.cj-&SfS5r- ytAAjf /1 4u\l /L J W /■ _ / _ The Dibner Library of the History of Science and Technology SMXTHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES DIS Q V ISIT10NES ARITHMETICAE AVCTOR? D. CAROLO FRIDERICO GAVSS IMMTMMnriM L I P S I A E IN COMMISSIS APVD GeSH. FlEISCHER, J u n. I 8 o i, V r,i & s '-•?¥* ; 'f) J \ '' "v/V ' ' '«I ■ • > • ' ' 'V' ’Wm \ 1 < */ ~ ' . v- ' ’ • ■/ ; „ ■i - • ' • • ■ ■ > - , > I V X: SERENISSIMO | ■ PRINCIPI AC DOMINO ■ : ■ - i ■ CAROLO GVILIELMO FERDINANDO BRVNOVICENSIVM AC LVNEBVRGENSIVM Dycx l; i' ■ u 1 / PRINCEPS SERENISSIME Summae equidem felicitati mihi duco, quod Celsissimo nomini Tuo hoc opus inscribere mihi permittis, quod vt Tibi offeram sancto pietatis officio obstringor. Nisi enim Tua gratia, Sere¬ nissime Princeps, introitum mihi ad scientias pri¬ mum aperuisset, nisi perpetua Tua beneficia stu¬ dia mea vsque sustentauissent , scientiae mathe¬ maticae, ad quam vehementi sernper amore de¬ latus sum, totum me deuouere non potuissem. Quin adeo eas ipsas meditationes, quarum par* tem hoc volumen exhibet, vt suscipere, per plu- res annos continuare literisque consignare liceret? Tua sola benignitas effecit, quae vt, ceterarum curarum expers, huic imprimis incumbere pos¬ sem praestitit. Quas quum tandem in lucem emit¬ tere cuperem, Tua munificentia cuncta, quae editionem remorabantur, obstacula remouit. Haec Tua tanta de me meisque conatibus merita gra¬ tissima potius mente tacitaque admiratione re- uoluere, quam iustis dignisque laudibus celebrare * 5 I ■\ i . : , possum. Namque non solum tali me muneri haud parem sentio, sed et neminem ignorare puto, solennem Tibi esse tam insignem liberali» tatem in omnes qui ad optimas disciplinas ex¬ colendas conferre videntur, neque eas scientias, quae vulgo abstrusiores et a vitae communis vti- litate remotiores creduntur, a patrocinio Tuo ex¬ clusas esse, quum Tu ipse intimum scientiarum omnium inter se et necessarium vinculum mente illa sapientissima omniumque quae ad humanae societatis prosperitatem augendam pertinent peritissima, penitus perspexeris. Quodsi Tu , Princeps Serenissime, hunc librum, et gratissimi in Te animi et laborum nobilissimae scientiae di¬ catorum testem , insigni illo fauore , quo me tam diu amplexus es, haud indignum iudicaueris, operam meam me non inutiliter collocasse, eius- que honoris, quem prae omnibus in votis habui, compotem me factum esse, mihi gratulabor PRINCEPS SERENISSIME Brunouici mense Julio 1801. Celsitudinis Tuae seruus addictissimus C. F. Gauss. I \ VII PRAEFATIO ' , ■ ■, _ i 1 1 1 . Disquisitiones in hoc opere contentae ad eam Matheseos partem pertinent, quae circa nume¬ ros integros versatur, fractis plerumque, surdis semper exclusis* Analysis indeterminata quam vocant seu Diophantaea , quae ex infinitis solutio¬ nibus problemati indeterminato satisfacientibus eas seligere docet, quae per numeros integros- aut saltem rationales absoluuntur (plerumque ea quoque conditione adiecta vt sint positi ui ) non est illa disciplina ipsa, sed potius pars eius valde specialis, ad eamque ita fere se habet, vt ars aequationes reducendi et soiuendi ( Algebra ad vniuersam Analysin. Nimirum quemadmodum ad Analyseos ditionem referuntur omnes quae circa quantitatum affectiones generales institui possunt disquisitiones : ita numeri integri (fracti- que quatenus per integros determinantur) obte¬ ctum proprium Arithmeticae constituunt Sed quum ea, quae Arithmetices nomine vulgo tra¬ duntur, vix vitra artem numerandi et calculandi (i. e. numeros per signa idonea e. g. secundum systema decadicum exhibendi, operationesque arithmeticas perficiendi) extendantur, adiectis nonnullis quae vel ad Arithmeticam omnino non pertinent (vt doctrina de logarithmis) vel saltem * 4 VXH numeris integris non sunt propria sed ad omnes quantitates patent: e re esse videtur , duas Arith¬ meticae partes distinguere, illa que ad Arithmeti¬ cam elementarem referre, omnes autem disqui¬ sitiones generales de numerorum integrorum af¬ fectionibus propriis Arithmeticae Sublimiori , de qua sola hic sermo erit, vindicare. Pertinent ad Arithmeticam Sublimiorem ea, quae Euclides in Elementis L. YII sqq. elegantia et rigore apud veteres consuetis tradidit: attamen ad prima initia huius scientiae limitantur. Dio- phanti opus celebre, quod totum problematis in¬ determinatis dicatum est, multas quaestiones con¬ tinet, quae propter difficultatem suam artificio¬ rumque subtilitatem de auctoris ingenio et acu¬ mine existimationem haud mediocrem suscitant, praesertim si subsidiorum quibus illi vti licuit tenuitatem consideres. At quum haec problemata dexteritatem quandarn potius scitamque tractatio¬ nem, quam principia profundiora postulent, prae- tereaque nimis specialia sint raroque ad conclu¬ siones generaliores deducant: hic liber ideo ma¬ gis epocham in historia Matheseos constituere videtur, quod prima artis characteristicae et Al- gebrae vestigia sistit, quam quod Arithmetieam Sublimiorem inuentis nonis auxerit. Longe plu¬ rima recentioribus debentur, inter quos pauci quidem sed immortalis gloriae viri P. de fermat, L. Evler, L. La Grange, A. M. Le Gendre (vt paucos alios praeteream) introitum ad pene¬ tralia huius diuinae scientiae aperuerunt, quan¬ tisque diuitiis abundent patefecerunt. Quaenam vero inuenta a singulis his geometris profecta I IX sint, Tiic enarrare supersedeo, quum e prae® lationibus Additamentorum quibus ill. La Grange Euieri Algebram ditauit operisque mox memo¬ randi ab ill. Le Gendre nuper editi cognosci pos¬ sint, insuperque pleraque locis suis in his Dis¬ quisitionibus Arithmeticis laudentur. * . Propositum huius operis, ad quod edendum iam annos abhinc quinque publice fidem dede¬ ram, id fuit, vt disquisitiones ex Arithmetica Sublimiori, quas partim ante id tempus partim postea institui, diuulgarem. Ne quis vero mire¬ tur, scientiam hic a primis propemodum initiis repetitam, multasque disquisitiones hic denuo re- sumtas esse, quibus alii operam suam iam na- uarunt, monendum esse duxi, me, quum pri¬ mum initio a. 1795 huic disquisitionum generi animum applicaui, omnium quae quidem a re- centioribus in hac arena elaborata fuerint igna¬ rum, omnium que subsidiorum per quae de his quidpiam comperire potuissem expertem fuisse. Jkilicet in alio forte labore tunc occupatus, casu incidi in eximiam quandam veritatem arithmeti¬ cam (fuit autem ni fallor theorema art 108), quam quum et per se pulcherrimam aestimarem et cum maioribus connexam esse suspicarer, sum¬ ma qua potui contentione in id incubui, vt prin¬ cipia quibus inniteretur perspicerem, demonstra¬ tionemque rigor osam nanciscerer. Quod post¬ quam tandem ex voto successisset , illecebris ha¬ rum quaestionum ita fui implicatus, vt eas dese¬ rere non potuerim 5 quo pacto, dum alia semper ad alia viam sternebant, ea quae in quatuor pri¬ mis Sectionibus huius operis traduntur ad maxi- * 5 1 I jnam partem absoluta erant, antequam de alio¬ rum geometrarum laboribus similibus quidquam vidissem. Dein copia mihi facta, horum sum¬ morum ingeniorum scripta euoluendi, maiorem quidem partem meditationum mearum rebus du- dum transactis impensam esse agnoui: sed eo alacrior, illorum vestigiis insistens, Arithmeticam vlterius excolere studui $ ita variae disquisitiones institutae sunt, quarum partem Sectiones V, VI et VII tradunt. Postquam interiecto tempore consilium de fructibus vigiliarum in publicum edendis cepi: eo lubentius, quod plures opta¬ bant, mihi persuaderi passus sum, ne quid vel ex illis inuestigationibus prioribus supprimerem, quod tum temporis liber non habebatur, ex qu6 aliorum geometrarum labores de his rebus, in Academi arum Commentariis sparsi, edisci potuis¬ sent 5 quod multae ex illis omnino nouae et ple- raeque per methodos nonas tractatae erant,- de¬ nique quod omnes tum inter se tum cum dis¬ quisitionibus posterioribus tam arcto nexu cohae¬ rebant, vt ne nona quidem satis commode expli¬ cari possent, nisi reliquis ab initio repetitis. Prodiit interea opus egregium viri iam antea de Arithmetica Sublimiori rmignopere meri¬ ti, Le Gendre Essai c£ une theorie des nombres , Paris a. VIy in quo non modo omnia quae hac¬ tenus in hac scientia elaborata sunt diligenter collegit .et in ordinem redegit, sed permulta in¬ super noua de suo adierit. Quum hic liber seri¬ us ad manum mihi pemenerit, postquam maxi¬ ma operis pars typis iam exscripta esset 5 nullibi, vbi rerum analogia occasionem dare potuisset, eius mentionem iniicere licuit; de paucis tantum» modo locis qqaedam obseruationes in Addita» mentis adiungere necessarium videbatur, quas vir humanissimus et candidissimus benigne vt spero interpretabitur* Inter impressionem huius operis, quae plu- ries interrupta variisque impedimentis vsque in. quartum annum protracta est, non modo eas in- uestigationes , quas quidem iam antea susceperam, sed , quarum promulgationem in aliud tempus differre constitueram, ne liber nimis magnus eua- deret, vlterius continuaui, sed plures etiam alias nouas aggressus sum. Plures quoque, quas ex eadem ratione leuiter tantum attigi, quum tracta¬ tio vberior minus necessaria videretur (e. g. eae quae in artt. 57, 82 sqq„ aliisque locis tradun¬ tur), postea resumtae sunt, disqulsitionibusque generalioribus quae luce perdignae videntur lo¬ cum dederunt (Conf. etiam quae in Additamen¬ tis de art* 506 dicuntur). Denique quum liber . praesertim propter amplitudinem Sect. V in longe maius quam exspectaueram volumen excresceret, plura quae ab initio ei destinata erant, interque ea totam Sectionem octauam (quae passim iam in hoc volumine commemoratur, atque tractatio¬ nem generalem de congruentiis algebraicis cuiusuis gradus continet) resecare oportuit Haec omnia, quae volumen huic aequale facile explebunt, pm blici iuris fient, quamprimum occasio aderit. Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, demonstrationibus syntheticis vsus sum , analysin- que per quam erutae sunt suppressi, imprimis breuitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat. Theoria diuisionis circuli, siue polygonorum regularium, quae in Sect. VII tractatur, ipsa quidem per se ad Arithmeticam non pertinet, at¬ tamen eius principia vnice ex Arithmetica Subli¬ miori petenda sunt: quod forsan geometris tam Inexspectatum erit, quantum veritates m/uas, quas ex hoc fonte haurire licuit, ipsis gratas fore spero. Haec sunt, de quibus lectorem praemonere volui. De rebus Ipsis non meum est iudicare. Nihil equidem magis opto, quam vt iis, quibus scientiarum incrementa cordi sunt, placeant, quae vel hactenus desiderata explent, vel aditum ad noua aperiunt. XIII l CONTENTA Sectio prima. De numerorum congruentia in genere p. i. Numeri congrui, moduli, residua et non residua, art. i sq. Residua minima , 4. Propositiones ele- mentares de congruis, 5. Quaedam applicationes, 12. Sectio secunda. De congruentiis primi gradus p. 8. Theoremata praeliminaria de numeris primis, fa¬ ctoribus etc. 13. Solutio congruentiarum primi gra¬ dus , 26, De inueniendo numero secundum modu- y los datos residuis datis congruo 32. Congruentiae lineares quae plures incognitas implicant 37. The¬ oremata varia 38. . ‘ •' , • V / N - . . Sectio tertia. De residuis potestatum p. 41. Residua terminoriim progressionis geometricae ab vnitate incipientis constituunt seriem periodicam, 45, Considerantur primo moduli qui sunt numeri primi. Ponendo modulum rz p, multitudo termino¬ rum in periodo metitur numerum p — i art, 49» Fermatii theorema, 50. Qaot numeris respondeant periodi, in quibus terminorum multitudo est diui- sor datus numeri > — .1 art 52. Radices primiti¬ vae, bases, indices, 57. Algorithmus indicum, 58. De radicibiis congruentiae #u A> art. 60, Nexus indicum in systematibus diuersis, 69. Bases vsibus peculiaribus accommodatae, 72. Methodus radices primitiuas assignandi, 73. Theoremata va¬ ria de periodis et radicibus primitiuis, 75» (Theo¬ rema Wilsonianum, 76). De modulis qui sunt nu¬ merorum primorum potestates , 8 2* Moduli qui sunt potestates binarii , 90. Moduli e pluribus pri¬ mis compositi , 92. Sectio quarta. De congruentiis secundi gradus p. 92, Residua et non-residua quadratica art. 94. Quoties modulus est numerus primus, multitudo residuo¬ rum ipso minorum multitudini nonresiduorum ae¬ qualis , 96. Quaestio , vtrum numerus compositus residuum numeri primi dati sit an nonresiduum , ab indole factorum pendet, 98. De modulis, qui sunt numeri compositi, 100. Criterium generale, vtrum, numerus datus numeri prim! dati residuum sit an nonresiduum, 106. Disquisitiones .de numeris primis quorum residua aut non residua sint numeri datiioj sqq. Residuum — 1 art. 108. Residua f 2 et — - 2, art. 11 2. Residua f 3 et — 3, art. 117. Residua f 5 et — 5 art. 121. De -dn 7 art 124. Praeparatio ad disquisitionem generalem, 125. Per inductionem theorema generale [fundamentale) stabilitur, con¬ clusionesque inde deditcimtur 130. Demonstratio rigorosa huius theorematis, 135. Methodus analo¬ ga, theorema art. -114- demonstrandi, 145. Solu¬ tio problematis generalis 146, De formis linearibus omnes numeros primos continentibus , quorum vel residuum vel. non residuum est numerus quiounque datus 147, pe aliorum laboribus circa has inuesti- gationes 151. De congruentiis secundi gradus non puris 152» Sectio quinta. De formis aequationibusque in¬ determinatis secundi gradus p. 165. Disquisitionis propositum; formarum definitio et signum 153. Numerorum repraesentatio; deter¬ minans 154. Valores expr. /( bh — ac) (mod. M) ad quos repraesentatio numeri M per formam {a, b , c) pertinet, 155. Forma aliam implicans, siue sub alia contenta ; transformatio , propria et impropria, 157. Aequiualentia , propria et im¬ propria 158. Formae oppositae 159, contiguae 160. Diuisores communes coeffrcientium forma¬ rum 161. Nexus omnium transformationum simili¬ um formae datae in formam datam 162. Formae anci- pites 163. Theorema circa casum vbi forma sub alia simul proprie et improprie contenta est 164. Generalia de repraesentationibus numerorum per formas, earumque nexu cum transformationibus 166. De formis determinantis negatiui 171* Ap¬ plicationes speciales ad discerptionem numerorum in quadrata duo, in quadratum simplex et duplex, in simplex et triplex 182. De formis determinantis fositiui non- quadrati 183* De formis determinan¬ tis quadrati 206. Formae sub aliis contentae qui¬ bus tamen non aequiuaient 213. Formae determi¬ nantis o art. 215. Solutio generalis omnium ae¬ quationum indeterminatarum secundi gradus duas in¬ cognitas implicantium per numeros integros 216, Annotationes historicae 222. DlSQVISITIONES VLTERI ORES DE FORMIS. Dis- tributio fonnamm determinantis dati in classes 223; classium in ordines 226. Ordinum partitio iri genera 228. De compositione formarum 238. Com¬ positio ordinum 245, generum 246, classium 249. Pro determinande dato in singulis generibus eius¬ dem ordinis classes aeque multae continentur 252, XVI Comparantur multitudines classium in singulis ge¬ neribus ordinum diuersomm contentarum 253. De multitudine classium ancipitum 257* Certe se- missi omnium characterum pro determinante dato assignabiliom genera proprie primitiua (positiua pro dee. neg.) respondere nequeunt 261. Theorematis fundamentalis et reliquorum theorematum ad resi¬ dua — 1» t 2> ~~ 2 pertinentium demonstratio secunda 262. Ea characterum semissis, quibus genera re¬ spondere nequeunt, propius determinantur 263. Methodus peculiaris, numeros primos in duo qua¬ drata decomponendi 265. Digressio continens TRACTAT VM DE FORMIS TERNARIIS 266 sqq. Qmg - dam applicationes ad theoriam formarum binaria¬ rum. De inuenienda forma e cuius duplicatione forma binaria data generis principalis oriatur 286. Omnibus characteribus, praeter eos, qui in artt. 262 , 263 impossibiles inuenti sunt, genera reuera respondent 287, III. Theoria decompositionis tum numerorum tum formarum binariarum in tria qua¬ drata 288. Demonstratio theorematum Fermatia- norum, quemuis integrum in tres numeros trigo¬ nales vel quatuor quadrata discerpi posse 293. So¬ lutio aequationis axx f byy f czz == 0 art. 294. De methodo per qaam ili* Le Gendre theorema fun¬ damentale tractauit 296. Repraesentatio cifrae per formas ternarias quascunque 299. Solutio genera¬ lis aequationum indeterminatarum secundi gradus duas incognitas implicantium per quantitates ratio¬ nales 300. De multitudine mediocri generum 301, classium 302. Algorithmus singularis classium proprie primitiuarura; determinantes regulares et ir¬ regulares etc. art. 305. Sectio sexta. Variae applicationes disquisitionum praecedentium p. 540. Resolutio fractionum in simpliciores 309. Conuer- sio fractionum communium in decimales 312. So- . lutio congruentiae xx — A per methodum exclu- XVII iiotiis 319. Solutio aequationis indeterminatae mxx f nyy zz A per exclusiones 323. Alia methodus congruentiam xx EE A soluendi pro eo casu vbi A est nega tinus 327» Duae methodi» numeros com¬ positos a primis dignoscendi» illorumque factores inuestigandi» 329- Sectio septima. De aequationibus, circuli sectio¬ nes definientibus. p. 592* Disquisitio reducitur ad casum simplicissimum , vbi multitudo partium» in quas circulum secare opor¬ tet, est numerus primus 336. Aequationes pro functionibus trigonometrieis arcuum qui sunt pars aut partes totius peripheriae; reductio functionum trigonometricarum ad radices aequationis a?" 1 “ o art. 337. Theoria radicum huius aequationis (vbi supponitur, n esse numerum primum). Omit¬ tendo radicem 1 , reliquae (£2) continentur in ae¬ quatione X ~ ad1”1 f f etc. f x f i zr 0« Functio X resolui nequit in factores inferiores, in quibus omnes cGefficientes sint rationales 341. Propositum disquisitionum sequentium declaratur 342. Omnes radices a in certas classes (periodos) distribuuntur 343. Varia theoremata de his pe¬ riodis 344 sqq. His disquisitionibus superstruitur solutio aequationis Ino art. 352. Exempla pro n “ 19, vbi negotium ad duas aequationes cu¬ bicas vnamque quadraticam, et pro n ~ 17, vbi ad quatuor quadraticas reducitur artt. 353, 354. Disquisitiones vlteriores de hoc argumento. Ag¬ gregata, in quibus terminorum multitudo par, sunt quantitates reales 355. De aequatione, per quam distributio radicum Q in duas periodos de¬ finitur 356. Demonstratio theorematis in seet. IV commemorati 357. De aequatione pro distributione radicum n in tres periodos 338. Aequationum, per quas radices o inueniuntur reductio ad puras 359. Applicatio disquisitionum praecedentium ad functiones trigonometricas . Methodus, angulos - XV III - quibus singulae radices n respondeant dignoscendi 361. Tangentes, cotangentes, secantes et cose- cantes e sinubus et cosinuhus absque diuisione deri- uantur 362. Methodus, aequationes pro functionibus trigonometricis successiue deprimendi 363. Secti¬ ones circuli, quas per aequationes quadraticas siue per constructiones geometricas perficere licet 365. Additamenta. Tabulae. p. 66b* DlSQVlSITiONES ARITHMETICAE Sectio Prima DE NVMERORVM CONGRVENTIA IN GENERE. i. Si numerus a numerorum K e differen¬ tiam metitur, ti et c secandum a cdtlgvui di curitat, sin iiiirius, incangrui : ipsum a modulum appella¬ ti tus. Vterque numerorum b. c, priori iri basii alterius residuum, itt posteriori vero nonresiduittti Vocatur, Hae notiones de omnibus numeris integris tam posiiiuis quam negatiuis *) valent * neque Modulus ttiamfeiid seiijpef abfatiiti i.- & «iri e otntri gignoi «ft io* mendas. A t y vero ad fractog sunt extendendae. E. g* — 9 et + 1 6 secundam modulum 5 sunt con¬ grui; — 7 ipsius -4- i5 secundum modulum n residuum, secundum modulum 5 vero nonre- siduum. Ceterum quoniam cifram numerus quisque metitur , omnis numerus tamquam sibi ipsi congruus secundum modulum quemcun¬ que est spectandus. 2. Omnia numeri dati a residua secun¬ dum modulum m sub formula a-\-km compre¬ henduntur, designante k numerum integrum indeterminatum» Propositionum quas post trade¬ mus faciliores nullo negotio hinc demonstrari possunt: sed istarum quidem veritatem aequo facile quiuis intuendo poterit perspicere. Numerorum congruentiam hoc signo , =, in posterum denotabimus, modulum vbi opus erit in clausulis adiungentes, — 1.6^9 (mod. 5), 7~i5 (mod. 11) *). 3. Theor. Propositis m numeris integris suc~ eessiuis , a, a-f- 1, a~ a 4- m — 1, alioque A , illorum aliquis huic secundum modulum m congruus erit, et quidem B=^b, erit A B ~ ab . Namque AB — Ab^ba, 8. Si habentur quotcunque numeri A , B , C, etc • totidemque alii a , r efr. A/j congrui , A-^a, B— b etc. producta ex vtrisque erunt congrua , A B C etc . ^ ab c etc . ^ ; ‘ Ex artic. praec. Ab~ ab, et ob eandem rationem A B C ab c; eodemque modo quot¬ cunque alii factores accedere possunt. Si omnes numeri A , B , C, etc. aequales assumuntur , nec non respondentes a , A, c , etc. habetur hoc theorema: Si A = a et k integer positiuus , erit AA == 9. Sit X functio algebraica indeterminatae x7 huius formae, Ax* 4“ ifob4- Cxc Arete. designan¬ tibus A, A, c ; tffr. numeros integros quos cunque ; a, b, c , fta. wro integros non negatiuos. Tum si inde¬ terminatae x vatores secundum modulum quemcunque < \ congrui tribuuntur , y alares functionis X inde prodeun • ies congrui erunt . Sint f, gf yalores congrui ipsius x. Tum ex art. praec. g* et Af* ~Ag*, eodemque modo Bfb ~ Bgh etc. Hinc Bfh -f- Cfc q- etc. == A g* q- Bgh Cgc^h etc* Q. E . D. Ceterum facile intelligitur, quomodo hoc theorema ad functiones plurium indeterminata¬ rum extendi possit, 10. Quodsi igitur pro §c omnes numeri integri consecutiui substituuntur, valoresque functionis X ad residua minima reducuntur, haec seriem constituent, in qua post interual- ium m terminorum (designante m modulum) iidem termini iterum recurrunt; siue haec se¬ ries ex periodo m terminorum infinities repetita, erit formata. Sit e* g. X ~ x5 — 8 #q- 6 et m ~ 5; tum pro # zz o, i, 2, 3 etc. , yalores ip¬ sius X haec residua minima positiua suppedi¬ tant, 1, 4» 5, 4*3, i, 4, etc,, ybi quina priora 1, 4? 3, 4, 3 in infinitum repetuntur; atque si series retro continuatur , i. e. ipsi x valores ne- gatiui tribuuntur, eadem periodus ordine ter¬ minorum inuerso prodit; vnde manifestum est, terminos alios quam qui hanc periodum con¬ stituant in tota serie locum habere non posse* 11. In hoc igitur exemplo, X neque s o, neque eee 2 (mod, 5) fieri potest, multoque minus ~ o, aut — 2, Vnde sequitur , aequana- nes $$ — 8.x -f- 6 — o, et x§, — Br + 4 o per numeros integros et proin, yd notum est, per numeros rationales solui non posse. Ge- A 3 6 \ % neraliter perspicuum est, aequationem X = o, quando X functio incognitae x, huius formae, xn *T X xn~* Hh* B xn » *f* etc. *+• iVTj Xy Bf Cf etc» integri, atque n integer positiuus, (ad quam formam omnes aequationes algebraicas reduci posse constat) radicem rationalem nullam ha» bere, si congruentiae X=~o secundum vllura modulum satisfieri nequeat. Sed hoc criterium, quod hic sponte se nobis obtulit, in secti VIII fusius pertractabitur. Poterit certe ex hoc spe» cimine notiimcula qualiscunque de harum in» uestigationum vtilitate efformari, i 12. Theorematibus in hoc capite traditis complura quae in arithmeticis doceri solent iri* nituntur, e. g. regulae ad explorandam diuisi* bilitatem numeri propositi per 9, 1 1 aut alios numeros. Secundum modulum 9 omnes numeri 10 potestates vnitati sunt congruae: quare si nu¬ merus propositus habet formam a- f- 10 b-\- 100 c + etc. , idem residuum minimum secundum modulum 9 dabit, quod a -4- b - f» c 4- etc. Hinc manifestum est, si figurae singulae nume¬ ri decadioe expressi sine respectu loci quem occupant addantur, summam hanc numerum¬ que propositum eadem residua minima praebe¬ re , adeoque hunc per 9 cfiuidi posse , si illa per 9 sit diuisibiiis , et contra. Idem etiam de diuisore 5 tenendum. Quoniam secundum modu-> tum 11 , 100 1 erit generaliter io?k^E r, 1 ~:io s—i, et numerus formae a~\- iq iQO r-f- etc. secundum modulum 11 idem residuum minimum dabit quod a — b'’bc etc. j vade regula nota protinus deriuatur, Et; ea* r 7 dem principio omnia similia praecepta facile deducuntur. Nec minus ex praecedentibus petenda est ratio regularum, quae ad verificationem ope¬ rationum arithmeticarum vulgo commendantur. Scilicet si ex numeris datis alii per additionem, subtractionem, multiplicationem aut eleuationem ad potestates sunt deducendi: substmuntur da¬ torum loco residua ipsorum minima secundum modulum arbitrarium (vulgo 9 aut 11, quoniam in nostro systemate decadico secundum bos, vti modo ostendimus, residua tam facile pos¬ sunt inueniri). Numeri hinc oriundi illis, qui ex numeris propositis deducti fuerunt , congrui esse debent ; quod nisi eueniat, vitium in calcu¬ lum irrepsisse concluditur. Sed quum haec hisque similia abunde sint nota, diutius iis immorari superfluum foret* l"— l—rai ‘ '.-JWm -PT A i 8 Sectio S e c v n d a DE CONGRVENTIIS, PRIMI GRAfiVS, i3;. Theorema. traductum e duobus nume* vis positims numero primo, dato minoribus per- hunc primum^ diuidi nequit* Sit p primus, et 4 positiuus, <} p: tum nul¬ lus, numerus positiuus b ipso p minor dabitur, ita vt sit ab =s o (mod. p'). Dem. Si quis neget, supponamus dari nu¬ meros b, cy d, etc. omnes i : si enim b—i, foret a b zz a < p (hyp*) * adeoque per p- non diuisibilis. Quare p tamquam primus per b diuidi non poterit, sed inter duo ipsius b multipla proxima mb et b cadet. Sit p — m b/ ==• b\ eritque bl< numerus positiuus et b> lam quia supposui¬ mus, a b = o (mod. p), habebitur quoque mah; ~p4 (art. y), et hinc, subtrahendo ab 'ap hso, erit a (p. ~mh) = qbl £= o; i, e. b1 inter nu- 9 meros b, c, d, etcv referendus, licet minimo eo» rum b sit minor, Q. E, A , i/*, 5? a »££ b per numerum primum p diuidi potest: etiam productum ab per p diuidi non poterit ♦ Sint numerorum a, by secundem modulum p residua minima positiua *> €• quorum neutrum erit o Iam si esset ah ~ 0 (mod. p), foret quoque, propter *> o, quod cum theoremate praec. consistere nequit. Huius theorematis demonstratio iam ah Euclide tradita , EI, VIL 52, Nos tamen omit¬ tere eam noluimus, tum quod recentiorum com¬ plures seu ratiocinia vaga pro demonstratione ven- ditaiierunt, seu theorema omnino praeteri erunt, tum quod indoles methodi hic adhibitae, qua infra ad multo reconditiora enodanda vtimur, e casu simpliciori facilius, deprehendi poterit. 1 5. Si nullus numerorum af b, c} d etc, per numerant primum p, diuidi potest, etiam productum abcd etc, per p diuidi non poterit , Secundum artic. praec. a b per p diuidi ne¬ quit; ergo etiam ahc; hinc ahcd, etc. ~ 1 6. Tueo rem a. Numerus compositus quicun- que vnica tantum modo in factores, primos resolui potest . I):em, Q.uemuis numerum compositum in factores primos resolui posse, ex elementis constat, sed pluribus modis diuersis fieri hoc non possb perperam plerumque supponitur tacite. Findamus numerum compositum A , qui si§ — a*b*cf e ,tc» , designantibus a, h, c etc. numeros primos inaequales , alio adhuc modo in facto¬ res primos esse resolubilem. Prime*, manife- 4 5, stum est, in secundum hoc factorum systema alios primos quam a , b , c etc. ingredi non pos¬ se, quum quicunque alius primus numerum A ex his compositum metiri nequeat. Similiter etiam in secundo hoc factorum systemate nul¬ lus primorum a, b , c etc. deesse potest, quip¬ pe qui alias ipsum A non metiretur (art. praec.). Quare hae binae in factores resolutiones in eo tantummodo differre possunt, quod in altera aliquis primus pluries quam in altera habea¬ tur. Sit talis primus pf qui in altera resolu¬ tionem, in altera vero «vicibus occurrat, sit- que m > «: Iam deleatur ex utroque syste¬ mate factor p, n vicibus , quo het vt in altero adhuc m ■ n vicibus remaneat, ex altero ve¬ ro omnino abierit. I. e. numeri -4 duae in fa- p ctores resolutiones habentur , quarum altera a factore p prorsus libera, altera vero m — n vi¬ cibus eum continet, contra ea quae modo de- monstrauimus. 17. Si itaque numerus compositus A est productum ex 2?, C, B etc., patet, inter facto¬ res primos numerorum B , C, D etc. alios esse non posse, quam qui etiam sint inter facto¬ res numeri A , et quemuis horum factorum toties in B , C, D coniunctim occurrere debe» re , quoties in A , Hinc colligitur eriterium, vtrum numerus B alium A metiatur, necne*. Illud eueniet, si B neque alios factores primos, neque vllum pluries inuoluit, quam A ; quarum conditionum si aliqua dehcit, B ipsum A non metietur. 4 Facile hinc calculi combinationum auxilio denuari potest, si A = etc* designanti* bus vfc supra a} c et c. numeros primos diuer- bos: A habere (* ;+ O *) (v + i) etc. diui- gores diuersos, inclusis etiam i et A. 18. Si igitur ^ zz fl« ^ £» y etc* per n erunt diuisibiles ♦ Numerus enim k alios factores primos quam a1 by c etc. non inuoluit* Contineat fa¬ etorem a, vicibus , continebitque kn siue A hunc factorem vicibus \ quare ,***=:** et ~ integer* Similiter ? etc* integros esse demon¬ stratur* 2i* Quando ay b, c etc * Smt inter se primi * et productum ab c etc ♦ potestas aliqua , puta ~ kn : singuli numeri ay by £ etc . similes potestates erunt . Sit a — /A p58, etc. , designantibus / , mi p etc. numeros primos diuersos * quorum nul¬ lus per hyp. est factor numerorum b> c etc. Quare productum abe etc. factorem l implica¬ bit a vicibus , factorem m Vero n vicibus etc. i hinc (ttft. praec.) a* m» * etc* per n diuisibiles ad- X f& 5T eoque y/ a~ l~ mr ; p * etc. integer* Similiter de reliquis b , c etc. Haec de numeris primis praemittenda erant j iam ad ea quae finem nobis propositum pro¬ pius attinent conuertimur* c- 22* Si numeri a, b per alium k diuisibiies secun - dum modulum m ad k primum sunt congrui: * et - se- eundum eundem modulum congrui erunt* Patet ennn a ~ b per k diuisibileih fore, nec minus per m (JiypO; quare (art. 19) ~~ per m aiuisibilis erit, i. e. erit t -r t (mod. m,\ Si autem reliquis manentibus m et k ha¬ bent diuisorem communem maximum e, erit 2 Ei J (mod. ~). Namque * et ~ inter se pri¬ mi. At a — b tam per k quam per m diuisibi- lis adeoque etiam tam per * quam per limcque per -- 1. e. —k~ per -> siue (inod. u:)> e Si a ad m primus, et e, f numeri secundum modulum m incongrui ; erunt etiam a e t a f incongrui secundum m. Hoc est tantum conuersio tlieor. art praec* Hinc vero manifestum est, si a per omnes numeros integros a o vsque ad m — 1 multipli¬ cetur productaque secundum modulum m ad re¬ sidua sua minima reducantur, haec omnia fore inaequalia. Et quum horum residuorum, quo¬ rum nullum numerus sit m , totidemque dentur numeri a o usque ad *»-— 1, pater, nul¬ lum horum numerorum inter illa residua dees- se posse* 24* Expressio ax±b, denotantibus a, b nu¬ meros datos ^ x numerum indeterminatum seu variabilem, secundum modulum m , ad a pri¬ mum , cumis numero dato congrua fieri potesU l Sit numerus, cui coftgrua fieri debet, e9 et residuum minimum positiuum ipsius e — b secundum modulum e ♦ Ex art. praec. ne¬ cessario datur valor ipsius x<^m, talis, vt pro¬ ducti ax secundum modulum m residuum mi¬ nimum fiat e; esto hic valor z/, eritque av == e — b; vnde av~hb es c (mod. m) Q. E.F. 20, Expressionem duas quantitates con¬ gruas exhibentem ad instar aequationum , coti « gruenti am vocamus ; quae si incognitam im¬ plicat, resolui dicitur, quando pro hac valor inuenitur congruentiae satisfaciens {radix). Hinc porro intelligitur , quid sit congruentia resolubilis et congruentia irresolubilis. Tandem facile perspi¬ citur similes distinctiones locum hic habere posse vti in aequationibus. Congruentiarum transscendentium infra exempla occurrent; alge- bratcae vero secundum dimensionem maximam incognitae in congruentias primi, secundi al- tiorumque graduum distribuuntur. Nec minus congruentiae plures proponi possunt plures in¬ cognitas inuoluentes, de quarum eliminatione dis¬ quirendum. 