Google This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scanncd by Googlc as part of a projcct to make the world's books discoverablc onlinc. It has survived long enough for the copyright to cxpirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is one that was never subjcct to copyright or whose legal copyright term has expircd. Whcthcr a book is in thc public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discovcr. Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from thc publishcr to a library and fmally to you. Usage guidelines Googlc is proud to partncr with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to thc public and wc arc mcrcly thcir custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken stcps to prcvcnt abusc by commcrcial partics, including placing lcchnical rcstrictions on automatcd qucrying. Wc also ask that you: + Make non-commercial use ofthefiles Wc dcsigncd Googlc Book Scarch for usc by individuals, and wc rcqucst that you usc thcsc filcs for personal, non-commercial purposes. + Refrainfivm automated querying Do nol send aulomatcd qucrics of any sort to Googlc's systcm: If you arc conducting rcscarch on machinc translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of tcxt is hclpful, plcasc contact us. Wc cncouragc thc use of public domain materials for these purposes and may be able to help. + Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout thisprojcct and hclping thcm lind additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. + Keep it legal Whatcvcr your usc, rcmember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just bccausc wc bclicvc a book is in thc public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countrics. Whcthcr a book is still in copyright varies from country to country, and wc can'l offer guidance on whether any speciflc usc of any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearancc in Googlc Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. About Google Book Search Googlc's mission is to organizc thc world's information and to makc it univcrsally acccssiblc and uscful. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb at|http://books.qooqle.com/| p - (( b\l? ANICII MANLII TORQUATI SEVERINI BOETIT m mSTITUTIONE ARITHMETICA LIBEI DUO DE INSTITUTIONE MUSICA LIBRI QUINQUf]. ACCEDIT OEOMETRIA QUAE FERTim BAEJ"!!. • • • • • • • •• • E LIBRIS MAKU SCRIPTIS ;• •••• ••••• • • • • • •• • • • •.• • •• ••••• GODOFREDus pifrr-teiy-ti':: JN. ••••* ••••• ••••■ ,•• * • •.••!. •I • • • - - •••• ;.'- - --- ••••• * ..... • • r • • - -^. ... • « • • •* • • » • - * LIPSIAE R ff IN AEDIBUS B. G. TEUBNr.i^i:. > ^ MDCCCLXVII. • • • 4 • •••.'. 9 7 9 54 '•• • • •• • • • • • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • •• • • • • • ••• •• •• • • • • • • ••. • « • • • •• • • • • ' • I • • • k • • • • •••• « • •• • • •• • • • • ••••• • • •••• • • • •• •..'•• • •• • • • • • • • « • • • • • • • • • •••••• • • • • • • ■ • • • ••• • •• • • • • • • • • • •• • • • • LiPSIAG: TYPIS B. C. TEUBKKRf. , •• • • PRAEFATIO. Decem fere abhinc annos et scriptores latinos eogniturus et rei mathematicae studiosus Boetio coepi operam dare nec multo post acrius in mathe- matica inprimis eius opera incumbendi auctor fuit mihi Halmius,ad accuratius coguoscendam linguam latinam hinc quoque aliquantulum aflferri posse ratus. Prius tamen rebus arithmeticis utilem fructum afFerre me posse putavi, quaeque inveneram publici iuris feci libello de Boetii geometria edito^). Opiniones meas aggressus est vir doctissimus Mauritius Can- tor^) meque inpulit, ut, quae minus recte de Boetii arte ratiocinandi et computandi statuerat, refcUcre conarer argumentis quam maxime certis*^). Pauca etiam de geometria Boetii protuli^), quibus a Boetio eam profectam non esse comprobarem. ^) Gerbert, die Geometrie des Boethius und die indiselicn Ziffern. Erlangen, Blasing 1861. 2) Mathelnatisclie BeitrUge zum Kulturlcben der Volker, Halle, Schmidt 1863. 3) Zeitschrift fur Mathematik und Physik, IX, S. 73—05, 145—171, 297 — 330. X, S. 241 — 282. ^) Neue Jahrbiicher fttr Philologie und Piidagogik. 1863. S. 425—427. IV PRAEFATIO. Haec agentem interrogavit me Halmius, vel- lemne labores suscipere necessarios ad opera Boetii mathematica edenda, nec volentem tantum provo- cavit sed etiam libris manu scriptis quibus optimis potuit ad me missis simul adiuvit. Usus sum igitur codicibus Monachii asservatis praestantissimis , qui- bus accesserunt codices Bambergenses non minoris notae et liber Erlangensis , quem alter tantum codex Camutensis aequat. Cuius rei gratiae mihi agendae sunt maximae et Halmio ipsi et viris humanissi- mis et benevolentissimis Foringer,Thomas Mona- censibus, Stenglein Bambergensi, Autenrieth Erlangensi. Egregiam operam navavit mihi princeps Boncompagni, cuius summa liberalitate summa mea laude digna factum est, ut non solum, quae ipse in libris suis manu scriptis habuit, quae in aliis codicibus Romanis inventa sunt, quantum opus esse visum est, in meum usum possem convertere^ sed etiam de codicibus, qui Neapoli, Florentiae, Veronae custodiuntur, fierem certior. Ita instructus rem aggredi ausus sum parum fortasse versans quid valerent humeri. Sed occasio- nem vires intendendi omittere nolui. lam perfeci quae perficere mihi proposui. Utrumque Boetii opus et quod de arithmetica et quod de musica composuit, novissime apud nos anno 1570 Basileae editum, tribus paene saeculis post rursus profero adiecto geometriae opusculo. De quibus pauca haec videntur monenda. Inscriptionem alterius operis Boetii sumpsi ex capite quarto libri I. de inst. mus. (p. 192, v. 19): in lihris, quos de arithmetica institutione conscripsimus, PRAEFATIO. V unde titulum quoque petitum esse veri simile est, qui legitur in codice Bamb. HI. N. 13 (d) ante titulorum indicem libri II de inst. arithm. (p. 72, V. 9 var. lect.). Nec obstare mihi videtur, quod Boetius in cap. quadragesimo libri II inst. arithm. (p. 137, V. 7) arithmeticam introductionem se terminare dicit. Alterius operis inscriptionem manifestam reddi putavi cum capite decimo libri III. de inst. mus. (p. 283, V. 9): id, quod insiitutione musicae adorsi sumuSy tum capite sextodecimo eiusdem libri III (p. 300, V. 2): quod superest musicae institutioni et capite septimo libri V (p. 358, v. 2): quae secundo huius institutionis libro digessimus et infra (v. 9) ex secundo huius institutionis musicae libro et quarto petendum est. Hinc eius opera, qui titulos finxit et indices eorum composuit, formula (e. g. p. 225, V. 16) de musica id est armonica institutione liber orta videtur. Eorum librorum, quos Boetius de geometria scripsisse dicitur, investigare veram inscriptionem nihil aliud esset nisi operam et tempus perdere. lam inter homines doctos constat, eos libros minime Boetio tribuendos esse, quos codices manu scripti non pauci praeter duos illos praebent, qui in praestantissimis codicibus Erlangensi et Carnutensi reperiuntur^). Nec ipsos hos duos libros a Boetio compositos esse ego quidem contendo repugnante inprimis Cantore. Sub iudice adhuc lis est, quam 5) Cantor, Mathem. BeitrUge. S. 106 — 197. VI PRAEFATIO. tamen statim, si legi posset, dirimeret codex Vero- nensis palimpsestus 38, in quo verum Boetium latere putat Blume^). Humanissime et liberalissime Bon- compagni, illustris ille rerum mathematicarum fautor effecit, ut codex ille diligentissime inspicere- tur, sed adeo difficilis lectu inventus est, ut praeter admodum pauca verba nihil transcribi ex eo posset. Donec igitur aut acriores oculi, quod vix crediderim, aut instructior ars , quod fieri posse nemo negaverit; in communem usum protulerint, quae Blume investi- gavit, nihil aliud restat, nisi ut ea, quae fertur Boetii geometria, edatur, quam artemgeometri- cam auctorem nominasse testantur loci, quos in pag. 434 sub voce ars attuli. Quae cum per se nuUius fere pretii sit, maximi momenti ad res arithmeticas facta est antiquissimis, quae quantum scimus in nostris litteris exstant, vestigiis eorum signorum, quibus nunc numeros describimus. Itaque omnem impendi operam , ut Carnutensi quoque codice ipse uti pos.sem, neque tamen fieri potuit, cum legibus non liceret, codicem iUum ex Francogallia ad me mitti. De libris manu scriptis, quibus usus sum, notanim explicationes singulis operibus addidi. Quam maximc studui, ut non sohim veri Boetii scripta sed etiam veram scribendi formam ederem. Omittendi igitur erant capitum tituH, quos Boetium scripsisse minime est verisimile. Quum tamen faciliorem operum conspectum praebeant, minoribus litteris edendos ^) Erlauterungen zu deu Schriften der rom. Feldmesser. S. G5, Anm. lU. PRAEFATIO. VII censui. In vocabulorum scriptura si cui parum sibi constare videatur, quod supponenda et ohtinet, inpar et comparare, adsumo et aspicere, alia huius modi typis invenerit edita, is meminerit codices me secutum esse hac in re maxime varios nec nisi magis veri similia assequi potuisse^). Uni tantum spatioinwiiis paene codicibus t litteram servavi reiecta c, quae saepissime occurrit. In graecis nominibus propriis graecam scribendi rationem sequi malui, ex qua et ipsa Ptolomaeus videtur scribendum. Geo- metriae libros, cum posteriori tempori attribuendi mihi videantur, si qua in re a ceteris Boetii libris distabant, non mutavi. Et haud scio an in ipsius Boetii operibus corrigendis constantior esse studuerim Boetio ipso, cum variationem rerum iUum amasse non solum easdem sententias eloquendi maxima varietas testetur, sed etiam quod promiscue scripsisse eum maxime est verisimile triangulus et trian- gulum, pyramidam et pyramidem, atomon latinis, tco^ovqov graecis littofis, similia. Uncis inclusi quae in pag. 375 verss. 1. 2. 18. 19. leguntur, nec me fugit inchidi etiam alia posse, velut pag. 383 vv. 5—21, pag. 387 v. 23 et pag. 388 vv. 1. 2. Sed magis sunt vitiosa illa loca, quam ut uncis sanari possint. In pag. 401 v. 10 post longitudine lacuna statuenda est. Intercidit enim ^) Vel idem vocabuhim eisdem litteris ubique ut redderem quam maxime cum intentus essem, tamen ne oculos latcrent aliquot menda inpedire nequivi. Nonnulia etiam mutata novis argumentis sententia variavit. Quae ut secundum scripturam in indice adhibitam emendata habeantur peto. VIII PRAEFATIO. scamni definitio. Haec tamen et alia alias fortasse explicabo. Nunc operam navdre Boetii opera cogni- turis equidem volui; quantam navaverim, iudices videant benevoli. Scrib. Onoldi m. Maio a. mdccclxvii. Godofredus Priedlein. BOETII DE INSTITUTIONE ARITHMETICA LIBRI DUO. NOTARUM EXPLICATIO. a=codex Bambergensis HI. IV. 12. (F,20) saec. X. splen- didissime ornatus, qnem Gerbertnm ad Ottonem tertium misisse maxime est verisimile. Non tamen eadem est lectionum praestantia. Multis enim locis correctoris manu emendatis haud pauci emendandi relicti sunt. £x capi- tum inscriptionibus quindecim alieno loco sunt positae. Nec fortunam aequam nactus est sex vel septem foliis inter secundi libri capnt tricesimum septimum et qua- dragesimum tertium et ultimo folio cum fine capitis quin- quagesimi quarti deperditis. b=codex Bambergensis HI. IV. 11. (F, 16) saec. X., cuius lectiones ubiqne fere sunt meliores. Multa quoque supra versus et in margine manu non multo recentiore sunt adnotata, quae in aliis codicibus vel maiore vel non minore probabilitate legebantur. c = codex Bambergensis HI. IV. 14. (F, 3) saec. X. pulcher- rime scriptus, non diligentissime. Mnlta enim singula vocabula sunt omissa, maiores lacunae inveniuntur quin- que. Propior tamen accedit ad b quam ad a. d = codex Bambergensis HI. IV. 13. (F, 26) saec. XI., cui ita similitndo est cum c, ut compluribus locis meliora praebeat. Multa supra versus et in margine secunda manu sunt addita. BOETIUS. 1 2 NOTARUM EXPLICATIO. f = codex Monacensis 18480 (Tegerns. 480) saec. XI. et pul- cherrime scriptus et diligentissime. Multi tamen loci tantum a reliquorum codicum consensu recedunt, ut non vera Boetii verba sed scriptoris non imperiti cogitata prodere videantur. Maxime similis est codici d. 1 = codex Monacensis 14601 (Ratisb. Emm. F, CIV) saec XII. Huius codicis in libro priore tanta est similitudo cum d, ut descriptns ex eo possit videri , quippe qni vel in contextum receperit, qnae in d correcta erant; in altero tamen libro multo similior est codici b. r = codex Monacensis 3517 (Aug. civ. 17) saec. IX — X. ni- tide scriptus. Maior autem arithmeticae cognitio in scriptore erat quam diligentia in litteris pingendis, nisi forte alius recensor alius scriba operis fuit. Codex non multo post quam erat scriptus retractatus et correctus videtur esse. Similis est codici c et ex parte etiam a* Tituli capitum libri secundi similes sunt titulis codicis f. Nonnullis locis additamenta in eo sunt superflua. 8 z= codex Monacensis 6405 (cod. Fris. 205) s. XI. nitidissime scriptus. Ultima tamen folia et vermis et usus aliqua ex parte laesit. Multa quae rubro colore descripta erant vel pallidiora facta smit vel evanuerunt. Maxime simi- lis est codici a nec tamen admodum similis. Aliquot loois inveniuntur quae de suo quis addidit. F=Fragmentum, quod ex codice saeculi undecimi edidit Carolus Fredericus Weber Cassellis MDCCCXLVII. Duo codicum genera ut discernas adduci potes capite quarto libri prioris, ubi alteri codices (a, b) definitionem in- paris numeri in medio capite, alteri (c, d, f, 1, r, s) iu fine habent. Meliores lectiones repperis maximam partem in c, d, f, 1; sed adsunt vestigia, quae hos saltem codices, quos ego contuli et supra descripsi, ex uno eodemque fonte ma- nasse verisimile reddant. DOMINO SUO PATRICIO SYMMACHO BOETIUS. In dandjs accipiendisque muneribus ila recte officia inter eos pra^cipue, qui sese magni faciunt, aestimantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud, quod liberalius afferret, inventum, nec ab illo unquam, quod iucundius & benevolentia conplecteretur , acceptum. Haec ipse consi- derans attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil instructius, cum habendi sitis incanduit, ad meritum nihil vilius, cum ea sibi victor animus calcata subiecit, sed ea , quae ex Graecarum opulentia litterarum in Romanae lo orationis thesaurum sumpta conveximus. fta enim mei quoque mihi operis ratio conslabit , si , quae ex sapientiae doctrinis elicui , sapientissimi iudicio conprobentur. Vides igitur, ut tam magni laboris effectus tuum tantum spectet examen^ nec in aures prodire publicas, nisi doctae sen- 15 tentiae adstipulatione nitatur. In quo nihil mirum videri debet, cum id opus, quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris sed alieno incumbit arbitrio ; suis quippe in- strumentis res rationis expenditur, cum iudicium cogitur subire prudentis. Sed huic munusculo non eadem quae 20 ceteris inminent artibus munimenta constituo, neque enim 1 Incipit epistola Boecii ad Simmaclium patrium soce- rnm y. c. Domino suo patricio Simmacho Boecius. Mani- lius Severinus floruit temporibus Teoderici regis Italorum transtulitque libe^lum istum de Greco in Latinum gemma- vitque floribus facundiae Romanae. Incipit liber Boetii de Arithmetica. a. || suo om, d, 1. || patri d, 1, r. || Domino ... Boetius om. f, s. 2 ita recte in margine r, supra versum s. 5 offerret c, d, f, r. 8 post instructius: et a, c ex corr. d, est f, s. 12 operis mihi a, c, d, f, 1, s. 14 exspectet ^H spectet litura praecedente a. 17 quod om. f. 21 coa- stituo munimenta a, b. x 4 INST. ARITHM. I, PRAEFATIO. fere ulla sic cunctis ahsoluta partibus nullius indiga suis tantum est scientia nixa praesidiis, ulnon ceterarum quo- que artium adiumenla desideret. Nam in effigiandis mar- more staluis alius excidendae molis labor est, alia forman- 5 dae imaginis ratio, nec eiusdem artificis manus politi ope- ris nitor exspectat. At picturae manibus tabula commissa fabrorum : cerae rustica observat^one decerptae , coiorum fuci mercatorum sollertia perquisiti, lintea operosis eiabo- rata textrinis multiplicem materiam praestant. Nonne idem 10 quoque in bcllorum visitur instrumenlis? Hic spicula sagit- tis exacuit, illi validus torax nigra gemit incude, ast alius crudi umbonis tegmina proprit laboris orbi infigenda mer- catur. Tam multis artibus ars una perficitur. At nostri laboris absoiutio longe ad faciliorem currit eventum. Tu 15 enim soius manum supremo operi inpones , in quo nihii de decernentium necesse est iaborare consensu. Quam- libet enim hoc iudicium multis artibus probetur excuitum, uno tamen cumulatur examine. Experiare igitur licet, quantum nobis in hoc stu- 20 dio iongis tractus otiis labor adiecerit, an rerum sub- tilium fugas exercitatae mentis velocitas conprehendat, utrum ieiunae macies orationis ad ea, quae sunt cali- gantibus inpedita sententiis expedienda sufficiat. Qua in re mihi alieni quoque iudicii lucra quaeruntur, cum 25 ui utrarumque peritissimus litterarum possis Graiae ora- lionis expertibus quantum de nobis iudicare audeant, sola tantum pronuntiatione praescribere. At non aite- rius obnoxius institutis artissima niemet ipse transla- tionis lege constringo, sed paululum liberius evagatus 30 alieno itineri, non vestigiis, insisto. Nam et ea, quae de nuraeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, moderata 1 indigua a. 3 effingendis f.^^effigendis r. 4 est om. d, 1. 8 solatia d. 10 imbellorum c. y in bellorum quoque f, r. 11 thorax f. 12 crudium bonis a, b, s. || infigens demercatur c. 17 multis artibus hoc iudicium f, multis hoc iudicium artibus s. 18 cumulamur c , r. 24 mihi s m mar- gine [| alieni mihi c. 25 linguarum (supra versum: l litte- larum) s. 28 obnoxiis a. || ipse f. INST. ARITHM. I , PRAEFATIO. 5 brevilate collegi et quae transcursa velocius angusliorem intellegentiae praestabant aditum mediocri adiectione re- seravi, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam for- mulis ac descriptionibus uteremur. Quod nobis quantis vigiliis ac sudore constiterit, facile sobrius lector agnoscet. 5 Cum igitur quattuor matheseos disciplinarum de arithme- tica, quae est prima, perscriberem , tu tantum dignus eo munere videbare, eoque magis inerrato opus esse inlelle- gebam. Nam etsi apud te facilis veniae locus esset, ali- quando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta secu- lo ritas. Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere; quod non elaboratum ingeniHf, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo, quin pro tua in me benevolentia supervacua rese- ces, hiantia suppleas, errata reprehendas , commode dicta i5 mira animi alacritate suscipias. Quae res inpulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus placitura resti- tuent. Novi quippe, quanto studiosius nostra quam cete- rorum bona diligamus. Recte ergo, quasi aureos Cereri culmos et maturos Baccho palmites, sic ad te novi operis 20 rudimenta transmisi. Tu tantum paterna gratia nostrum provehas munus. Ita et laboris mei primitias doctissimo iudicio consecrabis et non maiore censebitur auctor merito quam probator. Incipiunt capitula libri primt 25 I. Proemium , in quo divisio mathematicae. H. De substantia numeri. 1 — 3 quae . . . reseravi c. in margine ex corr. 1 velo- ciis a. 3 aliquanto c. 6 Cum igitur .... arithmetica s. his, II •IIII- c. 7 quae est prima om, c. 9 Nametsi {pun- cto suh N pasito et T supra scripto) a, Tametsi f. || ali- quanto b, c, d, f, 1, r, s. 10 ipsum a || formidabat ipsam f. 11 oblatum ire a, b. oblaturi r. 13 suppremo a, c. su- -premo f. 16 mira om, c. s; supra versum litura deletum d, correctione additum 1. 20 et om, c, r. 23 minore b, c. 25 Explicit prologus in libro Boetii. a. Incipiunt om, r \\ libri I a, c. de libro primo f. || Inscriptionem om. b, d., V ^» 26 matbematicae om. a. 6 INST. ARITHM. I, CAPITULA. III. Definitio et divisio numeri et definitio paris et inparis. IIH. Definitio uimieri paris et inparis secundum Pytlia- goram. V. Alia secuudum antiquiorem modum divisio paris et 5 inparis. VI. Definitio paris et inparis per alterutrum. VII. De principalitate unitatis. VIII. Divisio paris numeri. VIIII. De numero pariter pari eiusque proprietatibus. 10 X. De uumero pariter inpari eiusque proprietatibus. XI. De numero inpariter pari eiusque proprietatibus deque eius ad pariter parem et pariter inparem cognatione. XII. Descriptionis ad inpariter paris naturam pertinentis expositio. 15 XIII. De numero inpari eiusque divisione. XIIII. De primo et incomposito. XV. De secundo et composito. XVI. De eo, qui per se secundus et compositus est, ad alium primus et incompositus. 20 XVII. De primi et incompositi et secundi et compositi et ad se quidem secundi et compositi ad alterum vero primi et incompositi procreatione. XVIII. De inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et compositi sunt, ad alios vero relati primi et incom- 25 positi. XVIIII. Alia partitio paris secundum perfectos inperfectos et ultra quam perfectos. XX. De generatione numeri perfecti. XXI. De relata ad aliquid quantitate. 1 diffinitio hic et infra Hbri praeter d (| imparis hic et infra maximam pariem libri. 2 numeri om. c, r. 6 super b. ,im 9 ,pari f. 10 Toto hoc versu omisso sequentium capitum nu- meros uno minores habent d, f, 1. 12 cognomine r. 13 pa- riter a. 16 De proprio a. 18 compositus et s. 20 et secundi et compositi om, a, c, d, I, r, s. 21 incompositi et alterum c. || et alterum 1. 23 ad secundi b. 24 vero om. a. 26 Alio c II partio a. participio |d. participatio 1. 27 et utra- que a || et om, d, 1, r. INST. ARITHM. I, 1. 7 XXIL De speciebus maioris quantitatis et miuuris. XXIII. De multiplici eiusque speciebus earumque genera- tiouibus. XXIIII. De superparticulari eiusque speciebus earumque ge- nerationibus. 5 XXV. De quodam utiii ad cognitionem superparticularibus accidente. XXVI. Descriptio, per quam docetur, celeris inaequalitatis speciebus antiquiorem esse multiplicitatem. XXVII. Batio atque expositio digestae formulae. lo XXVIII. De tertia inaequalitatis specie, quae dicitur superpar- tiens deque eius speciebus earumque generationibus. XXVIIII. De multiplici superparticulari. XXX. De eorum exemplis in superiori formula inveuiendis. XXXI. De multiplici superpartiente. i5 XXXII. Demonstratio , quemadmodum omnis iuaequalitas ab aequalitate processerit. ExpKciuni capitula lihri primi, Incipit liber primus. Proemium, in quo divisio maihematicae. 20 I. Inter omnes priscae auctoritatis viros, qui Pytha- gora duce purlore mentis ratione viguerunt, constare ma- nifestum est , haud quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadruvio vestigatur, quod recte 25 intuentis soiiertiam non latebit. Est enim sapientia re- rum, quae sunt suique inmutabilem substantiam sortiun- 2 eorumque a, c, r, s. earum 1. || generibus r. 4 eo- rumque b, c, r, s. 6 cognationem a, b, c cognitionem {puncto sub i posUo et a supra scripto) s. 8 inaequalitati- bus a. 10 degestae c, d, r. 11 quae om, b. 12 spe- ciebus om. b. || eorumque s. 14 superioris f, superiore r. 18 Finit Boetii prologus b. [] libri primi om» c , r. 1| Inscriptio- nem om. d, f, 1, s. 19 Incipit liber primus om, b, f, r, d, I. 20 Proemium . . . mathematicae om. a, d, 1. || in quo est divisio c. 26 sollertiam intuentis a, b, c, d^ f^ U 8 INST. ARITHM. I, 1. Xuv, conprehensio veritatis. Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt nec retractione minuuntur nec va- riationibus permutantur, sed in propria semper vi suae se naturae subsidiis nixa custodiunt. Haec autem sunt 5 qaalitales, quantitates, formae, magnitudines, parvitates» aequaiitates , habitudines, aclus, dispositiones, loca, tem- pora et quicquid adunatum quodammodo corporibus inve- nitur, quae ipsa quidem natura incorporea sunt et inmu- tabili substantiae ratione vigentia, participatione vero cor- 10 poris permutantur et tactu variabiiis rei in vertibilem inconstantiam transeunt. Haec igitur quoniam, ut dictum est, natura inmutabilem substantiam vimque sortita sunt, vere proprieque esse dicunlur. Horum igilur, id est, quae sunt proprie quaeque suo nomine essentiae nomi- 15 nantur, scientiam sapientia proiitetur. Essentiae autem geminae partes sunt, una continua et suis parlibus iuncta nec uliis finibus distributa, ut est arbor lapis et omnia mundi huius corpora, quae proprie magnitudines appei- lantur. Aiia vero disiuncta a se et determinata partibus 20 el quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex populus chorus acervus et quicquid, quorum partes propriis extremitatibus terminantur et ab alterius fine discretae sunt. His proprium nomen est multitudo. Rur- sus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel 25 tetragonus vel quilibet numerus, qui ut sit nullo indiget. Alia vero per se ipsa non constant, sed ad quiddam aliud referuntur, ut duplum, ut dimidium, ut sesqualterum vel sesquitertium et quicquid tale est, quod, nisi relatum sit ad aiiud , ipsum esse non possit. Afagnitudinis vero alia ^o sunt manentia motuque carentia, alia vero, quae mobiii semper rotatione vertunlur nec uUis temporibus adquie- 3 se vi suae a. 8 inmatabilis d, 1; s ex corr, 10 in- vestibilem a. 12 sortiuntur {jmpra versum: l sortita sunt) s. 15 supra scientiam: quoque a. 17 arbos b. 18 huius mundi f. 20 coacervatim f, s; acervatim syllaba co ad- scripta a. 21 supra quicquid: est eorum a, est horum b, d. 23 discreta c. 27 post dimidium: vel f. 31 ratione a, c, f, s. supra ratione: alii rotatione b, r || vertantur d, r. ad- quiescant d, r. INST. ARITHM. I, 1. 9 scunt. Herum ergo illam muUitudinem, quae per se est, arithmetica speculatur integritas, illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt, inmobilis vero magnitudinis geometria nolitiam pollice- tur, mobilis vero scientiam astronomicae disciplinae pe- & ritia vendicat. Quibus quattuor partibus si careat inqui- sitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidemspe- culatione veritatis nulli recte sapiendum esl. Est enim sapientia earum rerum, quae vere sunt, cognitio et in- tegra comprehensio. Quod haec qui spernit id est has lo semitas sapientiae ei denuntio non recte esse philoso- phandum, siquidem pbilosophia estamor sapientiae, quam in his spernendis ante contempserit. Illud quoque ad- dendum arbitror, quod cuncta vis multitudinis ab uno progressa termino ad infinita progressionis augmenta con- 15 crescit. Magnitudo vero a finita inchoans quantitate modum in divisione non recipit; infinitissimas enim sui corporis suscipit sectiones. Hanc igitur naturae infini- tatem indeterminatamque potentiam philosophia sponte repudiat. Nihil enim, quod inflnitum est, vel scientia 20 potest colligi vel mente comprehendi, sed hinc sumpsit sibi ip&a ratio, in quibus possit indagatricem veritatis exercere sollertiam. Delegit enim de infinitae multitu- dinis pluraHtate finitae terminum quantitatis et intermina- bilis magnitudinis sectione reiecta definila sibi ad cogni- 25 tionem spatia depoposcit. Constat igitur, quisquis haec praetermiserit, omnem philosophiae perdidisse doctrinam. Hoc igitur illud quadruvium est, quo his viandum sit, qui- bus excellenlior animus a nobiscum procreatis sensibus 3 post ad aliqaid: est r, supra ad aliquid: est b. [| mu- sicae modulationis s. || praenoscunt a, f, r, s. 4 geome- trica a, c, d, f , r. 5 vero om, a, d, f, 1, r. astrono- miae c. 6 yindicat 1, vendicavit, a, b, c, d, r. || •IHI* c. 7 poterit b, c. potest f. poterit si sit Hnea subnotatiem et supra versum possit r. 9 verae c, d, 1. 11 sententias sa- pientiae c esse om. c, d, f, 1, r, s. 18 corporis sui recipit f. || infinitatem naturae d, 1. 22 ratio ipsa f. ea ipsa ratio s [] posset d, f, 1. 23 infinita c, r in litura. infinite f. 24 finite f. 26 deposcit a, c, d, t, ft. 10 INST. ARITHM. I, 1. ad inteilegentiae certiora perducitur. Sunt enim quioam gradus cerlaeque progressionum dimensiones , quibus ascendi progredique possit, ut animi iilum ocuium, qui, ut ait Piato, multis oculis corporaiibus saivari constitui- 5 que sit dignior, quod eo solo iumine vestigari vei inspici veritas queat, hunc inquam ocuium demersum orbatum- que corporeis sensibus hae discipiinae rursus iniuminent. Quae igitur ex hisce prima discenda est nisi ea, quae principium matrisque quodammodo ad ceteras obtinet loporlionem? Haec est autem arithmetica. Haec enim cunctis prior est , non modo quod hanc ilie huius mun- danae moiis conditor deus primam suae habuit ratiocina- tionis exemplar et ad hanc cuncta constiluit, quaecunque fabricante ratione per numeros adsignati ordinis invenere 15 concordiam, sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod, quaecunque natura priora sunt, his sublatis simul posteriora toiiuntur; quod si posteriora pereant, nihii de statu prioris substantiae permutatur, ut animai prius est homine. Nam si toiias animal, statim quoque hominis 20 natura deieta sit, si hominem sustuieris, animal non per- ibit. £t e contrario ea semper posteriora sunt, quae secum aiiud quodiibet inferunt, ea priora, quae cum dicta sunt, nihii secum de posterioribus trahunt, ut in eodem quoque homine. Nam si hominem dixeris, simui 25 quoque animai nominabis, idem est enim homo, quod animai; si animal dixeris, non speciem simui hominis in- tulisti, non est enim idem animal, quod homo. Hoc idem in geometria vei arithmetica videtur incurrere. Si enim numeros toiias, unde trianguium vel quadratum vei quic- 30 quid in geometria versatur, quae omnia numerorum de- 1 producitur c. 7 eae a, b. || rursum a, d, f, l^ 8 posC his lituram habet a , supra versum al. ex his b , his ee c , his- cae d. 10 Haec om. c. 11 prior cunctis c. 12 ratio- nationis s. 17 posteriora tolluntur simul 1. et quod f, I. || posteriora si f. si posteriores s. 23 sint c, f, s. 26 si animal quoque dixeris b. 28 geometrica a, c, d, f, r, s; 171 1 c rasura deletum. 30 geometrica a, c, d; in 1 c rasura deleium. INST. ARITHM. I, 1. H nomiDativa sunt? At vero si quadratum triangulumque «ustuleris omnisque geometria consumpta sit, tres et quattuor aliorumque numerorum vocabula non peribunt. Rursus cum aliquam geometricam formam dixero, est illi fiimui numerorum nomen inplicitum ; cum numeros di- 5 jcero, nondum ullam formam geometricam nominavi. Mu- sica vero quam prior sit numerorum vis, hinc maxime iprobari potest, quod non modo illa nalura priora sunt, quae per se constant, quam illa, quae ad aliquid referun- tur. Sed etiam ea ipsa musica modulatio numerorum lo nominibus adnotatur, et idem in hac evenire potest» quod in geometria praedictum est. Diatessaron enim et dia- pente et diapason ab antecedentis numeri nominibus nun- cupantur. Ipsorum quoque sonorum adversus se pro- portio solis neque aliis numeris invenitur. Qui enim 15 sonus in diapason symphonia est, idem duplicis numeri proportione colligitur; quae diatessaron est modulatio, «pitrita conis^one componitur; quam diapente sympho- niam vocant, hemiolia medietale coniungitur; qui in nu- meris epogdous est, idem tonus in musica, et ne singula 20 {^ersequi laborem, huius operis sequentia, quanto prior sit arithmetica sine ul!a dubitatione monstrabit. Spheri- cam vero atque astronomiam tanto praecedit, quanto duae reiiquae disciplinae hanc tertiam natura praecedunt. In astronomia enim circuli, sphera, centrum, parallelique 25 <;irculi mediusque axis est, quae omnia geometricae disci- plinae curae sunt. Quare est etiam ex hoc ostendere se- niorem geometriae vim, quod omnis motus est post quietem et natura semper statio prior est, mobilium vero 2 geometrica a, c, d, s; t/z I c rasura deletum, Q •III* et 'ini' a, c, 1, s. 3 non peribnnt vocabnla c. 4 rursum a, <;, f. 10 modnlatio mnsica f. 12 geometrica a, c, d; ^oometria in litura 1; tn s c rasura deletum, 13 anteceden- tibns c, r. 17' proportio c. 18 modnlatione, supra versum i conlatione r. || componit c || symphonia m rasura deleto c. 19 coninng^t c. 20 apogdous c. 23 astronomicam a, f, 1; in d c rasura deletum. 27 cnra a, b, c, r, s. 28 geo- metricae c, d, 1, r, s. 29 statu a, supra versum s. motu b || post est addit motu s. 12 INST. ARITHM. I, 2. astronomia , inmobilium geometria cioctrina est; vel quod armonicis modulationibus motus ipse celebratur astro- rum. Quare constat quoque musicae vim astrorum cursus anliquitate praecedere, quam superare natura arithmeti- 5 cam dubium non est, cum prioribus, quam illa est, videa- tur antiquior. Proprie tamen ipsa numerorum natura omnis astrorum cursus omnisque astronomica ratio con- stituta est. Sic enim ortus occasusque coUigimus, sic tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus, 10 sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus. Quare, quoniam prior, ut claruit, arithmeticae vis est» hinc disputationis sumamus exordium. De suhstantia numeri. II. Omnia quaecunque a primaeva rerum natura 15 constructa sunt, numerorum videntur ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo conditoris exem- plar. Hinc enim quattuor elementorum multitudo mu- tuata est, hinc temporum vices, hinc motus astro- rum caelique conversio. Quae cum ita sint, cumque 20 omnium status numerorum colligatione fungatur, eum quoque numeruin necesse est in propria semper sese ha- bentem aequaiiter substantia permanece, eumque compo- situm non ex diversis — quid enim numeri substantiam coniungeret, cum ipsius exemplum cuncta lunxisset? — 25 sed ex se ipso videtur esse compositus. Porro autem ni- hil ex similibus componi videtur/ nec ex his, quae nulla rationis proportione iunguntur et a se omni substantia naturaque discreta sunt. Constat ergo, quoniam coniun- ctus est numerus, neque ex similibus esse coniunctum 30 neque ex his, quae ad se invicem nulla ratione proportio- 1 geometrica c, d, f, r; m 1 c rasura deletum. 4 proce- dere a. 6 antiquior videatur a, c, f , s. || in ipsa f. 13 /w- scriptionem secunda manus addidit in d. 20 rerum omnium f^ omnium rerum s |{ numerum c (| collectione r. 26 ex his om, 1 ; 171 margine add. d. 27 coniunguntur f. 30 se ad d. |) ra- tioni, s rasitra deleto, c. INST. ARITHM. I, 3. 4. 13 nis haerent. Erunt ergo, numeros prima quae iungant, ad substantiam quidem quae constent semperque perma- neant. Neque enim ex non subsistentibus effici quicquam potest et sunt ipsa dissimilia et potentia conponendi. Haec autem sunt, quibus numerus constat, par atque inpar 5 quae divina quadam potentia, cum disparia sint contra- riaque, ex una tamen genitura profluunt, et in unam compositionem modulationemque iunguntur. Definitio et divisio numeri ei definitio paris et inparis. III. Et primum quid sit numerus defmiendum est. lo Numerus est unitatum coUectio, vei quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Huius igitur prima divisio est in inparem atque parem. Et par quidem est, qui potest in aequalia duo dividi, uno medio non intercedente , inpar vero, quem nullus in aequalia dividit eo, quod in medio i5 praedictus unus intercedat. Et haec quidem huiusmodi definitio vulgaris et nota est. Definiiio numeri paris ei inparis secundum Pythagoram, HH. Illa autem secundum pythagoricam disciplinam talis est: par numerus est, qui sub eadem divisione potest 20 in maxlma parvissimaque dividi, maxima spatio, parvis- sima quantitate secundum duorum istorum generum con- trarias passiones. Inpar vero numerus est, cui hoc qui- dem accidere non potest, sed cuius in duas inaequales 1 Ergo erunt 1. || supra versum 1 orum id est numeroruin b, numerorum et in margine numeros r. || que f. |{ coniimgant f. 2 constant a, c, s. 7 tamen ex una c, f, s: || genitura in mar- gine a. 9 Inscriptionem secunda manus addidit in d || Defi- nitio et om, f. et definitio om, c, r, s [| differentia paris f. 11 Numerus enim f. 13 est quidem f. 14 intercidente f. 16 intercidat b, f, 1, s. IS Inscripiionem om, d. || numeri om, f, 1, r. 21 dividi . . . quantitate in margine superiore d. II parvissimaque quantitate f. 22 istorum ducjrum s || duo- rum correxit in duum a. 23 et 24 Definitionem inparis nu meri in fine capitis huius coUocant c, d, f , 1, r, s. || hec f. idemd,l,s. 24 accedere a. 14 INST. ARITHM. I, 6. summas naturalis est sectio. Hoc est autem exempiar: ut si quilibet datus par numerus dividatur, maior qui- dem quantum ad divisionis spatia non invenietur, quarn disgregata medietas, quantitate vero nulla minor est^ 5 quam in gemina facta partitio; ut, si par numerus, qui est •VIII-, dividatur in •IIII- atque alios -1111-, nulla erit alia divisio, quae maiores partes efficiat; porro autem nuila erit alia divisio, quae totum numerum minore dividal quantitate. In duas enim partes divisione niliil minus est. 10 Cum enim totum quis fuerit trina divisione partitus, spatii quidem summa minuitur, sed numerus divisionis augetur. Quod autem dictum est: secundum duorum generum con- trarias passiones, iiuiusmodi est: praedocuimus enim quantitatem in infinitas pluralitates adcrescere, spatia 15 vero, id est magnitudines in infinitissimas minui parvita- tes atque ideo Iiic contra evenit. Haec namque paris divi- sio spatio est maxima, parvissima quantitate. Alia secundum aniiquiorem modum divisio paris et inparis, V. Secundum antiquiorem vero modum alia est paris 20 numeri definitio. Par numerus est, qui in duo aequalia et in duo inaequalia partitionem recipit, sed ut in neutra divisione vel inparitati paritas vel paritati inparitas miscea- tur, praeter soium paritatis principem, binarium nume- rum, qui in aequalem non recipit sectionem, propterea 25 quod ex duabus unitatibus constat et ex prima duorum quodammodo paritate. Quod autem dico, tale est: si enim ponatur par numerus, potest in duo aequalia dividi, ut denarius dividitur in quinos, porro autem et per inaequa- lia, ut idem denarius in •III- et •VII-, sed hoc modo; ut cum 1 Hoc autem est, omisso vocabulo exemplar d, 1. Hoc au- tem exemplar est r. 2 quis libet a, s. 4 sit a, d, 1. 6 quat- tuor pro lUL d, quattuor et in •nil- s. || alias c. 12 duo- rum correxit in duum a. 15 infinitas f. 18 Inscriptionem om, d. 22 vel paritati imparitas vel imparitati paritas f. || vel paritati imparitas in margin^ superiore d. 25 constat unitatibus f. 27 aequab, d, 1. 28 per om, d. 29 tres et septem r, tres et in VIl- f. INST. ARITHM. I, 6. 15 una pars fuerit divisionis par, alia quoque par inveniatur^ et si una inpar, reliqua ab eius inparitate non discrepet, ut in eodem numero, qui est denarius. Cum enim divisus est in quinos, vel cum in tres septem, utraeque in utra- que portione partes inpares extiterunt. Si autem ipse, 5 vel alius numerus par, dividatur in aequales, ut octona- rius in •llil- et •IIII* , et item per inaequales, ut idem octo- narius in V- et •III-, in illa quidem divisione utraeque par- tes pares factae sunt, in hac utraeque inpares extiterunt; ne)]ue unquam fieri potest, ut, cum una pars divisionis lo par fuerit, alia inpar inveniri queat, aut, cum una inpar sit, alia par possit intellegi. Inpar vero numerus est, qui ad quamlibet illam divisionem per inaequalia semper divi- ditur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unquam altera sine altera sit, sed una pars paritati, in- 15 paritati alia deputetur, ut, •VII- si dividas in III- atque •IIIL, altera portio par altera inpar est. Et hoc idem in cunctis inparibus numeris invenitur, neque unquam in inparis divisione praeter se esse possunt. Hae geminae species, quae naturaliter vim numeri substantiamque componunt. 20 Definitio paris ei inparis per alterutrum, VI. Quod si haec etiam per alterutras species defi- nienda sunt, dicetur inparem numerum esse, qui unitate difTert a pari vel cremento vel deminutione. Par item nu- merus est, qui unitate differt ab inpari vel cremento vel 25 deminutione. Si enim pari unum dempseris, vel unum adieceris, inpar efficitur, vel si inpari idem feceris, par continuo procreatur. 1 fuerit om, c. 4 tres vel in septem a, •III- et •VII- c, 1, tres et •yil- f. 6 et octonarias f. 8 quinqae et tres d. 11 ut c. 14 ut secunda manus addidit in d. |] ostendit c. 16 septem d II III- et IIII- a, c, f, tres atque quattuor d, III^ atque in •IIII- r, 8. 18 numeris om. f, 19 Haee a. 21 Inscript, om. d. II et inparis om, f. 24 incremento f. H Item par c, f, s, Item par iterum a. 25 vel cremento supra versum ex corr. d. 26 demseris a, b, s. 16 INST. ARITHM. I, 7. De principalitate unitatis, VII. Omnis quoque nuinerus circum se positorum et naturali sibimel dispositione iunctorum medietas est; et qui super duos illos sunt, qui medio iunguntur, si conpo- 5 nantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est; et rursus illorum, qui sunt super secundo loco iun- ctos , cum ipsi quoque sint compositi , prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit, usquedum occurrens uni- tas terminum ponat, ut si ponat quis quinarium nume- 10 rum, altrinsecus circa ipsum sunt super IIIL inferius VI- Hi ergo si iuncti sint, faciunt -X-, quorum V- numerus medietas est. Qui autem circa ipsos id est circa -VI- et •IIII* sunt, III* scilicel et VII', idem si iuncti sint^ eorum quinarius numerus medietas est; rursus istorum, qui ai- 15 trinsecus positi sunt, si iungantur, etiam hi quinarii nu- meri dupli sunt; nam super III- sunt 11-, super VII' sunt •VIII-; hi ergo si iuncti sint, faclunt X-, quorum quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus nu- meris evenit, usquedum ad unitatis terminum perveniri 20 queat; sola enim unitas circum se duos terminos non ha- bet, atque ideo eius, qui est prope se, solius est medie- tas. Nam iuxta -I- solus est binarius naturaliter constitu- tus, cuius unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem cunctorum, qui sunt in naturali disposi- 25tione, numerorum et eam rite totius quamvis prolixae genitricem pluralitatis agnosci. 1 Inscripiionem om. d. 3 et ilU qui supra lllos duos sunt f. 4 iungantur, u super a scripio r. \\ componuntur f. 7 hic a, is h rasura deleio 1. 9 terminum fecerit c, d, f, 1; fecerit et supra versum l ponat b. |{ Juxta sequeniia •!• -II^ •III- us- que ad 'X- tw margine f, 1, r; insuper -I* •II- •III- usque ad or. •XI- in cont^xtu f. 10 -IIII. d. 11 aunt a, b, d, 1, r, fue- rint c, s. || facient a, b, c, 1, s. || quinarius c, f, r, s. 13 tres a, f , 1, s {| iuncti si c, d, r, s. [{ sunt a. 14 erit d. 15 iugantur d, iungatur r. 16 duplici c. \\ tres d. {{ duo f. {{ •VL sunt -VII- c. 17 sunt a, b, c, d, 1, r. 18 quinarius numerns f. 20 autem b, d, f, I, r. ({ circa f, I. 22 unum c, f, s. 25 prolize c, d, f, 1. INST. ARITHM. I, 8. 9. 17 Divisio paris numeri, VIII. Paris autem numeri species sunt tres. Est enim una, quae dicitur pariter par, alia vero pariter inpar, ter- tia inpariter par. Et contraria quidem locumque obtinen- tia summitatum videntur esse pariter par et pariter inpar. 5 Medietas autem quaedam, quae utrorumque participat, est numerus, qui vocatur inpariter par. De numero pariier pari eiusque proprietatibus, VIIII. Pariter par numerus est, qui potest in duo paria dividi, eiusque pars in alia diio paria partisque pars in lo alia duo paria, ut hoc totiens fial, usquedum divisio par- tium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. llt •LXIIII- numerus habet medietatem XXXII*, hic autem medietatem -XVI- , hic vero VIII. Hunc quoque quaterna- rius inaequa partitur, quibinarii duplus est; sed binarius i5 unitatis medietate dividitur , quae unitas naturaliter singu- laris non recipit sectionem. Huic numero videtur acci- dere, ut quaecunque eius fueril pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par ihveniatur ; tum etiam quantitate. Sed ideo miki videtur hic numerus pariler par vocatus, 20 1 Inscript. om, d. In s haec numerorum dispositio addiia est I. II. III. IIII. I. II. ni. iin. V. VI. VII. vin. vim. x. VI. vn. VIII. viin. X. 2 -111- a, b, c, 1, r, s. 4 e contraria c. || locumque et supra versum l loca b, locaque a, loca s , locumque in liiura r. 8 eiusque proprietatibus om, d. || et eiusdem s. 11 tocies a, tociens b, c, r. 12 indivisionem c. 13 autem nume- rus b, c, 8. 14 hic auteni •VIIL f. 17 Huic autem f; Huic pariter pari s. 18 primo cum nomine f.. 19 tunc c, r« BOETIUS. ^ 18 INST. ARITHM. I, 9. quod eius omDes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quan- titate pares habeat partes hic nuroerus, post dicemus. Horum autem generatio talis est : ab uno enim quoscun- 5 que in duplici proportione notaveris, seroper pares pariter procreantur. Praeter hanc autem generationem ut nascan- tur aliter inpossibile est. Huius autem rei tale detur per ordinem descriptionis exemplum sintque cuncti duplices ab uno I. U. Ilil. VIII. XVI. XXXII. LXIIII, CXXVffl. 10 CCLVI. DXII. atque hinc si fiat infinita progressio, tales cunctos invenies, factique sunt ab uno in duplici propor- tione , et omnes sunt pariter pares. lilud autem non mi- nima consideratione dignum est, quod eius omnis pars ab una parte quacunque, quae intra ipsum numerum est, 15 denominatur tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris illius, qui eum continet, quantitatis. Itaque iit, ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantum in priore 20 summa necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt, sibi invi- cem convertantur, atque hoc idem fiat, donec uterque terminus extremitatis incurrat. Ponatur enim pariter 25 paris ordo ab uno usque CXXVIII- hoc modo: I. II. IIII. VIH. XVI. XXXII. LXUU. CXXVIH. et ea sit sumroa ma- 1 omnes eius d, f , 1, r, s. [J pariter pares c. 2 inve- niuntur f. || quo autem modo f, s. ; autem om, r, sed in margine: quo autem modo. 5 pariter pares f. 7 ▼idetur a, videtur et supra versum l detur b, vtdetur r. 8 discre- tionis a || sintque] ut sint r || cnncti in ordinem c , s ; in ordine supra versum d. 9 uno ex corr. addit r || •!• om, a, c. 10 in infinita b, 1. 11 in om» a, b. 12 pariter pares sunt f. 13 omnis eius f. 14 quacunque om» a, c; quacunque parte f » s. || inter r. || est numerum c. 15 tan- tumque a, r. 19 ita d, ipsa f, est ista c. || tantam in priore summam a, b; tantum in priore summam, f, 1; m f tamen priore in prioris mutatum est sec. manu. 20 fit] sit c. 22 ipsa f, ipsas partes s. || sint c. 24 eztremitates b, f, r, s. 25 iidem ^umeri in 1 iterum leguntur in parte dextera. INST. AEITHM. I, 9. 19 xima. In hoc igitur, quoniam pares dispositiones sunt, una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est •VUI- et -XVI- quae considerandae sunt, quemadmo- dum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est •CXXVIII • octava pars est • XVI • , sextadecima • VIII • 5 Rursus super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem respondebunt , id est • XXXII • et • IIII • Nam • XXXII • quarta pars est totius summae, •Ilir vero tricesima secunda. Rursus super has partes • LXIIII • secunda pars est, •ir vero sexagesima quarta; donec extremitates limi- lo tem faciant, quas dubium non est eadem responsione gau- dere. Est enim omnis summa semel •CXXVIII^, unus vero centesimus vicesimus octavus. Si autem inpares terminos ponamus, id est summas — idem enim terminos quod summas nomino — secundum i5j inparis naturam potest una medietas inveniri atque ipsa una sibi est responsura. Si enim ponalur bic ordo I. il. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. una erit sola medietas, id est VIII. , qui VIII. summae totius pars ^t octava , et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque convertitur. Eo- 20 demque modo sicut superius circa ipsum qui sunt termini donant sibi mutua nomina secundum proprias quantitates vocabuiumque permutant. Nam IIII- sextadecima pars est totius summae , • XVI • vero quarta. £t rursus super terminos hos • XXXII • secunda pars est totius summae, 25 •IL vero tricesima secunda ; et semei tota summa •LXIIII- sunt, sexagesima quarta vero unitas invenitur. Hoc igi- tur est, quod dictum est, omnes eius partes et nomine et quantitate pariter pares inveniri. a itemque in s jn margine, ubi addita sunt haec: Centesima XX a Vni As. Sexagies quater II. CXXVIII et cetera usque ad CXXVni. 4 sibi ipsae c, d, 1; sibi invicem ipsae r. va 5 VIII f. 6 sibi ipsae b, d, I, r, s. 7 respondebunt invi- or cem f. II im- f. 8 — 9XXXn. c. 10 duo f. 12 unum vero centesima vicesima octava s. 13 vicesimus om, c. 17 una sibi ipsa a, c. || responsura est f. 20 Eodem quoque f. 24 Et 0771. 8. 25 hos terminos d, 1. 26 duo c. 20 INST. ARITHM. I, 9. Hoc quoque multa consideratione multaque constanUa divinitatis perfectum est, ut ordinatim dispositae minores summae in hoc numero et super se ipsas coacervatae se- quenti minus uno semper aequentur. Si enim unum iun- 5 gas his, qui sequuntur, duobus, fiunt 'lU*, id est, qui uno minus quaternario cadant, et si superioribus addas •IIIIs sunt •VIL , qui ab octonario sequente sola unitate vincun- tur. Sed si eosdem • VIII • supradictis adiunxeris , •XV* fient, qui par -XVI* numeri existeret quantitati, nisi minor 10 unitas inpediret. Hoc autem prima etiam numeri proge- nies serval atque custodit. Namque unitas, quae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior; unde nihil mirum est, totum summae crementum proprio consentire principio, Haec autem nobis consideratio ma- 16 xime proderit in his numeris cognoscendis , quos super- fluos vel inminutos perfectosque monstrabimus. Illic enim coacervata quantitas partium numeri totius termino com- paratur. Ulud quoque nulla possumus oblivione transmittere, 20 quod in hoc numero respondentibus sibi invicem partibus muitiplicatis maior extremitas eiusdem numeri summaque conficitur. Et primum si pares fuerint dispositiones medii multiplicantur atque deinde qui super ipsos sunt et usque ad supradictas extremitates. Si enim fuerint pares dispo- 25 sitiones secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum, in qua ex- tremus terminus • CXXVIII • finitur. In hoc enim nuniero medietates sunt 'Vlir scilicet et -XVL, quae in se multi- plicatae maioris summam crescente pluraiitate conficient. 80 Octies enim XVI- vel sedecies •VIII^, si multiplices, 1 constantiae divinitate a, b, f; eadem correxit in con- stantia divinitatis d, constantia (e rasura deleto) divinitate c. 4 iunffas unnm f. 5 sequantur c. 6 quatuor f. 8 octo d, f. II quindecim a, I, r, s. 9 fiunt c. || sextidecimi c. II numeri -Xyi- f. || quantitatis a , quantitate d , 1. 10 etiam prima c, f, s. || progenies numeri s. 12 sequentibus omisso sub b, d, f, 1. 16 minutos c. || demonstrabimus f. II In illis d, 1. 23 inde a, d, f, 1. 24 pares fuerint c, 8. 28 octo d. ♦ INST. ARITHM. I, la 21 •CXXVIIi* summa concrescet, atque hi numeri, qui super eosdem sunt, si multipiicenlur, idem faciunt. Nam •lUI- et •XXXIIs in sesi multipiices supra dictam facient extremita- tem. IIII* enim tricies et bis, vel quater -XXXU* ducti •CXXVIIL inmutabili necessitate conplebunt, atque hoc 5 usque ad extremos terminos cadit, id est -h et •CXXVIII- Semel enim extremus terminus -CXXVIU- est; centies yi- cies atque octies unitate muitiplicata nihii de priore quan- titate mutabitur. Si autem inpares fuerint dispositiones, unus medius lo terminus invenitur, atque ipse sibi propria multipiicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extre- mus terminus LXIIII- pluralitate concluditur, sola inveni- tur una medietas, id est<»VIiI-, quam si octies id est in semet ipsum multipiices •LXIill- explicabit, atque idem i5 reddent illi, qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi, qui snper duas positi, faciebant. Nam quater •XVI- •LXilll- sunt et sedecies •illl- idem conplent. Rursus bis •XXXII^ facti a •LXIill^ non discedunt, et tricies bis •IL eosdem cumulant, et semel •LXIIil- vel unitas sexa- 20 gies quater multiplicata eundem numerum sine uila varie- tate restituent. De numero pariter inpari eiusque proprietatibus, X. Pariter autem inpar numerus est, qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed 25 in contraria divisione naturae numeri pariter paris obpo- 3 in sese ante in ex corr. si addiio &, in se c, in se se, altero se in si correcto, d. 4 quatuor f, [] bis in margine, in contextu secundum, sed linea suhnotatum a, secundo et supra versum bis d, duo et supra versum secundo r, •IIII c. || •XXXII- quater s. 5 implebunt a. 14 una om, d, 1. octo a , b , 1 , r. II si octies] socies , litura inter e et s intercedente d; si occies r. 17 post faciebant addit summam numero- sitatis eztremae a , in a haec in margine leguntur. 18 sede- cim d , f . II quater a , quattuor d, r. 20 duo d, f. 23 nu- mero om. d, 1. || eiusque proprietatibus om, d. || et eius- dem s. 24 inpar autem d, 1, r. 25 est posi paritatis ponunt b, d, 1. 22 INST. ARITHM. I, 10. • nitur. Docebitur namque, quam longe hic dissimlii ratione dividalur. Nam quoniam par est, in partes aequales reci- pit sectionem , partes vero eius mox indivisibiles atque in- secabiies permanebunl, ut sunt VI- X- XIIII- XVin« 5 XXII- et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in inparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contra- rie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium, quae denominantur. Neque unquam fieri pot- 10 est, ut quaelibet pars huius numeri eiusdem generis deno- minationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit par, quantitas partis erit inpar, si denominatio inpar, quantitas par: ut in XVHI- secunda eius pars, id esl media, qwod paritalis nomen est, 15.V1II1-, quae inpar est quantitas; tertia vero, quae in- par est denominatio, -Vl-, cui par pluralitas est. Rur- sus si convertas, sexta pars, quae par est denomina- tio, •III* sunt, sed ternarius inpar est; et nona pars, quod inpar est vocabulum, 11*, qui par numerus est; atque 20 idem in aliis cunctis, qui sunt pariter inpares, invenitur. Neque unquam fieri potest, ut, cuiuslibet partis eiusdem sit generis nomen et numerus. Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omni- 25 bus inparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multipiicentur, omnes pa^iter inpares rite pluralitas demensa sufficiet. Ponatur enim prima unitas -I- et post hunc, qui ab hoc duobus differt, id est •1II> et post hunc, qui rursus a supe- 2 aequas b, d, 1. 3 Bectiones b, d, f. 4 ut sunt om, b. II ante «VI- addit -II- f. 6 incurres s. || in inparem om. c. 7 contrariae c, d, f. 11 et si fuerit denominatio d, 1; et si denominatio fuerit f ; si denominatio fuerit s. 12 parj erit par d, f, 1. 14 eius pars est d, 1; pars eius est. f. [} dimidia f. 16 quantitatis f. 16 sex d, f. || post. -VL addit sunt 1; supra versum a, d, s. || est om, c. 18 tres a, b, d, 1, r, s. 19 post, •n* addit sunt 1; supra versum d, s. 20 pares c. 21 sit eiusdem a, c, s; sit, eiusdem sit b. 27 efficiet, e expuncto et su superposito , efficiet s ; 1 tn rasura, 29 differt duobus f . tres a, b, d, f, 1, r, s. INST. ARITHM. I, 10. 23 riore duobus, id est •¥*, et hoc in infinitum et sit huius modi dispositio I. III. V. VII. vmi. XL XIII. XV. XVII. xviiii. Hi ergo naturaliter se sequentes inpares sunt, quos nul- lus in medio par numerus distinguit. Hos si per bina- 5 rium numerum multiplices, efficies hoc modo: bis -L id est -II-, qui dividitur quidem, sed eius partes indivisibiles repperiuntur propter insecabilis unitatis naturam; bis •III-, bis V-, bis -Vn-, bis •VIIII., bis .XI. et deinceps, ex quibus nascuntur hi: II. VI. X. XIIII. XVIII. XXII., lo quos si dividas, unam recipienl sectionem ceteram repu- diantes, quod secunda divisio ab inparis medietate partis excluditur. ^ His autem numeris a se invicem quaternarii sola di- stanlia est; namque inter 'II. et .VL numeros .IIII* sunt, i5 rursus inter -VI. et X. et inter X. et .XIIII., inter .XUII. et .XVIII. idem quaternarius difi^erentiam facit. Hi nam- que omnes quaternaria sese numerositate transcendunt, quod idcirco coirtingit, quoniam primi qui positi sunt, id est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, 20 quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quater- narium numerum crevit illa progressio; .11* enim per .II. multiplicati quaternariam faciunt summam. Igitur in na- turalis numeri dispositione pariter inpares numeri quinto loco a se distant, solis .1111* se praecedunt,- .III. in medio 25 transeuntes , per binarium numerum multiplicatis inpari- bus procreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par et pariter inpar, quod in 4 sese f. 5 detinet et supra versum disiungit d , disiun- git 1, distingnet r. 6 unnm d 7 duo d. 9 tres d || quinque d. ^ septem d || novem d. 10 duo a, I- c. 11 recipiunt a, d, f, 1, r, s. 12 quia et supra versum l quod s. 15 duo a, b, f, 1, r, s. 16 sex a, b, c, d, 1, r, s. II inter X- et om. c. || et quatuordecim f. || et inter •XIIII- r II inter •XIIII- et XVIIL om. d, f, 1. 22 duo enim c, f, s. 11 per bis b, f, r, s; bis eraso per c, d; bis omisso per 1. 23 facient a, d, f, 1, r. 25 distant et f. Fortasse scriben- dum est: distantes. 26 supra inparibus sttpra versum ex f. 27 Contrarie f , r. || haeae a, b, f, he r. 24 INST. ARITHM. I, 10. numero pariter inpari sola divisionem recipit maior extre- mitas, in iilo vero soius minor terminus seclione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremita- tibus incipienti et usque ad media progredienti, quod con- 5 tinetur sub extremis terminis, idem est illi, quod con- tinetur sub intra se positis summulis atque hoc idem us- quedum ad duas medietates fuerit ventum in dispositioni- i)us scilicet paribus; si autem fuerint inpares dispositio- nes, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub 10 altrinsecus positis partibus procreatur , atque hoc usque- dum ad extremitates progressio fiat. In ea enim disposi- tione, quae est par ut II. IIII. VIII. XVI,, idem redduot •II- per XVI- multiplicati, quod •IIII- per octonarium ducti, utroque enim modo -XXXII- fient. Quod si inpar 15 sit ordo , ut est II. IIII. VIII. , idem facient extremi, quod medietas; bis enim -VIII* sunt -XVL, qui numerus a quaternario in se ducto perficitur. In numero vero pariter inpari, si fuerit unus in medio terminus, circum se positorum terminorum,*si in unum redigantur, medie- 20 tas est, et idem eorum quoque, qui super hos sunt ter- minos, medietas est, atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine, qui est pariter inparium numerorum, II. VI. X., iunctus binarius cum denario •XII* expiet, cuius senarius medietas invenilur. Si vero 25 fuerint duae medietates iunctae, ipsae utraeque aequaies erunt super se terminis constitutis, ut est in hoc ordine n. VI. X. Xlin. luncti enim 11. et .XIIII. in XVL cre- scunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. At- 4 quod om, c. 5 extimis d, extimis cqrrecium in extre- mis ]. 10 extrinsecus 1 ; extrinsecus in contextu, atrinsecus in margine a. 11 processio c, r. 12 par ut om» a, d, 1, r; par ut supra versum f, par mpra verswn omisso ut s. 13 duo f. II quat. d. II octonarium numerum a, c, s. 15 faciunt f. 11 extimi d, 1. 16 octo d. || post XVI- addunt quatuor quater sunt 'XVL a, b, quater •IIII- sunt XVL c, r. In d haec verha in margine erant scripta rursusque deleta sunt ra- sura, 21 extimos d, 1. 25 duae fuerint f. 27 duo c, d, f. II sedecim b, c, d, s. || crescent d. 28 copulatis c. efficiat r. INST. ARITHM. I, 11. 25 que hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a me- diis evenit usquedum ad extrema veniatur. De numero tnpariier pari eiusque proprietatihus deque eius ad pariier parem et pariter inparem cognatione. XI. Inpariter par numerus est ex utrisque confectus 5 et medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut, quo ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum cognatione iungatur. Hic autem talis est, qui dividitur in aequas partes, cuiusque pars in alias aequas dividi potest, etiam aliquando partes partium dividuntur, sed non usque ad lo unitatem progreditur aequaiis illa disiunctio, ut sunt •XXlill* et XXVIII* Hi enim possunt in medietates dividi et eorum rursus partes in alias medietates sine aliqua dubitatione solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes alias recipiunt divisiones» sed ipsa divisio i5 ad unitatem usque non pervenit. igitur in eo, quod plus quam unam suscipit sectionem, babet similitudinem pari- ler paris, sed a pariter inpari segregatur; in eo vero, quod usque ad unum sectio ilia non ducitur, pariter in- parem non refutat, sed*a pariter pari disiungitur. Con- 20 tingit autem huic numero et utraque habere, quae supe- riores non habent, et utraque, quae illi recipiunt, obti- nere. Et habet quidem, quod utrique non habent, quod, cum in uno soius maior terminus divideretur, in alio vero solus minor terminus non divideretur, in hoc neque solus 25 maior terminus divisionem recipit, neque minor solus ter- minus a divisione seiungitur. Nam et partes solvuntur et usque ad unitatem sectio illa non pervenit, sed ante uni- tatem invenitur terminus, quem secare non possis. Obti- 3 Inscriptionem om, d. Descriptionis ad impariter paris naturam p. 1. 7 ad om, a. 10 sed non ut b, d, f, 1. 11 progrediatnr d, f, 1, r; progreditur, a supra i posito b. || aequabilis d, 1. [] divisio f. 15 recipiant a, s, recipiunt ei supra versum l ant b. 17 recipit c. 24 in uno supe- riorum f, superiorum ex corr, supra versum 1. || videretur, di ex corr, addito^ d. 26 solus minor a, b. 28 illa om. a, non peryenit illa sectio f. 26 INST.ARITHM. I, 11. net autem, quae illi quoque recipiunt, quod quaedam partes eius respondent denominahturque secundum gcnus suum ad propriam quantitatem , ad similitudinem scilicet pariter paris numeri , aliae vero partes contrariam deno- 5minationem sumunt propriae quanlitatis, ad pariter in- paris scilicet formam. In •XXUII- enim numero par est quantitas partis a pari numero denominata. Nam quarta •VI* secunda •XII* sexta vero •IIIL duodecima -ll*, quae vocabula partium a quantitatis paritate non discrepant. 10 Contrarie vero denominantur, ut tertia pars •VIII-, octava vero \[\' Vicesima autem quarta •!• quae denominatio- nes cum pares sint, inveniuntur inpares quantitates, et cum sint pares summae, sunt inpares denoniinationes. Nascunlur autem tales numeri ita, ut substantiam na- 15 turamque suam in ipsa etiam propria generatione desi- gnent ex pariter paribus et pariter inparibus procreari. Pariter enim inpares cuncti dudum ordinatim positis in- paribus nascebantur, pariter vero pares ex duplici pro- gressione. Disponantur igilur omnes in ordinem naturali- 20 ter inpares a tribus et sub his a quattuor inchoantes omnes duplices et sint hoc modo: III. V. VII. VIIII. * XI. XIII. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII. 8 secunda vero a, b, c, d, 1, r. [] sexta vero IIXL duo- decima -II- secunda -XIL f ; sexta vero -IIIL secunda. vero •XII- duodecima -IL s. 10 Contrariae c, d, f, r. || ut cum a, cum ut r, s. || III- c. 11 vero om. c, f. || posi -IIL addita suni in a : semel -XXIIIL quae quantitas par est, sed denominatio inpar: quae verba secunda manu adscripia sunt in margine in b, d, 1, r. || quarta autem d, f, 1. || unitas r, unitas est c, unitas est semel •XXIIII- una, quae quanti- tas par est, sed denominatio impar s. || denominatio cum par sit, invenitur inpar quantitas a. 16 procreati corre- ctum in procreari a, c, f ; procreari et supra versum l ti b, r. 19 Disponebantur r. || in ordinem .... inchoantes omnes in margine superiore secunda manu r. || in ordine d. 20 a tri- bus om, a, d, f, r; supra versum c. [| «IIIL f. 22 Nuic ver- sui addit ab initio: Pariter inpares f; in fine adduni: 'XV- b, 1; similiter sequenti versui: Pariter pares f; •CCLVL b, 1. INST. ARITHM. I, 11. 27 flis igitur ita positis si primus primi multiplicatione con- crescat, id est si qnaternarii ternarius, vel si idem pri- mus secundi, id est octonarii ternarius, yel si idem pri- mus tertii, id est ternarius sedecimi, et idem usque ad ultimum, vel si secundus primi, vel si secundus secundi, & vel si secundus tertii et eadem usque ad extremum muUi- plicatio proferatur , vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat atqull' ita quartus et omnes in ordi- nem superiores multiplicent eos , qui sub ipsis in disposi- tione sunt, omnes inpariter pares procreabuntur. Huius lo autem rei tale sumamus exempium. Si •IIL quater muiti- plices Xil- fient, vei si •¥• quattuor multiplicent -XX* numerus excrescet, vei si item Vll* multiplicent -1111* •XXVIII- succrescet, atque hoc usque in finem. Rursus si VIII- multiplicent III- nascentur XXIIII- ; si •VIII- in i5 •V- fiunt -XL- , si -Vin- in -VII- coUigentur -LVI- atque ad hunc modum si omnes inferiores dupiices a superioribus multiplicentur, vei si superiores eosdem inferiores multi- plicent, cunctos, qui nati fuerint, inpariter pares in- venies. 20 Atque haec est admirabilis huius numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecta nume- rorum, ad latitudinem pariter inparium, ad longitudinem pariter parium numerorum proprietas invenitur. Sunt enim duabus in latitudine medietatibus aequales duae ex- 25 1 Ante His capitis numerum •XII- habet f. Q dispositis b. 4 •XVI' a, f, 1, sedecim c, d, s, sedecim et supra versum al. sedecimi b; sed cum linea inductum ei supra versum se- cunda manu sedecim r. 5 yel si secnndus secnudi in mar- gine sec. m, d. || alterum si omisso c. 6 si om, d. 7 per- feratur a, b. || usque ad f. 8 extimum d. 10 procrea- buntur litteris u ei r lineolis inducUs b. 12 fient •XII- c, s. 12 et 13 quinque quater multiplices •XX^""'* numerus excre- flcit f. 1.3 idem a, d, r, s; item et supra versum l idem b. -IIII* multiplicent -yil^ b, -nil- multiplicent quat. d. 14 XX™"»- octavus succrescit f. |) in finem usque r; usque om. a. 15 nascuntur a, c, f, r. 16 colliguntur f. 21 am- mirabilis d, r, s. |] qnod et supra versum -1- quia s. 22 dis- cretioque perfecta c. 23 et ad longitndinem s, ad longitudi- nem vero c, s. 25 duobus a, c. Q in latitudine om, a,b, c^f^l^r^E. 28 INST. ARITHM. I, 12. trejnitates vel una medietate duae duplices extremitates. Ih iongitudine vero pariter paris numeri rem proprieta- teroque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequaie est ei, quod sub extremis conficitur^ 5 vel quod ab una medietate nascitur, aequaie est illi, quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem, quae subposita est, boc modo facta est: quantoscunque in ordine pariter parium nufAerorum ternarius numerus multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt, primo sunt 10 versu dispositi; rursus qui eosdem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco sunt constituti, post vero, quos septenarius ceteros muitiplicando procreavit, eosdem ter- tio conscripsimus loco, atque idem in reliqua descriptio- nis parte perfecimus. 15 m. V. VII. viiii. IIII. VIII. XVI. XXXII. {Fide descrtptionem in tahida seorsum addita.) Descrtptionis ad inpariier paris naturam pertinentis ex- positio, 20 XII. Superius igitur digestae descriptionis haec ratio est: Si ad iatitudinem respicias, ubi est duorum termino- rum una medietas, ipsosque terminos iungas, duplos eos medietate propria repperies, ut -XXXVI- et XX- faciunt •LVI-, quorum medietas est -XXVIII-, quimediusest inler 25 eos terminus constitutus. Et rursus •XXVIII- et XII- si iungas, faciunt 'XL*, quorum XX* medietas medius eorum 1 uni medietati a, b, c, 1. 2 in longitudinem a, c, r, s. 3 designet r, designat et supra a secunda manu en a. 4 est om, d. 1. ]| extimis d, 1. 9 multiplicabit a , b , c, f. 10 versu sunt f. 12 multiplicari d, multiplicans et supra s 1 do r. II procreabit c, procreavit, v correcto in b, a. 13 conscribimus b , d. || in om. a. 15 et 16 Bos duos ver- sus om, c, 8. Figurae arcus in codicihus aliter in aliis sunt ducti, etiam numeri varie sunt dispositi, In c desunt inscri- ptiones Longitudo, Latitudo. 18 Inscript. om, d, f. || ad in- pariter paris naturam pertinentis om, I, uhi leguntur superius positae. 20 XII. om, f. || igitur om, c. 23 propria me- dietate r, s. 26 medietas om. f. INST. ARITHM. T,, 12. " 29 terminus invenitur. At vero ubi dnas medietates liabent, utraeque extremitates iunctae utrisque medietatibus aequales fiunt, ut «XII- et -XXXVI-, cum iunxeris, fiunt •XLVIIL Horum si medietates sibimet applicaveris, id est XX- et •XXVIII- , idem erit. Atque in alia parte iati- s tudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque iatitudinis discrepabit; idemque in eodem ordine in ceteris numeris pernotabis; et hoc secundum formam pariter inparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra iam dictum est. lo Rursus si ad longitudinem respicias , ubi duo termini unani medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extre- mitatibus, hoc fit, si medius terminus suae capiat plurali- tatis augmenta. Nam duodecies •XLVIII* faciunt -DLXXVI* ; medius vero eorum terminus, id est •XXIIII- si multipli- 1» cetur, eosdem rursus -DLXXVI- procreabit. Et rursus sl XXIIII- in XCVI. multiplicentur, faciunt U. CCC. IIII., quorum medius terminus, id est •XLVIII* si in semet ipsum ducatur, idem. II. CCC. IIII. procreantur. Ubi autem termini duo duas medietates inciudunt, quod fit2o multiplicatis extremitatibus , hoc idem redditur in alter- utram summam medietatibus ductis. Duodecies enim • XCVI • multiplicatis I. CLII. procreantur. Duae vero eorum medietates, id est •XXIIII- et •XLVIII^ si in semet ipsas multiplicentur, eosdem I. CLIL restituent. Atque 25 hoc est ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatioue tracta haec ei recognoscitur ingenerata proprietas. £t in alio vero latere longitudinis 1 duae medietates habentnr f. 4 adplicaris r, appli- caris d, 1, applicabis s. 6 fiant a, c, r. 7 illa inseratio a jl illa, i expuncto et v supra scripto c. || idem qnoque d, 1. 9 fit numeri f. 11 Rursum a. 14 aucmenta c. 15 multiplicentur d , I , s ; multiplice tur , n rasura deleto r. 17 Post II. CCC. IIII. addit procreantur c, sed ui deleturi manum agnoscas, 19 deducatur f. {| id est c, d; idem om, f; in 1 est litura. \\ duo CCC. IIII. d. 20 duo termini b, d, 1, r. II duas om, d, 1. 26 est om, d, I. |{ cognitionemque f. numeri om. c. 30 INST. ARITHM. I, 13. 14. eadem ratio descriptioque notata est. Quare manifestum est, hunc nunierum ex prioribus duobus esse procreatum, quoniam eorum retinet proprietates. De numero inpari eiusque divisione, 5 Xlil. Inpar quoque numerus, qui a paris numeri na- tura substantiaque disiunctus est, — si quidem ilie in gemina aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis inpedit inlerventus, — tres habet simiiiter.subdivisiones, quarum una eius pars est is numerus, qui vocatur primus 10 et incompositus, secunda vero, qui est secundus et com- positus, et tertia is, qui quadam horum medietate con- iunctus est et ab utriusque cognatione aliquid naturaliter trahit, qui est per se quidem secundus et compositus, sed ad alios comparatus primus et incompositus invenitur. 15 J)e primo et incomposito. XIIIl. £t primus quidem et incompositus est, qui nul- lam aliam partem habet nisi eam, quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi unitas, ut sunt III. V. VII. XI. XIII. XVII. XVIIII. XXUI. XXVIIII. 20 XXXI. In his ergo singulis nuila unquam alia pars inve- nietur, nisi quae ab ipsis denominala est, et ipsa tantum unitas, ut supra iam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa terlia pars unitas; eodemque modo quinarii 25 sola quinta pars est el haec unitas, atque idem in singulis consequens repperietur. Dicitur autem primus el incom- positus, quod nullus eum alter numerus metiatur praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ter- 1 scrlptioque b. 3 proprietas c. 4 numero om. d, 1. 5 XIIIL d. 8 III' c. 11 et] sed d, f , 1. 12 naturaliter aliquid f. 13 sed et alios c. 15 Inscript. om. d. |[ pro- prio correctum in primo a. 17 partem aliam d, 1. || partem supra versum f. 19 XVIIII- XXIII. om. c. || XXIII. XXVII- XXVim. XXXI. a. 21 tamen c. 23 III. c. 24 in- c. 25 idem om. 1. || in om. c, d; supra versum 1, s. INST. ARITHM. I, 16. 31 narium •II* non numerant, idcirco, quoniam si solos duos contra •IIL compares, pauciores sunt, sin vero bina- rium bis facias, ampiior est tribus, cum crescit in illl* Metitur autem numerus numerum , quotiens vel semei vei bis vei tertio vei quotiensiibet numerus ad numerum 5 comparatus neque deminuta 'summa neque aucta ad com- parati numeri terminum usque pervenerit» ut •II* si ad •VL compares» binarius numerus senarium tertio metie- tur. Primos [ergo et incompositos nulius numerus me- tietur praeter unitatem soiam , quoniam ex nuliis aiiis. nu- lo meris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semel ipsis auctis multipiicatisque procreantur. Ter enim unus •ill- et quinquies unus -V* et septies unus •VII* fecerunt, et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo nascuntur. Hi autem in semet ipsos multipiicati faciunt i5 aiios numeros velut primi, eosque primam rerum sub- stantiam vimque sortitos cunctorum a se procreatorum velut quaedam elementa repperies, quia scilicet incom.po- siti sunt et simplici generatione formati atque in eos omnes, quicunque ex his proiati sunt numeri, resoi- 20 vuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur neque in alios reducuntur. De secundo et composito, XV. Secundus vero et compositus et ipse quidem in- par est, propterea quod eadem inparis proprietate forma- 25 tus est, sed nuliam in se retinet substantiam principaiem compositusque est ex aliis numeris habetque partes et a se ipso et ab alieno vocabuio denominatas; sed a se ipso denominatam partem solam semper in his repperies uni- tatem , ab aiieno vero vocabulo vel unam vei quotlibet so 1 duo f. 2 tres f. 3 quattuor d, f. 7 provenit a, c, d, I. II dao f. 8 metitur f. 13 tres f. [j quinque f. 14 alios c. 16 prima a. 17 a se om. c. 18 scilicet et a, b, f. 22 alia a, b, d, f, 1. || recluduntur c. 25 quia c. 28 — 30 denominatas .... vocabulo in margine superiore r. 29 reperio b. 30 altenim vel om, c. || quodlibet c, d, r. 32 INST. ARITHM. I, 16. alias, quanti fuerint scilicet numeri quibus iiie compositis procreatur, ut sunt lii: Vlfll. XV. XXI. XXV. XXVil. XXXIII. XXXVIIII. Horura ergo singuli habent quidem a se denominatas partes proprias, scilicet unitates, ut 5 •VIIII* nonam, id est unum, «XV- quintam decimam eandem rursus unitatem et in ceteris, quos supra de- scripsimus, idem convenit. Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut •VIIII- tertiam. id est ternarium, et -XV- tertiam, id est quinque, 10 et quinlam, id est tres ; 'XXI* vero tertiara •VU-, sepiimam •III* ; et in omnibus aliis eadem consequentia est. Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur sed eiiam alio numero, a quo scilicet coniuncius esi, neque habet quicquam in se principalis 15 iniellegeniiae. Nam ex aliis numeris procreaiur. •VIIII- quidem ex tribus, •XV- vero ex iribus et V-, at •XXI^ ex iribus et VII- et ceteri eodem modo. Compositus autem dicitur eo, quod resolvi potest in eosdem ipsos, a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicei, qui Qomposiium 20 numerum metiuniur. Nihil autem, quod dissoivi potest, incompositum est, sed omni rerum necessitatecompositum. De eo^ qui per se secundus et compositus est, ad alium primus et incompositus, XVI. His vero contra se positis , id esi primo et in- 25 composito ei secundo et composito, et naturali diversitate disiunctis alius in medio consideratur, qui ipse quidem 1 compositus c, 1. 5 unam d, f, 1, r. 6 eadem a. 9 quindecim c. || -V- c, d, f. 10 •III- c, s. |1 tertlam -VIL et supra versum id est b. || et septimam s. 11 tres a, b, d, f, 1, r. II in om. a. 13 alio et supra versum l alieuo b. 14 in se quicquam a, s; in se quoddam c. 15 Kovem f. 16 et XXI- a, c, f, s. 17 septem d, f. 18 eo om. a, d, 1. 18 — 21 in eosdem .... compositum in margine inferiore r. 20 numerum om. f. || solvi, dis rasura deleto d; solvi, omisso dis, 1. 21 est om. c. 22 Inscripiionem in margine habet secunda manu d. || De his quod f. || ad alium .... incom- positus om. c. II ad alium vero f ; ad alium comparatus r, s. 26 disiunctus c. INST. ARITHM. I, 17. 33 compositus sit et secundus et alterius recipiens mensionem atque ideo et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium eiusdem generis numerum coraparatus, nulla cum eo communi mensura coniungitur; nec iiabebunt partes aequivocas; ut sunt VIIII- ad .XXV- Nulla hos & communis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas, quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in •VIIII- tertia esl, in -XXV- non est, et quae , quem ternarius numerus secundum septe- narium metitur. -XXI* enim numeri ternarius septima pars est, atque ideo hoc in infinitum faciens repperio primum numerum, si binos intermiserit, omnes sequentes posse so metiri secundum quantitatem positorum ordine inparium numerorum. 1 .XLVIIII. addit b , XL VIIII- LI. f . 2 consideran- dum est f, 1; est supra versum habet b. 6 snnt c, f. sunt rasura in sint mutaium r. 11 supra vulgo: est b. 13 me- titur .... suam quantitatem om, f. 22 metietur a. || qui- nario c, r. 26 vicesimus unus a, s, vicesimus 'L c, vi- ginti unus b, d. 27 vicesimi enim primi f, vicesimi primi enim s. 28 ideo expunxit b. 29 intermiseris a, f. [] post se a, b, c, s. INST. ARITHM. I, 17. 35 Sin vero quinarius numerus, qui in secundo loco est constitutus , velit quis , cuius prima ac deinceps mensura sit, invenire, transmissis • IIII • inparibus quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim •IIII* inpa- res, id est VII- et ¥1111- et -XI. et XIII. Post hoss est •XV*, quem quinarius metitur secundum primi sci- licet quantitatem id est ternarii. -V- enim -XV- tertio me- titur. Ac deinceps si quattuor intermittat, eum, qui post illos locatus est secundus, id est quinarius, sui quantitate metilur. Nam post -XV' intermissis -XVII. et .XVIIII. et lo .XXI. et .XXIIl. post eos .XXV- repperio, quos quinarius sci- licet numerus sua pluralitate metitur. Quinquies enim quinario multiplicato .XXV- succrescunt. Si vero post hunc quilibet -1111. intermittat, eadem ordiiys servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, id est septe- 15 narii numeri, summam a quinario metietur; atque haec est infinita progressio. Si vero tertius numerus quem metiri possit, exquiri- tur, sex in medio relinquentur , et quem septimum ordo monstraverit, hic per primi numeri, id est ternarii, quan- 20 titatem metiendus est; et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numerum series dabit, per quinarium, id est per secundum, tertii eum mensura percurret. Sin vero alios rursus sex in medio quis reiinquat, ille, qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario 25 metiendus est id est per tertii quantitatem ; atque hic us- que in extremum ratus ordo progreditur. Suscipiant ergo metiendi vicissitudinem quemadmo- dum sunt in ordinem naturaliter inpares constituti. Me- tientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes so 3 qnattitor d, quatuor f. 4 quatuor b, f, quattuor d. 7 -XV- enim 'V- a, -V- enim quindecim b, d. 8 quatuor f. •IIII- c. 10 quindecim b, d. 14 quatuor b, f , quattuor d. 16 numeri om. c. |{ quinario numero f, 1. |{ metitur c, d, 1, r. 17 in infinita f. {{ processio a, r. 22 numerum om. s. numeri a, b, c, d, r; series numeri 1. 23 prae- curret correcium in percurret a, percurrat r. [j Si d, 1, r. 24 .VI- d. 2'6 hic om. c. 27 rectus c. - 28 Suscipient a,'"^, f, 1. 36 INST. ARITHM. I, 17. positos inter se inpares rata intermissione transsiliant, ut primus duo, secundus •IIU*, tertius •¥!• quartus •VIII* quintus • X • , vel si locos suos conduplicent el secundum duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui pri- 5 mus est numerus et unus — omnis enim primus unus est — bis iocum suum multiplicet faciatque bis unum; qui cum -II^ sint, primus ir medios transeat. Rursus se- cundus, id est quinarius, si locum suum duplicet, •IIII- explicabit, hic quoque uti •IIII^ intermittat. Item si 10 septenarius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex creabit. Bis enim • III • senarium iungunt. Hic ergo in ordinem • VI • reiinquat. Quartus quoque si locum suum duplicet, •VIII- succrescent. Ille quoque octo transsiliat. Atque h^c quidem in ceteris perspiciendum. 15 Modum autem mensionis secundum ordinem conloca- torum ipsa series dabit. Nam primus primum quem nu- merat, secundum primum numerat, id est secundum se; et secundum primus quem numerat, per secundum numerat, et tertium per tertium et quartum item per 20 quartum. Cum autem secundus mensionem susceperit, primum quem numerat, secundum primum metitur, se- cundum vero quem numerat, per se, id est per secun- dum, et tertium per tertium, et in ceteris eadem sirai- iitudine mensura constabit. Alios ergo si respicias vel 25 qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, in- venies omnium simul communem mensuram esse non posse, neque ut omnes quemquam alium simul nume- rent; quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerentur; alios vero, ut ^tiam a pluri- 1 — 2 termissione . . . quartus VIII- om, c. 2 quattuor d, quataor f. || sex . . . octo . . . decem d, f. 4 inter- mittunt a. s. 6 duplicet f. 7 duo d, f, s. || sunt f. || duos d, f, r, s. 8 quattuor d. 9 uti om. f, rasura de- letum 1. II interminat et supra versum intermittat r. 10 -VI- f. 11 tres c, d, f. 12 sex c, d. 13 octo d. 14 prospi- ciendum a, perspiciendum est f. 15 ordinem onL c. 19 ter- tius a. II quartum correctum in quartus a. || per •IIII- c. 25 ipsi om, 1, vasura deletum d. 28 autem om. c. 29 posi pluribus addunt numerentur d, 1. INST. ARITHM. I, 18. 37 bus; quosdam autem, ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo uullam mensuram praeter unita- tem recipiunt, hos primos et incompositos iudicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem yei alieni- genae partis vocabuium sortiuntur, eos pronuntiemus se- 5 cundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et composili, primi vero et incompositi ad aiter- utrum comparati, hac inquisitor ratione, repperiet. Si enim quoslibet iiios numeros secundum suam in semet ipsos muitiplices quantitatem, qui procreantur , ad alter- lo utrum comparati nulla mensurae communione iunguntur. •III- enim et V- si multipiices, JIL tertio •VIIIL facient, et quinquies -V- reddent -XXV- His igilur nulia est commu- nis mensurae cognatio. Rursus -V- et VII- quos procreant, si compares, hi quoque incommensurabiles erunt. Quin- 15 quies enim -V*, ut dictum est, -XXV-, septies VII' faciunt •XLVIIII-, quorum mensura nulla communis est, nisi forte omnium horum procreatrix et mater unitas. De inventione eorum numerorum^ qui ad se secundi et com' positi suni , ad alios vero relati primi et incompositi, 20 XVIII. Qua vero ratione tales numeros invenire pos- simus, si quis nobis eosdem proponat et imperet agno- scere, utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, repperiendi ars talis est. Datis enim duoI)us numeris inaequalibus, auferrei25 de maiore minorem oportebit, el qui relictus fuerit, si maior est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo maiore detrahere atque hoc eo 8 comparati om. c. || hanc insequitor rationem reperiet ei supra versum: hac inquisitor ratione reperies r. || ante repperiet addit s: nullam mensurae rationem et supra versum subaudi per. || repperies d, 1. 12 Tres c. f. [] quinque a, 1, r, s. II tres b, d, f. || tertio. III- c. [| faciunt a, f; facieut, e in lituray r. 13 reddunt f. || communionis a. 14 quinque a, 1, r, s. || septem d, f. 16 quinque a, b, 1) r. II septem a, b, d, 1, r, s. I| faciunt om, c. 19 7'i- tidus in margine legitur in d. 22 nobis om. c. 38 IN8T. ARITHM. I, 18. » usque raciendum , quoad unitas ultima vicem retracUonis inpediat, aut aliquis numerus, inpar necessario, si utri- que numeri inpares proponantur; sed eum, qui relinqui- tur, numerum sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in 5 unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur et nulia alia mensura nisi sola unitate coniuncti. Si vero ad aliquem numerum , ut su- perius dictum est, finis deminutionis incurrerit, erit nu- merus, qui metiatur utrasque summas, atque eundem loipsum, qui remanserit, dicemus utrorumque communem esse mensuram. Age enim duos numeros propositos habeamus, quos iubeamur agnoscere, an eos aliqua communis mensura metiatur; atque hi sint •VIIll* sciiicet et •XXVIlIi* Hoc 15 igitur modo faciemus reciprocam deminulionem. Aufera- mus de maiore minorem, hoc est de •XXVIIII- novena- rium, relinquentur «XX» Ex his ergo -XX- rursus mino- rem detrahamus, id est •VIIIl* et reiinquentur •XI> Ex his rursus detraho •VIIII-, relicli sunt -11. Quos si de- ^o traho novenario, reliqui sunt-VII-; quos si duo rursus septenario dempserim , supersunt •V- , atque ex his alios duos, •IIL rursus exuberaut, quos alio binario deminutos sola unitas supersles egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam in uno terminus detractionis haerebit, 25 queni duorum illorum numerorum, id est •Vllll^ et 1 quoad in litura b. d; quoad et supra versum usque s; quo et correctum in quo vel a. 2 si om. c. 4 videbiB ipsi sibi f. || Ergo qui f. || in om, c, 5 primi et iucon- positi f, s. 8 ille erit 1; erit et supra versum ille d; erit ipse s. 9 metitur d, 1. || utrasque m margine s. 10 utrum- que a. [] esse communem f. 12 Age autem f. 13 men- sura communis a, b. 14 metietur f. || sunt c, f, I, r, 8. || et om. f. 16 denominationem et supra versum deminutio- nem r. || Auferemus f, r. 16 de om, c. 18 detrahemus a, d, f, r, 8. 19 duo d. 20 quos si] coniecerim quod si. II duos f, •II- c, r. 22 •II- c. H tres c, f. || rursum a, b, c, d, f, 1, r. || exsuperant s. || alios d, 1; alio om, f. || alio binario deminutos] si dempserim binario b. 23 egre- diatur r. 24 herebit c, d, f, r, s. 26 illorum duo- rum f. INST. ARITHM. I, 19. 39 «XXVIIII* solam neque aliam constai esse mensuram. Hos ergo contra se primos vocabimus. Sed sint alii numeri nobis eadem condicione propo- siti, id est •XXI- et •YIIII-, ut quales hi sint investigentur, cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero & de maiore minoris numeri quantitatem, id est •VIIII* de •XXI- , relinquuntur •XII- £x his rursus demo •VIIII- , su- persunt •IIL Qui si ei novenario detrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, •Iir relinquentur, de quibus •III* detrahi nequeunt, atque hic lo est sibi ipsi aequalis. Nam •III-, qui detrahebantur, us- que ad ternarium numerum pervenerunt, a quo quoniam aequales sunt, detrahi minuique non poterunt. Hos igi- tur commensurabiles pronuntiabimus et est eorum, qui est reiiquus, ternarius mensura communis. 15 Alia partitio paris secundum perfectos, inperfectos et tUtra quam perfectos, XYIIII. Ac de inparibus numeris quantum introductio- nis permitlebat brevitas expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sunt super- 20 flui, ahi deminuti secundum utrasque habitudines inae- qualitatis. Omnis quippe inaequalitas aut in maioribus aut in minoribus consideratur. Uli enim iumoderata quo- dammodo plenitudine proprii corporis modum partium suarum numerositate praecedunt; ilios autem velut pau- 25 pertate inopes oppressosque quadam naturae suae inopia minor, quam ipsi sunt, parlium summa componit. Atque illi quidem, quorum partes ultra quam satis est sese por- 1 solum a, d, f, 1, r, || alium d, f, 1, r. 3 ali- qui d, f, 1. II conditione c, f, 1, r, s. 4 sunt c, r, s. 7 relinquantur c , retinquentur f , s. 8 tres f. || retrahan- tur f. 9 Quibus item . . . -IIL relinquentur om, e. 10 re- linquuntur b, d, f, 1, r. || tres detrabi c. || nequeant a. 11 tres d, f. 15 reliquus est a, c, s. 16 Titulum in mar- gine habet d. 17 plus quam f. 18 Hoc f. 20 sunt eo- rum a, c, f. 25 procedunt a. 27 minori a. 28 utramq. €t supra versum ultra quam r. 40 INST. ARITHM. I, 19. rexerlnt, superflui nominantur, ut sunt «XII* vei •XXmi- Hi enim suis partibus comparati maiorem partium 8um- mam toto corpore sortiuntur. Est enim duodenarii me- dietas •VI- pars tertia •IIII- pars quarta -in* pars sexta 5 •II' pars duodecima •!• omnisque hic cumulus redundat in •XVI- et totius corporis sui multitudinem vincunt. Rur- sus -XXIIII- numeri medietas est -XII-, tertia •VIII-, quarta •VI-, sexta -IIII-, octava •III-. duodecima -11-, vicesima quarta I-, qui omnes -XXX- et -VI- rependunt. In qua 10 re manifestum est, quod summa partium maior est et supra proprium corpus exundat. Atque hic qoidem» cuius compositae partes totius summam numeri vincunt, superfluus appeilatur, deminutus veroilie, cuius eodem modo compositae partes totius termini muititudine supe- 15 rantur , ut •VIII- yel •XIIII- Habet enim octonarius par- tem mediam, id est -IIIL, habet et quartam, id est -II^, et oclavam, id est -I- quae cunctae in unum redactae -Vn* colligunt, minorem sciiicet summam toto corpore con- cludentes. Rursus •Xilil- habent medielatem, id est 20 septenarium , haben t septimam , id est • II • , haben t quarlam decimam, id est •L quae in unum si coiiectae sint, denarii numeri summa succrescit, toto sciiicet ter- mino minor. Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ilie, quem 25 suae partes superant, talis videatur, tamquam si quis muitis super naturam manibus natus, ut centimanus gigas vei tripiici coniunctus corpore, ut Geryo tergeminus, vei quicquid unquam monstruosum naturae in partium mui- 1 XII. et XXIin. a, b. 2 in suis f. 4 tertia] -ni. d. 5 duo c, f. II pars om, d, 1. || .XII- c, r. || unum c, f. || omnisque] Omnls d, f, 1. 6 sedecim a, d, 1, r. 7 vfce- simi quarti s. 8 quatuor f. || duo f. || -XXIIII. f. 11 idem d. 12 cuius] quoniam f. 16 mediam partem d. || quartam] •IIII. c. 20 septimam] .VIL f. 21 -XIIII. c, f. |1 in unum si om. c. II collecta a, d, f, s; collectae, e&rrecium in eol- lecta r. 22 numeri om» b, 1. || concrescit f. 26 Post centimanus adduni egeon r, s. [] gigans r, gigans, n inductOy a. 27 iunctus c, r. || ut inductum a. 28 monstrosum c, d; monstrosum et supra versum monstruosum b , monstrosum , su- pra o V addiio 1. || natura f. INST. ARITHM. I, 20. 41 tiplicatioue subripuit; ilie vero, ut si naturaliter quadam necessaria parte detracta aut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo aiio curtatus membro naturaie totius suae plenitudinis dispendium sor- tiretur. 5 Inter hoa^ autem velut inter inaequales intemperan- tias medii temperamentum limitis sortilus est ille nume- rus, qui perfectus dicitur, virtutis scilicet aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus deminutione remitlitur, sed medietatis obtinens 10 terminum suis aequus partibus nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut -VI- vel •XXVIII. Namque senarius habet partem mediam, id est 111-, et tertiam, id est *II- et sextam, id est I- quae in unam summam si redactae sint par totum numeri corpus suis partibus in- 15 venitur XXVIII. vero habet medietatem •XIIII- et septi- mam IIII- nec caret quarta , id est •VII- , possidet quar- tam decimam II- et repperies in eo vicesimam octavam •I- , quae in unum redactae totum partibus corpus aequa- bunt. -XXVIII- enim iunctae parles efficient. 20 De generatione numeri perfecti. XX. Est autem in his quoque magna similitudo vir- tulis et vitii. Perfectos enim numeros rarenter invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sint et nimis constanti ordine procreali. At vero superfluos ac demi- 25 1 si om. c. 2 nascerentur, aiiero n inducto, a; nasce- rentur, altero n rasura deleiOy d; nascerent, altero n eoc' punctOy r. 3 cicoplee f. || Post dedecus d habet: deformati. 4 suae om, f. 6 aequales a, b, f. 8 emulator f, r, s. 11 aequis a, b, c, r. || grassatur a, b, c, d, r. [] habun- dantia c, d, f. 13 mediam partem f. 14 duo f. | unum f. 15 redacta b, redacti c. || per a, r, s. || post partibus in margine aequalis a. 16 medietatem et septimam IIII- •Xnn- c. 17 quarta] nU- d. || septem d. || -Xnil. c. 18 ea a, b, d, r, s. 19 redacta a, b, c, d, 1, r, s. || corpus om, c. 20 efficiunt s. 21 Titulus in margine legitur in d. 23 roranter correctum in rarenter a. 24 sunt f, r, s. 42 INST. ARITHM. I, 20. nutos longe multos infinitosque repperies, nec uUis ordi- nibus passim inordinateque dispositos et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri intra dena- rium numerum •VI* intra centenarium •XXVIII* intra mii- 6 lenarium • CCCCXCVl • intra decem milia • Vm • CXXVIII. Et semper hi numeri duobus paribus termin%ntur , -VI- et •VIII', et semper alternatim in hos numeros summarum fine provenient. Nam et primum -VI- , inde -XXVIIL post hos •CCCC-XCVI^ idem senarius, qui primus, post quem 10 • VIII -CXX VIII • idem octonarius, qui secundus. Generatio autem procrealioque eorum est fixa firma- que, ne quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam uUo modo valeat procreari. Dispo- silos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordi- 15 nem quousque volueris, primo secundum adgregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione faclus sit, lotam summam in illum multiplicabis, quem posterius adgregaveras. Si vero coacervatione facta pri- mus inventus non fuerit, sed compositus et secundus, hunc 20 transgredere, atque alium, qui sequitur, adgregabis. Si vero nec dum fuerit primus et incomposilus, alium rur- sus adiunge et vide, quid fiat. Quod si primum incom- posilumque repperies, tunc in ultimae multitudinem sum- mae coacervationem multiplicabis. Disponantur euim 25 omnes pariter pares numeri hoc modo: 1. 11. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII. Facies ergo ita. Pones -h eique adgregabis •II* Tunc respicias ex hac adgregatione qui numerus factus sit. 2 a om, a, r. 3 geratos a. 4 numerum om, d, f. 5 'X' milia c. 6 duabus partibus a, c, s; duobus parti- bus r. 8 fine pervenient a, fine perveniunt f, fines per- venient c, s. [| sez a, b, f, 1, r, s. |{ deinde f, s; inde, de eoo corr, addUo r. 12 nec quo a, b, c, r, s. neq. et supra versum uo r. || sit, t inducio, a. 18 primus] supra versum et incompositus a, b, d, r. 19 sed et s. {{ secun- dus et conpositus c, f. s. 20 adsequitur a. 22 iunge a. 23 multitudine a, c, r. 25 pares pariter d. 27 unum f. || duo f. ({ tum d, r. 28 respicis a, d; respicies f. INST. ARITHM. I, 20. 43 Inde JII' qui sciiicet primus et incompositus est; et post unitatem ultimum binarium numerum adgregaveras. Si 4gitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium muitipiices, qui est ultimus adgregatus, per- fectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim •III* •¥!• 5 faciunt, qui habet unam quidem a se denominatam par- tem , id est sextam , •III* vero medietatem secundum dua- litatem, at vero -Ih secundum coacervationem, id esl se- •cundum ternarium, quoniam coacervati •III* multipiicati sunt. •XXVIII- autem eodem modo nascuntur. Si enim lo super •I- et -II-, qui sunt •III* addas sequentem pariter parem, id est -1111*, septenariam facies summam. Sed ultimum numerum quaternarium consequenter adiunxe- ras. Per hunc igitur si illam coacervationem multipUca- veris, perfectus numerus procreatur. Septies enim •IIII* i5 •XXVIII* sunt, qui est suis partibus par, habens d- a se denominatum, id est vicesimum octavum, medietatem vero secundum binarium *XIIII* , secundum quaternarium *VII* , septimum vero secundum septenarium *IIII*, secun- dum omnium coilectionem quartum decimum •IL, qui 20 Yocabulo medietatis obponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut 1 inde correctum in id est a; inde fiunt b, c, 1; sunt d, f; sont inde r; inde sunt s. || tres d. 5 tres d, f. a 6 habent a, b, c, 1, r, s. 7 -VI- f. || tres c, f. 8 duo a. b, c, 1, r, 8. 9 coacervatim b, c, 1. || tres d. 10 suntj in margine addita est in d haec figura: VI I II 11 unum c. 12 summam facies a, c, s. 16 suisper a. a unam f. [| ad a, b. 17 denominatam f, 1, s. || •XXVIII- f. yicesimam octavam s. 19 septimum vero om, b, 1, r; se- ptimam vero f , s ; septimo vero correctum in septimum vero a. 20 coUectionum a. || quartam decimam f, s. || duo a, b, f, 1, r, s. 22 eodem r. [] ut om. d, supra versum r. 44 INST. ARITHM. I, 20. vestiges. Ponas enim J- iicebit, et post hunc •II* et •IIIIs qui in septenarium cumulantur. Sed de hoc dudum exstitit •XXVIII- perfectus numerus. Huic igitur qui se- quitur pariter par id est •Vlli- , continens iungatur acces- 5sio, qui prioribus superveniens •XV- restituet. Sed bic primus et incompositus non est, habet enim generis aite- rius partem super lifam , quae est a se ipsa denominata, quintam decimam sciiicet unitatem. Hunc igitur, quo- niam secundus est et compositus, praeterito et adiunge 10 superioribus continentem pariter parem numerum, id est •XVI', qui cum -XV' iunctus, unum ac triginta conficiel. Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi adgregati summa multiplica, ut fiant sede- cies «XXXL, qui •CCCC»XCVI- explicant. Haec autem 15 est intra millenarium numerum perfecta et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque po- tentia non etiam actu vel opere et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam , quam si per se ipsam 1 investiges s. || Pones a, s. || nnam f. || liqneblt c, liqnebit correcium in licebit a. [] duo f. || et om, x.\ cui adicies f. 3 numerus] In d addita esi in margine haec figura f. XXVIII^ 4 pari a, paris r. || continens iungatur accessio in margine litieris aliquot reseciis a, in contextu est litura quattuor versuum, 6 qui om c. || X et quinque a, r; quindecim b. |{ restituit a, d, f, r, s. 7 ipso f. 11 -XXX- c, f . || conficiat corre- cium in conficiet a. 12 I.m»» f. [J rursus om. f. 16 nu- merositas] Jn margine inferiore addita est in d kaec figura: r CCCCXCVI I II IIII VIII XVI XXXI 17 non iam a, b, c. || opere] re b, f, 1; re correctum in opere a; re e^ supra versum ope d. 19 primum atque in- conpositum b, d, 1. || et s. IN8T. ARITHM. I, 21. 45 mulliplico , eadem mihi unitas procreatun Semei enim •L solam efficit unitatem , quae partibus suis aequalis est potentia solum, ceteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita et per se ipsam multiplicata sese & ipsam conservat. Sed quoniam de ea quantitate, quae per se fit, dictum est, operis sequentiam ad illam, quae refertur ad aliquid, transferamus. De relata ad aliquid quaniitate, lo XXI. Ad aliquid [relatae] vero quantitatis duplex est prima divisio. Omne enim aut aequale est aut inaequaie, quicquid alterius comparatione metimur. £t aequale qui- dem est, quod ad aliquid comparatum neque minore summa infra est, neque maiore transgreditur, ut denarius dena- 15 rio vel ternarius ternario vel cubitum cubito vei pes pedi et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quan- tilatis, id est aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim potest dicere, quod aequalitatis hoc quidem taie est, illud vero huiusmodi. Omnis enim aequalitas unam ser- 20 vat in propria moderatione mensuram. Uiud etiam, quod, quae ei quantitas comparatur, non alio vocabulo atque ipsa, cui comparatur, edicitur. Nam quemadmodum amicus amico amicus est, vicinusque vicino [vicinus], ita dicitur aequaUs aequali [aequalis]. 25 Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Seca- tur enim quod inaequale est in maius atque minus, quae contraria sibimet denominatione funguntur. Namque maius minore maius est et minus maiore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequali- 3o 2 unum f. *6 ipsa a, s; ipsam, m expuncio^ r. 8 se- quentia a. 10 Inscriptioni addii s : Secundnm thema inci- pit. 13 metitnr a, b, o, 1. 19 dicere potest a, c, f, s. 20 enim om. c, r. 21 Illud vero r. || quod quae] quo f. 26 quautitatis vero c, s. 28 finguntur a, r; finguntur, i in u mutato, d. — Quae uncis inclusi om, codd. 46 INST. ARITHM. I, 22. 23. tatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis sciiicet vel docentis vel caedentis vel vapulantis vel quaecunque ad aliquid relata aliter deno- minatis contrariis comparantur. 5 De speciebus maioris quantitaiis et minoris, XXII. Maioris vero inaequalitatis •¥• sunt partes. Est enim una, quae vocatur multiplex, alia superparticula- ris, tertia superpartiens, quarta multiplex superparticula- ris, quinta multiplex superpartiens. His igitur quinque 10 maioris partibus obpositae sunt aliae quinque partes mi- noris, quemadmodum ipsum maius minori semper obpo- nitur, quae minoris species ita singillatim speciebus quin- que maioris his, quae supra dictae sunt, obponuntur, ut eisdem nominibus nuncupentur, sola tantum sub praepo- 15 sitione distantes. Dicitur enim submultiplex, subsuper- particularis, subsuperpartiens, submultiplex superparti- cularis et submultiplex superpartiens. De multiplici eiusque speciebus earumque generationibus. XXIII. Rursus multiplex est prima pars maioris in- 20 aequalitatis cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabitur. Hic autem huius modi est, ut comparatus cum altero illum, contra quem comparatus est, habeat plus quam semel; quod primum in naturalis 2 cedentis c, d, f, r, s. 5 minoris qnantitatis et ma- ioris f. 6 quinque d, f. || partes sunt a, c, f, s. 9 V* c. 12 singulatim a. || •¥• a, b, c, 1, s. 13 apponuntur b. 14 sub om. a; ex corr, addiium d. || praepositione sub f, s. 16 — 17 mnltiplex subsuperparticularis , mnltiplex subsuper- partieus a, b; mnltiplex subsuperparticnlaris et multiplex subsnperpartiens c, d, f, 1, r, s; sed in d sub anie super- particnlaris ei superpartiens rasura deletum ei anie multiplex posiium esi; in s supra multiplex snb addiium esi. 18 Tiiu- lus in margine legitur in d. 21 Post antem addunt numerus a, b, f, 1. II hnius modi] supra versum numerus r. 22 com- paratur, omisso est, c. INST. ARITHM. I, 23. 47 numeri dispositione conveniet. Namque ad unum cuncti, qui sequuntur, omnium ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim, id est unita- tem, -n- dupius, •lll* triplus, •IIII- quadruplus atque ita in ordinem progredientes omnes texuntur multiplices 5 quantitates. Quod autem dictum est plus quam semel, id a binario numero principium capit et in infinitum per ternarium, quaternariumque et ceterorum ordinem se- quentiamque progreditur. Contra hunc vero discrimi- natus est iiie, qui vocalur submultiplex ; et haec quoque lo prima minoris quantitatis species est. Hic autem nume- rus huiusmodi est, qui in alterius comparatione productus plus quam semel maioris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans aequaliterque de- terminans. Idem autem dico numerat, quod metitur. Si i5 igitur bis solum maiorem numerum minor numerus me- tiatur, subduplus vocabitur, si vero ter, subtriplus, si quater, subquadruplus et fil per haec in infinitum pro- gressio , additaque eos semper sub praepositione nomina- bis, ut unus duorum subduplus. trium subtriplus, •IIIl- 20 subquadruplus appelletur et consequenter. Cum autem naturaliter multiplicitas et submultipli- citas infinita sit, eorum quoque species per proprias ge- nerationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris siugulos per suas 25 sequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque in- parium sese sequentium duplices erunt et huius specula- tionis terminus deficit. Ponatur enim naturalis numerus hoc modo: I. II. III. IIU. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. XI. XII. XIII. XIIII. XV. XVI. XVII. XVIII. XVIIII. XX. 30 Horum ergo si primum sumas parem, id est •II-, primi duphis eril, id est unitatis; si vero sequentem parem, id est 4111-, secundi duplus est, id est duorum; si vero ter- 4 duplex b. 7 id om, c. 8 que om, a, b. 18 per om, f.; ex corr, add, c. 19 super eos 1; super supra ver- sum c. II semper eos c. 21 appellatur a, c, r. 28 de- ficiet f. 31 duo d. 33 quattuor d. |1 est post duplus om, 9,j c. 48 INST. AEITHM. I, 23. tium parem sumas, id esi VI-, tertii numeri in iiaturali constitutione duplus est, id est ternarii; si vero quartum parem inspicias, id est* VIII- quarti numeri, id est quaterna- rii, duplus est. Idemque in ceteris in infinitum sumentibus 5 sine aliquo inpedimento procedit. Triplices autem nascun- tur, si in eadem dispositione naturali duo semper inter- mittantur, et qui post duos sunt, ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui, ut unitatis triplus sil, solum binarium praetermittit. Post unum enim et duo 10 tres sunt, qui tripius unius est; rursus post •IIIL et •¥• sunt •VI*, qui secundi numeri, id est duorum, triplus est; rursus post -VI- sunt -VII^ et •VIII- et post hos «VIUL , qui tertii numeri, id est ternarii triplus est; atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine uUa ofTensione procedit. 15 Quadruplorum vero generatio incipit, si quis tres nume- ros intermiltat. Post unum quippe et duo et •III- sunt •IIII*, qui primi, id est unius, quadruplus est; rursus si intermisero quinarium, senarium et septenarium, octo- narius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis, 20 qui binarii, id est secundi numeri quadruplus est; at vero si post •VIIL tres terminos intermisero, id est •VIIIL vel •X« vel 'XI' duodenarius, qui sequitur, ternarii nu- meri quadruplus est; atque hoc idem in infinitum pro- gressis necesse est evenire, semperque una terminorum 25 intermissione si crescat adiectio, ordinatas te multipiicis numeri vices invenire miraberis. Si enim •IIIL inter- mittas, quincuplus invenitur, si -V^ sescuplus, si -Vr septuplus, semperque ipsius multiplicationis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus 3 id est quaternarii om. 1.; supra versum b. 4 Itemque a, d; itemque correcium in idemque r. 5 procedit] In d in margine inferiore additi sunt numeri ah •!• usque ad -X- eorumque dupli, tripli, quadrupli, quincupli; quos praecedunt inscriptiones Simplus, Duplus cet, 10 •III- c, d. .|| quat- tuor d. 13 quidem a, f. 14 facit correctum in fa- ciat a, faciet r. || defensione, de in of mutato c. 15 -III- c. 16 11- d, duos f. II tres f. 21 octo d. 26 qua- tuor c. 27 quinque f. || sexcuplus c, f. || sex d. INST, ARITHM. I, 24. 