BIBLIOTHECA ° REGIA MONACENSIS. 2 Ne, ie ie % De Be: ar ir ee u SETTING iF nice Behandlung 1 Geometrie | # dar; a Pe 8 v N « z und insbesondere ‚auf die Bildung ne neuer Tlassen von Aufabin und *: die Entwickelung mehrerer Eigenschaften der Kegelschiite oben = ae I a a Ferdinand Möbius Be a der Astronomie zu Leipzig. Mit, vier Kupfertafelm v FE Br} - EN. A} x b x AR ‘ 3 x Y { 7 i 2, ö j R A \ R 5 —— r - | x T "2 ‘ . “ ‘ I i pzig, Ve erlag von Johunn. Ambrosius Barth. - Liree El (sd Rod egrlaus re SE - - alles en = * 5x9 Bu. Be ber ag u > 2 $ en ale Y sireagET Horror sörtbfef- Si Yun, E: niaiisdoensgiih Task Kant Er Wei ren © EEE Be es sb | HR EEE a Sr RE en re... 5 se ee Iran! | E 3 2 { P . RE & Mae Mo ro hs e ih a6 Ian A Er: N singt. * ae nu Pr * N Fat ug ‘ Aa N ‚h ee” " ern 2 In; we #2 u I“ % ARE EN 4 5 we = = 5 PR Eu; N 4 Sr Excellenz in dem « Ä - % wirklichen Herrn Geheimen Rathe und Minister x . r ’ Freyherrn vn Lindenau Viee - Landschafts - Director zu Altenburg, des Grossherzoglich Weimarischeu Falkenordens Grosskreuz, des Königl. Sächs. Civil- Verdienst- Ordens Comthur, des Kaiserl. Russischen Wladimir- und des Königl, Preuss. Johanniter- Ordens Ritter } widmet diese Sehrift als Zeichen B seiner tiefsten und dankbarsten Verehrung der Verfasser. RR a Ba Sb a Zn da ZB RER ni: sr A x %, sache hi | d kmh unit ui Jet % e ’ j \ v . " “ r h e; x E Y ee fr sr RR us astsAvarh ei, ZEN TE FeL, ER ae rem, + 531, a ee fr eh eh. yalt Ardaauit BERRe © ndartnmin e, Yen & er F BaıbaWE, wen lese 4° 713 . apa PIE IELe BET TUE EN zu j H 5 DE a 7einelot. ar er Manz Anh fin \ % * ei di sr 4 » ERBETEN NER RL : RS a TEE Tr | ER D Fig 5 : R A ni £ ” 2 f En . + A N ® f FR = j ONE ein } Ä > ve I as > Pr : \ k ı4 k S A RI ya rn TRIER ee u \ % N , % 1 En - Bor N Er R v ; I" ua! hajesad Äunh hiap wnebai ps EYE | RR y u . t * N ah a Zen} 5 s Ba ei Neoie ort rt ed eu Fe Iırı ar a EIRST1CiD nord ae EB; ist, Yet, ee 2 der. Mechanik Suuha ge. Lehre vom. Schwerpunkte . schon. oftmals „als Hülfsmittel zur Erfindung rein geometrischer Wahr- heiten benutzt worden ist... Die frühesten Versuche sind. unstreitig. die mechanische. ‚Quadratur der Pa+ rabel. von Archimedes und,.der schon in des Pappus,mathematischen Sammlungen sich vorfin- dende,.jetzt unter,, ‚dem Namen .der, ‚sentrobary- schen,oder Guldins, Regel. bekannte. Satz. Mit Uebergehung späterer-Bemühungen., dieser Art,.die; wie. die. eben gedachten ,. hauptsächlich, die Quadra- tur und Cubatur von Flächen und.;Körpern zu Em rem Zwecke haben ‚:erwähne; ich, nur ‚aus,den-letz- ten, Zeitem, die Mathematiker Carnot und L’H ul ler. Beide”) suchen den Schwerpunkt.in. das Gen biet der:niedern Geometrie. zu ziehen, indem sie, * nieht „sowohl. von Körpern, ‚Flächen: und Linien, als. vielmehr bloss von. einem, Systeme. gewichtiger, Punkte den Schwerpunkt betrachten, ihn selbst aber; um. alle: Kenialınnen, des 3: Mecbaniechen zu besei= ar ® 3 Wr n e % Carmott ih seiner Gdomenie de position, L’Huilier id "seinen ‚Eldmens ms 'geometriquä et danalyse d- Au EICHRR SERREr pa 11108: 1:7 020: 08 U =— ae mn nn nn = figen, den Punkt der mittlern Entfernungen nen- nen, weil nämlich sein Abstand von irgend einer Ebene gleich der mittlern Entfernung aller Punkte » . des Systems von derselben Ebene’ ist. Die Berei- cherungen, welche sie dadurch der Geometrie ver- schafft haben, kind allgemein‘ anerkannt. ‚ Von demselben elementaren und rein geome- trischen Begriffe des Schw erpunkts gehen auch die sorliegenden Untersuchungen "aus. < Die erste Ver- h anlassung hierzu war die Br der Früchtbar- | ‚ keit" des Satzes,‘ dass jedes System gewichtiger | Punkte nur einen Schwerpunkt hät, und dass’da- hier, in’ welcher Folge man auch’ iüie, Punkte’ nach »- und nach in Verbindung bringt, zuletzt doch 'im- ‚ mer ein und derselbe Punkt gefunden werden muss. Die einfache Art, womitich dadurch, melirere‘ ‚geo- ietrische' Sätze "zu "beweisen, mich’ im 'Stande’ sah, + bewog mich, Zu nöch grösserer Vereinfachung‘ sol- cher Urterkuehlligen: eiiieh dafür ag ea rithmus auszumitteln." > vn. mov 3 bau Das ‚Gleichgewicht, um’ mich der Spräche der Mechanik zu 'beienen ‚ "drückte ich ’dürch" das Gleichheitszeichen aus, äuf dessen eine ‘Seite’ich die Punkte des 'Systems’mit'ihren Gewichten, auf die andere Seite aber: den Schwerpunkt‘ des ISy= “ stems mit einem Gewichte’ setzte, welches der Sumi- me jener 'Getrichte gleich ' war" Das‘ auf solche Weise‘ dargestellte Gleichgewicht ‚musste'nun! fort“ bestehen, wenn entweder alle Gewichte #n_gleichen. ‚Verhältnissen vergrössert oder, verringert. ia BEER oT du oder. wenn. Punkte. mit ihren, Gewichten” von. einen auf die andere Seite mit dem entgegenge- R - W. — setzten'Zeichen (d.,h;, insentgegengesetzteh Richtung wirkend)' gebracht, ‚oder;wenn, endlich mit beiden Seiten neue.in Gleichgewicht,stehende: Systeme‘ ver- bunden, wurden;;Operationen;, ‚die, wie: man sieht, den ‚gewöhnlichen. Verrichtungen: des: gie valle kommen‘ analog waren, 'ns 1.1, Die; Bemerkung, -.dass a re Rusbir einer Ebene immer, solche Gewiehte‘ beigelegt wer- den, können, dassjeini;gegebenen:vierter-Punkt.,der. Ebene..als Schwerpunkt, derselben; ‚betrachtet‘ werm den.'kann ,.‚und\,dassi.diese drei/Gewiclite in Ver hältnissen, zu ‚einander. stehen, (die aus der ‚gegen-, seitigen Lage der yier Punkte. nur auf; eine Weise, bestimmbar sind, führte mich weiter zu einer neuen, Methode, die Lage ‚von Punkten in ‚einer Ebene zu bestinnmen. Die drei Punkte, welche+somit zur: Be», ' ‘stimmung, aller übrigen ‚dienten, nannterich Fun; damentälpunkte, die sie verbindenden. .Gera-: den Fundam.linien, und das von:ihnen gebil=, dete Dreieck das F.dreieck; dieVerhältnisse aber,, die, für den zw bestimmenden Punkt zwischen den: 6 iehten ‚der. F.punkte: oder ihren‘. Coöfficien-,, teny wie. ich .die.'Gewichte von jetzt an hiess; , statt ‚finden müssen, waren die-Coordinaten ‚dieses, Punktes. Auf ähnliche ‚Art verfuhr ich zur, Be-: stimmung. eines Punktes im Raume, ‚wo. vier. F.=- punkte nöthig' waren, und es daher sechs F.li=, nien und eine E.pyramide gab, ‘+, Die. F.linien., waren: bei -dieser Bestimmungsart) offenbar. dasselbe, was bei der gewöhnlichen Me-, thode, der‘ parallelen .Coordinaten die, Axen' sinds, Seder. der F.punkte aber war einem’ Anfangspunkte. a VI dem:Coordinaten analog, >so' dass folglich das'F.- dreieck der ‘Ebene oder die F:pyramide des Raums als’ die Vereinigung‘ drei oder vier solcher: Axen- systeme‘anzusehen ‘waren, dergleichen bei der ge- wöhnlichen Coordinatenmethode auf einmal'nur ei- nes berücksichtigt werden kann ($, 126.)7°-Diese Vereinigung mehrerer Axensysteme konnte aber nicht anders als yortheilhaft seyn, 'da jedes neue Axensystem eine’neue Ansicht der Figur gewährt und ‘damit zu'neuen Eigenschäften derselben hin- führt, ‘Auch gesellte sich noch zu diesem Vortheile die“'grosse Einfachheit; woinit' sich ‘die Verän- derung der’ anfangs gewählten F. Hafıge bewerk- stelligen liess ($. 35.), , Ein Hauptgegenstand der‘ anslytiächen.€ Geome- trie sind die "Eigenschaften krumnier Linien‘und Flächen, Um; auch diese mir'barycentrischer Rechnung behandeln zu können, u nöthig, die Coefficienten der F.punkte nicht mehr constant, söndern veränderlieh zu nehiien. Waren die un fiienten der drei. F, pünkte“ einer Ebene oder: vier’ F.punkte 'des Raums’ Fünctionen einer verän- ‚derlichen Grösse, so bildeten alle die Schwerpunkte, die’ ich ‘erhielt, indem ich der Veränderlichen nach: und nach alle möglichen Werthe beilegte, eine Li- nie in der Eberie oder im Raume, und zwar eine gerade Linie, wenn die Coeffieienten lineäre Functio- nen der Veränderlichen, eine Linie der zweiten Ordnung, wenn sie quadratische Funetionen waren, u. 8; w. Einer nähern Betrachtung unterwärf ich die Linien der zweiten Ordnung oder die Kegel- sehnitte, und ich hoffe, dass die neuen analyii- _ vi schen Ausafücke für dieselben ind die Art, wie, daräus theils schon bekannte, theils. ihre neue” Kigeniächäften dieser Curven entwickelt ı 'wörden sind, dem Leser nicht ünängenehm seyn ‘werden. Auch . die "Lehre von der‘ Berührung und den merkwür- 447 digen Punkten Ktummer Linien ist mit einiger Aus-. : führlichkeit behandelt worden, die, wenn sie zu* gross ‚scheinen sollte, durch die Einfachheit, wo-, mit’ sich Alle diese Gegenstände ‘der barycentrischen, Methode unterwerfen Jassen, zu entschuldigen Sau, möchte. ‚Wurden die Co&fficienten der Her. Fpunkte' des Raums als Functionen Zweier Veränderlichen genommen, so, ergab sich: der Ausdruck, einer Flä- che; Diese Fläche. war eine Ebene bei Functionen. von. lineärer Form. "Noch quadratische, Glieder, Meile Fr ber da fat musste in den. Coöfficienten vorkommen, wenn die Fläche von der zweiten Ordnung s seyn sollte, ‘etc. Unter den dahin gehörigen Untersuchungen; er laube., ich:.mir,,.. insbesondere: aufr.den in... $4.408. vorgeträgenen Satz,’ die‘ Berührung‘ krummer Plä- chen, mit Ebenen betreffend, und..die in Se: 109. daraus abgeleiteten. Eigenschaften: der! Krümmungs- halbraesser etc, aufmerksam zn machen Mu sol ' "Wiewohl ich zu ‚diesem K und den . daraus zu ziehen- den Folgerungen bei Anstellung eigener Untersuchungen ge- ar“ langte, so fand ich doch später,. kurz vor dem Drucke meines Buchs, dass schon Dupin denselben Satz, in Ver- bindung mit seiner sehr umfassenden Theorie der conjugir- ten Tangenten, aufgestellt hatte. Dupin Developpements de Geometrie. Paris, 1813. Pag. 149. Da aber demun- "geachtet diese Behandlungsart der Berührung nicht. allzube- ‘ kannt seyn dürfte, so schien &s mir passend, sie bei dieser | . EEE | PR eh aaa: BB. w; 1 vu gi Das, Bisherige ist ein kurzer Abriss einer ana-. ‚Iptischen. Geometrie, wo statt ‚der. Methode der. parallelen Coordinaten die baryc.. Bestimmung dh F.punkte augewendet ist. Um die auf, letzterem Wege erhaltenen Resultate mit denen, welche die ‚er— stere, Methode: ‚giebt, ver gleichen zu können, habe, ich“ zum Schlusse des ersten ‚Abschnitts den, Zur, sammenhang zwischen ‚beiden, Methoden angege- ben und. gezeigt, ‘wie man von ‘dein barycentrischen Ausdrucke einer Curve oder Fläche zu ihrer Glei- chung zwischen parallelen Coordinaten, und um- gekehrt, übergehen kann. Ein Umstand, der sich bei. se wechsel- seitigen Uebergange insbesondere der Beachtung ' darbietet, besteht darin, dass sowohl in die ge- suchte Gleichung als in die Coefficienten des. ver- langten Ausdrucks die Coordinaten der F.punkte mit ‚bineinkommen 3 während die Coäfficienten der \ . j r « r 2 ri . er »>'Gelegenheit, jedoch in der Form, ' wie'ich sie och ‘Yor- der Bekanntschaft mit Dupin?s ‘Werke abgefasst,: hier mit- zutheilen. ‘“Beiwörter elliptisch und hyperbolisch genau zu- sammen ,- wodurch ich die beiden ‚Hypeiboloide, (welche nebst dem Ellipsoid die drei Hauptarten von Flächen der zweiten Ordnung ausmachen,) unterschieden habe. Das elliptische Hyperboloid wird nämlich, eben so, wie das el- 'lipt. Paraboloid, von einer Ebene, welche mit einer berüh- "renden Ebene parallel ist, in einer Ellipse, und das hyper- mer bolische Hyperboloid , eben so wie das hyperbolische Para-* . boloid, von einer solchen Ebene in einer Hyperbel geschnitten. Doch muss ich hinzufügen, dass ich zu diesen ganz sach- gemässen Benennungen,, statt welcher ich früher andere ge- braucht hatte, erst durch Dupin veranlasst worden bin.’ Devel; de Geom, Pag. do. Mit diesen Eigenschaften der Berührung hängen auch die be bisher behandelten, ER von ‚diesen. ‚Coordis, naten ganz, unabhängig:;waren, und: dabei, allerdings, auch;alle ‚durch, diese Coordinaten,ausdrückbaren, Grössen, .ı wie ,z.,B.j.die Verhältnisse; zwischen;.den, gegenseitigen Abständen: der. F.punkte,; die von dem, F, ‚linien gebildeten. Winkel etc. gar, nicht in Rech- dung, ‚kommen "konnten. Wiewohl ich. nun hier- durch h hätte veranlasst werde» können, durch Ein-, führung jener ( Coordinaten oder von ihnen abbän- giger Grössen, den barye. Caleul auf alle. Arten. geomietrischer Untersuchungen anzu\r enden, so sah ich doch bald, dass man alsdann oft eine verwickel- tere Rechnung haben ‘würde, als beim Gebrauche. der gewöhnlichen RE RN da. hinge- gen alle durch den baryc. Calcul zu erhaltenden Resultate, wobei die gegenseitige Lage der F. punkte nicht berücksichtigt wird, ae leichter auf diese Weise, als mit u paralleler. Coordi-. naten, gefunden werden können. ‘Hiernach liess ich also den baryec. Calöul ; in seiner ‚Unabhängigkeit‘ von’ der Lage der F. ‚punkte, wo 'er nur’auf eine gewisse Classe von Untersu-' chungen anwendbar ist, auf Untersuchungen aber, die'zum Ersatz dieser Beschränktheit an sich selbst‘ von desto allgemeinerer Natur sind. Denkt’ man sich nämlich 'alle Punkte’ einer ‚Figur durch die’ Coefficienten gewisser F.punkte''gegeben, so wer- den alle durch diese Coöfficienten ausdrückbaren Relationen, auch. bei jeder andern Figur vorhan- den seyn, die man mit denselben Coöfficienten, aber - nach Belieben anders gewählten F.punkten, 'con- | ‚struirt, Man Ei augenblicklich, dass zwei sol- \ x che’ ‚Figuren eihänder’ nicht ähnlich sind, 'son- ‚dern "In einer allgemeinern Beziehung zu einander stehen. Es ergab sich mir, dass diese Beziehung einerlei‘ ‘sey mit derjenigen, welche von Euler in seiner ‚Introductio Affinität genannt wird”). Zugleich. aber wurde IR: dadurch bewogen, noch mehrere ‚dergleichen Beziehungen zwischen Figuren auszumitteln ,‚ und somit entstand der zweite Abschnitt meines Buchs, ‚welcher von den ge0- metrischen Verwandtschafien handelt, ei- ner Lehre, welche in dem hier gebrauchten Sinne die Grundlage der ganzen Geometrie in sich fasst, I die ‚aber ro eine der schwierigsten seyn möchte, wenn. sie in völliger Allgemeinheit und erschöpfend vorgetragen werden zeit: Im Gegenwärtigen' sind nur die. einfachsten Arten der Verwandtschaften betrachtet worden, diejenigen nämlich, welche auch in der niedern Geometrie in Anwendung kommen können, as ;Der een Ze dieser der na Geometrie. angehörigen Verwandtschaften besteht ..aber darin,, dass’ jede derselben zu einer besondern Classe von, "Aufgaben. hinführt, - wo. aus gewissen in higrei- chender Anzahl gegebenen Stücken einer Figur ein, oder mehrere andere. Stücke gefunden werden sol- len... Von diesen Aufgaben scheint man bisher h rt AR ) In Bezug auf das in $. 147. darüber Gesagte können noch ""yerglichen werden Kästner’s Anfangsgr. d. Anal. endl. „Grössen. Zte Aufl. 8.248, wo Kästner durch Euler’s j « Wnrichtige Ansicht verführt, von der Affinität überhaupt . keinen grossen Nutzeh schen will. XI c blöss-diejenigenn gekannt ‘zu ‘haben, welche ausider Gleichheit'und‘Aehnlichkeit, als der ein- fachsten: Verwandtschaft, ihren Ursprung ziehen, und wonach: bei einem Systeme von r Punkten in einer Ebene''öder im Raume:aus: 22-3. oder. I3n-6 von "einander: unabhängigen Stücken alle ‘übrigen sich finden lassen ;' der ‚bekannter Grundsatz der “ Trigonometrie, ı Polygonometrie: und Polyedrome- trie, Die Aufgaben, zu denen die Aehnlichkeit allein führt, sind hiervon nicht wesentlich "unter- schieden, Wohl aber gelangt man: zu Aufgaben ganz; anderer 'Art durch die Affinität’und durch ' die Gleichheit; welche letztere eine eben: so: specielle Art: von: der Affimitäv ist, 'als: die Gleich- heit und Aehülichkeit von: der‘ Achnlichkeit allein. Noch andere Aufgaben endlich’ bietet ‚die noch all= gemeinere Verwandtschaft derCollineation dar. ; Die Darstellung dieser verschiedenen Classen® von: Aufgaben: und- die Lösung der neuen unter ihnen *) mittelst des baryc. Caleuls ist. der Haupt- ARE ‚des ‚Zweiten Abschnitts fur zugleich SD ' 2: ‚Zwei dergleichen Aufgaben, die eine aus der Gleichheit, die andere aus der Coll. verwandtschaft entsprungen, hatte erchäh meinem’i, I 1823'beransgegebenen Beobachtungen auf 1„.der. Königl, Univers.« Sternwarte zu®Leipzig als "Anhang ‚beigefügt, Zwei Lösungen der ‚erstern (‚$. 165. 2.), vom, 7° Hrn. Hofrath und Ritter Gäuss und von Hrn. Clausen ,) Im» Altona zirbefindent sich im: Schu macher’s ‚Astron,) Nachrichten No, 42,; nachträgliche Erinnerungen von mir über dieselbe Aufgabe, — insbesondere, dass man zu der- selben Endgleichung’ gelangt, wein’man statt der 5 Diei- ecke die 5 Vierecke gegeben annimmt, welche die Dreieckg "zum -Fünfeck ERDRR, — stelien in 00 56, derselben Zeitschrift, £ ver xı dasjenige in meinem.Buche,- was ich:ider-Beach- tung des Lesers am:meisten: empfehlen «möchte. "Zu der: letzterwähnten Verwandtschaft der Col- lineation, wurde ich»durch die Betrachtung der per- spectivischen Abbildung :einer ebenen Figur: geleitet» Bekanntlich hat>man die; Theorie: der: perspeetivi- ‚schen 'Projectionen: schon: oft; ‚angewendet, um schwierigere Sätze und: Aufgaben der Geometrie auf einfachere zurückzuführen ?).:» Hier suchte ich dem Gegenstand aus’ einem'noch allgemeinern Gesichts=: punkterdarzustellen, 'und die Verwandtschaft, wel ‚che:zwischen einer ebenen Figur und ihrem: per— spectivischen Bilde 'statt findet, - auch auf Figuren im'Raume äuszudehnen. Es lässt: sich"nämlich nicht nur "bei ebenen, sondern auch bei räumlichen Fi-' guren der Begriff dieser Verwandtschaft schon .da- durch bestimmen, ‚dass jeden: drei Punkten einer. Geraden der einen Figur »drei‘ gleichfalls in einer) ‚Geraden liegende Punkte der: andern entsprechen. Und: diese Erklärungsart ist es auch, wonach die: Verwandtschaft ihren-Namen erhalten hat. Ich legte: ihr denselben bei auf den Rath meines sehr ge- schätzten Freundes, des hiesigen. Hrn. Professor Weiske, dem ich‘ auch für 'noch einige andere hier vorkommende Benennungen. Dank: sShuldi bin. »°" Eine andere Definition, die sich für die Col- ' Iin.verwandtschaft aufstellen lässt, ‚beruht auf .der msahıeit einer gewissen: Art zusammengesetzter 4 *) Dahin gehört unter anderh Nonkan Gönafie Curvarum per umbras, und ‚die Aufgabe desselben Geometers: , Fi- .guras in alias ejusdem. generis figuras mutare. P. Philos. zatur. Prine. lib. L „lemma gar a, Re > Dam ZT En nn u ZZ . * zum Verhältnisse hier» Doppelschnittsverhält- nisse 'genannt;»'Die bis jetzt so: viel ich weiss; noch nicht behandelte Theorie‘ dieser Verhältnisse ist in einem''besondern 'Capitel' vorgetragen. ‚Um aber den "Zusammenhang 'dieser zweiten Definition mit der ersten in’ gehöriges’Licht Zu stellen, 'waren noch andere Untersuchungen yorauszuschicken nö= thig, die indem Capitel von den geome ih u etzem zusammengefasst: sind,’ bad ‚Mit der Theorie der Collin: EURER steh akich die Lehre in enger Verbindung, zu’der mich D.- eine "bekannte: Eigensehaft ‘der Kegelschnitte hin führte, und‘ wonach jedem ’Punkte in der Ebene einer solchen Curve eine Gerade, und umgekehrt, entpricht> ’Nöch ehe ich“aber'diese Lehre und 'ei- nige' Anwendungen derselben’ dem’ Drucke überge- ben‘ hatte, belehrte ich mich”), dass derselbe Ge= genstand ’in’ grosser Allgemeinheit bereits von fran- zösischenMathematikern behandelt worden sey. Oh- ne eine nähere Nachricht darüber erhalten’zu kön- nen, habe‘ ieh.'es. in dem letzten Capitel' meines Büchs versucht,’ jene Lehre‘ mit’ Hülfe’des barye. Caleuls’in derselben Allgemeinheit vorzutragen, 'zu= gleich aber die" mit den hierher’ gehörigen Eigen- schaften in’Verbindung stehende Theorie der Dop- pelschnitts=» “und Vieleckschn.verhältnisse »zw''be= Autzen, um’ dadurch jener-Lehre, so wie auch‘der letztern. Theorie: selbst,» eine’ noch ae Aus- dehnung-zu' verschaffen. lischeldoailiid mob; danır MM Sun Di SE) Durch die Anzeige der Gergonne’schen Annalen, Tom. XVI.’ } No, 7, in Ferussac’s „Bulletin des sciences mathem. ‚etc. Feyrier -1826, p- 112— 116. KV. = ‚Möge das Gesagte. ‚zur Uebersicht :des Ganges und ‚der Beschaffenheit. der | vorliegenden ‚Untersu ehungen- hinreichen... Ich bemerke nur noch, ‚dass ‚iohi das$.schon ‚yon Mehrern gebrauchte: Verfahren; nach ‘welchem. .der.-positive oder negative, Werth einer. Linie durch die verschiedene Nebeneinander- stellung‘ der die Eudpunkte der Linie bezeichnen- den! Buchstaben ausgedrückt wird,.-hier: durchge- hends angewendet und. auch auf die: Bezeichnung des Inhalts von Dreiecken, (Vielecken,' in d. Amerk. zu $ +65.) und. dreiseitigen Pyramiden erweitert habe. Es. wird hierdurch ,'so wie auch zum Theil durch den barye. Calcul selbst, : die, Anschaulich- keit-der «synthetischen Methode mit der Allgemein heit der :analytischen.in möglichst nahe Verbindung gebracht, indem: man. mit Anwendung: rein geo- - metrischer, Zeichen, dergleichen: die für die Punkte einen Figur gewählten: Buchstaben. sind, die arith- metischen. Beziehungen! zwischen: den: Theilen. der Figur «durch. Formelu. darstellt, . welehe: für alle möglichen Lagen der. Theile Gültigkeit haben, ... Die weitere ‘Ausführung hiervon, so wie; noch einiger anderer Gegenstände des Buchs, verspäare ich auf eine künftige Gelegenheit, und wünsche, für jetzt, meine Absicht, durch die ‚bier dargelegten Methoden und Lehrsätze der Geometrie zur Verein fachüng ihrer Untersuchungen und zur Erweiterung ihres Umfangs einigermassen beizutragen , auch _ nach dem billigen Urtheile Anderer in etwas erreiche zu haben, 1 ee el a en Ze u eb Zn > > u EL war aha Beh Mich Erster Ahschni Een -r io VRR des a Caleuls und einer ber aearindaten analytischen Geometrie. -S. Ammabe IEhiE % Erstes Capitel «Vom: Schwerpunkte. 8.315 GE. Er Wie Pr Ak Bpseiehänug. eines, Theile ei eitier Linie dual rad zu die Endpunkte des “Theils „gesetzte Buchstaben zugleich der:positive ‚oder, negative Werthj.dieses! Theils, anszudrücken ‚ist. — -9. 2— 8 Erkläs tung ‚des Schwerpunkts: in rein ‚geometrischen Sinue& /,Den Schiwerpunkt eines. Systems ı von ‚gegebenen Punkten mit. gegebenen Gewichten. ‚oder Coefficienten., zu, finden, — .i.$..9. Untersuchung des speciellen Falles, wenn. die: Summe; der Coäfficieuten —9,) iimd, ‚$«10., wenn-überdies einer, der Punkte ‚der area der ie übe _; * Abimich Mahrsen. Folgerungen. ._ ; ® I Zweites. Öapitel, r hob Der barycentrische, Calcul S. 16— -3t. ER $. 15-14, "Abkürzung der im vorigen Capitel alien Yorahs; . woraus der baryc., Caleul entspringt, — $ 15. Grundregeln, dieses - Calculs, — $. 16 Noihwendigkeit von Formeln, welche zum ‚ Ueber- gange von der Figur zur Rechnung tnd umgekehrt dienen. — u 17% Mit ‘der Bezeichnung eines Dreiecks durch. drei, an, die ‚Spitzen gesetzte Büchstaben soll zugleich der positive oder negative Werth des Dre jecks ausgedrückt werden, — $. 18. Allgemeine dabei statt findende ie geh, _: $. 1920. Dasselbe i in Bezug auf dreiseitige Pyramiden. - .n i le 2. ? Jonimnd,F enh E52, ago Drittes Capitel, Neue Methode, die Inge von Punkten zu bestimmen, S82—4. $. 28. Allgemeine Beschaffenheit dieser Methode. _— £ 29— 50. Bestimmung eines Punktes in einer geraden Linie durch zwei Fundamentalpunkt. — {. 31 —52. Bestimmung ei- "nes Punktes in einer Ebene mittelst dreierFund.punkte, Fund.linien, Fund.dreiecks Doppelte Art, wie vier Punkte in einer Ebe- ne gegen einander liegen können — $. 5554. Bestimmun g eines Punktesim Raume durch vier F,punkte, F,ebenen, F.pyra- mide. Doppelte Art derLage von fünf Punkten im Raume, — $. 35, Ver- KRBRrung der.F. Den kte, — $. 36. Beispiel. r Viertes Capitel, Von Ausdrücken gerader Linien und Ebenen. 8.44—69: Re 57. Einfachster Ausdruck einer Geraden. — ‚Ausdrücke $& rader Linien in einer Ebene — (,38, Allgemeiner Ausdruck einer solchen Linie.” —' $. 39: Durchschnitte' derselben mit den F.linien, Ausdruck des unendl, entfernten Punktes der, Linie. — $. 40. Verein- fachung des all gemeinen’ Ahısdrucks einer Geraden, —' $. 4145, Auf- gaben, den Schneidepunkt zweier Linien, . die Bedingungsgleichüng für ihren Parallelismus, etc. betreffend. — $ 44. Ausdrücke für einige be- sondere Lagen einer Geraden gegen das Fidreieck— Aus 'drü ckeger ader Liniem im Raume überhaupt. — 9.45, Allgemeiner Ausdruck einer solchen, — -$.-46.:Durchschnitte derselben mit den vier Fiebenen, “Ausdruck: ‚des unendl, entfernten Punktes der Linie = 6. 47. Vereinfa- chung:des allgemeinen ‘Ausdrucks der Linie $. 48. Beelnguigee chüng, wenn zwei Gerade‘in einer Ebene liegen, und darin einander par- 'allel sind. — ‚‚Ausdrückefür Ebenen — $: 49. Allgenieiner Ausdruck .einer- Ebene.u4 Ü, 50. Durchschn, punkte der Ebene’ mit" den F.linien. Durchschn.linien mit den F,ebenen, = $. 517 Vereinfachimg des allgem. Ausdrucks einer Ebene. — $. 52, Ausdruck für eine unendl. entfernte Linie, einer Ebend. 4 Ü 5355. Aufghbeh, die Durchschnitte von Ebenen unter sich und- mit Epraden „rete, betreffend, —,.$..56. Ausflrücke „gerader Linien u. Ebenen in einigen speciellen Lagen gegen die eh Ya sul Be DR Capitel \ "Von Ausdrücken krummer Linien in Ebenen. S. .69- ß, $ 57 Was unter! dem ‚Ausdrucke einer Curve zu. ae ist, % 58; Beschaffenheit der. hier, zu untersuchenden Curvenausdrücke, ‚— $. '59. “Allgemeiner Ausdruck für die Linien, der zweiten Ordnung, 960. Vereinfachung. dieses Äusdrucks "dürch” Einführung, einer andern Veränderlichen. \ — 561% Vereinfachung, durch / Ahınahme, anderer, ‚Er pünkte, - — . 63. ‚Non ‚den. dei, m wesentlich verschiedenen ‚Formen, ‚der Li dien Adr zweiten Ordnung, .$ 65: "Wie die L Lage einer Curve gegen das FE. ‚dreieck aus der Beschaffenheit der Coöfficienten erkannt wird. — xvır Tr — — 9564. "Ausdrücke für Linieh der zweiten Orduting ihreinigen merkwürd digen Eagen gegen das Fidreieek. — $. 65. Einfache Construction eitier Linie ’der2ten’ Ordnung. © Merkwürdiger'von Machaurin und Brai=- _ kenridge entdeckter -Satziı== 6,66. ‚Ausdrücke für Linien höherer Präntingeh.'—"$. 67. Die Ordnung einer Curve bleibt bei Aenderung der ‚ F.pünkte dieselbe, —'»'$ı 68. Die Anzahl der Durchschnitte einer Curve mit einer Geraden kann die Ordnungszahl der Curve nicht übersteigen — $. 69.' Verminderüng,der Zahl der Constanten im allgemeinen Ausdrucke einer Curve durch Einführung einer andern Veränderlichen. — $. 70. Be= stimmung einer Curve durch gegebene Punkte. —. $. 71. Verwandlung des Ausdrucks” einer Curve in eine nach den Potenzen der Veränderlichen fortlaufende Reihe. Hieraus abgeleitete Construction einer-Curve von be= liebiger Ordnung durch blosses Ziehen von Geraden. Sechstes Capitel, ' Von.der Berührung, den merkwürdigen Punkten und un- anätiahen. Aesten-krummer Linien in Ebenen. $,87— 114. "472, Zweck der ‘in diesem Capitel enthaltenen Untersuchungen. — $.75-—-76. Bestimmung von Linien, welche mit einer gegebenen Curve in’ einem gegebenen Punkte eine Berührung von der ısten, 2ten, etc,. Ordaung bilden. =. 77. Allgemeiner Ausdruck der geradlinigen Tan- gente, Die Berührung’ einer'Curve mit einer Geraden ist im Allgemei- nen von der ersteu’Ordnung. - + 78, Ausnahmen hiervon bei merk» würdigen Punkten. Wendungspunkt, — $. 79: Spitze der ersten Art. — $: 80, Spitze der zweiten Art, — $. 814 Allgemeine Form des Aus- drucks’ bei 'merkwürdigen Punkten — $. 82, Allgemeinere Bedingungen für das Vorhandenseyn merkwürdiger Punkte, — - $. 85-- 87. Andere Behandlungsart derselben Gegenstände, indem die Berührung durch das Zusämmenfallen anfänglicher Schneidepunkte zweier Livien erklärt wird. $. 88."Von’ doppelten, dreifachen; etc, Punkten 'einer Curve. Isolirte Punkte, = Von den unendlichen Aestem — $.8g. Unend- liche Aeste sind vorhanden, wenn die Coäfficientensumme =0o werden ‚kann. — $“490—g1: Bestimmung einfacherer Linien, welche sich einer gegebenen asymptotisch nähern. — $. 92. Fälle, den merkwürdigen Punkten analog, in denen die'unendlichen Aeste einer, Curve gegen die geradlinige Asymptote, eine besondere Lage haben. — $. 95. Fall, wa die, Aeste keine Gerade, sondern eine Parabel zur Asymptote haben, — $. g% Allgemeine Resultate, Sivebentes Capitel. Fe Ausdrücken krummer Linien im -Raume. S, 114 — PET 6.95. Eintkeilung dieser Linien in Ordnungen, Eine Linie der nten Orduuug kan von einer Ebene in höchstens Punkten getroffen wer- den, -U $. 96. Verwandlung 'des Ausdrucks einer Linie im Raume in eine nach den Potenzeu der Veränderlichen fortgehende Reihe, — $. 97. * Von der Berührndg krummer'Linien im Raume, — $s 98. Allgemeiner FF ** avaa Ausdrtick der 'geradlinigen Tangente. und, der Krämmungsebene. Ana wehdung hiervon auf ‚die Linien der- dritten. Ordnung, —.., $.,99« Dop- pelte Krümmung,» bei Linien im Ratınie;;wöfin sie,besteht, _Merkwürdi=+ ge Punkte bei Linien you doppelter Krümmung. ‚ Einfacher , ‚doppelter Wendungspunkt. =.» 100, Von .der-Ebeue, welche durch ‚einen, ,un- endlichen Ast und die, ihm im Unendlichen, parallel. Ianiande: Amen bestimmt wird, ' » ubrß: ; 4 ‘ TEN Capieek Z er Von Ausdrücken für krumme'Flächen. '$. 125 15; $. 101» Allgemeine Beschaffenheit dieser Ausdrücke, — $. 102, Eintheilung der Flächen in Ordnungen, =. 105. Läge einer Fläche gegen die F.pyramide. — Von der Berührung der Flächen, $. 104. Gang der Untersuchung. — $. 105. Ausdruck der eine kb berührenden Ebene, \- $. 106. Aligemeiter ‚Ausdruck einer Fläche, werm sie’von einer der F.ebeneu in ‘einem der F:punkte berührt wird. — $. 107. Doppelte Beschaffenheit der«-Berührung ‚einer Fläche. mit‘ einer Ebene, — .$. 108, Betrachtung der. berübrenden Ebene ‚in der. nächst- folgenden Läge, ‚wo .sie die Fläche zu. schneiden ‚anfängt. Dieser. Schnitt ist im-Allgemeinen. ein. Kegelschnit! —, +$+..209. Einfache ‚und , au= schauliche Art, wie hietmit die bekannten'Eigenschaften des Krümmungs+ halbmessers und: unendlich naher Normalen. einer kruminen Fläche ..dar- gestellt werden können, — Von den Flächen der zweiten Ordnung. $..110,, Von den verschiedenen Arten dieser Flächen. — $. a1. Vereinfachung des Ausdrucks für das hyperbolische Hyperboleid, Eigenschaften dieser Fläche, —, $..112.: Vom hyperbol.' Paraboloid, — Von abwickelbaren Flächen; ‚$. ‚213, ‚Allgemeiner Ausdruck einer Fläche, welche durch. die‘ Bewegung einer Geraden erzeugt, wird. — 6. 114. Allgemeiner Ausdruck einer abwickelbaren Fläche, als einer be- sondern Art der vorigen. — $. 115—116. ‚Noch andere, Ausdrücke dieser Fläche, aus geometrischen Betrachtungen hergeleitet. — 117. TEE Zusammenhäung zwischen diesen Ausdrücken, 1... 1.17 Neuntes Capitel 3 Krank Verwandlung barycentrischer Ausdrücke in Gleichungen zwischen parallelen Coordinaten ünd unigekehrt, S. ‚152178. '$. 118— 119. Bestimmung eines ; barycentrisch ausgedrückten” Punk- tes ‘durch parallele Coordinaten. — 1%. 126-125. Das umgekehrte Problem. — $ 126, Einfachste Gestalt der hierbei nölhigen Formeln 4 $. 127. Ueber-die grössere Allgemäinheib, ih Swälchier hier \die Bestim- anung durch parallele Coordiuzten' genommen wird. — 5.128. Eiwei- tertes Gebiet (ler baryoentr, Untersuchungen „‚wenn..man' die; Verhältnisse zwischen den gegenseitigen Abständeu der, Fipnakte, mit, berücksichtigt, — ‘$. 129. Den Ausdruck einer/ebenen Curve in, eine, Gleichuug,, und um- gekehrt, zu verwandeln. — \ $. 230, Beispiele. — $. 131. Dieselbe Auf- gabe.für Chrvea im Raume.— $..152.. Beispiele. — $. 135. Dieselbe Auf- BE, , xx ) -gabesfür Flächen; weißt 13%, Beispiele. — 6.1355 137. Zusamnienhang zwischen rationalen‘ Ausdrücken und Gleichungen. »Jeder rationale Aus- druck ıeiget :ebenen Curve lässt: sich. in ‘eine. Gleichung’ vgrwandeln,, die mit dem Ausdrücke om «ingrlei Ordnung ist, wicht umgekehrt. — $. 158. Auzahl der Bedingüngsgleichungen ,. bei, welchen die zwei Ver- j een. ‚einer ‚algebraischen Gleichung als rationale Functionen einer ‚gr dritten. Ze dargestellt‘ werden Können, & mir) 19h “ld leid ob u as T asaill rn od ai und: eiten. Abschnith “33 a2uSd> 100is I Asia widolen nl u ‚Non‘den‘' Verwandtschafen. :der: Biene; Zu den ‚daraus "entspriigenden Clässen geometrischer A. tw. .9; mabnayri ER 1 368, { s ; Pe ige Erstes Capitel. net „#3: Von.der: Gleichheit, und Aehnliehkeit. .$. 181 — 187. - naslYerdßg. ‚Erklärung: „der „Gleichheit. und: Achnlichkeit; ur ih 140, Construction eines Systems von, Punkten , welches einem gegebenen‘ .Sy- ssteme,,gleich und, ‚äbnlichzist“- Anmerkung über Fignren im Raume, ‚wel- "sche einander gleich ‚und,iähmlich sind, ‚aber. micht zur ‚Gongruenz.ge- „bracht, werden können, m ur {24 1./ Beweis ‚jener, Gonstruction. /Anzahl -von, Stücken , welche bei ‚einem Systeme von ‚zz. Punkten: gegeben - ein ;müssen, um,darausalle übrigen, ‚Stücke finden zu können, - Be ne el ap iteh. ii (der ‚Aechnlichkeit.' 8.187 — 190: anlad 3isfe ge ria. Erklärung "der ‘Aehralichkeit. — $. 145. "Construction ähn- Licher Figuren. | "Anizalil° der’ Verhältnisse, aus’ denen Bei einem Systeme Höhn! n Pünkten wNeübrigen Verhältnisse gefunden werden können, "All- "gemieinie Berkerkuig ü über den’ Zusammenhang zwischen Construction und Reöimutig." ea ar N ra “Drittes Capitel Be; ee: der Affinität, "S, ıgt- Im 3 + Pa $. 144. Wie der Begriff Ta Alınitär aus der m Weine von Punkten entsprioge I. 145. Erkläuung‘ der Affinität ebener Fi- guren dureh. (Proportionalität Zwischen 'sich entsprechenden 'Flächenthei=- em eig: 246. Anderer Erklärung ‚mittelst paralleler ‚Coordinaten, — days Von ‚der Affinität hatıschon.Ewler gehandelt. —.f. 148. Wi- (derleguig einer Euler schen! Behauptung —! $5149.) Noch ändere. Er- ‚kläruhg affiner| Figuren‘:in Ebene. — ' $. 150—153. Analoge ‘Erklä- -rungen.und Eigenschäften ‘affiner‘Figuren im Raume, —ı 6.154. ‚Die Affinität ber Systemen«von Punkten in geraden: Linien: ist einerlei,mit der -Aehnlichkeit. — $. 155-4156. Construction affiner Figuren in Ebenen. “Anzahl:von Verhältnissen zwischen Flächentheilen,' welche bei einer ebe- Shen ‚geradlinigen- Higur! gegeben: seyn müssen ;' um däraus (alle ”» s 3 u “4 AXx — ‘ Verhältnisse dieser Art finden zu können,‘ Zur Lösung:der.hieräus>ent- springenden Aufgaben dient: der barycentrische»Galcul.i— 6. a57s»Bei- spiele, — $. 158— 166, Analoge Aufgaben! bei räumlichen Figuren.rh \ Viertes Cap viel au ee Von der Gleichheit, S 213 maga, "u ya) Fartdosie, suld, voguilrahn $. 161— 162. Engere Bedeutung, im welcher hier ‚die Gleicht it der Figuren genommen wird, Entstehung des-Begrifis ‘der Gleichheit aus dem der Affinität, — $. 363. Gegenseitiges Verhalten der bisher erklär- ten Verwandtschaflen. — ’ 9% 164. ‚Constfuctlon gleiöhei’Figuren in Ebe- nen. Anzahl der Flächentheile, aus welchen sich bei einer ebenen ge ‚adlinigen Figur die übrigen Flächentheile ihrem-Inbalteınach; iden las- ‚sen, — {. 165. Beispiele, Erklärung |des Flächeninhalts. eines Vielecks, auch anf Vielecke mit Doppelpunkten anwendbar, — $. ee dige Relation zwischen den Dreiecken eines durch Diagonalen-gethäi -, ten Fünfecks, wodurch, alle hierher gehörigeh Aufgaben in Rechnung sich setzen lassen. — $. 167. Construction gleicher Piguren im Raume!@7 $. 168. ‚Aus wie viel körperlichen Theilen bei einem'dureh Ebenen verbugllenen -Systeme von Punkten die übrigen körperl.’ Theile gefunden werden-köu- nen. — $, 169, Beispiel, — $. 170 — 178: Zwei: Relationen zwischen ‚Pyramiden, analog der Relätion zwischen Dreiecken in $ 166’ Von der Affinitätund Gleichheit'krummer' Linien’ und Fl chen. $. ı72. Allgemeine Beziehungen zwischen affinen "Curven.' $. 175. Alle Kegelschnitte von derselben Art 'sind’ einander affin. ı Jezwei ‘Parabeln lassen sich auch als gleiche"Figuren betrachten. — $. 17% Folgerungen aus dieser Eigenthümlichkeit; der, Paräbel. -- Allgemidine Ei- geuschaften unendlich ‚kleiner Segmente einer Curve, 7 + 175, AfeaaE „and, Gleichheit krummer Flächen, überbaupt,, — ..$e.1764 ‚Je, zwei, Flä- „chen der zweiten Ordnung von derselben Art sind einander affin, „ Para- ;boloide von. derselben Art können auch, als gleich ‚angesehen ‚werden, — $. 177 —ı78. Beweis dieses Satzes für das hyperb. Paraboloid, und ‚Fal- gerungen daraus, Cubatur dieses, Parabolaids. —, $. 179. Beweis für i das ellipt, Paraboloid, Cubatyr desselbeg. Anmerkung ‚über unendlich ‚kleine Segmente krummer Flächen überhaupt, ER . ER e ; ze Fünftes Capitel, ER ch .. Die Doppelschnittsverhältnisse, 8,243 — 263.41 a4 Term 17 ..$. 180. Vorerinnerung. — $. 181, Betrachtung des Verhältnisses, nach -welchem eine Gerade von bestimmter'Länge in’einem-Punkte/ geschnit- -ten wird. — $,. 182. Doppelschn.verhältnisse, : Werthe derselbem nach -der ‘verschiedenen Lage der vier sie..bestimmenden Punkte, = 4 183. Abgekürzte Bezeichnung’ der D.verhältnisse, —:.$. 184. Relationen ‚zwi- schen den D,verhältnissen,; ‘welche ‘durch Permutation der vier Buclista- ben in’ jhrer Bezeichnung entstehen, Tafel dafürı — ‚Relationen:zwi- ‚schen Dwerhältnissen bei einem Systeme von'imehr ‚als vier:Punkten in einer geraden Kinie. —$.185, Grund- ' xx / ‚formel. = $. 2864. Einfache: Anwendungen: — ‚57187. Aus wie yiel „D:verbältoissen bei,einemi Systeme von, Punkten .in..einer, geraden ‚Linie die. übrigen gefunden "werden; können. —15Diy enhältnisse ‚bei eir ‚weniSystomp genaderkinien imeinenfühene—. Su2Börridg. Diverhältnisge. beil» vier ‚Geraden; ‚welche, sich „in ‚einem Punkte „schnpi= „den 106.290. „Relationen zwischen „‚Diverbältpissen ‚bei einem Systeme «won fünf Punkten, 1$ea91,,. bei emem, Systeme; van fünf Geraden im ‚einen Ebene. 1.2.92, 1Aws, wie viel Diverhältnissem bei_einem ‚Syste- mem» gerader Linien iin ‚einen, Ebene. eis, .—) Daverhältnisse,bei seinem Syatieme „vo n.Ebam em m 6.5295. Allgemeine-Berrach- itiing /eines Systemsisich-schneidender, Ebepen, .— „6.194. Aus: wie ziel -Diverhältnissen; ‚beil einem, Systeme von „Ebenen etc. „mi $e.295 ©Zweckgemässere Bezeichnung der D,verhältnigse ip dep hierbei anzuwen- odenden Eormeln. m. $s 396, ‚Dverhältwisst; bei..yier Ebenen, welche ssich:im- «einer. Geraden ‚schneiden. == + $>,197..Beispiel;zu.$. he nikıny wausgumgnmr ng Bech te s—- C:a‘p dito orıer ‚ion Die geometrischen Netze. $. 266 — 3or}’” « """mumung) Das Netz iniher Eben. $. 398. Vier Punkte in einer Ebe- . a8 werdenidurch>@erade: verbinden, Eigenschaften ;dieserf,Figuty Har- monische Theilung. — $eirgg Zusätze —ı Gl:aüm/ Dusch: glieig oEnnde fortgesatzie Verkündung ‚der Durchsehnittspunkte ‚dieser Figup wird „dies Ebene ;zhit! 'eitiem, ‚immer ‚dichter ‚werdenden, ı.Neize,, überzggen. „— .$.208 —1205; Allgemeine Eigenschaften des;Netzeg.. Jedes von Punkten „des Netzen gebildeie-Diyerhältniss ist, rational, Punkte ‚des Netzes, können an allen Stellen. der. Eibene; gefunden werden; eta,, Mas Neraim Raumes $4,206. Figur stwelshe,eutsteht4 wenn fünf Punkte,im, Raume ein dreieu, drbb.Ebenen. verbunden werden in! 85207 77 208. Higey- „schaften ‚dieser!.Figun: anf rein; geometrischem, Wegg; gefunden, ‚Hiermit „können tückwärts die! Eigenschaften. dex) Kignx in,.fy.498« obne_Anwen- -düng ‘von Caleul ‚oder ‚Proportionen dargethan, werden, 17; 6.209, 1 -#ycentr. Eutwickelung der Eigenschaften. ‚dieses ‚Systems, von Ebenen, — ‚$s210., Durch- fortgesetzte ‚Verbindung,. je dreier ‚Punkte, dieses, Systems oimit, Ebenen. entsteht das, Netz irn, Raumes —— $, 221 7214, Allgemeiı „Eigenschaften. desselben, analog. den, obigen für das ‚Netz in einer, Ebe- une ie EP EREOET ‚Van 3 Vieleckschnittswe rh ähtn i are 2 “Entstehung der Vıverhältnisse. ‚Jedes aus, Netzpunkten, gebildete Vive -bältniss ist/rationak; Ein D.rerhältuiss ‚ist ‚ein,Zweierkschnverhältniss, uoilulsenyg! { Sr eben tes: Ü ap.öte Led usw Von der Verwandtschaft der Collineation. $, Bor= 330; $. 217. Einfachste Erklärung dieser Verwandtschaft durch die gera= . de Linie, — $. 218, Die-.biernach-sich entsprechenden Punkte zweier Ebenen können durch Construction zweier Netze gefunden werden, — $. 219. 'Barycentr. Erklärung der Coll, Verw. bei ebenen Figuren, — _ $ 220, Zusätze, Alle Kegelschu, sind ejnander collinear, — $. 221. Gleich“ xxH \ / Te Kerr der D- und’ Vi.verhältäisse' zwischen sich Entsprechenden. Punkteh, eölliverwandter’ ebenier Figurehi— 7 222x Erörterung der Coll. Ver. Bei täumlichen Figuren? dikch“-Construetion''ton Netzen im’ Raume.-l- *$. 225: Barycentr. Erkfäri’det’ Coll, Verwi bei’räuml, Figuren. — 224. "Zusätze" Die Flächen ‘der zweiten Ordnuhg sind wicht insgesarumt: eit- ‘sider cöllinehr, "seriderki' zerfahlen ji dieser Hinsicht in. zwei Classeni $. 3354 "Gleichheit (der 'Di<"uid "VI.verhäktüisse/ber collinearen! Figuren Tür Ratinie, "9'336. CoN; Verwandtschaft bei Systemen ‚von! Punkten ängeradön ' Linien. U Constrwetion’Wolliiear verwandter Figwren$. 234238: /Construction, (wenn die gegebene Figur bloss Jaiıs Pünkten ineiner Geraden besteht, ’bußnsgi'Dieselhe Aufgabe.bei »eböned Figuren) &- 250430, "Die Ebören "zweier Cellindarer Figiven köif- "hen inter ind anf ühziktige "Weisen in eine'sofche! gegenseitige-Taße !gebtäche- werden, dass die‘ Getäden‘, welche je zwei sich entspri:Punkte verbindet, sich“itr'Bireim- Pınlte schneiden, 205 231.: Constiuetian coll. verw, Figuren yirg Baumeı — $ 252 Beweis der vorgetragenen ‚ Constructionen, ey .E. Ie .2 sion ulasilemos ill dA mu nis ih Le ‚8 ds ap dich stm Yan -ısil Yon dem'aussder: Verwandtschaft den>Collineation.ent- ingenden \Asfgahlen:— Ss. 3BIR— 368 — „anulind Tr Adaaiasıı Düw Was u 354 Were Dilaund Vineriähtsikse Ybeiveinem«Systeiie Ton’ Punkten’ gegeben seyn ’Hiüssen, Ami’ dardusudieübrigen- fihdemiku Tr Man Der abgekürzıe baryeentrische!la leul.- $on5B. "etehstiäde‘, ale sich” dichen Chleut unterwerfen Iasschli 5236, Ab- Krkaig der'bhrye- Gleichungen bei einen Systimervon Pünkten/in 'ei- Her Gerkden. LIE} 2890 Berechmanglder D.= dd. Virverhäknisses + "$?338, Aus in hrnrdichender Anzahl gegebenen Di- und: VI.rerhältnis- zen der Philkten’ Fin eiheri@eradent die übrigen zwihiiden. Beispiel em Förindin destabgekürzten QaleulanddRegeln für ‚deren Au- "Wendühg bei ebeiieh'Figurehl'=2"f. »45\'Beispfäle>Merkwürdige Relarib- "nen Bei'in Eihanderbeschtiehlenen Dreieckeh und "Vüereckene — ıfe'244. ’Knwendung desäbgekürsten Cdlouts anf räumliche Figuren. — $i 24546. Reim Eine Gerade: zii ziehen; "welche vier: ändere‘ gegebene Gerade "schneider, Allgemeite Adfissuhg durehöCotistruetiöht”eines byperbiHj- "he olöids, Auftösädg“ dureh‘ Mechnung Yür‘ eide! ‘besondere. Lage .der "gegel enen Geradehl ua ‚Schlussbemerkungen, '$i 247. Ueber- sich! der Alten’ Von"Aufgäben‘, "welche'ads den bisher: erklärten Ver- wandtschaften‘ entspringen.s>—) (248, ı Eintheilung aller Eigenschaften ‚lei, Figureh im drei iGlassen, ) 491) / ! Wdelhuswisl sah no Ioarhaadiä sei z ih More. NAnıdo ELET reidtteid sig stm ohne Tan ıis) N ? a nn it re 2 Ui s- „aabısw. arlulag (ostoP] meiawar noipatieno? darch) noculf Bons rn dad re EEE IC GR TI Er TE -dais)d „ine tale sabunaid Tarza ‚unoslozÄ UA sehr 0% uR N D Wa 2 ee Me, D y 5 h 2 XXI nn 3 D riätitierm Abs cıb ü nit t. “Anwendung "des, baryelri chen Eareaie auld Ent nz mehrerer ‚, hagsnach ten. ‚der. Kegel itte, Th — - ‘ I mi Bunde F Pankey ns Ss eig 8ouiid’ Bestimmung 'eines eh Who gegebene Pankte 5. Br 385: pr : '$.249. Vereinfachting des"Ausdiücks für einen Kegelschnitt, wel- cher durch’ die drei F.ptikte geht. — $.'256. Ausdruck eides durch fünf Paukte beschtiebeneh | Kögelschhitts. —' 5.451. Ein’ Punkt id "der Ebene 'eines Kegelschnitts kann gegen denselben drei’ verschiedene Arten von Lagen haben, Bedingungen dafür. — '$. 354. Ausdruck einer durch die F.punkte beschriebeiien Parabel. — | $: 355 —254, Durch‘ vier Pankte einer Ebene können immer Hyperbein, "nieht aber auch "iminer Ellipsen und Parabeln beschrieben werden. — 1.255. Bestimmung der Art des Kegelschnitts , welcher sich durch fünf gegebene Punkte führen Hsst, 256. Zusätze, Unehdlich grössere "Wähtstheinlichkeit, Aus fünf Punkte in einer Hyperbel, als dass 'sie ia Kiner" ‚Eifipse liegen, — $. 257. Anderer Beweis des Satzes) in ‚g.a5b\ \ ") nt RR CADhl Sıkisnazi! Beatitommtiiig eines. ee xlurch gegebene RED ten, ,.9.386—4or: . $. 258. Vereinfachung des nsäreleie für nl ara ‚des, von den drei F,linien berührt wird, — gr 259. Ausdruck ‘einer davon berührten Parabel. — '$. 260. Bestimmung der Art eines Kegelschnitts, wenn drei Tangenten und in: zweien derselben die Berührungspunkte ge- geben’ sind, — g 1261. "Atsditck’ eines un Fünf 'Gerade beschriebenen Kegelschnitts. — »'$. 262,' Merkwürdige Sätze bei einer von drei Ges raden berührten Parabel, «=- $, 265. Dreifäche Art der Lage einer Ges raden gegen einen Kegelsehnitt Bedingungen ‘dafür. = 5 26% Bestim4 mung der Art des Kegelschnitts ‚der 'an fünf gegebene "Gerade beschrie- ben werden kann, — 8,265. Besöndere-"Eigeuschäft "einer "hm Veind Fläche der zweiten Ordnung: "beschriebenen dreiseitigen ange Kane ke age a Drittes Capitel EN ae - Voniden Durchmessern ‚und. idem Mittelpunkte eines Kor gelschnitts und den Asymptoten der Hyperbel. $. 4o2— 413. $. 266 —268. Eigenschaften der Durchmesser und des Mittelpunkts eines Kegelschnitts. — -$. 269... Construction yon Kegelschvitten in in einander beschriebene. Dreiecke, wobei die Mittelpunkte der Kegel- schnitte in einer Gerädeu liegen. — $. 270— 271. Eigensghaften der Asymptoten der Hyperbel. ron: XIV WW. üelrtes IC ampmiitteik: \ Gegenseitiges , Entsprechen zwischen Punkten und, gera- den-Litien ih Bezug auf” 'eiien Kegelschnitt. "6.413 433.. he $: 272. Eigenschaften von Sehnen eines Kegelschnitts, welche. sich in Einem Punkte schneiden. — $.275. Jedem Punkte in der‘ Ebene eines Kegelschnitts.\entspkicht in Bezug auf ‚letzterüi eihe gewisse Gerade, und’ unsgekehrti „—. $+,27&— 275. Gegenseitige ‚Lage. dieser Punkte und Geraden. — |. N Anwendung dieser Theorie, um aus-schon‘,be< kannten ‚Eigenschaften ‚der Kegelschnitte, neue „ ‚analoge abzuleiten. > Bei- ‚spiele. _ In, und um einen Kegelschnitt beschriebene, Viereck, —, Ein genschafteni in und am einen Kegelschnitt beschriebe- ner Sechsecke — $. 277280. Das; einbeschriebene Sechsecks Beschreibung eines Kegelschuitts durch fünf Punkte. — $. 281, Rück- kehr zu Eigenschaften der Viereck, Ein- und umschriebenes. Acht- ech, . — ‚6, 282. Das umschriebene Sechseck. „ Beschreibung ‚eines Kes gelschpitts an fünf ‚gegebene Gerade, _ $. 285. Um (In) zwei um {in} einen Kegelschnitt, beschriebene Dreiecke lässt sich», ein zweiter ‚Kegel- schnitt } beschreiben, — ,$. 284. Gegenseitiges Eutsprechen zwischen den Punkten. und Tangenten zweier Kegelschnitte, \ Fünftes Capirel, riet Allgemeinere Darstellung desgegenseitigen Entsprechens- zwischen ‚Punkten und geraden Linien. 8.433 — 454. \ $. 285. Auch bei bloss geradlinigen Figuren können durch‘ das Ver- tauschen der Punkte ‚mit ‚Geraden und ‚der «Geraden mit Punkten aus gegebenen ; Sätzeu analoge abgeleitet, werden. — :$. 286, Analytischer Beweis ‚dafür, , Gegenseitige Beziehung, in, welehe bei'zwei Ebenen alle Punkte ‚der einen mit den. Geraden der andern sich setzen lassen, — $. 287. Jeder Curve: der einen ‚Ebene gehört 'alsdann eine-Curve- in.der andern zu, so dass wechselseitig den Punkten .der einen Curve die Tan- genten, der andern entsprechen, — f, 288—28g. Die vier ersten Paare sich, entsprechender Punkte und Linien können. bei dieser Beziehungsart nach Willkühr ‚genommen werden; — .$. 290. Hierbei statt findende Gleichheit der D;verhältnisse. — .$..291— 29%. Merkwürdige Art, wie auch dieselben , Vl.verhältnisse, ia der: entsprechenden Figur sich wieder zeigen. — $. 295. Folgerungen daraus, — $..296. Erfindung analoger Sätze in Bezug auf Vl.verhältnisse, = $. 297. Beispiele. _ K 298. Alle Bee ee dritten: Glasse sind Bere vorhanden + 5 Jdaumavii f unive Erster Abschnitt. Darstellung des barycentrischen Calculs und einer darauf gegründeten analytischen Geometrie. D [4 di r nr, . > ER { . an . s 2ER e i 2 vr f ie ee 3 en . er = E hy BE IF ” er aM 4 > % al Serun Pape es D ur ce y v . br - . z » u eg > ’ T t ° . ‘ er \ nn > \ ’ ' x . kn , %r- re Ä Pe _ h .. ; » + z h ’ Kar . Ep Fr - ‘ [re "ee | ' “ “ j4 r “ y weg - z R Erstes Capitel. Vom Schwerpunkte. 8. 1. Vorerikabwusg'Bie Bezeichnung eines Theils einer geraden Linie durch Nebeneinanderstellung der zwei Buchstaben, womit man die U > unkte desselben be- nannt hat, soll hier nicht allein als Ausdruck für den absoluten Werth des Theils gebraucht werden, sondern zugleich durch die verschiedene Stellung der Buchstaben angeben , ob dieser Werth, nach der einmal festgesetzten positiven Richtung der Kain, als positiv oder negativ zu betrachten ist. Ein Punkt kann sich nämlich in einer geraden Linie nach zwei verschiedenen Richtungen bewegen, von denen die eine der andern entgegengesetzt ist. Die eine dieser Richtungen heisse die positive, die andere die negative. Sind nun 4 und 2 beliebige zwei Punkte einer geraden Linie, so verstehe man unter dem Ausdrucke 42 den Werth des zwischen 4 und: 3 enthaltenen Theils der Li- nie, positiv oder negativ genommen, je nachdem ein in der Linie fortgehender Punkt, um von dem, in dem Ausdrucke zuerst gesetzten, Punkte 4 zu dem nachfol- genden B zu gelangen, sich in der positiven oder nega- tiven Richtung bewegen: muss. Hiernach ist also immer: 43 +B4 = o; und wenn. C einen dritten Punkt derselben Geraden bedeutet, mag Aa 4 dieser dritte Punkt zwischen 4 und B, oder ausserhalb, auf der Seite von 4 oder der Seite von B liegen: L BCHCA+AB=o, I. CB — CA= AB, u. S. w. Bei zwei verschiedenen geraden Linien ist die positive Richtung der einen von der der andern im Allgemeinen ganz unabhängig. "Sind sich’aber die Linien parallel, so wollen wir, nach Festsetzung der positiven Richtung der einen, die der andern so bestimmen, dass, wenn die an- dere parallel mit sich fortbewegt wird, bis sie mit der er- "stern Linie zusammenfällt, sie dann beide auch hinsicht- - lich der positiven Richtung identisch sind. ; Sind daher 4, B, C, D die vier auf einander folgen- ‚den Spitzen eines Parallelogramms, so hat man 4B= DC und BC=4D, dagegen 43+CD=o und BC+DA=o.— Ist ferner ? (Fig. ı.) der Durchschnitt der zwei Geraden AB und 4'B‘, und laufen 44 und BB‘ einander paral- lel, so verhält sich immer 4P : BP—AA4':.BBı, mögen die zwei Parallelen 44 und BB’ auf einerlei oder ver- schiedenen Seiten, des Punktes ? liegen, nur dass im er- stern Falle die Exponenten der beiden Verhältnisse posi= tiv, im letziern negativ sind. ” 8.2. Aufgabe. Durch zwei gegebene Punkte Au m B (Fig. 1.) sind zwei Parallellinien 44 und BB’ ‚zogen. Bezeichnen ferner a und 5 zwei Zahlen, ar einem gegebenen Verhältnisse zu einander stehen, deren Summe aber nicht Null ist. ‘Es wird verlangt, die zwei Parallelen durch eine dritte Gerade so zu schneiden, dass, wenn 4 und 3’ die resp. Durchschnittspunkte ea, mn 0 © an: - ist. © : 5 Auflösung. Man ziehe die Gerade‘ 42, und theile dieselbe in ? dergestalt, dass 4P: PB=b:a, so wird jede durch 7? “gehende und die Parallelen schneidende Gerade, wie 4PB‘, und keine ‘andere, die geforderte Eigenschaft haben. Denn wegen der ähnlichen Dreiecke 44P, BB!P verhält sich: ‚ 44':BB'—=AP:BP=AP:— PB=b:—a;, folglich ist «.44+b.BB'=o, wie verlangt wurde. Es kann aber auch keine andere, durch ? nicht ge- hende Gerade die Parallelen auf die verlangte Weise schneiden. Denn sey 4“B" eine solche Gerade, welche den Parallelen in 4” und 3” begegne. Man lege durch P mit 4"B" eine Parallele 42°, welche die Parallelen A4 und BB’ in 4 und 3’ schneide, und mit 44, BB‘ eine Parallele PP”, welche 4”B" in P” ireffe, so ist 440 — BB — PPu, folglich a. 4.4" + b, BB = (a+b) PP“. Es ist aber nach dem eben Erwiesenen: a.A4'+b.BB'= o, mithin «(44° + 4.4") + b (BB’+B!B") —=(a+b) PP“, d. . a.dd'+b. a a +b)PPw, also nicht =. 8.3. Zusätze. a. Was von einer, die Parallelen schneidenden,, geraden Linie bewiesen worden, gilt offen- bar auch von einer sie schneidenden Ebene. Jede durch P gelegte Ebene und keine andere wird die zwei Paralle- len so schneiden, dass, wenn 4' und B‘ die Durch- schnittspunkte sind, @.44'+5.BB'—=o ist. Geht aber eine Ebene nicht durch 7 und trifft sie die durch ? mit AL, BB' gezogene Parallele in ?’ und 44, BB’ ın Au, Bu, so ist immer: «.44"+b.BB"—=(a+b)PP, .. b. Die Lage des: Punktes 2? ist blos von der Lage \ der Punkte 4 und 2, mit denen er in gerader Linie ent- 6 halten ist, und von dem Verhältnisse a : 5 abhängig, kei- neswegs aber von dem Winkel, den die Parallelen durch A und B mit 4B machen. Haben a und 5 einerlei Vor- zeichen, so muss einerlei Vorzeichen auch den ihnen proportionalen BP und P4 zukommen; P liegt dann folglich zwischen A und B, näher dem 4 oder dem 2, nach dm a > oder 5b >a. Für a=bd ist ? der Mittelpunkt von 43. Sind a und d mit entgegengesetz- ten Vorzeichen behaftet, so müssen es auch BP und P4 seyn, folglich 23 und ?4 einerlei Vorzeichen haben. In diesem Falle liegt daher ? ausserhalb #2, und zwar auf der Seite von 4 oder der Seite von Z, nachdem PB oder PA der grössere von beiden Abständen , d. h. nach- dem absolut « > 5 oder 5 >a ist. Auch hier also liegt ? demjenigen der beiden Punkte 4 und 2 näher, welcher den absolut grösseren Co@fhicienten hat. ©. Denkt man sich in 4 und B Gewichte ange- bracht, welche den Zahlen a und 5 proportional ‚sind, so ist ? der Schwerpunkt dieses Systems. Heisse daher ‚auch gegenwärtig ? der Schwerpunkt der Punkte 4 ‚und 2 mit den resp. Coäfficienten @ und 2. RL $. 4. Aufgabe. Drei Parallelen 44, BBr, cc, (Fig. 2.), welche durch drei gegebene Punkte 4, B, C ge- hen, — mögen die Parallelen in der Ebene BC selbst enthalten seyn, oder nicht, — durch eine Ebene so zu schneiden, dass, wenn 4, B’, C* die resp. Schneidungs- punkte, und a, b, e in gegebenen Verhältnissen zu ein- ander stehende Zahlen bezeichnen, welche nicht Null zur Raganie haben, a.A4' +b.BB'’+c.C00’=o ıst, Auflösung. ı) Man verbinde beliebige zwei der” drei gegebenen Punkte, z.B. 4 und 2 durch eine Ger 7 rade, und theile diese in ? dergestalt, das BP: PA >= a:b, dass folglich ? der Schwerpunkt von 4 und B mit den resp. Co@fhicienten @ und B ist, 2) Man ziehe ?C und nehme darin den Punkt Q so, das CQ:QP =a-tb:c, dass mithin @ der Schwer- punkt von ? und C mit den resp. Coäfficienten a+b und e ist. Jede durch den Punkt Q gelegte Ebene, und keine andere, wird alsdann der Aufgabe Genüge leisten. Um dieses zu beweisen ziehe man noch durch 2 eine Parallele ?>?’ mit den Parallelen 44, BB’, CC’, Schnei- de nun irgend eine durch Q@ gelegte Ebene. die Paral- lelen durch 4, 2, C, Pin 41, B’, C', P‘, so ist, nach $-3. a., wegen 1): @.A44+b.BB'—=(a+b).PP', und wegen 2): (a4b).PP/+e.CC’=o, folglich: a.d41+b.BB'+ce.CU=o. ‚, Dass aber jede andere nicht durch @ gehende Ebene die Forderung der Aufgabe nicht erfülle,, wird so bewie- sen. Schneide eine solche Ebene die Parallelen durch 4, B, C,P in. 4", Be, C", P“, und eine noch durch @ gezo- ‚gene Parallele in Q, so ist wegen 1): @. A4"+b. BBu = (a+b). PP”, und wegen 2): (a +5). PP" +.o.CC“ —=(a+b4+.).QQ"; folglich «.44" +5. BBu + e. CC” =(a-+b+e) QQ”, also nicht = o. | 8. 5. Zusätze «. Der Punkt Q ist mit den drei gegebenen Punkten 4, B, € in einer und derselben Ebene enthalten, und seine Lage darin blos von der! Tage der Punkte,4, B,C und den Verhältnissen ihrer Zoöfhcien- ien a:b.:e abhängig, nicht aber von er Lage der Parallelen gegen die Ebene, und eben so wenig von der Wahl der beiden Punkte, mit denen man «en Anfang der Construction macht. Denn könnte durch eine andere Wahl auch ein anderer Punkt gefunden werden; so - Bi; b RK. E Fr 8 ‚müssten alle Ebenen, welche durch diesen und nicht zu- gleich durch @ gehen, der Aufgabe ebenfalls Genüge lei- sten, was gegen das Erwiesene streitet. = CB, Bringt man in A, B und C Gewichte an, die sich . wie a:b:e verhalten, so zeigt die Mechanik, dass @ der Schwerpunkt dieses Systems ist. - Heisse demnach auch gegenwärtig @ der Schwerpunkt von A, B und C mit den resp. Co@fficienten a, 5 und e. 8.6. Aufgabe. Durch vier gegebene Punkte 4,3, € und D, (Fig. 3.) — mögen dieselben in einer Ebene lie- gen oder nicht, — sind vier Parallelen nach einer belie- bigen Richtung gezogen. Es wird verlangt, diese Paral- lelen durch eine Ebene so zu schneiden, dass, wenn 4, B’, C’, D' die resp. Durchschnittspunkte und a, b, 0, d Coöfficienten bezeichnen , die in gegebenen Verhältnissen zu einander stehen, und nicht Null zur Summe haben, a.AA'+b.BB'+c.CC’+d.DD'—=o ist. i it Auflösung. ı) Man suche von irgend zweien der ‘ gegebenen Punkte mit ihren resp. Coäfficienten, z. B. von A mit dem Coäfficienten a und B mit dem en b, den Schwerpunkt, welcher ? sey. a 2) Von ? mit dem Coäfficienten @ +5 und den bei- den übrigen Punkten € und D mit ihren Co@fhicienten e “und d suche man nach Anleitung der vorigen AER 5 wiederum den Schwerpunkt. i Sey dieser 'Q, so wird jede durch Q@ gelegte Ebene und keine andere ‚die verlangte Eigenschaft haben. Denn schneide eine solche Ebene die Parallelen durch 4A, B, C, D und eine noch durch 7 gezogene Parallele in 4', B', C',D’ und P% so ist wegen ı): @. A4'+ b.BBr (a4). PP‘, und wegen 2): (a+5).PP'+e.CC'+d.DD = 0, folglich «. 44 +5.BB'+e. CC +d.DD' —o. 9 Schneide ferner eine andere nicht durch Q gehende Ebene die vorigen Parallelen in 4%, B”, C”, De, P, und eine noch durch Q gezogene in Q’%, so ist wegen 1): a.44"+5.BB"—=(a+b).PP“, und wegen 2): ‚(a+b).PP"+e.CC”+d.DD"—(a+b+0+44).00%, folglich ©.44* + b. BB" + 0. CC“ +d. DD" = (a+b+c+d) QQ“, also nicht = o. 8. 7.. Zusatz. Heisse der so gefundene Punkt Q, . aus demselben Grunde wie bei den vorigen Aufgaben, der Schwerpunkt der Punkte A, B, C, D mit den resp. Coäfficienten a, b, e, d. Er ist eben so wenig, wie dort, von der Lage der Parallelen und von der Folge, in welcher man die vier Punkte nach und nach in Be- trachtung zieht, abhängig. .&. 8. So wie in den bisherigen Aufgaben von zwei zu drei und von drei zu vier gegebenen Punkten übergegan- gen wurde, lässt sich nun weiter von vier zu fünf Punk- ten u.s. w. fortgehen, und somit im Allgemeinen folgen- der Satz erweisen. Ist eine beliebige Anzahl =» von Punk- ten 4, B, C...N mit resp. Coefficienten a, b, e...n gegeben, deren Summe nicht = ist, so kann immer ein Punkt S, und nur einer, — der Schwerpunkt — von der Beschaffenheit gefunden werden, dass, wenn man durch die gegebenen Punkte und den Punkt $ nach einer beliebigen Richtung Parallelen zieht, und diese mit einer willkührlich gelegten Ebene schneidet, welches resp. in 4,3, 0,,..N, S’ gesehehe, dass dann immer a.4A4!+b.BB'+te.CC’+...+2.NNt —=(a+b+04+:..+2) S$4, 10 und folglich, wenn die Ebene durch S selbst geht, a.A4#+b.BB'+e.C04..+n.NN—=o ist. - Um diesen Satz sogleich in seiner Allgemeinheit dar- zuthun, suche man nach $. 2. von beliebigen zweien der . gegebenen Punkte, z. B: von 4 und 2 mit ihren Coef- ficienten @ und 2, den Schwerpunkt. Heisse dieser ?, und eine durch ihn gezogene Parallele schneide die beliebig gelegte Ebene in ?*, so ist «.44’+b.BB’=(a+b), PP’, und folglich a. A4'+b.BB'}te.C0'+...+n.NN —=(a+b).PP!+e.CC+.:.+n.NN. " Auf diese Weise ist das gegebene System von v Punk- ten mit ihren Coäfficienten auf ein anderes von v—ı Punkten 2, C, ... N mit den Coefficienten @«+b, 0,...r zurückgebracht, bei welchem die Summe der Coäfficien- ten (a+b)+c+...+n und die Summe der Producte aus den Co@fficienten in die Abschnitte der Parallelen, der Summe der Coefficienten und der Summe der Pro dücte im ersten. Systeme gleich sind. Eben so.lässt sich“ dieses zweite System von » — ı Punkten in ein drit- tes von »— 2 Punkten umwandeln, und so ferner, bis man ‘endlich nach » — ı solchen Umwandlungen auf E einen einzigen Punkt $ kommt, bei dem der Coöfhicient und das Product aus diesem Co&fficienten in den dem S zugehörigen Abschnitt 8$’, der Summe der Coöfhcienten und der Summe .der Producte i in dem ursprünglich gege- benen Systeme gleich sind. ‘Dass es übrigens nur Einen Punkt dieser Art geben kann, und folglich immer derselbe Punkt gefunden wer- den muss,‘ in ‘welcher Folge‘ ‘man auch die gegebenen ’ kte verbindet, erhellet schon ‚daraus, weil, wenn 1 r a noch ein anderer Punkt 8 dieselbe Eigenschaft besässe, für, jede durch 8 gelegte Ebene, also auch für eine sol- che, welche nicht durch $ geht, @.44’4...+n.NN = 0 seyn müsste. Dieses widerspricht aber dem Vori- gen, weil für eine solche Ebene, wenn sie eine Paral- lele durch S in 85° schneidet, & AA +..+n.NN = (@a+...+n) 8%, also nicht ='o ist. 8. 9. Es wurde bisher angenommen , dass die Sum- me der den gegebenen Punkten zugehörigen Coäfhicien- ten nicht = o sey. Ist sie aber dieses, so ersieht man sogleich, dass ein solches System keinen construirbaren . Schwerpunkt haben kann, indem sonst, wegen a. A4'+b.BB'+..—=(a+b+...=0).85, auch durch jede andere, nit durch $ gehende Ebene die Forde- rung der Aufgabe, «.44°+b.BB’+...=o, erfüllt wür- de, welches im Allgemeinen, d. h. für jedwede Lage der gegebenen Punkte, gar nicht möglich ist. Es macht daher dieser specielle Fall eine besondere Untersuchung nothwendig. Seyen also die Punkte A, B, C..N mit ihren resp. Coeffhicienten a, b, e..n, deren Summe a+b+c+..+2 =06sey, gegeben, so kann nicht auch 5+e+..+r =o seyn, weil sonst ao seyn müsste, und in diesem Falle der Punkt 4 als gar nicht vorhanden zu betrachten wäre, Von den Punkten B, C..N mit ihren Coäfficien- ten b, e..n wird sich däher auf die in 8.8. gelehrte Weise der Schwerpunkt finden lassen. Sey dieser 7, und irgend eine Ebene 'schneide die durch 4,B..N, 7 gezogenen Parallelen in 4, B’..N’, 7’, so ist b.BB/+..+n.NN=(b4..4n). TT=—a. 77. Hier- durch wird #..44°4b. BB'4+..4n.NN—a.44'—a.TT', und unsere Aufgabe kömmt somit ‘darauf hinaus, >die Ebene: so'zu legen, ‘dass «44 —a.T7T’—=o, d.h. 12 _ A4' = TT' ist. Wegen des Parallelismus der Linien AS, TT’ thut aber dieser Bedingung jede Ebene Ge- nüge, welche mit der Geraden 47 parallel geht, und keine andere. ; Ist also bei einem gegebenen Systeme von Punkten die Summe der :Coüfficienten = o, so kann man es im- mer auf zwei Punkte reduciren, — wenn es anders nicht blos aus zwei Punkten besteht, — und für jede Ebene, welche mit der, diese zwei Punkte verbindenden, Gera- den parallel geht, und für keine andere, ist die Summe der Producte @.44'+...=o. Der eine dieser zwei Punkte war vorhin einer der gegebenen Punkte selbst, - auch kann man dafür begreiflich den Schwerpunkt von mehreren derselben nehmen, — der andere ist der Schwerpunkt der übrigen. Es lassen sich daher immer, wenn die Anzahl der gegebenen Punkte grösser als zwei ist,‘ mehrere Paare solcher Punkte finden. Allein die, jedes dieser Paare verbindenden, Geraden sind sämmtlich mit einander parallel, weil es sonst Ebenen gäbe, die ‚nicht einer und derselben ‘Geraden parallel wären, und dennoch zugleich die Forderung der Aufgabe erfüllten. Der Definition des Schwerpunktes gemäss, als eines solchen, in welchem sich alle, unserer Aufgabe Genüge. leistende Ebenen schneiden, und weil Parallelen als: Li- nien anzusehen sind, die sich erst in unendlicher Entfer- nung schneiden, können wir daher auch sagen: der Schwerpunkt liegt in dem Falle, wenn die Summe der Coäfficienten =oist,, unendlich entfernt, nach einer Richtung ‚die durch die letzt fundenen Parallelen bestimmt wird. $. ı0. Indessen findet bei diesem speciellen Falle eine Ausnahme statt. Denn gesetzt, der Schwerpunkt 7’ der Punkte 3, C...N ergäbe sich identisch mit.dem Punkte ; RER h - 13 L A selbt, so würde auch 77’ identisch mit 44°, und die Summe a. 44'+b.BB’'+..+n.NNt immer = 0 seyn, wie man auch die Ebene legen möchte. Wenn also bei einem’ Systeme von Punkten mit ihren Coöfficienten die Summe der letztern =o, und überdies einer der Punkte der Schwer- punkt der übrigen ist, so'erfüllt jedwede Ebene die Forderung, oder mit andern Worten, ein solches System hat gar keinen Schwerpunkt. Um ein System dieser Art zu erhalten, hat man nur von einem gewöhnlichen Systeme, bei welchem die Sum- me der Coäfficienten nicht —=o ist, den Schwerpunkt zu suchen, und diesen als neuen Punkt mit ‘einem Co&f- ficienten hinzuzufügen, welcher der negativen Summe der gegebenen gleich ist. $. 11. Aus dem in $.8. gegebenen Begriffe des Schwerpunktes lassen sich mehrere Folgerungen ziehen. Sey von den Punkten 4, B, C, D mit-den resp. Coef- ficienten a, b, c, d der Schwerpunkt S, so ist, 4, B’, C/, D', $' in der schon oft gebrauchten Bedeutung genommen und zur Abkürzung a+b+c+d=s gesetzt; a.44'+b.BB'+c.CC'+ d.DD'=s.SS’; folglich auch für jede Lage der die Parallelen schneiden- ‚den Ebene: j RETRO R FL d. h. von den Punkten A, B, C, $ mit den resp. Coef- fidienten a, b, e,— s ist D’ der Schwerpunkt. Man hat ferner: @.44'+b.BB’=s.89'—ce.CC'—d.DDı, Sey nun von 4 und B mit den Coäfficienten @ und b der Schwerpunkt ?, also «.44'+b. BB'=(a+b).PP', so’ist auch s:S$’—ec.CC’—d. DD! = (a+b).PP'; d.h. 14 die Punkte 4 und B mit den Coöfficienten a und 5 haben denselben Schwerpunkt, welcher den Punkten C, D und $ mit den Coefficienten ce, d und — s zukommt. Da sich das Gesagte auf jede grössere und geringe- re Anzahl von Punkten anwenden lässt, so schliessen wir daraus: Jeder Punkt eines Systems lässt sich als Schwerpunkt der übrigen Punkte betrachten, wenn zu diesen, als neuer Punkt, der Schwerpunkt des ganzen Sy- stems mit einem Coäfficienten hinzugefügt wird, welcher der negativen Summe aller Coefficienten gleich ist. — Auch hat ein beliebiger Theil der Punkte des Systems denselben Schwerpunkt, welchen der übrige Theil nebst dem Schwerpunkte des ganzen Systems mit dem gedach- ten Coefficienten hat. Wenn ferner einem Systeme der Schwerpunkt gänz- lich fehlt ($. 10.), so wird auf eben die Art bewiesen, dass nicht nur jeder Punkt des Systems der Schwerpunkt der übrigen ist, sondern auch je zwei Theile, in wel- che man das ganze System zerlegt, einerlei Schwerpunkt haben. $. ı2. Noch mannigfaltiger werden die Folgerun- gen, wenn män zwei oder mehrere Systeme zugleich in Betrachtung zieht. — Seyen 4, B, C die Punkte des einen Systems, a, d, e die resp. Coäfhicienten und P der Schwerpunkt ; D, Z mit den Coefficienten d, e die Punkte‘ eines zweiten Systems und '@ dessen Schwerpunkt. Man . ziehe durch ‚sämmtliche Punkte: 4, B, GC, #, D, E, Q Parallelen, und schneide diese mit einer beliebig, geleg.- ten Ebene in den Punkten 4, B’:...Q, so ist, wenn man zur Abkürzung a+b-Fc=p und d-+e=g setzt: 1) @.44+5.BB'+e.CC'—=p.PP' 2) d.DDt+e,EEr—g.0Q0. 15 Man addire beide Gleichungen, nachdem man sie zuvor mit den beliebig zu nehmenden Zahlen m und rn resp. multiplicirt hat, so kommt: 3) ma, 4A4'+mb.BB'+me.CC’+nd.,DD’+ne.EEr —=mp.PP!4ng.QRQ', d. h. der Schwerpunkt von 4, B, C, D, E mit den Cocf- ficienten ma, mb, me, nd, ne ist zugleich der Schwerpunkt von 'P und Q mit den Coefficienten mp und ng. Setzen wir ferner, der Punkt D des zweiten Systems sey identisch mit dem Punkte A des ersten, also auch DD‘ mit A4', so zieht sich 3) in (ma + nd) AA'+mb.BB!+mc. CC!+ne. ER — mp «PPI+ng.00! zusammen, und wenn wir nun das Verhältniss m :n so bestimmen, dass ma--nd—=o wird, also m:ın —=d:—a setzen : \ bd.BB'+ed.CC’—ae. EE'—dp. PP! —ag. QQr. Somit kann man also einen Punkt, welchen zwei Sy- steme gemeinschaftlich haben, aus ihnen eliminiren. Eben so würde, wenn. C mit @ identisch wäre, die Elimination dieses Punktes ag. A4'+bg.BB'+cd,DD'-4ce. Enpg.) PPI geben, also ? der Schwerpunkt von 4, B, D, E mit den Coöfficienten ag, bg, ed, ce seyn; u.s. w. Man begreift ohne weitern Zusatz, wie sich das hier nur von zwei Systemen Gesagte auf die Verbindung je- der beliebigen Anzahl von Systemen und beliebiger Men- gen ihrer Punkte ausdehnen lässt. Zweites Capitel. Der barycentrische Calcul.- 8. 13. Bi Rechnungen, wie wir so eben ($.ıı und ı2.) führten, bietet sich gleichsam von selbst eine klei- ne Abkürzung dar. Da nämlich die Glieder aller jener Gleichungen Producte aus numerischen Coefficienten in Abschnitte von Parallelen sind, von denen die. einen Endpunkte sämmtlich in einer Ebene liegen, die an- dern aber gegebene oder daraus zu bestimmende Punkte sind, und folglich das Unterscheidende der Abschnitte nichts anders, als diese letztern Punkte selbst ausma- chen, so können wir, ohne Verwirrung fürchten zu müssen, in den Gleichungen die Abschnitte durch.die, '. diese Punkte bezeichnenden, Buchstaben allein aus-. drücken. Ist also z.B. $ der Schwerpunkt von 4, B,C mit den Coefhicienten a, 4, —c, und folglich @. Ad +b.BB'—e.CC’—=(a+b—.c) SS‘, so schreibe man sat dessen: a4+bB—cCl—=(a+b—e)S. Ss Und wirklich könnte man auch nicht einfacher den blossen Satz , dass $ der Schwerpunkt von 4,B,C mit den Gewichten a, d, — © sey, und. dass man sich in S diese Gewichte vereinigt zu denken habe, durch ‘ die Zeichen der Algebra darstellen. Allein unsere For- mel ist mehr, als ein blos abgekürzter Ausdruck die- ses Satzes, in welchem Falle sie nur die Gestalt ei- ner algebraischen Gleichung hätte, noch nicht aber algebraische Operationen mit sich vornehmen liesse. In- 147 dem man 4, B, C... nicht mehr als die blossen Punkte, sondern als die ihnen entsprechenden Abschnitte nimmt, -- woran man aber im Verlauf der Rechnung nicht wei- ter zn denken braucht, — stellt jene Formel zugleich eine Haupteigenschaft des Schwerpunktis in der Sprache der Algebra dar, und wird dadurch eben der Behand- lung, wie jede andere algebraische Gleichung, fähig, $. ı4. Die Rechnung mit solchen abgekürzten For- meln ist es nun, welche ich den barycentrischen, d: i. den aus dem Begriffe des Schwerpunkis abgeleite- ten, Calcul genannt habe,’ einen Calcul., der es nicht nur mit wirklichen Zahlengrössen, sondern scheinbar auch mit blossen Punkten zu ‘ihun hat, dennoch aber von der gewöhnlichen Rechnungsweise der Algebra sich im Ganzen nicht unterscheidet. Der bessern Uebersicht. willen halte ich es für dienlich, die, wiewohl schon in dem Vorhergehenden zur Genüge enthaltenen, Grundre.. geln des neuen Calculs in folgenden Sätzen noch kürz- lich zusammenzüustellen. $. 15. r) Die Gegenstände ii barycentrischen Cals . culs sind Punkte und numerische Co&ffhcienten derselben. ' Erstere werden mit den grossen Buchstaben des Alpha- bets, letztere mit den kleinen bezeichnet und erstern mit ihren Zeichen vorgesetzt, ‚So heisst z. B. &4, oder +24 im Zusammenhange, der Punkt 4 mit dem Co&fficienten a;——5B, der Punkt Bmit dem Coäfficienten — 2: Ist der Coefhicient die Einheit, so wird nur das Zeichen dersel- ben dem Punkte vorgesetzt, als 4 oder +4, —B, dis ‘4 mit dem Coefficienten ı, B mit dem Coefhcienten — t, 2) Däss von den Punkten A, BG, Dy... denen resp. die Coefheienten a, B, ©, d, ... zukommen, 5 der Schwer } BR ist, wird äusgedrückt durch: Alk; BRORRRSeMGIrBNIE« Faladehebee ui 5, —— | 18 so dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens die Punkte mit ihren Coöfficienten und auf der andern der Schwerpunkt mit einem Coäffhcienten ‚steht; welcher der algebraischen Summe jener Coäfficienten gleich ist. 3) Dass die Punkte 4,B,C,... mit den Coöfficienters a,.b, c,.. denselben Schwerpunkt, als die Punkte 7, G,.. mit den Coäfficienten /,8;.. haben, vorausgesetzt‘, ‚dass die. Summe der Coäfhicienten der erstern ‚Punkte a+b+c+...== der Summe der Coefficienten der letztern f+g+-- ist, dies drückt die Gleichung aus: a I. a4d+bB+EcCcH+..=fl+gC+... Sind von den ursprünglich gegebenen Co£fhicienten zweier Systeme mit einerlei Schwerpunkte die Summen nicht gleich, so hat man nur jeden Coöfficienten des einen Systems mit der Summe der Coäfficienten des andern Sy= stems zu multipliciren, um diese Gleichheit herzustellen, und somit die Idendität der Schwerpunkte durch eine Gleichung ausdrücken zu können. 4) Die Gleichung: ; HI. .@a4+5bB+eCc+..==o, { welche nur unter der Voraussetzung statt finden k: dass auch die Summe der Coäfficientien at + +. —o ist, zeigt an, dass das System der Punkte 4,2,G,.. mit: den Coäfficiertten a, b, c,.. keinen Schwerpunkt hat... ar 5) Alle Gleichungen des barycentrischen Calculs haben » .eine der drei Formen I.II. und III. und müssen diese For« ’ "men auch bei allen Umwandlungen, die man mit ihnen . 1 vornimmt, behalten. Die auf solche Gleichungen an-. wendbaren Operationen der Algebra beschränken sich: da- her auf folgende. zwei: Es) 53 a) dass man zu beiden Seiten der Gleichung Gleiches - addırt oder subtrahirt; nur darf das zu Addicende 19 oder zu Subtrahirende keine blosse Zahl, sondern muss’ ein Punkt oder das Aggregat mehrerer Punkte mit ihren Coäfficienten seyn. 6) dass man’ beide Seiten mit Gleichem multiplicirt oder dividirt, nur darf der Multiplicator oder Di- visor keine Punkte enthalten, sondern muss eine blosse Zahl seyn. 6) Alle unter den Formen I. II. II. begrifferlei Gleichungen haben dieses mit einander gemein, dass sie auch nach Weglassung der, die Punkte (oder viel= mehr die den Punkten zugehörigen Abschnitte der Paräl- lelen) bezeichnenden, Buchstaben noch Gleichungen blei- ben. Den Grund dieser Gleichheit, der Coäfficienten- summen zu beiden Seiten des Zeichens (=) giebt die im vorigen Capitel entwickelie Theorie. Wollte man nichts weiter, als durch Zeichen darstellen, dass ein gewisser Punkt der Schwerpunkt eines gegebenen Sy= stems sey, oder dass zwei Systeme einerlei Schwerpunkt haben, so wäre, jene Forderung der gleichen Coöfficien- tensummen zu berücksichtigen, offenbar untöthig, und man würde somit noch etwas kürzere Formeln ‚erhalten. Da diese Kürze in mehrern Fällen sehr zweckdienlich ist; so wollen wir alsdann, um solche Formeln von den ei- gentlichen Gleichungen zu unterscheiden, statt des. Zei- chens (==) das Zeichen (=) gebrauchen , und hiernach statt der Gleichung I.; die Formel 24+5B+.C+.:=S, ‘und statt der ‚Gleichung II:;, auch weni a+5+e+:: nicht =f+g+::. ist, Jr. die Formel 4+5B+eC+::: —fR+4CH: ci schisihen, 8. ı6. ‘Wenn mit Hülfe der Algebra in der Geo- meirie ein Lehrsatz erwiesen, öder eine Anfgäbe gelöst ? Bz 20 werden soll, so ist, ausser der: Kenntniss der Algebra. selbst, noch nöthig, dass man erstlich die: geometri- schen Bedingungen des Lehrsatzes oder der Aufgabe in algebraische Formeln. einzukleiden wisse, und dass man zweitens das Resultat, welches man durch eine passende mit diesen Formeln angestellte Rechnung gefunden hat, wiederum in die Sprache der Geometrie zu übersetzen verstehe. Nun ist.in.den Sätzen des vorigen $. nur der Mechanismus des baryceentrischen Calculs, nur die Form - und die Behandlung seiner Gleichungen gezeigt worden. Denn wiewohl diese Gleichungen schon an sich nicht rein arithmetischer, sondern zugleich geometrischer Na-= tur sind, indem sie sich immer auf ein gewisses System von Punkten beziehen, so wird doch von, der in dem Vorigen gegebenen geometrischen Bedeutung. derselben kein unmittelbarer Gebrauch gemacht werden. Es bleibt uns daher immer noch übrig, die Sätze aufzustellen, mittelst welcher man bei geometrischen Untersuchungen von den Eigenschaften einer Figur zu den barycentri-. schen Formeln, und umgekehrt, von diesen zu jenen. übergehen kann, oder mit andern Worten, zu zeigen, wie und von welchen Eigenschaften einer Figur die oft- gedachten Formeln als Bedingungsgleichungen auftreten. können. Um aber diese Sätze ohne Unterbrechung mit- zutheilen, müssen wir folgende, an $. ı. sich schliessende. Vorerinnerungen einschalten. ; ii $. 17. Der Perimeter eines Dreiecks kann von ei- nem darin sich bewegenden Punkte nach doppeltem Sin- ne durchlaufen werden. Heisse die eine Bewegung, 2. Bi die von der Linken nach ‚der Rechten, wenn man sich 2 innerhalb ‚der Fläche des Dreiecks, und das Auge auf: 2 sie herabsehend denkt, die positive; die andere von der Rechten nach der Linken, die negative. Ist nun das Dreieck, wie gewöhnlich, durch irgend eine Zusammen- stellung der drei an die Spitzen gesetzten Buchstaben ausgedrückt, so bezeichne dieser Ausdruck den positiven oder negativen Werth der Fläche des Dreiecks, je nach- dem die Bewegung eines Punktes, ‘durch den‘man sich den Perimeter des Dreiecks so beschrieben denkt, dass er die Spitzen in der durch den Ausdruck gegebenen Folge trifft, nach der vorhin gemachten Bestimmung positiv oder negativ ist. Wir ziehen hieraus nachste- hende Folgerungen. $. ı8. a. Bezeichnen 4, B, € die drei Spitzen eines Dreiecks, so haben die Ausdrücke für den Flächeninhalt: ABC, BCA, CAB einerlei Werth, den entgegengesetz- ten aber von CBA, BAG, ACB. b. Seyen B, C, D drei Punkte in gerader Linie und ‘4 ein vierter ausserhalb derselben. So wie nun nach &. ı. ED+DB+BEC—o war, eben so ist mit Vor- setzung von 4 die Summe der Dreiecke: } ACD+ADB+ ABC=ö; auch verhält sich: 'ACD: ADB ; ABC=CD.: DB : ‚BC. 2” Seyen A, B, 0, D irgend vier. in einer Ebene.be- findliche Punkte, von denen keine drei ‘in’ einer: Gera- den liegen. Man verbinde sie zu zweien durch’ gerade Linien, und sey 2 der Durchschnittspunkt der. Geraden AB und CD. (Denn immer wird wenigstens» eine von den, durch 4 und einen der drei Punkie, B, C, D.gg4- legten, Geraden, die Gerade‘ durch die. beiden anderh Punkte. schneiden.‘ Diese eine seyhier AB}: Alsdann ist, weil 6 D, Z in einer ’Geraden- liegen: RAT B2 ) 22 ADZ+AZCHACD=o BDZ+BZC+HBCD—=o und, weil 4, Z, Z in einer Geraden liegen; CBZ+CZA + CAB=o DBZ+DZA+DAB—=o Man addire diese vier Gleichungen mit den Zeichen —,+,—, +, so heben sich alle die mit Z behafteten Ausdrücke, und es kommt: — 40D+BCD—-CABLDAB=o, wofür man auch noch die symmetrischen Formeln | I. BED— CDA+DAB— 4BC=o oder U. DBC+DCA+DAB—=ABC, u. s. w, setzen kann, (Vergl. $. ı. I. und II.) We $. xg. Eine dreiseitige Pyramide wird durch irgend . eine Zusammenstellung (3C4D) der vier an ihre Spitzen gesetzten Buchstaben (4, 3, C, D) bezeichnet, Um nun auch hier durch die Folge der Buchstaben in der Zu- sammenstellung ausdrücken zu können, ob der körper- liche Inhalt der Pyramide positiv oder negativ genom- men,werden solle, und durch dieses Mittel zu eben so allgemeinen Formeln, wie vorhin für das Dreieck, zu gelangen, so denke man sich das Auge an die durch den ersten Buchstaben (2) in der Complexion bezeich- nete Spitze gestellt, und nach dem durch die drei. übri- gen Buchstaben bezeichneten Dreieck (CAD) als Grund- fläche: hinsehend. ‘Je nachdem nun der Folge dieser Buchstaben, nach der in $. 17. gegebenen Regel, der positive oder negative Werth der Dreiecksfläche , ent- spricht, stelle auch der Ausdruck der Pyramide den po- sitiven oder negativen Werth ihres körperlichen Inhalts vor. (Denkt man sich die Fläche 4CD2 der Pyramide [Fig. 5.] in der Ebene des Papiers; und die Spitze 3 vor 23 [hinter] derselben liegend, und wird wie vorhin die Bewegung von der Linken nach der Rechten für die po- 'sitive genommen, so drückt: 3C4D den positiven [negativen] Werth der Pyramide aus.) Es ergeben sich hieraus folgende Sätze. $. 20. a, Bezeichnen 4, B, 6, D die vier Shltagg einer .dreiseitigen Pyramide, und bringt man auf die be- . schriebene Weise jede der 24 Permutationen dieser 4 Buchstaben mit der Pyramide in Vergleichung,, so 'er- hält man folgende zwei Reihen: ABCD , ABDC ACDRB ACBD ADBC ADCH BADC BACD ae BCAD BCDA BDCA 'BDAC 'CABD CADB: | CBDA CBAD: , CDAB: -. . CDBA DACR ___DABC 8 .DBAC DBCA DCBA DCAB ” von denen die Ausdrücke jeder Reihe für sich, einerlei Werth, den entgegengeseizten ‚aber‘ der Ausdrücke der andern Reihe haben. Anmerk, Bei etwas anfımerksamer Betrachtung dieser 24 Ausdrücke wird man bald gewahr, dass je zwei derselben, wo zwei Buch- . staben. des einen in dem andern ihre Stellen gegenseitig vertauscht haben ».sich entgegengesetzt sind; z.B, „4BCD ‚und .BACD, ADCB t yud ABCD, BDCA und ADCB, - Soll daher von irgend zweien . dieser Ausdrücke ihr gegenseitiges Verhalten "erforscht werden, so ‚stelle man mit; dem einen. die. Operation des gegenseitigen Vertau= schens zweier Buchstaben so, oft-an ,. bias der andere zum Vorschein kommt. - Ist die Zahl dieser Operationen gerade, sa haben die Ausdrücke einerlei' Zeichen; "ist sie ungerade , vorschiedene, - ns . asia en AA A nn „03, 24 Man habe ‚z. B. BADC und DBAUC. Aus + BADC wird ı) F DABC ud 2) + DBAC, ao Seyen zu vergleichen ABCD und BCDA. Aus + 4BCD wird 1) BACD, 2) + BCAD und 5) F BCDA. b. Sind €, D, E drei Punkte einer geraden Linie, B ein vierter Punkt ausserhalb derselben, und 4 ein fünfter Punkt ausserhalb der durch 2, ,C, D, E gehen- den Ebene, so war ($. 18.5.) BDE+BEC+BCD=o, ‚ und auf gleiche Weise ist mit Vorsetzung des Buchstas ben 4, die Summe der Pyramiden : ABDE-++ ABEC+ ABCD=o; auch verhält sich: ABDE ; ABEC: ABCD=BDE : BEC;: BC = 4ADE , dEC: ACD— DE: EC: om, 3 C3 Sind 2, 5D,E irgend vier. Punkte einer Ebene, und 4 ein fünfter Punkt ausserhalb derselben, so war ...(& 18. 0) CDE—DEB+EBC— -BCD=o, und eben sa ist mit Vorsetzung von A die Summe der Pyramiden ; 5 ACDE— ADEB4+AEBC— ABCD =o,. Fr ‚ und es verhält sich; | BR ACDE: ADEB: AEBC: ABCD = CDE:DEB: EBC:BCD. d. Seyen 4, B,C,D, E irgend fünf Punkte im Rau- Be: me überhaupt, von denen keine vier in einer Ebene liegen. Schneide die Gerade DE die Ebene ABC in Punkte Z. (Denn immer wird wenigstens eine von den, “N durch Z und einen der vier Punkte 4 B, on gelegten, Geraden die durch die drei übrigen Punkte ge-- "hende Ebene schneiden. Diese eine ser hier DE.) ER hiernach erstens die Punkte D, Z, Z’in einer Sieg liegen, so hat man; j } BCEZ}BCZD-+ BEDE=o | Kaas CAEZFCAZD+OADE= (ABEZ+ABZDFABDE=a u. 0 yraer Pin ce FFWETSE 25 Weil zweitens die Punkte 4 B, GC, Z in’ einer Ebene enthalten sind, so ist DBCZ— DCZ44+ DZAB— DABC=o — EBCZ+ ECZA— EZAB+ EABC=o Addirt man nun diese fünf Gleichungen, so fallen, weil BCEZ=EBCZ, BCZD=— DBCZ, u. s. w., alle die mit Z behafteten Glieder heraus, und man bekommt: BCDE+CADE-+ ABDE— DABC+ EABC=o oder symmetrischer: I. BCDE+CDEA+DEAB + EABCH ABCD—=o ‚oder II. ZBCD— ECDA+ EDAB— EABC= ABCD u. s.w., wie auch die fünf Punkte im Raume liegen mögen. Vergl. die Formeln I. und IL, in $.ı. und ı&, Lehrsätze zur Anwendung des barycen- trischen Calculs. $. 21. Lehrsatz. Wenn a4+bB=C, so liegt € mit 4 und 2 in gerader Linie, und es verhält sich: e .g:b = B0:CA. ' Beweis. Nach 8.2. und 3. liegt der Schwerpunkt : - ÖO.zweier Punkie 4 und B mit ihnen selbst in gerader Linie, und wird eben dadurch gefunden, : dass man die Linie BA in C nach dem Verhältnisse der Coöffhicienten a: b theilt. '$. 22. Zusätze. a, Wenn a4+bB=C.und a4 +bB=C, so verhält sich: a:b = a: br. b. Weil die Linie BA nur in Einem Punkte C nach einem gegebenen Verhältnisse @: 5 theilbar ist, sogite der Satz auch umgekehrt. "Jeder Punkt C einer Gera- den lässt sich daher immer als Schwerpuukt: irgend 26 | zweier anderer in derselben liegenden Punkte 4 und 2 betrachten, deren Coefficienten in dem, durch die ge- genseitige Lage der Punkte ‚gegebenen, Verhältnisse -BC:CA, und keinem andern stehen. Allerdings kann jeder gegebene Punkt ? einer Ge- raden als Schwerpunkt auch von drei oder mehreren di,‘ Punkten derselben, A,B,C,.. angesehen werden. Alsdann finden aber zwischen den Coäfficienten der Punkte nicht mehr bestimmte Verhältnisse statt. Denn sey ? auf A und B bezogen, =«a4+bB, und auf B und € bezo- gen, =bB+eC, so ist auch P= a4+bB+m(bB+eC) =a44(1+m)bB+meC, wo für m jede beliebige Zahl: genommen werden kann. — Aehnliche Bemerkungen we sind in den folgenden 8.24. &. und 8.26. 6. zu wie= derholen, » : ec, Aus aA+bB=(a+b)C folgt a4+bB— (a+b)C ==o, und wenn wir —(@+b)=e setzen, aAtbB+eE =o bBB+cC=A, und hieraus eben so wie vorhin, d:e = (4: 4B, Unser Satz lässt sich daher noch mm trischer so ausdrücken: - Rr "Ist a4+2bB +eC=o, so liegen A, B,. C in PEN 9 Linie, und es verhalten sich @:b:e = BC: CA: AB. ‚Auch gilt dieser Satz umgekehrt. ap ak 8. 23. Lehrsatz. Wenn aAriBtel=e =D; und. A, B, € nicht in einer Geraden enthalten sind, pe en set Dmit 42,C in einer Ebene ($- 4. ünd 5. » und‘ ‚verhalten sich: a ‘ a:b:e= dieDreiecke DBC:DCA: DAB. Beweis.’ Von den drei Snmmen , welche ‚sich, je, zwei der'drei Coefhicienten'a, b, c zusamhengenommen, 2“ bilden: lassen, ist immer "wenigstens eine nicht oo \ Sey «a +bodiese Summe, "und man ‚setze 1. a4dHbB Be; Z, so wird Ab. D=: Bey ses: 12:Al ab 27 Wegen II, RR nun ($ 21.) 6 Di Zinn gerader Linie, und es verhält sich: ı) atb:e = CD: DZ=BCD: BDZ= ACD : ADZ | (8.18, 2.) folglich 2) DBZ: DZA= DBC: DCA. ($. 18. a.) Wegen I. liegt Z aber auch in der Geraden AB, und es verhält sich: 3), a:5b =BZ; Zd= DBZ: DZA4, folglich wegen 2)... 4) a:b= DBC: DCA, Aus 3) folgt weiter: b;a+b—=DZA:DBZ+ DZA—= ADZ:DBA (8. 18. b.) folglich in Verbindung mit ı): | b;c=4A0D: DBA=DCA:DAB, und hieraus in Verbindung mit 4) die Proportion des Lehrsatzes, $. 24, Zusätze a. Wenn A4,B,C nicht in einer Geraden liegen und aA+bB-+oC=D, «a4 +B+elC, =D ist, so verhalten sich a:b:c—=a’:b’:er. = # ER e b. Jeder Punkt D einer Ebene lässt sich als Schwer- punkt irgend dreier anderer nicht in einer Geraden lie- genden Punkte 4, B,C der Ebene betrachten, deren Coefficienten in bestimmten ‚Verbäüizten zu einander stehen. .. Denn sey !Z der Durchschnitt ak Linien AB und cD D.($. 18. e.), "Weil er sowohl mit 4 und B als mit C und D in gerader Linie liegt, kann man ihn ($.22.2.) =ZaA+ßB und=7C+5D Ber wo ı@:ß. uoR y:d Bi; stimmte: Verhältnisse sind... &% Nimmt man nun, was immer möglich ist, ‘die Zah- lenıdieser. Verhältnisse. &:ßy1y:ö so, dass +8 = y+ö PN nd a er) Zap Be DEN N Va TE „778 EN RENTEN EEE AEREETTTETEUITRTERT - A EA u Zu ng 7 28 -— ‘ (8. 15. 3), wodurch auch ß:7 ein bestinnmten Verhält- niss wird, so kommt: { 4+ßB=yC+öD, mithin. D=aA+ßB—yC. Auch können sich nach dem Lehrsatze, &, d, - y nicht anders, als wie die Dreiecke DC, DC4A, DAB =, verhalten. £ | ”; e. Man setze in der Formel des Lehrsatzes «+5 +e=—d, so wird aA+bB+eC=—dD, aA+bB+cC +dD=o,bB+eC+d4D=A, und es verhält sich: | bie:d—= ACD: ADB: ABC, Um diese.Proportion mit der obigen verbinden zu kön- a nen, schreibe man sie ($. 18. «.): ; a,b:c—=BCD:—CDA:DAB b= b:e;d=— CDA: DAB; — ABC Dies giebt folgenden noch 'symmetrischeren Satz : Ist a4d+bB+cC+dD=o, so liegen A, B, C, 2 in einer .°. Ebene und es verhalten sich: ER. a:b:e:d—BCD:—CDA:DAB:— ABC ba Vergl. 8,18. c. Vermöge vorigen Zusätze ist dieser Satz auch umgekehrt richtig, 3 i 'd. Itad+bB+cC +«@D=o, und ER 4 Durchschnitte von BC und 4D , dc und ‚BD, nei BR. CD resp. E,F, G, so hat man: u N ; D, ‚€ Wr . E=bB+cC= =ad+dD, x 5 ; hust 4a A 4 ig ’ je h a, =adt+el=bB+dD, s je EP: y x“ y j\ Ko G=a4+ BBZeC+aD, ei RE AOR Bern. s 25: Fechr en anche aA4+bB+eCH DER, Me y ie und Br u 6 D Ba in einer. arg liegen, so. Ba I Br ten sieh: et nr RFRSE vonder daran nonn.cosi DRAB:EABO.. En 29 Beweis. ‚Aus den vier Co£fhicienten @, b, «,d las- sen sich, ‘je drei zusammengenommen, vier Summen bilden, von denen immer wenigstens eine nicht =o ist " Sey a+Db++e diese eine Summe, und man setze I. a4+bB+el—=(a+b+e)Z, so wird I. (a+d+e) Z+4D=E. Wegen II. liegen nun Z, DE in einer Geräden, und es verhält sich: 1) @a+b+c:d== DE: EZ= BODE: BCEZ —=(CADE:CAEZ — ABDE: ABEZ 1830. 5) folglich 2) EZBC: EZCA: EZAB=BCDE:CDEA: DEAB, Sodann ist ($. 23.) wegen I., Z auch in der Ebene ABC enthalten, und es verhält sich: 3) a:b:;e—=ZBl: 20.4: ZAB —EZBC:EZC4: EZAB ($.20,0.), folglich wegen 2): 4) a:b:c== BCDE: CDEA: DEAB:. Ferner erhält man aus 3): e!a+b+0—=ZAB: ABC (8. ı8. e. I) —=EZAB: EABC, und hieraus in Verbindung mit ı): e:d== DEAB: EABÖ woraus sich in Verbindung mit 4) die im Lehrsatz auf- gestellte Proportion ergiebt. 8.26, Zusätze. a. Wenn 4,B,C,D hicheii in ei, nerEbene liegen, und a4+5B+cC+dD=E, aA+bB: +eC+H@2D=E ist, ‘so verhalten sich: a:b: e:d zmalıbi:ctrd. b. » Jeder Punkt Z im Raume lässt.sich ale re EH punkt von’ irgend vier andern. nicht in einer Ebene En liegenden Punkten 4 B, C, D ansehen, deren Coef- ficienten in bestimmten Verhältnissen zu einander ste= hen. Denn schneide die Gerade DE die Ebene ABC im Punkte Z ($.20: d.), so kann man nach 8. aa: B. $-. 24. b. und $. 15. 3), Z=d8D+.E=aA+BB+yC setzen. Dies giebt: Z&«4+pB+yC— öD. Nach dem Lehrsatze können sich aber &, ,, = nicht anders als wie die Pyramiden ZCRE,; :;.EABO verhalten. e. Setzt man atb+ce+d=—e, so erhält man nach derselben Schlussfolge, die in $. 22. ce. bei drei Punkten in einer Geraden und in $. a4. e. bei vierPunk- ten in einer Ebene angewendet wurde, den Satz: Wenn ad4+bB+eC+dD+eE=o, so liegen die fünf Punkte 4, B, 6, D, E im Raume dergestalt , dass "BCDE: CDEA: DEAB: EABC: ABCD=a:b;e:d:e. Vergl. $. 20: d Auch gilt dieser Satz umgekehrt. d, Ist aA+bB+cC+dD-+eE=o, und bezeichnet man die Durchschnitte der Geraden und Ebenen; 4B und CHE, 4C und BmiE, etc. resp. mit 7, @, ete., so kommt: ; F=aA+bB=cC+dD-+eE = ad+cC=bB+#dD+eE, u: $. w. $. 27. Die Sätze ($ı 22. ©, $.44. 6), dass, wenn’ aA+bB+eC=o ist; 4 B, C in gerader Linie liegen, und wenn «&4+bB-+ceC+dD=o ist, 4,8; C, Din ei= ner Ebene enthälten sind; gelten offenbar nur unter‘ der Voraussetzung, dass nicht jeder Coefhicient, einzeln: genommien, =o ist Denn sonst würden der erstern ee jede Zap auch nicht in einer Geraden hies, 31 genden, Punkte, und der letztern jede vier, auch- nicht in einer Ebene begriffenen, Punkte Genüge leisten. Weiss man also umgekehrt, dass 4, B, € nicht in einer Geraden liegen, und dennoch «4+5B+cC=o seyn, soll, so hat man daraus zu schliessen, dass a=b—=c—=6 seyn müsse. Dies lässt sich auch folgendergestalt gera- dezu darthun. Man setze in der Gleichung, a&44+5B+cC=o, a=g—h und b=h—f, folglich e=f—g, so wird sie (4) At+(A—-f) Br (f—g)C=o und daher gA+hB+fC=hA+fB+ EC. Liegen nun 4, B,C nicht in gerader Linie, so wird durch g4+hB+fC und A4+fB+gC eiti und derselbe Punkt der Ebene 43C ausgedrückt, und es verhält sich (3. 24. @.): gih:f=shıfig woraus f=g=% folgt. Mithin ist a=b=ce=o, Auf ähnliche Art wird bewiesen, dass, wenn ad-+bB-+eC+dD=o ist und 4, B, C, D nicht in ei- ner Ebene liegen, jeder der vier Coäfficienten a, b, c, d für sich =o seyn. müss. ‚Ist‘ ferner a@A+5B+ceC+dD=o, und liegen A; B, C in einer Geraden, D aber ausserhalb derselben, so muss d—o seyn, indem sonstauch D=a4+bB-+eC ein Punkt der Geraden ABC seyn würde. : Wenn endlich «A+bB+eC+4D+2E=o ist, und 4, B, C, D in einer Ebene begriffen sind, E aber aus- serhalb derselben keit so folgt aus ganz ähnlichem Gm; e=o. a Orr EBENEN) Drittes DH Neue Methode ‚ die Lage von Punkten zu bestimmen. 8. 28. Zu der Bestimmung der Lage von Punkten, sey es in einer gegebenen Geraden, oder in einer gegebenen Ebene oder im Raume überhaupt, werden Stücke von zweierlei Art erfordert. Die einen bleiben für alle Punkte - dieselben, wie z. B. die Axen eines gewöhnlichen Coor- dinatensystems. Die andern, welche Coordinaten im allgemeinsten Sinne heissen, hängen von der verschie- denen Lage der Punkte gegen die erstern ab, und sind daher von einem Punkte zum andern veränderlich. Die jetzt zu erörternde Methode, Punkte zu be- stimmen, besteht nun im Wesentlichen darin, dass, als unveränderliche Stücke, gewisse Punkte genommen wet- den, die ich Fundamentalpunkte nennen will, und der zu bestimmende Punkt als Schwerpunkt derselben - gedacht wird. Die veränderlichen Stücke oder die Coor- dinaten sind demnach hier die Verhältnisse, welche zwischen den Cocfficienten der Fundamentalpunkte statt finden müssen, damit der zu bestimmende Punkt dieser Pünkte Schwerpunkt sey: Zur Vollkommenheit einer Bestie wird erfordert, dass beliebig gegebenen möglichen Wer« then der Coordinaten immer ein und nicht mehr als ein gewisser Punkt entspreche, und dass umgekehrt für ira 83 gend. einen gegebenen Punkt,jede der Coordinaten im mer und nur. eihen möglichen Werth erhalte. Da nun jedes gegebene System von Punkten und deren Coifh- cienten immer und nicht inchr als einen Schwerpunkt hat ($: &) ,..so' ‚wird hiermit der ersten dieser Forde- rungen immer Genüge geschehen. Wie aber auch die aweite-Forderung erfüllt, und: jeder gegebene Punkt als Schwerpunkt der Fundamentalpunkte mit, nur auf eine Weise bestimmbaren,; Coöfficienten: betrachtet werden könne, ‚dies ergiebt sich unmittelbar aus den’ Sätzen &22: 5, .&245, 8.26, wie wir sogleich mit Weis terem sehen werdem Bestimmung eines Punktes in einer geraden Linie, 8. 29. Man nehme als Fundamentalpunkte ir gend zwei Punkte 4,3: der Geraden; so ist; wenn man pA+gB=P selzt, für jeden gegebenen Werth des Vers hältaisses p:g ein Punkt ? der Geraden bestimmt, und umgekehrt ist mit jedem Punkte ? der Geraden auch das Verhältniss p:q(=BP:PA) gegeben ($. aa. 5) Heisse daher p4+gB der Ausdruck des Punktes 7, $. 30, Durch die Fundamentalpunkte 4, 3 wird die Gerade i in drei "Theile getheilt, von denen der zWwis schen 4 und B högriffene endlich, die beiden ändern unendlich sind: Haben nun ? und g einerlei Vorzeichen, so liegt ? in dem endlichen Theile. Sind überdies p und‘g einander gleich, so wird ? der Mittelpunkt von »4B, der daher 4+ B zum Ausdrucke hatı Ist der Cotf- Kicient des ‚einch F.punktes =o;, so fällt 7 mit dem an« dern selbst zusafinmen« + Sind die Vorzeichen von p ünd q verschieden ; so liegt ? in dem unendlichen Theile auf » der «Seite von 4, oder in dem.äuf der Seite von 2, ja ‚ nachdem p “oder g der“absolut grüssere Cofticient ish ‘ “ G 34 (2.3.2) Für pe=—g, wird‘? ein unendlich: entfern- x ter Punkt der Linie, dessen Ausdruck daher‘ 4—B oder B— 4 ist (8. 9): v Bestimmung eines Punktes in einer Ebene. $&. 31.» Man nehme zu Fündamentalpunkten beliebige drei Punkte 42, C der Ebene, die nicht in einer Geraden liegen. Die drei sie verbindenden Gera den BC, C4, AB heissen Yüundamentallinien, und das von diesen begränzte Dreieck 43C das Fundamen= taldreieck. Setzt man nın pA+g2B+rC=P, so entspricht beliebig gegebenen Werthen der zwei im p:g:r liegenden Verhältnisse “ein gewisser Punkt ? der Ebene. Und umgekehrt, ist irgend ein Punkt ? der Ebene gegeben, so sind damit auch die Werthe der Verhältnisse p:q:r immer und ohne Zweideutigkeit bestimmbar (8. 24.2). Heisse wiederum p4+gB-+rC der Ausdruck id Punktes >? - Als Coördinaten können hier nach $&. 23. act die | & | h PAB, welche P_ mit den F.punkten bildet, angesehen Be - gegenseitigen Verhältnisse der drei Dreiecke PBC, PCA, B “—— werden. } er 3 8. 32. Durch die drei F.linien wird die Ebene in j IR sieben Theile zerlegt, von denen der eine das F.dreieck ‚selbst ist, die sechs übrigen aber unendliche Flächen | sind; die wir nach Angabe der ten Figur mit ZB, 2C, CA, 48, 4,3, TC bezeichnen. Wir wollen nun » die Relationen zu bestimmen suchen; die zwischen den t Coäfficienten von A, B, C stati findeny je nachdem 2 in dem. einen oder andern dieser Theile enthalten ish BB 5 Zu diesem Ende sy gB+rC=X, so ist pA +(g+r)X=/, und X derDurchschnitt der Linien 3 und 42 ($.23.)- Angenommen nun, dass g und: r gleiche Zeichen haben, so liegt ($: 30.) X zwischen Z und C, und die Linie APX geht durch die Felder 4, 480, 50, und zwar durch das erste mit dem Ausserhalb 4X auf der Seite von 4 befindlichen Theile, durch das, zweile mit dem Theile 4X selbst, durch das dritte mit dem ausser halb 4X auf der Seite von X gelegenen. Di hun P=pA4(g+r)X, so fällt? in den er= Sten dieser Theile, also ın das Feld 7, wenn p abso= lut grösser als die Sümme g+7; aber ihr entgegenge- "setzt ist; in den zweilen Theil, mithin in 750, wenn p mit g+r von einerlei Zeichen ist, d: h. wenn >, g und 7 einerlei Zeichen haben; in den dritten Theil öder in 30, wenn g-+ ahsohtt grösser als ? und ıhm entz gegengesetzt ist: In Vu; liegt deiinach l: ° in 42T, wenn p,9,? einerleı Zeichen haben, h) ( in ZT, wenn g+r >p und eben so N. in EZ wenn r+p>q in AB, wenn pFI>r . 1 fin 4 wenn # >44? tind eben sö | Al. in 3, wenn ga>r+p ’ .ın C wenn r >p-+9q mit der nöthwendigen Bemerküng, dass iiminer dıe zwei auf der ‚einen Seite des Zeichens (>) befindlichen Coefs ficienten einerlei. Vorzeichen unter sich, das entgegen= - gesetzte aber von dem auf der andern Seito stehenden RER ' u N En 36 Pr In dem see Falle, wo der Co&fhicient des ei- nen F.punktes =o ist, liegt ? in:der F.linie, welche die beiden andern F.punkte verbindet: Sind die Co&£- ficienten zweier F,punkte, jeder einzeln, —=o, so.ist ? der dritte F.punkt selbst. Ist endlich die Summe der drei Coöfficienten = haben also zwei derselben, z. B: q und r, einerlei Zei-. chen; und ist ihre Summe dem entgegengesetzten Wer= the des dritten p gleich, so ist ? ein unendlich enlfern- ter Punkt nach einer durch die Felder 3C und # sich erstreckenden Richtung, die von den drei parallel lau-_ fenden Linien durch 4 und den Punkt qg3+rÜ, durch B und rC—(g+r)A, durch C und —-(g+n) 4+g2 bestimmt wird. ($-.9.). Unbestimmt aber bleibt es, we- nigstens im Allgemeinen, ob ? in BC oder 4 enthal- ten ist. Da hiermit alle möglichen Fälle erschöpft sind, so gelten diese Sätze auch umgekehrt. Zusatz. Man setze p+g+r=—s, und are der Symmetrie willen D statt ?, so wird pAdA+gB+rC+D=o Weil p+g+r+s—o, so haben von diesen vier Co£fficienten entweder drei, z.B. p, g, r, einerlei Zei- chen, utid der vierte, #, das entgegengeseizte ; oder zwei derselben, z. B. p und g; sind positiv, und die beiden andern, r und s, negativ Im ersiern Falle liegt D innerhalb des Dreiecks ABC; im letztern setze man pdA+gB=—rC—seD=EZ, so ist Z der. Durchschnitt der Geraden 4B und CD und fällt, weil sowohl p mit q, als ” mit s einerlei Zeichen. hat, innerhalb der End- punkte beider Geraden, und mithin jeder der vier Punkte : 87 #4, B, €, D ausserhalb des Dreiecks, welches die drei übrigen bilden. Rücksichtlich der gegenseitigen Lage von vier Punkten in einer Ebene, können demnach im Allge- meinen zwei Fälle statt finden: entweder liegt einer der vier Punkte innerhalb, oder jeder liegt ausserhalb des durch die drei übrigen gebildeten Dreiecks. Im betztern Falle aber zeichnet sich unter den drei ver- schiedenen Arten, nach welchen die vier Punkte zw zwei, Paaren genommen werden. können, (AB, CD; AU, BD; AD, BC) die eine. Art vor den beiden an- dern dadurch aus, dass die zwes durch diese zwei Paare bestimmten Geraden sich innerhalb der sie be= siimmenden Punkte schneiden, dahingegen bei den zwei andern Paaren der Durchschnittspunkt immer ausserhalb, fällt. f Bestimmung eines Punktes im Raume. $ 33. Hierzu sind vier nicht in einer Ebene ent- haltene Fundamentalpunkte 4 B, C, D cerforder- lich. Die sechs, sie zu zweien verbindenden Geraden AB, AC, AD, BC, BD, CD heissen Fundamentalli- nien, die vier, sie zu dreien verbindenden Ebenen BCD, CDA, DAB, ABC Fundamentalebenen, und die von diesen vier Ebenen hegränzte Pyramide ABCD die Fundamentalpyramide. Der Ausdruck eines Punktes ? im Raume hat alsdann die Form: p4+4gB-+FrC+sD. Denn durch je- de gegebene Werthe der Verhältnisse der Coefficienten Pr; 8 ist auch der Punkt /, immer und ohne Zwei- deutigkeit bestimmt, : Und umgekehrt, ist ?_ gegebeny so erhalten auch jene Verhältnisse immer und ohne Zwei- deutigkeit bestimmte Werthe. Es müssen sich nämlich. \ FETT 38 die Cotfficienten wie die Pyramiden PBCD, — PCDA, PDAB, — PABC verhalten ($. 26, 5). Die gegenseiti- gen Verhältnisse der letztern können daher ebenfalls als die Coordinaten von ? bei dieser Bestimmung betrach- tet werden. $. 34. Die vier F.ebenen, in das Unendliche er- weitert gedacht, begränzen eine dreiseitige Pyramide und zerlegen den übrigen unendlichen Raum in vierzehn. Theile, Vier derselben sind unendliche Pyramiden, von denen jede zu ihrer Spitze eine der vier Spitzen der Fıpyramide, und zu ihren Kanten die verlängerten Kanten“ dieser Spitze hat. Ihre Bezeichnungen seyen naclı den Spitzen, an welche sie siossen : v7 T, D, Vier an- dere Räume sind ebenfalls unendliche, aber abgestumpfte Pyramiden, über jeder Seitenfläche der Pyramide eine derselben. Sie werden mach den en Seitenflächen, über welchen sie liegen, mit BC2, DA, DAB, ZBC heis- zeichnet, Die sechs übrigen unendlichen Räume. könnte man vierseiligePyramiden nennen. Nur laufen ihre vier Seiten nicht in,einer, sondern zwei Spitzen der. F.pyra- mide zusammen, so dass jede mit der Ep die zwischen diesen zwei Spitzen liegende Kante gemein, und die vier, Seiten der F.p., welche in den zwei Spitzen zusammen- treffen, über die- Spitzen hinaus erweitert, zu Gränzen hat. Wir ‚wollen diese Räume nach den m mit der, Ep. gemeinschaftlichen Spitzenpaaren durch IB, Z0, AD, 50, 29 Ci ausdrücken; die re EAN NAHE durch ZBCD, lern ah Um die gegenseitige Lage der Wnchäftchien" Räume bequem auffassen zu können, denke man "sich aus ir- gend einem Punkte der Pyramide mit einem unendlich” grossen IIRERAEREN, eine Kugel beschrieben, so wird jede 39 der vier» F.ebenen die Kugeliläche in einem grössten Kreise schneiden, und durch diese vier Kreise die Kugel- fläche in vierzehn, den eben so viel unendlichen Räu- men. entsprechende, Theile getheilt werden. Von dieser Kugelfläche in Bezug auf die Pyramide Fig. 5. ‘giebt Fig. 6. einen stereographischen Entwurf. Der mittlere Kreis stellt die Ebene BCD vor, der untere die Ebene CDA, von den beiden obern der rechte die Ebene D4B, der linke die Ebene 42C. Es soll nun eben so, wie in $. 30. und $. 32., ge- zeigt werden, wie durch die gegenseitige Relation der Coeffhicienten p, 5, s der Theil des Raumes bestimmt wird, in welchem der Punkt ?=p4+4gB+rC+sD ' - enthalten ist. Haben erstlich g, r,s einerlei Vorzeichen, und. sey gB+rC+sD=X, also pA+(g+r+5s) X=P, so ist X der Durchschnitt der Geraden 4P mit der Ebene BCD (8.25.) und liegt innerhalb des Dreiecks 3CD (8. 32.), und die Gerade 4P geht durch die Räume 4, Z6CD, BCD. Ganz auf die Weise, wie in’ $.32., wird nun auch hier bewiesen , dass der Punkt ? liegt:- l.©in 428CD, wenn. p, q, 7, 8 einerlei Zeichen haben; inB CD, wenn g+r+s>p, und eben so I. in wa, wenn r+s+p >g u. 5. w. up MM 'in 7, wenn PRIPRLR und eben so - er B, wem g>r+> +p PORTETREN u. s. w. ya Auie auch hier bei.den Formeln II. und IH. die in ; Zul m ar Bald ba a Paz u ne aid zu Dana? ee re + 40 Me —— — ee $: 32. gemachte Erinnerung in Betreff der EOHRRA wiederl:olt werden muss. i Seyen ferner p und’ g positiv; = und s negativ, Fr umgekehrt, und absolut p+g > rs: Man: setze p4 +g4B=M und rC+sDEN, also (p+g) MH +3) N SEP, so liegt #7 in der F.linie 42 zwischen 4 und 2, und N in der Rlinie CD: zwischen C’und 2. 'Wieman bald wahrnimmt, ist folglich die Gerade MN mit\‘dem ewischen M und N begrilfenen Theile in’der F.pyramide selbst, mit dem "heile über M hinaus in dem Raume, 78, und mit dem Theile über N hinaus in dem Raume CD enthalten. Da nun p+g und r+s entgegengesetzte Zeichen haben, und absolut p+g >r+s ist, sa liegt ? in’ der Geraden MN, und zwar in dem über M bin, aus sich \ erstreckenden Theile derselben, d. h. in dem Raume ZB. P liegt also ( in 28, wenn-p+qg>r+s, und Pr o.. i v IV. $ in 46, wenn p+r>g+s h . u. Ss. W. ; Ki mit’ demselben Zusatze in Betreff der Vorzeichen, wie ‘ vorhin. In dem speciellen Falle, wo einer der vier Cork eienten, 2.B. p=6 ist, fällt ? in die F.ebene, BCD.. Sind zwei Gaäfkcienten zugleich, z.B. p und g =o, sa liegt ? in der F.linie C2; und wenn drei Coöfhicienten, %B.p, qg und r —=o sind, so fällt ? mit dep F.punkte D zusammen. he Wenn endlich,. ohne dass jeder Coöfhcient einzeln TIZURTTZETTERETV ORTE e | St 0, die Summe aller =o ist, und daher entweder drei Coöfhicienten z. B. g, r,s einerlei Zeichen , aber das entgegengesetzte von dem vierten p haben und ohne i ae auf die ‚Zeichen g+r+s=p ist, oder zwei / 41 Cotfficienten‘z. B. p, g positiv, die beiden andern n% negativ sind und absolut p+g=r+s ist, so liegt 2 von der‘ F.pyramide unendlich entfernt. : Die Richtung; nach welcher er liegt, wird‘ im ersten Falle durch Paral- lelen mit der durch die-Punkte 4 und gB+ rC 4.2 gelegten, Geraden, und im zweiten durch Parallelen mit der Geraden durch die Punkie p4 +gB und rE + sD bestimmt. Im ersten Falle liegt er also im Raume Z oder BID, und im zweiten im Raume 42 oder [771 Alle Sätze dieses $. gelten übrigens auch umgekehrt, Vergl. $. 32. Zusatz. Man seize ptg+r+s=—1, so wird pA+gB+rC+sD+1E=o, wenn man noch der Symmetrie‘ willen. Z für 7. schreibt, Da nun p+g+r’+s+i>=o, so haben von. diesen, fünf Coöfficienten. entweder vier, z, B: 9,9, 7; & einerlei Zei- chen, und der fünfte.# das entgegengesetzte, oder ‚drei Coöfficienten, z. B: ?, 9 7, sind mit einerlei Zeichen, und die beiden übrigen s, # mit dem ‚entgegengesetzten be+ haftet. Dem zufolge giebt es rücksichtlich: der. gegen seitigen Lage von fünf Punkten im Raume,.,eben so wie 8. 32, Zus., im Allgemeinen zwei Fälle. Im.ersien liegt ein Punkt, E, innerhalb der ‚Pyramide, von welcher die vier übrigen, A, B,C, D, die Spitzen sind, Im zweiten Falle setze man pA+gB+rC=— (sD+tE) =F, so ist Z der Durchschnitt der Ebene 42C mit der Geraden DE, und liegt sowohl innerhalb der, Drejecks- fläche ABC, als auch innerhalb der Punkte 2 und.Z, Wie ‘man bald sieht, zs£' also in dem zweiten, Falle jeder Punkt ausserhalb der von den. vier übrigen ger bildeten Pyramide enthalten. Zugleich aber. zeich-: net sich unter den zehn ‚Geraden, welche, die, fünf 4? Punkte zu zweien verbinden, die eine vor den übri- gen dadurch aus, dass ihr Durchschnitt mit der Ebes ne durch die drei übrigen Punkte, ‚sowohl innerhalb des Dreiecks dieser leiztern, als auch innerhalb. der zwei sie selbst bestimmenden Punkte fällt. ‚Veränderung der Fundamentalpunkte, . 8.35, Sey ein Punkt ? in Bezug auf zwei, drei oder vier Fpunkte 4, 2,.,, je nachdem er in einer ge- raden Linie, in einer Ebene oder im Raume enthalten ist, auf die eben gezeigte Art gegeben. Es wird ver- langt, den Ausdruck von ? auf zwei, drei oder vier andere F.punkte A,, B,,.. bezogen zu finden, vorausge- setzt, dass die letztern F.punkte in Bezug auf die er- stern ebenfalls gegeben sind, Offenbar ist diese Aufgabe der Veränderung, der Axen eines‘ gewöhnlichen Coordinatensystems: analog. Man weiss, dass dieses Geschäft, »— eines der wichtig- sten in der analytischen Geometrie, — wenn’ auch mit keinen Schwierigkeiten verknüpft, doch näch- den! ver- schiedenen Fällen mancherlei Umsicht nöthig 'hat, und Anwendung von Formeln erfordert, die dem‘ Gedächt- nisse nicht immer zu Gebote stehen. Dagegen bedarf man zur ‘Veränderung der F-punkte nur der einzigen, aus der Natur der Sache selbst fliessenden und» anf] 1 den Fall anwendbaren Regel; nasinng: inf Sind die neuen F,punkte 4,, B,,:-s durch‘ die Bere 4B Er en so suche man‘ umgekehrt Die ‚Substitution dieser Werthe‘ in dem Ausdrucke, von ® Kara das Verlangte.‘ ö Sy Die’ Sache ist so ei dei Blase Beieil e ” zur‘ Erläuterung vollkommen ‘hinreichen wird. ı sa al 43 8. 36, Beispiel, Seyen in einer Ebene die neuen F.punkte 4,, B,, C, die Mittelpunkte der Seiten des al- ten F.dreiecks 43C, 4, der Mittelpunkt von BC, 2, von CA, C, von 4B; so hat man die Gleichungen ($: 30.): | 24,=B+0C, 23, =C+A 20,=4+B, woraus sogleich folgt; 4=B,+0,— Ay, B=0,+4,—B,, C=4,+B,—C, Ist nun der Ausdruck irgend eines. Punktes ? der Ebene ‘in Bezug auf die alten F,punkte; } P=pA+gB+rG, 0) ER in Bezug auf die neuen; P=p(B,+C,—4,)#9(,+4,—B)+r(4,+B,—0)) di Pe@tr—pA+ctHr—)B+ß+g—r)0, Anmerkung, Man hat ($. 52.) gesehen, wie aus dem gegenseili- gen Verhalten der Coiffieienten P: 9; r beurtheilt‘ werden kann, in welchem. der sieben. Felder, . worein die -Ebene., durch,.die , drei F.linien BC, CA, AB zerlegt wird, der. Punkt R sich befindet, + Auf eben die Weise ‘wird man nun miutelst der Coöffcienten grr=pur-FPp—g: p+g=-r, also ursprünglich auch mittelst Por angeben können, in welchem der sieben Felder, worein die neuen F.linien B,C,, C,A,, A,B,, d. h. die Linien durch die Mit- telpunkte der Seiten des F.dreiecks ABC, die Ebene theilen, der Punkt, 2 uthalten ist, Heissen diese Felder, analog der in $. 52, PERF IRER, Be- zeichnung, 4,2;C,, B,0,, A, us. w., so wird man ohne Schwierigkeit ‚folgende Resultate finden ; ' Der Punkt Pliegt I. .in. 4,8,C, , wenn p3 'q,\r.‚einerlei. Zeichen haben, und in ab- solutem Sinne die Summe ‚ie zweier Coäfficienten grösser ala Air dritte ist I. in BC, C,, wenn ohne Rücksicht auf die Zeichen p > a in O,A, yweun us win ou X» 2 u. in A, , weon p ein von dem m rc Ro Kokffeien« "3 gen 'yerschiedeties Vorzeichenhat, ‘und nächstdem "ohher Rücksicht auf die Zeichen die Summe je zweier Coäffcienten u als ‚er drite ist; in Z,, wenn u. 5 Wr ‘ % 44. ‘ Saar "..... „.Ditrch_ die‘ drei_ ursprünglichen -F.linien BO,.4 und die drei _ penen Bu wird die Ebene in sechszehn Theile zerlegt, von denen vier Theile endlich und zwölf unendlich sind. In Verbin- dung der ‚oben gegebenen Kennzeichen rücksichtlich der ersterm F.linien, ‚mit den jetzt aufgestellten rücksichtligh der letztern, lassen, sich nun leicht die Kennzeichen für jedes dieser sechszehn Felder. - einzeln finden. Allein die weitere Ausführung hiervon, so wie sach den Beweis für die eben gegebenen Regeln, muss ich, yın nicht zw weitläufg zu werden, den Lesern selbst überlassen, Viertes Capitel, Von Ausdrücken gerader EA und Ebenen, 6, 5% Berzeichnen E und E’.zwei Punkte, so. ist E-+wE* der Ausdruck eines Punktes in der durch Z und E' bestimmten geraden Linie, und zwar jedes beliebigen Punktes dieser Linie, wenn es frei steht, dem Verhält- nisse ı ıw jeden beliebigen Werth beizulegen (8.29.). | Man kann ‚daher den Ausdruck Z+wE", sobald darin w als eine veränderliche Grösse genommen wird, den Ausdruck der geraden Linie ZZ“ selbst nennen, indem die Construction desselben alle in With ule begriffenen Punkte giebt. I. Ausdrücke gerader Linien i in einer Elan Ka Sr 38; ° Söyen nun Z und Z* zwei Punkte einer Ebe- E ne; die F.punkte derselben heissen 4, 2, ® und sa us diese bezögen sey: R re eE=a4rbBreQ, Dzasr Bel; “ so "Wird, "wenn man statt w de.N eränderfiche. v einführt, ob. 55 oe ve! mi Joel; so dasw =: \ Eh, 43 \ E+-wE'=sE+4 ve E = \ (a4 a) A+ +85) B+(c+%) Ci ‘ Dieser letztere Ausdruck mit der Veränderlichen » ist also der Ausdruck einer Geraden, . welche ‘durch die zwei Punkte uA+bB-+cC und #4+5’B+e'C der Ebene geht, und folglich der allgemeine Ausdruck für eine gerade Linie in einer Ebene, weil die Ausdrücke der beiden Punkte vun ganz allgemeiner Form sind. $. 39. Zusätze. @. Eine gerade Linie in einer Ebene wird im Allgemeinen jede der drei F.linien ZC, CA, AB der Ebene schneiden. Es geschehe dies resp, in den Punkten 4, B’, ©. Für diese Punkte der Linie sollen nun die speciellen Werthe der Veränderlichen # in dem Ausdrucke der Linie, und somit dıe Ausdrücke der Punkte selbst gefunden werden. — Da der Punkt 4 zugleich in der F.linie 3C liegt, so ist für ihn in dem Ausdrucke der Linie der Coäfficient von 4, a+«'v =-0 (8. 33.), folglich o= = Z. Substituirt man die- sen Werth in den Coefficienten von 3 und C, so kommt: ‚A =(ab'— ab) B—(ea'—e’a)C. Setzt man ‘noch der Kürze willen: beib/e=u, cat daß, ab'—ab—y, (ı) so wird». 2... g-MAA4=yB—BC\. und eben so findet sich («—y) B’=oC—y4, % (2) R* (6—«) PERFPRIHEN | db. Da die drei Punkte 41, B', C’ in einer Geraden liegen, so muss auch zwischen ihnen allein eine Glei- chung statt finden. In der That dividirt man die drei Gleichungen -(2) resp: mit y, ya, aß, und addirt sie hierauf, so kommt: G-HrHG-H)Pr@4)0 46 e, Wenn man in. dem. Ausdrucke einer geraden Li- nie in einer Ebene; der Veränderlichen # einen solchen Werth giebt} dass die Summe der drei. Coäfhcienten f ‘ null wird; so erhält man den Ausdrück für einen in- endlich entfernten Punkt der Linie ($ 32), Nun ist jene Summe =«+b+c+(a'+b’+c')r; folglich, wenn man sie =0 setzt! v— — a . Diesen Werth von v in dem Ausdrucke substituirt, ergiebt sich der Codf R Er aa +b+o)—arlarb+e) Rd ficient von 4; = TTaT aber ee \ F * sep ; A ae 7 und eben so die Cokfficıenten von B und 6 Fa und ae Hiernach : wırd,; nachdem man mivot jeden Coefhicienten mit — (@’+5’+ 7) multiplicirt hat, der Ausdruck für den unendlich wre Punkt der ’ Linie: e BeNyA+Y—a)Br+le—Pp)C ' Man begreift leicht, dass dieses Verfahren auf die. Entwickelung von rat „r En un ER hinausläufi. Z—F ist aber der Ausdruck des in der j Geraden ZE’ unendlich entfernten Punktes, £>». ; 0 Weil 44, B', © ebenfalls Punkte der geraden Linie sind, 50 werden auch BC, = 4, 4#=B’ Aus- drücke des unendlich entfernten Punktes seyn und, nach A, B,C entwickelt, zu demselben Ausdrucke sa müssen. So ıst z.B ä yA—0aC ie «B— #4 Dr AR 'Yy—& a— "aß ’ i ) “ 2 2y=MAd=aly-a)Ba ec ie BEN re) —P)n., kuanaid n A SA W-WBre ne EN x r wie vorhini .“ - Bl 47 Am einfachsten ‚aber gelangt man zu: diesem Aus- drucke durch Addition »der Gleichungen (2). Diese giebt! \ “ G-DH4 (a=7)B'HB-e)C—=(B-Y)AHF-a)B+a-P)C. Da nun hierin zu beiden Seiten des Gleichheitszei- chens die Summe der Co@fficienten —=o ist, so sind auch die Ausdrück® auf der einen und ändern Seite entweder _ =0; oder zeigen einen unendlich entfernten Punkt an. Ersteres kann aber nicht seyn; weil die drei Punkte A; B; C rechter Hand nicht in einer Geraden liegen, auch die Coöfficienten derselben nicht einzeln = sind (8. 27.), Mithin wird durch beide Ausdrücke ein un- endlich äntfernter Punkt dargestellt, und zwar > in der Geraden 4B’C' enthaltene; & 40, Der allgemeine Aüsdruck einer geräden Li- nie in einer Ebene lässt sich, seiner Allgemeinheit un- beschadet, auf eine weit einfachere Form zurückbringen. Er wurde erhalten, indem man die Ausdrücke irgend iweier Punkte der Linie nahm, und den einen dersel- ben, mit einer Veränderlichen multiplicirt; dem ändern hinzufügte. Da nun die Wahl dieser zwei Punkte durch nichts bedingt ist, so ‘nehme man hierzu zwei von den Dürchschnitteni mit den F.linien selbst, indem die Aus- drücke der Dürchschnitte nur aus zwei F.punkten zu- sammengesetzt sind: So geben z.B. die zwei Durch- schnitte 4’ und B’ mit einander verbunden, den Aus« ‚druck der Linie: : y4A—ac+:yB-PO)=A+zB—! _ Gi Zu demselben, Versace Ausdrucke kann maü aber auch mittelst blos analytischer Operationen ; durch 48 | Einführung: einer andern. Veränderlichen, Selangen. In dieser Absicht setze man in «dem allgemeinen Ausdrucke: - (a+a') A+(b+d%)B+(ce+cWw)C zuerst a+a'v—=t, so dass £ die neue Veränderliche ish —äa ws und Hierdurch wird #» —= ; TR a Re a' a! ae — ae elt + et er Er R wenn wir äür Abkürzung wiederum die Buchstaben wa in der bisherigen Bedeutung geüörimen, anwendeij und der Ausdruck erhälerdie Förmi BER. ©} nl y ah B+ erg Man dividire ihn durch 2 und setze z = u, 5» > wird er: N hi bt 3 j ' ;: Man nehme nun = zut Veränderlichen = & N bıismd'% x s0 wird 2= = Ind ’ 7% E+Bu_oytba_ Be uhr | a' aly Y 7 weıl immer «’« + b’8 + ey=o Hierdurch ‚verwändelb sich der Ausdruck ini \ 0 a+ Pr. c y ‘ “x A+3&B- —- - wie vorhin: — Noch etwas einfacher wird er,’ wein man ag Z—fünd tr SERBLFT Bi, \ A++B+ (fer) ©; wo nur noch zwei Constanten vorkommen; - 49 $. 41. Aufgabe. Die Ausdrücke zweier ‚gerader Linien in einer Ebene sind gegeben : IL 4+2x2B+(a+b:) C, U. 4+yB+(a'+by) C. Den Ausdruck für’ den Schneidungspunkt der Linien und die Bedingungsgleichung für ihren Parallelismus zu finden, ‚Auflösung. Da durch I. jeder Punkt der einen, und durch Il. jeder Punkt der andern Linie ausgedrückt wird,- so verlangt die Aufgabe nichts anders, als, für x und y solche Werthe zu finden, für welche der durch I. ausgedrückte Punkt mit dem durch II. ausgedrückten identisch wird. Für diese Werthe von x und y müssen sich aber nach $. 24. a. verhalten: 1:m:a tb ı:y:a'+ by. Hieraus folgt ==y, a+br—=a +bYy und «—=y =— ei? Diesen Werth für x oder y in'I. oder II. substituirt, erhält man den gesuchten Ausdruck für den Schneidungspunkt: (b—b') A—(a—a')B-+(ab—ab’) C. ‚Ist die Summe der Coäfficienten "dieses Ausdrucks =o, so liegt der den Linien gemeinschaftliche Punkt unendlich entfernt, d.h. die Linien sind sich parallel. Die Bedingungsgleichung für den Parallelismus der Li- nien I. und II. ist daher: b—b’—ar+a+ab—ab'—=o. Dieselbe Relation ‘lässt sich auch noch folgender- weise erhalten. Für den unendlich entfernten Punkt der . Liniel. ist: ı +2x+a+b2—o, alor-—=— j 5: durch wird der unendlich entfernte Punkt selbst: () G+94-(1+9B+@—) % Hier- 50 Eben so findet sich der unendlich entfernte Punkt der Linie H.: (2) 1 +5) A—(ı+ a) B+(a—b') C. Da nun zwei Parallellinien als solche angesehen werden können, die in einem unendlich entfernten Punkte sich schneiden, so wird bei stattfindendem Parallelis- mus der Punkt (1) mit dem Punkte (2) zusammenfallen und mithin sich verhalten müssen: \ "Br ıtb:ı ta:a—b=ırb:ıtat:a —br. Dies giebt die Bedingungsgleichungen: ıka_.ı+a ıta _ı4a, a en Ara die unter sich und mit der vorhin gefundenen identisch sind. $. 42. Aufgabe. Es sind die Ausdrücke dreier gerader Linien in einer Ebene gegeben: A+xB+(a+bx)C, € A+yB+(a'+by) C, A+2B+ (a +b!z) C. Die Bedingungsgleichung zu finden, bei welcher sich die . Linien in einem Punkte schneiden. Auflösung. Hierzu ist nöthig, dass die ige nen Ausdrücke für gewisse Werthe der Veränderlichen %, 9, z einen und denselben Punkt darstellen können. Für diese Werthe muss also nach $. 24. «a. seyn: r v—y=2 und a-+bx—=a' +by—al' +b'z. Eliminirt man daraus x, y, z, so kommt: ab — ab! Laub — ab!' Hab! — abo, als die gesuchte Bedingungsgleichung. 51 $. 45. Aufgabe. Die Bedingungsgleichung zu fin- den, bei welcher drei durch ihre Ausdrücke gyupeäer; Punkte einer Ebene =aA+bB+C P=a44bB+C Par 4+buB+C in einer Geraden liegen. Auflösung. Sollen ?, P’, P“ in einer Geraden ° enthalten seyn, so muss es ($.22. c.) drei solche Ver- hältnısszahlen &, A, & geben, dass kla+b+1) P+k(a’+b’+ 1) P/+%” (ar +60 + YPi=o ist. Setzt man hierein ?, P‘, P“ durch 4, B, C ausge= drückt, und ordnet gehörig, so kommt: Cab + ak + ar) AH (bE+ br + bus) BH(H KHK bie Da nun 4, Z, € nicht in gerader Linie ei ‚so muss nach $. 27. ab+arktaut—o, bet br + bWE0 0; E+k+Er —o seyn. Aus den zwei ersten dieser Gleichungen folgt: k:ktıkt —atblH — atb';at'b — ab! ;ab!— at, und hieraus in Verbindung mit der dritten: arbı — ab’ + allb — ab! --ab'— ab=o, als die gesuchte Bedingungsgleichung. 8. 44- Ich füge noch die Ausdrücke für einige spe- cielle Lagen einer geraden Linie gegen’ das F.dreieck hinzu. Geht die Linie durch zwei F.punkte selbst, z.B. durch 4 und B, so ist ihr Ausdruck: 4+ RB; der mög- lich einfachste. "Geht die Linie nur durch einen F.punkt z.B. 4, so sey irgend ein anderer in ihr liegender Punkt =a4 +öB+ eC. Der Ausdruck der Linie wird alsdann seyn: Da 52 »At+aA+bB+el= („+a) 4+bB-+cC, oder, wenn man die Veränderliche #»-+a@=x setzt: xA+bB-+ecC. Ist also die Veränderliche nur in einem der drei Coäfficienten enthalten, so gehört der Ausdruck einer durch diesen Punkt gehenden Geraden an. — Der Punkt, in welchem diese Gerade die F.linie 3C schneidet, ist =5B+4cC. Für ihn selbst ist zo, ünd für den Punkt ; 4A, 8, Läuft die Linie mit einer der F.linien z. B. mit BC parallel, so kann man sie als eine solche betrachten, " welche BC in dem Punkte B— C schneidet. Der allge- meine Ausdruck einer solchen ist daher: @&4+5B+cC +:(B—0), d. 1. ad+(b+:2) B+(ce—x) C. Eine Parallele mit BC, welche zugleich durch d geht, hat den Ausdruck: #4+B—C. Eben so ist der Ausdruck einer Parallele mit 40 durch ZB: A+yB— C, Für z=ı geht der erstere, und für y=1 der letztere, Ausdruck in 4+2—C über, welches mithin der Durch- schnitt beider Parallelen, d. h. derjenige Punkt ist, wel- cher mit 4, C, B die Spitzen e eines s Parallelogramms bil- det. Vergl. $.36. I. Ausdrücke gerader Linien im Ba HER überhaupt. $. 45. _Seyen wiederum EZ und EZ’ irgend zwei Punkte der Linie, und als Punkte des Raumes gedacht und auf die vier F.punkte 4,2, C, D bezogen: eE=aA+bB4+oC+qdD, eE—=aA+b'B+cC+dD; 53° so wird’ der Ausdruck der Linie: eE ve E— (a+ar) A+(b+b'v) B+ (c+e'v) C+(d+d'r) D, welches daher der allgemeine Ausdruck einer geraden Linie im Raume ist. . 8. 46. Zusätze. « Im Allgemeinen schneidet die Linie jede der vier F.ebenen; heissen diese Durchschnitte mit BCD, :CDA, DAB,’ ABC resp. 4, B', C’, D'. Die Ausdrücke derselben ergeben sich aus dem der Linie auf ähnliche Art, wie 8.39. @& So muss z.B. für 4, als einen Punkt in der Ebene 3CD, der Coefhicient von 4, d.i. a+a’v=o, folglich ——- seyn. Diesen Werth von # in den übrigen Co&fficienten substituirt, und zur Abkürzung ab'— ab=a, ac—ate—ß, ad' — ad—y bet— bed, bdl bis ed — ed—E G) gesetzt, erhält man: («+P+r)L=aB+BC+yD und eben so (d+2.—a) #’—= 5C+:D— aA (B+5— 2) =BA+5B—tD (tet) D=y4+EeB+ SC ‘ b. Weil die vier Punkte 4, B‘, C’, D’ in einer Ge- raden liegen, so muss zwischen je dreien derselben be- sönders' eine ‚Gleichung Statt haben. Um diejenige zu finden, welche zwischen 2°, C”, D’ 'obwaltet, multiplicire man die drei letzten der Gleichungen (2) resp. mit —b = d, addıre sie: hierauf, und es kommt: ö(yte+t) D’—Llö+e— a) B’— eg +5— 8) C' ı =(a—ßs+ 75) 4. A Da aber ‘3%, C‘, D* Punkte der geraden Linie sind, und der F.punkt 4 im Allgemeinen ausserhalb dersel- ben liegt, so muss nach '$. 27. der Coefficient von 4 (2) u a 54 e—Betyd=dlytetrs)—L(öt+2e— a)— el +5—L) =o seyn. Diese durch geometrische Betrachtung erhal- tene Relation zwischen «, ß..& bestätigt sich auch durch Rechnung. Denn multiplicirt man von den zwei aus (r) sehr leicht fliessenden Gleichungen ad — dB + ca = o, ad— b’ß+c'a—0, .die erste mit d’‘, die zweite‘ mit d, und zieht hierauf die eine von der andern ab, so kommt, mit wiederholter Anwendung von (1), dasselbe Resultat. Es ist demnach: &(öte— 0) B’te (+5 — 8) C =ölyteti) Dr ucbenso L(atß+y) 447 (8+5— 8) = B(ytett) D’ 7 (&+.—a) B’ta (yte+5)D’ =e(atpt7) 4 B(öte— a) B+a (+5 — EC = Öla+p+y) 4 e. Um den Ausdruck des unendlich entfernten Punk- tes der Linie zu erhalten, hat man, wie $. 39: e., im Ausdrucke der Linie die Summe der Co@fficienten =o zu atb-+c+d + +c0+@? init nach gehöriger Reduction den Ausdruck des Punktes selbst: (t+B+Y)A+&+e—e) B-(B+5—8)C—(r+e+2)D. Denselben Ausdruck bekommt man auch durchEnt- wickelung von 4#—B‘, oder 1— Cu. s.w;5| wenn man dabei die identische Gleichung «&+yö—=ße.mit, zu Hülfe nimmt. — Am kürzesten endlich gelangt man zu dem Ausdrucke, wenn man die Gleichungen ‘(2) mit den Zeichen +, +, —, — addirt, und. hierauf eine ganz ähnliche Schlussart, wie in $.3g.e., anwendet; . setzen. Dies giebt v— — und hier- $- 47. Der allgemeine Ausdruck einer geraden Li- nie:im:Raume ($.45.) lässt sich, ähnlicherweise, wie in $:40.,, dadurch vereinfachen, dass man statt den zwei willkührlich in der Linie genommenen Punkten Eund.Z 55 zweı von den Durchschnitten derselben mit den: vier F.ebenen zu Grunde legt. So kann z.B. D%, als ein Punkt der F.ebene 480, =fA+gB+-LC, und €, als ein Punkt der F.ebene 4BD, =f’4A+g'B+D gesetzt wer- den.. Hiernach zieht sich der Ausdruck der Linie zu- sammen in: (Frf) At (gets) B+sCHD. Eben so, wie bei der geraden Linie in einer Ebene gezeigt wurde, kann dieser vereinfachte Ausdruck aus dem zusammengesetzteren auch durch analytische Um- formungen "hergeleitet werden. Da aber der hier zu nehmende Gang dem dortigen ganz ähnlich ist, so wol- len wir uns dabei nicht aufhalten. $. 48. Aufgabe. Die Ausdrücke zweier geraden Linien im Raume sind gegeben: (ax+a') 44 (bx+b) B+xC+D 4 (ey+a) A+ (By+P/) B+yC+HD. - Die Bedingungsgleichungen zu finden, wenn die Li- nie einer Ebene liegen, und darin einander parallel sind. Auflösung. Angenommen, dass die ‚zwei Linien sich in einem Punkte begegnen, so müssen, eben für diesen Punkt, die Veränderliche x im ersten, und die Veränderliche y im zweiten Ausdrucke solche Werthe erhalten können, dass dadurch die zwei Ausdrücke iden- tisch werden. Unter dieser Voraussetzung hat man nach 8.26. a. die Gleichungen: 1) aanta—=aytat, 2) be+b’—Py+ß, 3) #>y. Eliminirt man daraus x und y, so kommt: a—a..b—P (4) w—al. uU — pt? 56 als die Bedingungsgleichung, wenn die Linien einen Punkt gemein haben, mag dieser unendlich entfernt _ seyn; oder nicht; also überhaupt, wenn sich die Linien in einer Ebene befinden, Soll nun überdies der den zwei Linien gemeinsame Punkt unendlich entfernt liegen, d.h. sollen die Linien einander parallel seyn, so müssen für die bestimm- ten Werthe, welche x und y für den gemeinsa- men Punkt haben, die Summen der Coöfficienten in den Ausdrücken der Linien =o, also 4 (@tb+1)etatbtı=o, 5) («t$hı)ytatß-tı=o seyn. Man hat somit fünf Gleichungen ı)...5), welche , für den Parallelismus zugleich bestehen müssen, von denen aber jede eine Folge der vier andern ist, so dass nach Elimination von #& und y aus denselben nur zwei von einander unabhängige Gleichungen. übrig bleiben. Die eine dieser Gleichungen stellt (4) vor. Um eine zweite zu erhalten, eliminire man x und y aus 3), 4), 5), und es kommt: } “ (8) a+b+tı _ at+tß+ı k arb+ı arpHtı (4) und (B) sind folglich die zum Parallelismus der ‚beiden Linien erforderlichen Bedingungsgleichungen. II. Ausdrücke für Ebenen. 8. 4g. Die Lage einer Ebene wird durch irgend drei Punkte derselben bestimmt, die nicht in gerader Linie liegen. Seyen diese Punkte, auf die F.punkte des Raums 4,2,0, D bezogen: “ eE=aA+bB-+cC+dD eE'—=a! A+b'B+-oC+dD e! E" — a" Ab" Be CH duD. 57 Jeder Punkt aber, der mit Z, Z/, E* in einer Ebene liegt, hat nach 8.24. b. einen Ausdruck von der Form eE +eiwE+e"wE", wo # und % alle beliebigen Werthe ha- ben können. Substituirt man darin die F.punkte, so kommt; I. (atawtalıw) At (b+b'v +bUtw) Bt (ct c'v+c''w)C+(d+d'vtd'!'w) D. Dies ist also, » und # als Veränderliche genommen, der auf die F.punkte bezogene Ausdruck jedes Punktes der Ebene, oder kürzer, der allgemeine Ausdruck der Ebene selbst. _ 8. 50. Zusätze. a. Im Allgemeinen wird von der Ebene jede der sechs F.linien geschnitten. Man ‚begreift sogleich, dass, um den Ausdruck eines sölchen Durch- schnitts zu erhalten, man in dem Ausdrucke. der' Ebene » und » so zu. bestimmen hat, dass die Co@fhicienten der beiden F.punkte, durch welche die geschnittene F.linie nicht geht, gleich Null werden. . Um dieses auf die kürzeste Weise zu bewerkstelli- ° gen, setze man die Coefficienten der vier F.punkte atum+atw =p,\ b+ bo bw —g,] c+ cv ew=r, dt de + dw—s, | . und somit den Ausdruck der "Ebene selbst: : DM. p4+gB+rC+sD. Man multiplicire nun die vier Gleichungen ı) resp. mit a, ß, 7, 6, addire ‚sie hierauf und setze: var ßb+7c+öd= o, ae 2 arten | (aa + BbH }yetttödu=o, soistauch 3)ep + ßg + yr + =, 58 4 eine Gleichung zwischen den Coäfficienten des Ausdrucks, in welcher &, 8,7, ö Zahlen vorstellen „ deren gegenseiti- ges Verhältniss mittelst der „Gleichungen 2) aus .den ‚Constanten des Ausdrucks gefunden werden, kann. *) Diese Gleichung besteht für alle beliebigen Werthe der Veränderlichen # und #, und vertritt daher in Verbin- dung mit dem Ausdrucke II. die Stelle des Ausdrucks I. Nach dem Obigen sind nun für den Durchschnitt der Ebene mit 4B die Co@fficienten von C und D, also r und, —=o zu setzen. Hierdurch wird aß + ßg=o, mithin p:g=fP:— «, und der Ausdruck des Durch- schnittspunktes =p4+gB=P$4—aB. Ebenso leicht finden sich die. Ausdrücke auch für die übrigen Durch- schnitte, "und man bekommt, ' wenn man den Durch- schnitt mit"12 durch‘ (42), den mit 4C durch (4C), u. 's.'w. bezeichnet, nachstehende sechs Gleichungen: *) Dies geschieht am einfachsten folgendergestalt.- — "Mau addire die Gleichungen 2), nachdem man sie zuvor resp, mit A, 4’, k'4 mul- ‚ tiplicirt hat, und setze zur Bestimmung dieser neu eingeführten Hülfsgrössen ; | Be \ ? ck-Lc'k! -elku—o, ; dk -Fd'k' -duktmo, { alle so wird: 2 a (ak tat En alıkı) +P(bk Fb -bHkl)o,. , Hieraus folgt weiter: 2 ? k:ktkn—erdl —elid!;cHd— cd :cdı— cld, 0:B=(bk-+-b’k + bUkt): — (ak+ark! talk), Substituirt man nun in letzterer Proportion die Verhältnisswerthe von. k,' kl, kt aus der erstern und setzt’ zur Abkürzung be’d" — bettde + biettd— bledt! - brrcdı— bVc'd= (bed), . die eben so aus &% d, a,.c', d!, ... ‚zusammengesetzte Function = (da), u. 8. w., 50 verhält sich a: p=(ed): — (ed), % / und überhaupt: 0:B:7:8=(bod):—(eda):(dab): 0 is, sei 59 («—P) (48) =aB—B4, (67) (BO, =BC—yB, (a7) (AO) =a0—y4, ($—8) (BD) =D 58, (@—8) (AD)=aD—54, (—8) (CD) =yD—8C. db. Aus diesen Gleichungen ergeben sich folgende, zwischen ‘den Durchschnitten selbst statt findende, Re- lationen. Zuerst zwischen je dreien, die in einer und derselben F.ebene und mithin in gerader Linie liegen: 37, TR 1001 Byrı G-3 (CD)+ 38 (BD) + en BO =o, 3-2) 4D)+ (£-) 49+ (£-5) CD =», »ı FRER | 2; „2 ar (- 5) (48) + BT ;) (2D)+ (; % (AD) =o, en (BC) + (:-2) (40) + (3 (48) =o, - Da ferher alle sechs Durchschnitte in einer Ebene enthalten sind, so muss auch zwischen je vieren, welche nicht in einer Geraden liegen, eine Gleichung bestehen. Diese Gleichungen sind: (3) (424 (3%) Bor (= z)ton+ 3-2) (20) =, und eben so noch zwei andere, PL: die eine zwischen (42), (BD), (CD), (40), die andere zwischen :(4C), (BC), (BD), (4D). #32 "e. Im Allgemeinen ‘$chneidet die Ebene jede der vier 'F.cbenen. Der Ausdruck einer solchen Durch- schnittslinie, z.B. der in BCD liegenden, wird gefun- den, wenn man in dem Ausdrucke der Ebene den Co£f. ficienten ‘von A, a+aotawo setzt, ‘und 'mittelst der dadurch zwischen » und # hervorgehenden Relation die eine dieser Veränderlicheh aus den’ Coäffieienten der drei übrigen »F.punkte | eliminirt, — .Nochi leichter ge- 60 langt man zum Zweck mit Hülfe des Ausdrucks IH. und der zugehörigen Gleichung 3), die sich, für p=o, auf I* gB+rC+sD und 3*, Bg+yr+ös =o reduciren, und in dieser verkürzten Form dem Aus- drucke einer Geraden, der Durchschnittslinie mit BCD nämlich, gleich zu achten sind.. Denn eliminirt man. s . ” . . r mittelst 3*) aus II*,, und nimmt hierauf re; ‘ Veränderlichen „so kommt: 884 8:C— (B+7x) D, derselbe Ausdruck, den man auch durch Verbindung der in die F.ebene 3CD fallenden Durchschnittspunkte (BD) und (CD) erhält. d. Der unendlich entfernte Punkt dieser je ist: ‚-9B+R—P)C+HB—7)D. og so sind: ($—«) C+(@a—7) D+y—5) 4 («— PB) D+(B—9)4+(d— a)B P-NALL- Brad) 6, die unendlich entfernten Punkte der Durchschnittslinien der Ebene mit den F.ebenen CDA, DAB, ABC, $. 51.) Auf ähnliche Art, wie in $..40. und 8. 47. bei der geraden. Linie geschah, lässt sich auch, der all- gemeine Ausdruck der Ebene einfacher darstellen, in- dem man: zu den drei. sie bestimmenden "Punkten drei von den sechs Durchschnitten, mit.den F.linien ‚wählt. Seyen diese (4D), (BD), (CD), so konmty wenn man dafür ihre Werthe aus $. 50, a. nimmt, sie mit den. Ver- änderlichen x und y verbindet und gehörig ordnet;, R "844584 yC—(a+ Bey) 61 oder noch einfacher, wenn man = 7 =f, =, =g _ Le hrsetzt: / ö A+:=B+yC+(f+g°+1y) D. Dasselbe Resultat kann man auch auf analytischem Wege mittelst des Ausdrucks M. und der zugehörigen Gleichung 3) erhalten, wenn man aus ersterem mitielst der letziern, s eliminirt, und hierauf g:p und r:p zu den Veränderlichen x und y nimmt. 8. 52. Wenn in dem Ausdrucke einer Ebene die zwei Veränderlichen solche Werthe erhalten, dass die . Summe der Coeffhicienten null wird, so gilt der Ausdruck für einen unendlich entfernten Punkt der Ebene. Setzt, man daher die Summe der Coefficienten =o, und eli- minirt mittelst dieser Gleichung die eine der beiden Veränderlichen, so bekommt man einen Ausdruck, wel- cher alle unendlich entfernten Punkte der Ebene in sich begreift. In diesem Ausdrucke wird, unabhängig von der darin noch vorkommenden Veränderlichen, die Summe der Coöfficienten immer null seyn, so dass sowohl der von der Veränderlichen freie Theil dieser Summe, als der in sie multiplicirte, jeder für sich null ist. Ein solcher Ausdruck wird daher seiner Form nach einer ge- raden Linie angehören, welche durch zwei unendlich entfernte Punkte der Ebene gelegt ist, oder, wenn man will, er wird der Ausdruck einer unendlich entfernien Geraden seyn, von der sich aber eben so wenig bestim- men lässt, nach welcher Gegend der Ebene hin sie liegt, als man bei dem unendlich entfernten Punkte in einer Geraden die Seite der Geraden, nach welcher er liegt; angeben kann, 62 Zur Erläuterung diene der im vorigen $. gefundene vereinfachte Ausdruck. Die Summe seiner Coäfficienten 6— a+(d— P)x y—ö =o gesetzt, giebt y — . Eliminirt man hiermit y in dem Ausdrucke, so kommt nach einer leich- - ten Reduction: (—5)A+y—9#B4+[5—a+ (d—P) x] CH [e—y+P—N)] 2 ‚ der Ausdruck der unendlich entfernten Linie der Ebene. Die in ihm durch die Veränderliche x verbundenen Punkte sind nach $. 50. d. die unendlich entfernten in den Durchschnitten der Ebene mit BCD und CDA. Auf erstern Punkt reducirt sich der Ausdruck für x =», auf letztern für x =o. Setzt man ferner = — 23 | a so ergeben sich die Ausdrücke der U — und = — unendlich entfernten Punkte in den Durchschnitten mit DAB und ABC. 8. 53. Aufgabe. Die Ausdrücke zweier Ebenen sind gegeben: I. A+rB+wC+(a+ber+cw) D, Va U. 4+23B+yC+(@+bx+cy) D. Den Ausdruck ihrer Durchschnittslinie und die Be- dingungsgleichungen zu finden, wenn sie sich. parallel sind. Auflösung. Für einen gemeinschaftlichen Punkt . ‚ der beiden Ebenen ist: i 1) vr, 3), wi) a+bv + w—a'+bir}oty; mithin, wenn man x und y aus diesen drei Gleichungen eliminirt: . aa He —o+le—e)w=o. 63 Dies ist demnach die Relation, welche zwischen den “ Veränderlichen der Ebene I. für jeden Punkt, den sie mit II. gemein hat, stattfindet. Eliminirt man also mittelst dieser Relation aus I: die eine der beiden” Ver- ähderlichen, z.B. », so erhält man den Ausdruck der Durchschnittslinie: » (e — 0‘) A+ (c—e')vB— [a — a’ +(b—b/)v] [6 — [at —atc+ (bei—bice)v] D. Findet sich in diesem Ausdrucke die Summe der Coäfficienten, unabhängig von #, =o, so ist die den beiden Ebenen gemeinschaftliche Linie unendlich ent- fernt, d.h. die Ebenen sind sich parallel. Die Bedin-- gungsgleichungen für den Parallelismus sind daher: c— cl—a+ta— actalc—=o ce— cd —b+b_— beitbie—o, Ohne vorher den Ausdruck für die Durchschnittsli- nie entwickelt zu haben, lassen sich diese Gleichungen auch folgendergestalt leicht finden. Für einen unendlich ! entfernten Punkt der Ebene 1. ist: 4) ıtat(ıtd)et+(ite)w=o, — —-. 1: 5)ıtrat+hitö)et(tete)y=o. Sollen sich nun die Ebenen parallel seyn, so müs- sen alle gemeinschaftlichen Punkte derselben unendlich entfernt liegen , oder "analytisch ausgedrückt: alle Wer- ‚the der Vernderlichen v, w, x, 9%, welche den Gleichun- gen ı),2),3) Genüge leisten, müssen auch die Gleichun- gen 4), 5) erfüllen. Da aber jede dieser fünf Gleichun- gen eine Folge der vier übrigen ist, und mithin eine. derselben, z. B. 3), immer unberücksichtigt bleiben kann, so muss, wenn man aus ı), 2) und 5), x und, y elimi- nirt, nächst 4) zugleich 6) te +lı tö)e+(tt)#—=o 64 seyn, ohne dass dadurch # und » bestimmte Werthe er- halten. Es müssen folglich die ‚Gleichungen 4) und 6) nicht zwei verschiedene, sondern eine und dieselbe Re- lation zwischen # und # darstellen, und mithin die Co&f- ficienten der einen in denselben Verhältnissen zu einan- der stehen, wie die der andern. Dies giebt: = _— = _ welches demnach die Bedingungsgleichungen für den : Parallelismus sind, die von den vorhin gefundenen sich nur der Form nach unterscheiden. 8. 54. Aufgabe. Die Ausdrücke einer geraden Linie und einer Ebene sind gegeben: ; (auto) A+(Bu+ß)B+ucC+D, A+vB+wC+(a+br+cw) D. Den Ausdruck für ihren Schneidungspunkt, so wie die Bedingungsgleichungen ihrer Coincidenz und ihres _Parallelismus zu finden. Auflösung. Für diejenigen Werthe der Verän- derlichen, bei welchen diese Ausdrücke einen und den- selben Punkt darstellen, muss sich verhalten: aut ea :Bu+ B:u:ı=ı:v:wiatbotew. Dies giebt: (auta’)r—pu+P', (autar) wu, («u + a) (a+br+cw) 13 und wenn man aus diesen drei Gleichungen # und w eliminirt: 2 ı) alauta)+b(Bßu+ß)+cu=ı, oder num, wenn ’man aat+bBß+c—=n, 1 — au —bB'—=m setzt. Den hieraus entspringenden Werth von » in dem Ausdrucke der Geraden substituirt, erhält man den, der 65 — Geraden und der Ebene gemeinschaftlichen, Punkt, also ‚im Allgemeinen den Durchschnittspunkt: (am 4 a'n) dA + (Bm-+ p'r) B+ mC+ nD. Soll die Gerade mit derEbene zusammenfallen, soll also jeder Punkt der erstern zugleich ein Punkt .der letztern seyn,. so muss für jeden Werth von z in dem Ausdrucke der Geraden die Gleichung ı) bestehen. Es muss daher seyn: aa+bß+c=o, ı—au—bi'—o, die Bedingungsgleichungen für die Coincidenz, wodurch, was man noch bemerke, in dem Ausdrucke des Durch- schnittspunktes die Co@fficienten sämmtlicher vier F.punkte null werden. Ist die Gerade der Ebene parallel, so liegt der ih- nen gemeinschaftliche Punkt unendlich entfernt. Es muss daher für diesen Fall der sich aus ı) ergebende Werth von z zugleich der Gleichung 2) aurart Bu+ß’ ur ı=mo Genüge leisten. Die Bedingungsgleichung des Paralle-' lismus ist folglich das Resultat der Elimination von # aus den Gleichungen ı) und 2): ar +bßr arhptı an+bß+e atß+ı ' 8.55. Aufgabe. Die Ausdrücke dreier Ebenen sind gegeben ; I. A+1:B+uC+(a+bt+cu) D UI. 4+vB+wC+(a+bv+cw) D UN. A+2B+yCH(attbristetty) Di Den Ausdruck ihres Durchschnittspunktes, so wıe . die Bedingungsgleichungen für die dabei möglichen spe- ciellen Fälle zu finden. E 66 "Auflösung, Für dem Punkt, welchen diese drei Ausdrücke gemeinschaftlich darstellen, müss seyn: PEPERER Ud—y, atbtteuma Ho tewzzar hbretety. Man setze’ daher (atbiteu=s, so ist auch 3) a+bi-cu=s autbtthertu—s. Diese drei Gleichungen resp. mit e’—e, ce, «'— e* multiplicirt und hierauf addirt, ergiebt sich, wenn man noch bie" — bite +blle — beit 4 ber —b’e mit (be), und die eben so aus 0,a,c’,... und a, 5,a‘,... gebildeten Functionen mit (ea) und (ab) bezeichnet: | (be) 1=(ea) und auf gleiche Art. (be) u (ab). Die hieraus fliessenden Werthe für & und u in L substituirt, kommt der Ausdruck des Durchschnittss punktes: (de) A+ (ca) B+(ab) C+-[älbe)+ (ca) +etab)] Di Man bemerke dabei, dass, wenn man die Function ( a (de)+b (eay+e (ab) — (abc) setzt, auch 2) a'tbe)-Fb’(ea)+ ce (ab) = (abe) und a''Cbe)+b"(ca)+e'‘(ab)= (abe) ist. Dies folgt unmittelbar Aus den Gleichungen ı), wenn man darin für # und z die gefundenen ‘Werthe substi- tuirt. — Uebrigens ist die Function (abe) mit der i im, 8.50. @. Anmerk. eben so bezeichneten dieselbe. Ist nun in dem Ausdrucke. des DORRIHIRUDANE tes die Summe der Co&fficienten | MM 9) G+a)le)+(i+b)(ea)+tite)(ab)—o, so liegt dieser Punkt unendlich entfernt. Im Allgemei- nen sind alsdann die drei Durchschnitislinien der Ebe- nen mit einander parallel, so dass die drei Ebenen ein unendlich langes dreiseitiges Prisma einschliessen. Es kann aber auch seyn, dass die drei Ebenen Sich in einer und derselben Geraden schneiden, oder mit an- dern Worten, dass die Durchschnitislinie zweier Ebenen in die dritte Ebene fällt. Sucht man demnach den Aus- druck der Durchschnittslinie ‘von zweien der Ebenen, und hierauf den Ausdruck des Punktes, in welchem diese Linie die dritte Ebene schneidet, so muss für ger genwärtigen Fall in dem letztern Ausdrucke, d.h. in dem für den Durchschnittspunkt ‚aller drei. Ebenen, je- der der vier Coäffieienten =o seyn (3. 54.).. Die Be- dingungsgleichungen, unter welchen sich die drei Ebe- nen in einer und derselben Geraden schneiden, sind demnach: (be)=o, (ca)=o, (ab) =o, von denen im Allgemeinen jede eine Folge der beiden andern ist, wie sich leicht aus den Gleichungen 2) er- giebt: Anmerkung. Setzt man ahı=a, b+-ı=b, e-ı=o, a--ı=at,, u > w. und bezeichnet die eben so aus bu, 0, b’,,... zusammengesetzte Function, als es (be) ans do, 8... ist, mit (b,e,), u. wet ‚so sieht man bald, dass (b,6,) = (be), (c,4,)=(ca), (a,b,)==(ab). Hierdurch wird die Bediogungsgleis chung dafür, dass sich die drei Ebenen in Parällellinien schneiden: a, (b,0)+ dr (ca,)-+e, (a,b) =0, also vermöge der ersten Gleie chung in 2): (a,b,c,)=o, ; wenn man die aüs (abe) gleicherweise hervorgehende Function durch (@,5,c,) ausdrückt. Man würde dies Resultat unmittelbar ge= funden haben, hätte man, ohne vorher den Dorchschnittspuokt zu suchen, die Summen der Coäfficienten in. den Ausdrücken der Ebe- nen einzeln —o gesetzt. ’ Ea 68 '8. 56. Den Beschluss dieses Capitels soll eine Zu- sammenstellung von Ausdrücken machen, welche gera- ‚den Linien und Ebenen in einigen hesondern Lagen ge- gen die F.pyramide zukommen. Von der Richtigkeit dieser Ausdrücke wird man sich ‚leicht überzeugen, wenn man jeden derselben in den, von der oder den Verän- derlichen freien, Theil und den oder die damit behafteten Theile zerlegt, und hierauf diese, bei Geraden zwei, bei Ebenen drei, "Theile einzeln betrachtet. Vergl. 8.44. I. Ausdruck einer Geraden, welche ı) die gegenübersteh. F.linien 42 und CD schneidet: axd+xB+cC+D; 2) dieF.linie 42schneidet und mit CD parallch; Mn axd+xB—C+D; 3) durch 4 geht und mit 3CD parallel ist: xd+bB—(ı+b)C+D; 4) AB schneidet und mit 3CD parallel ist: axA+(b+x) B— (142) C+D. MH. Ausdruck einer Ebene, welche , ») durch 3C gelegt ist und mit AD parallel BAER A+z=B+yC—D a) durch 4 geht und mit 3CD ER ist: A+zB+yC— («+y)D; 3) mit 4B und CD parallel ist: (a+r)4—xB+yC+(i —y)D. L Die Durchschnitte dieser Ebene mit den übrigen F.linien sind: ad+C, für a=o,y=ı; aB+C, für w——a, gai) # , @a4d+D,für c=o, y=o; aB+D, für x=—4, yo. un me. „oe 69 Hiernach ist der Ausdruck einer Geraden, welche in einer, mit 43 und CD parallelen, Ebene ie. und zugleich 4C und BD schneidet: axd+aB+xC+D. Fünftes Capitel, Von Ausdrücken krummer Linien in: Ebenen. 8. 57. Wenn in dem Ausdrucke eines Punktes in ei- ner Ebene, p4+qgB+rC, die Coäfficienten p, 9, r, be- liebig gegebene Functionen einer veränderlichen Grösse v sind, und man für # nach und nach alle Werthe sub : stituirt, bei welchen die Exponenten der Verhältnisse p:qg:r reell bleiben, so werden die Punkte aller der so- mit erhaltenen Ausdrücke, construirt, eine Linie in der Ebene bilden, die im Allgemeinen krumm, und nur dann gerade seyn wird, wenn, wie im vorigen Capitel, die Functionen von lineärer Form sind, oder doch durch Umformung darauf gebracht werden können. Heisse da- her der Ausdruck p4+gB+rC mit der Veränderlichen e, der Ausdruck der Linie 7 $. 58. Wir wollen uns gegenwärtig auf die Cur- ven beschränken, in deren Ausdrücken die Coöfficienten rationale Functionen der Veränderlichen sind. Da es nun bei einem Ausdrucke nicht auf die absoluten Wer- the seiner Coefficienten, sondern bloss auf die gegensei- tigen Verhältnisse derselben ankommt, so können wir, sollten der eine, oder zwei, oder alle drei Coäfhcienten gebrochene Functionen seyn, dieselben durch Multipli- ' 79 cation mit dem Genetalnenner immer in ganze Functio- nen verwandeln, Wir setzen daher nicht weniger ‚all- gemein als vorhin, dass die Co@fücienten ganze ratio- nale Functionen der Veränderlichen seyn sollen. 8. 59. Die einfachsten Curven sind hiernach dieje- nigen, in deren Ausdrücken nächst der ersten, noch die zweite Potenz von # vorkömmt, und.die wir, der sonst ' gewöhnlichen Terminologie gemäss, Linien der zwei- ten Ordnung nennen wollen, Ihr allgemeiner Aus- druck wird seyn: I. (a-t av ao?) d4+ (b+b10+ btp2) B+(c+}+eiv Helv?) C, voransgeselzt, dass die drei Co@fficienten keinen ‚gemein- schaftlichen lineären Factor haben, oder durch Einfüh- tung einer andern Veränderlichen auf lineäre Form ge- bracht werden können *®). %* Mit Ausnahme dieser beiden Fälle giebt die Con- $truction des Ausdrucks immer eine krumme Linie. 8. 60. Um jetzt diese Cürven näher zu untersu- ‘chen, wollen wir zuerst ihren allgemeinen Ausdruck auf einfachere ‘Formen zu bringen suchen, Dieses kann erstlich (durch Einführung einer andern Veränderlichen geschehen, Hierbei sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nach- dem nämlich der Coöffhicient, bei welchem die Vereinfa- chung beginnen soll, in Factoren zerlegbar ist, oder nicht, wa‘ [nn *) Das erstere fände z. B, statt, wenn a=5=c—=a, Denn alsdann " \ wäre » ein gemeinschaftlicher Factor, und nach Division mit dem- selben, würden die Co&fficienten: ala’, b'+ bw, er tet, welche nur einer Geraden zukommen. Das letztere würde, unter andern der Fall seyn für a'= b—c'=o, wo, vw gesetzt, der Ausdruck sich IRERR ’iu den für eine Gerade een würde, el Scy daher für den ersten Fall der Co@fficient von A: ara tat? al (at o)(a Ho) Man setze «rw, so wird er: a (a—a)w+w?], und wenn han mit a“w? dividirt, und - = x setzt: ı + a —ef)x. Man nehme jetzt ı+ (@— e')x—y zur neuen Ver- änderlichen; und man sieht bald, dass die Coüfheienten. von B und C, nachdem darin die Veränderlichen #,,Y, auf die angezeigte Weise von v und von einander. ab- hängig, der Reihe .nach eingeführt worden ‚zuletzt .als trinomische Functionen von y hervorgehen ‚und folglich nur sechs unbestimmte Constanten im Ausdrucke noch übrig seyn werden. Man dividire nun den Ausdruck durch eine der, beiden von y freien Constanten, z. B.' durch diejenige, welche in dem Coäfficienten von 2 vor- kömmt, und nehme, y durch diese Constante dividirt =z, zur neuen Veränderlichen, so reducirt sich der Ausdruck auf nachstehende Form: UI. 24+(14P’2+$"2?) B+(y+y'+72?) 6, wo nur noch fünf unbestimmte Constanten vorhanden sind. Sey’ zweitens der en von # nicht in Facto- ren zerlegbar, so dass man atuar »av2—a” [a? En (a! v)2] — alla? (1 +w?) : ‘ setzen kann, wo # = ist. Führt man dieselbe auch in den beiden andern Coe£- ficienten ein, und dividirt sodann den Ausdruck durch a'a?, so erhält er die Form; (1 + w2) d-+ ereneter) B+ (hihur ei ce. eine neue Veränderliche F 2) Um jetzt noch eine der hier vorkommenden sechs 1— dr d+r * die neue Veränderliche, und d eine noch zu bestim- “ mende Constante ist. Da nun immer (1 — dx)? +(d+x)? —=(1+d?)(1+2?), so wird der Ausdruck, nachdem man in ihm diese Substitution vorgenommen, und hierauf mit (d+2)? | ıtrd? (r+ 22) A+(ß+B'°+P”x2) B+lytyYr+y”r?) C, ein Ausdruck, dessen sechs Constänten aus denen des vorigen und aus d zusammengesetzt sind. Man bestim- me nun d so, dass eine dieser Constanten einen be- stimmten Werth erhalte, So findet sich z. B. nach ge- höriger Entwickelung: = gta —s)d—g’d? ı 7a Man kann, daher d immer so annehmen, dass #=o wird. Hierdurch reducirt sich der letztere Ausdruck auf: II. (1422) A @+B%e2) B+ GH 702) C, wo ebenfalls nur fünf unbestimmte Constanten noch übrig sind. 8. 61. Geringer lässt sich auf diesem Wege die Anzahl der Constanten nicht machen. Wohl aber kann man, mit Verzichtleistung auf die Allgemeinheit der Lage der Curve gegen das F.dreieck, noch einfachere Ausdrücke durch Annahme anderer F.punkte erhalten; — eben so, als wie der Ausdruck für eine gerade Linie ' am einfachsten dadurch wird, dass man irgend zwei in der Geraden selbst liegende Punkte zu F.punkten wählt, — In der That nehme man statt 4, 3,€ drei andere F.punkte‘ Ay, By, C,, die von den erstern dergestalt abhängen, dass: N Constanten wegzuschaflen, setze man » — multiplicirt hat: 73 a,A,=a4+1bB+cE, b,B,— @A+4bB4oC, e,C, = a'Ad+bt Be" C, so geht der Ausdruck I. über in folgenden : IV. a,4,+bwB,+e#2C,, oder noch einfacher, wenn man ihn mit * multipli- . . c a,c 5 ‘eirt, und hierauf Fr v=w und 7, u setät: ” ’ V., @A,+wB,+w2C,, Aber selbst noch diese einzige Constante « lässt sich durch Einführung einer andern Veränderlichen und an- ders gewählte F.punkte entfernen. Man setze in dieser Absicht w—=m+nx, wo x die neue Veränderliche, und "m, n zwei noch zu bestimmende Constanten sind, so wird der Ausdruck: - ad, +(m-+- nz) B,+ (m? + amnx-+n?x?) C,, oder («+ m+m?) A„,+ (nt amn)zB,,+n?x2C,, wenn man für 4,, Z, zwei andere F.punkte 4,, Bu nimmt, so dass a4,+mB,--m*C,=.4,, und nB,+2mnC,= By: \ Man bestimme jetzt m und n so, dass «+ m+m:—n+omn—n®, s Alsdann lässt sich der letztere Ausdruck ° hiermit dividiren und gewinnt die möglichst einfache Gestalt: A,txB,+2:C,. Es findet sich aber aus-jenen Gleichungen: Za—ı1 | 4a —1 Soll demnach diese Umbildung des Ausdrucks mög- lich seyn, so wird erfordert, dass @ >. 74 Ist dagegen a< #, so setze man: Br MIETEN ESIRENE: Alsdann wird „= +_ und der Ausdruck reducirt sich auf: —4,trxB,trx2C, Wenn aber endlich «@—=%, so ist keine von beiden Umformungen anwendbar, indem dann »* und folglich auch die beiden andern Coäfficienten &tm-+m® und ntamn=o0. werden, Wir sehen hieraus, dass der allgemeine Ausdruck für die Linien der zweiten Ordnung immer auf eine dic- ser drei Formen gebracht werden kann; VI +22 +27C, vH. TER VII $442=B4r"C, ‚je nachdem nämlich in V. «>, <,=t, folglich in IV. Za,e,>, <, —=b,*; d, h. nachdem die zwei Factoren der Coöfficientensumme in IV. (a,+b,0+e,v®), folglich auch der Coäfficientensumme in I.,. (weil 'beide Aus- drücke einerlei Summe haben,) entweder unmöglich, oder möglich und ungleich, oder möglich und (gleich sind. ; $. 62. Diesen drei verschiedenen Fällen, welche hbi der Coöfheientensumme im Ausdrucke für eine Linie der zweiten Ordnung statt finden können, entsprechen nun eben so viel wesentlich verschiedene Formen dieserCurven, 1) Da im Ausdrucke "VI. die Coüfficientensumme keine möglichen Factoren hat, mithin für keinen mög- lichen Werth von x, =o werden kann, so kann auch die zugehörige Curve Hasen unendlich entfernten Punkt haben, sondern muss auf! eiäon eadlichen Raum A schränkt soyn, ; f sivaa- a 75 Um die ‚Gestalt dieser Curre und ihre.Lage gegen das F.dreieck noch genauer kennen zu lerneu, denke man sich x,von — & durch o bis + stetig fortschreitend,, venne P den die Curve. beschreiben- den Punkt und p,g,7, wie ia $.52,, die Coöfhcienten der F. u und es erhellet folgenvles ; > Für r=—» verschwinden p und g gegen , und P fällt mit c zusammen, Indem hierauf x, als negative Grüsse, von — » bis o abnimmt, sind P und r positiv, q negativ, und absolut p —r7.g. P tritt folglich von C in das Feld C4 uud geht darin fort bis 4, wo ınit x zugleich 7 und g verschwinden. Wird sodann x positiv, und nimmt zu bis +, so sind 7, g, r immer positiv, und P geht in dem Felde ZBC von A bis C zurück. — Zugleich ist klar, dass, da P beim Durchgange durch" 4 am 'C auf 'einerlei Seite der F.linien AB sowohl als BC bleibt, die Curve diese. Linien in A und C berühren wird. Siehe Fig. 7. 2) Im Ausdrucke VI. ist die Coöfficientensumme in zwei mögliche Factoren zerlegbar, nämlich ' —ı +i+22=(r+2) (al), wo k=iY5+ 1), =1(V5— 1). Sie wird daher, in- dem x von — © zu +%& fortgeht, zu zweien Malen —=o, ' für »=—k und =Z Die Curve selbst hat folglich zwei unendlich entfernte Punkte; — 4—LB+42C und — A +I/B+EC, d.h. sie erstreckt sich nach zwei, durch diese Ausdrücke bestimmten, BECDIUDEED 1 in das Unend- liche, Um auch hier den Gang der Curve näher zu erforschen, so be= merke man zuvor, dass die Go&fäcientensumme \ posiliv ist von z—=—obis —&k, wo daher r>p--g, und von ! bis ©, wo g+r>p35 negativ von e——k bis o, wo p-+-g”r, und von o bis 2, wo pP? g-Fr. — Ich brauche wohl kaum zu erinnern, dass diese Formeln zwischen 9,9; r in demselben absoluten Sinne, wie die Formeln Il, und II. in $. 52, zu nehmen sind. — Von s=—@ bis —k, gelit demnach der Punkt, P von C durch © in das Unendliche fort, — Er erscheint hierauf wieder nach entgegengesetzter Richtung in AB, woer, von —=—k bis.o, bis 4 sich bewegt, — Von x#=o bis /, tritt er von A in 48 be- rührt dabei AB, und verliert sich in 7 zum zweiten Male in dem Unendlichen, — Aus diesem kehrt ser zurück im Felde BC, und + . PR r en r ehren Zah Er 1 re ae Ze 76 gelangt darin, von #2 bis ©, bis zum Punkte C, von welchem er ausgegangen war, und wo er zugleich die F.linie BC berührt. — Siehe Fig. 8, ‚ Im Ausdrucke VII] ist die Summe der Coäfhicien- ten =(4+x2)®, und wird daher nur einmal =o, für z—=-—4. Die zugehörige Curve wird sich mithin bloss nach der einen, durch’den Ausdruck $34—ı1B +10 —=4A—2B-+C bestimmten, Richtung in das Unendliche erstrecken. In der That geht sie, von 2==—» bis —#, von C durch CA in das-Unendliche, kehrt aber, von z— —# bis o, in dem- selben Felde wieder zurück, geht, AB berührend, durch A in ABC und dariu, von zo bis », bis C, BC berührend, zu- rück, — Siehe Fig. 9. 8. 63. Es springt in die Augen, dass die drei jetzt betrachteten Curven keine andern, als die Ellipse, Hy- perbel und Parabel sind, dass folglich der Ausdruck I. immer einem Kegelschnitte oder einer Linie der zweiten . Ordnung, im gewöhnlichen Sinne genommen ‚-angehört, Der strenge Beweis dafür wird weiter unten folgen. Ge- genwärtig noch einige allgemeine Bemerkungen über die Lage dieser Curven gegen das F.dreieck. ı) Jeder Coäfficient im Ausdrucke für eine solche Curve ist im Allgemeinen ein Trinomium und lässt sich daher entweder in zwei mögliche Factoren zerlegen, oder . nicht. Sey nun z.B. der Coäfücient von 4=ataw +av2z —=ar(v—o)(v—a‘), also zerlegbar, wenn « und @'- mögliche Grössen bedeuten: so wird für v—=« so- ‘wohl, als für ERBE Te NE. Coäfficient von 4,==o, ‚und | der Ausdruck reducirt sich auf die beiden andern F.punkte | 3 und C, also auf Ausdrücke von Punkten in der F.li- nie BC, d.h. die Curve wird für e—=« und r—a‘ diese F.linie- schneiden. Ist dagegen der Coöfficient von 4 77 nicht zerlegbar, so reducirt sich der Ausdrück für-kei- nen Werth von # auf 3 und Caallein, und die Curve schneidet BC nicht. — Wenden. wir das. Gesagte eben so auf dieCocfhicienten von B und C an, so folgt, dass jede der drei F.linien von der Curve entweder in’ zwei Punkten oder in keinem geschnitten wird. 2) ‚Sind die zwei Factoren eines Coefhicienten nicht nur möglich, sondern auch gleich, so fallen die zwei Schneidungspunkte in einen zusammen, d.h. die Curve berührt die F.linie, welche durch die beiden andern F.punkte geht. ‘Wenn. also z. B. der Coäfficient von A,—=&"(p— a)? ist, so wird, für v—=«, BC eine Tan- gente der Curve seyn. 3) Sind die Coäfficienten zweier F.punkte in mög- liche Factoren auflösbar, und haben sie dabei einen Factor gemeinschaftlich, so werden durch Nullsetzung dieses Factors beide Coöfficienten zugleich =o, und der Aus- druck reducirt sich allein auf den dritten F.punkt, so dass dieser ein Punkt der Curve ist. 8. 64. Aus. diesen Sätzen fliesst leicht die allge- meine Gültigkeit folgender Ausdrücke für einige beson- ders merkwürdige Verbindungen unserer Curven mit dem F.dreieck. ı) Eine Linie der zweiten Ordnung, welche durch die drei F.punkte geht, hat den Ausdruck : ae — Mey) At ro a) B+eW— a)(w—P) C. Durch, 4 geht die Curve für »—=a«, durch B für v=ß, und durch € für #7. 2) Der Ausdruck einer Linie der zweiten Ordnung, welche die drei F. seiten berührt, ist: a (v0)? d+b(o--B)? B-he (ve y)®.Ch PR. Die drei Hyerbhtenghpünke finden sieh, indem man nach und nach v:=a,ß,y setzt, und sind daher mit der Seite BC : b(a— 8)? B+e («—y)? G, _'- 041: cd y)t C+ta(B—o)? 4, = — AB: aly—o) A+b (y—B)? B Man wird leicht wahrnehmen, dass diese drei Punkte zugleich diejenigen sind, in denen die drei Geraden, von den Spitzen 4, 3,C nach dem Punkte a b e EEE BT RE gezogen, die gegenüberstehenden Seiten. 2C, CA, AB treffen. Man erhält somit den bekannten schönen Satz: Wird um eine Linie der zweilen Ordnung ein. ' Dreieck beschrieben, so schneiden sich die drei Ge= raden, welche die Spitzen des Dreiecks mit den ge= ‚genüberliegenden Berührungspunkten verbinden, in einem Punkte. 3) Für eine Linie der zweiten Ordnung, welche durch die zwei F.punkte 4 und C geht’und daselbst die F.seiten 4B und C3 berührt, ist der Ausdruck: 7 7 aba) A+LW—a)w—y) B+eß@—yc. Denn für e—=y und va reducirt. sich der Aus- druck auf 4 und C, so dass 4 und C Punkte der Curve sind. In diesen berührt sie aber zugleich die Fe JB und CB, weil die Coäfficienten von C und he RER“, drate sind, Jeder dieser drei Ausdrücke kann durch Einf. einer andern Veränderlichen auf einfachere Formen ge- bracht werden. Die Vereinfachung der beiden erstern wird in’der Folge gezeigt werden. Um den dritten ein- facher darzustellen, darf man ihn nur mit (#—a)? di- 79 —nnn un 7 zur neuen Veränderlichen nehmen , und. vidiren, an FEN man gewahrt bald, dass er sich dadurch auf an Form IV. reducirt 8. 65. Der ae IV. bietet uns ein sehr leich- tös Mittel zur Construction dieser Curven dar, Man setze a4+bvB + wiC=P, wo also ? einen be» liebigen Punkt der Curve vorstellt. Man setze ferner: bB+eC—=g6@ und dB + ee C—=rX.. @ad4+bB=hH ad+eoC=yY ad-+beB=zZ, . Aus diesen Gleichungen folgt: P=ad+veX=corr0+3Z a4A+:X=bB+yY=AH+oc bB+yY—=oC+ 3:2 =ad+grQ. Mithin ist X (Fig. 10.) der Durchschnitt von BC mit AP, Zvwon AB mit CP; die drei Geraden 4X, BY, CH schneiden sich in einem Punkte =a442X—ete., welcher A heisse; und eben so 4G, BY; CZ in einem Punkte =dvB+yY==ete., welcher Q heisse, ‘d.i. der Durchschnitt von 4X und C/, und der Durchschnitt von AG und CZ liegen mit Z in einer ‚Geraden. — | Hieraus ergiebt sich folgende Construction: "Män bestimme in BC und 42 die Punkte G=bB -+cC und H=a4+bB, und ziehe die Geraden AG und CH. Man lege hierauf durch € nach beliebiger Rich- tung eine Gerade CZ, welche 4G in Q schneide), ziehe BQ, welche CA in R schneide, und ziehe 4A, welche CZ in P schneide; so ist ? ein Punkt der Curve. Dies lässt sich auch Vin aeg ei als Theorem, darstellen. . 80 Wenn um drei feste Punkte A, B, U, die nicht. in einer Geraden liegen, sich drei Gerade AX, BY, CZ bewegen, dergestalt, dass der. Durchschnitt, R der ersten mit \der zweiten eine durch den dritten Punkt gehende Gerade CH, und der ‚Durchschnitt Q der zweiten mit der dritten eine durch den ersten, Punkt gehende Gerade AG beschreibt, so beschreibt der Durchschnitt P der ersten mit der dritten einen, Kegelschnitt, welcher durch den ersten und drit- ten Punkt geht, und daselbst die von diesen Punkten nach dem zweiten Punkte gezogenen Geraden AB und BC berührt ($.64.3.). Anmerkung. Der Durchsebnitt ? bewegt sich auch ‚dann ndch in einem Kegelschnitte, wenn die von den Durchschnitten R und Q beschriebenen Geraden nicht durch C und A gehen, sondern ir= gend eiue, andere Lage haben. Unter dieser allgemeinern Form haben den Satz die Geometex Maclaurin und Braikenridge, wie es scheint, jeder für sich, entdeckt, In des letztern Exercita- tio geometr. de descriptione linear, curv. ist er die Prop. IL Robert Simson bericlitet in der Vorrede zu seinen Seck. con. ı diesen Satz vorlüngst von Mäcl. mitgetheilt erhalten zu. haben, und drückt ibn in der Sprache der ältern Geometrie so aus:i. Si a tribus punctis datis, guae non sunt in recia linea, ducantur tres rectae lineae, et ipsarum intersecliones duae tangant rectas positione datas; tanget reliqua intersectio sectionem conicam pasitione datam, 8. 66. Wie Linien in Ebenen nach den ihnen in gehörigen Ausdrücken in Ordnungen eingetheilt werden können, geht schon aus der, zu Anfange dieses ‚Capitels. gegebenen, Erklärung für die Linien der zweiten Ord- nung hinlänglich hervor. Angenommen , dass jeder der. drei Coefficienten eine ganze rationale Function der Ver- änderlichen ist, dass die Coefficienten nicht einen ihnen. allen gemeinschaftlichen Factor haben, und dass die höchste im Ausdrucke vorkommende Potenz der Verän-, . Ku ss 4 es —— derlichen, durch Einführung. einer andern Veränderlichen _ auf. keinen. niedrigern. Grad gebracht werden- kann:: so werde.eine Linie der ten Ordnung.beigezählt, wenn die „im. Ausdrucke vorkommende Veränderliche' bis auf den .nten „Grad. steigt. -Hiernach ist also der allgemeine Ausdruck für eine Gerade in $. 38., zugleich der allge- meine ‚für die Linien ‚der ersten Ordnung. Der Ausdruck I. in .8..59. war der allgemeine für die Linien -der ‘zwei ten Ordnung. Bei den Linien der dritten Ordnung wird die allgemeine Form: der, Co£fficienten : 'a+ap harry + «@''p?, seyn, u.s.w. e i -.8..67.. Der Vortheil, welchen: die gewöhnliche Ein- theilung der Linien in Ordnungen, nach den ihnen zu- kommenden Gleichungen zwischen Abscissen und: Ordi- naten, gewährt, dass nämlich: die Ordnung einer ) von.den Aenderungen der Axen des Coordinatensystems ganz unabhängig ist, derselbe Vortheil findet auch hier statt, indem: bei jedweder Veränderung. der F.punkte die’ Ordnung ‚der Linie doch. immer dieselbe 'bleibt.. Denn: um. eine Linie, welche in. Beziehung auf. die, F.punkte: 4, B, C, gegeben. ist, auf, beliebige andere F.punkte‘ AuiBa Q, bezogen: darzustellen, hat man nur indem Ausdrucke „der Linie, - für 4 2, C Ausdrücke von der; Form. @,4,42,B,+c,C, zu substituiren, wo a,, b,, e,:be=* ständige Grössen sind. Vergl. 8.35. $. 68. ‚In dem Ausdrucke einer Linie von der rten Ordnung lässt, sich ‚jeder der. drei Coäffhicienteny ©z. 'B. der Co@fficient von C, in höchstens » verschiedene lineäre und reelle Factoren auflösen, kann also für höchstens n verschiedene -Werthe .der Veränderlichen null werden. Für diese » Werthe der Veränderlichen reducirt sich-der’ Ausdruck auf die beiden andern F.punkte 4 und 2 al- lein, d. i. auf Punkte der Curve in der F.linie ‘AB. Eine‘ 82 _ . . Linie der‘ zten Ordnung känn mithin keine der‘ F.linien in mehr , als höchstens’ » Punkten, schneiden. Da nuf durch Veränderung der F.punkte jede ändere in’der Ebe- de der Curve liegende "Gerade zu einer F.linie-gemacht werden: kann, durch Veränderung der F.punkte aber die Ordnung ‚der Curve nicht geändert wird, so folge; dass die Zahl der Punkte, in denen eine Curve von einer Geraden geschnitten wird, nicht grösser 'seyn’kann, als | die Zahl’ der Ordnung, zu welcher die Curve gehört. ' 8.-69: Die’ Anzahl der Cönstanten, welche in ei- nem Coefficienten des allgemeinen Ausdrucks einer Linie von der sten ;'aten, Zten, .. . 'nten Ordnung vorkom- men ‚(ist 2, 3, by..n Wr und daher dieAnzahl' der“ Constanten in allen drei Co@fhicienten, —=6, 9, 12,!..3243. _ "So länge man diese 3”-+3Constanten in dem allgemei- \ nen Ausdrucke einer Linie der »ten Ordnung unbestimmt lässt, bleibt. auch die Linie hinsichtlich ihrer "Gestält, ‚ Grösse und. Lage gegen das F.dreieck unbestimmt.: Ohne "aber diese''Unbestimmtheit in etwas zu mindern’ "kann man immer durch Einführung einer neuen Veränderli- chen‘ die" Zahl’ der unbestimmten Constänten um 4 ge- ringer: machen. — So wurden die’ 6 Constanten i in dem allgemeinen » Ausdrucke für die gerade Linie ® {& 38.) auf 2 ($..40.); und. die g Constanten bei den Linien der‘ „ zweiten Ordnung ($.59.) auf 5 herabgebracht ($. 60.). — Um jetzb die Allgemeinheit dieses Satzes darzuthun, 'sub- stituire man in dem allgemeinen Ausdrucke von der nten { Ordnung j Ri t HFOrOR N Eee 2 3 (ata's+. „+aln),) d + (+, er 10,2) B+k + Bar a. * 1 “ se u für 9. WO © 16 neue inlelas und H m. rs / ii = noch zucbestimmende Constanten sind, multipliire den ı a TR. Ci 83 Aüsdruck, um:ihn- von den’ Brüchen zu: befreien ‚‘ mit («+9 )”, und ordne:hierauf die drei Coöffhicienten nach den Potenzen von: x. : Man ‘wird somit: einen Erg von. .derselben : Form wie vorhin erhalten: (Fast tar) A4 (Br. Hy. oa 6, in welchem die Int 3. Constanten yah,.,aln), ß,..g(®) 2; Wr bekannte Functionen der 3n-+3 vorigen a,«,.. ” und der drei neuen er Nn,3 sind. Man dividire. nun, den Solchergestalt umgeänderten Ausdruck durch eine seiner Constanten, z.B. durch &, so kommt. ‚an ‚die Stelle von & die Einheit, die Ina, übrigen ‚Werden :die vorigen, durch a dividirt, ‚und man kann jetzt. die drei von.der Gestalt und Lage der Curve ganz unabhängigen Grössen &m3,so bestimmen, dass eben so viel der 3n-+2 übrigen x Constanten bestimmte numerische Werthe erhalten, folg= / lich. nur 32—ı unbestimmte Constanten noch übrig bleiben ; — nicht noch weniger, weil in: der für die Ver- Get +9 als drei willkührliche Constanten eine „Stelle finden on änderliche » gemachten Substitution, , nicht mehr .$. 0. Hiermit Inst, dich zugleich die = et Kama u Wieviel nach Belieben genommener Punkte ge- geben, ‚seyn müssen, ‚damit eine durch ‚sie, beschriebene nämlich El Punkt FAr EB +hO in „.der , Linie (etc + AH HBE+ BY HrE +) C liegen, so hat man nach $, 24. a. die zwei Gleichungen : vatatct., turee=h hr, # aus denen, nach A von.x, = dazu (nöthige Relsien- «zwischen den. Constänten im‘ Ausdrucke (der Fo2 ) 84 Linie ‘und ‚den: Co@fhicienten im Ausdrucke des"Pürik4 tes hervorgeht; Eben) so''etgiebt:'sich*-für jeden‘ neuen Punkt, ‘durchi.den..die Linie «gelien ‚soll, eine neue Res lation dieser Art.‘ Da. nun..im allgemeinen Ausdrucke einer ‚Linie der zten ‚Ordnung, die ‚Anzahl. der Constanz - ten immer auf In—ı gebracht. werden kann, zur Be- stimmung vön‘ In 2 Grössen aber eben so viel Glei- chungen zwischen diesen Grössen erforderlich sind, so folgt, dass dürch 3» ı willkührlich genommene Punkte im Allgemeinen immer eine und nicht 'mehr als eine Linie der ateh Ordnung beschrieben “werden kann. erRie Eine Linie der "sten Ordnung ist demnach durch 3 Punkte, der aten‘.durch 5, "der '3tön durch 8, der kten durch 11, d. Ss. w. luköinmen besiiinme." " Nür'alsö bei der ersten und zweiten Ordnung stimmt in’ dieser Hinsicht die neue Eintheilung der Linien in Ordnungen mit der bisher bekannten Eintheilung über- ein. Denn bei letzterer ist eine Linie der 3ten Ord- nung erst durch 9 Punkte, eine‘Linie der 4tenOrdnung: "erst durch ı4 Punkte, ‚und überhaupt eine Linie der nten Ordnung durch $r(r+3) Punkte bestimmt, also durch $n(r+3) — (3r—ı1)=%(r— 1) (na—2) Baukie: mehr, als bei der neuen Eintheilung, ein Unterschied, der nnr für n=ı und n—=a verschwindet. Der Grund dieses Unterschieds liegt darin, 'dase, "wie wir in der Folge sehen werden, "zwar jedem Ausdrucke von der dritten oder einer höhern Ordnung eine Gleichung von der ebensovielten Ordnung entspricht, aber nicht umge- kehrt jede Gleichung von einer höhern Ordnung, als der zweiten, in einen“Ausdruck mit rationalen ee ende werden kann. 8: 71.Die Art und Weise, nach welcher wir ($- 61.) PR allgemeinen : ‘Ausdruck ‘für eine Linie der "zweiten < G>#; - Ä 4 Bi - .. 85 ‘Ordnung’ bloss durch Einführung anderer F,pünkte auf ‚eine sehr 'einfache Form zurückbrachten ;' lässt sich auch _ bei Ausdrücken für: Linien höherer Ordnungen 'anwen- ‚den,: nur dass dann’ die "Zahl: der festen‘ Punkte, bauf Es ‚welche‘ ‘der. bewegliche ; die‘ Curve -beschreibende Punkt bezogen wird, hei jeder! höhern Ordnung'um eins sich vermehrt, Verfährt man nämlich, wie.dort, auch bei den höhern Potenzen von # und setzt: a 4+buBLencz=d,D,, a d+bUHB+ ol Ce, Ey u. s. w., so wird der allgemeine Ausdruck einer Linie der dritten Ordnung: a,Ay}+b,0By+6,02C, Pe | der vierten Ordnung: "ob lan a,d, +2,0B, +e,w2C, +dw»3D, Hess, su sw Diese höchst an Ausdrücke sind insbesondere von zen, ortsetzung des Verfahrens, näch . welchem in $. 65.' die Linien der zweiten Ordnung con- struirt ‚wurden, Linieny jeder: höhern ‚Ordnung zu be- schreiben. — Seyen 4, B,.C, D, E... (Fig. ı1.) die in dem zu construirenden Ausdrucke 4 aA+bvoB+ wa Ct W3 DL... enthaltenen Punkte. Man ziehe die Geraden 42, BG, CD, DE,..., und nehme darin die Punkte: aA+bB, bB+eC, cC+dD, dD+eE,.u..s. w. Sey ferner B* ein beliebiger Punkt der Geraden 42, den man =a4-+HbvB setze, so: lässt sich: hieraus nach 8.65. in ZC der Punkt O=5B+.cvC bestimmen. — Es war nämlich in Fig. 10.: H=aA+bB, G=bB-+eC und aus der Geraden. CZ, welche 43 in Z=ad+b»B traf, wurde durch blosses Ziehen gerader Linien die Ge- ' ” se ten u MICH ca) (ac Tue ' 86 ade, AX. gefunden; -welche der BC im Punkte X=5B erC begegnete. — Auf eben die Art lässt sich nun mittelst ‚dieses ‚Punktes, welcher! in Fig. 11. C*-heisst, und mit Hülfe der Punkte 33-+eC und eC+dD; inCD der Punkt D’=eC+drD finden, und so kann man wei= fer: zu den Punkten =4D-+erE, F,,.. fortgehen, « Hiernach ist nun; iv ad+bvB-+cr2C sl mol —=(a+br) B’+err C—aAd+r(b+or)C", folglich = dem Durchschnitt.der: Geraden 3°C und ACH welcher C* heisse; ad+bvB+ ih dvaD (+ +v900+ de?D=(a-tbr) B'+»? +). D, x folglich = dem Durchschnitt der Geraden 'C“D und: 2'D/, welcher D“ heisse, Eben so erhält man: ferner ad+brB+ev2C+dv?D+evAE Fr ‚den Durchschnitt Z der ‚Geraden, D“E und 0” ;. ad+beBticHfosP 2 als ent Durchschnitt 2 der Geraden EuF und. Dupu; usw Nachdem also die Punkte’4, 3, G,..., a4+bB,5B -FeC,... bestimmt, und somit die in den Ausdrücken vor- kommenden Constanten construirt sind, kann man, ‚für alle Punkte 3*.der Geraden a4 +2vB, und mithin für alle Werthe der Veränderlichen # die entsprechenden Punkte @,'D“,... in ‘den Linien höherer Ordnungen " ad+..tev20, ad+...+do2D, etc, durch man BER | A ben need Linien finden. h Vol bei, z Sid a TOYE Capitel Von der Berührung, den merkwür- digen‘ Pünkten:und unendlichen Ae= sten krummer Linien i in Ebenen. 8. ya. Alle in diesem Capitel enthaltenen Untersuchun- gen haben die Lösung folgender Aufgabe.zum Zweck: Für einen gegebenen Punkt einer gegebenen Curve ei- ne andere einfachere Curve oder gerade Linie zu finden,» welche der erstern bei dem gegebenen Punkte so nahe als möglich kommt, um somit aus der Be- schaffenheit der einfächern Curve an jener Stelle » undıährer Lage gegen die gegebene Curve, die Be- schaffenheit der gegebenen daselbst kennen zu lernen. R se diese Untersuchungen i in der Theorie der Curven sind, um so weniger dürfte es überflüssig seyn, zu zeigen, wie’ auch hierbei der neue Calcul i in AyWren- dung gebracht werden kaniı. $ 23. Sey demnach ' pAd+ a der. Fa Ausdruck 'einer Linie in einer rare also . P» 9% # gegebene Functionen einer Veränderlichen ». Für denjenigen Punkt der Linie, bei welchem ihr Gang un+ tersucht werden söll, «habe » den beitimmten Werth Demzufolge substituire man. für:v, »’+x, so dass «die, Veränderliche. abgiebt,. und es wird: 88 Se p=r+ x eo + x? £.: e 1 dr x-+ I x? +... - der ‚rt + —— at + Er x ?4L.. wo ph, gu r Sat Functionen von. # bereichndhs welche p, g,r von r sind. v Nachdem man nun für p, 9 r diese Reihen i in "dein Ausdrucke substituirt hat, ordne man ihn nach den Po- tenzen von %, und. setze sodann; pA+gB+r0—= ad z 2 wo also a u Et bel 1207 ee usw. Hierdurch erhält der Ausdruck die Form einer Reihe: : (N) aU+ bed +? C +03 Dd-+.. welche aus 2+ı Gliedern bestehen wird, wenn die Li- nie zur »ten Ordnung gehört. Das erste Glied, adA=X, ist nichts anders, als dee in Betrachtung genomimene Punkt der Curve selbst, i in- ? dem für diesen »—=» und’mithin x—=o ist. Je kleiner man x nimmt, desto näher wird folglich’ der durch die Reihe, ausgedrückte Punkt dem Punkte % liegen. : Desto geringer wird aber zugleich der Einfluss der mit höhern ‚Potenzen von &#.behafteten Glieder auf die Bestimmung eines. solchen Punktes seyn, so dass mit Weglassung dieser Glieder‘ man Ausdrücke für ade einfachere Li- Y j 89 nien erhält, welche bei %: der Curve (N): aaa nahe kommen werden. $..74., Man. bilde hiernach du Aussen der zwei, drei, vier; etc. ‚ersten Glieder.der ‚Reihe die Ausdrücke: ; _ 1. -aX-+b2B, a ee. I aU+bxB+cx?E, en ir 3 ; I. aA+b>B-+w2C4Hr2D, . us. w. sah wo die vorgesetzten Zahlen zugleich die Ordnungen der dadurch ausgedrückten Linien bezeichnen. | Seyen nun für einen unendlich kleinen ‚Werth von x, welcher ö heisse, die demselben in’ den Linien I; IL, IIL, EN Punkte: 8, €, D4 io. (Fig. 12.), alas - En B=aA+bid, :Ee=aUA+bB+u?E, LE us. w. Hieraus folgt: ERHEBEN 0 nr usw. ne oder kürzer, weil es immer nur auf: das gegenseitige "Verhältniss der Co@fficienten ankommt , ‚und 2 unendlich klein ist: f "Bmal+biß, eh DV=EaC’+HID, etc. Eben so findet sich, wenn für e_——i die in den Linien Was. DIL... zugehörigen Punkte mit B Ai Ak bezeichnet werden : B,=al—bid, GB, u2C, D,=ad,—d?D, etc. 90 [——— Wie'sich durch Auflösung; dieser Formeln in. Proponio- nen ergiebt ($. a1.), liegen folglich 1) 8 und 8, in der Geraden AB dem X. unendlich nahe, aber auf enitgegengesetzten Seiten «dieses.Punktes; 2) € und G, in den Geraden BE und BE von & und 8, um ein Unendlichkleines der zweiten Ordnung entfernt, und zwar zugleich nach € hin’oder von € ab- wärts, also immer auf einerlei Seite‘ der Linie B,UB* oder 1.; ; 3 3) D’‘ und D, in den Geraden ED und E,D, von G’ und €, um ein Un. kl. der dritten Ordnung entfernt, und zwar der eine Punkt nach D hin, der: andere von D abwärts; also’ beide auf entgegengesetzten Seiten. der Linie G,UC .oder U.; u. sw. 8. 75. Lehnsatz. Wenn von drei Punkten A,MN der Punkt M von 4 um ein Unendlichkleines der ısien Ordnung und N von M um ein Un. kl. der 2ten oder 3ten, 4ten etc. Ordnung absteht, ‘so ist auch N von 4 ‘um ein. Un.kl. der ısten Ordnung entfernt; und wenn zugleich die Winkel 4MN und 4NM won iendlicher Grösse sind, so lassen sich' 4M und, 4N.als die Ele- mente zweier Curven ‘betrachten , zwischen: ‚denen in 4 eine Berührung von der asten oder aten, 3ten etc. Ord- nung statt findet, =... a R Allgemeiner + bedeuten m und 2 zwei positive ganze Zahlen, und ist ZM von der mten, MN von der (m-Fn)ten Ordnung, ‚so ist auch AN von. der mten Ordnung, und, unter. derselben Voraussetzung, dass AMN, ANM end- ‚liche ‘Winkel sind, ist die Berührung der beiden Cur- ven, welche AM und AN zu Elementen haben, _ der Analogie nach — von der ten Ordnung. Be. = . "»8. 76, Mit Hülfe:dieses ‘Satzes, ‘der, wenn’auch noch micht: so.ausgedrückt ; doch Jedem, welcher:die ab- gekürzte Sprache der höhern Analysis’ versteht, zugleich «inleuchten wird, zeigt sich nun folgendes: 1) Die Abstände AB’, AC, AD... UB,; AT, AD, sind yon der‘ ersten. ‚Ordnung; BC, BD... B,G,, B,D,,.., von der zweiten; EDd,. Ed von’ der dritten; u. sw, PTegiis 2) Da zugleich die Gükeilkeiligen Neigungen der Ge raden AB, AC, AD, ,.. als endlich zu betrachten sind, so berühren sich sämmtliche Linien I.,:Il., IH, ,.:-(N) ' in X; und zwar ist dieBerührung der Linie I, mit jeder der übrigen II., I.,... (N) von der Brote Ordnung; ° die Berührung der Linie II. mit IIT.,... (N) von der zweiten; die Berührung der Linie I. mit jeder der fol- genden von der dritten Ordnung; u. s.w. 3) Bei jeder dieser Linien fallen die der Berührung £ unmittelbar vorangehenden und folgenden Theile auf entgegengesetzte Seiten jeder Geraden, welche durch 4 geht und‘ gegen AB eine endliche Neigung hat, oder, '— wie wir uns kurz ausdrücken wollen, .— auf.entge- gengesetzte Seiten des Punktes 4. 4) Alle. Linien U., UL... (N).sind in der Nähe von’ X auf einerlei Seite der Linie I. enthalten. Eben so hat: III. alle folgenden Linien auf einerlei Seite von sich liegen ; und sofort jede Linie:von höherer, ungerader Ordnung. Dagegen, wird jede Linie von gerader Ord- nung, wie II, von allen folgenden in X durchgangen; ‚ wobei aber ebenfalls diejenigen Theile ‚der folgenden Linien, . welche ‚mit einander auf’ einerlei Seite von % _ hiegen, auch auf einer und derselben Seite \ ‚von II. be- findlich sind. #* 92 usgeygs Von jetztian®soll. unsbloss die Linie I: oder ‚die geradlinige Tangente‘ nöch. ange... go ‚Sie hatı den Ausdruck: aA+tbaB. i oh allem Substituirt: "man » Bar Bir ad RE 8 aus): s 73. ihre W nn so‘ Bes Eee r ratur rt], 96 gebe RR onen Ausdruck der grindHaigen IRRRRRN an die, Curve pA+4B Ef in dem, Raakits ‚für welchen ur ist, : 3 'Wenn Be auiade ı ai 07° lie b=0,'s0 ist 4 ein der entfernter Punkt, _ die Tangente ist ı eine Linie durch X, parallel mit der , durch 8 bestimmten Richtung, also ‚construirbar, obwohl die einzelnen Punkte derselben nicht durch den. Ausdruck, au +58, sondern mit Hülfe des auf 4 2, c zurückgebrachten gefunden ‘werden können. Dasselbe gilt auch von den edlen berührender Linien höherer ‚Ordnungen. Ist zB. dem Ausdrucke ULB +er?E eine ‚der Summen Pe . Differentialquotienten, welche b und c vorstellen, — oder ’sind es beide Summen zugleich, und folglich die Punkte ® und € unendlich entfernt, ‚so ist demunges achtet ‘eine berührende Linie der aten Ordnung. vorhan- den. Allein um solche zü construiren‘) "muss man den Ausdruck zuvor auf 4,3, C beziehen. —: In dem Falle; wo a=o und mithin X unendlich entfernt‘ ist; ‚geht die Tangente in ‚eine Asymptote über, “ wovon re mit Mehrerem die Rede seyn wird. 000 Er "> Anders’ verhält es sich," wenn 'vonden Bat Diffe- rer ee welche eine’ derSummen b, t,\.. ‚bilden; I Ip’ i 7] sr > jeder einzeln“ =o ist; z.B. = =o0, m =, 2 93 =0.' Denn alsdann ist das zugehörigerGlied; +8, ale gar öicht vorhanden »zu“betrachten: «Nur das’ersteGlied aX kann auf diese’ Weise: nicht‘ wegfallen‘, indem; wenn: pi gu r zugleich ==0 seyn sollten, jeder (der drei ıCo@f« fieienten p; 9" den’ Factor # — ##“ enthalten 'müsste.;) was der in $. 66; 'gemächtön: Annahme entgegenvist.» 'yow 8. 784 Die. ‚Berührung einer \Gurye‘ mit einer Ge- raden ist.ım. Allgemeinen, ‚von der, ersten Ordnung, kann, aber an besondern . Stellen der.. erstern 2 ‚auch von einer andern Ordnung, seyn, — Dergleichen Stellen, oder soge- hr ngpne merkwürdige Punkte, RE „ge „penn sörjre wegfallen, so dass” en wirklich vekae drilie De eine höhere Potenz "yon. ze als die zweite, "enhält,. "mag in dem vorhandenen zweiten Gliede,, entweder die erste Potenz wie ‚gewöhnlich , ‚oder ebenfalls € ‚eine höhere ; an-. getroffen werden... , , FE Feble z. B. das „Glied eG, sey, also der Kia der Reihe: re in) HD. .. Mit un ‚derin. 8.74. gebrauchten Amen fin- det sich: 75h BHAHUB, ah, 8.8 Bed B, D,EBID.) 5 ca Die Punkte D/,. D, liegen daher von den Punkten 8,8, der Linie AB oder der geradlinigen Tangente nur.um ein Unendlichkleines.. der - dritten Ordnung. entfernt‘ und auf ee Seiten dieser Linie. (Fig. 13; > Die Ehrib D,AD ‚durchgeht also in X.die eier folglich daselbst: einen :»Wendungspunkt, und.die 94 “ Berührung‘ ist von’ der-zweiten Ordnung ($.75.). Das- selbe 'wird ‚aber -auch von.der Curve (N). selbst gelten, - als welche: sich...bei: -%X-‚nur. um.- ein’ Un.' kl; einer uch höhern | Ordnung von D,AD’ entfernt.: 8.79. Nehmen ‚wir: jetzt an, dan das. Glied, PR wegfalle. ,'und mithin -der. Anfang, der ‚Reihe: u (N) aA+a2C + DH. | sey. rg wird für ein unendlich Yleine x: ar. nobse ZiirnG DAFT We lisa D= a, — id a Anna Die Punkte &, &, fallen daher i in einen zusammen, ‚der in der. Geraden, X von X um ein Un. kl. der zweiten Ordnung absteht, und von welchem die Punkte D* „Dr, der eine nach D hin,. der andere von ® abwärts, um ein Un. kl. der dritten Ordnung entfernt ‚sind (Fig. 14). Hier ist also AG die Tangente der Curve D, Ad und mithin auch der Curve (N) in %, die Berührung aber von der Ordnung, #, und so beschaffen, dass die der Berührung” unmittelbar ‘vorangehenden und folgenden Theile auf einerlei Seite des Punktes X und auf ent- gegengesetzten ‘der Tangente AC Hegen. Die Curve hat folglich eine sogenannte Spitze ‚oder SOSE TEE r der ersten Art. Sie su 8. 80. «Fehle'wiederum das Glied 628 und zugleich noch das Glied 'dr?D, beginne also die Reihe mit (N). aAA+@C+eiCH,..0 len ol ' Hier geben die drei.ersten Glieder; #?—=y gesetzt; den Ausdruck für eine Linie der zweiten Ordnung, wel+ che die Gerade AG im Punkte X berührt, 'aber'von Nur nach einer. Seite zu fortgeht, “weil % nicht negativ .. werden kann.‘ Aus. demselben 'Grunde würde. auch+die . Curve (N) in’ X unterbrochen seyn, wehn die folgenden D) m bi Yen 95 Glieder ihres Ausdrucks nur ‘gerade Potenzen von # ents hielten. Sie-würde“ dann aber durch die ‘Substitution von y für x? auf die, Ordnung-3% sichsredüciren lassen, ‘was dem $.66. entgegen ist. Sey demnach das auf,er?E@ zunächst ‚folgende. Glied mit ungerader Potenz, . fx’, wirklich vorhanden, so wird, wenn man in dem, ‚bisher rigen Sinne auch die Zuambie E und.$ accentuirt: 3 evate =ZuA+uG, E=6=.C +, 0 4 0% Zune +f’, u rs % Es sind demnach a AG, in AC, vonder zweiten und: CC, in CE, von der'wierten Ordmüüg; €’ aber und €%,, von € nach: entgegengesetzien.Seis ten in E’& liegend, von der. fünften, Ordnung; woraus weiter folgt, dass $° und $, auf einerlei Seite von AC, und von @ um ein Un. kl. der vierten Ordnung‘ Sent2. fernt sind. „Die dem X zunächst vorangehenden und, fol- genden Theile der ‚Curve 8,45% liegen mithin, auf e einer- lei Seite sowohl des Punktes X,, als der Geraden AG, welche letztere zugleich die Tangente ist und mit jedem der beiden , Theile eine Berührung der ersten Ordnung bildet. Es hat daher die Curve 3.UF,. und folglich. auch. die Curve (N), in U.eine Spitze der zweiten Art. Zwischen den beiden Ayäßen: UF‘ und ug,, „welche, sich zu dieser „Spitze vereinigen, geht die Linie der zweiten Ordnung AC hindurch , und ‚die ‚Berührung der-, selben mit ‚jedem der beiden Zweige und folglich auch die, gegenseitige, Beni. ‚der Zweige: ist von ‚der. „Ord-, nung 3. 1.8. 81. Asayen jetzt Algen, ie drei, ersten Slie- der der Reihe:- 6 5 (N) tg. gie 1ab wo g,h zwei positive ganze Zahlen ‚bedeuten, Yndzt ib 96 = F s0-srhellet ‚auf dieselbe Weise, nach der. wir bei dem bisherigen speciellen-Fällen zu Werke gingen, Folgendes: 1) Die Curve > ) wird"in % von Geraden AG berührt. 2) Die dem N ae und folgen- den Theile der Curve liegen auf einerlei Seite dieses Punktes, (wie Fig. 14. ü. 15.) ‘oder äuf entgegengeselz- ten Seiten desselben, (wie Fig. 12. 'u.'13.) je nachdem g gerade oder ungerade ist. Sie liegen’ ferner auf einer- leiıSeite .der Tangente ‘AG, (wie Fig. 22. u.15.) oder anf entgegengesetzten; (wie Fig. 13. und u)“ nal h gerade oder ungerade ist: ‘ Le 3) Die es der Curve mit 25 ist von der 4 Ordnung ——4 8.82. Mr sind aber diese Regeln über das Vorhan- denseyn und die Beschaffenheit merkwürdiger Punkte nur unter der bis jetzt’ stillschweigend gemächten Vor- Aussetzung richtig, dass von den drei ersten, wirklich vorhandenen Punkten’der Reihe keiner mit dem andern identisch ist, und ‘dass dieselben nicht in 'einer Geraden liegen. Denn, ist z.B. G mit X identisch, so reducirt sich der Anfang der Reihe auf: (a+g8) A +H?H—aX +5.?9, indem man es gegenwärtig nur mit unendlich kleinen Werthen der Veränderlichen zu thun hat, für solche aber g*8 gegen a verschwindet. ‘Oder ist $ mit & identisch, so wird aus demselben Gfunde der Anfang: aut (9234 be’) G—=aA+g3G. Liegt aber 5 mit I “und G in einer Geraden, so: sey 99 —aA+g‘G, und der Anfang der Reihe wird: (a+ as") U+ (ges +g'0?) G,’ der sich wie vorhin ‚auf ‚aU+ 9xFG. reducirt. In jedem dieser Fälle fliessen also ‚die drei ersten Glieder in zwei . ._ . jn Ko gl - a - Dat, se are. ar ra 1 Tr 97 zusammen, und man ist genöthigt, in der Reihe noch weiter fortzugehen, und von den nächstfolgenden Glie- dern dasjenige als drittes zu nehmen, dessen Punkt we- der mit einem der beiden ersten Punkte, X und & oder 9, zusammenfällt, noch mit denselben in einer Gera. den liegt. N ' Zugleich ist hieraus ersichtlich, wie es merkwürdige Punkte auch geben kann, ohne dass ein oder etliche Glieder im Anfang der Reihe ausfallen. So findet der. Wendungspunkt in $.78. auch dann statt, wenn A,B,€ in einer Geraden liegen; die Spitze der ersten Art in 8. 79. auch dann, wenn: X und 8 identisch sind; die Spitze der zweiten Art in 8: 80., wenn X und 8 iden-. tisch, und 4,G@,D in einer Geraden liegen *). Denn überhaupt wird man aA+gEG+Hr?H als Anfang der ‘ Reihe zu nehmen haben, wenn unter den auf X folgen- den Punkten, & der erste, mit X nicht identische ist, und unter den auf © folgenden, $ der erste ist, der‘ weder mit X oder © identisch ist, noch mit X und‘ in’ einer Geraden liegt. te | *) Nimmt man aus $.73. die Ausdrücke der Punkte «8,6, D, auf A, B, C bezogen, so lassen sich, mit Hülfe der 55. 43. und 24. a., diese Bedingungen folgenderweise durch Gleichungen dar- stellen. ' N ‘ Die Curve p4+gB-+rC hat für v=»! einen Wendungspunkt, wenn für diesen Werth von v i ? a dp (gdr—rdg) +d2g (rdp— per) + der (pdg — gdp)—o; eine Spitze der ersten Art, wenn he we gdr=rdg und rdp—pdr, (folglich auch pdg==gdp.) } eine Spitze der zweiten Art, wenn : gdr=rdg, rdp—=pdr und ER dtp (gder = rd2g) + d°g (rd®p — pd®r) +..=0. e ’ C 98 8. 83. Hiermit glaube ich, die Hauptumstände bei ‚der Berührung krummer Linien und, das Vorzüglichste von der Beschaffenheit ihrer merkwürdigen Punkte aus- einandergesetzt zu haben. Es sey mir.aber erlaubt, die- selben Gegenstände noch auf eine andere Weise zu. be-, ‚handeln, die, wenn sie auch etwas mehr Zurüstung er- ° ‚fordert, doch den Vorzug einer grössern Anschaulich- keit ‚besitzt, und insbesondere über die Natur der merk- würdigen Punkte ein helleres Licht verbreitet. _ Auch wird diese andere Darstellungsart, über die bisher noch nicht erwähnten Punkte, in denen sich zwei oder meh- rere Aeste der Curve schneiden, und welche man dop- pelte; dreifache, etc. Punkte nennt, Einigeg zu. sagen, Gelegenheit geben. Ich ‚gehe hierbei von Seide Erklärung der Be- rührung aus. Wenn zwei Linien sich in zwei, drei, vier, etc, Punkten schneiden , und die eme, oder beide Linien zu- gleich, dergestalt geändert werden, dass die Schneidungs-- punkte einander immer näher rücken, so sagt man im Augenblicke des Zusammenfallens derselben, dass zwi- schen den Linien eine Berührung von der ersten, zwei- ten, dritten, etc. Ordnung statt finde. 8. 84..Werde nun statt des Ausdrucks (N) in sn zunächst folgender in Betrachtung gezogen: (N* en ed ‚wo ii 4, ... endliche, constante Grössen bedeuten, die man, um etwas Gewisses zu Setzen, a; und i 6 2 100 Heisse der die Linie von höherer Ordnung beschrei- bende Punkt, ?, und der die Linie Il*. beschreibende, Sr, Q, so ist: P= N [a+b°+(#«—)] Q ++ (@—i) @—:’) [PD te @—:”) €+..] ein Ausdruck, der für genugsam kleine Werthe von ;, », #,.., und für eben so kleine, oder nicht. viel grös- sere Werthe von x, mit dem Ausdrucke P=Q+rd, wop=d(—d)@—i):a, beinahe gleichgeltend angenommen werden kann. Diesem etztern Ausdrucke zufolge liegt nun ? mit Q in einer um D beweglichen Geraden, und, weil p immer sehr klein ist, dem Q weit näher als dem 9, bald von @ nach D.zu, bald auf der andern: Seite von Q, nachdem. p positiv oder negativ ist; für Po, fällt P mit Q zusammen. Es geht aber p durch Null in das Entgegengesetzte über, wenn x aus dem Negativen durch Null in das Positive, und fernerhin im Positiven durch ö und i fortgeht, d. i. in den Punkten %, %, X“, und sonst nicht. Mithin werden sick die von den Punkten P und Q@ beschriebenen Curven zunächst nur. in diesen drei Punkten begegnen, und darin sich jedesmal schneiden. B Denken wir uns nun die Grössen ;, ”, 4, .,,.. bis zum Verschwinden „abnehmend, so, rücken die Durch- A schnittspunkte 4, W, W”,... in Einen zusammen, "nd - die Ausdrücke I*., II*.,-... (N*) gehen über in L, U... (N). (8. 74). Nach der in $.83. gegebenen Er- Klärung müssen sich daher die Linien I. IL. ....(N) in X berühren, und zwar so, dass die. Berührung der. ken dieser Linien mit jeder der folgenden von der: kien Orde i nung ist. sobisilee- ‘8. 85. Aus‘ jener Kerle kai man FR Ih auch die ee bei den ‘"Berührungen vorkommenden 101 Umstände ‘ableiten. — Da von zwei sich in mehrern Punkten schneidenden Linien die zwei Theile der. einen Linie, welche über den ersten und- letzten Durchschnitt hinaus sich erstrecken, bei einer ‚geraden Anzahl der Durchschnitte auf einerlei, bei einer ungeraden auf ver- schiedenen Seiten der andern Linie liegen, so wird auch bei dem Berührungspunkte die eine Linie ganz auf der einen Seite der. andern enthalten seyn oder sie daselbst durchgehen, je nachdem. die Ordanng der Berührung ungerade oder gerade ist. Nehmen wir ferner von den Linien ”, Hs (N*) irgend drei in Betracht. Sie heissen X, Z, M, seyen von der kten, /ten, mten Ordnung, und % kleiner als / und als m, so wird die Linie X jede der Linien Z und Min den ersten &+ı Punkten 4, %, ... A, und in nicht mehrern schneiden. Lägen nun Z und M vor dem ersten dieser Durchschnitte X auf verschiedenen Seiten von ‘X, so würden sie auch nach demselben, nach jedem andern, und folglich auch nach dem (&+ ı)sten Durchschnitte A%) auf entgegengesetzten Seiten von K’be- findlich seyn. Da sich aber Z und M, als Linien von höhern Ordnungen’ als der &ten, in mehr als den &+ı ersten Punkten schneiden, so würde zu diesem Ende . eine dieser Linien noch einmal durch X gehen müssen, welches nicht seyn kann. Z und M müssen daher vor dem ersten Dürchschnitte mit X sich auf einerlei Seite von K befinden. “Denn alsdann werden sie auch nach ‚dem (k-+x)sten’ Durchschnitte auf einerlei Seite von X (auf dieselbe wie vorher, oder auf die entgegengesetzte, je nachdem % ungerade oder gerade ist) zu liegen kom- men, und- sich nun selbst in noch mehrern Punkten’ schneiden können, ' olıne dass eine von ihnen der Linie K abermals begegneki 0) =j 8-9 [E39 #9 J 12 Die Folge hiervon ist, dass auch von je dreien der sich in X berührenden Linien, die Linie der niedrigsten Ordnung auf beiden Seiten von X ausserhalb der beiden andern Linien liegt. Vergl. 8. 76. 4). u 8.86. ‘Wenden wir jetzt dieselbe Darstellungsweise auf die in $. 78. etc. betrachteten Keinen Punk- te an. Für den in $.78. gedachten Fall, wo c@=o, ist der Anfang der Reihe: AN®), Arte de ND+... Bezeichnet man wiederum mit W, 4“, ... diePunkte, welche (N*) für #—4,#,... giebt, so wird X =aA+biB, wie vorhin, und W’= aA AIR, Hier hat also die Curve mit der Geraden AB drei auf einander folgende Punkte U, %W, X” gemein, und es lässt sich wie oben ($. 84.) zeigen, dass diese Punkte für genugsam kleine Werthe von ii, ,.. zunächst die einzigen und wirkliche Durch- schnitte beider Linien sind. Die Construction davon ‚ giebt Fig. 17., welche für i=’—...=o in Fig. 23. übergeht, Für den zweiten Fall (8. 79.);, wo b8=o, ist der Anfang, der Reihe: Atr@-C+r@—)R—N)Dd+.. ,° und man bekommt für #—=o, ö und “ die. Punkte: UHA=ZEY,W=aA+wW@@—i)E, so dass hier’die Curve - zu zweien Malen durch den Punkt X geht, und dieser mithin ein do ppelter Punkt der Curve ist; Um das bei ihren Gang näher kennen zu lernen, setze man, wie in. $. 84.: : aA+r&—)E= Q, le +r@—39] Q_++-@—9)@—i) date Jar. Be 103 Hiernäach ist Q ein Punkt der Geraden XC, und hat darin, das Verhältniss ca positiv angenommen, folgen- de Bewegung. Von »=—%»% bis o, geht er von € bis 4; rückt alsdann, von x=o bis Fi, auf die andere Seite von X bis zu dem Punkte aA—3:?€; kehrt, hierauf, von #=—=1; bis ö, nach % zurück, und geht, von r—i bis ©, wieder nach €. Nun liegt der die Curve be- schreibende Punkt ?, mit Q und D, (oder vielmehr einem ändern, für sehr kleine Werthe der #,;,’,.. von D nur wenig entfernten Punkte) in gerader Linie, fällt für »=—=o, und # mit Q zusammen, und durchgeht an diesen drei Stellen und zunächst an keinen ändern die Gerade AC, so dass folglich die ‚Theile der Curve vor dem ersten und nach dem letzten Durchschnitte auf verschiedenen Seiten von A@, aber auf einerlei Seite von X liegen. Die Construction dieses Ganges zeigt Fig. ı8. Für i=o zieht sich die Schleife bei X in einen Punkt zusammen, und wenn auch noch “=o wird, so vereinigt sich dieser Punkt mit X”, und aus Fig. 18, wird Fig. ı4. ' Der dritte Fall endlich ($:80.), wo b8=o und dD—=o, und die Reihe mit den Gliedern beginnt: At) e-NE- N). unterscheidet sich von dem vorhergehenden Falle nur dadurch, dass die Curve von der Geraden A€ nach X” noch in, dem weiter nach € hin \liegenden. Punkte vr =aU + WW" (ii) geschnitten wird, und folglich nach allen Durchschnitten sich wieder auf die Seite von AG wendet, auf welcher sie vor'denselben sich befand. Vergl., Fig. 19. und Fig. 15... Zusatz, Die‘in 8. 83. aufgestellte Regel, aus der Anzahl der anfänglichen’ Dürchschnittspünkte die Ord- ? ! Be tn 104 nung der nachherigen Berührung zu bestimmen, leidet in ‘den Fällen, wo bB=o ist, keine unmittelbare An— wendung. Indessen kann man auch hier übereinstim- mende Resultate mit den obigen ($. 79. und $. 80.) er- halten, wenn man die Anwendung jener Regel folgen-. dergestalt modificirt. — Nennt man den Theil der Curve Fig. ı8., welcher bei der Bewegung des Punktes. Q in der Richtung EX erzeugt wurde, den ersten, und den- jenigen, welcher entstand, indem Q nach der entgegen- gesetzten Richtung AC fortging, den zweiten, so schneidet, wie die Figur zeigt, der erste Theil die Gera- de A€ nur einmal, in U; ‘der zweite aber zweimal, in _ W=NX und X”. Da nun die. Ordnungszahl der Berüh- rung, gleich ist der um eins verminderten Anzahl der Durchschnitte, so wären hiernach die Berührungen des er- sten und zweiten 'Theils mit AC resp. von der oten und ısten Ordnung. Offenbar aber ist diese Verschiedenheit der Berührungen nur scheinbar, und hat in den will- kührlich zu nehmenden Grössen i und # ihren Grund. Denn man darf nur #< %i, oder @ und . negativ und absolut grösser als ö setzen, um zu bewerkstelligen, dass der erste Theil die A€ zweimal, und der zweite Theil einmal schneidet. Mit dem Verschwinden von 2 und # wird also diese scheinbare Verschiedenheit sich gegensei- tig ausgleichen, und folglich auf die Berührung des er- . sten sowohl als des zweiten Theils mit A€ als ki ® zahl das arithmetische Mittel aus den beiden vorigen, welches # ist, kommen. . Eben so findet sich aus Fig. ıg., ‘dass die Cirve, Fig. ı5. mit WC eine Berührung von der ersten Ordnung bildet. Denn nach Fig. ıg. ist die Berührung des er- sten Theils von der oten, des zweiten von der aten Ord- nung,. von o und 2 aber das arithm.. Mittel =ı, 105 8. 87. Ist endlich allgemein, wie in $. 81.: (N. + EC HHAHH... der Anfang der Reihe, so setze man statt =? ein Pro-. duct von k Factoren z(@—i)(xr—’)..., und statt = das Product von irgend g dieser % Factoren. Man er- hält hiermit den Ausdruck für eine Curve, welche kAmal die Gerade X& schneidet, und mithin vor dem ersten und nach dem Jetzten Durchschnitte sich auf einerlei oder verschiedenen Seiten von AG& befindet, nachdem % gerade oder ungerade ist. Zugleich aber sind g dieser A Durchschnittspunkte mit % identisch, so dass die Curve (g—ı)mal, zwischen je zwei auf einander folgenden Durchgängen durch % einmal, längs XG ihre Richtung ändert, und vor dem ersten und nach dem letzten Durch- gange durch X bei einem geraden g auf einerlei, bei einem ungeraden auf verschiedenen Seiten von X anzu- treffen ist. 2 A Lässt man nun ö,.%,... bis zum Verschwinden ab- nehmen, : so zieht sich die (g—x)fache Verschlingung bei %, in X selbst zusammen, die übrigen A—g in AG -Jiegenden Durchschnitte vereinigen sich gleichfalls mit diesem Punkte, und die nunmehrige Curve wird X& in X berühren dergestalt, dass sie vor und nach der Be- rührung auf einerlei oder verschiedenen Seiten von AG (von %) sich befindet, nachdem A (g) ER oder un- gerade ist. 8. 88. Wenn eine Curve durch einen und densel- ben Punkt zwei, drei oder mehrere Male geht, so nennt man einen solchen Punkt einen doppelten, dreifa- chen oder überhaupt vielfachen Punkt der Curve. Der Punkt %, durch welchen die eben betrachtete Curve vor Annullirung der 2 ...gmal hindurch ging, ist 106 daher ein ’gfacher Punkt dieser Curve. Zugleich ersieht man aus dem vorigen $., wie, mit dergleichen Punkten versehene, Curven durch barycentrische Ausdrücke sehr leicht darstellbar sind. Setzt man der Kürze willen a, b,c, ... statt v—a, v—b,v—e,..., und bedeuten p,g,r beliebige andere Functionen von », so ist der allgemeine Ausdruck für eine Curve, welche ı) in 4 einen Doppelpunkt hat: pÄA+abgB-+abrC; 2) welche 4 und B zu Doppelpunkten hat: cdp A + abgB +abedrC; 3) bei welcher 4, 2, C Doppelpunkte sind: edefpd-+abefqB + abedrC. Es folgt hieraus, dass eine Linie mit einemDoppel- punkte wenigstens von der dritten Ordnung ist. Denn. in x) können ‘q und r nicht zugleich Constanten seyn, weil sonst der. Ausdruck einer Geraden angehören würde. . Vermöge der Ausdrücke in 2); und 3), wo 7, r zugleich Constanten seyn können, gehört eine Linie mit zwei oder drei Doppelpunkten wenigstens zur vierten Ordnung. Auf gleiche Art erhellet, dass eine Linie mit einem ‚dreifachen Punkte wenigstens von der vierten, und eine Linie mit zwei oder drei dreifachen Punkten wenigstens von der sechsten Ordnung ist; u, s. w. Noch werde bemerkt, dass Ausdrücke für Curven bisweilen auch zu isolirten Punkten der letziern füh- _ ren können. EinBeispiel hierzu giebt der einfache Ausı .druck von der dritten Ordnung ; dHli +02) B+Ho(14v2) [64 Lässt man därin’ ö-ton— & durch o bis + © an- Wächsen , sb erhält man die’Reihe von Punkten, welche 4107 den Hauptzug der Curve bilden. Ausser dieser Reihe giebt es aber noch einen zur Curve gehörigen Punkt, den F.punkt 4, indem sich auf diesen der Ausdruck für ı-+v? =o, also für den imaginären Werth von #, Y—ı, re- ducirt. 4 ist folglich ein isolirter Punkt der Curve. Von den unendlichen Aesten. $. 89. Nachdem wir'bisher von der Berührung krum- mer Linien an endlich gelegenen Stellen ihres Laufs ge- sprochen haben, ist es noch übrig, von der Berührung an unendlich entfernten Punkten derselben. zu handeln. Dergleichen Punkte, und mithin in das. Unendliche.sich erstreckende Aeste sind aber bei einer durch ihren Aus- druck gegebenen Curve vorhanden, wenn die Summe der Coäfficienten für einen oder mehrere Werthe der Ver- änderlichen —=o wird, folglich einen oder mehrere reelle Factoren hat. Sind dagegen die Factoren der Summe der Coefficienten sämmtlich imaginär, 'wäs jedoch nur bei einer Curve von einer geraden Ordnung möglich ist, so ist die Curve auf einen endlichen Raum beschränkt. $. 90. Sey demnach #—»’ ein Factor von p+g-+r, also p+g’+r’=a=o, so wird f A+gYB+r'C=X ein unendlich entfernter Punkt der Curve (N), und so auch der einfachern vorhergehenden Linien ... IH., H., I, deren Ausdrücke für <=o sich sämmtlich auf X redu- ceiren. Alle diese Linien werden folglich nach einer durch U bestimmten Richtung in das Unendliche fortgehen, und daselbst als zusammenfallend anzuschen seyn. Um aber die gegenseitigeLage dieser Linien im Un- endlichen genauer zu'bestimmen,. so‘ heissen wie bisher die einem unendlich kleinen positiven! (negativen) Werthe von x,=i; in den LiniemI.z I, IH. y . ..ventsprechen- P ‚der ersten Ordnung entfernt sind, — wenn nämlich, wie .wärts, also auf entgegengesetzten Seiten der Linie I., 108 den Punkte 8,6, D4... (®, &, Ddvs.s..). Weil hier a=o, so wird: B—aA+biB, IR e=bBH+@C=EbB+uE, na Delhi +) + DEE +D, 2,00% weil cö gegen b verschwindet; u. s. w. | Auf dieselbe Weise erhält-man für ein negatives 2: Bd —bB, g=bB,— ul, D,=bE,+7D, us. w. Was nun zuerst die Lage der Punkte ® und 8, betrifft, so sey “A ein beliebiger in der Geraden AB, von. 8 endlich entfernt, gelegener Punkt. Alsdann lässt sich aA=B— U setzen, und es wird: sohn ZENAN+HHBE(+HW)B— BEN bBE(—b)B — 8’ und 8, (Fig. 20.) sind folglich zwei Punkte der Li- nie ‘AB, von denen der'eine von ‘X über ® hinaus, der andere von ® über ‘X hinaus unendlich entfernt: liegt; d.h. zwei Punkte, die in der Linie AB oder I. nach entgegengesetzten Richtungen um ein Unendlichgrosses in dem Vorigen, ö als un.klein von der ersten Ordnung, betrachtet wird. _ j Es liegen zweitens die Punkte €, €, in ‚dem Geraden BC, 8,C, der eine nach € zu; der andere von E ab- und von ®‘, ®, in Entfernungen , die gegen die unend- N lich‘ grossen ®‘C, ®,€ unendlich klein, und mithin an -» sich von endlicher Grösse sind, - or Es liegen drittens D‘, D, in denGeraden EBD, 5» | beide nach D zu oder von ® abwärts, und von €, €, an. Entfernungen, ‚die. gegen die unendlich grossen ED, &D- 109 unendlich klein von der zweiten Ordnung, ‘und folglich an-sich unendlich klein von der ersten Ordnung sind; us w E j i $. 91. Wenn von zwei, in endlicher Entfernung von einander gelegenen, Punkten M und N, und so auch von der diese Punkte verbindenden Geraden ein dritter Punkt 4 um ein Unendlichgrosses der ersten (mten) Ord- nung absteht, und wenn ein vierter Punkt ZB, in AM liegend, von 4 um ein Endliches oder Un.kl. der ısten, aten, etc. (aten) Ordnung entfernt ist, so ist derselbe Punkt 2, folglich auch eine durch ihn mit 4N gezogene Parallele, von 4N um ein Unendl.kleines der ısten, aten, 3ten etc. [(m-+)ten] Ordnung entfernt. Mit Anwendung dieses Satzes und mit der Bemer- kung, dass die unendlichen Aeste der Linien H., II.,... im Unendlichen. selbst als Parallelen mit der Geraden AB, gelegt durch E und G,, durch D’ und D,, u. s. w. angesehen werden können, ergiebt sich nun Folgendes: ı) Jede der Linien I., Il., IH., ... (Fig. 20.) hat wegen des, in der Coäfficientensumme ihres Ausdrucks enthaltenen , Factors e— »" zwei nach entgegengesetzten Richtungen in das Unendliche sich 'erstreckende Aeste. 2) Je zwei dieser Linien dienen sich’ gegenseitig zw. , Asymptoten, indem ihre Aeste, je weiter sie verlän- gert werden, sich desto mehr und über jeden angebba-. ren Abstand hinaus einander nähern. 3) In‘ solch einer unendlichen Entfernung, in wel-' cher ‚der "gegenseitige Abstand der Linien I. und II. als unendlich klein von der ersten Ordnung betrachtet wer- den kann, ist der Abstand der Linien MH. und II. ,von' ' der zweiten Ordnung ‘der Abstand der Linien IL. und IV. von..der dritten; 'u, s: w. Wir) können dieses © $0 _ ausdrücken: die Asymptosis der Linie I. mit IL, nad) 4110 folglich auch mit III, IV.,... ist von der ersten Ord- nung; die Asymptosis der Linie II. mit III., IV., ... von der zweiten; u.s. w.: so dass nämlich überhaupt die Ordnungszahl der Asymptosis gleich ist der Ord- nungszahl der unendlich grossen Entfernung, in welcher man eine Linie mit der ihr sich asymptotisch nähernden vergleicht, dividirt in die Ordnungszahl des: unendlich kleinen, in jener Entfernung statt findenden, gegensei- AR tigen Abstandes der beiden Linien. 4) Hieraus folgt weiter, dass von den Acsten, wel- che sich nach einer und derselben Richtung erstrecken, jeder Ast alle folgenden, d.h. die Acste aller Linien von höherer Ordnung, auf einer und derselben Seite von sich liegen hat. 5) Es liegen ferner die beiden Aeste der Linie II. auf entgegengesetzten Seiten der Linie I., d. h..der eine oberhalb. der andere unterhalb dieser Linie; die beiden Aeste der Linie III. auf einerlei- Seite der Aeste von II., d.h. beide oberhalb, oder beide unterhalb der. Aeste von 1l.; die. Aeste von IV. wiederum auf entgegengesetzten “ Seiten der Aeste von IlI.; und so fort abwechselnd. .:6) Ueberhaupt also liegen! bei einer Asymptosis von gerader Ordnung irgend zweier Linien die beiden Aeste der einen auf einerlei Seite, und wenn dieOrdnung un- gerade ist, auf entgegengeseizten Seiten der andern Linie, 8. 92. ‘Dies sind die gegenseitigen Lagen, welche bei den sich ‚asymptolisch nähernden ‚Aesten zweier Li- nien für ‚gewöhnlich statt finden. Eben so aber, wie bei den Berührungen im endlichen ‚Raume, giebt es 'auch hier, . theils ‚den merkwürdigen ‚Punkten analoge; theils, noch andere Fälle, welche von. den: gewöhnlichen abwei- chen und .daher eine: besondere Ar re et ma chend) zu:.) Deren vihchäe \ 111 Um: nur einige: dieser Fälle zu erörtern , so seyıerst= lich nächst a=o zugleich (Co, wie in )$.78., und man erhält... F=aA+bB, B=Ea—bB, O=bBd+u?Dd, DE6B,+0D. Hier liegen also die Punkte 8‘, ®, (Fig. 21.) eben so wie vorhin, von ihnen aber ®’, D, zugleich nach D hin oder von D abwärts, also immer auf einerlei Seite der Geraden AB, und von ®, 8, in Abständen, die ge- gen BD, 8,D unendlich klein von der zweiten Ordnung sind. ‚Die Curve durch D’ und D, hat demnach zwei unendliche Aeste, die zwar ebenfalls nach entgegenge- setzten Richtungen laufen, aber auf ein und derselben Seite ihrer geradlinigen Asymptote AB liegen und mib dieser eine Asympiosis der zweiten Ordnung bilden. Sey zweitens a=o und nächstdem b®=o, wie in $. 79. In diesem Falle kommt: e=ß,=aA+uG, ; V=cd+ vD. DEE— HD. Man ziehe daher durch € (Fig. 22.) eine Gerade, parallel mit der durch X bestimmten Richtung , so. fallen darin die Punkte €, G, in einen zusammen, der um ein Unendlichgrosses der zweiten Ordnung, entfernt. liegt. Von diesem Punkte stehen die Punkte D’, D,, der eine nach D zu, der andere von D abwärts, in. Entfernunz gen, die gegen ED unendlich klein von der ersten Ord- nung, also an sich unendlich ‚gross von der ersten Ord- nung sind. Die Abstände der Punkte D’, D, von AE sind folglich un. kl. von der ersten Ordnung. Die Curve "hat hiernach die AC zur geradlinigen Asymptote, erstreckt sich zu beiden’Seiten derselben und nach einer und der- ' 412 selben‘Richtung in das Unendliche, und die ra ist von der Ordnung #. Wenn drittens a—=o, b®=o und, wie in $. 80., noch HD=o ist, so wird: e=G,=aA+ u?E, E=E=C+wE, y=e+fF, DE — fi’. In der Geraden. A& (Fig. 23.) liegt demnach der » Punkt €’ um ein Unendl.grosses der zweiten Ordnung entfernt; in der Geraden CE steht der Punkt € von & um ein gegen € Unendl.kleines der zweiten Ordnung ab, und in 'derı Geraden €& die Punkte $, $, von € zu beiden Seiten um ein gegen &% Unendl.kleines der ° dritten Ordnung. Wie hieraus ersichtlich, hat also die Curve zwei unendliche Aeste, die nach einerlei Richtung sich erstrecken ünd auf einerlei Seite ihrer geradlinigen Asymptote AC liegen. Die Asymptosis aber ist von der ersten Ordnung. 8. 93. In den N letztern Fällen, wo aundbB zugleich =o sind, kann die Summe der Coäfficienten, p+g4r, nicht den blossen Factor #— »* haben, sondern muss das Quadrat desselben enthalten. Kommt abER der Factor »— v' quadratisch vor, so ist im Allgemei- nen nur a=0 und b=o, nicht auch Bo, sondern B ein unendlich entfernter Punkt, folglich die Asymptote AB eine unendlich entfernte Gerade, und daher nicht construirbar. Um aber auch hier zu finden, wie sich die’ Curve in das Unendliche ausdehnt, setze man: bBrut=g, 8—ut=Q, so wird, weil b=o: \ Zelt, g=nA+u2Q, 113 Hiernäach sind @ und Q, -(Fig. 24.) zwei Punkte, die unendlich entfernt nach entgegengesetzten Richtungen in BE liegen ($.go.). Denkt man sich ferner durch @ und Q, zwei Parallelen nach der durch X bestimmten Richtung gezogen, so liegen in diesen die Punkte € und €, von @ und Q, in unendlichen Entfernungen ' der zweiten Ordnung und nach einerlei Seite zu. Die Curve M., und so auch jede der folgenden, hat daher zwei unend- liche Aeste, die nach einer und derselben, durch % be- stimmten, Richtung fortgehen und sich dabei immer wei- ter von einander entfernen, so dass, wenn ihre Länge ein Unendliches der zweiten Ordnung geworden ist, ihr - gegenseitiger Abstand ein Unendliches der ersten Ordnung beträgt, Nennen wir nun, wie gewöhnlich, unter allen den’ Linien, welche sich einer vorgegebenen Linie asymptotisch nähern, die einfachste vorzugsweise dieAsymptote, so ist es im gegenwärtigen Falle die Linie der zweiten Ord- nung: aU+bxB+cr?E. Weil a und b=o sind, so ist in ihrem Ausdrucke die Summe der Coöfficienten (v2, und folglich sie selbst eine Parabel. Vergl. $. 62. und 8. 63. $. 9% Schon aus der Erläuterung ‚dieser wenigen Fälle wird man hinreichend abnehmen können, wie man ° in allen andern zu verfahren hat Ich begnüge mich daher, folgende allgemeine Resultate noch beizufügen. ı) Jeder reelle Werth der Veränderlichen, durch - welchen die Summe der. Co@fficienten null wird, giebt “ ein-Paar unendliche Aeste zu erkennen. Eine Curve hat: demnath so viel dieser Paare, . als wie viel reelle und ungleiche Factoren in der Coöfficientensumme enthalten sind. ! au: a 114 2) Die zwei Aeste eines Paares erstrecken sich ent- weder nach entgegengesetzten Richtungen, oder nach ei- ner und derselben, je nachdem die Potenz des ihnen zu- gehörigen Factors ungerade oder gerade ist. 3) Um für eines dieser Paare den Ausdruck der Asymptote zu erhalten, substituire man, wenn (v—v)” der zugehörige Factor ist, +» für » in dem Ausdrucke der Curve, und unterdrücke sodann alle Potenzen von x, welche die mte übertreffen. . Die Co@fflicientensumme im Ausdrucke der Asymptote ist hiernach =x” in eine Constante multiplicirt, und folglich die Asymptote im Allgemeinen eine Linie der mien Ordnung, d.h. ihre Ordnung ist dem Exponenten des zugehörigen Factors gleich. Auch kann sie nicht mehr als ein Paar unend- licher Aeste haben, weil ihre Coöfficientensumme nur den Factor x, und keinen andern enthält. _ ‘ Siebentes CGapitel. Von Ausdrücken krummer Linien im Raume. RP 8. 99. Die allgemeine Form des Ausdrucks für eine Li- nie im Raume ist: A pA+gB LrC+sD, wo die Co&fficienten p,9, r, s Functionen einer Verin- derlichen » sind. Vergl. 8.33. und $. 57. Die in $. 66. gemachten Annahmen, dass die Cost. fiienten ganze rationale Functionen von » seyen, dass sie keinen ihnen allen gemeinschaftlichen Factor haben, und dass der höchste Grad, in welchem die Potenzen von » im Ausdrucke vorkommen, durch Einführung einer / 115 andern Veränderlichen auf keinen niedrigern‘ gebracht werden könne, wollen wir .auch hier festsetzen, und eben so wie dort die Linien nach der höchsten Potenz ' von v in Ordnungen eintheilen. ‚Bei den Linien der ersten Ordnung: sind also p,9,r,s bloss lineäre Functionen von v, und folglich die Linien selbst Gerade (8. 45.): Der allgemeine Ausdruck für eine Linie der zweiten Ordnung ist: = (“+ a’v + a2) A+(b+bWw + b"u2) B4 (ce + eo cv?) C +(d$dv+der2).D. Zu diesen Coöfficienten kommen bei Linien der drit- ten Ordnung resp. die Glieder «v2, 5,3, emp3, dr1ps hinzu; u. s. f. bei Linien noch höherer Ordnungen. Zusätze. a. Setzt man in dem Ausdrucke einer Linie der zten Ordnung den einen der vier Coefficien- ten, 2.B. s, =o, und substituirt die daraus für # her- vorgehenden Werthe; deren Anzahl höchstens =n seyn kann; der Reihe nach in den drei übrigen Co&fficienten P & rs so erhält man die Durchschnitte der Linie mit: der F.ebene 4BC. Eine Linie der rten Ordnung kann demnach von einer der F.ebenen, und so auch von jeder andern Ebene; in höchstens » Punkten geschnitten wer- den. Denn durch Veränderung der F.punkte kann man jede beliebige Ebene zu einer F.ebene machen, und man begreift eben so leicht, wie in $.67.; dass auch hier bei Annahme anderer F.punkte die Ordnung der Linie ungeändert bleibt. b. So wie überhaupt eine Gerade, welche durch den Punkt PpA+4gB+ rC+sD und einen der F.punkte; 2. B. A, gelegt wird, die entgegenstehende F.ebene BCD im Punkt g# +rC+sD: trifft, so wird hier, wo 2,9, 7,8 Ha 116 Functionen einer Veränderlichen sind, die Kegelflächez deren leitende Linie p 4+9B+rC+sD, und deren Spitze A ist, dieEbene BCD in der Curve gB+rC+5sD schnei-- den.. Und umgekehrt, beschreibt man in den vier F.ebe= nen die Curven gB+rC +sD, rC+sD+p4, etc., so kann man sich die Curve p4+gB-+rC+sD als den Durchschnitt je zweier der vier Kegelflächen vorstellen, deren leitende Linien jene Curven in den F.ebenen, und deren Spitzen ‚die entgegenstehenden F.punkte sind. $. 96. Ganz auf die Weise, wie in $. 61. und $.71., lässt sich der Ausdruck einer Linie im Raume durch Zu- sammennahme derjenigen Glieder, in welchen # in der- selben Potenz vorkömmt, -in eine Reihe umgestalten, deren Gliederzahl der um die Einheit vermehrten Ord- nungszahl der Linie gleich ist. Setzt man nämlich: a4+bB+cC+dD—= a,A,, aAdA+bB+Le C+dD=b,B,, er ar d+b"B-+e"C+d"ı D=e,C,, . u. Ss. w. so wird der Ausdruck für die Linien der ersten Ordnung :.a,4,+b,vB, g Br — zweiten — : @a,A,+b,oB,+ 0,20, . "> — dritten . — : 0,4, +boB,+0,w2C, am bt — vierten — A, hachd, ME Te | us. w. ‚ ; Wir sehen hieraus, dass dıe Linien nicht nur der ersten, sondern auch der zweiten Ordnung im Raume, ‚mit den Linien derselben Ordnungen i in einer Ebene ei- nerlei sind, indem 'auch hier eine Linie der zweiten Ord- nung ganz in einer Ebene, in der durch 4,3, 9 gehenden, enthalten ist, “Erst die Linien der dritten und x ui) 5 417 S höherer Ordnungen liegen im Allgemeinen nicht mehr in einer Ebene. \ Der RAR RER für die’ Linien. der drit- ten Ordnung a,4,+buB,+cw?C,+ dw®D, zeichnet sich vor .den folgenden. höherer Ordnungen da- durch aus, dass man die vier in ihm vorkommenden Punkte zugleich als die vier F.punkte .des Raums neh- men kann. Er ist daher zugleich. der allgemeine und einfachste Ausdruck für die Linien der dritten. Ordnung auf die vier F.punkte bezogen. Näch 8. 95. d. kann man sich diese Curve als den Durchschnitt‘zweier Kegelflä- chen denken, deren leitende Linien die Linien der zwei- ten Ordnung a,4,-+b,vB, + e,v2C, und 5,B,+e,#C,+d,#?D, und deren Spitzen resp. D, und 4, sind, Uebrigens können alle "diese Ausdrücke in Reihen- form vollkommen sp, wie in $. 71. gezeigt wurde, auch dazu benutzt werden, um die ihnen zugehörigen Curven, und mithin- sämmtliche Curven, mit denen wir. es hier zu thun haben, durch blosses Ziehen gerader Linien zu construiren, Denn offenbar ist die dortige Annahme, dass die Punkte 4, 3, C, D... in einer Ebene liegen, nicht wesentlich ABI . 8. Ri: Eben so kann die Lehre von den Berührun- gen, merkwürdigen Punkten und unendlichen Aesten krummer Linien im Raume ganz auf dieselbe Art behan- delt werden, wie dies im vorigen Capitel bei krummen ‚Linien in: einer Ebene geschah. Ist nämlich, wie dort, für ‚den Punkt, bei welchem der Gang der Curve un- tersucht werden soll, PR v+, und setzt man dem gemäss das veränderliche »—=»’+x, wodurch 118 dp! d? wi r=r+ a dh oe aa at a d?g’ er I: z:+... dr’ der’ r—r'+ IR x + an ze+,.. ds’ s=s'+ SER “+ —— an x2+,,, wird; setzt man ferner Tr dp’ dr’ ds! 1. 4+ 2 Ber ..C + pm 63, d?pt de dr’ d?s‘, hir a ta Pr a te u. 5, W, so verwandelt sich der Ausdruck der Curve p4+gB+rC+sD in die nämliche Reihe, wie in $.73.: (N) aAA+bB+a?C+HrDd+,... Insbesondere geht daraus hervor, dass alles, was dort von den berührenden Linien der ersten ünd zweiten Ordnung, so wie von den merkwürdigen Punkten ge- sagt wurde, als wobei: nur die zwei oder drei ersten Glieder der Reihe zu berücksichtigen waren, hier wört- liche Anwendung findet. Denn die diesen zwei oder drei Gliedern zugehörigen Punkte sind, wie immer, in einer Geraden oder in einer Ebene enthalten, . 8. 98. Der Ausdruck für die geradlinige Tangente an eine Curve im Raume ist daher aA+bxB, und wenn man darin für a4 und 68 ihre Werthe De rent + at D. 119 Eben so ist aU-+bxB-+cx?E der Ausdruck für die Linie der zweiten Ordnung, welche mit der Curve eine .Berührung der zweiten Ordnung bildet, d. h. drei auf einander folgende Punkte mit der Curve gemein hat ($-83.). Dasselbe wird folglich auch von der Ebene ABG gelten, in welcher diese Linie enthalten ist. Unter allen durch AB gelegten und mithin die Curve berühren- den Ebenen ist daher die Ebene ABE diejenige, welche sich der Curve am meisten anschliesst. Denn sie. geht durch drei auf einander folgende Punkte der Curve, während jede andere Ebene durch A® nur zwei auf ein- ander folgende Punkte, und jede der übrigen durch 4 gelegten Ebenen nur den einen Punkt X mit der Curve gemein hat, Man nennt diese Ebene AB€E die Krümmungs- ebene. Da sie erhalten wird, indem drei Durchschnitts- punkte,der Curve mit einer Ebene sich bis zum Zusam- menfallen einander nähern, so erhellet eben so, wie in 8.85., dass die Curve sich von der einen Seite dieser Ebene auf die andere wendet, während sie bei bloss be- rührenden Ebenen auf einerlei Seite bleibt. Der Ausdruck für die Krümmungsebene ist A+xB-+yG, oder wenn man für 4, 8, € die ihnen proportionalen Ausdrücke setzt: re + inaerte San s' + 587 a ee lan nD- Beispiel. Machen wir hiervon eine Anwendung auf den oben gefundenen Ausdruck für die Linien der dritten Ordnung: ' ad+ bvB+ev?C+dv3D, 120 l Die Tangente derselben in dem Punkte, wo v==v' ist, hat den Ausdruck : Ä ad+b(v +x)B-+e(v'?+ av'z) C-+d(v3 + 30'2r).D, Für den Punkt, wo diese Tangente die F.ebene ABC schneidet, ist der Coüöffcient von D,=o, also z=—4r, folglich der Punkt selbst: (X) 3a4+2bv!'B + ev'2C, Sein Ort ist demnach eine Linie der zweiten Ord- nung. — Für den Durchschnitt der Tangente mit der F.ebene BCD ist = © zu setzen, und daher dieser Punkt (L!) bB-+a2cw#/C+3dv/2D, also gleichfalls in einer Linie der zweiten Ordnung be- griffen. Dies giebt uns, wenn wir dieLinien «4 +wBLoraC und 52B+cvC+dv2D kürzlich mit X und z bezeichnen, folgenden Satz: Seyen K und. L (Fig. 25.) zwei Linien der zwei- ten Ordnung, welche in zwei verschiedenen. Ebenen liegen, aber eine gemeinschaftliche Tangente haben, welche die Linie Kim Punkte C, und L in B berühre. _ Man ziehe von Bnoch eine zweite Tangente, BA,anK, und von Ü noch eine zweite, CD, an L, wo 4 und D die resp. Berührungspunkte sind. Lässt man nun zwei Kegelflächen entstehen, welche D und 4 zu Spitzen, K und L aber zu leitenden Linien haben, so wird eine an die Durchschnittscurve dieser. Kegelflächen berüh- rend gelegte und daran Jortbewegte Gerade in den Ebenen ABC und BCD wiederum zwei Linien der zwei. ‚ten Ordnung K' und Li beschreiben, welche, eben so 121 wie |K und L, die AB, BC in A, C und die BC, CD in By D berühren. Auch findet dabei noch die Merkwürdigkeit stagt, dass die Linie Ku hlos von X abhängig ist, also dieselbe bleibt, wie auch die Ge- stalt und Ebene der, die BCin B berührenden, Linie der zweiten Ordnung Z geändert werden mag, und dassebenso Zt allein durch Z, nicht auch durch X, bestimmt wird, Der Ausdruck für die Krümmungsebene an die Curve aA ..+.dv3D findet sich ad+b (v'+x) B-te(vl2+2v'xtay) C+ d(vta+301224-60'Y) D. Setzt man hierin den Co£fficient von- D,—= o, und eliminirt damit y aus dem Co£fficienten von €, so "kommt der Ausdruck für die Durchschnittslinie der "Kr.ebene mit 4BC: y Arber Be ze? tor), oder, wenn man «=32—4vf setzt: 3a dt ab (e +2) B+e(v?+ 202) ©. Um den Durchschnitt der Kr.ebene mit ZCD zu fin- . den, hat man im Ausdrucke derselben x und y=» zu setzen. Hierdurch verschwinden alle von x und y freien N ” Glieder, und es kommt, wenn man zur Veränderli- 3 chen nimmt und =z setzt: bB-+2c (v’ +2) C+3d(v»?-+ av) D, Man bemerkt leicht, dass. diese Ausdrücke für die Durchschnittslinien zugleich die Ausdrücke für die an die Linien Ä’ und Z’ gezogenen Tangenten sind. Der geo- metrische Grund hiervon liegt darin, lass die Krüm- mungsebene durch drei auf einander folgende Punkte und mithin durch zwei auf einander folgende Tangenten geht, dass also ihr Durchschnitt mit irgend einer An- dern Ebene immer die Linie berührt, welche die’an der 122 'Curve sich fortbewegende Tuigemn in dieser andern Ebe- ne beschreibt, 8. 99. Curven im Raume sind im nr Allgennöitieh von doppelter Krümmung. Die eine Krümmung besteht, wie bei Curven in einer Ebene, darin, dass die durch je zwei auf einander folgende Punkte der Curve gezogene Gerade, die Tangente, ihre Lage. fortwährend ändert. Die andere offenbart sich dadurch, dass die durch je drei folgende Punkte der Curve gelegte Ebene, dieKrüm- mungsebene, für jeden Punkt der Curve eine andere ist. Eben so aber, wie bei Curven in einer Ebene es Stellen giebt, wo die Tangente für zwei oder mehrere auf einander folgende Punkte dieselbe bleibt, so. können auch bei Curven im Raume nicht allein in Bezug auf die Tangente, sondern auch rücksichtlich der Krüm- mungsebene dergleichen Stellen vorkommen, Stellen also, wo vier oder noch mehrere Punkte hinter einander in einer und derselben Ebene liegen. Dies wird der Fall seyn, wenn in der Reihe (N) das Glied dD oder noch mehrere der unmittelbar darauf folgenden Glieder weg- fallen, ’ Um nur den einfachsten dieser Fälle zu betrachten, _ so sey für einen gewissen Werth von v‘, dD=o, also dp! — d?g! = d?rt—=d3 s'—=o. Bedienen wir uns wiederum der in $. 84. und folg. angewendeten Methode, so d,ergieht sich W, A“ wie dort, und e wu—=gaY - b2r + ci (W je i) 6. z Mithin ist noch dieser Punkt in der Ebene ABE oder XXX“ enthalten. Ursprünglich wird also hier die Curve in vier Punkten hintereinander von der Ebene ge- schnitten, und der vorangehende und nachfolgende Theil der Curve liegen mithin auf einerlei Seite sowohl die- 4123 =. ser als auch der nachherigen Krümm.ebene, In Monge Application de l’Analyse & la Geometrie, partie Il, vag. 363, heisst eine solche Stelle der Curve point de simple Inflereieie Wenn (C=o, also d:p'—=d2g’ —=d2r!—=d?s!—=o ist, :s0 liegen, wie in $.86., die drei Punkte %, %, X“ in einer Geraden (48), folglich ebenfalls die vier Punkte 4, ..W“ in einer Ebene (ABD). Da hiermit beide ‚Krümmungen der Curve zugleich wegfallen, so nennt Monge a.a.O. einen solchen Punkt point de double inflexion. Auch hier übrigens wird die Curve anf der- selben Seite der Krümmungsebene bleiben, WER $. 100, Rücksichtlich der unendlichen Aeste haben wir bei Curven im Raume zy dem, was von $. 89. bis 94. bei Curven in einer Ebene darüber gesagt wurde, und welches auch hier vollkommene Anwendung findet, noch Folgendes hinzuzufügen, Je weiter sich eine Curve in das Unendliche erstreckt, desto mehr wird sie zu- gleich ihrer Asymptote parallel, so dass in dem Unend- lichen selbst Curve und Asymptote als zwei Parallelen angesehen werden können. Bei Linien von doppelter . Krümmung kann man daher noch die Ebene dieser zwei Parallelen zu wissen verlangen, Offenbar ist diese Ebene keine andere, als die dortige Krümmungsebene der Cur- ve, und man erhält folglich ihren Ausdruck, wenn man für den Werth von », welcher den unendlich entfernten Punkt giebt, den Ausdruck der Krümmungsebene ABE entwickelt. Denken wir uns demnach die Ebene ABE für den unendlich entfernten Punkt %, so liegen in derselben die in $. go. mit ®, ®, und €, €, bezeichneten Punkte; ausserhalb aber die Punkte D’=bC'+07Dd, D,=bE, +bi2D, und diesen Ausdrücken zufolge, beide auf einer- 4124 — «lei Seite der Ebene; woraus wir nachstehenden Schluss ziehen: Je mehr zwei zusammengehörige Aeste einer Linie von doppelter Krümmung sich ihrer Asymptote’ nähern, ‚desto mehr nähern sie sieh zugleich einer durch die Asymptote gehenden Ebene dergestalt, dass im gewöhn- lichen Fälle beide Aeste auf einerlei Seite dieser Ebene liegen, und von ihr um ein Unendlichkleines der zwei- ten Ordnung abstehen, _wenn sie von der Asymptote ‚selbst um ein Unendlichkleines der ersten Online ent- fernt sind. So wie endlich die geradlinige Asymptote für Adite, welche durch einen quadratischen oder einen noch hüöhern Factor in der Coöfhicientensumme angezeigt werden, im ‚Allgemeinen unendlich entfernt liegt und daher- nicht - eonstruirbar ist ($. 93-): eben so kann auch die asympto- - tische Krümmungsebene nicht. construirt werden, wenn ‚der den Aesten zugehörige Factor in der dritten oder einer nach höhern Potenz vorkömmt. Denn alsdann sind «mit a zugleich b und c=o, folglich nächst X zugleich ‘8 und E unendlich entfernte Punkte, Achtes Capitel.. Von Ausdrücken für krumme Flächen, 8. 10r. Der Ausdruck. pA+4qgB+rCc+sD gehört im Allgemeinen einer Fläche an, wenn seine Coef- ficienten Functionen zweier Veränderlichen # und sind. ‘ In der That, giebt man der einen Veränderlichen » ir- gend einen bestimmten Werth, so erhält man den Aus- druck für eine Linie, ‚Alle dieLinien aber, welche ent- stehen, indem man dem w nach und nach alle mögli- chen Werthe beilegt, bilden im Allgemeinen eine Flä- che. — Ich sage: im Allgemeinen. Denn .lassen sich die Coäfficienten als Functionen einer und derselben Function zweier Veränderlichen darstellen, so gehört der Ausdruck offenbar einer Linie und nur scheinbar einer Fläche an. So verwandelt sich z.B. der Ausdruck: w? 4 +hw?oB +»v2C+»v3D, wenn man -- =? setzt, in: A+xB +22C+2?D. " ) Ein Beispiel für den Ausdruck einer Fläche haben ‘wir an dem bereits in '$. 4g. gefundenen Ausdrucke für die Ebene, wo die Coöfficienten lineäre Functionen von » und » sind. Kommen höhere ; Potenzen der Verän- derlichen vor, so wird der Ausdruck im een für eine ig Fläche gelten. \ 126 $. 102. Die Flächen, in deren Ausdrücken die Co&f- Äicienten ganze rationale Functioneu von v und » sind, kann man, gleich den Linien ($. 66. und $.95.), nach den höchsten in den Coefhcienten vorkommenden Dimen- sionen von # und # in Ordnüngen eintheilen. Es wird dabei, wie dort, vorausgesetzt, dass die Co@fhicienten keinen ihnen allen gemeinschäftlichen Factor haben, dass‘ ‚die höchste Dimension der Veränderlichen durch Einfüh- rung anderer Veränderlichen nicht auf einen niedrigern Grad gebracht werden kann, und dass überdies die Coef- ficienten nicht Fünctionen von einer und derselben Function der beiden Veränderlichen sind. Doch will ich mich ge- genwärtig bei dieser Eintheilung der Flächen in Ordnun- gen nicht aufhalten und nur bemerken, dass die Ord- nung; welche einer Fläche ihrem Ausdrucke nach zukommt, im Allgemeinen niedriger ist, als diejenige, zu welcher sie ihrer Gleichung nach gehört. Wir wer- den dieses sogleich bei den Ausdrücken für die Flächen der zweiten Ordnung zu sehen Gelegenheit haben, wo atavtawtarn?+a'vw+a'w? die allgemeine a: der Coefhicienten ist. $. 103. Zusätze, a. Wenn man in dem Ausdrucke für eine Fläche den Coefficienten des einen der vier Fpunkte —=0 setzt, und mittelst dieser Gleichung die eine der beiden Veränderlichen aus den drei übrigen Cosf- ficienten eliminirt, so erhält man den Ausdrück für die Linie, in welcher die Fläche von der durch die drei übrigen F. punkte gehenden F. ebene geschnitten wird. Sey z.B. der Ausdruck für die Fläche der zweiten Ordnung gegeben: (4) A+rB+ewC+ (v2 =w)D, und werde der Durchschnitt dieser Fläche mit der F.ebe- ne ABC verlangt, — Man setze den Coäfficienten von 1%7 D, v»?—w=o, also w=»2, und man erhält: A+»B +30, als den Ausdruck für die gesuchte Linie, welche hiernach von der dritten Ordnung auch im gewöhnlichen Sinne ist. ($. 70. zu Ende.) Da aber der Schnitt einer Ebene mit einer Fläche der zweiten Ordnung im ge- wöhnlichen Sinne immer eine Linie der zweiten Ordnung hervorbringt, so muss jene Fläche, die ihrem Ausdrucke nach von der zweiten Ordnung war, ihrer Gleichung nach zu einer 'höhern zu zählen seyn. b. Um die Punkte zu fimden, in denen eine der F.linien von einer Fläche geschnitten wird, setze man . in dem Ausdrucke der letztern die Co@fficienten der, bei- den andern nicht in jener F.linie liegenden F.punkte, jeden für sich, =o, und substituire die aus diesen zwei Gleichungen hervorgehenden Werthe der beiden Verän- derlichen in dem Ausdrucke. ©. Setzt man die Co@fficienten: dreier F.punkte, je- den für sich, —o, und kann man für » und » Werthe finden, welche diesen drei Gleichungen zugleich Genüge leisten, oder, was dasselbe ist, gelangt man durch Eli- mination von # und » aus diesen Gleichungen zu einer identischen Gleichung; so geht die Fläche durch den vierten F.punkt. d. Sind zwei der vier Coäfhicienten, z.B. g und r,, Functionen der beiden Veränderlichen, und die beiden andern constant, hat also der Ausdruck die Form: a4 +gB+rC+dD, so kann man g und r für die beiden Veränderlichen selbst nehmen, und der Ausdruck gehört einer durch die F.linie 3C und den Punkt a4-+dD ge- legten Ebene an, was auch g und r für Functionen von v und w seyn mögen, ' & ‘Wenn die Cofficienten dreier F.punkte Functio- nen von der’einen Veränderlichen allein sind, so kann v 123 man den Coäfficienten des vierten F.punktes für die an- dere Veränderliche selbst nehmen, und der Ausdruck be- zieht sich auf eine Kegelfläche, deren Spitze der vierte F.punkt ist, und deren leitende-Linie das Aggregat der drei erstern F.punkte mit ihren Coöfficienten. zum Aus- drucke hat. f- Haben die Coäfficienten zweier F.punkte einen gemeinschaftlichen Factor, so ist daraus zu schliessen, dass die F.linie, welche die beiden andern F.punkte ver- bindet, in der Fläche selbst enthalten ist. Denn setzt. man. diesen gemeinschaftlichen Factor =o, und eliminirt damit die eine der beiden Veränderlichen, so erhält man den Ausdruck für die gedachte F.linie. So haben z.B. in dem Ausdrucke (4), sowohl der Coöfhcient von B, als der von C den Factor v. Annul- lirt man diesen, so kommt: 4—»D, Dividirt man fer- ner den Ausdruck durch w, und setzt - —=t, so wird er: 24+twB+rC+(v2i— ı)D, und reducirt sich, für to, auf #C—D.— Die beiden F.linien 4D und C2 liegen demnach in der Fläche (4) selbst. / g. Haben die Coäffcienten dreier F.punkte einen gemeinschaftlichen Factor, so reducirt sich durch Null- setzung dieses Factors der Ausdruck auf den vierten F.punkt, und die Fläche bildet daselbst eine Art von Ke- gelspitze. j Von der Berührung der insbe ‚8. 104. Nach demselben Verfahren, welches im Vo- rigen bei Ausdrücken für Linien angewendet wurde, lässt sich auch der Ausdruck für eine Fläche in eine Reihe. entwickeln, deren erstes Glied irgend ein gegebener, ia der Fläche selbst liegender Punkt ist, und deren folgende 129 - Glieder nach den Potenzen der beiden Veränderlichen und den Producten aus diesen Potenzen geordnet sind. Alsdann wird sich auf ähnliche Weise, wie bei den Li- nien, darthun lassen, dass der Anfang dieser Reihe bis mit den Gliedern von der mten Ordnung den Ausdruck für eine zweite Fläche darstellt, welche im Allgemeinen von der mten Ordnung ist, und mit der ersten Fläche an jenem in ihr gelegenen Punkte eine Berührung der mten Ordnung bildet. Ohne aber die Entwickelüng dieser Reihe vorzuneh- men, und noch weniger die gegenseitige Läge aller der sich berührenden Flächen in Untersuchung zu ziehen, als wo mit steigender Ordnung’ eine immer grössere Ani zahl zu unterscheidender Fälle sıch darbietet, will ich mich nür auf die Berührung der ersten Ordnung, di auf die Berührung mit einer Ebene, beschränken, und zur Bestimmung dieser Ebene von dem Satze ausgehen‘ dass jeder dem Berührungspunkte unendlich nahe lies gende Pünkt der Fläche sich auch in der berührenden Ebene befindet, (oder vielmehr von dieser um ein Un= endl.kleines einer höhern Ordnüng entfernt ist), $: 105. Sey: demnach } pA+gB+rC+>D der Ausdruck der Fläche, und für den Punkt derselben, an welchen die berühreride Ebene gelegt werden soll, sey vr, w==w', also der Punkt selbst: YspAgBhrCHWD, wenn p4, g', r, s' dieselben Functionen von »’ und w* - vorstellen, ‚welche 7, 9 r, 5 von » und w sind, , > . Bezeichnen ferner # und 9 zwei unendlich kleine, von einander unabhängige Grössen, so. wırd man den Ausdruck irgend eines dem 4 unendlich nahen Punktes 130 %:der Fläche erhalten, wenn man in dem vorigen für or, v'+x, und für w/, w'’+y FETT Hierdurch ver=- Ip’ rs wandelt sich p/ in + ‚+ ey u.s.w., und der Ausdruck für W wird: > d dg! re na tn ! ds’ ds’ Her note ee Nimmt man nun x und y nicht bloss unendlich klein, sondern überhaupt als zwei von einander unabhängige, veränderliche Grössen, so ist dieser Ausdruck der, Aus= druck einer Ebene, in welcher X und alle jene dem 4 unendlich nahen Punkte X’ begriffen sind, folglich der Ausdruck der die Fläche in 4 berührenden Ebene. $. 106. Zusätze. a. Soll die Fläche von einer der F.ebenen; z. B. von 4BC, berührt werden, so muss für gewisse Werthe von v. und #, welche wiederum «* und #‘ heissen, in dem Ausdrucke der Berührungsebene ‘der Co&fficient von D immer =o seyn, ' was auch den Veränderlichen x und y für Werthe beigelegt werden ; es müssen folglich *, = ’ 3 | Man setze daher s, als eine Klkkion die für v—u ünd # =’ verschwinden soll, =b(v— vr) +o(w— wi), wo b und e (eben so wiedie nachherigen d,e...%) belie- bige Functionen von » und » vorstellen, die für vw. und #—=w’ im Allgemeinen endliche Werthe erhalten. Hiernach wird zugleich =o seyn, ed ” e=06-m® 4b + wm) = ds de 131 5 er Da nun = und e für e—=v’ und #—=w* ebenfalls null werden sollen, so müssen und e selbst, als worauf sich dann diese Differentialquotienten reduciren,, von der Form db(e— v/)+e(#—w‘), und folglich s von der Form Fer) +2) (w—w)+hw—wr)? seyn. -.b.. Soll. der Berührungspunkt der Fläche mit der F.ebene -4BC der F.punkt 4 selbst seyn, so müssen in dem Ausdrucke der Fläche, für »—=»’ und w—w’, nächst dem Coöfficienten von D auch die Cocff. von ZB und € verschwinden, also letztere beide von der Form d(v—»') +e(#—w'‘) seyn. + Der allgemeine Ausdruck für eine Fläche, A du durch denF.punkt 4 geht und daselbst die F.ebene BC. zur berührenden hat, ist folglich: ad+[(e —v)+ew— w)] B+ [de —v)+e (e_wn]C +L[/e- vr)’ +2(e— vr) (ww) w)2]D, wo noch der Gleichförmigkeit willen « für p Sr ben ist. $. 107. Die Berührung einer Fläche mit einer Ebe- ne ist im Allgemeinen von doppelter Beschaffenheit. Um diese zu untersuchen, wollen wir die F.pyramide, deren Lage stets willkührlich ist, so gestellt annehmen, dass, wie zu Ende des vorigen $., 4BC eine Berührungsebene und 4 der Ber.punkt ist. Da nun gegenwärtig bloss der bei A unmittelbar gelegene Theil der Fläche in Betracht kömmt, für 4 aber »=r" und w—w’ ist, , so nehmen wir v—v und v»—w’ als unendlichklein, und lassen demzufolge im letztgefundenen Ausdrucke der Fläche die Buchstaben ‚a,b,...% die Constanten selbst bedeuten... in. welche‘ die ‘vorhim damit bezeichneten Functionen für v=v' und #==#‘ übergehen. . Werden jetzt, noch grös- la 132 serer Kürze willen, die Co@fficienten von ZB und C, jeder durch a dividirt, zu den beiden Veränderlichen erwählt und resp. =? und u gesetzt, wo daher £ und # ebenfalls nur unendlichklein zu nehmen sind, so reducirt sich der Coefficient von D auf die Form MRRCH ER und der Ausdruck wird A+t:B+uC+ (it? + ktu + lu?) D. Man setze nun: A+B+ul=Q, und Q+(it? -+ktu + lu?) DZ =P, so ist Q ein dem Ber.punkte 4 ın der Ber. ebene ABC unendlich nahe liegender Punkt, und ? ein Punkt’ der Fläche selbst, der von Q@ und mithin von der Ber.ebene um ein Unendlichkleines der zweiten Ordnung nach D zu, oder von D abwärts liegt, je nachdem ie? + ku + lu? positiv oder negativ ist. -Hiernach sind im Allgemeinen zweı Fälle zu unter- scheiden, nachdem nämlich das Trinomium ARMEE zwei imaginäre oder reelle Fäctoren hat. Im ersten Falle, wo also &2 < 4, behält das Tri- 'nomium stets einerlei Zeichen, ‘und die Fläche ist folg- "lich irn der Nähe des Berührungspunktes ganz auf einer- lei Seite der Ber.ebene enthalten. or im zweiten Falle, wo 42 >4:2, wechselt das Zeichen des Trinomiums, und die Fläche liegt zum Theil auf ‚der einen, zum Theil auf der andern Seite der Ber.ebene, wird also von dieser zugleich geschnitten. Es geschieht dieses in zwei durch 4 gehenden Linien, wovon. man - ‚die Ausdrücke, oder vielmehr die Ausdrücke für die an diese Linien durch 4 gelegten Tangenten, erhält, wenn man die zwei Fäctoren des Trinomiums hintereirldälle > ==o setzt. Durch diese zwei Linien wird die Ber.cbene E 133 um 4 herum in vier Theile getheilt, über und unter welchen die Fläche abwechselnd befindlich ist. Als Beispiel einer ‚solchen Fläche dient eine Revolutionsfläche, bei weleber die erzeugende Linie ihre erhabene Seite der Axe zukehrt. Denn man denke sich die erzeugende Liuie in irgend einer ihrer Lagen, und durch irgend einen ihrer Punkte den Kreis gezogen, welchen der Punkt bei der Umdrehung beschreibt. . Beide Linien, die crzeugende und der Kreis, sind in der-Fläche selbst begriffen, und folglich die Ebene durch die zwei Tangenten, welche in dem gedachten Punkte an die zweir Linien gezogen’ werden, die Ber.ebene iu diesem Punkte. Nun liegt aber der Kreis von seiner Tangente nach der Axe zu, und die erzeugende Linie vou der ihrigen auf der von dır Axe abwärts gekehrten Seite, - Folglich wird auch die Fläche zum Theil auf, der einen und zum Theil auf der andeın Seite der Ber.ebene liegen, also von letzterer geschnitten werden, \ Ausser diesen zwei Hauptarten der Berührung giebt es noch eine specielle dritte: wenn nämlich die zwei Factoren des Trinomiums einander gleich sind, also 42 —=4il ist. ‚In diesem Falle liegt zwar eben so, wie im ersten, die Fläche nur auf einer Seite der Ebene, weil der Coäfhcient von D für alle Werthe von £ und x ei- nerlei Zeichen hat; alleın die Berührung geschieht nicht bloss in 4, sondern in einer durch 4 gehenden Linie, deren "Tangente, wie im zweiten Falle, durch Nullsetzung , des quadratischen Trinomiums erhalten wird. — "Wenn diese Art der Berührung nicht bloss an einzelnen Stel- len, sondern überall auf der Fläche statt findet, so sind die. Berührungslinien Gerade, die Fläche selbst aber ist einerlei mit den sogenannten abwickelbaren, wovon der Kegel und der Cylinder besondere Arten sind. .$. 108. Um in das Wesen der Berührung krummer Flächen mit Ebenen: eine noch vollkommnere Einsicht zu erlangen, wollen wir ung die berührende Ebene parallel mit sich fortbewegt vorstellen, und nun die Curve, be- trachten, in. welcher sie unmittelbar vor oder nach der z Turiloiuy ‚Berührung die Fläche schneidet. Der Ausdruck für diese _ 134 Curve muss sich offenbar aus dem obigen Ausdrucke der Fläche herleiten lassen. Indess wird die Untersuchung leichter von Statten gehen, wenn wir an der Stelle der F.punkte und der barycentrischen Ausdrücke ein System rechtwinklicher Coordinaten x, y,z anwenden, und die Fläche durch eine Gleichung zwischen x, %, = gegeben seyn lassen, Sey daher die Ebene. der 2»,y die berührendeg und der Anfangspunkt der Coordinaten der Berührungspunkt, so muss = eine solche Function von x und y seyn, dass für 2: =o und y=o nicht allein , sondern auch En und Y —o werden. Durch ähnliche Schlüsse, wie in $.. 106. angewendet wurden, findet sich hiernach s=ar? + bay+ey?, di a,b,o Functionen von x und y sind, die für z=—=o und y=o endliche Werthe erhalten, und welche Werthe wir jetzt, wo es bloss auf den in unmittelbarer Nähe des Ber. punktes befindlichen Theil der Curve ankäone für diese Functionen selbst nehmen. Hieraus fliesst nun zuerst, eben so wie im vor. $., dass die Berührung nur in einem Punkte geschieht und die Fläche auf einerlei Seite der Ber.ebene liegt, oder dass die Fläche von der Ebene zugleich geschnitten wird, oder dass sie von der Ebene in einer Linie berührt wird) nachdem 52 < oder > oder —=4ae ist. x ‚Heisse ferner 4 der Anfangspunkt der Coordinaten oder der Berührungspunkt, und werde durch einen, dem ‚4 in der Axe der z unendlich nahen, Punkt 4 eine mit der Ebene der x, y parallele Ebene gelegt. Die Glei- chung für’ dieselbe ist, wenn wir 44=i setzen: si; 135 und folglich die Gleichung für die Durchschnittslinie der Ebene mit der Fläche: ax? +bry-+ cy?=i, Wir schliessen hieraus: Die Linie, in welcher ei- ne krumme Fläche von einer daran gelegten Berüh- rungsebene geschnitien zu werden anfängt, wenn diese parallel mit sich fortbewegt wird, ist im Allgemeinen : ein Kegelschnitt, welcher (4' d.h.) die Projection des Berührungspunites auf die schneidende iEbene zum Mittelpunkte hat, und eine Ellipse oder Hyperbel ist, (nachdem b?2< oder > 4ac, d.h.) nachdem die Fläche mit der berührenden Ebene bloss den Berührungspunkt gemein hat, oder von dieser zugleich geschnilten wird, Nur muss im ersten Falle, wo das Trinomium ax?+,. für alle Werthe von x und y einerlei Zeichen "hat, die Bewegung der Ber.ebene nach der Seite zu ge- schehen, auf welcher ö das nämliche Zeichen bekommt, Im zweiten Falle wird die Ebene sowohl vor als nach der Berührung die Fläche schneiden. Nimmt man dabei an, dass die beidesmaligen Durchschnittspunkte der Ebene mit der Axe der z, von 4 gleichweit abstehen, so sind die Gleichungen der Durchschnitte mit der Fläche; az? Hbsyhoy®—=i und ar +by+ep=—i, also die Durchschnitte selbst zwei Hyperbeln, die, wenn man sie auf die Ebene der x,y projicirt, zwei conjugirte Hyperbeln werden. Die Gleichung für die gemeinschaft- ‚lichen Asymptoten dieser projicirten Hyperbeln ist: ax +bzy+oy2—=o; folglich sind die Asymptoten zugleich die Linien, in denen die Fläche von der. Ber,ebene ge- schnitten wird. $.‘10g. Die betrachteten Durchschnitte einer krum- men Fläche mit einer der berührenden unendlich nahe 136 liegenden Ebene sind ganz vorzüglich geschickt zur Ent-. wickelung der merkwürdigen Sätze, welche rücksichtlich der Krümmungshalbimesser und unendlich naher Normalen einer Fläche statt finden. Wiewohl nun eigentlich von diesen Gegenständen hier eben so wenig , als früher bei "der Lehre von der Berührang krummer Linien, die Rede seyn kann, indem der dabei zum Grunde liegende Be- griff des rechten Winkels, sowie der Begriff des Ver- hältnisses zweier Winkel überhaupt, von den Unter- suchungen, denen die vorliegende Schrift gewidmet ist, völlig ausgeschlossen bleibt, so kann ich doch nicht um- hin, angeschen die besondere, Anschaulichkeit, welche die gedachten Gegenstände durch die folgende Darstel- lungsart gewinnen, die hier vorgesteckten Gränzen ein- mal zu überschreiten. Sey (Fig. 26.) die Ebene des Papiers die berühren» de, und in derselben 4 der Berührangspunkt und PRQS die Projection der Ellipse, in welcher die Fläche von einer mit der berührenden parallelen und ihr unendlich nahen Ebene im ersten Falle geschnitten wird. Diese Projection wird eine der erstern gleiche Ellipse und 4 ihr Mittelpunkt seyn. Der gegenseitige Abstand der bei-. den Ebenen heisse ©, wie vorhin; er ist von der zweiten Ordnung, wenn die Durchmesser der Ellipse als unend- lich klein von der ersten Ordnung betrachtet werden, Sey nun Z4U dieProjection irgend einer durch den Be- rührungspunkt 4 auf der Fläche gezogenen Curve, Der innerhalb der Ellipse liegende Theil dieser Projectiony TU, wird‘ wegen der unendlichen Kleinheit der Ellipse als geradlinig angeschen werden können; der Theil der Curve selbst aber, welcher dem Theil 47 oder ZU der Projection. zugehört; wird, als Kreishogen ‚betrachtet, das noch unendlich kleinere ; zu seinem Quersinus ha- 137 ben. Der Krümmungshalbınesser dieser Curve ist daher F AT? in A, = ern. also dem Quadrate des Durchmessers pro- portional, in welchem die Ellipse von der Curve ge- schnitten wird, Aus der Natur der Ellipse folgt nun sogleich, dass. unter allen den Krümmungshalbmessern, welche die auf‘ der Fläche durch irgend einen Punkt 4 derselben gezo- genen Curven in diesem Punkte 4 haben,‘ der grösste und kleinste zweien Curven angehören, die sich in 4 unter rechten Winkeln schneiden. Es sind nämlich die- jenigen Curven, welche bei 4 mit der grossen und klei- nen Axe der Ellipse, ZQ und ZS, zusammenfallen, Man setze den Winkel P47T=9, so sind, PQ und RS zu den Axen eines rechtwinklichen Coordinatensy- stems genommen, die Coordinaten von 7':.47'cosp, ATsinp; und aus-der bekannten Gleichung zwischen diesen Coordinaten ergiebt sich: %4 2.008592 sin op? AT? AP AR? ' Heissen nun die Krümmungshalbmesser der Curven PQ, RS, TU resp. r, rg, so verhalten sich r:;r!:e == AP?:4R?: AT?, und die vorige Gleichung wird: ı __cosg? sing? it vn . die bekannte Relation zwischen dem grössten, r, dem kleinsten, ”‘, und irgend einem andern Kr.halbmesser e, dessen Curve die dem grössten zugehörige unter dem Winkel @ schneidet, Werde endlich in einem beliebigen Punkte der klei- nen Ellipse eine Normale auf der Fläche errichtet, Da 138 die Ellipse in der Fläche selbst liegt, so wird diese Normale auch die Peripherie der Ellipse unter rechten - Winkeln treffen, und folglich die rechtwinkliche Pro- | jection der Normale auf die Berührungsebene zugleich eine ‚Normale der auf diese Ebene projicirten Ellipse seyn, wie z.B. ZN. Die Normale der Fläche in dem Berührungspunkte steht senkrecht auf der ber. Ebene, und ihre rechtwinkliche Projection ist daher der Punkt 4 selbst. Da nun unter allen Normalen einer Ellipse nur diejenigen auf denMittelpunkt stossen, welche durch dieEndpunkte der grossen und kleinen Axe geführt wer- den, so folgt, dass, wenn man durch einen Punkt 4 der Fläche eine Normale legt, unter allen andern un- endlich nahen Normalen nur diejenigen ‚die erstere schnei- den, welche in den durch # gehenden Gurven der gröss- ten und kleinsten Krümmung auf der Fläche errichtet werden. A Ganz ähnliche Betrachtungen lassen sich bei dem zweiten Falle anstellen, wo die Fläche von der sie be- rührenden Ebene zugleich geschnitten wird. . Seyen wie- derum (Fig. 27.) die Ebene des Papiers die berührende, 4 der Berührungspunkt und AZ, MN die Durchschnitts- kinien der Fläche mit der Ber.ebene. Letztere sind, wie bereits erinnert, ‘die gemeinschaftlichen Asymptoten von den Projectionen der zwei Hyperbeln, in denen die sich parallel fortbewegende Berührungsebene unmittelbar vor und nach der Berührung die Fläche schneidet. Seyen KPN..MOQE, KRM..NSL diese Pröjectionen, von denen die erstere der über, die letztere der unter der ber. Ebene liegenden Hyperbel, in dem Abstande +, angeliöre.' Alsdann ist klar, dass von allen auf der Fläche durch 4A gezogenen Curven diejenigen ‚welche innerhalb der Winkel MAE, KAN liegen, hei 4 ihre hohle Seite und“ 139 Krümmungshalbmesser nach oben, und diejenigen, wel- ehe innerhalb der Winkel X4M, NAL enthalten sind, ihre hohle Seite und Kr.halbmesser nach unten zu keh- ren; dass folglich, die Kr.halbmesser der erstern Curven positiv geselzt, die der letztern negativ, dagegen die Kr.halbmesser der Curven, welche mit den Asymptoten zusammenfallen, unendlich sind. Schneidet eine durch 4 gelegte Curve die eine-der beiden Hyperbeln in 7, so ist ihr Krümmungshalbmes- T3 Doz und mithin desto klei- ser, absolut genommen, — « ner, je kleiner der Winkel ist, welchen die Case mit der Hauptaxe PQ (oder RS), der von ihr geschnittenen Hyperbel macht. Die grösste Krümmung haben folglich unter den ihnen zunächst liegenden diejenigen zwei Cur- ven, welche mit den Hauptaxen selbst zusammenfallen. Sie schneiden sich daher unter rechten Winkeln, und ihre Kr.halbmesser haben entgegengesetzte Zeichen.: Bezeichnet man die absoluten Werthe dieser Kr.- halbmesser von ?Q, RS durch , r’, und den irgend einer andern durch 4 gehenden Curve 7’U, welche mit PQ einen Winkel = 9 macht, durch ge, so lässt sich auf dieselbe Weise aus der Gleichung für die Hyperbel, wie vorhin aus der Gleichung für die Ellipse, darthun, dass ne” Sagt e Pr RE Auch erhellet eben so wie vorhin, dass unter allen Normalen, welche durch, dem 4 unendlich nahe liegen- de, Punkte der Fläche geführt werden, nur diejenigen die in 4 errichtete Normale schneiden, deren Punkte in den Curven der grössten Krümmung liegen. Was zuletzt den Fall betrifft, wo ar? +bzy-}ey? ein Quadrat ist, und die Fläche von der Ebene in einer 140 Linie berührt wird, so ergiebt sich durch ein ganz -ana- loges Verfahren, dass, wenn die ber. Ebene um ein Un- endlichkleines der zweiten Ordnung nach der Seite, wo die Fläche liegt, parallel fortgeführt wird, sie die Flä- che in zwei Parallellinien schneidet , welche um ein Un. “ kleines'der ersten Ordnung von einander. abstehen " und zwischen welchen der Berührungspunkt mitten inne liegt; Hieraus: ist weiter zu schliessen, ‘dass unter ‚alien Cur- ven durch den Berührungspunkt, diejenige; welche mit jenen Parallelen parallel geht, gar keine Krümmung, diejenige aber, welche die Parallelen rechtwirklich schnei- det, die grösste Krümmung hat, — dass, wenn man-den Krümmungshalbmesser der letztern =r setzt, init Bei- behaltung der vorigen Beseichnuugen | ı __ cosp? E r ist, und dass endlich nur diejenigen Normalen die Nor- male durch den Berührungspunkt schneiden, welche durch Punkte der Curve von der grössten Krümmung gezogen werden, die Normalen aber durch Punkte der Curve von keiner Krümmung mit der gedachten Normale parallel laufen. VonfPüchen der zweiten Ordnung. 8. rıo. Der in 8. ı07. in Betrachtung gezogene _ Ausdruck der zweiten Ordnung: Si ea A+B+uC+(t2 + kin 1) D Sr ee ist, wenn £ und z nicht hloss, wie dort, unendlichklein, sondern in ihrer ganzen Ausdehnung genommen werden, der Ausdruck einer Fläche der zweiten Ordnung auch im gewöhnlichen Sinne,, Der Beweis dafür wird in dem folgenden Gunilke werden, Diesen aber voraus- 141 gesetzt, lassen sich schon jetzt die Merkmale bestimmen, aus denen die Art einer solchen Fläche erkannt werden kann. Zu diesem Ende haben wir fürs erste die Coöfficien- tensumme des Ausdrucks näher zu untersüchen, welche, nach z geordnet und mit s bezeichnet , sich also schrei- ben lässt: s—lu2 + (kt ı)uti? Hit. So wıe nun allgemein ar? Hirte, +d); wo v==aar+b ünd d—/ae«- b?: so wird =zWHtd), wo v2lütktti und die ++ 1) — (kt +1)? > a =(41—42)12 $2 (dl —k)etll—ı— wow—=2(jW—k?)t4+2(22—k) und 4 (dl — 2) (dl —1)—4(a22— kb)? MH te d—h)? =ı16l(gd ik. wie | Hiermit wird |“ + zul wo» had w _lıneäre Functionen von & und “ sind. Nun giebt es drei Hauptarten von Flächen der zweı- ten Ordnung: das Ellipsoid, welches auf einen end- lichen Raum beschränkt ist, und zwei, sich in das Un-. endliche erstreckende, Hyperboloide, das ellipti- sche und das hyperbolische, von denen das erstere ganz auf einerlei Seite jeder Berührungsebene liegt, das letztere aber von einer solchen zugleich geschnitten wird, Sind die Hyperboloide zugleich Revolütionsälichen, so entsteht das ee liptische dürch Umdrehung einer Hyperbel um die Häuptaxe, das byperbolische‘ durch Umdrehung ’um die zugeordnete Axe, x 5 4142 Die dürch den Ausdruck dargestellte Fläche ist dem- nach ein Ellipsoid, wenn « niemals =o werden kann, also wenn 4 —k? und e positiv sind, d.h. wenn 44 >&* und 44 —42 —i+k--2 mit 2 und folglich auch mit # einerlei Zeichen hat. Denn wegen Zi >42 müssen @ und 2 einerlei Zeichen haben. Die‘ Fläche ist zweitens ein elliptisches Hyperboloid, wenn s=o werden kann, und 44 >k? ist ($. 107.), folg- lich wenn 44 >k2 ist, und 42—.,+k—i das entgegen- gesetzte Zeichen von Ö und Z hat. Endlich wird die Fliche ein hyperbolisches Hyper boloid seyn, wenn 44<{k? ist, mag e das positive oder negative Zeichen haben, In dem besondern Falle, wo Zd—k? —i+k—l— 0, ist die Fläche ein Paräaboloid, und zwar wiederum. ein elliptisches oder hyperbolisches, nachdem 4il> oder %%) B+ @+)C+D,. und dieser folglich der Ausdruck einer abwickelbaren Fläche, sobald man nächst x auch = veränderlich nimmt. $. rıy. Ich will nun ‘noch'zeigen, wie sich die Aus! drücke II. und II. ‚aus. I. auch, durch: analytische Opera- . tionen ableiten lassen. Zu dein Ende setze ich zuerst re —— di, sde—— du, ! 12 und es wird: rang = — a Pfarr fr + t, ga federn fall + u. Die Substitution dieser Werthe in dem Ausdrucke L., giebt aber den Ausdruck u. ; Weil'es ferner nur darauf ankommt, dass ale Dif- ferentiale.\der vier \ Functionen P; I; 7,5 in einer :geome- irischen Proportion stehen, sa muss, wenn der Ausdruck (pr +9) 44 (ere+s) B +» einer-abwickelbaren Fläche an- gehört, dasselbe auch mit ‚dem Ausdrucke. (p#re) 4 +(g+sv)B+»C+D der Fall seyn. Substituirt man nun im letztern Ausdrucke ai für p,9,r,s bemerkten Werk the, so kommt: } Le-@+9 &]a+[0—(+n) de]a+sc+D, welcher ‚Ausdruck sich auf II. reducirt, wenn man s-t+v statt # zur Veränderlichen nimmt, und hierauf = nega- tiv setzt. au finden, Neuntes Capitel, Verwandlung barycentrischer Ausdrücke in Gleichungen zwischen. parallelen Coordinaten und umgekehrt, $. 118, Aufgabe, Von den Punkten 4,8, GD,, sind in Bezug auf ein, beliebiges System dreier Axen X, Y,Z die Coordinaten gegeben. . In Bezug auf dasselbe Axen- system die Coordinaten des Punktes * P=p4A+ gB+rC+sD+... Auflösung. Heissen die‘ gegebenen Coordinaten von 4,B,Cj... resp.: a,a‘,a"; b, br, b/; 0, e', e;u.Ss, W und die von ? gesuchten: », %'z. Nun bedeutet nach 8.13. und $.8. der Ausdruck Pep4+4gB+.. nichts anders, als dass, ‘wenn ‘man durch die Punkte 2, 4,B;6,.., nach einer beliebigen Richtung Parallelen'zieht, und diese durch eine willkührlich- gelegte Reh “ PA, B% Cr... schneidet, rohen P-4A4'+q4.BB'+r,CC+.—=(p+g+r+.)PP' u ist, Man gehe daher erstlich den Parallelen die Richtung der Axe X, und nehme, zu ‚der ‚schneidenden Ebene .die - Ebene YZ, so sind jeneAbschnitte die, mit, X. parallelen Coordinaten selhst, also 44 = a, BB =, in usw, und PP=x, folglich . 133 “patgb+re+..—=(p+g+r+...)# und R —_pa+gb+ rc... ptatrt.. Auf eben die Art findet sich, _wenn man die Baia delen parallel mit ‚der, Axe Y oder Z nimmt, ‚und zur schneidenden Ebene die Ebene ZX oder. xXY wählt: pa! +gbt+ rei... Ar pa'+gb"-Krett..: pP+eartrtr... Br q Kurah. Wa 8. 219... Zusatz... Sind. die Punkte :4,2,C,... und mithin ‚auch ? in einer und: derselben Kbene enthalten, so hat man, wenn diese Ebene zur Ebene XY- genom- men wird, a’, b*, c',...z—o, ‚und der Punkt ? ist schon: durch die Coordinaten re ba weht Br krükrocke prgtrt. BEE bestimmt, Liegen aber sämtliche Pealiei in einer Er bi Li- nie, und nimmt) man dieselbe zur Axe X,’ so sind nicht nur a’, b“, c#,,.,z—o, sondern auch a’, b' ct, ...y=o, und 2 wird allein durch die'Gleichung © : iR patgb+re+... 8 Set ‚ P+4 T DEE Pike, gefunden, wo a,b,e,...x die Abstände der Punkte 4,2, C,.. ‚P von einem in der Linie denke [as Anfangspünkte bezeichnen, 8. 120. Aufgabe. Ein Pünkt 2 in’einer geraden Linie ist durch seinen Abstand x von einem beliebigen Anfangspunkte der Linie gegeben. Den Ausdruck von P in Bezug auf zwei, in derselben Linie enthaltene und ‚durch ihre’ Abstände 4, 5 vom ee ra gegebene, F ‚punkte 4 B zu finden, 0 154 Auflösung. Man setze P=p4+38, so ist nach . dem Vorigen: er, folglich pl—a)+g(r—b)=o, und p:9=:—b:—(x—a), folglich P=(x—b) in (aid) B. $&. ı21. Zusätze. a. Weil 4P=r—a und BP —=+—b, sö verhält sich 4P:PB=xr— a: — (x—b), woraus nich 8. 22. 5. derselbe Ausdruck für : P_hervor- geht. b. Nimmt man den einen der beiden F.punkte, z. B. .B, selbst zum Anfangspunkte, so ist ö&>=o, a=BA, und | die Formeln werden: "8.122. Aufgabe. Von einem Punkte 7? in einer Ebene und von drei in derselben liegenden F. punkten 4, B,C seyen die Coordinaten auf ein beliebiges in der Ebene enthaltenes System zweier Axen ‚bezogen: '2, y; aa; b,b', e,c'. Den Ausdruck von ? durch 42, C zu finden...“ . r Nofldiung: Man setze Pepe so ist nach $. 11qg.: Pe-a)+g@—)+re@ oo, rue) tu) tr y-N)=o, _ “ Hieraus folgt: p:q: r=(«—b) re Er -)-@-) 0): @—a)y-)—@—b)y a), 2 und es ist nur noch übrig, diese den p, g, r proportio- nalen Grössen in dem für P angenommenen Ausdrucke; p4+g8+rC zu substituiren, y 2 ) '$. 123. Zusätze. « Es ist in &. 23. bescieaikan , den, dass die Co&fficienten p, 9, r den Dreiecken PBC, PCA, PAB proportional sind. Dapssiie zeigt ‚sich ‚auch 155 hrer, indem durch die dem. p.proportionale Grösse: («—b) (y—e') — (x — ec) (y—b’), wenn die Axen sich rechtwinklich schneiden, das Doppelte des Dreiecks PBC ausgedrückt wird. Schneiden: sich aber die Axen unter irgend einem andern Winkel, so ist jene Grösse dem Doppelten des Dreiecks ?BC, dividirt durch den Sinus des Axenwinkels, gleich. b. Um die Formeln einfacher, und dadurch zu den künftigen Anwendungen geschickter zu machen, wollen wir zwei der drei F,linien selbst, z.B. C4 und C2, zu den Axen X und Y nehmen.‘ Alsdann sind: 'e, eat, b=o, a=CA4, b’=—- CB, und es werden; ...p’CA Reh 3:1. u. en RT y- SETErt E72 Er A Pier A a P 14:77 07 08 00 DE ce. Ohne zu der eigentlichen Bedeutung eines bary- centrischen Ausdrucks zurückzukehren, kann man diese letztern Formeln auch folgendergestalt herleiten. — Man lege durch ? eine Parallele mit C#, welche C4 in M schneide; so ist C’M=x, und es verhält sich: Cm. CA=x: CA= CMB: CAB. ($. 18. b) Weil aber M und ? in einer Parallele mit C3 lie- gen, so ist CMB= CPB=PBC, und daher x: C4d=PBC: ABC=p:p+g+r. ($. 23.) Eben so findet sich, wenn man durch ? eine Paral- lele mit C4 legt, der obige Werth für die Coordinate y, $. 124. Aufgabe. Ein Punkt ? im Raume ist durch drei Coordinaten #, y, = in Bezug auf ein beliebi- ‚ges System dreier Axen gegeben; eben so vier F.punkte 4,B,C,D in Bezug auf dasselbe System durch ihre Coor- * - 156 dinaten: a,a',a"; b, bt, bt. o,c',c; d, #,d", Den Ausdruck von -P durch 4, 3, C,D zu finden, Auflösung. Man setze P=p4+gB+rC+>D, so ist nach $. 118.: Pe@=-o)+4@-D+r(#-)4@-8)=o, Pur —a)+4lr-B)Hry—e)+s(r—d)=o, p@—«')+q (.—b")+r(&— ec”) +s(3— de)=o, woraus sich das gegenseitige Verhältniss von p,9,r,s be= stimmen lässt, Bezeichnet man nämlich. mit [ed] eine Function ‚die eben so aus 2—b, 2 eo, #—d, y—bY,... zusammengesetzt ist, als.es in $. 50. a. bei einer ganz “ ähnlichen Rechnung, (bed) aus d,c,d,b’,c’,... war, u.s.w.: so verhalten sich; p:g:r:s=[ bed ]—[ eda ]: [dab]:— [abe], 8. 125. Zusätze. a. Nach 8.25. verhalten sich die Coöflicienien ‚p:g:r:s wie die Pyramiden PBCD; — PCDA: PDAB:— PABC. . Uebereinstimmend damit, ist ‚hier die Funetion, [bed] bei einem rechtwinklichen Axensystem dem.sechsfachen. der Pyramide PZCD gleich ; bei einem schiefwinklichen aber dem sechsfachen der Py- ramide PBCD,. dividirt durch das Product ‚aus dem Si- nus des Winkels irgend zweier der drei Axen in den Sinus des Winkels, weichen die dritte Axe mit der Ebene der beiden erstern bildet. *) i eg "*) Dieses Product kann wiederum als das sechsfäche Einer Pyramide betrachtet werden, deren eine ‘Spitze der Anfangspuukt) der Coor- dinaten ist, und deren drei übrige Spitzen in den Axen selbst lie- Ben, jede vom Aufaugspunkte um die zur Einheit angenommene Länge entfernt.“ — Bezeichnet man die drei Wiukel,; welche die - Axen mit einander bilden, durch @, ß, y, so 0 erhält, ‚das Product den ‚ prmatane Ausdruck: Br (1 +2 c0s« casß rue — co Pa cosy?). Y 157 . b.. Zu ganz einfachen. Formeln ‘gelangt man, wenn man drei der F.linien, z. B.: 24, DB, DC zu den Axen X, Y, Z nimmt. Hierdurch werden: d,d‘,.d«, a4, at, b,bt, ,e—=o, a@=DA,b'=DB, c!—=.D(C, und es er- giebt sich: p.DA zn u DB und met _ ya ua _ P+atr+s Prghr+s p+gtr+s’ gr :8— Eee . Lyss ge x ‚sr gu > Mrs] hl? 32 ge ' DC _DA DB DC e.. Man lege durch ?-eine e Ehtrie parallel mit BCD; welche DA-in: Mschneide , so ist Ds und: es ver- hält sich: DM: DA=x: DA= DMBC: DABC. ($. 20. b,) Es liegen; aber. ?_und. Min einer mit ZCD paral- lelen Ebene; folglich ist DMBC=DPBC, und x: DA=PBCD: 4BCD=p:p+g9+r+5 (8: 25.) > wie vorhin. Auf eben dieArt lassen sich auch die Wer- the von y und z, unabhängig von den allgemeinen For- meln in $. ı18., finden. $. 126. Sämmtliche Formeln, durch welche die ba- rycentrische Bestimmungsart eines Punktes auf die ge- wöhnliche Bestimmung durch Coordinaten reducirt wird, lassen, sich noch etwas einfacher darstellen, wenn man zuvor jeden, Coäfficienten des Ausdrucks durch. die Sum- me aller dividirt. Denn heissen die dadurch enistehen- den neuen Coöfficienten p, % le. 50 dass: u 3 ira Sr lee Dr ann EEE N N nee g: P FE Er ir Pratrr." 158 so verschwindet in den Formeln für die Coordinaten der Nenner. ‘Insbesondere werden dadurch die Formeln I., U., IL: IL x=p.B4A, wo PRYE U. z=p.0A, y=q.CB, wo P=pA+gB+rC; II. x=p.D4, y=q.DB, z=r.DC, wo P=p4+g9B { +ic+3D; oder geradezu: L ==p; I.e=p,y=g; I ap, y-g, :=t; wenn man zur positiven Masseinheit jeder Coordinate. die Entfernung nimmt, um welche von dem zum An- _ fangspunkt gewählten F.punkte der andere F.punkt ab- steht, welcher. in der der Coordinate parallelen Axe liegt, und wenn man somit die Richtung einer jeden Axe von dem erstern F.punkte nach dem letztern hin als die po- sitive festsetzt. Bei diesen Annahmen sind daher die Coor- dinaten den Coäfficienten selbst gleich. So wie nun, wenn P=p4+43+1rC ist, und CA, . CB als Axen genommen werden, ?,4 die Coordinaten von P sind: eben so sind q, r die Coordinaten desselben Punktes, wenn man 42, AC zu Axen nimmt; und t, p die Coordinaten für 3C, 34 als Axensystem. Ein jeder dreigliedrige Ausdruck für einen Punkt in einer Ebene lässt sich demnach als eine Zusammenstellung dreier Coordinatensysteme betrachten, von denen je zwei eine Äxe ‚gemeinschaftlich haben, und deren drei wesentlich verschiedene Axen das F.dreieck bilden. Auf gleiche Art sind die Coöfficienten in dem: Bee gliedrigen Ausdrucke für einen Punkt im Raume, nach‘ vorangegangner Division durch die Summe der Coöffi- cienten, nichts anders, als die Coordinaten des Punktes. auf vier verschiedene Systeme bezogen, deren Anfangs- { 159 punkte die Spitzen, und deren Axen die Kanten’ der F.pyramide sind. Handelt es sich endlich um einen in einer Geraden liegenden Punkt P=p44gB, so ist p oder q die Ab- scisse von ?, je'nachdem man B oder 4 zum UBER punkt nimmt. 8. 127. ‘Die im Vorigen gemachten Annahmen, dass die F.linien zu Axcn genommen, und die zu verschiede- nen-Axen gehörigen Coordinaten durch verschiedene Län- geneinheiten gemessen werden, jede Coordinate nämlich durch den gegenseitigen Abstand der zwei in der ihr ’zu= gehörigen Axe liegenden F.punkte, diese Annahmen 'sol- len, der einfächern Rechnung wegen; auch beiden nun folgenden Anwendungen geltend bleiben. «So: wie aber bisher die’gegenseitigen Abstände der F.punkte unbeach- tet gelassen wurden, so werden auch nunmehr nicht bloss die Axenwinkel, sondern auch ‘das Verhältniss der Ein- heiten, womit die. Coordinaten der verschiedenen Axen gemessen werden, unbestimmt bleiben. Die grössere Allgemeinheit, welche damit die gewöhnliche Bestim- mung durch Coordinaten erlangt, wird späterhin den Gegenstand einer besondern Untersuchung ausmachen. Gegenwärtig werde nur noch bemerkt, dass, indem man die gegenseitigen Abständeder F.punkte, oder vielmehr das geg genseitige Verhältniss dieser Abstände unbestimmt lässt, auch die Winkel des F.dreiecks und der F.pyra- mide, und damit alle Winkel einer darauf bezogenen Figur, so wie alle andern von Winkelfunctionen abhän- gigen Verhältnisse unbestimmt bleiben , zu welchen letz- tern. z. B:'das Verhältniss zweier Geraden gehört, die nicht Theile einer und derselben Geraden sind. 8. 128. Nur dadurch, dass man die Abstände” der F.punkte mit berücksichtigt und dieselben in die Co&f- 460 ficienten. der F.punkte ‚einführt, ist.man vermögend, Punkte, Linien, etc. auszudrücken, deren. Lage. gegen die F.punkte durch Winkelfunctionen bestimmt ist‘ So findet sich „2: B., wenn man die Seiten des; F,dreiecks BC,CA, AB, resp. mit a, b, c bezeichnet, P=a4A+bB+cC als der Mittelpunkt des in das Dreieck 4BC beschriebe- nen Kreises.‘ Denn ist ? der:gedachte Punkt, so sind die Dreiecke PBC, PCA, PAB den halben Producten aus a,b, e in den Halbmesser des Kreises gleich und verhalten 'sich. folglich wie a: bc. Dasselbe Verhältniss giebt aber auch der Ausdruck zu rigen Eben so wird man ohne Schwierigkeit irdenb dene) wenn man. den-Punkt, in welchem sich die drei von. den Spitzen auf: die, gegenüberstehenden Seiten des Dreiecks raue ae. schneiden, > =f4+EBEhC Setzt, der a des umschriebenen Kreises R=(@+hAHhHFBHLtDSC ist, und, a, ,e in der vorigen Bedeutung ‚genommen, sich verhalten muss: Leer y Fre vide PR ne F:8 b2-+02— a?‘ ce? a2 —b2 (Re nıh Hieraus ergiebt sich ferner sehr leicht; in er BB RR Tr | OHR AtB+C=3S, br Baia al woraus der bekannte PR fliesst, PR in ‚jedem Dreiecke 2 der gemeinschaftliche Durchschnitt; der. Perpendikel, von den Spitzen auf, die ‚gegenüberstehenden Seiten; Q,.der Mittelpunkt ‚des umschriebenen. ‚Kreises, Ad und. ‚der Schwerpunkt des Dreiecks, S, im,einer, ‚geraden Linie legen „und; ‚dass SQ—aRS ist, ie, ine 164 Doch will ich mich hierbei nicht länger aufhalten, da dergleichen Ausdrücke so wie bisher auch | in der Folge nicht vorkommen werden; \ $. i29. Aufgabe. Aus dem Ausdrucke einer Curye ın einer Ebene die Gleichung der Curve zwischen paral- lelen Coördinaten zu finden, und ümgekehrt äus get Gleichung den Ausdruck herzuleiteri. | Auflösung. Sey der Ausdruck für die Cure: pd+gB+r6, wo Pr gegebene Functionen einer Yeränderlichen. ö sind,. so findet sich, C4 und CB zu Axen und resp. Längenmalsen genommen, die gesuchte Gleichung zwi- Schen & und y, wenn man aus den Gleichungen (pratr)e=p; (ptgH+r) y=g, | ö eliminirt: — Für den umgekehrten Fall suche man # ünd y als, wo möglich rationale ; Functionien einer drit- ten Veränderlichen » darzustellen ; welche der gegebenen Gleichung. zwischen x und / Genüge leisten. ' Diese Functionen für & und y in, I. #44 yB+ (i=8=y)6 Substituirt, erhält man den gesuchten Ausdruck. (8. 123. 2.) $. 130. Beispiele. i) Es ist in $.6ı. bewiesen worden‘; dass jeder Ausdrück für eine Curve der zwei- ten Ordnung durch. Jetgndensug der F.punkte auf die einfache Form: #d+oB+vic zurückgeführt werden kann; Um nün die dieser Curve entsprechende Gleichüüg zu finden ; setze an: dem Vo= tigen gemäss? 2 (tY+r2=i (atv+o)yr,. s L 162 Hieraus folgt sogleich „—aT ‚„ und wenn man da- mit » aus der einen oder andern dieser Gleichungen eli- minirt: "3 a? -ıytoy?=i, - die Gleichung für eine Linie der zweiten Ordnung auch im gewöhnlichen Sinne , d. h.. für einen Kegelschnitt. Wie schon in $. 63. angedeutet wurde, so erhellet auch aus dieser Gleichung, dass die Linie eine Ellipse, Hy- “ perbel oder Parabel ist, je 2a u a>, <,=4 ge- nommen wird. Setzt man Er Längen C4 und CB, nach einem und demselben 'Malsflab gemessen , resp. —a und b, so hat man, wenn in derGleichung die Coordinaten durch den- selben Mafsftab ausgedrückt werden sollen, für x und y x ar Pr nur — und r zu substituiren, und man erhält: = ; b2x2 + abry + aa?y? —ab?x. Das Kennzeichen, zu welcher Art von Kegelirhai: ten die Gleichung gehöre, (@.>, <,=#), wird hier- durch nicht geändert. | Be 2) Sey folgender Ausdruck ‚für eine Linie der dritten Ordnung gegeben: , _ Pat E72 AtrB+v3C,: so ist: (1 +e+r®)e=ı, ((to+r2)y—r, folglich e Paz = 5 und wenn man damit » eliminirt: typen. Die Linie ist also auch ihrer Gleichung ach von der dritten Ordnung. Die Fig. 28. giebt eine Abbildung dieser Curve. Sie hat Di 4 einen Wendungspunkt und AB zur Tangente. Setzt man sodann 163 ’ v_Z, so wırd der Ausdruck : w’A+ w?B--C, und es erhellt aus $. 79., dass die Curve bei C eine Spitze der ersten Art bilder und von CB berührt wird. Endlich giebt der einzige in der Coef- ficientensumme enthaltene Factor, v-#(0,68252 —a), zu. erkennen, dass die Curve zwei, nach entgegengesetzten Richtungen sich. er- * sireckende, unendliche Aeste mit einer geradlinigen Asymptote hat ($. 94.). Um letztere zu finden, setze, man jenen Factor v-a—=z, substituire.z— a für » im Ausdrucke der Curve und behalte bloss die erste Potenz von z bei, Zn giebt den Ausdruck der Asym= prote: A+ (2a) B-+ (da?z — a?) C. Die Durchsehnitte derselben mit den F.linien sind daher: B-+35a2C, 2a°C--A, A—%aB, oder B-+1,970, C+ 1,5744, A—0,jA55B, , wonach man die Asymptote leicht construiren kann. 3) Die Gleichung für die gi tler zwischen ihren Asymptoten ist: wyh, Um diese Gleichung in einen Ausdruck umzuwan- deln, setze man «vr und mithin y= =. Substituirt - man diese Werthe in Min so kommt nach Wegschaf= fung der Brüche: nAtiB +2 G, der Ausdruck für eine Hyperbel, von welcher C4 und CB, als die Axen des vorigen Coordinatensystems ,. die Asymptoten sind. Etwas einfächer wird der Ausdruck, wenn man zur dritten F.linie 43, eine Tangente der Hyperbel nimmt. Nach 8.63. 2. muss alsdann der Co£fficient von € ein Quadrat, folglich #=% seyn, und der Ausdruck wird: „d+3B=(—12j2C, oder wd+ B=(w+ 1)2 C, werm man v=—=1w setzt; der Ausdruck für eine Hy- Las 164 perbel, wo C4 und CB die Asymptoten, und 42 irgend eine- Tangente ist. Für den Berührungspunkt der letz- tern ist #—% oder w=-—1, und folglich dieser Punkt selbst =4+B, wonach, wie schon sonst bekannt, der zwischen den Asymptoten enthaltene Theil einer Tangente in dem Berührungspunkte halbirt wird. Für —# wird die Gleichung der Hyperbel: y—=#, die zufolge des Vorigen von der Beschaffenheit seyn muss, dass die Gerade durch die beiden Punkte 4, B, welche . in den Asymptoten oder Axen von dem Anfarigspunkte C um die resp. Längeneinheiten abstehen, die Hyperbel berührt. In der That ist die Gleichung dieser Geraden: z+y=ı, sie selbst aber eine die Hyperbel im Punkte («—=%; y=1%) berührende. Nachträglich muss ich hier eine Erinnerung, die Summe der Co&ffhicienten betreffend, beifügen. Diese Summe ist ifn vorliegenden Beispiele, =r, indem sich die Quädrate von # gegenseitig aufheben; und es scheint hiernach, als ob die Curve bloss einen unendlich ent- fernten Punkt, den Punkt 3—C für v—=0, und mithin . nur eine Asymptote BC hätte. Man bemerke aber, dass, so oft in der Summe der Coäfficienten eines Ausdrucks die höchsten Potenzen der Veränderlichen # sich aufhe- ben, die Summe auch für v»—% als in Null.überge- hend betrachtet werden muss, indem für #v—% alle nie- drigern Potenzen von # gegen die höchste nicht mehr in Betracht kommen. — So reducirt sich unser Ausdruck der Hyperbel , wenn nur die Quadrate von.» beibehalten werden, auf »?4—»?C, und giebt dadurch das Daseyn noch einer zweiten Asymptote AC zu erkennen. — Will man das Unendliche nicht zu Hülfe nehmen, so substi- faire man, vor der Summirung der Coöfhicienten, für # irgend eine gebrocherie Function, und es wird nach Weg- 165 schaffung der Brüche die Summe der Coöfficienten auch den Nenner der Function als Factor enthalten, und folg- ‚lich durch Annullirung. desselben, als wodurch =.» wird, ebenfalls =o werden. — Setzt man z.B.» z : ; k at ‚sp wird v—!= ‚ und hierdurch der AEET ae vorige Ausdruck ; RS (+1)? 4+(@— 1)? B—4C, wo die Summe der Coefficienten —=2 (2? — ı), für s=+ı null wird, Es giebt aber 1 die Asymptote AC, und s=— ı die Asymptote RC, 4) Sey die Gleichung für eine Ellipse zwischen zu- sammengehörigen Durchmessern 2@ und 25: a" Br in einen Ausdruck zu verwandeln, Um fürs erste x und y als rationale Functionen einer dritten Veränderlichen x? xo darzustellen, setze man FA V ( 1-— — J=ı—- —;: b a? a % und man erhält nach gehöriger Entwickelung: = rer Ruten. $ : BE RT A Diese Werthe in II*, substituirt, geben; ı 2avd+b(1 —v?) B+[ı —b—2ar + (ı +5)v?] GC, den Ausdruck einer Ellipse, deren Mittelpunkt C, und ‚von welcher zwei zusammengehörige Durchmesser 24 und ab in die F.linien CA und CB fallen. 2«@ und 2b sind daher: in dem Ausdrucke als die Zahlenwerthe dieser Li- . nien, erstere durch C4 und letztere durch CZ als Ein- heit gemessen, zu betrachten, Setzt man folglich «= 1, d.i, =C4, so wird 4 der Endpunkt eines Durchmes- sers, und es kommt der Ausdruck :: 166 »ed+b(1—r?)B+[Cı u —v?)] C, wo, wie gehörig ($. 63. 3.), & Coöfficienten von 3 und C einen gemeinschaftlichen Factor, ı ip; haben. Setzt man noch db= 1, d.i. =CB, so geht die Ellipse auch durch 3, und der Ausdruck wird: 2». 4+(1— v2) B— ar(ı—v) C, ‚in welchem auch die Co&fficienten von ZB und € einen Factor, #, gemein haben. Es ist dies also der Ausdruck einer Ellipse, von welcher dieF. seiten C4 und CB ihrer Lage und Grösse nach zwei zusammengehörige Halbmes- “ ser sind, £ $. 131. Aufgabe. Aus dem Ausdrucke Are” Curve im Raume die beiden Gleichungen der Curve, und umgekehrt aus den Gleichungen derselben den Ausdruck zu finden. ' r Auflösung. Der Ausdruck für die Curve sey: pd4+gB+rC+sD, ‘wo demnach p, 9, 7, s gegebene Functionen einer Verän- derlichen » sind. Durch ‚Elimination dieses v aus den drei Gleichungen : (p+gtr+s) z=p, (Ptotrt)y=9 PEREBORR A erhält man zwei Gleichungen zwischen den den F,linien DA, DB, DC parallelen Coordinaten x, y, z, welche Glei- chungen die gesuchten für die Curve seyn werden. Sind umgekehrt die zwei Gleichungen zwischen x, y,z, gegeben, so suche man drei, wo möglich rationale, Functio- nen einer Veränderlichen v zu erhalten, die, resp. für #9,» in die Gleichungen gesetzt, ihnen Genüge Hear: Die Substitution dieser Functionen in III, 24+yB4+:C+ G-r-,-9D PR giebt den gesuchten Ausdruck. ($. 125. b:) ' ” “ 4167 $. 13a. Beispiele. ı) Der allgemeine Ausdruck für die Linien der dritten Ordnung im Raume lässt sich (8.'96;) durch Veränderung sr a pl immer auf die einfache. Form; ad-+boB-+cv2C+dv3D io reduciren. Man setze nun: «+br+ev? +dv?=t, so ist: 1) ta, 2) y=br, 3) tz==ev?, woraus sich sogleich “ k 4) b?xz= acy* als die eine Gleichung zwischen &, y, = ergiebt. Ferner ist: Zahyt2)—=atbr+ er? =t— dv®, und wenn man darın he »3 den aus 2) und 3) hervorgehenden Werth, b FR ‚— , substituirt: c*’ y 5) 'c2y(ı —10—y—z)=bds?, die andere Gleichung für die Curve. 2) Seyen die zwei Gleichungen für eine Curve im Raume gegeben: ystzx t2y=o, sy —1, Hieraus z eliminirt, erhält man: « zt-ytr2y?=o. Man setze nun y=rx, so wird letztere Gleichung nach geschehener Division mit x: Hei woraus RR ; : : Ran Sn. yalsar), v); % = ER folgt. Hiermit sind nun zwar ©, y)# als Functionen ei- ner vierten "Veränderlichen dargestellt, aber als irratio- nale Functionen derselben, die sich auch durch kein Mit- tel in rationale verwandeln lassen. Man kann daher 168 nichts weiter thun, als diese EN Werthe für #,9% = im Ausdrucke IIl*, substituiren. 8. 133, Aufgabe. Aus dem Ausdrucke einer Flä- che die Gleichung derselhen, und umgekehrt aus der Gleichung den Ausdruck zu finden, Auflösung. Der Ausdruck für die Fläche sey: pd+gB +rC+sD, wo P,9,7,9 gegebene Functionen zweier Veränderlichen und » sind. Eliminirt man diese beide aus den dret Gleichungen ; (ptgtr+s) a=p, (pratrts)y >94; orte) .=1, so ist die resultirende Gleichung zwischen %%2, die ge- suchte für die Fläche. Ist dagegen die Gleichung zwischen x, y, z gegeben, so suche man jede dieser drei Veränderlichen als eine, wo möglich rationale, Function zweier anderer » und w auf eine die Gleichung befriedigende Weise ‚darzustellen, - und man erhält durch Substitution dieser Functionen in III®, «A+yB+sC+(h—2—y—:2)D den gesuchten Ausdruck. $. 134. Beispiele, ı) Die Fläche, deren Ays- druck | 2 "A+t:B+uCH+(ü?+ktu+lu2)D, ($. 110.) ' gehört auch ihrer Gleichung nach zu der zweiten Ord- nung. Um dieses darzuthun, setze man die Summe der Coöfficienten : 36 L ı+t+u+ö02+kuH+ lu? =, und es wird: 0=ı, oy=t, =, mithin ı , 1.4 3 t= —, =) x 3 x x ir und wenn man diese Werthe in der Gleichung Ki ‘ substituirt und dann gehörig ordnet; { 9g=— 469 ar “(1 -r—y—2)=iy? +kyz+le?, die gesuchte Gleichung von der zweiten Ordnung, 2) Die Gleichung für das hyperbolische Hyperboloid ist, wenn man drei zusammengehörige Durchmesser zu den Axen X, Y, Z, und die Hälften derselben resp. zu den Längenmalsen der ihnen parallelen Coordinaten nimmt; »?+y?— 371, Um nun x, y,z als rationale Functionen zweier Ver- änderlichen auszudrücken, gebe man der Gleichung die Form; (y+2) (y—2)=(1+*) (1 — x). Setzt man dem- nach y„+:=w(1 +2), so it y-=— (1-2), woraus in Verbindung y=w(tr)+ a2), =wlı4) — (m) folgt. Man substituire diese Werthe für y und z in IlI*,, und man'bekommt für das Hyperboloid den Ausdruck : 2wrd+[w?(ı42)+1— 2] B+[{#? (r4+2)—ı+2] C +2#[1ı —#—w(1ı+2)]D, nach welchem die Fläche der dritten Ordnung anzuge- hören scheint. Allein man‘ wird bald gewahr, dass sich der Ausdruck auf die zweiteOrdnung bringen lässt, wenn 1—xr ı+? * für die eine Veränderliche nimmt; hierdurch wird er: (v—u) wA4 Wr +) B+ wu) C+ aw(u—w)D, Noch etwas einfacher erhält man den Ausdruck , wenn - man 4—=rw setzt, und ihn somit durch » theilbar. macht; (1 — vw) d+(w+r)B+ (w— v) C—aw(1—r)D, man ihn mit »+# dividirt und hierauf =u statt 170 der Ausdruck für das hyperbolische Hyperboloid (8. 113.), von welchem D der Mittelpunkt, und DA, .DB,:DC, ihrer Lage und Grösse nach, drei zusammengehörige Halbmes- ser, die zwei erstern reell, der dritte imaginär,, sind. Setzt man in diesem Ausdrucke die Co@fficienten von C, B, 4 derReihe nach —o, so bekommt man die Durch- schnitte der Fläche mit den Coordinatenebenen DAB, DAC, DC: ; (1 —»? 2)dA+2»B— av(ı—v)D, für w=er; (1+v2).4— 20C+ 20(1ı—»)D, für v=—r; (+?) B+(i —v2)C—2(1—r)D, für „=—; ı+z oder wenn man v—= sy setzt: (1+u?)3— 2uC+au(1—u)D. Der erste dieser drei Ausdrücke entspricht der Glei- chung .x?-+y?=ı, und gehört demnach. einer Ellipse, von welcher D4 und DB zusammengehörige Halbmesser sind. ($- 130. 4.). Der zweite entspricht der Gleichung x2— 321, und gilt daher für eine Hyperbel, von wel- cher DA ein reeller und DC ‚der zugehörige imaginäre Halbmesser ist. Eben so bezieht sich der dritte Aus- druck, dem die Gleichung y?’ —:?=ı zukommt, auf eine Hyperbel mit DZ als reellen und DC als i imaginä- ren Halbmesser. Setzt man endlich in dem Ausdrucke .des Hyperbo- loids den Coäflicientien von D,=o; also v=o, oder e=ı, so ergiebt sich der Durchschnitt der Fläche mit der Ebene 480. Es kommt aber für #=o die Linie d+rBuvl, d.h. eine durch: 4 mit BC gezogene Paral- lele; für »—=ı die Linie (G—w) + (i +4) B-(1—m)G, d.h. eine Parallele mit 4C durch 2. Heisst daher E* der Durchschnitt ‚der beiden Parallelen, so ist 3CAZ ein N * 1741 Parallelogramn, dessen Ebene das Hyperboloid in den Seiten 4E, BE schneidet und folglich in # berührt. (8. sır.) Dies liefert uns folgenden Satz; | Construirt man ein Octaeder , dessen sechs Spitzen die Endpunkte drei zusammengehöriger Durchmesser ‚eines hyperbolischen Hyperboloids sind, so wird jede der acht Seitenflächen des Octaeders das ‚Hyperboloid berühren, dergestalt, dass der Berührungspunkt ‚einer Seitenfläche, mit den drei darin liegenden Endpunk- ten der Durchmesser ‚ein Perallelogramm bildet, von welchem die Linie durch die Endpunkte der beiden reellen Durchmesser die eine Diagonale ist, und dass die in dem. Berührungspunkte zusammenslossenden Seiten des Parallelogramms die zwei Geraden sind, in denen das Hyperboloid von der Ebene des Paral- lelogramms zugleich geschnitten wird, $. 135. Wenn wir uns bisher nur mit solchen Aus- drücken für Linien und Flächen beschäftigten, deren Coefficienten rationale Functibnen der Veränderlichen waren, und in den eben vorgelegten Aufgaben bei Ver- wandlung der Gleichungen in Ausdrücke die Forderung machten, für letztere wo möglich rationale Coöfficienten zu erhalten zu suchen, so geschah dieses aus dem Grun- de, weil sich aus solchen Ausdrücken die Eigenschaften der durch sie dargestellten Linien und Flächen am leich- testen herleiten lassen. Offenbar aber ist die Bedingung der Rationalität nichts wesentlich . Nothwendiges, und man sieht bald, dass es unendlich mehr algebraische Li- nien ‘und Flächen giebt, welche durch Ausdrücke mit rationalen Coäfhcienten nicht. dargestellt werden können, als solche, bei denen dieses möglich ist, und dass hin- ‚wiederum nur bei. einem sehr ‚kleinen Theile der. ersiern die Veränderlichen der ‚Gleichung durch irrationale Functio- 172 nen darstellbar sınd, wie in $. ı32. 2., während bei dem ungleich grössern Theile derselben, wegen der Unvoll- kommenheit der Algebra, eine gesonderte Darstellung der Veränderlichen nicht einmal mit Anwendung irra- tionaler Formen möglich ist. Alsdann bleibt nichts übrig, als dem Ausdrucke seine allgemeine Form II*, oder III*®, zu lassen, und die eine oder zwei gegebenen Gleichun- gen zwischen x,y oder x,y, 3 darunter zu schreiben. Weil aber die rationalen Ausdrücke wegen der Leich- tigkeit ihrer Behandlung den übrigen Ausdrücken immer _ vorzuziehen sind, und es auch in rein analytischer Hin- sicht interessant ist, zu wissen, wenn die Veränderlichen einer Gleichung als rationale Functionen einer andern Veränderlichen angegeben werden können, so wollen wir gegenwärtig den Zusammenhang zwischen rationalen Aus- drücken und Gleichungen, und den Uebergang von den einen zu den andern etwas allgemeiner untersuchen, da- bei aber, um nicht zu weitläufig zu werden, und nicht zu vielen Schwierigkeiten zu begegnen, bei Ausdrücken und Gleichungen bloss für Linien in Ebenen stehen bleiben, $, 136. Um mit dem Leichtesten den Anfang zu machen, so betrachten wir zuerst den Ausdruck für eine Linie der ersten Ordnung. Sey der Coäfficient von 4, —=a+a', der Coefficient von B,—b+br, und die Summe aller drei Coefficienten =e+ ev, so.ergiebt sich die Gleichung für die Linie durch Elimination von » aus den zwei Gleichungen: b+bu TER 1 Nun findet sich für einen bestimmten Werth von = aus ı) ein bestimmter Werth von v, und für diesen aus 2) ein bestimmter Werth von y, so dass also jedem Werihe von & nur einer von y, und so auch jeden von \ + 173 / nur einer von x entspricht. Man setze daher, um die- sem Verhalten auf das Allgemeinste Genüge zu leisten: 3%) o=i+rar+ yHrey: Gebraucht man aber statt # und y zwei andere Ver- änderliche £ und x, welche beide von der lineären Form f+gx+hy sind, so sieht man leicht, dass, wegen der gleichen Nenner (e+%r) in ı) und 2), und # durch » ausgedrückt, ebenfalls von der Form + sen, und mithin jedem Werthe von # nur ein Werth von » u, und umgekehrt, entsprechen kann. Wenn man da- gegen t und x statt x und y in 3*) einführt, so erhält man wegen des Gliedes yxy auch noch die Quadrate von t und z, und es würden hiernach auf jeden Werth von t zwei Werthe von z, und umgekehrt, kommen, welches dem Erstern widerspricht; folglich muss 7=o seyn. Man setze also: Seyn müs- 3) o=ı+tar+py. Hierin für x und y ihre Werthe aus ı) und 2) sub- stituirt, erhält man eine Gleichung von der Be, 4) o=a+br, wo d und b gegebene Functiönen von a,a’, b, br, e,et, ß sind. Es muss aber diese Gleichung für jeden Werth von v bestehen; folglich muss «—=o und b=o seyn. -Aus diesen zwei Gleichungen lassen sich nun die Wer- the der zwei noch Unbekannter & und ß entwickeln; und diese in 3) substituirt; erhält man die dem gegebenen Ausdrucke entsprechende Gleichung für die Linie, die folglich auch ihrer Gleichung nach zu der ersten, Ord- nung gehört. Gäriz dasselbe Verfahren lässt sich mit Erfolg auch bei den Ausdrücken von der zweiten Ordnung anwenden. ı x EP w 6 D 3-40 » e v.} y YIEE ee, ars N rd aan ri leer A in, x 174 Sey hier der Co fücient von A,—=a+avtato2, derCof- ficient von B,—b+b'v+bo2, und die Summe aller drei. Coöfhicienten =e+e'r-+e'v?, so sind at av+a'v? \ b+ bp + bipz EN. 1) — die beiden Gleichungen, aus denen durch Elimination von » die Gleichung zwischen x und y hervorgeht. Je- dem Werthe von x entsprechen hiernach zwei Werthe von », und jedem der beiden letztern, wenn er in 2) substituirt wird, ein Werth von y, also jedem Werthe von x zwei Werthe von y, und eben so jedem ‚y zwei x. Die gesuchte Gleichung muss demnach rücksichtlich je- der der beiden Veränderlichen x. und y vom zweiten Gra- de seyn, und würde folglich im Allgemeinen die Form haben: o=1+ar + By + ya? +öxy+ey?+Lr?ytnay2+ge2y?, Auf ähnliche Art wie vorhin zeigt sich aber auch hier, dass, wegen der gleichen Nenner (e+e'v+e'%2) in ı) und >), alle Glieder, in denen die Summe der Exponen- ten-von x und y grösser als > ist, wegfallen müssen. Man setze daher: 3) o=ıtartpytyr2+öcytgy?, und substituire darin für x und y ihre Werthe aus ı) und 2); so kommt nach Be Reduction eine Glei- chung von der Form: 4) NENNT w2+br2 tert, wo a,b,c,d,e gegebene Functionen von a, bye, a',b‘,.. und - a,ß,y,öe sind. Da nun der Gleichung 4) jeder beliebi- ge Werth von » Genüge leisten muss, so hät man die fünf Gleichungen: ao, b==o, ... &=o, aus denen die Werthe der eben so viel Unbekannten &,ß,..& durch _ a,b,e,.a',b',.. ausgedrückt, gefunden werden können. Und ‚somit ist der allgemeine Ausdruck für eine Linie der. 15 - zweiten Ordnung in eine Gleichung verwandelt, die von der ebensovielten Ordnung ist. $. 137. Nach derselben Methode wollen wir nun mehr auch die Ausdrücke höherer ‚Ordnungen zu be- handeln versuchen. — Um die dem allgemeinen Aus- drucke einer Linie von der dritten Ordnung entsprechen - de Gleichung zu finden, hat man aus zwei Gleichungen von der Form: . ata'v--arr2-Lartps Ask b+-b/o-Ebrrp2-tLbrtrp3 1). Ten eterterw2+er3 » zu eliminiren. Mittelst ähnlicher Schlüsse wie im vo- rigen $. zeigt sich, dass hier zu jedem Werthe der einen der beiden Veränderlichen x und y drei Werthe Upe an- dern gehören. _ Dem gemäss setze mah: 3) o=ıtartpytze®+örytey®+srrtne ayhsaytuys, wo wiederum wegen’ der gleichen Nenner in 1) ünd 2) alle Glieder weggelassen worden sind, in denen von den beiden Veränderlichen zwar jede für sich die dritte Po- 2)y= tenz nicht übersteigt, aber die Summe der Exponenten grösser als 5 ıst. Hiernach wird also jedem Ausdrucke v von der dritten Ordnung eine Gleichung von derselben Ordnung zuge- hören. Substituirt man aber in 3) für x und y ihre Werthe aus ı)-und-2), so kommt eine Gleichung : 4) o=atbr+u2+.. .+809, deren 10 Coefhicienten a,b,c,... gegebene Functionen von a,b,e,a',b',... und «,ß,7,... sind, und insgesammt —=o ‚ seyn müssen, Dies giebt 10 Gleichungen; dagegen sind nur g zu bestimmende Unbekannte @,ß,y...ı vorhan- den. Es lassen sich also die letztern nicht nur vollkom- men bestimmen, sondern. es bleibt nach Elimination derselben aus den ı0 Gleichungen eine Gleichung zwi- 4176 schen a,b,e,a',b',.;. selbst zurück. Diese ist aber noth= wendig eine identische, keine Bedingungsgleichung. Denn wäre sie das letztere, so könnten für solche Werthe von a,b,e,...; durch welche die Bedingung nicht erfüllt wür- de, auch die Gleichungen a0; b=0,... nicht neben einander bestehen ; mithin könnte auch die angenommene Form der Gleichung 3) nicht die richtige seyn, sondern müsste Glieder von noch höherer Ordnung, als der drit= ten, enthalten. Dies widerspricht aber erwieseniermassen der Natur der Gleichungen ı) und >). — Allerdings ist es möglich, dass die nach dem gewöhnlichen Elimina- tionsprbcess Aus ı) und 2) sich ergebende Gleichung von einem höhern Grade als dem dritten erscheint. Alsdann kann man aber gewiss seyn , dass durch die algebraischen Umformungen ein oder mehrere üngehörige Factoren hinzugekommen sind, die man durch Division wieder ab- sondern, ünd somit die Gleichung auf den dritten Grad jurückbringen kann. — Fährt man auf dieselbe Art zu schliessen bei deri allgemeinen Ausdrucke von der vierten Ordnung fort, so kommt ın den Gleichungen ı) und 2) noch die te Potenz von » hinzu, die dem Ausdrucke entsprechende Gleichung 3) muss von der 4ten Ordnung seyn, erhält folglich noch die 5 Glieder z4,#°y,x2y2,»y3,y4 mit ihren zu bestimmenden Coäfficienten, und die Gleichüng 4) $teigt dadurch bis auf den ı6ten Grad. Hier giebt es also i4 zu bestimmende Coefhicienten &, 7... und dazu i7 Gleichungen: d=0, b=0,.(=05; ete. Mithin blei= ‘ ben nach Elimination der ersiern aus den letztern,, 3 Gleichungen zwischen a,b, e, @b',... zurück , welche, aus demselben Grunde wie vörhin, identische seyn müssen. Ueberhaupt sieht mäni, dass eine Linie, die ihrem Ausdrucke nach von der mten Ordnung ist; Auch rück- > 177 sichtlich ihrer Gleichung zu der mten Ordnung gehört, Diese Gleichung enthält im Allgemeinen 4(m+ 1) (m+ 2) Glieder, also 4(m+ı) (m+2)—ı =1m(m+3) zu bestim- mende Coöfhicienien &ß,3.... Substituirt man hierin für x und y ihre durch » gegebenen Werthe, so gelangt iman zu einer Gleichung für #, die vom m?ten Grade ist, und deren m®+ı Coefhicienten, sämmtlich = 0 gesetzt; die "zur Bestimmung der Coöfficienten x, ß,7, .. erforderlichen Gleichungen geben. Man hat folglich m®+1 = im (m+3) = Um ı)(m—2) Gleichungen inehr, als zu bestimmende Grössen; es inuss daher, weil die Gleichung für die Linie unbedingt von der mten Ordnüng ist; zwischen den m?-+ıi Gleichungen ein solcher Zusammenhang statt finden, dass aus beliebigen Im(m+3) derselben, welche von einander unabhängig sind, die übrigen Z(m=- 1) (m=<2) abgeleitet werden können. Dass dieser Uiberschuss für m—=ı und. in==2 verschwinde, sahen wir bereits in $. 136. $: ı38. Wenden wir uns jetzt zu der umgekehrten Aufgabe: aus der gegebenen Gleichung einer Linie den entsprechenden Ausdruck zu finden, oder was dasselbe sa= gen will, die Veränderlichen # und y der Gleichung als’ rationale Functionen einer dritten Veränderlichen » darzu- stellen, welche der Gleichung Genüge leisten. Schon aus Euler’s Jntroduetio (Tom. I. Cap. Ill. De transforman, lione Functionum per substitutionem.) ist bekannt, dass dieses Geschäft nur ber den Gleichungen der ersten und zweiten Ordnung immer von Statten geht; dagegen schon bei den Gleichungen der dritten Ordnung in den mehresten Fällen irrationale Formen unvermeidlich sind. Nöch etwas nähern Aufschluss erhalten wir auf dem hier eingeschla-, genen Wege. Zuerst ist es gewiss, dass eine Gleichung der mten: Ordnung auch zu einem Ausdrucke der mten Ordnung füh- M et A öruche Bis ! 178 ren muss, wenn anders, die Gleichung in einen ratioha= len Ausdruck zu verwandeln, möglich ist; weil umgekehrt ‚jedem Ausdrucke der mien Ordnung eine Gleichung der ebensovielten Ordnung entspricht. Man denke sich nun, dass nach der im vorigen $. gezeigten Methode dieWerthe der Coöfficienten &, ß,7,...; durch a,b, e,a‘,..: ausgedrückt; - gefunden worden seyen:.so hat man Ya (m+4-3) Gleichun- gen: =... =. .., 7=..., aus denen jetztumgekehr&t die Werthe von «,2,e,@‘..., durch @, ß,y,... ausgedrückt, zu entwickeln sind. Es lässt sich aber, wie in $. 69. be- wiesen worden, die Anzahl der Constanten a,b,e,a’,..., unbeschadet der Allgemeinheit des Ausdrucks, auf 3m—ı zurückbringen, und es sind daher 2m (m +3) — Im +1 == 1(m-- 1) (m—2) Gleichungen mehr, als zu bestimmen- de Grössen vorhanden. Da nun die Coäfficienten a,B, Yan und folglich auch die ihnen zugehörigen 4m (m +3) Glei- chungen von einander ganz unabhängig sind, so elimini- re man aus letztern die 3m ı zu bestimmenden Grös- sen, und man wird #(m— 1) (m—2) Gleichungen zwi- schen &,ß,7,... bekommen, welche ebenfalls von einan= der unabhängig, mithin keine identischen sind, und folg- lich erfüllt werden müssen, wenn anders, die Gleichung für die Curve in einen rationalen Ausdruck zu verwandeln, möglich seyn soll. Für m=1,2,3,4,5, etc. erhält K(m=-ı) (m—2) die resp. Werthe 0,0, 1,3,6, etc. Ist also die Gleichung zwis schen x ünd y nur von der ersten oder zweiten Ordnung, so lässt sich ohne weitere Bedingung eit ihr entsprechen- der rationaler Ausdruck finden. Dagegen muss bei einer "Gleichung der dritten Ordnung eine gewisse Bedingungs- gleichung zwischen ihren Co@fhcienten erfüllt werden, wenn x und y sich als rationale Funclionen einer dritten Ver- änderlichen sollen ausdrücken lassen. Bei einer Gleichung der ten Ordnung müssen zu demselben Zwecke 3 Bedin= gungsgleichungen erfüllt werden, u. s. w. ‘Diese Bedin- "gungsgleichungen ’selbst aber zu entwickeln, möchte eine sehr weitläufige Rechnung erfordern. ans 2 00 5 \ Zweiter Abschnith Von den Verwandtschaften der Figuren und den daraus entsptingenden Classen seometrischer Aufgaben, Erstes Capitel. “Von der Gleichheit "und : Aehnlichkeit. =: 8. 139. Wenn in zwei Figuren jedem Punkte der ei- nen Figur ein Punkt der andern entspricht, dergestalt, dass der gegenseitige Abstand je zweier Punkte der ei- nen Figur dem gegenseitigen Abstande der entsprechen- den Punkte in der andern Figur gleich ist, ‘so sind die Figuren einander gleich und ähnlich. Diese Erklä- rung der Gleichheit und Achnlichkeit, — denn als sol- che kann man den voranstehenden Satz betrachten, — ist allgemein anwendbar, mögen die Figuren bloss aus isolirten Punkten, oder aus Linien, oder aus Flächen bestehen, mögen im erstern Falle die Punkte in einer geraden Linie, oder in einer Ebene, oder im Raume überhaupt liegen. Die einfachsten Figuren, welche einander gleich und ähnlich seyn können, sind demnach Systeme, jedes aus zwei Punkten bestehend. Heissen 4 und B die zwei Punkte des einen Systems, 4’ und 3° die ihnen entspre- . chenden , welche das andere System ausmachen, so sind, der Erklärung zufolge, die beiden Systeme einander gleich und ähnlich, wenn 3’ von 4’ eben sb weit, als » B von 4 absteht, oder in Zeichen: wenn #B'—= AB ist. — Kommt zu dem Systeme 4, B ein dritter Punkt c hinzu, gleichviel ob dieser mit 4 und B in einer Gera- den, oder nicht, liegt, so ist‘ @ der entsprechende Punkt 182 in dem andern Systeme 4, B', wenn @4— C4und CB . —=(CB. — Wird dem Systeme 4,B,C ein vierter Punkt D hinzugefügt, mag dieser mit A, B, C in einer Ebene, oder ausserhalb derselben enthalten seyn, so hat man D' als entsprechenden‘ Punkt in dem andern Systeme 4',B',C', wenn noch D’4A’—DA, D’B'—=DB, D’C—DC, u. 5. w. ! $. 140. Aufgabe. Ein System von z Punkten zu eonstruiren, welches einem andern gegebenen Systeme von n ‚Punkten gleich und ähnlich ist, Auflösung. Heissen die Punkte des gegebenen Sy- stems: 4, B, C,D,..., und die ihnen resp. entsprechenden in dem zu construirenden: ı 4,2, C’,D%,.... Nun hat -» | man drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die erstern | Punkte entweder in einer Geraden, oder in einer Ebene, . oder im Raume überhaupt liegen. Im ersten Falle nelıme man 4‘ wiederum in einer Geraden und trage darein #2’—4B, gleichviel auf welche Seite von 4, Man trage ferner in diese Gerade dC—AC, so dass C mit 3’ auf einerlei oder verschie- * denen Seiten von 4 liegt, je nachdem € mit 2 auf ei- nerlei oder verschiedenen Seiten von A befindlich ist, Eben sa wie bei: C verfahre man mit der Bestimmung aller übrigen Punkte. — Hiernäch ist also 4 ganz willkührlich zu nehmen, jeder der übrigen 2—ı Punkte aber wird durch einen Abstand bestimmt, und es wer- den folglich zur Construction des ganzen Systems nicht mehr und nicht weniger als „—ı Abstände als gegeben. x erfordert, Wenn zweitens 4,B,€,... ineiner Ebene liegen, sa liegen. auch 4, B', C',... in einer Ebene. Der Ort von 4' bleibt darin der Willkühr überlassen ; 2’ ist ein be- liebiger Punkt des Kreises, der aus 4 als ‚Mittelpunkt E: 4 483 . mit AB als Halbmesser beschrieben wird; ist. einer der beiden Durghschnitte der zwei Kreise, welche aus 4 mit ZC und aus 3’ mit BC beschrieben werden. Um einen der übrigen Punkte, z, B. D’ zu finden, beschrei- be man aus 4 mit AD und aus B‘ mit BD Kreise und nehme für D’ denjenigen ihrer beiden Durchschnitte, . welcher mit C” auf einerlei oder verschiedene Seiten von A'B' fällt, je nachdem D und C. aufderselben oder ver- schiedenen Seiten von AB liegen. — Hier sind also zur Bestimmung von 4’ gar keiner, zur Bestimmung von B' einer, und zur Bestimmung jedes der übrigen n— 2 Punkte zwei Abstände, also in Allem nichtmehr und nicht weniger, als ı+2 2 2)= 2n—3 Abstände erfor- derlich. Ist endlich das FERNER System im Raume enthal- ten, so, ist A’ ganz willkührlich ; B! ein beliebiger Punkt der Kugelfläche, welche A! zum Mittelpunkie und 4B zum Halbmesser hat; C ein beliebiger Punkt des Krei- 'ses, in welchem sich die zwei aus 4 mit ZC und aus B'! mit BC beschriebenen Kugeltlächen schneiden; D/ ei- ner von den zwei Punkten, in denen sich die drei Ku- gelflächen , aus 4 mit AD, aus 3’ mit BD und aus C- ‚mit CD als Halbmessern: beschrieben, schneiden. Auf eben die Art wie D’ wird dann auch jeder ‚der übrigen * Punkte, z.B. E’, gefunden, nur dass von den zwei ge- meinschaftlichen Dürchschnitten der aus 4, Bı,C' mit. AE, BE, CE beschriebenen Kugelflächen derjenige zu nch- men ist, welcher mit»2% auf einerlei oder verschiedenen Seiten der Ebene A B'C' liegt, je "nachdem das eine oder das andere bei den entsprechenden Punkten i in dem gegebenen Systeme der Fall ist. —. Zur Bestimmung von A wird also kein Abstand, zur Bestimmung von .B’ einer; ‚zur ‚Bestimmung von C' werden zwei, und zur ’ 184 ® Bestimmung jedes der übrigen »—3 Punkte drei Ab- stände erfordert, folglich in Allem ı+2+3.(»—3)=3r — 6 Abstände, Anmerkung. Nur also noch bei dem Punkte D! und bei keinem der folgenden steht es frei, zwischen den zwei auf verschiedene Sei- ten der Ebene 4’B'C! fallenden Durchschnitten der drei Kugel- flächen zu wöhlen. Es unterscheiden sich dıese heiden Durch- schnitte dadurch von einander, dass, von den einen aus geschen, die Folge der Punkte 4’B'C' von der Rechten nach der Linken, von dem andern aus aber, von der Liuken wach der Rechten geht, oder, wie man sich auch ausdrücken könnte, dass der erstere Puukt auf der livken, der letztere auf der rechten Seite der Ebene AR’G! liegt, Je nachdem man nun für D’ den einen oder den andern dieser zwei Punkte wählt, je nachdem wird die gedachte Folge entweder übereinstimmen. oder verschieden von derjenigen seya, im welcher von D aus die Punkte 4, B,C erscheinen, In beiden Fäl- len sind sich die Systeme 4,8,0,D,... und 4, B', C/, D’... zwar gleich und ähnlich, können aber nyr im ersten Falle zur Coin- eidenz gehracht werden, — Ls scheint souderbar, dass bei körperlichen. Figuren Gieich- heit und Aehulichkeit ohne Coiveidenz statt finden kann, da hin gegen bei Figuren in Ebenen oder bei Systernen von Punkten iu ‚ geraden Linien Gleichheit uud Aehulichkeit ınit Goincidenz inmer verbunden ist, Der Grund davon möchte darin zu suchen seyn, ‘ dass es über den körperlichen Raum you drei Dimeusionen hinaus keinen andern, keinen von vier Dimensionen giebt. Gäbe es kei- nen körperlichen Raum, sondern wären alle räumlichen Verhältnisse in einer eitzigen ‚Ebene enthalten, so würde eseben so wenig möglich seyn, zwei sich gleiche und ähnliche Dreiecke, bei. denen aber die Folge der sich entsprechenden Spitzen nach entgegengesetz- .x En tem Sinne geht, zur Deckung zu bringen. Nur dadurch kann man diese bewerkstelligen, «ass man das eine Dreieck um eine seiner Seiten oder um irgend eine audere Gerade der Ebene, als um 1 ‚ne Axe, eine halbe Umdrehung machen lässt, bis es wieder in wi : Ebene fällt. Danu geht bei ihm und dem air Dreiecke die Folge r der sich eutsprechenden Spitzen nach einerlei Sinu, und ‚es kan zit dem andern durch Fortbewegung in der Ebene selbst, I Yan weitere Zuhülfenahme des körperlichen Rauıns OSB FTFOR [3 werden, se "Eben so verhält es sich mit zwei BORE Systemen: von. ten in-einer und derselben geraden Livie: A, B,... und A, Bus Sind sich bei diesen die Richtungen AB und AB ‚entgegengesetzt, so wird durch blosses Foribewegen des einen Systems in deren EL Se 185 — ‚raden Linie selbst auf keine Weise eine. Deckung der sich entspre- chenden Punkte hervorgebracht, sondern erst nach einer halben Umdrehung des einen Systems in irgend einer durch die Gerade gehenden Ebene, Zur Coineideuz zweier sich gleichen und ähnlichen Ansains im, Raume von drei Dimensionen: 4, B,C,D,..., und 4°, B', C',Di,.., bei denen aber die Punkte D, Z,.. und D“ E’,.. auf ungleichna- migen Seiten der Ebenen ABC und A'B‘C! liegen, würde also, der Analogie nach zu schliessen, erforderlich seyu, -dass mau das eine System in einem Raume von vier Dimensionen eine halbe Um- drehung machen lassen könnte. Da aber ein solcher Raum nicht gedacht werden kauu, so ist auch die. Coäncidenz in: diesem Falle unmöglich, i $. ı4ı. Zusätze. a, Bei einem Systeme. von r Punkten ist die.-Anzahl aller Abstände je zweier Punkte von einander =In(r—ı). Von diesen Abständen wur- den, je nachdem die Punkte in einer Geraden, Ebene, öder.im Raume lagen, nur a„— ı, 2”—3, oder 3n—6 in beiden Systemen einander gleich gemacht, Dass nun dann immer, wie es die Erklärung der Gleichheit und Aehnlichkeit erfordert, auch die übrigen ar a—)—rhı=}l@mı)(R—2) An(n—ı1)— 2n +3—=4(n— 2)(n—3) an n—ı) in +6=}n—3)(n—4) Abstände des einen Systems den eben so viel entspre- chenden Abständen des andern Systems gleich sind, muss in jedem der drei Fälle besonders bewiesen werden; Der Beweis für den ersten Fali, wo-die Punkte in einer Geraden liegen, fliesst unmittelbar aus der Deckung gerader Linien von gleicher Länge. Den zweiten Fall anlangend, so haben vermöge der Construction die Dreiecke A!B'C, 4B'D, A'B'E', elc. resp. mit den Dreiecken ABC, ABD, etc. gleiche Seiten und decken sich folglich der Reihe nach; mithin können auch die. ganzen Figuren 43CD,.. und 45'C'D*.. zur Deckung gebracht werden. 486 Der Beweis für den dritten Fall wird, wenn’ die Punkte D,Z,... und D‘,E’,... auf gleichnamigen Seiten der Dreiecksebenen 4BC und 4B’C' liegen, ähnlicher- weise mittelst des Satzes geführt, dass zwei Pyramiden. “ABCD und 4'B’C’D! in einander passen, wenn die sechs Kanten der einen den sechs Kanten der andern der Rei- he nach gleich sind, und D’ auf derselben Seite von 43°C‘ sich befindet, auf welcher D von 4BC liegt *). — Bei ungleichartiger Lage macht der Beweis mehrere Vorbe- reitungen nöthig, auf die ich mich aber hier nicht einlassen kann, sondern auf Legendre Geometrie, Livre VI. Prop. 2. und Note VII. verweise. nt b. Wenn nicht, wie in der Aufgabe vorausgesetzt wurde, das ganze System von » Punkten gegeben ist, sondern bloss die r„—ı oder 22—3,oder 3”—6 Ab- stände in demselben, die zur Constraction eines ihm gleichen und ähnlichen Systems erforderlich waren, so = *). Dieser Satz lässt sich folgendergestalt leicht darthun. — Weil A'B'— AB, BC'=BLl, C!4'— CA, so können die Dreiecke ‚ABC und 4'B’C! immer zur Deckung: gebracht werden. Der ge- machten Annahme zufolge liegen alsdann D. und DI auf einerlei ‚ Seite von ABC, Fielen nun D.und D! nicht zusammen, so ent- _ stünden, wegen AD—A'D!, etc. » , die gleichschenklichen Dreiecke ADD', BDD', CDD' mit der gemeiuschaftlichen Basis DD!, Heisse , daher M der Mittelpunkt von DD‘, so wären AM, Bm, CH auf. DD! perpendikylar, mithin 4,B, C,M in einer Ebene, befindlich, von welcher DD! rechtwinklich halbirt würde, Mithin. lägen D und D! auf verschiedenen Seiten von ABC, welches gegen die An- nahme ist. Es fallen daher D und D! zusammen, folglich auch AD und. A'D', dıc. und die ganzen Pyramiden passen in einander, Liegen D und D! auf ungleichnamigen Seiten von ABC und .4.B'C', so folgt nach denselben Schlüssen, dass bei "Deckung der ı Dreiecke ABC und 4'B!C! die Gerade DD’ von der Ebene ABC . zechtwinklich ‚halbirt wird. — Dies.bier zur Folge erhaltene Resul-. dat ist) bei Legendre (Eiyre VE Defnit. 16.) die Erklärung von dergleichen Körpern, polyedres symmelriques von ihm: ER, 187 wie auch die Seiten, auf denen die übrigen Punkte vor dem Punkte 4 oder von der Geraden AB oder von'der Ebene 4BC liegen, so lassen sich daraus, eben vermö- ge der gelehrten Construction, die übrigen Abstände und alle andern dabei vorkommenden Grössen finden. Und überhaupt: r Hat man ein System von 2 Punkten: in eig ner Geraden, oder in einer Ebene, oder im Raume, und sind von den Grössen, welche dadurch auf. irgenderlei Weise bestimmt werden können, resp. a—ı, 22n—3, 32a—6 von einander unabhängige gegeben, so kann man daraus alleübrigen finden. ——— Zweites Gapitel. Von :der Aehnlichkeit, $. 142. Die einfachste und engste Art von Verwandt- schaft, die zwischen Figuren statt haben kann, ist die Gleichheit und Achnlichkeit, indem von zwei solchen Figuren die eine nichts anders, als eine vollkommene Wiederholung, ein nochmaliges Setzen der andern ist. Weniger einfach‘ und von grösserer Ausdehnung ist die blosse Achnlichkeit, Hier kann man die eine Figur als eine Wiederholung der andern nach einem grössern oder kleinera Mafsstabe betrachten, oder bestimmter: Zwei Figuren sind einander ähnlich, wenn die gegenseili- gen Ahstände je zweier Punkte der einen Figur in den- selben Verhälinissen zu einander stehen , als wie die Ab- ’ stände der entsprechenden Punkte i in der andern. Die, einfachsten Figuren, ‚bei. denen von Achnlichkeit noch die Rede seyn kann, sind. daher Systeme, jedes ’ . Ä u U A et LU I m U Daun 188 .von drei Punkten gebildet, Das System 4, 3°,‘ ist dem Systeme 4,8,C ähnlich, wenn 4B' : B'C:C'4=4B:BC:C.4, oder, was dasselbe ist, wenn 43’= m.4B,, B/C'—=m.BC, C4'—=m.CA ist, wo’ m, eine beliebige Zahl bezeichnet. Sollen die Systeme 4,8,C, D' und 4,83’,C‘, D* einander ähnlich seyn, so wird erfordert, dass noch 4#D’—=m.AD, B'D'—=m.BD, CD'=m.CD; u. s. w. | 8.143. -Zusätze und Folgerungen. a. Dass _ dieser Definition gemäss ähnliche Figuren auch wirklich existiren, ist hieraus im Allgemeinen noch nicht abzu-, nehmen, sondern bedarf eines Beweises. Der Elemen- targeomelrie liegt es ob, denselben zu führen. Diesen Beweis aber vorausgesetzt, sieht man ohne weiteres, dass man zur Construction eines Systems . B,Ch.., wel- ches einem gegebenen Systeme 4,2,C,.. ähnlich ist, fol- gendergestalt verfahren kann. — Man nehme 4 und 3 ganz willkührlich, denke sich hierauf, 43°—=m.4AB ge- setzt, ein dem gegebenen Systeme ähnliches System, in welchem jeder Abstand dem mfachen des entsprechenden Abstandes in dem gegebenen gleich ist, als schon vor- handen, und bestimme nun. die übrigen Punkte €, D’,.., indem man auf die in $. ı%40. gezeigte Weise ein diesem eingebildeten Systeme gleiches und ähnliches construirt. b. Stait der in $. ı4o. zur Construction angewen- . deten Abstände 43, 4C, BC, ... werden also gegenwärtig die Längen m. AB, m.4C, m.BC, .., genommen, wo m ei- ne:beliebige Zahl ist. Zur € onstruction eines ähnlichen Systems braucht man folglich nur die Verhältnisse zu kennen, in welchen von‘ den zur Construction eines gleichen und ähnlichen Systems erforderlichen Abständen irgend einer zu den übrigen steht. Da nun die Anzahl dieser. Verhältnisse immer um Eins geringer ist, als die der Abstände selbst; so werden, je nachdem die Punkte a PR y Una fi Be) 5 20 189 des gegebenen Systems in einer Geraden, in einer Ebene oder im Raume liegen, n—2, an —4 oder 33n—7 Ver- hältnisse erfordert ce. Ist das System nicht selbst gegeben, sondern bloss die Verhältnisse, welche zur Construction eines ‚ ähnlichen Systems zu wissen nöthig sind, so kann man mit Hülfe der Construction alle übrigen Verhältnisse je zweier Abstände und alle andern Grössen finden, welche ähnliche Figuren mit einander gemein haben, als Win- kel, Verhältnisse von Flächen, u. s. w. Wir schliessen hieraus, eben so wie in $. ı4ı. bi Sind von einemSysteme von » Puurkten in einer Geraden, in einer Ebene, oder im Rau- me resp. irgend n—2, an —4, 32—7 von einan- der unabhängige Verhältnisse zwischen den gegenseiligen Abständen der Punkte, oder eben so vielandere von diesen Verhältnissen abhängige Grössen oder Bedingungen gege: ben, so lassen sich daraus alle übrigen Ver- hältnisse zwischen den Abständen und davon abhängigen Grössen finden. ’ d. Verhältnisse lassen sich immer durch Zahlen aus- drücken. Hier werden also aus gegebenen Zahlen an- dere durch Construction gefunden. Letztere Zahlen müs- sen sich daher aus erstern auch durch Rechnung finden lassen. Es müssen folglich von den gegebenen n—2,... Verhältnissen des Systems alle übrigen Verhältnisse als analytische Functionen darstellbar seyn. Es fliesst hieraus noch, dass die in &. ı4ı. 2. als lösbar erwiesene Forderung, nicht allein darchConstruction, sondern gleichfalls-auch durch Rechnung gelöst werden kann. Denn aus den dort gegebenen n— 1,... Stücken; die wir jetzt in Zahlen ausgedrückt annehmen, ist es ae rue ae re ee ee ee ee ee ee ee eu 4190 immer möglich,»—2,... von einander unabhängigeVer= hältnisse zu bilden. Aus diesen aber können, dem eben Gesagten zufolge, durch Rechnung alle übrigen Verhält= ‚nisse des Systems, also auch die Verhältnisse der übri- gen Stücke zu den gegebenen, also auch die Ülesgpbe Stücke selbst in Zahlen gefunden werden. Anmerkung. Aus der Möglichkeit, ‚ eine geometrische Aufgabe durch Constraction zu lösen, kann man, ohtie die Lehre ‘von der Aehulichkeit als erwiesen vorauszusetzen, die Möglichkeit einer Auf= ’ a lösung dürch Rechnung noch nicht folgern. Heissen z. B. @, b, 6, d die vier Seiten eines Vierecks; «, f die zwei Diagonalen desselben. : Sey ferner 7 irgend eine zur Einheit angenommene. Länge, und a,b,...f, in solchen Einheiten ausge- drückt, =a,ß,.. .& so dass a=ar, b=fr, etc. Nun kann man \durch "eine schr ‘einfache Goustrhetiön aus den Linien a,b, c,U,e die Linie f, folglich auch aus der Linie r und deu Zahlen ,ß, rd, 8 die Zahl & finden, Ob aber aus @, B.. .e allein die Zahl & gefün- ‘den werden köune, ob also & ungeändert bleibe, wie gross oder klein auch 7 genommen werde, ist hiermit noch nicht entschiedem, Allerdings müsste zway, wenn zur Bestimmung von & näclıst U. 6 auch r erforderlich wäre, auch umgekehrt r aus ET 4 gefanden werden köhnen, dä döch eine Function You Zahlen im> aner wieder eine ‚Zahl und keine ausgedehnte Grüsse seyn kanm Allein wein L egeudre eine dergleichen Schlussart auwendet, um die Lehre von der Achnulichkeit analyüsch zu begründen (Klein. de Geom. note 2.), so kann wohl mit, Recht entgegengesetzt wer- den, «lass, öbsclion r durchaus nicht eine analytische Function von - x ER: seyn kaun, es doch keineswegs undenkbar ist, dass r aus _ @,...& auf geometrischen Wege gefubden werden Köche: Anss folg- lich Leg. noch immer zuvor beweisen muss, dass dasjenige, wa - durch Construction bestimmt werden kann ‚ auch durch. Rechuuag sich herleiten lasse. Denn hieraus erst kann gefolgert werden, d dasjenige, was sich durch Rechnung nicht finden lässt, auch mi e durch Cönstrnction bestimmbar ist, Es wird Tolglich von ae y. ein Kreis im Schliessen begangen, da eben erst aus der ru bewei- senden Lehre von der Achulichkeit die Möglichkeit einer. Auı dung der Analysis auf_ die ih bervorgeltu EURER £ ’ D Drittes Capitel. Von der Affinität. ! 8, 365 Ausser der Gleichheit und Aehnlichkeit und der Achnlichkeit allein giebt es noch einige andere Arten von Verwandischaften, die gleichfalls in das Gebiet der Elementärgeometrie gehören. Die barycentrische Bestim- mungs- Methode von Punkten wird uns zur Erkenntniss dieser Verwandtschaften und der schr merkwürdigen aus ihnen zu ziehenden Folgerungen hinführen. Man denke sich ein System vonPunkten 4,2, C,D..: in einer Ebene. Drei derselben, -4,2, C, nehme man zu F.punkten und bestimme in Bezug, auf dieselben je= den. der übrigen durch einen Ausdruck von der Form: ad+bB++ceC. Wenn nun die drei Seiten des Dreiecks. ABC und für jeden’ der übrigen Punkte die Verhältnisse’ der Coäfficienten im Ausdrucke desselben, @:5:0, gege- ben sind, so ist klar, dass alle mit Hülfe jener Seiten und ‚dieser Verhältnisse consiruirten Figuren einander unter sich und der erstern gleich und ähnlich seyn wer- den. Eben so leuchtet ein, dass, wenn statt der Seiten des F.dreiecks selbst, bloss die gegenseitigen Verhältnisse derselben gegeben sind; zwischen den construirten Fi- guren und der ursprünglichen nur Aehnlichkeit obwal= ten. wird.. Gesetzt aber, dass ‚von dem F,dreiecke gar nichts, und bloss die Verhältnisse der Co&fficienten für die übrigen Punkte gegeben sind, sa werden die somit 192 hervorgehenden Figuren, weil nun die drei F.punkt@ - ganz nach Willkühr, gendmmen werden ‚können, in ei- ner noch entferntern Beziehung zu einander stehen. $. 145. Um das Wesen dieser Beziehung ausfindig zu machen, so seyen 4, B’, C* (Fig. 29.) drei beliebige Punkte, die man den Punkten 4, B,C resp. entsprechend setze, Ist nun irgend einer der übrigen Punkte in der ersten Figur, D=a4+bB+cC, so wird D’ der ent- sprechende Punkt in der zweiten seyn, wenn D=a4 +bB’+eC, d.h. wenn die Dreiecksflächen zwischen 4°, B*,C', D’ sich eben so zu einander verhalten, als ‚wie die ihnen entsprechenden zwischen 4,,C,D ($. 24. e): Man ziehe demnach die Gerade CD, welche 48 in Z- schneide, theile 4°#” in Z* dergestalt, dass HBr: Br Zu = AB: BZ, ziehe CZ und nehme darin D’, so dass CD':ZD'—=CD:ZD, so ist D' gefunden. 4 Unmitielbar also folgt aus einer solchen Construction nur dieses, dass; 48’C’—=m,ABC gesetzt, auch jedes an- dere Dreieck der zweiten Figur, welches mit dem Dreiecke HB'C' eine Seite gemein hat, dem mfachen des ent- sprechenden Dreiecks in der ersten Figur gleich ist; 1.B. dass ZIC’D'—m.BCD, Es lässt sich aber leicht zeigen, dass dieselbe Relation auch zwischen je zwei andern sich: entsprechenden Dreiecken statt finden muss; 2 Bidas D' Ei — m. DEF. ; wen va Denn seyen P,Q,A,$ irgend vier Punkte der ersten. Figur, und, durch ihre Ausdrücke auf 48, € bezogen, bestimmt. ' Man eliminire aus diesen vier Ausdrücken, als Gleichungen behandelt, die drei F, punkte, und man erhält eine Gleichung zwischen den vier Punkten ‚selbst: aP+xQ+oR+oS=o, deren Coäffhicienten. 7,%,0,0 aus ‚den Coefhicienten’ der ersten vier Gleichungen zusammen- gesetzt, also ebenfalls gegeben sind. Heissen nun, die, x 193 diesen Punkten in der andern Figur entsprechenden Punkte P', @, R', S', ‚so dass, wenn P=p4+gB+rC, auch Pzpdt4gBi+rC ist, u. 8. w.: so muss zwischen den letztern vier Punkten eine Gleichung mit denselben Coef- ficienten statt: finden, wie zwischen den vier erstern: aP'+xQ’+oR'+0S’=o. Mithin stehen die Dreiecks- flächen zwischen 7°, Q*, R', S' in denselben Verhältnissen zu einänder, wie dıe entsprechenden zwischen P, Q,R,S. — Wenden wir dieses auf die Systeme B,C, D,E ünd _ B',C',D’,E' an, so muss, weil BIC’ D’=m.BCD wär, auch D/E’=m.CDE seyn; und eben so folgt aus letz- terer Gleichung in Bezug auf die Systeme C,D,Z,F und C, Di, Eı, Pr: D'E!F—m.DEF. Ueberhaupt also stehen die Dieiecksflächen der einen Figur in denselben Ver- hältnissen zu einänder; , wie die entsprecheiiden der an- dern. Dä endlich jede ebene Figur durch Ziehüng von Diagonalen als ein Aggregat von Dreiecken betrachtet werden”kann, so lässt sich das Wesen der in Rede ste- henden Verwandtschaft bei ebenen Figuren noch allge- meiner als darin bestehend angeben: dass je zwei Flä- chentheile der einen Figur sich eben so zu einander ver- halten, wie die entsprechenden Flächentheile der andern. &. 146. Eine: ändere: Ansicht, unter. welcher man | diese entferntere Verwandtschaft auffassen kann, ist fol- gende. Seyen wiederum 4,2, C, P und 4,B’, C,, P sich entsprechende Punkte in_beiden Figuren, also Pzp4 . +qgB'+rÖ, wenn P= pA + gB+ »C ist. Man betrachte nun die Linien C4 und.©2 als die Axen eines Systems paralleler Coordinaten , CA als die Axe X, .C2 als die Axe Y, so ist für den Punkt 2 ($. 123. b.): 04, ‚CB: Tr IT Frhr Eben so nehme man in der andern Figur C/4 und CB’ ö N ER 194 - zu den Axen eines Coordinatensystems, wnd nenne lie, Coordinaten von 2 auf diese Axen bezogen, x und y‘, so ist: vr $ yiü Eu ya IB RE a a TE RE ET Tee folglich . R“ cr cB ? Bezieht man demnäch die Punkte einer ebenen. Fi-- gur durch Coordinaten auf zwei; sich unter einem be= liebigen Winkel (4C2) schneidende, Axen, und con- struirt nun eine zweite Figur unter einem von dem vo- rigen verschiedenen Axenwinkel (4.0 3°) dergestalt, dass jede Abscisse in der zweiten zu der: ihr entsprechenden in der ersten in einem beliebigen constanten Verhältnisse (CA: CA) steht, und dass eben so das gegenseitige Ver- hältniss der sich ‚entsprechenden Ordinaten ein beliebi- ges constantes, aber von .dem der Abscissen verschiedenes Verhältniss (C/B‘.: CB) ist, so wird ebenfalls zwischen ; beiden Figuren die neue allgemeinere Verwandtschaft statt finden. — Mit andern Worten: Man beziehe eine ebene Figur auf zwei beliebige Axen, messe die Abscis= sen mit einer willkührlichen zur Einheit ‚angenommenen Länge, und eben so die Ordinaten mit einem beliebigen andern Längenmals. Lässt man nun die durch diese. Messungen für jeden Punkt der Figur resultirenden zwei. Zahlen gegeben seyn, nicht aber den Axenwinkel und die beiden Längenimalse, sondern bleiben diese der Will- kühr überlassen, so werden alle mit jenen Zahlen. eon- struirten Figuren unter sich und mit der ursprünglichen in der gedachten Verwandtschaft stehen. \ Vergl.'$. 127. $- #47. Von einer solchen gegenseitigen Beziehung der Figuren hat schon Euler gehandelt. _Jntrod, in 498 ‚Anal, Inf. Tom. U, Cap. XVII. De Similitudine et Af- finitate Linearum curvarum, — „Quemadmodam,“ heisst es daselbst in artiel. 442,, „in Curvis similibus Abscis- sae et Applicatae homologae in eadem ratione‘sive au- gentur sive diminuuntur; ita, si Abscissae aliam se- quantur rationem, aliam vero. Applicatae, Curvae non amplius orientur similes. Verum tamen, quia Curvae hoc modo ortae inter se quandam Affinitatem tenent; has Curvas affines vocabimus:. complectitur ergo. Af- finitas sub se similitudinem tanquam speciem: quippe. Curvae affınes in similes abeunt,, si ambae illae rationes, quas Abscissae et Applicatae seorsim sequuntur, evadant aequales.“ — Der von.Euler hier aufgestellte Begriff der Affınitas ist also ganz mit dem. vorhin entwickelten ei- nerlei, und ich will daher gleichfalls diese allgemeinere Verwandtschaft Affinität, und Figuren, zwischen de-, nen sie statt findet, affine Figuren nennen. - Indess scheint Euler diesen Begriff nicht weiter verfolgt zu haben; sonst würde er nicht zwischen ähnli- _ chen und aflinen Curven, den, wie ich gleich zeigen wer- de, unrichtigen Hauptunterschied,; artiel. 444., finden: „quod Curvae, .quae sunt similes respectu unius Axis vel puncti fixi, eaedem similes sint futurae respectu aliorum quorumvis Axium seu®punctorum homologorum; Curvae autem, quae tantum sunt affınes, tales tantum sünt re- spettu eorum Axium, ‚ad quos referuntur, heile pro lubitu alii Axes, sei puncta homoloßä, in ipsis dantur, ad quae-affinitas referri possit.“* Die Unrichtigkeit dieser Behauptung, dass. die Af- finität immer nur hinsichtlich eines einzigen Axensysteihs statt finde; erhellet sogleich daraus; dass jede drei Punkte der Ebene,‘ in welcher die Figur entbälten ist, zu den F. punkten genommen werden können. Die Be< Na Ey 4 Ss TE 196 hauptung lässt sich aber selr leicht, auch ohne barycen- trische‘ Hülfsmittel, durch ganz einfache auf den ersten Elementen beruhende Betrachtungen widerlegen; und ich achte, dieses zu thun, um so weniger für überflüssig, dä es’ nicht einen‘ speciellen Satz ‚sonder eine wichtige Ansicht der Figuren überhaupt betrifft. $. 148. Seyen ?,Q,R,... mehrere Punkte in einer Ebene, und ihre Coordinaten, auf ein gewisses Axensy- stem bezogen, =4u; t/,u'; 17,0; ...; so werden, nach Euler's Erklärung‘, die Punkte 2, € R',... ein äffınes System bilden ; wenn sie gleichfalls in einer Ebene ent halten, und ihre Coordinaten in Bezug auf ein gewisses Axensystem in derselben resp. mt, nu; mtr, nit, mel mut, ... sind: Ueberhaupt wird hiernach jedem beliebigen Punkte in der ersten Ebene ein gewisser in der zweiten entsprechen, den man findet, wenn man’ seine Ab$eisse dem mfachen und seine Ordinate dem nfachen der Ab- scisse und Ordinate des erstern gleich macht. Eben so wird es für jede beliebig gezögehe gerade oder krumme Linie in der einen Ebene eine entsprechende Linie in der ändern, ‚also eine" Affine;, geben, die man erhält, 'wenri man die Punkte der andern Ebene, welche der ‚Punkten der Linie in‘der erstern entaprechenig ‚wiederdim durch eine Linie verbindet, hr ngire - Gesetzt nun, es liegen die Pinkie P, Q, R’in äiner Geraden, so iverhalten sich ?Q: OR= ware Yun 77 =u' —u:u#—us, folglich auch me me: min m == nu’ —nu : nut — nut, mithin liegen auch P3® Br in einer Geraden, a es Aal N ?Q: : QH ah FIIR? ri KON a1 Ikıia x "Von 'allen Punkten der einen’ Ebene, weiche ine ner Geraden liegen, sind also die entsprechenden Punkte der andern wiederum in einer Geraden enthalten ; ‚beide s 497 \ Geraden u sich entsprechende Linien und werden durch die sich entsprechenden Punkte nach. einerlei "Verhält- nissen getheilt, ; Der Durchschnitt zweier Geraden in der einen Ebe- ne und der Durchschnitt der ihnen entsprechenden Ge- ' raden in der andern müssen daher ebenfalls sich-ent- sprechende Punkte seyn, Heissen -£, vu die Coordinaten des erstern Durch- schnitts, so sind mt, nz die Coordinaten des letztern; Laufen nun die erstern Geraden mit einander parallel, sind also 4, z als unendlich gross zu betrachten, so sind es auch mt, nu, und folglich auch die letztern. Geraden mit einander parallel, 'Parallellinien in der einen Ebene entsprechen dien Parallellinien in der andern, ‚Auch folgt hieraus leicht in Verbindung mit dem Vorigen, dass zwei Gerade (b,2), welche durch zwei sich entsprechende Punkte (4, 4) parallel mit zwei sich entsprechenden Geraden (a, «‘) ge- zogen werden (b durch 4 und parallel mit @; b' durch 4' und parallel mit «*), sich gleichfalls entsprechen, Dieses vorausgeschickt, seyen a,! b zwei beliebige Gerade in der ersten Ebene, welche sich i in € schnei- den, und a’, b' die ihnen.‚entsprechenden Geraden in der zweiten Ebene, welche sich in dem dem € entsprechen- den Punkte €‘ schneiden werden, Ich behaupte nun, dass sich die beiden Systeme P, Q,R,...; P%, QyRs,.. auch rücksichtlich dieser zwei Paare von Geraden, ei Axen betrachtet , affın sind. Um dieses zu beweisen, le- ge ich durch 2, Q, A,... Parallelen mit 5, und durch PYQGRN: . Parallelen mit 2’, so entsprechen die erstern - ‚Parallelen ee letztern,, folglich auch die Durchschnitte der erstern mit a, welche. P, &, 8,'... heissen, den Durchschnitten der letztern mit a’, welche ich 9, Q/,0', 198 nennen will. Mithin sind EP,Q,NR, .. und &,P, OR, ... zwei Reihen sich entsprechender Punkte, welche in sich entsprechenden (seraden « und «’ liegen, und folglich EP: CO: ER... = EP:EN:ER!:..., d.h., wenn wir a und a‘ zu den Abscissenlinien RN die neuen Ab- scissen in dem einen Systeme verhalten sich eben so, wie die neuen Abscissen in dem andern. Da nun’ das- selbe auch von den neuen in 5 und d* liegenden Ordi- naten bewiesen werden kann, so sind sich die beiden Systeme auch rücksichtlich der neuen Axenpaare affın. 8. 149. Zusätze, a. Heissen die Axenwinkel der zwei vorhin gedachten ursprünglichen Coordinatensyste- me, und y, so ist der Flächeninhalt des Dreiecks PQR=3 sing [i(u" — uw) + (u—u)Hir(w—u)] und der Flächeninhalt des Dreiecks. P'OR = siny.mn[t (ut m u) +:.-], ..also PQR;P'QR'—=sinp:mnsiny, woraus wiederum der obige Satz ($. 145.) folgt, dis je zwei sich. entsprechende Dreiecke in einem constanten Verhältnisse stehen, b. Auch aus diesem Satze können die im vorigen 8, angeführten Eigenschaften affıner Figuren sehr leicht ab- geleitet werden. Liegen z.B. P,Q,R in einer Geraden, ‘so ist das Dreieck PQR=o, folglich auch PIQR=o, mithin liegen auch 7%, Q4,R' in einer Geraden, Sind noch $ und $’ zwei sich entsprechende, aber. ausserhalb jenen Geraden gelegene Punkte, so verhalten sich _ PQS: QRS=PQ: OR, und P’Q1$': QIR«S— PıQ': Rs folglich PQ: QR=P/Q: QR’. — Haben die vier Punkte P,Q,R,$ eine solche Lage, dass die Geraden PQ u. AS einander parallel sind, so ist POR— POS, folglich auch PQ/R'= PQ’S’, folglich sind PQ* und a ‘ , 299 falls einander parallel. — Noch mehr: unter derselben Voraussetzung, dass PQ und RS, also auch ?’Q' und R'S‘ parallel laufen, verhalten sich PQS: RQS—= PQ; RS und PQS’: RQ/S' = PQ': R'Sı, folglich PQ: RS —P'@!: R‘S', d.h. Theile von Parallelen in der einen Figur verhalten sich eben so, wie die entsprechenden Theile in der andern. ce. Den zwei in $. 145. und $. 146. gegebenen Er- klärungen der Affinität lässt sich noch eine sehr einfa- che dritte hinzufügen, welche auf dem eben bewiesenen ' Satze beruht, dass einander entsprechende Gerade durch einander entsprechende Punkte nach einerlei Verhältniss getheilt werden, - Zwei ebene Figuren sind sich hiernach affın, wenn in der einen Figur der geradlinige Abstand je zweier Punkte von der Geraden, die je zwei andere Punkte verbindet, in demselben Verhältnisse geschnitten wird, in welchem dies von den entsprechenden Geraden der andern Figur geschieht. Oder; denkt man sich je zwei Punkte einer jeden Figur durch Gerade verbunden, so müssen, wenn die Figuren affın heissen sollen, die Ver- hältnisse, nach welchen bei der einen Figur eine jede ‚dieser Geraden von den übrigen Geraden geschnitten _ wird, den auf dieselbe Weise in der andern Figur sich bildenden Verhältnissen gleich seyn, | Sind die Figuren einander ähnlich, so sind die Ver- hältnisse auch zwischen: solchen Abschnitten, welche. nicht Theile einer und derselben Geraden sind, in.bei- den Figuren einander gleich. Bei affinen Figuren sind also nur je zwei Reihen sich entsprechender Punkte, welche in zwei sich entsprechenden Geraden liegen, ähn- liche Systeme von Punkten, z. B. 4 22, N,C, und 4, M,Nt, C (Fig. 29). 200 8. 150, Es i ist nun nicht schwer, den Begriff der Affinität auch auf körperliche Figuren Bien So wie nämlich die Affinität ebener Figuren aus der bary- eentrischen Bestimmung von Punkten in einer Ebene hervorging, eben so wird die Affinität von Figuren.dreier Dimensionen, aus der barycentrischen Bestimmung von ' Punkten im. Raume abzuleiten seyn. Seyen demnach 4,B,C,D,E,... und 4,B‘,C',D',E',,.. zwei Systeme von Punkten im Rayme, so werden diese Systeme ein- ander aflın heissen, wenn ihre Punkte sich dergestalt entsprechen, 4 dem 4, B’ dem B, u.s. w., dass, wenn 4,B,C,D in dem einen und -4#, B’, C’, D‘ in dem andern zu F.punkten genommen werden, in den Ausdrücken je zweier anderer sich entsprechender Punkte die sich ent- sprechenden F.punkte gleiche Coäfficienten haben, z, B, E=aA+bB+eC+dD, E=a4 +bB'+oC’+dDr Ist also das System 4,2, C,D,E,... gegeben, und soll ein demselben affınes 4, 2°, C', D*, E*,... construirt werden, so nehme man die vier ersten Punkte 4, B/,C4, D* willkührlich, Um aber einen der übrigen, z.B. Z, zu finden, ziehe man die Gerade ZD, welche die F.chene ABC in Y schneide, und verbinde Y und € durch eine Gerade, welche die F.linie 43 in Z treffe. Man theile hierauf 43 in Z, CZ in Y und D’Yin & nach“ denselben Verhältnissen, nach welchen 43 in Z, CZi in Yund DYinä getheilt ist, und man hat 2° gefunden, ‚ $ ı51.. Seyen A,Q, 2,5, 7 beliebige fünf Punkte des einen Systens und 2, Q‘, R', 5%, 7° ‚die ihnen ent- sprechenden des andern, dass also, wenn P=p4 + gB +rC+sD, auch Pr=p4+gB'4rC+sD‘ ist, ms. W. Alsdann folgt eben so, wie in $. 145., dass, wenn man en P,Q,R,S zu F ‚punkten nimınt, ‚und in Bezug auf die- . selben T=#P+3Q+eR +08 ‚Ruipkc auch : an 201 +xQ’+eR’+aS seyn muss, dass folglich ($..26. e.) die fünf Pyramiden, welche sich aus irgend fünf Punkten des einen Systems, als Spitzen genommen, bilden las- sen, ihrem körperlichen Inhalte nach, in denselben V er- hältnissen zu einander stehen, wie die entsprechenden Pyramiden des andern Systems, Durch Verbindung und Zusammensetzung solcher Verhältnisse ergiebt sich dann weiter, dass überhaupt je zwei Pyramiden der einen Fi- gur, oder noch allgemeiner, — weil jeder begränzte körperliche Raum durch Diagonalehbenen in, Pyramiden zerlegt werden kann, — dass je zwei Räume der einen Figur dasselbe Verhältniss zu einander haben, als wie die entsprechenden Räume der andern. Und hierin be- steht das Wesen der Affinität bei körperlichen ‚Figuren; $. ı52, Man nehme D zum Anfangspunkte eines Coordinatensystems , und 24, DB, DC zu den drei Axen desselben, so sind die Coordinaten von 2 (8. 125, b,); p q ni EEE bene A = ——- , DB = p+atrte DIR Ar a a Ferds DBE Be Din ame und eben so in der affınen Figur, wenn man D14, DB’, D'C' zu den drei Axen nimmt, die Coordinaten von P; .DC; PR Dia. —_1 1: DB: ED DC: Pt." wie PTVU: ! Pt % folglich D! D —— Vo DI Y=TE N aa »] #40 Sind-also von den Punkten einer Figur im Raume, auf drei Axen bezogen, die Coordinaten gegeben, so lässt sich, ähnlicherweise wie in $. 146., eine affıne Fi- gur construiren, wenn man ein zweites System dreier Axen unter beliebigen ‘Winkeln bildet, und in diesem Systeme die Coordinaten jeder Axe den gegebenen Coor- 202 'dinaten der entsprechenden Axe, jeder Axe nach einem andern Verhältnisse, proportional macht. Da ferner je beliebige vierPunkte der einer Figur und die ihnen ent- sprechenden der andern zu F.punkten genommen werden können, und in Bezug auf dieselben je zwei andere sich entsprechende Punkte durch einerlei Co@fficienten ausge- drückt werden ($. 151.), so erhellet, dass auch bei kör- perlichen Figuren die Afänität sich nicht auf ein einzi- ges Axensystem beschränkt, sondern dass jedem belie- bigen Axensysteme für die eine Figur ein entsprechendes ; für die andere zukommt; N $. 158. Zusätze, a. Liegen drei Punkte der ei- nen Figur in einer Geraden, oder vier Punkte in einer Ebene, so sind auch die ihnen entsprechenden drei oder vier Punkte der andern Figur in einer Geraden oder Ebene enthalten. Einer Geraden entspricht daher eine Gerade, einer Ebene eine Ebene. Dies lässt sich durch ein ähnliches Verfahren , wie in $. ı48, bei Figuren in ' Ebenen, darthun, kann aber auch unmittelbar aus den allgemeinen Ausdrücken für Gerade und Ebenen (8-43. und $.49.) gefolgert werden, indem man darin für- 4A,..D nur #,..D* resp. zu setzen braucht, um die Ausdrücke für die entsprechenden Geraden und ae der andern Figur zu erhalten. sr Ueberhaupt leuchtet ein, dass alle Verhältnisse BR Eigenschaften einer. Figur, welche sich durch die Coif- ficienten der F.punkte ausdrücken lassen, in allen affi- nen- Figuren auf gleiche Art statt finden müssen. Wenn daher in einer Figur zwei Gerade einander parallel \ sind, oder sich schneiden ($. 48.), oder wenn zwei Ebe- ‚nen einander parallel sind ($. 53.), oder wenn drei Ebe- nen sich in’ derselben Geraden schneiden (8. 53.), u.8. w, . so werden auch in jeder affinen Figur die entsprechen- 203 den, Geraden sich entweder parallel seyn, oder sich schneiden? die ‚entsprechenden zwei Ebenen einander parallel seyn, u.s.w. Alle Verhältnisse dagegen , wel- che durch die Co@fhcienten der F.punkte nicht darge- stellt werden können, sind bei affinen Figuren von der einen zu der andern veränderlich; z.B. die Winkel ei- ner Figur, die Verhältnisse zwischen geraden Linien, welche einen Winkel mit einander bilden, die Verhält- nisse zwischen dem Inhalt ebener Figuren, die nicht in einer und. derselben Ebene oder‘ in parallelen Ebenen liegen, u, s. w, b. Wenn bei einem Systeme von Punkten. im Rau- me irgend vier ‚Punkte in einer Ebene liegen, so muss zwischen diesen allein schon eine Gleichung obwalten (8.24. d.), also dieselbe Gleichung auch zwischen den entsprechenden vier Punkten des affınen Sysiems beste- hen,- Zwischen den erstern und den letztern vier Punk- ten findet folglich auch die vorhin für Systeme in Ebe- nen erklärte Affinität statt, Auf gleiche Art werden bei Systemen im Raume auch je zwei sich entsprechende” Gerade durch die in ihnen liegenden sich entsprechenden Punkte nach einerlei Verhältnissen getheilt, Man kann hiernach für die Affinität körperlicher Figuren noch folgende Eigenschaften als Definitionen‘ aufstellen: dass, wenn je drei Punkte einer jeden Figur durch Ebenen verbunden werden, die ebenen Figuren, welche in je zwei ‘sich entsprechenden Ebenen von den Durchschnitten derselben mit den übrigen Ebenen ge- bildet werden, in der oben für affıne Figuren in Ebenen erklärten Beziehung stehen ; oder, dass jede der Gera- den, in denen je zwei Ebenen der einen Figur einander schneiden‘, von den übrigen Ebenen nach denselben Ver- 204 hältnissen geschnitten wird , nach ‚welchen dies ‚bei den entsprechenden Stücken der andern Figur geschieht. . $. 154. Was endlich noch die Affinität. bei Syste- men von Punkten anlangt, die in geraden Linien liegen, so werden die Systeme 4,3,.C und 4, 2‘, C’ einander affin seyn, wenn, C=#a4-+bB gesetzt, C= =a4' +bBi ist, also wenn. AC : CB = 4C!: CB‘, , Hier ist also die Affinität mit der 'Aehnlichkeit ganz 'einerlei. Vergleicht man damit die in $. 145. und $. ı51. ge- gebenen Erklärungen für die Affinität von Systemen in Ebenen und im Raume, so sieht man, dass, — auf gleiche Art, wie bei einem System im Raume die Theile des Raums; welche durch Verbindung je dreier Punkte durch Ebenen entstehen, und bei einem System in einer Ebene die Theile der Ebene, welche man durch Verbin- dung ‚je zweier Punkte durch Gerade erhält, — so auch bei einem System in einer Geraden die Theile derselben, in welche‘ sie durch die darin liegenden Punkte getheilt wird, sich eben so zu einander verhalten, wie die ent- sprechenden Theile des andern Systems, “ "Ueberhaupt also besteht das Eigenthümliche der Af- finität i in der Gleichheit aller Verhältnisse zwischen den sich entsprechenden Theilen des jedesmaligen Raumes, in welchem die Figuren enthalten sind, nicht auch derVerhält- nisse zwischen den sich entsprechenden Begränanagen der Theile, 8. 155, Eben so, wie wir durch die Construction gleicher und ähnlicher und bloss ähnlicher Figuren zu Sätzen geleitet wurden, nach welchen bei einem Systeme ‘von Punkten aus einer gewissen Anzahl von einander. un- abhängiger, durch die gegenseitige Lage der Punkte be- stimmtier Stücke alle übrigen Stücke des Systems gefun- 205 den werden konnten: so wird’ auch die Construction’ al: finer Figuren uns zu neuen Sätzen dieser Art hinführen. Hatte 'man ein System von z Punkten 4,B,C,D,... in einer Ebene, und söllte-ein demselben affınes System construirt werden, ‘so wurden: ($.145.) die: den ersten drei Punkten :4,. 2,.C. entsprechenden Pünkte. 452,0 nach Belieben genommen: ‚Um aber. für einen der übri- gen n—3 Punkte; z.B. für D, den entsprechenden D' zu finden, wurde, D! in der. Ebene 4 B’ C’ so bestimmt, dass die zweiVerhältnisse der Dreiecksflächen D’B1C". DC’ 4 und D’O4: Dr 4B* den Verhälthissen der entsprechenden Dreiecke DBC: DCA und DCA:DAB resp. gleich waren. In Allem wurden daher 2 (a3) Verhältnisse von Drei- ecksflächen des einen Systems eben so viel Verhältnissen des andern gleich gemacht, worauf dann erwiesenermassen auch alle andern Verhältnisse zwischen sich ‚entsprechen- den Flächentheilen beider ‚Figuren einander gleich seyn mussten. Von den erstern 2(#—3) Verhältnissen müs- sen folglich alle übrigen Verhältnisse zwischen den Flä- chentheilen des Systems “als Functionen darstellbar seyn: Also überhaupt: Sind bei einem: Sysi teme von » Biakıet in einer Ebene, von den gegenseitigen Ver- hältnissen der Flächentheile, welche durch geradlini geVerbindung je zweier Punkte des Systems en istehen, | i rgend an —6 von einan- der unabhängige gegeben, so kann man dar- aus alle übrigen Verhältnisse dieser Art finden. " Besteht das System nur atıs drei Punkten, 'so wird 2?—6=06, indem durch Verbindung von drei Punkten nur Eine Fläche, also noch kein Verhältniss zwischen Flächen bestimmt wird, ‚Bei Systemen von 4,5,6,7,8;:.. 206 Punkten werden 2,4,6,8, 10,... Verhältnisse als gegeben erfordert, Die Lösung der mancherler Aufgaben, welche die-' sem Sätze zulolge gebildet werden können, geschieht am bequemsten ‚mittelst «des barycentrischen Calculs. > Man nehme von den n Punkten 4,2,C, D,... ir gend drei, z.B. 4, B, c zu F.punkten, und setze die . n—3 übrigen Pimkte 2, Z,:.. auf erstere bezogen: dA+d4B4+C—(d+d+1)D, ed+eB+C=(e+e®+ı)E, us W Weil dabei der Coäfficient von C immer =ı gesetzt ist, so bezeichnen die 2(n-3) Buchstaben d,dye,::: nicht bloss in bestimmten Verhältnissen stehönde Zahlen, ‚sondern bestimmte Zahlen selbst. — Aus diesen Glei- chungen nun kann man durch successive Elimination der Punkte 4, 3 und C eine Gleichung zwischen je vier an- dern Punkten des Systems, (D, E, F, 6), ableiten ,. und hieraus nach $. 24. c. das Verhältniss je zweier Dreieck ke, die eine gemeinschaftliche Seite haben, (DEF: BF), durch d,d4e,... ausgedrückt finden. Durch Verbindung und EIER dieser Verhältnisse wird inan weis ter die 23 —6 gegebeneh Verhältnisse und ein (an — b)tes gesuchtes als Functionen von d,d,2,... darstellen kön« nen, und somit 22-5 Gleichungen erhalten, aus denen endlich nach Elimination der 2» — 6 Hülfsgrössen d,d4ey.. die Gleichung zwischen den gegebenen Verhältnissen und dem gesuchten hervorgeht. en $. 156, Zusatz, Ausser den er. wi schen Flächentheilen können die gegebenen und zu su chenden Stücke auch beliebige Functionen jener Verhält- nisse, seyn,, Dahin ‚gehören alle diejenigen Yorkälinisee 207 und.Bedingungen ; welche das System Mit jedem ılm af- finen Systeme gemein hat, also unter audern ‘die Ver- hältnisse zwischen den Theilen einer ‚und derselben Ge- raden ($. ‚148.)... Man denke sich nun die » Punkte i in einer gewissen Folge, und ‚verbinde hiernach den ersten Punkt mit dem zweiten, den zweiten mit dem dritten, etc, und den zten mit dem ersten durch geräde Linien, so erhält man ein System von #», von einander unabhängi- gen, Geraden, durch welche umgekehrt die anfänglichen rn Punkte bestimmt sind. Alle Verhältnisse folglich, nach denen jede der z Geraden von den n—ı übrigen ge- schnitten wird, werden sich finden lassen, wenn man ir- gend 2(r—3) dieser Verhältnisse ‚kennt, Da nun alle Verhältnisse zwischen den Abschnitten einer Geraden, welche durch n in derselben ‚liegende Punkte sich bilden; durch —2 ($. 143. e.),.und daher bei a— ı Punkten durch irgend »—3 von einander unabhängige Verhält- hisse bestimmt werden, so folgern wir: Sind bei einem Systeme gerader Linien in einer Ebene die Verhältnisse gegeben, nach denen vomirgend zweien dieser Geraden jede für sich von den jedesmal übrigen geschnit - ten wird, so können daraus die Verhältnisse zwischen den Abschnitten jeder andern Ge- £, ds raden des Systems?gefunden werden. auf Dass auch die hierunter begriffenen Aufgaben sich? nehüfle leicht mittelst des barycentrischen Calculs lösen a uf ER, ea sieht man von selbst. uw Inlan Ines IE gi Fi 8. 157. Beispiele. ı) AB, BC, CD,DA (Fig. 30) fi sind vier Gerade. in einer Ebene, von denen sich 43 und CD in Z, AD und BC in F schneiden. Aus den dadurch sich bildenden Verhältnissen 4E: EB==a in der ersten, und BF; F= b in der zweiten Sesaden, die x 208 Verhältnisse CE: ED—= x in der dritten; und DE. FA —=y in der 'vierten zu’ finden. Man see: At IBEC—A +d+0)D; so ist (8. 24. d): E=d4+d4B=(h +d+d)D—C, F=dB+C=(i+d+d)D—d4, mithin AB: EB=d: da, BF;FO=ı:d'=b, CE: ED=—(1 +d+d)=s, Di. FAa= ad: +d4+dıy. Hieraus folgt nach Elimination von d ind d: pc _ re aB met 4); ‚d.h. 5; 7BZE°’ DI EACH und + alt) d. h.— DET EB: TR® 2) Bei einem Systeme v. von fünf Punkten Ay. E in einer Ebene (Fig. 31.); aus den vier Verhälmissen von * Dreiecken, ER \ ABE: CDE=r,. ‚DAE: BCE=s; das‘ Verhältniss: DBE: ACK=i zu finden. Man setze: L. dä+dB+ Cd" D=o, a PR eA+eB+C—ed Emo, wo dU—i +d+d und e’— i tere Durch Elimina- tion von C und. 4 bekommt.man: _ WÄR U. (de) 44 (@= 0) B— npterB=e, u 4b ill IV. (de — ed) B+ (d- e)C+ edtD — de" E=0; Aus diesen vier ‚Gleichungen fliessen nun - Ai “ Proportionen: j ; BCD:CDA: DAB: ABc—d:—d: sa Pr e BCE: CEA:E4B=e:— et: ı, Inst 209. BDE:DEA:BAB=d— e:e —dı:—an, CDE: EBC= de‘ — ed! ; ed; und hieraus weiter: ‘ du ı) ABC: CDA=— =P 2) BCD:DAB=d=q, EAB EBC du » ARE: ODE ga DE ar DAE EB ed ZAB' BCE —Tegu 9 "DBE EAB e_4 ‚ 5) DBE:ACE= I. CE = z=t, 4) DAE: BCE = Es ist jetzt noch übrig, aus diesen fünf. Gleichun- gen die Hülfsgrössen d,d‘, e,e’ wegzuschaffen. Die Eli- mination von e und e’ aus 3), 4) und 5) giebt: 6) d?rs— W?rt 4 d?st— 1. Sodann ist nach >): d—g, und nach 1): —dp ar folglich dı RR ee ı+p’ du — en Diese Werthe für d,d',d“ in 6) sub- stituirt, erhält man das Resultat: ,Ga+m?(a— g?rs), — G+9N?(Ps—r)' 8. 158. Betrachten wir jetzt ein System von » Punk-; ten im Raume. Irgend vier Punkte dieses Systems. zu F.punkten genommen, ist jeder der übrigen n—4 Punkte, bestimmt durch die drei Verhältnisse, welche in seinem auf die erstern vier Punkte bezogenen Ausdrucke zwi- schen den Coäfücienten dieser Punkte statt finden, oder was dasselbe ist; durch die Verhältnisse zwischen den vier Pyramiden , deren Gründflächen die vier Seiten der 10) 210 F.pyramide, und deren gemeinschäftliche Spitze der zu bestimmende Punkt ist. Von diesen ‘Verhältnissen, de- ren Gesammtzahl hiernach 3(r— 4) beträgt, ist aber das gegenseitige Verhältniss je zweier anderer Pyramiden :oder körperlicher Figuren überhaupt, die durch Verbin- dung der Punkte des Systems durch Ebenen entstehen, eine abhängige Grösse ($.151,). Mithin nach der schon mehrmals angewendeten Schlussfolge: Wenn bei einem Systeme vonn Punkten im Raume je drei Punkte durch Ebenen ver- bunden werden, und von den Verhältnissen zwischen den durch diese Ebenen begränzten Theilen des Raums irgend 32— ı2 von einan- der unabhängige gegeben sind, so kann dar. aus jedes. andere Verhältniss dresnE Art ‚8%. funden werden. Bei einem Systeme von 5, 6, 7 8, ... Punkten im Raume werden also 3, 6, 9, ı2,.... "yolchel Verhält- nisse als gegeben erfordert. 8. ı5g. Zusatz. Heissen Bin n Brake dl Prag stems: 4,2, C,D,E, .....L,M,N..'Man verbinde sie in» der genannten Ordnung, und indem man auf N wieder Las 4 folgen lässt, je drei durch Ebenen, so erhält man ein System von > Hk: ABC, BCD, CDE, ... LMN, ’ MNA, NAB, durch welche hinwiederum die r erstern Punkte als die Durchschnitte je dreier auf einander fol- gender Ebenen dieser Reihe, das Ende derselben mit dem Anfang verbunden gedacht, bestimmt ‘werden. Es lassen sich 'aber" alle Verhältnisse finden, nach ‘denen die Durchschnittslinie irgend zweier Ebenen des Systems’ vön den n—.» übrigen Ebenen getheilt wird, wenh man’ irgend (r 3) 2 von einander unabhängige dieser Ver hältnisse .. (8. 143. ©). Da nun diese Verhältnisse G 211 zugleich Functionen der. vorhin gedachten . Verhältnisse: zwischen ‘den Theilen des Raumes sind ($..153. 2.), und: weil 3[(%—2) — 2] = 32 — ı2 ist, so ziehen wir den. Schluss: Kennt man bei einem Systeme von Ebenen die Verhältnisse, in denen von irgend drei, nicht in derselbenEbene enthaltenen, Durch- schnittslinien der Ebenen, jede dieser Li- nien von den jedesmal übrigen Ebenen ge- theilt wird, so kann man daraus alle übrigen Verhältnisse dieser Art, so wie auch die Ver- hältnisse zwischen den körperlichen, vo den Ebenen des Systems begränzten Figuren finden. » $. 160. Man sieht leicht, dass alle. ‚aus den Sätzen der beiden vorigen, s$. entspringenden Aufgaben, auf ähnliche Art, wiein $. 155, mittelst des ‚baryeentrischen, Calculs. gelöst. werden können. — Heissen, wie bisher, 4,B,Cy.... die n Punkte des ‚Systems und werde kdreBhetch De (te +e+ı)Z, VEN EDEUHIAPENEL I) u. Ss. w. gesetzt. Aus diesen n—%4 Gleichungen‘ (aha sich die gegebenen sowohl als- die gesuchten Verhältnisse in Wer. then der 3(a—4) Hülfsgrössen e,e’,e", f,... ausdrücken, und aus. den somit hervorgehenden ‘Gleichungen, nach Elimination jener Hülfsgrössen, die gesuchten Verhält- nisse als Functionen der 3r— ı2 gegebenen darstellen. “Um ein einfaches Beispiel hinsn so bestehe das System aus 5 Punkten-#4,...Z, (Fig. 33.) und seyen von den 4 Verhältnissen, in che die 4 Geraden 4£, BE,'CE, DE von den durch die jedesmal drei übrigen | O2 34% Punkte gelegten Ebenen geschnitten werden, 4E von BCD in 4',- BE von CDA in B*, etc., 3 Verhähhisse gegeben und das vierte gesucht. — Aus eA+eB4+e"C+D=:E, wo s=ete tet ı, folgt (8. 26. 4): 4 ZiE—eA, B= eE_eB, C= sE—e"C, Dr,’ mithin: feinen 4 b; ’ 1 eu DE ORDER EEE nie ligdı wodurch. die Aufgabe gelöst ist. — Man kann diese For- mel folgendergestalt in Worten ausdrücken: „. ;.,(« Verbindet man die vier Spitzen einer dreieriligen. Pyramide ABCD mit irgend einem fünften Punkte, E durch Gerade, so ist die Summe der V/ erhältnisse, in welchen in jeder dieser vier Linien AE,... die Enifernungen AE und 4A des fünften Bun kles ’E und der Pyramidenspitze A von dem Dirchschnilie e A mit der gegenüberliegenden Seite BCD der “Pyrä- mide zu einander stehen, der Einheit gleich. eine Verbindet man die drei Spitzen eines Dreiecks 4BC (Fig. 32.) mit;-irgend einem vierten\ in det Ebene des Dreiecks ‚befindlichen Punkte: D, und werden von diesen Linien AD,.BD, CD die. gegenüberliegenden . Seiten! des’ Dreiecks in; 4, B/, .C' pre: so findet «sich. ‚auf: gleiche Ark: RT | I (a WE DD ans AD BD. ös liımoe ob „uk bay EA ‚BB BAR on to isst AD» BD DEE N - oder n h et fach = ; 6 Ki Mr viear, db ac er: ( #2 Hz BB E 52 BE mn an An TE Viertes Capitel: ‘Von der’ Gleichheit. $. ı61. Zuwei Dreiecke pflegt man einander gleich |zu nennen, wenn sie einerlei Flächeninhalt haben. In eben: dem Sinne nennt man ein Dreieck einem Vierecke, oder einem Kreise, und überhaupt zwei begränzte ebene Fi- guren einander gleich, ohne dabei für die begränzenden Linien selbst eine andere Rücksicht gelten zu lassen, als dass sie gleiche Flächen einschliessen. Gegenwärtig aber will. ich Gleichheit der Figuren in einer engern Bedeu- tung nehmen, und diesen Ausdruck nur dann anwenden, wenn die Figuren nicht bloss im Ganzen, sondern auch in allen ihren einzelnen Theilen dem Flächeninhalte nach einander gleich sind; oder deutlicher: Zwei ebene Figuren oder zwei Systeme von Punkten in Ebenen heissen einander gleich, wenn jedem Punkte des einen Systems ein Punkt des andern auf eine solche Weise entspricht, dass je zwei geradlinige Figuren, de- ren Spitzen sich entsprechende Frese sind, einerlei Flä- cheninhalt haben. Nach dieser. Erklärung wird also das Viereck ABCD dem Viereck 42‘C’D* gleich heissen, wenn nicht nur diese Vierecke selbst, sondern auch die in ihnen begrif- fenen, sich entsprechenden Dreiecke ABC und _4B’C', BCD und 3°C'D’, etc. dem F lächeninhalte nach einander BIO ‚sind. 214 Dass. ein solches Verhalten bei Figuren, welche ein- ander gleich und ähnlich sind ($. 139.), immer statt fin- de, bedarf keiner Erörterung. Dass aber diese Gleich- heit auch ohne Aehnlichkeit vorhanden seyn könne, er- hellet aus der eben vorgetragenen Lehre von der Affinität. Denn setzen wir, dass bei zwei affınen Figuren in Ebe- nen irgend zwei sich entsprechende; Flächentheile einan- der gleich sind, so müssen ($. 145.) auch je zwei an- dere sich entsprechende Flächentheile in dem Verhält- nisse der Gleichheit stehen. 8. 162. Auf dieselbe Art wie bei ebenen Figuren, wird nun ferner auch bei Figuren im Raume der Be- }. griff der Gleichheit aus dem der Affinität hervorgehen. Ist nämlich das constante Verhältniss, welches bei zwei ‚affinen körperlichen Figuren zwischen je zwei sich ent- sprechenden körperlichen Theilen derselben obwalten muss, der Einheit gleich, so werden wir die Figuren “selbst einander gleich nennen; oder: zwischen zwei Sy- stenen von Punkten im Raume findet Gleichheit statt, wenn jedem Punkte. des einen Systems ein Punkt des andern solchergestalt entspricht , dass je zwei Theile des Raums, deren begrenzende Ebenen durch sich entspre- chende Punkte bestimmt werden, einerlei Inhalt haben. — So sind .z. B. die zwei Systeme von fünf Punkten im . Raume: 4,3,C,D,E und 4,...Z’ einander gleich, wenn die Pyramiden 4BCD und 4B:C'D', BCDE und B'..E/ CDEA und (*.. 4, etc. rücksichtlich ihres Inhalts sich . paarweise gleich sind. i = Bei Systemen von Pünkten endlich, die in geraden "Linien liegen, fällt die Gleichheit mit' der Gleichheit und Achnlichkeit zusammen, eben so wie die Affınität zweier solcher. Systeme mit der Aechnlichkeit (8. 154). 215 8:.163. Zusätze. .@.,So wie vorhin der Begriff der Gleichheit aus dem der Affinität abgeleitet wurde, so lässt sich auch umgekehrt. die Affinität. durch die Gleichheit erklären. Ist nämlich von drei Figuren die erste der zweiten gleich, und die zweite der dritten ähn- lich, so ist die erste der dritten affın. “5, Die Gleichheit ist eine eben so specielle Art von der Affinität, als die Gleichheit und Achnlichkeit von der Aehnlichkeit allein. Bei zwei affinen oder ähnlichen Figuren stehen je ‚zwei sich entsprechende Stücke von gewisser Beschaffenheit in einem constanten aber unbe- stimmten Verhältnisse, dahingegen bei zwei bloss glei- chen oder gleichen und ähnlichen Figuren dieses con- stante Verhältniss.geradezu der Einheit gleich ist. Al- les.was in $. 148., $. 152. und $. 153. von der Affinität, als der allgemeinern Art von Verwandischaft, gesagt worden ist, muss daher auch von der Gleichheit gelten. $. 164. ‚Ist ein System von n Punkten 4,8,C,D,... in einer Ebene gegeben, und soll ein. ihm gleiches 4', B',C',D',... construirt werden, so nehme man die Punkte 4,2* willkührlich ; der Ort von C* ist alsdann eine Gerade, die mit 42° in einem solchen Abstande parallel läuft, dass .die Dreiecksflächen 43°C’ und ABC einander gleich sind. 'In- Betgeff der übrigen Punkte D', E',... verfahre man eben so, wie in $. ı45. gelehrt wurde. Hier wird also nächst den bei der Affinität (8. 155.) erforderlichen 2”—6 von einander unabhängigen Verhält- nissen.ein Flächentheil selbst noch als gegeben verlangt, und dadurch jeder andere Flächentheil der Figur be- stimmt. Denken wir uns nun jedes der 2u—6 Verhält- . SERT 216 nisse als bestehend zwischen diesem gegebenen Flächen- theile und einem von a” —6 andern Flächentheilen, die von einander und von dem gegebenen unabhängig sind, 'so sind mit diesen a2—6 Verhältnissen zugleich auch die aa—6 andern Flächentheile, also in Allem 22 — 5 Flächentheile gegeben, und wir erhalten somit folgenden Satz: Wenn man bei einem Systeme von » Punk- ten in einer Ebene je zwei derselben durch Gerade verbindet und von den somit entste- henden geradlinigen Figuren irgend an—5 von einander unabhängige ihrem Inhalte nach als gegeben annimmt, so kann man dar- aus den Inhalt jeder der übrigen finden. Besteht also das System aus 4 Punkten, so müssen 3 Figuren gegeben seyn; bei 5 Punkten werden 5 Figu- - ren, bei 6 Punkten 7 Figuren, etc. als gegeben verlangt, um daraus die übrigen bestimmen zu können. . 8. ı65. Beispiele. ı) Seyen in demSysieme der vier Punkte 4,2,C,D (Fig. 32.) die drei Dreiecke „. BCD=a, C4D—d, ABD=e gegeben, so ist ($. 18. e. IL): I, ABC=a+b+o. Sind ferner 4',B',C' die Durchschnitte der Geraden AD und BC, BD und C4, CD und AB, so verhält sich AC'; AB= AC'D: ABD= 40'C:. ABC (8. 18. b): —=(40°C—ACD=ADC) : (4BC— ABD), d. i. ACUD:e=AlC:a+b+ce—=b:a+b, h 3 N 2 b(a+b+e) folglich II. AC!'D = ar ’ III. AUC= TarB: „und _ be __ elatbte) eben so DB'A= zi78 BBA= Tao 1, DB ENTE a+b’. 1 — — 217 Man gehe noch weiter und ziehe die Geraden 2C”, CA, 4'B', so kann man auch die hiermit entstehenden neuen Dreiecke durch a, 5, e ausdrücken. — Es verhält sich: ö a A (4182 = ie) B AcıB! mithin ” IV. On tler (e+a) (a+) " Sodann ist: ABD: ADB'— BD: DB'— CBD:C'DB', : be ran ne v 4 d.i,. ec: re =: : C'DB!, also be VB r (e+a) (a+6) =m(b-++-c),. wenn wir die symmetrische Fünction b Nr)" setzen. Eben so ist C4’.D—m(c+a), AB D=m(a+b), folglich 42/0 = B’CD + CAD +-11B'’D=am (a+b-++e), d.i. Be RT. u Gro)CeFe)(a+D) Werde noch verlangt, aus den drei Dreiecken CBA=p, ACB=g, BAC—r das Dreieck 4B’C'—=x zu bestimmen. — Nach IV. ist — bela+b+e) __ ea(a+b+e) pP: T+a)@f)’ und eben so g= CHEF), _ ab(a+d+e) aabe (a+b+e) (b+o)(lcta)’ nn VI. aber «= Grolctejah) Hieraus folgt ganz: leicht: pgr—=4r2 (a+5+c). Zugleich aber ist p+g-+r+r = 4ABC=a+b+c; ‚mithin. pgr —=JF22(p+g+r+x), so dass man, um x zu finden, .die kubische Gleichung zu lösen hat: a a ae N 218 2) Beliebige fünf Punkte 4,2, C,D,E (Fig. 34.) in einer ‘Ebene sind je‘zwei durch gerade Linien verbun- den. - Aus den Flächen der somit entstehenden fünf Dreiecke EAB=a, ABC=b, BCD=c, CDE—=d, DEA=e. die Fläche des Fünfecks 4BCDE=—x zu findeh. — Man setze, wie in &. ı57, a.: SA+IB+O—=B4D eA+EB+C=dE und daher (d— )AdA+(# — e) B=84D—s"E, ‘Hieraus folgt: ı) CD4:DAB=—%, 2) ABC: DAB=$!", 3) CEA:EAB=—v, 4) DEA:EAB=(#—): 8, "und wenn man in 4) die Werthe von &%, 8,6 aus ı), 2), 3) substituirt: 5) ABC.DEA+-EAB.CDA= —CBA. DAB. Nun ist der gewählten Bezeichnung, zufolge und mit Hinblick auf die Figur: 43C=b, DEA—=e, EAB=a, CD4d=x—b—e, CEd=ı:—b—d, DAB=x—c—e. Hierdurch wird die Gleichung 5): be+a@b— )=(—b—d)(e—e—e), und nach gehöriger Reduction : x? —(a+b+o+d+te)atab+be+ed+detes=o, wonach also der Aufgabe, wenn diese Gleichung mögli- che Wurzeln hat, im Allgemeinen zwei verschiedene Werthe für die Fünfecksfläche Genüge leisten. Hat man diese Werthe berechnet, so kann nun für den ei- ‘nen oder den andern‘ das Fünfeck ABCDE elbagal ‘folgende Weise construirt werden. Man nehme 4 und 2 willkührlich und EN mit AB in einem Abstande =5:34B (= ABC:34B) eine Paral- 3] \ 249 GG lele, in welcher man'C nach Belieben bestimme. Man ziehe ferner mit 4B eine, Parallele in dem Abstande x—c—e:24B (=4BD: »4B), und mit BC eine Paral- lele in dem Abstande e: aBC (=Bcp: :3BC), so wird D der Durchschnitt dieser zwei Parallelen: seyn. Nur bemerke man, dass erstere, (letztere) Parallele mit C, (4) auf einerlei Seite von 43, (BC) oder auf der entgegengesetz- ten liegen muss, je nachdem #—0—e, (c) mit.b einer- lei oder verschiedene Vorzeichen hat. Auf dieselbe Art wie D, kann nun auch Z mittelst der ihrem Inhalte nach gegebenen Dreiecke ABE=a und BCE=x—a—d ge- funden werden. Anmerkung. Das Fünfeck ABCDE in Fig. 54. ist von der Be- schaffenheit, dass der Perimeter desselben, ohne sich selbst zu schneiden, in sich zurückkehrt. Man sieht aber bald, dass man bei der eben gelehrten Construction sehr oft auch solche Fünfecke bekommen wird, deren Perimeter Doppelpunkte,- Durchschnitts- punkte mit sich selbst, enthält, (Von.dieser Form sind die Fünf- ecke in Fig.55. mit einem, in Fig. 56. mit zwei, in Fig.57. mit drei, in Fig. 58. mit fünf Doppelpunkten.) Aus dem Vorigen ist; leicht abzunehmen, was man unter dem Inhalte eines solchen Fünfecks zu verstehen hat. Immer nämlich werden die Formeln mit der Construction in Uebereinstimmung seyn, wenn man die Fläche des Fünfecks ABCDE als die Summe’ der Dreiecke DEA--DAB -FDBC oder EAB-+ EBC 4 ECD, etc., mit gehöriger Berück- sichtigung der Vorzeichen dieser Dreiecke ($. 17.), definirt. Däss diese Summen, von denen die eine ‘aus der andern durch Verwandlung der Buchstaben in die nächst höhern entspringt, bei einem und demselben Fünfecke dessen Flächeninhalte gleich, und folglich auch unter einander gleich sind, begreift man bei einem Fünfecke, dessen Perimeter von einer Geraden in nicht mehr, als zwei Punkten geschnitten werden kann, ohne weitere Erörterung. | Ist aber das Fünfeck von nicht so einfacher Form, so bedarf die Gleichheit jener Summen eines Beweises, der sich folgendergestalt führen lässt. Zuerst behaupte ich, dass die«Summe der fünf Dreiecke G) Z=PAB-+-PBCH+-PCD--PDE-+-PEA immer dieselbe bleibt, wo auch der Punkt P in der Ebene der fünf Punkte A,...E genommen werden mag. Denn, weil PCA ++ PAC=o und PDA PAD=o, ($. 18. a.), so hat man! auch 220 @) Z=PAB+PBCHPCA. +PAC+ PCD4 PDA +-PAD+ PDE+ PEA. Nun ist nach $. 18. c. PAB+PBC+PCA— ABC, und eben so die Summe der drei folgenden Glieder = ACD, und die Sum- ıne' der drei leizteu =4ADE, folglich 13:56 4 6) 2=4B0+ACD+ ADB" here und daher 2 unabhängig von der Lage des "Punktes P. Dieser ünveränderliche Werth von I muss daher auch: statt finden, wenn man in (1) P mit einem der fünf Punkte selbst/identisch annimmt. Iu der That, lässt man P mit A zusammenfallen, so werden die Dreiecke PAB und PEA null, und 2 reducirt sich auf den letzt- erhaltenen Ausdruck (3). Nimmt man aber P.mit D oder E iden- tisch, so kommen die vorhin gedachten Summen DEA-.., EAB-+-... Von welcher Gestalt daher auch das Fünfecck ABCDE seyn mag, so haben diese, Summen doch einerlei Werth unter sich, einen Werth, ‚der, wenn der Perimeter keine Doppelpunkte hat,, der Flächeninhalt des Fünfecks ist, und der folglich, wenn ınan die Untersuchung ‚auf Fünfecke mit Doppelpunkten ausdehnt, als der Iohalt auch dieser ‚Figuren anzusehen ist. Man siebt leicht, . ‘wie diese Betrachtungen sich yeisiiuanienen lassen, so dass überhaupt bei einem » Ecke AB.. “MN die Sum- ıne der Dreiecksflächen F ri r5c+... ran PHASE von der Lage des Punktes P ganz unabhängig ist und zugleich den Flächeninhalt des Vielecks vorstellt, von welcher Form dieses auch seyn mag. ar 35 113 2 . 8. 166. Zusätze, Die im letzten rn gefun- dene Relation: u u ABC,DEA+EAB.CDA= CEA. DAB ei lässt sich folgendergestalt aussprechen: Von sechs Dreiecken in einer Ebene, Be“ eine gemeinschaftliche Spitze (A) und die vier Seiten und zwei Diagonalen eines Vierecks (BCDE) zu Grund. linien haben, ist die-Summe der zwei Producte aus ‚den Dreiecken über den gegenäberliegenden ‚Seiten 221 (BC und DE; BE und..CD) gleich dem. Producteaus- den Dreiecken‘über:den Diagonalen. ‘(BD und. CE).*y, b.. Schreibt "man 'die ‚sechs"Dreiecke so, dass lin! jedem der erste Buchstabe wird, »und'.bringt. alle Glie- der auf eine Seite, so kommt ($. 18. a.): Ber? ACD-+ ACE.ADB+ADE.ABC=o, eine Formel; deren ‚Symmetrie rücksichtlich- wi E' “und BCD in die Aügen’ BERLTD Ame hmmg sen, ruht mi e. Es’ verdient diese Relation noch "nm ’deswillen' eine besondere Aufmerksamkeit, weil’mittelst derselben‘ _ allein alle Aufgaben, wo bei-einem Systeme von’ » Punk-> ten .A,...N im einer Ebene’ aus an5 Figuren eine’ (2r—4)te gefunden werden‘ soll, >öhnie weiteres gelöse" werden können. — Man ’’setze das’ Dreieck ABC=ü, die'n—3 Dreiecke ABD, ABE) ABP,.. ‚resp. —d, fin, und die de Dreiecke ACD,'ACE, ACH, . resp. 3 0 lässt sich mittelst dieser an —5' Vidicke a,d, d',e,.. og andere "Dreieck des’ Systems , welches’ A zur Sof hat, z.B. AEH, bestimmen. Denn’ber dem Vierecke BCEH sind a, emeh h' die Dreiecke ‘über den Seiten und Diagonalen BC, BE, BH,CE,CH, woraus —=d, el} & . sich dann nach” dem obigen 'Satze ‘das Dreieck’ 4EM über der Seite ZZ finden lässt. Da nun die Fläche je- der gerädlinigen Figur in der Ebene des Systems, "durch | Verbindung der Spitzen der Figur mit A, einem: Aggres | \ gate von Dreiecken gleich zw ächten ist,’ welche A zur \ gemeinschaftlichen Spitze haben, ‘so kann man jede der 5 an—5 gern und die’ (an —p)te "Figur ale *) Man wird "sich hierbei des der Form ach sehr ähnlichen. Satzes erinnern, dass, wenn um ein ee ag ein Be beschrie- ben werden kann,” ' BC. PerrRuads CD=BD, CR ist; At as 222 von a,d,d‘,e,... ausdrücken, und aus den somit sich bil- denden ar—4 Gleichungen durch Elimination jener 22—5 Hülfsgrössen a,d,... den Inhalt der gesuchten Figur in Werthen der Se Figuren finden. $&: 167.. Ist ein; Zu von ai A,B,GD;-.-, im Raume gegeben, und soll ein ihm, gleiches 4 .BuC, Di... eonstruirt: werden, so nehme man; die drei ersten Punkte, 4, B', C‘ nach, Willkühr und den ‚vierten D’ in einer Ebene, welche. mit 4’B4C' in einem solchen Ab- stande ‚parallel läuft, dass. eine Pyramide, welche in der Ebene ihre Spitze und 42’C’ zur Grundfläche hat, der Ei ABCD gleich ist. Jeder der übrigen. Punkte E,.,.. wird hierauf eben so, wie in.$. 150. ‚bei Construc- tion eines affınen Systems ‚gefunden, $. 168. _Erwiesenermassen kann man bei einem 1 Sy- steme,von r Punkten, im Raume aus irgend I3n—ıa von einander: unabhängigen Verhältnissen zwischen körperli- lichen 'Theilen alle übrigen Verhältnisse, von derselben Art ableiten. -Nun werden zur, Bildung von 3n—ı2 von einander unabhängigen Verhältnissen, wenigstens In—ır von einander unabhängige. Grössen erfordert, ‚Sind da- her .die Verhältnisse zwischen 3» — ıx von Pinander un- abhängigen "heilen ‚gegeben , |so kann, ‚man. daraus, die Verhältnisse derselben zu den übrigen, Theilen, N und mit- hin, „wenn, überdiess ‚von ‚einem der, 3n — ar, Theile ‚der Inhalt, selbst gegeben ‚ist, „den. Inhalt, jedes, andern fin- den. — Wir erhalten hierdurch folgenden, auf die Na- tur der Gleichheit wre Figuren BESRednEN Satz: Er Werden bei einem Pe vonn ‚Punk- ten im Raume je drei derselben, durch Ebe- 223 nen verbunden, und sınd' von den somit ent stehenden Theilen des Raumes irgend 3r—ız voneinanderunabhängige ihrem Inhalte nach gegeben, so kann:man: daraus den Inhalt je- des der übrigen bestimmen. 8.169: Beispiel: Bestehe das System aus 5 PR ten: A,B,C,D,E,; und: seyen' die 3.5— 114 Pyramiden, EBCD, ECD.A,, ED.AB,:EABC gegeben, welche. E ‚zur, gemeinschaftlichen Spitze, und.die: Seiten. ‚der Pyramide ABED zu Grundflächen haben ‚\ ihrem Inhalte ‚nach ge- geben. Die Seiten BCD, CD-A,...dieser-Pyrämide ‚wer& den von den Geraden, : welche die, gegenüberliegenden Spitzen A, B,.. mit-E\verbindem,, resp. in „4,B',C/,D' geschnitten; mam verlangt ‚den: Inhalt, der ee AB'CD:' (Fig. 33.) — Fa Man‘ setze BEDE==a, "CDEA=b, DEAB=«, EABO—d, und a4 24044 Anh (8. %- "a a, ah so ist.($- 26.64) @4A+bB+eCHdD=eH, Ki folglich (8.26. d.) eE—aA=(e— a) A,..-, eE-B=(—b))B, “ eE— Pe (e—.)C, 3 eE—- dD=(e—d)D‘, und, wenn man diese Rünf Gleichungen addirt: EE=(e— a) A+(@—)B+LC—0C+L-d)D. Hiernach verhält sich (8. 20. 5): FR EABC: EABC = BA: EA=e—a:—a, EA'BC: EABC = EB: :EB=e—b: b, EABC:EABO = EC:EO Zeäc:—e, EABO:ABOD= ma: 130, (8 5) folglich RN EABC: u do (ed) : abe, : 224 und weil EABC=d,. und wenn man für « wieder «+ +c+d schreibt: y ea Zabed (a+b-Fc+d) Dit $. 170. Statt mehrerer Beispiele will ich zwei Re- lationen zwischen Pyramiden noch mittheilen, welche für die'hierher gehörigen Aufgaben von demselben Nutzen’ seyn werden, ' als es für ebene Figuren‘ die Relation in 8.166. zwischen Dreiecken war. ‚ Seyen A,B,C,D,E,F, G beliebige sieben Banks im Raume. Die vier ersten zu F.punkten (genommen, ER = Ausdrücke der ‚drei letzten: A+bBH+eC+adD=eH,. dert aAHEGB+eCHdUDfF, 26% a" A+b"B+c"C+ di D—gG. i Man eliminire aus den zwei ersten. dieser Gleichun- gen zuerst A und sodann B, so kommt: (ab'—a'b) B— (ea'— ca) C+(ad— —ad)D+@eE— afF=o, (ab'—a'b) d— (bee—bre)C + (b’d—bd') D —beE + GE _ ©. Mithin verhält sich: CDEF: DEFB — ab! _ ab: — (ca! — e’a) CDEF: DEFA=ab'— ab: — (be — be), folglich, weil ($. 20. «.) DEFB= —_, BDEF, DEF4 | —=— ADEF, Bi ER „ADEF: BDEF: CDEF= be — be: :0a' — dla: ha" auch verhält sich zufolge des” Ausdrucks. für BE: a:b:c==BCDE: CDEA:DEAB Bi —BCDE: CADE: ABDE. . nn Ga KR Da nun immer a (be'—bie) +5 (ea—e'a) +e(ab'—a’b) ==0, so bekommt man folgende zwischen „ABC, > a F ganz, symmetrische ‚Kormel: BEE TEN ABCD = 225 I. ADEF,BCDELBDEF, CADE +CDEF. ABDE=o; Schreibt man sie unter der Gestalt: AFDE.BCDE+ ABDE. CFDE= ACDE. BFDE, sö kann man sie folgendermassen in Worte fassen: Von sechs dreiseitigen Pyramiden, welche eine gemeinschaftliche Kante (DE) und die vier Seiten . und zwei Diagonalen eines, im Allgemeinen nicht in einer Ebene liegenden, Vierecks (ABCF) zu den, der . gemeinschaftlichen Kante gegenüberstehenden, Kan- ten haben, ist die Summe der zwei Producte aus den Pyramiden über den -gegenüberliegenden Seiten des Vierecks gleich dem Producte aus den Pyramiden über den Diagonalen; — ein Satz, der dem in 8. 166. Zus, für Dreiecke aufgestellten, wie man sieht, völlig ana- log ist. Fer $. 171. Eine zweite Relation dieser Art ergiebt sich, wenn man aus den obigen Ausdrücken für Z, F und 6 zwei’ F.punkte immer zugleich eliminirt, Es Iässe sich aber diese Rechnung durch dasselbe Mittel, dessen’ wir uns in $.50. @. in einem ganz ähnlichen Falle beÄ dienten, ‚sehr vereinfachen. Sind nämlich » und » zwei von einander unabhängige Veränderliche, und haben py Hr,8, 0, ß,y,ö dieselbe Bedeutung, wie dort, dassalsol auch: - ar ep+ Bat rr+ös=o ist, so kommt, wenn man die Ausdrücke für E,F,G resp. mit 1,»,» multiplicirt-und hierauf addirt: \ pd+gB+rC+sD=eE+fP +wgG; Bestimmt man nun v und w erstlich so, dass p und 4 zugleich =o werden, so erhält man: vrlo=o, rC4+5D=eE— Vf FmwgG=o; N ‘ y 226 folglich $:—y=r:s=DEFG: EFGC, oder CEFG :DEFG=y:B,. . Lässt man auf gleiche Weise qg und r, und hierauf r und s zugleich =o werden, so findet sich, Alles zu- sammengenommen: AEFG: BEFG: CEFG: DEFG=a: B:y:b. Sodann verhält sich vermöge des Ausdrucks für @: BCDG:— CDAG: DABG »— ABCOG —= alt: bite" de, Es war aber nach 8. 5o.: 04080 SPORE tolglich:: U. 4JEFG,BCDG — BEFG.CDAG + CEFG.DABG — DEFG.ABCG=o, eine Relation zwischen acht Pyramiden bei einem Syste- me von sieben Punkten im Raume. — Die vier Pyra- miden, welche in jedem der vier Producte zuerst stehen, haben das Dreieck Z7G zur gemeinschäftlichen Grund- fläche und die Punkte 4A,B,C,_D der Reihe nach zu Spitzen. Von den vier andern Pyramiden sind die Sei- ten der Pyramide 4BCD die Grundllächen und € die gemeinschaftliche Spitze. “ Nimmt man an, dass die sechs Punkte 4,... Fb in. einer Ebene liegen, so sind die Pyramiden ihren in diese Ebene fallenden Seiten proportional. Bei einem Syste-- me von sechs Punkten in einer Ebene muss folglich seyn: AEF.BCD— BEF.CDA4 CEF.DAB-_DEF. ABC—o, eine Relation zwischen acht Dreiecken, zu der man auch unmittelbar gekommen seyn würde, hätte man in ir been Gleichungen für G, Null gesetzt. 227 r Von der Affinität und Gleichheit er ‚Linien. und Flächen. 8. 172. Da in diesem sowohl, als dem vorigen Ca- pitel nur Systeme von geraden Linien und Ebenen be- trachtet worden sind, so bleibt .noch übrig, auch über Curven und krumme Flächen, insofern sie in den jetzt erörterten Beziehungen zu einander stehen, Einiges hin- zuzufügen. Einer Curve in einer Ebene, p4+g9B+rC, ist eine andere, p4’+gB'+rC', affın, wenn in beider Ausdrük- ken die Coefficienten p, 9, * dieselben Functionen einer Veränderlichen bedeuten. Haben überdies die Dreiecke ABC und 4B’C' gleichen Inhalt, so sind die Curven einander! "gleich. Giebt man der Veränderlichen in bei- den Ausdrücken einen und denselben Werth, so erhält man sich entsprechende Punkte der Curven. Auch wer- den die an entsprechende Punkte der Curven gezogenen Tangenten sich entsprechende Gerade seyn (8. 153. a.). Je zwei in oder um die affınen Curven beschriebene Vielecke, deren Spitzen oder Berührungspunkte sich ent- sprechende Punkte in derselben Folge sind, stehen mit- hin in dem Verhältnisse der Dreiecke ABC: 4B'O, Da ferner jeder Bogen als zusammengesetzt aus unendlich vielen und unendlich kleinen Geraden angeschen werden kann, so werden auch die von sich entsprechenden Seh- nen abgeschnittenen Segmente, so wie die Flächen, wel- che von sich entsprechenden Bögen und den an die End- punkte derselben gelegten Tangenten begrenzt werden, folglich auch die von den Curven selbst eingeschlossenen Flächen, wenn anders die Curven in sich zurücklaufen, + sich wie 4BC:.4.B'C verhalten, also bei gleichen Cur- ven einander an seyi Pa ’ 228 &. 173. Sind zwei affıne Curven gegeben, so ist in der Regel mit jedem Punkte der einen Linie auch der entsprechende Punkt in der andern gegeben. Eine Aus- nahme hiervon machen die Kegelschnitte, wo das erste Paar sich. entsprechender Punkte nach Belieben gewählt werden kann. Man habe z.B. zwei Ellipsen. Nimmt man in je= der derselben zwei zusammengehörige Halbmesser C4 und CZ, 4 und CB’ zu den F.seiten, so sind die Ausdrücke dieser Curven: 20.4+(1— v2) B—ar(ı—r) C und av.4'+(1— vr?) P— ar (1—r)C ($. 130. 4.)- Je zwei Ellipsen sind folglich einander affın, können aber, weil 4’ durch 4 nicht bestimmt wird, sondern der Will- kühr überlassen bleibt, auf unzählige Weisen als affıne Figuren mit einander verglichen werden. Dabei verhal- ten sich je zwei einander entsprechende Flächentheile, folglich auch die ganzen Ellipsenflächen, wie die Dreiecke. ABC und 4B'C', Diese Dreiecke müssen folglich zu den Ellipsenflächen selbst in einem constanten Verhält- nisse stehen, wie auch die zusammengehörigen Halb- messer genommen werden mögen; folglich in constantem Verhältnisse aucb die Vierfachen dieser Dreiecke; wel- ches den bekannten Satz giebt, dass in einer Ellipse alle Parallelogramme, deren Diagonalen zwei susam- _ ‚mengehörige Durchmesser sind, gleiche Grösse haben. Sind die Dreiecke ABC und 43°C" einander gleich, so sind es auch die Ellipsen und begrenzen gleiche Flä- chen; und umgekehrt ist jede einer Ellipse gleiche Fi= gur eine Ellipse, welche mit der erstern gleichen In- halt hat. EN Auf eben die Art folgt aus dem von ‚unbestimmten ' Constanten freien Ausdrucke für die Hyperbel: —au4 +42) 24271) C ($. 134.2), wobei ‚CB ein 229 reeller und C4 der zugehörige imaginäre Halbmesser - ist, dass je zwei Hyperbeln auf unendlich viele Weisen als einander affine Figuren sich betrachten lassen, und dass jede einer Hyperbel affıne oder gleiche Figur eben- falls eine Hyperbel ist. Dasselbe wird endlich auch für die Parabel gelten: Aber noch mehr: bei zwei Parabeln kann nicht nnr das erste, sondern auch das zweite Paar sich entsprechender Punkte nach Willkühr genommen werden. Denn seyen 4 und C irgend zwei Punkte der einen Parabel. Man ziehe an dieselbe in 4 und € zwei Tangenten, welche sich in 3 schneiden, so ist, 4, 3, C zu F.punkten ge- nommen, der Ausdruck der Curve, als eines Kegel- schnitts, welcher in 4 und C von 43 und C2 berührt ‚ wird: @440B+»2C (8.64. 3.). Weil aber bei der Pa- rabel die Summe der Coäfficienten ein Quadrat ist, so muss &= # seyn, und folglich der Ausdruck: 44+..B +v2C, — Auf gleiche Art seyen 4 und C* zwei belie- bige Punkte der andern Parabel und 3° der Durchschnitt der zwei in diesen Punkten an die Curve gezogenen Tangenten, so ist 44’+rB'+»2C' der Ausdruck dieser zweiten Parabel. Lässt man nun 4 dem 4 und C dem C entsprechen, so geben die beiden Ausdrücke alle an- dern Paare sich entsprechender Punkte, und je zwei sich entsprechende Flächentheile werden sich wie ABC zu . AB'C' verhalten. ; Statt dass also bei zwei Ellipsen oder Hyperbeln mit diesen Curven’selbst auch das Verhältniss ihrer sich entsprechenden Flächentheile gegeben ist, bleibt hier dieses Verhältniss durchaus unbestimmt ‚ indem mit der verschiedenen Annahme .der ganz beliebig zu wählenden Punkte 4 und €’ auch das Verhältniss der Dreiecke ABC und 4#B‘C' sich ändert. Je zwei Parabeln lassen "230 sich daher auch als einander gleiche Figuren betrachten, wenn man nur, was auf unzählige Weisen möglich ist, die Punkte 4 und C* so bestimmt, dass jene Dreiecke gleichen Inhalt bekommen. $. 174. Es lassen sich aus dieser Eigenthümlichkeit der Parabeln mehrere sehr mekeladige Folgerungen ab- leiten. ı) Ist ABC—=4'B’C! (Fig. 39. . so sind auch die parabolischen Segmente über 4C und 4°C’ einander gleich. Jedes parabolische Segment muss folglich zu dem Dreiecke, welches von der Sehne und den an die Endpunkte der- selben gelegten Tangenten gebildet wird, in einem con- stanten Verhältnisse 1: stehen, 2) Unter derselben Annahme, dass ABC ABO ist, seyen Z und Z’ zwei zwischen 4C und 4°C’ in ‚den Parabeln so genommene Punkte, dass die Segmente über 4E und 4’ einander gleich sind, so sind Z und E* sich entsprechende Punkte, und folglich auch die Segmente über ZC und Z’C’ einander gleich. Zwischen ‚den drei Segmenten über den Seiten AC, 4E, EC eines in eine Parabel beschriebenen Dreiecks muss folglich ‚eine Gleichung obwalten, so dass aus zweien derselben ‚Ohne weiteres das dritte gefunden werden kann. Man lege an Z eine Tangente, welche 42 und 3C in F und G schneide, so ist, wenn wir dasSegment über AC mit (40), etc. bezeichnen: m(4C)= 450, m(4E) =AFE,. m(EC) = EGC, , Dieselbe Gleichung, welche ‚»wischen den drei Segmenten obwaltet, muss Solglich ‚auch zwischen diesen, den Segmenten ) ecken bestehen. Wir werden in der Folge s« sl 4rzl +z0ch, mithin wird auch seyn: I NEN j i RN uber" sl AA (AB HE Ah Dur 231 Bei einem in eine Parabel beschriebenen Dreiecke ist die Kubikwurzel aus dem grössten der über den Sei ten liegenden Segmente der Summe der Kubikwurzeln ‚aus den beiden andern Segmenten gleich. 3) Kubirt man die Gleichung I., so kommt: POPP OERON 10011079. 2006)3 (42) +(E0)+3(AE)°(E6)°(40)°, (40)—(A2)—(BO)= IL. 4E0=3(45)° (20)° (40)°, d. h. Ein in eine Parabel beschriebenes Dreieck ist gleich dem dreifachen Producte der Kubikwurzeln aus den Segmenten über den.drei Seiten, 4) In dem speciellen Falle, wo FG mit 4C Fre lel geht, ist Z der Mittelpunkt von #G *), und als der der Doppelordinate 40 zugehörige Scheitel zu betrachten. Alsdann sind die Dreiecke 4FE und. ZGC, mithin ‚auch die Segmente (4E) und (ZC) einander gleich, und die Gleichung I, wird: (40)? = 2(4E)",woraus weiter (40) —=8(4E), (40) —2(4E)=6(4E), _d.i. AEC=$(4C) folgt, also: *) ‚Der Beweis hiervon lässt sich mittelst des barycentrischen Calculs so führen. — Sey für den Punkt Z, v=v', ao B=3A-4v!B “ Evl2C. Die an Z gelegte Tangente hat den Ausdruck : ü 4414 (v! 4x) B-+-(v!?--av'x) C, und schneidet-folglich die F.linien in den Punkten: 242, Mm =F B+wC=6. für. =, a0, =®9, x Läuft nun die az mit AC parallel, so ist der erste dieser " drei Punkte unendlich entfernt, also „»—#, wodurch 2P—A4-B und 26=B+-C wird, folglich AB und. BC in F und G halbirt _ werden. > ‚Endlich wird für „5 ZBEIJ4+B +4 =(A+B. +(B+O=F-+G, alsa 4 der Mittelpunkt von FG, £ 232 ‚. Ein in eine Parabel beschriebenes Dreieck, des- sen Spitze der der Grundlinie, als Doppelordinate, zugehörige Scheitel.ist, verhält sich zu dem Parabel. segment über ..der Grundlinie, wie drei zu vier. (Archimedes Quadratur der Parabel, 17..und 2%, Satz.) 5) Unter derselben Voraussetzung, dass 7G mit’ 4C parallel läuft, ist»7” der ‚Mittelpunkt von AB, so wie € von BC, falglich 3(46)—= 417C— AFC=A4ARC, also I. (40)=242C, d.h. -: 7 Ein Parabelsegment ist zwei Dritteln des Dreiecks gleich, welches von der Sehne des Segments und den an die Endpunkte der Sehne gelegten Tangenten be- grenzt, wird. Huck Es ist demnach das obige m—3., Sog ick 6) Sey Z wiederum ein beliebiger Punkt dep“ Paraı bel zwischen 4 und C. Man multiplieire' die Gleichung EN Rai mit m=3, so kommt: Hr [3 "3460= ABC— AFE-EGC= AECHFBG, ae - folglich Iv. AEC=arBG,dh, © a Ein in eine Parabel beschriebenes Dreieck de Doppelten des umschriebenen Dreiecks gleich, dessen. > Seiten die Parabelin den ‚Spitzen des ersiern Desferhe: berühren. Es ird dieser Satz.i in de Folge nich auf. eine Aan-. dere, von dem Vorigen unabhängige,“ "Weise ‚bewiesen werden , woraus ‚sich dann umgekehrt der w erih “des. constanten ır und . somit Salbe, die. Quadratur, de Parabel finden lässt." „! +Ü=DgE bein " sw ( Aumerkung Da-Jein junendlich; kleiner Bögen einer jedch Curve immer. als eiu, Stück, einer/Paräbel augeschen, werden kann, sb wer-. 233 den die Sätze..2) bis. 6) auch für alle andern Curven ‚gelten, so* bald man. die Punkte, 4,E,C einander unendlich nahe nimmt. So wird- z. B. jedes ünendlich kleine Segment einer Curve zwei Drittel des’ Dreiecks’ seyn, welches die Sehne und die an die Endpunkte derselben gezogenen Tangenten zu Seiten hat, Auch wird. der Durchschnittspunkt dieser Tangenten ‚noch einmal so weit, als der ' Mittelpunkt des unendlich kleinen Bogen, von der Sehne entfernt seyn, 8.175. Einer kranimei Fläche p4+gB+rC+sD ist eine andere 'affın, "wenn sich der Ausdruck der letz- tern auf die Form p4#+..sD' bringen lässt, so dass 9, r,s in beiden Ausdrücken die ‘nämlichen Functionen zweier Veränderlichen sind. Sich entsprechende Punkte beider Flächen sind diejenigen ‚ für welche die zwei Ver- änderlichen in dem einem Ausdrucke dieselben bestimm=- ten Werthe, wie in’ dem andern, haben. Berührende Ebenen an’ sich entsprechende Punkte gelegt entsprechen einander gleichfalls. Setzt man in beiden Ausdrücken zwischen den zwei Veränderlichen eine und dieselbe Re- lation fest, so bekommt man die Ausdrücke zweier in den Flächen liegenden und sich entsprechenden Linien, Ist die eine derselben eine Gerade, ‘so ist es auch die andere; etc. Je zwei sich entsprechende Theile des Raums, d. h. solche, die von sich entsprechenden Ebenen gebil- det werden, oder auch sich entsprechende Theile der Flächen selbst zu Grenzen haben, stehen in dem Ver- hältnisse der Pyramiden 43CD und 4B’C!D* zu einan- der. Haben letztere gleichen erg so heissen die Flä- chen einander 'gleich. a 8. 176. Nimmt man’ bei einem‘ Ines Hy perboloid den -Mittelpunkt und die Endpunkte drei zu- sammengehöriger Halbmesser zu den vier F.punkten ;'so ist der Ausdruck dieser Fläche der in $. 134. 2. gefun- dene: (r —rw)A+.... Da hierin keine unbestimmien Constanten vorkommen, so schliessen wir, dass nicht ki ; u, 1 . t z nt ea Te a 234 Aur jede einem hyp. Hyperboloid affıne oder gleiche Fläche wiederum ein hyp. Hyperboloid, sondern auch je zwei'hyp. Hyperboloide einander affın sind und auf un- endlich viele Weisen sich als solche betrachten lassen, weil das erste Paar sich entsprechender Halbmesser. DA und D’‘4' nach Belieben genommen werden kann, — Das Nämliche wird auch von den elliptischen Hyperbo- loiden und den Ellipsoiden gelten. Uebrigens ist. bei je- ‚der dieser drei Flächen die Pyramide, welche drei zu- sammengehörige Halbmesser zu anliegenden Kanten hat, von constanter Grösse, woraus zu schliessen, dass, -wie auch das erste Paar sich entsprechender Punkte genom- ınen werden mag, das constante: Verhältniss zwischen sich entsprechenden Raumtheilen sich dadurch nicht än- dert. Bei dem Ellipsoid erhellet dies auf ähnliche Weise, wie oben bei der Ellipse, So wie aber die Parabel, so..besitzen auch S 4 liptische und das hyperbolische Paraboloid die merkwür- dige Eigenschaft, dass. das constante Verhältniss zwischen ‘sich entsprechenden Räumen nach. Willkühr. bestimmt ‚werden kann, BR Te $. 177. Seyen, um dieses zuerst, für FE hyp, Para- boloid darzuthun, 4 und. D (Fig. 40.) irgend zwei Punkte einer solchen Fläche. Durch jeden derselben lassen ‚sich ‚zwei in der Fläche selbst enthaltene gerade Linien, ‚legen. Dabei wird die eine Linie des durch „4 ‚gehenden ‚Linien- paars von der einen und die andere‘ von der andern Li- nie des Linienpaars durch 2 geschnitten, Heissen- diese zwei Durchschnitte' 3 und C, so ist 4A+2B+4yC+z (der Ausdruck der Fläche *), Auf: gleiche Art, seyen 4 e er “ .*) Dass dieser in $. 112. erhaltene Ausdruck der eben cal Lage der E,puukte Genüge leiste, ist leicht zu erkennen, aber, um den Ausdruck auf diese einfache Form 'zu bringen, nur | | \ 235 und D’ zwei beliebige Punkte eines andern hyp. Para- boloids, und 3° und C* die Punkte, in denen die durch 4! und. D’ gehenden, in der ‚Fläche selbst begriffenen Geraden sich schneiden, also 4#+23°+yC’+2yD’ der Ausdruck dieses zweiten Paraboloids. Setzt man: nun 4, B',C', D' den 4,5,C,_D entsprechend, so sind dieser Ausdruck und der vorige die Ausdrücke zweier affınen Flächen, Das Verhältniss aber, in welchem je zwei sich entsprechende Raumtheile 'stehen, ist = 4BCD: 4B'C'D* und kann jedes beliebige seyn, weil nach der verschie- denen Annahme der Punkte 4 und D’ die Pyramide 4'B'C!D! jede beliebige Grösse erreichen kann. $. 178. Folgerungen. Man nehme in 42 einen beliebigen Punkt Z und in 42° einen Punkt Z*, so dass 4B':;BE=AB:BE, so sind Z und Z* sich entspre- chende Punkte. Die durch Z und Z* in den. Flächen jene Annahme der F.punkte und keine andern Bedingungen weiter erforderlich sind, lässt sich folgendergestalt übersehen, — Für ir- gend eine nach einem gewissen Gesetz auf einer Fläche gezogene Linie besteht zwischen den Veränderlichen im Ausdrucke‘der Fli- che eine gewisse Relation; f(v,w)=o. Soll also zB. die‘ F.linie AB in der Fläche liegen, so müssen für f(v,w)—o die Coöff- cienten von C und D null,werden, d.h, es müssen diese Coäffi= ' eienten einen gemeinschaftlichen Factor haben. Hiernach ist der allgemeine Ausdruck einer Fläche, . in: welcher die vier F.linien AB,AC,BD,CD zugleich enthalten sind; apg A-+-bprB-LegsC-H-drsD, wo P,9,r,s beliebige Functionen von 9 und w, und a,5,c,d ent- ‘weder gleichfalls solche Functionen, oder auch Constanten sind. Es wird aber dieser Ausdruck, wenn man ihn mit apg dividirt x b ad \ und hierauf za == ee A+:B-+yC+öxyD, Soll nun diese Fläche die zweite Ordnung nicht übersteigen , so muss Ö constant seyn. Alsdann ist die Fläche ein hyp, Hyperboloid, und aur für ö=1 ein hyp. Paraboloid, 236 selbst gezogenen Geraden ZF und Z’F' werden sich da- her gleichfalls entsprechen, so wie auch die Punkte # und 7%, in denen diese Linien von CD und CD* ge- schnitten werden, und es wird sich verhalten CD’: Dr =CD:DF, Mit dem Verhältnis AB:BE muss Askir das Ver- hältniss CD: DF und das Verhältniss der Pyramiden ABCD:BEDF gegeben seyn, und aus je zweien der drei Pyramiden 4BCD, BEDF, AECF muss sich die dritte finden lassen. Endlich wird jede dieser Pyramiden von der krummen Fläche selbst nach einem constanten Ver- hältnisse getheilt werden. — Wir wollen nunmehr diese ‚Relationen zu bestimmen suchen. ; ı) Sey Z=4A+bB, so ist der Ausdruck der Gera- den EF: A+bB+yC+byD (8. ı12.), und daher 7, als der Durchschnitt dieser Geraden mit CD, = c# BD, folglich -. 1... 4B: BE= CD: DR, d.h.. BR Bei dem hyperbolischen Porabnlonik werden alle Geraden des einen Systems von den Geraden des an dern Systems nach einerlei Verhältnissen geschnitten. - a) Es verhalten sich die Pyramiden. \ ABCD:BECD= AB: BE (8. 20. bye BECD:BEDF=CD:DF=AB:BE : folglich „ IL. 4BCD:BEDF=ABEBERH N 0 3) Auf gleiche Art verhält sich: 4BCD: AECK=AB?: AER, tuDR I woraus, wenn B zwischen 4 nnd. ‚E B in Verbmr dung mit-M. folgts....0 Rt ze ML. ncokasnr = unerh; ee D 237 Wird auf der Fläche eines hyp. Paräboloids ein geradliniges Viereck beschrieben, und dieses durch eine fünfte in der Fläche gezogene Gerade in zwei an- dere Vierecke zerlegt, so ist die Quadratwurzel aus der Pyramide, welche mit dem erstern Pierecke einer-. lei Spitzen hat, gleich der Summe der Quadratwurzeln aus den zwei Pyramiden, welche mit den zwei letziern Vierecken die Spitzen gemein haben. Man bemerke hierbei noch, dass eine solche Pyra- mide, wie ABCD, eine einbeschriebene und umschrie- bene zugleich genannt werden kann ; eine einbeschriebene, weil ihre vier Spitzen in der Fläche des .Paraboloids liegen; eine umschriebene, weil ihre vier Seiten die Fläche berühren , die Seite C.4B in der Spitze 4, 4BD in B, etc. ($. ıxı.) 4) Der. Theil der paraboloidischen Fläche, welcher von den Seiten des Vierecks 4BDC begrenzt wird, liegt innerhalb der Pyramide 43CD und theilt dieselbe in zwei Theile, von denen der eine von der Fläche 42DC und von den Dreiecken 4BC und BCD, d.i. von den die Fläche in 4 und D berührenden Ebenen; der andere von derselben viereckigen Fläche und von den Dreiecken ABD und ACD, d.i.. von den an ZB und C gelegten Be- rührungsebenen begrenzt wird. Werde daher der erstere. Theil mit [42] und der letztere mit [2C] bezeichnet. Diese beiden Theile müssen in ‚einem constanten Ver- hältnisse, ı:m, zu einander stehen, so dass [42]:[2C] =ı:m. Man setze nun in dem Ausdrucke der Fläche u 4A+:B+yC+2yD, — statt 9, so verwandelt sich der Ausdruck in C+D+24+xzB, 238 Das vorige constante Verhältniss wird daher auch statt finden, wenn man € mit A, und D mit Z gegen- seitig vertauscht. Hierdurch aber geht [4D] in [2C], und umgekehrt, über; folglich muss sich auch verhalten : [230]:[42]=ı:m und daher Iv. [4D]=[2C]=44BCD seyn, d.h. Construirt man auf der Fläche eines hyperbolischen Paraboloids ein geradliniges Viereck, so wird die Py= ramide, deren Spitzen die Spitzen des Vierecks sind, von der Fläche halbirt. 5) Wenn, ähnlicherweise wie die Bezeichnungen [4D] und [2C] gebraucht wurden, [37] den Raum vorstellt, welcher die krumme Fläche und die an, 2 und F gelegten berührenden Ebenen zu Grenzen hat; etc, so giebt die eben erhaltene höchst einfache Cubatur, mit der Gleichung III. in Verbindung gesetzt, folgende Re- lation: v. A [BFF=[AFT, wo die vier Punkte des Paraboloids, 4,2,D,F, derge- stalt liegen, dass die drei Geraden 43, BD, DF in der Fläche selbst enthalten sind, und 4 und 7 auf entge- gengesetzten Seiten von 3D sich befinden; — die ana- loge Relation von $. 174. I. bei der Parabel. 6) Nach 2) ist 3ZCD, und eben so auch 43DF, die mittlere Proportionalgrösse zwischen ABCD und BEDF, folglich mit Zuziehung von IV.: CAR VL ABDF=BECD=5[4D] [Br =a[B0zDP, analog mit $. 174. II. > 8. 179. Es ist jetzt noch das elliptische Paraboloid in Untersuchung zu nehmen übrig, von welchem wir aber zuvor einen zu dieser Absicht passenden Ausdruck 239 entwickeln müssen; — Jede ‚Fläche der zweiten Ord- nung hat die bekannte Eigenschaft, dass sie von einer Ebene immer in einem Kegelschnitte, X, geschnitten wird, und dass, wenn man an dieser Curve eine zweite Ebene, die Fläche berührend, fortbewegt, alle Lagen dieser bewegten Ebene durch einen gemeinschaftlichen Punkt D gehen, welcher Punkt daher als die Spitze ei- nes die Fläche einhüllenden und sie in X berührenden Kegels erscheint. Seyen nun 4, 2, € (Fig. 41.) irgend drei Punkte des Kegelschnitts, so ist sein Ausdruck (K) alı—r) AH B—(ı —r)eC, auf welchen sich, wie wir in ’der Folge schen werden, der in 8. 64. ı. für diesen Fall gefundene Ausdruck im- mer reduciren lässt. ‘Werde ferner durch D, C und ir- gend einen andern Punkt, pP=alı—r) A+bvB—.., der Curve X eine Ebene gelegt, so wird diese Ebene jenen Kegel in den Geraden DC und DP, die Fläche selbst aber in einem Kegelschnitte schneiden, welcher in C und ? von DC und DP berührt wird, und dessen Ausdruck daher von der Form gP+xD-+x?2C oder pP stellt dieser Ausdruck die Fläche selbst dar, wenn man nebst w noch .» und somit auch den Punkt ? veränder- lich nımmt. Substituirt man demnach für p? den obi- gen. Werth, so kommt der Ausdruck der Fläche: (F) ar) A+brB+ (2 +2) C+wD, wo 4A, B, C Punkte der Fläche selbst sind, und D der Durchschnitt der: drei in diesen Punkten an die Fläche berührend gelegten Ebenen ist. Hierbei ist noch e statt % geschrieben. Denn es lässt:sich: leicht zeigen‘, dass 240 eine von 'v unabhängige, Constante seyn muss.’ Inder That, ‚setzt man in (Z') den Coäfficienten von C null, und eliminirt damit # aus dem Coeffhicienten von D, so kommt: ) > alt —») AH bvB+ ) ve ” D, oder ati B4 7 „D, we y = = als der Durchschnitt der Fläche mit der Ebene 42D, Dieser Schnitt muss aber ein Kegelschnitt seyn, wel- cher von 4D und BD in A und D berührt wird; und hiermit stimmt sein Ausdruck nur dann überein, wenn: a eine von Y%, und folglich auch von’ v heran. Grösse ist. Soll nun die Fläche ein elliptisches Paraboloid seyn, so muss in (7) die Summe der Co£fhicienten Feen ae Eee Bach =[r—}(14@—b)]? +7 1 ae]? 7 (ı+a—b)? Ara die Summe zweier ae ($: ıto.), er e positiv und nr seyn. Auch giebt die hieraus fliessende Bedingung, 4a > >(ı eu noch“ m erkennen, dass der Kegelschnitt X dann eine RB. ist. — 4 Man denke sich nun. ein zweites. allspiluchenn hai boloid. Der Schnitt desselben mit einer beliebig geleg- _ ten Ebene, im Allgemeinen eine Ellipse, heisse Kr, „und : werde mit der vorigen Ellipse X‘, als einer affınen Curve, - in Vergleichung gebracht. ‚Zu dem Ende nehme man in K’ einen. beliebigen Punkt 4, den man dem Punkte 4 in K entsprechend setze; man bestimme ferner in A ei- 241 nen andern Punkt 3°.so, dass die Ellipsenfläche K’ yon der : Sehne . 42’: in. demselben Verhältniss, ı als die El- lipsenfläche: X‘ von der. Sehne 43 getheilt wird; so ist 3‘ .der dem 2 entsprechende Punkt. ‚ Auf gleiche‘ Art wird auch, der Punkt (C’.gefunden,, ‚welcher dem € ent- spricht, „nur dass C# in® dem‘ grössern oder kleinern der zwei durch‘, die ‚Sehne, ‚4°, entstehenden Segmente ge- nonmen ‚werden muss, nachdem das eine oder das an- dere „bei: € hinsichtlich der Sehne 42 der Fall ist *). Weil also ‚4, 3, C;und 4, 2°, C’ in den affinen Curven K.und .X’,sich entsprechende Punkte sind, so wird man aus,dem’Ausdrucke von ‚Ä sogleich den von X’ erhalten, wenn; man nur. die F,punkte A mit A etc. vertauscht, alsasy unit - (K')..afı Ar kbBintı oe ‚wo a und'd dieselben Werthe wie in’(X) haben. "Man lege endlich an das zweite Paraboloidin 4, 3,C drei "berührende Ebenen, welche sich in D* ee so ist nach dem vorhin Erwiesenen : (7) alı—r) #+boB' + (v2 +0w? —v)C’+wDr der Ausdruck der Fläche, ‚wo, wegen der:Natur des el- lipt. Paraboloids, e positiv seyn und eben so wie in‘ (F) von. @ und 5 abhängen muss. ' "Setzt man also noch’ D’ dem D chend, so ‘sind in dieser Beziehung die, beiden Flächen einander affın. Da.nun hierbei zwei sich entsprechende Raum- theile die durch die'Ebenen der Ellipsen X und £ ab- » geschnittenen paraboloidischen Segmente sind, jedes die- *) Beigehends werde bemerkt, dass 'hiernach folgende Aufgabe zu 1ö- sen möglich seyn muss: Die drei Segmente über den Seiten _ eines in eine Ellipse beschriebenen Dreiecks sind ihrem Inhalte nach gegeben. Hieraus den Inhalt der ganzen Ellipse zu finden. 243 ser Segmente aber, wegen der durch Nichts bestimmten Lage derEbeuen, von jeder beliebigen Grösse seyn kann, '$o lässt sich auch hier das constante Verhältniss je zwei sich entsprechender Raumtheile nach Willkühr annehmen. '" Eine unmittelbare Folge hierson ist, dass das "Segment über der Ellipsenfläche X zu dem vorhin ge- dachten Kegel, dessen Basis ebenfalls X und dessenSpitze D war, in einem constanten Verhältnisse steht. Istdas -Paraboloid eine durch Umdrehung erzeugte Fläche, und - ‘die Ebene von’ K'senkrecht anf der Umdrehungsare;, so ist X ein Kreis, und, wie man alsdann sehr leicht durch ‚Integralrechnung findet, beträgt das Segment drei Vier- el des Kegels. Dasselbe Verhältniss muss daher'auch in jedem andern Falle statt finden ; also überhaupt: = Das Segment eines elliptischen Paraboloids ist drei Vierteln des Kegels gleich, welcher mit dem: Segmente ‚einerlei Basis hat, und dessen Spitze. der gemeinschaft- ‚liche Durchschnitt ‘der Ebenen abe EB ÄRTR: loid in der Peripherie des Segments berühren. _ Anmerkung. Alle krummen Flächen theilen sich ,. mit der abwickelbaren, in zwei grosse Classen. Die Flächen einen ' Classe haben mit ‚einer daran.‚gelegten. Berührungsebene- nur den .; „Berührungspunkt gemein ; die ‚Flächen „der andern Clame . von der Berührungsebene in zwei durch den henden Linien geschnitten ($. 107.). a ‚der ersteru Classe wird sich als das Element eines elliptischen, und. jedes Element einer der letziern Classe zugehörigen Fläche das Element eines hyperbolischen Paraboloids betrachten Iass. einfachen Eigenschaften, ee DE ‚ und in $.178, von dem hyperbolischen. Paraboloid den sind, werden daher auf unendlich kleine Theile andern krummen Fläche der einen und andern leiden. Vergl. Bemerkı vu 6 shi: ai Kainnyt ul er L uns Jin, a are, e" BET DE ee - 5 2 u | a Fünftes Capitel. Die . Doppelschnittsverhältnisse. .. S. 180. Ausser den bisher erörterten vier Verwandt- ‚alas zwischen Figuren soll in diesem Abschnitte die "Theorie noch einer. fünften Verwandtschaft dargestellt werden. Zum’ bessern Verständniss derselben halte ich es aber für dienlich, in diesem und dem folgenden Ca- pitel einige Lehren, als Vorbereitung, vorauszuschicken. Insbesondere wird bei der fünften Verwandtschaft eine ei- gene ’Art zusammengesetzter Verhältnisse eine wichtige Rolle spielen. Die Eigenschaften dieser Verhältnisse und der mit denselben anzustellende Algorithmus werden den! Inhalt des: gegenwärtigen. Capitels ausmachen; das, wie ich noch bemerke,-auch. als ‚eine für- sich bestehende Abliandlung betrachtet werden kann, indem der in den übrigen: Theil: dieser Schrift verwebte barycentrische Cal- tul hier ganz ausgeschlossen bleibt. u his, ‚3 8ua8ı.. Unter,dem Verhältnisse,’ nach welchem eine durch, ihre Gregzpunkte; 4A und, 3 ‚ bestimmte gerade, Li- halb, "der; | Grenzpunkte een cs Punkte c ra wird, verstehe ,man das. Verhältniss zwischen dem Theile 4AC, welcher sich von;dem im Ausdrucke der Linie zu- erst. ‚gesetzten. Punkte „oder, dem. Anfangspunkte „4 bis zum, ‚Schneidepunkte C;, erstreckt. „und; dem. Theile „CB vom Schneidepunkte; C; Ibis zum andern. Grenzpunkte.oder Endpmnkte Aa At in bass SD: DO anezinaläd 92 244 ; Dieses Verhältniss, 4C: CD, kann nach der verschie- denen Lage des Schneidepunktes gegen die beiden Grenz- punkte alle möglichen Werthe haben. Liegt € zwischen 4 und 2, ist also | Erd | die ‘Aufeinanderfolge der Punkte, so ist der Werth des Verhältnisses 4C: CB, .den ich —=e setzen will, positiv, und zwar desto kleiner oder grösser, je näher C dem 4 ‘oder. B liegt. Ist C der Mittelpunkt von 42, so wird. ei. ‚ii.. Fällt, cC ausserhalb A,und 2, ‚so ist e negativ, und zwar, wenn c auf die Seite von 4 fällt, also bei der Kolst.. sch. has Be zu RE El er Sale u als x, und desto kleiner, je näher € dem! 4,liegt. — Kommt: C ausserhalb 42 auf die seit yon. B: zu iegeR wird also ..;7 „; nolsian ale albıaw una irontd sbnsldB ls madlorneh. sig we die’ Folge der’ Punkte‘, so wird’ e-absolut: Pi als r, und'desto 'grösser, ‘je näher C’dem B’rückt. © (si sin "> In 'den 'speciellen Fällen‘ endlich, "'wo C'unendlich entfernt liege, "oder mit! 4, ‚oder‘ mit e ern 2) wird e=—ı, oder 0) oder wu" 0; 3 sad 119 81482. Eim Dopjpelschntesirätili: (ratio bis- ih Hole) ist das‘ Verhältnisse‘ "zwischen den zwei 'Verhältnisgen‘ nach’ welchen eine'geral ‘de Linie, in Bezug auf zwei in ihr "liegende Pühkte, als 'Grenzpunkte,’ in'zwei andern "Punkten geschnitten wird. dus vo om id palso), wie vorhin, 4 der Anfängsp unkt’der'Ei- . Anteil ihr Endpüükt, und © der Ferne ‚der'andere Sheep so ist das Verkälthissswischen den Ver- hältnissen 4C: :CB und 4D: DB, ‚oder ra ugbaßl ; >>: do 49 uf .AD 0.1. 68.2 vs "DB, 2 en D swhklal nach welchem; AB, in ws und, Dan schnitten wird... . ‚.Man setze;die Verhälinisse 40: a AD; DB=d, ae D.verhältniss-, ‚e:d=4..,\, Liegen, nun C 'und..D zugleich zwischen. 4, und 3, ‚so sind..(vor. $.).;.und.d positiv, und ed, ‚nachdem,C oder D der dem..4 nähere Pünkt 4 ist; folglich’ 4.,positiv: und im er- stern Falle, also bei der Folge 4CDZ, kleiner als ı; im letztern Falle, also bei der Folge 4DCB, grösser als ı. Verfährt man, auf ähnliche Weise auch bei den’übri£ gen ‚Lagen der.Punkte C’'und D gegen 4 und 2, so er- giebt sich, dass 4 überhaupt positiv ist, wenn C und D entweder zugleich innerhalb oder zugleich ausserhalb A und B liegen, also, bei den acht. Folgen: ee ACDB, CABD, DCAB,.. ABDC, ADCB, ‚BABC, CDAB, ABCD, | 3 und zwar bei den vier erstern kleiner als 1, bei den y vier _ letziern grösser als 1. Dagegen ist 4 negativ), ‘wenn von.den Punkten. ;C und D der eine innerhalb und der andere ausserhalb 4 und B fällt, also bei den vier Lagen: ae. "4CBD, .DACB, ADBC, CADB. Ga Fallen £ ua; D zusammen, öden, Viogem beide, un- ‚endlich. entfernt, sö.ist d=ı; fällt C. mit A, ‚oder BJ mit 3 zusammen, $0. ist J=o; und wenn C mit B oder ; D mit 4 zusammenfällt, J=». Uebrigens begreift man leicht, dass, wenn von Er vier Punkten irgend drei gegeben sind, mit dem Werthe des D.verhältnisses immer auch der viertegefunden wer- den kann. \ . 246 ı $. 183. Der Kürze willen soll von jetzt an ein zwi- schen vier Punkten sich bildendes Doppelschnittsverhält- niss dadurch ausgedrückt werden ‚' dass man die Buch- staben für den Anfangspunkt, für den Endpunkt und für den ersten und zweiten Schneidepunkt in der genann- ten Folge neben einander stellt, sie durch Commata un- terschieidet- und hierauf mit Haken einschliesst. A40,4D Statt ‚CB: Dg wird daher inskünftige (4,8, C,D) “2 pe 4,BC und eben 'so statt == “op wo.B uud. D die Grenz- | punkte, 4 und © die Schneidepunkte sind, (B, D,4A, 10, : €tc. geschrieben werden. . Will man umgekehrt das D.verhältniss (C,4, B, ‚D) . auf gewöhnliche Weise ausdrücken, so bilde man zuerst aus den zwei ersten Buchstaben; € und 4, die Form: [62 N. Du —, und ergänze hierauf das erste Glied durch den ne Buchstaben, 2, und das zweite durch. den CB,CD vierten, D; und man’ erhält: 34'Da° 8. 18/4. Da sich vier Buchstaben, | A,B,C, D, en a4erlei Weise unter einander versetzen lassen , ‘so ent steht zunächst die Frage, ob und in welchem Zusam- menhange die diesen 24 Permutationen entsprechenden 'D.verhältnisse unter einander stehen; vorausgesetzt, dass die gegenseilige Lage der vier Punkte 4,2, C,D un- verändert bleibt. aa RR "Offenbar ist: Wo "4C,AD BD.BC. CA.CB\ DB,DA ‘CB DB” DA'CA” 4D'BD zeige 2 und daher: 247 [. (4,8, C, ‚D)=(B, 4,D,C)=((C,D,4A ‚Z)=(D, C,B,A). Auf dieselbe ‚Weise „ sind auch, yon, den,ao übrigen D. verhältnissen j je vier einander ale. nr eben so, wie die vier 'ersterng der, Reihe nach, 4,2,,C0,D; zu ih- ren Anfangsbuchstaben haben. Es bleibt uns daher nur übrig,. die Relatiönen ‘zwischen den D;verhältnissen, auf- zusuchen, welche mit einem und demselben Buchstaben, z.B. mit 4, anfangen, und deren’es «Örgiebtsr BERN 2... 9) AD .ACY MET VOR te: [27 ra ‚C,D) (4,B,D,0)=:, und chen e = = 1,'also! ." (4; 6,D,B) (45C,B;D)=, 142,8, 0.42, )=1. Man hat ferner, AB=b, Ace, AD—d gesetzt, die identische Gleichung: bi—)ree— d(e—b) ==ö, und mithin, weil A,B,C,D in einer Iaeräden lie- geny und daher d—e=(D, etc, ist: AB, CD-+FAC, DB+AD, BC=o. (Vergl, Note zu $. 1063 Man dividire diese Gleichung durch AD. CB, so. kommt: AC:; sDaT AB. cD ADB" ZD,@BT" wofür män auch schreiben kann: £28. 2 er ‚AD er CB ‘DB BC" 2). & ( (4,8, C,D)+(4, C,B,D)= ı, und al II. (4, 6,D, B)+H4,D, C,B)= ı, (4, D,B, C)+(4,B, D2,0=:1, Durch die Gleichungen I. und III, sind aber die Relationen zwischen je zweien der sechs mit 4 anfan- genden D.verhältnisse bestimmt, Setzt man nämlich: 248 ı) (4,B, C,D)=a, H so wird nach I. 2) (4,8,D,0)=- u. hieraus nach III. » (4,D,B; Eee SR "x, 'hieraus: ge H. od ER u. hieratık nach «UL. 5) RE PER in u, hieraus nach II. 6) (4, C‚B, D=ı7a,, welches letztere auch aus ı) nach I. folgt, Mit Hinzufügung der duch I. bestimmten. und den Werth nicht ändernden Versetzungen kann mag nun auch jedes der übrigen nicht mit A anfangenden D.verhält- nisse durch @ ausdrücken und somit’ die Relation zwi- schen irgend zweich. derselben angeben. Um das Aufinden der Relation are iegehä zweien der. .24, Doppelschnitisverhältgisse,,, welche sich: sausı4 Punkten i in ‚einer Geraden. bilden lassen, möglichst leicht zu machen, setze ich folgende Tafel her, wo die ‚vier ®Punkte durch die vier Ziffern 1,2,3,4. bezeichnet, und die a4 Permutatiönen. dieser vier Elemente, i in ‚arithme- tischer ur sich folgend, in ‚Werthen der. Satan : (1,2, 3, Wr E: are sind, dar Ar “rd , .. \ m sidiiniua nam 3835G HT 2a RT 249 ne ah } @, Erz T G, Re = ‚Ba = ——r & x a—b (1; ar (3, a (a, ba er a EP sie j Kr A REN (63, Ver (3,62, 1) er ? (2, 1,3, 4 u | (4, 1,2,3) Fr (,1,43)= z— (41,3, 2)= Sue, A Fa: GE (4 AI) ’ 6, Ih = (42, I,1)= “ (2,41, yet k (4,3, 1,2) = 1 wi) BRLT. Por Me en (a) 'Soll nun z. B. aus dem Werthe von (3,2, G A) der Werth von (4,D,B,.C) gefunden werden, fi sehe ich, dass der ıste, ate, die, 4te en Com- a6,‘ und -» plexion der. die, ate, ıste, 3te der dass daher, (3,2,6,4) = (12,3,4) -r oder a ge- setzt, (4,D,B, o0)= (42,13)= Eee 1 Da ware, wird. E: 250 _ Relationen zwischen Doppelschnittsverhältnissen bei einem Systeme von mehr als vier Punkten in einer ‘geraden Linie: $. 185. Lehrsatz, Sind 4,2,C,D,E fünf in ei- ner Geraden liegende Punkte, so ist: L._(4,2,C,D) (4,B,D,E) (4,8,8,0)=ı. Beweis. Man braucht nur diese D.verhältnisse An die gewöhnliche Schreibart zu übersetzen: FEIERTEN um sich von der Richtigkeit der Formel zu überzeugen. Zusatz. Weil (4,B,E,C) (4,B,C,E)=ı, (. 184. IL), so lässt sich statt I, auch schreiben; It, (4,B,C,D) (A,B,D,E)=(4,B,6,E), oder UT. (4,B,6,2):(4,B,C,D)=(4,B,D,E). $- ı86, Die eben aufgestellten Formeln line wie man aus zwei D.verhältnissen, welche drei Punkte ge- mein haben, und in welchen daher nur- fünf verschiede- ne Punkte vorkommen, den einen jener gemeinschaftli- chen Punkte eliminiren, d.h, das aus den vier übrigen Punkten bestehende D,verhältniss finden kann. Sind da- her drei D,verhältnisse, von denen jedes mit dem andern dieselben drei Punkte gemein hat, gegeben, so wird man aus ihnen zwei dieser Punkte .eliminiren können. In der That, seyen die drei D.verhältnisse; po (4,B,C,D)=d, (4,B,0,E)=e, (4,B ‚Beh welche die drei Punkte „4,B,C gemeinschaftlich enthal- ten, und von denen C und B weggeschaft werden sol- len- — Zuerst kommt nach Elimination von C: (48,D,8)=4, ABEND L, 251 zwei D.verhältnisse mitden gemeinschaftlichen Punkten A,B,E,. ‘Um aus ihnen‘ B eliminiren'zu können, so-hat man nach £. 184.: \ e '(4,2,8,D)= und hieraus (4,E,D,F) = ea n Sind endlich vier D,verhältnisse mit denselben drei gemeinschaftlichen Punkten 4, 3,C gegeben: (4,8,0,D)=4, (4,B,C,E)=e, (4,8,0,M)=f, (ABOO)=8. ..,, \ so kann man daraus diese drei Punkte sämmilich Pe miniren, und somit das D.verhältniss zwischen den vier ' übrigen Punkten, D, Z, #, G finden. Denn, so wie aus den drei ersten;D.verhältnissenz>(4, Z,D,F) = : =% folgt, 'eben so ergiebt sich ER des Br, zweiten und vierten: ö | AB (4, E,D,C) = und hieraus (D,Z,A,A) = fe (D,E,4, 6) 3 ug | eg. fl REN IR $. 187. Lehrsatz. Wenn bei einem Syste- me von » Punkten in einer geraden Linie, von. den dadurch sich bildenden Doppel- schnittsverhältnissen irgend 2—3 von einan- der unabhängige gegeben sind, so lassen sich daraus alle übrigen finden, mithin Beweis. Heissen die » Punkte des Systems: A,B,C,D,... Man setze die D,verhältnisse, in deren “ r ei \ j IL ‘ 2 De ur Fr w -—ıv 252 jedem: die 3 Punkte 4,8 © zugleich » rt und deren Anzahl folglich: ins isk: ni (4;B,C,D)=d, (4,8,C,E)=e, (4,B,6,M=f, etc. - Nach dem Vorhergehenden kann man hieraus durch successive Elimination von 4, 3 und C alle übrigen zwischen den Punkten des Systems entstehenden 'D.ver- hältnisse, also auch die 2. —3 gegebenen und das ee gesuchte in Werthen der n—3 Grössen d,e,f,... aus- drücken, und folglich, wenn man aus diesen n— 2 Gleichungen die Grössen d, #,f,..; eliminirt, das (r—a)te als Function der #—3 gegebenen D.verkäleninge, dar- stellen. al Doppelschnittsverhältnisse bei einem Systeme ge- (rader Linien in einer Ebene. . 0 188, Lehrsatz. ‘Wenn drei gerade Linien in einer Ebene, BP, MC, NQ (Fig. 4a.) sich. in-einem und demselben Punkte Z schneiden, und von ihnen zwei an- dere Gerade, deren Durchschnitt 4 ist, resp. in den Punkten B,M, N und ?,C, Q getroffen werden, 5 so ‚st: (4,B,M,N) = Are co DA. Beweis. Es verhält sich: Ir, _ AM: BM=ACH: BCM= AME: :BME. mithin. =.4CE; BCE, weil R-. aa ‚R \=4CE, etc. ferner ı dAC:PC= a ana a ls AM'.AC __ PCR ‚PE are zes BM* PC.z:BCR :BBi du sitz an ANAR PE\, wa u. eben so E75 2. "DE, . soll 7 hä / 253. AM SAN 40.40“ MB'NB. TP:QP°’. di (1) 4 BZ, Mm, N) — (AP, Cop. $. 189. Zus atz. Man lege . durch E pre ‚eine vierte Gerade RS, welche die AZ und AC resp. in A und $.schneide, so ist auf gleiche Art: , | (4B,M, RB = (48,69. Da nun die Gleichheit zweier: D.verhältnisse,, wie ‚aus. $..184. erhellet, . ‚sich.nicht ändert, wenn; man, in bei- den..die. vier.‚Buchstaben auf einerlei ‚Weise: versetzt ‚sp kann..man.auch schreiben: e 2% (3, 4,4) = 2,6; id). will (B,M,A,R) = (P,C, A, 8)eiu weni: «iMuültiphcirt: man «diese zwei Gleichungen i in einan- der ‚:s0 kommt.($.185,. U.) lv O%. | (a) «Bj mM, N, R) = P C; Q, 9, welches folgenden noch allgemeinerä Satz giebt; | folglich Wenn man von zwei geraden Linien in einer Ebene die Punkte der einen den :Punkten der andern. solchergestalt entsprechen lässt, ‚dass die Geraden, ‚welche je zwei sich, entsprechende Punkte verbinden, “ ie! in Klast ‚gemeinschaftlichen Punkte ‚sehneiden, den ‚entsprechenden Punkten in der andern Linie ge bildeten. D. verhältnisse gleich; oder: „We on vier sich in einem Pink schneidenden brd in einer Ebene liegenden Geraden wird jede andere Gerade der Ebene nach einem und demselben Dwerhält- nisse geschnitten. 2 'g 190; Wehn “in der | bisher "angewendeten Bezeich- | nungsart , eines 'D.verhältnisses durch. Nebeneinanderstel- 7 254 lung der die vier Punkte ausdrückenden Buchstaben, statt zweier derselben die Ausdrücke von Linien gesetzt sind, so sollen. unter diesen Linien ‚die Punkte verstan- den werden, in denen dieGerade durch die zwei ändern Püäkte des D. verhältnisses von diesen’ ‚Linien gesehnir-, ten wird. N So wird also der Ausdruck (4, B, CH, Dr) "das D.verhältniss 'vorstellen, - dessen vier Pünkte die Punkte H'und‘B ‘und ‘die Dürchschnitte von 4B mit CE und DE sind. Auf gleiche Art werden -in dem Ausdrucke (4; BE,C, DE) durch BE und DE’ die Punkte angedeu- tet, in denen die Gerade durch die zwei einzeln gesetz- ten Punkte 4 und C)vön den Geraden BE ER DE ge- schnitten wird. ‘ R Vergleicht man damit die '4a.: Fifa ‘wo: D'&in in der Geraden NQ willkührlich genommener Punkt “ist, so erhellet;'. dass ersterer Ausdruck einerlei\mit (4, 2, M, N) und. letzterer einerlei mit, (4, P,C,. 9: ‚ist, dass man folglich statt 2 setzen kann; vr x va SU 24 OE, DE) = (ABB: ODE eine Formel, welche i immer gelten mad, "ie Auch ‚die fünf Pünkıe Ian: ‚Ein der Ebene liegen mögen. Derh \ hal sieht leicht, däss diese fünf Punkte in der Figür 'von '&inänder ganz unabhängig sind. en un. AADEN ua‘ ee leuchtet, ein, dass, Re Se w se B B, & D, zu irgend zweien der darin ya one ‘Buchstaben den fünflen & hinzufügt: E3135 Snltez VE Sachen . il Br Cap. RER Mc B5,0,PE, (A EC) Iat enkid, B,C, DE), ,(AB,3,CE, DJ, ‚(4E, Br R Ber Bea PER SE 255 einander gleich seyn müssen. . Denn .es sind die D,rer- hältnisse, in denen der Reilie nach von den sechs Gera- den AB, AC, 4D, BC, BD, CD, ‚jede. derselben von den vier sich in .Z treffenden Geraden 5 BE,CE,DE ge- schnitten wird. $. ıgr- Seyen wiederum 4,3,C,D,E fünf beliebige Punkte in einer Ebene, und heissen die Punkte, in wel- chen die Gerade AB von den Geraden DE, EC, CD ge- schnitten wird, resp. €, D4E/,: so sind 4, B, c, Dr, Ei fünf in einer Geraden liegende Punkte, und man hat : nach $. 185.: (4,8,0,D) (4,8,D,E) = (4,8,0.2) ‚oder, mit Anwendung der im. vorigen. $. erörterten Be- zeichnungsart:: Re (4, B,DE,CE),,(4,B,CE,CD) = (4,8, DE, CD). Von diesen drei D.verhältnissen ist in dem ersten E, in dem zweiten, € und in dem dritten D der hinzuge- fügte Buchstabe. Da nun vermöge des zuletzt Erwiese- nen der Werth eines solchergestalt ausgedrückten D.ver- hältnisses "bei jeder Ortsveränderung des hinzugefügten Buchstaben, immer ‚derselbe bleibt, so wird auch seyn: (42,8, ;DE,C) (4,BC,E,CD) = (4,8,.DE, cp) eine Relation, die sich nach einfacher auf folgende Weise | darstellen lässt. . Man verbinde. die fünf Punkte 4A,B,C,D;E: Be dauimkei Ordnung jeden mit dem nächstfolgenden und den letzten mit dem ersten durch gerade Linien, so :er- hält man ein System von fünf von einander FERNER“ \ gen Geraden in einer Ebene: N a CD, DE, EA, AB, BC, BEER man er mnta, bo de ra ade arte se - 256 benenne. Alsdann sind die vier Punkte (des D.verhält- nisses (AZ, B,DE,C) diejenigen, in welchen die Gerade BC der Reihe nach von. den Geraden AZ, AB, DE, CD, d.i. e von e,d,b,& geschnitten wird. "Werde daher die- ses D.verhältniss kurz durch db, a) vorgestellt, so dass ausserhälb der Haken links oben die Linie e gesetzt wird, in welcher die das D.verhältniss bildenden vier Punkte enthalten sind, ‘statt der vier Punkte selbst aber vier Linien ce, d, b, @ stehen, ‚welche die Linie e in diesen Punkten schneiden. { Auf die nämliche Art ist (4,2C,2,CD) das D.ver- hältniss,)'nach welchem 42 von 4B, BC, DE und'CD, d.i. e von d,e,5 und a geschnitten wird, und kann da- her "passend durch °(d e,b,a) year: er so ‘wie endlich (4,3, DE, CD) durch Ka, e, b, a). Substituirt man nun diese Bezeichnungsarten j in der obigen Gleichung, : so kommt: ‚le, d,b, a)» °(d,e,b, a) = Io, % Do eine Formel, welche lehrt, wie man ber‘ ‘einem he von ‘fünf Geraden (a,5,0,d,e) in einer‘ ‚Ebene aus den zwei D ‚verhältnissen , nach welchen beliebige zwei, dieser Linien (e und e) von den jedesmal vier ‘übrigen Linien (e,d,b,a und d,e,b,a) geschnitten werden, das D.verhält- niss finden kann; ‘nach welchem jede'der’andern drei Linien (z.B. @) von ‘den vier übrigen (v6 ba) geschnit- ten wird. Nah nn Esöbedarf keiner FEETEDUN dass auch Du diesen Formen der D.verhältnisse die obige Lehre von ‚der ‚Ver i setzung der 'vier Elemente vollkommen anwendbar ist, Man kann daher auch schreiben ($. 184. I): &(2,b,d,e) .°(a,b,e,d)= "(a,b,8,0); zZ und, wenn man stait dieser D.verhältnisse die recıproken setzt (ebend. IL): ° (a,b, c,d).°(a, b, d,e) = # (a,b,e,e) oder ei &a,b,d,e).°(a, b,e,0).*(a,b,e,d)=r, Formeln, welche sich ihrem Aeussern nach von den For- meln in &. 185, nur-dadurch unterscheiden, dass, statt der dortigen grossen Buchstaben, hier die entsprechen- den kleinen stehen, und der in jeder Complexion von den fünfen a, b,e,d,e jedesmal fehlende Buchstabe links oben beigefügt ist. = Um den Satz, dass durch die D.yerhältnisse ın irgend zweien der fünf Geraden die D.verhältnisse in je- der der drei übrigen gefunden werden können, noch durch ein Beispiel zu erläutern, so seyen gegeben: boden; la,oche)=g; und gesucht werde *(dyb,e,a)—=x. Nach dem Vorigen hat man: Kodbe).cd,e,a) = (e,d,b,a). Sodann ist (8. 184.): °(e,d,b ‚= mt (da) ==, gi Ke, d, b, a) > u 3 —x: “ und daher: se. q = i , | re er re folglich Air 2 or A 1 2 (pm1)q \ 258 &. 192. Lehrsatz. - Wenn bei einem $fste- me n gerader Linien in einer Ebene von den Doppelschnittsverhältnissen, welche in die- sen Linien von den gegenseitigen Durch schnitten derselben gebildet werden, irgend an—8 von einander unabhängige gegebensind, so lassen sich daraus alle übrigen finden. Be we is. Heissen die n Linien des Systems: a,b,e,d,..., und seyen anfänglich alle die D verhältnisse bekannt, welche in: a und 5 von dem gegenseitigen Durchschnitte dieser Linien und den Durchschnitten mit jeder der übrigen gebildet werden. Nach dem vorherge- henden $. lassen sich hieraus alle D.verhältnisse ablei- "ten, welche in einer dritten Linie des Systems, z.B. in e, zwischen den Durchschnitten dieser Linie mit @ und b, und einer vierten und fünften, also überhaupt mit zweien ' andern, des Systems statt finden; und hieraus nach 8. 186. alle übrigen’ D.verhältnisse in e, und auf gleiche Weise die D.verhältnisse in jeder der übrigen Linien. ‘Da nun bei einem Systeme von Linien in jede derselben n—ı Durchschnitispunkte fallen, ‚und mithin nach $. 187. alle D.verhältnisse einer solchen Linie durch. beliebige (a—1)—3 von einander unabhängige gegeben sind, so lassen sich alle in unserm Systeme, vorkomm den D.verhältnisse, also auch die aa —8 gegebenen. und ein, (an—7)tes gesuchtes, als Functionen y von n—h n'a, | \ 259 Bei einem Systeme gerader Linien in ei- ner Ebene sind mit den Doppelschnittsver- hältnissen zweier dieser Linien die Doppel- schnittsverhältnisse aller übrigen Linien ge- geben. ! Doppelschnittsverhältnisse bei einem Systeme % von Ebenen. NE N $. 193. Man denke sich ein System von » Ebenen, welche &,ß,7,d,... heissen. Jede dieser Ebenen, wie «, wird von den »—ı übrigen Ebenen 8 7,d,... in n—ı Geraden «ß,@y,«ö,... geschnitten, wenn wir den Durcha schnitt zweier Ebenen durch Zusammenstellung der für sie gewählten Buchstaben bezeichnen. Jede dieser Ge+ raden aber, wie & ß, enthält ein‘System von 2#— 2 Punk+ ten, indem sie von den übrigen —2 Ebenen »,,... in eben so viel Punkten geschnitten wird, die man ähn- licherweise durch 7, eBd,.,. ausdrücken kann. Auch lassen sich diese a—2 Punkte einer Geraden aß noch ansehen als die Durchschnitte von «8 mit den übrigen n—a Geraden e7,aö,... dereinen «, oder mit den übri- gen n—a Geraden ßy,£ö,... der andern f der zwei Ebe- nen, von ‚welchen «8 der gemeinschaftliche Durch schnitt ist. , Fl, 1 3117 Je vier solcher 'n—2, in einer Geraden liegenden, Punkte, in einer gewissen Folge genommen, bestimmen nun den Werth eines D.verhältnisses, "weswegen » nicht kleiner'als 6 seyn darf; wenn von D.verhältnissen bei &inem Systeme vom Ebenen die Rede seyn soll.’ Die ge- genseiligen Beziehungen. aber, die\zwischen allen sol- chergestalt sich - bildenden D.verhältnissem statt finden, lassen sich ohne neue Hülfsmittel schon aus den, bei einem: Systeme: gerader ‚Linien ‘in seiner Ebene gefunde- | Ra N 260 nen, Relationen herleiten, und wir kön sogleich fol- genden allgemeinen Satz darthun. - $. 194. Lehrsatz. Wenn bei einem Syste me von rn Ebenen von den Doppelschnitts- verhältnissen, welche in den Durchschnitten je zweier Ebenen zwischen den Dürchschnitts= punkten derselben mit den übrigen Ebenen statt finden, irgend 32» —ı5 von einander un abhängige gegeben sind, so lassen sich hier- ausalle übrigen finden. 7 Beweis. Heissen die » Ebenen wiederum: 8,8... Man fasse zuerst die drei Ebenen «, , x ins Auge. Ihre gegenseitigen Durchschnitte sind die drei Geraden aß, ey,ßy mit dem gemeinschaftlichen Punkte @ßy. Nun las sen sich nach $. 193. aus den D.verhältnissen in aß und ey, als in zweien Linien der Ebene «, die D.verhältnisse in allen übrigen »—3 Linien dieser ‘Ebene, also auch die D.verhältnisse in «ö finden, und eben.so aus den _D.verhältnissen in «ß und ßy die D.verhöltnisse in’der, gleichfalls der Ebene 8 zugehörigen, Linie $5 ableiten. Aus den D. verhältnissen i in «öd und £Ö, als i in zweien Lie, nien der Ebene ö, ergeben sich ferner die Diverhältnisse der Linie de in derselben Ebene; und auf die nämliche Art die D.verhältnisse jeder andern Linie, ‚welche.iin 5 keiner der drei Ebehen @,ß, 7 liegt. Jedes in dem Sy- steme vorkommende D. ‚verhältniss muss sich folglich als ‚eine Function der in den drei Knien up, ay, By begriffe- nen D.verhältnisse därstellen lassen. Offenbar aber sind die D.verhältnisse in jeder dieser drei Linien von denen in den jedesmal zwei andern ganz unabhängig; es ent- hält ferner eine jede dieser Linien a—» Punkte und folglich (8. 187.) a—5 von einander unabhängige D.ver- ’ hältoisse, mithin alle drei Linien Inh solcher‘ Ver- 261 hältnisse, wovon jedes andere D.verhältniss des Systems abhängig seyn muss. Sind aber diese Beziehungen in _ Gleichungen gebracht, so werden, eben so wie in $.187. und 1g2., auch aus irgend 3” — ı5 andern von einander unabhängigen D.verhältnissen des Systems die übrigen gefunden werden können, Zusatz. Weil. jede. Linie des Systems n—5, und folglich irgend drei derselben , mögensie sich, wie vor- ‚hin «aß, «7, ßy in. einem Punkte, oder auch garnicht schneiden, 32 — ı5, von einander unabhängige D.verhält- nisse in sich fassen, . so felgern wir noch analog mit $. 159.: Fi Bei einem Systeme von Ebenen können aus den Doppelschnittsverhältuissen irgend dreier, nicht in derselben Ebene enthalte- ner, Durchschnittslinien der Ebenen die Doppelschnittsverhältnisse „aller ührigem Durchschnittslinien gefunden werden. u $. 195. Man sieht aus dem vor.'$., wie mircelst der für ein System gerader Linien in einer, Ebene in $. ıgı. aufgestellten Formel alle, auch bei einem Syste- me 'von Ebenen vorkommenden, Beziehungen zwischen . D.verhältnissen ausfindig gemacht werden künnen. Es . lässt sich aber zu dieser Absicht der gedachten. Formel eine noch schicklichere‘; die Uebersicht der BRENR mehr erleichiernde, Gestalt geben. Seyen & ß, 10, && beliebige, BerhE Ebenen. "Die Durchsehnitte der Ebene . & mit den fünf übrigen werden, wie vorhin, durch a&, #8, 78, ö8, «& bezeichnet, ‚Da diese fünf Durchschnitte eben so viel in. einer Ebene liegende IN “ So 262 Gerade sind, so ist ($: 1gr.), wenn man’ sie der Kürze willen resp. @, b, 0, d,e 'nennt:' ipnBdds , % r i 2 SERIE TE IR %a,b,e,d). ea, d,e) = Ta,5,056).. pi baw Nun begreift das erste dieser drei D.verhältnisse, (a,b, ,d), die vier Punkte der Geraden e oder; ed, in welchen dieselbe‘ ‘von den vier Geraden a, 5,0,d ‘oder «5,86, 75,65, und mithin auch von den vier, diese Gera- den enthaltenden , Ebenen a, 8,7, d geschnitten wird. Es lässt. sich hiernach jenes D verhältnis dem Henri \ analog durch » %a,ß,nd) „ausdrücken. Eben | so: besteht °(a,b, d,e) aus den vier Punkten, in, welchen die Gerade y& von den Ebenen a,ß,d,e geschnitten wird, und: werde ‚daher ausgedrückt durch 75@,B,8, €), so wie 4, b,e,e) durch da, B PA 9 " Substituiren wir diese Ausdrücke i in der obigen Er a mel,,so wird sie: i RONNE a Dh *(@,8,98). 7%@,B,8 = NETEN, Se 12 eine Formel. die mit der in $. ıgı, ihrem Wesen. n ganz idenlisch ist, und rücksichtlich ‚ihres Asussern, sic nur dadurch von jener unterscheidet, dass dem j Bi esıal links oben stehenden Buchstaben, ein neuer, & eige- fügt ist., r tet 8. 196, REN a. So wie von vier in Ebene enthaltenen und sich in einem Punkte E den Geraden jede andere Gerade der Ebene n; selben D.verbältnisse geschnitten wurde ($. auch von vier Ebenen im Raume der Satz: 263 _— Vier Ebenen, welche sich in einer und derselben Ceraden schneiden, theilen jede andere Gerade nach einem und demselben Dwverhältnisse. : Denn heissen die vier Ebenen a, 97.8, und.ibre gemeinschaftliche Durchschnittslinie ee Werden ferner von diesen Ebenen zwei beliebig gezogene Gerade F und J, die'eine f in 4,2, C,D, die andere f i in d'!,B', CO, Di resp. geschniiten. Dass nun dabei (4,8, cD) >43 (AH, Br, C,DN, fliesst in dem Falle, wo f und f? in einer Ebene liegen, unmittelbar aus $. #8g., weil alsdann die vier Geraden’ Ad, BB’, CC)DD' sich in einem Punkte, dem’ Durch- schnitte dieser Ebene ı mit der Geraden e sbhhreidn. . Sol aber f und fr. nicht in einer. Ebene enthalten, so Rn man, durch. jede ‚derselben. eine Ebene’ nach Be- lieben. Der ‚Durchschnitt ‚dieser zwei Ebenen, welcher f heisse, werde von den Ebenen «a,ß,y,ö in den Punk- ten HW, BACH, D* geschnitten, so ist vermöge des vöri- gen ‚FaHs‘, weil #* mit‘f'in einer Ebene liegt: (4,2) = (4,B,..), und weil f* mit f in einer Ebene ist: (Au, Br, .)=(4, > Al .); also wiederum: (4, B,.) = (4, B',. $ 3 x . a 08 b. Sind in dem Ausdrucke | eines D ‚verhälinisses statt zweier der vier Punkte zwei Ebenen gesetzt, und versteht man unter diesen Ebenen die Punkte, ‚in. wel- chen die Ebenen von a Geraden, welche die zwei übri= gen Punkte im Ausdrucke verbindet, geschnitten. werden, _ so lässt sich mittelst des eben erwiesenien Satzes, ‚ähnli- cherweise, wie in $. 190.) ‚Jarthun, dass,, wenn 4,. „Fr beliebige sechs Punkte i im Raume sind, und man in WR Form (4,8,€,D) zu zweien der darin enthaltenen vier Ri “nr \ 264 “ Buchstaben das Buchstabenpaar EF hinzufügt, sämmt- liche sechs auf diese Art entstehenden D.verhältnisse; - (4,B, CEF,DEF), (4, BEF,C,DEF), (4, BEF, CEF,D), etc. f gleiche Werthe haben. — Denn es sind die D.verhält- nisse, in denen der Reihe nach die sechs Geraden AB,4C,AD, ... von den vier Ebenen 4EF, BEF, CEP, DEF, welche sich gemeinschaftlich in ZZ schneiden, ge- iheilt werden. En 8. 197. Es soll nun noch die Anwendung der in $..195. gegebenen Formel auf die Lösung der Aufgaben, welche zufolge des Lehrsatzes $. 194. gebildet, werden können, in einem einfachen Beispiele gezeigt werden, Aufgabe. Bei sechs Ehenen «,8,7,6,3,$& wird der. Durchschnitt je zweier von den vier übrigen in vier Punk- ten geschnitten, und somit in dem Durchschnitte je zweier. Ebenen ein D.verhältniss gebildet. Seyen nun die D.ver- hältnisse in den Durchschnitten #y, ya, af: Pr (a,2, .)=p 7A. Pb, Aw mr gegeben; das D.verhältriss in dem Durchschnitte a Kan de u % zu finden. en Auflösung. Jede der sechs Ebenen enthält fünf | Durchschnitte, also ein System von fünf Geraden, wo- 7 bei man nach $. ı9r. aus den D.verhältnissen zweier der selben das DD Vetaltniä jeder: der drei übrigen Far kann. ei Man suche daher in der Ebene 7 aus den geschenen ; D.verhältnissen der Geraden «y und Br, das der era- ; den yes; und eben so in der Ebene ß aus den By 623 nissen der «8 und fy, das der ße. Hiermit kennt m n 265 zwei D.verhältnisse in der Ebene e, die der Geraden ys und fs, woraus man auf gleiche Weise das gesuchte D.verhältniss der in derselben Ebene liegenden Geraden e& finden kann. Die Ausführung selbst ist folgende, _Man hat nach $. 195. ) oa). 78), ) Ma. Ae 3 78,89. Setzt man daher noch 7°(6, 6,0, ß)—um, Pe (8, 609) =n,so erhält man nach $. 184.: Prosa) PD (58 9)=ı-m, 0705, 55 £) =! P&a, 6, 6, in —— u, Po, ee - gain: Hierdurch werden die Gleichungen 1), 2), 3): ı—p ı—p im ı 10° var mn Tr x are ap Die geraetissisn Netze B) . (He 17 he Di - - - 24 Pe Rn 2 F Das Netz in einer Ebene. ER 8. 198. Seyen 4, B, ‚€, D (Fig. 43) Jier yeliebige Punkte Pe in einer ‚Ebene, ‘von "denen jedoch keine drei in einer Geraden liegen. 4,B,C.: ‚zu den: drei: F.punkten. ‚der Ebene genommen, sey, Dzas +3B+eL, 0 oder re trischer , wenn man arb+——d setzt ($ ab. „el Es ‚ » Ho Lad BB+C+aD=Eb. pe > = v ‘Man verbinde die, yier ‚Punkte zu z reiey a I’ rade, und nenne den Durchschn der >% den BE und 42, B‘ den Durchschnitt der , CA undı BD, Ct den. . Durchschnitt der AB und CD, oder, — wie wit re ’ 1, Kürze wilten inskünftige schreiben wollen, — _ wi SH BC: ADZA, CA: BD=By, AB: Fam, ; | Alsdann ist ($. 24. d. JE; N, RR Bi Re h ‘IL. eC+aA=—IB-dD=bB, 87 % Are ddl äh | wo Wb+e, b’=ce-+a, EAN Peak I \ ' Man ziehe noch die en 20, m ‚selze: „ Re AD= Au, a: BD=Br, 267. M., und mit der ange en = —dD.. Es wird nämlich : en > rn nad bB4eC=aA-dD— bBite Sr rar Fall sbBreCIB— AD E =e C+a 4—(b—M) Bü (ed+bB-+2c C=eC—-dD= ade yb Bi—(c-d ) 6) ‚Sey endlich BC. BOZF. CA CA GAB‘ WBR=H, so kommt, wenn’ man die Gleichungen H. pakkypenad von einander subtrahirt: f BB— el=ell' -bBt—(be) F, IV el— adAma A — cl — (c—a) G,. ad— IB= dB* — add — (a—2) H. LESE" Wir ziehen hieraus nachstehende imerkwürdige Ei, genschaften unserer Construction. 1) Vermöge'H. verhält sich: *'’ © > Au BA:4C=e:l, ER Ch'.B’A—aä:k, ep / AC:CB=b:a, |‘ "Bar ne 40 5\ folglich 7 . Ba“ Ga a. h. a. #9b Verbindet man. die drei Spitzen « eines Dreiecks mit \ einem vierten in der Ebene des Dreiecks liegenden „ Punkte durch gerade Linien, so ist das Product aus den drei W/ erhältnissen, N welchen die Seiten des Dreiecks von diesen Linien geschnitten werden, der positiven Einheit „gleich. PER hey Y Fa 4 51) 2). Aus der ersten Gleichung.i in 1. folgt: our “ER eC—aAd=B, ad rad), roh he! und daher :. VER!Brzmarzejyunn nihisd neh A'D:DA = ara, : AR EN. | % 268 ‚Es. war aber auch 45, B’C=e:a;, ? CB AD AB w > 84° DA es, | eine Relation, welche folgendergestalt ausgesprochen, sich leicht behalten. lässt: Das Product aus da drei V erhältnissen, nach welchen die drei Seiten eines, Dreiecks ( ACH) von einer vierten Geraden (BDB*) geschnitten werden (CA: in 3, 4A inD, AU in,B‘), ist der REGÜNER Fine "heit gleich. se 3) Nach I. -ist: A=aA-+dD,- und nach HL: H=a4—dD;.. _.. », AP AM dd. —d folglich —— FI az ° oder > (4, D, 4", ‚N)=— 1. dasgek Auf dieselbe Weise finden sich auch, dio Dog nisse mithin LE, D,B, 2"), (6,D, 0,00, (B,C,4,P), (GhB, (42,04, (8, 0,4" 7) (4,8%, 6), (4,8, 0° nr der negativen Einheit‘ gleich; also: hs ur v erbindet man vier beliebige RT in einer " Ebe- ne zu. zweien durch gerade Linien, und die drei mit 3 entstehenden Durchschnitte von Neuem durch. Ger. so erhält man ein System ; von neun Linien, und in ji Je der derselben vier Durchschnitte. Das Deere aber, nach welchem bei je vier eolchen Punkten « Theil der! Linie! zwischen einem\'der:. beiden Ana. und dem nicht, zunächst. liegenden innern Punkte, in den beiden andern geschnitten wird, ist der n gativ Einheit gleich, BNYEN Pen 959 Diese Gleichheit der D.verhältnisse kann auch schon. aus 8. ı88. leicht dargeihan werden. ‘Weil nämlich 40, DE, 4"F sich in einem Punkte, 2°, schneiden, so: ist (4,D, 41,40) = (0,B,4,F'), und eben so, weil Al ,DC, ‚4#"F sich in einem Punkte, C’, schneiden: (4,D, 4,4") = (B,C,4',F), folglich (3, C, A, F) ad (C,3,4, 7). Nun ist nach $. ı84. von diesen zwei einander glei- chen D.verhältnissen das eine auch dem Reciproken des andern gleich, und mithin jedes derselben = +ı. Da aber ein D,verhältniss nicht =+ ı seyn kann, ohne dass zwei seiner vier Punkte zusammenfallen, oder unendlich entfernt liegen ($. 182.), so gilt nur die negative Ein- heit, und folglich ist (42,44) = (B, CA ger Sodann ist‘ (3, C, 4, F) = (0%, B, 4A“, F), wel BC', CB', 4’ ın A zusammentreffen, Eben so wird ferner bewiesen, dass (3, D, 3, B') = (0, 4,B,60) = (4,C0',B,C) = 1, u. WW RT; Man bemerke hierbei, dass ein der negativen‘ Einheit gleiches Diver- hältniss ganz mit der sogenannten harmonischen Thejluig überein- kommt, —: Drei Grüssen: stehen in einer stetigen harmonischen Proportion ‚‘ wenn ‚ihre Reciproken eine \ stetige 'arithmetische Pro= portion ausmachen, oder was dasselbe ist, weon, die Differenz der ersten und zweiten Grösse sich verhält zur Differenz der zweiten ind dritten, wie die erste zur dritten, Sind demuach 4, B,C, ‚D vier Punkte einer Geraden ‚ so bilden die drei Abschnitte „42,40, AD eine harmonische Proportion, wenn JU— AB: AD— Ac == AB: ADy d.i. BC: CD=AB:AD, Man sagt daher, eine Li- nie AD werde harmonisch getheilt, wenn sie in drei Theile IB, BC,CD zerlegt wird, so dass sich der, mittlere Theil zu. denn ei nen der beiden äussern verhält, wie, der. ‚andere Äusserg: zu der f ganzen Linie, Es folgt aber aus dieser Proportion : "Be. BA CD-AD ı mn d. i. 8,D,0,9=-ı. 7) „ „Carnot sagt dafür in seiner Geometrie de,position,. die Linie "BD werde in C und A in proportionale Segmente geibeilt. ‘ Vebrigens.erhellet aus $. 184., dass, wenn (B,D,0, y)=-—1, auch (3, D,4,0) = (D,8,4,0) = (D,B;&, 4) = (C,4,B,D) = (6,4,D,B)= (4,0,8,D)=(4,6D,B)=—ıis,. 4) Durch Addition der drei Gleichungen IV. erhält man: (b— ec) F+(e— a) G+ (a—b) H=0; mithin liegen 7, G und H in einer geraden Linie; also: Beschreibt man in ein Dreieck (ABU) ein zweites (4B'C'), so dass die drei Geraden, welche die gegen- , überliegenden Spitzen verbinden, sich in Einem Punkte (D) schneiden: so sind. die drei Punkte (F,G, I), in denen 'sich die gegenüberliegenden ‚Seiten a + in Einer Geraden enthalten. ” 5) Zieht man die Gleichungen III. paarweise von einander ab, so kommt mit Berücksichtigung der Glei- chungen IV.: N (4) BU —te—d) H=(b—e)R, (e—d)CH-- (a—d) 1H—(c—a)G, (a—d) A" — (b—d) Br=(a—b)H, Mithin liegen auch 3” und 0” mit F, C” und 4% mit G, 4“ und 2" mit 7 in gerader Linie, welches Äölgenden Satz giebt: = Wird in ein, Dreieck ABC ein Knsides ABC, en: ; in dieses ein drittes A"B“On einbeschrieben, ‚derge- ‚stalt, dass die gleichnamigen Spitzen mit einem vier- ten Punkte D immer in einer Geraden liegeny‘ ‚also 4,4, dA" mit D; B,B‘,B* mi D; Gm, mit D: so schneiden sich hinwiederum die gleichnamigen , Sei- ten dieser drei Dreiecke in einem Punkte, nämlich BO, B'O, BC in P5; C4,0.4,C"4" in G; AB, ABr, A"B" in H; auch liegen diese drei Punkte FB: ; in einer Geraden, A ee 8. ı99.. Zusätze. a. Die in a) erhaltene Relation, - ‘worauf übrigens schon die in 8. 157. ı. gefundenen und die zum Beweise des Satzes $. ı88, angewendeten For- meln hinauskommen; lässt sich noch symmetrischer aus den allgemeinen Ausdrücken in.$. 3g: für die Durch- schnitte einer Geraden mit. den Seiten des F.dreiecks ABC ableiten. Denn heissen diese Durchschnitte 7, &L, se ist nach $. 3g.: I1=yB—ßC, KzaC—yA, L=$4A--aB, ‘ N . BET i und daher, wie vorhin: Ä LK ey Fe IC RANGE, Y ; Be b. Werden die Seiten des Dreiecks 4BC von einer zweiten Geraden in M,N,O geschnitten, so hat_man auf gleiche Weise: -BM. CN. 4Q ra 7 7 Dividirt man nun (2) in (1), so kommt; (8, 6, 1,0) (,4,&KN) (4,8,2,0) = ı, oder, wenn man die Geraden /ÄZ und MNO mit a und b bezeichnet ($. 196.): af @) (8,6,4,5) (0,4,4,0) WB) ı, und, wenn man die Dreiecksseiten BC,CA, AB resp. e,d,e nennt ($. ıgt.): '. °(e,d, a, b) * (oma). "40,0,)=1, Mr eine Formel, die, wie man gleich erkennt, mit der in 8. ıgı, auf weniger einfachem Wege erhaltenen ‚ganz identisch ist. Sie drückt, NEFRÄRR der Form 0) fol- genden, Satz aus: u 272 Das Product aus den drei Dverhältnissen „nach ‚welchen die Seiten eines Dreiecks (ABC) von zwei andern Geraden (a,b) geschnitten werden, ist der ‚ positiven Einheit gleich. e. . Diese Eigenschaft und die obige i in =), gelten aber nicht bloss für das Dreieck, sondern können auf jedes beliebige Vieleck ausgedehnt werden. Hat ınan nämlich in einer Ebene ein Vieleck und eine Gerade, so zerlege man ersteres durch Diagonalen aus einem Punkte in Dreiecke, bemerke hierauf die Punkte, in de= nen die Seiten dieser Dreiecke (oder ihre Verlängerun- gen) von jener Geraden geschnitten werden, und bilde für jedes Dreieck eine Gleichung, wie (1). Multiplieirt man nun diese Gleichungen in einander, so "heben sich die Verhältnisse, nach denen die Diagonalen geschnitten werden , gegenseitig auf, und man bekommt den Satz: Das Product aus den Verhältnissen, nach welchen alle ‚Seiten eines ebenen Vielecks von einer Geraden geschnitten werden, ist der Einheit gleich, und zwar der positiven oder negativen, nachdem die Seitenzahl des Vielecks gerade oder ungerade ist. - Bildet man dieselbe Gleichung für eine zweite das | _ Vieleck schneidende Gerade und dividirt diese Gleichung. in die vorige, so erhält man als Resultat: Das Product ‚aus den D.verhältnissen, nach denen alle Seiten eines ebenen WVielecks von zwei Geraden. geschnitten werden, ist der positiven Einheit gleich. Ist endlich das Vieleck nicht in einer Ebene ent- halten, so gelten dieselben zwei Sütze, wenn man die Seiten des Vielecks mit einer oder zwei Ebenen, statt Geraden, geschnitten werden lässt. £0 Der Beweis hierfür ist dem obigen ganz. ahnlich. Ich brauche übrigens wohl kaum hinzuzusetzen, a ” 73 x allen. diesen Verhältnissen jede Spitze des Vielecks nicht als gemeinschaftlicher Anfangs - oder Endpunkt der zwei darın 'zusammenstossenden Seiten, sondern immer als Anfangspunkt der einen und Endpunkt der andern Seite genommen werden muss ($: 181.). $. 200. Die Construction der in:$. 198. beträchte= ten Figur bestand darin, dass wir vier in einer Ebene “liegende Punkte 4,2, C,D durch Gerade verbanden, und | die somit sich ergebenden drei Durchschnittspunkte 4, B’,C' abermals durch Gerade verknüpften. Hierdurch % erhielten wir sechs neue Durchschnitte 4”, Bw, 0, F,G, ZH, die nun wiederum unter sich und mit den sieben er- stern Punkten durch Gerade *) verbunden werden kön- | "nen. Und so lässt sich das Verbinden der durch vom *) Dies werden folgende sechazehu‘ seyn?’ i AP , BA', CA", DR, Bıb"P Ar "AB", BG, CB", DG, CHAUG 4cu, BC", CH, DH, A"B"H und FGH, Untersucht man die Punkte, in denen sich diese Linien unter einander und mit den vorhergezogenen schneiden, so wird man ° wiederum eine Menge merkwürdiger Verhältnisse entdecken Auch wird es 'mehrere Male, eben so wie im Vorigen, der Fall seyn, dass drei dieser Linien sich in einem Punkte schneiden, und dass drei oder mehrere Durchschnittspunkte in einer Geraden enthalten sind, So liegen . in. BC die Punkte ’ DR DH» AB"ZabB+4cCy in B'C* die Punkte D6: EEE TEEN DH: AcH=32A+bB-+tael, BG CB" = aA +abB—cC, CH'BC"Z aA4— bB-+20C5 in AD die Punkte Bo”. CB" =4A42bB-+}-2cC, CH: BGH —aA+bB+eC. Die auf ähnliche Art in die Geraden CA, C'A', BD und AB; A'B', CD fallenden Punkte ergeben z. bieraus durch blosse Ve- tauschung der Buchstaben, $ ’ . Fine A A , 2 ni u ch 4 ” . > eu , 274 hergegangene Verbindungen entstandenen Durchschnits- ‚punkte ohne Ende fortsetzen, Das auf solche Weise aus den vier in einer. Ebene | ‚ beliebig genommenen Punkten 4,2,C,D sich nach‘ ‚und | nach bildende System von Linien wollen wir ein, Netz ‚in einer Ebene, die Linien selbst und ihre gegensei- (tigen Durchschnittspunkte die Linien und Punkte \des Netzes, und die vier Punkte. »4,..D, von denen \die: Construction ausgeht, die vier Ha a? ae Sao ‚des Netzcs heissen. sr ig, Es würde Hicht' ndr acht ermüdend, Seide ‚auch von keinem erheblichen Nutzen seyn, wenn wir, eben so wie in 8. 198. bei den ersten Linien des Netzes, “Auch bei der fortgesetzten Construction desselben in das Ein- | zelne gehen wollten. Dagegen soll uns in den nächsten 8$. die Entwickelung mehrerer allgemeiner Eigenschaf- ten des Netzes beschäftigen, die schon an sich merkwür- dig genug, besonders aber für die noch vorzutragende fünfte Verwandtschaft von Wichtigkeit sin. j “ws 8. 201. Lehrsatz. Sind 4,2, C und >=. --5B-+cC die vier Hauptpunkte eines Netzes in einer | Ebene, so kann jeder andere Punkt >? des er 5 einem Ausdrucke von der Form Er; FE. gaAd+xbB + ver N sl Ws der Richtigkeit der beigefügten Ausdrücke i sichern können. So findet sich z.B. der Ausdruc 3A abB + cC—=3(aA1+bB)+(aA+20)=x(a « t =2(@aA-+-bB +eC)+(aA4—el) } TE 275 „dargestellt werden, wo 9,7, rationale Zahlen, Null mit einbegriffen, sind, die nicht von der gegehseiligen Lage der Hauptpunkte, sondern bloss von der Verbin- dungsart abhängen, durch welche man, von den Haupt- punkten ausgehend, zu ? gelangt. Beweis. Jeder neu hinzukommende Punkt ? des Netzes, wird erhalten als der Durchschnitt zweier Gera- den IX und ZM, deren Punkte 4,%£,Z,M7 schon vorhan- dene Punkte des Netzes sind. Man nehme nun an, die Ausdrücke dieser vier Punkte seyen von der im Lehr« satze angegebenen Beschaffenheit, und setze daher: urzwadir BB + weG, NK rad +atbB +ellcC, u —=NMaAtrbB + 1cC, mM—u'ad +utbB + a'cC, 0) wo also v,ır, u, 2, etc. rationale Zahlen sınde Man eliminire aus diesen vier Gleichungen 4, B, €, so gehen auch die damit resp. verbundenen Coäffieienten a, b,6 : heraus, und man &rhält eine Gleichung von der Form: (2) ultra K UL +imM—o, wo 1,2,%;u Coüfficienten’ vorstellen, die aus den vorigen er, #4, v",x%,... sich durch lineäre Gleichungen findet las= sen, Es folkt aber Aus letzterer Gleichung: S U$xEK=UL4 umM=P; mithin, wenn man für i/ und &K (oder 177 und mn) ihre obigen Werthe substituirt, und Ken Y, ut aut—y, wit all m =yp setztt =gaA+ybB-+yeC, Sind nun, wie angenommen wurde; 4.41, 1 N rationale Zahlen, so werden es auch : und *, und folg= lich auch 9,2% VNSETRN. N a ci.e ir 276 Es lassen sich aber die vier Hauptpunkte 4,B,C,D selbst durch Ausdrücke von der angenommenen Form darstellen, indem für 4 z=y==o; etc. und für D, P=x=w ist. Mithin wird auch dieselbe Form allen aus A,..D abgeleiteten Durchschnitten, d.h. allen übri- gen Punkten des Netzes, zukommen. Beispiele hierzu liefern dieAusdrücke in $. 198. und in der Note zu $. 200; Uebrigens sieht man leicht, dass 9, x, y nicht von a,b,e und folglich auch nicht von der gegenseitigen La= ge der vier Haupipunkte abhängen. 8. 202, Zusätze a. So wie der Durähichnieg B der Linien ZX und ZM den Ausdruck 17+ xkK hatte, eben so wird für den Durchschnitt @ der 4X mit irgend einer andern Linie des Netzes der Ausdruck 1,7 +%,EK seyn, WO t,, %,, aus gleichem Grunde wie ı2,*, rational sind. Es folgt aber | “aus P=ul+rkK,.. IP: PK=ık: ieh und aus =Zyil+x,kK,.. IQ: kmh: uf; Ehen, u 4 mithin ist E = KP,Q=- en also ebenfalls rational, d.h. ” Jedes in dem. ebenen Netze sich bildende. Doppelschnittsverhältniss hat einen ratio- nalen, bloss von der Constructionsart und nicht zugleich von der gegenseitigen Lage ' der vier Hauptpunkte abhängigen, Werth. Als Beispiele dienen die in $. 198. , a hältnisse, 2 b. Sey noch N irgend ein Punkt des Netzes, and daher sein Ausdruck: 2 »N=»rad+r"bB re red, EUER 277 wo »v‘,»y", v4 rationale Zahlen sind. Man eliminire ans dieser Gleichung und den obigen Gleichungen (1) für J,&,Z die Punkte 4,3,C, so bekommt man: (3) @l+2,kK+A2L-+vnN=o, wo, ähnlicherweise wie in (2), 44 %,, A,, » rationale Zahlen bedeuten. Setzt man noch d=i,, »k—k,, Mh, so-kann man für (2) und (3) auch schreiben: MZil+k,K+LL, N= til} HuKr+ "ur, - x & D 4 4 F ; Da nun hierbei a Er = rational sind, so schliessen wir: Sind ZA, LM irgend vier Punkte eines ebenen Netzes, von denen keine drei in einer Geraden liegen, so kann jeder andere Punkt N desselben Netzes auch unter dem Ausdrucke eines Punktes dargestellt wer- den, welcher dem aus 4,&,Z,M, als Hauptpunkten, her- vorgehenden Netze zugehört. Es folgt nun der umgekehrte Satz von $. z01. $. 203. Lehrsatz, Sind 4,B,C und D=Z =aA+bB +cC vier in einer Ebene N Punkte, von denen’ keine drei in einer Geraden liegen, und 9, x, yw irgend drei in rationalen Verhältnissen zu einander stehende Zahlen, so lässt sich der Punkt der Ebene Pz=gad+zbB+ yeC | durch fortgesetzte Verbindung der vier erstern Punkte mit geraden Linien finden. x Beweis. Unter der gemachten Voraussetzung, dass die Verhältnisse p:x:y rational sind, können und wollen wir uns unter 9, x und y bloss BAnSe Zahlen vorstellen. Nun ergeben sich yon die Durchschnitte der 48 mit CD und der 4C mit 'zD’ 278 ve 1) die Punkte a4+5B und a4+cO (Fig, 42)" als’ - (8:8). ne 2) ist der Punkt 2ad+bB-+cC*) = a4+(ad+bB ++el)=(44+5B)+(a4+eC), und wird daher gefunden als der ‘Durchschnitt der Geraden 4D ‚mit der-dwrch‘ ad+bB und «4-+0C gelegten Geraden. ' Verbindet man: diesen Punkt mit C und 2, so erhält man,in den Linien AB und 4C die Durchschnitte 2«4+5B und a4 as “ ‚Hiermit ergiebt sich 3) der Punkt 3a4+bB+cC—= 2a4t(e44B40C) =(2a4+5B)+(a4+6C)—=(2a4+cC)-+(a4-F3B), als der Durchschnitt zweier der drei Geraden, welche: A mit D, 2a4-+bB mit @a4+cC,. 2ad4+eC mit edrbB ‘verbinden. ‘Zieht ‚man von diesem Punkte zwei Gerade nach C und Z, so schneiden dieselben die 4B- und AG in den Punkten 3@«4+52 und 3a4+.C, wodurch. man | 4)' den Punkt 4a4--5B-++eC. erhält als den Durch- schnitt aweier der vier Geraden; durch 4 und D,. I: i aaA+bB und 2@4-+-cC, durch 3aA+5bB und a4re durch 3@44+cC und «44-+5B; dieser Durchschni im C und 3 verbunden, giebt in, 43 und AC %e, 4aAd+bB und 4a4+eC. 5 i . Auf solche Weise fortgefahren , bekomai m Punkte 50.44 5B-+cC, GaA+bB+eC, etc. also allge gad-+bB-+eC, wo ® jede positive Zahl seyn ‚kan Auf ähnliche ‘Art, lassen sich nun aus. de *) Aus Mangel an Ram sind dieser Punkt und d +58 +6, 4044... in der Figur nur durch die angedeutet worden. N Kr 279 m 7 leiten, . wox. wiederum jede Se 4 Banze Zahl vor- stellt. , her Eben so wird endlich nen pad ybB+cC der Punkt gad+zbB+yeC gefunden, was ,aych w für eine positive ganze Zahl ist, _ Es bleibt also nur noch übrig, die Construction für einen Punkt anzugeben , bei welchem 9, %, ıy nicht wie bisher einerlei Zeichen haben. Sey demnach, unter der Vorausselzung, Uhse 9,%,y positive ‚ganze, Zahlen sind, der zu findende Punkt -Pzpadt BB = oc. Zuerst suche tnan den Punkt ga4+xbB-}yeC. So wie nun in 8. 198. aus den Punkten 4,B,C, aA+bB+cC die Punkte «4 — cC und 53 — eC abgeleitet wurden, eben so wird man aus 4,B. ,C, gad-+zbB-FyeC die Punkte gaAd— re? und xBB—yeC, und-hiermit den Punkt a4 +xbB-weC als den Durchschnitt zweier der drei Linien: durch C'und g@4-+%5B-+yeG, durch Z und FORDERR durch A und g5B— weC, finden können. Man erkennt übrigens leicht, dass es ausser den jetzt vorgetragenen Constructionen noch viele andere und in manchen speciellen Fällen ungleich einfachere giebt - _ durch die man zu dem’gesuchten Punkte gelangen kann. Indessen sollte hier nur die Möglichkeit der Construction . überhaupt, so‘.einfach, als es im Allgemeinen geschehen konnte, dargethan werden. ' 8. 204. Zusatz. Wir sahen in $. 202. b., dass, wenn zwischen vier Punkten 7,X,ZL,M eines Netzes die Relation stattfand: M=i,l. +4,&K-+4,L, jeder andere Punkt N. des Netzes in Bezug auf ;,7, k,K, LL rationale Coef- ficienten hatte, also durch einen Ausdruck dargestellt werden konnte, welcher den aus der Verbindung von /, u——— 280 &,L,M sich ergebenden Punkten zukam, Zu Folge des eben Erwiesenen wird daher N aus 4&,L,M, d. b..von irgend fünf Punkten eines Netzes der eine aus den vier übrigen, durch fortgesetzte Verbindung dieser letzten, auch wirklich gefunden werden können; oder: Je vier Punkte eines ebenen Netzes, von denen keine drei in einer Geraden liegen, ' kann man als Hauptpunkte betrachten und durch fortgesetzte Verbindung derselben al- le übrigen Punkte des Netzes ableiten, So muss man z.B. aus den vier Punkten 4, 2°, ©, D (Fig. 43.) rückwärts die Punkte 4, 8,.C finden kön- nen. Dies wird nach $. 198. 5. durch folgende. Verbin- dungen zu bewerkstelligen seyn: I AD BC=4", BD-CO4=B", CD: HBI=OH, & BC!» Buct Z, CA CH du = G, ‚dt: Auu =H. B'G: CH=A, CH AF=ZBE, AF BG=C 8. 205. Lehrsatz, Sind AB5C, D vierin ei I ner Ebene gegebene Punkte, von denen keine ‚drei in einer Geraden liegen, und ist ?Pir- . gend ein fünfter gegebener Punkt derEbeneg, ''sokann man, durch fortgesetzte Verbindung der vier erstern durch gerade Linien, zu ei- nem Punkte gelangen, der mit dem fünften, P, entweder zusammenfällt, oder von ihm um einen Abstand entfernt ist, der kleiner ist, als jeder gegebene, Beweis, Seyen Dund ?, auf 4,B,C lergunkie bezogen: Bein D=a4+bB+eC, P=pd+gB4rG, 6 | SF nargehhe 3 Fr = p:7:9, 50 wird ER Pugadt zit we, 281 un zu 2 Haben nun 9, % y rationale Verhältnisse zu einan- der, so kann man nach Anleitung des 8. 203. durch fortgesetzte Verbindung der Punkte 4,BCDwPr selbst gelangen. _ Sind aber die Verhältnisse 9:2 und x: ii beide, oder nur eins derselben, irrational, so beschreibe man um ?, als Mittelpunkt, mit dem gegebenen Abstände, welcher x heisse, als Halbmesser, einen Kreis (Fig. 45), und ziche an diesen von © aus zwei Tangenten CV und: CP, welche 45 in Uund Y treffen. Man setze diese Punkte aa = =aAtubB, V=aArvbB, Zwischen zwei Zahlen aber, mögen sie rational oder irrational, und auch noch so wenig von einander ver- schieden seyn, lassen sich immer eine unendliche Menge rationaler Zahlen einschieben. Sey daher # eine ratio- nale zwischen # und v fallende Zahl, und ed+wbB=:W, so ist 77 ein zwischen U und 7° liegender Punkt, (Wird der Kreis von. CA oder CB geschnitten, so kann man für W den Punkt 4 oder 2 selbst nehmen.) Eine von C nach 77 gezogene Gerade wird daher den Kreis i in zwei Punkten, X und Y, schneiden.. Man seize X=iV +xcQ, Y=iV +yeC, und sey s eine zwischen = und y fallende rationale Zahl, und {VW +10°C=Z, so ist Z ein, ‚atnihen X und Y, folglich innerhalb des Kreises liegender und daher von ? um weniger als = abstehender Punkt, (Wird der Kreis von 43 geschnit- ten, so kann 27 zugleich die Stelle von Z vertreten.) Es ist aber dieser Punkt Z=:9742.C=a44wbB+zeC, und 282 kann mithin durch fortgesetztes Ziehen gerader. Linien gefunden werden, weil die Verhältnisse 1:wıS rational sind, : Um. diesen Beweis gegen alle Einwürke sicher zu stellen, sind noch zwei besondere Fälle. i in Erwägung. zu - sichen x ı) Es w süllschweigend a dung die Gerade C/Y von C nach einem Punkte 77, der in ‚4B E zwischen den Durchschnitten U. und. 7 der Tangenten mit 43 liegt, den Kreis immer‘schneide. Man sieht aber leicht, dass dieses dann nicht mehr geschieht; wenn der Kreis von der’ durch C mit 4B. gezogenen Parallele. geschnitten wird, als in welchem Falle eine durch c ge. ‚ legte und den Kreis schneidende Linie ‚der Linie AB ausserhalb U7° begegnet. Um diesen Fall zu beseitigen, hat man nur statt des um ? mit = beschriebenen ‚Krei- 5 ses einen noch kleinern zu. nehmen, der i ım jenem eni- halten ist und, zugleich ganz auf der einen ‚oder ‚ande ern Seite der gedächten Parallele liegt. 2) Wenn #@>PC, so ist die vorige ee "nicht nur unmöglich, weıl dann der Punkt C inner. des Kreises fällt, und daher von ihm keine Tangenten an leiztern gezogen’ werden können, sondern auch un- nötbig, weil nun der Punkt € für, den gesuchten 2 ge- sadezu genommen werden kann," "13. 5% Br f z LE II. Das Netz im Raume, | 5 8. 206. Seyen 4,2,0,D,E fünf beliebige - von denen keine vier in einer Ebene liegen. Finde sie erstlich zu zweien durch ‚Gerade; BR AB, ig Ar BC, ER 2D, En A, BE, © 283° Auffassens willen, ‘die sechs ersten als die Kanten einer dreiseitigen Pyramide ABCD. (Fig. 46.) varstellen‘, die vier letztern aber als Linien, die’ /von einem fünften Punkte Z nach den Spitzen der Pyramide gezogen sind,. Män verbinde nun die fünf Punkte zu dreien durch Ebe- nen, welches zehn Ebenen giebt:, vier ‚derselben 43C,. ABD, ACD, BCD sind die Seiten der Pyramide, und! die übrigen sechs gehen durch Z und die sechs Kanten der Pyramide. Jede ‚der zehn Geraden erscheint hier- mit ‚als der gemeinschaftliche Durchschnitt ‚dreier der, zehn Ebenen, z.B. 42, als der Durchschnitt der Ebe-, nen ABC, ABD, ABE. \on den sieben übrigen Ebenen ‚gehen drei, ACD, ACE, ADE, durch den einen End- punkt 4 dieser Geraden, drei andere, 3BCD, BCE, BDE, durch den andern Endpunkt B, die, siebente CDE aber schneidet 4B in einem noch ‚andern Punkte, den, wir mit [42] bezeichnen wollen. Eben so ‚wird jede der neun übrigen Geraden von der Ebene durch die jedesmal drei übrigen Punkte in’ einem neuen Punkte geschnit= ten: die Gerade AC'von der’ Ebene BDZ im Punkte [40]; BO'von 4DE in [BC], u. s.w., und wir FRA ten somit zehn neue Punkte: [42], [4C], [2C], ... [DE]. Diese zehn Banke& und die erstern fünf, also inAl- lem funfzehn, sind übrigens in den zehn Ebenen so ver- iheilt, dass in jeder derselben sieben Punkte liegen; z. B. in der Ebene ABC die sieben Punkie: ; a \ 4,2, C, [48], [40], 20], [Dz]. e Lest man jetzt durch. je dreiöder 15 Panltey mise che nicht bereits"durch Ebenen verhünden sind, wiederum Ebenen, so erhält man: zuerst 15 neue, in deren jede 5 '- Punkte fallen, nämlich.die 3 durch 2. gehenden Ebenen vlt 5 3 "2, 3 ANZRE _ KUN 284 % ' D[42] [4€) [BE] [CE], AR D[BC][4B]. [CE] [4E], D[4C][2C] [42] [BE]; und eben so 3 durch jeden der 4 übrigen Punkte 4,B,C, E, Sodann bekommt män noch 20 Ebenen, in deren jeder nur 3 Punkte enthalten sind, nämlich die Seiten- flächen der 5 Pyramiden [42] [32] [CZ] DE], [42] [2D] [CD] [DE], ere. Nach dieser zweiten Verbindung der Punkte durch Ebenen hat man demnach in Allem ein System von 45 Ebenen, und zwar ıo Ebenen, jede mit 7 Punkten, IR a a Be ae 2 A BT - en Punkte Et welche durch ae zweite Verbindung selbst hervorgehen. ' $. 207. Das jetzt aus-fünf Punkten aufgeführte Sy- stem von Ebenen ist offenbar dasselbe für ‚den Raum, ‘welches in $. 198,' das aus vier Punkten construirte Sy- stem von Linien. für die Ebene war. Die Relationen, welche hei jenem Systeme von Linien statt fanden, wer- den daher auch bei dem gegenwärtigen, nur um Vieles zusammengesetztern, Systeme von Ebenen auf we Weise sich wieder zeigen. Sa Hierbei ist es aber zuerst sehr merke le diejenigen Relationen, vermöge welcher drei oder meh- rere Punkte in einer Geraden liegen, vier oder mehrere ; Ebenen sich in einem Purikte schneiden, u. s. w., also überhaupt solche Eigenschaften, wobei von keinen Grös- senverhältnissen die Rede ist, auch ohne Gebrauch von Grössenyerhältnissen ‚folglich ohne alle Anwendung ‚des Caleals erwiesen werden können; ja, was noch REN 285 dass die Rigenschaften von der nömlichen Art, welche wir in &. 198, bei dem Systeme von Geraden in einer Ebene mit Hülfe des Calculs fanden; sich dadurch, dass inan auf passende Weise mit der ebenen Figur noch an- dere Ebenen in Verbindung bringt, gleichfalls aus den Gründeigenschaften der Ebene einfach ableiten lassen. So wurde in $. 198. dargeihan, dass, wenn in ein Dreieck 4BC (Fig. 47.) ein anderes ZKZ einbeschrieben wird, dergestält, dass die Geraden 44 BK, CZ, welche die ‚gegenüberliegenden Spitzen verbinden, sich in einem Punkte, D’, schneiden, die Durchschnitte der gegenüber- liegenden Seiten, .d. h. die Punkte 30° KL, CA:LZ, AB: IK in einer Geraden liegen, | Um nün diesen Satz auf die eben gedachte Art zu beweisen, lege man durch D* eine die Ebene. 48C schnei- dende Gerade, nehme darin willkührlich zwei Punkte D, E, und verbinde den einen derselben, D,'mit 4, 2,0, ünd den andern, Z, mit 7,£,Z durch Gerade. Weil EI mit DD! und 47, und folglich auch mit AD in einer Ebene liegt, so wird Z4/ die 4D schneiden, welches in F geschehe. Eben so schneidet ZX die BD in G, und EL die CD in 4. Man lege ferner durch #, G, 4 eine Ebene, welche die Geraden BC, CA, AB in Punkten schneide, die ich . IB resp. mit (BC), (C4), (AB) bezeichnen will; so liegen diese Punkte, als Punkte in dem Dürchschnitte zweier Ebenen, 48C und FGAH, in einer geraden Linie. Weil aber G,H mit B,C in einer Ebene liegen, so ist (2C) zugleich der Durchschnitt der Geraden BC und GA, Weil ferner. 6, #,K,L, als Punkte zweier sich in einem Punkte, Z, schneidenden Geraden, in einer Ebene ent- halten sind, so sind BC, GA, KL die gegenseitigen Durchschnitte der drei Ebenen GHAZ, KLZC, BCCH, N 286 * “ind schneiden sich folglich in eiher. Punkte,“ Mitkin ist (BC) auch der Durchschnitt der BC ‘und ZK, Auf dieselbe‘ Weise ergiebt sich, dass Z/ söwohl-als JZ7° die --C4 in (CA), und /K sowohl als 7G die Bin (AB) schneiden. Mithin liegen die drei Durchschnitte BC KL, 044=L1, AB-IK in ‘einer. Geraden. \ x ı Dass in Fig: auch B",C" mit 7; 0,4" mit 6; er B" mit H in einer Geraden liegen, lässt sich ohne “weiteres mittelst des eben erwiesenen Satzes darihun, Denn nimmt man DBC zum anfänglichen Dreieck, und zieht an die ‚Spitzen desselben, D, B, C, von 4 aus, Li- .nien, so schrieiden: diese die gegenüberstehenden Seiten ‚resp. in 4,C,B‘. Dem Satz zufolge liegen daher BE: CB).CD: BA; DB: 40, d.h. F, C',Br in gerader Linie; und auf ähnliche Art hat man bei den Urieke zu verfahren. Ueberhaupt scheint es, als ob bei lesen Re a weiter fortgesetzten Systeme gerader Linien, alle Fälle, wo drei oder mehrere Punkte in einer Geraden liegen, oder drei oder mehrere terade sich in einem Punkte schneiden , allein schon: durch wiederholte a Fe sen Satzes erwiesen werden könnten. . 1... 0% »& 208. Der Grund, aus welchem sich ‚die Mech a (Fig: 47:) Kr BC, GA,KE in eiriem Punkte, (BC) 5 CAR in ee AB:F GAR sr; ea (4B) schneiden, kann kurz, als darin bestehend , al werden, dass, wenn-von drei Geraden je zw " Ebene liegen, nicht äber alle drei in‘ derse “ enthalten sind, diese drei Linien in einem B "sammenitreffen. — cs demselben re er hrän Sucht Ads stinsna una a EN 287 .4D, LG, KH in einem Punkte, welcher (AD), BD, IH LE 2 m. Van — (ED), CD,KR JG re mu et. (CD), heisse, . schneiden., So wie Kae in.dem. Durchschnitte der Ebenen ABC und GH die Punkte (AB), (AC), (26) liegen , eben so sind i in dem Durchschnitte der Ebenen 4BD und Ä4H die Punkte (AB), (AD), (BD), ACD wd 416: — — (46), (AD), (CD), BCD und ZAPF =, —. , (BC), (BD), (CD) enthalten. Es fliesst hieraus ganz leicht, dass sämmtli- "che sechs Punkte {4B)..,.(CD), und fölglich auch die vier Geraden, in denen sich die vier Paare von Ebenen, _ ABC und FCH, a. sw; schneiden, 'in PRRSE AIR liegen; also: Wird in ein Telrasder ABCD ein Octaöder FGHL . KL dergestalt einbeschrieben, dass die sechs Spitzen des letstern in den sechs Kanten des erstern liegen, und dass die drei Geraden FI, GK, HL, welche die gerenübersiehenden Spitzen des Octaöders verbinden, sich in einem Punkte, E, schneiden, so liegen die vier Geraden, in denen die Seiten des Tetraöders von den gegenüberstehenden Seiten des Öctaöders geschnitten werden, in einer und derselben Ebene. Man ziehe noch die Geraden BE und CZ, welche die Ebenen 4CD und ZBD resp. in den Punkten 'B’ und C' schneiden, so liegen B‘, © mit B, € in einer: Ebene. Ferner liegt B' in der Ebene BDEK, und da- her mit D und K in einer Geraden, 'als dem Dürth- „schnitte der Ebenen BDK und ACD. Eben so liegt :C mit D und Zin einer Geraden, und folglich B, CO’ äüch mit X,Z (und D) in einer Ebene. Folglich sind‘ BER, 2 288 B’CKL, BCKL drei Ebenen, welche sich zu zweien in den drei Geraden XZ, BC, BC: schneiden, Mithin müs- - sen diese drei Linien sich in einem Pünkte schneiden, Es trafen sich aber die Linien BC und XL im Punkte (BC); in demselben Punkte werden sich daher auch BC und B’C' begegnen. Wird nun noch dieGerade AZ gezogen, welche die Ebene BCD in .4' schneide, so ergiebt sich auf dieselbe Weise, dass, so wie BC-B’C'==(BC), auch 4B*_4B: = (AB, AC'A0=(AC) und 4D’4AD'= (AD), BD-BD'=(BD), CD- CD'=(CD) ist: Es folgt hieraus weiter, dass sich die drei Ehenen ABC, AB'C, FGH in einer und derselben Geraden, in der die drei Punkte (AB), (4C), (BC) enthaltenden, schneiden; und eben so die drei Ebenen ZBCD, BrC-Dr, LKF,; u. s. w., woraus wir ganz leicht in Verbindung mit dem vorigen Satze folgendes, dem in $, 198. 4. ana= loge Resultat ziehen. Wird in ein Tetraöder ABCD ein zweites 4B'O.D» einbeschrieben, so dass die Spitzen des letziern in die Seiten des erstern fallen, und dass die vier Ge- raden AA', BB', CC’, DD’ durch die gegenüberste- henden Spitzen beider Tetra&der sich in einem Punks te, E, schneiden, so liegen die vier Geraden, in de= nen sich die gegenüberstehenden Seiten, BED und B'CD‘, CDAund ÜD'4, etc schneiden, in einer Ebene. Auch sind diese Geraden dieselben, in denen vorhin die Seiten des Teiraeders ABUD v von. gegenüberstehenden Seiten des Octaöders. FGHIKL geschnitten wurden, wenn der dortige Punkt &. ma dem hiesigen E ein und derselbe is... 289 8.209. Alles dieses, was sich durch rein geometri- sche ‚Betrachtungen ergab, lässt sich auch» leicht durch den barycentrischen Calcul finden. A,B,C, D zu F.punkten genommen, sey E=aA4 +bB+eC+aD, oder, wenn man a+b+c+d= setzt; 1 a4A+bB+ceC+dD-+eE—o, Hieraus fliesst sogleich: a4+dD= bBB+eC+.eE= dem Durchschnitte 7*) der Geraden 4D mit der Ebene BCE, also‘ fr=a4ıan, ı/—bB-+eC, und eben so gG—=bB+AD, kK—aA-tecC, a I. AH=cC+dD, L=aA+bB, ad—adteE, eC ci eC.+ eh, PERRETEN. dD—=dD+teE, 5 wo yulygf g=b-+d, u. s. w. Wir folgern hieraus weiter: IF —gG —=kK— il a' W-bVBI], [3],..., und mithin jedes, nach genugsam wiederholter Anwendung dieses Verfahrens, auf die Form [2], d.i. auf ein aus Netzpunkten gt detes D.verhältniss bringen kann. ‚©. In dem besondern Falle, wo die Spitzen . Vielecks und folglich auch die Schneidepunkte in und dieselbe Gerade fallen, kann ein. VI ‚verhältnis: mittelbar als ein Product aus D.verhältnissen aus; werden. Denn alsdann wird MR, _I01 x j A} IP: KQ IQ: ZR 21. PK Q =) ( "RT = (4 Kr, “ GERA), m = (zw) (5) (mm) = (46 P,Q) (hL,Q,8) (42,8, 7); us, w. Siebentes Capitel. Von ‘der Verwandtschaft der Collineation. 8. 217, Die in den ersten Capiteln des gegenwärtigen Abschnitts erklärten vier Verwandtschaften hatien sämmt- lich dieses mit einander gemein, ‘dass bei zwei in einer , dieser Verwandtschaften stehenden Figuren, — wenn an-' ders nicht jede -Figur bloss ein System von ‚Punkten in einer. Geraden war, — jeder Geraden der einen Figur eine gerade, nicht krumme, Linie der andern entsprach, und dass folglich bei Figuren im Raume jede Ebene der einen Figur, in der andern Figur gleichfalls eine Fbene zur entsprechenden Fläche hatte. Zu dieser ge- meinsamen Eigenthümlichkeit musste, wenn die Figuren einander affın heissen sollten, die Gleichheit der Ver- hältnisse zwischen sich entsprechenden Theilen der Ebene oder des Raums hinzukommen. “Die Affinität war die allgemeinste Verwandtschaft, und es traten daher noch andere Bedingungen hinzu, wenn die Figuren einander gleich, oder ähnlich, oder beides zugleich seyn sollien, "Gegenwärtig soll nun das sich Entsprechen gerader Linien n (und Ebenen) als, ‚alleiniges Merkmal verwandter Figuren beibehalten, und somit eine Verwandtschaft auf- gestellt werden, weiche, allgemeiner noch al die Aflıni- 302 ‚ tät, ja die allgemeinste ist, nach welcher.in dem Theile der Geometrie, welcher sich bloss mit Geraden und Ebe- nen beschäftigt, Figuren einander verwandt heissen kön- nen: (Bei einer noch allgemeinern Verwandtschaft, — und deren lassen sich unendlich viele denken, — wird einer Geraden eine Curve, und einer Ebene eine krumme Fläche entsprechen), Das Wesen dieser neuen Verwandtschaft besteht also darin, dass bei zwei ebenen oder kürpetlichen Räumen, jedem Punkte des einen Raums ein Punkt in dem an- dern Baume dergestält entspricht, dass, wenn man in Jem einen Raume eine beliebige Gerade zieht, von al- ten Punkten, welche von dieser Geraden getroffen wer« den (collineantur), die entsprechenden Punkte in dem andern Raume gleichfalls durch eine Gerade eisen werden können, 2 Es ist deshalb diese Verwandtschaft die Verwandii schaft der Collineation genannt worden. Figuren, zwischen ‚denen sie statt findet, heissen collinear ver- wandte, oder schlechthin collineare Figuren $. 218. Die Art und Weise, nach der man die Punkte zweier Räume, bloss dem so eben erklärten Get setze der Collineation gemäss, gegenseitig auf einander bezichen kann, erhellet ganz leicht aus den im vorigen Capitel entwickelten Eigenschaften der‘ so Netze, ae Denn, um mit ebenen Figuren den Anka zu ma ‚chen, so entspreche dem Punkte 4 (Fig. 4g.) in der nen Ebene, det Punkt. 4 in der andern; rer. B in um Geraden AB, ein gewisser Punkt Nn' der A'B', Sey ferner € ein ausserhalb 42 befindliche ter Punkt in der ersten Ebene, welchem man | 303 zweiten einen willkührlich ausserhalb #2’ genommenen Punkt € entsprechend setze, so wird wiederum jedem Punkte der Geraden AC und BC ein Punkt in den resp, Geraden 4C und 3°C! entsprechen. Welcher Punkt aber in den Linien 4B', 41C! oder B’C' irgend. einem gegebenen in den Linien 4B, 4C oder BC als entspre- chend augehöre, bleibt bis auf die Punkte 4,2, 0,4, .., selbst noch unbestimmt. Man nehme daher willkührlich noch ein viertesPaar sich entsprechender Punkte, 2 und D', ausserhalb jener Geraden, und es werden die Punkte ler Geraden ; 4.D’, B’D', C/D' ihre entsprechenden in - den Geraden AD, BD, CD haben. Zugleich aber wer- den. die Durchschnitte dieser Geraden mit den vorigen zu neuen Paaren. sich entsprechender Punkte hinführen. Setzt man nämlich: AD- BC=E, BD: AC=F, 6D- AB=G, AD! BO=E", BD: MC=JV, CD #B= Gr, $o muss Z*, als gemeinschaftlicher Punkt der Geraden D* und 3'C', dem £, als dem gemeinschaftlichen Punkte der Geraden 4D und BC, und aus gleichem . Grunde al dem F, und G’ dem @ entsprechen. Man ziehe ferner die Geraden ZF, EG, 7G und Z'Jr, EiGH, PIG*, und seize: EF- CD=H, Ef" AB=], etc. E'F* oD=H, Ep: 1B=V, ec IPRRCER 10: und Z#%, I und 4, etc, sich entsprechende Punkte, | * Ganz so, wie im vorigen Capitel, lässt sich nun die= ses Verbinden der immer neu entstehenden Durchschnitis= punkte in beiden Ebenen ohne Ende fortsetzen; und somit eine unendliche Menge sich GENE NENNEN Punkte finden, Pe Le _ zahl der zu ziehenden Linien unendlich wird, so s 3% 304 ‘Da man nun, vermöge $. 205., durch’ fortgesetzte - Verbindung von vier Punkten in einer Ebene durch ge- rade Linien zu jedem gegebenen fünften‘ Punkte in der- selben Ebene entweder unmittelbar, oder doch in söfern. gelangen kann, dass man einen andern findet, welcher -von dem fünften um weniger, als um jeden gegebenen Abstand entfernt ist: so muss sich, nachdem die vier ersten Paare entsprechender Punkte 4 und 4‘,,., nach Belieben bestimmt. worden ‚sind, für jeden Punkt 2 der einen Ebene ein entsprechender 2’ in der andern ange- ben lassen; dergestalt nämlich, dass. man dieselbe Ope- ration des Ziehens gerader Linien, durch welche man, von 4,8,C,D ausgehend, zu ? zu gelangen im Stande ist, in der andern Ebene, von 4,5, 0, Dr ande wiederholt. q | : se $. arg. Jeder Punkt 7, den man durch ws Verbindung der vier Punkte 4,2, C und D=za4+:B +eC findet, hat nach $. 201. einen Ausdruck von ‚der ‚Form: gad+xbB+yeC, wo 9,2, % bloss: von: der. Art und Weise der fortgesetzten Verbindung, und nicht zu- gleich von a,2,e abhängige Coäfhcienten sind. Dem so ‚eben Gesagten zufolge wird daher, D’=a’4' +bBiLercı gesetzt, = ga'4'+7b'B'4+ we'C’ seyn, wo 9,%,w die- selben Werthe, als in dem Ausdrucke für ?, haben. Da 'nun auch umgekehrt jeder Punkt der Ebene ABC, = aA +zbB-+weC gesetzt und nach Angabe der Werthe | on. 9, x; y durch blosses ‘Ziehen gerader -Linien g@ werden kann, nur mit der Bemerkung, dass, wer Verhältnisse dieser Coäfficienten irrational sind, die sich bei der Collineationsverwandtschaftebener F entsprechende Punkte auch folgendergestalt barye > definiren: rer ! unzweideutig beslimmt, 805 . Werden vier beliebigen Punkten 4,2, 0,D der ei- nen Ebene, von denen keine drei in einer Gerdden lie- gen; vier beliebige Punkte 4, 2°, C’, D’ unter.der näm- lichen Bedingung in. der andern Ebene entsprechend an- genommen, so entspricht jedem andern Punkte 2? in der ersten Ebene der Punkt ?* in der zweiten, wenn, =a4+bB+eC, P=pA+gB+rC, Di= le ©, P=p44gB’+rrC gesetzt, sich verhalten 7 ee RER Z =p:z:Y.) Man kann daher auch sagen: in dem allgemeinen Ausdrucke eines Punktes, gaA+zbB+ ı»oC, sind für eine und dieselbe Ebene 4,3,C, a,b,c constänt, und von ei- nem Punkte der Ebene zum andern p,x%,% veränderlich ; dagegen von einer Ebene zur andern 4,2,0,a,b,e vera änderlich, und für sich entsprechende Pünkte verschie ‘ dener Ebenen 9, x, y constant, $. 220, Zusätze. a. Hat man die vier Paare sich "entsprechender Punkte, 4 und 4, 2 und 5°, C und ©, D und:»’, festgesetzt, so wird jedem andern Punkte > der Ebene 43C ein Punkt 7, ünd nur.einer, in der i Ebene 45°C’ entsprechen. Denn mit den Punkten AB, G,D,P sind die. Verhältnisse arbie. und @: 2: und. mit den Punkten +4, 3, ©, D’ die Verhältnisse a1: ı0% gegeben; folglich sind auch in dem Ausdrucke für P* die Verhältnisse ga’: gb’: yon ung mithin 2 ' selbst, uch j b. Ist in den Ausdrücken zweier, Ki eotspäichen. der Punkte, gad+xbB+YeC und ga’dı + zb B+yeC, die Summe der Goäfficienten des- einen pg&+zb+we==o, so folgt. daraus nieht; dass auch pa’ Lab +ye'o ist, Bei 306 Finem unendlich entfernten Punkte der einen Ebene, d. b. einem solchen, der als der Durchschnitt zweier Paralle- len anzusehen ist, wird daher ım Allgemeinen nicht ebenfalls ein unendlich entfernter in der andern Ebene entsprechen; und umgekehrt kann es der Fall seyn, dass von den Geraden, welche sich in der einen Ebene in 2? schneiden, : die entsprechenden Geraden in der andern wer, Ebene einander parallel laufen. j ce. Bezeichnen 9, x; w gegebene Functionen. einer Veränderlichen, so sind ga4 + x5B+ weC und gar4' +zb’B'+ye’C die Ausdrücke zweier sich entsprechenden Yinien. Da sich die Coefhicienten dieser Ausdrücke nur durch die Verschiedenheit der in 9,2% % "multiplicirten Constanten unterscheiden, so erhellet, dass auch bei der Collineationsverwandtschaft die Ordnung der Linien sich nicht ändert. Wie schon die in $. 217. gegebene Erklä- verlangt, entspricht daher einer Geraden eine Ge- rade. Ferner wird die einer Linie von der zweiten, drit- ten, etc, Ordnung entsprechende Linie ebenfalls von der zweiten, dritten, ete. Ordnung seyn. Einer gegebenen Ellipse kann aber nicht nur jede andere Ellipse, wie bei der Affinität (8. 173.), sondern Auch jede Hyperbel und jede Parabel entsprechen, oder mit andern Worten: &mmtliche drei Arten von Kegelschnitten sind collinear verwandt. Dies erhellet sogleich daraus, dass sich jedes Kegelschnittes Ausdruck auf die einfache Form «A45.B -}ev2C bringen lässt ($. 6r. IV:), bei der | wandtschäft aber nicht'nur die Punkte 4, 3, C, sondern auch die Coöfficienten «, b, e von einer Figur zur andern veränderlich sind. sh) $. 221. In dem allgemeinen Ausdrucke gadzbB +60 eines Punktes, welcher dem aus den vier Haupt- punkten 4, 2,0 und @445B4cC entspringenden ebe zun g t - * 1 + 807 nen Nelze zugehörte, standen 9, 2 y-in‚rationalen-Ven- hältnissen- zu. einander , und alle-andern bei, dem Netze als! rational. 'erwiesenen Verhältnisse wären es deshalb; - weil: sie,-als. rationale‘ Functionen solcher Verhältnisse, wie. @:7:%, dargestellt werden konnten. Bei der ge= genwärtigen - Untersuchung, welche. sieh nicht bloss auf die Netzpünkte, . sondern auch auf. alle andern Punkte der.Ebene erstreckt, sind nun zwär..die Verhältnisse P:2%: nicht mehr rational, zeichnen sich aber dadurch ‘aus, dass sie von einer. Ebene zur andern ihre Werthe behalten, .. Wir können, folglich den. Schluss machen, dass ‚alle bei dem Netz als rational erwiesenen Verhälis nisse, gegenwärtig von. einer Ebene,zur andern constant sind. Dies berechtigt uns weiter.zu nachstehenden 'Fol- gerungen: 1) Nach $.204s können je vier Punkte & 2 M eines ebenen ‘Netzes, von denen keine. drei-in einer Ge raden liegen, als Hauptpunkte genommen werden; oder mit andern Worten: is M=i/+kK+IZ, und wird ir- gend ein anderer Punkt des Netzes Paul +alK+ ML gesetzt, so sind die Verhältnisse s:=:4 ralional, _Be- zeichnen daher 4.., P überhaupt fünf Punkte einer Ebene, und sind‘ 2,... 3, P7 die ihnen‘ entsprechenden in. einer collinearen Figur, so muss; wenn M=zul+bx -FFL? gesetzt wird, PEWl + aKhildr seyn. Sind‘ folglich zwei Figuren nach der in $.aig. gegebenen Er. klärung collinear verwandt, so sind sie dies nicht bloss in) Bezug auf ein’ bestimmtes System von vier Paaren sich) entsprechender‘ Punkte (4 und 4',.. D und D’), sondern können aitch auf jedes andere System dieser Art (Z und #,... M und #°y als collincare Figuren bezo- gen werden, che © Ua 308 Systeme , deren jedes nur ‘aus vier Punkten‘ in ein | Ebene 'besteht, lassen sich stets als collinear verwandt bitrdchten;' eben so, wie alle Dreiecke einander‘ affın, und alle Systeme von bloss zwei Punkten" "einander äbn- lich sind. \ + 2 in a) Wir haben in $. 202. @. geschen, däss alle Diver 'hältnisse eines ebenen Netzes rationalsind, und schliessen „ daraus, dass D.verhältnisse zwischen sich entsprechenden Punkten collinearer Figuren gleiche Werthe haben. Sind ‚ also 4, B, €, D vier Punkte der einen Figur, welche in einer Geraden liegen, und #,..2* die” ihnen 'entspre- chenden und daher gleichfalls in einer Geraden wa nen Punkte der andern Figur, so ist‘ ; 2a! 1174 C,D) (ABO DI); und überhaupt, sind 4,... 7 beliebige sechs Punkte 2a einen Figur, und 4, ...7” die ihnen entsprechenden andern, so. ist (8. 190.): ‘ 5 ehe (4B,CD,Er) = (4,81, 0.D) my Ku 4 Man setze 4B* CD=M, AB: ET=N, so verhält sich “4m: BM =4ACD:BcD, Vergl.. ‚den Beweis 2 "AN: BN=AEP: BER; n° 8. 188, Pr ic, folglich ist (42,02, ZI (ABM) u 4CD., gER,, CDB EFB ausdrücken: Werden die Punkte zweier Ebenen stalt auf einander bezogen, dass Punkten der einen Ebene, welche i Geraden liegen, in der andern Eben gleichfalls in einer Geraden begriffen te entsprechen: so ist, wenn 4B,C,D, ; — en m en Dreiecken 309 liebige sechs‘ Punkte der einenCEbene be- zeichnen, .das Merhälunisg, zwischen ;den IINIk Ba im ACD ,Ä4EF DR" EB dem eben so aus den integphdkenden sechs Punkten der andern Ebene gebildeten "2 hältnisse gleich. Von den zwei Gliedern, woraus dieses Yerkäliiie zusammengesetzt ist, und welche gleichfalls Verhältnisse sind, ist bei affinen Figuren schon jedes Glied für sich, wie ACD:CDB, — und von den zwei Gliedern dieses letztern Verhältnisses, bei gleichen Figuren, ebenfalls jedes für sich, wie 4CD, — von der einen Figur zur andern constant. Dieselbe Bemerkung wird sich bei col-. linearen Figuren im Raume und in geraden Linien wie- derholen. lassen; und man kann daher die Affinität als «ine eben so specielle Art der Collineationsverwandtschäft betrachten, als es die Gleichheit von der Affinität war, 3): Vermöge $: 215. sind auch alle Vieleckschnitts- verhältnisse zwischen sich entsprechenden Punkten col- linearer Figuren einander gleich. Hirt Verhältnisse können, eben so wie vorhin ds D. R verhältnisse, auch durch Verhältnisse zwischen Dreiecken dargestellt werden. Man habe z. B. das Drejeckschnitis- verhältnis : A BN CO _4P re Nor BB ee wo also N mit B und C, © mit C und 4, P mit 4 und | B in‘ Geraden liegen. Man ziehe in der Ebene des Dreiecks durch N, 0,7? willkührlich drei andere Gerade und nehme in diesen nach Belieben : die Punkte 2 2. ZA 6: H,T; so dass j ! eg ren 310 4 © BEHDB=N, 64: :FC= 0, 4B-HI=P.o C- > Da. num alsdann’ BN: NC=-— BBE : DEO,= “ete. 5 = usässtr tat 5 BDE cre Am . 0 DEC PA IB" gt Er “+ 2 Dass dieses Verhältnis, bei welchem. A,. ud; bige neun Punkte der Ebene seyn, können, dem a gleiche Art aus den entsprechenden, ‚Punkten einer ‚co nearen Figur zusammengesetzten \ Verhältnisse es lässt sich. auch dadurch sehr leicht beweisen ,. dass es, eben so wie in $. 216. e, die Yı. verhältniäse, Zwisc Punkten in einer: Geraden, in. ein Produet ae hältnissen zerlegt. Es wird nämlich f BDE CFG _BEG um, - : 4= - DEC 768 702° ZB et = — (B,0,DE,FG) (B,4, FG „any. Yo Eben so. kann. man ‚äuch: bei Viereckschn verhiä uss. w. verfahren. 4) Die Collin.verwandtschaft. ebener: Kigmen’ be he nach $. 219. in.der Beständigkeit der Verhältnisse @ für jedes Paar sich entsprechender: Punkte, Auch: Verhältnisse können. geometrisch: nicht ‚anders, ‚als < D.verhältnisse dargestellt werden. ‚Denn aus»: ion D=a4+5B4C und P=ga4+zbB+ypec Per: folgt a: :b==—BCD; cDA. und ya:yb= en Beh CrA,. 5 u mithin 9:2=(B,4,CP, CD) = (Ab B, „Ci und eben so x:p = (BC „4 r Man kann folglich die Verwändtschaft der € tion auch geradezu. durch .die Gleichheit : der 1 ninge definiven, so dass nämlich zwei‘ ebene F E 2.77) 14 4 311 ander collinear sind, wenn jedes Verhältniss von der Form et ACD. ‚ABR CDB__ EFB.' bei der einen Figur. dem eben so‘aus den enisprechen- den Punkten ‚der ’andern Figur gebildeten Verhältnisse gleich ist. R $. a22. Die Verwandtschaft der Eollineation zwi- schen Figuren im Raume besteht, eben so wie bei ebe- “ nen Figuren, in dem gegenseitigen Entsprechen gerader Linien ($. 2ı7.). Dass auch jeder Ebene des einen Raums eine ebene Fläche in dem andern ‚entspricht, ist eine noihwendige Folge hiervon. Denn, sind 4,2,C,D vier in einer Ebene begriffene Punkte des einen Raums, und Z der unter dieser Voraussetzung‘ statt findende Durchschnitt von AB mit CD, sind ferner 4',....2’ die diesen fünf Punkten im andern Raume entsprechenden Punkte, so werden auch 4, B',E' und C',D',E' in Ge- raden, und folglich. 4',B',C’,D‘ in einer Ebene liegen. Zur deutlichen Darstellung dieses collinearen, vom jeder andern Bedingung freien Enntsprechens aller in zwei Räumen *) enthaltenen Punkte, und zur Entwickelung der übrigen hierbei vorkommenden Relationen wird uns wiederum das geometrische Netz dienen. n Denn seyen 4,8,C,D vier beliebige Puükte, wel- che nicht in einer Ebene liegen. Man verbinde sie zu dreien durch Ebenen, so schneiden sich diese zu dreien \ *) Da jeder dieser Räume unbegränzt gedacht werden muss, und es gleichwohl nur einen unendlichen Raun gıebt, so hat man sich die beiden Räume einander durchdringend vorzustellen, wie zwei in einander fallende unendliche Ebenen o.ler gerade Linien, so dass jeder Punkt die Vereiuigung zweier Punkte ist, von denen der eine dem einen und der andere dem andern Raume zugehört. ' j 0 Sr br Eh ee \ .J 2 |. | | | | | | ‚ fünf Punkte 4,... Ein dem einem,‘ und (der 312 nur in den vier Punkten selbst, und es’wird mithin durch sie allein kein anderer Punkt bestimmt, Kommt. aber noch ein fünfter Punkt Z hinzu, der mit keinen dreien der vier erstern in einer Ebene liegt, so kann man nach 8. 214. durch fortgesetzte Verbindung des nunmehrigen Sysiems von fünf Punkten nicht nur eine unendliche Menge neuer Punkte erhalten, sondern auch zu jedem gegebenen sechsten Punkte P entweder vollkommen. ge langen, oder doch einen andern finden, welcher dem P } unendlich nahe liegt und sich daher als mit 2. identisch betrachten lässt. Ey Re 1 Seyen nun 4‘, Br, C', D’, E’ fünf andere ‚Punkte, von | denen ebenfalls keine vier in einer Ebene liegen. Man setze sie den fünf vorigen der Reihe»nach, entsprechend, .4' dem 4, B* dem 2, u. s. w., und denke sich dieselben eben so zu dreiem durch Ebenen ‘verbunden und diese Verbindung auf dieselbe Weise fortgesetzt, auf welche man, von 4,B,C,D,E anfangend, zu 2 gelangen konn- te, so wird der’eben so aus 4, B’, C/, Di, Et erhaltene Punkt, welcher 2+ heisse, deridem»2 ertsprechende seyn. Und somit. ist klar, dass, nach Festsetz entsprechenden 4,...2° in dem andern Raume, für je- den sechsten Punkt des einen Raums ein, -der'G nr verwandtschaft gemäss, entsprechender. sechster.. andern Raume sich angeben lassen muss. 3 ., 2 $. 223. Sey, wie in $. aıı., E=dA+bB+e P=gyad+xbB+weC+udD, so sind die Verb der Coeflicienten 9,%,w,® bloss von der Art ur abhängig, auf welche man von 4,...Z durch fort Verbindung mit Ebenen zu ? kommen kann. Set denmach in dem andern Raume, HP=ar+ +40’, so wird der dem ? entsprechende Hunkt "813 + zbB! He! ©’ + @dDi.seyn.. Ganz sowie in» Sag lassen sich daher «ollincar yerwandteSysteme vun Punk- ten im Raume auch dadurch erklären, ‚dass in dem. all- gemeinen Ausdrucke.eines Punktes, gaf+xbB+eC+aodD, die Punkte 4,.8,,C, D ‚und. Coöflicientenverhältnisse a:b:c:d nur für ‚ein-und dasselbe System. beständig sind;.die Verhältnisse. aber zwischen den Coäfficienten %% yo nur‘für'sich entsprechende Punkte verschiede- ner Systeme ungeändert bleiben...» Be) 8.224. Zusätze. a, Aus dieser ‚Erklärung; det entferntey Verwandtschaft durch barycentrische Fofktein“ fliesst eben so, wiein $. 220, «:\und 2.\, dass, nachdem die den fünf Punkten 4, .., Z entsprechenden. fünf 4.2 gewählt worden sind, jedem sechsten Punkte des einen, Systems. nicht mehr.als ein Punkt im andern. entspre- chen kann, dass aber wohl von zwei sich, entsprechenden Punkten der wine, eim unendlich ‚entfernter seyn kann, ohne dass es deshalb auch der ändere ist. b. Sind.g,%, %, ® Functionen einer oder zweier r Ver- änderlichen, so stellen gaA+zbB+ycC+adD und galt zb B’ + pc C' + ad’ D* zwei collinear verwandte Linien “ im Raume oder Flächen vor, die daher, nach derselben. Schlussart, wie in 8.220, c. immer von einerlei Ordnung sind, Uebereinstinnend mit. dem. Vorigen, entspricht daher einer Geraden eine Gerade, einer Ebenejeine Ebe- ne, folglich einem Systeme gerader Linien i in einer Ebe- ne ein System von Geraden, welche ebenfalls in einer Ebene begriffen sind. Schneiden sich mehrere Gerade der ‚einen Figur in einem und demselben Punkte, so thun dasselbe die “entsprechenden ‘Geraden der andern ahıwnd j Figur, können sich aber auch parallel seyn, und'um-+ - gekehrt entspricht einem ‚Systeme päralleler Geraden ein System von Geraden, die sich i im Allgemeinen in einem 314 I} Punkte schneiden. Einem Systeme von Ebenen, welche sieh in: Parallelen schneiden, wird im Allgemeinen "ein System von Ebenen entsprechen, welche durch einen und denselben Punkt gehen, und einem ‘Systeme paralleler Ebenen, ein System vön! Ebenen, welche sich in "einer gemeinschaftlichen Geraden schneiden, ” 'e.. Was die Flächen’ der zweiten regt betritt, so sind diese nieht eben so, wie die‘ Linien der zweiten Ordnung, sämmtlich einander collinear ‚sondern zerfal- len in’dieser Hinsicht in zwei Arten, von denen die eine das Ellipsoid, das elliptische Hyperboloid und das el- liptische Paraboloid, die andere das hyperbolische Hy- perboloid und das hyperbolische leere in sich . greift. : Um dieses zu zeigen, bringe man zuvor den allge- meinen Ausdruck dieser Flächen z A+:B+uC+(ü? +hru+lu2)D ($. 110.) auf eine etwas einfachere Form, indem man den Coif- ficienten von % = ZE 75 (ait+ku)2 + TE 5 (4il—k?) w% als das id, zweier a darstellt. Man setze zu dem Ende 2i@-+ku=air, eliminire damit £, nehme hierauf C,=2iC—KkB statt C zum F.punkte und re noch (2 —k) u=aiy und ı) Ga-e)- ihm, so erhält man den Ausdruck: gas 1. Ar B4 CH Hm)D Der Ausdruck einer damit collinear verwandten Flä- che ist; ö ö re a. at +eB hey +dlartme N muları. ‚oder einfacher! wenn man br==av, cey=aw ul 315 a): adi==b?r, \admzmecAmt: setzt, bau ;meis I. AHeB+wC+ (io? + mw?)D. j - ‚Aus: den, Gleichungen 2) folgt nun unmittelbar, dem; wegen der willkührlich zu bestimmenden a,b, o, d, ZWi- schen den Constanten ö und =, im Ausdrucke I. und den Constanten # und m’ in IL. nur insofern eine Beziehung statt findet, ‚als die Verhältnisse ö;m und. # :am?.einerla Zeichen haben müssen; dass hingegen #“ und m’ absolut genommen von ö und m ganz unabhängig sind. "Nach ı) ist aber das ‘Zeichen von ö: m einerlei mit dem Zei- chen von 4ö-—k2,. und letzteres für die vorhin ‚genann- ten Flächen der ‚ersten Art positiv, für die der.zweiten Art negativ ($. 110.). Es sind’ mithin. alle Flächen der ersten Art unter sich, und eben so: alleFlächen der zwei- ten Art unter sich collinear verwandt. (Vergl. d. An- merk. zu $,.i7g. | $. 225... Die in- $. 221. gemachte Schlussfolge, Wwo- nach alle diejenigen Verhältnisse, welche beim Netze ra- tionale Werthe hatten, zwischen sich entsprechenden Punkten collinearer Figuren einander gleich waren, fin- (det auch hier vollkommene Anwendung ‚ und wir erhal- ten damit folgende, en dortigen rl we rd tate. ı) Die in $. 223. gegebene Erklärung collinear ver- wandter Figuren im Raume beschränkt sich nicht auf’ ein bestimmtes System von fünf Paaren sich entsprechender Punkte. — Findet zwischen ? und 2 auf 4 und A,.E und Z* bezogen, die dort bemerkte Relation statt, so wird eine Relation derselben Art auch bestehen, wenn man P und 7° auf irgend fünf andere‘ Paare sich ent- sprechender ‘Punkte bezieht, ($. 212: ei). Zwischen ‘Systemen, deren jedes nur r fünf Punkte im Raume ausmachen; ist noch*keine dergleichen Rela- I * 316 tion, und folglich immer VW (OREEENEER vor- BRAND: ; '2) Alle D.verbältnisse (8. RES) und vI zehnäre, nisse ($. 213.) zwischen sich entsprechenden Punkten collinearer Figuren im Raume haben gleiche Werthe. ‚Sind also 4,... 7 irgend 8 Punkte der einen Figur, und 4... 2 die ihnen ehlsprechenden \ in der ke so. _ (8.196. )“ | de . (4,B,CDE,FGH)=(4,B, ODE, mg. Man setze Z=a4+bB+eC+dD und AB: ind so ist M=a4+bB, folglich 4W7 : MB, oder das Verhält- niss; nach welchem die Gerade 4B/ von der Ebene CDE geschnitten wird, =b:@ = CDE4: BCDE;'und auf eben . die Art findet sich, wenn man AB #GH= N 'seizt, un: NB=FGHA:BFGH, Hierdurchiwird ge BE ACDE AFCH ae ODEICH- op Faun ori 19a tscioit und man bekommt folgenden Satz} onjlloe ia Werden. alle Punkte zweier Kiemnı der gestalt auf einander bezogen, dass. Bi?) drei Punkten des einen Raums, ee im ı ner Geraden sind, die entsprechenden Bunk- te des andern Raums gleichfalls 4 An eier eye, nr 2 / Me 2 ACDE, , AFCH nayorad a nn EDEB , FGHB a ü aus irgend acht Punkten Aus Hi des ei "Raums, dem ebenso aus den entspreche acht Punkten des andern Kane kat "Verhältnisse gleich, 317 +3) In Betreff der Vl:verhältnisse ist noch zu 'bemer- ken, dass diese sich gleichfalls, wie die D,verhältnisse; durch Verhältnisse zwischen Pyramiden ausdrücken‘ las- sen,: Setzt man z, B. bei dem in a: 221. 3. mit 4 bezeich- neten Dr.verhältnisse::'' nie s 'Nz= BC: DEN; O=ECA* ale pP 45'KLM, ‘ so wird BN: NC=BDEF; DEFC, etc. und daher 22 BDEF 'CGHr "axtm ai DETO" CHA‘ KIMB Be Auch kann ein üiches Verbätnnse. \ eben so wie ‚dort, in D.verhältnisse zerlegt werden ; man hat nämlich: "u g0, BDEF CHI BeHr AKLM WERT DRG EHIB CHR" REM" = _— (B,C, DEF,CHl) (BA, CH, Ka), A Die Verwandischaft der Callineation kann end. lich, wie bei ebenen Figuren, so "auch bei Figuren im Raume durch die Gleichheit aller Dserbältnisse, zwischen - sich entsprechenden Punkten erklärt‘ "werden, indem. auch hier die in der E Klärung 8. 223... als von einer ‚Figur jur andern constant "bemerkten Verhältnisse p: x: yım £ Beometrisch durch D.yerhältnisse, ‚sich, darstellen lassen. S6 findet man NL 4 D: 4== (4, B,CDE,CDP), el... 103 Ns >26, Die Vollständigkeit erfordert, es, noch über de Collineationsverwandtschaft solcher Systeme yog Punk- ten Einiges hinzuzufügen, deren jedes bloss in Ber Geraden enthalten ist, “Weil aus Punkten , die IN einer ° und derselben Geraden liegen, -ein: Netzzu. consituiren unmöglich ist, so kann eine Erklärung ‚’derjenigen ana“ log, nach welcher ‚sich bei Systemen in Ebenen und im, Baume gerade Linien gegenseitig entsprachen, 'it' diesem Falle'zwar nicht gegeben werden; So wie aber bei'uwei vn 3 z si. j 318 sichventsprechenden geraden Linien in zwei ebenen’ oder körperlichen Räumen, jedes D.verhältniss der einen Zi- nie'dem D.verhältniss zwischen: densentsprechenden Punk- ten der!andern Linie: gleich war; so. wird‘ man’ auch.bei zwei isolirten Geraden die Collin.verwandtschaft ihrer Punkte in die -Gleicheit ) der D.verhältnisse zu setzen haben. Sind demnach ee CD... mehrere Punkte der ei- nen Geraden, und. A, Bey. ‚die: entsprechenden Punkte der andern, so ist bei der Collin.verwandtschaft dieser zwei, „Systeme ER ET vl 86, 2) = _ 20 Br, c, D n), etc, oder, wäs dasselbe nie setzt man, of AB als F.punkte, des einen, und. #, B* als F ‚punkte des andern Systems ‚bezogen, =« A+ DB, C=as+bB, so N, mass, Pzga i4z0R ist, a EEE 4 zweiten Sy- stems v—= gast xb'B’ seyn. Denn es folgt hieraus 9: z= (4 B,C, Ne = (4,8',C/, P‘). Dass aber, wenn Ofund ©, And #, 5 und 5 auf gleiche Weise, wie P und 2%, einander entsprechend genommen sind, ‚auch 8,0, R,S)—=(P, @,R, 8) ist, erhellet schon. ai aus $. 186. Ich erinnere nur noch, dass alle Systeme, deren je= des’blögs aus drei Punkten in einer Geräden besteht, als einander collinear verwandt anzusehen ODE. or rk u Construction eollinear verwandter. Figuren... ı. nigia27. Aufgabe. Ein System von Punkten in einer Geraden ist gegeben. Ein demselben collincar ver- wändtes «zu sconstiuirem 1 . | Ach ‚Auflösung: .Heissen bei Pat und Per abe genden Aufgaben od, Bye By si die Punkte;;: welche das a 319 gegebene System ‚ausmachen, . 4, 2%, „..P‘, „.".die ihnen resp. entsprechenden in dem zu construirenden, Man nehme in, einer Geraden a’ die drei Punkte 4, Z',C' nach Willkühr und gebe dieser Linie ‚gegen die Linie «, in welcher die gegebenen Punkte 4,2, .,, ent- halten sind, eine solche Lage, dass‘ 4 mit d_usam- menfällt, und mithin beide Linien in eine und dieselbe Ebene zu liegen kommen. Man ziehe nun 32 und cc“, welche sich in © schneiden, so erhält man für irgend einen andern Punkt ? des gegebenen Sysiems den ent- sprechenden Punkt 7° als Durchschnitt von OP mit a, — Der Beweis dieses Verfahrens ergiebt sich unmittelbar aus $. 189. $. 228. Zusatz, Nimmt man O (Fig. 50.) will- kührlich, so kann man der Geraden « immer, und zwar auf doppelte Weise, eine solche Lage geben, dass A',B',C' in 04,02,0C fallen, wo dann ?, eben 80 wie vorhin, der Durchschnitt von O7? mit a’ ist. Denn, da die Seiten A4', 4'B', B'B, BA des Vierecks 44" BIB - von der Geraden CC* resp. in 0,.C, 0, C geschnitten werden, so hat man’ ($. 199. ce.) 40 20 BO BC. 0" Ca 08 an“ Hiernach ist das N OHREN 4'0:0B"' durch ‚die Proportion i 40: 100 hass AO cB.’ CB 08'008 gegeben, und man kann folglich ‘eine Gerade ziehen, welche mit der gesuchten Lage von a’ parallel ist, Schneide diese Parallele die O4 und 03 resp: in und‘ 3", so findet sich 04 als die vierte: Proportionallinie zur dB", AB und 04”, wodurch nun die Lage von '« vollkommen, und zwar auf ‚doppelte ‚Weise, bestimmt 320 fe wird, indem man O4 in 04 süßer tqwohl‘ als die e-andere Seite von © tragen kann. - ®. 129. Aufgabe, Ein, einem gegebenen FOR . me von Punkten in einer Ebene collinear vernandieh, System zu construiren, Auflösung. Man’nehme in dem gegebenen Syl steme die. Geraden C4 und CB als Axen, und beziehe darauf jeden ändern Punkt des Systeins, indem man ihn mit’ nd 4 "durch "Gerade verbindet und die Durch“ schnitte dieser Geraden mit den Axen CA und 08 an- giebt, Sey demnach - für Di CH BD=M, CB-AD=EN, ; für Pr C4BP=X, CB’ AP=Y, : Auf gleiche Art nehme man in dem andern Systeme, Fig ‚das man sich schon construirt denke, 4 und CBt zu Axen, und projicire darauf aus B° und Bl den Punkt Dp ‚und jeden der übrigen, 2”, indem man wm für Di Ode BD=m, CB" 2D'=N“, rain Hün Pr OA, EPEN„ OBRrAN ZEIG setzt, Man bestimme nin 4, B*, C/, D* nach Willkthr, so sind damit auch die den Punkten M und N entspre= Hu chenden 47 und N’ bestimmt. Da ferner von den in _ Nsin: Bezug auf. C, 2, N den .dem..Y entspr der Axe,C4 liegenden vier Punkten‘,C, 44.4, X“, die drei ersten den Punkten C,4,M in C4 entsprechen, so kann man nach‘$, 227i\den dem..X entsprechenden vier- ten Punkt X°, tnd eben so in der Axe® @2%, aus ©, B, Punkt 7”. finden. „„Hiermit bekommi man endlich; P .Äd0Y : BI Xl, X j IR ara $oaBo, Zusatz, Däs einfache Mittel, - dessen wir. uns bedienten, un zuveinem gegebenen 'Syste Punkten: in ‚einer «Geraden ein collinear ve; 321 \ stem zu coönstruiren, und wonach jeder nicht willkührli- che Punkt des letztern sich durch Ziehung einer einzi- gen Geraden ergab, veranlasst zu der Frage, ob nicht ein , eben so einfaches Verfahren auch zur Construction colli- nearer Figuren in Ebenen angewendet werden könne, So viel begreift man leicht, dass, wenn bei zwei Ebenen, die eine beliebige Lage gegen einander haben, von den Punkten der einen Ebene gerade Linien nach irgend einem ‚ausserhalb beider Ebenen befindlichen Punkte o ‚gezogen werden, die Punkte, in denen diese Geraden die andere Ebene treffen , ein deh erstern Punkten col-. lineares System bilden werden; weil nach dieser Con- structionsart jeder Geraden @ der einen Ebene auch eine Gerade «a’ in der andern entspricht, diejenige nämlich, worin die andere Ebene von der Ebene durch O und a geschnitten wird *).. Kann aber auch umgekehrt, wenn beliebigen vier Punkten 4, 3,C, D der einen Ebene ir- gend vier Punkte .7°,..D’ in der andern entsprechend gesetzt sind, der einen Ebene immer eine solche Lage gegen die andere gegeben werden, dass die vier Gera- den 44,..DD*‘, und folglich auch jede fünfte, welche irgend zwei in Bezug auf 4,..D und 4,..D* sich col- linear entsprechende Punkte verbindet, durch einen und denselben Punkt O gehen? — *) Bringt man in O das Auge, 'so erscheint das eine System als, eine perspectivische Abbildung des andern. Das auf eine Ebene per- speclivisch entworfene Bild einer ebenen Figur steht ‚daher mit letzterer stets in GCollinverwandtschaft, Wird das Auge unendlich entfernt angenommen, 80, sind die Fi- gur und ihr Bild einander affin. Haben die beiden Ebenen eine parallele Lage, so findet Aehnlichkeit statt; und wenn in die- sem Falle das Auge entweder unendlich entfernt, oder zwischen beiden Ebenen in der Mitte al — Gleichb eit und Achu- lichkeit, X . BTL NA 322 - . ” fe Mn Uin dieses näher zu untersuchen, wellen wir anfäng- lich nur die drei ersten Paare der sich entsprechenden Punkte berücksichtigen. Heissen die Seiten der von ih- nen gebildeten Dreiecke 43C und 43°C! (Fig. 51.): BO=f, CA—=g, AB=h, BCO—=P, Od=g, MBI—ht, Seyen ferner unter der Voraussetzung, dass sich die drei Geraden 4.4, BB’, CC’ in einem Punkte O schneiden: 04—:, OB=y, 00—:; Od, OB'—y, OCi—et, so ist nun durch Gleichungen auszudrücken, dass von den zwei Pyramiden, deren Kanten f, g, %, x,y,2 und f%...s' sind, die durch die Kanten #,y,z und #*, y‘, # gebildeten- körperlichen Winkel, (oder die Kanten des einen mit den rückwärts. verlängerten Kanten des andern,) zur Coincidenz gebracht werden können, dass folglich die ebenen Winkel yz,zx,xy den Winkeln y’’ etc. resp. gleich sind. Man setze daher in den Dreiecken fyz und Py’z die Cosinus der Winkel yz und y’s, durch die Seiten der Dreiecke ausgedrückt, einander gleich, so kommt: er) Eye), oder nach einer leichten Reduction: (very) Any = nur) = Faylarfraye, eb, ‚so ı) (2:7 — 3/2) (22' — at) = g?ztt —gl2zn, (ayl— ty) (vu — yy')—hriy hy wenn man auch von den Winkeln zr und 2%, & und ’yt die Cosinus, einander gleich setzt, Dies sind. ‚also die verlangten Gleichungen, denen die Werthe von 2,9 2,2°,y',2' Genüge leisten müssen, Weil man drei Gleichungen weniger, als unbekannte Grössen, hat, so können irgend drei der letztern nach Willkühr (} werden, nur mit. der Vorsicht, dass die ee ö keme BNDSEN Werthe erhalten. DL I. „ Er 823 „.,,Diese.Willkühr wird aber sehr. beschränkt, wenn - man verlangt, dass noch ein viertes Paar in den Ebenen ABC; und 4#B'C' beliebig genommener Punkte, D und", die man dD—=aA+bB+eC, dD’—=adrbB Leo setze, mit O in einer Geraden liegen soll, Die hierza nöthigen Bedingungsgleichungen lassen sich folgenderge= stalt finden. Weil O4=x, O4'==x*, und daher 40:04 = ca”, etc. 80 ist "0er, DeyB—yBN, 0=#0-:0, "Man multiplicire diese drei Ausdrücke von © resp. N a' b' e’ mit, Pr und äddire sie hierauf, so koniäits w Y er Ayo! 5 2402 od ° Da nun die Gerade Do die ER ABC im Punkte D sehneiden soll, so hat man x EZ U Se A+ v2 B+e— C=D, ‚Hiernit den vorhin für D angenommenen Ausdruck verglichen, ergiebt sich: en u “ıY 2 a und die in diesen Verhältnissen begriffenen zwei Glei- chungen. werden .die gesuchten Bedingungen seyn. Um sie mit den obigen Gleichungen ı) in Verbindung st bringen, setze man: & * b ee ‚Äh ten und 3) lauf, 50 wird Fu :170 a = yu2, f ; Pi ar 324 ‘Hierbei sind «, f,y drei ir gegebenen Verhältnissen stehende Zahlen, von denen die eine nach Belieben, z.B: =, genommen werden kann; % ist eine 'noch un- bekannte, jedoch von dieser Annahme mit abhängige, Zahl. Substituirt: man diese Werthe-für x, 57%, *in den- ie, ı), so erhält man: N. er: — 2?) e —p: fur, ) Hi (13? —ar?) u = g77 —yagzu2, (a—P) (ar? —Ay2) u =ha—aßhaur,. yeia> und man muss nun die vier Unbekannten ü, 2,7, 3, auf _ eine, diese drei Gleichungen befriedigende, Weise zu bestimmen suchen. Die erste dieser Unbekannten, u, lässt, sich. unabhängig von .den drei übrigen darstellen. Denn addirt man die Gleichungen, nachdem man sie vorher resp. mit B—y, 7— &, @—- ß dividirt hat, so kommt: fi 5 pr = AyfruR + gr —yag?u? + h'2 _ aßh2u% 8 ü P—r ,—@ u Auch‘ zeigt sich bald, dass der hieraus folgende Werth von u? immer positiv, z selbst also immer mög- lich seyn muss. Es wird nämlich, wenn man in den. gegebenen Dreiecken fg% und fi g'h’ statt der Seiten 7, A die ihnen gegenüberstehenden Winkel einführt, und diese = u, a, und folglich ?efr+ıge— als cos 42 = fr? + g'2 m aflgNcosu. setzt} ‘ „an la)? PH Sy) Er le) (Eh Prenn N 7)’ P+@-7)?078’—2(a—y)(E—)aBfgco 2 Von diesem Bruche ist aber der Zähler — den drate der Seite eines Dreiecks, i in welchem die er dern Seiten = (a7) f, (Bon)s’, und der von Fa eingeschlossene Winkel =; folglich ist der z 325 immer positiv, ynd aus gleichem Grunde auch der Nenner. x Nachdem man nun x gefunden hat, kann man ‚von den drei Linien &, 9: die eine, z.B. x, immer und auf unzählige Arten so Annehmen, dass die beiden andern Linien aus den Gleichungen 4) bestimmte mögliche Wer- the erhalten. Mittelst der Gleichungen 3) lassen sich dann auch a’, y',s' finden, und die Yigur kann construirt werden. Unsere Aufgabe ist daher im Allgemeinen i immer "und auf unendlich viele Arten zu lösen möglich. Um den ge0- metrischen Zusammenhang dieser Lösungen aufzufinden, bemerke man, dass mit der nicht nach Willkühr bestimm- baren Zahl z zugleich die Linie gegeben ist, in der sich die Ebenen 4BC und 42°C’, welche der Kürze willen ; e und #’ heissen, schneiden müssen. — Aus den Formeln 2), mit 3) verbunden , folgt: BE (a— Bu) Fr BuB, (1— zu) On ER und hieraus nach Elimination von 0: Fa; BaRÄR . Ps Akte ee ch IDEE + MT Bo an aree enee e = dem Durchschnitte der Linien BC und 3°C, eben so findet sich der Durchschnitt von C4 mit O4 ii ist ya nie 1—au 1—yu mal, a—yu ” ©; Da nun diese zwei Punkte, ‚(80 wie.-auch ai vier übrigen Punkte AB-AB', AD: A Dt, BD=B!D', CD'C!D«,) offenbar- in der :Durchschnittslinie der Ebenen’ & und-s liegen, so ist der Ausdruck dieser Linie, bezogen __.. 4+ ‚Br _rG4+r) c 1— Pi EESTE & sr y . - . x ale ’ 1 r U “ m Dep zn % 326 123 r Pre?‘ # 2. . anf MB, —— #4 TB Er ee 1—au 1— Bu y— zu wo » und “ die Veränderlichen sind. & Haben daher die. beiden Ebenen die verlangte g ge- genseitige Lage, so werden sie sich in dieser Linie schnei- S ‚den. Der Winkel, unter dem dies geschieht, kann jeder beliebige seyn, Dies folgt schon daraus, dass. x immer willkührlich bestimmt werden kann, lässt sich aber auch durch eine. einfache geometrische Betrachtung darthun, Wenn nämlich die zwei Linien 44° und BB* bei einer gewissen Lage der Ebenen s und « sich treffen, so wer- den sie sich zu treffen fortfahren, auch wenn die eine oder beide Ehenen um ihre Durchschnittslinie &e, als ‚um eine Axe, gedreht werden ; aus dem Grunde, weil, ‚wenn Adı und 3A‘ sich treffen, 42 und 42' in sich be- gegnen müssen, und umgekehrt. Aus demselben Grunde wird auch jedes andere Paar der vier Linien 4.44... DD* sich Zu treffen fortfahren, wenn dieses bei der anfängli- ehen Lage der beiden Ebenen geschieht.‘ Mit Anwendung der in $. 208. gebrauchten Schlussfolge müssen daher die vier Linien 4,4,.. DD’ immer in. Einem, hei der Axen- drehung der Ebenen ebenfalls fortrückenden *, Punkte ‚oO zusammentreffen.- Se - Weil # nicht unmittelbar, ode u” gefunden aha de, ‚folglich u zwei gleiche aber entg gegengesetzte Werthe hat, so wird es noch eine zweite Linie geben, in welcher sich die beiden Ebenen auf eine die Aufgabe. befeiedi- gende Weise schneiden können, Die ‘Ausdrücke. diese weiten Linie finden sich, wenn man. in den a Ielie cken 9<, Es ist leicht am erweisen, dass, wenn nur die eine Ebe v u lich genommen wird, der Punkt @ einen auf der Aras dicularen Kreis beschreibt, 327 der (rsten — u statt # setzt. Geometrisch kann man die zweite Linie aus der ersten ableiten, wenn man in den vier Linien O4,..0D die Abschnitte 04,.. OD! von OÖ auf die entgegengesetzte Seite nach 4”,..D trägt, so dass 4”4’—=204', etc. Denn alsdann wird das System der vier Punkie 4#,..D4 gleichfalls in einer Ebene lie- gen, und dem Systeme der vier Punkte 4,..D’ gleich und ähnlich seyn. Diese Ebene wird fölglich die Ebene &, nur in einer andern Lage, vorstellen, ın einer Lage, die mit der ersten offenbar parallel ist; wad der Durch- schnitt der Ebene # in dieser zweiten Lage mit der un- verändert gebliebenen Ebene s wird die gesuchte zweite Linie seyn, die daher in jeder der beiden Ebenen mit ‚der ersten Linie gleichfalls parallel seyn muss. Dieser Parallelismus der beiden Linien giebt sich auch zu er- kennen, wenn man den unendlich entfernten Punkt der- ‚selben sucht (8. Z1.). Aus den obigen Ausdrücken der Linien folgt der Ausdruck dieses Punktes, bezogen s ı Reg a 9, auf 4,B,C: (7 —-) A+ G- +) B4(+ -) C, auf 4, 37,0: 7) +1 )3'4+(a—P) C%, ist mithin von # ganz unabhängig, bleibt also derselbe, mag u positiv oder negativ genommen werden. Das Ergebniss der bisherigen Untersuchung: ist dem- nach folgendes: Hat man zwei Ebenen & und «, und in jeder der- selber vier Punkte: A,B,C,D in e und A',..D' in «, so kann man den Ebenen im Allgemeinen immer und auf unendlich viele Arten eine solche gegenseitige Lage geben, dass sich die vier Linien 44, BB’, CC, DDr in Einem Punkte schneiden. Es lassen sich nämlich in Jeder der beiden Ebenen zwei Parallellinien ziehen, die 328 | . Parallelen p und q in e, pt undg' in e, von der Be- schajfenheit, dass, — wenn man die vier Punkte Je- der Ebene für sich paarweise durch (sechs) Gerade verbindet und die Durchschnittt dieser Geraden mit den zwei Parallelen der jedesmaligen Ebene bestimmt, — das System der 6 Durchschnitte mit p dem Systeme der gleichnamigen Durchschnitte mit p', und eben so das System. der & Punkte in qg dem.der 6 Punkte in 5° gleich und ähnlich ist. Bringt man nun die Be 1 F Ebenen in eine solche Lage, dass die 6 Punkte in ‚mit den gleichnamigen in p’, oder die 6 Punkte. in. q mit den gleichnamigen in q' zusammenfallen, so wer- den sich, welches auch die gegenseitige Neigung der Ebenen seyn mag, (auch können sie beide in einander fallen,) die vier Linien Ad',.. DD!‘ in einem Punkte vereinigen. 2 Anmerkungen. Diesem Boishare zufolge kaun also von je zwei ebenen Vierecken, und mithin von je zwei collinear verwandten ebe- nen Figuren, überhaupt, die eine von der andern im’ Allgemeinen immer als perspgetivische Abbildung betrachtet werden, u ” Ein Fall, welcher hierbei noch eine besondere Erwähnung ver- dient, ist der, wenn die zwei Figuren 42,.D und 4'..D! einan- der alu sind; Alsdann verhalten sich ($. 145.) a:b:c—=at:bt:ch, woraus nach den obigen Rechnungen weiter folgt: e=ß=y; mf:g:h=f:g':h'; xyz = at:yl:zi) Sind daher 4..D und A'..D! afiune Figuren, so müssen sie ‚einander zugleich ‚ähnli« seyn, und ihre Ebenen einander parallel gelegt werden, wenn eine „x Vereinigung‘ der vier Linien AAY,... statt haben soll, Sind aber die Figuren einander bloss afin, so ist ein Zusamineutieilen der. vier Linien entweder durchaus unmöglich, oder doch zur wen sammentreffen im Unendlichen, "d.h. gegenseitiger. Paralls ; derselben zu bewerkstelligen. Es lässt sich nämlich zeigen, die gleichnamigen Spitzen zweier Dreiecke ABC und 4. © „dann durch Parallelen verbunden werden könuen, und dass , von zwei üfiuen Figuren A..D.. und) 4..Dr,, die eine, Projection der andern durch Parallelen, nur in dem E\ kaun, wenn, 59,%, f',.. in der vorigen Bedeutung gen: f'2 — /: az ed W% — h% .) gesetzt, = i Nadel ) eine positive Grösse ist, 329 $. 231. Aufgabe. Ein, einem gegebenen Systeme von Punkten i im Raume collinear verwandtes, System zu construiren, Auflösung. Seyen 4,. „EZ fünf Punkte des ge- gebenen Systems, von denen Er vier in einer Ebene liegen. Man nehme die Linien DA, DB, DC zu Axen, also D zum gemeinschaftlichen Änfangıpunkt und. 4,8,C zu den ‘Endpunkten derselben, und beziehe auf..sie je- den andern Punkt des Systems, indem man für jede Axe den Punkt angiebt, i in. welchem sie von einer durch die Endpunkte der. beiden andern Axen und durch den zu bestimmenden Punkt gelegten Ebene geschnitten. wird. Hiernach werde bestimmt: E durch DA: BCE=M, DB: CAE=ZN, DC: ABE= 0, P durch D4-BCP=X;, DB-C4P=\Y,' DC: ABP=Z; Dasselbe Verfahren denke man,sich in dem andern Sy- steme wiederholt, und bezeichne die den Punkten. M, N ; O, X,.. entsprechenden Punkte durch M',1N”, Or, X DEER| dass also M'=D/4' B’C’E', etc. Man nehme nun 4, Br, .. 2 willkührlich, jedoch so, dass keine vier derselben in einer Ebene liegen. Alsdann sind von den vier Punkten D’,4,4°, X’, welche in einer Geraden liegen und den gegebenen. Punkten D, 4,M, X entsprechen, die drei erstern ebenfalls bekannt ;. uud man kann folglich nach $. 227. den vierten X* finden. Auf eben die Art erhält man auch Y* und Z‘ in den Gera- den D’B'N'Yt und D'C’0'Z/, woraus sich zuletzt als der gemeinschaftliche Durchschnitt der drei Ebenen ” ax, CA'Y, 4#B'Z ergiebt. $. 232. Zusatz. Der Beweis für die Richtigkeit dieser Construction und des in $. a2g. bei ebenen Figu- ren gelehrten, Verfahrens beruhet darauf, dass bei zwei % TETTERT . 330 eollinear verwandten ebenen Figuren je vier Punkte der einen, für”sich betrachtet, von den ihnen entsprechenden vier Punkten der andern im Allgemeinen ganz unabhän- gig sind, dass eben so bei zwei eollinearen Figuren im Raume zwischen je fünf Punkten der einen und den ent- sprechenden fünf Punkten der andern noch keine Be- zıehung statt findet, und dass endlich die zwei oder drei D.verhältnisse, wedurch jeder andere Punkt der gege- benen Figur in Bezug auf die ersten vier oder fünf Punkte vollkommen bestimmt wird, in der zu construi- renden Figur von gleicher Grösse gemacht wurden. Nimmt man die vier oder fünf ersten Punkte der zu ‚construirenden Figur nicht willkührlich, sondern lässt sie, als ein System für sich, zu den vier oder fünf er- sten Punkten der gegebenen Figur in einer der früher erklärten näheren Verwandtschaften stehen, so ist klar, dass auch die ganze nach den vorhin gegehenen Regeln Construirte Figur der. gegebenen Figur auf dieselbe Art näher verwandt seyn wird. Lässt man z, B. bei der Con-. struction einer collinearen ebenen: Figur das Viereck AB'CD' dem Viereck Z..D ähnlich seyn, so wird Ri zwischen den ganzen Figuren Achnlichkeit obwalten. . Dasselbe wird endlich auch von callinear verwand ten ‚Systemen i in geraden Linien gelten, wo, wenn zwi- schen drei Punkten des einen und den entsprechenden nr - Punkten des andern Systems eine nähere Verwandtsc siatt findet, dieselbe sich gleichfalls auf die az steme erstrecken wird. hchih; Capitel Von nk ‚aus ’der' Verwandtschaft der ‚Golli g ncatioh „entspringenden ee 8. 233. TREE Hat man ein’System von n Punkten in einer Geraden, oder in einer Ebe- ne, oderim Raume, und’ sind von den daraus zu bildenden Doppel- und Vieleckschnitts- verhältnissen resp. irgend n—3, an—8, 3n-ı5 von einander unabhängige gegeben, so kann man hiermit alleübrigen finden Beweis. Der erste Fall, ‘wo die Punkte in einer Geraden liegen, und wenn die gegebenen Verhältnisse D:verhältnisse sind, ist schon in ’$. 187. bewiesen wor- den. Dass der’ Satz auch für Vlverhältnisse gilt, folgt aus 8.216. co. Wenn zweitens die Punkte in einer Ebene enthalten sind, so setze man, wie in $. 2r9., zwischen vier Pünk- ten ‘des Systems, 4,..D, von denen keine drei in einer Geraden liegen, die Relation fest: ad+bB+eC=D, und bringe den Ausdruck jedes’ der n——4 übrigen Bunkte auf die Form ga4+x5B + yeC, so dass jeder dieser Punkte in Bezug auf die vier ersten durch zwei’solcher Verhältnisse, wie @:x und x:y, und folglich:alle u—4 Punkte durch 2(a—4) solcher Verhältnisse bestimmt sind. Nach $.aar. sind äber alle D;- und Vl.verhält- ' Bau nisse des Systems Fanctionen dieser 2»—8 Verhältnisse; es muss daher auch aus irgend 2”—8 von einander un- abhängigen D.- und. Vi.serhältnissen. des Systems jedes andere Verhältniss dieser Art gefunden. werden können. Eben so wird endlich der Beweis für, den dritten Fall geführt, wo, E=a4+. .+dD geselzt, jeder der na—5 übrigen Punkte, 7,G,. "durch. drei solcher Ver- _ hältnisse ; wie 9:24.23 45 pxo, und’folglich ‚alle a Punkte durch 3(m— 5), solcher Verhältnisse i in Bezug auf die fünf ersten bestimmt werden. Von diesen Verhältnissen aber können alle in dem Systeme vorkommenden D.-. und. „Vl.verhältnisse; als, Eunctionen, darapetellt heit ($. 223.). ı 8. 234. Zusätze. .a, Bei Sina Soiehee. von hub 6,7,8,9; ... Punkten in,einer Ebene, müssen also: 0,2,4, 6;8,10,... D.- (und Vl,)verhältnisse gegeben ar daraus alle übrigen. ‚bestimmen zu können, ',, 127. Bei einem Systeme: von bloss vier; ‚Punkten i in I Ebene wird daher ‚noch kein D,verhältniss, als gegeben erfordert; d.h,.alle D.verhältnisse, welche ‚sich bilden, indem man. die vier Punkte durch ‚Gerade verbindet ‚und dieselbe Verbindung mit den dadurch entstehenden Durch- schnitispunkten, so weit als man will, fortsetzt, sind bloss von der Art und, Weise der Verbindung abhängig, wie. dieses hereits aus $..202. a. bekannt ist. Auch ha- ben alle dergleichen D.verhältnisse rationale Werthei abs Construirt man ähnlicherweise ein, geometrisches Netz aus fünf Punkten in einer, Ebene, statt, aus vieren, so reicht, zur Bestimmung aller darin. vorkommenden D,ver- hältnisse nicht mehr die, Kenntniss der, ‚Verbindungsart hin, durch welche man, von den. fünf. Punkten ‚ausge- hend, zu den, irgend ‚eines dieser: D verhältnisse bilden. den, ‚Punkten gelangt; sondern es müssen noch irge: 333 zwei von einänder unabhängige Direrhäluiisse selbst‘ ge- geben seyn. — Beidem geöinetrischen Netze, welchem sechs beliebig 'in eier Ebene genömmene Puhkte zum Grunde liegen, ‚ lassen sich aus‘ irgend vier von einander ünabhängigen Diverhältiissen: die Werthe aller andern ableiten; u. sw. Man wird übrigens schon wahrgenommen abet dass ‚ der eben erlähtäite Satz eine Verallgemeinerung des im ‘8.192. erwiesenen‘st, indem dört'nur von denjenigen '. D.verhältnissen die Rede war, welche bei einem Systeme » gerader Linien in einer'Ebene in und von diesen Li- nien selbst gebildet wurden, hier aber bei einem Systeme von » Punkten in» einer Ebene, wodurch ebenfalls nur n von einander imabhängige’ Gerade bestimmt werden, die Rechnung nicht bloss auf diese beschränkt ist, son- der auf alle Linien des aus den » Punkten zu construi- renden Netzes ausgedehnt werden kann. b. Aechnliche Bemerkungen lassen sich über den T.chr- \ satz des vor. $. machen, insofern er Systeme im Raume betrifft, ° ünd wo er als eine Erweiterung des Satzes in $. 194. erscheint, Bei‘einem Systeme von 5,6,7,8,9,... Punkten ist hier die Anzahl der erforderlichen D.ver- "hältnisse = 0, 3,6, Hıa.: Der abgekürzte eiresihrische Caleul. # er: and $. 235. Da die Collin.verwandtschaft eine Verall- gemeinerung der Affinität ist, und alles dasjenige, was eine Figur mit einer ihr collinear verwandten gemein hat, zugleich jeder ihr affınen Figur gemeinschaftlich zu- kommt; da ferner alle aus der Affinität entspringenden Aufgäben mit Hülfe des barycentrischen Caleuls sich I6- sen lassen; so müssen auch alle durch die Collin.ver- wandtschaft ‘begründeten Aufgaben mittelst' baryeentri- 334 ‚scher Formeln in’ Rechnung gesetzt. und gelöst, werden können. Es lässt sich aber. bei ‚dieser letztern Act von Aufgaben die barycentrische Rechnung bedeutend abkür- zen, dadurch nämlich, dass man die. Coäfficienten, der Ponkte nur aus ; ‚solchen. ; Zahlen. bestehen lässt, . die in jeder Figur, welche mit der ‚mit der gegebenen. collinear ver- wandt, ist, ‚dieselben bleiben, .. Hierdurch ; geschieht Ko dass in demselben Grade ,. in welchem von. der ‚einen Seite ‚wegen der, zusammengesetziern, Verhältnisse, die ° Untersuchung erschwert scheint, sie von der andern Seite durch Abkürzung, der. Formeln erleichtert wird. . Der Zweck dieses abgekürzten Calculs ‚ist, demnach die Entwickelung aller derjenigen: Eigenschaften einer Figur , welche sie mit, jeder ihr collincar, ‚verwandten Fi- gur, „als, solchen,.;gemein ‚hat. Bei: den durch diesen Calcul zu lösenden Aufgaben und‘ zu erweisenden Liehr- sätzen kann «daher von keinen ‚andern Grössenverhältnis- sen, ‚als -D.- und Vl.verhälinissen; und; wenn nur ge radlinige und chenflächige Figuren untersucht werden, von keinen andern Bedingungen ,: äls solchen die. Rede seyn, dass drei oder mehrere Punkte in jeiner Geraden liegen, zwei oder mehrere Gerade sich in einem ı Punkte, drei oder mehrere Ebenen in einer Geraden treffen, u, dergl.; ‚da hingegen die einfachen 'Verhälthisse zwischen Abschnitten einer Geraden, oder zwischen Flächentheilen einer Ebene, oder zwischen "Theilen des. Raums mittelst ' des abgekürzten Calculs eben so wenig berücksichtigt werden. können, als er_ die Fälle, wo der Dürchse ‚punkt, von Geraden oder die Durchschnittslinie v nen.im Unendlichen liegt, und daher. jene Pi diese "Ebenen einander parallel laufen, besonders anzus 4eigen vermag ($. 229ı b. ‚and Ga 9 Ds re; 335 — Wir wollen nunmehr die drei Arten. räumlicher Aus- dehnung einzeln durchgehen, und mit der geraden Linie “den Anfang machen. $. 236. Man habe ein System von Punkten, 4, 2, C,D,E,..., welche in einer Geraden liegen. 4 und 3 zu F. nünkten genommen, seyen die übrigen Punkte durch folgende Gleichungen bestimmt: ae dad+3bB+ dD= 0, ead te bB+eR = 0, Cic., wo also a-+b-+e==o, da+ db +d—o, ete. Alsdann 2 es, nach $.226., nur die Verhältnisse :d, &:#‘, etc., welche dieses System von Punkten mit allen andern ihm collinear verwandten gemein hat, während das Verhält- niss a:b von dem einem dieser Systeme zu dem andern ‚ veränderlich ist. . Man lasse demnach gegenwärtig die Coeffhcienten a, v und die, davon abhängigen e,d,e,... als solche, die nicht weiter in Rechnung kommen, hin- weg und schreibe: 2 A4+B+C=o, d448B+D=o, 44 B4 Ey ete, . oder noch einfacher, da man gleich anfangs statt: , a;e etc. hätte ö: 1, e:ı, etc. setzen können: A+B+C=o, 5A+B+D=o, sd+B+E=o, ec. Eigentlich genommen, werden also ‚in diesen 'nun- mehrigen Gleichungen durch die Buchstaben 4,2, C,... nicht wie bisher bloss die Punkte 4,2, C,... (oder viel- mehr die Abschnitte ‚44, BBr, cQ,.. L s 18 )} sondern ‘diese Punkte, jeder noch mit einem gewissen, durch den ganzen Verlauf der Rechnung constanten Coöfficienten a,b,0,.., behaftet, ausgedrückt, Man. kann daher mit solchen Gleichungen offenbar die nämlichen algebraischen Operationen, wie, mit den bisherigen anstellen, kann, durch successive Elimination der Punkte 4 und 2, eine 336 Gleichüng zwischen je drei ander Paukieh des Systems ableiten, z. B. j (1 —8)4+C—D=o, (1-1) 4+0—-E=o, B-)C-a—)D+A—dE=o, ee. darf aber aus diesen Gleichungen nur solche Verhältnisse folgern, welche Functionen der beibehaltenen Coöfficien- ten ö,2,... allein sind, also nur D.- und Vl.verhältnisse, als bei welchen die Coöfhcienten a, b,e,.., hätte man sie anfänglich auch stehen lassen, zuletzt von selbst heraus- gefallen seyn würden. Werde z.B. der Werth desD. verhältnisses (® D,A „E) verlangt. Die hierzu nölhigen Gleichungen zwischen C,D,4 und C,D,E sind: c—D+ (1—9)A=o, d—) C—(ı—)D+ al Aus der erstern folgt: C4:AD=-— ı:ı, [oder vielmehr =—d: e]; aus der letzten: CZ: ED= — (1 —2):(6—0), [oder vielmehr =—d(1 — 2) :e(d&—e)]; tind‘ durch Verbindung dieser Proportionen : (6,D,A,E) — mE. Soll ferner der Werth des Dreieckschn ebepte AB : CD EF 36 ‘DE ' rg bestimmt werden,. so übersicht man leicht, dass erstlich die Coefficienten d, d,f der Punkte B,D,F gar nicht ins Spiel kommen, dass zweitens durch Multiplication von 4B: BC mit CD: DE der Coöfficient e weggeschafft wird, und wenn man hierem noch 27:4 multiplicirt, nicht nur e, sondern auch a herausfällt. Auf diese Weise lässt sich also jedes D.- und WE verhältniss zwischen den Punkten des Systems als Funetion RER PER ERBE ln BE a nn 337 der 'Coeffhicienten .ö,e,... darstellen, so. wie diese letzte: ren»selbst- nichts anders, als.die Werthe der D.verhält- nisse .(4,2,C,.D),((4,B5C, E),.ete. ausdrücken (8. 226.). .$- Er FR Um bei Bestimmung dieser. zusammenge- ' setzten Verhältnisse nicht nöthig zu haben, die Werthe der einzelnen einfachen Verhältnisse mit niederzuschrei- ben, kann man sich folgender aus dem Vorigen leicht fliessender Regel bedienen. — Für jedes einfache Ver- - hältniss, wie 43: BC, suche man die auf Null reducirte Gleichung zwischen dendrei Punkten desselben, 4,8, c, stelle auch diese Pünkte in derselben Folge, in welcher sie’ im’ Verhältnisse selbst vorkommen, also hier zuerst 4, dann B und zuletzt C. Alsdann ist das Product aus den Cöäfhicienten ‚der. letzten: Punkte aller» Gleichungen, dividirt durch das“ Product "aus den: Coefhicienien aller ersten Punkte der gesuchte Werth des Vl.verhältnisses;+ Die nämliche Regel) lässt sich auch bei der Werth- bestimmung eines D.verhältnisses, (4 X%)Z,M), Janwenden, indem man dasselbe ‘als ein Zweieckschn.verhältniss, UL: LK) (KM: MI), betrachtet. ‘Man suche daher: die Gleichungen zwischen. 4, Z, K, und, zwischen &,M, 7: SLIL EeKeeo, #K+uM +ıl=o; oder, was dasselbe ist: man drücke jeden der beiden Schneidepunkte Z, M durch die beiden Grenzpunkte 2 K-aus, und zwar Z durch 7 und &, M durch & und 7: (+ »K=L, uRöIeEM, rg I man hat sogleich (3,8, 1,4) = zit, $. 238. Sind nun bei » Punkten. 4,B,0,D,... N in einer geraden Linie; »—3 zwischen denselben gebil- y “ 338 dete und von einander unabhängige .D,- und Vlerhält- nisse gegeben, und soll daraus eines der übrigen dieser Verhältnisse gefunden werden -($..233.), so setze man: AHBLC—=5, 84+B+D=6, ...vA+BHN—o, und bestimme, hieraus die -Werthe der »—3, gegebenen Verhältnisse und. des, gesuchten als Functionen der n—3 Coöfficienten ö »Eran;?- Dies, giebt ein ‚System von n—a Gleichungen ,. aus „denen ‚man ,.,nach. Elimination. der n— 3. Hülfsgrössen, d,&,...%, eine . ‚Gleichung _ zwischen den n—3 ‚ gegebenen Verhältnissen. und ‚dem gesuchten bekommt,; und, somit ide letztere in Werthen der- erstern ausdrücken. kann, ; F Beispiel:: Bei einem ae von vechä Zakaes A,... F in einerGeraden sind die 6-33 Breieckselini- verhältniiee Au ze rn 3 InmmY ter: (BC.:CA) (AE: Eu (ED: DB pP. (DE; EC) (CArAB)-(BE:FD)=g.. (FA: AR) (EC: CD) (DB&BF)=r.. gegeben. ’ Das Dreieckschnittsverhältniss : ) (":.) . (AD!'DE) (CF: FB) a BA)=ı zu finden, — Man Setze: A+B+C=o, 34YB+D=o, n , SW +79 edA+B+E—=o, £4+B+F=o. „m ug and? x Um. nn. zuerst die Werthe von p, 5 r,# durch 3% auszudrücken, bilde man-nach ‚der im vorigen $. mit- getheilten Regel die Gruppen von Gleichungen für p . für q. | B+ C+ ZN, GBR lg) N EH F=o, A B=o, r PR e Ka öF— Do; 339 woraus sich p= en s ern ergiebt. Durch ein gleiches Verfahren erhält man: | d(1—e) e(&— 1) A Ei). ” = (6) ‘und es ist nur noch übrig, aus diesen vier Gleichungen, ö,2,5 zu eliminiren. ‘Zudem Ende bemerke man, dass in jedem der Brüche, ‘wodurch p, q, r ausgedrückt wer- den, ‘die Summe des Zählers und Nenners immer’die- selbe: ist, nämlich ; ; | 5— LI +öd—)=r; dass folglich mit Anwendung dieser durch # bezeichneten Summe. 5 v v > RR. Gen Bas a —ı geschrieben werden kann. *) Man setze daher zur Ab- kürzung zT r 3 . = pp, —— gg = 0° wird ı ıtP ı+q 1-7 ep=ilk—), vgl) d&- 8), er=ild—ı), Hieraus findet sich weiter : »hi—gI-r)=t(ı—), Auisrricgtpiehgiii; us ; v(1—p/g4) = e(d—L$); 2111103 ..*) Es folgt hieraus, dass für P==0 sich jede der drei Grössen p,g,r tnd mithin auch ihr Product auf —ı reducirt, In der That fin- det sich: dieses Produet por= (FA: AB) (BC: CD) ar EF)| d— 0) 0=,) ze) KEos s Ya .i — 340 mithin, wenn man das Product aus diesen drei. Glei- chungen durch das Product aus den drei vorhergehenden dividirt: ’ zus G—’— hr —pP—g)_, et rer (£—e) (ö—ı) oder, wenn p’,g‘, r’ wiederum durch p, g, r ausgedrückt werden: f- £2 G—g)G—rp)(—pN), G+?)a+NKırr) „Setzt man z.B. p=— 2, g9=—a, r——Z, so wird. hiernach »—=a7. Es finden diese Werthe statt für 42 =BC=CD=DE=EF., $. 239. Betrachten wir jetzt ein System von Punk- ten A,B,..., welche in einer Ebene enthalten sind. Auf 4,B,C als F.punkte bezogen; seyen die Gleichungen für die übrigen Punkte: - > © 444bB+eC+dD=o, ead+ebB-+elcC-+eE=o, anal GadA+&bB-+L"cC+/F=o, R) u. s. w. en also.aFb-+c+d=o, ga +2b+c+e=o, etc.‘ Da wir nun gegenwärtig bloss diejenigen Eigenschaften des Sy- stems berücksichtigen wollen, die dasselbe mit einem ihm collinear verwandten, ‘als-solchen‘, gemein hat, und da hierbei nur die Verhältnisse &:#:.%, &:Er: tw, etc. m verändert bleiben ($.219.), so lassen ‘wir abermals die Coeffhicienten a,b,c,d,e,f;,... weg, setzen auch, weil es nicht auf die absoluten ‘Werthe von. s, #, , ‚so nder! bloss auf ihr gegenseitiges Verhältniss ‚ankommt, ; He und eben so £*=1, etc. und schreiben hiernach She Gleichungen unter folgender einfachst möglicher Form: ir} C ua? a ° AFBHCH DEU... } sA4sB4+CHE=o, ; 4 SAL+EB-CHF=o, - u. Ss. w. Zur richtigen Anwendung dieser Gleichungen haben _ wir uns), ebenso ‘wie in 8. 236., nur vorzustellen, dass 4,B,0C,D,E,... nicht mehr bloss Punkte, sondern Punk- te, jeder mit einem, gewissen während der ganzen Rech- m unveränderlichen Coöfficienten verbunden, bedeu- Hieraus folgt wiederum, dass die Rechnung mit ala Gleichungen ganz dieselbe, wie mit den anfäng- lichen, nicht abgekürzten, ist, und dass man durch suc- cessive Elimination der F.punkte 4, 3, C eine Gleichung zwischen je vier andern Punkten des Systems entwickeln kann. dB aus, (dessen Lage gegen 4 und B aber erst durch Zusammensetzung des Verhältnisses e; mit dem der weggelassenen Coäfficienten, a: b, vollkommen bestimmt wird.) Eben so ist C+Z ein gewisser in CZ liegender Punkt, (nicht eben der Mittelpunkt ($. 30.), sondern der Punkt eC-++eZ.) Da nun e4+«B+CHEZ=o, so folgt e# + B=—(C+E)= dem Durchschnitte der Ge- raden 43 und CZ. Heisse dieser ?, so kann man setzen: ed+B=—C—K=P, ohne dem 7 einen andern Coefficienten, als die Einheit zu geben, indem man den Coefficienten, welchen P hier- nach eigentlich erhalten "sollte, [eat+sd—=—(e+e)]; eben so mit’ dem’ Buchstaben ?, wie « mit 4, b mit B, etc. vereinigt, denkt... 1 Ä A. $. 240. 4,B,C in der jetzt angegebenen Bedeutung | genommen, drückt e4--eB. einen Punkt der Geraden | r 342 Allgemein also: besteht zwischen den vier Punkten des Systems Z,K&,L,M die Gleichung «7 +xK+1L+uM =, so folgt daraus für den Durchschnitt ? der Linien IK und LM: P=Ldl+sK)=F (2 +). Ob man ?P=+ oder —(ı/+xK) setzt, ist gleich- gültig. Nur muss man bei dem einmal Gesetzten im Fortgange der Rechnung bleiben, und darf, wenn man P=+(i+xK) genommen, den andern Werth nicht +, sondern —(L+uM) nehmen, und umgekehrt. Eben so leuchtet ein, dass die positive Annahme sämmtlicher Glieder in den Gleichungen des vorigen $., so wie in den analogen Gleichungen des $. 236., nicht wesentlich nothwendig ist. Man kann eben so gut 4—B+C—=D, s4+eB—C=E, etc. setzen, muss aber nur mit. den einmal gewählten Zeichen die Rechnung gleichförmig fortführen, | So wie übrigens, zwischen je drei Punkten, z.B, Z,.K,P, welche der Construction nach in einer Geraden liegen, immer eine Gleichung statt findet, so folgt auch umgekehrt, dass, wenn zwischen drei Punkten einer Ebe- ne eine Gleichung sich durch den Calcul ergiebt, ‚diese drei Punkte in einer Geraden liegen. $. 241. "Die Berechnung der D.- und Vlverhält- nisse geschieht auf dieselbe Art, wie in dem Vorigen bei einem Systeme von Punkten in einer Geraden. Zuerst sucht man nach Anleitung des vor. $. für jedes einfache Verhältniss besonders, die Gleichung. zwischen den drei in einer Geraden enthaltenen Punkten desselben, und verfährt dann nach der in $. 237. angegebenen Regel, Soll z.B. der Werth eines D.verhältnisses von der Form ... (,&,Z2M,NO,) gefunden werden, so süche'man "343 zuerst die Gleichungen zwischen 3&,2,M und LX£,N, O. Seyen diese: . a) be le, en 2) KIM} 00=0, | Sey ferner /X:LM=P, Re so ist J+-xKk= ’ A Kal PER (43&, LM, NO)=«(Z&, P,Q)m=ea ww. Zugleich sieht man hieraus, dass man, auch ohne erst die Bezeichnungen ? und @ zu gebrauchen, zu dem Werthe des D.verhältnisses (7, K, LM, NO) aus den Glei- chungen- x) und 2) unmittelbar gelangen kann, werin man darin AL + aM und »N +00 sogleich als die Punkte nimmt, welche in dem’ Ausdrucke ‘des D.verhältnisses durch ZM und NO angezeigt werden, = Eben so lässt sich auch die Berechnung eines Vl.verhältnisses abkür- zen, wenn. die Schneidepunkte der Seiten nicht geradezu, sondern statt jedes derselben zwei Punkte’ gegeben sind, die mit dem Schneidepunkte in einer Gerade Hageh, wie in $. 221. 3. ‚45 Hat man nun auf diese Weise die Werthe aller bei der Aufgabe in Betracht kommenden D.- und Vlyer- hältnisse durch die 2(—/) Hülfsgrössen & und «, & und db, etc. ausgedrückt, so kann man durch Elimination dieser letztern die zu bestimmende Relation zwischen den an—8 gegebenen Verhältnissen und einem (22 —7)ten ‚gesuchten, so ‚wie: die andern ae Me ‚schaften der Figur, entwickeln. 8. 242. Zusätze. a. Wie schom’aus $. 221. 4. folgt, “und äuch aus dem vor. $. sich ganz leicht finden lässt, sind die Hülfsgrössen a und #, :'& und #, etc. Werthe von D.verhältnissen in den Linien 4C und 20, nämlich: - 344 ©. #=(4,0, BD,BE), ®—=(B,C, AD, 4E), ws; w.;90 so dass hiernach, schon durch die anfänglichen Gleichun- gen selbst, jeder der z—4 Punkte 'Z,F,.. in Bezug auf die vier ersten’ 4,..D durch zwei D.verhältnisse be- stimmt ist. : sset v2& b. ‘Wenn einer‘von den » Punkten der Figur, 6, mit zwei andern derselben, Z und 7, in einer Geraden liegt, so-ist damit von den zwei zur Bestimmung von @ nöthigen D.verhältnissen das eine schon als gegeben an- zuschen. Denn sind ZZ, / irgend zwei andere ausserhalb .der Geraden. ZFG liegende Punkte der Figur, so-sind die ‚Punkte ZF'GH und EF" GI mit G identisch, und mit- hin ($. 182.): (2,7, GH, GI)=ı; so‘. wie umgekehrt aus dieser Gleichung folgt, dass Z,F,G in einer Gera- den liegen. Das andere, oder vielmehr das einzige in diesem Falle zur vollkommenen Bestimmung von .G“ er- forderliche D.verhältniss, so wie die Bedingung selbst, dass Z,F,G in einer Geraden sind, wird am einfachsten dargestellt, wenn man G auf Z und # unmiktellane be- zieht und daher Au nE+-FLG=o En ‚setzt. Denn aus den Gleichungen für Z und # folgt: e.—)A+E—E)B+E—F—o, und hieraus i in Ver- bindung mit G+7’+nE=o, das D.verhältniss: EHE ig na (E,R,AB,O)=—n. NE, So vielmal also bei einem Systeme von » "Punkten in einer Ebene der Fall eintritt, dass drei Punkte des- selben in einer Geraden liegen, um eben ‚so viel Ein- heiten wird die Anzahl der Hülfsgrössen 2,e,... kleiner als »»—8 seyn können, um eben so viel aber. die‘ 'An- zahl der gegebenen D.verhältnisse kleiner als an han ; Zu 345 \ müssen, wenn zwischen letztern' gegenseitige Prakhiar gigkeit noch statt finden soll. 8. 243. Folgende: Beispiele werden das Biere noch deutlicher machen. +. x) Die einfachste ebene Pa: worauf der» ‚bin kürzte barycentrische Calcul angewendet werden kann, ist das aus vier Punkten entstehende ebene Netz; indem , man hier noch keiner Hülfsgrössen bedarf. Alle beidem Netze vorkommenden D.- und: Vl.verhältnisse, so wie die merkwürdigen Fälle, wo drei oder mehrere Punkte in einer Geraden liegen, etc. können mittelst dieses Cal- culs, leichter als auf jede andere: Weise, gefunden werden. Um dieses nur an den in $. 198. entwickel- ten Eigenschaften zu zeigen, so setze man (Fig. Be D A+B+C+D=o. 6 Hieraus folgt —B— C=4+D=4 (8. 240) — C—4=B+-D=B —41—B=C+D=C' u. hieraus weiter: B—C=B—C'—=F 2 c—41=0—- H=G A-B=4#—_B=H; mithin: Z+G+H=o, | d.h. 7,6, H liegen in einer Geraden. Aus den 'Wer- - Ahen für 4, 2°, C* ergiebt sich ferner: s B+C=B+C+3D=D- 44, und eben so @+4—=D—B=B", 4+B=D—C=C ; folglich B—-C=B G—=CH—BU—F, etc. d.h. die Gerade BC geht durch den Durchschnilt F der Geraden BC und BC, u. s. w. a : Sodann fliesst au #—=4+D &nd au a ag das D.verhältniss (4, D, 4, 4") = — ı;: und aus den '346 dürch 4,B,C TE Dreieckschn.verhältniss: (B4':4'C) (CB’:B/4) (40':C'B)=ı. 2) Die Dreiecke 48C und 43°C in Fig.43. haben eine solche Lage gegen einander, dass erstlich die Spitzen von „ABiC' in den Seiten von 4BC liegen, und dass zweitens die ‚Geraden,welche die gegenüberliegenden Spitzen beiderDrei- ‚ecke verbinden, sichin einem Punkte Dschneiden. Wir. wol- len nunmehr von diesen zwei Bedingungen. das einemal nur die eine und das anderemal nur. die ‚andere. gelten Jassen, und somit die vorigen Sätze auf zweifache Weise. zu verallgemeinern .suchen. Seyen demnach ABC und 4B’C‘ Fig, ‚52. er ecke in einer Ebene, von welchen die Spitzen-4, 3,C des einen den Spitzen. 4, 3/,C* des andern bloss derge- stalt, entsprechen, dass die Geraden ,. welche die sich _ entsprechenden ‚Spitzen verbinden, in einem und demsel- s ben Punkte D zusammentreffen. Die dieser Figur zum Grunde zu legenden Gleichungen werden daher seyn: A+B+C+D=o, und nach $. 242.5 A=a44D, B'=ßB+D,.C’=yC+D, Heissen nun wiederum die Derebachniih ‚je zweier ‚sich ‚entsprechenden Seiten: - Ws, BC’ BC=EFR,.C4C04= G, AB: Bl. so ist: AR C=AB—yC=H, 3 — d=yl—ad=G, 5 En „mithin F+ GHH=o, , ‚so. dass. folglich. ER. hier Durchschnitte 7, C,H der drei Paare sich, ‚entsprechen ie Seiten i in einer ae liegen. ne a, ea p- ] 17° KO Ak Weird bald Anden; (dass (dieser Satz) Ahnlicheritäile Wriälder z r 134.9 Inu h - Aue 1347 Seyen die Durchschnittspunkte gen zweier: sich’ nicht entsprechenden Seiten: BC-O4=M, CA: se pP Bo=0; BC- AB'=P, ‘CA: Bor 9 AB-CAZR.: Um die Aüsdrälke dieser Punkte zu see "hat ı>D - man: EEE 4=aA+ D=(a id Be id B=BB+D=— Ar )B-c wm Car Dead Bel, ” u folglich («—ı) +4 _ aB+ [g—ı) ein =, und eben so (— )A+B—N, G—-)2+0=0 9, Ar4 (a1) BP, B+ m) C=Q, O+ GAR. Hieraus ergeben sich die Dreieckschn.verhältnisse; ', RENTEN ROTE GE Na" BETRETEN FT u ah) a Ka BO.BQ CWM:OR ANAp 00,90 ME ‚RAr Me Mae und auf gleiche Weise: BM.BP CN.CQ , ‚40. AR. WO.PC" NA,Q4 "OB, RB ri also; folglich ad j sich Wenn zwei Dreiecke in einer Ebene eine solche Lage gegen einander haben, dass die drei ‚Geraden, welche die gleichnamigen Spitzen verbinden, ‚sich in einem EEE schneiden, ‚so, ist das Product o aus ‚den versr ra ask Kl 4 f AR- ) ti ls il \ speciellere ( $ 207. )» sieh auch .olne, RE mit Hülfe einer 2.3 (ge Bi ) und Salken; Ebene-liegen. Tr Kar” 348 Dreiecks von den zwei ungleichnamigen Seiten des an- dern geschnitten wird, der Einheit gleich. Lässt man den Punkt 4' in AD fortrücken, bis er in die Seite BC fällt, und eben so 2’ in BD bis CA, C" in CD.bis AB,,so fallen M, P mit, 4; N,Q mit 2% ‚0, R mit C’ zusammen, und die linke Seite der letztera Gleichung geht über in das Quadrat des „für den spe- ciellen Fall:ı) der Einheit gleich. gefundenen Dr.verhält- nisses. 3) Wir nehmen jetzt zweitens an, dass die Spitzen des Dreiecks 4B’C (Fig. 53.) in den Seiten des Dreiecks ABC liegen, dass aber die Geraden durch die gegenüber- ‘stehenden Spitzen sich nicht in Einem, sondern in den drei Pünkten - BB" CO=D, CC" A4A!=E, Kg BB=F schneiden. Sey ferner: h 44" BIO=I, BBU-OA=K, CO: ABI=L. Es erhellet nun sogleich, dass zur Construction _ dieser. Figur nur die fünf Punkte 4,2,C, D und der in BC liegende 4 gegeben zu seyn brauchen, indem sich daraus alle übrigen bloss durch Ziehen‘ gerader Linien finden. lassen., Man setze daher: Berl ı) 44B+C+D=o, { 2) DET ‘so werden sich alle bei dieser Figur vorkommenden D- ‚und Vl,verhältnisse als Functionen von e ergeben, und es wird daher schon zwischen je zwei solchen Verhält- | nissen immer eine Relation statt finden. ‘Es folgen näm- lich aus ı) und 2) die Ausdrücke der übrigen Punkte: zei ‚3)14 Cosi Bi: DirBY) ville ar N ArHB=-c-D=e, aus.a) u. 4): 5) Be a 349. aus 2) u. 3): 6) eat 4=B4+oB= 7, \ aus-2),3)u.4): 7) (re) Ar MieBr eier‘ und aus’ diesen Gleichungen die Werthe En D.rer- ‘ hältnisse durch e ausgedrückt: aus 5) u.6): (4, A,E,D=e, be or aus 5) u. 7): (44, 8,= ı-fe, rt aus 6) u. 7): (44, at, ze Wir haben demnach folgende Relationen zwischen D. verhältnissen : (4,14, D)=(4,,8,N=— (4,4, E ‚n. =(B',X,B,F)=(B',K,D,B)=et.——e. Die Gleichheit der beiden ersten D.verhältnisse lässt sich auch so. ‚ausdrücken, dass. das. Verhältniss 44:47 die mittlere Proportionalgrösse ist, zwischen den Verhält- nissen AZ: EI,und AFP: El, > was auf Samelbe hinauskömmt , dass MP 47:IAr—AE, AR: IE. IR. Noch bieten‘ sich in der Figur mehrere Dreieck- schnittsverhältnisse zur Untersuchung dar, er Als den Gleichungen 2), 3), 4) fliesst: : ° (0) (B4':.416) (CB':B1A) (401: OB) —e, _ Sey ferner BC BC=M, C4:CA=N, AB- ABi=0, so hat man aus 3)u.4): B-C=— 240 — Mm, aus 5): C-A=— O44—7 aus 6): cA— B=— AtceB'=0. Hieraus ergeben sich die Dr.verhältnisse: : eo (4) (Bu: u0) (EN: NA) (40: :0B)=— 4; ES (9) (Bm: MO) (ON: NA) (40:0B)=—o;.' und wir erhalten damit folgendes "Theörem: 350 Wird, in ein Dreieck. (ABC) ein :anderes (A'.B4O) beschrieben, so ist.erstlich das Dreieckschnittsverhält. niss (d), nach welchem die Seiten, des, umschriebenen Dreiecks von den gegenüberliegenden Seiten des einbe. schriebenen geschnitten, werden, gleich dem negativen Quadrate des Umgekelrten des Dr,verhältnisses (e), nach welchem die Seiten des einbeschriebenen Dreiecks von den Seiten des’umsehriebenen geschnitten werden; und zweitens dag letztere Dr.verhältniss (e) gleich dem negativen Werthe des Dr.verhältnisses (c), nach wel chem die Seiten des umschriebenen Dreiecks von den Spitzen des einbeschriebenen getheilt werden, Von den drei Dreiecken 4BC,.4'B’C’,; DEF haben die zwei ersten ihre Spitzen in den Seiten des dritten lie- gen und sind daher als ’in-das dritte einbeschrieben zu’be- trachten. "Nehmen wir nun zuerst DZR als umschriebe: hes’und ABO als einbeschriebenes Dreieck: 50° ist'niach dem ersten Theile des vorigen Satzesj"und weil ZF+BC =4', FD CA=B',: DE.AB=0H\: (E41,.4'F)(FBt:B'D) (DC: CE) 1: [(34:.40) (CB': BA) (40: OB)]e..; . Nehmen wir zweitens 434C als das in DEF einbe schriebene Dreieck, so istınach dem: zweiten Theile des Satzes, und weil, ZF* BIC=J, 440.2. 0 mare Wan ABI IO) (CR: KA) (AL:EB). u. 00% —- (E4: 4F) (FB!:B'D) (DC';C/E). Durch Verbindung dieser zwei Gleichungen erhalten wir aber zu ..dem obigen Satze ‚noch. folgenden Arten ga) - Theil: Das Dr verhältnis, nach welchem die Seiten des einbeschriebenen Dreiecks (A'B‘C‘) won den Geraden, welche die Spitzen desselben mit den gegenüberliegen- 351. den Spitzen des. umschriebenen»(ABC')'verbinden', ge- schnitten werden ,.ist gleich dem_Quadrate des Umge- kehrten des Dr.verhältnisses, nach, welchem die Seiten des umschriebenen Dreiecks von.den. RPRFeN des einbe- schriebenen, geschnitten werden. . c4) Als leiztes.Beispiel'diene einViereck 43G6D (Fig.154,); in welches ein anderes Viereck ZFGH einbeschriehen ist; so dass Z in 43, F in BC, etc. liegt. Man setze us sen einfachen eg züfolg: 0 fA4+B+ C+D=% wAHBLE—=o, E= EIER CH F=o Pi BZ OHD+ G=o, f sei wa Alle bei dieser Figur statt .habenden D.- und Viv ver- hältnisse werden ‚sich, daher durch e,f, g, A ausdrücken lassen , und, man wird folglich aus je ‚vier. solchen Ver- hältnissen. ‚den. Werth . jedes fünften bestimmen Kan Sey. ‚demnach, ‚die Aufgabe vorgelegt: RR Aus den vier D.verhältnissen PRRRTIRN (E, G;BD,AC) =a, 425. H,4C, Alpen, - (4,6, EG; PH)=e, (B,D,FH,EG)=q, nach welchen‘ hr: Diägonalen ‘des einbeschriebenen Vier- ecks von den’ Diagönalen des möchriebenen, und um- gekehrt die letziern von ‚den .erstern ne: Niro . das Viereckschn ‚verhältniss RU (4E: EB) _(BF:FC) (CC: GD) (DH: HA)—=x us zu finden, nach welchem: die Seiten .des umschriebenen Vierecks von den- Spitzen des anbinnbpirbenen v. werden. — Bkies:: 392 °> Aus den Gleichungen I. folgern wir: ed gE+eG+ei—g)D+g(1 —e)B=o, G+E=(1=2)4— (1—g)C=o, AF+FEH NG) CH fa—h) A=o, H+F—(—NB—(i=h)D=o, | k-; hieraus die gegebenen D.verhältnisse in’ en von dr 7 ni Do (E, 6,BD, 40)= a= =. (PH, 40, der: ana flag) —h) (AGENT N)” a 1—e) (1 —h ne Der Werth von x ergiebt sich unmittelbar aus den Gleichungen I.: | Ks, upeg : gm rriefgne } IH DE Mittelst der vier Gleichungen für a,. .d sind ‘ nun umgekehrt die Werthe von e,..A, durch a,..d‘ ausge- drückt, zu suchen und hierauf in der Gleichung für » x zu substituiren; welches nachstehende 1 ee Zuerst hat man: Tab 203 abd'ı 6 rt Tora c 77 a—e = (sr) b—- f\2 > adh! y‘ v iben > u? er [4 PAR mithin, ‚wenn man zur Abkürzung a, und ee ß?,y?,ö? setzt: j Ye 1a. zb. vwerne Hieraus fliesst nun sogleich u ann un ala) zu Bay ” apyd — ı ’ ua er Tea 353 ae REF o—ß a alba)? 8? Baßyd—ı)' und man bekommt, wenn man noch die Quadratwurzel von x mit & bezeichnet , folgendes Resultat: (Bö—ey) (aßyd—ı), («ß0—7) (ayd—B) — Die jetzt betrachtete Figur besteht eben so aus zwei in einander beschriebenen Vierecken, wie die vor- herige (Fig. 53.) aus zwei Dreiecken zusammengesetzt war. Es lässt sich daher erwarten, dass mit den sehr einfachen und merkwürdigen Relationen, welche wir bei den zwei in einander beschriebenen Dreiecken entdeckten, einige analoge Relationen auch bei der Figur der zwei Vierecke vorkommen werden. Um dieses näher zu un- tersuchen, folgere man aus den Gleichungen I.:- _ ef4—C+fE—-F=o, fSB—D+gsF—G=o, ghC— A+hG—H=o, heD—B+eH—E=0. Hiernach ist, wenn ZF4C=I FG'BD=K, GH' AC=L, HE: BD=M gesetzt wird: [a] (46,,1)=(B,D,K,M)=1:efgh und [8] (EI:1F) (F&:KG) (GL: LH) (HM:ME)—= 1: efgh. Setzt man fener EFBD=P, FG:CA=Q, GH'DB=ZR, HE: AC=S, soist;wegen (1—e+ef)B—eD +E+ef=o: Ex P=E+eF und eben so Q=F+fG, R=G+gH, S=H+E, folglich [e] (ZP:PF)(FQ:06)(GR:RH)(HS:SE)—efgh. ” Endlich ist (e—1)g4+(1—g)D+gE+ G=o, (g—-1)eC+(1—e) B+eG +E=o, und " daher Br = G,AD,BC)=ı:eg, und eben so [@] (F, H, AB, CD) —=ı: fh. Z 354 Alles dieses zusammengenommen bildet nun nSolgen- den Satz: ; Wird in ein ebenes Viereck ABCD ein'anderes einbeschrieben, dessen Spitzen E,Fy,G, A resp: in die Seiten AB, BC, CD, DA des.erstern fallen, so haben gleiche Werthe mit einander: ı) das Viereckschnittsverhältaiss [x], -nach_wel- chem die Seiten des ersten oder umschriebenen Vi zerecks von den Spitzen des zweiten oder iii ge- theilt werden ; 2) das Vr. serhöhnise [0], nach BR die. Sein. ten EF,... des zweiten Fierecks von den Diagonalen AC, BD des ersten abwechselnd geschnitten werden; _ 5) das Umgekehrte des Yr.verhältnisses [c]; nach welchem die Seiten EF,... des zweiten Vierecks von den Diagonalen BD, AC des ersten abepachaalid air schnitten werden; 4) jedes der zwei D.verhältnisse La], nach Seh die Diagonalen AU, BD des ersten Vierecks, AC Ascy y den Seiten EF und GH, BD von den Seiten FG und. HE des zweiten Vierecks getheilt werden; Ye I. 5) das Product aus den zwei.D. verhältnisdh) [4], nach welchen ‚die. Diagonalen EG, FH'des ‚zweiten Vierecks, EG von den Seiten DA und BC, „FH son den Seiten ABund OD des ersten getheilt werden. 8. ahh., Es ist sent übrig. die Anwendung 5 ab- gekürzten Calculs auf Systeme von Pun ten im zu zeigen. ‚Folgendes sind die hierzu dienenden welche nach dem, was in den vorhergehenden $$. Prime‘; in. Geradeh und Ebenen gesagt. Fr 355 a. Heissen die Punkte des Systems im Raume: 4,B,C,D,E,F,G,..., so setze man, 4,B,C,D zu F.punk. ten genommen: BEBECHDEREF- SA+EB+ENCHD+T=o,. n44+n'B+n"C+D+G=o, u.S5S W. _ Aus diesen Gleichungen kann man durch successive Elimination von 4,.B,C,D eine Gleichung zwischen j je fünf andern Punkten des Systems ableiten. b. , Soll der Punkt A gefunden werden, in welchem‘ eine Gerade durch die zwei Punkte Z, X von einer Ebene durch die drei Punkte Z, M, N des Systems geschnitten wird, so entwickle man die Gleichung zwischen den fünf Punkten ZX&,Z,M,N: J+xK+IL+uM-+vN=o, und man hat A=+(dJ+»K)=F(L+4uM+vN). €. Jede Gleichung zwischen drei Punkten allein, wie R=ıl+xK, giebt zu erkennen, dass die drei Punkte R,2,K in einer Geraden liegen; und jede Gleichung bloss zwischen vier Punkten, wie R+ AZ + uM + N— % ‚dass die vier Punkte A, Z,M, N in einer zmen enthal- ten sind. N d. Die Berechnung der D.- und eener renden Ver- hältnisse richtet sich hier nach denselben Regeln, wie bei Systemen in Geraden und Ebenen, nachdem man für jedes einfache Verhältniss die Gleichung zwischen den drei Punkten desselben hingestellt hat. Um den Werth eines D.verhältnisses von der Form: (4, &,.LMN, ‚POQ) zu berechnen, ' entwickelt man die Gleichungen zwischen 7,%,2,M,N und 4,&,0,P,Q: 356 TtsK+1L+uM+vN—o, ö N TERKLSOLEP IQ EN und schliesst hieraus unmittelbar (4, X, LMN, oro) zer: e. Die Anzahl der Coefficienten &, 8%... . bei den Gleichungen in a. beträgt 3(r—5), nämlich drei für je- den der n—5 Punkte #,6,4,... Sind daher bei einem Systeme von »- Punkten im Rausie 3n—ı5 von einander unabhängige D.- oder Vl.verhältnisse gegeben, und drückt man dieselben, so wie ein (3”—ı/)tes gesuchtes, durch die 32»— ı5 Cotfficienten aus, so wird die Elimination dieser letztern aus den damit entstehenden 3n—ı%4 Glei- chungen das verlangte Resultat herbeiführen. " f Aus den Gleichungen A+B+C+D+E=o, td+&B+L"CHD+-F=o, ekc. folgt: £=(4, D, BCE, BCF), % = (B, D, ACE,ACF), £"—(C, D, ABE, ABF), etc. Jeder der Cotfhcienten- ne &, & n,... ist: daher zugleich der Werth eines D.ver-- hälkhinzen, Vergl. 8: 225. 4. — £ Liegt F in der Ebene 4BD, so ist —o; Gerz F “in der Geraden. 4D, so sind 5’ und 5”=o, Mit ‚der Bedingung, dass vier Punkte des Systems,in einer Ebene, oder drei Punkte in einer Geraden liegen, sind ‚daher _ ein oder zwei D.verhältnisse als gegeben anzusehen. $. 245. Beispiel. In der dreiseitigen ats ABCD (Fig. 55.) werden die gegenüberstehenden Seit AC, BD.von der Geraden EF in den Punkten £,F, und . die gegenüberstehenden Seiten BC, 4D von der ‘Gera N GH in den Punkten G und 7 geschnitten. ER ” Ze - Um dieses System von Punkten in Gleich inge zu setzen, denke man sich durch 4, G, H eine Ebene welche die Gerade ZF im Punkte M schneide. x ‚857 liegen än- einer Ebene die Punkte 2,.D, F, Z, M; in ei- ner zweiten Ebene .die,Punkte 4,.C, Z, F, M; in einer ‚dritten die Punkte 4,D,7,G,M; und der Durchschnitt der ersten dieser drei Ebenen, 3DM, mit AC ist Z; der zweiten ACM mit BD ist F; der dritten DM mit BC ist, G.ı Sey daher für 4,3,C,D als F.punkte: 3 A+B+C+HD+U=o, so folgt ) + C—=—(B+D+-M)=E, 2) B+D=—(A+ CH M)=F, 3) B+C=—(4+D+M)=G Sey endlich für Z, als einen in 4D liegenden und von den übrigen unabhängigen Punkt: Alle aus diesem Systeme von acht Punkten entsprin- genden D.- ünd Vl.verhältnisse werden daher Functionen der einzigen Grösse @ seyn, und es wird folglich schon zwischen je, zweien dieser Verhältnisse eine Relation’ be- stehen. — Dasselbe ergiebt sich auch folgenderweise. Bei einem Systeme -von'8. Punkten müssen 3.8— 15=g D.verhältnisse gegeben seyn. ‘Mit der Bedingung aber, dass die 4 Punkte Z,F,G, 4 resp. in.den Geraden AC, ete. liegen sollen, sind eben so. viel Paare von D.ver- hältnissen schon als gegöben zu betrachten, also nur 9—2.4=1 noch zu wissen übrig, um jedes andere be- stimmen zu können. Werde nun verlangt, eine Gerade zu ziehen, weh che die vier Geraden 4B,CD, EF, GH insgesammt schneidet. ‚Man bewege eine Gerade. dergestalt, ‚dass sie fort- während die drei ersten gegebenen Geraden, AB,CD,EF, schneidet, und somit ein hyperbolisches Hyperboloid er- zeugt-($. ıı1.). ‘Wird nun von dieser Fläche die vierte 358 Gerade GH geschnitten, welches dann in zwei Punkten ‚geschieht, so wird die bewegte Gerade in jeder der bei- den Lagen, wo sie durch den einen oder andern dieser Durchschnittspunkte geht, die vier gegebenen Geraden zugleich treffen, und mithin die verlangte seyn; = Man erkennt hierdurch schon im Voraus, dass die Lösung der vorgelegten Aufgabe zu einer redete DE führen muss. In der That, treffe die gesuchte Gerade die ZF und - GH in den Punkten: R=rE+F—=rd+B+trCıD, S—sG4+-H=a4-+sB+sC4+D. i Sie treffe ferner die Geraden. AB und CD in den Punkten: Pepl 45-074) 44 at) B+ Erb) Hehe), Q=gR+S—(gr+ 0) A+ (94) B+(gr+9) CH (+2): D. Da nun P in 4B und Q in:CD liegen Slled so ‚hat man die Gleichungen: pr+s=o, ptı=o, grta=o, gr welche aufgelöst: p=— 1, —ger=s—ya, geben. Hierdurch wird 5) R=VaE+4F, N ae an 6) S=VaG+H, ‚ter \ 7) PE—R4Ss=—h—VayV. a i 8) Q=—V aR+Ss—4(1-Va)V. actD). Aus diesen Gleichungen ı)...8) lassen sich alle i in der Figur vorkommenden Vl.verhältnisse in Werthen von a berechnen. Wir heben darunter folgenden als der Einheit selbst gleiche, aus: (AP: PB) (BF: FD) (DQ: 00) (CE: EA)—ı. (AP: PB) (BG: GC) (CQ:0D) (DE. Hu (ER: AF) (FD:DB) (BP:PA) (46: CH)=ı Pr (ER: RF) (FB: BD). (DQ:0C) (CA: ne a ’ PR L) ’ ni E u > nk 359 (6S:SH) (HD:DA) (AP: PB) (BC;CC)=ı . (6S:8H) (H4:4D), (DQ:QC)(CB:BGC)=ı., .. Schon mittelst :der beiden ersten dieser Formeln lässt sich nun unsere’ Aufgabe vollkommen lösen. Denn es ergeben sich daraus die Verhältnisse: AP: PB=\ [(4E: EC) (CG:GB) (AH: HD) (Dr: rB)], EQ: QD—=YV [(CG:GB) (BF: FD) (CE:EA) (AH:HD)], und hiermit die zwei in der gesuchten Geraden liegenden Punkte ? und Q. Zugleich sieht man aus diesen For- meln, dass die Lösung nur dann, und dann. immer, möglich ist, wenn die zwei Producte (BF: PD)(CE: EA). und (3B6G:GC) (DH:HA4) einerlei Zeichen haben, dass ferner, je nachdem das gemeinschaftliche Zeichen dersel- ben das positive oder negative ist, die Verhältnisse AP: PB und C@: QD mit einerlei oder verschiedenen Zeichen zu behaften sind *), und dass es endlich, wie schon die, Würzelgrösse V @ andeutei, bei möglicher Lösung im- mer zwei Linien giebt, welche der Aufgabe Genüge leisten. Die Punkte 2 und S, welche nach Ziehung der Ge- raden ?Q sich als Durchschnitte derselben mit ZF und GH ergeben, können auch ohne dieses durch die Ver- hältnisse ZR: RF und GS:SH bestimmt werden, deren Werthe sich aus den voranstehenden Formeln ebenfalls leicht finden lassen. Was noch die gegenseitige Beziehung der zwei, die Aufgabe lösenden, Linien anlangt, so erhellet, dass, wenn P', Q, R', $' die Punkte heissen, in denen die zweite *) Die hieraus fliessenden Bedingungen für die Lage der Pnnkte E, F, G,H in. den Linien AC,BD;.., so wie die hieraus folgeu«dle ' Lage von P und Q in AB uud CD, wird man sich leicht selbst entwickeln. ; 360 E Linie die Geraden 43, CD, EF, GH schneidet, wegen - des Wurzelzeichens die Werthe der Verhältnisse 47: PB und 4P': P'B, CQ: QD und CQ!:QD, etc.. paarweise einander gleich, aber entgegengesetzt sind, oder, was dasselbe ausdrückt, dass ” (4,B,P,P)=((C,D,Q,Q')=(E,F,R,R')—(G,H,S,$?) ms d.i. jede der vier gegebenen Geraden . 4B, CD, EF, GH wird von den zwei gesuchten harmonisch getheilt. So wie endlich >=—R+S, Q=—YVaR+S, eben so it P=—R+S', O—+YaR'+S', und folglich: (P, Q,R,S)=— (P', Q,R, S)=Va, x $. 246. Von den vier Geraden AB, CD, EF, GH, welche im vorigen $. mit einer einzigen Geraden ge- schnitten werden sollten, waren die beiden ersten ein Paar gegenüberstehender Seiten einer dreiseitigen Pyra- 'mide, während die dritte und vierte die-beiden andern Paare gegenüberstehender Seiten der Pyramide durch- schnitten. Es kann nun hierbei noch die Frage aufge- worfen werden, ob nicht jedwede vier Gerade, von de- nen keine zwei in einer Ebene liegen, auf die eben be- sagte Weise sich auf einander beziehen lassen, ob also nicht durch die Rechnung des vorigen $. die Aufgabe, eine Gerade zu finden, welche_vier andere gegebene schneidet, ganz allgemein gelöst sey. Um dieses näher zu untersuchen, mögen AB, cD, EF, GH (Fig.55.) irgend vier gerade Linien in dem Raume vorstellen. Man lege durch 43 und einen be- liebig gewählten Punkt C der Geraden CD eine Ebene, welche ZF in Z und GA in @ schneide, und ziehe CE und CG, welche 42 resp. in 4 und 2 treffen. Man lege ferner durch 3 und CD eine Ebene, welche der. EF in F begegne, ziehe 3F, welche CD in D schneide, und 361 ziehe 4D, — Im Allgemeinen wird es nun zwar nicht der Fall seyn, dass 4D, wie erfordert wird, auch durch GH geht. Weil aber der Punkt C willkührlich in CD genommen worden ist, und man durch eine andere An- nahme von C auch 4 und D in den Linien 4B und CD an andern Orten erhält, so scheint es allerdings, als ob C so gewählt werden könne, dass AD zugleich die GZ .schneide. Indessen geschieht dieses im Allgemeinen kei- neswegs; vielmehr soll sogleich gezeigt werden, dass, wenn für eine gewisse Annahme von C, 4D und GH sich schneiden, dasselbe auch für jedes anders gewählte € er- folgt; dass mithin, wenn für ein gewisses C der Durch- schnitt von AD und GH nicht erfolgt, derselbe auch für kein anderes C statt findet; dass folglich die Lage der vier Linien Ad, CD,.. im vorigen $. nur. eine spe- cielle ist. Dieses kann man auch schon -aus der oben gefundenen Gleichung: (P, Q, R, S) = — (P', Q', R', $'), folgern. — Man nehme zwei Gerade p und p/, welche nicht in einer Ebene liegen, und in jeder derselben vier Punkte nach Belieben: P,Q,R,S in p; P!,..$* in p'. Man ziehe hierauf die vier Geraden: PP', QQ', RR!, SS, Wird nun umgekehrt eine Gerade verlangt,, welche diese vier Ge- raden zugleich schneidet, so wird dieser Forderung jede der beiden Geraden p'und p', und keine andere, Genüge leisten. (Denn die hierzu oben gegebene geometrische Auflösung vermittelst des Hy- perboloids beschränkt sich nicht auf eine specielle Lage der vier Linien, und die Antwort muss folglich jederzeit von quadratischer Beschaffenheit seyn.) Die vier gegebenen Geraden PP, QQ',.. können daher von den gesuchten in keinen andern Punkten, als in den vorhin von einander ganz unabhängig. genommenen P,..8 und P!,..S' getroffen ‘werden. Die obige Gleichheit der D.verhältnisse zwischen diesen Punkten giebt folglich eine specielle Lage der vier Linien AB,.. GH zu erkennen, In der Pyramide ABCD werden die gegenüberste- henden ‘Seiten AC,BD von der Geraden EF in E, F, und die gegenüberstehenden Seiten BC, AD von der Ge- raden GH in G,fl geiroffen. Wird.nun eine zweite s N 362. Pyramide AUB'CD! construirt, dergestalt, dass; die Seite AB! mit AB und die Seite CD! mit. CD in der- selben Geraden liegt, und dass A'C' und B'D* von EF, und B'C' von GA geschnitten werden, so wird GH auch der A!D! begegnen. Beweis. Die Construction der zweiten Pyramide 4B'C'D! ist folgende. Man nehme in CD beliebig die Spitze C*; alsdann schneidet eine Ebene durch © und z EP die AB in 4', eine zweite Ebene durch € und GA die 4B in B’, eine dritte Ebene durch 2° und EF die CD in D*; und es ist jetzt noch zu erweisen, dass eine vierte Ebene durch 4 und GH die CD ebenfalls in D* trifft. — Sey wie vorhin Z=4+C, F—B}D, G=B+C H=aA+D u.überdies (= ec Hieraus folgt: cE+r— Ü=ced+B=4, ecG+ H—- CO =ad+eB=Bl;. und daraus weiter: _ er aE+eF— B=aC+cD=Dr, aG+cH—aAfl—aC+ecD. . Mithin wird CD von den Ebenen ZFZ’ und GRA in einem und demselben Punkte D’—=aC+eD OEbOH ten, wie zu erweisen war. Noch sind bei dieser Figur foljende Relationen em schen D.verhältnissen zu bemerken. Man setze, den‘ bis-. herigen Bezeichnungen analog: ER AC'EF=E', B'D.EFZFW,B'Q"GH=G!, AD CHE, und man hat vermöge der vorigen Gleichungen: „aA Ei=cE+F, @—=cC+ZH, v 1 Tr er vrorans PzaE-+ch, H=aG+cH, van z 363 und aus diesen allen: @4B,4,B)= (,D, ER, a —_.. . c? Schlussbemerkungen. zarf 8. 247. So iR jede der bisher‘ erklärten fünf v Ver. : 'wandtschaften zu einer besondern Art geometrischer Auf- ‘gaben führt, eben so’ kann auch umgekehrt jede’Aufgäbe ‚der niedern Geometrie, wo aus gewissen, in hinreichen- “der Anzahl gegebenen Stücken eines Systems von 'Punk- ten, Geraden, oder Ebenen, andere Stücke ‘des’Systems ‘gefunden werden sollen, aus einer der fünf Verwandt- schaften entsprungen, angesehen werden. Sind nämlich diegegebenen Stücke’ von der Anzahl und Beschaffen- heit, dass damit ein dem System , zu welchem sie gehö- ren, gleiches und ähnliches, oder bloss ähnliches, u.s. w. construirt werden kann, so wird man die Aufgabe zu der Verwandtschaft der Gleichheit und Achnlichkeit,„ der Achnlichkeit allein, u.s.w. zu rechnen haben. Alle Auf- gaben der genannten Art lassen ss daher in fünfQlas- sen theilen. Folgende Tafel giebt eine Uebersicht hiervon ,. ‚und damit zugleich von den Hauptsätzen, : welche in diesem Abschnitte gefunden worden sind. Zur-linken Hand ste- hen die fünf Arten von Verwändtschaften, aus denen die Aufgaben ihren Ursprung nehmen, Die drei darauf fol- genden mit L, IL, HI. bezeichneten 'Columnen enthalten die Anzahl der von einander unabhängigen Stücke, wel- che bei einem Systeme von 2 Punkten in einer Geraden, oder in einer Ebene, oder im Raumie gegeben seyn ’müs- sen, um daraus die übrigen finden zu ‚können. ;‚Zur rechten Seite dieser Columnen ist ‘die Beschaffenheit der % 364 gegebenen und gesuchten Stücke bemerkt. Bei den aus ‚der Gleichheit und Achnlichkeit enispringenden Aufga- ben ist diese Angabe weggelassen, weil aus der Anzahl der Stücke und der Bedingung ihrer gegenseitigen. Un- abhängigkeit die Beschaffenheit, wenigstens die negative, schon erkannt wird. (Bei » Punkten in einer Ebene z.B. kann zwischen 2”—3 Stücken, welche bloss Verhält- nisse-sind, keine Unabhängigkeit statt finden.) Eben so ist es:bei den Aufgaben, welchen die ‚Aehnlichkeit zum Grunde liegt, hinreichend, zu wissen, dass die. gegebe- nen Stücke nicht räumliche Grössen selbst, sondern nur Verhältnisse zwischen denselben seyn dürfen. Dass man. aber zu diesen Verhältnissen nicht bloss Verhältnisse: zwischen ‚den Theilen des jedesmaligen Raums (Raum- theilen), in welchem die Figur enthalten ist ($. 154. zu Ende), oder nicht bloss Vl.verhältnisse nehmen darf, fliesst schon aus der Anzahl und der geforderten Unab- hängigkeit der gegebenen Stücke, und war daher eben- falls-nicht nöthig zu bemerken. (So können aa— 4 D- verhältnisse bei »,Punkten in einer Ebene nicht von ein- ander unabhängig seyn.) | Gleichh. u Aehnlichk. |n— ı |an— 3/32 — 6 Aehnlichk. |» —2|22 —4|32 — 7 |Verhältnisse. dowd Gleichheit nr — ı)2n—5|3n — ır |Raumtheile. Affinität n— 2 |an—6|3rn — 12 Verhältnisse zwischen Raumtheilen. bs j Collin. Ver- wandtschaft |» — 3 2n—8 3n— ı5 vl ‚verhältmisse, > 5 sh 2 a $. 248. » Eine übe ist als gelöst zu betrachten, wenn zwischen ‚den gegebenen Stücken und dem gesuch- ten 'eine Relation oder Gleichung gefunden ei it 365 _ Man kann hierdurch ‘veranlasst werden, 'auch diese Re- lationen und die Eigenschaften der Figuren überhaupt in fünf Classen zu theilen, so dass nämlich eine Eigen schaft in die Classe, welche z.B. aus der Affinität ent- springt, zu setzen wäre, wenn die Figur diese Eigen- ‘ schaft mit allen ihr Affinen Figuren, als solchen, gemein hätte. Da aber ‘die Relationen zwischen den Theilen ei- ner Figur nicht'von der absoluten Grösse, sondern bloss von dem gegenseitigen Verhälthiss der Theile abhängen, so kommt jede bei einer gewissen Figur statt findende Relation immer auch jeder andern Figur zu, welche. der erstern ähnlich ‘ist. Hiernach würden die beiden ‘ersten Glassen von Relationen, welche aus der Gleichheit und Achnlichkeit und der Achnlichkeit allein ihren Ursprung nehmen, in eine zusammengehen‘, sowie auch die bei- den folgenden Classen , denen die Gleichheit-und die Af- finität zum Grunde liegt ($. 163. d.)} ‘oder vielmehr, man kann nur drei Classen von Eigenschaften der Figu- - ren aufstellen: die erste geht hervor aus der Aehnlich= keit, die zweite aus der Affinität, und die dritte aus der Verwandtschaft ‘der Collineation. Da ferner ähnliche Figuren zugleich affın, und’ affıne Figuren zugleich col- linear verwandt sind, so werden wir, um nicht die eine _ Classe in der andern eingeschlossen zu erhalten, auf folgende Weise diese Classen zu unterscheiden haben. Eine Eigenschaft der dritten Classe findet zwi- schen solchen Verhältnissen und Bedingungen statt, wel- che die Figur mit einer andern gemein’ haben muss, wenn ‘sie dieser andern collinear verwandt heissen soll. (D.- und Vl.verhältnisse und alle as ausdrückbaren Be- dingangen.) ' m ‚Eine Eigenschaft ist zur zweiten Classe zu Wr nen, wenn sie‘zwischen solchen Verhältnissen einer x Figur 366, besteht, die'in allen’affinen,, nicht,aber zugleich in bloss collinear verwandten, Figuren dieselben Werthe haben. (Verhältnisse zwischen Abschnitten einer Geraden, zwi- schen Theilen einer.Ebene, zwischen 'Theilen des Raums, die sich nicht zu Vl,verhältnissen zusammensetzen lassen. *) Alle übrigen Eigenschaften, bei welchen daher Ver- hältnisse vorkommen , die, nur ähnliche, ‚nicht aber zu- gleich :affine Figuren mit, einander gemein haben, bilden die: erste Classe. { Verhältnisse zwischen ‚Abschnitten ver: nen,;Winkel, als. Zesiigngn solcher Verhältnisse.) . - Ganz übereinstimmend: mit dieser Classificirung ist folgende‘, wobei .die zur Entwickelung, der ‚Eigensch dienenden Hülfsmittel zum Eintheilungsgrunde, genommen sind, — Jede Eigenschaft, ‚welche sich ‚mittelst des ab- gekürzten barycentrischen Calculs finden, lässt,, gehört zur.dritten Classe. Die Eigenschaften., welche mit Hülfe des barycentrischen Calculs: selbst ‚und. nicht zugleich mittelst des abgekürzten gefunden werden können, be- gründen . die zweite, ‚Classe. Die Eigenschaften endlich, welche nicht durch. den barycentrischen Calcul selbst. und folglich auch nicht ‚durch. den abgekürzten ‚erweislich sind, sondern wozu die Lehre von den Winkeln ‚(der Pr thagorische Lehrsatz, ‚trigonometrische Formeln, ww) unumgänglich erfordert wird, machen die erste, BerN aus. **), . ; ‚Diese Eintheilung- der Einsiacialien in n Classen aber nicht ‚bloss auf SISEmf von Geraden und. h SE AD, np) x” Z. B. die Relation in $..160.: Ga BET 0 ER 4 ö *) Auszunehmen sind hiervon die Proportionen in $. 18. $. 20. b. c., welche die Grundlage des barycentrischen ( den, und zn deren Beweis die Lehre von ee Winkeln \ nicht entbehrt werden kann, Ne , 367 beschränkt, sondern’ kann auch auf’ krumme Linien»und Flächen ausgedehnt‘ werden. ' Im Allgemeinen ist -hier- von zu merken, dass in das Wesen ‘des-Krummen selbst die Eigenschaften: der zweiten‘ Glasse "weniger eingehen; als die der. ersten, und die der ‘dritten ‚Classe: noch we= niger; als die der zweiten. ‘Denn’der nicht abgekürzte barycentrische @Ealcul' kann ‘mit Hülfe der Analysis des Unendlichen bloss Probleme der Quadratur *) :und-Ku- batur behandeln.‘ Rectificiren «und Applaniren ‚aber 'ist ohne Betrachtung von Winkeln“ unmöglich. .' Für den abgekürzten Galcul: bleiben in dieser Hinsicht :nur.die Berührungen und: die. verschiedenen Ordnungen dersel- ben zu untersuchen übrig, ausgenommen. die Berührun- gen in unendlicher Entfernung oder die Lehre von den Asymptoten, welche noch Gegenstand des nicht abge- kürzten Calculs seyn.kann. Die Verschiedenheit der Krümmung aber, und folglich die Grösse des Krüm- mungshalbmessers kann nur mit Zuziehung von Winkeln untersucht werden und gehört daher zu den Gegenstän- den der ersten Classe. Was insbesondere die Eigenschaften der Linien der zweiten Ordnung anlangt, mit denen wir uns, den ba- rycentrischen Calcul zu Hülfe nehmend, sogleich näher beschäftigen werden, so gehören der ersten Classe eigen- thümlich an, und können folglich hier nicht in Betracht kommen: der Unterschied zwischen Kreis und Ellipse, *) Ist pA--gB-HrC der Ausdruck einer ebenen Curve, so findet sich, den Inhalt des F.dreiecks ABC=ı gesetzt, das Flächenele- ment, welches von einem Elemente der Curve und von den zwei, von A an die Endpunkte dieses Elements gezogenen, Geraden be- gränzt wird, qdr —rdg : — (han? " hältnisse bei sehr einfachen, weder durch Winkel noch ‚mit Kegelschnitten, merkwürdige Lagen der durch solche Ben. 368 zwischen gleichseitiger und ungleichseitiger Hyperbel, die Lehre von.den Hauptaxen und den Brenripunkten, ‘Von der ‚dritten Classe bleiben ausgeschlossen, können: aber noch in der zweiten behandelt werden: der Unterschied zwischen den drei Arien der Kegelschnitte, . die Lehren vom Mittelpunkte, von den conjugirten Diametern und den Asymptoten. Die Eigenschaften: der dritten Classe finden für alle drei Arten von Kegelschnitten zugleich statt und betreffen ‚hauptsächlich merkwürdige D.ver- Parallelismus bedingten, Verbindungen gerader Linien Verbindungen bestimmten Punkte, u. dergl.m. "Ws Dritger:Absehmite * B ur ar Anwe ndung- RE NE aan K D barycentrischen Calcu] “ N LEEN y*, 'RKegelschnitte N de anee a ER - - | - ’ D | [ k | e | Br j By:r Ben; Fa { DR F k — nn nn R BR. Erstes Capitel. Bestimmung, eines : Kegelschnitts durch gegebene Punkte, 8. 249. Der allgemeine Ausdruck eines durch die drei F.punkte 4, 3,C beschriebenen Kegelschnitts ist (8.64: 1.): ae) (#7) d+ bey) (#0) B+e (va) (vB) 0° Es kann aber dieser Ausdruck bedeutend vereinfacht worden. ° Weil nämlich‘ ein Kegelschnitt durch fünf Punkte bestimmt ist, und gegenwärtiger schon durch die drei F.punkte geht, folglich zu seiner völligen Bestim- mung nur. noch zwei ‚gegebener Punkte bedarf; so müs- sen sich die sechs in dem Ausdrucke vorkommenden Con+ stanten bis auf zwei vermindern lassen. Dieses kann folgendergestalt geschehen. — Man dividire ‚den Aus= druck durch = (v—a), s6ö wird er: ; E AröB+e? = Nun hat mar die identische a, B-N ea) + We) A) Ha PN) | ib Setzt man daher: a A u ZU B— prrbaig 3b. \ Y i ; Fe men Iekerei. ‚so ed yancbk vB. it Hiermit in dem Ausdrucke stätt’# die Grösse x als. Veränderliche eingeführt, erhält man: Aa it Tr. o 0 findet sich eben so". allalıs. erleeh 372 P- eB-N ,_ e(e—M) er (Gau [Cu u und wehn man die Constanten 5 a—7)=f, er e(«a-P)—=h setzt: (f Fe GusmagitasE wo von den drer noch übrigen Constanten f,g, # die eine nach Belieben, z. B. =ı, genommen werden. kann, welches wir aber, um die SOPRAN. nike. stören, Unperikeh wollen. > ne 3 © 8. 250. Die: Verhältnisse fg: % werden im Allge- meinen -(bei.der Ellipse und ‚Hyperbel) bestimmt, wenn nächst den drei F.punkten noch zwei andere Punkte ge- geben sind, durch: welche ‚die Gar gehen soll. ‘Sey un eine dieser Punkte ee lee: | ii : ur De=aAtbB+eC, N rl ug. * Te so folge durch Vergleichung seines Ausdrucks mit BEE UN.. I .& 24. @): u, BER er r nüsı : I "mgezs! h urn 9 ne Be - j be ir 6.2. Gr ELBE . n » ker v9 A D N x Rn n und daher Den 2 Sr äfe Bedingungsgleichung ‚dafür. 5 ass der . dem Kegelschnitte I. enthalten ist. : > N 4 Be der ‚andere.Punkt, durch welche schnitt noch beschrieben, werden soll, kla'n oaörd-, Ede 373 »: \ 3 E4f4+s=, und durch Verbindung dieser Gleichung mit‘ der: vo- rig en: 3 5 * Zn, eG ea, ir PT =. (f—y):b(y—a): e(a-P), wenn mn d—={, = 7 oe e zur Abkür- EFT 7 n zung ‘setzt. Der Ausdruck für den durch die fünf Punkte 4,2, C, D, E beschriebenen -Kegelschnitt ist mithin: 3 a ae?) xdA—b (a) x(1—r) B+e («-p) G=) c. Durch: 4 geht: die: Curve für z= ı,.. ‚durch B für ==, durch C für x=o, durch D für == —(a-ß): Gh durch Z für == — y(a—P): P(y—e)- ‘Setzt man in diesem Ausdrücke («—P) :(y„—e) =—m und folglich (@—y):(7—e)=— 14m; so reducirt er sich, auf ' Biseleekaienn alı—-m)xA+bx (1—x) B+cm (1x) C, welches, wenn m unbestimmt gelassen 'wird, der allge- meine Ausdruck für jeden Kegelschnitt ist, _ in welchem die vier Punkte 4, 2, C, D liegen. — Denselben erhält an auch schon, wenn man, zufolge der Gleichung. dı . Rh ; en! Igmemmmam setzt, BER Fre: =ali-m): —b:ıcm Wird. RT $. a51...Sey jetzt: DeastinteC, EHEN ein. in der Ebene ‚des Kegelschnitts ‚I. befindlicher Punkt, ‚und, durch denselben: an, den Kegelschnitt eine Tangente zu ir yo legen. — Der Ausdruck für die Tangente an I. in en “von x für den Berührungspunkt erhält, und somit die "nachdem. „Ar ‚wenn der Punkt auf der erhabenen Seite). also... ' gelseimitte liegt. Wir elta 'hieraud die F Folgerı 374 Punkte, für welchen sis ist, findet sich nach S- 77-: „or = Gets) A-gB+ eG Soll nun diese Tangente, wie gefordert wird, ‘durch den Punkt aA+ bB-++cC gehen, so muss sich verhalten : a eern:e: ZZ en)=a: :d: I“ b oder, wenn man einstweilen aa -=h Zi ser: BerBh RA ers ot RE ra Dies giebt: ia —a)+k+ar 0, 00 die Gleichung, durch deren Auflösung man den Werth Tangente ziehen kann. Es ist-aber diese Gleichung nach ak geordnet: G+nMm—antkihiee, und ihre zwei Wurzeln sind mithin möglich und verschie- den, oder möglich und gleich, .oder ar I Gr Eee a 4 (Er+2 eco 1478 atılduz - negativ, null, Auf positiv ist. 1% ersten Falle, lassen sich von dem eentein Punkte an den Kegelschnitt z \ verschiedene Tangenten, in dem zweiten zwei identi in:dem dritten gar keine ziehen. Das Erste findet | 375 Der Punkt @4+53-+cC liegt innerhalb oder aus ‚serhalb des Kegelschnitts I., je nachdem die Summe der ö y LER i drei Quotienten & ’ -_ — mit dem Producte dersel- ben einerlei oder verschiedene Zeichen hat. Ist aber diese Summe =o, so liegt, der Punkt in dem Kegelschnitte selbst, wie schon in dem vorigen $. gefunden worden. $: 252. Ein durch seinen Ausdruck gegebener: Ke- gelschnitt. ist eine Hyperbel, oder Ellipse, je nachdem die !:-Co@fficientensumme des Ausdrucks in zwei reelle Factoren zerlegbar ist, oder nicht. Sind die Factoren reell und gleich, so ist der Kegelschnitt eine Parabel, ($. 61. bis 63.), Nun-ist die Co@fhicientensumme des Ausdrucks I.: —8r (1 —)+hlı a)? gtR— ft und der Ausdruck gehört folglich einer Hyperbel, PRaBs bel, oder Ellipse an, je nachdem Bra SP after Tai Ha. positiv, null, oder negativ ist. Für die Parabel insbesondere wird daher erfordert: erh f=aV Eh, folglich S=We- Va. Der Aus- druck für eine Parabel; welche durch die’ drei F. Mrd geht, ist demnach: (Ve— Vh)? ds (1) B+AQ Pi: C, Yh oder einfacher, . wenn man ar —=e setzt: (1—e)?2z4—x(1ı —r)B+e? (i —.) c, wobei die Summe der Coöflicienten = —=(e — „)”. ‘8. 253. "Weil in ‚diesem ER für y* Parahel nur. eine Constanie»noch zurück ist, so ist eine Para-, bel. schon durch vier ‚Punkte vollkommen. bestimmt, die Spitzen abgeben. — Also: 0 sorkann duroh sie keine Parabel beschrieben w 376 Sey daher nächst 4, 3 und C, der vierte Punkt, durch den die Parabel ‚geführt werden soll, Has D=aA+bB+cC, so hat man zur Bestimmung von e die quadratische Gi: chung ($. 250. ı).): +20, a (tal aber (a). Es folgt hieraus, dass sich durch die vier Punkte 4,B,C,D im Allgemeinen entweder zwei verschiedene Parabeln, oder gar keine beschreiben lassen, je nach- dem nämlich die beiden Wurzeln dieser nach e aufge- lösten Gleichung reell oder imaginär ee je ige also die Grösse b202 le FR) (a+ e) Pe +b+e) == abed, wenn man arbkotd=o setzt, einen positiven oder negativen Werth hat. Ist aber dieses Product po- sitiv, so sind zwei seiner Factoren positiv, die beiden andern negativ, und alsdann liegt jeder der vier Punkte 4,B,C,D ausserhalb des von den drei übrigen gebilde- ten, Dreiecks ($. 32. Zus.). Ist "hingegen das Product r negativ, so hat der eine Factor, das entgegengesetzte Zei- chen von dem der drei übrigen, und der eine Punkt welchem dieser Factor als Coefficient zukommt, liegt i nerhalb desDreiecks, zu welchem die drei andern Punkt Haben vier Punkte in einer Ebene . eine solche Li ge gegen einander, dass jeder derselben ausserhalb « des Dreiecks, welches die drei andern "bilden, b ind ich ist, so lassen eich durch sie zwei verschiedene 1 ra nerhalb a5 von den drei andern weh 377 In dem vorhin nicht berührten Falle, wo das Product abe (a-+b-re) >=o wird, und die beiden Wurzeln der Gleichung einander gleich werden, gehen die zwei möglichen Parabeln in eine zusammen. Wird nämlich von den vier Factoren jenes Products einer .der drei ersten, z. B. a,—o, so fällt D in die F.linie BC. Wenn nun, yor dem wirklichen Einfallen, durch die vier Punkte zwei Parabeln construirbar waren, 'so wird jede 'dieser‘Parabeln, "je‘näher D’ an, BC rückt, sich desto. mehr der Geraden BC und der durch 4 damit gezogenen Parallele nähern, bis dass., wenn D in BC selbst zu liegen kommt, jede Parabel in das eu dieser zwei Paralle- len übergeht. Setzen ‚wir. zweitens . den Factor a+b reg «so wird D ‚ein unendlich entfernter Punkt, und .es erhellet, dass, ‚je weiter sich 2 von 4, B,c entfernt, doch so, dass immer zwei Pirsben: zu eonstruiren möglich bleiben, diese zwei Parabeln sich desto mehr aneinander schliessen _ werden, bis sie für ein ‚unendlich entferntes D in eine zusammenfallen, welche nächst A, B,C noch durch die Richtung bestimmt wird, nach welcher D liegt, und welcher die Durchmesser der Parabel’ parallel ‘seyn müssen, 8. 254. Zichen wir jetzt ausser den Parabeln noch die andern Kegelschnitte in Betracht, welche durch die vier Punkte 4, B, C, D beschrieben werden können. — Der allgemeine Ausdruck für diese Curven H. mit dem Ausdrucke I. verglichen, giebt f=a(ı—m), g=—b, h=cm, oder f=ap, g=bq, h=er, wenn man der Sym- metrie willen die Verhältnisszahlen 1—m=p, —ı=q, m=r setzt, wo daher p-+q-#r=o. Hierdurch verwandelt sich die Formel f? +38? +h?— agh— ahf— afg (8.252) in a?p? 2 .hb2g 2} 0272 — abegr — zcarp — aabpq. Weil man aber, wegen p#g-+r==o; die Coöfficien- ten von a?, 63'023 % P=—rp-—pg, ?=—pg—gr, ER setzen kann, so zieht sich die Formel zusammen in: —(ö+e)? 7 — (et a)? rp—(a+b)?pg, und,wird, wenn .man wieder m einführt: (b+0)2m— See m (1 — m)+ (a +5)? (i ee 378 “Der durch die vier Punkte 4,B, C und «4 +5B +eC beschriebene Kegelschnitt II. ist also eine Hyper- bel, Parabel, oder Ellipse ($. 252.), je nachdem die letzt- erhaltene Formel (=f?+..— 2gh—..) positiv, null, oder negativ ist. Soll aber diese Function von m, die wir in dem Folgenden mit 7 bezeichnen wollen, null werden können, soll es also möglich seyn, durch die vier Punkte Parabeln zu beschreiben, so muss M, nach m aufgelöst, in zwei reelle Factoren zerlegbar seyn. Hierzu wird erfordert (vergl. $. 252.), dass, won man b+0=i,c+a=k, a+b=/ setzt, 4 E24 14 — ak212 — al2i2 — ai2k? . SHeithHBU—H ACH RER babe re = eine positive Grösse sey, was wir auch schon im, vori- gen $. als Kennzeichen für die Parabel gefunden haben. Zugleich aber erhellet, . dass alsdaun M7 für zwei ver- schiedene‘ Werthe von 2, =o, und daher für andere j Werthe von m bald positiv bald negativ wird. Ist da- gegen abed negativ, so-kann M niemals null werden, | sondern behält für jeden Werth von m ein und dasselbe Zeichen, und zwar das positive, weil es sich unter an- dern für m=o auf (a+b)? reducirt. — Da nun e om positiven M die Hyperbel, einem negativen ‚die Ellij und einem verschwindenden die Parabel zugehört; Fa ferner, nachdem-abed. positiv..oder negativ ist, die. vier Punkte A,..D die eine oder die andere der zwei. n gemeinen möglichen Lagen gegen einander | haben (vor so ist, das eben erhaltene Resultat, ‚geometrisch. drückt, folgendes: 5 Wenn von vier Punkten in einer Ebene, jeder ‚selben ausserhalb des von den drei'ändern geb Dreiecks liegt, 'so kassen sich durch. ‚sie sowohl 1} Br /; Br » Hu Su £ Kr TER 379 _ als Hyperbeln und zwei verschiedene Paräbeln beschrei- ben. Liegt aber der ’eine innerhalb des von den drei andern gebildeten Dreiecks, so können durch sie weder Ellipsen noch Parabeln,, sondern bloss Hyperbeln ge Führt werden, Heisse in dem Folgenden der Kürze willen die er- stere Lage von vier Punkten die parabolische, und die letztere die hyperbolische. $. 255. ‘Wir wollen nunmehr die Untersuchung auf ein System von fünf Punkten 4,3, C,D,E in einerEbel ne ausdehnen, und aus der gegenseitigen Lage derselben die Art des einzigen durch sie bestimmten Kegelschnitts zu erforschen suchen. Hierzu schicken wir ers; leicht erweislichen Satz voraus. 2 Hat man ein System von fünf Punkten in einer Ebe4 ne, von denen keine drei in einer Geraden liegen, s6 giebt es unter den fünf Quaternionen, welche sich, je vier dieser Punkte besonders genommen, bilden lassen, wenigstens eine, deren vier Punkte eine parabolische Lage zu einander haben. e 2.1 ° Unter den fünf Punkten 4,...Z seyen nun die vier ersten 4,B, C,D (Fig. 56.) die Punkte einer solchen Qua& ternion, und zwar so, dass die Geraden 4C und BD sich innerhalb ihrer Endpunkte schneiden ($. 32. Zus.). Man ziehe die vier Geraden 43, BC, CD,D.A. Durch sie wird im Allgemeinen die Ebene in eilf Theile zerlegt, ‘von denen die vier, welche von aussen an die Seiten des - Vierecks ABCD grenzen, mit G, die übrigen siebenmit - H bezeichnet worden sind. Liegt nun der fünfte Punkt Z in einem dieser letztern Theile, so‘ist aus der Figur ersichtlich, dass es alsdann immer drei von den Punks ten 4,8, C,D giebt, mit denen sich Z’in hyperbolischer Lage befindet, dass also in diesem Falle durch die fünf 880 Punkte immer eine Hyperbel bestimmt wird: Liegt aber der Punkt Z in’einem der vier mit G benannten Theile, so sind sämmtliche fünf Quaternionen der fünf Punkte parabolisch, und es kann mithin,-nach der jedesmaligen besondern Lage des Punktes E in diesen Theilen, durch ihn und..die vier übrigen bald eine Hyperbel, bald eine Ellipse, bald ‘eine ‚Parabel beschrieben werden, oder, wie wir uns kurz ausdrücken wollen: Z ist alsdann bald hyperbolisch, bald elliptisch, bald parabolisch, Um zu . bestimmen, wenn er: das letztere ist,, beschreibe man durch 4,2, C,D die'zwei möglichen Parabeln (Fig. 57.), die ..also. nur durch. die Räume @ sich fortziehen' kön- nen, „Liegt nun der: Punkt Z in einer dieser Parabeln selbst, so ist er parabolisch; liegt er nicht; darin, so ist er es nicht, indem sonst. durch 4, B, C,:D. noch andere Parabeln müssten beschrieben werden können, ing nicht möglich ist. ‚o».Es ‚wird aber .durch ‚diese zwei Parabeln die Eben in -sechs Räume abgesondert. Der eine ist das von den Parabelbögen AB, BC, CD, DA eingeschlossene Viereck und gehört beiden Parabelflächen gemeinschaftlich. Vier andere, ‘welche in der Figur mit Z bezeichnet sind und an die Seiten dieses Vierecks grenzen, liegen inner. _der’einen, und ausserhalb der andern Parabel. Ausserha beider Parabeln liegt der noch übrige sechste Raum, I behaupte nun, dass alle, Punkte eines und a ser Räume von einerlei Beschaffenheit sind, zz = . ae Ze ‘Der ‘Werth von ER 250. u. $. 234), Kn: ; sobald nächst den vier Punkten. 4,...D, die hierbei als fest. betrachtet werden, , noch der fünfte, E ‚gegeb Jedem ‘Orte von Z enispricht daher ein: Bere 331 von m, und folglich auch von M, als einer Function von m. Liegt Z in einer der Parabeln selbst, ‘so ist M==o, und umgekehrt. Denken wir uns nun den Punkt Z£ nach Belieben sich stetig Tortbewegend, jedoch so, dass er dabei keiner’ der beiden Parabeln begegnet, und folglich in demjenigen der sechs Räume, in welchem er beim Anfange der Bewegung ist, fortwährend bleibt, so wird auch die Fünction M7 sich stetig ändern, aber nicht = werden, und folglich immerfort dasselbe Zeichen be- halten. *) ‘Da aber, je nachdem #7 positiv oder negativ -ist, die fünf Punkte in einer Hyperbel oder Ellipse lie- gen, und mithin der Punkt Z zu den hyperbolischen. oder elliptischen gehört, so ist damit die Richtigkeit er obigen Behauptung dargethan. Nun waren alle Punkte des geradlinigen Vierecks- ABCD hyperbolisch, mithin müssen es auch alle Punkte des mit den Parabelbögen begrenzten Vierecks seyn; und eben so folgt, dass alle Punkte des sechsten, von den beiden Parabeln ausgeschlossenen, Raums hyperbo- lisch sind. Von den vier übrigen mit Z bezeichneten . Räumen‘ wird aber jeder bloss'elliptische Punkte enthal- ten. Denn denkt man sich durch 4,3, C,D eine Ellipse beschrieben, so kann diese nur'ın den Räumen Z 'ent- halten seyn, wird.aber durch jeden dieser Räume gehen, en sie eine in sich zurücklaufende Linie ohne Spitzen '" Folglich’ giebt 8’ in jedem der Räume Z eine Reihe nebänhar Punkte, - folglich müssen alle Punkte’ eines jeden dieser’vier Räume elliptisch seyn." or © , i) M ist eine quadratische Function voh m, und kann daher hur durch ö, niclit auch Atirch co, ats dem Posiliven in das Negative, ' und umgekehrt, übergehen. — Es’wird m=®, und’ folglich M=»?, fü d=y, di. Er folglich, wenn Ein die Gerade BD zu liegen kommu "" 382 Das Resultat unserer Tootenpehzini ist daher über- sichtlich folgendes : Aufgabe. In einer Ebene sind fünf ng a 1 geben, von denen keine drei in einer Geraden liegen, Die Art des Kegelschnitts zu bestimmen, . welcher Eunch die fünf Punkte. beschrieben werden kann, Auflösung. Unter den fünf Punkten lassen sich immer vier auswählen, von denen jeder ausserhalb des . von den drei andern gebildeten: Dreiecks liegt. Es sey dieses geschehen, und man beschreibe durch solche vier Punkte zwei Parabeln,, was immer möglich ist. *) Liegt nun der fünfte Punkt in einer dieser Parabeln selbst, so ist diese Parabel der Kegelschnitt, swelcher sich durch alle fünf Punkte beschreiben lässt. . Liegt der Punkt innerhalb _beider Parabeln, oder ausserhalb beider, so ist der Kegelschnitt eine Ayperbel.. Ist er dagegen innerhalb der einen und ausserhalb der an- dern befindlich, so liegt er mit den vier BG in eis ner Ellipse. 8. 256. Zusätze. .a..Stellt man sin, ‚durch dir vier ‘ Punkte 4,B,C,D (Fig. 57.) alle möglichen Kegelschnitte beschrieben vor, so wird durch jeden fünften Punkt ‚der L . Ebene einer derselben gehen, und: folglich . die, Ebene . mit ‚Kegelschnitten ganz überdeckt seyn, Weil | durch fünf Punkte ein Kegelschnitt vollkommen. bestimmt ist, so, werden sich. je zwei derselben nur, in,den, ihnen i allen gemeinschaftlichen, Punkten 4, B,C,D schn 5 an jeder andern Stelle der Ebene. aber; werden \ Ber u] ".*) Sind, die Gesden AB und CD (Fig. 5) ‚einander pa ist die Parabel BADC dem System dieser, „Paell y achten ; und wenn auch 4D mit BC parallel ist, vier ins Unendliche verlängerten Seiten des Parall für die zwei Parabeln zu nehmen, 383 nächst liegenden Elemente dieser Curven einander paral- ‚lel. seyn. Endlich werden. in die vier Räume Z, bloss 'elliptische Bögen fallen, und die zwei übrigen bloss mit hyperbolischen Bögen angefüllt seyn. b. Durch vier Punkte einer Ebene, von denen der eine innerhalb der drei andern liegt, lassen sich nur Hy- perbeln beschreiben. Man denke sich ähnlicherweise durch solche vier Punkte alle nur möglichen Hyperbeln bei schrieben, so wird auch hiermit die ganze Ebene über: zogen seyn, und keine zwei derselben werden sich’irgend- wo anders, als.in den vier Punkten schneiden. ce. Auf eine dritte Weise eine Ebene mit Kegel- schnitten zu überziehen, ‘welche sämmtlich durch vier Punkte der Ebene-gehen, ist nicht möglich, weil vier Punkte einer Ebene im Allgemeinen nur eine der zwei. in a. und d. angenommenen Lagen. gegen. einander ha- ben können. ZN d. Da jede dieser beiden Lagen gleich gut möglich ist, und weil die Fläche einer sich in das Unendliche erstreckenden Parabel sich zu der unendlichen Ebene, in welcher sie liegt, wie eine endliche Grösse zu Y» ver- hält, so kann, man immer die ‘Quadratwurzel‘ aus dem Unendlichen ‚gegen ein Endliches wetten, dass fünf in einer Ebene willkührlich genommene Punkte eher in einer Hyperbel, als in einer Ellipse liegen. $. 257. Die Bestimmungsweise der Art eines Kel gelschnitts nach der jedesmaligen Lage des fünften Punk- tes gegen die zwei durch die vier ersten Punkte mögli- chen Parabeln lässt sich auch folgendergestalt bloss durch. Calcul als richtig darthun. Der Ausdruck für einen duch: = B,C, ‚D=aA+bB +ec gehenden ac ist ($. 250.): dofü 384 a(1—m) z4+bz(1—r) B+em(1—e) G, und ein solcher Kegelschnitt eine Parabel, wenn ($. 254.): (b+c)? m— (c+a)?m(ı —m)+(a+b)?(z —n)=M=o. Heissen demnach m’ und m” die beiden Wurzeln dieser nach’ m aufgelösten quadratischen Gleichung, so geben ‚, dieselben im Ausdrucke des Kegelschnitts nach einander substituirt, die Ausdrücke der zwei durch 4,2, C,D möglichen Parabeln selbst. a Der fünfte Punkt Z=a‘4+b’B+c'C lieg nun nach $. 25r. innerhalb oder ausserhalb der einen Parabel, für welche m — m‘, und mithin f—= es —m), g=—b, A cm! ist, je Ba al m‘) z b = a (1— m’) note ar | DZ e 7 at = — 0oßy (1 — m’) m’ [a — ee ($. 250.) positiv oder negativ ist; und eben so innerhalb oder ausserhalb der andern Parabel, für welche m—mft, je nachdem r " 5 —apy (1 — m“) m" [a— +1 —e)m"] positiv’ oder negativ ist. 'Z liegt folglich innerhalb ‘bei- der Parabeln, oder ausserhalb beider, wenn mt mt (1 m‘) (mt) [a8 + —e)mi] [a7 —ejm#] positiv; dagegen innerhalb der einen und, ausserhalb, der andern, wenn. dieselbe ‚Grösse negativ is, Es fliesst aber aus der quadratischen Gleichung Y=o, dass, am a+b e-+a und a mit c gegenseitig vertauscht, als wodurch üeden. A mel m unverändert bleibt; (mr) Gerd @ EM )E ;: und eben so, wenn man m. mit, Ken T 885 Mithin ist das Product m’m” (1--m') (1—m") immer positiv, und die eben gedachten zwei Bedingungen redu- ciren sich auf [le 6+7—a)m] [e—B+y—a)me] >, , oder ierh> eat ae ee HRS Parabel: väshe han aan A BP An vier in einer Ebene befindliche Gerade lässt sich daher immer eine, ‚und nur. see ERRaDER ar rührend .legen. ; ) ‚.„. Heissen ‚die ash: der Parabel, ‚mit den: drei F.linien: D,Z,F (Fig. 58.), so hat-man: =. nm («—b) B+ (ca) C+(d—-e) D=o, für y=ı; (be) C+(a—5) A+(c—a) F=o, füry=@; ., (e—a) 4+ (be) B+ (ab) Fo, für y=o. 2 Hieraus fliessen ‚die, Proportionen: iord CB: BD: DC—EA: AC: CE=AF: FB: BA. =b—.: 10 —a:a—b,, \ 7 die sich durch folgenden Satz ausdrücken lassen. 3 Legt man an eine Parabel zwei Tangenten, AE und Ur); so werden die Theile derselben. zwischen ih- rem gemeinschaftlichen ‚Durchschnitie A und den Be» 392 rührungspunkten E und F. von. jeder drittenı. Tan- gente CB in umzekehrteik FA erhältnissen SEEN (AE in C, wie Z4 im DB). R Aschaas) Diese einfachen- Peoporeigäkn sid die Quelle “meh- rerer anderer merkwürdiger a der Parabel: — Es verhält sich ($: 18. 2.): 46G ar. 1.50 BE ib 1 BO: ABRSAC: ur aa (singgllien vor ABE: AFE= AB: AP Has): (bte), folgl. ABC: : AFE=(e=a) (ab): ‚(b—_)2; } folglich, wenn man (5&—c) (c—a) (a—5)=p setzt: AEF—=— ABC. Naeden us 'eben so nor Eon BFD=— ABC (c—a)i:pz) un ur Wh nl CDE=—ABC.c-M:p 0m Zieht man aus diesen drei Gleichen die Kobik wurzeln und addirt sie hierauf, so kommt; ‚) aerirgrpifoonie, Das Productyaus den drei Gleichungen giebts.. +" nl 3) .AEF.BFD.CDE=—-4BC8, oo. Weil endlich (6:5) 1100) FE ee == 3p \ist, so kommt, wenn man die drei Gleichı unmittelbar:addirt: 7)” \ : air, a) : 3) AEF+BFD+ ODn=—3n0, a) F oder APEZBFD-CDE=Z3ZABC, 5 SE ‚und hieraus mit Hinblick auf die Figär, in. welcher Dreiecke der letztern Formel, AFE,'B ee sammt einerlei Vorzeichen haben: aD, Ef » FED= =waneH,, u » er ERDE Kr er D, Ohne die ER der Figor. uölhig zu haben, “diesem Resultate aus der Gleichung 5) auch folgend - ‚ Anwendung det\allgemeinen Formeln iu: j.:18.. gell 393 — Aus diesen «Gleichungen age ‚zichen.ir nun fol- . gende Sätze, Ligt man an.eine Parabel drei ange so Day von. den ‚drei Dreiecken, welche von je zweien dieser. Tangenten und der durch die, Berührungspunkte_der-, selben gezogenen Geraden begrenzt. werden, die Kubike würzel aus. ‚dem. Dreiecke ? welches die, zwei äussersten Tangenten z zu Seiten. hat, der Summe der Kubikwurzeln‘ aus den. beiden andern Dreiecken gleich. (Der, in 8. 174 E angew#ndgte Satz.) , nt Yorlı9antaT { | "Das Product aus diesen drei Kubikwurzein ist dem von den drei Te angenten eingeschlossenen Dreiecke wae ee (Arklc mit S- = 3 A ’ Hälfte dee "einbeschriebenen Dreiecks, dessen sen die Berührungspunkte in den Seiten des ersiern sind (8. 174. 6.) Eine leichte Folge hiervon ist, däss-über- haupt jedes um eine Parabel beschriebene / deleek halb so gross ist, als das einbeschriebene V: veleck, welches die: Berührungspunkte des -umschriebenen zi. seinen, Spitzen hat. ig kor.: ai] 73 Zusatz. Bezeichnen 4, 2’, C* die Punkte, in denen die vierte Gerade d von den F.linien Beichnite ih so ist en. \ Es ist 0= ABC + ACD-4 ADB, weil. D, B, C d=DCA+DAR+DEC, weil E,0,4 0o=DAB+ DBF+DRA, weilF,4,B ©) in einer Geraden liegen ($.. 18. b.);. und . Br 0: ' DEF=ARF- AFDI ADB.:($ 18, © 11" evRROn .. eAddirt- man-diese,yier, Gleichungen, so ‚kommt: 4 DEF=ABCH AEF+DBF+ DEC, 7 und wenn man diese Summe zur Gleichung 5) addirt z' ob "DEF= =24BC, wie wie worin in uosndand G ber 394 (ea) Br eC-kado, a kn nd | AC.AB _e—a und folglich Te: 30 "7 25: Mittelst dieser Proportion lässt sich, vie SEE nimmt, tolgende Aufgabe’ lösen, wn } DEhZEr S E, Es sind’ vier in’einer Ebene liegende Gerade ae geben. Die Punkte zu Jinden, in denen 273 Geraden von der an sie zu beschreibenden“ "Parabil berührt werden.‘ n.nabesd Aal $. 263. Betrachten wir Jetzt die gegenseitige Lage des Kegelschnitts ilıy)? A+kB+1y2C,. a und der Geraden alı—r) d—bB+ v0 _ fer im Allgemeinen, Für die Gemeinschallicheg bar beider, w wenn es anders deren giebt, muss sich“ verhalten: =BD: CD, or ia—y)?:k:ly? = alır); 2b: som. . 3 # er nase - Hieraus folgt.nach der 6 area Schluepeztne) ut st r=o man die Werthe x von y für die Der er häll,,,Die Gerade. wird ‚demnach den Kegelschnitt ‚en weder, in, zwei Punkten schneiden , oder. in einem A zen; oder gar nicht treffen, nachdem die Wurzeln dieser Gleichung möglich und verschieden, etc. sind, ‚ nachdem also (vergl. $. 259.) u zeigt Ba & kl ih, Lak Le. N es „+24 ne [7 Au Y, 0 negativ, null (8. a6ı 3% Ber positiv. ist, ar ai ei Um diese Bedingungen Tmubeiöiipe Enz seitige Lage der Geraden, [2 und der,. an die und! d beschriebenen, ‚Parabel. zu finden, hat mi ” nf Pe Fee er. rl MS Du art “ \ ER ASTRA EN SINE HEERES 395 ' vorigen Formel a,5,0 mit @',b1,c und ;, 41 mit an ı - c -—-'& a’ (b—c)+b’ (c—a) + ce’ (a—b), abc (b—e) (c—a) (a—b) @_ar+b—_bLab— we ey ?>e ı sg zü vertauschen, und man erhält: <,=,‘>o, oder _ wenn man, weil es immer nur auf das a hältniss der Coefhicienten ankommt, e == ı setzt. ‚a und 5 sowohl, als @’ und d/, sind alsdann nicht bloss, wie vorher, in bestimmten Verhältnissen zu einander ste- hende Zahlen, sondern bestimmte Zahlen selbst. $. 264. Da durch fünf Tangenten ‚ein Kegelschnitt. vollkommen bestimmt ist, so soll nunmehr eine ähnliche - Untersuchung, wie in $. 255., angestellt, und gezeigt, werden, wie aus der gegenseitigen Lage fünf gerader Li- nien in einer Ebene die Art des an sie, als Tangenten, zu beschreibenden Kegelschnitts bestimmt werden kann. Mit Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen ist der an die drei F.linien und die Geraden d und e be- schriebene Kegelschnitt ($. 261.) eine Ellipse, Parabel, ’ oder Hyperbel‘, nachdem die Function’ (kI+itik, 8. 259.) | bet — bie + ca! — c’a-Lab! —alb (be —bre) (ca — c’a) (ab —a’b) a — arb—b!’Lab’_— ab So en oer2) wenn man, wie im vor. $., e=e'=ı setzt, DPA aull, oder negativ ist. Sey.nun ABC. (Fig.58.) das F.dreieck, Pu Seis ten von der vierten Geraden d in den Punkten bBB— C=z4A, C—ad=B, ad—bB=C oder N die Durchschnitte von e mit 40 und BC, PgzH 4 396 geschnitten werden., Sämmtliche ı vier ‚Gerade neh ımen wir fest; und daher a ed b wuräiuiiclies an, und: baschtei.. ben die diese Geraden ‚berührende ‚Parabel. Die Anka Gerade e, welche die F. ans in den Punkten 2 BB=C, C-aiA, 4b vB ER au RAN, denken wir uns in EEE FRLEN. ‚also a’ und d nach Willkühr veränderlich ;. und ‘unsere AUn- tersuchung ‚wird, auf, die. Bestimmung ‚der; Fälle ‚hinaus-. kommen, in denen bei der Bewegung/von; e.die von a und '# abhängige und mit N bezeichnete Function. aus dem Positiven in das Negative, ‚oder, umgekehrt, über- geht: Nur wollen: wir die Bewegung 'von, e.noch durch: die, Bedingung beschränken, dass, diese Gerade keinen zweien der sechs Punkte 4,2,..2°,C', in denen sich die vier erstern Geraden schneiden, zugleich begegnet, folg-. Jich auch bei der Berührung der Parabel mit ‚keiner die- 77\ . W ser Geraden zusammenfällt, j . 49 Fr x ai Wird. nun zuerst die. Gerade « e über der Punkt 4 wegbewegt, so, dass ‚folglich ihre Durchschnitte, Ge und; «‘4— b’B mit AC und AB, im; diesen, Linien von, der einen auf die,andere Seite von -4, rücken ‚so, scht « durch das Unendliche aus dem Positiven, i in das, ve, oder umgekehrt;. die Function ‚N, ‚aber, welche sich für #40. aufas An Tedaikeer "verändert he Zeichen durch Null, Äuf gleiche Art schen br durch o und N durch o in das Entgegengesetzte, wenn. e er B- fortgeführt wird. Geht die Bewegung über C, so. a dB C, in ’diesen“Linien' Heiäkzcitip) Ah der « ein die andere Seite von'C rücken, so verändern a ihre Zeichen durch Null; und N, welches‘ ‚sich fü 397 d—a TER: ii TASTE 0 =o auf aan relüchrt, wechselt sein Zeichen “ durch po‘, Setzen wir zweitens, dass die Linie! evüber den Punkt 4" bewegt wird, dass folglich ihr ‘Durchschnitt #2 — C mit BC in dieser Linie an #=5B—-C' vorbeirückt, so geht & an 5 vorüber, »d. h. die Differenz 6 54 ändert ihr Zeichen durch o, und die Function N, ‚welche 4 zum Factor des Nenners hat, 'verwändelt sich durch in das Entgegengesötzte. Eben so erhellet, ‘dass; wenn e über B* oder :C* bewegt wird, die» Differenzen 'a/--« oder ab’—a’b durch o, ‘und mithin "N durch @ 5" ‚ihre Zeichen ändern. : yi Wird endlich die Gerdden &,' wenm'sie sanfslgkich der Parabel nicht begegnete, bis‘ zum Schneiden’ derselben fortgeführt, oder umgekehrt, so’ erleidet, zufolge des vor. $., im Momente: der‘ Berührung der: Zähler von’ N und mithin N selbst einen Zeichenwechsel:durch‘Nulh Es ist nämlich ‘der Zähler der dort. mit » bezeichneten . Function einerlei mit dem Zähler von N; die verändert lichen Factoren «’ und b‘ im Nenner vom r behalten aber bei der Berührung endliche Werthe, indem sonst‘ mit einer der F.linien zusammenfallen würde, welches ‚gegen die vorhin gemachte Annahme ist. So oft also: bei der Fortbewegung von e einer der sieben Fälle eintritt, dass einer.der sechs Punkte +4;3,C} 4',B’,C' von der einen auf die andere Seite vom’e'zw . liegen kommt; oder dass e die Parabel zu schneiden an- fängt, wenn sie derselben vorher nicht begegnet war; oder umgekehrt, eben so oft verändert.die Function N ihr Zeichen; ausser diesen Fällen aber in. keinem andern; weil 'umgekehrt,.so. lange als e weder einen jener‘ sechs Punkte trifft,-noch die Parabel berührt, die. Goefficienä, 398 - ten a’ und 5 endliche Werthe haben, die drei Factoren des Nenners von N eben so wenig, als der Zähler dieser Function, =o werden können, und mithin N selbst eine endliche Grösse" bleiben muss. Da nun bei jedem Zeichenwechsel von N, die fünf Linien ‚wenn sie vorher eine Ellipse berührten, nachher die Tangenten einer Hyperbel werden, und umgekehrt, - so-ist nur noch übrig, für eine gewisse Lage der Linie &, in der sie die Parabel nicht berührt und auch durch kei- nen»der sechs Punkte geht, die Art des dadurch 'be- stimmten Kegelschnitts zu erforschen, um somit für jede andere Lage von e:auf die Art des zugehörigen Kegel- schnitts einen Schluss machen zu können. Zu diesem Ende wollen wir annehmen, dass die Parabel von e@ nicht ‚getroffen werde; und»dass die sechs Punkte mit der Pa- rabel auf einerlei’Seite:von e liegen. Wenn aber fünf Gerade eine Ellipse berühren, so wird von denselben ‚ ein entweder ganz oder doch zum Theil begrenzter Raum gebildet, dergestalt, dass man von jedem Punkte dessel- ben: zu jeder der fünf Geraden gelangen kann, ohne da- bei ‚eine‘ der vier-übrigen schneiden zu müssen. Es lehrt aber die unmittelbare Anschauung, dass ein solcher Raum nicht‘ entsteht, , wenn e sich in der eben angenommenen Lage befindet; mithin ist für diese Lage der Kegelschnitt eine «Hyperbel. Ist nun irgend eine andere Lage der Linie 'e gegeben, so bewege man sie ausder vorhin an- genommenen bis zu der gegebenen fort, und je nachdem während dieser Bewegung eine gerade oder ungerade An- “ zahl der obigen siebenFälle sich ereignet, wird der .zuge- hörige Kegelschnitt entweder ebenfalls eine Hyperbel oder eine Ellipse seyn. Dies liefert uns folgendes Resultat. Aufgabe. Fünf Gerade in einer. Ebene sind. geben, von denen keine drei sich in: einem Punk ‚399 schneiden, Die Art des Kegelschnitts eu bestimmen, welcher sie. insgesammt berührt. Auflösung. ‚Man lege an belichige vier p.der, go gebenen Geraden die sie berührende Parabel und unter= ‚scheide dann folgende drei Falle: : 2) Wird die fünfte Gerade von diesen Parabel, nicht getroffen, so ist der Kegelschnitti eine Ellipse oder Hy- perbel, je nachdem auf der einenund folglich auch auf der andern Seite der fünften eine ungerade oder gera+ de Anzahl der sechs Punkte liegt, in welchen. sich die vier erstern Geraden schneiden, 2) Wenn die fünfte Gerade die Parabel re so ist der Kegelschnitt kein anderer, als diese Para- bel selbst, 3) Wird die RT von ur fünften geschnitten, so ist der Kegelschnitt eine, Ellipse. oder Ayperbel, je nachdem auf der einen und also auch auf der andern Seite der fünften eine gerade.oder ungerade Anzahl der sechs Durchschnittspunkte der. vier ‚erstern PER begriffen ist. ed ‘ „Die Betrachtung der. 'speciellen Fälley- wo. ein oder ‚zwei Paare der fünf Geraden Parallellinien sind,, übergehe ich, um nicht zu weit- läufig zu werden. Der Fall, wo drei Gerade einander parallel laufen, ist denjenigen gleich zu achten, wo drei Gerade sich in einerg Punkte schneiden, und bleibt daher ausgeschlossen. $. 265. Die in .$: 260. erwiesene merkwürdige Ei- genschaft eines um. einen Kegelschnitt‘ beschriebenen Dreiecks veranlasste mich‘ zu untersuchen; ob nicht auch ‚bei der analogen Figur im Raume, einer um eine Flä- che der zweiten Ordnung beschriebenen dreiseitigen Py- ramide,, die vier geraden Linien ‚welche die Spitzen der Pyramide mit den Berührungspunkten.in den gegenüber ‚400 liegenden Seiten verbinden, sich in einem Punkte schnei- den. Wiewohl ich nun 'bald wahrnahm ‚dass hier‘ eine so’einfache Relaiion nicht statt finden- könne, 'so' gelang es mir doch, an der Stelle der vermutheten Eigenschaft eine andere zu entdecken, die mir‘merkwürdig genug scheint; um sie nebst ihrer‘ Entwickelung diesem Capitel als-Anhang noch beizufügen. > ‚Seyen 4,B,C,D (Fig. 5g.) die Spitzen ds Ninbacliete benen Pyramide; Z,7, G,H# die ihnen resp. gegenüber- liegenden 'Berührungspunkte. — Um zuerst zu zeigen, dass sich die vier Linien AZ, BF,...'im Allgemeinen nicht‘ schneiden, ‘so denke man sich die Fläche selbst und die drei in ihr liegenden Punkte Z, 7, @ gegeben. Hiermit sind auch der Punkt D, als der gemeinschaftli- che‘ Durchschnitt ‚der in Z,F, @ an die Fläche berührend gelegten Ebenen, und\die Geraden D4,DB, DC, als die Durchschnittslinien dieser Ebenen, gegeben. "Von den drei'Punkten 4, 3, C aber können beliebige zwei, z.B. 4 ‘und 2, in den Linien D4 und D2 nach Willkühr genommen werden, wodurch dann der dritte, ©, als der Durchschnitt der durch „42 an die Fläche berührend ge- legten Ebene mit DC, gefunden wird. Sollten nun für jede Annahme der zwei.Punkte 4 und 2 in den Linien: DA und DB die Geraden 4E und BF 'sich schneiden, sollten also immer die vier Punkte 4,2, E, F in einer Ebene liegen, so müssten Z und F in der Ebene D4B selbst enthalten seyn, welches gegen ‘die Annalıme ist.— u». Man stelle sich jetzt-einen die Fläche einhüllenden Kegel vor, welcher D'zur Spitze “hat. ' Dieser Kegel wird die durch -D’ gehenden und ‘die Fläche in zZ, 2 'berührenden Ebenen D2C, DCA, DAB "in den ı DE, DF, DG berühren, und die Ebene 430 Curve schneiden ;' welche‘ von den: Geraden BC, CA, 401. ‚in den Punkten 3%,Z, berührt wird, in denen diese Li- nien resp, von DE, DF,DG geschnitten werden, Es ist. aber bekannt, dass die Linie, in welcher eine Fläche der zweiten Ordnung von einem sie umhüllenden Kegel berührt wird, in einer Ebene liegt und von der zweiten Ordnung ist, dass folglich ein solcher Kegel auch ' von jeder andern Ebene, wie 4BC, in einer‘Linie der zweiten Ordnung geschnitten wird.* Mithin müssen sich .die drei Geraden 44, BK, CL in einem Punkte M treffen ($. 260.). Hieraus fliesst weiter, dass sich die drei Ebenen DAL DBK,DCL in derGeraden DM schneiden, und dass folg- lich die drei in diesen Ebenen resp. liegenden Linien AZ, BF,CG der Geraden DM begegnen ; oder, was dasselbe sagt: dass sich durch D eine Gerade DM ziehen lässt, welche die drei Linien 4E, BF, CG, und somit alle vier AE,.,DH zugleich schneidet. Auf dieselbe Art wird be- wiesen, dass man durch C eine Gerade CN, und durch _ B eine Gerade BO (so wie auch durch 4 eine Gerade AP) legen kann, welche den vier Geraden AE,.. DH zugleich begegnet. Nimmt man daher DM, CN,BO zu den drei lei- tenden Linien eines hyperbolischen Hyperboloids, so sind AE,.. DH vier verschiedene Lagen der das Hyperboloid _ erzeugenden Linie; welches (vergl. $. 112, zu Ende) fol- genden Satz giebt: Wird um .eine Fläche der zweiten Ordnung eine dreiseitige Pyramide beschrieben, und werden die vier Spitzen der Pyramide mit den in die gegenüberliegen- den Seiten fallenden Berührungspunkten durch vier Fi rade Linien verbunden, so schneidet jede andere Gera- de, welche dreien dieser vier Linien begegnet, auch die vierte, Drittes Capitel ‚ Von den Durchmessern und dem Mittelpunkte eines Kegelschnitts und den re der Hyperbel. 8. 266. Der allgemeine Ausdruck eines Kegelschnitts, welcher durch die drei F.punkte geht, ist ($. 249.): Jed—ge a—) BphGa—)C. ,, Seyen ? und Q zwei Punkte desselben, Mr erstern ®=—p, für letztern x==g, so hat man: EP PefpA-gpa BLAU) PQ=fg4- sa) BAR NE Hieraus folgt nach Elimination von d& 7. PaP— pP Q=spı P-I)B—h P)e = dem Durchschnitte der Geraden PQ und BC. en Wir wollen nun annehmen, dass die Sehne ia Ke gelschnitts, ?Q, mit der F.linie 3C parallel, und hin ihr gemeinschaftlicher Durchschnitt vnepalseh fernt sey. Hierzu wird erfordert: Ye pa—rg'=gPg (PN) - ae Pr . Da aber der Factor p—g dieser Gleichung ı u =o ist, wenn P und Q zusammcenfallen, so wi gpg—h=o. . die zum Parallelismus von ?Q und BC a gungsgleichung seyn. r Be $ Man addire jetzt die Gleichungen für ? und Q, nachdem man sie vorher vesp. mit g und > multiplicirt hat, und es kommt: pgP+pq'Q= f afpad—gpg(a— pP — NB+h(p+g9—apg) C. Unter derselben Voraussetzung nun, dass PQ paral- lel mit 2C, und daher p/a—pg'—=o ist, wird pgP+pg'Q =P+0= dem Mittelpunkte der Schne ?Q, und wenn wenn wir diesen mit 7 bezeichnen, für pg den aus der: Bedingungsgleichung entspringenden Werth‘ A:g substi- tuiren und grösserer Einfachheit willen p+g=ah:z setzen : M=fs4A+g(h—z) B+h (ei) (% $. 267. Folgerungen. .ı) In dem eben gefun- denen Ausdrucke für den Mittelpunkt einer mit 3C par- allelen Sehne ist von einer Sehne zur andern bloss 3 veränderlich. Es gehört folglich dieser Ausdruck mit der Veränderlichen s der Linie an, in welcher die Mit- telpunkte aller mit BC parallelen Sehnen enthalten sind. Diese Linie ist folglich eine Gerade; und weil man jede Sehne zur F.linie BC nehmen kann, so ist zu schliessen: Die Mittelpunkte dreier oder mehrerer mit einan- der paralleler Sehnen eines Kegelschnitts liegen in ei- . ner geraden Linie. Man nennt eine solche Gerade einen Durchmes- ser des Kegelschnitts. 2) Weil 5g;% gleichartig aus den Constanten a,b, 6, «,ß,y des symmetrischen Ausdrucks in $. 64. ı. zusam- mengesetzt sind ($. 249), so erhält man aus demAus- drucke des, die Sehne 3C (für z==o) und die mit ihr parallelen Sehnen halbirenden, Durchmessers, (0) frA+E (he) B+hlg-)C den Ausdruck des Durchmessers, welcher die mit CA "Ge a 404 parallelen Sehnen halbirt, wenn man in (a) die Buch- staben 4 in 3, BinC, CinA, fing giniy A inf verwandelt, Es ist daher dieser Durchmesser (6) Saw) A+gwB+ 10) 6; und durch dieselbe Verwandlung ergiebt sich hieraus der Durchmesser (c), in welchem die Mittelpunkte von 43 und der damit parallelen Sehnen liegen. Nun ist der Durchschnitt von (@) mit AG SA+(g—ı) C, für sh; und der Durchschnitt von (5) mit BC, gB+(fh) C, für NE Wird daher 4 in dem Umfange des Kegelschnitts so bestimmt, dass AC mit (a) parallel läuft, so ist er- sterer Durchschnitt ein unendlich entfernter Punkt, und mithin f+g a folglich auch letzterer Durchschnitt unendlich entfernt, d. i. 8C parallel’ mit (6); also: Wenn von zwei Durchmessern eines Kegelschnitts der eine (a) parallel ist mit den Sehnen (4C), welche der andere (b) halbirt, so ist auch der andere parallel mit den Selınen (2C), durch deren Mitte IE erstere geht. Zwei Durchmesser, die in einer solchen PEN zu einander stehen, heissen zusammengeh ige Durchmesser. Noch folgt hieraus, dass, wenn von 2x i zusammengehörigen Durchmessern der eine zugleic Sehne ist, er von dem andern halbirt wird. 3) Für die Punkte, in denen.der Durch die Curve schneidet, verhält sich: Are BAT: NAH zıh—z: N : 1 mithin ‚s:ıh=z:82 und 2:g=e: 1 "EN woraus ch gh und«—=+ % Bi 405 messer (a) schneidet daher die Curve entweder in zwei Punkten, oder in keinem, je nachdem g und % ana oder verschiedene. Vorzeichen haben. Für die Ellipse ist +2 — f)? — 4gh Ze ($. 252.); und daher 4g% immer positiv; folglich , wel : je zwei Punkte der Ellipse die Stelle von ZB und. € ver- treten können: ’ Die Ellipse wird von jedem ‚ihrer Durchmesser im zwei Punkten geschnitten. Für die Punkte, in denen der Danckaläder (5) dem Kegelschnitie begegnet, findet sich ‘eben so x— +y4 a8 Setzen wir nun, wie in 2), f+g—7==o, und sind daher (a) und (5) zwei zusammengehörige Durchmesser, so re- ducirt sich die Formel (gFA—f)? — 4g—( Ste)? Ale auf —4/g. Bei der Hyperbel, wo diese Formel immer positiv ist, müssen folglich alsdann f und g verschiede- ne Vorzeichen haben-,. woraus sich mit Betrachtung der Werthe von x für (&) und () weiter ergiebt, ‘dass, wenn (a) die Hyperbel schneidet, (2) ihr gar nicht begegnet, und umgekehrt; also: Von zwei zusammengehörigen Durchmessern der Hyperbel trifft der eine die Aayperael in zwei ea der andere in keinem, n 4) Setzt man in dem Ausdrucke von 7 öder ti: s—=4(g-+h—f), so wird er: HSftshh—F)AtE HAFEN Ole Da sich dieser Ausdruck bei der in 2) angedeuteten Verwandlung der Buchstaben nicht ändertz.so ist’der damit ausgedrückte Punkt nicht allein: in dem Durch- messer (a), sondern auch in den beiden andern (b) und (6) begriffen , ‘woraus wir schliessen: Je drei- Durchmes- ser und hfolglch,; als Ausdruck für den Mittelpunkt des in das 406 “Alle Durchmesser eines Kegelschnitts schneiden sich in einem Punkte, Dieser Punkt heisst der = it er punkt des Kegelschnitts. Alle Durchmesser, welche zugleich Sehnen sind, haben daher den Mittelpunkt des eg zu uhr rem eigenen Mittelpunkte. 5) Die Summe der Coäfficienten in dem Ausdrucke für den Mittelpunkt ist: —f?— g?’—h? +agh+2hf+-2fg. Da diese Summe bei der Parabel =6 ist ($. 252.), so folgt: Alle Durchmesser einer Parabel sind einander parallel. "8. 268, Zusätze. a. Der Ausdruck eines in das F,dreieck ABC beschriebenen Kegelschnitts ist ($. ie & ia—y)? d+kB+IY2C, Um für diesen Kegelschnitt den, Ausdruck seines Mittel- punkts zu finden, nehme man die Berührungspunkte j (8. 260): AB+IC=fA4, 1IC+iA—=gB', iA+kB—=AhCH, (Fig. 60.), (wo daher (= +, g=!+i, h=i+k) alas zu F.punkten, substituire also im vorigen Ansdedelae für j 34, kB, IC vesp. HgB’+hO—fA), HbOL+LL—EB), A(fAd+gB'—hC), und man erhält nach ‚gehöriger Re- düction : En“ HNA-HaN)Btra)e, ur Für den solchergestalt ausgedrückten Kegelschnitt it : aber der Mittelpunkt: ER j M=Zf(et+h—f)2+8s(h4f— 9) Br+hlf4g— ) ‚ "Wird nun hierin statt f4',gB’,hCı wiederum &4 : etc., und statt g-+A—f,... resp. 2ü,... gesetat, so k M=ili4l) AED BHIH)G, un C beschriebenen Kegelschnitts. s 407 5. Aus den Ausdrücken für 4,340 folgt: gB—fA 4 hCt— RB. Eliminirt man hiermit 3* aus den Ausdrucke des um 4°B‘C' beschriebenen Kegelschnitts und aus dem Aus- drucke für den Mittelpunkt desselben , so ergiebt sich : rd 4 aky y)BLRGy?>O und -» Musfhd_ (BL afhC, | oder einfacher, wenn man -— —» und gie @. F a? io setzt (8.61. V.): @4#+oB+v2C' und M=z2a#—B+2al, der allgemeine Ausdruck eines Kegelschnitts, welcher im 4' und C* von 4#B und C’2 berührt wird, und der nr druck für den Mittelpunkt desselben. c. Nennt man N den Mittelpunkt von ACH, so wird M=4aN—B;also: .. , Werden an einen Kegelschnitt zwei Tangenten ge, zogen, so liegen der Durchschnitt dieser -Tangenten und der Mittelpunkt der Sehne, welche die Berührungs- punkte verbindet, mit dem Mittelpunkte des Kaulh, schnitts in einer geraden Linie. Wird daher in ein Dreieck ABU ein Dee ABiC so beschrieben, dass die Geraden durch die gegenüber- liegenden Spitzen, A4',., sich in einem Punkte schnei- _ den, so treffen sich auch die Geraden, welche die Miltelpunkte der Seiten B’Ü',.. des einbeschriebenen Dreiecks mit den Spitzen A,.. des umschriebenen ver- binden, in einem Punkte, in den Mittelpunkte des Kegelschnitis, welcher die Seiten. des umschriebenen Dreiecks in den Spitzen des einbeschriebenen berührt. d. Die Durchschnitte der Geraden BNM mit dem Kegelschnitte sind: N "408 £ Rn ad +YaB+ol—aV aN + B; für eh Va; as —VaßBtal'=aVy aN— 8, für v=—Va. 7 Heisse der eine Durchschnitt X, der andere Z, so folgt aus diesen Ausdrücken in ‚Verbindung mit 7 ‚=4aN —B: € Kalcck BM; NM— BK?2: NK? — BL? ENZa—4 darı nn $. 269. In das‘ Dreieck ABC (Fig. 61.) ist das Dreieck A'B'C', in dieses das Dreieck AuB"C”“, in "dieses das Dreieck AuBuCH, u. s. w, einbeschrieben, dergestalt, «dass jede der drei Reihen gleichnamiger Spitzen, A, d'y...; B,B',...; 0,0%... in einer Gera- A den liegt, und diese drei Geraden sich in einem Punkte * D schneiden. Alsdann lässt sich in das Dreieck ABC. ein Kegelschnitt beschreiben, der die ‚Seiten desselben i in. den Punkten A‘, B', Ü! berührt; in das ‚Dreieck. { dıB'C' ein Regelschnitl, dessen Berührungspunkte AN, B",C" sind; in AuB"C# ein Kegelschnitt, dessen f Berührungspunkte A, Bw, Ci, und so fort ohne Ende, Jch behaupte nun, dass die Miitelpunkte aller (dieser 5 Kegelschnitte in einer durch D gehenden Geraden liegen. ss 1“ Beweis. Man setze erstlich zur‘ Abktrrung: | re k+ilmiv, til, ipk—b, ee ! k+lzi, V’LI— ki, U+kzl, ih el u Lit ki; PR TER Bes uU.8 WW. so ist WAEB4IG, PB IOHiA, vo— er folglich DZ FERNER ER AGB folglich, weil 42.30 = Au, et mo, WA—EBHUC, kuBu —UC Lid, a Es ist aber der Mittelpunkt 22: ides 409 : [ welcher das Dreieck 4BC in Si Punkten ASRBHC, RT. berührt ($. 268. a): v mM—ik+!) 4+ „44 kHB + UUC, | BER 17 - wo m—ü' + kkt UV; und eben so der Mittelpunkt zn des folgenden Kegelschnitts, welcher das Dreieck 43°C’ in den Punkten 4’= AB +LC,... berührt: mi —it ( kl) At... = jan 4 +0 BB Bu VIE ii (EBFIC) FEM (ICHS) + 19 (öA+kb) =i(kr +) A+, Um dt ku + lag, wo mitt, —ürdt,,.*), Aus diesen Ausdrücken für M und M’ folgt nun weiter: m’M'—mM==i(it— iv) d+-k(kein — —k) B+ vw 2) G, und, weil Wr hr HH —a (Hi+D—ad, 3 "und eben so ku—k—lt U 2d ist #*), m'M'—mM=2d(iAtkBr/C)=ad?D, — — — — ——— ; *) Auf gleiche Art ist in Rau an 4 rt zir Lku2 | -r l''2, und allgemein: ADLER Lu —_,(9; ra RE wo p und g positive ganze Zahlen bezeichnen, und p> g ist, *) Auch diese Relationen lassen“ sich noch allgemeiner darstellen. Deuu -erstlich ist; Ferner hat min: kAizi beit Zi uzen, { undss {P)_ KA DM NEE ja u, GAREN, wenn P—qg eine pökiive gerade Zahl ist. “ Sind endlich £,2,9,1w positive ganze Zalılen, und eu R eine positive gerade Zahl, so findet sich: ge RL) NN) 4 (tete _ a DIZP ER) ‘ woraus man, wenn D, M und M’ gegeben sind, ‚die hl N folglich (M,M', a EIER => =, und SER so 410 RR 'Es liegen demnach M und M’, und eben so die Mit- telpunkte je zweier anderer auf einander folgender Ke- gelschnitte, folglich ‚die ganze Reihe von Minelptnkie, in einer durch D gehenden Geraden. Um noch das Gesetz ausfindig zu. machen, das wel- chem die Mittelpunkte in dieser Geraden vertheilt sind, so hat man „ nR WM mMrd2Dus HD rg und eben so mM" — mM —=a(@@ + +1)? D=8d2D, folglich M=mM'—2d2D, und M*=m'M’+8d 2D, folglich ($. 237.) (7,2, M, M“ =—E und eben so (M",D, m’, M")=—}, u. s. w., genden Mittelpunkte 7”, M,... finden kann. "Noch fliesst aus Yen D ‚verhältnissen (8. 184.): S (40, m", D,M)=35, (m, m", e, D) -; SE: folglich ($.185.): (MM, m,.u”, mn 4 und.C berührt a, ist (8. 6r. V 3 ar @AtvB+t20, und der Ausdruck für eine Tangente ' dem Punkte, für welchen »—=»f ist, (8, yy. 414 ‚44 (e+2)3+ („?+ 2) C, oder, wenn wir v‘+ax==y setzen; - 204,65) B-+ zu'yDd Eben so hat eine zweite Tangente, für deren Be- rührungspunkt »—=r# ist, den Ausdruck: 4 a0 d+ (+2) B+ avtzC. Seyen nun e’ und »* die Wurzeln derxjuadratischen Gleichung v”- vr ao, also der Kegelschnitt eine Hyperbel (8. 252.), die zwei Berührungspunkte unendlich entfernt ($.89.), und die zwei Tangenten die Asymptoten der Hyperbel. : Es folgt’aber aus der quadratischen Gleichung, wenn man zuvor; weil @< 4 seyn muss, &=!(1— m?) Setzt: v—=—:(1—m), vt—— (1m). Substituirt man diese Werthe in den Ausdrücken der Tangenten, so kommt: (1 — m?) A+ (ey —ı + m) B—alı —m)yC, (1 — m?) A+ (a2 — 1 —m) B—2(ı +m)sC, oder einfacher, wenn man 2y=(1—m)t und az rm setzt: G+m 4GB umge, (—m) 4— (1—u)B—(ı + m)uC. . Dies sind demnach die Ausdrücke für die beiden Asymptoten der Hyperbel, die zum Ausdrucke Hr—m?) 44 vB+P?C hat. ‘Wir wollen hieraus einige der vorzüglichern Ei- genschaften dieser Linien zu entwickeln suchen. 8. ayı. Zuerst findet sich für den gegenseitigen ; a ı+ ar —n Durchschnitt der Asymptoten, Fatgr‘ nt u—— u also der Durchschnitt selbst: 42 ı £ ; ((—m?)dA—2aB+(1—m?)C, — _ welches der, kr der Be ist (8. 268. 3): also: Die’ zwei lasaierniätein einer Hynerbel schneiden N, sich in dem Mittelpunkte der letztern. BER 3 Heissen ferner die Durchschnitte der einen” und | an- dern Asymptote mit den F.linien BC, CA, AB er D,E,F; Di, ET" (Fig. 62.), ah ae j mD—=B— (1i—m)C, —mD=B-hFm)G 3 —2nE— — 1m) C{1-tm) 4, amE*! ={tm) C—( m), ‚mF—(i+m)A—D, m" =(—m)d—B. , L | ‘Durch Verbindung dieser sechs Slcrlumgen; eu | sich nun: j 0.002) D+D'=2C und F+RZ24, , FR ' d.h. € ist der Mittelpunkt von DD“, undeben so Av von FT‘, also: Legt man an eine Hyperbel eine el 2 wird.das zwischen die Asymptoten Fallende Stück de der selben in dem Berührungspunkte halb, °° . . ) EHD=OHA No d.h. ZE’ und CA haben denselben Mittelpunkt FRE. Yon einer die Hyperbel schneidenden’Gere ben der zwischen die ‚Hyperbel, und Ba min, f % [ ‚ Werden an eine Hyperbei z zwei # gen, so werden die von denselben i, in, n | " andern Asymptote. algeschnittenen Theile“ 0.7 Gerade, welche die‘ Berührungep 00 Nalbirt: SIE 413 4) m{D-P)=t—m)(4-0) u. P-DY=(tm)(4-0), d.h. DPF’ und FD’ sind mit 4C parallel, oder: | Die Geraden, welche die- Punkte verbinden, in denen zwei an eine Hyperbel gelegie Tangenten die Asymptoten schneiden, sind unter sich und mit der Sehne durch die Berührungspunkte parallel. Viertes Capitel. Gegenseitiges Entsprechen zwischen Punkten und geraden Linien in Bezug auf einen >‘, Kegelschnitt. 8. 272. Die im vorigen Capitel bemerkten Eigenschaf- ‘ten paralleler Sehnen eines Kegelschnitts können durch Betrachtung einer damit collinear verwandien Figur noch sehr verallgemeinert werden. Seyen 4,B,C,D und 4‘, B', 0, D’ Ser Systeme von vier Punkten, deren jedes in einer Ebene enthalten ist, und bei deren jedem keine drei Punkte in. einer. Gera- den liegen. Man setze diese Punkte der Reihe nach ein-. ander entsprechend, 4' dem A, B‘ dem £, u. s. w.; so. kann man nach dem Gesetze der Collineationsverwandt- Schaft- für jeden fünften Punkt des einen Systems den j entsprechenden fünften des andern finden (8. 319.) Werde nun durch erstere vier Punkte ein Kegel- schnitt beschrieben. Diesem wird eine durch letztere vier. Punkte gehende Curve entsprechen, welche gleichfalls ein Kegelschnitt ist (8. 220. e), also jedem Punkte des ‚einen Kegelschnitts ein Punkt des andern, . so wie audh, 414 der Tangente in dem ’'erstern Punkte die Tangente in den letztern. 5 In dem durch 4, .„„D beschriebenen Kegelschnitte seyen E und F (Fig. 63.) noch zwei andere Punkte, so ge “ nommen, dass sich die dreiSehnen 48, CD, EF in einen Punkte Z schneiden; so wird auch, wenn 2, F# die da E, F entsprechenden Punkte in dem andern Kegelschnitte "sind, die Sehne Z*F” durch den dem Z entsprechenden Punkt Z=.42'-.C:D’ gchen. Weil ferner die anfäng- lichen zweiSysteme von vier Punkten, 4,,.D und A,.Dı, von einander ganz unabhängig genommen ‘werden kön- nen; so wollen wir ‘setzen, 43° und CD‘ seyen. mit einander parallel, also Z’ ein unendlich entfernter Punkt, folglich auch ZF’ mit diesen Sehnen parallel, Bezeich- nen wir alsdann die Mittelpunkte von AB, CD’, Eır resp. mit M’, N‘, O%, so liegen diese Punkte, nach $. 267., in einer durch den Mittelpunkt des Kegel- schnitts gehenden Geraden, welche #° heisse; und es werden; wenn M, N, O die entsprechenden Punkte i in den Linien 4B, CD, Ef der ersien Figur sind, auch diese Punkte in einer Geraden = liegen. Aber noch mehr: wegen der Gleichheit der D.verhältnisse zwischen sich entsprechenden Punkten in collinear verwandten Fi- guren ($. 221. 2.), muss seyn: da, (4,8, 2,M)—=(4', Br, 2,0). Tr A Da nun Z’ unendlich entfernt ist, so ad zZ B'Z als gleich zu betrachten, und daher Bi. folglich, weil auch 2M=M'B' ist, (4, B =—ı; also auch (4,2, Zz, M)=-—ı, und. (C,D,2,N)=—ı, (&,1,Z, YaTus welches genden Satz giehl: DRK. ME ' 1) Hat man ein System dreier oder mehrerer Seh. nen eines Kegelschnitts, welche ‚sich. in einem und demselben Punkte Z schfleiden, und bestimmt man in jeder dieser Sehnen einen noch andern Punkt so, dass die Sehne durch ihn-und durch den Punkt Z harmonisch getheilt wird, so liegen alle, diese ‚an= dern Punkte (Rd, N,O,..) in einer geraden. Linie z.. Man ziehe an den zweiten Kegelschnitt in 4':und 2 Tangenten, so liegt ihr gegenseitiger Durchschnitt mit dem Mittelpunkte 4’ von 42° und mit dem Mittel» punkte des Kegelschnitts in einer Geraden ($.268. .e.), d. i. in der Geraden #’; folglich, wenn wir dieses auf den ersten Kegelschnitt anwenden: 2) In der Linie z sind die Durchschnitte je zweier Tangenten begriffen, welche an die Endpunkte der- selben Sehne gelegt werden To 4A .undv»2; an. C und D, eic.). . Man setze. dC* BD=F und: AD: BC=1H, so.ist‘ nach $..198. 3..(4,8,2,9W) = (C,D, 2, FW)=- 1. Die Gerade YVV ist folglich einerlei mit z; d.h. 3) Die Linie z enthält auch die Durchschnilte. je zweier Geraden, womit die Endpunkte je sweier Selı- nen verbunden werden. Weil endlich (4, B,Z,2)=—ı, und daher, wenn Z ausserhalb 4 und ZB liegt, der Durchschnitt vön s mit AB zwischen 4 und 2 fallen muss, also auch dann noch dazwischen fallen muss, wenn 4 und B einander unendlich nahe liegen, d.h. wenn Z4B zur ang wird, so schliessen wir: . 4) Liegf der gemeinschaftliche Durchschnitt der Sehe nen, Z, ausserhalb des Kegelschnitts, und zieht man an daten von Z aus zwei Tangentien, so fallen die Berührungspunkte ebenfalls in die Linie 2, sind folg- - reg ” 416 Ta lich einerlei mit die Punkten, in denen diese Lini die Curve schneidet. T $. 273. Nimmt man umgekehrt i in der Seien n ausserhalb des Kegelschnitts einen beliebigen Punkt U und zieht von demselben zwei Tangenten UG und UA an erstern, wo G und # die Berührungspunkte sind, so liegen G und 4 mit Z in einer Geraden. Denn wäre dieses nicht, sö schneide ZG. die Curve noch einmal in H,, und es müsste der Durchschnitt der Tangenten an G und an Z, ein Punkt von = seyn; folglich, weil die Tangente an G die z ın u schneidet, so müsste auch die Tangente an #, durch 7 gehen; folglich müssten von U drei Tangenten ‘UG, UA, UH, an’ den Kegelschnitt ‚ gezogen werden können, welches nicht möglich ist; also: . Hat man in .einer Ebene einen Kegelschnitt und eine Gerade z, und zieht man,von drei oder meh. rern Punkten der Geraden, welche ausserhalb der Curve liegen, Tangentenpaare an dieselbe, so "werden sich alle die Geraden, welche die Berührungspunkte je eines Paares verbinden, in einem und demselben Punkte Z schneiden, ORT. So wie also in Bezug auf einen Kegelschnitt: a Punkte Z in dessen Ebene eine Gerade = ‚entspricht, eben so entspricht auch umgekehrt jeder Geraden = ‚ein Bm0kt Z, rücksichtlich dessen die Geri A vorhin Örterten Eigenschaften besitzt, Mau or vn a. REN Sehnen und 4 der Durchschnitt dieser $ z, so ist (4,8,2,M)—=—ı. Es folgt hieraus, den‘ zwei Punkten Z und M der eine, ‚innerl andere ausserhalb 42 fällt, dass mithin na ausserhalb oder'innerhalb des Kegelschnitis lie B selben’ schneidet, oder ihm: nicht begegnet... 2 417 Punkt Z ausserhalb des Kegelschnitts,. und rückt er als- dann ‚bis an die Curve selbst fort, so gehen die zwei durch Z zw legenden Tangenten ‚und die, die Berüh- zungspunkte verbindende, Gerade 3 ($. 272. 4.) in eine zusammen, so dass, ‘wenn Z in den Umfang des Kegel- schnitis fällt, = ‚eine Tangente in diesem Punkte wird. Für ‚ein unendlich entferntes Z endlich werden. die Seh- nen einander parallel und s ein Durchmesser des Kegel- schnitts; welches der zum Grunde. gelegie Normalfall ist. 8. 275. Soll für einen gegebenen Punkt Z die ent« sprechende Gerade z gefunden werden, so geschieht dies, ‘ wenn Z ausserhalb des Kegelschnitts liegt, äm einfach- sten dadurch ‚.dass man. von Z an den Kegelschnitt zwei Tangenten ZS, ZT (Fig. 64.) legt, . wo dann die Gerade. 7, welche die Berührungspunkte verbindet, die gesuchte z seyn wird. Allgemein anwendbar ist nach $. 272. er folgendes Verfahren, mag der gegebene Punkt Y. innerhalb’ oder ausserhalb des Kegelschnitts liegen. Man ziehe durch Y zwei die Curve schneidende Gerade ST und U7, und an die Endpunkte dieser Sehnen Tangenten, welche sich resp. in Z und 77° schneiden; so ist 27V die verlangte, dem Y entsprechende Gerade y. — Zugleich folgt hieraus, dass, wenn- Z ausserhalb liegt, jedem Punkte Y der Ge. raden z eine durch 2 gehende Gerade y entspricht. ' Liege Y, wie in der Figur, zwischen S und 7, also innerhalb des Kegelschnitts, und sey X ein beliebiger dritter Punkt in der alsdann ausserhalb fallenden Gera- den ZW oder y, so wird nach &. 273. die' Gerade, ge- legt durch die Berührungspunkte der von X an den Ke- gelschnitt gezogenen 'Tangenten, durch: ‘Y' gehen,‘ Da nun diese Gerade die dem Punkte X entsprechende Linie ist. ($. 272. 4.), so schliessen wir, dass -auch bei einem Dd \ #8 immerhalb liegenden Punkte Y und der dahin ausserhald fallenden ihm entsprechenden Geraden 3, jedem. Punkte X der leiztern eine durch .den erstern BebeHide Gerade entspricht. Weil endlich dem Punkte S des Kegelschnitts en die daran gezogene Tangente SZ (vor. $.), und dem Punkte Z derselben die durch S gchende Gerade ST entspricht, so können wir allgemein folgenden Satz aufstellen. ı) Entspricht dem Punkte X die Gerade #, so ent spricht auch umgekehrt jedem Punkte von & eine durch X gehende "Gerade. i Wir folgern hieraus leicht weiter: a) Sind X, Y zwei Punkte und x,y die ihnen ent- sprechenden Geraden, so entspricht dem. Durch- schnittspunkte von x,y die durch X und er gene Gerade, Denn einem Punkte in & entspricht eine Gerade durch X, und einem Punkte in y eine Gerade durch Y, folglich dem gemeinschaftlichen Punkte von x und y,.de Gerade; welche durch X und Y zugleich geh, Ist Z ein dritter Punkt der Geraden .XY, so ı die ihm entsprechende Gerade z durch den der € XY entsprechenden Punkt x‘y gehen. Und um e { wird durch Hen, Punkt “. eine dritte Gerade E23 3) Liegen drei oder mehrere Punkte in ei so schneiden sich die ihtien entsp au in einem Punkte, und umgekelienk ni " Man bemerke dabei noch, dass, in welcher die Punk 3, z liegen, ! . R | nA 3 = en \ - ferit angenommen wird, die in einem Punkte zusam- mehtreffenden. Geraden #, 9, 2. Durchmesser 'des. Kegel schnilts werden‘, und dass man somit. auf den Satz zu= rückkommt, dass alle Durchmesser sich in einem Punkte öchneiden. NE . $. 276. Wie man bald wahrnimmt, lassen sich die eben erhaltenen Sätze sehr vortheilhaft‘ dazu anwenden, - um aus’ gewissen schon : gefündenen Eigenschaften‘ der Kegelschnitie neue, analoge Eigenschaften abzuleiten. So wie ‚nämlich jedem Punkte in der, Ebene einer solchen Curve eine Gerade entspricht; und umgekehrt, eben so giebt es für jede zur dritten ‚Classe ($. 248.) gehörige Eigenschaft der Kegelschnitte, wonach“ gewisse Gerade’ sich in einem Punkte schneiden, oder gewisse Punkte in einer Geraden liegen, eine entsprechende, mit Hülfe jex ner Sätze zu findende Eigenschaft, wo Punkte mit Ge+ raden und das Liegen in einer Geraden mit dem Zu= sammentreffen in einem Punkte gegenseitig vertauscht - sind; Um diedes- vorläufg dürch eın Paar einfache Bei- spiele zu erläutern, wolldn wir zuerst das um einen Ke- ‚gelschnitt beschriebene und denselben in 4, 2, C be- rührende Dreieck 43€ (Fig. 60.) in Betrachtung ziehen. Hier entsprechen den Punkten 4, B', C* die Geraden BC, CA, AB; folglich den Punkten 4,2, C die Geraden B'0,C4',.4'B';, folglich den Geraden 44, 32’, COr.die Punkte BC BC, CA 0.4, AB: 4'B‘, Da nun jene drei Geraden sich in emem Punkte schneiden ($. 260.), . so müssen diese drei Punkte in einer Geraden liegen; wie dies auch schon aus $: 198. 4. folgt: Ein anderes Beispiel ist folgendes, ‚Sind 4,B,C,D vier Punkte eines Kegelschnitts, und bezeichnet man der BD; willen die an 4 gelegte Tangente mit t4, etc, so Da a 420 — — liegen die Punkte t4'tB und tC- tD mit 4C-BD i in .ei- ‘ner Geraden ($. "27a: 2.3.); folglich auch, wenn man B und D gegenseitig vertauscht: t4'tD und t2-tC mit AC"BD in einer Geraden. : Dies giebt mit, Hinblick au Fig. 65., wo t4'tB=E, tB° t=F, tC'tD=ZG, tD- 2 =H, AC-BD=zN ist, den bekannten Satz: Beschreibt man A einen Keralschhiin ein Pier eck (ABCD) und ein anderes (EF GH) um denselben, dessen Berührungspunkie die Spitzen des ersterr sind, so schneiden sich die Ren RU beider Vierecke in einem Punkte (N). Um nun für diesen Satz den Ba ee so entspricht der Geraden 4C der Punkt t4-t0=1 der Geraden BD der Punkt t#'tD=K, den Punkten £ und'@ die Geraden 4B und CD, folglich der Geraden ZG der Punkt 43° CD=L, und eben so der Geraden 7H der Punkt 4D-BC=M. Da nun die vier Geradı 4C, BD,EG, FH sich in einem Punkte schneiden, so müssen die vier Punkte ,%,Z,M in einer Geraden lie- gen; d.h. MEN ) Bei zwei auf eben die Weise in a um einen Kegelschnitt beschriebenen Wierecken liegen die vier Durchschnittspunkte der gegenüberstehenden ass» ‚2 gerader Linie. Noch kann bei dieser Figur bemerkt wecieh: die Gerade ZNG auch durch den Punkt 7 geht, die vier Punkte Z, G, N,M in der dem Punkte Z sprechenden. Geraden liegen. Auf gleiche Art sin F,H,N,L in einer Geraden, in der dem Pun te sprechenden, enthalten. Nach $. 198. 3. ist nun .Z,NM)=—ı; mithin wird von den vier Ger NB, NL, NM, d.i. von. 40) BD, TH,EG & 4ABL, und folglich auch jede andere Gera ß | . harmonisch geschnitten. =—1; also: 41 Da endlich EA, EB, ENM die Gerade ZZ in Z, KM schneiden, so ist auch (,&,L,M) 4 Von den vier Diagonalen beider Vierecke wird - jede andere Gerade harmonisch geschnitten; und eben so bilden auch die vier in einer Geraden liegenden Durchschnitispunkte der gegenüberstehenden Seiten eine harmonisclie Theilung. Eigenschaften in und um einen .Kegelschnitt beschriebener Sechsecke. » 8.277. Der allgemeine Ausdruck eines Koselickalke, welcher jede der drei F.seiten in zwei Punkten schnei-' det, ist nach 8. 63. ı.: (v—a) (v—a‘) 44 (v—) (ob) B+ (ve) (nen) C. ale) (va) AH) WB oder, wenn wir nur Vl.verhältnisse entwickeln wollen und uns daher des abgekürzten Calculs bedienen, nach welchem die Coefficienten «, 8, 7 mit den Rate johe A, B,C vereinigt werden können: Heissen die Durchschnitte der Curve mit 2C,CA, AB, resp. M,P; N,Q; O,R, (Fig. 66.),'so hat man: M= (a—b) (a—b!) B+(a—c) (a—c’)C, für v—a N=(b—e) (be) C++ (ba) (b—@‘) 4, O=(c—a) (c—a) A+ (c—b) (c—b) B, P=(a'—)(@—) B+(a—)(—0)C,,. a Q= (b’—e)(b’—e') C+ (b’—a) ba‘) 4, ‚R=(e'—a)(e'—a) 4+('—5) (eb) B, Hieraus fliessen die, Dreieckschnittsverhälinisse: BM CN A40 —— 1 — ı 7 90 — 0 . no. MC NA 2b Pa br 422 27 „cQ.,4R BRSHER daran bimai Fe dasie re: een LU: QA HB eb" be zer Se folglich ist I Gore NEE! are = d.h. o; a Hat man ein Dreiecb ABC und einen, -jeihei S desselben oder ihre Verlängerung schneidenden, jn gelschnitt, so ist das Produet aus. den sechs Herhäli- nissen, nach welchen die Seiten des Dreiecks BG, CA, AB, jede zweimal, von’ dem N theilt werden, der Einheit gleich, $. 278. Wird umgekehrt aus’ sechs Bon, M,.R in einer Ebene ein Dreieck 4BC eonstruirt, indem man NQ'OR=A, OR: MP=B, MP-NQ=C setzt, und fin- det alsdann zwischen den Segmenten der Dreiecksseiten die Gleichung 1. statt, so liegen die sechs“ Punkte i in ei- nem Kegelschnitte. — Denn durch fünf Punkte ist ein Kegelschnitt vollkommen bestimmt, Träfe. nun der durch M, N, 0, p, Q bestimmte Kegelschnitt. die Gerade AB nächst O nicht noch in’ A, ‚sondern in einem and Punkte R,. so müsste die vorige Gleichung I, no be stehen, wenn man darin R für A substituirte; folglich sich verhalten AR; IRB AR; :B, wel möglich ist, | '* ‚Nun haben wir in $. 243. ) a dass. ee’ Gleichung I. auch bei zwei Dreiecken ABE (Fig. 52.) statt hatte, bei denen die‘ h - die gleichnamigen Spitzen sich i in einem Pı ten, folglich die Durchschnitte der gleicht nam Eu, An einer Geraden lagen, und wo M,N...R, eb | 423 _ / uns,‘ in Verbindung mit dem ‚eben umgekehrten Satze des vorigen $., folgendes Theorem; Wenn zwei Dreieoke in einer Ebene, ABC „A'B'C', eine solche, Lage gegen einander haben, dass die drei Geraden durch die gleiehnamigen Spitzen, „AA',BB',CUC', in einem Punkte sich schneiden, so lie- gen die drei Durchschnitte der gleichnamigen Seiten, : BC-B'O, &4-Q4', AB- A!B! in einer Geraden, "und. die sechs Durchschnitte der ungleichnamigen, Seiten, BC-COA, BC-AB', CA’ AB', etc, in einem Kegel« schnilte, 5 8. 279. Der aus 8. 243. ‚Angespgenie Satz kann auf doppelte Weise umgekehrt werden, . a. Liegen die Punkte 20:30’, C4:C0/4, AB-A'B! in einer Geraden, so schneiden sich umgekehrt die Ge- raden 44, BB’, CC’ in einem Punkte, und es besteh# folglich zwischen den Segmenten der Seiten des Dreiecks ABC die Gleichung I, — Denn ginge CC“ nicht durch den Punkt .44''33°, so schneide die durch C und die- sen Punkt geführte Gerade die 3’C’ in C“, und es müss- ien zufolge des directen Satzes, und weil Bon in B’C _ fällt, die Punkte 3C* 2°C, C4°C“4, AB: ABei in einer Geraden liegen ; in der Geraden durch 30: 207 und AB* 4!B! müsste folglich nächst. C4:.040 noch CACH 4 enthalten seyn; folglich müssten sich die drei Linien CA, CA', C*4# in einem und demselben Punkte dieser ‚Ge- raden schneiden, welches nicht seyn kann, da die letz- tern zwei sich schon in 4. begegnen, b. Besteht zwischen den Segmenten der Seiten. des Dreiecks 4BC die Gleichung I., so: werden die Durch- ‚schnitte der gleichnamigen Seiten beider Dreiecke in ei- ner Geraden liegen, . und folglich nach. a. die. Geraden dgsch, die gleichnamigen Spitzen sich‘ in einem Punkte schneiden, — Denn läge in der Geraden aödele die leicht, dass von den vier Bedingungen:) Da ‘ von 2) und umgekehrt genommen wird, sollen : ABC! in einer Ebene die drei Duresl n kann durch die sechs Durchschnitte der ' Durchschnitte der drei Paare gegenüberste, 424 Punkte 3C'B’C' und 42° 4'B* nicht auch der Punkt CA‘ ca, so werde diese Gerade von CA in X, und 4B von MX in A’ geschnitten. Alsdann müsste näch «. die Gleichung I. noch bestehen, wenn darin A' für R sub- stituirt würde, welches aber, wie schon in $. 29% gezeigt worden, nicht möglich ist, 2 e Aus dieser doppelten Umkehrung des Satzes i in $. 243. und der Umkehrung des Satzes in $. 277. Ma: nun. 3) die drei Geraden durch die sleichnanaee Spies "schneiden sich ‚in einem Punkte; ig 2) die drei Punkte, in denen sich die gleichnamigen "Seiten schneiden , liegen in einer Geraden ; N 2) die sechs Durchschnitte der ungleichnamigen Seiteh ‚liegen i in einem Kegelschnitte; ee ® 4) die Gleichung L; osx zii eine jede zur Voraussetzung gemacht, niet jeaesml drei übrigen zu Folgen genommen werden können. Dies giebt, mit Uebergehung der vierten Bedingung, drei ver- schiedene Sätze, von denen der eite schon in Say aufgestellt worden. Die beiden andern, wo 3) all halt des nächsten $. ausmachen. RR $. 280. 1) Wenn von zwei Dreieckön gleichnamigen Seiten in einer Geraden migen Seiten ein Kegelschnitt beschriche * Oder: € en Wenn bei einem Sechsecke (MPNQOR ven, (MP-Q0, PN-OR, NQ-RM) in ein / 425 ? Tiegelh, so sind die Spitzen des Sechsecks en einem R Kegelschnitte enthalten, Mittelst dieses Satzes lässt sich ‚sehr leicht die Aut. gabe lösen: Zu fünf gegebenen Punkten einer Ebene, M,P,N,Q, O, noch andere Punkte der Ebene zu fin- ‘den, welche in dem durch die gegebenen fünf zu be- schreibenden Kegelschnitte liegen. — Man ziehe durch O eine beliebige Geräde O2, suche OB' NP=ZX, MP-OQ=Y, XY-QN=Z, und es ist ZU- OB=R ein sechster Punkt des Kegelschnitts. 2) Bei. einem ‚in ‚einen Kogelschnitt beschriebe- nen Sechsecke liegen die drei Punkte, in denen sich je zwei gegenüberstehende Seiten desselben schneiden, in einer.geraden, Linie. . | Der Entdecker 'dieses sehr merkwürdigen Satzes ist Robert Sim- son. Siehe dessen Sect, con. V. 47. 8.381. Zusätze, a Aus dem letztern Satze kön- nen auch die im. Vorigen entwickelten Eigenschaften ei- nes in einen Kegelschnitt beschriebenen. Vierecks sehr leicht abgeleitet werden. Lässt man nämlich die. zwei Endpunkte einer: Seite ‚2M7 des einbeschriebenen Sechs- ecks, »in. dem Kegelschnitte bis zum Zusammenfallen «sich einander nähern, so wird die Seite selbst =o, ihre Verlängerung aber zu einer Tangente:des Kegelschnitts. Setzt man nun, dass eben so Q mit N zusammenfalle, so verwandelt sich das Sechseck in das einbeschriebene Vier- t ‚eck MPNO, und die drei Punkte, welche i in einer .Ge- raden liegen sollen, werden mit Anwendung der in $. 276. gebrauchten . Bezeichnung für die Tangenten: MP'NO, PN- Om, tN-tM; übereinstimmend mit Fig. 63. ‘und 65., wenn man die sen ap 4,B,C,D mit L,N, pP vertauscht. 426 db. Die hierbei verschwindend ea ten des Sechsecks sind zwei. einander gegenüberstehende, Lässt man. aber zwei solche Seiten. in Null übergehen, , die nur eine "zwischen sich haben, z. B, 0a und Au, ‘so erhält man das Viereck MPNO mit den drei ; de ner Geraden liegenden Punkten: MP-tO, ‚PN: ou NO:tAt. Siche Fig. 67. Dies lässt sich folgen estalt durch Worte ausdrücken: a Der Schneidepunkt der: Diagonalen eines in nen Kegelschnitt beschriebenen V' ierecks MNL in gerader Linie mit den zwei Punkten, in welchen ‘die Tangenten an die Endpunkte einer Diagonale a zwei gegenüberstehende Seiten MP, NO schneit i e. Wendet man diese Construclion auf beide Paar gegenüberstehender Seiten und auf beide Diagonalen an, so erhält män den achteckigen Stern in Fig. ‚8. sich folgendergestalt beschreiben ha ABCD: ish" ein‘ Viereck" in. einem Kagab EF GH ein anderes um denselben,‘ dessen B rungspunkte die Spiizen des erstern sind.‘ - bilden die Durchsehnitie der Seiten des einen m Seiten des andern Vierecks die a ‚eines . MNOPORST, dessen Seiten MN, No, OP, selnd in dieSeiten des einen und des ande fallen, und welches nachstehende Eige sitzt: . se durch die en Ip Achtecks, MQ, NR, OS, FRR: zusam Satz) | | I 8 427 3) Durch alie acht Spüzen des Achteoks lässt sich „ein ‚Kegelsehnitt. beschreiben. Dieses Letztere kann -so. bewiesen werden. - Von | dem Sechsecke MNOPQR. schneiden sich die gegenüber- stehenden Seiten MN und ?Q in D, NO und QR in C. Auch liegen nach dem vorigen Abschnitte ‚dieses $. die drei Punkte AB- CD, 14: BC, tB< AD di 0PD R,M "und folglich OP:RM,D, 6, d.i. der Durchschnitt des dritten Paares gegenüberstehender Seiten mit den Durch- schnitten des ersten und zweiten Paares in einer Gera- den. Es sind folglich die sechs auf einander folgenden Spitzen des Achtecks, 7, N,... Z, in &inem Kegelschnitte enthalten. Eben so werden auch die sechs auf einander folgenden Spitzen N, 0,7, @,R,S in einem Kegelschnitte liegen. Da nun diese lelziern sechs Punkte 'mit den sechs erstern die fünf Punkte N, 0,7, Q,R gemein ha- "ben, durch ‚fünf Punkte aber nur Ein Kegelschnitt be- stimmt wird, so müssen alle sieben Punkte M, N...S in einem Kegelschnitte liegen, und aus gleichem Grunde auch die sieben Punkte N, O,... 7, und zwar in demsel- ben wie die vorigen; ARE liegen alle acht Punkte M,N... Tin einem und demselben Kegelschnitte, $. 282. ‘Wir wollen jetzt von dem Satze, dass die drei Durchschnitte der gegenüberliegenden Seiten‘ eines ‚in einen Kegelschnitt beschriebenen Sechsecks in gerader Linie liegen, den analogen. aufsuchen. — Sey ABCDER -(Fig.69.) ein in einen Kegelschnitt beschriebenes Sechseck. Man lege an die Spitzen desselben, 4,2, €, etc, die Be- rührenden MG, GH, II, eic.; so entsprechen sich 43 und t4- IB G, BC und ıB- ıC=M, cD und Z, ete,; x ES? = ET En Sn re 428 N folalich AB-DE und GX, BC-Er und HL, "CD-F4 und 77. Da nun nach obigem Satze die drei Pun te AB: DE, BC'EF, CD*FA in einer Geraden’ Tiegen. ; müssen sich die drei "eöfäden GK, HL er Punkte schneiden (8.275. 3.); also: ° " arg Beschreibt man um einen ‚Kegelschnitt e eck, so schneiden sich die drei Diagonalen, : h die geg genüberliegenden Spitzen PerbBndeHgE in eir em ‚Punkte. SET Dieser ebenfalls sehr ‚merkwürdige, von Beiakchbi entdeekte Satz gilt auch umgekehrt, so dass, wen einem Sechsecke GUIKLM die drei Diagonalen durch die gegenüberliegenden Spüzen, GR, HL,IM, sich in einem Pi unkte schneiden, in dasselbe ein. KRegelschnitt beschrieben werden kann. Denn berührte der a and fünf Seiten. G.H, HI, IK, KL,LM beschriebene Kegelse sc ($. 26:.) nicht auch die sechste MG, so würde eine G an denselben gelegte Tangente die Seite LMi in von M. verschiedenen Punkte M* schneiden. _ müsste,. nach dem directen Satze, nächst IM ‚auch durch ‚den Schneidepunkt von GK und Hu geh ches nicht möglich ist, Hieraus fliesst zugleich. eine leichte "Meihode, wenn fünfGerade GH, HI,IK, KL,LM ge ‚für den durch sie als Tangenten bestimmte schnitt so viel, als man will, noch andere i "zu finden, — Man nehme in ZM7 einen ., 2A, und suche, weil Z34,K,Z, als die Dur ersten und zweiten, .... vierten und fünften ! 15: ,29,798 N MG die verlangte ee" Tingt $. 283. Noch ein Paar andere $ ' Eleganz wegen hier eine Stelle finden. A schrieben werden; also: 429 - ' B u F ; Seyen.4BC, DEF (Fig. 70.) zwei um einen Kegel- schnitt beschriebene Dreiecke. : Man setze dB'DF=G, AC-DE=H, so ist BGFEHC ein um den ‚Kegelschnitt beschriebenes Sechseck. Mithin schneiden sich die drei Geraden BE, GH, FC in einem Punkte, oder wenn wir BE-FC=1 setzen:, die drei Punkte G, 4, / liegen in einer Geraden. . Es sind aber diese drei Punkte diesel- ben, in denen. sich. die gegenüberstehenden Seiten des Sechsecks ZBEDFC schneiden. Mithin kann durch die Spitzen dieses Sechsecks ($, 280.), d. i. durch die Spitzen. ri der beiden Dreiecke ABC und DEF ein Kegelschnitt be- ‚ Die sechs Spitzen zweier um einen Kegelschnitt beschriebenen Dreiecke liegen wiederum in einem Ke- BABIChArBe: Um für diesen Satz noch den Sir zu ent- “ wickeln, so heissen die Berührungspunkte in den Seiten der beiden Dreiecke ABC, DEF (Fig.7ı.) nach‘ den, Jen Seiten gegenüberstehenden, Spitzen: 4,3°,0,D7, 27,27, ‚Alsdann entsprechen sich 4 und. 2°C, Fund Dim, folglich 47 und 2°C. DE=M; auf gleiche Weise CD und AB" EP=P, folglich 47" CD und MP; eben so BF' CE und NQ; BD:AE und OR, Da nun die drei Punkte 4F: CD, BF" CE, BD: ZE- in einer Geraden lie- gen, weil, wie vorhin erwiesen, die sechs Punkte 4, B,... Fin einem Kegelschnitte begriffen sind, so müs- sen sich die drei Geraden-MP,NQ, OR in einem Punkte schneiden. Mithin kann in das Sechseck UNOFOR,, d. h. in die beiden Dreiecke. 4.3-C und DIET", „deren Spitzen’ in, einem Kegelschnitte liegen, wiederum ein Ke- _gelschnitt beschrieben werden, . den sich gegenseitig entsprechend heissen. _ Dre sechs Scsten zweier in einen Kegelschnatt be schriebenen Dreiecke sind die Tangenten eines zweiten Kegelschnitts, a SR Hier ist also der dem vorigen entsprechende Satz ur gleich der umgekehrte desselben. a $. 284. Seyen .4,B,C,D,E,F sechs Punkte th der Ebene eines Kezelschnitts,, @,d,e,d,e,f die diesen Punkten in Bezug auf den Kegelschnitt entsprechenden Geraden! $0 entsprechen‘ sich auch AB und a:d, BC und u, etc.; folglich auch RAR AB- DE=I und ad de = BA a d.i. der Punkt 7 und die durch die Punkte u und. di geführte Gerade i, und eben so a BC EFER Ind Te CD’ F4=zLwdedofpam 0 Liegen folglich die Punkte 4, X, Z in einer Geraden, so schneiden sich die-Geraden 5, 4%, 2 in einem Punkte ($. 275. 3.); d.hı nach $. 280. und 8. ad 2 Liegen sechs Punkte 4,2, C,D,E,7 in einem Kegel schnitte, so giebt es einen zweiten. Kegelschnitt, der von den sechs ihnen entsprechenden Geraden berührt wird. | Et Es veistäht sich übrigens von selbsty. dass j ser beiden Kegelschnitte von dem zuerst ‚ged: schieden ist, rücksichtlich dessen die Punkte, man leicht, dass dieser Satz nicht allein: um den, sondern auch näch einer, der in $ wendeten , BRSEICHEN SCORURSEER auf hir ‚grö 431 raden einen zweiten Kegelschnitt berühren, und umges kehrt. Es ist dieser Satz als ein Nachtrag zu den Sätzen 7); 2), 3) in 8. 275. anzusehen. Nimmt man an, dass jeder det sechs oder mehrern Punkte ausserhalb des ur- sprünglichen Kegelschnitts liegt, so kann der Satz (vgl. “8.275. zu Anfang) allgemein verständlich so ausgespro-= ‚chen werden: Hat man einen Kegelschnitt und äusserhalb dessel- ben sechs oder mehrere Punkte, welche in einem zweiten Kegelschnitte liegen, zieht man hierauf von jedem die- ser Punkte an den, ersten Kegelschnitt zwei Tangenten und verbindet die zwei Berührungspunkte jedes Tangen- tenpaars durch eine Gerade, so giebt es 'einen dritten Kegelschnitt, der von.allen diesen letztern Geraden ber: ! rührt wird. Oderz Bewegen sich zwei Tangenten eines Kegelschnitis so, dass ıhr Durchschnitispunkt in einem zweiten Re- gelschnilte fortgeht, so bewegt sich die, die zwei Be= rührungspunkte verbindende, Gerade als Tangente ei» nes dritien Kegelschnilts. Umgekehrt: Legt man an einen Kogelschnitt sechs oder mehrere Tangenten, zieht sodann an einen zweiten Kegelschnitt, der von diesen 'Tangenten geschnitten wird, durch die Schneidepunkte neue Tangenten, so liegen die Durchschnitte, je zweier dieser letztern Tangenten, wel= che durch eine und dieselbe der erstern bestimmt ‚wer4 den, ebenfalls-in einem Kegelschnitte, ‚Oder: Bewegen sich zwei Tangenten eines Kigeirchrliite so, dass die Gerade durch die zwei Berührungspunkte als Tangente eines zweiten Kegelschnilts fortgehty so beschreibt der Durchschnitt jener zwei BERNER & einen dritten WERRDNTER R wir s nr und die daher’ dem 4 entsprechende ‚.benen Vierecke MNOP der. Durelisel 2 433 Endlich ist noch zu bemerken, dass, so wie. die da Punkten eines Kegelschnitts entsprechenden Geraden e- nen zweiten Kegelschnitt berühren, auch die den Punkten des zweiten entsprechenden Geraden "I Yangenten des er- sten sind. Denn seyen 4 und 2 zwei Punkte des ersten, 4 und B' zwei Punkte des zweiten, so genommen, dass t4’ dem 4 und tB‘ dem B entspricht. Es entsprechen sich daher auch 42 und t4't2°. Sind nun 4 und einander unendlich nahe Punkte, so sind es auch 4 und B'; alsdann äber wird 43 verlöngert zur Tangente, und der Punkt t-4#'t2° füllt mit 4° oder 2* selbst zusammen, Wenn daher von zwei solchen Kegelschnitten dem Punkte A des einen, die. an den andern durch den Punkt 4 desselben gelegte Tangente entspricht, so entspricht auch umgekehrt dem Punkte 4 des andern die an IR ah durch 4 gelegte Tangente. # Um sich dieses noch anschaulicher zu zack trachte man Fig. 72., wo durch den Kreis der Kogel- schnitt vorgestellt ist, rücksichtlich dessen die Punkte und Geraden der Ebene sich gegenseitig entsprechen sl len, und wo die bei 4 und 4 gezeichneten Bögen zwei Kegelschnitte andeuten, die in'der eben gedachten Be- ziehung zu einander stehen. Von dem Punkte 4 & einen sind an den Kreis zwei Tangenten gelegt, die Berührungspunkte derselben verbindende ı ö h dem 4 entsprechende, Gerade Q@$ berührt d Kegelschnitt in 4. Die von -£" an den Kr Tangenten haben in A und 7 ihre Berü umgekehrt eine Tangente des erstern | seyn. — Dies giebt uns schlüsslich noch. Wenn von einem um einen.Kegelscı N 433 einen Paars gegenüberstehender Seiten MN, OP:in ei- nem Kegelschnitte liegt, und die Gerade TR ‚durch die in, dem andern. Seitenpaare MP, NO. gelegenen Berührungspunkte,.: Tangente dieses. zweiten Kegel schnitis am gedachten Durchschniltspunkte A ist, so liegt auch der Durchschnilt A! des andern Seitenpaärs- in einem Kegelschnitte, und die Gerade. QS.durch . die Berührungspunkte..des. ersten. Seitenpaars ist Tan- gente dieses dritten Kegelschnitis am leiztern Durchs: schniliei MD. Tune) En ; in Fänfibes Capitel.,; Allgemeinere Darstellung des gegenseitigen ee zwischen Punkten und geraden ‚Linien. RR ER “ £ g ar &. 285. Im vorigen Capitel wurde gezeigt, wie In Be zug auf einen Kegelschnitt einem jeden Punkte in 'des-" sen Ebene eine gerade Linie und ümgekehrt ‚entsprach, und wie nach den Gesetzen dieses gegenseitigen Entspre= chens aus einer grossen Anzahl von ‚Eigenschaften ‚der Kegelschnitte andere, « analoge "Eigenschaften derselben abgeleitet werden konnten. “Diese Ableitung analoger Sätze ist aber nicht: ällein auf Eigenschaften der Kegel- schnitte anwendbar, Auch bei’bloss‘ geradlinigen Figu= ren kann für jede Eigenschaft der dritten Classe, wo= näch gewisse Punkte in einer Geraden liegen , ‚oder ges wisse Gerade sich in einen Punkte schneiden, eine. ana- loge Eigenschaft aufgestellt ‚werden, ‚wo Punkte mit, Geraden gegenseitig. vertauscht sind. ie ir - 434 ‘ Hat man z.B, drei sich in»7 (Fig. 73.) schneidend: Gerade, und werden diese von zwei andern Geraden resp. in A, B, E und (,_D, G geschnitten, so liegt de Durchschnitt 77 der beiden letziern mit den Durchschnit- ten / und X der Diagonalen der beiden Vierecke 4BDt und: BEGD in gerader Linie; und dieses aus dem ein: fachen Grunde, weil die Linie 3D in Fund in den Durchschnitte mit 4/ sowohl als mit Z& IaBHBERNE ® theilt wird. » Diese Figur kann also consiräte werden, Inden man in einer Geraden drei beliebige Punkte 4, B, E nimmt; und ausserhalb dieser Geraden nach Willkühr noch zwei andere Punkte €,D. Die übrigen Pankte sind ac F=A4C: BD, G=CD:Er, H=4B'CD, I=Z4AD'BC, K=BG: DE, von denen die drei letztern in einer Geräden liegen. Nimmt mari nun auf analoge Weise drei sich in ei- nem Punkte schneidende Gerade «a, 5, e und noch irgend zwei andere Gerade %,d, und bestimmt hieraus die Gr raden: Ga > Rn A Faac-id, =cd” ef, 2: s ' h=ab" ed, i=ad” be, aha RN de, st A d.h. die Gerade’ f, geführt. durch die. Dürchschnitte. von a mit e und von 5 mit d, u.s.w.; so. ae "ch in, einem Punkte schneiden. 17 a Um dieses einzusehen ; beschreibe man in der letztern Figur irgend einen Kegelschnitt un ‚in Bezüg auf denselben die den Geraden ab, Figur entsprechenden Punkte, und inan wird System von Punkten 4, B4,...K* erhalten, sichtlich der Vertheilung der Punkte in ger: won derselben Beschaffenheit ist, wie es das. 435 _ i war, und wo erwiesenermassen. die‘ "Urei Punkte H,L,K | in ‚einer Geraden laxen. Folglich müssen es auch Zr, i 2%, Sünd daher hyt, &’ 'in einem re; "zusammens | kommen. An onBt m -- a | Man sieht nufi h leicht, wie er Baweistührung auch > ı bei jeder andern, geradlinigen Figur anwendhar ist; und . ı dass man daher N en I heorem aufstellen wu I kann: N m; (= Aus isdem En, nach welchem hei einem ‚ Systeme" wiNnBuhrlieh ” gehömmener Punkte ‚ und geräder Linien in einer Ebene, durch | fortgesetzte Verbindung der Punkte und der... | Durchschnitte der Linien andere Punkte und "rinten gefunden werden, von denen gewisse drei der erstern in einer Linie biegen, oder RI gewisse drei der ztern sich m einem Punk- "3 te schneiden,. lässt sich ein änderer Satz ab- leiten, indem man Punkte mit Linien und 'dasLi iegen in einer Linie initdein Zusäinmen & treffen m einem Pahkte BEE, ver pi wechselt rn CE ber a Here sk $. 286: Dieses ne Koran, auch Bigehschäfen y der Kegelschnitte gewonnene, jetzt aber ohne alle Be- { ' ziehung auf diese Curven hingestellfe Resultat muss sich) . nun, so wie es bloss die gegenseitige La e vo Punkten und Geraden betrifft, "Auch ‚bloss aus der T eotie der geraden" Linie ableiten lassen. ‚Wir behilige bierzu folgenden anälytischen ‚weg Einzbinzlaahsır mousc roh: Der Ausdruck für eine gerade Linie, weiche ah" linien in den ‘Punkten, 43-80, &C—y4,, BA BB (8.39. @) schneidet, also der allgemeine Ausdru eher Geraden in einer Ebene, "lässt sich unit Kar dar! eiyisd Et stellen: ne \ Eea 436° art”, u eo a 1.24 RA BR +20, die sich für v—n 0,0 pe jene: drei! Punkte redu- eirt. — Man habe nun in der Ebene ABC einen Punkt X=gaA+zPB+vr0, Ya N eine durch denselben Eng Gerade r («) wo - 4: - statt der vorigen «; ß,y geeit in! Bun: ist nöthig, dass! en CR ’ ben FRI ? vn se folglich U Pp:gX: yzı—r—r: v, = und daher PPtactrY = a , Diese, Bedingung, unter welcher Xin®, ER ist also nicht von, -4, B, C und «, ,7, sondern ‚nur von P,9,r,und 9, %,%, und zwar von den drei erstern Coef- ficienten eben so, wie von den drei, letztern, abhängig. Dieselbe Bedingungsgleichung wird daher auch statt fin- den müssen, wenn, in einer zweiten Ebene ABC die Gerade ne: 5 {af EN ().* en war sa PB ip eo durch den Pankı ki 3 PR 4 ehen. soll, Br ER Man setze demnach die Punkte und die Geraden ‚bei- der Kibenen wechselseitig i in eine, solche Beziehun jedem. Punkte der Ebene 4BC Wr PR =yaA mp IP yaAt.. die Geräde (w). en no ee #> in der Ebene BC, und umgekehrt; jed . detztern Ebene 2 Anh > Ph F 437. X=paldi$ ,. die Gerade () „m adt.: in der 'erstern ‘entspricht. ‘Alsdann' wird’ immer, wenn man in der einen Ebene’ willkührlich einen -Punkt X nimmt und durch diesen eine beliebige Gerade = zieht, in der andern Ebene die‘ dem Punkte X entsprechende Gerade »* durch den’ der Geraden # entsprechenden Punkt X# gehen. Hieraus ist, ‘eben’so wie'in $.275i, weiter zu folgern, dass, wenn X, Y' zwei Punkte in:der einen und #7, y* die ihnen entsprechenden Geraden in der andern Ebene sind; dem Durchsehnitte ‚xy‘ der letztern- die _ Gerade .XY durch die beiden erstern entspricht, und dass, ‘wenn drei oder mehrere Punkte X, %,Z,.,, der einen Ebene in einer Geraden‘ liegen, die ihnen entspre- chenden Geraden x, y', #4... in. der andern Ebene sich in - einem Punkte schneiden müssen, und umgekehrt, » Mittelst dieser Beziehungen ergiebt sich nun die Rich- tigkeit des obigen Theorems von selbst. Construirt man nämlich in der einen Ebene die Figur des zu beweisen- den analogen Satzes und sucht für diePunkte und die * Geraden dieser Figur die‘ entsprechenden Geraden und Punkte in der andern Ebene, se wird-man die Figur des ursprünglichen Satzes erhalten und. somit rückwärts aus den ‚schon bewiesenen Eigenschaften: dieser.. letztern. Figur. auf die analogen Eigenschaften der. erstern einen. Schluss machen können, .: $..287., ‚Eine unmittelbare Folge, des. 2. ist, dass, mar in der einen Ebene ein Punkt X in einer Geraden # fortgeht, die dem X entsprechende Gerade #* ‚ 3006: andein Ebene Sich um einen festen Pütikt, um den der Geraden # entsprechenden x, bewegt. Wird aber vom erstern Punkte X irgend eine 'krumme Linie beschrieben, so werden sich‘ je zwei nächstfolgende Lagen‘ m en 438 —__— der ce Geraden x in einem RE ER Punkte xr Schneiden, (reicher »uihkelehrt- den Chrven- elemente4 oder, vielmehr der "Verlängerung. .desselben, entspricht, das während dessen. ‚der Punkt‘ -X.beschirieben hat; - eder,.mit) andern Worten; „die Gerädel.=' bewegt sich, äls- Tangente einer : zweiten, Curve, und. ihr: Berüh- rüngspunkt. X‘ mit: derselben: entspricht der an‘ die ‚erste Curve in? X gelegten, Tangente zei Jeder Curve-in; der - einen: Eliene: gehörr‘ also. eine/Curvevin, der‘ ‚andern „und jedem Punkte. in..der ‚ersten, Curve ein Punkt in der letztern:zu, dergestalt, -dass!immert der ‚eine Punkt der an den zugehörigen andern > ind Kae ligeer Tea ic Wargl, Su 284: end abo lan a #7 Um die Relation: rise ‚der‘ PRESPERRRE sich; auf"solchei Weise zugehörigen: era (ei finden, 0 s seyen: (mit Weoglassung von’aß . a I age A pArgB+rC, WM, PrA+g.B+7,6 BAR ce abe Fi od awei ei nächstfolgende Punkte, a einen Cuun,, mA. daher IL a iR u ei Bi u Ze la uk Deu: ; DruTt Pc ch“ pi 0) RT aa up, abe) ie, wm A = u re eng ‚atAngt 1 Ya Pppbs } sind oßgils all" sepRatat unh die diesen Punkten sie Per nächsfolgnden Tangenten ‘der andern , Curve, Der ‚gegensei schnitt dieser Tangenten, also der dem "Punkte L in der ersten Curve zugchörige Pünkt‘ in der öweiten ysey be ‚u. ad + tue, | En A sa Ehatı zmaigs „weh ML: Sogfnhle ja DE als num, liegen soll, ‚die, ‚Gleichungen (wor. 8 a0) ITS TC y Jah mb au st ge +ru—o,, Pr gHr—0n EO aaa a gr, —gyri 439 Bf Denkt man sich "nun "pi gr als. Functionen einer "Veränderlichen x, so ist: 3 ar sus netz der vertan wert in, Tolglich s:tıuq 17 Ze = etc. u.es wirt hierdurch kb, dy dt el par B+(p 92) u In. er „29 N a or „welches daher zugleich den Ausdruck für die der Curve I. zugehörige Curve vorstellt, = 4 | His Ir Ist die Linie I, von der zweiten Ordnung, so. ‚hät ınan ($. 59.) | Er pa tar tax, EN RE r EUREN folglich E —a't2a”r, E- - b’+ab"x, E. u elek ae, wodurch, wie man leicht sicht , die Coifhicienten in III ebenfalls von quadratischer Form .werden. ‚Die’ einem Kegelschnitte zugehörige "Curve ist daher‘gleichfalls ein Kegelschnitt; d.h. liegen sechs oder mehrere Punkte in -einem Kegelschnitte, so ‚sind die ihnen. entsprechenden „Geraden Tangenten eines zweiten Kegelschnitis, und um- gekehrt. Vergl, 8.284. Aninerkung. Da die Curven I, und IHR, sich gegenseitig zugehö- ren, so müssen eben so, wie aus den, Coöfficienten in 1..die -Coef- ficienten in 11T, entstehen, aus.den letztern wieder die erstera zum Vorschein apa} d. h., wenn man "(gar rd = —=sdr r ‚ 3) (rdp—pdr—tds. » PN pdg—qgdp =udx setzt, so müssen sich verhalten :: ar AS tu — ude: uds — sdu: sd —tdis=p: q: ae Um dieses ‚digeh Rechnung zu zeigen, addire man die drei Glei- chungen 1), ‚nachdem man sie rohe Be mit dp,dg,dr multipli- cirt hat, und es kommt; Tai \ 440 £: ’ 2 .2) scp +tdg Hude, ... ir ste £I- Muitiplicirt man ferner die Gleichungen 1) resp. mit p, gr ‚und addirt sie bierauf, so erhält man: 3) potgehrume, Hu und wenn man vom Differential dieser Cleiskuag die ee Fe Ay abzieht} ; l Re 4) pds-+gdr hrdasmo. & Hieraus aber folgt in Verbindung mit 3) die zu erweisinde Pro« portion. - $. 288. Wenn die Punkte und Geraden ER nen nach dem Gesetze, dass dreien Punkten in einer. Ge- raden drei sich in einem Punkte schneidende Gerade ent= sprechen, auf einander bezogen werden sollen, so fragt es sich zunächst; wieviel Punkte in der einen und ihnen entsprechen sollende - Gerade » in der andern Ebene an- fangs nach Willkühr ‘genommen ‘werden können. Die Antwort hierauf ergiebt sich schon aus dem Theorem des 8. 285. ER ’ - x Denn nur .dann erst, wenn vier Punkte, in der e Ebene eben so viel: Geraden in der andern enisprech N gesetzt worden, ist es möglich, durch fortgesetzte Ve dung: mit: geräden- Linien noch ändere Paare sich ent- sprechender Punkte und Geraden ztı finden. Man’ con- struire daher aus erstern. vier. Punkten ein geometrisches Netz und suche für diePunkte undLinien ‚desselben nach. der jetzigen Beziehungsart .die entsprechenden Linien und Punkte in der andern Ebene “ DA nun, wenn di 2\ aan "ade YES ER | PR ©: = rn *) Werden den Punkten A,B,C,D Z . x die Linien a, b, IR ER ET ur j8 u Br} Se eutsprechend gesetzt, so entsprechen ferner: N N den Livien 4B, 40, 4D, BO,BD, oo ag <.die Pankte' ab, au, ad, bey..bd, ed; sh > # «den Punkten AB CD, 4C* Bo Eine. die Linien ab—.caq, a—bd,ad—bejh, u Fu RR) A m 441 ‚Punkte eines Netzes in einer Geraden hegen‘, oder drei ‚Gerade desselben: sich. in einem Punkte schneiden, «dieses unabhängig von der: gegenseitigen 'Lage der vier Haüpt- punkte und folglich.immer giäcklchtn wie auch die-vier Hauptpunkte genommen - werden mögen, — denn alle Netze sind einander collinear. verwandt: : so. werden auch ‚nach:dem Satze in $. 285. (die solchen drei Punkten (Ge- raden) entsprechenden. Geraden (Punkte) "sich in einem Punkte schneiden (in einer‘ Geraden. liegen).' Da man ‚ferner nach $. 305. durch fortgesetzte Verbindung ‘von vier Punkten in einer Ebene zu jedem. fünften. Punkte .der Ebene entweder. vollkommen gelangen., oder doch demselben unendlich nahe.kommen kann,.-so wird: sich auf diese Weise für jeden Punkt oder Gerade der ersten Ebene die entsprechende: Gerade oder Punkt in„der Zweir ten_ finden lassen. Dasselbe wird man aber.auch in der ‚zweiten. Ebene ‚hinsichtlich. der. ersten ‘;vermögen,,, weil durch vier in einer Ebene beliebig gezogene Gerade nicht werden , und weil folglich die Figur, welehe durch fort+ ‚gesetzte Verbindung der "Durchschnitte‘ dieser ‚Geraden ‘entsteht, von einem. aus vier Hauptpunkten- nein Netze nicht verschieden‘ seyn kann. - Also: . Nimmt man in.einer Ebene vier Dnktel von'denen keine drei in eineriGeraden lie- gen, und setzt diesen vier im einer Ebene enthaltene Gerade entsprechend,;< von denen keine drei sieh in einem Punkte schneiden; 'so lässt sich für jeden andern Punkt oder I 1119 den Linien (ib: CD)—(AC-BD), (AB: CDy—(AD- Bo, “io, die Punkte (a5-cd) + (ac—bad), (ab=04) . erh Ir und so fort olıne Ende, + ‚mehr, als vier von:einander unabhängige Punkte bestimmt 449 Gerade deroeimen Ebene’ eimesentsprechende &erade oder Punkt in der andern Ebenean- geben, dergestaltzdassywenn-drei Punkte ‚deroeinemE benein eineri®eraden liegen, die Sbnen’ entsprechenden dreivGeraden wich in einem Punkte'schneiden, und umgekehrt; gr radg. Zusätze as Dasselbe Resultat kann auch deicht aus den Formeln in $: 286. abgeleitet werden. ‚Setzt man nämlich @4+BB+7C=D, so) sind 4, B, CJD vier von einander unabhingige Punkte) und! eben:so. werden auch dieihnen entsprechenden Geraden von einander ganz unabhängig ‚seyn. In der That’ geht der Ausdruck für Xän'den Punkt 4 über, ‘wenn man: und un 'setzt., Hierdurch verschwindet in dem Ausdrucke derventspre- ‚chenden Binie a” der Coölficient von 4 gegen dievCosf- ficienten vor B*und €, und der-Ausdruck stellt die Linie BC" dar. Dem’Punkte 4 entsprichtalso die Linie 20, weleheig heissey;und eben so. den ‚Punkten 2, ‚C.die Li- nen’, AB, welche man d, ce nenne, Für Zn endlich: erhält man den Punkt &4-+, PB+7C=D und die‘entsprechende Linie (+) @A—P2" +r°@, wel chev@ heisse. Da man nun dieBunktevA, ‚3; C: und die Coefhicienten &,ß, y'-mach Belieben‘ bestimmen. Varen j bleiben’ auch: die vier Linien @,b,e,@ der Will ühr übe lassen. Hat. man aber, diese vier «Linien und. e Punkte bestimmt, _ so sind damit/auch' die Co& ur a, 8% y' Sestgesetzt, : und esl'kann.nun,. meln in: $. 286. zufolge, jedem Punkte und>j den .der' einen Ebene nur eine bestimmte. sera ein bestimmter Punkt in der andern entsprechen, R, db. Hat man aus den anfänglichen. vier 8 % ’D und den ihnen entsprechend en Bein @,..d zu irgend vier andern Punkten 4 7 443 - Ebene die ihnen entsprechenden Geraden 44,4, m: in der andern gefunden, so wird man dureh: fortgesetzte Ver- bindung der. Punkte .4,,.7 und. der.-Durchschnitte-.der Geraden i,,.m zu keinen andern: Paaren-sich,ehtsprechsn+ der Punkte und Geraden gelangen , als. die ‘sich «schon aus 4,..D ünd a,,.d erhalten lassen; oder mit andern Worten; ‚jede vier, Punkte,der einen Ebene können als die anfänglichen vier Punkte, und die ihnen entsprechen- den vier“Geraden in der andern Ebene als _diesanfangs ihnen entsprechend, gesetzten. Geraden betrachtet, werden. = 82290. Wenn die Punkte zweier Ebenen nach dem Gesetze; der Collineationsverwandtschaft auf einander be- zogen werden, so ‚ist jedes D.verhältniss in, der einen Ebene dem aus den A ERGURT G ‚Rankten, ‚der ‚andern welcher wir gegenwärtig die Punkte und 6 en zweier Ebenen auf einander beziehen, herechtigt' ins ‘zu’ der Erwartung, dass auch bei letzterer Art eine sölche"Gleich- heit der D,verhältnisse anzutreffen seyn werde, mod Ein D.verhältniss wird durch vier in einer Geraden liegende Punkte gebildet, denen gegenwärtig vier ın ei- nem: Punkte sich schneidende Gerade entsprechen, Da nun durch vier solche Geräde jede fünfte Gerade nach einem und demselhen „D:verhältnisse getheilt wird, so, werden wir zu ‘unlersuchen haben, ob dieses letztere, durch vier Sich in einem Punkte treffende Gerade'be- stimmte, D.verhältniss mit dem von den erstgedachtin vier Punkten gebildeten von "gleichen Werthe‘ ist. Nach 5 286. entspricht dem Punkte . ERBE! 0 gadtrBB+yrC. sr Punkte A,..G von einander, ganz unahbängikn; ner fünfien Geraden die vier Punkte des zw 444 die. Gerade + Zr0, a - oder, wenn man aut eine wndere Verändeliche wii führt, so dass »—r ist, die Gerade Fer ln — ZB +rC, Setzt man nun y=o, 0 as dem Ponkte gad+zBB die Gerade — aM Fi eR+rO oder EEE wo Be mithin auch dem Punkte «4+3B die Gerade td +yC’ für 9=z, und, wie schon in $. 289. a. bemerkt worden, den Punkten 4, 3 die Geraden BC, 40, wenn man resp. z=4.9=9 nimmt, Man setze.demnach (Fig. 74): on ‚urn ad+pßB=F, «4—pB=P, gad+zBB=C, za — gb = =c nl, so entsprechen: den vier in einer ‚Geraden liegenden Punkten 4,2,7,G die vier in einem Punkte. zusammen- kommenden Geraden 2'C', 4.C', PC, GC, welche einer fünften Geraden 42’ in den Punkten Br, An mie geschnitten werden. Aus den Ausdrücken" für 56, 16 dolgt aber die erwartete Gleichheit der D.verh (4,B,7,6)=(B", 4,7, 6 )=g: es Bei dem ersten derselben sind 4 und B F gr nn . reist, EN nn (0,8, WeE(nzR,y, ne und eben so (0, Q, X, HEN, », 2%, nen‘) weil @&Y, QX, SZ vch in, einem Punkte R treffen. Mul- tiplicirt man diese zwei Gleichungen” in Se so kommt ($. 184. IL): (RT u Zu Zzyi / Yyy ehe >. zZ" yYy iz . =— (X: X2) (zV: 23) Iwein ig Do; at n, Ik wie zu erweisen war. 8. 298. So wie bei diesem ind’ dem orig aha so werden wir es auch in’ dem Folgenden init ei nem Sy- steme gerader Linien zu ihun haben, welche alle von de ner 'ahdern, nach Belieben zu ziehönden Geraden ge schnitten werden; ‘Der Kürze willen sollen dabei durch | die für jene Linien gewählten Buchstaben zugleich auc i die Durchschnitte ‚derselben mit der willkührlichen Ge- raden ausgedrückt werden, — auf analoge‘ Art, wie bill den barycentrischen Formeln ‘die Uncialbuchstaben nicht blosse Punkte, sondern Abschnitte paralleler Geraden mit einer willkührlich ‚zw legenden - Ebene. bezeichnen. — Die\,Sätze der beiden vorigen s$- „lassen. sich iernach) kora so darstellen: - ur sihnst. ke "'r) Sind 4,2, F, € vier in einer Geraden Hi eg Bann. und a,b,f,g E hey kn enisprechenden Ge ir 3) Sind p,9,r drei Gerade id va N 447 : und r, von r und.p, ‘von p und g resp: die@eraden'pf;; g’ r' gelegt; welche‘sich: inwinem Punkte: ‚schneiden, so.idte IL (gp%: pr) Et gip) (per) ı. se 8. 293. Seyen'nun, tim zu den Dreieckschniftsver-' hältnissen überzugehen, : D, EZ, 7 (Fig.'76.) die Sehnei-- depunkte der Seiten '3C,.. des Dreiecks 430; also das’ Dr,verhältniss selbst: : 1 ade (BD: DC) (CE: EA) (AF: 7By=4. Die den Pünkten 4,...? entsprechenden Geraden heissen a, nz von. denen EN b,e,d; &,a,e; a uf je drei Be sich in einem Punkte schneiden. Man - setze AB: DE=G, so entspricht diesem Punkte die Li- nie ab” de, welche & heisse, und man hat ($. 198. 2): i .(BD:DC) (CE:EA) (4A6:CB)=—ı. Hierdurch wird A=—(AF: FB) (BG:G4)— —(4,B,F, ,G) =— (@,b,f,g) (vor.$.1)=— (af: fb) (beige). Es ist ferner nach U., weil 'd, ,g' sich in einem Punkte schneiden und resp. durch die Durchschnitte von. b mit e, emita, «mit db. gehen: (bd: de) (ce:ea) (ag:el)=—u Hierdurch” Yedücirt- sich -der Iekiterhältene Ausdruck für 4 äuf: d=(bd: de) (ce: u) ( (af: fb); der, wie man sicht, eben so aus @,. ae zusammengesetzt ist, "als es der anfängliche aus 4... 7’ war. —" Man’ kann dieses Resultat folgendergestalt in Worte fassen: “ Hat man in einer Ebene drei gerade Linien a, b,c, und drei andere Gerade ‘d, e, f, welche durch die gegenseitigen‘ Dürchschnitte der drei erstern|geheny d durch den Schneidepunkt von b mit c,ete: so. ist das Dreieckschnittsverhältniss, nach welchem (in einer‘ aus x noch ‚andern Geraden z, die zwischen bund'e, "eibi« schen eund.a, zwischen aund b enthaltenen Theile derselben, resp. von .d,'e, f geschnitten werden, für jede. Lage von z von derselben Grösse. — Es ist näm- lich ‚dieses Dr.verhältniss gleich ‚dem Dr.verhältnisse, nach ‚welchem die Seiten A. Se Dreiecks 42C res “ D,E,F getheilt werden, wenn A... die de Kant ...f entsprechenden Punkte sind, 4.00 * en In dem besondern Falle, wo d, e, Sa sich in einem Punkte schneiden, und daher D, 3 F in einer. Geraden Regen , wird das letztere Dr. verhaltmiss und folglich auch das erstere =—ı; und man kommt somit auf den Satz des $. 291. zurück, : 8. 294. Seyen jetzt #,7, G, H (Fig. as die PRURE depunkte der Seiten 4B,..DA eines AS, Vierecks 4BCD, und die diesen acht Punkten entsprechenden Li- nien: a,...7, von denen daher a,b,e; d,c,f; o,d,g; day, ‚je ‚drei besonders, 'in einem Punkte sich treffen. Man setze 4B° CD=7 und eben so ab Ted=i; alsdaı nach dem vorigen Satze,' für das Bee Da Schneidepunkten E,G,H: vie 2 (AE: EI) (IG:GD) (DH: UN—(ae: .) 0) und für das Dreieck CIB mit ‚den | E,7,G: NE er UE:EB) (BF: FC)(CG: GN =(is;eb), er: An und wenn man diese Gleichungen mit eine plieirt: (A4E: EB) (BF: FC) (66: GD) (DH: == (ae; eb) (bf4fe) (eg:gd) (dh za), eine Relation, welche der vorhin für die Dr, gefundenen vollkommen : „analog ish. Aufl; wird man nun weiter vom Viereck zum Fi — 06 ‚ verhältnisse und „so Ann übsrgchenzkäguen; Br Se, folgenden. ellemmsinrn, Bol Han Sih not „u. Heissen. ;.b,0,.ix: die ‚Seiten „eines, ‚ebenen. Fig ecks, und; mn Opni.HiesSeiten eines, um dasselbe, bes, schriebenen ‚Fielecks;,30 dass, a und bin my; b,und.o, in.n,.\ele. sich sohngiden. Wird, nun, in der: ‚ben, eine beliebige, andere erade, = gezogen, »0 ist; das; Wlokschmverhäliniss, „nach. welchem, ;dig yon. je: zwei, ‚auf ‚einander, ‚folgenden: Seiten ‚des, ersten. Yieleoks,, aundyb, und ej\eig...än «ler .Linie:s abgeschnittenen, Theile, durch. die Seiten..des, leiztern ;Vielecks, REIN resps,getheilt werden, für jede Lage von x von, einer lei Grösse. — Es ist nämlich dem VI. verhältnisser (4: MB) (BN: NC) „«s;gleichz, nach. ‚welchem die. Sei- ten. des, Vielecks ABC. ..von. den Spitzen, des. in, dassel- be.beschriebenen Vielecks-UNQ,,., getheilt werden, wenn, \ ABane Mrd, die;den Geraden, 4, Brasil 2 gg chenden Punkte sind. Oder: Ä ‚Werden die Punkte und Eier zweier Teen dergestalt aufeinander, beroken, dang je,drei, Punkten ‚An,riner Geraden der einen Ebene«dreissich,in,einem Punkte schneidende Gerade in der andern, Ebene entsprechen, | .... ist jedes Vlverhältniss in der eınen gleich dem Vixerhälinisse an der ändern, welches entsteht, wenn man für die Punkte, Wwödurch das erstere 'Vlwerbältn iss. .bestimmitiwird, in . derandern Eibene,.die.Punkie nimmt, in. de- nen wine.belichig, darinigezogene Gerade von deny„den- erstern. Bunkten ‚entsprechenden, Geraden ‚geschnitten, wird... Yaangeisis nie jerna & SQ 298; Zusatz. „Wenn man. ‚von ‚der somit, erhal tenen Figur i in der zweiten.‚Ebene, sehe ennpuechende Fin den der zweiter Ebene, also dem’ rs; kältnisse in Ger ersten Ebene gleich ist." "Wir'schliese Eiern: 7 m mön 1 ad .— Der Werth’ eines Vierkältnioile‘ bleibt ungem- dert, wenn’ mah für die Pankte; dödureh es bestimmt dird, die'P/jeittonen art. reckeie up era Zeiogiöhie‘ Eefäder düseirierd Versen Punkte substituirt, Se Zu 2" Ber garzurf meigina 28°, E,F die‘ Sthieidepaiikter der Seiten B6,.. des Dreibcks "eBe, zleit BehdiigerPunktmuide Vreiecksehene)' & "eine willkührlich dafin'getogehe Gerd, ünd nenne’ mih "die" Durchschniitte !von® | er % ir u, B.: 2.03 isn ab mi aan) 419 4% nr einlädt PELT) asdal A er Krb Av. ey 1: ns dnawy si Eine’ Nächte Folgerung aad ich cm.!Sätze:is - Wenn:üik Spitzen und Se we don AR Gens Baer 6 tt ertisprechen ‚dass alle'die Geraden. en zwei es entsprechende‘ Pufikte's inden, Pinkte sich Schneiden,’ sö’Aläben die‘ BEE WÜeIEER gleien“ Were — 0 | —— m ws BEE TEE To PR «ov MDassi diesen, Satz auch .daun gild,, wenn; ‚die; beiden „‚NVielecke ‚in: zweiswerschiedenen ‚Ebenen. liegen, berhellet sehen: aus $.,28042% Anfangin iind rnnia wi noimi.d 8. 296. Bei jeder Figur, welche Idureh ‚geradlinige „‚Yerbindun g, mehrerer in i Re ge nach Wällkühr ge- nommener Be BE ‚Zwischen den ‚dadurch sich bildenden VI]. verhältnissen gewisse "Relationen statt, "Reaiiönen AN, Welche dieselben Bleiben; Aie‘alıch die gegenseitige” 1a der 'anfähgs "gen rörhähehe Pürikte 'ge- ändert IWERBER mag. Construirt man nun eine Zweite Figür, ‘deren Punkt ERBETEN den Geraden und Pänk- ten. Wer "ersteie' auf die'im Satze des "grad%) angezeigte, «Weise eiitsprechen, ih) welcher daher alle Vl.vefhältnisse der ersten auf analoge Weise: tund ihrderselben Grösse sich wieder zeigefhly>und Jwos‘folglich»auch\die vorhin be- mierkten Relationen„zwischen ‚den „entspreghenden: VI. „Ver- ‚„hältnissen statt finden müssen: 'so wird jene willkührli- "che Verähderüng' der "anfänglichen Pünkte’in”der\ersten "Figur ‘eine wällkührliche 'Verändertihg id "der Lage der Sähnen‘ entsprechenden 'Geräden in der zweilen'zär Fölße haben} hichts desto” weniger äber werden‘ äuh\hier "die RE eh zwischen ‚den 'eiitspröchenden Vl.verlält R forthesichen müssen, Dies Kiebt uns folgendes ruchtbäte sphebrem: S ar Ber Wenn be ei einer a ee: gur aus der Art, wierdie Linfen derselben in -Punkten zusammenläufcn, ‚gewisse ‚Retatio- »men’zwischem’VLverhältnissen gefolgert. wor- scden sind; und: Wwenn.man hierauf,eine zweite Figurconstruirt,indem man: die Punkte der erstern. mit-Geraden und umgekehrt ver- tauscht: so, werden ‚dieselben. Relationen auch zwischen den VıLverhältnissen der zwei- Re Ffa nie lbarz yo): Ne ae 5 75 eu vg ER Vielecks verbinden; sa ist: dası N Gen f (amımd) (Oman) {ossady.onmäkeg rn 2 en wönkiguramutieften'scyn, welchehierih von den,’ dem Punkten dererstendentsprechendeh, Linien in einer heliebig'gezogeneä Geraden gehitder werden" gi Torebai.isik age 12 nd EHEN eispiet ea og ER. us, ng ae yo ba „3 Bere Se list mr one inf Lnstlähreni wobaoblid da, > 12):Sind Afl,ExD ler Punktsuig eingg Ehgne, and 9%] setzt man ABC ER Cdsedar CDs PO SE... Ausser gang Kine: sin nabrae Hr InkBA ir C), (€ EDLER Da Quzge- . oinissSind daher ia, re gerade Linien,in, einer Ele mes rund setzt mian ade, bi” 2. 2r 2275 se BAR oT oo solar ad. nirlzo:; kbargafe) (et: Way (detzch)en, aba et x: der au kenn teistiindiich‘ eng geryy ohloah Sach Malik Adster zu eu nal „Wird um, ein Dreisch, ABC ‚gin „anderes, ABO 189 ee at Pupehspkeitte, Pula ; ee ehnamigen, Seiten, in, eäner-‚Genaden lieger | an die „drei, ‚Geraden „„seelche, die er ‚Spitzen verbinden, in. einem ‚Punkte, OBEN. beliebig, gezogene Gera ten der Dreiecke ABC und ABCı hi in; erh 1 geeref]en; 80 BEL, nn 15.in. ind au ii Heissen 2;0,0,d,....die,Seiten eines eb ecks , und m; 270,,.: die ‚Geräden, / welche oabzbe,ed,\.. mit einem re . Arche die Seitenzahl ides 'Nielesks gerade ö. r Be rade ist; der’änaloge Sata'von. Söhgg ri mins ı [ n 20 Hat'matt ehr Viereck, und nimmt für Z den Dürch- ‚schnitt der Diaganalen ; sa komm z > © sim nssdand [on ney «emes Em ame er lit da nut doie mein! amd mı aber su wol air. hans BR er) la, ad .o ut nor u 4 find, HAne Beiden‘ Diäponälen "ag" ri da 207 „dınat KRÄSO F unbarod mob miıiar sueb ‚rei mastee me ‚basıloargamn en gehe wi ne “= lan n Ebene e ib Piere ech “ie u ne am 19 IE Tr [U FR Ir er; ud 181 ‚ein Pi Ci } etitig esngene Ft ech Fe wei Pitgönalen"des Wieröcks augesehnittänie 7 Theil’der Ge= „a & Bonner auch ha mern a5hisugoe daie ala ma : raden, ‚on, ‚der.ersien und, aerten; und, von.; den.pier- ten und dritten Seite des Pierechs nach leichen D- sion dyia Üü in, „ıloim. iz u anngofl aesib musfl egrıdif doon md ‚rerhä UREROR EP baum. sushi gandısınsd -ubnsstsidenb 1loog: sib. dor & Iati “ -Hilsd Ads PR mug el Bde geraalı Een De © f „Bignv;. fin ‚jeden: Satz u: ‚welcher ‚allein, Punkes in? art hin u Eee "Brinkten Betcitity, durch Verwandlung der Pünkt Age ae nn mn nn ann © den kann (8. 85.), eg BasieihhraueleAheisRehl- tionen ‚mischen B0p.D- ser sKireliiien einer sol- elen: Bigur, alsa üherhaupt fünjedeiBigenschaft,- welche sich mittelst des ab&ekürzten"häryeentrischen Cälcalesab- leiten lässt (882353; d.h: für jede Eigenschaft der drit- „ren ‚Glasse(&, 24841 Jeder. Satz-alse; welcher eine Ei- \fenischäft Ar Artehen "lasse ‚darstelle, har däs Btsandete, dass ihm ein analeger,Satz. zur . ‚Seite sicht, “den man | „dürch:gegönseitiges Vertauschen- von 'Punktenund'/Gera- "den: ‚Erhält,' ddr mie ‘ändern Wörten: She ea ‚usuu108 sısher sdofe Alter ar 'drieten’Chasse gehärigen Figen- zoni Bu = oc su "Fenaften ‚gerädliniger Ebenen Figuren. .kön- neninPaaren ER werden, der- gestalt, dass van den-zWei.zu je einem Paare gehörigen Eigenschaften. ie eine aus der u | & ‘ och darbietende Bemerkung hinzuzufügen‘ ea BO . gend einer andern Ebene, gone ‚So erths Be, andere Sonnenuhr, wenn man a en mit arte 7 454 -Andermdürchi gegen Seitiges-Vertauschen von Punkten mit er Fans uno: Anmerkung. ‚Diet Iptzt \,yorgetragenen Punksen und Geraden ia Ebenen inleen sb puuspersen von Punkten, De a ausdehnen” Ui Se ee entsprechend a we 5 un - der Geraden ; Ser gan ittslinie der 1 Bu ER et Side AUT Pink ter Eklihe? Der ie san sw einen“ Ebeis\embalien\ crich.) distiheein, PunkesnVchl- Be) u Ebenen ‚in, raten, Falle. Kae Geraden ,; ing zweiten em Punkte ‚sich schneiden müssen, und dass auch hier a eekiieha "a6 art lie Prhiräihe Whale did; * -L swsilo‘ remis ıneltinhhmas net nn f EYES eine sich mir abe brige a dieses Bogens NEU Ten are ® u) BT NE a ut erihe gialbhesiodafajraich‘ EI namen ern en we a a Salon ET I en 4 Bi Ka: 2 man ii ie mise ine „Bershenjfjen Fbepjsu #0 ‚ik AassD-" ek &bs „BJ Minsd sis oa noıio ol dasiwa' danois adılogind Yard sarenWihrehy iweis era ;, emiiridl minchen; Anander, ilejeh, je derselben! =, en; wird zab salsiitin die -1iab ob he ee eh Peter Teil u! 11 Sind zB. a,b, o,@ \vier hüf' einander folgende Stündenlinien einer re Fe dern Arguator, jet) 1" 5° rg Inu ln a rg, 3 Dfechspj ns nis, such za6h -5:9 Map bemerke ‚dabei ,; dass dieselbe iGlejchang auch ıfür..ei i Ielen, Zeiger -briögt,; ‚sich, als, porspegtisisches; Bild „den. Aggrihilahr \ dazstellt. Werden daher vier’ auf einander folgende inien_ ei Bondenifir von "einer Beliebig‘ Segen Gerd ns -&D gechniten; 10 inbimmer; no 107 5308 make aiusa 9 Ip6 4 mania »f mr Ir agb ‚reres 9b 205 suis ee Balik ds: il, nr TREE > 3 ” z „act N r E2 r ni; we ET NE ee Eee | Druckfehler und EROBERN % zii er vg r \ RER Seite xıv Zeile 4 v. o. statt dass lies das. 11 m lies: ODE, 4C und BDE, —- 569-—- 9wu vertilge selbst binter Linie, i f — 7 — 15 wo.statt el lies x80. i Zi — 76 — ı4 vu. nach unten setze ($. 130. 1.) ne — 140 — 9v.u statt: Von Flächen lies: ir Fun EL . chen. RER = —- — ıvu hinter Capitel setze ($. 134, 1) 5 j — 207 — 9ww lies: Systems, so wie auch die Ver 1 | ‚hältnisse zwischen den von di B sen Geraden begrenzten EEE gefunden werden. , E — 230 — Byuw nach Folge setze ($. 262.). — 241 — 170 statt C lies Or. : ie: 27 SE — 249 — 5 vu, statt'erstern lies letzterm, Eee — — — 4mu statt letztern lies ersterm 5 — 255 — gwo. statt DIE!, lies D!, Er. — 29 — 14 wo.lis: elt=mcC+teH, — 297 — Avu statt > setze —, — 535 — u v0, statt entfernten lies Collineati ns or Eee et nn eh! zn ne 2 nee f Er u nat EINE: Bo a de: Pi : er A a ee Nazueh e; % “ ER > er ze 1 NER sr LE a a a SE ae > Eh EITE '2Jata Br al nz wind. ; aamıhere 56H sanili w Are SR RE mr hr ee ee einer ein u... WEI VE u) a > rer Ir ie vor Bee) RR rt I NN Ban se Aukeahas vait wahr ao'e: [IT Rz EH a FE Sa pres \ ‚ua de, er er br N vr or Erd) Tre Intigrd mann a ee _ En lonaisiw oa ante sesil a -_ -. 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