‘.■■A* ■ . • IVfi&ggiCr J- . • ■ ♦ • t ' .-.i V,' » i -- . - i _ _ i ■ V y . . ' 1 ■i . •> v M *vV ' <: m . t.t ,t •fc ' V , ,< ■ " 'p:& '■ ■ -£r. * -v ^ • - ; ■*?,-' • . ‘•'f' ■ ‘ • t :■•.*♦' "v • ' •• l*" *,.*£' '■ ■ . -il^r > ...v - frTMKallllEro.-:- ; wj; ^ '•jtS *- \ ) The Dibner Library of the History of Science and Technology SMITHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES LVv # HIERONYMI CAR DANI, PR-ffiS TANTIS SIMI MATHE- M A T I C I, PHILOSOPHI, AC MEDICI, ARTIS MAGN/E, SIVE DE REGVLIS ALGEBRAICIS, Libamus. Qui & totius operis de Arithmetica, quod OPVS PERFECTVM infcripiit,cfh'n ordine Decimus, HAbcsin hoc libro, ftudiofe Leclor,ReguTas Algebrafeas ('Itali, dela Cof (a uocant) nouis adinuentionibus ,ac demonftrationibus ab Authore ita iocupletatas.ut pro pauculis antea uulgo tritis, iam ieptuaginta euaferint^Ne:* cp iblum , ubi unus numerus alteri, aut duo uni,uerum etiam, ubi duo duobus, aut tres uni ^quales fuerint, nodum explicant* Hunc ant librum ideo feors fim edere placuit, ut hoc abftruiiisimo, & plane inexhaufto totius Arithmeti ae thefauro in lucem eruto , dC quafi in theatro quodam omnibus ad fpetflan dumexpoiito, Lecflores incitaretur,ut reliquos Operis Perfedi libros, qui per Tomos edentur* tanto auidius ampledantur* ac minore faftidio perdifcant» HIERONYMVS CARDANV8 MBDICVS ANDREJE Ofiandro uiro eruditifs. .S* P* D* IHIL tam animo ttncp uerfaui, Andrea do&ifs* quam ut eorum,qui de bonis licetis bene merentur, nomina pofferitati commendarem* Tumuero prte* cipuam quandam diligentiam adieci,fi tales cum eruditione humanitatem conia nxiffent . Quam* obrem cum tenon folum Hebraearum, Graecarum, ac Latinarum literarum fcicntiam haud mediocrem , fed etiam Mathematica* rum habere intelligam, humamfsimum quocp femper expertus fim , uifum eft, hoc meum opus, nulli melius polle dedicari, quam tU bi,a quo pofsit &C emendari, (0 manus mea imperium mentis tranfe grefla fefelliffet) Sc legi cum uoluptate, 8c intelligi , tum uero etiam cum authoritate commendari. Hoc exemplum , nili fallor , & alrj fe* qucntur,ac opera fiua,nonnifi in ea quam tradtant arte eruditis de* dicabut. Accipe ergo amoris erga te mei,& offici) in me tui,tum prae clara: limul eruditionis tuse perpetuum teftimonium. Et quancp tu talis fis, quem tua uirtus omnibus notum faciat,tamen cum Alexan* der,& Grfar,fa XXV U De regulis maioribus lingularibus» fol.4^ XXVII. De tranfitu' capituli particularis in capitiilum particulare. foL^o XXV II L De operationibus radicum pronicarum feti mix* tarum Sc allcllarum. foL f 1 XXIX. De regula modi. fol.^x XXX. De regula aurea. ‘foL^; XXXI. De regula magna. foL 5*4 XXXII. De regula aequalis politionis. foLfd X X X 1 i I. De regula inaequaliter ponendi feu propor* tionis. 1 fol.?7 X XX’I III. De regula medi)» fo l.SS> XXXV. De regula duplici aggregati. ; fol.tfo X X X V I. De regula liberae politionis. foL <54 X X X V 1 1. De regula triplici falfum ponendi. foL 6$ X X X V I II. De regula duplici,qua excidunt partes multi* plicando. fo 1.66 XXXIX. De regula duplici, qua per iteratam politionem in uenimus ignotam qnanritate,ubi habentur 20 capitula alia generalia qd'qd. & cjd.& rerum & numeri. fol.72 X L* De modis fuppoliti onum generalium ad arte ma* gnam pertinentibus,^ regulis quae extra or di* nem funt, tamen animationibus alijs diucril ge neris ab his quae dictae funt. fol.7p Errata quaedam fic corrigito* FoL T* facie 2. uerfu 28. lege 6 quadratis p: 3. FoL 8. facie 2. uerlii ultimo, reliquas. FoL 9* facie 2. uerlii 34. fuperfidem» ARS MAGNA* OVAlYt VVLGO COSSAM VOCANT, SIVE RE# GVLAS ALG EBRAICAJ, PER D» HlERONYMVM Cardanum in Quadraginta Capitula redacda , 8c ed Liber Decimus fui Arithmeticae* De duabus aequationibus in fingulis capitulis* Gap* I* R C ars olim i Mahomete, Molis Arabis filio initi s um fump fit. Etenim huius rei locuples teftis Leonar tus Pifauriends ed. Reliquit aute capitula quatuor, cum fuis demondrationibus , quas nos locis fuis ai* fcribemus * Pod multa nero temporum interualla, tria capitula deriuatiua addita illis funt , incerto au* thore, quae tamen cum principalibus, a Luca Pacciok) polita funt*. Demum etiam ex primis,alia tria deriuatiua, a quodam ignorouiro iiiuentalegi,haec tamen minime in lucem prodierant,cum edent alfjs longe utiliora,nam cubi numeri Sc cubi quadrati acdimatione do* cebant. Verum temporibus nodris, Scipio Ferreus Bononienfis, ca* jpitulum cubi 8c rerum numero aequalium inuenit,rem fane pulchram 8C admirabfiem,cum omnem humanam fubrilicatem, omnis ingenrj mortalis claritatem ars hpc fuperet,donum profetfto celede, cxperi* mentum autem uirtutis animorum,atcp adeo illudre,ut qui haec atri* gerit, nihil no intelligere poffe fe credat. Huius pmularioe Nicolaus Tartalea Brixellenfis,amicus noder, cu in ccrtame cfi illius difcipulo Antonio Maria Florido uemdct,capitulum idem, ne uinceretur,in* dcnit, qui mihi ipfum multis precibus exoratus tradidit. Deceptus enim ego uerbis Lucte Paccioli , qui ultra fua capitula, generale u Hir aliud ede pode negat, quancp tot iam antea rebus a me inuentis, fub inanibus edet,dcfperabam tamen inuenire,quod quaerere non aude* \\ bam Inde autem,illo habito,demondratione ucnatus, intellexi com* plura aliapodc haberi. Aceo dudio,au«acpiam coniidenti^gaer me partim,ac etiam aliqua per Ludouicum Ferrarium, olim alumnum hodrum,inueni. Porro quae ab his inuenta funt, illorum nominibus decorabuntur,c2ctera,quar nomine carent, nodra funt. At etiam de* mondrationes,praeter tres Mahomeris,& duas Lodouici,omnes no* Rrx funt,Singulaecp capitibus fuis praeponentur,inde regula addita, fub fj cietur experirnetiim,Et quancp longus fermo de his haberi pof* A | fet. Hieronymi Cardani fet, ac innumera capitulorum feries fubiungi,finem tn exquifitx con fideradom in cubo fiademus,cxtera,eria fi generaliter, qli tamen per tranlen Am tranantes * nancp cu politio lineam, qdratum fuperfide, cubus corpus folidu referat,nx utiep fiultu fuerit, nos ultra progre# di, quo naturae no licet» Itacp fatis jdede docuiffe iiidebitur,qui oia, qux ufqj ad cubum funt,tradickrit,reliq qux adqdmus , quali coa# di aut incitati,no ultra tradimus» In omnibus aure praecedentium, ac maxime libroru tertrj ac quarri,memmiffe operxprecium fuerit , ne uel iterum tradendo nugax efficiar, aut obfcurior prxtermittendov 2 lam em docui Ile nos memini mus,qup. lint impares,aut pares de# nominationes» Nancp qdratum,&: qdratum qdrati , ciibumtp qua# drati,ac deinceps una femperinfermilff. Pares, rem aut feu politio# nem,cubum,primum ac fecundum nomen,impares uocamus deno# minationes. At uero quod tam ex quam ex m: y ,fit o,quoniam mi nus in minus dudu ^pducit plus. At in imparibus denominarionib9 eade feruatur natura:nec plus nili ex uero numero fiet: nec cubus, cu# ius xfiimatio fua fit m:feu quod dicimus debitu, ex politione ulla nu meri ueri ^pduci potefffiam meminiffe oportet dilucidius explicatu* i Si igitur par denominario,numero xqualis fit,rd xfiimatio du* plex efi,m;&p;akeracj3 alteri xqlis,uelut,fi qdratum xquetur p, res cif ; ,uel $ m:8c (i sequetur 1 d,res efi 4,uel m: fi qdratum qdra ri xquetur 8 1 , rei gfiimatio efi $,uel m: $ .Coponere autem pares de# nominationes no efi admodum neceffarium,quiaqd. quadratum ad deriuariua capitula pertinet,uerii fi diligenter hxc,qux fcribam,ani# maduerterisjcu hac regula etiam noto tuofatisfacics5nam cum qdra tum & qdtlqdratu numero xquanmr,eadem erit ratio,qug in fimpll ci, duplex aquatio fcilicet,akera p:altera mnnuicemq? pqles,iielut 1» qduqdratum p: $ qdraris xquanfur 28,pofirio ualet 2 uel 2 m: Atue ro,fi qdtlqdratu &: numerus,equalia fintqdraris,demonfirabimus ft ne in capitulo onecp uera neq? ficta» Cum uero duae denominationes cum numero comparantur, aut $ ambae impares, &C comparatio fiet ad extremam,uel ad mediam, nam de ea quae fit ad numcrum,iam in praecedenti regula dicftum ed , uel altera impar,altera par,nam de utraq? pari,in tertia regula generali* ter diximus. Si igitur extrema denominatio,cubus fcilicet, cunume* ro mediae,id ed politionibus comparetur, iride an ex duabus tertqs numeri Rerum in radicem tertiae partis eiufdem numeri fiat ducena do,numerus propofitus aut maior , aut minor, ii igitur fiatnumerus propodtus praecife,acdimatio rei ed duplex,& una uera,fcilicet ip Fa,qnae ducia ed, Exemplum, cubus p: 1 <5,aequatur 1 2 politionibus, ducto igitur 8, qui edyde 1 2, numero rerum,in 2 radicem 4,qui ed y numeri reru, fit 1 ^numerus aequationis propofitus, aedimario igi* tur ed 2, radix 4*& alia ed pdimario ficfla, 8C ed correfpondens uerp, cubi aequalis eifdem rebus,& eidem numero, ut in exemplo, fi cubus sequatur 1 2 rebus, p: 1 6 numero, uera aedimatio ed 4,1'gitur fi cubus p: j 6 aquatur 1 2 pofitionibus^dimatio rei ed 111:4, nam 1 z res funt 111:48,8^ cubus 111:4 m:^4,cui addito 1 <5, fit m; 48, Quod fi pro* ducdum ex 4 numeri rerum in m tertiae parris eiufdem numerffupe* ret numera aequationis propofitihtunc capitulum habebit tres aequa rionesjduas ueras,& tertiam ficdam,Exemplu, ? cubus p:p, equetur 1 2 rebus,una aequationum uera ed ^,alia ne ^ |m: 1 i tertiam ficda cx his femper aggregatiir,& refpondet acdimariom cubi pqualis cif* dem rebus & eidem numero uerae,& ed ne p: 1 — & ita reliqua fi* cfta,de qua diximus,in alio exeplo , aggregatur ex duabus ueris, fecf quia uerae funtinuice aequales,ideo ficda femper dupla ed uerae. Ma nifedum edigitur,qudd falfae aequationes feu ficdae , capituli cubi Sc numeri aequalium rebus,refjpondent aequationibus ueris capituli cu* bi aequa* Hieronymi Cardani hi ecqualis rebus Se numero,ub i res & numerus fint ide. At uero ubi ex tali multiplicatione stertite partis numeri rerum , in duas tertias eiufdem numeri Hat minus numero propofito,tuc nulla erit aequatio uera&d una fida,xqualis uerx capituli cubi ecqualis totidem rebus & eide numero,uelut i cubus p;2i aequatur 2 rebus, quancp careat uera equationc,fida tamen eft m; ; , & hxc eft scftimatio uera cubi x* qualis duabus rebus ac numero uiginti uno* 6 Ex bis non difficile eft uenari,quot aquationes habeat capitulu cubi xqualis rebus & numero. Si igitur ex-y numeri rerum in radi* cem tertiae partis eiufdem,fit numerus propofitus , capitulum habet duas xquationes,ueram aequalem fidae praecedentis regulae , 3c fida aequalem uerx,ideo uera eft dupla fidae, quia ibidem fida eft dupla uerae,ut 1 cubus aequatur 1 2 rebus & 1 6 numero , aequatio uera eft 4 3& fida eft m; 2, quia fi 1 cubus p; 1 ^aequatur 1 2 pofitionibus,aefti matio uera eft 2,8^ fida 111:4. Quod fi cx dida multiplicatione,pro* ueniat plus numero xquationis,xftimatia uera erit una, refpondens falfx prxcedcntis regulx,& falfa duplex, u tracp refpondens uerx, prxcedcntis regulx,ut fi cubus aequetur 1 2 pofitionibus p:p,xftima tio falfa utraq? eft3 f ^-m; s m; & $ m:& uera eft ^ ^ p: 1 & it a uides, quali ter falfx neris, & uerx falfis fibi inuicem refpondent, ex ambabus autem falfis coflatur uera,nam ex m $ —m: 1 -• & £,fit nz f \ p: 1 —.Quod fi ex tali produdo fiat minus numero xqtionis,xfti inatio eft una tantu,& uera,ficut 111 precedemi regula eft una tantu,& fida,uelut fi cubus xqlis fit duabus rebus & 2 1 numero,xquatio eft 3 ,ficut in cubo p: 21 xquali duabus rebus xftimatio fida eft m:$* y In capitulis aut in quibus aequantur inuicem numerus 8c denomi* natio par& impar,aut par eft extrema,ut quando qdm Sc pofitio, 8>C numerus sequantur inuicem aut denominatio extrema eft impar,ut quando cubus & qdm xquantur numero, fi igitur qdm xquatur pofi* tionibus & numero, habebit duas xquationes,unam ueram xqlem fi dx,capituli qdrati 3c reruearundem xqlium eide numero , 8c aliam fidam pqlem uere alterius capituli.Exemplu,Si qdm & 4 politiones, aequantur 21 ,xftimatio uera eft :?,& fida m: 7 , & fi qdm xquatur 4 pofitionibus,& 21 ,pftimatio uera eft fidam:^,ideo habitis ue* ris, mutuo habentur fidx, quemadmodum in praecedenti regula,fed diuerfo modo,nam hic extrema extremis,ibi media extremis compa rantur.Nam ibi capitulum cubi Sc numeri aeqlis rebus, coparatur ca pitulo cubi pqualis rebus & numero,hic capitulum qdrati 8c rerum aequalium numero* coparatur capitulo qd*1 xqlis rebus & numero* De Arithmetica Lib; j . At quando quadratu Sc numerus sequantur rebus, & eafus eft pofs h bilis, tunc funt duae folutiones uerae, ut dicendo quadm p; 1 2* sequam tur 7 pof b7,pofitio poteft efte4*uel etiam $ * nam in utrocp uerifi# catur, nifi quando numerus eft aequalis quadrato dimidq numeri ra# dicum,nam tunc folum eft una £quatio,fcilicet dimidium numeri ipfa rum radicuJn hoc autem capitulo nuncp poteft efle folutio fida, nec aequatio per minus* fed ubi eft folutio per uerum numerum , eft du# plex,ubi caret folutione uera,no tamen magis poteft folui per sequar tionem fidarm Si uero aquatio quaeratur in capitulis cubi,quadratorum,&: nume $ ri,tunefi cubus aequatur quadratis Sc numero,tunc eft una tantum fo ■; lutio uera,uelut fi dicam , cubus aequatur tribus quadratis p; 1 6* res ualet 4* Sc non poteft alia inueriiri» notandv m.Iii omnibus autem capitulis in quibus eft unatan# HOt®* tum folutio,aequatio eft facilior inuentu,& nitidior , uelut in capitulo cubi Sc rerum aequalium numero ,& cubi ecqualis quadrato Sc nume* ro,& in capitulo cubi aequalis rebus Sc numero,ubi produdio illa ex ^|~ nUmeri in re tertiae partis eft minor numero* Idem dico,ubi cubus cum numero aequatur rebus , Sc non poteft haberi nifi fida aequatio* reliquae autem in quibus multiplex eft aeftimatio rei, funt difficiliores Sc confufae* Si igitur cubus Sc quadratum, aequantur numero , tunc aeftimatio rei eft una tantu per plus,ubi ex — numeri quadn in quadratum dua# rum tertiarum eiufdem numeri fiat minus numero aequationis,& hxc aeftimatio eadem eft fidae , correfpondenti Capitulo cubi Sc numeri aequalium quadratis fub eadem quantitate* Exemplu * Cubus Sc tria quadrata aequantur 20, tunc quia ex 1 tertia parte nnmeri quadrato# < rum, in 4 quadratu duarum tertiarum fit minus quam 20, dico quod non eft nifi' una oequatio',& res ualet 2 ,& hpc eft aeftimatio per m: cu# bip:20 , pqualis tribus quadratis* Vbi uero ex ea multipiicatioe talis numerus pofsit produci,erit una aeftimatio Uera,& duae fidae,&: uera correfpondebit fidp alterius capituli,& rurfus fidae Ueris*Exemplu, fi dico,cubus Sc 1 1 quadrata aequantur 7 2, res eft R2 40 m:4,pro ue# ra aeftimatione,fed pro fida eft f m: uel rz 40 p:4 m;Et fi cubus cum 72 aequalis fit 1 1 quadratis,aeftimationes uerae funt |*uel 3240^:4* & fida eft n* 40 111:4 m:ldeo quaerendo fidam femper quaerimus ue# ram3& correfpondentem alterius capituli* Notum eft autem ex hoc , quod capitula quaedam habent duas, nofV quaedam unam aeftimationem,& quando habet tres , in una parte ca# B pituli, ~ H * ERO N- YMI ?0AR D AN I pimliahabcnt poff modum unam tantum in reliqua , uelut capitulurii cubi aequalis rebus & numero in parte inferiore, 8c capitulum eubi quadratorupqualium numero,& capitulum cubi 8>C numeri pqualium quadratis aut rebus,nam in una parte habent tres aequationes,in alia unam tantum,& fimiliter capitulum quad' quadrati Sc numeri aequae lium quadrato: in una parte habet quatuor aequationes, in alia poft* modum nullam, quaedam uero habent duas per totum , ut capitulum quadrati & rerum aequalium numero, aut capitulum quadrati aequae lis rebus &numero,quae uero habent unam , funt,ut capitulum cubi & rerum aequalium numero , Sc capitulum quadrati &C numeri aequa* lium rebus , quod habet duas aequationes in una parte , in alia poff* modum nullam* Et liias, quod aequationes capitulorum,cubi & quadratorum pqua lium numero, item cubi & numeri aequalium quadratis,fi'c fe habent, quod differentia aequationum uerarum & fictarum femper elf nume rus quadratorum, uelut, fi cubus & 72 aequantur 1 1 quadratis,aequa tio fida eif 1^ 40 m:4,uerae funt F£ 40 p:-f*& $ * differentia,^ 40 m; 4 & 7 p:ne 40, elf 1 1 numerus quadratorum ita , li cubus 3c 1 1 quadrata aequentur 7 2 numero* In his autem capitulis,quae duplici denominatione , impari & una pari ac numero conffant,fi' cubus Sc res,aequalcs imt,quadratis & nu mero, aequationes poffunt cfle tres , & omnes uerae , &C nulla fida, quia ut didum elf»miniis cum ad fblidum deducitur, fit minus,& ita minus -aequale cflet plus, quod efTe non poteff, Vbi uero cubus,quadratu, res, aequales fint numero, tunc tres etiam erunt aequaticnes,altera ptduae m:& hoc, fi fub eifdem deno* minationibus quadrata aequari poffunt rebus numero & cubo , SC aequationes uerae hic,funt fidae in illo exemplo , 1 cub? p: <> quadm, y rebus, pquatur 1 S,tunc rei uera aeffimatio habetur ex capitulo fuo,de inde habet aeffimationes fidas capituli, i cub* p: $ rebus p: 1 8 aequa* lium 6 quadratis,& una earum elf $,alia p; i~, igitur m; uelm: r^8-qrp: i~-* elf aelfimatio fida , 1 cub* p: 6 quadtls p: y pof” aequalium 1 $.8C cum hoc eff etiam tertia aequatio uera* Ex hoc habentur tres aequationes capituli, cubi, rerum , Sc nume* ri, aequalium quadratis,ubi aequatio pofsibilis , cognofcitur aute hoc ex fuis capitulis,earum igitur duae uerae funt & aequales, ut didir eff, aequationibus capituli totidem quadratoru Sc rerum & cubi aequalia numero eidem, ut in exemplo dido,tertia autem uerae refpondet alre rius capituli,& df fida,ideo aequatio capituli j cubl p;<5 quad*' 8 p: y De Arithmetica L?b; xv 6 pof ucra eft aequatio per m: capituli, i cubl p: $ rebus p: 1 8 xqukUfi 6 quadratis* Atubi quadratorum numerus minor fit quam ut pofsit aequari cubo rebus St numero,in capitulo cubi quadratoru rerum se** qualium numero, tunc una eft aequatio uera nulla fida ,at in capitulo quadratorum aequalium cubo rebus St numero,una fida, & nulla ue ra,uelut dicendo, i cub.p; i quadtop; 2 rebus sequantur i6,reiuera aefiimatio eft 23St haec eft fida aequatio cubi St duarum rerum St § 6 aequalium i quadt0. Manifeftu igitur eft, capitula cubi, quadratoru, rerum,aequalium numero; etiam cubi rerum St numeri, aequaliu qua* dratis inuicem fibi refpondere* Pariter capitulum cubi,aequalis quadratis, rebus, St numero , re^ fponckt capitulo, cubi , quadratorum, St numeri , sequalium rebus, Ideocg ubi res admodu pauce funt, efi: aequatio una fida, aequalis ue^ rae correfpondenti alterius capituli cubi aequalis totidem quadratis, rebus St nu mero. Exemplu* Si cubus aequa lis fit 2quadm i pof oni numero,res ualet $,nec plus aut minus,quia fi cubus St 2 quadta St 6 numems,aequentur uni pofitioni,nulla poteft aequatio uera efie , fed fida erit m; $ ♦ quae erat uera in alio capitulo* Quod fi res tot fint,u£ capitulum cubi,quadratorum,ntimeri,aequalium rebus,pofsit habe^ re aequationem ueram, tunc aequatio uera duplex erit,& una fida, correfpondentes duabus fidis, & uni uerae alterius capituli.Exem^ plu* Si cubus St $ quadta St 6 numerus,aequales fint 20 rebus, duae erunt aequationes uerae , fcilicet $ , St 1 1 m: St una fida , fc Hi* cet n>i 1 p:$ m; Igitur sefiimatio cubi, aequalis $ qdt,s,20 reb* 6 nu* mero,uera eft,ne n p:$,& duae fidae erunt, $ m:&j^ 1 1 m:$ m;* Eadem ratione capitula cubi St quadratoru aequalium rebus St numero,& cubi ac numeri aequaliu qdtls St rebus,fibi inuice reipon* 1 dent. Vbi igitur capitulum cubi & numeri aequalium rebus & qdra* tis no habet aequationem ueram,habebit unam tantum fidam, aequa lem uerse alterius capituli.Exemplum. 1 cubus p;72,aequatur 6 qua dratis p; 3 rebus, rei fida aefiimatio efi , m: $ , & haec eft uera , unius \\ cubi St 6 quadratorum aequalium $ rebus St 72, Et ficut capitulum 1 cubl p: 7 2 aequalium 6 qdtls p: $ rebus,caret uera aeftimatione,fic ca pitulu 1 cubi p: 6 quadratis aequaliu ^ rebus p; 7 2, caret fida, atubi capitulum cubi St numeri sequalium quadratis St rebus habet neram aeftimationem,habebit duplicem , St unam fidam , correfpondentes duabus fidis,& uni uerae alterius capituli. Exemplu, cubus p;4 aeq* lis fit $ qdt,s p; f rebus,tunc uerae aeftimationes funt 4, uel ne i-£- m: -™-,fida uero eft,ne 1 p; haec eft uera aefiimatio capituli cu B z bi f X *! c -* B fg; G £ Hl E R O H *r M i Caudani "fci & ^quadratorum sequaliu <> rebus Sc 4 tiumero,&: reBqu» duae, feilicet 4 Sc & 1 ■£- m:-|-funt m; in eodem cafc Sc fidae* Eui etiam manifeftum,quod fi qd"qdta Sc res & numerus compar f entur,regula feptima in eis praedfe locum habebit,ficut in quadrato rebus & numero, conferendo capitula capitulis , eadem ratio in reld quis deriuatiuis. Demonstratio» Et iam oportunum eft,ut oftendamus hxc demonftratione, quod etia in toto hoc libro faduri fumus, ut rebus ta admirabilibus, ultra experientiam , fidei ratio accedat* Sit igitur gratia exempli, a b cubus, cu b c numero aequalis b e quad*15 cum e f re# bus,& fit h xftimatio uera , quia igitur ex fuppofito , a c aequatur d f, fiat b g seqlis a B,quia igitur d e fuperat a b, in g e, Sc b c eft xqualis g f,cx comuni animi fententia,erit b c,maior f e in g e, Sc qlis excefliis d e fuper a b, talis b c,fuper E f* Ponat igitur h minus, & fida aequatio, erit igitur A b Sc e F,m;fed d e ,& b C;,remanentp;qa igitur differen tia ab& d E,eft g e9 8c differetia bc&e F,eft etiam g e ,& cantu efi detrahere a b ex d e, Sc e f ex b c,quantu addere eas tancp mifequit quodpofita£ftimatioepofirionis,m;H, quod a b,cu d e pquatur b c cum e F,utrumcp enim aggregatum eft refiduu g e, igitur cubus cu quadratis,gquatur rebus Sc numero eode modo, Sc rei xftimatio eff m: h, quantum feilicet in alia aequatione fuit idem in alrjs* Sequitur etiam,quod aggregatum partium in uno,eft aequale dif ferentix mutuae in reliquo , uelut fi dicam,cubus Sc 1 o aequantur € quadratis Sc 8 rebixs,& aefiimatio in hoc capitulo fit uera,eritin capi tulo cubi Sc 6 qtiadratoru aequalium 8 rebus 8c 1 o numero in fida aeftimatione,aggtegatum ex cubo Sc 6 cenfibus, aequale differentiae cubi Sc # * rr* fcimus quae quantitas fit maior aut minor. Ponemus minore ede rem ignotam,quarn uocamus politionem , erit igitur pars maior refiduu 1 politio lom: 1 pof 1 qdratum. 1 qdm p: 1 00 m: 20 pofb*«t i qdmp:20pofb? | 1 cjdratump: 100, riop: 20 politionibus aequalia 100, 20 politiones aequales 40. ad 1 o,fcilicet 10 m: i pofitione,tunc feque mur quod edpropo fitu,& ducemus par* tes in fe , De Arithmetica Lib; x; ^ intelligo af tiorem,& cum minore denominatione deprimes , poflrno* du regulam capituli fequeris*Sint gratia exempli 4 cubi aequales qdratis &C S pofb?* minor denomina* 4 €Llfo tioeftpofitio,maiorisnumerusefl:4, diuides igituromniaper4,8diabebis _ _ _ _____ g qdratum aequale £ pofb?pi2* * R- 1 $pofesp;2* Ex his etiam patet, quod fimplex pofitio jloilge magis patet Fal* Cor*» fis pofitionibus,Nam Sc ad qdrata,8c ad cubos, & reliquas extendi* tur denominationes ,ldeocp aeftimationes habet in radicibus,quarum in falfa politione nullus omnino efl ufus*Quod uero pertinet ad nu* merum poli tionibus aequalem,adhuc utraCp falfa politione generali* us eft , ut in primo Exemplo patuit, nulla enim falfa politione licet 11 enari, quas nam partes decem qdrata uariant, quorum differentia fit tfo,ut ibi propolitum eft* De fubiectis aequationibus generalibus & fin^ gularibus* Gap* II 1L Ingulares dicuntur acquationes,in quibus nullum capitum § lum perfetfte poteft abfolui,8ri:ales lunt numerus integer, uel fra, quia b d eft $ , igitur a c quadratum eft 1 00, quare la* tus eius a c eft 1 o,cum igitur b c fit $,detrad:a b c ex a c , relinquit a b latus df7* Alia DemonstraTio* Sit modo a b numerus rerum quarundam,aequalium c numero Si quadrato d, &C faciam quadratum b g dimidi) A b, quod fit g E, a quo auferam c numerum,ut e f fuperficies aequalis fit numero c3& ponam latus quadratu, f b fuperficiei,quod fit g H,dico lineas bh&ha efieutrafq? late* ra quadrati d , unde fequitur duas fore ue* ras seftimationes huius capituli,quarum ag* gregatum eft aequale numero rerum, uideli* cet a b, conftat enim quod recftangulum ex a h in h b, una cum qdrato h g eft sequale quadrato b g ,ex 5* 21 elementorum * quadratum autem h g aequale fuit f b fuperfidefrecftangulum igitur ex A h in h b, aequale eft e f, quare & c numero, quod autem fit ex a b in h B,ex 21 elementora* aequale eft quadrato h b reclangulo a h in h b , igitur quod fit ex numero rerum a b in aeftimationem rei qug eft h b, tcquale eft nume* ro c ,& quadrato h b, quod eft probandunmEt fimiliter eadem ratio ne redrangulum ex a b in a H,gquale eft quadrato A H,&du & g f in } > hoc autem tam in rationalibus, quam in irrationalibus pulchre often* dit Plato in Memnone* Nec admireris,hanc fecundam demonftrationem , aliter cp a Ma* humete, explicata, nam ille immutata figura magis ex re ofiendit,fed tamen obfcurius,nec nifi unam partem,eamc^ pluribus,unde nos fa* cilitati 8C breuitati confulentes, tum ut utricp aefiimationi Una demon ftratione fatisfaceremus,hac utimur* Alia Demonstratio* 3 Sit modo quadratum a c in tertia figura , aquale 6 rebus & 1 6 numero,& ponatur A d numerus rerum, fcilicet 6 , igitur fuperficies a Hefi 6 pofitiones,quare d c refiduueritprecife 1 6, diuidatur a d per aequalia in g, Sc fiant quadrata gb & g d , quae fint gk 8c g e* Quia igitur b c aqualis efi b a,& b k aequalis b g , erit k c aequalis g a, quare etiam gd3c f l,& quia d e & d g funt aequales , item d f &t b g , erit f e aequalis d b, quare etiam £ qua lis f K , duae igitur lineae f k 8c f h , aequales funt il&f e,& anguli a d f re&figitur f c fuperficies aequalis efi l E,fed f c cum f b fuit 1 6 , igitur l e cum f b fuit 1 6 , addito qua* drato g e quod efi p,nam g b fuit $ , erit g k quadratum 2 f, igitur latus g b ?, addita igitur g A,qutcefi $,fiet a b tota 8, rei aefiimatio* 4 Secundum haec formabimus regulas tres , pro quarum memoria fubiungemus Carmen hoc, Querna, da bis* Nuquer , admf Requan, Minue dami* R E G V L A I* Efi autem unicuiq? horum capitulorum commune,ut dimidium numeri rerum in fe ducatur* Quando igitur quadratum aequatur re* bus & numero,quod fignificatur per Querna fiue primam tantum in telligas literam feu adnumeres fequentes a prima uocali cofonantes, ut Querna, quadratu aquale rebus & numero fignificet,& Nuquer, Numerum quadrato ac rebus aequalem,&Requan, res quadrato & numero aequales*In hoc Querna igitur,feu capitulo quadrati aequa* lis L F LLi t _ i K 7J E De Arithmetica Lib* x* it lis rebus & numero, addes quadrato dimidij rerum numerum aequa tionis,& totius accipe radicem quadratam, cui adde dimidium nume rirerum,& aggregatum eft rei aeftimatio*Exemplum* (it i qdm pqua le i o rebus p; i qq:,duc 5- in fe,fit .2? quadratum dimidij rerum,adde 144 fit 1 (S^cuius eft 1 ^,huic adde 5- dimidium numeri rerum , fit 1 8 , aeftimatio rei * Rurfus fit 1 qdm aequale -|- rei p; 1 1 ,duc dimiA dium numeri rerum in fe,fit adde ei 1 1 ,fit i 1 accipe 32 quae eft ^^-,cui adde ~~ dimidium numeri rerum,fit $ 4-,rei aeftimatio*Rur fus,fit 1 qdra aequale 10 rebus p:d, duc f in fe dimidium numeri re* rum,fit 2$',adde ei 6 fit $ 1 ,huius R2 adde dimidium numeri rerum erit rei aeftimatio,!^ $ 1 p:$\ Rurfus fit i qdm aequale rebus i 2 p; 2 2, duc U2 5 infefit quadratum dimidij numeri rerum , adde ei 22 fit 2$',huius U2 eft ^cui adde f$2 $,quod eft dimidium numeri rerum, fiet rei aeftimatio 9 p; 32 3 , & fi in hoc cafu numerus fuifiet ,20 , eflet rei aeftimatio 1^2 2 ; p; nz f , & ft fuifiet numerus p , eflet aeftimatio rei R2 1 2 p; U2 quod eft: dicere,^ 273& fi fuiffet 1 qdratum aeqle rebus R2 1 2 p: 32 cub, 1 o numeri,duc ut prius 1^2 dimidium numeri reru in fe , fi t $ * adde ei U2 cub* 1 o, fit $ p:^2 cub* i o , huius accipe radi* cem,quaeeft rjv; j p;^2 cub. 10, cui adde dimidium numeri rerum & fiet aeftimatio rei n2 $ p: B2 v: $ p; R2 cub. 1 o . 8C hac uarietate ex* emplorum hic ufi fumus,ut in reliquis idem Heri pofle intelligas,tum etiam eadem in duabus fequetibus regulis experire, quandoquidem nos duplici exemplo contenti erimus, Manifefium eft igitur , quod hic bis addimus, fdlicct numerum qdrato dimidij rerum , & dimidiu rerum radici aggregati ,& hoc eft, quod in carmine diximus, da, bis, quaft,bis iunge* Regvl A II* Si autem numerus quadrato & rebus aequalis fit, qdrato dimidij f numeri rerum adfjcies numerum aequationis,& totius aggregati acci pe radicem, a qua minue dimidium numeri rerum, & refiduum eft rei aeftimatio.Exemplum, i44,aequatur 1 o rebus Sc 1 qd°, duc f, d/mi* dium 1 o numeri rerum,in fe,fit 2f, huic adde 144 fit ick> , huius eft 1 2 ,a qua abijce f, dimidium numeri rerum, relinquetur rei aeftima tio S.Rurfus,ftt 6 aequalis 1 o rebus p: 1 qdrato, ducfto <$ dimidio re rum in fe fit 2^,adde 6 fit $ f ,ex huius radice abijce $■ , dimidium nu* meri rerum,fi£ U2 ^ 1 m: f, aequatio* Ex hoc patet, quod haec regula a praecedenti folum differt , quod Cor minuat dimidium numeri rerum. Ab aggregati radice,ubi illa iunge bat,& hoc eft, quod in carmine diximus. Ad * mi, quafi, adde primo, C $ deinde Hieronymi Carda ni deinde mmue,fcihcet,adde numerum quadrato , Se minue dimidium numeri rerum poftmodum ab aggregati radice* Corm* Ex quo patet, quod differentia seftimationis quadrati,sequalis re bus & numero,&numeri,sequalis rebus Sc quadrato, eft numerus re rum ad unguem, ubi in eifdem rebus & numeris ftatuantur,uelut sefti matio qdrati sequalis i o rebus p; i44eft 1 8, & seftimatio 144 aequa fis quadrato 10 rebus eft 8,& differentia 1 8 & 8 eff 1 o» Regvla iii, 6 Si uero res aquales fint quadratis & numero, dudo, ut prius, di* «nidio numeri rerum in fe,8c ab eo detracto numero sequationis,radi cem refidui minue ex dimidio numeri rerum, aut adde,& tam aggre* gatum,quam refiduum eff rei seftimatio* Exemplum* 1 qdratump: i tf, sequatur 1 o rebus, du(fto ^ in fe fit 25',utprius , deinde minue 1 6 ex 2^ relinquitur p,cuius 32 qu£ eft $, addita uel detracfta a f dimidio numeri rerum,oftendit rei seftimationes,8 addita,8c 2 detracfta,fi igi* tur i o res fumantur quse ftnt 2,erunt 20 SC tantum erit qdratu 2 cum 1 6,item fi fumantur 1 o res quse fint 8 , erunt 80 , Sc tantum eft qua* dratum 8, addito ei 1 tf*Rurfus fi dicam, 1 o res , sequantur 1 qdt0 p; 6,dudto 5" dimidio numeri rerum in fe,fit 2^,detra(fto autem 6 relin* quitur ip,cuius addita uel detra eft ut fumme aureoru,ad productum ex numero hominum prime focietatis, in numerum ho minu fecundas focietatis , proportio autem 6 ad dupla Id, igitur proportio 2pofura p :c>6 ad I qdm poffa? producftum ex i pofnein i pofem p: } , eft dupla, igitur di 1 pof f poftp;^ 93 2 poftp;^ i pof p:4§ i qd. p;^ pof* I qdtp; 2 pof. aeq* 48 mi dium 2 pof “m p;pd,quod eft v:pof 0 p:q<8 , aequale eft, 1 qdto p: $ pof b\abiecda itacpr 1 pof ne ex utracp parte,fiet 1 qdmp;2pofb* aeqle 48, ducito dimidium 2 in fe fit 1 ,nam dimidiu 2 eft 1 , huic adde 48» fit 40, huius radix eft 7 ,a qua minue 1 dimidium numeri pof um, habe bis teftimationem pof s,& numerum primae {odetatis 6, ideo nume* rus hominum fecunde fodetatis,eft $ 5p: fcilicet , horum fi fiat colle»* dimidium' nume* r i rerum in fe,fit 1 ,adde ei numerum fit 1 $ m:ue 44 , accipe radicem, 8c ex ea minue 1 dimidium numeri rerum , habebis v; i ^ nx:r^44 m: 1 ,hanc igitur duplicatam,fi detraxeris ex aggregato , relinquetur numerus primus propofitus, 1 4 m;i^ 44 m;i£ v; <;z ixx;f£ 704 , & ita De - A RITU- 2* E Tlt A polies regrediendo quan* tumlrbet procedere, ab ulti* rno femper inchoando ter* mino» Prolixior autem ero hiein exemplis , quoniam haec capitula mercaturae ma L i B, I4m:i^44m:i^v:^i m:i^704 \ duc radices eius rg v: $• 2 m;R2 704111:1 aggregatum 1 2 111:1^44 duc radices huius uj 44 m: 2 aggregatum 10 xime conueniunt,tum quia tyrones in his introducuntur, uelut&T par uos pueros folent magiftri diligentius minuta quaeq^ docere, tum ue ro quod eadem in reliquis poftmodum fabricare polliimns, stio» v, Inuenias numerum, a quo detracta cubica,& refiduo addita fua Qupft, quadrata radice,perficiatur primus numerus, Pones itacp refiduum il quinta, lud a quo detraxifti radicem cubicam efte 1 qdratum, addemus itacp ei radicem quadratam 8c fiet 1 qdratum p: 1 pof11', & hoc aequale eft 3 cubo, nam ex eo quod addito ad s qdratum tantum fit quantum erat priu5,igitur quod additur aequale eft ei quod minuitur , minui* tur autem cubica totius quantitatis,igitur pof 0 eft radix cubica ag gregatf quare aggregatumeft cubus,& hic aqualis eft 1 qdto p; 1 co: cubus 1^ pp; 2 qdm «-i pof, R2 1 _l p- -1- deprime per 1 coihabebis 1 qdm aquale 1 pof, pM jpofitio igitur eft m 1 ^-p: ~ , at numerus primus fuit cubus politionis, igitur primus nu merus eft ne ppu, Q_vjestio vi. Quidam ter iuitad nundinas, in primo itinere retulit duplum ei us quod attulerat,in fecundo cum detulifiet tale duplum fecum , re*Qpeft drjt cum eifdem pecuni)s,&: radice earum Sc duobus aureis plus,hoc fcxta^ totum autem feruauit,redi)tcp cum eo ad nundinas tertio,& fuperlu* £ ratus eft tantum,quantum eftet illud quod produceretur ex pecunrjs quas fecu attulerat in fe duipfe autem retulit domum aureos 1 73igitm* iuit cum aureis 1 f 1 f ^ryhae pecu nigfunt quas in primo itinere feruauerat,& fuerant duplu eius quod attulerat, primo igitur itinere attulit ad nundinas dimidium 1 f^-m; 1 aureorum,quod efi 7 -J- m:i^ $ f|- aureorum* Q VESTIO 1 <5 V I !♦ O ucli* Quidam rex proconfuli ducenti exercitum aureos mifif 1 28000* feptim* ut 7000 equitum & 7000 peditum coduceret,ea erat fiipehdrj ratio* ut pro lingulis 1 00 aureis,femper 1 8 pedites plufcp equites conduce ret,uenit tribunus quidam militum ad proconfulem cum 1700 pedi* tibus & 200 equitibus,qugritur fiipendrj ratio. Haec tertiae quaefiioni affinis efi,conlidera quod 1 28000, funt 1 280 centena,quia didu eft quod pro lingulis cetum aureis differentia numeri peditum a numera equitum-fit 1 8, diuide igitur 1280 induas partes, quarum una duda per unam quantitate producat 7ooo,& fimiliter reliqua duda p ean* dem quantitate p: 18 , producat etiam 7ooo,igitur polita quantitate equitum pro re, erit quantitas peditu res &C 1 8 p;diuilis igitur 7000 per harum lingulas,prouenient aggregata 1280 , nam fi ex partibus 1 280 dudisin re,& rem p: 1 8,fiunt 70oo &C 7000 , igitur diuifis 7000 per rem , Sc 7000 per rem p; 18, exeuntia iunda fa* cient 1 2So,ex talium igitur diuflione ag* grcgauti^^te^&hoc cum fit aquale 1 280 , igitur diuifo numeratore per 1 280, exit i qdrap: 1 8 pof fada igitur tali diuilioe, prodit 1 o pof b’ p; 5)8^ , foccp eff aequale 1 qdrato p; 1 8 pofb?,igf tur 1 qd* p : 7 7^ pof b? aequatur 9 8 -fe., igi 7000 7000 j poS. 1 pof.p: 1 8 pof 14000 p: i2& tot equites 1 00 aureis co ducet,& pedites 29, igitur pro 1700 peditibus fiipendium debuit ef fe dSooaurei,& pro 200 equitibus aurei 2897 -j~* • . ' QjV M S T I O VUIf Queff ♦ Fac de 2o,tres quantitates proportionales,quarum fecunda pqua* odaua lis fit radicibus primae 3c tertiae limiil iundis,pone fecundam efle poli tionem, reliquum erit 20 m;i pof nc? quia igitur ex hoc facere oportet partes ' , De Arithmetica Lib» x» 14 partes duaSjinter quas pofitio cadat proportionalis ,erit ex 1 & p>duc*3c in 2am 8 qd* pofes, fit 1 qdmp;7teqle8 pofby,qua* re per tertiam regulam, duc 4 dimidiu numeri pofum in fe, fit 1 6 , abrjce 7 nu* merum , relinquitur p , huius ne addita uel detracfta a 4 dimidio nu* meri rerum, oftendit 7 1 aeftimationes rei*fed quia 1 non eft nume rus focietatis,i deo dicemus quod res fuit 7,& hic eft numerus horni* num primx fodetatis,fecuda igitur habebit homines quatuordecim, tertia 28 , conftat autem quod cubus, 7 cum aggregato numerorum eft 29 2, Si tantum producitur ex 1 4 fecundo numero in 28 tertium» De modis inueniendi capitula noua* Cap* V L Vm uero diligenter confideraflem in his , uifum eft mihi, ut etiam ultra tranfgredi liceret , itaq? exemplo deriuati* uorum,quae iam inuenta fuerant, qdqdrati 8c qd*1 aequa* lium numero,tum etiam cub'qdrati & cubi aequalium nu* mero,ac reliquorum quatuor, capitulum conftituerem qd'qd'qd“, 8c qd'qdtl& numeri,inuicem aqualium , indeq^ aeftimatio rei pe'ne eft, aeftimationis principalium eis correfpondentium,uelut fi 1 qdratum p; 1 pofne eft aequalis 1 2,&aeftimatio rei eft $ , fi 1 qdqd qdum p; 1 qdqdto aequantur 12, pftimatio rei eritnri^ $,indeqpad excogitanda reliqua deriuatiua animum appulimus* Mox uero ad alia me tranftuli,uiftim^opoi*tunum, ut aequatio num naturam fpectare,cumq^ & primi coniuncfti (fic enim binomiu) qcL 7pi.12.4S cu.26'p;Rz^74 ’ Si„,.; De Arithmetica Lib; xv. if apotomae primae (fic enim recifum uocamus) originem intuerer, uifum eft,ut in his duaeeiTenc diuerforum generum quantitates , nu# merus, & irrationalis pars,feu radix,porrd cum ad qdratum deducia tur, numerus quidem fitex quadratis partium in fe, res 2 p; rz j radix ex ducftu unius partis in alteram bis , cubus nero conftituitur in parte irrationali, ex triplo qua^ drati numeri, cum quadrato radicis in radicem Jgitur proportio par tis irrationalis in cubo,ad partem irrationalem inqdrato,eft uelut tri pii quadrati partis,quae eft: numerus,cum quadrato partis quae eftra dix,ad duplum numeri* at proportio tripli q drati numeri, ad duplum numerfeft ipfe numerus cum dimidio* proportio etiam q drati radri cis, ad duplum numerfteftquse prouenit dmifotali qdrato per idem duplum,igitur ipfaproportio,eftnumerus ipfe cum dimidio fui , & tali prouentu, quare aifumptis totidem qdratis,erunt partes irratio^ nales aequales, quare tot qdrata aequabuntur cubo St numero , uelut inhoccafu,diuidoj quadratu radicis,per4,exit|-, cui addo qeft cqualis numero & dimidio, fit l |r,dico igitur quod in hacpftimatioe 2 |- q drati aequabuntur cubo & alicui numero,&:eft numerus ipfe Demum uolens diligentius rem perfcrutarfpofui 10 qdrata ae^ qualia cubo,& alicui numero,& pofui partem primam binomrf ( fic enim ufus gratia appellabo coniundum) eife3gratia exempli, dCco ftitui partem fecundam v pof £m, 8c haec efl: ra^ % f dix* quadratum igitur, efip p:i qdrato,&:hoc * P totum eft numerus & 6 pof% &hoc eft: radix, at in cubo ut dicftum eft fit pars irrationalis ex triplo qdrati 4 ,& eft 27 ,& qdrato 1 poD qd eft 1 qdratum, in partem quae eft irrationalis c>p:iqd* prtfpofV 27pofp:i cu* 6 o pof % ciuaeqlis poft id eft in 1 pof en?, igitur 27 pof es p: 1 cubo,gquatur 1 o qdratis, in par te irrationalfid eft decuplo pof wm, quod eft 60 pof cs, igit dicemus, quod cubus aequatur $ $ pofb’,igitur deprimendo per pof£% qdratu aequatur $ 3 ,igitur res eft R e g V l A* Ex his tandem haec formatur regula breuifsima* Adde primo nu mero dimidium fui,& totum abqce ex numero qdratorum , refiduu duces in duplum prioris numeri, & produtfti ue eft fecunda pars con? iuncfti. Exemplum, eft cubus qui cum numero aqualis eft 1 2 qdratis, &C prima binomrj pars eft $-,adde dimidium 5- ad f,fit 7 abrjce ex 1 2,fit 4 duc 4 ~ in 1 o duplum prioris numeri, fit 4? , cuius n* eft fecunda pars coniun&i, igitur 1 2 qdrata & 5* p:R2 4$^ aqualia funt cu D j f Hieroh y m i C ard an i \ bo & 40 ♦Eadem ratione inueni , quod numerus aequationis , fcilicet 4o.,produdi ex differentia primi numeri, & numeri quadratorum, in qdratum primi numeri , & produdi tripli primi numeri , & numeri quadratorum in quadratum radiris,eft differentia* Poft haec deuolui con filium ad explorandum qualitatem capitum lorum cubqdrati, rerum & numeri, uidicp,qu6d fi dixero,cubus 8c $ qdrata , aequalia funt 14 re* bus , & 20 numero,& ponatur quantitas quaeda intelleda, aeftimatio rei, cuius prima pars fit nu* merus, fecunda uero quantitas, alia pars irratio* nalis.Et fit gratia exempli, hici p:F£ f ,coftat au tem quod coniungendo partes irrationales cubi 8c qdrati, quod illae fiunt ex duplo numeri qua* dratorum,in primam numeri partem, feu ex nu* mero quadratorum,in duplum numeri , itemcp ex triplo qdrati numeri , Sc qdrato irrationalis — 12 — if 7 * »5 4? 17? — 40 res 1 p: ? qd* p; R2 20 cub. 1 6 p:R2 420 partis,hoc eft autem sequale,in capitulo cub'qdrati,&f numeri , etiam numerum rerum conuenit,igitur ut in utroqp pars rationalis talis fit, ut fi iungantur,duplum numeri qdratorum,& etiam triplum fui qua dratficum quadrato alterius partis,conftituat numerum rerum* Et fi pars rationalis uel numerus effet minus,oporteretut effet differentia dupli numeri qdrati, & tripli quadrati partis, que eft uz cum quadrato partis quae eft numerus ,ipfe numerus rerum. Exemplum , fi 1 cubus p: 6 qdratis p;numero,aequentur ?o rebus,& pars una apotomse , fit m: 2,tunc ducemus 6 numerum qdratorum,tn 4 duplum 2 ,& fiet 24, huic addemus $ o numerum rerum, & fiet 54. ,& hoc debet aequari tri* pio quadrati , quod eft 1 2 , & quadrato alterius partis , igitur abie* do i 2 ex 5*4 relinquitur 42,& ^ 42 eft pars prima apotomae, quare resualeti^42m:2* Eft modus alius,qui fimilitudinis dicitur,atq? hic quadruplex** A natura aequationis,uelut cum capitulum cubi aequalis rebus Sc nu* mero,extrahitur ex capitulo cubi & rerum aequalium numero* Ab au gmentis aequationum , ficq^ capitulo non uniuerfalia inuenimus qd' qdrati,rerum, acnumeri* A conuerfione aequationum in naturam ei aequiualente, ut exponemus infra* A modo pro gdendi ad aequatioes per cuborum uel quadratorum generationem, aut per proportionem ut dupli uel dimidq,aut per additionem uel diminutionem,tres enim funt modi uariandi «1 uniuerfiim* Eft etiam tranfmutationis uia, qua ante demonftrationem uniuer falia De Arithmetica Lib; x* %6 falia capitulamulta inuenfatq? inter reliqua, cubi aequalis qdratis 8c numero, & cubi cum qdratis,aequalis numero,uelut eu conamur hanc foluere quaeftionem, duos inuenias numeros , quorum aggregatum aequale fit alterius qdrato,&exuno in alterum dueflo, producatur 8, una enim uia peruenies ad i cubum aequalem i qdrato p;8,alia, ad i cubum p; 8 rebus,aequakm 4, hac igitur intienta aeftimatione,fidiut feris 8 per eam,prodibit reliqua cquatio,ex qua in capituli illius cogi tationem perueni,Quaeftiones igitur alio ingenio cognitas ad igno* tas transfer pofitiones,nec capituloru inuentio finem eft habitura, no tamen extra haec, ex una quaefiione, generalia poteris aflequi. Cum autem intellexiilem capitulum,quod Nicolaus Tartalea mi hi tradiderat,ab eo fuifle demonftratione inuentum Geometrica,co* gitaui eam uiam efie regia,ad omnia capitula uenanda, Itacp ad eam tria fuppofita maxime utilia promittere inftitui, quorum dilucida de* claratione, reliqua, que Sc ipfa demonftrabuntur,facile erit intellige* re,eft autem horum hoc primum. Si quantitas in duas partes diuidatur , cubus totius aequalis eft, cubis ambarum partium, triploc^ produeftorum , uniufcuiufcp eam, uicifsim in alterius qdratu,Quamuis hoc & reliqua duo quae fequun tur in 7° noftro fuper Euclidem libro oftenfa fint, ne tamen huic ope ri quiccp deefiet,placuit hic denuo demonftrare* Sit igitur A c,diuifa in pundo b, Sc fit cubus totius a e, fint etia in bafi eius fupficies diftincftae, d a, d c,df, d e , manifeftum eft autem ex q.a z1 elemento* rum,c d efTe quadratum bc}&df quadra* tum a BySc duo redangula ad 8c de, fieri ex a b in b c,fingula,cubus autem totus con fiat ex a c linea , in qdratum a e, quare ex A c,in fuperficies d a, d C, D e, d F,compo* nentes a e, quare cum a c confiet ex ab & b c, conflabit cubus a E,ex oefio corporibus, quorum quatuor con»* fiant ex a b linea in fuperficies B a, d c, d e, d f, reliqua quatuor* ex b c linea,in eafdem quatuor fuperficies* At ex a b in f d , fit cubus a B,& ex b cin c d, cubus b c,conftat igitur cubus a e, ex cubis a b & b c,& ex eo quod fit ex a b in d a,d c,d e, & eo quod fit ex c b in B a, d f & d e, at quod fit ex a b in c d, aequale eft ei qd fit ex b c in b A,8dquodfitex b cin d F,£quale ei,quod fit ex a sin A D,eoqudd altitudines & bafes eaedem funt,parallelepipeda etiam ex a b in ad, uel d e aequalia funtinuicem,fimiliter ex b cin a d^icI d e, inuicem * aequa* 6 . H r;E bIo m Ti-an *. C:A&3? a-n.i aequalia, eo quod da&de funt sequales fuperficies,ex43* primi ele mentorum ,igitur cubus a c conflat ex cubis abSC bc, & triplo a b in quadratu b e,& triplo b c an quadratu a b, quod erat probandu* 7 Ex hoc patet fecundum, fcilicet, quod cubus a B,cum triplo a b in quadratum b c,fuperat cubum b c cum triplo b c in quadratu a b, in cubo differentia a b & b c, (it igitur a g aqualis b c, & erit differ rentia ab&b c,linea gb, conflat autem ex precedente cubum ab, aqualem effe cubis ag&gb Sc triplo ag in quadratum g b, & tri * pio g b in quadratum a G,quare cubus a b cum triplo a b in quadra tum b c,aqualis eft cubis a gSC g b ,& triplo a b in quadratum G B, & triplo g b in quadratum a g, & triplo a b, in quadratum b c, ueru cubus a g aqualis eft cubo b c, 8c tripliim b g in quadratum a g, ,a«* quale eft triplo b g in quadratum b c , & triplum a g in quadratum g b , aquale eft triplo b c in quadratum b g , eo quod b c aqualis eft A g, cubus igitur ab , & triplum a b in quadratum b c , aqualia funt cubo b c,& b g,& triplo b g in quadratum b c, & triplo b c in qua*» * dratum b g,& triplo a b in quadratum b c , at ex b g in quadratu b c, fit quantum ex b c in recftangulum ex b g in b c ter , igitur ex bg in quadratum b c,aquale ei quod Iit ex b c in redangulu ex b c in b g ter, eadem ratioe, quod ex a b in b c quadratum ter , aquale ei quod ex b c in rc&angulum ex a b in b c ter , cubus igitur a b , & triplum ab in quadratum b c aqualis eft cubis b g Sc b c,& triplo b c in re* clangulum b c in a b, & triplo b c in recftangulum ex b c in b g, & tri pio b c in quadratum b g, at ex 4* 21 elementorum , recftangulum ex b c in b a , & ex b c in b G,cum quadrato b g aquantur quadrato A b, igitur cubus b g cum cubo b c triplo b c in quadratum A B aqua* lia funt cubo a b , &ftriplo a b in quadratum b c , quare cubus a b, cum triplo a b in quadratum b c, excedunt cubum b c,cum triplo b c in quadratum A B,in cubo differentia b g* Qorm. Ex hoc patet, qudd fi b c ponatur m: quod eubus a b conflabit primu» ex tubo ac & triplo a c in quadratum b c , addito per m; cubo b c, & triplo b c in quadratum A c , nam (i b cfuiffetp; differentia cubi a c cum triplo A c in quadratum b c , a cubo b c & triplo b c in qua* dratum a c,fuiffet cubus a B,ex demonftratis» Sed polita b c m; tan* tum eft quod aggregatur , quanta eft differentia pofita b c p: igituj* cubus a B,eft aggregatum cubi A c & tripli a c, in quadratu b c,& tri pii b c in quadratum a c m;& cubi b c m: Et eodem modo, (i a b po* neretur m; cubus b c conftaret ex aibo ac, & triplo a c in quadratu •a b,& triplo a B,in quadratum a eper rm&cubo a b per m; Eodem De Arithmetica Lib* x; 17 Eodem modo, fi' a b ponatur m: cubus a b componetur ex cubo Cori”» B c , Sc triplo b e in quadratum A c , Sc cubo A c per m; Sc triplo A c fecud* in quadratum b c per m: nam ut diefium eft, cubus a b , eft differen* tia talium partium per p;ex primo eorrolario, igitur detraho maio* re ex minore,fiet tantundem m: fed cubus a b m: eft aequalis cubo a b p;in numero, ut em 27 pieft cubus $ p:ita 27 m:eft cubus $ m; igitur cubus ab m: efi aequalis cubo bc & triplo B c in quadratum A c, Sc aibo a c m:8c triplo a c in quadratum B c m: Ex primo autem fuppofito,cftenditur etiam hoc tertium, quod B efi , proportionem aggregati ex cubis a b & e c ad triplum produc «florum a b in quadratum b c , & b c in quadratum a b efie , ut trium linearum in proportione continua , a b 3c b c exifientium aggregati primae & tertiae, detracfla fecunda, ad triplum fecundae» confiat em ex 3 2* 1 1 1 elementorum , quod proportio cubi a B ad corpus ex A c in quadratum a B,efi ut quadrati a b ad a d fuperficiem, quare ex pV<5V elementorum, ut a b ad b c, eadem ratione parallelepipedi ex b c in quadratum A b ad parallelepipedum ex a b in quadratum b C , pro* portio,ut a b ad b c,atCp rurfus paralldepipedi,ex A b in quadratum B c ad cubum b c,ut a b ad b c. Quatuor igitur corpora , feilicet cu* bus a b, parallelepipedum, ex B c in quadratum a b, parallelepipedu ex A B in quadratum b c,8c cubus b c funt in continua proportione li* nearum A b& b C» Statuamur itaq* haec corpora breuitatis caufain quatuor literis h, k, l3 m, ita ut h fit cubus A b, Sc K parallelepipedum ex b c in quadratum ab Sc l parallelepipedu ex a b in quadratum b c,& m fit cubus b c, igitur cum ratio m ad l fit ea quae l ad K,ut probatum efi, item K ad L,ut h ad K,erit ex 24? f 1 elementorum, K m ad L,ut h l ad K,quare ex 1 2a eiufdem,H k l m , ad K l, ut h L,ad k , quare ex 1 c>h eiufdem,H m ad K. L,iit h l detrado x,ad x, quare ex 22* eiufdem, h m ad triplum k l,u t h l dempto k ad triplum K, at cum h k l , fint \\ in proportione a b ad b c,ut probatu efi, erit ex 1 1 a eiufde ^ elemen torum,cuborum ab&b c,fimul iuncfioru,ad triplum a b in quadra* tum B c, & B e in quadratum a B,uelut primae Sc tertig trium linearu proportionalium,inproportione a b Sc b c,detracfla media ipfarum, ad triplum ipfius mediae* Ex hoc patet, quod proportio tripli b c in quadratum a B,ad tri* Cor*\ pium a b in quadratum b c,eft ut a b ad B C,ex i 2* f cL tertiu* Atcp etiam,qu6d proportio cuborum A b 8c b c,cum duplo b c Corm» in quadratum a b,8c a b in quadratum b c, ad refiduum totius cubi quartS T7 1 ct* Ac» H, K, L, M» Hi eron ym i Caidani a c,eft oc trmm fuperfiderum d c,d a,d F,ad r> e fupcrfickm , fen ut trium quantitatum proportionalium in proportioe a b ad b c,adme*e diam .{piarum, ac multa alia quaebreuitatis cauia omitto,. De capitulorum tranfmiitatione* Gap„ V I L Vm fuerit numerus Sc denominatio media , extremae ae* qualis, conuertetur capitulum in duas denominationes eafdem,& fub eadem magnitudine numero aequales , ue* lut fi dicam, quadratum aequatur 6 radicibus & 1 6 , dice^ mus igitur etiam, quadratum 8>C 6 radices, aequantur i <5, maneto? con uerfa rado, inde habita prima aequatione,detrahemus numerum radi cui«,8£ efi habebimus fecundam,uel fecunda habita,addemus 6 numerum radicum,& fiet aequatio prima,uerum in caeteris denomi* nationibus regula generalis dari nonpoteft. £ V erum generalis efi: regula,cum media denominatio,numero 8C extremae denominationi aequatur, tunc conuerteturin aliam mediam denominationem,tantundem a numero diftantem, quantum prior me dia ab extrema denominatione diftabat,Sic pro exemplo,!! cubus 3C numerus aequales fint rebus , cubus cum eodem numero , quadratis etiam cquabitur,fed non fub rerum numero exifientibus.Rado uero habendi mediam denominationem efi,deprime maiorem denominas tionem ex medqs,per minorem^ radicem numeri aequationis , fum ptam fecundum naturam denominationis extremae,reduces ad deno minationem quae cxrjt,&T cum eo numero, multiplicabis numerum de nominationis mediae proximioris maximae denominationi extremae, aut diuides numerum proximioris numero,& qui exit , numerus efi denominationis mediae , uelut fi cubus & i 6 aequentur 6 quadratis, erit ex dktis cubus Sc i ^aequalia rebus, harum numerum fic uenabi mur,deprime qdratum per res, exeunt res, accipe ne cub; i nam cu bus efi extrema denominatio, & eam reduc ad naturam rei , cum res fitid,quod prouenit,diuifo quadrato per rem , fietigitur ne cub, id, quoniam res non auget nec minuit,igitur ducemus Re cub. 1 6 in 6 nu merum quadratorum, qui funt proximiores cubo,quam numero , &. fient res n* cub, £4? 6 aequales i cub, p; 1 6 , Exemplum aliud , cu<= bus 8 aequantur i 8 rebus,dices igitur, cubus &C aequantur qua* dratis,diuide igitur quadratum per rem exitres,accipe ne cubicam quia cubus efi maxima denominatio,^ efi 2,ea non efi deducenda ali ter 3 cum res fit denominatio exiens3 fiet igitur z diuifor 1 8 numeri re rum. I qdqd. p:^ io Cubo I qd'qcf. p; 64 rebus V£ $ qd. 8 . " io res 80 De Arithmetica Lib. x. rum,quia res funt proximiores numero,quam cubo, & exibit 9 , hu* merus quadratorum aequalium cubo p; 8 , eodem modo i fi dicamus 1 qd'qdmp;^4^qtur 10 cubis,cadet tranfmUtatio rebus in I qd^qd1” p; 04 aquale rebus,diuide igitur cubu per rem exit quadratum, duc rz'rz 64 quae efi: ex natura qdqd^&C efi rz 8 i ad naturam quadrati, fcilicet denomi^ nationis exeuntis, fit 8, que duc in 1 o, numerum cuborum, quia funt proxf* miores maximae denominationis, & fiunt res 8o,cotra diuide res 80 per 8 ad habendum numerum cuborum. Eadenf ratio tenet,ubi denominatio media cum numero , aequae tur extremae,feu duae denominationes cxtremae,numero ecquales fue rint,nam eadem regula unam aequationem in aliam tranfmutabimus. V t pro exemplo, cubus pquetur 9 rebus p; 1 o, dicemus igitur,cubus p;qdrato rz cubicae 72 -f- aequantur 1 o,& fi cubus gquatur 6 qdratis p; 1 6,erit cubus Sc res rz cub. 24^6, aequalis i 6,Et li cubus p: i 8 re bus,aequatur 8,erit cubus aequalis 9 qdratis 8c 8 numero. Et cum rc^ latum primum p: 6 cubis aequatur 80, erit relatum primu aequale qua dratis p; 80, diuide igitur cubum per quadra tum, exit res,fume rz rc£ lati 80 eam reducito ad naturam rei remanet rz relati 80 , quam ducito in 6 numerum cuborum, fit rz relati <52208o,numerus quadratorum, igU tur.Rm pm aequatur qdratis ne relati 622080 p^8o numero, cade ratione. i Rmpmp;6cub. 80 Rmpinqd.p; 80 r rcl;8o— res Rz rei; 80 . _ _ _ 6 qd^Rz rei: 622080 ■i fi Pvm pm p: 3 o' rebus , aequalefit 3 2 numero, tunc erit r pm aequale qdqdrato & $ 2 numero, diuide qd'qdm per rem, exit cubus,reducito 2 rz relati $2 ad cubum,fit 8,diuide 24 numerum rerum per 8,exit $ numerus qd'qdratorum,qui cum 4 2 aequantur relato primo. Sed pro habenda aeftimatione in fingulis, diuides qdratum radicis numeri gqtionis,{umpta ipfa radice,fecundum naturam maxime de^ nominationis,per aefiimationem quam habes , quod exit efi: aefiima^ tio conucrfi capituli.Exemplum,did:um efi:, quod fi cubus & 8 aequa tur 1 8 rebus,cubus & 8 aequabitur p qdratis. In prima autem aequae tioneres ualet4,uel rz 6 m: 2, dico, quod fi acceperis rz Cubica 8, quae efi 2,8c duxeris eam in fe fit 4 ,6c diuiferis per priores aeftimationes, fcilicet 4,uel rz 6 rn:2,exibunt 1 ,uel rz 24 m:4,efiimationes cubi p: 8 aequalium 9 qdratis.Et eodem modo didum efi , quod fi Rm p” p: 6 E 2 Hf EIOMtMI CARDANI jmbis,a?quatur 8o,quod Rm pm aequabitur & r* , 622080 quadrator rum p:8o,& in prima aequatione aeftimado rei manifefte eft 2 , duc agit uz Ra 80 infe, fit R2 r* #40.0, diui* de per 2, aellimatio nem relati Sc 6 cu^ borumaeqIium8o, exibit m r* 200 , aeftimatio rei, quan do r® pra aequatur nz Re #22080 qua* dratorum p:8o, ut nero facilior intelle dus omnium horu Iit, uigintiquatuor cub.&qd' aeql' n° in cub.aeql' re &n°* cub.aeql' qd' 8c n in cub.& res pql n°* cub.& ns aeql' qd' incub. Sc nra aeql' rebus qdqd.&I cub.aeql' n° in qd qd.pql' reb' & n% qd'qd. & n8 aeql' cu.in qd'qd. &C nm pql' rebus* qd'qd.aeql' cu.& n° inqd'qd. & res aeql' n*. Rra pm dC qdqd.pql' n° in Km pra pqi' reb ♦& n**. Rm pm aeqle qd qd.& n° in Rm pm & res pql'n % r" pm & n* pqf qd'qd.in Rm p m8>C pm pql' reb> r” pm Sc cu. aeql' n° in a“ pm aeql qd» & n% r“ pm aeql cu.& n° in Rm pm Sc qd.aeql' n°. Rm pm &n8 aeql cii. in Rm pm 8>C nm aeql' qd. sranfmutationes fubiungam,ex quibus alias difcere licebit.hicnamcp duodecim funtconuerfiones,totidem£^econtra,uelutfi cubus & qua dratum aequantur numero,conuertetur capitulum , in cubum aequa¬ le rebus Sc numero,at econtra, fi cubus aequalis fit rebus &C numero® cubus & quadrata numero etiam aequalia erunt* Demonstratio. Vt uero eiufmodi fit aliqua,cxempli caufa,demonftratio , pona# tur parallelepipedum a b conflans ex a c cubo,& d b numero,arqua le autem totum hoc qdra* z tis a d lineae. Igitur cum * h “ ipfum coftet ex d c in A b, - - — - — — ? conflabit etiam ex a m in L_L_ _ quadratum d c, igitur a m A d jv efl numerus quadratoru, inter m d Sc d A,fint continue proportionales, b proximior AO,&f g proximior DM,qdra* tum autem p g fit g h ,& fit g k fiiperficies , ae* qualis ei quae ex e in A M , compleatur autem corpus g K,fecundum altitudinem f G,erit igU tur ex 1 p* 6X elementorum A m ad f K, ut f G ad e, igitur ex 1 1 * p1 eiufdem ,am ad f k , ut m d ad f g , feu f h ♦ at ex 1 pa p 1 elementorum erit a m ad f k , ut a d ad K h , ex 1 1 * igitur eiufdem, m d ad f H,ut a nad K aquare cum fit m D,ad F H,ut f Had *»8t K 1. fi JO De Arithmetica" Lib* x* §$ B3St f h ad E,ut e ad a d ,& e ad a D,ut ad ad k h, erunt quinq? \{* neas md,fh, e, A d,h K,connnue proportionaIes,igitur ex $4* 1 11 ele mentorum & 1 7a tf‘erit G h ad A c,ut M Dad h K,utracp enim dupli# cata ecquae eft f H,ad a d , quare quod cxdm quinta in ac quadra# tum fecunda:, aequale eft ei, quod ex k h prima in g h quadratu quar# taeJgitur corpus Koeft numerus propofitus,& cum cubo b g aequa* tur rebus totidem,quotfunt in fuperficie g K,at g K aequalis eft fuper fidei ex c in a M,eft autem e radix cubica numeri db, propofiti , ex 24* i i*elementorum,& a m numerus quadratorum, ut propofitum cft,igitur numerus rerum g k fit ex radice cubica numeri aequationis in numerum quadratoru, St numerus aquationis manet idem fcilicet corpus K o St b D,quorum unum alteri cquale efie demonftrauimus, Supereft itacp,ut oftendamus eftimationem rei, qu£ eft a d in uno,& F G,in altero eiFe, quales proponuntur, cadit enim inter eas proportio nalis media e radix cubica numeri propofiti,igitur ex 2 6Z 6' elemen# torum diuifo quadrato e per unam earum exibit reliqua.Eodem mo do probaremus reliquam partem regul£,& generaliter,fed breuitati confulendum eft, in his quae ordinem habent eum,ut unum ex altero eognofcatur* Regvla, Eft St alius tranfmutandi modus,manente quidem denominatio 4 num numerOjUariato autem cquationis numero,ueru in reliquis ean* dem habet rationcm,regula igitureft. Accipe radicem numeri aequa# tionis,fecundum naturam denominationis mediae,qua habes, St eam reduces multiplicando ad naturam denominationis mediae,quam uis aequari extremis in conuerfione,& hic eft numerus in fecunda aequa# tione.Exemplum,fi dico,cubus St 8 aequatur 1 8 rebus , tu fcis ex ta# bula fuprapofita,quae huic feruit regulae, quod tranfmutatur in cubii St numerum aequalia quadratis,at ex hac regula liquet,quod nume* rus quadratorum aequatur numero rerum, erunt igitur cubus &nu# merus aequales 1 8 quadrads,pro numero igitur cquationis accipe 8> quia res non habent radicem,& duc in fe,fict 64 , numerus aequatio# nis,duxiftiautem in fe,quia denominatio media in quam fienda eft tranfmutatio,eft quadratum* Eadem ratione, fi dicatur , 1 qd cjdratu p;g,aequatur 1 z rebus,traducetur in qd'qdratum St numerum aequa lia cubis,quare reducemus 8 ad cubum St fiet f qd'qdratum p: fi 2, aequale 1 2 cubis*Et ita,fi dicatur, f pm Rmp: 8, aequatur f cubis,tranf mutatio fiet in Rm pm p:numero,aequalc 5- quadratis,ex tabula uel re gula,igiturpro numero (quia denominatio media in propofito eft cu* busj fumemus cub* 8, quae eft 2, St eam deducemus ad natura qua# E | drati H IERONYMI C ARD ANI drati,quia quadratum efi denominatio media in tranfmutatione, fiet igitur 4, quare erit Rm pm p:^ aequale ^ quadratis» 7 Eadem ratio tenet,cum numerus & media denominatio extreme aequantur,ut tranfmutetur in capitulum denominationum aequalium numero .Exemplum, fi dicamus, i,pm Rm p^cub.aequatur 64 , accri piemus propter cubum 1^2 cubicam <54 ,& eft 4 eam reducemus ad quadratum denominationem mediam, 111 quam fienda eft tranfmuta^ , tio,& habebimus 1 pm Rm aequale 4 qdratis 8c 16 numero , & fi 1 pm Rm p: 4 rebus aequatur 5-, quia res non habet radice , reducito $■ ad na turam quadratiquadrati,& fit 62 ideo dicemus, qudd I Rm pra ae^ quatur 4 quadratis quadrati $ Aeftimationis ratio fie habetur in media denominatione aequali extremae & numero .Reducito aequationem quam habes in naturam denominationis me diae, in quam fienda efi: trafmutatio , & hocabrjce ex numero denominationis medip,&: refidui,fumpta fecundum na turam denominationis mediae, ex qua fit tranfmutatio,efirei acftima# tip. Exemplum , fipffi Rmp:<^4 aequatur I 1 pm Rmp: 64 i2cub» 1 2, cubis dicemus pm Rm p; 1 6 aequanfr j 1 pm Rmp: 1 6 12 qd. 1 2 qdratis, pftimatio primg pquationis efi 2, Sc quia media denomina tio in quam fit tranfmutatio efi qdratum,ducemus 2 infe fit 4, abrjce lpfum ex 1 2 numero cuborum , fit S,refiduum cuius fumemus 1^ fe# eundum naturam denominationis mediae,ex qua fit tranfmutatio , tdC efi cubus .igitur ut cub.8,quae eft 2,eritetiam aefiimatio rei in fecun** da aequatione. Aliud Exemplum, fi pm Rmp: <<4, pquatur 24 qdratis, tu fcis,quod tranfmutatur in pm Rm p: 5: 1 2 aequale 24 cubis, aequatio autem primi propofiti Fuit 2, cubus fit 8, nam media denominatio fe* eunda eft cubus, abfice 8 ex 24,numero 1 pm Rm p: <54 24 cjd. qdratorum,rclinquitur 1 ,& iit b d portio, ex qua fumpto latere, quale relati primi e>& ducfto in a g r eliquii numeri rerum, fiat f numerus aequationis , dico E efTe rei adumationem, nam quia ex fuppofito , ex e in A G,fit f,& ex e in b D,fit cub* e, eo quod e fuit latus relatum,B d, Sc produtfftim ex e in a g,& in b D,aequale eft producfto ex e in a D,fequitur curo a D,fit numerus r ecquod res aequantur cubo quadrato , Sc numero f, cxiftente aeftimatione ipfius e*. Regvla;* aT"- ~e 3 0 Secundum hoc formabitur regula, cum fuerint denominatio media 5 C numerus,aequales mediae,& ex nume ^ ro mediae denominationis,feceris duas partes,ex quarum una in radi ccm alterius, fumptam fecundum naturam denominationis, proueni* entis ex diuifione extremae per mediam, & dedtitffam ad naturam ip^ fius mediae denominationis,fiat numerus aequationis,tunc radix ipia antecg deducetur ad naturam denominationis mediae, eft rei aeftima^ tio* Exemplum, i o res,aequantur quadrato 8C 21 , tunc quia res ftmt immediate quadrato & numero,fufficitfacere de 1 o duas partes , ex quarum una in aliam fiat 2 1 ,& erunt 7 & £ , Sc utracp eft rei seftima* rio* Aliud, 10 res,aequantur cubo & 3, hic res eft coniuncta numero, fed non cubo,cum intermediet quadratum* Ideo diuidemus cubum per rem , exit quadratum , dicemus igitur fac ex 1 o,duas partes 9 ex quarum una in quadratam alterius radicem,fiat 3 ,& erunt 1 Sc 9 , na \ ex 1 in $ ig c> fit $,ideo talis i^fcilicet 3, eft rei gftimatio* Aliud, 1 o cu bi aequales funt cjd'qdrati,& A4,iam hic cubus haeret qd'qdrato, Sc $ numero diftatintermediantibus qdrato Sc re, dices igitur , fac de 1 6 duas partes,ex quarum una in alterius cubu,producatur <54,& erunt partes 8 & 2,qui ad cubum deducendus eft,igitur 2 eft rei gftimatio, fcilicet quod oporteat femper numerum cum quo operamur , efte rei aeqtiationem+Aliud,&eftquarti modi exemplum, 1 o cubi aequan* tur p° r° Sc 48, tue iam cubus diftat a r° p°, intermedio qd'qdrati, 8C a numero interpofitis quadrato &C re,diuide igitur Rm pln per cubum, F exit d i> H i e r o n r # * Caro ani: exit quadratum,dicemus, fac de i o numero mediae denominationis duas partes,ex quarum una, in cubum radicis quadrata? alterius pro# ducatur 48 numerus aequationis, & erunt partes 6 8c 4 , nam ex 6 in 8 cubum 2 radicis quadratg 4, fit 48, ideo ipfum 2 radix quadrata 4, eft rei aeftimatio^Manifeftum eft igitur,quod femper furaimus radi# cem ex natura denominationis,fecundum quam media in maiore con tinetur,& deducimus eam ad naturam ipfius mediae , $C quifcit hoc facere, nouit capitulum,& qui nouit capitulum,fdt etiam hoc facere* $ Eft uero manifeftum, quod cum media denominatio,extremae 8C numero aequalis eft, tunc in omnibus , praeter^ in maximo numero, duas xftimationes neceflario habet* De fecunda incognita quantitate non multiplicata; Cap* I X* Eneraliter hucufep nona inuenta tratftauimus , nunc uero de lingulis dicendum ipedebus eft, nam cp ftepius illud oc currit,ut quaeftionem propofitam,duplid politione folua mus*Eiufmodi autem eft exemplu, quando aliter uix rem hanc poftumus explicare, Tres erant uiri pecunias habentes , Primus cu dimidio reliquorum habuit aureos 2, 2* Secundus cu reliquoru ter tia parte 28* Tertius cu reliquorum parte quarta $ 1, quaeritur quan# tum quifqj habuitCStatuemus primo rem ignotam primam, fecundo fecundam rem ignotam, tertio igitur 5 1 au# pn% Secund: Terti: rei,minus quarta parte rei , ac quarta parte res quan: mx quantitatis reliefti funt,iam igitur uide, quan Quarta parte reliqi^ tum habet primus, equidem fi illi dimidium primus 1 o—p^pof: fecundi &terti) adrjdas,habiturus eft aureos 3 2, habet igitur per fe aureos pm:f quan: m: 1 f — P:TP0^ SP: quant: quare habe# bit m: ^ m:J-quan: aequalia pofitioniprimae ■Jpof: p: qiian:a?q# lia 1 6— «7Tp: 1 (2. |- quant18 p;-£-pof: hoc autecum fit equale uni pofitioni,erit ^ pof; 8d|- quant: aequale 1 quare deducendo ad integra 7 pof:& 2, quant: aequabuntur 1 2, 2, Rurfiis u i deamus,quantum habeat fecundus,habet hic 28,fi ei tertia pars primi ac terti) addatur , ea eft jpoftp: 1 o 4- m:y-pof: m; — quant: hoc _ eft igitur ^ pof: p: 1 o «|-m:~quant; abijee ex 28 relinquitur, 1 7 ~p: fe quant: m:^pof:&: tantum habuitfecundusTuppofiturn eft autem habere illum quantitatem,quantitas igitur fecunda,aequi ualet met. Secundus quan: m:^pof: aeq lia quantitati fecundp j|-quan:p:^ pof: ae# qualiae i7~ De Arithmetica Lib. x. 22 *fiet,&: 1 7 | miy pof; abieclis communiter -i~ quantitatis,& reftituto m; alteri partirent jyquantp: ypof: aequalia 1 7 y, quare 1 1 quan; p: f pof: aequalia erunt 2 1 2 , multiplicaris partibus omnibus per j 2 7 pof; p: 5 qua: cql 1 $ 2 3 pof:p; 1 1 quan: cql 21 2 7 pof: p : 2 f y qua; xqf 404 -| 7 pol :p;^ quan; 132 7pof;p: 2f-|-quan; 494 denominatorem,inde duces quamuis earum ad aequalitatem alterius, in po fitionum aut quantitatum numero, ut pote dicendo, fpoi: p: 1 1 quan; aequantur 21 2,uolo modo ut fmt 7 politiones,^: erunt per regulam qua tuor quantitatum proponiona* lium,^? yquan: aequales 494-|,habes igitur,ut uides,7 pof:p: £ quan titatibus aequalia 1 $ 2,& 7 pol: p; 25* y quantitatibus aequalia 494“-, igitur cum 7 pof: fine idem, in utrocj? erit differentia quantitatum,fck licet 22 yaequalis numerorum differentix,quae eft ^62 , diuide igi tur,licut in politione limplici,per capitu Ium tertium, 5 6 2 ~ , per 2 2 y , exit 1 <5, afematio quantitatis, & tantum habuit lecundus, Ruri us ponamus primo eiie * rem,fecundo iam erant 1 <<, tertio Iit fecunda quantitas,cumq? fecun# dus cum tertia parte primi 3c terti), habeat 2^,ipfe autem habeat 1 6% entypof:p:yquantitatis pqualis i2,reiiduo 1 6 St zS^SCidco 1 pof: p: 1 quantitate aequabuntur $d,at uero primus,cum dimidio reliquo rum habuit $ 2, dimidium reliquorum eft p* 2® 4® 5 p:~*quan; igitur 1 pof;p; 8 p: y quan: equantur ^ 2 , igitur abiedlo 8, fiet 1 pof: p;d-quan: aeqlis 24, quia igitur 1 pof:p: 1 quan: aequabatur $ figitur differentia 24 6 3 <5", quae eft 1 2,aequatur dimidio quanti tatis,quare per modum capituli tcrtffdiui 1 pof: i 6 1 quant y pof: p: y quan; 1 2 1 pof: p:~quan: 24 1 pof: p: 1 quan: $<$ \ quan; aequalis ,1 2 fo 1 2 pery, exit 24,aeftimatio quantitatis,feu numerus atireoru ter* tffiam igitur conftat fecundu habuiffe 1 <5, tertium 24,primiis autem cum dimidio fecundi &tertq habet 1 2, detraffo 20 dimidio fecundi 8Ctertijyex $ 2,relinquitur i 2 numerus primi, habuit igitur pdmus aureos 1 2,fecundus 1 (^tertius 24* Operatio prolixa,& clara rame ac facilis,femper autem reducenda eft denominatio una ad eundem mi* merum, & tunc differentia numerorum aequalis neceffario erit ditFe* rentiae alterius denominationis,ut uidifti bis in hoc exemplo Exemplum aliud.Dixit primus fecundo,da mihi tertiam partem tuorum,& 2, p:& habebo triplum refidui tui. At fecundus primo,da dimidium,8«: 2 p:tuorum,& quod tibi relinquetur,erit nona pars om niu qux ego habebo. Dabimus primo rem,fecundo quantitate, quia F 2 igimt4 Hi e r o,n y mi C a r d a n i igitur dando y& $ p:fecundi,.primo , relinquitur fecundo y quan: m: *, , & hoc eft tertia pars aggregati primi quod eft j politio p: y quantitatis p: $ ,igi * tur triplato y quan:m: quan: m: 5>, erit hoc aequale pof p: 4- quant!