49 unum intermittit, triplus •II- quadrupius •111- quincuplus •IIU* et deinceps ad eundem ordinem sequentla est. Et omnes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt: tripli vero unus semper par ter- minus, inpar alius invenitur; quadrupli vero rursus sem- & per parem custodiunt quanlitatem constituunturque a quarto numero uno ex prioribus per ordinem positis pa- ribus intermisso, primo pari binario, post hunc •yHI* intermisso senario, post hunc -Xll- transmisso denario, atque hoc idem in ceteris. Quincupli vero propositio se- lo cundum triplicis simiiitudinem alternatim paribus atque inparibus positis ordinatur. De superparticulari eiusque speciehus earumque generaiionibus, XXIIII. Superparlicularis.vero est numerus ad alte- i5 rum comparatus, quotiens habet in se totum minorem et eius aliquam partem; qui si minoris habeat medie- talem , vocatur sesqualter , si vero tertiam partem , voca- tur sesquitertius , si vero quarlam, sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus ; atque his nominibus in 20 inCnitum ductis in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et maiores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero, qui habentur toti et eorum ali- qua pars, unus subsesqualter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem 25 secundum maiorum normam muUitudinemque protendi- tur. Voco autem maiores numeros duces, minores co- 1 intermittat , a in i muiato, a. |{ duo f. || tres f. 3 du- plices f. II consequentias f. || primum numerum et supra versum parinm numerorum r. 6 custodiunturque in constituun- turque mutaium c. 7 prioribus et gupra p e et supra e su d. || in ordinem s; ordine d, in ordinem et supra in l per r. 8 pari numero a, b. 9 trasmisso r, intermisso c. 10 quin- quipli r, quinquupli c, s. 12 ordinantur r, s. 13 Titu lus legilur in margine in d : De superparticulari et rel. r. Sequentia autem verha secunda manu addita sunt. || eorumque s, et earum f. 15 XXV. 1. 16 quoties a. 19 sive quar- tam a. 25 vero om, c. 26 maiorem a, b, i, x, *. BOETIUS. 4 50 INST. ABITHM. J[, 24. mites. Superparticularium quoque infinita est muUitudo ob eam rem, quod eiusdem species interminabiii progres- sione funguntur. Namque sesqualter habebit quidem du- ces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices, 5 comites vero omnes post binarium numerum naturaliter pares, hoc modo ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur et deinceps. Describantur enim iongissimi versus triplicium naturalis numeri atque dupli- cium et sit hoc modo : 10 1. II. m. iiii. V. VI. VII. VIII. viiii. X. III. VI. VIIII. Xll. XV. XVIII. XXI. XXIIII. XXVII. XXX. il. IIII. VI. VIU.X. XII. XinLXVI. XVHI. XX. Primus igitur versus continet numerum naturalem, secundus eius triplicem , tertius vero duplicem. A,tque in 15 eo si ternarius binario , vel si senarius quaternario , vel novenarius senario comparetur, vel omnes tripiices supe- riores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia id est sesqualtera proportio nascetur.^ •III* enim habent intra se 'II* et eorum mediam partem, id est 20 unum. Sex quoque continent intra se •IIII* et eorum medietatem, id est JI* Et •VIIII* intra se senarium clau- dunt et eius mediam partem , id est •III* ; eodemque modo in ceteris. Dicendum vero est, si quis secundam speciem super- 25 particularis numeri considerare desideret, id est sesqui- tertiam, quali ratione repperiet. Ac definitio quidem huius comparationis talis est. Sesquitertius est, qui mi- nori comparatus habet eum semel et eius tertiam partem. 3 Nam f. J quidem habebit f. 10—12 Vlin. X. XXVII. XXX. XVIII. XX. om, a et d; sed in d iidem versu» in margine inferiore leguniur, una eum numeris in contextu omiS' sis» 17 apponantur b, 1, r. 18 emiholia a, hemiholia b, Hethimologia c. || nascitur 1. || tres f. 19 duo f. 20 — 21 unum . . . id est om, c. 20 -I- b. [] continet c, con- tinet, mutatum in continent a. || inter c, inter mutaium in intra a. 21 duo f. || •YL b. 22 mediam partem] me- dietatem 1. 24 est om. d, f. 27 est om. c, d. INST. ABITHM. 1/^24. 51 Sed hi inveniuntur, si omnibus a quaternario numero continuatim quadrupiis constitutis a ternario numero tri- plices comparentur , eruntque duces quadrupii , comites tripli. Sit enim in ordine iioc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli et tripli subponantur, sub primo qua- 5 druplo primus triplus , sub secundo secundus , sub tertio tertius, et eodem modo cuncti eiusdem primi versus tripli in ordinem digerantur. I. u. m. mi. V. VI. VII. viii. viiii. x. iiii. vm. XII. XVI. XX. xxuii. xxviii. xxxii. xxxvi. xl. ^o III. VI. vm. xn. XV. xvm. xxi. xxiiii. xxvii. xxx. Igitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si •IIII* tribus compares habebunt in se •IIII* totum ternarium et eius tertiam partem, id est -I- Et si secundum secundo id est octonarium senario compa- 15 res, idem invenies. Habebit enim octonarius senarium totum el eius tertiam partem , id est -II* Et per eandem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notan- dum quoque est, quod •III* comites sunt, duces •IIII-, rursus -Vl» comites, duces •VIII-, et in eodem ordine 2a ceteri simili modo vocantur duces sesquitertii comites sub- sesquitertii. Et in cunctis secundum hunc modum posita convenit servare vocabula. 5 ut snb eo quadrupli et trlpli sint. Ponatur a; ut sub 60 quadrupli et tripli sint. Subponatur ei supra versum: In al. ut sub eo quadrupli et tripli supponantur, et in margine: et etiam in al. ut sub eo quadrupli et sub eo tripli sint. b; ut sub eo quadrupli et sub eo tripli sint. Supponatur c, 1, s, sed 1 in margine superiore, neque ut sub eo, sed et sub eo; ut sub eo tripli et quadrnpli subponantur f, r. || sub primo quidem f. 8 dirigantur a, s. 9 — 11 VIII. VIIII. X. XXXn. XXXVI. XL. XXIIII. XXVII. XXX. om. a, d; sed in d omnes numeri ab uno ad 'X- eorumque quadrupli ei iripli in margine inferiore leguntur. 12 sesquitertii a, d, r. 13 quattuor d, quatuor f. 14 quattuor d, qua- tuor f. 15 octonario senarium a, b, r; octonario sena- rius c; octonario secundum s. 19 tres a, b, d, 1, r, s. 4* 52 INST. ABITHM. I^ 26. 26. De quodam utili ad cognitionem superparticularibus accidente. XXV. Hoc aulem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque 5 comes ad se invicem nulia numeri intermissione copulan- tur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, se- cundi interponunt unum, tertii duos, quarti tres et dein- ceps uno semper minore, quam ipsi sunt, inlermissione succrescunt, atque hoc vel in sesquaiteris vel in sesqui- 10 tertiis vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium com- paretur, nullum intermisimus; post •III* enim mox •IIII* sunt; ut vero -VL contra •VIII-, in secundo sciiieet ses- quitertio, una facta est intermissio. Inter •VI* enim et 15 .VIII* solus est septenarius, qui transmissus est numerus. Rursus ut •VIIII* contra -XII^ comparemus, qui sunt in dispositione tertii duorum mediorum est facta transmissio. Inler •VIIII* enim et XII* sunt -X- et -Xl- Secundum hunc modum quarta dispositio •III-, quinta •IITI* intermittit. 20 Descriptio , per quam docetur ceteris inaequalitatis specie- bus antiquiorem esse mvltiplicitatem, XXVI. Quoniam autem naturaliter et secundum pro- priam ordinis consequentiam mulliplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus primamque speciem esse 25 monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id, quod proposui- 1 Inscripi, in margine d, om. c. || cognationem b, 1, r, s. II superparticularis s. 2 accidente seeunda manu ad- ditum in s. 3 •XXVL 1. 6 sine ullo a, c, r, s; se sine ullo f. 7 -L c. II duo f. [| -IIL c, f. 8 una a, b, c, f, 1, r, 8. 11 invenire, e rasura paene deleto f. || -IIII- b. || •IIL b. 12 tres d. 13 At vero a, c, r, s. || Post -VL addit comparentnr s. 19 quattuor a, b, 1, r, s. 20 /«- scripi, om. c, in margtne d. doceatur f. 22 • XXVII- 1. 25 ordine operis f. IN8T. ARITHM. I, 27. 53 mus, planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio , in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturaiis et secundo versu dupius ordo texatur, tertio tripius, quarto quadrupius et hoG usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus, quem- 5 admodum superparticulari et superpartienti et cunctis aliis princeps erit species multiplicis et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima et ad scientiam utilissima et ad exercitationem iucundissima. Longpltudo. 10 I. II. 111. illl. V. Vf. VII. VIII. vim. X. II. iiii. VI. VIII. X. xii. xiiii. XVI. xvm. xx. III. VI. VIUI. XII. XV. XVIII. XXI. XXIV. XX VU. XXX. uii. viji. XII. XVI. XX. xxmi. xxviii. xxxu. xxxvi. xl. ^ V. X. XV. XX. XXV. XXX. XXXV. XL. XLV. L. * "g VI. xn. XVIII. xxmi. xxx, xxxvi. xlii. XLvni. liiii. lx. | VII. xun. XXI. xxvm. xxxv. xlii. xlviiii. lvi. lxiu. lxx. » Vlll. XVL XXim. XXXU. XL. XLVIIL LVI. LXIIIL LXXIl. LXXX. VIIII. XVm. XXVII. XXXVI. xlv. liiii. lxiu. lxxii. lxxxi. xc. X. XX. XXX. XL. L. LX. LXX. LXXX. XC. C. Long^itudo. 21 Ratio atque expositio digesiae formulae, XXVII. Si igitur duo prima latera propositae formu- lae, quae faciunt angulum ab uno ad -X- et -X* proceden- tia, respiciantur et Lis subteriores ordines comparentur, 25 qui scilicet a •IIII* angulum incipientes in vicenos termi- num ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditurita, ut primus primum sola superet unitate, ut 8 tenuissimam . . . utilissimam , uliimis liiieris m indu- ciis a. 9 iocundisslma a, b, 1, r, s. 10 — 21 /n eodici- bus adscripia sunt ad •!• : Prima unitas tetragona ; ad utrum- que -X- Secunda unitas; ad c, Tertia unitas tetragona; nu- meri quadraii diagonalis lineae insiar positi variis signis, ut \ vel X, inier se iuncii sunt; quae a Boetio profecia esse equi- dem negaverim, 22 Titultm om, a, b, c, 1; t> tn ^figurae supra descriptae subscriptus est, 23 •XXVI^ d, 'XXVIU^ 1. or 24 decem et decem f. 25 respiciuntur c. 26 IIII^ f. 28 uni- tate superet s.' 54 INST. ARITHM. I, 27. duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut qua- ternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ter- narium, quartus quartum quaternarii numerositate transcen- dat, ut •VIII- quaternarium, et per eandem cuncti sequen- 5 tiam sese minoris piuralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab -¥1111* inchoans iongitudinem latitudinemque tricenis aitrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et iongitudine comparetur, tri- plex species multiplicitatis occurrit ita , ut ista comparatio ^ per «X- litteram fiat, hique se numeri superabunt secun- dum paritatis factam naturaliter connexionem. Primus enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius ter- tium sex, ut ternarium novenarius, et ad eundem ceteri 15 modum progressionis augescunt. Quam rem nobis sci- licet et ipsa naturalis obiecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum , qui -XVI- numeri quantitate notatus est et longitudinem latitudinemque in ^ quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per •X- litterae formam proportione conlata , quadrupli mul- titudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se 1 •II- c, 1. [| 'L b, 1, s; II II- ad unum d. || secundom secundns r. 4 octonarius f. 6 novem a, d, l, r, s. 7 et si hic f. 10 hi quae, carrectum in hique se a. 11 Pri- mus] In f. addita est haec figura: 12 I- in- b, unum III- c, d, f. 14 VI- b, c, f. - i6 ob- icit f, s. 17 modolo a, b. 18 sedecim a, d^ 1, r, s; 19 natus a. 22 his quae correcium in his que a. INST. ABITHM. J, 27. 55 progressio, ut primus primum tribus superet, ut •IUI* unitatem, secundus secundum senario vincat, ut •VII[- binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duode- narius ternarium, et sequentes summulae trium se sem- per adiecta quantitate transsiliant. Et si quis subteriores 5 aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac descriptione superparticuiaris species requirat, tali modo repperiet. Si enim secundum angu- ium notet, cuius est initium quaternarius, eique superiacet lo binarius, atque ad bunc sequentem quis accommodet or- dinem, sesqualtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus sesquaiter est, ut -lil- ad -II-, vel -VL ad •IIII-, vel •VIIII- ad •Vl- veJ •XII^ ad -Vni- itemque in ce- teris, qui sunt in eadem serie numeri, si talis coniugatio 15 misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium, uno superat, secundus vero secundum duobus. tertius tertium tribus et deinceps. Si vero quartus ordo 20 lertio comparetur, ut •nil* ad •in« et eodem celeros or- dine consecteris, sesquitertia comparatio colligetur, ut •IIIL ad m vel VIII. ad VI. et •XII- ad .VIIII. Videsnc ut in omnibus his sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos, qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequen- 25 tes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo inpe- dimento species superparticularis agnosces. Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod 1 quatuor f. 2 octonarins f. 4 se om. c, r. 6 mul- tiplicatas correctum in multiplicitatis a; multiplicatas , s ex- puncto et tis superscripto r. 8 superparticulares b, d, 1; superparticularitatis s. || species om. d. 10 ei quae cor- rectum in ei que a. 11 ad om, a. 13 duos a, b, I, r, s; duo f. 14 novem c. [| itemque] Scribendum videtur: idem- que. 17 progressio c, r. 20 •IIII*"« f. 21 tertio su- pra versum a. 22 colligitur a, b, c, d, 1, r, s. 24 con- servatur s, servetur b, 1. 25 subsequentes f. 28 est in hac f. 66 INST, ABITHM. J, 27. omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus au- tem dicilur, ut brevissime dicam, quod post latius ex- piicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque descriptione est. Unus enim semei unus est, 5 et est potestate tetragonus. Item bis duo •UH- sunt, ter tres •VIIIL, quos in semet ipsos mulliplicationes primi ordinis perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt, id est circum angulares, longilateri numeri sunt. Longiiateros autem voco» quos uno se supergredientes numeri multi- 10 plicant. Circum •IIII* enim «II* sunt et -VI- Sed duo nascuntur ex uno et duobus , cum unum bis multiplicave- ris; sed unitas a binario unitate praeceditur; «VI* vero ex duobus et tribus; bis enim tres senarium reddunt. No- venarium vero -VI* et •XII- claudunt qui •XII- ex tribus 15 nascuntur et •IIII- ter enim •UII* fiunt •XII- , senarius vero ex duobus et tribus , bis enim tres faciunt •VI* qui omnes uno maioribus lateribus procreati sunt. Nam cum «VI* ex binario ternarioque nascantur, tres binarium nume- rum uno superant, cunctique alii eiusdem modi sunt, ut 20 primo et secundo ordine ad alterutrum multipiicalis ter* minisprocreenturjta ut quod nascitur ex duobus longiiate- ris altrinsecus positis et bis medio tetragono tetragonus sit ; et rursus, quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetra- 26 gonus sit ; et ut angulorum totius descriptionis ad angu- lares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitas, aiterius vero, qui contra est, tertia, bini vero altrinsecus anguli secundas habeant unitates; et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis con- 80 tinetur, illi, quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus. 6 •II- c. 6 •IIL c. 8 Longiores correclum in Longi- lateros a; longilateres o super e scripto r. 10 quatnor f. {| dno snnt c, snnt dno f. 11 et duobns om, f. 13 •III* c. 16 — 16 senarins vero . , . facinnt •VI« in d lineoUs ohliquis oblita sunt, 15 senarinm d. 16 •III* c. || •VI* facinnt 1. 18 nascuntnr a, c, d, f, r. |{ IIL s. 21 procreantnr f, s. || nascetnr c, r, s. 27 contra] cc c. 28 habent a, r, s. 29 faciant a, c. INST. ARITHM. I, 28. 57 angulorum. Multa etiam sunt alia quae in hac descri- ptione utilia possint admirabiliaque perpendi, quae in* terim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum convertamus. 5 De tertia inaequalitaits specie , quae diciiur superpartiens deque eius speciebus earumque generationibus. XXVIII. Igitur post duas primas habitudines multi- piices et superparticulares et eas, quae sub ipsis sunt, submultiplices et subsuperparticulares tertia inaequalitatis lo species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec autem est, quae fit, cum numerus ad alium comparatus habet eum totum intra se et eius insuper ali- quas partes, vel duas vel tres vel •Ilil- vel quotquot ipsa tulerit comparatio ; quae habitudo incipit a duabus parli- 15 bus terliis; nam si duas medietates habuerit, qui ilium in- tra se tolum coercel, duplus pro superparliente componi- 1 angulprum] In f. addiia est haec figura: Prima unitas tetrag-oni 'S A\ B S ^r X a. % ^r \ p ^ ^ ^ CA ^C \ fi ca X X X^^ S1 m0 v^x ^Xy ■5 0 \ / g ce \ / •a ^^ ^r e CJ \a/ n ^ « x^Cx 0 Vi \/ 9 \xy oJSvJia) s«)ian «iys 1 6 Insciipt, om. c, in margine d. 7 et de f. || speciebus eius r, s. || speciebus om, b, 1. [] et earum generatione r, s. 8 XXVm om, r; xaill d. 9 et ea d. 12 Haec est autem c, s. Haec autem quae fit, vocabulo] quae ohlito y a. 13 infra a, c; intra et supra versum infra b; in r. 14 IL vel IIL c [| quattuor d. [] quot a, d, f, r, s. 16 duobus r. 16 Post habuerit addunt nuraerus f, s. 1) illum] Foriasse alium est scribendum. \\ infra a, b, c, f, 1, r, s. 17 choercet d, co- hercet f, 1, s. 58 INST. ARITHM. I, 28. tur. Habebit autem vei duas quintas vel duas septimas vei duas nonas et ita progredientibus, si duas soias partes minoris numeri superhabuerit per easdem partes inpari- bus numeris minorem maior summa transcendit. Nam si 5 eum ijabeat totum et duas eius quartas, superparticuiaris necessario repperitur, nam duae quartae medietas est et fit sesqualtera comparatio; sin vero duassextas, rursus est superparticularis, duae enim sextae pars tertia est, quodsi in comparatione ponatur , sesquitertiae habitudinis efficiet 10 formam. Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur. Hi autem sunt, qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae vel tres vei -Un* vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens 15 eius duas partes habuerit, superbipartiens nominatur, sin vero tres, supertripartiens, quodsi •IHI*, superquadri- partiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quotiens disponuntur a tribus omnes pares atque inpares numeri 20 naturaliter constituti et sub iiis aptantur alii, qui sunt a quinario numero incipientes omnes inpares. His igitur ita dispositis si primus primo, secundus secundo, tertius ter- tio et ceteri ceteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo: 25 III. iin. V. VI. VII. vni. viiii. x. V. VH. VUII. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII. 1 Habet a, c, r, s. || autem] enim r, s. || autem vel om. c. 2 partes solas c, r, s. 3 in partibus numeri mutatum in inparibus numeris a; imparis numeri in litura s. 5 habeat eum f. 7 si vero a, c, r, s. || II' a, 1, r. 11 Post hos duces s. || nascantur, a in u mutaio a. || superpartien- tes, omisso sub, c. 13 JI- a, 1, r, s. || •III- a, c, f, 1, r, s. II quatuor b , d. || quaelibet f. 14 alium om, c. 15 su- perbipertiens hic et infra^ ubi idem vel simile vocabulum legi' iur c. 16 si vero c, r, s. |] -in- c, d. || quattuor d. 21 in- cipientes om. a. 23 superpartientis a, c. 24 Fit s. 25 et 26 In d duo hi versus in margine inferiore leguniur sed additis •XI- -XII- et -XXI- XXIII- Tertius versus continet -VI- eius- que duplos tisque ad •IIILXXII-, quartus versus «X- eiusque du- INST. ARITHM. I, 28. 59 Si igitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consi- deretur, erit superpartiens iile, qui vocatur superbipar- tiens; habet enim quinarius totos in se tres et eorum duas partes id est duo. Si vero ad secundum ordinem specu- lalio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur at- 5 que ita in sequentibus per omnes dispositos numeros omnes in infinitum species huius numeri convenientes or- dinatasque respicies. At vero quemadmodum singuli procreentur si in infi- nitum quis curet agnoscere, hic modus est. Habitudo lo enim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur, semper superbipartiens proportio procreatur. Si enim quis dupiicet -V- , faciet 'X-', si •111- , faciet -VI- , qui -X- contra senarium comparati superbipartientem faciunt habi- tudinem. Et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo i5 proportionis adcrescit, idemque si infinitum facias, sta- tum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertri- partientes invenire contendas, primos supertripartientes, id est -VIL et •IIII- triplicabis et huiusmodi nascentur. Si vero, qui ex his nati fuerint, ternarii muUiplicatione 2o produxeris, idem rursus efOcient. Quodsi superquadri- partientes quemadmodum in infinitum progrediantur, ap- petas addiscere, primas eorum radices in quadruplum mul- tiplices licet, id est •VIIII* et -V* et eos, qui illa multipii- catione proferentur, rursus in quadruplum, et eandem 25 fieri proportionem inoffensa nimirum ratione repperies; et ceterae species una semper plus multipiicatione crescen- plos usque ad JIIICXX. [DCXX]. 3 m- c. 4 11. c. 6 ita om, c, supra versum a. 7 omnes om. a, c, f. 8 re- spicias s. 9 procreantar a, c. 12 bipartiens omisso su- per a, b. || proportio om, c, r || procreatur] est c, r. 13. •V. quis daplicet c, r, s. [| quinque f. |1 tres c, f. [] sex c. II decem d. 18 contendis f. 21 efficient] In d in mar- gine inferiore leguntur •1111« eiitsque tripli usque ad .CCCVL [CCCXXini], et sub his numeris • VII • ciusque iripli usque ad DLXVII. 22 appetas] optes a, b, d, f, 1. 23 ediscere r. 26 rursum a, c, f, s. 26 repperies] In d leguntur in mar- gine inferiore -V. eiusque quadrupli usque ad •ICCLXXX- et sub his .VIIII> eiusque quadrupli usque ad II CCC IIII. 60 INST. ARITHM. I, 29. tibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innitilur. Hoc quoque videndum est, quoniam, cum duae partes 5 ex minore plus in maioribus sunt, terlii semper vocabu- ium subauditur , ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbi- partiens tertias ; et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas , quoniam tribus su- 10 per quartis exuberat; et superquadriparlienti subaudi- tur superquadripartiens quintas, et ad eundem modum in ceteris uno semper adiecto super habitas partes sub- auditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint: qui dicitur superbipartiens, idem 15 dicatur superbitertius; qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque simiiitudine usque in infinitum nomina producantur. ** De multiplici superpariiculari. 20 XXVIUI. Igitur relatae ad aliquid quantitatis simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae ex his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices super- particularesetmultiplices superpartientes, horumquecomi- tes submultiplices superparticulares et submultiplices su- 25 perpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus minores numeri omnes addita sub praepositione dicuntur, 2 numeros voco f. || quos correctum in quasl a. 3 inmittitur correctum in innititur a. 4 In hoc a, s; Hoc et supra versum: In al: in hoc b. |J est supra versum rec. manu r. 8 etj sed 1; sed et supra versum al et b. || subaudire necesse est f. 9 ut quoniam & et d; sed in d ut est inductum. 10 super quartas, et supra ver- sum: in al superquartas b. [| exuperats« 11. superquadripar- tiens] super om. c. 12 superhabitis a. 14 ut qui f, 1; ut sw pra versum adscripium est in a, b, d, r, s. || superbipartiensl sup cum litura c. 19 Titulum om, c. 20 XXVIIII om, r. ]] re- lictae corr. in relatae a || ad om. c. 26 Post numeri ad- dunt et eorum species f, r; et eorum quoquo species s; in INST. ARITHM. I, 29. 61 quorum definitio talis reddi potest. Multiplex superparticu- laris est, quoliens numerus ad numerum comparatus babet eum plus quam semel et eius unam partem, hoc est habet €um aut duplum aut triplum aut quadruplum aut quotiens- libet et eius quamiibet aliquam partem vei mediam vel 5 tertiam vel quartam vel , quaecunque aiia partium exube- ratione contigerit. Hic ergo ex multiplici et superparti- culari consistit. Quod enim comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est, hoc vero, quod roino- rem in habenda parte transcendit, superparticularis. Ita- lo que ex utroque nomine ficto vocabulo est speciesque eius ad illarum sciiicet fiunt imaginem proportionum, ex qui- bus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars huius vocabuli, quae multiplicis nomine possessa est, multipli- cis numeri specierum vocabulo nominanda est, quae vero i5 superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim, qui duplicem habuerit alium numerum et eius me- diam partem, duplex sesqualter, qui vero tertiam, du- plex sesquitertius , qui quartam, duplex sesquiquartus ^o et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et eius mediam partem vel tertiam vel quartam, dicetur tri- plex sesqualter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquar- tus et eodem modo in ceteris; diceturque quadruplus sesqualter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesqui- ^^ quartus; et quotiens totum numerum in semet ipso con- tinuerit per muUiplicis numeri species appellabitur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum super- particularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum autem exempla huiusmodi sunt. Duplex ses- ^ margine kahet et eorum quoque species a, et eonim quoque omnes species 1: supra versum hahent et eornm qnoque spe- cies b, d. 7 contingerit a, c. 9 minorem numernm f. 10 ha- bendo f. 11 fictum yocabulum f, s. 12 illins a. 17 species numeri f. 22 dicitnr c, r, s; dicitur corr, in dicetur a. 24 et om. f. 24 — 26 et eodem . . . sesquiquartus in margine superiore r. 26 quoties a, 1. 27 appellatur b, c, d, f, 1, r, d; appellatur corr. in appellabitur a. 28 conparati numeri par- tem f. 11 clauserit numeri 1. 1| conparati, o sec. manu adscripto b. 62 INST. ARITHM. I, 29. qualter est, ut «V* ad duo. Habent enim •¥• binarium numerum bis et eius mediam partem, id est •!• Duplex vero sesquitertius est septenarius ad ternarium compara- tus. At vero novenarius ad quaternarium duplex sesqui- 5quartus; si vero •XI- ad •¥•, duplex sesquiquintus ; et hi semper nascentur dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus inparibusque terminis, si contra eas omnes a quinario numero inpares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio caute 10 et diiigenter adponas, ut sit dispositio talis: II. III. UII. V. VI. VII. VUI. VIUI. X. XI. V. vu. viui. XI. xiu. XV. xvu. xvuu. XXI. xxin. Si vero a duobus paribus omnibus dispositis terminis illi, qui a quinario numero incboantes quinario numero rur- 15 sus sese transsiliunt, comparentur, omnes duplices ses- qualteros creant, ut est subiecta descriptio, U. IIU. VI. VUI. X. XII. V. X. XV. XX. XXV. XXX. Si vero a tribus inchoent dispositiones et tribus sese trans- 20 siliant, et ad eos aptentur, qui a septenario inchoantes septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii habita diligenter comparatione nascuntur , ut subiecta descriptio monet. 1 habet d. || enim rec, manu supra versum d. 2 bis in se d. I partem om, a, b, c, d, 1, r, s. || unum f. 3 vero om. a, I •VII- ad •III' b. 5 duplus a. 6 nascuntur a. 8 nu- mero om, a. 10 Post adponas addit pares inparesque a. 11 Hunc versum praecedii in f titulus: Duplex sesqualter. 11 et 12 Numeri a •11« et «V* usque ad -Yh et •XIII* in d in margine superiore ruhro colore additi sunt, 14 numero om. b, 1. 17 Ifunc versum praecedit in f titulus: Duplex sesqual- ter. 17 et 18 Numeri a «II' et •V* usque ad «X^ et -XXV» in d in margine sinistro ruhro colore, additisunt, 19 incho- ant c; incohan corr. in incoheant a. 20 inchoantes septe- nario, omisso a, s. H incohantes a. || inchoantes septenario in margine r. 21 numero sese f. 22 habita diligenter conparatione supra versum d. INST. ARITHM. I, 29. 63 III. VI. VIIII. XII. XV. XVIII. XXI. VII. XIIII. XXI. XXVIII. XXXV. XLII. XLVIIII. Sin vero omnes in ordinem quadrupli disponantur, bi qui naturalis numeri quadrupii sunt, ut unitatis quadru- plus, et duorum triumque et quattuor atque quinarii ets ceterorum sese sequentium , et ad eos aptentur a novena- rio numero inchoantes semper sese novenario praece- dentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma texelur. Jffl. Vffl. XII. XVI. XX. XXIJIL 10 VIIIL XVIIl. XXVU. XXXVI. XLV. Llffl. Ea vero species huius numeri, quae est triplex sesqual- tera, hoc modo procreatur, si disponantur a binario nu- mero omnes in ordinem pares et ad eos a septenario nu- mero inchoantes septenario sese supergredientes solito i5 ad alterutrum comparationis modo aptentur. II. IIII. VI. VIIL VII. Xllll. XXI. XXVIII. Si autem a ternario numero ingressi cunctos naturalis numeri triplices disponamus et eis a denario numero de- 20 nario sese supergredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminorum continuatione pro- venient. 1 Hunc versum praecedii in f tiiulus: Duplex &e6qaiter- tius. 1 et 2 Numeri a III- et -VII- usque ad -XV- et -XXXV. in d in margine dextro ruhro colore additi sunt. 3 Si vero a, b, c, r, s. 5 •IIII- c. Foriasse legendum: quaternarii. 6 se s. 7 numero om, d, 1. || incohantes s. 8 tunc om, d. II propositionis f , 1. 10 ffunc versum praecedit in f titu- lus: Duplex sesquiquartus. 10 et 11. Duo hi versus excepiis numeris •XXIIII* et •LIIII' in d in margine inferiore rubro co- lore sunt additi, 15 supergradientes a. 16 conparationis modo a. 17 et 18 luxta hos versus additus est in f titulus: Triplex sesqualtera. 19 ingressi om, f. 20 ternario, ter rasura paene deleto , f . numero] supra versum inchoantes b. || (dterim denario om, c. denario sese numero a. 21 super- gradientes a. H ordinem f. 22 in eam terminorum continua- tionem f. || proveniunt c , pervenient corr, in provenient a. \ 64 INST. AEITHM. I, 80. III. VI. vmi. Le eorum exemplis in superiori formula inveniendis. XXX. Horum autem eorumque qui sequuntur exempla 5 integre planeque possumus pernotare, si in priorem de- scriptionem, quani fecimus, cum de superparticulari et multipiici loqueremur, ubi ab uno usque in denariam muitiplicationem summa concrevit, diligens velimus acu- men intendere. Ad primum enim versum omnes, qui losequuntur, conlati ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Sin vero ad secundum cunctos, qui tertii sunt ordinis, aptaveris/ ordinatas species superparticula- ris agnosces. Quod si terlio ordini, quicunque sunt in quinto versu, compares superpartientis numeri species 15 positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparti- cularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes, qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum huius proportionis spe- 20 cies procreabuntur. Manifestum autem hoc etiam est, quod horum comites semper cum sub praepositione di- cenlur, ut est subduplex sesqualter, subduplex sesqui- tertius, subduplex sesquiquartus et ceteri quidem ad hunc modum. Post proveniunt addit hoc modo c. 1 et 2 Numeros om. a, b, d; s addit .XIIXV- 1 et f insuper XVm-XXI- In f adscri- *XL •xj' 'IjX ■LXX* ptum est: Triplex sesquitertia. 3 Titidutn om. f., in mar- gine d |I superiore r, s. 4 *XXX* om. f, r. 6 de om, c. 8 diligenter f, dilig^entius s. 10 multiplices a, r, s. In margine addita est in f inseriptio: Unde oriantur multiplices. 11 reddunt corr, in reddent a. || Si vero a, c, d, r, s || ciinctos om. c. 15 positas convenienter supra versum d. 17 comparentur c. |{ in septimo ad secundum f. 18 in nono nm ad '11* f. II ita si om. r, s. ita supra versum a. 19 si sit r, s. II in infinitumque c; in infinitum quoque s; quoque su- pra versum r. 20 autem om. c, r, s. || hoc etiam] et hoc d. 23 quidem om. d. INST. ARITHM. I, 31. 65 De my}tiplici superpartiente, XXXI. MuUiplex vero superpartiens est, quotiens nu- merus ad numerum comparalus habet in se alium nume- rum totum plus quam semel et eius vel duas vel tres vel quotlibet plures particulas secundum numeri superpar- 5 tientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam non erunt duae medietates neque duae quartae neque duae sextae, sed duae tertiae vel duae quintae vel duae septimae ad priorum similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum lo hos quoque et praeter nostra exempla numeros invenire. Vocabunturque hi secundum proprias partes duplex su- perbipartiens , vel duplex supertripartiens, vel duplex superquadripartiens, et rursus triplex superbipartiens et triplex supertripartiens et triplex superquadripartiens et is simiiiter, ut •VIII- ad •III- comparali faciunt duphcem superbipartientem , et XVI- ad -VI- et omnes, quicunque ab Vlll- incipientes octonario sese numero transgrediun- tur, comparati ad eos, qui a tribus inchoantes ternaria sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias eius 20 partes. secundum praedictum modum diligenlibus rep- perire. Hic quoque illud meminisse debemus, quod mino- res et comites non sine sub praeposilione nominantur, 1 TituJus in margine legitur in d. || superpartienti d. 2 -XXXI- om. r. H quoties a, s. 3 alterum numerum om. f , su- pra versum d, punctis notatum b. 6 Post figuram addita sunt in c : ut superbipartiens tertias vel super (litura) ipertiens quar- tas et reliq; || hac corr. in hoc a. || In hoc] supra versum numero s. 7 neque duae quartae om. d. 8 sed] si iii Utura a. 10 primorum f. 11 nona corr. in nostra a. 15 et triplex superquadripartiens om, d. 16 Post similiter addit f: sub usque in infinitum. 16 octo a, b, 1, s. In margijie additi sunt in s hi numeri: VIII. XVI. XXIIII. XXXII. III. VI. VIIII. XII. 17 et -XVL] ut -XVL f. 18 octo f. |1 sese ojn. c; se d, r. 19 a 07n. r. |1 ternarii f. 22 Hii corr. in Hic a. || debe- bimus s; debuimu* mutatum in debebimus a. 23 sub prae- positione] subpressione f. BOETIUS. 5 66 INST. ARITHM. I, 32. ut sit subduplex supcrbipartiens, subduplex supertri- partiens. • Demonsiratio quemadmodum omnis inaequalitas ah aequa- litate processerit, 5 XXXII. Restat autem nobis prorundissimam quandam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerum- que integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat^ quod bo- nilas definita et sub scientiam cadens animoque semper 10 imitabilis et perceptibilis prima natura est et suae sub- stantiae decore perpetua, infinilum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii tamquam aliquo signo optimae figurae inpressa componitur et ex ilio erroris 15 fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immo- dicam efl^renationem quasi quidam rector animus pura in- tellegentia roboratus adstringit, et has quodammodo in- aequalitatis formas temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intellegamus, omnes inaequa- 20 litatis species ab aequalitatis crevisse primordiis , ut ipsa quodammodo aequalitas matris et radicis obtinens vim ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unita- tes, vel ter bini vel ter terni vel ter quaterni vel quantos 25 ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminis 2 Post supertripartiens addii f : Et rursus subduplex su- pertripartiens, subduplex superquadripartiens. 3 Titulus in margine legiiiir m d. 5 -XXXII- om. f, 1, r. 7 mixta et supra versum l maxima s. 9 diffinita est a, b, c, 1, r. 11 in infinitum a, b, c, d, f. || dedecus malitiae a, b, 1. 12 est om, d;' esse f. 13 ab omni, m obliio, a. || ab aliquo a; ab rasura deletum est in s. 14 obtimae a, I. || impressa figu- rae r. || terroris, t obliio , a. 16 quasi] quos corr, in quasi a. 17 astringit c , I. 18 forma f. {{ temporata r. 21 aequitas a, b, c, d, I, r, s; aequitas, al supra i scriptis^ f. 23 •III- r. 24 tres . . . tres . . . tres a , b , d, f , 1 ; III . . . III . . . III. r. 25 enim om, 1. {j in unis] minuitis a, inutis r. INST. ARITHM. I, 32. 67 evenit, idem contingit in ceteris. £x his igitur secundum praecepti nostri ordinem videas primum nasci multiplices et in his duplices prius, dehinc triplos, inde quadruplos et ad eundem ordinem consequentes. Rursus multiplices si convertantur, ex his superparliculares orientur, et ex 5 duplicibus quidem sesqualteri ex triplis sesquitertii, ex quadruplis sesquiquarti et ceteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesqualtero nascatur superbipar- tiens, supertripartientem sesquitertius gignat et ex ses- lo quiquarto superquadripartiens procreetur. Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus multiplices superparticulares oriuntur; rectis vero super- partientibus multiplices superpartientes efflciuntur. Prae- cepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo i^ facias parem, secundum vero primo et secundo, ter- tium primo, secundis duobus et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur, dupli- ces erunt, de quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur et de his quadruplices atque in infinitum 20 omnes formas numeri multiplicis explicabit. laceant igi- lur tres termini aequales. I. I. I. Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus, se- cundus vero primo et secundo , id est ll- , tertius vero 25 primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, quod sunt ini* ut est descrip^o. 1 contigit c, correct. in contingit a. 3 ex his f ; in om. r. II tripli r. || deinde a, c, s. || quadrupli r. 6 triplicibus a, c, f, s; tribus 1. || et ex quadruplis r. 7 Et corr. in Ex a. 11 procreetur om. a, b, c, d, 1, r, s; ui duhium sit, utrum, qui codicem f exaravit, de suo, an ex meliore codice procreetur addiderit. 13 superpartientes c. || superpartien- tibus multiplices in margine rec. manu r. 14 multiplicis, ultimo i in e mutato^ a. 17 primo et duobus secundis f; primo, secundis duobus a, c, s. 21 multiplices a, d, f, r. i| procreabit d. || Sint d. 24 id est .... vero primo om. d; rec. tamen manu addita sunt: id est I. 25 duo f. 26 et duobus f. II uno d. II et ante duobus om. a , b , d. 27 unis om. s. uno a, b, c, d, r, s. || ut haec est descriptio d; ut est de 68 INST. ARITHM. I, 32. I. I. I. I. II. mi. Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur? Fac rursus idem de dupiicibus, ut sit primus primo 5 aequalis, id est uni, secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui simt tres, tertius primo, id est uni, duobus secundis, id est IIII-, et tertio, id est Illl*, qui simul VIIII- liunt, et venit haec formula. 10 I. I. I. I. 11. IIII. I. III. VIIII. Rursus si triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus, sit secundus primo et secundo aequalis, id est IIIL, sit 15 tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est XVI. 20 I. I. I. I. II. im. I III. VIIII. I. IIII. XVI. Et in ceteris quidem ad hanc formam tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multipiices, eos disponamus et secundum haec praecepta vertamus» ita ut converso sint ordine, sesqualter ex duplici procrea- scriptio hec f. 4 de supra versum a, r. || et sit c, d, 1, r. ji primo primus c. 6 uno d. [| •III- c. 7 et duobus f. || id est -1111- om. c, 1, r, s; supra versum d. || id est sec. vianu ad- ditum f. II quatuor d. 8 fiunt] sunt r. || forma a, s; in hanc formam et supra: et venit fiaec formula d. 9 — 11 Formulam om. 1. 12 in triplicibus d, f; de triplicibus, de ex corr» addito , r. 13 id est unus supra versum d. 14 sit om, d. II aequalis, id est •IIII- supra versum d. |] sit oin, d. 15 et duobus f. || aequalis, id est •XVI* supra versum d. 21 his om. d. 22 utamus praeceptis s; || utamur c. [] quis dicat corr. in qui, vocabulo dicat inducto, a. [] ex supra ver- sum a, s. II qualibus c. 24 ita est, vocahulo est inducto a, rasura deleio s. INST. ARiTHM. I, 32. 69 bitur, sesquiterlius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enini •III* duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hoc modo: IIII. II. I. Et constitualur primo in boc ordine primus par , id est 5 •IIII-, secundus vero primo et secundo par, id est VL, lertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est •VIIIL rai. II. I. jiii. VI. vira. Ecce tibi illa sesqualtera quantitas ex termino duplicitatis lo exoritur. Videamus nunc ad eundem modum , ex tripiici qui nascatur. Disponantur enim triplices superiores VIIII. III. I. Converso scilicet ordine, sicut duplex, bic est quoque ordo dispositus. Ponatur ergo primus primo aequus, id i5 est • VIIII- , secundus primo et secundo , id est •XII- , ter- tius primo, duobus secundis et terlio aequus, id est -XVL viiii. m. I. VIIII. XII. XVI. Rursus secunda species superparticularis numeri, id est 20 sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut sub- iecta monstrat descriptio. XVI. IIII. I. XVI. XX. XXV. 25 1 triplo d. 2 tres b, f. 5 constituautar a, c, s, e^ r, sed n rasura deleto. \\ constituaturque d. || primo om. a, b, d. || primus primo a et s, sed primo rasura deleto ; primo supra primus d. 6 quatuor d. {| par om, d. 10 illa om. c. |{ sesqualtera illa r. 11 ad eundem .... nascatur] qnemadmodnm ex triplici nu- mero ad eundem modum numeri nascantur d. {{ ex triplici om, 1. 12 nascitur b, 1; nascantur s. (| enim] itaque d. 15 primo primus c. 17 aequus supra versum d, r. 21 ses- quitertii procreati sunt a. 22 continua c. [] subiecta mon- strabit a; subiecta monstrat et supra versum: in al. bit b; monstrabit subiecta s. 70 INST. ARITHM. I, 32. Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multipli- citatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis se- cundum liaec praecepta convertat, continuo videat super- 5 parlientes adcrescere et ex sesqualtero quidem superbi- partiens, ex sesquiterlio supertripartiens procreatur et ceteri secundum communes denominationis species sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igi- tur sic: 10 VllII. VI. IIII. Superioris igitur descriptionis primo primus aequus nu- merus adscribatur , id est •VIIII- secundus vero primo et secundo, id est XV-, tertius vero primo, duobus secun- dis et terlio , id est XXV- 15 VIIII. VI. IIII. VIUI. XV. XXV. Si vero sesquitertium eodem modo vertamus, ordo super- tripartiens invenitur. Sit enim prima positio sesquitertii XVI. XII. VIIII, 20 Ponatur secundum priorem modum primo primus par, id est -XVL, secundus primo et secundo, id est XXVIII-, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est XLVIIII- Omnis ergo summa disposita supertriparlientes efficiet. XVI. XII. VIIII. 25 XVI. XXVIII. XLVIIII. Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, super- 1 si quidem a; quis idem et supra versum hoc b; quis hoc idem 1. || multiplicatis b, c, f, 1, r. 2 faciant, n obhto, a ; faciet c. || superparticularis a. 4 Post videat addii vel videbit a. 5 et om. s. '8 interpellatione f. || Dispona- tur c. 11 numerus aequus a, b. 12 vero om, d, f. 13 vero om, d. 14 Fost XXV- addit: Et venit haec forma a; quae verha in s rasura deleia sunt, 17 Si ergo a. 18 propo- sitio a, d, f, r. 19 Hunc versum om. d. 20 Ponatur enim a, L 22 et duobus a, s. INST. ARTTHM. I, 32. 71 quadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma, quam subpositam vides. XXV. XX. XVI. XXV. XLV. LXXXl. Restat, quemadmodum ex superparticularibus et super- 5 partientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes nascantur ostendere, quorum binas tan- tum faciam descriptiones. Namque si rectum et non con- versum sesqualterum ponimus, duplex superparticularis excrescit. Sit enim hoc modo: lo IIIL VI. VIIII. Ponatur secundum superiorem modum primo primus ae- qualis, id est IIIL, secundus primo et secundo, id est •X-, tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id «st XXV. 15 IIIL Vl. VIIIL im. X. XXV. Atque haec quidem duplex sesqualtera summa pro- <]ucta est; si vero sesquitertium non conversum pona- mus duplex sesquitertius invenitur, ut subiecta descri])tio 20 procreat. Semel enim unum nihil aliud ex se gignit, quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi 5 intervaiia non recipit, quod in aliis numeris non videtur evenire. Omnis enim numerus in se ipsum multiplicatus alium quendam efficit maiorem, quam ipse est, idcirco, quoniam interyalla multiplicata maiore sese spatii prolixi- tate distendunt. Id vero, quod sine intervallo est, plus quam 10 ipsa est pariendi non habet poleslalem. Ex hoc igitur principio, id est ex unitate, prima omnium longitudo suc- crescit, quae a binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervallum linea est. Duo vero intervalla sunt longitudo et latitudo , id est linea 15 et superficies. Tria vero intervalla sunt: longitudo, lati- tudo, altitudo, id est linea, superficies atque soliditas. Praeter haec autem alia intervalla inveniri non possunt. Aut enim unum intervallum erit, quod longitudo est, aut aiiquid duobus intervallis expositum est, ut si quares lon- 20 gitudinem habeat et latitudinem , vel trina intervalli de- mensione porrigitur, si longitudine altitudine latitudine- que censetur ; supra quae adeo nihil inveniri potest,ut ipso- rum •¥!• moluum formae ad intervallorum naturas et nu- merum componantur. Unum enim intervallum duos in se 25 continet motus, ut in tribus intervallis sex sese moluum summa conficiat hoc modo : Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextera, in altitudine sursum ac deorsum. Necesse est autem , ut quicquid fue- rit solidum corpus, hoc habeat longitudinem latitudinem- so que et altitudinem , et quicquid haec tria in se continet> 2 nil f. 3 nil b, f. 9 vero] circo corr. in vero a. 10 ipsa corr, in ipsum a, s. 13 explicabit d, f. 15 vero] ergo s. [| longitudo et latitudo et altitudo a; longitudo lati- tudo et altitudo s. 16 linea supra versum r. || linea et c, s; et supra versum r. 19 aliquid, quod c, f, 1, s; quod su- pra versum r, 21 latitudine altitudineque s. 22 supra- que a, 1. 23 sex d , f. 26 summa supra versum s. |{ con- ficiet d; conficiat summa r. 29 latitudinem, omisso que, a> c, d, f, r. 80 in se om, c. INST. ARITHM. II, 4. 89 illud suo nomine solidum vocelur. Haec enim tria circa omne corpus inseparabiii coniunctione versantur, et in natura corporum constituta sunt. Quare qulcquid uno in- teryallo caret, illud corpus solidum non est. Nam quod duo sola intervalia, retinet, illud superficies appellalur. 5 Omnis enim superficies sola longitudine et latitudine con- tinetur. Et hic eadem illa conversio remanet. Omne enim quod superficies est, longitudinem et latiludinem retinet, et quod iiaec retinet, illud est superficies. Haec autem superficies uno tantum intervallo solidi corporis demen- lo sione sOperatur, quae uno rursus intervallo lineam vincit, quae iongitudinis naturam retinens latitudinis expers est ; quae linea, quod unius est intervalli sortita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate duobus«patiis vinci- tur. Punctum igitur alio rursus intervallo a linea vinci- 1^ tur, ipsa scilicet, quae reliqua est, longitudine. Quare si punctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli demensionibus a soliditate relinquitur, constat punctum ipsum sine ulla corporis magnitudine vel intervalli demen- 20 sione, cum et longitudinis et lalitudinis et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium et na- tura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita deminutum atque parvissimum , ut eius pars inveniri non possit. Est igitur punctum primi intervalli principium, 25 non tamen intervallum, et lineae caput, sed nondum linea, sicut linea quoque superficiei principium est, sed ipsa superficies non est, et secundi intervalli caput est, secun- dum tamen intervallum ipsa non retinet. Idem quoque et 5 JL a, 1, r, 8. || retinent d. 6 continet c. 9 su- perficies est c. 10 tanto et supra versum l tum b; tauto et supra o v f . 13 quod] quia c, f ; eo quia s. 14 spa- tiis interyallis a , spatii interyallis et supra versum al spatiis b; intei*Yallis, omisso spatiis, f. 18 idemque f; idem, ad- dilo ex con\ que a. 20 ullo c. 21 profundi a; profundi et supra versum tatis r. 23 ATOMON 1; atomum d. {| quod est ita 1; id est ita et supra id l qd b. 25 primi punctum a; primi om, c, r, s; supra versum d. 26 sed nondum] non tamen d. 28 est post caput om. a, c, r, s. 90 TNST. ARITHM. II, 6. 6. in superficiei rationem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortitur initium, ipsa vero nec trina intervalii demensione distenditur, nec uiia cras- situdine solidatur. 5 De numero lineari, y. Sic etiara in numero unitas quidem, cum ipsa linearis nuraerus non sit, in longitudinem tamen distenti numeri principium est, et linearis numerus, cum ipse to- tius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitu- 10 dinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque numerorum, cum ipsa solidum corpus non sit, additi tamen iatitudini soiidi corporis caput est. Hoc autem planius liis exemplis liquebit. Linearis numerus est a duobus inchoans adiecta semper unitate in unum eun- 15 demque ductum quantitatis expiicata congeries, ut est id, quod subiecimus. II. lii. iiii. iiiii. iiiiii. iiiiiii. iiiiiiii. iiiiiiiii. iimuiii. De planis rectilineis figuris, qubdque earum triangulum principium sit. 20 VI. Plana vero superficies in numeris invenitur, quo- tiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitu- dine insequentium se naturalium numerorum multitudine 1 superficie d. || rationem ex corr, additum d, r; ra- tione a. [] cadit ratione f. |J cadat c. 6 Tittdum om. d. || linearum c, r, s. 7 longitudine f. || tamen om, 1; tantum c. 11 additi] in margine: in al addita b; additl et supra i l a 1. 12 latitudini] altitudini in litura r, altitudine s; in margine altitudini b, altitudine 1. || autem] est puncto sub- notaium et supra versum autem f. 13 licebit corr, in lique- bit a. 16 explicita f. 11 Ah -1' inilium faduni r, s; irilllllll om. s; IIII. IIII. IIII. a; II. IIII. III. m. et supra versum II II II II II II II II II b, 1; virgulae ductae sunt viginti ei una in c, duodecim in d, triginia quattuor in f. 18 Titulum om, d. [| quoque f. || triangulus a, 1; triangula- rium f. 19 principalium f. || sit om, f. est principium a, b. 20 quoties a. 22 in sequentium a, d. || multitudinem f* INST. ARITHM. H, 6. 91 anguli dilatantur, ut sit primus triangulus numerus, se- cundus quadratus, tertius qui sub quinque anguUs conti- netur, queni pentagonum Graeci nominant, quartus exa- ^onus, id est qui sex angulis includitur et ceteri eodem modo singillatim per naturalem numerum angulos au-^ geant in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, qupd iatitudinis et superficiei solus ternarius principium est. In geometria quoque idem planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non continent. Et omnis triangularis figura vel lo tetragoni vel pentagoni vel exagoni vel cuiuslibet, qui piuribus angulis continetur, si a medietate per singulos angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli, quot ipsam figuram angulos habere contigerit. Qua- dratum enim ita ductae lineae in quattuor, pentago- 15 num in quinque triangulos, exagonum in sex et cete- ros in suorum angulorum modo mensuraque per trian- ^ulos partiuntur, ut est subiecta descriptio: quadratus in quattuor triangulos divisus. «us in y triangulos divisus. pentago- 20 2 'Y' a, b, 1. 5 singulatim a, c, s. 8 geometrica a, c, d, l, r, 8. 9 enim om, a. 10 spatinm latitudinis s. || triangula- res c. II figura om. c, figurae s. 11 quij quae c. 16 triangulos om. a, d, f. 18 quadratos etc.] Ufanc et sequentes insanpiiones om. d, f ; prima tamen videtur in d rasura esse deleta, f addit: te- tragona. 19 pentagonus] Figuram pentagoni regularis kahet, s. 92 INST. ARITHM. n, 7. exagonus in sex triangulos divisus. At vero triangula figura, cum eam quis ita divi- serit, in alias figuras non resolvitur, nisi in se ipsam. In tria enim triangula dissipatur. 5 Triangulus in tres triangulos divisus: Adeo haec figura princeps est latitudinis, ut ceterae omnes superficies in hanc resolvantur, ipsa vero, quo- niam nullis est principiis obnoxia neque ab alia latitudine sumpsit initium , in sese ipsam solvatur. Idem autem et in 10 numeris fieri, sequens operis ordo monstrabit. Dispositio triangulorum numerorum, VII. Est igitur primus triangulus numerus, qui in solis tribus unitatibus dissipatur secundum superficiei positio- nem, triangula scilicet descriptione , et post hunc quicun- 15 que aequalitatem laterum in trina iaterum spatia segregant. I. III. VI. X. 1 exagonus] Figiiram exagoni regidaris kabeni d, a, 3 in se om. c. 6 Triangulas etc.] Hanc inscripiionem om. c, d, f, 1. 6 Ideo f. 8 est om. c. |{ obnoxla principiis c. 9 ipsa a, b, c, d, f, 1, s; vide supra versum quartum et septi- mum. 10 operis om, c. || ordo operis s. 11 IHtulum om. c, d. 12 numerus om. d. 15 Post segregant addunt: iuxta subiectas discriptionis formulas r, s. 16 Numeros om, c, d, f. INST. ARITHM. II, 8. 93 XV. XXI. XXVIU. De lateribus iriangiUorum numerorum. VIII. Ad hunc modum infinita progressio est, omnes- que ex ordine trianguli aequilateri procreabuntur, pri- mum omnium ponenti quod ex unitate nascitur ut haec vi 5 sua triangulus sit, non tamen etiam opere atque actu. Nam si cunctorum mater est numerorum, quicquid in his, quae ab ea nascuntur, numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat. Et huius trianguli latus est unitas. Ternarius vero, qui primus lo est opere et actu ipso triangulus, crescente unitate bina- rium numerum latus habebit. Vi enim et potestate primi trianguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi^ id est ternarii, dualitas, quam Graeci dyada vocanl. Secundi vero trianguli , qui opere i» atque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numero in lateribus ternarius invenitur; ter- tii vero, id est denarii, quaternarius latus continet; 1 Descriptionem numeri •XXVIII- om. d. 2 Titulum om. d. 3 VIII. om. f. II in infinita a, b, c, d; in infinitam 1. i| omnisque f. 4 ex om. a, d, f; supra versum r. 5 po- nenti] ponent f, s; £n s tamen i rasura est deletum. Supra versum: In ai. ponent id b; tibi d. || VI- sua a. 6 sua om, c. 8 quaej Coniidas qui esse legendum, 11 ipse 1; ipso, o in a mutato s; in c. || trian^os c, s. 13 unitas supra versum a. 94 INST. ARITHM. II, 9. quarti vero, id est •XV-, quinarius latus tenet, et quinti senarius idemque est usque in infinitum. De generatione triangulorum numerorum. VIIII. Nascuntur autem trianguli disposita naturaii 5 quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo se- quehtium congregetur. Disponatur enim naturalis nu- merus hoc modo: I. U. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. £x his igitur si primum sumam, id est unitatem, ha- 10 beo primum trianguium, qui est vi et potestate, nondun> etiam actu nec opere. Huic si secundum adgregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi triangulus opere et actu nasci- tur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturali 15 numero adiecero, secundus mihi opere et actu trianguius procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ter- narium adgregavero, senarius extenditur, secundus scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero , denarius explicatur, qui est tertius actu 20 triangulus, quos per latera disponens ad superioris de- scriptionis exemplar cunctos trianguios numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis. Et quantas ulti- mus numerus in se unitates habet, quem superioribus ad- gregabis, tot ipse, qui fit triangulus, unitates habebit in 1 et quarti a, b, c, d, 1, s. |] vero inducttm a; enim f. || quarti vero .... latus tenet om, d, r; sed in r in margine leguniur quarti vero .... quinarins et eadem, quae infra ex 8 allata sunt, || quindenarii continet latus quinarius f. || te- net] continet 1. || quinti, id est -XXI-^s. 2 idemque usque in infinitum] sexti deinde id est vicenarii et octavi septenarius latus continet eodemque modo usque [in r] in- finitum propagetur s. || est om, a, d, f, r. || usque om, r. 3 Titvlum om, d. 4 VIIII. om. f. || Noscuntur r. |] naturali supra versum d. 6 congregatur, a mutato in e, a. 9 pri- mum triangulum a, c, s; triangulum supra versum b, r. 13 mihi om, c. 18 consequenteml sequentem c. 19 ex- plicabitur a. 20 per] super a. |f superius f. INST. ARITHM. II, 10. 11. 95 latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adiecto binario unitati feceramus; et hic duos habet in latere. Et senarium his adiecta ternarii quantitate pro- duximus, cuius latus soli tres continent; et idem in aliis cunctis, quot unitates habentem numerum superioribus 5 adgregabis, tot unitatibus eius latera continebuntur. De quadraiis numeris» X. Quadratus vero numerus est, qui etiam ipse qui- dem latitudinem pandit, sed non tribus angulis ut supe- rior forma, sed quattuor ipse quoque aequali iaterum de- lo mensione porrigitur. Sunt autem huius modi: I. mi. VIIII. 1 I I I I I 1 I I XVI. I I I I I I I I I I I I I I I I Be eorum lateribus, XI. Sed in his quoque secundum naturalem nume- 15 rum laterum augmenta succrescunt. Primus enim vi et potentia quadratus, id est unitas, unum habet in latere; secundus vero, qui actu primus est, id est quattuor, duo- bus per latera positis continetur; tertius vero, id est •VIIII*, qui secundus est opere, tribus in latere positis 20 adgregatur. Et ad eandem sequentiam cuncti procedunt. 2 et] at a, c, d, f, r, s. {| duo f, duas d. 7 In- script, om, d. De numeris quadratorum f. 9 non in tri- bus a, b, c, 1, s; in supra versum r. 10 •IIIL c. 12 Nu' meros om, c, d, f, 1, r, s. 13 /w f. addita est descripiio numeri XXV. 14 Inscript, om. d. De lateribus eorum f. 15 naturalem om. a. 18 secundus vero quadratus s. || est po8t primus om. a, c, d, f, r, s. || •IIII- c, s. 20 novem d, f. 21 praecedunt a, precedunt c. 96 INST. ARITHM. II, 12. De quadratorum numerorum generaiione rursusque de eorum laterihus. XII. Nascuntur autem tales numeri ex naturalis nu- meri dispositione, non quemadmodum superiores trianguli, 5 ut ordinatis ad se invicem numeris congregentur, sed uno semper inlermisso, qui sequitur, si cum superiore vei superioribus colligatur, ordinatos ex se quadratos efQ- cient. Disponatur enim numerus naturalis hoc modo: I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. XI. 10 Ex his igitur si unum respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus. Quod si uno relicto priori tertium iunxero secundus mihi quadratus efficitur. Nam si uni reiicto binario ternarium adposuero, quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus relicto medio qua- 15 lernario quinarium simiiiter adgregavero, quadratus mihi tertius, id est novenarius, procreatur. Unus enim et •lil- et -V- VIIII- colligunt. At vero si his intermisso senario septenarium iungam tota in sedecim summa con- crescit , id est quarti quadrati numerositas. Et ut bre- 20 viter huius forma procreationis appareat, si cuncti inpares sibimet adponantur conlocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtilitas et inmutabilis ordinatio, quod tot unitates unus- quisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint 25 numeri ad coniunctionem propriam congregati. Nam in primo quadrato, quoniam ex uno fit, unus est in latere, in secundo, id est quaternario, quoniam ex uno et tribus 1 Inscript. om. d. || genere f. || et rursus f. 3 Noscun- tur r. 6 vel superioribus om. d, vel cum superioribus f. 7 efticiet a, c, f, r, s. 12 uni] uno a, c, d, r, s; uno et supra 0 i b. 14 — 15 quadratus . . . aggregavero in mar- gine inferiore r. 17 tres . . quinque . . novem d, f. [| col- legunt a, 1, r. |{ in his, in inducto, a, rasura deleto, s. 23 stabilitas a ei supra versum sec, manu: subtilitas; stabi- litas vet snbtilitas c; subtilitas et supra versum: In al sta- bilitas b, r. || inmobilis a, c, s; inmutabilis et supra ver- sum et inmobilis b; immotabilis r. IN8T. ARITHM. II, 13. 97 procreatur, qui duo sunt termini, binario latus texitur. £t in novenario, quoniam tribus numeris procreatur» latus ternario continetur, atque idem in aliis videre licet. De pentagonis eorumque laterihus, XIII. Pentagonus vero numerus est, qui ipse quidem 5 in iatitudinem secundum unitatem descriptis quinque angulis continetur. Cunctis scilicet lateribus aequali demensione dispositis. Sunt autem hi I. V. XII. XXII. XXXV. LI. LXX. Eodem quoque modo eorum latera suc- crescunt. Nam primi potestate pentagoni, id est unius, 15 idem unus spatium lateris tenet, secundr vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt; tertius vero, id est XIL, tribus in latus auctus est; quartus XXII- quattuor numerorum in latere quantitate distenditur; atque idem in ceteris secundum 20 unitatis progressionem. In naturali scilicet numero se- cundum superiorum figurarum incrementa tenduntur. I. V. xn. xxir. 1 •IL a, 1, r, 8. 3 videri a, b, c, 1, s. || liceat s. 4 Inscript. om. d. || lateribus] generationibus f. 5 XII. 1. 6 in supra versum a. || latitudine a. || quidem •¥• a, s. II •V- angulis c. 16 unu (n litura s. || secundus a; se- cundi ei supra versum l dus b ; secundi in litura r. || vero om. f. 18 duodecim f. 20 distendltur quantitate a, c, r, s. [| osten- ditur corr. in distenditur r. || iu ceteris idem f. 22 supe- riori c. || tendentur mulatum in tenduntur a. 23 Numeros om. c, d. 24 /n d addita est descripiio numeri Ll. In s peniagoni angulos quoque aequales habent. BOETIUS. 7 98 INST. ARITHM. II, 14. 15. J)e generatione pentagonorum. Xllir. Nascuntur auteni hi numeri, qui extensi in la- titudinem •¥• angulos pandunt, ab eadem naturalis nu- meri quantitate in se coacervata, ita ut duobus semper 5 interiectis numeris superiori vel superioribus vincens ter- nario eum, cui iungendus est, adgregetur. Namqu^ uni- tati intermissis duobus et tribus si IIII* iungas, qui tribus ipsam superant unitatem, quinarius pentagonus procrea- bilur. Post IIII- vero si intermisso quinario et senario 10 septem adgreges, duodenarium pentagonum procreabis. Namque unus .et IIII- et •VII- numeri -XII' explebunt. Hoc eliam in aliis fiet. Nam si X- vel •XIII- vei XVl- vei •XVIIII- vel XXIL vel XXV^ superioribus cunctis ad- iunxeris, eodem quo superius modo pentagoni fient, se- 15 cundum superiorem descriptionem : XXII- XXXV. LI. LXX. XCII. CXVIl. De exagonis eorumque generationibus, XV. Exagoni autem , qui sex angulis, et eptagoni, qui •VII* rursus lateribus continentur, secundum hunc mo- 20 dum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in trianfguii numeri nalura procreatior\eq|Lie ipsos numeros iungebamus qui sese in nalurali dispositione sequerentur et se tantum unilate transirent. Quadrati vero numeri, id est tetragoni, procreatio fiebat ex numeris, qui uno 25 intermisso copulabantur, cum se binario superarent. Pen- tagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictis- 1 Inscript, om. d. 2 XIII. 1. || numeri supra versum a. in latitudinem] in margine vel longitudinem a; in contextu c, f. 4 sese a, c, f, r, s. 7 •III- c. || quatuor d, quat- tuor f. itemgue infra. \\ subiungas d. 10 -VII- c. || pro- creabis] adgregabis d. 11 septem . . . duodecim d, f. 13 vel XXIL bis 6. 15 XXII] -XXX. 1. II XXXV-] XXXI- c. 17 Inscript, om. d. |j generationibus] lateribus f. 18 XIIII. 1. 19 septem d, f. 20 Nam, omisso que a, b. 22 naturall numeri dispositione f. IN8T. ARITHM. II, 16. 99 que, qui se ternario vincerent. Secundum talia quoque augmenta exagonorum vel eptagonorum vel octogonorum vel novem laterum figura vel -X- quotlibet aliorum conpe- tenti progressione conficitur. Ut enim in pentagono duo- bus inlermissis eos iungebamus, qui se ternario superarent, 5 nunc in exagono tribus intermissis eos iungemus , qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus iunctis omnes exagoni nascuntur: I. V. Vmi. Xm. XVII. XXI. et ad eundem ordinem con- sequentes. Atque ab his sex angulorum formae nascuntur : lo I. VI. XV. XXVIII. XLV. LXVI. quos ad superiorem mo- dum scilicet descriptos in propriis ordinibus pernotabis. De eptagonis eorumque generationihus et communis omnium figurarum inveniendae generationis regula descriptionesque figurarum. i5 XVI. Septem vero angulorum figura est, cum ad_ eundem ordinem progressionis uno plus quam in sexan- gulorum figura numero intermisso superiori coniunxeris. Nam si quattuor interpositis, qui se quinario vincant, ad- gregaveris, eptagoni continuo figura nascetur, ut hi 20 numeri sint eorum radices et, ut superius dictum est, fundamenta : I. VI. XI. XVI. XXI. Qui vero ex his con- stant, hi sunt: I. VII. XVIII. XXXIIII. LV. Novem vero angulorum secundum eundem ordinem forma procreatur ita, ut secundum aequalem progressionem primi quoque 25 eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet, eorum naturam descriptionem- 1 quoqae talia a, c, s. 2 vel eptagonorum om. a, b, c, d, 1; supra versum r. H octagonornm d, f. 3 decem d, f. n quodlibet r. 7 radices eorum d, 9 •VIIII] VIII- c. 12 propriis] his a. 13 Inscript. om. d. |] pentagonis a, b. I| commnni f. || omnium om. a, b, f. 14 yeniendae 1. || de- scriptionesque figurarum om. c, f, r, s. || que om, 1. 16 XV". 1. 17 triangulorum a. 19 IIII- c; IIIP^ 1; -V- a. || sese c» r, 8. 20 ut] et f. 21 numeri om. d, f; in margine r. {{ radices eorum d. 26 primum corr. in primi a. 27 quae prima .... numeri in margine r. [] numero d. 7* 100 INST. ARITHM. II, 16. que perficiunt; in tetragono vero, qui secundus est, duo- bus sese iuncti numeri vincunt, et in pentagono tribus et in exagono •IIII* et in eptagono quinque, huiusque rei nullus est modus. I)oc autem nos subiectarum formarum 5 descriptiones docebunt. 10* 15 L [. 1. II. 1. 11. 111. I. II. III. IIII I. III. VI. X. I. I. 1. III. ini. 1. 111. V. VIIII, I 1 I I I I I I I I I I I I. 111. V. VII. XVI. I I I I I I I I I I I I I 1 I I I. UI. V. VII. VIIII. XXV. I. 1111. VII. XII. I. IIII. VII. X. XXII. r I I I I I I I I I I I I I I I 1 vero om. b, c, 1. 3 quatuor d, f. || •¥• c. 4 formarum om, s. Q subiectamm descriptiones nos s. 6 Ah •!• usque ad •XI- f. Numeros omnino om, d, uhitres tanium triangidi, duo te- tragoni, duo pentago?ii, duo exagoni, sed etiam duo eptagoni et duo octogoni reperiuntur, Numeros omittit quaternasgue cuiusque gene- ris figuras descrihit s. 8 f addit 'XV- eiusque figuram, 9 Ah •!• usque ad -XI^ f. 11 f addit •XXXVI- cum figura, 16 Ah «I- usque ad •XIIII- f. 16 f addit •XXXV^ cum figura. INST. ARITHM. II, 17. 101 I. I. I. V. VI. I. V. VIIIl. XV. I. V. VIIII. XIII. xxvm. 10 Descriptio figuratorum numerorum in ordine. XVII. ''Similiter autem licebit et aliarum formarum, quae pluribus angulis continentur quantitates adscribere. i5 Sed quoniam facilius oculis subiecta retinentur supra- dlctarum formarum numerositas in subteriore descri- ptione ponatur. Trian - gruii. Qua- drati. Penta- eoni. £xa- gom, Epta- groni. I.III. VJ. X. I. IIII. VIIII. XVI. I.V. XII. XXII. XV. XXI. xxvm. XXXVI. xlv. XXV. XXXVI. XLVIIII. LXIIII. LXXXI. XXXV. LL LXX. XCII. CXVIL I. VI. XV. XXVIIL XLV. LXVL XCl. CXX. CLIIL LV. C. CXLV. CXC. 20 I. VU. XVm. XXXIIIL LV. LXXXL CXII. CXLVIIL CLXXXVmi. CCXXX V. 1 Ah I. usque ad .XIIII- f. 2 XV. XXVIII. om, f. 11 r addit XLV I V Vlill XIII XVII ^^ fi9^^» 13 Imcript. om, s. {| nu- meroram] eorum c, F. [| in ordine om. f. 14 -XVI. 1. 16 subiecta oculis F. || retenentur r, continentur F. || super- dictarum b. 17 subteriori f. 18 ponatur hoc modo s. 19 LV. om. c; r addit LXVI. SimUiter infra c om. C. CXLV. CXC. CCXXXV. r addit CXXI. CLXXVL CCXXX. CCLXXXVI. 20 Quadrati et quadranguli F. 23 Post hunc versum addit r: Ogdogoni I. VIII. XXI. XL. LXV. XCVI. CXXXIIL CLXXVI. CCXXV. CCLXXX. CCCXLI.. 102 INST. ARITHM. II, 18. Qui figu7^ati numeri ex quihus figuratis numeris fiant, in- que eq quod triangulus numerus omnium reliquorum prin- cipium sit. XVIII. His igilur ita sese habenlibus quid in hac re 5 sil consequens vestigemus. Omnes enim tetragoni , qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex su- perioribus triangulis procreantur illorumque coilectione quadrati iigura componitur. Quattuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus trian- logulis; novenarius vero ex tribus et sex, sed utrique sunt trianguii; at XVI- ex decem et sex; et XXV- cx X et XV- Idemque in sequenti ordine quadratorum con- stans atque inmutabile repperilur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono et altrin- 15 secus triangulo constituto. Nam quinarius pentagonus ex quaternario super se posito tetragono et ex uno , qui in triangulorum ordine ponitur , adgregatur. •XII- vero pentagonus ex novenario super se quadrato et tribus , se- cundo triangulo, nascitur. •XXU- vero ex -XVI- et Vl-, 20 quadrato scilitet atque triangulo; et -XXXV- ex XXV- et X- Et in ordinem ad eundem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis inpediet. At vero si exagonos 1 numeris om. b, 1. || inque om. f; in eo F; in eoque r.' 3 Fost sit addit b: pertinens ad fig. 1: pertinens ad figu- jam, initium sequentis tituli. 4 XVII. 1. 5 investigemus s. fQ sunt om. c, s. || dispositi sunt c; sunt supra versum s. || .ex superioribus supra versum F. 8 quadrata F. || Quater- narius c, r, s. [| enim] uamque c. 10 novem a, d, f, r. || sed] qui r, s. 11 trianguli sunt c, r, s. || at] et c, r; corr. in at a. |1 sedecim d, f, F. || ex] e a, d. || -X- et •Vr- c, F, s; decem et VL d; VL et X- r. || XXV- ex] •XXV- et e. 13 Pentagonum c. 14 — 16 et altrinsecus ... et ex uno in margine F. 16 Namque a, s. 1| quinque a, d, f ; -V- r; quinarius et supra versum l quinque b. 16 quat- tuor a, d, f; •IIII- F; quaternario et supra versum i quatuorb. 17 Duodecim f, F; Duodenarius s. 19 viginti vero duo F 1| ex] -X- F. (1 sedecim et sex d, f ; sedecim et -VL r. 21 de- cem f. II ordinem] eodem ordine a. 22 cunctacio F. ij impediat s. IN8T. ARITHM. II, 19. 103 librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque -VI- exagonus ex quinario pentagono et uno, qui est in trian- gulorum ordine dispositus, nascilur. Nec aiia est origo «XV* exagoni iiisi ex duodenario pentagono et ternario 5 triangulo. Quod si XXVIII- rursus exagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi 'XXIL pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in cc- leris. Nec bunc geniturae ordinem eptagonorum pro- «reatio refutabit. Namque ex super se exagonis et ex lo eminus positis triangulis procreantur. Septenarius enim eptagonus nascitur ex senario exagono et uno potestate triangulo ; •XVIII- vepo eptagonus ex XV- exagono et ternario triangulo coniungitur; et •XXXIIII- ex XXVIII- scilicet exagono et senario triangulo; atque boc in cun- 15 clis inofTensum repperire iicet. Videsne igitur, ut pri- mus omnium triangulus cunctorum summas efficiat et omnium procreationibus misceatur? Pertinens ad figiiratoriim numerorum descriptionem speculatio. 20 XVIIII. Hi vero omnes, si ad latitudinem fuerint com- parati, id est trianguli tetragonis vel tetragoni pentagonis vel pentagoni exagonis vel hi rursus eplagonis, sine ali- qua dubitatione triangulis sese superabunt. Nam si ter- narium triangulum quaternario, vel quaternarium tetra- 25 2 super] sub c. || se Ofti. r. || sex d, f, F; sex corr. in senarius r; senarius c, s. 5 quindenarii c, f, F, s. 6 rur- sum c. II exagonis f; exagonus F, quod haiid scio. an sit scribendum. 7 discas c. || nullas F. 10 super] per c. 11 Septem enim d, f, F; Septenarius, omisso enim, r; Nam Beptem a. 12 exagono om. d. 13 octodenarius s. [j quin- denarius c, s. 14 triangulo ternario d. || coniungatur f, F; coniugatur a, d. 15 exagono] pentagono a, c; pentagono et supra versum exagono b; exagono in litura r. || haec r. 16 repperiri d. [| Vides, omisso ne a. 17 efficiet f, r, s. 19 Jnscript. om. d. [| Pertinens] speculatio F. || discriptio- nes F. 20 speculatio] pertinens F. 21 XVIII. 1. ]j si et ad a. [| comparati fuerint a. 23 vel hi] et hi F; vel ii a. 24 Namque d, f, F. 104 INST. ARITHM. II, 20. 21. gonum quinario, vel quinarium pentagonum senario exa> gono, vel senarium septenario eptagono compares, primo se triauguio, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium , vei hic contra XII* , vel hic 5 contra XV- , vei quindecim contra X- et VIII- , pro in- veniendis differentiis comparentur, secundo se triangulo, id est ternario superabunt. -X- vero ad XVl- et XVI- ad XXII et XXII. ad XXVIII. et XXVIII. ad XXXmi si componas, tertio se trianguio vincent, id est senario. At- 10 que hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus sese per- spectum omnesque se trianguiis antecedent. Quare per- fecte, ut arbitror, demonstratum est, omnium formarum principium elementumque esse triangulum. De numeris solidis, 15 XX. Hinc vero ad figuras solidas facilior via est. Praecognito enim , quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliler openetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aiiud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostende- 2oretur, adiecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam,. quae alias altitudo aiias crassitudo alias profunditas appel- latur, solidum numeri corpus explebit. De pyramide , quod ea sit solidarum figurarum principium sicut triangulus planarum. 25 XXI. Videtur autem, quemadmodum in planis figu- 3 unitate transeunt s, F. 4 — 5 duodecim . . . quin- decim f, F. 5 vel XV- d, F. |j decem et octo f; XVIII' d, r. 7 Decem f, F. 9 senario adcrescente c. 10 per- fectum c. 11 anteceduht F, s. 14 Inscript. om, d. De so- lidis numeris F. 15 XVIIII. 1. 16 praecognitis, et supra versum 1 to b; praecognitos; os mutato in is a; praecognitia c, d, f, 1, r, 8, F. [1 enim] vero c, s. || quid in litura r^ quod c; quae s; quod corr, in quid a. 18 non erit ulla] nulla erit d. fl cuntatio f. 19 ostendetur c, r. 20 adicie- mus r. 22 explevit r, explevit corr. in explebit a. 23 /w- script om. d. [] pyramida a, b, d, 1. || sit om. f. || principium sit f. 24 sicut triangulus planarum om. b, 1. || sicut] ut F. . 25 XXI. om. 1. II autem] enim c, s. INST. ARITHM. II, 21. 105 ris triangulus numerus primus est, slc in solidis, qui Yocatur pyramis, profunditalis esse principium. Omnium quippe rataruin in numeris figurarum necesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a penta- 5 gona et secundum sequentium muUitudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim trian- gulo atque descripto si per tres angulos singulae lineae recte stantes ponantur, haeque tres inclinentur, ut ad unum medium punctum vertices iungant, fit pyramis, lo quae, cum a triangula basi profecta sit, tribus triangulis per latera concluditur hoc modo: Sit abc* triangulum. Si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae et ad unum punctum convertantur, quod est d*, ita ut •d- punctum non sit in plano, sed pendens, illae scilicet i5 lineae ad ipsum erectae verticem et quodammodo cacu- men d* facient et erit basis abc- unum triangulum, per latera vero tria trian^ula, id est unum triangulum a. d. b, aliud vero b. d. c, tertium c. d. a. c 1 quae F. 3 quippe ratarum] qui praedictarum a. || inveniri F. 5 a tetragona] latera tetragona r. [] tetra- gono a, b. || a pentagona] a ex corr, addit r. 6 Post pentagona addit b: alias ab ezagona, alias ab eptagona. 7 enim] autem f. 8 descripto] disposito r, s; disposito vel descripto c. || si per] super, u in i muiaio a. [] -IIL c. || rectae lineae c. 9 rectae d, f, s. 10 vertice F. 11 qui corr, in quae a. || a om. a, b, c, 1, r, s; ex corr, add, d. perfecta f. 12 Fit c, r, s. || primum triangulum a. triangulum om. s. 13 igitur huic F. 14 convertant c. 17 faciet a. 19 a. d. b J a. b. c. s. || tertium vero d, f, 1, r, s, F. H c. d. a.] d. c. a. F. [] Post c. dT a. addU %\ ^^- 106 INST. ARITHM. II, 22. 23. De his pyramidis, quae a qiiadratis vel a ceteris tmilti' angulis proficiscuntur figuris. XXII. Idem si a tetragona basi proficiscalur et ad unum verticem eius lineae dirlganlur, erit pyramis quat- stuor triangulorum per latera, uno tantum tetragono in basi posito, super quam ipsa figura fundala est. £t si a pentagono surgant V- lineae, quinque rursus pyramis triangulis continebilur, et si ab exagono, sex triangulis nihilominus; et quantoscunque angulos habuerit figura, 10 super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut ex subiectis descriplionibus palam est. Solidorum generatio numerorum. XXIII. Dicuntur autem huiusmodi pyramides hoc i5modo: prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de scribitur hoc modo triangula pyramis s. 2 proficiscuntur figuris a. || figuris 07n. F. 3 XXI. 1. || Item a, f. [| Idem autem d. 5 in om. a. 6 ipsa extrema figura quadrati a; ipsa extrema quadrati figura c, s. 7 surgunt d. || quin- que d, f, r. || rursus pyramis quinque triangulis a, c, r, s. 9 quantiscunque d. |1 figura habuerit s. 11 continebitur a. 'j ex] in a, b, c, s. 12 b, c, 1 addunt figuram eptagoni; r addit trigonum et eptagonum et inscriptiones : Prima pyramis de trian- guio cet.; f addit alteram figuram pentagoni cum litteris verte et eptagonum. Quadralo circumscripta sunt verba BtiBis, Vertex; reiiquis figuris insctiptio est Pentagonus, Exagonus, eptagonus. 14 XXII. 1. II Ducuntur c; Dicitur corr. in Dicuntur r. INST. ARITHM. II, 23. 107 tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de exagono, quinta pyramis de eptagono, idemque in celeris conslat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse dixi- mus, qui ab uno profecti in intinitum currerent, ut sunt I. II. lU. IIII. V. VI. VII. VIII. Vim. X., his autem ordinatim 5 rcomposilis et ad se invicem cum distanlia iunctis superficies nascebantur, ut, si unum et duo iungeres, primus triangu- ius nasceretur, id est tres, et cum his adiungeremus ter- •tium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurre- Tet^ et post hos tetragoni uno intermisso, pentagoni vero 10 •duobus, exagoni tribus, eplagoni relictis quattuor nasce- l)antur : nunc vero ad solidorum corporum procreationem ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient. Et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt; ad procreandas vero pyrami- 15 tlas a tetragono tetragoni; ad eas vero, quae sunt a pen- tagono pentagoni copulandi sunt. Et iliae, quae sunt ab -exagono vel eplagono non nisi exagonorum vel eptagono- runa copulatione nascentur. Primus ergo potestate trian- ^ulus est unitas eandemque etiam ponimus virtute pyra- 20 fnidam; secundus vero triangulus est ternarius, quem si -cum primo coniunxero, id est cum unitate, quaternaria niihi profunditas pyramidis excrescit. At vero si his tertium, senarium, iunxero denaria pyramidis procreabitur altitudo. flis si denarium iunxero viginti numerorum pyramis veniet, 25 ^tque ita in cunctis aliis eadem ratio copulationis est. Trianguli. 1. III. VI. X. XV. XXI. XXVIII. XXXVI. XLV. LV. 3 numeris constat c. {{ numerus d. |{ esse numeros c. { •esse om, f. 4 currunt a; currerint c; currerit et supra r re r; current s. 6 in se c, d, f, r, s; in c^ supra versum l ad b. 7 uno a. 8 IIL c, r. {{ iung^eremus a, c, r. 9 rursum d. {| occurret r. 10 et om. b, 1. || detetragoni r. || intermisso uno a. 14 quidam r. {{ pyramides, es mutato in as a. 19 nascantur, altero a in e mutato, a. 20 uni- tas est c, s. 23 michi a, 1. 24 denariae d, f; denaria aequa- 20 lem provehunt profundilatem. Nam quatluor tetragonus duos habet in latere et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quattuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cybi forma nascetur. Nam si bis binos bis facias, octonaria quantitas crescit. Et est pri- 25 1 vocabitur a, f. [| quod] quam c, s. 2 Quod si] Si vero s. II dicitur d, vocetur a, s. 4 toties s. [j pyrami- dam a, c; pyramidis s. 5 non solum a, d, f, r, s; solis ei supra versum l lum b. Legendum videiur non in solis. || pyramidi s. 7 Posi licet addii 1 primam sequeniis capitis senteniiam, 8 Inscript, om. d. In a legiiur inscripiio capi- tis vicesimi sexti. \\ vel cuneis om. f. 9 figuris paralleli- pedis f. 10 XXVI. a; XXIIII. 1. 12 progredientibus supra versum d. || Est ex corr. add. r. 14 qui] quao corr, in qui a. 15 sperae c. || parallelepipedi b, 1, r. 17 con- curruut a. || enim supra versum r. || in supra versum a. 21 •IIII- d; mi°'^ 1; quaternarius c, s. |j 1111«^ u r. 23 •IIII- d; •III- c. 24 si om. c. 25 octonarii a, r, s. 112 INST, ARITHM. II, 25. mus hic cybus. •¥1111* vero tetragonus, quoniam tres habet in latere et factus est ex tribus in se multiplicatis, si ei unam iateris multipiicationem adiunxeris, rursus alius cybus aequabili laterum formationc concrescit. Ter 6 enim tres si tertio duxeris, •XXVII- Cyhi figura produci- tur. Et «XVL, qui est ex quattuor, si quater augescat, •LXIIII- cybus pari lat«rum demensione crassabitur. £t sequentes quidem tetragoni secundum eundem modum multiplicatione facta provehuntur. Tot autem necesse 10 est unitates cybus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus, ex quo ipse productus est. Nam quo- niam quattuor tetragonus duos tantum numeros habet in latere, duos quoque habet octonarius cybus. Et quoniam •VIIIL tetragonus tribus per latus unilatibus signabatur, 15 solo ternario •XXVII* cybi latus urgetur. Et quoniam •%\h tetragonus IIIL unitatum latu^ habebat, totidem •LXIIIL cybus in latere gestabit unitates. Quare etiam vi et potestate cybi, quod est unitas, unus erit in latere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quat- 2otuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cy- bus, qui ex tetragonorum superficie in profunditatem cor- poris crevit, per tetragoni sciiicet latus multiplicatus, I)a> bebit quidem superficies •¥!•, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est, latera vero •XIL, quo- 1 cubus^hic d. || Novem d, f; Novenarius c, s. || tetra- goniB c. 2 latera a. || in se om. a, d, f; supra versum r. 4 aequali a, c, f, r, s; aequabili et supra versum 1. aequali b. II succrescit a; crescet c; crescit r, s. 5 tlreB novem c; tres VIHI- d, f, 1. |1 figura] forma a, b. 6 XVI] si sedenarius s. || •IIII- d, f. 8 sequentis f. 10 ille pri- mus a; prius ille in litura r. 12 •IIII- f, 1; quaternarius c, s. II tantum] termini inductum a. || latere numeros ha- bet, supra latere in, a. 13 habebit d. 14 novenarius c, 8. [| per latus tribus a. 16 habet c, s. 17 unitates om, a, d, f. 18 erat corr, in erit r. 19 enim] autem d, f; autem et supra versum l enim b. || •IIII- d, s. 20 to- tidem, omisso que, a, d, f; que ex corr, add. r. || autem] enim a; quoque c, I; quoque et supra versum l autem b. 23 sex d. [l quorum b, c, r; quorum, o in a mutato, a, d, 1, s. 24 vero supra versum a. JNST. ARITHM. n, 26. 113 rum unumquodque singulis his, quae superioris fuere ietragoni, aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est; angulos vero •VIII*, quorum singulus sub tribus eiusmodi continetur, quales priores fuere tetra- goni, unde cybus ipse productus est. Ergo ex naturali- 6 ter profUso numero qui in subiecta forma descripti sunt subiecti tetragoni nascuntur, et ex his tetragonis qui sub- notati sunt cybi provehuntur. Numerus naturalis: I. n. ui. ffli. V. VI. VII. 10 Tetragoni: 1. lUI. Vlffl. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII. Cybi: I. VIII. XXVII. LXIin. CXXV. CCXVI. CCCXLIII. £t quoniam omnis cybus ab aequilateris quadratis i^ profeqtus aequus ipse omnibus partibus est — nam et latitudini longitudo et his duobus compar est altitudo — et secundum sex partes, id est sursum deorsum dextra isinistra ante post» sibi aequalem esse necesse est: huic <^positum contrariumque esse oportebit qui neque longi- 20 tudinem latitudini neque haec duo profunditati gerat 1 unum quotque c. 3 octo c, s. || singulos c; sin- gulis, is in us correctOy f; singuli, i in us correcio a. 4 hu- insmodi a, c, d, s. || continet c. 5 unde cybus] •¥!•, de quibus a. 6 descriptus est s. 8 cubi f. 9 Numerus naturalis om. c; Numeri naturales f. 15 In a praecedit hunc versum inscriptio capiiis vicesimi septimi. h et \ addunt inter Imnc versum et quattuor proocimos figuram II I nn III 16 profectus est, f; est ex corr, add. s. 17 duabus c, 1; duobus his f. 18 secundum om. 1. || -VI* f. || rursum a, b. II dextera f, r. 19 ante et post d. 21 gerat] ge- nerat a, I, r, s; generat et supra versum l gerat b. BOETIUS. ^ 114 INST. ABITHM. 11, 25. aequalia, sed cunclis inaequalibus , quamvis solida sil figura, ab aequalitate cybi longissime distare videatur. Hi autem sunt, nt si quis faciat bis tres quater, vel ter quattuor quinquies et alia huiusmodi , quae per inaequa- 5 les spatiorum gradus inaequaliter provehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur. Nos vera gradatum possumus dicere, quod a minore modo vehit gradibus crescat ad maius. Vocant autem eandem figu- ram Graeci quidam spheniscon ; nos autem cuneum pos- 10 sumus dicere. £tenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant neque latitudinis neque longitudinis neque altitudinis liabita ratione, quantnm commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos ple- 15 rumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inve- niri. Quidam vero hos bomiscos vocant , id est quasdam arulas, quae in lonica Graeciae regione, ut ait Nicoma- chus, hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo lati- tudini neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem 20 aliis quibusdam nominibus, quae nunc persequi super- vacuum iudicavimus. Igitur cybi aequalibus se spatiis porrigentis et huius formae, quam diximus, gradata distri- butione dispositae medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos 2 figura sit c, r, s. |j videtur s. 3 autem om. s. [| fa- ciet, e in a mutaio, a. 4 quattuor] •IIII-^'^ d, r. || quin- quies] vel quater quinque a. 6 scalenos] scalenus vel squalenos a. |{ vero] autem s. 7 gradatim c. || a om, c. || velut] vel a, b; velud d. 9 speriscon a, s; spe iscon c; sphericon f. 10 quos] cum s. || illam om, s. 11 con- fringendam s, conscribendam a. || Supra formant: aucto- res s. 12 ratione] In margine inferiore b addit: in at. ra- tione sunt. Sed quantum etc. 13 tantum om. d. |{ latitudini c, d. 14 profunditas d. || augetaur F. 16 bonis quos, qu in c mutato a; boniscos c; bonoscos r. 18 — 19 altitudini lon- gitudo nec hacc latitudini F. 19 neque haec] nec haec c, s; ne quae haec d. |{ haec supra versum a. |{ conveniret a, r, s. 21 iudicabimus b, 1; tn a bi Hneolis est ohlitum; iUdicamUs f, r. 22 porrigentur, mutatum in porrigentes a. || et huius supra versum a. 23 positae , dis ex corr, addilo a, r. 24 nec c, d, 1. : INST. ARITHM. H, 26. 115 Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uni- formiler composilum habere non possunl, ut tamen idem pluribus dictum sit. Ea namque boc nomine vocatur figura, quae alternatim positis latitudinibus continetur. De parte altera longioribus numeris eorumque 5 generaiionihus. XXVI. Huiusmodi vero formas quales sunt, quae Yocantur a Graecis eteQOiirjxeLg , nos dicere possumus parte altera longiores. Quarum figurarum numerus hoc modo definiendus est: Parte altera longior est numerus, lo quem si in latitudinem describas et ipse quidem quattuor venit laterum et quattuor angulorum, sed non cunctis aequalibus sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini lati- tudo, sed, ut dictum est, cum hinc aitera pars maior i5 fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem disponas in ordinem , et secun* dum per primum multiplices, talis nascitur numerus, vel si secundum per tertium , vel si tertium per quartum , vel d quartum per quinlum, omnesque hi unitate tantum 20 addita, multiplicentur, nascentur parte altera longio- res. Disponatur enim numerus naturalis I. H. III. IIII. V. VI. Vn. Et nunc quidem hactenus. Si quis igitur 1 parallepidas a, parallelepipedes f. 2 tamen] tan- tnm corr, in tamen a. |] idem] id de a. 3 supra pluribus: nominibuB s. || Ea ex corr. add, d. || Ea namque] Eaque c. 4 laiitudinibus] supra versum habitudinibus d. 5 Inscripi. om, d. /n a legitur inscriptio capiiis vicesimi octavi. Q numeris om. b, c, r. 6 procreationibus F. 7 XXVIH. a; XXV. 1. || * fignras ei supra versum i formas s. 8 stfiQOvcTivs a; €P0- MiKec f. II nos supra versum r. || nos autem a , 8. || pos snmus dicere s. 11 latitudine f; altitudinem a, b, c. •ini' d, r. 12 provenit 1; venit, pro ex corr. addiio b. •lUI* r, B. 13 sed] et corr. in sed a. 14 sint F. j gitndo latitudini F. 16 tamen corr, in tantum a, d. nore c. 18 nascetur a, 1, s. |1 vel] et c, 1, F. 20 hi su- pra versum r ; in c. || tamen corr. in tantum a. 21 nascentur antem f . 23 actenus b, f , r ; actenus , h ex corr. addiio , a. lon- mi- 116 INST. ABITHM. II, 27. faciat unum bis, faciet -II-, et rursus bis tres, faciet •VI*, ter quattuor, faciet 'Xli-, quater quinque, faciet *XX*, et hoc ad eundem ordinem. Quicunque igitur facti sunt, procreabuntur parte altera longiores, ut subiecta de- 5 scriptio docet, in qua, ex quibus numeris multiplicati nascuntur parte altera longiores» super adscripti sunt, qui vero nascuntur, subterius sunt notati. I. II. III. IIU. V. VI. VII. n. VI. XII. XX. XXX. XLii. 10 II III II II II III II II II Ilillll lil IIII illll IIIIII Illlill lill IIIII IIIIII Illllli IIIII IIIIII IIIIIII IIIIII Illllli 15 I I I I I I I De antelongioribus numeris et de vocabtUo numeri parte altera longioris. XXVII. Ergo si unitate tantum discrepent, qui mul- tiplicantur, descripti superius numeri protenduntur , sin 20 vero aliquo numero, ut ter •VII- vel ter V- vel aliquo modo alio, et non eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed ante- 1 faciet 8. II faciat dao d; faciet dao f. || faciat sex d, 1; faciat -VI- r. 2 •IIII' d. || -V» 1; qainqnies d, r. 3 facta F. || sint f. 4 altera parte F. 6 mnltiplicatis f. 6 nascentnr a. c, r, s. || super et supra vertnm I pra b. 7 sunt om. r. || subnotati b, 1; adnotati sunt d. 8 •yill* ad- dunt a, c, f, T, 8. 9 •LVL adduni c, f, F, r, s. 10 Figu- ram numeri -LVL addunt c, f, F, 1, r, s. /nb, c, d, 1, r virgulae ita mnt dispositae, ul binae, temae, quatemaey quinae, senae, septenae in singulis versibus sint posUae, 16 Inscript, om, a, d. 11 numeris om. F. || parte altera longioris nu- meri F. 17 longioribus s. 18 XXVII. om, a; XXVL l. || ab unitate a, f, r. 19 protendentur a, d, f, I. Q si vero a, c, 8. 20 ter -VII- vel ter -V-] ter •IIII- vel ter •V- c; bis IIII- vel ;ter V- s, F; bis IIII^ ter V- quater VI^ r. INST. ARITHM. II, 28. 117 longior. Alterum enim apud Pytbagoram vel sapientiae eius heredes nulli alii nisi tantum binario adscribebatur. Hunc alteritatis principium esse dicebant, eandem autem naturam et semper sibi similem consentientemque nullam aliam nisi primaevam ingeneratamque unitatem. Bina- 5 rius autem, numerus primus, est unitati dissimilis, id- circo quod primus ab unitate disiungitur. Atque ideo alteritatis cuiusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia sola tantum est unitate dissi- milis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera lon- lo giores, quod eorum latera unius tantum sese adiecta numerositate praecedunt. Argumentum autem est, alteri- tatem in binario numero iuste constitui , quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his , inter quos bene loquendi ratio non neglegitur. Amplius, quod inpar numerus sola i6 perfici unitate monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cuiuscunque medietas unus est, ille inpar est, cuius vero duo, hic paritate recepta in gemina aequa disiungitur. Quare dicendum est, inparem numerum eiusdem atque in sua se natura 20 tenentis inmutabilisque substantiae esse participem, id- circo quod ab unitate formetur, parem vero alterius ple- num esse naturae, idcirco quod a dualitate conpletur. Quod ex inparihus quadratt, ex parihus parte altera longiores fiant. 25 XXVIII. At vero positis in ordinem ab unitate in- paribus et sub his a dualitate paribus descriptis coacer- vatio inparium tetragonos facit, coacervatio parium su- 6 nnitati dissimilis est a. 7 Adqne r; et d. 8 fnitl est d. 9 nnitatis a. |j desimilis r. 12 nnmerositatem a. || est 09». a. II alteritatis vel alteritatem a. 14 e] a a, r, a; ex f, F. 16 nnitate perfici a, c, s. 18 est nnns c, fy 8. II cnins vero medietas 8. 20 natnra supra versum s. 21 inmotabilisqne r. 24 TUulum om, d. || de imparibus c. || De generatione latercnlomm eommqne difinitione vel de ge- neratione cnneoram eornmqne diffinitione a. 26 XXVini. a; XXVn. 1. 118 INST. ARITHM. H, 28. periores efOcit parte altera longiores. Quare quoniam tetragonorum haec natura est, ut ab inparibus procreen- tur, qui sunt unitatis participes, id est eiusdem inmuta- bilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales 5 sint, quod et anguli angulis et latera lateribus el longitu- dini compar est latiludo, dicendum est, buiusmodi nu- meros eiusdem naturae atque inmutabilis substantiae participes, ilios vero numeros» quos parte altera longio- res paritas creat, alterius dicemus esse substantiae. Nam 10 quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum latera a se tantum uno sunt altera el una tantuni differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno inpares et sub his omnes a binario numero pares. I. ffl. V. VII. VIIII. XI. XUI. 15 II. iin. VI. vm. X. XII. xiiii. Est ergo princeps inparis ordinis unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est in- paritatis, quae in tantum eiusdem nec mutabilis substan- tiae est, ut, cum vel se ipsa multiplicaverit vei in 20 planitudine vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per se ipsa multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet. Namque si unum semel facias, vel si semel unum semel , vel si duo semel , vel si tres semel, vel si quattuor semel, vei quemlibet alium numerum 2 ut et d, 1. 6 sunt r, F. 7 inmotabilis r. 11 ta- men corr, in tantum a. || altera mutatum in latere a. [1 et nna tantum corr. ex tamen a. 12 deferent r; differat c. || Quare corr, ex quorum a. 13 a binario]. ab uno a, c; abi- nari d; ab uno et supra versum at a binario b. 19 ipsam c, r, 8. 20 in ante profunditate om, r. 21 ipsam c, 8. 22 discrejpat b, c, d, f, 1, r, s. U Namque om, r; supra ver- sum a. 11 si unum . . . duo semel] si semel unum semel et supra versum facias vel si duo semel a; vel si duo semel su- pra versumh; si semel unum semel c; si unum semel facias vel si duo semel d, f; si unum semel facias, si duo semel F; si unum semel facias vel si semel unum (m litura) vel i^i duo semel I; si semel unum semel vel si semel •II* r; si semel unum vel semel 'II- s. 23 •III' r, s. 24 •1111-°'^ s. || quattuor semel sunt •IIII* r. || vel si quemlibet c, 1, s; si ex corr. add. b. || alium quemlibet c. INST. ARITHM. II, 28. 119 muUiplicet, a quantitate sua is, quem multiplicat, numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest in- veniri. Paris vero ordinis binarius numerus princeps €8t, quae dualitas, cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si se ipsa raul- 5 tiplicet vel per latiludinem vel etiam per profunditatem vel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, conlinuo alter exoritur. Nam bis unum vel bis duo si facias, vel bis tres vel bis quattuor vel bis quinque vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius lo quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex su- periore descriplione et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo. Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, quat- tuor tetragonus exoritur. Huic si quinarium iungam, no- 15 venarius rursus occurrit. Huic si copules septem, sede- cim quadrati forma se suggerit. Idemque si in ceteris facias, omnes conpetenter quadralos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine idem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primo respexero, 20 huiusmodi mihi numerus occurrit, qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes quattuor iunxero, parte altera longior rursus erit, senarius scilicet, qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem adgregavero, nascetur mihi duodenaria forma , quae fit ex quater tribus. Quod si 25 continuatim quis faciat, cunctos huiusmodi numeros in 1 — 2 multiplicet ... numerum in margine r. 4 tunc s. 5 est totius d. || ipsam F. 8 bis unum vel om. d, f. || bis -II- c, s. 9 facies c; facies mutatum in facias a, r. || •IIL c. 1] •IIII- s. II -V* c, s. 10 quemlibet numerum alium a. 11 invenitur vel invenerit a, sed vel invenerit inducium, 12 et om. s. 13 enim om. F, s. 14 coacer- varis c, coacervaberis r. || 'IIII- c, r; quaternarius f, s. 15 iungas s; iungam mutatum in iungas r. 16 •VII* c, d. || •XVL d. 17 sugeserit a. 18 facies b, f, I. 19 a parte a, s; m r a rasura est deletum, 20 primos b, d, 1. 21 nu- merus mihi d. 22 •IIII- d, s. 28 bis tres corr. in bis tribus a, d; bis tribus in litura r. 24 nascitur, i in e mu- tato, F. 26 in om, F. 120 INST. ARITHM. II, 29. conpetenti ordine procreatos ?idebit, quam descriptio* nem scilicet inferior forma demonstrat. Radices. I. i.iii. I.III.V. i.m.v.vii. i.m.v.vii. vim. i. m. v. vn. viiii. xu 5 Tetragoni id est quadrati. i. mi. vuu. XVI. XXV. xxxvi. Radices. u.iiii. u.im.vi. ii.mi.vi. vm. ii.iiii.vi.viii.x. ii.iiii.vi.vm.x.xiK Parte altera longiores. 10 VI. Xll. XX. XXX. XLII. De generatione laterculorum eorumque definitione. XXVIin. Quos autem superius laterculos diximus^ quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoe modo fiunt^ quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinem- 15 que porrectis minor his additur altitudo, ut sunt huius modi: tres ter bis, qui sunt •XVIII* vel quattuor quater bis, vei alio quo modo, ut his in latitudinem longitudinemque aequis minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ez aequalibus aequaliter in mi- 20 nus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae sed hoc modo, ut ex aequalibus aequaliter ducantur in maius. Nam si aequa fuerit latitudo iongitudini et maior sit altitudo, iliae figuraea nobis asseres, a Graecis doci- 3 Radices om, a, c. 5 Hunc versum om, c. || qnadrati] quadri r; quatuor qnadrati d. 7 radices om, s. 8 s addU ab inUio •II- « 9 Hunc tfersum om, c. 10 8 addU ab initio •II* 11 In- script, om, a, d; b, 1, d, F addunt: yel de generatione (genere F) caneorum eoramque definitione (diffinitione) 1. 12 XXVIIII. om, a; XXym. 1. 13 ipse d, r. 16 UII* e, d. 17 alio qao] aliqao 1; alio qao corr, in alio qaocanque a; alio ali- quo et supra versum canqaeb; alio qaalicunqae d; alio qao- libet f. |( at] in, at ex corr, addito^ r. [] longitadinem fati- tadinemque a, f, s^ 18 dacatar] addatar s. 19 in om, a, b, c, d, f, 1, s; supra versum r. 20 ipsi a; ipse d, f, 1. 21 ez supra versum r, 22 longitadini latitado d. 28 ille d, f. 11 decades a, f; deocadles s; docades F. INST. ARITHM. n, 30. 121 des nominantur. Ut si quis hoc modo faciat: •illl* qua- ter novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci Tero, quos cuneolos superius appeilavimus, hi sunt, qui ex inaequaiibus inaequaliter ducti per inaequa- lia creverunt, cybi Tero, qui ex aequalibus aequaiiters per aequalia producti sunt. De circularihus vel sphericis numeris, XXX. Ipsorum Tero cyborum quanticunque fuerint ita ducti , ut a quo numero cybicae quantitatis latus coe- perit, in eundem altitudinis extremitas terminetur, nu- lo merus ille cyclicus tcI sphericus appeliatur; ut sunt mul- tiplicationes, quae a quinario vel a senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit •XXV-, ab •¥• progressus in eosdem desinit •¥• Et si hos rursus quinquies ducas, in eosdem •¥• eorum terminus Tcniet. Quinquies enim •XXV^ i^ fiunt. •CXXV- et si hos rursus quinquies ducas, in quina- rium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc us- que in infinitum idem semper CTeniet. Quod in senario quoque couTenit considerari. Hi autem numeri idcirco cycUci Tel spherici Tocantur, quod sphera vel circulus in 20 proprii semper principii rcTersione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo iilius pancti, qui eminus fixus est, aequaliter distans a primo puncto circumductio et ad eundem locqm reTersio, unde 1 qaataor c, quattiior f. 3 Spherici a, s; spherici et supra versum al sphenisci b; spherisci c; spenisci r; Spe- rici F. II cnniolos c; hemiholos vel cuneolos a, s; hemiho- los vel hemiolos s ; hemiholos vel emiholos F ; hemiholos yel in margine b; supra versum 1, r. 5 vero sunt F. 7 In- script om, d. || spericis r, spiricis s. 8 XXVIIII. 1. 10 la- titudinis a, c. 11 cybicus f. ]| spericus r, F. 12 a ante senario om. a, c, 1, s. 13 •¥• c, d, r, s. || qui fit] om. c; finnt s. 14 rarsum a, b, c, f, 1, r, s. || educas c, f, r, s. 16 fiunt] sunt a, b. || rursnm c. 17 terminatur s. 18 eve- niet; e inducto^ a; Teniet b. 20 sperici r, F. || spera d, r. 21 semper om, F. 22 — 24 et alio . . . puncto eadem manu in margine F. 122 INST. ARITHM. II, 31, moveri coeperat. Sphera vero est semicirculi manente diametro circumductio et ad eundem locum reversio, unde prius coeperat ferri. Unitas quoque virlute et potestate ipsa quoque circulus vel sphera est. Quotiens enim pun- 5 ctum in se multiplicaveris, in se ipsum^ unde coeperat, ter- minatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, si hoc semel, idem est, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multipiicatio, solam planitudinem reddit et fit circulus, si secunda, mox sphera conficitur. Etenim se- 10 cunda muitiplicatio efTectrix semper est ^profunditatis. £x •V- igitur et VI* paucas huiusmodi formas subscripsimus. I. V. VI. I. XXV. XXXVI. I. CXXV. CCXVI. 15 I. DCXXV. ICCXCVI. I. IIICXXV. VII. DCCLXXVI. De ea naiura rerum, quae dicilur eiusdem naturae, et de ea, quae dicitur alterius naturae et qui numeri cui naiu- rae coniuncii sint, ^ XXXI. Ac de solidis quidem figuris haec ad praesens dicla suflQciant. Qui autem de natura rerum propinquis investigantes rationibus, . quique in matheseos disputa- tione versaU, quid in quaque re esset proprium, subtilis- sime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas 25 in gemina dividenCes hac speculatione distribuunt. Dicunt 1 ceperat c, 1; coeptus est d, f. || Spera d, r. 1 — 3 Sphera . . . ferri eadem manu in margine F. 3 ceperat s. 4 spera d, r, F. 5 in se ante multiplicaveris om, f, F. 6 facias r. || redit, et b. [| hoc rursus c, d, 1. 7 idem] unum b. 11 et 81 hoc . . . idem est om, c , d. || est] conficitur a. 8 una ut -Y- quinquies d. || fuerit] erit s. || redit c. 9 se- cundo a, b, f ; secunda et supra versum ut •XXY- quinquies d. II spera d. 11 quinque .... sex, c, f. 14 •CXXV* om. F; ideoque sequentes numeri sunt uno versu promoti. 17 In- script. om. d, s. In a, legitur inscriptio sequentis capitis. \\ De natura, omisso ea, f. || rerum om. c. 18 dicitur] est F. 19 sunt c, 1, r. 20 XXX. 1. 22 quique] quinque F. 23 quaque] qua d; unaquaque s. 24 peritissimaeque d. JNST. ARITHM. JX, 31. 123 enim omnes omnium rerum substantias constare ex ea, quae propriae suaeque semper habitudinis est nec ullo modo permutatur, et ea sciiicet natura, quae variabilis mo- tus est sortita substantiam. Et iiiam primam inmutabilem naturam unius eiusdemque substantiae vocant, hanc vero 5 aiterius, scilicet quod a prima ilia inmutabiii discedens prima sit altera, quod nimirum ad unitatem pertinet et ad duaiitatem, qui numerus primus ab uno discedens aiter factus est. £t quoniam cuncti secundum unitatis speciem naturamque inpares numeri formati sunt, qui- lo que ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo eius- dem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequalitate formantur tetragoni, vel coacervatis in unum numeris inparibus procreantur. liii vero, qui sunt pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coa- 1& cervati coiiectique in unam congeriem parte altera ion- giores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam ab eiusdem substantiae natura disces- sisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse partici- pes idcirco, quoniam, cum iatera tetragonorum ab aequali- 20 tate progressa in aequaiitatem propriae latitudinis ambitum tendant, hi adiecto uno ab aequalitate iaterum discesse- runt atque ideo dissimilibus lateribus et quodammodo a se alteris coniunguntur. Quare notum nobis est, quod ex his ea, quae sunt in hoc mundo, coniuncta sunt. Aut 25 enim propriae inmutabilis eiusdemque substantiae est, quod est deus vei anima vel mens vel quodcunque pro- 1 omnes om. c, f, s; supra versum b; lUura r, || sub- fltantiam c, s. 2 proprie c. 4 substantia f. || primo a, b, c, 1, r. II inmotabilem r. 6 immobili d. || dece- dens c; descendens s. 8 decedens c, f; descendens s. 11 eiusdemque a, b; unius eiusdemque s. 15 his] eis a. 20 cum] eum corr. in cum a; con r; cum om. d. || latere corr. in latera r. 22 tendunt c. || abiecto corr, in adi- cecto a. 23 desimilibus r. U lateribus constant a. || etl vel corr. in et a. 24 a se supra versum a; a supra se d. |] nobis notum c, f, s. 26 enim om. s. || proprie c, d. jl eiusque r. 27 quod est deus] ut deus est r; quod deus, quod in ut corr. d; ut deus f, s; quod est deus, quod est in ut corr., 1, II mens est d, f, r, s. 124 tSBT. ABITHM. II, 81. priae naturaeincorporalitate beatur, aut mutabilis varia- biiisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac ge- mina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte 5 altera iongiorum cunctas numeri species cunctasque ha- bitudmes vel ad aliquid relatae quantitatis, ut multipli* cium vel superparticularium et ceterorum, vei ad se ipsam consideratae, utformarum, quas dudum in supe- riore di^utatione descripsimus, informari, ut, quemad- 10 modum mundus ex inmutabili mutabilique substantia , sic omnis numerus ex tetragonis, qui inmutabilitate perfi- ciuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitato participiant, probetur esse coniunctus. Et primo quidem distribuendum est, qui sint hi, quos promeces vocant, id 15 est anteriore parte longiores, vel qui, quos stSQO^i]xsigy id est parte altera longicM^es. £st enim parte altera ion- gior numerus, quicunque unitate tantum lateri crescit adiecta, ut sunt sex, scilicet bis tres, vel •XO* tres quater et consimiles. Anteriore vero parte longior est, qui sub 20 duobus numeris huiusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis differentia, sed aliorum quorumcunque numerorum, ut ter quinque vel ter sex vei quater septem. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta merito anteriore parte longior dicitur. Cur autem 25 parte altera longiores numeri dicantur, supra iam dtctum est Quadrati vero qaoniam aequam latitudinem longitu- dini gerunt, propriae longitudinis vel eiusdem latitudini» 1 beatam eorr, in beatur a; habetur et supra versum l beatnr s. 3 accedere a, r, s. 8 considerate f. 12 mo- tabilitate r; mntabilitatem d, s. 14 describendum a. |f qui] qnid a, b, d. || promeciifi a, prometis d, promeois f,. r; promechis s. 15 quos] nos a. || sveQOfijjKeis om. c; eteromhici a. 16 enim om. d. 17 tamen eorr, in tan- tum a. 18 .VL c, f, r. || scilicet ut f. Q -m. c, r. 1| velj et d. I) duodecim d, f. || III. r. 19 consimilis s. || parte vero c, s. || parte altera longior d. 22 *¥. c. || .yi- c. II .yil. c, f. 26 longitudinem latitudini d. 27 erunt, g ese corr. addUo^ r. [j longitudinis , linea subnotatum ei sw pra versum latitudinis d. INST. ARITHM. II, 32. 125 aptissime vocabuntur, ut bis duo, ter tres, quater quat- tuor et ceteri. Parte aitera vero longiores, quod non eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo lon- gitudinis et parte altera longiores vocantur. Quad omnia ex eiusdem natura et alterius natura consistant 5 idque in numeris primum videri. XXXII. Omne autem, quicquid in propria natura substantiaque est inmobile, terminatum definitumque est, quippe quod nuiia variatione mutetur, nunquam esse desinat, nunquam possit esse, quod non fuit At haec 10 unitas sola est et, quae unitate formantur, conprehensi- biiis et determinatae et eiusdem substantiae esse dicun- tur. £a vero sunt, vel quae ab aequalibus crescunt, ut quadrati, vei quos ipsa unitas format, id est inpares. At vero binarius et cuncti parte altera longiores» qui a finita 15 substantia discesserunt, variabilis infinitaeque substan- tiae nominantur. Constat ergo numerus omnis ex his, quae longe disiuncta sunt atque contraria, ex inparibus scilicet et paribus. Hic enim stabllitas, illic instabilis va- riatio, hic inmobilis substantiae robur , illic mobilis per- ^o mutatio; hic definita soliditas, iilic infinita congeries mul- titudinis. Quae sciiicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationemque miscentur et iiiius unitatis informatione atque regimento unum nu- meri corpus efficiunt. Non ergo inutiliter neque inpro- 25 vide, qui de hoc mundo deque hac communi rerum 1 vocantur s. || II- ... •III- .... •IUI- c. 2 cetera a. || longiores vero s, (1 quod bis s. 3 tenduntur c. 5 In- script. om. d. || alterius naturae b, 1; alterius, omisso na- tnra, c, r, s. || constant f. 6 videri primum 1. 7 XXXI. 1. 11 quae comprehensibilis c. || conprehensibiles a. 13 Posi snnt addit s: quae habent aequalia latera. || aequalitati- bus a. II ut] yelut a, c, f, r, s. 16 disce^serant c, s. 17 omnis numerus a. 18 sint a, d, r, s. 19 illic] illuc c, hic a, d, f, r, s. 20 hic] huic r. || inmutabilis a, in- motabilis r. || inmobilis est s. 21 illic] hic a, d, f, r, s. 22 cum sint scilicet f. 126 INST. ARITHM. II, 33. natura ratiocinabantur, hanc primum totius mundi sub- stantiae divisionem fecerunt. Et Plato quidem in Timaeo eiusdem naturae et alterius nominat, quicquid in mundo est, atque aliud in sua natura permanere putat indivi- 5 duum inconiunctumque et rerum omnium primum, aite- rum divisibiie et nunquam in proprii statu ordinis perma- nens. Philolaus vero: Necesse est, inquit, omnia quae sunt vel infinita esse vel finita, demonstrare scilicet volens, omnia, quaecunque sunt, ex his duobus consistere, aut 10 ex finita scilicet esse aut ex infinita, ad numeri sine dubio simiiitudinem. Hic enim ex uno et duobus et inpari at- que pari coniungitur, quae manifesta sunt aequalitatis atque inaequalitatis , eiusdem atque aiterius , definitae at- que indefinitae esse substantiae. Quod videlicet non sine 15 causa dictum est, omnia, quae ex contrariis consisterent, armonia quadam coniungi atque componi. Est enim ar- monia plurimorum adunatio et dissidentium consensio. Ex eiusdem atque alterius numeri natura qui sunt qua- dratus ei parte altera longior^ omnes proportionum 20 habitudines constare, XXXUI. Disponantur ergo in ordinem non iam pares atque inpares, ex quibus quadrati vei parte altera lon- giores fiunt, sed hi ipsi, qui iiiis coacervatis in unumque redactis et quadrati et parte altera longiores prodeunt. 25 Ita enim videbimus istorum quendam consensum et ad ceteras numeri partes procreandas amicitiam , ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetrago- 1 hanc] huic corr. in hanc d ; hoc corr. in hanc r. || pri- mam c. 2 fecerant r. 10 finita] supra versum: natura b, r, s. VerisimUius est excidisse vocabulum substantia || esse om, s. II infinita] finita, in ex corr, add. r. 12 aequitatis d, 1, r. 17 dissentientium c, f, 1, s. 18 Inscript. om. c, d. II Ex eiusdem .... longior omnes om. s. || qui sunt om. a, qui est b, 1. || et] ex a, f. 20 Post constare addit s: ex eiusdem et aliaj quae evanueruni. 21 XXXIII. om. 1. 23 hi rasura deletum c. 28 praesumpsisse s. INST. ARITHM. II, 33. 127 norum ab unitate omnium et a binario numero parte altera longiorum. I. iiii. vim. XVI. XXV. XXXVI. xlviiii. II. VI. XII. XX. XXX. XLII. LVI. Horum igitur si primum compares primo, dupli quantitas 5 inTenitur, quae est prima multiplicitatis species, si vero secundum secundo hemioliae quantitatis habitudo pro- ducitur , si tertium tertio sesquitertia proportio procrea- tur, si quartum quarto, sesquiquarta, et siquintum quinto, sesquiquinta , et hinc superparticularium normam in quam- lo vis iongissimum spatium progrediens integram inoffen- samque repperies, ita ut in prima dupli proportione uni- tatis soiius sit differentia, duo namque ab uno soia semper discrepant unitate. In sesqualtera vero duorum est dif- ferentia, in sesquitertia trium, in sesquiquarta quattuor i5 et deinceps secundum superparticuiares formas numero- rum, quod ad differentias adtinet, uno tantum crescit ad- lectio numerum explicans naturaiem. I. IIII. Villl. XVL XXV. I. 11. III. IIIL V. 20 IL VI. XIL XX. XXX. Sin vero secundum tetragonum primo parte altera ion- giori compares et tertium secundo et quartum tertio et quintum quarto , easdem rursus proportiones effici perno- tabis, quas in superiore forma descripsimus, sed hic diife- ^5 rentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem caiculos progrediuntur, eritque secundus primis dupiu, tertius secundi sesquaiter , quar- 4 LVI. om, I. 5 prirao conpares a. || compa, omisso res, l. II duplicis r. 7 emiholiae a, emioliae c, haemi- moliae r. 13 — 14 duo namque .... unitate om. d. || ab uno om. c. [I semper sola a. 14 In sesqualtera duorum in mar- gine d. |j sesqualtero a. || vero om. d. || est differentia om. d. 15 •IIIL c. 17 tamen corr. in tantum a. |j crescet d. 18 numerornm d. 19 d om. -I- et addil 'XXXVI- 20 d om. •I- et addit VL 22 Si vero a, d, 1. 128 INST. ABITHM. n, 38. tu8 tertii sesquitertius, secundum eandem convenientiam, quae superius demonstrata est. iin. viiii. XVI. XXV. XXXVI. II. III. IIII. V. VI. 5 II. VI. XII. XX. XXX. Rursus quadrati invicem inparibus differunt, parte altera longiores paribus. Differentiae inpares. III. V. VII. vnii. XI. xiii. 10 1. iiii. viin. XVI. XXV. XXXVI. XLviin. Quadrati. Differentiae pares. iiii. VI. VIII. X. xiL xirii. II. VI. XII. XX. XXX. XLn. LVI. 15 Parte altera longiores. At vero si inter primum et secundum tetragonum primum parte altera longiorem ponimus, ad utrosque eos una pro- portione coniungitur. In utrisque enim proportionibus dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter secundum 20 tertiumque tetragonum secundum parte altera longiorem ponas, sesqualterae comparationis ad utrosque forma componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia species nascitur. Et idem si in cunctis feceris, cunctas 25 superparticulares species invenire miraberis. 8 Differentiae inpares om, s. 9 s addit XV. 10 s addit LXIIII. II Quadrati om, d, s. 14 Supra hunc versum differentiae a. 15 Parte altera longiores om. a, ly s. 22 inter] in c. 24 nascetar a. INST. ARITHM. II, 33. 129 Duplus. I. II. IIII. Sesqualter. iiii. VI. vini. Sesquitertius. 5 VIIII. XII. XVI. Sesquiquartus. XVI. XX. XXV. £t ad eundem modum in ceteris convenit intueri. Rursus «i ponantur duo tetragoni ex superius descriptis, id est 10 primus et secundus et in unum colligantur, et medius «orum parte altera longior bis multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et •illl*, si iungantur, -V- faciunt. Eo- rum binarius parte altera longior , si bis ducatur , AWL- fiunt, qui iuncti •Vlill* sine ulla dubitatione conhcient, 15 qui est numerus quadratus. Et ad eundem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat intellegi. Sin vero convertas et inter duos, primum et secundum, parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, 20 sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longio- ribus congregatis et bis multiplicato medio tetragono rur- sus tetragonus coniicitur. Namque inter senarium et binarium numerum, qui sunt primus et secundus parte altera longiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, 25 primus actu tetragonus, et coniungantur -11- et -VI-, fa- ciunt VIII- ; tum si bis ducantur medii •1111-, faciunt rur- sus •VIII', qui cum superioribus luncti -XVI- tetragonum pandunt. 1 Duplex c, f, r. s; Dupla d. 3 Sesqualtera a, c, s. 5 Sesquitertia a, c, d. 7 Sesquiquarta a, c, d. 10 ex] et F. 13 -I- d. II quatuor, sibi iungantur quinque c. 14 si om, c, f , F, r. || quatuor c. 15 faciunt a, d, f, r , s. 18 Si vero a, b, c, f, 1, r, s. 23 sex d, f; VI. r. 26 duo a, €, d, f, 1, r, s. II sex a, c, d, 1, r, s. 27 octo c. || qua tuor c, quattuor f. 28 octonarium a, b, c, d, f, 1, r, s. iuncti in margine r, iunctis c. || sedecim f. BOETins. ^ 130 INST. ARITHM. n, 33. V. XIIL XXV. IIII. XII. XXIIII. I. II. IIII. IIII. VI. VIIII. VIIII. XII. XVL VIIII. XXV. XLVIIIL 6 vm. xvm. . XXXII. VIII. XVIII. XXXIL 11. iiii. VL vi. vmi. XII. XII. XVI. XX. XVI. xxxvi. Lxmi. IUud quoque non oportet minore admiratione suspi- 10 cere, quod secundum proprias naturas, ubi altrinsecus duo tetragoni stant et unus parte altera iongior in medio ponitur, tetragonus, qui nascitur, ille semper ab inpari procreatur. Nam ex.superioribus uno et 'IIII* et bis raul- tiplicato binario factus est novenarius tetragonus, qui sci- ib licet a tribus procreatur; ter enim tres •VIIII* faciunt, qui ternarius inpar est numerus. £t sequens, qui ex •IIIL et •VIIII* et bis multiplicato senario coniunctus est «XXV* tetragonus et ipse ex inpari quinario nascitur et conti- nenti post ternarlum ; quinquies enim quinque 'XXV* pro- 20 ducunt et quidarius post ternarium inpar est numerus. Insequenti quoque eadem ratio esL Nam qui ex •VIIIL et •XVL et bis ducto «Xli* quadratus •XLVIIII* producitur^ ilie a septenario inpari fit et post quinarium continenti ; septies enim septem •XLVIIIh creant. At vero ubi duo 25 altrinsecus parte altera longiores unum medium tetrago- num claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et 'VI* parte altera lon- gioribus et quaternario bis mulliplicato •XVI- tetragonus factus est, iile a quaternario numero, id est pari, produ- socitur; quater enim quattuor -XVL sunt. £t insequenti 3 Vim. XII.] VIII. XII. F. 9 ammiratione in mar- gine r. {| suscipere f, s; suscicere r. 13 quattuor f. «15 •III- r. II novenarium a, c, 1, s; novem d. 16 quattuor f. 17 et bisj et om, a. || iunctus c. 19 quinque] -V- c, f. 21 et insequenti d; In sequenti a, 1. 22 et bis . . . XLVIIII. in margine r. || quadratis c. 23 Post continenti addit -VII- a. 24 septem] -VII- c, d, f, r, s. 26 concludunt a. 30 quat- tuor] •IIII- c , d. II in sequenti a, 1. IN8T. ARITHM. II, 34. 131 quoque ordine, ubi ex VI- et •XII- et bis in suam sum- mam ducto novenario -XXXVI- fiunt, ex continenti pari senario copuiantur; sexies enim sex -XXXVI- restituunt. Nec minus in eandem rationem cadit ex -XIL et XX- et bis -XVI* factus LXIIII- tetragonus; hic enim ex octona- 5 rio continenti post senarium nascitur; octies enim VIII. LXIUI. tetragonum iungunt. Et in aliis quoque secun- dum eundem modum, si idem facias, rationis ordo non discrepat. Quod ex quadratis et parte altera longiorihus omnis for^ lo marum ratio consistat. XXXIIII. Illud vero, quod ex his duobus tota omnium formarum videtur orta ^rolatio, non minore considera- tione notandum est. Namque trianguli, qui cunctas alias formas, sicut superius docuimus, coilecti producunt, his i5 iunctis velut ex quibusdam eiemenlis oriuntur. Namque ex uno primo tetragono et binario primo parte aitera lon- giore ternarius triangulus copuiatur, et ex binario et qua- ternario, id est ex secundo tetragono senarius triangulus procrealur. Ex quaternario quoque et senario denarius 20 trianguius nascitur, et ad eundem ordinem cuncta trian- gulorum ratio constabit. Disponantur enim alternatim in- ter se tetragoni et parte altera longiores/ qui ut meiius pernotarentur , prius in duobus eos versibus disposuimus. Post autem eosdem permiscuimus et, qui exinde trianguli 25 nascerentur , adscripsimus. 1 ordine qiioqae a, r. |{ senario et duodenario d; senario et 'XII- r, s. 3 senarii c. || sex enim sexies c, d, f, 1, r. 4 cadent a, b, c, f, 1, r, cadet s. 5 LX quattuor f. 7 LXIIII.°' f. 10 Inscript. om, c, d. 11 consistit f, r. 12 XXXni. 1. II vero versum l copulatur d. [ creatur] copulatur d. quoque c. 18 procreatur et supra yel quaternario a, b, d, 1, r, s. 20 pro- 22 alternatim om, s. || inter] in c. 24 praenotarentur F. || eos in duobus c, s. 25 miscuimus r. 11 qui] quia f. 26 descripsimus c, f, s, F ; sec. mcam ad- ditum r. 132 INST. ARITHM. U, 36. 36. Tetragoni. I. llll. VIlll. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII. LXIIIl. LXXXI. Parte altera longiores. II. VI. XII. XX. XXX. XLII. LVI. LXXII. XC. 5 Trianguli. IIL VI. X. XV. XXL XXVin. XXXVI. XLV. LV. LXVI. Lxxvni. I. II. im. VI. vim. xu. xvl xx. xxv.xxx.xxxvl xlu. Quemadmodum quadrati ex parte altera longioribus vel parte altera longiores ex quadratis fiant. 10 XXXV. Omnis Tcro tetragonus, si ei proprium iatus addatur, vel eodem rursus dematur, parte altera longior flt. Namque •IIIL tetragono si quis duo iungat vel duo detraliat, VI- addeudo perficiei et -IL detraliendo. At uterque Oguram continet parte altera longiorem. Quae 15 scilicet magna est alteritatis vis. Omnis enim infinita et ihdeterminata potentia ab aequalitatis natura et a suis se finibus continente substantia discedens aut in maius ex- uberat aut in minora decrescit. Quod principaliter eiusdem qmdem sit substaniiae unitas, 20 secundo vero loco inpares numeri, tertio quadratiy et quod principaliter dualitas alterius sit substantiae , secundo vero loco pares numeri, tertio parte altera longiores. XXXVI. Constat igitur primo quidem loco unitatem propriae inmutabilisque substantiae eiusdemque naturae, 25 duaiitatem vero primam alteritatis mutationisque esse principium; secundo vero loco omnes inpares numeros 5 Trianguli am. d. 6 LXXVIII.] LXXIIII. c, LXXXVIII f. 8 Inscript. om. cj d. 10 XXXIIII. I. || vero] enim f. 12 quarto f. || vel duos c. 13 perficiat a, r. || duo a, b. c, f, 1, r, s. II At] ut s. 14 figura c. || contineat c, s. [| longiorum corr. in longiorem d. 17 continenti f. 18 in minora] in om. r. || minore b, 1. 19 Inscript, om, c, d. || substantiae sit r. 20 secundo vero .... sit substantiae in margine sec. manu r. 21 et 22 secundo vero . . . longiores om. b, 1, r, s. 22 loco om. f. 23 XXXV. 1. 24 proprie c. INST. ARITHM. II, 37. 133 propter unitatis cognationem eiusdem atque inmutabilis substantiae esse participes, pares vero ob binarii numeri consortium alteritatibus esse permixtos; tetragonos quo- que ad eundem modum considerari manifestum est. Nam quod eorum compositio et coniunctio ex inparibus fit» in- 5 mutabili eos naturae pronuntiabo coniunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium procreantur, nunquam ab alteritatis varietate separantur. Altematim positis quadratis et parte altera longioribus qui sit eorum consensus in differentiis et in proportionihus. lo XXXVII. liiud igitur perspiciendum est, quod, si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur , ita ut al- ternatim sibi permixti sint , tanta in his est coniunctio , ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discre- pent autem differentiis, alias vero differentiis pares sint, 15 proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem idem illi superiores tetragoni et parte altera longiores ab uno: I. II. IIII. VI. VUII. XII. XVI. XX. XXV. XXX. Ergo in superiore formula hoc mai^ime intuendum est. Namque inter •!•, qui est tetragonus, et 'IL dupla proportio est; 20 inter IL et IIU* dupla. Hic ergo tetragonus cum parte altera longiore atque hic cum sequente tetragono eadem proportione iunguutur, differentiis vero non isdem. Nam- que duorum atque unius sola unitas differentia est, sed idem duo a quaternario soio binario reiinquuntur. Rur- 25 sus si -II* ad •IIII- speculeris, dupla est proportio, si IIII- ad -VI- , habitudinem sesqualteram recognosces. Hic ergp 2 a consortio a. || ob in litura r. 5 positio b, c, 1. 9 Inseript. om. c, d. 10 in proportionibus] in om, r, s. 11 XXXVI. 1. II igitnr om. c; qnoque s. 13 his] eis d. 14 eisdem] isdem a. || propositionibus d. jj discre- pant f. 15 differentias c ; differentiis in litura r. 20 unum a, c, d, i, 1, r, s. || duo a, b, c, 1, r, s. J| duplez 1. || est proportio a. 21 duos et quattaor f . {| ergoj enim s. 22 cum sequente] consequente d, r. 23 hisdem a, d, r; eisdem f. 25 •II' d. II relinquitur, n supra i scripto, r. 26 duo a, c, f, 1, r, s. [j quattuor ad sex f. 21 Hic] Hi c, f, r, s; Hic mutatum in Hi a, d. 134 INST. ABITHM. II, 37. in proportionibus discrepant, in difTerentiis pares sunt. Namque et •IIII- a duobus et •VI* a •IIII- eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo, sicut in pri- mis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est, diffe- 5 rentiis non eisdem. Nam •IIII- ad .VI- et -VI- ad •VIIII- sesqualtera proportione iunguntur, -VI- autem quaterna- rlum duobus, •VIIII- Tero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae dif- 10 ferentiae sunt, nunc autem ordine permutato eisdem dif- ferentiis aiiae proportiones , semperque, in quibus diffe- runt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod ge- minatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod 15 mirum videri non debet. Nos enim ipsas summas tetra- gonorum et parte altera Fongiorum geminavimus ad pri- mas secundasque proportiones. Proportiones dunlA. duola ^®**!'^*^" sesqual- sesqui* sesqui- sesqui- sesqui- sesqui- sesqui- uupis. uup s ^gj^ ^gj^ tertia tertia quarta quarla quinta quinta. I. II. IIII. VI. VIIII. XII. XVI. XX. XXV. XXX. XXXVl. I. iL II. III. III. im. iiii. V. V. VI. Differentiae. Eaedem quoque dififerentiae mirabilem in modum a 25 toto per sequentes partes et per easdem unitates, quibus superius creverunt, progrediuntur. Namque inter unum et duo tantum unitas intercedit, quae unitatis, cui aequa- iis est , totum est ; binarii vero medietas. Eodemque modo 2 qaattuor f. || sex a quattuor a, f, 1, r, s. 3 modo ex corr, add. r. || sicut in primis cet. Haec et quae legun- tur usque ad capitis quadragesimi tertii verha: illic vero utri- que sint desunt in a sex vel septem foliis deperditis. || sicut I sex f. 6 sez au- I defferentiae bis r. etiam c, f. r, s. 5 quattuor ad sex f. tem c. 9 eisdem proportionibus f. 10 hisdem c, d, f , r, s. 12 naturales b , r; naturales, es in is mutato, r. 16 geminamus d, f, r; geminavimus et su- pra yi: al bi b. 18 Proportiones om. c, d. 22 -VI- bis c, f, r. 1 in fine sequentem proportionem addit, 24 eodem et supra versum sc. ordine l modo s. 26 •!• et •!!• d. 27 uni- tati f; unitas s; unita c. INST. ARITHM. II, 38. 135 iQter •II* et •IIII* tanlum 11« sunt, qui binarii totum sunt, quaternarii medietas. Inler qualernarium vero et sena- rium idem •II* sunt, ad quaternarium medietas, ad sena- rium pars tertia .III- vero, qui sequuntur, qui inter -VI- et •VIIII- constituli sunt medii, sunt quidem senarii dimi«5 dium , pars vero tertia novenarii. Et rursus ternarius, qui Dovenarii pars tertia est, duodenarii quarta est; et ad eundem modum usque in finem descriptionis gemina- tis huiusmodi partibus, sicut ipsa quoque > summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones lo aspicies. Probatio quadratos eiusdem esse naiurae. XXXVIII. Illud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos inparibus esse cognatos, quod in omni disposi- tione ab uno vel in duplicibus vel in triplicibus talis natu- 15 rae ordo conseritur, ut nunquam, nisisecundum inparem Ibcum tetragonus inveniatur. Disponamus enim in ordi- nem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos. I. U. llll. Vm. XVI. XXXII. LXIIII. _CXXVIII. ^clvi. I. lU. VUII. XXVII. LXXXI. CCXLIH. DCCXXVint. IICLXXXVII. VIDLXI. 20 Si igitur in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetragoni sunl, in inpari loco sunt constituti, quoniam primi sunt. Si vero tertium locum respexeris, •IIII- et Vllil- notabis, quorum hic a duobus proficiscilur , ilium ternarius creat; qui sunt loco in- ^5 pari constituti. Quintum deinde si videas iocum XVI- et •LXXXI- respicies, sed unus a quaternario nascitur, aite- rum novenarius creat. Et si nonum locum rursus adspi- 1 dao et quattuor f. || duo c, d, f. [] binario d; binari r. 2 quatemari r. 3 duo c, d, f. 4 Tres c. || seqnit r. 5 dimidium] medietas d. 6 •VIIII* et supra versum novenarii b. 7 est pars tertia d; tertia pars est f, r, s. 12 Inscript. om. c, d. II naturae esse r, s. 13 XXXVII 1. || autem] quo- que d. 15 vel in duplicibus om, f; sed supra versum in duplicibus ex corr. est additum, 16 ni s. 19 c addit DXII. 21 in ex corr, additum r. 22 inpare b, 1, r. 25 pro- ficitur r. Q illum tertium c, f. 136 INST. ARITHM. II, 39. cias, tetragonos pernotabis •CCLVI* et 'VIDLXI-; quorun> superior fit a XVI*, inferior vero ab «LXXXI* Idem si in infinitum facere libeat, indiscrepanter incurrit. Cyhos eiusdem pariicipare subsi€intiae , quod ah inparihus 5 nascaniur, XXXVIIIL Ipsi vero cybi, qui quamquam tribus inter- vallis sublati sint, tamen propter aequalem multiplicatio- nem participant inmutabilis substantiae eiusdemque na- turae sunt socii , non aiiorum quam inparium coacerva- 10 tione producuntur, nunquam vero parium. Nam si omnes ab unitate inpares disponantur, iuncti figuras cybicas ex- plicabunt. I. III. V. VIL VIIII. XI. Xffl. XV. xvii. xvini. XXI. In his igitur qui primus est, potestate el virtute primum 15 cybum faciet; iuncti vero duo qui sequuntur, ternarius sciiicet et quinarius, secundum efficiuut cybum, qui est octonarius. luncti autem tres, qui sequunlur, septenarius novenariusque et XI- cybum facient , qui •XXVII- numero continetur, qui esl tertius. Et sequentes quattuor quar- 2otum, et qui sequuntur quinque quintum, et ad eundem modum quotus quisque cybus efficitur, tot coniunctione inpares apponuntur. Hoc autem diiigenlius subiecta de- scriptio docet. 1. 25 I. XIIL XV. XVIL XVffll. LXIill. IIl. V. VII. VUII. XI. VIII. xxvn. XXI. XXffl. XXV. XXVII. XXVIIIL cxxv. 1 et om, f, r, 8. 3 currit c, 1, s; currit et supra ver- sum l incurrit b; occurrit f. 4 Inscripi. om. c, d. 6 XXXVIII. 1. II cubi f. 7 sint sublati c. 8 immutabili c, r, s. 9 et non d. j| coaceryationem b» 1. 10 produntur f, r; producuntur et supra versum l produntur b; prodennt d. 11 cubicas f. 15 cubum f. el infra, 16 cybum efficiunt c. 17 •IIL f . 11 septinarius r; VII. s. 18 VIIII. s; novenarius, omisso que, c, r. || undenarius c. || faciunt f, 8. 19 -1111 > c, d. 20 V* d, 8. 21 tota c, s. || ad coniunctionem f. 22 opponuntur d; ponuntur» lUura praecedente,- \, || Hoc au- tem . . . docet om, 1. 26 XXVIIII] XXIX. I. jj In c, r, s INST. ARITHM. U, 40. 137 De proportionalUaiibus, 'XL. Et de his quidem sufficienter dictum est; nuoc res admonet quaedam de proporlionibus disputantes, quae nobis vei ad musicas speculaliones vel ad astronomicas subtilitates vei ad geometricae considerationis vim vei 5 etiam ad velerum lectionum intellegentiam prodesse pos- sint, arithmeticam introductionem commodissime termi- nare. £st igitur proportionalitas duarum vel trium vei quotlibet proportionum adsumptio ad unum atque coi- lectio. Ut etiam communiter definiamus: proportionalitas 10 est duarum vel piurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et difi^erentiis constitutae sint. Difierentia vero est inter numeros quantitas. Pro- portio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo et quasi quodammodo continentia , quorum com- 15 positio quod efficit, proportionaie est. Ex iunctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem ter- minis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in plu- ribus. sed longior; ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem. Sin vero 20 quattuor contra duo compares, hic quoque dupla propor- tio est. Quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas et est propor- tionaiitas unum ad duo et duo ad quattuor. Est enim pro- portionaiitas, ut diclum est, collectio proportionum iu 25 unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quattuor illis octo velis adiungere et his •XVI- et his •XXXII- et deinceps duplos, qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur cyhi supra numeros, ex quihus constant, leguntur. 1 Inscript, om, c, d, 1. II s addii: quartum thema incipit. 2 XXXVIIII. 1. 3 proportionibus] Legendum videtur proportionalitatibus. 6 lectionem d. 7 arithmetica introductione b, c, d, 1, r, s. || terminari c. 10 etiam] autem d, f, r, s. || commoniter r. 11 est om. c,.8. 18 etiam] enim d. 21 •IIII- c, d; 1111°^ f. II II- c. \\ et hic d, f, r, s. 22 m- c. 24 I- ad duo et 11. ad .mi- d. |I ad IIII- c. || Est enim] £t est f. 27 ira- c, d. II Vni- c, d, f. 138 INST. ARITHM. H, 41. quotiens unus atque idem terminus ita duobus circurn se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quattuor. Est enim aequalitas in his proportionibus 5 et quemadmodum sunt .1111* ad 'II*, sic sunt •II- ad unum, et rursus quemadmodum unus ad duo, sic duo ad quat- tuor. Et secundum quantitatem quoque numeri eodem modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quanto unus a duobus minor est, 10 tanto binarius a ternario superatur. Sin vero alius ad unum refertur terminus , alius vero ad alium , necesse est habitudinem disiunctam vocari, ut ad qualitatem quidem proportionis sunt: I. II. lill. VIII. Sic enim sunt quem- admodum duo ad unum, sic octo ad quattuor, et conver- 15 sim : quemadmodum unus ad duo , sic quattuor ad octo, et permutatim: quemadmodum quattuor ad unum, sic octo ad binarium. Secundum quantitatem vero numeri, ut sunt: I. 11. III. IIIL Quantum enim unus a duobus vin- citur, tantum ternarius a quaternario superatur, etquanto 20 duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam: quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem su- perat, tanto binarium transgreditur quaternarius. Quae apud antiquos proportionaliias fuerit; quas poste- 25 riores addiderint, XLI. Gonfessae quidem et apud antiquiores notae, 1 quoties c. 3 I. II. Iin. c. 6 •!• c. 6 •!• ad II- sic •II^ ad •IIIL c; unus ad •!!• sic duo ad •IIII* f. || -ir ad •IIIL d. 9 quantum d, f, s. 10 tantum c, d, f, r, s. 12 ad qualitatem, ae ex corr, addito d, r; ad qualita- tem et supra versum in ai ad aequalitatem b; ad aequali- tatem c, f, s. || quidem om. 1. 13 proportiones d, f; proportionis et supra versum in a} nes b. 14 •£[• c, s. || •L 8. [1 Vm. ad 1111. c, d, f, s. 15 I. c, s. || IL c, f, s. II IIII- ad -VIIL c, d, f, s. 16 permotatim r. || IIIL c, d, f, 8. II L c, d, 8. 17 •VIIL c, d, f, s. || IL s. 19 quantum d, f. 20 tantum d. 21 tantum d. 24 Inscript. om, c, d. 25 addiderunt f. 26 XL. 1. || Confuse, in mar- IN8T. ARITHM. II, 42. 139 qoaeque ad Pylhagorae vel Platonis vel Aristotelis scien- tiam pervenerunt, iiae tres medietates sunt: arilhmetica, geometrica, armonica. Post quas proporlionum habitu- 3ines tres aliae sunt, quae sine nomine feruntur quidem, Tocantur autem quarta, quinta, sexta, quae superius dictis 5 oppositae sunt. At vero posteri propter denarii numeri perfectionem , quod erat Pytbagorae conpiacitus, medie- tates alias quattuor addiderunt, ul in his proportionalita- tibus denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque liabitudines compara- lo tionesque descriptae sunt, ubi quinque maioribus propor- tionibus, quos vocavimus duces, minores aptavimus alios terminos, quos comites diximus. Inde etiam in Aristote- iica atque Archytae prius decem praedicamentorum de- scriptione Pythagoricum denarium manifestum est inve- 1& niri; quando quidem et Plato, studiosissimus Pythagorae, secundum eandem disputationem dividit, et Archytas Py- thagoricus anteAristotelem, iicetquibusdam sitambiguum, decem haec praedicamenta constituit. Inde etiam decem membrorum particulae, inde alia permulta, quae omnia 20 persequi non est necesse. Quod primum de ea , quae vocatur ariihmetica proportiO' nalitas^ dicendum sii, XLII. Nunc vero de proportionalitatibus deque medie- tatibus dicendum est, et primum quidem de ea medie- ^^ tate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem neglecta proportionis parilitate constitutorum terminorum habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas ista versatur, inque his speculanda est, in quibus a se gine autem confesse r. 2 •III* c. 4 qaidem fernntur c, d, f, r, 8. 5 vel sexta c, d, r, s; vel linea subnotaium b. 8 IIII. c, d. 9 denarii f. 10 V. d,.f, r, s. 11 -V. d. 12 Yocabimns b, 1, s; vocamus f. 14 'X. c, d, f. [] scri- ptione d. 17 eandem] eam d, f. || dispositionem s. 19 .X* c, f. II .X. c, d, f. 22 Inscript, om. c, d; in a inscriptio evanuii. 23 est b, f, 1, r. 24 .XLL 1. [] yero om. s. 140 INST. ARITHM. II, 43. ipsis termini differunt. Quid autem esset differentia ter- minorum superius definitum est. Hanc autem esse arith- meticam medietatem numerorum, ipsa ratio deciarabit, quoniam eius proportio in numeri quantitate consistit. 5 Quae igitur causa est, huiusmodi terminorum habitudi- nem, id est arithmeticam, cunctis aliis proportionalitati- bus anteponere? Primum, quod hanc nobis in principia ipsa numerorum natura et vis naturalis quantitatis ubpo- nit. Huiusmodi enim proportiones quaeque ad termino- 10 rum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus. Deinde, quod in superiore libro disputantibus nobis apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem et quod inlata non has simul inferret, sublata 15 vero perimerel. Quare ordine disputatio progredietur , sL ab ea primo inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia non in proportionis speculatione versatur. De arithmetica medietate eiusque propHetatihus. XLIIl. Arithmeticam medietatem vocamus, quotiens 20 vel tribus vei quotlibet terminis positis aequalis atque eadem differentia inter omnes dispositos terminos inveni- tur. In qua neglecta proportionis aequalitate terminorum tantum differentiarumque speculatio custoditur, ut: I. II. m. IIU. V. VI. Vn. VIII. VIIII. X. In hac enim naturalis 25 numeri dispositione, si quis continuatim differentias ter- minorum curet aspicere, secundum arithmeticam medie- tatem aequa terminorum inter se discrepantia est; aequa- les enim sunt differentiae, sed eadem proportio atque habitudo non est. Si igitur in tribus terminis consideratia 2 defenitam r. 12 in om, d, r. 14 non om. c, r. 15 in ordine 1; in eo? corr, additum b, r. 16 ab his s. |[ primum 1; prius d; primus et supra us o r [| incoandum r. 18 Tiiulus deest in c, evanuit in s. || De arithmetica medie- tate contextui addit r. || eiusque proprietatibus om. d, r. || proportioDibus f. 19 XLII. 1. [| quoties s. 24 enim] ergo c, f, s. 29 consideratio sit . . . tribus terminis om. c INST. ARITHM. tl, 43. 141 «it, continua proportionaliias dicitur; sin vero hic alius •dux et alius coines, illic vero utrique sint alii, vocabitur disiuncta medietas. Si igitur in iriiius tautum terminis secundum continuam medietatem respexeris vel in quat- tuor vel in quotlibet aliis secundum disiunctam easdem 5 semper differentias terminorum videbis, tantum solis pro- portionibus permutatis. Id si in uno quis noverit, reliqua €um ratio non latebit. Sit continua medietas I. II. III. Hic unus a duobus et duo a tribus solis tantum singuiis distant, et sunt eaedem difTerentiae, proportiones vero lo aliae. Namque duo ad unura dupius est, III- ad -II- ses- qualter. Et in ceteris idem videbis. Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas et in his aliquam speculatio- nem ponas, idem poterit evenire. Nam si aequales ter- minos intermittas et uno sese in priore dispositione prae- 15 tereant, si singulos intermittas, solius binarii notabitur differentia, sin vero duos praetereas, ternarii, si tres, quaternarii, si quattuor, quinarii. Et ad eundem modum uno plus, quam iniermiseris, eritilla, quam quaerimus, differentia terminorum. Namque si Jn tribus terminis sin- 20 guli reiinquantur, binarius semper intererit. Differenliae. II. II. L II. Ijl^ IIIL V. Videsne ut , cum superius in naturalis numeri dispositione 25 se termini singulis praeterirent, praetermissis duobus et 2 sunt r. 3 desiuncta r. || terminis tantum a, c, f, ], s. 4 •IIIL c. 5 disiunctam medietatem a, c, f, s; medietatem in margine r, linea subnoiatum et supra versum glossa b. 6 tamen a. 7 Et si et supra versum id a. 8 non latebit ratio a. 9 -II- c, d. 11 •IL c. || tres ad duo d, f. II ad duos a, 1, s. 16 binari r. 17 duo d, r, s; -ir b, c, 1; duo corr. in duos a. || ternari r. || si tres quater- narii om, d. || •III^ b. ^ 18 si •IIII> quinarii in margine r. || •IIII- s. 19 plus, quod a, plus, quem c. 20 in tribus ter- minis si f ; si ex corr, add. a, r, s. 21 semper binarius c, f , s. 22 Differentiae om, s. 26 solis duobus d. || •IL s. 142 INST. ARITHM. H, 43. 'IIIl- unus ad -III- et -III- ad quinarium comparati bina- rium solum in differentia retinuerinL Nec non etiam in disiuncta eadem versabitur observatio. Differentiae. II. II. I. II. III. iiii. V. VI. vn. Talibus igitur vestigiis insistentem nullus ab eadem simi- litudine error abducet. Namque si duos intermittas, ter- narius differentiam continebit, si tres, quaternarius , si 10 qualtuor, quinarius aeque in continuis proportionibus at- que disiunctis. Qualitas autem proportionis eadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distributi. Quod si conversim ponantur, ut non eisdem differentiis eadem qualitas proportionis eveniat, geometrica talis pro- 15 portionalitas , non arithmetica nominatur. £st autem proprium huius medietatis , quod , si in tri- bus terminis speculatio sit, compositis extremitatibus illa summa, quae inter extremitates est, non ioco tantum verum etiam sit quantitate medietas. Ut si ponantur I. 11. 20 UI., unus et •IIL quattuor reddunt, duo vero, qui medius inter utrosque est, quaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas , aequus erit extreniitatibus. Bis enim II. IIII. creant. Sin vero disiuncta sit, quod fit ex utrisque extremitatibus compositis, hoc ex duabus medie- 25 tatibus redditur. Si enim sint I. II. III. IIII., unus et quat- tuor quinarium creant, •II* et -ilL medii in eundem rur- sus quinarium surgunt. 1 quattuor f. |1 •!• s. || tres c. || et tres c, f; et •III^ supra versum d. || •¥• s. 2 etiam om. s. 3 eadem om. c. || operatio d. 4 Differentiae om. s. 5 b, c, f, 1 perverse: III. m. I. II. ni. IIII. V. VI. VII. 10 •IIII- c. 14 talis om. c. 19 fit d, f, r, s. || ponatur a, c, s. 20 tres c, d. || IIII^ c. || II^ d. 21 est su- pra versum a. 22 extremitatibus addendum videtur compo- sitis, 23 duo c, d, f. |1 desiunctli r. \\ quae 1; quae ei supra versum quod b. 24 duobus f. 25 sunt r. 26 duo et tres d, f. INST. ARITHM. II, 43. 143 Continua. I. U. III. IIII. I I. II. lU. IIII. j V. Est illi hoc quoque solida proprietate coniunctum, quod quemadmodum sunt omnes termini huiusmodi dispositio- nis ad se ipsos, ita sunt differentiae ad differentias con- lo stitutae. Namque omnis terminus sibi ipsi aequalis est et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque sub- tilius, quod multi huius discipiinae periti nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt, quod in omni dispositiune vel continua vel disiuncla, quod continetur sub duabus 15 extremitatibus minus est eo numero, qui ex medietate conficitur, tantum, quantum possunt duae sub se differen- tiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constilutae. Ponamus enim tres terminos huiusmodi III. V. VII. Si igi- tur tres septies augeantur, in XXI- numerum cadunt. 20 Quod si medium terminum, id est •¥% in semet ipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt •XXV- Et hic numerus ab eo , quem extremitates coUigunt^ quaternario maior est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter •III- enim et -V- et VII- bini intersunt, quos si in sese multi- 25 plices, IIII- reddunt. Bis enim duo •IIII- fiunt. Recte igitur dictum est, in hac huiusmodi dispositione, quod continetur sub extremitalibus, minus esse illo numero, 3. IIII] bis IL 1; bis 11. et IIII. c, d, f. 8 qDoque lioc a, f, 8. 14 antea supra versum a; ante 1; ante ea r. 16 eo numero est a. {| est om, 1. 20 .III. c; ter d. 22 quinquies enim a, I; enim supra versum b. || •¥* c, f. 24 est supra versum a. || tres d, f. 25 quos] quod r. || in se d; in se corr, ex inter hac a. 26 quattuor f. || quattuor f. fiunt '1111. d. II sunt a. 144 INST. ARITHM. II, 44. qui fit ex medietate , tantum , quantum differentiae in se multiplicatae restituunt. ini. II. n. 5 III. V. VII. XXV. I L. XXI. Quartum vero proprium huiusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in 10 hac proportionaiilate vei medietate in minoribus terminis maiores proportiones, in maioribus minores comparatio- nes necesse est inveniri. Namque in dispositione hac I. II. III. minores termini sunt I- et •II- , maiores -II* et III- Et •II* ad unum duplus est, tres vero ad -IL sesqualter. 15 Sed maior est proportio dupli quam sesqualtera. In ar- monica autem medietate e contrario evenire contingit; in minoribus enim terminis minores proportiones, in maio- ribus maior proportionisquantitascustoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque armonicae, geome- 20 trica proportionalitas media esse notata est, quae vel in maioribus vel in minoribus terminis aequas numerorum qualitates in proportionalitale custodit. Inter maius vero et minus aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arith- metica quidem medietate satis dictum est. 25 De geofheirica medietate eiusque proprietatibus, XLIIII. Nunc vero, quae hanc sequitur, geometrica medietas expediatur , quae sola vel maxime proportionali- tas appellari potest propterea quod in eisdem proportio- 10 in medietate c. 13 sunt termini c, d, 1, r, s. 14 Et] Nam et b, c, 1; Nam a. || duo c, f. || -I- s. || III- d, 8. II duo b, c, f.; duos a. 16 contigit f. 17 proportio- nis c. 20 nota r. 25 Jnscript. om. c , d. || medietate] auctoritate f. || eiusque proprietatibus supra versum a, gui codex inscriptionem capitis quadragesimi secundi addit. 26 XLII. a; XLIII. 1. || consequitur a, f, s; con ex corr. add. d. 28 in ea eisdem f, s. [| eandem et supra an is r. INST. ARITHM. II, 44. 145 nibus terminorum vel in maioribus vel in minoribus spe- culatio ponitur. Hic enim aequa semper proportio custo- ditur, numeri quantitas mnltitudoque neglegilur, contrarie quam in aritbmetica roedietate, ut sunt I. II. illl. VIII. XVI. XXXIL LXIIII. vel in tripla proportione I. III. VIIII. 5 XXVII. LXXXl. vel si quadrupla ve! si quincupla vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta disten- sio. In his enim, quotlibet terminos sumpseris, explebunt geometricam medietatem, quemadmodum enim prior ad sequentem est, ita sequens ad alium, et rursus, si per- lo mixte facias, idem erit. Si enim ponantur tres termini II. IIII. et VIII. , quemadmodum sunt •VIII- ad •IIII* ita quat- tuor ad duo. Atque boc si convertas, quemadmodum sunt duo ad quattuor, ita erunt quattuor ad VIII» dupla dupla i5 II. IIII. VIII. Vel si in quattuor terminis, ut sunt II. IIII. VIII. XVL, quemadmodum est primus ad tertium, id est IL ad •VIIL, sic erit secundus ad quartum, Id est IIII- ad -XVI-^ Utra- que eniro proportio quadrupla est. Et conversim quem- 20 admodum quartus est ad secundum, ita tertius notatur ad primum. Hoc vero etiam disiuncte licet. Nam quemad- modum est primus ad secundum, id est duo ad JliL, sic tertius ad quartum, id est VIII- ad -XVI- Et conversim quemadmodum secundus ad primum, id est IIIL ad 'IL, 25 ita quartus ad tertium, id est -XVI- ad •VIIL Idque in omnibus rata consideratione perspicies. 6 quinquupla, qu in c mutaio^ a; quincupla, c in quu mutato^ b, c. 7 sit constituta numerorum d. || distantia, a, r, 8 enim] vel r. 9 medietatem geomctricam c, s.J quemammodum d, ei infra, 10 alium] alterum a. || etj vel 8. II si om. r. 11. III- c, f. || IL et 1111. d. 12 Vm. et IIII. r. II quattuor f. H ita] sic a, c. || IIII- ad •II. c, d, r, s. 14 11. ad IIII. c, d; duo ad 1111. r, s. || .1111- ad .VIII- c, d, s. 16 Descriptionem om, c , s. 17 si supra versum a. || in om. f. || .IIIL d, s. || terminis] ter- mini sint f; terminis idem feceris s. 18 duo d, f. 19 erit secundus] sunt -11. d. [| .IIII.o^ f. 22 disiunctae a, b, d, f , r, s. 23 11. c, d. [| .IIII.o'' f. 25 I. r. [| quattuor ad diio i. BOETIUS. \Q 146 INST. ARITHM. II, 44. dupla dupla n. iiii. VIII. XVI. (j[uaaru[jla tiuadrupla. Habet aulem propriiim huiusmodi medielas, quod in omni dispositione s^cuadum hanc proportionaiitatem termino- rum differentiae in eadem proportione contra se sunt, qua 5 fuerint ipsi termini, quorum sunt ipsae differentiae. Sive enim dupii contra se sint termini, duplae erunt etiam dif- ferentiae, sive tripli, triplae, sive secundum quamlibet multiplicitatem , eadem in, dilTerentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subiecta 10 descriptio monet. Differentiae duplae. I. II. IIII. Vlll. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVlIf. I. II. 1111. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII. CCLVl. Termini dupli. 15 Nulli igitur dubium esse potest, quod, cum omnes ter- mini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differen- tiis omnes paene dispositos subier terminos, quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud 20 proprium, quod omnis ad minorem maior terminus compa- ratus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt,etquaternarius binario ipso binario et octonarius quaternario ipso quaternario et dein- ceps maiores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt, 25 quos numerositale praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit; sinverosint tripiicesproportionesmaior 1 Descriptionem sec, manus addidit in d. 2 huiusmodi proprium f, s. 5 fuerant c, fuerunt s, fuerunt, et supra alierum u i, r. H ipsae] supra versum r; ipse d, f. |1 ipsae sunt c, f, s. 5 — 7 Sive .... diflferentiae in margine d. 6 enira om. c. || sunt r. || sint termini contra se d. || termini om. 1. II etiam supra versum a. 8 multiplicationem c, f, 1, s; multiplicitatem et supra versum ationem b. 10 monet] docet d. 11 Differentiae duplae 0?«. c. 12 CXXVIII. om. s. 13 CCLVI. om. d, s, 16 sunt c, 1, r. 21 diffe rentia f. 22 defert r. 23 octonario quaternarius d. quaternario ipso quaternario in margine r. INST. ARITHM. II, 44. 147 terminus a minore termino duplicato minore termino dif- fert, ut, si sint I. lil. VIIII. , tres ab uno binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicalus cxundat; et •VIIII- a tribus senario differunt, quem ternarius dupli- catus educit. Et in aiiis cunctis eiusmodi ralio repperietur. 6 Sin vero quadruplices sint, Iriplicato minore termino maior terminus a minore distabit, et, si quincupla, qua- druplicato, et, si sescupla quincupiicato , et una minus multiplicatione, quam est ipsa minorum ad maiores com- paratio terminorum , minorem numerus maior exsuperat. lo Differentiae ipsi minores. I. II. iiu. VIII. XV!. xxxii. Lxiiii. cxxvm. I. II. IIII. VIII. XVI. XXXIT. LXIIII. CXXVIII. CCLVI. Termini dupli. Differenliae dupli minores. is II. VI. XVIII. LIIII. CLXII. CCCCLXXXVi. TCCCCLVIII. 1. III. VIIII. XXVII. LXXXF. CCXLIII. DCCXXVIIIL IICLXXXVII. Termini tripli. Differentiae tripli miiiores. IIL XII. XLVUi. CXCII. DCCLXVjJI. iriLXXli. XTlCCLXXXVlll. 20 L IIII. XVI. LXIIII. CCLVL 1 XXlllI. llllXCVi. XVICCCLXXXIIIF. Termini quadrupli. Haec autem proportionalitas et in aliis omnibus vei superparticularibus vel superpartientibus invenitur huius- modi proprietate in omnibus conservata , ut in continua 25 proportione, quod fit sub extremitatibus, si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint II. IIIl. VIIL, quod fit ex bis •VIII., idem fit ex quater •IIII- ; vel si sit in quattuor terminis disiuncta proportio, 7 quadriplicato b, 1. 8 quinquiplicato a, d; quinquu- plicato r, s. 9 minor iuxta liluram f. || ad supraversum a. 10 minorem] minor est d. || numerus om. s; numerum c || exuperat d. , 11 ipsi] ipsae f; dupli b, 1; duplae s. [] mi- nores om. s. 15 dupli] tripli b, c, 1; triplae f, s. [| minores om, 8. 16 TCCCCLVIII] DCCCCLVH c. 19 Differntia tripla d. || quadrupli b, c, 1; quadruplae f, s. || minores om, d, s. 28 idem fit ex quater] reddatur ex est a. 29 quattuor f. || -1111« c. 10* 148 INST. ARITHM. II, 44. quod fit sub utrisque extremitatibus , id duarum medieta- tum multiplicatione concrescat, ut, si sint 11. IIII. VIII. XVI., quod fit ex bis -XVl-, id ex quater •VIII- reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud, 5 ubi ex aequalitate diximus omnes ioaequalitatis species fundi. Iliic enim in omnibus vel muitiplicibus vel super- partientibus vel superparticularibus vei in ceteris con- iunctis geometrica proportionalitas custoditur bas omnes proprietates, quas supra diximus, continens. Quarta 10 vero est proprietas huiusce medietatis , quod vel in maiori- bus vel in minoribus terminis aequales semper proportio- nes sunt. Namque si ponantur II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. , inter hos omnes dupla proportio est. Apparet etiam haec proportionahtas in binis proportionibus ab 15 unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticularis habitudines proportionesque discurrens; quod subiecta descriptione signatum est. 20 25 Tetragonus I. Parte altera longior II. dupla Tetragonus Ilil. dupla Parte altera longior VI. sesqualtera Tetragonus VIIII. sesqualtera Parte altera longior XII. sesquitertia Tetragonus XVI. sesquitertia Parte altera longior XX. sesquiquarta Tetragonus XXV. sesquiquarta 1 sub] ex f. 2 concrescit f. 3 sedecim f. 4 sit] fit d, f, 1. 5 ex] ab a. 6 profundi a. 7 coniunctis cunctis a. 10 proprietas est d. || huiuscemodi a; huiusce et supra ver- sum al huiuscemodi b. 12 d addit •!• 14 etiam] autem f, s. 17 superparticulares c. 20 longior om. a, b, r, hic et infra; 1, f, s. II dupla rasura deleium c; sed hoc et sequentia propor- tionum vocahula uno versu promota sunt in a, c, r, s aique in c in fine addiia est sesquisexta ad implendum vltimum versum, qui in a, r, s proportionis nomine vacai. 22 longior] t, f, s. || sesqualter genusque masculinum eiiam in reliquis vocahulis f. 23 VIIII. rasura deleium c. 24 longior om, f. hic et infra. 11 XII. rasura deleium c. 25 XVI] X in liiura c. 27 XXV] XX in litura c. INST. ARITHM. II, 45.46. 149 Parte altera longior XXX. sesqiiiqiiinta Telragonus XXXVI. sesquiquinta Parte altera longior. XLIl. sesquisexla Tetragonus. XLVIIIl. sesquisexta Quae medietates quibus rerum publicarum statihus com' 5 parentur, XLV. Atque ideo aritlimetica quidem rei publicae com- paratur, quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus eius terminis maior proportio sit. Musicam vero medie- tatem optimatium dicuut esse rempublicam ideo, quod in lo maioribus terminis maior proportionalitas invenitur. Geo- metrica medietas popularis quodammodo et exaequatae civitatis est. Namque vei in maioribus vel in minoribus aequali omnium proportionalitate componltur, et est inter omnes paritas quaedam medietalis aequum ius in pfopor- !•'> tionibus conservantis. Quod superficies una tanlum in proportionalitatibus medie- tate iungdntur^ solidi vero numeri duabus medietatibus in medio collocatis, XLVI. Post baec igitur tempus est, ut expediamus 20 nunc quiddam nimis utile in Piatonica quadam disputa- tione , quae in Timaei cosmopoeia haud facili cuiquam vei penetrabiii ratione versatur. Omnes enim planae figurae, quae nuUa altitudine crescunt, una tanlum medietate 2 XXXVIJ X in litura c. 3 XLII] XL in litura c. || sesquiquinta c. 4 XLVJIII] L in litura c ; XLIX ih litura r 5 Inscript. om. a, c, d, f. 7 XLIIII. 1. || quidem uritlime- tica c, r, s. || ei reipublicae f. 9 sit] fit f ; est a. 10 opti- matum c, f; optimatium in optimatum mutatum d. 15 in proportionibus] pro portionibus f. 16 sibi conservantis r; conservatis, n supra a, a; conservans, ti supra n, d. 17 Jnacript, om, d. In a legitur inscriptio capitis quadragesimi tertU, II una tantum] unitatum f. 18 iungunturc; iungatur f. 19 coUocantur c, r. 20 XLIII. a; XLV. 1. 21 quod- dsm a. 22 timerica a. || cosmopoetica a, c; cosmopoetico r. 23 enim om, a. |{ plane d. 150 INST. ARITHM. II, 46. geometrica continuantur; alia, quae iungat, non potest inveniri; unde duo tantum in liis intervalia sunt consti- tuta, a primo scllicet ad medium et a medio ad tertium. Si vero fuerint cybi, duas tantum habebunt medielates, 5 ubi tertia inveniri non poterit secundum geometricam scilicet proportionem ; unde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum intervallum a primo ad secundum et a secundo ad tertium et a tertio ad quartum, quae est scilicet postrema distantia. Recte igitur et pla- 10 nae figurae duobus intervallis et solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni •Illl- scilicet et Vllll- Horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namqne senarius ad •IIII- sesquaiter est et •VIIU- ad senarium eodem modo sesquaiter. Hoc autem 15 idcirco evenit, quod singula latera singuiorum tetragono- rum efficiunt senariam medietatem. Nam quaternarii te- tragoni latus binarius est, novenarii ternarius. Hi ergo multiplicati senarium perfecerunt; bis enim IH- senarius est. Et quotienscunque datis duobus tetragonis eorum 20 medietatem volumus invenire, latera eorum multiplicauda sunt, et qui ex his procreabitur, medietas est. Si autem cybi sunt, ut VIII- et -XXVII-, duae tantum inter lios ea- dem proportione medietates constitui queunt, XH- sci- licet et XVIII^ Namque XU ad Vni. et XVUL ad .XII. 25 et XXVll. ad XVIII. sesqualtera tanlum proporlione iun- guntur- In his quoque eadem laterum ratio est. Nam- que ex nno cybo, qui propinquior est, una medietas duo latera colligit, ex alternatim vero posito unum. In alia quoque medietate idem est. Ponantur enim duo cybi et 30 in medio eorum duae medietates, quas superius diximus: VIII. XII. XVIII. XXVII. Octonarii igitur latus est bi- 2 intervalla in his c; in his supra versum a. 9 soilicet est a, c; est om. s. 12 in eandem proportionem c, r, s. 14 autem] igitur f. 15 iccirco 1. || covenit d. 16 sena- rium a. 18 perfecerunt senarium c, s. || tres c, d, f. 19 datis 07». c. Il tetragonis additis c. 20 inveniri c. 21 autemj enlm a. 22 oubi f. || sint-c, d, f, 1, r. || hos] eos a. 27 medietates d. 28 collegit a, r. 30 quas] qua d. INST. ARITHM. II, 46. 151 narius; bis enim bini bis octonarium referunl; ternarius vero XXVII- cybi latus est; ter enim tres ter •XXVII- restituunt. Medietas igitur, quae iuxta octonarium est, id est -XII-, mutuatur duo latera ex propinquo sibi octonario et aliud unum latus ex altrinsecus posito s •XXVII- cybo. Bis enim bini ter XII- pandunt. Et •XVIII- eadem ratione duo latera a propinquo sibi •XXVII- cybo colligit et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis XVIII- concludunt. Hoc autem universaliler speculandum est. Si tetragonus i<> tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit; sin vero parte aitera longior tetragonum multiplicet vel tetragonus parte altera longiorem nunquam tetrago- nus, semper parte altera longior crescit. Rursus si cybus cybum multiplicaverit, cybi forma conficitur, si i^ vero parte altera longior cybum vel cybus parte altera longiorem, nunquam cybus procreabitur. Hoc sciiicet secundum similitudinem paris atque inparis. Par enim parem si muiliplicet, semper par nascitur et inpar in- parem si multiplicet, inpar continuo procreabitur. Si ^<^ vero inpar parem vei si par inparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de republica eo loco, qui nu- ptialis dicitur, quem ex persona musarum philosopbus introducit. Sed nunc ad terliam medietatem redeun- ^s dum est. 1 bini binis f; bini bis enim d. || referunt] ferunt b, c, l; fecerunt d, f, r, s; ferunt, re ex corr. addito^ a. 2 tres terni b, 1. 3 restituent s. 8 uno b, c, f, 1; uno corr. in unum r. || ab om, d, s. 13 tetra^onus est, sed f. 14 s^em- per] per in litura b , c; neque 1, s. || semper parte altera lon- gior crescit] d in margine: neque parte altera longior ad- erit. 8in autem parte altera longior parte altera longiorem multiplicaverit; r in margine: Si autem parte altera longior multiplicet parte altera longiorem «emper parte altera longior crecit {sid). \\ Post longior addunt b, c, 1, s: aderit. Sin autem parte altera longior parte altera longiorem multipU- caverit semper parte altera longior. || orescet 1. 19 si parem b. 20 procreatur d, f, 1, r. 152 INST. ARITHM. II, 47. Be armonica medieiaie eiusque proprietatibus. XLVII. Armonica autem medietas est, quae neque eisdem differentiis nec aequis proportionibus constituitur, sed illa, in qua quemadmodum maximus terminus ad par- 5 vissimum terminum ponitur, sic difTerentia maximi et medii contra difTerenliam medii atque parvissimi compa- ratur; ut si sint III. IIII. VI. vel si II. III. VI. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus, quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenit, 10 id est uno , et senarius ternarium sua medietate , id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est unitate transcendit Quare in his neque eadem proportio terminorum est, neque sunt eaedem dilferentiae, est au- tem quemadmodum maximus terminus ad parvissimum 15 terminum , sic differentia maximi et medii ad difTerentiam medii atque postremi. Namque in bac proportione, quae est III. IIII. VI., maior terminus, id est senarius, ad par- vissimura terminum, id est ternarium, duplus est et diffe- rentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo 20 scilicet, ad differentiam medii et ultimi, id est quaternarii atque ternarii, quae est unitas, dupla perspicitur. Sed hoc quoque subiecta descriptione monstratur. DifTerentiae dupiae. DifTerentiae triplae. I. 11. I. III. 25 III. IIII. VI. II. III. VI. Termini dupli. Termini tripli. Habet auten) proprietatem, quemadmodum dictum est, contrariam arilhmeticae medietati. In illa enim in mino- ribus terminis maior erat proportio, in maioribus minor. 80 In bac vero in maioribus quidem terminis maior est pro- portio, in minoribus vero minor. Namque in bac dispo- 1 Inscript. om. c, d. || armonia r. 2 XLIIII. a; XLVI. 1. 4 illa €00 corr, add. d. || in ex corr, add, r. || quemammodum d. 10 -I. f, s. II medietate superat f. 11 -111. c, f. 17 «VI. s. I id est om. d, f, r, s. 21 atque ternarii ex corr add, d. 22 monstratur descriptione f. jj demonstratur b, 1. 2^ dupli b. II tripii b; duplae d. 24 I. IIL om, d. 26 dupli. Ter- mini om. d. || triplae d ; terne s. 28 in om, d. 29 erit d, s. INST. ARITHM. II, 47. 153 sitione III. IIII. VI. tres ad quattuor coniparati sesquiter- tiam habitudinem , sex vero ad quattuor, sesquaiteram reddunt. Sed maior est proportio sesquaitera a sesqui- tertia tantum, quantum pars tertia medietate transcendi- tur. luste igitur medietas quaedam geometrica proprie- & que esse proportionalitas iudicatur, sciiicet inter eam, ubi in maioribus terminis minor est proportio et in minoribus maior, et inter eam, ubi in maioribus maior est, in mino- ribus minor. IUa est enim vere proportionalitas, quae medietatis quodammodo iocum obtinens et in maioribus et ^o in minoribus aequalibus proportionum comparationibus continetur. Hoc quoque signum est duarum extremitatum mediam esse quodammodo geometricam proportionem. Namque in arithmetica proportione medius terminus ea- dem sua parte et minorem praecedit et a maiore praece- 15 ditur, sed alia parte minoris, alia vero parte maioris. Sit enim arithmetica dispositio II. III. IIII. Ternarius igi- tur numerus binarium terlia sua parte praecedit, id est uno, et a quaternario tertia sua parte praeceditur, id est uno. At vero ternarius non eadem parte minoris mino- 20 rem vincit vel maioris a maiore superalur. Namque mi- norem, id est binarium, uno superat, id est ipsius medie- tate binarii, a quaternario vero uno relinquitur, quae pars quaternarii quarta est. Recte igitur dictum est, me- dium terminum in huiusmodi medietate eadem sui parte 25 et minorem vincere et a maiore superari , sed non eisdem partibus vel minoris minorem transgredi vel maioris a maiore transcendi. Contrarie armonica medietas propor- tiones habet. Namque non eadem parte sua medius ter- minus in hac proportione vei minorem vincit vel a maiore so 1 atque quattuor d; ad •IIII- c. 2 •¥!• c, f. || •IIII^ c. 5 iustae f , r. || propriaeque f, r. || proprie, omisso que et esse, 1. 9 enim est vere b, c; enim vere est 1. 16 parte maioris] parte minoris c; maioris omisso parte f. 21 a maiori c. 22 superat uno c. 23 quae] qui d; quae uni- tas 8. 24 est quarta pars quaternarii a; pars est quater- narii quarta f, r, s; est pars quaternarii quarta c. 25 eius- modi a, s. 28 Contrariae c, f, r. 154 INST. ARITHM. U, 47. superatur, sed eadem parte minoris minorem superal, qua parte maioris a maiore superatur. In hac enim dis- positione armonica, quae est LI. III. VI. ternarius bina- rium tertia sui parte vincit, idem ternarius a senario tota 5 sui quantitate superatur, id est tribus, idemqne ipse ter- narius medietate minoris vincit minorem, id est uno, et medietate maioris a maiore termino vincitur, id est tri- bus. Senarii enim medielas ternarius est. In geometrica vero medietale neque eisdem snis partibus medius vel vin- 10 cit minorem vel a maiore vincitur, neque eadem parte vel minoris minorem superat vei maioris a maiore relinquitur, sed qua parte sua medius terminus minorem superat, ea- (iem parte sua maior terminus medium vincit, quod est ut medietas atque extremitas aequalibus medietatem et 15 extremitatem reliquaiQ suis partibus supervadant. In hac enim dispositione , quae est IIII. VI. VIIQ. tertia sui parte medius senarius quaternariumsuperat, id est duobus, et tertia sui parte rursus novenarius senarium vincit, id esl tribus. Habet autem aliam proprietatem armonica me- 20 dietas, ut cum duas extremitates in unum redactas medie- tas multipHcaverit, dupla quantitas colligatur, quam si se multipiicent duae extremitates. Sint enim hi termini: III. ini. VI. Si igitur ternarium et senarium iungas, nove- narium facies, qui per quaternarium ductus -XXXVI- effi- 25 cit. Quod si se ipsae extremitates multiplicent et fiant tres sexies, • XVIII- conficiunt, quod est prioris summae dimidium. XVIII •XXXVI III. IIII. VI. 30 vim. 1 sed eadem .... superat om, c versu vacuo relicio, 3 ternarius] terminus medius a, f, s'; ternarius et supra versum terminus medius id est b ; terminns medius id est in margtne r. 4 sua a, 1. || idem] id est a; id est uno c. || a om. b, 1. 6 minorem vincit c. 7 vincit c. 15 supervadunt f. 17 se- parat f. 20 medietas redactas f. 21 colligitur b, c, f, 1, s; collegitur r; coUigitur corr. in colligatur a, d. 24 facias d. 26 conficient c, r; conficiunt, u in e mutato, a. || quod est] id est c; id est quod est, a. 2T XVIIL om, f. INST. ARITHM. II, 48. 155 Quare dicta sit armonica medietas ea, qtiae digesta est. XLVIII. CoDsiderandum forsitan videatur, cur hanc armonicam medietatem vocemus. Cuius haec ratio est, quoniam arithmetica dispositio aequas tantum per dilTe- rentias dividit quantitates, geometrica vero terminos aequa 5 proporlione coniungit, at vero armonica ad aliquid quo- dammodo relata consideratione neque solum in terminis speculationem proportionis habet neque solum in diffe- rentiis, sed in utrisque communiter. Quaerit enim, ut quemadmodum sunt ad se extremi termini , sic maioris ad lo medium dilTerentia contra diiTerentiam medietatis ad ulti- mum. Ad aliquid autem considerationem armonicae pro- prie esse, in primi libri rerum omnium divisione monstra- vimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum, quas symphonias nominant, proportiones in hac paene sola me- 15 dietatefrequenter invenies. Namquesymphonia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi, — constituitur scilicet in epitrita proportione, ut est quater- narius ad ternarium — in eiusmodi armonicis medietatibus invenitur. Sint enim eiusmodi armonicae medietatis ter- 20 mini, quorum extremi dupli sint, et rursus alia huiusmodi dispositio, quorum extremi tripli. III. IIII. VI. II. III. VI. Senarius igitur ad ternarium duplus est, idem autem se- narius in alia dispositione ad binarium triplus. Horum ^^ igitur si differentias coUigamus et ad se invicem compare- mus, epitrita proportio colligelur, unde diatessaron sym- 1 Inscript, om. a, b, c, d, f, 1, s. 2 XLVIII. om, b, f, 1. XLV. a, c, s. 3 medietatem om. a. 7 in om. c. 9 ut ex corr, add. a. 10 ad medium] supra versum sit b. 11 deferentiam r. 15 pene c, s. 16 invenias d, r. 17 est princeps c. 20 invenietur, e post i deleio, c. || buiusmodi c, s; eiusmodi, bui supra ei, d; eiusdem vel buiusmodi a. 21 extimi d. || sint om. c; sunt s. 22 extimi d. [J tripli sunt a, c, f, s. 25 in alia dispositione senarius d, f, 1, r, s. II triplus est s. 26 differentias si colligimus c. 27 colli- gitur c, f, 1, s; collegitur r. 156 INST. ARITHM. II, 48. phonia resonabit. Inter •III- enim et -VI- ternarius est et inter binarium et senarium quaternarius, qui sibimet comparati sesquitertiam efficient proportionem. llj. IIII. VI. 5 differentiae III diatessaron sesquitertia IIII iL iiL 'n. 10 In eadem quoque medietate et diapente symphonia com- ponitur, quam sesqualtera habitudo restituit. Nam in utrisque dispositionibus his, quae subiectae sunt, in duplici senarius ad quaternarium sesqualter est et in triplici ter- narius ad binarium. Ex quibus utrisque diapente sym- 15 phonia coniungitur sesqualtera, diapente. iri. liiL VI. iL ni. vi. sesquaitera, diapente. 20 Post hanc autem diapason consonantia, quae fit ex duplici^ ut est subiecta formula. III. IIII. VI. duplex, diapason. In triplici quoque dispositione simul diapente et diapason 25 symphonia componitur servans sesqualteram et dupUcem rationem, quod subiecta descriptio docet. 1 Inter] in s. || tres d, f. || enim om. s. || sex d, f. ^ efficiunt s. 4 •IIII] •III- s. 5 differentiae om* d; diffe- rentia r, s. 8 Supra hunc versum differentiae c, 1; diffe- rentia f. r, s. 9 111] IIII- s. II constituit s. 12 sunt subiectae c. 13 est om. 1. || et om, d. 16 sesqualtera diapente om. s. || sesqualter f, 1, r. 19 sesqualtera diapente om, s. II sesqualter f, 1, r. 20 hunc a, b, c, d, f, 1, r. 23 duplex, diapa^on om. c; duplex om, s. INST. ARITHM. II. 48. 157 IL JIL JI. triplus, diapente et diapason. £t quoniam triplus duas continel consonantias, diapente scilicet et diapason, in huius tripHcis dispositione in diffe- rentiis eundem rursus triplum repperiemus, secundum s subler descriptum modum. triplus. differentiae. I. III. IL IIL VI. 10 diapente diapason. In dupla vero dispositione maior terminus ad medii ter- mini contra se differentiam triplus est et rursus minor ter- minus ad medii contra minorem terminum comparati dif- ferentiam triplus est. 15 differentiae. triplus / — L If"^ triplus. IIL IIIL VI. lUa autem maxima sympi)onia, quae vocatur bis diapason velut bis dupium, quoniam diapason symphonia ex duplici 20 1 Supra II. III. Sesqualter c, d; Diapente s; TyJ^ antQ ^» ^» ^* Supra III. VI. Diapente c; Diapason d, s; j^. ^ ® f, l, r. 2 triplus om. a, b, d; triplum s; triplices c, f, 1, r. [] diapente et diapason om. c, s; et om, a, b; Duplus diapason d. 4 dispositione] dis eoo corr. add, d, r; positione a, b, c, f, s. || in differentiis om. l. 5 eandem b, c, 1. |{ triplam b, c, 1. 7 Supra triplus: triplices diapente r; iuxia triplus: diapente diapason d, f, L 11 diapente diapason] om. f, r; termini c, d, 1; triplum s. 12 vero] enim s. 14 comparatus d; comparaturi, ri corr. inus,a; comparati in litura r. || defe- rentiam r. 15 Post triplus est addit r: ratio •III* ad «I' ter- mini defferentiam. 16 differentia f. 17 triplum s; sub triplus: Diapente Diapason d, f, 1, r. 18 Suh hoc versu: Ter- mini ad differentiam d, f. Ad latera descriptionis : Termini ad differentiam d, f, ad rasura deletOy 1; Comparatio •III- ad -I^ Termini ad differentiam r. 158 INST. ARITHM. II, 49. proportione colligilur, huic se iuncturae armonicae me- (lielatis interserit. Nam in duplici proportione medius ter- minus ad minoris suique differentiam quadruplus invenitur. minor differentia 5 ^ I — N quadruphis, bis diapason. III. mi. VI. In triplicibusquoque extremitatibus maior differentia ad mi- norem differentiam quadrupla est et bis diapason sympho- niam emittit. Namque in dispositione II. III. VI. extremo- 10 rum differentia est, id est senarii et binarii, IIII-; minor vero differentia, id est ternarii et binarii, unus. IIII- au- tem uno quadrupla maior est relatione, quae comparatio bis diapason consonantiam tenet. 15 De geometrica armonia. XLVUIi. Vocant autem quidam armonicam huiusmodi medielatem idcirco, quod semper haec proportionalitas geometricae armoniae cognata est. Armoniam autem geometricam cybum dicunt. Ita enim ex iongitudine 20 in latitudinem distentus est et in aititudinis cumulum cre- vit, ut ex aequalibus proflciscens ad aequalia perveniens aequaliter totus sibi conveniens creveril. Haec autem medietas in omnibus cybis, quae est geometrica armonia, perspicitur. Omnis enim cybus habet latera -XII- angu- 25 los •VIII- superficies -VI- Hic autem ordo et dispositio 4 nimor ^iff^rentia om. dj^^r; minor om. s. 6 quadru- plus, bis diapason om. c, s; bis om. 1; quadrupli bis diapa- son f, r. 7 maior ovi, a ; supra versitm s. 10 prius est om. d, r. II •1111°'^ f ; supra versum sunt a, || minorum s. 11 Quatuor c, f. 15 Inscript. om. c. In a legitur inscriplio capitis qua- dragesimi sexti; in b, f , 1 inscriptio capitis duodequinquagesimi; in d eadem inscriptio cum additamento in margine; in s inscriptio evanuit. 16 XLVI. a ; XLVII. 1 ; XLVIII b, f. 18 cognita est Ci 19 cubum f. 22 Haec autem cet.] Initium capitis cum inscriptione : De geometrica armonia b, 1; titulus omissus est in c, f, evanuit in s; in margine legitur in d. Capitis nu- merus in b est XLIIII, in f XLVIIII, in 1 XLVIII. 24 per- ficitur a, r. INST. ARITHM. II, 49. 159 armonica est. Disponanlur enim VI. VIII. XII. Hic ergo quemadmodum est maior terminus ad paryissimum , ita differentia maioris et medii ad medii ac parvissimi compa- ralur. Perpensi namque XII- ad VI. dupli sunt, diffe- rentia vero duodenarii et octonarii. quaternarius est, octo- 5 narii vero et senarii duo. Dupla autem ratione distabunt duobus quattuor comparati. Rursus octonarius, qui me- dietas est, alia sua parte minorem praecedit et alia sua parte a maiore praeceditur. Eadem autem parte minoris minorem superat, qua parte maioris a maiore superatur. lo Rursus si extremitates in unum redigantur et a medietate octonario multiplicentur, duplus erit ab eo numero, quem solae extremitates multiplicatae perfecerint. Omnes autem in hac dispositione symphonias musicas invenimus. Diatessaron quidem est VIII- ad -VI- , quo- 15 niam proportio sesquitertia est, at diapente 'XII* ad -VIIL, quoniam, quae sesquaitera comparatio dicitur, in ea dia- pente consonantia repperitur. Diapason vero quae ex dupHci nascitur, ex •XII- ad -VI- composilione producitur. Diapason vero et diapente, quae triplicis obtinent rationem, 20 fit ab extremitatum differenlia ad differentiam minorem. Namque duodenarii et senarii VI- differentia est, minor vero est differentia octonarii et senarii. id est «II-; qui senarius ad binarium triplus est, et diapason simul et dia- pente consonantiam sonanl. Illa vero maior consonantia, 25 quae est bis diapason, quae ex quadruplo fit, in medii 2 est om. c. 3 etj om. 1; ad c, d, r; ad et supra ver- sum al et b; ad differentiam s. |{ ad medii om. a, b, c, d, 1, r, s. 4 sex d. 5 'XII- c, d, f, r, s; duodenarii vel duo- decim a. 6 •II- c. 7 -IIIL c; •IIIP'' f. | medius 1; medius et supra versum al medietas b. 8 sui f, s. | sui f. 10 maio- ris] minoris c. 12 octonarii 1; inlUurah. 13 perfecerunt s. 15 Ante Diatessaron interserit a capitis quadragesimi septimi inscriptionem et numerum, [| sex d. 16 est sesqui- tertia a, c, r. || duodecim d. 17 ea, quae a, b, c, d, f, 1, r. 18 reperietur c. 18 — 20 quae ex duplici . . . diapente, quae in margine F. 19 et -XII- d. || comparatione c, 1. 20 ob- tinet r. ||, rationem] locum c. 22 Nam F. || sex d. 23 est anie diflferentia om. c. 25 consonantia maior a, c. 26 bis om. F. 160 INST. ARITHM. II, 50. termini, id est octonarii, et eius dilTerentiae comparatione perspicilur , quae inter octonarium senariumque repperi- lur. Quare proprie atque convenienter huiusmodi pro- portionalitas armonica medietas appellatur. 5 Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus terminis arith- metica^ geometrica et armonica inter eos medietas aller- netur; in quo de eorum generationibus. L. Nos autem praestare debemus quatenus, quemad- modum dato calamo extremis foraminibus manentibus 10 musicis mos est, ut medium foramen permutantes atque alios aperientes alios digitis occludentes diversos emittant sonos, vel cum duabus altrinsecus protensis cbordis me- dii nervi sonum musicus vei adstringendo tenuat vel remit- tendo gravat: ita quoque datis duobus numeris nunc qui- 15 dem arithmeticam nunc vero geometricam nunc autem armonicam medietatem experiamur inserere, ut rectum propriumque medietatis nomen sit, quod manentibus ex- tremitatibus huc atque illuc ferri permutarique videatur. Poterimus autem hanc in duobus altrinsecus posilis termi- 20 nis vel paribus vel inparibus permutare ita , ut , cum arithmeticam ponimus medietatem, dififerentiarum tantum ratio aequalitasque servetur, cum vero geometricam, rata se proportionum iunctura custodiat, sin autem armonica fiat, difTerentiarum comparatio ab terminorum proportione 25 non discrepet. Et sint quidem primo pares positae quae- dam extremitates, inter quas bas omnes medietates opor- teat internectere, -X- et -XL- Prius igitur aritbmetica medietas aptetur. Inter hos ergo si -XXV- posuero, erit 5 Tituhis omissus est in c, in margine legitur in d, evanuit niaximam partem in s ; in & inscripiio capiiis duodequinquagesimi invenitur. 6 eas f. || alternentur F. 8 XLVIII. a; XLVIIII. 1. 11 quatinus b, 1, F. 10 forum c, d, r; forum et supra versum 1 forameu b. 11 alios ante aperientes om. d. || vel alios occludentes d. 13 adstringendo vel adfligeiido. a. 14 qui- dem supra versum F. 19 positis om. c, d, f, F, i, s. 22 aequabilitasque F. 24 ab terminorum] aliter minorum c. 26 has om. b, 1 ; has tres s. INST. ARITHM. U, 50. 161 mihi arithmetica proporilo differenliarum quantitate in- muiabiliter custodita, in huiusmodi scilicet disposiiione : X. XXV. XL- Vides enim, ut quindena sese summulae quantitale transcendant ; omnesque proprietates, quas supra diximus in medietate arithmetica convenire, ab hac 5 huiusmodi dispositione non repperies alienas. Namque quemadmodum unusquisque eorum terminus ad se ipsum est, quoniam sibi aequalis est, ita suni ad se invicem dif- ferentiae, quoniam sibi sunt aequales; et quanto maior terminus medium transit, ianto medius vincit minorem ; to et extremitaium adgregatio duplex est medietate; etmino- rum terminorum proporiio maior est illa comparalione, quae inier maiores terminos continetur; ei tanto minor esi numerus, qui fit ex muliiplicatis extremitaiibus, ab eo, qui fit ex multiplicata medietaie, quanium eorum difTe- 15 reniiae multiplicatae restituunt; iiiud quoque quod medie- tas eadem sui parte et a maiore vinciiur ei minorem ipsa supervenii, nou eadem autem parie minoris minorem iraosit vel maioris a maiore relinquitur. Quae omnes sci- iicet proprietates non alterius nisi arithmeticae medietatis 20 sunt, quod, si superius dicta meminerit lecior, ita esse indubiianter intelieget. Rursus si inter eosdem -X- et XL. XX. constituam, statim geomeirica medieias cum suis proprieiatibus cun- ctis exoritur, ariihmetica medietaie perjeunte. In l)ac25 enim dispositione X. XX. XL. quemadmodum est maior ad medium , sic medius ad extremum ; et quod contineiur ab extremitaiibus , aequum est ei, quod a muUipIici me- dietate conpletur. Differentiae quoque eorum in eadem sunt proportione qua termini. Cremenium vero et inmi- 30 nutio proportionum secundum terminos nulla esi, sed 1 arethmetica r. || differentiarum . . . cufltodita] quae diffe- rentiarum quantitatem inmutabiliter custodiat b, c, 1. 5 hac linea subnotaium h^ om,\. 6 Nam d; Namque numerus r. 8 aequalis est sibi a. 11 extremitatuum a. [| duplus c. 12 est maior f, s, F. 15 differentiae eorum a, c, f, s. 18 auteml cum c. 20 proprietates scilicet f, F. 22 intellegit b, f. P; intelligit l. 31 si corr. in sed a. BOETIUS. \\ 162 INST. ARITHM. II, 50. inaioruni teriiiinoriiiii proportio a ininorum terminoruni proportione non discrepat. Si vero armonicam medietatem coniungere velim, •XVi- milii numerus inter extremitates utrasque poiiendus f) est, ut sit hoc modo: X. XVL XL. Nunc igitur licet in huiusmodi dispositione omnes armonicas proprietates agnoscere. Qua enim maximus ad parvissimum terminus proportione coniungitur, eadem proportione differentiae ad se invicem comparantur. £t quibus partibus maioris 10 a maiore medius vincitur, eisdem partibus minoris prae- terit minorem ; suis vero non eisdem vel a maiore vinci- tur vei transit minorem; et in maioribus terminis maior est proportio, in minoribus minor; et si in unum extre- mitales redigantur et medietatis quantitate concrescant, 15 duplus inde conficitur numerus ab eo, qui ex solis muiti- plicatis extremitatibus procreatur. Atque hoc quidem in termiiiis paribus constitutum est. At vero si inpares proponantur, ut sunt -V- et -XLV- apta- tus medius -XXV- arithmeticam proportionem medieta- 20 temque constituet. Nam si sint V. XXV. XLV. eadem sese numerorum quantitate termini transgredientur. Et om- nis superius dicta proprietas arilhmeticae medietatis in his terminis custoditur. Sed si -XV- numerum medium po- nam , ut sint V. XV. XLV. , in geometricara raedietatem 25 termini relabuntur aequalibus terminorum ad se invicem proportionibus custoditis. •VIIII- vero si inter utrosque ter- fflinos ponam, ut sint V. VIIIL XLV., fit armonica me- dietas, ut qua sumraa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem maior differentia minorem differentiam 30 vincat. Qua vero disciplina huiusmodi medietates repperire 3 Sin vero a. || velim coniungerc a. 8 differentiae ea- dem proportione s; differentiae proportione eadem c; propor- tione differentiae eadem f, F. 14 medietates et supra ver- 6'um slI tis b; mdietatis mutatum in medietates a; medietates, tes correcto in tis, f. 19 — 20 arithmeticam .... XXV. om» c. 20 constituit a, c, d, f, r, s. [j sunt s. 21 trans- grediuutur a. 23 numerum ponam medium a, c, d, me- dium ponam numerum f. 26 Novem c, || interj in a. INST. ARITHM. II, 50. 163 possimus expediendum est. Datis duobus lerminis si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas coniungenda quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus, qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates 5 locatus efficiet; ut -X- et XL. si iunxero, efficiunt -L-, quos si dividam, XXV- redduntur. Hic erit medius ter- minus secundum arithmeticam proportionem. Vel si iiium numerum, quo maior minorem superat, dividas eumque minori superponas quodque inde concrescit medium ponas, lo arithmetica medietas informatur. Nam XL- denarium tricenario superat, quem si dividas XV- fiunt. Hunc si minori , id est denario , superposueris XX- et V- nascen- tur. Quem si medium constituas, arithmeticae medieta- tis ordo formatur. Geometricam vero si rationem vesti- ir. ges, eius numeri, qui sub utrisque extremitatibus conti- netur, tetragonicum latus inquire, et hunc medium pone. Nam sub XL- et denario numero CCCG- continentur. Si enim denarium in XL- multiplices, hic numerus cre- scit. Horum igitur quadringentorum require tetragoni- 20 cum latus. Hi sunt XX- Vicies enim XX. CCCC. effi- ciunt. Repertum ergo iatus quadratum medium consti- tues. Vel si eam proportionem , quam inter se dati ter- mini custodiunt, dividas et id quod relinquitur medium terminum ponas. Namque «XL- ad denarium quadruplus 2:1 est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet XX- Nam XX- ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas. medielatem geometricam perferet. Armonicam vero medietatem tali modo repperies. Diffe- rentiam terminorum in minorem terminum multiplica et 30 1 experiendum est, r in d mutaio, a. 6 efficient a, c, r. 7 quos] quod a; quos in liiura r. 10 crescit c. 12 triceno et supra versuni l nario b. 13 -XXV- d ; 'XX* et quinque f. II nascuntur f, s. 15 formatur] monstratur c, s. || Ante Geometricam interserit a tiiulum: De geometrica armo- nia 'ei capitis numerum XLVIIII. 20 tetragonum c. 24 reiinquetur d. 26 facias a, d. 28 constitues c, d. j| per- ferat a, r. 29 Ante Armonicam interserit a titulum ei numerum capitis quinquagesimi. 30 terminorum in minorem ter- 164 iNST. arithm: n, 51. post iunge lerminos, et iuxta eum, qui inde eonfeclus est, committe illum numerum, qui ex dilTerentiis et termino minore productus est, cuius cum latitudinem inveneris, addis eam minori termino, et quod exinde colligitur, me- 5 dium terminum pones. -X* enim et -XL* faciunt -L* DilTe- rentia autem inter -X- et XL. XXX. sunt, quem si muiti- plices in denarium, id est in minorem, [decies -XXX. oporlet] •CCC- efficies. Quos •CCC- iuxta eum committe, qui ex iunctis utrisque confectus est, id est iuxta -L* 10 [Facient enim quinquagies senos]. Et invenitur latiludo senarius. Hunc igitur si minori termino addas, facient •XVI- et hic numerus medius constitutus inter X- et -XL- armonicam proportionem medietatemque servabit. De tribus medieiaitbus ^ quae armonicae ei geometricae 15 contrariae sunt, LL Hae quidem sunt apud antiquiores inventae pro- bataeque medietates, quas idcirco longius enodaiiusque tractavimus, quod hae maxime in antiquorum lectionibus inveniuntur, et ad omnem paene vim cognitionis eorum 20 versatur utihtas. Ceteras autem praetereundo transcur- rimus idcirco, quoniam non multum nobis in lectionibus prosunt, sed tantum ad inplendam denarii numeri quan- titatem. Quae ne lateant neve sint aliquibus ignorata, depromimus. Videntur enim hae supra dictis medietati- 25 bus esse contrariae, ex quibus originem trahunt. Ex his minum secunda vianu in margine a ; terminorum supra versum s. 4 inde a, d, f, r. || eollegitur r. 5 Decem c. 6 multi- plicas a, d. 7 Quae hic et infra uncis inclusi, eisi omnes quos coniuli codices habent, minime tamen a Boetio scripta esse puio. 8 trecentos c. 10 enim om, s. 11 ergo f. ]] faciant d. 14 Inscript. om. c. , |{ armonicae] arithmeticae a, b, d, f , 1, r, s. II geometricae] cet. r. 16 L. 1. 18 antiquiorum c. 19 pene c, f, 1, r, s. || collationis vim s || vim collationis sive cognitionis f. [J cognationis c ; cognationis et supra a 1: i r; cognitionisque supra versum s. 21 idcirco om. c; supra ver- sum s; iccirco 1. || quod d, f, r; quod et supra versum at qm b. 22 denarii ad implendam c. || implendum s. || denari r. INST. ARITHM. II, 51. 165 enim etiam istae sunt conslitutae. Est auleni quarta me- dietas, quae opposita videtur armonicae. In qua tribus terminis positis, quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic differentia minorum ad dilTerentiam maximorum, ut sunt 111. V. VI. Sex ad ternarium dupius 5 est, el sunt minores termini •¥• et lll-, maximi vero huius dlspositionis •¥!• et -V- Differentia vero minorum, qui- narii sciiicet et ternarii, •11- sunt, maiorum, quinarii et senarii, -1- Qui •11- ad -I- comparati dupium faciunt. Ergo quemadmodum est maximus terminus ad parvissi- lo mum, sic minorum terminorum differentia est ad differen^ tiam maximorum. Liquet autem oppositam et quodam- modo contrariam esse hanc medietatem armonicae me- dietati idcirco , quod in illa quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum . sic terminorum maiorum diffe- ir> rentia ad differentiam minorum, hic autem e contrario. Est autem proprium huius medietatis, quoniam quod con- tinetur sub maximo termino et medio duplum est eo, quod continetur sub medio atque parvissimo. Sexies enim quin- que «XXX. sunt, quinquies vero tres -XV- 20 Duae vero aliae medietates, quinta sciiicet et sexta geometricae medietati contrariae sunt et eidem videntur oppositae. Est autem quinta medietas, quotiens in tribus terminis quemadmodum est medius terminus ad minorem terminum, ita eoruni differentia ad differentiam medii at- 25 que maioris. Nam in hac dispositione II. 1111. V. qua- ternarius ad binarium duplus est. Sed inter quaterna- 2 videatur a, b. 3 terminus maximus d. 4 diffe- rentiae c. 5 -VI- r. 6 est om, c, r. 7 V- et VI- a. II Differentiae c. 9 ad 'I- supra versum s; ad unum c, d, f. 11 est om. c. 12 licet c; licet, c corr in qu, a; licet et supra versum al quet b. 16 maiorum terminorum c, d, f, r. 18 duplum duplumj r addii in margine descriptionem XV. XXX. 19 -V- c. 20 •IIL c. 21 VL d. 23 autem] enim 1. j] quoties d. 25 terminorum a, b, c, 1. [j adque r. 26 maiorisj minoris c; minoris punctis suhnotatum et supra versum sec, manu maio- dupla Jis s* II r addit in margine descripiionem '^* jj/^^'' j ^* dupla. 166 INST. ARITHM. II, 51. j'iiim et binarium II- siint, inter qualernarium vero eL maiorem terminum, id est quinque, -I- £t II- ad I- dupli sunl. Contrarium autem geometricae medietati in hac proportione est, quod in ilia quemadmodum maior 5 terminus ad minorem est, sic maiorum differentia ad dif- ferentiam minorum; liic vero contrarie, quemadmodum minores ad se termini sunt, sic minorum diiferentia terminorum ad maiorum diiferentiam comparatur. £st autem proprium in hac quoque dispositione, quod illud, 10 quod continetur sub maiore termino et medietate dupium est eo, quod sub utrisque extremitatibus continetur. Nam quinquies •IIII- sunt -XX-, quinquies vero -II- sunt -X- Et •XX' denarii dupius esl. Sexta vero medietas est, quando tribus terminis con- i'> stitutis quemadmodum est maior terminus ad medium, sic minorum terminorum driferentia ad diiferentiam maximo- rum. In dispositione enim, quae est I. IIII. VI., maximus lerminus ad medium sesqualter est,,differentia vero mi- norum, id est unius el IIII- ternarius est, maiorum vero, 20 id est quaternarii et senarii , binarius. Ternarius autem binario comparatus sesquaiteram habitudinem proportio- iiis efficiet. £odem autem modo haec quoque medietas geometricae contraria est, quemadmodum et quinta, pro- pter proportionem dilTerentiarum a minoribus ad maiores 25 terminos conversam. 2 terminorura a. || -V- c, d, s. || unus est c, d; •!• est 1. I unum a, b, d, f, 1, r. 5 esset b, c, 1; esset mutatum in est a. 6 vero] ergo r. || contrarlae f, r. 8 maiorem c, d. duplum 9 dispositione] r addit in margine )}' ^^^^' X: || quod illud] subduplum. quod supra versum a. 12 quattuor d, f. |-| -XX- sunt a, c, s. 14 quando] quoniam corr, in quando a. 15 est terminus maior a; maior terminus est r. 17 r addit in margine sesqualler ^IU. ^^^^"ll. ^^' -^ i^ ®^* '*'* ^nargine sec. manu a. || binarius sesqualler. est c. 22 autem] vero a, r. 23 propter supra versum a. 24 a maioribus ad rainores a; a minoribus ad maiores in litura r. INSr. ARITHM. II, 52. 1G7 De quattuor medietatihus ^ quas posteri ad implendum denarium limitem adiecerunt, LII. Et hae quidem sunt sex medielates, quarum tres usque a Pythagora ad Platonem Aristotelemque manserunt. Post vero, qui insecuti sunt, has tres alias, de quibus 5 supra disseruimus, suis commentariis addiderunt. Sequens autem aetas, quemadmodum diximus, ad inplendam de- nariam quantitatem alias quattuor medietates apposuit, quas non adeo quis in veterum libris inveniat. Has igitur nos quam possumus brevissime disponamus. Prima enim lo quae est earum, in ordine vero septima medietas, hoc modo coniungitur, cum in tribus terminis quemadmodum est maximus terminus ad ultimum, sic maximi et parvis- simi termini differentia ad minorum differentiam termi- norum, ut in hac dispositione : VI. VIII. VIIII. Novena- 15 rius igitur ad senarium sesquaiter est. quorum est diffe- rentia ternarius, minorum vero terminorum, id est octo- narii et senarii binarius differentia est^ qui ad superiorem ternarium comparatus facit sesqualteram proportionem. Secunda vero inter quatluor, sed octava in ordine propor- 20 tionalitas est, quotiens in tribus terminis quemadmodum sunt extremitates ad se invicem comparatae, sic eorum differentia ad maiorum terminorum differentiam , ut sunt VI. VII. Vim. Novem igitur ad VI- sesqualter est. Et 1 Inscripi, om. c. 2 denarii f. 3 LI. 1. I| -VI- c. I| tres primae s. 4 usque ad Pythagoram et Platonem b, c, 1; tn b supra versum: in at a pythagora ad; usque ad Pytha- gofam ad Platonem corr. in a Pythagora usque ad Platonem a. 5 •III- c. 7 denarium c. 8 •IIII- s. || opposuit d. 9 libris veterum c, s. || inveniet a, c, s. 11 in ordinem a, b, c, d, 1, r. 13 et] ac f. 14 differentia termini s. || ad minorem ter- rainorum differentiam d. 15 dispositione| r addit in margine sesqualter ir^^^m?' 16 differentia est c, s. 20 inL c. I| in ordi- VI. vin. viiii. nem a, b, c, d, 1, r. 21 quoties b, 1. 23 differentiae a, b, c, d, 1, r, s. II maiorem c, r. || ut sunt] insunt s. 24 r ad- sesqualter dil in margine ,^f ^''f/^' || -Vllir s. || sex f. VI. VII. VIIII. 168 INST. ARITHM. II, 53. eorum differentia ternarius est, qui comparatus conlra maiorum differeniiam, id est septenarii et novenarii, qui binarius est, reddit sesqualteram proportionem. Tertia vero inter has sequentes quattuor, nona aulem in ordine 5 proportio est, quando tribus terminis positis quam pro- portionem medius terminus ad parvissimum custodit, eam retinet extremorum differentia ad minorum differentiam comparata, ut Ilil. VI. VII. Etenim VI- ad UII. ses- qualter est, quorum est differentia binarius. Septenarii 10 vero et quaternarii ternarius differentia est, quem si ad superiorem binarium comparemus, sesqualtera propor- tione coniungitur. Quarta vero, quae in ordine decima est, consideratur in tribus terminis, cum taii proportione medius terminus ad parvissimum comparatur, quali extre- 15 morum differenti^ conlra maiorum terminorum differen- tiam proportione coniungitur, ut sunt III. V. VIII. Qui- narius enim medius terminus ad ternarium superbipartiens est; extremorum vero differentia, octonarii scilicet et ter- narii, quinarius est, qui comparatus contra maiorum ter- 20 minorum differentiam, scilicet quinarii et octonarii, qui est ternarius, et ipse quoque superbipartiens invenitur. Dtspositio decem medieiaium, LIII. Disponamus igitur cunctas medietates in ordi- nem, ut, cui\ismodi omnes sint, facillime possit intellegi. 25 Arithmetica prima I. II. III. Geometrica secunda I. II. IIII. 2 maiorem b, l; maiorem, e in nmutato, a. 4 •IIII- c. 5 quoniam corr. in quando a. 8 ut sunt f. || r addit in sesqualt6r margine ""n in^"' U sex d. 9 Septinarii c, r. 14 sesqualler. 1iV*®^V^*vm^ parvissimam c. 16 r addit in margine v iii 18 et oi». superbiparliens. f, r. 19 est om, a, c, d, f, r, s. 20 differentiam termino- rum l. 21 superbipartiens est invenitur d. 22 Inscript. om. c, d. 1) decem om. f; -X- r; decim a, s. 23 LIII. om, f. 24 possint c, f, r, s. || intelligi a, 1. terlia lil. IIII. VI. quarta III. V. VI. quinta 11. IIII. V. sexta I. UII. Vl. seplima VI. vin. VUII. oclava VI. VH. VIUI. nona IIII. VI. VII. decima UI. V. VUI. INST. ARITHM. II, 54. 169 Armonica Contraria armonicae Contraria geometricae iContraria geometricae Inler IIII* prima Inter •IIII* secunda Inter IIII* tertia Inter Illi* quarta Le maxima ei perfecta symphonia , quae iribiis disien- ditur intervallis. lo LIIII. Restat ergo de maxima perfectaque armonia dtsserere» quae tribus intervallis constituta magnam vim oblinet in musici modulaminis temperamentis et in spe- culatione naturalium quaestionum. Etenim perfectius huiusmodi medietate nihil poterit inveniri, quae tribus in- i5 tervallis producta perfectissimi corporis naturam substan- tiamque sortita est. Hoc enim modo cybum quoque trina demeusione crassatum plenam armoniam esse demonstra- vimus. Haec autem huiusmodi invenietur , si duobus ter- minis constitutis» qui ipsi tribus creverint intervailis, lon- 20 gitudine latitudine et profunditate, duo huismodi termini medii fuerint constituti et ipsi tribus intervaliis notati, qui vel ab aequalibus per aequales aequaiiter sint producti vei ab inaequaiibus ad inaequalia inaequaiiter, vei ab in- 3 geometricae contraria r. 4 Contraria arithmeticae s. II I. IIII. V. a. 5—8 quatuor d, f; IIIlo' c. 9 Inscript. om. c, d. 11 armonica c, s, F; armonica corr. in armonia a, r; armonica et supra versum l nia b. 13 musicis 1; mu- sici, 8 rasura deletOy s. 15 huiusmodi perfectius d. 17 sortitus c. II modo enim a. 18 armonieam c, 1, F; armo- nieam corr. in armoniam a, r; armonicam et supra versum I niam b. || monstravimus a, d, f, r. 23 sunt 1, s; sunt et supra versum al sint b. 24 ab aequalibus a. || aequaliter f, F. II vel ab inaequalibus ad aequalia aequaliter in mar- gine F, r; vel ab iuaequalibus ad inaequalia aequaliter a; vel ab aequalibtts ad aequalia aequaliter f ; yel ab aequali- bus ad aequalia inaequaliter s; aequalia om. c; ad aequalia ex corr. additum b. lyO INST. ARITHM. II, 54. aequalibus ad aequalia aequaliter, vel quolibet alio niodo, atquc ita, cum armonicam proportionem custodiant alio tamen modo comparati faciant arithmeticam medietatem hisque geometrica medielas, quae inter utrasque ver- 5 satur, deesse non possit. In quattuor enim terminis si fuerit quemadmodum primus ad tertium sic secun- dus ad quartum, proportionum ratione scilicet custo- dita, geometrica medietas explicatur, el quod continetur sub extremitatibus, aequum erit ei, quod sub utraque 10 medietate ad se invicem multiplicata conficitur. Rursus si maximus illl. terminorum numerus ad eum , qui sibi propinquus erit, lalem liabeat dilTerentiam , qualem idem jpse maximo propinquus ad parvissimum , huiusmodi pro- portio in arilhmetica consideratione proponitur, et extre- 15 morum coniunclio duplex erit propria medietate. Si vero inter •IIII- qui est tertius terminus aequa parte quarti quartum terminum superet et aequa primi a primo supe- retur, armonica huiusmodi proportio medietasque perspi- citur, et quod continetur sub extremorum adgregatione et 20 multiplicatione medietatis duplex est eo, quod sub utra- que extremitate conficitur. Sit autem quoddam huius dispositionis exemplar hoc modo VL VIIL VIIII. Xfl. Has igitur omnes solidas quantitates esse non dubium est. Sex enim nascuntur ex uno bis ter, •XIl- autem ex bis 25 duo ter, horum autem medietates octonarius fitseniel duo quater , novenarius vero semel tres ter. Omnes igitur ter- mini cognati sibi et tribus intervallorum demensionibus notati sunt. In his igitur geometrica proportionalitas in- venitur, si -XII- ad VIII- vel VIIII- ad -VI. comparemus. 1 quolibet alio] alio quodam s. 2 custodient d, f, F. 3 tantum corr, in tamen a. H facient d. 4 — 8 quae inter .... geometrica medietas in margine r. 6 terminis enim r. 6 fuerint a, b. 9 ei om. a. 11 quattuor c, d, f. 12 eritl est d, f, F. II habet F. 16 inter] in c, 1; in ei supra in: I inter b. || quattuor c, f. || terminus] numerus 1. 17 ter- minum om. s; numerum 1; numerum et supra versum l ter- minum b. 18 medietas quae c. 19 alterum et om, c. 21 Fit a. 24 -VI- c, f, F. II nascentur r. 26 dua] •II- c. || medietas F; medietate, s rasura deleiOy s. || duo] -II- c. 26 tres] -III- c. 29 novem d. || senarium c, d, f, F. INST. ARITHM. II, 54. 171 Ulraque enim comparalio sesqualtera proportio est, et quod contlnetur sub extremitatibus, idem est ei, quod fit ex mediis. Nam quod fit ex duodecies sex, aequum est ei, quod fit ex octies Vlin. Geometrica ergo proporlio est huiusmodi. Arithmetica autem est, si duodenarius ad 5 novenarium et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius dilTerentia est et iunctae extremi- tates medietate duplae sunt. Si enim iunxeris senarium et XII-, facies XVIII., qui est novenario, medio termino, dupius. In his ergo geometricam arithmeticamque me- lo dietatem perspeximus. Hic quoque armonica medietas invenitur, si Xll. ad •VIII- et rursus VIII- ad senarium comparemus. Qua enim partB senarii octonarius sena- rium superat, id est parle tertia, eadem duodenarii parte octonarius superatur. Quattuor enim , quibus octonarius i5 a duodenario vincitur, duodenarii tertia pars est. Et si extremitates iungas VI- sciHcet et XII- easque per octo- narium medium muitiplices, •CXLIIII- sunt. Quod si se extremitates multiplicent, -VI- scilicet et XU-, facient •LXXIl-, quo numero -CXLIIIL duplus est. Inveniemus 20 liic quoque omnes musicas consonantias. Namque •VIII- ad -VL et -VIIII- ad -XII- comparati sesquitertiam propor- tionem reddunt, et simul diatessaron consonantiam ; VI- vero ad VIIII- vel •VIII- ad •XII- comparati reddunt pro- portionem sesqualteram , sed diapente efficiunt sympho- 25 niam; •XII- vero ad senarium considerati dupUcem qui- dem proportionem , sed diapason symphoniam canunt; -VIII- vero et •VIIIL ipsi contra se medii considerati 2 qui fit d. 3 Namque d, f, r, s, F. || VI- F. 6 huius- modi est a, d, f, r. || Arethmetica r. 1| est autem a. 7 iuncte c. 8 dupla est c. {| sunt oni. 1. || iunxero c, r, s. 9 est om. c. || termino] temario F. 13 senarium] senarii F. 15 superat F. || IIIL s. || -VIII- f. 17 sex . . . duodecira d. 18 medium rasura dcletum F. 19 sex f. || videlicet d. 20 Invenimus a. 21 hic] hinc 1; hic ei supra versum al hinc b. II VIIII- ad VL et Vm- ad XII- a. 23 reddent d. || sex f, F. 24 vel] et d. || octo a, b, || ad XII- ceL Haec ei reliqua usgue ad finem desuni in a folio uUimo deperdiio. 25 sesqualteram proportionem d, r. || sed] et d. 26 duodecim f, F. 27 canunc c. 28 octo f, F. || et] ad d, f, F. 172 INST. ARITHM. II, 54. epogdoum iungunt, qui in musico moduiamine tonus vo- catur, quae omnium musicorum sonorum mensura cora- munis est. Omnium enim est sonus iste parvissimus. Unde notum est, quod inter diatessaron et diapente con- 5 sonanliarum lonus diflferentla esl, sicul inter sesquitertiam et sesqualteram proportionem sola est epogdous differen- tia. Huius descriptionis subter exemplar adiecimus. Geometrfca. Arithmelica. LXXIl XVIII 10 15 LXXII I VL VIIL VIHL m VL sesqualter sesqualter Proportiones Armonica. LXXII VIIII VIIL jn[iii. xii "ffl ^ III Differentiae XIL tertia IIII tertia 20 Partes maiorum et minorum terminorum. 1 epocdouin f. || musica modulatione 1; musica modu- latione et supra versum i co i mine b, s. || modolamine r. II toBOS f, F. 5 tonos c, f, F. 6 epocdous f. 7 Huius] Eius d ; Huius et supra versum l eius b. | Huius antem f, r, F. II exemplar subter s. || exempla d. F. | subiecimus c, 1, s; subiecimus et supra sub : l ad b ; adicimus r. In fine addit r ; Explicit liber secundus institutionis ARETHMETICE felici- ter. AMEN. 8 JJescripttontbus quae sequuntur addita sunt in codicibus verba^ qidbus quae arcus significanty glossarum modo explanantur , nempe: Extremorum mediorumque multiplicatio- nes. Extremitates iunctae ad novenarium medium duplae sunt. Extremitates multiplicatae. lunctae extremitates et per me- dlum multiplicatae. || Geometrica. Arithmetica om, s. 10 •LXXII- om, d. II .VIIII- OTO. c, d, r. 11 Sub VI. VIII. VIIII. XII: II. I. III. r. 12 III. m.] H. III. in litural, r. 1 1 diapente sesqualter bis f ; Se&qualter diapente bis r. 13 Proportiones om. s; Proportione» armonicae f; Proportiones INST. ARITHM. II, 54. 173 Consonantiae. dupla, diapason. sesquiterlia , sesquitertia diatessaron ^ ^ ' dialessaron VL YiiT viiir ^II. sesqualter, diapente. sesqualter, diapente Proportiones et consonantiae. ei supra Differentiae r. || Differentiae om. s; Differentiae ei infra Proportiones r. In r addita sunt numeris vocabula: dupla diapason • sesqualter diapente , sesquit. diatessar. 14 Armonica om. s. 19 tertia om, f. 20 Partes minorum et maiorum terminorum s; Partes maiores et minores termino- rum et supra versum: In sA. Differentiae maiorum et minorum terminorum b, 1. In r supra versum: Differentiae. 2 dupla diapason om. 1. || duplus f. 3 — 4 sesquitertia, epogdous, sesquitertia om. r. BOETII DiE INSTITUTIONE MUSICA LIBRI QUINQUE. NOTARUM EXPLICATIO. f=codex Monacensis 18480 (Tegerns. 480) saec. XI. piil- cherrime scriptus, in quo desunt quidem capitum indi- ces, insunt autem singulorum capitum tituli ac numeri et descriptiones omnes. Scholia inmargine, intra lineas, in schedis ad id ipsum additis inveniuntur. Decreti La- cedaemoniorum interpretatio non intra lineas solum sed in contextu quoque legitur. g = codex Bambergensis HI. N. 19. (F. Nro. 2) saec. IX., in quo liber quartus et quintus alia manu videntur scripti quam tres priores. Deest maxima pars titulorum et descriptionum. Deest decretum Lacedaemoniorum graece scriptum. Deest libri secundi caput vicesimum tertium et magna pars' capitis noni libri quinti. h = codex Monacensis 6361 (cod. Fris. 161) saec. XI., con- tinet capitum indices praeter libri tertii et quinti indi- ces, singulornm capitum inscriptiones et numeros ex- ceptis libri quinti capitibus, descriptiones fere omnes, scholia aliquot intra lineas et in margine. Prope acce- dit ad g. i = codex Monacensis 14523 (Rat. St. Emm. 523. F. XXVI) saec. X. Praestantissimus codex, nisi duo folia periis- sent, unum, in quo decretum fuit Lacedaemonlotw.\sv^ 178 IN8T. MU8. I, 1\ XVI. De consonantiis proportionum et tono et semitonio. XVII. In quibus primis numeris semitonium constet. XVIII. Diatessaron a diapente tpno distare. XVIIII. Diapason quinque tonis et duobus semitoniis iungi. ."> XX. De additionibus chordarum eanimque nomitiibus. XXI. De generibus cantilenae. XXII. De ordine chordarum nominibusque in tribus ge- neribus. XXIII. Quae sint inter voces in singuHs generibus propor- 10 tiones. XXIIII. Quid sit syuaphe. XXV. Quid sit diazeuxis. XXVI. Quibus nominibus nervos appellaverit Aibinus. XXVII. Qui nervi quibus sideribus comparentur. 15 XXVIII. Quae sit natura consonantiarum. XXVIIII. Ubi consonautiae rcpperiantur. XXX. Quemadmodum Plato dicat iieri consonautiam. XXXI. Quid contra Platonem Nicomachus sentiat. XXXII. Quae consonantia quam merito praecedat. 20 XXXIII. Quo sint modo accipienda, quae dicta sunt. XXXIIII. Quid sit musicus. Proemium. Musicam naiuraliter nobis esse coniunctam et mores vel honeslare vel evertere. 1. Omnium quidem perceptio sensuum ita sponte ac 25 naturaliter quibusdam viventibus adest, ut sine his animal 1 e tono ac, omissa prima littera D, h. 3 a] ac h. 4 et] ac h. 5 addicione h. 7 nominibusque earum h. 11 h addit omissa prima littera D: escripcio sinaphe. 12 die- zeuxis h; et addit omissa prima liUeral): escripcio diezeuxis. 16 XXVIIII. om. h. II Ubi] bi, omisso U, h. 17 XXX] XXVIIII. h. II consonantias h. 18 XXXI] XXX. h. 19 XXXII] XXXI. h. II procedat h. 20 XXXIII] XXXII. h. 21 XXXIIII] XXXIII. h. et addit: XXXIIII. Tria genera esse, qnae circa artem musicam versantur. 22 Inscriptionem om. g, I. II Prohemium i. Proemium Musicae f. || esse coniunctam] insitam h, k. 23 vel ante honestare om. h, k. || vertere h, i. 24. Omnium . . . sponte ac onu g. || percoeptio g, h. INST. MUS. I, 1. 179 non possil inlellegi. Sed non aeque ^eorundem cognilio ac firma perceptio animi investigatione colligitur. Inlabo- ratum est enim quod sensum percipiendis sensibilibus re- bus adhibemus; quae vero sit ipsorum sensuum^ secun- dum quos agimus, natura, quae rerum sensibilium pro- n prietas, id non obvium neque cuilibet explicabile esse potest, nisi quem conveniens investigatio veritatis con- templatione direxerit. Adesl enim cunctis mortalibus vi- sus, qui utrum venientibus ad visum figuris, an ad sensi- bilia radiis emissis efficiatur, inter doctos quidem dubita- lo bile est, vulgum vero ipsa quoque dubitatio praeterit. Rursus cum quis triangulum respicit vel quadratum, facile id quod ocuiis intuetur agnoscit, sed quaenam quadrati vei trianguli sit natura, a mathematico necesse est petar. Idem quoque de ceteris sensibiiibus dici potest, maxime- 15 que de arbitrio aurium, quarum vis ita sonos captat, ut non modo de his iudicium capiat dilTerentiasque cogno- scat, verum etiam delectetur saepius, si dulces coaptati- que modi sint, angatur vero, si dissipati atque incohae- rentes feriant sensum. Unde fit ut, cum sint quattuor 20 matheseos discipiinae, ceterae quidem in investigatione veritatis laborejit, musica vero non modo specuiationi verum etiam moralitati coniuncta sit. Nihil est enim tam proprium humanitatis, quam remiUi dulcibus modis, ad- stririgi contrariis, idque non sese in singulis vei studiis 25 vei aetatibus tenet, verum per cuncta diifunditur studia etinfantes ac iuvenes nec non etiam senes ita naturaliter 1 eorum agnitia h, k; supra versum al eorundem cogni- tio h, &l eorundera k. 3 quodl ut et siipra versum &i quod g". II sensilibus i; sensibibus 1. 1| rebus om. h, k. 4 adhi- bentur 1. 5 agimus et supra i ta g; agitamus 1. || quae- que h, k. 11 quoque om. i,o. || dubitatio quoque k. 13 quae- nam sit quadrati vel trianguli natura 1. 15 dici potest sen- sibilibus k. 16 sonus g. 18 saepius om. h, k. 19 modo 1. 21 in om. f, g, h, i, 1, o. || investigationem h, i. 23 Nichil g. II est om. g, h. || enim om. 1. 24 humanitati 1; huma- nitati, s in fine deleto, g, k. || dulcibus] duobus 1. [] modis supra versum sec. manu. k. 26 ideoque k. || non modo f , g, 1, o. [j sese] se h, k. V2* 180 INST. MUS. I, 1. afTectu quodam spontaneo modis musicis adiunguntur, ut nuila omnino sit aetas, quae a cantilenae duicis de- iectatione seiuncta sit. Hinc etiam internosci potest, quod non frustra a Piatone dictum sit, mundi animam 5 musica convenientia fuisse coniunctam. Cum enim eo, quod in nobis est iunctum convenienterque coaptatum, iiiud excipimus, quod in senis apte convenienterque coniunctum est, eoque delectamur, nos quoque ipsos eadem similitudine compactos esse cognoscimus. Amica 10 est enim simiiitudo , dissimilitudo odiosa atque contraria. Hinc etiam morum quoque maximae permutationes fiunt. Lascivus quippe animus vel ipse iascivioribus delectatur modis vei saepe eosdem audiens emollitur ac frangitur. Rursus asperior mens vel indlatioribus gaudet vel incita- 15 tioribus asperatur. Hinc est quod modi etiam musici gen- tium vocabulo designati sunt, ut lydius roodus et pbry- gius. Quo enim quasi una quaeque gens gaude( , eodem modus ipse vocabulo nuncupatur. Gaudet vero gens mo- dis morum similitudine; neque enim fieri potest, ut moi- ^ lia duris, dura moUioribus adnectantur aut gaudeant, sed amorem delectationemque, ut dictum est, similitudo con- ciliat. Unde Plato etiam maxime cavendum existimat, ne de bene morata musica aiiquid permutetur. Negat enim esse ullam tantam morum in re publica labem quam pau- 25 iatim de pudenti ac modesta musica invertere. Statim enim idem quoque audientium animos pati paulatimque discedere nullumque honesti ac recti retinere vestigium, si vel per lasciviores modos inverecundum aiiquid, vel per asperiores ferox atque immane mentibus illabatur. 2 sit omnino k. [j a om. i. 6 est om. f. 8 eoque] eo 1; eo quod o. 9 similitudine compactos .... multipli- cem musicam reddens desunt in i, folio uno deperdito. || com- paratos et supra versum compactos f. 10 contraria atque odiosa h, k. 11 quoque om. 1. || maxime f, g, h, i, 1, o. 12 ipse et supra versum ai ipsis h, k. 13 modis delecta- tur 1. II sepe f. 14 alterum incitatioribus om. f , i. 15 Hinc etiam quod modi musici h, k. 16 frygius 1. 17 gaudeat f. 1. 18 modis om. 1. 22 etiam Piato 1. 23 musica om. 1. 28 si] sive 1. || modosj mores f. INST. MUS. I, 1. 181 Nulla enini magis ad animum disciplinis via quam auribus patet. Cum ergo per eas rythmi modique ad animum us- que descenderint, dubitari non potest, quin aequo modo mentem atque ipsa sunt afiiciant alque conforment. Id vero etiam inteilegi in gentibus potest. Nam quae aspe- 5 riores sunt, Getarum durioribus delectantur modis, quae vero mansuetae, mediocribus; quanquam id hoc tempore paene nulium est. Quod vero lascivum ac molle est genus humanum , id totum scenicis ac theatraiibus modis tene- tur. Fuit vero pudens ac modesla musica , dum simpli- lo cioribus organis ageretur. Ubi vero varie permixteque tractata est, amlsit gravitatis atque virtutis modum et paene in turpitudinem prolapsa minimum antiquam spe- ciem servat. Unde Plato praecipit minime oportere pue- ros ad omnes modos erudiri sed potius ad valentes ac i5 simplices. Aique hic maxime retinendum estillud, quod si quo modo per parvissimas mutationes hinc aliquid per- mutaretur, recens quidem minime sentiri, post vero magnam facere differentiam et per aures ad animum usque delabi. Idcirco magnam esse custodiam rei publicae Plato 20 arbitratur musicam optime moratam pudenterque con- iunctam, ita ut sit modesta ac simplex et mascula nec eifeminata nec fera nec varia. Quod Lacedaemonii ma- xima ope servavere, dum apud eos Tbaletas Cretensis Gortynlus magno pretio adcitus pueros disciplina musi- ss cae artis imbueret. Fuit enim id antiquis in more diu- 2 eas] has f. || usque om. h, k. 4 atque] swpra ver- sum al ad quae g. || ipsae f. (Fortasse: ipsi). 7 Supra quanquam addiium est in g: interpositum. 8 iascivium g, o. 9 scaenicis g, 0. 11 ageretur om. 1. 12 tracta g, 1, o. |i ac k, acque g, o. 13 pene h. 16 hinc h, k, 1. [] iilud est f, 17 quo] aliquo 1. |) Post hinc interserit 0 scholion^ quod in f, k, h in margine legitur: Nove adverbialiter . . . per- cipitur donec. || permutaretur] Coniicias permutetur. 19 Post differentiam addit g liquet, quod in h supra versum sec. manus addidit. Verisimilius videtur aut ante post excidisse possit aut po^^delabi: necesse Bitvelsimile quid. || usque ad animum h, k. 20 custodiam esse 1. 25 Gortinus g, h, k, 1, o. {For- tasse: Gortyne.) || precio 1. || ascitus g, h, o; asscitus k. i| discipliuae f. 26 imbuerit f, g, h, k, o. |1 in morem ^^la^^ 182 INST. MUS. I, 1. que permansil. Quoniam vero eis Timotheus Milesius super eas, quas anle reppereral, unum addidit nervum ac multipliciorem musicam fecit, exigere de Laconioa consultum de eo factum cst, quod, quoniam insigne 5 est Spartiatarum lingua, -G litteram in -P- vertentium, ipsum de eo consultum isdem verbis Graecis apposui: EnEIAH TIMO0EOP 0 MIAHCIOP HAPAnNOMENOP EN TAN AMETEPAN HOAIN TAM HAAAIAN MOOAN ATl- MACAE KAI TAN AIA TAN EHTA XOPAAN KI0API5IN 10 AHOCTPEOOMENOP nOAYOQNIAN EICATON AYMAINE- TAI TAP AKOAP TQN NE(ON AIA TE TAP HOAYXOPAIAP KAI TAP KENOTATOP T(0 MEAEOP AfENNH KAI HOIKIAAN ANTI AHAOAP KAI TETAfMENAP AM0IENNYTAI TAN M(OAN EHI XPOOMATOP CYNEICTAMENOP TAN TO) ME- 15 AEOP AIACKEYAN ANTI TAP ENAPMONIOa HOT TAN ANTICTPOEPEN Tl TOON MH KAAOON EONTOON MH HOTE TA- PAPPETAI KAEOP AfOONOON. ^^ Quod consultum id scilicet continet, idcirco Timotheo 1 — 3 ccngsnrj .... StciaHSvav] xsv ai6%vvLV anfinaXi^^sv Tco /ittrfi) Siaanoga f. || SafiatQog] Sa om. f. || dtsansiaato h, k, 1, o, C, Pj, P3. 2 rav Tag] yag ttg f. 3 ovn] For- tasse scribendum ov8s, || svSsma tog l; svdrjnaj omisso tog, f; svattiatOQ C. || vrjog f. [] dtSaymri] ^tdfif;| || to qs^oqcoq h ; TO Qsd^opacoQ k; to Qsd^OQaQ 1; QStOQsg f; tOQStSQCDQ C; TCD^a- cponoQ Pj , TOp sg>OQaQ P^. 5 SfjLSficpovtco f. || £9ro(i/o;yxa|at] nQoarjd^qiiTjv f ; snslvafnatiat h, k ; STrai^axaToft C ; altera pars huius verbi obscurior est in 0. || de om. Pj. || si/dijxaTT^i/ f. 6 xoQ- Stav C. II syitsvaQ xaQ f. ConieceHm scriptum fuisse SKtafirjv omisso altero taQ, quod deest in f et k. || vnolinofisvaiQ] tvoXtnofisvcD h; volmofisvo k; vQnoXtnofisvoQ f; inoXtnofisva) 1; . . . Stnofisvo o; vnoXinoft>svoD Pj, Pj, Pg. Fortasse scriben- dnm vnoXtnofisvov. 7 sntaoDvoQS h, k; sntaxoQSav f, i; svta o. II coTroop P^. Q naatOQ h, k, 1; nttaQtit f; oii/ope- )(a(rTop o ; conoQ anaatOQ C. || snta oncDQ om, P| || to taQ no- XtOQ] tovto OQ fiovoQ noXtttg f . 8 onov f , h , k , P^ ; opot^ 1; OTroot^ o; OQtov C; oqov Pi. || svXa^rjtat] sq)co^sd"rj f; stSs- tai 1 ; vstXaPrjstai o, || tp tsv anaQtrjv snttpSQTjv Tt i/otc ta atfitpi^QOvta tcDv d^tatov tittsvoQ fis nots soQtfiiai tiXscdq toDv ay cDvovv toDv f. || snav h, k; tQ tsv f; st Tai/ 1; sv Tttr o; st tav C, Pi, Pj, Pg. II sntcpSQTjv f, h, k, o, Pi, Fj, P3. 9 vf- TOv h, k, 1, o; vs%cov C, P^, P^; rjtov P^. || taQa-QStaQ h, k, 1; TOf^tt o; ta-QaQStaQ C; ra nanstaQ Pi; Ta^a^ar P^; TapofpSTOfp Pg. lOayoi/Toy h, k, 1, o, Pg, P3; «Toi/aiv C; apov- toDv Pj. 11 Verbis graecis subiungit f ^awc inierpretaiionemj cui lectionum vaHetatem inlerpono, quam praebent intra lineas 184 INST. MUS. I, 1. Milesio Spartiatas succensuisse, quod multlplicem musi- cam reddens puerorum animis, quos acceperat erudien- dos, officeret et a virtutis modestia praepediret, et quod armoniam, quam modestam susceperat, in genus chro- 5 maticum, quod moilius est, invertisset. Tanta igitur apud eos fuit musicae diligentia, ut eam animos quoque obti- nere arbitrarentur. Vulgatum quippe esl, quam saepe iracundias cantiiena represserit, quam multa vel in cor- porum vel in animorum aiTectionibus miranda perfecerit. 10 Cui enim est illud ignotum, quod Pythagoras ebrium f, h , k , I et interprelatio codicis g (Quae quadratis uncis in- clusi additamenta sunt, quae rotundis, variae lectiones). Haec est autem interpretatio iliorum. Quoniam Timotheus [art. f] Milesius adveniens (veniens 1) in [art. f. hanc 1] nostram civitatem [art. f] antiquam, propriam civitatem (MOAn g t. e. musam) spernens [autem g, h, k (et f, l), eam g, h, k (art. f) propter g, h, k (art. f)], septem (VII g) chorda- rnm cytharam subvertit, modnlationem multarum (multas g, k, 1) vocum (voces g, k, 1) introducens ' [ad gj demollivit [art. fj auditus [art. f] iuvenum [per f, g, h, k, 1; art fj, multas chordas et (etenim f, g, h, k^ 1) novam (art. VIIII h , k) modulationem genuit et variam propriam (pro g , h, k, 1) simpla et ordinata (ordinatam h, k) circumvenit [art. f. MOAn g (pro f; p. n. civitatis h)] iu {om, 1) cromaticum genus constituens, quod est (om. I.) mollius, divisionem (di- visum I) pro {om. I) enarmonico (-nio g, h, k; om. 1) faciens conversionem [que g] mutuam, vocatns (vocatos g) autem {om. 1) [et f, g, h, k, 1, in art. h, k, f] iu (om. f) agonem [art. f] eleusinae (eleusiniae g, h, k) matris [art. f] turpitu- dinem {om, 1) divulgavit [art. f. fabulosa f, g, h, k, IJ, disper- sione enim (etenim g) [art. f. simele g, semele h, k, I; se- meles f ] partus (fuit 1) non undecies (XI g) novus (novis g, novas h, k) doctrina (doctrine 1) edocuit (edocui h, k): dc talibus reges et rhetores accusabant [art. £] Timotheum. Ad- didit autem et [art. f] undecimam (undecim I) chordam (chor- das I) , extendens enim {om. g, h, k, I) superfluas relicta [art. f] •VII- chordarum cythara. Hoc (om. h , k , I) ut singuiaris civis gravis videns timuit in [art. f] Spartam indicare (iudi- care f; inducere I) aliquid {om. I) inconvenientium [art. f victimarum f; ultimarum g, h, k, 1] extentarum (ex tanta- rum h, k) ne forte pertnrbaret (perturbaretur g, h, k, 1) glo- riam (gloria g, h, k,"l) [art. f] certantium (certaminum g, h, k) [art. f]. 2 animos f. 5 est mollius f. 8 cantilena in margine k. 9 perfecerit om. i. 10 illud est I. INST. MUS. I, 1. 185 adulescenlem Tauromenitanum subplirygii modi sono inci- latum spondeo succinente reddiderit mitiorem et sui com- potem ? Nam cum scortum in rivalis domo esset clausum atque iiie furens domum vellet amburere, cumque Pytha- goras steilarum cursus , ut ei mos , nocturnus inspiceret, 5 ubi inteilexit, sono phrygii modi incitatum multis amico- rum monitionibus a facinore noluisse desistere, mutari modum praecepit atque ita furentis animum adulescentis ad statum mentis pacalissimae temperavit. Quod scilicet Marcus Tuilius commemorat in eo libro, quem de consi- lo liis suis composuit, aiiter quidem, sed lioc modo: „Sed ut aliqua similitudine adductus maximis minima conferam, ut cum vinolenti adulescentes tibiarum eliam cantu, ut fit, instincti muiieris pudicae fores frangerent, admo- nuisse tibicinam ut spondeum caneret Pythagoras dicitur. i5 Quod cum ilia fecisset, tarditate modorum et gravitate canentis illorum furentem petulantiam consedisse.'* Sed ut similia breviter exempla couquiram, Terpander atque Arion Methymneus Lesbios atque lones gravissimis mor- bis cantus eripiiere praesidio. Ismenias vero Thebanus 20 Boetiorum pluribus» quos ischiadici doloris tormenta vexabant, modis fertur cunctas abstersisse molestias. Sed et Cmpedocles, cum eius hospitem quidam gladio furibundus invaderet, quod eius iiie patrem accusatione damnasset, inflexisse modum dicitur canendi itaque adu- 25 lescentis iracundiam temperasse. In tantum vero priscae philosophiae studiis vis musicae artis innotuit , ut Pytha- gorici, cum diurnas in somno resolverent curas, quibus- dam cantilenis uterentur, ut eis lenis et quietus sopor in- 1 adolescentem h, k, f, 1, o. || Tanrominitanum k, f, 1, o. 2 spondeo modo f. || mitiorem reddiderit k. 4 ^mburere vel- let k. 5 ei om. i. 9 pacatissime k, f. IS prius ut ot7i. f. 14 ammonnisse k. 17 canentisl cantus KlotZy fragm. Cic. p. 303. II petulentiam f. || consedasse 0; resedisse Klotz l.c. 19 Lesbios] Lybios i. 20 praesedio f. 21 isciatici g; sciatici 1. 22 cunctis g. 23 et om. i, 0. 24 ille patrem eins i. 25 dampnasset f, g, h, k, 1, o. || dicitur modum 1. 1| canendl dicitur f. || atque ita li, k. 27 studiis om. 1; studiosis f. 28 diuturnas h. || in somno] insomnos f. 29 lenis et] le- nisset 0. || et qnietus om. k. 186 INST. MUS. I, 1. reperet. Itaque experrecti aliis quibusdani mdclis stupo- rem somni confusionemque purgabant, id nimirum scien- tes quod tota nostrae animae corporisque compago musica coaptatione coniuncta sit. Nam ul sese corporis affectus 5 habet, ita etiam pulsus cordis motibus incitantur, quod scilicet Democritus Hippocrati medico tradidisse fertur, cum eum quasi ut insanum cunctis Democriti civibus id opinantibus in custodia medendi causa viseret. Sed quor- sum istaec? Quia non potest dubilari, quin nostrae ani- 10 mae et corporis status eisdem quodammodo proportioni- bus videatur esse compositus, quibus armonicas modula- tiones posterior disputatio coniungi copularique monstra- bit. Inde est enim, quod infantes quoque cantilena dul- cis oblectat, aliquid vero asperum atque inmite ab au- 15 diendi voluptate suspendit. Nimirum id etiam omnis aetas patitur omnisque sexus; quae licet suis actibus distributa sint, una tamen musicae deiectatione coniuncta sunt. Quid enim fit, cum in fletibus luctus ipsos modulantur dolentes? quod maxime muliebre est, ut cum cantico 20 quodam dulcior fiat causa deflendi. Id vero etiam fuit an- tiquis in more, ut cantus tibiae luctibus praeiret. Testis est Papinius Statius hoc vcrsu : ,,Cornu grave mugit aduoco Tibia, cui teneros suetum producere manes." 25 Et qui suaviter canere non potest, sibi tamen aliquid canit, non (juod eum aiiqua voluptate id quod canit afficiat, sed quod quandam insitam dulcedinem ex animo proferentes, quoquo modo proferant, delectantur. Nonne illud etiam manifeslum est, in bellum pugnantium animos 30 tubarum carmine accendi? Quod si verisimile est, ab animi pacato slatu quemquam ad furorem atque iracun- 5 motibus] modis o. |{ ineitatur g. 6 videlicet et k; scilicet et g, h, 1. 7 ut om» g, h, k. 9 ista g, h, k, 1 , o. 10 status om. 1. 13 enim est 1. 15 etiam om. k. 16 pati- tur om. k. 20 fit i. || vero om. o. etiam om. i. 21 in mo- rem g, h, k, 1, o. {| lucti citm litura f. 22 Tatius f, g, h, i, k, o. 24 suetum teneros k. 26 afficiat id quod canit g, h, k, 1. 28 proferentis i, f. (] proferat, delectatur f. 29 bello 1. 31 quempiam h, k. || ad iracundiam f. INST. MUS. I, 2. 187 (tiam posse proferri, non est dubium quod conturbatae mentis iracundiam vei nimiam cupiditatem modestior mo- dus possit adslringere. Quid? quod, cum aliquis canlile- nam iibentius auribus atque animo capit, ad illud etiam non sponle convertitur, ut motuni quoque aliquem simi- 5 lem auditae cantilenae corpus effingat; et quod omnino aliquod meios auditum sibi memor animus ipse decerpat? ut ex bis omnibus perspicue nec dubitanter appareal, ita nobis musicam naturaliter esse coniunctam , ut ea ne si veiimus quidem carere possimus. Quocirca intendenda lo vis mentis est, ut id, quod natura est insitum, scientia quoque possit conprehensum teneri. Sicut enim in visu quoque non sufficit eruditis coiores formasque conspicere, nisi etiam quae sit horum proprietas investigaverint, sic non sufficit cantiienis musicis delectari, nisi etiam quali i5 inter se coniunctae sint vocum proportione discatur. Tres esse musicas ; in quo de vi musicae. II. Principio igitur de musica disserenti iliud interim dicendum videtur. quot musicae genera ab eius studiosis conprehensa esse noverimus. Sunt autem tria. Et prima 20 quidem mundana est, secunda vero humana, tertia, quae in quibusdam constituta est instrumentis, ut in cithara vel tibiis ceterisque, quae cantilenae famulantur. Et pri- mum ea, quae est mundana^ in his maxime perspicienda est, quae in ipso caelo vel compage elementorum vel tem- 25 porum varietate visuntur. Qui enim fieri potest, ut tam velox caeU machina tacito silentique cursu moveatur? Etsi ad nostras aures sonus ille non pervenit, quod muitis fieri de causis necesse est, non poterit tamen motus tam velo- cissimus ita magnorum corporum nullos omnino sonos ao 1 quod et supra versum quin g. 3 abstringere f. || Quic o. 6 quid est quod h, k; quid et sitpra i o g. 9 natura- liter musicam f. 10 intenda i. 11 id om. h, k. || naturae g, h, k, i, o. 17 de vi musicae narratur h, k, 1. 18 de musica om. f. || disserendi k, o; disserendi corr. sec. manu in disserenti h. [{ interim om. 1. 20 noverimus esse com- prehensa f || esse om, 1. || Et 07/2. k. 21 quae mundana k. 22 citharis h, k. 25 celo 1. 188 INST. MUS. I, 2. ciere, cuni praeseiHim tanta sint steilarum cursus coapta- tione coniuncti, ut nihil aeque compaginatum, niliii ita commissum possit intellegi. Namque alii excelsiores alii inferiores feruntur. atque ita omnes aequali incitatione 5volvunlur, ut per dispares inaequalitates ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac caeiesti vertigine ratus ordo modulationis absistere. iam vero quattuor ele- mentorum diversitales contrariasque potenlias nisi quae- dam armonia coniungeret, qui fieri posset, ut in unum 10 corpus ac machinam convenirent? Sed haec omnis diver- sitas ita et temporum varietatem parit et fructuum^ ut ta- men unum anni corpus ef(iciat. Unde si quid horum, quae tantam varietatem rebus ministrant, animo et cogitatione decerpas , cuncta pereant nec ut ita dicam quicquam con- 15 sonum servent. £t sicut in gravibus chordis is vocis est modus, ut non ad taciturnitatem gravitas usque descen- dat, atque in acutis ille custoditur acuminis modus, ne nervi nimium tensi vocis tenuitate rumpantur, sed totum sibi sit consentaneum atque conveniens: ita etiam in 20 mundi musica pervidemus nihil ita esse nimium posse, ut alterum propria nimietate dissolvat. Verum quicquid illud est, aut suos affert fructus aut aliis auxiliatur ut afferant. Nam quod coustringit hiems, ver laxat, torret aestas, ma- turat autumnus, temporaque vicissim vel ipsa suos af- 25 ferunt fructus vel aliis ut atferant subministrant; de qui- bus posterius studiosius disputandum est. Humanam vero musicam quisquis in sese ipsum descendit intellegit. Quid est enim (|uod illam incorpoream rationis vivacitatem cor- pori misceat, nisi quaedam coaptatio et veluti gravium 30 leviumque vocum quasi unam consonantiam efOciens tem- 1 sunt f; sit, n correciione addfto, i. [[ coaptione f. 2 ■ nichil o; nihilqiie h, k. [J ita . . . feruntur atque om, o. 3 commixtum g, 1; coniunctum h, k. 4 etiam ita o. 6 de supra ducatur g-. 10 convenire, cui secunda manus nt, ter- tia tur addidity i. || omnium h, k. 11 ut tamen his 1. 15 sicut] ut 1. II is onu k, 1. 19 consentiens f. 21 quidquid k. 23 hiemps f, g. || relaxet k. 24 atferant fructus 1. 26 studiosius om. f. 27 sese] se h, k, 1. 28 enim om. 1. 1| corporei 1. INST. MUS. 1, 3. 189 peratio? Quid est aliud quod ipsius inler se partes ani- mae coniungat, quae, ut Arisloteli placet, ex rationabili inrationabilique coniuncta est? Quid vero, quod corpo- ris elen^enta permiscet, aut partes sibimet rata coapta- tione contineat? Sed de bac quoque posterius dicam. Ter- 5 tia estmusica, quae in quibusdam consistere dicitur in- strumentis. Haec vero administratur aut intentione ut nervis, aut spiritu ut tibiis, vei his, quae ad aquam mo- ventur, aut percussione quadam, ut in his, quae in con- cava quaedam aerea feriuntur, atque inde diversi eiliciun- lo tur soni. De hac igitur inslrumentorum musica primo hoc opere disputandum videtur. Sed proemii satis est. Nunc de ipsis musicae eiementis est disserendum. De vocihus ac de musicae elemeniis. III. Consonantia, quae omnem musicae modulationem 15 regit, praeter sonum iieri non potest, sonus vero praeter quendam pulsum percussionemque non redditur, pulsus vero atque percussio nullo modo esse potest, nisi prae- cesserit motus. Si enim cuncta sint inmobilia, non pot- erit alterum alteri concurrere, ut alterum inpellatur ab 20 altero, sed cunctis stantibus motuque carentibus nullum fieri necesse est sonum. Idcirco deiinitur sonus percussio aeris indissoluta usque ad auditum. Motuum vero alii sunt velociores, alii tardiores, eorundemque motuum alii rariores sunt alii spissiores. Nam si quis in continuum 25 motum respiciat, ibi aut velocitatem aut tarditatem ne- cesse est conprehendat, sin vero quis moveat manum aut frequenti eam motu movebit aut raro. £t si tardus qui- dem fuerit ac rarior motus, graves necesse est sonos effici . 1 est autem aliud g, h, k. || animae inter se partes h, k. II animi iungat i. 4 rata om. f. 5 posterius quoque h, k. 7 amministratur k. || intensione f. 8 aquas 1. 9 a percussione 1. [] quae in] ubi f. ' 10 aera f, 1. || inde om. f; ita o. 11 musiccc f. || prima f. 12 videntur 1. || pro- hemii f , 1. 14 Inscript. om. g. || de om. f , h, k, 1. 15 re- git musicae modulationem k. 16 non potest] nequit f. 22 diffinitur f, 1, o. 24 sunt alii f. 28 tardior et supra versum l us f. 29 ac] aut g, h, k. 190 INST. MUS. I, 3. ipsa tarditate el raritate peilendi. Sin vero sint motus celeres ac spissi, acutos necesse est reddi sonos. Idcirco enim idem nervus, si intendatur amplius, acutum sonat, si remittatur, grave. Quando enim tensior est, velocio- 5 rem pulsum reddit celeriusque revertitur et frequentius ac spissius aerem ferit. Qui vero laxior est, solutos ac tardos pulsus effert rarosque ipsa inbecillitate feriendi, nec diutius tremit. Neque enim quotiens chorda peliitur, unus edi tantum pulandus est sonus aut unam in his esse 10 percussionem, sed totiens aer feritur, quotiens eum chorda tremebunda percusserit. Sed quoniam iunctae sunt velo- citates sonorum, nulla intercapedo sentitur auribus et unus sonus sensum peliit vel gravis vel acutus, quamvis ulerque ex pluribus constet, gravis quidem ex tardioribus 15 et rarioribus acutus vero ex ceieribus ac spissis: velut si conum, quem turbinem vocant, quis diligenter extornet eique unamvirgulam coloris rubri vel alterius ducat, et eum qua potest celeritate convertat, tunc totus conus ru- bro coiore videtur infectus, non quo totus ita sit, sed 20 quod partes puras rubrae virgae velocitas conprehendat et apparere non sinat. Sed de his posterius. Igitur quo- niam acutae voces spissioribus et veiocioribus motibus in- citantur, graves vero tardioribus ac raris, iiquet additione quadam motuum ex gravitate acumen intendi, detractione 25 vero motuum laxari ex acumine gravitatem. Ex piuribus enim motibus acumen quam gravitas constat. In quibus autem pluralitas diiTerentiam facit, ea necesse est in qua- dam numerositate consistere. Omnis vero paucitas ad pluraiitatem ita sese habet, ut numerus ad numerum 30 comparatus. Eorum vero, quae secundum numerum con^ feruntur, partim sibi sunt aequalia partim inaequalia. Quocirca soni quoque partim sunt aequales, partim vero 3 idest f. 4 Quanto h, i, k, o. 7 rarusque f , o. || ipsa om. 1. 9 sonus putandus est 1. 15 et gravioribus, in margine autetn vel rarioribus g. |1 ac] et g, h, k, o. ]] velud k. 16 turbonem f, g, h, k, 1, o. 20 quo f. 22 acutae quo- niam 1. || motibus cordae g, h, k. 27 autem] enim k. 30 comparatur f. 31 sibi sunt] subsistunt 1. || sint g,.h, k, 32 sunt partim 1. INST. MUS. I, 4. 191 sunt inaequalitate distantes. Sed in his vocibus, quae nulia inaequalitate discordant, nulla omnino consonantia est. Est enim consonantia dissimilium inter se vocum in unum redacla concordia. De speciebus inaequalitaiis. 5 IIII. Quae vero sunt inaequalia, quinque inter se mo- dis inaequalitatis momenta custodiunt. Aut enim alterum al) altero muitiplicitate transcendilur, aut singulis parli- bus aut pluribus aul multiplicitate et parle aut muiliplici- tate et partibus. £t primum quidem inaequaiitatis genus lo multiplex appellatur. Est vero multiplex, ubi maior nu- merus minorem numerum habet in se totum vel bis vei ter vei quater ac deinceps, nihilque deest, nihil exuberat. Appeliaturque vel dupium vel triplum vel quadruplum at- que ad hunc ordinem in infinita progreditur. Secundum i5 vero inaequalitatis genus est, quod appellatur superpar- ticuiare, id est cum maior numerus minorem numerum habet in se totum et unam eius aliquam partem eamque vel dimidiam, ut tres duorum, et vocatur sesqualtera pro- portio, vel tertiam, ut quattuor ad tres, et vocatur ses- 20 quitertia, atque ad hunc modum etiam posterioribus nu- meris pars aliqua a maioribus super minores numeros continetur. Tertium vero genus inaequalitalis est, quo- tiens maior numerus totum intra se minorem continet et eius aiiquantas insuper partes. Et si duas quidem supra 25 continet, vocabitur proportio superbipartiens, ut sunt quinque ad tres, sin vero tres super continet, vocabitur supertripartiens, ut sunt septem ad quattuor, et in cete- ris quidem eadem esse similitudo potest. Quartum vero est inaequalitatis genus, quod ex multiplici et superparti- 30 1 sunt om. h, k; sint g. 3 £st enim consonantia om. 1; £tenim consonantia est g, h, k. 5 Inscript. om, g. De quatuor speciebus. 1. 6 -V-**"® 1. 9 parte .... partibus om. f. 12 ha- bet numerum i. 13 et nihil h, k; nihilque f, 1. || exuperat h, i. 15 ad] in 1. 22 numeros om. h, k. 23 inaequa- litatis genus 1. 24 intra se om. h, k. 26 vocatur k. || sint k. 28 supratripartiens i, f, 0. 29 similitudo esse h, k, 1, o. 30 genus inaequalitatis est h, k, 1; genus est inaec^ua- 192 INST. MUS. I, 5. ciilaii coniungitur, cnm sciiicet maior numerus ha])et in se minorem numeruni vel bis vel ter vel quotienslibet at- que eius unam aliquani partem^ et si eum bis habet et eius dimidiam partem, vocabitur duplex supersesqualter, 5 ut sunt quinque ad duo ; sin vero bis minor conlinebitur et eius tertia pars, vocabitur duplex supersesquilertius, ut sunt septem ad Ircs. Sin vero tertio continebitur ei eius dimidia pars, vocabitur triplex supersesqualter , ut sunt septem ad duo, atque ad eundem modum in ceteris 10 et multiplicitatis et superparlicularitatis vocabula varlan- tur. Quintum est genus inaequaiitatis, quod appellatur multiplex superpartiens, quando maior numerus minorem numerum habet in se totum plus quam semei et eius plus quam unam aliquam partem. Et si l)is maior numerus 15 minorem numerum continebit, duasque eius insuper par- tes, vocabitur duplex superbipartiens, ut sunt tres ad octo, et rursus triplex superbipartiens, ut sunt tres et XI- Ac de his idcirco nunc strictim ac breviler explicamus, quoniam in libris, quos de arithmetica institutione con- 20 scripsimus, diligentius enodavimus. Quae inaequalitaiis species consonantiis deputeniur, V. Ex hls igitur inaequalitatis generibus postrema duo, quoniam ex superioribus sunt mixta, relinquantur, de tril)us vero prioribus speculatio facienda est. Obtinere 25 igitur maiorem ad consonantias potestatem videtur muUi- plex, consequenteni aulem superparlicnlaris. Superpar- litatid f. 3 eam i. 4 vocatur li, k. 11 sesqualter h, k , 1, o. 6 duplex sesquitertius vocabitur h, k. \\ sesquitertius f , 1, o. sesqualter h, k, f, 1, o. 9 motum o. 12 minorem om. i. 13 in se totum habet g^; tum h, k. 14 unam om. 1. || maior nume- rus his 1. 15 continebit] habet 1. 16 ut sunt tres et XI- om. o; supra versum i. || sint k. 17 et] ad f. 18 iccirco k, f, 1. 21 Inscript. om. g. aptentur consonantiis k. || abten- tur h; aptentur f, 1. 23 sunt mixtae g, 1. || relin- quantur et supra versum mus g. 24 superioribus h, k. 26 consequenter i, f. 8 vocatur k. maior om. i. in se habet to INST. MUS. I, 6. 193 tiens vero ab armoniae concinentia separatur, ut quibus- dam praeter Ptolemaeum videtur. €ur multiplicUas et superparticulariias consonaniiis depu- tefitur. VI. Ea namque probantur coaptalioni consentanea, 5 <]uae sunt natura simpiicia. Et quoniam gravitas et acu- men in quanlitate consistunt, ea maxime videbuntur ser- vare naturam concinentiae , quae discretae proprietatem quantitatis poterunt custodire. Nam cum sit alia quidem discreta quantilas, alia vero continua, ea quae discreta lo est in minimo quidem finita est, sed in infmitum per ma- iora procedit. Namque in ea minima unitas eademque fmita est, in inflnitum vero modus piuralitalis augetur, ut numerus, qui, cum a iinita incipiat unitate, crescendi non babet finem. Rursus quae est continua , tota quidem fmita i5 «st, sed per infmila minuitur. Linea enim, quae continua est, in infinita semper partitione dividitur, cum sit eius summa vel pedalis vel quaecunque alia definita mensura. <3uocirca numerus semper in infinita crescit, continua vero quantitas in infinita minuitur. Multiplicitas igitur, 20 quoniam finem crescendi non habet, numeri maxime ser- vat naturam. Superparticularitas autem, quoniam in in- finitum minorem minuit, proprietatem servat continuae quantitatis. Minuit autem minorem, cum semper eum continet et eius vel dimidiam partem vel tertiam vel quar- 25 tam vel quintam. Nam semper pars a maiore numero denominata ipsa decrescit. Nam cum tertia a tribus deno- 1 continentia g, i, 1. || quib- i. 2 tholomeum h. 3 Inscript. om. g. [1 particularitas k. |{ aptentur f, k. 5 pro- bentur 1. || comparationi h, k; comparatione, i supra e, g". 7 conservare h, k. 9 poterint i; poterint, u supra i, g. || quidem om. h, k. 10 vero om. h, k. || ea vero f. 11 finitaj discreta 1. || sed et h, k. 13 modus vero i. || augebitur g, h, k. 14 crescit 1. 17 minuitur g, k, o; munuitur h. i eius summa sit f. 18 mensura definita h, k. 19 con- crescit f, g, h, k, 1, o. 20 Multiplicatas i. 21 crescendi 'finem g, h, k, I, O; 26 minore 1. BOETIUS. \^ 194 INST. MUS. I, 7. minala sit, quarta vero a quattuor, cum qualtuor trei^ superent, quarta potius quam tertia minutior invenitur, Superpartiens vero iam quodam modo a simplicitate dis- cedit; duas enim vei tres vel quattuor habet insuper par- 5 tes et a simplicitate discedens exuberat ad quandam par- tium pluraiitatem. Rursus multiplicitas omnis in inte- gritate se continet. Nam duplum bis babet totum mi- norem, triplum item tertio continet totum minorem atque ad eundem modum cetera. Superparticularitas 10 vero nibil integrum servat, sed vel dimidio superat, vel tertia vel quarta vel quinta ; sed tamen divisionem singulis ac simplicibus partibus operatur. Superparliens autem inaequalitas nec servat integrum nec singulas adimit par- tes, atque idcirco secundum Pythagoricos minime musi- 15 cis consonantiis adhibetur. Ptolemaeus tamen etiam hanc proportionem inter consonantias ponit, ut posterius ostendam. Qttae proportiones quibus consonantiis musicis apteniur, VII. lUud tamen esse cognitum debet, quod omnis 20 musicae consonantiae aut in duplici aut in triplici aut in quadrupla aut in sesqualtera aut in sesquitertia propor- tione consistant; et vocabitur quidem, quae in numeris sesquitertia , diatessaron in sonis, quae in numeris ses- qualtera, diapente appellatur in vocibus, quae vero iu 25 proportionibus dupla est, diapason in consonantiis , tripla vero diapente ac diapason, quadrupla autembis diapason. Et nunc quidem universaliter atque indiscrete dictum sit, posterius vero omnis ratio proportionum lucebit. 3 quodam modo om. f. 4 insuper partes posi enim ponit k. 5 exuperat h. 6 multiplicatas i. 8 item 0772. I. 10 dimidia f. 11 vel quinta om, h, k. 15 Ptholomeus g. 18 Inscript. om. g. 20 in ante triplici om. i. 21 in ante sesquitertia om. g, h, k. 22 consistunt f. 23 sesquitertia est f, 1, 0. [| dvad^rjaariQOv 1. 1| in sonis om. 1. 24 dvoc- nrjvd^rj 1. 25 est om. 1. || 8vanoca(ov 1. 27 indiscretae i. 28 ratio omnis f. INST. MUS. I, 8. 9. 195 Quid sit sonus , qutd intervallum, quid consonantia. VIII. Sonus igitur est vocis casus emmeles, id est aptus melo, in unam inlensionem. Sonum vero non generalem nunc volumus definire, sed eum, qui graece dicitur phthon- gos, diclus a simiiitudine loquendi, id est cp^eyyaad^aL, ^ Intervallum vero est soni acuti gravisque distantia. Con- sonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviler unifor- miterque auribus accidens. Dissonantia vero est duorum sonorum sibimet permixtorum ad aurem veniens aspera atque iniucunda percussio. Nam dum sibimet misceri no- ^^ lunt et quodammodo integer uterque nititur pervenire, cumque alter aiteri officit, ad sensum insuavitcr uterque transmittitur. Non omne iudicium dandum esse sensihus sed amplius ra- tioni esse credendum; in quo de sensuum fallacia, i5 VIIII. Sed de his ita proponimus, ut non omne iudi- cium sensibus demus, quamquam a sensu aurium huiusce artis sumatur omne principium. Nam si nuUus esset au- ditus, nulla omnino disputatio de vocibus extitisset. Sed principium quodam modo et quasi admonitionis vicera 20 tenet auditus, postrema vero perfectio agnitionisque vis in ratione consistit, quae certis regulis sese tenens nun- quam ulio errore prolabitur. Nam quid diutius dicendum est de errore sensuum, quando nec omnibus eadem sen- tiendi vis nec eidem homini semper aequalis est? Frustra 25 autem vario iudicio quisquam committet, quod veraciter affectet inquirere. Idcirco Pythagorici medio quodam 1 Inscript. om. g. |1 sonus sit h, 1. || concinentia f, h, k. 2 Tonus o. 11 est igitur 1. || enmeles 1. 6 soni est h, k. || acuti soni 1. 8 accedens f. ||- duorum est k. 9 aspe- rata aut 1. 10 iniocunda f, g, h, i, o. 12 uterque insua- viter h, k. 14 Inscript, om. g. 14 — 15 dandum .... fal- lacia om, k maximam partem-^ addit enim solum: sensibus dan- dum. Sed rationi. 15 esse om, h, 1. 17 huiuscae g, h, k. 19 exstitisset f , 1. .20 amraonitionis k. 21 vero] autem k. 23 nullo unquam g, h, k, 1. 25 est om. 1. 27 af- fectat g, h, k, 1. 196 INST. MUS. I, 10. ferunlur iliuere. Nam nec omne iudicium dedHnl auribus et quaedam tamen ab eis non nisi auribus explorantur. Ipsas enim consonantias aure metiuntur, quibus vero inter se distantiis consonantiae differant, id iam non auribus, 5 quarum sunt obtusa iudicia , sed regulis rationique per- mitlunt, ut quasi oboediens quidam famulusque sit sensus, iudex vero atque imperans ratio. Nam licet omnium paene artium atque ipsius vitae momenta sensuum occasione producta sint, nullum tamen in his iudicium certum, nuUa 10 veri est conprebensio, si arbitrium rationis abscedat. Ipse enim sensus aeque maximis minimisque corrumpitur. INam neque minima sentire propter ipsorum sensibilium parvi- tatem potest, et maioribus saepe confunditur, ut in voci- bus, quas si minimae sint, difficilius captat auditus , si 15 sint maximae, ipsius sonitus intentione surdescit. Quemadmodum Pythagoras proportiones consonantiarum investigaverit. X. Haec igitur maxime causa fuit, cur relicto aurium iudicio Pythagoras ad regularum momenta migraverit, qui ^o nullis humanis auribus credens, quae partim natura, partim etiam extrinsecus accidentibus permutantur, partim ipsis variantur aetatibus, nullis eliam deditus instrumenlis,penes quae saepe multa varietas atque inconstantia nasceretur, dum nunc quidem si nervosvelis aspicere vel aer umidior pulsus 25 obtunderet vel siccior excitaret vel magnitudo chordae gra- viorem redderet sonum vel acumen subtilior tenuaret vel alio quodam modo statum prioris constantiae permutaret, et cum idem esset in ceteris instrumentis, omnia haec in- 2 his 1. 3 etenim 1. || metiuntur aure f. |{ distantiis inter se k. 6 quidam om. f. 7 sit ratio 1. [] pene h, i, f. 9 iudicii f. 14 minime f, k. 15 maxime f , o. || sur- descunt h, k. 16 Inscript. om. g. j] proportionem i. 18 quur g. 19 monumenta i. 20 naturae g. 21 etiam 0772. h, k. 22 paenes h. 23 inconsonantia 1. 24 aer om. 1, o. II humidior f, h, k, 1, o. 26 subtilior magnitudo chordae g, h, k; subtilior et supra versum magnitudo chordae f. 27 alium g, h, k. 28 instrumentis in ceteris h, k. INST. MUS. I, 10. 197 consuita minimaeque aestimans fidei diuque aestuans in- quirebat, quanam ratione firmiler et constanter consonan- tiarum momenta perdisceret. Cum interea divino quodam nutu praeteriens fabrorum officinas pulsos malieos exau- dit ex diversis sonis unam quodam modo concinentiam 5 personare. Ita igitur ad id, quod diu inquirebat, adtoni- tus accessit ad opus diuque considerans arbitratus est di- versitatem sonorum ferienlium vires efficere, atque ut id apertius conliqueret, mutare inter se malleos imperavit. Sed sonorum proprietas non in hominum iacertis haere- lo bal, sed mutatos malleos comilabatur. Ubi id igitur anim- adverlit, malleorum pondus examinat, et cum quinque essent forte mallei, dupli reperti sunt pondere, qui sibi secundum diapason consonantiam respondebant. Eundem eliam , qui dupius esset alio , sesquitertium alterius con- 15 prehendil, ad quem sciiicel diatessaron sonabat. Ad alium vero quendam, qui eidem diapente consonantia iungebatur, eundem superioris duplum repperit esse sesqualterum. Duo vero hi, ad quos superior duplex sesquitertius et ses- qualter esse probatus est, ad se inviccm sesquioctavam 20 proportionem perpensi 'Sunt custodire. Quinlus vero est reiectus, qui cunctis erat inconsonans. Cum igitur ante Pythagoram consonantiSie musicae partim diapason partim diapente partim diatessaron, quae est consonantia minima, vocarentur, primus Pythagoras hoc modo repperit, qua 25 proportione sibimet haec sonorum concordia iungeretur. Et ut sit clarius quod dictura est, sint verbi gratia malleo- rum quattuor pondera , quae subter scriptis numeris con- tineantur: XII. Vmi. VIII. VI. Hi igitur mallei, qui XII. 1 minimeque f, 1. || estnans 1. 2 qua ratione nam i. 6 observare et supra versum l personare 1. 9 coUigeret, qu supra gy k. [] mutari f. 10 herebat f. 16 resonabat g, h, k, 1. II At k. 17 eidem duplo h, k. || in consonantia h, k. 19 hii f. 21 est om. i, i. 29 In i et \ addita XII. VlUf. m I est kaec figura ^^^ cuius numeris consonantiarum no- VI. VIII. mina adscripta sunt; o similem habet figwram omissis lineis et numero •VI* 198 INST. MUS. I, 11. et -VI- ponderibus vergebanl, diapason in duplo concinen- tiam personabant. Malleus vero •XII- ponderum ad mal- Jeum •VIIIl- et malleus •VIII- punderum ad malleum •VI- ponderum secundum epitritam proportionem diatessaron 5 consonantia iungebatur. •VIIIL vero ponderum ad •VL et •XII- ad •VIIL diapente consonantiam permiscebant. •VIIIl- vero ad •VIII^ in sesquioctava proportione resonabant tonum. Quibus modis variae a Pythagora proporiiones conso- 10 nantiarum perpensae sint, XI. Hinc igitur domum reversus varia examinatione perpendit, an in his proporlionibus ratio symphoniarum tota consisteret. Nunc quidem aequa pondera nervis aptans eorumque consonantias aure diiudicans, nunc vero 15 in longitudine calamorum duplicitatem medielatemque restituens ceterasque proportiones aptans integerrimam fidem diversa experientia capiebat. Saepe etiam pro men- surarum modo cyalhos aequorum ponderum acetabulis inmittens; saepe ipsa quoque acetabula diversis formata 20 ponderibus virga vel aerea ferreave percutiens nihil sese diversum invenisse laelatus est. Hinc etiam ductus longi- tudinem crassitudinemque chordarum ut examinaret ad- gressus est. Itaque invenil regulam , de qua posterius loquemur, quae ex re vocabulum sumpsit, non quod 25 regula sit lignea, per quam magnitudines chordarum sonumque metimur, sed quod regula quaedam sit huius- modi inspectio fixa firmaque, ut nullum inquirentem dubio fallat indicio. 2 qui •XIL f, g, h, k, 1. 5 consonantia om. h. k, [ -coninngebatur h, k. 8 tonum om. 1. 9- Inscript, om. g, 1. II consonantium f. 10 sunt f. 14 audire i. 17 fidem om. 1. 18 cyatos f, h, 1, o. 19 quoque ipsa acitabula f. 20 percuciens g. 21 diversum sese laetatus est invenisse k. 11 invenire, r sec, manu in ss mutato f. I| testatus est o. 25 lignea sit regula f. 26 sonorumque i. |] sit quaedam k. 27 inspeccio g. INST. MUS. I, 12. 13. 199 De divisione vocum earumque explanatione, XII. Sed de his hactenus. Nunc vocum differentias coUigamus. Omnis vox aut avvsxvs est, quae continua, aut diaatYiitariKri , quae dicitur cum intervallo suspensa. Et continua quidem est, qua loquentes vel prosam oratio- 5 nem legentes verha percurrimus. Festinat enim tunc vox non haerere in acutis et gravibus sonis, sed quam velo- €issime verba percurrere, expediendisque sensibus expri- mendisque sermonibus continuae vocis impetus operatur. ^caatrjfiatLXT] autem est ea, quam canendo suspendimus, lo jn qua non potius sermonibus sed modulis inservimus, estque vox ipsa tardior et per modulandas varietates quod- dam faciens intervailum , non taciturnitatis sed suspensae ^c tardae potius cantilenae. His, ut Albinus autumat, ad- ditur tertia differentia , quae medias voces possit includere, i5 €um scilicet heroum poema legimus neque continuo cursu, ut prosam , neque suspenso segniorique modo vocis , ut canticum. Quod infinitaiem vocum humana naiura finiverit. XIII. Sed quae continua vox est et ea rursus , qua 20 decurrimus cantilenam, naturaliter quidem infmitae sunt. Consideratione enim accepta nullus modus vel evolvendis sermonibus fit vel acuminibus adtollendis gravilatibusque laxandis, sed utrisque natura humana fecit proprium linem. Continuae enim voci terminum humanus spiritus 25 facit, ultra quem nulla ratione valet excedere. Tantum enim unusquisque loquitur continue, quantum naturalis 1 Inscript, om. g. || earamque explanatione om. 1. 3 est quae supra versum f. 6 Festinet h, k; Festinet, at supra et, g. 10 Post suspendimus adduni g, h, k, 1: et ideo non 8unt ibi accentus observandi, quae supra versum scripia sunt in f. 16 poemata, g, h, k, 1, o. 18 can omisso ticum 1. 19 Quod om, k. || unitatem i. 21 quidem om. h, k. || in- finita est i. 22 acceptae h, k; acceptae, a supra ae, g, 1. II modis 1. 24 humana natura k. 26 fecit codd. 27 continuac g. ]| natura h, k. 200 INST. MUS. I, 14. 15. spirilus sinat. Rursus diaatrjfiaTLxr] voci nalura homi- num terminum facit, quae acutam eorum vocem gravem- que determinat. Tantum enim unusqnisque vel acumen vaiet extollere, vel cleprimere gravitatem, quantum vocis 5 eius naturalis patitur modus. Quis modus sit audiendi. XIIII. Nunc quis modus audiendi sit, disseramus. Tale enim quiddam fieri consuevit in vocibus, quale cum [in] paludibus vel quietis aquis iactum eminus mergitur saxum. 10 Prius enim in parvissimum orbem undam colligit, deinde maioribus orbibus undarum globos spargit, atque eo usque dum defatigatus motus ab eliciendis fluctibus con- quiescat. Semperque posterior et maior undula pulsii debiliore diffunditur. Quod si quid sit, quod crescentes 15 undas possit ofifendere, statim motus ille revertitur eL quasi ad centrum, unde profectus fuerat, eisdem unduli& rotundatur. Ita igitur cum aer pulsus fecerit sonum, pellit alium proximum et quodammodo rotundum fluctum aeri& ciet, itaque diffunditur et omnium circum stantium simul 20 (^erit auditum. Atque iili est obscurior vox, qui longius steterit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda pervenit. De ordine theorematum, id est speculationum, XV. His igitur ila propositis dicendum videtur , quot generibus omnis cantilena texatur, de quibus armonicae 25 inventionis disciplina considerat. Sunt autem haec: dia- tonum, chroma, armonia. De quibus ita demum explican- dum est, si prius de tetrachordis disseremus et quemad- modum auctus nervorum numerus, quo nunc piuralita- tis est, usque pervenerit. Id autem fiet, sipriuscom- 2 quae natura h, k. 5 naturaliter g, h, k, 1. 6 Inscript. om. g. 8 [in] om. codd, 12 fatigatus g, h, k, 1. 20 ferit si- mul i. 22 Inscript. om, g. || id est speculationum om, 1. 2$ dispositis o. 25 autem] igitur g, 1. 26 oromaticum enar- monicum f. 27 disseramus g, h, k, 1, o. 29 siet f. INST. MUS. I, 16. 201 memoremus, quibus proportionibus symphoniae musicae misceantur. De consonantiis proportionum et tono et semitonio, XVI. Nam si vox voce dupio sit acuta vel gravis, dia- pason consonantia iiet, si vox voce sesquallera proporlione 5 1 symphonicae f. 2 misceatur o. 3 Inscript, om. g. II et tono et semitonio om. h, k; et tono om. 1. || Huic capiti praemissae sunt in i et f descriptiones consonantiarwn , quae in g, h, k, 1 medio capiti insertae sunt, in o in folio undeseptua- geaimo ex parie inveniuntur, Quae cum aperta sint additamenta^ saiis habui et ea verba transscribere , quae in i et i descriptio- nihus addita sunt, quae eadem fere in h, k, 1 descriptionibus ad- scripta sunt, et eas figuras describere, quas maxime idoneas g" praebet. Leguntur igitur inietihaec: Diapason est sympho- nia (symphonia est f), quae fit hoc modo (in duplo, ut est hoc f) : I. II. Diapente vero (est f), quae constat his numeris II. III. Diatessaron est, quae in hac proportione fit (con- sistit f.) III. IIII. Tonus vero hac (oiw. f) sesquioctava pro- portione concluditur (in hoc VIII. VIIII. f), sed in hoc non- dum est consonantia (ut f ) •VIII- (pm, f) •VIIU- (om. f). Dia- pason vero et diapente tripla comparatione colligitur hoc modo: II. IIII. VI. Bis diapason quadrupla collatione per- ficitur hoc modo II. IIII. VIII. Diapente (vero f) ac dia- tessaron unum perficiunt diapason hoc modo: II. III. IIIL Figurae vero sunt hae: Diapason. Diapente. Diatessaron. I. II. II. lll. III. Illl. um 1 Dupls. Sesqualtera. Tonus. vjii. vini. Seaquitertia. Tripla. II. IIII. VI. Sesquioctava. Quadrupla. ir. Illl. VIII. Dupla. II. III. mi. 4 voci g, 1. Sesqualtera. Sesquitertia. 202 INST. MUS. I, 16. sil vel sesquilertia vel sesquioctava acutior graviorque, diapente vel diatessaron vei tonum consonantiam reddet; item si diapason ut duo et quattuor et diapente ut sex et quattuor coniungantur, triplam, quae est diapason et dia- 5 pente, eflQcient symphoniam; quod si bis diapason fiant» ut -II- ad •nil- et •IIII- ad'-VIII-, quadrupla fiet couso- nantia , quae est bis diapason ; quod si sesqualtera et ses- quitertia, id est diapente et diatessaron, ut -II- ad •III* et •III- ad •IIII- coniungantur, dupla, diapason nimirum, 10 nascitur concinentia. Quattuor enim ad •III. sesquitertiam obtinent proportionem , tres vero ad binarium sesquaitera conlatione iunguntur; et idem quaternarius ad binarium appositus dupla ei comparatione copulatur, sed sesqui- tertia diatessaron, sesqualtera proportio diapente conso- 15 nantiam creat, dupla vero diapason efficit sympboniam. Diatessaron igitur ac diapente unam diapason concinen- tiam iungunt. Rursus tonus in aequa dividi non potest^ cur autem, posterius liquebit; nunc boc tantum nosse sufficiat, quod nunquam tonus in gemina aequa dividitur. 20 Atque ut id facillime conprobetur, sit sesquioctava pro- portio •VIIL et •Vllir Horum nulius naturaliter medius numerus incidet. Hos igitur binario multiplicemus, fiunt- que bis VUI. XVI., bis VIIII. XVIU. Inter XVL autem ac •XVIIL unus numerus naturaliter intercidit, qui est scili- 25 cet XVII. Qui disponantur in ordinem XVI. XVH. 5^VIII. Igitur XVI. ac •XVIII- collati sesquioctavam retinent pro- portionem atque idcirco tonum. Sed hanc proportionem 4 coniunguntur g, h, k, 1, o. 5 syraphoniam om, i. fiat o. 6 .11- et .IIII. et .IIII. et VIII. g, h, k, 1, o. || fiat g, h, k, 1, o. 9 dupla id est diapason nimirum g, h, k, 1, o. 10 continentia f. 12 conlatione om. f. || item h, k. 13 sed et sesquitertia f. 14 et sesqualtera f. 15 creant f. 16 igitur om. 1. || diapente igitur ac diatessaron o. || con- sonantiam h, k. 17 Jn h et II hinc caput initium sumit cum inscHptione : De tono ac semitonio. 19 gemina om. h, k. 20 idj hoc h, k. 22 Hos igitur si f. 23 ac] et g, h, k, 1. 24 incidit g, h, k, 1. 25 XVI. XVII. et XVm. k; XVL et . XVn. et .XVIII. g, h, 1. 26 ac] et g, h, k, 1, o. il copulati i. 27 iccirco f, k. j] propositionem et supra ver- sum recentiore manu proportionem h. INST. MUS. I, 17. ^ 203 -XVII- numerus medius non in aequalia partitur. Compara- tus enim ad -XVI- liabet in se totum -XVI- et eius sextam decimam partem, scilicet unitatem. Si vero ad eum, id ^st ad -XVII-, terlius •XVIII- numerus comparetur, iiabet eum totum et eius septimam decimam partem ; non igitur 5 isdem partibus et minorem superat et a maiore superatur. £t est minor pars septima decima, maior sexta decima. ■Sed utraque semitonia nuncupantur, non quod omnino semitonia ex aequo sint media, sed quod semum dici solet, quod ad integritatem usque non pervenit. Sed inter haec lo tinum maius semitonium nuncupatur , aliud minus. In quibus primis numeris semitonium constet. XVII. Quod vero sit integrum semitonium aut quibus primis numeris constet, nunc evidentius explicabo. Id €nim, quod de divisione toni dictum est, non ad hoc per- 15 Cinet, ut semitoniorum modos voluerimus ostendere, sed «id id potius, quod tonum in gemina aequa diceremus non posse disiungi. Diatessaron quae est consonantia vocum quidem est quatluor, intervallorum trium; constat autem «X duobus tonis et non integro semitonio. Sit enim sub- 20 iecta descriptio: CXCII. CCXVI. CCXLIIl. CCLVI. Si igi- tur •CXCII- numerus -CCLVI. comparetur, sesquitertia proportio fiet ac diatessaron concinentiam resonabit. Sed si -CCXVI- ad -CXCII- comparemus, sesquioctava propor- iio est. Est enim eorum differentia •XXIIII- quae est 25 octava parsdecentum-XC-duobus. Est igitur tonus. Rursus •CCXLIII- si 'CCXVI- comparetur, erit altera sesquioctava proportio. Nam eorum differentia 'XXVII. pars ducento- 2 enim] iantem f. 3 Sin vero o. 4 ad om, f, || id est octavns decimus g, h, k, 1, o. 6 hisdem g, h, i, k, 1, o. II snperet f. 12, Inscripi. om. g. \\ constat 1. 13 •XVIII- h. 19 •IIIJo'' est f. II SiVLtem] om. h, k; enim o. 20 non om. f, h, k; non supra versum g, i. 22 ad •CCLVL f. 23 consonantiam f, h. 25 enim} igitur k. 27 ad •GCXVI* f. II comparatur g, h, i, k, 1, o. 28 proportio] 1 addit in latere descriptionem numerorum ei differeniiarum cum in- scripiionibus. 204 INST. MUS. I, 18. rum -XVI- probatur octava. Reslat comparatio ducento- rum -LVI' ad •CCXLIll' quorum differentia est •XIII* qui octies facti medietatem ducentorum 'XL* trium non viden- tur inplere. Non est igitur semitonium, sed minus a 5 semitonio. Tunc enim integrum esse semitonium iure putaretur, si eorum differentia, guae est •XIII* facta octies medietatem ducentorum -XL- trium numerorum potuis- set aequare ; estque verum semitonium minus ducentorum quadraginta trium ad 'CCLVI- comparatio. 10 Diatessaron a diapente tono distare. XVIII. Rursus diapente consonantia vocuni quidem est quinque^ intervallorum quattuor, trium tonorum etminore semilonio. Ponatur enim idem numerus •CXCIL et eius sesqualter sumatur, qui ad eum diapente faciat consonan- 15 tiam. Sit igitur numerus •CCLXXXVIII. Igitur horum et superius deprehensorum •CXCIL ponantur in medio numeri hi: CCXVL CCXLIIL CCLVI. et sit hoc modo formata descriptio: CXCII. CCXVI. CCXLIII. CCLVL CCLXXXVIII. In superiori igitur descriptione -CXCII- et 20 «CCLVI- duos tonos et semitonium continere monstrati sunt. Restat igitur comparatio ducentorum ad •CCLXXXVIIL quae est sesquioctava , id est tonus, eorumque diiferentia est •XXXII- quae est octava pars ducentorum quinquaginta atque sex. Itaque monstrata est diapente consonantia ex 25 tribus tonis semitonioque consistere. Sed dudum diates- saron consonantia a centum «XC- duobus numeris usque ad •CCLVI- venerat. Nunc vero diapente ab eisdem •CXC- duobus numeris usque ad CCLXXXVIIL distenditur. Superatur igitur diatessaron consonantia a diapente ea 1 comparatio om, 1. 5 semitoninm esse k. 10 In- scripi, om. g. || ab i, f. 11 •XVIIII- h. 12 tonorum III' h; tonorum tres k. 13 numerus idem 1. 14 qui ad eum] quia deum g. 19 superiore f. 21 comparatio om, L 23 est differentia k. 24 atque om, f, k. }| consonantia dia- pente f. 27 ducentorum L. VI. i. 28 ab g, h, k, 1, o. INST. MUS. I, 19. 20. 205 proportione, quae inter •CCLVI* et •CCLXXXVIII. nume- ros continetur , ac est hic tonus. Diatessaron igitur sym- phonia a diapente tono transcenditur. Dtapason qidnque tonis et duobus semitoniis iungi. XVIFIL Diapason consonantia constat ex quinque tonis 5 et duobus semitoniis, quae tamen unum non inpleant tonum. Quoniam enim monstratum est, diapason ex dia- tessaron et diapente consistere, diatessaron vero probata est ex duobus tonis semitonioque constare, diapente ex tribus tonis ac semitonio, simul iuncta efficiunt quinque lo tonos. Sed quoniam duo illa semitonia non erant integrae medietates, eorum coniunctio ad plenum usque non per- venit, sed medietatem quidem superat, ab integritate re- linquitur. Estque diapason secundum hanc rationem ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae sicut ad inte- 15 grum tonum non aspirant, ita ultra integrum semitonium prodeunt. Sed quae horum ratio sit, vel quemadmodum ipsae consonantiae musicae repperiantur , postea Uquidius explanabitur. Interea praesenti disputationi sub mediocri inlellegentia credulitas adhibenda est; tunc vero firma 20 omnis fides sumenda est, cum proprla unum quodque demonstratione claruerit. His igitur ita dispositis paulis- per de nervis citharae ac de eorum nominibus, quoque modo sint additae disseramus, quaeque eorum causa sit nominum. His enim primitus ad notitiam venientibus fa- 25 cile erit scientia quae sequuntur amplecti. Be additionibus chordarum earumque nominibus, XX. SimpUcem principio fuisse musicam Nicomachus 1 numerus i. 2 ac] at h, k, f, 1. |{ hic est k. 4 In- script, om, g, \\ Diapason iungi tonis quinque et semitoniis duobus k. 5 -XX- h. 6 quae] qui f, i. || non unum g, h, k, 1, o. 7 — 8 Quoniam . . . consistere in margine k. 12 medietatis i. 16 adspirant i, asspirant f. 19 dupu- tationi h. 21 est om. f. 24 sit causa f. 27 Jnscripi. om. g. II addicione h, 1; additione f, k. 28 XXL h. 206 INST. MUS. I, 20. refert adeo, ut quattuor nervis constaret, idque usque ad Orpbeum duravit, ut primus quidem nervus et quarlu& diapason consonantiam resonarent, medli vero ad se invi- cem atque ad extremos diapente ac dialessaron, nihil vero 5 in eis esset inconsonum, ad imitalionem sciiicet musicae mundanae, quae ex quattuor constat elementis. Cuius quadrichordi Mercurius dicitur inventor. Quintam vero chordam post Coroebus Atyis filius adiunxit, qui fuit Ly- dorum rex. Hyagnis vero Phryx sextum his apposuit ner- 10 vum. Sed septimus nervus a Terpandro Lesbio adiunctu& est secundum septem scHicet planetarum similitudinem. Inque his quae gravissima quidem erat, vocata est hypate quasi maior atque honorabilior, unde lovem etiam hypa- ton vocant. Consulem quoque eodem nuncupant nomine 15 propter excellentiam dignitatis. Eaque Saturno est adtri- buta propter tarditatem motus et gravitatem soni. Par- bypate vero secunda quasi iuxta hypaten posita et coilo- cata. Lichanos tertia idcirco, quoniam lichanos digitus dicitur, quem nos indicem vocamus. Graecus a lingenda 20 liclianon appellat. Et quoniam in canendo ad eam chor- dam, quae erat tertia ab hypate index digitus, qui est lichanos, inveniebatur, idcirco ipsa quoque lichanos ap- pellata est. Quarta dicitur mese, quoniam inter •VII* seni- per est media. Quinta est paramese, quasi iuxta mediam 25 conlocata. Septima autem dicitur nete, quasi neate id est inferior, inter quam neten et paramesen sexta quae est, vocatur paranete, quasi iuxta neten locata. Paramese vero, quoniam tertia est a nete, eodem quoque vocabulo trite nuncupatur , ut sit descriptio haec : 1 tota constaret f, g, 1, o. 4 nil g, h, k, 1 ; nichil o, 5 eis] his f. 6 mundanae musicae k. 8 post om, 1. || Cho- roebus h, k; Toroebus f, g, 1. || Atys g, o; Atis 1; atyris f. 9 Hiagnis g, h, k, i. || vero om. g, h, k, 1. 11 scilicet septem g, k, 1, o; scilicet VIL h. 17 hypate f. 18 ic- circo k. II dicitur digitus k. 21 hypata h, i, k, f. 24 est media] media quarta est f. |[ Paramese est quinta f. [1 para- mese supra versum i. 25 locata 1. || autem om. k. 27 est sexta quae g, h, k, ], o; sexta quae i. 28 a nete id est inferior g, h, k, 1. 29 trite] tertia i; trite id est tertia f, o. INST. MUS. I, 20. 207 Hypate Parhypale Lichanos Mese Paramese vel trite 5 Paranete Nete His octavam Samius Lycaon adiunxit atque inter parame- sen, quae etiam trite dicitur, et paraneten nervum me- dium coaptavit, ut ipse tertius esset a nete, et paramese lo quidem vocata est sola, quae post mediam collocabatur. Trites vero nomen perdidit postea quam inter eam atque paraneten tertius a nete locatus est nervus , qui digne Iri- tes nomen exciperet, ut sit octachordum secundum Ly- caonis additionem hoc: i5 Hypate Parhypate Lichanos Mese Paramese 20 Trite Paranete Nete In superioribus igitur duabus dispositionibus eptachordi et octachordi eptachordum quidem dicitur synemmenon, 25 quod est coniunctum, octachordum vero diezeugmenon, quod est disiunctum. In eptachordo enim est unum tetra- chordum: hypate, parhypate, lichanos, mese, aliud vero; mese paramese, paranete, nete, dum mesen nervum se- cundo numeraraus. Atque ideo duo telrachorda per mesen 30 9 tritae i. 11 medium g, h, k. 12 quam] quoniam h, k. II atque] ac k, o. 14 octochordum f, k, o; dum, omisso octacor, h. 25 quippe k. 29 mesen vero k. 208 INST. MUS. I, 20. conlungunlur. In oclachordo vero quoniam octo sunt chordae superiores quattuor, idest hypate, parhypate, lichanos, mese unum tetrachordum explent. Ab hoc vero disiunctum atque Integrum inchoat a paramese progredi- 5 turque per triten et paraneten et fmilur ad neten. Et est disiunctio, quae vocatur diazeuxis, tonusque est distantia meses et parameses. Hlc igitur mese lantum quidem no- men obtinuit. Non esl media positlone, quia in octa- cliordo duae quidem semper mediae repperiuntur, sed 10 una media non potest invenirl. Prophrastus autem Pe- riotes ad graviorem partem unam addidit chordam, ut faceret totum enneachordum. Quae quoniam super hypa- ten est addita hyperhypale esl nuncupata. Quae prius quidem, dum novem chordarum tantum esset cithara, hy- 15 perhypate vocabatur. Nunc autem lichanos hypaton dici- tur aliis superadditis, in quo ordine atque instructione, quoniam ad indicem digitum venlt, lichanos appellata est. Sed hoc posterlus apparebit, nunc vero ordo sese ennea- chordi sic habet: 20 25 Hyperhypate Hypate Parhypate Lichanos Mese Paramese Trlte Paranete Nete Histiaeus vero Colophonius decimam in graviorem partem 6 ad] per et supra versum ai ad h, k. 6 disiunctiva et supra versum l disiunctio h, k. || diezeugxis 1. 7 igi- tur] autem, id est in octochordo f. 8 Non est] non enim est g, h, 1; non est enim k, o; non est autem f. 10 me- dia om, h, k. || Periothes g, h, k, 1. 12 hypaton 1. 14 esset cithara tantum k. fl hyparhypate k. 29 Estiaeus f; Estieus k; Astieus 1. INST. MUS. I, 20. 209 coaptavit chordam, Timolheus vero Milesius undeci- mam, quae quoniam super hypaten atque parhypaten sunt additae, hypate quidem hypaton vocatae sunt quasi maximae magnarum aut gravissimae gravium aut ex- cellentes excellentium. Sed vocata est prima inter Xl- 5 hypate hypaton, secunda vero parhypate hypaton, quo- niam iuxU hypaten hypaton collocata est. Tertia quae dudum in enneachordo hyperhypate vocabatur, lichanos hypaton est nuncupata. Quarta vero hypale antiquum tenuit nomen, quinta parhypate, sexta lichanos, antiquum lo scilicel hahens vocabulum, septima mese, octava para- mese, nona trite, decima paranete, undecima nete. £st igitur unum tetrachordum : hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate; aliud vero: hypate, parhypate, lichanos, mese. Et haec quidem coniuncta i5 sunt. Terlium vero est: paramese, trite, paranete, nete. Sed quoniam inter superius tetrachordum, quod est hy- pate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hy- pate, et inter infimum, quod est paramese, trite, para- nete, fit positione medium tetrachordum, quod est hypate, 20 parhypate, lichanos, mese, totum hoc medium tetrachor- dum meson vocatum est, quasi mediarum, vocaturque cuni additamento hoc: hypate meson, parhypate meson, licha- nos meson, mese. Quoniam vero inter hoc meson tetra- chordum et inferius, quod est netarum, disiunctio est, 25 meses scilicet et parameses, inferius orone tetrachordum disiunctarum id est diezeugmenon vocatum est cum addi- tamento scilicet hoc: pararoese diezeugmenon, trite die- zeugmenon, paranele diezeugmenon, nete diezeugmenon, ut sit descriptio hoc modo: 30 3 hypate = hypatae? || hypaton] hypatem g, hypatenl; 6 vero om. f. 7 hypate 1. || locata 1. || Tertia vero 1. 14 aliud vero est g, h, k, 1. 16 est om. g, h, k, 1, o. 17--20.Sed quoniam .... nete in margine sec. manu f. 20 in ante medium i, f; et g sed punctis subnolaium. 26 et inter inferius h, k. 28 hoc scilicet f. BOETIUS. ^4. 210 INST. MUS. I, 20. Hypate hypaton Parhypate hypaton. Lichanos hypaton Hypate meson Parbypate meson Lichanos meson Mese Paramese diezeugmenon Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon. Est igitur hic inter paramesen ac mesen disiunctio at- que ideo diezeugmenon tetrachordum hoc vocatum est. Quod si paramese auferatur et sit mese, trite, parauete, 15 nete, tunc coniuncta, id est synemmena erunt tria tetra- chorda vocabiturque ultimum tetrachordum synemmenon hoc modo : 10 20 25 Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese synemmenon Trite synemmenon Paranete synemmenon Nete synemmenon. Sed quoniam in hac vel superiore endecachordi disposi- tione mese, quae propter mediam collocationem ita vocata 12 hic om. f. 13 est om. 1. 24 Mesen g, i, 1, o. 28 hac decachorda f. || endecachorda f. 29 huic mese f. || collationem g, h, k, o. INST. MUS. I, 20. 211 est, nete proxima accedit et longe ab hypatis ultimis di- stat nec proprium retinet locum, aliud unum tetrachor- dum adiunctum est super neten diezeugmenon , quae quoniam supervadebant acumine netas superius colloca- tas, omne iliud tetrachordum hyperboleon vocalum est 5 hoc modo : Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese 10 Paramese 15 20 Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperboieon Paranete hyperboleon Nele hyperboleon. Sed quoniam rursus mese non erat loco media sed magis hypatis accedebat, idcirco super hypatas hypaton addita est una chorda, quae dicitur proslambanomenos — ab aliquibus autem prosmelodos dicitur — tonum integrum distans ab ea, quae est hypate hypaton. £t ipsa quidem, 25 id est proslambanomenos a mese octava est, resonans cum ea diapason symphoniam. Eademque ad lichanon hypaton resonat diatessaron, ad quartam scilicet; quae lichanos 1 distat mese f. 2 nec] . haec o. || proprium id est medium f, 7 Vescriptionem om. h. 21 ffis verbis prae- missa est in g, h, k, 1. descriptio ckordarum a proslambano- meno ad neten hyperboleon cum arcubus consonantiarum nomini' bus inscriptis et notatione intervallorum. 22 accidebat f. hypatas] hypatis f. 24 dicitur 0772. g, h, k, 1. || tono in tegro h, k, f, o. 27 lichanos g, h, i, k, \\ 0. 14* 212 INST. MUS. I, 21. 10 15 20 kypaton ad mesen resonat diapente symphoniam , et est ab ea quinta. Rursus mese a paramese distat tonum, quae eadem mese ad neten diezeugmenon quintam facit dia* pente consonantiam. Quae nete diezeugmenon ad neten hyperboleon quartain facit diatcssaron consonantiam. Et proslambanomenos ad neten hyperboleon reddit bis dia- pason consonanliam. Proslambanomenos vel prosmelodos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperboieon Paranete hyperboleon Nete hyperboleon. De generibus caniilenae. XXL His igitur expeditis dicendum de generibus me- 25 lorum. Sunt autem tria: diatonum, chroma, enarmonium. £t diatonum quidem aliquanto durius et naturalius, chroma vero iam quasi ab illa naturali intentione disce- 1 mese k. 2 £t rarsus k. || tono f, g, h, k, 1, o. 4 Posl consonantiam addunt g, h, k, 1: ad neten hyperboleon diapason. 6 reddidit i. 8 vel prosmelodos om. g, h, k, 1, o. 0 addit descriptioni arcus cum inscriptionibus. 23 In- scriptionem om. g, 1. 24 XXII. h. 25 diatonon i , f, o. 26 aliquando h, k. 27 discendens i, descendens f. INST. MUS. I, 21. 213 dens et in moUius decidens, enarmonium vero oplime at- que apte coniunctum. Cum sint igitur quinque tetra- chorda: hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon, in his omnibus secundum diatonum canti- lenae procedit tox per semitonium, tonum et tonum in 5 uno tetrachordo, rursus in alio [per] semitonium tonum ac tonum ac deinceps ; ideoque vocatur diatonum, quasi quod per tonum ac per tonum progrediatur. Chroma autem, quod dicitur color, quasi iam ab huiusmodi intentione prima mutatio, cantatur per semitonium, semitonium et tria se- lo mitonia. Tota enim diatessaron consonantia duorum tono- rum est ac semitonii, sed non pleni. Tractum est autem hoc Yocabulum, ut diceretur chroma, a superficiebus, quae cum permutantur, in alium transeunt coiorem. Enar- monium vero quod est, magis coaptatum est, quod can- 15 tatur in omnibus tetrachordis per diesin et diesin et dito- num — diesis autem est semitonii dimidium — ; ut sit trium generum descriptio per omnia tetrachorda discur- rens hoc modo- 20 Diatonum • Chromaticum. s T 0 T 0 T s T s T s s s T T T semi- tonio tono tono ^ semi- semi- tribus semi- tonio tonio toniis Enarmon ium d s D s D 0 T 0 T iesi diei • ""Tito no . • . • 2 Et cum k. II igitur sint f. 5 — 6 et tonum tonum om, f. 6 per, quod uncis inclusiy om. codices quos con- tuH omnes. || ac] et k. 9 quasi iam] qua 8uam f. || hu- iuscemodi f. 10 semitonium et semitonium g, h, k, 1. 12 est om. i, o. || est om. o. || autem om. l. 14 colorem transeunt f. || £narmonium . . . ditonum] In l praecedunt: Diesis autem est semitonii dimidium. ^ 16 captatur o. 16 diatonum h, k, f; ditonum, a rasura deleto, g. 20 Dia- tonicum et in margine diatonum h, k. 21 — 22. Iniervallo- rum signa om. i, f, o. 214 INST. MUS. I, 22. De ordine chordarum nominibusque in irihus generibus. XXII. Nunc igitur ordo chordarum disiionendus est omuium » quae per tria genera varianlur vel in constanti ordine disponunlur. Prima esl igitur proslambanomenos. 5 quae eadem dicitur prosmelodos, secunda hypate bypa- ton , terlia parhypate hypalon. Quarta vero universaliter quidem lichanos appellatur, sed si in diatono genere apte- tur, dicitur lichanos hypaton diatonos, si vero in chro- mate, dicitur diatonos chromatice vel lichanos hypaton 10 chromalice, si autem in enarmonio, dicitur lichanos by- paton enarmonios vel diatonos hypaton enarmonios. Post hanc vocatur hypate meson, dehinc parhypate meson, at- que hinc lichanos meson , simpliciter in diatono quidem genere diatonos meson, in chromate lichanos meson chro- 15 matice vel diatonos meson chromatice , in enarmonio dia- tonos meson enarmonios vel lichanos meson enarmonios. Has sequitur mese. Post hanc sunt duo tetrachorda par- tim synemmenon partim diezeugmenon. Et synemmenon est , quod post mesen ponltur , id est trite synemmenon ; 20 dehinc lichanos synemmenon, eadem in diatono diatonos synemmenon, in chromate vero vel diatonos synemmenon chromatice vel Hchanos synemmenon chromatice, in enar- monio vero vel diatonos synemmenon enarmonios vel lichanos synemmenon enarmonios. Post has nete synem- 1 Ifiscriptionem om. g, k, f, 1. 2 XXIII. h. 3 vel per f. 5 hypate] hypaten f. 6 vero om, i. 7 in diatono genere si h, k. 8 diatonus i. 9 chromaticae i. || vel lichanos hjpaton chromatice in i rec. manu inducta sunt. 10 in armonia i, f. 11 vel diatonos hypaton enarmonios in i inducta. 15 vel diatonos meson cbromatice in i inducia. \\ in armonio i; in armonia f. || diatonos meson enarmonios vel om. i. 16 meson enarmonios vel lichanos om. g, h, k, 1. 17 sint 1; duo sunt h, k. 19 est om. f. || mesem i. |] id est om. h. 20 lichanos] paranete in litura i. || diatonos diatonos f. 21 vel diatonos in i inducta, 22 vel licha- nos synemmenon chromatice, in i inducta, om. f. || in armo- iiio i; in armonia f. 23 vero om, h, k. || vel diatonos in i inducta. 24 vel liehanos synemmenon enarmonios in i in- ducta. INST. MUS. I, 22. 215 tnenon. Si vero mese nervo non sit synenimenon telra- chordum adiunctum , sed sit diezeugmenon , est post me- senparamese; dehinc trite diezeugmenon , inde liqhanos diezeugmenon , quae in diatono diatonos diezeugmenon, in chromate tum diatonos diezeugmenon chromatice tum 5 Hchanos diezeugmenon chromatice, in enarmonio vero tum diatonos diezeugmenon enarmonios, tum lichanos diezeugmenon enarmonios. Eadem vero dicitur et para- nete cum additione vei diatoni vel chromatis vel enarmo- nii. Super has nete diezeugmenon, trite hyperboleon, lo €t quae est paranete hyperboleon, eadem in diatono dia- Conos hyperboleon , in chromate vero chromatice hyper- boleon, in enarmonio vero enarmonios hyperboieon. Harum ultima ea est, quae est nete hyperboleon. Et sit descriptio eiusmodi, ut trium generum contineat disposi- 15 tionem. In quibus et similitudinem nominum et differen- tiam pernotabis; ut si nervi similes in omnibus cum eis, qui sunt dissimiles, colligantur, fiant simul omnes octo et viginti. Hoc autem monstrat subiecta descriptio. Diatonici. Proslambanomenos Hypale hypaton ParJiypate hypaton Lichanos hyp. diato- nos Hypate meson Parhypate meson Ghromalis. Proslambanomenos Hypale hypaton Parhypate hypaton Liclianos hyp. chro- matice Hypate meson Parhypate mesou £narnionii. 20 Proslambanomeuos Hypate hypalon Parhypale hypaton Lichanos hyp. enar- monios 25 Hypate mesoa Parhypate meson 3 lichanos diezeugmenon . . . Eadem vero dicitnr i?i i inducta, aui omissa. 4 in diatono quidem genere h, k. 5 tum lichanos diezeugmenon chromatice om. i. o. 6 in armonia i, f. || in enarmonio vero tum diatonos diezeug- menon om. o. 8 et rasura deletum i. 9 armoniae i, f. 13 iu armonia i, f. || vero om. f. l^prius est om. i, f. 15 huiusmodi f, b, k, o. 18 fient i, f. 20 Diatonicum 1. || Ohromatici i; Ghromaticum \. || Enarmonicum I. 21 De- scriptioni addita sunt in^ h et Is. intervallorum signa. 24 dia- tonos] Vocabula diatonos, chromatice, enarmonios om. I ei addit supra versus immobiles et mobiles. 216 INST. MUS. I, 23. Lichanos meson dia- tonos Mese Trile synemmenon 5 Paranete synemme- non dialonos Nete synemmenon Paramese Trite diezeugmenon 10 Paranete diezeug- menon diatouos Nete diezeugmenon Trite hyperI)oleon Paranete hyperbo- 15 leon diatonos Nete hyperboleon Lichanos meson chromalice Mese . Trite synemmenon Paranete synemme- non chromatice Nete synemmenon Paramese Trite diezcugmenon Paranele diezeugme- nou chromatice Nete diezeugmenon Trile hyperboleon Paranete hyperbo- leon chromalice Nete hyperboleon Lichanos meson en- armonios Mese Trite svnemmenon Paranele synemme- non enarmonios Nete synemmenoii Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugme- non enarmonios Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranele hyperbo- leou enarmonios Nete hyperboleon. Quae sint inter voces in singulis genetibus proporiiones. XXIIL Hoc igitur modo per singula tetrachorda in generum proprietates facta partitio est, ut omnia quidem 20 diatonici generis quinque tetrachorda duobus tonis ac se- mitonlo partiremur. Diciturque in hoc genere tonus in- compositus idcirco, quoniam integer ponitur nec aliquod ei intervaiium aliud iungitur, sed in singulis intervallis in- tegri sunt toni. In chromate vero semitonio ac semitonio 25 incompositoque triemitonio posita divisio est. Idcirco au- tem incompositum hoc triemitonium appellamus, quoniam in uno coilocatum est intervallo. Potest enim appellari triemitonium in diatono genere semitonium ac tonus , sed non est incompositum ; duobus enim id perficitur inler- 30 vallis. £t in enarmonio genere idem est. Constat enim ex diesi et diesi et ditono incomposito, quod scilicet pro- 8 — 16 om. g. 17 Inscript. om. g, I. 18 XXIIIL h. 19 partitio facta f. 21 partirentnr h, partiretur o. 22 ic- circo k. 23 in om. f. 24 sunt] insunt h, k. || soui 1. 25 Ideo k. 26 vocamus k. 31 ac diesi f. || diatono h, k, f ; di tono, a rasura deleto, g. INST. MUS. I, 24. 217 pler eandem causam incompositum nuncupamus quoniam in uno conlocatum est intervallo. Qtiid sit synaphe. XXIIII. Sed in liis ita dispositis constitutisque tetra- chordis synapiie est, quam coniunctionem dicere Latina 5 signiOcatione possumus, quotiens duo tetrachorda unius medietas termini continuat atque coniungit, ut in hoc te- trachordo : Hypate hypaton Parhypate hypaton lo Lichanos hypalon Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese. 15 Hic igitur estunum tetrachordum : hypate, parhypate, lichanos, hypate meson, aliud vero: hypate meson, p^r- hypate meson, lichanos meson, mese. In utrisque igitur tetrachordis hypate meson adnumerata est, superiorisque tetrachordi ea est acutissima, posterioris vero gravissima, 20 estque ista coniunctio una eademque chorda, ut hypate meson duo tetrachorda coniungens eadem bypaton ac meson tetrachorda in superiore descriptione iunxit. Est igitur synaphe, quae coniunctio dicitur, duorum tetra- chordorum vox media, superioris quidem acutissima, po- 25 sterioris vero gravissima. 3 Inscript. om. g. 4 -XXV- h. || in] om, h, k, 0; de g, 1; litura i. || his om. o. || constitutisqnae g. || tetracor- dis bis 1. 16 Hinc h inUium facit capitis vicesimi sexii cwn inscriptione : Descriptio synaphe. [] Hoc g, h, k, 1. 19 est ea f. 20 posteriorisque 1, o. || vero om. o. 22 — 23 con- iungens ut eadem . . . tetracorda in margine sec. manu h; linea suhnoiatum 1. || ut eadem f, g, h, i, k, 0. 23 duo te- tracorda o. || dispositione g, h, k. || coniunxit 1. 24 sjna- phae i. 25 vox media tetracordarum f. [| quidem om» ^. 218 INST. MUS. I, 25. 26. Qiiid sit diazeuxis. XXV. Diazeuxis vero appellatur, quae (lisiunclio dici potest, quotieus duo tetrachorda toni medietate separan- tur, ut in his duohus tetrachordis. Hypale nieson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese ^^ [ I Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon. Duo igitur esse telrachorda evidenter apparet, quan- doquidem octo sunt chordae. Sed diazeuxis est, id est 15 disiunctio, inter mesen ac paramesen, quae inter se pleno diiferunt tono. Dc quihus e?identius expiicabitur , cum unumquodque studiosius explanandum posterior tractatus adsumpserit. Sed diligentius intuenti quinque, non am- plius, tetrachorda repperluntur: hypaton, meson, syneni- 20 menon , diezeugmenon , hyperholeon. Quibus nominibus nervos appellaverit Albinus. XXVI. Albinus autem earum nomina Latina oratione ita interpretatus est, utliypatas principales vocaret, mesas medias, synemmenas coniunctas, diezeugmenas disiunctas, 1 Inscript. om, k, contextui addit g. || diezeuxis g^ h, k, 1. 2 XXVIL h. |[ distinctio 1. 3 quoties i. 13 Hinc h initium facit capitis duodetricesind cuni inscriptione : De- seriptio diezeuxis. In 1 legitur inscriptio : Differentia toni in- ter mesen ac paramesen. 19 inveniuntur k. 21 Insci^i- ptionem om. g. De interpretatione Albini in tetrachordis 1. 22 XXVIIII. h. INST. MUS. I, 27. 219 liyperboleas excellenles. Sed nobis in alieno opere non erit inmorandum. Qui nervi quibus siderihus comparentur, XXVII. Iliud tanlum interim de superioribus telra- chordis addendum videtur, quod ab hypate meson usque & ad neten quasi quoddam ordinis distihctionisque caelestis exemplar esl. Namque hypate meson Saturno est adtri- buta, parhypate vero loviali circulo consimilis est. Licha- non meson Marti tradidere. Sol mesen obtinuit. Triten synemmenon Venus babet, paraneten synemmenon Mercu- lo rius regit. Nete autem lunaris circuli tenet exemplum. Sed Marcus Tullius contrarium ordinem facit. Nam in sexto libro de re publica sic ait: Et natura fert, ut ex- trema ex altera parte graviter, ex altera autem acute so- nent. Quam ob causam summus iiie caeli stellifer cursus, i5 cuius conversio est concitatior, acuto et excitato move- tur sono, gravissimo autem hic iunaris atque infimus. Nam terra nona inmobilis manens, una sede semper hae- ret. Hic igitur Tullius T<^rram quasi silentium ponit, sci- licet inmobilem. Post hanc qui proximus a silentio est, 20 dat Lunae gravissimum sonum, ut sit Luna proslambano- menos, Mercurius hypate hypaton. Venus parhypate hy- paton, Sol lichanos hypaton, Mars hypate meson, Juppi- ter parhypate meson, Saturnus lichanos meson, Caelum ultimum mese. Quae vero sint harum inmobiles, quae 25 vero in totum mobiles, quaeautem inter inmobiles mobi- lesque consistant, cum de monochordi regularis divisione tractavero, erit locus aptior explicandi. 3 Inscript. om. g, 1. || sideribus om, i. 4 •XXX* h. o addit septetn circulos terrarum orhi ut communi centro circum- scriptos inscriptionihusque omatos. 6 disiunctioiiisque g, h, k, 1. 8 similis f. || Lichanos g, h, i, k, 1, o. 11 exem- plum tenet k. 13 sic om, 1. 14 sonet i. 17 hic] ibit g, h, k; hic correct. additum o. 18 heret g, k, 1, o. 26 in toto 1. II autem] vero 1. [j inter om. i. 27 mono- corda f. 220 INST. MUS. I, 28. 29. Quae sit natura consonantiarum. XXVIII. Consonantiam vero licet aurium quoque sen- sus diiudicet, tamen ratio perpendit. Quotiens enim duo nervi uno graviore intenduntur simulque pulsi reddunt 5 permixtum quodammodo et suavem sonum, duaeque vo- ces in unum quasi coniunctae coalescunt; tunc fit ea, quae dicitur consonantia. Cum vero simul pulsis sibi quisque ire cupit nec permiscent ad aurem suavem atque unum ex duobus compositum sonum, tunc est, quae dicitur disso- 10 nantia. Ubi consonaniiae repperianttir. XXVIIII. In his autem comparationibus gravitatis at- que acuminis has consonantias necesse est inveniri, quae sibi commensuratae sunt, id est quaenotam possunt com- 15 munem babere mensuram, ut in multiplicibus duplum quod esl illa pars metitur, quae inler duos est terminos differenlia, ut inter duo et quattuor binarius utrosque metitur; inter duos atque sex, quae tripla est, binarius utrosque metitur ; inter novem atque octo eadem unitas est, 20 quae utrosque metialur. Rursus in superparticularibus, si sesqualtera sit proportio, ut quattuor ad sex, binarius est, qui utrosque metiatur, quae scilicel utrorumque est difle- rentia. Quod si sesquitertia sit proportio, ut si octo sena- rio comparentur, idem binarius utrosque metitur. Id vero 25 non evenit in ceteris generibus inaequalitatum, quae su- pra retulimus, ut in superpartiente. Nam si quinarium ad ternarium comparemus, binarius, qui eorum est diffe- rentia , neutruin metitur. Nam semel ternario compara- tus minor est, duplicatus excedit. Item bis quinario coni- 1 Inscript. om. g. 2 XXXI h; XXIIII 1. 3 Quo- ties i. 5 que om, i. 6 coniuncte i. || tum f> g, h, k. 7 pulsi f, g, h, k, l. 11 Inscript, om. g. [J repperiuntur i, f, 1. 12 .XXXIL h; XXV. 1. 15 habere communem 1. 17 duos f. 18 duos] IIII- i. 20 metitur 1, o. |1 si ses- qualtera] sesquitertia et supra versum rec. manu si sesqual- tera h. 21 est binarius g, h, k, 1, o. 22 metitur 1. j| qui scilicet g, h, k, 1, o. 23 sit] est 1. 24 metiatur h. INST. MUS. I, 30. 31. 221 paratus minor est, terlio vero supergreditur. Atque id- circo hoc primum inaequalitatis genus a consonantiae na- tura disiungitur. Amplius: quod in his, quae consonan- tias formant, multa similia sunt, in illis vero minime, id probatur hoc modo : Namque duplum nihil est aliud nisi 5 bis simplum, triplum nihil aiiud nisi terlio simphim, quadruplum vero idem est quod quarto simplum, ses- qualterum bis medietas, sesquitertium ter pars tertia, quod haud facile in ceteris inaequalitatum generibus in- venitur. lo Quemadmodum Plato dicat fieri consonaniiam, XXX. Plato autem hoc modo fieri in aure consonan- tiam dicit. Necesse est, inquit, velociorem quidem esse acutiorem sonum. Hic igitur cum gravem praecesserit, in aurem celer ingreditur, offensaque extrema eiusdem cor- 15 poris parte quasi pulsus iterato motu revertitur. Sed iam segnior nec ita celeri ut primo impetu emissus cucurrit, quocirca gravior quoque. Cum igitur iam gravior rediens nunc primum venienti gravi sono similis occurrit, misce- tur ei unamque ut ait consonantiam miscet. 20 Quid contra Platonem Nicomachus sentiat. XXXI. Sed id Nicomachus non arbitratur veraciter dictum, neque enim similium esse consonantiam sed dis- similium potius in unam eandemque concordiam venien- tium. Gravem vero gravi si misceatur, nullam facere con- 25 sonantiam, quoniam hanc canendi concordiam similitudo 2 hoc supra versum i. 4 illis] aliis f. 5 Nam 1. 6 nihil est aliud h, k. 8 tertia est 1. 9 baut g, o. 11 In- script. om, g. [| consonantias h, k. 12 XXXIII. h; XXYI. 1. 13 quidem om. h, k. 18 quoque om. 1. quoque revertitur f. 19 tunc 1. 21 Jnscript. om, g. |{ Platonem Nicomachus sentiat om. 1. 22 XXXIIII. h; XXVII. 1. [] id om. f. || Nicomachus id h, k. 23 esse similium f. 24 eademque g. 25 si gravi h. 222 INST. MUS. I, 32. 33. non efficit, sed dissimilitudo, qnae, cum distet in singulis vocibus copulatur in mixtis. Sed hinc potius Nicomachus fieri consonantiam putat: Non, inquit, unus tantum pui- sus est» qui simplicem moduni emittat vocis, sed semel 5 percussus nervus saepius aerem pellens multas efficit vo- ces. Sed quia haec velocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo conprehendat, distantia non sentitur et quasi una vox auribus venit. Si igitur percussiones gravium sonorum commensurabiles siut percussionibus 10 acutorum sonorum» ut in his proportionibus, quas supra retulimus, non est dubium, quin ipsa commensuratio sibi- met misceatur unamque vocum efficiat consonantiam. Quae consonaniia quam merilo praecedaU XXXII. Sed inter omnes quas retulimus consonantias 15 habendum iudicium est, ut in aure, ita quoque in ratione, quam earum meliorem oporteat arbitrari. Eodem nam- que modo auris afticitur sonis vel ocuhis aspectu, quo animi iudicium numeris vel continua quantitate. Propo- sito enim numero vel iinea nihil est facilius quam eius 20 duplum oculo vel animp contueri. Item post dupli iudi- cium sequitur dimidii, post dimidii tripli, post tripli par- tis tertiae. Ideoque quoniam facilior est dupli descriplio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam , post hanc diapente, quae medium tenet, hinc diapente ac dia- 25pason, quae triplum, ceteraque secundum eundem mo- dum formamque diiudicat. Non vero eodem modo hoc Ptolomaeus, cuius omnem sententiam posterius explicabo. Quo sint modo accipienda , quae dicta sunt. XXXIII. Omnia tamen quae dehinc diligentius expe- 4 vocis emittat f, g, h, k, 1, o. 5 percursns g. || aere 1. 6 haec] ea f, g, h, k, I, o. |J volocitas f. || percussionis est k. 13 Inscript, otn. g, 1. || De consonantia h, k. 14 •XXXV- h. 15 est iudicium k. 16 Eodemque i. 17 effi- citur, e in a mutato, g. 19 eius om. h, k. 22 Quae ideo 1, f, o. 26 diiudicant i. 28 Inscript. om, g, 1. 29 XXXVI. h. tamen] iam i. INST. MUS. I, 34. 223 dienda sunt, summalim nunc ac breTiter adtemptamus, ut interim in superficie quadam haec animum lectoris assue- faciant, qui ad interiorem scientiam posteriore tractatione descendet. Nunc vero quod erat Pythagoricis in more, ut, cum quid a magistro Pythagora diceretur, hinc nulius 5 rationem petere audebat, sed eis erat ratio docentis aucto- ritas, idque fiebat, quamdiu discentis animus firmiore doctrina roboratus ipse earundem rerum rationem nullo etiam docente repperiret: ita etiam nunc lectoris fidei quae proponimus commendamus, ut arbitretur diapason 10 in dupla» diapente in sesqualtera, diatessaron in sesqui- tertia, diapente ac diapason in triplici, bis diapason in quadrupia proportione consistere. Post vero et ratio dili- gentius explicabitur et quibus modis aurium quoque iudi- cio consonantiae musicae coliigantur, ceteraque omnia, 15 quae superius dicta sunt, ampUor tractatus edisseret, ut tonum sesquioctavam facere proportionem eumque in duo aequa dividi non posse, sicut nullam eiusdem generis proporlionem , id est superparticularis; diatessaron etiam consonantiam duobus tonis semitonioque consistere; semi- 20 tonia vero esse duo, maius ac minus; diapenle autem tri- bus tonis ac minore semitonio contineri; diapason autem quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis expleri, ne- que ad sex tonos ullo modo pervenire. ilaec omnia poste- rius et numerorum ratione et aurium iudicio conprobabo. 25 Atque haec hactenus. Quid sit musicus, XXXIIII. Nunc iliud est inCuendum, quod omnis ars omnisque etiam disciplina honorabiliorem naturaliter ha- beat rationem quam artificium, quod manu atque opcre so 3 faciant litura praecedente i. 4 discendet i. [] in morem g, b, k, 1, o. 6 erat eis f, g, h, k, 1, o. 7 quan- diu l. 11 duplum i. 12 triplicibus i. 20 consistere om. hy k. II semitoniaque g. 23 semitoniis minoris i. 26 actenus f, o. 27 Inscript, om. g, 1. 28 XXXVII. b. 29 hjibeat naturnliter I. 224 INST. MUS. I, 34. exercetur artificis. Muito enim est maius atque auctius scire, quod quisque faciat, quam ipsum illud efficere, quod sciat; etenim artificium corporale quasi serviens fa- mulatur, ratio yero quasi domina imperat. Et nisi manus 5 secundum id, quod ratio sancit, efficiat, frustra sit. Quanto igitur praeclarior est scientia musicae in cogni- tioue rationis quam in opere efficiendi atque actu! Tan- tum scilicet, quantum corpus mente superatur; quod sci- licet rationis expers servitio degit. Illa vero imperat atque 10 ad rectum deducit. Quod nisi eius pareatur imperio , ex- pers opus rationis titubabit. Unde fit, ut speculatio ratio- nis operandi actu non egeat, manuum vero opera nulia sint, nisi ratione ducantur. lam vero quanta sit gloria meritumque rationis, hinc intellegi potest, quod ceteri ut 15 ita dicam corporales artifices non ex discipiina sed ex ipsis potius instrumentis cepere vocabuia. Nam citharoe- dus ex cithara, auloedus ex tibia, ceterique suorum in- strumentorum vocabulis nuncupantur. Is vero est musi- cus, qui ratione perpensa canendi scientiam non servitio 20 operis sed imperio specuiationis adsumpsit. Quod scilicet in aedificiorum bellorumque opere videmus, in contraria scilicet nuncupatione vocabuli. Eorum namque nomini- bus vel aedificia inscribuntur vel ducuntur triumphi, quo- rum imperio ac ratione instituta sunt, non quorum opere 25 servitioque perfecta. Tria igitur genera sunt, quae circa artem musicam versantur. Unum genus est, quod instru- mentis agitur, aliud fingit carmina, tertium, quod instru- mentorum opus carmenque diiudicat. Sed illud quidem, quod in instrumentis positum est ibique totam operam 30 consumit , ut sunt citharoedi quique organo ceterisque musicae instrumenlis artificium probant, a musicae scien- 1 artificis exercetur i, f. 6 Et quanto 1. 9 — lOser- vitio .... imperio, expers in margine inferiore g. || deget g, 1. 9 veroj ut g, 1. 10 paretur 1. || expers om. g, 1. 11 ratione i, f. 13 sunt f. 16 coepere g, 1; caepere f. |i citharedus f, g, h, k, 1, o. 17 auloedus] tibicen g in litura, 1. 20 assumit g, h, k, 1. 21 edificiorum g, 1. || opera f, g, h, k, 1, o. 22 Eorumque h, k. 23 dicuntur g, h, k, 1, o. 24 opera f, g, h, k, 1. 29 instrumentis, omisso in, h, k, o; in correct. additum g, 1. INST. MU8. II. CAPITULA. 225 tiae intellectu seiuncti sunt, quoniam famulantur, ut di- ctum est: nec quicquam aiferunt rationis, sed sunt tolius speculationis expertes. Secundum vero musicam agen- tium genus poetarum est, quod non potius speculatione ac ratione, quam naturali quodam instinctu fertur ad car- 5 men. Atque idcirco hoc quoque genus a musica segregan- dum est. Tertium est, quod iudicandi peritiam sumit, ut rythmos cantiienasque totumque carmen possit perpen- dere. Quod scilicet quoniam totum in ratione ac specu- latione positum est, hoc proprie musicae deputabitur, lo isque est musicus, cui adest facultas secundum specula- tionem rationemve propositam ac musicae conyenientem de modis ac rythmis deque generibus cantilenarum ac de permixtionibus ac de omnibus, de quibus posterius expii- candum est, ac de poetarum carminibus iudicandi. 15 ExpHcit de musica id est aifnonica institutione liher primiis, Incipiunt capitula lihri secundi. I. Proemium. II. Quid Pythagoras esse pbilosophiam constituerit. III. De difTerenliis quantitatis et quae cui sit disciplinae 20 deputata. IIII. De relativae quantitatis diflerentiis. V. Gur mulliplicitas ceteris antecellat. VI. Quid sint quadrati numeri deque his speculatio. VII. Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere 25 eiusque demonstratio. 1 intellectu scientia« 1. || seiuncta f. 2 nec om. h. 3 exsortes 1. || Secundam i. 4 est om, k; supra ver- sum rec, manu h. 5 instrnctu g, 1. 10 propriae f, g, i, o. 15 diiudicandi f. 16 Inscript. om, g, o; Liber pri- mus boetij de Musica explicit recmanu 1. [] armanicae h, i; armoniae f, k. || institutionis h, i, institutionibus f, k. 17 Incipiunt . . . secundij Incipit liber secundus i ; Incipit liber secundus id est Proemium f. 18 Capitum indicem om, f, o; numeros om. g, 1. || Proheminm i, 1. In \ rec, manu additum e«f; secundum cod. 22 relative i, k. 23 Quur i. || mul- tiplicatas i. - 25 ex qualitate h. [} procedere ex aequali- tate i. BOKTinS. \^ 226 INST. MUS. II. CAPITULA. VIII. Regulae quollibet continuas proportiones superpar- ticulares inveniendi. VIIII. De proportione numerorum, qui ab aliis metiuntur. X. Qui ex multipliclbus et superparticularibus inulti- 5 plicatis fiant. XI. Qui superparticulares quos multiplices efficiant. XII. De arithmetica geometrica armonica medietate. XIII. De continuis medietatibus et disiunctis. XIIII. Gur ita appellalae sint digestae superius medietales. 10 XV. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processe- rint medietates. XVI. De armonica medietate deque ea uberior speculatio. XVII. Quemadmodum inter duos terminos supradictae me- dietates vicissim locentur. ^5 XVIII. De consonantiarum merito vel modo secundum Nico- machum. XVIIII. De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi. XX. Sentenlia Nicomachi, quae quibus consonantiis ob- 20 ponantur. XXI. Quid oporteat praemitti, ut diapason in multiplici genere demonstretur. XXII. Demonstratio per inpossibile diapason in multiplici genere esse. , ^^ XXIII. Demonstratio diapente, diatessaron et tonum in su- perparticulari esse. XXIIII. Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus esse. XXV. Diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia esse, tonum in sesquioctava. 1 quodlibet g, h, k. 2 inveni 1. 3 numerum g. 4 quae g, h, i, k, 1. 6 superparticularis i. 9 Quur g, i. || snperius digestae g, h, i, k, 1. 10 Titulum quintum decimum om, gj hf k, 1; quare sequentes numeri in h et Is. uno sunt mi- nores, 12 deque ea] de quo ea g, I; de qua h^ i, k. 14 locentur om, 1; lucentur i. 15 consonentiarum g. 18 hy- passi 1. 23 — 29 XXII. Demonstratio per inpossibile .... XXV. Diapente in sesqualtera] XXI. Demonstratio diapente omissis trihus titulis fere integris g, h, k, 1; quare sequentes numeri in h e/ k quaternario sunt minores. 27 et om, i. 30 INST. MUS. II, 1. 2. 227 XXVI. Diapason ac diapente in tripla proportione esse, in quadrupla bis diapason. XXVII. Diatessaron ac diapason non esse secundum Pytha- goricos consonantias. XXVIII. De semitonio, in quibus minimis numeris constet. 5 XXVIIII. Demonstrationes non esse •CCXLIII- ad CCLVI- toni medietatem. XXX. De maiore parte toni, in quibus minimis numeris constet. XXXL Quibus proportionibus diapente ac diapason constent lo et quoniam diapason sex tonis non constet. Expliciunt capitula. Incipit liher secundus, Proemium. L Superius volumen cuncta digessit, quae nunc diii- gentius demonstranda esse proposui. Itaque priusquam i5 ad ea veniam , quae propriis rationibus perdocenda sunt, pauca praemittam, quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perveniat. Quid Pythagoras esse philosophiam consiituerit, II. Primus omnium Pythagoras sapientiae studium phi- 20 losophiam nuncupavit, quam scilicet eius rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse dicere- tur. Esse autem illa putabat, quae nec intentione cresce- rent, nec deminutione decrescerent nec uilis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas magnitudines quali- 25 tates habitudines ceteraque quae per se speculata inmu- 1 Diapasos i. || ac] hoc g, h, k. 4 consonantias om. 1. 6 Demonstrationis i. 11 constat g, h, i, k, 1. 12 Expli- ciont .... secundas om. f, g, 1, i, o. 13 Proemium om. f, g, 1, o. Prohemium i. , 18 sunt dicenda h, k. 19 In- scripi. om, g, 1. || philosophiam esse f. || philosophia h, k. 22 propriae i, 0. || veraeque i. 23 intentione et supra ver- sum manu multo receniiore intensione h. 25 motarentur h, k. 26 immotabilia h; inmotabilia k ; immutabilia g. 15* 228 INST. MUS. II, 3. tabilia sunt, iuncta vero corporlbus permutantur et multi- modis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur. De differentiis quantitaiis et quae cui sit disciplinae de- putata. 5 III. Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vel continua vel discreta est. Sed quae continua est, magni- tudo appellatur, quae discreta est, multitudo. Quorum haec est diversa et contraria paene proprietas. Multiludo enim a finita inchoans quautitate crescens in infinita pro- 10 greditur, ut nullus crescendi tinis occurrat; estque ad mi- nimum terminata/interminabilis ad maius, eiusque prin- cipium unitas est, qua minus nihil est. Crescit vero per numeros atque in infmita protenditur nec uUus numerus, quominus crescat, terminum facit. Sed magnitudo fini- 15 tam rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in in- finita decrescit. Nam si sit pedalis linea vel cuiuslibet al- terius modi, polest in duo aequa dividi, eiusque medietas in medietatem secari eiusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem ter- 20 minus fiat. Ila magnitudo, quantum ad maiorem modum, terminata est, fil vero, cum decrescere coeperit, infinita. At contra numerus quantum ad minorem modum finitus est, iniinitus autem incipit esse, cum crescit. Cum igitur haec ita sint infmita, tamen quasi de rebus finitis philo- 25 sophia pertractat, inque rebus infinitis repperit aliquid terminatum , de quo iure posset acumen propriae specu- lationis adhibere. Namque magnitudinis aUa sunt inmo- bilia, ut quadratum vel triangulum vel circulus, alia vero 3 Inscript. om, g, 1. || quae sit cui f. || disciplinae sit h. 8 paeue om. 1; pene h, k, f, o; poene i; paene in litura g. 9 quantitate id est unitate f. 11 interminalis i. 12 ni- hil minus h, k. 13 in om. i, in quo ad correctione est ad- ditum; ad f. [] progreditur h, k. 15 recepit g, 1. 18 eius- que medietas in ultima suni verha codicis 1. 21 decressere k. II ceperit h, k, o; caeperit f. 25 infinitis] finitis g, k. 26 possit f. 28 quadratum .... circulus] terra f, o. || vero om. f, 0. INST. MUS. II, 4. 229 mobilia, ut sphera mundi et quicquid in eo r,ata celeritate convertitur. Discretae vero quantitatis alia sunt per se, ut tres vei qualtuor vel ceteri numeri , alia vero ad aliquid, ut duplum , triplum aliaque quae ex comparatione nascun- tur. Sed inmobilis magnitudinis geometria speculalio- 6 nem tenet, mobilis vero scientiam astronomia persequi- tur, per-severo discretae quantitatis arithmetica auctor est, ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam. De relaiivae quantitatis differentiis. lo IIIl. Ac de ea quidem quantitate discreta, quae per se est, in arithmeticis sufficienter diximus. Relatae vero ad aliquid quantitatis simpiicia quidem genera sunt tria, unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, ter- tium superpartiens. Cum vero muitiplex superparticulari i5 superpartientique miscetur, fiunt aliae ex his duae, id est multiplex superparticularis et multipiex superpartiens. Horum igitur omnium talis est regula : Si unitatem cunctis in naturaii numero voluerh comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad 20 eundem triplus, quattuor quadruplus et in ceteris eodem modo, ut subiecta descriptio docet. I. I. I. I. I. I. II. III. IIII. V. VI. VII. Si vero superparlicularem proportionem quaeras, natura- 25 lem sibi compara numerum detracta scilicet unitate, ut tres duobus — sesqualter est lenim — quattuor tribus, qui sesquitertius est, quinarium quaternario, qui sesqui- 1 mobilia sunt h, k. || spera h, i, k, o. 4 alia, omisso que, f. 5 geometrica g, h, k, o. 8 est auctor f. 10 Inscript, om, g, h. 11 Ac de ea . . . . dizimus adiungunt snperiori capiti g, h, k, o. 12 Relativae h, k; Relatae in litura g. II yero om, h, k. 13 tria sunt f. 22 monet o. 23 f sepiiens ponii l- 24 f addii VIII- 26 sibi om. f, g, h, k. 27 sesqualter est enim om, 0; enim om. f. 230 INST. MUS. II, 6. quartus est, et in ceteris eodem modo, quod monstrat subiecla descriptio. sesqual- sesqui- sesqui- ter quartus sextus 6 iH iji. ijlL V. yi. VII. sesqui- sesqui- tertius quintus. Superpartientes autem tali modo repperies. Disponas na- turalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si 10 unum igitur intermiseris , superbipartientem effici perno- tabis; quod si duo, supertripartientem ; quod si tres, su- perquadripartientem, idemque in ceteris. superbipartiens superquadripartiens vini. 15 superlripartiens Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multi- plici et superparticulari vel multiplici et superpartienti proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his ta- men omnibus in arilhmeticis ^xpeditius dictum est. 20 Cur multipliciias ceteris antecellat, V. Sed in his illud est considerandum, quod multi- plex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturaiis enim numeri dispositio in multiplici- bus unitati, quae prima est comparatur, superparticularis 25 vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsoruro, qui po«t unitatem sunt dispositi, numerorum, ut ternarii ad 1)inarium, quaternarii ad ternarium et in ceteris ad hunc modum. Superpartientium vero longe retro forma- 3 sesquisextus om, o. 5 YII. om, o; VIII addunt g, h. 8 reperias i. || Disponas autem f. 10 igitur om. h, k. |j snperpartientein h, k. 13 — 15 om, o. 20 Inscript. om. g. 21 considerandum est illud h, k. 28 hunc] eundem h, k. INST. MUS. II, 6. 231 tio est, quae nec continuis numeris comparatur, sed inter- missis, nec semper aequali intermissione , sed nunc qui- dem una, nunc vero duabus, nunc vero tribus, nunc quattuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius: multi- plicitas ab unitate incipit , superparticularitas a binario, 5 superpartiens proportio a ternario initiuni capit. Sed de his hactenus. Nunc quaedam, quae quasi axiomata Graeci vocant, praemittere oportebit, quae tunc demum, quo spectare videantur, intellegemus, cum de uniuscuiusque rei demonstratione tractabimus. lo Quid sint quadrati numeri, deque his spegulatio, VI. Quadratus numerus est, qui gemina demen- sione in aequa concreverit, ut bis duo, ter tres, qua- ter quattuor, quinquies -V-, sexiens -VI-, quorum est isla descriptio : 15 II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII. LXIIII. LXXXI. C. Superius igitur dispositus numerus naturalis est latus qua- dratorum inferius descriptorum. Continui enim natura- liter sunt quadrati, qui sese in subiecto ordine consequun- 20 tur, ut IIII. VIIII. XVI. et ceteri. Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato maiore sustu- lero, quod relinquitur, tantum erit, quantum est, quod ab utrorumque quadratorum lateribus iungitur. Ut si qualtuor auferam novenario, -V» sunt reliqui, qui ex duo- «s bus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, coniunguntur. Item novenarium aufero de eo, qui sede- cim numeris adscriptus est, septem sunt reliqui, qui scili- 3 vero om, f, h, k. 6 portio h, k. 7 actenus i, f, o. quae] om, h. que g, k, o. || quasi demonstrationes axiomata g; quasi demonstrationes quae axiomata h, k. 11 Inscript om, g. 13 concrevit f. |] ter tria f. 14 sexies f, g, h, k, o. [I descriptio ista g, h, k. 16 VIIII. X. om, g, o. 17 LXXXI. C. om. g, o. 18 latus est f, g, h, k, o. 20 con- secuntur g, h, k. 21 •VIIII- et -XVI- g. 22 quadrato om. g, h, k, 0. 232 INST. MUS. II, 7. cel ex ternario quaternarioque coniunclus est, qui prae^ dictoruni quadratorum latera sunt; idemque est in ceteris. Quod si non sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit eius quod relinquitur medietas id, 5 quod ex utriusque lateribus efficitur. Ut si quaternarium de sedecim quadrato auferam •XII- relinquuntur. Quorum •XII- medietas cst is numerus, qui ex utrorumque lateri- bus convenit. Sunt autem utrorumque latera duo et quat- tuor, quae senarium iuncta perficiunt. Atque in ceteris 10 idem modus est. Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit eius quod relinquitur id, quod utrorumque lalera con- iungunt. Ut si quattuor de -XXV- auferam intermissis duobus quaclratis, reliqui -XXI- sunt. Eorum vero latera sunt duo et quinque» qui efOciunt septem, qui sunt pars 15 tertia numeri -XXI- Atque haec est regula, ut, si tres in- termissi sint, pars quarta sitid, quod ex utrorumque late- ribus efficitur, eius, quod subtracto minore a maiorc re- linquitur; sin quattuor transmittantur , quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam fit intermissio 20 numerorum. Omnem inaequalitaiem ex aequalitate procedere eiusque demonstratio, VII. Est autem, quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tri- 25 bus enim praeceptis, ut in arithmetica dictum est, multi- plices proportiones ex aequalitate producimus, ex conver- sis vero multiplicibus superparticulares habitudines pro- creamus. Item ex conversis superparticularibus super- partientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres 30 unitates vel tres binarii vel tres ternarii vel quilibet aequi termini et sit primus primo aequus in sequenti scilicet 2 est om, h, k. 5 atrisque h, k. 8 autem om, h, k. 14 sunt latera g, 21 Inscript, om. g. 26 proportiones om, k. 30 quitlibet o; qiiotlibet f; quodlibet g, i; quo- rumlibet h; quorumlibet et supra versum slI quot k. || aequi numeri yel termini o. 31 terminis i. INST. MUS. II, 7. 233 ordine constitutus , secundus vero priino ac secundo , ter- tius primo, duobus secundis ac tertio. I(a enim numero progresso fit duplex, multiplicitatis prima proportio, ut descriptio monet: I. I. I. 5 I. II. IIII. Nam unitas in secundo ordine constituta aequa est primae unitati in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est primae unitati ac secundae unitati; item quaternarius aequus est unitati primae ac duabus unitatibus secundis lo atque unitati tertiae, et est I. II. IIII. dupla proportio. Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabi- tur, ac de tripla quadrupla; de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus is- dem tribus praeceptis superparticulares fient, ut uno pro- 15 bemus exemplo. Convertamus nunc et priorem maiorem numerum disponamus IIII. II. I. Ponatur igitur primus primo aequus» id est •1111*, secundus primo scilicet et secundo, id est •VI-, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est •VIIII*, quibus dispositis sesqualtera notatur 20 esse proportio. IIII. II. I. IIII. VI. VIIII. Atque id si de triplis fiat, sesquitertia , si de quadruplis, sesquiquarta , consimilibusque in alterutra parte vocabulis 25 proportionalitas ex multiplicitate nascetur. £x superpar- ticularitate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conversim sesqualtera comparatio VIIII. VI. IIII. Ponatur igitur primus primo aequus, id est •VIIII*, 8 superiori g, h, k, o. 9 unitati primae g, h, k, o. nnitati post secundae om, g, h, k. 10 aequns est om. g, h, k. 12 comparabitur g, k; comparabitur et supra ver- sum aJ. procreabitur h. 13 de tripFo i, f, o. || de qua- druplo o. II quinquupla i, f. 14 hisdem f, k, o; idem g, h. 15 liunt g, h, k. 18 primus scilicet i. |{ et] ac g, h, k. 24 Adque i. 25 consimilibnsve h, k. 26 nascitur h, k. 27 dicitur g. 234 INST. MUS. H, 8. secundus primo ac secundo, id esl XV*, terlius primo, duobus secundis et lertio, id est XXV- Ac disponantur in ordinem hoc modo: VIIII. VI. IIII. 6 VIIII. XV. XXV. Superbipartiens igitur ex conversis sesqualteris habitudo producta est. Quod si quis ad hanc speculationem dili- gens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis super- tripartientem producit ceterisque similibus vocabuiis ad- 10 aequatis cunctas ex superparticularitate superparlientes species procreari mirabitur. £x non conversis autem superparticularibus, sed ita, ut ex multipiici procreati sunt, manentibus necesse est muUiplices superparticulares creari. £x manentibus vero superpartientibus ita, ut ex 15 superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hacte- nus; diligentius enim in arithmeticis libris de hac compa- ratione est disputatum. Begulae quotlihet continuas proportiones superparticulares 20 inveniendi. VIII. Saepe autem accidit, ut tres vel qualtuor vel quotlibet aequas superparticuiarium proportiones de mu- sica disputator inquirat. Sed ne id casu atque inscitia facientes error ullus difficultatis inpediat, hac regula 25 quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus. Unusquisque muUipIex ab unitate sciiicet computatus tol superparticulares habitudines praecedit suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit, hoc modo ut duplex sesqualteras antecedat, 30 iriplex sesquitertias, quadruplex sesquiquartas, ac dein- 1 — 2 tertius . . . -XXV- om. f. 9 vocabulis om, f, g, 19 Inscript, om. g, \\ quodlibet g, k; quolibet f, o. 22 pro- portiones superparticularium f. 23 inscientia g; inscien- cia o. 29 decesserit i, f. INST. MUS. II, 8. 235 ceps in hunc modum. Sit igitur duplorum terminorum subiecta descriptio. I. IL IIIL Vffl. XVL III. VI. XII. XXIIIL VIIIL XVIII. XXXVL 6 XXVII. Lim. LXXXI. In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex unum ad se ternarium habet, qui possit facere sesqual- teram proportionem. Ternarius vero non habet, qui ei lo possit esse sesqualter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex. Hic duos sesqualteros antecedit, senarium et novenarium, qui medietate caret; atque idcirco nullus ei in habitudine sesqualtera compa- ratur. El in ceteris idem est. Tripli vero eodem modo is sesquitertios creanL Sit enim similis in triplo descriptio : I. lU. VIIII. XXVII. LXXXI. IIII. XII. XXXVI. CVIIl. XVI. XLVIII. CXLIIIl. LXIIII. CXCII. CCLVI. 20 In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas videmus , ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos , tertius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturaii quodam fine claudatur. 25 Quod si quadruplum statueris, eodem modo sesquiquartos invenies, si quincuplum sesquiquintos ac deinceps. Singuli denominatione multiplices tot superparticulares praece- dunt, quoto loco ipsi ab unitate discesserint. Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea, sicut 30 in ceteris, lector diligens acumen mentis exerceat. 10 non habet vero i. 11 deficit medietate i. 24 tres tertius i. 27 sin o. || quinqauplus i, T. 27 — 28 Multiplices singuli denominatione h. 29 decesderint i, f. 236 INST. MUS. n, 8. I. lUI. XVI. Lxnii. CCLVI. V. XX. LXXX. cccxx. XXV. c. cccc. cxxv. D. / DCXXV Haec igitur sp>eculatio ad hanc ulilitatem videtur inventa, ut, quotienscunque quattuor vel V- vel quotlibet sesquaU teros vel sesquitertios vel sesquioctavos vel quotlibet alias proportiones quis investigare voiuerit, nulio errore laba- lotur; utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui, quanti sunt propositi, tot praecedere et post se habere non possit, sed disponat potius multi- piices videatque quantos superparticulares requirit, eum- que multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitale recesse- 15 rit; ut in superioribus descriptionibus si tres sesqualteros fortasse quaesierit, ut non a quaternario ingrediatur in- vestigationem — hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, lertiumque ei aptare non poterit — sed ut ab octonario medietates temptet apponere. Hic 20 enim, quoniam tertius est, tres, quas quaerit, sesquaite- ras proportiones efficiet. £t in ceteris eodem modo. £st etiam alia augendi proportiones via hoc modo. Radices proportionum dicuntur in eisdem comparationibus mini- mae proportiones. Disponatur enim numerus naturalis 25 unitate mulctatus: II. lU. IIU. V. VI. VII. Minimae igitur proportiones sunt sesqualtera •III* ad •IL, sesquitertia •IIII- ad •III*, sesquiquarla -V* ad -Ulh, et deinceps in infinitum, et quaecunque se proportiones unitate praecesserint. Propositum igitur sit, duas sesqualteras proportiones con- 16 quesierit g, o. || \\t om. g, h, k. 19 sesqnalte- ras medietates h, k; sesqualteras corr. add, f. 20 quae- ret i, f, o. 22 etiam] enim g, h, k. || proportionis i, f. 25 multatus k, o; multatus et supra versum i. privatus f, h; multiplicatus g. 26 ut in sesqualtera g, h, k, o ; ut in corr, add. f. [] in sesquitertia . . . in sesquiquarta g, h, k, o. 28 propositiones h. || se om, o. || proportiones unitate se g, h, k. II praecesserint] supra versum: minimae sunt h, k. 29 igitur om. h. || propositiones g. INST. MUS. II, 9. 237 tinua comparatione producere. Sumo radicem sesqualte- ram eamque dispono: •II- et •III- Multiplico Igitur bina- rium per binarium, fiunt •IIII- Item ternarius per bina- rium crescat; erunt •VL Rursus ternarium in semet ipsum ducemus; (iunt •¥1111* Qui disponantur hoc modo: 5 u. m. iiii. VI. vini. Inveniemus igitur duas propositas sesqualteras proportio- nes -VI^ ad •IIII- et •VIUI- ad •VI- Sit nunc propositum tres invenire. Dispono eosdem numeros, quos supra in lo exquirendis duabus sesquaiteris habitudinibus proposue- ram, ipsasque sesquaiteras proportiones. Multipiico bi- nario quaternarium, fiunt •VIII* » rursus seuarium binario, fiunt -XII*, rursus novenarium binario , fiunt -XVIII. , rur- sus novenarium ternario, fiunl -XXVII- Disponantur igi- 15 tur hoc modo: II. III. IIU. VI. VUII. viu. XII. xvni. xxvu. Atque hic modus erit in ceteris. Ut si sesquitertias pro- 20 portiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se invicem comparati. Atque ad hunc modum multiplices. Quodsi sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eadem- que multipiicatione sesquiquartos quotlibet extendas. 25 Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit. De proportione numerorum, qui ah aliis meiiuniur. VIIII. Si duos numeros eorum differentia integre fue- 2 et om, o; ad f. 8 Inyenies f; Inveniuntur o. 15 noyenario ternarium g, o. || igitur om, o. 21 pones h, k. 25 sesquiquartas f. || quodlibet f. || eztendes g, h, k, o. 26 autem om, i. || prosint hae considerationes k. 27 de- monstrabit o. 28 Inscript, om. g. || metuntur h, k. 29 integra i, f. 238 INST. MUS. II, 9: rit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri, secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri L-LV- Hi igitur ad se invicem sesqui- 5 decima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri *L- Hic igitur metielur quidem -L- numerum decies LV- vero un- decies. Secundum X- igitur atque -XI- numeros -LV- et •L* propria differentia, id est quinarius permetietur, et 10 sunt -XI* ad -X- sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri, quos propria dif- ferentia integre permensa est, in qua sunt hi, secundum quos eos propria differentia permensa est. Quod si qua differentia numerorum ita eos numeros, quorum estdiffe- larentia, metiatur, ut eandem mensuram numerorum plu- ralitas excedat idemque in utrisque sit excessus et sit deminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum , maiorem obtinebunt proportionem ad se in- vicem numeri, si eis illud, quod relinquitur post mensio- 2onem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos pro- pria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo •LIH- et LVIII. Hos igitur quinarius , qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur LIII* numerum quinarius decles usque ad L- relinquit vero ternarium. Rursus •LVIIL 25 numerum metitur idem undecies usque ad LV- atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igilur ex utrisque ternarius, fiunt -L* et LV*, qui disponantur hoc modo: Lin. LVIII. 30 L. LV. In hoc igitur manifestum est, maioris esse proportionis inter se L- et -LV' quam •Llll' ad •LVIII- In minoribus 2 etiam] et g, h, k. 5 eoriim differentia est g, h, k. 7 metltur f. 9 permetitur f, g, h, k; metitur o. 11 pro- portione sunt h, k. 12 integre corr, add. f; integra i. 12 — 13 in qua sunt .... permensa est iti margine rec, manu additum in f. 14 differentia est g, h, k. 25 idem] id est g. 32 ad] et g, h, k. INST. MUS. II, 9. 239 enim numeris maior semper proportio repperitur ; quod paulo posterius demonstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minore erunt pro- porlione numeri superius mensi cum additione eius sum- 5 mae, qua utrosque metiens supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria dififerentia metiebatur. Sint enim numeri •XLVIII- et LIII- Horum quinarius differentia est. Metia- tur igitur •XLVIII- numerum quinarius decies, fiunt -L- Supervadit igitur -L- numerus XLVIII* numerum binario. lo Idem -LIII^ undecies metiatur, fiunl LV- qui eisdem rur- sus duobus -LIIL numerum supervadit. Addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo : XLVIII. LIII. L. LV. 15 Minore igitur sunt proportione L- ad -LV* comparati cum additione scilicet binarii, quo differentia eos metiens super- vadit, quam •XLVIII* et •LIIL numeri, quos eadem quinarii differentia mensa est. Maiores vero et minores propor- tiones hoc modo intelieguntur. Dimidia pars maior est ^o quam tertia, tertia pars maior est quam quarta, quarta pars maior est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit, ut sesqualtera proporlio maior sit sesquitertia et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in ceteris. Hinc evenil, ut in numeris minoribus maior semper videa- 25 tur proportio superparticuiarium numerorum. Quod ap- paret in numero naturaii. Disponatur enim numerus natu- ralis I. 11. III. IIII. V. Binarius igitur ad unitatem duplus est, ternarius ad binarium sesquaiter est, quaternarius 2 demonstramus i. 4 minores f, g, h, i, k, o. || pro« portiones i, o; proportiones, s puncto suhnotato, f. 6 qua] quam i. 10 igitur om, i. 11 Idem] Id est g. ]{ Idem qninarius g, h, k; quinarius supra versum i. {] isdem i. 16 Minores g, h, k, o. || sunt igitur o. || proportiones g, h, k. 17 qua et supra versum l quo hinario i. 19 differentia qui- narii g, h, k, o. 22 quam ante quinta om, f , g, h, k. 25 maioribus minor i. 27 naturalis numerus h. 28 Y' om, g, h, k. II duplex g. 240 INST. MUS. II, 10. 11. vero ad ternarium sesquiterlius. Maiores vero sunt numeri ternarius et quaternarius , minores ternarius et binarius et unitas. In maioribus igitur minor et in minoribus maior proportio continetur. Hinc apparet, quodsi aliqui- 5 bus numeris proportionem continentibus superparticula- rem aequa pluralitas addatur, maiorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum, quam postea quam eis piuralitas aequa sit addita. Qui ex multiplicibus et superparticularihus multiplicaiis 10 fiant, X. liiud etiam praemittendum videtur, quod pauio post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fue- rit multiplicatum , id etiam, quod ex illa muitiplicalione nascetur, multiplex csse; quodsi id, quod ex tali multi- 15 plicatione procreatum sit, non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex, quod binario fuerit multiplicatum. Item si superparticularis proportio binario mulliplicetur, id quod fit, neque superparticulare esse neque multiplex. Quod si id, quod ex tali multiplicatione nascetur, neque 20 multiplex cst neque superparticulare, tunc illud, quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis, non vero multiplicis. Qui superparticulares quos multiplices efficiant, XI. His illud addendum esl , duos primos superparli- 25 culares primam efficere multiplicem proportionem. Ut si 3 et ante unitas om. i. || igitur om. f. 4 Hic f. 7 aeque f, g, o. || auam fiat f. 9 Inscript. om, g. \\ Qui] Quae k; an i, f. || ex] e h, k. j] superticularibus h, k. || multiplicites g; multiplicitates i, f. - 14 esse constat o. 15 sit om, o. 16 esse non f. || esse] fuerit i. 18 prius neque videtur esse omittendum. 20 est om. f. || superparticulare est neque multiplex i; superparticulare est f, o. 21 super- particularis] particularis i, f; fortasse scribendum superpar- tientis. || superparticularis est h, k. 22 generis est o. || non vero multiplicis om. h; addendum videtur ne({\x.Q superpar- ticularis esse. 23 Inscript, om. g. 24 duo primi i, f. INST. MUS. II, 12. 241 sesqualter et sesquitertius coniunganlur, duplicem creant. Sint enim numeri II. III. IIIL Ternarius ad binarium sesqualter, •IIII* ad III* sesquitertius, •IIII- ad 11* duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri II. IIII. 5 VI. Quattuor namque ad JI- duplex est, primus scilicet multiplex, sex ad •IIII- sesqualter est, qui est primus super- particularis, VI- ad JI- triplus, qui secundus est multiplex. Quodsi triplum sesquitertio addas, quadruplus efficietur, si quadruplum sesquiquarto quincuplus, atque in hunc lo modum iunctis proportionibus multiplicium ac superpar- ticularium in infinitum multiplices procreantur. Be ariihmetica geometrica armonica medietaie. XII. Quoniam vero de proportionibus quae erant in- terim tractanda praediximus, nunc de medietatibus esti5 dicendum. Proportio enim est duorum terminorum ad se quaedam comparatio. Terminos autem voco numero- rum summas. Proportionalitas est aequarum proportio- num coUectio. Proportionalitas vero in tribus terminis minimis constat. Gum enim primus ad secundum termi- 20 num eandem retinet proportionem , quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas, estque inter JIL terminos medius, qui secundus. Has igilur proportiones medii termini coniungentis trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium et medii 25 ad maximum, sed non aequa proportio, ut in his numeris I. II. III. Inter •!• quippe ac •II* et inter •II- ac •III- tan- tum unitas differentiam tenet; non est autem aequa pro- 4 primus om, k; tn h corr, add, 5 creant f. 7 eflft post sesqnalter om. f, g, h, k. 9 efficitur g, h, k. 10 quinqaaplus i, f. 13 Inscripi, om, g. De medietate ar. geom. et arm. h, k. o addit supra descriptiones has: Arithmetica Geometrica Armonica I. II. m. I. IL IIII. III. IIII. VI. 16 enim om, k. || ad se terminomm f. 23 His et supra versum l as f. 24 coniungentis proportiones medii termini f. 27 -1] primos i. || ac -111-] et •III- i; et tres o. BOETIUS. \^ 242 INST. MUS. II, 12. portio; -ll- quippe ad 'I- duplisunl, •Ifl- ad 'II* sesqualter. Aut est aequa in utrisque proportio non vero aequalibus differentiis constituta, ut in liis numeris I. II. IIII. Nam •II* ad -l* ita sunt dupli , quemadmodum quaternarius ad 5 binarium. Sed inter quaternarium binariumque bina- rius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit. Est vero tertium medielatis genus, quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis con- stat, sed quemadmodum se habet maximus terminus 10 ad minimum, ila sese habet maiorum terminorum diffe- rentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris III. IIII. VI. Nam «VI- . ad •III- duplus est, inter •VI- vero et -IIII- binarius interest, inter quaterna- rium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus 15 ad unitatem rursus duphis est. Ergo ut est maximus ter- minus ad minimum, ita maiorum differentia ad minorum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas, in qua aequaesunt differentiae, arithmetica, illa vero, in qua aequae proportiones, geometrica, illa autem, quam 20 tertiam descripsimus, armonica. Quarum haec subiciamus exempla: Arilhmetica. Geometrica. Armonica. I. II. III. I. II. mi. III. iiii. VI. Non vero ignoramus esse alias quoque proportionum me- 25 dietates, quas quidem in arithmeticis diximus. Sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie et maxime geometrica nuncupatur idcirco, quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem ute- 30 mur promiscue vocabulo proportionalitates etiam ceteras nuncupantes. 1 snnt dnpli f. || sesqnaltera i; sesqnalteri f. *12e8t om, k. 14 vero ac] antem et k. 16 ad minornm diffe- rentiam om, f; sed in margine est additum: ad minornm ter- minornm dififerentiam. 17 igitnr om, k. 20 describimus g, h, k. 22 Inscripiiones om. f. 24 quoqne alias i. || qno- que om. k. 26 haec f. 27 propriae i, f. 30 propor- tionalitatis i. INST. MUS. II, 13 — 15. 243 De coniinuis medietatibus et disiunctis. XIII. Sed in his alia continua est proporlionaiitas alia (lisiuncta. Continua quidem ut superius disposuimus; unus enim idemque numerus medius nunc quidem maiori subponitur, nunc vero minori praeponitur. Quotiens vero 5 duo sunt medii, tunc disiuncta proportionalitas nuncupa- tur, ut in geometrica hoc modo: I. II. III. VI. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium; et vocatur haec disiuncta proportionalitas. Unde intellegi potest, continuam^quidem proportionalitatem in tribus lo minimam terminis inveniri, disiunctam vero in quattuor. Potest autem in quattuor et in pluribus continua esse pro- portionalitas, si quidem hoc modo sit: I. II. IIII. VIII. XVI. Sed hic non erunt duae proportiones, sed plures, semper- que una niinus, quam sunt termini constituti. x5 Cur ita appellatae sint digestae superius medietates. XIIII. Idcirco autem una earum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos secnndum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis est quaUtas proportionis. Armonica autem 20 vocatur, quoniam est ita coaptata, ut in differentiis ac ter- minis aequalitas proportionum consideretur. Ac de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc vero , ut commemoremus tantum , ista percurrimus. Quemadmodum ab aequalitaie supradictae processerint 25 medieiaies, XV. Sed paulisper quemadmodum istae proportionali- 1 Inscript, om, g. || et [ac h] disiunctis medietatibus h, k. 4 enim] quidem k. || medins numerus h. || qui- dem] enim k. 11 et minimam f, g, h, i, k, o; minimis correctione rec. manus i. 16 Inscript, om, g. || sint om, k. || superius digestae h. 24 commemorem, em mutato in emus, f. 25 Inscripi. om, g. || supradictae . . . medietates] medieta- tes istae procreentur h ; medietates istae processerint k. 244 INST. MUS. n, 16. tates ab aequalitate procreentur dicendum est. Praedi- ctum est enim, quod in numero valet unitas, idem in pro- portionibus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. 5 Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur. Positis enim tribus aequis terminis hi duo modi sunt, quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur enim primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo secundo ac tertio. Quod hoc monstratur 10 exemplo. Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus, id est unus, secundus prim^ac secundo, id est •II., tertius primo secundo ac tertio, id est •III- eritque dispositio haec : I. I. I. 15 I. II. III. Rursus sint •III* binarii in aequalitate constituti II. U. II. Ponatur primus primo aequus, id est II-, secundus primo et secundo, id est •IIII*, tertius primo secundo et tertio, id est •VL ; et erit dispositio haec : 20 II. II. II. II. IIII. VI. ursus ideiii de ternario : 111. III. III. III. VI. VIIII. 25 Sed in his hoc speculandum est, quod si unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in diife- rentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se nullum inter- mitlunt. Sin vero binarius teneat aequalitatem , binarius est differentia et unus inter terminos semper numerus 80 intermittitur. Sin vero ternarius, idem differentia est, inter numeros vero duo naturaliter constituti intermittun- tur, ac deinceps ad hunc modnm. Est etiam alia propor- 1 ab] cum f. 7 proportionalitas haec i. 12 ac corr, add, i. 16 binarii tres k. || aequitate i. 25 liis] hic in lUura i. 29 semper] super, muiaium in semper, f. 32etiam] ?» h, k. INST. MUS. II. 15. 245 tionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini, constituanturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo acduobus secundis, ter- tius primo, duobus secundis et tertio. Ut si sint tres uni- tates. Sit primus primo ac secundo aequus, id est •IL, 5 secundus vero primo ac duobus secundis, id est •III*, ter- tius autem primo, duobus secundis et tertio, id est JIII- I. 1. I. II. III. IIII. Hic igitur terminorum dilferei^^iam unitas tenet. Inter lo binarium enim et unitatem atqiie inter ternarium ac bina- rium unitas interest. NuUus vero naturalis numerus inter- mittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter conslitutus. Idem rursus in binario fiat, sintque tres binarii et sit primus primo ac i5 secundo aequus, id est quaternarius, secundus vero primo et duobus secundis, id est senarius, tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est octonarius. II. II. II. IIII. VI. VIII. 20 Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter •IIII- ac -VI- quinarius naturaliter, inter -VI- atque VIII- septenarius coUocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia uno minus semper numeris inter- 25 missis. Atque idem et in quaternario quinarioque per- spicitur. £t quae nos propter brevitatem tacemus, isdem regulis ex semet ipso diligens iector inveniet. 1 arithmeticam proportionalltatem h. 2 constitaatur- quo g, h, k, o. 10 Hic] Sic k. || teneat k; tenet, a ra- swra deleto, h. 10 — 14 Quae hic dicuntur apta sunt propor- tionalitati I. II. III. cum praecedat II. III. IIII. Boetium in hunc errorem ineidisse vix credideris. 11 inter] in f. || ac] et g, h, k. 14 constitntus est o. || Idem] Id est g. 15 ut sit f. 21 Hic] Sic. k. 22 ac] et f. 23 uaturaliter in- mittitur f. 26 quaternario in k. || perficitur o; conspicitnr g, h^ k. 27 hisdem f, g, h, k, o. 246 INST. MUS. II, 15. Geomelrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab aequalitate possit ostendimus, quando, quem* admodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluat» mon- strabamus. Nisi tamen fastidium est , nunc quoque bre- 5 viter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis ter- minis ponatur primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis et tertio. Idem- que fiat continue. Atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum pro- 10 portionum proprielatibus perquam diligentissime in arith- meticis diximus. Quod si ad haec illis instructus lector accedet, nullo dubitationis errore turbabitur. Armonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Gonstituatur 15 enim , si quidem duplices curamus effingere tribus aequis terminis positis primus primo ac duobus secundis aequaiis, secundus duobus primis et duobus secundis, tertius semel primo, bis secundo et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates: 20 I. 1. I. Gonstituatur igilur primusprimoacduobussecundisaequa- lis, id est ternarius , secundus vero duobus primis et duo- bus secundis, id est 'lill-jtertius vero primo,duobussecun- dis et tribus tertiis, id est «VI* £t si in binariis aequaii- 25 tas constituatur vel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se terminis difTerentiisque distantibus, ut subiectae descriptiones monent. I. i. 1. JI. II. 11. III. III. UI. III. IIII. VI. VI. VIII. XII. VIIII. XII. XVIII. 30 Quodsi facienda est in extremitatibus tripia proportio tri- bus aequis terminis constitutis primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus vero ex primo ac duo- 2 invenire f. 9 sumet f. 10 perquam] quam g, h, k. 11 instructus illis k. 13 laqius g, k. 15 si curamus qui- dem duplices efifringere o. || duplices proportiones h; pro- portiones supra versum k. is et om. f. || ter om. i, o. 20 Vnitates om. f. 29 VHII. XII. XVIII.] VI. VIIU. XVIII. o. INST. MUS. II, 16. 247 bus secundis, tertius autem ex primo, duobus secuhdis ac tribus terliis, ut est subiecta descriptio: I. I. I. 11. II. ir. ITI. 111. III. n. III. VI. iiii. VI. XII. VI. vjiii. xviii. De armonica medieiaie ei de ea uberior spectdaiio. 5 XVI. Sed ingressi armonicam disputationem, quae de ea diligentius dici possunt, tacite praetereunda esse non arbitror. Conlocetur igitur armonica proportionalitas in- que ea descriptione superiore ordine terminorum inter se differenliae disponantur. lo differentiae I. II. III. IIII. VI. termini. Videsne igitur, ut •IIII- ad JU- diatessaron consonantiam i5 prodant, -VI- ad •IIII- diapente concordent, -VI- vero ad li) k; triplicem 0. 9 ac] et g, h, k. 10 consonantia f. ' 13 ac] ke h. 15 Inscripi. oni. g. 16 XVIIII- h. 18 erat om, h, k. 21 cognitus i. 22 partes ab ea h, k. || unam i. 23 sic- que g. 25 Duplum et sequeniia vocahula om, h. 28 In g ad- dita sunt:-P8LTa sexta. VI. Sexcuplum. Pars septima. VII. Septuplum. 252 INST. MUS. II, 20. Et ad hunc modutn ad infinita progressio est. Binarius enim unilatis duplus est; contraria vero eius pars eiusdem dimidium unitatis ostendit; tres triplus et contraria pars tertia; quattuor quadruplus parsque contraria quarta; at- 5 que ita crescendi et decrescendi in simplici est unitate principium. Idem igitur nunc ad consonantias converta- mus. Erit igitur diapason quidem, quae dupla est, supremi loco principii, quae vero reliquae sunt, in con- traria divisione lioc modo: sesquaiter quidem tripio, ses- 10 quitertius vero quadrupio; quod tali argumentatione pro- babitur. Idem enim primus est sesquaiter, qui primus triplus , sciiicet principaiis unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, si unitati, idem primus sesqual- ter, si binario comparetur. Rursus idem ternarius eius 15 differentiae, quam ad binarium facit, cuius natura- liter positus probatur esse sesqualter, triplus est. Gum igitur iure sesqualter tripiici opponatur, diapente con- sonantia diapente ac diapason consonantiae rationabiii- ter putatur opponi. Rursus quadruplus sesquiterlii con- 20 trariam divisionem tenet. Nam qui est primus quadru- plus idem rursus primus sesquitertius invenitur hoc modo. Quaternarius quippe primus est quadruplus, si uni- tati, primus sesquitertius, si ternario comparetur. Rursus eius differentiae, quam inter se ac ternarium tenet, ipse 25 fit quadruplujs. Unde fit, ut sesquitertia proportio, quae est diatessaron, quadruplae proportioni, quae est bis dia- pason, in contrarium dividatur. Dupla vero qupniam nul- iam habet oppositam proportionem nec uliius ipsa ses- qualtera est, aut exstat numerus, cui possit binarius, qui 30 primus est duplus, superparticulari proportione coniungi, talem formam contrariae proportionis excedit. Atque id- 2 duplex g, h, k. 7 qmdem om, h. 8 supraemi i. 10 quadruplos i. 12 triplus est h. || principalis scilicet f. 13 est triplus k. 17 consonantiam f, h, o. 19 putat h, o; putat, ur corr, addilo, i, f. 21 idem] id est g. || hoe modo] k addit. ^' jj ^^^' j "^^' INST. MUS. II, 21. 253 circo secundum Nicomachum diapason consonantiarum principium teneat hoc modo : Diapason Diapente diapason /\ Diapenle Bis diapason / \ Diatessaron s Sed quamvis ita sese habeat, inquil, melius tamen omnes multiplices proportiones consonanliarum praecedere, su- perparticuiaritates sequi, sicut pauio ante descripsimus. €um igitur sit consonantia duarum vocum rata permixtio, sonus vero modulatae vocis casus una intentione pro- lo ductus, sitque idem minima particula modulationis, omnis vero sonus constet in pulsu, pulsus vero omnis ex motu sit cumque aiotuum alii sint aequales, aiii vero inaequa- les, inaequalium vero alii sint multo inaequaies, alii vero minus, alii vero mediocriter inaequales: ex aequalitate i5 quidem nascitur sonorum aequalitas, ex inaequalitate vero ea, qua secundum mediocritatem distantiae inae- quales sunt, manifestae primaeque ac simpliciores eve- niunt proportiones, quae sunt scilicet multiplicis ac su- perparticularis, dupli, tripli, quadrupli, sesqualteri at- 20 que sesquitertii consonantiae. Ex his vero quae in reli- quis proportionibus vel multimodis vel non ita claris vel longe omnino a se distantibus inaequaiitates fiunt , disso- nantiae existunt, nulla autem sonorum concordia pro- creatur. 25 Quid oporteat praemilti ut diapason in multiplici genere demonstretur, XXI. Hoc igitur ila distincto demonstrabitur diapason consonantia, quae cunctarum optima est, in multiplici in- aequalitatis genere et in duplicitatis habitudine repperiri. so 3 o addit nwneros consonantias continentes. 6 omnis i. S paulo om. i. 9 consonantia sit g, h, k. 13 fit g. || ali- qni sint g, k. || aliqui vero k. 14 sunt i. 17 ea] hae o. II qaa] quae g, h, i, o. 18 manifeste i. 19 multipli- ces ac snperparticulares h, i, o. 20 atqae] ac k. 23 inae- qaales h. 26 Inscript. om. g. || Qaod i, k. 28 'XX* h. 254 INST. MUS. n, 22. Ac primum quidem illud demonstraDdum , quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonanlia possit agno- sci. Praecurrendum est igitur ad breve quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio Oat. Ab omni super- 5 particnlari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem , quae est scilicet minor , id quod relinqui- tur minus est eius medietate, quae detracta est, propor- tionis. Ut in sesqualtera ac sesquitertia. Quoniam ses- qualtera maior est, sesquitertiam de sesqualtera detraha- lomus; reHnquilur sesquioctava proportio, quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem , sed ea distantia minor est, quae in semitonio repperitur. Quodsi duplicata sesquioctava comparatio non est integra sesqui- tertia , simplex sesquioctava non est sesquitertiae propor- 15 tionis plena medietas. Quodsi sesquiquartum sesquitertio auferas, id, quod relinquitut* , medietatem sesquiquarti non efficit. Idemque in ceteris. Demonstratio per inpossibile diapason in multiplici genere esse. 20 XXII. Age nunc ad diapason consonanliam redeamus. Quod si ea non est in multiplici genere inaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonanlia. Aufera- tur ab ea continua consonanlia, id est diapente, relinqui- 25 tur diatessaron. Bis igitur diatessaron minus est uno dia- pente et ipsum diatessaron non inplet diapente consonan- tiae medietatem, quod est inpossibile. Monstrabitur enim bis diatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca ne diapason quidem in superpar- 30 ticulari inaequalitatis genere poni potest. 5 eis f. 11 sesqaitertiam integram f. 18 InscripL om, g. 19 non esse i. 20 XXI* h. 22 inaeqaalitate 1. 25 est 0772. g, h, k. 30 non potest g. INST. MUS. n, 23. 255 Bemonstraiio diapente^ diatessaron et ionum in superpar- iiculari esse» XXni. Restat igitur, ut diapente ac diatessaron et tonum in superparticularitate punenda esse monstremus. Nam etsi id in prima quoque probatione ea, qua diapason 5 in superparticulari genere non esse ponendam monstravi- mus, id quoque quodam rationis modo perclaruit, singil- latim tamen de eo ac diligentius pertractemus. Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebilur conlocandas. Nam 10 in superpartienti vel ceteris mixtis cur poni non possint, superius ut arbitror explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici genere. Et quoniam diates- saron consonantia minor est, diapente maior, diatessa- ron duplici diapente vero triplici proportioni multipli- 15 citatis aptetur. Verisimile enim est, ut est consonan- tia diatessaron consonantiae diapente continua, ita si diatessaron in duplici statuatur, diapente in conlinua dupiicis poni, id est triplici. Tonus autem, quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimi- 20 rum in ea proportione ponatur, quae est minor du- plici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inveniri. Restat igitur, ut in superparticularitatis habitu- dinem cadat. Sit igitur prima id est sesqualtera toni pro- portio. Nam si duplicem auferamus triplici, quod relin- 25 quitur sesqualter est. Quodsi diatessaron quidem duplex est, diapente vero triplum sublatoque diatessaron a dia- pente tonus fit reliquus, nullo modo dubitari potest, quin tonus in sesqualtera debeat proportione conslitui. Sed duae sesqualterae proportiones duplicem vincunt, quem- so admodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconveniens. Diatessaron enim duos tonos semitonii 3 -XXII- h. Toium caput deest in g, ex quo duo folia sunt resecta» 6 ponenda i, f. 8 si om. i. 9 quis] qui i. II quis has . . . Nam in superpartienti bis o. 16 est enim h, k, o. 18 alterum in om, i. 21 ponetur f. 27 subla- tumque f, h, i, k. || a corr. additum in f ; ac i. 256 INST. MUS. II, 23. spalio transcendit. Non igilur fieri potest, ui diapente ac diatessaron in superparliculari inaequalilatis genere non conlocentur. Quod si quis tonum quoque in muliiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor 5 quam diatessaron , diatessaron vero minus est quam dia- pente, diapente quidem ponatur in quadrupia, diatessa- ron in tripla , tonus in duplici. Sed diapente constai ex diatessaron et tono, quadrupium igitur secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequii. 10 Rursus statuatur diatessaron quidem in tripiici et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus Iriplum a quadruplo sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtraiias, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquiterlia proportione con- 15 stabit. Sed tres sesquitertii uno triplici fiunt minores, tres igitur toni unum diatessaron nuila ratione supple- bunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igiiur demonstratur diatessaron consonanliam non esse mulii- 20 piicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantla in multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo staiua- tur, quoniam est ei minor continua, id est diaiessaron, non locabitur diapente in multiplici minimo , id est in du- plici, scilicet ut sit iocus, quo diatessaron consonantia 25 possit aptari. Sed diatessaron consonantia muitiplicis generis non est, quocirca nec diapente in maiore habitu- dine multiplicis quam est dupla, quae minima est, apiari potest. Sit igitur diapente in minima , scilicet dupla. Dia- tessaron yero, quae minor est, in muitipiici quidem aptari 30 non potest — non esi enim quicquam minus a duplici — sit igitur sesquaitera , tonus vero sesquitertia ; in continua 1 ut non h, k ; non corr. additum. in f. 2 inaequalitate i. II non om. f, h, i, k. 3 collocetur i, f, o. 4 perscribat] Videtur legendum : praescribat. 5 vero om. i. 7 triplo i. 9 acj et k, o. 12 si om. i. 16 fiunt] sunt i. 16 uno k. II nulla ratione supplebunt om. k. 18 minus om, h, k. 22 quoniam] quod i. |] continua] consonantia i. 23 mi- nimo multiplici f. || in om. h, k, o. 28 Sit] Si f , h, i. 29 quae] qui i. INST. MUS. II, 24. 257 €niin proportione locabitur. Sed duo sesquitertii am- pliores sunt uno sesqualtero. Duo igitur toni unam dia- tessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione con- tinget. Ex his igitur approbatur, diapente ac diatessaron in multiplici genere coilocari non posse. Quocirca in 5 ^superparticulari inaequalitatis genere iure ponentur. Demonsiratio diapente et diatessaron in maximis super- partictUaribus esse. XXIIU. lilud quoque addendum est necessario , quo- niam si diapente ac diatessaron superparticulares propor- lo tiones tenent, in maximis superparticularibus proportio- «ibus coUocantur. Sunt autem maximae sesqualtera et sesquitertia. Hoc vero approbatur hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesqualtera vei sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae coliocentur, non est i^ dubium, quin, sicut aiiae quaelibet proportiones super- particulares praeter sesqualteram ac sesquitertiam iunctae non efficiunt unum dupium, ita diapente ac diatessaron iinum diapasoH nuiia ratione concludent. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, du- 20 plex yJN^o proportio ex sesqualtero sesquitertioque com- ponitur, diapason vero ex diatessaron ac diapente copula- tur, non est dubium, quin, si totum diapason in duplici statuamus, diapente et diatessaron in sesqualtera sesqui- tertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non ^» poterunt diapason iunctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus propor- tionibus steterint, sesqualtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares hanc nulla ratione coniungent. 30 6 genere inaequalitatis h, k, o. 7 Inscript, om. g. diatessaron] diapason h, k. 9 •XXIII- h. || necessario est g, h, 1, k. 12 antem] ant i. || maxime i. 22 coUocatur g, h, k. 24 statuatnr g, h, k, o. || et] ac k, o. 29 hanc] dnplicem i; dnplicem corr. additim in f. BOETIUS. W 258 INST. MUS. II, 25, 26. Diapente in sesqualtera^ diatessaron in sesquitertia esse^ tonum in sesquioctava, XXV. Dico autera , quoniam proprie diapente in ses- qualtera, diatessaron in sesquitertia proportione consistit. 5 Quoniam enim inter ulrasque proportiones , sesqualteram scilicet et sesquitertiam, sesqualtera maior est et sesqui- lertia rainor, quoniamque in consonantiis diapente maior^ diatessaron minor, apparet maiorem proportionem maiori, minorem vero minori esse consonantiae aptandum. Eril 10 igitur diapente quidem in sesqualtera, diatessaron vero in proporlione sesquitejrtia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantia subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesqualterae minuamus, relinquitursesquioctavaproportio. 15 Quo fit , ut tonus in sesquioctava debeat comparatione constitui. Diapason ac diapente in tripla proportione esse, in quadrupla bis diapason. XXVI. Sed quoniam demonstratum est, diapason qui- 20 dem duplam, diapente vero sesqualteram , iunctas vero duplam ac sesqualteram triplicem proportionem creare, ex his etiam iliud apparet, diapente ac diapason in triplici proportione constitui, Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iungat, quadruplam facit. Igitur 25 si diapente ac diapason consonantiis diatessaron symphonia iungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis dia- pason supra esse monstraviraus. 1 Inscript.om,g. || Demonstratio diapente cet, h. 2 tonum esse h. 3 -XXy* om, h. || propriae i, f, o ; propria g, 5 ses- qualtera scilicet et sesquitertia f, g,h,i. 7 quoniam quae i,o. 8 apparet minor i. || maiori minorem vero om, f, g, i; vero om. h. 9 minorem vero minori om, o. 12 consonantiam g. 15 Quae o || sit i. || ratione g, h, k. 17 Inscript, om. g. 1] esse om. k. 18 bis diapason in quadrupla h, k. 19 XXII- h. 23 tripli i. 24 habitudine i. ]] quadruplum g, h, k, 0. 25 symphoniam i. 26 fit om. i. JNST. MUS. II, 27. 259 Diatessaron ac diapason non esse secundum Pylhagoricos consonantias, XXVU. Sed in his illud diligens iector agnoscat, quod consonantiae consonantiis superpositae alias quasdam con- sonantias effecerunt. Nanl diapente ac diatessaron iunctae ^ diapason, ut dictum est, creant Huic vero, id est dia- pason, rursus si diapente symplionia iungatur, fit con- sonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. Quid lo igitur, si diatessaron ac diapason consonantias iungamus, ullamne secundum Pylhagoricos efYicient consonantiam ? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vei multiplicitatis ordinem vel super- particularitatis simplicitatem. Age enim , statuantur nu- 1^ meri, quibus id faciiius approbemus. Sit enim ternarius, cuius sit senarius dupius, scilicet in diapason consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet. Qui octonarius ad ter- 20 narium comparatus habet eum bis, sed, ne sit multipiex, habet etiam eius aliquas partes neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimum- que locavimus. Sint igitur termini hi UI, VI. VIII. lilud 2'> quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonan- tiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente effi- ciat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac so 1 Inscript. om, g. {| Diapason ac diatessaron h, k. || non om. i, f. non esse om. h, k. {{ non esse consonantias h; consonantias non esse^^. 3 •XXIII- h. 6 hunc i. 8 nun- cupantnr i. || diapente scilicet ac diapason k. 11 si om. i. 12 efficiant i; efficiunt o. 13 Minimae i. 17 sit om. k. j| proportione consistens f. 19 — 20 esse .... ad senarium diatessaron om. i. 21 eum] enim i. 27 — 28 consonan- tiam prodat .... ut diapason om. i. 28 prodat] reddat o. 11* 260 INST. MU8. II, 28. diapente sibimet iunclae efficiunt tripium, diatessaron vero et tonus diapente consonantiam iungunt, si diapason con- sonanliae addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac tripiicem nulla potest naturaliter pro- & portio multiplicitatis inteliegi. Quod si ei adicio tonumt fiet diapason diatessaron et to\ius, quod nihil distabit, utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim e, tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem III. et Vl., diatessaron VI. et Vm. tonus Vlll. et Vlin. 10 diapente .VI- et .VIII|. diapason ac diapente .111. ad .Vlin. Erit igitur sic tripla proportio : III. VI. VIII. VIUI. Sed quamquam de his multa Nicomachus, nos tamen , qua po- tuimus brevitate partim eaipsa, quae Pythagorici aflQrmant, promentes, partim ex isdem quaedam consequentia argu- 15 mentanles probavimus , si diatessaron consonantiae dia- pason addatur, consonantiam ex his coniungi non posse. Quid vero de his sentiat Plolomaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis consideran- dum est. 20 De semitoniOy in quibus minimis numeris consiet. XXViU. Videnlur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sinl non integri toni, huiusque spatii, quod nunc quidem semitonium nun- cupamus, apud antiquiores autem limma vel diesis voca- 25batur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia pro- portione, quae diatessaron est, duae sesquioclavae habitu- dines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupaiur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut uo dictum est, in sesquioctava proportione consistunt, duas- que sesquioctavas proportiones continuas adhibere non 1 iuncte i. 2 — 3 consonantia g, h, i. G fiat g, h, k. 8 Sint i; Sunt f ; Sin o. 14 hisdem g, h, i, k. 17 Quod i. 20 Jnscript. om. g. || semitoniis h, k. |{ constet numeris f. {| consistant h, k. 21 •XXIIIL h. 24 limna g, h; limina 0. 26 duas sesquioctavas i. INST. MUS. II, 28. 261 possumus, nisi multlplex iile, a quo hae derivari possint, repperiatur, sit unitas prima eiusque octonarius octuplus primus. Ab hoc igilur unum sesquioctavum potero deri- vare. Sed quia duos quaerimus, flant octies octo atque ex eo •LXlill- expUcentur. Erit igitur hic secundus 5 octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas propor- tiones educere. Namque octo, quae est octava pars •LXIHI- unitatum, eisdem additi totam summam LXXII- perficiunt. His vero si sua octava similiter apponatur, qui esl novena- rius, -LXXXI- reddunt. Eruntque duo hi toni continui 10 principali dispositione conscripti: LXIIII. LXXII. LXXXI. Nunc igitur •LXIIII- unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam •LXIIII* probantur partem tertiam non ha- bere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit et omnes in eadem proportione dura- 15 bunt, qua fuerunt, antequam his ternarius multiplicator accederel. Flant igitui* ter •LXIIIL , id est CXCIL Horum teriia •LXIIIL eisdem addita CCLVL reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio, diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad 20 •CXCIL, duobus se numeris continentes, rato ordine coiio- cemus. Fiant igitur ter •LXXIL , id est •CCXVI. ; rursus ter 'LXXXI* , qui sunt •CCXLIIL Qui inter duos supra- scriptos terminos coilocentur hoc modo: CXCII. CCXVI. CCXLIII. CCLVI. In hac igitur dispositione proporlionum 25 primus numerus ad postremum diatessaron constituit con- sonantiam, idem vero primus ad secundum et secundus ad tertium geminos continuant tonos. Constat igitur spatium, quod relinquitur, ex -CCXLIIL ad •CCLVI-, in quibus minimis semitonii forma consistit. ^^ 1 hae duae g, h, k; dnae corr. add, f. || dirivari g, k. 2 octoplns f. 4 fient g, h, i, k, o. 5 hic om. o; hinc i; hiiic f. 8 summae nnitatnm g. || unitatem i. 13 tertiam partem k. 16 multiplicatns i. M Fient g, h, k. 23 intra k. 25 igitur om, g, h, k. 28 ad tertium] adiates- saron et supra versum ad tertium f> || constituunt g, h, k, o ; constituant i; continuant et supra versum I constituant f. 30 minimi f, g. 262 INST. MUS. II, 29. JDemonstraiiones non esse 'CCXLIIL ad *CCLVL ioni • medieiaiem, XXVlllI. Approbo igitur .CCXLIU. ad CCLVJ. distan- tiam non esse integram toni medii demensionem. Etenim 5 ducentorum .XL- trium et ducentorum .LVI* differentia •XIII. tantum unitatibus continetur, qui .XIII. minus qui- dem quam minoris octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies XIII. ducas, emcies CCXXXIIII., qui CCXLIII- nullo 10 modo aequabunt, si decies novies multiplices, supervadent, cum oporteat omne semitonium , si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septi- raam decimam collocari, quod posterius demonstrabitur, Nunc illud liquebit, talem semitonii distantiam sibimet 15 geminatam unum toni spatium non posse conplere. Age enim, ut sese .CCLVL ad .CCXLIII. habent, tales duas sibi- met continuas proportiones secundum superius descriptam regulam disponamus. .CC- enim et L. ct VI. in semet ipsos multiplicemus et sit maximus terminus LXV. DXXXVI. 20 Item .CCXLIII- propria numerositate concrescant et sit minimus terminus LVIIII. XLVIIII. Rursus CCLVI. ad .CCXLIII. multitudine concrescant. Erit igitur numerus LXII. CCVIII. Hic igitur medius collocetur hoc modo : LXV. DXXXVL ESi. CCVIII. LVliir. XLVIffl. 25 In eadem igitur sunt proportione .CCLVI. et .CCXLIII., in qua LXV.DXXXVi. ad LXff. CCVIII. Et item LXiL CCVIII. ad LVilil. XLVIIII. Sed maximus eorum terminus, qui est LXV. DXXXVL, ad minimum, qui est LViiii.XLVniL, unum integrum non efficiet tonum. Quodsi primi ad se- do cundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium 1 Inscript. om. g. 3 -XXV- h. 6 alierum XIII] •CCXLIII. i; •CCXLIII- et supra -XIIL f; scilicet o. 9 qui] quam et supra rec. manu qui f. 12 partem om. h, k. 13 quid i. 18 et anie L om, g^ h, k. o. || et ante -VL om. f, o. 28 est -om. i. 29 efficient f, g, h, k. |{ Quo si i. || prima o. INST. MUS. II, 30. 263 proportioni, integri esse semitonii probaretur, duo di- midia iuncta unum necessario efflcerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spalia proprie tono- rum dimidia non videri. Quicquid enim cuiuscunque est r> dimidium, id si duplicetur, illud efficit, cuius dicitur esse ^imidium. Si vero illud inplere non possit, geminata particula minus est parte dimidia, si vero superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabun- tur autem LXV. DXXXVI. non facere sesquioctavam pro- lo portionem, si LVIIII. XLVIIII. unitatibus comparentur, «i octava pars LVIIIL XLVIIIL eisdem secundum eas, quae Ih arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quo- niam in integris numeris non consistit, idcirco eandem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae compu- 15 tandam. Liquet igitur eam proportionem, quae in •CCLVI- et •CCXLIIL est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia. De maiore parte toni^ in quihus minifnis numeris constet. 20 XXX. Reliqua igitur pars, quaemaiorest, apotome nun- cupatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut, quotiens aliquid secatur, ita ut non ^equis partibus dividatur, quanto minor pars dimidio minor €St, tanto maior pars eademque auctior dimidium vincat. 25 Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est, tantum apolome toni integrum superat •dimidium. Et quoniam docuimus semitonium in «CCLVL 1 duo om. i. II dimidia] semitonia o. 3 sit] sint f. 11 unitatibus om. g, k. 17 est] sit f. 18 toni om. g, k. ^O In quibus numeris maior pars toni sit. h, k. 21 -XXVI- li. Q apotomae g, h; apotoma i, k. 23 quoties g, k. 24 pars om. o. 25 eademque auctior] eadem quae est auctior -o; eadem auctior est f, i, k; eadem auctior g, h. 26 minus est integro i . 27 minus om. g. || integram i; integri 'Ct supra versum 1 um o. 28 dimidium vincit i; dimidium et vincit 0. 264 INST. MUS. II, 31. et CCXLIII- principaliter stare, nunc ea, quae apotoiD& dicitur, in quibus possit minimis constare numeris ap* probemus. Si igitur •CCXLIII* partem recipere octavani possent, cum ad eum sesquioctavus numerus coraparare* 5 tur, tunc -CCLVI* habitudo ad sesquioctavam summafli minimi numeri comparata apotomen necessaria ratione monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse monstratur, utrique numeri octies fiant. Et ex -CCXLIil» quidem octies multiplicatis fit numerus M. DCCCCXLIIII. 10 Quibus si propria conferatur octava» qui sunt -CCXLIUv fient n. CLXXXVU. RursuB CCLVI. per octonarium crescant ; fient igitur II. XLVIII. Atque hic suprascripto- rum terminorum in medio coUocetur: M. DCCCCXLim. il.XLVIIL fi. CLXXXVU. 15 Terlius igitur terminus ad primum toni retinet propor» tionem, secundus vero ad primum semitonii minoris, apo- tomes vero tertius ad secundum. Atque in eisdem primi& apotomes videtur constare proportio, cum semitonii ia •CCLVI- et CCXLIII- minimis numeris spatium continea- 20 tur. Idcirco aulem M. DCCCCXLIIII. et iT. XLVUI. in eadem proportione sunt, qua .CCXLIIL ad -CCLVL, quo- niam 'CCLVL et 'CCXLIII* octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet,. qui ex ea multiplicatione nascuntur in eadem erunt pro- 25portione, qua fuerint hi numeri, quos prior numeru» multiplicavit. Quibus proportionihus diapente ac diapason consient ei quoniam diapason sex tonis non constet. XXXI. Sed quoniam de diatessaron consonantia latius 4 comparetur i, k. 6 comparatam i, f. 8 octiens i. 9 -M'] •CC- i. 14 Numeros iierwn areubus et inscripHonibua ornatos b, k. 15 pertinet g. 16 apotome o; cum litura in fine g. 17 isdem i. 21 proportionem i. || quaj quia i. 24 nascantur k; nascantur, u supra a scripto, h. 27 Inscript, om, g. II ac om, f ; et i. || constat h, constent f. 29 •XXVIL h. INST. MUS. II, 31. 265 diximus, brevius et paene puris numeris de diapason ac diapente consonantiis disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri, quos superior descriptio cou- prehendit: CXCII. CCXVI. CCXLIII. CCLVI. In hac igi- 5 tur dispositione primus terminus ad secundum etsecundus ad tertium tonorum retinent proportiones, sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur.-CCLVI- oclava eisdem, quorum octava est, appona- tur, fient •CCLXXXVIII- qui •CXCII- comparati sesqualte- lo rum spatium proportionis efficiunt. Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Seniitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet. Quodsi diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii mi- 15 noris, diapente vero trium tonorum ac semitonii minoris, iunctae vero diatessaron ac diapente unum diapason vi- dentur efficere : erunt -V- loni et duo spatia semitoniorum minora, quae unum tonum non videantur inplere. Non est igitur diapason consonantia constans sex tonis, ut 20 Aristoxenus arbitratur. Quod in numeris quoque dispo- situm evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem dis- ponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibusconstituti. Sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo pro- creantur. Disponantur igitur sex octupli hoc modo : 25. I. VIII. LXim. DXII. lill.XCVI. XXXII.DCCLXVIII. CCLXIi.CXLIlU. I Ab hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctava pro- portione constituti iocentur hoc modo, dispositis primum octuplis terminis, ut octavae terminorum partes ipsorum terminorum iateribus adiunganiur. Sit autem descriptio 30 talis : 1 pene f, g, h, k, o; bene i. 7 retinet k. 10 qni •OXCII' .... efficiunt om, g. || qui] quibus o. 11 toni qaidem g, h, k. 16 tonorum est ac f. 21 appositum g, h, k. . 24 proportionis i. |{ a] ad i. 25 igitur om. g, h, k. II . sex] sexto i. 26 Hanc dispositionem om. o. 27 Abj Ob h. 266 INST. MUS. II, 31. Octupli. I. VIII. LXIIII. DXII. mr. XCVI. XXXIl.DCCLXVIIf. CCLXII. CXLnil. Sesquioclavae. Parles oclavae. CCLXII. CXLIIU. XXXII. DCCLXVIII. CCXCIIIi. DCCCCXIl. XXXVI. DCCC. LXIIII. CCCXXXLDCCLXXVI. XLI. CCCCLXXU. CCCLXXIII. CCXLVIII. • XLVI. DCLVI. CCCCXVIIII.DCCCCIIII. LII. CCCCLXXXVIIL CCCCLXXIl. CCCXCII. LVllII. XL VIIIL 10 DXXXl.CCCCXLl. Huius igitur dispositionis liaec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos nuroeros tenet. A sexto vero octupio sesquioctavae proportiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octavae sunl eorum 15 numerorum partes quibus adiacent. Quae si eisdem, quibus adiacent, apponantur, posteriores nuroeros creant. Ut in primo qui cst CCLXII. CXLIIII. , huius octava XXXII. DCCLXVIII. Hi sibimet si coniungantur, poste- riorem efticiunt numerum , qui est CCXCIIII. DCCCCXII. 20 Idemque in ceteris invenitur. Si igitur uitimus numerus, qui est DXXXI. CCCCXLI. duplus esset prioris numeri, qui est CCLXII. CXLIIII. , recte diapason sex tonis con- stare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquiramus, minor erit eo numero, 25 qui est maximus ac supremus. Nam CCLXII. CXLIHI. numeri duplus est, qui ad eum scilicet diapason consonan- tiam tenet, DXXIIH. CCLXXXVUI. Hic igitur minor est eo numero, qui sextum retinet tonum , eo scilicet , qui est DXXXI. CCCCXLI. Minor est igitur diapason consonantia 1 et B Inscrtpiiones om. o. 3 Sesquioctavi i , f. [| Par- tis ij g omissis parlibus oclavis omnium octuplorum sesquioctavos disponU, 9—10 h inierponit DXXIIII. CCLXXXVIII. 12 limis i. 13 proportionis i. || dicuntur g. 16 opponantur g; o in a mutato h. [] numeros om. g, h, k. 20 nume- rus ultimus f. 23 videtur i. || autem] yero i. 25 su- premus] praesumus i. INST. MUS. III, CAPITULA. 267 sex tonis. Alque id, quod sex toni diapason consonantiam supervadunt, voco comma, quod constat in minimis nu- meris DXXIIU. CCLXXXVIII. et DXXXT. CCCCXLI. Sed de his, quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne iudicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem 5 fastidii vitator adstringam. Explicil de musica id est armonica institutione liber secundus, Incipiuni capitula libri teriii. \, Adversum Aristoxeuum demonstralio superparticu- larem proportionem dividi iu aequa non posse atque 10 ideo nec lonum. II. Ex sesquilertia proportione sublalis duobus touis toui dii^dium non relinqui. III. Adversum Aristoxenum demonslrationes dialessarou consonantiam ex duobus tonis et semitonio non con- 15 slare integro nec diapason tonis sex. IIII. Diapason consonantiam a sex tonis commale excedi et qui sit minimus commatis numerus. V. Quemadmodum Philolaos tonum dividat. y\. Tonum ex duobus semitoniis et commate constare. 20 VII. Demonstratio tonum duobus semitoniis commale distare. VIIL De minoribus semitonio intervallis. VIIII. De toni partibus per cousonantias sumendis. X. Regula semitonii sumendi. 25 XI. Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi non posse eiusque reprehensio. 4 quique g, h; que corr, add, f. |1 per omne g. k. 6 fistringam ^, k; asstrlngam h. 7 Inscript. om. g, h. || £x- plicitus k. 11 armonica] arithmetica f. 8 Incipiunt — tertii] ffanc inscriptionem et capitum indicem omiitunt omnes quos contuH codices; quae cum maxime versimile sii casu tantum ali- quo exfidisse in eo libro manu scripto, ex quo omnes videntur manasse codices, secundum reliquorum librorum et singulorum ■capitum inscripiiones ipse addidi. 268 INST. MUS. III, 1. XII. lu qua numerorum proportione sit comma et quo- niam in ea, quae maior sit quam -LXXV* ad •LXXIIll' minor quam/LXXIIII' ad •LXXIII*. XIII. Quod semitonium minus maius quidem sit quam -XX» 5 ad •XVIIII-. minus vero quam XVIIII S- ad -XVniS' XIIII. Semitonium minus maius quidem esse tribus comma* tibus, minus vero quattuor. XV. Apotomen maiorem esse quam quatluor conmiata, minorem quam quinque, tonum maiorem quam octo> 10 minorem quam novem. XVL Superius dictorum per numeros demonstratio. ExpHciunt capitula. Incipit liber tertius* Adversum Aristoxenum demonsiraiio superparticularem proportionem dividi in aegua non posse atque ideo nec 15 tonum, I. Superiore volumine demonstratum est diatessaron coQsonantiam ex duobus tonis ac semitonio, diapente vero ex tribus ac semitonio copulari, sed ea semitonia dimidium loni integrum non posse perficere, si singillatim conside- 20 rata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nulio modo pcrvenire. Sed quoniam Aristoxenus musicus, iu- dicio aiirium cuncta permittens, haec semitonia non arbi* tratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio» sed, sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tono* 25 rum, de eisdem rursus paulisper est disputandum demon- strandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse dividi integra medietate. Inter duos 12 Expliciunt capitula om. codices omnes. Incipit liber tertius om, g, h, k. i in fine addU: id est. 13 Inacript. om, g. II Adversas fa, k. 14 in aequa om. i, £.- -18 co- pulari] cnlpari i. '22 arbitretnr, a supra e scripto, k. 23 esse] sese g. 24 dimidietates] medietates h, k; fortasee scribendum: dimidias partes. 26 hisdem i, f, o. || dispu- tandum] considerandum k. 26 que om, i. 27 in integra medietate o; integra medietatc muiatum in in integram me- dietatem k. INST. MUS. III, 1. 269 «nim numeros superparlicularem proportionem continen- tes, sive iiii sint principales, quorum est unitas differentia, sive posteriores, nuilus ita polerit medius numerus colio- <^ari, ut, quam minimus proportionem tenet ad medium, «am medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica 5 proportione. Sed aut differentias aequas facere potest, ui sit aequalitas secundum arilhmeticam medielatem , aut armonicam inter eosdem terminos medius numerus col- locatus faciet medietatem aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus meniionem. Quod si id demonstra- lo bitur, ne illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem , quae tonus est, in dimidia posse discerni, quandoquidem sesquioctava omnis in superparticulari in- aequaiitatis genere consistit. Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones conside- 15 ratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit, quae interposito medio termino aequis propor- tionibus dividatur, non est dubium, quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. Quodsi videtur auribus consonum aliquid canere, cum cuilibet voci duos so tonos ac semitonium integrum distans vocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur; sed quoniam sensus omnis, quae minima sunt, conprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut de- 25 prehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur compositum coniunctumque , cum iam magnum esse coe- perit, pervidetur. A qua igitur proportione est ordien- dum ? An compendium dabimus quaestioni, si ab eo, de so quo quaeritur, ordiamur ? Id vero est, tonus in duo possit aequa partiri necne. Nunc igitur de tono est pertractan- dum et quemadmodum non possit in duo aequa dividi de- H medius numerus poterit h. 10 monstrabitur g, h, k. 20 duo toni i, f ; duobus tonis h, k, o. 21 semitonio integro h,k,o. 25 deprehendantur g; deprehendat f, k; comprehen- datur o. 28 ceperit g; caeperit f, k, o. 30 questioni g, h, 0. 33 demonstratum f. 270 INST. Mus. m, 1. monstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, simi- liter demonstrabitur superparticularem in aequa noto at- que integro numero separari non posse. Primi igitur 5 tonum continenles numeri sunt •VUf* atque •VIIII- Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medins inter eos numerus non sit, eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur -XVI* atque •XVIII- Inter hos vero naturalis numerus cadit, qui est «XVII* lolgitur .XVIII- ad XVr tonus est, sed XVin. ad .XVH- comparatus, habet eum totum et eius septimam decimaiii partem. Seplima decima vero pars minor est sexta decima naturaliter, maior est igitur proportio, quaesub -XVI* ac •XVII' numeris continetur, quam ea, quae sub *XVIL ac 15 'XVIII* Qui disponantur hoc modo, et sit XVI. A xvii. c. xvin. B. Medietas igitur integra toni inter 'C* ac B. nullo modo cadet. Minor est enim *CB. proportio *CA* proportione. Ad maiorem igitur partem medietas rata poncnda est. Sit 20 vero medietas -D* Quoniam igitur -DB* quidem proportlo, quod est dimidium toni, maior est -CB* proportione, quae est minor pars toni, *AC* autem proportio, quae est maior pars toni, *AD* proportione maior est, quod est dimidium toni, est auteni *AC* proportio sesquisextadecima , .GB* 25 autem sesquiseptimadecima : non est dubium , quin in- tegra medietas inter sesquisextamdecimam ac sesquisepti- mamdecimam cadat. Sed hoc integro numero nullo modo poterit inveniri. 3 in aequa om, g, h, k. 6 isti se f. || ita om, ?, k. 8 multiplicabo k. 11 tonum f, g, i. 16 A] ac i. \[ In h e< k addita est dispositio A. D.C. B. arcubus iuncla. 21 quod est] integrum s. {{ dimidium om, g; in dimidium f. || maior est om. i. 22 minor pars] dimidium o. || autem om, g. 26 ac] et f, g, h, k. 27 Post cadat addunt g, h, k: ut et minor sit sesquisextadecima et maior sesquiseptimadecima. {[ in integro f, g. h, k. INST. MUS. III, 1. 271 SupersesquiXVIma SupersesquiXVlIma XVIII B tonas Quoniam vero ad XVI- numerum -XVir numerus coni- paralus supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si eiusdem •XVII* numeri sextamdecimam requiramus, erit unitas atque unitatis pars sextadecima. Hanc si eidem 5 •XVII- numero coniungamus, flent XVIII- et pars XVI™* Si igitur XVIIL et pars •XVI™* -XVI- numero comparetur, recte toni mensuram videatur excedere, cum ad eum solus •XVIII- numerus sesquioctavam custodiat proporlionem. Unde flt, ut, quoniam supersesquisextadecima proportio lo tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimi- dium. Quicquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse videbitur, quod transcendit. Quocirca supersesquisextadecima non erit toni dimidium. Ac per hoc nec ulla alia maior sesquisextadecima propor- 15 tione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisexta- decima integro toni dimidio sit maior. Sed quoniam sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima « videamus, an ea tonum bis multi- plicata non inpleat. -XVII* igitur numeri sesquiseptimam- 20 decimam partem tenet terminus •XVIII* In eadem igitur proportione si ad XVIII- numerum alium comparemus, erit XVIIII. et XVII™« pars. Quod si ad XVII- termi- num in sesquioctava proportione positum numerum com- paremus, fient •XVIIII- et pars octava. Maior vero est25 1 Disposilionem om, ^, h, k. 3 sesquisextam decimam k ; super rasura deleto h. 5 Hunc i, f . 6 fiunt g, h, k, 0. 8 videtur g, h, k; videatur f. [| Posi excedere addii g: abs- que -XVI- parte nnitatis; k: -XVI- parte unitatis. 10 super om, k; rasura delelum h. 13 esse om, g; esse illius o. 14 super rasttra deleium h. || supersesquidecima i. 15 Ac] Hac i. II per] super f. 17 fit i. 19 sesquiseptima de- cima sequitur k; requiritur i. 23 ad om. g, i. 25 Posi octava in cod, g in coniexium recepiae suni glossae, in cod, h 272 INST. MUS. III, 2. pars oclava parte septimadeciina , maior igitur est pro- portio numerorum •XVII- ac •XVIIII- et octava quam ea, quae in -XVII- ac •XVIIII- et parte septimadecima contine- tur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae propor- 5 tiones. Duae igitur sesquiseptimae decimae unum tonum non videntur inplere. Non est igitursesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non inplent in- tegrum, non tenent dimidium. Semper enim dimidiura duplicatum ei , cuius est dimidium, coaequatur. 10 Ex sesquitertia proportione sublatis duohus tonis toni di- midium non relinqui, II. lam vero si eos numeros disponamus , qui de ses- quitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus, utrum ea proportio, quae 15 post duos tonos relinquitur , integri loco semitonii censea- tur. Quod si ita repertum sit, illud quoque est conpro- batum, diatessaron consonantiam duobus tonis atque in- tegro semitonio copulari. Erat igitur superius primus ter- minus -CXCII* ; ad hunc sesquitertiam proportionem tene- 20 bant CCLVI- Sed ad primum terminum CCXVI- faciunt tonum, ad CCXVI- rursus CCXLIII- toniobtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex tota diatessaron proportione ea scilicet habitudo, quae in .CCXLIII- et -CCLVI. unita- tibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse 25dimidium, dubitari non potest, diatessaron ex duobus tonis semitonioque consistere. Quoniam igitur demonstra- tum est, toni dimidium inter sesquisextamdecimam et in margine /*. 2^^ et 25* adscriptae: f, 91'': Si vis scire, quae sit sextadecima pars in •XVII- cet, et f, 92*: Octava pars bis et aliquid plus raaior est quam septimadecima, cet. 1 parte] pars i. 2 XVIII. et octava o. 3 XVII- ac XVIII. g, i e/ f prima manu. 4 proportiones sesquiseptimaedeci- mae k. 5 totnm i. 6 sesqui om. g, h, k. 8 conti- nent o. 9 coequatur f, g, h, k. || o addit numeros XVI. XVII. XVIII. et XVII. XVIII. XVIIII. arcubus et inscripHo- nibus ornatos. 10 Inscript, om, g. 11 non corr. add. f. 13 retractatio i. INST. MUS. m, 3. 273 sesquiseptimamdecimam proportionem locari, ab hac com- paratione etiam haec proportio metienda est. Ne enim longius progrediamur, sumo ex •CCXLIII* octavamdeci- mam partem. Ea fit «XIUS' Hanc si eisdem apposuero, fiunt -CCLVIS- Apparet igitur minorem esse proporlio- 5 nem -CCLVI* ad -CCXLllI* sesquioctavadecima habitudine. Quod si dimidius tonus minor quidem est sesquisextade- cima , maior vero sesquiseptimadecima proportione, ses- quioctavadecima vero minor est sesquiseptimadecima ha- bitudine, ducentorum vero -LVI- ad •CCXLIII» compara- lo tio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retra- ctis tonis, minor est sesquioctavadecima: non est dubium, quin haec duorum numerorum proportio semitonio lon- gissime deminutior sit. Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron con- is sonantiam ex duohus tonis et semitonio non constare inte- gro nec diapason tonis sex. UL Quodsi, ut ait Aristoxenus diatessaron consonantia cx duobus tonis semitonioque coniungitur, duae diatessa- ron consonantiae necessario «V* tonos efficient et diapente 20 ac diatessaron iunctae, sicut unum diapason iungunt, ita sex tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam paulo ante sex disposuimus tonos, quorum minimus erat numerus CCLXILCXLUII. , ad hunc vero ultimus in sexto collocabatur tono numerus -DXXXl • CCCCXLls quintum 25 2 haec] dehac i. 3 prodiamur i. 3 — 5 octavam- decimam . . . igitur mino om. o. 4 •XIIIS-] •XIII- et su- pra versum rec. manu: et semis g. || opposuero i. 6 S om. g, i, 7 minor] maior g, i, o; et f, sed supraversum minor. || in sesquisextadecima f , o. 8 maior] minor g, i, o et f, sed supra versum maior. 9 in sesquiseptimadecima f, o. 12 tonis retractis i. 15 Inscript, om. g. [] Adversus h, k. |! demonstratio h. 16 integro om. i; corr. add. f. 17 sex tonis h, k. 18 ait om. h, o; rec, manu add, g, k. 20 •Y* ne- cessario f. [| tonift i. |j efficiunt k. 21 iuncte i, o; iuncto g, k. II coniungunt g, h, k. 25 tono collocahatur g; tono collocahitur h. BOETIUS. \^ 274 INST. Mus. m, 3. vero retinebant tonum CCCCLXXII- et CCCXCII. : dispo- nantur hoc modo : CCLXII. CXLim. toni sex DXXXI CCCCXLI- CCLXII. CXLIIII^ toni V CCCCLXXILCCCXCI/. 5 Nunc igilur de minoribus numeris, id est quinque tonis loquamur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio, bis vero diatessaron quinque consisteret tonis, cum ex •CCLXII* CXLIIII. diatessaron intenderem cumque de 'CCCCLXXII.CCCXCII* aliud diatessaron remitterem, idem 10 inter utramque intentionem remissionemve numerus in- veniretur. Id autem fit hoc modo. A numero, qui est •CCLXIICXLIIILdiatessaron intendo, id est sesquitertiura, qui fit in .CCCXLVIIII. DXXVV». Hursus de CCCCLXXII. CCCXCII. numeris remitto sesquitertiam proportionem, 15 quae fit in .CCCLIiU* CCXCIUI. Has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus .A* secundus vero «B. terlius «C. quartus D- A, B. CCLXII. CXLIIII. CCCXLVIIII. DXXFSS. 20 C. ' D. ccGLiin. ccxciui. cccclxxii. cccxcii. Quoniam igitur A. terminus ad D. terminum «V. remotus est tonis , quoniamque diatessaron in duobus tonis ac se- mitonio iungitur, ut Aristoxenus arbitratur, unumque dia-. 25 tessaron inter A. atque «B., aliud vero inter C. atque..D. 1 retinebat i. 3 — 4 Dispositionem om. g\ arcubus et in- scripiionibus ornant h, A, o. 5 minoribus] moribus i. || ter- minis g, h, k, o. 6 loquemur i. 7 consistere i. 13 '^ om. g, h, f; in g rec. manus addidit: et triente, in f tri- gens, in k triens mutatum est in et triente. 16 fit i. i8 — 21 g, h, i, k, f dispositionem arcubus et ins&riptionihus ornant; o numeros omittit, 19 "SS] triens f , h, k; -II- i. 23 quoniam quae i. INST. MUS. III, 4. 275 posituni esl, -B' et C-.terminos non oportet esse diver- sos, sed unos atque eosdem, ut integre •¥• toni ex dua- bus diatessaron consonantiis constare viderentur. Nunc vero, quoniam est differentia IIII- DCCLXVIIISS; arguitur diatessaron minime tonis duobns ac semitonio coniungi. 5 Diapason consonantiam a sex tonis commate excedi et qui sit minimus commatis numerus. IIII. Sed hanc si quaerimus in integris numeris diffe- rentiam coUocare, quoniam in ea parte, quae est SS, pars tertia si addatur plenam efficit unitatem — quae pars tertia lo eiusdem SS dimidium est — si totius differentiae dimidium eidem adiecero, quod est 11- CCCLXXXIIII. "SS, fit omnis summa •VII- CLUI. , quae dudum commatis proportionem tenebat. Comma enim est, quo sex toni superant diapa- son consonantiam , quae in primis •VII- CLIII. unitalibus i5 continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium ad- iecimus, ut in -VII- CLIII. excresceret, ita etiam cunctis A. B. C. D. terminis medietates proprias adiungamus et eadem erit in omnibus quae supra proportio. Fietque eadem inter -V* tonos ac bis diatessaron differentia , quae 20 est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet -Vll- CLIII. unitates, unde coUigitur, -V- tonos bis diatessaron et «VL tonos unum diapason tantum commate superare, quod in primis VII' CLIII. unitatibus invenitur. Id autem patefaciet subiecta descriptio. 25 4 SS] et bisse k; et bisse supra versum f, g, h. || et ar- guitiir f. 5 ex tonis f. [] 0 addit disposieionem , quam supra sine numeris dedit, hic cum nui^eris. 6 Inscript. om, g. |1 a om, h, k. I quis k. 8 in om, k. 9 quoniam] quo i. || parti i. || SS om. f, g, h, i, o; bisse k. 10 addat g. 11 SS owi. f, g, h, k; bisse o. 12 "SS] et triens g, h, k, o; su- pra versum f. 16 Igitur ut f, g, h, k, o. 18 D- om. g, h; supra versum k. 21 diiferentiae i. 25 Quod pluribus locis differuni descriptiones , quas g, h, k continent, ab iis^ quae in f, i, 0 inveniuntur f satius duxi non has solum in contextum recipere sed etiam illas in tabula adiungere. 18* 276 INST. MUS. III, 5. A. B. ^ C. D. Quinque toni. Bis diatessaron. CCLXII. CXLIIII. CCCXLVIIII. DXX,VSS. CCCLIIIL CCXCIIIL CCCCLXXII. CCCXCIl Superionim numerorum. dimidia. 5 CXXXL LXXIL CLXXIIIl. DCCLXIIS^S. CLXXVIL CXLVIL CCXXXVI. CXCVI. Priores numeri cum dimidiis suis. CaXCIILCCXVL DXXIIII.CCLXXXVIIL DXXXL CCCCXLL DCCVIII. DLXXXVIII Differentia mediorum. VII. CLIII. 10 Toni sex. Dnplum. DXXXI.CCCCXLI. CCLXIL CXLIIIL DXXIIII. CCLXXXVIII. Differentia extremorum. VIL CLIII. Quemadmodum Philolaus tonum dividat. 15 V. Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum divi- dere temptavit, -statuens scilicet primordium toni ab eo numero, qui primus cybum a primo inpari, quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit, efficeret. Nam cum ternarius numerus primus sit inpar, tres tertio atque id 20 ter si duxeris XXVII- necessario exsurgent, qui ad •XXTIII- numerum tono distat, eandem ternarii differentiam ser- vans. Ternarius enim •XXIIII- summae octava pars est, quae eisdem addita primum a ternario cybum -XX» ac «VII- 1 Litteras om, /*. 3 "SS]. II. i; 2. e/ supra versum triens f. 4 dimidietates f. 6 S^]. II. i; S, 2.. e/ supra versum sextans f.; S o. 6 dimidiis] medietatibus f. 7 DXXXI.] DXXX, i. 10 Toni sex sunt inter hos duos f. 11 CCLXXXVIII.] CLXXXVIII. i. 1 — 13 In o descriptio in duas est divisa, Prior coniinet numeros versus septimi et noni , altera numeros versus quinti, IICCCLXXXIIII "^S in medio coUocatis, Ulraque arcubus et inscriptionibus est ornata. 14 Inscripi. om. g. 17 cibum f, i, o; cubum h, k. 19 primus om, i. 21 tono om, o; tonos i. II distant i; distans est f, Q eadem i. [| eandem ^d eum f. 23 ac om. g, h, k. ^ ^'atessaroii i. '^H ac 01». gt, fa, k. II INST. MUS. III, 6. 7. 277 reddil. £x hoc igitur duas Philolaus efficit partes, unam quae dimidio sit maior, eamque apotomen vocat, reli- quam, quae dimidio sit minor, eamque rursus diesiti di- cit, quam posteri semitonium minus appellavere; harum vero differentiam comma. Ac primum diesiu in*XlII- uni- 5 tatibus constare arbitratur eo, quod haec inter •CCLVI- et •CCXLIII- pervisa sit dififereutia, quodque idem nume- rus, id est •Xlll- ex novenario, ternario atque unitale consistat, quae unitas puncti obtineat locum, ternarius vero primae inparis lineae , novenarius primi inparis qua- lo drati. Ex his igitur causis cum •XIII- diesin ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam XXVII- numeri par- tem, quae •XIIIL unitatibus continetur, apotomen esse constituit. Sed quoniam inter •XIIL et •XIIIL unitas diF- ferentiam facit, unitatem loco commatis censet esse po- i5 nendam. Totum vero tonum in XXVII- unitatibus locat eo, quod inter CCXVI- ab •CCXLIII-, qui inter se distant tono, -XXVII- sit differentia. Tonum ex duobus semitoniis et commate constare, VI. Ex quibus facileapparet, tonum duobus semiloniis ^o minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apo- lome difTert commate, nihil est aliud apotome nisi semi- tonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliquum. 25 Bemonstraiio tonum duobus semitoniis commate distare. VII. Idem vero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason V- tonis ac duobus minoribus semitoniis con- 2 dimidio] medio k. 6 prius g, k; priinus h. 8 id • • • est] idem i. || et ternario g, h, k. 9 consistit 0. 16 Tonum vero totum f; Tonum vero tonum o. 18 tono di- stant f. 19 Inscript. om. g. 22 constet h, k. || ac] et g, h, k. II vero om. h, k. 25 sit g. 26 Inscript. om. g. | ex duobus h. || et commate h, k. [] constare h, k. 28 dia- pason diatessaron i. 278 INST. MUS. III, 8. tinetur, superantque •¥!• toni diapason consonantiam iino commate, non est dubium, quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semi- tonia minora, de sex vero tonis tonus. Atque hic tonus 5 haec duo semitonia, quae relinquuntur, vincet commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum. Constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commate, quod in •VII- CLIIT. primis unitatibus invenitur aequari. 10 Be minoribus setnitonio intervallis. VIII. Philolaus igiturhaec atque hisminora spatiatalibus definitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium, quo ma ior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero est spatium, quo maior esl sesquioctava proportio duabus 15 diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis, diaschisma vcro dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur: quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen, dividituretiam in duo semitonia et comma ; 20 quo fit, ut dividatur in quattuor diaschismata et comma. Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, con- stat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semito- nium minus, et schismate, quod est dimidium commatis. Quoniam enim totus tonus ex duobus semiloniis minori- 25 bus et commate coniunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimi- dium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo dia- schismata, dimidium vero commatis unum schisma. Recte igitur dictum est, integre dimidium tonum in duo dia- 30 schismata atque unum schisma posse partiri, quo fit, ut integrum semitonium minore semitonio uno schismate differre videatur. Apotome autem a minore semitonio duo- 5 vincit g, h, k. 10 Inscript. om, g. \\ semitonii f, h, k. 14 quo] quod i. [| est om, i. 15 id est] vel h. |1 Scis- ma f. 16 diachisma o. 20 quattuor] duo f, i. 26 ve- lit] voluerit g, h, k. INST. MUS. III, 9. 279 bus schismatibus difTert; differt enim commate. Sed duo schismata unum perficiunt comma. De ioni partihus per consonaniias sumendis, VIIII. Sed de his quidem hactenus. Nunc vero illud videtur esse dicendum, quemadmodum per consonantias 5 musicas imperata possimus spatia nunc extendere nunc vero remittere. Id autem lineariter fiat, lineaeque, quas describimus, vocis accipiantur loco. Sed iam sese ratio ipsa demonstret. Sit propositum toni spatium per conso- nantiam sumere in acutum scilicet atque gravem. Sit lo sonus -B-; ab hoc intendo alium sonum, qui diapente spatio ab eo, quod est -6*, distet ad eum, qui est •€• Ab hoc remitto diatessaron consonantiam ad id, quod est -D* et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus dififeren- tiam facit •D6* spatium tonus repertus est. i5 diapente H D dialessaron tona<; Ad gravem vero partem ita modulabimur tonum. Ab eo, quod est -B- , diatessaron intendo ad -F- et ab •F» diapente remitto ad -K. Erit igitur -RB- tonus. Animadvertet igi- tur diligens lector ad -DB- quidem ad acutam partem ef- 20 fectum tonum, ad KB* autem ad gravem. 1 Sed] sub i. 3 Inscript. om. g. \\ De sumendis toni cet. h, k. 8 descripsimus f. |{ accipiuntur i. |{ sese] esse f. 10 Sit om. o. 11 -B-] In i lineolae litteris sunt superposi- tae, aliquot locis etiam in f. 16 Descriptionem om. g; B D C inverso ordine o. 17 graviorem f, i, o. 18 ab om. i. 19 Animadvertit g, o; A. enim advertet i. 21 ad gravem in inferiore figura o. 280 INST. MUS. III, 9. K tonus B diatessaron Sit propositum minorem toni parlem per consonan- tiam sumca*e in acutam partem atque gravem. Minor vero toni pars est spatium, quo duos tonos diatessaron conso- 5 nantia transceodit. Sit entm sonus A* Intendo ab -A* diatessaron ad 'B* Aursus intendo a -B* diatessaron ad -C- Et ab •€• remitto diapente ad «D- Tonus est igitur •BD- Rursus a «D* intendo diatessaron ad -E* Remitto iterum ab «E- diapente ad «F» Tonus est igitur •DF. Duo igitur 10 sunt toni •BD- •DF^ Et erat •BA- integrum diatessaron ; erit igitur •FA^ minor toni pars, quod semitonium nun- cupatur. F A diapente 1 Lescriptionem om. g, 5 Sit] Si i. 7 Et ab -C- corr. add, f. 8 a] ab f, i. U intendo om. i. || ad •£•] adest i. 9 ab -E-] abest i; a. b. o. 13 Descripiionern om. g. A F D B E C ijiverso ordine o. INST. MUS. III, 9. 281 Ad grayiorem vero partem hoc modo. Sit sonus -A* Intendo duos tonos per consonantiam ad -G* , dialessaron vero ab «G* remitto ad -K- Erit igitur -KA* minor semito- nii pars , quod oportebat efOcere. K A tonus tonus Si tribus tonis diatessaron auferamus, apotome Ot reli- qua. Sint enim tres toni AB. BC. CD. Ab his auferatur •AE- diatessaron. Erit igitur *EC- semitonium minus, apo- lome igitur est -ED- lonus lonus lonus B C E D 10 «lialessaron S. Apol. Hauc igitur apoLomen , si sit commodum , sic sumemus. Ac primum quidem ad acutum. Intendo tres tonos ab A- eos, qui sunt AB* et ab eo, quod est B* ad C- diatessa- ron consonantiam remitto et Ot -CA- apotome reliqua. 2 tonos ovi. g. 6 Si igitur ^, h, k, o. [| tribus] duo- bus i. II auferam f, g, h, k. 12 ab -A-] -a^B- a, f. 13 et ab eo] ab eo autem g, h, k. 282 INST. MUS. III, 9. B tres toni diatessaron apot. Quod si idem spatium ad gravem sonum velimus efficere, fit hoc modo : Sit sonus «A* Intendo semitonium minus, id quod est AD-, remitto ab -D- tonum eum, qui est .DE- 5 Erit igitur AE- ea, quam requirimus, apotome. Apot. E A s. D tonus Sit propositum ad acutam partem comma sumere. Sit sonus -A- Intendo apotomen AB., remitto semitonium minus .BC- Et quoniam semitonium minus apotome minus 10 est commate, comma erit -CA* Apot. B CA s. c. 1 Ordinem sonorum invertunt g^ o. 3 tonus h , c/ f, sed mutatum in sonus. 5 quam superius requirimus h, k. 6 Or- dinem sonorum inveriit g. 8 tonus f, g, h, i, k. 9 minor f, g, i. 10 -CA-] -C-C* 0. 11 Ordinem sonorum invertunt gf, o. INST. MUS. III, 10. 283 Rursus ad gravem parlem hoc modo. Intendo ab -A» sono semilonium minus, id quod est 'AD-, ab •D- vero remitto apotomen, id quod est •DE- Erit igitur comma EA- Apot. Regula semitonii sumendi, X. Oportet vero has omnes consonantias rite esse ani- mo atque auribus notas. Frustra enim haec ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu atque exercitatione notissima. Ut vero id, quod institutione musicae adorsi sumus, non mox auribus, quod iam provectorum in mu- lo sica est, sed ratione interim censeatur, unum dabimus exemplum inveniendi spatii, quod videtur esse paulo dif- ficilius, scilicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque gravem rato possit ordine repperiri. Sit diatessaron -AB- Opoptet igitur circa-ABconsonantiam i5 minus semitonium ad graviorem partem acutioremque de- ducere. Intendo igitur^BC- diatessaron. Remittorursusdia- pente -CD- Erit igitur tonus -BD- Diatessaron enim conso- nantia a diapente consonantia tono superatur, et -CB- spatium •DC-spatioBD- spatiotranscenditur. Rursusintendodiates- 20 saron -DE- , remitto autem diapente -EF- Tonus est igi- tur -DF- Sed et -BD- tonus erat. Semitonium igitur minus est -AF-, quod subtractis duobus tonis -FD- -BD- ab AB- diatessaron spatio relinquitur. Rursus remitto diatessa- 3 igitur om. f. || -EA-] •b-a* o. 4 Ordinem sonorum in- vertit g. 5 Inscript, om. ^, i, k. 6 -X- om. g, i. 12 exemplar f. 15 Sit] Sed i. 16 gravem g. [] diducere i. 18 sonus i. 22 -DB- i; -db- o. 23 ab] -AB- f, i. 284 IKST. MU8. ni, 10. rou -AG- , intendo diapente -GH- Erit igitur -All' tODus. Sed erat -AF- seniitonium . erit igilur -FU- apotome. Rur- sus remitto diatessaron -HK- , intendo diapente KL- To- nus igitur est HL- Erat aulem tonus -UA. , semitonium 5 igitur minus est -LB- Sed erat lonus -DB-, erit igitur ■LD' apotome. Rursus Intendo diatessaron FM-, semito- nium igitur est BM- Remitto dialessaron -LN-, semito- nium igitur est -NA- Per consonantiam igilur surapta sunt circa AB. diatessaron duo semitonia, -BM> quidein 10 ad acutum, -INA- vero ad gravem partem, totumque -MN- minus est quam diapente; constat enim ex -V. semitoniis et apotome geminata, ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus. £t quoniam duo semitonia unum lonum inplere nequeunt, sed reiinquilur comma, totiixn 13 -MN' spatium minus est spatio diapente consonantiae uno commate, quod facillime dlligens lector iuteileget. N A F H D L B M so Sed quoniam paululum de commalis ratione praediximus, noD est defugiendum et in quali proportione idem ipsuni 4 autem] igitar h, h. S igitui anle sumpta oni, h, k, u 10 'NA.] Nam i. 12 duobus] tribus i. IG intelligit f, i. lector intelljgat corr. add. o. 17 In codieibus plureg arcu dttcti et diateBsaroQ ei diapente unicaigue arcuum adscrtpi, lint; i omitlit litteras; in o inter M «( E J addiium est. INST. MUS. III, 11. 285 ^omma contineatur ostendere -— est enim comma, quod ultimum conprehendere possit auditus — dicendumque est semitonium minus ac semitonium maius quantis sin- gillatim commatibus constare videantur, ipse quoque tonus quantis rursus commatibus coniungatur. Ac pri- 5 mum hinc conveniens sumatur initium. Demonstraiio Archytae superparticularem in aequa dividi non possej eiusque reprekensio. XI. Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero lo posterius Ormiter demonstrabitur. Quam enim demon- strationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec vero est huiusmodi. Sit, inquit, superparticularis proportio •A -B-, sumo in eadem proporlione minimos •C-DE- Quo- niam igitur sunt minimi in eadem proportione -C-DE- et i5 sunt superparticulares, -DE- numerus -C- numerum parte una sua eiusque transcendit. Sit haec -D* Dico, quoniam -D- non erit numerus, sed unitas. Si enim est numerus -D- et pars est eius, qui est -DE* meti- tur -D- numerus -DE» numerum ; quocirca et -E- nu- 20 merum metietur, quo fit, ut -C- quoque metiatur. Utrum- que igitur C- et -DE- numeros metietur -D- numerus, quod est inpossibile. Qui enim sunt minimi in eadem pro- portione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt, et solam differentiam retinent unitatem. Unitas igi- 25 tur est -D- Igitur DE- numerus C- numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidit medius numerus, qui 5 coniungetur f, i. 7 Inscript. om. g. || divini k. 8 einsque reprehensio om. k. 9 -X- i. || medio] me i. 12 vero] cum o. 13 huiusmodi est g; est vero huiusmodi h, k. II Sit om. i. 14 C-DE] .C-E. g, o; C.D-E- {;\\Post •DE* addit f : et sunt superparticulares "DE. 15 igitur om. o. II sunt om. i. H CDE-] CE. g, o; C.DE- f. 16 DE-] .£• g, o. 17 una om. f. [| Sit autem g, h, k, o; autem corr. add. f. 19 -DE] D.E. g; .b. o. || metiturj mit- titur i. 20 DE.] DE. g; d. o. 21 metitur f. 22 DE] .D.E* g; «E. o. II numeros] nnmerus i. || -D.] .DE- i. 26 Igitur] hic igitur i. || -DE.] -E. g, o. || -C.] est i. 286 INST. MUS. III, 12. eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit» ut nec in- ter eos, qui eandem his proportionem tenent, medius possit numerus coliocari, qui eandem proportionem aequa- iiter scindat. i :E. £t secundum Arcliytae quidem rationem idcirco in super- particulari nulius medius terminus cadit, qui aequaliter dividat proportionem , quoniam minimi in eadem propor- 10 tione sola dififerunt unitate, quasi vero non etiam in mul- tiplici proportione minimi eandem unitatis differentiam sortiantur, cum plures videamus esse muitiplices praeter eos, qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaiiter eandem proportionem possit 15 aptari. Sed iiaec, qui aritlimeticos numeros diligenter in- spexerit, faciiius inteilegit. Addendum vero est, id ita evenire, ut Arcliytas putat, in sola superparticulari pro- portione; non autem universaliter est dicendum. Nunc ad sequentia convertamur. 20 In qua numerorum proportione sit comma ct qiioniam in ea^ quae maior sit quam 'LXXV- ad 'LXXIIIL minor quam 'LXXIIIL ad LXXIIL XII. Primum igitur dico, quoniam hi numeri, qui comma continent, maiorem inter se relinent proportio- 25 nem , quam • LXXV • ad • LXXIIII • minorem quam 4 scindant h, et k prima manu. 5 — 6 g disponit: A B h: k: A B. II. I. TII. IIII. I. III. XV X ira. I. III CD. E EDC EDC o: A C D E B cum arcuhus et IIII. II. I. III. inscriptionibus. 9 minime i. 10 in om, g, h, k. 11 unitas i. 15 in arithmeticos f. 16 addandum i. 17 ut] in i. 20 In- scripi, om, g. \\ proportione numerorum f. 20 — 22 et quo- niam . . . LXXIIII. ad. LXXIII. om. k. 22 quam anie LXXV. om. h. 23 XI. i. INST. MUS. III, 12. 287 •LXXIIII' ad. LXXIII' Id vero ita demonstrabitur. Ac primo quidem illud reminiscendum est, quod «VI- toni diapason commate transcendunt. Sit igitur -A- qui- dem •CCLXII- CXLIIU- B- autem diapason ad eum contfnens consonantiam, in duplici scilicet constitutam, % DXXIIII • CCLXXXVm- C^ vero sex tonis ab A. numero discedat, et sit -DXXXI CCCCXLL, quae omnia ex secundi voiuminis tonorum dispositione sunt coiligenda. Inter -B^ igitur atque «C^ commatis proportio continetur. Aufero igilur -B- numerum de numero -C-, relinquitur D- in lo •VILCLIII. unitatibus collocatus, qui •D» numerus minor quidem est, quam ut sit septuagesima tertia pars B- nu- meri, maior vero quam ut eiusdem septuagesima quarta sit. Nam si eundem •D- numerum, qui est •VII.CLIII- sepluagies ter multiplicem, fit mihi •£• numerus in •DXXIi- 15 •CLXVIIII- unitatibus constitutus; si eum septuagies qua- ter multiplicem , flt -F. numerus •DXXVIIII.CCCXXIL quo- rum quidem •£•, qui per •LXXllL auctus est, minor est •B^ numero, •F^ autem, qui per LXXIIIL, maior est •B^ numero. Recte igitur dictum est, D^ eius, quod est2o •B^ minorem quidem esse, quam septuagesimam tertiam partem, maiorem vero quam septuagesimam quartam. Quocirca et C- numerus •B- numerum minore quidem parte eius, quod est B^ eundem B^ superat quam septua- gesima tertia, maiore vero quam septuagesima quarta. 25 Eius igitur, quod est -C., proportio ad id, quod est •B^, maior quidem est quam -LXXV- ad LXXIIII^ minor vero quam LXXIIIL ad •LXXIII* Nam in priore unitas septua- 8 Inter ... . atque -C-] Est igitur -B- inter atque -C* i; Inter -B- atque -C- o. 10 et relinquitur g, h, k, o. 11 minor] maior i. 12 ut om. g, h, k, o. 13 maior] minor i. ut om, g, h, k, o. 14 in •VII-CLIIL h, k, o. 15 -E-] est i. .DXXIICLXVIIII] DXXICLXXXVIUL i. 16 si enim eum f, k; in \\. enim rasitra est deletum. || eum corr. add, f. 18 E] est i. 19 LXXIL i. 20 D- om. i. 23 mino- rem quidem partem i. 25 maiore vero quam LXX.* III.* Maiora vero quam LXX.« IIII.« i. 28 LXXII- i ; septuagesima tertia f. || Nam .... tertia in margine superiore f. 288 iNST. Mus. m, 12. gesima quarta est minoris , in posteriore vero eadem uni- tas septuagesima tertia. A. B. C. CCLXU. DXXllll. DXXXL CXLIIIL CCLXXXVIIL CCCCXLI. D. E. F. VIL DXXll CLXVIIII. DXXVIIIICCCXXIL CLIIL Idem aliter explicandum, iilo prius praesumpto, quod, 10 si cui proportioni propria numerorum dilTerentia aequa- liter augeatur , minor inter eos , qui post additionem fiunt, proportio continebitur , quam inter priores, quiante addi- tionem ullam quadam proportione distabant, ut sex et quattuor, si utrisque differentia sua, id est binarius, ap- isponatur, fient -VIII- et -VL, sed inter -VI- et •IIII- ses- qualtera, inter •VIII- et -VL sesquitertia proporlio conti- netur; minor vero est proportio sesquitertia sesqualtera proportione. Hoc igitur ita praedicto disponantur supe- riores numeri, qui proportionem commatis continebant, 20 id est DXXXi.CCCCXLI. et sit -A. Sit etiamjB- DXXIIII- CCLXXXVIIL Horum differentia sit C- VII • CLHI. C igitur numerus maiorem numerum, qui est .A. sepluagies quinquies metiatur. Si ergo .C* numerum septuagies quin- quies multiplicem, fiet mihi -D. numerus, qui est .DXXXVI- 25 CCCCLXXV. Igitur .D- numerus eum^qui est -A. , nu- mero eo, qui est •£«, antecedit, id est .V.XXXIIII. Rur- sus «C- numerus eum, qui est .B-, metiatur septuagies qua- 2 Post tertia addtt g numeros sequentis descriptionis, h, k, o numeros et litteras, 8 — 7 Hanc dispositionem et sequentes om, o. In h. et 'kjy inter B et C, "E et F supra D et C sunt coUocati omnesque arcubiis et inscriptionibus omati; g formam tantum praebet, numeri et inscriptiones desunt. 10 numero- rum corr, add, f. 15 sed inter] Si in o. || inter -VI- et •IIII'] •IIII- et supra versum sec. manu inter •VI- et •IIII- f. 22 maiorum g. 25 numerus om, g, h, k. 26 eo om. i. || •£• om, i. INST. MUS. III, 12. 289 ter, multipliceturque. Fiet igitur numerus -F- DXXVIIII. CCCXXII-, qui -F- eo, qui est -B-, maior est eodem K. numero, qui est .V-XXXIIII- Ergo .D- numerus eum, qui est *A', transcendit 'E* numero, *B* autem numerus ab eo, qui est «F-, vincitur eodem -E. numero. Si igilur 5 .E. numerum .A. numero apponamus, fiet .D-, si vero -B- numero eundem -E. apponamus, fiet «F. Sed «D. nume- rus septuagies quiiiquies auctus est, per .C* scilicet multi- plicatum, *F* autem septuagies quater multiplicato .C- crevit. Obtinent igitur inter se proportionem .D. atque •F., lo quam habent -LXXV. ad .LXXIIII. Sed D- atque -F- sunt .A. atque .B* uno eis addito .E. Maiorem igitur necesse est proportionem contineri inter .A. atque .B* quam inter .p. atque .F. Namque «A. atque «B. numeris uno .E- ad- dito effecti sunt .D» atque .F- Minor igitur proportio est i5 inter -D. atque -F. quam inter .A- atque «B. Sed inler «D. atque -F. eadem proportio est, quae inter -LXXV. et •LXXnil. Inter 'k- igitur atque .B- maior proportio est quam inter «LXXV. et .LXXIIII- At .A- atque «B- comma continent; maior igitur proportio est commatis quam 20 LXXV. ad LXXIIII. A. B. C. DXXXI. DXXIIII. VII CCCCXLI. CCLXXXVIII. CLIII. D. E. F. 25 DXXXVI V. .DXXVIIII CCCCLXXV XXXIIII CCCXXII 4 -E. om. i. II .B] Fit i. 5 qui] quod i, f. || -F.] -B. i. II .£.] est i. 6 -E- numerum .A- numero] -A. numero eundem •£• g, h. k. 7 numerus -D^ h. 8 est om. f. 12 •E-] est i. 14 -E-] est i. 14—16 addito Sed inter D om, g. 16 igiturj vero h, k. 18--19 Inter A- et •LXXIIII- om, f. 18 est owi. g. 19 At] Atque i. 21 Post .LXXIIII- addit g numeros sequentis dispositionis , o numeros ei litieras. 22 — 27 In h et k dispositio arcubus et inscriptionihus est or- nata, . BOETIUS. \^ 290 INST. MUS. III, 12. Quoniam igitur ostendimus commatis proportioneni maiorem esse quam eam, quam •LXXV* continent ad •LXXIin* comparati, nunc ostendendum est, quem- admodum minorem inter se proportionem contineant 5 numeri spatium commatis continentes quam • LXXIIII - ad •LXXIII' comparati. Id vero monstrabitur hoc modo. Reminiscendum prius est, quid secundo volu- mine dixerimus, cum de mensura differentiae loqueba- mur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum 10 numerorum, qui eam continent, auferamus, lii, qui relin- quuntur, maiorem obtinebunt proportionem his numeris, qui erant ante differentiae deminutionem. Sint enim •VIII- et -VL Ab his propriam aufero differentiam, id est •II-, fiunt -VI- et •ini' Sed in superioribus sesquitertia , in hac 15 sesqualtera proportio continetur. Maior vero est sesqual- tera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur eidem •A-.atque -B^, qui sunt superius descripti, quorumque dif- ferentia -C* Muitiplico differentiam -C- numeri septuagies quater, fit mihi numerus •F- scilicet .DXXVIIIICCCXXII., 20 qui -A. numero comparatus vincitur numero -G., scilicet • ILCXVIIIL Rursus idem •C^ multiplicetur septuagies ter ; efficient numerum •R^ id est .DXXIICLXVIIIL, qui com- paratus .fi. numero vincitur eodem .G- eisdem •IICXVIIIl- Sublato igitur -G* de numeris -A- atque -B- effecti sunt 25 • F • atque • R • Minorem igitur proportionem retinebunt •A- atque -B. quam •F- atque •K- Sed •F^ atque •K. eam retinent proportionem , quam •LXXIIII^ ad •LXXIIL His enim multiplicato •C. effecti sunt. Minor est igitur proportio A- atque •B^ numeroium comma con- 3otinentium, quam •LXXllIl. ad •LXXIII- Sed paulo ante 1 commatis om. i. 7 quid] qui i. 8 loquebatur i. 9 differentia i. 11 obtinent k. 16 idem f, h, k, o; id est ei supra versum idem g. 17 differentiam i. 19 michi g. 20 qui -A-] quam i. 22 efficiunt g, o. || DXXIL CXLV i. 23 numerum i. 27 retinent proportionem om. h. 28 His] Hi f, g, h, k, o. || -0.] -G- i. || Minor] Maior i. 29 igitur est o. INST. MUS. III, 13. 291 moDstratum est, eandem commatis proportionem maio- rem esse quam •LXXV- ad .LXXIIII. Monstrati sunt igitur numeri, qui comma continent, maiorem quidem inter se habere proportionem quam -LXXV- ad •LXXIIIL, mino- rem vero quam •LXXIUL ad •LXXIII. , quod oportebat 5 ostendere. A. B. C DXXXL DXXIIIL m CCCCXLI CCLXXXVIII. CLIll F. K. G. 10 .DXXVIIU. DXXII. 11. cccxxii. cLxvmi. .cxviiii. Qitod semitonium minus maius quidem sit quam ^XX- ad ■XFIJIL minus vero quam 'XVIIII S- ad XVIII S- XIII. Quod si ad semitonium minus talis speculalio i5 convertatur, eius quoque proportionem facillime repperie- mus, quae constal inter -CCLVL et •CCXLIIL Sit igitur •CCLVI. A., CCXLIII. B. Horum differentia XIIL C. Dico, quoniam ^A. ad .B- minorem retinet proportionem, quam •XVIIIIS- ad •XVIII S^ Metiatur enim •C^ id, quod 20 est •A-, decies novies semie, id est multiplicetur C de- cies novies semis, fiunt •CCLIIl S., quod sit -D^, qui sci- iicet comparatus ad •A^ eodem A. duobus semisque transcenditur ; sitque haec differentia .F- scilicet 11 S. 1 maiorem] minorem i; minorem et supra versum maio- rem f. 6 Posi ostendere addit g numeros sequentis disposi- tionis, o numeros et litteras. 7 — 12 h et^k ordinem F. A. C. B. l^ et Q supra C positum arcubus et inscriptionibus ornant. 13 Inscript. om, g, k. 14 .XVIin. omisso S f, h, i. 1| .XVIII- f; decem et octo i. 15 .XIIL om, h. 'XII. i. 16 rep- perimus g, h, k. 19 retinent f. 21 decies novies semis id quod est -A- g, h, k. [| id est . . . . semis om. f, g, h, k. 22 quod] qui o. 23 eundem f, g, i. 24 transcendit g, i. 19* 292 INST. MUS. III, 13. Rursus eadem -C* differentia «B* numerum metiatur octies decies semis id est multiplicetur octies decies semis, fient •CCXLS- , quod sit -E- Igitur -E- comparatus ad B' eodem •F- transcenditur, id est duobus semis. -D- igilur ab eo, 5 quod est «A. , et rursus -E- ab eo, quod est -B-, eadem -F- differentia sunt minores. Subtracto igitur F* ab eo, quod est -A- atque -B. , facti sunt D- atque -E- ; maiorem igi- tur tenent proportionem inter se D- atque -E- quam A- atque -B- Sed D- atque -E- eandem proportionem inter 10 se retinent, quam •XVIIIIS- ad XVIIIS. A- igitur ad B- minorem retinet proportionem quam •XVIIIIS- ad XVIIIS. quod oportebat ostendere. CCLVI. CCXLIII. XIII. CCLIIIS. CCXLS. IIS. A. B. C. D. E. F. 15 Videtur tamen eadem proportio CCLVI- ad CCXLIII- maior esse ab ea, quam continent -XX- et •XVIIIL Sint enim A. B. C. idem, qui superius descripti sunt. Metiatur igitur C^ differentia •A^ terminum vicies, fient CCLX^. qui sint D- Qui comparali ad id, quod est -A-, eundem 20 quaternario transcendunt. Hic sit F^ Rursus idem C- metiatur •B^ decies novies, fient •CCXLVII- Hic sit -E- Qui comparati ad •B- eodem -F^ transcendunt. D- igitur numerus -A^ numerum et -E- numerus numerum B^ eo- dem F^ transcendunt. Adiecto igitur •F- his, qui sunt •A- 25 atque -B-, facti sunt D- atqu6 •£• Maior igitur est pro- portio eorum, qui sunt •A- atque B* quam eorum, qui sunt D^ atque -E- Sed •D- atque •E- vicies ac decies no- vies multiplicatus C- numerus efficit. Maior igitur est 2 id est . . . . semis om, g, h, k. || fiunt g, b, k. 5 -F- om, h, k. 6 differentiae i. 7 maiorem] minorem corr. in maiorem f, o. 9 •£•] •F^ i. 10 retinet om, h; retinent f, g, i, k. 13 — 14 Hanc dispositionem om. g; h e^ k A. C. B supra D. F. E ponunt et arcuhus et inscriptionibus omant. 17 idem] id est i. 24 qui] quae i. 25 Et igitur maior h, k; Est iffitur minor o. 26 prius qui] quae i, f, o. 27 vi- gies o. ll atque f. 28 est igitur h, k. INST. MUS. III, 14. 293 proportio eorum, qui sunt A- atque B-, qui scilicet semi- tonium continent, quam ea, quae esl XX- ad •XVIIII. CCLVI. CCXLIII. XIII. CCLX. CCXLVII. iin. A. B. C. D. E. F. Demonstratum igitur est semitonium minus maiorem qui- 5 dem habere proportionem quam -XX. ad •XVIIII' minorem vero quam XVIIIIS- ad .XVIIIS. Nunc idem minus semi- tonium commati comparemus, quod est ultimum auditui subiacens ultimaque proportio. Semitonium minus maius quidem esse iribus commatihus lo minus vero quattuor, XIIII. Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus maius quidem esse commatibus tribus, minus vero quattuor, quod binc facillime possis agnoscere : Sint tres numeri ita dispositi , ut inter se proportionem contineant i5 diapason et eam, quae dicitur sex tonorum. Sit enim -A- CCLXII. CXLIIU. Intendantur igitur ad B. quidem quinque toni continui et sit fi. CCCCLXXIL CCCXCIL ; ad C- autem diapason consonantia referatur, et sit -C- DXXIIII. CCLXXXVIII. ; ad D. autem sex toni intendantur, sitque 20 •D- DXXXI. CCCCXLI. His ita positis et constitutis mani- festum est inter -C- atque -D. comma constitui , eorumqne differentiam esse VII. CLIIf. Id autem sit *K* Remittantur igitur duo toni ab eo, quod est B., ad id, quod est •£•, et sit .£. CCCLXXIII. CCXLVIIL Rursus ab eo, quod est •£., 25 intendo diatessaron, quod est .p. CCCCXCVII. DCLXIIII. Quoniam igilur inter .£• atque .B- duo sunt toni, inter .£. atque Y- diatessaron, inter.B.igitur atque -F. minus semi- 1 qui] qnae f, i. |] qni] quae f, i. 3 — 4 7n h e^ k D. A. C. B. E e^ F supra C arcubus et inscriptionibus sunt or- nati, 5 est igitur f. 8 aditui i. 10 Inscript. om. g, 12 •XIIII- om. i. II demonstrandum est i. 16 ea i. [] Sint f. 21 manifestatum est i. 23 esse differentiam f, o; esse om, i. 24 igitur om, i. 25 alt, E] E-B- i. 27—28 -E- autem atque f. 294 INST. Mus. m, i4. tonium repperitur. Sublatis cnim de diatessaron conso- nantia duobus tonis flt reliquum semitonium uiinus, quod in primis numeris constare praedixi CCLVI- et CCXLIII. Quos eosdem numeros, si miliies nongenties quadragies squaterque multiplices, -B- atque F- numeros explicabis. Quos necesse est eandem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est M. DCCCCXLIIII. pariter mulliplicati creverunt. Item ab eo, quod est F-, intendo diatessaron, scilicet ad G- et sit 10 .G- DCLXIII. DLll. Rursus ab eodem G. remitto ad -P- duos tonos et sit P- DXXIIIL CCLXXXVIII. Quod P. ne- cesse est ut eundem sonum quem 'C- numerus exbibeat ; ad aequalitatem namque eius tali ratione progressus est. Etenim ea, quae est -AC- diapason consonantia, quae con- 15 stat tonis ac duobus semitoniis minoribus , ab .VI- tonis commate superatur. Ab eodem igitur A- termino nume- rus -P. •V- tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo, quod est A', usque ad id, quod est -B', -V. nimirum colliguntur toni. Ab eo autem, quod est .B*, usque ad id» 20 quod est 'F-, minus esse semitonium pernotatur. .F- vero atque «P* idem rursus semitonium minus includunt. .A- igitur usque ad P. -V- tonos ac duo semitonia minora pro- duxit. lure igitur -P- atque .C- eisdem numeris conscri- buntur. Sed quoniam inter -F. atque .C. semitonium mi- 25 nus est, vldeamus ecqua sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum difTerentia XXVI. DCXXIIII. et sit hoc -M. Igitur .R- commatis dif- ferentia est, -M. autem semitonii minoris. Si igitur .K- numerum tertiu auxerimus, fiet numerus XXI. CCCCLVIIII. 30 et sit hoc -L» Si vero quater eundem numerum .K- multi- 1 de om. g, i, o. 4 eodem i. 5 quaterque] terque i. j numero i. [] explicabilis k. 11 alU -P.] per i. 12 C- om. i. | exhibebat h. 14 Etenim . . . constat om. i. || -AC- supra versum g. 18 nimirum] numerum i. 19 quod est -B- au- tem f, i. 21 includuntur i, o. |1 -AbA- f, o. 22 perduxit f . 24 minor i. 25 haec, quae g, h, i, k, o; quae, omisso haec, f. INST. MUS. III, 15. 295 plicare volueris, fient XXVIII. DCXII. et sil hic -N- Igitur •M- maior quidem est ab -L- ; idem autem -M- minor est ab -N- Sed -N- quater aucto commate succrevit, -L- autem tertio, «M' vero semilonii minoris obtinet differenliam. lure igitur dictum est, minus semitonium minus quidem 5 €sse, quam •IIII- commata, maius vero quam tria. CCLXll. CCCCLXXII. DXXIIII. CXLIIII. CCCXCII. CCLXXXVIII. E. F. P. 10 DXXXI. CCCCXLI. G. CCCLXXIII. CCCCXCVII. DXXIIII. DCLXIII. CCXLVIII. DCLXIIII. CCLXXXVIII. DLU. 15 JC. VII. CLIII. diatessnron L. diates.saron M. N. XXI. XXVI. CCCCLVIIU. DCXXIllI. XXVIIl. DCXII. Apotomen maiorem esse quam guattuor commata minorem 20 qiiam quinque^ tonum maiorem quam 'VIII- minorem quam • VIIIL XV. Eadem hac ralione et semitonium raaius, quod apotomen dici supra retulimus, quot commatum sit, pos- 1 hic 0772. g-, h, k. 6 tria om. g; •IIL h, k; tertia i. 7 — 19 Dispositionem om. g. I?i h e^ k arcus et inscriptiones iungunt A. E. B. F. C. K. D. G. , L supra B, N supra G, N infra F, P infra D sunt posiii. Inter k et E legiiur •CCXCIIII- DCCCCXn, inter ^ et B CCCXXXI DCCLXXVI- et infra CCCCXVIlil . DCCCCmi- 20 Inscript. om. g, k. 23 XV- om. h; •Xnil- i. || hanc rationem g. 24 quod f, g. 296 INST. MUS. III, 15. sumus invenire hoc modo: Sit -A- CCLXII. CXLIIIL. quin- que vero ab eo distans tonis sit B- CCCCLXXIL CCGXCIL, sex vero distans tonis ab eo, quod est «A-, sit -D* scilicet •DXXXi. CCCCXLL Inter -B. igitur atque -D. tonus est, 5 'B* vero ab eo, quod est *C*, distet semitonium minus et sit C. CCCCXCVII. DCLXUIL Relinquitur ergo inler C- atque 'D- apotome proportio. Nam cum sit tonus *BD', ex eo si auferas -BC* semitonium minus, -CD* relinquitur maius, quod apotomen esse supraretulimus. Inter -D* 10 igitur atque C- est dilTerenUa XXXIII. DCCLXXVII. Hic autem sit *£* Sed erat commatis difTerentia *VIL CLIII. Hic sit *F< Si igitur *¥-, id quod est comma, quinquies multiplicem, fient mihi XXXV. DCCLXV. et sit hoc .G. Si vero idem -F- quater multiplicem, fit K. numerus, qui 15 est XXVUI. DCXII. -G. igitur ab eo, quod est •£-, maius est, 'K* minus. Sed -G* quinquies auctum est comma, •K* vero quater. Est autem apotomes dilTerentia •£• lure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, maiorem vero quam quattuor. Ex hoc 20 igitur conprobatur tonum maiorem quidem esse, quam sunt •VIIL commata, minorem vero quam .VIIIL Nam si minus semitonium maius quidem est quam tria commata, minus vero quam -1111., apotome autem maior quidem est quam JIII- commata, minor vero quam -V-, iunctum semi- 25 tonium minus semitonio maiori, quod est apotome, erit omne maius quidem •VIII* commatibus, minus vero *VIIII- Sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur maior quidem est •VIII- commatibus, minor vero •VIIII. 5 et] ut i. 8 CD. om. h, k. 14 idem F.] VIICLIII. id est -F. i. 15 igitur om, g. 17 Est] E- o. || .EJ est i, o. 19 comma i. 23 apotomen g, o. 26 mi- nus quidem .VIIII- g, h, k. || tonus maius et supra ver- sum sec* manu minus f. || maius vero .VIII. g, h, k. || quam .VIIII. o. INST. MUS. III, 16. 297 CCLXII. CXLIllI. K. XXVIU. DCXIL CCCCLXXII. CCCXCII. E. XXXIII. DCCLXXVIL CCCCXCVII. DCLXIIII. G. XXXV. DCCLXV. DXXXI. CCCCXLI. 5 F. VII. CLIII. Superius dictorum per numeros demonsiraiio* XVI. Sed quaniquam per hanc ratiocinationem de- lo monstratum sit, quemadmodum tonus commatibus com- paretur, non est tamen quasi segnibus deiassandum, quo- minus per se hanc contra commata comparationem reti- nere tonus ipse monstretur. Sit igitur -A» quidem CCLXII. CXLini. , B- autem V- ab eo distans tonis CCCCLXXII. is CCCXCIL, -C- vero diapason adid, quod est -A-, continens symphoniam scilicet in numerisDXXIIU. CCLXXXVIU.. -D- autem ab eo, quod est -A- -VL totos differens tonos DXXXI. CCCCXLL D. igitur ab eo, quod est -C-, distat commate sexti toni ab diapason scilicet consonantia. Id^o, autem sit E- VII. CLIII. -D- autem ab eo, quod est 'B- tono integerrirao distat, -VI- scilicet toni quinque tonis. Id autem sit F. LVUILXLVUU. Si igitur -E. novies auxero, fiet mihi •U- LXIIU. CCCLXXVII ; sin vero octies, 1 — 8 Disposiiionem om. g. h. et "k disponunt hoc modo: K. G. A. B. C. F. D. E. arcusque et inscriptiones addunt, 9 Inscript. om. f, g. 10 •XVI- om. f, h; •XV- i. Dubium omnino videtur siine hoc ca- put Boetio tribuendum. 18 totos] tonos f, i ; et o, sed t su- pra n. 20 sexti toni] sex tonis f; scilicet sex toni o. 2.3 sit] fit g, h, k, o. 24 CCCLXXVII.] CCCLXXIIII. i. 298 INST. MUS. III, 16. flent LVII. CCXXIIII. Id sit G- Sed H. quidem F. nu- mero comparatus superat, -G- vero superatur, et est -F- toni dffferentia, -H- auteni novies multiplicatum comma, •G- vero octies. Demonstratus igitur est tonus minor qui- ^ dem VIIII- esse commatibus, eisdem vero VIII- comroa- tibus maior. 10 ccLxn. CCCCLXXII. DXXIIII. DXXXI. CXLIIII, CCCXCII. CCLXXXVIII. CCCCXU E. G. F. H. VII. LVIl. LVIIII. LXIIII. 15 CLIII. CCXXIIII. XLVUII. CCCLXXVII Ita his praemissis licet maius semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subiectos numeros tali ratione probabitur. Sit • A. numerus CCCCXCVII. DCLXIIII. , ab eo vero minus 20 semitonium distans sit -B* numerus, qui iam supra quoque descriptus est DXXIlir. CCLXXXVIII. Apotomenvero distet ab eo, quod est *A*, is numerus, qui coiligitur unitatibus DXXXI. CCCCXLI. Et sit hic -C- Quoniam igitur -AB- minus semitonium -AC' maius, differentia eius, quod esi 25 -B., ab eo, quod est -C., perquirenda est. Ea est VII. CLIII. 3 autetn] vero h, k. || comma] omnia f. 4 octiens o. „ Demonstratur g, h, k. || est] -F- g, h, k. 7 — 15 Dispo- sitionem om. g; h e/ k disponunt koc modo: G. F. H. A. B. C. E. D. arcusque et inscriptiones addunt. 19 — 20 DCLXIIII ... di- stans in margine f. 21 distat h, k. 22 is] his g, et o prima manu. [| colliguntur g. 23 sit hic] hic sit o; hic est g» K k- INST. Mus. in, 16. 299 Id sit -D- Sed hic numerus dudum comma monslrabat. Inter maius igitur semitonium ac minus comma differen- tiam facit. D CCCCXCVII. DXXllII. DXXXI. VII. DCLXIIII. CCLXXXVm. CCCCXLI. CLIU. Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse maiorem. Sit -A- numerus lo CCCCLXXTl . CCCXCII. ab hoc intendatur tonus DXXXI. CCCCXLI. et sit hoc -D- Ab eo vero, quod est -A., in- tendatur semitonium minus, quod est .B-, ac sit B- CCCCXCVII. DCLXim. Item ab eo, quod est -B. semitonium aliud intendatur minus, quod est C., et sit .C- DXXUII, ^^ CCLXXXVm. Quoniam igitur «AD. tonus est, .AC. vero duo continet minora semitonia , videamus ecqua sit diffe- rentia inter .C- atque .D- numeros conslituta. Est autem, •E. scilicet, unitatum Vli. CLIII. Demonstratum est igi- tur, tonum duobus semitoniis minoribus commate esse 20 maiorem. E. CCCCLXXII. CCCCXCVII. DXXim. DXXXI. VII. ^5 CCCXCU. DCLXUU. CCLXXXVUI. CCCCXLI. CLIU. 4 — 8 Dispositionem om. g; h et h disponunt hoc modo: A. B, C. arcusque et inscriptiones addunt. 9 propono to- D. num] proportionum i. 10 sola i. 12 vero] au- tem h, k. [] est om. h. 17 continet duo i; continent o. | eu(][ua sit] haec quae sit f, o; enim ec qua i; quae sit g, h, k. 18 constituta sit i. 20 comma f, i. 22 — 26 Dispositio- nem om, g. h disponit hoc modo: A. B. C. D, omisso E, k: A. B. C. D. ; uterque codex arcus et inscripiiones addit. E. 300 INST. MUS. IIII, CAPITULA. Sed quoniam iam omnia, quae probanda promisimus pro- pria ratione monstrata sunt, nunc quod superest musicae institutioni regularis monochordi est facienda partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterio- 5 ris commentarii disputationem censuimus transferendam. ExpHcit de miisica id esi armonica inslitutione liber iertius, Incipiunt capitula libri quarti. I. Vocum differentias in quantitale consistere. II. Diversae de intervallis speculationes. 10 III. Musicarum notarum per graecas et latinas litteras nuncupatio. IIII. Musicarum notarum per voces convenientes disposilio in tribus generibus. V. Monocliordi regularis partitio in genere diatonico. 15 VI. Monochordi netarum hyperboleon per tria genera partitio. VII. Ratio superius digeslae descriptionis. VIII. Monochordi netarum diezeugmenon per tria geuera partitio. 20 VIIII. Monochordi netarum synemmenon per tria geuera partitio. X. Monochordi meson per tria genera partitio. XI. Monochordi hypaton per tria genera partitio et totius dispositio descriptionis. 25 XII. Ratio superius dispositae descriptionis. XIII. De stantibus vocibus ac mobilibus. Xnil. De consonantiarum speciebus. XV. De modorum exordiis, iu quo dispositio notarum per singuIos'modos ac voces. 3 monocordi h, k. || est] en g; em f prima manu. || por- tio h; proportio f. 6 Inscript, om. g. Liber •III- explici- tus k. II Explicit om. i. || libri tertii h. [| liber terlius ex- plicit i; liber tertius om, k. 7 Incipiunt . . . quarti om. h; Incipit liber -1111. f. || Capitum indicem om. f, g, o. 10 no- tarum om. h, i, k. 12 vocum h, i, k. 15 per tria genera partitio om. h, k. 25 disposite i. ^8 De modorum exordiis, in quo om. h, i, k. 29 ac voces in descriptione h, i, k. INST. MUS. IIII, 1. 301 XVI. Descrlplio conlinens modorum ordinem acdiflerentias. XVII. Ralio superius dispositae modorum descriptionis. XVIII. Ouemadmodum indubitanter musicae consonantiue aure diiudicari possint. Expliciunt capitula libri quarti. 5 Vocum differentias in quantitate consistere, I. Etsi omnia, quae demonstranda erant, superioris libri tractatione digessimus, non paenitet tamen rursus eadem breviter memoriae recoUigenda praestare cum qua- dam diversitate tractatus, ut his rursus ad memoriam red- lo euntibus ad regulae divisionem quo tota tendit intentio, veniamus. Si foret rerum omnium quies, nuUus auditum sonus feriret, id autem fieret, quoniam cessantibus moti- bus cunctis nullum inter se res pulsum cierent. Ut igitur sit vox, pulsu est opus. Sed ut sit pulsus, motus necesse is est antecedat. Ut ergo sit vox, motum esse necesse est. Sed omnis motus habet in se tum velocitatem tum etiam tarditatem. Si igitur sit tardus inpeliendo motus gravior redditur sonus. Nam ut tarditas proxima stationi est , ita gravitas contigua taciturnitati. Veiox vero motus acutam 20 voculam praestat. Praeterea quae gravis est intentione, crescit ad medium , quae vero acuta, remissione decrescit ad medium. Unde fit, ut omnis sonus quasi ex quibusdam partibus compositus esse videatur. Omnis autem partium coniunctio quadam proportione committitur. Sonorum 25 igitur coniunctio proportionibus constituta est. Propor- tiones autem principaliter in numeris considerantur. Pro- portio vero simplex numerorum vel in multiplicibus vel in superparticularibus vel in superpartientibus invenitur. 5 Inscript, om. g, i. 6 Inscript. om. g. 8 penitet g, o; poenitet h. 12 qui est i. 13 sonum 0. || motibus om. o, supra versum f. 14 nullae f, g, h, i, k. 17 in om, f. 19 stacioni g, o. [| est stationi h, k. 20 vero] enim h, k. 21 intencione g; intensione h, k. 22 ad medium supra ver- 9um f. 28 vero] autem g, h, k. 302 INST. MUS. im, 2. SecuDdum multiplices vero proportiones vel superparticu- lares consonae vel dissonae voces exaudiuntur. Consonae quidem sunt, quae simui pulsae suavem permixtumque inter se coniungunt sonum. Dissonae vero, quae simul 5 pulsae non reddunt suavem neque permixtum sonum. His igitur ita praedictis de proportionibns pauca dicamus. Diversae de intervallis speculationes, 11. Si intervailum multiplex binario multiplicetur, id quod iit ex hac multipiicatione, intervallum multiplex erit. 10 Sit multiplex intervallum BC* et B* multiplex eius, quod est C- et flat, ut est -C- ad -B-, ita -B. ad D- Quoniam igitur -B- multipiex est eius, quod est -C- , metitur -C- ter- minus id, quod est -B-, vel bis vel tertio vel deinceps. At est ut C- ad -B- ita B- ad -D- Metitur igitur B- terminus 15 id, quod est D- Quocirca etiam C- terminus id, quod est •D-, metietur; multiplex est igitur -D- eius, quod est -C-, et est -DC- intervallum effectum ex composito bis copulato- que sibimet et per binarium multiplicato 'BC- intervallo. In numeris quoque idem probatur. Sit enim B- ad C- 20 duplum, ut binarius ad unitatem et flat, ut C* ad -B- ita •B- ad -D. Erit igitur D- quaternarius. Multiplex est autem *B- ad C- id est binarius ad unitatem, muUiplex igitur est -D* quaternarius ad C* unitatem. Est enim quadrupius quaternarius unitatis et binario multiplicata 25 medietas, quod est intervallum -BC- 1111. 11. I. D. B. C. 1 vero multiplices o. || portiones i. 2 consone f, g, o. [| dissone g", o. 3 pulse g. 7 Inscript, om. g. 9 erit] est g, h, k, 10 et -B- multiplex] ETB multiplex est i; et multiplex -B* o. 12 mittitur i. I| terminus 'C* h, k. 13 vel ante tertio om. f, i. || At] Ad g, i; Et o. 14 est om. o. 16 et metietur -B- f; metietur -b- i; metitur cum litura i; metitur id, quod est «D-B' h, k. 17 bis om. i. 19 In om. i. 22 autem est g, h, k. || .C-] -D- f. 26—27 Oispositionem om. g; i, f arcus, h, k arcus et inscriptiones addunt. INST. MUS. IIII, 2. 303 Si intervallum binario multiplicatum multiplex effecerit intervalium, ipsum quoque multiplex erit. Sit intervailum BC- et fiat ut -C- ad .JB- ita -B. ad D. et -D. sit ad .C- multipiex. Dico, quia B- eius quod est .C* multiplex est. Quoniam enim .D* eius quod est -C. multiplex est, metitur 5 •C- id, quod est .D. Ostensum vero est, quoniam, si sint proportionaliter numeri et prior naturaliter fuerit ultimo comparatus, si primum uitimus fuerit mensus, metietur et medium. -C. igitur melietur id, quod est -B. Multipiex est igitur B. eius, quod est «C- Id rursus ex numeris. lo Sit .C- unitas .D- vero ex duplicata proportione «BC- sit quaternarius et est multiplex eius, quod est .C* Est enim quadruplus. Quoniam igitur bic quadruplus ex duplicata •BC' proportione generatur, «BC. proportio dimidium eius erit. Igitur BC- proportio dupla est. Sed duplum multi- 15 plex est. Erit igitur .BC- proportio multiplex. D. B. C. IIII. II. I. Superparticularis intervalli medius numerus neque unus neque plures proportionaliter intervenierit. Sit enim BC- 20 proportio superparticularis et in eadem proportione mi- nimi sint .DP. et «G- Quoniam DF. et G. minimi sunt in eadem proportione, sunt eiusdem proportionis primi. Quo- circa sola eos unitas metietur. Auferatur igitur .G- ab DF. et relinquatur .D. Hic est igitur utrorumque mensura 25 communis. Haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter •FD. atque -G- incidet numerus, qui sit ab .FD- quidem minor, maior vero ab G' Sola enim interest unitas. 1 f hic et infra capitis paragraphos numeris rubro colore scriptis notat. 5 metietur g. 7 naturaliter om. i. || fuerit ultimo naturaliter f. 8 comparatur g. 10 est om. o. || igi- tur om. k. |j eius om, f. 11 sit] Sit h, i, k. 14 propor- tione i. 15 Sed quoniam duplum 0. || multiplex] duplex f. 16 igitur om. o. 17 — 18 DisposUionem om. g; f, h, i, k arctis addunt. 20 intervenit i. 21 minime i. 22 «DF- et 'Qc'] D. P. G. bis g. || Quoniam •DF- et •&• om. f ; Et quo- niam ad -F^ et -G- o. || minime i. 24 eas g, h, k. 27 prius FD.] DF. h, k. 304 INST. MUS. IIII, 2. Quanti vero in superparticularibus proportionibus propor- tionaliter inter eiusdem proportionis minimos intercident, tot etiam inter ceteros eiusdem proportionis intercident. Sed nuUus inter 'FD' atque -G- minimos eiusdem propor- ft tionis intervenire potest; nullus igitur inter -B- atque -C- proportionaliter cadet. £t in numeris. Sit quaelibet superparticularis proportio, ut sesqualtera. Hi vero sint •X- et 'XV- In eadem vero proportione minimi -II» et •III- Aufero de tribus binarium, fit reliqua unitas, eademque 10 utrosque metitur. Nullus erit igilur inter binarium ter- nariumque numerus, qui sit binario maior, minor vero ternario. Alioquin unitas dividetur, quod est inconveniens. Quare ne inter -X' quidem atque -XV- quisquam invenietur numerus, qui talem ad X- obtineat proportionem, qualem 15 ad eum tenent -XV- D. I. B. L. F. G. XV. X. III. II. 20 Si intervallum non multiplex binario multipiicetur , nec multiplex est, nec superparticulare. Sit enim intervallum non multiplex -BC- et fiat, ut -C' ad 'B- sic B- ad -D- Dico, quoniam «D- eius, quod est -C* neque multiplex est, neque superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primum 25 D* eius, quod est 'C- multiplex. Et quoniam cognitum est, si intervallum binario multiplicatum sit et multiplex intervallum creatum, id quod multiplicatum est bis inter- 1 vero] enim li, k. 2 incident f, i, o. 3 incident f, g, i, 0. 4 inter -F- h, k ; D corr, additum est in g. 5 nul- lis g. 6 in om. f, g, i. 7 Hii o, hic f, i. || sunt g. 9 eadem quae i ; quae eadem f. 12 dividitur i. 13 nec h, k, o. 11 quidem om. h, k. || ac h, k. 14 obtinet g. 16 — 19 Disposiiionem om. g. f, i arcus, h, k arcus et inscriptiones addunt, 24 neque superparticulare h, k. [| h spatium reli- quit dispositioni inscribendae aptum; in k addita est dispositio D B C viiii VI nii arcubus ornata et inscriptionibus a sequentis dispositionis inscri- ptionibus diversis. ^ INST. MUS. IIII, 2. 305 vallum esse mulliplex, erit igitur «BC* multiplex. Sed non est positum, non igitur erit •D* eius, quod est •€*, multi- piex. Nec vero superparticulare. Nam superparticularis proportibnis medius proportionaliter terminus nullus inter- venit. Inter -D* vero et «C* est proportionaliter terminus & constitutus, id est «B- Nam ut est •€• ad «B* ita «B* ad «D* Inpossibile igitur erit, «D* eius quod est «C* vel multipiicem esse vel superparticularem, quod oportebat ostendere. Et in numeris. Sit non multiplex intervallum •VI* ad •1111* fiatque ut sunt •IIII- ad •¥!• ita •VL ad aDum quemlibet lo numerum. Hic erit igitur novenarius, qui quaternarii ne- que multiplex neque superparticularis est. D. B. C. VIIII. VI. im. Si intervalium binario multiplicetur atque id , quod ex ea i6 multiplicatione cre*abitur, multiplex non sit, ipsum quoque non erit multiplex. Sit enim intervalium •BC* fiatque, ut •C- ad 'B^ ita «B^ ad -D' et non sit •D» eius quod est •C- multiplex. Dico, quoniam nec •&• eius, quod est •C*, erit multiplex. Si enim est, et •D* eius quod est •C^ multiplex so est. At non est. Non erit igitur •B^ eius, quod est -C^, multiplex. Duplex intervallum ex duobus maximis superparticu- laribus coniungitur, sesqualtero et sesquitertio. Sit enim •A* quidem eius^ quod-est •B*, sesqualter, •B* vero eius, 85 quod est •C*, sesquitertius. Dico, quoniam •A* eius, quod est •C*, duplex est. Quoniam igitur sesqualter est •A- eius, quod est «B^ , igitur «A* habet in se totum •B* eiusque di- midium. Duo igitur •A^ aequi sunt tribus •B- Bursus 5 vero om, h, k. 6 ut •C- est f, g, 7 erit igitur f, o. H vel] id est f. 9 intervallum non multiplex g. 10 alium quidem quemlibet i. 13 — 14 Dispositionem om. g; f, i arcuSf h, k arcus et inscriptiones addunt. 15 multiplicatur h, k. 19 multiplex est f. || eius] eo i, o. || C-] -oc^ i. 20 •C* est o. 21 est post multiplex om, g, o. || Ad i. 22 i addit A B C arcubus iuncta^ f D B G; g spatium vacuum reliquit. 23 Suplex o. 27 igitur] Aut omittendum aut in enim videtur mutandum» \\ «A» sesqualter est h, k. BOETIUS. 20 306 iNST. Mus. mi, 2. quoniam «B* eius, quod est «C* sesquitertius est, «B* igitur habet >C* et eius tertiam partem. Tres igitur 'B* aequl sunt ad quattuor «C* Tres autem -B* aequi erant duobus •A* Duo igitur «A* aequi sunt ad quattuor -C* Unus igitur 5 «A* aequus est duobus «C* Duplex erit igitur *A* eius, quod est «C* Et in numeris. Sit enim sesqualter •XII* ad •Vnf*. sesquitertius vero •VllL ad •¥!• ; ergo -Xn- ad •¥!* du- pKces sunt. duplus 10 A. B. C. XII. VIII. Vf. sesqualler sesquilertius Ex duplici intervallo atque sesqualtero triplex nascitur intervalium. Sit enim -A- eius, quod est -B-, dupiex, -B^ 15 autem eius, quod est^C^, sesqualter. Dico quoniam •A* eius, [quod est -C*, triplex est. Nam quoniani ^A^ eius, quod est -B- , duplex est, •A- igitur aequus est duobus -B- Rursus quoniam -B- eius, quod est 'C^, sesqualter est, •B- igitur habet in se totum •€• et eius dimidiam partem. Duo 20 igitur •B* aequi sunt tribus -Z- Sed duo •B^ aequi erant uni -A* Et unus igitur «A* aequus est tribus •C^ Igitur •A* uno C- triplex est. Et in numeris. Sit duplex quidem senarius ternario, sesqualter vero ternarius binario, sena- rius igitur triplex est binario. 25 sesqualler. Si sesqualtero intervallo sesquitertium demplum fuerit in- 30 tervallum , erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim 5 quod] qui g, h, k. 6 XIL ac •VIII- g; Iir ad II- f, i. 7 VIII. ad VL] nil- ad ni- f, i. || ad VL om. g; •IIIL ad 11. i; IIIL ad duo f. 8 enint o. 9—12 Dis- posilionem om, g; f, i litteras A. B. C infra numeros •IIII.IH.II. arcubus iunguni, 25 — 28 Dispositionem om, g. || triplus om. f, i. 28 duplus, sesqualter om. f, i. INST. MUS. IIII, 2. 307 •A* quidem eius, quod est 'B* , sesqualter, at vero •€• eius, quod est -B-, sesquitertius. Dico quoniam -A- eius, quod est 'C-, sesquioctavus est. Quoniam enim -A- eius, quod est -B*, sesqualter est, -A- igitur habet in se -B* et eius di- midiam partem. Octo igitur -A* aequi sunt ad duodecim 5 •B- Rursus quoniam -C- eius, quod est -B*, sesquitertius est» •€• igitur habet in se •B* et tertiam eius partem. Novem igitur -C- aequi sunt ad duodecim -B- Duodecim autem -B^ aequi erant ad octo •A^ Et octo igitur -A- aequi sunt ad novem •C- Igitur •A- aequus est ei, quod est •C^, lo et octavae eius parti. -A^ igitur eius, quod est •C^, sesqui- octavus est- Et in numeris. Sesquaiterum quidem inler- vallum sit novenarius ad sen^irium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. Novem igitur ad octo sesqui- octava proportio est. is sesquioctavug aT c; b. Vllll. VIII. VL sesquitertius sesqualter 20 Sex proportiones sesquioctavae maiores sunt uno duplici intervailo. Sit enim quidam numerus -A*, huius autem sit sesquioctavus •B-, huius autem sesquioctavus -C-, huius autem sesquioctavus •D^ et huius sesquioctavus -F- eiusque sesquioctavus •&• atque huius sesquioctavus •K^ Id autem 25 fiat secimdum descriptum in arithmetica modum. Et sint numeri A. B. C. D. F. G. K. Et sit A- CCLXII • CXLim, huius autem sesquioctavus , qui est •B», •CCXCIHI- •DCCCCXIL, huius autem sesquioctavus , qui est -C^, 1 eius quidem b, k. || ad i. 2 eias om. i. 3 alter, est om, g. 7 eius tertiam h, k, o. 8 dnodecima autem i. 14 igitur] vero h, k. 16 est proportio h, k. 16 — 20 Dispo- sitionem om, g. 16 sesquioctavus om, f, i. 17 k. disponit Utteras hoc modo: A, B. C. 18 Vim. VI. VIII. k. 19 ses- quitertius om, f, 1. 20 sesqualter om, f, i. 22 quidem k. 24 eiusque] eius quoque o. 26 Et sint numeri om. g. 27 Inter D etF E ponit g. 308 INST. MUS. mi, 3. •CCCXXXI • DCCLXXVI- , huius autem sesquioctavus , qui est «Ds CCCLXXIII-CCXLVIII*, huius autem sesquioctavus, qui est F. , CCCCXVIIII • DCCCCIIII' , huius autem ses- quioctavus, qui est *G*, -CCCCLXXII* CCCXCII*, huius au- 5 tem sesquioctavus, qui est-K-, «DXXXI * CCCCXLI* Et sunt •DXXXI ' CCCCXLI* , quod est -K*, plus quam duplices a ducentis LX duobus milibus *CXLI1II* , quod est «A* Sex igitur sesquioctavae proportiones ampliores sunt uno du- plici intervalio. 10 A. B. C. ccLXii. cxLiui. ccxcnn. dccccxil cccxxxi. dcclxxvl D. F. CCCLXXIII CCXLVIII. CCCCXVIIIL DCCCCIIII. G. K. 15 CCCCLXXII. CCCXCIl. DXXXI. CCCCXLl. Musicarum notarum per graecas ac latinas litteras nun- cupatio, III. Restat nunc quoniam sumus nervum secundum praedictas consonantias per regulam divisuri, quoniam- 20 que necessarios sonos tribus generibus cantilenae exhibe- bit ista partitio, musicas interim notas apponere, ut, cum divisam lineam isdem notulis slgnaverimus; quod unicui- que nomen sit, faciliime possit agnosci. Veteres enim 3 qui est om, g. 4 qui om» i. 5 qui est om. g, i, o. Et sunt DXXXI- CCCCXLI in margine f ; Et sunt DLCXCI i. 6 al ad i. 8 sunt om. g. 10 — 15 Dispositionem om, g; h, k litteras in uno eodemque versu disponunt, inter G et K. DXXIlU. vH. CCLXXXVm. CLIII. addunt, dispositionem totam arcubus et inscriptionibus ornant; f , i scalae in modum liiteras numerosque disponunt. 18 nnnc om, o; ut f, g, i. 19 quoniam quae g, i. 20 tribus so- mis i. 22 hisdem g, h, i, k, o. INST. MUS. nii, 3. 309 musici propter conpendium scriptionis, ne integra sem- per nomina necesse esset apponere, excogitavere notulas quasdam , quibus nervorum vocabula notarentur, easque per genera modosque divisere, simul etiam hac brevitate captanles, ut, si quando melos aliquod musicus voluisset 5 adscribere super versum rylhmica melri r.ompositione distentum, has sonorum notulas adscriberet, ita miro modo repperientes, ut non tanlum carminum verba, quae litte- ris explicarentur, sed melos quoque ipsum, quod his no- tulis signaretur, in memoriam posteritatemque duraret. lo Sed ex his omnibus modis unum interim lydium eiusque notulas per tria genera disponamus, in reliquis modis idem facere in tempus aliud difTerentes. Sane si quando dispositionem notarum Graecarum litterarum nuncupa- tione descripsero, lector nulla novitate turbetur. Graecis is enim litleris in quamlibet partem nunc inminutis, nunc etiam inflexis tota haec notarum descriptio constituta est. Nos vero cavemus aliquid ab antiquitatis auctoritate trans- vertere. Erunt igitur priores ac superiores notulae dictio- nis , id est verborum , secundae vero atque inferiores per- 20 cussionis. Proslambanomenos, qui adquisitus dici potest, zeta non integrum et tau iacens -h* hypate hypaton, quae est principalis principalium , gamma conversum et gamma rectum .r*, parhypate hypaton, idest subprincipalis prin* 25 cipaiium, bela non integrum et gamma supinum -l-, hy- paton enarmonios, quae est principalium enarmonios, 2 nomina semper h, k. || appone i. || excogitare i. 4 per om. f. 5 aliqaos i. - 6 exscribere f, i; asscribere g, h, k. II rithmitica i. 7 asscriberet g, h, k; adscriberent f, i; ascriberent o. 8 quae] quod f; quot i. 9 quot i. 13 Sanae i. 14 Graecarum litterarum notarum g, h, k. 17 tota] rata g, h, k, o. 18 caveamus f. || transferre i. 22 zetaj In g, h, k maximam partem non nomen sed littera ipsa est scripta. 23 tau] te i. || non integrum et tau ia- cens] cum non integro tau iacens h, et k prima tnanu, || quae] qua i; qui f. 26 beta] Be i. 27 enermonios, quae o. 310 iNST. Mus. un, 3. alpba supinum et gamma conversum retro habens virgu- y lam >., bypatou cbromatice, quae est principalium chro- matica, alpha supinum babens lineam et gamma conver- sum duas babens lineas •>., hypaton diatonos, quae est 5 principalium extenta, pbi graecum et digammon .p-, hy- pate meson , quae est prin6ipalis mediarum sigma et sigma C C-, parhypate meson , quae est subprincipalis mediarum, P rbo et sigma supinum .u-, meson enarmonios, quae est mediarum enarmonios, pi graecum et sigma conversum 10 D-, meson chromatice, quae est mediarum cbromatica, pi graecum liabens virgulam et sigma conversum per me- n dium habens virgulam .9.., meson diatonos, quae est me- diarum extenta, my graecum et pi graecum deductum M , I ^TT*, mese, quae estmedia, iota et iambda iacens .<., 15 trite synemmenon, quae est tertia coniunctarum theta et e lambda supinum .y., synemmenon enarmonios, quaeest coniunctarum enarmonios, eta graecum et iambda iacens H conversum per medium habens virgulam .> ., synemme- non cbromatice , quae est coniunctarum cbromatica, eta 20 graecum babens virgulam et lambda conversum babens 2 chromaticae f, o. || chromatica om. g, h, i, k, o. 3 gamma om. g. 4 habens duas h, k. || V om. f. 5 hypa- ton i. _6 sigma] ce i, sima f, o. 7 superprincipalis g, k. 8 rho] pe i. 9 gregnm k. 10 chromaticae g. || medio- rum f, i, o. || chromatice f. 13 diductum f, g, h, i, k; quapropter et litterae forma non deducta sed diducta est T\. 0 14 labda i; lauda f; lapda o. 15 — 16 trite . . . v oin. o. 16 paranete synemmenen 0. || enarmios i. 17 coniuncto- K rum i. II Heta i. 18 sqq, synemmenon .... «^ • om. o. 19 chromaticae i. || coniunctorum i. INST. MU8. rai, 3. 311 virgulam •>-., synemmenon dialonos, quae est coniun- r ctarum extenta, gamma et ny .n*, netesynemmenon,quae est ultima coniunctarum 03 quadratum supinum et zeta ir Z-, paramesos^ quae est submedia, zeta et pi graecum iacens tz» trite diezeugmenon, quae est tertia divisarum, 5 e quadratum et pi graecum supinum .j[^. , diezengmenon enarmonios, quae est divisarum enarmonios, delta et pi graecum iacens conversum ^:^., diezeugmenon chroma- tice, quae est divisarum chromatica, delta habens virguiam et pi graecum iacens conversum habens iineam lo angularem .3I* diezeugmenon diatonos, quae est di- ir visarum' diatonos, 0) quadratum supinum et zeta Z-, nete diezeugmenon , quae est ultima divisarum, phi iacens et ny inversum deductum .v|., trite hyperbo- leon , quae est tertia excellentium y deorsum respi- 15 ciens dextrum et semialpha sinistrum sursum respiciens .\., hyperboleon enarmonios, quae est excelientium enarmonios, tau supinum et semialpha dextrum su- pinum .y., hyperboleon chromatice, quae est ex- cellentium chromalica , tau supinum habens lineam et 20 1 !^ h, k. 2 ny] en. i. 4 .Ui-Z. o. [J parameses h, k. 5 est 0172. g. 8 iacens om, o. || chromaticae i. 10 virgul- tam h. 11 diversarum tonos i; diversarum diatonos 0. 12 •liJ-Z- o. 13 nete zeugmenon i. || phi] Tl o. 14 nj] en i. II diductum f, g, h, i, k. || H f, g» h, i, k; «t .M- o. 15 tertia est h. 16 semi non perfectum alptav g. || sursum] X rursas f. 17 X om, k. || enarmonicos h. 18 tau] te i. || dextrum] sinistmm f. 19 chromaticae i. 20 chromateca. i. 11 tau om. i. 312 INST. MUS. nil, 4. semialpha dextrum supinum habens retro lineam .y*., hyperboleon diatonos , quae est excellentium extenta , my graecum habens acutam et pi deductum habens acutam M' .n'-, nete hyperboleon iota habens acutam et iainbda ^ iacens habens acutam . ^^ . Musicarum noiarum per voces convenientes dispositio in tribus generibus. irn. 10 15 r R L V > 1: F C c p u Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypale hypaton Lichanos hypaton enarmonios Lichanos hypaton chromatice Lichanos hypaton diatonos Hypate meson Parhypate meson 1 • V*- f . 3 habens om, g, || diductum f ; diductam g, M' h, i, k. 4 •TT. f, g, h, i, k. || acutnm f, i. 5 acutum i; 'J^' om, 0. 6 Inscript, om. g, h. || conveniens k. || iVo- ias musicas om. g, o. 8 Proslambanomenon h, k. 12 chro- matica f, g, i. INST. MUS. mi, 4. 313 n 0 TV M n I < 0 V H K r N ir z z t E 11 A zy a ir z Lichanos meson enarmonios Lichanos meson chromatice Lichanos meson diatonos Mese Trite synemmenon Paranete synemmenon enarmonios Paranete synemmenon chromatice Paranete synemmenon diatonos Nete synemmenon Paramesos Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon enarmonios Paranete diezeugmenon chromatice Paranete diezeugmenon diatonos 10 ^ U H H H 1 •!.• f. 6 -2.- f. 7 •>• h, k; -9- • f. Q chroma- tica f, g, h, i, k, o. 10 Parameses g, h, k, o. 13 chro- matica f, g, h, k, o. 814 INST. MUS. IIII, 6. X X y 1 r M' Nete diezeugmsnon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon enarmonios Paranete hyperboleon chromatice Paranete hyperboleon diatonos Nete hyperboleon. Monochordi regularis partitio in genere diatonico. V* Sed iam tempus est, ad regularis monochordi divi- sionem venire. De qua re iilud est praedicendum, quod, 10 sive in mensura nervi , sive in numeris atque eorum pro- portione statuatur describenda divisio, maius spatium chordae et maior numeri multitudo sonos graviores efii- ciet. At si fuerit nervi longitudo contractior et in numeris non multa pluralitas, acutiores voces edi necesse est. At- 15 que ex hac comparatione , quantum unaquaeque fuerit vel longior vel plurium numerorum aliaque vel contractior vel paucioribus signata numeris, tanto vel gravior vel acu- tior invenilur. Nec lectorem res iila conturbet, quod in- tendentes saepe spatia proportionum numero maiore si- 20 gnavimus, remittentes vero minore, cum intentio acumen 1 Nete diezeugmenon om. g. A 2 V f • 3 Hunc ver- sum om. i. 4 chromatica f, g, h, k, o. 6 /t^ f . 7 In- scripi. om, g. || diatono g. || diatouico genere k. 8 •IIII- h. 10 atqne in eorum f, i. 16 plorimam i. || vel anie contractior om. i. 18 lectorem res illa] lectorom est spes illa vel res i. 20 yero om. i. || intencio g, o. INST. MUS. IIII, 5. 315 faciat, remissio gravitatem. lliic enim proportionum tan- tum spatia signabamus, nihil de gravitatis aut acuminis proprietate laborantes, atque ideo et in acumen maioribus numeris intendimus et minoribus in gravitatem saepe re- misimus. Hic vero ubi chordarum spatia sonosque me- 6 tiemur, naturam rerum sequi necesse est, maiorique lon- gitudini chordarum, ex qua gravitas existit, ampliores, minori vero, ex qua vocis acumen nascitur, dare brevio- res. Sit chorda intensa AB* Huic aequa sit reguia, quae propositis partitionibus dividatur , ut ea regula chordae lo apposita eaedem divisiones in nervi longitudine signentur, quas antea signaveramus in regula. Nos vero nunc ita dividimus^ quasi ipsam chordam et non regulam partia- mur. Dividatur igitur •AB* in quattuor partes per tria puncta, quae sunt -C-D-E- £rit igitur tota quidem *AB* i5 dupla ab his, quae sunt *DB* *AD*, singiilatim vero -AD* •DB* duplae sunt ab his, quae sunt -AC* -CD* -DE* EB- Erit igitur -AB* quidem gravissima id est proslambanome- nos , -DB* autem mese. Est enim dimidia totius et sicut •AB* ab ea, quae est *DB-, dupia est spatio, ita -DB* ab ^ ea, quae est -AB*, dupia est acumine. Nam, ut superius dictum est, spatii et acuminis semper ordo conversus est. Nam tanto esl chorda maior in acumine, quanto fuerit minor in spatio. Quocirca erit et -EB- nete hyperboleon, quoniam -EB* eius , quae est *DB* , dimidia quidem est in ^^ quantitate, dupia vero est in acumine. Rursus quoniam eadem «EB* eius, quae est -AB*, quarta pars e.st in spatio, quadrupla erit ab eadem in acumine. Erit igitur , ut di- ctum est, nete hyperboieon dupla in acumine ab ea, quae est mese, mese autem dupla in acumine ab ea, quae est so 2 nihil enim i. 4 in minoribus i. 5 vero om. g, h, k. II metietur i. 6 insequi f, g, h, k. 7 ex quo i. 10 partionibus g; proportionibus h, k; patitionibns mutatum in proportionibus f. 11 eadem i^ cedem f. 12 signaveri- mus f, i. 14 igitur om. g, h, k. 15 coe i. 17 -DB-] -de- i. 19 enim] autem h, k. 20 prius ab om. g, k. 25 eius quae] eiusque i. 27 alter, est om. i. 28 — 29 Erit igitur .... in acumine om. i. 30 ab ea] ad eam h, k. 316 INST. MUS. IIII, 5. proslambanomenos. Nete vero hyperboleon quadrupla in acumine ab ea , quae est proslambanomenos. Consonabit igitur proslambanomenos ad mesen diapason, niese ad neten hyperboleon diapason, proslambanomenos ad neten 5 hyperboieon bis diapason. Rursus quoniam aequae partes sunt «AC* 'CD- -DE* «EB*, estautem -AB* quattuor earun- dem partium, 'CB- autem trium, -AB* igitur sesquitertia est ab ea, quae est 'CB* Rursus quoniam trium est ae- quaiium partium «CB*, sed -DB- duarum, erit igitur -CB* 10 sesqualtera eius quae est -DB- Rursus quoniaro -CB- est trium partium aequalium, qualis est una •EB-, tripla igi- tur est -CB* ab ea, quae est -EB* Erit igitur -CB- licha- nos hypaton diatonos consonabitque proslambanomenos quidem ad lichanon hypaton diatonon consonantiam dia- 15 tessaron, eadem vero lichanos hypaton diatonos consona- bit ad meseu consonantiam diapente, eademque lichanos diatonos consonabit ad neten hyperboleon diapason et diapente. Rursus si de tota 'AB* nonam partem auferam eam, quae est «AF*, erunt partes -¥111* -FB* Erit igitur 20 «FB* hypate hypaton , ad quam sesquioctavam contineat proportjonem •AB-, id est proslaipnbanomenos, in musica vero tonon. D E B S6 Superior descriptio inferiora signa quae continet eius sunt descriptionis, ubi chordis notulas apposuimus, quoniam earum nomina longum fuit adscribere. 1 — 2 Nete_vero . . . proslambanomenos om, i. 2 RQ. consonabit i. ~ ^in/ine netenti. 5 aeque g, o^ 8 quia f, h, k, o; quai. 9 alt, CB.] .CD. i. 10 DB.] CB. i. 13 consonabuntque f, i. 14 lichanos o. || diatonos i, o. 19 eruntque f. || partes om, h, k. 22 tonum h, k. 24 Signa om, g; h, k arcubus inscripiiones adduni, 27 ascri- INST. MUS. IIII, 5. 317 Item si -AB* tribus incisionibus partiamur, erit pars tertia -AG*; duae igitur eiusdem erunt -GB* Consonabit igitur -AB* proslambanomenos ad 'GB-, quae est liypate meson, diapente consonantiam in proportione sesqualtera constitutam, •CB* autem ad 'GB* erit sesquioctava et con- 5 tinebit tonum , idque ordine cadit. Nam iichanos hypaton diatonos, id est -CB*, ad eam, quae est hypate nieson, id est *GB*, continet tonum. Rursus «AB* quidem prosiam- banomenos ad 'CB- lichanon hypaton diatonon habet consonantiam diatessaron , -AB- autem proslambanomenos lo ad -GB' hypaten meson habet consonantiam diapente. Item •CB* ad -DB*, id est lichanos hypaton diatonos ad mesen, habet consonantiam diapente. «GB* autem ad 'DB-, id est hypale meson ad mesen , liabet consonantiam diatessaron. Liclianos autem hypaton, id est -CB* ad hypaten meson i5 comparata, id est 'GB*, distabit tono. Si autem eius, quae est «CB*, quartam partem sumpsero, erit 'CK* Igitur •CB* ad 'KB* obtinebit sesquitertiam proportionem. «KB* autem ab ea, quae est «DB*, sesquioctava proportione di- stabit. Erit igitur *KB* quidem diatonos meson et erit CB* 20 id est lichanos hyp^ton diatonos ad «KB* id est diatonon meson diatessaron continens consonantiam. Rursus si eius quae est •DB* nonam partem sumpsero , erit mihi •DL* Igitur 'LB* erit paramese. Si autem eius, quae est •DB*, quartam partem sumpsero, erit •DM* Igitur •MB« 25 erit nete synemmenon. Si autem eius, quae est -DB*, ter-. tiam partem sumpsero, erit -DN» Igitur •NB» erit nete diezeugmenon. Si autem «KB^ in duas partes aequas fue- rit divisa, erit *KX* eritque «XB^ paranete hyperboleon. bere 0; asscribere g, h, k. 3 •GB*] 'G* g. 4 ses- qualterjam i. 5 constituta g, h, k. || sesqnioctavam i. 0. 7 ad eam] eadem et supra versttm ad eam f. l| hypaten f, i; hypaton g. 8 continent i. 9 habet diatonon h, k. 11 hypate g, h, k, o. 16 hypate g, o. 16 distat g. 17 et igitur g. 19 autem om. g, h, k. 20 — 22 et erit . . . , diatonon meson in margine superiore f. 21 id est om, 0. II diatonos meson i; diatono meso 0. 24 parameses h, k. 25 partem quartam i. || erit mihi «DM- o. 29 eritque VXB i. 318 A INST. MUS. IIII, 6. CGKDLMNX B I I I I I I I L Fcn i. 17 autem] enim i. 18 tonis supra versum k. 19 eam om. o. {{ eam, quae] eamque i. 20 enarmonios h, k, o; enarmonium f. 21 quoniam om. h. k. 23 differentia h, k. BOETIUS. ^IX 322 INST. MTJS. IIII, 7. DCCCCXVI., fient 11. DCCCCXCIIU. Haec hyperboleon enarmonios. Descrrptum est (lum tria genera tetrachordum , quod est cuius formam subter adiecimus. erit .EE- trite igitur sectin- hyperboleon. DD. FF. KK. uete diez. trite hyperb. diatonos llT. LXXU. ir. DCCCCXVI. paran. hyperb. diatonos ff. DXCir. nete diez. trite hyperb. paran. hyperb. ni. Lxxn. s T EE. chrom. ff. DCCCC. XVI. s T chrom. ff. DCC. XXXVI. s T s T nete diez. trite paran.hyperb. h^ enarm. enarmon. nr. ff.DCCCC.ll.DCCCC. Lxxii. xam. XVI. ^ ^ o T 0 T LL. nete hyperb. ff. CCCIUI. s T 0 T HH. 0 T nete hyperb. ffcccnu. s T ■ uete hyperb. U. CCCffll. 21 Ratio superius digesiae descripiionis. VI[. Tria igitur tetrachorda taii nobis ratione descri- pta sunt. Tetrachordum enim omne diatessaron resonat consonantiam. Igitur nete hyperboleon et nete diezeugme- 25 non in tribus generibus, id est vel in diatono vel in chro- mate vei in enarmonio, diatessaron continet symphoniam. Diatessaron autem consonantla constat duobus tonis et 1 'EE' om. o; esse g. 2 fgitar om. g. 3 genera tria k. || tetrachordum secundam tria genera o. || tetrachor- darum h. 5 Vispositionem om, g ; tra i desunt •HH* 'EE* ; irt f HH- ; in i et f NN- loco KK- inveniiur. In h et k. hie et in- fra in singulis versibus numeri, litierae, chordarum nomina, spa- iiorum signa descripta suni commodius gttam reciius, 21 In- scripi, om. s, 22 'VI- h. || perscripta h, k. 26 Primum vel om, 0. [j diatonico h, k. || chromatico o. 26 ermonio i. INST. MUS. IIII, 7. 323 semitonio minore. Id hoc modo per tria genera in supra- scriptis tetrachordis divisum est. In diatonico enim ge- nere, quod est primum, paranete hyperboleon, id est •U* •DXCII', ad neten hyperboleon, id est -II- CCCIIII- obtinet distantiam tonum , quod tali notula inscripsimus ,j. Rur- 5 sus trlte hyperboleon diatonici generis, quae est •II- •DCCCCXVI- ad paraneten hyperboleon diatonici generis, quae est •II- •DXCII* , rursus obtinet differentiam tonum, quam simili notula insignivimus ,j, Nete autem diezeug- menon ad triten hyperboleon , id est •HI* LXXII* ad •!!• lo •DCCCCXVI- semitonium refert, quod tali notula signavi- mus -f- Et est hoc tolum spatium netes diezeugmenon et netes hyperboleon duorum tonorum ac semitonii. Sed idem duo toni ac semitonium in chromatico genere hac ratione divisi sunt. Secundum enim genus, quod est chro- 15 maticum, hoc modo descriptum est. Paranete enim chro- matice hyperboleon, quae est -IL DCCXXXVL , ad neten hyperboleon, quae est •II- CCCIIII* , comparata continet spatium paranetes hyperboieon diatonici generis ad neten hyperboleon, qui est unus tonus, id est duo semitonia, 20 maius ac minus, et divisum rursus spatium paranetes hy- perboleon diatonici et netes hyperboleon. Ita enim factiim est, qui est dimidius tonus, sed non integre, quia, ut su- pra uberrime monstratum est, non potest tonus in duo aequa pariiri. Consignavimus igitur hoc spatium trium 25 semitoniorum, id est toni ac semitonii hoc modo s s •T T T- 1 supradictis h, o. 2 diatono f. || enira] autem i. 3 quod est om, g, h, k. est bis g. 5 toni o. id] quod 0. II •IIDXCII. . . . . id I scripsimus o. 8 quae est II id est •II'DXCII' g. U rursus om, h, k, o. 9 quam] quod h, 1 0 k. II notnla id est -T* f. || insignavimus h, i, 0. || 'T* om, f, i. 12 Et hoc est g, h, k, i, 0. || totum] tonum f. 13 neten h, k. || semitonio f, i. 16 chromaticae f, i. 19 dia- tonici .... hjperholeon bis i, 23 integrae i. 25 con- signabimus g, i, o. || igitur] enim h, k. 324 INST. MUS. IIII , 8. Rursus paranete hyperboleon chromatica ad triten hyper- boleon retinet parteni toni, id est semitonium, quod reli- quum fuit ex duobustonis, qui continentur inter Iriten hyperboleon diatonicam et neten hyperboleon. Sub- 5 tractis vero qualtuor semitoniis reliquum ex toto tetra- chordo spatium semitonii est, quod continetur inter neten diezeugmenon et triten hyperboleon. Constat igitur et hoc tetrachordum ex duobus tonis ac semi- tonio, divisum in uno quidem spatio tribus semitoniis , in 10 duobus autem spatiis duobus semitoniis. Tria vero spatia nervis quattuor continehtur. In enarmonio vero genere summa est id pernoscendi facilitas. Ab ea enim , quae est nete hyperboleon, id est •II-CCCIIII-, paranete hyper- boleon enarmonios, id est •II-DCCCCXVI- duos torios in- i5tegros distat, quos hoc modo notavimus -f j- Relinquitur igitur ex totius tetrachordi duobus tonis ac semitonio unum quidem semitonium, quod continetur inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enarmonion, quod scilicet divisimus in duas diesis, trite hyperboleon enarmo- 20 nio media interiecta, spatiumque dieseos hoc modo signa- vimus -^- Ita igitur nobis hyperboleon tetrachordum de- scriptum est. Quo peracto ad diezeugmenon tetrachordum veniamus, nec inmorandum est isdem commemorationibus in ceteris, cum ab hac descriptione etiam in aliis sumi 25 possit exemplum. Monochordi netarum diezeugmenon per tria genera partitio. VIII. Netes igitur diezeugmenon, quae est -llI-LXXII-, 1 cbromatioae f. 2 quod] qui g. 3 tritem i. 6 continet g. 8 tetracbordarum b. || ac] et h, k. || semito- nium i. 9 quidem in uno f. 11 continetur IIIP'" i. 12 facultas k, o; facultas, et supra versum facilitas h. 14 in- tegros tonos h,. k. 15 notabimus g, i, o; notamns h, k. 16 igitur om, o. 19 diesis et supra. alterum i e h. 20 que] quae i. 21 h om. g. || tetracbordon f, i; tetrachor- dion g. 22 scriptum g, h, k. || Quo pacto g, h. 23 est om. i, o. II idem i; hisdem f, o. [| commeracionibus f, g. 26 Inscript. om. g. INST. MUS. IIII, 8. 325 si dimidium sumam, erunt •I*DXXXVI*, qui eisdem addili fiunt •IIU • DCVIII- , quae est mese, quam 0- littera de- signavimus. Quod si eiusdem netes diezeugmenon, id est •DD., scilicet •UPLXXII-, auferam tertiam partem, erunt •IXXIIIL, qui eisdem coniuncti facient -1111 -XCVI., quae 5 vocabitur paramese, X littera subnotata. Nete igitur. diezeugmenon , id est •IILLXXII- ad mesen id est •IIII- •DCVin^, quoniam in sesquaitera comparatione consistit, diapente, consonabit symphoniam. Eadem vero nete die- zeugmenon id est •IIl^LXXU- ad paramesen, id est lo •IIII-XCVI*, quae ad eam in sesquitertia proportione composita est, diatessaron retinet consonantiam. Si igitur ab ea, quae est nete diezeugmenoh •III-LXXII- octavam auferam partem, id est •CCCLXXXIIU- eisque adiciam, fient •III • CCCCLVI* Eritque haec paranete diezeugmenon i5 diatonos •CC^ litteris pernotata, ad neten diezeugmenon obtinens tonum. Ab hac vero si octavam auferam partem, id est de .iU.CCCCLVLjjuae est .CCCCXXXII. eosque eidem adiungam , erunt •III • DCCCLXXXVIIL Eritque ea •¥• trite diezeugmenon diatonos. Sed quoniam nete die- ^o zeugmenon ad paramesen sesquitertiam obtinebat propor- tionem, trite autem diezeugmenon diatonos a nete die- zeugmenon duos tonos abest, continebitur inter triten diezeugmenon et paramesen semitonium minus. Diaioni- cum igitur genus in hoc quoque tetrachordo ac penta- ^^ chordo ita expletum est, ut tetrachordi quidem eius^ quod est netes diezeugmenon ad paramesen, diatessaron con- 1 L"] -CC- i; M f. II isdem k. 2 litteram g. || de- signamus f, i. 7 meson f. || id est om, g, h, k. 9 con- sonabit] continet g, h, k. |] consonanti^m h; consonantiam et supra versum aL simphoniam k. 10 prius id est om, g. h, k. 11 sesquitertiam g. 12 symphoniam h,k. 14 auferam octa- vam g, h, k. {| aufero o. 16 duobus -CC- f. 17 auferam octavam o. || partem auferam h, k. 19 ei addam o. |{ que om. f, g. 20 diatonos trite diezeugmenon o. 21 para- meses o. || obtinebit g, h, k. 23 abest] ab ea est i. 24 paramese h, k; parameses o; parameson i. || Diatonum o. 326 INST. MUS. IIU, 8. sonantia sit^ pentachordi vero eius, quod est netes die- zeugmenon ad mesen, diapente sit consonantia. Enarmo- nium vero atque cliromaticum genus hac ratione texemus. Sumo distantiam netes et paranetes diezeugmenon diatoni, 6 id est TirLXXIl- et liT CCCCLVI. , est eorum differentia •CCCLXXXnil. Hanc divido; erunt CXCII- -Hanc si sumam et ei, quae est paranete diezeugmenon diatonos, adiungam, id est 11^. CCCCLVL , fient liT. DCXLVUI. Haec erit paranete diezeugmenon chromatica -BB- gemi- 10 natis litteris adnotata , distans a nete diezeugmenon tono et semitonio, id est tribus semitoniis, continens ad triten diezeugmenon dudum quidem diatonicam, nunc vero chromaticam, id est .IIIDCCCLXXXVIII-, semitonium reliquum ah eo tono, quod divisum est inter paraneten 15 diatonon diezeugmenon et triten diatonon diezeugmenon. £t fit aliud reliquum ex tetrachordo semitonium inter tri- ten diezeugmenon chromaticam et paramesen , quod sci- licet ex diatessaron consonantia relinquitur ea, quae est inter neten diezeugmenon et paramesen subtractis duobus 2otonis, quos nete diezeugmenon et trrte diezeugmenon chromatica continebant. Quae autem in diatonico genere trite diezeugmenon diatonica est, in chromatico autem trite diezeugmenon chromatica, ea in enarmonio genere paranete diezeugmenon enarmonios dicitur — integros 25 enimduostonosdistat ab ea, quae est nete diezeugmenon — et notatur .AA- £t inter neten diezeugmenon et paraneten enarmonion diezeugmenon nulla interest chorda atque ideo paranetes vocabulo nuncupatur. Semitonium vero, quod est inter paraneten enarmonion diezeugmenon et 30 paramesen, id est inter .AA' et .X. hac ratione partimur, 6 81 om, i. V et om, i. || eique f, o. 8 fiunt g. 9 Haec] Hae ac i. 12 diatonicum i. 1| nunc vero chro- maticam om. o. 15 diatouum g, h, k. || alt. diatonon ojn. h; diatonum k. 16 aliud fit f ; alium i. 17 parameson g. \\ Post paramesen addit o : subtractis duobus tonis quos nete diezeugmenon chromatica. 18 relinquetur f, g. 20 nete diezeugmenon chromatica f, o. || et trite diezeugmenon om.\,o. ^l continebat f, o. 29 enarmonium h, k. 30 patimur i. semitoniam i. 22 diatonos g, o. supra versum k. 28 mesen] semen f. 24 diatonon om, h; 0. X. Y. meM WL VCVMl WL DGVIU. „1 iiit Dcvui. 0 T irilt ro. XCVl. lH DCOCLXXXVUf . 8 T 0 T BB. ptranMM iiiT. XCVL 0 T T «rit« di«i. ChlMll* Mwxc L XXVill. 8 T pwan. die^ diroiB. -^ nr. OCXLVf ■ AA, parauMM tril« paraii.dief. I diM.aA. «narm. im. lll.DCCCC.nLDCCC ^ XCVL XOL LXXXVIIL o 0 T » » T HliEmengmenon chromatica. lo reiiiniuofcui i, g. -- , -aeuffmenon chromatica f, o. || et trite diezeugmenon om.i,o. lontinebat f, o. 29 enarmonium h, k. 30 patimur i. INST. MUS. IIII, 9. 327 ut fiant duae diesis. Sumo differentiam paranetes enarmo- nii diezeugmenon et parameses, id est •III* DCCCLXXXVIIl* et finXCVI^Ea esl CCVIII. Hanc divido; fient CIIII. Hosappono.IIIDCCCLXXXVni., fient .IIIDCCCCXCIL Ea erit trite diezeugmenon enarmonios .Z- littera per- 5 notata. Huius igitur tetrachordi per tria genera descriptio- nem subter adieci superiusque dispositum hyperboieon tetrachordon adgregavi, uti esset utrorumque. una de- scriptio et paulatim iuncta dispositionis totius forma con- surgeret. 10 (Vide descripiionem in tabula seorsum addita.) Monochordi neiarum synemmenon per tria genera partiiio. VnU. Duo quidem tetrachorda, quae sibimet quidem coniuncta sunt, a mese vero disiuncta, trium generum superior descriptio quemadmodum locarentur ostendit. ^^ Nunc ad iliud tetrachordum veniendum est, quod synem- menon voc^tur, quod iunctum est ei, quae est mese. Quoniam enim inter neten diezeugmenon et mesen dia- pente consonantiam esse praediximus, est autem diapente consonantia trium tonorum ac semitonii, tres vero toni 20 sunt in hoc pentachordo, quorum unus quidem netes die- zeugmenon ad paraneten diezeugmenon diatonon, alter yero paranetes diezeugmenon diatoni ad triten diezeugme- non diatonon, tertius autem parameses ad mesen, reli- quumque semitonium trites diezeugmenon diatoni ad para- 25 mesen, quoniamque netes diezeugmenon el parameses , tetrachordum ab ea, quae est mese eo tono disiunctum est, quod est inter paramesen ac mesen: si ex eo penta- 1 fient f. II dieses b. 3 Ea estj eadem f prima manu. 4 .111- et DCCCLXXXVIII. f. 6 igiturj autem h, k. 8 tetra- chordum h, k. 11 Descriptionem om. g. \\ -NN- loco -KK- f, h, i. II -HH. om. f, i. || -EE. om. i. || -BB. om. f. 12 par- titio om, k. 14 disiuncta om. o; disiunctarum g. \\ trium 0171. g, 16 illud] aliud g, h, k. 18 inter om. g, o. 20 semitonium i. 22 diatonos g, o. 24 diatonon om. h; supra versum k. 28 mesen] semen f. 328 INST. Mus. im, 9. chordo, quod est a nete diezeugmenon ad mesen, unum abstulerimus tonum, eum scilicet, qui continetur inter neten diezeugmenon et paraneten diezeugmenon diatonon» poterimus aiiud tetracliordon ad mesen iungere, ut fiat ^ synemmenon , quod est coniunctum, hoc modo. Quoniam paranetes diezeugmenon diatoni, quae est •CC*, numerus est -111 • CCCCLVI* , horum tertia eisdem addita faciet mesen. Hic ergo numerus in diezeugmenon tetrachordo •CC* litteris adnotatus tono distabat a nete diezeugmenon ^^ in genere diatonico et paranete diezeugmenon diatonos vocabatur. In synemmenon autem tetrachordo, id est con- iunctarum, sit nete synemmenon in tribus generibus con- stituta, -V- iittera pernotata et ab ea octava pars auferatur, quae est •CCCCXXXII» eisque adnotatur, fient -III- 15 .DCCCLXXXVIII- , quae est paranete synemmenon dia- tonos, quae -T* Httera insignitur. Huius pars sumatur octava, quae est -CCCCLXXXVI* Haec summa si eisdem, quorum octava est, adgregetur, fient .nil.CCCLXXIIII-, quae est trite synemmenon diatonos, id est .Q* Sed quo- 20 niam nete synemmenon ad mesen, id est .lil.CCCCLVl. ad JUI . DCVIII. sesquitertiam obtinet proportionem, quae est diatessaron, trite autem synemmenon ad neten syn- emmenon, id est .ifllCCCLXXim. ad .iU CCCCLVL, duorum tonorum obtinet proportionem , relinquitur trites 25 synemmenon diatoni ad mesen proportio semitonii et coniunctum est hoc tetrachordum cum mese atque ideo 1 mesen] triten. Sjnemmenon f, i. 3 et paraneten diezeupmenon om. i. || diatonum h^ k. 4 tetrachordum h, k. ]] fiat] faciat g, h, k. 5 synemmenon tetrachordum o. 7 eisdem correctione additum f, ]] facit g; facient f, i, o. 9 adnotatis h, e^ k prima manu. 15 — 16 quae est . .. in- signitur om. gt i. [] quae estj Ea est f. ]| diatonon h, k; diatono f. 16 quae -T- littera insignitur om, h, k. 16 — 17 Huius pars . . . CCCCLXXXVI] Rursus paranete sinemmenon diaton. id est •III-DCCCLXXXVIII- et in margine superiore Huius pars . . . CCCCLXXXVI- f. 16 Huius om. i. 17 ea, quae g, i, o. 22 ad] et i. 24 trite g, h, i, k, o. INST. MUS. IIII, 9. 329 synemmenon quasi continuum et coniunctum vocatur. Et diatonici quidem generis hoc modo est facta proportio. Chromatici vero talis divisio est. Sumo netes synemmenon et paranetes synemmenon diatoni, id est JII • CCCCLVl* et iir. DCCCLXXXVm. differentiam. Ea est CCCCXXXIl. 5 Hanc divido, ut semitonium fiat; fiunt -CCXVI- Hanc adicio ad «111 • DCCCLXXXVUL , ut tria semitonia fiant, erunt -1111 * CIIII* , quae est paranete synemmenon chroma- tica, cui iittera -S* superapposita est. Ab hac igitur, id est paranete synemmenon chromatica ad triten synemmenon lo prius qnidem diatonicam nunc vero chromaticam semitonium est, a qua synemmenon chromatica usque ad mesen aliud semitonium repperitur. Sed quoniam a nete synemmenon usque ad triten synemmenon diatonon vel chromaticam duo toni sunt, quae est in diatonico vel chromatico generibus i5 trite synemmenon diatonos vel chromatica, eademingenere enarmonio paranete synemmenon enarmonios est, habens summam *IIII'CCCLXXIIII* et sit -R' A qua usque ad mesen semitonium est. Hoc partior in duas diesis hoc modo. Sumo differentiam paranetes synemmenon enar- 20 monii et meses, id est iifi.CCCLXXim. et .iiHDCVIH. Ea est CCXXXmi. Hanc divido, fient CXVII. Hanc adicio paranete synemmenon enarmonio, id est .IIII. CCCLXXim., fient .fifl . CCCCXCl- , quae -P. littera per- notetur et sit ea trite synemmenon enarmonios. Eritque 25 semitonium, quod continetur inter paraneten synemmenon enarmonion et mesen, id est inter .1111 . CCCLXXIIII. et * .IIII.DCVm*, divisum per triten synemmenon enarmonion, eam scilicet , quae est .IIII * CCCCXCL Quocirca huius 1 conianctum et continnnm h. 2 facta est b, k, o. 3 est divisio h, k. || nete snmo f. 4 diatonici i. 5 est om, i. 6 Hanc si g, h, k, o; si corr. add. f. 12 quam i. 22 Hanc si g, h, k; si corr. add. f. 24 littera -P. o. |{ pernotatur i. 26 inter paraneten bis o. 27 enarmonium h, k; enarmonii i. || .nil. et om, i. 28 enarmonium h, k. 29 ea o. 330 INST. MUS. IIII, 10. quoque tetrachordi expedita est ratio. Nunc aulem fa- cienda est descriptio iuncta tamen cum ceteris, id est hy- perboleon ac diezeugmenon, ut paulatim fiat dispositionis rata progressio. 5 (F^ide descriplionem in tabula seorsum addita,) Monochordi meson per iria genera partiiio. X. Ex his igitur, quae praedicta sunt, in ceteris non arbilror diutius esse laborandum; ad horum enim exem- plaretiamreliquatetrachorda meson atque hypaton texenda 10 sunt. Ac primum quidem diatonici generis meson tetra- chordon boc ordine describemus. Meses enim, quae est 0- inr- DCVIU. sumo tertiam partem. Ea est 7- DXXXVI. Hanc eidem copulo, fient •VI'CXLIIII. £a sit H- hypate meson, diatessaron ad mesen continens consonantiam, 15 Haec duobus tonis ac semitonio ita dividitur. Sumo enim meses, id est •UII-DCVIII- oclavam partem, quae est -DLXXVI. Hanc eidem iungo, flent -V. CLXXXIIII. Ea est lichanos meson diatonos, id est .M> Cuius iterum pars sumatur octava. Ea est .DCXLVIII. Hanc eisdem adiungo, 2ofient .V^DCCCXXXH. Ea sit l parhypate meson dia- ionos. tonum obtinens ad lichanon meson diatonon, duo- bus autem tonis distans a mese. Relinquitur igitur semi- tonium inter hypaten meson diatonon et parhypaten meson diatonon constitutum, id est inter .VI.CXLIIII. et .V- 25 .DCCCXXXIL Idem vero tetrachordum meses atque hy- pates meson in chromatico genere tali ratione partimur. Sumo meses dilTerentiam ad Hchanon meson diatonon, id 1 est om, g, i; corr, add. f; ratio est o. 2 descriptio est f. 3 ac] hac g. || dispositionum g, h, k. 5 Dispo- siHonem om. g\ i om. BB. DD. EE. HH. KK. LL; f. om. BB. HH. AA. EE. FF. ponitque D. loco O., HH. loco KK., KK. loco JAj. 6,partitio om. k. 9 extenda f. 11 hoby- dine i; hoc modo vel ordine o. 14 meseon h. 15 divi- detur i. 17 fient om. i. 23 parhjpaten mesen f, i. 24 diatonum h, i, k; diatono f; diatonium o. Descriptio pag. 330 addenda. o T HH. KK. parao. hyperb. diatonos K DXCII. I paraa. hyp«rb. ehrom. 8 rr ILDCC. XXXVL T T o T LL. not0 hyperb. Egccuil aelo hypcrb. ir.cociui. s T o T o T nete hyperb, fLcocun. / INST. MUS. lUI, 10. 331 est.IIIIDCVm. adV.CLXXXim. Ea est DLXXVL Hanc diniidiam partior, fiunt 'CCLXXXVIII' Eandem adicio namero maiori, id est -V. CLXXXIIII. fiunt .V. CCCCLXXII. quae sit -N. Hclianos meson chromatice. Reiinquuntur igitur duo semitonia, unum inter lichanon meson chroma- 5 ticen et parhypaten meson chromaticen, id est inter .V^CCCCLXXII. et .Y- DCCCXXXII- et aliud inter par- hypaten meson chromaticen et hypaten meson, id est inter •V^DCCCXXXII. et .vr.CXLIIII. Enarmonium vero genus hoc modo dividimus. Quoniam ea, quae erat parhypate lo meson diatonos, vel ea , quae erat parhypate meson chro- matice, duos tonos distabat a mese obtinens numerum • V. DCCCXXXII. , ea in enarmonio genere erit lichanos meson enarmonios, .L* littera pernotata, duos nihilominus ad mesen obtinens tonos. Reliquum igitur semitonium, i5 quod est inter lichanon meson enarmonion et hypaten meson, id est inter Y. DCCCXXXII. et .VTCXLmi., in duas diesis hoc modo dividimus. Aufero differentiam •V^DCCCXXXII. ad .vrcXLim. Ea est .C^CCXII. Hanc dimidiam partior, fient -CLVI. Hoc ad V. DCCCXXXH. 20 iungo, fient V. DCCCCLXXXVHL Et haec sit .R. par- hypate meson enarmonios. Duae vero sunt diesis inter lichanon meson enarmonion et parhypaten meson enarmo- nion, id est inter .V. DCCCXXXII- et .V". DCCGCLXXXVUI. et inter parhypaten meson enarmonion et hypaten meson, 25 id est inter • V. DCCCCLXXXVIII. et .Vf. CXLIHI. Divisum 2 fiant g; fient h, k. || eadem i. 3 fient g, h, k, i, o. 5 unum . . . meson in margitie k. {[ chromatice -N-. g; chro- maticem i. 6 parhjpaten meson . . . meson chromaticen et om. h. 7 et aliud | alterum k. |I parhjpaten] hjpaten g, i. 8 meson maticen ei in margine chrom. k. 10 di- viditur h, k. 11 vel ea, quae erat corr, add. f. 13 amornio g. 14 duo i. 16 est om. i. || inter om, o. 17 inter om. g, o. 20 ."V.DCCCXXXiri -V- DCCCCLXXXVII. h. 22 diesis et e supra alterum i h. 23 enarmonium h, k; 'enarmonior o. 24 Post enarmonion addit f: et hypate meson enarmonion quae secunda manu sunt tnducta. 332 INST. MUS. IIII, 11. est igitur meson tetracliordum , quod ita in descriptione ponatur, ut superius descriptis tetrachordis adgregetur, (Vide descripiionem in tabula seorsum addita.) Monochordi hypaton per iria genera pariiiio ei totius 5 dispositio descriptionis, Xf. Nunc ergo hypaton lelrachordon per tria genera dividendum est. Sumo hypates meson, id est -VI • CXLIIII- dimidiam partem, quae fit •III-LXXII. Hanc eidem si ad- iecero, fient •VIIII-CCXVI-, quae est proslambanomenos io:ad hypaten meson diapente consonantiam servans. Eius- dem autem hypates meson, id estVI-CXLIIII*, si auferam tertiam partem, quae est •II*XLV1II- eidemque adiecero, fient •VIII-CXCII- et haec est -B- hypate hypaton. Igitur hypates meson ad proslambanomenon diapente est con- 15 sonantia , ad liypaten hypaton vero diatessaron. Ab hac igitur hypate meson, id est •VLCXLIIII- pars auferatur octava , erit •DCCLXVIII. Hanc eisdem si quis adiungat, fient «VI • DCCCCXII- , quae est •£• iichanos hypaton dia- tonos ad hypaten meson toni obtinens proportionem. 20 Rursus de -VLDCCCCXIL pars auferatur octava. Ea est •DCCCLXIIIL Haec si eidem copuletur, fient •"VfT •DCCLXXVL, quae est -C» parhypate hypaton diatonos ad lichanon hypaton diatonon toni, ad hypaten meson duorum tonorum distantiam servans. Relinquitur igitur semitonium 25 inter parhypaten hypaton diatonon et hypaten hypaton, 3 Dispositionem eodem modo descriptam praehei g, quo h et k. Vide supra in fine capitis sexti; i om. H. I. N. P. R. S. AA. BB. HH. ponitque HH. loco KK,, KK. loco LL ; f om, S. R. BB. HH. AA. ponitque HH. loco KK., KK. loco LL. 4 Inscript. om, g. || divisio vel partitio f. || et] ac k. 6 Hunc o. Jl ergo] vero i; igitur g. || hypaton et i. || tetra- chordum n, k, o. 8 fit] sit i, o. [j adicero h. 9 fiunt g. 11 — 12 hypates meson ... quae est om. i. 16 vero bis g, o. 16 auferamus i. 17 octavam i. || erunt f. || eidem i. 18 'E* om, g, h, i, k. 23 toni om, i. MM xxvm. eada. s T iliii. pucvm. XX. aete kypec%. ircoaiiL liei. par«n m» ehn XC. 1S.1NJ vnL • T nete hYperk. r ir.oocim. T diex. coc Lvur. ILoocnn. / INST. MUS. IIII, 11. 333 id est inter Vll . DCCLXXVI. et VIII • CXCII. Et diatonici quidem generis hypaton tale tetrachordum est, chroma- ticum vero tali ratione dividimus. Sumo enim differentiam hypates meson et eius, quae est lichanos hypaton diatonos, id est Vl.CXLIII!. et .VT. DCCCCXII. Ea est DCCLXVIII. 5 Hanc dimidiam partior, ut duo efficiam semitonia, fient .CCCLXXXIin. Han^adicio • VI • DCCCCXII , ut tria semi- tonia fianl; erunt .VII.CCXCVI. Haec erit «F. lichanos hypaton chromatice ab ea, quae est hypate meson, tribus semitoniis distans. Relinquuntur ergo duo semitonia, 10 unum quidem inter lichanon hypaton chromaticen et par- hypaten hypaton chromaticen, id est inter .VII.CCXCVI* el . VH . DCCLXXVI. , aliud vero inter parhypaten hypaton chromaticen et hypaten hypaton, id est inter .VII. .DCCLXXVI. et Ym • CXCIL Restat enarmonium genus, 15 cuius ad superius exemplar talis divisio est. Quoniam enim parhypate hypaton diatonos vel parhypate hypaton chromatice, quae .VII.DCCLXXVI. unitatibus insignita est, duubus tonis distat ab ea , quae est hypate meson , ea- dem erit in genere enarmonio lichanos hypaton enarmo- 20 nios, quae ab hypate meson duobus integris differat tonis. Restat igitur ex diatessaron consonantia semitonium, quod est inter lichanon hypaton enarmonion et hypaten hypaton, id est inter .Vi!. DCCLXXVI- et .Vin.CXCn. Hoc in duas diesis ita dividimus. Sumo differentiam eius, quae est25 lichanos hypaton enarmonios, et hypates hypaton, id est .VITDCCLXXVI. et .VflfCXCU. Ea est CCCCXVI. Huius dimidiam sumo, sunt .CCVIII. Hanc adicio .VII. DCCLXXVI. fient . Vfi • DCCCCLXXXIIU. quae sitDpar. hypate hypaton enarmonios. Sunt igitur duae diesis , una 3o 2 chromatici g, 3 divimus g. 4 hjpaton] hjpaten g. 6—7 Ea^t . . . .yi-DCCCCXII» om, h. 9 est] sunt f. 14 .VIIDCCLXXVI] VIILXXVI- i. 15 en- armonion f. 20 genere enarmonion f. 21 integris] in tribus i. 24 in] inter h. 25 diesis muiatum in dieses h. 334 INST. MUS. IIII, 12. quidem , quae intcr lichanon hypaton enarmonion et par- hypaten hypaton enarmonion, id est inter •¥!! • DCCLXXVI- et • VII • DCCCCLXXXIIir , altera vero, quae est inter par- hypaten hypaton enarmonion et hypaten hypaton, id est 5 inter ^-bcCCCLXXXIIir et •Vm^ CXCII- Tonus vero ultimus inter proslambanomenon et hypaten hypaton, id est inter vnriCCXVI- et •VmCXCII. continetur. Divi. sum est igitur hypaton tetrachordum secundum tria ge- nera, diatonicum, chromaticum, enarmonion. Quod $i 10 superioribus tetrachordis hyperboleon, diezeugmenon, synemmenon, meson adiungatur, fit integraperfectaquede- scriptio divisi peromnia [triagenera]monochordi regularis. (Vide descriptionem in tahula seorsum addiia.) Ratio superius disposUae descripiionis, 15 XII. In superiore igitur forma obtinet quideni con- sonantiam diapason proslambanomenos ad mesen« mese vero ad neten hyperboleon , bis autem diapason proslam- banomenos ad neten hyperboieon ; diatessaron autem con- sonantiam servant hypate hypaton ad hypaten meson, 20 hypate meson ad mesen , mese ad neten synemmenon, paramese ad neten diezeugmenon , nete diezeugmenon ad neten hyperboleon , atque hoc ita , ut in his consonantiis integra tetrachorda numeremus. Atque ut clarius omnis in hac forma respiciatur ordo nervorum secundum tria 25 genera, -\* tantum notantur esse tetrachorda: primum at- que gravissimum hypaton , cuius est princeps hypate hy- paton, uitima hypate meson , secundum vero meson, cuius 1 quidem om. h. || hjpaten g, h. 3 parhypaten] hy- paten i. 9 enarmonium h, k, o. || Posi enarmonium in h ei k spatium iredecim versuum vacuum relicium esi. \\ si om. o. 12 [tria genera] om. codd. 13 Disposiiionem disponuni g, h, k ui supra est adnotatum; i om, S.D.K.L.AA. et ponii II. HH. KK. loco HH. KK. LL. ; f om. S. Y. K. L. HH. AA. ei ponit HH. KK. CC. loco KK. LL. EE. 14 Jnscripi. om. g. |j positae k; digestae f. 15 optinent i. 20 mese] meses g, h, k. 26 est om. o. Descriptio 1 1 DD. FF. KK. neie diez. tritc hyperb. paran. hype diatono^ diatonos IILLXXn. U. DCCCCXVL 11. DXCU • 8 0 T T T HH. nete die^. 1 trite hyperb. chrom. paran. hyperh. chrom. IIL Lxxn. U. DCCCC. if. DCC. h s XVL 8 XXXVI. 8 T ■T i "T T £E. nele diet. 1 trite paran.hyperb. h. en. enarm. li T. ILDCCCC.1I.DC XCC. / 0 T Lx: KJl. XCI in. XVI. 0 T ■ rl l. INST. MUS. IIII. 13. 335 est princeps hypate meson, extrema vero mese, tertium synemmenon, cuius est princeps mese, finalis nete synem- menon, quartum diezeugmenon , cuius est prima para- mesos, nete yero diezeugmenon extrema, quintum vero est hyperboleon , cuius est quidem princeps nete diezeugme- 5 non, ad neten vero hyperboieon terminatur extremam. De stanlihus vocihus et mobilihus, XIII. Harum vero omnium vocum partim sunt in totum inmobiles, partim in totum mobiles, partim vero nec in totum inmobiles nec in totum mobiles sonant. lo In totum inmobiies sunt proslambanomenos, hypate hypaton, hypatemeson, mese, nete synemmenon, para- mesos, nete diezeugmenon , nete hyperboleon idcirco, quoniam in omnibus tribus generibus eaedem sunt, nec loca nec nomina permutantes sive pentachorda sive tetra- 15 chorda contineant; pentachorda quidem, ut prosiambano- menos ad hypaten meson et mese ad neten diezeugmenon, tetrachorda vero, ut hypate hypaton ad hypaten meson et hypate meson ad mesen. Mobiies vero sunt, quae secun- dum singula genera permutantur hoc modo, utparanete^o et lichanos diatonici et chromatici , trite et parhypate en- armonii. Aiia est enim paranete hyperboleon diatonos, alia paranete hyperboleon chromatica, aiia trite enarmo- nios. Diversae sunt etiam paranete diezeugmenon dia- tonos atque chromalica, nec est eadem quae in generibus 85 ceteris trite diezeugmenon enarmonios. Neque eaedem sunt paranete synemmenon diatonos et chromatica et trite synemmenon enarmonios his, quae sunt in reiiquis gene- 2 principiam h, k. 3 parameses g, h, i, k, o. 4 vero post nete om, g, h, k. 5 quidem om. g, h, k, o. 6 extrema g, h, k, o. 7 Inscript. om, g, \\ et] ac k. 8 Parum o: Earum k. 9 partim vero h, k. 10 sonant] ffaud scio an sunt scrihendum sit. 12 parameses h, k, o. 14 eadem f, i. 21 lichanae f, i. 22 — 23 diatonos . . . hjperboleon om. i. 23 chromaticae f. |] tritae i. 24 etiam] antem i. 25 est om. o. II eaedem o. 26 eadem i; eedem f. 336 . INST. Mus. im, 13. ribus trite. Distant etiam lichanos meson diatonos et licha- nos meson chromatice, etparhypatemeson enarmonios nulli aliorum generum parhypate simiiis invenilur. Nec eosdem locos ac numeros servant iichanos hypaton dialonos et li- 5 chanos hypaton chromatice. Nam parhypate hypaton enar* monios aiiorum generum parhypatis repperitur esse dissi- milis. Non in totum vero inmobiles aut mobiles sunt, quae in duobus quidem generibus manent, id est chromatico et diatonico, sedinenarmonio permutantur. Id autem sic con- 10 sideratur. Trite hyperboieon diatonos et trite hyperboleon cliromatice eadem in superiore forma descripta est isdem numeris *II*DCCCCXVL At vero cum enarmonium genus aspicimus, triten aliamrepperimus, idest «11 • DCCCCXCIIH. Quae igitur vox duobus fuit generibus communis, eadem 15 in tertio permutata est. Idem est in diezeugmenon tetra- chordo. Nam trite diezeugmenon diatonos et trite die- zeugmenon chromatica eaedem sunt sibique consentiunt, trite autem diezeugmenon enarmonios a superioribus di- stat. In synemmenis etiam idem est. Trite enim synem- 20 menon diatonos et trite synemmenon chromatice eaedem sunt, sed trite synemmenon enartnonios est diversa. Item parhypate meson diatonos et parhypate meson chromatica eaedem notantur, sed in enarmonio genere, sicut superius trite, ita hic parhypatae iuxta bypatas meson quidem in* 25 veniuntur, vi autem ac soni acumine diversae sunt ceteris. Rursus parhypate liypaton diatonos et parhypale hypaton chromatica eadem est, sed non eadem est, cum in enarmo- nio genere quaeritur. Sed ut harum non plena mutabili- tas clarius conliquescat, ad hyperboieon tetrachordon 1 lichanos meson diatonos et corr. add. f. 2 chroma- ticae f. 3 parhypatis h, k, o. 5 chromaticae f, g. |, Nam] Fortasse scrihendum lam. 8 duabus i. 9 sic om. h. 10 Trito L 11 hisdem f, g, h, k, o. 13 tritem g, h. i, k. 15 Idem est et f, o. 17 chromaticae o. || eadem 1; eedem f . 18 — 19 trite autem . . . idem est om. o. 19 idem] id i. 20 chromatica g, h, k. [1 eadem i; eedem f. 23 pernotantur f. 24 trite om. h. || parhypate f, g, h, i, k, o. |! hypate h; hypate et supra versum l hipatas k. 25 vi] -VL n f. II ac] aut o. 27 est eadem f. INST. Mus. ini, 14. 337 redeamus. In hoc igitur, quae in diatonico atque chroma- tico genere trite hyperboleon est, eadem mutatur in en- armonio et fit paranete. Item quae trite diezeugmenon yel in diatonico vel chromatico genere vocabatur, paranete in enarmonio dicitnr. Quae trite synemmenon in chromatico 5 vel diatonico fuit, in enarmonio in paraneten transit. Quae vero parhypate raeson in chromatico vel diatonico visebatur, eadem lichanos meson in enarmonio repperitur; quae autem parhypate hypaton vel in diatonieo vel in chromatico dicebatur, lichanos hypaton iu enarmonio nun- 10 cupatur. Sunt igitur inmobiles quidem proslambanome- nos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synem- menon, paramesos, nete diezeugmenon, nete hyperboleon ; mobiies vero , quas lichanus vel paranetas vel diatonicas vel chromaticas vei enarmonius vocamus; non in totum 15 mobiles aut inmobiles, quas parhypatas, tritas in diatono vel chromate, lichanus autem vel paranetas in enarmonio genere dicimus. De consonaniiarum speciebus. Xini. Nunc de speciebus primarum consonantiarum so tractandum est. Primae autem consonantiae sunt dia- pason, diapente, diatessaron. Species autem est quaedam positio propriam habensformam secundum unumquodque genus in uniuscuiusque proportioiiis consonantiam facien- tis terminis constituta; ut in diatonico genere. Nam si25 diezeugmenon tetrachordum inter hyperboleon telrachor- 3 Item quae] Itemqiie o. || vel om. f, o. 4 vocabitur h. 6 chromaticos i. 9 hypaton om. h ; supra versum k. 9 — 10 vel in diatonico . . . hypaton lichanos dicebatur post nun- cupatur i. 10 chromate f, i. U dicebantur h, k. 13 parameses g, h, i, k, o. 14 vero om, h. || quos o. [| licha- nas g, h, k; lichanos o. |{ paranetes h. 15 enarmonias g, h; enarmonicos k. 16 aut] nec in totum h, k. || dia- tonico h, k, o. 17 vel in o. || Uchanas g, h, k, o: licha- nos f. 19 Inseript. om, g. 23 unamquodque i. || unum om. h; supra versum k. B0BTIU8. 22 338 INST. MUS. im, 14. dum mesenque ponamus, subtracto scilicet synemmenon tetrachordo , erunt •XV* nervi. At si ab his proslambano- menos detrahatur, erunt *XIIII* Hi ergo disponantur hoc modo. Sit «A* hypate hypaton, «B* parhypate hypaton, 5 «C* hypaton lichanos, •D* hypate meson, «E* parhypate meson, «F* lichanos meson, •G* mese, 'H* paramese, -I* trite diezeugmenon, «K* paranete diezeugmenon, -L* nete diezeugmenon, «M* trite hyperboleon , *N* paranete hyper- boleon, -O* nete hyperboleon. Ab hypate igitur ad para- 10 mesen diapason consonantia est, ab eadem vero paramese ad hypaten meson diapente, a mese vero ad hypaten me- son diatessaron. Erit igitur diapason quidem octo chor- darum, diatessaron vero quatluor, diapente autem quinque. Ac per hoc habebit diatessaron quidem species tres , dia- 15 pente autem species quattuor, diapason vero species septem; semperque una minus species erit, quam fuerint voces. Ut enim a mese ceteras ordiamur, diatessaron con- sonanliae species sunt tres hoc modo. Una quidem species erit ab -G- ad D-, secunda vero ab «F* ad -C-, tertia ab 20 «E* ad -B* et huc usque diatessaron species progrediuntur idcirco, quia huc usque species binos continent nervos eiusdem diatessaron, ut •GD* quidem eos, qui sunt -E-F-, et •FC- eos, qui sunt -E-D*, et -EB-, eos, qui sunt •CD^ Si vero his adiecero diatessaron •DA* diversa erit ab ea, quae 25 est •GD- ; unum enim solum •GD^ consonantiae nervum continebit, id est •D^ solum. Excessit igitur •GD- con- sonantiam. Atque ideo diatessaron tres species habere perhibetur. Et in ceteris quidem consonantiis idem est. 1 mesenque] et mesen o. 1 — 2 subtracto scilicet synemmenon tetrachordo om. i, o; in margine superiore f. 6 •!•] «K- Mc et infra f, i, o. 7 'K-] -L* hic et infra f, i, o. || •L'] -M- hic et infra f. i, o. 8 'M»] «N' hic et infra f, i, 0. II -N-] -X- hic et infra f , i, o. 9 paramesen] mesen f, i. 10 paramese] mese f, i, o. 11 ad] a f . [] hypaten meson] lichanon hypaton f, i, o. 12 quidem diapason o. 13 autem] vero f, o. 16 septies f. 19 tertia vero abest ab -B- i. 22 primae eiusdem g, k; primos eiusdem h. || ut om, g, h, k. 23 -FC-] fit o. |j Ante -EB- addii g: eos qui, qui sunt. || -C.D-] ED- g, h, i; -EO- o- 25 DG' g. || alt. -GD-] quae est -DG- o. 2d -D' om* i. INST. MUS. IIII, 14. 339 Diapente aiUem quattuor species erunt hoc modo. Una quidem ab eo, quod est •£[• , ad -D* , alia vero ab eo, quod est •&•, ad -C*, alia ab eo, quod est •F-, ad -B^, alia autem ab eo, quod est •£•, ad -A- Diapason vero consonantiae septem erunt species hoc modo. Prima 5 ab eo, quod est -O^, ad •G-, secunda ab eo, quod est •N-, ad •F^, tertia ab eo, quod est -M-, ad •£-, quarta ab eo, quod est •L^, ad •D*, quinta ab eo, quod est -K-, ad -C-, sexta ab eo, quod est •!-, ad •&•, septima ab eo, quod est •£[•, ad •A^ Liquet igitur ex his, 10 quae dicta sunt, diatessaron consonantiam semel tantum inmobilibus ac statutis vocibus contiueri. Nam si ab hypate hypaton incipiam, erit •AD^, id est ab hypate hypaton in meson hypaten, ea, quae est in hoc ordine prima. Nam ceterae non statutis vocibus terminanlur, ut i5 •BE^ -CF^ Nam et parhypate hypaton et parhypate meson et lichanos hypaton et lichanos meson mobiles esse mon- stratae sunt. Quod si rursus ab hypate meson dialessaron consonantiam inchoemus, erit species diatessaron statutis vocibus terminata •DG^ ea, quae est prima, id est ab hy- 20 pate meson in mesen, reiiquae minime, ut -EH^ et •FI- Nam parliypate meson et lichanos meson et trite diezeug- menon non probantur inmobiies. Rursus si eandem dia- tessaron paramese suscipiat ordiendam , erit quae statutis coerceatur sonis diatessaron species 'HL^ , id est a para- ^ mese in neten diezeugmenon, quae est prima. Nam ce- terae, quae sunt -IM- et •KN* mobilibus terminanlur sonis. Nam trite diezeugmenon et paranete diezeugmenon et trite hyperboleon mobiles voces esse praediximus. Item dia- 2 vero ab ea g. 6 ab eo om, i, o. || secunda vero i. || quod est -N*] quod est om, g. 9 sexta vero h, k. 10 •H* ad -A* om, g, 12 in immobilibus o; in corr, add. h. || si ab] sub i. 14 hoc om, h, o. 18 ab] a g, ad h. 20 -GD- g, h, i, k, o. 21 minimae g, h, 0. || FI] -FK. f, i; -FG- o; FL- g, h, k. 22 Po8i alt, meson addit f : et paramese, quae vocahula in k supra versum adseripta sunt, 24 erit quae] eritque i. 25 coher- ceatur f, g, h, k. || a om, f. 27 -KN-] -LX- i, o; LO- f. 29 Po8t hyperboleon addunt f, o: et paranete hyperboleon; in k 8upra versum et paranete. 22* 340 INST. MUS. im, 14. pente consonantia duas tantummodo species tenet, quae statutis vocibus includuntur. Ut si ab hypate meson or- diamur, una quidem est «DH* id est ab hypate meson in paramesen ea, quae est prima, altera vero •GL-, id est a 6 mese in neten diezeugmenon. Haec vero est quarta. Reliquae vero, id est -EL -FK- minime statutis vocibus clausae sunt. Nam parhypate et lichane et trite et para- nete instabiies approbantur. Similis autem ratio erit, si a nete diezeugmenon in graviorem partem, id est ad mesen 10 consonantiae huius species considerentur. Eisdem enim inmobilibus vocibus, quae superius dictae sunt, contine- buntur. Sive autem ab bypate meson seu a mese seu a paramese sive etiam a nete hyperboleon consonantias ad graviorem partem ducamus, duarum, quae statutis vocibus 15 coerceantur, non poterit esse districlio. Diapason vero consonantiae, sive ab hypate hypaton in paramesen, sive a nete hyperboleon in mesen ordo sumatur, tres tantum- modo species obtinebit. quae inmobilibus vocibuscoerceaa- tur. Nam ab hypate hypaton ordientibus una est •AH* ea, 20 quae est prima, ab hypate hypaton in paramesen, altera •DL- ea, quae est quarta, ab hypate meson in neten die- zeugmenon, dehinc -GO* — haec est septima — id est a mese in neten hyperboleon. Reliquarum vero specierum voces extimae nuilo modo constitutae sunt. Nam par- 25 hypate et lichane et trite et paranete, ut supra quoque dictum est, non sunt inmobiles. Simiiiter autem et per easdem voces, si ab hyperboleon nete ordiamur, specierum 2 ordiantur g. 5 Haec] In haec i; In hac f. 7 lichanoe f, quod kaud scio an rectius sit, Etiam parhypatae tritae, paranetae viderUur rectius posse sctHbi. 8 Similes f. 12 se a mese i. 13 hyperholeon el supra versum diezeugnle- non k. II ad om. i; in f: 15 coherceantur g, h, i, k. || distinctio f, i; distrinctio mutatum in distinctio k. 17 a nete] autem g. \\ meson g, h, i, k. 18 in immobilibns, in corr. addito, h. || coherceantur f, g, h, i, k. 19 ab om. i. {| •HA- h. 22 •GD* i. || est om. i, o. || septima est f, h, k. 24 Yocis f. II existime i; extremae o. 25 lichamae i; lichano f ; fortasse scribendum parhypatae et lichanoe et tri- tae et paranetae. 26 immobiles non sunt f, i, o. 27 neten f, i. [] speciemur i. INST. MUS. rai, 15. 341 ordo contexitur. Quorum omniuin intellegentiam subiecta descriptio faciet esse notiorem. A B C D E F G H 1 K L M N 0 Hypate hypaton^ Parliypate hypaton Hypaton lichanos Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperboieon Paranete hyperboleon Nete hyperboleon. 10 15 Be modorum exordiis, in quo dispositio notarum per sin- gulos modos ac voees. XV. Ex diapasonigiturconsonantiaespeciebus existunt, qui appellantur modi, quos eosdem tropos yel tonos nomi- ^^ nant. Sunt autem tropi constitutiones in totis vocum or- dinibus vel gravitate vel acumine differentes. Constitutio vero est plenum veluti modulationis corpus ex consonan- tiarum coniunctione consistens quale est vel diapason vel diapason et diatessaron vel bis diapason. Est enim dia- 25 3 Littertis et lineas otn. g; litteras om. o; X loco O ponit litteraeque O lineam sine nomine attrihuit i; h e^ k inter lineas SOOSOOOSOOSOO _- intervalloruM stgnaponunt TTTTTTTTTTTTT* -«wk etiam altera dispositio invenitur angulorum formis et arcubus ornata. 17 Inscript. om. g. \\ per singulos . . . voces om. h. 21' constitutionis f. 24 Jhrius vel diapason om. f, g, h, i, k. 25 et] vel h, k. || eniin] antem h, k, o. 342 INST. MUS. IIU, 15. pason constiUUio a prosiambanomeno in mesen ceteris quae sQnt mediae vocibus adnumeralis, vel a meSe rursus in neten hyperboleon cum vocibus inleriectis, vel ab hy- pate meson in neten diezeugmenon cum his, quas extremae 5 voces medias claudunt. Synemmenon vero constitutio ea est, quae a proslambanomeno in neten synemmenon cum his, quae mediae interiectae sunt, constat. Bis diapason autem a proslambanomeno in neten hyperboleon cum his, quae in medio sunt interpositae , consideratur. Has igitur 10 constitutiones si quis totas faciat acutiores , vel in gravius totas remittat secundum supradictas diapason consonantiae species, efficiet modos •VII-, quorum nomina sunthaec: hypodorius, hypophrygius, hypolydius, dorius, phrygius, lydius , mixolydius. Horum vero sic ordo procedit. Sit in 15 diatonico genere vocum ordo dispositus a proslambano- meno in neten hyperboieon atque hic sithypodoriusmodus. ' Si quis igitur proslambanomenon in acumen intendat tono hypatenque hypaton eodem tono adtenuet ceterasque omnes tono faciat acutiores, acutior totus ordo proveniet, 20 quam fuit priusquam toni susciperet intentionem. Erit igitur tota constitutio acutior effecta hypophrygius modus. Quod si in hypophrygio toni rursus intentionem voces acceperint, hypolydii modulatio nascetur. At si hypolydium quis semitonio intendat, dorium faciet. Et in aliis quidem 25 similis est in acumen intentionemque processus, quorum non ut intellegentia solum ratio conprehendatur, verum oculis quoque forma possit agnosci, ab antiquis tradita 1 constituiio] consonantia o. 2 medie g, u 4 ex- treme f, i. 5 mediae g. || Synemmenon vero] Diapason vero et diatessaron o. 6 a o?n. i, o. 10 vel graves g, k; vel in graves o. || vel totas graves h. 11 consonantiae diapason h, k. 12 modus i. || haec sunt o. 13 hjpo- lydius om. g. 14 Sic i. 15 ordo om. i. 16 in om. o. 19 faciet g. || perveniet g, h, i, k. 20 susciperet inten- tionem toni h ; susciperet toni intentionem k. 22 ipso phrygio f, g, i; ipso hypophrygio o. || vocis f, i. 23 nasci- tur h, k, 24 quis] quoque o. || semitonium i. || intendas o. II facies o. || in om. h, i. 26 intellegentiae g, k; in- tellegentiae et supra versum } a h. . / * ■ r 1 1 I' INST. MUS. IIII, 16, 17. 343 musicis descriptio subponenda est. Sed quoniam per sin- gulos modos a veteribus musicis unaquaeque vox diversis notulis insignila est , descriptio prius notularum videtur esse ponenda, ut his primum per se cognilis in modorum descriplione faciiis possit esse dispectio. 5 (Vide descripiionem I. in tabula seorsum addita.) Descriptio continens modorum ordinem ac differentias. XVI. Superior igitur descriptio cbordarum nomina tenet adscripta, notulas vero iuxta positas et quae cuius- cunque sit modi sive lydii sive pbrygii sive dorii, vocabu- lo lorum signat adiectio. Sed quoniam hos modos diximus in speciebus diapason consonantiae repperiri, age eosdem in diatonico tantum genere describamus, ut, qui eorum ordo sit, sub aspectum cadens intellegentiam non moretur. (Vide descriptionem II, in tahula seorsum addita,) 15 Ratio superius disposiiae modorum descriptionis. XVII. Septem quidem esse praediximus modos, sed nihil videatur incongruum, quod octavus super adnexus est. Huius enim adiectionis rationem paulo posterius elo- quemur. Nunc illud est considerandum , quod bae pagi- 20 5 dispectio] descriptio o. 6 Descriptionem om, g, i. Signorum formas quantum potui ex codicum consensu descripsi: ubi nimia erat formarum varietas , satius duan eam formam se* gui, quam H^estphal attulit in Kbro, quem de Harmonica et Melopoeia Graecorum scripsit, 6, col 7 et 8, col 8 H loco U f. 10, 8 H loco E f. 11, 6 et 12, 6 II et ^ loco /- e/ 2, b, k. 7 Inscript, om. g. In i deest hoc caput una cum descriptione, 9 cuiusque f, o. 10 modis g; modo f. [| prim. sive] vel h, k. 11 signet g, k ef h prima manu; signata f. || ohiectio g, k et h prima manu, 14 aspectu o. [] intellegentiam om. g. 15 Descriptionem om. g, 16,20 O/ocoT h,k. 17,14 n^oco^h,k. 20,14 0' loco 2^ h,k. 24, 20 X loco Y f. 28, 3 et 32, 3 E loco w f. 16 Inscript. om. g, i. * || modorum dispositae k. 17 XVII. cm, i. 19 eloquamur i. 20 quod] quam i. 344 INST. MUS. lUI, 17. nulae, quas inter se rectus linearum ordo distinguit, aliae quidem habent notulas musicas, aliae yero minime veiuti in eo modo, qui inscribitur hypermixolydius, prima quidem paginula -u)-, tertia -0* litteris adnotatur, secunda notulis 5 vacat. In hac igitur intercapedine notularum tonus inter^ esse monstratur. Quod vero «O* tertiae atque -X* quartae paginae notam non paginula dividit, sed versus recto or- dine deductus, semitonium eas differre pronuntiat. Quod probatur hoc modo. Nam si -uj* proslambanomenos est> 10 'O' hypate hypaton, •/• parhypate hypaton, necesse est inter proslambanomenon , quod est •uj* et inter hypaten hypaton, quod est -O- , toni esse distantiam, inter hypaten autem hypaton, quod est -O* et parhypaten hypaton, quod est •/• , semitonii differentiam contineri. Itaque hoc re- 15 gulariter in cunctis est considerandum, ut, si vocum notu- ias integra pagina disgregaverit, toni inter eas sciamus esse distantiam, sin versus notulas ac non pagina distinguet, semitonii non ignoremus esse distantiam. His igitur ita praemissis si duo ordines in bis diapason consonantia con- 20 stituti sibi invicem comparentur, ut, qui ordo sit gravior, possit agnosci, si proslambanomenos proslambanomeno fuerit gravior, vel quaelibet alia vox eiusdem loci voce gravior pcrnotetur, in eodem scilicet genere constituta, totum quoque necesse est ordinem esse graviorem. Tamen 25 id melius sumetur a media, quae est mese. Duorum enim ordinum bis diapason consonantium , cuius mese fuerit gravior, eiusdem totus quoque ordo gravior erit. Nam ceterae singulae singulis comparatae, graviores nihilo mi- nus inveniuntur. Itaque si media ab alia media tono aut 2 velud f ; velut o. 3 scribitur f, g, i, o. 4 -ui- -0- om, fr, Jiic et infra. 5 tonos f, i. 6 monstrabitiir h, k. || •O- /• om. g. hic et infra, \\ tertiae om. o. || tertfae •erboleon quae est acutior ad sibi proximam neten diezeugmenon diatessaron conQooanUam, ad hypaten meson diatessaron ac diapason. 5 Quae sit proprietas diapasm consonantiae, X. Hoc vero idcirco evenire contendit, quoniam dia- pason paene una vocula est talisque consonantia est, ut unum quodammodo effingat sonum , et sicut deoario ou- mero qui fuerit additus intra eum positus integer invio^ lolatusque servatur, cum in ceteris id ita minime eventat, ita etiam in hac consonantia. Nam si duo tribus adicias» quiuque continuo reddis et numeri species inmutata est» si vero eosdem denario addas, duodecim feceris et bina- rius iunctus denario conservatus est. Item ternaritis cete- 15 rique eodem modo. Ita igitur symphonia diapason quam- cunque aliam susceperit, consonantiam servat nec inmu- tat nec ex consona dissonam reddiL Nam sicut diapente symphonia iuncta diapason consonantiae in tripla scilicet proportione diapason ac diapente consonantiam servat» ita 20 etiam diatessaron cum sit consonantia iuncta cum diapa- son, aliam consonantiam reddit et fit secundum Ptolo- maeum alterius consonantiae additio eius, quae est dia- pason ac diatessaron in multiplici superpartiente consti- tuta, estque ea proportio dupla superbipartiens ut octo 25 ad tres. Uabent enim ternarium octo bis duasque eius partes id est duas unitates. Quihxis modis Ptolomaeus consonantias statuai, XI. Et de Pythagoricorum quidem opinione Ptolo- 2 Idem f. || in nete f. 5 Inscript. om. g, h. 7 una supra versum rec. manu h. || alt, «st om, g, h, k. 8 ut sicut g, k. 9 posito k. ■ 11 duobus i. 13 duodecim] ad •XII* i. 14 ceterisque i. 17 ex consono dissonum h, k. || sicut] sic f. 24 est quae f, i. 26 id est] idem g. 27 Inscript, om, g, h. INST. MUS. V, U. 361 maeus ita diiudicat. Quibus vero modis ipse consonantia- rum proportiones numerosque vestiget, hinc ordiendum est. Voces, inquit, inter se vel unisonae sunt vel non unisonae. Non unisonarum autem vocum aliae quidem sunt aequisonae, aliae consonae» aliae emmelis, aliae dis- 5 sonae, aiiae ekmelis. £t unisonae quidem sunt, quae unum atque eundem singillatim pulsae reddunt sonum, aequisonae vero , quae simul pulsae unum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum, ut est diapason eaque duplicata^ quae est bis diapason. Consonae autem lo sunt, quae compositum permixtumque, suavem tamen, efficiunt sonum , ut diapente ac diatessaron. Emmelis au- tem sunt, quaecunque consonae quidem non sunt, possunt aptari tamen recte ad melos, ut sunt hae, quae consonan- tias iungunl. Dissonae vero sunt, quae non permiscentis sonos atque insuaviter feriunt sensum ; ekmelis vero, quae non recipiuntur in consonantiarum coniunctione, de qui- bus paulo posterius in divisione tetrachordorum dicemus. Quoniam igitur univocis quidem comparationibus proxi- mae sunt aequivocae, necesse est, ut aequis numeris ea 20 numerorum inaequalitas adiungatur, quae est proxima aequis. Est autem iuxta aequaiitatem numerorum ea, quae est dupla. Nam et prima multipiicitatis species est et maior numerus, cum minorem supervenit, aequo eum ipsi minori transcendit, ut duo unum uno transgrediun- 25 tur, qui eidem unitati aequalis est. lure igitur dupiex proportio aequisonis aptatur, id est diapason, bis diapa- son vero bis dupUci , id est quadruplo. Quae autem pro- portiones dividunt duplicem proportionem primae ac maximae his aptandae sunt consonantiis, quae dividunt so diapason aequisonantiam. Unde fit, ut diapente quidem 1 diiudicant f. || modis vero f. 2 vestigiet k. 3 Yo- cis f. II unisoni f. 5 emeles g ; emmcles h, k, o. 6 ec- melesg; ekmeles h, k, o. 9 sonum efficiunt h, k. || atl et f. 10 ea quae i, o. 11 conpitum i. 14 hae, quae] aeque i; heeque f. 21 inaequalitatis adiungantur f. |] pro- ximae f , i. 23 prius est om, g, h, k. 24 maiorum g. || mi- nore o. 25 ipso f. 28 quadrupli f, i. 30 [maxime?] 31 aequisonantiam] aequi consonantiam consonantiis f. 362 INST. MUS. V, 12. sesqualterae, diatessaron vero sesquiterliae comparationi copulentur. lunctae vero consonae cum aequisonis alias efficiunt consonantias , ut diapente ac diapason in triplo, diatessaron ac diapason in ea proportione, quae est octo 5 ad tres. Emmelis autem sunt, quae diapente ac diatessa- ron dividunt, ut tonus ceteraeque proportiones, de qui- bus paulo posterius in divisione tetrachordorum loque- mur, simplices earum scilicet partes. Quae sint aequisonae, quae consonae, quae emmelis. 10 XII. Igitur aequisonae quidem sunt diapason ac bis diapason , quoniam earum temperamento mixturaque unus ac simplex quodammodo efYicitur sonus. Consonae autem sunt primae quidem in superparticularibus sesqualtera et sesquitertia , id est diapente ac diatessaron ; et diapason 15 ac diapente et diapason ac diatessaron. Hae sunt compo- sitae atque coniunctae ex aequisonis et consonantibus. Emmelis autem sunt reliqui, qui inter has poni possunt, ut inter diatessaron ac diapente difTerenlia tonus, iungun- turque quodammodo aequisonae quidem consonantibus, 20 ut diapason ex diatessaron ac diapente, consonae autem ex his, qui emmelis soni vocantur, ut eadem diapente et diatessaron tonis ceterisque posterius dicendis proportio- nibus. Sed quonam modo quidem horum omnium pro- portio coliigi possit, ex eo loco sumendum est, quem 25 quarto volumine in fine descripsimus, ubi nervus super semispheria tendebatur. Ibi enim deprehenditur aequi- 1 comparationi] comparatio non i; conparatio f. 2 copu- lantur i; copulatur f. || consonael consonantiae f. 4 ac] a g. II est 0772. g. 5 Emmilis k. || quae] qui f, i. 7 tetra- chordarum k e/ h prima manu, 8 partis f. 9 Inscripi. om. g, h. II sunt f. 12 consonae] consonantiae i. 15 Haec i. || sunt om. f, i. 16 coniuncte g^ k. 18 diffe- rentias i; consonantia o. || tonos f, i. || iunguntur quae f. 20 ac] et o. || consonae] consonantiae f, g, i. 21 quij qaae et supra versum I qui k. || emmeles o. [| et] ac h, k, o. 23 quonam] quo f, i. 24 quemque i. 26 hemispheria h, k. [| Uhi i. [J aequi sonantio f ; aequisonatio mutatum in ae- INST. MUS. V, 13. 14. 363 sonatio diapason ac bis diapason et consonanliae simpli- ces diapente ac diatessaron et consonantiae compositae diapason ac diapente et diapason ac diatessaron et qui sunt emmelis soni, ut in toni difTerentia consistentes. Quemadmodum Aristoxenus intervalla consideret. s XIII. Quid vero de his Aristoxenus sentiat, breviler aperiendum est. IUe enim quoniam minime tractatum rationi constituit, sed aurium iudicio permittit, idcirco voces ipsas nuUis numeris notat, ut earum coUigat pro- portiones, sed earum in medio differentiam sumit, ut spe- lo culationem non in ipsis vocibus , sed in eo , quod inter se differunt, coUocet, nimis inprovide, qui differentiam se scire arbitretur earum vocum, quarum nuUam magnitu- dinem mensuramve constituat. Hic igitur et diatessaron consonantiam duorum tonorum ac semitonn esse propo- 15 nit, et diapente trium lonorum ac semitonii et diapason sex tonorum , quod fieri non posse superioribus volumini- bus demonstratum est. Descriptio octachordi, qua ostenditur diapason minorem esse sex tonis. 20 XIIII. Docet autem Ptolomaeus per cuiusdam octa- chordi divisionem diapason intra sex tonos cadere hoc modo. Intendantur enim octo chordae, id est A. B. C. D. E. F. G. H., fiatque sesquioctava •AK- eius, quae est -BL*, et •BL- eius, quae est -CM^, et •CM^ eius, quae est •DN-, etss •DN- eius, quae est «EX-, et -EX- eius, quae est «FO^, et quisonantia k. 1 simplices ac diapente f. 4 emmeli f ; em- meles o. 5 Inscript, om. g, h. 8 ratione f. 11 in ante ipsis ovu g, h, k. 14 mensuram vel g. 19 Inscript. om, g, h. II octochordi k. [| diapason consonantia minor k. 21 octo- chordi h, k, o. 23 modo supra versum rec, manu h. || octa- chordae i. [j K inter A et B ponunt f, i. 24 fietque g, h, k. II sexquioctava f. 26 eius post 'EX* supra versum rec. inanu h. 364 INST. MUS. V, 15. •FO- eius, quae est -GP. Erunt igitur sex toni. Rursus •H* dividatur nervus medius ad -R* Erit igitur •AK- dupla ab eo, quod est «HR* Pulsae igitur simul -AK* -HR* dia- pason aequisonantiam consonabunt. Si vero aliquis -GP* 5percutiat, semper erit paulo acutior, quam est -HR* ac per hoc transcendunt sex toni diapason consonantiam. Si enim «AK* et -GP* diapason pulsati resonarent, tonorum sex esset diapason consonantia. Si vero his non conso- nantibus -AK* et -HR* diapason consonarent, et -HR- acu- 10 tior esset quam -GP* , diapason consonantia sex tonos ex- cederet. Nunc vero, quia consonantibus -AK- et -HR- eadem -HR* ab ea , quae est «GP* , gravior invenitur , non potest, quin sex toni diapason consonantiam excedant. Atque ita sebsu quoque potest colligi, diapason consonan- 15 tiam intra sex tonos cadere. Sic igitur Aristoxeni error sine dubitatione convincitur. B C D E G H o R X N M K 20 IHalessaron consonantiam ietrachordo contineri. XV. Nunc de tetrachordorum divisione dicendum. 2 nervus dividatur f. || ad •R-] 'ADR- g. || «R* om. f. 6 percutiet g. 7 pulsanti g, i. 8 — 9 Si vero .... •HR-1 His vero non consonantibus si «AK* et HR- g, h, k. 9 — 11] diapason consonarent .... -AK* et -HR- his i. 9 Supra consonarent rec, manu non h. 10 excideret i. 12 ab ea] apta f. 13 excidant i. 17 Dispositionem om, g. h et i. arcus et inscripiiones addunt, 19 Inscript, om. g, h. || tetra- chordi f. 20 de om, g, i. INST. MUS. V, 16. 365 • Etenim diatessaron consonantia quattuor efficitur nervis, idcirco etiam diatessaron nuncupatur. Ut igitur duobus nervis altrinsecus positis ac diatessaron symphoniam con- sonantibus fiat tetrachordon duos necesse est statui in medio nervos, qui ad se invicem atque ad extremos tres 5 proportiones efficiant. Quomodo Arisioocenus vel ionum dividai vel genera eiusque divisionis disposiiio. XVI. Hoc igitur diatessaron Aristoxenus per genera tali ratione partitur. Dividit enim tonum in duas partes lo atque id semitonium vocat. Dividit in tres , cuius tertiam vocat diesin chromatis moUis. Dividit in quattuor, cuius quartam cum propria medietate, id est cum octava totius toni appellat diesin chromatis hemiolii. Cum igitur haec ita sint cumque generum divisio secundum eum sit duplex, i5 unum quidem genus est mollius, aliud vero incitatius. £t mollius quidem est enarmonium, incitatius vero diatoni- cum. Inter haec vero conslstit chromaticum incitatione mollitieque participans. Fiunt igitur secundum hunc or- dinem differentiae permixtorum generum sex, una qui- 3o dem enarmonii, tres autem chromatici, id est chromatici mollis et chromatici hemiolii et chromatfci toniaei, duae vero reliquae diatonici mollis atque incitati. Quorum om- nium talis secundum Aristoxenum divisio est. Quoniam enim quarta pars toni diesis enarmonios nuncupari prae- 25 dicta est, quoniamque Aristoxenus non voces ipsas inter se comparat, sed differentiam vocum intervallumque me- titur, est secundum eum tonus -XII* unitatum. Huius igi- tur erit pars quarta diesis enarmonios •IH- Quoniam vero 3 ac] ad g, k. 4 tetrachordum h, k, 0. 6 efficiat f; efficiunt) a supra u posito, g. 7 Inscript, om. g, h. 12 cromatis g> 0. 14 apellat k. 19 mollicieque g; molli- tiaeque i; molUciaeqne h. || hunc] hoc g. 20 trium gene- rum g, h, k. 22 tiionici f. 25 diesin g, h, k; diesi i. {| ermonios g; enarmonio f, i. || praedictum f, g, h, i, k. 27 mittitur i. 28 est] et i. 29 quarta pars 0. 366 INST. MUS. V, 16. ex duobus tonis ac semitonio diatessaron consonantia iun- gitur , erit tota diatessaron ex bis *XII- ac *VI- unitatibus constituta. Sed quoniam saepe fit, ut, si usque ad octa- vas velimus deducere partes, non in integros numeros, 5 sed in aliquas particulas incurramus, idcirco facienda qui- dem est tota diatessaron 'LX* at vero •XXnU- tonus, semi- tonium •XII* , pars quarta, quae diesis enarmonios dicitur, •VI* , octava autem -111* luncta vero octava cum quarta, •VI* scilicet cum tribus, ut faciat diesin chromatis hemio- 10 iii, erunt *VIIII* His igitur ita conslitutis tria genera, enarmonium, chrpmaticum, diatonicum, has Aristoxeno videnturhabere proprietates, ut alia eorum dicantur spissa, alia minime. Spissa sunt, quorum duae gravidres propor- tiones unam eam, quae ad acutum apposita est, magnitu- 15 dine non vincunl; non spissa vero, quorum duae propor- tiones unam reliquam poterunt superare. Est autem enar- monium et chromaticum spissum, diatonicum vero non spissum. Itaque enarmonium secundum Aristoxenum di- viditur sic VI. VI. XLVIII., ut inter gravem nervum ac 20 prope gravem sit quarta pars toni, quae dicitur diesis enarmonios , cum sit tonus *XXniI* unitatibus constitutus. Item secundum intervallum inter secundum a gravi nervo ad tertium sit eadem quarta pars toni *VI* Reliqui vero, qui restant ex *LX*, qui totius proportionis sunt, inter ter- 25 tium a gravi nervo atque acutissimum quartum ponuntur •XLVIII- Et duae proportiones ad gravem positae, id est *VL et -VI*, unam reliquam ad acutum locatam, id est •XLVIII* non vincunt. Chromatis vero moUis hanc facit divisionem VIII. VIIL XLIIIL , ut VIIL atque VIII. sint 80 tertiae partes tonorum. Est enim tonus, ut dictum est, •XXinL unitatum et dicitur toni pars tertia diesis chro- matis moUis. Item chromatis hemiolii diatessaron ita par- 1 ac] et h, k. || consonantiam i. || coniungitur o. 2 •VI-] •LX* i. 4 in om. f, i, o. 5 incirco f. 6 tonos f, i. 9 faciat] fiat g. || diesis f, i. 11 et chromaticum h, k. 13 et 15 quarum codd, 16 poterant i. 22 a om, i. 27 et] ad g^ h, i, k, o. 30 partis i; propartes g. || tonos 1. 31 tertiae f. 32 emiolii g, o. INST. MUS. V, 16. 367 titur VIIII. VIIII. XLII. Est enim diesis chromatis hemio- lii pars octava toni cum quarta, id est ex XXUII. VI. cum tribus. Item chromatis toniaei talis secundum Aristoxe- num partitio est. XII. XII. XXXVI. scilicet ut in duobus intervallis singula semitonia constituat, et quod est reli- 5 quum in ultimo. Atque in his omnibus duae proportio- nes, quae graviori nervo sunt proximae, reliquam, quae ad acutum posita est, minime magnitudine superant. Sunt enim, ut dictum est, spissorum generum. Spissa quippe genera sunt enarmonium atque chromaticum. Diatonica 10 vero divisio ipsa quoque est duplex. Et moUis quidem diatonici divisio est hoc modo XII. XVIII. XXX. , ut XII. semitonium sit, -X* et 'VIII* semitonium et quarta pars toni, XXX' vero quod reliquum est. Quorum -X' et •VIII- atque -XII* efficiunt -XXX* nec superantur ab ea parte, 15 quae reliqua est. Item diatonici incitali taiis partitio est, ut semitonium ac duos habeat integros tonos, idest XII. XXIIIL XXUIL, ex quibus XXUII. et XU., id est XXXVL non superantur a reliqua parte, quae ad acutum est, sed potius vincunt. Est igitur secundum Aristoxenum tetra- 20 chordorum praedicta partitio, quae subiecta descriptione monstrabitur. XLVIII. XLIIII. XLII. VL vin. VIIU. VI. VIII. vnii. LX. Enarm. LX. Chrom. moll. LX. Chrom. hemiol. 25 8 toni et i; toni ei f; toniei h. || et secundum 0. 4 par- tio f. II .XXXVI.] .XXVII- f; -XXVI. o. 6 emitonia f, g, II et quod est] ut quo dem g. 7 quae om. i. || proxime g. 11 et ipsa quoque h, k. 15 -XXX-] 'CCXXX' i. || nec. om. g. 16 partio i. 17 duas g; duo f, i. 18 •XXXIIU- loco primi .XXIIII' f. 21 partitio praedicta h. 23 — 28 et 368 INST. MITS. V, 17. XXXVI. XXX. xxim. XII. XVIII. xxnii. XII. XII. XII. LX. Chrom. ton. LX. Dtat. moll. LX. Diat. incit. Quomodo Archytas teirachorda dividat eorumque de- scHptio* XVn. Archytas vero cuncta ratlone constituens non 10 modo sensum aurium in prlmis consonantiis observare neglexit, verum etiam maxime in tetrachordorum di?i- sione rationem secutus est, sed ita, ut neque eam, quam quaerebat, eflQcaciter expediret, neque sensui proposita ab eo ratio consentiret. Ille enim tria genera esse arbitra- i5tur, enarmonium, diatonicum, chromaticum, in quibus eosdem gravissimos statuit atque acutissimos sonos, in omnibus quidem generibus gravissimos sonos faciens •II* •XVL, acutissimos vero «M^DXII. Inter hos in tribus ge- neribus nervum gravissimo proximum coUocat eum scili- 20 cet, qui sit •I-DCCCC-XLIIII- , ut ad eum •II-XVI- sesqui- vicesimam septimam obtineant proportionem. Post hunc vero infra acutum nervum, tertium vero a gravissimo, eum collocat in enarmonio genere, qui sit •LDCCC*XC-, ad quem •LDCCCC-XLIIIL sesquitricesima quinta propor- 25 tione iungautur. Idemque •IDCCC-XC- ad acutissimum, 1 — 6 Descript, om. g. h e/ k 'LX- supra reliquos numeros po- nunt, 7 Inscript, om, g, h. || que om, i; forumqae f. 13 expederet i. 14 arbitrabatur g, h, k, o. 15 chromati- chum f, g, 0. 18 -M- om. i; •!• h, k. || generibus om. g. 19 nervo g. 21 optineat f, i. 23 in armonio g. 24 sesquivicesima o. [] sesquitricesimam quintam optinet pro- portionera. lugantur f. INST. MUS. V, 18. 369 id est •TDXII* in sesquiquarla proportione sit constitutus. Item in diatonico genere tertium quidem a gravissimo nervo, secundum vero ab acutissimo, eum ponit, qui sit • I •DCCI-, ad quos • I * DCCCC • XLIIII* sesquiseptima pro- portione eoniuncti sint, ipsi autem -LDCCI* ad acutissi- 5 mum •IDXII- sesquioctava. In chromatico vero genere tertium a gravissimo et secundum ab acutissimo eum ponit, qui ad I-DCCI*, qui est secundus in diatonico genere eam obtineat proportionem^ quam obtinent •CCLVI* ad •CCXLIII- Hic autem est •!• DCCXCII • qui est secundus lo ab acutissimo appositus. Habetque proportionem secun- dus ab acutissimo in diatooico genere, id est •LDCCI- ad secundum ab acutissimo in cbromatioo genere , id est -h •DCCXCII* eam, quam habent rCCXLUI- ad CCLVI- Eo- rumque tetrachordorum secundum Archytae sententiam i5 divisorum formam monstrat subiecta descriptio. M.DXU. M.DCCCXC. M.DCCCCXLmi. ir.xvi. M.DX1I. M.DCCI. M.DCCCC XLIIII. n.xvi. M.DXIl. M.DCCXCII. M.DCCCC XLIIII. ir.XVl. 20 EDarm. Diaton. Chrooi. Quemadmodum Piolomaeus et Aristoxeni et Archytae tetra- chordorum divisionem reprehendat. XVIII. Sed utrasque tetrachordorum divisiones Ptoio- maeus ita reprehendit. Archytae quidem primo, quoniam 25 2 a om, f. 4 unum poit quos addit f. 8 secundus ab acutissimo o; secundns a gravissimo f, i. 9 optinet f, i. 10 est autem g; autem om, k; supra versum rec. manu h. 11 abpositus g; positus i. 13 •!• om, i. 17 — 21 De' scriptionem om, g. 21 Enarra. Diaton. Chrom. om, h; reC' manu add, k. 22 Inscript. om, g, h. 23 reprehendit f. 24 tetracordorum g; tetrachordarum h. Q divisiones tetra- chordorum 0. ]] divisione f. 25 Archite o; Architem g, h, BOETIUS. ^4: 370 INST. MUS. V, 18. secundus ab aculissimo nervus in chromatico genere, id est •I*DCCXCII* ita est coilocatus, ut nec ad acutissimuni •I-DXIL nec ad proximum graviori •I-DCCCC.XLIIIl- ullam superparticularem efficiat proportionem , cum Archytas 5 tantum superparticularibus comparationibus habuerit di- gnilatem, ut eas etiam in consonantiarum ratione susce- perit. Dehinc, quod primam a gravissimo nervo propor- tioneni in chromatico quidem maiorem sensus esse depre- hendat, quam fecerit Archytas. Hic namque in chroma- 10 tico genere •IDCCCC-XLIIII- ad -II-XVI- distare fecit ses- quivicesimam septimam proportionem , cum secundum consuetam' chromatici generis modulalionem sesquivice- sima prima esse debuerit. Item enarmonii generis ea proportio, quam prima a gravissimo secundum Archytae 15 retinet divisionem, talis est, ut longe minor esse debeat, quam in ceteris generibus invenitur. Hic autem aequam eam ceteris generibus statuit, dum primas a gravi pro- portiones in tribus generibus sesquivicesimas septimas ponit. Aristoxenum vero culpat, quoniam in chromate 20 molli et chromate hemiolio tales posuerit primas secun- dasque a gravi nervo proportiones , quae a se minimo et quantum sensus non possit internoscere distarent. Est quippe proportio prima in chromatis moilis divisione se- cundum Aristoxenum •VIIIs at in chromate hemiolio •VIIII* 25 Sed •VIII- ad •VIIII* unitatis differentia distant. Est autem totus tonus •XXIIIL unitatibus secundum positionem, quo- rum unitas vicesima quarta est. Primae igitur a gravi in- ter se proportiones chromatis mollis et chromatis hemiolii k; Architam f, i. 2 collatus f, g. 5 tantam f, g, h, k, 0. II adhibuerit f. 6 rationes ceperit g. 8 esse om, g, h, k. 10 ad] a f. 11 sesquivicesima septima pro- portione o. 18 Item quoniam o. || enarmonium genus f, g, h, i, k, 0. II ea om. o, eam f, g, h, i, k. 14 proportionem f, g, h, i, k, 0. II quam om. o. || primam f, h, i, k, o. jl a 0772. g. 20 talis i. 21 semitonio et supra versum se minimo h. 22 in quantum k, et h. prima manu. \\ potest o. 24 at] et g; atque f. 26 tonus totns g, o. || totus om, h, k. II propositionem g. 27 Prime g. INST. MUS. V, 19. 371 vicesima quarta parte toni distant, quod propter brevita- tem differentiae nulio modo sentit auditus. Idem etiam Aristoxenum repreliendit, cur diatonici generis duas tan- tum fecerit divisiones, ut in mollem incitatumque divi- deret , cum possint aliae quoque diatonici generis species 5 inveniri. Quemadmodum Ptolomaeus ietrachordorum divisionem fieri dicat oportere, XVIIII. Ptolomaeus enim tetrachorda diversa ratione partitur, iliud in principio statuens, ut inter duos altrin- lo secus sonos tales voculae aptentur, quae se superparticu- laribus proportionibus excedant, inaequalibus tamen, quo- niam superparticularis proportio non potest in aequa dividi; dehinc ut omnis comparatio, quae fit ad eum ner- vum, qui est gravissimus in tribus minor sit ceteris, quae i5 acutis vocibus coniunguntur. Sed in his ea , quae spissa nominamus, talia esse debent, ut duae proportiones, quae gravitati sunt proximae, minores sint ea proportione, quae relinquitur ad acutum. In non spissis vero ut in diatoni- cis generibus nusquam una. 20 7 Inscript. om, g, h. 14 dividi] partyri f. 16 acutis] acutissimis f. || ea] eam g. || spissa esse f. 17 talia] alia f . II utl et g. 18 sunt g, k. 19 Inconon g. || In om. i. | in om. h. 20 Ulieriora desunt, h add. FINITT; k: Finit. Haec desunt de libro -V* armoniae instytu. Quomodo Ptole- maeus dividat diatessaron iduas partes et cetera secundum capitum indicem. ^4* BOETII QUAE FERTUR GEOMETRIA. NOTARUM EXPLICATIO. ee=codex Erlangensis 288 saec. XI., satis diligenter scri- ptus et inscriptionibufl et fignris ornatus. Figurarum tamen pars non parva iraperiti hominis manum produnt. Itaque eas, quae nihil ad rem pertinebant, omisi, eas, quae addendae erant, correxi. m=codex Monacensis 23511 (zz, 511) saec XII. continet g^o- metriam in tres libros divisam. Figurarum magnam par- tem omittit. Ille locus, qui incipit: Sed iam tempus est ad geometricalis mensae traditionem usque ad ea rerba, quae post abaci figuram leguntur: ut si sub unitate naturaUs numeri ordinem iam dictos caracteres alia et minus periti hominis manu scriptus est quam reliqua. Gum maximam partem a codice e non admodum longe reeedat, sunt tamen loci, qui de suo quaedam editorera vel autorem huius codicis dedisse ostendunt. n = codex principis Boncompagui 230 saec. XII. Summa sua humanitate et liberalitate Boncompagni rogatu meo exem- plar locorum ad minutiarum figuram et abaci tabulam pertinentium diligentissime scriptum mihi misit. Proxime accedit hic codex ad e. n|=cod. Yatican. 3123 saec. X. • n2=cod. Barber. 830 saec. XII. n3=cod. Ottobon. Vatican. saec. XIII. ARS GEOMETR. 373 £xcerptos ex his de abaco et de minutiia loco8 eius- dem principis Boncompagni liberalitati debeo. pj=cod. Par. 7377. C. antiqnae fnndationis. P2=cod. Par. 7185. ant. fund. Contuli ex his, quae Woepcke edidit in quaestione de 5 Indorum arithmetica in Occidentem translata. (Sur Tin- troduction de Tarithm. Indienne en Occident Rome 1859). q = cod. Monacensis 560 saec. XI — XII. qui continet geo- metriam in quattuor libros distributam ita tamen, ut secundus et tertius partem tantum priorem libri, qui in lo codice e est prior, praebeant. Quae ibi leguntur de figuris geometricis et sequentia in q omissa sunt. Liber primus et quartus maxime alieni sunt a Boetii geometria. Sed et ea, quae Boetii esse credideris, adeo a codice e vecedunt, ut aut duorum eiusdem operis 15 graece conscripti interpretationem latinam aut correctio- nem interpretationis non admodum idoneae videre te putes. Incipii geomeiria Euclidis a Boeiio in laiinum lucidius iranslata, 20 Quia vero, mi Patrici, geometrum exercitissime Eucli- dis de artis georoetricae figuris obscure prolata te adhor- tante exponenda et lucidiore aditu expolienda suscepi, inprimis quid sit roensura diffiniendum opiuor. De mensura. 25 Mensura vero est quidquid pondere capacitate longi- tudine iatitudine altitudine animoque finitur. Principium 19 Anitii Mallii Severini Boetii prologus in geometriam incipit m ; incipit liber secundns artis geometriae de figuris q. 25 Explicit prologus, incipit liber I de eiementis m. 26 vero om, m. 27 animo terminatnr m. || Anie Principinm in q tnscriptio: De figuris. 374 ARS GEOBilETB. autem mensurae punctum vocalur. Punctum esi, cuius pars nulla est. Linea vero sine latitudine longitudo est. Lineae vero fines puncta sunt. De generihus linearum. 5 Recta linea est, quae aequaliter in suis protenditur punctis. Superficies vero est, quod iongitudine latitudine- que censetur. Superficiei autem fines lineae sunt. Plaha superficies dicitur, quae aequaliter in rectis suis lineis continetur. 10 Planus anguius est duarum linearum in plano invicem sese langentium et non in directo iacentium ad alterutram conclusio. Quando autem quae angulum continent lineae rectae sunt, tunc rectilineus angulus nominatur. Cum vero recta linea super rectam Ilneam stans cir- 15 cum se aequos sibi invicem fecerit angulos, rectus est uterque aequalium angulorum et iinea super rectam ii- neam stans, perpendicularis dicitur. Obtusus angulus maior recto est. Acutus autem angulus recto minor est. 20 J)e modis figurarum. Figura est, quae sub aiiquo vei aliquibus terminis con- tinetur, terminus vero , quod cuiusque est finis. 1 autem om, q. || punctus vocatur cum medium tenet figurae q. || vocatur] est m. [| Punctus q. 2 Lineae q. ij praeter latitudinem q. || est om. q. 4 Inscript, om^ m, q. 5 aequaliterj ex aequo q. || protenditur punctis] pnnctis iacet q. 6 vero est om. m. [] quod] quae m. 6 — 7 longi- tudine . . . censetur] latitudinem solam habet q. 7 autem] vero q. || finis q. 8 dicitur] est q. 8 — 9 aequaliter . . . continetur] ex aequo in suis rectis lineis iacet q. 11 in directoj directe m; directo q. 12 collusio q. 13 tnnc om, m. 14 Cum vero] Quando autem q. 15 angulos aequos sibi invice.m fecerint q. 16 et quae superstat linea super eam, quam insistit, stans superpendicularis vocatur q. 16—17 super . . . stans] superstans m. 18 Optusus q. || est maior recto q. 19 autem om, q. || est minor recto q. 20 Inscript, om. m, q. 21 Locus figura est quod q. || continetor extraclusus sine fundo q. 22 vero] est m, vero est q. || estom. q. ARS GEOMETR. 375 TLapides finaies ^ ] 10 Circulus vero est figura quaedam plana et circumducta et sub una iinea contenta, ad quam a puncto, quod infra figuram positum est, omnes quae incidunt rectae iineae sunt invicem sibi aequales. Hoc vero punctum centrum circuli nominatur. Diametrus autem circuii est quaedam recta linea per centrum ducta et ab utraque parte in cir- cumferentia circuli terminata, quae in duas partes aequas drculum dividit. Semicirculus vero est figura plana, quae sub diametro et ea, quam diametrus apprehendit, circumferentia con- tinetur. Rectiiineae figurae sunt , quae sub rectis iineis con- tinentur. Trilatera quidem figura est , quae sub tribus i5 rectis lineis continetur, quadrilatera autem quae sub quattuor. [Finitima vero iinea mensuralis est, quae aut pro ali- qua observationum aut aliquo terminorum observatur.] Multiiatera itaque figura est, quae sub pluribus quam so quattuor lateribus continetur. 1 Lapides finales om. e, m. 2 Lapidum formas om. m; q loco primae hahet □ , loco quartae [a£ca]. 3 yero om, m, q. II quaedam om. q. || et] qaae vocatur q. 4 continetur q. I| a] ab uno q. || quod] eorum quae q. 5 posita sunt q. || quaej que q. 6 aequae sibi invicem sunt q. 7 autem om. q. | recta quaedam q. 8 in om. q. 9 aequas partes q; partes aequales m. 11 vero om, m. 12 adprehendit q; comprehendit m. 14 Rectae lineae e, q. 15 quidem om, m. II est om. q. || tribus] duabus q. 16 autem om. m; vero q. 18 Finitima vero om. m; Finitima autem q. || pro om. q. 19 observatione m, q. || servatur q. 20 Multi- latera . . . est] Multilatere vero q. 376 ARS GEOMETE. De triangulis. Aequilalerum igitur trianguium est, quod tribus aequis lateribus continetur; isosceles vero, quod duo tantummoda latera habet aequalia ; scalenon vero, quod tria latera con- 6 tinet inaequaiia. Amplius trilaterarum figurarum ortliogonium id est rectiangulum quidem trianguium est, quod habet angulum unum rectum. Amblygonium vero, quod latine oblusiangulum dicitur, 10 est quod obtusum habet anguium. Oxygonium vero, id est acutiangulum, est, in quo tre& sunt anguli acuti. De quadrilateris. Quadrilaterarum vero figurarum quadratum vocatur, 15 quod est aequilaterum atque rectiangulum. Parte altera longius vero est, quod rectiangulum quidem est, sed aequi- laterum non est. Rombos vero est, quod aequilaterum quidem est, sed rectiangulum non est. Romboides autem est, quod in contrarium collocatas lineas atque angulos 20 habet aequales, non autem rectis angulis, nec aequis late- ribus conUnetur. Praeter haec autem omnes quadrilaterae figurae trapeziae id est mensulae nominantur. Parallelae id est alternae rectae lineae nuncupantur, 1 Inscript. om. m, q. 2 Aequilaterem q. 3 conti- netur] clauditur q. || hisoceles e, q; hisBOceles m. || vero] etiam est e, m. 4 vero om, m. || coHtinet inaequalia] in> aequalia possidebit q. 6 id om, m. 7 quidem triangu- lum est om. m. 8 unum] undique e, q. 9 vero] enim e, est m. II latine obtusiangulum] habet obtusum angulum q. 9 — 10 dicitur . . . angulum] in quo obtusus angulus fuerit q. 10 est quod] et m. 11 vero om. m. || Allerum est om. q. 12 anguli sunt q. 13 Inscript, om. m, q. 15 Parte vero altera longius q. 16 vero om, m. || est om, q. 17 vero 07». m. II est om, q. 18 Rombon id est q. 20 non autem] id autem nec q. 21 Praeter omnes autem hae m. 22 figurae om, e, m. || trapizea q. || nominentur q. 23 nun- cupantur] nominantur m. AR8 GEOMETR. 377 quae in eadem plana superflcie collocatae atque utrimque productae in neutra parte concurrent. Be petitionihus , quae sunt in geometria, Petitiones vero, sive postulata, ut veteribus placuit, dicantur, quinque sunt: 5 Prima, ut ab omni puncto in omne punctum recta linea ducatur, postulat. Secunda, ut definita recta linea in continuum rectum- que producatur, admonet. Tertia omni centro et omni spatio circulum designare lo praecipit. Quarta omnes rectos angulos sibi invicem aequos esse vult. Quinta autem, si in duas rectas lineas linea incidens interiores et ad easdem partes duos angulos duobus rectis 15 fecerit minores, rectas lineas in inlinitum productas ad eas partes, in quibus duo interiores anguli duobus rectis mi- nores sunt, concurrere iubet. De concepiionibus , quae sunt in geometria. Communes igitur animi conceptiones sunt, quae a2o 1 atqne utrimqtie prodtictae om. e, m. 2 in om, m. concnrmnt e, m. 3 Jnscripl. om* q; Inclpinnt petitiones geom, m. 4 vero om, m , q. || sive . . .^ dicantur om, q. 5 dicantnr om. m. || snnt quinque q. 6 Prima ut] petatur q. In e addiii sunt singulis petitionibus numeri I. II. III. IIII. V. praeter vocabula prima et seq. \\ in omnem e, m. || rectam lineam ducere omisso postulat q. 8 — 9 Secunda . . . ad- monet] Item definitam lineam in continuam rectumque pro- ducere q. 9 ammonet ». 10 Tertia] Item q. 11 prae- cipit om, q. 12 Quarta] et q. || sibi] quos ibi q. {] aequos om. q. 13 vult om. q. 14 Quinta autem] Item q. 15 et ad easdem partes om. e, m. 16 — 18 rectas lineas . . . iubet] productas infinitum rectas lineas concurrere ad eas quibus duobus rectis angulis sunt. 19 Inscript, om, q; In- cipiunt conceptiones geom. m. 20 Minores vero communes q. II igitur om. q; autem m. j| quae .. . vocantur om. q. 378 ARS GEOMETR. Graecis HOLvat evvoiai vocantur. Cum spacia et inter- valia eidem sunt aequalia, et sibi invicem sunt aequalia. Et si ab aequalibus aequalia auferantur, quae relin* quuntur, aequalia sunt. 5 Et si aequalibus aequalia addantur, tota quoque aequa- lia sunt. Et quae sibimet ipsis conveniunt, aequalia sunt. Omne parallelogrammum rectiangulum sub his duabus rectis lineis, quae rectum angulum continent, dicitur con- 10 tineri. Omnis vero parallelogrammi spacium unumquodque gnomo eorum quae circa diametrum eandem sunt paral- lelogrammorum nuncupatur. De circulis. 15 Circuli aequales sunt, quorum diametri aequales sunt; inaequales vero sunt » qui sic se non habent. Circulus circulum non contingere dicitur, qui, cum circulum tangat, in utraque eiectus parte non secat cir- culum. Circuli se invicem contingere dicuntur, qui tan- gentes sese invicem secant. 1 kenas ethnias e, m. || Cam . . . intervalla] Haec qaae q. 2 idem e. || sunt ante et addunt e, m. 3 anferatur q. 5 addantnr aequalia q. 7 convenit animo finitionis, aeqna- lia sunt q. 8 Ante hunc versum addit q: Nemo resistere uUo tempore parti convenienti poterit. 9 rectum ambiont angulum q. || continent om, e, q. 11 — 13 Quae i?i q legun- tur, haec sunt: Omnis vero paraUelogrammi spatii eorum quae circa eundem diametrum sunt parallelogrammorum qnotlibet unum cum supplementis duobus ginomo nominetur. Hic de extracluso loco dicit. Hic de trigono dicit. Si sint duae rectae lineae, quarum una quidem indivisa, altera vero quotlibet divisionibus secta, quod sub duabus rectis lineis rectiangulum continetur, aequum erit his, quae sub ea, qui indivisa est et unaquaeque divisione quod recti- angulo ^ntinetur habebere possessores. 12 gnomio e. 14 Inscript, om, e, m. 15 Aequales circuli q. || sunt aequa- les q. 16 sunt om. q. 17 Recta linea circulom con- tingere dicitur. quae q. 18 eiecta e; eiecta egesta q. 19 se] sese q. || tangentes] tam gentes q. ARS GEOMETR. 379 Rectae lineae in circulo aequaliter a centro distare dicuntur, quando a centro in ipsas ductae perpendiculares invicem sibi sunt aequales. Plus vero a circulo distare dicitur linea, in quam perpendicularis longior cadit. Portio circuli est figura, quae sub recta linea et circuli 5 circumferentia continetur. In portione circuli angulus esse dicitur, quando in circumferentia sumitur aliquod punctum et ab eodem puncto ad lineae termiuos duae rectae lineae subiunguntur. Angulus circuli dicitur, qui sub duabus subiunctis lineis continetur, quando lineae, quae adiun- lo guntur, aliquam circumferentiae comprehendunt particu- )am, ut in ea angulus consistere perhibeatur. Sector circuii esl figura, quae sub duabus a cenlro ductis lineis et sub circumferentia, quae ab eisdem com- prehenditur, continetur. 15 Similes circuiorum portiones dicuntur, quae aequales suscipiunt angulos, vel in quibus, qui inscribuntur anguli, sibi invicem sunt aequales. Figura intra figuram dicitur inscribi , quando ea, quae inscribitur, eius, in quam inscribitur, latera uno quoque 20 suo angulo ab interiore parte contingit. Circuli vero figura figurae circumscribi perhibetur, quotiens ea, quae circumscribitur, figurae eius, cui cu*- cumscribitur, suis omnibuslateribusomnesangulostangit. 3 sibi invicem q. 4 linea om, q. || perpendiculares q. 5 — 6 est figura . . . angalus om, q. 7 dicatur q. || circum- ferentiam q. 8 et ab eodem] eo vero q. 9 circuli om. q. 10 subiectis m. |{ lineae] autem q. 12 angulos q. 17 describuntur q. 19 Ante hunc versum addit q: Hic trigonus. || Fignram q. [| eam q. 20 in quam scribitur q. 22 Cir- culus scribi vero figura figurae q. 23 ea quae] aequa q. || circumscribitur om, q. || figura q. || circum inscribitur q. 24 q addit: Intra datum circulum datae rectae lineae, quae in diametro minime maior excitat, aequam rectam lineam- que aptare. Portio circuli est figura, quae surrecta linea et circuli circumferentia continetur. In portione angulus esse dicatur, quando in circumferentiam sumitur aliquod punctum ab eo vero puncto ad lineae terminos duae rectae lineae subiunguntur. 380 ARS GEOMETR. Explidt prolegomena, Incipii scema. Supra ddlan) rectam lineam terminatam triangulum aequiiaterum constituere. Ad datum punctum datae rectae lineae aequalem rectam lineam collocare. 5 Duabus rectis lineis inaequalibus datis a maiore minori aequam rectam lineam abscidere. Si duo trianguli duo latera duobus lateribus habent aequa, alterum aiteri, et angulum angulo habent aequum eum , qui sub aequalibus rectis lineis continetur, et basim 10 basi aequam habebunt, et triangulum triangulo aequum erit, et reliqui anguli reiiquis angulis erunt aequales, alter alteri, sub quibus aequalia latera subtenduntur. Si triangulus aequalia latera habeat, qui sub eius basi trianguli sunt, aequales alter alteri sunt, et aequalibus 15 lineis et basibus et angulis aequalibus utrique erunt. Si trianguli duo anguii aequi sibimet invicem sint, et quae sub aequalibus angulis subtenduntur latera sibi invicem sunt aequalia. Et super eandem aequalem rectam lineam duabus eis* 20 dem rectis lineis aliae duae reclae lineae, altera alteri, nullo modo constituentur ad aliud atque aliud punctum ad easdem partes eosdem fines aequalis rectae iineae pos- sidentes. Si duo trianguli duo latera duobus lateribus aequa 25possideant, alterum alteri, et basim basi habeant aequam, et angulo anguium habebunt aequalem, qui sub aequalibus 1 Incipit liber I theorematam Geom. m; Incipit de tri- angali ratione et linearam q. 2 — 3 Sapra datam . . . con- fltitaere om. q. 5 inaeqaalibas rectis lineis q. || minore q; minorem e, m. 6 abscindere m. 7 triangala q. 8 ha- beant m. || habente cam eis q. 9 continentar q. 10 basis basim q. 13 — 16 Si triangalas . . . atriqae erant om. q. 14 alter bis m. 15 atrimqae m. 16 aeqaae q. 18 sant] erant q. 19 Et om, q. || eisdem aeqaalibas rectis lineis ceciderint aliae m. 20 linea m. 21 ad] . Ad q. 22 aeqaali e; aeqaales m; aeqaalibas q. || rectis lineis q. 24 Si om, q. 25 possident q. || aequa q. 26 angtilnm angalo habebant aeqaale q. ARS GEOMETB. 381 rectis lineis continetur. In triangulo datam rectam lineam terminatam in duas aequales dividere partes. Datam rectam lineam secundum eam, quae superstat, dividere. Et datae rectae lineae ab eo, quod in ea est, puncto rectam lineam secundum rectos angulos elevare non dis- 5 convenit. Super datam vero lineam rectam infinitam ab dato puncto, quod ei non inest, perpendicularem rectam lineam dueere oportet. Quaecunque super rectam lineam recta linea consistens angulos fecerit, aut duos rectos faciet, aut lo duobus rectis reddet aequales. Si ad aliquam rectam li- neam atque ad eius punctum duae rectae llaeae non in eandem partem ducantur et circum se angulos duobus rectis fecerint aequos in directum sibi eas iineas iacere necesse esit. Si duae rectae lineae sese dividant, ad ver- 15 ticem angulos sibi invicem facient aequos. Omnium triangulorum exterior anguius utrisque inte- rioribus et ex adverso anguiis constitutis maior existit. Omnium triangulorum duo anguli duobus rectis angu- lis sunt ininores omnifariam sumpti. ao Omnium triangulorum maius latus sub angulo maiore subtenditur. Omnium triangulorum maior angulus sub latere maiore protenditur. Omnium triangulorum duo latera ceteris maiora suntas in omnem partem suscepta. Si in uno quolibet trianguli latere a finibus lateris duae rectae lineae interius coa- stituantur angulum .facientes , quae constituuntur reliquis quidem trianguli duobus lateribus sunt minores, maiorem vero angulum continebunt. 3o 2 in om. q. 2 — 3 Datam . . . dtvidere om. q. 4 in eo e, q. 5 non disconvenit om, q. 7 Et super q. || rero om, m, q. || rectam lineam q. 8 inest] inem q. 9 oportet 0771. q. II Quocunque q. || super] per q. 10 linea om, e, q. 11 reddit m. || aliquam] aequam e; eam m. 14 feceritm.|| aequis q. 16 invicem om. m. 18 constitutis angulus maior m. 23—26 Omnium triangnlorum . . . suscepta om. q. 26 suscepta] sumpta m. 28 constituentur m. 29 duobus om. q. II maiores e. 382 ARS GEOMETR. Datis tribus reclis lineis, quae sunt aequales, tres in eo qui datus est triangulo rectas lineas oportet constituere. Quarum duo latera ceteris maiora oportet esse omnifariam sumpta propter hoc, quod omnium triangulorum duo la- 5 tera ceteris fortiora sunt in omnem partem suscepta. Ad datam rectam lineam et datum in ea punctum dato recti- lineo angulo aequales rectilineos angulos collocare ne- cesse est. Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequaiia 10 habuerint, alterum alteri, quod angulum angulo maiorem habebit eum, qui sub aequali recta linea continetur, et basim basi maiorem habebit. Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habuerint» alterum alteri, quod basim basi maiorem habe- i5bit, et angulum angulo maiorem habebit eum, qui sub aequalibus rectis lineis continetur. Si duo trianguli duos angulos duobus angulis habue- rint aequos alterum alteri unumque latus uni lateri sit aequale, sive id, quod aequis adiacet angulis, seu quod sub 20 uno aequalium tenditur angulorum , et reliqua latera reli- quis lateribus habebunt aequa altera alteris et reliquum angulum aequalem reliquo angulo possidebunt. Si in duas rectas lineas recta linea incidens alternatim angulos fecerit aequos, rectas lineas alternas esse ne- 25 cesse est. Si in duas rectas lineas linea incidens exteriorem an- , gulum interiori et ex adverso angulo constituto reddat aequalem, rectas lineas aequales sub alternas esse con- veniet. 1 — 5 Datis tribus . , . suscepta om, q. 1 tres in eo qui datus est om, m. 5 ceteris om. m. 6 rectolineo q. 7 rectilineo e, m; relilineae q. [] necesse est om. q. 9—16 Si duo . . . continetur om, q. 9 aequa m. 11 ita et e. 17 triangula q. 19 sive id] sibi q. 20 sub uno dequa- lium subtenditur q. 21 aequalia m. || alteri q. 23 in- cidens quod alternatim sit et hos angulos fecerint aequos q. 26 in om. q. 27 interiorem m; interior q. || constituta m. 28 aequales om, q. ARS GEOMETR. 383 Si in duas inter se rectas lineas recta linea incidens alternos angulos aequales inter se fecerit, qui deintus et contra et in eisdem partibus sunt, et quae deintus lineae sunt duabus rectis lineis sunt aequales. Iterum ipsae rectae lineae adversus se ipsas erunt 5 altera alteri. Per datuni punctum datae rectae lineae alteram rectam iineam designare necesse est. Omnium triangulorum ex- terior angulus duobus interius et ex adverso constitutis angulis est aequalis; interiores vero tres anguii duobus lo rectis angulis sunt aequales. Qiiae aequas et alternas rectas lineas ad easdeni partes rectae lineae coniungunt, ipsae quoque et alternae sunt et aequales. Eorum spaciorum, quae alternis lateribus continentur, quae parallelogramma nominantur, et ex adverso lateraatque anguli constituti sibi i5 invicem aequales sunt ; ea quoque diametrus in duo aequa partitur. Omnia parallelogramma, quae in eisdem basibus et in eisdem alternis lineis fuerint constituta, sibi invicem probantur aequalia. Nam parallelogramma in basibus aequalibus et in eisdem alternis lineis constituta aequalia 20 esse necesse est. Aequa sibi sunt cuncta triangula , quae in aequis basi- bus et in eisdem alternis lineis fuerint constituta. Aequa triangula, quae coaequalibus basibus, et in eis- dem alternis lineis sunt constituta. 25 1 — 6 Si in duas . . . altera alteri om. q. 6 alterius m. 7 PerJ Super m. 8 lineam om. m. || necesse est om. q. || ct ezterior q. 10 interioris q. |] tres anguli] trianguli tres e ; tris angulis q ; anguli m. 13 Prius et om, m, q. || Alierum et om, q. 14 alteribus q. || qui q. || parallelo- grima q; parallelogramata m. 16. sunt aequales q. || ea quoque] eamque q. Q aeque patiuntur q. 17 parallelo- grammata m. 18 fuerint o»i. e, q. || invicem &i« m. 19 — 20 probantur . . . constituta om. m. 23 fuerint lineis q. || fuerint] sunt m. 24—25 Aequa . . . constituta om, q. 24 Aequi e. || triangula sunt m. || coaequalibus basibus] Vide- tur scrihendum: in aequalibus 1>asil^u8 sunt constituta. 25 altemis om. m. {| Post constituta addit e: aequalia sibi in- vicem sunt. 384 ARS GEOMETR. Aequa triangula, quae in eadem basi et In eadem parte fuerint constituta, in eisdem quoque alternis lineis esse pronuntianda sunt. Aequa triangula in aequis atque in directum posiiis 5 basibus constituta el in eisdem partibus et in eisdem quo- que alternis lineis esse necesse est. Si parallelogrammum iriangulumque in eadem basi atque in eisdem allernis lineis fuerint constituta, parallelo- grammum triangulo duplex esse conveniet. 10 Omnis parallelogrammi spacii eorum quae circa ean- dem diametrum sunt parailelogrammorum supplementa aequa sibi invicem esse necesse est. Dato triangulo aequale parallelogrammum in dato rectilineo angulo constituendum est. luxta datam rectam 15 lineam dato triangulo dato rectilineo angulo paralleio- grammum aequale protendendum est. Dato rectilineo angulo aequale parailelogrammum in dato rectilineo angulo collocare id est diametrum opoptet. Quadratum ad datam lineam terminatam praeben- 20 dum est. In his triangulis, in quibus unus rectus est angulus, quem rectiangulum nominamus, quadratum, quod a latere rectum anguium subtendente describitur , aequum est his quadratis, quae a continentibus rectum anguium lateribus 25 conscribuntur. Si ab uno trianguli latere quadratum quod describitur aequum fuerit his quadratis, quae ab reliquis duobus late- 1 Aequi e. || in easdem partes q. 3 pronuntianda sunt] pronuntio q. 4 Aeqni e. 6 lineis om, e, q. f| esse om. m, q. 8 lineis om. q. 10 eandem om, q. 11 di- metrum q. || sublementa e. 14 constituendum est] con- stituere q. || datam om. q. 15 in angulo q. 16 aequa- lem praetendere q. 17 angulo om. q. || aequalem q. 18 id est diametrum] Haec intacta relinquere quam corrigere ma- lui. \\ oportet om. q. 19 ad data linea terminata q. || prae- b>3naum est] constituendum est m; discribere q. 23 sub- tendentem discribitur q. 24 a] ac q. || continentibus] subtendentibus ra. 26 discribitur q. AR8 GEOMETK. 385 ribus describuntur, rectus est angulus, qui sub duobus reliquis laleribus continetur. Explicit raiio angulorum, Si sint duae rectae lineae, quarum una quidem est in- divisa , altera vero quotlibet divisionibus secta , quod sub 5 duabus rectis lineis rectiangulum continetur, aequum erit his, qua# sunt sub ea, quae indivisa est, et unaquaque di- visione rectiangula. Si recta linea secelur, quod sub tota et una portione rectiangulum continelur, aequum est ei, quod sub utraque lo portione rectiangulum clauditur, et ei quadrato, quod ad praedictam proportionem describitur. Si recta iinea secetur utlibet, quod describitur a tota quadratum, aequum est his, quae describuntur ab una- quaque portione, quadratis et eidem bis rectianguio, quod is sub eisdem est portionibus. Si recta linea per aequalia ac per inaequalia secetur, quod sub inaequalibus totius sectionibus rectilineum con- linetur, cum eo quadrato, quod ab ea describitur, quae inter utrasque est sectiones, aequum est ei, quod descri- 20 bitur a dimidia, quadrato. Si recta linea per aequalia dividatur, alia vero ei in directum linea recla iungatur, quod sub tota et ea, quae adiecta est, rectiiineum continetur, cum eo, quod descri- 2 reliquis] rectis m. 3 Inscripi. otn. m. || de ratione q. [] Inscriptioni addita sunt in q: Incipit regula rectarum linearum. 4 sunt m. || est om. q. 8 rectiangula con- tinetur e, m; rectiangulum continetur q. 9 totaj data m. 10 rectianguli e. || ei] eius q. || quodj quae e, m. 11 et om. m. 12 describit e; discribitur q. 13 toto e, m. 14 unaquoque q. 15 eidem bis] idem ius vel vis e; ius vel vis ei q. 16 est om, m, q. [] Post portionibus addit e con- venit, m clauditur. 17 ac per his m; ac pro q. || inae- qualia his m. 20 — 21 ei quadrato qui describitur ab ea, quae constat ex adiecta atque dimidia e ; ei quadrato ab ea, quae constat ex adiecta atque dimidia m. 22 per aequali dividitur q. 23 lineam rectam iungantur q. 24 rectili- neam q. BOETIUS. <2kv) 386 ARS GEOMETR. bitur a dimidia, quadralo aequum est ei quadrato, quod describitur ab ea, quae constat ex adiecta atque dimidia. Si recta linea per aequalia ac per inaequalia secetur» quadrata, quae ab inaequalibus totius portionibus descri- 5 bunlur, dupla sunt his quadratis, quae fiunt a dinoiidia et ab ea, quae inter utrasque est secliones. Si recta linea per aequaiia secetur eique in directum quaedam linea recta iungatur, quadratum, quod describi- tur a tota cum addita, et quadratum, quod desc4Pibitur ab 10 ea, quae addita est, utraque quadrata pariter accepta, ab eo quadrato, quod describitur a dimidia, et ab eo qua- dralo, quod ab ea describitur, quae ex dimidia adiectaque consistit, ulrisque quadratis pariter acceptis, dupla esse necesse est. 15 Datam rectam iineam sic secare convenit, ut, quod sub tota et una portione rectilineum continetur, aequum sit ei, quod iit ex reliqua sectione quadratum sive trigonum. In hac trianguli figura, quae obtusum habet angulum, tanto amplius ea, quae obtusos obtendit angulos, lateribus 20 potest, quae obtusum continent angulum, quantum est q[uod tenetur bis sub una earum [et ea] quae ad obtusum angulum a perpendiculari extra deprehenditur. Datoreclilineoaequum necesse est collocare quadratum. 1 dimidio e, m. || aeque q. 3 — 6 Si recta . . , sectio- nes o;72. q. 4 portionis m. 8 iungantur q. 9 a om. q. |; cum] eum q. 10 adiecta m. 11 ad dimidia q. 12 ab ea 0772. m; ab eo e. |{ quae om. m. |{ ex om, q; a m. |( que] quae q. 15 convenil om, q. 16 ei om, q. 17 quodj quo q. {| sive] sibi q. 18 hac] ista q. {{ triangulis q. |{ iigura om, q. Figuram ipsam om. m. {{ qui q. 19 amplius om, q. {{ obtunsos q. 20 amplius potest q. {{ Atite quae addunt e, m: quam ea. {{ qui obtunsum q. jf contiuet e, m. 21 continetur m. {] bis om* e, m. |I et ea om, e, m, q. |{ ob« tunsum q. 22 anguli e. {j a perpendiculari extra depre- henditur om. e, m. 23 necesse est om, q. ARS GEOMETR. 387 Si in circulo per cenlrum linea quaedam recta dirigatur ad aeqiiandam lineam rectam in centro positam, in duas aequas partes rectus eam angulus secat, et si rectus eam anguiu$ secet, in duas eum agrum dividet partes, quem comportionales sibi defendunt. 5 Si intra circulum punctum sumatur interius, quod est centrum, et ab eo punclo ad circulum duae iineae vel plu- res dirigantur, per eas lineas dantur circuli portiones, sed ab una parte una portio, quae est circuli conciusa figura, sub recta iinea et circuli circumferentia concluditur et 10 cuius oportet consignari describatur in portione. Nam- que est figura, quae hic angulos facit et sub duabus con- iunctis lineis continetur. Quando autem adiunguntur lineae, aliquas circumferentiae comprehendunt particulas, ut in eis angulis consistere perhibeatur. 15 Similes circulorum portiones dicuntur, quae sibi in- vicem sunt aequales, sive quadratae sive trigonae sint. Si circulum linea recta contingat, a contactu vero in circumferentia quaedam circulum secans linea recta du- catur, quoscunque angulos facit, duo anguli, qui sunt a 20 lateribus perpendiculi ab alterna divisione circuli, pares sunt; quas unumquemque suas intus in forma oportet accipere porliones. Nam est eminens forma recta locorum 1 Hunc versum praecedunt in q inscriptiones : Explicit liber geometrice artis secundas. Incipit liber •III- Anicii Manilii Severini Boetii geometricorum ab Euclide translatorum. pro centro e. 2 ad om. q. || centrum q. 3 aequales q. partes rectus] dividet prorectus q. || rectus eam angulus] proporrectos angulos q. 4 secat m. || agrum om, m. |{ di- vidit m. II quae comportiones m. 6 summittatur q. 8 portionem q. 9 qui q. 11 describitur. In portione nam- que m. || Nam qui q. 12 quae hic] qui hos q. || fecit m. || duobus q. y 14 lineas q. ]{ aliquae m. 15 in eas angu- los q. II perhibeantur q. 17 seu q. ^ quadrati m. |j tri- goni e, m. || Post sint addit q : sicut infra monstravi et datos possessores infra unum agrum quos conportionales fieri opor- tet, sic et ceteri. 18 Si intra circulum linea recta duca- tur q. 18—20 a contactu . . . ducatur om. q. 20 duo angula q. 21 perpendiculum q. || pares sunt] partes facit q. 22 unusquisque intus forma q. 25* 388 ARS GEOMETR. divisio spectationum terrae mensura el ideo non ab homi- nibus sed ab aeterno crealore formata. Ex adverso sibimet anguli constituli duobus reclis angulis sunt aequales. 5 In aequis circulis, qui in circumferentiis aequalibus anguli consistunt, sibimet invicem sunt aequales seu a centro seu a circumferentia progrediantur. Datam circumferentiam semicirculi in duo aequa divi- dere potis est. 10 In circulo idem angulus, qui in semicirculo est, rectus existit. Qui vero in maiore portione est, angulus maior est recto. Qui autem in minore portione est angulus, mi- nor est recto. Et maioris quidem portionis angulus recto maior existit, minoris vero portionis angulus recto minor 15 existit. Si circulum linea recta contingat, a contactu vero in circumferentia quaedam circulum secans linea recta du- catur, quoscunque angulos facit, duo anguli, qui sunt in alternis circuli portionibus, sunt aequales. Ex hoc igitur 20 manifestum est, quoniam, si a puncto circuli duae lineae rectae sese contingant el sibi invicem sint aequales, super datas rectas lineas circuli describere partes convenit. Intra dalum circulum dalae reclae lineae, quae dia- metro minime maior existat, aequam rectam lineam co- 25 aplare oportet. Intra dalum circulum dato triangulo aequorum angu- lorum triangulum collocare convenit. Circa datum circulum dato triangulo aequalium angu- lorum triangulum designandum est. 1 mensurata q. 4 anguli q. 7 seu] sibi q. 9 potis es m; possit q. 10 isdem q; id est e. 11 maior] minor q. 12 minor] maior q. 15 existat q. 16 in circum omisso ferentia q. 18 in alterna ante circuli q. 21 invicem om. m. || sunt q. 22 datas] dectas q. || con- venit om. q, in quo addita sunt haec: quae dato rectilineo angulo unus quis suas intus circulo oportet accipere portio- nes q. 25 oportet om, q. 27 convenit om. q. 28 da- tae triangulo q. 29 designandum est] designare q. ARS GEOMETB. 389 Intra datum circulum triaogulum interdum designare necesse est. Intra datum circulum quadratum aliquando describere utile est. Intra propositum quadratum circulum designare ets intra circulum per rectas lineas triangulos fieri aliquando praecipiendum est. Circa datum circulum quinquangulum aequilaterum et aequiangulum designare geometpes praecipiunt. Intra datum circulum quinquangulum, quod est aequi- lo laterum atque aequiangulum designare non disconvenit. Nam omnia, quaecunque sunt, numerorum ratione sua constant et proportionabiliter alii ex aliis constituuntur circumferentiae aequalitate multiplicationibus suis quidem excedentes atque alternatim portionibus suis terminum i5 facientes. De figuris geomeiricis, Supra positarum igitur speculationibus figurarum ab Euclide succincte obscureque prolatis et a nobis verbum videlicet de verbo exprimentibus strictim translatis, quae- 20 dam iteranda repetendaque, ut animus lectoris non ob- scuritate deterreatur, sed a nobis potius alicuius exempli luce infusa delectetur, videntur. 1 interdum om, q. 2 necesse est om. q. 3 aliquando om, q; aliquid e. 4 utile est om, q. 5 infra e, m. 6 circulo prorectas q. || aliquando praecipiendum est om. q. 9 aequiangulum] qui angulum q. || geometres praecipiunt om, q. 10 circulum post aequiangulum ponit, q. 11 non dis- convenit om, q. 12 quaecunque] quae m. 13 proportio- ualiter m. 14 quidam q. 15 propositionibus m. 17 De I th.* m ; Explicit liber III. Anicii Manilii Severini et Boetii Geometricorum ab Euclide translatorum , qui continet nume- o rum causas et divisiones circulorum et omnium figurarum rationes extremitatium et summitatinm genera, angulorum et mensurarum expositiones. Incipit altercatio duorum geo- metricorum de figuris, lineis et mensuris. q. Longe igitur alia in q seqimntur, quam in e et m leguntur; neque tamen haec neque illa Boetio videntur iribuenda. 390 ARS GEOMETR. Sunt enim a nobis quaedam buic operi inserenda, huic arti valde necessaria et supradictis respondentia et subsequentibus convenientia, ad quae intelligenda quicun- que in nostrorura arithmeticorum theorematibus instructus 5 accesserit , expeditiori intellegentia ducitur. Supra dictum igitur est, super datam rectam lineam terminatam Iriangulum aequilaterum constituere opor- tere, sed nimis involute. Qua de re huius exempli notam subiecimus. 10 Sit data recta linea terminata AB. Oportet igitur super eam, quae estAB, triangulum aequilaterum constituere et centro quidem A spatio vero B circulus scribatur BCED et rursus centro B spatio autem A circulus scribatur AFCD 15 et ab eo puncto, quod est C, quo se circuli dividunt, ad ea puncta, quae sunt A, B, adiungantur rectae lineae CA, CB. Quoniam igitur A punctum cenlrum est BCED cir- culi, aequa est AB ei, quae est AC. Rursus quoniam B punctum est centrum ACFD circuli, aequa est AB ei, quae 20 est BC. Sed et AB ei, quae est CA, aequa esse monstrata est. Et AC igitur ei, quae est BC, erit aequalis. Tres igi- tur, quae sunt CA, AB, BC, aequae sibi invicem sunt. Aequilaterum igitur est CAB triangulum et constitutum est supra datam rectam lineam terminatam eam, quae est 25 AB ; quod oportebat facere. 3 seqnentibus m. [| ad qnae] atque m. 9 subiicimns m. 10 Figiira deest in m. 11 rectilinea e. 25 Post Jiunc versum addit m inscriptionem : De secundo th.* ARS GEOMETR. 391 In superioribus yero dictum est, ad dalum punctuni <3atae rectae lineae aequalem rectam lineam collocare oportere, sed huius artls expertibus obscure difficulter- que. Sed nos animum lectoris quasi introducendo oble- ctantes huius subsequentis figurae explanationem positis 5 Hterarum linearumque notulis patefacimus. Sit quidem datum punctum A, data vero recta linea BC. Oportet igitur ad punctum A rectae lineae BC ae- quam rectam lineam collocare. Adiungatur enim ab A lo puncto ad B punctum recta linea, quae est AB , et cour stituatur super AB rectam lineam triangulum aequilate- rum, quod est DAB et eiciantur in rectum DA, DB rectae lineae ad AG et BM et centro quidem B, spatio autem BC circulus scribatur CFE. Et rursus centro D, spatio autem i5 FD circulus describatur FKL. Quoniam igitur B punctum centrum est CFE circuli, aequa est CB ei, quae est BF. Rursus quoniam D punctum centrum est FLK circuli, ae- qua est DL ei, quae est DF. Quarum quidem AD ei, quae est DB, aequa est. Aequilaterum enim triangulum est, id 20 quod est DAB. Reliqua igitur AL reiiquae BF existit ae- qualis. Sed et BF ei, quae est BC, aequa esse monstrata 7 Figura deest in m. 14 ad] AD e, m. 21 reliquiis e; reliquis m. 392 ARS GEOMETR. estetBCei, quaeestAL, erit aequalis. Ad datum igi- tur punctum, id quod est A, datae rectae lineae ei, quae est BC aequa locata est ea« quae est AL; quod oportebat facere, ut subiecta descriptio monet. 5 Tertio igitur loco superius ab Euclide prolatum est, duabus rectis lineis inaequalibus propositis a maiore mi- norem aequam lineam abscidere convenire, sed nimis strictim et ob id confuse involuteque. Nos vero ut animus lectoris ad enodatioris intelligentiae accessum quasi qui- 10 busdam gradibus perducatur, huius descriptionem formu- lae subiecimus. B Sint datae duae rectae lineae inaequales AB, CD et sit maior AB. Oportet igitur a maiore AB CD minorem lineam 15 abscidere. CoIIocetur enim ad A punctum ei, quae est CD, aequa ea, quae est AE, et centro A, spatio vero AE circulus describatur EGF. Quoniam igitur A punctum cen- trum est EGF circuli et AE ei, quae est CD, erat aequa- lis, et CD ei , quae est AG , erit aequalis. Duabus igitur 20 datis rectis lineis inaequalibus eis, quae sunt AB, CD, a maiore, quae est AB , minori, quae est CD, aequalis ab- scisa est ea , quae est AG ; quod oportebat facere. 4 subiecta] facta superius m. 6 Ante hunc versum ad- dit m inscriptionem: De «IIL th.* 7 convenit m. 14 ma- iori m. || AB minori CD minorem e. Videtur scribendum: minori CD aequam. 15 abscindere m. [[ ei] ea m, 16 ae- ^ua] a qua e, m. || et om. m. 21 mlnor m. || quae est CD, > e. ARS GEOMETR. 393 His iam compendiosis et tamen huius artis rudibus pernecessariis introductionibus lector initiatus si in aliqui- bus superius propositis vacillando abhorreat, per se simi- les figurarum descriptiones sine omnis impedimenti re- clamatione adinvenire potest et componere. 5 Sed iam tempus est ad geometricalis mensae traditio- nem ab Archita, non sordido huius disciplinae auctore, Latio accommodatam venire, si prius praemisero, quot sint genera angulorum et linearum et pauca fuero prae- locutus de summitatibus et extremitatibus. 10 De angulis, Rationabilium igitur angulorum genera sunt tria, hoc est rectum, hebes, acutum. Haec autem habent species VUn: tres rectarum linearum, tres autem rectarum et circumferentium , tres hebetis et circumferentium. 15 Rectus anguius est ethigrammos, id est rectis lineis comprehensus, latine normalis appeliatus. Quotiens vero recta linea super rectam lineam stans circum se angulos pares fecerit, ut singuli anguli recti sint, extans perpen- dicularis eius lineae super quam insistit, vertex est, cuius 20 sedem si subtendens linea perpendiculari fuerit iuncta, efficiet triangulum rectianguium. Hebes angulus est plus normalis hoc est anguli recti positionem excedens, quia et si trianguius secundum hanc ^ positionem constitutus fuerit, perpendicularem extra fini- 25 timas lineas habebit. Acutus autem angulus est compressior recto. Qui si a recta iinea quae sedis loco fuerit, rectam lineam secun- dum suam inciinationem emiserit, simiiique cohibitione rectam lineam in occursum exceperit, efficiet triangulum, 3o qui perpendicularem intra tres lineas habebit. Rectus ergo angulus est normalis, hebes plus norma- 1 iam] etiam e. 5 Post hunc versum addit m: Expllcit liber I. Incipit prologus in secundum librum. 8 quod m. 11 Incipit liber secundus m. 19 parens e. 394 ARS GEOMETR. lis, acutus minus normalis. Linearum yero genera sunt tria, rectum , circumferens, flexuosum. Recta linea itaque est, quae aequaliter in suis signis posita est, quae aequaliter in planitie posita non con- 5 currit. Gircumferens vero linea est, cuius signa ex utraque parte curvata et a se invic^m distantia non concurrunt. Quae signa si convenerint, circulus non circumferens linea debet appellari. 10 Flexuosa autem linea est multiformis velut arborum aut fluminum ceterorum signorum in quorum similitudi- nem et arcifiniorum agrorum finitur extremitas et mul- torum quae similiter in aequali linea sunt formata natu- raliter. 15 Summitatum igitur genera sunt duo. Summitas et plana summitas. Summitas est secundum geometricam appellationem, quae longitudine latitudineque protendi- tur. Summitatis autem fines lineae sunt. Plana vero summilas, quae aequaliter rectis lineis undique versum 20 finitur. Omnium summitatum in metiundo observationes sunt duae, enormis et liquis. Enormis vero est, quae per omne latus rectis lineis continetur. Liquis autem est, quae minuendi laboris causa et salva rectorum angulorum ratione secundum 25 ipsas extremitates subtenditur. Extremitatum quippe genera sunt duo, unum, quod pro rigore, et alterum, quod observatur pro flexuoso. Rigor est quidquid inter duo signa veluti in modum lineae directum prospicitur. Flexuosum vero est, quid- 80 quid secundum naturam locorum curvatur. Nam quod in agro a mensore operis causa ad finem directum fuerit, rigor appellatur. Quicquid ad horum imitationem in forma scribitur, linea appellatur. 1 vero] ergo m. 11 similitadine e. 18 autem om. m. 20 Omnium] autem m. || meciendo m. 21 liquis] reliqua m. 23 liquis] iqs m. 30 Nam] a m. 31 directum] rectum m. ARS GEOMETR. 395 Bini rigores sunt, quando singulis spatiis intervenien- tibus tendunt, ut itinera plerumque peragunt. Nosse autem huius artis dispicientem, quid sint digili, quid articuli, quid compositi, quid incomposili numeri, quid multipiicatores quidve divisores ad huius formae 5 speculationem , quam sumus tradituri, oportet. Digitos vero, quoscunque infra primum limitem, id est omnes, quos ab unitate usque ad denariam summam numeramus, veteres appellare consueverunt. Articuli autem omnes a deceno in ordine positi et in lo infinitum progressi nuncupantur. Compositi quippe numeri sunt omnes a primo limite id est a decem usque ad secundum limitem id est viginti ceterique sese in ordine sequentes exceptis limilibus. Incompositi autem sunt digiti omnes annumeratis e^dm i5 omnibus limitibus. Multiplicatores igitur numeri mutua in semet replica- tione voivuntur, id est interdum maior minoris inter- dum autem minor maioris muUiplicator existit, interdum vero numerus in se excrescens multiplicationis augmenta 20 suscipit. Divisores autem maiorum semper minores constituun- tur numeri. De raiione abaci, Priscae igitur prudentiae viri Pythagoreum dogma 25 secuti, Platonicaeque auctoritatis investigatores specula- toresque curiosi totum philosophiae culmen in numero- rum vi constituerunt. Quis enim musicarum modulamina symphoniarum numerorum expers censendo pernoscat? 2 in itinera m. 3 Scisse m. || despicientem p^. || Post dispicientem in m alia manus addidit oportet. 6 Digiti appel- lantur quincunque n. 9 veteres appellare 07». n. (| consue- verunt, et supra verunt runt e. 18 volventur m. || id est om, m. 24 Jnscript. om. m, 0^, pg. |[ abici e. 25 Pythagoricum ^31 Pi) P2* ^^ V^^ ^^* "i* ^^ musicorum volumina prima manu n. 29 expertia e; ex periciam; expercia n}, n^; ex- peritia n^; sine experientia p^. || censendo om. m. || Ante pernoscat addit p^ scientiae. 396 'A.KS GEOMETR. Quis ipsius lirmameDti siderea corpora stellis compacta nalurae tiumerorum ignarusdepreheudal, ortusque signo- rum eL occasus colligat. De arilhmetica vero et geome- trica quid attinet dicere, cum si vis numerorum perBat, 9 Dcc in nominando appareant? De quibus quia in arithme- licis et in musicis sat dictimi est, ad dicenda reverlamur. Pythagorici vero, ne in multiplicatioDibus el parUci- pationibus et in podismis aliquando fallerenlur, ut in omuibus eraut ingenioslssimi et sublilissimi , descripseruat loaibi quandam formnlam, quam ob honorem sui praece- ptoris mensam Pytbagoream nomiDabant, quia lioc, quod depinxerant, magistro praemonstrante cognoverant; a posterioribus appellabalur abacus, ut quod alta meute conceperant, melius si quast videndo osteudereDt, in no- li titiam omnium transfundere possent, eamque subterius habila sat mira descriptione rormabant. cmhIxmh mh ch 1h m I 1 Sydera m, n, pi; siderea ora. p^. 2 naturBe om. a. 3 et de geometrica n,. 4 pareat m. 6 est orn. n,. 7 et in D|. 11 particionibns n,, n,, p,, p,. 10 praeceptoris sui a,. 11 quod oia. m, 13 ut quod . . . conceperant om. m, , n,. 14 sic n, II qnod in n. 16 subterius] ut Bubtua patet n,. 16 sat mira habita n,, Uj. 17 Descriptionem abaci om. p„ P,. Huias abaci simplicisiiniaja tanliaa (ormam in contextiim re- cepi; qaa» codieee praebeant foTma» cum cognovisae ad matke-. /aVala ni.SHuiimi» i. ss Isr vt9 r t V t •» e -V % > i' V '/ r OiJU ^ffl^ l^'^ v^ r. 1 »xf .y. 0 •0 J ■ i 1 I 'i2 I oi^ini ng. |{ natnrau responaerent n^. 14 natnrali numero] supra versum I. II. III. ei cei. nj. 15 etenim n,, ^^2' °3» Pi> Pa* ^7 consueverunt m, n,. 18 iam dictos or- dine pi. || karacteris nj. 10 15 b ARS GEOMETR. 397 Superius vero digestae descriplionis formula hoc modo iitebantur. Habebant enim diverse formatos apices vel caracleres. Quidam enim huiuscemodi apicum notas sibi conscripserant, ut haec notula responderet unitati 1, ista autem binario ^^ , tertia vero Iribus .^vJ , quarta vero 5 quaternario r\ t^ , haec autem quinque asscriberetur ista autem senario JjJ , septima autem septenario conveniret y\. , haec vero octo W , ista autem nove- nario iungeretur \Jy. Quidam vero in huius formae de- scriptione literas alfabeti sibi assumebant hoc pacto, 10 ut littera quae esset prima unitati, secunda binario, tertia ternario, ceteraeque in ordine naturali nu- mero responderent naturali. Alii autem in huiusmodi opus aplces naturali numero insignito&- et inscriptos tantummodo sortiti sunt. Hos enim apices ita varie ceu 15 pulverem dispergere in multipiicando et in dividendo consuerunt, ut si sub unitate naturalis numeri ordi- nem, iam dictos caracteres adiungendo, locarent, non alii quam digiti nascerentur. Primum autem numerum id est binarium , unitas enim , ut in arithmeticis est dictum, 20 1 Supra hunc versum addit n^ inscriptionem: De caracte- ribus numeros in abico significantibus. [] vero om, ng. 3 karacteres n,. 5 5*] \ nj, S n^, n^ 2V[ Pi; || q^arta autem m, , n,, n^, n^, pi, pj. 6 ^ /=> ] /B n, qJ2 n^ A^ ^3 ^j^ Pi II ascriberetur ng, Ug, p,, p^. 7 ^] '^ n, Cl pi II I3 ] Ig 1^1 P ^2, ng. jj septima vero n,. 8 A] 21. "1 \ »2 r^ «3 N Pi- II § ] 3^ »1 cb »3. 9 O ] (5) n, [j depictione mj, n^, p,, p^; depinctione n,, n^. 12 V ordini n^. || naturali responderent n,. 14 naturali numero] supra versum I. II. III. et cet. n,. 15 etenim n,, n^» n^, Pj, pg. 17 consueverunt m, n,. 18 iam dictos or- dine pj. || karacteris n,. ,398 ARS GEOMETR. numerus non est, sed fonsetorigo numerorum. sub linea X inscripta ponentes XX et ternarium XXX et quaterna- rium XL ceterosque in ordine sese sequentes proprias secundum denominationes assignare constituerunt. 5 Sub linea vero centeno insignita numero eosdeni api* ces ponentes binarium CC, ternarium CCC, quaternarium CCCC ceterosque certis denominationibus respondere de- creverunt. In sequentibus vero paginuiarum lineis idem facientes nullo erroris nubilo obtenebrabantur. 10 Scire autem oportet et diligenti examinatione discu- tere in multiplicando et partiendo, cui paginulae digiti et cui articuli sint adiungendi. Nam singularis multipiicator deceni digitos in decenis, articuios in centenis, idem vero singularis multiplicator centeni digitos in centenis, arti- 15 culos in millenis et multiplicator milleni digitos in mil- ienis et articulos in decenis milienis et multiplicator cen- teni milleni digitos in centenis millenis, articulos autem in millenis milibus babebit. Decenus autem suimet ipsius multiplicator digitos in 20 pagina C inscripta, articulos in millenis, et multiplicator centeni digitos in millenis et articulos in X, et multipli- cator milleni digitos in X, et articulos in CM. et multipli- cator centeni miileni digitos in miilenis milibus et articu- los in XMI habebit. 25 Centenus vero aeque suimet ipsius multiplicator digi- tos in X et articulos in C et milienum multiplicans digitos 1 sub linearum X inscriptione m. 3 in ordinem n^. sese] se m. 6 CC, ternarium om. n^. U CC tis e, nj. 8 injsequentibus p^; insequentes p^. || veroj it' m. 9 errore e. II obtenebrantur e; obtenebantur pj. 11 partiendoj di- videndo n^. 13 deceni] decem n. 15 et onu m, n|. || multipli- cator deceni milleni digitos in decenis miilenis articulos iu centenis millenis et multiplicator centeni n^. 17 autem om, n|. 21 prius et om, m. ||^] decenis millenis m. 22 mil- leni] centeni m. || X] -C-M ng. || et om, %. || centum -M- e; centenis I m. et om, nj. 24 decies mille milibus m; decles millenis milibus pi. 25 suimet] sui n^. ARS GEOMETR. 399 in C et articulos in XC, el centenum millenum multipU- cans digitos in Xes MI et articulos in CMI, et decenum miilenum multipiicans digitos in MI et articulos in Xes MI subtendet. Millenus itidem se ipsum multiplicans digitos in Xes C 5 et articulos in Ces C, et centeni milleni multiplicator di- gitos iu CM I et articuios in MMI, et decenum millenum excrescere faciens digitos in Xes MI et articulos in Ces MI habere dinoscetur. Decenus autem millenus multipiicator centeni milleni lo digitos in MMI et articuios in Xes MM I seque ipsum ad- augens digilos in CMI et articuios in MMlhabere depre- henditur. Centenus autem millenus se ipsum multiplicans digitos XM r et articulos C M F subponet. i5 De divisionibus, Divisiones igitur quantaiibet iam ex parte lectoris ani- mus introductus facile vaiet dinoscere. Breviter etenim de his et summotenus dicturi, si qua obscura interve- 1 C] CM pi II et om, nj. XC] decies C milibus m; M-L p|. || et centenam . . . C M I ante subtendet ponit p^. 2 decies mille mili- bus m; MI n. 11 et om. n,. || centies Imillibus m; X^MI n. [] et decenum .... X«s .M-I orn, m, n. 2 — 3 mille millenum n^. 3 MI] -CMM- n,J X« MI] M^MM nj. 5 se] semet nj. | X«* centum e; MM n^, 6^ et om, n,. || X"MM Dj. 7_C mille milibus m. || milies MI n, p^. || et decenum . . . C^^MI om. p|. II milienum bis e. 8 Alterum in om. n. 9 milies centies •M-I* n. [[ dinoscitur n. 10 milleni om, nj. 11 mi- lies milia M n; miliies MI p,. || X«* MI e; XMfn^, pj. 11 seque . . . MMI om. n^. 15 in XMM articulos in CMM n,. ^X" MI e; X«« M Uj; decies MI pi. || C«» MI n^ centies MI p^. 16 Inscript, om, m, p,, p^. 18 facile . . . dino- Bcere om. Ug. || enim m , p| , p^. 400 ARS GEOMETR. nerint, diligenti lectorum exercilio adinvestiganda com- mittimus. Si decenus per se vel centenus per se vel ulteriores per semet ipsos dividendi proponantur. minores a maio- 5 ribus quoadusque dividantur, sunt subtrahendi. Singularem autem divisorem deceni aut centeni aut miileni aut ulteriorum vel decenum divisorem sequentium sumpta differentia eos dividere oportet. Compositus autem decenus cum singulari per secun- 10 das vei tertias et deinceps secundum denominationem par- tium decenum vei simplicem vel cbmpositum divisurus est. Centenum vero vel millenum vel ulteriores per dece- num compositum , si diligens investigator accesserit, difTe- rentia et primis articulis dividendo vel secundatis apposi- i5tis, auctis aulem dividendo subpositis dividi posse per- noscet. Centenus autem cum singulari compositus centenum vel millenum hoc pacto dividere cognoscitur. Sumpto igi- tur uno dividendorum , quod residuum fuerit , divisori est 20 coaequandum et quod superabundaverit sepositis reser- vandum. Singularis aulem vel, ut alii volunt, minutum per ae- quationem maiorum est multiplicandum et digitis quidem perfecta differentia subponenda, articulis autem inper- 25 fecta est praeponenda. Et hae differentiae et si forte ali- quis seclusus sit, significant, quod residuum sit ex divi- dendis. Haec vero brevi introductione praelibantes , si qua obscure sunt dicta vel, ne taedio forent, praetermissa, 30 diligentis exercitio lectoris committimus, terminum huius 1 committemus ng. 3 se om, n. 4 divendi n^. 5 quo- usque m. 14 vel] vel si n. Aut omittendum videiur vel aut scri- bendum appositis vel secundatis. || oppositis p^. 15 acutis e, n. 17 positus m, nj. 19 divisiori Ug; divisorem n. est om. n. 20 superhabundaverit ng. 22 velut n^, Ug. ji aequatione e; coequationem ng, Pi, p^. 25 Et hae differen- tiae om. m. 28 His vero . . . praelibatis m. 30 diligenti p^. E ARS GEOMETR. 401 libri facieiUes et qiiasi ad uliiiora sequentium nos conver- tenles. Incipit liber 11 geometriae, Superiore vero tractalu voluuiinis omnia geometricae arlis tiieoremata quamvis succincle tamen sunt dicta , sed 5 podismorum notitiam hic liber quasi quaestionarius et omnium podismalium quaestionum scrupulosilates incun- ctanler absolvel enodando. Veleres etenim agrimensores omnem raensurae quadraturam dimidio longiorem latio- remve facere consuerunt, et quod in longitudine lon- lo gius fuerit, striga appeliare voluerunt, ut subiecta docet ibrmula. scamnum Be mensuris, Prisci igitur sophismatis cautissimi dispectores duo- i5 decim mensurarum genera constituerunt, quibus cum vellenl formarum agrorumque emetirentur areas, quorum haec sunt nomina: miliarium, stadium, actus, decem- peda, quae eadem et pertica, passus, gradus, cubilus, pes, semipes, palmus, uncia, digitus. 20 1 ulteriora p^. || convertens n^. 3 Incipit prologus III. libri m. 4 Superioris m. [[ vero om. m. 7 scrupulosi- tatesj noticiam m. 8 enim m. 13 Focabula scamnum, striga om, m. 14 Inscript. kanc et seqq. om. m. 15 di- spectiores •XII» n. 17 metirentur n. 20 digitus om, e. BOETIUS. ^^ 402 >R8 GEOMETR. ^ , Miliariuin vero quinque milia pedum protensiones ha- bere sanccitum est; stadium autem DCXXV pedes habere constat. Actus trifariam dividitur, in minutum, in qua- dratum, in duplicatum. Actus minimus llll tantum pedi- 5 bus in latiludine el CXX pedibus in longitudine proten- ditur. Actus vero quadratus ex omni iatere CXX pedibus concluditur. Actus autem duplicatus CCXL pedes explicat. Decempeda pedes X colligit, passus V, gradus II, cu- bitus I pedem habere dinoscitur. 10 Pes autem palmos habebit IIII, semipes II; palmus vero IIII digitorum protensione completur. De unciali vero et digitali mensura melius, cum de uncialibus et notis et nominibus in sequentibus disputa- verimus, dicemus, enodatiusque , cum de punctorum 15 minutorumque subtilitatibus praemiserimus, eioquemur; nunc ad sequentis tractatus enarrationem redire nos con- venit, si prius quid pes porrectus, quid constratus quid- que sit quadratus demonstraverimus. Pes etiam porrectus dicitur, ubi tantum pedalis men- 20 sura in longo pernoscitur. Constratus autem pes ille diiu- dicatur , in quo longitudo latitudoque consideratur. Qua- dratus vero pes habetur , ubi trinae dimensionis conside- ratio in aequalitate censetur. Sed iam tempus est ad id , quod instituimus, accedere. 25 Be mensura et iribus dimensionibus, Quamvis etiam in superioris libri principio, quid sit mensura, generaliter designaremus, libet tamen specia- liter huius artis speculatori satis faciendo secundum lulium 1 vero om, m. 2 pedibus constat m. 6 pedibus om, m. 7 autem om, m. {| pedes om. m. 9 1 pedes e. 15 que om, n. 19 etiam om. m. 20 diiudicatur om. m; dividicatur n ; dividitur e. 21 considerautur m. 25 £x- plicit prologus. Incipit liber III. m. 26 etiam om, m. 28 speculator e. ARS GEOMETR. 403 Frontinum geometricae artis inspectorem providissimum, quod sit mensura, defmire. Mensura quippe est complurium et inter se aequalium intervaliorum longitudo finita. Geometricae autem artis mensuralis specuialio trinae dimensionis id est longitudi- ^ nis, latitudinis, crassitudinis consideratione coliigitur, et ut enucleatius resolvatur, recto plano solidoque dino- scitur. Rectum est, quod longitudine solum mensurando cen- setur, ut lineae, porticus, stadia, miliaria, fluminum lati- lo tudines et alia quam plura longa protensione directa , ut lineae infra depictae descriptio notat. Planum est, quod a Graecis dicitur epipedon, a nobis autem constrati pedes, quod per longitudinem, latitudi- 15 nem consideratur, ut agrorum planities et aedificioruni areae absque tectoriis operibus, et laquearibus ac tabula- tis et his similibus, ut subiecta formula docet. Solidum eliam est, quod Graeci stereon vocant, nos 20 autem quadratos pedes, quod iongitudinem et latitudinem crassitudinemque habere comprobatur, ut aedificiorum, pilarum pyramidumque nec non etiam maceriae lapidum aiiaque multa, ut subiectae notant formulae. 5 mensuralis om. m. 6 vel crassitudinis altitudinis m. 18 subiecta om, ra. || formula] descriptio m. 20 etiam om. m. 21 et om. m. 22 que om. m. [] probatur ra. 24 ut propria notat descriptio m. 26* 404 ARS GEOMETR. Sed iam tempus est podisnialium noticiam quaestio- num, ut promisimus, narrando altingere et de investi- ganda pedaturae speculatione protinus dicere. £t de tri- 5gonisvero, qui, sicut ternarius naturaliter procedit qua- ternarium, ita sunt praeponendi tetragonis et pentagonis caeterisque, inprimis dicendum esse censeo. De tngonis. Sunt autem trigonorum genera principaiia VI, iso- 10 pieurus, isosceles. scalenon, orthogonium, ambiygonium, oxygonium, quorum omnium in sequentibus fornias et pedaluras explanabimus. JDe isopleuro. Trigonus igitur isopleurus, qui in praecedenlis libri ispaene principio aequilaterus triangulus dictus est, paria latera habere comprobatur. Ponatur ergo isopleurus in singulis habens lateribus pedes XXX. Huius embadum, id est area, tali modo est investiganda. Summa etenim unius lateris per se multiplicata DCCCC numerum com- m: 1 e addit figuras ( ^ Sed altera quoque fi- v ^ gwrarum supra descripiarum videiur omittenda, 5 vero] quidem m. || qui] quia m. 7 esse om, m. 9 hysopleurum m. 10 hisoceles e, \ / m. II scalemon e, m. 11 ozigonium e. || for- V mam m. 13 hisopleuro e. 14 hisopleurus e, m. 18 modo] ratione m. |1 est om. m. || etenim om. m. ARS GEOMETR. 405 plet. Cui si quirigenta et X subtrahantur , relinquuntur CCC XC. Tot pedes huius trigoni isopleuri embadum col- ligit. Nam cathetum pedibus XXVI constat protendi. Qui si per unius lateris medium id est per XV multipiicati ex- creverint, embadum complent. Aut si unius lateris pars 5 tertia per ternarium et denarium augebitur , CCC nascen- tur. Si vero summa lateris unius per eundem ternarium multiplicabitur, nonaginta reddet, qui superioribus CCC*** iuncti CCC**'^ XC facient. Sit autem praedictorum infra facta depictio. lo XXX Ne autem lector in huiusmodi investigationibus aliquo erroris et inscitiae nubilo praepediatur, eiusdem iterum trigoni isopleuri id est paribus iateribus solidi manifestis- simae demonstrationis exemplar subiiciemus. Esto age i^ isopleurus, cuiusIaterasinguIaXXVlII pedes colligant, quo- rum si unum per se augmentatum excreverit, DCC.*°^^'" LXXX-IIIL summa consurget, cui si unius iateris nume- rum aggregaveris DCCC^^ XII nascentur. Horura sumpta medietate aream supradicti isopleuri pernotabis, ut sub- ^o iectae descriptionis formula docet. XXVlh 9 — 10 Sit .... depictio] id est aream snpradicti tri- goni m. 18 unius de lateribus m. 20 ut est cta descri- ptio m. 406 ARS GEOMETR. Huius autem saepe iam dicti trigoni ut lateris unius- cuiusque mensuram inquisitus quis investigare valeat et dicere, apertissimum dabimus rationis experimentum. Proponatur itaque, si aream CCCC^^* VI pedibus pro- 5 tendi constiterit, quot pedum planitudines latus unum- quodque colligere pernoscatur. Ducatur ergo suprascripta area octies et in 111.™«'" •CC-XLVIII numerum consurgit. Huic si unum addatur, fiunt III • CCXLVIIII. Huius sum- mae latus si sumpsero, erit LVII, cui si unitas subducta 10 fuerit, LVI relinquuntur, quorum si medium adinvesti- gavero, XXVIII fiunt. Tot namque latus quodque huius isopleuri pedibus protenditur. De isosceli, Isosceles autem, qui ab Euclide geometricae peritis- 15 siino duo tantum latera habens aequalia est determinatus, secundus in ordine trigonorum constituitur. Cuius si la- tera bina inparibus numeris, id est XXV, protendantur pedibus, XIIII pedalia spacia basis habere pernotatur. Restat igitur, ut, quot pedes area vel cathetus coUigat, 20 requiramus. Si vero basis medietatem, hoc est VII, per se multiplices, XLVIIII nascenlur. Mensuram autem unius lateris si per se , id est XXV, multiplicaveris, DCXXV red- des, ex quibus si XLVIllI seposueris, DLXXVI relinquun- tur, quorum si latus acceperis, XXHII erunt. Tot pedi- 25 bus cathetum huius trigoni constat protendi. Area autera, quot pedes habeat, ut inveniantur, sic est faciendum. Medietas rursum basis sumenda est, id est VII, quos si per cathetum, id est per XXIIII, multiplices, CLXVIII effi- cies. Tot pedum est supradicti trigoni embadum, ut 30 supter in pictura notatur. 2 quis] qui e. 6 ergo suprascripta] itaque supradicta m. 7 consurget m. 11 quotque m. 13 hisoceli e. 14 Hisoceles e, m. |j geometricae] huius artis m. 26 inve- niantur] investigare queas m. 27 rursnm om. m. 28 mul- tiplicaveris m. || CLXVIIII e. ARS GEOMETR. 407 Xlill Scalenon igitur ab Euclide tria habens iatera inaequa- lia determinatus est. Sed nos numero et figurae pictura aperta dabimus exemplaria. Proponatur itaque scalenon trigonus, qui a Latinis cuneus appeliatur, cuius minoris 5 lateris declive XV pedes obtineat, maioris protensio late- ris XX pedes coliigat, basis autem XXV pedalia pernote- tiir habere liniamenta. Quot vero pedibus huius trigoni i^athetus et embadum protendatur, restat, ut quaeratur. Ducatur ergo minoris lateris summa multiplicando in se, lo liunt CCXXV. Item basis, si per se muitiplicetur, DCXXV excrescent, quibus in unum compactis DCCCL nascentur. Hac igitur semovendo seciusa maioris lateris summam in se multiplicari conducit, quae muitipiicatio CCCC nume- rum adducit. Quem videlicet CCCC numerum si de prius is seposita summa, id est de DCCCL, abstuieris, CCCCL relinquuntur. Horum si medium sumpseris, CCXXV ex- plicabis, quibus si summa basis, id est vicesima qiiinta pars, auferatur, novenarius erit. Tot pedibus huius tri- goni continetur praecisura , vel eiectura minor. Restat, ut 20 cathetus quot habeat pedes requiratur. Multiplicetur ergo minus latus per se, sicut supra, et CCXXV prodeunt. Kursus augmentata minoris praecisurae per se summula LXXXl producil. Hos si auferes ex in se ducto latere, CXLHH supersunt, quorum duodenarius esse dinoscitur 25 iatus. Tot pedes huius trigoni cathetus colligere perhibe- 2 Scalemon e. 3 determinatur m. || picturae figura in. 10 multiplicando om, m. 15 addncit .... CCCC nu- merum om, e. 16 posita m. 22 et om, e. 23 Rursus €t e. 24 LXXI e. || aufers m. 408 ARS GEOMETR. tur. Areae vero podismus tali modo reperietur. Metiatur ergo cathetus basim , id est XII-XXV, et CCC consurgent, quorum medietatem saepe dicti trigoni scalenos embadum podismatur, ut in subiecta figura notatur. VUll XXV De orikogonio. Quarto nimirum loco trigonus orthogonius ab Euclide inseritur et undique rectum habens angulum designatur, inaequalia continens latera. Quem nos ipso aditu diffici- 10 liorem ceteris obscurioremque esse arbitramur et ideo prolixiorem in eius explanatione moram faciemus. Esto modo trigonus orthogonius, cuius cathetus pari numero insignitus, id est V11I pedibus mensuratus, protendatur. Cuius si latera ignorantur, hoc modo adinyestigari ab Ar- 16 chita praecipiuntur. Sumatur ergo supradicti calheti me- dietas, id est IIII, et per se multiplicetur, et XVI excre- scent. Quibus si unitas subtrahatur, XV apparent. Tot pedum huius trigoni basis esse cognoscitur. Praedictae per medietatem cathetos summae adauctae si unum ad- 20 datur , erunt pedes hypotenusae XVII. Per eandem item summam, id est per XVI, embadum est inveniendum. Ducatur ergo huius summae medium per cathetum et LXilll consurgent, qui areae complent supputationem, quod patenter in subiecta formula declaratur. 35 XV 3 scalenon m. 4 ut . . . notatur om, m. 13 proten- ditur m. 14 investigari m. 15 ergo] itaque m. 18 no- scetur m. || Praedictae item m. 20 ypotenusae e, m. 24 quod patenter . . . declaratur om. m. ARS GEOMETR. 409 De orthogonio, Conemur itaque huius orthogonii apertam et ratam et per paris et per imparis numeri quantitatem inslituere de- scriptionem. Asscribatur ergo inprimis par numerus ca- thelo, id est VI. Cuius medietate in se augmentata VIIII 5 proveniunt. Cui si secundum nostri praecepti normulam superius designatam unum auferatur, octonarius erit ba- sis huius trigoni, cuius medietas, scilicet quaternarius, per c^thetum multipHcata secundum quod supra dictum est, aream complet. Ul autem per cathetum et basis et lo hypotenusae pedaturam sine ullius impedimenti reclama- tione inquisitus possit edicere, facillimum et apertissi- mum nostrae auctoritatis exemplum dabimus. Multiplice- tur etenim per suam quantitatem medietas huius trigoni catheti, et summae, quae ex hac multiplicatione pro- 15 venerit, unitas aggregetur, erit bypotenusae pedatura. Eidem autem si auferatur unum , erit basis. Sitque huius rei haec facta descriptio. vni Instituamus ergo huius trigoni orthogonii per iujparem 20 numerum probabilem explanationem. Annotetur etiam cathetus impari numero, id est III. Quem si in se duxeris, VIIII explicabis, quibus unilate subducta VIII supersunt. Quorum medium si sumatur, basis orthogonii huius peda- tura fore comprobatur. Huic vero basi vel medietati, id 25 est ITII, si unum aggregaveris, hypotenusam huius trigoni comprobabis. Embadum autem, ut supra dictum est, reperiatur, id est cathetus per medietatem basis excrescat, ut infra cernitur in pictura. 8 cui e. H dabimus nostrae auct. ex. m. 14 enim m. 17 Sit huius haec. m. 29 infra cernitur] patet m. 410 ARS GEOMETR. Ne aiilem huius disciplinae curiosum indagatorem ali- qua fallat obscuritas, de hoc eodem orthogonio ilerato disputare non piget. Est enim alia inveniendi calhetum 5 et basim et hypotenusam ratio. Ponatur ergo cathetus y pedibus protensus. Quem si multipUces per sui quanti- tatem, XXV notabis. Basis autem Xil habens pedes in- scribatur, quae si sicut cathetus in se concreverit, CXLIIII nascentur. Hae summae, id est XXV et CXLIIII copula- 10 tae GLXVIIII resiituunt. Horum latus XIII esse mani- festum est, id est hypotenusam supradicti trigoni. Deni- que si hypotenusam per se augendo duxeris, par supra copulatae quantitati, id est CLXVIIII, reddes. De quibus si cathetum in se ductum subduxeris, CXLIIII residui 15 sunt, quorum latus, id est XII, basim restiiuit. Ex hypo- tenusa vero per se multiplicata , si quis basim in se du- ctam, hoc est ex CLXVIIII CXLIIU, subtraxerit, non plus quam XXV remanent. Horum latus, id estV, cathetum constituit. Aream autem basis medietas et cathetus com- 20 muitiplicati metiuntur. Item per cathetum basis edicere pedaturam in hoc trigono conducit. Sit modo supradictus cathelus V. Hic vero in se ductus XXV constituit. Hinc si assem abstulero, XXIIII progrediuntur , quorum me- dium basim efficit. Rursus autem si basis quantitati ean- 25 dem adiecero unitatem , hypotenusam explicabo. Si au- tem per cathetum basis multiplicetur , LX progreditur summa. Horum medietas embadum complet. \^ 7 inscribitur m. 10 latus om. ra. [| XVIII. e,m. 17 subdu- xerit m. 19 commultiplicari e ; multiplicandi m. 22 restituit m. ARS GEOMETR. 411 Item de eodem, Aliam insuper haec vestigia gradienti normam huius trlgoni obiciendo proponere curamus» quatenus haec caute indagantes cautisskna ad id, quod desiderant accedere, veritatis iinea absque devio perducat. Ponatur ilem eius- 5 dem orthogonii descriptio isdem quantitatibus, quibus su- pra , circumsignata , id est cathetus VIIl, hypotenusa XVII, basis autem XV pedibus designetur. Nunc vero qua ra- tione per hypotenusae podismum cathetos et basis summa pedalis reperiri valeat, demonstrare studeamus. Multipli- 10 cemus ergo summam hypotenusae per se et GCLXXXVIIII numerus redundat. Cui si quater embadalis quantitas subtrahatur, XLVIIII relinquuntur. Horum tetragonicum latus si inquisieris, VII esse experieris. Quos scilicet VII si copulatis catheto et basi aggreges, XXX efficies, quo- 15 rum dimidium basis constituit spacium. Quindecim autem si de aggregatis id est XXIII abstuleris, Vlil superesse calhetum sine dubio comprobabis. XV Item de eodem. 20 Designemus iterum iam dicti orthogonii formam et aliis numerorum quantitatibus, ut cum aliquis vel per maiorem vel per minorem numerum huius trigoni aper- tam tradere discipiinam cogatur, nuiio errore labatur. Esto age trigonus orthogonius, quem circumstant par 25 unus et duo impares numeri; par basi, id est XX, impar unus catheto, hoc est XV, alter vero hypotenusae, id esl XXV, asscribatur. Embadalis autem conclusio secundum 14 inquisiyeris m. 17 XXUII e, m. 21 dicta ortho- gonii forma m. 23 yel minorem omisso per e. 412 ARS GEOMETR. supradicti nostri praecepti regulam inquirenda est, hoc est per multiplicationem dimidiae basis et totius suramae catheti. Continet enii;n areae spatium CL constratos pe- des. Cathetus autem et basis tali sunt indagandi ratione. 5 Ducatur ergo hypotenusalis summa in se et in DCXXV re- dundat. Cui si IIII adiciantur embada, MCCXXV nascen- tur, quorum tetragonale latus, id est XXXV, si exceperis, summas utrasque basis et catheti comprobabis. Scire au- tem oportet et investigare, quo numero a se invicem 10 cathetus et basis distent. Hic vero qui sit, manifestemus. Si igitur hypotenusae in se multiplicatae llll, quae adieci superius, embada subtraham, in XXV summam regredi- tur. Horum quinta pars diiferentiam tenet, id est V. Quam si rursus duabus iunctis summis id est XX et XV 15 adiecero, XL pernotabo. Horum medium complet basim. Si autem differentiam , hoc est V, basi auferam, cathetum constituam , ut cerni potest in subiecta flgura. XV XX 20 De orthogonio circulo inscripto. Unum etiam, quod Architae iudicio in hoc eodem orthogonio approbatum est, et Euclidis diligentissima perscrutatione prius est rationabiiiter adinventum , operae precium duximus non esse praetermittendum. Est etiam saepe, ut disputator in geometrica, circulus si huic ortho- 25 gonio inscribatur, quot pedes diametrus colligat, requirat. 3 enim] autem m. || spatium] septum e. 5 redundant m. 6 embada om, m. 22 rationabiliterj diligenter m. 23 etiam] enim m. 24 disputatur in geometria m. |) qni si m. 25 requiritur m. ARS GEOMETR. 413 Quod ne victus ignorantia refutet aliquis edicere, breviler insinuanius rein huiusmodi. Inscribatur itaque circulus orthogonio omnes lineas eius tangens. Hoc nimirum facto cathetus et basis aggregentur in unum. £x cuius summae copulatione si hypotenusae exceperisquantitatem, diame- 5 trum efficies ; iuncti enim XII et VIII , id est cathetus et basis, XX reddunt. Ex quibus si hypotenusam abstulero, hoc est XV, diametrum V pedes obtinere constituam, quod subtus facta designat figura. vin 10 De amblygonio. Quintus in ordine triangulorum amblygonius ab £u- ciide insertus obtusum angulum habens dictus est. Quem nos succincte aperteque explicando aggredimur. Nam si diligens lector superioris nostri documenti praeceplis et i5 formulis instructus accesserit, minime in hoc lababit. Constitualur modo amblygonius, cuiusbasis XVIII numero, hypotenusa aulem maior X, minor vero VIIII inscriban- tur. Cathetus autem IIII summa insigniatur. Ducatur ergo basis per catheti dimidium, hoc est XVIII per bina- 20 rium et XXXVI prodeunt, quae summa embadalis spalii planitudinem adimplet. Sed Architas, in cunctis utens ratione, alio modo huius amblygonii aream reperiri con- stituit, non hanc, quae supra scripta est, summam in hac areae pianitudine sed minorem posse contineri existi- 2& 6 iunge m. [] id est . . . basis om, m. 7 redduntj ef- dcies m. 12 trigonorum ra. . 18 autem] aut e. 21 pro- fieunt] exibunt m. 22 arclxlta m. 23 aream] summam m. 414 ARS GEOMETR. mans. Astruxit enim cathetum per se et per binarium, vei per se et octonarium duplo se superantes muitiplicari oportere, et quantitatem, quae hac ex muitiplicatione proveniret, aream constituere, non ut XXXVl sed XXXII ^ in se colligeret arealis illa contempiatio. Quisquis aAitem huius iam dicti trigoni formas in piano designare dispo- nat, a basis quantitate huius modi rem ingrediatur tali ratione, ut terminus minoris ac maioris hypotenusae copulatus parvo vincat terminum basis, hoc est, si basis 10 XX mensuretur pedibus, maior hypotenusa XI, minor au- tem X insigniatur. Sed melius lioc, quod numeris dixi- mus, ostendemus, si alicuius exempli formam subiicie- mus, sitque haec descriptionis demonstratio. XVIII 15 Be oxygonio. Restat ut dicamus de oxygonii speculatione, qui sex- tus in trigonorum descriptione ab Euciide, non segni geo- metre, ponitur, acutiangulum determinatus. Esto igitur oxygonius, cuius minoris lateris terminus, id est minor 20 hypotenusa XIII pedibus terminetur, maior autem XV et basis XIIII mensuretur. Cuius catheti et embadi summa si ignoratur, tali ratione coliigetur. Ducatur ergo lateris jninoris quantitas per se, CLXVIIH redundant. Basis item terminus si per se excreverit, CXCVI nascentur, 25 quas videlicet summas si iunxeris, CCCLXV efficies. Quo facto multipHcetur etiam terminus hypotenusalis per se et exurget CCXXV numerus, quem si de superius copulata summa semovero, fiunt residui CXL. Horum medretas 7 ingrediatur] ordiatur m. 18 acuto angulo m. 22 colligitur m. 23 et iu CLXVIIII m. ARS GEOMETR. 415 LXX esse pernolatur. Qwod per basim dispersuni , quin- quies ipsam in se retinet. Denominationis vero huius summam minor obtinet praecisura, quae per se adaucta XXV constituit. Hos si de minoris iateris summa per se multiplicata abstuleris, CXLIIII sjupersunt. Quorum vero & tetragonaie latus, quod XII est, calhetos summam expie- bit. Areae autem conciusionem hoc modo investigare curato. Basis medium ducito per cathetum, id est VII per XII et provenient LXXXIIII. Hanc summam complere areale huius trigoni pavimentum non ignora. Describa- lo tur ergo huiusmodi de hac re figura. xnii Sed quia de trigonoruni podismali consideratione in superioribus sat diligentium lectorum indagini explanavi- mus, superest ut ad tetragonorum speculationem transi- 15 tum faciamus, succinctum de his habituri tractatum. Qua- dratorum enim ceteris facilior est coliectio. Et prius quidem de normali tetragono tali modo ordiamur. Omnis igitur tetragonus normaliter constitutus latitu- dine longitudinem multiplicante arealem constituit plani- 20 tudinem et podismum sine dubio absolvit. Ponatur modo tetragonus pari numero consignatus, id est VIII. Quos per se, hoc est lalitudinem per longitudinem , multipli- cans LXIIIl efficiam , embadum videiicet subtus descripti tetragoni. 25 4 restituit m. 5 Quorum vero] hulus m. 6 expli- cabit m. 13 consideratione] ratione m. 23 hoc longitu- dinem per latitudinem m. 416 ARS GEOMETR. VIU VIU Lxiin vin VIII Idem vero per imparem numerum si feceris, nullo im- pediente obstaculo eadem ratio constabit. Qui videlicet normalis tetragonus ab Euciide aequilaterus alque recti- 5 angulus nominatur, a Nicomacbo autem in aritbmeticis similiter appeliatur. De parte allera longiore, Tetragonus autem parte altera longior ab Euclide qui- dem rectiangulum sed non aequilaterum deGnitur, a Nico- 10 macbo autem srsQo^rixrjg dicitur. Cuius quidem longi- tudo latitudinem multiplicans embadalis summae pedatu- ram, sive sint pares seu impares termini, demonstrant. Sit modo parte altera longior tetragonus, cuius longitudo pedes VIII, latitudo autem IIII, vel longitudo VIIII, lati- 15 ludo autem VI vel V vel III colligat. Multiplicet ergo lati- tudo longitudinem id est IIII. VIII, XXXII nascentur, hoc est area parte altera longioris tetragoni provenientque hae figurarum deformationes pari numero atque impari con- signatae. vin 20 m» XXXIl His vero iam dictis paralleiogrammis adiciendos rhom- 5 autem om. m. 9 rectiangulus m. || aequilaterus m. 10 etromechis e, m. 11 embadis m. 12 seu] sive m. 14 autem om. m. 15 autem otn, m. 16 longitudo latitu- dinem m. 18 deformationis m. ARS GEOMETR. 417 bos et rhombou telragonos arbilramur. Quamvis enim aut angulariter aut lateraliter a supradictis parallelogram- mis dissideant, tamen his sunt annumerandi. £sto age rhombos quadrilaterus, singuiis iateribus decena peda- turae summa consignatus. Diagoni autem, hoc est angu- 5 laris lineae, directio bissena numerelur quantitate. Cuius medietas, hoc est VI, si per se augmentabitur, XXXVI exsurgent. Quos si ex basis termino per se multiplicato subtraxeris, LXIIIl remanent. Horum telragonale latus, idestVIII, huius rhombi cathetum constituit. Diagonus lo autem per cathetum ductus embadalis summae spatium ostendit. Hic autem ab Euclide aequa habens latera , sed non angulos aequos nec rectos definitur. Sit yero de hoc huius formae processio. 15 De rhombo, Euclides vero nec angulos aequos nec latera aequa babentem rhombon determinando proposuit. Quem nos quoque patentiori aditu formando numerosque ascribendo reserabimus. Esto age rhombon, cuius unum latus VIII 20 pedes, secundum autem IIIl, tertium vero VI, quartum vero II. Harum vero summarum maximos terminos lon- giludinem obtinentes, siconiungas, Xllll efficies, quorum medietatem septenarius consiituit. Minores autem sum- muiae in unum redactae senariam quantitatem perficiunt, 25 cuius medium ternarius adimplet. Quae videlicet medie- tales, VII et III, si per se multiplicabuntur, XXI consur- gent, id esthuius tetragoni pedesareales, ut subter apparet. 1 enim] autem m. 5 hoc est] huias m. 8 exurgent e. 10 rumbi m. 13 diffimtur m. BOETIUS. ^ 418 ARS GEOMETR. His enim adiciendum fore trapezium orthogoniuai non incongruum ducimus, dupla et sesquiaitera numerorum proportione lateraliter consignatum. Ascribalur modp 5 vertici summa quindenaria, catheto autem tricenaria, duplo eam transcendens, basi vero ad hanc sesqualteram servans habitudinem terminus contra datur. Per has ergo summas area huius Irapezii tali ratione constituenda est Adiungatur vertex basi, id est XV. XLV et LX terminus 10 exuberat, cuius pars dimidia, si per cathetum multiphca- bitur, areae pandit protensionem , ut in subterius scripta patet (igura. XV XXX XLV De diagono adinveniendo. 15 Saepe autem evenire solet, ut in huius artis specula- tione, quot angularis iineae protensio horum scilicet telra- gonorum pedes obtineat, requiratur. Quod ne ignore- tur, faciilimum apertissimumque huiusce rationis dabimus exemplar. Ponalur iam parailelogrammus orthogonius in 2 trapezetum e; trapizetnm m. 5 autem om, m. 9 vero vertex e. || id est om, m. || -XV- ad -XLV' m. 10 si per] super m. 11 et iam areae innutae protensionem ut in propria huius theorematis patet flgura m. 15 in ofn. e. 19 iam] etiam e. ARS GEOMETR. 419 longitudine LXXX et in latitudine habens pedes LX. Lon- gitudo vero per se augmentata Vf CCCC explicat, latitudo autem per se multiplicata III DC efficit. Quae videlicet VI CCCC et in DC in unam summae cumulum redactae X reslituunt. Horum, scilicet X, tetragonale latus sis sumpsero, C pernotabo. Hoc est diagonum huius paral- lelogrammi orthogonii, ut infra scripta perspici potest in forma. LXXX De mnltiangulis figuris. 10 Sed quia sufficienter breviterque de tetragonorum di- ximus rationibus, restat, ut de pentagonis et exagonis ceterisque disseramus. Omnis itaque pentagonus, aequis habitus lateribus, lateris unius summa in se excrescente ac ter ducta rursusque eadem subducta medietateque hu- 15 ius summae sumpta embadalis spatii pandit superficiem. Esto modo pentagonus singulis habens lateribus pedes senos. Quos, videlicet VI, si per se duxero, XXXVI re- stituam. Hos ter ductos in CVIII numerum perstringam. Cui adiecero lateris unius summam , id est senarium, 20 CXIIII explicabo, id est area infra descripti pentagoni. 3 efficit om. m. || Qui m. || videlicet . . . III -DC om, m. 4 redacti m. 6 parallelogrammi om. m. 7 ut in infra scripta forma videre potes m. 14 habitus] constitutns m. II crescente m. 420 ARS GEOMETR. De exagono. Exagonus autem ordine in subsequenti dicendus inse- ratur. Describatur etenira exagonus octonario lateraliter 5 insignitus. Quem, videlicet octonarium, per se multipli- cans LXIllI efOciam. Haec summa, scilicet LXIIII, qua- ier ducta in CCLVI redundat. His, videlicet CCLVI, si lateris unius quantitas id est VIII bis ducta adiciatur, CCLXXII apparent. Quorum medium si sumpseris, aream 10 buius exagoni explicabis. a > CXXXVI De eptagono. Post haec ut expediamus de eptagoni subsequentis ratione oportet. Qui, videlicet eplagonus, tertio hic in- 15 seritur loco, septenarius quemadmodum in imparium nu- merorum tertius naturaliter ordine apparet. Collocetur etenim eptagonus senaria quanlitate circumscriptus. Cuius si lateris unius summam per se multiplicaveris , XXXVI pernotabis. Quae scilicet quantitas, hoc est XXXVI, quin- 3 autem om. m. [J in om, m. || dicenduB om. m. 5 vi- delicet om. m. 15 in om. m. 17 enim m. 19 Quae . . . XXXVI om. m. ARS GEOMETB. 421 quies ducta CLXXX adesse conducit. Quibus si senariae quanlitalis summam ter ductam subduxeris, CLXU relin- quuQlur. Horum medietas sumta LXXXI pedes emba- dum huius eptagoni habere conducit. De octogono. Oclogonus vero in naturali parium numerorum ordine quarlus constitulus in hoc disserendus loco naturaliter quartus assumatur. Esto age octogonus VIII per sin- gula latera pedibus mensuratus. Hanc nimirum latera- lo lem quanlitatem , id est VIU, in se si duxeris, LXHII eift" cies. Quos per VI multiplicans CCCLXXXHII explicabis. Ex his si qualer lateris unius summam deduxeris, non amplius quam CCCLII residui sunt. Quorum medietas si excipitur, area huius octogoni pernotatur. is X /yiu\ \ f^ -^ CLXXVl V . ^ .IIIA, De ennagono. Ennagonus autem singula per latera VI circumscriba- tur. Quem, videlicet senarium si secundum^superius di- 13 dempseris m. 18 enneagonus m. 422 ARS GEOMETR. ctam nostrae instiiutionis regulam per se mulUplicaveris, XXXVI efficies. Qui septies ducti CCLll summam pro- ducent. His si lateris unius quantitatem quinquies sub* traxeris» CCXXII reddes. Horum medietas excepta si 5fuerit, huius ennagoni embadum CXI pedibus contineri manifeslat. .i\ ^^ ty De decagono. Restat, ut de decagoni embadali dicamus podismo. ]!o Desertbalur itaque decagonus denario numero lateraliter Hmitatus. Cuius si lat^ris unins quantitas secundnm iam saepe dictam nostrae praeceptionis institutionem per se multiplicando excreverit, C efficiet. Hi vero octies ducti DCCC adducunt. Quibus si lateralis una tantum summa, ^ id est X, sexies subducatur, DCCXL relinquuntur. Horum vero medium si sumpseris, aream huius decagoni CCCLXX pedibus conlineri sine dubio pernotabis. 2 XXXIII m. II CVIIII e; CVIII m, quem gravissimum ^httoris errorem cave scrihae inepto impuies, 4 LXXVIII e; LXXXVIIII m. 5 XXXVin e, m. 7 CXI] XXXVinS e , m. 12 instltutionis praeoeptionem m. 15 sexies om. m. ARS GEOMETIL 423 Idem vero de endecagono ceterisque plurllateris iigu- rarum descriptionibus si feceris, nuliius erroris obstaculo lababis hoc pacto, ut naturali ordine in multiplicanda unius lateris summa et in hac quantitatei, quae ex hac late^ rali muitipliGatione nascitur, naturaliter augmentanda ea- 5 demque laterali naturaliter subducenda procedas, emba- dumque tal^ ratione, ex medietatibus scilicet, adinvenias. Sed qviia de angularibus Oguris studioso lectori suffi- cienter disputavimus, restat, ut breviler de circumductione spherae vel circuli explicemus. Ponatur itaque circulus lo XLIIII pedibus in circumductione designatus. Diametrus autem XIIII pedum protensionibus describatur. Cuius summa si per se excreverit, CXCVI nascentur. Hos per XI multiplicans IICLVI efficies. Quorum Xllli. pars, id est CLIIII, aream huius cycli pandit, ut infra potest i5 cerni. XLllII Est et aiia huius cycli inventendi embadalis spatii ra- tio. Sumatur etenim circumductivae quantitatis medie^ tas, id est XXII, quae -XLIIir est medietas, et per medie- 20 tatem diametrl, id est per VII, multiplicetur. Et quod ex hac multiplicalione provenerit, embadum pandit. De sphera, His vero brevibus datis initiamentis de circularibus 3 naturalem ordittem m. 10 sperae e, m. || vel cir- culi om, m, 11 XLVIII m. 12 Cuius summa . . . nascen-^ tur om. m. 14 II CLXVI e, m. 15 infra] in desoriptione m. 19 enim m. 21 mnltiplicentur m. 424 ARS GEOMETR. Iheoremalibus, dicendum esse censuimus de emicyclo protinus dicturi. Conscribitur age emicycius XXVIII in basi et in semidiametro XIIII pedes habens. Cuius si areae podismus ignoretur, tali ratione adinvestigetur. 5 Multiplicetur ergo summa basis per semidiametri sum- mam et in CCCXCH pervenitur. Haec summa undecies aucta Illl CCC XII producit. Quorum sumta XIIII. «parte, id est CCCVIII arealis completur superficies, ut propter apparet. 10 xxvui Haec de epipedarum podismationibus figurarura ad praesens dicta surGciant. Restat, ut de montuosa suc- cinctius aliquid ratione tractemus. Inscribatur etiam mons in verlicis circuitu CCC pedibus protensus. Pes i5vero monlis eiusdem in circuilu pedibus miiienis con- signetur. Proponatur modo inquisilum, quot iugera in hoc monte halt^^^^lur. Quod tali est ratione ordiendum. lun- gantur etenim pedis et cacuminis duo illi circuitus, id est 1 et CCC. Quorum per medium si ascensus, hoc est 20 DCCC per DCL, multipiicabilur, DXX pedes habere mon- tis huius spatium comprobabitur. Hanc igitur summam si in XXVIII DCCC disperseris, tot enim pedum esse iu- gerum comprobatur, XVIII iugera in hoc esse monte comprobabis restantibus tantum millenis et sexcentis pe- 25 dibus. Si auteni mons in pedis circuitu II D et in medietatis circuitione IDC, in cacuminis autem circumductione C et 3 in om. m. || semidiametron m. || pedum m. 7 IIII CCXI e; quatuor CCXI m. 8 CCCXII e; CCCXCII m. 12 montnosa dimensione m. 13 tractemus] dicamus m. || etiam om, m. 16 in hac montis circuitione m. 18 etenim om, m. 19 et om. m. 26 et om, m. 27 acuminis m. ARS GEOMETR. 425 in asccnsu D pedes habens fuerit, hoc pacto iugera sunt adinvenienda. Coniungantur ergo trhim supradictorum circuituum summae et 1111 CC nascuntur. Quorum tertia parte , id e»t F CCCC montis ascensionem, hoc est D, mul- tiplicante DCC prodeunt. Quos per iugera dispertiens 5 XXllIl efficies non plus quam ducenlis pedibus residuis. Mons autem strabus, id est inaequalis,- si fuerit in pe- dis circumferentia T CCCC et in verticis declivo CC et in dextrae partis ascensione DCCCL, in laevi lateris autem susspcctu DCCL pedes habens, iugeralis in eo sita plani- lo tudo hoc modo est indaganda. Sumalur etenim duarum medietas circumferentiarum in unum collatarum, id est DCCC et ascensuum compositorum pars media , hoa est DCCC et eae mcdietates per se multipiicatae DCXL pro- ducunt, podismum scilicet montis supradicti. £x peda- 15 tura autem iugeralem facile summam secundum quod dictum est supra invenies. Quia igitur de omnium huic arti inserendarum specu- lationum ralionibus breviter enodateque sat disseruimus, reiiquum est, ut de unciali et digitali mensur. . de pun- 20 ctorum et minutorum celerisque minutiis, sicut promisi- mus, dicamus, mirabilem et arli huic ceterisque mathe- seos disciplinis necessaridm figuram , quam Archita prae- monstrante didicimus, edituri. De minutiis. 25 Veteres igitur geometricae artis indagatores subtilis- simi, maximeque Pylhagorici, cum omnia certis mensu- rarum dividentes rationibus ad ea, quae natura renueret dividi etsecari, usque pervenirent, ingenio praesignante ea, quae naturaliter erant indivisibilia, positis notis nomi- so nibusque dalis dispertiere. Cum vero agros per actus, 4 ICCC e; III-CCC m. 6 ducentis] CC m. Scriben- dum fuii VIII DCCC, qui error scribae imputari nequit, 9 au- tem om, m. 11 hoc modo] sic m. 14 eae] hae m. 19 et sat m. 21 et ceteris m. 426 ARS GEOMETR. per perticas, id esl per radios, per passas, per gradudj per cubitos, per pedes, per semipedes et pef palmos dispersissent, non habentes, palmum per qnod dtviderent^ id quod palmo esset minus, digito autem maius, unciam 5 vocare maUierunt. In secundo vero loco digitum sub- scripserunt, in tertio staterem, id est semunciam^ in quarto quadran(em, in V. dragmam, in VI. scripulunn, io VII. obolum, in VIIl. semioboium, quem Graeci ceratim nuncupant, in VIIII. siliquam, in X. punctum, in XI! lominutum, in XII. momentum nominando posuerunt. His ergo minutiis adinventis nominibusque editis multirormes eis notas indidere, quae, quia partim graecae partim erant barbarae, nobis non videbantur latinae orationi adiungen- dae. Quapropter nos rem obscuram obscuris ignotisque 15 notarum signis involvere nolentes loco earundem notarum latinorum elementorum notas ordine ponemus ita, ut A unciae respondeat; B digito, C staterl, D quadranti, E dragmae, F scripulo, G obolo, H semioboio, I siliquae, K puncto, L minuto, M momento asscribatur. Describa- ^o tur itaque his literis, quas diximus, loeo hoc figura nrnDti- tiarum hoc modo: (Vide p. 427,) Superius vero digestae formulae in descriptioiie di-r verse formatis mullifariisque utebantur caracteribus^ sed 25 nos non alios , praeter quos supra in deformatione abaci depinximus, in huiuscemodi opus assumere curaraus. Assignavimus enim primam huius formae lineam unitati- bus, secundam X., terliam C. , quartam I. et detnceps ceteras lineas ceterorum nufnerorum iimiiibus limitavi- 30 mus. In qua si apices primae apposueris lineae, uDitates solae tibi occurrent, si lineae secundae, X, si tertiae, 1 perticos m, n^. 3 divident n. 4 autem om. m. 8 obelum n^. || semobelum n^. || eteratem m. 9 subliqua Ttf 10 nominando om, m. 12 eis] ei m. 17 respon- deret e, m, n^. 18 obelo m, n^. || semiobeho m, n^. 20^uam e, n, n^. 21 hoc modo om. m. 23 diyersec^iie n». 24 multi- farieque pa^atis m. 27 primam] plnrimam n3.ll linea Dj. ARS GEOMETR. 427 A I B I C I B X i D 1 C X E I ' F I G I H I I I H X K 1 I I X L I M ^ I M A X D X E F 5i G X K X L X L M A C B C C c D C E C F C G c H c I c K c K 1 iM * A 3 I c I • I E I F. 1 G I H 1 I I I • ' K L M A X B) x ! C X D X E X F X G X H X H I K L M A C B C C c D C E c F C G c G H I K L M A XC B xc C xc D • xc E xc F xc 1?' G H I K L M A cc B cc C cc D cc E cc E F G n I K L M A M€ B MC C MC D MC D E F Q H I K L M A xc B XC c xc C D E F G H I K L M A CC B cc B C D E • F G H I K L M A xcc 10 C, si quartae mille, et deinceps. Sed quia momenti et minuti et ceterorum quantitas in ultimo huius formae po- sitorum non poterat, ut aliae, multiplicari, rursus a i5 secunda notas earum linea angulariter inscribere propo- suimus, ul, si aliquando aliquis vel C vel T diminutionem. 10 n etiam sub M ponit XC. 12 ffunc versum om. m XCC dee8t in lihris manuscriptis, \\ Sub B addunt quadratum A inscriptum 6,^,^2,^3. 15 ad secundam m. 16 lineam m. 17 quando m, n^j n^, Q 1] in m, n^. \\ diminutione m. 428 ARS GEOMETR. vel X, vel C momenlorum vel minutorum vel punctorum et deinceps proferre iuberetur, sine ullius obstaculi impe- ditione ediceret. lliud etiam in divisione harum minutia- rum non est praetereundum. Dividebant enim unciam in ^ XXIIU scripuios, digitum autem in XVIII scripulos, slate- rem in XII, quadrantem in VI, dragmam in III scripulos. Scripulum autem sex siliquis constare decreverunt. Obo- lum vero tribus siliquis mensurari voluerunt. Ceralim unam et semis siliquam habere constituerunt. Siiiquam ^^ igitur vicesimam quartam partem soiidi vel quadrantis designare proposuerunt. Puncto vero XXVIII*"* quadran- tis paitem significari sanxerunt. In puncto autem duo minuta et dimidium et in minulo IIII momenta esse asse- ruerunL 15 Epilogus tncipit. Si qui vero de controversiis et de qualitaiibus et nomi- nibus agrorum deque limitrbus et de statibus controver- siarum scire desideret , lulium Frontinum nec non Urbi- cum Aggenum lectitet. Nos vero haec ad praesens dicta 20 dixisse sufKiciat. 1 vel ante minutorum om. D3. 2 obstaculo impeditio- nem n^. 3 in om. e; de n^, D3. 5 scrupulos n^. 6 YI] VII m. II scripulus Dj. 7 decreverit n.^. ||* Obelum Og. 10 i^itur om» m. 11 proposuerunt] voluerunt m. 12 autem om. m. 13 esse asEcruerunt] posuerunt m. 15 Finit. Dj. 18 Urbicium m. 19 dicta om, m. 20 m addit: Explicit liber Geometriae Boetii viri clarissimi. I. INDEX EERUM ET VERBORUM. Omissa suni vocabula noiissima , quae ul notarentur singularis causa non exstidt. abacus 396, 13. 426, 25. forma abaci 396, 17. abducere 142, 8. abesse 325, 23. abhorrere 393, 3. abscedere 196, 10. abscidere 380, 6. absistere 188, 7. absolutio 4, 14. absolvere 4, 1. 401, 8. 415, 21. abstergere 185, 22. abundantia 41, 11. accedere passim^ e. g. 82, 29. 197, 7. 211, 1. 22. 234, 8. 246, 12. 261, 17. 390, 5. 400, 13. accendere 186, 30. accessio 44, 4. accessus 392, 9. accidere passim, e. g. 13, 24. 17, 16. 22, 7. 124, 3. 195, 8. 196,21. 227,24. 234,21. accipere 3,2. 6. 184,2. 199, 22 227, 18. 251, 12. 279.8. 343, 23. 352, 10. 12. 386, 10. 13. 387, 23 ceL accomodare 55, 11. 393, 8. accusatio 185, 24. acervatim 8, 20. acervus 8, 21. 13, 11. acetabulum 198, 18. 19. acisculus 354, 14. actus 8, 6. 186, 16. 224, 7. 12. actu opp. virtute et poten- tia passim, e. g, 44, 17. 45, 3. 93, 6.5.9. 94, 11 ss. 95,18. 97, 12. 108, 20. mensura 401, 18 402, 3. 425, 31. mini- mus 402 , 4. quadratus 402, 6. duplicatus402, 7. acuraen passim, e. g. 64,8. 188, 17. 190,24 ss. 193, 6. 196, 26. 199, 23. 200,3. 211,4. 314, 20 ss. 342, 11 ss. 355, 20 S8. acuta 312, 3—5. acute 219, 14. acutiangulum 376, 11. 414, 18. acutns 188, 17. 200, 2. 201, 4 ss. sonus 190 , 2 ss. 195, 6 8. 199, 7. 217, 20. 25. 314, 14 ss, 342, 10 8S. cet, in acutum 279, 10 ss. angulus 374 , 19. Vide angulus. adaequare 234, 9. adaugere 399, 11. 408, 19. 415, 3. adcitus 181, 25. adcrescere 14, 14. 59, 16. 70, 5. 353, 30. addere passim, e. g. 9, 13. 20^ 430 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 6. 43, 11. 47, 19. 60, 26. 90, 11, 21. 182, 2. 239, 12. 378, 6. 386, 9. 10. addiscere 59, 23. 103, 7. additamentum 209, 23. 27. additio 190, 23. 207, 15. 239, 5. 17. 288, 11 ss, 360, 22. adducere 185, 12. 407, 15. 422, 14. adeo; non adeo 167, 9. adesse 178, 25. 179, 8. 225, 11. 421, 1. adfingere 87, 3. adglomerare 85, 13. adgredi 198, 22. 413, 14. adgregare passim, e. g, 42, 15 ss. 94, 11 ss. 98, 6 ss. 99, 19. 102, 17. 327, 8. 405, 19. adgregatio 42, 28. 161, 11. 170, 19. adhibere 179, 4. 205, 20. 228, 27. 260,31. 348,25. cc^ adhortari 373, 22. adiacere 266, 15. 16. 382, 19. adicere passimt e. g. 4, 20. 15, 27. 55, 5. 60, 12. 90, 14. 94, 15. 95, 2. 110, 7. 172, 7. 248, 23. 385, Mss. 410,25. adiectio 5, 2. 48, 25. 110, 1. 9. 127, 17. 343, 11. 19. adimere 194, 13. adimplere 413, 22. 417, 26. adinvenire 393, 5. 412, 22. 423, 7. 425, 2. 426, 11. adinvestigare 400, 1. 406, 10. 408, 14. 424, 4. aditns 5, 2. 373, 23. 408, 9. 417, 19. adiumentum 4, 3. adiungere passim, e, g, 20, 8. 42, 22. 43, 13. 44, 9. 98, 13. 107,8. 180, 1. 206,8. 265, 30. 379, 10. 387, 13. administrare 189, 7. admirabilis 27, 21. 52, 3. 57,2. admiratio 130, 9. admonere 137.3. 185, 14. 377, 9. admonitio 195, 20. adnectere 180, 20. 343, 18. adnotare 11, 11. 326, 10. 344, 4. 409, 21. adnumerare 217, 19. 342, 2. 417, 3. adoriri 283, 9. adquiescere 8, 31. adquisitus 309, 22. adscribere passim, e. g. 70, 12. 72,1. 101, 15. 116, 6. 117, 2. 131, 26. 231,28. 397,6. 409, 4. adsentiri 249, 21. adsignare 10, 14. 87 , 12. 398, 4. 426, 27. adstipulatio 3, 16. ^- adstringere 66, 17. 160, 13. 179, 24. 187, 3. 267, 6. adsumere 218,18. 224,20. 249, 4. 351,21. 397, 10. 421,9. 426,26. adsumptio 137, 9. adtemptare 223, 1. adtenuare 342, 18. adtinere 127, 17. 396, 4. adtollere 199, 23. adtonitus 197, 6. adtribuere 206, 15. 219, 7. adulescens 185, 1 ss. adunare 8, 7. adunatio 126, 17. aduncus 186, 23. adversus; ex adverso 381, 18. 382, 27. 383, 9. 15. 388, 3. advertere 352, 8. aedificium 224, 21. 23. 403, 16. 22. aemulator 41, 8. aequabilis 80, 25. 112, 4. aequalis pas-^iim, e.g. 24, 25. 25, 11. 27,25.28,4. 29,3. 45, 12.25. 66, 23««. 78,22. 97, 7. 111,20. 113, 19. 140, 20. 188,4. 190, 32. 374, 16. 378, 2 ss. in aequalia divi- dere 13, 14. 15. 14,20. 27. 203, 1. in aequalem (es) re- I. INDEX REEUM ET VERBORUM. 431 cipere sectioneiii 14, 24. 22, 2. def. 45, 13—17. motus 253, 13 M. aequalitas passinif e. ^. 8, 6. 45, 30. 87,20. 92, 15. 114, 2. 126, 12. 132, 16. 138,4. 139, 26 361,22. 389,14. 402, 23. iudivisa 46, 17—21. ma- ter et radix inaequalitatis 66,20-72, 16.77, 6.15 148, 5. inaequalitas adaequnlita- tem resoIvitur77, 17—79, 28. inter mains et minus loco medietati8l44,22— 23. prin- cipium proportionum 232, 24 8s. 244, 3 — 4. aequali- tas sonorum 253, 16. aequaliter passim, e. g. 12, 22* 47,14. 111, 11.24. 120,1955. 121, 23. 169, 23. 170, 1. 286 ss. 374, 5. 8. 379, 1. 394, 3. 4. 19. aequare 20, 4. 41, 19. 204, 8. 262, 10. 278, 7. 9. 387, 2. aequatio 400, 22. aeque 114, 23. 179, 1. 188, 2. 196, 11. 398, 25. aequiangulus 389, 9. 11. aequilaterus 376, 2. 15 ss. 380» 3. 389, 8. 10. 404, 15. 416, 4. 9. triangulus 93, 4. qua- dratus 113 15. Fide trian- gulum. aequisonantia 361, 31. 364, 4. aequisonatio 362, 26. aequisonus 357, 5. 361, 5 ss. aequivocus 33, 5. 8. 361, 20. aequus passim, e, g. 41, 11. 44, 16. 56, 29. 68, 13 ss. 78, 9 55. 113, 2. 140,27. 181, 3. 198, 13. 374, 15. 376, 2. 383, 22 ss. aequus ad 306, 3 ss. 307, 5 ss. in aequa partiri 17, 15. 202, 17. 19. in ae- quas partes 25, 8. 9. aer 189, 23. 190, 6. 10 196, 24. 200, 18 ss. 222, 5. 365, 20. aereus 198, 20. concava quae- dam aerea 189, 10. aestas 188, 23. aestimare 3, 3. 197, 1. 353, 8. 367, 22. aestimator 352, 28. aestuare 197, 1. aetas 179, 26. 180, 2. 186, 15. 196, 22. sequens 167, 7. aeternus 388, 2. affectare 196, 27. affectio 184, 9. affectys 180, 1. 186, 4. afferre 3, 5. 7. 188, 22>5. 225, 2. afficere 181, 4. 186, 27. 222, 17. affirmare 260, 13. ager 387, 4. 394, 12.>3J.^401, 17. 403, 16.425, 31. 428,17. agere 179, 5. 181, 11. 224, 27. 225, 3. «ge 254, 20. 259, 15. 262, 15. 343, 12. 405, 15. 410, 26 cet. aggerere 263, 13. agnitio 195, 21. agnoscere passim, e. g. 5, 6. 12, 10. 16, 26. 37, 22. 38, 13. 55,27. 162, 7. 179, 13.293, 14. agrimensor 401 , 8. ait pa557iii. e. g. 77, 13. 80, 6. 114, 17. 219, 13. 221,20. aiunt 250, 28. alacritas 5, 16. alfabetum 397, 10. alias267, 5. alienigenus 37. 4. alienus 3, 18. 4, 24. 30. 33, 2. 161, 6. 219, 1. alioquin 304. 12. aliquando 389, 3. 6. 396, 8. 427, 17. aliquantus 191, 25. aliter 185, 11. alpha 310, 1 ss, alter 119, 8. 123, 9. 24. nul- lus alter numerus 30, 27. 432 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. binario adscribebatur 117, 1 — 2. 14 — 15. alterius na- turae 117, 23. 123, 19. 126, 3. substantiae 118,9. 123» 6. alterltas 117, 3 ss. 119, 5. 132, 15. 25. 133, 3.8. alternatim passim, e. g. 42, 7. 49, 11. 83, 13. 115,4. 131, 22. 133, 12. 382, 23. 389, 15. alternus 86, 10. 387,21. 388, 19. alternae rectae lineae 376, 23. 382, 23 — 29. 383, 11 — 13. 18 5.9. a1terni*anguli 383,2. alternalatera383,14. altitudo passim, e. g. 88, 21 ss. 104, 21. 105, 5. 107, 24. 110, 4. 111, 19. 373, 27. altrinsecus passim, e. g. 16, 10. 15. 24, 10. 54, 7. 56, 22 *.9. 248, 24. altus 396, 13. amare 86, 9. arabigere 5, 14. ambiguus 139, 18. ambitus 123, 21. amblygonius 376, 9. 404, 10. Fide tri^ngulum. amburere '? 85, 4. araicitia 125, 23. 126, 26. amicus 45, 24. 185, 6. adi. 180, 9. araittere 181, 12. amor 9, 12. 180, 21. amplecti 205, 26. amplius 117, 15. 190,3. 221, 3. 231, 4. 376, 0. 386, 19. 421, 14. amplus 31, 3. 223, 16. 257, 1. 308, 8. 315, 7. angi 179, 19. angularis 83, 17. 311, 11. nu- merus 56, 1 ss. linea 417» 5. 418, 16—419,9. figura 423, 8. angulariter 417, 2. 427, 16. angulus passim, e. g. 53, 24 ss. 56, 25 ss. 91, 1 ss. 95, 9. 98, 3. 109, 14. 158, 24. 348, 11. 13. 379, 17 ss. 380, 8 ss. 387, 12 ss. 393, 12 —394, 1. planus 374, 10—12. rectili- neus 374, 12— 13. 384, 14— 18. rectus 474, 14—16. 376, 7. 20. 877, 12.15. 378,9. 381, 19. 385, 1. 387, 3. 388, 10. 393, 16 ss. 408, 8. cei. obtusus 371, 18. 376,10. 386. 18 ss. 413, 13. hebes 393, 13. 23. 32. acutus 374, 19. 376, 12. 393, 13.27.394, 1. inte- rior 877, 15. 17. 381, 17. 382, 27. 383, 9 -11. exterior 381, 17. 382,26. 383, 8. in por- tione circuli 379, 6 — 9. 388, 10-15. circuli879, 9 — 12. 387, 11—16. 888, 6—7. an- guli alterni 382, 23. 383, 2. ex adverso 382, 27. 383, 9. 388, 3. ad verticem 381, 15. angustus 5,1. anima 77, 13. 123, 27. 186, 3. animae generatio 80, 6. par- tes 189, 1. animae corporis- que compago musica coapta- tione coniunctal86, 3 — 187, 10. anima mundi 180 , 4. animadvertere 197, 11. 279, 19. animal 178, 25. prius homine 10, 18—20. 25—27. animus 3, 9. 5, 16. 9, 29. 66, 9. 72, 18. 179, 2. 180, 12.26. 181, Iss. 184,2*5. 186,8. 186, 27 ss. 188, 13. 223, 2ss. 227, 17. 283, 6. 373, 27. animi oculus 10, 3. 222, 20. conditoris mundi 12, 16. lectoris 389, 21. 391, 4. 392, 8. 399, 17. quasi quidam rector66, 16. animum con- vertere 71 , 24. tendere 79, 21. animi iudicium afficitur numeris vel continua quan- titate 222, 16 — 18. aQimi conceptiones 377 , 20. annumerare 395, 15. annus 188, 12. I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 433 ante opp. retro 88, 26. 113, 19. iemp. 182, 2, antecedere 11, 13. 81, 12. 104, 11. 234, 29. 235, 13. 24. 288, 26 301, 16. antelonglor 116, 22. anteponere 140, 7. anteriore parte longiores 124, 16—24. antiqaitasl2,4. 250, 3. 309, liB. antiquus 181, 13. 209, 9. 10. antiquior 12,6. 14, 19. 46, 20. 140, 14. 230, 23. antiquiores 138, 26. 144, 9. 164, 16. 260, 24. antiqui 164, 18. 181, 26. 186, 20. 342, 27. aperire 160, 11. 363, 7. aperte 413, 14. apertus 135, 13. 197, 9. 249, 24. 406, 3. 407, 4. 409, 2. 12 cet. apex 397, 2 ss. 426, 30. apotome 263, 21—264, 26. 277, 2. 13. 22. 278, 19. 32. 281, 8—283, 4. 29'6, 23—296^ 19. 298, 16—299, 8. apparere passtmf e, g. 54, 17. 96, 20. 109, 17. 140, 13. 148, 13. 187, 8. 190,21. 208, 18. 239, 26. 396, 5. 408, 17. appellare passim, e. g. 8, 18. 47, 21. 61, 27. 89, 5. 105, 21. 191, 11. 194, 24. 393, 17. 396, 13. appellatio 394, 17. appetere 59, 22. applicarc 29, 4. 358, 18. apponere pa.f«t>ii, e, g, 62, 10. 82, 11.87, 8.96, 13. 21. 136, 22. 167, 8. 182, 6. 206, 9. 236, 19. 400, 14. apprehendere 375, 12. approbare 267, 4. 13. 269, 16. 26 i, 3. 264,2. 340,8. 412, 21. aptare passim, e. g. 58, 20. 62, 20. 68,6. 16. 64, 12.82, 13. BOETIUS. 86, 10. 139, 11. 160, 28. 198, 14. apte 180, 7. 213, 2. superl, 126, 1. aptiis 196, 2. 219, 28. aqua 200, 9. quae ad aquam moyentur 189, 8. arbitrari passim, e. g. 5, 11. 9, 14. 104, 12. 181, 21. 184, 7. 197, 7. 221, 22. 408, 10. arbitrium 3, 18. 179, 16. 196, 10. arbor, 8, 17. 394, 10. arcifinius 394, 12. arcus 356, 15. area 401, 17. 403, 17. 404, 18. 405, 20 cet. arealis 414, 5. 415, 10. 20. 417, 28. 424, 8. arguere 276, 4. argumentari 260, 14. argumentatio 262, 10. argumentum 117, 12. arithmetica 10, 10. 15. 28. 11, 22. 12, 4. 11. 86, 20.229, 7. 232, 25. 307, 26. 396, 3. quattuormatheseos discipli- narum prima 5, 6. 86, 22 — 24. 140, 13— 14. arithmeticus adi, 9, 2. 137, 7. 192, 19. 234, 17. 286, 16. arithmetica 390, 4. in arith- meticis 229, 12. 230, 19. 242 , 25. 243 , 23. 246 , 10. 248, 20. 251, 17. 263, 13. 269, 10. 396, 6. 397, 20. 416, 5. ex arithmeticis 255, 31. (368, 1). Ftrfe medietas. armonia 126, 16. 184.4. 188, 9. 193, 1. 200, 26. def. 126, 16 — 17. georaetrica 158, 18—160, 4. 169, 18. maxima et perfecta 169, 11—173, 7. armonica 352, 1. 4 — 5. 354, 27. 355, 6. armonicus 12,2. 80, 7. 186, 11. 200,24. 247,6. 352,6. 357, 5. 7. armonica vis 354, 434 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 16—20. regula 354, 25. Vide medietas. armonicus suhst. 355, 8. 11. ars 3, 21. 4, 3. 13. 17. 33, 22. 181,26. 185, 27. 195, 18. 196, 8. 223, t>8. 224, 26. 354, 13. resolvendi 77, 19. geo- metrica 373, 22. 390, 2. 391, 3. 393, 1. 395, 3. 401, 4. 403, 1. 4. 425, 26. articularis 77, 9. articuli 395,4. 10. 398, 12 — 399, 15. 400, 14.24. artifex 4, 5. 224, 1. corpora- lis 224, 15. artiticium 223, 30. 224, 3. 31. artus 4, 28. arula.114, 17. as = unitas 410, 23. ascendere 10, 3. 110, 15. 353, 18. ascensio 425, 4. 9. ascensus 424, 19. 425, 1. 13. asperare 180, 15. asper 180, 14. 29. 181, 5. 186, 14. 195, 9. aspectus 222, 17. 343, 14. aspicere passimy e. g. 54, 6. 55, 6. 64, 15. 135, 11. 21.28. 140, -26. 196, 24. 336, 13. aspirare 205, 16. asser lU, 14. 120, 20—121, 2. asserere 428, 13. assuefacere 223, 2. ast 4, 11. astronomia 11, 23. 25. 12, 1. 229 , 6. astronomicus9,5. 12,7. 137,4. astruere 414, 1. astrum 12, 2. 3. 7. 18. atomon 89, 23. attingere 404, 3. auctor 3, 18. 5, 23. 393, 7. fem. 229, 7. auctoritas 7, 21. 223, 6.309, 18. 395, 26. 409, 13. auctus 224, 1. 263, 25. audere 4, 26. 223, 6. audire 180, 13. 26. 186, 14. 187, 6. J. audiendi modus 200, 7 — 21. auditor 227, 17. auditus 189, 23. 195, 18. 21. 196, 14. 200, 20. 285, 2. 293, 8. 301, 12. 359,5. 371, 2. auferre passim, e, g. 37, 25 ss. 78, 13, 28. 79, 1 ss. 210, 14. 231, 25. 376, 3. 407, 16. augere passim, e. g. 14, 11. 31, 6. 12. 91,5. 97, 14. 114, 14. 143, 20. 193, 13. 200, 28. 236, 22. 400, 15. augescere 54, 15. 112, 6. augmentare 405, 17. 407, 23. 409, 5 cet. augmentum 9, 15. 29, 24. 95, 16. 98, 20. 99, 2. 240, 7. 250, 1. 29. 395, 20. auloedus 224, 17. aureus 5, 19. auris passim, e. g. 3, 15. 179, 16. 187, 4. 28. 190, 12. 196, 8. 9. 17. 196, 1 ss. 198, 14. 220, 2.8. 221, 12. 15. 222, 8 ss. 223, 25 267, 4. 283, 7. 363, 8. via ad animum 181, 1. 19. eodem modo afficitur sonis, quo animi iudicium numeris 222, 16 — 18. sensus aurium 269, 25. 354, 10. autumare 199, 14. autumnus 188, 24. auxiliari 188, 22. axioma 231, 7. axis 11, 26. baculum 354, 12. barbarus 426, 13. basis 380, ^ ss. 382, 12. 14. 383, \1 ss. 406, 18 ss. 407, 1 ss. 417, 8. 424, 3 cet. py- ramidis 105, 4^*. — 110, 22. beare 124, 1.. bellum 4, 10. 186, 29. 224, 21. bene 180,23. benevolentia 3, 6. 5, 14. I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 436 beta 309, 26. binarius passim^ e. g. 17, 15. 23, 21. 24, 23. 397, 5. adi. 23, 5. 20. 26 bin. numerus paritatis princeps 14, 23. 119, 3. alteritatis princi- pium 117, 1—23. 119, 3—5. primus numerus 397, 19 — 20. bissena quantitas 417 , 6. bomiscus 114, 16. bonitas ^6, 8. 18. bonum 5, 19. bonus 66, 13. brevis 254, 3. 315, 8. 348, 7. 400, 28. 423, 24. breviter passim, e. g. 53, 1. 56, 2. 96, 19. 185, 18. 192, 18. 223, 1. 248, 21. 399, 18. comp. 265, 1. superl. 167, 10. brevitas 5, 1. 39, 19. 57, 3. 245, 27. 260, 13. 309, 4. 371, 1. cacumen 105, 7. 16. 110, 10. 424, 18. 27. cadere passim, e. g. 20, 6. 21, 6. 66, 9. 79, 18. 90, 1. 131,4. 143, 20. 379, 4. id ordine cadit 317, 6. caedere 46, 2. caelestis 188, 6. 219, 6. caelum 12, 19. 187, 25. 27. 219, 15. calaraus 160, 9.' 198, 15. calcare 3, 9. calculus 127, 27. caligare, caligantes senten- tiae 4, 22. canere 171. 27. 185, 15. 17.25. 186, 25. 26. 199, 10 206, 20. 221, 26. 224, 19. 269, 20. cantare 213, 10. 15. canticum 186, 19. 199, 18. cantilena passim, e, g, 180, 2. 184, 8. 185, 29. 186, 13. 187, 3 ss. 199, 14. 21. 200, 24. 213, 4. cantus 185, 13. 20. 186, 21. capacitas 373, 26. capax 33, 2. 87, 15. capere 179, 17. 187, 4. 198, 17. augmenta 29, 14. princi- pium 47, 7. vocabuium 224, 16. initium 231, 6. captare 179,16. 196,14. 309,5. caput, secundi intervalli 89, 28. solidi corporis 90, 12. caracter 397, 3. 18. 426, 24. carere passim, e. g. 8, 30. 9, 6. 41, 17. 81, 11. 15. 82,4. 88,4. 187, 10. 189, 21,285, 13. carmen 224, 27 s. 225, 5 8s. 309, 8. tubarum 186, 30. castigatus 57, 3. casus 195, 2. 234, 23. 263, 10. cathetus 405, 3. 406, 19 ss. 407, 9 ss. 408, 12 ss. 410,4 55. 417, 10 cet. cathetos genit. 408, 19. 411, 9.415, 6.' causa passim^ e. g. 65, 6. 126, 15. 27. 140, 5. 186, 20. 187, 29. 196, 18. 277, 11. c. gen. 186, 8. 394, 24. 31. caute 62, 9. 411, 3. cautus 401, 15. 411, 4. cavere 180, 22. 309, 18. celebrare 12, 2. celer 190, 2 ss, 221, 15. 17. celeritas 190, 18. 229, 1. censere 5, 23. 88, 22. 272, 15. 277, 15 283, 11. 300,5. 374, 7. 395, 29. 402, 23 cet. centenarius 42, 4. centenus 398, 5 ss. 25 ss. 400, 3 ss. centenus millenus 398, l^ ss. 399, 14. centimanus 40, 26. centrum 11, 25. 200, 16. 375, 6. 8. 377, 10. 379, 1. 13. 387, 1 ss. 390, 13 ss. cera 4, 7. ceratis 426, 8. 428, 8. 2B* 436 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. cernere 269, 27. 351, 24. 409, 29. 412, 17. 423, 16. certus 10, 2. 148, 4. 196, 9. 356, 16. 19. certiora intelle- gentiae 10, 1. cessare 301, 13. cetera fem, sing. 23, 11. ceu 397, 15. chorda passim, e. g. 160, 12. 188, 15. 190, 10. 196, 25. 198, 22. 25. 206, 8, 314, 12 w. chorus 8, 21. chroma 200, 26. 212,25—215, 20. 216, 24. 365, 12 ss. 370, l^ss. chromaticos 214,9 — 216, 15. hypaton chromatice 310, 2. meson310, 10. synemmenon 310, 18. diezengmenon 311, 8. hyperholeon 311, 19. chromaticnm 213, 20. chromaticns 184, 4. 310, 2 ss. Vide genus. ciere 188, 1. 200, 19. 301, 14. circa 119, 2. circinus 354, 15. circuitio 424 27. circuitus 424, 15 ss. — 425, 3. circularis 423, 24. circulus 11, 25. 121, 20. 122, 4. 9. 219, 8. 11. 228, 28. 352, 15. 377, 10. 378, 14— 379, 24. 387, 1-389, 16. 390, Uss. 412,24. 413, 2. 423,10—22. parallelill,26. def.Vll, 21—122. 1. 375 3 -6. circumductio 121, 24. 122,2. 423, 9. 11. 424, 27. circumductiva quantitas 423, 19. circumductus 375, 3. circumferens 393, 15. 394, 2. 6-9. circumferentia 375, 9. 12. 379, 6 ss. 387, 14 ss. 389, 14. 425, 8. 12. circumscribere 379, 22 — 24. 420, 17. 421, 18. circumsignare 411, 7. circumstare 411, 25. cithara 187, 22. 205, 23. 224, 17. 351, 22. citharoedus 224, 16. 30. civis 186, 7. civitas 149, 13. clarescere 12, 11. 52, 26. 205, 22. clarus 197, 27. 253, 22. 334, 23. 336, 29. claudere 50, 21. 56, 14. 61, 28. 130, 26. 185, 3. 235, 25. 340, 7. 342, 5. 385, 11 cei. coacervare passim, e. g. 20, 3. 17. 43, 9. 98, 4. 119, 14. coacervatio 42, 16 ss. 117, 27 s. 136, 9. coaequalis 383, 24. coaequare 272, 9. 273, 22. 400, 20. coalescere 220, 6. coaptare passim e. g. 179, 18. 180,6. 207, 10. 209, 1. 213, 15. 388, 24. coaptatio 186, 4. 188, 1. 29. 189, 4. 193, 5. coartare 250, 22. coepisse 121, 9. 122, 1 ss. 228, 21. 269, 28. coercere 57, 17. 339, 25 ss. cogere 3, 19. 354, 2. 411, 24. cogitatio 188, 13. cognatio 25, 7. 29, 26. 30, 12. 37,14. 125,23. 133,1. 228,2. cognatus 135, 14. 158, 18. 170, 27. cognitio 9, 25. 179, 1. 224, 6. 249, 28 355, 1. cognoscere passim, e. g. 20, 15. 53, 5. 59, 5. 86,24. 140, 11. 151, 22. 179, 17. 180, 9. 194, 19. 251, 21. 396, 12. 400, 18. cohihitio 393, 29. collectio 13, 11. 43, 20. 102, 7. 137, 9. 25. 241, 19. 415, 17. coUigatio 12, 20. I. INDEX REBUM ET VERBOBUM. 437 colligere passim e,g. 5. 1. 9, 21. 11, 17. 12,8. 27,16. 33,20. 43, 3. 96, 7. 123, 16. 150, 28. 179, 2. 199, 3. 200, 10. 265, 32. 352, 29. 396, 2. collocare; vide conlocare. collocatio 210, 29. color 4, 7. 187, 13. 190, 17. 19. 213, 9. 14. 356, 15. 19. 357, 3. come? 355, 3. comites = mi- nores numeri 49, 27. 60, 6. 61,19m. 52,5. 58, 11. 60,23. 64, 21, 65, 23. 138, 3. 139, 13. 141, 2. comitari 197, 11. 352, 24. comma 267, 2. 275, 13 — 16. 277, 5. 15. 21 M.— 279, 2. 282, 7 — 283, 4. 284, 20— 285,6. 286,23 — 291, 12. et passim. commemorare 185, 10. 200, 29. 243, 24. 267, 5. commemoratio 324, 23. commendare 223, 10. commensurabilis 37, 23. 39, 14. 222, 9, commensuratio 222, 11. commensaratus 220, 14. commentarius 167, 6. 300, 5. committere 4, 6. 164, 2. 8. 188, 3. 196, 26. 400, 1. 30. commode 5, 15. superf. 137, 7. commodus 114, 13. 281, 11. communicare 133, 14. 138, 2. communio 37, 11. 352, 23, communis 33, 4 ss, 36, 26 ss. 70, 7. 125, 26. 172, 2. 220, 14 336, 14. 356, 10. 14. 357, 1. 377, 20. communiter 137, 10. 155, 9. compactus 180, 9. compages 187, 26. compaginare 188, 2. compago 186, 3. compar 113, 17. 118, 6. comparare passim e, g, 20, 17. 30, 14. 31, 2 ss. 45, 14 ss. 190, 30. 203, 1. comparatio passim e. g, 45, 13. 60,27. 54,9. 59, 1. 62,22. 135, 10. 202, 13. = propor- tio 55, 22. 24. 58, 7. 78, 17. 161 , 12. in comparatione poni 58, 9. compingere 396, 1. 407, 12. complures 403, 3. componere passim e. g. 11, 18. 13,4. 15,20. 16,4.7.31,11. 57, 17. 66, 14. 185, 11. 220, 9. 393, 5. 425, 13. numerum 12, 22. 26. nihil ex simili- bus componi 12, 26. comportionalis 387, 5. compos 186, 2. compositio 13, 8. 86, 16. 108, 15. 111,13. 137,15.159,19. 309, 6. compositus; v. secundus et ' compositus. numeri compo- siti 395» 4 11—14. 400, 9— 17. compositum est, quod dissolvi potest 32, 21. compressus 393, 27. computare 234, 26. 263, 15. conari 409, 2. concayus 189, 9. conceptio 353^, 21. 377, 20. conciliare 180. 21. concilium 8, 20. concinentia passim e. g. 193, 1. 8. 197, 6. 198, 1. 202, 10. concitatus 219, 16. concipere 362, 13. 396, 14. concludere passim, e, g. 21, 13. 26, 6. 40, 18. 105, 12. 108, 25 151,9.257,19.387,9.10. 403, 7. conclusio 374, 12. 411, 28. 415, 7. concordare 247, 16. concordia passim, e, g. 10, 15. 191, 4. 197, 26. 221, 24. 26. 247, 22. 250, 9. concrescere passim, e. g. 9^ 15. 438 I. INDEX RERUM ET VERBORVM. 21, 1. 37, 1. Ci, 8, %, 18 112, 4. 231, 13. 247, 26. 862, 20. 410, 8. conourrere 111, 17. 189, 20. 377, 2. 18. 394, 4. 7. eondicio 39, 3. «oBdltor 10, 12, 12, 16. conducere 407, 14. 410, 21 421, 1. 4. condupHcare 36, 3. conferre pasgim, e. g. 64, 21, 64, 10. 185, 12. 190. 30. 202, 36. 264, 10. 265, 13. 425, 12. oonfeetus 138, 26. condc8i-B paisim, e.^.20, 22.29. 24, 9. 25, 5. 28, 4. 143, 17. conforraare 181, 4. confuQdere 196, 13. oonfase 31, 1), 352, 27. 353, 24. 354, U. S92, 8. confusio 186, 2. 352, 21. confnfliis 352, 7 ss. eongerieS 90, 15. 123, 16. 126, 21. conglobare 119, 7 congre^ara 94, 6 m, 22. 353, 11. coningBre 85, 16. 108, 4. coniugacio 65, 15. coniunetio passiis, e. g. 77, 10. 89, 2. 96,25. 108, 3. 133, 6, 13, 136,21. 170,16.206,12 217, 5is. 301, 25 s. 358,23 coniunctufl 148, 7. 179, 23 180,6. 181,21. CWesynem coninngera pitssim, e.g. 11, 19. 13,24.28.29. 30,11. 32,14. 108, 6. 156, 16. 180, 8. 383. 12. 387, 12. conlatio 11, 18. 202, 12. eonliquefi: 197 9. conliijuoScere 336, 20. conlocare iiel oollocare passim, t.g. 33, 22 36, 15. 78,11. 84,11. 96,21. 376,19. 377, 1. 380, 4. «onneiio 54, 11. i, 6. 25. eonpellere 354, 3. conpebdioBUS 393, 1. oonpendiuni 87, 4. 269, 30. 309, 1. conpetens83,22. 99,3. 120,1. conpetenter 119, 18. conplacitus 139, 7. conpleeti bonevolentia 3, 6. conplere 21, 6. 18, 117, 23. IGl, 29. 262, 15. 352, 26 402, 11. 404, 19ce(. conprehendere pamim, e, g. 4, 21. 9,ai. 187,12.19. 189,27 190, 20. 197, 15. 379, 11.14, 387, 14. 393, 17. oonprehensibilia 125, 11. conprehenaio 8, 1. 9, 10. 196, 10. oonprobare 3, 13. 202, 20. B23, 26. 272, 16. 296, 20. 403, 22 cel. conqttiescere 200, 12. conquirere 186, 18. 261, 12. 260, 24. conacribere 28, 13. 192, 19. 261, 11. 294, 23. 381, 26. 397, 4. 424, 2. Lo5, 22. 1-J6, 17. 4,16. 126,25. 365,6. eas 188, 19. 193, 6 conaequena 30, 26. 102, 5 199, 26. 260, 14. tonaequenter 43, 13. 47, 21. eonsei|iitntia 32, 11, 62, !3. 65,9. conseqQi 60, 17. 67, 4. 94, 18. 99, 9. 231, 20. 270, 6. conaerere 13u, 16. conaervare 4,S, 6. 66, 84. 147, 25. 149, 16, 360, 14. conaiderare passim, e. g. 3, 6 19, 3. S2, 26. 84, 2. 39, S3. I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 439 168, 13. 197, 7. 200, 25. 402, 21. consider a.tio passim, e.g. 18, 13. 20, 1. 14. 47,24.86.18. 131, 13. 199, 22. 237, 26. 402, 22. ad aliquid 155, 12. considere 185, 17. consignare 323, 25. 387, 11. 416, 22. 416, 18 net. consilium 5, 17. 185, 10. consimilis 124, 19. 219, 8. 233, 25. consistere passim, e.g. 61,8. 126, 9. 15. 140, 4. 189, 6. 190, 28. 193, 7. 194, 22. 217, 27. 379, 12. 381, 10. consonantia passimy e. g. 156, 20. 157,3. 158,13. 173,2-7. 188, 30. 192, 25. 194, 15 ss, 196,3.4. 197,2»*. 357,16s5. musica 155, 15. 171,21. 223, 15. praeter sonum fieri non potest. 189, 15. def. 191, »—4. 195,6 — 8. 220,2- 222,12. 253,9. quammelio- rem oporteat arbitrari 222, 14 — 27. consonantiarum ordo 249, 18—253, 25. spe- cie8 337,20»». ratio348,6s5. subtrahere consonantiam 258,12. etpassim. consonan- tiae consonantiis snperpo- sitae 259, 4 — 10. per con- sonantias spatia extendere, remittere 279, 4—284, 19. Fide sjmphonia. consoaare 260, 19. 316, 2 ss. 325,9. 344,26. 348,25 ss. cet. consonus 188, 14. 269, 20 ss, 302, 2 ss. 357, 13. 360, 17. 361, 5 S8. 362, 12 ss, consortinm 133, 3. conspicere 187, 13. constans 41, 25. 102, 12. 214, 3. constanter 197, 2. constantia 20, 1. 86, 15. 196, 27. constare passim, e.g. 3, 4. 7, 22. 9, 26. 12, 3. 28. 13, 1. 16, 23. sudore 5, 5. ratio constabit 3,12. 131,22. 134,4. 416,3. mensura 36, 24. ars 78, 8. idem 107, 3. illud cc^ 269, 11. per se constare 8, 26. 11, 9. 79, 24. 86, 7. (ex) ali- qua re passim, e. g. 13, 6. 14, 25. 99, 22. 109, 2. 123, 1. 190, 14.25. 203, 14.19. 389, 13. 428, 7. in numeris 264, 2. 18. 272, 23 et passim. inter291, 17. est constans 265, 20. constituere passim , e. g. 3, 21 . 10,4. 13. 12, 7. 16, 22. 22, 25. 49, 6. 66, 18. 86, 23. 187, 22. 380, 3. 21. 382, 2. 389, 13. 390, 7 ss. 395, 21. constitutio 81, 18. naturalis numerorum 47, 25. 48, 2. tropi 341, 2\ ss. oonstratus. Vide pes. constringere 4, 29. 114, 11. 188, 23. construere 12, 15. consuescere 200, 8. 395, 9. 397, 17. 401, 10 cet. consul 206, 14. consultum 182, 4. 6. 183, 11. consumerell,2. 86,23. 224,30. consurgere 147, 27. 327, 9. 405, 18. 406, 7 cet. contactus 387, 18. 388, 16. contemnere 9, 13. contemplatio 179, 7. 414, 5. contendere 59, 18. 360, 6. contexere 85, 10, 242, 29. 341, 1. oontiguus 301, 20. continens =i sequens passim, e.g 44, 4. 10. 1.30, 18. 23. 131, 2. 6. continentia 137, 15. continere passim, e. g. 18, 17. 20,26 50, 13.20. 51,13. 61, 21. 26. 84, 12. 93, 9 ss. 183, 11. 189,5. 191, 23 ss. 374, 9 ss. 407, 20. quod contine- 440 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. tur 8ub = productumy passimj e.flr. 24,4. 6. 28,4. 143, 15. se continere, 132, 17. contingere passim, e. g. 23, 19. 26, 20. 61, 7. 67,1. 81,28. 144, 16. 257, 3. 379, 21. 387, 18. 388,16.21. contingere= secare 378, 16. 18. continuare 150, 1. 217, 7. 261, 28. continuatim 51, 2. 119, 26. 140, 25. continuatio 63, 22. 86, 20. continue 137,22. 199,27.246,8. continuo passim^ e. g. 16, 28. 69, 22. 70, 4. 86, 10. continuus passim, e, g. 8, 16. 63, 3. 68, 12. 83, 13. 189, 26. 231, 1. 19 ss. quan- titas 193, 10 ss. 222, 18. 228, 6 ss. proportiones 80, 11. 138, 3. 141, l ss. 143, 16. 147, 26. 234, 21 — 237,25. 243, 2— 15. vox 199, 4 ss. 356, 11 ss. vcrsus 266, 11. in continuum 377, 8. contra adv. 14, 16. 418, 7. contractus 20, 12. 41, 9. 268, 23. 314, 13 ss, contrarie 22, 7. 26, 10. 146, 3. 153, 28. 166, 6. contrarietas 102, 22. contrarius passim, e. g. 13, 6. 22. 14, 12. 17, 4. 21, 26. 113, 20. 126, 18. 22. 126, 15. 164, 26. 179, 25. 180, 10. 188,8. 219,20. 261, il ss. e contrario 10, 21. 144, 16. 165, 16. in contrarium 376, 19. controversia 428, 16. 17. contueri 222, 20. conturbare 187, 1. 314, 18. conus una virgula coloris rubri . . . totus rubro colore videtur infectus 190, 16 - 21. convebere 3, 11. coQveniens 69, 7. 60, 13. 64, 10. 158, 22. 179, 7. 188, 19. 225, 12. 286, 6. 390, 3. convenienter 64, 15. 70, 2. 160, 3. 180, 6. 7. convenientia 79, 22. 82, 31. 128, 1. 180, 6. convenire passimy e. g. 32, 7. 47, 1. 61,23. 114, 19. 129, 9. 161, 5. 188, 10. 232, 8. 382, 28. 386, 15. 394, 8. sibi 378, 7. conversim 138, 14. 142, 13. 145, 20. 24. 233, 28. conversio 89, 7, caeli 12, 19. 219, 16. convertere passim, e. g. 18, 23. 19, 20. 22, 17. 57, 6. 67, 5 ss. 71, 24. 83, 23. 105, 14. 129, 18. 145, 13. 166, 25. 187, 6. 190, 18. 229, 2. 252, 6. 309, 24 w. 401, 1. con- verti depon. 286, 19. convincere 364, 16. copulare passim, e. g. 24, |6. 52, 5. 98,26. 107, 17. 119, 16. 186, 12. 202, 13. 302, 17. 410, 9. copulatio 107, 19. 26. 133, 7. 163, 3. 413, 6. cor 186, 5. cornu 186, 23. corporalis 10, 4. 224, 3. 15. corporeus 10, 7. corpus passim, e. g. 8, 7. 9. 18. 9, 18. 39,24 5«. 41, 15. 19. 77, 12. 112, 21. 124, 2. 126, 25. 184,8. 187,30. ^96, 1. triplici coniunctus corpore 40, 27. solidum 88, 29 ss. 90, Us. 104, 22. 107, 12. 111,13. perfectissimum 169, 16. animae corporisque compago 186, 3 — 187, 10. anni corpus 188, 12. modu- lationis 341, 23. Qorrumpere 196, 11. cosmopoeia 149, 22. crassare 41,11. 112, 7. 169,18. I. XNDEX RERUM ET VERBORUM. 441 crassitudo 90, 3. 104, 21. 114, 14. 198, 22. 403, 6. 22. crassus 356, 2. creare passim, e. g. 62, 16. 80, 19. 83, 11. 85, 18. 135,25. 28. 142, 23. 202, 15. creator 388, 2. credere 72, 17. 196, 20. 354, 27. 355, 14. credulitas 205, 20. crementum 15, 24. 25. 20, 13. 161,30. 251, 18. crescere passim, e. g. 8, -2. 20, 29. 23,22. 24, 27. 193, 14. 200, 14. cribrum Eratosthenis 33,21 ss, crudus 4, 12. cubitum 45, 16. cubitus 401, 19. 402, 8. 426, 2. culmen 395, 27. culmus 5, 20. culpare 370, 19. cumulare 4, 18. 21, 20. 44, 2. cumulus 7 , 24. 40, 5. 158, 20. 419, 4. cunctatio 102, 22. 104, 18. cunctus passim, e. ^. 4, 1. 9, 14. 10, 11. 13. 12, 24. 15, 17. 16, 24. cuneolus 121, 3. cuneus 86, 18. 111, 15. 114, 9. 11. 407, 5. cupere 220, 8. cupiditas 66, 15. 187, 2. cura 185,28. curae esse 11,27. curare 59, 10. 140, 26. 246, 15. 411, 3. 415, 8. 426, 26. curiosus 395, 27. 410, 2. currere 4, 14. 107, 4. 221, 17. 233, 14. 318, 7. cursus 12, 3. 7. 185, 5. 187, 27. 188, 1. 5. 199, 16. 219, 15. curtare 41, 3. curtus; curtae pyramides 109, 24—111, 7. curvare 394, 7. 30. ourvatura 348, 10. 12. custodia 181, 20. 186, 8. custodire passim, e, g. 8, 4. 12, 9. 20, 11. 47, 3. 49,6. 140, 23. 144, 18. 22. 188, 17. 191, 7. cyathus 198, 18. cybicus 121, 9. 136, 11. cybu8 86, 16. 111, 14—113,19. 121, 5. 8. 136, 6-27. 150, 4 —1^1, 17. 276, 17. 23. ar- monia geometrica 158, 18— 159, 1. 169, 17. cyclicus 121, 11. 20. cjclus 423, 15. 18. damnare 185, 25. dare passim, e. g, 3, 2. 14, 2. 18, 7. 35, 22. 195, 17. 380, 2 «5. 381, 1 ss. 406, 3. debere passim, e. g, 3, 17. 65, 22. 134, 15. 160, 8. 194, 19. 255, 29. 258, 15. 370, 13. 394 9. debilis 200, 14. 21. decagonus 422, 9 — 18. decempeda 401, 18. 402, 8. decenus 395, 10. 398, 13. 19. 400, 3 ss, 417, 4. decenus millenus 398, 16 ss. 399, 10. decernere 4, 16. 398, 7. 428, 7. decerpere 4, 7. 187, 7. 188, 14. deoidere 213, 1. decisio 263, 22. deciarare 10, 15. 55,12. 140,3. 408, 24. declive 407, 6. declivum 425, 8. decrescere 132, 18. 193, 27. 227, 24. 228, 16. 21. 252, 5. 301, 22. decurrere 199, 21. decus 66, 11. dedecus41, 3. 66, 11. dedere 196, 1. 22. deducere 224, 10. 269, 16. 283, 16. 310, nss. 344,8. 348, 11. 356, 11. 421, 13 cet. 442 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. deesse 110, 24«. 170, 5. 191, la. 264, 7. 361, 18. defaligatus 200, 12. defectus lunae 12, 10. defendere 387, 5. deficere 47, 28. 110, 27. 235, 11. 318, 18. o53, 30. 354, 12. defigere 121, 22. definire 13, 10. 15, 22. 120, 18. 137, 10. 140, 2. 189, 22. 195, 4. 355, 6. 373, 24. 403, 2. 416, 9. 417, 13. definitio 278, 12. iiumeri 13, 11-— 12. paris et inparis 13, 13 — 15,38. sesquitertii 50, 26. multiplicis superparti- cularis 61, 1 ss. boni prln- cipii 66, 13. definitus 9, 25. 66, 9. 125, 8. 21. 126, 13. 193, 18. 377, 8. deflere 186, 20. deformatio 416, 18. 426, 25. defugere 284, 21. degere 224, 9. dehinc 214, 12. 20. 215, 3. 222, 29. 371, 14. deinceps passim, e. g, 23, 9. 35, 2. 8. 50, 7. 426, 28. deintus 383, 2. 3. delabi 181, 20. delassare 297, 12. delectare 179, 18. 180, 8. 12. 181, 6. 186, 28. 187, 15. 389, 23. delectatio 180, 3. 21. 186, 17. delere 10, 20. deligere 9, 23. delta311, 7. 9. demensio passimt e, g, 10, 12. 86, 13. 15. 88, 20. 89, 10 ss. 97, 8. 169, 18. 170, 27. 262, 4. Fide dimensio. demere 15, 26. 38, 21. 39, 7. 9. 132, 11. 306, 29. demergere 10, 6. demetiri 22, 27. deminuere 31, 6. 38, 22. deminutio 15, 24. 26. 38, 8. 15. 41, 10. 110, 15. 227,24. 250, 29. 251, 18. 290, 12. deminutus 80, 24. 89, 24. 238, 17. 273, 14. deminuti nu- meri39,21. 40, 13. 41, 25. demonstrare passim, e, g. 46, 21. 85, 12. 87, 9. 104, 12. 227, 15. 277, 9. 402, 18. sequ. quod cum coni. 79, 26, demonstratio 205. 22. 231, 10. 254, 4. 270, 1. 285, 11. 358, 14. 405, 15 cet, demum 200, 26. 231, 8. denarius passim, e. g, 14, 28 ss. 24,23.28. 42, 3. 360, 8 w. 395, 8. 405, 6. notula 87, 1. Pythagoricus 139, 6 — 21. denique 410, 11. denominare passim, e. g. 18, 16. 22, Ss. 26, 2ss. 30, IS ss, 193, 27. denominatio 19, 20. 22, 10 ss. 26, 4 ss. 70, 7. 234, 28. 236, 28. 398, 4. 7. 400, 10. 415, 2. denominativus 10, 30. denuntiare 9, 11. deorsum 88,28. 113, 18. 311, 15. depictio 405, 10. depingere 396, 12. 403, 12. 426, 26. deposcere 9, 26. deprehendere 204, 16. 249, 25. 269, 25. 354, 15. 357, 9. 386, 22. 396, 2 cet. deprimere 200, 4. depromere 164, 24. deputare 15, 16. 225, 10. derelinquere 238, 26. derivare 261, 1. 3. descendere 181, 3. 188, 16* 27. 223, 4. describere passim, e. g. 31, 14. 32, 6. 50, 7. 86,26. 87, 1. 97, 6. 384, 23. 26. 415, 10. descriptio passim, e, g. 5, 4. * 18,8. 27,22. 28,6. 13. 19. 63, 2. 62, 16. 90, 21. 204, 18. 403, 12. I. INDEX REBUM ET VEBBORUM. 443 desiderare 4,3. 50, 25. 411, 4. 428, IS. designare 26, 15. 28, 3. 109, 3. 180, 16. 325, 2. 346, 2. 357, 2. 377,10. 383,8. 388, 29 5«. cet, designatio 86, 26. desinere 121, 14. 125, 10. desistere 185, 7. 345, 14. 16. 357, 17. destinare 80, 18. determinare 47, 14. 54, 20. 200, 3. 406, 15. 414, 18 cel, determinatus 8, 19. 125, 12. 352, 19. deterrere 389, 22. detinere 72, 18. detractio 38,24. 108,7. 190,24. detrahere passim, e, g, 37, 28. 38, 18 ss. 41, 2. 78, 10. 132, 13. 229, 26. 254, 7 ss. 338, 3. detrimentum 250, 1. deus 10, 12. 123, 27. devium 411, 15. gonus aequis habitus late- ribus 419, 14. habitudo passim, e. g. 8, 6. 39» 22. 57, 8. 15. 58, 9. 23. 59, 10. 17. 78, 17. 123, 2. 124, 5. 133, 27. 137, 11. 227, 26. 232, 27 ss. 418 , 7. propor- tionis 166, 21. hactenus passim, e. g. 72, 16. 115, 22. 199, 2. 223, 26. 231, 7. haerere 13, 1. 38, 24. 197, 10. 199, 7. 219, 18. h&ud 7, 23. hebes 393, 13. 15. 23 32. hemiolius 11, 19.50,18. 127,7. chroma hemioi. 365, 14 ss. 370, 19 ss. 452 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. heres 117, 2. heros 199, 16. hiare 5, 15. hiems 188, 23. homo 86, 25. 195, 25. 197, 10. 200, 1. 388, 1. animal prius homine 10, 18—21. 24—27. honestas 180, 27. honor 396, 10. honorabilis 206, 13. 223, 29. 276, 18. hospes 185, 23. hamanitas 179, 24. hamanus 81, 17. 181, 9. 196, 20. 199, 24. 25. humana mu- sica 187, 21. 188, 26 — 189, 5. hypate 206, 12—218,23. hypate hypaton 209, 3 — 219, 22. 309, 23. 312, 9. 332, 13 8S. 334, 19 S8, 335, 11 ss. 337, 12. 338,4 ss. 342, 18. 344, 10 88. 359, 17 ss. hypate meson 209, 23 — 219, 23. 310, 5. 312, 14. 316, 20. 317, Sss, 330, 13 ss. 334, 19 88. 335, 12 88. 337, 12. 338, 4 ss. 342; 2. 346, 20 ss. 359, 2 88. hypatos 206, 13. 209, 3—5. 218, 23. Vide tetrachordum. hyperboleos 211, 4—5. 219, 1. Fide tetrachordum. hyperhypate 208, 13—209, 8. hypermixolydius modus 344, 3. yide modus. hypodorius modns 342, 13. Fide modus. hypolydius modius 342, 13. Vide modus. hypophrygius modus 342, 13. Vide modus. hypotenusa 408, 20. 409, 11. 16.26. 410, 6 88. 411, 7 88. 413, 5.7. maior 413, 18. 414, 8. 10. 20. minor 413, 18. 414, 8. 10. 19. hypotenusalis 412, 5. 414, 26. iacere 67,21. 82, 18. 309,23 ss. 374, 11. 381, 14. iacere 200, 9. ideo 353, 29. 388, 1. 408, 10. ieiunus 4, 22. ignarus 396, 2. ignavus; ignava pondera 3, 7. ignis 77, 14. ignorantia 413, 1. ignorare 77, 12. 164, 23. 242, 24. 344, 18. 408, 14. 414, 22 ceL ignotus 57, 3. 184, 10. 426, 14. illabi 180, 29. illud etiam, quod. 45, 21. imago 4,5. 61, 12. imber 77, 13. imbuere 181, 26. imitabilis 66, 10. imitatio 29, 26. 206, 5. 394, 32. immanis 180, 29. imperare 37, 22. 196, 7. 197,9. 224, 4. 9. 279, 6. 353,26. 354, 2. imperatio 77. 19. imperium 224, 10 ss. impetus 199, 9. 221, 17. imus 352, 9. inaequalis passim, e. g. 13, 24. 37,25. 41, 6. 45, 12. 26 8. 72, 15. 78, 1. 86, 15. 114, 88. 190, 31. 376, 5. 378, 15. 407, 2. 425,7. in (per) inaequalia partiri, dividere 14, 21 88. motus 253, 13 ss. inaequalitas passinij e. g. 39, 22. 57, 10. 66, 17. 12B , 13. 188, 5. 191, 1. 2. 194, 13. 220, 25«*. 230, 22. 253, 16 w. 361, 21. maior inaequali- tas 46, 6. 19. minor 46, 10. omnes inaequalitatis spe^ cies ab aequalitatis cre- visse primordiis 66, 19 — 72, 16. 77, 5. 16. 148, 6. ad ae- qualitatem resolvltur 77, 17 — 79, 28. inaequalitatis ge- nera 191, 6—192,20. I. INDEX RERUM ET VERBORUM, 453 inaeqnaliter 114, 5. 121, 4. 169,24. inbecillitas 190, 7. incallidus 352, 28. incandescere 3, 8. inchoare pctssim, e, g. 9, 16. 26, 20. 27, 7. 34, 23. 36, 30. 90, 14. 208,4. 228,9. 320, 10. inchoatio 90, 21. incidere 202, 22. 285, 27. 308, 27. 375, 5. 377, 14. 382, incipere 24, 4. 53, 26. 58, 21. 65, 18. 193, 14. 228, 23. 231, 5 cet, incisio 317, 1. incitare 180, 14. 185, 1. 6. 186, 5. 190,22. incitatio 188,4. 365, 18. incitatas 365, 16 88, diatoni- cum incitatum 365, 23. 367, 16 M. 371,4. inclinare 105, 9. inclinatio 393, 29. includere 18, 15. 29, 20. 91, 4. 199, 15. 278, 12. 294, 21. 340, 2. incohaerens 179, 19. incommensurabilis 37, 15. incommntabilis 83, 20. incompositus 216, 21 ss. 395, 4. 15. incongruus 343, 18. 418, 3. inconiunctus 126, 5. inconsonans 197, 22. inconsonus 206, 5. 260, 3. inconstantia 8, 11. 196, 23. inconsultns 196, 28. inconveniens 255, 33. 304, 12. incorporalitas 124, 1. incorporens 8, .8. 188, 28. incrementnm 97, 17. incumbere 3, 18. incunctanter 401, 7. incurrere passim, e. g. 10, 28. 18,24.22, 6. 34, 17.26.38, 5. 136, 3. incus 4, 11. indagare 411, 4. 412, 4. 425, 11. indagator 410, 2. 425, 26. indagatrix 9, 22. indago 415, 14. indefinitus 126, 14. indere 426, 12. indeterminatus 9, 19. 132, 16. index (digitus) 206, 19. 21. 208, 17. indicare 355, 9. indicium 198, 28. indigere 8, 25. indigns 4, 1. indiscrepanter 136, 3. indiscrete 194, 27. indissolutus 189, 23. indiyiduus 126, 4. indivisibilis 17, 12. 22, 3. 23, 7. 425, 30. indivisus 45, 18. 385, 4. 7. indnbitanter 124, 2. 161, 22. 348, 6. indubitatus 78, 8. inductio 269, 14. inerratus 5, 8. inesse 381, 8. infans 179,27. 186, 13. inferax 80, 13. inferior passimy e. g. 27, 17 *. 83, 14. 120, 2. 136, 2. 188, 4. 206, 26. 209, 25. inferius 16, 10. 231, 19. inferre 10, 22. 26. 140, 14. inficere 190, 19. infigere 4, 12. infimus 209, 19. 219, 17. infinitas 9, 18. infinitus passim, e. g, 9, 15. 17. 20. 23. 14, 14, 15. 35, 17. 66, 11. 125, 16 M. 132, 15. 228, 21 ss. 381, 5. in infini- tom (a) passim, e. g, 23, 1. 34, 10. 28. 47, 1. V^\,\^ 454 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. *% 193, 11 ss. 228, 9 ss. 377, 16. 395, 11. inflectere 185, 25. 309, 17. informare 124, 9. 163, 11. 354, 14. informatio 125,24. infundere 389, 23. ingeneratus 29, 28. 117, 5. ingeniosas 396, 9. ingenium 5, 12. 425, 29. ingredi 63, 19. 72, 18. 109, 15. 236, 16. 247, 6. 414, 7. initiamentum 423, 24. initiare 393, 2. initium 25, 1. 55, 10. 90, 2. 10.92, 9. 231,6. 285, 6. iniucundas 195, 10. inlaboratus 179, 2. inluminare 10, 7. inminere 3, 21. inminatio 161, 30. inminutus 20, 16. 309, 16. inmitis 186, 14. inmittere 198, 19. inmobilis 9,4. 12, 1. 125, 8. 20. 189, 19. 219, 18 ss. 228, 27 ss, voces 335, 9 ss. inmoderatus 39, 23. inmodicus 66, 15. inmorari 219, 1. 324, 23. inmutabilis passim, e. g. 7, 27. 8,8. 12. 21 5. 96, 23. 102, 13. 117,21. 123, 4 M. 227,26. inmutabilitas 124, 11. inmutabiliter 161, 1. inmutare 360, 12. 16. inniti 60, 3. 354, 12. innotescere 185, 27. inofFensus 59, 26. 103,16. 127, 11. inopia 39, 26. 41, 12. inops 39, 26. inordinate 42, 2. inpar passim, e, g. 13, 5. 19, 14. 96, 20. 135,22. 162,18. inpar numerus def. 13, 13 — 15. 28. 117, 15. 26 ss. 125, 14 ss. 126, 11. 22. 128, 6. 130, 12 ss, 133, 5. 135, 14. 136, dss. 151, 18—22. 276, 17. 406, 17. 409, 3. 20. 22. 411, 26. 416, 2 88. eiusdem naturae particeps 117, 20 — 21. 118, 3. 123, 10. 132,26. inpar linea 277, 10. diyisio 15 , 18. Bubdivisiones 30 , 5 — 40. inparitas 14, 22. 15, 2. 15. 118, 17. inpariter par 17, 4. 7. def. ei eei. 25, 6—28, 16. inpedimentum 48, 5. 55, 26. 393, 4. 409, 11. inpedire passim, e, g. 4, 23. 20, 10. 38, 2. 85, 20. 102,22. 234, 24. 416, 2. inped., ne 30, 8. inpeditio 428, 2. inpellere 5, 16. 189, 20. 301, 18. inperfectus 352, 19. 400, 24. inpermixtus 357, 3. inplere passim e. g. 164, 22. • 167, 7. 204, 4. 205, 6. 254, 26. 263, 7. 265, 19. inplicare 11, 5. inponere manum operi 4, 15. inpossibiiis 18, 7. 254, 27. 285, 23. 305, 7. 353, 28. inprimere 66, 14. inprimis 373, 24. 404, 7. 409, 4. inprovide 125, 25. 363, 12. inquam 10, 6. inquit 222, 3. 285, 13. inquirere 163, 17. 195, 27. 197, 1. 6. 198,27. 234, 23. 406, 2. 409, 12 cet. inquisitor 9, 6. 37, 8. iorationabilis 189, 3. inrepere 185, 29. insanus 186, 7. inscitia 234, 23. 405, 13. inscribere 224 *23. 323, 5. 344, 3. 345, 23, 379, 11 ss. 397, 14. 398, 2. 410, 7. 412, 25 cet. insecabilis 22, 3. 23, 8. 89, 23. I. INDEX EERUM ET VERBORUM. 455 inseparabllis 89, 2. insequi 90, 22. 130, 21. 30. 167, 5. inserere 160, 16. 390, 1. 408, 8. 413, 13. 420, 3. 14. 426. 18. inservire 199, 11. insignire 323, 9. 328, 16. 333, 18. 343, 3, 397, 14. 398, 6 cet. insignis 182 , 4. insinuare 413, 2. insistere 4, 30. 142, 7. 393, 20. insitus 186, 27. 187, 11. inspectio 198, 27. inspector 403, 1. inspicere 10, 5. 48, 3. 53, 8. 185, 6. 247, 29. 286, 15. instabilis 125, 19. 340, 8. instinctus 225, 5. instingu^e 185, 14. instituere 224, 24. 352, 1. 402, 24. 409, 3.20. institutio 86, 27. 192, 19. 283, 9 300, 3. 358, 2.9. 422, 1. 12. institutum 4, 28. instructio 208, 16. instructus 3, 8. 82, 29. 246, 11. 255, 31. 390, 4. 413, 16. instrumentum 3, 18. 187,23. 189, 6. 11. 196, 22. 28. 224, 16 88, 348, 7. 352, 6. 354, 13. 23. bellorum 4, 10. insuaviter 195, 12. 361, 16. insuper 191, 25. 192, 15. 194, 4. 348, 9. 411, 2. integer passim, e. g. 9, 9. 127, 11. 194, 10. 13. 195, 11. 198, 16. 203, 13. 20. 297, 22. integre 64. 5. 237, 29. 238, 12. 275,2. 278, 26.29. 352, 27 cet. integritas 9, 2. 64, 16. 66, 7. 194, 6. 203, 10. 205, 13. 362, 8 ss. inteilectus 225, 1. intellegentia 5, 2. 10, 1. 66, 16. 137,6. 205,20. 341, 1. 342, 26. 343, 14. 390, 5. 392, 9. principalis 32, 15. inteliegere passim , e. g 5, 8. 16, 12. 66, 19. 129, 18.161, 22. 168, 24. 179, 1. 390, 3. intemperantia 41, 6. intendere passim, e. ^. 64, 9. 187, 10. 190, 3. 24. 220, 4. 274, 7 ss. 279, 11 ss. 314, 18 ss. intensio 196, 3. intentio 8, 2. 189, 7. 196, 15. 212, 27. 13,9.227,23.253, 10. 274, 20. 301, 11.21.314, 20. 342, 120 ss. 354, 27 ss. 355, 29. intercapedo 190, 12. 344, 5. intercedere 13, 14. 16. 134, 27. intercidere 202, 24. 304, 2. 3. interdum 389. 1. 396, 18. 19. interea 197, 3. 205, 19. interesse 88, 1. 141, 21. 143, 25. 242, 13.245, 12. 303,28. 326, 27. 344, 5 cet. intericere 98, 5. 324, 20. 342, 3. 7. 346, 8. interim passim, e, g. 57, 2. 187, 18. 219, 4. 223, 2. 241, 14. interimere 86, 23. interior 223, 3. 379, 21. angu- lus 377, 16. 17. 381, 17. 382, 27. 383, 10. interius 381, 27. 383, 9. 387,6. interminabilis 9, 24. 50, 2. 228, 11. intermissio 36, 1. 48, 25. 29. 52, 5 88. 231, 2. 232, 19. intermittere passim, e. g. 34, 13 ss. 35, 4 88. 36, 4. 9. 48, 6 88. 96, 6. 230, 10. internectere 160, 27. intemoscere 180, 3. 370, 22. interpolatio 70, 8. interponere 35, 21. 62, 7. 98, 26. 99, 19. 269, 17. 286, 10. 342, 9. 456 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. interpretari 218, 23. interserere 158, 2. intervallum 80, 7. 87, 14—90, 4. 104, 19. 136, 6. 150, 2 w. 169, 12 ss, 199,4. 18. 240, 12. 365, 27. 378, 1. et pasaim. soni acati gravisque distan- tia 196, 6. 203, 19. 204, 12. 216, 23 S8, ei passim. mal- tiplex ceL 302, 8—308, 15. intervenire 303,20. 304,5. 305, 4.356,13. 19.395,1.399,19. interventas 30, 8. intitubanter 79, 22. introducere 57, 3. 151.25. 391, 4. 399, 18. introdnctio 39, 18. 137, 7. 393, 2. 400, 28. intueri passim, e. g. 7, 26. 102, 21. 129, 9. 133, 19. 179 , 13. 218, 18. 223, 28. 352, 23. intus 387, 22. inutiliter 125 , 25. invadere 185, 24. invenire passim, e. g. Sj 5. 8, 7. 9, 7. 10, 14. 11, 15. 14, 3. 15, 1. 11. 18. 164, 16. 194, 2. 198, 21. 23. 406, 26. inventio 200, 25. 363, 22. 25. inventor 206, 7. inventum 3, 17. inverecunduB 180, 28. invertere 180, 25. 184, 5. 311, 14. investigare 39, 4. 122, 22. 187, 14. 236, 9^. 404, 3 cet. investigatio 33, 20. 179, 2 ss. 236, 16. 405, 12. investigator 395, 26. 400, 13. invicem passim, e. g. 12, 30. 18, 22. 19, 6. 20, 20. 374, 10. 15. 378, 18. invigilare 355, 15. inviolatus 358, 26. 360, 9. involute 390, 8. 392, 8. involvere 426 , 15. iota 310, 14. 312, 4. ira 66, 55. iracundia 184, 8. 185, 26. 186, 31. 187, 2. ire 220, 8. ischiadicus 186, 21.| isopleurus 404, 10. Vide tiian- gulum aequilaterum. isosceles 376, 3. 404, 10. Vide triangulum. iter 4, 30. 196, 1. 395, 2. iterare 221, 16. 389, 21. 410,3. iterum 383, 5. 405, 13. 411, 21. iubere 38, 13. 80, 7. 11.377, 18. 428, 2. iucnndus 3, 5. 53, 9. iudex 196, 7. iudicare 4, 26. 37 , 3. 114, 21. 153, 6. 225, 7. 15. 353, 14. cet. iudicium passim, e. g, 3, 13. 19. 4, 17. 24. 5, 23. 179, 17. 196, 16.26. 196 /«&««. 222, Ihss. 223, 14. 25. 267,5. 351, 18. 412, 20. iugeralis 425, 10. 16. ingenim 424, 16. 22—23. 425, 1.5. iunctura 158, 1. 160, 23. iungere passim, e. g. 8, 16. 12, 24. 27. 13, 1. 8. 16, S ss. 180, 6. 197, 17 ss. 385, 23. 386, 8. 397, 9. ius 149, 15. iure 204, 5. 228, 26. 257,6. 294, rs cet. iuste 117, 13. 163, 6. iuvarlB 78, 25. iuvenis 179, 27. labare 411, 24. 413, 16. 423, 3. labes 180, 24. labi 236, 9. 354, 12. labor 3, 14. 4, 4. 12. 14. 20. 5, 22. 80, 12. 394, 23. laborare 4, 16. 11, 21. 179, 22. 315, 3. 330, 8. lacertus 197, 10. laetari 198, 21. laevus 425, 9. lambda 310, 14 ss. L INDEX BERUM ET VERBORUM. 467 lapis 8, 17. 403, 23. finalie 376, 1. laquear 403, 17. lascivus 180, 12. 28. 181, 8. lateralis 421, 10. 422, 14. 423, 4. 6. lateraliter 417, 2. 418, 4. 420, 4. 422, 10. laterculuB 86, 17. 111, 14. 120, 12—20. latere 7, 26. 141, 8. 164, 23. latine 376, 9. 393, 17. latinus 426, 13. 16. latitudo passim^ e. g. 27, 23. 26.28,20.29,5.7.54, 7 w. 83, 12. 13. 88, 14 w. 90, 9«. 103, 21. 104, 19. 111, 19. 115,4. 373, 27 5*. 394, 17. 403, 6. latius 56, 2. 246, 13. 264, 29. latus, eris passim, e, g, 29, 28. 53,23. 92, 15. 105, 12. 106, 5. 10. 168, 24. 265, 30. 376, 3 S8. 394, 22. numeri passim, e. g. 56, 17. 86, 15. 93, 10 ss. 95, 1 ss. 16 ss. 96 , 24 ss. 97, T ss. 108, 22**. 111, 20 **. 150, 15 **. 231, 18 **. 410, 10. 18. tetragonicum 163, 17 ss. laxare 188, 23. 190, 26. 199, 24. laxus 190, 6. lectio 137, 6. 151, 23. 164, 18. 21. lectitare 428, 19. lector 5, 6. 161, 21. 223, 2. 9. 230, 18. 235, 31. 245,28. 246, 11. 269, 3. 263, 15. 279, 20. 284, 16. 309, 16. 314, 18. 393, 2. 400, 1. 30. 405, 12. 413, 16. 416, 14. 423, 8. Vide animus. legere 199, 6. 16. 346, 21. 22. lenis 185, 29. levis 188, 30. . lex translationis 4, 29. libentius 187, 4. liber, de inst. arith. 192,' 19. 234, 17. I. 77, 4. 140, 12. 156, 13. de inst. mus. 352,2. II. 358, 2. 4. 9. 14. III. 301, 8. IIII. 358, 4. 9, 14. art. geom. I. 401, 1. 402, 26. 404,14. II. 401,6. libriPla- tonis de republica 161, 23. liber TulHi de consiliis suis 185, 10. de re publica 219, 13. veterum libri 167, 9. liberalis 3, 4. libet 66, 25. 136, 3. 402, 27. librare 103, 1. licet passim, e. g, 4, 19. 44, 1. 52,25. 58, 18. 69, 24. 186, 16. 196, 7. lichanos 206, 18—209, 21. 335, 21. 337, 14. 17. 340, 7. 26« a lingendo 206, 19. lichanos hypaton 208, 15 — 219, 23. 312, 11 — 13. 316, 12—17. 317, 6 **. 332, 18 ss. 336,4. 337,10. 338,5. 339, 17. 347, 15. lichanos meson 209, 23--219, 24. 313, 1- 3. 330, 18**. 336. 1. 337, 8. 338, 6. 339, 17 **. 346, 7 **. ligneus 198, 25. limes 41, 7. 266, 12. 395, 7. 12-16. 426, 29. 428, 17. limitem facere 19, 10. limitare 422, 11. 426,29. limma 260, 24. linea 87, 17. 88, 14 **. 89, 11 **. 91, 13. 15. 106, 8 **. 106, 4.7. 222, 19. 308, 22. 310, 3**. 344, 1.348, 11. 13. 353, 18**. 374, 3 **. 398,1 **. 403, 12 cet. punctum prin- cipium lineae 87, 16. 89, 26 primum intervallum 88, 13. superficiei principium 89 27; duae lineae rect^e spa» tium non continent 91, 10. 458 I . INDEX RERUM ET VERBORUM. in infinita dividitur 193, 16 ss, 228, 16—20. prima inpar linca 277, 10. vocis loco 279, 7—8. def. 874, 1. 394, . 33. meDSuralis 376, 18. genera 394, 1 — 14. veritatis linea 411, 5. linearis; liaeares numeri 86, 13. 90, 6—17. 107, 3. lineariter 279, 7. lingere 206, 19. lingua 182, 5. liniamentum 407, 8. linteain 4, 8. liquere 90, 13. 165, 12. 190, 23. 202, 18. 262, 14. 263, 16. 338, 10. liquidius 205, 18. liquido 3, 4. liquis 394, 21, 23. littera 309, 8. 391, 6. 397, 10. 11. litterae 3, 10. 4, 25, X- 54, 10. 21. articularis vocis elementa 77, 9. C (sigma) 182, 5. graecae litterae mu- sicae notae 309, 14—312, 5. nervorum signa 318, 16 ss, minutiarum signa 426, 17 — 21. 427, 1—12. locare passim, e. g, 34, 12. 35, 9. 163, 6. 206,27. 207, 13. 255, 20. 392, 3. locatio 80, 25. locus passimy e. g. 23, 25. 26, 6. 28, 11. 13. 35, 1. 36, Q ss. 219,28. 252,8. 279,8. 393, 28. 420, 15. est locus veniae 5, 9. locum obtinere 17, 4. 108, 8. 277, 9. loca 8, 6. 335, 15. 387, 23. loci 36,3. 336 4. longe'22, 1. 211, 1. 230, 28. 253, 23. facilior 4, 14. anti- quins 230, 22. multos infini- tosque 42, 1. comp. 164, 17. 200,. 20. 273, 3. superl 273, 13. longilaterus; longilateri nn- meri 56, 8 ss, longitudo passim, e. g. 27, 23. 28,2. 29, 11.28. 54, 6 ss. 87, 14lss, 88, 11 ss, 90, 7. 104, 18. 111, 18. 198, 15. 21. 373, 26 M. 394, 17. 401, 10. 403, ^ss, longus passiM. Ipngam fait adscribere 316, 27. in loDgo 402, 20. loqui 64, 7. 117, 14. 195,6. 198,24. 199, 5. 27.290,8. 351, 27 cel. lucere 194, 28. lucidus 373, 23. lacrum 4, 24. lactus 186, 18. 21. lumen 10, 5. luna 12, 10. lunaris 219, 11. 17. lux 389, 23. Ijdius modus 180, 16. Vide modus. maceria 403, 23. machina 187, 27. 188, 10. machinari 54, 17. macies 4, 22. magas 348, 9. magister 223, 5. 396, 12. magHitudo 8, 5. 9,4. 25. 89, 20. 196, 25. 198, 25. 227, 25. def. 8, 15 — 19. 228, 6-7. mobilis — inmobiiis 8, 29 — 31. 228, 27—229, 1. modum in divisione non recipit 9, 16—17. 14, 16. 228, 14—21. malitia 66, 11. malle 426, 5. malleus 197, 4 ss, manere 8, 30. 87, 21. 122, 1. 160, 17. 167, 4. 219, 18 234, 13«. 336, 8. manes 186 , 24. manifestare 412, 10. 422, 6. manifestns passim, e. g, 7, 22. 30, 1. 40, 10. 64, 20. 126, I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 459 12. 133, 4. 186, 29. 288, 31. 388, 20. 405, 14. mansuetus 181, 7. manus 4, 5. 6. 15. 40, 26. 189, 27. 223, 30 ss. 352, 15. margo 77, 15. marmor 4, 3. masculns 181, 22. mater 10, 9. 30, 28. 37, 18. 66, 21. 79, 26. 86, 20. 93, 7. materla 4, 9. 352, 18 as, mathematicus subst. 179, 14. mathesis 5, 6. 122, 22. 179, 21.. 425, 22. amat altema probationum ratione consti- tui 86, 10. maturare 188, 23. maturus 5, 20. maxima 196, 11. spatio 13, 21. 14, 17. mederi 186, 8. medicus 186, 6. medietas passim, e, g. 11, 19. 14, 4. 16, 8 ss. 40, 3. 78, 14. 84, 7 ss. 114, 22. 160, 17. 198, 15. «302, 25. 405, 20, omnis numerus circum se positorum . . . medietas 16, 2- 3. quadam medietate con- iunctus30, ll.=duae quar- tae 58, 6. non loco tantum verum etiam quantitate 142, 19. = proportionalitas pas- sim, e. g. 138, 26 — 139, 21. 162, 31. 164, 16—165, 1. 167, 3-6. arithmetica 139, 2. 139, 24—144, 24. 26. 145, 4. 149, 7. 152, 28. 163, 14. 155. 4. 160, 15.21. 27-161,22. 162, 18—21. 163,1—15. 168, 25. 170,3*«. 241,24 — 242, 23. 243, 17—19. 244, 5—245, 27. 248, 21-249, 1. 269, 7. geometrica 139, 3. 142, 14. 144, 19. 26—149, 4. 149, 11. 153, 5 ss. 154, 8. 155, 5. 160, 15. 22. 161, 23—162, 2. 23—26. 163, 16—28. 168, 26. 170,4 ss. 242, 2 — 23. 243,19—20. 246, 1—12. 249, 1^7. 269,5. una — duae continuae 149, 23 — 151, 25. armonica 139, 3. 144, 15. 19. 149,9. 152, 2-160,4. 160, 16.23. 162,3 — 16. 26 — 30. 163, 29—164, 13. 169, 1. 170, 2 ss. 242, 7-23. 243, 20 — 22. 246, 13 — 248, 14. 249, 8-15. 269, 8. quarta 139, 5. 165, 1—20. 169,2. quinta 139,5. 165, 21—166, 13. 169, 3. sexta 139, 5. 165, 21. 166, 14—25. 169, 4. aliae quattuor 139, 6—9. 167, «—168, 21<169, 5-8. mediocris 5, 2. 181, 7. 206, 19. 351, 18. mediocritas 253, 17. mediocriter 253, 15. medium 406, 10. 407, 17. 408, 22. 409, 24: cet. ' medius passimy e. g. 11, 26. 13, 14. 15. 16, 4 M. 18, 21. 105, 10. 195, 27. 199, 15. 217, 25. 301, 22 s. 425, 13. melior consonantia 222, 16. melius 131, 23. 253, 6. 269, 14. 396, 14. 402, Vicet. melos 187, 7. 309, 5. 9. 357, 10«. 361, 14. melo 195, 3. melonim 212, 24. membrum 41, 4. 139, 20. meminisse 66, 22. 161, 21. memor 187, 7. memoria 301, 9. 10. 309, 10. mens 4, 21. 7, 22. 9, 21. 128, 27. 180, 14. 29. 181,4. 185, 9. 187, 2. 11. 224, 8. 285, 31. 352, 21. 396, 13. mensa geometricalis 393, 6. Pythagorea 396, 11. mensio 33, 1. 36, 15. 20. 238, 19. mensor 394, 31. 460 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. mensnla 376, 22. mensara 36, 24. 45, 21. 91,17. 193. 18. 198, 17. 228, 15. 238, 15 M. 271, 8. 314, 10. 353, 20. 354, 19. 401, 9 eeL commanis 33, 4 88, 36, 26 88. 220, 15. 303, 25. mensu- ram repperiendi ars 37 , 21 — 39, 15. tonus 172, 2. men- 8ura differentiae 290,8 (237, 29 — 240, 8). def, 373, 24— 374, 1. 402, 26-403, 8. ter- rae 388, 1. mensurarnm ge- nera401, 15-402, 23. mensuralis 375, 18. 403, 5. mensurarc 403, 9. 408, 13. 414, 10.21. 421, 10.428,8. me#io 269, 10/: mercari 4, 12. mercator 4, 8. mergere 200, 9. meritum 3, 8. 5, 23. 224, 14. 250, 3. merito 117, 10. 124, 24. 249, 28. mege 20^, 23—219, 25. 310,14. 313, 4. 315, 19 88, 319, 6 88, 325, 2 88. 334, 16 88. 335, 12 8S. 337, 12 338, 6 ss. 342, 1*. 344,25«. 346,3 — 347, 17. 369, 11 88. mesos 209, 22. 218, 23. Vide tetrachordum. metiri passim, e. g. 30, 27. 31, 8 8. 32, 13. 20. 33, 6. 45, 13. 196, 3. 198, 26. 238, 2 ss. 394, 20. 408, 1. metitur nu- merus numerum 31, 4 88, = numerare 47, 15. metrum 309, 6. migrare 196, 19. miliarium 401, 18. 402, 1. 403, 10. millena milia 398, 18. 23. millenarius 42, 4. millenus 398, 15 ss. 399, 5. 400, 7. 12. 18. minima 196, 11. minime 388, 24. ministrare 188, 13. minuere pnssim^ e. g. 8, 2. 14, 11. 15. 39, 13. 114, 18, 193, 16 88. 394, 23. alicui aliqtdd 258, 14. minutiae 425, 21. 426, 11. 20. 428 , 3. minutum 400, 22. 402, 15. 425, 21. 426, 10. 19. 427, 14. 428, 1. 18. minutus 194, 2. 402, 8. mirabilis 134, 24. 425, 22. mirabile 83, 11. mirandus 80, 4. 184, 9. mirari 48, 26. 128, 25. 234, 11. mirus 3, 16. 5, 16. 20, 13. 134, 15. 309, 7. 396, 16. miscere passim, e. g. 14, 22. 55, 16. 103, 18. 125, 23. 188, 29. 192, 23. 195, 10. 201, 2. 221, 19 8. mitis 185, 2. mixolydius modus 842, 14. Vide modus. mixtura 195, 7. 862, 11. mobilis 8, 30. 9, 5. 11, 29. 125, 20. 219, 26. 229, 1 88. voces 335, 9 88. moderatio 45, 21. moderatu8 4, 31. modestia 184, 3. modestus 180, 25. 181, 10. 22. 184, 4. 187, 2. modulamen 9, 3. 169, 13. 172, 1. 395, 28. modulari 186, 18. 199, 12. 279, 17. modulatio 11, 10. 17. 12, 2. 13, 8. 186, 11. 188, 7. 189, 15. 253, 11. 341, 23. 342, 23. 355, 4. 370, 12. modulatus 253, 10. modulus 54, 17. 199, 11. modus passimf e. g. 9, 17. 14, 19. 19, 21. 100, 4. 181,12. 232, 10. mensionis 36, 15. 198,18. audiendi 200, 7—21. concinentiarum 250, 21 — 22. I. INDEX RERIJM ET VERBORUM. 461 modi muBici 179,19. 24. 180, 1 — 181, 15. 185, 8m. 225, 13. 341, 20 ss. gentium vo- cabulo designati 180, 15. dorius 342 , 13. 24. 343 , 10. 346, 13 ss, hypodorius 342, 13, 16. 345, 24 ss. lydius 180, 16. 309, 11 ss. 3i8, 6. 342, 14. 343, 10. 346, 26 ss, hypolydius 342, 13. 23. 346, 9 ss. mixoljdius 342, 14. 346, 28 ss. hypermixolydius 344, 3. 345, 23. 347, 5 ss. 347, 18—348. 3. phrygius 180, 16. 185, 6. 342, 13. 343, 10. 346, 23 ss. hypophrygius 342, 13. 21 «. 346, 3 ss. sub- phrygius 185, 1. moles 4, 4. 10, 12. molestia 185, 22. moUis 180, 19. 20. 181, 8. 184, 5. 213, 1. 365, iQss. chroma molle 365, 12 ss. 370, 19 ss. diatonicum molle 365, 2Ss8. 371, 4. moUities 365, 19. momentum 191, 7. 196, 8. 19. 197,3. minuHa 426, 10. 19. 427, 13. 428 , 1. 13. monere 62, 23. 146, 10. 246, 27. 392 , 4. monitio 185, 7. monochordum 219, 27. 300, 3. 314, 8. 334, 12. 351. 15. mons 424, 12—425, 17. monstrare passimj e. g. 11, 22. 20, 16. 35, 20. 52, 25. 69, 23. 87, 5. 186, 12. 390, 20. monstruosus 40, 28. montuosa ratio 424, 12. mora 5, 17. 408, 11. moralitas 179, 23. morari 72, 19. 343, 14. 352,22. moratus 180, 23. 181, 21. morbus 185, 19. mortalis 179, 8. mos 180, 11. 19. 24. 185, 6. in more 181,26. 186, 21. 223,4. motus 8, 30. 123, 3. 187, 5. 189, 19«*. 200, 12. 15. 206, 16. 221, 16. 301, 13 ss. est post quietem 11 , 28. astro- rum 12, 2. 18. 187,29. VL motuum formae 88, 23—28. cordis 186, 5. velociores, tardiores 189, 24. rariores, spissiores 189, 25. aequales, inaequales 253. 13 — 15. movere 122, 1. 187, 27. 189, 8. 219, 16. mugire 186, 23. mulctare 236 , 25. muliebris 186, 19. mulier 185, 14. multiangulus 109, 12. 110, 21. 111,6. 12. multifarius 426, 24. multiformis 394, 10. 426, 1. multilaterus 375, 20. multimodus 228, 1. 253, 22. multiplex 4, 9. 12, 10. 182, 3. 184, 1. proportio 78, 23. 232, 25. 29—233, 14. 240, 11 — 22. 240, 25—241, 12. 253, 7 (250, 2). 286, 10. 301. 28. 302, 8—303, 16. 304, 20 — 306, 28. prima pars inae- qualitatis 46, 7. 19—49, 12. 52,22-57,5. 64, 10.67,2. 4. 67, 17-68, 22. 78, 4. 83, 26—85,21. 124, 6. 148,6. 191, 10—15. 192,25. 229,14. 18 — 24. 230, 21—231, 6. 234, 26 M. 250, 2. 251, 22. 253, 19. 29 ss. proportionum principes 80, 15 ss. 83, 8. multiplexsuperparticularis 46, 8. 60, 20 — 63, 23. 6.4, 15. 67, 13. 71, 6-22. 72, 13. 78, 6. 191, 29—192, 10. 229, 17. 234 , 13. multiplex superpartiens 46, 9. 60,23. 66,2—66,2.67,14. 71,6. 71,24 — 72, 14.78,7. 192, 11 — 17. 229, 17. 234, 15. 357, 23 ss. 462 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. multiplicare passim, e. g. 20, 2188. 22, 26. 23, 6. 21. 23. 202, 22. 237, 2 88. 240, 13 8s. 362, 29. 397, 16. 398, 11. 26 88. 400, 23. in qaadni- plum 59, 23. multiplicatio passiniy e. g. 21, 11. 27, 1. 6. 40, 28. 66, 6. 59, 20. 64, 8. 237, 25. 240, 13 ss. 389, 14. 395, 20. 396, 7. una plus 59, 27. multi- plicationis species 83, 27. multiplicator 261, 16. 396, 5. 17. 19. 398, 12 88. multiplicitas passim^ e. g. 4:1^ 22. 53,27. 55,6. 70,1. 80, 18. 85, 16. 127,6. 128, 19. 191, 8 ss. 193, 20. 231, 4. 259, 14. 260, 4 — 6. iti inte- gritate se continet 194, 6. superparticularitati respon- det 250 , 28 ss. multitudo passim, e. g-. 8. 23 — 29. 9, 1. 14. 23. 12, 17. 18, 20. 40, 6. 126, 21. 228, 7 — 14. mundanus 10, 11. Vide mu- sica. mundus 8, 18. 123, 25. 124, 10. 125, 26. 126, 1.3. 188,20. mundum corpora quattuor efficere 77,12. mundi anima 180, 4. sphera 229, 1. munimentum 3, 21. munus 3, 2. 5, 8. 22. munusculum 3, 20. musica 11, 6. 20. 189, 15. 205, 28. 224,6. 31. 226, 10.229, 8. 234,22. 283, 9. 10. 316, 21. 361, 16. musicae vis astrorum cursus praecedit 12, 3—4. moralitati coniun- cta 179, 22—187, 10. mun- dana 187, 21—188, 26. 206, 5. humana 188, 26—189, 6. instrumentorum 189, 6 — 12. musicus suhst. 160, 13. 268, 21. 309, 1. 5. 343, 1. 2. def. 224, 18—20. 226, 11—15. musicus adi.^ passim, e. g. 9» 3. 11, 10. 137, 4. 140, 13. 149, 9. 155, 14. 169, 13. 180, 1 ss. 194, 14. 20. 300, 2. 395, 28. musica 77, 11. 396, 6. mutabilis 118, 18. 124, 1. 10. 228, 1. mutabilitas 124, 12. 336, 28. mutare passim, e. g. 21, 9. 59, 17. 125, 9. 185, 7. 197, 9. 11. 227, 25. 337, 2. mutatio 132, 25. 181, 17. 213, 10. 356, 18. mutuare 12,17. mutaari 151,4. mutuus 19, 22. 395, 17. my 310, 13. 312, 2. narrare 404, 3. nasci passim, e. g. 18, 6. 23, 10. 26, 14. 18. 27, 15. 196, 23. 202, 10. 397, 19. natura passim, e. g. 8, 4. 8. 12. 9, 18. 10, 16. 11,8. 24. 29. 12,4. 28. 26, 14. 66, 6. 10. 89, 22. 96, 22. 123, 3 88. 263, 23. 394, 30. 425, 28. opp. usus87, 2 scientia 187. 11. extrinsecus accidentia 196, 20. hominis 10, 20. nu- merorum 12, 6. 140, 8. 193, 22. 396, 2. rerum 12, 14. 122,21. 24. 126, 1. 27. 315, 6. inpans 19, 16. paritatis 21, 25. super naturam 40, 26. longitudinis 89 , 12. unius interyalii 89, 13. eademll7, 3. 118, 7. 126, 3. 132, 24. 136, 8. corporis 169, 16. sen- suum 179, 5 ss. trianguli, quadrati 179, 14. concinen- tiae 193 , 8. naturalis passim, e. g. 14, 1. 32, 25. 41,4. 169, 14. 212, 26. .397, 12. 421, 7. dispo- sitio numerorum (numeri nat.) 16, 3. 24. 23, 23. 46, I. INDEX REEUM ET VERBORUM. 463 23. sequentia atque ordo 22, 25. naturaliter passim, e. q, 15, 20. 16,22. 17, 12. 41, 1. 178, 25. 394, 13. 404, 5. 425, 30. comp, 87, 11. ne 259, 21. neate 206, 25. necessario passim , e, g, 38 , 2. 6. 68,6. 249,29. 257,9.263,2. necessarius 41, 2. 242, 26. 264, 6. 308, 20. 351,23. 390,2. 425, 23. necesse est passim, e. g. 4, 16. 12, 21. 18, 20. 381, 15. necessitas 21, 5. negare 180, 23. neglegere 117, 15. 139, 27. 140, 22. 145, 3. 368, 11. nequire 39, 10. 82, 20. 256, 9. 269, 23. 284, 14. nervus passim, e.. g. 160, 13. 182, 2. 188, 18. 189, 8. 190, 3. 196, 24. 308, 18. semel percussus . . . multos efficit voces 222 , 4—6. nescire 66, 8. nete 206, 26 — 211 , 4. 219, 6. 11. 346, 19. 22. nete diezeugmenon 209 , 29 — 216, 12. 311, 13. 314, 1. 317, 27. 320, 17 ss. 334, 21 ss, 335, 13. 17. 337, 13. 338, 7. 339, 26 ss. 342, 6. 359, 3 ss. nete sjnemmenon 210, 27 — 216, 7. 311, 2. 313, 9. 317, 26. 328, 12 ss. 334, 20 ss. 335, 12. 337, 12. 338, 9. 342, 4. nete hyperboleon 211, 20 — 216, 16. 312, 4. 314, 6. 315, 24 ss. 319, 11 ss. 334, 17 ss. 335, 13. 337, 13. 340, 13 ss. 342, 3 ss. 359, 10 ss. niger 4, 11. nihil 87, 19. nihilo.minus 331, 14. 344, 28. nimietas 188, 21. nimirum 59, 26. 123,7. 186,2. 15. 256, 20. 294, 18. 408, 7 cet. nimis 41, 24. 149, 21. 390, 8. 392, 7. nimium 188, 18. 285, 12. nimius 5, 17. 66, 15. 187,2. 188 20 niti 3*, 16*. 4, 2. 8,4. 66, 12. 195, 11. nitor 4, 6. nobilitas 7, 25. nocturnus 185, 5. nolle 426, 15. nomen passim, e,g. 8, 14. 23. 17,18. 61,11. 114,6««. 224, 22. 402, 13. numerorum 11, 5. 11. 13. nomen et nume- rus 22, 22. multiplicationis 48, 28. medietatis 160, 17. nervorum citharae205, 23««. chordarum 318, 15 ««. men- surarum 401, 18 ««. minu- tiarum 426, 30. 426, 4—11^ agrornm 428, 16. nominare passim, e, g. 8, 14. 10, 26. 11, 6. 19, 15. 61, 15. 426, 10. in nominando 396, 5. norma 49, 26. 127, 10. 411, 2. normalis393, 16.23.32. 415, 18. 416, 4. normaliter 415, 19. normula 409, 6. noscere 5, 18. 141, 7. 187, 20. 202, 18. 395, 3. nota 390 „ 8. 397, 3. 402, 13. 425, 30. 426, 12. 15. 16. 427, 16. notae musicae 308, 21. 309, 17 — 314, 6. notare passim, e. g. 18, 5. 29, 6. 30, 1. 51, 18. 54, 19. 55, 10. 87, 4. 403, 12. 24. notitia 9 , 4. 205, 25. 227, 21. 396, 14. 401, 6. 404, 2. notula 86, 27. 87, 13. 308, 22. 309, 2 ««. 316, 26. 323, 5. 11. 343, 3««. 344, 2««. 391, 6. 397, 4. 464 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. notus pasMunt e. g. 13, 17. 123, 24. 138,26. 144,9. 172,4. 220, 14. 249, 26. novem laterum (angulorum) figura (forma) 99, 3. 23—26. novenarius passim^ e. g. 33, 10. 14. 34, 14. 16. 38, 16. 277, 10. 397, 8. solida quantitas 170, 23. 26. novitas 309, 15. novus 5, 20. nubes 356, 15. nubilum 398, 9. 405, 13. nullus (nihil) 87, 19. numerabilis 41, 24. niimerare 31, 1. 36, 16 ss, 47, 13. 207, 30. 334, 23. 395, 8. 417, 6. = metiri 47, 16. numerositas passimj e. g. 23, 18. 39, 25. 44, 16. 54, 3. 96, 19. 101, 17. 190, 28. 248, 3. numerosus 25, 1. numerus passim, e. g. 4, 31. 8, 25. 12,29. 13, 1. 6. 14,8. 15, 3. 16, 5 8S. 125, 24. 190, 29. 228, 14 88. 395, 12 ss. naturalis passim, e. g. 47, 28. 48, 7. 50, 8. 94, 6. 134, 12. 140, 11. 239, 26. 397, 12. 17. continuus 53, 3. qui circa figuras dreometricas versan- tur 86, 11 88. minimi in ea- dem proportiono 285, li ss. numerorumvis prior geome- tria, musica, astronomia 10, 27—12, 12. omnia.numero- rum ratione formata 12, 15. 20. (10, 14.) .389, 12. 395, 27 ss. numerus, qui . . . omnia possit explere 318, 10 88. numerum in propria semper sese habentem ae- qualiter substantia perma- nere 12, 21—25. omnis num. circum se positorum . . . me- dietas 16, 2 — 3. in se mul- tiplicatus efficit maiorem 88, 6—9. 395, 20. crescendi non habet finem 193, 14. def. 13, 10-12. divisio 13, 12— 13. 125, 16—18. 126,11 — 12. num. divisionis 14, 11. signa 86. 24—87, 6. 397, 3— 15. gemina natura 124, 4. nuncupare passim, e. g. 11, 13. 46, 14. 61, 16. 180, 18. 203, 11. 206, 14. 376, 23. 878, 12. nuncupatio 110, 6. 309, 14. nuptialis 151, 23. nutus 197, 4. ny 311, 2. 14. obicere 54, 16. 411, 3. oblectare 186, 14. 391, 4. oblivio 20, 19. obuoxius 4, 28. 92, 8. oboedire 196, 6. obolus 426, 8. 18. 428, 7. obponere vel opponere passim, e. g. 21, 26. 43, 21. 46, 10 w. 50, 17. 252, 17 88. obscure 373, 22. 389, 19. 391, 3. 400, 29. obscuritas 389, 21. 410, 3. obscurus 72, 18. 399, 19. 408, 10. 426, 14. vox 200, 20. observare 368, 10. 375, 19. 394, 27. observatio 4, 7. 142, 3. 375, 19. 394, 20. obstaculum 416, 3. 423, 2. 428, 2. obtendere 386, 19. obtenebrare 398, 9. obtinere passim, e, g. 10, 9. 17, 4. 25, 22. 29. 41, 10. 66, 21. 77, 11. 184,6. 202,11. 407, 6. obtundere 196, 5. 25. obtusiangulum 376, 9. obtusus 374, 18. Vide angulos. obvius 179, 6. occasio 196, 8. occasus 12, 8. 396, 3. occludere 160, 11. occurrere passim^ e, g. 16, 8. I. IKDEX EEKUM ET VEEBORUM. 465 (,21. , 101 V, octofconus 99, 421, 7—16. octonarLas passim, e.g. 15,6.7. 20. 7, 27, 3. 40, 16. 109, 7. oculus 10,4. 41, 2. 101, 16. 179, 13. 222, 20. 342, 27. 361, 24, 353, 16. animi 10, 3. 6. eodem modo (ifficitur BBpectu, quo nnirai indkium namerifl 222, 16 - 18. odioBUS ISO, 10. offendere 108, 12. 200, 16. 221, 15. offensio 4g, 14, offerre5, 11. otficere 184, 3, 195, 11- offidna 197, 4. officinn 3, 2, omnifarUra 381, 20. 382,3. opera 224, 29. operae pretinio 412, 23. operari 104, 17. 194, 13. 199, 9, 224, 12. 346, 18. operosus 4, 8, opes opina i. 373, 24. opinio 360, 28. oportere pmsim,e.ff. 5, 12. 37, 26. 43,22. 109, 24. 381, 9. opponere vide obponere, oppoBitus 113, 20. 139, 6. 165, 2. 12. 23. 252, 28. opprimere 39, 36. optime 181, 21. optimatea 149, 10. opnlentia 3, 10. opns 3, 13. 17. 4, 6. 16. 5, 80. 189, 13, 197, 7. 319, 1. 223, 30 M. 361, 18. 394, 31, 397, 14. 403, 17. 426, 26. operi» aeqneutia II, 21. 46, ~ 10, opere opp. virtute et po- tentift passita, e. q. 44, 17. 45, 3, 93, 6 ss. 94, 11 m. 95, 30. 97, 13. 108, 20. opus esse 6. 8. 301, 15. oratio3, 11. 4, 22.26. 199, .5. 218, 22. 426, 13. orbare 10, 6, orbis 4. 12. 300. 10 f. ordinabilifl 54, 22. 111, 13. ordinare passbn, e. g. 48, 25. 49, 12. 69, 7. 64, 10. 12- 78, 9. 87, 7. ordinatim 20. 2. 26, 17. 71, 26. 26. 107. 5, ordinatio 66, 7. 81, 66, 96, 23. 102, 6. ordiri 269, 29. 31. 338, 17. 339, 24, 416, 18 cet. ordo patsim, e. g. 10, 14, 18, 25, 52,4, 66, 22. 126,6. 135, 15. 163, 15, 208, 16. 237, 27. 269, 14. .197, 13. 406, 16. ordo chordamm 214, 2-216, 16, consonan- tiarura 249, 18— 263, 26. per ordineml8,8. 49,7, inordi- nem ptutim, e.g. 26, 19. 37, 8. 33, 26. 35, 29. 42, 14. in ordine 38, 8. 34, 3, 61, 4. 397, 10. 11. ordine 34, 30. 47,2. 140,15. 398,3. 426, IB. eecundum ordin ),22, ordo9i X ordinc 1,4. oriri 60, 1, 67, 5, 13, 131, 13. 16. orthogoniuB 376, 6. 404, 10. 418,2.19.419,7. Tfrfe trian- gulnm. ortus 12, 8. 33, 19. 396, 3. ostendere pafsim, e. g. 11,27. 15, 14. 63,28- 64,16, 71,7. 83,8, 194, 17. 203, 16. 246, 2. 396, 14. 414, 12. 6tinm 4, 20. 5, 13. 466 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. oxygonius 376, 11. 404, 11. Vide triangulum. pacatus 185, 9. 186, 31. pactum 397, 10. 400, 18. 423, 3. 425, 1. paene 404, 15. paenitet 301, 8. pagina 344, 7 ss. 398, 20. paginula 343, 20 ss. 398, 8. 11. palam 106, 11. pallidus 356, 17. palmes 5, 20. palmus 401, 20. 402, 10. 426, 2 — 4. palus 200, 8. pandere 86, 15. 95, 9. 98, 3. 129, 29. 151, 6. 418, 11. 419, 16.* 423, 15. 22. par passim, e. g. 13, 5. 17, 9 ss. 19, 1. 20,9. 47,26. 87,22. 162, 17. 404, 15. par nume- rus def. 13, 13—15, 28. 117, 16. 21 ss. 125, 19. 126, 12. 128, 12. 130, 26 ss. 133, 7 ss. 151, 18 — 22. 408, 12. 409, 3. 4. 411, 25. 415, 22. 416, 12. 18. alterius naturae 117, 22. 133, 2. divisio 14, 16. secunda divisio 39, 20 ss. species 17, 2 ss. parallelae lineae 376, 23 — 377, 2 parallelepipedum 111, 15 — 17. parallelepipedus 115, 1. paralleli circuli 11, 25. parallelogrammum 378, 8—12. 383, 13—21. 384, 7—18. parallelogrammus 416, 21 [?] orthogonius 418, 19. 419, 6. paramese 206, 24—218, 15. 317, 24. 325,6 55. 334, 21. 338, 6 ss. 359, 18 s. paramese diezeugmenon 209, 28—210, 8. paramesos 311, 4. 313, 10. 335, 3. 12. 337, 13. paranete 206, 27— 210,14. 335^ 20. 337, 14. 17. 340, 7. 26. paranete diezeugmenon 209, 29—216, 10. 218, 11. 313, 12—14. 325, 15 ss. 335, 24 s. 337, 4. 338, 7. 339, 28. paranete synemmenon 210, 26 —216, 5. 219, 10. 318, 6—8. 328, 15 w, 335, 27. 337, 6. paranete hyperboleon 211, 19 -216, 14. 314, 3—6. 317, 29. 319, 18 ss. 335, 22 s. 337, 3. 338, 8. ' parare 348, 15. parere 88, 10. 188, 11. 224, 10. parhypate 206, 16— 209, 21. 335,21, 386, 3. 6. 887, 16. 340, 7. 24. parhypate hypaton 209, 6 — 219, 22. 309, 25. 312, 10. 332, 22 s*. 336,6. 26. 837, 9. 338,4. 339, 16. 344,10.13. parhypate meson 209,23—219, 24. 310, 7. 312, 15. 330, 20 ss. 336, 2. 22. 337, 7. 388, 5. 339, 16 ss. parilitas 139, 27. paritas passim , e. g. 14, 22 ss. 15, 15. 21, 25. 26, 9. 64, 11. 117, 18. 118,8. 119,19. pa- ritatis nomen 22, 14. medie- tatis 149, 16. pariter 294, 8. 386, 10. 13. pariter inpar 17, 3. 5. 23, 28 ss. 25, 18. 26, 5. 16*5. 27, 23. def. 21, 24 ss. omnes partes contrarie denominatas ha- bent cet, 22, 7. procreatio 22 , 23. quinto loco a se di- stant 23, 24. pariter par 17, 3. 5. 21, 26. 23, 28 5*. 25, 17. 26,4. 16 «5. 27,24. 28,2.8. 29, 26. 42, 14 59. def, 17, 9 ss. genera- tio 18 , 4 ss, et no mine et quantitate 19, 28. minores summae in hoc numero coa- cervatae 20, 2 ss. I. INDEX EERUM ET VERBORIJM. 467 pars passim^ e. g. 4,, 1, 8, 16. 19.21. 9,6. 14,7.9. 15, 1 «.y. 16, 23. 89, 24. 113, 16 ss. 189, 1. 191, 8 ss. 239, 20 ss. 251, 22. 263, 23—25. 301, 24. 374, 2. 400, 10. partes partium 25 , 10. aequivocae partes 33, 5. 8. inaioris in- aequalitatis 46, 6 ss. sex partes 113, 18 — 19. ad eas- dem partes 377, 15. 380, 22. 383, 12. in omnem partem 381, 26. 382, 5. in eisdem partibus 383, 3. 384, 6. parte altera longior 115 , 9 — 120, 9. 124, 4 ss. 126, 22 ss. 128,6*«.— 134, 23. 148,15*5. 151, 12 ss. def. 115, 10—13. cur ita dicantur 117, 10 — 12. (124,25.) 125,2—4. alterius substantiae 118, 9. 125, 15. p. alt. longius 376, 15. tetra- gonus 416, 8—20. particeps 117, 21. 118, 3. 8. 123, 12. 19. 133, 2. participare 17, 6. 124, 13. 136, 8. 365, 19. participatio 8, 9. 29,27. 396,7. particula 65, 5. 253, 11. 263, 8. 269,26. 366, 5. 379, 11. 387, 14. decem membrorum particulae 139, 20. partim passim, e. g. 190, 31 s. 196, 20 s. 214, 17 s. 426, 12. partiri passim, e. g. 14, 10. 17, 15. 91, 18. 203, 1. 249, 12. 383, 17. 398, 11. pass. 269, 19. 32. 278, 30. partitio passim, e. g. 14, 5. 21. 85, 11. 193, 17. 216, 19. 241, 24. 300, 3. 308, 21. 315, 10. parvissimu8 89,24. 181, 17.200, 10. quantitate 13,21. 14, 17. parvitas 8, 5. 14, 15. 196, 12. passim 42, 2. passiones 13, 23. 14, 13. passns 401, 19. 402, 8. 426, 1. patefacere 275, 25. 391, 6. patenter 408, 24. patentior aditus 417, 19. pater 185, 24. patere 181, 2. 347, 19. 418, 12. paternus 5, 21. pati 180, 26. 186, 16. 200, 5. patricius 3, 1. paucitas 190, 28. paucus 302, 6. 314, 17. 393, 9. paulatim 180, 24. 26. 327, 9. 330, 3. paulisper 205, 22. 243, 27. 268, 25. paulo passim, e. g. 246, 13. 249, 21. 253, 8. 273, 23. paululum 4, 29. 284, 20. paupertas 39, 25. pavimentum 415, 10. peccare 352, 25. 353, 10. pedalis 193, 18. 228, 16. 402, 19. 406,18. 407,7. 411, 10 cet. pedatura 404, 4. 11. 409, 11. 16. 410, 21 cet. pellere passim, e. g. 190 , 1 ss. 197, 4. 200, 17 ss. 220, 4. 7. 221, 16. 302, 3.5. 348,26. pendere 105, 15. penetrabilis 149, 23. pentachordum 325, 25. 326, 1. 327, 21. 28. 335, 15 s. pentagonus numerus 91, 3 ss. 97, 6—98, 16. 98, 25 ss. 100, 2. 101, 21. 102, 13 ss. 103, 22 ss. fig. geom. 404, 6. 419, 12-420, 1. peragere 324, 22. 395, 2. perceptibilis 66, 10. perceptio 178, 24. 179, 2. percipere 179, 3. perclarescere 256, 7. percurrere 35, 23. 199, 6. 8. 243, 24. • percussio 189, 9. 17 ss. 195, 10. 222,6*5. 309,20. 355, 20. percutere 190,11. 198,20. 222, 5. 348,26. 356,21. 364, 5. perdere 9, 27. 207, 12. 468 I. INDEX RERUM ET VERBOBUM. perdiscere 197, 3. perdocere 227, 16. perducere 10, 1. 392, 10. 411,5. perfecte 104, 11. perfectio 7, 24. 139, 7. 195, 21. 354, 9. perfectus 169, 14. numerus 20, 16. 41,8—12. generatio42, 11 — 45, 6. rarenter inve- niuntur 41, 23. perfecta py- ramis 110, 1 — 3. armonia 169. 11—173, 7. diflferentia 400,24. perfectissimum cor- pus 169, 16. perferre 163, 28. perficere passim, e, g. 4, 13. 5, 12. 20, 2. 184, 9. 417, 25. pergere 34, 10. perhibere 338, 28. 379, 12. 22. 387, 15. 407, 26. perimere 140, 15. perire 10, 17. 20. 11, 3. 121, 25. 1^8, 14. 396, 4. peritia 9, 5. 225, 7. 229, 9. peritus 4, 25. 122, 24. 143, 13. 406, 14. permanere 12, 22, 13, 2. 22, 4. 126, 4. 6. 182, 1. permcnsio 239, 3. permetiri 238, 1 ss. permiscere passim^ e. g. 131, 25. 133, 3. 13. 141, 12. 189, 4. 195, 9. 198, 6. 220, 5. 302, 3. 5. 361, 11. permittere 39, 19. 57, 4. 196, 5. 268, 22. 363, 8. permixte 145, 10. 181, 11. permixtim 138, 21. permixtio 225, 14. 253, 9. permutare passim, e, g, S, 3. 10. 10, 18. 19,23. 123,3. 134, 10. 141, 7. 160, 10. 180, 23. 196, 21. 27. 213, 4. permutatim 138, 16. permutatio 85, 17. 125, 20. 180, 11. pernecessarius 393, 2. pemoscere 9, 3. 324, 12. 395, 29. 400, 15. 402, 20 cef, pernotare passim, e. g, 29, 8. 54, 22. 64, 5. 82, 31. 94, 22. 99, 12. 230, 10. 294, 20. 405, 20. perpendere 57, 2. 159, 4. 197, 21. 198, 12. 220, 3. 224, 19. 225, 8. 349, 4. 362, 5 cet, perpendicularis 374, 17. 379, 2. 4. 381, 8. 386, 22. 393, 19 ss, perpendiculum 387, 21. perpetuus 66, 11. perpotire 348, 14. perqnam 246, 10. perquirere4,8. 298,25. 354,24. perscribere 5, 7. 256, 4. [?] perscrutari 108, 14. perscrutatio 412, 22. persequi 3, 17. 11, 21. 114, 20. 139, 21. 229, 6. 352, 9. persona 151, 24. personare 197, 6. 198, 2. 250, 9. 357, 7. perspicere passim, e, g, 27, 22. 36, 14. 103, 1. 104, 10. 108, 13. 143, 14. 187, 24. 419, 7. perspicue 187, 8. perspicuus 66, 19. 72, 9. 83, 7. perstringere 52, 26. 419, 19. pertica 401, 19. 426, 1. pertinere 66, 7. 123, 7. 140, 10. 203, 15. pertractare 228, 25. 255, 8. 269, 32. pervenire passim, e,.g, 16, 19. 17, 12. 25, 16. 108, 7. 110, 3. 187, 28. 195, 11. 200, 21. 424, 6. pervidere 188, 20. 251, 21. 269, 29. 277, 7. 352, 23 ce/. pes 45, 16. 401, 20 ss, 402, 10. 404, 17. 426, 2 cet, porrectus 402, 17. 19. constratus 402, 17. 20. 403, 15. 412, 3. qua- dratus402, 18.21. 403,21. montis 424, 14. 18. 26. 425, 7. 1. INDEX RERUM ET VERBORUM. 469 petere 179, 14. 223, 6. 358, 10. petitio 377, 4—18. petalantia 185, 17. phi 310, 5. 311, 13. philosophari 9, 11. philosophia 7, 23. 9, 19. 27. 185, 27. 227, 20. 228, 24. 395, 27. def. 9, 12. 227, 21 — 23. philosophas 151, 24. phrygias modus 180, 16. Vide modus. phthonggos 195, 4. pi 310, 9 8s, pictura 4, 6. 406, 30. 407, 3. 409, 29. piger 5, 16. piget 410, 4. pila 403, 23. placere 5, 17. 189, 2. 377,4. plane 64, 5. comp, 90, 13. 91, 9. superl, 53, 1. planeta206,.ll. planities 394, 4. 403, 16. planitudo 112, 23. 118,20. 122, 8. 406, 5. 413, 22.25. 415, 20. 425, 10. planum 105, 15. 403, 7. 14. 414, 6. planus 86, 15. 90, 20. 91, 6. 104, 16. 25. 149, 23. 150, 9. 374, 7 88, 375, 3. 11. 377, 1. 394, 18. planum f acere 86, 22. plectrum 348, 25. plenitudo 39,24. 41, 4. plenus pa8sim, e. q, 117, 22. 169, 18. 205, 12. 213, 12. 218, 15. 336, 28. plerumque 114, 14. 395, 2. pluralitas passim, e. g. 9, 24. 14, 14. 16, 26. 20, 29. 54, 5. 190, 27. 29. 193, 13. plurilaterus 423, 1. podismalis 401, 7. 404, 2. 415, 13. podismari 408, 4. podismatio 424, 11. podismus 396, 8. 401, 6. 408, 1. 411, 9. 415, 21 cei, poema 199, 16. poeta 225, 4. 15. politus 4, 5. polUceri 9, 4. pondus 197, 12 «*. — 198, 18. 373,26. ignava pondera 3, 7. ponere passim, e, g. 14, 27. 16, 2s8. 18, 24, 194, 16. 204, 16. 227, 22. 375, 5. 404, 16. terminum 53, 26. non est positum 305, 2. popularis 149, 12, populus 8, 21. porrectio 33, 25. porrectus; vide pes.' porri-gere passim, e. g, 39, 28. 41, 9. 88,21. 95, 11. 110, 14. 114, 22. 120, 15. porro 12, 25. 14, 7. 28. porticus 403, 10. portio 15, 5. 17. 16, 5. 349, 2. 385, 9 88. 389, 15. matris obtinere portionem 10, 10. circuli 379, 5. 6. 16. 387, 8 ss. 388, 11 88. positio 70, 18. 92, 13. 208, 8. 209, 20. 251, 17. 337, 23. 357, 16. 393, 24 s. possidere 41, 17. 61, 14. 124, 21. 380, 22. 26. 382, 22. post adu. passim, e, g, 113, 19. 164, 1. 167, 5. 181, 18. 223, 13. posteri 139, 6. 277, 4.! posterior passim , e, g. 34 , 23. 52, 25. 186, 12. 191, 21. 200, 13. opp. principalis 269,3. posteriora 10, 17. 21. 23. posteriores 396, 13. ] posteritas 309, 10. posterius passim, e, g. 42 , 18. 188, 26. 189, 5. 190, 21. 194, 16. postremo 5, 13. postremus passim^ e, g. 77, 14. 79,28.150,9.192,22.195,21. 470 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. postulare 377, 7. postnlatum 377, 4—18. potens conponendi 13, 4. potentia 9, M. 13, 6. 132, 16. 188, 8. potentia opp, actu etopere 44, 16. 45, 3. 95,17. potestas 93, 9. 192, 25. pote- state passimy e, g. 56, 5. 93, 12. 94, 10. 96, 11. 97, 10. 107, 19. pariendi 88, 10. potis 388, 9. potius 199, 14. 352, 24. praebere 384, 19. praecedere passim, e. g, 11, 23. 24. 12, 4. 23, 20. 25. 39, 25. 153, 15. 189, 18. 221, 14. 234, 27. 404, 14. praeceptio 422, 12. praeceptor 396, 10. praeceptum 67, 2. 409, 6. 412, 1. 413, 15. tria praecepta 67, 14 — 17. 68,23. 70, 4. 78, 25. 232, 24—234, 16. praecipere 181, 14. 185, 8. 377, 11. 389, 7. 9. 408, 15. praecipue 3, 3. praecisura 407, 20. 23. 415, 3. praeclarus 224, 6. praecognoscere 104, 16. praecurrere 254, 3. praedicamenta decem 139, 14 —19. praedicere passim, e. g. 11, 12. 13, 16. 60,25. 65,21. 232, 1. 241, 15. 385, 12. 405, 9. praedocere 14, 13. praeire 186, 21. praelibare 400, 28. praeloqui 393, 9. praemittere 227, 17. 231, 8. 240, 11. 298, 16. 344, 19. 393, 8. 402, 17 cet, praemonstrare 396, 12. 426, 23. praepedire 184, 3. 405, 13. praeponere 52, 24. 243, 5. 400, 25. 404, 6. praepositio sub 46, 14. 47, 19. 60, 26. 64, 21. 65, 23. praescribere 4, 27. prnesens 205, 19. 242,26 ad praesens 86, 5. 122, 20. 424, 12. 428, 19. praesertim 87, 7. 188, 1. praesidium 4, 2. 185, 20. praesignare 425, 29. praestans 46, 20. praestare 4, 9. 5, 2. 160, 8. 301, 9. 21. praesumere 108, 18. 288, 9. praeterea 263, 9. 301, 21. praeterire passim, e. g, 34, 4. 44, 9. 54, 5. 65,20. 134, 7. 164, 20. 179, 11. 197, 4. 239, 4. 247, 7. 428, 4. praetermittere 9, 27. 48, 9. 400, 29. 412, 23. pretium 181, 25. 412 , 23. primaevus 12, 14. 117, 5. primitiae 5, 22. primitus 205, 25. primordium 66, 20. 105,4. 276, 16. primus et incompositus 30, 9. 42, 16 ss, def. et cct. 30, 16 —31, 22. 37, 3. ad alios 30, 14. ad se invicem 285, 24. (303, 23.) def. et cet. 32, 24 — 39, 15. omnis primus unus est 36, 5. princeps passim, e. g. 14, 23. 53, 7. 77, 5. 118, 16. 119, 3. 155, 17. 318, 5. 334, 26 m. principes proportionum 80, 16. latitudinis 92, 6. principalis 12, 16. 31, 26. 32, 14. 78, 17. 218, 23. 252, 12. 261, 11. 269,2. 309, 24 w. 404, 9. principaliter 77, 7. 264, 1. 278, 18. 301, 27. principium pnssim, e. g. 10, 9. 20, 14. 47, 7. 60, 22. 66, 12. 13. 72,15. 79,25. 87,14.16. 88, 11. 89, 22 ss. 90, 8. 91, 8. 92, 7. 104, 13. 195, 18. 20. 228, 11. 373, 27. 402, 26. in I. INDEX RERUM ET VERBOKUM. 471 principio 140, 7. principio 187, 18. 205, 28. prior passim, e, g, 12, 5. 44, 5. 64, 5. 65, 9. prior arithme- tica 10, 11 — 12, 11. priora natura 10, 16—24. 11, 8—9. prior statio motu 11, 29. priscus 7, 21. 185, 26. 395, 25. 401, 15. prius 122, 3. probabilis 409, 21. probare passim, e. g. 4, 17. 11, 8. 124, 13. 164, 16. 193, 5. 197, 20. 204, 1. 224, 31. 383, 19. probatio 86, 10. 255, 5. probator 5, 24. procedere passim, e, g. 48, 5. 14. 53, 24. 77, 6. 95, 21. 193, 12. 213, 5. 404, 5. processio 417, 14. processus 342, 25. 353, 30. procreare passim, e. ^. 9, 29. 15, 18. 18,6. 28, 12. 30,2. 232, 27. procreatio 79, 27. 98, 24. 108, 13. pariier inparis 22, 23 ss, perfecti numeri 42, 11 ss, nuUorum 87, 19. solidorum corporum 107, 12. procreatrix 37, 18. prodere 247, 16. 259, 28. prodesse 20, 14. 86, 8. 137, 6. 164, 22. 237, 26. prodire 126, 24. 205, 17. 234, 15. 346, 15*. 407,22. 413, 21. 425, 5. in aures publicas 3, 15. producere passim, e, g, 31 , 21. 47, 12. 59, 21. 60, 18. 71, 1:8. 80,8. 186,24. 196,9. 232, 26. 377, 2 ss, 407, 24. proemium 189, 12. proferre 27, 7. 31, 20. 59, 25. 186, 28. 187, 1. 373, 22. 389, 19. 392, 5. 428, 2. proficere 80, 6. proficisci passim, e. g., 11 ^ 16. 105, 11. 106,3. 107,4. 109, 13. 19. 110, 2. 22. 200, 16. profiteri 8, 15. profluere 13, 7. 246, 3. profundere 13, 12. 66, 22. 113, 6. profunditas passim, e.g. 89, 21. 104,21. 105,2. 107,23. 111, 21. 112, 21. profundus 52, 3. 66, 5. 80, 4. progenies 20, 10. progignere 71, 26. progredi passim, e. g. 9, 15. 10, 3. 24, 4. 25, 11. 58, 2. 17. 77, 10. 121, 13. 191, 15. 208, 4. 213,8.233,3. 273,3. 388, 7. 395, 11. progressio passim, e, g, 9, 15. 10,2. 18, 10. 24,11. 41,9. 135, 10. duplex 26, 18. prolabi 181, 13. 195, 23. prolatio 131, 13. prolixitas 88, 8. 349, 11. prolixus 16,25. 124,23. 408,11. promeces 124, 14. promere 260, 14. promiscue 242, 30. promittere 300, 1. 404, 3. 425, 21. pronuntiare 37, 5. 39, 14. 79, 23. 133, 6. 344, 8. 384, 3. pronuntiatio 4, 27. propinquus 79, 4. 122, 21. 150, 27. 151, 4. 7. 170, 12. 13. proponere passitn, e. g. 37, 22. 38, 2. 12. 39, 3. 44, 18. 52, 26. 78, 8. 111, 4. 195, 16. 200, 23. 227, 15. 279, 9. 389, 5. proportio passim^ e, g. 11, 14. 17. 54, 21. 59, bss, 60, 25. 78, 3 ss. 133, 14 ss. 137, 2— 173, 7. 187, 16. 229, 25— " 231, 6. 232, 24 ss. 240, 25— 249, 15. 301, 25 w. 385, 12. [?] 418, 4. rationis 12, 27 (30). proportionum radices 60, 1. 236, 22 ss, continuas pro- 472 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. portiones extendere 80, 4 — 83, 6. 231, 24-237, 25. 260, Si ss, 262, 17. def, 137, 13 — 16. 241, 16 — 17. eadem proportio 238, 1 — 13. maior — minor 238, 13 — 240, 8. contraria 252, 31. in eadem proportione durare 261 , 15. 264, 23—26. proportionabiliter 389, 13. proportionalitas 137, 2 — 173, 7. 241, 18—249, 15. def. 137, 8 — 17. 241, 18—19. minima 137, 18. 241, 19—20. continua 138 -3. 141, 1. 243, 2 — 16. uisiuncta 138, 10-13. 141, 2. 243, 5-9.11. proportionalis 137, 16. proportionaliter 78, 1. 285, 10. 303, 7. 20. 304, 1 ss. 305, 4 s. propositio 49, 10. propositum 57, 4. proprie passim , c. /7. 8 , 13 ss. 12,6. 153, 5. 155, 12. 160, 3. 227, 22. 242, 27. 258, 3. proprietas passim^ e. q. 27, 24. 28,2. 29, 9.28. 30, 3. 31, 25. 143,8. 179, 5. 187, 14. 193, 8. 197, 10. 366, 12. proprius passim^ e. q, 4, 12. 8, 3 ss. 12, 21. 19, 22. 122, 23. 179, 24. 188, 21. 199, 24. 398, 3. proprium arithme- ticae medietatis 142, 16 — 144, 24. geometricae 146, 2 — 149, 4. armonicae 152, 27—154,30. propter adv. 424, 8. prorsus 269, 16. prosa 199, 5. 17. proslambanomenos 211, 23 — 215, 21. 219, 21. 309, 22. 312, 8. 315, 18 ss. 318, 11 ss. 332, 9 ss. 334, 16. 335, 11. 16. 337, 11. 338, 2. 342, 1 ss. 344, 9 ss. prosmelodos 211, 24. 212, 8. 214, 6. prospicere 394, 29. protendere 49,26. 116,19. 160, 12. 228, 13. 374, 6. 381, 24. 384, 16. 394, 17 cet, protensio402, 1. 11. 403, 11. 407, 6. 418, 11. 16. 423, 12. protinus 404, 4. 424, 2. provectus in musica 283, 10. provehere 5, 22. 111, 21. 112, 9. 113, 8. 114, 5. provenire 42, 8. 63, 22. 151, 11. 409, 6 cet. providus 403, 1. proxime 352, 7» proximus 200, 18. 219, 20. 301, 19. 352, 10«*. 356, 16 cet. prudens 3, 20. prudentia 7, 24. 395, 25. publicus 3, 15. pudens 180, 25. 181, 10. pudenter 181, 21. pudicus 185, 14. puer 181, 14. 25. 184, 2. pujrnare 186, 29. pulsare 349, 7. pulsus passim^ e. q. 186, 5. 189, 17. 190, 5.7. 196,24. 200, 13. 222, 3. 253, 11. 301, 14 ss. pulvis 397, 16. punctum 105, 10 ss. 108, 8. 110, 7. 12. 121, 22«*. 277, 9. 315, 15. 348, 12 m. 374, 3. 375, 3. 6. 377, 7. 387, 6. 391, 1 cet. intervalli longi- tudinisque principium 87, 14—20. 89, 15—29. mensu- rae 374, 1. in se multipli- ,catum 122, 4-6. def. 374, 1 — 2. minutia 402, 14. 426, 20. 426,9. 19. 428, 1.11.12. purgare 186, 2. purus 7, 22. 66, 16. 190, 20. 265, 1. putare passim, e. g. 123, 19. 126, 4. 190, 9. 204, 6. 222, 3. pyramis 105, 2—111, 7. pjra- midis gen. 107 , 23. 24. 108, 1. INDEX RERUM ET VERBORUM. 473 24. 27. 110, 9. pyramidam 107, 20. 110, 3. pyramidem 111,4. pyramidel08,9. 110, 17. pyramides nom. 106, 14. 109, 24. pyramidum 109, 5. 15. 403, 23. pyramidas acc. 107 , 14. pyramidis abL 86, 17. 108, 28. 111, 5. profun- ditatis principium 105, 2. de triangulo 106, 15. (105, ^ss.) 107, 14. 19-108, 12. de tetragoao 107, 1. (105, 5. 106, 3 «5.) 107, 15. 108, 15 —109, 11. 109, 19. 110, 14. de pentagono 107, 1. (105,5. 106, 6 ssT) 107, 16. 109, 20. 110, 16. de exagono 107, 2. (106, 8.) 107, 18. 109, 20. 110, 16. de eptagono 107, 2. 18. 109, 20. perfecta 110, 1 —3. curtae 109, 24—111, 7. biscurtae 109,25. 110, 19— 24. 111,1. tercurtae 109,25. 111,2. quater curtae 109, 25. quadrans 426, 7. 17. 428, 6. 10. 11. quadratum 10, 29. 11, 1. 91, 14. 179, 12 ss. 228, 28. 376, 14—15. 384, 19-385, 2. 385, 11-386, 23 389, 3. 5. quadratura 401, 9, quadratus 91, 18. 311, 3 ss» 387, 17. 415, 16. numerus 86, 14. 91, 2. 95, 8—97, 3. 98 , 23. 101 , 20. 102 , 12 ss. 113, 15. 119, 18. 124, 4. 26. 125, 14. 126, 22. 24. 128, 6. 11. 129, 16. 148, 15. 231, 12—21. 277, 10. = tetrago- nus98,24-25. 120,5. dif- ftrentiae quadraiorum 231, 21 — 232, 20. Vide pes et actus. quadrichordum 206, 7. quadrilaterus 375, 16. 376, 14 ss. 417, 4. quadruplicare 147, 7. quadruplum. = quarto sim- plum 221, 7. quadruvium 7, 25. 9, 28. quaerere passim, e. g. 4, 24. 141, 19. 155, 9. 229, 25. 236, \i. 16. 407, 9. quaestio 169, 14. 269, 30. 401, 7. 404, 2. quaestionarius 401, 6. qualitas 8, 5. 144, 22. 227, 25. 355, 23. 26. proportionis 138, 12. 142, 11. 14. 243, 20. agrorum 428, 16. quantitas passim, e. g. 8, 5. 9, 16. 24. 1?; i). 104, 17. 137, 11 ss. 138,"ir''«*. 139, 26*«. 193, 7 — 9. 315,26. 356,24. 27. 409, 3. quantitatis acer- vus 13, 11. partis 22, 12. 26, 7. in divisione 13,20—14,17. in infinitas pluralitates ad- crescit 14, 14 (9, 15). 193, 13. 228, 8 — 23. quantitas, quae per se fit 45, 7. per se constans 79, 24. 86, 7 ss. 229 , 2 - 12. relata ad ali- quid 45, 11 ss. 60, 20 ss. 79, 26. 86, 9. 124, 6. 229, 2-8. 12 ss. inaequalis quantitatis divisio 45, 26. minor 47, 11. multiplex 84, 18. formarum 101,15. proportionisl44, 18. discreta, continua 193, 10««. 222, 18. 228, 5—8 ««. quan- titates = numeri 411, 6 (20). quantuslibet 399, 17. quarta diatessaron consonan- tia 212, 5. quasi quodammodo 108,4. 137, 15. quatenus 160, 8. 411, 3. quaternarius passim, e. g. 17, 14. 20, 6. 23, 14. 17. 397, 6. 404, 5. adi. 23, 18. 23. quia; dico, quia 303, 4. quies 11, 29. 301, 12. quietus 185, 29. 200, 9. quin; non ambigo quin 5, 14. 474 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. quinarlas passim, e. g. IQ, 9 ss, 28, 10. 30, 24. 121, 12 ss. notula 86, 27. quincuplicare 147, 8. quindenarius 34, 22. 418, 5. quinquangulum 389, 8. 10. quinta diapente consonantia 212, 3. quippe passim, e.g. 3, 18. 5, 18. 41, 24. 48, 16. 66, 7. 403, 3. quire 10, 6. 15, 11. 16, 20. 150, 23. quoadusque 400, 5. quoniam; dico, quoniam 256, 20. 258, 3. 285, 18. 286, 23 cet, ostensum est, qu. 303, 6. manifestum est , qu. 388, 20. quorsum 186, 8. radius 179, 10. = pertica 426, 1. radix 59, 23. 60, 1. 66, 21. 86, 20. 111, 11. 120,3. 7. 286, 13. radices proportionum60, 1 — 3.- 236, 2255. exagonorum 99, 7. eptagonorum 99, 21. rareuter 41, 23. raritas 190, 1. rarus 189, 25 w. 355, 28. 356,2. ratio passiuu e, g. 3, 19. 9, 22. 10, 14. 12, 27. 22, 1. 66, 7. 82, 30. 84, 13. 122, 22. 140, 3. 223, 6 5.5. 255, 7. 283, 7. 368, 9. 406, 3. 413, 23. ope- ris 3, 12. formandae imagi- nis 4, 5. mentis 7, 22. sub- stantiae 8, 9. numerorum 12, 15. proportionis 12, 30. 85, 6. 194, 28. astronomica 12 , 7. descriptionis 28 , 19. probationum 86, 11 super- ^ciei 90, 1. copulationis 107, 26. bene loquendi 117, 15. symphoniarum 198, 12. mensurarum 425 , 28. ratio- nis ordo 131 , 8. incorporea vivacitas 188, 28. postrema perfectio agnitionisque vis in ratione consistit 195, 21 — 196, 10. 220, .3. 222, 15. 224 , 4 ss. 352 , 5 ss. ratio- nem habere cUicuius rei 114, 12. ratiocinari 126, 1. ratiocinatio 10, 12. 297, 10. rationabilis 189, 2. 393, 12. rationabiliter 252, 18. 412, 22. ratus ordo 35, 27. 86, 17. 188, 5. 7. 229, 19. 250, 29. 261, 21. 283, 14. intermissio 36, I. detractio 108, 7. figura 105, 3. consideratio 145, 27. iunctura 160, 23. coaptatio 189,4. celeritas229, 1. per- mixtio 253, 9. medietas 270, 19. progressio 330, 4. de- scriptio 409, 2. recedere 119, 2. 234, 14. 294, 17. recens 181, 18. recidere 353, 27. recipere passim^ e. g. 9, 17. 14, 21. 24. 17, 17. 22, 2. 228, 15. reciprocus 38, 15. reclamare 355, 10. reclamatio 393, 4. 409, 11. recognoscere 29, 27. 133, 27. recolligere 301, 9. recta linea 374, 14*5. 375, 5 ss. Sn, 8 ss. 379, 1 ss. 380, 2 .«5. 385, 4 ss. 393, 14 eet. duae spatium non continent 91, 9 -10. def. 374, 5—6. 394, 3—5. ad datum punctum rectamlineamcollocare391, 1 — 392, 4. a maiore mino- rem abscidere 392, 6—22. recte3, 2. 5, 19. 7, 25. 9,8. II. 105, 9. 110, 5 ceL rectiangulus 376, 7 ss. 378, 8. 384, 22. 385, 6 ss. 393, 22. 416 4. 9. rectilineus 374, 13. 375,14. 382, 7. 384, 14. 385, 18 55. Vide angulus. I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 475 rector 66, 16. rectum 403, 7. 9. rectus 67, 11. 71, 8. 160, 16, 180, 27. 224, 10. 309, 25. 344, 1. 387, 23. 417, 13 cet. in rectum 377, 8. 391, 13. redactio 137, 26. reddere passim, e. g, 21, 16. 24,12. 29,21. 33,12. 56,13. 61, 1. 122,8. 142,20. 146, 19. 184, 2. 196, 26. 381, 11. 405, 8. redigere passim, e. g. 8, 20. 24, 19. 40, 17. 41, 16. 19. 79, 5. 12. 126, 24. 154, 20. 191, 4. 417, 25. redire passim, e. g. 78, 22. 122, 6. 151, 25. 221, 18. 254, 20. 301, 10. 337, 1. 402, 16. reducere 31, 22. 78, 18. redundare 40, 5. 411, 12. 412, 5. 414, 23. 420, 7. referre 151, 1. 206, 1. 220, 26. 222, 11. 14. 295, 24. 296, 9. ad aliquid passim, e. g. 8, 27. 28. 11, 9. 45, 8 ss. 46, 3. 59,5. 60,20. 138, 11. 155, 8. 293, 19. refutare 25,20. 103, 10. 413,1. regere 149, 8. 189, 16. 219, 11. 354, 11. regimentum 125, 24. regio 114, 17. regredi 412, 12. regula 195, 22. 196, 5. 19. 198, 23-28. 229, 18—230, 12. 232, 15 — 20. 234, 24. 245, 28. 262, 18. 263, 13. 412, 1. 422, 1. regulae divi- sio 301, 11. 308, 19. 315, 9 ss. 348, 8 ss. armonica regula 354, 25. regularis 219, 27. 300, 3. 314, 8. 334, 12. 351, 15. regulariter 344, 14. reicere 9, 25, 197, 22. relabi 162, 25. relatio 158, 12. relaxare 356, 1. 359, 15. relaxatio 355, 29. relinquere passim, e. g. 34, 7 ss. 35, 19. 24. 37, 26 ss. 78, 11 ss. 153, 23. 192, 23. 196, 18. 205, 13. 378, 3. 405, 1. reliquus passim, e. g. 15, 2. 28, 13. 38,20. 39, 15. 79,3«*. 89, 16. 382, 20 ss, 425, 20. remanere 38, 10. 79, 15. 89, 7. 410, 18. 417, 9. remeare 78, 20. 79, 7. reminisci 287, 2. 290, 7. remissio 274, 10. 301, 22. 315, 1. remittere passim , e. g. 41 , 10. 160, 13. 179, 24. 190, 4. 274, 9 ss. 279, 7 ss 314, 20 **. removere 274, 22. reuuere 425, 28. rependere 40, 9. repetere 246, 5. 389, 21. replicatio 395, 17. reponere 278, 6. repperire passim, e, g. 23, 8. 28 , 22. 30 , 26. 31 , 18. 29. 182, 2. 197, 18 w. 253, 30. 408, 1. repertus 197, 13. 272, 16. 279, 15. reprehendere 5, 15. 355, 13. 358, 13. 369, 25. 371, 3. reprimere 184, 8. repudiare 9, 20. 23, 11. requirere 55, 9. 163, 20. 236, 13. 271,4. 282, 5. 406,20ce/. res passim, e, g, 5, 3. 7, 26. 12, 14. 18, 7. 66, 6. 77» 6. 126, 5. 155, 13. rationis 3, 19. res subtiles 4, 20. res varia- bilis 8, 10. pariter paris nu- meri res proprietasque 28, 2. res sensibiles 179, 3 ss, ex re vocabulum sumpsit 198, 24. resecare 5, 14. 353, 28. reserare 5, 2, 417, 20. reservare 400, 20. residere 106, 10. 476 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. residuas 400, 19. 26. 410, 14. 414, 28. 421, 14. 425, 6. resolutio 77, 8. 85, 7. rwolvere 31, 20. 32, 18. 77, 18. 19. 92, 3. 7. 185, 28. 403, 7. resonare passim, e, g. 156, 1. 198, 7. 203, 23. 206, 3. 211, 26. 28. resplcere passim^ e. g. 28, 20. 29, 11. 36, 24. 42, 28. 53, 25. 96, 10. 179, 12. 189, 26. 236, 14. 311, 15 8. respondere passim, e. g. 18, 18. 22. 19, 4.7.17. 20, 20. 21, 12. 26,2. 197, 14. 250,30. 390, 2. 397, 4. 13. 426, 17. responsio 19, 11. res publica 149, 7. 10. 151, 23. 180, 24. 181, 20. 219, 13. restare passim^ e. g, 66, 5. 71, 5. 169, 11. 204, 1. 21. 250, 14. 406, 19. restituere passim, e. g, 5, 17. 21, 22. 29, 25. 44, 5. 131, 3. 144, 2. 151, 3. 198, 16. 410, 10. 15. retinere passim, e. g. 30, 3. 31, 26. 66, 15. 87, 12. 89, 5.8. 180, 27. 181, 16. 202, 26. 415, 2. retractio 8, 2. 38, 1. retrahere 238, 20. 272, 13. 273, 11. retro 88, 27. 230,28. 310, 1. 312, 1. reverentia 5, 11. reversio 121, 21 ss, reverti 78, 16. 190, 5. 198, 11. 200, 15. 221, 16. 396, 6. revocare 85, 7. rho 310, 8. rhomboides 376, 18. rhombon 417, 1. 18. 20 ss. rhombos 376, 17. 416, 21. 417, 4 ss rigor394, 27 — 395, 1. rite 16, 25. 22, 27. 104, 10. 283, 6. rivalis 185, 3. roboratus 66, 17. 223, 8. robur 125, 20. rotatio 8, 31. rotundare 200, 17. rotundus 200, 18. ruber 190, 17 ss. 356, 17. rudimentum 5, 21. rudis 393, 1. rumpere 188, 18. rusticus 4, 7. rythmicus 309, 6. rythmus 181, 2. 225, 8. 13. saepe dictus 406, 1. 408, 3. sagitta 4, 10. salvare 10, 4. salvus 394, 24. sancire 224, 5. 402, 2. 428, 12. sane 269, 27. 309, 13. 318, 14. sapere 9, 8. sapiens 3, 13. sapientia 3, 12. 17. 9, 11.12. 117, 1. 227, 20. det^ 7,26 —8, 1. 8, 13-15. 9, 8 -10. sat 396, 6. 16. 425, 19. satis 189, 12. satis facere 402, 28. saxum 200, 9. scalenos 114, 6—21. 376, 4. 404, 10. scalenon trigonos 407 , 2. 4. Vide triangulum. scalenos gen. 408, 3. (^Vide cathetus.) scamnum 401, 13. scenicus 181, 9. schisma 278, 15 ss, scientia passim, e. g. 4,2. 8, 15. 9, 5. 20. 53, 9. 66, 8. 86, 19. 139, 1. 187, 11. 205, 26. 283, 8. sub scientiam cadens 66, 9. scilicet passim, e. g. 102, 20. 105, 15. 112, 22. 119, 23. 120, 2. 411, 14. scindere 285, 9. 286, 1 ss. I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 477 «cire 186, 2. 224, 2. 3. 344, 16. 363, 13. 398, 10. 412, 8. 428, 18. scortum 185, 3. scribere 197, 28. 266, 14. 352, 15. 390, 13 s. 391, 15. 394, 33 cet. scriptio 309, 1. scripulum 426, 7.18. 428, 5—7. scrupulositas 401, 7. scrutator 234, 8. secare 22, 6. 25, 29. 30, 7. 45, 26. 81, 20. 228, 18. 19. 263, 23. 349, 6. 378, 17. 19. 387, 3. 19. 425, 29. linea secta 385, 5-386, 17. secludere 81, 11. 400,^26. 407, 13. sectari 43, 22. 72, 17. sectio passim, e. g. 9, 18. 25. 14, 1. 24. 17, 17. 385, 18 ss. sector 379, 13—15. secundare 400, 14. secundarius 355, 3. secundum ad aliquid [?] 86, 4. secundus et compositus 30, 10. 42, 19. 44, 9. def. et cet. 31, 24—32, 21. 37, 5. per se 30, 13. def. et cet. 32, 24— 39, 15. securitas 5, 10. sedecimus subst. 27, 4. sedes 219, 18. 393, 21. 28. segnis 199, 17. 221, 17. 297, 12. 414, 17. segregare 25, 18. 92, 15. 225, 6. seiungere 25,27. 180,3. 225,1. semenSe, 21. .355, 1. semlalpha 311, 16 ss. semicirculus 122, 1. 376, 11 — 13. 388, 8. 10. (424, 1—10.) semidiametrus 424, 3. 5. semiobolus 426, 8. 18. semipes 401, 20. 402, 10. 426, 2. semis 291, 21 ss. 428, 9. semispherium 348, 8 ss. 362, 26. semita 9, 11. semitonium 203, 8 — 205, 16. 213, 5 ss. 216, 20 ss, 223, 20 ss. 254, 12. 273, 13. 365, 11 et passim, notula 323, 12. maius 203, 11. 223, 21. 263,^1. Vide apotome. minus 203, 11. 223, 21. 260, 21 — 263, 19. 277, 4. 20 ss. 280, 2—281, 5 ss. 283, 13— 284, 19. 291, 15-295, 19. semovere 407, 13. 414, 28. semum 203, 9. semuncia 426, 6. senarius passim, e. g. 24, 24. 28. 31, 8. 36, 11. 121, 12 ss. 397, 7. 417, 25. solida quan- titas 170, 23-24. senex 179, 27. senior 11, 27. sensibilis 179, 3 ss. 196, 12. sensus 9,29. 10, 7. 190, 13. 195, 12. 199, 8. 249, 23. sensuum perceptio 178, 245.9. 195, 17 — 196, 15. 220, 2. 249, 24-25. 269, 23. 352, 5 —355, 16. 368, 10. sententia 3, 15. 222, 27. 351, 16. 354, 25. 369, 15. senten- tiae caligantes 4, 23. sentire 181, 18. 190, 12. 195, 24. 196, 12. 222, 7. 260, 17. 267, 4. 352, 8 cet. separare 193, 1. 218, 3. 270, 4. 357, 6. 358, 6. seponere 400, 20. 406, 23. 407, 16. septenarius passim, e. g. 28, 12. 35, 16. 25. 36, 10. 38, 21. 397, 7. 417, 24. adi. 43, 12. septimum(u8?)=septimapars 43, 19. (c/*. 43, 17. 20 ) sequentia passim, e. g, 22, 26. 47, 2. 8. 26. 49, 2. 3. 61. 18. 86, 6. operis 11, 21. 45, 8. sequi passim, e. g. 20, 3 ss. 23, 4. 35, 15. 25. 42, 20. 205, 26. 395, 14. 26. 478 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. series 35, 22. 3e, 16. 55, 15. 64, 17. 83, 13. 22. 267, 5. 352, 3. sermo 86, 12. 199, 9. 11. 23. servare passim, e, g. 20, 11. 35, 14. 45,20. 41,23. 139, 28. 156, 25. 181, 14. 24. 418, 7. servire 224, 3. servitium 224, 9 88. sesqualter passim, e. ^.8, 27. 49, 18. 50, 3. 18. 55, 12. 67, 6 88, 78, 21. 80, 8 88. 84, 1 88, 127, 14. 28. 128, 21. 129, 3. 133, 27. 191, 19. 418, 6. duplex cet, 61, 19 S8, 192, 4. 8. triplici opponitur 252, 9 — 19. :=tripUciablato duplice 255, 25. sesqualterum = bis medietas 221, 8. sesquialtera proportio 418, 3. sesquidecima habitudo 238, 4. 10. sesquioctava proportio passim, e. g. 197, 20. 198, 7. 202, 1. 26. 203, 24. 223, 17. 265, 23 — 266 , 20. 306 , 30 — 308, 15. 369, 6. sesquioctavadecima habitudo 273, 6 88, sesquiquartus passim, e. g, 49, 19. 67, 7 88. 78, 20. 80, 9 ss. 127, 9. 15. 129, 7. 229,28. 369, 1. duplex cet, 61, 20 ss. sesquiquintus 49, 19. 127, 10. 149, 1. 2. 230, 6. 235, 27. duplex 62, 5. sesquiseptima proportio 369, 4. sesquiseptimadecima propor- tio 270, 25 88. sesquisextadecima proportio 270, 24 88. sesquisextus 149, 3. 4. 230, 3. sesquitertium = ter pars ter- tia 221, 8. sesquitertius passim, e. g. 8, 28. 49, 19. 55, 22. 24. 58, 9. 67, 6 88. 78, 20. 80, 9 ««. 84, 1 w. 127,8.15. 128, 1. 23. 129,6. 191, 20. def. 60, 25 — 51 , 23. duplex cet. 61, 20 ss. 192, 6. opp. quadruplu8 252,19— 27. .] sesquitricesima quinta pro- portio 368, 24. sesquivicesima prima propor- • tio 370, 12. sesquivicesima septima pro- portio 368, 20. 370, 10. 18. sexangulus 99, 17. sexus 186, 16. siccus 196, 25. sidereus 396, 1. sidus; sidera errantia 12, 9. sigma 310, 6 ss, signare passim^ e. g. 46, 1. 110, 6. 112, 14. 148, 18. 308, 22. 309, 10. 314, 17 88. significare 400, 26. 428, 12. significatio 217, 6, signum 66, 13. 135, 13. 153, 12. 316, 25. 426, 15. signa numerorum 86, 24 — 87, 6. = punctum 394, 3 ss. signo- rum ortus et occasus 396, 2. silens 187, 27. silentium 219, 19. 20. 856, 13. siliqua 426, 9. 18. 428, 7 — 11. similis passim^ e, g, 22, 5. 44, 17. 51, 21. 80, 15. 17. 117, 4. 137, 11. 185, 18. 336,3. 403, 18. nihil ex similibus componi 12, 26. 29. similes portiones379, 16 — 18. 387, 16. similiter 30, 8. 96, 15. 101, 14. 261, 9. 207, 2. 416, 6. similitudo passvm, e. g. 25, 17. 26, 3. 36, 24. 41, 22. 49, 11. 60, 17. 126, 11. 142, 7. 161, 18. 180, 9. 19. 185, 12. 352, 12. 394,11. amical80,10.21. simplex passim, e g, 181, 10««. 193, 6. 194, 12. 205, 28. 222, 4. 229, 13. 252, 5. 301, 28. 400, 11. I. INDEX RERUM ET VERBORTIM. 479 simplicitas 194, 3. 5. 250, 7. 259, 15. simpliciter 214, 13. simul 302, 3 s, 348, 26. 349, 7. simulare 352, 14. sinere 190, 21. 200, 1. singillatim 46, 12. 91, 5. 255, 7. 268, 19.285,3. S15,Ucee. singularis 17, 16. 398, 12. 14. 400, 6 ss. singulus 113, 3. singula fem. sing. 112,23. neutr. pl. 11, 20. singuli= uni 135, 21. 141, 9. sinister 31 1, 16. 345, 20. sinistra 88, 57. 113, 19. sitis habendi 3, 8. situs 425, 10. sArius 5, 5. socius 136, 9. solere 203, 9. 356, 20. 418, 15. solidare 90, 4. soliditas 88, 16. 89, 14. 19. 125, 21. «olidum 403, 7. 20. solidus 143, 8. 405, 14. nume- rus 86, 16. 104, 17. 22. 105, 1. 111, 10. corpus 88, 29 ss. 90,11*. 107,12. 111,13. figura(forma) 104, 15. 114, J. 120, 13. 20. 122, 20. 150, 6. 10. quantitas 170, 24. =qua- drans 428, 10. solitus 63, 15. sollers 78, 23. 353, 22. sollertia 4, 8. 7, 26. 9, 23. solutio 77, 15. 79, 28. solutus 190, 6. solvere passim, e. g. 24, 2. 25, 14.27. 77,8. 82,8. 86, 11. somnus 185, 28. 186, 2. sonare 190, 3. 197, 16. 219, 14. [335, 10?] sonitus 196, 16. 356, 23. sonus passim, e. g, 11, 14. 16. 77, 11. 160, 12 5. 172, 2. 3. 179, 16. 180, 7. 185, 1. 187, 28*5. def. 195, 2-3. 253, 10 — 12. praeter pnlsum non redditur 189, 16. 301, 13. 19. percussio aeris indissoluta usque ad auditum 189, 22 — 23. 355, 19. quasi composi- tUs 301, 23. gravis 189, 29 ss. 195, 6 s. acutus 190, 2 ss. 195 , 6 s. maxime distantes 250, 17—21. minimum inter se consonantes 250, 18—22. sonorum differentiae 355, 22 ss. 356 , 5 ss. sopfaisma 401, 15. sopor 185, 29. sordidus 393, 7. sortiri passim, e. g. 7, 27. 8, 12. 21,25. 31, 17. 37,5. 41,4. 169, 17. 397, 15. spargere 200, 11. spatium passim, e, g. 9, 26. 86, 13. 88, 1. 8 89, 14. 90, 9. 91, 10. 92, 15. 109, 13. 127, 11. 377, 10. 378, 1.10. 383, 13. 395, 1. in divisione 13, 21—14, 17. spatia=magni- tudines 14, 14. = intervalli longitudo 87, 25. vocum passim, e. g. 258, 12. 26. 260, 23. 27. 261, 29. 278, 11. proportionis 265, 11. 314, 19 ss. spatii ei; acuminis ordo conversus 315, 5 — 9. 21—24. specialiter 402, 27. species passim, e. g. 10, 26. 15, 14. 19. 22. 23, 27. 47, 11. 23. 61, 15. paris numeri 17, 2. maioris et minoris 46, 12. antiqua 181, 13. consonan- tiarum 337, 20 ss. 341, 19. 343, 12. species in materia 352 , 18. 22. angulorum 393, 13. spectare 3, 14. 230, 16. 231, 9. spectatio 388, 1. speculari passim, c. ^. 9, 2. 86, 5. 111, 6. 133, 26. 161,10. 480 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 230, 18. pass. 134, 8. 139, 29. 227, 26. speculatio passim, e. g. 9, 7. 47, 27. 69, 4. 80, 5. 81,18. 83, 17. 86, 10. 169, 13. 179, 22. 192, 24. 224, 11. 20. 225, 3 ss. 389, 18. 395, 6. speculator 395, 26. 402, 28. spernere 9, 10. 13. spheniscos 114, 9. 121, 3—5. sphera 11, 25. 111, 15. 121, 20. 122, 4. 9. 423, 10. def. 122, 1—3. mundi 229, 1. spherica, ae 11, 22. 8phericusnumeru8 86, 17, 121, 11-122, 16. spiculum 4, 10. spiritus 189, 8. 199, 25. 200, 1. spissus 189, 25. 190, 2 ss. 355, 27 ss. 366, 12 ss. 371, 16 ss. spondeus 185, 2. 15. spontaneus 180, 1. sponte 9, 19. 178, 24. 187, 5. stabilitas 125, 19. Stadium401, 18. 402,2. 403,10. stare 105, 9. 130, 11. 189, 21. 200, 19. 21. 250, 20. 257, 28. 264, 1. 374, 14. 17. stater 426, 6. 17. 428, 5. statim 71, 1. 161, 24. 180, 25. statio 301, 19. prior motu 11,29. statua 4, 4. statuere passivi, e. g. 235, 26. 255, 18. 256, 10 ss. 257, 24. 276, 16. 314, 11. statutae voces 339, 12 ss. status 10, 18. 12, 20. 59, 16. 126, 6. 185,9. 186, 10.31. 196, 26. controversiarum 428, 17. 8tellal85, 5. 188, 1. 396, 1. stellifer 219, 15. stereon 403, 20. strabus 425, 7. strictim 192, 18. 389, 20. 392, 8. striga 401, 11. 13. studere 411, 10. studiosus 5, 18. 139, 16. 187. 19. 188, 26. 218, 17. 423, 8, studium 4, 19. 5, 13. 179, 25. 26. 185, 27. 227, 20. stupor 186, 1. suavis 220, 5. 8. 249, 23. 302, 3. 5. 357, 14. 361, 11. suaviter 186, 25. 195, 7. subaudire 60, 6 ss. subauditio 60, 12. subdere 81, 16. subdivisio 30, 8. subducere 406, 9. 409, 23. 410, 14 cet. subduplex sesqualter cet. 64, 22 superbipartiensr^f. 66, 1. subduplus 47, 17. 20. subiacere 293, 9. subiectum 352, 23. f subicere passim, e. g. 3, 9. 62, 16. 23. 69, 22. 71, 20. 203, 20. 242,20. 357, 8. .390, 9. subire 3, 20. subitus 354, 8. subiungere 320, 2. 379, 9. 10. sublevare 105, 7. submedius 311, 4. subministrare 188, 25. submultiplex 46, 15. 47, 10 — . 15. 57, 10. submultiplex superparticula- ris 46, 16. 60, 24. submultiplex superpartiens 46, 17. 60, 24. submultiplicitas 47, 22. subnotare 113, 7. .325, 6. subphrygius 185, 1. subponere 28, 7. 51, 5. 71, 2. 243, 5. 343, 1. 399, 15. 400, 15. 24 cet. subprincipalis 309, 25. 310, 7. subquadruplus 47, 18. 21. subripere 41, 1. 55, 16. subscribere 122, 11. 426, 5. subsequi 20, 12. 390, 3. 391, 5. 420, 3. 13. subsesqualter 49, 24. subsesquiquartus 49, 25. I. INDEX RERtJM ET VERBORUM. 481 subsesquiquintus 49, 25. subscsquitertius 49, 24. subsidium 8, 4. subsistere 13, 3. substantia 10, 18. 12, 27. 13, 2. 26, 14. 66, 10. 125, 8. in- mutabilis 7, 27. 8, 9. 12. 12, 22. 125, 20. 132,24 5.9. 136, 8. nnmeri 12, 23. 15, 20. paritatis 21, 25. paris nu- meri 30, 6. prima rerum 31, 16. principalis 31, 26. in- aequalitatis 77, 5. prima et semper eadem 117, 9. 20. 118, 3 ss, 123, 5 ss. 125, 12. variabilis motus 123, 4. 124, 10. 125, 16. definita 126, 13. indefinita 126, 14. rerum 123, 1. mundi 126, 2. suis se finibus continens 132, 17. corporis 169, 16. subsuperparticularis 46, 15. 67, 10. subsuperpartiens 46, 16. 58, 11 ss. subtendere 380, 12. 17. 381, 22. 384, 23. 393, 21. 394, 25. 399 4 cet subter 197* 28. 406, 30. 417, 28. subterior 53, 25. 55, 5. 101, 17. subterius 116, 7. 396, 15. 418, 11. subtilis 4, 20. 122, 23. 143, 12. 196, 26. 351, 17. 355, 27 ss, 396, 9. 425, 26. subtilitas 63, 8. 96, 23. 137, 5. 402, 15. subtractio 38, 5. subtrahere passim, e. q. 232, 17. 256, 13. 268, 12. 283, 23. 292, 6. 326, 19. 338, 1. 400, 5. 405, 1. subtriplus 47, 17. 20. subtus 413, 9. 415, 24. succensere 184, 1. succincte 389, 19. 401, 5. 413, 14. 424, 12. BOETIUS. succinctus 415, 16. succinere 185, 2. succrescere passim^ e, p. 27, 14. 35, 13. 36, 13. 40,22. 52, 9. 231, 4. 247, 21. sudor 5, 5. suetus 186, 24. sufficere 85, 5. 122, 21. 187, 13. 15. 202, 19. 424, 12. 428, 20. aliguid 22, 27. ad ali- guidA, 23. sufficienter 137, 2. 229, 12. 419, 11. 423, 8. suggerere 119, 17. sumere passim, e. g. 3, 11. 9, 21. 44, 18. 47, 31. 79, 16. 126, 28. 204, 14. 205, 21. 379, 7. 387, 6. 400, 8. 18. exordium 12, 12. initium 25, I. denominationem 26, 5. exemplum 27, 11. princi- pium 195, 18. 246, 9. voca- bulum 198, 24. summa passim, e. g. 14, 1. 18,20.26. 60,3. 64, 8. 86, 26. 193, 18. 239, 5. 352, 29. 395, 8. 404, 18. spatii 14, II. quantitatis 18, 15. = ter- minus 19, 14—15. 241, 18. partium 40, 2 ss. summatim 223, 1. summitas 17, 5. 110, 11. 393^ 10. 394, 15—21. summotenus 399, 19. summula 24, 6. 55, 4. 79, 19. 134, 14. 161, 3. 407, 23. 417, 24. summus 219, 14. superabundare 400, 20. superadnectere 348, 3. superapponere 329, 9. superare passim, e. g. 12,4. 40, 14. 25. 53, 28. 54, 10. 12. 80,23. 152,8. 194,2. 203, 6. 255, 32. 414, 2. superbipartiens 58 , 15 ss. 67, 9. 70, 6. 168, 17. 21. 191, 26. 230, 10. tertias 60, 6—8. 482 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 14 — 15. duplex cei. 66, 12. 14. 16. 72, 6. 192, 16 *. 360, 24. superbitertius 60, 15. superesse 79, 17. 300,2.407, 25. 409, 23. 415, 15. cet. superficies passim, e. g. 88, 15 5. 89, 6ss. 90, 20 ss. 92, 13. 99, 27. 104, 19. 107, 6. 158, 25. 223, 2. 354, 8. 377, 1. 419, 16. corporis caput 90, 10. cura permutantur, in aliura transeunt colorem 213, 13-14. def. 374, 6—8. superfluere 263, 8. superfluus 20, 15. superflui nu- meri 39, 20. 40, 1. 13. 41, 25.* supergredi 56, 9. 63, 15. 21. 89, 17. 221, 1. supergressio 55, 17. superhabere 58, 3. superiacere 55, 10. superior passim, e. g, 20, 0. 22, 29. 25, 21. 27, 9. superius passim, e. g. 28, 19. 38, 7. 65, 6. superparticularis 46, 7. 49, 15 — 52, 19. 53, 6. 55, % ss. 64, 12. 67,5«*. 69,20. 70, • 3. 71, 5. 72, 12. 78, 5. 20. 83, 1 ss. 26 5S. 124, 7. 127, 10. 16. 128, 25. 147, 24. 148, 7. 17. 191, 16. 192, 26. 220, 20. 229, 14. 229, 25-230, 7. 230, 24 ss. 232, 27-237, 25. 240, 17 — 241, 12. 250, 1 ss. 253, 19. 301, 29. 303, 19— 304, 19. 21 — 307, 20. 370, 4 s. et passim. duplex 71, 9. in quot numeris quanti su- perparticulares? 80, 14 ss. in duo aequa dividi non potest 223, 18—19. 268, 26 —272,9. 285, 9ss. 305, 3—5. 371, 13. in numeris minori- bus maior proportio 239, 25 — 240, 4. detracHo super- particularis 254, 4—17. 306, 29. superparticularitas passtm, e. g. 70, 2. 194, 9. 231, 6. 233, 26. 234, 10. 250, 29. 253, 7. 255, 4 ss. 259, 14. pro- prietatem servat continuae quantitatis 193, 22 ss. superpartiens 46, 8. 53, 6. 67,, 11—60,18. 64, 14. 65, 5. 67, 8. 13. 70, 4. 71, 5. 24. 27. 72, 12. 78,6. 147,24. 148, 6. 191, 23—29. 192, 26. 194,3. 12. 220, 26. 229, 15. 230, 8—15. 230, 28 ss. 232, 28—234, 16. 259, 13. 301, 29 et passim. superponere 87, 18. 94, 19. 108, 21. 26. 109, 15. 163, 10. 13. 259, 4. superquadripartiens 68, 16 ss. 67, 11. 70, 26. 230, 11. qnin- tas 60, 10—11. 16—17. du- plex 65, 13. 15. superquadriquintus 60, 17. supersesqualter 192, 4. 8. supersesquisextadecima pro- portio 271 , 3 ss. supersesquitertius 192 , 6. superstare 381, 3. superstes 38, 23. supertripartiens 58, 16*5. 67, 10. 70, 6s5. 191,28.230, 11. quartas 60, 8 — 9. 15 — 16. duplex cet. 65, 13. 15. 72, 8. supertriquartus 60, 16. supervacuus 5, 14. 41, 9. 114, 20. supervadere 64, 1. 154, 15. 211, 4. 239, 3 ss. 262, 10. 263, 9. 267, 2. supervenire 44, 5. 152, 9. 161, 18. 259, 23. 361, 24. supinus 309, 26 ss. supplementum 384, 11. supplere 5, 15. 250, 13. 256, 16 ss. 351, 19. 1. INDEX KERUM ET VERBORUM. 483 supputatio 408, 23. supra 258, 27. supradictus 16, 5. 20, 8. 24. 101, 16. 390,2. 405, 20 cc^ supra dictus 21, 3. suprascriptus 261, 23. 264, 12. 406, 6 (413, 24). supremus 4, 15. 252, 8. 266, 25. surdescere 196, 15. surgere 106,. 7. 142, 27. sursum 88,28. 113, 18. 311, 16. 346, 14. suscipere passim, e. g. 5 , 16. 9, 18. 22, 11. 25, 17. 184,4. 373, 23. 379, 17. 395, 21. suspectus sitbst. 425, 10. suspectus adi. 5, 10. suspendere 110, 9. 186, 15. 199, 4 ss. suspicere 130, 9. syllaba 77, 9. symphonia passim^ e, g. 11, 16. 18. 155, 15. 159, 14. 198, 12. 201, 1. 247, 17. .395, 29. diatessaron 155, 16. 27. 159, 15. 171, 23. 172, 4. 194, 23. 197, 16 ss. 202, 2. 203, 18—204, 9. 204, 29 — 205, 3. 206, 4. 211, 28.212, 5. 213, 11—12. 223, 11. 19. 250, 25. 251, 13. 253, 5. 255, 3—258, 11. 273, 18—275, 5. species 338, 14 — 28. 339, 11 —29. 345, 4 ss. 348, 16-26. 357, 18 ss» 365, 1 ss. ceL diatessaronacdiapason 259, 10 — 260, 16. 357, 21 — 360, 26. diapente 156, 10. 14. 159, 16«. 171, 25. 172,4. 194,24. 197, 17 ss. 202, 2. 204, 11— 205, 3. 206,4. 212, 1. 222, 24. 223, 11. 21. 250, 25. 251, 13. 253, 4. 255, 3 — 258, 10. 265, 2—14. species 338, 14. 339, 1—4. 340, 1 — 15. 349, 1—4. 357, 18 ss. ceL diapente et diapason 156 24. 157, 3. 194, 26. 202,4. 222, 24. 223, 12.250,24. 251, 13. 253, 4. 258, 19-27. 357, 20 ss. ceL diapason 156, 20. 159, 18. 171, 27. 194, 25. 197, 14 ss. 201, 4 -16. 205, 5—16. 206, 3. 211, 27. 222, 23. 223, 10. 22. 249,27. 250,6.24. 251, 12. 251, 18 — 253, 25. 253, 28—254, 30. 265, 14-267,3. species 338, 15. 339, 4-10. 340, 15—341 , 1. 19. 25. 342, 11. 343, 12. 347, 19 *s. 349, 5—8. 360, 6 ss, 363, 22 ss. ceL bis diapason 157, 19. 158, 7. 13. 159, 26. 194,26.202, 7. 212, 6. 223, 12. 250,25. 251, 13.253, 5. 342, 7. 344, 26. 357, .20*5. ceL synaphe 2i7, 4—26. synemmenos 207, 25. 210, 15. 218, 24. 342, 5. T^ide tetra- chordum. tabulatum 403, 17. tacere 245, 27. tacite 247, 7. tacitumitas 188, 16. 199, 13. 301 , 20. tacitus 187, 27. taedium 400, 29. tangere 348, 19. 374, 11. 378, 17*. 379,24.413, 3. tarditas 12, 9. 185, 16. 189, 26. 190, 1. 206 „16. 301, 18. 19. tardus 189,24. 28. 190, 7 ss. 199, 12. 14. 301 , 18. tabula 4, 6. tactus 8, 10. tau 309, 23. 311, 18. 20. tectorius 403, 17. tegmen 4, 12. temperamentum 9, 3. 41, 7. 169, 13. 362, 11. 484 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. temperare 185, 9. 26. 354, 11. temperatio 188, 30. temperatus 66, 18. temptare 236, 19. 276, 16. 349, 5. tempus 8, 6. 31. 12, 18. 181, 7. 187,25. 188, 11. 24. 309, 13. tempus est 149, 20. 314, 8. 393, 6. 402, 24. 404, 2. tendere 97, 17. 123,22. 125, 3. 188, 18. 301, 11. 355, 5. 362, 26. 382, 20. 395, 2. ani- mum 79, 22. tener 186, 24. tenere passim, e. g. 82, 14. 94, 1. 97, 11. 117, 21. 158, 13. 179, 26. 181, 9. 187, 12. 195, 21. 386, 21. 412, 13. tensus 190, 4. tenuare 160, 13. 196, 26. 356, 3. 23. tenuis 53, 8. tenuitas 188, 18. tergeminus 40, 27. terminare passim, c. g. 8, 22. 42, 6. 77, 10. 121, 10. 17. 122, 5. 137, 7.228, 11. 375, 9. 414, 20. terminatus 125, 8. 380, 2. 381. 2. 384, 19. 390, 7. terminus passtm, e. ^. 9, 15. 24. 16 , 9 ss. 18 , 24. 47 , 28. 110, 23. 121, 15. 137, Uss. 199, 26 ss. 228, 14. 302, 12 ss. 374, 21. 375, 19. 389, 15. = summa 19, 14 — 15. 241, 16 — 17. minor passim, e. g. 24,2. 25, 25.26. 144, 10 ss. 148, 11.149,8. 13. 152, 28,w. 162, 1 ss. 241. 25 ss. maior passim, e. g. 25, 24. 26. 144, 11*5. 148, 10. 149, 11. 13. 152,29 55. 162,1.55. 242, 10 ss. maximus 152, 4 ss. 162, 7 ss. 241, 26 ss. parvis- simus 152 , 4 ss. 162 , 7. ss. minimus 242, 10 ss, 247, 25 55. ultimus 152, 20. 155, 11. 167, 13. postremas 152, 16. def. 374, 22. ternarius passim, e, g. 27, 2 ss. 28, 8. 30, 28. 48, 8. 397, 12. 404, 5. locum obtinet pri- mae inparis lineae 277, 9 — 10. terra 77, 13. 219, 18. 388, 1. testis 186, 21. tetrachordum 200, 27. 207, 27 ss. 334, 25 ss, diatessaron resonat 322, 23. divisio 364, 20—371, 20. hypaton 209, 3 — 19 55. —218, 19. 332, 6 — 334, 13. 26. meson 209, 21 —24 55.-218,19. 330,10 — 332,3.334,27. diezeug- menon 209,26 -29 55.— 218, 20. 324, 22 — 327, 15. 335,3. 337, 26. synemmenon 210, 15—16 55.-218, 19. 327, 16 — 330, 5. 335, 2. 338, 1. hy- perboleon 211,2 — 5 55. — 218, 20. 319, 6—32 4, 21. 335, 5. 336, 29—337, 11. 337 , 26. iietragonalis ; tetragonale la- tus249,4. 412,7. 415, 6. 417, 9. 419, 5. tetragonicus ; tetragonicum latus 163, 17. 20. 411, 13. tetragonus passitn , e. g. 8, 25. 56,5 ss. 100, 1. 102, 5 ss. 103, 22. 108, 15 ss. 110, 8 ss. 111, 21 ss. 113, 7. 11. 119, 12 55. 126, 28. 127, 22. 128, 16 ss. —136, 3. 148, 19 55. 150, 11 ss. 151, 10 55. 404, 6. numerus def, 56, 1 — 3. eius- dem naturAe atque inmuta- bilis substantiae 118,2 — 8. 123, 11 55. = quadratus 98, 23 — 24. 120, 5. /ig. geom, def, 112, 19 — 20. podismus tetragonorum 415, 15 — 419, 9. tetragonus normalis 415, I. INDEX EEBUM ET VERBOBUM. 485 18 — 416, 6. parte altera lon- gior 416, 8—20. texere passim, e, g, 47, 5, 53, 4. 63,9. 68,3.200,24. 229, 20. 318, 14. textrina 4, 9. theatralis 181, 9. theorema 80, 6. 390, 4. 401, 5. 424, 1. thesaurus 3, 11. theta 310, 15. tihia 185, 13. 186, 21. 24. 187, 23. 189. 8. 224, 17. tihicina 185, 15. tignulum 86, 17. titubare 224, 11. tollere passim, e. g. 10, 16. 17. 19. 20. 29. 11, 2. 136, 7. 140, 14. 231, 22. toniaeus; chroma toniaeum 365,22. 367, '6ss. tonus passim, e, g. 11, 20. 172, 6. 202,2. 208,6. 211, 24. sonorum mensura commu- nis 172, 1 — 3. nunquam in gemina aequa dividitur 202, 17-203,11. 203, 15—204, 9. 223, 17—18. 269, 11—14. 269, 31—272, 9. 323, 24. in- compositus 216, 21. in su- perparticularitate ponendus 255, 4—257, 6. 258, 11—16. divisio Philolai 276, 15—277, 18. = duo semitonia minora et comma 277, 20—278, 9. 18 ss. 299, 9—26. toni spatium per consonantias sumptum 279, 9 — 280, 1. maior quam Vni commata 296, 20—298, 15. notula 323, 5. = raodus 341 , 20. torax 4, 11. tormentum 185, 21. torquere 356, 21 «. torrere 188, 23. totum; unitatis 134, 28. hina- rii 135, 1. totus 242, 29. tractare passim, e, g. 86, 9. 139, 26. 164, 18. 181, 12. 219, 28. 231, 10. 424, 13. tractatio 223, 3. 301, 8. tractatus 218, 17. 223, 16. 242, 26. 300, 4. 301 , 10. 363 , 7. 401, 4. 402, 16. 415, 16. tradere 33, 22. 66, 6. 186, 6. 219, 9. 342, 27. 395, 6. 411, 24. traditio 393, 6. trahere 10, 23. 30, 13. longis tractus otiis lahor 4, 20. participationem 29, 27. ori- ginem 61, 13. 164, 25. voea- bulum 213, 12. transcendere passim, e, g, 23, 18. 54, 3. 58, 4. 61, 10. 108, 11. 153, 28. 191, 8. 205, 3. 418, 6. transcurrere 5, 1. 164, 20. transferre 45, 9. 270, 2. 300, 5. 389, 20. transfundere 396, 15. trausgredi passim, e. g, 42 , 20. 45, 15. 62,21. 65, 18. 138, 23. 153 , 27. transire passim^ e. g, S, 11. 23, 26. 27, 8. 36, 7. 52, 6. 55, 3. transitus 415, 15. translatio 4, 28, transmissio 52, 17. transmittere passim, e. g. 5, 21. 34, 6. 35, 3. 49,9. 52, 15. 195, 13. ohlivione 20, 19. transsilire 36, 1. 13. 55, 5. 62, 15. 19. transvertere 309, 18. trapezius 376, 22. orthogonius 418, 2—13. tremehundus 190, 11. tremere 190, 8. trepidare 82 , 30. trepidatio 79, 23. triangularis 91, 10. triangu- lares numeri 86, 14. triangulum 10, 29. 11, 1. 92, 4. 105, 7 ss. 179, 12 ss. 228,28- 486 I. INDKX RERUM ET VERBORUM. 380, 7 — 18. 24 — 381, 2. 17 — 382, 22. 383, 22 — 385, 2. 389, 1. cet. acquilateruQi 376, 2. 380, 3. 388, 26 — 29. 390, 6—25. 404, 14—406, 12. isosceles 376, 3. 406, 14 — 407, 1. scalenon. 376,4. 407, 2 — 1:08, 5. ortbogonium 376, 6. 408, 7— 413, 10. ambly- ffonium 376, 9. 386, 18—22. 413, 12 — 414, 14. oxygonium 376, 11. 414, 14—415, 12. Fide trigonus. triangulus 91, 13 ss. 380, 7**. 389, 6. 393, 22 ss. 404, 15 cet, numerus 91, 1. 92, 12 — 95, 6. 96, 4. 98, 21. 99, 26. 101, 19. 102, 6 ss. 103, 22ss. 105, 1 M. — 109, 22. 131, 14 ss. omnium formarum prin- cipium 103, 17. 104, 13. (92, 6) 109, 17—22. tricenarius 163, 12. 418, 5. triemitonium 216, 28. incom- positum 216, 25—27. trifariam 402, 3. trigonus 386, 17. 387, 17. 404, 4 — 415, 14. Fide triangu- lum. trilaterus 375, 15. 376, 6. tripla proportio 349, 8 — 13. triplicare 59, 19. 147 , 6. triplum = tertio simplum 221 , 6. trite 206, 29—210, 14. 335, 21. 337, 16. 340, 7. 25. trite (liezeugmenon 209 , 28 — 216,9. 218, 10.311, 5.313, 11. 325, 20 ss. 335, 26. 336, 16—18. 337, 3. 338, 7. 339, 22 ss. trite synemmenon 210, 25 — 216,4. 219, 9. 310, 15. 313, 5. 328, 10 ss, 335, 27. 83G, 19—21. 337, 5. trito byperboleon 211, 18 — 216, 13. 311, 14. 314,2. 320, 7 ss. 335, 23. 336, 10 — 15. 337, 2. 339, 28. triumphus 224, 23. tropus 341, 20—22. tuba 186, 30. turbaro 246, 12. 309 , 15. turbo 190, 16. turpitudo 181, 13. uberrimo 323, 24. ulterior 110, 9. 359. 22. 400, 3 ss, ultimus 42, 23 ss, 69, 3, 78, 9. 10. 81, 19. 273,24. 285,2. 293, 8 s, cel, in ultimo 427, 14. umbo 4, 12. umidus 196, 24. uncia 401, 20. 426, 4. 17. 428, 4. uncialis 402, 12. 13. 425, 20. unda 200, 10 ss. undique 348, 14. 16. 408,8. undiquo versum 394, 19. undula 200, 13. 16. unguis 352, 20. uniformiter 115, 1. 195, 7. unisonus 356, 6 ss, 361, 3. 4. unitas passim, e, g, 13, 11. 12. 14, 25. 15, 23. 25. 87, 5 s.v. prima cunctorum numero- rum et genitrix pluralitatis 16, 2—26. 232, 23—24. 244, 2—4. 397, 20 s. indivisibilis 17, 12. ihsecabilis 23, 8. cunctis (numeris) mater 30, 28. 37, 18. 93, 7. per se con- stantis quantitatis princi- pium 79, 25. omnium nu- merorum mensura commu- nis 33, 7. 37, 17—18. virtute atque potentia perfecta 44, 16 ss. prima 56, 26. secunda 56, 28. tertia 56, 27. vicem obtinens puncti 87, 13. 88, 11. 90, 6*.?. 110, 12. 277, 9. in se multiplicata nihil pro- creat 88, 2 — 5. vi sua trian- I. INDEX RERUM ET VERBORUM. 487 gulu8 93, 5. 12.94, 10. 107, 19. quadratiis 95, 17. vir- tute pyramis 107, 20. 108, 19. 109, 1. 110, 3. vi et po- testate cybus 112, 18. 136, 14. circulus et sphera 122, 3 — 4. primaeva ingenerata- que 117, 5. inparitatis effe- ctrix et forma quaedam 118, 16 — 18. inmobilis cet. 125, 7—13. 132, 23—24. minima in discreta quantitate 193, 12. 228, 12. crementi demi- nutionisque principium 251, 17 — 18. universaliter 151, 10. 194, 27. 214, 6. 286, 18. univocus 361, 19. unus potestate triangulus 103, 12. tetragonus 56, 4. 96, 10. 119, 13. pentagonus 97, 10. in unis tribus terminis 66, 26. uni87, 3. urgere 112, 15. usquedum (usque dum?) pas- sim, e.g, 16, 8. 17, 11.200, 12. usus 87,2. 283, 8. 348, 14. uti 5,4. 68,22. 185,29.242, 29. 397, 2.413,22.426, 24. utilis 53, 9. 57, 2. 72, 18. 149, 21. 389,4. 401, 1. utilitas 164, 20. 236, 6. utrimque 377, 1. utrum 260, 7. vacare 344, 5. vacillare 393, 3. valde 390 , 2. valens 181, 15. valere 42, 13. 199, 26. 200, 4. 244, 2s. 399, 18. 406, 2 cet. validas 4, 11. vapulare 46, 3. variabilis 8, 10. 123, 3. 124, 1. 125, 16. variare 192,10. 196,22. 214,3. variatio 8, 2. 125, 9. 19. 228, 2, lunae 12, 10. varie 181, 11. 397, 15. varietas 21, 21. 47, 3. 55, 16. 133,8. 187,20. 188, 11. 13 196, 23. 199, 12. varius 181, 23. 195, 26. 198, 11. vastus 355, 28. velle 377, 13. 428, 8. velocitas passhn, e. g. 4, 21. 12, 9. 189, 26. 190, 11. 20. 222, 6. 301, 17. velox passim, e. g. 5, 1. 187, 27. 30. 189, 24. 190, 4. 22. 199, 7. 221, 13. vendicare 9, 6. venia 5, 9. venire /)flS5i7« , e. g. 24, 7. 25, 2. 107, 25. 110, 5. 115, 12. 179, 9. 195,9. 204,27. 393,8. ver 188, 23. veraciter 195, 26. 221 , 22. verbum 182, 6. 199, 6. 8. 309, 8. 20. verbi gratia 197, 27. 356, 17. verbum de verbo 389, 19—20. vere 8, 13. 9, 9. 153, 9, 227, 22. 263, 18.352, Ib cet. vergere 198, 1. verisimilis 186, 30. 255, 16. veritas 8, 1. 9, 8. 22. 10, 6. 179,7. 22. 352, 10 «i. 411, 5. versari passivi, e. g_. 10, 30. 47, 24. 86, 13. 89, 2. 122, 23. 224, 26. versiculus 346, 17. versns passim , e. g. 28, 10. 50, 8. 13. 51, 7. 53,3. 55, 13. 186, 22. 309, 6. vertere 8, 31. 68, 23. 70, 17. 26. 182, 5. 228,2. 352, 18. 356, 18. vertex 105, 7. 10. 106, 4. 108, 8. 109, 21. 110, 10. 381, 15. 393, 20. 418, 5.9. 424, 14. 425,8. vertibilis fe, 10. 488 I. INDEX RERUM ET VERBORUM. vertigo 188, 6. verum suhst. 9, 7. 19G, 10. 352, 12. yerus 204, 8. vestigare 7, 26. 10,5, 44, X. 80, 14. 102,5. 163,15.361,2. vestigium 4, 30. 142, 7. 180, 27. 411, 2. veteres 167, 9. 308, 23. 343, 2. 351, 16. 377,4. 395, 9. 401, 8. 425, 26. vexare 185, 22. via 104, 15. 181, 1. 236, 22. 245, 1. viare 9, 28. vices; temporum 12, 18. retra- ctionis 38, 1. multiplicis numeri 48, 26. puncti 87, 13. admonitionis 195, 20. vicinus 45, 24. vicissim 38, 5. 188, 24. 348, 24. vicissitudo 35, 28. victor animus 3, 9. videlicet 126, 14. 389, 20. 414, 25. 415, 24 cet. videre passim, e. g. 3, 13. 38, 4.67,2.69,11.126,25. quasi videndo ostendere 396, 14. vigere 7, 22. 8, 9. vigilia 5, 5. vilis 3, 9. vincere passim, e. g. 20, 7. 40, 12. 55, 2. 89, 11 ss, 98, 5. 255, 30. 413, 1. vinolentus 185, 13. vir 7, 21. 395, 25. virga 190, 20. 198, 20. virgula 87, 5 ss. 190, 17. 310, 1 ss. vii-tus 41, 8. 22. 181, 12. 184, 3. virtute opp. actu et opore 44, 16. 45, 4. 107, 20. vis 8,3. 12. 77, 11. 169, 12. multitudinis 9, 14. numero- rum 11, 7. 395, 28. 396, 4. geometriae 11, 28. 137, 5. rausicae 12,3. 185,27. arith- meticae 12, 11. 140, 13. nu- meri 15, 20. prima rerum 31, 17. naturae 66, 6. ma- tris et radicis 66, 21. pro- portionis 78, 3. 82, 12. gig- nendi 88, 4. sentiendi 195, 25. quantitatis 104, 16. 140, 8. alteritatis 132, 15. ele- menti 155, 17. cognitionis 164, 19. agnitionis 195, 21. aurium 179, 16. mentis 187, 11. armonicae 352, 1.2. 354, 16 ss. opp. actu passim, e. g. 93, 5. 12. 94, 10. 95, 16. 108, 19. vires 197, 8. visere 4, 10. 186,8. 187, 26. 337, 8. 357, 4. visus 179, 8—10. 187, 12. vita 196, 8. vitator 267, 16. vitium 41, 22. vivacitas 188, 28. vivere 178, 25. vocabulum passim, e. g. 11, 3. 17, 19. 19,23.22, 19. 26, 9. 61, 15. 180, 16. 18. 192, 10. 198, 24. vocare passim, e. g. 11, 19. 17, 7. 61, 17. 190, 16. 403,20. vocula 269, 21. 301, 21. 351, 1 cet. volumen 227, 14. 267, 5. 268, 16. 287, 8. 290, 7. 352, 3. 362, 25. 363, 17. 401, 4. voluptas 186, 15. 26. volvere 188, 5. 395, 18. vox passim, e. g. 77, 9. 187, 16. 188, 16. 18. 30. 191, 1. 3. 194, 24. 196,2. 19. 196, 13. 200,20. 201, 4. 5. 269, 20. 301, 15. 16. 363, 9 ss. conti- nua, suspensa 199, 2—200, 5. lineae vocis loco 279, 7 — 8. mobiles cet. 335 , 9 ss. in- mobiles, statutae 339, 12 ss. unisonae cet. 366, 6—357, 14. 361, 3 ss. II. INDEX NOMINUM. 481) vulgaris 13, 17. vulgatus 184, 7. vulgo 34, 11. vulgus; vulgum ipsa dubita tio praeterit 179, 11. zeta 309, 22. 311, H ss. 11. INUEX NOMINUM. Aggenus 428, 19. Albinus 199, 14. 218, 22. Archita8:[?l 393, 7. 408, 14. 412, 20. 413, 22. 425, 23. Archyta8Pythagoricusl39, 14. 17. 285, 12 — 286, 18. 368, 9 ss. 369, 15. 25 ss. . Arion Methymneus 185, 19. Aristoteles 139, 1. 18. 167,4. 189, 2. Aristotelica decem praedi^mentorum descri- ptio 139, 13. Aristoxenus 265, 21. 267, 4. 268, 21. 273, 18. 274, 24. 355, 2 ss. 363, 6. 364, 15. 365, 9 ss. 370, 19 ss. Atys 206, 8. Bacchus 5, 20. Boeotii 185, 21. Boetius 3, 1. Caelum 219, 24. Ceres 5, 19. Colophonius 208, 29. Coroebus 206, 8. Cretensis 181, 24. Cyclopea frons 41, 3. Democritus 186, 6. 7. Empedoclos 185, 23. Eratosthenes; cribrum 33, 20 ss. Eubulides 250, 27. Euclides 373, 21. 389, 19. 392, 5. 406, 14. 407, 2. 408, 7. 412, 21. 413, 12. 414, 17. 416, 4. 8. 417, 12. 17. Frontinus 403, 1. 428, IS. Geryo 40, 27. Getae 181, 6. Gortyuius 181, 25. BOETIUS. Graecia 114, 17. Graecus adi, 3, 10. 114, 6. 182, 6. 309, 14. 15. Graecus subst. 206, 19. quod Graeciatomon vocant 89, 23. pentagonus91,3. dya893, 15. spheniscos 114, 9. parallel- epipedus 115, 1. docides 120, 23. axiomata 231, 7. apotome 263, 22. magadas 348, 9. epipedon 403, 14. stereon 403,20. ceratim 426, 8. TioXovQOv cel, 110, 26 — 111,3. «Tf^ofnjxftff 115, 8. •noLvaL Bvvoiai 378, 1. Graia oratio 4, 25. Hippasus 250, 27. Hippocrates 186, 6. Histiaeus Colophonius 208,29. Hyagnis Phryx 206, 9. lones 185, 19. lonica Graeciae regio 114, 17. lovialis circulus 219, 8. Ismenias Thebanus 185, 20. IuliusFrontiuus402,8. 428, 18. luppiter 206, 13. 219, 23. Lacedaemonii 181, 23. Lacouica 182, 3. Latini 115, 1. 407, 5. Latinus adi. 217, 5. 218, 22. 426, 13. Latium 393, 8. Lesbii 185, 19. Lesbius 206, 10. Lucretius 77, 13. ^ide var. lect. Luna219, 21. Lycaon Samius 207, 8. 14. 31** 490 II. INDEX NOMINUM. Lydus 206, 8. MarcusTullius in libro de con- siliis suis 185, 10 — 17. de re publica2l9, 12 — 19. Mars 219, 9. 23. Mercurius 206, 7. 219, 10. 22. Methymneus 185, 19. Milesius 182, 1. 184, 1. 209, 1. Musae 151, 24. Nicomachus 80, 5. 114, 17. 205, 28. 221, 22—222, 12. 222, 22 — 26. 260, 12. 416. 5. 9. de numeris 4, .31. quid primufi perspexerit de arith- metica medietate 143, 13 — 18. de consonantiis 250 , 23 — 25. 251, 16 ss. 253, 1 ss. Orpheus 206, 2. Papinius Statius 186, 22. Patricius 373, 21. Periotes 208, 10. Philolaus 126, 7 — 8. 276, 15. 277,1.278,11. Phryx 206, 9. Plato 10, 4. 126, 2. 139 , 1. 16. 167,4. 180, 4. 22. 181, 14. 20. 221, 12 — 20. Plato- nica animae generatio 80,6. quaedam disputatio 149, 21. auctoritas 395, 26. de repu- blica 151, 23. Prophrastus Periotcs 208, 10. Ptolomaeus 193, 2. 194, 15. 222, 27. 249, 21. 260, 17. 348, 3. [350, 24 — .351, 13.] 355, 5 ss. 356, .5. .357, 15. 358, 13, 360, 21 ss. 36.3, 21. 369, 24: ss. .371, 9,9.9. Pythagoras 7, 21. 117, 1. 1.39, 1. 7. 16. 167,4. 223, 5. 228, 5. obrinm reddidit mitiorem 184, 10 — 185, 17. primiis repperit, qua proportione sibimet . . . sonornm con- cordia iungeretur 196, 18 — 198, 28. primus sapientiac studium philosophiam nun- cupavit 227, 20 ss, sapicn- tiae eius heredes 117, 2. Pythagoreus 395, 25. 396, 11. Pythagorici 194, 14. 195, 27. 276, 18. .396, 7. 425, 27. cantilenis utebantur 185, 27 — 186, 4. eis erat ratio do- centis auctoritas 223, 4 — 9. de consonantiis mimcis 249, 19 ss. 259, 12. 260, 13. 268, 23. .355, 12 ss. .357, 17 .w. 360, 28. Pythagoricus 139, 17. 276, 15. disciplina 13, 19. 354, 26. denarius 139, 15% Romanus. Homanae orationis thesaurus 3, 10. (426, l.S.) Samius 207, 8. Saturnus 206, 15. 219, 7. 24. Sol 219, 9. 23. Spartiatae 182, 5. 184, 1. Statius 186, 22. Symmachus 3, 1. Tauromenitftnus 185, 1. Terra 219, 19. Terpander 185, 18. 206, 10. Thaletas Cretensis 181, 24. Thebanus 185, 20. Timaeus dialogus Plalonis 80, 6. 126, 2. 149, 22. Timotheus Milesius 182, 1. 7. 18.3, 5. 11. 209, 1. Tullius 185, 10. 219, 12. 19. Urbicus Aggenus 428, 18. Vcnus 219, 10. 22. III. INDEX GEAECUS. 491 III. INDEX GRAECUS. aysvvrj 182, 12. aycovoc 183, 1. ayoavwv 183, 10. anoag 182, 11. afiSTSgav 182, 8. afioifiav 182, IG. au(pLSvvvtai 182, 13. avti 182, 13. 15. avtLOtQOCpov 182, 10. anXoag 182, 13. aitOGtQSCpOlLSVOQ 182, 10. aitQSicri 18.3, 1. atLfiaads 182, 8. ^of^op 183, 8. jjacrtifap 183, 4. zila/iaTpop 183, 1. ds 182, 16. 183, 5. dsdox^aL 183, 3. ^m 182, 9. 11. dLaayisvav 182, 15. 18.3, 2. ^ta(yTi2|LtaTtxiyl99,4.1(). 200,1. SidaHyLTj 183, 3. ^ifcyxfvaoaTO 183, 1. dLHOXoVQOV 111, 1. fit^ayooi^ 182, 10. snaatoQ 183, 7. sniisXsLg 357, 11. fXTa/u.oi/Tap 183, 6. EXsvaLVLaQ 183, 1. SfifisXsLg 357, 10. fv 182, 7. 16. 183, 8. svaQfiovLco 182, 15. svdsTta 183, 6. pi/^fcxa 183, 3. svvOLaL 378, 1 . sovtcov 183, 9. e7rai/ayxa|af. 183, 5. snsLdri 182, 7. STtL 182, 14. STtLCpSQSV 183, 8. fTTTa 182, 9. 183, 7. fTfpo/Li,?^xftff 115, 8. 124, 15. stSQOfirjyiT^g 416, 10. fvla^i^Tat 183, 8. SfpOQcoQ 183, 4. xat 182, 9. 11. 12. 16. 18.3, 4.5. TiaXcov 183, 9. Kfi^OTaTop 182, 12. HL&aQL^LV 182, 9. yiXsoQ 183, 10. TiOLvaL 378, 1. xoAovpov 110, 26. XvfiaLvstaL 182, 10, ILisAfop 182, 12. 14. fiSfiipattaL 183, 5. firj 18.3, 9. MlXtjGloq 182, 7. (AV-S-co 183, 2. ficoav 182, 8. 14. vfeoi; 182, 11. vscoq 183, 3. o ar^ 182, 7. o9vvaQ 183, 3. OTTcop 183, 7. OQCov 183, 8. ovx 183, 3. TtaXatav 182, 8. TtaQayivofjLSvoQ 182, 7. TrapaxXij^d^fit? 182, 16. nSQL 183, 4. TreptTTap 183, 6. TtOLHLXav 182, 12. TToUi/ 182, 8. noXiOQ 183, 17. noXvcpcovLav 182, 10. OToAvjjop^tap 182, 11. TTOT 182, 15. TTOTf 183, 9. Q 182, 5. a 182, 5. ZsfisXaQ 183, 2. .STrapTai' 183, 8. avvsLatafjLsvoQ 182, 14. avvsxrjg 199, 3. Taft 182, 8. Tav 182, 8 .9.9. taQ gen. 182, 11. 12. 15. 183, 1.2.7. acc. 182, 11. 18.3,6.7. taQaQQStaL 183, 9. Tf 182, 11. TfTay/Ltfvap 182, 13. 492 III. INDEX GHAECUS. — ERRATA ET ADDENDA. t>- ti 183, 9. TLfio^soQ 182, 7. 183, 5. TO 183, 7. tov 182, 16. TOUTOfcv 183, 4. tQDlOlOVQOV 111, 3. Tco 182, 12. 14. 183, 2. . TCBV 182, 11. 183, 9. tooQ 183, 3. 4. VTCoXiTCOfisvoaQ 183, 6. (pa 183, 4. cpd^syysad^at 195, 5. XOQdav gen. 182, 9. 183, 6. %Q(oli,atOQ 182, 14. EliliATA ET ADDENDA. lu pag. 53 V. 4 var. lcct. 1. ad -C- 97 4 88. var. lect. iiumeri 16. 18 cet. suut minueudi. 20 1. scilicot 10 var. lect. 1. auj^eatur 9 var. lect. 1. 28. 21 1. huiusmofli 7 1. tfonis 21 1. Boeotiorum 19 — 20 1. paranete, uetc 9 vnr. lect. I, arcus 1 coiiicias ^ mesouque ' csse legeudum, 32 (sub voce '"iuaeiiualis ■*) 1. 114, l. quiuai 102 114 154 169 180 185 209 302 338 452 \ 878.9 .B12t C1 Anlcll Manlll Torquall ALG76eZ Blanford Onlversltv Ltbrarlef STANFORD UNIVERSITY LIBRARIES CECIL H. GREEN LIBRAfiY STANFORD, CALIFORNIA 94305-6004 (415) 723-1493 All books may be recnlled after 7 doys DATE DUE