26. Congruentia itaque primi gradus, dx ““h ^ — c ex art. 24 semper resolubibs , quando modulus ad a est primus. Quodsi vero v fue¬ rit vajor idoneus ipsius x9 siue radix congruen¬ tiae, palam est, omnes numeros , ipsi v secun¬ dum congruentiae propositae modulum con¬ gruos, etiam radices fore (art. 9.) Neque mi- bos facile perspicitur, omnes radices ipsi v congruos esse debere : si enim alia radix fuerit , «.? v Hh b ^ a t -f- b* vnde a v ~ a t, et hinc v ec- t (art, 2,%)* Hinc colligitur congruentiam x + v (mod. m.) exhibere resolutionem completam congruentiae + Quia resolutiones congruentiae per valores ipsius x congruos per se sunt obuiae, atque, hoc respectu, numeri congrui tamquam aequi- Ualentes considerandi, tales congruentiae reso¬ lutiones pro vna eademque habebimus. Quarn- obrem quum nostra congruentia .»* -f b'^...e alias resolutiones non admittat, pronunciabi- mus , vnicO tantum modo eam esse resolubilem SeU vnam tantum radicem habere. Ita 'e. g. congruentia 6a;-f- 5 ~ i 5 (mod. 1 1) alias radi¬ ces non admittit, quam quae sunt = 5 (mod. i Haud perinde res Se habet in congruentiis al¬ liorum graduum, siue etiam in congruentiis primi gradus, vbi incognita per numerum est multiplicata, ad quem modulus iiott est primtis. U7. Superest, vt de irluetiienda resolutio¬ ne ipsa congruentiae huiusirtodi, quaedam adii- cfiinius. Primo obseruamus, congruentiam for¬ mae ax~\~i^ Ui CUiUs moduluni ad d pri¬ mum supponimus, ab hac, nx ~ ±_ i j pende¬ re: si enim huic satisfacit x~r, ilU satisfa¬ ciet ^ 'x (i* —> i) r. At Congruentiae 1, modulo per b designato, aequinalet aequa¬ tio indeterminata ax—by-5z_ i, qfctae quomOdO sit soluenda hoc quidem tempore abunde est notum ; quare nobis sufficiet , calculi algoritli- murri huc transscripsisse. Si quantitates A} i?, Ci B, E etc. ita ab his *> & b etc. pendent, Vt habeatur A B = * A~\r C = y. jS-j- A f D — $ C ^ jfi», £ 2: * i3 4- C etc. , brenitatis gratia 'ita eis designamus, A*= [«]} B = 0, C] ; C== l*> C, v], |> C, y, <$j etc. *). Xam proposita sit aequatio indetermi¬ nata ax==byJ±L} vbi a, b positiui. Suppo¬ namus, id quod licet, a esse non <* b . Tum ad instar algorithtrii noti, secundum qiiem duo¬ rum numerorum diuisor communis maximus imiestlgatur , formentur per diuisionem vulga* rem aequationes » a a b + c b = f £ -{- d / ■ N c = y ^ ^ etc. ita Vt £* y etc* r, d, £ etc. sint integri positiuij et b% ef dr e continuo decrescentes, donec per* ueniatur ad m — (*n 4 i > Qtiod tandem euenire debere con* stat. Erit itaque a — [*, y> Gf *]; 6 == {>, .... y, fi1]. Tum fiat re = {4. • • i y. £], ^ = £V* .... y C, «], etitque ax == by 4 i, quando numero¬ rum multitudo est par, aut ax ^ i. , quando est impar. Q. ii. T* 28. Etesoiutionem generalem bulusmedi aequationum indeterminatarum illi Euler pri* . \ N # •) Muito generalius haecce relatio considerari potest, quod negotimii alia forsan occasione suscipiemus. Hic duas tantum propositiones 1 adii cimus , quae vsum suum in praesenti inuestigatione habent; scilicet, i°. £«> y • • • • ^5 f*T W> y • • • • — f<*> C, y . . # 71 J ££> y> ... X, m] = X, vbi signum superius accipiendum quan¬ do numerorum «t, £t y • • • hi multitudo par, inferius quandtf impar; S°. Numerorum ei, Q, y etc, ordo inuerti potest, f,y u, X, (U.] ™ [(«J A . . y, f, *,], Demonstrationes quae non sunt difficiles hio supprimimus; Suus docuit^ Comment. Petrop ♦ T. VII. P. 46. Met- hodus qua vsus est consistit in substitutione aliarum incognitarum loco ipsarum x, y, atque hoc quidem tempore satis est nota. 111. Ia Grange paullo aliter rem aggressus est : scilicet ex theo¬ ria fractionum continuarum constat si fractio in fractionem continuam i « ■+• i T+* t y -t- etc. -+* I toCT.-.nacrix.-gp H "H i conuertatur , haecque deleta vltima sui parte » in fractionem communem ~ restituatur, fore a x *= by 4* i , siquidem fuerit a ad b primus* Ceterum ex vtraque methodo idem algorith- mus deriuatur. Inuestigationes ill. Ia Grange exstant Hist. de l * Ac. de Berlin Annae 1767 p. 175, et cum aliis in Supplementis versioni gallicae Alge* brae Euterianae adiectis. ' ! 4 v 1 29. Congruentia a x -J- t = u cuius modu* lus ad a non primus , facile ad casum praece¬ dentem reducitur. Sit modulus m, maximus- que numerorum a, m diuisor communis Primo patet quemuis valorem ipsius x con¬ gruentiae secundum modulum m satisfacientem eidem etiam secundum modulum S satisfacere (art. 5). At semper ax = o (mod. $) quoniam b ipsum a metitur. Quare, nisi t == u (mod. £) i. e. t — - u per b diuisi bilis , congruentia propo¬ sita non est resolubilis. Ponamus itaque a == m a= j/, # u 53 eritque e ad / primus. Tum vero con¬ gruentiae propositae $ ex »4- Sk ~ o (mod* <5/) aequiualebit haec e a; + £ == o (mod./), i. e# quicunque ipsius x valor huic satisfaciat, etiam illi satisfaciet et vice versa. Manifesto enim ex -f- k per / di nidi poterit, quando &ex -p $k per sf diuidi potest , et vice versa. At con¬ gruentiam ex k~ o (mod./) supra soluere docuimus; vnde simul patet, si v sit vnus ex valoribus ipsius x ~ v (mod. /) exhibere re¬ solutionem completam congruentiae propositae* 3o. Quando modulus est compositus 9 nonnumquam praestat sequenti methodo vti. Sit modulus == mn} atque congruentia proposita ax ^ b, Soluatur primo congruen¬ tia haec secundum modulum m, ponamusque ei satisfieri, si x ~ v (modf ~)f designante $ di* uisorem communem maximum numerorum m s6u Iam manifestum est , queinuis valorem ipsius x congruentiae ax = b secundum modulum mn satisfacientem eidem etiam secundum modu¬ lum m satisfacere debere: adeoque in forma v~b-^ x/ contineri , designante x* numerum in¬ determinatum , quatnuis non vice versa omnes numeri in forma v + ^ x* contenti congruen¬ tiae secundum mod. rtm satisfaciant. Quomo¬ do autem x ' determinari debeat, vt v - x6 fiat radix congruentiae ax s b (mod. m n) , ex 6olutione congruentiae ^ av se b (mod. m n) deduci potest , cui aequiualet haec ~ x‘ = (mod »). Hinc colligitur solutionem congruentiae cuiuscunqueprimi gradus secundurnmodulum m n B a reduci posse ad solutionem duarum congruen¬ tiarum secundum modulum m et Facile autem perspicietur, si m iterum sit productum e duobus factoribus , solutionem congruentiae secundum modulum n pendere a solutione dua¬ rum congruentiarum quarum moduli sint illi fa¬ ctores. Generaliter solutio congruentiae secun¬ dum modulum compositum quemcumque pen* det a solutione aliarum congruentiarum, qua¬ rum moduli sunt factores illius numeri; hi autem , si commodum esse videtur, ita semper accipi possunt , vt sint numeri primi* Ex. Si congruentia ig x = i (mod. r4o) proponitur: soluatur primo secundum mo¬ dulum 2, eritque x == r (mod* 2). Ponatur x s=i + 2 ^/,fietque3g^/™ — 18 (mod. i4o) cui aequiualet 19^=- g (mod.70). Si haec iterum secundum modulum 2 soluitmq iit x* ee 1 (mod. 2 ) positoque x' — 1 + 2 x ", fit 38 x** =ee-- 28 (mod. 70) siue ig x" == — 1 4 (mod. 55). Haec secundum 5 soluta dat x" ee 4 (mod. 5), substitutoque x" ■ = 4 ■+• 5 x,u , fit 95x"'ee— 90 (mod. 35) siue igx"'EE- — 18 (mod. 7). Ex hac tandem sequitur, xUi~ 2 (mod. 7), positoque x'" = 2+7 x'*' colligitur x = 5g+ i4ox^; quare xee 69 (mod. 140) est sohitio completa congruentiae propositae* 5i. Simili modo vt aequationis ax == # radix per ~ exprimitur, etiam congruentiae a x = & radicem quamcunque per | designabimus, congruentiae modulum, distinctionis gratia, ap- ponentes. Ita e.g. || (mod. 12) denotat quem- nis numerum, qui est= 1 1 (mod. 1.2) *). Gene» raliter ex praecedentibus patet , | (mod. c) nihil reale significare (aut si quis malit aliquid ima¬ ginarii), si a, c habeant diuisorem communem, qui ipsum b non metiatur : At hoc casu exbepto, expressio ~ (mod. c ) semper valores reales habe¬ bit t et quidem infinitos : hi vero omnes secun¬ dum c erunt congrui quando a ad c primus, aut secundum quando $ numerorum c, a diui- sor communis maximus. Hae expressiones similem fere habent ah gorithmum vt fractiones vulgares. Aliquot pro¬ prietates quae facile ex praecedentibus dedu¬ ci possunt hic apponimus. 1. Si secundum modulum r, a , ~ b ~ £ ex¬ pressiones f (mod. c ) et | (mod. r) sunt aequiualentes. 2. ^ (mod. c$) et - (mod. c) sunt aequiua¬ lentes, 3. (mod. r) et ~ (mod. e) sunt aequiualentesf quando k ad c est primus. Multae aliae similes propositiones afferri possent: at quum nulli difficultati sint obno¬ xiae, neque ad sequentia adeo necessariae, ad alia properamus. 32. Problema quod magnum in sequenti¬ bus ysum habebit , inuenire omnes numeros , qui se» eundum modulos quotemque datos residua data praebent, facile ex praecedentibus solui potest. Sint pri- ♦) id quod ex analogia per ^ (mod. 12) designari potest, B 3 / W- - ^2s <***■ ino duo moduli, B, secundum quos numerus quaesitus, z% numeris ay b respectiue congruus esse debeat* Omnes itaque valores ipsius z sub forma A continentur, vbi»? est indeterminatus sed talis vt fiat Ax -f- a~b (mod. B). Quodsi iam numerorum B diuisor communis maximus est resolutio completa huius congruentiae hanc habebit formam: x ~ v (mod.-|) siue quod eo¬ dem redit , x = v -f- denotante k numerum integrum arbitrarium. Hinc formula A v - f omnes ipsius z valores comprehendet , i. e. z eez A v (mod. 4^) erit resolutio completa pro¬ blematis, Si ad modulos A> By tertius accedit, C \ secundum quem numerus quaesitus zy debet esse ~ c j manifesto eodem modo proceden¬ dum, quum binae priores conditiones in vnicam iam sint conflatae. Scilicet si numerorum^, Cdiui- £Or communis maximus = *, atque congruentiae ^jx ~b A v^eec (mod. C) resolutio: * ^mod.f), problema per congruentiam z ~ ~y + Av (mod, complete erit resolutum. Similiter procedendum, quotcunque moduli proponan¬ tur, Obseruari conuenit esse numero¬ rum Ay B ; et Ay B , C respectiue minimos com¬ munes diaiduos, facileque inde perspicitur, quotcunque habeantur moduli A, By C etc. , si eorum minimus communis diuiduus sit M, re¬ solutionem completam hanc formam habere, Z ee= r (mod. M)* Ceterum quando vjla con¬ gruentiarum auxiliarum est irresolubilis, pro¬ blema impossibilitatem inuoluere concluden¬ dum esh Perspicuum vero , hoc euenire non posse, quando omnes numeri C etc. hi- ter se sint primi. i *ff@— 2L3 s Ex, Sint numeri A, B, C; a , b, e, 5q4, 55, jG* 17, — 4, 53; hic duae conditiones vt a: sit == 17 (mod. 5o4) et ~ — 4 (mod, 35) vnicae, vt sir == 5‘2i (mod. 2520) aequiualent; ex qua cum hac: 2 — 33 (mod, 16) coniuncta, pro- manat 2 ^ 3o4i (mod. 5o4o), 35. Quando omnes numeri A, B, C etc. inter se sunt primi, constat, productum e:c ipsis esse minimum omnibus communem diui- duum. In quo casu manifestum est, omnes congruentias 2=0 (mod. A); z=^b (mod. B) ete. vnicae z~r (mod. R) prorsus aequiualere, de¬ notante M numerorum A , By C etc. productum> Hinc vero vicissim sequitur, vnicam conditio¬ nem (mod. R ) in plures dissolui posse; scilicet si R quomodocunque in factores inter se primos A , By C etc. resoluitur, conditiones ' % = r (mod. A), z === r (mod. B) , z ~ r (mod. C) , etc. propositam exhaurient. Haec obser- uatio methodum nobis aperit non modo impos¬ sibilitatem, si quam forte conditiones proposi¬ tae implicent, statim detegendi, sed etiam cal¬ culum commodius atque concinnius instituendi. 34. Sint vt supra conditiones propositae, vt sit z~a (mod. A) z~b (mod, B)y 2 ~c (mod, C), Resoluantur omnes moduli in facto¬ res inter se primos, A in AJ A‘“ etc. ; B in B f B" B"4 etc, etc, et quidem ita vt numeri A\ A" etc, B\ B4J etc. etc. sint aut primi, aut pri¬ morum potestates. Si vero aliquis numerorum A , B, C etc. iam per se est primus , aut primi potestas , nulla resolutione in factores pro hoc- ce opus est. Tum vero ex praecedentibus pa- B 4 1 tescitj pro conditionibus propositis hasce sub* stitui posse : z~-a (mod. A' ) , z~a (mod, A^)f z = a (mod. A"') etc., z~b (mod. B'j, z~b (rriod. B**) etc, etc. lam nisi omnes numeri Af Br C etc. fuerint inter se primi , ex, gr. si A ad B non primus, manifestum est, omnes diuiso- yes primos ipsorum B diuersos esse non pos¬ se, sed inter factores A*f,A'"etc. vnum aut al¬ terum esse debere, qui inter B\ B"t 1 3'*4 etc. aut aequalem aut multiplum aut submultiplum habeat. Si primo Jt'4 ==' conditiones z ~ cp (mod. AO} z = 6 (mod. B ') identicae esse de¬ bent, siue a ~ b (mod. A< vel B '), quare alter¬ utra reiici poterit, Si vero non a = h (mod. A')> problema impossibilitatem implicat. Si secundo B* multiplum ipsius^', conditio z = a (mod. A1) in hac z~b. (mod, B') contenta esse debet, sine haec z ^ b (mod. A'} quae ex posteriori de¬ ducitur cum priori identica esse debet, Vnde sequitur conditionem % = a (mod, A% nisi al¬ teri repugnet (in quo casu problema impossibile) reiici posse. Quando omnes conditiones su¬ perfluae ita reiectae sunt, patet, orniies modu¬ los ex bis A Auy Aiis etc. , B\B"yBe'a etc etc. remanentes inter se primos fore: tum igitur de problematis possibilitate certi esse et secun¬ dum praecepta ante data procedere possumus. 35, Ex. Si ut supra esse debet ?= 17 (mod, 5o4); === — 4 (mod. 35), et~= 33 (mod. 16); hae conditiones in sequentes resolui pos¬ sunt, 3== 1 7 (mod 8), == 17 (mod. 9), == 17 (mod. 7)5 = 4 (mod. '5), == — 4 (mod. 7); 33 (mod. 16). Ex luis conditiones z 7^. 17 (mod. 8), 2? ~ 17 (mod. 7) reiici possunt. a 5 quum prior in conditione z = 53 (mod, 16) contineatur , posterior vero cum hac z = — 4 (mod. 7) sit identica; remanent itaque 17 (mod. 9) 4 (mod. 5) ynde colligitur, z 3o4r M 4 W ?6> ■ 0“ 5°«> Ceterum palam est, plerumque commodius fore, si de conditionibus remanentibus eaequae ex vna eadem que conditione euolutae erant seorsi m recolligantur, quum hoc nullo negotio fieri pos¬ sit; e. g, quando ex conditionibus z = a- (mod. A') z ~ a (mod. Aa) etc. aliquae abierunt : quae ex reliquis restituitur , haec erit , z ■ = a secun- dum modulum qui est productum omnium mo¬ dulorum ex A\ A", Au* etc. remanentium. Ita in nostro exemplo ex conditionibus z === — 4 (mod, 5) z 4 (mod. 7) ea ex qua ortae erant, — 4 (mod, 55) sponte restituitur. Porro hinc sequitur haud prorsus perinde esse, quae¬ nam ex conditionibus superfluis relidantur, quantum ad calculi breuitatem : sed haec alia¬ que artificia practica, quae ex vsu multo faci¬ lius quam ex praeceptis ediscuntur hic tradere non est instituti nostri. 56. Quando omnes moduli A\ B, C, D etc. inter se sunt primi, sequenti methodo saepius praestat vti. Determinetur numerus * secun¬ dum A vilitati , secundum reliquorum modulo¬ rum productum vero dirae congruus, siue sit * valor quicunque (plerumque praestat minimum accipere) expressionis (mod. /I), per B C D etc, multiplicatae (vid. art* 5 2) ; similiter sit B 5 s8 $ ~ i (mod. B) et — o (mod. A CD et c.), y -==s I (mod. C) et e= o (mod. A B D etc.), etc. Tunc si numerus % desideratur, qui secundum modulus A , i?, C, X? etc. numeris a , c, d etc* respectiue sit congruus, poni poterit -f £& -f-y^ etc. (mod. A B C D etc.). Manifesto enim, a a (mod. A,); reliqua au¬ tem membra g b> y c etc. omnia = o (mod, A)i quare *?.==« (mod. A). Similiter de reliquis modulis demonstratio adornatur. Haec solu¬ tio priori praeferenda , quando plura huiusmo- * 4i problemata sunt soluenda, pro quibus mo¬ duli A , By C etc. valores suos retinent; tunc enim numeri n y etc. valores constantes nan¬ ciscuntur. Hoc vsu venit in problemate chro- iiologico vbi quaeritur, quotus in periodo Ju¬ liana sit annus, cuius indictio, numerus, au¬ reus, et cyclus solaris dantur. Hic A = i5, 4*=i 9>C 5=28; quare, quum valo_r expressionis YgTiT (mod. i5), siue 5 fz (mod. i5), sit i3, erit at ?== 6916. Similiter pro £ inuenitur 4200, et pro y 4845, quare numerus quaesitus erit residuum minimum numeri 6916 a 4- 4,200 b 4- 4845 c, denotantibus a indictionem, b nu? merum aureum, c cyclum solarem. 67. Haec de congruentiis primi gradus vnioam incognitam continentibus sufficiant. Su- perest vt de congruentiis agamus, in quibus, plures incognitae sunt permixtae. At quoniam hoc caput , si omni rigore singula exponere velimus, sine prolixitate absolui non potest, propositumque hoc loco nobis non est, omnia exhaurire, sed ea tantum tradere, quae attexis / tione digniora videantur: hic ad paucas obser¬ vationes inuestigationem restringimus , vberio- reip huius rei expositionem ad aliam occasio¬ nem nobis reseruantes. 1) Simili modo, vt in aequationibus, per* spicitur, etiam hic totidem congruentias habe¬ ri debere, quot sint, incognitae determinandae 2) Propositae sint igitur congruentiae ax by cz ... 2= f(mod. m) . (A) a' x b* y - f- c* z ... ~ /' . (^0 t\a x 4- b4' y . -f- cHz . . . s fu ..... etc. totidem numero, quot sunt incognitae x} y, z etc* Iam determinentur numeri f, Z4, V/ etc , ita vt sit h i q- b' V + h“ i" 4- etc. = o* 0 i 4- c4 4- c" I" + etc. == o* etc. et quidem ita vt omnes sint integri nulluxnque factorem communem habeant, quod fieri pos¬ se ex theoria aequationum linearium constat* Simili modo determinentur etc, , a p, etc. etc* ita vt sit av ~\~ a4 v4 ■-+- a44 v* -f- etc. = o. c x) + + c?4 + etc, 3== o* etc. 4- a4 i4 4- 4- etc. =* o. bl 4- b‘& 4- &"{"+ etc. =? o. etc. etc. 3) Manifestum est si congruentiae Ay A\ Au etc. per I, S', l(t etc. ; tum per v, */', etc. etc. multiplicentur, tuncque addantur, has congruentias proventuras esse: a8 — - (*f + «//|"4-eta) xs=f$ + /'!'•+/" I" 4* e tc. » 4~ b4 v4 4ri*44 v44 + etc.) y~f^ -4 »/ -f-/" b° 4- etc. (c f4- *' £' + e44 £" 4- etc.) z~f ?4~f 2 + /" £"+ etc. etc. quas breuitatis gratia ita exhibemus : s (ai) *== s (/I 2 (& v) ym.x. (fv ) s (rif). ^ s (/4) etc. . 4) Iam plures casus sunt distinguendi* Primo quando omnes incognitarum coefficientes, s (&£), s (dt,) etc. ad congruentiarum modulum m sunt primi, hae congruentiae secundum prae¬ cepta ante tradita solui possunt, problematis¬ que solutio completa per congruentias formae x = p (mod. m) , y ~ q (mod. m) etc. exhibe¬ bitur *). E. g. Si proponuntur congruentiae x — f- 3 y + .% = i; 4 * + y + 5^=7; z x + 2 {< + « = 3 (mod, 8) , inuenietur I =~/ g, I* == i, f" = — a 4, vnde fit — i5 ac e= — 26; quare x ~ 6 (mod. 8); eodem modo inuenitur i5 y eef 4» i5 ar = 1 , et hinc y eee 4, « ^7 (mod. 8). 5) Secundo, quando non omnes coefficien- tesj s (a f), 2 (b v) etc. ad modulum sunt primi, *} Obseruare conuenlt hancce conclusionem demonstratione egere* quam autem hic supprimimus. Proprie enira nihil aliud ex anajysi nostra sequitur, quam quod congruentiae propositae per alios in¬ cognitarum x, y etc. valores solui nequeant: hos yero. satisfacere U0n sequitur. Fieri enim posset vt nulla omnino solutio daretur. Similis paratogismus. etiam in aequationum linearium explicatione plerumque committitur. — 29 — sint a, C, v etc. diuisores communes maximi ipsi¬ us m cum l(al , s (c0 etc. resp., patet- que problema impossibile esse, nisi illi numeros I(yi), l (/£■); etc. resp. metiantur. Quando vero hae conditiones locum habent, congruentiae in (3) complete resoluentur per tales x — p(mod. — ), y EE <7 (mod. z =r r (mod. — ) «e. b y etc., aut si mauis dabuntur * valores diuersi ipsi¬ us x (i. e. secundum m incongrui puta p, p + — . . . p -f- i*-"--1) m) , g valores diuersi ipsius y it u etc., illis congruentiis satisfacientes: manifestoque omnes solutiones congruentiarum propositarum (si quae omnino dantur) inter illas reperientur. Attamen hanc conclusionem conuertere non licet • nam plerumque non omnes combinationes omnium x valorum ipsius .reum omnibus ipsius*/ cum omnibus ipsius z etc. problemati satisfaciunt, sed quaedam tantum, quarum nexum per vnam pluresue congru¬ entias conditionales exhibere licet. At quum com¬ pleta huius problematis resolutio ad sequentia non sit necessaria, hoc argumentum fusius hoc loco non exsequimur, exemploque ideam qualemcunque de eo dedisse sat habemus. Propositae sint congruentiae 3^ + 5*/ + z ==4i 2* + zy + ee 7, 5X V y + 3 6(mod. 12). Hic fiunt f, i"; *», £" resp. = 1, — - 2, 13 1,1, — 15 — 13, 22 — I, vnde 4^ EE — ■ 4, 7^ Er 5, a8z EE 96. Hinc prodeunt quatuor valores ipsius x puta EE 2, 5, 8, ii; vnus valor ipsius y puta EE 114 quatuor valores ipsius z puta 'EE o, 3, 6, 9 (mod. iz). Iam vt sciamus, quasnam combina- \ tiones valomm ipsius % cum val oribus ipsius z adhibere liceat, substituimus in congruentiis propp. pro x, y, z resp. 2 + 3?, II, $w, vnde transeunt in has 57 + gt + 311 ~ o, 30 -f 6t -f 6u = o, 15 + I5? + 9^ EE o (mod. 12), qui¬ bus facile intelligitur aequiualere has 19 -j- 3* -f- w — ’ o, xo -f zt *f 2u EE o, 5 + 5?-+ 5^ EE o (mod. 4). Prima manifesto requirit vt sit u — t + 1 (mod. 4 )^ quo valore in reliquis sub¬ stituto etiam his satisfieri inuenitur. Hinc colli¬ gitur, valores ipsius # hos 2, 5, 8> H (qui pro¬ deunt statuendo t ZE o, 1, 2 , 3) necessario combinandos esse cum valoribus ipsius z his z =E 3, 6, 9, o resp., ita vt omnino quatuor so¬ lutiones habeantur 5» 11 ) 11, 11, 11, 11 > (mod. 12) 3 9 69 9) 0 j His disquisitionibus, per quas sectionis pro¬ positum iam absolutum est, adhac quasdam pro¬ positiones similibus principiis innixas adiungimus, quibus in sequentibus frequenter opus erit. 38. Problema. Inuenire , quot numeri po~ sitiui dentur numero positiuo dato A minores sU mulque ad ipsum primi * Designemus breuitatis gratia multitudinem numerorum positiuorum ad numerum datum primorum ipsoque minorum per praefixum characterem 4. Quaeritur itaque $A. I. Quando A est primus, manifestum est omnes numeros ab i vsque ad A — i ad A primos esse ; quare in hoc casu erit # A s= A — i. II* Quando A est numeri primi potestas puta s=s omnes numeri per p diuisibiles ad A non erunt primi, reliqui, erunt Quamobrem de i numeris hi sunt reiiciendi: p, 5 p .... (pm-i — 1) p ; remanent igitur pm — 1 — (pm~i — l ) siUe pm~ 1 (p — 1 ). Hinc pm = fr — O- III. Reliqui casus facile ad hos redu¬ cuntur ope sequentis propositionis : Si A in factores Mf N, P elc, inter se primos est resolutus 9 $rit (p A =

quorum multitudo q> N Q P etc. lam constat omnes numeros ad productum A primos etiam ad factores singulos M, N , P etc* primos fore et vice versa (art. 19); porro omnes numeros qui horum m, m44 Qt c, alicui sint con¬ grui secundum modulum M ad Tl^primos fore et vice versa, similiterque de N, P etc. Quaestio itaque huc reducta est: determinare quot den¬ tur numeri infra A, qui secundum modulum. Mt alicui numerorum m9 m m“ etc. secundum mo¬ dulum Nf alicui ex his », n4, n 44 etc. etc. sint congrui. Sed ex art. 32 sequitur, omnes nu¬ meros, secundum singulos modulos M, N, P etc, residua determinata dantes > congruos se cum clam eo t«um productum A fore, a deo que in¬ fra A YFsicum tantum dari , seeuoAm singulos M, N, P etc, residuis datis congruum. Quare numerus quaesitus aequalis erit numero coni- lunationum singulorum numerorum m, m', nH cum singulis n , n\ atque p, p% pu et:c. etc* Hunc vero esse — M. $ ISL $ P etc. ex theoria combinationum constat. Q. E. V. IV. Jam quomodo hoc ad casum de quo agimus applicandum sit facile intelligitur. Re- soluatur A in factores suos primos siue redu¬ catur ad formam aa b ^ cv etc* designantibus at b, c etc. numeros primos diuersos. Tum erit

) etc, seu concinnius

. 43, 47i 49, 53, 5g. Solutio prima huius problematis exstat iri commentatione ili. Euleri, theoremata arithmetica noua methodo demonstrata , Conim Uou. Ac. Petrop. VIII. p. 74. Demonstratio postea repetita est 111 alia diss. Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum, Acta Petrop. VIII p» 17. 39. Si characteris 0 significatio ita deter¬ minatur, vt (p A exprimat multitudinem nume¬ rorum ad -A primorum ipsoque A non maioruni perspicuum est 0 1 fore non amplius == o, sed £=» 1 * in omnibus reliquis casibus nihil hinc im¬ mutari. Ha nece definitionem adoptantes se¬ quens habebimus theorema* / Si .a, a\ au ite. sunt omnes diuisores ipsius A, ( vnitate et ipso A non exclusis ) erit

* ad istos respectiue primis aequales prodiis- sent , i. e. si esset A ^ ^ ff sequeretur n JA 1 M. Ponatur M > N (id quod licet). Quo¬ niam M ad p est primus, atque numerum n N metitur, etiam ipsum N metietur, maior mi¬ norem. Q* E. A. 2) inter hos numeros, omnes hi r, 2, 3 ♦... A inuenientur. Sit numerus quicunque ipsum A non superans t, maxima numerorum A, t com¬ munis mensura £ eritque f diuisor ipsius A ad quem Jj; primus. Manifesto hinc numerus t in¬ ter eos inuenietur qui ex diuisore prodierunt. 3) Hinc colligitur horum numerorum multitu¬ dinem esse A , quare 6 a Hh 6 a4 + 6 a14 + etc. = A * q. E, D »♦ 4o. Si maximus numerorum B, C, D etc* diuisor communis = « : numeri a , b, cy d etc * ita deter¬ minari possunt, vt sit a A -f- b B c C -J- etc . == vl C 54 Bem. Consideremus primo duos tantum numeros A, B , sitque horum diuisor maximus communis = a. Tum congruentia Ax= \ (mod. B) erit resolubilis (art. 5o). Sit radix == «, ponaturque — — G. Tum erit « A + vti desiderabatur. Accedente numero tertio C , sit maximus diuisor communis numerorum a, C, '= V, erit- que hic simul maximus diuisor communis nu¬ merorum A , 5, C *). Determinentur numeri y ita vt sit k a + y£=A'? eritque k*A~t- k£B + y C = ^* Accedente numero quarto Z), ponatur maxi* mus diuisor communis numerorum a', D (quem simul esse maximum diuisorem communem nu¬ merorum A , B , (7, D facile perspicitur) = a", fiatque &'a' -f- * D — a". Tum erit kk‘ *A kk' GB + Jfe'y C-b^ = a". Simili modo proced ipotest, quotcunque alii numeri accedant. Si itaque numeri A , C, D etc. diuisorem communem non habent, patet fieri posse a A »4- b B -f- c C -f- etc. = i. 4-i* Si p est vmmerus primus atque habentur p res , inter quas quotcunque aequales esse possunt , modo non omnes sint aequales : numerus permutationum ha¬ rum rerum per p erit diuisibilis » Metiatur enim manifesto JO omnes A< B, C. Si vero non essefe diuisor communis maximus: maximus foret maior quam lam quoniam hic diuisor maximus metitur ipsos A B ; metietur etiam ipsum et A -f- " B i. e. ipsum A', maior minorem E, A, — » Facilius adhuc hoc ex art. Xg deduci potest. 35 ExempL Quinque res A , A , 5, B, decem modis diuersis possunt transponi. Demonstratio huius theorematis facile qui¬ dem ex nota permutationum theoria peti po¬ test. Si enim inter has res sunt primo a aequa¬ les nempe = A , tum b aequales nempe = B, tum c aequales nempe === C etc. (vbi numeri a, b, c etc. etiam unitatem designare possunt), ita vt habeatur a -4- b 4-c -f- etc =/?, numerus permutationum erit = r^'3'.'T:x'l:TT^l.Y7aT~elc-* lam per se clarum est, huius fractionis nume¬ ratorem per denominatorem diuisibiiem esse, quoniam numerus permutationum debet esse in¬ teger: at numerator per p diuisibiiis est, de¬ nominator vero , qui ex factoribus ipso p mi¬ noribus est compositus, per p non diuisibiiis (art. i5). Quare numerus permutationum per p erit diuisibiiis (art. 19). Speramus tamen fore quibus etiam sequens demonstratio haud ingrata sit futura. Quando in duabus permutationibus rerum © quibus compositae sunt ordo in eo tantum discrepat, vt ea res quae* in altera primum lo¬ cum occupat, aliam sedem in altera teneat, re¬ liquae autem eodem in vtraque ordine progre¬ diuntur, eamque quae in altera vltima est, ea quae est prima, in altera excipit; permutationes similes vocemus *). Ita in ex. nostro permuta¬ tiones A B A AB et AB AB A similes erunt, G 2 Si permutationes similes in circulum «criptae esse concipiuntur ita vt vltima res primae fiat contigua , nulla omnino erit discrepantia].' quoniam nullus locus primus aut vltimus vocari poterit, 36 quoniam res quae in priori primum secun¬ dum etc. locum occupant, in posteriori loco tertio quarto etc. eodem ordine sunt collo¬ catae, Iam quoniam quaeque permutatio ex p re¬ bus constat t patet cuiuis p — i similes adin- ueniri posse, si ea res quae prima fuerat, ad secundum, tertium etc. locum promoueatur» Quarum si nullae identicae esse possunt mani¬ festum est, omnium permutationum numerum per p diuisibilem euadere, quippe qui p vici¬ bus maior sit quam numerus omnium permuta¬ tionum dissimilium. Supponamus igitur duas permutationes P Q . . . T V . . . T Z ; V. ♦. T , quarum altera ex altera per terminorum promotionem orta sit, identicas esse siue P~V etc» Sit terminus P qui in priori est primus, w+r tus in posteriori. Erit igitur in serie posteriori terminus n -f- 1 tus ae¬ qualis primo, n + 2 tus secundo etc. vnde 2®+i tus rursus primo aequalis euadet , ea- demque ratione 3 n 1 tus etc. ; generaliterque terminus k n 4- m tus m to (vbi quando kn~pm ipsum p superat, aut series V ... TZP Q... T semper ab initio repeti concipienda est, aut a kn ‘-b fu multiplum ipsius p proxime minus re¬ scindendum). Quamobrem si k ita determina¬ tur , vt fiat kn~ 1 (mod. p) , quod fieri potest quia p primus, sequitur generaliter terminum m tum m 4- 1 to aequalem esse, siue quemuis terminum sequenti, i. e. omnes terminos ae¬ quales esse contra bypothesin. 42. " Si coefficimtes A, C . . « . 2V“; a, b} c . . . « fi duarum functionum formae “ 37 - a*m -f- A xm 1 — f- B xm 2 -4- C 3 . *+• (P) x,u ~f- a xu~~ * -f- b xf*~°2 -f4 c xp~~ 3 . Hh n Q) omnes sunt rationales , neque vero omnes integri, pro - ductumque ex ( P ) et (Q) *= — I-|- — 2 '+ etc. ~b omnes coef fickntes 21, 58 .... $ integri esse nequeunt . Demonstr . Exprimantur omnes fractiones in coefficientibus 5 etc. b etc. per nu¬ meros quam minimos , ebgaturque ad libitum numerus primus p, qui aliquem aut plures ex denominatoribus harum fractionum metiatur* Ponamus, id quod licet, p metiri denominato- rem alicuius coeffi cientis fracti in (P), patetque si (Q) per p diuidatur, etiam in ^ dari ad mi¬ nimum vnum coefficientem fractura cuius deno* minator implicet factorem p (puta coefficientem primum J). lam facile perspicitur, in (P) da¬ tum iri terminum vnum , fractum , cuius deno¬ minator inuoluat plures dimensiones ipsius p quam denominatores omnium similium praece¬ dentium, et non pauciores quam denominatores omnium sequentium ; sit hic terminus = G x§9 et multitudo dimensionum ipsius p in denomi* natore ipsius G , = Similis terminus dabitur in qui sit === rxY et multitudo dimensio¬ num ipsius p in denominatore ipsius r, == t* Manifesto hic erit J-t-r. ad minimum === 2. His ita praeparatis, terminus xSj-y producti ex (P) et C Q) coefficientem habebit fractum, cuius de¬ nominator t-p r — i dimensiones ipsius p in* uoluet, id quod ita demonstratur. Sint termini qui pn (P) terminum Gxs praecedunt, 'G$b+\9 "Gxs+2, etc. sequentes vero G'xs—1, G"xs— a etc.; similiterque in (|) C 5 I 58 praecedant terminum r xv termini 'r , "r x y+2 etc. sequantur autem termini r *xv — i, fq'xV~~Z etc* Tum constat in producto ex (P), v coefficientem termini xsjrY fore G?r + 'Gr' Hh "Gr" -f- etc. *-{-• G# + "r G^ -f- etc. Pars G r erit fractio quae si per numeros qnam minimos exprimitur in denominatore f-f-* di¬ mensiones ipsius p inuoluit, reliquae autem partes si sunt fractae, in dominatore pauciores dimensiones numeri p implicabunt, quoniam omnes sunt producta e binis factoribus quo¬ rum alter non plures quam t , alter vero pau¬ ciores quam t dimensiones ipsius p implicat ; vel alter non plures quam *, alterque pauciores quam U Hinc Gr erit formae JfTfTy reliqua¬ rum vero summa formae vbi ^ posi- uus et e , /, f a factore p liberi : quare omnium summa erit = e f‘ + e1 /p‘ Jfp**** cums numerator per p non diuisibilis , adeoque denominator per nullam reductionem pauciores dimensiones quam if + r obtinere potest. Hinc coefficiens termini 547 in producto ex (P), (Q) erit = dimen- i. e 'fvactio cuius denominator * -f- * sion es ipsius p implicat. Q. E* D . 43. Congruentia mt! gradus , A xm Bxm~1 + Cxm — 2 -{- etc, -f- M x -f- N ~ o, cuius modulus est numerus primus p, ipsum A non metiens , pluribus quam m modis diuersis solui non potest , siue plures quam m radices secundum p incongruos non (Vid* artt. 26, 26) Si quis neget, ponamus dari congruentias diuersorum graduum mf nf etc. quae plures quam m, n etc. radices habeant, sitque mini- inus gradus, tn, ita vt omnes similes congruen¬ tiae inferiorum graduum theoremati nostro sint consentaneae. Quod quum de primo grado iam supra sit demonstratum (art. 26) , manife¬ stum est, m fore aut = 2 aut maiorem. Ad¬ mittet itaque congruentia Ax™ + Bx ra~I + etc. + N~o saltem m 4- 1 radices, quae sint x x = C, X'~v etc., ponainusque id quod licet omnes numeros «> & v etc. esse positiuos et minores quam p , omniumque minimum *, Iam in congruentia proposita substituatur pro x , y 4- «, transeatque inde in hanc A* ym + B'ym— 1 4- C'y™—2 . . . . -4- M' y 4- Ar' ~ o. Tum manifestum est, huic congruentiae satis¬ fieri deberi, si ponatur y~ o, aut == *, aut eee y— * etc., quae radices omnes erunt diuer- sae, numerusque earum = m 1 , At ex eo quod y = o est radix, sequitur, A' per p diui- sibilem fore. Quare etiam haec expressio, y (A' ym"~l 4- B' ym^~2 -{_ etc. -4- M4) det o (mod. p), si ipsi y vnus ex m valoribus, y- <2,6 te. tribuitur, qui omnes sunt o et <^ pf ad¬ eo que in omnibus hisce casibus etiam 1^ B' ym~* -f-etc. + M* det =5 o art. 2 2 ; i. e. congruen¬ tia A 1 -4- B' y™—* etc. h- M* e= o, quae est gradus m — st5, m radices habet et proin theo¬ remati nostro aduersatur (patet enim facile, A 1 fore ==s Ay adeoque per p non diuisibiiem, /vti requiritur) licet supposuerimus, omnes con¬ gruentias inferioris gradus quam m li, theorema¬ ti consentire. Q. E * A , ' . C 4 4o 44* Quamuis hic supposuerimus, modu¬ lum p non metiri co efficientem termini summi, tamen theorema ad hunc casum non restringi¬ tur. Si enim primus coefficiens siue etiam ali¬ qui sequentium per p diuisibiles essent, hi ter¬ mini tuto reiici possent, congruentiaque tan¬ dem ad inferiorem gradum deprimeretur, vbi coefficiens primus per p non amplius foret diuisi- bil is, siquidem non omnes coefficientes per p di- tiidi possunt; in quo casu, congruentia foret, iden- tica atque incognita prorsus indeterminata* Theorema hoc primum ab ili. La Grange propositum atque demonstratum est ( NJem . de V Ac, de Berlin , Annee 1768 p* 19 2.). Exstat et¬ iam in dissert. ili* Le Gendre, Recherckes d*Ana - lyse in deter minee , Hist, de l*Acad . de Paris 17 8 5. p* 466. III. Euler in Nou * Cotmn, Ac. Petr. XVIIL p, 93 demonstrauit congruentiam xn *— 1 =0 plures quam n radices diuersas habere non posse. Quae quamuis sit particularis, tamen methodus qua vir summus vsus est omnibus congruentiis facile adaptari potest. Casum ad¬ huc magis limitatum iam antea absoluerat, Comm. Ac. Petr, V . p, 6, sed haac methodus ge¬ neraliter adhiberi nequit. Infra Sect* VIII, alio adhuc modo theorema demonstrabimus; at quantumuis diuersae primo aspectu omnes hae methodi videri possint, periti qui comparare eas voluerint facile certiores fient omnes eidem principio superstructas esse. CetenTm quum hoc theorema hic tantum tamquam lemma sit considerandum , neque completa expositio huc pertineat: de modulis compositis seorsim agere supersedemus* / / 4« Sectio Tertia DE RESIDVIS POTESTATVM. 45. Theorema. I» omni progressione geome¬ trica , 1 , a, aat a 3 etc . praeter primum 1 , a/i«$ arf- huc datur terminus , ati secundum modulum p ad a / 1 * * * primum unitati congruus , cuius exponens t p. Demonstr. Quoniam modulus p ad a, ad- eocjuo ad quamuis ipsius a potestatem est pri¬ mus, nullus progressionis terminus erit ~ o (mod, p.), sed quiuis alicui ex his numeris 1 , 2 , 3 .. . . p — 4 congruus* Quorum mul¬ titudo quum sit p — 1, manifestum est, si piu- res quam p — 1 progressionis termini conside¬ rentur, omnes residua minima diuersa habere non posse. Quocirca inter, terminos 1, a, aa, a3 _ aP~l bini ad minimum congrui inue» nientur. Sit itaque am an et m > «, fietque diuidendo per an^n ^ 1 (art. 2 2) vbi m~ n <| p, et J>. o. Q. E. D. Ex, In progressione i, 2, 4, 8 etc. termi¬ nus primus qui secundum modulum 10 vnitati' C 5 I est congruus, inuenitur 21* = 4096. At se¬ cundum modulum a5 in eadem progressione iit 2Ir — 20 1 8 = i. Similiter numeri 5 potestas sexta, i56^5 , vnitati congrua secundum mo¬ dulum 7, quinta vero, , 5 128, secundum n. In aliis igitur casibus potestas exponentis mi¬ noris qoam p — 1 vnitati congrua euadit , in aliis contra vsque ad potestatem p — 1 tam ascendere necesse est. 4b. Quando progressio vitra terminum qui vnitati est congruus continuatur, eadem quae ab initio habebantur residua prodeunt iterum. Scilicet si = 1, erit aM =r a , a1*2 » aa etc. donec ad terminum a2 t perueniatur , cu¬ ius residuum minimum iterum erit = 1 , atque residuorum periodum denuo inchoat. Habetur itaque periodus t residua comprehendens, quae simulae finita est ab initio semper repetitur; neque alia residua quam quae in hac periodo continentur in tota progressione occurrere po^~ sunt. Generaliter erit 1, et «m,+n=Ean, id quod per designationem nostram ita exhibetur ; Si r ~ e (mod, t ) erit ctT ee~ a* (mod. p) 47- Petitur ex hoc theoremate compen¬ dium potestatum quantumuis magno exponente affectarum residua expedite inueniendi, simul¬ ae potestas vnitati congrua innotescat. Si ex. gr. residuum e diuisione potestatis 510&° per i3 oriundum quaeritur, erit propter 53 ~ 2 (mod. 1 5), 3; quare quum sit 1000 = 1 mod. 3.), erit 3IOO° =' 3 (mod. i3). 48. Quando at est infima potestas vnitati Congrua (praeter a® = i, ad quem casum hie non respicimus), illi t termini, residuorum pe¬ riodum constituentes omnes erunt diuersi , vti ex demonstratione art. 45 nullo negotio perspi¬ citur, Tum autem propositio art. 46 conuerti potest; scilicet si am eee: an (1110 d. p) erit m = n (niod. t). Si enim n secundum modulum t incongrui essent , residua eorum minima, v* * diuersa forent* At au ^e am, av '= ap, quare au == a* i* e. non omnes potestates infra pS incon¬ grui forent contra hypoth. Si itaque ak = 1, (mod. p), erit k me o (mod. 0 i. e. k per t diuisibilis* Hactenus de modulis quibuscunque si mo¬ do ad a sint primi diximus. lam modulos qui sunt numeri absolute primi seorsim considere¬ mus atque huic fundamento inuestigationem generaliorem postea superstruamus. 49. Theorema* Si p esi numerus primus ipsum a non metiens , atque aP infima ipsius a potestas secundum modulum p vnitati congrua , exponens t aut erit == p — 1 aut pars aliquot a huius numeri . Conferantur exempla art. praec. Demonstr. Quum iam ostensum sit, t esse aut = p - 1 , aut < p — 1 , superest , vt in po¬ steriori casu t semper ipsius p — 1 partem ali- quotam esse euincatur. I* Colligantor residua minima positiua omnium horum terminorum, 1, <*, aa.,,. a*™ 1 quae per *> *s> etcf designentur, ita vt sit « = i, eee a} *u—aa etc. Perspicuum est, haec omnia fore diuersa, si enim duo termini a™, an 44 eadem praeberent, foret (supponendo fm -b=- i atque n t, Q* £, y/, quum nulla inferior potestas quam afc vnitati sit congrua, hyp. Porro omnes *" etc. in serie nume¬ rorum i, 2, 5 p — i continentur, quam ta¬ men non exhaurient, quum t<*p — i. Com¬ plexum omnium *> *" etc. per (A) designa¬ bimus. Comprehendet igitur ( A ) terminos t. II. Accipiatur numerus quicunque £ ex his i, 2, 5 .. . p — i, qui in (A) desit. Multi¬ plicetur £ per omnes «, *" etc. , sintque resi¬ dua minima inde oriunda £• £" etc. , quorum numerus etiam erit t. At haec residua tum in¬ ter se quam ab omnibus <*> *•> etc. erunt di- uersa. Si enim prior assertio falsa esset, habe¬ retur £ai» = ,San adeoque diuidendo per £, am = anf 'contra ea quae modo demonstrauimus ; si vero posterior , haberetur vnde, quan¬ do m etc. congruus contra hyp. ; quando vero m > n> se¬ quitur multiplicando per m, £at=^+n— m, siue propter i, £=at+tl— m, quae est eadem absur ditas. Designetur complexus omnium £ £'> £/; etc. quorum multitudo = t , per (B), habe- bunturque iam 2 1 numeri ex his i, 2, 3 ... p — j. Quodsi igitur ( A ) et ( B ) omnes hos numeros complectuntur , Iit = t adeoque theorema demonstratum. III. Si vero aliqui adhuc deficiunt, sit ho¬ rum aliquis y. Per hunc multiplicentur omnes et“ etc. , productorumque residua minima sint v» y*> vu etc. ; omnium complexus per (o designetur. (C; igitur comprehendet t numeros 45 ex his i, s, 3 ... p — i, quae omnes tum in¬ ter se quam a numeris in (A) et (J 3) contentis erunt diuersi. Assertiones priores eodem mo¬ do demonstrantur vt in II, tertia ita. Si esset v am = £ an , fieret y = € an~~ m , aut = £ flt+n— m prout i» », aut > n, in vtroque casu y alicui ex (JB) congrua contra hyp. Habentur igitur 5 t numeri ex his r, 2, 3 . . . p— -i, atque si nulli amplius desunt, fiet t == t - adeoque theo¬ rema erit demonstratum* IV. Si vero etiamnum aliqui desunt eo¬ dem modo ad quartum numerorum comple¬ xum, (D), progrediendum erit etc. Patet vero quoniam numerorum i, 2, 5 . ♦ . . p — i multi¬ tudo est finita, tandem eam exhaustum iri, ad¬ eoque multiplum ipsius t fore : quare t erit pars ali quota numeri p ~ i. Q. E. D. 5o. Quum igitur sit integer, sequitur euehendo vtramque partem congruentiae at^t ad potestatem exponentis ~, av~~ 1 ~ i , siue 0p — i £ semper per p diuisibilis est } quando p est primus ipsum a non metiens. Theorema hoc quod tum propter elegan¬ tiam tum propter eximiam vtilitatem omni atten¬ tione dignum, ab inuentore theorema Fermatianum appellari solet. Vid, Fermatii Opera Mathem. To¬ losae 1679 foh P* 163. Demonstrationem in- uentor non adiecit, quam tamen in potestate sua esse professus est. 111. Euler primus de¬ monstrationem publici iuris fecit , in diss. cui titulus Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio , Comnt « Aeaci, Petrop . T* y V / ' ' ■ ■ ' ■ ” v J 1 ‘ : . \ 46 VUl *). " Innititur ista eu6lutioni potestatis (a + 1 )p, vbi ex coefficientium forma facillime deducitur (a-f i)p — av—t semper per p fore diuisibilem, adeoque (a-f-i)p — (a-f-i) per p diuisibilem fore, quando qv — a per p sit diuisibi¬ lis* Iam quia ip — i semper per p diuisibilis est r etiam 2P — 2 semper erit; bine etiam Sp — 3 etc. generaliterque «p— a. Quodsi itaque p ipsum a non metitur, etiam av~l— 1 per p diuisibilis erit. Haec sufficient ad methodi indo¬ lem declarandam. Clar. Lambert similem demon¬ strationem tradidit in Actis Erudit, 1769.^.109. Quia vero euoiutio potestatis binomii a theoria nu¬ merorum satis aliena esse videbatur, aliam de¬ monstrationem ili. Euler inuestigauit quae ex¬ stat Comment . nou. Petr . T ♦ VII p* 70, atque cum ea quam nos art. praec. exposuimus pror¬ sus conuenit. In sequentibus adhuc aliae quaedam se nobis offerent. Hoc loco vnara superaddere liceat , quae similibus principiis innititur, vti prima ili. Euleri. Propositio se¬ quens, cuius casus tantum particularis est theo¬ rema nostrum, etiam ad alias inuestigationes infra adhibebitur. Polynomii b + c-f- ete, potestas p ta secun¬ dum modulum p est «p-J- bv~\- cp E etc,f siquidem p est numerus primus, *) In comment. anteriore vir summus ad scopum nondum peruenerat, Com. Petr. T. VI. p. 106. — ■ In controuersia famosa inter Mau~ pertuis et Konig, a principio actionis minimae orta, sed mox ad res heterogeneas egressa, Konig in manibus se habere dixit autographum Leibtiitianum , in quo demonstratio huius theorematis cum Euieriana prorsus conspirans contineatur. Appel au public . p. io6- Licet irero fidem huic testimonio denegare nolimus , certe Leibnitius in- uentum suum numquam publicauit. Conf. Hist, de PJe. de Prusse, A. 1750. p. 530 47 ' , . , • • ,-rf. , Demonstr . Constat potestatem ptam poly- nomii a f etc. esse compositam e par¬ tibus formae * ax b* c7 etc. vbi a+C+y etc. *= fj et * designat, quot modis p res» quarum y etc. respectiue sunt = at b, c etc. permu¬ tari possint. At supra art. 4* ostendimus, hunc numerum semper esse per p diuisibilem , ni¬ si omnes res sint aequales , i. e. nisi aliquis nu¬ merorum £ y etc. sit = p reliqui vero = o. Ynde serpitur omnes ipsius (a + b -f- c -f- etc.)p partes , praeter has aP, &p, cp etc. , per p diui- sibiles esse; quae igitur quando de congruen¬ tia secundum modulum p agitur, tuto omitti poterunt, fietque etc.)p^ apq-&p~f- tfp -{- etc. Q. E . D. Quodsi iam omnes quantitates a , b , c etc. s= 1 ponuntur , numerusque earum = k , fiet kv=k vti in art praec. 62. Quoniam igitur alii numeri quam qui sunt diuisores ipsius p — 1 nequeunt esse ex¬ ponentes potestatum infimarum ad quas euecti numeri aliqui vnitati congrui fiunt, quaestio sese offert, num omnes ipsius p — 1 diuisores ad hoc sint idonei , atque, quando omnes nu¬ meri per p non diuisibiies secundum exponen¬ tem infimae suae potestatis vnitati congruae clas- sificentury quot ad singulos exponentes sint per- uenturi. Vbi statim observare conuenit, suf¬ ficere, si omnes numeri positiui ab 1 vsque ad p — • t considerentur ; manifestum enim est, nu¬ meros congruos ad eandem potestatem eleuari debere, quo vnitati fiant congruae, adeoque numerum quemcunque ad eundem exponentem esse referendum ad quem residuum suum mi- > 48 nimum positimim. Quocira in id nobis erit incumbendam, vt quomodo hoc respectu nu- mari i, 2, 5 .... p — r inter singulos p — 1 factores distribuendi sint emamus. Breuitatis gratia, si d est ynus e diuisoribus numeri p — 1 (ad quos etiam 1 et p — i referendi), per 4d designabimus multitudinem numerorum posi- tiuorum ipso p minorum quorum potestas dte est infima vnitati congrua* 53. Quo facilius haec disquisitio intelligi possit, exemplum apponimus. Pro p= 1 9 di¬ stribuentur numeri 1, 2, 3 18 inter diuiso- res numeri 18 hoc modo: 1 2 3 6 1. 18. 7, ir. 8, 12. 4, 5, 9 4, 5, 6, 9, 16, 17. 18 2, 3, io, i3, 14, i5. In hoc igitur casu fit 4 1 = r, 4 2 =*= r, 4/3 = 2, 4- 6—2 , 49 = 6, 4 18 = 6. Vbi exigua atten¬ tio docet» totidem ad quemuis exponentem pertinere , quot dentur numeri hoc non maiores ad ipsumque primi, siue esse in hoc certe casu , retento signo art. 40 , 4 d =

d}

c etc. vel sal¬ tem per aliquem eorum diuisibilem (art. 17), ex. gr* per a> de reliquis enim simile est ratio¬ cinium. Metietur itaque t ipsum quare productum AB Cete, etiam ad potestatem eleuatum vnitati erit congruum (art* 4$). Sed perspicuum est singulos S, C, etc* (exemto ipso A) ad potestatem ~-tam eleuatos vnitati congruos fieri, quum exponentes 6», etc. ad quos singuli pertinent ipsum — - metiantur* tt . J>~x * aP-* Hinc erit A « — B~*~ C etc. Ac Vnde sequitur exponentem ad quem A perti¬ net ipsum metiri debere (art. 48), i. e. esse integrum; at =e= integer esse nequit (art. i5). Vnc^e tandem conclu¬ dere oportet, suppositionem nostram consistere non posse , i. e. productum ABC etc. reuera ad exponentem p — i pertinere* Q. E , D. Demonstratio posterior priori aliquantulum prolixior esse videtur, prior contra posteriori minus directa. 56. Hoc theorema insigne exemplum suppeditat, quanta circumspectione in theo¬ ria numerorum saepenumero opus sit, ne, quae non sunt, pro certis assumamus. Ce- leb. Lamberfc in diss. iam supra laudata Acta Erudit 1769 p. 127 huius propositionis men¬ tionem facit sed demonstrationis ne necessita¬ tem quidem attigit. Nemo vero demonstra¬ tionem tentauit praeter summum Eulerum Comment. nou. Ac. Petrop . T . XVIll ad annum a y »7 5 Demonstrationes circa residua ex diuisione poti* statum per numeros primos resultantia p. 85 seqq. vicL imprimis art. 07 vbi de demonstrationis necessitate fusius locutus est. At demonstratio quam Vir sagacissimus exhibuit duos defectus habet. Alterum quod art. 3i et sqq. tacite supponit, congruentiam xn == x (translatis ra¬ tiociniis illic adhibitis in nostra signa) reuera n radices diuersas habere quamquam ante nihil aliud fuerit demonstratum quam quod plures habere nequeat; alterum, quod formulam art*. 34 per inductionem, tantummodo deduxit,, 67. Numeros ad exponentem p — i per¬ tinentes radices primitiuas cum ilL Eulero voca¬ bimus. Si igitur a est radix priraitiua, potesta¬ tum a , aa3 a3 , . . a?—1 residua minima omnia erunt diuersa; vnde facile deducitur, inter haec omnes numeros 1, 2, 3, ... . p - 1, qui totidem sunt multitudine quot illa, residua minima? re- periri debere, i. e» quemuis numerum per p non diuisibilem potestati alicui ipsius a con¬ gruum esse. Insignis haec proprietas perma¬ gnae est vtilxtatis , operationesque arithmeticas, ad congruentias pertinentes? haud parum suble- uare potest, simili fere modo, vt logarithmo- rum introductio operationes arithmeticae vul* garis. Radicem aliquam primitiuam, ay ad lu- bitum pro kasi adoptabimus , ad quam omnes numeros per p, non diuisibiles referemus et si fuerit #e rEE b (modo p) r e ipsius b indicem voca¬ bimus. Ex. gr. si pro modulo 19, radix pri- ihitiua 2 pro basi assumatur respondebunt numeris 1.2. 3.4. 5. 6.7*8.9,10.1142,1 3.14.15.16. 17,18. indices 0.1.13.216,14,6,3,8,17.12.15. 5.7.11. 4,10. 9, D 3 I - 54 — Ceterum patet, manente basi, cuique numero plures indices conuenire, sed hos omnes se¬ cundum modulum p — - i fore congruos ; quam- obrem quoties de indicibus sermo erit, qui se¬ cundum modulum j? — i sunt congrui pro ae- quiualentibus habebuntur, simili modo vti nu¬ meri ipsi , quando secundum modulum p sunt Congrui, tamquam aequiualentes spectantur. i 58. Theoremata ad indices pertinentia prorsus analoga sunt iis quae ad logarithmos spectant. Index producti e quotcunque factoribus conflati congruus est summae indicum singulorum factorum se* eundum modulum p — i, Index potestatis numeri alicuius congruus est producto ex indice numeri dati in exponentem potesta¬ tis , secundum mod « p— - i« Demonstrationes propter facilitatem omit¬ timus. Hinc perspicitur si tabulam construere ve¬ limus ex qua omnium numerorum indices pro modulis diuersis desumi possint, ex hac tum omnes numeros modulo maiores, tum omnes compositos omitti posse. Specimen huius mo¬ di tabulae ad calcem operis huius adiectum est, Tak Jy vbi in prima columna verticali positi sunt numeri primi primorumque potestates a 5 vsque ad 97, qui tamquam moduli sunt spe* ctandi , iuxta hos singulos numeri pro basi as- / sumti; tum sequuntur indices numerorum pri¬ morum successiviorum , quorum quini semper per paruulum interuallum sunt disiuncti, eo- demque ordine supra dispositi Sunt numeri pri¬ mi* ita vt quis index numero primo dato se* eundum modulum datum respondeat» facile tu» toque inueniri Ita ex, gr. si, /7 = 67 index numeri 60, as* sumto pro basi erit ~ 2 Ind. 2 4- Ind. 3 — Ind. S (mod, 66) =2 56 4- 9 4-39 eh 4®« 59. Index valoris cuiuscunque expressionis % (mod. p.\ Qxrt. 31) congruus est secundum modulum p - — 1 differentiae indicum numeratoris a et denomina - loris b9 siquidem , numeri a * b per p non sunt diuisi* biles . Sit enim valor quicunque c; eritque bc~ m (mod. p) ; hinc Ind, b -f- Ind. c = Ind. a (inod, p — i) adeoque Ind. c* 33 Inch a — Ind, h Si itaque tabula habetur, ex qua, cuique numero respondens pra quouis modulo primo, aliaque ex qua numerus ad indicem datum pertinens deriuari possit* omnes con¬ gruentiae primi gradus facillimo negotio solui poterunt, quoniam omnes reduci possunt ad tales* quarum modulus est numerus primus* (art. 5o). E. g. proposita congruentia 293? 4* 7 = 0 (mod. 47) erit x == (mod. 47% Hinc Ind. x — Ind, — 7 — Ind. 29 s Ind. qo w- Ind. 29 — i5 — 43 = 18 (mod. 46). At numerus cuius index 18 inuenitur 5. Quare B 4 56 ■ » ~ 5 (mod. 47). — • Tabulam secundam qui¬ dem non adiecimus ; at huius vice alia defungi poterit vti Sect. VI ostendemus. 6o* Simili modo vt art. 3i radices con¬ gruentiarum primi gradus designauimus , in se¬ quentibus etiam congruentiarum purarum ahio¬ rum graduum radices per signum exhibebimus. Vti scilicet yf~ A nihil aliud significat quam radi¬ cem aequationis xnz==A, ita apposito modulo per ^ A (mod. p ) denotabitur radix quaecun¬ que congruentiae xn~ A (mod. p). Hanc ex¬ pressionem A (mod. p) tot valpres habere dicemus, quot habet secundum p incongruos, omnes enim qui secundum p sunt congrui tam¬ quam aequiualentes spectandi (art. 26). Cete¬ rum patet, si Ay B secundum p fuerint con¬ grui , expressiones y rAt$fB (mod. p ) aequi¬ ualentes fore* Iam si ponitur A — x (mod. p\ erit n Ind. x ~ Ind. A (mod. p — x). Ex hac con¬ gruentia deducuntur ad praecepta sectionis praec. valores ipsius Ind. # atque ex his valo- res respondentes ipsius x> Facile vero perspi¬ citur x habere totidem valores, quot radices congruentia n Ind. x = A (mod. p — 1). Ma¬ nifesto igitur A vnum tantummodo valorem habebit quando n ad p ~ i est primus; quando vero numeri n, p ~ 1 diuisorem communem habent atque hic est maximus, Ind, x habebit valores incongruos secundum p — 1 , adeoque yf A totidem valores incongruos secundum p, siquidem Ind, A per ^ est diuisibilis. Qua con- ditione deficiente \f A nullum valorem realem habebit. Exemplum. Quaeruntur valores expressio» nis i a (mod. ig). Solui itaque debet con¬ gruentia i5 Ind. x~ Ind. n ™ 6 (mod. i8), inuenienturque tres valores ipsius Ind, x « 4, iQj 16 (mod. 1 8)» His vero respondent valores ipsius x y 6, 9, 4« 6i. Quantumuis expedita sit methodus haec quando tabulae necessariae adsunt* debemus tamen non obliuisci , indirectam eam esse. Operae igitur pretium erit in¬ quirere quantum methodi directae polleant; trademusque hic ea quae ex praecedentibus hauriri possunt; alia, quae considerationes re¬ conditiores postulant, ad sectionem VIII reser- uantes. Initium facimus a casu simplicissimo, vbi A-=-i , siue vbi radices congruentiae #n ==r (mod. p) quaeruntur. Hic itaque, assumta ra¬ dice quacunque primitiua pro basi , debet esse « Ind. x^o (mod. p — i ). Quae congruen¬ tia , quando n ad p — i est primus, vnam tan¬ tummodo radicem habebit, scilicet Ind. x~o (mod. p — i): quare in hocce casu ^ i (mod p) vnicum valorem habet, scilicet r== i. Quan¬ do autem numeri «, p — i habent diuisorem communem (maximum) congruentiae n Ind. # o (mod. p — i) solutio completa erit Ind* x == o (mod. *—-) V, art. 5o. , u e* Ind. x se¬ cundum modulum p — i alicui ex his numeris, o, Zl, 1 3 (p-~:I) . , . ♦ <3— Q(p— i) congruus tsse debebit, siue $ valores secundum modu- D 5 -V Ium p — i incongruos habebit ; quare etiam x in hocce casu ^ valores diuersos (secundum mo* dulum p incongruos) habebit. Hinc perspici¬ tur , expressionem i etiam $ valores diuer¬ sos habere, quorum indices cum ante allatis prorsus conueniant. Quocirca expressio ^ t (mod. p) huic x (mod.p) omnino aequiualet, i. e. congruentia i (mod. p) easdem radi¬ ces habet quas haec, xn^~i (mod. p). Prior autem inferioris erit gradus siquidem } et n sunt inaequales. Ex. X\T' t (mod. 19) tres habet valores, quia 5 maxima numerorum x5, 18 mensura communis, hique simul erunt valores expres¬ sionis y/~ 1 (mod. 19;* Sunt autem hi, 1,7,11* 62. Per hanc igitur reductionem id lucra¬ mur vt alias congruentias formae xn = x sol¬ uere non sit opus, quam vbi n moduli est di- uisor. Infra vero ostendemus, congruentia» huius formae semper vlterius adhuc deprimi posse, licet praecedentia ad hoc non sufficiant, Vnum tamen casum iam hic absoluere possu¬ mus scilicet vbi w — 2. Manifesto enim valo¬ res expressionis 1 erunt Hb 1 et — 1 quia plu- res quam duos habere nequit, hique -f- 1 et - — r semper sunt in congrui nisi modulus sit = 2, in quo basu ^ 1 vnara tantum valorem habere posse, per se clarum. Hinc sequitur, +1 et — 1 et¬ iam fore valores expressionis 1 quando m ad sit primus. Hoc semper eueniet, quo¬ ties modulus est eius indolis vt £5- liat nume¬ rus absolute primus (nisi forte p — i3=a«3 iit quo casu omnes numeri i, 2, 3 «... j? — 1 sunt radices) ex. gr. quando jp = 3, 5, 7, n, 23, 47, 69, 83, 107 etc. - Tamquam corollarium hic annotetur, indicem ipsius — 1 semper esse (mod. p — 1), quaecunque radix primi- tiua pro basi accipiatur. Namque 2 Ind. ( — 1) £=.0 (mod. p — 1). Quare Ind. ( — 1) erit vel o, vel ~ 5? (mod. p — i) : o vero semper index ipsius '4* i» atque -f 1, et — 1 semper indices diuersos habere debent (praeter casum p se 2 ad quem hic respicere operae non est pre¬ tium). 63. Ostendimus art. 60 expressionem A (mod. p ) habere $ valores diuersos , aut omni¬ no nullum , si fuerit $ diuisor communis maxi¬ mus numerorum n, p — 1. Iam vti modo do¬ cuimus Xf A et S A aequiualentes esse , si fuerit Ai^ij generalius probabimus, expressio¬ nem Xf* A semper ad aliam B reduci posse cui aequiualeat. Illius enim valore quocunqus denotato per x erit xn^.A; iam sit t valor quicun¬ que expressionis mod. p — 1), quam valores rea- les habere ex art.3 1 perspicuum ; eritque xtn = At at xtn se x* propter tn-^S mod. (p — x). Quare x - adeoque quicunque ipsius Xf~ A valor erit etiam valor ipsius y A*. Quoties igitur Xf A valores reales habet , expressioni At prorsus aequiualens erit, quoniam illa neque alios habet quam haec neque pauciores, licet quando A nullum valorem realem habet* fieri tamen possit vt-^T At valores reales habeat. rEx. Si valores expressionis*^/* 2 (mod.3i^ quaeruntur, erit numerorum 21 et 5q diuisor 6o communis maximus 3, expressionisque (inod. 3o) valor aliquis 5, quare si 2 valo- res reales habet, huic expressioni \f 23 siue \f& aequi ualebifc, inuenieturque reuera, po¬ steriores expressionis valores qui sunt s, 10, 19 etiam priori satisfacere* 64. Ne autem hanc operationem ineas** sum suscepisse periclitemur , regulam inuesti- gare oportet, per quam statim diiudicari pos* sit vtrum \f A valores reales admittat necne, Quodsi tabula indicum habetur , res in promtu est; namque ex art. 60 manifestum est, valo¬ res reales dari, si ipsius A index, radice qua¬ cunque primitiua pro basi accepta , per £ sit diuisibilis, sin vero minus, non dari. Atta¬ men hoc etiam absque tali tabula xnueniri po¬ test. Posito enim indice ipsius A==k, si hic fuerit per $ diuisibilis, erit per p— 1 di¬ uisibilis et vice versa. Atqui numeri in¬ dex erifc Quare si A (mod, p) habet valores reales , vnitati congruus erit, sin minus, in congru us. Ita in exemplo art. praec,. liabetur 21 Q = z 024 — 1 (mod, 3 1) , vnde con¬ cluditur ~\f 2 (mod. 3i) valores reales habere. Similiter certiores hinc fimus, %f — 1 (mod.p) semper valores binos reales habere, quando p sit formae 4 m f 1, nullum vero, quando p. sit formae 4m~p3; propter ( — i)2ms= i et ( — ™ — 1. Elegans hoc theorema, quod vulgo ita profertur’ Si p est numerus primus for*» tnae 4 r, imeniri potest quadratum aai: ita vt r# ^ Hh* I per p fiat diuisibilis ; si vero p est formae qm — f9 tale quadratum non datur, hoc modo de¬ monstratum est ab ili Eulero, Comm. nou , Acad . Petrop. T. XVIII, p. 112 ad annum 1773. De¬ monstrationem aliam iam multo ante dederat, Comm, nou, T, V. p. 5 qui prodiit a. 1760. In dissert. priori, Comm. nou. T. IV, p. 25, rem nondum perfecerat. Postea etiam ill La Grange theorematis demonstrationem tradidit, Nouveaux Mem. de TAc. de Beriin A. 1775 p. 642* Aliam adhuc demonstrationem in sectione se¬ quenti vbi proprie de hoc argumento agendum erit, dabimus. 65. Postquam omnes expressiones A (mod. p) ad tales reducere docuimus, vbi n diuisor numeri p — 1, criteriumque nacti su¬ mus vtrum valores reales admittat, necne, ta¬ les expressiones yf A (mod . p) vbi n ipsius p - 1 est diuisor accuratius considerabimus. Primo ostendemus , quam relationem valores singuli expressionis inter se habeant , tum arti¬ ficia quaedam trademus, quorum auxilio vnus valor expressionis saepenumero inueniri possit. Primo , quando A= 1, atque r aliquis ex n valoribus expressionis yf 1 (mod. p), siue vn=i (mod p), omnes etiam ipsius r potesta¬ tes erunt valores istius expressionis; horum au¬ tem totidem erunt diuersi quot vnitates habet exponens ad quem r pertinet (art. 48). Quod- si igitur r est valor ad exponentem n pertinens, potestates ipsius r hae r , r3 . . . . rn (vbi loco vltimae imitas substitui potest) omnes expressio¬ nis yf 1 (mod. p) valores inuoluent. Qualia autem subsidia exstent ad tales valores inue- niendos qui ad exponentem « pertineant, in sect. VIII fusius explicabimus* Secundo . Quando A vnitati est incongruus, vnusque expressionis A ( mod.p) notus, qui sit reliqui hoc modo inde deducuntur. Sint valores expressionis yf i, r , r*... rn— * (vti modo ostendimus) , eruntque omnes expr. \T A valores hi: z, zrf zrz.. , . zr*— I; namque omnes hos congruentiae xn^A satisfacere inde mani¬ festum quod, posito quocunque eorum ~ z r* potestas ipsius nu , zn rnk , propter r 11 = i et zn “= A , vnitati fit congrua: omnes diuersos esse ex art. q3 facile intelligitur ; plures autem valores quam hos quorum numerus est n , ex¬ pressio y A habere nequit. Ita ex* gr si alter expressionis A valor est z , alter erit — z» Denique hinc concludendum omnes valores expr. y/'' A inuenire non posse, nisi simul omnes valores expr. i constent. 66. Secundum quod nobis proposuerat mus fuit, docere, in quo casu vnus expressio¬ nis y/~ A (mod. p) valor (vbi n supponitur essa diuisor ipsius p — i) directe inueniri possit* Hoc euenit quando aliquis valor potestati alicui ipsius A congruus euadit, qui casus quum haud raro occurrat, aliquantum huic rei immo¬ rari non superfluum erit. Sit talis valor, si quis datur *, siue z ~sAk e t A^zn (mod. p). Hinc colligi^ tur A~Akui quare si numerus k habetur, ita vt sit A~Aknj Ak erit valor quaesitus. At huiG conditioni aequiualet ista, vt sit i^kn (mod. t)9 63 designante t exponentem ad quem pertinet A (art. 46, 48). Vt vero haec congruentia possi¬ bilis sit, requiritur, vt sit n ad t primus» Hoc in casu erit k~i (mod. *); si vero t et n diui- sorem communem habent, nullus valor z po¬ testati ipsius A congruus esse potest» 67. Quum autem ad hanc solutionem ipsum t nouisse oporteat , videamus quomodo procedere possimus , si hunc numerum ignore¬ mus. Primo facile intelligitur, i ipsum r-~- me¬ tiri debere, siquidem A (mod. p ) yalores reales habeat, vti hic semper supponimus. Sit enim quicunque valor y} eritque tumyp-i~r, tum yn^ A (mod. p); quare eleuando par¬ tes posterioris congruentiae ad potestatem tam , het AAT 1 ; adeoque per ^ diuisibi- lis (art 48). lam si ad n est primus, con¬ gruentia art. praec. kn~ 1 etiam secundum mo¬ dulum — solui poterit, manifestoque valor ipsius k congruentiae secundum modulum hunc satisfaciens eidem etiam secundum modulum t9 qui ipsum metitur, satisfaciet, (art. 5). Tum igitur quod quaerebatur inuentum. S£ vero ad n non est primus, omnes ipsius factores primi qui simul ipsum n metiuntur ex ~~ eiiciantur. Hinc nanciscemur nume¬ rum ^ , ad n primum , designante q produ¬ ctum ex omnibus illis factoribus primis, quos eiecimus. Quodsi iam conditio ad quam in arde, praec. peruenimus vt t ad n sit primus lo¬ cum habet, t etiam ad q erit primus adeoque etiam ipsum metietur. Quare si congruen- — 64 — \ . - - , entia kn~i (mod. ^~) soluitur (quQd fleri potest quia « ad v~ primus), valor ipsius i et¬ iam secundum modulum t congruentiae satis¬ faciet, id quod quaerebatur. Totum hoc arti¬ ficium in eo versatur, vt numerus eruatur qui ipsius t , quem ignoramus , vice fungi possit. Attamen probe meminisse oportet, nos quando ~~ ad 'n non est primus, supposuisse conditio¬ nem art. praec. locum habere , quae si deficit omnes conclusiones erroneae erunt;" atque si regulas d (mod. p ■-* i). Tum erit *€=i (mod. p — i)j namque *'.■*■ - > . . ' » bebunt. Si enim pro basi a, index numeri dari est mt pro basi b vero », atque diuisores ma¬ ximi bis cum p — i communes, t*> »»■ supponun¬ tur esse inaequales , alter erit maior , ex. gr. ^ > v, adeoque ipsum w non metietur. At de¬ signato indice ipsius a , quando 6 pro basi as¬ sumitur, per *, erit (art. praec.) nE=«m (mod. p — i) adeoque h etiam ipsum n metietur. Q. E ♦ A. Hunc diuisorem maximum indicibus nu¬ meri dati, ipsique p — i communem, a basi non pendere» etiam inde perspicuum, quod aequalis est ipsi designante t exponentem ad quem numerus, de cuius indicibus agitur, pertinet. Si enim index pro basi quacunque est k , erit i minimus numerus per quem k mul¬ tiplicatus ipsius p — i multiplum eiiadit, (ex¬ cepta cifra ) vidd. artt. 48, 58, siue minimus valor expressionis J ( raod. p — 1 ) praeter ci- fram; hunc autem aequalem esse diuisori ma¬ ximo communi numerorum k et p — 1 ex art. 29 nullo negotio deriuatur. 71. Porro^ facile demonstratur, basin ita semper accipere licere, vt numerus ad expo¬ nentem t pertinens indicem quemlibet datum nanciscatur, quius quidem maximus diuisor cum p — x communis == ~. Designemus hunc breuitatis gratia per d , sitque index propositus — dm , numerique propositi, quando quaelibet radix prima a pro basi accipitur, index En d n, eruntque mt n ad siue ad t primi. Tum si * est valor expressionis ~ (mod. p — x), simul- que ad p — i primus , erit a* radix primitiua, qua pro basi accepta numerus propositus indi¬ cem dm adipis cetur (erit enim nu¬ mero proposito), id quod desiderabatur* Sed expressionem ~~ (mod. p — i) valores ad p~~i primos admittere, ita probatur. Aequiualet illa expressio huic: ~ (mod. ^-) sine (mod. t ) vid. art. 3i, % eruntque omnes eius valores ad t primi; si enim aliquis valor e diuisorem cum t communem haberet , hic diuisor etiam ipsum me metiri deberet, adeoque etiam ipsum nf cui m e secundum t congruus , contra hypoth*, ex qua k ad i primus. Quando igitur omnes diuisores primi ipsius p*— i etiam ipsum t me¬ tiuntur, omnes expr. S (mod. t) valores ad p— - t primi erunt multitudoque eorum quando autem p — i alios adhuc diuisores primos, /, g , h etc. implicat, ipsum t non metientes, po¬ natur valor quicunque expr. J (mod. t ) == e. Tum autem quia omnes t , /, g , h etc. inter se primi, inueniri potest numerus qui secundum t ipsi e , secundum /, g, h etc. vero numeris quibuscunque ad hos respectiue primos fiat congruus, (art* 32) Talis itaque numerus per nullum factorem primum ipsius p — i diuisibi- lis adeoque ad p — i primus erit, vti desidera¬ batur. Tandem haud difficile ex combinatio- num theoria deducitur, talium valorum multitu¬ dinem fore = ; sed ne digressio haec in nimiam molem excrescat, demonstra¬ tionem, quum institutum nostrum non sit adeo necessaria , omittimus. 72. Quamuis in genere proreus arbitra¬ rium sit , quaenam radix primitiua pro basi adoptetur, interdum tamen bases aliae prae aliis commoda quaedam peculiaria praebere possunt. In tabula I semper numerum io pro basi assumsimus, quando fuit radix primitiua; alioquin basin ita semper determinauimus vt numeri io index euaserit quam minimus, i. e. 2= 2™ denotante t exponentem ad quem io per¬ tinuit. Quid vero liinc lucremur, in Sect. VI. ostendemus vbi eadem tabula ad alios adhuc vsus adhibebitur. Sed quoniam etiam hic ali¬ quid arbitrarii remanere potest, vt ex art. praec. apparet: vt aliquid certi statueremus, ex omnibus radicibus primitiuis quaesitum prae¬ stantibus minimam semper pro basi eleximus. Ita pro p = y3, vbi /=*= 8 atque d—g , « habet §73* i. e. 6 valores, qui sunt 5, i4, 20, 28, 3g, 40. Assumsimus itaque minimum 5 pro basi. 73. Methodi radices primitiuas inuenien- di maximam partem tentando innituntur. Si quis ea quae art. 55 docuimus cum iis quae infra de solutione congruentiae trademus confert omnia fere, quae per methodos directas effici possunt, habebit. 111. Euler confitetur, Opusc . Analyt, T. I. p. 153, maxime difficile videri, hos numeros assignare, eorumque indolem ad pro* fundissima numerorum mysteria esse referen¬ dam. At tentando satis expedite sequenti mo¬ do determinari possunt. Exercitatus operatio¬ nis prolixitati per multifaria artificia particula¬ ria succurrere sciet: haec vero per vsum mul¬ to citius quam per praecepta ediscuntur i°. Assumatur ad libitum numerus ad p (ita semper modulum designamus) primus, (plerumque ad calculi breuitatem conducit, si quam minimum accipimus, ex* gr. nume¬ rum 2) determinetur que eius periodus (art. 46), i» e. residua minima ipsius potestatum, donec ad potestatem a t perueniatur, cuius residuum minimum sit 1 *), Iam si fuedt t =sp — 1, a est radix primitiua* 20* Si vero t <( p — 1, accipiatur alius nu¬ merus b in periodo ipsius a non contentus, inuestigeturque simili modo huius periodus. Designato exponente ad quem b pertinet per facile perspicitur u neque ipsi t aequalem ne¬ que ipsius partem aliquotam esse posse , in ytroque. enim casu fleret , quod esse ne¬ quit, quum periodus ipsius a omnes numeros amplectatur, quorum potestas exponentis t vili¬ tati congrua (art, 53). Quodsi u fuerit =./?■«— 1, erit b radix primitiua; si vero 'u. non quidem — p — 1 , sed tamen multiplum ipsius ty id lu¬ crati sumus, vt numerus constet ad exponen- tem maiorem pertinens, adeoque scopo nostro, qui est inuenire numerum ad exponentem ma*- ocimum pertinentem, propiores iam simus. Si vero u neque —p — 1, neque ipsius p multiplum, tamen numerum inuenire possumus ad expo¬ nentem ipsis t9. u maiorem pertinentem, nempe ad exponentem minimo diuiduo cornmuni nu¬ merorum tr Uy aequalem. Sit hic = yr resolua- E 4 / , • ■ , 1 ; ' • : ; _ ^ \ \ . ..... , '* *) Quisquis sponte perspiciet» non opus esse has potestates ipsas no- uisse , quum cuiusuis residuum minimum facile es residuo miniia® potestatis praecedentis obtineri possit, 72 ✓ tnrque y ita in duos factores inter se primos* m, n7 yt alter ipsum t , alter ipsum u metia¬ tur Tum fiat potestas ^ta ipsius a^=zAy po¬ testas ~ta ipsius b^~B (mod* p) , eritque pro¬ ductum A B numerus ad exponentem y perti¬ nens; facile enim intelligitur , A ad exponen¬ tem m> B ad exponentem n pertinere ; adeoque productum AB ad mn pertinebit, quia m,n in¬ ter se sunt primi, id quod prorsus eodem mo¬ do vti in art, 55, II processimus probari pot¬ erit, 5°. Iam si y—p — i , A B erit radix pri- mitiua; sin minus, simili modo yt antea alius numerus adhibendus erit, in periodo ipsius A B non occurrens ; eritque hic aut radix primitiua, aut pertinebit ad exponentem ipso y maiorem, aut certe ipsius auxilio (vti ante) numerus ad exponentem ipso y maiorem pertinens inueniri poterit. Quum igitur numeri qui per repetitio¬ nem huius operationis prodeunt, ad exponen¬ tes continuo crescentes pertineant, manife¬ stum est tandem numerum inuentum iri, qui ad exponentem maximum pertineat, i. e. radi¬ cem primam, y, e . /«. •) Quomodo hoc fieri possit ex art. 18 haud difficulter deriuatur, Re- soluatur y in factores tales, qui sint aut numeri primi diuersi aut numerorum primorum diuersorum potestates. Horum quisque alter¬ utrum numerorum f, u metietur (siue etiam vtrumque). Adscriban- tur singuli aut numero t aut numero «, prout illum aut hunc me. tiuntur: quando aliquis vtrumque metitur, arbitrarium est, cui.ad- scribatur: productum ex iis qui ipsi t adscripfci sunt, sit — m, pro¬ ductum e reliquis =fw, facileque perspicietur m ipsum U n ipsum « metiri, atque esse - 73 - \ 7 4. Per exemplum praecepta haec cla¬ riora lient. Sit pro quo radix primi- tiua quaeratur. Tentemus primo numerum 2, cuius periodus prodit haec; i. 2, 4* 8. 16. 5a. 6 4. 55. 57* 1. etc. o, 1. 2. 3. 4- 5. 6. 7. 8. 9. etc. Quum igitur iam potestas exponentis 9 vnitati congrua fiat, 2 non est radix primitiua. Ten- tetur alius numerus in periodo ipsius 2 non occurrens ex, gr. 3, cuius periodus est haec: 1.5.9,27.8.24. 72. 70. 64, 46. 65. 49* 1 etc. o. 1.2. 3.4« 5. 6. 7. 8. 9. 10. ii. 12 etc. Quare neque 3 est radix primitiua. Exponen¬ tium autem ad quos 2, 3 pertinent , (L. e. nu¬ merorum 9, 12) diuiduus communis minimus est 36, qui in factores 9 et 4 ad praecepta arf. praec. resoluitur. Euehendus itaque 2 ad po¬ testatem exponentis f, i. e. numerus 2 ipse re¬ tinendus ; 5 autem ad potestatem exponentis 3 : productum ex his est 54? quod itaque ad expo¬ lientem 36 pertinebit. Si denique ipsius 54 periodus computatur numerus que in hac non contentus ex. gr, 5 denuo tentatur, hunc esse radicem primitiuam, reperietur. 75, Antequam hoc argumentum desera¬ mus, propositiones quasdam trademus, quae ob simplicitatem suam attentione haud indi¬ gnae videntur. Productum ex omnibus terminis periodi numeri cuiusuis est = j, quando ipsorum multitudo , siue ex¬ ponens ad quem numerus pertinet , esi impar , ei = _ quando ille exponens est par. E 5 A ■5 Ex, Pro modulo i3, periodus numeri 5 constat ex his terminis, i, 5, 12, 8 quorum productum 4&0 ^ — 1 (mod. i3). Secundum eundem modulum periodus nu¬ meri 3 constat e termiuis 1, 3, 9 quorum pro¬ ductum 27 = 1 (mod. i3). Eemonstr, Sit exponens, ad quem nume¬ rus pertinet, t, atque index numeri, E~-3 id quod si basis rite determinatur semper fieri po¬ test (art. 71). Tum index producti ex omni¬ bus periodi terminis erit ^ (1+2 + 5+ etc. + 1 — 1 ) «=£ = CbrlLfcli i. e. = o (mod, p — 1) quando * impar, et , quando i parj hinc in priori casu produ¬ ctum illud ~i (mod. p); in posteriori vero — 1 (mod. p), (art. 62). D, 76, Si numerus iste in theor. praecedente est radix primitiua, eius periodus omnes nu¬ meros 1, 2, 3 t , . . . ♦ p— - 1 comprehendet, quo¬ rum productum itaque semper '= — 1 (namque p— 1 semper par, vnico casu p = 2 excepto in quo — 1 et + 1 aequiualent). Theorema hoc elegans quod ita enun*ciari solet; productum ex omnibus numeris numero primo dato minoribus , viti* tente auctum per hunc primum est dimsibiles , primum a cel. Waring est prolatum armigeroque Wil- son adseriptum, Meditt. algebr, Ed, 3, p. 380» Sed neuter demonstrare potuit, et cel. Waring fatetur demonstrationem eo difficiliorem videri, quod nulla notatio fingi possit, quae numerum primum exprimat, — At nostro quidem indi- cio huiusmodi veritates ex notionibus potius quam ex notationibus hauriri debebant. Post¬ ea ili. La Grange demonstrationem dedit, Nouv, Mem. de lyAc. de Berlin, 1 771* Innititur ea considerationi coefficientium ex euolutione producti a? *+• 1, x -f- 2. x -f- 3 . . . . x *-p p — 1 oriundarum. SciliCet posito hoc producto = Ax p— 24- Bxv—4Hh etc, -f Mx-+-N, co efficientes A, B , etc ., M per p erunt diuisibi- les, iV vero erit — 1. 2. 3 ... . p 1. lam pro #=1, productum per p diuisibile; tunc autem erit = i + iV (mod. p)y quare necessario x -p iV” per p diuidi poterit. Denique ili. Euler in Opusc. anaiyU T . L p. 329 demonstrationem dedit, cum ea quam nos hic exposuimus conspirantem. Quodsi ta¬ les viri theorema hoc meditationibus suis non indignum consuerunt, non improbatum iri spe¬ ramus , si aliam adhuc demonstrationem appo¬ nimus. 77. Quando secundum modulum p, pro¬ ductum duorum numerorum a, b vnitati est congruum, numeros 0, 6 cum ifi. Euler, socios vocemus. Tum secundum sect. praec. quiuis numerus positiuus ipso p minor socium habe¬ bit positiuum ipso p minorem et quidem vni- cum. Facile autem probari potest ex numeris 1, 2, 3.... p— 1; 1 et p — 1 esse vnicos qui sibi ipsis sint socii : numeri enim sibi ipsis so¬ cii, radices erunt congruentiae # x == 1 ; quae quoniam est secundi gradus plures quam duas radices, i. e. alias quam 1 et p — j habe. re nequit. Abiectis itaque his numerorum re¬ liquorum 2, 3 .... p . — 2 bini semper erunt as¬ sociati; quare productum ex ipsis erit = i ad- eoque productum ex omnibus i, 2, 3 . . . p — 1, Sf — 1 siue == — 1. Q. E. jD. Ex. gr. pro p=i3 numeri 2, 3, 4.*.. ir ita associantur: 2 cum 7; 3 cum 9; 4 cum 10; 5 cum 8; 6 cum n ; scilicet 2» 7—1; 3.9 = 1 etc. Hinc 2. 3. 4 — •• 11=1; adeoque 1. 2* 0 » . » » J 2 ' X I 78. Potest autem theorema Wilsonianum generalius sic proponi. Productum ex omnibus numeris , numero quocunque dato A minoribus si~ mulque ad ipsum primis , congruum est secundum Ay imitati vel negatiue vel positiue sumtae. Negatiue su¬ menda est vnitas, quando A est formae pm, aut huiusce, 2 p% designante p numerum pri¬ mum a 2 diuersum, insuperque quando Az= 4; positiue autem in omnibus casibus reliquis. Theorema , quale a cel. 1 Wilson est prolatum, sub casu priori continetur. — Ex, gr. pro A==iS productum e numeris 1, 2, 4? 7, 8, 11, i5, 14 est = 1 (mod. i5). Demonstrationem breuitatis gratia non adiungimus t obseruamus tantum, eam simili modo perfici posse Yt in art, praec. , excepto quod congruentia xx^ee 1 plures quam duas radices habere potest, quae considerationes quasdam peculiares postulant. Posset etiam demonstratio ex consideratione in¬ dicum peti, similiter vt in art. 76, si ea quae mox de modulis non primis trademus conferantur* — 77 . — yg. Reuertimur ad enumerationem alia¬ rum propositionum (art. 76). Summa omnium terminorum periodi numeri cuius - ifw est~or vti in ex art* y5, 1 f- 5 + 12 + 8 s= 26 ~eo (mod. i5)» Xtem. Numerus de cuius periodo agitur, sit t=' atque exponens ad quem pertinet, = ty eritque summa terminorum omnium periodi, == 1 -f- a -f- $ a *+• #3 + etc. “+* cfi 1 = (mod. p). At at — 1=0: quare summa haec semper erit e=o (art., 22), nisi forte a — 1 per p sit diuisibilis , siue a~i\ hunc igitur casurn excipere oportet , si vel vnum terminum , perio¬ dum vocare velimus. 8of Productum ex omnibus radicibus primitiuis esi EE= i , excepto vnico ojsu, p = 3; tum enim vna tantum datur radix prima , 2, Demonstr. Si radix primitiua quaecunque pro basi assumitur, indices radicum omnium primitiuarum erunt numeri ad p — - 1 primi si¬ mul que ipso minores. At horum numerorum summa, i. e. index producti ex omnibus radi¬ cibus primitiuis, est =0 (mod. p ■ — 1) adeoque productum ^ 1 (mod. p); facile enim perspi¬ citur, si k fuerit numerus ad p — 1 primus, et¬ iam p — 1 — k ad p — 1 primum fore adeoque binos numeros ad p — 1 primos summam con- stituere per p — 1 diuisibilem ; ( k autem ipsi p — 1 — k numquam aequalis esse potest, prae¬ ter casum, p— 1 = 2, siue p=3, quem exce- pimus ; manifesto enim in omnibus reliqui» casibus ad p — x non est primus). Si, Summa omnium radicum primitiuarum est aut ~o (quando p*— i per quadratum aliquod est diuisibilis) , aut =. i ( 'mod . p), (quando p — i est productum e numeris primis inaequa¬ libus , quorum multitudo si est par signum po¬ siti uam, si vero impar, negatiuum sumendum). Ex, i© pro p=i3, habentur radices pri- mitiuae 2, 6, 7, ii, quarum summa 2.6 — 0 (mod. x3). 20 pro p = ii , radices primitiuae sunt 2, 6, 7, 8 quarum summa 23 ns-f- 1 (mod. 1 1). 3° pro p = 5i , radices primitiuae sunt 3, 11, 12, i3, 17, 21, 22, 24, quarum summa, 123 ~ — 1 (mod. 3 1). Demonstr . Supra demonstrauimus (art. 55, II), si p fuerit = a%bQc* etc. (designantibus a, by c etc. numeros primos inaequales) atque Ay E, C numeri quicunque ad exponentes a*9 bZy cy etc. respectiue pertinentes, omnia pro¬ ducta ABC etc. exhibere radices primitiuas. Facile vero etiam demonstrari potest, quamuis radicem primitiuam per huiusmodi produ¬ ctum exhiberi posse et quidem vnico tantum modo *). •) Determinentur scilicet numeri f), c, etc. ita» vfc sit a — I (mod. a*) et == o (mod, b&cV etc.); &~i (mod. b£) et = r> (mod. au c7 etc.) etc. (vid. art. 32), vnde fiet fl -j- 6 4- c -J- etc. (mod. p — I), (art 19). lam si radix primitiua quaecunque» r, per productum ABC etc. exhiberi debet accipiatur A — vaf C~tC etc., atcfue pertinebunt A ad exponentem <**, B ad exponentem bS etc. ; productumque ex omnibus A, B, Cete, erit ~Y (mod. p); denique facile perspicitur A, Bt € etc, alio modo determinari non posse. Vnde sequitur haec producta loco ipsa¬ rum radicum primitiuarum accipi posse. At quoniam in liis productis omnes valores ipsius A curn omnibus ipsius B etc* combinari opor¬ tet, omnium horum productorum summa ae¬ qualis est producto ex summa omnium valo¬ rum ipsius A7 in summam omnium valorum ipsius B, in summam omnium valorum ipsius € etc. vti ex doctrina comhinatiomim notum est. Designentur omnes valores ipsorum A; B etc., per A, A" etc.; B , B\ etc. etc., erit que summa omnium radicum primitiuarum ^ (A-j-A' -f- etc.) (B -f- B'-\- etc.) etc. lam dico , si exponens « fuerit = i , summam A -f- A/-h sl" + etc. fore = — i (mod. p), si vero * fuerit > i , summam banc fore = o. similiter- que de reliquis S, y etc. Simulae haec erunt demonstrata, theorematis nostri veritas mani¬ festa erit. Quan<^° enim p - i per quadratum aliquod diuisibilis est , aliquis exponentium *> & y etc. vnitatem superabit, adeoque aliquis factorum , quorum producto congrua est sum¬ ma omnium radicum primitiuarum, erit ~o, et proin etiam productum ipsum: quando vero p — i per nullum quadratum diuidi potest, omnes exponentes C, y etc. erunt =s= i , vnde summa omnium radicum primitiuarum congrua erit producto ex tot factoribus , quorum quis¬ que ~ — i, quot habentur numeri a, b , c etc,, adeoque erit ~ j± i, prout horum numerorum multitudo par vel impar. Illa autem ita pro¬ bantur. i°. Quando « == i atque A numerus ad ex¬ ponentem a pertinens, reliqui numeri ad hunc exponentem pertinentes erant A*, A* , . * . A*~~ Ax i A -f- //-*’ -f- A* . . c . •+- A'-—1 est summa pe¬ riodi completae, adeoque = o (art. 79), ^quare A~hA2~hAi . 1. 20, Q nando autem « > 1 ; , atque A numerus ad exponentem aK pertinens, reliqui numeri ad. hunc exponentem pertinentes habebuntur, si ex his A2y A^) A***.. A3-*— 1 reiiciuntur A\ A2af At* etc. , vid. art, 55 ; quare summa eo¬ rum erit ^3 1 + A -4 A2 . . ♦ ♦ 4- Aa*~i — ( 1 -f- A3 -4 AZ3, , . . -f- A**—- “)■ i. e. congrua differen¬ tiae duarum periodorum, adeoque s o. Q. E. D. 82. Omnia quae hactenus exposuimus in¬ nituntur suppositioni , modulum esse numerum primum. Supereat vt eum quoque casum con¬ sideremus, vbi pro modulo assumitur numerus compositus. Attamen quum hic neque pro¬ prietates fcatn elegantes eniteant , quam in casu priori, neque ad eas inneniendas artificiis sub¬ tilibus sit opus , sed potius omnia fere per so¬ lam principiorum praecedentium applicationem emi possint, omnes minutias hic exhaurire su¬ perfluum atque taediosum foret» Breuiter ita¬ que quae huic casui cum priori sint communia quaeque propria exponemus. 85. Propositiones art. 45 — 48 generali¬ ter iam sunt demonstratae. At prop. art. 49 ita immutari debet : Si f designat , quot numeri dentur ad m primi simulipso m minores , i . e. si /=<£> m ( art . 38): ex - ponens , t , infimae potestatis numeri dati , a , ad m pru mi , quae secundum modulum m vnitati est congruat vel erit = / vel pars aliquota huius numeri . Demonstratio prop, art. 49 etiam pro hoc casu valere potest, si modo vbique loco ipsius- p, loco ipsius p— 1, /, et loco numerorum 1, 2, 5, . ... p— 1, numeri ad « primi si- mulque ipso m minores substituantur. Huc ita¬ que lectorem ablegamus. Ceterum demonstra¬ tiones reliquae de quibus illic locuti sumus (art 5o, 51) non sine multis ambagibus ad hunc casum applicari possunt. — • At respectu propositionum sequentium, art. 62 sqq. magna differentia incipit inter modulos, qui numero¬ rum primorum sunt potestates, eosque, qui per plures numeros primos diuidi possunt. Seorsim itaque modulos prioris generis com¬ te rrqd ab ira ur. 84* Si modulus m = pn, designante p nume¬ rum primum, erit f = p^i(p-~, x) (art. 58.) lam si disquisitiones in aut. 5r, 55 contentae ad hunc casum applicantur, motatis mutandis vti in art, praec. praescripsimus, inuenietur,, omnia quae ibi demonstrata sunt etiam pro hoc casu locum habere, si modo ante proba¬ tum esset, congruentiam , formae xt ~~ 1^0 (mod. pn ) plures quam t radices diuersas ha¬ bere non posse. Pro modulo primo hanc verita¬ tem ex propositione generaliori art, 43 dedu¬ ximus, quae autem in omni sua extensione de modulis primis tantummodo valet, neque adeo ad hunc casum applicanda. Attamen proposi¬ tionem pro hoc casu particulari veram esse per methodum singularem demonstrabimus. Infra (sect. VIII.) Idem facilius inuenire docebi¬ mus*. F Demonstrandum proponimus nobis Iioc theorema : Si numerorum t et (p — i y diui- sor communis maximus est e, congruentia, %*■ = i (mod* pn ) habebit e radices diuersas. Sit e^ kpv ita vt k factorem 'p non irnxol- nat, adeoque numerum p — i metiatur. Tum congruentia xt = i secundum modulum p ha¬ bebit k radices diuersas, quibus per A, B, C etc* designatis, radix quaecunque eiusdem con¬ gruentiae secundum modulum pn, congrua es¬ se debet secundum modulum p alicui nume¬ rorum A , By C etc. Iam demonstrabimus, con¬ gruentiam x ~ i ( mod. pn ) habere p* radi¬ ces ipsi A, totidem ipsi B etc* congruas se¬ cundum modulum p . Quo facto omnium ra¬ dicum numerus erit kp* siue ef vti diximus* Illam vero demonstrationem ita adornabimus, vt primo ostendamus, si * fuerit radix ipsi A secundum modulum p congrua, etiam * u -f- 2.pn—\ * + 3 pn—\ .... « -{- (p*— 1 ) pn—9 fore radices; secundo, numeros ipsi A secundum modulum p congruos alios quam qui in forma « 4- lipn~v sint comprehensi ( deno¬ tante h integrum quemcunque), radices esse non posse : vnde manifesto p* radices diuersae habebuntur, et non plures: atque idem etiam de radicibus, quae singulis B , C etc. sunt con¬ gruae, locum habebit : tertio docebimus , quo¬ modo semper radix, ipsi A secundum p con¬ grua, inueniri possit* 86. Theorema. Si vti in arU praec. i est numerus per p*7 neque vero per p^^dmisibilis, erit (* -f- ii p* ) t — *t == o ( moti. p^ X at «t—i (mod/p^*1) Theorematis pars posterior locum non habet, quando p = & simulque * = i. * * - . 'Y_ ' , . Demonstratio huius theorematis ex euoln- tione potestatis binornii peti posset, si ostendere¬ tur oinn.es terminos post secundum per p#+,+i divisibiles esse. Sed quoniam consideratio de¬ nominatorum coefii cientium in aliquot amba¬ ges deducit, methodum sequentem praeferimus* Ponamus primo p )> i atque » = T, eritque, propter x fc — yx = ( % — • 2 y-f.1 a?6’ 3 y2* -f- etc, *+■ *) , «— «t t= hpi* (( « + ) t~"1 Hh( « -p hpu ) fc— 2* etc. -f «t—1 ), At est * T- ^ * (mod. p* ), quare quis, que termmus (* -f- kpf* ) *— *, (* f h* )t— 2* etc, erit — ** I, (mod. p2 ) adeo que omnium summa = t 1 ( mod. p2 ) siue formae -f F p2 denotante F numerum quem¬ cunque, Hinc (*4-%ru) fc — .«* erit formae ttt— 1 /ipi* £ +- i. e. = a^1 (mod.p^* ) et = 0 (mod. pf4*1 ) Pro hoc itaque casu theo¬ rema est demonstratum. latn si theorema pro aliis ipsius » valori- bus verum non esset, manente etiamnum n £> r, limes aliquis necessario daretur, vsque ad quem theorema seraper verum foret, vitra vero fal¬ sum. Sit minimus valor ipsius v? pro quo falsum est ■= 4- i, contra hypothesin. Ynde manifestum pro omnibus ipsius 9 valoribus theorema verum esse. 87«. Superest casus vbi ^ == 1. Per met¬ hodum prorsus similem ei qua in art. praec. vsi sumus, sine adiumento theorematis binomi- alis demonstrari potest, esse («4- hp )t—I = «t--1 4“«t-“2 (£ — x) (mod.ys) « 4- hp )t— 2 = «t— 1 «t—2 (£ —2) **(a 4-Ap)t-3 = *t— a (* — 3) hp etc. vnde aggregatum erit ( quia partium multitu¬ do = t) 4- (JuriP ■* % (rnod.p3) 2» . At quoniam £ per p diuisibilis, etiam ( *- x) t per p diuisibilis erit in omnibus casibus excepto eo vbi p = a do quo iam in art. 85 praec. monuimus. In reliquis autem casibus erit *fc-2 hp ~ o (mod. p3), adeoque et- iam illud aggregatum == tat- 2 (mod. pz) vt in art. praec. in reliquis demonstratio hic eodem modo procedit vt istic. Colligimus igitur generaliter vnico casu P = 2 excepto, esse (a -j- kpy-)t = ffifc (mod. et (* -f- hpv- ) fc non— a pro quouis modulo qui sit altior potestas ipsius p, quam haec, pH+% quo¬ ties quidem h per p non est diuisibilis, atque pv potestas suprema ipsius p quae numerum t diuidit. Hinc protinus deriuantur propositiones i. et 2. quas art. 85 demonstrandas nobis pro¬ posueramus : scilicet primo y si «fc = i? erit etiam (« -J- hpn-*y ~ r (mod. pn); secundo si numerus aliquis »' ipsi A adeoque etiam ipsi * secundum modulum p congruus, neque vero huic secundum modulum p*--’ y congruentiae xt = i (mod. pn) satisfaceret, ponamus esse = « + lpxr ita vt l per p non sit diuisibilis, eritque \ m + 2; si autem n = vel m + 2, numerus propositus est eee rb 1 a deo que vel ad expo¬ nentem 1 vel ad exponentem 2 pertinebit* Nu¬ merum enim formae ab. 1 4- 2m+I k} (quae, huic aequiualet, l\h 1 ) ad potestatem exponen¬ tis 2n-ra- 2 eleuatum vnitati secundum modulum 2n congruum fieri, ad potestatem autem expo¬ nentis, qui est inferior numeri 2 potestas, in- congruum, ex art. 86 nullo negotio deducitur. Numerus itaque quicunque formae 8& + 3 vel Sk 4- 5 ad exponentem 2n~2 pertinebit. 91. Hinc patet eo sensu quo supra ex¬ pressionem accepimus^ radices primitiuas hic non dari, nullos scilicet numeros, quorum pe¬ riodus omnes numeros modulo minores ad ip- sumque primos amplectatur. Attamen facile perspicitur, analogon hic haberi. Imienitur enim, numeri formae 8 ii + 3 potestatem expo¬ nentis imparis semper esse formae 8& + 3, potestatem autem exponentis paris, semper for¬ mae Sk i ; nulla igitur potestas formae Sk + 7 esse potest. Quare quum periodus nume¬ ri formae Sk -4- 3, ex 2°— 2 terminis diuer- sit constet, quorum quisque aut formae Sk 4- 3 aut huius, Sk + 1, neque plures huiusmodi numeri modulo minores dentur quam 2n~2, ma¬ nifesto, quiuis numerus formae Sk •+• 1 vel Sk 4- 3 congruus est secundum modulum 2“ po¬ testati alicui numeri cuiuscunque formae Sk + 3. Simili modo ostendi potest periodum numeri formae Sk -f- 5 comprehendere omnes numeros formarum Sk 4- i et Sk -f- 5. Si igitur numerus formae Sk -4- 3 pro basi assu¬ mitur, omnes numeri formae Sk -4 1 et Sk 4- 5, positiue, omnesque formae $k -4- 5 et Sk -f* 7, negatiue sumti, indices reales nanciscentur, et quidem hic indices secundum 2n - 2 congrui pro aequiuaientibus sunt habendi. Hoc modo ta¬ bula nostra I intelligenda, vbi pro modulis 16, 32 et 64 (namque pro modulo 8 nulla ta¬ bula necessaria erit) semper numerum 5 pro ba¬ si accepimus. Ex. gr. numero 19 qui est for¬ mae 8/4 4- 3 adeoque negatiue sumendus, respon¬ det pro modulo 64 index 7, id quod significat esse 5 7 = *»— 19 ( mod. 64), Numeris autem formarum Sn 4- 1 , 8» +5 negatiue, atque numeris formarum 8 n + 3, 8^ 4- 7 positiue acceptis, indices quasi imaginarii tribuendi fo¬ rent* Quos introducendo calculus indicum ad aigorithmum perquam simplicem reduci pot¬ est. Sed quoniam, si haec ad omnem rigo¬ rem exponere vellemus, nimis longe euagari oporteret, hoc negotium ad aliam occasionem I — 9° — * ■ i \ nobis reseruamus, quando forsan fusius quan¬ titatum imaginarium theoriam, quae nostro qui¬ dem iudicio a nemine hactenus ad notiones claras est reducta, pertractare suscipiemus. Pe¬ riti hunc algorithmum facile ipsi ement: qui minus sunt excercitati, perinde tamen tabula hac vti poterunt, vt ii qui recentiorum com¬ menta de logarithmis imaginariis ignorant, lo- garithmis vtuntur, si quidem principia supra stabilita probe tenuerint. 92. Secundum modulum e pluribus pri¬ mis compositum tantum non omnia quae ad re¬ sidua potestatum pertinent ex theoria congru¬ entiarum generali deduci possunt ; quia vero in¬ fra congruentias quascunque secundum modu¬ lum e pluribus primis compositum ad congru¬ entias, quarum modulus est primus aut primi potestas, reducere fusius docebimus, non est quod huic rei multum hic irnmoremun Ohser- uamus tantum, bellissimam proprietatem, quae pro reliquis modulis locum habeat, quod scili¬ cet semper exstent numeri quorum periodus omnes numeros ad modulum primos complecta¬ tur, hic deficere , excepto vnico casu, quando scilicet modulus est duplum numeri primi, aut potestatis numeri primi. Si enim modulus m redigitur ad formam AaBhCc etc. designanti¬ bus A, B , C etc. numeros primos diuersos, praeterea A*-1 (A — 1) disignatur per Bh-* ( jB — 1) per ff etc. denique z est numerus ad m primus; erit z% = 1 (mod. A'a ) z* ee;- i (mod. Ah) etc. Quodsi igitur v est minimus numerorum «, C, y etc. diuiduus communis, erit / £« i secundum omnes modulos A \ etc . adeoque etiam secundum m9 cui illorum pro¬ ductum est aequale At excepto casu vbi m est duplum numeri primi aut potestatis nume¬ ri primi, numerorum £, * etc ♦ diuiduus com¬ munis minimus, ipsorum producto est minor (quoniam numeri «, C, v etc. inter se primi es¬ se nequeunt sed certe diuisorem 2 communem habent)* Nullius itaque numeri periodus tot terminos comprehendere potest, quot dantur nu¬ meri ad modulum primi ipsoque minores, quia horum numerus producto ex ««, f, y etc, est ae¬ qualis* Ita ex. gr. pro m = 1001 cuiusuia nu¬ meri ad m primi potestas exponentis 60 vilita¬ ti est congrua, quia 60 est diuiduus communis numerorum 6, 10, 12. — - Casus autem vbi modulus est duplum numeri primi aut duplum potestatis numeri primi illi vbi est primus aut primi potestas prorsus est similis* 93, Scriptorum in quibus alii geometrae de argumento in hac sectione pertractato ege¬ runt, iam passi m mentio est facta. Eos tamen qui quaedam fusius, quam nobis breuitas per¬ misit, explicata desiderant, ablegamus im¬ primis ad sequentes ili. Euleri commentatio¬ nes, ob perspicuitatem qua vir summus prae omnibus semper excelluit, maxime commenda¬ biles. Theoremata circa residua ex diuisione potestatum re - licta. Com. fiott. Petr. T. VII* p. 4-9* SCEX* Demonstrationes circa residua ex diuisione potestatum per numeros primos resultantia. Ibid,T. XVTU.p.85 sqq. Adiungi his possunt Opusculorum analyt * T. X, disserit . 5 et 8. / Sectio Qvarta ' v . . - DE CONGR VENTUS SECVNDI GEADVS. g4* Theorema* Numero quocunque , m, pro ®o- d/do accepto, ex numeris o, i, 2, 3.. . . m — 1, plu - m | m + 1 quando m est * par , siue plures quam \ f, qucmdo m est impar quadrato con¬ grui fieri non possunt . Dem ♦ Quoniam numerorum congruorum quadrata sunt congrua : quiuis numerus, qui vili quadrato congruus fieri potest, etiam qua¬ drato alicui cuius radix m congruus erit. Sufficit itaque residua minima quadratorum o, 1, 4, 9. (m — 1 )* considerare. At facile perspicitur, esse (m — 1 )2 = r, (m -**- 2)a = 2% (m — 3)a sb 53 etc. Hinc etiam, quando w est par, quadratorum § f m — i)^et (§«2 4- i)3, ( § m — ~ 2)* et (]»+ 2 )3 etc* residua mini¬ ma eadem erunt: quando vero m est impar, quadrata (§ m — I)3* et (|m 4- §)*; (Jw — i)3, et ( | «2 + 1 )3 etc. erunt congrua. Y nde palam est, alios numeros, quam qui alicui ex quadratis o, j, 4j 9».** (J»0* congrui sint, quadrato congruos fieri non posse, quando m par; quando vero impar, quemuis numerum, qui vili quadrato sit congruus, alicui ex his o, i, A,g. .. (|w — | necessario congruum esse. Quare dabuntur ad summum in priori casu § m + i residua minima diuersa, in posteriori | m + f Q. E. D. g5. Exemptum» Secundum modulum i 3 quadratorum numerorum o, i, 2, 3. . . 6 resi¬ dua minima inueniuntur, o, 1, 4> 9? 5, 12, 10, post haec vero eadem ordine irmerso recur¬ runt 10, 12, 3, etc. Quare numerus quisque, nulli ex istis residuis congruus, siue qui alicui ex his est congruus, 2, 5, 6, 7, 8,‘ n, nulli quadrato congruus esse potest. Secundum modulum i5 haec inueniuntur residua, o, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4 post quae ea¬ dem ordine inuerso recurrunt. Hic igitur nu¬ merus residuuorum, quae quadrato congrua fi¬ eri possunt, minor adhuc est, quam \ n + |, quum sint o, 1, 4> 6, 9, 10. Humeri autem 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, i3, i4, et qui horum alicui sunt congrui, nulli quadrato secundum mod, i5 congrui fieri possunt. 96, Hinc colligitur, pro quouis modulo omnes numeros in duas classes distingui posse, quarum altera contineat numeros, qui quadrato alicui congrui fieri possint, altera eos qui non possint. Illos appellabimus residua quadratica I 94 numeri istius quem pro modulo accepimus ®), hos vero ipsius non - residua quadratica , sine etiam, quoties ambiguitas nulla inde oriri potest, sim¬ pliciter residua et non - residua , Cetorum palam est sufficere, si omnes numeri o, i, 2... m — t in classes redacti sint: numeri enim congrui ad eandem classem erunt referendi. ■i . . ’ • . * ' i i*’.. Etiam in hac disquisitione a modulis pri¬ mis initium faciemus, quod itaque subinleili- gendam erit, etiamsi expressis verbis non mo¬ neatur. Numerus primus 2 autem excluden¬ dus, siue numeri primi impares tantum consi¬ derandi. 96. Numero primo p pro modulo accepto , nu* merorum 1, 2, 3. . . . p — 1 s emissis erunt residua quadratica , reliqui non residua , i. e . dabuntur §(p «— I ) residua , totidemque non- residua. Facile enim probatur, omnia quadrata 1, 4, 9. . . | (p — i)a esse incongrua. Scilicet si fieri posset rr = rV (mod, p) atque numeri r, rf inaequales et non maiores quam J (p — 1) posito r > rf i. q* licet, fieret (r ■— r1) (r -f- r' ) positiuus et per p diuisibilis. At vter- *) Proprie quidem hic casu secundo alio sensu vtimur, quam huc¬ usque fecimus. Dicere scilicet oporteret, r esse residuum qua¬ drati aa secundum modulum m quando r EEE aci (mod. m) i at breuitatis gratia in hac sectione xemper v ipsius m residuum qua- draticum vocamus, neque hinc vlia ambiguitas metuenda. Expres¬ sionem enim, residuum, quando idem significat quod numerus con¬ gruus, abhinc non adhibebimus, nisi forte de residuus minimis ser¬ mo sit, vbi nullum dubium esse potest. 1 , /\ que factor r — r', et r 4- r* ipso p est minor, quare suppositio consistere nequit (art. i3). Habentur itaque I ( p — i) residua quadrati- ca, inter hos numeros i , 2, 3, ... p — 1 contenta ; plura vero inter ipsos esse nequeunt quia acce¬ dente residuo oprodeunt § (p + r ), quem nu¬ merum omnium residuorum multitudo supera¬ re nequit» Quare reliqui numeri erunt non residua horum que multitudo = J (p — 3 ). Quum cifra semper sit residuum, hanc numerosque per modulum diuisibiles ab inuesfci- gationibus his excludimus, quia hic casus per se est clarus, theorematumque concinnitatem tantum turbaret. Ex eadem caussa etiam modulum 2 exclusimus. ' ‘ ' f ' ■ .V' \ i 97. Quum plura quae in hac Sect. ex¬ ponemus etiam ex principiis Sect. praec. deri- nari possint, neque inutile sit, eandem verita¬ tem per methodos diuersas perscrutari, hunc nexum ostendemus. Facile vero inteliigitur, omnes numeros quadrato congruos, indices pares habere, eos contra, qui quadrato nullo modo congrui fieri possint, impares. Quia ve¬ ro p — 1 est numerus par, tot indices pares erunt quot impares, scilicet |(p — 1), toti- demque tum residua tum non residua dabuntur. Exempla. Pro modulis sunt residua 96 • ♦ t • • X J 11 • 4 * 4 '♦ z> 3, 4? 5, 9. • t * • • I» 3, 4? 9> l0? I2» 17 . *> 2? 4, 8, 9, i5, x5, 16. et e. reliqui vero numeri, his modulis minores non residua. 98. Theorema. Productum e duobus residuis quadraticis numeri primi pt est residuum ; productum e residuo in non residuum , est non residuum ; denique productum e duobus non- residuis } residuum . Demonstr ♦ J. Sint A, B residua e quadratis aa, bb oriunda sine A ~ ad, B = bb , eritque productum AB quadrato numeri ab congruum i. e. residuum. II» Quando A est residuum, puta = aa9 B vero non residuum, AB erit non-residuum* Ponatur enim si fieri potest AB ~ kkf sitque valor expressionis | (mod. p) = b; erit itaque aaB == aabb , vnde B ~ bb} i. e» B residuum contra hjp. Aliter . Multiplicentur omnes numeri qui inter hos 1, 2, 3. p — 1 sunt residua (quo¬ rum multiudo = | (p— 1 ), per ^ omniaque producta erunt residua quadratica, et quidem erunt omnia incongrua. lam si nornresiduum B per A multiplicatur , productum nulli pro¬ ductorum quae iam habentur congruum erit; quare si residuum esset, haberentur j (p -f- i) re¬ sidua incongrua inter quae nondum est resi¬ duum o, contra art, 96* / . \ : . :ij , — 97 ~~ II L Sint J, B, non-residna. Multiplicen¬ tur omnes numeri qui inter lios i, 2, 3,... p — 1 sunt residua per A, habebunturque \{p — 1) non- residua inter se incongrua (II); iam pro¬ ductum AB nulli iliorum congruum esse pot¬ est; quodsi igitur esset non-residuum, liabe- rentur J(p +1) non-residua inter se in con¬ grua, contra art. g5. Quare productum etc. 'Q. E. JD. Facilius adhuc iiaec theoremata e princi¬ piis sect. praec. deriuantur. Quia enim resi¬ duorum indices sernper sunt pares, non-resi- quorum vero impares, ipdex producti e duo¬ bus residuis vel non- residuis erit par, a deo que productum ipsum, residuum. Contra index producti e residuo in non-residuum erit impar adeoque productum ipsum non-residuum. Vtraque demonstrandi methodus etiam pro his theorematibus adhiberi potest: Expressionis _f ( mod. p ) valor erit residuum , quando numeri a , h simul sunt residua, vel simul non residua ; contra autem erit non-residuum , quando numerorum a, b al¬ ter est residuum alter non-residuum . Possunt etiam ex conuersione theorr. art. praec. obtineri. 99. Generaliter, productum ex quotcun- que factoribus est residuum tum quando omnes sunt residua, tum quando non residuorum, quae inter eos occurrunt, multitudo est par ; quando vero multitudo non residuorum quae inter fa¬ ctores reperiuntur est impar, productum erit t non-residuum. Facile itaque diiudicari potest^ • G - - 98 ™ virum numerus compositus sit residuum, nec¬ ne, si modo quid sint singuli ipsius factores constet. Quamobrem in tabula II numeros primos tantummodo recepimus. Oeconomia huius tabulae haec est. In margine positi sunt moduli,*) in facie vero numeri primi successi- ui; quando ex his aliquis fuit residuum moduli alicuius, in spatio vtrique respondente lineola collocata est, quando vero numerus pri¬ mus fuit non residuum moduli, spatium respon¬ dens vacuum mansit. ioo. Antequam ad difficiliora progredia¬ mur, quaedam de modulis non primis adiicien- da sunt. x Si numeri primi p, potestas aliqua pn pro modulo assumitur ( vbi p non esse 2 supponi¬ mus ), omnium numerorum per p non diuisi bi¬ lium moduloque minorum altera semissis erunt residua, altera non residua, i. e. vtrorumque multitudo = a(p — 1 )pn~I. Si enim r est residuum: quadrato alicui congruus erit, cuius radix moduli dimidium non superat, vid. art. 94. Iam facile perspicitur, dari 1 (p — 1 )p»--i numeros per p non diui- sibiles modulique semisse minoribus; superesfc itaque vt demonstretur, omnium horum nume¬ rorum quadrata incongrua esse, sine residua quadratica diuersa suppeditare. Qtiodsi duo® rum numerorum a, b per p non diuisibilium *) Quomodo etiam modulis compositis carere possimus mos docebipius, 99 modnlique s em isse minorum quadrata essent congrua, foret aa — bh sine (a — b) (a 4- b) per pn diuisibilis (posito i, q. licet a > b) Hoc vero fieri non potest, nisi vel alter nume¬ rorum a — b} a + b per pn fuerit diuisibilis, quod fieri nequit, quoniam vterque > ^ et = vel < 2jw supponitur) sequenti modo* Po¬ natur radix quadrati quaesiti -x. quam formam eam habere debere facile per¬ spicitur; debetque esse aa ^ zaxpt* -f xxptf* s== A ( mod. p”) sine propter an > A — aa =3 rfc. 2®#p“ ( mod. pv ) Sit ^ — aa ‘s= erit- que, ar valor expressionis j± (mod. quae huic ±. (mod. f) aequiualet. Dato igitur quadrato ipsi A secundum p congruo, deducitur inde quadratum ispi A se¬ cundum modulum pa congruum ; hinc ad mo¬ dulum p4, hinc ad p8 etc, ascendi poterit. Ex. Proposito residuo 6, quod secundum modulum 5 quadrato i congruum, inuenitur quadratum 9* cui secundum 25 est congruum, i6a cui secundum 125 congruum etc. 102« Quod vero attinet ad numeros per p diuisibiles, patet, eorum quadrata per fp fore di- nisibilia, adeoque omnes numeros per p qui¬ dem diuisibiles, neque vero per pp, ipsius pn fo¬ re non residua. Generaliter vero, si proponi¬ tur numerus pkA vbi A per p non est diuisi- bilis, hi casus erunt distinguendi : 2) Quando k = vel > «, erit pkA ~ o ( mod» . pn), i. e. residuum. ' ■ f 2) Quando k < n atque impar, erit pM? non 1 residuum» \ >j Si enim- -esset pkA = p2**1 4 (mod. pn )> ss Per f2*+I ' dioisibilis esset, id quod, aliter fieri nequit, quam si fuerit s per p2K+I diuisi- bilis. Tunc vero ss etiam per p2**2 diuisibilis, a- deoque etiam (quia + 2 certo non maior quam n') fk/J, i.e. sine 4 per p, contra hyp, 5) Quando k 2. 5) Omnium numerorum imparium ipso 2n 2 minorum quadrata secundum modulum 2n incongrua erunt, Sint enim duo tales nu¬ meri r et quorum quadrata si secundum 2n essent congrua, foret! (r — ■$) (r + s) per 2» diuisibilis (posito r >.?). Facile vero perspi¬ citur numeros r — s , r+j, simul per 4 diui- si biles esse non posse, quare si alter tantum¬ modo per 2 est diuisibilis, alter vt prodoctum per 2 n diuisibilis fieret, per 2n~ 1 diuisibilis esse deberet, Q, E ♦ A ♦ quoniam vterque <2n—** 4) Quodsi denique Haec quadrata ad re¬ sidua sua minima positiua reducuntur, habebun¬ tur 2n 3 residua quadrdtica diuersa modulo mi¬ nora, quorum quoduis erit formae Sk ~f- 1» io5 Sed quum praecise 2tt“3 numeri formae g/c -f % modulo minores exstent, necessario hi omnes in* ter illa residua reperientur. Q: E, IJ* Vt quadratum numero dato formae Sk -f t secundum modulum 2n congruum inueniatur, methodus similis adhiberi potest, vt in art. 1025 vid. etiam art. 88. — Denique de numeris pari¬ bus eadem valent, quae art. 102 generaliter ex¬ posuimus. 104, Circa multitudinem valorum diuerso- rum (i. e. secundum modulum incoilgruorum ), quos expressio talis V = ^(mod. pn ) admittit, siquidem A est residuum ipsius pn, facile e praecc. colliguntur haec. (Numerum p supponimus esse primum, vt ante, et breuitatis caussa casum n = 1 statim includimus). I. Si A per p non est diuisibilis, V vniim valorem habet pro p = 2, n -=a i,puta FF= i j duos , quando p est impar, nec non pro p = 2, n *= 2, puta ponendo vnum EE v , alter erit EE — v‘7 quatuor pro p =r 2, n > 2, scili¬ cet ponendo vnum EE v1 reliqui erunt EE — — v' Ih Si A pery> diuisibilis est, neque vero per pn, sit potestas aliissima ipsius p ipsum A metiens p^6 ( manifesto enim ipsius exponens par esse debebit) atque A == ap*H. Tunc patet, omnes valores ipsius V per p4* diuisibiles esse, et quotientes e diuisione ortos fieri valores expr. V' ~ «fmod. p*~%H)\ hinc ©mnes valores diuersi ipsius V prodibunt, multi¬ plicando omnes valores expr. F* inter o et pn~P sitos per }F 5 quare illi exhibebuntur per vp*% + P' " ^ VP* + Sp^-^vpP T (p1* — . I )pu~^ G 4 ■ 104 si v indefinite omnes valores diuersos expr. M exprimit, ita vt illorum multitudo fiat 2 p* vel 4 prout multitudo horum (per casum I) est x, 2 vel 4* III. Si A per pn diuisibilis est, facile perspicietur, statuendo n = 2 m vel — 2.171 — i? prout par est vel impar, omnes numeros per pm diuisibiles, neque vllos alios, esse valores ipsius V 5 quare omnes valores diuersi hi erunt o , pm , 2/5m . . . (pn~m — 1 )pm , quorum multitudo p* “m. 105. Superest casus, vbi modulus 777 e plu¬ ribus numeris primis compositus est. S;t 772 =s abc..., designantibus a , c etc. numeros pri¬ mos diuersos aut primorum diuersorum pote¬ states, patetque statim, si n sit residuum ipsius m, fore etiam n residuum singulorum a , h, c etc., adeoque n certo nonresiduum ipsius m esse, si fuerit NR. vilius e numeris a, Z>, c etc. Vice versa autem, si n singulorum <2, Z?, c etc. residuum est, etiarn residuum producti m erit. Supponendo enim, 72— A* f Bz , C* etc. sec. mod. <2, b , c etc. resp., patet, si numerus N ipsis A, B, C etc. sec. mod. 72, Z?, c etc. resp. congruus eruatur (art. 32), fore n E— NN secundum omnes hos modulos adeoque etiam secundum productum m. — Quu facile perspiciatur, hoc modo e combinatione cu~ iusuis valoris ipsius A siue expr. i/' 72 (mod. a ) cum quouis valore ipsius B cum quouis valore ipsius C etc. oriri valorem ipsius N siue expr. yf ni mod. 772), nec non e combinationibus diuersis produci diuersos iV, et e cunctis cunctos: multitu¬ do omnium valorum diuersorum ipsius N aequalis ‘ '• : L- ' * ' • • erit producto e multitudinibus valorum ipso¬ rum A , Bf C etc. quas determinare in art. praec. docuimus. — Porro manifestum est, si vnus valor expressionis yf n (mod. m') siue ipsius JV fuerit notus, hunc simul fore valorem omnium A, B , C etc. ; et quum hinc per art. praec* omnes reliqui valores harum quantitatum de¬ duci possint, facile sequitur, ex vno valore ipsitls N omnes reliquos obtineri posse. Ex. Sit modulus 3i5 cuius residuum an non residuum sit 4$, quaeritur. Diuisores pri¬ mi numeri 3i5 sunt 3, 5, 7, atque numerus 46 residuum cuiusuis eorum quare etiam ipsius 3i5 erit residuum. Porro, quia 46 “ 1, et == 64 (mod. 9); = 1 et = 16 (mod. 5); = 4 et = 2.5 (mod. 7), inueniuntur radices qua¬ dratorum, quibus 4f> secundum modulum 3x5 congruus, 19, 26, 44, 89» 226, 271, 289, 296. 106. Ex praecedentibus colligitur, si tantum¬ modo senxper dignosci possit vtrrnn numerus pri¬ mus datus numeri primi dati residuum sit an non* residuum, omnes reliquos casus ad hunc redu¬ ci posse. Pro ilio itaque casu criteria certa omp studio nobis erunt indaganda. Antequam em hanc perquisitionem aggrediamur, cri» terium quoddam exhibemus ex Sect. petitum quod quamuis in praxi nullum fere vsum ha¬ beat tamen propter simplicitatem atque gene- ralitatem memoratu dignum est. Numerus quicunque A per numerum primum 2 m -f- 1 non diuisibilis , huius primi residuum est vel non-residuuriif prout Am = + 1 vel = — I ( mod . % w + I )♦ i / •»—* i oS «»— > Sit enim pro modulo % m +i in systemate quocunque numeri A index, a , eritque a par, quando A est residuum ipsius 2 m -f- r, impar vero quando A non-residuum. At nurneri in- dex erit ma, i. e. .= o vel = « ( mod. 2 m ), prout a. par vel impar» Hinc denique ,.An in priori casu erit ~ -F 1 , in posteriori vero ^ 1 (mod. 2 m + 1). V* artt. 67, 62. Ex 5 ipsius 1 3 est residuum quia 36 = 1 (mod. i5), 2 vero ipsius 1 3 non-residuum, quo¬ niam 2 6 — 1 (mod. i3). At quoties numeri examinandi mediocriter sunt magni, hoc criterium ob calculi immen¬ sitatem prorsus inuitile erit. 107» Facillimum quidem est, proposito modulo, omnes assignare numeros, qui ipsius residua sunt vel non residua. Scilicet si ille nu¬ merus ponitur == m, determinari debent qua¬ drata, quorum radices semissem ipsius m non superant, siue etiam numeri his quadratis se¬ cundum m congrui (ad praxin methodi adhuc expeditiores dantur), tuncque omnes numeri horum alicui secundum m congrui, erunt resi¬ dua ipsius m, omnes autem numeri nulli isto¬ rum congrui erunt non-residua» — - At quae¬ stio inuersa, proposito numero aliquo , assignare omnes numeros quorum ille sit residuum vel non-residuum, multo altioris est indaginis» Hoc itaque pro¬ blema, a cuius solutione illud quod in art. praec, nobis proposuimus pendet, in sequenti¬ bus perscrutabimur, a casibus simplicissimis inchoantes. i 108. Theorema. Omnium numerorum for - mag -\- I, — i est residuum quadratiemn, omnium vero numerorum primorum formae 4 » Hh 3 ? - r3“ sidimm * Ex. — 1 est residuum numerorum 5, i5, 17, 29, 37? 4i, 53, 61, yS, 89, 97 et a, e qua¬ dratis numerorum a, 5, 4? 12, 6, 9, 23, 11,27, 54, 22 etc. respetiue oriundum; contra non- residuum est numerorum 3, 7, ii, 19, 23, 5i, 43, 47, 69, 67, 71, 79, 83 etc. ' } Mentionem huius theor. iam in art. 64 fe¬ cimus. Demonstratio vero facile ex art. 106 petitur. Etenim pro numero primo formae l\n -f- 1 est ( — i )2n= 1, pro numero- aut em for¬ mae 4 n + 3 habetur ( — i)sn+T =s . — I. Con- uenit haec demonstratio cum ea quam /. c. tra¬ didimus. Sed propter theorematis elegantiam atque vtifitatem non superfluum erit, alio ad¬ huc modo idem ostendisse. A \ 109. Designemus complexum omnium re¬ siduorum numeri primi p, quae ipso p sunt mi¬ nora, excluso residuo 0 , per literam C, et quo¬ niam horum residuorum multitudo semper— manifestum est, eam fore parem, quoties p Sit formae 4 »4- 1, imparem vero, quoties p sit formae % n + 3. Dicantur, aci instar art. 77, vhi de numeris in genere agebatur, residua so¬ cia talia, quorum productum = 1 ( mod, p); manifesto enim si r est residuum, etiam f ( mod. p) residuum erit. Et quoniam idem residuum plura Socia inter residua C habere nequit, pa¬ tet omnia residua C in classes distribui posse, 10$ ' •— quarum quaeuis bina residua socia contineat, Iam perspicuum est, si nullum residuum dare¬ tur, quod sibi ipsi esset socium, i. e, si quae¬ uis classis bina residuae inaequalia contineret, omnium residuorum numerum fore duplum nu¬ meri omnium classium; quodsi vero aliqua dantur residua sibi ipsis socia, i, e. aliquae classes quae ynictim tantum residuum aut, si quis malit, idem residuum bis continent, po¬ sita harum classium multitudine — a, reli qua¬ rumque multitudine = b\ erit omnium residuo¬ rum C numerus = a 4- Q.b. Quare quando p- est formae 4 » -f- i, erit a numeros par; quan¬ do autem p est formae 4 « ~b 3, erit a impar. At numeri ipso p minores alii, quam i et p — i, sibi ipsis socii esse nequeunt (vid; art. 77) ; priorque 1 certo inter residua occurrit; vnde in priori casu p — 1 (seu quod hic idem va¬ let, - — 1) debet esse residuum, in posteriori vero non-residuum ; alias enim in illo casu foret a === 1, in hoc autem = 2, quod heri nequit, 1 1 o. Etiam haec demonstratio ili. Eule- ro debetur, qui et priorem primus inuenit. V, Opusc. Anal . T. I. p i35. — Facile quisquis videbit eam similibus principiis innixam esse, vt demonstratio nostra secunda theor. Wilso- niani art. 77. Si vero hoc theorema sup¬ ponere velimus, facilius adhuc demonstratio ex¬ hiberi poterit. Scilicet inter numeros 1,2, 3... p ~ ~ 1 erunt residua quadratica ipsius p to~ ti dem que non -residua; quare non-residuo- rum multitudo erit par, quando p est formae 4» f 5, Hinc productum ex omnibus numeris \L i, a, 3. . . V — 1 m Pr*ori casu erit resi¬ duum, in posteriori non- residuum (art. 99). At productum hoc semper — i (mod, p); adeo- que etiam — i in priori casu residuum, in po¬ steriori non-residunm erit. x i r. Si itaque r est residuum numeri ali¬ cuius primi formae l\.n -b x» etiam — r huius primi residuum erit, omnia autem talis numeri non residua, etiam signo contrario suinta non- residua manebunt. Contrarium enenit pro nu¬ meris primis formae 4» + 3, quorum residua quando signum mutatur , non-residua fiunt et vice versa, vid. art. 98. Ceterum facile ex praecadentibus derlua- tur regula generalis: — 1 residuum omnium numerorum qui neque per 4 neque per ullum numerum primum formae t\n + 5, diuidi pos¬ sunt; omnium reliquorum non- residuum. V. artt« io5 et io5. 1 1 2. Progredimurad residua + net — 2. Si ex tabula II colligimus omnes numeros primos quorum residuum est -{- 2, hos habebi- mus: 7, 17, q3, 3i, 4ij 47» 71, 70, 79, 89,97. Facile autem animadqertitur, inter hos numeros nullos inueniri formarum 8 n ~b 3 et 8 n 5. Videamus itaque, num haec inductio ad certitudinem euehi possit. Primum obsenxamus quemuis numerum compositum formae 8n 4- 5 vel 8« + 5 neces- •) Quando igitur de numero quocumque ioquemur quatenus numeri foimae 4» -f- i residuum vel non-residuutn est» ipsius signum omnino negligere siue etiam signum anceps HK ipsi iribuae pote¬ rimus. I IO sario factorem primurn alterutrius formae 8» 4* 3 vel 8« 4- 5, imioluere; manifesto enim e solis numeris primis formarum 8n 4- i, 8n 4- 7, alii numeri quam qui sunt formae 8*24- i vel 8 n 4 7? componi nequeunt. Quodsi ita¬ que inducto nostra generaliter est vera, nullus omnino numerus formae 8 n 4- 3 , 8n 4- 5 da¬ bitur, cuius residuum 4- 2 ; sicque nullus cer¬ te numerus huius formae infra 100 exstat, cu¬ ius residuum sit — 2. Si autem vitra hunc limitem tales numeri repirirentur, ponamus mi- niimum omnium == t. Erit itaque t vel for¬ mae 8» -f- 3 vel 8n -b- 5;+ 2 ipsius residuum erit, omnium autem numerorum similium mi¬ norum non-residuum. Ponatur 2 ~ aa (mod. t) poteritque a ita semp er accipi vt sit impar si* mulque *< t , (habebit enim a ad minimum duos valores positiuos ipso t minores quorum summa _= t, quorumque adeo alter par alter impar v. art. 104. io5). Quo facto sit^ — 2 4- tu, siue tu = aci — 2, eritque aa formae 8n 4- 1, tu igitur formae 8n — 1, adeoque u formae 8n 4- 3 vel 8 n 4- 5, prout t est for¬ mae posterioris vel prioris. At ex aequatione aa ~ 2 4- tu sequitur, etiam 2 = a (mod. u) i * e. 2 etiam ipsius u residuum fore. Facile vero perspicitur, esse u <$ t; quare t non est minimus numerus inductioni nostrae contra¬ rius contra hyp. Vnde manifesto sequitur id quod per inductionem inueneramus generali¬ ter verum esse. Combinando haec cum prop. art. in. se¬ quentia theoremata nanciscimur. / I. Numerorum omnium primorum formas- 8^+3? 4-2 erit non * residuum , — 2 vero residuum * II. Numeromm omnium primorum formae 8 n >4 St tum Hb 3 tum — z erunt non- residua. » 1 1 3, Per similem inductionem ex tab. II inueniuntur numeri primi quorum residuum est — 2 hi': 3, n, 17, 19, 4i, 5g, 67, 73,83, 8g, 97 *), Inter quos quum nulli inueniantur formarum Sn 4 5, 8n 4 7, num etiam haec inductio theorematis generalis vim adipisci possit inuestigemus. Ostenditur simili modo vt in art. praec. quercinis numerum composi¬ tum formae 8n 4 '5 vel 8n 4 7, factorem pri¬ mum inuoluere formae 8^ + 5 vel formae 8 u 4 7, ita vt, si inductio nostra generaliter vera, ■ — 2 nullius omnino numeri formae 8 n 4 5 vel 8^4-7 residuum esse possit. Si autem tales numeri darentur, ponatur omnium minimus = t, fiatque — 2 = aa — tu. Vbi si vti supra \a impar ipsoque t minor accipitur, u erit for¬ mae 8n -f- 5 vel 8^4-7, prout t formae 8n 4 7 vel 8 * + 5. At ex eo quod aa 4 2 = tu i atque a < t; quisquis facile deriuari poterit, etiam u ipso t minorem fore. Denique — 2 etiam ipsius u residuum erit; i. e. t non erit minimus numerus qui inductioni nostrae aduer- satur, contra hyp. Quare necessario — 2 omnium numerorum formarum 8n 4 5 , Sn 4- 7 non residuum. Considerando scilicet — - 2 tamquam prodactum ex *4* 2 et- — I V. art, i ii. * \ ' s ' ' 1 4 • -v ,, '\ ; , 7 — 1 12 •— « Combinando Iiaec cumpropp, art* i n, pro¬ deunt theoremata haec: L Omnium numerorum primorum formae + tum — — 2, tum '-f- z sunt non - residua , vti iam in art. praec. inueriinxus* II. Omnium numerorum primommm formae g« Hh 7> — 3 esi non - residuum, -f- z vero residuum . Ceterum in vtraqixe demonstratione pro a etiam valorem parem accipere potuissemus; tunc autem casum vbi a fuisset formae 4 »4-2, ab eo distinguere oportuisset , vbi a formae 4 ra. Euolutio autem perinde procedit vti supra, nul¬ lique difficultati est obnoxia. 11 4. Vnus adhuc superest casus, scilicet vbi numerus primus est formae 8« 4- 1. Hic vero methodum praecedentem eludit, artificia¬ que prorsus peculiaria postulat* Sit pro modulo primo 8« 4- 1, radix quae¬ cunque primitiua , a , eritque ( art. 62 ) a^n ^ — 1 (mod. Sn + 1), quae congruentia ita etiam exhiberi potest, (a2n -f- i)z = 2 a 211 (mod. 8w+i), siue etiam ita, ( — i)*,~ 2 a2*. Vnde sequitur tum 2 a2n, tum — 2a2n ipsius Sn 4 - 1 esse residuum : at quia a20 est quadratum per modulum non dieisibile, manifesto etiam tura 4- 2 tum — 2 residua erunt (art. 98.) 11 5. Haud inutile erit, adhuc aliam huius theorematis demonstrationem adiicere, quae similem relationem ad praecedentem habet, vt theorematis art. 108 demonstratio secunda i i I ' / — 1 15 — (art. 109)' ad -primam (art. 108). Periti faci¬ lius tunc perspicient, binas demonstrationes tam illas quam has non adeo heterogeneasesse, quam primo forsan aspectu videantur. I; Pro modulo quocunque primo formae 4^2 4 1, inter numeros ipso minores 1,2, 3... 4^, reperientur m qui biquadrato congrui , essef possunt, reliqui vero 5 m non poterunt. j Facile quidem hoc ex principiis sect* praec. deriuatur, sed etiam absque his demon¬ stratio haud difficilis. Demonstrauimus enim pro tali modulo 1 semper esse residuum quadraticum. Sit itaque // — — 1 patetque, si z fuerit numerus quicunque per modulum non diuisibilis, quaternorum numerorum 4* z, — — z, 4 — fz ( quos in congruos esse fa¬ cile perspicitur ) biquadrata inter se congrua fore ; porro manifestum est hiquadratum nu¬ meri cuiuscunque, qui nulli ex his quatuor congruus, illorum biquadratis congruum fieri non posse , ( alias enim congruentia xA = z 4 quae est quarti gradus plures quam 4 radices liaberet, contra art. 43 )♦ Hinc facile colligi¬ tur, omnes numeros i, 2, 5,... 4222, tantum¬ modo m biquadrata in congrua praebere, qui¬ bus inter eosdem numeros m congrui reperien¬ tur, reliqui autem nulli biquadrato congrui es¬ se poterunt. II. Secundum modulum primum formae 8n •+* t» 4 1 biquadrato congruus fieri pote¬ rit ( — 1 erit residuum biqmdraticum huius nu¬ meri primi). H y Omnium enim r esiduonim biquadraticoTr Uin ipso 8 n -f* i minorum ( cifra exclusa) 'multi¬ tudo erit — o,n h e. par. Porro facile proba¬ tur, si r fuerit residuum biquadraticum ipsius 8n + h etiam valorem expr* \ (mod.8 n •+ i) fore tale residuum. Hinc omnia residua biqua- dratica in classes simili modo distribui pote¬ runt, vti in art. 109 residua quadratica ‘distri¬ butius: nec non reliqua demonstrationis pars prorsus eodem modo procedit vt illic. III. Tam sit g4 — 1, et k yalor expix | (mod. 8 n 4- 1 }. Tunc erit (g th /1)* = gz 4- hz ±i 2 gh ■== gz 4- hz ±. 2 ( propter gk = 1 ). At g4 = — 1, adeo que — hz = g4 h* = ynde tandem gz 4~ h% ^ o, atque ( g ^ = di 2 L e. tum 4* 2, tum ~~ 3 resi¬ duum quadraticum ipsius 8n 4~ 1. Q. E. D. xi 6. Ceterum ex praec. facile regula se¬ quens generalis deducitur : 4* 2 est residuum nu¬ meri cuiusuis , qui neque fer 4, neque per vllum primum formae 4- 3 vel 8zz q- $ diuidi potest , reliquorum autem (ex. gr, omnium numerorum formarum 8n 4-5 , 8zz 4- 5, siue sint primi, siue compo¬ siti) nom residuum. *— 2 est residuum numeri cuiusuis , #zn 4, neque per vllum primum formae 8» 4-4 5 ^ 8*« -+-7 diuidi potest, omnium autem reliquorum ■ non - re¬ siduum . Theoremata haec elegantia iam sagaci Fermatio innotuerunt, Op. Matkem. p. 168. i? Demonstrationem vero quam se- habere profes¬ sus est, nusquam communicauit. Postea ab ill. Euler frustra semper est inuestigata: at ill. ha Grange primus demonstrationem rigo- rosam reperit, Nouv , Mem, de i* Ac, de Berlin 1775. p. 54g, 35 1. Quod ill. Eulerum adhuc latuisse videtur, quando scripsit diss* 'in Opusc, Anct- lyt. conseruatam, T. I. p. 259. 11 7. Pergimus ad residua 3 et — 3f A posteriori initium faciamus. Reperiuntur ex tab. II. numeri primi quo-s rum residuum est — 3, hi: 3, 7, i5, 19, 3i, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, inter quos nullus iuueriitur formae 6® 4- 5. Quod vero etiam vitra tabulae limites nulli primi huius formae dantur quorum residuum — 3, ita demonstra¬ mus: Primo patet quemuis numerum compo¬ situm formae 6n 4~ 5 necessario factorem pri¬ mum aliquem eiusdem formae irmoiuere, Quous- que igitur nulli numeri primi formae 6® + 5 dantur, quorum residuum — 3, eousque tales etiam compositi non dabuntur. Quodsi vero vjp-a tabulae nostrae limites tales numeri da¬ rentur, sit omnium minimus 5= t, ponaturque — 3 = aa — - tu, Tunc erit, si acceperis a pa¬ rem ipso que i minorem, « <| t, atque — 5 residuum ipsius u. Sed quando a formae 6n ±L 2, tu erit formae 6 n + r, adeoque u for¬ mae 6u H- .5, Q. E, A . quia t minimum esse numerum inductioni nostrae aduersantem sup¬ posuimus. Quando vero a formae 6«, .erit du formae 36® + 3 adeoque | tu formae 12®+ r, H a i I — 1 16 *■— quare I u erit formae 6n + 5 ; patet autem — 3 etiam ipsius -§ u residuum fore, atque es¬ se | u <| t, Q. E- A. Manifestum itaque, — 3 nuliius numeri formae 6n 4- 5 residuum esse posse. ■ / Quoniam quisque numerus formae 6n ~b 5 necessario vel sub forma izn + 5, vel sub hac 1 2M ii continetur, prior autem forma sub hac i\n + i, posterior sub hac 4» + 3, haec habentur theoremata : I. Cuiusuis numeri primi formae 1 2n -f- 5, tum 3 tum 4- 3 wcm - residuum est , II, Cuiusuis numeri primi formae 12 n -jb 1 1, — - $ non-residuum, + 3 wro residuum . 11 8. Numeri quorum residuum est + 3 tex tabula II. inueniuntur hi: 3, 11, i3, 23, 37, 47, 5g, 61, 71, 73, 83, 97, inter quos nulli sunt formae izn -4- 5, vel iew -j- 7. Nullos au¬ tem omnino numeros formarum 12» 4- 5, 12^ + 7 dari quorum 4- 3 sit residuum, eodem prorsus modo, vt in artt, 112, n3, 117, com¬ probari potest, quare hoc negotio supersede¬ mus. Habemus itaque coliato art. 1 1 1 theoremata : t I. Numeri cuiusuis primi formae 12 n 4- 5? non residua sunt tum 4- 3 tum — 3, (vti iam in art. praec, inuenimus ). . . - t ' h., f 1 ■ ■ 1 II. Numeri cuiusuis primi formae mn 7 non-residuum est 4h 3? — 3 vero residuum . / ng. Nihil autem per hanc methodum pro numeris formae 12.11 -f- 1 inueniri potest, qui proin artificia singularia requirunt. Ex in¬ ductione quidem facile colligitur, omnium nu¬ merorum primorum huius formae residua esse -f- 5 et — 3. Manifesto autem demonstrari tantummodo debet, numerorum talium resi¬ duum esse — 3, quia tunc necessario etiam 4- 3 residuum esse debet (art. m). Osten¬ demus autem generalius, — 3 esse residuum numeri cuiusuis primi formae 3 n -f- 1. Sit p huiusmodi primus atque a numerus pro modulo p ad exponentem 3 pertinens (qua¬ les dari ex art 55 manifestum, quia 5 sub- i , multiplum ipsius p — - 1). Erit itaque a3 = 1 (mod. p ) i. e. a3 — 1 siue ( az -4 a + 1 ) (a — 1) per p diuisibilis. Sed patet a esse non posse eee i ( mod. p ), quia 1 ad exponen¬ tem 1 pertinet, quare a — 1 per p diuisibilis non erit; sed a2, -f- a -E 1 erit, hincque etiam 4 aa d- 4^ + 4 ; i- e, erit (204 i)s = 3 (mod, p) siue — ■ 3 residuum ipsiusp. Q. E.D* Ceterum patet , hanc demonstrationem (quae a praecedentibus est independens) etiam numeros primos formae 12» «+•■ 7 complecti quos iam in art praec. absoluimus, Obseruare adhuc conuenit, hanc analysin ad instar methodi in artt. 109, ii5 vsitatae exhiberi posse, at breuitatis gratia huic rei non immoramur, 120. Colliguntur facile ex praec* theore¬ mata haec (vid* artt* 102, io5, io5)* H 3 II f. 3 est residuum omnium numerorum , qui ne¬ que per 8, neque per 9, neque per vi lum numerum primum formae 6w Hh 5 dmidi possunt , non resi - duum autem omnium reliquorum. II. + 3 est residuum omnium numerorum, qui neque per 4, neque per 9, neque per v Ilum primum for¬ mae 1 2,11 -j- 5 vel 12^+7 dinidi possunt, omnium reli¬ quarum non-residuum . Teneatur imprimis casus particularis hic : — 3 est residuum omnium numerorum primorum formae 5n + 1, seu quod idem est omnium, qui ipsius 3 sunt residma^ non * residuum vero omnium numerorum primorum formae 6?* *4- 5, seu, excluso numero 2, omnium formae 3 n 2, i. e, omnium qui ipsius § sunt non residua* Facile vero perspicitur omnes reliquos casus ex hoc sponte sequi. Propositiones ad residua -f- 3 et — 3 perti¬ nentia iam Fermatio notae fuerunt, Ope¬ ra Wallisii T. II. p. 867, At ill. Euler primus demonstrationes tradidit, Comm ♦ nou . Petr, T, iVlIh p. io5 sqq. Eo magis est mirandum, de- monstrationen propositionum ad residua -F 2 et — 2 pertinentium, prorsus similibus artificiis innixas , semper ipsius sagacitatem, fugisse. Vid. etiam comment, ill. La Grange, Nouv. Mem *■ de V Ac. de Berlin , 1776 p. 352. 121. Per inductionem deprehenditur, +3 nullius numeri imparis formae 5» ~r 2> vel 5» 4* 3 residuum esse, i. e. nullius numeri impa- ris qui ipsius non-residuum sit* Hanc vero regulam nullam exceptionem pati, ita demon* strator. Sit numerus mininius, si quis datur, ab Iiac regela excipiendus ~ t, qui itaque nu¬ meri 5 est non-residuum, 5 autem ipsius re¬ siduum. Sit aa = 5 +- tu, ita vt a sit par ipsoque Eminor. Erit igitur u impar ipsoque t minor, 4 5 autem ipsius u residuum erit. Q.uodsi iam a per 5 non est diuisibilis, etiam u non erit; manifesto autem tu ipsius 5 est residuum, quare quum t ipsius 5 sit non* residuum, etiam u non-residuum erit ; i, e. da¬ tur non-residuum numeri 5 cuius residuum est 4 5, ipso i minus» contra liyp. Si vero a per 5 est diuisibilis, ponatur a = 6b, atque u = 5v>. vnde tu ==■ — i = 4 (mod* 5), u e. iv erit residuum numeri 5. In reliquis demonstratio- perinde procedit vt in casu priori. ico. Omnium igitur numerorum primo¬ rum, qui simul sunt ipsius 5 non-residua si-, mulqiie formae 4 » 4 u, i- e. omnium numero¬ rum primorum formae ao n -4- i 3 «vel zon 4 17, tum 4- 5 quam — 5 non residua erunt; omnium autem numerorum primorum formae 20 n -p 5 vel 20 n 4 7> non residuum erit 4* 5? 5 re¬ siduum. Potest vero prorsus simili modo demon¬ strari, — 5 esse non-residuum omnium nume¬ rorum primorum formarum 20 n 4 1 1, ' %on 4 1 3, 20 0 -4-17, 20 n 4- j 9» facileque perspicitur hinc sequi, 4 5 esse residuum omnium numerorum primorum formae 2.0 n 4 n, vel 2 a» 4 19, non- H4 - residuum autem omnium formae 20 n -f* i3, vel 20 n -f- 17. Et quoniam quinis numerus primus, praeter 2 et 5 (tjuorum residuum 5), in aliqua harum formarum continetur 20/2 + 1, 3, 7, 9, 11, x3, 17, 19, patet, de omnibus iam iudicium ferri posse, exceptis iis qui sint for¬ mae 20/2 4* 1, vel formae 20/2 4“ 9* 123. Ex inductione facile deprehenditur, + 5 et — 5 esse residua omnium numerorum primorum formae 20 n -f 1, vel 20 q- 9. Quod- si hoc generaliter verum est, lex elegans ha¬ bebitur, 4- 5 esse residuuum omnium numerorum primorum qui ipsius 5 sint residua , ( hi enim in alterutra formarum 5 n 4- 1 vel 5 n + 4 siue in aliqua harum, 20/1 q» 1, 9, 11, 19, continentur, de quarum tertia et quarta illud iam ostensum est) non- residuum vero omnium numerorum qui ipsius 5 sint non-residua,vt iam supra demonstrauimus. Clarum autem est, hoc theorema sufficere, ad dijudicandum, virum + 5 ( eoque ipso, — 5, si tamquam productum ex *4- 5 et 1 consi¬ deretur) numeri cuius cunque dati residuum sit an non residuum. Denique obseruetur huius the¬ orematis cum illo quod art. 120 de residuo 3 exposuimus analogia. At verificatio illius inductionis non adeo facilis. Quando numerus primus formae 20/2 ■4- 1, siue generalius formae 5 n + 1 propo¬ nitur, res simili modo absolui potest, vt in artt, 1 14, J19. Sit scilicet numerus quicunque pro modulo 5u + 1 ad exponentem 5 pertinens a, quales dari ex secf, praec* manifestum, erit- 1251 que aB == i> siue (a — i) (a4 -j- + az + + i) s o (mod, 5» + i). At quia nequit esse a eee i , neque adeo a — i =. o ; ne¬ cessario erit a4 Hb a3, a4 + a + i = 6. Qua¬ re etiam 4 (a4 + r/'3 d“ 4- ^5 4- i) == {zact 4- a 4- a)* - — erit == o i. e. 5s* erit re¬ siduum ipsius 5» + i, adeoque etiam 5, quia a% est residuum per 5« + i non diuisibile ( a enim per 5 n 4- i non diuisibiiis propter n5 == I ). Q. A» D. At casus, ybi numerus primus formae 5 n 4- 4 proponitur, subtiliora artificia postulat. Quoniam vero propositiones quarum ope nego¬ tium absoluitur in sequentibus generalius tracta¬ buntur, hic breuiter tantum eas attingimus. I. Si p est numerus primus atque b non- residuum quadraticum datum ipsius p, valor ex- pressionis (A). . . (* + S ’■’>" ~ C* ■ yT ^ . V b (ex qua euoluta irratiorralitatem abire facile perspicitur), semper per p diuisibiiis erit, qui¬ cunque numerus pro x assumatur. Patet eriim ex inspectione coefficientium qui ex euolutione ipsius A obtinentur, omnes terminos a secun¬ do vsque ad penultimum (incl.) per p diuisi- biles fore, adeoque esse ^ = n (p 4- i)(#p Hh xb a 4, (mod. p). At quoniam b ipsius p hnL non-residuum est, erit b * ~ — i (mod. p)9 (art. 106) ; a;P autem semper est = x ( sect. praec. ) vnde fit A : i o, Q* E. D . II. In congruentia A == o (mod. p ) , in¬ determinata x habet p dimensiones, omnesque H 5 > , \ 1 22 numeri o, x, 2.... p — 1 illius radices erunt*. Iam ponatur * esse diuisorem ipsius p -p 1, . O 4- by — (> — &)e entque expressio - - - — — — — - - (quam per i? designamus) si euoluitur, abir- rationalitate libera, indeterminata x in ipsa e — 1 dimensiones habebit, constatque ex analyseo.s primis elementis, A per B (indefinite) esse di- msibilem. Iam dico e • — 1 valore-s ipsius x dari, quibus in B substitutis, B per p diuisibiv lis euadat. Ponatur enim A = J3C, habebit* que oc in C dimensiones p — - e r, adeoque congruentia o (mod, p) non plures quam p— e + 1 radices. Vnde facile patet, omnes reli¬ quos numeros ex his o, 1, 2, 3. . ♦ . p *»— i,quo- rttm multitudo == e — * 1, congruentiae B ~ q radices fore. III. Iam ponatur p esse formae 5« ,-f- 4, ? s= 5, b non - residuum ipsius p, atque numerum a ita determinatum , vt sit (a + by (a y/~ b¥ diuisibm ^b, At illa expressio fit =3 io«4 -f* zoaab -f zbb ~ 2((b -f- — noa4 ). Erit igitur etiam ( b -f- 5aa)* — 20&4 per p diuisibilis i. e* 20 a4 residuum ipsius p ; at quoniam l\ar residuum est per p non diuisibile (facile enim intelligi- tur, a per p diuidi non posse), etiam 5 resi¬ duum ipsius p erit. Q. E, D . Hinc patet theorema in initio huius arti¬ culi prolatum generaliter verum esse. — Obseruamus acllinc, demonstrationes pro vtroque casu ili. La Grange' deberi, Msm. de l’Ac ♦ de B er lin ijjS, p. 35a sqcp 124» Per similem mediodam demoxt/ra- tur, 7 esse non- residuum cuinsuis numeri primi q ipsius 7 sit non- residuum* - j ; i" '*■ \ . Ex inductione vero concludi potest/ 7 esse residuum cuinsuis numeri qui ipsius 7 sit residuum . At hoc a nemine hactenus rigor ose de¬ monstratum, Pro iis quidem residuis ipsius 7, qui sunt formae 4 n — 1, facilis est demon¬ stratio ; etenim per methodum ex praec. abun¬ de notam ostendi potest, q 7 semper esse ta¬ lium numerorum primorum non - residuum, adeoque ~~ 7 residuum. Sed partiin hinc lu¬ cramur : reliqui enim casus per hanc methodum tractari nequeunt. Vnum quidem adhuc ca¬ sum simili raod. vt artt. 119, ia3 ahsoiuere possumus. Scilicet si p est numerus primus formae 7 » + 1, atque a pro modulo p ad ex¬ ponentem 7 pertinens, facile perspicitur 4 f'c ' ' . ' " / a — 1 = (a«3 *-f- a% — a — 2 )2 -f- 7 (a % — af per p diuisibilem, , adeoque — 7 (a2 — a)2 ipsius p residuum fore. At (a2 — a)2 , tamquam quadratum, ipsius p residuum est , insuperque per p non diuisibile; quum enim a ad expo¬ nentem 7 pertinere supponatur, neque = o, ne¬ que === 1 (mod. p) esse potest, i. e. neque & / 124 neque a i per p diuisibilis erit, adeoque etiam quadratum (« — i )a a* . Vnde mani- sto etiam 7 ipsius p residuum erit. E. D. — * At primi numeri formae 7 n -f 2 vel 7 n -f 4 omnes methodos hucusque traditas eludunt. Ceterum etiam haec demonstratio ab illt La Grange primum est detecta /. c, — Infra sect. VJL docebimus generaliter , expressionem 4 ( x? — 1 ) — - - seinper ad formam X% qr p Tz re* x — 1 duci posse, (vbi signum superius est accipien¬ dum quando p est numerus primus formae 4 n 4- 1, inferius quando est formae 4- 3), de¬ notantibus Xy T functiones rationales ipsius xf a fractionibus liberas. Hanc discerptionem ili. La Grange vitra casum p = 7 non perfecit v. /t r. p. 352. 125. Quoniam igitur methodi praecedentes ad demonstrationes generales stabiliendas non sufficiunt, iam tempus est, aliam ab hoc de¬ fectu liberam exponere. Initium facimus a theoremate, cuius demonstratio satis diu ope¬ ram nostram elusit, quamuis primo aspectu tam obuium videatur, vt quidam ne necessita¬ tem quidem demonstrationis intellexerint. Est vero hoc: Quemuis numerum , praeter quadra» ta positiue sumtu aliquorum numerorum primorum non - residuum esse ♦ Quia vero hoc theoremate tan¬ tummodo tamquam auxiliari ad alia demon¬ stranda vsuri sumus, alios casus hic non expli¬ camus quam quibus ad hunc finem indigemus. De reliquis casibus postea sponte idem consta- 1 foit. Ostendemus itaque, quemuis numerum •pri¬ mum formae 422 4* 4 sine positiue sute negdtme acci¬ piatur *), non-residuum esse aliquorum numerorum pri - morum , et quidem talium qui ipso sint minores. Primoy quando numerus primus p, formae 4« 4- f, negatiue sumendus proponitur, sit 2 a numerus par proxime maior quam s Pj tum fa¬ cile perspicitur, !\.aa semper fore 2 p sine 4 ucs p <$ p> At I\aa — p est formae 4 « 4 5, 4 p autem residuum quadraticum ipsius i\aa — p, (quoniam p s i\acs (mod. 4 aa — p)); quodsi igitur daa — p est numerus primus, — - p ipsius nori- residuum erit; sin minus, necessa¬ rio lactor aliquis ipsius l\aa — p formae 4 » 4* 5 erit; et quum 4 V etiam huius residuum esse debeat, «— p ipsius non-residuum erit. q. e f Pro numeris primis positiue sumendis duos casus distinguimus. Primo sit p numerus pri¬ mus formae Sn .4- 5. Sit a numerus quicun¬ que positiuus _ ■ •- , ‘.s - 126. Sed numerum quemuis primum for¬ mae 8 n -j- 1 positiue acceptum sernper alicuius numeri primi ipso minoris non residuum esse, per artificia tam obuia demonstrari nequit. Quum autem liaec veritas inaximi sit momen¬ ti, demonstrationem rigorosain, quamuis ali- quantum p*olixa sit, praeterire non possumus. Praetermittas sequens Lemma. Si habentur duae series numerorum, A , B, C, etc. .... (I), Af, £', C', etc. .... (77), (virum terminorum multitudo in vtraque idem sit necne nihil interest) ita comparatae , vi, deno¬ tante p numerum quemcunque primum aut numeri pri¬ mi potestatem, terminum aliquem secundae seriei ( sine etiam piares) metieniem , totidem ad minimum termini in serie prima sint per p dniisibiles, quot sunt in secun¬ da : tum dico productum ex omnibus numeris ( 7) diu i- bile fore per productum ex omnibus numeris {II)* Exempl. Constet (I) e numeris 12, iS, 45 ; ( in ex his 3, 4? 5, 6, 9. Tum diuisibi- les erunt per 2, 4, 3, 9, 5 in (I) 2, s, 3, 2, i' termini, iti (ii.) 2, 1, 3, i, 1 termini, respe- ctiue; productum autem omnium terminorum (I) — 9720 diuisibiie est per productum o- m nium terminorum ( II ), 3240. Art 98. Patet enim a2- esse residuum ipsius q per q non diui- sibile, nam alias etiam numerus primus per q foret diuisibilis. Q. E. A* Demonstr, Sit prodoctum ex omnibus ter¬ minis (I) == Q, productem omnium termino¬ rum seriei (II), = Qy. Patet quemuis numerum primum qui sit diuisor ipsius Oj etiam ipsius ^diuisorem fore. lam ostendemus quemuis facto¬ rem primum ipsius Qy, in Q totidem ad mini¬ mum dimensiones habere quot habeat in Qy. Esto talis diuisor p, ponaturque, in serie (I)a terminos esse per p diuisibiles neque vero per p3, h terminos per p* non autem per p3 diuisibi¬ les, c terminos per p3 non autem per p4 etc. similia denotent literae b*, c 1 etc. pro serie (II), perspicietur que facile, p in Q habere a H- b 4“ c -p etc. dimensiones, in Qv vero a'*p b* ~p c* -j- etc. At a* certe non maior quam a, b1 non maior quam b etc. (hyp.); quare a' -p b* c* etc. certo non erit > a p b -p c etc. — ■ Quum itaque nullus numerus primus in Q* plures dimensiones habere possit, quam an Q, Q per QJ diuisibilis erit (art, i y) Q. E, D. Lemma., In progressione i, 2, 3, 4..*. $z, plures termini esse nequeunt per numerum quemcun¬ que k diuisibiles , quam m hac a, a Hh I, a p 2 * ♦ . •» u “p n —— 1 • ' ^ r ^ \ , ‘) . . f- '\y — 128 ’ > ' ' \ . ■ r - - . ' • \ •< . ’ / ' ''m Hinc tamquam CorolL sequitur propositio ex numerorum figuratorum theoria nota, sed a nemine, ni fallimur, hactenus directe de- $.&-{- 1 . 0 4- 2.. . * . a n 1 monstrata, - - - - — ■=, — - — — — - r • 2» <2 ♦ • • n s em per esse numerum integrum. Denique Lemma hoc generalius ita proponi potuisset : In progressione a, a f 1, a + 1, . ... a •f' n — 1 totidem ad minimum dantur termini secundum modulum h numero cuicunque dato, r, congrui, quot in hac, 1, 2, 5. ... n termini per h diuisibiles. 128. Theorema. Sit a numerus quicunque for¬ mae 8« + 1, p numerus quicunque ad a primus, cuius residuum a, tandem m numerus arbitrarius : tum dico , in progressione a , f ( a — 1 ), 2 (a — 4 ) , i (a — 9), 20' — 16), ♦ ... 2 ( a — ~ m* ) , vel i (a — mz ), f m vel impar , totidem ad minimum dari terminos per p diuisibiles quot dentur in hac 1, 2, 3 . . ♦ ♦ 2 m -f- i* Priorem progressio¬ nem designamus per (I) posteriorem per (II). Demonstr «. I. Quando p = 2, in ( I ) omnes termini praeter primum, i. e. m termini diui¬ sibiles erunt; totidem autem erunt in (II). II. Sit p numerus impar, vel numeri im¬ paris duplum vel quadruplum, atque a ~ rr (rnod. p). Tum in progressione, — m , — - Qm — 1 ), — (m — 2) . + m ( quae terminorum multitudine cum (I) et (II) conuenit et per ' • , ' H ' ’ / L' ! (III) designabitur) totidem ad minimum termi¬ ni erunt secundum modulum p ipsi r congrui, quot in serie (11) per p diuisibiles (art. praefc.). Inter illos autem, bini, qui signo tantum, noti magnitudine, discrepent, occurrere nequeunt*). Tandem quisque eorum correspondentem ha¬ bebit in serie (I), qui per p erit diuisibilis. Scilicet si fuerit ' rh b aliquis terminus seriei (III) ipsi r secundum p congruus, erit a~~bb per p diuisibilis. Quodsi igitur b est par, terminus seriei (I), s( a — bb), per p diui- sibilis erit. Si vero b impar, terminus 3(0 — bby per p diuisibilis erit: namque manifesto — — erit integer par , quoniam a — bb per 8, p au¬ tem ad summum per 4 diuisibilis (0 enim per hyp. est formae 8» 4 1, bb autem ideo quod est numeri imparis quadratum eiusdem formae erit, quare differentia erit formae Sn), Hinc tan¬ dem concluditur, in serie (I) totidem terminos esse per p diuisibiles, quot in (III) sint ipsi r secundum p congrui, i. e . totidem aut plores quam in (II) sint per p diuisibiles. Q. E, D . III. Sit p formae 8«, atque a ~ rr (mod. sp). Facile enim perspicitur, a , quum ex hyp. ipsius p sit residuum, etiam ipsius ap residuum •) Si enim esset r f == -f- / (mod. jo), fieret s f per p diuisibilis, adeoque etiam 2<* (propter ff — « (mod. p)) Hoc autem aliter fieri nequit, quam si p = 2, quum per hyp. m ad p sit primus. Sed de hoc casu iam seorsitn diximus. — i5o ***** fore; Tum ia serie ('110 totidem ad minimum termini erunt ipsi r secundum p congrui quot in (II) sunt per p diuisibiles, i* lique omnes magnitudine erunt inaequales. At cuique eo¬ rum respondebit aliquis in (I) per p diuisibilis. Si enim 4- b vel — b ~ r (mod. p), erit bb=z rr (mod. 2 p), *) adeoque terminus l(a ~~ rr) per p diuisibilis, multoque magis 2{a — rr). Quare in (l) totidem ad minimum termini erunt per p diuisibiles quam in (II). Q. E. D . 1 29. Theorema* Si a est numerus primus for¬ mae %n -b I* necessario infra V a dabitur aliquis numerus primus cuius non-residuum sit a . Demonstr . Esto, si fieri potest, a residuum omnium primorum ipso 2/ a minorum. Tum facile perspicietur, a etiam omnium numero¬ rum compositorum ipso 2 a minorum resi¬ duum fore ( conferantur praecepta per quae diiudica^e docuimus, vtrum numerus proposi¬ tus sit numeri compositi residuum necne; art. io5). Sit numerus proxime minor quam yf a = w. Tum in serie (!)..♦... a9 5(a — i), 2(^—4), \ (a — 9)..*. 2 ( i* — w), vel § (a > — mm ), tolidem aut plures termini erunt per numerum quemcunque ipso 2 y r a mino¬ rem diuisibiles, quam in hac (II) . . . . . r, 2, 5, 4.... 2« +■ 1 (art. praec. ). Hinc vero se¬ quitur, productum ex omnibus terminis (I)per productum omnium terminorum ( II ) diuisibile *) Erit scilicet bb — rr = ( b — r ) ( b + r) e duobus factori¬ bus compositus, quorum alter per p tfimsibilis ( hyp. }, alter per 2 (quia tum b tum r sunt impares) ; adeoque bb — rr per diuisibilis. 1 ' - • . . ' v - /' - 1 - ' / / esse, (art. 126), At illud est aut = a (a — - 1) (a ■ • 4» • • (0 — «m») aut semissis huius producti (prout m aut par aut impar). Quare produ¬ ctum a(a — 1) (a — 4) ♦ • . — »»») certo per pro¬ ductum omnium terminorum (II) diuidi pote¬ rit, et, quia omnes hi termini ad a sunt primi, etiam productum iilud omisso factore 6ed productum ex omnibus terminis ( II ) ita etiam exhiberi potest, (m -f- 1 ) • ((iw-4-i)* — 1 ). (.(«»+ 0a — 4). ♦ ••((*»+ x)a — ). Fiet igitur 1 a — 1 ^ — 4 * . — 1 $ ■ — ^ w, — — . .. ( m + 1 )* F 1 )a — i ( »2 d- i )z — 4 ; a — - ‘ m2, ("w-p j > a «umerus integer, quamquam sit productum ex fractionibus vnitate minoribus : quia enim necessario yf a irrationalis esse de¬ bet; erit m -j- 1 > ay adeoque ( m -f- 1 )• > Hinc tandem concluditur suppositionem nostram locum habere non posse. Q E. D. iam quia a certo > 4, erit 2^ a < a, dabitur- que adeo aliquis primus <\a cuius non residuum a. i5o«. Postquam rigorose demonstrauimus quemuis numerum primum formae 4« + 1, et positum et negatiue acceptum, alicuiuis nu¬ meri primi ipso minoris non residuum esse, ad comparationem exactiorem et generaliorem nu¬ merorum primorum quatenus vnus alterius resi¬ duum vel non residuum est, statim transimus* Omni rigore supra demonstrauimus, — 3 efc -f 5 esse residua vel non-residua omnium nu¬ merorum primorum, qui ipsorum 3, 5 respecti- ue sint residua vel non residua. i Ia Per inductionem autem circa numeros sequentes institutam, inuenitur: — 7, — ii, f i3, + 17, — 19, — s5, + 29, — 3i, + 37, + 4 1 , — 43, — 47/-+* 55, — 5g etc. esse residua vel non- residua omnium numerorum primorum, qui, positiui sumti, illorum primorum respectiue sint re¬ sidua yel non-residua. Inductio haec perfaci¬ le adiumento tabulae II conlici potest. Quiuis autem leui attentione adhibita ob- seruabit, ex bis numeris primis signo positiuo affectos esse eos, qui sint formae !±n -f* 1, ne- gatiuo autem eos, qui sint formae 4** + 5. • v y v . ■ ^ i3i. Quod bic per inductionem detexi¬ mus, generaliter locum habere mox demonstra¬ bimus» Antequam autem hoc negotium adea¬ mus, necesse erit, omnia quae ex theoremate, si verum esse supponitur , sequuntur, eruere. Theorema ipsum ita enunciamus. Si p est numerus primus formae 4® -f- x, erit 4- p, si vero p formae 4» 3, erit ~~ p residuum vel non- residuum cuiusuis numeri primi qui positiue ac¬ ceptus ipsius p est residuum vel nomresiduum. Quia omnia fere quae de residuis qua- draticis dici possunt, huic theoremati innitun¬ tur, denominatio theorematis fundamentalis, qua in sequentibus vteinur, haud absona erit, Vt ratiocinia nostra quam breuissime ex¬ hiberi possint, per a, a', etc, numeros primos i33 formae 4« -b ij per b, b\ bu etc. numeros pri¬ mos formae 4^ 4- 3 denotabimus; per jf" etc. numeros quoscunque formae 4« 4- f,per B , j B', B" etc. autem numeros quoscunque for^ mae 4» + 5 ; tandem litera R duabus quanti* tatihus interposita indicabit, priorem sequentis esse residuum, sicuti litera N significationem contrariam habebit. Ex. gr. + SR i i, ±i 2 N 5, indicabit 4 5 ipsius 1 1 esse residuum, q- 2 vei — 2 esse ipsius 5 non* residuum. Jam collato theoremate fundamentali cum theorematibus art. m, sequentes propositiones facile dedu¬ centur» r. 5. 4- Si ±L a R a* 4-* a Na1 + a R b —■ aNb + a Nlo erit j± bR a ~~ a R b 3. 4~* o R ct» ««•«».. -b a Rh - a R b 6. ±L bNa . . f+ a®b f 4- b Rb,'\ 74 t~ bNb'\ 8 f + ^'1 f+ b' Rb 9 [+ b ' iV6 R b I 3 \ i?>4 i3s. Tn his omnes casus, qui, duos nu¬ meros primos comparando, occurrere possunt^ continentur: quae sequuntur, ad numeros quos- cunque pertinent: sed harum demonstrationes minus sunt obuiae. Si , erit \ j t± a R A . . ♦ < * rfc. A Res io. URA f ^ A Rb ~ bRA . [— ANb ir. -f- aRB ♦ ~tL BR a 12. aRB....'* j± B iV 13. + bRB>.". 14. ~~ b RB.... . — ■ B Rb + BA6 f — B Rb [+ BA6 Quum omnium harum propositionum de¬ monstrationes ex iisdem principiis sint peten¬ dae, necesse non erit omnes euoluere : demon¬ stratio prop. 9, quam apponimus tamquam exem¬ plum inseruire potest. Ante omnia autem ob- seruetur, quemuis numerum formae 4^+1 aut nullum factorem formae 4^ + 3 habere, aut duos, aut quatuor etc. i, e. multitudinem talium factorum (inter quos etiam aequales esse pos¬ sunt ) semper fore parem : quemuis vero formae 4» -f- 3 multitudinem imparem facto¬ rum formae i\n 5 (i. e* aut vnum aut tres aul / i35 quinque etc.) implicare. Multitudo factorum formae l\n + i indeterminata manet. Prop, 9 ita demonstratur. Sit A productum e factoribus primis a\ a", a414 etc>, b , b44 etc. ; erit que laetorum b , b b 44 multitudo par (possunt etiam nulli adesse, quod eodem redit), lam si a est residuum ipsius erit residuum etiam omnium factorum a*9 a44, a 4/4 etc. bf b b 44 etc* quare per propp. i, 5 art. praec. singuli hi factores erunt residua ipsius a, adeoque etiam productum A, A vero idem esse debet. — • Quodsi vero — - a est residuum ipsius Af eoque ipso omnium factorum a4, a44 etc. b , b 4 etc. ; singuli a 4, a ‘4 etc erunt ipsius ct, residua, singuli by b4 etc. autem non residua. Sed quum posteriorqfn multitudo sit par, productum ex omnibus, i. e . A, ipsius a. residuum erit, hinc- que etiam - — A ♦ i35. Inuestigationem adhuc generalius in¬ stituamus. Contemplemur duos numeros quos- cunque impares inter se primos, signis quibus¬ cunque affectos, P et Q. Concipiatur P sine respectu signi sui in factores suos primos re¬ solutos, designefcurque per p, quot inter hos reperiantur quorum non-residuum sit Q* Si vero aliquis numerus primus, cuius n on- resi¬ duum est Q, pluries inter factores ipsius P oc¬ currit, pluries etiam numerandus erit. Simili¬ ter sit q multitudo factorum primorum ipsius Q, quorum non* residuum esfc P. Tum nume¬ ri p, q certam relationem mutuam habebunt ab I 4 ! — i56 — indole numerorum P, Q pendentem. Scilicet si alter numeror am p, q est par vel impar, numerorum P , Q forma docebit, vtrum alter par sit vel impar. Haec relatio in sequenti tabula exhibetur. \ ' j; Erunt p, q simul pares vel simul impares, quando numeri P, Q habent formas: 1. 4- 4 A* 2. 4 A — A* 3» Hh Ay 4-1 B 4. 4 A, — B 5. — A, — A* 6f + B, — B* Contra numerorum p , q alter erit par, al¬ ter impar, quando numeri P, Q habent forpias: 7. «—* Hh* P 8. - Ay — B 9. + P, + B' 10. - By — B*. Ex. Sint numeri propositi — 55 et 4 Ii 97, qui ad casum quartum erunt referendi. Est autem 1197 non-residuum vnius factoris primi ipsius 55, scilicet numeri 5, — * 55 au¬ tem non-residuum trium factorum primorum ipsius 1197, scilicet numerorum 3, 3, i9. Si P et Q numeros primos designant, pro¬ positiones hae abeunt in eas quas art. i5i tra- didimus. Hic scilicet p et q maiores quam t fieri nequeunt, quare quando p ponitur esse par necessario erit = o i. e, Q erit residuum ipsius P , quando vero p est impar, Q ipsius P non residuum erit. Et vice versa. Ita scriptis a, b loco ipsorum A , ex 8 sequitur, si — a fuerit residuum vel non- residuum ipsius b , fo¬ re — b non -residuum vel residuum ipsius a9 quod cum 3 et 4 art, i3i comienit. Generaliter vero patet, Q residuum ipsius P esse non posse nisi fuerit p = o; si igitur p impar, (jj certo ipsius P non-residuum erit. Hinc etiam propp. art. praec. sine diffi¬ cultate deriuari possunt. Ceterum mox patebit, lianc repraesenta¬ tionem generalem plus esse quam speculatio¬ nem sterilem, quum theorematis fundamenta¬ lis demonstratio completa absque ea vix per¬ fici possit. i34* Aggrediantur nunc deductionem ha¬ rum propositionum. I. Concipiatur, vt ante, P in factores suos primos resolutus, signis neglectis, insuperque etiam Q in factores quomodocunque resolua- tur, ita tamen vt signi ipsius Q ratio habeatur. Combinentur illi singuli cum singulis his. Tum si .r designat multitudinem omnium combinatio- num, in quibus factor ipsius Q est non-residuum factoris ipsius P, p et s vel simul pares vel I 5 V — 138 — simul impares erunt. Sint enim factores pri¬ mi ipsius P , hi /s f f" etc, et inter factores in quibus Q est resolutus, sint m qui ipsius / sint non- residua, m* non-residua ipsius /', mu non- residua ipsius /" etc. Tum facile quisquis per¬ spiciet, fore s = m -f- m' 4 *»■" 4- etc., p au¬ tem exprimere quot numeri inter ipsos m, m\ m " etc. sint impares. Vnde sponte patet, .? fo¬ re parem, quando p sit par, imparem quando p sit impar. II. Haec generaliter valent, quomodocun- que Q in factores sit resolutus. Descendamus ad casus particulares. Contemplemur primo casus, vbi alter numerorum, P, est positiuus, a1 ter vero, (J, vel formae A vel formae — B, Resoluantur P, Q in factores suos primos, at¬ tribuatur singulis factoribus ipsius P signum po- sitium, singulis autem factoribus ipsius Q si¬ gnum positiuum vel negatiuutn, prout sunt for¬ mae a vel b; tunc autem manifesto Q fiet vel formae + A vel — B vti requiritur. Combi¬ nentur factores singuli ipsius P cum jsingulis factoribus ipsius Q, designetque vt ante j mul¬ titudinem combinationum in quibus factor ipsius Q est non residuum factoris ipsius P, si- militerque t multitudinem combinationum in quibus factor ipsius P est non-residuum facto¬ ris ipsius Q. At ex theoremate fundamentali sequitur illas combinationes indenticas fore cum his adeoque s = t. Tandem ex iis quae modo demonstrauimus sequitur esse p — s (mod. a)j- q t (mod. 2), vnde fit p = q (mod. 2). Habentur itaque propp, i, 3, 4et6art. i33. Propositiones reliquae per methodum si¬ milem directe erui possunt, sed vna considera¬ tione noua indigent; facilius autem ex praece¬ dentibus sequenti modo deriuantur. III. Denotent rursus P, Q, numerus quos- cunque impares inter se primos, p, q multitu¬ dinem factorum primorum ipsorum P, Q, quo¬ rum non-residua Q, P respectiue. Tandem sit j v' multitudo- factorum primorum ipsius P , quorum non - residuum est - — Q ( quan¬ do Q per se est negatiuus, manifesto Q nu¬ merum positiuuin indicabit). lam omnes facto¬ res primi ipsius P in quatuor classes distri¬ buantur. 1) in factores formae a, quorum residuum est Q. 2) factores formae b , quorum residuum Q. Horum multitudo sit 3) factores formae a , quorum non-residuum est Q. Horum multitudo sit 4/. 4) factores formae b , quorum non-resi- duum Q* Quorum multitudo = Tum facile perspicitur fore p = ^ q- * p* = % + 4*. lam quando P est formae erit w adeoque etiam % — » numerus par : quare fiet p' ■ = p q- x — »■ = p (mod. 2); quando vero P est formae th B} per simile ratiocinium in- uenitur, numeros p, p 1 sec. mod. 2 incongruos fore. IV, Applicemus haec ad casus singulos. Sit primo turn Py tum Q formae -f. A , eritque ex prop, i. p = q (mod. 2); at erit p* ~ p (mod. a);. 'quare etiam p' s= q (mod. 2). Quod con- uenit cum prop. 2. — Simili modo _si P est formae + A, Q formae — • A , erit p = q (mod. 2) ex prop, 2 quam modo demonstrauimns ; hinc, ob p* = py erit p' = q. Est itaque etiam prop. 5 demonstrata. Eodem modo prop. 7 ex 5; prop. 8 vel ex 4 vel ex 7; prop. 9 ex 6; ex eademque prop. 10 deriuantur. i35* Per art, praec. propositiones art. i33 non quidem sunt demonstratae, sed tamen earum veritas a veritate theorematis fundamen¬ talis quam aliquantisper supposuimus pendere ostensa est. At ex ipsa deductionis methodo manifestum est, illas valere pro numeris P , Q, si modo theorema fundamentale pro omnibus factoribus primis horum numerorum inter se comparatis locum habeat, etiamsi generaliter verum lion sit. Nunc igitur ipsius theorematis fun¬ damentalis demonstrationem aggrediamur. Cui praemittimus sequentem explicationem. Theorema fundamentale vsque ad numerum ali¬ quem M verum esse dicemus , si valet pro duobus numeris primis quibus cunque y quorum neuter ipsum M superat • Simili modo intelligi 'debet, si theorema, i ta artt. i3i, i3s, i33 vsque ad aliquem ter- i mmuffl vera esse dicemus. Facile vero per¬ spicitur, si de veritate theorematis fondamen- lalis vsque ad aliquem terminum constet, has propositiones vsque ad eundum terminum lo¬ cum esse habituras*. i56. Theorema fundamentale pro nume¬ ris paruis verum esse per inductionem facile confirmari, atque sic limes determinari potest vsque ad quem certo loco teneat. Hanc in¬ ductionem institutam esse postulamus: pi orsus autem indifferens est quousque eam persequu- ti simus ; sufficeret adeo, si tantummodo vsque ad numerum 5 eam confirmauissemus, hoc au¬ tem per vnicatn obseruationem absoluitur, quod, est + 5iV3, 5 N5» Iam si theorema fundamentale generali¬ ter verum non est, dabitur limes aliquis, T9 vsque ad quem valebit, ita tamen vt vsque ad numerum proxime maiorem, 7 + i, non am¬ plius valeat. Hoc autem idem est ac si dica¬ mus, dari duos numeros primos quorum maior sit 7V+ i, et qui inter se comparati theore¬ mati fundamentali repugnent, binos autem a- lios numeros primos quoscunque, si modo am¬ bo ipso T d* i sint minores, huic theoremati esse consentaneos. Vnde sequitur, propositio¬ nes artt. i3i , i3a, i33 vsque ad T etiam locum habituras. Hanc vero suppositionem consistere nort posse nunc ostendemus. Erunt autem secundum formas diuersas, quas tum T + t, tum numerus primus ipso T 4 i mi¬ nor, quem cum T H- i comparatum theore¬ mati repugnare supposuimus, habere possunt, casus sequentes distinguendi. Numerum istum primum per p designamus. / • ' y'"*'" ’ s. V. _ I ‘ _ ' Quando tum T 4- i tum p sunt formae l\n -f theorema fundamentale duobus mo¬ dis falsum esse posset, scilicet si simul esset, vel ~dt. v R ( f *4~ i ) et T -f- i )Arp, vel simul r±: pN ( T 4~ i ) et ±: (T ^ i ) Rp . Quando tum T -4- i tum p sunt formae 4 n 4- 3, theor. fund. falsum erit, si simul fue¬ rit vel + pR ( T 4- i), et — (T 4~ i) Np (siue quod eodem redit — pN (T 4- i ) et 4-rr+o Rp) ; vel 4- pN (T 4 O et — (T 4 i )Rp (siue — pi? ( T 4^ i)et + (rf i) Np). Quando T 4 1 est formae 4» 4- i, p ve¬ ro formae 4 » + 3, theor. fund. falsum erit, si fuerit vel r± pR ( T 4“ O 6t -f ( T -p i) Np (siue - ( T 4- i )Rp)\ vel ±r pN ( T 4- i) et — ( T 4- i ) Np (siue + ( T + i ) Rp). Quando T 4- i est formae l\.n 4-3 f p ve¬ ro formae 4 «4* theor. fund. falsum erit, si fuerit vel 4- pR (T 4_I)J (siue ~ pN{ T-\-i) ) et di (r + O ATp, vel -f- piV (T 4“ i)(siue — pi£ (T4- O)» et dfe (T f I) Si demonstrari poterit, nullum horum oc¬ to casuum locum habere posse, simul certum erit, theorematis fundamentalis veritatem nui- 1 43 I Iis limitibus circumscriptam esse. Hoc itaque negotium nunc aggredimur: at quoniam alii horum casuum ab aliis sunt dependentes, eun¬ dum ordinem, quo eos hic enumerauimus ser* nare non licebit. lSy. Casus primus. Quando T -f* r est for* mae 4 n -f- 1, (== a ), atque p eiusdem formae ; in - i super vero ±l, pRa, non potest esse aNp+ Hic casus supra fuit primus. Sit 4- p ~ e% (modo a ), atque e par et (quod semper obtineri potest). lam duo ca¬ sus sunt distinguendi. I, Quando *perp non est diuisibilis. Ponatur ^ = jj + eritque /positi uus, formae 4 n +3 (sine formae B ), <1 a, et per p non diuisibilis. Porro erit e% = p (mod. /), i. e. pi?/adeoque ex prop n art. i'3a rt fRp (quia enim p, f <1 a, pro his propositiones istae valebunt). At est etiam af Rp, quare liet quoque z± a Rp, II. quando e per p est diuisibilis, ponatur e = gp , atque ez = p + aph, siue pgz — 1 ah. Tum erit h formae l\n -f 3 [B ), atque ad p et ga primus. Porro erit pgz Rh , adeoque etiam p Rh, hinc (prop. n art. i3^), h Rp ^ At est etiam ah Rp, quia — ah = 1 (mod. quare fiet etiam ^ aRp, ' ‘ f.,; ; . '' /'• ' p'W ' ' ‘ ' ■ : . . i'38. Casus secundus. Quando T x est formae 411 4" 1, (= a), p formae qn ~f- 3 , atque I — i44 — '1 „ \ • s' \ 'f »■ j s ♦ . . • ■ • \ r±i p R ( T + 3), non potest esse 4~ ( T 4- 1 ) Npt sine — ( T 4- 1 ) Rp. Hic casus supra fuit quintus. Sit vt supra ez p 4/0 atque e par et <| a, I. Quando e per p non est diuisibilis, erit etiam / per p non diuisibilis. Praeterea autem erit / positiuus, formae 4« 4* 1 (siue A ), at¬ que <| a; 4* pRfy adeoque (prop. 10 art. i3a) 4- fRp. Sed est etiam + fa&p , quare fiet 4- aRp , siue — aAfp. II» Quando « per p est diuisibilis, sit e = atque / = ph. Erit itaque g2p — 1 4~ ha. Tum h erit positiuus, formae 4 n 4- 3 ( B ), et ad p et primus. Porro -f g2pRb, adeoque 4- pRh\ hinc fit (prop, i3 art i52) — liRp. At est — //a ynde fit + aRp atque — dNp . i3g. Casus tertius . Quando r 4 1 /or- mde 4« 4 I, ( = fl), ^ eiusdem formae , atque -4— potest esse 4r (Supra casus se¬ cundus ), Capiatur aliquis numerus primus ipso a minor, cuius non- residuum sit 4* at quales da¬ ri supra demonstrauimus ( art. 125, 129). Sed hic duos casus seorsim considerare oportet, prout hic numerus primus fuerit formae 4*2 4“ r vel [\n 4- 3 ; non enim demonstratum fuit, dari ta¬ les numeros primos vtriusque formae. I. Sit iste numerus primus formae 4 » +• 1 et 3= a'. Tum erit a' Na (art. 137) adeoque / ■—> 1 45 a'pRa. Sit igitur z3, a*p (mod. a) atque # par, vnde rit ±: fNa\ Hinc / debet esse vtriusque numerorum a\p non-re- rsiduum* At propter rh af Rp erit rt aNp . I £. D. 1 > 2) Quando e per p, neque vero per a* est diuisibilis, sit e = gp, atque g%p » a* rfc ah, signo ita determinato, vt h fiat positiuus. Tum erit h < a , ad a', g, et p primus, atque pro signo superiori formae l\n H- 3, pro inferiori Vero formae 4^ + i« Ex aequatione g^p = si per p, et a' multiplicatur, nullo negotfo deduci potest, pa'Rh . (* ) ; Jdi ahpRa '. •••(£) aa'hRp . (v> Ex («) sequitur [p»',*] — o, adeoque (prop, 1, 3, art. i53) [Jf, p&'] par, i. e. erit & non-residuumvel vtriusque p, v«l K \ I i46 neutrius, et quum Hinc per a‘ ipso T et ex eo Posteriori JL pNa\ fit ex (y) Priori in casu exf £) sequitur, .±_apNa', per hyp. sit _± aNa *, erit ±_ pfta*9 theor. fundam, quod pro numeris p*y + i minoribus valet, ±1 a4 Rp, Hinc quod hNp, fit per (V) aNp Q. /?. rar» ex (£) sequitur j±_ afiRa', bine ±- a'iVp hineque tandem et ex /Jfcp _± aiVp Q IS. D. 3) Quando e per a4 non autem per p est diuisibilis. Pro boc casu demonstratio tantum non eodem modo procedit vt in praec., ne¬ minem que qui hanc p enetr a uit poterit morari. 4) Quando e tum per a4 tum per p est diuisibilis adeoque etiam per productum a4p {numeros a4,p enim inaequales jjesse supponimus, quia alias id quod demonstrare operam damus, esse aNa4 iam in hypotbesi aNp contentum •foret ), sit e = ga4p atque g‘xa4p — i±zah. Tiim ' erit h a, ad a4 et p primus atque pro signo superiori formae i\n 4- 5, pro inferiori formae 4« -f i. Faci e vero perspicitur, ex ista aequa¬ tione deduci posse liaec alpRh , _± ahpRa\ ±~ aa'hRp ; quae cum iis quae in (2) inuenimus conueniunt. In reliquis autem demonstratio est eadem* JT. Quando iste numerus primus est for¬ mae l\n -f- 3, demonstratio praecedenti tam similis est, vt eam apponere superfluum nobis visum sit. In eorum gratiam qui per se eam euoluere gestiunt (quod maxime commenda- i i— 147 — imss), id tantum obseruamus, postquam ad ta¬ lem aequationem e% == bp ±L.af (designante b illum numerum primum) peruentum fuerit, ad perspicuitatem profuturum, si ytfumque si¬ gnum seorsim consideretur. 140. Casus quartus . Quando T ~f* r esi formae 4» ~f“ i» (=0)» V formae -4» -f- 3, atque ±L p Na, non poterit esse aRp, siue aNp> (Ca¬ sus sextus supra). Etiam huius casus demonstrationem quum prorsus similis sit demonstrationi casus tertii breuitatis gratia omittimus. i/*i. Casus quintus. Quando T -4- 1 est for¬ mae 4 n -f* 3, (= b ), p eiusdem formae , atque~\~pRb ( siue — pNb ')j nequit esse -j- bRpf siue — bNp. ( Casus tertius supra ). Sit p — e* ( mod. b ), afque e par et < b. I. Quando e per p non est diuisibilis. Po¬ natur e% = p 4- bfy eritque / positiuus, formae l±n 4- 3, p formae 4« -f- \y atque pRb9 non poierit esse ±_ bNp. Supra casus septimus. Demontrationem praecedenti omnino si¬ milem, omittimus. i43. Casus septimus. Quando T-bi est for¬ mae 4« -f- 3> (=6), p eiusdem formae atque -J- p/VT* .mftf — pRb, non poterit esse 4 bNp siue — bRp . (Casus quartus supra) Sit — p = (mod. 6), atque « par et < I. Quando e per p non diuisibilis. Sit — f) - ~ bf eritque / positiuus, formae ad p primus ipsoque b minor (etenim e cer¬ to non maior quam b — 1, p <; b — i, qua¬ re erit bf=ez f p <\ b% — b . i. e. / atque g*p = — 1 + bk Tum erit ^ positiuus, formae 4» 4- 3, ad p primus et < Porro erit vRJi , vnde fit (prop. 14 art i3a) 4- Hinc et ex bRp equitur 4- bRp siue — bNp . Q. £. n x 44 Casus octauus. Quando T ‘-j-* i formae 4n + 3? C— ^ )> P formae 4n + i, atque ~J- pNb sim — non potent esse :± Casus vlti- mus supra. • . • \ : / Demonstratio perinde procedit vt in casu praecedente* i45. In demonstrat, praec. semper pro e valorem parem accepimus (art. 157. 1 44); ob- seruare conuenit, etiam valorem imparem ad¬ hiberi potuisse, sed tum plures adhuc distin¬ ctiones introducendae fuissent. Qui his dis¬ quisitionibus delectantur, haud inutile facient, si vires suas in euolutione horfim casuum exercitent* Praeterea theoremata ad residua 4- 2 et — a pertinentia tunc supponi debuis¬ sent; quum vero nostra demonstratio absque his theorematibus sit perfecta, nonam hinc met¬ hodum nanciscimur, illa demonstrandi. Quae minime est contemnenda, quum methodi, qui¬ bus supra pro demonstratione theorematis, -r± 2 esse residuum cuius uis numeri primi formae Sk + 1, vsi sumus, minus directae videri pos¬ sint. Reliquos casus (qui ad numeros primos formarum 8» + 3, ' 8» + 5, 8» + 7 spectant) per methodus supra traditas demonstratos, il- ludque theorema tantummodo per inductio¬ nem inuentum esse supponemus; hanc autem inductionem per sequentes reflexiones ad cer¬ titudinis gradum euehemus. Si ± 2 omnium numerorum primorum formae Bn + 1 residuum non esset, ponatur 4 K 3 t . minimus primus huius formae, cuius non -re¬ siduum 2, — a, ita vt pro omnibus primis ipso a minoribus theorema valeat. Tum acci¬ piatur numerus aliquis primus < J a, cuius non* residuum a (qualem dari ex art. 129 facile de¬ ducitur). Sit hic — p eritque per theor. fund. pNa. Hinc iit =± 9,pRa* ~~ Sit itaque ez 2 p (rriod. d) ita vt e sit impar atque a . Tum duo casus erunt distinguendi. I. Quando e per p non est diuisibilis. Sit e'2, =s 2,p -p aq eritque q positiuus , formae + 7 vel formae 8n -j- 3, (prout p est for¬ mae l\n 4- 1 vel 4 ^ 4- 3), a , atque per p non diuisibilis. Iam omnes factores pri¬ mi ipsius q in quatuor classes distribuantur, sint scilicet e formae 8n -f 1 , / formae 8n -f- 3, g formae 8« -{-5, k formae 8n -f- 7; productum e factoribus primae classis sit E, producta e factoribus secundae , tertiae , quartae classis respectiue, F, (?, E *). His ita factis, conside¬ remus primo casum vbi p est formae 4» 4- i , siue q formae 8n -f 7* Tum facile perspicitur fore 2.RE , 2.RE, vnde pRE , pRH , hincque tan¬ dem ERp , HRp. Porro erit 2 non- residuum cuiusuis factoris formae 8n 4- 3 aut + 5, adeoque etiam p; hinc quiuis talis factor non- residuum ipsius p ; vnde facile concluditur F(z fore ipsius p residuum, si / -f- g fuerit par, non- residuum, si / -f- g fuerit impar. At f*-hg impar esse non potest; facile enim perspicietur omnes casus enumerando, EFGH siue q fieri *) Si ex aliqua classe nulli factores adessent, loco producti ex Jiis f scribere oporteret. vel formae’ 8» ■+■ 5 vel 8» -f- 5, si fuerit /-pg' impar, quidquid sint singuli e, /, g, h, contra liyp. Erit igitur FGRp , EFGHRp , siue hinolpe tandem, propter aqRpf aRp contra hyp * Secundo quando p est formae kn +. 3, simili modo ostendi potest, fore pER adeoque E.Rp9 — pEF adeoque Ffijjp, tandem g 4- k parem Iu neque GHRp , vnde tandem sequitur qRpf aRp contra hyp» II. Q nando e per p diuisi-bilis, demonstra¬ tio simili modo adornari, et a peritis (quibus, so is hic articulus est scriptus) liaud difficulter eu olui poterit* , Nos breuitatis gratia eam. o- mittimus* i4o. Per theorema fundamentale at¬ que propositiones ad residua — i et ±t z per¬ tinentes semper determinari potest vtrum nu¬ merus quicunque datus numeri primi dati re¬ siduum sit an non residuum. At haud inutile erit, reliqua etiam quae supra tradidimus hic iterum in. conspectum producere, vt omnia coniuncta habeantur quae sunt necessaria ad solutionem Problematis: Propositis duobus numeris qui¬ bus cunque P, Q, inuenire , vtrum alter Q, alterius F residuum sit an non-residuum. Sol» I. Sit P == a«b£cv et e. designantibus a, bt c etc. numeros primos inaequales positi- ne acceptos ( nam p manifesto absolute est sumendus). Breuitatis gratia in hoc art. reta» Honem duorum numerorum x, y simpliciter dN K 4 1 / — i5a — - eemus eam quatenus prior x posterioris y re¬ siduum est vel non- residuum. Pendet igi¬ tur relatio ipsorum Q, P a relationibus ipsorum Q, a* Q, etc. (art. xo5)* II. Vt relatio ipsorum Q, erit QRa* ; si vero « 3* Q debet esse formae 8n i. Quae conditio si locum habet, erit v . I , , - i -■ , . - . v ■ ( i? ) Quando a est alius numerus primus. Tunc Q ad a1 eandem relationem habebit quam habet ad a, (V. art. joi), III* Relatio numeri cuius cunque Q ad nu¬ merum primum a (imparem) ita inuestigatur* 1 Quando Q J> a9 substituatur loco ipsius Q ipsius residuum minimum positiuum secundum mo¬ dulum Hoc ad a eandem relationem habe¬ bit quam habet Q. Porro resoluatur Q, siue numerus ipsius loco assumtus, in factores suos primos p, p p" etc , quibus adiungendus factor — * i, quan¬ do Q est negatiuus. Tum constat relationem ipsius Q ad a pendere a relationibus singulo¬ rum p, p', p" etc. ad a. Scilicet si inter illos factores sunt zm nom residua ipsius a erit si ver o 21» + i, erit QNa. Facile autem per¬ spicitur, si inter factores p, p', p" etc., bini aut quaterni aut seni aut generaliter zk aequa¬ les occurrant hos tuto eiici posse. IV. Si inter factores p, p', p" reperiuntur i et 2, horum relatio ad a ex artt. 108, 1X2, ii 3, n4 inueniri potest. Reliquorum autem relatio ad a pendet a relatione ipsius a ad ipsos (theor. fund.9 atque propp* art. i5i). Sit p vnus ex ipsis, inuenieturljue, (tractando numerus a, p eodem modo vt antea Q et a il¬ lis respectiue maiores) relationem ipsius a ad p aut per artt. 108 — ii4 determinari posse (si scilicet residuum minimum ipsius a (mod. p) nullos factores primos impares habeat), aut in¬ super a relatione ipsius p ad numeros quos¬ dam primos ipso p minores pendere. Idem Yalet de reliquis factoribus p', pa etc. Facile *) Residuum in signifio. art, 4, — Plerumque praestate residuum nb solute minimum accipere, K 5 iam perspicitur per continuationem Imius ope» rationes tandem ad numeros pementum iri quorum relationes per propp. artt. 108— i*4 determinari possint. Per exemplum haec cla¬ riora lient. l ■■ ; ' er. . : '■! ' .i" ,, Ex. Quaeritur relatio numeri + 453 ad 1236. Est m56 = 4. 3 io3; -f- 453.224 per II. 2 { A) \ -f- 453 J?3 per II. 1. Superest igitur Tt relatio ipsius 4- 453 ad io3 exploretur. Ea¬ dem autem erit quam habet 4- 4i Ces 453, mod. jo3) ad io3; eadem ipsius 4- io3 ad 41 ( tkeor. fund. ) , siue ipsius — 20 -ad 4*» At est — 20 R 4 1 ; namque 20 = ■ 1. 2* 2. 5; ~ 1 R^i, (art. 108); atque 4- 5E 41 ideo quod 4i ~ 1 adeoque ipsius 5 residuum est (theor. fund. ). Hinc sequitur -4- 453 R io3, hincque tandem -4- 453 R 1236. Est autem reuera 453 ee 297* (mod. i256)> i47- Proposito numero quo cunque A\ formulae certae exhiberi possunt, sub quibus omnes numeri ad A primi quorum residuum est A continentur, siue omnes qui esse possunt diuisores numerorum formae xx — A ( desi¬ gnante xx quadratum indeterminatum ) 4 ). Sed brenitatis gratia ad eos tantum diuisores respiciemus qui sunt impares atque ad A pri¬ mi, quum ad hos casus reliqui facile reduci possint. *) Huiusmodi numeros simpliciter diuisores ifsius xx — - A dicemus vnde sp&nte patet quid sint non- diuisores. i 55 Sit primo A aut numerus primus posituras | formae 4- i, aut negatiuus formae l\n — i. Tum secundum theorema fundamentale o- mnes numeri primi, qui, pOsitiue surnti, sunt residua ipsius A, erunt diuisores ipsius xx — ■ A: omnes autem numeri primi ( excepto nu- i mero 2 qui sernper est diuisor) qui ipsius A i sunt non residua erunt non diuisores ipsius xx — A> Sint omnia residua ipsius A ipso A mi¬ nora ( exclusa cifra), r, r' r44 etc, oirniia non- residua vero », ne n14 etc. Tum quinis nume¬ rus primus, in aliqua formarum Ak -f- r, Ak~j-r49 Ak -f- r44 etc. contentus, erit diuisor ipsius xx — - Ay quiuis autem primus in aliqua forma¬ rum Ak + », Ak + n4 etc* contentus non-di- uisor erit, designante k numerum integrum in¬ determinatum. Illas iormas dicimus formas di - nisorum ipsius xx — Ay has vero formas non-diin- sorum. Vtrorumque multitudo erit *{A — i). Porro si B est numerus compositus impar at¬ que ARBy omnes factores primi ipsius B in aliqua formarum primorum continentur a deo¬ que etiam B. Quare quiuis numerus impar in forma non diuisor um contentus, erit Jion- diui¬ sor formae xx — A. Sed hoc theorema con- uertere non licet; nam si B est non* diuisor compositus impar formae xx — A , inter fa¬ ctores primos ipsius B aliqui non- diuisores e- runt, quorum multitudo si est par, B nihilo¬ minus in aliqua forma diuisorum , reperietur, V. art, 99. Ex* Hoc modo pro A ==? — - n formae diuisorum ipsius xx 4- n inueniuntur hae $ I i56 % i i k + i? 3, 4, 5, g, formae non diuisorum au¬ tem erunt nfc -f- 2, 6, 7, 8, 10. Erit itaque — 1 1 non-residuum omnium numerorum im¬ parium, qui in aliqua posteriorum formarum continentur, residuum autem omnium primo¬ rum ad aliquam priorum pertinentium. Similes formae dantur pro diuisoribus at¬ que non - diuisoribus ipsius xx — A , quem¬ cunque numerum designet A . Sed facile per¬ spicitur, eos ipsius A valores tantummodo con¬ siderari oportere, qui per nullum quadratum sint diuisibiles; patet enim si fuerit A = a2A\ omnes diuisores *) ipsius xx — A etiam fore diuisores ipsius xx — A\ similiterque non-di- uisores. — Distinguemus autem tres casus, 1) quando A est formae -4- ( (\n +- 1) vel — ( kn — 1). 2) quando A est formae — (l±n 4 1) vel 4- (4 n — 1 ). 3) quando A est par siue formae 4^(4« + 2) 148. Casus primus , quando A est formae -f-(4«-f- i)vel — (4 ■» « — 1). Resoluatur A in fa¬ ctores suos primos, tribuaturque iis qui sunt formae 4 « + * signum positiuum, iis vero qui sunt formae 4« — * 1 signum negatiuum (vnde liet productum ex ipsis 5=5 A). Sint hi facto¬ res ar b, c , d etc. Distribuantur omnes nume¬ ri ipso A minores et ad A primi in duas clas¬ ses, et quidem in primam classem omnes mt- *) percipe qui sint primi ad A, — — meri qui sunt nullius ex numeris a, bf c, d etc. non residua, aut duorum, aut quatuor aut ge¬ neraliter multitudinis paris ; in secundam vero ii, qui sunt non residua vniusex numeris ay b, rete, aut trium etc. aut generaliter multitudinis imparis. Designentur priores per ry r' r", etc. posteriores per n , n4y etc. Tum formae Ak - 1- ry Ak -+ -r* Ak + r14 etc. erunt formae diuisorum ipsius xx — ■ Ay formae vero Ak — ny Ak — n4 etc. erunt formae non - diuisorum ipsius xx — A (4. e . numerus quicunque primus , praeter z, erit diui - sor aut non diuisor ipsius xx — - A prout in aliqua formarum priorum aut posteriorum continetur ). Si enim p est numerus primus positiuus atque alicuius ex numeris a, b> c etc. resi¬ duum vel non residuum, hic ipse numerus ipsi¬ us p residuum vel non-residuum erit (theor. fund.). Quare si inter numeros ay b , c etc. Sunt m, quorum non-residuum est py totidem erunt non-residua ipsius py a deoque si p in ali¬ qua formarum priorum continetur, erit m par et ARp, si vero in aliqua posteriorum, erit m impar atque ANp, Ex. Sit A = *f* io5, = - — 3 X + 5 K *— 7, Tum numeri r , r4y ri4y etc. erunt hi : i, 4, 16, 46, 64, 79, (qui sunt non-resi¬ dua nullius numerorum 3, 5, 7); 2, 8, 23, 32, 53, 92 (qui sunt non-residua numerorum 3, 5,; 26, 41 > §9» 89, 1O1, 104 (qui sunt non resi¬ dua numerorum 3, 7); i3, 62, 73, 82, 97, io3 (qui sunt non-residua numerorum 5,7), — . Humeri autem «, n4y m* etc* erunt hi: n, 29, 44, 71, 74, 86; 22, 37, 43, 58, 67, 88; 19, 3i, 34, 61, 76, 94; 17, 38, 47, 62, 68, i i58 i - . i 83. Seni primi sunt non-residua ipsius 3, se¬ ni posteriores non-residua ipsius 5, tum se¬ quuntur non-residua ipsius 7, tandem ii qui sunt non-residua omnium trium simul. Facile ex eomhinationum theoria atque artt. 32, 96 deducitur, numerorum r, r', r" e tc. , / ? l* l' — ** 1 t ( 1 + - — multitudinem fore /./ — 2. I — 3 1. 2. 1. 2 3. 4 „ na etc. multitudinem = £ ( / 4* /1 / — — x * * . 1 l - «.«), numerorum «, /. I - 1 . / — 2 4 1. 2. 1. 2, 3 .. ♦), vbi i designat mul titudinem numerorum a, b, c etc. ; i 3= 2 — 1 (a — 1) ( b — 1 ) (r — 1 ) etc., et ytraque series conti¬ nuanda donec abrumpatur. ( Dabuntur scilicet t numeri, qui sunt residua omnium a} b , c etc„ ^ t l f/ -- J — - . , qui sunt non-residua duorum etc. 1. 2. sed demonstrationem hanc fusius explicare breuitas non permittit). Vtriusque autem se¬ riei summa *) est = 2’—*. Scilicet posterior prodit ex hac 1 -{-(/- 1) -jf- f - L — f - 2 i. 2 e?c. iungendo terminum secundum et tertium, quartum et quintum etc. posterior vero ex eadem ungendo terminum primum atque se¬ cundum, tertium et quartum etc. Dabuntur *) Neglecto factore t „ / itaque tot formae diuisorum ipsius xx A , quot dantur lormae non - diuisorum, scilicet | ( a — i) (b — i) \c — i ) etc. i4g. Casum secundum et tertium hic simul contemplari possumus. Poterit scilicet A seni* per hic poni = ( - i ) Q, aut = ( -j- 2 ) Q aut == (—2) Q, designante Q numerorum formae 4- (4» 4- 1 ), aut — (4« 1) , quales in ait praec. consideramus. Sit generaliter A = -«Q. ita vt sit * aut = — 1, aut == ^ 2* Tum erit residuum omnium numerorum, quorum residuum est a ut vterque « et Q, aut neu¬ ter ; non residuum autem omnium, quorum non residuum alteruter tantum numerorum «, Q. Hinc formae diuisomm ac non-diuisorum ipsi* ns xx — A facile deriuantur. Si « = ~ 1 distribuantur omnes numeri ipso l\A minores ad ipsumque primi in dua?s classes, in priorem ii, qui sunt in aliqua forma diuisorum ipsius xx — Q, simulque in forrne 4 n -f 1, iique, qui sunt in aliqua forma non diuisomm ipsius xx Q simulque in forma l\n -f- 3; in poste¬ riorem reliqui. Sint priores r, r', r" etc,, po¬ steriores »f n% n" etc, , erit que A residuum omnium numerorum primorum in aliqua for¬ marum i±Ak 4- r, l\Ak + r', 4 Ak 4- r“ etc. con¬ tentorum, non residuum autem omnium primo¬ rum in aliqua formarum i\Ak 4- », l±Ak 4- n * otc. contentorum. - Si * = hh 2, distribuan¬ tur omnes numeri ipso 8Q minores ad ipsum¬ que primi in duas classes, in primam ii, qui continentur in aliqua forma diuisorum ipsius xx — Q simulque in aliquaforrnarum Su 4- 1, 8n 4- 7 pr0 signo superiori, vel formarumB» +1, 8» 4- 5 pro inferiori, iique qui contenti sunt in aliqua forma non- diuisorum ipsius xx — Q simulque in aliqua harum 8/a -f- 3, 8« 4 5 pro signo superiori, vel harum Sn *+* 5 , 8/a 4 7 pro inferiori, — in secundam reliqui. Tum designatis numeris classis prioris per r , r4 , y" etc., numerisque classis posterioris per n , etc* r± 2Q erit residuum omnium numerorum primorum in aliqua formarum 8Q£ 4 r, 8Qfc 4- r', SQk 4- y" etc. contentorum, omnium au¬ tem primorum in aliqua formarum 8Q& -f* », 8Qk 4 /ay, 8 Qfe -f- »" etc. non-residuum. Ce^ terum facile demonstrari potest, etiam hic to¬ tidem formas diuisorum ipsius xx — A datum iri ac non- diuisorum* Ex. Hoc modo inuenitur -f- 10 esse resi¬ duum omnium numerorum primorum in aliqua formarum 40& + 1, 5, 9, i3, 27, 3i, 57, 5g, contentorum, non- residuum vero omnium pri¬ morum, qui sub aliqua formarum 4.0& 4- 7, it, 17, 19, 21, a3, 29, 33 continentur. i5o. Formae hae plures habent propri¬ etates satis memorabiles, quarum tamen vnam tantummodo apponimus. Si B est numerus compositus ad A primus, inter cuius factores primos occurrunt zm, qui in aliqua forma non- diuisorum ipsius XX 1 " A continentur, B in a- liqua forma diuisorum ipsius xx A conten¬ tus erit; si vero multitudo factorum primorum ipsius B in aliqua forma non- diuisorum ipsius xx — • A contentas erit. Demonstrationem quae non est difficilis omittimus. Hinc vero sequitor, non modo quemuis numerum primum sed etiam quemuis compositum imparem ad A primum, qui in aliqua forma non-diuisorum contineatur, non-diuisorem fore; necessario enim aliquis factor primus talis numeri debet esse iion-diuisor. 1 5 1 ♦ Theorema fundamentale, quod sa¬ ne inter eleganfissima in hoc genere est refe¬ rendum, in eadem forma simplici, in qua su¬ pra propositum est, a nemine hucusque fuit prolatum» Quod eo magis est mirandum, quum aliae quaedam propositiones illi superstruendae ex quibus ad illud facile reueniri potuisset, ili. E.ulero iam innotuerint* Formas certas dari, in quibus omnes diuisores primi numerorum formae xx — A contineantur, aliasque in qui¬ bus omnes non - diuisores primi numerorum eiusdem formae sint comprehensi, ita vt hae illas excludant, nouerat, methodumque illas for¬ mas inueniendi eruerat : sed omnes ipsius co¬ natus ad demonstrationem perueniendi semper irriti fuerunt, veriratique illi per inductionem inuentae maiorem tantummodo verisimilitudi¬ nem conciliauerunt. In aliqua quidem tracta¬ tione, Nouae demonstrationes circa diuisores nume¬ rorum formae xx -f nyy, quae in Acad. Petrop. recitata est 1776 Nou* 20, et post mor¬ tem viri summi in T. 1. Nou . AcU huius Ac. p. 47 sqq» est conseruata, voti se compotem cre¬ didisse videtur : sed hic error irrepsit, scilicet p. 65. tacite supposuit, formas tales diuisorura , ' L et xion*diuisorum exstare **)> vnde non difficile erat quales esse debeant deriuare: methodus autem qua vsus est ad comprobationem illius suppositionis haud idonea videtur. In alio sche- diasmate, Ve niteriis aequationis fxx -f- gyy=hzss vtrumque resolutionem admittat necne, O p us c . Ana U T. 7. (vbi /, g , h sunt dati, xt y, z indetermi¬ nati) per inductionem inuenit, si aequatio pro aliquo valore ipsius h = ^ solubilis sit, eandem pro quouis alio valore ipsi j secundam mod. Afg congruo, siquidem sil numerus primus, so¬ lubilem fore, ex qua propositione suppositio de qua diximus haud difficile demonstrari pot¬ est. Sed etiam huius theorematis demonstra¬ tio omnes ipsius labores elusit **), quod non est mirandum, quia nostro indicio a theorema¬ te fundamentali erat proficiscendum. Ceterum veritas huius propositionis ex iis quae in sect. sequenti docebimus sponte demanabit. Post Eulerum, clar. Le Gendre eidem ar¬ gumento operam nauauit, in egregia tract. Re- *) Nempe dari numeros r, r1, r“ etc. s n, n1, nu etc omnes diuer- sos et 4A tales vt omnes diuisores primi ipsius xx — A sub aliqua formarum 4 Ak -f- r, 4 Ak -P r' etc contineatur, omnes- ■ que nott-diuisores primi sub aliqua harum 4 Ak "4— n, \AH Hp n1 etc. (designante k numerum indeterminatum), **) Vti ipse fatetur, 1. c, p. 216 ,, Huius elegantissimi theorematis de¬ monstratio adhuc desideratur, postquam a pmribus iaradudum fru¬ stra est inuestigafca. . . , Quocirca plurimum is praestitisse censen¬ dus erit, cui successerit demonstrationem huius theorematis inueni- re.“ — Quanto ardore vir immortalis demonstrationem huius the¬ orematis aliorumque, quae tantummodo esus speciales tbeof. fun¬ dam. sunt, desiderauerit, videre licet ex multis aliis locis Opusc» Anali Coiif. Additamentum ad diss 1/111 , T /. et diss. XIII , T> ii. pluresque diss. in Comment. Petrop., iam passim laudatae. i63 di evehes d’anatyse indeterminie, Hist. de llAc. des £c. 1783 P- 46^ sqq.9 ybi peruenit ad theore¬ ma, quod si rem ipsam spectas cum th. fund. idem est, scilicet designantibus p, q duos nu¬ meros primos positiuos, fore residua absolute minima potestatum p~-r qp~— sec. mod. q , p resp. aut ambo -f i, aut ambo — i, quando aut p aut q sit formae 4« + i ; quando vero tum p tum q sit formae i\n 3, alterum res. min fore + i, alterum - i, p 5(6, ex quo sec. art. 1 06. deriuatur, relationem (in signif. art.' 146 acceptam) ipsius p ad ^ipsiusque #ad pean- r dem esse, quando aut p aut q sit formae 4 n -f- 1, oppositam. , quando tum p tum q sit formae 4 n 4- 3. Propos. haec inter propp art* i3i est con¬ terna, sequitur etiam ex 1, 3, 9, art 1 33; vicissiro autem theor.fund. ex ipsa deriuari potest. Clar. Le Geridre etiam demonstrationem tentauit, de qua quum perquam ingeniosa sitinSect. seq. fusius loquemur. Sed quoniam in ea plura sine de¬ monstratione supposuit (yti ipse fatetur p. 520. Nous avons suppose seut ement etc. ) , quae par- tim a nemine hucusque sunt demonstrata, par- tim nostro quidem iudicio sine theor. fund. ipso demonstrari nequeunt : via quam ingressus est, ad scopum deducere non posse videtur, nostraque demonstratio pro prima erit haben¬ da. — Ceterum infra duas alias demonstrationes eiusdem grauissimi theorematis trademus, a praec. et inter se toto coelo diuersas. i5a. Hactenus congruentiam puram xx ^ A (mod. m) tractauimus, ipsiusque resolu- bilitatem dignoscere docuimus* Radicum ipsarum L a i64 inuestigatio per art. io5 ad eum (iasurn'" est redacta, vbi m est aut primus aut primi pote¬ stas, posterior vero per art. r oi ad eum vbi m est primus. Pro hoc autem casu ea quae in art. 61 sqq tradidimus vna cum iis quae in sect. V et VIII docebimus, omnia fere com¬ plectuntur quae per mothodos directas erui pos¬ cunt. Sed hae vbi sunt applicabiles plerum¬ que inlinities prolixiores sunt quam indirectae quas in sect. VI. docebimus, adeoque non tam propter vtilitatem suam in praxi quam propter pulcritudinem memorabiles. — Congruentias secundi gradus non purae ad puras facile reduci possunt. Proposita congruentia axx -f bx -f - c ~ o secundum mod. m soluenda, huic aequiualebit congruentia 4 aaxx ~f* 4 abx -f- 4 ac c= o (mod, i\am ), i, e. quiuis numerus alteri satisfaciens etiam alteri satisfaciet. Haec vero ita exhiberi potest (2 ax + b)% = bb — 4 ac (mod. 4^m), vnde omnes valores ipsius zax- \-b minores quam l\am si qui dantur inuenlri pos¬ sunt. Quibus per r, r', rN etc. designatis, o- mnes solutiones congr. prop* deducentur ex solutionibus congruentiarum zax ~ r — by actx ~ r' — b etc (mod- l\am) etc., quas in sect. II inuenire docuimus. Ceterum obseruamus, solutionem plerumque per varia artificia con¬ trahi posse, ex gr. loco congr, prop. aliam inueniri posse a4xx p 2 b*x p c' =? 0, illi aequipollentem, et in qna a4 ipsum m metiatur 5 haec vero de quibus Sect. vitima conferri pot¬ est, hic explicare breuitas non permittit. / i i65 Sectio Qvinta e> E FORMIS AEQVATIONIBVSQVE INDETERMINATIS SECVNDI GRADVSt 1 55. In hac sectione imprimis de functionibus duarum indeterminatarum xf y , huius formae, axx 4- a bxy -f cyy , vbi a , c sunt integri dati tractabi- “ m\xs}^&sformassfjSundi gradus, siue simpliciter for¬ mas dicemus. Huic disquisitioni superstruetur solutio problematis famosi, inuqnire omnes so¬ lutiones aequationis cuiuscunque indetermina¬ tae secundi gradus duas incognitas implicantis, siue hae incognitae valores integros siue ratio¬ nales tantum nancisci debeant. Problema hoc quidem iam ab ilL La Grange in omni gene- ralitate est solutum, multaque insuper ad na¬ turam formarum pertinentia tum ab hoc ipso magno geometra, tum ab ili- Eulero partim primum inuenta, partim, a Fermatio olim in- uenta, demonstrationibus munita. Sed nobis acriter formarum perquisitioni insistentibus tam multa nona se obtulerunt, vt totum argumeni , L 5 4» - I tum ab integro resumere operae pretium duxe¬ rimus, eo magis, quod Virorum illorum in- uenta, multis locis sparsa, paucis innotuisse comperti sumus; porro quod methodus per quam haec tractabimus nobis ad maximam par¬ tem est propria ; tandem quod nostra sine no* ua illorum expositione ne intelligi quidem pos¬ sent Nullum vero dubium nobis esse videtur, quin multa eaque egregia in hoc genere ad¬ huc lateant iri quibus alii vires suas exercere possint. Ceterum quae ad veritatum insigni¬ um historiam pertinent, loco suo semper tra¬ demus. Formam axx abxy 4- cyy , quando de indeterminatis x, y non agitur , ira designabi¬ mus, O, b, c). Haec itaque expressio deno¬ tabit indefinite summam, trium partium, pro¬ ducti numeri dati a in quadratum indetermina¬ tae cuiuscunque ; producti duplicati numeri b in hanc indeterminatam in aliam indetermina¬ tam ; producti numeri c in quadratum huius secundae indeterminatae Ex. gr, ( i, o, 2) ex¬ primet summam quadrati et quadrati duplicati, ^Ceterum, quamuis formae {a, bf c) et (c, b , a) idem designent, si ad partes ipsas tantum re¬ spicimus, tamen different si insuper ad partium ordinem attendimus; quare sedulo eas in po¬ sterum distinguemus; quid vero inde lucremur in sequentibus sufficienter patebit, i54. Numerum aliquem datum per for¬ mam datam repraesentari dicemus, si formae in¬ determinatis tales valores integri tribuuntur, vt ipsius valor numero dato fiat aequalis. Hic habebimus fequens Theorema, Si numerus M ita per formam (at b, c ) repraesentari potest r vt indeterminatarum valores, per quos hoc efficitur , inter se sint primi y erit bb — ac residuum quadra ticum numeri M . Dem , Sint valores indeterminatarum m, n, scilicet amm + zbmn 4- cnn === M, accipiantur- que numeri ^ v ita vt sit um -f- vn '=== i (art, 40). Tum per euolutionem facile probatur esse, ( amm -f- 2.btnn 4- %cnn) (an 2 bu* 4- cw) = (a(m&4- hc) — *(ma 4- nb ).)* — ac) (mu f> m )% siue M (aw *- -f* ==:■(** (mb-\-nc) — » (ma 4~ ac). Quare erit bb a,c^^w (mb-t-nc) — v (mu 4- nbj)z (mod. M), ue. bb — ac residuum quadra ticum ipsius M, Numerum bb — ac, a cuius indole pro¬ prietates formae (a, b, c) imprimis pendere, in sequentibus docebimus, determinantem huius for™ mae vocabimus. i 55. Erit itaque u(^ mb 4~ «O ~~ v (ma^nb) valor expressioris ^/ (bb ac ) (mod. m j. Con* stat autem, numeros u, v infinitis modis ita de¬ terminari posse vt sit um -f m = 1, vnde alii aliique valores illius expressionis prodibunt, qui quem nexum inter se habeant videamus. Sit non modo um -t- m ' 3= 1, sed etaim u'm 4* v*n = 1, ponaturque u(mb 4” »c'> — = v, 1 »■* (mb 4* nc) — ** (ma 4 - nb) = r/. Mul¬ tiplicando aequationem 4- »n = 1 per nf al- E 4 teram 4- *'« t=t 1 per m, et subtrahendo Jflt t*1 — e = n ( V» — ) similiter que multipli- cando illam per »' hanc per » fit subtrahendo — v = mQw* — e'»). Hinc statim prodit 0* — v 2= — A*»*) ( aww ‘f- o.bmn 4* cnn ) 22= (V» — a*»') jJ/, sine v* ~ a (mod. M). Quo- modo cunque igitur p, » determinentur, formu¬ la p(mb -f- zzr) — *(»»<* 4- > valores dmersos (i. e. incongruos) expressionis *(bb — ac) (mod. M) dare nequit. Si itaque v est valor quicunque illius formulae : repraesentationem numeri M per formam axx 4- vsbxy 4~ cyy eam vbi x = my y = «, pertinere dicemus ad valo • rem v , expressionis yf { bb — - ac) ( mod ♦ M). Ce¬ terum facile ostendi potest, si valor formulae illius aliquis sit z/ atque v' = v (mod. M), lo¬ co numerorum v, qui dant z/, alios .«V*' ac¬ cipi posse, qui dent z/'* Scilicet faciendo p* • = a* 4- M (u' U) m(v' v) 3 fiet + jW 5 > =r , dn ~ «m 4- w == 1, valor autem formulae ex Au» »' prodiens superabit valorem ex p» > prode¬ untem quantitate (/*'» — p»' ) M , quae fit =3 irnn 4- vaj (z/' v) ,= v4 — v, siue valor ille erit == v(. i56 Si duae repraesentiones eiusdem nu¬ meri M per eandem formam ( a, b , c) haben¬ tur, in quibus indeterminatae valores inter se primos habent: hae vel ad eundem valorem expr. y/' ( bb — ac) (mod. M) pertinere pos¬ sunt vel ad diuersos* Sit M = amm 4~* zbtnn cnn — r dmimi 4 zbm‘n' 4* atque Mm 4“ ^ = x, pm" 4* »'#' = 1 , patetque si fuerit t*{mb - p nc) — y Cma “4" nf°) (tn*b -j- n'S) — - / (m 'a -f »'^) (mod, M), congruentiam semper manere, quicunquealii valores idonei pro »; »' acci¬ piantur, in quo casu vtramque repraesentationem ad eundem valorera expr. yf ( bb — 4" (mod* M) pertinere dicemus ; si vero congruentia pro vi¬ lis valoribus ipsorum i*> »; m'» locum non ha¬ bet, pro nullis locum habebit, repraesentatio- i nesque ad valores diuersos pertinebunt. Si ve¬ ro h (mb 4- nc ) — - v(ma -f- nb ) ~ — > (// 4- »'c) — - -f- n'b))t repraesentationes ad vagores oppositos expr. *T ( bb — ac) pertine¬ re dicentur. Omnibus hisce denominationibus etiam vtemur, quando de pluribus repraesenta¬ tionibus eiusdem numeri per formas diuersas , sed quae eundem determinantem habent, agitur. Ex. Sit forma proposita haec (3, 7, — . 8) cuius determinans ~ y3. Per hanc formam habentur repraesentationes numeri 5y hae: 3.i3*4 i3,n5 — 8, 3. 53-f 14. 6.9 — 8.9^. Pro prima poni potest n = 2, » == — 1, vnde prodit valor expr. yf 70 (mod* 67) ad quam repr. pertinet = 2(1 3. 7 — 2 5 8) -f ( i3. 3 4-» 21/ 7) = — 4* Simili modo repraesentatio secunda pertinere inuenitur, faciendo ^ =s=:2,» =• — * 1, ad valor em 4- 4* Quare ambae reprae¬ sentationes ad valores oppositos pertinent. Antequam vlterius progredimur, obseraa* mus, formas quarum determinans == o ab in- uestigationibus sequentibus prorsus exclusas esse, quippe quae theorematum concinnitatem tantummodo turbarent, adeoque tractationem peculiarem postulent. L 5 i$7* Si forma, F, cuius indeterminatae sunt x, y in aliam Pf cuius indeterminatae sunt x'y yf per substitutiones tales x = x' -f x a= yx* + transmutari potest, ita vt *> £> y> ^ sint integri : priorem implicare posteri¬ orem, siue posteriorem sub priori contentam esse dicemus. Sit forma F haec axx 4- 2 bxy 4-* cyy , forma F' vero haec 0,'x'x* 4- ^>btx,yt 4-r y‘y*9 habebunturque sequentes tres aequationes: a' = 4- 2^y Hf- rvv 6' t== 4- 4- »y ) -f cy^ c' -.=5= a£g -f- zbQ 4 Multiplicando aequationem secundam per se ipsam, primam per tertiam, et subtrahendo fit deletis partibus se destruentibus b‘b' a4c* = (bb — ac) Vnde sequitur de¬ terminantem formae F* per determinantem 1 cr¬ ina e F diiiisibilem et quotientem esse quadra- tum; manifesto igitur hi determinantes eadem signa habebunt. Quodsi itaque insuper forma F* per similem substitutionem in formam F transmutari potest, i, e. si tum F' sub F, tum F sub F* contenta est, formarum de¬ terminantes erunt aequales *) atque (*$ — ■ e= 1, In hoc casu formas aequiualentes dice¬ mus. Quare ad formaram aequiualentiam ae¬ qua itas determinantium est conditio necessa¬ ria, licet illa ex hac sola minime sequatur. — Manifestum est ex analysi praecedente hanc propositionem etiam ad formas quarum determinans = o, patere. Sed aequatio ( — - =. 1 ad huuc casum non est extendenda» Substitutionem #:== #x[ 4- gy', y = yx* Hb vo« : ca bimus. transformationem propriam, si — Cy est i numerus posiliuus, impropriam, si ~ Cy est negatiuus; formam F' proprie aut improprie sub forma F contentam esse dicemus, si F per transformationem propriam aut impropriam in formam FJ transmutari potest» Si itaque for¬ mae F, F' sunt aequiualentes, erit («^ — Cy -f* ■ = 1, adeoque si transformatio est propria, — Cy — q- 1, si est impropria, = — 1. — Si plures transformationes simul sunt propriae, aut simul impropriae» smiles eas dicemus; pro¬ priam contra et impropriam dissimiles , i58. Si formarum F, F v determinantes sunt ae¬ quales atque F' sub F contenta t etiam F sub F' contenta erit et quidem proprie vel improprie prout F‘ sub F proprie vel improprie continetur * Transeat F in F* ponendo x — »xf -f* Gy*, y = -f- $y* trans- ibitque F' in F ponendo x* = $x — %, y4 = — vx 4- «y. Patet enim per hanc substitutio¬ nem ex F ' fieri idem, quod fiat ex F ponendo x == * ($x — £*/) -f G ( — vx ~h *y); y = y (tfV - % ) ^(— VAT -t- ) siue AT = — Cy ).r, y =5: — Cy) y. Hinc vero manifesto ex F fit ( — Cy )-F i; r. rursus i7 (art. praec. ). Per¬ spicuum autem est, transformationem posterio¬ rem esse propriam vel impropriam, prout prior sit propria vel impropria. / , ( ’ /v* Si tum F* sub F, tum F sub F* proprie continetur, formas proprie aequiualentes , si illae sub inuicem improprie, vocabimus improprie ae- V 0 — 1 7» — • quiualentes. — Ceterum vsus harum distinctio¬ num mox innotescet, Ebcmpl. Forma 2,xx «— 8^ -I- per substitutiones # = ' 2#' -4- ,y\ y === 3# 4- sy* transit in formam — i3#a? 12^ — 2##, haec vero in illam factis x* === 2x — y, y4 ■== - 3a; -f- 2^. Quare formae (2, — * 4, 3), ( — l3, — 6, — 2) erunt proprie ae quiualentes. Problemata quae tractare iam aggrediemur sunt haec: I Propositis duabus formis quibus¬ cunque eundem determinantem habentibus in- uestigare vtrum sint aequiualentes necne, vtrum proprie aut improprie aut vtroque modo, nam etiam hoc fieri potest. Quando vero determi¬ nantes inaequales habent, annon saltem altera alteram implicet, proprie vel improprie vel vtroque modo. Denique inuenire omnes trans¬ formationes alterius in alteriam, tam proprias quam improprias. II. Proposita forma qua¬ cunque, inuenire vtrum numerus datus peream repraesentari possit omnesque repraesentatio¬ nes assignare. Sed quoniam formae determi¬ nantis negatiui hic aliam methodum requirunt quam formae determinantis positiui, primo tra¬ demus ea quae vtrisque sunt communia, tum vero formas cuiusuis generis seor&im conside¬ rabimus. i5g. Si forma F formam F4 implicat, haec ve» y® formam Fu} forma F itiam formam F 44 implicabit . I Sint indeterminatae formaram F, F\ F'y re- spectiue v; *'> fi f' transeatque F in, F' ponendo * = *x' + fy, y === w* + %'s F'in ponendo x* =* **x*r + *V', = y'a?y' 4- patetque, F in F" transmutat ara iri ponendo sc '= *( 4" £y#yy ) 4* C( v*#" -f- F^/y)> ^ ^ y ( « V' ~h Cly") 4- £ ( v V' + F#'' )» siue # = ( -f* C/-) #" -+- (>by *-{~ V — ('/*' + V)a?" 4* (*,£' 4, <5$') y". Quare F ipsam F" implicabit. Quia (**y 4- £/) ( 4- ^ (a^ + ^y) £ y$d 4- <$yy) = ( — £y ) £ «4^ — - £sy') , adeo- ■ que- positiuus, . si tum — £y tum «*£' — CV positiuus aut vterque negatiuus, negatiuus vero si alter horum numerorum positiuus alter nega¬ tiuus: forma F formam F" proprie implicabit, si F ipsam F' et F* ipsam F" eodem modo im¬ plicant, improprie si diuerso. Hinc sequitur, si quotcunque formae ha¬ beantur F, F\ F V F" etc., quarum qoaeuis sequentem implicet, primam implicaturam es¬ se vltimam, et quidem proprie , si multitudo formarum, quae sequentem suam improprie im- 1 plicant, fuerit par, inlproprie si multitudo haec impar. Si forma. F formae F' est aequiuaiens, formaque Fy formae F'y: forma F formae F" aequiualens erit t et quidem proprie , si forma F formae F' eodem modo aeqmualet vt forma F 4 formae F", improprie , si di - uerso . Quia enim formae F, Fy, his F\ F'y, re- spectiue, sunt aequiuaientes, tum illae has resp* I V ‘ 1 - v' -l / ' - ■ ■ 1 •• " ■ implicabunt, adeoque jF ipsam FJ tum hae ; illas* Quare F, F44 aequiualentes erunt. Ex i praec. vero sequitur, F ipsam FJt proprie vel i improprie implicare, prout F ipsi F( et F' ipsi i F “ eodem modo vel diuerso sint aequiualentes, vt et F44 ipsam F : quare in priori casu F , Ft§ proprie, in posteriori improprie aequiualentes erunt. Formae (a, — Jb , r), ( c, b, i), (c, *— b, a) formae ( a, b , r) aequiualent , et quidem duae priores , improprie; vltima , proprie * Nam *txx 4- ezbxy -f- cyy, transit in ax*x* — 2 bx ‘y4 -f- cy4y\ ponendo x = x4 ~f* ojp, ^ = ox' -f* y\ quae transformatio est , impropria propter i X ~~ i — o. o == — i ; in formam cx4x4 -f- 2‘bx'y' + ay'y4 vero' per transformationem impropriam x = ox' 4- y4, y = x' -f- o. y ; et in formam cx4xJ — 2.bx'y' -f- per pro¬ priam x = o. x — y*9 y = x' + o. Hinc manifestum est , quamuis formam, formae ( &, r) aequiualentem, vel ipsi, vei formae (£, — /?, r) proprie aequiualere; simili- terque, si qua forma formam {a, b, e) implicet aut sub ipsa contineatur, eam vel formam (a, b> c ) vel formam (a, ~ b, c) proprie implicare, aut sub alterutra proprie contineri. Formas (a, b, c), (a — b, c ) oppositas vocabimus. • ' * 160. Si formae (a, b> c% (&', b\ c ') eun¬ dem determinantem habent, insuperque est c = a4 et b es — b 4 (mod. c ), siue b~t b4 == o (rriod. r), formas lias contiguas dicemus, et qui¬ dem, quando determinatione accuratiori opus est, priorem posteriori a parte prima , posteriorem priori a parte vltima contiguam dicemus* Ita ex, gr* forma (7, 3, 2 ), formae (3, 4, 7) a parte vltima contigua, forma (3, 1, 3) oppo¬ sitae suae (3, — 1» 5 ) ab vtraque parte. Formae contiguae semper sunt proprie dcquiua «* /gK&j. Nam forma axx -f* 2 bxy + cyij transit in formam contiguam cx'x4 + afrxfy* + c4y4y4 per substitutionem x = — y4, ij ■= x4 4- y* (quae est propria ob ox ~ — — iX. — 1 *= 1), Tti per euolutionem adiumento aequationis bb £2 ip b) i ~-r ac = b4b4 — cc4 facile probatur; — - — vero per hyp. est integer, — Ceterum hae diiiai- tiones et conclusiones locum non habent, si c = a* ’= ot Hic vero casus occurrere nequit, nisi in for inis quarum determinans est nume¬ rus quadratus. Formae (a, h , c'), (a4, b4, c') proprie aequi- ualentes sunt, si a a\ b ~ b' (mod. a). For¬ ma enim {a, b , c) formae (c, — b, a) proprie aequiuaiet (art praec. ), haec vero formae (a' b\ c') a parte prima contigua erit. 16 1. Si forma (a, b c ) formam (a' b4, c') im¬ plicat, qu ilis diuisor communis numerorum a , b, c etiam numeros a', b4, c4 metietur , et quinis diuisor commu¬ nis numerorum a9 2 b9 c ipsos a‘, Zb4t c'. Si enim forma axx -f :Xbxy Hf- cyy per sub¬ stitutiones x =■ <&x4 -f- %',«/==: va;'' q in. for¬ mam a*#'#' ^nb*x'y* -{- r'y'y' transit: habebun¬ tur hae aequationes: q zb*v 4- rrv — a' «*£ 4 £ (*<£ 4- £y ) -f- C7#= bf ag£ + 2&&J* 4~ = c* vnde propositio statim sequitur (pro parte se¬ cunda propos, loco aequationis secundae hanc adhibendo 2&«£ 4- 2.b{a$ 4- €y) -(- = 26Q. Hinc sequitur maximum diuisorem communem numerorum & (2/7), r simul metiri diuisorem communem maximum numerorum b ' f2&'), c'. Quodsi igitur insuper forma ( a', b c' ) formam (a, 6, O implicat, i. e. formae sunt aequiualen- tes, diuisor communis maximus numerorum *a, b (2 b)9 c, diuisori communi maximo numerorum a4, b 4 (2^), c 4 aequalis erit, quoniam tum ille hunc metiri debet, tum hic illum. Si itaque, in hoc casu, a, b (2 b), c diuisorem communem non habent, i. e. si maximus *= 1, etiam a\ b4{2.b4)j c4 diuisorem communem non habebunt. ■I -f ; 162. Problema. Si forma AXX 4- 2BXT 4- CTT. . . F, formam axx 4- 2bxy 4- cyy * . f implicat , atque transformatio aliqua illius in hanc est data 1 ex hac omnes reliquas transformationes ipsi si~ miles deducere. ' Solutio. Sit transformatio data haec X = *x + %, T ~ yx 4- %, ponamusque primo filiam huic similem datam esse X as 4 3T = y'* + vt inde sequatur inuesti- gemus* Tum positis determinantibus forma¬ rum F, fy = Dy d, atque — Cy — gy — ~ CV s=s erit ( art. 167), i — Zk* = ZfeV, et quum ex hyp. c, c' eadem signa habeant, e = c', Habebuntur autem sequentes sex aer quationes : A** + zB*y + Cvv 2= a. . . ♦;..[!] 2/V/~h CW== . . ...... [2J A<*& ~f~ 4 fiy) 4 • • • . . , . [31 >'* + *(«'*+ C' — $*') = 2a^[8J i\b4bi- — Z>((^' 4 yC' — £*Oa Hh 2#£/)==:2#&42^*y vnde iit, addendo 2/)^' = 2^ = 266 — 2 ac, 4 W — («*' + £y' — yC' - *•' )* = 4&&. . * . [9I a'c' — ~ Z>(^# — y£') (£>' • — &O = *) Origo harum aequationum haec est: 7’ fit ex i. 2 (i e. si aequa¬ tio c« in aequationem (2) multiplicatur, siue potius, si illius par* prior in partem priorem huius multiplicatur, illiusque pars poste¬ rior in posteriorem huius, productaque aequalia ponuntur) ; 8 ex I. 4 -J- 2. 3 ; sequens quae non est numerata ex i, 6 4 2. 9 4” 3* 4 H~ 3* 4» sequens non numerata ex 3. 4; Ilex 3. $ «+■.4. 5 ; 12 ex 5. 6. Simili designatione etiam in sequentibus semper yteraur, Euolutionem vero lectoribus relinquere debemus* M vnde subtrahendo D^r~ = fit 0V ■— D( V/ — y*0 C^'-~ ^»0 = ac. . . . * [10] 2*V — * D(*y 4 C/ — yC' — V ) — ■#'> =2k[n] ^ — D(W — ^')a — ........ . [12] Ponamus iam, diuisorem communem ma- ximum numerornmii, 9/0 y cessem numerosque SI, 85, (E ita determinatos vt fiat %a 4 2*3£ + (art. 40); multiplicentur aequationes 7, 8, 9, 10, 11, 12 resp. per SISI, 28135, 83S, 2$l(§, 23S<5, <5(5 s u mm ent ur qu e producta* Quodsi iam bre- uitatis caussa ponimus SI a' + 2 %&'. €c' — 7V . . [1 3] %(*?*— y*') 4 SEjK^HA' *a'— $*') 4 &(P' —$£') == U . . [1 43 vbi T, Z7 manifesto erunt integri, prodibit : TT — - == fflUJ, Deducti itaque sumus dd hanc conclusionem elegantem, ex binis quibuscunque transformationibus si - milibus formae F in f sequi solutionem aequationis inde¬ terminatae U — Tta .=== mm, i« integris , scilicet t = T, u = £7 Ceterum quum in ratiociniis nostris non supposuerimus, transformationes esse diuersas : t/»# adeo transformatio bis con¬ siderata solutionem praebere debetr Tum ve¬ ro fit propter «' = «, £' — C etc. a* — a, b' = b9 c' = c, a deo que T =3= m, £7 -- 0, quae solutio per se est obuia» Iam primam transformationem solutionem¬ que aequationis indeterminatae tamquam cogni¬ tas consideremus, et quomodo hinc altera trans¬ formatio deduci possit, siue quomodo «'> y'> ab bis «, $ v» T, U pendeant, inuestigemus. Ad hunc finem multiplicamus primo aequationem [1] per — £y' » [2] per y®', [3] per *y' — ya/j [4] per y«' ~~«y' , addimusque produ-» cta, vnde prodibit: (e 4- e') a* s== («£' — £y' — y£' + $*') a ♦ . [i5] Simili modo fit ex (X' — — - [2]) 4 («# — £y' (f3j + [4])+(*y#— y*'> ([5] - [6]): a(# + e') b' s= 2(«^ — >£' 4 V)^...[i6| Denique ex (^' — ££') [5] .4- — £>') [6] prodit: ! (* Hh O s' — 4* &#') r. . Substituendo hos valores (i53 16, 17) in i5 fit: Ce + e') T = («&' — C/ — >£' 4- **') + 2$$ 4 gr)? siue 2« T*=' (*$' — ty — y* 4 ^4)m . . [18] vnde T multo facilius deduci potest; quam ex [i3]. — Combinando hanc aequationem cum i5, 16, 17 obtinetur ma' = Ta, 2.mb~' =3 2 Tb} mc4 = Tr. Quos valores ipsorum .a', zb', c* in aequ. 7 — 12 substituendo et loco ipsius TT scribendo mm 4- DUU, transeunt illae post mutationes debitas in has : («3/ - — y*'y*mm =5 aaUU %j*y* — >«') (*5/ 4 ^ — * y€*- • — ^'jmm z=?2ab U U («i7 -J- = 4 bbUU c«y' — y«0 (£$' — — acUU («£' 4* £>' — • >£' — ^«0 (£<$' — ct^mm = 2,hcUIf == ccUU Hinc adiumento aequationis [i 4] et huius Vfia + -f* == «*, facile deducitur (mul¬ tiplicando primam, secundam, quartam ; secun¬ dam, tertiam, quintam ; quartani, quintam, sex¬ tam, resp. per St, £5, (5 addendoque producta): (py* — yxf) Umm = maUU , («^ + Gy* * — yG1 — 8x') Umm «= zmbUU, {Q‘ — W )Umm *=mcUtf atque hinc, diuidendo per mU*)> aU = (»>' — ya'ymt . . [19] ; (^bU = («^ 4- Gy * — >£' — * . . [20] ; cU = (GV — ^') m. * . [21], ■ ex quarum aequationum aliqua U multo facilius quam ex [l4] deduci potest* — Simul hinc colligitur, quomodo cunque 21, 53, € deteriliineritur (quod infinitis modis diuersis fieri potest ), tum T tum U eundem vaiorem adipisci. lam si aequatio iS multiplicatur per 119 per 2£, 20 per — «, fit per additionem 2 &eT *J- 2 (Ca — ubyU t= 2(<*i‘ — Gy ) *% = 25»%. Simili modo fit ex £[18] £[26] — 2*f2i], &UT + z(Cb — *c) V === 2(«^ — Gy) G'm==2eG'm» Porro ex >[18] + ^^[19] — .>.{20] fit SiyeT + n($a — yb) — ty)y4m = 2 ey'm Tandem ex £[18] 4* $[20] •— 2>[2i] pro¬ dit 2&T + 2 ($b yc)U = 2(«^ — Gy)ym s=s Hoc non liceret, si esset V = o : tunc vero aequationum [19, 20, 2i veritas statim ex prima, tertia et sexta praecedentium se¬ queretur, w— In quibus formulis, si pro a, h, c valores ex i, 3, 5 substituuntur, fit i et'm = »T — («B + yC)U Om =r= ZT — (£B + $C)U yim =e' > T -4- («^ -f- ^i?) £7 •+• (fyi -f- &B) U Ex analysi praec. sequitur, nullam trans-' formationem formae F in f propositae similem dari, quae non sit contenta sub formula X =s wC«t — ( q, y C)u)x 4- — (£B + r =► *(>*. 4- 4- yB)u)x 4- i(fc +* + *£) «)#) * . . (I), designantibus t, u indefinite omnes numeros integros aequationi tt — Duu — f»m satisfacientes* Hinc vero concludere nondum possumus, omnes valores ipsorum £, «q aequa»: tioni illi satisfacientes, in formula (I) substitu¬ tos, transformationes idoneas praebere. At i. Formam F- per substitutionem, e qui- busuis ipsorum t, u valoribus ortam, semper in formam / transmutari, per euolutionem confir¬ mari facile potest adiumento aequationem i, 5, 5 et Imius tt — Duu == Calculum prolixi¬ orem quam difficiliorem breuitatis gratia sup¬ primimus* 2v Quaeuis transformatio ex formula de¬ ducta propositae erit similis. Namque m(<*t — r («3 + yC)u) X £( h 4- {CA 4- ^5» — £t — (c-b + zC)u) x Uyn- («A + *£» = (it — Z%zO = **“ M 5 182 3. Si formae F, f determinantes inaequa¬ les habent, fieri potest, vt formula (I) pro qui¬ busdam valoribus ipsorum t , u praebeat sub¬ stitutiones, quae fractiones implieent, adeoque reiici debeant, Omnes vero reliquae erunt transformationes idoneae, aliaeque praeter ipsas non dabuntur* 4*. Si vero formae F, f eundem determi¬ nantem habent adeoque sunt aequimlentes , for¬ mula (I) nullas transformationes quae fractio¬ nes implieent praebebit, adeoque in hoc casu solutionem completam problematis exhibebit. Illud vero ita demonstramus. Ex theoremate art. praec. sequitur in hoc- ce casu, m simul fore diuisorem communem numerorum A, 2 B, C. Quoniam tt — Duu = mm, fit tt — BBuu === mm — ACm , quare tt * — BBuu per mm diuisibilis erit: hinc etiam a potiori l±tt — 4 BBuu adeoque (quia 2 B per m diuisibilis ) etiam l±tt per mm et proin it per m. Hinc £(t + Bu), |(f — Bu) erunt integri, et quidem, quoniam differentia inter ipsos, Bu est par), aut vterque par, aut vterque impar. Si vterque impar esset, etiam productum im¬ par foret, quod tamquam quadruplum numeri ^ (tt — BBuu), quem integrum esse modo ostendimus, necessario par: quare hic casus est impossibilis, adeoque f|(* *+■ Bu), fn(t — Bu) s em per pares, vnde %(t + Bu), — Bu) e- runt integri. Hinc vero nullo negotio deduci¬ tur, omnes quatuor coefficientes in (1) s6mper esse integros. Q. E . D . 1 i83 Ex praecedentibus colligitur, si omnes so¬ lutiones aequationis tt — Dum = mm habeantur, omnes transformationes formae QA B , C) in («j b, 0 transf. datae similes inde deriuari. Illas ve¬ ro in sequentibus inuenire docebimus* Hic tan¬ tummodo obseruamus multitudinem solutionum seniper esse finitam quando D sit negatiuus, aut positiuus simulque quadratus: quando vero D positiuus non quadratus, infinitam. Quando hic casus locum habet, simulque D non ’= d ( supra 3° ), disquiri insuper deberet, quorno- do ii valores ipsorum t, u , qui substitutiones a fractionibus liberas, ab iis, qui fractas produ¬ cunt, a priori dignosci possint. Sed pro hoc- ce casu infra aliam methodum ab hoc incom¬ modo liberam exponemus (art. 214). Ex. Forma xx Hb %yy per substitutionem propriam x == 2.X4 -f- yy4, y — >j- 5y4 trans¬ it in formam (6, 24^ 99)* desiderantur omnes transformationes propriae formae illius in hanc. Hic D -'== — 2, m =' 3, adeoque aequatio soh nenda haec: tt 4- 2 uu — 9. Huic sex modis diuersis satisfit ponendo scilicet 3, — 3, i, — 1, 1, — 1 ; 'ut . === o, o, 2, 2, — a ■— 2, resp. Solutio tertia et sexta dant sub¬ stitutiones in fractis, adeoque -sunt reficiendae ; ex reliquis sequuntur quatuor substitutiones ; ( 2x' + yyl ( x4 4- Sy* __ j — 2x' + 7«/' ^ __ \- — %t -f 5 y* ^ j 2x4 4" gy4 ^ j x4 4- 3y' C — &X4 4-r Q2// f 4- 3## (quarum prima est proposita). M 4 i84 i63. Jam supra obiter diximus fieri posse vt forma aliqua, F , aliam, F', tam proprie quam improprie implicet. Perspicuum esthoceuenire, si inter formas F , F* alia G interponi possit, ita Yt F ipsam G , Gfipsam F' implicet, forma¬ que G ita sit comparata, Yt sibi ipsa sit im¬ proprie aequiualens. Si enim F ipsam G proprie vel improprie implicare supponitur: quum G ipsam G improprie implicet, F ipsam G improprie vel proprie (resp.) implicabit, ad¬ eoque, in vtroque casu, tam proprie quam improprie, (art. i5g ). Eodem modo bine de¬ ducitur, quomodocunque G ipsam F ' implica¬ re supponatur, F semper ipsam F* tum pro¬ prie tum improprie implicare debere. — Ta¬ les vero formas dari, quae sibi ipsae sint im¬ proprie aequiualentes, videtur in casu maxime obuio, vbi formae terminus medius = o. Ta¬ lis enim forma sibi ipsa erit opposita (art. 1 5g) adeoque improprie aequiualens* Generalius quaeuis forma, (a, by c), bac proprietate est praedita, in qua %b per a est diuisibilis. Huic enim forma (cy by a) a parte prima erit conti¬ gua (art. 160) adeoque proprie aequiualens: sed ( c, b , a) per art. 169 formae (a, b , »V) improprie aequiualet: quare (a, I bf c ) sibi ipsa improprie aequiualebit. Tales formas b , c) in quibus zb per a est diuisibi¬ lis, ancipites vocabimus. Habebimus itaque theo¬ rema hoc: Forma F, aliam formam F* tum proprie tum im¬ proprie implicabit , si forma anceps inuenire potest sub F contenta ipsam F vero implicans . Sed haec pro¬ positio etiam conuerti potest: scilicet 1 6/h Theorema. Si forma Axx 4- 2 Bxy *-{- Cyy> . . (4) formam A4x4x4 4 2 BJx4y4 4 Ox4y /... (j F4) tum proprie tum improprie implicat: forma anceps inueniri potest, sub F contenta formamque F4 implicans. Ponamus, formam F transire in formam F4 tum per substitionem x = *x4 4- y =? 4- tum per hanc illi dissimilem, x = 4-' ^ == 4 &y4. Tum designatis numeris ^ per /^// 4- “V') i* e* — &y4)x44 4 ( }*4 — >6')y" ; aut 2) pro it-, u((f4x44 — ■ gy') 4 4 “V') i. e. e4x!/, et pro y9 y4(f4x4' — 6'y") 4“ — yex44 -4- <*‘y40 i» e. e4 y 44 . Designatis itaque numeris A4 — Gy4, Gx4 — yF — tyi* «V — yG* per a , b , c , d : forma .F per duas substitutiones x = a#" 4- by4i, y = cx4t dy**i x =n y r=r in eandem formam transmutabitur, vnde obtinemus tres aequationes sequentes : \ Aa 4 aSac 4 Cfa = ....... . [1' A ab 4- B^ad 4- &*?) 4 Ccd = Be4e '. , . ♦ [2 Abb 4 aJ?M 4 Cdd = CVV . . [3' Ex valoribus ipsorum d, c, i autem inuenitur ttd — bc = ee4 — ee = — e4 e4. ...... [4] I — * i86 — - - Hinc St ex d[i] — c[ 2], (A a + Bc) (ad — bc) = (Ad — Bc)e'e'y adeoque A(a -f d) = o. Porro ex (a +■ d ) [2] — &[i] — r[ 3] fit ( Ab 4- B(a *-|-* d) —f- Cc) (ad “f” bc) = (~ Ab B{a~\~d) — Cc)e'e ', adeoque B(a -f- d) =0. Denique ex a[ 3] — b[ 2] fit (#6 + Cd) (ad — bc) = (— Bb 4* Ca)e*e‘ adeoque C(a 4- d) — o. Quare quum omnes A, B , C nequeant esse =r o, necessario erit a 4-~d = o sine « = — i. Ex a [2] — 6[i] fit + Cc) (ad - 6c) 'te= (Zta — Ab)e/e/f ynde Ab — 2 Ba — Cc = o [5] Ex aequationibus c + 0' = o, «4- d = o siue 4" “/^/-“ r=Oj ~ 4- = o sequitur (« -f a') -{- *) S= (C 4- Cq (y — 1~' y4^) siue (a -P uA) * (y 4— y*) (^CHh CO : (£ 4- *). Sit rationi huic*) in numeris minimis aequalis ratio m: «, ita vt w, n inter se primi sint, accipianturque ju, » ita vt fiat + (M t... ~ ■ j. Porro sit v diu# comm* inax* nu* merorum ay b> c; cuius quadratum propterea metietur ipsum aa 4“ siue bc ad siue ee; quare r etiam ipsum e metietur* His ita fa¬ ctis, si forma F per substitutionem = mt 4- - / ( ■* =tis f® ity y 535 nt — - ~ « in formam jf# 4- zNtu 4- Buu (G) transire supponitur, liaee anceps erit for¬ mamque F* implicabit, *) Si omnes a e6',y *t"* y'» C-p. C'» & essent===p, ratio inde¬ terminata foret, adeoque methodus non applicabitis , Sed exigua attentio docet, hoc cum suppositionibus nostris consistere non pos¬ se. v Foret enim *— Cy = u1 b1 — C'y< i. e. e ■=. e' adeo¬ que, quia e =s= — e', e ==: e' ~ O. Hinc vero etiam B e >0» = 0* 4- *') (4 — £') — (*— (£ 4- C') Hinc quoniam m(y -f- y4) == «(* 4- «0, erit m(2« 4- 2 a) = aw& sine 4- 4- nb = o . . ♦ [7]. Eodem mo¬ do erit 20 — 2& = e — 0' — « 4 i = p + «0 (* *— $') — ■ (e + 4') O ~~ >0* 2r— o — :/) q_ £') — ^>4- >0 — &), atque hinc n( 9,e ■ — 2a) ?= — 2mr, siue 720 — na 4-" mc = o. . [8] Iam si ad mm {bm — 2^» — ^v) additur (1 “*r *«ft —■ «v) (wQ — a) E 4 1)6) 4 (m? 4- 4- nb) (mn* E 0 4- Qu — na 4- mc)mVv quod manifesto = o, propter 1 — t*m — m — o, me 4- tna + nb = o, «0 — «a -f- mc = o : pro¬ dit productis rite euolqtis partibusque se de¬ struentibus deletis, 2 m,e 4- b. Quare erit mm{b 'w* — 2 aw — ai) — 2 m*e 4“ £* . ♦ . , . . [9] Eodem modo addendo ad mn(bw — 2 aw—~ ft>) haec: (1— nu i — w) ((«» — w#*)? — (t 4- mu 4 -ni) a) ~~~ (me 4* ni a 4" nb)ttil*i* 4' Q^e na E mc)w* inuenitur mn(bw — ‘2ap» — c») s= (n* ■— mu) e — a. . 4 [10] Denique addendo a((w* * — my)%4 4 (nc — mfyy4') i. e. — *(*»#• 4 ni)x* 4" ’ ■+■ **»)^* siue — *x* 4 £t/4 et y — «( (m* 4 7K4(^ 4 »<0y') — K(m* — 4 («C — wJ1) «*') i. e. — - >(»* + mu)#' 4- Knt 4 wOy' siue — 4" £y'. Per hanc vero substitutionem I? transit in F' :• quare per substitutionem (&) etiam (7 transibit in F'. 2. Ex valoribus ipsorum e} b , d inuenitur *'*"4 yb — «d — o, siue propter rf= — na4e 4- «#» 4 w$b = 0 5 hinc ex [8], 4 == 4 siue (»# — )& = — »#'> [12] / < Porro fit 4- &)» ytnb rr: — mWe 4- «a) adeoque (»* — my)b~ — i3] Denique fit y'e — ya+ *c — o : hinc mul¬ tiplicando per n , et pro substituendo valo* rem ex [8] fit («* — my)c ~ (y — y^ne, . . [14] Simili modo eruitur &e 4- Sb — siue n&e 4- M + rfia — o, adeoque per [7] 4- nCa ■zzz mh + tn$af siue (n€ — m$)a ~^(tn$ — nC'}e [i 5] Porro fit %nb “ ■ — &m{e -p a ), hnb ^ — m(£e4 -y adeoque (»S ~~ — £)«*? [16] Tandem ^ — $a -j- €c — o : hinc multi¬ plicando per » et substituendo pro m- Yalorem ex [8] fit («6 rr m^)e “ O — £')»?? . * . , . [17] lam quum diuisor communis maximus nu' merorum a, b , r sit r, integri §1, 83, i5, 16, 17 §!(m> — «*') 4- — «)m 4- ) — »*) 4- $(£' — l)m + *')» ~ adeoque r(»« — **>•)> — w$) integri. Q> E . /7. i65. Forma -p i!\xy — l\yy in formam — 1 2.x4x4 — 1 8x4y4 ~fr- 3g y4y4 transmutatur, tum proprie, ponendo x z=. L\x4 -f- 1 1 y4, y — — x4 — 2 y, tum improprie, ponendo x • — 74*^ >4- 89 y4f y ~ i5#' — 18#'. Hic igitur « 4- C + y + y'f ? "J- & sunt — 70, 100, i4, — 20; est autem — 70: 14 — 100: — 20 — 5: — 1. Faciemus itaque m — 5, « -= — 1. ^ — -s — 1» Numeri autem a, b, c inueniun- t — 190 — ' 4 tur — 207, — 1170, 48» quorum diuisor com¬ munis maximus — 5 — r; denique fit <9 ■“ 5. Hinc transformatio ( S ) haec erit: x =. St — u9 y — t. Per quam forma (3, 7, — 4) trans¬ it in formam ancipitem tt — t6tu + 3 uti, : ; \ 1 N \ Si formae F, F' sunt aequiualentes : forma Gy sub F contenta, etiam sub F/ contenta erit* Sed quoniam ea oden formam etiam implicat, ipsi aequiuaiens erit, et proin etiam formae F, In iioc igitur casu theorema ita enunciabitur : # i Si F y F' tam proprie , quam improprie r sunt a e» quiualentes : forma anceps vtrique aequiuaiens inueniri poterit . 7“ Ceterum in hoc casu e = 1, ad¬ eo que etiam r} ipsum e metiens, = 1 erit. Haec de formarum transformatione in ge¬ nere sufficiant: transimus itaque ad considera¬ tionem repraesentationum . 1 66. Si forma F formam F* implicat t quicunque numerus per F4 repraesentari potest etiam per F poterit. Sint indeterminatae formarum F , .Frespecti- ue Xy y\ x*, y\ ponamusque numerum M per F4 repraesentari faciendo x4 = m, if ~n, formam F vero in F4 transire per substitutionem .x — *x' + y j=r yx4 -J- ly4. Tum manifestum est si ponatur x = <* m -f- y = y m -f> hi, F transire i a M, Si M pluribus modis per formam F4 re¬ praesentari potest, e. g. etiam faciendo x4 = m4y \ yt nt ♦ plures repraesentationes ipsius M per F inde sequentur,. Si enim esset tum am *f Cn am' *+- ^n4 tu.ni ym -f- hi ym4 *-j-* in fo¬ ret aut ai — €y = oy adeoque etiam determi¬ nans formae F' — r o contra hyp., aut m =r m4, n ==•. nH Hinc sequitur M ad minimum tot¬ idem modis diuersis per F repraesentari posse quot per FU vi r . -C». " ? , i. . ' 1 . 1 • , Si igitur tum F ipsam F, tum T' ipsam simpli¬ cat i. e* si F, F ' sunt aequiualentes, numerusque M per alterutram repraesentari potest: etiam per alteram repraesentari poterit, et quidem totidem modis diuersis per alteram, quot pejr alteram. /v Denique obseruamiis, in bocce casu diui- sorem communem maximum numerorum mt n aequalem esse diuisori eomm, max, numerorum *m + €nt ym -f- in* Sit ille a, nnmerique * ita accepti yt Hat j um -4* m — A. Tum erit (it* y*) ( [am -f- Cn) — (C^, < — «v) C yfn -f- ) — • (« i—Gy) (ym "-f" y«) =: A. Hinc diu. comm. max. numerorum *m ^n, ym -j- in metietur ipsum A, A yero etiam illum metietur, quia ma¬ nifesto ipsos *m -f- ym + in metitur. Qua¬ re necessario ille erit — A. ~ Quando igitur m, n inter se primi sunt, etiam am -j- Cn, ym in inter se primi erunt* iSy* Theorema. Si formae axx -|- *ibxy -f- cyy ... (F), a4x4x 1 + nb*x4y4 -f c4y4y4. . . (F4) sunt aequiualenteSy ipsarum determinans — : D, posteriorque in priorem transit ponendo x4 rzz xx Cy, y* ~ y x -j- iy ; porro numerus 'M per F repraesentatur , faciendo x — m, y “ », adeoque per F4 faciendo x 4 — -j- £» — »*', y4 “ «i quidem ita vt m ad n eo que ipso etiam m4 ad n4 sit primus: ambae repraesen¬ tationes aut ad eundem valorem expressionis yf~ D ( 'mod . M ) pertinebunt , aut ad oppositos , prout transformatio formae F4 in F propria est vel impropria . