ; feJ proptcr 4 Monadas Sc duos nunc rcliduos No- ven.irics, i. e. ob fex folia, quoruin teiniones omn;s Novcnaiio' co!- Juforis juucii Qiiidrigam hanc conlliruere pofTunt, viginti tunc ad vin endum cifus habet. Quihusob funilem rationcm acccduntalii 10, ft loco Regum duas Hcras: & rurfus 10 , fi duos Famulos ad- eptus fucro. >cd fi duos Denarros accepero, prajcedcnlibus «n- tiim ftiperaildendi cafus 10; prootcrea J ■. cnsrii ) quorum teniiones Faniulo- rum Qti.-id-igam col ufori advchsre poftunt. UndcexpectarLoncs il- lius ordiiu habcntur jj~ A " s , ^ Br. . Pon G No , nariis mcis jungarur Monas cum Regc, Her», Fa ulo, Deiiario f homogeneo, habebo Fluvium 4.) punftorum, & vincec ccllufot cum Quadriga qualicunque, non aliter: fin iis ac- cedat Rex cum Hcra, Famulo, Deruriove homogcneo ; aut Hcri cum FamuJo Stc. habebo dunt.ixit Fluvium 41 punftorum 5 & vin- cct collufor cum qualicunque Quadriga, atque infupcr cum Fluvio 4j punfrorum. Si vero mihi eadat Monas eum Rege heterogeneo&c. Irabebo folummodo Trigam Monadum , & vincere poteft alter cuiri Quadiig.i paritcr ac Fluvio qualicunque; cujus proinde expeftj- rionespro fingulis his flaiibus pari modo feoriim inveftigantur, fed co majori fubinde laborc , quo majorcoilufbri vincendi ipes alluccf- cit. t/nde ciim ornnia minutatim profcqui nimit prolixum fbreti operationernapponam pro uliima tantilm hypothefi, tjui ponomihi cccidiite Famulum Cum Denaiio alterius fpeciei ( puta Famulum cor- dium cum Dcivrio fpiculorum ) adeoque nonnifi Famulorum Triga me inftruclum efTe. Colluforem iraque vi£torem reddet Quadrig* cjuicuncjueScFluviusquilibet, n«c non Trip Monaium, Regurri atque Herarum : Quadrigirum eafus determino, confiderando , re- lidua 19 folia lconfiflcre prxter t N itl 4 M, 4 R, 4. H, 1 F Ec 3 D, h. e. ( Novenatiis ad fuigulas digniares adjunflis ) in 6 M , S R,6H,4FBceD: hotum ntmquetemiones oltendunt, obtingert ipsi pofTE Quadrigam Monadum calibus 10, Regum & Hcrarum to- itdem, Famulorum cafibus 4 Bt Denariomm 10, quorum omnium fumtru dat cafus 74, Fluviorum porro mullituduicm iu exploro: - Z- * Anendo, 1K0 KjfRTlS COKjECTANDI Attendo, qubdinreliquis 19 foliis pra:rei 1 N reperiunror 4 fpicula, j lateies , 4 coida & 4 trifolia ; & qnid ad Fluviutn conftirucndum dtra Novenarium, quo colluforem jam comporemefie pr;efiimo,re- quituntur velrcma cjitidtm Ipeciei folia, ve] laltcm bina,af]umto unl Novenaiiorum refiduorum alraurro: indeque concludo, Fluviotum numerum xquari numero rcrnionum inomnibusfpeciebus.uni cum numero binioiium bis fumm 5 quaie eiim remiones omnes fuic 4 + 10 + 4 + 40)12, &biniones omtvns 6 + io+ 6 + 6 X 28 > **■ quitUI, fumrrurn cafuum adFluvioS fore 22 + 2K + 28 OD 78. Ad Trigas dcnique quod attinet, carum numetum inire poffum, ii per- pendam, qubd ad Trigam Mon ,dum (Regum five Hciarum ) con- ftitucndam, Novenario quo jam pollec collufor jungends vcl binae Monadcs { Reges aut Hcne ) vel fingula: una cum alfumto Nov-ru- riorumrefiduorumahcrutro: fibinxjunguntur, quartum folium po- ceritcfle quodlibctex icliquii 13; adco ur, ciim 4 Mnn.idcs ( Regcs, Hcr^) fcxics poffint binieaccipi, fesies quoque 1$, i. e. 78 hincva- riariones oriantur: fiunaiola Monas(RcxaucHera) ei jungiturcum Kovcnarioium reliquorum altetutro, pio quarto folio accipi poterit unumquodvis exreliquis /pecicbus, quod fit inferioris dignitarisj ni- mirumcum Monade larerum figilhrim polTuntaccipi 9 folia , Si aim ilngulisreliquis 10; cum Regelaierum tf, &cum fingulis reliquis 7; cum Hera laceium 3, & cum fingulis rcliquis 4; unde Monadum caliis emerguntjj, Regum 17, Heiarum 15, qui numeri ob duos refiduos Novenarioi bis fumpti 6c poltmodum teorfim additi lupr» inventis 7% aliis variarionibus producunc Trigas Monadum ijtf, Rc- gum 131, & Hcrarum 10B, qutt rurfus collecla? faciunt jptf. Quo- niam igitur repenum nobis cft , omncs Quadrigarum cafua cfle 7-4 , Fluviorum 781 & Trigarum, quae quidem eolluiorem viitorern red- derc pofiunt, ;ptf , fequiturqubdconflatisin unam furnmam hisnu- nieiis aggregarum 548 defignet omnes m univerfum cafus, quibus ille vifloria poiiri poflit; adeb ut ejus fois exiflat |J| , quemadmo- dum etiam fupra inlaterculo fub tit. C. videre efi, ubi otdine nota- ti habentur numeratoies fraclionum, quae exprimunt expectariones colluforis in qtiovis ludi mci lutu , quaiumque omruum communis denorninator exillit 363 . His Digilizod B/ Goog P A R S TERTTA. (8Y HisVero inventi*, utfSpIoreturfors, de qil» priucipalirer qicr-' ftio mora fuit, quam nimirum lubcnius priuiquam cgo poflrcm» dito folia accipiam , nrl fupereft aliud, quam ut numeros cafuum co- lumnse B ducamus in numeiatorcs refpondentes columna; C, & fummam produtlorum dividamus pci produdtum numeri omniirrr» cifuum 110 in communem denominacorem $6y. veI,quod brevius, ni numeratores omnes eol. C, quibus (equalis eafuum numcius rn col. B refpondet, prius addamur , K tum fummaperillumcafuum nitmerum mHltiplicetur j tandcmque produftoram omniumaggre- gatum dividatur, uc antca. Et fic qurdem reperio, colluforis mei fortem effc *- \ lo J B6 ~ *—~-X — X j— ' un- de mea fiet > paulo mihin quarn $'« potior altcra . Getcium examinanti TabcIIampiimoobtutu muItaaliaTbeo- remata ulcro fe offerunt, qualia fuirt IWcr Qu6d ad aquam peivc- niam expeilationem pei Novenairum cum Heia, atque pct duosRe- es; item, pei duos Derurios, atque per V " : Qubd qptabilioi mihi fit Novcnaiius cum Famulo Denaiiove , quam doat Hcrx : Qubdduo'dirTcrcntrum digniratum & fpecicrum folia iemper tamillo pnflibiliora fint, li neutrum , quamsi aJterucnim trifblium forer: Quod Hcracum Dc- nario alteirus fpeciei meam, Famuluscum Dcnaiioeollufbris condi- tionem paulo potiorem rtddat&c. Ethzccjuidem onmiaitaie habent in hypotheli, quxfupponit duos mihi ab iniiio Novenarios, unum eollufori obtigifle; nam sr de neutro Colluforis folio mihi conlcare fupponamc, alia? piodibunc expettaciones Scalia Tabula, quam mdufccius Lefloc muracrs mu- tandis Cmili modo concinnabrt. Invcniet autem. si calculum rite firhduxerit, fottem meam hoc caiu ad coUuforii fortem fe habece, ut j4 inicio duas oh t inui t Monadai , alter No vcnarium tum Famulo De- nariovc, potioictn vinccndi fpem haiieat? & Gmiles. Sedquia furi- libus nimiam jam impcndiftc operam vidcii pdTiim, hic & ali» rcium hatum curiofo i-efturi indaganda 8c cakulo dcfinienda rclra- quo. Problema XIX. In quolibtt AU& genere, fi ludi Oeconomus fiii Dtfyen/ator (le banquicrdujeu) nonnihil habeat prarogatiDA in eo confiflcntis , ut paulo major fit cafuum numerus quibtti cafits ad i,q ad o, m cafus ad perma- nendum in ftitu ceeonomi, & » cafiisad acquirendum ftarum col- lufotis ) * X ^~+~t^ s & fimili modo fors colluforisj 30 ^ jffij gjjj; ) quibus asquarionibus debite inter fe collatis habe- tur*,^::f+n.fl+iiminor j uricollegeram,qulm/>»d?. Aliavice llc arguebam: Siceconomo debeatury^, collulori depofi-' ri , fintque m cafus quibus tlle in flatu ceconnmi confirmatul , 6t n cafus ctuibiu irt ftatum alterius ttanlit, erit fors eius m.f-?+}+ H .1-e+ 1 *^+-f m+m 30 B-j-n.ji-t-y ' relinqmturque alteri »7^,.,^^"' fic ut ratio fortium liat, ut + ttfl ad mf + «/», rurfum minor qukm /> ad 9, etsi diverla ab alteri p + n idq + it. Vix autem ita collegeram , cum utrumque hoc ratiocinium rurfus ceu prirmfteium&faUajcrejeci, quippecui furnmevidebarur Zr.*,., m major probabilitas retinendi quam amittcndi munus ce.-onomi mi- nucrerwuusquamaugendicaturpraerogarivam ctconomiic annexam: quare aliquandfu co propendcbam, ut crederem prajiogativam hanc compofitam efle debete ex utraq; ratione p ad ?, & m ad n j adeoq; for- tem ceconomi ad colluforis forteraeJTe in ratlone p mi&q n, ma;ore quam padq,vdm adn fcorfim. VcrumnccifrudaiTettum evidentiie quiequam haberefcnli, quin 8t reapfea vero abludere deprehendt, poftquimgenuinumfolvendi modum reperilTcm. Noloautemoften- ilere, inquo laborent allata tatiocinia. ad vcriorcm potiiis linemori folurionem rrmlirurus, piie cujus jubare ipurium illotum Innwti mox ultro difpariturum puto. Hane qui legitimi inveftigare cupir, ad duo advertere debet.- tnum, ut iietCoioJJ, 5, Pwpof, 3. part. 1, derenniiKt, quancum iccono- i84 K^tRTtS CO Nf ECTA tfD T remnomo non ex totodcpofito, fedex Gsll tollufntis pecunia debei- tur: altcrum.ut hanc illidebitam pottionem pro fingulis fubfequen- tibus jafltbus five ludis ieotfim exploiet, quo omnium addiiionc to- taiis ejt peftatio patefcat , Pofito iuque Aieatores ita inter fe convenit fe, ut pollquernlibetjaflum viflusviftoti tradcre tenearut 4, liquec, habere otconomum in piimo jafiu /> cafus idlucrandum t, Ocj cafus adperdcnduma, h.e. ad aequirendum — * j adeoquepattemiplidc-- bitameiccoliuferispecuniaefle 1 '' — X^'' leu C &aia f — 9 00 ', Sf+sXi)": quemadmodumconrricoUuioT.ob ^cafusad lucrandum 4, Scp ad perdendum, hiberecenfetnr — • Et quoniam praterel occnnomus in primo jaftu habet m cafus, qut. bus privilegium oteonomise rctinet, n.c.quibiiiacquiritpro jafluft- cundo — ; Stficafus quibus illud amittit, h.e. quibus acquirit' 1 ^; debcbitur etiam ipsi ex pecunii collufoiis 4 ficundi jafhis iiqrs -X '£+»., Xtvetfism-nintj&m+iiinT) ^7 : Becolluferi viciiTLmexpecuniaeeconomi^—, id eft, pro- pterfignum — debebit ilEc huic tantundem: Similiterob eofilem m Sc n cafus primi jaftus , quibus ceeonomia pro jaftu iequenti vel confitmatut teconomo, vel *b ipib aufertur, fiet per modo oflonut ipfius jus in pecuniim s tertii jaclus, eeu a lecundo fcoindi, m ^ T .- " . ±° -- — x X m't£ collurotis vieif- fim ~ '■— . Atque fic porro eadem ratione invenitur deberj ceco- nomo de pecunia jaftus 4", ceu i fecundo rutii ■ — jjjq^ X 77T' & dc pccunU jafrus ?' V,'/ &c ' eo " u -'° r ' vel ° > ~£r~ & c * &fiedeineeps,quo- ufquefucrit optis. Colleflis igitur in unam fummam portionibus, qua; otconomo pro fingulis fijcceJIive jattibui dcbentut, fict ejusejt- pe&ttii p a*s TBxrr ciceflu non fuperante unani centies millionelimam putem ipfius < in ludis tantum 7. Si igirui ceconomus i ludo celTare velit, tertio cuidam prafrogativam fuam verrdere poterit pretio 7 ',a; at si ludum cononuaie, 8c jus tantirm ■fuum in coUuIbrem transmittere malic, accipiet ab ipfo duphim, nempe T j*. j. Si ueifieataumpuH, totidemque uni eum eeeonomo funt collulbres, liquet, duorum quorumvis manipulorum tolia infimafw rurfum varratkmibus obnoxi» rbtc , quot biniones in univerfo charta- ntm numero eonrinenrur, cum tertius manipulus cbnfiderari poflic Aa 1 «si Digifeed by Google iSS tsf&HS CONjSCTANDI acsi abelTe t , ejusqus fblia omnia caserit manipulis adhuc efient permi- fta: quare osconomo tor erunt cafus, quibus utramvis fiiorum collu- iorum feorlim fu;ierer,'auc fuperetiir ab ipfo, quot eranr in hypothefi duonimtantiimmampuloram; hoc eft, manebft,utantea,/i.fl:: fg +/-»./*-/» C*S>«1"/M 4) *i+f.»J-*- Sed vuiar ratic» mad n, pronumerocollulbrum fcu manipulorum,quoramquophi- res firnt, hoc difficilius teconomum muncre fuo exeidere permittunt. Prorribus manipulis confidcro, eorum folU ima tot variationesfub- irepofle) quor temiones tecipiunt ommafolia 4$ (fic pono piofg, concifioris calculi ergb, & qubd praster quatemarium non alius fpe. cieram numctusfitinufu)nempc +*:**r^ ^ ^j'-'*jf + 1. Horum tcrnionum nounulli cx ttibus foliis cjusdcm dignitatis, aliiex duobus ejusdcm eumteraodiveifjedignitatis, alii denique ex crium difterentium dignitatum foIiiseonftant;nimirum,cnmcujusq;digjli- tarisfblia 4, tefnrones*timirtant4, biniones 6 , & digniratitm nume- rusfitg, eritnumcrusomnium temionum ejusdem dignitatis 4.$ , 6i binionum 6g > qnoram rurfus binionum quifibet feeum aflumere poreft quodhbet ex reliquaram; — 1 dignitatum foliis 45- 4. ; quodefficittef- niones i+sj- i4|,quorum una medietas ngg - 1 t^duobus foliis ilo- dynamis tertium altioris, altera medietasrertium mferiorisdignitaris folium adjunfhun habet; unde fubduflis 4j & M-i exuni- verlb tetnionum numeto — ~' *f*J±*L remancnt temioncs —96g£+ U j t ^ omnes trium differentium dignitatum fblia exhibent. Jam autem si tribus manipulorum Foliis infimis ejnfdem dtgnita- tis dfe contig-.rit, ceconomus ex ludi prefcripto ceconomia «ccidete ne- quir,utrumc;; fot* tulcrit : neq; etiam, cum duobusejusd.m,tertium e- - lcvatioris dignitatis fuetit adjunitu ; at si tcrtium hoc humiliorisftierit gradus, »el eriam omnia rriafolia dignnads gra lu diluepcnr , okouo- musuno cafu jusfuuinamitcere(linempc inbmi^radrisfolium frbi ce- ciderir,) duobusiervare poreft,quod ipsi valct J . Sunt igitur ipsi 4f ca- f^adii&njdusi^j-i^caiusadifncciioiiii^-ii^adijitcrumq; - P j4 R S 1 £ R Ti A, iSp Ml=*Il±*£t yjlj id quodfacit ^T,,*^* , & Klinquutl- tur ad complendam unitatcm isj-h i .S uo d tantundem eft, acsi diceretur babere i6gg — j£ — 4 cafus ad favwdam , 8c Sgg — i^g + 7 cafus ad a.mittendam a-conomiams adco ut invent» «itrationt.i::i6«x— J|— 4- 8«— ifl+7- Nota, fijdctermmeriii ad 9, erit >>: jx 19: iG, X 2f J 1 i°4- Undepouto, qubd altci colluforumdepofuerit <■, & . alter t, debebitui eeconorno per pra-ced. Probl. ejusque Coioll. "ff;"^" 30 * «"p^ p"™"» & H+i-"° + " x relpcttu polterioris tollulbris; adeoquc relpeitu Qtriu% —^•+ i j nonexcedcnteuna centies millefimi parte ipfius *+i inludis unde-' cim . Quapropter ceconomus quatto cuidam, qui in locum fuom fuc- cedere cupiet, privilegiumTuum vendec pretio ;~*+^i ilterutti verb collulbrum , quicum vices fuas permutare volet , pu ta illi qui de- pofuit*, pretio ~ " + *> nam debererrm ipsi primo per'modo diilaj^ T+l, filudus nuncabtumperetuti acdeinde, 11 realTu- mererur, adhuc *, quandoquidem ccdcndo alteri ccconomUm ludi, fedebitoremejusprohacfummaconniruit, j, St qiuaatt u«Haaantur numfuli , totidemque cum o;cono- mo habcntureollulbres, tot turliim cafus prscllb funt, quibusille unumquemque fuorum colluforum feorfim vincat aut vincatut ab iplb, quoteranr in duabuspraecedd. hypoth. quod idem etiam in- rellige de quovis manipulorum nurneto , ciim certe bini ipforum qui- vis confldeiari lemper poflint , ac(i piitrer ipfusnulli addlent ; unde eadem perpetuo manebit ratio j>:j X 2g+i:zg — 1. Sedalteram rationem m:n, qmm numetus manipulorum auget, fic exploro: Confidero, quid quatuoi manipulo/um folia iim,I. velomniapot fintelTeifodynamafivee)u.(demdignitatis: 11. vel triaejusdemcum quartoaut altioiis, lll, aur humilioris digniraris: IV. vel duo ejus- dem, & leliqua duo pjiiter ejusdem , fed diverfc ab altera dignita- lir: V, vel duo ejusdem cum reliquis duobus atverlarum dignira- Aa ] tum ln^ijizGd tiyGoogle ItjO t^fXTIS CONjECTANDl lum, quarum rnrfiis vel utraque pcflit cfle cmincntioris r VI. vel u. traquc ignobilioris : VII. vci una tminensioris, altera inferioris gra- dm: r/Jl. velomniadeniq, qu.ituoifo.ia differentium dignitatum , Horum fi Primum, Seeundum, Quartum aut Quintum conti- gerit, ceconomus cx ludi pra;(cripto muncris firi jafturam raeerene-. quir: iiTeitium, VI, VII, vcl VlII* um acciderit, nno ranriim illud cafu amitterc(fi vid. iniima; dignitarisfolium fibi relinquatur) tri- bus cafibus retinere pordi ; quod ipsi proin dat |. Sed primum ho- tum evenirc depiehendo caiibusj; Sccupdum cafibus Sgg — ig: Tertium rotidcm: Quattum i8gg~ t8_: Quinrum cafibus i6g* — 4854 + }ig: Sextum & Septimumtoridem: Ulrimum deniq; cafibus fy&^+^ygg — 6$g, exiitente numero omnium eafuum,eeu Cunma quatemionum in fbliis univetfis,-y_*— 165' + ~gg — gi qua:omnia,utverbisparcam, induflrio LcQori pro- banda relinquo. Quocirca habebit eeconomus, g plastgg — %g plus i8«-i8*plus ifiji— 48^+j2jcafusadi,&8£5 — 8g plus 1 6g ' — 48 g! + i *i pl"S iterum i6g> — 48« + J 1 g plus "_■*— S4J' +—gg — 6+& cafus ad |; id quod ipsiparit ^_y^I«+£i_^i expcctarionil ad rcrincndum munus ctconomi ; tkdecft adcomplendam umtatem ' J^jl. 4^ +» §=f P ro mtta amirtendr muneris ; fie ut cenicndafic rariom.n ;; 143 ! -2$gg + J.8_' — iwt+zig — 6. Nota, qubd II g dcierminetur ad 9 . fiet ?.q :: 19. i6t Sc in.w:: if f f f .4080:: -1. 16. Sumro itaque, quod unus col- lufotum depofuerit' a, alter 6 & t etrius t , debcbinir ceconomo per ptacc Probl. ejusque Corol! . £_^2^±?4+* + cOD 53 non unadccies millcfima parre ipfiuS4 + i + r minus in lalis r f lu- dis. Quocirca si cjuinto cuidam locum fuum ccdere vclit cecono- mus, ipfe aludo ceHaturus, venundabit ilii privilegium ccconomi pretio ( " o * + b + i ■ arsi, continuaruiusIud'um,eiimccJluforurn quodtm Digiiizcd b/Coogl tARS TERTIA. qaodam iorttm fuam eommutare cupijt , accipiet ab ipfo vel ~- %*+i+(, vtl ^ 4+zt+t, vd ~ «+*+»», prontiide- pofueritvel*, vel veli. Atque haud ablimiliier determinari poterit valor prsrogativse OKonomj, si plur=s pbrontur manipuli & collufbres, PROBLEMA XXI. De Ludo Bajftu (de la BaiTettc- ) CelebratilTimns efl hic ludus ob innumeras rurbas & tragofdiar, quas hinc inde, in Iralia pnfertim & Gallia, olim exciravit , ob quas etiarnex iflis regionibus nonmdco pofl profcriprus & fubgravi pce- na prohibitusfuit. Eo tempore, quo exercirium illius in aula Regis Gallianim maximt llorebat, D. Salvator (Sdavrur) MachemaricUS Gallus (kSeren.tum Delphini Praetepror expeflationes ludeniium calculo fubjeeir, brevique Tabularum quarundam fynopsi compre- henfis in Parilienfi Erudit. Diario m. Febr. 1679 in lucem edidir; e quo Diarionos de natura & conftitutione hujus ludJ ea lecenlcbi- mus, quas ad examinandas Tabulas & eruendum quem Auflor fup- prelTit ealeulum fciru neceiTariavidebuntut. Poftquamis, qui ceeonomi fungitur munere, completum ehar- rarum Iuforiarum fyltema prehendit & mifcuir, finguli colluforum ante fe in menfa exponunt fblium cujusliber digniraris aliunde de- promcumunicumarbicraria pecuria; frimma. Tum vn6 cecono- mus fydemace fuo, ui imum ejus folium pareat, inverfo, faftoq; ab eodem inirio bina fbbinde fblia fuccemve & otdine ad frnem ufbue fyflemaris rollir; qufld dum exequirur, cujusvrs folioium paris fcu bigi fblium anrerius five pra:cedens in ceconoini , pofterius 6c fe- quens in collufbris commodum cedere cenlerur, ica tirmimm , ut si ariterius Regis verbi gr.iria imaginem habcsr, nconomus auferat quicquid Regibus appoficum eft; si veio pofterius , collufbnbus vi- cifTim pendere tancundem rencatur, quantum illi Rcgibus appofuc- re.Et y>a x^XTT S~C OXjZCTANDt re. Et haftenus quidem nullus pra altero quicquam paetogttivx habet: fed fequeniei praecerea legei norandse: 1 . Si ambo folia funt ifodynama Stejusdem cum expolitodi- Cicis (quod dmblas appellant, nos gtmtllt vocabirnus ) quocafu 6; damni dcberet fieri compenfauo, fblus tamcn lucratuiteco. nomus , a jfcrtque quod digi u tacis illius fbliis appoGtum eft , 2. Cuilibet collufotum etiam in medio ludi integrurn efl,de novo quodlibetfblium pretio mercari; quo pafto fieri poteft,utin chartis reliduisvel unum tanfum, vel 2, j, auromnia 4 illiuidigni- tatis foliafuperfint; quodfortem ipfius noiabiliter variat, Sedob- fervandum , qubd biga illa, cujus alterutrum confpexerit fblium, nullius cenfetilr valoiis ratione dignicacis quam mercatus eh j &qui- dcm, si pofterius fblium bigae cjusmodi hic digni tate veflitum com- patct, non tantum ceu prutx (mpfaou) nihil acquiiiicoilufbii,fed Bc ludo finem imponit alterius fclii optione redaufpicando; fm au- tem dignitasilla prodear in praximo fblio bigte fequenris, »*/>™faI- tem e(l immimifj ( i'tjl mt flu) ceconomoque non nifi befTem feu duoi ttientes depofiti lucrarur. {. Anterius quoque folium primxbigze, ciim fufpicio effe polTit illud vifumceconomo, valoris femper eft imrninuci , eumque nounifi ex beffc viftoiem reddere poteft . 4. Cum unico folio ejus dignitatis, pro qua decertatur, fu- perftire, fbliis gemellis, in quibus prairogariva ceconomi conliftit, non poftit effe locus, ftatutum efl in favorem eeconomi, ut poftre- ma omnium tharta, qure aliai collufbri ptodcife debercc, pronulla haberetur. Quibus it.i prremiiTis, pergo exponeremethodum, quaexpeita- tiones ceconomi quim prpmriflimi determinantur: Poliro numero bigarum reliduarum 11, adeoq; numero fbliorum i», &coIluforis de- poliro 1 , ante omnis confideio, qubd inunaquaq; bigavel neutrum, velalterutrum , vel utriwiq; folium poflit effe expofira: dignitaiis : fi neutium , liquet pct hanc bigam nihil nec acquiii nec perdi cecono- mo: si altciutrum, conllat, cadcm facifitate utrumvis cffe poffc (ciim cxcipieiufi', icliquo auc reliquis illitu dignitatis fbhis eadem in P A X S TERTTA. i pj bigis ftquenribus loca pateant:) ae lotidem proinde eads «Te, qut- bus vincat ceconomus llveacquirac + i, & qmbus pcrdatliveobti- nttt— 1: quipiopteteaquU fc mmuo deilruunt, magno quoque eompendio infuper habcri pofTunt. Soli etgo reftant expcndendi ^rltSX I. Equidemfi unicum ejut dignitatis folium fuperfit, qua ealufoha gemella effe non poiTunt, liqmdo patet , rarione cujusvis bi- gse leotfim , si ultimam ejtcipias, nullam efle poffe prterogarivaroce- conomi (vid. r-i. f.). Quoiwm tamen poftxema eharta, quv colluroriptodciTepoiTet.perleg.^.pronuIIahabetur, fitutration* ommum lemper uno cafu amplius lucrari, quam pcrdere poffit ce- conomusj quod piopter numenim foliorum inceu totidem cafuum, quibus expolinedigniiatis fbliumfubeit, prsrogativam ceconomi in bigis univetfis (acit^ (M.I.). Rurfusautcm, si proxim» big* lit vdoiis imminuti pro teconomo, ex umverfisi)i cafibus unuseli, qui ipfom tricnte depoliri privat, per leg. j. quod decrementum prarogniva: ejus efficit ~- x ~ (r.ii._i._.. Hoc igitur ablato tum cx ~ , tum ex o, rebnquitur— & — pro rcliduo lucro eeconomi ratione univetsi ludi , aut damno ejus rationc Iblius bigae qua: imminuti eft valoris. (Tjc. j8c6.). II. Si duo expofita: digtitcatil folia refient, rot illa variatio- nibus ceu calibusobnoxia funt, quot biniones in foliis zn continen- tuf,_nenipe - "1 1 — !; _ Horum in fingulis bigis unus, adeoque in unr.-OFlis n bigis, n cafiis exillunt, qui foliis gemellis ccconomo viitoriamptocurarepoJluni; unde in fingulis Jucrum illius effieitur "in.Tn — ui x n ( T » l ''f-)> inunivetJrs — ]n "_ l;1 CO ( r '*. i . ) . Qubd si alterutrum dignitaris iljius foJium pri- mo Ihtim loco prima; biea; ptodeat, adeoque valoris fit imtni- nuri per Jeg, :. . alteium fohum ad unumquemque ex reliquis i n - 1 B b loeis ' Digitizod t>y Google ip4 kA R TI S CO Nj ECT4 NDI loeisindifretenterfehabendo, totidem cafus prabet, quibus lucrum ccconomi niente minuitur, cujus proinde decrementum aiftimatur ifZlii X-(nf.i.). Hoc ergo detraito tum ut j^r^» nim ei > remanet 'pro lucro ttfidt» in ludo univerfo (r^.J.J &prodamnoia foUptimabig* ~' B 1"^* , (iii.fi.). II r. Si triioput& digmratis fblia luperfint, tot ca&urri va-i rietates inducunr, quot tcmtones in fbliis zti locum habent , videl; Ex horum numcro fo- — m - ' liotum gemcllorum cafus elkio, confidcrando quod, pofitii alicu- jus biga» fbliis ambobus laudatit digniiatis, certium iis fuppar fo- lium unumqucmque ex rcfiquis 211 — 1 lociroccupare pomt, eoqi totcafus pro illabtga fuppeditet: unde, ciim fumtis fuccefnVe pro ■ numero bigarum , 1,2,3,4 &c. numeri horum cafuum fiant 0,2» 4,6 &c. emnt foliorum gemellorum cafus in omnibus n bigis, 0+2+4+6+ &c. ufquead in — 1 X ( propter progrett »- mhm.jf.ii— 1. QuanlucnimtEConomi inqualibtt biga fepaia- - [r*i. fO , in omnibus conjunclim — ^fr^TTa 30 ^^! f»(.i:).QnMriunniii" horum nium foliorum primo ftatimloco exeat, eoque fitvaloti» imminuti per leg. j.reiiqua duo toties locari poJTunt diverfunode * quothiniones c*terai«— 1 fofi» recipiunt, adeoqne cafusfuppeditant, quibus lucrum ceconomi triente mulftarur; cujus proin detrimenrum fit ~^S^°.^L l:S 30 ™ 1 0 • Hoc igiiur abiatopattim ex 4 ,L, j pwtim ex — ~, relinquituril- h' e 1, (M. Ji)pw lucro refiduo in bigis univerfis: ifthic ^^£^Cr^.6.Jptodamnoin ptima fepaiatim. Digiiizcd b/Cooglc * A X S TE&TIA. ipj I V. Si omnia 4. expofit* dignitatis fblii tharti» reGduis ad- nt, tot cafus in univeifiini fiujgerunt, «juot qua- TabcII*: Nttmtrut felierum expefiu digniutii in ehartis rtfiduu : I. II. III. IV. 1 . iMcrum (rwnorni rn ig« KjfiSbi , iim mmti fm tdnU attgi j 1, Sifrimd cfi Tiisris mmmiai, fk ii 7z r» nr ] . Befidmm nuri in fa^ir , ^mrujn prinu tft TnUra m 4. unrum i in jwfi&r ii;* wfo* «rrpi, t/B-* r-f^ikm %*> fiqittnttl! i<,6 i^fSTIS COXj ZC?A NDf dc pro illa biga foliotum gemellorum calus *"~ » em cr- gunt . Et quoniam fumtis fucceffive pro * numero bigarum 1, i, J, 4,f,&c. numericafuum evadunt o, l, G, I f,iS &e. tunc gemel- lorumcafus inomnibus « bigis colleaive accepti erunt o + 1 + 6 + it+l8+ Sce. ufquead difpidendum. Videoaut , decujusfitiei (Iimmam. is modiselici polTe: i feiiei fecundas fuas diffeie les Iwbent, erunt figuratorum arulogi, quorum fumma quo paflo invcniiipoffit, fupra pait. 1. infin. cap. 3 . oftenfum . 1 . ilvi. Quoniam iidcm ctiam cx ipfa Trigonalium fetie per ISltum funt excerpti, rcfolva^ur Trigonalium fcries A i gemin» «yphra incipiens in duas alias B & C, quarum illa nodia fii, Bc im- n parium: hascpaiium locomm tcrminos com- pleflamr. Rdulvatur itidem firics C in duas o B&D; tic erit A30 B + C X B+B + DX 2 aB+D, adcoque A— Dx iB, &BXiA a — JD; & quia numerus teiminorum feriei B 6 (ut &C&D) pei hypoth.eftn, numeruster- g min, fciici Aetit an, ip(ac,ue leries A (percap, 3. patt. 1.) 30 ^ 1 " - * , feriesvero, Dfobarithm. progr.}xn.n-i. Quareft- Ifl» tiespropolitaBfiA-iD) X- ; . M»J. Tcrminus icriei B indefuiite ITimtuspcr hypoth . efl X * "- "~'+' — JB + J X —^' 4— ""T 1 1 * tota ergo feries B squatut qmdruplo omnium a "~ ' 3 minus tri- ploomniumii — 1: fed novimus e-x cap. j.part. a. - : — — e(k numcnim ttigotulem, &n— 1 Jatetakm; atque omn.^ — X Digitizcd by Googl PARS TEBTIA. 197 dimus, lucrum ceconomi fpeftacum in qtulibct biga fcorlim valcre » Va"-^ "aT.V- ]■ 00 f~*.f.)i inomnibuscon- junfiim — i B "Z-"TVn— (divid.psr i».» — 1 : 6 fia ) t ,J?""~,— • ; 30 Ji^— i^"ifj C rj *'l-J. Porrbsiunum 4 foliorum expollc- dignicatis in ptima ftatim biga primo loco pro- dierit, valoris adei exiftens imminuri perleg. 3, reliqua tria totics ordinem variaie poilunt, quot tcmiones rciidua 211—1 foliaadmit- tunti unde nafcuncur *"~ '"~,*'"' ' ~' cafus, quibus lucrum ceconomitriente muldtandum eft; cujus proprerea decrcmcntumcen- fetur ; '„ ~ ". , a - »-'3 , T i 30 pi E r — Hocigiturde- tiailo ex inventis tum — > tum — — _ n , lemanet ex una parte un *— it""'^" C Tji.j.) pio lucto reliduo in bigis tmiver lis, ex altera (t— .6.) pro damno ejits in prima fipararim. Acqnc itafcxTabuIarum, quas dedit Auffor Gallus, qn inque jam com plevimus; fupeielt unica iclcituenda, nempe^ 11 , qua:lu- crum teconomi concinct in bigis rcliduis, quando ptima earum ob confpeiium anterius ejus folium nulla eft. Ha;c vero ex iis, qua> IV.prxeedd. aiticulis jam prarmonftnta funt, ficiUime coneinna- birtir; modo ad hxc duo arrendatur : 1. Qubd bigx, eujns anterius fblium eonfpeclum fuerit, po- fteriusauc erit expofttas dignitatis, aut non eiit: iicr it, nihilieco- Domovelnocet vel prodeft, ledvelur praecox tudo proifiis finem Bt» j impo- Ij,8 ^MTIS COtiJ ECTANDI imponitper leg. i, Gnon mit, idem pnrcise cafuum numcrni fo- petcfl crtonomii ad obrinendum depotTium, ftu exajfe feu exbcfie, qui pitfito eliet, fibiga illa qux nullatlt planiabeflll ; hac fola cum diffeientia, quod numenis bigamm reliduarum , qui alias diceretur », ob dteiamquxnullacftuna computatamnunceftuntumn— • i , 2. Quod vifb primo fblio primte btgs, fupetfuni tantiim ln- i follinon vifa , adcbut numeius omnium omninb cafuuin cx mulritudine combinationum nonomnium i», fedtantam i«- ifo- horumifumari dcbeat. His enim perpoifis facile perfpicitur ratio Exfcribantur ex pracedd. IV. j. fbOiones Tabulse piimxSe ide , fcd qnalej erant anteieduftionem, ita: 1 . La.rm amsmi in iigii ufrAioi , tim mnti ftoi Vdletu mtegri: . DtirtmtMitm Imri, lirm frmu tfL y*lnk b J.im finguneha: fiaQioncs muteriniiin alias, funogando tan- riim ubique loco « in numeratoribiis n — i & loco in in denomiru- Dccrementis enim his relpective cx luc ir pto Tabula 4'" ftafliones: DigitizGd tiy Coogle PARSTERTIA. tce, t n_ nm 11 4111 — jn — j tn-s' ««. -»*-)-)' +.J-H..+II.-J ' II.J-l4».+B»-9" Et fii quartam quoque Tabul.tm adornavimus. Quod stquis D.ni Salvatoris Tabclhs cum hifcc nollris ewuuleiit, deprehendet i!- hs in quibusdam locis, praiertim ukimis, nonnihil emenditionis indigeic. Qus vcio ibidem obfervata adjiciuntur de proporiionc augraenti vel decrementi prxrogarive ctconomi , prout numcrus fo- liorum augctur minuiturve, de hts $c aliis dicere nil artinec, cnnt «infpeaioneTibulaium cuivis ultro manifcfti lim, Problema XXII. Efi Ale& quoddam genus , trt qua numtrus o- mnium cajuum efi a ^numcrus quorundam ex iis b , c&terorum a-bxc. litim fin- gulosale&jaciusfingulisnummisredimit Ca- jo perfihendis ; tum quoties unum b ca- Jitum jecerit , a Cajo vicifiim accipict m nummos, at quoties jccerit unum ex c caft- bus, nihil habebit: tamen fi unum c ca- (uum jecerit continuis n 'vicibus, Cajusipfi omnes fuos n nummos reddere obftriftm efi . Qu&runtur fortes Titii Caji? Problema hoe in Jpeciem fa:is impeditum nihil admodum dif- rtcile habet, lidextritratcetUr. Incipicifine, ponctido Ticium jam decoxiflen — i numtnos, hoceft, jam » — i vicibus jecilTe unum c cafuum, & nunc in pracinflu effe inftituendi n jafhim. Itaque vcl unus i cafuum ipsi eveuiet, vcl nirfiis unus i cafuum: si prius, i Cajo «cipiet m numtnos, qualium ipft jam Cajo » pet- 200 Kjt R TI S CONjECTANDl folvit; ficutipsi remancar lucrum m — n nummorum: si poftc- rius, reeuperabic cx pafto «mnes fuos n nummos , nihilqut adc6 vellucri veldamnifaciet;unde iutTiimejus cenlebitui- Ponodeinde, ipfum lufiJle *— i vicibuc, totiesque jeci/le u- muiw cafuum, & nunc aggredi n- 1 jaclum: confcquecuri Cajo (si unum t> cafuum jecerit) m nummos, qualiumilli jam n — i cro- gavii; adroque pro luao fuo retinebir m-n + i: lin denu6 jecerit unumfeafuum, pen-enietjn enm ftatum, qui io prnced.bypoth. obtinebat, habebitque ^Hif ; quare jsm Jots cjusfit, — "" + '+ r - "'* " 30 - — B - + . ' *^ + , - — — . Fingo . i- >, jecilTc »- j vicibus unum . cafuum, & mincfc aciingece ad jartum n— i , fiet, ut vcl lucrom acquicac m-it + i numnioium > qui dbi , detiattis i\uqs Ca;o fuccelHvi numeiai it n - i nummis , temanenc > fi ncmpe unum i cafuum jecciit : vcl ui pec- niigjc iri ftacum praredenlis bypoch. si pergai jacerc unum ( cafu- um; unde jam fots e;us lefulctr * + * + *' «q „-„ + ,*,t+Z=Z+*i. c i+Z= Klc t. Supponorurfus, jeciiTen — 4 vicibus unum ( cafuum, 8; jam- j«m derunflurum n — j jailu: perinde liquet, acancea, eum habe- rci cafus adobtinendum lucrum m-a + j nurnmorum, quifibi,ab- latis quos Cajo jam pendit n- j nummis, relinquuncui ; & laCus ad perveniendum in ilacum praced. id quod fortcm ipsi nunc patit '■— tLtsJZ L a Atque fic porr6 retrogredi convenirct, ponendoTitium « ■ — ? , B — 6 &c. jaftus infticuilTe, fi opus eflct pcrgcie ulccrius; id veri non eftnecefle, ciun exallatis tacio progteflionis jam (acis patefcat: • colli- DigjJiz^J by GtXlgle PARS TBZ7IA, tol colligimnj enimfkcile , qoW fon qu*m tb inttio ludi hsbet, priu*. quam jaceieinclioat, futura fic r l .-')+-,.".t4.r,. -»„ (+ 7; < - «,| i+ { tafti fepararione Ktminoram diverfrs fignis iffeicorum ) +•< »j+f.+^+r. + £ + 2r -<»t + n + S + %' +'■£ «juam quantitatem liquct daabns conftate p» rtibus , prioto iffirmitl , pofteriore negata, quaiumque illa in fttie geometrici progreffioni* liurn, hsec in ferie ex geametriee 6c irithmetice progrcffiorulibui rjuxuconnfiit: UtriuCjue fumma per notis regulai habctur: illiut — ) hujui — Jtj- — -- ' quiram proinde diffetentU qu«- fitumeitprimic, Iuerumvid. tcfncftu Ticii , & dimnum reipeflu Ci- ji, sipirsaffirmata prsepolltit negatae; damnum veroexparreTrrii &Iuciumer parcc Caji, lihaeepnevaleat illi. Unde jam porrb fequicur, qubd s\ ponatur «tqtuliuu inter u- tramque, decerminari pofliE, quis valorllitui dcbc.it littrfE m vel n, ut fottes Caji flt Titii sequentar ; Fafla enitn «squitione — — ; — 30 ~ T- T t ~ H'' InIu'tu»niri¥iiiopet' ! - = ^-' 8c ptodibit m 30 I Si TOodm WtqnctttDt m: otdinetar squitio ita, Cc Draitizcd b/Coogle 302 x^SRTIS CONjECTAKDl " — ;XS-«, «fiat4"-f».("::».J— w::*«.4— im, & eomponendo «".r":; 4— tm+tn.x — t m; eruirtque aggregata ex logatichmij e*tremorurn ti mediorum aequalia, nimiiumn I a + l7=tm X — tm+tn, h. e. wf4-«/f X&Tf» + &. /4 — *m , & « X , feufpofito»30i)" X ——7^37— — ™ ' P" Logttichmieam iu ficile conluruo : 5 InquicunqueLogirithmiea FADEftcetur applicata quielibet AC iri B, ut AB lit adBC inratione *ad t, fumaque ABIoco unita- tis,m eadem AC abfcindarur AM 00 n, perB Sc M aRantur reft* BD, ME, panllerataxiCG, Sc occurrentes curva: in D Sc E; jun- ifteque A D ducarur parsllela E F fecans curvam in F, ac denique eJt F demitwtut applicata FNoccuncns produaaj EMinN; eiitFN valor optati numeri n. Proponacur in exemplum haec Alca : Tirius duabus refleiis cfuoj fenarios jacere contendir , nummoque in jadtum pcrfoluto pollulat k Cajo, ut iibi viciHjm. fcx nummi numerenrur, fi id pnlriterit ; fi fccus faxit, nihil; atrimcn fivicies continuo fcopo abcrrarit, utfibi omnes fui zo nummi rcfliruantur. Hie propter j6 cafus duarum r AR S 7 ERTIA. aoj mm valor efl, a X j6 t *X i , adeoquet X ; f ; necnon mx 6, &* X 10. Nunc autem per logarithmos compcndiose invenitiir vicefima poteAat iplius y > leu ^ -jq iSsjji proinde "'* ,, ' jom, i-— 30 6. X & pari modo ilrera pars -— y- - "~ » ~ - f " » v 00 ' 6 — 30 ' 6 " S 30 ^ * quse ciim priorem cxcedai tota quintitate £~ | X ^ ( paulo ad- huc majore quam {, innuit, Titium non fine detrimenro hanc a- leam fubire polTe, & latius fafluium rT exemptioncm fiatim i lu. dendi neceflinvre vel fcsquinummo tedimat. Qubd ii tamen veln> augererur, vcl minueretur », poJTcr alea (ic attempctari , ut neutor pra; aiteto quicquam pnrogativi haberer; nam si rctento n x i» nat ™ X 3 iflf > aut manente m X 6 ftatuatur oX 1 1 aut u, urriusquc (brs propemodiim ad a:qualitatem redairaerit. Oblervo generaliter in hujusmoditleafcqucnria: i . Qubdfi datis t,b,t & m.literan fucceflivi induit valores oumcroram i ,»,j,4&c. lucrum Titii (utpotecujus fors in eafu I X i icmper eitpotiotforte Caji)aIiquousqueubinde creich . a. QuM eju) conditio optima fit, currt ponitur n x«- 1 vel m; & quidem peipetuo eadem in atraquehypothefi. 3 , Quod crefcente n ulterius , decreicat illa porrb continno in infinirum, utque eO ut & luerum fxpe indamnum abeat, prxvalen- te deinccps forte Caji . 4. Quod luoum veldamnum obtinens in hypothesi numeri nvaldi magni Gcvelutiniiniti, ad illud quod obtinet refpectu unici jafius ( rejefta tlla poftrema conditione de reiliruendis Titio fuis mim- mis, fi continuis Bjaftibusnullustcamumevenerit), rationem fem- per habet, ut a ad t, majoris ad minus; nimirum ciim iiiud per Cot, 6. Prop. III. pirt. b fiat x - ~* — f X ' Cci "crir 304 -t^JtTIS CONjECrANTtl eritillud — "*> &quidemutnimquefimulvel lucrum ntioneTi. rii&dtmnum tatione Caji , vdviiiiljm, prout tm rnajus tninutve ponitui ipfo 4. PROBLEMA XXIII. 2)f tAltA Teuerarum cxcarum cWm&e 3BurffH») Sicvocantlex illas Tcfliras, tireulatoribu* plcrunquc nortria folcnnes, quscum fint eubifbtmes ut ordinariat, exoeulat* tamen vclut ipparent, & lingulaejn una dunaxai hcdia punfiis nortne, unalcil. unrco, alia duobus, terria rribus, ufque ad fextam, qus Dtiam hcd imm fei punftis Ggnatam habot; fic iit univerfis nonmlt i + i + J + 4+1 + 6 X ai punfla inveniantur. EjusmodiTef- feras impollorcs emunftu.i p'ebcculam in fbio c ponunr una cum praemiis fecundiun omnes pu .ctoium numeros ab 1 of^ue ad 11, quanu cirtiter fubjunflae Tabulat infirra videnrur. Tum qui for- tunamfiiam peridit-ri volueiit, nummo ciicularori peilbluro tcffe- ras iflas inalveum projicit, & si quem pun&oium jccerir numemm, huic aflignatum prsemium aufcrtj fi veio nullum Gbi punOrun ccci- derir, nummi fm jafluram facir. His pofitis, bus pluribusvc rciferis efficiarur : li ab una effidrur , in tanetit quin- que tefTerii nullum comparebit pun&um ; qu.ue ciim lingularum o- tum quinque linr hedrte punQii deftiruta; , numetui tafuum , quibus idsccidir, deiig labirur pct j>if quinum potcftatem quinarli: li numerus punftorum i duabus produjirur celleris, in cancris quaruor nulla eminebunt punfU ; unde nunc propter eandcm rationem nu- merui caluum , quibus id fit, erit 62 f quaru poteftas quirurii. Et parner , li 1 riibtu , 4. aut ( tefleris conltiruitur , in carreria tribus, duabus aut una telTeris pundra deficient ; unde rum numeri cafuum ctuni izf, zu iur f , id eft, f' 1 , 3.4'aui piimapoteftas quinaiii. 4. Qu6d idem punfloram numeiui non unriim a pluribu* & paucioribtu plemnque relTciis, fed 8c ab eodcm teiTerirum niime- to piuribus quandoque modis produci poteft: fie puncu XII tri- bus modis produci polTuni a nibui , Sc duobus modis 1 4 teffeiii ; namnium terTcrarum puncu poteruntefle vei 1 , f , 6 ; vel 2, 4, 6; v*li,4,fi 8c quatuot reffcrarum puncu vel j, i.vel Utverbnulli modorum prartereanrur , quibns eomponi poflunc pm!lorum numeri, eadem rere.quam fupra in Probl. XVII. adhi- buimua, methodo utemur. Scriprii ordine punflorum numeris ab I ufque ad XXI, fumo omnes combitiariones lex primatum noto mm numeralium tum (ingularutn 1 , 1, j , 4 , f , 6 j tum binarum .I+a> I + J»'I+4t occ,item» + j, 1+4,8«. )+4,6ce.&c. tum cemarum i+i + j, 1 + 2 + 4, Scc. quaremarutn, quiiu- nim.&tandcmfenarum 1 +a + J +4+ f +6, ponendo confc- ftim iingula* adiatus ejusnumeri, quem fumma combinaurum 110- tatum efficit: fie quia biniones 1 + s, i + j, 1+4 &c. effiiiunt J, 4, j Sce. Icribo illos ad larus punfiorum III, IV, V Btc. atque ttain c«teris omnibus. Hoe peraQo cafuum numeros, qui fingu- lis punfloram nume^iircfpnndene, facillime determino, numerando folummoJo pro unoquoque modorum, quo illi producuntur ab una telieia j ,prounoquoq}quoproducuntur i teffeiii duabui, 62f i Cc j Tabu-. □igifeed t>y Coogle fASS TEXTIA. Ttlejt: 1 *f 16 3 iaf 216 4 f jiaf 777« 6 iffaf &quoatribus, 4aut f telfrris, nr.if aut f ; uc fupra in obfcrvar, 3 .diftum: ficquiapunft» XII tribusmodisi tribus, Sc i modis I4 refTcriscomporii oflenfiimeit, numerus cafuurn, quibus XHpunfti evcniunc, erit tcr 125 4-bis 2f 30 4if , quem in adjun&a Tabula idfcribo . Quad fi utnque (imiliier operttus fuexo , & numeri omni. um cafuum in ftimrrum coIlcQi conftirutnt 466^6 lexoun potefti- tem ferurii , certus eto me nuUum modorum prKteriifTe . Ablbluta autem hacee Tabuli firmma rei perafta eft, nec fuper- tfl aliud, qutm ut Ilnguli cafuum numcri in fua refpeftivi praemia ducantur , 8c produftoram ageregarum per 466^6 dividatui ad ob- tinendam optatam Akatoris foircm , qu« hac latione £et iKH.°4.m"'-'+4*"°-' + " f ? + !° »+a°-i+ ;■"+)■*' + ■■* ' X ff-jjj ) > u m WB*™ "P» deponendtun fuiiTet uniui numtni , si *qua forte ludere voluiiTet ; cjuue ctim circulatori pen- deritintegrum; reliquum nummi in eju» cUmnum Sc contw deccritoiis lucrum eompnucur. PRO- 2 o8 t^tXTIS COXj SCTANDl Problema XXIV. PofitU repetitis, qu* in frxcedenti, fiDo* mintts Alu ita paci/catttr cumcollufore, ut ille obftriftus velit ejfe adreftituendum huic omnes fuos nummos, fi quinejue continuU jafiibus nullum ipfipunftum ctciderit Qtt&- ritur nunc utriusque fors t Vidi quondam Circulatorem , qui adlbmtef nt indearet , hane tnfupet eonditionem iii offerebat, eoque tummfim mihi dedit eo. citandi primom de Probfemate fupra propofoo XXII. Hujus itaq, folutio cum ibid . generalitet exhibha fit , nihil nobi* hlc pensi reftatj qnam ut illam iireris ad numeroa revocitis hac applicemu» t Conftat tx preced. numerumomnium caluum in lct ceci* refleris efTe 466 % 6, numemm eorum quibu» nullura emicit punflum if*at,c*teronjiTi tioli" nnde valores Jiterarum innptcfintt funt, t 00 4££f< - i — * +"■ 5 30 iSsS ■ '|-«+»+'^X-I. €499179 Oftcnlum autemeftin Profcd. XXII, hac imanrirate exprimi damnum eolluforis, quod qmdcm in pneced. Probl. tantum erat ■ JiH 30 f^lHs ' feqmalrero f«* minus: unde condioonem hanc de reddendis collufori fuis nummis, quam veterator in cjus ravorem idjeeifle videtur , in majus porius illius damniim vergere conftat . Deca-tero Bc hoc obfervo, quodetiamsi eireularor poft duosftatim continuos inanes jadtus ad teftituendum fe obftringere rellet, iilud cum alicjuali adhuc lucro pro fe faccrc p olTet, Dd Artis ■^RTIS CONjECTJNDT ARTIS CONJECTANDI PARS QUARTA, tradens Ufum & applicationem pnece- dentls Doftrinae in Civilibus, Mora- fibus & Oeconomitis . C A P U T I- Vraliminaria quadam de Certitudine, Pro- babilitate , Neceptatt Contingentia Rerunu , Eniiuda rei cujusvfs (pe£ratur vel ci/ct7iv} & inle; ncc almd lignlic.it, quam iplam verira- tem exiftentia: aut fururitionis illius tei : vcl , majotem minoiemve, ptout plures vel paucioies funt probabilitaresj qux fuadcnt lem aliquam cHe , foxe aut fuuTe. PrtkWibvtaim eftgrsdusterrirudmis, & abhacdiffertutpari a roto, Nimiiumfi certitudo integia 6c abfoluta, quam litcra * vel unitatc i defignamus, quinque veib, gt. probabilicatibus eeu pwii- bus conftare lupponatur, quaium ties militent pro exiftentia autfu- tutitione alicujus eventus, leliqu* contra; eventusiliedicetuihabe- te - 4, fcu v certitudinis . Illud igitur altcro rtiWi/imvocatui, tjuod majorem certitudi- nis pancm habetj etsi in pofitivo f nbihili ex ufu loquendi tMtum dicatur id, cujus probabilitas femilTem certitudinis notabiliter fupcrat. Dico, MUtilktri nam quodfcmiiTem certitudinis circiter requat, du- bium vel anceps vocarur . Ita probabilius eft, quod £ ccrtitudinisha- bcc, quam quod j T ; ; etsineutium in pofitivofit probabile. rcfitbtic cft, quod vel tantiUam certitudinis pattem obtinct: Impoflibile, quod nullam aut infintti «tiguam. lu poffibile dt, quod habct -;'„ aut ^ cettitudinis. Mtnliin cerium eft, cujus probabilitas feii a-quatur integia: cti- titudini, lic ut defeftus fcntiti non poffit : ilorilinr mptfOil* cdnrta, quod tantum duntaxat probabiliracis habet, quantucn mora- liter ceno ad omnimodam cettitudinem deeft. Ita si pio morahtcr Dd i cctto 212 ^iSTIS C&XjECTANDI tercohabeacur, quod , J|| eectitudinis poflider, aic moraurer im- poflibile, quod ejus tantiim haber -, * ss . KtagjmmtA, quod non poteftnoncfle, fore auc fniffe; idque xtafiiuti vet fbjfnt; quo paflo neceffum cft jgnem urere, triangu- himhabere trcs angulos lequales duobus reflis, plenilunium, quod Ltuu exiftente innodis ingcuic, effe cclipticnm: vel bjftthak*, qua. unumquodq;dumeftaut/uit, vel clTeauc fuifTe ruppontrur, non po:eft non effe aurfuifTe; quofinfu neceJTumeftPectumlcribete, quem fcH» ponoq;fcriberc: vddenique»n'^e^cm (tam tiltriim, quod ab atbitrio creatur* ration.ilis: quSm fcriitmtm Scufntle, quoda cafu vel foriuna depender ) cftidj quod pofTet non efle, foce autfuiffc; intelligc potentia remota , twti proxima: neeenimcontingentia fcmp;romnem ncccflitatem , etiam quoad caufas fecundas, cxcludit ; quod excmplis dccl-ro. CcitilTi- mum elt , quod data tefTera: pofitione , velocirate & diftancia ab al- veo, eomomenco quo manum projicicncis dclcric, celkra nou po- ccfi ahcer caoere, qulm uri rcveracadic: ircm, quoddaca aeris con- flitutioneprasfinte, daiisque ventorum, vapotum, nubium mole, ittu,motu, diretcione, vclocitare 8c mechaniimi legibus, quibushiw omnia in (e invicem agunc , tcmpeftas crafiina: dici non pojlit alia fo- re, quam qualisrcapfefuturaeft; adco uc hi effcdlus ex fuis cauGs proximis non minusnecelTario, arque Ecliplium phienomena ex Tu- minarium motu fequantut: & ramen ufus ohtinuit, ut folse Ecli- pfes necefTariis , cafus vero teiTeia; & tempeftatis futuririo contingenti- biisannumerentur; cujusreinonaliarariocft, qulm quhdea, quae ad determinjndos pofleriores effectus ur dara ittpponunrur, atque c- tiam innamracaliafunt, non fatis tamen nohis lintcognitaj necfi efTcnt, fatisexculromGcometrini&Phyficaeftudium, ut exd-itis ef- feftus hi calculo fubduci poffint; qucmadmodum ex perfpeclis A- ftrohomis principiis iuppucari & praedici poiTunt Eclipfes : quae proptcrea& ipfa;,antc Alironomiameoperfeiftionis promotam, non minus ac casrera duo inier fucuia conringenria retiiii opusliabebant . Sequitur hinc , uaj 8c uno ccmpore videii poffceontingejns,quodslii DigitizedByGoogle P A X S 2JIAR T A. (imo & eidem) alio t;mpore poft cognios ejus aufcs Rt newfTariurn j □deoui contingentia pracipui etiani refpiciai cognitioncm noftiain, in quantum nos nullam videmus repugnantiam in objefto ad non ef- fe vel fbre, etiamsi hic &nunc vi caufs pioxinw ftd nobis ignotae fleeefTario fit vel fiat. fu Uir.t ptoftcu, m Btnbw, fltl ©fucf/ & Ftrtutti tivtifi , im M*!- bticr, cin UnflMcf dicitui , ciim nobis bonum vel malum obtingic nonquodvis, (cdquod probabilius, aut falicm aque piobabilitcr, potentnon obtigiffc; eoque ptoinde melior vel pejoi fottuna, quo minus probabile eiat, bonum vel malum hoc eventuinm . Sic infi- gnitei fbrrunatuseft ille, quiterram fbdiendo thcfaurum invenitj quoniam inillics todiendo ne femel lioc accidir. Si viginci difcito- res, quoium unus ca-teris ineiemplum fufpendio necandus, aleade vita contenderinc; piopriinon fortunatidicunturillinovendecim,qui benignioie Ibrte funt ufi, fed infortunatiflimui ille vicefimn*, cui lon atiacecidit . Ita nec foirunaius pixdicandus amkus tuus, quii prxlio falvus evafii, in quoexigua pra:Iiantium pars occubuit ; nifi fortaffis ob excellentiam boni, quod in vitae conlervaiione coofiftit, ita vocanditm exiflimes. De Sdentia $ ConjecJura . De Arte ConjeBan- mata quadam generalia bucpertinentia . Ea quz ceita funt & indubia, dicimur fiin vel inuSigm: Ci- tetaomnia»n/i«r«tantum vel tpimii. Cmjken «m aliquam eft mctiii illius probabilitatem.' ideoque Ati CmjtiUoidi five Suthtflta nobis delinitur ais metiendi quim fieri potcft exaititlime piobabilitates icrum, eo finc, ut in judiciis & actionibus noftiis fempei cligeie vcl feqai poffimus id , quod melius, fiiius.tutiusautcoufultiui fueiic depcehenfum j inquo foloomnis Pailofophi Japientia Bi Politici prudcntia verlatm. Cap. II. Dd j Pio- 314 t^iRTIS CONjECTAKDI Probabilitates «ftimaniur ex mumn fimul & psndtrr nrpt mM * rwii) qua: quoquo modo probant vel indieant, rcm aliquam efle, foieautfuiilc, Per Pmim autcm iutdligo vim probandi. Argmnenu ipfa iiint vdhatmfat, vulgbartificialia, defumraex locis lopicis caufa;, cfleclus, fubjedti, adjunili, iigni aut alteiiuscujusviscir- cumftantiie, qu* qualemeunque nexum cum re piobanda habere vide- mr: vel tmiafttt &iimtiricialia, pctiraab aurhoritate & teltimonio honiintim. Excmplum cflo: Titius occilus reperitur in via, Ma:vius tommiifi honiicidii accufatui; Aigumenta accufationis funt, 1. qubd conflet illum odio habuilTc Titium (en argumentum a tiuft, potuit enim odium hoc ipfum impuli/le ad occidendum J , a . qubd examinaius palluerir timidequc refponderit ( en argumentum ab (/- ft&% ; potiftenim pallortk merusifte ex confcientia pattati eriminis profluxiiTc). ; . qubdinzdibus Mxvii reperrusmucro Cinguinetin- cius (en figmxn ). 4. qubd quo die occifus in via Titius, eodemil- Jac tiaiilierir Mavius (en tiwimfimiUm ]oci& temporis) . f . qubd dcnique Cajus deponac , pridie commifli homicidii Ticio eum Mxvio litcs inteiceififle {mu^muum). Piiusqnam aurcm propiusad inftiturum aceedamui, oflenden- do, quomodohis argumentis conjecturarum in probabilitatibus ms- tienda uti conveniat , prajmitcere lubet generales quasdam Regulas feu Axiomata, quas unicuique tanimencishominifimpiex i»tio di- ttare folcr , & quas in vitas civilia ufu a prudencioribus etiam pcrpe- tub obfervantur. . I . Canjtilurii letm nta tfft dcht in rthui , m quibto tmnimtlim ttr- tiiudhiem alftqui liut, Fruftra ptoineiretAftronomus, quicx eoqubd quoiannis duas vcl tres contingere novit Eclipfes ,dc Plenilunio quo- dam augurari vellet,num fit edipticum, necne; ciim veritatcm rci certocalculoconfequi pollit. Ita fi fur interrogatus refponderit, fe tcmablatam vendidifle Sempronio, incptiageiet Judex, qui exvul- tu tonoqueloqucntis, aut ex qualitatc rei furto ablata; aliisve furti circumftantiis deprobabilitateairerti conjicere vellec, quando prsrto eftgempronius, e quo tem omnem certb & facile expetiri licebit. i . * M fuffii; txptndtrt anum tUtmm «gmtxtum, ftd «*- qnhwtd Digirizefl Dy Google P A Jf S $UA RT A. Hf •wffwt» fitnt mtU, qut inagnhhntm ruflrjm ttntrt poffunl , n!;, uB* mdt tdprtittim m rii ftttri tidiraitr . Tres nives er. gr. folvunt c portu, poftaliquod tempus nunciaiur, unam illarum naufiagib per- iiffe; conjieitur quienajn ? fi Iblnrn numeTum navium fpefUtem,in- fortunium fingulis aeque accidere poruilfe colligerem; fed quiame- mini, unamearum pras cat reris carie & vetuflare fuifTe exefam , vclis 6£anrennis male armattm, nauclero quoque novitio & fnexperto inftniflam, hancutiqueprobdiilius quameiereras uiteriuTe judico. j, Ntirmtumiti*(mtiitt*iadt,qatitipreUrulttmiitinni-, fU& tmnu iBt, qvtin MlfMriMK tiiaii pejfntt, ar tratintaii froli arrin^icn- flrt utrt prtptndirint . Deamico diutiffime k pairiaabfente qusriror, »n pro morruo declarari poffit? Pro affirmativa militanr hic argu- mcnu: Qubi cmni licec adhtbita cura toto vieennionihil de illoin- notuit: quod pctegiinantes plurimis vitzc periculis expofifi funt, quibus excmpti hi quidomi mancnt ; fortc igitur tn undis fimit vi- tam, forri occifus in via, fortein pralio, furre morbo lut cafu ali- quoobiit in Ioco,ubi nemini fuit norus: quod siin vivis elTei, cjus jam seratis efTe deberer, quam pauci vel domi attingunt : qubd feii- ptutusfuilTet, etiamsi in extiemis Indise oris veifarcrur, quia fcivit fe hanedicatem expeftate domi : & qua: funtalia. Quibus tamen ar- gumentiinon efl acquiefcendum , led opponemfa qcroque fequcntia, tjua; negarivam ruentur. Conliat, hominem fuifle focordem, aegre arripuifle calamum, amicos contempfiiTe; forre IBarbaris captivus duftus, ut fcribere non potuerit; forte etiam fcrjpfrcer India aliquo- ties, fed liiera* vel incuria latorum vel naufragfo periere; conllat denique, multos diutius emanfuTe, & ramen tandem rediiffe inco- lumes. 4, xi iuAUioium ii nthttfiStm fiffi iant trgimmu tottttt & nrmtrldit ; jti ti anjtOaitt fnmtndtf ii mditidu , tttpmt fl" j, & tUIU mtptngutU fim' , fi midi hiii np.-^inr. tta cfim quititur in ab- ftrafto, quantb fit probabilius, juvenem vigintt annorum feni fexa- genatio fbre fupeiflitem, quam verohunc illi , prater difcrimen teta- tisScannorumnhilell, quod conliderarc poffis; fed ubi fpecNtlitcr /etmoeftdeindividuisPetri juvenis& Pauli f nis, attcndere inf 'pcr oportet ad fpecialcm eorum complcxionem & flodium , quo uterque □ igifeed by Gcwgle Sltf i^f&TIS CO Nj ECTA NDI valetudinem fuam cnnt; nam fi Perrus fit valetudinarius, fl affecli- bus indulgear , fi intemperamer vivit, fieri poreft , urPaulus, etsi ana- te proveflior, oprima tamen ratione longioris fpem vita: eoncipete vaW. y . Jb rtfra fMMfr * rfuiii «fliiiwi nnjir* fafttnienit fimt, itntt mtjtr tax tjfitlftrit ; fid fi attt/h tgeutti naltm p*ii*t*r mtr*m , mtr iut fim/ir tligtninm ii, qaod mnmmim , tmim , ttnfklttm tai fnMilim «- ditar,nfintutrsminpof\mtt*itfit. Sic mobottoineendio, iquoalitet ekbinon poffis, nusi vel ex fummo redtovel ex inferiore quadam contignatiolie tepnEcipitemdes, piKfUbirpofWuseligere, quiaro- rius; etsi neunum fimplicirer tutum iit.aut une Ifefionis periculo &ripoflit, 6 . Q«ii *liqat ttfit pnitff, "aBt "tttt ?»'$, preftrtnJam tfl itii, quii vtl f rditli ytl ntttl ; quorfum collimat illud , quod vemacn- Udicimus: Mfftrtntt&e/ fo ftat* tfl tlidjt. Fluitejcprieciden- ti; namquod prodeiTe potelt, aeteris paribusfarius, turius, opta- bilius efl illo, quod nonpori.it. 7. Dt xWtrmm bmmtrm pntit nmfUtamium tx tmW\ cura Itoliditnmxaaionesquandoqueoptimo, prudentilTimx contra peiTi- mofucceftufruanruri hinc Poita: C*rt*t fitcajStm, tptt,. 9 auqax *i npmt f4l*noi*niitpaiit. Ita iiquistribus tefTeris piima vice tres fe- naiios jacere fufiipit, etiamsi forulTe vineat , ftolidi tamen cgilfe cen. fetut . Norandum contra perverfa vulgi judicia , cui prseftanrior ha. betur , quo qiuTque eft rortunabor j imo cui prolpcrum ac felix ftc- lus pletunque vittus vocat ur , dc quo rutfum clegantei Owenus : Eflp. Ot.fnt-%- >i«. Quod male eotiiultum ceciditfelicitet, Ancus Arguitur fapiens, qui modo ftultus enti Quod prudentcr erat provifum , G mali vottat , Ipfe Cato populo judice ftultus erit. g , Ib fmtkrn ntfitu ttmnim , tu rttus pim triiitmm qnlm p*r tji , tutjut mmifrtmmm tfiuttm, prt *tftitai ttrtt b*bamau ipfi *at tbauU. mm dlm . Opcctet enim , nc fidcs, quatn rebus ttibuimus , propor- tionata P A B S $UAR TA. s, 7 rionata (it gradui certitudinii, quam unaqua^ue r« obrinet irque adco in cadem rationc minor , qua minor elt ipfa rei probabilitas; quod vernacule lic enunciamus ; fflfc.n mu|) titl jttXS itl ftifltltl aCtttfjuitt) Uniwrir) bcruben iq|Ttn. . ■ 9 . Qmt itmm rtvh tdmiiim mmmsim anituiimm tjjtqui tictt, rtufiittt & ufnt vclunt, ta quoi mirjlitrr ttmum artum tfi, prt tbfututl ttrtt bakttlur . Utile proin elfet fl Magiltratus autloritate morali cer- titudini dcccrminati limites eonfticuerencur;pura si definirctur, num ad ilUm effieicndam tufficianc 7 || , an rcquirantur -,111 territudi- nis; ne partium ftudio aliquid dare pofllt Judex, ftd cynofuram habeat, quamin ferenda fentcntia conftanter obfervet . Plura ejusmodi Axioman alia unusquifque quotidiano rerum ufu edodtus proptio marte libi cudere poteric, quotum omnium nof excra datam occalionem difficuher meminilTe pofTemus, Caput III. Devartir argumtntorum gtntribm, $ quo- modo torum pondera afiimentur ad Juppu- tandas rtrum probabilitatts. Qui varia argumcma cxaminar, quibus opinio vel conjcilu- ngcrteratur, triplex in iis difcrimen animadvcrtec: nam quaedam corum «ntgtrii tciftum &anmgtMtr indiw.t: alia atamgmtr txiftunt &ntaff*ru\ iniittnt; alia denique «irtinjOKCT txifiuxt ftmul & iniutnt . Difcrimen dcdaro cxcmplisr Fratcr meufl diunihil ad mc litcrjrum dedit; dubito, an ejus fcgnitics aut ncgotia in eulpa fint; vereor etiam ne plarte faco concelferit. Hic intcrmilfe fcriptionis argu- menta fiint cria: Stgniiiti, miti Ot t/tgttu; quorum priraum exiftii ncceuari6,(neceHitate hypothetica, quiafrarrem fcioponoq; fegncm eflej fed indicat contingentet ; potuilfct enim (egnities hic ipfum non cohibere a fcribcndo: fecundumeonungentcrcxiftir, (poteft e- nim fracer adhue in vivis elTe) at neceltarib indicat, ciun morcuus E e icribero 2i8 t^fXTLS CO Xj ECTANDT Jcribere non poflit: (etrium&conringenter exilHc&conringentwin- dieat ; poflet enim ille habere & non habere negotia , & \\ qtue ha- bet, poflunt tanta non eife, qu* ipfum de lcriptione derineam. A- liud exemplum: Pono alcatorem, cui cx ludi pnefcripio pramium debearur, fi tefleris duabus leprem punfo jccerit , voloque conjicere, quam talis 1 vincendi fpcm habeat. Hic argumcntum vifloriie eft jaclus ftptenarii, qui illam indicac ncccl1arib,(nccciiiiate nimirum patli inter collufores initi ) ftd rancum exiflit contingentcr ; ciim prseter (eptcnarium 8t alii punflorum numeri cadcre polfint. Prater hanc argumenrorum diltinflioncm aliud quoque in iis dilcrimen obfetvaie licet, dum quasJameorum funt^nr*, alia mixt* . Fhmvoco, aux in quibusdam ca';bus ica tem probjnt, ut inaliis ni- hil pofitive probcnt: Mixlt, quae ica rem piobant in cafibus nonnul- lis, ut in catctis probent contrarium ni. Exemplum efto.- Si in nrba tumultuantium qu dam gladio fiieiit confoflus, & ceilimonio hominum lide digitoiura eminus adfptflanuum conllet, huicnigrjin fuilTe chlamydcm qui facii:us commidt, repeiiatuique ini.t tumul- ruantes Gc^ccliui cum triblH alltsejm coioris tunica iudutus; erit harc tunicaargumentum aliquod commifla; aGiarclio cedis, lcd mUrum; jquoniam uno cafii ejut culpim, tribus calibus ejus innocentiam pro- bat, prout vidcl. vcl ab ipfo vel abuno reliquorum trium csdespa- trata fuetit ; necenimab illis parrari potuit, quin eo iplo Gracchus ponatur innocens. Quod li vero in lublccuto examine Grac;hus pal- Juerit, pallorhicficieieilargumcnrum putumr ptob.it enim Grac- chiculpam, fialaeG confcientia proficilearur; fid non viciflim pro- batejus innocentum , li aliunde proveniat; potclt enim fieri ..utalia dc cauia pallefcat Gracehus, & tamen iplc lit suttot ctedis. Exiis, qua? hactenus difta Tunt, peifpicuum eft, vim proban- di ,qua polict qundl'bet argumentum , pendcrca niultitudinecaluum, quibusillud exilteie velnon exiltcrc. indicare vcl noa mdicire, aut fcuprobabilitatem, quarn gencr.I hoc aigumiiunm , cxcafrbus iftis per Doflrinam p imar Partis non alitct elici pofle qu m fnrtes aUaco- rum in ludis ale.e invelligati IbLnt, Adqiiodoltenden.uim fuma- musaumcrumcafuum, quibus conringere poicft utsrgumcntum a- PASS gUARTA. *[<,. liquod exiftat, effe i; eoram, quibusficri potefl tir non «iftat , <(, ambortim » OO f + < ; ttem numerum cafuum , quibus contingete poteft ut indieer, p ; utnon indicet, aut comtarium rei indicc-i, t ; amborum . Ponoautem, omnescafas Sque poffibiles efle, fiu pari facilirate evenire poffe i alias cnim tnoderaiio eft ad- hibenda , & pro quovis cafu fcciliori tot alii cafus numerandi funt , quories is cajtetis facilius evenit: cx. gr. pfo dfu tiiplo faciliori nu- mcrorrescaius, qui pari enm carreris ficilitare tonringere pofiint. l, Itaque llt primo argumentum mringnnr r\ifimi &niitft. rilmiktiu: erunrex modopofitis * cafus, qutbus exiilerc adnwue Bimdicaierem ( ftu i ) potefl ; & < cafus , quibus poreftnon exifte- rc , adeoquc nec quicquam indicaie; id quod pcr CoroII. i .Prop. III, prims Part. valet *' ~^*' X -, iti ut ule argumentum pfo- ber - ici fiu certitudinis rei . a. Sitdeindeargumcntum nuiffoii txifltni & cmh%rmtTm- ditwt; eiunt ex hyp.u cafus, quibusfieri poreft ut indicet rem, Sc j, cafus ut non indicet, feu ut contiarium indieet; quod vtm argu- menti adrem probandam nunc efficit X J : probat eigo hujusmodiargumenrum J ccrritudinis rei, atque infuper fi fit mix- tum Cquod eodem modo patet) >-' + <-° x \ certitudinis con- j . Si quod aigumentum tcnlingcintr txifiii & itnringtmttirdU ut t pono ftatim exiftcic, quo cafu pei modo oftcnft probare cenfi- tui - rei, & infupcr 6 fit mixtum, - contiarii: undeciimlinti ca- fus, quibus cxiftere; & eafus, qui probantrem, & quibu» nullum eft argumtnrum, folaque duo priora vim fiiam probandi — "^-'^ietinent: unde vis omnlum trium eenfetui- fi plura pia-ilb fint argomema. E quibus paict. quhd omnia jun- Oim fumia proba^ilitatem inducunt, quip ababfoluw rei ceniiudi- ne leu unitaie deficiat parte Unitaiis, ona tx divifjone produili ca- fuum non piobantium pet produftura cafuum oronium in univerfls ffgumcm». _ [. Sint deinde omnia argumenta mmt: Quoniam numertra cafutim probantium primi argumenii eft t, fecundi , tenii h, &c. Sc probantium comtarium &c, probabilitas reiad probabili. tatem conrraiii, vi folius primi argumemi , fe habet ut t ad t ; & vi fo. lius fecundi, ut' ad f; & vi folius lettii, Ut b ad i, &c unde fac d vis probandi e talis ex omnium argnmentorum iiibus «nnium aigumentorum Jungatur Et ita dcinceps. '■ eft , qu6d "u lefultws DigitizGd byGoogle PABS gUA&TA. Iitas rci ad probab /i &c. adco ut probabilicas abfoluta reifit iii;'+tfi ' & probabilicw abfoluta contrarii fi„^ - y; • 6. Sinr rurfus qua:dam argumcnra pir* (velut triapriota) & cjuxdam mixu (ut duoreliqua). Confidero primfi lola pura, quar per^. + . probant "^"^certitudinisrei.dcfefru ad unitatem exi- ftente funt ergb velut adg — ifi cafut , quibus triahaic argu- menta junflim fumta probantrem fcu i ; & c/icafus.quibuanilpro. bant, folisque proin argumentis mixris locum probandi concedunt: probanraucemhiec duo perpraeced. Jf. j , ^7^: B tei> & ■ '" contrarii. Quare probabiliras rci ex omnibus argumentis rctulans **g ^~'+y * ' 1"" *kcfmnimc«k tertiiudineceu unitarcdcricit pro- dudro partis (qua ab cadem defici t probabili tas rei per Jf. 4. ex fo- lisaigumentispurisrcfulransjper^p^- probabiliratem abiolutam contrarii.per pnecad. £ . f. exargumenris mixtis elicitam . 7. Quod (i prartet argumenta quas rei probandaj conductmr, alra fe ofTerunt argumenta pura, quibus concrarium fuadetur., utri- ufque generis argumenta per prareed. rcgulas Jeorfim ponderanda funt, ut inde conftare polTir rario, qua: inter probabilitaiem rci 6c ptobabilieatem conrrarii interccdic. Ubi norandum, li argumenta, quaiinutramquepartemafferunlujfimtfarisfoitia, ficripolTe, ulab- ioluta prob biliras utriusque partis ftmuTem certiiudtn s nolabilitcr fupetet, h . e. urutnimqueconirariorumrcddarur probabile, erfi re- laiive loquendounum fir minus probabile altero; fic fieri poreft, ut quidpiam habeat ~ certitudinii, dum ejus conrrarium poiUdet i ; quo padto utnimque conrraiioiuin ehi pTobahil , & ramen prius minos prob.ibilc fuocontrario, idque in rationi; j ad fivc 8 ad 9. DilTimulaie hicnon poHum , qufid in fpcciali appticatione hi- Ee j rum 2 22 i_JR7IS CoH JBCTANDI rum regularum muha occutfura pravideo, qu* in caufa effe queunt, ut rurpitei fispe quis hallucrnerur, nifi iil difcernendis argumcntis eauti procedar : quandoque enim diftinfta vidcri poffunr argumenta,. quie icaple unum idemque argumentum conftriuunt; aut vice vcrfa unum videntni, qux diftmfca fnnt; nonnunqujm ponuntui in ar- gumeiro ralia, qux argumentum conttarii plinc evcrrunt ;. &c . Itl cujus rci illuftrationem unrim raniiim alieiumvc exemplum adduco: Puno in fupraalbro cxemplo Gracchi, bomines hos tidc dignos.qui rurnulruintes viderunt , in Aufiore ca:dis rufos inluper capillos ob- fervalTe, ralique capillirio Giacchum cum duobus aliig notari, fed quoiumneuter nigra loga fit veltirrts. Hic, (i quis ex iilis;indicii« ,. qu6d prstci Gracchum tres fint atro coloie veftiti, & ptstei eun- dem tluo rufis capillis iufignes, colligere vcllct probabrlitarem culpx ad probabilitate:» innocenria; in perlona Gracchi pcr #. j. ft habere in rationecompolrta ex fubrripla & fubduplj, h.e. in rarionc fub- lextupla , illumque adeo verifimilius multo innocintem cfte , quam reum facinoris, is uriquc inepti colligeret ; cum hic proprie non ad- finr duo argumenta, fed unum tantrirfl idemque 1 duabusfimulcir- cumftantiis colotis veftium & capilloium petitum, qua» AaM cir- cumftantite ciim in fola perfona Gracchi junflim conveniant , argu- unt cerri) non ?Iium quam ipfiim auflorem caedil effe potuiffe. A. liud exemplum efto : De Contuclu quodam fciipto dubium movc- tur, an dies inftrumento appolitus rraudnlenter fit anticipatusi Ar- gumintum pro negativa hoc elie poteft, qubd inlltumenrum figna- tum lit manu Notaiii, i. e. pcrlona: publita & jurarae, quem non verifimile eft quicquam commifilTt fraudis , cum id fine fummo hc— noi is ac foi tin .1? tu, + i) r »V', vel is huic pioximus ad Ff j 2 ;o ^A.RTIS C0N}EC7JNDI nec non icquens vetlus fiitipTim : dixlrm l e quibus, pracmilla ubique conveniemi ledtidlione Cun coeiticiemium qulm tenninonioipurorum per divifores communes, pat ebit, qubd terminus M ad proximum veifus fmiflram habec, ut rar + i . i adni.r, hic ad fequencem, ut b r + a . j ad n &e. nee non teiminus M ad prcocim um verfia dcxcnm, ut »j+ i .r id «r. t; Schicad fequentem, ut »j + i. r»dnr- 1 .j.&c.Eftveri'ir+ 1 .j (■» + !)> w.r (n»), & .7^.«( M fi+»0-> «-i.f (nri- r) 8cc. ut & i"+'-r (»"+0 > "nr.< f>r<), & »'+2.r(iin + ir) -> (tr-I.'(»l'-0 &c. ut apparer. Er. gotermimis M major proximojb utravisparte, hicmajoi re ri ab eadem pacce, &c. Q.E.D. a. Racio minot eft tatic »tio' : ^t-' <."*-^,uc liquet: igirut addita raior Mtioquoque -'- + -'~ • S^lntio —^—^- eftillaquam terjrunus Mhabet ad prommum verfus fmiftram; 8t **"+»•' illj, quam habct hic ad fcqucncem : icem lario " i fr - 1 — eft ea , quam tet- minus M habet ad proximum vcrfus dextnm ; & - quam habet hic adfcquentem; uti modoollenfum cft, & ad cwcros omnes ex tcquo concludi poteft. Quare maximus tetminorum M ad pio- pioremex uiravispartc minorem rationemhabct, quim (inpati ter- minorum intervallo ) propior ad remotiotem ex eadem pane. P A R S £UARTA. _ji , rnpotcfatebinomii,cujus index nt , tantus potell s H,utm»ximustcrminorum Mad alios duos L & a, minorum Gniftiorfum & dexeforTum i fc diluntes , ntionem acquirjt quallbet dara nujorcm , Dem. CumenirainLerom. praeced. terminm M fit inventus erit tx legepwgremonis (addiro m »d ultimum 6flo(em co-fficienris innumeratore, &ab]»ro abulrimo in denoininarore; tvx non alte- riusIitetMumT&J dimenfionibus eodemn autlis, alteiius diminu- L tifmtftm: dtxffvn, n,,,. i.m v . ■,■.+- + . ,■■*+".» - pt-^-l v+n+l *,*,» unde fkfla convenienti retJuitione pet divilbres communes, tdnltat M _ -+....+— ...■ _+ I A -„_,+,.„_.+ , ..,..+1 X." five f dimenfionibus qiianciiatum r" 8: f"in fingulos ficlorcs, ob x qualem amborum numetum, aequaLterdiitrtbutis) +.,....+.,— ^ .. +.—., led liar: rationes iunt infinite nugnx, tum nvmtnis n ponirur infini- n_i ; cuncenim evanefcunt numeri l, i, &cc. prae n, ipla-quenr 8 «8 i,i,J,8cc. 6tK8 n 8 i,-,J,6-c, untundem valent , ae nr 8 » Sc w 8 "> Gcutdivifione in(tiru«perii,.prodeat ?- DigillzMD/GoOglc sja RTIS CON J ZCTA N B I qua: quantitates tomponuntur, utpatet, wctot rationibus '^~^»x "~*~ r , quotfunlfachjres:athorumnumeruselt n,h.e. infinitus ; ciim mterptimumm-f n,autnj + n,&ultimumnr + i aut «+i differen- tialitn-i. Iddtc6rationesiilxfuntmliiu'tuplicatxiationuin[^^ Sc '• + ' } jc proinde fimplicitcr inrTnitfc: qua de lequel* si dubites, concipe infinitos continui proportionales in ratione ri + i id n-r, vel r j + ' adri — s ; erit piimi ad teitium rario duplicara, primi ad 4 ,um triplicata, ad f um quadruphcata,! &c. ad ultimum iafi- nituplicata rationis ' r ~.' T vel : conllatautem, ratianem pri- mi id ultimum infinite maEnam cfle, obuliimumXo. (Vid.Ct- rolt.Ttfi . xeftt Striilw ;i/tobh.) Qyare etiam conliai, in-. finituplicatam rationis ~~ vel ','/=7 inlinitjm c(Te. Oflenfum itaque eft, qui>d in poteftate infinitealta binomii terminus maximus M ad duos L & a rationcm habeat omni aiTignabili ratione majo- lem. Q^ E. D. Um. ■. Pofitis,qua: in prieced. tantus intelligi potellnu- merus h, ui fumma omnium leiminoium ab intermedio 6; maici- tno M ad ambos ufque L & a inclufive- fumtorum , ad fummam o- mnium reliquorum extia Iws limites L & a utrinque protenlbium 1 xationcm habear omni data ratione majoiem . ZWM. Vocenttir termini intra maximum M & limitem (ini- flrum L, ftcundus imaximoF,teitiusG, quanus H, &c, Scextia limitem L, fecundus ab ipfo P, teriius Q^quarius R, &c. Quo- niain igitur ratio ~ <, ~ & ~ <-^j & £ <-^ &c. pet patt.i. Lein.3.eritq8oque virillim <-ji-<.-^-<£- &e. Quare cttm pofrtio n numero infinito , ratio lit infiniie magna, pet P A R S §ttA* TA. 21% Lcm. + . fortiusetijmcfctern: rarioncs-^ j -^, -^, &c. eruntin» finits; eaque proptcr & F jS^-U*- infini "A c -'' m »« fi '"""l tcrmini intr.i maximum M & limitem L contenti infinitics majores eruntjoridem fimul rcrminis ertta L potteclis ipsi L proxiniis. ^Et nisi finitis ) vicibus fupctar, per i. Lcih. ipfiqus iniupcr tcrmiiiico minorcs cvadunt, quo iunt a iimite rcmotiores, pcr I. part. 3. Lem. iddrco tcrmini limul omncs intra M & L { ctiam nun com- putatoM) omnes fimul terminosextraLadhuc infiniries iuperabunt. Srmiliicraurem oftend;turab altera patre, quodomnes intra M& A conclusi termitii omnes extra a porreftos (quorum numerus prio- tum numerum per Lcm. 1. non ntiir— 1 vicibus cxcedir ) infinirics fiiperanc. Quare denique omnes termini inter utiumquc limitem tLJBcA comprehcnsi (dcmro licct maximo M) omnes omnini) ter- minos cxtra pofitos itidcm infinitics iuperabuut , Ergo mulro m»« gisuni cum rnaximo. Q. E, D. JtM. Objici poffet contra 4 &*"im Leina, ab his qui fpecii- lationibus uifiniti non affueverunt, quod etiamsi in cafii numeri n inriniti faftoics quanliutum, qu* rationes ~ Bc — exprimuQt , »' 8 » 8 1, j, &c. & m fj b R 1, 2, f , &c. unnmdem valent ac m ("} n & m $ n, evanelcentihus ratione linguloram faQoium numetii 1, 2, j,&c. fieri tamen polTit, ut omncs «ollecli vel in fe dufh ( propter infimtum faflorum nu;ne- rum ) ::j infinitum < • , : '*, • , adeoque ratioiiem infinr- tuplieaeam ratioius ■ aut'"""}-* infinite diminuant, h. c. fini- tam reddant. Cuifcrupulo meiius Gtisfaccrc non polTum, quam fi nunc porro modum oflendam alTtgnandi, reapfc finitum nume- rum n, fiveitnitam poteflatem binomii.in qua fumma terminorum intra limires l & a ad fummam terminorum extra, rationem habcat datarationequamumvis magna, quam litcra ? defigno, majorenii utpote cjuo oftenfo objeaionem uhro corrumriecelTecft, Cg Hunc 2 !4 CONjECTANffT Hjuic infinem alTiimo r.itionem quamliber majoris inaiqualrr*. tis, qux tjinen lit minor rarione ~~' r C P ra tcrminis ad partem fi- niilram ) puu rationem "^ - eamque rotics (>" vici- bas) multiplico, quoad tequct vel fuperet rarioncm i.i- t id i , hoccfl, ucfit —~— 30 vel "> t . < - 1 . Quotiesautemidfieride- bear, compendiose inveftifiarur perjogacithmos ; n am fum tis quan- titatum logarirhmis fic mLr+i — mLr OO vcl "> Ii.j — 1 , & divi- lionc pcracla ftatim haberur »1 ^'^T - ^ ■ quo invento fic per- go : In feiie illa fractionum five fafrorum , - ^""^^ • nT^HfVr ■ ",1—Z-hir "'~^r l cquorumductu perLem, 4. icfiucat ratio - , obicrvare liccc, quod fingute fraitiones Gnt minores quim ~~ , ita tamen ut ad hanc cominae propius iece- dant, quo major fiimitur n : iraque qualifc-et earum aliquando fiet stqualis ipfi '-^~ 30 '-—; Quaievideidum, quantus fic acei. piendus valor n, ucfraQio (cujus numeru* ordinis eft m ) «quetul ipfi - r -. Eftveio (utexprogreffionis Iege perfpicuum fit) ft*. fiio ordine m fisc : , q U ai adaquara fraclioni ^ » dac n X m + v^fTj &inde nr 00 »' 4- 7— 7- Dico, hunc efleindicem potcftatis, ad quam sielevecur binomium r + >, fiita- lum uc lerminus maximus M fiiperet limitcm L plus qnim f.i - 1 vicibus. Nam quia fraflio ordine m per hane afTumtionem numeri » (it ^t-' > per hypoth. 6i v«o fraftio fecum ipfi m vicibuS mnfoplKata^h.e. '-^'~> percorifli.seejuecvelfuperetf.j", fitBt Digitizod byCoogle PARS QJIARTA. 2j5 fitut h*e fraftio m omnes praxedentes Ftafliones dufh muko mi- gis cxcc dat cum finguliE pracedeniium majorcs finc quim ^y-'. Ergo magis adbuc fuperabic c, i- i , quando ducitur una eum praicedenribus in omnes ctiam confcqucntcs , uipotc quarum finguUe filtem «qiulitatil ratiouem excedunt. Scd productum omnium haium fiaftionum racionem cxhibet tetmiiii M ad L; i gitat omnino conftat, tcrminum M fupcraie limiccm L plusqulm c, i-i vicibus. Jam aur*m^<.^ <_^<--|J- 8ce. ut oftenfum. Hinc mufrornagisfccundusi maximo M fecundumalimirc Lplusquim r.i— i vicibusfuperabit, & magisadhuc tertius terrium, &C. lu- que tandem omnes termini intra maximum M Sc limicem L fupe- ranttotidem i maximii exrrahunc limitem plus quim c. i- L v icL bus; adeoque fupecant rotidem illorum i — i vicibus fumtos pliw quam i vicibus . Ergo multo cvidcntius fuperant omnes extra limi- ' tem L , quorum uon nisi t — \ vicibus plures funt, plus qulm ( vi- Pro terminis dextimis pari modo ptocedo : AiTumo rKioncrn — ' <-' r r-~,i & facio — -2 c . r-i, invenjoq; m £° L Z£—— • • . * v > ti+i-ii* Dcinde , in fcrie frafrionum ~~~^" t • nrr—^y+ii ' ""mi' ' flu* rationem ^ innuit, pono fraftio- nem , quat oidine eil n, itempe - VT+n."!" * " r" ' * '"^** que elieio itXm + -7^p r , ac proin ntX mf-) — T+i - " faftofimiliteroftendetur,ut aiitca,quadbinomio r+i ad hancpote. ftatcm fublato , terminus cjus maximus M fuperabir limitem a plus quamr.r-i vicibus &pecconiequcnsetiam,qubd omnes maximo MSclimire a conclufi iuperabunt omnesextrahunclimiicni.quonim nonnifir-i vicihus plutetfunr, plusquamc vicibus. Itaque fina- lirct tandem condudimus, qubd elevato binomio r-+-i ad potefta- tcm, cujus index Kquctut majoii harum duaium qmncitatum mi+ • - 9s> -V£" 2 J( 3 KjtRTlS /CONJECTANBI iJjj fJ omnesfinultenniniinterbirinnqnellmt' tcm LfiJ comprehensi multo pluribus quam £ vicibus fuperabunc omncs fimul teiminos.cxtia iimites ab utraquc p.itrc protcnlos. Re- pcrtj igitur cfl finira potcftas , rjuas optataro habeac proprii-tJrcm . Pmpif. Prmif, Sequirur tandem Propofitict ipfa , ctijus gratii hicomnia dicla f.nit . ILd cujus nunc denionflrationem fuis Lemma- rum pra-milTorurii applicaiio ad prafcns infhtutum abfulvec, Ut circumlocutiouis ra;dium vicem > vocabo cafus illos , quibus evcn- tus quidam coutim;crc potcft, /«»<« feu fcrtw, & flfifM tllof, quibus idcm eveurus porcft non contingere: nec non exuerimcnr» f«MuU iivc !s::ilu tlla, quibus aliquii c.ifuum firrilium cvcnire de- prclicndiiuti Bi iu-\,\wuU iive /!t quii.us (lerilium alirtuis cou- tingcreobfeivatur. Sir igirur nuineiBs cafuum fc.rilium ad numc- rum fterilium vcl pra;cise vel proxime in rarione adcoque ad nu- rnemm omnium in ratione ^qjj (eu - , qtjam rationcm terminenc limites '— ' & '-^i Oitcndendum eft, tor poifc eapi cKpcrimert- 't.i, nt datis qumlibct (puia ( ) vicibus va ilinn lius cvad.it, nurric- lum fcniliiim nbfun a li.inuni intra l.os limiies qu.im cxrra cafuruin clle, h. c . nume uin fatilium ad iiunicium omuiuiii obfiivaiionuirf 'rarionem rubitutum nec mjjorcm quam rj ^, nec minorem quarrt Dr,)i. Ponatnr mimcrus capicndarnm oblTn^tfonum n/, & qu.Tr.itur, quantn lir expcclatio, icu (p.inra prohbilitas , ur omnes exiltant fcecuntU, «tccpris primo nulh,deiriuna , duabus, ;,4. Sic, fWilibus. Quandoquidem autem iu qualibet obfetv.itioiic pisfio funt ex hyp. ' cafus, eorumque ' (cecundi £c i HciiLs , & finguli cafus unius obieivationis cum fingniis alterius con.bm.irr, corr.br- ■ naiique rurfus cum finguhs rerria;, 4. 1E &c. coniu'-^^ poffunt, fa- - tils parec, huic ncgotio quadraic RcguUm Annotauonibus 1'rop. VIII DigitizedByGoogle PAXSgJlAllTA; 217 .Xltf. primse Parr. in finc fubnejtam , & ejus Corollaiium ie;undum , quod univcrftlcm formu!.im contin-jt, cuius ope cognofcitur , qubd expcir.icio ad nullim obfcrvarioncnrftcrilem lit i"»", ad unam "'i-"'~\:i'", adduisflerilcs — ■ "'~ - ! f "' ~* " ■ ' "' » tics " 1 " . 'T -^Z-i r" 1- ' i':t"'> & fic deiticcps adeoquc (icjcLla communi nominc»'") quod eradut piobabilitatum &n numeri ca- fuum , quibus coutingcre potcft , ut omnia cxperimenra linc fecun- da, vcl omnia praetcr unumftciilc, vcl omnia piutcr dno, ■j&C. , fterilia, oidinc exptimaiuur per r*', ■~T at ~ t l l "'^— 'r"' - 'Jft ^iL."l^lL m —, n — JjJ, &c. ipfillimos ncmpe tcrminos potcfhtis ni bmomii r+i, in Lemmacis modo noftiis cxcull.-e: unde iam crc- tera omma oppido nunifi-ft.i funt. Pateteiiim ex piogttfTioiiis na- rura, quid numeius ctfuum, qui cuin ii.rii.biis t-xpL-iirneniis >■• ftcLiiuda adducunr, fit ipfc tirniinus m.iximus potellata M, utpote ■ qucm iJi ccrmini pcaecedtmc, Sc it fequuncur, pcr Lcm. j. Herrr, cjuid numcri illorum c.ifuum , qtiibus aut r.t 4-»auc rr — n expcti- mcntis fcccundis c&rcrisquc fteriitbuselTciontingit, cxinbc^ncuc pct Brminos poti-lhtis l Si"a, qitippc ititirvallo jj cciminoiutn i maxi- mo M uciiuque dtftances; & pet confeqocm ceiani , qtiid fumma tafuitm, quibus non pluribus cxperimtntis quim ar + ii, ncc pau- cior bus qtiam irr — n fcecundis cjTe co itmgir, cxprimstur per fiim- nura teimincrum poteftatis inna l-m ;(s : & s comp-cVif,rumi firjirrw rcl quorum ufuum , quibus aur pfura acr pjucrrra ex;ic- rimcnti fctiuuda red^iuniur, p.r ucuiofom teimmoium limite* hos i & a excecrentium furuniam expteil* Qo.ire cum t;n- IJ fuijii pofl.r poicilas bnonii, u; fumma teiuuiioium ut;o- cjte Iirr.i:c 1. fli ,i indi.-fn-uin plucihos quim f vicibus fu- perec fun mim cj::«onim limi-es ftns txccdennum, p:r Ijeih. 4, & !. ftquj;ui etiJm , c:pi polTt tot obfervationcs, uclummica- fuum, quibusnum^ro fettmum o'^feivjnor.iim ad nti rauni omni- nm uxspnsm habecc contingtt) Jion cjtcedetncm limites cic * PS3 "'.7"» Dlgilizcd by GoOgfe 23 S ^tRTIS COXJECTANDI I^ZHj f eu r±I pluiibni quam t vicibus fupcret fumara cafuum «liquonim ; h. e. ut pluribus quam c vicibus probabiliui leddatur, rationem numeri obletvationum fenilium ad numeium omnium intra hos limites ^ & ~, quim «Uiacafuiam eife. Quod demonth-andura erat. In fpcciali autem horum applicatione ad numerosfitisperlepi- tet, qubd quo majores in eademratjone auumuntur numcri r,s&cr, eo aictiul quoquc eonltringi poflunt limitcs & '"T" 5 » r - ioni * \. Idcircosiratiointeinumeroscafuum^, per experimcnta detcr- minanda, fitex.gr. fefquialtera, pio r&< non pono;&a,fed 30 & ao,vel joofiC aoo &c. fcfficiat pofuiffe r X ;o,JXao,& 1 X *+> 30 fo,ut limites fiant X 3 -'- , Bc 20 Sc (latuarac infuper t X 1000: «c fietex Scholii prafcripto, protei- mmis ad iixtrmi M X»l + -^ X ifffO. Undepet ibi dcmonftrata infcrrur, qubd inititutis ijc {o expeti- mentis multo plus millics verilimiliuslit, lationem quamnumerui fertilium obftrvationum obtinebit ad numeium omnium , intra hos limites y| cafuram , quam extra. Atquc eodem paflo, polita tX tooob.aut ( X looeoo&c. cognolcetui,idem plus deciesmil- lics probabiliui foie, fi fiant expeiimenta ; 1 ; j 8 ; Sc plusquim cen riei PJRS £UARTA. t%9 millie:, 17 capianmr jCyGCi, Stc. & fic porio in inimitum , addi- tisncmpecontinuoad 2fffo aliis 5708 expcrimenris , Undcran- dem hoc fingularc ftqui videtcr, quod si cvemirum omnium obferva- tioncs per totam icternitarem continuarentur, ( probabilirate' ultimoj in peifcflam certitudiiiem abetmte) ornnia in mtindi) cerris rationi- bus& conilanri vieiffitudinislcgccontingercdcprehtrndeientur; ade» ut etiam in maxime caftalibus atque fortuitis ouandam quali necilli- tatem, & , ut fic dicam , faraliratcm agnofcere reneamur; quam nc- fcio antion ipfe jam Plato intendcte volucrir, fuo de tiniverfali te> rum apocataltaft dogmate, iecundum quod omnia pofl in» numcrabilium fcculorum clccurfum in prillinum leverfura ftatum pndutit. * TRACTATUS SERIEBUS "iNFINITIS Earumqtte Summa Finita , E T Ufii in Quadraturis Spatiorum & Reclificauonibus Curvarum, T R AE F JT 10. ^^j^iv^lUin non ita pridem in Sericrum lnfiriita- p-^vr- - ?:'-'? '"^i icfe oflcrcbat , erat fcrics ftacYiorium , E ^yj-^S ^J^I quarum denominatores Geomctrica, numcratores Atithmctiea progrciiione crcfcunt : quod cum Fratri indicaflem, non tantum mox idem adinve- nit ille, fcd & pntcrca novar cujusdam fraftionum fc- rici, cujus denominatorcs Trigonalium, ut vocaniur, numcrorum dupli erant, fummam pcrvciYrgavit; quam vero Sripfe, cum fignificaffet, poltridie detexi,propo- fitis ci viciffim aliis nonnullis, qua: intcrea, ut clavus clavum trudere fblet, occafione hac repereram. Qui- bus inventis certatim altcr altcrum fic exercuimus, ut paucorum dierum fpatio non tanttim fcricrum illatum, quas Cclcb. Lcibnitius in Actis Erud.Lipf Anno i6Sz. M.Fcbr. & iG!)?. M. Oftob. rcccnfet, nosque pauloan- tea mirati fuimus,fummas dare pOilemus,fed & plura afta eaquc non contemnenda es gcmino duntaxat fiin- damento invcnccimus , quorum unum confiltit in re- folntionc fcrici in alias iniinitas fcrics.alterum in fub- ductionc feriei uno akerove tcrmino mutilatfc a fcipfa integta. Horum veropracipua(cum corum nihil apud hos quoslegi baftenus^pubiicatum viderim) enuclc- rum fpccubtioncm iiicidiffcm, prima, cujus fumma poft Geometricam Pro- grelTioncm ab aliis jam tra&atam mihi anda. L i j (■:■:■] b, G IXTINITIS. 34* anda proponam,pra:mi[Tis nonnullis,qua;pa!Tim ap ud alios quoque vulgata: prouant, Propofitionibus ,ne *iL- las alinndc pctcrc opus cllct. Ctctcrum quanta: fit ne- ccflltatis paritcr & utiliiatis ha:cfericrum contcmplatio, ei fanc ignotum eflc non potcrit, qui perfpccTum ha- bucrit.ejusmodi fcries facram quafi efle anchoram ,ad quam in maxime arduis&defpcrata: folutionis Problc- matibus,ubi omncs alias humani ingcnii vircs naufra- gium paflkjvelut ultimi rcmedii loco confugicndum eft. ^Axiomata ftu Toftulata. *■ /""^ Mne S 1141101111 e ^ divifibiTe in partcs fe mmores. y*J i. Omni quantitare finira potell accipi major. 3. Si quancitas quipiam multata pane fui aliqua fubtiahitur a feipla integra, rdinquitur illa pars. Propositiones: I, f^\Ued im qitttit qtuaihae miim efl, iBudtflran.qtta«umfeitiiiljit. Dem. Nam li quantum cITec , dividi polTec in parres fe mi. nores, per Axiom.i. non rgitur clfet dataquavis quanritate minus, totitra hyp. ] [, Qusd dttn qitttU tpuniirite mija efl, iiifinitum tfl. Nam fi finirum eiTec , illo poflet accipi quanrius major, pcr Ax. 1. non igitur quavisd.ua quanritate foret majus, concra hyp. III. Onrnii Pregrijfm Gttmttritd untiniuri ptttfl ptr ttrmittti inflnitti, Sempcr enim ficii potcft: Ur primus teiminus ad fecundum, fre poltremus ad lequeatem , & Icquens ad alium & alium (ine fine in infinitum-, quorum-quidcm terminorum nullus requari poteft vcl ni- hilo vel infinito, cum feeusad illum pracedens eam rationcm habere non polTct , quam habet primus ad fecundum , contr. defin. progr. I V. Si ftl PTtjrejfw Gttmtlrk* qtuamijui A, B, C, D, E ; & alu dritli- mttitit aitttm tetmimrmn A, B, F,G, H, inctpitni th iititmttttnirik A Hh a CrB, 344 DBSBSIEBUS & B, trlatt riUqmnm fiaguli in Gemctrii* fiagnlit trSine fiii teJjnmJm- ulm m ttilbmttiu mnjttci, leitim ititu, <{uiflX (exnat.Progr.Arir.il.) i+F;uiidei > t:tumA+D> B + C> B+rxHfii undi;i-> G: tuin A-irE>B+D > £ + G OtM + H; unde E>H. Qu* erant demonltr. V. lu prtfrtjfunt Giimtmu criftem. A, B, C, D, E puvtniri ttn. Sim ptitjl td iir.i.imm E 9001« datt> Z w -.istob. Inripiat ab iisdcm tcrminis ProgrciTio Arirhm. 