* p: j, quare reddendo quod eft minus,alteri par* ti, fiet i politio p; 1 2 , xqualis 1 y quan41. Rurfus quia dicfiu eft, quod fi primus det dimidium p: 2, fecundo, erit reliduum fcili cet— pof m: 2, nona pars aggregati, quod Primus Secundus 1 pof 1 quan: 1 pof.p: yqua.p:$ tri# pium y quan. m: f* 1 poftp: 1 2 £q 1 1 qua: 1 qua;p; £ pof.p: 2 no* nuplum ypof m; 2 1 qua:p:2o gql. 4 pof - ii " i 00 O ' l eft j quan:p:y pof. p: 2,igitur multiplicando tale reliduum per p, fiet 4^pof.m: i8,aequales 1 quan: p pof b' p: 2, reddendo minus al* teri parti,& auferendo fimilia,habebimus 4 pof. aequales 1 quan*‘p: 2o,habebas etiam 1 pof. p: 1 2 aequalem 1 | quan41,reducito partes ad cqualitate unius denominationis,& primo multiplicando 1 pof.p: 1 2,£qlem 1 y quan:per4,fient4pofp:48 gquales tfy,quanb\&hoc comparabis,ut uides infigura,cum 4 pof' b’ aequalibus 1 quantl p: 20 < i * ~i t ^ ^ & fimiliter eadem ratione reducendo numerum quantitatu ad aequalitate, habebis f quan4" aequales $6 p: $ po (itionibus , 3c f quantitates p: 1 00, aeqles 20 poffa’, in utrocp cafu tranft feres uicifsim,per regulam, fi aequa* libus gqualia addas,tota quocj? fient aequalia,& habebis 4 pofes p: 68 p: I quantc aeqles 4 pofb’p: ^yquan15' inde abiecftis fimilibus, relinquentur ^ ~ quan: aequales 68 , igitur diuifo _ _ _ ^8, per fy,exit 1 2 gftimatio quantitatis,& id quod habuit fecundus. 4 pof p: 48 aeqles 6 f quan: 4 pof. aeqles 20 p: 1 quan: 4 pof. p:68 p: 1 quan: aeqles 4 pof. p:tfyquan; f quan: aequalis 68 _ quan: aequal. $6 p: y pof 5- quan: p: 1 00 «equaf 20 pof q quan:p:2o pof aequal. ^quan:p:^ pof p:i 1,6 1 7 pof aequales 1 $6 - n «- t - 1 Eadem ratione,transferes in fecunda aequatione,partes difsimiles, di cenda,fi 1 quan: aequantur 7,6 p: $ pofb\& ^ quan:p: 1 00, aequantur 20 pof figitur ^ quan4" p: 20 pof b,,aequantur £ quanb’ p: } pof b’ p: j 3 6,inde abietftis fimilibus relinquuntur 1 7 pof" aequales 1 ^ <5,qua* re diuifo 1 3 <5 per 1 7 exibit 8, politionis aeftimatio , feu numerus pri* mi,habuit itacpf>rimus 8 , fecundus 1 2,& quamuis aliter hgc etia lol* ui pofsint,hoc tamen proprium eft magis&purum, ut uno eodemcp impetu tota quaeftio abfoluatur,& fi etiam primum exemplum per (b lum rem oftendi queat. De De Arithmetica ;Lib« x* a$ De fecunda quantitate incognita multiplicata* Cap. X* Vm uero duae quantitates incognitae multiplicantur aut in fe ducantur , quatuor fient modi , quorum maior pars tria habet membra* Demonstratio* Primus eft, cum quadratum unius ,8^ quantitates ipfx comparan tur. Sit igitur primo quadratum a c, cuius latus a b aquale duplo A b & quintuplo e, gratia exempli,igitur polita b d x* quali numero rerum,fcilicet 2 , erit a d aequale du* pio a b , igit c f aequatur quintuplo e, quare ex 1 fexti elementorum, a b ad E,ut ^ ad c d , eft autem a b pofitio,& c d pofitio m;2,& f numerus cogni* tus, quare regula eft. Regvla. Pofitare quantalibct,duc eam in ie,detra8c fiet 8o,undediuifo 80 per o,exit 1 tf,quantitas 2a.Quod fi quantitas 2a ponatur cognita jimiltiplicabimus eam per fuumnume rum,& produ&o addemus quadratum dimidq ipfius numeri rerum, Sc radix totius,addito dimidio numeri rerum,cft xftimatio rei. Ex* emplum, fit 2* quantitas 1 ^ducemus in $• fit 8o,adde 1 , quadratum dimidq numeri rerum,fit 8 1 ,huius 32 eft p,cui addito dimidio nume* ri rerum fit 1 o,quantitas ipfius rei. Demonstratio. Rurfus,fit decuplum a B,xquale quadrato a b & feptuplo e, gratia exempli, & fit quadratum A b fuperficies a c & b d fit 10, igitur feptuplu e xqua* le eft f d fuperficei,& ut in procedenti, a b ad E,fic 7 ad c D,quare regula eft,cum res xquantur quadrato rciSc quantitatibus. Re G VLA. Pofitam rem quantamcuncp libuerit,minuemus ex numero rerum,& ducemus eam in refiduum,pro duclum diuidemus cum numero quantitatum, quod exit eft quantita F | tis » w • / -Hi eron ymt C ai dan i 1 tis ^ftimado * Exemplum, ponatur hoc in cafu res 8, minue ex i o nu* mero rerum»relinquuntur 2, quos duc in 8,fit 1 63 diuide per 7 nume rum quantitatu,exit 2 ~ xftimatio quantitatis, quod fi fecunda quam titas cognita fit, ducemus eam in numerum fuu, Sc quod producitur* > a quadrato dimidtj numeri rerum minuemus,& radix refidui, addita uel detracfia2a numeri rerum dimidio, ofiendit aeftimationem rei. Ex* , emplum, ponatur quantitas fecunda 2 ducatur in 7 numerum quan titatum,fit 1 <5,a bqce hunc numerum ex 2 ^quadrato dimidq 1 o nm meri rerum, & relinquitur 5) ,cuius radix addita uel detracta i dum dio 1 o numeri rerum, oftendit 8 uel 2,aeftimationies ipfius rei* Demonst rati o* $ Sit etiam e numerus, aequalis quadrato a B,quod efi A c ,8C nu* mero a b qui eft fuperficies f D,pofita igitur a b prima, numero e fe* cuda,E tertia,B p quarta, erit proportio A b ad E,ut numeri E ad b b, quare regula erit, cum quantitates sequantur rebus Sc quadrato re* rum* Regvla. Pofita rem quantamcuncp libuerit , ducemus in aggregatum ex ipfa Sc fuo numero, producfhim diuidemus per numerum quantita tum,& quod exit eft teftimatio quantitatis, Exem pium, c quantitates sequatur 7 rebus, & quadrato rei,& res eft 9 , dicemus igitur, duc | in I o, aggregatum $ aeftimationis rei Sc 7 numeri rerum, fit 40 , diuide per f,numerum quantitatum,exit <5,aeftimatio quantitatis* Quod ii quantitas fecunda fit cogmta,duccmus eam in fiium numerum, CC pro du, exit $ 2, cuius dimidiu 1 C fiet zS , cui adde* anus 1 o numerum rerum,fiet aeftimatio rei $ 8. Si uero produdum ex re in quantitatem cognitum fuerit, ducemus ipfum in numerum quan titatum rerum, & ei addemus quadratum dimidrj numeri rerum , 2C radix totius cum dimidio numeri rerum fuperaddito, eftaeftimatio rei*Exemplu,qdratu rei pquatur 1 o rebus, Sc quatuor quantitatibus rerum,& quantitas rei eft fo, ducemus fo in 4 numerum fuum, id eft quantitatum reru, & fit 2oo,cui addemus 2$Aqdratum di* midq 1 o numeri rerum,fit 2i$:,cuius radici addo f , dimi* _ g dium numeri rerum,& fit 2o,rei aeftimatio,unde diuifo 5*0 produdo rei, in quantitatem exit 2^, aeftimatio quanti ta* tis* Demonstratio* Quod fi quantitas rei, aequalis fit quadratis rei &C nu* e — -Id mero rerum,ponemus rem A b,& quantitatem b c,& quan titas rei a c,ea caufa neceflario erit &d c numerus rerum, Sc a d erit aggregatum quadratorum , igitur detrada d c ex b c,relinquetur b D,qua diuifa per numerum quadrato* rum,prodibit b f aequalis a b» regula igitur eft* R E G V L A* Gum fuerit quantitas rei,aequalis quadratis rei & nu* G mero A Hieronymi Cardanx mero rerum,& fuerit nota res, ducemus eam in numerum quadrator rum,& producto addemus numerum rerum , & conflabitur quanti tas ♦Exemplum* quantitas rei aequatur 6 quadratis rei,& i o rebus* 8C res eft 4, duc 4 in 6 numerum quadratorum* fit 24,adde ei i o,nume# rum rerum, fit $4,scftimatio quantitatis* Quod fi quantitas cognita fit,auferemus ex ea numerum rerum,& refiduum diiiidemus per nu* merum quadratorum rerum,quod exit, eft seftimatio rei. Exemplum, quantitas rei sequatur 6 quadratis rei,& 1 o rebus , & quantitas ipia eft ?4,aufero 10 de $4, relinquitur 24, quem diuido per ^numerum quadratorum,exit 4,eftimatio rei. Si uero quantitas rei cognita fit,di uidemus eam per numerum quadratorum , & prodeunti addemus quadratum dimidq eius, quod exit diuifo numero rerum per nume# rum quadratorum rerum,& radix totius,cum detracftum fuerit idem dimidium, erit rei seftimatio. Exemplum. Quantitas rei sequatur 6 quadratis rei,& <5b rebus, & quantitas rei eft 1 2O0,diuide 1 200 per 6 numerum quadratorum rei,exit 200 , cui addo 2^ , quadratum 5*, dimidq prouentus <5b numeri rerum, diuifi per 6 numerum quadra* torum,fit 225”,a cuius radice,qusc efl: 1 ? , aufero <5 dimidium ipfius prouentus,& relinquetur 1 o,rei seftimatio,inde diuifo 1200, qui efl quantitas rei,prodit 1 20 seftimatio quantitatis. Demonstratio» $ Quod fi numerus rerum, fit aequalis quadrato rei & quantitati bus rerum (etenim ad unum quadratum ,uelad unam quantitate rei, per comunem diuifione, femper,ut in uniuerfis didu eft capitulis,reducere licet) ponemus a b rcm,qdratum eius A c,numeru reru b D,erit igitur e d numerus quantitatis rei,& c d numerus produeftus ex numero quantitatu in quantitatem,que fit c F,quia igitur c d, efl refiduum a b & b D,erit regula hsec. Regvla» Cum fuerit numerus rerum , sequalis quantitatibus B rerum,& quadrato rei,& fuerit res cognita , auferemus eam ex fuo numero,& refiduum diuidemus per quanti J tatis rei numerum,quod exit, eft quantitatis seftimatio . Exemplum, 1 o resequantur quadrato rei,& tribus quantitatibus rei,& res eft 4, auferemus 4 ex 1 o,relinquuntur diuido per numerum quantitas tum rei,exit 2,seftimatio quantitatis.Si uero quantitas cognita fit, du ceinus eam 111 numerum quantitatis rei,& produ&um auferemus ex numero rerum,refiduum eft rei seftimatio.Bxemplum, 1 o res sequam tur quadrato rei,& produ&o rei in quantitate ter , & quantitas eft 2, duce# De Arithmetica Lib» x» 16 ducemus igitur 2 xftimationem quantitatis,in numerum quantitas tis rei,8c producitur <5, quem aufero ex i o, numero rerum , relinquis tur 4,ccftimatio rei. Si uero productum ex re,in quantitatem , cogni# tum fuerit, ducemus illud in numerum fuum, 3c productum auferes mus a quadrato dimidq numeri rerum,8c radixrdidui addita uel de* tracta, ab ipfo dimidio numeri rerum,oftenditxftimationem rei.Ex* cmplum, i o res,xquantur quadrato rei,8c $ quantitatibus rerum, 3C quantitas rei eft 8, ducam 8 in numerum quantitatis rei,fit 2q.,hunc abqciemus ex 2$’,quadrato f dimidq io, relinquitur i , cuius f£, qux eft i ,addita uel detratfta ex ^oftendit tf,uel4,3eftimationes rei, unde diuifo 8 quantitate rei,per (?,uel per 4, exit v - uel 2,xftimatio quan* tatis* Demonstratio* Quod fi quadratum rei,5c quantitas rei , 8c quantitas , inu ice m eomparentur,confurgunt tres ali) modi , fit igitur primo quadratum rei,xquale quantitatibus rerum, & numero quantitatum , & ponatur A b res ipla, cuius quadratum A c,xquale fit quantitatibus reru (quae fint, a D,ita ut d e, fit quantitas) & numero quantitatum d e , qui fic F H,eritcp fuperficies g F,xq* lis ex fuppofito , fuperficiei c K,quare ex 1 d1 elemento rum a B,ad d e, uelut h f, ad d c,eft aut a b res, d e quanti tas, h f numerus quantitatu, c d refiduum rei,& produdi ex numero quantitatis rei , in ipfum quantitatem,quare re* gula eft* RegVLA; Cum quadratum rei, aequale fuerit producis , ex quantitate m rem Sc in numerum, fueritep res ipfa cognita, ducemus rem in nume* rum quantitatum rerum,& produdo addemus numerum quantitas tum,8c cum aggregato diuidemus quadratum rei,prouentus eft xfti matio quantitatis*Exemplum,quadratumrei,aequale fit fex quantita tibus rerum,8c 20 quantitatibus,& ipfa res fit 1 2, duco 1 2,111 <>nume rum quantitatis rei,fit 72,cuiaddo 20 numerum quantitatum,fitp2, cum hoc diuido 144 quadratum rei, exit 1 £|, quantitasipfa , fi uero quantitas cognita fit,ducemus eammnumerum fuum, &feruabimus produdum,deinde ducemus eandem in numerum quantitatis reru, huius^produdi dimidium,infedudum,addemus priori produdo radici,ipfius aggregati , adrjciemus dimidium quod in fe duxeram G 2 mus, & R ■r . - . T J -• 1 * E A 3 H I ERONTMI CaRDANI mus,& totum eft aeftimatio refExemplum,Quadratum rei , aequale fit i 2 quantitatibus^ y quantitatibus rei,& quantitas ipfa eft 2,du* cam 2 quantitatem,in i z numerum fuum, fit 24 , deinde ducam eam dem quantitatem 2, in numerum quantitatis rei,& fit 1 o, huius di* midium quod eft 5*, duco in fc, fit 25- , addo ad 24,iam feruatu, fit 49, huius radici quae eft 7, addo idem dimidium quod eft fjfit 1 2,aeftima tio rei* Vbi autem notaeffet quantitas rei ( & eft in figura fuperficies e k) ducemus eam in fixum numerum,& producli tertiam partetn3ad cubum reducemus, ducemus & quantitatem rei in numerum quanti* tatum,& dimidium produciiius duplum eft 1 tres quantitates funt,n2 92 m; 2 , quae iunefte cum 1 <>,duplo quantitatis rei,faciunt 1 4 p:^2 ^2,qdratum rei» Nota quod in hac regula>femper res eft media proportionalis, Not18 1 inter quantitatem & aggregatum ex numero quantitatum,^ produc cfto rei in numerum quantitatis rei,ut in exemplo,!^ 1 $ p; 1 , quae eft res, eft proportionalis inter 32 f^m; y,quae eft quantitas, & $2 p; f, qui conftat ex $ , numero quantitatum,& produefto ex R2 i $ p; 1 ,re ipfa,in 2,numerum quantitatis rei» Nota etiam,quod regula haec pendet ex capitulo cubi aequalis re Not® bus 5c numerOjiielut fequens,cx capitulo cubi& numeri aequalium fecud» rebus, & ultima, ex capitulo cubi Sc rerum aequalium numero» Nota edam,quod res eft eade,quae queritur in capitulo cubi pq* Not™ lis rebus Sc numero,fed quantitas, eft numerus , qui prouenit diuifo tertiu* quocimcp numero, per rem ipiam,nam eidem capitulo, cubi aequalis rebus 8c numero, competit una fola res, fed infinitae quantitates , ue* lut dieftum eft hic, quod res eft 32 1 $ p: 1 ,& diuifimus 8 , quantitatem rei,fi autem ponatur cubus aequalis 1 6 rebus & 24 numero , erit res femper ne 1 $ p; 1 ,fed pofita quantitate rei 4, erit numerus quantitatis <5,& quantitatis rei 4 ,& quantitas r$2 1 —m: y» Demonstratio» Qiiod fi quantitas refaequalis fit quadratis rei,& quantitatibus, 1 o ponemus a b rem,& quantitatem b c,& numerum quadratorum, le* eundum quem b G,aequalis a b, continetur in b d , & erunt quadrata a D,iuncfta , 3c e c refiduum , aequale numero quantita* tum,& fit numerus quantitatu f c, erit igitur f b, equa* lis e c, quare b c quantitatis , ad a b rem, ut D c refidui rei, ductae in numerum quadratorum, a quantitatead c f numerum quantitatum , erit etiam ex hoc e b refi* duum, aequale a f refiduo, quare ab media proportio* nalis inter abSCb c,diuifam fecundum numera , fe cun* dum quem b g continetur in b d» Nota igitur, quod in hac tota regula,res media pro* portionalis eft,inter quantitatem diuifam , per numerum quadrato* Not ram,& refiduum rei 8>C numeri quantitatum» G | D AH £ R E G V* Hieronymi Cardani Regvla» Regula igitur eft, eu quantitas rei,sequalis fuerit quadratis rei St quantitatibus,^ res nota fuerit, ducemus eam in fe, deinde in mime* rum quadratorum,8c produeftum diuidemus, per reiiduum rei a nu* mero quantita tum, & quod exit,eft quantitas,Exemplum,Quan; rei sequatur tribus quadratis rei,& 1 2 quantitatibus , St iit res 20 , gra* tiaexempli,duco 20 in fe,fit4oo,duco 400 in 3 numerum quadrato* rum,fit 1 2oo,diuido 1 2oo,per S3 differentiam rei St numeri quanti* tatum,exit 1 fo, quantitas ipfa.Si uero quantitas ipfa cognita fit, non res, duc eam in numerum quantitatum,& produ&um diuide per nu* merum quadratorum,quodcxit,abqceex quadrato dimidrj prouen* tus quantitatis diuifte per numerum quadratorum , St radix refidui,, additaud detracfta,a dimidio eiufdem prouentus,oftendit seftimatio nem rei, Exemplum, Quantitas rei,sequalis eft 4 quadratis rei , St 3 quantitatibiis,6£ quantitas ipfaeft ^Ojduc fo in 3 numerum quantita tum,fit 1 fo, diuide 1 fo,per 4 numerum quadratorum, exit 37 ~>de* inde diuide fo,per 4, fcilicct quantitatem per numerum quadrato* rum,exit 1 2~,huius dimidium,quod eft 6 ~,duc in fe,fit fp quo abqce 37 ^relinquuntur 1 cuius radix eft 1 ^,quse addita ucl de* tracta a C cum quadrato fe* cundae,aequantur quadrato aggregati ipfarum trium quantitatum, at uero quadratum aggregati primae & fecunda: & quadratum aggre ti fecundae & tertiae ex fuppofito faciunt 1 oo,& quadratum fecundae cft 4,quia zx quantitas proportionalis fuit 2 , igitur quadratum a g* gregati omnium trium quantitatum eft 104, igitur tres quantitates ipfaeiundae,funtRe 104,6^ quia 2acft 2,erunt reliqua:, fcilicct prima & tertia,^ 1 04 m; z,fac igitur ex i 04 m: 2, duas partes,producen tes 4,quadratum 2,& erunt 32 26 m: 1 pu^ v:2^ m:i^ 104, 26 m: 1 m: nzv: 1 o4,& quia res coflat ex prima & fecunda pro portionali,& quatitas ex 2axpportionali,eritigitur ut addamus 2 utricp parti, fcilicct fecundam quantitate, defiet res 1% 26 p. 1 p;i^ y; 2 fm:iy 1 04,8«: quatitas 26 p: 1 m:iy v; 2 $ m:i^ 1 04, horu qdrata iunda funt 1 oo,praedfe , 3c produdum unius in alterum eft m 41 <5 P;4> 1 2P 3E^2^p;i p;R2v;2fm:i^ 104 ^2<5~p:i m;i^v;2$ m:iy 104 ^vmz $0 p;i^ v;2o 6$ m; f$2 2*6624 R2Vmi fo m;i^v; 20(5^8 01:132 26<524 De A rithmetica Lib* x* p:4* duplum aggregati eoru, uia uero communi procededo* peruenires ad partes has* quas uides infra* liquetautem qudd illae confufae magis funt* quam* uis fuperioribus aequiualeant* Qy mstio 1 1* Inuenias duos numeros*quorum qdrata iunda fint 1 00* & qua* dratum maioris,aequalc fit dudui maioris in minorem quater cum oduplo maioris «Ponemus maiorem rem*minorem quantitate*eritc^ quadratum rei,aequale4 quantitatibus rei 8 rebus*quare ex 6* re* gula*auferemus 8 ex re,& liet refiduum res m:8*unde diuifurn per 4 exibit-^ rei m:2*&haeceft quantitas quadrata*igitur rei rei m: 2 aequalia funt 1 00, quare i quad* p:4 m; 1 re,aeqbitur t oos& qua* dratum aequabitur -j-~ rei*& 90 quare res efi 90 p: quantitas efi ^ huius m: 1 Scilicet 132 f m: 1 Q_v & s t 1 o 1 1 u Inuenias duos numeros, quorum qdrata iunda fint 1 00 * Sc pro* dudum unius in alterum,aequale fit triplo quadrati minoris* & fexcit pio eiufdem minoris+Ponemus rem minorem nufnerum*& quantitas tem maiorem,igitur quantitas rei* aequatur $ qdratis rei & 6 rebus* quare ex ?a regula* quantitas eft $ res p ;6 quadrata*igitur rei Sc triu rerum p: 6 iunda funt 1 oo,igitur io quadrata p:^ rebus pi;6 * x* quantur 1 oo*& 1 qd* p! ^rei* aequatur 6f*res igitur efi* 132 p j ^r*& quantitas triplum huius p: 6, id efi: 32 8 6 p: -JL* Q_y & s t 1 o 11 1 i* Fac de 2o,tres partes proportionales*quarum mediae quadratu* aquale fit duplo produci mediae in minorem*& quadruplo minoris, pofita media re*& minore quantitate * erit quadratum rei * aequale 2 quantitatibus rei*& 4 quantitatibus* Quare ex notando primo nong regulae,res media efi proportionalis * inter quantitatem Sc aggregas tum ex numero quantitatum 4*ac produdo rei in numerum quantita tis rei*fcilicet 2*tertia igitur quantitas efi 2 res p:4*quia igit quanti tas efi 2 res p^4>& 2a res*& hae cum prima confiituunt 1 o,erit prima 6 m: t, rebus,quare duda prima in tertiam,fiet quadratum fecundae* igitur 1 q dratum aeqtur 2401; 6qdratis*quare 7 qdrata gquan tur 24 res efi 132 haec efi media* cuius duplum p; 4 efi tertia uidelicet4 p:^2 1 } f,inde detrado aggregato fecundg & tertiae ex 1 o H 2 res p*»4 res 4 1 ?-5 6 m:$ reb9 6 01:132 ^o~ Hieronymi Cardani r eimqu itur prima m : rj $ o~-, hae autem quantitates proportionales funt,&: quadratum fecundae eft aequale duplo produdi fecundar in primam, cum quadruplo primae, ut proponebatur* De cubo & rebus aequalibus numero* Cap* X I* Cipio Ferreus Bononienfis iam annis ab hinc triginta fer me capitulum hoc inuenit , tradidit uero Anthonio Ma** rise Florido Veneto, qui cu in certamen cii Nicolao Tar* talea Brixellenfe aliquando ueniifet, occafionem dedit, ui Nicolaus inuenerit & ipfe,qui cum nobis rogantibus tradidi flet, fup prella demonftratione, freti hoc auxilio, demonftrationem quaefiui* mus,eamq$ in modos, quod difficillimum fuit, redactam (ic fubieci* mus* Demonstratio* Sit igitur exempli caufa cubus g h 5c fexcuplum lateris g h aequa le ZQySc ponam duos cubos a e 8t c l, quorum differentia iit 20 , ita quod productum a c lateris, in c k latus, [it 2, tertia fcilicet numeri rerum pars , St B C ita fuerit,!ineam A b reiiduum , eife aequa* lem g h,6c ideo rei seffimadonem, nam de g h iam fupponebatur,quod ita eflet, per* iiciam igitur per modum primi fuppofi ti 6' capituli huius libri, corpora d a,d c,d e b F,ut per d c intelligamus cubum b c,per p f cubum a B,per d a triplum c b in quadratum A B,per b E triplum a b in quadratu b c* quia igitur cx a c in c k iit 2,ex a c in c k ter, fiet numerus rerum, igitur ex ab in triplum a c in c k fiunt 6 res A b, feu fexcuplum a B,quare triplum produdi ex ab, b c,a c, eftffxcu* pium a B,at uero differentia cubi a c , a cubo c K , St exiftenti i cubo b c ei xqkex fuppofito,df 20 ,& ex fuppofito primo 6* capituli , elf aggregatum corporum d a,d e,d F,tria igitur haec corpora funt 20, pofita uero b c m: cubus a B,sequalis eft cubo a c ,& triplo a c in qua dratum c b,& cubo b c m :8t triplo b c in quadratum a c m: per de* monlfrata illic,differentia autem tripli b c in quadratum a c, a triplo a c in quadratum b ceft produdum a b,b c,a c, quare cum hoc,ut de monffratum eft,£equale iit fexcuplo a b, igitur addito fexcuplo a b, ad id quod fit ex a c in quadratum b c ter,fict triplum b c in quadrae mm a c,cum igitur b c fit m;iam olfenfum eft,quod produdum c b De Arithmetica L i b* x* |o In quadratum a c ter,eft m:& reliquum quod d sequatur eft pt igitur triplum c b in qdratum A b,Sc triplum a c in qdratu c b, &C fexcuplu A b nihil faciunt* Tanta igitur eft differentia,ex cornum animi fenten* tia,iplius cubi A c,3 cubo b c, quantum eft quod cofiatur ex cubo A c* & triplo a c in quadratum c b,& triplo c b in quadratum Acm:& cu bo b c m;& fexcuplo a B5hoc igitur eft 2 0, quia differentia cubi a c,a cubo c B,fuit 2o,quare per fecundum fuppofitum 6l capituli , polita b cm: cubus a b aequabitur cubo a c , Sc triplo a c in quadratum b c, 8c cubo b c m : & triplo b cin quadratum a c m: cubus igitur a B,curri fexcuplo a B,per communem animi lentendam , cum xquetur cubo acSc triplo a c in quadratum c b* & triplo c b in quadratum a Bjm; 8c cubo c b m:& fexcuplo a b , quxiam xquatur 20 , ut probatum eft,xquabuntur etiam 20, cum igitur cubus ab&C fexcuplum a- b x* quentur 2o,& cubus g H,cum fexcuplo g h xquentur 2o,erit ex com muni animi fententia,& ex did:is,in $ p‘ & $ i* undedmi elemento* rum,G Hxqualis a b figitur g h eft differentia a c Sc c b , funt autem A c & c B,uel a c Sc c K,numeri feu linix condnentes fuperficiem , x* qualem tertix parti numeri rerum, quarum cubi differunt in numero xquationis,quare habebimus regulam* R £ G y.L A* 3 , Deducito tertiam partem numeri rerum ad cubum , cui addes quadratum dimidrj numeri xquationis,& totius accipe radicem, fcili cet quadratam, quam feminabis,uniq? dimidium numeri quod iam In fe duxeras,adrjcies,ab altera dimidium idem minues,habebisc^Bi nomium cum fua Apotome, inde detraffa nz cubica Apotomx ex 32 cubica fui Binomq,refiduu quod ex hoc relinquitur>eft rei eftimatio* Exemplum* cubus SC 6 politiones, xquan* tur 20,ducito 2 , tertiam partem 6 , ad eu* bum,fit 8, duc 10 dimidium numeri infe. Iit 1 00, iunge 100 & 8,fit 1 o8,accipe radi* cem qux eft f$2 108, & eam geminabis,alte ri addes 1 o,dimidium numeri,ab altero mi nues tantundem,habebis Binomiu R2 108 p: 1 o,& Apotomen 1 08 m: 1 o , horum accipe n2cs cubas &C minue illam qu£ eft Apo tomx,ab ea qux eft Binomq, habebis rei x 1 08 p: 1 o v: cubica i 08 m; 1 o* AliudjCubus p; $ rebus xquetur i o,duc 1 ,tertiam partem $ , ad cubum,fit 1 ,duc fjdimidium 1 o,ad quadratum,lit afdunge 25- & 1 , H 2 jfium cub9 p: <£ reb9 xqlis 20 z 20 $ - - - IO 1 08 R2 Io8 p: IO i^io8m:io $2v: cu*ni 108 p; 10 m:R2 vrcu.nz 108 m:io imationem* 32 v: cub; 32 \V s Hie RONYMI CaRDANI fiunt 2 6, huius radici adde 5r,&ab ea minue f, habebis Binomium w 2 6 p: $>St Apotomen ly 2 6 m: 5’,igitur reiadftimatio eft v: cubica 2 <5 p; .5: m:r^ v: cubica 26 m; ^^experientia fic habetur. Ra; v: cubica ra; 26 p; $ m; Ra; v; cubica Ra: 26 m: £ cubi partium Ra: 2 tf p; 5* m; Ra^tfm:? hoc autem totum,ut liquet,eft 1 o Quad:partiu, Ra;v; cubica 9 1 p;i^;2<5do ^ v:cuca f 1 m;rfc 2^00 triplicata qdrata partium, rz v:cub; 1 $77 p; 1 895400 Ra;v;cubica 1 $77 m;i£ 1 8954.00 partes ipfse m; Ra;v;cubkaR2 26 m; p; Ra; v; cubica 2tfp; 4 Produdia partium in triplata quadratorum p;Ra:v: cubica 49 299 $54 p; 6$B 5’ m;Ra;47$85rooom; 7020 m;Ra;v;cubica49299$5’4m: m; Ra: 471 i^ooo p; 7020 Porro hse Ra;cubkse quatitor nominibus conflantes ,ad duas reduci poliunt, cum enim tfSSfdempferis ex 70 20, relinquetur 1 $$ , detra* 2p:i£ v; cubica 20 m: |p2v Aliud, cubus aquatur 6 rebus p;6,tertiam partem numeri rerum, que eft 2, ad cubum, ducito* fit 8, detrahe ex p quadrato dimidrj 6 numeri £ qua tionis,relinquitur 1 ,cuius hz eft i ,hanc adde 3c minue a J ,dimidio nu meri,fiunt partes,4 &C 2,quarum rz cubica: iun<%,fatiunt6i£ cubicam 4p;Rz cubica 2,aeftimationem rei* At ubi cubus tertiae partis numeri rerum,excedat quadratum di midrj numeri, aequationis, quod accidit quandocunq^ numerus aequa tionis eft minor -|- cubi illius,uel ubi ex| numeri rerum,produciairm K2-j eiufdeni numeri maior numerus numero pquationis,tunc hoc dif foluitur per quaeftionem Alizam , de qua in libro de quaeftionibus Geometricis dieftum eft,fed fi libet tantam effugere difficultatem,ple rumcp capitulum 2$m huius tibi fatisfaciet- De cubo 8c numero aequalibus rebus* Gap» XIIL DEM0NSTRAfiO, Oc capitulum ex praecedens ti trahitur , fit igitur cubus g h , aequali < rebus Aequae deferibuntur quadrata fu* pficie & numero f, Sc fitbafis ciihi g h, quadratu g k,cuius pars quarta fit h l, refiduum autem aequale a d fuperfidei, latus autem^quod Graece tetragonicum uocant,refidui c d fit c e, fit uero m k di midium h K,a qua abfeindatur m n , ae* qualis c E,dico quod tam h n, qua n k, cubi , cum numero f , aequantur rebus A B,ut numerus rem & aquationis idem maneat, & primo oftendamusde hn, conftat enim cubu hn continere latus fuum,H n in quadrato h n, quadratum autem a b (quia g l aequalis eft a d , 8i g l triplum eft quadrati h m) aequale eft triplo qdrati h m ,& quadrato m n, haec autem iuperant,ex 41 21 elemento* rum,quadratum h N,in duplo h m in n K, quare in eo quod fit ex h k in n K,quia h k; dupla eft ad h m, cubus igitur h n ,\corinet latus iuum HN 44444*44 numerus, De Arithmetica Lib* x* H N in fupcrficie a b minus co, quod fit ex h k in k n. At liero, quia cu bus g k continebat res feu latera h ir in quadrato h K,uel in quadrato A B,cum numero F,igitur ex communi animi fententia, f numerus ae* qualis eft produdo ex hk in differentiam qdratorum a b & g k, at differentia gk&ab eff, quanta differentia hl&c B,quia a d eff ae* qualis g l differentia autem H h 5c c b eft,ut quadrati h m 8c m n ,igi tur ex differentia quadrati h m,& m n in h K,fit Fnumerus,atuero ex 4* 21 elementorum, differentia quadratorum h m, feu m k,& m n > eft duplum m n in n K,cum quadrato n k,& ideo m n & m k in n K , ideo h n in n K,igitur ex h k in produdum h n in n k fit f numerus, addatur igitur f numerus, cubo h n, SCzx alia parte produdum ex h k in k n dudum in h n produdo ex h n in fuperficiem a b , minus produdo h k in k N,fiet cubus h n cum numero aequalis h n ductae in a B,feu rebus ex a B,quod erat probandum* Similiter , quia differ rentia g k Sc a B,quac eff h n in k N,duda in k H,producit f, differen da edam a b &quadrati k n (cum a b fit equalis quadratis hm&mk 8C m. n,& dudui k M in m h ) aequalis eff differentiae dupli k: h in h h * _ tJtr a quadrato n H,addito eiredangulo h n in n k, at quod htex h n in n K cum quadrato n H,aequaleeft produdo ex kh in h n, per zi . elementorum,igitur quadratum a b fuperat quadratum n k in pro* dudo k h in h n femel,cum igitur numerus f, contineat n k in produ do k: h in h n,& cubus k n contineat k n in quadrato k n, erit, ut cu bus k n cum numero F,feu cum producto ex k n in redangulum k h in H N,a?qualis produdo a b in k N,igitur cubus k n cum eodem nu* mero F,aequalis eff a b numero rerum eidem. Ex hac demonffratione patet, quod aequatio cubi aequalis rebus &numero,aequalis eff amba bus aequationibus cubi SC eiufdem numeri ecqualium totidem rebus, fimuliundis,uelut fi cubus aequalis fit i o rebus & 1 2,& aequatio fit j£ 7 p; i , aequationes cubi p: 1 2,aequalium i o rebus quae funt z8c 7 m; i ,fimul iundae, facient rz 7 p? i ♦ R E GV L A» Regula igitur eft,cum fuerit cubus Sc numerus aequalis rebus, in uenies aeftimationem cubi aequalis totidem rebus , & eidem numero, cuius dimidium in fe ducito & triplicato, hoc abficeex numero reru, m refidui,addita dimidio aeftimationis cubi ecqualis rebus & nu* mero,uel detrada,oftendit aeftimationem cubi & numeri aequalium rebus. Exemplum,cubus p: aequatur 8 pofitionibus s tuncinuemo aeftimationem cubi aequalis 8 rebus p: $ ,ex praecedenti capituIo,8c eft etiam j, huius dimidium duco in fe, fit 2 triplica, fit 6 £ , abrjce ex 8 rerum Hieronymi Cardani rerum numero,fit refiduum i ~ ,cuius rz addita uel detracta ab i \ di midio xftimationis cubi aequalis rebus Sc numero, oftendit utrafep seftimationes quaefitas alteram i -p:r^ i ^reliquam i \ m;i£ i Demonstratio* Nunc etiam oftendamus , quomodo una aeftimatione habita, abftp auxilio praecedentis capituli habeatur Sc reliqua,& fit, ut ex ad in a c quadratum fiat numerus aequationis,ita quod quadrata ad SC a c iunda,faciant numerum rerum, eritq^ ex 8° capitulo, a D,rei sefti matio,& fit f h linea,cui fi adderetur dimidium a d quadratum toti* us,aequale foret. quadrato a c Sc quadrato dimidq a d dico f h efle reliquam aeftimationem, quando cubus cum nume* ro ex a d in a c aequalis eft rebus in quadrato a c. St quadrato a D,fiat quadratum e G,quod cum qua drato f h aequale fit quadratis ac & ad, iuruftis, quia igitur quadratum compofit£ ex f h& dimidio a D,xquale eft quadratis c a & dim idrj a d, erit ex 4* 21 elementorum abiedo communi quadrato di* midrj a d, quadratum a c aequale quadrato f h , & duplo f h in dimidium A d, quare redangulo ex f H in a d femel cum quadrato f h, quare ex 1 6* 6' elementorum ab pro* portionalis inter f h& aggregatum ih&a D,quia uero quadratum e G,additum produdo f h in fe,& in a D,tantum facit, quantum addi tum,quadrato ac,e g uero,& f h quadratum,aequalia funt quadra* tis ad&aCj exfuppofito,erit quadratum a c St quadratum ad& produdum f Hin A D,aequale quadratis a c &C e g, inde abiedo com muniter a c quadrato,erit e g quadratum, aequale ei quod fit ex F H in a d cum quadrato a D,ex i C numerus rerum eft triplum quadrati b c , tertiae parris numeri qua* De Arithmetica L i b* x; ^4 quadratorum,8c ideo inUentaaeftimatione a c,abrjciemus b c tertiam partem numeri quadratorum^ relinquetur A b cognita , fecundum hoc erit regula* Regvla* Duc tertiam partem numeri quadratorum, ad cubum, St duplica illum cubu,& differentiam numero aeqtionis ab eo fume,inde tripli* ea quadratum tertiae partis numeri quadratorum,& habebis res,quse aequantur cubo St numero,fi duplum cubi fuit maius numero aequa* tionis,uel res cum numerO,aequalcs Cubo , fi duplum cubi minus fit numero aequationis, uel res aequales cubo, ubi differentia numero* rum nulla fit,inde inuenta aequatione,minue ab ea tertiam partem mi meri quadratorum ,& refiduum eft rei eftimatio* Exemplum* Cubus St 6 quadrata aequantur 1 oo,duc 2 ad cubum fit 8,duplica fit I ti,abq ce ex 1 00 habebis cubum, aequalem 84 p: 1 2 rebus, fiint aute i 2 res, triplum quadrati 2, tertiae partis numeri quadratorum , res igitur effex capitulo i 2. m vi cubica 42 p:n* i 700 p:ne v; cubica42 m: R2 i 700, ab hocabqce 2,tertia partem 6 erit rei aeftimatio qiiaefita, quati do cubus St& quadrata aequantur i 06, haec, ne vi cubica 42 p;n2 1 700 pine vi cubica 42 m:n* rioo m:i. Rurfus , fitcubus St 6 quadrata^ aequalia 29, St abrjcio 1 6 duplum Cubi tertiae partis <5 , ex 25- , fient 9 , St 1 2res,utprius,3cquales cubo,res igiturualet ne 5*~-p: 1 4, abfice 2 relinquitur aeftimatio quaefita,n2 5 ^m: ~* Rurfus, cubus St 6 quadra* ta aequantur 1 ti,abfice duplum cubi 2,fcilicet 1 tf,ex 1 6 numero reliti quitur nihil, deinde fume triplum quadrati St eiufdem terti£ partis nu meri quadratorum, & eft i 2,numerus rerum,aequalium cubo,quare quadratum aequatur 1 2,quareres eftnz i 2,abfice 2 tertiam partem 6 relinquitur rei aeftimatio,ne 1 2 mi 2*Rurfus, cubus St 6 quadrata , ae* quentur 73fume differentiam 7 St 1 ^p;^2 89% pr^2 vrcubica 9-^m:^ 89 ^m: 1 ,cubus igitur eft hic con ftans ex feptem partibus* 1 2 m r R2 vr cubica,484d ^41:32 2 $ 48 7 8 $$ 4 m: 132 v; cubica 484^ ~m ; 32 234878^ £ pri^vrcub. 4<5d4i fp; 1^221 1^77^40 -J m; 32 Z096Z891 i7-j%mr 32 2oc>d$$4.j8o-~| prn2vrcub* 46041 ^p:F$2 20^^^44180 yJ-mr^opd^Spi 17 -~m: H22i 1977^9^0^ p;t£v;cub*24<5^p; i^^od^pri^vrciiK 246^111: 32 65062 i Tria De Arithmetica Libi x. Tria autem quadrata funt ex feptem partibus hoc modo 9p:F$mcub* 484^ 234878 v; cubi^S^ -tutm 23487833-^ m:ivv:cixb.2$<$±p:Fz6$o<>}± mt^zv: 25-tf £ m;R2 <55-0(5$ £ m;u2v: cub* *?<>- p; m; f^v: cub* z$6~m:vy. 6^063-+ Inde iundis tribus quadratis cum cubo fex partes, quae funt uz v: cubi ese aequales p:cu m; cadunt Sc relinquitur 2 1 adamufsim aggregatu* / De cubo ac numero aequalibus quadratis* Gap* X V I* R.EGVLA, j Oc capitulum per fe patet, ex demonftratione 7’ capituli* regula eft, duc 132 cubicam numeri,in numerum quadrato rum,pro ducetur numerus rerum aequaliu cubo, & eidem I- numero,inuentis autem aeftimationibus , duc cubicam numeri in fe, 8c productum diuide per quamlibet aeftimationem in* uenta, exibit aeftimatio quaefita utracp* Exemplum, 1 cubus p:tf4,ae* quetur 1 8 quadratis,duc 1 8 in 4 cubicam <54, fit 7 2, numerus reru aequalium cubo p;64,huius aeftimationes funt ex capitulo fuo,8 SC 1^ 24^m:4,cum quibus diuide 1 63 quadratum 4,^2 cubicae <£4, exit 2 , & 15296 p;8,& hae funt aeftimationes* Demonstratio* Et ftt una aeftimationum habita a b,uo!o habere reliquam , facio quadratum a B,quod fit a c38c detraho a b ex numero quadratorum & relinquatur a d,& ducatur A D,in aggregatu ex a b,& quarta par* te a d , & fuperficiei produdae fumatur latus quod in eam poteft,& ei addatur dimidium a d, & fiat e f, quam dico efle fecundam aeftimatio nem,fiat quadratum e f ,& fumatur e g, quae cu e f iunda , aeqlis fit aggregato A b 5c a d* Quia igitur e f quadratum , aequale eft produdo ex tetragonali infe,& dimidio a d in fe , &t produc do tetragonalis in a d ex 4* 21 elementorum,erit quadratum e f, aequale produdo a d in aggre* garum ex L b ,& dimidio ad,& tetragonali ex 1 6* 6 1 elementorum , igitur e f media inter A D & aggregatum A b & tetragonalis Sc dimidio a d , dimidium autem ad& tetragonalis com ftituunt E.F,ex fuppofito, e f igitur proportionalis eft, iter ad8c ag* I gre* AB &E F A B 'E F E G A D Hieronymi Cardani gregatum ab&e F*Rurfus,quod fit ex a b & a d , in ab & e f, se* quale eft ei quod fit ex e f & e G,in aggregatu ab&e F,quia ex fup* polito e f,& e G,aequantur a b,& Ad&ab&ef manent ide, quod autem fit ex a dui a b di e F>ex probatis* aequale eft quadrato e F,igi tur quod fit ex a b in a b & e F,cum quadrato e F,aequale eft ei quod fit ex e f SC e g in e f &ab, abiedo igitur communi quadrato e f, erit quod fit ex a b in aggregatum a b & e F,aequale produdo ab SC e f in e G,cum eo quod fit ex e f in a B,detrado igitur communi ite rum produdo* a b in e F,relinquetur quadratum a b, aequale produc do ex a b 5c e f in e G,quare A b media inter e g 8c aggregatum a b e F,fuerat uero,ut dictum eft,E f media, inter ad Sc aggregatum a b & e F,funt igitur tres quantitates proportionales,ih duobus ordi nibus, quarum prima in utroCp ordine eadem eft, uidelicetaggregatum a b & e f , igitur ex 54* f1 noftri fuper Euclide, e g ad A D,ut a b ad e f du* plicata,quare ex 1 6' elementorum, e g ad a b, ut a c ad quadratu e Figitur ex $4* 1 1 1 elemento rum,corpus quod ex a d in a c, aequa* le eft corpori ex e g in quadratum e F,fed a b fuit eftimatio rei igitur corpus quod ex a d in a c aequale eft numero ~ [uationis polito ag* gregato a d &C‘A b nu mero quadra torum, per demonftrationem ha* bitam in capitulo 8°,igitur produdum ex e g in quadratum e f , eft aequale numero £quationis*cum igitur ef&eg, fint aequales nume* ro quadratorum,quia aggregato a b Sc a d , Sc ex g e in quadratum E F,fiat numerus pquationis,eritper Sm capitulum, e f rei aeftimatio, quod erat probandum* Regvla* Regula igitur eft,minue primam aeftimationem i numero qua* dratorum,& refiduum duc in aggregatum ex prima aeftimatione , 8C quarta parte eiufdem refi'dui,& produdi accipe radicem,cui adde di* midium eiufdem refidui,aggregatum eft aeftimatio rei quaeftta* Ex* emplum,fit cubus cum 24 aequalis 8 quadratis* & aeftimatio cognita 2, ab fido 2 ex $, numero quadratorum relinquitur hoc duc in $ quodconftat ex 2,prima aeftimatione,& 1 —quarta parte tfrelidukfit 2 1 ,cuius radici adde dimidium primae aeftimationis,quod eft 1 ,fit 32 2 1 p; 1 ,aeftimatio quaelita* De aibo, quadratis & politionibus aqualibus numero* Cap* X V I E DEMON* De Arithmetica Lib* x» 3 6 D EMON St RATIO* It gratia exempli cubiis A b,& 6 quadrata,& 20 politiones aequalia 1 oo,& addam b e ad a B,quae lit 2,tertiapars nu meri quadratorum^ deferibitur cubus uniuerfalis a c, fe eundum quod componitur ex luis o&o partibus , erit igi* tur cubus a b, f d fuperficies cum lua altitudine, & cubus b c 8 , quia b c eft 2 ySc a d corpora , 6 quadratis ab, aequalia , 8c corpora de 12 a b fe u duodecuplo a b ex fexto capitulo huius libri , quia igitur cubus ab&^ quadrata Sc 20 politiones , aequantur 100 * addant tur 8 politiones, quae funt reliquum ad 20 politiones , cubo Acs qui iam equebatur cubo a b,& 6 qua dratis,&i 2 politionibus,^ cubo b c, erit cubus a c cum 8 politionibus, ae* qlis 108, nam cubus a c excedit tria corpora d a,d e,d F,in cubo c d, qui efi8,atquia 8 politiones ab deficiut a b , 8 politionibus a c cubi maioris, in 8 b c feu o&uplo b c,quae elt 2,ad* demus igitur ocfiuplum b c utriq? par ti,& fiet cubus p;8 rebus,gqualis 1 24 nota igitur ex capitulo fuo a c,auferemus b c, relinquitur a b. Sit rur fus cubus a b,& 6 quadrata & 1 2 res,aequalia 1 oo,igitur addito co* muni cubo b c,erit cubus a c gqualis 1 o8,& aci^ cubicp 1 o8,& a B 2 m:quam a c cognita,ht denuo cubus & d quadrata a b & 2 politio nes aequalia 100, additis igitur 1 o politionibus reflduis,ad complens dum corpora i> e,& addito cubo b c,fiet cubus a c aequalis 1 o poli*1 tionibus fuperadditis,& 1 o8,fed 1 o politiones a b deficiunt a 10 po (itionibus a c 111 1 o b c, addemus igitur iobc utricj? parti, fiet cubus a c p;2o,aequalis 10 politionibus p: 10 8,abrjce 20 ex utracp parte, relinquetur cubus a c aequalis 1 o politionibus p;88,inuenta a c ,mi* nue bc& relinquetur A b necefiario cognita* Regvla* Regula igitur communis eft,duc j zm partem numeri quadrator rum (quam hoc figno , Tpqd; demonftramus ) ad cubum , addeq? numero inde duc numerum quadratorum in lui tertiam partem * 3C produefii differentia a numero rerum, eft numerus rerum addendam cubo,ubi produ&um fuerit minus numero rerum propofitarum uel addendarum numero,ubi productum fuerit maius numero reru pro* pofitarumtSi igitur differentia eft nulla, producfH & numeri rerum erit Hieronymi Cardani erit cubus xqualis numero iam coaceruato,inde furnpta radice cubi^ ca numeri, minue ex ea Tpqd; & refiduum eft rei seftimatio,quod fipo fitiones 8c cubus,xquentur numero , duces numerum po litionum in Tpqd;& productum addes numero iam aggregato,&: habebis cubu, &£ res iam i nuentas , aequales numero iam aggregato,inde ab aequatio ne minue rpqd:,& refiduum eft xftimatioQuod fi produdum fuerit maius numero rerum,duc differentiam, quae eft numerus rerum , in Ypqd;&produdum minue ex numero,que habebas, aggregato,& fi nihil fupereffhabebis cubu,£qlem rebus iam propofiris tantu, quare deducendo ad minorem denominationem habebis qdm ecquale nume ro,& reserit^ quadrata numeri rerum, aqua minue rpqd; &C rdi* duum erit xftimatio rei* Quod fi in detradione produdi ex numero rerum in Tpqd; a numero aggregato,fuperfit , numerus ille cum re# bus iam propofiris ,aequatur cubo,inde ab aeftimatione minue Tpqd; refiduum eft eftimatio quaefita*Sed fi produdum numeri rerum in Tpqd:maius effet numero iam aggregato, differetia eft numerus , qui cum cubo aequatur rebus iam propofiris, inde habita aeftimatione mi nue Tpqd; 8C refiduum eft aeftimatio rei* Cor” * Ex hoc patet,quod tale capitulum refoluitur in qumtj capitula* cubus 8dres gquales numero* cubus aequalis numero* cubus aequalis rebus* cubus aeqlis rebus 3c numero cubus 3c numerus aeqles reb9 quaefunt haec in margine pofita , 8c non poliunt refolui in plura, in ali# quibus autem fequentium refolu# tiofit in tria poftrema tantum,in omnibus autem capitulis quatuor denominationum,comune eri, cum fuerintrefoluta incapitulum trium uel duarum denominationum,ut xfiimarioni inuentp addatur aut minuatur Tpqd; ut in hoc capitulo femper minuitur,& commune efi etiam omni capitulo , ut rerum nu^ merus $C numerus ipfe conliituantur eodem modo , uelut hic nume# rus rerum,eft differentia numeri rerum affumptarum in capitulo qua tuor denominationum,& produdi ex numero quadratoru in fui ter# tiam p artem, & numerus capituli in quod refoluitur , efi differentia produdi ex numero rerum iam inuentaru,in Tpqd; aggregari ex cubo Tpqd;& numero aequationis primo* Q^ViESTIO I* Exemplum *Eft corpus quadratum undequaq^, quod cum fuper ficiebus & lateribus eft 2 2, dices igitur, cubus & 6 quadrata Sc j 2 res sequantur 2 2, cuba igitur 2,terriam partem numeri quadratorum, fit $sadde ad 22 fit J o, deinde duc 6 numerum quadratoru in 2 fui par# tem De Arithmetica Li e; x; 17 tcm £ertiam,fit 12, differ entia cuius a numero rerum eft nihil,nam res etiam fuerat 1 i,habemu$ igitur 1 cubugqualem 30 9 &res eft ^ cub. 3 o 3 abij ce 2 Tpqd; fit aeftimatio rei,i£ cub.^o m: 2. Experienda autem eft,ut jungas 1 cub.pltf qd:p; 1 2 reb9 , Sc fiut 22* Sex quadrata 24 pa^ ctfb.f 94400, m;i£ aib.42 4720 cubus 223m;R2Cub*ic>44oo3p;R2Cub,5’i 840 Duodecim res cub. f j 840 m; 24 Aggregatum 22 QjvmsTiq ,1 u Exemplum fecundi Jnuenias quatuor numeros continue propor tionales , quoru m primus fit ^ ,& reliqui tres fint 1 p, pone zm 1 rem* erit tertius-l-qdrati, 3C quartus erit ~ cubi , igitur 2 pofitio y qdrati, ~cubi,aequantur 1 p,duc ad integra habebis cubum 8>C $ quadrata 3C p re$,£qualia 1 7 1 ,nam omnia ducuntur per p, adde igitur cubum ter tiac partis numeri quadratorum ad 1 7 1 ,& ell 1 ,fit 1 7 2, deinde duc | numerum quadratorum in fui tertiam partem fit ^ , huius produdh,& p numeri rerum, differentia eft numerus rerum , quae cum cubo ae* quantur numero, quia producftum fuit minus, duc igitur 6 numerum reru in 1 Tpqdifit^addead i72,fit 17 8, igitur cubus & 6 res equan tur 1 7 8,& rei aeftimatio eft v: cubica 1^2 79 20 p: 89 p: v: cubica n* 7p2p m*8p,ab hoc minue Tpqd: quae eft 1 ,habebis fecundam quanti tatemi^ v; cubicam 1^70 2pp:8pm :i^v: cubica R27 p2p m; 8pm:i, ex qua habebis reliquas* Exemplum tertq modi. Cubus Sc 6 quadrata Sc 1 pofitio,scquan tur I4,addecubum2 Tpqdiquieft 8,ad I4,fit 22,deinde duc 7 p; 5“ Exemplum quinti modi. Cubus & o quadrata,8e 2 res, aequantur q,adde 8, cubum Tpqchad 4 fit 11 , deinde duc <> in fuam tertiam par tem, fit 1 2, differentia a 2, numero rerum eft 1 o,iiumerus rerum , duc in 2 Tpqd:fit 2o,cuius differentiaab s 1 ,eftp numerus , qui cum cu* bo aequatur 1 o rebus,quia produeftum 2* maius eft numero aggre* gato,uoco autem produ&um fecundum, quod fit ex numero rerum iam inuento,in rpcjd: aeftimatio igitur rei quando cubus & 9 aequalia funt 1 o rebus eft 1 , uel nz 9 ^ m: abfice igitur 2 rpqd; fient duae aeftimationes quaefitae,altera 32 9-^m; 2 -alia m; 1 ♦ De cubo,& rebus aequalibus quadratis Sc nu* mera* Gap. X VII L D e m O N STRA T I o* It in eadem figura , cubus a c cum ^ 4 a c , aequalis <£ qua* dratis a c p: 1 00, (gratia exempli) diuidatur cubus a c, pofita b c Tpqd:fcilicet 2,1'nfuas partes, erit cubus a c, ae^ qualis cubo a B,cubo b c,fex quadratis a b,& i 2 politioni bus a B,at $ $ A c,funt ^ A b,& b c,quae funt quatur cubop: } rebus,& rei aeftimatio eft mv: cubicam 2 6 p: f,m: m v: cubica 2<5m; f , cui adde 2 Tpqd: habebis quaefitam aeftima# tionem, Exemplumquartu. Cubus 1 ^ res,aequantur 6 qdratis p: 1 o, itera habebo cubu Sc 3 res,aeqles numero, & numerus qedudus erit 50, ut prius,uerum aggregatum ex duplo cubi 2,Tpqd:& j o nume# ro aequationis,eft 2<5,differentia igitur eff 4 , cum igitur cubus | res aequentur 4 , rei aeftimatio eft 1 , & quiaprodudus numerus eft maior aggregato,id eft 30 ,maior eft 2d,minuemu$ 1 aeftimationem aequa# j I De :Arithmetica Lib* ■ 3t. $6 sequa&onis intientae ex 2,rpqd: & relinquetur i aeftimatio qtefita cubi & 1 f rerum, aequalium 6 quadratis 8c io* Ideo patet quod in hoc cafu,ubi cubus Sc res,aequanttir numero* fi differentia numeroru nulla foret,uelut fi loco i o,pofuiftemus 1 4, aeftimatio rei eftet Tpqd; fcilicet 2,quia inaequatione inuenta, nihil haberemus addendum uelminuendu,quia cubus 8c | res, aequaren# tur nihil* Exemplum quintum. Cubus &£ 1 o res,aequatur 6 quadratis p:4, duc igitur numerum quadratorum in tertiam fui partem,ut prius, fit 1 2,differentia cuius a numero rerum , eft 2 , Sc quia produdum eft maius numero rerum,ideo 2 res aquabuntur cubo,pro numero itacj duc 1 o numerum rerum primum,in 2 xpqdifit 20,differentia cuius a 2o,aggregato dupli cubi Tpqd:&4,eftnihil,igitur no habebimus numerum,fed cubus aiquabitur,ut didum eft, 2 rebus, igitur depri* mendo, quadratum aquabitur 2, ergo rei aeftimatio , eft 2 , quam addeuel minue Tpq d:, habebis lieram aeftimationum quaefitam,2 p* 2,11 ei 2 m;^2 2,6e poteft etiam efie 2 , Sc fic habet tres aeftimatio^ nes hic cafus. Exemplum fextum. Sit cubus 8>C 2 i res,equalia p qdtw ptfjtunC tit prius, ducam p, in $ tertiam fui partem, fit 27, huius differenda a 21 ,eft duiumerusTerumjCubo aequandarum, quia produdum 27» eft maius 2 1 numero rerum, addo igitur 54., duplum cubi Tpqd; ad f numerum aequationis fit pp,cuius .differentiata 64 , produdo nu* meri rerum prioris,in Tpq d; eft 4, igitur quia produdum eft maius aggregato,addemus numeru cubo,&£ fiet 1 , cubus p;4,aequalis 6 re bus,iam inuentis, huius igitur aeftimationes funt tres, prima eft 2,fe^ Prima 5- Secunda 2 p:i£ | Tertia 2 mtF£ $ eunda $ m; 1 , tertia fida m:t£ } p: 1 ,quas ad*» de ad £ Tpqd; habebis ueras aeftimationes il las quas a latere uides* Exemplum feptimum. Cubus Sc %6 res,aequantur 1 2 quadratis p: 1 2,duc 12 numerum quadratorum, in fui tertiam partem,quae eft 4,fit 48, cuius differentia a 2<5,numero rerum,eft 22 quia produc dum eft maius numero rerum,res aquabuntur cubo, deinde duc 2 6 numerum rerum,in 4 tertiam partem numeri quadratorum, fit 1 04, abfice ex 140 duplo cubi Tpqd;& 1 2 numeri fimuliundis,fit nu merus addendus rebus, quia aggregatum eft maius produdo, econ trario,exemplo praecedenti, cubus igituraequabitur 22 rebus,p:jtf, quare eius erunt tres pftimationes,prima i p p: 1 ,& eft uera,fecun da fida m;i£ ip m; 1 ,tertia etiam fida, quae eft m;2,has adde fingu** K t las. H t E R O N II C AR.DAN! las,Tpqd;habebis ueras tres aeftimationes, quarum experientiam a latere in margine pofui. Ex hoc patet, quod numerus quadratorum* in his tribus exerm pliSjin quibus pftimatio rei triplicatur,femper componitur ex tribus Prima $ p: i p Secunda > m;i^ ip Tertia 2 cubus primae 4 1 o p: R2 i 67 8 £4 2C 2 m;u2 componunt p , nume# rum quadratoru , & in feptimo exemplo, 5" ptR2 ip,8^ f m;^2 ip 2, componunt 1 2 , numerum quadratorum, ideo duabus co* gnitis,tertia femper emergit , Sc caufa eft cognita in initio huius libri ♦ Et manifeftum eft , quod cum peruenimus ad res , qux a cubo feparantur, feu numerus rebus , feu cubo iungatur , fem# per emergunt tres elimationes, & caufa dida eft fuperius ibide, 'ubi de uera & fida ceftimatione locuti fumus. Et patet etiam, 1 aggregatum 60 quod omnes modi hi, ad additionem femper poflunt referri, quam# uis minus cum additur,uicem gerat plus cum detrahitur , oftenfum eft enim quod tantum eft minuere 4 ex 1 2, quantum addere 4 m; ad j 2, utrocp enim modo fiet 8, Eft etiam demonftratio alia huius capituli inuentaa Ludouico Ferrario, clarius oftendens rationem harum operationum, Alia Demonstratio, Sit igitur cubus & 1 00 res aequalia 6 quadratis p: 1 o numero. Et ponatur a b rei a?ftimario,B c Tpqd; a g autem sequalis,B c, qua^ re g b eft differentia abSCb c,cubus autem gb, eft differentia cubi a b cum triplo a B,in quadratum b c,a cubo b c cum triplo b c 111 qua dratum a B,ex fexto capitu!o,cubus uero A b cum 1 00 rebus,rcqua# tur 6 quadratis p: 1 o,ex fuppofito, quare fi eam seftimatio* nem b g detraxeris ex b c,quse eft Tpqd;fcilicet 2 , habebis quantitas tem a B,qusefitam» Alia Demonstratio» Ponatur rurfus, cubus cum $• rebus, aequalis 6 quadratis ac Io, & ponatur e f res,D e Tpqd; differentia d e Sc e f, e H,eritc£ ex de»* monftratione confimili prsem if* fse,ut cubus e h, sequetur 7 reb9 i bT" " p: 1 6,inde inuenta seftimatione, fi ei addatur h f Tpqd; quae eft 2, habebitur e f res quffita,necin hoc addam uerba,quia demonftratio eft fimilis prsemiftse,8C operatio ei* us in hac parte, eft clarior in noftra depionftratione» Re g v t a» Regula igitur fumpta ex hac demonftratione eft, fi numerus re* rum xqualis eft,produffo ex numero quadratorum in fuam tertiam partem, duc Tpqd:ad cubum,Rt cubicam differentisehuius,&: nume* ri aequationis, adde Tpqd: ubi cubus fit minor numero , aut minue, ubi iit maior,& totum eft seftimatio rei,manifeftum eft autem, quod ubi cubus Tpqd:& numerus,fint sequales,non addemus nec minue* mus,fed Tpqdierit ipfa rei seftimatio. Exemplum. Cubus & 1 2 res , sequantur 6 quadratis p; 8 , tunc quia duefto ^numero quadratorum, in 2 fui tertiam partem , fit 1 2, numerus rerum,adunguem,ideo duc 2 Tpqd: ad cubum, fit 8 , cuius differentia a numero sequationis nulla eft , ideo seftimatio rei eft 2 Tpqd;Et fi cubus Sc 1 2 res,scquantur 6 quadratis p: 9, tunc quia cu* bus sequatur numero,abqciemus 8,cubum Tpqd:exp,relinquitur 1 cuius i£ cubicam quse eft 1 ,addo Tpqd: quia cubus Tpqd. eft minor aequatione numeri, fit rei seftimatio Et eadem ratione , fi cubus p; 1 2 rebus,xqueturd quadratis p;73detrado 7 ab 8>cubo Tpqd.re linqui* i Hieronymi Cardani linquitur f 3cuius cubicam quae cft i , detrahe ex 2,Tpqd, relinqui# tur j , rei aefiimatio. Quod fi numerus pofitionum’, maior fit produco ex numero quadratorum in fui partem tertiam, differentia erit numerus rerum, ut in prima demonftratione,& fuis regulis , hunc duc in Tpqd, Si ei adde cubum Tpqd, Si huius aggregati , numeriqp aequationis differ rcntia,eft numerus aequationis cubi, Si talium rerum differentia , fi nulla fit, aefiimatio rei eft Tpqd, Et fi numerus aquationis efi minor aggregato, aeftirriationem inuentam minue, Si fi maior,adde Tpqd, quod riet,erit rei aeftimatio,Exemplum,cubus& 20 res,aequantur 6 quadratis Si 24,du,& rei eftimatio efi i ,quod minue ex 2, Tpq derelinquitur uera aefiimatio rei j , minuifii autem , quia 1 f nu# merus aequationis,efi minor aggregato cubi St produefii , quod efi 24 ,& fi bene animaduertis, eodem modo fit in prima parte regulae, quando numerus rerum aequalis efi produ rebus , aeRimatio igitur eR 2 , uel 5 m: 1 , &fi6 numerum pquationis 8 cubum Tpqd*fit 64, differentia producti ab aggregato nulla eft , res igitur aequabuntur cubo, quare deprimendo qdrarum pquatur } 2 ,8c res eft $ 2,& ue* ra aeftimatio $ 2 m;2*Rurfus,cubus 5c 6 quadrata,aequalia fint 20 rebus p: 1 1 2, duc 6 in 2,ut prius,fit 1 2,a dde ad 20 , fit ^ 2 , numerus rerum,duc in 2 Tpqd* fit ^4,abqceex 1 20 aggregato cubi Tpqd* 8C numeri aequarioms,re!inquitur numerus qui cum $ 2 rebus,aequa tur cubo,res igitur eft 29 p: 1 ,minue Tpqd* relinquitur seftimatio rei ne 20 m: r.Rurfus, cubus Sc 6 quadrata,aequalia fint 20 rebus p: 4 1 ,habebis igitur ut prius,in fecunda aequatione, j 2 res,& 1 $ nume rum,nam detracto 45) aggregato numeri aquationis & S cubi Tpcjd* cx ^4,produficut diximus in capitulo primo* De cubo aequali quadratis rebus Sc numero* Gap* X X* D EM O N S TRA TIO* It iterum cubus a c,aequalis 6 quadratis, f rebus , & 88 (gratia exempli) 3c ponatur b c Tpqd* fcilicet 2 , manife* ftum eft igitur, quod cubus a c , aequatur d quadratis a b & i 2 a b,& cubis a b,& b c, haec eadem igitur aequalia funt 6 quadratis a 0,5- rebus a c,&88,abficiatur i am cubus b c com munis, fcilicet 8,relinquentur,cubus a b & c» quadrata a b, & 1 2 a b, aequalia 6 quadratis a c,^ rebus a c,p:8o,at 6 quadrata a c, fuperat 6 quadrata a b in 6 gnomonibus a b quadrati,& erunt 24 res ex a c, minus * / • , » \ De Arithmetica Lib*. x, 42 «nimis 6 quadratis b c,quse funt 24 5 igitur 6 quadrata a b & 29 res A c38£ ^scqualiafuntcubo A b,& 6 quadratis A 1 2 rebus a b, abrjciantur igitur 6 qdrata a B,comuma , relinquentur 25) res a C,pt f^aeqles cubo a b,Sc i 2 rebus A b ,& 2p res a c3fuperant 25) res a \ 1*1125) b c,quare in fS^quiaB c eft 2,igitur addatur numerus numero* erunt 25) A b SC 1 inaequalia cubo a b & 1 2 rebus a B,abi)ciantur de nuo 1 2 res communes,erunt 1 7 res p; 1 j ^aequales cubo, inde habi* ta seftimatione,adde ei b c* Regvla* Regula igitur eft. Duc numerum quadratorum in tertiam fu i partem^ produdum adde numero rerum,aggregatum erit nume# rus rerum,xqualium cubo,pro numero autem,duc numerum rerum fecundum in rpqd.Sc produdum adde numero aequationis , a quo minue cubum Tpqd. reliduum eft numerus,qui cum rebus sequatur cubo jinde inuenta seftimatione,adde ei Tpqd, 5C habebis aerum sefti «nationem* Q_v & s t i o* Exemplum,in hac quseftione. Quidam dedit aureos 1 72$ ad ca put anni ut dicunt,feu fub ufura rediuiua,ea conditione * ut reciperet tertio anno,ex capitali & ufura* quantum eft dimidium capitalis}& di midium eius quod debuifiet in fine primi anni ,8^ dimidiu eius quod debuifiet in fine fecundi anni3ubi retinuifiet peamiass<5c uoluifiet fol uere fub eade ufura. Pone igitur quod in capite primi anni haberet 1 44res,in capite fecundi anni habebit 1 2 quadrata,in capita terti j an ni habebit cubum*& hic erit sequalis dimidqs reliquorum annorum fimul fumptisjigitur cubus erit sequalis 6 qdratis 72 rebus & 725), duc igitur 6 numerum quadratorum in 2, tertiam fui partem , fit 1 2 adde ad 72 fit ^numerus rerum,duc 84 in 2 Tpqd, fit 1 68 > adde ad 725>5fitSp73abrjce 8,cubum Tpqd. fit 88p, igitur cubus sequatur 84 rebus p: 889 , seftimatio igitur huius erit uz v; Cubica 444 j~ p; Fg I75'^284,p:i^v:cubica444“m:i^ 175^2 8 -^huic adde 2 Tpqd.ha bes qusefitam seftimationem 32 v: cubicam 444 ~p: i? 175628— p; v: cubica 444 ^m:i£ 17 562 8^-p:2,cuius cubus eft quantitas pecu* niaru,quse ei debentur tertio anno,inde detrado 1 7 2S, habebis for* tem*per terminos proportionales* De cubo SC numerOjSequalibus quadratis & rebus «. Caput X X L L z Demon* 1 Hieronymi Cardans D EMO N S T RATIO* It cubus & i oo, aequalia etiam 6 quadratis , 8c 24 rebus* {& fit cubus ille A c,& b c Tpqd.cuntJ cubus ac, aequalis fit cubo a b &C 6 quadratis A b , & i 2 rebus ab , & cubo [b c,qui eft 8, erit cubus a b, Sc 6 quadrata ab,& i 2 res a b,& I o 8, aequalia 6 quadratis A c,8 1 24 rebus a c , fed 6 quadrata a b, minor a funt 6 quadratis ac, in 6 gnomonibus ade, & 24 res a b, minores funt 24 rebus a t,in 24 b c,quare cubus ab, Sc 6 qua* drata a b,& i 2 res a b,& i o8,aequantur 6 quadratis AB.&d gno* monibus a d e ,8c 24 rebus a b,& 48,nam 24 b c funt 48,igitur ab* iecftis ex utraq? parte 6 quadratis A b,& i 2 rebus a b, Sc 48, erit cu* bus a b,& tfo,aequalis <5 gnomonibus ad e,& i 2 rebus a b, funt au* tem << gnomones a d e, 24 res a B,p:?4 , eo quod quaelibet fuperfi* cierum a d,& d E,eft 2 res,eo quod b d eft 2 , Sc quadratum bc eft 4,igitur y 6 res a B,&24,equantur cubo a b p;<5b,abqce 24 ex utraqj parte, erit cubus ABp;j <5,aequalis 3 6 rebus a B,inde cognita A b ad* demus eams e,quae eft Tpqd*& conflabitur aeftirnatio* R EGVLAt Regula eft igitur* Duc numerum quadratorum in ter tiam fui par tem,produ(ftum adde numero rerum,& conflabitur numerus reru, hunc duc in Tpqd* & producii fume differentiam ab aggregato ex numero aequationis,&j:ubo rpqd*quae fi' nulla eft, erunt res aecjles cubo ♦ Si uero produ&u fuerit maius aggregato,differentia eft nume rus, qui cu rebus aequatur aibo,& fi'uaggregatu fuerit maius produ* (fto,differentia eft numerus, qui cum cubo aquatur rebus,inde habi* taaeftimatioe,addes eam xpqd.& conflabitur uera^ftimatio. Memi neris tamen, quod quando capitulum hoc peruenerit ad capitulum cubi aequalis rebus &C numero, addenda erit uera aeftimatio eius , 8C ex his quae fi&ae funt minor,per m; Tpqd:ut habeas utramcpaeftima* tionem capituli cubi & numeri aequalis rebus & quadratis,cum capi* tulum cubi aequalis rebus &numero,unam tantum ueram aeftirnatio nem habeat* Exemplum,Cubus .& fit $ numerus rerum., duc } 6 in Tpqd*fit 7 2 3 differentia cuius a 1 $ tf^aggre gato 128 numeri aequationis»& 8*cubi Tpqd*eft #4*numerus adden dus cubo,quia aggregatum maius produ (fto 72* quare cu# bus & s#4»aequalia erunt 3 6 rebus* acftimationes autem funt 2 * &R2 9 $ m; i »quas adde ad 2 Tpqd* fiunt uerae jeftimationes 4*uei $$ p* 1 4Rurfus3fit cubus 8t p»aequalis 6 quadratis St 24rebus*duc»ut pri# us»# in 23tertiam fuipartem»fit 1 2,quem adde ad 24* numerum re# rum»fit 3 #,numerus reru»ut prius»deinde duc 3 #» in 2 Tpqd» fit 72* differentia cuius a 1 7 aggregato 8, cubi Tpqd* 8t 9 numeri aequatio nis»eft f^ideoquia produ&um eft maius aggregato * addemus 54 ad res,& habebimus cubum»acqualem ^tfrebus p:4f»huius igitur ue ra aeftimatio eft»r£ 1 7-^pl 2-f»falfa maior eft m; f » St falfa minor mt v;i£ 27 £m:2~» feu ut clarius intelligas* 2 ^-m:u2 f 7ip adde igitur hancaeftimationem»8c fimiliterueram» Tpqd+ quae eft 2, habebis aefti mationes quaefitas»alteram4~p:F$2 17 ^reliquam 4^m:i^ 17^ De cubo rebus & numero» aequalibus quadratis* Caput XXIb Demons tra TI 0«- , / It denuo cubus a c»cum 4 rebus»& 1 6 numero»scqua!is 6 \ quadratis»& b c fit Tpqd»ut prius, refoluemus igitur au» l bum a c»qui aequalis eft cubo A B,#quadratis a b , 1 2 re# bus ab,& cubo b c,qui eft S38t er it hoc totum * cum 4 re# bus a c3St 1 coaequale 6 qdratis A c,quare cu 4 res A c,fi'nt 4 res a b* p:4 b c Scideo p:8,erunt cubus a B,p: 6 quadratis a b * p: 1 6 rebus a B5p: $ 2,aequalia 6 quadratis A c,# aut qdrata ac» aequalia funt,ut demQnftratumeft,# quadratis A B,p;24 rebus ab» p: 24» igitur cu# bus a b,& # quadrata a b,& i <5" res a b,& 7, 2» aequalia funt * 6 qua# dratis a B»p; 24 rebus a B»p; 24»abijce ex utraq? parte 6 qdrata A B» St 1 # res 3St 24»relinquetur cubus AB,p:8»aequalis 8 rebus» inde co# gnita a B»adde ei b c» Tpqd*& fiet a c cognita»rei aeftimatio^Rurius* cubus Stores St i »xquentur 6 quadratis»erunt igitur 6 qdrata A C* ut prius,# quadrata A b, 24 res a b»& 24* At cubus A c»cum 4 rebus A c»p:T »aequalis eft cubo a b,& # quadratis A b» St 1 # rebus » & 1 7* quare abie&s communibus»# quadratis a b,8c 1 # rebus a b » St 1 7» erit reliquum reliquo aequale»fcilet cubus»aequalis 8 rebus p;7 a inde cognita a B»habes a c,ut prius»addendo b c Tpqd* L 2 R E G V# Hieronymi Cardani Regvla, Regula igitur e fi:. Duc numerum quadratorum in fui tertia par# tem,8c a produdo minue numerum reru,quod fi fieri nequeat, cafus efi: impofsibilis ,in uera seftimatione,refiduum. itacp erit numerus re# rum,inde multiplica primum numerum rerum in Tpcjd, &produ&u adde numero aequationis,huius aggregati St dupli cubi Tpqd,diffe* rentia accipe,quaefi nulla efi,habes cubum aequalem rebus folum, fin duplum cubi Tpqd, maius efi:, differentiaefi numerus addendus re# bus,fi duplum cubi minus efi aggregato, differentia efi: numerus ad# dendus cubo,inde£ftimationi inuentae adde Tpqd, ut habeas sefiima donem ueiam. Exemplum, cubus Stores St S,aequantur 6 quadratis , duc 6 in 2,tertiamfni partem,fit 1 2, abi) ce 4 fit numerus rerum 8, duc etiam 4 numerum rerum,priorem, in 2 Tpqd, fit g,addead 8,nufneru sequa# tionis,fit 1 tv,huius St dupli cubi Tpqd, quod efi etia 1 <5,nu!la efi difi- ferentia,quare cubus sequatur 8 rebus,& rei scfiimatio efi 32 S,cui ad de 2 Tpqd. fiet uera aefiimatio rei,U2 8 p;2.Rurfus,cubus p; 4 rebus p: 1 d,£equalis'fit 6 quadratis,duco 6 in 2 rpqd, utpnus,fit 1 2, abrj* ce 4 numerum rerum,fit $,rerum numerus,duco 4 numeru priorem rerum,in 2 Tpqd. fit£,adde ad 1 6 numerum aequationis,fit 24,abrp ce 1 d, duplum cubi Tpqd. relinquitur S,igitur addemus 8 cubo,quia aggregatum maius cft duplo cubi Tpqd* & fiet cubus p:£, aequalis 8 rebus,res igitur efi 2,uel f$2 p m: 1, quare addito 2,Tpqd.fiet uera efii matio 4,uel 9 p: 1 ♦ Rurfus,cubus St 4 res St 1 , sequentur 6 quadra# tis,erunt<^,ut prius,8 res,8c dudo numero rerum priore,qui efi 4, in 2 rpqd, fit 8,addito 1 ,numero pquationis,fit p,duplum cubi Tpqd, efi 1 ^differentia efi 7 >St quia duplu cubi maius efi aggregato , erut 8 rzSySt 7 /aequalia cubo,quare res ualeti^ Tqrp^uelin aequatione falfa,minor aefiimatio erit 1 m:adde 2 Tpqd,cuiuis,habebis duas uo* ras xfitmationes/cihcet i Jk ^2 7 ^p: Memineris autem eius,quod diximus in praecedenti capitulo, e# tiam hic, quod cum peruenerit aequatio ad cubum aequalem rebus tantum,quia falfa aefiimatio a uera non differt in numero,ideo pro fe eunda aefiimatione,quia nihil additur, nec p:nec m: Tpqd, ideo ipfa rpqd,erit aefiimatio uera,in utrocp,ut hic aefiimatio cubi St 4 rerum St 8, aequalium 6 quadratis,erit 8 p: 2,ucl 2,&in praecedente capitu Io,aefiimatio cubi St <54,sequalium 6 quadratis St 24 rebus , erit 8 ut dictum eft,8c etiam efi 2, Tpqd, fcilicet,Sthoc, quia omnes additiones St detractiones,ex tertia parte numeri quadratorum fieri debent. De De Arithmetica Lib, x; 44 De cubo quadratis Sc numero,aequalibus rebus,, Caput X XI 11«. Demonstrati^ It etiam cubus,d quadrata, Sc 4, aequalia 41 rebus , Sc fit cubus A B,cui addam s c Tp'qd»entcp a c cubus aqualis cubo A b36 quadratis,i 2 rebus,8c S,loco cubi ab 6 qua* dratorum,& 4,ponantur 4 i res3his aequales , erit cubus A c aequalis 5- $ rebus A B,& 4,qui eft differentia cubi b c,& 4 numeri equationis primi,ad complendum igitur 54 res a c,addantur B c* erupttp cubus AcpU o<5", aequalia $4 rebus a c,p:4,abijce 4 exutra# que parte,erit cubus p: 1 o 2, aequalis rebus fuis,inde a c aeftima# tione inuenta,abt)ce b C Tpqd» relinquetur a b cognita,8c eft; res ipfa* Regvla» Regula igitur eft,Duc numerum quadratorum in tertiam fui par# tem,produo, igitur cu# bus p;po,aequatur 4$ rebus,res igitureft ^uel ne 24^01: 2^-,abi]ce 2 Tpqd.habebis ueras aeftimationes $,uel ne 24—111: 4Y-,5cinqs am# babus,ueru eft,quod cubus Sc 6 quadrata & i 2,aequantur $ 1 rebys* Memineris igitur quod omnes horum capitulorum aeftimationes, habentur,addendo femper ueras Sc ficftas aeftimationes capitulorum in quo refoluuntur Tpqd,& dummodo numerus relinquat, etiam id quod additur fit m:purum,illud relisum eft rei ueraaeftimatio * pol# funt etiam refolui 111 capitula alia quatuor denominationu,ut liquete De 44 capitulis deriuatiuis* Cap* X X 1 1 1 1* D EMON ST RATIO* Hieronymi Carban i It igitur (gratia exempli) cubus quadrati, cumti' qdqdra tis,aequalis i oo,& Et cubus qdrati,corpus a bcd, altitu* dinem habens a b, erit igitur qdratum, qitialatus cubi cu corporis ab cd, quod fupponitur cubus quadrati, mani*» feftum eft igitur,quod fuperficies a b c D,eft qd'qdm,quia iam A b fup ponitur quadratum,fexcuplum igitur abcd fupcrficiei,tum a b c d corpore,seqle eft i oo,ex fuppofito,ponatur igitur a b res,erit igitur corpus abcd cubus ,& fuperficies abcd qdratum, fuppofitum eft aut,quod corpus a b c D,cum fexcuplo a b c d fuperficiei , fit aequale i oo,igitur cubus a b 8c 6 quadrata a b, aequalia funt i oo , quare esc fuo capitulo a b cognita,at A b in prima inter* rogatione fuit qdratum ,igitur seftimatio qua dratiin prima interrogatione, quando cubus quadrati, 8d 6 cjd'qdu aequantur i oo, cogni» ta erit, cum fit eadem scftimationi rei in fecun da quaeftione» At nos uolumus in prima quae* ftione rei aeftimationem,res autem eft femper R2 quadrati,igitur Re a b aeftimationis inuentae per fecundam quaeftionem,eft rei gftimatio in prima quaeftionemt proponebatur» Eadem ra tioe,fi pofuerimus cubuquadrati,& cubos, aequales i oo,erit corpus abcd, cubus qua* drati,8^ ab quadratum, cui fi ponatur aliqua fuperficies quadrata 3equalis,puta e r G,erit fexcuplum corporis ex e f in e f g , cum cor pore abc D,aequale i oo, ponatur modo corpus e f Gres,quia igitur e f eft Rt A b, ex fuppofito erit cubus e fi$ cubi A b , igitur corpus A'B c D,quadratu corporis ex e f in e G,pofito igitur corpore abcd quadrato, erit cubus e f rcs,&fexcuplum eius fex res, & iam fexcu* pium cubi e F,cum corpore abc D,aequabatur i oo , &non mutan* tur corpora,fed manent eadem,&fexcuplum cubi e F,eft 6 res, et cor pus abcd quadratum , igitur quadratum & 6 res , sequantur i oo, igitur res eft cognita,fcilicet cubus e F,led cum e f fit latus cubi cum fui cubijigitur e f cognita erit,quae eft cubica,aeftimationis inueii* tae* Atcum e f fit res in prima quxftione, quia eft -Rt quadrata a b,& ab fiipponitur quadratum, pofito abcd, corpore cubo quadrati, igitur pofito abcd corpore cubo quadrati , erit res e f , & nota la* tus fcilicet cubicum aeftimationis inuente per fecundam qusdbonem, quam uolumus* Ex hoc manifeftae funt regulae capitulorum deriuatiuorum om* niuim E De Aiut hm sr i ca , L i b. x+ 45* nium. offendimus enim 111 uniuerfum, capitula 1 primitiua compofi ta,& funt haec. Primu,Quadratu seqle rebus & numero. 2m,res seqles qd° 8c nu# mero. $m,nu merus seqlis qd° Sc rebus. 4*", cubus aeqlis rebus ^niime ro. 5-m3res aeqles cubis 8c numero. 6m , numerus seqlis cubo rebus, ^"bcubus £qlis qd' &C numero. 8m,qd‘ eqlia cubo & numero. p^nume rus aeqlis cubo & qd'. 1 om,cubus aequalis qd' rebus & numero. 1 1 m, qd' teqlia cubo reb9 &£ numero. 1 2n,,numerus aeqlis cubo qd' SC reb9. 1 $m,res teqles cubo qd' & numero. 1 4m,cubus Sc numerus pqles qd* 3c reb9. 1 f™. cubus & res seqles qd' 3c numero. 1 6n\ cubus & qd' pqlia rebus 8>C numero .Manireftu eff aut quod ex his 2m, 5-™, 8m, 1 im,i Sc i4m,fccfm naturam,habent duas aeftimationes,ex toto dmerfas , SC adiueriis regulis pendentes. Vnde duplicatis his capitalis fietcapitu la primitiua 22 copofita,umcuiq? aut eorum debent duo capitula de# riuatiua,alteru ex natura qdrati,alterum ex natura cubi, nam etii deri uatiua fint infiiiita,in unoquoq? capitulo, omnia tn reducutur ad alte rum hoi^ duorum modorum,loquendo de his,de qbus poteff haberi regula generalis. Igitur manifeftu eft,ipfa efTe ad ungue 44 , quancp erh capitulum rerum aeqlium qdratis Sc numero,habeat duas aeftima# tiones diuerfas, ideo tn duplicatum dici no debet, quia illas aeftimatio nes una regula fimul habent hmiliter quamuis capitulu cubi Sc re rum tcqlium qdratis & numero,habeat tres aeffimationes ueras , non tame hoc eft illi propriu,& mea nihil refert de numero dicere , modo fdas,qudd omnia primitiua , habent duo deriuatiua diuerfi generis, 8C quod capitula primitiua copofita,ad minus reduci neqtteut quam 1 8, igitur cStracfto numero5quantuimris erunt deriuatiua falte $6 > na capitula,rcru pqlium numero & cubo,& qdratorum pqlium cubo numerQ,necefiario funt duplicata,manifeftum eff em,quantu una cfti matio ab alia differat. Oblato igit capitulo,extribus aut quatuor de# nominationibus coftante,fi non adiit numerus,primo oes denomina# tiones per minore deprime,ita ut minor in numci^ euadat,deinde ac cipe inferiore denominatione,& uide ii conftat capitulu, ex tribus de normnationibus,an minor fit radix maioris qdratauel cubica , uel q? radix minoris qdrata,fit ^ cubica maioris , tunc quseres scftimatione in cofimili capitulo ex 1 tf,deinde eius pffimationis,accipe tale radice, qlis eft denominatio minor, coparata ad minorem, una unius ordinis ad reliqua,& ad facilitate.Difpofui deriuatiua oia , in direcfto fuoru primitiuon2,m capitulo 2°,etiaconftantia ex qtuor denominationib9, in quibus fi bene aduerteris , femper minor denominatio,id eft, infe# M rior H I E K O N T M I CARDANi rior.poft numerum , eft radix quadrata unius , cubica alterius, denominationis eiufdem capituli ♦ Exemplum * Igitur fi quis dicat, i Quad'c|d' p; 2 qdratis3equantur 1 o,uides quod eius primitiuu eft quad' & res,xqualia numero,qugre igitur xftimationem qdn p; 2 rcbus,xqualis 1 o,& eft 11 m; 1 ,& quia res eft quadrata qdrati, dic quod xftimatio eldi^ v ; uz 1 1 m; 1 * 2m* Cu'q d',p: 2 cu',xquatur 1 o,eius primitiuum eft etiam quad' p; rebus, ecqualia numero,cum igitur qd' St 2 res,xquantur 1 o, aeftima tio r ei eft t£ 1 1 m: 1 ,cum igitur res fit cubica cubi,minor fcilicet de nominatio minoris,erit arftimatio quxfita v : cub ' 4 1 m: j . I Quadm relati primi,& 2 rei' prima pquantur 1 o, uides quod rela tum eft qdrata,qdrati relati primi, dic igitur hoc efie deriuatiuum ex genere quadrati,fi igitur qd' 5c 2 res,xqtiantur 1 o, xftiraario eft Rz 1 1 m: 1 , igitur cu resfttn? relata relati, dices quod xftimatio quae* fita,eft relata v;jt£ 1 1 m: 1 ♦ 4*\ Cubus c|d£1 p: $ qd'qdratis,xqualis eft 2o,tunc uides ? quod eri us primitiuum eft cubus 3c quadrata,sequalia numero , cumigitur cu bus £>C 7, qdrata aequantur 2o,xftimatio rei eft 2 *8c quia quadratum eft radix quadrata,qd'qdrati,ideo xftiraatio rei erit t£ 2. Cubus quadrati p; $ qd'qdraEis,p; 1 o,xquatur 1 quadratis, ui des quod eius^primitiuum in tabula, uel ex ratione dicfta , eft cubus &C quadrata & numertis,xqualia rebus,ideo qiixre xftimationem cu bi& ^ qd'& io,scqualium 1 5rrebus,quxeft2,&:quia res eft radix quadrata,quadrati,ideo dices quod xftimatio erit r £ 2+ Cubus cubi Sc $ cu'qdta,& 1 o, sequantur 1 f cubis , dices ut prri us,primitiuum efie cubum & quadrata oC num cr um,xquali a rebus, igiturit cubus & ? quadrata 8c i o, xquantur 1 rebus , res eft 2 , 8C quia res eft 1^ cubica cubi,ideo dicemus quod xftimatio erit $2 cubri ca 2tSc quia primitiuum habet duas xftisnariones, ut notum eft, toti* dem etiam habebit deriuatiuum,& utr iufcp F£ cubica in hoc exemplo & quadrata in prxee denti , fatisfaciet , & hoc eft generale omnibus deriuatiuis,ut habeant totidem limationes, quot fua primitiua* ytn* Sit etiam cubus cubi xqualis } cubis quadrati & itf, tunc quia ducta ty. cubi q£Iqux eft cubus,in cubu quadrati,fit cubus cubi,ideo res erit in capitulo deriuatiuo generali eius primitiuum erit, cubus sequalis quadratis 3c numero,fi igitur cubus xqualis fit 1 quadratis p: 1 d,xftimatio rei erit4,quia igitur quadratum minor denominatio in fecunda xquatione,eft cub. cubi quadrati,ideo dico , quod fit* menda erit bz cub. q,pro xftimatione.Et it a de aliis. Et De A RITHMETTCA LlSi & Et fimiliter dices, de cubo cubi ■& cubo , nani pQtelf referri ad te & cubum,ut enim res eft R2 cubica cubi,fic cubns eft cu: cubcu* bh Poteft 8>C referri ad quadratu, & cubum quadrari,nam ex; utraq^ in fuam radicem,producitur compar denominatio, nam ex quadrato in rem,fit cubus,& ex cu'qdrati in cubum y fit cubus cubi , feci prior modus eft facilior» E)e capitulis imperfectis & particularibus* Cap* XX V. Egulae hae,dicuritur generales , Sc hoc duabus de caulis* prima, qa modus lii fe generalis dt, quamcp repugnet na * tura: aefiimationis,ut fit unitierfalis,uelut fi quis dicat,oni nis numerus productus ex aliquo in fe ducto, quadratus eft,regula dt generalis,nec tamen fequitur,quod per hanc regulam, cognofcam omnem numerum quadratum,quianon licet cognofcere omnem numerum,qui ex alio Mfe dudto producitur. Dicitur & gene ralis regula, quia exhaurit aeftimationis gentis umuerfum , quamcp aeftimationon exhauriat regulam , particulares tamen funt. regii lar* quia non omnem propofitam quaeftione per illas foluere pofumus. Cum igitur cubus aequalis dt rebus & numero, Sc ex numero re* rum feceris duas partes,ex quarum una in alterius radicem , fiat nu* merus aequationis, tunc adde quartam partem eius partis , cuius fu* menda effet radix,alteri parti,& rj aggregatfaddito dimidio Rt par tis,cuius ailumpfilti radicem,dt adtimado rd. Exemplum. Cubus aequalis fit zo re bus Sc } 2, tunc ex 1 6 in rg 4,fit $ 2,igitur addo i quartam partem 4,ad itf,fit 17, I cub.aeqlis 20 reb? p: l % l*—~4 ' R2 17 p; 1 cuius rz p; j , dimidio R2 4,dt rei a?ftimatio,quare res dt r^ 1 7 p : i * Cum fuerit cubus aequalis rebus 6C numero , Sl inueneris duos numeros,producentes numerum aequationis, quorum unus fit R^ag* gregati, ex altero & numero rerum,tlle qui elt R2,dt rei adtimatio* Exemplum, Cubus aequatur 24 pt $ 2 cub^aeqlis 24 p: * 2 reb® rebus, & funt duo numeri , producentes 24, qui funt 6 & 4, quorum 6 dt rz aggre gati,ex 3 2 numero rerum , & 4 alio pro^ ducente,nam 6 dt R2 7, 6,1'gitur 6 elt rei xftimatio* Cum fuerit cubus aequalis rebus & numero,& ex numero rerum feceris duas partes,ex quarum utraep in alterius radicem mutuo, fiat dimidium numeri aequationis,radices illarum partiurn,coititUurlt iun &ae,rd adtimationem * M 2 Exenv d— 4 — -42 * 1 * ■x\ 3*, H lERONYMi -Carda ni cub9 aeqlis j o reb9 p: 24 o — 1 t% 1 >< 1 12 cub9 aeqlis ipreb9p:$o 4 - — 5> 12' 18 E,xemplum,Cubus aequetur 10 rebus p: 24,8^ ex 1 o fiunt duae partes , p £>C 1 , ex quarum mutua unius in i*e alterius mul tiplieatione fiunt p .& f,qui iundi faciunt 1 2, dimidiu 24,igitur radices p & 1 , quae funt 1 & i,iundae,conftituunt4,reiaeftimationem, 4% Cum fuerit cubus aequalis rebus & nu mero , Sc ex numero reru feceris tres partes proportionales,ex quarum dudu mediae in aggre ga tum 3 radicum primae & terdae,fiat numerus aequationis, feu ex ter# tia in rz primae,& primae in R2 tertiae,quod idem elt, tunc tale aggre* gatum didarum radicum,eft rei aeftimario, Exemplum, Cubus pquatur 1 p rebus p:$o,& ex ip fiunt tres partes proportio# nales, p, <5,4, ex quarum fecunda,quae eft 6 in 7 f/ ?<> De Arithmetica 17 numero cubo,ad 2 1 fit 48, qui produ citur ex $ F£ cubica 27,111 1 , quare qdratum aeqbitur $ rebus p;7,& res erit ^ p^,p: 1 I*, Bt fimiliter,fi' dicamus,cubus £qu$ 4 rebus p: 1 ^hic abiecfio 1 ? ex 27 numero cubo,differentia quae eft 1 2,continet4, numerum re* rum,in radice cubica 27, ideo dieo,quod abiecfio communi 27 * ex utracji parte,fiet cubus m: 27 , aequalis 4 rebus m: 1 2 , inde diuifis ambobus per rem m: communem diuiforem, fiet quad,p: $ rebus p:5>,aequale 4, qua re aequatio nulla fequetur,quamuisper ueneris ad modum aequandi , in detra* ,addita uel detracta radici differentiae numeri aequatio# nis,&|-eiufdem aggregati,coriftituit rei xftimationem* cub9 Bc 1 2 aeqlis 44 rebus 2 7 m: 1^48 7p: 48 2 •2 12 *4 27 7 - £ 3 Exemplum * Cubus p; 1 2 aequatur 54rebus,tunc quia addendo 2 ad $4, producum ex ipfo 2,1'n 6 m $ 6 aggre* gati 2,8c ^eft 12 numerus aequatiois, ideo dico,quod fi ad $ » dimidiu radicis 3 6 addatur uel minuatur r?2 7 differens tiae $4 numeri aequationis & 27 , quod eft| qdrati <5,feu talis aggregati, quod confurget rei aeftimatio, $ p:r^ 7,uel $ mtr^7* Cum fuerint res aequales cubo & numero , Bc fubtraxeris talem numerum ex numero aequationis,ita quod W- cuba d 1 ffer entiae , d u (fta in numerum rerum,producat numerum de tractum, tunc res m:r£ cu bica differentix,erit communis diuifor,fa3c rei aeffi matio erit,Rtp-^m; i~> Cum fuerint res aequales cubo &• numero, & ex numero rerum feceris tres partes proportionales,ex quarum fecunda,du(ffa in diCFc rentiam radicum primx Bc tertiae,feu ex duefiu primae im^ tertiae, & tertix in ueprimx, differentia aequalis fuerit tertiae parti numeri equa tionis,erit differentia illarum radicum rei xffimatio,8c eff fimilis 4% Exemplum* 19 res aequales funt cubo& 1 8 , cum ex 1 p faefiae fuerint tres partes proportionales 4, 9, ex quarum media delucta De Arithmetica in differendam radicum p &C 4 , quae eii i ,fiat tertia pars 18 numeri aequatio nis,ideo dico quod 1 differenda talium radicum di rei aeliimatio. Cum fuerint res gquales cubo & nu Li b; x* cub9 & 1 8 series 10 reb9 9 d 4 $ 1 a 18 i 8 res aequales cubop» 8 2, .. ~ 2 9 - 1 - 8 8 mero, & cum cubica numeri aequationis, diuiferis numerum te* rum,8c de eo quod exit,feceris duas partes , ex quarum dudiu unius in quadratum alterius,fiatnurnerusaequationis,tiinc quantitas pro* pordonalis,inter m rubicam numeri 2equationis,8c partem,quam dii cis in qdratum alterius,ut fiat aequationis numerus,eli rei aeiiimatio* Exemplum, j 8 res sequantur cu* bo p;8,diuifo 18 per 2 nzeubam 8, exit 5>,ex quo fiunt du£ partes 8 '& 1 ,ex qua rum una quae di 8 ,in quadratum alteri* us quod di 1 , fit 8, numerus equationis, ideo 4 numerus proportionalis inter 8, partep,quam duxilii in quadratum f , alterius partis , 8c 2 qz cubam 8 numeri aequationis,cii rei aefiimatio. Cum fuerit cubus &t numerus aequalis rebus , & ex tertia parte numeri rerum, feceris duas partes,quae dudae in fuas radices,produ* eant duos numeros, qui iundii, aequales (int dimidio numeri aequatio nis, aggregatum illarum radicum, di rei aeiiimatio,6<:eii fimilis ter* tiae regulae. Exemplum, i f res , aequantur cu* bo &£ 1 8, capio ^tertiam partem 1 ^3 ex quo facio duas partes , 4 Sd 1 , quae du* dxin fuas radices, z & 1 , producunt 8 8C 1 , quorum aggregatum p , eii dimi* dium 1 8 numeri aequationis,ideo dico, quod $ , aggregatum talium radicum , eii rei aeliimatio , Et iam fcis, etiam ex regula generali , qudd quotiens ex numero rerum poliunt fieri duae partes, quarum una dudia in alterius radicem , producatur numerus aequationis,quod talis R2 di rei aeliimatio, & qudd hoc po* teli effe duobus modis , 8>C quomodo cadat 111 Binomio uel recifo & integris,ideo quamuis effent fimiles primae regule, quia tamen ex ca* pitulo generali , quali uiolenterineamrapimur, fatis fuerit admo* nuilie hic. Cum fuerit numerus aeqlis cubo Sc quadratis,8c fciueris ex mime* ro quadratorum facere duas pams»ex quarum ductu unius in qua* dratum 1 $• res aquales cubo p; i 8 £ i — 4 1 — 2 — res $ 1 - ■ 8 - S>“5> I2*V 14** cub9 8>C 20 qdrata aeqlia 7 2 2 18 4 s, i8_ ii R2 1 i7m: o Hieronymi Cardani dratum alterius, fiat numerus gquationis,tunc duces partem que non in fe ducitur , in aggregatum eius qux in fe ducitur, 8c quartae partis cius,quae non in fe duciturqprodudi 1^, de trado dimidio partis, quae non in fe ducitur , di: rei aeftimatio,. Exemplum, Cubus 5c 20 quadrae ta,aequantur 7 2, ex 20 fiunt duae par * tes, 1 8 Sc 2,& ex una in quadratu alte* rius fit 7 2, nam exi 8 in 4 fit 72 , dico, qu6d fi 1 8 , ducatur in d ~ aggregatu ex 2 reliqua parte,&4~, quarta parte ipfius 1 8, fiet 1 1 7 jCuius F£, de trado 0, dimidio 1 8,oftendit ariiimationem rei r$z 1 17 m:c>, * £% Cum fuerint quadrata aequalia cubo dc numero, 8l inueneris nu* merum non minorem quarta parte numeri quadratorum, nec maio* rem tertia parte,cum quo diuifo numero aequationis , proueniat nu* merus quadratus, cuius radicis dimidium additum numero quadra** torum,faciat quadruplum ipfius diuiforis,tuncaeftimatio rei eft du* pium numeri diuiforis,p:uel m: radice produdi, ex quadruplo diui* foris,in diff erentiam numeri rerum, & tripli ipfius diuiforis. Exemplum, Cubus p: 48 aequatur 50 quadratis, tunc quia $,qm non eft mi nor quarta parte 10 numeri quadrato* rum , nec eius tertia parte maior,diuides 48 producit 1 6 , cuius medietas radicis quae eff 2 , addita ad 1 o numerum qua* dratorum,conftituit 1 2* quadruplum di uiforis ideo dico,qu6dfiduplo diuiforis quod eft d, addatur uel detrahatur R2 produdi, ex 1 2 quadruplo $ diuiforis,in 1 , differen* tiam 10 numeri rerum,&c), tripli diuiforis,& eft tale produdum etiam 1 2,quod conftituemus utramq^ aeftimationem , dp;i£ 1 2 , uel dm;R2 12, JvJot* ♦ Et fcias,qudd per capitula cognofcuntur regulae & quaeftiones fuper his formatp cum facilitate,quae alias uix foluerentur,ipfie nero regulae fumptae funt ex demonftrationibus capituli fexti, & ego non appofui eas,quia intelligentinoftros libros fuper Euclidem,funt per fe manifeftae,& nonintclligens no curabit illas,nec quaeret, quoniam non funt ei neceftariae, f d\ Operaeprecium fuerit nunc offendere, quod hae regulae non pof funt efte generales , refpedu aeftimationis , 8C modus in uno fufficiet ad 1 o quad, aeql, cubo & 48 3 3 4 4— 1<5 12 2— '10— 12 dp:i£ 12 ueldm;n2 12 a De Arithmetica L mb* 5c; ad offendendum in reliquis capitulis*Capiamus igitur capitulu pro* ximius,& de quo magis pollet hoc eredi, propter multiplicem gfiima donem , Sc fit cubus p: numero,aequalis 7 quadratis, & fit 2 | nume rus politus, id eff numerus,qui primo cognofcitur in fexto capitulo, regula fecuda,erit igitur exilia regula,rei aeffimatio , 1 6 p; 2y,qre 6 y, quare refiduu ad numerum qdratoru eff y, quare ex demonffra* tione polita in initio terti) libri,produdHi 6~ , in qdratity, eff nume* rus fracffcus,& eff |£,& econtra,du<£l:o y in qdratum 6 |,fit fracflus nu merus etiam,fcilicet 1 4 f|, quare polito numero quadratorum inte* gro,& aeffimatione fradas numeris conffituta,numerus aequationis* quieff fuperatio partium,quaefuntrationales , quadratorum ad cu* bum,nuncp poterit effe numerus integer,fed talis aequationis nume* rus producitur ex una parte numeri rerum , in alterius quadratum* Hoc offenfo,Capio cubum Sc numerum zequales 7 quadratis, mani* felium eff autem ex demonffratis in feptimo fuper Euclidem , & ex regulis fexti libri , deducendo numerum ad quadratum Sc cubum* quod maxima produdio partiit 7 in quadratum alterius , eff igitur poterit diuidi 7,ut producat numeros integros,per multiplica tionem unius partis in quadratum alterius, ab 1 ufep ad 5-0, Sc non in frados,ex demonft ratis igitur in integros , at in integris non potefl fieri nili triplex diuifio,ut patet in figura, 7 nec produci plus quam 6,20, 3 <5, 48, 50, 1 , 20* genus huius aeffimationis exhauriri pote 4, 48, 2,6+ runt,particularis igitur eff,ac ualde etiam particularis,nec tamen ere** das,quddin alijs capitulis,numerus pro Binomf) autrecifi altera par tenonpofsit inferuire,ut faepius in exemplis docuimus* Cum fuerit cubus ac numerus aequalis rebus,& ex $2 numeri re* rum feceris duas partes,ex quarum dudu primae in duplum quadra* ti fecundae, Sc fecundae in quadratum primae, fiat numerus aequatio* nis,tunc fecunda pars erit rei aeffimatio* Exemplum, Cubus & 4$, pquantur 2 f rebus,tunc quia ex ^ ,32 2^,fiuntpar* tes 1 SC 2,ex quarum dudu 2 in 18 du* pium quadrati ex 5 1114 quadratum 2,fit 48, ideo dico , quod | pars ,cuius quadratum duplicatur,eff rei aeffimatio* Cum fuerint cubus Sc quadrata,aequalia numero, Sc duo nume* ri differentes in numero aequationisfdudi inuicem,produxerint tan* N tum* cub9 Sc 48 aequalis 2 $ reb * 2>< 4 18 12- - $6 48 17 18 »'*** H- f t k o n t m i ' C a k d a n i tum , quantum ex cubo Tpqd- in cu* bum differentiae cubicarum talium numerorum, tunc differentia talium u* cubicarum,eft rei aeftimatio,ut in exem pio a latere patet* res enim facilis eff cubus 8Clt~- 3$7S— “7 " 7 2. 421 g , se 1 25- — — 27 5>8 f— 7— I Offendit regulas maiores,qusc fuiit omnino lingulares* Caput XXVI- P% Vando quadratum quadrati & res,a?quantur quadratis numero,& diuifo numero rerum ac numero aequatio* nrs, per numerum quadratorum , dimidium exeuntis ex numero rerum, fuerit radix prouentus numeri aequatio* fusiam diuifi',timc accipe uz numeri primi £quationis,& ei adde quar tam partem numeri quadratorum,& totius accipe radicem uniuerfa* lem,a qua minue u* eiufdem quartas partis numeri quadratorum, re* liduum eft rei xftimatio. Qiipff Exemplum.Qu mior iniere focietatem. Primas pofuit quanrita tem . S ecundus-pofu it quadratu quadrari decimae parris primi. Ter* tius pofuit quincuplum quadrari decimae parris primi. Quartus po* fuit qumcp,& tantum pofuit primus cum fecundo, quantum tertius tum quarto. Quaeritur quantu quifcp pofueritCPone quod primus pofuerit 1 o res,feamdtis pofuit igitur quadratum quadrari , tertius ^ quadrata,quartus autem ut diC produtfto ad* de 1 ,& ab hoc minue & aggregati ex quadrato dimidrj numeri reru & unitate,8c refidui adde uel minue a quarta parte numeri rerum, quod fiet, erit rei aeftimatio* Exemplum. Quad'qdratum & 5 4 quadrata 8c 1 2 res,aequantur 1 2 cubis 8c $ tf,tunc uides quod cubi funt aequales rebus in numero, & dimidium numeri rerum eft ^6 numeri,8t numerus ipfe eft 2 p: numero quadratorum,ideo duc 5 quartampartem 1 2 numeri rem in fe,fit 5?, adde 1 pro regula,fit 1 o,abrjcei^ $7 aggregati ex quadra* to dimidq numeri rerum & unitate,fit 1 o m;F£ 37, huius nz uniueria* lem minue uel adde ^ , quarto parti numeri rerum,habebis aeftimatio nem rei,$ p;^v;iom;^ ^73uel 3 ^7* Et modus inueniendi tales regulas habetur ex regula magna,un de etiam capitulo huic nomen dedimus,&eft,ut foluas aliquam qug* ftionem fimpliciter,deinde per regulam magnam,uel etiam aliam, de inde obferuabis conditiones necdTarias,in tranfitu ex una in aliam, poftmodum obferua,quo modo perueneris ad rei aeftimationem, Sc facies regulam nonam hoc modo fuper capitulum ignotum* Exemplum. Fac ex 6 duas partesfita quod cubus minoris,8c qua dratum maioris,&: producfium ex eadem maiore in 8, haec tria produ (fta,fint proportionalia>dico peruenies per regulam magnam ad hoc quod proportio talium partium erit F£ cub. 8,fdlicet 2,quare diuide mus <5, per ne cub, 8 p: 1 exibit rei aeftimatio, at fequendo pofitio* nem,habebimus 1 qd qdm p; 24 qdratis p: 1 44,seqtialia 8 cub.p: 96 politionibus, Dicemus igitur,quando qd'qdm Sc qdrata & numerus, aequantur cubis & rebus,& potuerimus inuenirc numerum aliquem, qui dudiis in numerum aequatio nis, pro ducat nu merum cuius du N 2 da Hieronymi Cardani &a per 6 pro regula, producat numerum , qui diuifus per primum numerum,quem multis plicajftfproducat nume rum quadra torum,tunc fi ipfi primo numero ia dido, quem multiplica* fti in numerum aequatio nis, addas $ pro regula, Sc dutfto in radicis numeri quem iam ab initio produxifti , prone# 6 ipof; tfmtipof; i cu> 1 p: rqd'm: i 2pofi I48 m:8 pof; 48 cub* m; 8 qdqd. aequales 1 2 96. p: 1 qd qd p: 2 1 6 qdem: 24 cub*m: 86 4 pof; 72 cub. p;8<54 pof; aequales p qd'qd» p; 2i tfqd* p: 1 296 8 cub.p: 9 6 pof; aequales 1 qdqd* p: 24 qd.p: 144* _ ___ ni at numerus, qui diuifus per numerum primum inuentum , produc cat numerum cuborum,& numerus rerum dudus per primum nu# merum,fuerit quadruplus cubo eius f£(R2, tunc dico , quod detrado * ,pro regula a primo numero quem multiplicafti, &C refidui fumpta rz cubica,& ei addita etiam unitate pro regula,& cum aggregato dri uifa tali Rt' re, quod prouenit, eftrei aefiimatio.Etcaufainhoc efi, quod in tali quaefiione,numerus qdqd*1, prouenit ex multiplicando, unitate addita,numerus cuborum,ex diuidendoin multiplicandum, p:4,numerus quadratorum uero, exfexcuplo quadrati diuidendi, numerus rerum ex quadruplo cubi diuidendi , numerus aequationis efi qdqdrati diuidendi,Diuidendum uoco in hac quaefiione tf, multi plicandum autem 8»Exemplum,qd'qdratum p:6 quadratis p:4 , aew quatur cubis p: 8 rebus , pone primu numerum qdraturn,duc in 4,fiunt 4 qdrata,huius Rt eft 2 res,duc in 6 ex regula , fiunt 1 2 res, quas diuide per quadrata,exit quod aequatur 6 , igitur 6 quadrata, sequantur 12 rebus, res igitur eft 2 ♦ Nos aute in pofitione pofuimus quadratum,igitur numerus primus feu multiplicandus erit 4,& cum caeterse conditiones conueniant,quac didp funt,erit 2 numerus diuri dendus,quo diuifo per Rt cub» } p: I ,exibit aeftimatio rei,& de Jioc di ximus capitulo fexto* De tranfitu capituli particularis in capitulum particulare* Caput XXVII* It etiam tranfitus capituli fingularis in lingulare , hoc mo# do,cubus,& 2quadrata,& ^aequantur 41 rebus , & rei aeftimatio una eft 5 p:Rz 2 , quaero in eadem aeftimatione, cubus cum 7 qtiadratis,quot rebus aequabitur^ cfi quo nume# De Arithmetica Lib* m f§ numero? duc differentiam numeri quadratoru,qux eft f , in duplum partis,qux eft numerus in xftimatione, fcilicet in 6 , fit $© , cui adde 4 1 numerum rerum , fit 7 1 3nume^ rus rerum, deinde duc partes xfff mationis in fe, fiunt 2 & p , quoru produdorum differentiam , quae eft7jducin ^differentiam nume# ri quadratorum,fit £ ^quem adde ad f^,quia 2, eff maior i v:cubica %6 m: 9, dico qudd fub hac xftimatione * non po* terit cubus cum aliquibus rebus xquari ulli numero, ufcp in infinitu, nam fit (gratia exempli) cubus p:p rebus,£qualis 1 $,quia igitur res eff eadem, cubica fcilictt dicffa , erit cubus cub*p: $ reb9 xqh 1 o idem in utroq^permutatirm Igitur ex tertio cub-ptp reb9 xq ♦ 1 & libr©,cub!cub9 p;p rebus p: 1 o,*£quatur cubo p; $ rebus p: 1 8,abtjcio communem cubum, fient p res pi 1 o,xquales } rebus p: 1 8 , igitur 6 res xquantur 8, igitur xffimatio rei eff 1 j, numerus rationalis, & no 1^ cubica diC numero rationalibus x* quari poteff,dico rationalibus, quia non prohibet, quod affumptis aut rebus aut numero irrationalibus xquatio non fequatur* Et ex hoc fequitur edam, quod in exteris regula tenet denomina 4** tionibus,ubi xffimatio rei non fit nec numerus rationalis * nec F£ fim* plex ex genere medix denominationist Exemplum , 2 cubi 8c 1 o, N | xquan* 1 cub98<: 2 qd*& f^xql^i reb9 cubus & 7 qd ] xffimatio rei 9 ±L 7* tts numerus 3 pHS* a 9 — * 7 9 39 9* 9* * ? ~f H i e i o n x -M; i •: G ardaIi - , 1 | ' sequantur i cjd'qdrato 8c rei,aeftimatio non cft nec numerus , nec n* cubica limplex alicuius numeri rationalis,dico quod qd'qdratum fub eadem aeftimatione,nullis cubis ac numero aequari poterit,patet,quia fa,diuide per 8 4 8 ,.X(4 2 — itf exit 2,igitur cubica 1 6,&C 132 cubica 2, funt allellx 4, & 8 3 & ita allellx 6' & i S funt nz cubica 94 , & j£ cubica 2* Ex quo pa tet, quod omnes allellx,funt nz cubicae numeroru, 0or® fe habendum in triplicata proportione,in qua fe habent fui lolidi pro politi priores .j& hi funt medfj proportionales* Operationes igitur in his, ex hoc funt manifcfic, nam cum inuen* 'G* fx fuerint,reducentur ad radices cubicas, cum quibus operaberis rur fuSjperfeda operatione,reduces ad allellas* De regula Mo du Caput XXIX* Icitur hxc regula (quia modum exhibet fabricandi regiis las quo tlibct mercatura ) Modi , utilifsima magiftris ArithmeticXjUt facilioribus quibufdam inuentis, arte do* cerent, cuius etiam auxilio, maximam fexti libri parte con fecimus *Eft igitur regula hxc,folue quamuis quxftionem propoli* tam^modo quo potes,feu politidne,feu auxilio fexti libri, deinde au feres pofitionem,& regulas alias,& ferua operatioes,quas quam po* tes maxime,ad brenitatem redige,& habebis regulam de modo pro omni confimih quxilione, Exemplum,Serici uiridis palTus 7 nigri palliis 4, ucneunt de** narrjs 72*84 eodem precio ferici uiridis palliis 2 , Sc nigri paflus 4^ ueneunt dcnarqs 5'2,quxritur precium* Pones politionem, eflexfti* mationem uriius pailtis ferici uiridis ,igitur 7 paffus uiridis ueneunt 7 po(itionibus,quare } paf; nigri ueneunt 7 2 de:m;7 politionibus,^ paffus ualebit-^horumjfcilicet 24 de:m: 2 -|-politionibus,8t 4 palliis nigri,ualebut 96 de; politionibus, at duo paflus uiridis ualent ' ± politiones ex fuppolito,igitur 2 paffus ferici uiridis Sc 4 nigri ua* lent deiptf m;7 ypofi'tionibus,& hxc eade xilimabantur ? 2 de; igi* tue 1 7 3 0 7* 2 4 f 2 7 1 ?of; 1 72 m;7pof; $ 24 m; 2 jpof; 4 ptfm;p|-pof; 2 pof; 96 m;7 ypof; 5*2 44111:7 4- pof; 7f <> HlERONTfMX CaRDANI tur dc;p<£ m:7 Yp°fitioibus,£quantur $2 de; quare dc;44» qui funt differentiaptf, & 5 '2, aquabuntur 7 -^-politionibus, igitur pof; ua# let 6 denarios,& tantam pfiimationem palliis ferici uiridis elTe conueniet, quare 7 palliis ui ridis ucneunt 42 d e;& $ palliis nigri reliquis de; ad 7 2> fcilicet de; 3 o , quare palliis unus de; 1 o, ferici igitur utriufcp precium habes» Hucufcp politione operatus es,nunc uenio ad regulam , dicoq?, in talibus diuide palliis nu# merofiores,fdlicet7,& numerum de151; fcilicet 72, per palliis pauciores , fcilicet 5 , & quod exit, duc per palfus politos infecunda poli* tiQne3correfpondentes paucioribus^ a pro# du(fio numeri palluum, detrahe reliquos paf» fus fecunde politionis,& cum reliduo diuide preci] 2 &produ abrjce ^relinquutur^-f, 8C 44,diuide 44 per 7 -f-exit 6 > precium pallus unius ferici uiridis. Inde ex hoc breuior regula emer# git3ut in tertia figura3diuide 4 per $ 3 fci licet numerum palluu eiufdem generis ferici in duabus petitionibus , exit 1 4, quem duc in 7 3&t723 fiunt p 4*3&ptf , a quibus abfice numeros fuprapofitos fe# cudas politionis,^ funt 2 & 5'2,dired:os a directis 3relinquuntur 7-j &443diuide numerum denariorum 44 per 7*f-nume# rum palluum, exit <53precium palTus ui# ridis ferici,& ita conftitues breuifsimam regulam3ex tam longa politionis operatione,unde merito haec modi j:egula,mater regularum dici potefh uirid. paf; 7 paf; 2 nigri precium paf; | de; 72 paf; 4 de;p2 72 2i \4- s>-| 74- 24 ptf J[2_ 44 2 - 7 " 7-r 4 'T C> fi 72 $6 44 De regula Aurea, Caput . XXX, Haec De Arithmetica Lib* .x, | iEc regula rerum, qux in ufum ueniunt , maxima partem amplectitur,nam quaeftione ad politionem deduda,perfe | dacp operatione, proximam quaerit xfiimationem , qux fic habetur * Primo uenare proximiores integros nu* meros, maiorem ac minorem , qui xquationi fatisfaciunt , quosnoii difficile erit haberc,horum minorem uocabimns primum inuentum, 8>C maiorem fecundum inuentum, & differentiam produdorum,diffe rentiam maiorem,differentiam uero produdi primi & numeri xqua tionis,differentiam primam,differentiam autem produdi fecundi 8c numeri xquationis/ecundam differenda. Diuide igitur differentiam primam,per differentiam maiorem,quod exit,addatur primo inuen* to,& perficiemus xfiimationem imperfedam quam deducemus ad xquationemffcilicet per denominationes aequationis , ut in primo 8C fecundo inuenco,86quodproducitUr,fubtrahe a produdo fecundo, deinde fubtrahe xfiimationem imperfedam,ab inuento fecundo,re* fiduum duc in differentiam fecundam habitam , & tale productum diuide per differentiam produdi xffimationis imperfedx, & fecun* di produdb quod exit,detrahe ex inuento fecundo,refiduum eft xfti mado rei ualde proxima,cui per iteratas operationes femper propin quius licet acccdere,idem fiet,ubi aquatio fit denominatiois alicuius* ad numerum,ac denominationes, ut in exemplis patebit Sit igitur primo , qd'qdratum 8c $ cubi,xqualia i oo,uides quod fi res efi 2 qd'qdratum,& 3 cubi funt 40 ,& fi res efi: erit qd'qdratum & 7, cubi 1 ^2, igitur inuentum primum efi 2,& produdum primum 40, Sc inuentum fecundum 7, , & produdum fecundu I 62, Sc 1 22,maior differentia , & 60 differentia prima, & 62 differenda fe;* eunda , & nota, quod inuentum pri* mum femper differt unitate ab inuen 2 40 loo i 62 60 62 &o I ii 77 — 62 -- I 22 jio e i 2 ii C ! I_P ii . 4<5P7 lo_ 6 i 62 io o * 2 IL 7 <5 1 I Pii 36 <51 162 <5 I * * 77 4 <5 P7 to fecundo,aliter non rede es operatus , his.cognitis , diuide 60 per 1 22,exit|^,quod adde ad 2, primum inuentum, fit imperfeda xfii* matio 2~, hanc ducito ad qd'qdratum & tres cubos, fit 8$ fere,fub* trahe igitur 8 ? produdum xftimationis imperfedx, a i 62 , prodii* dofecundo,habebis773fubtraheetiam 2 ~y, ex y inuento fecundo, relinquuntur |-J-, duc in 62 differentiam fecundam , fit-— diuide per 77 >exit|||y, detrahe ex } inuento fecundo , erit xffimatio fatis O pro** ^Hieronymi C a 'r dani proxima qffqdrati p: y cubis aequalium i oo,haec,2 §g-|£, & jfi uelles, pofies alternatis operationibus quantumlibet propius accedere» Qudd fi quadratum & 20 „ .aequentur 1 o rebus , tunc fi res e& fet 7,haberemus quadratum p: 2o,aequale rebus <> Sc fi res efTct 8, haberemus quadratum p: 20, aequale rebus 1 o uentum primum eft 7 , produdum primum 5> £,inuentum fecundum 8, produdum fecun¬ dum 1 o ^differentia maior ^differentia pri* may, differentia fecunda—, diuidemus igitur differentiam primam , per maiorem differem tiam, exibit:-, & addemus hoc ad 7> inuentum ~, igitur ut prius , in* 7 10 IO 8 » JL 7 P x 2, P 8 4 0HS y n7 primumffet arftimatio imperfecta 7 cuius quadratum p: 20 , eft ae* quale p rebus ,ideo quia hoc infenfibiliter differtfere , i io, numero rerum,ideo non utimur alia operatione,fed dicemus aeftiraa tionem propinquam effe 7 Sit etiam cubus aequalis rebus p: 20, dicemus,fl y eflent res,£ res & 20 aequarentur 1 ~r cubi3Sc fires effent 4,cffent 6 res &C 20, se* qlcs fg-cubi3igitur inuentum primum eft 4, & produdum primum 1 .inuentum fecundumerit4 ^ produ* dum fecundum differentia prima differentia fecunda differentia maior , cum qua diuide differentia minore, exit y~£~ , quam adde ad y ,fiet seftimatio imperfecta y ~pp, fequere aequationem, fcilicet aflumendo 6 res p;20, 8c erunt fla 3 p§ 8 08 fui cubi, hoc autem eft pro* ximum ad |^, ab hoc detrahemus produ dum fecundum,& relinquetur Sc 1 «_ 175 3 « » 2.71 ^ 8 6* seftima tionem > i_ 2,7 15 4 .7 1 _f 75 3 1 1 51 1 5 ^ 8 75 y 3 » • 577 5! 3ii I _ 31 33* — I j7£ 3 > » • 1 > 15 4P75 Z7 3oy4| I 5 ? 3lP* 3 fimiliter fubtraho y imperfeda,a 4 inuento fecundoardinquitur ^fffoc duco in y# diffe rentiam fecunda,ut etiam in primo exemplo,fit:^^^,diuide per diffe rentiam produdi fecundi, & produdi aeftimationis, &eft , exit 5 detrahe a fecundo inuento,ut prius, relinquitur rei aeftima* tio y 3 & hoc eft proximum ad ? 3 & ^eo ac* $ f> & ^ res p : 2 o , funt 40 ~>8c cubus $|r, eft y$ , & fi uelles proximius poffes operari terdo,fi'cut primo fecifti , & proculdubio peruenires ad infenfibilem differentiam,& ratio haecuniuerfalis eft, nec indiget alia regula* Et fimiliter operaberis,ubi eflent tres denominationes aequales duabus 1 De Arithmetica Lib* 3t* <^4 duabus alrjs,aut tribus, fcd cum duplici ingreffu*uel triplici, potes e* tiam deducere ad numeros omnia, ut in primo exemplo, 8c operatio* nes in eo cafii funt longe faciliores, uelut ii dicam qd'qdratum & 6 qdrata 8c 2oo,aequantur i o cubis Sc i z rebus , eritprimu inuentum <> io ptSSo p9 &C productu m; i f 2, differentia quia 10 cubi SCtzres fuperant qdqdratu 6 qd*& zoo3SC fe eundum iiiuentum erit produeftum fecun dum erit 680 p:quo qdqdratiim Sc 6 quadra* ta 8C 200, fuperant 1 o cubos &C 1 z res,& tunc differentia prima , ae* qualis eft producto primo,8c differentia fecunda, produeffo fccudo „ & maior differentia eft aggregatum ex utrocp , & tunc fufficiet pro prima operatione,diuidere ut prius,differentiam prima per differen* tiam maiore,& quod exit,& eft (-^.,addemus primo inuento , 8c fiet aeftimatio imperfetfta p j~^3 deinde ii uis proximius accedere,prodit ces hanc aeftimationem ad fuas denominationes titrincp , 8c collige differentiam quae uocetur A* quam multiplica per differentiam aefti* mationis imperfecftae & fecundi muenti,& productum diuide denuo per maiorem differentiam,^ quod exit, adde aut minue , fecundum quod oportet,8£ habebis intentum,& hoc modo liceret etiam opera ri in fecundo 3c tertio exemplo,fed nos noluimus declarare u trimi cp modum,ad maiorem in occafionibus facilitatem,idem dic de radici bus extrahendis* .. • • • *■ ' , 1 ■ ■■ * i De regula Magna* Caput XXXI* Aec regula eft pro magnis qtiseftionibus foluendis, 8c ex ea inuentae funt regulae auri 6c argenti confblandi. Acuit ingenium, 8c fit per demonftrationes, exigit hominem expertum,doceturcp per quaeftio nes, quoniam eft multi* forrnis^Et fundamentum regulae eft commutatio* Q_v a s t 1 o 1* Fac de 8 duas partes,cx quarum cubis inuicem du(ffis,fiat 1 6\Di ces igitur,ex una in aliam fiet n* cubica 1 <5,diuide 8 in duas partes,ex quarum dueffu inuicem fiat r cubica 1 63&C erunt 4 p;i^ v; 3 6 m;i£ cu bica x 638c 4 01:32 v: 1 01:32 cubica i d* Qjr m s t 1 o 11* Fac de 8 tres partes proportionales,quarurn quadratum primae fit aequale reliquis,igitur fient primae duae partes,quarum unius qua dratum,fit aequale alteri, deinde maiorem diuidemus in duas partes O % . exi* Hieronymi Cardani exiftentes in continua proportione cum minore, & erunt* CL.ViE.STIO III< Fac ex 8 tres partes zx ut vif* & l » Tm: l ° |P: i 2 h 3* 8jrm:i^ 18 6$ i ±m: ioJ^ proportionales, quarum quadratum maioris , fit proportionale inter cubu utriufq? partisjdices igitur,cubus minoris eft ty cubica cubi maioris,, Sc hoc, quia proportio cubi maioris,ad fuum quadratum,eft ipfa ma ior,& haec eademeft quadrati maioris,ad cubum minoris, igitur cu# bus minoris,eft cjdrati maioris,& aequalis ipfi maiori, quare 8 con# fiat ex minore & fuo cubo,igitur i cub*p; i re^qualis efi 8,& £ftima tio rei eft minor pars* Q_v a s t i o i i i i* Fac ex 8 duas partes,ita qu6d feptuplum maioris,fit proportio# nale inter quadratum maioris,& cubum minoris,fit a maior,& c quadratum eins,& b minor,& d cubus ei# us,fit etiam e feptuplum A,cum igitur ex a in a fiat c, 8c ex a in y E,erit a ad7,ut c ad E,quare ex 1 1 a ^ut e ad Djigitur ex a in D,fit feptuplum e, at e efi feptuplum A , igitur ex a in D,fit A,igitur d eft 49, quadratum 7 > quare cubus b mino# ris eft b eft ty cubica • 4p,& a refiduum* ’ CLv A S T 1 O V* Fac ex 8 duas partes,ita quod feptuplum maioris, fit proportio# nale,inter cubum maioris & quadratum minoris,fit a maior,& c cu# 8 7 B E D A C 8 7 E D A C bus a,& b minor,&: d quadratum b,& e produtftum ex 7 in a, quia igitur ex a in quadratum a , fit c , & in 7, fit E,erit quadrati A ad 7,ut c ad E,quare ut e ad d, proportio autem quadrati A,ad quadratum B,compo nitur ex proportione quadrati a ad 7^7 ad quadratum B,quare ex proportione e ad d,& 7 ad quadratum B,fed d eft quadratum B,igi# tur proportio quadrati a ad quadratum B,componitur exproportio ne feptupli a, & eft e ad d,&7 ad ipfum D* proportio igitur quadra# ti a ad D,componitur ex proportione e ad d ,& 7 ad d , igitur ex re# gula fex quanti tatum,feu ex proportionu compofitione,ex 7 in E,fit quadratum a in o, fed e eft feptuplum A,igitur ex 40 in A,fit quadra# tum a in D,igitur ex a in D,feu in quadratum B,fit 49, quare ex capi# tulo cubi Sc numeri sequalium quadratis,B eft ty 7 LP* z* ^a7 ^m; ry. 7 -jp Q ta s t 1 o vi* Fac ex 8 duas partes,quaru productu totiusm minore,fit propor# tionale inter producfta maioris in totum, & maioris in minorem,quia igitur De Arithmetica . Lib» xi fl¬ igitur minor ducitur in maiorem , & totum erit illorum produdtoro proportio,ut totius ad maiore,item quia totum ducitur in maiore & minore,eritproducftorum,utmaiorisad minore , fed producfla funt proportionalia,igitur ex 1 1 * elementorum,totius ad maiorem par tem,ut maioris adminorem,igitur 8 diuifum erit fecundum propor* tionem habentem medium & duo extrema, quare partes funt manife fbe,i£ 80 mt4& i z m:8o+ Qv Jt s tio vju Fac de 8 duas partes,ita quod producum maioris in minorem* Iit proportionale inter quadratum minoris Sc decuplum eiufdem mi nor is, dices igitur, quia minor eft illa3quae multiplicatur in fe,in maio rem, & in i o,quod maior eft proportionalis inter minorem & i o, igi tur quadratum maioris,sequatur decuplo minoris,& res nota eft * na maior erit Rt i of m: f ,& minor i $ m^ i o f ♦ Q^v astio v 1 1 u Fac de 8 duas partes, quarum quadratum maioris fit proportio* nale inter quadratum minoris,8c productum ex totoinmaiorem,po* ne maiorem a ,& b minorem, quia igitur quod fit ex 8 in A,proportionale eft inter 64 quadratum A,ex demonftratis in fecundo fuper Euclidem , erit <54 quarta quantitas proportionalis,cum illis tribus pro duftis, quare ad quadratum a, ut quadrati a ad quadratu b duplicata, igitur S ad a, ut A ad b duplicata, ex 17* ^elementorum , nam utracp eft media proportionum fuorum quadratorum,quare cubus Asequa lis eft pro dudo ex 8 in quadratum B,hoc enim in feptimo libro demonftratutn eft, quare ponemus a quadratum, erit cubus eius, cubus quadrati r* A,quae fit c,igitur quadratum e, eft aequale— quadrati cubi c,igitur B eft,i^| quadrati cubi c, quare cum r* cubi quadrati fit cubus , erit b aequalis cubi c parti cum a fit quadratum c, erit 1 qdratum p:cub* aequale ideo multiplicando omnia per R2 8 , erit cu* bus p:qd' Rt 8, aequalis 132 f 1 z,folue igitur per capitulum i f ut in numeris rationalibus operando per regulas tertrj libri* Q.V MSTI O IX* Fac ex 8 tres partes proportionales , quarum aggregatum pri* mae Sc fecundae, & aggregatum fecundae & tertie, & ipfiim 8,fint pro portionalia,dico,inuenies primo proportionem illarum quantitatu proportionalium,quarum aggregatum fecundae & tertiae,eft propor tionale inter aggregatum pritnp 8c fecundae, Sc aggregatum omniu, fint igitur tales quantitates A b e ,& quia proportio a b c,ad B c,eft ut O | B % A « H IERONYMtI Cardani b c,ad a B,ex fuppofito quaeftionis,& b c ad a B,ut c ad a b c d B,ex 12* quinti elementorum,erit A b c,ad bc, ut b ad c ex 1 1 a eiufdem,fed ex proportione in b fit c,igitur ex proportione in b c,fit,ABC,fit igitur,ut ex proportione in c fiat D,cum igitur ex pro portionein b fiat c,& ex eadem in c fiat d , igitur ex proportione in B c fit c d,& ex eadem in b c fiebat etiam a b" c,igitur a b c, sequatur c D,abiefto autem c relinquetur A b , aequalis d , eft autem d quarta quantitas proportionalis,igitur oportebit inuenire quatuor quanti# tates 3 continue proportionales , quarum quarta fit aequalis duabus primis,pofita igitur pa i , 2a i re,?a i quadratu, 4a i cub* erit cubus aequalis i rei p: i ,¬a eft ex! capitulo,quantitas rei, que eft propor tio,diuides igitur 8 in quatuor quantitates fubea proportione conti# nuatas,ut in fexto libro docetur, foluimus 3t aliter hanc quseftionem in quarto libro, Qy m $ 'T i o x. Fac ex 8 duas partes , quarum leptuplum maioris,proportionale fit inter cubum minoris,8c produftum maioris in minorermSit a mi# nor,eius cubus cb autem maior,& produ&um b in a fit e,& feptu# pium b fit d, quia igitur ex b in a , fit e, & ex b in 7 fit D,erit a ad 79ut e ad D,quare A ad 7,ut d ad c ,igi tur ex a in c, fit feptuplum d , fed d eft feptuplum b figitur 49 qualia jfunt quadrato quadrati a, igi tur b eft aequale ^qdqdrati a , quia igitur a cum b eft 8 , 8c b eft ~ qd'qdrati A,igitur a cum qd'qdrati fui, sequatur 8 , quare res qC 4-5- qd'qdrati sequatur 8 figitur qdqdratinnp:45> rebus, sequatur 3p2,&quamuis huius non fit capitulum generale * pulchrum tamen fuerit hucufq? perduxifie quseftionem* Deprehenditur & quando impofsibilitas eodem modo pro# pofitarum quseftionum,ut facile eft uidere. A C B D 7 E De regula aequalis politionis, Cap, XXXIL iEc regula, eft utiliorpofitione fimplici,in omnibus quae ftionibus,ubi partes aequaliter multiplicantur , fecus ubi inaequaliter, nam in his fimplex facilior eft,ut fi dkam,di# uide 8 in duas partes, quarum una dufta in quadratum al terius,uel in cubum,fiat 2o,per fimplicem politionem peruenies ad 8 quadrata m: 1 cubo,SGqualia 2o,uelad 8 cub, m; 1 qd'qdrato,sequa# lia 20 infecunda qusdtione3fed ponendo 4 p; 1 politione , Sc 4m; 1 politio# De Ar. ITHMETICA L I B* X* pofitione3periienicsad i<^pof:p;443aequales i cubo pt 4 quadratis, & in fecunda qu;riiione,ad 1 28 politiones p; 2 ; <%qualia 1 qd'qdra to p:8 cubis,manifeftum eft igitur, quam hpc fint prioribus difficilio res. In politione etiam fimplid,inuenimus prima operationc,rei xfti* mationem in aequali differentiam,quae addita dimidio diuidendi , & detrada , oftendit numeros quariitos , qui uercfunt aeftimado rei, quanq? pofuerimus rem eile diftercntiam,uoco ante politionem fim* plicem,cum dico,diuide 1 o in duas partes,producentes 20, tunc po* nimus partem unam rem,aliam 1 o m;re,fed aqualem, cum pono par tem unam ^ ptre^S^ aliam, $■ m; re, ideo cum fimplexiamper fc nota fit,de aequali per quadtiones & exempla dicendum erit , cum certe frequentifsimus fit eius uflis ac utiles» Q_v £stio i» Eft trigonus , cuius laterum differ rentia primi ad fecundum , eft 1 ,& ite rum fecundi ad tertium , eft etiam 1 , & area eft f, pones fecundum igitur pofi* donem, & primum erit politio m; 1 , & tertium politio p; 1 , fequere trigonoru regulam,datam in libro fequente,&:fiet Rt ^qd'qdrad m: ^ qdrati uniuerfali* ter fumpta,aequalis aquare -^qdqd*1 asquabitiir^-quadradp:p,ideoq? 1 qdf qdratum,aequatur4 quadratis p;48, & res erit per capitulum deriuatiuorum, U2; v:r2 ^2 p; 2,& hoc eft latus fecundum,adde igitur,& minue 1 ,ha* bes reliqua latera,ut in figura uides* Qv iSSTIO II* Fac de 1 o duas partes,quarum cubi cum quadratis fundi, faciat 400 , pones prima partem f p: 1 poli* done, 8C fecundam parte ^ m; 1 pofitio ne,fequere proble* ma,reducendo par $ pt 1 pof; fmri pof; 2^p;i qd.p: 10 rebus 1 2f p; 1 5^ qd,p;7f rebus p; 1 an 2f p; 1 qd,m: 1 o rebus i 2 9 p; f 9 qd,m:7f rcb* m; 1 an 900 p:$2 qd,sequalia4oo tes ad cubum,&ad quadratum,coUiges tandem cadentibus uicifsim partibus, f 2 quadrata p: $ oo,a?qualia 4oo,quare quadratum aequae bitur res quae eft differentia,erit 1% j ydgitur partes funt 9 pt Qjv1 H IERONYMI Car DANI Q„V JtSTlO I I It Fac cx 6 duas partes,quarum quadratorum aggregatum, fit ac* quale differentiae cuborum. Pones maiorem $ p: i pofitione,& mino rem ? m; i politione, fequere quadfionem, habebis aggregatum quadratorum , 2 qua* drata p: 1 S, 8c differen tiam cuborum 2 cubos p: ^4 pofitionibus , & hsec sequantur inuiccm,igitur cubus 8>C 27 pofitiones sequatur qua* drato & p, fequere capitulum,fiet rei seftimatio,id eft differentia: , v;cubicar£702yp; m:i^v:cubicai^7o2ym: p:y,quare par tes erunt, $ y p: 32 v: cubica 70 2 4- p: ^-m: R2 v: R2 7 o 2y m: ^,& mi nor, 2 y p; 1^2 v; cubica^ 702ym:£^m;i^ v; cubica 32 70-2 yp:^* Q_V & S TI O I I 5 !♦ Fac ex 8 duas partes , quarum produ&um maioris in mino* rem,proportionale fit,inter nonuplum maioris , Sc ipfam minorem. Pone partem primam 4 p: 1 pofitione,& minore 4 m: 1 politione, fe* $ p: 1 pof: jm:i pof: p p:i qd,p: 6 rebus p p; 1 qd,m: rebus 1 8 p:2 qd, aggregatum l p: 1 pof; jm; i pof: 27 p:pqd,p:27pof:p;i cub, 27 p:p qd,m: 27 pof:m; 1 ciu | differentia f4pof:p: 2 cu. quere propofitu,habebis pro* du&um maioris , in p , eiTe $ 6 p:p pofitionibus,^ maioris in minorem 1 6 m: 1 quadrato, Sc minorem 4 m: 1 politione, & hsec funt proportionalia,igitur diuflo ^ <5 p: m; 1 quadrato , quod efi , z^6 p: i qd' qdrato m: $ 2 quadratis,quare reddendo m:parti aduerfae , 1 1 2 p: 1 qd'qdrato,asquabuntur 23 quadratis, habebis animationem rei, rv v:i 1 ^m:R2 20 y,id eft U2 7 quam adde & minue a 4, erunt partes qu2cfit2e,4 p:i^ 7,&4 m;t$2 7>& quamuis potuiifes foluereper fimpli cem,ueniens ad capitulum cubi & rerum,aequalium quadratis & nu* mero,fui(Tet tamen negocium inexplicabilius,fine ulla comparatione, nam plufcp decem alqs indiges operationibus , antecp peruenias ad ueram scftimationem,quaE femper eft in natura Binomq,ud recifi ue* ri,non impropri], Qjv m* s* De Arithmetica Lib* ~ xt Qy Jt s t i o v* Diuide i o in duas partes, quarum quadrato primae detrado ex i oo,& quadrato fecundae detrado ex 973refi'duorum 32 iundae, con ftituant 1 7*Si libet ad uitandu laborem,primo uidebis uia tentatiua, an cafus pofsibilis lit,hoc igitur cognito,pone primum partem f p: ijpofitione,& reliquam 5: m; 1 politione,duc partes infe,& quadra# $ p; 1 pof fmu pof 2$ p;i qd*p:iopof 100 2fp;i qd*m:io pof. 07 7 5” m; 1 qd.mt 1 o pof. relid* 72 m: 1 qd,p; 1 o pof relid. i7m:R2 v;7fm; 1 qd,m; 10 pof V172 m: 1 qdtp; 1 o pof tu maius detrahe ex 1 00 3C minus ex 5)7 , habebis relidua,ut in figura, quo*> rum F£ iundae , debent aequari 1 7 , igitur 17 m: una illarum radicum ae* quatur reliquae,quare du cemus in fe , 1 7 m;t^ v; 7^ m: 1 quadrato m: 1 o politionibus , & habebis mus $64 m: 1 quadrato m: 1 o politionibus m: ne v:8d7oo m: 2 1 fd qdra* tis m: 1 1 fdo rebus , aeq* lia quadrato alterius ra# dkis,fcilicet 72 m: 1 qua drato p: 1 o rebus, abrfe _ _ fimilia ex utracp parte, & quad, arql; r radice uniuerfale folam ex aduerfo omniu colloca,ut in quarto libro docuimus,acin quinto habebis 25) 2 m; 20 reb9, aequalia v: 86700 mn 1 ^d qdratis mti 1 ^do rebus,quare ducendo denuo partes in fes habebis 86700 m: 1 1 $6 qdratis m: 1 1 ^do pofidonib9 , aeqlia 8 $264 p: 400 qdratis m: 11680 rebus,duc ad aequationem reducendo ad 1 1 64 m; 1 qd+ m; 1 o pof mer^ v; 86700 m:iifdqd,m: 1 1 fdopof 72m:i qd* p: i o pof 292 m; 20 rebus ig v:3d7oo m: 1 1 ?d qd+m: 1 1 ^do pof 86700 m;i 1 fd qd+m; 1 1 ^dopof^ 8^2d4p:4oo qd,m: 1 1 d8o pof iq^dp; 1 20 pof aepT^TqdT™" *$Td 3o pof p; Q^v A S TIO VI, Eli: etiam,ubipofitio aequalis,non foluit omnino quaeft ionem,&: fimplex foluit,Exemplum,fac de 8 duas partes,quarum quadratum maioris , Iit proportionale inter produdum maioris in minorem , 8C decuplum totius,ut pote do,politaitaq? maiore 1 politione, habebis do & 1 qua dratum & 8 politiones m: 1 quadrato proportionalia,quare duda media in fe* do | 1 qd.| 8 pof m;i qd, 1 qd'q* aecp 480 pof m; do quad* P ipfa m l „ Hieronymi Cardani ipfam,habebimus i qd^dratum,equale48o pofitionibus mttfo qua dratis,deprime,& fiet cubus 3C &o res, aequalia 480, 8c ideo res nota cft,per pofitionem autem £qualem,peruenies ad capitulum conftans ex quinq^ denominationibus,polIetauternfolui,&perregulam ma^ gnam,fed hoc ad rem nihil pertinet* De regula inaequaliter ponendi,feu proportionis* Caput XXXIII* iEc regula nos docet, ut pofitis numeris inaequalibus ,po (itiones pariter aequales annectamus , fic ut in multiplica* J tionejUicifsim fimiles excidat partes* Docebo autem hoc per exempla,quamuis quaeftiones quae per hacfoluuntur» etiam per regulam retro agendi po(monem,de qua in capitulo quin to dictum eft,diftblui pofsint* Q.VASTIO I* Exemplum* Sunt duo numeri, quorum differentia eft 4, Sc qua* dratum minoris cum quadrato dimidij maioris, & m aggregati ipfo* tum quadratorum,conftituit rj o,poffes hanc retro agendo dicere, igitur 1 1 o componitur ex aggregato quadratorum ,& aggregati, igitur pofito aggregato quadrato,erit 1 10 aequale quadrato tk uni reliquare res eft 1 o3aggregatum 1 00, ideo facies ex 1 00 duas par*» tes,quaru duplum m unius,excedat aliam nz in 4, & folutio clara eft, uerum hoc modo nos fic ponemus,(it primus numerus minor 2 po* (irio nes, quia pars eff^-, erit maior 2 politiones p?4, inde accipe par* tem fecundi, qup eft in fe ducenda,& eft 2 p0p 2 pQf p*^ erit igitur pars multiplicanda 1 poli* * 1 tio p: 2,& primus numerus ut dictu eft, 2 pofitiones,hochabito,pofitum eft, no permutata quaeftionis natura,partes nu* meri ita aptare cum rebus, ut in quadra* tis res ex toto excidant, fic igitur facies, confidera fecundum numerum in fe du* cendum,qualis pars fit primi, ut in exem plo,i politio p:2,quae pars eft 2 politio* num,inuenies quod eft ~ p: 2 , duc igitur 2pof* ipofp:2 r 7. i-Xf § 2 pof* m: J ijpofp:| 1 s ' 4qffp: |f m: ~pot 1 m p: 2 p: -y pof* denominatorem & numeratore fracti in fe,& producta iunge, Sc ha* bebis £,pro diuifore,deinde duc numeratorem in fc productu in numerum differentia?, qui eft 4,(11 etiam 4,pro diuidendo, diuide igi 6 tur D e Arithm etica LibH Xi mr^per ?,exit^hoc auferes ex 2 pofitionibus,fciIicetmaiore pam, habebis 2 pof*m: deinde diui de ^-per— partem , exit , hoc addes ad 1 pofitionem,habebis 1 pof. p; Jk,ecce uides, quoniam habes 2 po fitiones m: i & j pofrtionep:|,&proportiojUd J, ert ut 2 politio* nes ad 1 politionem, & fi fumpleris duplum maioris,fcilicet 2 pof.p: 2 ~r3fuperabi£ minorem fcilicet 2 pof. m: f,in 4,ad unguem, hoc per* a re,& a B,re & 8*feu C d 4 rebus , & a b 4 re* bus p: 8, erit b d res p: 2 ,& proportio-^-,ideo ut prius,duc 4 in fe,ftt itf,duc 1 in fe,fit 1, Htnge,fit I7,diuilbr,inde duc 1 numerarore -rin fc,fit 1 ,duc in 8 differentiam,fit 8 , diui# de per 1 73exit^-3pars minueda ex 4 rebus. 4pof. j/ * 8 1 pof.pu ,'s)>7 ; l — - 8 3z JL \ ^ JL 17 B 17 % 7 inde diuide ^ per proportionem quae eft^exit |y3pars addenda uni rei , erit igitur b d 1 politio p: c 0,4 poli# tiones m; duc partes in fe, habebis quadrata cd&bd pariter accepta , & ex confequcnti, quadratum b c,elTe 17 qdrata p;j f|-p,fequere ut in praeceden te,addendo ei latus b c, eritep Rt v: 1 7 atorum pr.j *|rp p: 1 7 qdratis p; aequalis 1 8 2,quare 178 ^.m: 1 7 qdratis aequatur rz v: i 7 q# dratorum p: $ , fequere igitur operationem,ut prius, habebis rei seftimationem elte f -^,cum igitur b d fit I pofitio p: erit BDf & P 2 AB 4 pof, m: j 1 pof. p: i idqd.p:^pm:^poft P: P: 77 pof. 17 qd. p;$ ZZJ 2.8P *. xx 1 ? z89 Hieronymi Cardaki a b quadrupla i D,quare c D,quae cft 8 mtquam a B,erit i ti QjV MUSTIO 11 U Et fimiliter,fi diccret,funt duo numeri, quorum differentia cfl 1 2, St quadratum minoris cum quadrato maioris,&: quadrato aggre* gati,aequatur i oo o,tunc ut prius operaberis9ducendo numeratorem ae deno minatorem in fe,& fungendo, fitdiuifor log, deinde duco £ numeratorem in fe,& produ&um in 1 2,fit i oS,diuido per log , ha* beo partem minuendam ex i o po(itionibus3deinde diuido per »o> exit |fg, pars addenda 9 politioni* $ poC 1 o pof "h _ i - - - Ii _ loS 10 to? 108 jj»_ 3fi I 08 bus,fi igitur 3 pofitiones p; f~| ,ducan turin ^numerus qui producetur, erit s 2 p:quam 1 o res m: }§-*,& talis eft proportio a d—J , qualis 10 ad $, & ideo, quia regula haec habent infink , _ Q tos modos,uelut (i dicamus, —primi St I loP°^m*rdp _ ifecundi numeri,difFercntiumper 1 2,111 fe duefti addita radice, faci»* unt 1 oo,tunc quires eodem modo fuam regula, per regulam de mo* do, quia haec regula eft ramus illius, quaerendo numeros differens tes primo in 1 2,quorum £ unius ita diuidatur,in \ rem St numerum. St reli quus in-|- rei St numerum , ita ut produtfla rerum tlnt aequalia* Ponendo unum numerum p talium m;& inuenitur per capitulum g’% cum quantitate furda,utintalibus, ponam regulam exemplo adimo* tflam,dico quod ii quis dicat» Qjr astio iii iV Inuenias duos numeros,quorum differentia iit 14,8^ -unius in fc dudum,cum |r alterius infe duefto. St cum R2 aggregati talium produ&o* rum,fiat 1 1 o,dico primo,duc denomi* natores in numeratores uicifsim,uideli cet4in 1 ,&■$ in 1 , St produdoru quje funt etiam 4 ySt $,iunge quadrata,habe bis 2^ pro diuifore,deinde duc denomi natores inuicem,| in 4,fit 1 2 , St quod fit in differentiam quae fuit 14, fit 1 68, hoc ducito in produeftum numeratoru, quod fuit 1 , fit etia 1 68, 4) diuidendo r><| j» . 81 s -4' ■*f~*4f 1 I pos- p; I r |pof.m:iT 7 l_ 5” 17 +5“ “ & — 18 1 £Ss| "£88 S15" a.88 Jt. ) orfum,habebis tL|J- 6c f|f-5partes addendas ac minuendas ut prius* Q y m s t i o v» Et (imiliter dicemus de aggregato }ueluti fi dicat, fac ex i o duas partes, quarum unamfe ducta,& alterius dimidio in fe dudo , &ao* cepta radice aggregati,totum fit £ o,dico operaberis per regulam dis clam ,in quaefhone prima fcilicet*quia cil de inte * — - gris ex una parte, inuenies igit numeros 4 & 2, & a maiore minues 1 politione, & minori addes 2 pofitione$,& ideo in hoc differt a regulis nu^ merorum differentitr,csetera paria funt, Sc ideo fequendo operatione , habebis rei aeftimatione, i^v^^m:^— ,quod eft dicere ijideonume ri funt 6 & 4* X 2. i_ % t ■1 ■ IO f O fXi-4 4m:i pof* 2 p:2poC De regula fnedtj» Caput XXXIIIL Mc fic uocata a me efi: , quia medium inquiritur , fcilicet proportio,& quia ad unitatis confufionem uitandam, po* nimus partem unam , dimidium unitatis , & eft eius ufus folum ad quaerendum quantitates, quae aequaliter multis plicantur ,& proportionem feruant,cum autem eam non feruauerint, ufus regulae non efi: utilis,uerum in duabus quantitatibus folum ex* plicatur,de pluribus autem in capitulo $9° dicemus. Patet aut,quod fi quis dkatdnuenias duos numeros , quorum quadrata iunda fint 1 o,& cubi iundi fint $o,quod regula haec non feruiet,quia propor* tio 3 o ad 1 oT quae eft tripla,non feruatur inter cubos 5c quadra tos* P | uaria* « lERdNYMi Carda ni nanata quantitate , at regulam ipfam oftendere quemadmodum 3C alias per exempla utile fuerit* Q_v & s tio r* Inuenias duos numeros, quorum differentia dudta in quadrator rum differentiam faciat j o,& aggregatum illorum in quadratorum aggregatum,fadat 20* Pones igitur ut didum eft unum illorum, po* I Numeri Differentia numerorum Aggrega* numerorum Quadrata Differentia qdratorum Aggregatum qdrat* X. X JL x 1 pof, 1 poffm: 1 poffp; 4 1 qd* 1 qd*m: 1 qd,p; jL * JL + JL 4 ^pdiufiu differen* -|-P: 1 cu* m: Tqd.m; 4 poL produtftum qdrat 4 p: 1 cub.p: j-gd.pj-^poff 4p: 2 cub, m: 1 cpb m: -^poff cub.p: j-qcL pz^poff _ _ |-p: 1 affnsequatur 1 -^qd* pt^poff 1 pof.p: i j 1 pof.pli j cjd. nK^-pof.p:^ I ifpof. iitionem^ alium ^ deinde inuenies differendam , &£ aggregatum , 8c quadrata partiu, & diff erentia qua dratorum, 8t ag* gregaram, ut in margine,inde du cito differentiam partium in differ rentiam quadra#* torum , & habe* bis ~ p; 1 cubo .„H| m; —quadrato m:-4pofitionis,& boc debet effe dimidium produdH aggregatorum numerorum fcilicet ac quadratorum,quia 1 o eft dimi dium 2o,igitur erit dimidium ^-p: 1 cubo p:^- quadrato p: 4-pofirio^ nis,quare4-p:2 cubis m: 1 quadrato m^poiiuone^quatur-^p; 1 cu b° p: ~ quadrato p : 4 p ofi donis , i gi mr reddendo partes m: ad p: erit ut|-p:i cubo,scquetur 1 -quadrato p:^poiitionis,quarediuilis pat¬ ribus, ad faciliorem operationem,quae femper poterunt diuidi,habe* bimus 1 — politionis, aequalemi quadrato m: -^politione p": 4, di uri for,namcp coponitur ex partibus ab initio fumptis,fcilicet 1 pofitio* ne quare 1 quadratum p; ^aequabitur 2 poiirionibus,& res erit 1 p:i^4,funt igitur quantitates in proportione j p : quare in proportione 2 p:nz i-* Iterum igitur quscramus duas quantita tes in hac proportione, quarum aggregatum in aggregatum quadra* torum dueftum, faciat 20 , nam ta* les neceff ario habebunt etiam relri quam conditionem , ponemus igri tur unam illarum rem, aliam res 2 pZRi 3 ,& quteremus fua quadrata. Numeri res 1 res 2p;p> 3 Quadrata qd, 1 qd* 7p:p^^.$ Aggreg» numero, res ^ p;rp z Aggreg. qdt qd, gpznzqj? quae iungemus,d£ eruntqdrataS j Produdum cubi ; p, ig 1 200 p:i^ De Arithmetica Lib* x; p: 48 ,& ducemus fn aggregatum numerorum,fcilicet res $ & fiunt cubi 1 6 p:^2 1 2oo,diuidemus igitur 20 per nt 1 200 p ,8C exibit 7-4- m:i£ <; 2- -nr, cuius nt cubica erit numerus minor quacfitus, maior autem habebitur,du&o minore in 2 p;i£ aquare numeri quse fiti erunt^ Primus 1 ^ vtcubica 7 Secundus R2 vtcubica m:i^ $ 5- 437 £ p:i£ ^07^ m:nt $ 54.90 Qjy JE S T I O 1 1* Inuenias duos numeros,quori differentia du&a in differentiam cuborum, pro ducat 1 o,& aggregatum in aggregatum cuborum con Numeri 1 pof* Differentia numer* 1 pof. m; Aggregatu numero* 1 pof.p; Cubi 1 cub* Differentia cuborum 1 cub.m; Aggregatum cuboru 1 cub.p: Produc* aggregatorum 1 qd'qd* p: 1 cub.p: 1 pof.p; 1 Produdfum differentiarum 1 qd'qd.m:i cub* m:i pof.p: 1 $ qd'qd* m: f cub.m: | pof.p: $ 1 ^'qd.p:! eub.p:i pof.p: 1 2 qdqd* p:z j 4 cub. p:qpof* I qd'qd* p:i [ 2 cub. p: 2 pof. ffituat $o,hac in quteftione, procedes ut in praecedentiae rum pones partes 1 pofitio* nem &j , ad facilitatem ma* iorem,& fequeris ut in prsece denti, donec ueneris ad 2 qd' qdratum p: 1 ,teqtiale 2 cubis p;2 politionibus, igiturha* beo quinq* quantitates coti*» nue proportionales, quarum aggregatum prima: quin* tt£,efi: duplum aggregato fe* eundae 8c quartas , igitur per capitulum quincp quantitatu continue proportionalium , ? quaero proportionem,aflumendo puta 2 & 4 , quorum 4 eff duplus alteri,& faciendo de 4 primam & quintam, 3c de 2 fecundam & quar tam,igitur talis proportio erit ut-^p; nt|-p;n2 v; | m: |,ad unitatem,pones igitur denuo res fub his numeris,uidelicet 1 rem,& res^-p; |-p: rz v:i% 6 1 m;2~ p:r^ v: | m: |-,inde ducito ad cubum partes per regulas terti) libri,quod non difficile fiet, inde du* ces res n^p : nt v;nt ^p;i£ differentiam ftilket nu merorum,in differentiam cuborum,qug habetur detraeffo 1 cubo,ex cubo didi iam compofiti ex quatuor nominibus. St produdu aequa* bitur fo,diuides 10 per tale productum & eius quod exit r2'r2 , erit 2effimatioprimasquantitatis,quadud:ain ^p:i^ ^-p: ntv: n><5 m; 2-^p:R£ v: Jm:|,confurget fecunda quantitas,feu fecundus numc* rus. o_v astio in* Inuenias duos numeros quorum relati primi iun&i faciant 2o,& aggre^ Hi ERONYMI CaRDANI I poft I PmRm I I i cub.p: I qd, p; I 1 i p r p; i cu; p: i qd,p;i 5- r p p: ^ 4 RVp:4 cub,pi4 qd,p:4 1 Rmprop: 1 aquatur 4 cub, p; 4 qd. i poft p: 1 1 qd'qdun;i cub,p;i qd,m; 1 poft, _ p:i 4«gd, I qd'qd,p; 1 | 1 cmp:$ qd,p;i poft. aggregatum cuborum in aggregatum quadratorum ductum , faciat i ^pones ut in procedente,partes, 1 politionem 8C 1 relati primi earum/unt ipmRm&i,8{ producftum aggregati quadratorum in aggre? gatum cuborum eft, 1 p,n Rm p: 1 cubo p: 1 qua? drato p; 1 , & hoc fe habet ad 1 p“ Rm p; 1 ,ut 25- ad 2o,& ut 5- ad4,igitur per regulam quantitas tum proportionaliu , ducfto 1 p° r° p: 1 cubo p; 1 q drato p; i ,per 4 , fa? demus quantum dudo 1 p° r° p; i, per figitur 4 p1 r1 p;4 cubis,p;4 q? dratis p;45oquantur f pIS R,s p;^ q* re tandem habebimus 1 vm Rm p; 1 ,facfta detractione, aequae le 4 cubis p:4 quadra tis,diui? de partes per politionem p; I qd'qdrato m:i cubo p;i qua? drato m:i politione p: inaequalia 4 quadratis5igitur 1 qd'qdratump: inaequatur 1 cubo p; 3 q dratis p; 1 politionenfunt igitur quinCj? quan titates continue proportionales,quarum aggregatum primae & quin to,eft gratia exempli io3& aggregatum fecundae & quartae cum tri* pio tertiae etiam 1 o, igitur nota erit proportio , per capitulu f quam titatum continue proportionaliu,6<: erit m ym-.ipw.Bti ^m: £ ,& haec z m:R* r i- eft proportio illarum quantitatum , in fecunda 7 igitur politio ne,pones 1 rem3& res innumero fupradido feu proportione, uelre? du&am proportionem,ut in procedente quoftione , facfta ditiifione per numeratorem,ad relatum ducito3per fuam regulam, cui adde 1 , relatum primum de 1 ,& cu aggregato diuide 2o,&: relata prima, prouentus eft numerus rninor,inde multiplica ipfum in proportio? nem,& proueniet maior,& perficere talem operationem eft res qua? fi fupra humanum laborem,& nifi eftent regulo terti] libri,uix omni no pofsibile foret. De regula aggregati. Caput XXXV, Regvla i, Icut ex procedente,^ regula iterata,proportio ipfa quo? ritur,fic per hanc habemus aggregatum, Eft autem utilis ualde,ubi inter partes nulla fupponitur proportio , Nam medi? De Arithmetica;; . -Lib* 6% medium.ad quaerendum plurcs numeros fimufeft uel proportio, uel %gr^gatuI£Vaut differentiarum igitur ex prsccedente & regula ite* rata proportio habeatur,cum hac autem & aggregatu & differentia, fatis coffat,quanto haec illas antecedat interuallo* Vocauimus & hac regulam dupli, quod duas contineat partes/eu duos numeros quaeff tos,ratio uero eius,ut reli quarum,per exempla patet. a s tio i. Inuenias duos numeros, quorum quadrata iunda fint 2o,&pro* dudum unius in alterum,cum iplis numeris,fit i o,dico (quamuis ex fexto libro folui pofsit) fic per regulam faciemus* Pone aggregatu i pofitionem,ieu rem,& quia ex uno in alterum fit i o, minus aggrega to,igitur ex uno in alteru fiet i o m:re,fac igitur ex pofitioe duas par* tes,producentes i o m: i pofitione,& erunt ex regula capituli de ope rationibus in fexto libro polita, partes, -^-politionis p:t£ v:^ qua drati p:i politione m: i o,&~-po {itionis m: qz v: ^ quadrati p: i politione m; i o, horum itaq^ qua drata iunda debent el Te 20 , Sc quia una pars eft Binomium ab tera recifum refpedu^pofitiois, fufficiet ducere partes in fe,non unam in aliam,ut in libris | 0 4 °8c$° docuimus,ideo duda^ politio in fe,fit— quadrati,^ duda v:^- q* drati p; 1 politione m: 1 o,in fe fit^ quadrati p; 1 politione m: 1 o , 8c tantundem ex alia parte,ut in figura, quare quadrata Binomrj 3c rccb fiiunda,funt 1 quadratum p; 2 politionibus m;2o , & hoc aequatur 2o,ut didum eff,igitur 1 qd* p:2 politionibus aequatur 40,8^ rei efti ^-pof*p:nz v: — qd,p: 1 pof m; 1 o f-pof p:nz v:~qd*p; 1 pofim: 1 o ^qd.pi^qd.p: 1 pof m : 10 4rpof*n>;R2v:^rqd*p:i pof.m; 10 ^po£i-n:n2v:-^qd*p:i pof.m: 10 4rqd:p:~qd*p:i pof m: 1 cv i qd*p:2 pof m:2o p*nz io^-mr^p^y: lo—m;-- 2aR2 io^m;-^m:i^ vrio^m:™ matio erit 32 4 1 m: 1 ,facex Tiz 4 1 m: 1 duas partes, quarum qdrata iunda lint 20, & erut per nouam politionem,uel per regulas capituli de operationibus in fexto libro partes quas a latere uides. J ■ Qjv&stio 'IU Inuenias duos numeros,qui iundi faciant tantum,quantum inui cem dudf 5c eorum quadrata iunda lint 20, fi igitur aggregatum eff 1 p o fici o, pr o du dum etiam unius in alterum eff 1 pofitio,fac ex i po fitione duas partes,producentes 1 politionem , per regulas capituli de operationibus in fexto libro pofitas,feu per quintam fecundi ele* mentorum,& erunt partes quas a latere pofui, harum igitur quadra* a ta iun* Hieronymi Cardani £a iun&a fiint 20, quare cum habeat ± pof, p:R2 v; £ qd,m: 1 poC utin praecedenti rationem Binomrj J-pofantRtvr^qd^m: 1 poC 8C recifijfufficiet ducere partes unius A.qd.p; ^qd,m;2 pofT eorum in fe,& duplicare* igitur habe - - - — bimus pro aggregato quadratoru ^-~p: —p:Rt v: 4 -£ m;^ 5^- 1 quadratum m: 2 politionibus, se# rz ^p: ^ m: nz v:4 ~ m;i^ $ i- qualia 2o , quare res erit 1^21 p;i, “ ideo faciemus ex ipfa partes,ut propofitum eft,& erunt ut uides* Q^vastio ii u Inuenias duos numeros,ex quorum multiplicatione producatur aggregatum,5<: quadrata ipforum cum iplis numeris faciant 20 , fac ut in praecedenti, 8c habebis aggregatum 20 |rp: ^ quod eft ^ & quia quadrata partium cum iplis numeris debent aequari 20 , igitur quadrata ipfa fola abfq? numeris erunt 1 f^fac igitur ex f duas par# tes, quarum quadrata iun&a lint 1 habebis numeros quos uides memineris autenvquod in prima operatione, quando perueneris ad 1 quadratum m: 2 politionibus, pro ag gregato quadratorum, ut addas 1 politionem, quod 2iP: iy 1 i 4m; 1 4: O o — — — — ' -j - k * x eft aggregatum numerorum,& peruenies ad 1 quadratum m: 1 poli tione, aequalia 20 «. Q^VieSTlO III IV* Inuenias duos numeros, qui inuicem ducti producant aggrega# tum,& diuifo 1 2 per utrumq?, quadrata prouenientium iun&a aim aggregato diuidentium faciant 80, hsec cu praecedentibus ed fratris Luc£ ,in quodam feripto quod perierat. Pone aggregatum rem unam eam diuide in partes, producentes rem unam,& habebis partes,ut des, cum quibus diuide 1 2,ut in figura. ut# Partes (jlpof.p:^ v:J-.qd.m:i pof. 1 T ' JLpof.m:^iVLl-gd,ni:i pof, 3r T" 144 qdrata partiu ^qd.m;i pof,p;F$z v;-^qd'qd,mn cub. X 1 44 X ^ qd,m: 1 pof,p:i^ v: ^ qd'qd, m; 1 cub. 144 qd.muSS pof. Aggregatum qdratorum 1 quad. Igitur ex partibus iplis fa(fHs quadratis,iundisc^,ut In quinto Ii bro docui te,habebis aggregatum quadratorum, cui adde aggrega# tum diuidentium,liquidem rem unam habebis, Kj-gdrn: 2s$ pofinonib? 1 quad. p:i De A RITHMETICA LlB* X* &Z p: i pofitione,sequalia 8o,multiplica omnia per pofitionem,fient 1 44 politiones 10:288 p: 1 quadrato, equalia 80 pofitionibiis,quarc cjdra tum & <£4 pofitiones,sequantur 28 8,res igitur eft 1% j 41 2 m:$ 2 , fac igitur ex rz 1 $ 1 2 m: $ 2, duas partes,producentes i£ i $ 1 2 10: $ 2,& il Ise erunt numeri quacfiti* Q^V ASTIO v* £pof.p:R2 vt 1 o m: ^ quad* ^-pof* m: R2 v: 1 o m: ^ quad* Differentia f 52 v:4o m: 1 qd* Quad* differeti^ 40 m; 1 qd* ^pdu&um— quad.mti o Inuenias duos numeros, quorum quadrata iundla fint 20, &pro dudlum unius in alterum,2cquale fit qdrato differentia^hsec quamcp clara fit, quoniam necefiarie fit eos numeros efie in proportione,qu£ dicitur habere medium 8c duo extrema*. Pofsit etiam folui ex regula politionis 3equalis,nam plures quaeftiones,multis ac diuerfis regulis folui poffunt* Sic tamen ex hac regula fademus,pofi£o aggregato re, diuidemus eam inpartes,quaru qua* drataiunffa fint 20, & erut ut uides, igitur quadratum differentias eft 40, m: 1 quadrato,& hoc aequatur produ (fio partium inuicem,quod efi— qua* dratum m: 1 o, quare 1 ~ quadratum, \ aequatur ^o, igitur res efi 32 ex hoc fac duas partes, quarum q* drata iundla fint 2o,&: erunt nz 8 y,p;R2 i § 8 \ m:i£ 1 —■* Et ex hac regula deducuntur odio quasftiones,quas ego ob ucnementem fi* militudinem Sorores appellaui,ad capitula melius,quam alia* Sequuntur octo quaeftiones, qua* uocantur Sorores, qru ultima fofa pro aliarum exemplo declaratur* Qv MS TIO VI* Inuenias duos numeros, quorum quadrata iuncta fint i o , & cu* bi fint $ o,pones aggregatum numerorum politionem, & facies par* tes ex ea,qu arum quadrata iundta fint io,inde iunge cubos illarum partium,& habebis cubum p: do,a:qualia 3 o rebus* Q_v &s t 1 o vir* Inuenias duos numeros,quorum quadrata iundta fint 1 o,& diffe rentia cuborum illorum fit 1 f , pone aggregatum eorum ut prius, rem, & habebis 1 cub'qdratum,acqle ^00 qdratis p; 1 1 00* Q_V & s t I O VIII* Inuenias duos numeros, quorum quadrata iundta fint 1 o , 8c ex ductu cuiuslibet eorum in quadratum alterius , produdla iuncta fa* ciant 2o,pones eodem modo aggregatum numerorum,rem,& habe bis 1 cub'qdratum p; ^00 quadratis p; 800 pofitionibus,aequalia 40 qdqdratis p:idoo* o, * Q_V JE« - *‘S' HlE R O N fM I T Ca RDANI Q.ViS, STI O IX^ .Inuenias duos numeros, quorum quadrata iimcla fint i o ,& pro ducfta unius in alterius quadratum mutuo, differant per 4* Pones ut prius aggregatum,rem,&: habebis 1 cub'qdratum p; foo quadratis aequalia 40 qdqdratis p; 1 9 Qv t 1 o X» ■ Inuenias duos numeros, quorum difterentiaqu adr ator u m fit 1 o, & cuborum aggregatum fit 100* Pones aggregatum numerorum, rem,& facies ex ea partes,quaru quadrata differant in 1 o, & eas du* ces ad cubu,& habebis 1 qd'<|dratum p; $oo,seqlia 400 pofitionib^ Qv iESTl O XI, Inuenias duos numeros, quorum quadratorum differentia fit 10, & cuborum differentiafit 1 00* Pones ut prius, aggregatum numero rum,rem,& habebis 1 qdqdratum p:^y, aequalia 1 $ | cubis» (Xv-^srio* xik Inuenias duos numeros,quorum quadratoru differentia fit 1 o ,& aggregatum produdorum unius in quadratum alterius mutuo, fit j oo.Pones ut prius aggregatum illorum,rem,& habebis 1 qd qdra tum sequale 40 o rebus p : 1 o 0 » ■ \ Qv iE S T I O X I I I* : Inuenias duos numeros,quorum quadratorum differentia fit 1 o, & differentia produ&orum unius in alterius quadratorum , fit 1 00, hanc explicabo diligenter,ut fit forma operandi,at<^ exemplar inreli quis,non folum feptem procedenribus,fed & alrjs multis , qute forma ri poffuntin hoc genere» Ponam igitur illorum aggregatum, rem , &C per regulam de modo,uel capituli operationu in fexto libro , faciam ex ea duas partes,quarum quadratoru differentia fit j o,& eft, ut di* uidas illam dift erentia fcilri cet i o, per duplum diuiden di,quod eft 2 pofitioes,exri ens quod eft — addes & minues dimidio diuiden di, quod eft ^-pofitio , habebis partes,& quadrata illarum, qu£ fuppone permutato or* iPof-P;,U ^qd.Pq|d fpof.m: — -r ^ r J pot frfd. P* ? 2^pof» m; 1 ^ pof» m: r + 1 CU, I ij-pof*m:2~ poftp;^ Differentia 2 ~ poftm; seqlia 1 00 1 qd'qd» sequa leqo cub*p:ioo dine fuis radicibus,ut in figura patet, duces igitur interiora in fua fti periora,fufficitq2 in his,quoru uolumus differentiamultiplicare,par^ tes difsimiles,id eft quae in uno .pducat p; in alio m; ficut in aggregan disfufficit multiplicare partes fimiles^nam reliquae per fe cadunt, duc igitur D E A RI f HM STIC A • Ll B» X* igitur^pofitioe inm; $38c m -quadrati p; ~|~-}qa ubi una pro* ducit p: alia producit m:& detrahe m:ap:& hoc noneftlaliud , quam duplicare unum illorum productorum , habebis differentiam uni* us produdi ab altero , 2~ politiones m; dgitur hoceqtur i oo, diuide omnia per multiplica per i cubu , habebis i cjd qdratu aequale 40 cubis p: 1 oo5& ita in alrjs,& polTes fuper hoc ftatuere re* gulam de modo,dicendo,cu duo numeri, quorum quadratoru differ rentia eft: conftituta ex multiplicatione uicifsim in qdrata,debent pro ducere aliquam differentiam inter ipfa producta,tunc erit qd'qdratu aequale qdrato differentiae qdratorum,& totidem cubis , quotus eft numerus,qui prouenit,diuifo numero differentiae productorum per quartam partem differentiae qdratorum,uelut fi dica, inuenias duos numeros quorum quadratorum differentia fit ,pone igitur pro quantitate rem,erit —quadrati p; ~ pofi tioneqequale figitur i quadratum p; 2 pofitionibus,aequatur 224, quare res ualetr^225rm;i»ideft 1 4 » 8c tantunde ualct quantitas, fed nos pofuimus dimi diu quantitatis aggregatum,igitur ag# gregatum numeror eft 7>fac ex 7 duas partes,ex quarum dudu inuicemfiat 8» 3C erunt ^ ~-p:i^ 4^,& $ ^-m;i£ 4^-,nu JL 2, quan; 1 pofi l^quanim;! pofi ~quan;pofim;i qd* aequalis 8 £quan; yg-qd. quan; m: 8 -qmp^FjjvJ^qdtqmmtS ~qn;m:i^v:^qd,qn:m»g ~^qdEt generaliter in hacregula,qui plus ualet ingenio,plus uaktin operatione, nam mo^ di funt complures,& de omnibus dicere longu foret, ifta igitur fuffk ciant,8c ad exempla primae regulae denuo tranfeainus. Quaerentes hocmodo* Q^vastto xvil Inuenias duos numeros,quorum quadratum fecundi , aequale iit dueftui primi in aggregatum,^ quadrata illorum iuncia.fint 1 o , uU des manifefte, quod ii' ponatur aggregatum illorum res,ipfa erit dk uidenda fecundum proportionem habentem medium & duo extre^ ma,eruntcp partes,n2 v: J quadrati m: -^poiitionis,8c 1 ~ politiones 111: r$2 v: -J- quadrati, harum igitur quadrata erunt quadrata m; 1% 20 H I ERONYMI C ARD AN I ra v:z ~ p:ra ^ p: v:2~ nw* $ R2 v.: 2 $ mmzv;2 f muy ? %o qdqdratorum, & erunt aequae lia i o, igitur ex capitulo argumen* tandi p ; 3c m; ^ quadrata m; i o , ae* quanturuz 20 qd'qdratorum,quare partes erunt ut Q_v je s T 1 o xviii* f Inuenias tres numeros proportionaIes,quorum primus &fecun* dus aequentur tertio,& quadrata primi & fecundi iunda,fint 1 o* Po* nes tertiu 1 politionem,fac de 1 politione duas partes , quarum qua* drata iunda lint 1 o erunt —politionis p: iy v; 5” m; quadrati 8c-~ ^ politio m:^2 vt^m: ^-quadrati3duc 1 politionem in minorem,& pro* ducetur quadratum maioris , aliter diuides 1 politionem fecundum proportionem habentem medium & duo extrema,inde duces partes ad quadratum^ qua drata iunda eruti o» partes igitur erunt* ^v:22^p;F£4o5,m::u£v:i2 j-p:ut 12$ v: 1 2^p;R2 1 2^ m;i^ v; 2 -^-p: R2 f i^vrio p;i£ 80* Q_V JE S T I O X IX* 2* 3' W v:i^ 3 1 ip:? v; m $ i -^m;? uz v; R2 1 1 £p:? p:n* v;i* $ 1 ^ m: ? R2v;i^ foo p;2o Similiter,!! quis dicat, inuenias tres numeros,pro portionales, ex quoru du* du primi in fecundum fiat 1 o,& primus cum fecundo aequentur tertio,eodem modo proceden* do habebis quantitates* De regula liberae politionis* Caput XXXVI* St regula pro quaeftionibus ,quae confequuntur proprie* tates numerorum uniuerfales , quas homo ignorat, inde quaerens per alias regulas,laborat inaniter,non enim pro portionem exigunt, nec tamen in omnibus quantitatibus inueniri queunt,tales autem funt* Q^vastio i* Inuenias quinqp quantitates, quarum fecundae q* dratum,aequale Iit aggregato earum, cum quadrato primae, fintfcp hae quantitates continue proportiona* leSjponam igitur in quacunCj? uoluero proportione, ab una politione inchoando,uelut in figura uides, e* ritep in dupla (exempli gratia) quadratum fecunda’, 4 quadrata, & hoc aequatur * quadrato quod eft qua 1 qd* 1 pof* 4qd* 2pof* 4 pof* 5 pof* 1 6 pof* $ qd* aeqlia 7, 1 pof* dra* D E Ari^ MI T IC A L i Bf ! xt 6§ dratu primae St ; i rebus,igitur ; qdrata aeqntur ; i rebus, & res erit io fj&Crdiqux fecunda duplam proportione,ut uides,i o y,2o — 41 «|-,82f,i y* Qv astio 11* r Inuenias duos numeros, in proportione dupla , quorum quadra* ta,uel cubfuel relati, fint aqualia iplis,& fit exemplum de relatis ,tan quam magis admirandis.Ponemus igitur in ^pportione dupla, 1 po* fitionem St 2 politiones, quorum relata erunt, ; 2 relata prima,& i re latum primu,iunge, fient ; ; relata prima,sequalia ; rebus, igitur per capitulum fimplex,res erit 32*32 —pdiuifo ; per reliqua quantitas igitur erit 32*32 1 -^-,fdlicet duplum 32*32 -pp Q_v itSTio 1 iu Inuenias tres quantitates proportionales , quarum proportio fit tripla,^ ^aggregati, in fe ducdum, producat ~ fecundae quantitatis* Ponemus igitur quantitates, 1 politione, ; pof 9 pofi harum aggre* gatum efi: 1 ; pofitiones,cuiusyefi ; y politiones , St quadratum eft 1 o-^,& hoc efi: y de ; pofitionibus,igitur quadrata, aquantur ; pofitionibus,quarepofitio efi ~L§-V& quantitas fecudaerit St tertia erit * Q. v iE s t 1 o 1 1 1 u Inuenias tres numeros proportionales, quorum fecundus fit 1 o, &y^aggregati omnium infe du2 De A RITHMITICA Ll B* 2C£ 66 exemplum,!? quis dicat, diuide i o in duas partes, ex quarum utiius in reliquam ducftu,producatur $o,aut 40 , manifeftum eft , qudd cafus feu quadfio eft impofsibilis,fic tame operabimur, diuidcmus 10 per sequalia,&: fiet eius medietas ?,duc in fe fit z$3 auferes ex z< ; , ipfum producendum, utpote4o,ut docui te,in capitulo operationum, in fe# xto libro,fiet refiduum m: f 5*,cuius m addita dC detrada a ? ,oftendit partes,quae inuicem du&ac producunt 40 , erunt igitur hae, ? p: r^rm Demonstratio ' Vt igitur regulae uerus pateat intelkftus,fit a b linea, qu£ dicatur 10, diuidenda in duas partes,quaru recfiangulum debeat effe 40 , eft aut 40 qdruplu ad 1 o , quare nos uolumus quadruplum totius A B,igitur fiat a D,qua# dratum a c,dimidi) a b ,& ex a d auferatur quadruplum A B,abfcp numero,R2 igitur re fidiiffi aliquid maneret, addita Sc detradia ex a c,oftenderet partes,at quia tale refidu um eft minus,ideo imaginaberis r£ m: 1 f , id eft differentiae A d , & quadrupli a B,quam adde 3C minue ex a c,& habebis quaefiturn,fcili# cet^pti^vufm^Oj&f ukrzv; 2^m: 40, feu ^p; i^m:!*, & ? m:R* m: i ^,duc ? m: t ? in ? m; rz m: 1 ? , dimifsis incruciationi# bus,fit 25- m:m: 1 s^quod eft p; 1 figitur hocprodudum eft 4o,natu ra tame a D,non eft eadem cu natura 4o,nec a b, quia fuperficies eft remota a natura numeri,& lineae,proximius tame huic quantitati,qug uere eftfophiftica, quoniam per eam , non ut in puro m: nec in mjm; , ~ alrjs , operationes exercere licet , nec uenari — ^ - i-i— — Z_ quid fit eft,ut addas quadratum medietatis numeri numero produ cendo,& a R2 aggregati minuas ac addas dimidium diuidendbExem plu,inhoc cafu , diuide 1 o in duas partes, producentes 40, adde z<> quadratu dimidrj I o ad 4o,fit <5^,a b huius imminue 5 ■,& adde etiam habebis partes fecundum fimilitudinem,R2 6<$ p:f& Rt m;$\ At hi numeri differunt in 1 o,noniundi faciunt 1 o,fedR2 2<5o,& hucufcp progreditur Arithmetica fubtilitas,cuius hoc extremum ut dixi,adeo eft fubtile,ut fit inutile*. Q_V A S T I O IIII* Pac de 6 duas partes, quarum quadrata iunda fint ?o, haec folui tur per primam,non per fecundam regulam,eft enim de puro m:ideo duc j dimidium 6 in fe,fit 0, minue ex dimidio fo,quod eft 2f,fit re# R 2 fiduum ^p^m: t& addemus ad-^,rem,& fiet-^p; i politione, & minue* mus rem ex 7ys& fiet 7 § m:re,inde fequemur operationcm,& habe* bimus pro eubo,y pt 1 politione , hoe, 1 cubo p: 1 quadrato p: y pofitionis pt pro quadrato, 1 quadLm: 1 $y po fitionibus p:^8 J,horum differentia e* rit 1 cubus p: 1 f |^poiitionib9 m: 5-8 & hoc aequatur 1 o,igitur cubus & 1 1 3 P* m: I pof* I pof* ^p:j-pofp:i qd*p:i cu* 5'8^m:if^-pof p:i qd* | if-fpofipti cubT politioneSjXquatur 68 ~~,&rei aeftimatio cognita eft,cui addemus y pro prima parte,& minuemus eam i 7 y>pro fecunda parte , 8c fi uo* Iuiflemus,quod quadratum fuperailet cubum, detraxiflemus 1 o nu* merum xquationis,ex ?8 f§, & haberemus 1 cubu p: 1 5 ypofitioni* bus,equalem 48 ff modi huius prim£ regule funt innumerabiles, & funt quafi pars regulae de modo* Regvla ii* V erum alia regula quae multum apud nos in ufu eft,& facilior, ta lis eft,8c etiam exemplis ut rdiquoe facilius explicabitur* QLV fJTl O V* Fac igitur ex 8 duas partes, quarum affumptis quadratis fimul, item cubis fimul,dudoc^ uno aggregato per alterum, fiat numerus perfedus,po flem dicere,quod faceret etiam numerum terminatum, ut i oooo,uel alium,datur etiam maximus quem poteft prodiicere,& eft ^ 27^8,8^ producitur ex cubo torius,in quadratum totius , datur etiam minimus quo minorem producere non poteft, 8c eft 409 <5* Vi dendum eft igitur primo, an inter hos duos numeros, cadat numerus perfedus,& eft 81 2 8, qui fi non caderet , effet quseftio impofsibilis, pone igitur unam partem 4 m: 1 pefitioiie,aliam 4 p: 1 politione, & fient quadrata, 1 6 p;8 politionibus p: 1 quadrato,& 1 dm:8 politior ilibus p:i quadrato, qug iunda erunt % z p: 2 quadratis,excidentibus rebus,cubi etiam erunt,^4 p:i 2 quadratis p:48 pofitionibus p: 1 cu* bo,& ^4 p: 1 2 qdratis 111148 pofitionibus m: 1 cubo, qui iundi , funt 1 28 P124 quadratis,quare ducemus $2 p: 2 quadratis , in 1 28 p; 24 quadratis , & fient 40 $6 p: i 024 quadraris puf$ qdqdratis , 8c hxc funt aqualia 8 1 zBJgitm habebimus,fada detradione 8c diuifione, X qd'qdra 7 9 Hi fiB.CN Y M I CAKDAN I ■? * l qdqdratum pt2 1 ^ q dr aris, xqu alia 64, quare res eft i^ v: ^ 1 07 m;i o |-,partes igitur funt 4 p:dida radice & 4 m: di&a radice* Qjv m s t 1 o v i * Fac de 1 o duas partes , quarum radices quadratae cubicatx faciat 2tf,pone quod tales 1^2 fint 1 politio , fac ex 1 politione duas partes, quarum quadrata iuncfta fint 1 o,eo quod radices talium pardum de* bent aggregare 1 pofitionem,ex regulis igitur fexti libri,uel ex Eu* clide,habebis partes,ut uides,id eft,~ politionem p;R2 v;$r m; qua#* drati ^--politionis m:R2 v; f m; —quadra ^pof.p^v: fm: ^qd* J-pof* m;^2 v; 5 m: -jr ti,iftx reducendae funt ad cubum , &C quia in cubando Binomium , oportet ducere quamlibet partium infe,& triplare,& addere quadrato alterius par* tis,8c produeftum ducere in illam alteram partem,ideo cum talia pro* ducfta afsimilentur,& fintxqualia,& unum Iit ptaliudm; quando du ceremus triplum quadrati primx partis cum quadrato fecundae in ie cundam,ideo fufflciet ducere,triplum quadrati fecundae partis, quod eft j ^ m;™ quadrati cum quadrato primx partis,quod eft-; quadra* ti,& fiet totum 1 ^m;— quadrari, in primam partem qup eft -^politio, fed quia hxc operario geminanda eft, propter duas partes , habebi* mus multiplicationem 1 £ m: £quadrati,in 1 pofitionem,qux eft du* pium --pofirionis primx partis, igitur tandem producentur 1 e poli* tiones mr^cub^xqualis 2^, quare 1 cubus p^jxquabitur po* (irionibus, & rei xftimatio erit ex capitulo fuo,F£ 27 m:i , inde habe* bis partes,ut uides,8c in uerificatione operationis,multo magis haere gula indiges ad facilitatem , uerum , . , 32 ^ m : m; f&v : m : 2 de hoc dhrimus in tertio libro fuo loco* ‘ Q^v /a s T10 vit* Et ad hanc reducitur quxftio illa,quidam emit Croci lib* 1 . C i* namoni lib. 2 .Piperis lib. f,precrjs proportionalibus, fic,ut fe habuit precium totius piperis, ad precium cinamomi , fic precium cinamo* mi, ad predum croci , ita quod precium crocifuit minimum,8e pipe* ris maximum,^ cinamomi medium, & hxc tria precia, iuncfta fimul, fuerunt 6 aurei. Denuo fub eifdem preerjs emit croci lib. po,cinamo mi lib. 5-0, piperis lib. 4o,aureis 1 00 , quxritur fingulorum precia* Hxc qugftio,a fratre Luca pofita eft,fed in numeris pportionalibns, nam fic exiftimat eam admodum difficilem,fed non eft,nam cumpre eia bxc, e librarum piperis,8d 2cinamomi,& 1 croci fint proportio* naliappfa manebunt etiam proportionalia9infuis aggregatis, diuide. mus . 3° $0 40 100 f 2 f d 3° 8 IO@ De iArithm tytc a ■■ Lib* x*-.. 6$ Jolib* croci per i, Crocus Cinamomu Piper Aurei & eft fecunda quantitas per primam ', dc ita $o cinamomi per 2}5c 40 piperis per $• ,& ex ibunt numeri in margine , id cft jofpro croco, 2 f pro cinamomo,& 8 pro pipere , manifeftum eft Igitur quod hi funt numeri trium quantitatum ^portionalium* quae funt precia 1 lib» croci,2 cinamomi,& f piperis, & quod prima quan titas feu precium,fumptum 7, o uicibus,& fecundum 2f uicibus,& ter tiura 8 uidbus,fadunt r 00 aureos,at uero ite quantitates , ut didlS effftmt <5" aurei, (impliciter fumptse , fac igitur ex d tres quantitates proportionaks,quarum prima du&a per $0, fecunda per 2^, tertia per 8, faciant 100, Ponemus igitur,mediam 2 politiones, relinquens tur reliquae, $ m:i politione p:^v;p m;$ quadratism; d politioni* bus,& 3 m: 1 politionem; i^v; c>m,q quadratis m; d politionibus, ducenda? igitur funt fin* _ gula? per fuos numeros, 3 m* * pof p:^2 v: pmq qd*m;dpof quia igitur prime partes ? ^ Bmoraiorum funt aequa les, <$C ambae p; tantum erit ducere eas per 3 o-,& per 8 , quantum per 38, &C fimiliter , quia radicu uniuerfaliumuna elf m; ducenda per 30, alia p; ducenda per 8, tantum erit , cum lint aequales, quantum, li ducant per 22,differentiam 30 & 8, ■& producentur partes, quas uides a latere, &C ipfae erunt aequales 1 oo,iunge & detrahe limi> lia,habebis i4p;i 2pofitionibus,a?qualiai£ v;ilh,quaeeftm;& ideo quadratum quadrato,id efl: 1 p dp: 3 3 d politionibus p» 1 44 quadrae tis,xqualia4^<5 m: 1492 quadratis m: 2004 politionibus , aeqlia partes,habebis 41 do aequalia 1 ?pd quadratis p: 3 240 politionibus, quare 1 qd.p: 2 , xqtur 2 §£|,eftigit rei xftimatio R2 3 m: 1 ^ precium igitur unius librae croci , eft aurei 4 m: m 5 T^frlrt > & precium duaru librarum cinamomi, eft 132 i 4 -Iffffff m; 2 & precium quinq? librarii piperis,eft R2 p: 1 fB3 C, * S fi igitur pn;i pof m:i^v:p 01:3 qd,m;dpof 5° 2 pof — — — 25 - — 5-0 pof p:$ m:i pof |m;i^v:pm;$ qdm:dpof ?8 22 1 1 4 m: 3 8 pof m;R2 v;4^dm;i^ 14?* quad.m:ipo4 pof 1 141x1:3:8 pof ^0 pof vt4^pdm: 1492 qd*m;2po4 pof aequali a 1 00 Hieronymi Cardani fi igitur aiuiferis hac precia proporrionaliaiper fuarum librarum mi merurn,refercndo fingula lingulis , primum per i , fecundum per ternum per f, habebis precia librarum fmgularum,uniufcuiufqj ge* neris ,& fi duxeris ea per duos numeros , in fecunda emptione , pre* cium croci per jo,ciiiamomi per 50, piperis per 40, habebis quatum pecuniarum fi ngulis impenderi t* - , CLv^SYIO VI I T> Eodem modo foluitur quaftio hac,facex 1 4 tres partes propor tionales, quarum maior dududo 9 aggregato primi & terti), in radicem uniuerfalem , & fiti^v: m:i 1 |4pofitionibusm:244qtiadratis,ha:cigitura?quatur pofirionibus,quare quadratum quadrato,igitur 1224 m* 770 poli# rienibus p: 1 21 quadratis,aquantur $c>6c> m:i 1 ^4 politionibus m: 241 quadratis,aqua partes,habebis 2744 cqualia $ <54 politionibus p:4^4quadratis,c|uare i qd.p;una politione sequantur 7-y, quare rei aftimatio cft cognita , et eius duplum eft pars fecunda, fcilicct $i |m:i. - Qvms ti o x* Fac de 8 tres partes propordonaks,ut aggregatum quadratorS primae & fecunda', tri pium fit quadrato fecunda,pdncs quantitatem mediam 2 pofitiones,eius quadratum dl4 quadrata , cuius triplum cft aggregatum quadratorum prima tk tertia,eft autem prima 4 m: s} pofi* D E: Arithmetica Lib? x* y® f politione p;i£ v: 1 6 m;8 pofitionibusm:? quadratis,& tertia eft 4 m; i politione m:r^ v; 1 6 m;8 politionibus m:$ quadratissdeducen# do igitur haec ad quadrata,uides quod oportet multiplicare m ¥1 in fefemel,& parte r , a r / 4 m: 1 poi* J p:R2 v; i m:8 pofim*; qd* 4 m: 1 pofTfpflg v: 1 d m:8 pof,nft*$ qd«. 4111:1 pofv |m;R2v;idm;8 pofim;^ qffiq 4 m:i pofT^tr^v: 1 c» m:8 pofim^qd. ? 2 m: 1 o pof p : 2 qd* jp: $ 2 m; 1 6 pof.in: dqd*. prima in fefemel, 3c omnia funt pt quare fufficiet ta lia producta du# plicare,deinde o* porteret ducere Rt v: in prima par tem bis, quare cum in una ^ducatur p;in alia mffuppofitis, partibus asqualibus,nihil producet,igitur habebimus aggregatum quadrato rum 64 2 politionibus 111:4 qd ratis, Schoc eft aquale 1 2 quadra tis,triplo quadrati fecunda:, igitur 1 qdratum p: 2 politionibus pqua: tur 4,& res eft f m: 1 3dC duplum eius3cft quantitas media fciiicet^z 20 m:2,&reliquac,ut uides, quadra# tum fecundas eft 24 m:n> 520 , qua# drata autem primas tertia: }72m: pa 5- m:i^ 5- p; 32 v: 6 m:i£ 20 ? $ m:ns $ m: 3220 $22880 probata effiSed fi diceret , quod quadrata prima? & tertias* tripla effient quadratis fecundas & tertias, tunc difficulter per hanc re# gulam foluicmyaerum facilius longe, per primam regulam ^ p1 capi# tulfponendo quantitates 1,1 pofitio,& 1 quadratum, habebis 1 qd' qdratum p: triplum de 1 quadrato p:i , quare res nota effi Q^y te s t 1 o xi* Si dicas , fac ex 8 duas partes, quas uidfsim diuiias per alterius; quadraturmproducant iunda prouenientia 1 o , pones partes 4 p: i pofitione &4 m: 1 pofitione,8C per hanc regulam,peruenies ad capi# tulum deriuatiuu m,qd'qdrati & qdrati & numeri, & eft facilis* Q_V te S T IO XI u Inuenias quatuor numeros continue proportionales,quorum ag# gregatum, primi fecundi & quarti, fit i $>& aggregatum primi & ter trj & quarti fit 1 7->tunc dices, igitur cum hec aggregata differant,per differentiam fecundas Sd tertias,igitur tertia eft 2 p:quam fecunda,po nam igitur fecundam, 1 politionem m: 1 ,& tertiam 1 politionem p: 1 nam. fi c differentia illarum erit 2, relinquetur igituraggregatum prP mas&-quartas id m: 1 pofitione , duc fecundam in tertiam,fit 1 qd* m;i ,fac ex 1 6 m: 1 pofitione duas partes, ex quarum multiplicatione umicem ^producantur 1 quadratu m:i *& erunt partes ut uides, quia S 2 igitur Hieronymi Cardaki 8 m:— pof.p:i^ v:<5$- m;8 poHm:| qd. ] 4® 8 m:^pof.m:i£ v:6$m:$ poftm;:|qd* | p® 1 pof. p; 1 1 pof. m: 1 2* 2cub, p; 6 pof. igitur ^portio quar* tsc ad tertiam , eft ut feeundx ad primam, ex conftituojquia^ du&um fecundae in tertia, aequale eft pro ducfto primae 111 quartam,fufficiet ad demonftran dum, quod fint con tinue proportionales, quod cubi fecundae Sc tertiae iuncti aequales fint, productis quantitatum quartae & primae, in fua quadrata mu * tuo, at tales cubi , fiunt folum ex multiplicatione tripli quadrati fe* eundae partis, cum quadrato primae,in ipfam primam , eo quod reli* qua multiplicatio tripli quadrati primae partis,cum quadrato fecun* dx in ipfam fecundam,excidit,eo quod in una eft p: in alia m: igitur habemus cubos iuncftos,2 cub/p; oo,eft autem manifefturrt ex demonftratione 47*, primi elementorum Euclid. quod different tia quadrati a B,a quadrato a ecqualis efl differentiae quadrati b jd, a quadrato c D,differentia autem duarum quantitatum, efl femper in partibus difsimilibus,nam quae fimiles funt,nullam producunt differ rentiam,quare cum quadrata partium conflent ex nouem multiplicae tionibus,quarum tres funt quadrata partium, erunt illae tres omnino fimiles, comparando a b ad a c,& b d ad c d , & fimiliter multiplicae tiones duae 30 in£pofitionis,funt communes a b 8c a c, cum utraecp producant m;6c ita in b d &C c D,communes funt multiplicationes , 6 in v:nam utrinqp prouenitidem m; differentia igitur ab&a c , ex parte a B,eft multiplicatio 50 im^vi&ex parte a c, multiplicatio -f pofitionisiniF^ vtquare differentia quadratorum a b,& a c, efl illud quorum Rtv: 2 z^quadratorupuyooo pofitionibusm; 8 1 0000, ex cedit F£ vt-1^ qd'qdrati p: 7 ^ cubis m; 225* quadra tis, eadem efl ratio ne differentia b d SC c d quadratorum,eff qua 3 pofitiones excedunt f&v: Yo qdqdrati p;7rcll^is mU2f quadratis,oportuiffet aut corm ab 40 mt^pof p;i^ v; £ qcf p; 3 o pol’ m;poo ac 30 m : ~ pof m: 1% v: ± qd. p: 30 pof, m: 900 bd~ pof p: 6 ~ qd* p: $0 pof m: 900 c d £ pof m: 6 pnyv; \ qd* p: pof m: 900 pars qd* a b difsim* 32 v;22fqd*p:27ooo pof mtSioooo pars qcf A c difsirm vt qdqd» p: 7 cub, m; 22^ cfd* pars qd, b d J pof* pars qd*c d R2 v: ~qd'qd*p: 7^cub, mt 225" qd. plendo operationem,omnia quadruplicare,fed hoc uitauimus , quia fi qdruplum efl aequale qdruplo,igitur Sc fimplum fimplo , hae igU tur differentiae aquales fupponuntur3& radices v; etiam funt IdeJgU ** • S $ tur H I ERONYMI CaRDANI Igitur ex cornum fententia3$ pofitiones sequantur illi R2 v: primsc, id eff r^v; 22 f quadratorum p: 27000 politionibus m:S 1 0000, igitur 2 1 d quadrata p:27 000 politionibus sequantur 81 0000, 8c 1 qd eif ut uides,fumpta eodem modo ut in priori quadfione* fed eif fuperatio abfoluta,non autem mutua, ut in priori quadfione 3 quia igitur qua* dratum a B,excedit quadratum a c in differentia quadrati b d 3 ad quadratum c D3erit differentia quadratorum b d &C c d3 addita qua* drato a cconffituens quadratum a B3quareR> v;22? quadratorum p:27ooo pofitionibus m:8 ioooo3 aequabitur pofitionis p: rj v: ^ qd'qdrati p: $ o cubis m:p 00 quadra tis3nam hscc rz v: eif aggregatu cx Ri vtdifferentise qdratorum b d & c b 3 .& partis quadrati a c3 in qua fuperat quadratum a s3quare ducendo partes in fe 3 habebimus 67 $ \ quadrata p;27ooo pofitionibus m;~- qffqdrati m: $0 cubis ms 8ioooo3ccqualia r^v:2 2 9 qd,qdratorump;270oocubis m:8ioooo quadratis38c cum duxeris partes in fe3pcruenies ad rem3qu£ non ha* k b $om:£-pof p:R* v:~qd, pi^opof rn:<>oo A C ^om:~poftm: R2 vc-qd. ptfopof rmooo b d ~pofp:i p:R2v;^qd.p;2o pof m:po.o c d Yp°f m: 1 m;R2 v;^qd»p;^o pof m: ^>00 _ pars qd. a Bdifsim. rz v;22^ qd» p: 27000 pof m; 810000 pars qcL a c difsim* rz v;y^qd'qd, p: 7 - cub. mu 2 5* qd* pars qd. b d qua fuperat quadratum c D eif-“ pof p:R2 v:-^qd'qd.p;7 -^cub.m: 22^ qd« _ benta?ff’mationern3&ideo foluenda eff regula particulari. Volui ta* men3ut intelligeres facilitatem operandi in hoc3& quseftionem ualde diffirikm3nifi Geometrico auxilio diffoluatur , mamfeflum eff enim De Arithmetica Li b; x: y% quod b c eR 2f,ut in priore qiiaeflione,iierurn generalis debet efle fo iutiojatera igitur trigonis C2^,ab 2o9a c i $,& £> ii^bd i t^c area igitur eiusefi i^o* De regula qua pluribus politionibus muenimus ignotam quantitatem» Caput XXXIX» n Regvla i; JEc regula fimilis eR regulx de medio,eR autem tatis >05* Ritue quantitates totidemin denominationibus liberis , quotus eR numerus querendam m,inde inuenies propor* tionem,quainucnta,denuopones res fub numero quari* titatiim inuentarujut^ propofitum eR,perfice operationem,&: hab e# bis xquationem,qua habita,habebis rei xfiimationem» Q_Vi&$TlO i. Exemplum Jnuenias tres numeros proportionales,quorum qua dratum primi fit xquale fecundo & tertio, dC quadratum tertq fit se* quale quadratis primi & fecundi,quia igitur quadratum terti] sequa le eft quadratis fecundi 8cprimi,ipfum fit i qd'qdratum,xquale i q* dratc^pM , quare res,feu proportio,efl rz v rz i -^-p: figitur ponemus res i M m v: Rz i ~p;^-,&Rz i ^ pt ^quadratum igitur primxquan* titatis3qiiod eR i quadratum,xquatur ie* cune§e& tertiXjfcilicet totidem rebus,igh tur rei xflimatio, eR aggregatum ex fecun da 5c tertia,quia diuidere aliquid per unitatem,qui eft numerus qua* dratorum, eR non diuidere, igitur rei sefiimatio eR, rz i —p. i- p: Fg v: rz i ^p: & fecunda quantitas,eR quod producitur ex hac, in rz v; rz 1 1? p:-£> & tertia habebitur, ducendo rem quam habes in rz i -~ p:|v Qv-astio n» Inuenias tres numeros proportionales, quorum tertius fit xqua lis fecudo 8C primo, 8c quadratu primi,fit tcquale aggregato fecundi & terti), pones primum quadratu, fecundum rem, tertium unitatem, bC quia tertius,xqualis eR fecundo St primo,igitur i quadratum, x* quatur i rei p: i ,& proportio erit rz i —p; ^partes igitur erunt, i po fitio,& politiones rz i ^p: &C politiones i ~p: rz i ~ bc quia qua* dratu primi xquale eR aggregato fecundi & ter* trj,igitur i quadratum xquatur politionibus rz ^ ? ( P* 2 i -Jrp : --p: i ~ p: rz i Aquare rei xflimatio erit rz ? * P: ^ ( 1 1 * 5- p:2,& partes utuides» fRfl» _ Q.V A s* 1 I pof» 1 qd* I I qd* 1 qd qcfc c' : ' - -*■ . V;.: - (Vv & ST IO III, ’ 1 Inuenias quatuor quantitates proportionales , quarum quadra* tum quartae,aequale fit quadratis primae, & fecundae , & quantitates, xundae fimul,fadant i o,capiam i ,rem , quadratum & cubum,igitur qdcubus,£quatur i quadrato p: l , quare res ualet ex capitulo deriua tiu oru,i£ vma:r£ y: cubicae — p;R2-“3§-p:i£ v: cubica ^m:iS2 ~~?%3 igitur pofita prima unita te, hcec efi fecunda quantitas , 86 tertia erit quadratum huius, fcilicet iyv cubica-^- p:iy ~s p;iy v: cubica ~ m; iy quarta erit cubus fecundae feu proportiois,inde iundis quatuor quantitatibusficilicet unitate,re,quadrato, & cubo , 3c diuifo i o per aggregatum^exibitprima quantitas,qua duda in rem habebimus fe* cundam,hac denuo,duda in rem, habebimus tertiam , qua duda per rem,habebimus quartam» Q^Vastio m u t Inuenias quatuor quantitates continue proportionales , quarum quadratum quartae,aequale fit quadratis primae Sc tertiae,& aggrega tum earum fit i o,capiam ut in praecedente i ,rem, quadratum, cubu, erit igitur cu'qdratum aequalis qdqdrato p; i , quare ex capitulo deri uatiuoru,rei aefiimatio efti£ v“a:r^ v: cubicae ||p;R2 ^ p: yptiy v; cubicaj^m;^ huius qdratu,quod efi idem, abieda vma: efi tertia quantitas,inde dudis inuicem fecunda & tertia, uel fecunda ad fuum cubum , uel tertia ad quadratum , & addita unitate confurgit quarta,quibus quatuor quantitatibus iundis,fiper eas diuderis io, habebis primam quaefitarum,qua duda per fecundam tertiam,S6 quartam,praecedentium , habebis fecundam & tertiam & quartam quantitatem quas querebas» R egvla 1 i» Alia efi: regula nobilior praecedente,&: efi Ludouici de Ferrarrjs, qui eam me rogante inuenit,& per eam habemus omnes gfiimationes ferme capitulorum qd' qdrati Sc quadrati rerum , & numeri, uel qd' quadrati cubi, quadrati 3c numeri ego ponam ea per ordinem, : hoc modo ut uides* 1 qdqd» aequale qd» rebus & numero 2 qd qd» aequale qd» cubis & numero 2 qdqd» aequale cubis numero 4 qd qd» sequale rebus 3c numero 4 qd qd» cum cubis aequalia qd» Sc numero 4 qd'qd» cum rebus aequalia qd» & numero i i pof» i qd» i cub» I i qd» - i cub'qd. X* 7} Dh Arithmetica Lib; 7 qd'qd. cum cubis aequalia numero S qd'qd. cum rebus aequalia numero 9 qd'qd. cum qd. aequalia cub. Sc numero i o qd'cjd. cum qd. aequalia rebus & numero ii qd qd» cum qd. 8c rebus aequalia numero 1 z qd'qd. cum qd. & cubis aequalia numero 1 1, qd'qd. cum qd. Sc numero aequalia cubis 14 qd qd. cum qd. Sc numero aequalia rebus 1 9 qd'qd. cum numero aequalia cubis & qd* 1 6 qd'qd. cum numero aequalia cubis * 7 cjd'q d. cum numero aequalia rebus & qd*‘ 1 8 qd qd. cum numero aequalia rebus 1 9 qd'qd. cum cubis & numero aequalia qd* 20 qd qd. cum rebus Sc numero aequalia qd* In his igitur omnibus capitulis, que quidem funt generalifsima, ut reliqua omnia fexagmta feptem fuperiora , oportet reducere capri tula,in quibus ingreditur cubus^ad capitula,in quibus ingreditur res ut feptimum ad quartum ,& fecundum ad primum, deinde quxre* mus demoriflrationem hoc modo. De monst ratio. Sit quadratum a F,dfjifum in duo quadrata ad&df,& duo I fupplementa d c 8t d e,& uelim addere gnomonem K f Gcircucirca, ut remaneat quadratum totum a h, dico quod talis gnomo , confta* bit ex duplo gc additae lineae,in c A,cum quadrato g c,nam f g con* ftat ex g c in c F,ex diffinitione data in initio fecundi elementorum,et c f eft xqualis c a, ex diffinitione quadrati,& per 44**” primi elemen torum ,kf eft xqualis f g , igitur dux fuperficies gf&f K,conftant ex g c,in duplum c a quadram g c di f H,ex corrolario quartx Ce eundi elementoru, igitur patet pro politum, (i igitur a nlit 1 qd'qdm &CDacDE,j quadrata , & d fq, erunt bai quadratum, b c ; ne* ceffiario,cum igitur noluerimus ad dere qdrata aliqua , ad d c & d e, & fuerint cl^km, erit ad coplen dum quadratum totum neceflaria fuperficies l n m, qux ut demon** ftratum eft,conftat ex quadrato g c numeri quadratorum dimidiati, T , nara HL F 13 "B G Gc Hieronymi Cardani nam c l eft fuperficies ex g c in A B,ut oftenfum eft,& A b «ft i qdra* tum3quia ponimus,A d i (jdqdratum, f l nero 8c jwn, fiunt ex gc in c B,ex 42* primi elementorum, quare fuperficies l n jm,& eft mime rus addendus,fit ex g c in duplum c Bjd eft in numerum quadrato* rum,qui fuit 698c g c in feipfam,id eft numero quadratorum addito» & haec demonftratio noftra eft,. Hoc perado/emper reduces partem qd'qdrati ad R2, id eft ad* dendo tantum utricj? parti,ut i qd'qdratum cu quadrato 8c numero» habeant radicem,hoc facile eft,cum pofu eris dimidium numeri qua* dratorum,radicem numeri,item facies , ut denominationes extremae fint plus, in ambabus aequationibus,nam fecus, trinomium feu Bino* mium redactum ad trinomium,necdTario careret radice,. Quibus iam peracftis,addes tantum de quadratis,& numero uni parti,per tertiam regulam,ut idem additum alteri parti,in qua erunt res faciat trinomium habens quadratam per politionem, & habe* bis numerum quadratorum,&: numeri addendi utricp parti, quo ha* bito,ab utrocp extrahes quadratam,quae erit in una , i quadratum p;numero,uel m;numero,ex alia, i politio uel plures p; numero , uel m:numero,uel numerus m:politiombus, quare per quintum capitii* lum huius,habens propofitum, Q^V iESTIO V* Exemplum, Fac ex i o tres partes proportiona!es,ex quarum da C numerus eft (ut oftenfum eft;) quadratum dicftae quantitatis, plus duodecuplo ipfius quantitatisjueram quia ex fuppoiito, ex numero quadratorum in numerum sequationis fitquadratum di midfj numeri rerum, igitur diuifo c)oo quadrato dimidi) numeri rerum,per numerum quadrato rum, exibit numerus, quantitates igitur funt hse, ut uides , 8c quia la* tus a g eft compofitu ex lateribus duorum quadratoru ad&dh du quadrata « v:cubkai3©o 2 p:i^v:cubica 23001x1:« £i4S7r* 01:4 res i487f2 m;4 mifsis fupplementis , erunt 32 primae &C tertiae harum quantitatum iundtse inuicem,i£ v; totius aggregati,quare ly primae & tertiae quan tatis,aequantur i quadrato p;^2 vtcubica z$7j;ptfy 80 445) | p; 52 v; cubica 287^-m:i£ 8 0445) -^p: 1 ,fed primae quantitatis , eft nume* rus rerum,quia eftiS2 totidem quadratorum , & ly tertiae quantitatis eft numerus, quia tertia quantitas eft numerus Rabemus igitur 1 qua dratum p;numero,aequalia rebus Enumero, minue minorem nume* rum de maiore , accipiendo R2,id eft accipiendo ty denominatoris 3C numeratoris, habebis 1 quadratum p:hoc numero toto,m;numero in frafcripto aeqlia numero reru,huicfcilicet, ly uniuerfalifsima ly v;cu* ^Vtcubica 287 JLp:^ 80449 JLp:$jVcubica 287 JLrn:i^$o44oJ_p:4 % x x 4 30 *£V: n,a^V: cu.230op:i52f 1487^1 P*J^ v:cu.23oo m:^j*i487r2m:4 bicae 2^00 p:F$2 fi4875r2p: 132 v: cubica 2^00 m: jy fi 487^2171: 4, nec refert, quod numerus ille fit compofitus ex p: Sc m; nam tan* tum refert dicere, 1 quadratum p: 8 j aequatur tfrebus, quantum dice* re 1 quadratum p; 1 o m: 2 , aequatur 6 rebus , fequere igitur capitu* lum quintum, de quadrato 8c numero , aequalibus rebus , ducendo dimidium numeri rerum in fe,.& auferendo numerum aequationis, in de refidui fumendo iy uniuerialifsimam, quam addes dimidio mune ri re* De Arithmetica tm xi . ri rerum, & habebis rem quae fuit media quantitatum proportiona* liumquaeli torum» .QjVASTIO VI» Inuenias numerum, qui fit aequalis radici fuae quadratae , & dua* bus radicibus cubicis pariter acceptis,dices igitur fi talis numerus fue rit cu'quadratum radix fua quadrata neceflario eft i cubus,& duae ra dices cubicae funt 2 qd* igitur 1 cu qdratum , aequabitur 1 cubo p; 2 qdratis,deducendo igitur ad inferiores denominationes per qd* erit 1 qd'qdratum aequale 1 pofitioni p:2,pofui aut 2 radicibus cubicis, quia cum regula fit generalis,hoc tarne modo dupliciter folui poteft, ut patebit. Namq* fi 1 qdqdratum aequatur 1 pofitioni p :z , igitur 1 qdqdratum m:i aequabitur 1 pofitionipti,namabaequalibus aequa lia auferuntur,diuide igitur ambo haec,per 1 politionem p: 1 ,commu nem diuiforem,habebis 1 cubum m: 1 qdrato p: 1 politione m: 1 , ae# qualia 1 ,igitur 1 cubus p; 1 politione, aequatur 1 quadrato p :z , igitur ex 1 8° capitulo, rei aeftimatio eft ne v: cubica ff&prfj v:?ub* ^ I •-*-»* 5l7 -Pi6 1 5“ i- r* I qaqd* mj 1 pof* p: 1 pof* p: 1 1 1 1 cu»m; f qd*p;i pof*m;i y, &cu'qdratu huius efi: numerus quae- fitus, cuius R2 quadrata,& 2 radices cu# bicae funt illi aequales , 8>C tales radices funt duplum quadrati huius quantitatis cum fuo cubo» At regula generali fic faciemus quia enim 1 qdqdratum aequa# tur j pofitioni p:2,addemus ad utramcp partem,2 politiones quadra torum, cui fuhfcripfinius qdmtintdligas non efie ex genere priorum denominarioiram,fed efie pofitioes quadratorir,igitur numerus adden# dus,eft 1 quadratum numeri qdra# torum,& hoc eft,ut in tertia regula huius capituli,quadratum d f , nam hic additio fupplementorum eft ut d c , ac, d E , ad quadratu fimplex A Degitur fulFicit addere quadratu d f , abfep additione fuperficierum p* 2 pof p: 1 qd* numeri qd» numeri qd» 2 pof. p: 1 pof. p: 2 p: 1 qd. numeriqd* numeri * qd* qpoft pt2 cub» _ _ numeri qd* —aequatur 2 cu*p:4pof» -|-aeqtur y cu*p:2 pof» F l&£m N,quae erant neceftariae in exemplo quintae quaeftionis , quia igitur additis 2 politionibus p: 1 quadrato numeri quadratorum , ad I politionem p; 2, fit totum 2 politiones numeri qdratorum p: 1 po C p;2,p: i quadrato numeri quadratorum, &hoc habet radicem,opor tetut quadratum dimidi) mediae quantitatis,quae eft 1 pofirio, aeque# T 1 tur i '2.01$ Hieronymi C ard a ni / tur ducffui extr emor um,igitur-|; quadrat i, aequabitur quadrato, 2 c« borum p;4 pofitionibus numeri prioris , quare abiccdis quadratis utrinq*,lieE-£-aequalis 2 cubis p:4 poiiti©nibus,&-^ cqualis 1 cubo p: 2 po (irionibus, quare rei aeftimatio eft rz vtcubica rz |§yf p: 7^ m: rz v:cubica rz m: ~,hic igitur eft numerus quadratorum adden* dus utriq? partii duplicatur, & quadratum huius erit numerus ad* dendus ad utram cp parte,& gratia darioris intelligentie appofui hic* Prima 1 qd'qd. p:qd* rz v: cu. rz 1 9 p; ~ m: rz v: cu. R2 10 £o\f mti p: numero rz f;cu* %^p6 ptRz p:^v; au m; rz m:jj» «Secunda qd.1^2 vicu.rz 1 p p: |-m:Rz v;cu. *rz 1 p n: -~p: 1 poff p; numero rzv;ou P; ** «tilfe P; ** cu~ UU .'ZtQlS' «-»+ Manifeftum ed: igitur , quod rz primi, ed 1 qd. p: rz vtcubica rz |§~f P: 7Vm*R2 v: cubica m; - ~>8c radix fectmdi,eft res rz vra* rz vzcubicaeRz 10 ~~t p:--m:Rz v:ciurz 1 p r|^m: p: numero rz V™a R? VCllbir-T* - n+R> — — .Q*Z.£_ 1«™ \7+ni -- * m» 'XOIS' ». « 2^ Q/ V RZ V.LLlOlCvU 54^ P‘1>Zjt^i3cS8 P**V V+CU« 34^(5 m* $6$ P* 3 hoc,ut dixi,qa latus a d qdrati,coponitur ex a b 3c b c,lateribus qdra tora extremoru,abfcp comemorarionefupplemendoRz. Manifedu m efi: etiam, quod numerus,qui edcu 1 qd.ed minor numero qui efi cu rebus,igitur habebimus 1 qdratu pqle rebus rz vma rz v: cubicae Rz 1 p p : ~ m : rz v : cuCa rz tp p;numero,hocR2VmaRz v:cubic£ kV&PVvgiss p:Riv:cu. lp£v p;f-m:^v:ai,ref£f£ p; ~m:Rz v;cu*rz ||yf m; Quare ducemus dimidium mirnert re rum in fe,& ed,ut ducamus totum in fe,& iit idem,dempta R2 vmVde inde accipiemus quartam partem producdi, & ed dimidium ultimae rz v: quae efi: m:fupra pofitae,ideo addita,relinquetur numerus totus compoiitus R2Vm"R?cu, v; p:Rz ^r]§# p: Rzvzcub. T§;|^ m: Rz v&ih P: Tm™ Y:cu-^ P: THi m:* v:cu.«4H^m: ^ &C radix huius totius vm2,addita dimidio numeri reru, id eft huic nu* mero rz vmVv: cubicae R2 +%£?£§ p: & v; CLL ** ^-J-TjCondituitrem» - j 3r P Et ii dixiiTet,qu6d numerus propoiitus equaretur radici quadra tae SC cubicte pariter acceptis,non potuiiTet folui,nifi hoc fecundo mo do^per regulam generalem. Deducere autem aedimationes aequales ad idem,ut primam aedimationem ad fecundam,iam te docui in libro quantitatum irrationalium,quamuis fit difficillima operatio, Sc ideo complementum in his operationibus , eff quafi extremum , ad quod peruenit perfecSio humani intellecdus , uel potius imaginationis , iii tec em cognoftes illoru differenda* Q^v & s* De Arithmetica L i bv x; Q_v astio ?n, Si quis igitur dicat, inuemas numero qui duehis in B2 cubicam fuam p: <5", faciat dedices igitur , polito eo numero i cubo , habebo mus i qdqdratum p:<5 cubis ecqualia Aquare per feptimam tranf mutandi regulam feptimi capituli huius habebimus i qd'cjd* ecqua** le 6 rebus p:-f, unde habita xftimatione ex hoc capitulo per nonam regulam eiufdem capituli,habebimus intentum* Et quibufdam adeo uidebuntur difficiles hx operationes, ut uix eas ueras effe credant, nos autem offendimus modum,quo quantitates iffx irrationales sc* quiualentes numeris , ad numeros reducantur, 3C dedimus demon* ftratione utram cp, 8c Geometricam a caufa,8c Arithmeticam ab effe* 8 2* aeftimatio res R2 5- m; 1 quad* m:R2 20 qd'qd.$-«5 m:nz 2880 4resR>48p:4 qd'qd^7d8 p:28 p:8 4 res nz 80 111:4 qd'qd*m;i£ 2880 p;$^ p:8 aggrega 1200 p;4o 1 0 quad* 40 p:^ 1 200 aggreg4 tfo m:p22ooo 10 qd* 60 m: 1^2000 3 p: 1 R2 f m: 1 ,dico igitur quod in aeftimationibus 1 qdqdrati p: 4pofitionibus p: 8, aequantur 1 o quadratis,cuius probationis expe* rimentum habes a latere dilucidunqut patet,non declaro autem,an fa d:a alia pofitioneperueniremus ut dixi,cum 1 cubus p:^ aequabatur 2 quadratis p; 1 $- rebus, ad alias duas aeftimationes, fed fi te delecftat operatio,per te ipfumpotes illud inquirere* Q_V AS TIO X* Inuenias tres numeros proportionales , quorum aggregatum fit S,& quadratum tertrj,fit aequale aggregato ex quadratis primi & fe* cundfiponemus eos per primam regulam 1,1 poft f quad* erunt igi* tur quadrata 1,1 quadratum, 1 qdqd* igitur 1 qd'qd* aequatur 1 cf* drato p: i ,quare ex capitulo deriuatiuorum 24°,habebimus rei aefti* mationem v:f£ i ^ p: & tertia quantitas,eft eius quadratum, fdli cet 1 4rP-ir> & prima fuit 1 ,igitur totum aggregatum eft 1 -- p; 1% 1 4- De Arithm eti e i i^rp: ^hocautndneft S,utpropofitu efi,dic igitur per regu lam trium quantitatu > fi i ~ p:i^ i £ p:F£ v;i^ 1 ~p;^efiet $,cjd cffct i pri ma quatitas? duc 8 in 1 ,fit $,diuide 8 I B* 'X+ 7B I P rp:f£«|- i u*v:u2 1 ~ • 2 x ~p;i^ i ^rp;R2v;R2 i-^pt^ per i ^*p:R2 1 ^rp:R2v:i^ i^p:Jr38<:exit4p;i^v:i^ 5'oop:iom:i^v^ R2 ip2o p:i hxc eft prima quantitas, qua habita fi duxeris eam perni i 4rp* ^habebis tertiam quantitatem , qua fi duxeris denuo in primani quantitatem ultimo inuentarum,F£ vm* produ Si quis dicat, inuenias numerum,qui duefius in ut fuam cubicam m:j ,faciat £4. Pones illum 1 cubum,igitur duefius in ut cubicam m: j producit 1 qd qdratumm:^ cubis,xqualia 64, igitur 1 qd'qdratum m:| cubis,xquatur <54,dico quod poflumus folueremodo feptimx quxfiionis,& etiam alio modo, fine tranfmutatione,quo potefi etiam folui feptima quxftio,& facilius,fed uolui docere ambos modos > ut melius fcires operari,debes igitur fcire duo. Primum* quod ut res de bent femper manere ab alia parte, a qua efi numerus cum quadratis, Sc non a parte qd'qdrati,fic cubi,feu p: feu m : debent manere cu qd' qdrato. Secundum, quod ut numerus rerum nuncjj debet uariari > fic nec numerus cuboru.Et pofiumus addere tertium his , fcilicet, quod ubi funt res,peruenimus ad 1 qd'qdratum p:quad.p:numero,xqua^ lia quad. rebus p;uel m:& numero p:fic hic peruenimus ad qd'qdra* tum p:quad.p:numero, xqualia qd'qd. cubis p: uel m; Sc quad. p: Hoc intelle&o, fic foluitur quxfiio, addes ad numerum 2 politiones qdratoru, igitur duefio eius dimidio in fe,fit 1 qdratum numeri qua** dratorumquadratoru,diuifoigitureoper 4 qd'qd. qd. bendam radicem —p quad» pro numero qd'qd. -& 2 politiones pro numero quad* igituraddes eadem ad 1 qd'qdratumm: 3 cubis, &C habebis ^quadrati p; 1 ,pro numero qd qd. & m:$ cubis &C 2 poli* tionibus,pro numero quad. igitur ad hoc ut habeat radicem, oportet Ut extrema inuicem ducfiajproducant, quantum dimidiu medix quan titatis in fe,eft autem dimidium 1 d cubi, quod du(ftum in fe,producit 2 ^cu' quadrata &£ quadrati p; 1 numeri qd'qd. in 2 politiones nu V 2 meri ^ Hibion ym I C a: r d a n i meri quad, producit cubi p: 2 politionibus numeri cu'quadrati, na qdqdratum in quadratum,producit eu' quadratum, habes igitur cubi p;i politionibus numeri cu'qd» aequalia 2^cu'qdratis , igitur ut cu'qdratum,ad cu'qdratum in aequalitate,ilc numerus ad numerum, quare -—-cubi p;2 politionibus,arqualia 2^-, quare 1 cubus p: 64 poli tionibus aequalia 7 2,quare rei aeftimatio, ptns v: cubica i ioof p: $ cqmn^ v: cubica 17 1 1 00^ m: y 6,& duplum huius pro qdratis addetur utriq? partfradix igit, ex una parte eft 8 p; rebus fub nume* ro xftimationis rei,ex alia aut qdrata fub numero 1^ v: ■— qdrati,hu* ius seftimatiois addito 1 , m:poli'tionibus fub numero uz dupli huius asftimationis» Q^^stio x ii. Si quis dicat, 1 qdqdratum p; $ aequatur 1 2 rebus, addes 2 pofi trones quadratorum,^ 1 quadratum numeri quadratorum , qtiare lic habebit f$2 quadratam line numero ut clarum eft , igitur addemus ex alia parte pro numero quadratorum 2 poiitiones,& pro numero i quad»m:$ habe bis partes ut ui des , quare multi* plicatis partibus, habes 2 cubos te* 1 qdqd*p; y j 1 2 pof 2 pof» quad» p: i quad* m:^ 1 qd'qd*p:2 pof p;i qd* J 2 pof | 1 2] 1 qd,m* y 1 qd'qd* p: 6 quad» p; p j 6 quad»p;i 2pof»p;<$ quales 6 rebus p: $ 1 cubum,aequalem y rebus p: 1 8, & res ualet y ,igitur partes funt ut uides,& erit 1 quadratum p» y , m primae par* tis,acqualis rebus 132 6 penumero R2 res qucefita erit, uz v»’U2 mf i ~p:R2 1 ^-» Q_v ffisno xiii»- Inuenias numerum,cuius qd qdratum cum duplo cubi,:f t 1 p: ipfo numero,igitur dices, 1 qd'qdratump: 2 cubis aequantur ad 1 po ii donem p: 1 ,hic non datur locus radici fu b trahendae , nec diuilioni» Sed dices ex prima regula,inuenias tres numeros proportionales, quorum aggregatum ad aggregatum fecundi &C terti] eande habeat rationem, quam aggregatum fecundi & tertrj ad primum» Pones igi* tur eos 1,1 pof» 1 quad» habebis iginir 1 qd'qdratum p: 2 cubis p; 1 quadrato,a?qualia 1 quadrato p:i politioni p;i, quare abiedio 1 qua dratocommuni,habebimus 1 qdqdratum pt2 cubis, sequalia 1 poli* tioni p: 1 ,ergo iam fcimus rationem quantitatum, quia uero ex aggre gato in primam,fi't quadratum aggregati fecundas & tertise,igitur ta* le aggregatum eft diuifum fecundum proportionem habentem me* dium & duo extrema,& eius minor portio eft 1 ,igit ur reliduum ( & eft maior portio) eft ut 1 |-p;|-,8<: hocpquatur (ut fupponitur) 1 qV dratopti poli'tione,im'tur quantitates funt ut uides» Medias / v De Arithmetica Libi' x. "79 Medias igitur quantitatis (quas eft res) i qdqdratum pt2 cubis se* quantur ipfi quantitati p: 1 , id cit R2 I i p; I p; jjk per h^c intelligis modos haru regularu. f i prima 2a res v; ne i ^pt-Jm: F $aqd* R2 l^pti m:nmnz I^p:-| fi exempla haec diligenter cum fuis operationibus animaduertas De modis fuppolitionum generalium ad artem maiorem pertinentibus & regulis quae extra ordinem fiint, ac animationibus diuerfi generis ab his quae dicftaefunu Cap* XL* Vm fuerit cubus aequalis quadratis & numero, fi ab aeffi* matione illa detrahatur,numerus quadratorum,relinque* tur aeEimatio cubi & totidem quadratorum, equalium nu Ii mero exiEenti in proportione eadem cum numero primae aequationis in qua eE lpfa fecunda aequatio feu aeEimatio ad primam aeftimationem,Exemplum,cubus aequatur z quadratis p: i matio eft 2-^-,dico,quod fi abrjcias 2 numerum quadratoru relinque* tur ^aeEimatio cubi & z quadratorum, aequalium qui numerus eft in eadem proportione cum i -^numero prioris aequatiois,in qua eE^aeEimatio fecunda, ad z ^primam aeEimationem , cuius demon* Erado fit haec* Demonstratio* Ponatur A b aeEimatio prima, & a c numerus quadratorum , &C erit b c aeEimatio alicuius cubi & quadratorum,fecundum a c mime* ruii» ecqualium alicui numero, qui iit E,ponatur uero d numerus, qui cum quadratis a b fecundum numerum a c sequetur cubo a b , quia igitur cubus a b aequatur produ&o ex a c & cb in quadratum a b* iteincp producio ex a c in quadratu A b cu numero D,erit d aequalis pro* ducto c b in a b quadratum * Sc fimi liter cubus c b cum prodinfio A c in quadratum c b, aequatur e numere, Sc aequatur etiam producEo ex a b in quadratum b c,igitur producEu a b in quadratum b c, aequatur E,uerum produci b c in quadratum a B,ad prodtuEum a b in quadratum b c,ut a b ad b C ex demonfira* tis in feptimo fuper Euclidem,proportio igitur d ad E,ut ab ad b c, quod erat probandum, fimiliterfequitur,permutando proportiones aequationum numerorum ad fuas aeEimationes eafdem eEe,cum aeEi mationum. differentia fuerit numerus quadratorum* V l Cum e —i Hieronymi Cardini 2a Cum fuerint cubus Sc quadrata,aequalia numero , item cubus se* qualis totidem quadratis eidemq^numero, erit proportio aggregati ex prima aeftimatioHe E numero quadratorum, ad refiduum , quod fit detrafto a fecundaaeftimatione numero quadratorum, ut iecuiidjg critimationis adprimam duplicata,uelut 0 dicam,cubus & $ quadrae ta,aequantur 2o,&' cubus aequatur 2, quadratis p;2o,in prima aeftima tiorei eft 2,infecuda eft i^v; cubica 1 1 p:r^ 120 p;nz vtcubica 1 1 m; 1^ 1 20 p: 1 ,dico qu6d fi addas ^numerum quadratoru,ad 2 primam aeftimationem (& fiet 5O& minuas idem } , ex fecunda aeftimatione (&fieti£v:cu» 1 1 p:i^ i2op:i^v:cu»i j m:NM2om; 2) quod pro# portio 5- adhancradicem,eftuelutN2v:cubicae 1 1 p:t£ 1 20 p:i^ v:cu# bica 1 1 m:R2 1 20 p: 1 ,aeftimationis feciindae,ad 2 aeftimationem prri snam,duplicata,cuius rei eft demonftratio haec». D EMO NS T RATIO» Sit aeftimatio prima b effecunda' a b , numerus quadratorum com munis, a D,quia igitur cubus a b, aequalis eft prodtuftis a d &r> b in quadratum A b,& a b eft numerus quadra** ^ _ * torum,eritprodunumerus rerum,inde detrahe ^numera aquatibnis,ex \6 duplo cubi 2 Tpqd*& relinquitur 1 1, igitur 1 cub* p: 1 1 aquatur 1 2 rebus,aeftimatio autem eft 1 , detrahe igitur I ex 2 Tpqd* quia numerus eft minor duplo cubi Tpqd* relinquitur rfima tio cubi p; f aequalis 6 quad* Demonstratio» Demonftratio autem huius eft,ponatur a b numerus quadrato# rum p, a c aeftimatio rei, cuius cubus p: 80 aequatur A b dueffoe in A E quadratum A c,& fit A d tertia pars a b fi# militer de&eb&ag fuperfides sequidi# a ftantium laterum, Sc tertia pars quadrati ab ex prima ‘3quia igitur ex b a in a c, fit cubus \ A f p; §o,erit quod ex b c in A f 80, quod igi tur ex b d in A f3 80 p:eo quod ex c d in A F, detrado igitur quod ex b d in A h * & eft du# pium cubi a r>,fiet quod ex b d in gnomone, 2 6 p:eo quod ex c d in a f, at quod ex B n in gnomonem , aquale eft quadruplo c d in quadratum A h ,& duplo a cin quadratum h f, eo quod lineae b e, e d,d a,d h,& reliquae fuplementorum funt aequales inuicem,quadruplum igitur C d in quadratum a h cum duplo A e> in quadratum h F,aequatur 2<5'p;eo quod ex c d in f a , at ex c d in f a> fit cubus c d}& duplum a d in quadratum f h,& cd in quadratu a h femel,igitur ablato eo quod ex c d in quadratum a h femel,8c ex a d in quadratum h f bis,utrinq?,erit triplum c d in a H,aequale cubo c d p: 2<5,at quod ex c d in a h ter,£quale eft ei, quod excDinAG femel, cum d h fit tertia pars d g 3 igitur quod ex c d in a g tertiam partem quadrati a B,aequale eft cubo ipfius c d p: 2<>* Cum quaeftionis folutio ad multitudinem denominationum per# 4* uenerit,folutio pleruncp fperari poteft,nam ex mala tractatione fx* pius hoc euenit,unde ad pauciores SC notas denominationes dedu# d:a foluitur, &C generaliter ♦ At cum ad capitulum paucarum fed inae# qualiu denominationu peruenerit, quaeftionis foIutio,nuncp genera# liter ad cognitionem perueniet,cum femper in id incidat capitulum, quod uniuerfalem aeftimationis inueniendae regulam non habet, ue# lut fi ad capitulum r1 p1, quadratorum >rerum ac numeri deuenerit* Cum uero hoc in omnibus,tum maxime in Geometricis quseftio ^ nibus,qu3egraues funt,plurimum conferre folet,ut praeuias alias , ac minus difficiles quaeftiones foluas,huiuslibri auxilio,demum in regii las de modo folu tiones has contrahes,inde illarum auxilio pedeten* V 4 tim Hieronymi .Car dani j '' tim procedens per politionis praecepta & regulas,ad aliquod tandem horiim capitulorum notorum peruenies, ex quo dilucida folutio ap* parebit* Praeter has autem seftimationes, aliae quaedam emergunt , qua* rum numerus eft infinitus,nec ullius earum generalis eft ufus,uerum ; quae maxime funtfrequentes,tribus modis fiunt* Aut em regula par ticulari,utin fexto libro oftenfum eft, tum magis in capitulis omni bus quantitatu continue proportionalium,ut facile eft experiri, Aliae autem ex iterata regularum ud capitulorum operatione, Vel mixtio ne,utcum ad quaefitifolutionem pluribus capitulis,ud regulis indi* gemus , Exemptu m habes,praeter rdiqua,in quarta quaefiione capitii li $ 51 huius librfubi eam quaeftionem ad finem deduxeris, &expief* fius etiam in fecunda quaeftione 5 1 , capituli huius. Tertio modo ha*, bebis uarias aeftimationesacum capitula uel regulas non in numeris, fed iam uariatis aeftimationibus exercueris,ut fi dicam , fac ex 1^2 ultiV miSmtR 2, duas partes,ex quarum dudu in radices alterius mutuo fiant numeri, qui iundi inuicem faciant ^operatio perueniet ad abfo nam quantitatem. Natura produdi ex partibus numeri in 32 quadratam uel cubam uel alterius generis partis reliquae , eft de genere cubi,uel qd'qdrati, excepto quod quantitas fumenda eft proximior maxime , non mino* ri. Exemplum,!!' quis dicat , fac ex i o duas partes , quarum produc dum unius in quadratum alterius faciat poftmodum udis diee* re,fac ex aliquo numero duas partes,ex quarum ductu unius in qua* dratum alterius,fiat 1 8,tunc uides quod talis produdio eft ex gene* re cubi, quia igimr,fi' proportio eftet eadem , fieret hoc ex 20 , quod eft duplum 1 o,ut 1 S eft duplum 9, at quia eft ex genere cubi,inueme* mus duos terminos proportionales inter 1 o & 20 , Sc funt 1^2 cubica 2000 & R2 cubica 40 00, igitur numerus quaefitus t> s 8 eft R2 cubica 2000 , nam una pars eft 1^2 cubica 2 10 20 alia i4^S,duda R2 cubica 145-8 in quadratum R2 cu, r* cu, p>2 cub, 2 fit R2 cubica 585 2, quae eft 18, Dico igi* | 2000 4000 tur quod fi dixiftet , ut facias de 1 o duas partes , ex quarum mutua multiplicatione in R2 alterius fiat j 2, quod haec habet rationem cubi* cam, unde fi diceremus , inuenias numerum ex cuiusdudu uidfsim partium in mutuas radices fiat 24,8*: udis exprimis partibus inuenri re alias, tunc inter 10 & 20 eadem ratione , qui fe habent ut c> & 1 8, accipies in ratione cubica duos terminos medios proportionales maior illorum qui eft 32 cubica 40 00, eft terminus quadrus, nam ima pars De Arithmetica L i b; x; 8% pars eft r& cubica 4,alia cubica 2 $ 1 d, duc uicifsim in quadratam alterius fiunti^ cubica f8$2,&F£Cub. 2i<>, quxfunt 18 &<>,& hse iuncftae faciunt 24» Quaelibet aequatio cubi aequalis rebus & numero, conuertitur in 8 confimiIem,cuius numerus rerum conftat ex diuifione prioris numc* ri rerum per numerum aequationis,^: numerus aquationis eft m uni tatis diuifae per numerum aequationis,ut in exemplo,cubus aequetur _ f*' • '1 _ 1 ' * 1 > 1 cub. aeqlis 6 poftp:2 1 cub. aeqlis 7, pof.p: i;cub. aeqlis 4 pof. p;4 1 cub* aeqlis 1 pof. p: ~ I cub. aeqlis 6 pof p:p 1 cub. aeqlis-^ pof p:^ 6 poiitionibus p:2,diuide numerum politionum per 2 numerum equationis, exibit £ numerus politionum fecundae xquationis,diuide etiam unitatem per 2 numerum aequationis,exit ~,cuius ne eft numerus aequationis , 8c ita in duobus reliquis exemplis. Inuentio autem acfti* mationis unius per ah'am,eft ualde difficilis,ueruntamen dico , quod habita fecunda aeftimatione,ipfa erit ne numeri rerum multiplicanda* rum cum unitate per 1 cub. & per politiones , &C numerum priorem ex alia parte,inde addes tot quadrata utricj? parti , quotus eft nume* rus,qui prouenit diuifa unitate per quadruplum quadrati eiufdem fc eundae aeftimationis,&: habebis qdlqdratum p; cubo p: quadrato ex unaparte,habentia Ecquae erit quad. p: pof. & ex alia quad. p; pof. ptnumero , habentia fimiliter radicem , qux erit politio p: numero, quare per capitulunrjjhabebis a?ftimationem,ut in tertio exemplo,ha* bes fecundam rei aeftimationem 1 ,pro habenda prima duc 1 politio* nemp: 1 (pro re* gula fumit 1 ) fed 1 pof. eft propter quadratum aefti* mationis rei, quod fuit etiam 1 in 1 cu bum,& 6 politiones p:o, habebis 1 qd qdratum p;i cubo, aequalia 6 quadratis p;^ p:i f politionibus,deinde adde utriq? parti ~ quadra* ti,& eft quod prouenit femper diuifa unitate per quadruplum qua* drati numeri poli tionum additarum , & habebis partes habentes quadratas,quare res eft $ ♦ Quinquies exfcriptus,maneat tot millibus annis. Artis Magnae Hiero. Cardani de Regulis Algebri, Finis <. Norimbergaeperloh. Petreium excufuim Anno M. D. XLV. 1 cub. | 6 pof p: p 1 pof.p: 1 1 pof p: 1 1 qd'qd. p; 1 cub. 1 qdqd.p: 1 cu.p: ^qc 6 qd. p: 1 ^ pof p: 5 > . i^qd.p:ifpofp:^ I qd. p:^pof. | 1 ir po^ P; f A -* 'V- - ' * \: % i - •> # # . <■ i i IW' ' /..4.; V i , * . &;< &4i<* 4 ’ iite **:»■ - .' tf. r.1 > ‘v.js?/* * • .*'••• i* %• i*-: .4 ' T V - ■ "H ■ L > < ;,v ■ , 4 ;f -i ■ ' -*"( • ' * - ' V i, . ...'i-- - ■ %?'■. ,-\v : • $ •• * . V ' ■ 1' y ~ »» / m •/ \'- - • . ' .. - _ > *•< . * J; ■- ’ 0- ' . mtu iBL' ' - - HSBV Wii ' " 7 " 7 ■ _ ^ _ _ \