4, fl, F. G, Jf, continujta quoufqne ultimus W fupei ct Z (id eiiim fieri poflc clarer,) rum vero continuaur Geometrica per tcrminos totidcm , erirque per praictd. poflremus E> H> Z. Qj E. D. cinl HincinProgt.Geom.cicr.enteiiifinitoTum terminorum poflrcmus terminus eA °° , per Prop. (I. ( a> cil Nota lnfmitr. ) VI. Jir ntgTiff.Gttmttr. deatfirmt A, B, Q,D ,E ptr\cnitur ttnitm td tamiium E £ Cc S 00 ■ + E. {■= denorac difieiBth □ igifeed B/Googl^ I N P I N I TI S, j 45 i!ifll'fcotiam diiarum quatititarum , quibus intetierituT, eum nonde- £nitui , p;:iks uttam fit excefTus. ) Oralf. Si ProgreilioGeornetr. dclcendendo conrinuetur in infi- aitum , adeoque lUtirnui teiminus pet Coroll, VI. cvanefcac, eric fumma omnium —^: unde liquct , quo pafto infiniti etum tcrmi- ni finiram fummam coiiftituere polTunr. IX. Si Strici tnfnitt wntinttl proporthmtHitm A, B,C, D> E, &ci ittitftai in rtuim A jrf B, ttuttt fummt imnium icrmimaum , rnimunt ilmli frimt, cmnmm itmtu iuobm ftv-ik . Crc. cium amlimic pteponitj- utlet , & qmdtm -n ctdtm raisnt A jrf B. Quoniam A.Br.B.C:: C.O.erit tum ai.B?:: Bq. Cn; tumetiam l.B:: A-B. B-C:: B— C.c-D, quare dividendo rationes isquales per asqualesjj^f- . :: . ^-J_ „ i hoc cii perCor. pisced. Summaomnium.id omiies(iqutntesptimum,ut hiad omnes (cquen- resfecundum. Q^E. D. Ec proinie penp. y.Eutl. fummaomnium ad omnes fequentes primum, ut primus ad iecundum. E. D. X. sniti infiniufrtfiionum, pj^j >f^7S i 1"*""" numtTatiw & itnomiiulerti trcftant frtgttffitni Atiitmct, uliimm lcrmi- bw cft frjftio j , m;* numcnlor & dtnemiiufr [unt ammiines prcgrifm- nmn dijfccntit. AJ hoc anatyrice invcltigandum conlrdcrerur qu:elTnrs rermi- nus nt cogiiitus, tk vocerur r ; numerus vcro tcrmini ut quicftrus, & dicatur n; eritquc ex gcneratione progrcflionis reiminus optatus « X jjj^^^ii^eoquenx i + ~~j t t >jood sqmri debct n.fiiiiroi & qnia iinucraror hujus fraitionis tit finitus f nam infininis efle nor* potell, alite i dcbi-r.t elfe X °° ; ideoque eilet , - d. t ipfaquc adeo fiaclio negativa quintifs, quod abfurdum ,) oportet ut dcn mirUi- tor fit ^qualis nihilo, ac proinde £ X ii, & i »3. Q.. E. D. Bievius ita: Ex feriei ^ciieli patet,terminum infinitefimum cfTe Ou>a, Sumnu omnium teiminofum, five ultimus primo major Hbj fc s 4 6 D.ESERIEBUS jKminorv,e,necefTarioinfinira cft; infinitienim tcrmini minori horum duorum aqudcs infiniram dant fummam : Undc a forriori , tkc XI. TrtQivmi td aliim ratis cmptfut ifi tx rtiiisi dirccit mmurttt» tum & rtuprtc* dcmmmttaritm. Nam ~ . — :: "—:: AD.BCr. A.C+D. b. Q^E.D. XII. Jn fcricfi*Qaiium,qttaumminti&s'tiatftumPniTtlfiiniAt'tlh, detwmintlirei Gcmttrita , tttt Tice rttft ,ui~. *^ - ^" -. 1C . ~ v "^' c , aur -j . 37q7 f . ;jqhr • 3 V+ ? c : Si N """"" umttttm mtjortm rttimem htictt, qutm G td G~F, crit illt ttrmtm U ftjf. Quia N. i. > g. G -F, cti t convertendo ff. N— i ■< G . F, SE CN,CN-C<;G.F. Ergo Cjy-C: iiG>CNin F, etgofotrius(ob -*G t.ff)i+.VC-C:»C> ^ + C.VMnFjhoceitjNumeiatorteimi- ni -V in G > Numerarore tetmini fequentis inF: Sed irafehaber ter- minus N ad terminum fequeurem , pcr prasced. Quare teiminus H irojoi fequenti, Sc ita dcinceps ab illo omnes. Q_. E . D. i. Hyp. Inverfis inratendis eodem modo demonfliarur. XIII. Si injmiu ftm frtahnes 5 . £ . y . | . j . ^ . -| . &c. qut- rM mtmerttsres trtfititt progr. Aritiim. & inemiruutrts Gttm, trit ulthmu tirmhmt o;ji» rffj (rt/Mnr Gttmclr. hi Aritbm. trtt ullimut 00 . I. Hyp. Si primus tcrminus lccundo non fit majoi, continuari filtem poteritPiogre(Iio,quoufque prajcedcnsfupcretftquentcm, pet praeed. Efto |"> ~ t & Gnr infiniti continue proportionales G,7, Sj K > Sce. unde propter H,L,N,P~ erunt & ipfa: fia&ionei I" ■ T ' 7t* p * X- nihilum tandem abcunt pei Cor. VI. Quareeum Q> H'„ B >0,Src. per IV. multomagis u' 4 " % " ^ - '* m n ' fl '' Bm abibunt. Q. E. D. 1. IIjp. Nifi primus lecundo minor fit.eonrinueturprogremo, cjuoufque prscedeiis fequenti minoi fiat, pcrpnsccd. Eflo 5 < r> Bi fiw igitizcdbyCoogle I N F I N ITl SL s 47 t fint mfihtti H,L,J,r,&c„ ~ unde proptcr 0,1, U s o, &c. ~, Sc ipfe fraflionrs 1 ~ , * , -°- , Scc. proportionales ciunt, qua: ob — < y ' n infinitum delinutit per Cbr. V. Quare ciim S > N r T> P , &c. pei IV. multo magis , — , ^-j &e. in infuiitum! ewreicenr, Q^E.D. XIV. /tirenn» (ummtm ftriti mfimu friffitmtm, i (Wri irt/fBitr pregrtjfvme Geeiiuiriu qusiuiqne , imntttT vcl juxu taimtm tuturdes r» 1, J, 4 , th. vii ttigsitdlts i,J,€ r 10, eW. w/ pjrnmidjles 1,4, 10 , 10, <>(, (, tutiuits 1, S . 17, 64, 6(. imumte tqucmuttiplias. t. Si Kumtrmrci prsgrcdiuntur juxu. numerit nttuults: Summa invenirur , refolvenrfo fcricm propofitam A iti alias infini- tas (eries B,C, D , E,£ic. quie fihgula; geomctrkeprogrcdiuntur , qua- tumquc fumma: (fiprimam hicexcipus) novam Gcometricam pro- greilioncm Fconltituuntpci IX. cujusquidem, uti caticrarnm, fum- ma per Coroll. VIII. repeiitur. En operationem : A 30 1 +1+ T+ '■ra L +*Sf &c - XB+C+D+E+&C CX.+ ^+j^ + j~ &C OO^j ^ DX +*B+TjS &e - »£357^ E30 +r^«£fc OOjctj &cX . . &c. X &c TX-— j— ^ciifrf- dirus primus rcrmi- dus propolhi ferici A iinU-i+iiailjri.l 30 1. Si Kumcrmret funt juxu Trigintlei r Setiei piopofira C refolvenda ell in aliam' H, cujut numeratores Chrjuxu pracedentem hypothcfin, hoc modo; □ igifeed by GoOgle 248 DESERIEEUS z+rc+iM+r^&C ao^ +fa+ra+i| H X quando« quiBern luec ferics id t praced. X3 + rr; + +*-*««. OOii^ . _ .d , Bcc X dv. J 55 &c - x fiMjpr, 1« habeat ut tTif ad d-i. j. Ii Kummants fma jma* tjnmiikt 1 SerieS refolvitur in aliam , cujus numcratores progrediuntur juMa TrigonaJes , qusque ad prcecedetucm feriem jfc habet , ur d ad i— 1 ; urtde fumma ejus invenitur X p^^T^ ■ Geueralitot, II propofitae ftriei numeratores fint juicti figuratos cujuslibet gradus , ejus fum- ma fe habcbit ad fummam iimilis fcrici gradus praecedentis, ut i ad i-\ : uude reliqnanim omnium fummara invenirc proclive »d- modum tit. 4, Si SmaMmtt fimt ;iwf4 Qumtritit ■: Series L refolvirur in aliam M, cujus numerarorcs funt Acithme^ Cice progreflionaJei, adeoquc jum primatn hypotheiin: **!+^+ra+isi te ' j+n+ra+4 6 * 30 ^ +*H+j_- j -„, && ^ifj +ia+^ te - 30 *OT +„; te -»TO< &c 00 &t. f. Si KmirdtBrts funt jtau Cubu : Seriei refolvirur in aliam , cujus mrmeratorw funt Trijronalium fextupli unita» aufii ; undc cjus tumrna juxta faundam hypothe- Di ji j Cl/ INTINITIS. 249 ltn invenituc f^.^, + fi„^gj^ =0 - tgggjyTi • Exempli loco fint ferics fequences , Numeratoium Natutalium f + j + 5 + if^ + /5 &e. Xj Trigonalium f + | + f+ jj + &C. 00 * Pyramidalium i + j. + V+ f?+ &c. COJ Quadratorum § + ++ | + }J + f * &e. x fi Cuborum . . f + 1 + V + £ + + &c x itf Oreff. Patet, in omnibus hujusmodi feriebus poflrcmos terminos in nihilum definere, Sc evanefcere debere (quod ipfum jam prajced. Propof. de earum una cx abundanti oftendiraus riim alias illatum futnma: finita; efie non poflent. X V. tomirt fummim ftriti infmiu jrslHsmm R , qntrtm namertiirn ttnflkmxt firieiu tqmlimu , dennmintmu vcro Trigsiulium , eorumvt *quc- Si 1 ferie harmonice proportionalium N, cademmet multata primo termino P lubtrahatur,exoritur nova (crtes g^, cujus denomi- natores Trigonalium dupli funt, cujusque adeo fumma lequalis eric ipfi piimo cermino feriei Harmonica: N, per Ax. 3. Opcratio alis : A feiie Nj);+^+^ + — + — 8tC fubtracla ferics Px n+n + f"« + f~< + Ti 8 ™' °° N ""< '* lclinqtut ieriem ut fupra. s x "+H + t* + r* + &C * Ta oH+tf+ H+ t<+ H &c - q^X i + i + JL + ji. 4. J*_ &c. X 7 — ; X XVI. J«iwm ftriti mfiniu bjriiicnni _»oj'._ ;Liij!:um , 1 + j + I + * + f r ^ '"Jf"''* . '__> [d ptirmis tieprehcn dit Frater_: inventa namque per prsccd, /''"""fumma (eiiei ; +7+ '+"*'; + ^,&r. vifuius porro, quid emer- ,2.«*^ E clcc C5C ferie » i + I + r's + A + /.■ > &c « f«("oKcrctur me- " C v thodo Prop. XIV. collcgir piopofinonis veritaicm cx abfurditare s i < < *^T\.<' n j ' r ~i ml ,i( t ;Ra , qu£ fequcictur, fi (iimma feiiei harmonicje finita ftatue- vvCyrff ^Ml^ftfr. Animadvertit enioi, /1>(^ni*»> Scriem A,^ + ^ + i + _; + i + i,&c. X (fuclioni&us ftngulis tH JWvhtfc «> alias, quirum numeratores funt r, s ,3, 4,,&c transmutatis) kiJhtf^Atki^K* B,i+^+T , .+ i + i!+^,&c.3cC+D+E+F,&e. C.l+^+T , _+_r'+ T '=+4i,S£c.x pecptsEC.T"] ' E . . . +T , i+35+vl+4S&c.xD-^x!-r i ^ d g :; F + & +^ + £ , &C. X E- T \ X i ftqui- &c. X &e.jtur,fc- Criem GX-Moramparri, fifumma 6nita eiTct. Ego> Dlgilizcd r>, Co< I N F 1 N I 7 I S, 251 Ego poltmoJum , cum indicj/frt, rdcm olienfive hunc in mo- ■dum: Summi lcriei i ifinita; harmonica; {>+i + 7 + ; i &c. fupe- rar daturii qucmvis i:umi:nim. Ergo infiiirra tfl, per II. Eftodattu numeius A qujiittinicunqiic magnus : Abfcinde i principio fciici aliquot tetminos, quorcim fumma aequcE vtl fuperet unam unii*. tcm numcri iV, & a ferie reliqua itcium aliquos abfcinde, quoium fumma aliam unintcn numeri f," fupcret,idi|ue fi fieti pollir rcpcte toties, quot in nuinero K fum unitJtcs; fic tetmini abfcifli omncs fuperabunt totum numetum , mnlto mjgis igitur tota feiies eundcm fupcrabit. Si ncgcs , abf.ilfis aliquot rcliquos unitatem fupeure poilc , eflo primui rcliquoium , qui poft abfcilTionem ultimam rc- manfcruni,^, & fequcntcs , »7+7, s 8c& Conllituaiur ad duos ptimos tcrminos j Sc Progrcflio Geometrica , cujus ideo finguli pofl ftcu idum ter.nini fingulit refpondentibus in Pro- greffione Harmcnica minores funtob denominatotes majores, per IV. & continuctur hic ufque ad — ( quod quidcm fiet in terminis nu- mcro finitis propter t numerum finirum ) critque hasc fcries Geome- trica finira 30 i,pct VIII HJimonica itaquc terminorum lotidetn ilipcrabic unitatem. E. D. CtnS. i. In propofita fcric initio fumto a quofibet tcrmino, erunt ab illodeinceps omnes, ufque =d illum,cujus locusdefign. tur per quadtatum numeri ordinis primi rermini , fimul fumti unitate majoics; fie termini a i d ° ad 4.""" ufque uniiatem fuperant,hincl jjio a a 15'"™, hinc a 16 ad 676 (Q: t6) hinc a 677 ad +{8j*? ( 2j 677) StC. Nim in Geometrica progrefTione termini his limi- libus intcrccpti unitatem aquant ; ergo in Hatmonica fuperant, ubi & plures intercipiuntur & majores ; majotes quidem uti vidimiis ; plurcs , quia denominatorcs tcrminorum , ciim finr minotcs quam in Geomctrica per I V. tardius illos iimites alfequuntur. 1. Patet , omncm aliam feriem harmonicam infinitam, fum. mam quoque cxhibcre infinitam ;ut cx.gr. filoco t+£-+ | + j&e. proponatur lo J l - + l ~ 5 + j~ + ^-^eiC ubifinguli termini fin- I i 2 guloium Digitized b/Cooglc 353 DES&&1SSUS gulorum fibi refpondenrium in altera, adeoquc & omnes omniunr, iiint fubmijlecupli r nam infiniti pais millefima & ipfa infinita eft. j. Summa ferici infinita: , cujus pnflremus tcrminus evar.efck, quandoque tinita eft , quanduque infinita. 4. Sequitur etiatn , li modo in Gcometmm ialtum Fjccic pee- milTum dl, fpatium Curva Hypcibolica & Afymptotis comprehen- fum jnfinitum elTe ; Scfla intclligatur Aiymprotos linca a teiitro i in parces ajquales infinitas in punflis B , c,D,f, &C- h quibus ad cuivam educaiitur rcclai totidim altcri Afvmptot&n pauUela: BU, CK, OO, EF,to, & compleanrur paialMogrjmma AM, Bti, CO, Z) P, &c, qua; ob bafium tequalitatem inter fe etunt, Ut altittt- dines,feu ut refte B At, CN ,do, tP, &c. hoc e(t,ut i+,7, |i&c. . ex natura Hyperbola: ; cum igitur fumma \ + f+ + J &c. iftfi- nita oflcnfi lit, etit & fumma Parallclogrammorum AM, BS,CO, DP, cVc. mtinita, mdtoque magis fpatium Hyperbolicum, quod Pjtallclogrammis illis circumlcriptum clt. XVII. btmtirt fummitm ftrkrm Liibtiitwnaum , D. H.I. eXiitum- qut quitrum itmmmtrtt fitnt mmtri Qtuirm tait Trigmilti , tninuti tliit Qtttirste vtl Ttigmtiibta, Cel. Lcibnitius occafione mitabilis fua: Quadratura: Ciiculi in piincipio Aflorum Lipf. publicara:, mentioncm in)icit fumms qua- rundam feticium infinirarum , quarum denominatorcs conflituunr Ciriem quadratorum unitate minutomm, diilimulato quo eatn repe- rerac aitificio. En bievitei totum myllerium : A feiic. . . .aT+T+T+i+T fc fubtrahatur ipfamet dcmtis duobus . primisterminis, *X -j-+- j: + - ( -+-5:+-y&c. X d— + - j relinquitur CX y+j |— 1- tf+i^+^ &c. X ^-BXr+iX| & propterei hXt+t +^+£+778«. x fC X-y A fcrie . . . EM++f+++Hito' fubtrahatur eadem demto piimo termino, .... FXf +t+7+t+tt& c - X t-« relin» Dlgilizcd by GoOgfe I N T7 + n + iV + ii + »1 &c. ( tujus denomimtorcs funt numeri qua- draci 4, ji, id.i^, jtf.&c. unicace minuti) inveiiirur. ,qnin & cxcerjnis per (alnim altemis terminis, fumma feriei n,\ + 77+ ^+ft&c. X }; at li ex hic iterum fimplici filcu cerminos ioco pari politos excerpas, ut telinquatur -f + ^+T; 8«. cjus ferici inlinici fumma cft vera magnitudo cireuli nullo numcro exprimibilis , fumto vid. quadiato diamctri X J. Csterum gtneralitei invcnlre pofliimus fummnmcujuslibetfe- liei , cujus numerarores conftituunt feriem isqualium , 8; dcnomina- tores leriem quadratorum mmutoium coTmuni aliquo qu.idrato aut etiam feiicm Trigonalium minutomm commtini altquo numero Ttigonali T; li obfcrvemus, ejusmodi fcties nafci pcr futi- duclioirem fciici harmonicie mincsti ab initio tot tcrminis (quot indicat ibi duplum radicis quadratte communis quadmi Qj liic duplum unitate aucium radicis crigonalis numeti trigonalis r) a fe- ipfa integia: Ex.gr. ad inveniendimTumm.im feriei D, 4+^+^+??+ & & c - cujus denominatorcs funt quadrati, 11S, :t, 36 , 49, St, &c. mmuti communi Quadcato <£. . . 9, 9, 9, 9, 9, 9. (cujus Radix Q;$, & duplum iS.) 7 , , 6l 27,40,55,7!, &e. Ii i Afecie 254 DESERIESUS Aferie . . . . A W-~-+±+f+T+ r + v&c. Tubtrahatur eadem mult.ni fex jpnrnis tcrminis . . B X i + y + .' + + '■ + ;' 7 &c . Klinquirur . . . C 00 -? + f; + + £ + f. + ^ &c. XWX f+S+T+T+T+Tttlft adeoque. . . . D zo v +7^+^+^+77+^ Sic.X^cx,'',*. Kuifus pio imenicnda fumma fcriei E,| +j + ;'; + 77+75+ f,&c. cujus dcnominatores luni Trigonales 10, 15, 11, 28, ji, S:c. minuti communi Trigonali r . . . . 6, 6, 6, 6, 6 , 6, &c (cujus Radix Trigon, j. & duplum '4, p, ij, 11, jo, jp, 6te. uniratc auctum 7) A fcrie ... i 00 v +i + ! " + 1 + r + i + 7 SiC. futtnahatur ca- ^cm truncata feptem primis terininis F X++-^ + ^+ 7 V+7i+ 7 '.-+^&:c. iclinquitur ffQO-5-+7i+7o+^r+f r 5+=-~s+^6cc. XJ-F38 ■ i+i+[+i+ 7 +i-+ 7 1 xH! adeoque . ■ EX j-h j,-+,T + 77 + rV+r , + ^ckc. X ^C»^ Atque ka per hanc Piopofuioncm inveniri poflunt fumma; le- rierum , cum dcnominatores fuiit vcl numeri Tiigonales minuti alio Trigonali , vel Quadrati minnti aho Quadrato; ut Sc pei XV. quando funt puii Trigonales , ut in ferie j-+- 7 -|-£.4-i-|_i&c. st, quod notatu dignum , cjuando funt puri Quadraii, ut in lcrie f + j + j + iV + jV&c. difficilior eli, quam quis expeclaverit , Jumma; perveiligatio , quam tamen- finitam eue.ex altcia, qua mani- filto minorcft, colligimus: Si quis inveniat nobisque communicct, quod indulliiam noftram elufit hadlcnus, magnas dc nobis gratias fcrct, Hoc faltem monere adhuc licear, quod fpatium Hyperboloide Cubicali (cujus natura exprimitur pcr aiquationem ufX"!, hoc *I1, in qua QuadrM.i abfciiTarum ex Afjmptotis funt in applicaratum ratione Digiiizcd b/Coogl INFINTTIS. z;f rationc reciproci , > & Afymptotis fuis camprclienfiim , todcm mo- tfo ex finita hujus fcriei lumnu finitum elTc deino-iftr.tri poilit, quo fimile fparium in ipfi Hyperboia ex infinita fetiei Hjrmonica: fum- ma infinirum ofrcnfum efr. XVIII. tnrtnitt fiamtuan fcriti in(mi>t ttiiprcttt tiumeta tim rrigtn** tium , Pjtjmidaiiiim , Trungitii.pytnmid^imii , PjtMiitii- Pytv„ualiin.i , & faiii .iu>tiia altmrii (ujmvit gjidiu in infiniaim : Mjuf infir.imum /mam*. 'um fiimmaia, U Qucmndmodum fi a ferie fraftionum Fiarmonice progreffio- nalium , hoc eft, firie reciproca numerorum nattttjlium A, eadent multata primo tcrmino fubtrahatur, naicirur (eriea fra&ionum, qua- rum numeratorcs funt itntwts, denominarorcs irigerulium itiplt ; ur paret ex demonftr. XV. Ita li a feric reciproca trigonahum li, ea- dcm truncata primo tcrmino fubduc^rut ,c;roiitur (irries fractiontim, quarum numcratores progrediuntur juxta nutr.cros naturales i. }. 4. f. &c. fed qua: reducuntur ad frailiones, qu.trum onuuum nu- mcratorcs funt lniarii , denominarores vero p)tjn:uUimiii m;.ii ; undi ipfa lecies ad fcriem reciprocam pyramidalium C, ut | ad 1. Pari- rer fi a ferie hac reciproca pyramicblium , ipfamct murilara primo- termirio fubriucatur , rclinquitur fcrics firidtionum , quarum numera- tores progrcdiuntut juxta numcros ttigonales j. 6. 10. 15 . &c. fed qua: reduci polfunt ad alias, quarum nunreratorcs omnes funt tcr- n/rti, denominatorcs vero trUngaS-fj m Utdium auadtupli, undc ipfi fcrics ad fcriem tcciprocam trUnguli-pyramidahtim D, ut % ad r ; Ec iic deinc^ps in infiuitum. Q^ocirc.i cum linguliB hiE per fubdu- (lionem genitx ferics, quarum numeratores funt unitatum, dcio- min.toresfigtrratorum mulripli, per Ay. %. rtquipolltant unitaii, ipfe figuratorum fcries rcciprocfe ordine dabunt fummas, ut feqnitut: A. Natur. T+v+T+-.E + f+ 30 ^ x 'i> V" XVF - B. Trigon. 4+T+v+:':+i;+i; 8 «' X-f 30*f»pwXV r C. Pyramid. T+r+7:+s+ 17+;; ta. X | » D. Triang. Pyr,i+-L+ J.+ ± + i+ j ( g^. x 3, E. Pyr. Pyr. H -|+^+^+ iri+»TI.Sec. bo $ X i^- " t. Sum- 2$6 DESERIESUS s. Summs h* a lecunda icric ordine eollefta: funt f-f , i£, i-f , (■£-, tkc. unde fumma fiimmarum eft i-}- + 'i + i-J- + ix + Pic. qua: inlinita cll : quin Si demris lingularum fcticrum primistcrmi- nis fcu unitatibus , futnma fir -}- + ± + -j. + -L + q u;e itidem infiniia cxiftit, per XVI, at detntu infuper fecundis tcrminis -J + ■f- + T + -? &c. fumma cvadit finita & tequalis i + i-X-f- pct Axiom. j. X I X. \vtouri fimmxm ftriti Jimi.i reiiprou WgeruOm, Pjrmidit. > Tiijtn-aii- PjTtmidMium , Pjimi. Pjnmidsimm , & fgmsurum *I- ticra tujun-B gradw in infmitum. Polito in qualiber fcrie numcro terminorum n, polrtemi ter- mini in lenebus diredlis numerorum naturalium, trigon. pyramid. ( per ea cjui dcmonllrabuntur alibi ) ftint ordine hi , qui fcquuntur: ( denotanribus Iiic & ubique punftulis continuam muitiplici quancitatum, quibus inrctlcruntur. ) n ,"^+ l ) " ■« + <■" + > s «.» + , .« + *. »+t _ & qui hos immcdiate excipiunt, funt ifti: ;t proptcrca erunt ultimi termini in corundem fcricbus iccipioci* .^+,' ,.„+,.„+,> „3h -,. .+,..+, , 8t qui hos immediare fequunrur, „+i),+,,„ +1 ', + ,. „'+ rr+l » ^+r^+x, +7^+;.8i«- jam fi a quilibet feric rcciproca eadem ipfa rruncata ab iuitio & audta in fine uno tcrmino mcthodo Prop. X V. fubtrahatur, fub- dudlo figillarim fecundo termino a primo, tcrtioa fecundo, fequcnrc ultimum ab ultimo , nafarur fcrics rerminorum roridcm , qu& per ea qu.-e in piieced. PropoC difla funt , feriei rcciproca; figuratorom gra- dus (cquenris aut fubdupla eft, aut fubfefquialtera , aut fubfo.liuiter- tia,&c. atque infupcr per oblervata Propof. XV. aiqualisprimorer- mino minus fcquente ultimum ejus leriei, per cujus fubdufrionem nara fuit: undc ipfa fumma Eriei finitsieciprociE figurworum quo- iumcuiiqueobtincturfaciIe,utfcquitiu:; B.Tri- Digiiizcd by Cooglq T IV F I N I Tl S. .257 B. Trigon. -', +T+v+7iS:^ ufqucad^ '^^x-r— -f in C Pyram. r+i+ji+n^c. - „ .„' + V.' +1 X t -t in D. A. Pyr. + -f + rV + rV &c. n ^ + ,V, + *„ + , X t — |- in E.Py.Pyr. -1+ £ + 77 + B Sw. -~-^r, ~z. 'J+ i '« XX. Umike (itnmtm faiei infinitt miprtis Tiigtiuilitm , Pyrjmitij- tiuni, Trij'!g, P\r,:niiit.\/iaiii, &c, tiiului* Urmim imudtbm qutlliba: & infiniuritm fitmmtrmn fmmatan. i. Summa Icriei infinira: inregra; Trigonalium, Pyramidalium, Triang. Pyramidalium, &e. e(1 -' r ,f , \, &c. per XVIII. li cx unaiiuaque fcrie ab initio abfcindantut « rermini, fumma abfciflo- ■ i» *f--4-. £--^£-r t - f~ H +, 'i" n ~f 1 ~-jiy^r + - ; . n + 4 > P w XIX - fubtraila ergo hac a fumma omnium , crit fumma reliquorum ^~ , „-^—'^1, > * J",'n +1 4 a+J » ,+,.,+',.i+,..+ v &c i. Summa fericrum omnium mutilatarum fcu nullo leu uno rcrmino elt infinita, duobus terminis cft -'■ pcr XVIII. Hinc fi dc- mas tertios tcrmmos(qui conftituunt leriem trigonalium B rrunca- tam duobus terminis, cujus fumma pcr eandem eft " J «rit reliquo- rum omnium fumma j — | Co \ X> . Hinc denuo li quartos ierminos auferas fqui formant (ericm pyramidalium C itidem nun- eatam duobus rermiius,fummainque proin per praseed, efficiunt t) .. . Kk relin- «Knouc» c.™ omni,., r™™ !-i=oi0O^. H« itcnim fi quintoj teiminM leficW, exibit deterorum fiminu^ c«.». so» + „+^+, + .+.V+...+, + i+ ,..;-;:;+,.. + ; + * ».-+-. + * «b omniom. ^+A+i + rfe+^ /■—"'*'• _ Series hxc nafcitur fubduaione fequenris feriei , - + — + rjj + xV.quarecjusfummaX',primofc.tenninohujus, perAxioma j. c.(xF+G+ H+i+sc.) xi+r.+,i+riir,+ **• **■ r-r,+,Tfc+i+^fe,+ Sl - :o > xx '- &--+&+L^+ufc+** XF -= a0 = h. +,i;+izir,+ 8:l - XG -ii3 00 iii I. . .-. +^+iH am Qutttrtlorttm unittle mmuloritm qatdrtu. K 30 + + oT.+ &c - L 30 + ^ + rJT + ^+^ + ^- M 00 □l + ^ + B»+5?. + d77+iSS + to - N 30 Jj + ^i+Ki+Dlo+^h+d^ + ^- Per fubduflionem fciiei 1+ £ + ^ + £ + + ^+ mutilata? ptimo termino 1 fiipii imegra nafcitur firies aligua , cu- jus termini funt fubquadrupli terminorum refpondentium ftriet K ; undc pet Ax. j. feries KCO4 111^X4. Fei fubduflionem vero ejusdem feriei mutilata: duobus primis terminis i lap& integra oritur firics, cpx ciuadrupla eft ftrieiL; unde per id. Ax, feries Lx|»: 5;+ X ~ . Denicjuc per fubduflionem feriei £ ( +i+^+ g+ 6» + &c. tnulutx primo termino aftipfa integra emergic alia, cjuas oflu- . pla eft fcriei M , quare per j. Ax. fcries MXs'"^x£:8; pro- otetea duplum fiiiei M.hoe eft,omnes tetmini loconrm impsrium ferici Lx!| adeoque reliqui tcrmini ejnsdem firiei , hoc cft, ipfj XXHL Invtnrtt fttmnw ferttram Q_&R,itim V& X, &c.t*aim iirumamortt fmtitrtntni integri pnfftffnnii fudn/U, mncupU, &c, ttnmt- Tttortirnoitmiinipreffefiinuiapi^tTipU^&c.umwifmrmmi Operario talis : » Zi ii 1*. 1* i* iT T*}**-™- Kk 1 QJ» QJX) - R 30 '1 S J0 T X_ v oa- xx- 260 dE JJi/f jtrs ^^^^■^^.^^^ xo+Pxi+f-xf r + t + "> + r, 4= i +ta.ajl f- + -_+___+- +_^__to»J^?^ V,,t -+^ 4 +^°+'t"-+ t 4^+&c.xstTx4+^x¥ Idim inveniri potcll , rcfolvendo fcjies propoliias R ; V & X me- thodo Prop.XIV, ExempliJoco cllo (crics CL X x+A + ^+^ + &c.XY + Z+n+X+ Stc. Y 30 i+^+^+rfj+to. X per Coroll. VIII. -f) " 2 »"+:«+i+,i+to. X ! Y-| X -^-iXi- , rjX - -- +4+A + 8«.M.^»^Axi^Tj»0- 2 3o + £+&=■ »*n-AwA-A»;!i &e. X .- - - Scc x Bcc. XXIV. « /nit tjaitri -\ > -} f f >£,&c. c r it-J-+-i+-3-+4-+&c >f +i4-g-+-; + &c. tui tamcn arqualis modo oftenfa eft ; qua; utique cniiciliari nccrue- cnr , nifi fumma urriusque fcriei ftaruatur inlinica, hoc eft , tanraut qua; inter illas intercedit diiferentia , rationem ;equa!itatis dcllrue- re non poilit. Series-f+i+A+i + ^+i + i + i-i- Sic. 00 E + F + G + H+ Btc. Eft crgo * + i +^ + r * - +- &c. X f+J+$+ *+&+&«• adeoquc prioiis fubfcfquitertia, lioc eft, j+j +';7 + ^j + &c - scqualis j poftcrioris , hoc eft , termiui omnes locorum impariunt in fciie propofid confiituunt rres quartas partes totius leriei, & re^- liqui uiiaio : quare fumina termiLiorum. illotum ad fummam Iio- lum, ut 3 ad r. Eadem invefligindi merhodus obfervecur in rcliquis potcfUtibus. Tn Xumtrit QyadrJlii : E 30 \ + { + i + £ + &C 00 F »£ + i + ^+-L+&c.: 0j , 9 G 30 £ + £S + 4 "£ + 3S+ &c '' 30 j-T, f pctCor.virr. Diaiiizcd b/Coogle 262 DESERIEBUS unde i" x-x X i™ y, & yXx-^;, Sc x-y 00 ergo y. IX ti ■Sifto/. Liquer hine, quod lummse dnarum fecieratn (eriantfi incognit:e) poflint ad fe invicem habere rationem cognitam. vid. Piop. XVIL fub fin. Ejccendit fe autcm demonflraeio ad pocefla- tum radices five id poreftaces fradras non minus ac inregras : fic er. gt. colligimus, in ferie I + i + jL + -I + J-^ + Scc. (ubi denominatores func cuborum radiccs quadratae) omnes terminos lo- corum imparium adomnes parium elfe, uc Vl-i *d i. Mirabile verb efl.quod in ftrie Ti + ^ + ^", ~ r ~?4 +&C. (cujusiummj. inlinica eft, cen major lerie -r + i+"r + 2r + & t - 00 denomi. natorcs minores) teimini locotum imparium ad ccrminos parium juxra regulain inveniuntur habcre rationem V* — ■ ad i. minoris fc. ad majus , eiim tamen illi cum his figillarim collati iisdem ma- oifcfto (int majorcf : cujus i,*,1*fm**, racionem , etfi ex infiniri ni- tura tlnito intelleetui tomptehendi non polTe videatur, nos tameit fuis perfpetram habemus. Idern vero de fimilibus fencbus aliis, qixc jnfinicam fummam habenc, incelligendum. - XXV. ariu ibfr x, l - j£+^_ ; e> h«. mim» um&mm tttUm & &-smi>uttrm tmmim , £ — + i+Ti ~ S+71 i /s** + * — /* «*>'»»ii« , fimu*q*t f^d—^it^ndcs fumiim baictt, Etenim Dlgitizcd b/ Googl INFTNITIS. Ecenim fubtrariendo mminos locorum patium \ terminis im- parium , provenit cadem urtobique feries , + it+ft£f6U ' Erto ex.gr.fciies tb.X-i — H~i — ir+T" - ^ > pofitoq;/Xj-iXi> Icrics harmotiica, - fumma utriusque ferie Q. th.XV. XXVI. Stmiinfmi ftegujfimt Gtommk* , fot tft,f«pttntei fratiauaa» fma tijra-ntaltiflkti , per Gdrum ejccerpta ei a «ri praejtmium tqut-inulupluti auSt vtl m tuiai qnaidm mmtn , fummtm uliimumre itrmimim npnrrt, {8 denotat vel ubique + vel ubique — ) v„' . 'tfd , *it2i"l2J , MiiSj&U C-MSid , ^jjMBjMBMg y , - *i"r 7jfJ~ T rMn T — ^ T" ' ToCC* i. Summa ferici iivvenitur, rcfolvendo illam methocio Prop.XIV. in ftries frattionum pure proportionalium L-f-M+N+0-f-P+ Scc. L »vH.+£+3+£+^»+;rj£ir e ] Noo-.. 8,^8^8^8te.xS^i~i^' ox 8i8^8aee.»8 j£E i =5 p x "--f5 t i8to.x8j- &C.X 8&C30 8 &«. Snrnnue lerierum M, N, O, P, 8tc novim progrcmonemi Ceometricam «wftituunr, enjus fumma per Corofl,. VIII. eft »"^i":i™™— rT^> 1™ fummaf feriei L „i ^j — addita vel fubti». *■ cffici[ m-tCv^l^ f " ummlm ommuinleiierumLjM^&e. Jwc dl, ipfius ieriei prepofii*. K» nObfb- 264 - E S E R I E B U S t. Obfm-andum , fi )»>*, fummam clfc fuiitam, aaeogue ultimum fcriei terminum evindfiete, vid. Cor. XIV. Sin «i < *, £c fumma infimra eft, & iJtimus quoque terminus tft infinims; tuni enim fm^iliv pr^ieilionts Gcommica; L, M, N, &c. funt cmfcentes; confcr Prop. V. . At exiflcntc ixi, fumma quidcm infinita cft, fcd pofiremus tcrminus (inirus: tum cnim furrogMo »i in locum i, fccundus tc:- minus fit hoc cfl, * R — ; tcrtius "—7;.^—) hoc elij " 8 £- 8 ( 4 ! v™- " ,b tI'" bJ " ' hoc cft » 58=8 8 i : atque ita poilicmus = R ~ 8 ~ 8 £[ 8 t ^ 8 in in " fi.iirum : unde patet, rcrminum infiuitcfimum tefoKi in - R fcrie infiuitoium Gcomctrice progrcilioiialium in ratioiie nudi, quorum ■ fumma pet Cor. VIII. efl ^^.^ -^quj ipfi ^ addilavelfubtratta cfficit tcrminum iiifinitcfimum *™—~f^ c > cujns numeratot differcn- tiam numeratorum ptimi & fccundi tcimini, uti & denominator dcnominatorum eorundcm diffcicuriam exprimit : quate cum e* Prop. X. nunifeilum iir, termimim ultimum hujus progreflionis <^oo" , ?™J,' d - '-^S^r- ',isi,'8~,'S~,' ; S~~,^- itidem ^ ve ;8^ Z-i ., ai > lequiiur in uiraque progret llone K & Q_, primis duobus tetminis eniltentibus iisdcm ulrimos quoquc clTe parcs, (Juanwis incrcmenta vel decrementa priorismagis fuhitanea (int, quandoquidcm ejus termini non nifi per faltum ex poflariore funt eNccrpti : Inuenio enim , quod mcmorabilc cfi , tcr- rium terminum ferici K comenire cum tctmino m -f- j, quamuii cum >n w -f- m + 1 , quinrum cum m j-f-nirn-f-m-f- 1 , fattum cum «4. + «« 3-f-m ih -f-m-f-i feriei Q_, & fic deineeps ; uti patete poierit cx lubjunOis fcricbus, ubi 4 valet 1, t 3, i vel m z t Sc i t. KX □igilized ByGoogli INFINITIS. stfj KXf , l, iifi&c. ulrimtttf, InttUige vero, qui difta funt de fumma ultimoquc tctmino feriti K, 6 numeratoies prajccdentium funt leque-rnuitiplicei auOi eom- rnuni numero i; vel diminuti quidem eodem numero, ac infupcr *t >4+J, Namfi rit+ 6«. »*.• ,proindeixX«+-,&*0O-f+VT+* E. D. XXIX. Dtlu diuiitt nmtrit qiotmrit , fi ritis qusiriu uniu iuts. titr ii ilitnm , & pniuiU taiix quairitt in primxm , &hujm prsdaili rtiiie h ilierum ; ttqut iu femptr prsiitiiftim riiittt iuiimttr littntuim in turt- rum ilttrum; iiqut uminuitur iu mfinitum: erit riiix prtdittli ultiuiitqui- lit alitmiri iuorum meiitrum prtptriiisilium mitr iutiitiit mtmtrsi (pu- tk fi dati numeii disaitut * & t, eiit ^siJibJ;i.J jtffi D E SERIEBUS Efto nimque »1 V: * yj: * & xxJC.ttb. Q. E. D. XXX Dtlii duobui xumtrii quibusvU ,Ji ndix cub-ct preiucii cx Uirt- qne duciturin eoram prmiun,& produSi ttiit qutdrtti iucttur m preduclum ix uiroque , & hupa preiucii rtdtx tubict dcnue innrum prhnum;& ftithtr- ntum rtdica tubstt & qutdittt dmjnmr in eerum prima-n & produSum tx utraqm , mi rtdix prtiucli ulthni tqiialis prime rtl fttmie qualuor medie-um preporiientlium inlrr iuoi dtui ( putj \! : 3 i/C : a bj : 3 \'C : t b , tlX. X ./S.a + b, &VC:abV:»^C:aby : a&c. Xv^S.ajbb.) XXXI. Dttii dutlau mrnitru quibmvii ,fi rtdix qutdrttt fciHndi iuct- mr in primum , & preduiii ndix qutirttt iitrmn m piimum , pruduili vcre bujiu rtdix m ftcunium , & hujm preiuSi rtdix dcnub m primum , & Jii ti- ttrnttmi preduclerumrtdiiti limltiptittmicr ^hiiinprimum^ftnsilin ft.ur.dum, trit rtdix prcduSi ultmi CO primt , fiamh vil qutrto ftx /•roperrLnalsum imtr dues dttoi tputivAWiWib^a^av^b&c. OOi/BS.afib, &v':av':bv':av':av':bv';av':a&t. X f tfidui rtiix in q dnrtu tddjlur ipft pp, & ex rtdttc fumnit dinue fubtrthtiur p , &fuitiiutp$ in inffieum, tril rsdix ullimi refidus, puti v': — p + iApp+qv': — p + v':pp4-qv / :— p + &c. Mru* ^iujicniir twW xj X — ip X + q- XXXIII. Sudcm pofitii , qut h pnitdmie , fifiibirttTio ipfiui prerlilUT ■jn tdditiomm , rrii rtdix tggitgtti ultimi , puti Vs + p + i/.^pp + q V l :+p + v':pp + qv': &C rtiix tqiuiunu xjX+ipx + a,. XXXIV. Dafii duobui numerup & c^, ji ttrtius m q AH7HJ fublTthttur ipp,6' rtiix rtliqui aJp tdittur deinmrre & fumnit relquifUt rtiix in q duSt fuliducttm i p p , & rtiix rtHijui , &c. eiunt radices fuaimt rc- ' ftduiqttt ultimi , puti i/:pR \':pp — q^pfi^/^pp — qV: &C. ttdiit i tfUhtm x 3 X + l p x — q. INFIXITIS. 167 XXXV. Safitm dtri, tribiunumtri, p,t,,r, trit J; — p + i}: PP + r+q^; — p + \': pp + r + q&C rtdic tjuttioiiu iiqutdrtti- «x+X-ipxx + m + r. Omnts har Propp. ad eundem modum demonllrantur , qu» Propp. XXVII. XXVfll. & XXIX. quorfum iuque Stfol. Pstet hinc adirus ad inventionem j. med. proport. Sc in genere radicutu Probltmacum fblidorum & hyperfolidorum pcr folis lecras lineaj tk circulos, quam pralUntiflimi omnium ieculo- rum Geometra a bis mille retro annis aniie fed frudra qusfivere. Hanc ego , quoad fieri potuit, per fericm conltruflionis in infini- tum conrinuandi, prinius omnium exhibui in Ailis Lipf menf. Sepremb. ltfjj. cum nemo fimile quicquarii fcripro publicaflei, for- tc nec animu concepiHcr uipuin. Dc Ufu Scrierum Infinitarum in Quadraturis Spatiorum & Rctftificationibus Curvarum, POttqvm primt ptrte ttlerit ne/fri iifunlii fumm , varisrtmqtte qulti. feri potuil , ferierum fummtt exbibutmut , fuftrtfl , ut ti tittrtm inflt* tmi parttm tTtnfe&nw , ejieiii ndi msdum tti ipplsunit td iimtnfionti qtttmiiatum GtsmtttiUTim , prtfenim ittrum, quas tranlcendentes ntm- otptnt , littt firiebui , qut hii ufui vcnient , raro umingtt tjft ti numcr* tmum, quttproximi tomtinphii futntu , quarumquc fummtt m psiefltte bt- btmm. Obftrwut!! enim Gesmttrt, plurimti dtri itutiitittiet , tujusmeii (unt plertque Linte Curtt , & plertqut tb Hi tomprihtnft jpti* , qut nul- lit numeru yel rtthiulibm ytl fatdk qutntumvit umpofittt espttmi , b. e. qutrum ttlttionei td tliti ititi fub ruUt tquttime tlgebrtiet dtfinui grt- dm (off pfffera , fei qut sinncs tquttionum grtim qtufi trtnfttnitttnt ', tt iitirto tttemtnium iuxerunt , num qutt um tltqui numttt tfftri bbh pote- ■ rtnt , pcr ftricin ftlttm iitfniiorsm, tntximi rtmtulium, txprimcrc lietrtt, quibm iu uintmui ti qutftum tuederetur , ttt trrer ttndtm dttt qutitii qmmiitlt niinor fieret , toiaque ftritt cxattum qutftti Ttlsrim cxhibtrtt. Itirtnttm , qmd, qutntum tunfitl , vrr/fjue icmum hoi fttull i Mcrcarore, 268 DESBBIF. 2US Gregorio, Ncwtnno, Leibnitio, ii lucem ?rcd:tliim fnit. Qai4 ftimt trts it ba mtmtri* pttdidcrini , tiUmntm fctmtmut. srnnw.ui Gcowatt Lcibnitim, qta ttm btud dubie hngiffimi prtrctxit , irttt ttitffttit) , qatt nebit in Aciu Lipf. impiriinl , untm inith Acltmm 16' 1. prt Crrtnli intgni- ttlJine dtiil ftd mttbtdum, qui Olui pirrinit, nmqktm ettfefnB. Quimnm imijiim , iwn diffnt iSt i ntfirt ; ntnt & in etiitm aan i'fe ftriti ittatB- mm & ipfim fulinde ttkido differtnlMli uji famm , mi ptflbtc piitbit. Primipit hojm cthitii ttptnerc nimit Itngnm & tiUnum ftrtt. tt Vrr ptr- iUnfliit D. Mtrcbh HofpitaJius in titrii dt Antlifi mfmiii ptncrmn nuper- rnni tditi ptrftitui twttt , td qittm prtin Lcfltrtm rtminimiu. Definitio : Mlmm Seriem voeo , cujus tcimini multiplicarione funt con-' flati ex rerminis ejusdem ordinis aliarum fericrum. Iia fi ftnt fcries t,b,c, d, r, &c. Sif,gtb,i,kj tkc mijcta ex WiaqiM tmtf^lg.cb^di.ikjSil XXXVI. TrtUhntm ~- B tmtrtttt in feritm infinittm quttttittttm gemitriii frppirthntlimi. Fit hoc per divifionem continuam nnmcratoris per denominaro- rcm, hoc pafto : m jn ! hibeo — , quod multiplicatum per tlivifo- tem m— n, & (ubrraftum ex dividendo / relinquit — ; hoc rurfu» diviTum per m fatit --" , quod duftum in in — r. & fubtraflum ex dividendi reliquo efficii lefiduum £^; hoc denu6 divifum per m, ftcit ~g , quo duflo iu m — n Sc fubtraclo remanet , arqne ia deinceps fine fine in infinirum: femper enim aliquid dividendum fupcreft , cum unius m=mbii dividttidtis a diviiore biniemhri nuti- quatn Itne rcliduo exhauiiri pnlTiL Ar hoc refiduum , continuau opemtione poiTtoDue . >n, pcrostuo decrelcit, & tanden data quavis qujntitjtc miniu fic, ut patct, Eft cigo fraflio propofiu INTINXTIS. z6 9 zL~>^+'£ + £ + & + 'j$ &C qU* ftri» eft q lum geometrice progredienrium in ratione m »d n; quando quilibet eius terniirius es conftrudlione jn n duftlis & pei m divifus proxime fequemem exhibet. , Idem brevius fic evincirur : Summa Progreflionis Geometrics: 1 + ^ + ^ + ^ -(-'-£ &C eft^, per Corollar. VIIL Ergo reciproce valorem ftaftionis ~~r a per talcm feriem exprimere licer. • XXX Vlh mttinm uftlttri i» firim m^iim itmtiriii frtfmmuHnm, Fafli diuiilone eontinua nnmeratoris per denominatorem , ca- dem refultM ftries, qax antei, nifi qtiod rermini ejus altema- tim fianr poGtivi 8c negativi. Eft igitur quantitas — 30 i — ^ | ^ — + Stc. fil[cm fi ponitur m > » : tum enim quod po(i fingulas diviliones reliquum manet, continuo mi* nuitur, donec conrinuata in infinirum opeiatione prorfus evincfcat. Idem qaoque fic elucelcir: Quomam in ferie quantiratutn ± f jH^JSfce, exhyp. primus rerminus efl ad fecun- dum, ut ttrtius ad quartum, & quintus ad fextum &c. nec non ftcundus ad tcrtium , ut quamis ad quintum , & furtus ad (epti- mum &c crit etiam ex aequo, primus ad tertiutn , ut tcrtius ad quintum, & quinrus ad feptimum &c, quod docet, primum,ter- tium , quimuin, fiptimum &e. terminos cxemptis reliquis eri m gronT tiicc pioportionales efle , quorum adeo liimm» per Corolbr. VIII. invenitut - J^ - n , Eodem pafio oftendkur, ficundum, quattum , fixtum &c. terminos firiem gcometrice propo;ti.'na- Uum cmcne , cujus fumma ~ ~-„^ ■ Igitur differcncia harum Ll ] dusTum 37 a &ES&ATESUS duaram feiieram , feu - — ^ + ~ — ~ + '~ 00 viciffim converti poieft. CntH. 1. In omni Progreflione Geometrica delcendente (pti- ia j.... ii. , fintiemi* _ Rr — alrrrnatim Cnou. i. in omiu riuBisni«"«- " ■■ mo cermino cxiftcmc determinato , flgnisque + & — «' excipientibus ) fumrm feriei iimitcs habet,quos nequvt a nedum egiedi , qu-liscunque ftsraatur ratio progreJTionis. ___ enim per hyp. «>o, & H^fi. — i , hoc eft, valor feriei perpetuo rr_or eft-ipfo ptimo lermi- no , & major ejus fcmifle, . c~S.i. Si tamen wxn.fiet ^—00^, & feries- — '_• _j_ (.-"__> sec, x — — 6ic. unde ptradoxum fluit non inelegans , quod £+ £ - £ &c X r„ . Etenim ii ulrimu. feriei termimis figno — -ft_us eoncipiatur, term.m omnea fe mutub deftruere apparebunt , & fi Cgno + , *qr_i vi- debtinrar ipfi non — • Rat '° autem P-»- 1 »" eft Vl uod eon ' tinuata divjfion- ipfius I per m + «, refiduum divifionis nort mj- nuitur, fed peipetuo.ipfi I -qualc manec S unde quortens^divifioni. propne non eft IbU feries £ — ^ + ^ — _ ««• fetl - ~» + JL _ 1 &t . 4- vel , faciendo fcil. fraflionem ei refiduo & divifore, ilUmque figno'+ vel - afficiendo , prout uliimui/eiiei terminus vieiffim — vel + habere fingitur. XXXVIII. VrtOatum a mMMM* i»yWw mjinif/m. ■ Qaoniam quancitas X ~ + __+„£ + to XXXVI. raftautrinquemultipliutione pex^.habebkur gj--, X feriei / t! F I N I T I S. 271 feriei A , m)us rermim finguli de novo m toiidem alias fcrics B, C, D, E, F, 8tc per eandcm XXXVLPiop. convertamur. Qjw feftp fciieium iftaium teimini bomologi in unain fummam „„l mB X ^,4v, +'~ + ~l + &C X B • + ;r + '^" + 'i7 + ^ &c * XC .... -(-'^ J +~&c.XE ^ll^-X .' +^-fcXF 6cc 00 Stc. x Btc. Z 30 ^ + ^ + ^ + ^ + ^ &;c - XI conflati novam leriem Z eonftituent , mqualem propterea tjuanti- uti propofirse g- w _- , mixtamque ei ferie nnmerorum natura. . ) . 4-- &c & quantiuJum geometrice progreffionalium Eadem (eri«s Z elici quoque potefl divifione eoniinun nume- ratoris ( perdenominatorcmmm— 2».» + mj,drceiLdo:mm in/,habeo — , quod duitum in diviforem 8t fubtraclum ex dividendo telin- ejuit ■+- __ "j tu" 1 P°"° »« >n reperio -f-^yj qitod muliiplicamm Bt fubtradlum, uc decet, reliduum efficit -f- ~~ — ^T' «que ita ulterius pergendo in infinitum : quo pnfto -obiervabitur , poft fingulas operationes duo membra reliqua mane- rc , fed illa ufque & ufque minora , undemquc data quavis quanri- tate propiuB ad nihilum vcrgcmia. Idern eriam-TifteiiditiiV etflej* reciprocorum ; refolvendo feriem Z ■ methodo Prop; X I V. inYnfinius feries geomerricas B , C, D .E, F Stc harmn enim fummae cum novam progreflionem A confti- 37 2 n£SEB.IEBa5 tuant , qus ipfi fummam effieit „ w , pS' 'ecjuitur reciproce, & hinc quanritateni per feriem Z lcgitimc effeiri pofle, X X X 1 X. Rtilimim Q ««rertere i« ftrfa* Si operatio inltiruatur methodo Propof pneeed. eadem, qu* ibi, obtinebitur feries.nifi quodiermini loeorum parium acquirant fignum, — , fic ut habeatur: pT-,, +n X mm — \~( + -jy — XL. »43»»™ C:m '_ -- , «tt crsrq^ • txpimttt ptt ftrim. Ex arudogia opeiationum praeedentium liquct modus hoc effi- ejendi ; quorium igitut pluia % En operationem : srfe, » h. + *S + '-" + +' -«* te ^ XXXVIII, fafiaquc hinc inde muliiplicatione per j^r K , '^,.xs+£+s+£+S,* te -] tsjijx^ Ji^x . . +*=+£+£;*<■ [xxxvi. .... +£+^>-i Eodem paito habetur C T~p^ X ^ — • ~- + ^ — "^T + ConfUntur autem tetmini harum/c™;nim Mt duflu tetramorum progrellionis geomecrica: in numeros trigonales l. J. 6. 10. re. &c. Si quis idem per divifnHiem contimiam confojui dclideret^is t N F I X I T I s. a 7J obfcrvabit, poft fingulas operationcs tria fupereue rtiembra, fed ea fubindc minora , ultimoquc prorfus cvanefcentia. Idemeriam rcgtediendo a/eiie inventi patebit, fi ilU mctho- do Piop. XIV. in alias refolvatur, &c. Sibtl, Haud diJiimili opcratione reperirur B „ X ~ 8 &c. feriebus mixris ex geometrica & ferie pyramidalium , trian- guli-pyramid.Iium , Sc ita confequenter in omnibus altioriLius, fcrvau fcmpet eadem analogia; ratione, ut non opus fit his diutius immorari. XLt Si froftntw ftries difertntUIim , qu» mixu fo txfirie #mt. itk,i ipumnaittm iudetermmturum, & *ti* qutra ftrie qutmittium ctm- fttmimn ftu uegdmmn, imcgrt/it ttrmn tbftlutt firiem un/liiucnt mii- tam tx etdtm ferit uifiitmmm, fimiii gcomttric* indiltrmiiMltitm , & tlit qttsitm btmteniit. Paretex princ ealc. diff. velfummatorii, juxtaqu* quantitatis differentialis nx-dx integralc abfolutum repcritur ^jrf~i hine enim fi cocfficientes n fint piogreJlionis cujusvis, & exponentes m progreflionis arithmetica:, h, e. ipfa i» progi. geomerricse, enint quoque m-4-i arithm. adcoquc *■+' geometr. & harmoni- CK progrelTionit. Uc fi proponatur feiies differentialium txdx, bx>dx, tx^dx, fx 7 dx &c. mixta cx ferie quavis a,i,c,f &c & gcometrica xdx, ar 1 dx.xUx, x 7 dx &c erunt eorum integralia ^j- 8 &c, mixtaexeadem ferio*, b, (,/&c. geo. mctrica (Imili xx, * 4 , x&, xt &c. & harmonica. &c. XLII. Exbibtrt tretm HyftritU inttt AfmftttM ftrftrum injhiiijir, Fig. i. Mod. t. Per Aritbm. Infm. Wrt. Eflo Hypcrbola PCQ, cujus ccn- rrum A, afiymprotas AD, AS, applicatat BC, lO (-0, quJMcn- dumquefit fpatium CBIO (CB»). Sumtoautem ABOOi» Mm BD, 2 74 DESERIESUS BD.BCXi, BI(B') X* t qu* "c > AB «1 BD, fi.ei nniute. Dividatuc BI ( B 1 ) in pJitts allquot anjtiaks BE, EF, FG.GR.RI (B.,i#,C».J-(.{Oq^rnm numcrus fit «,& fii'.- gula: dicancur rf, fic ut nd fic xa BI (B'). Tum circumrc.n- bantur (infcribantur ) hyperbolie pmllelogr imrai B K , E L, F M , GN, HO(B.i»,»«,)'.c) ductis applicaris EK, FL, GM, BN.IO (•■-,« *«,(•, '•) qute tx natura hypcrb. etrdine icpc- riuntur X ^»,-|^'r¥7 0 TF7j &c - u ^ ue ad ul " m ~ m 7STS- Singulis igitui in d duclis, habentur area:p.ir,ilklo",r..ni[ii:>ru'ii,i.i:.i.- pono in ieries ee.nvertei.daj iunr pcr XXXVI. & XXXVII , ut fc- bk(3-j 30 ^ »«8' (U+ Wj8 w 4 + "r.S *JS!cft £L(.*)M,|~- (( X«8iWrf+- 4W;8 8W4+ i6Wf.8 JiWg&c FM (f f) 00,-^ XW8 j*tf+ 9 Wj g 27W4+ giW f 8'a4jW68tC GN^Ox.-^xws^+ifiWj 8^++if6W S 8 MMlWK UIt,RO((0X 1 -^XW8 n Wi+m ) W J 8»'W4+ «|Mf8»'** &C Harum lerierum primi termini a»quantur, ficundi pmgreJiuntuf Ut numcri nacuralcs, tertii Ut eorundem quadrata , quarri uc cubi, &c. hinc pofito numero ferierum Gu parallelnr;rammoium n infi. ' nito (quo quidem cafil lumma parall-orum ftu infcripr. (cu circum- icriprorum ab iplo curvilineo CBTO vel CB.« non differt ) fum- ma tctminorum primae feriei rmpcndicularis erir scqualis, termi- norum fecunda: dimidia , tertise fubtripla &c. iummie totidem, hoc elt, ir terminorum ultimo tequalium, per ea, quse docet Val- lifius in Arichm. Infinit. nosquc demonllrabimus alibi : ae pioptc. rei fumma omnium ferierum perpcndicularium . i. c. omnium pa- rallelogrammorom , feu area Ipacii hj perbulid B I O (CB"). hae ferie expiimeiur: ... 8 .^f + .ju, „ aiit+.jfi! 8 -Jiif te five 1 loco 11 i fubltimendo x > I X T T JV I T I S, 875 Mod.t, P.-r ali. ditf. Ltib». Pofiti* , ut prius , A B X I X R D, BCX*,&-BI (B') Xi-, ejusque clemtinco RI (<.) X rf.v.cric cx natura hjperbola; IO (■■) M : J-, Ec eKmentnra fpatii byper- feolici RO( ( .) X~X fcriei gcomecrics: bdx R hxdx + ixx jxftbxtdx + bx+dx £t;. pcr XXXVI. & XXXVI 1 ; adeoque fumma clemcntorum S , fivc fpatiumCBIO (CB») Xl>x fi' 4 — + — ■ g *l* + — Btc eadem feries, quae fupri,mixta fc. ex gcomcrriea & harmorrica , per praeced. Hasc igitur fi fummari polfet, darctur Hyperbola: quadrarura. CcrtB. i. Si BIxB', dahitur lum fumma tum dirTerentia ipatio- rum CBIO & CB.. per feriem cx gcom. 6; haim. mixtam : cum enim ilt ollenfum CBIOX**+— +— +— +— + f -i S &c. l f;etfacV2fcrierum fo, *u tU *"« ladditioneScfub- CB..X**- T '+ T '— ^+j-~Ba^a£titM, CBIO+CB ,. X T + '-{? +'-j &C CBIO-CB-.X +7-* +^&c oroff. i- Pofita BI,xxBA) i, fit fpatium mterminatum hy- perbolicum PCBASX- + * + f + ; + ' + i &t limplicift- rici harmonicie, qu* cum infinira (ic per XVI, arguic & arcam hujus fpatii talem cffe. Conf. Cor. 4. ejusd. Prop. Car.j. Sin&B',x, xBD.i XBC^refulratprolpatioCBDCt. fcries tanmica +—-£-+-£ — ^+t— ^Ba. hoccft.fubduccn- do unumquemque terminum figno — affeiTum a pr»cedcnti,feries i + r: + ji + ji 8CC cujus tcimini per faltum cxcerpti funt ex ieiie reetproca crigonalium QProp. XV,f + ^+v;+£+£&c. Mm t QuM 27 6 T> & SERIEBHS Quod fi flatuatur □ AB,. BC vel BD quadruplo minus,np. exhibcbitur ctiam fpatium CBDQ^per fericm ptioris fuliquadru- pl am a+ Jj-l-.i &c. qua: pet filcum focmatur ex fctie I Piopof. XVII. Conf. Aft. LipC i6ti. p- +iS. XLIII. Invoiiti nrnni fraiii.ABET.I ( B D pofito infuper Bi,*30 BA, I, mutatur in fimplicem irigonalium rcciprocam f + v + i + i + X Bcc cujus fumtna X ij pet XV. Eft igitur totum fpatium ABEFS abfolute quadrabile , aequak quippe Q* AB. Nota fifc exemplum Curvte mcchanica:, ubi quadratura fpecialis fucccdit absque gencraJi ; fimplicis enim ferici fummam dedimus, mijtti non item. Eadcm ratbne oftendetur ei altcro latcre fpatium B" X ~ — 'J+y-ata, tocumqucfpatiumBD-f Xf- 4+7f _ n&C Cwoff Completis refla"f>ulis CD & RQj ajo fore curvflincum mechanicum BDo X duplo curviliuco hypcrtiolico CQL, diffe- rentiam curvilineorum ABEFS&BDjx duplofpatio CQH, & fummam eorundem x a C B D Q. ; qiiK fic palam fiunt : Si a ferie-f — i+T — i- + — — i fiibducamrf — r+T - t + i — x g; C _ aufcrendo figillatim primum terminum k ptimo, fe« (undum i lecnndo, tercium a terrio, &c relinquetur -> + DigitizcdbyGoogle INFIHITIS. 277 i—^+i—i 3cc. 00 fpario BDe, ut QHcnfum. Si vero ea- dcm iciics eic alcera fic rollatur , uc prinius cjus tcrmini» dcmatur ex fccundo altecius, (octmdui cx tcrtio, tcitius ex quirio &c. orie» tur-f — ■ f-r-f — £+f — £&c. 31 -f— f+-f_ i8«.— 100 ( per praccd. ) duplo fpar. hypcrb. CEDQ-BHjjiCBDQ^ — l DLCO lCL Q^ Eigo BD4XICLQ. Igirur cum oftcn- fum eriam fit ABEFS X> i XBH002DL 001 LH,ciii ABEFS — BDtXiLH — 1 CLQjTi 2 CQH ; nec ncn ABEFS + BD#" X 2 DL + 2 CLQJ» iCBDQ^ Qua; eranr dcmonftr. ' XLIV. bnttati «w» ABKGMT(BDNrK) umprtberfi tfymptm hpnbeU AD.&Cum K (1 M { K y K), qat-lelii ,« ca JIIG (fl-i-) (W ejw tpplUMalG (< v ) & indttermtniu Bl (_B'),4jttanr lia byptrboiw CB 10 (CB-). Fig. 1. Quia pofiris omnibus, ur prius, fparium Jijpetk CB iO X» + Y+ — + — + &c. pcr XLII , eric per hyp. fafta dii-ifione pcr BI feua, refla [Gooi + J + y + ^+^ &c. adcoqUe RG *Iem.lp»C.BIGK»rfx + "^ + "-^* + *-^&c. omniaq; RO fen fpatium B IGK 30 j +■ "+• ~ +■ ;£+ ^ &c & pofiw «X t> fpacium totale A BKGMT X++ x+y + iV+ i> &c- f"ic< rc- ciproca» (jusdiarorum , cujus fummam eriamnum dcfideramus. Conf. Prop. XV». fub fin. Haud diflimili modo repcritur alcerapartc fpatium B.j-KOO " t — " + *„- — + jj &c. fumtaque jt 00 I , TOtale fpatium BDN ? K & - — t + 4— k + T< & c - C»wff. Spatium ARKG MT duplum eft fpatii BDNi-K; cwn enimfumma Htrinsquc fic + -}- } + ftc. & differentia i + ir+^ &c. erit urique fumma ad dicTcrcntiam , ut -J- + y + j f &c. ad 7 + u+ is &c e. uc j ad 1 , pec X X I V $ unde fpatium uuum alrc- tius diiplum etfe neceiTe ert, ur maxime neutrius abfolutam rnagni- tudinem expioratam habeamus. Vid. Schol. ibid, Mm 3 XLV. 2 7 « DESEMIEBUS X L V. Exb&at QjadrMiatm Cirtuti *m RtilifmiMm Lintt Circu- ttril fcr ftricm. Fig. ;. ln peiipheria fimicirculi BCD, fumio indefinite punfto H, demittafut " illo 'in radium A B perpcudicularis HE; & fit A B CO i , & BEmi, adeoquc cx nat. circ. EH X\'i* — **; quo pofito , curh ob fimiL Triangul, charafkriftici L GH & TriauguL HEA, HE firadHA, ficut LG vel £F elem. abfcuTa: BE, ad L H elem. arcus circ. BH, repetitui LH X j— ■7™"*' > fa^aqu» multiplicatione per i, femiflern radii A H, feflor HAL feu clem. fefloiis HABXijrps ■ Hw igitut quancitas, cum abfolu- ti fummari nequcat , in feriem cortvertenda eft , fed prtus tollen- da irracionalicis , quod eo feri modo fic, quo in Problc matis Dip- plianteis uti vulgo fuevenmt, In hunc iitiem pono -Jix — xx 00 1 , fcu ix — ii x " v > ubt quia divifio fieri potcfi per x, ipfaque non nifi unius dimenfionis in ajguitionc iclinquirtir , cjus valor in tatioiialibus prodibit , tinde & dx, &: per hypoth. V» * — xx feu ipfaque adeo fratlto ^l'^-, lationales fient; nempeiX ~- t ,dxOD p - *' jr „ - i^l*-n'»;XI ~~ , & deniq; ; Xrr|~; hinc fraftio in /eriem geomerricam per XXXVII eon- verfa cxhibet Hi — i tit+t*4 i — t 6 di + i s di &c. Snmma igi- tur elemeniorum HAL,fcu totus feftor HAB XI — y y — y + T &c. eoque pct lemitTem radii divifo, arcus BH 30 — ' — ^f + y — "T^ + v' — v &c- l u * *" iw mixt!E 1 " unt «c gcomctrica 8t harmonica, per XLI, a quarum ptoin fumma- tione decantatum illud de Citculi Tetragonismo Problema dcpen- dct. Nota, duflis raBit H tangcntibus ciiculi BI,HI,fibi mu- tuo occwrenribus in I, junftaque H D, qurt radium AC fecet in K, fore BJ v el IH X AK, utramlibec autem XI Nam a. ang. BAI X BAHX AHD + ADHXJ ADH, Ergo BAI X ADH i Dinitizcd B/Coogle i r i ix t i i j. s j-j AOH; eumque & A e I & D AK anguli , nec non latera A|B & A D asquen-ur , eric quoque Bl X AK. JJei:ivic cum lit pcr hypoih. i ad ut ^ ix — xx ad i ; iNinque, o!> fim. A DAK & DEH, AD fcu i ad AK^ ficur DE ad EH, kill, ex nat, circul. H E ad E B , feu V * * — * * »d >; ; etic utiquc i . t : : t . A K , ac proiude A K feu B I X r. Cnwfl.1. Sumta/Xi.quocafu & bEj* feu .^, a-quatur BA, l, fict quadrans B(Cx fimplici fcriei liarmonic;e i r+ f 4 + ~ — ~ &c. X (fubduflo teapfe unoquo-.juc tcrmino ligno — affcclo j prasccdetice ) t+h + w&S Hinc 1 uia q uaa "- tum radii elc ad quadrantem circuli , ficat qu;dratum diamecfi ad circuli aream pcr modo memoraram Icriem exprclTum iri ; adcn- que li ejuadranim ciriulo inicriptum fit circuli aream forc -j- + i7 + ,' &c cujus fctiei rermini per faltnm excerpti funt cx feric H Prop. XVII. Conf. AO. Lipf. i«St. p. 45. Csrofl. t, Pofita Tangcnte B I X erit arcus, cujus tangcns cftj 00-' — -~ + 'i— y &c. utpoce femuiis arcus BH. Confer At"t« Lipf. itfpi. pag. 17$. . XLVI. Itbtint «eitmrnit SeHstem aijwii StHknit Citau ix c.m tro fd fetiem. Fif>. 4. & f. Efio Coni Seftio quajcnnqiie, Hyp;rbola five Ellipfis, BCD, cujus cencrum A, veirex B,femi-larus cransveifum AB X ■<, ferni- axis conjugatus AL X 1, adeoque lemi -Intus reclum X j ' ^ ratio lireium , ut ad 1. PcmariturqtK norrrp, ahleifla inrfetet- miuata Bfiir t, AGDJi Tj g.v (g figmficar + in Hvpcrbol. Sc — in Ellipf. uti H viciffim - in Hjp. SE + inEIL) ejusque ele- nientum FG vei CH » il.8*<> {«* 8 **}>.& diffaentiando "^/X 8 «*> 6c denique X X ^j. Deinde quoniam , ob fim. A DGA & DHI, DG, ; eftad GA, t, Jkut DH, Jj> ad HI, invenitur HI 00 ^,ac proindc CI (HI 8 HC) X ^-«fcX _S_"__\ Quare dcnub piopter A fim. AGD Scl EC, ut AD, b, ad DG,;, ficIC, 3- r ~~ ad CE; unde reperitur C E X yty—ji^^ (j U£e QU a a m femillem AD, icu | if,dacaream triangu- li clcmentaris ACD X _>~^ 30 (pofico loco rf; valore ejus) ^^f^X ( fubfticuendo 8 *- * 8 " bco'*-;;) H5S_SBi^Sfl__5-ao ~» (loco -; furrogando vi**H*>0 TfMwTx* de ^ 04 in ferienl tonver * tenda & fummatida agirur. Primo aut;m irrariotnlitas e„ ilU tollcnda , mcdiantc alia indeterminata , qua: loco r fuirogan de- bec,utin prsc Pono itaque v"«* 8**X \, unde RuitarOO-,;,, & i/ * X *-*'£, , &. V--«*8"X * X ^,', , & deniquc ^-==, 30 ,TT, M feriei - eom ' "rf'8"" a '' + '" 4 ' i '8'" 4j( +""''' &c. per XXXVI & XXXVII. Summa igiiur omnmm fcrtorum elcmentarium A C D , i. e. atea totius Scftoris A B C D X * ' 8 g '-i7_j_£i? fi;c. a fcil. compiehenfo fub a fcmi-Iacere transvcrfo & refta , cujus longriudo eft l 8 J + ^f 8 7 + T &c. Unde p.itcc , quo paflo gcnetaliter quadrarura; feftionum Couiorum ad fummas fcricrum ex geomct. tS harmon. mixrarum JNFJK777 S. 281 Noti, duftis per verticem B 6c punfhim Cume D tangentibus EM, DT, fihi mutuo occurrentibus in M, dico fbie BM X'. Quoniamenim AG. AB : : A B. A T, per 37. lib. 1. Apoll. ac id- circo converteudo A B . T B : : A G , : . G B , x ; nec non ( ob fim. ATBM&CHD) TB. BM : : CH,ix. HDJ;:: (ex sequat. Curva: different. ) 7.; ctit ex aquo perturbarc AB; t. BM :: d*y. x ; unde obtinetur BM X^ X y™^; adeoque *Ji4x xx, *:: t. BM: verum pcr tonflruflioitem V««x8«Ki * Effi° omnino BM X '• Conf. Afl. Lipf. iijl. p. 179. X L V 1 1, D'/« Kumtn inttnirt Ltgtriihmum ftr ftritm. Fig. tf, Intelligatur iuper axe S A ' Curva quajdam C B', cjus natu- is , ut abfciiTae AR, AS ( A ( , A »■ ) crefeant arithmetici , dum ap- plicata: RE, SC (('■'*) crefcunt vel decrefcunt geometricc , h.c ut iftfc fint ut Numeri , dum itlae funt ut Logatithmi. Vocabitur hxc Curva Lo%arttlir»it*, cujus harc eft proprieras, oflcndente Acut, Leibnitio in Afi. Lipf. 11J84. p. 473. ut Subtangentes ejut omnel AK, R N, f ■ flni lequales. Applicetur in A redia AB, 8c fumto quovis in curva punelo £ (') ducatut refta EI(ri) patallela axi SA; vocctutque ABi,Bl(B')*> adeoque AI (A<) feu RE {(.) 1 gi; nec non AR (A() y, & conftans curvs fubtangens i, Dato itaque numero RE ((■) ejus Logarithmus A R ( Af ) fic mvenirur. Quoniam ex nst. gen. curvarum, elementum applicatse EF ht) dx, ell ad elementum abfcifGe FG (**) rf;,ficut appli- eara RE ((.) 1 8 *> ad "kvi fubtaugentem RN (»>)i, habebi- mr d J 30 nrr 20 6-iflulite in ftnem nfbluta per XXXVI S; XXXVII) i DQJpatia futura finr ae- Ccmff, t. Quoniam evidcns e(l , exiftente B I X A B , h. e. eva- nefcente AI feu RE, Logarithmum AR reddi infinitum , fequitur & feriem harmonicam Logaritbmum hunc exprimentcm , * +• j + i -}- 1 -f- £ Bcc. talcm efle ; unde denu6 veritas Prop. XVI. CmtR. j. Dato tjuoro Logarithmo puti binarii, determinari po- teft ex illo curvs fubtangens i; cum enim pofita BD XiXAB, adeoque ADX'«Xi,oftenfumfit A'Log-um binatii efleX»— ; + ;&c. 30 *in"i — * + \ — i &c «rit ■viciflim «X i — s-r-T — x KC - XLVIII. Dttt Sinu implmtnii irptrne Uiaitbmm Siim reffi pnfiriem. Fig. 6. In eadem fig, centro A per B defctiprus efto circuli quadrans BHc, quem produfla EI ficet in H, erit AI feu RE finutarcus Hi, & AR ejus Logarithmus , exiftcnte vid. radii AB ceu unita- tis Logarithmo o. Ponatur finus com plementi I H X * , ut fiat fi- nus reftus A I fiu RE X V i — xx, ejusque elementum E F X erit cx nat. gen, curv. EF *d FG, elemcntum Log-i AR; ut RE, \< i — x x ad fiibtangentem Logarithmicas RNqusfiti; adeoqueFGXr^aO (per XXXVI)— . — *> IXriNITIS, 3 8j — x>ix — xf X/. Conftat ex iis , qus Aft. LipC itfpi, p-i7+.8cc. hae de Curva memori* prodita kgunrur, elemenrum applicatse iy efle X J^n* H ' ne tollendam fuiditatem pono l-ii unde fii tx"p J * X '-T7T i( > Vti-iX I — l 20 '-^' i ac denique ,7==; ( f'7 > X j . Quam ponfc- fta- flionem ut in feriem convertam , facio denominatorem bimem- brtm , fubJlituendo i + x Joco r, & flx loco d/; eritque j feu i/ X M (per XXXVII) ix — xix + xxJx — «Wr+«* *x ta, unde omnia X ( ps XXX\l)idj-i-tjjdj+ij+d}+tj 6 djBcc.tcdaiiqi omniarf*feu * X i f + 'f + 7-' + '"r 8661 «bipei/pioiumeltjjleu ^i-w» AE finrri rcflo arcus HC; unde conftat ratio dehniendi etiam qus- litum ex finu reflo Utitudinis,quemadmodum feeit Dn. Leibnitius AQ. Lipf itfpi. p.tSi. £tpatet,iiincaIculO)perquemadinitiome- moratam jequationem rfiX^^= pcrveni.locoquantitatisindc- rerminatae ipfiitn Guum redtum AEprae finu complementi HE fek- gilTcm , me ihtim sd alteram aiquarionemimrnediate in fericm convcr- tibilcm dxso ~yj . pewerurirum fuifle, Citetum ex eo, quod duas mventas feries eandeai quantiiarem jc denotant,obirereoncludimus, quod (i in circulo iinus cujuslibct artus AE dicatur r> & AC — Bl ejceeifus radii fupra tangentem fcmiilis complementi vocetur r, uerpetuo futurum fit / + + *~ Scc. X t + y + — 8cc. Notamusetlam.filocusH fitin ipfopoKquocafu r XIX7, fors "X'+; + j+j&C vel X<+ j + j 8iC quarum ferierum fummc cum fint mfimBe per XVI, docent longitudinem loci H quoque infinitam efle, adeoque, quod dixi , curvam loxodronricatn inflnitis polum gyris imbirc, priuscjuam £n ipfum inddtc Oroll. I N F 1 N I T I S. 2 8 7 CumK. i. Si in eadem Loxodiomica praster locum H alius lirlocus notai Utitudinis, cujus finus reausXTjfcexcelfus radiifuprl tan. gentem (emi/Tjs eomplementi X s , erit limilitcrejus longitudo X J r &e -J • i^g.i+J-tog.< : ^O0Uj + — 1 +7 if 8cc CmK J. Data longitudine & latitudin e loci ,_dabitur angulus Rumbicummcridiano; eumenim xxtmr+Y+ - &c. Xrin &c s88 RT. SERIEBUi Sic, id efl, tanpons anpuli quaifiti ad (inum totum, ut irais Jon- gitudinis ad Lt>g-um BJ, vel fcmillem Log-i-y| ; adeoquc per Cotoll. ■■ hujus, ut dilT.rentia duatum longitudinum ad dilTeren- tiam duoium Log-orum BI, vel lemt-diffeientiam duotum tB , Intellige hic Logarithmos acceptos in Curva , cujus /ubtangens 00 tadio X i. Nota , fi dcfideretui angulus Loxodromvsi > qua: non nifi poft unam pluicsve integtas revolutiones in datum locum peiducat , augtndus eft stcus dilTercncia: longitudinum iiiregra peii- phctia a:t[u,toiis ejusve multiplo. SiM, Ex. hailenus difiis expeditus habetur modus conflnren- di SiaUm quandam L<-xtdrmih*m ; Efto in Fig. 6. BM « eitcumfc- icntia xquatoris in gradus fuos & graduum miiiutias divifa ; haec extcndatur in rcflam A S axem Logarithmicse CR », ejufque divi" (ionibus oidine ab A adfcnliantut giadus longitudinum : tum fum- to indefiiiite in cirtumfcrenria hac punQo M, bifeiloque a«u Mr pec leftim A T occutientem cjngenti *■ in T, ducatur ex T rccla TE axi AS parallela, feeans Logarithmicam in E; ac deni- quc ex E demittatur in axem perpendicularis E R s punfloque R adfcribatur numerui graduum in arcu R M : fic habebuntur etiam gradus latitudinum ; patataque eiit Scjla Loxodromica , qua: pri- mario infcrviet Rumbo, cujus anguli tangens aequatut fubtangenti Logaiithmica:. Numeti cnim gtaduum cujusvis data: latiiudinis in Fcala ftatim a latere afpeitui orTetunt icfpondtnres longirudinis giadus, Eadem tamen etiam cuiliber Rumbo prodefle poterit , fi fiat pet Cotoll. i. hujus , ut fubtangens Logarithmica; , e qua fcala confttucta efl , ad anguli Rumbici tangentem , fic longitudo vel dif- ferentia longitudinum per fcalam inventa ad longitudinem vel dif- tetenti.im longitudinum quafitam : adeo uc fcala ejusmodi in ufiim nautatum circino proportionis infculpta , & linca: partium a:qua- lium , qua; longiiudinum gradus repiasfcnrarcnt , juxta pofica in- flrumentum foiet omnium toifjxi , qua: Naturae hailcnus trailaruilt, compendiolilTimum Sc ucililTitnum. Sed dc his latis. Amtqiwn Dlgiiizcd b/Coogk T N P I N I T I S, 2% 9 Antequtm ptrgtmm , leilot tdrcrlere pottfl , quld hutufque m difftrtn- thiium fummttime pro quovk eltmtnto fcmptr ejm huigrdt putttm fcu tb- filnmm fuiflituimus , telul xprt dx, " pTQ xdx &t. At fiire ipfum relumm,ho( minimi tjfc pcrptiuum; qufiqutm cnim unt t titmqut qu*n~ tiiu x nsn mfi unum bilieut digertmittc d x , Uem ttmen diffcnntiilt d x iiifmitt h.iltl integrtiit, unum qmdcm purum x, reliqut «fmi/Wl qiuiitiutum (onjltmittm tjjcilt x + a, X — b &c. quorum in fumnutie- ria nijoiio pro rt ntst mim hot nunt illitd feli^endum efl, neque tdeo fme prrfmi htUutinittitnis peniuio indiftrimimtim fcmper purum ailfumi potejl. Rejltt itaqm,ut td viitndum ftepulum ,qucm tommuncm ferl e§e vidctom- rul/vs iii , qui ttltulum Itunl inttutim trtiltnt , fubjitumm tdbiu ejut rci txemplum in unti tltcreve Proilemtu , e tujm tnodttiont LtSort tonjltre pojfit , undentm e~ qwhm crtltrai di$nt>ftittur , quidpro qntxU femftt tlt- L I.' Exhilert Itmgiludinem Currt Ptrtholia per fericm, Fig. 4. Fingamus BCD Curvam efie Parabolam, cujus vertcx B,axi( BG, latus redlum X *, abfcifia B G X x , applicar» GDOOf.ip- fa BCD curva JOr, proind c elem. FG vel CHx**, DHx dy, & CD i-i d x*--\-tij ! -) 00 ds. EritcxiMiuraCurvi^vXj;; hinc diffcrentiando tdxSozjdy, quadrandoque ttdx 1 (ttdt* — •*fdj 1 } OQ-\yjdj-,&, fafla transpoiitione *t di'- x ttdj'--j-4jj dy l , extradlaque tandem radice * dtOQdy tj t t-i-^jj, quasquan- tiH» eft, de qu a fummanda agitur. Ad furditatem primo elimi- nandampcmo ^tt + ^jj X * — ij, fiet «4X«-4(/i & j x ■ hinc d J & d *-> MC non V**+W ( ? ~ V) X adeoque ij^T+^jj tyf) X w+^+ ^ dtX (membrisfeparatimpoliris) ^ + "{^ + 7-- ,dequo- nim nunc fummis difpiciendum. Hunc in finem confidcro reU. tionem , quam habct alTumta litcra in determinat a z. ad ordinacas Curvaj noftra», eamqucex fafta liyp. V-"+47jX; — tj cog- nofco talem crTe,Ht exiftente jZOo, t non pariter cvarefcar, fed Oo 2jo DBSERIEBUS fit X-«> Sc quod crefcentc t eo fbrtius crelcere debeat -. ; qnaprop- ter extenfa concipiaiuc ipfa t. in rcfra DB fig. 3. a punflo D, &> fit prima D A, qua; nafcenti 7 relponder, 00 a, ultimaque t, qua; rcfpondet ulrimae y fcu applkatae GD fig. 4. etlo DE. Tum flue- rc inteiligatur ab A ad E indcfnita rcfla AK vel EH, tequalis ubi- cjue ~~ ( integrali fcil. puro prrmi rrembri ) minimaque adeo in A & X J-f ; ficipfum fluentis lineae incrementum fier^, &om- nia inaementa qui capit linea, dum ex A movetur in E, rcprte- fentabunt omnia ^J- , qux ordinatis 7 1 minima (c) ad ultimarn (GD) ordine relpondent, h. e. quz pertinenc ad Curva; Parabo- licaj ponionem rectificandam BD (fig. 4.) Conftituunt au- tem omnia ilU incrementa, ur Iiquet,non intcgram EH(^) fcd exeeflum tantum ejus fiipra reclam AK ( — ) hoc eft, EH — AK ktt *"*~** « Intcgrale igitur primi mcmbri ^% quod huc qua- drat, eft "*j"" ~"~* Similiter pro integrando tcrtio membro ~j^~, » fingo 1 exrcndi in rcfb AD Jig. i. a punfto A, primamque qtia* nafcenti_r refpondct tftAED', i quae refpondct ultimae, AD; hinc flucre concipio a B vctfus D quantitatcm eeu integr*- le pucum ipfius "*j~> puta reitam BC vcl DQ^ qua proin maxi- ma erit in B & X j£ , indcque verfus D dccrelcet ; decremen» itaque, quat paiitur linca BC quoufque pervenit in DQj denotav bunt omnia elementa ", ua: portioni Curva; Parabolicae BD (fig. 4.) refpondent: fed omnia illa dccrcmcrita, ut apparct, non cfliciunr retlam D QJcu verum porius B C — D Q/eu -~ — jji^ i quapropter integiak tertii mcmbri huc peninens X-- I N F 1 N I T I S. 291 00 U — S *, ' ^rosquc adeo primi & tcrtii ( S ^+ S ^ ) Rcftat intermedium adhuc membrum expediendutn . Hoc eum abfolute fummari nequear, in ieriem converto , ponendo piius t.Xa-r-(,ut denominator fiar bimembris 5 hinc enimnt'-^p X ^7T7. 00 Cf>" XXXVII) ~ £7 & c - & fafta fummatione, S"^ X— j — — ; + — — - + "~" 1 &c. Nota, quod hic pro quolibet firiei termino fuMlituam ejusinte- grale pmum, quoniam e\ icqujrione ;X'+i coliigo,quodexiften- te tXfl (hoc eft/00 o) ipla i, ui & quantitatcs fluent.s omnes, ~~, ' ~i ' rfj &c * el *> S uod ha; a o fluere feu incrementa fumcre occipiant ; hinc ertim manifcfte liquet, omnij ipfaium erementa, ncmpe omnia S— ■ , — ' &c, ipfis quantitatibui ultimis " > Scc, «qualia fore. Quod idem quoque, fi quis cxj- minet, in omnibus pricedcntium Propp. enemplis conringere ob- fcrvabit, indeque concluder, refte a nobis faftum, quod ibidem in- ter fummandum pura fcmper integialia aiTumferimus , tametfi ejus rei racionem difcrte non adjcccrimus. Sed revertamur ad propofiium: Invenca fumma medii mcmbri — -^, li leliquorurn fumma; fupri rcpcrt.t adjiciantur , cmergit (umma omnium s^ + s"-^+s*^, hoc cft, *ta*£g*+jh-fr, + — 77*^ &C & fafta divi£aiK per * , longirudo Curvs 1 feu 8 O X ^T^* + +Ti ~" /.Ti + 47jV« — S 0 * nique pofita & *X<+tX8, fic}f+i— ■ £ + -J- — i: + f 6cc urdstumilthoccafu^w^^ooi, & * Oo 1 Xjj 292 DESERIEBUS 00 "7 00 fst lequirur, quod exifi-.nic laicre tcdlo Pirabol- +, & ■ abfrifla BG^, aut applicata GD 4, longiwdo Curva; Parabolics; BD a-querur + f — f-f- f — i+I &c - Cwcfl. Ex ferie collara rum XLU. Curvam Parabolicam eum Spatio Hjpeibolico inier Afymptotas comparandi modus innotcfcic. SufKcit monuille. LII. RtfltfnjTt Curxtm Lcgirttbmhtm ftr ftritm & aliltr, Fig. 6. InliRat axi S A r Curva Logarithmica CB cujus ordinata AB X i , fubungens A K X i , alia qurevis applicata RE ( t <) X = i ejusque elcmcnrum EF(i») 30'* j quterirur rcftifieatio portio- nis Curva; BE (B'). Quoniam per XLVII. elemenrum abfcifia; A R ( A O nempe FG (fO X ~% etit EG : (EF' + FG : ) OOitf + ^— 1 X^~^-* rft 1 , indeque clcmencum curvae EG ('») 30^-±-x (termini* fractionis pcr \Tt+Ti a^c-mulciplicatis) ^3±i_^ ao ,-?=£_=+ de quoium fummatione hic quieiirur. Prioris mcmbri incegrale puru m cft Vit + ii, quod ( ob primam tX AB x ■ ) indea Vi + ii decrefcere (erefcere) imeiligitur ad ufquc \U*+i*> adeo ut omniaejus decremenra ( incrementa ) huc quadrantia, fea s j^U fint x ^H 1 **"- VH+Ti ( V« + ii-V+Ji) Jioc efi, squalia diflerentia; duarum m B 8c E (') tangencium tecrarum BK &EN (<>). Poilerioris mcmbri ~r~pjj iniegtale, quoniam ica planum uon efl , praevia reduflione invdligare co- nor , eaque fimi'i huic ■ qua fupra Prop. L. pro Curva Loxodromi- ca fui ufiis, cum in elcmcncis analogiam qumdam obfervem. Po- no iraque primo z X " , eoque mediance ttansformo ~f--^~~ t - % 7ft^ff i tfcmde V**+W00? + Ji fiw/ X^f^-i inde- ZNFIX172 5. 2 PJ indeque elieio ($£&) =° 7*. 1 uod F* xlvii. elemtntnm efTe cognoico abfcilfc cujusdam in Logarithmrc.-i, quam tandcm ita dcrcrmino: Quoniam pos *- , &iXpti[[iX 0*=fj> " cut vitiffim * 30 i & quia prima * X AB X i, errr qua; huie refponder prima q X — bb + b ) rectifi- canda infervicntibus. Et quoniam pofita dirTcrentia inrcr AB &SC Cr.) Xx, rcregmentum axis AS (A') X>h*%~ 8- fumma criam pei fcriem repcrta. Additis itaque ambo- rum fummis fient omnia EG (■>•) fcu lorrqitudo cirrva: BE (B ') X V r+If = V i.i -f (t -M* 8 ~ + — 8 — &o XdiiTe- renti* t.wgcnrium BK & EN (") unl cum rciegmento axis A S (Ar), CUm nan rnnnii qiim'lMei furdt, ntim tjtnftnitnm , diftrtmUli- iw tdnn ,i vf.edenliim miih m rjf.m.i!ts njmf^imjii , tnq-it ft- riti reswni pejfm,ti alit fiAMt ncba mifitU rttnmniiim tjl ml «*ri- ittndmn frtftftmu , inur qu* ib uumftlitJiein (usm emment lnt-roola- «94 ZtESEXlEBUS tioncs Wallifiina;, vel Exaltario binomii ad pote/Uttm indcfini- tam , rcl Alfumtio fcrici fifta; inltar cjuaefitae , aia tanfimilu ful/jidti elu , qticntm pro rt iuu nktu unum nwic plntJ in ufum vtrli quennt. WM f*ucM etrum jpuimiii* ftfl gmertli* mnnulU in uno tlltrne exemfl* LIH. Qutntttttem qumumqiu furdan rel m*tm*tm in ftrttm in- fimum rntivumm anrenm ftr iiutrftlJthnts WnHifiaiM, Rcducatur quantitss rationaiis , cujus potcftas fraila five radix aut htus qmritur, ad frattionem hujus forma; (poncndo m, vel prima fctiei ftaftio, unicace minor efl majorve: Sic ukimus 296 DESERIEBUS ulcimus tecminus prim~ ferici y^ ^&c. nulluseft; nun Ss quincui jjTec,eciam hic forer quantus '—^ &c. ucpore cujus finguli fifloiw fingulis fiflotibus pra;cedencis cermini ordine fumtis func majores j quare &ucriusque produflum quanrum forer, np. i" j^Tp & c « □0 ( pcrmiftis alremarim ucriusque cafeoribus ) ' ' '°"^ r 00 ( ob numerarorcs omnes primum fcquentes , & denominacoces ulcimum prKcedentcs fe mutuo peeimentcs) 55 X o, quod ab- fucdum. Ultimus conrra tcrmiuus tciciar ierici &c- infinirus eft ; nam fi finitus efiec , etiam hic forer finicus *7 ~ ~ ~^ &c ucpote cujus finguli fadlores fingulis illius funt minores jquocirea&utrius- que produfcum finicum foret, nempe &c. in &C 30 t?].*4-V"- "—i 30 ( cie,mjcnci ' 3US £ muruo numeracoribus qui uhimum prcecedunc, & dcnominaroribus qui primum fcquuntur) ™ X =o , quod pariter abfurdum. L I V. Idcm pTfJlart pcr cxnlmknrm binmiiii ti poltfttitm mitfmi' Quanticas racionaJis, cujus porellas per feriem defiderarur, fir ex- preila per binomium i + » ( ponendo i > n ) . Hujus binomii potc- ftas indefinira p , ut jam paffim incer Geometras nocum , per feiiem exprimitui i + «» + e + a^- 1 n*+ ££=22± =* „« + &c, ubi pcrfpicuum eft, cjuod quotrescunque exponens poce- ft.uis p eft numecus intcger & pofitivus, fcrics neceiTario aliquando abrumpetur ; quandoquidem in concinuationc ultcciori coefficien- tlum p.p — i.p — l.&c. neceiTarib randeni dcvenierur ad p — fOOOJ -uod proin illum terminum & ab illo deinceps omnes evancfcere facit. S-.d quoties p numerus fr.'.ctus eft auc negativus, cocfficien- tcs nunquam in nibilum abibunt, ac i deo fe ries in infinicum ex- cutccC: qua lationc habecureK.gr. \'i + » ( ubi p valec * } 30 i + Digitized B/Google I N F I N I TI S. 257 « + i " — w + ~{~ s "■*.+ Sec. & \/oT^( ubi > valet -> J X i + f » — £ « fi + ,-xs » J — &c. & ^Jj- .(»bi/> notiC — — fB + ^nn — ^' fl f n' + ~^»' t -5ic. & paritet in canetis, Nota, qubd exaltaiio binomii ad pntc^atcm indcfinitam & in> terpolationis negocium rcrpfc in idcm recidune, unoque & eodem nituntut fundamento , quod confiftic in proprietate quadam nu- merorum figuratorum fupra jam pcelibara Propof XIX fed cu- jus demonftraeionemj ne hic nimii limus, in aliam occafionem re- ' fervamus. IV. Diurum qntmitaum mietermmam TiUlitnm twita *d atie- .rm ftr ftrkm txpnmere, tpt tffimit* feriti fi8e inpr gutfitt. fonatur alterutra indeterminararum x &y, quarum relacio ad fe invicem quaeritur, puta j, tequari ftriei *-\-ix + txx+ tx> +/**,&«. aut <+*** + <** -t-tx 6 ,c*c. aut *+i**+t*' + «x" , &c aut fimili , prout opus videbitur ; atquetuminquan. titatc vel iciiuatione propofica loco j fubilituatuc hac feries , nec non ioco ij & iiy\ &c. feriei dificrentiale aut differaitio-diffe- Tenciaie, &o quo fafto ex compaiatione fiomologorum termino- rum determinari poterunc jflumti cocffidentes », t, i, Bce. Se- .tjuuntuc Exempla: LVh Kmnt rtktinm iwiinatrm Owm Utftiu per ftritm, Fig.7. Fleflatur Eater in cutvararam A gR a patentia applicata in i, & ttahente juxta direceionem A Z ; Gttme 4 B vel Jt 2 X * , E vel P2j» x, ,IP vel Bf£pO;, StAQSO*.; o/ienfum eft in Aft.LipCtfi5i+. p. 17*. & itfpjf. p.JjS. naeuram hujus curva; «primi atquacione ^dOv - " »*— ' W*l u ' methodo Diophanti , qua inpraxed.part. oli fuimus , irrationalitatem rollere veUet, cetatem confumcret; cum deprerienfum fit i Geomctris,fumrnam vcl differenriara duorum bi- quadratoium, quilia elt **— x*, nunquam pOlTo conftituerc qua- Pp dratum: 2y8 DESERISSaS draram : Quate nobis tonfugiendum eft vel ad Iiiterpolatianes , vel ad indefinitam Potentiam binomii, hoc paflo : l.Mii. Interpreremur x* um per /, quam per n , & 001+i»* + j7*Ji s + 17^4*" + to. fii (moltiplicand. pet jcxjx) tf *^^ x**rf*+i*' i rf«+ ~*' 3 «'*+r 4 fa*' 4 ' < * + &C St integtando, -J- x> + ~f- + *" + &c feu denique ftrpplendo unrcawm , £ + J2£ -f- + 1 J 4 d i^ + S«-'«» n **- Onf, SumtaxX^Xi.nttota^ZXf + jTj+j^- + r. 4.'I., s + &Cl Conf. Lipt »<*?4- p. *74. & J X,*^ + ' i * , ' X;;^r~> adeoque JtX^ , Exponamus a* nunc pei i , nmic per w, 8c x ' per * , erit fc™^ *eu "J X V — 5; J ""de pei ' '" ' . DjgitizedbyCoogle tXFINITIS. z 99 >er LIIL fit v^fiw V^OO i+H|+^+^' + &c. & (muitiplic. perrfx) f^™ fcu ^=0 Jjc + ttt + ' ^7^8* + 'i' v '^"i r + Bic. tandemque lummando, * five -« £3° * + jjffc + ^g» + ..^;;^ + &C rdcm ctiain pcr LIV. fimili modo oftendetur. CoroB. Fafla * 30 4 X i , habetur tota A Qt 30 1 + j- f + + r ^'a'i; + &c - vId - Aa - t-ipC i«34. p. 17+. LVUI. Di/imrc Ihttiui pritt&ntiim firieritm. Fig. 7, Quoniam feries bis methodis rcperta; nimis lenti convergunt, non abs re erit, II modum oflcndam , quo levi labore fiimmrs ea- rum , quantum ad nliim fufficit, approximare & limites confti- tueic podimus. in eiemplum propofita: (int proxim* dute /eries, quibus exptimitur spplicata Elaftica: B R vel az s & longitudo ip- Ijus cutva: AR , nempe : 1 + ~- -f- --'-i -jy. ' ' .0- jjc, & 1 1 + I7J + rijTf + irt^l j + Sumo ouantitatcm , cu- jus integraJe habeii poflit , datis & » « quifc-m leiies propofitae fluxerunt, affinem, puta j , cujus integra- ]e eft — — ~ ~ , eamque pari methodo in feriem rcfolvo, & Griei terminis fumnutis pro 1 &Junitatem ponoj quo paflo le- riesemerget: J + ^|+ j-ii -fc ~^g^ + &e. aequalis proinde — — -- ^~ j4 X £ leu o. foooooo. Colligo jam fingula- rum ferierum terminos aliquot ab inirio in unam fiimmam ( rjuod expedite fit pei Logarithmos J ex.gr. decem primos terminos, qui collefli efficiunt in piima firie o. fioiffio: in fccunda fciic 1 , 3107187; in tertia 0. 4113014« Hujus igitur ichqui pofl Pp z 3 0Q D E SERTEBUS decimum termini ( ad complcndum \ fcu o. foooooo) confti- tuenr o. c8So9^6 , qui numems afkiitus fummr" 10 primoram tcr- minoram in pr. & fcc. ferie enhfet o. f9S; (46 & 1 . 30S8 173 >■ fitmmis totarum fcricrum julio minoics ,' ob iuigujds rcrtiae feiici teiminos minoies homologis reiniims rcliquarum. Deinde, quia undecimi teimini in tiibus irtis leriebus ltint liquet tcrmimim hunc in fcrie tertia ad eundem in leiic prima rc- ciproce ciTe ut-4; ad 44, & ad eundem in fecuudit uc 4.1 ad 44 ; teiminorum vcio leqrenti m iin^ulos iu certia lerie ad ejusdem ordinis rcrminos in rcliquis lcriebus habere rarionem majorem quim 4; ad 44, & quam 41 ad 44 : undc & fumma omnium fe- qucntium decimum in icctia ferie ad fummam omuium poll ded- mum in.ieliquis feriebus majorem rationem -habebir. Idcireb 11 fi»r, uc 4; ad 44,. nec non ut 41 ad 44, ita fiimma teiminoram poftdecimum in tertia ferie-, tiimiium q. 0880986, ad 0.0901474 & ad O t o94f448 ; erunt hi nnmeii majores fummis terminorum dccimum fequentium in prima & ftcunda lerie : quapropter fi ad- dantui fummis to prioram,qua; func O.fi02f6aj8: 1.1207187». cmnc quoque numeri provcnientcs o. 60040,-4 &. 1. jijitjf, majores fummis tocarum; leiieramv Repetti etgo funt limites,quibusfummieprim* Bilecundi fs- riei denniunturt limites iliius lunt o. f98jf46 & o. 6004034, hujus 1. 308817J & 1. Jijafijf : unde applicata B R vel az major ell quamo. f 98 , & minor qulm o. 601 ; ipfa vetb curva AR > 1. 108 , & arithmica PCQj cujus axis AD, fubtan- gens eonftans 00 1, appllcaia £CXi, Logarithmus datus Bi (Bi) Xx.ejusque Numeius 10 (>•) X/;crit Ix generali curvamm na- tura 9<;.rf.r::_ r .( > adeoqu e _ r x8'^. Fiat juxta pra;(criptum Prop. LV.yOOi+tx+cxx + cxi+fx* &e. & ditferentiando, £xi-f-»(*-H'**+4./"*' &c. eiitque ! + ** + (** + **' +/**,&c (x;-x8 7f-)x8*'8*<<*8f<<*-*8-t/'*' 8 Ja ,, * 4 > &c & fafla comparatione homologorum terminorurtr diciemr^xS ,V(x8 X ~,,t (X 8 ~ )X 8 r^-, * /(30 8 Ti ) ^fTTirt' ""'k valoribas iftis coefficientium *, r, *, &c, fubrtiturs refultac J30i8;+n;8 —773 + 8 &c Conf^ Aft. Lipf. i6>j. p. 173. Alittr Utm iBtqnr iiftmnisiiuin tttmimtule ; Cbncipiatur Log-us 1 BI(E>) diVifus in paitesquotlibet iqoales BB, EF.FG, &c. (b..,*. 4*, &c> quarum numerus fit n, & fingula: dicantur d, fic uc ni fit X BrfB') X*. Tum appficatis cuiva; rctlis totidem BK, F£, GM,&e. ^,&c ) jungwirui extiemitates c &c (»)dua- tsm BC, EK (in)per reframCK(C"),firque axis portio inter pro- ttuiram CK (c.) & appliearam B c intercepta X f ; quo pafto pro- ptei triangul* firnilia fiet 1 ,> (5 c) : : ( 8 1 8 ; 00 « K ( ) • Er Fp j qaoniam Digitized by GoOgle joa DESESIESUS ejuoniam obisnujles BE, EF, FG, Sfc (s p;-, Src,)ipfa: BC, EK 1 , FL, &c. (iiC, &c.) in cominua func proponioue, carumque prima BCX ]>idcired dclignabit Fi. ( pt;fecund.mipoteItatem,(;M (v?) (ereiam, RW(;.Jquaittm,&c. tande mque ulrima lo (••) feu j ipfam n potefUtcm applicatse EK (<«) feu i -J (pro numcro vid, pjicieularum, in quas divifc efl BI (B');q\ue quidem poteflasper LIV. >tpm «, 30,87'+ "-rSr* 8 + "T.TiV* 8 8tc. Qtt&d (i jim numcrus particularum n ponatuv infimrns, piodufla CK (c«J abibk in tangentem, & ipfa r in fubtangentem Lo?;aritrimica:, atque pr*terca numeri i, 1,3,6«. evanelcent praen, fic uc 11 — 1, n— a, n — 3, cantundem vaJeant ac n : quare tum fice 7 30 , 8 7 + Sg! 8 + 8 Stt. 30 (p.op*, ,1 =0 «)' 8 ! ,+ rfr. 8 rrrs + r^b? 8 » M. Nota, quod exiflente i > i, termini quidem leriei aliquous- quc cxefcunt, tandem camen decretcere pedetcntim occipiunt, ul- timoque vetgunt in nihilum, Nam iumtis ab initio w teiminjs , erit ex lege progreflionis fumcoium ultimus — > & ftqaens ultimum - ; adeoque ratio illius ad tionc; Ut i«t ad x: unde cum latio t ad x decerminata lit, numerus vero terminoium m ufque & ufque major poflir accipi , ratio quoque mi ad x tandem quavis dau major fiec Lxiilente aucem IX vel < t , feiies iila , & alia: hujus generis , flatim ab initio eelcnimi convcrgunt, eoque tekrius quo minor x : unde difcimus quod mul- to commodius & minori cum labore Logarirhmorum Canon ador- nari poflic, fi per hanc Propof, ex Log-is dacis Numeri , qulm li viciiTim pcr XLVII, ex Numeris datisLog-i quaeranrur. Quan- quam & illic compendium fefe nobis offent non eontemncndum, ouod quia in difla Propof. intaclum pneteriit, breviter hic indi- caudum reflat : Quoniain pofiijs in Logaiithmica (Fig. fi.) ^B 20-, □igitized b/Cooglc IXflNITIS. joj 00«) fubtang. A KX», BI00 & «'»'1 adeoque R IX * — <', & ( t<, }i| |<, &c multfj femper cclcrius prior feries converget pofiaioic ; unde plurimum hhoris iti practica cffeftione log-orum refcindi poterit, fi ioco hujus illa furrogetur, cx.gr, li (facla iDD") loeo feiici 1 — £ +f — &e - noc eft > loco ih + if+ + rs+?h + &e. fubltituatur — + ^ + ^L + J-g + ^ + &c. quippe per cujus primos 18. terminos tantundem appioiimatur , rpiantum pcr mille terminos altetius ; quod ipfum etum ad Co- rolLj, XLVII. in fubrsngcme Log-micie definienda obfervabi- tnr. Sed rei Ltiliilimx nbcriorem cxplieationem anguftis pagina: non permjtttt, Sibal. Si fumma qDidam ttfcunia; fcenori elocata llt, ea legc> nt lingulis momentis pars proportionalis ufurai annua; in fortem computetur ; exponatur aucem ipla fots per CC leu 1, tempus an- ruum per BI feu * divifum in punftis E, F, G, &c. in momenta. innumen acqualia, atque ufura annua per -j j inventa feries 1+ - +i^«i+ri^a'+ noceft > C cxplieata forte ip«<, & nfura ~ per i) E SERIEEUS /ignificabirque i+^ leu applieat» £K fortcm ditla parre proporrio- nali ufim auftam ; unde (brs au&a BK feewiiio momenro pariet FL, & hic paiitcr rcrlio momcnto parict G M, & fic porro, pro- pter ic, £K , F£, CAl, &c. ~- . Quare pofircma applicata JO, qnam leries invcnra cxprimic, denotabit valoiem cjus, quod ctcdi- toTi elaplo toto anno debeiur. Conf' Afi.Lipf. 1690. p. zzi. LX. \urtnm*rt*m jpmi timprthtnfi i Curva gcnhrite EUJIitt , fiu qu* tnlmiint fni E/j/?;i4>u itfaiki. Fig.7. Defciibatur Ebftica AQRex evolutione Curvae M KT, & fit filum evolvens QJi (DG), quod produirum fceei axem in f; ponaiuique, ■ ut fupra, R Z M < 1 P £.00 ft, XPOD). Quoniam ex Aft.Lipf. i6s>4. p. Z7j. itianifcftum eft, cjubd g»X| Hf» crit & NH X^ Xi*, Sc $S ZD% FQJX>5 vcl MK eft i \'n — Piius aurem ts *^£ =f- t cum lure fummaii ncqueat, liiblata iirationalitate in feriem convertetur, ot fcquitur. . Ponatur r 1 & Q " ellic l ue 4 ,7J;V-', 4 30 'aT^ *, Jam quia exiften- te maj:imaxX4,ipia quoque tX4,6c illa decrcfcenre ereicit ha>c, 1 N F I N 17 I S. J05 ftatuatur iSK+i, ut (lt X X " in ™ X ~ -iit T— 'iT+Tf — p« XXXVII: undcMafum- matione habctur S-J-f- (X B-~£~-~., diffimulato ncmpe figuo — , quod hic nota tantum efl rcrpcdtiv-i dccrementi ipfkrum x ) X " in '- — ~i + ~lj ~" /* + +I& C - demtogue S~~^- X i 3 — + &c. — i \' . * — x* fpatio nempe qua;fito MSHZ, Et quia, fumta 11X , fetics '- — — &e. ajquaturfcriei ^+2^ + jil _j_g; C- peiAnnot. prae. PiopoC idcirco dictum fpatium IINHZ quoquc fic expiimetur, ''* Now , fi ftat uantur * * x 8 , & 1 X - , «deoque t C- + 0 X 1 -»' &x (V^p-J w-^Vf. &« (HfrJ Xi-: hoe eft, fi eonftru£to fuper JIZ, femifle ipfius KZ, femicirculo infcribatur Triangulum Ifofccles .iicz, cujus — us MC unitatcm defirjnct , at- que Curvse JlNr applicetur KH (i-sO X \'y , pradiftum ipa. tium MffHX fiet X 1 — i+ j — s + f — &C — i t velctiam 30 iTi + -H + ri + ♦H* + 77» + &c * — r • Conf ' Ait ' Ltpf. ifip4. p. 17J. cwofl, 1, Quoniam ex iis, quse loc. modo cic. Aflorum docui- rous.eolligi potcfl,quodf)[;x7, & gN COf iy & Q^cj d j>_fc_ Dg_fcu rfiOO r-'~~^-=; fcquitur, triangulum qg d (Qp in _!- QK)' X J 4 ^_ ■ , & perconfequens omnia trianguu QG D feu fpatium S JIKQR X S , - '^1 4 X(ut oflenfum) (patio A1N//Z-}- S -^v^^: unde eum S fc u £ V**— ** cyprimat qnstirantcm fpa- riiElaftici !>gj!Z (ut pet feliquet), condudimus, fpatium RMXQR excedere aream MSHZ quarta paite iplius P QR Z. Corofl, e. Quia differentiale ^j^, ad quod leduximus elcmen* tum fpatii MKHZ vci tt M KQK , clemenmm quoquc denotat fpatii hypcrbolici inter afjmprotas , cujus abfcilla a cairio eft X <, ipfa vcro i in alTumta hypothefi V'''' — ** 00-~ — propter x dc- srefccntem ad nihilum excrcfcat in injtnitum > & (parinm hyperboli- cum in infinitom proteufum fit iniiniium ; idcirco & fparium totum imerminarum genitricis Elaftica: UKTXZ feu 3HTXH infinitum eiit. Vid.Adt.Lipf. loc. cir. T TT non-finitam Scricm finita cocrcct, Summula, & in nullo limite limcs adeft i Sic modico immenfi veftigia Numinis harcnt Corpore, & angufto limite limcs abeft.. ' Cerncrc m immenlb parvum, dic, quanta voluptas! ln parvo immcnfum ccrncrc, quanta,Dcum! LETTRE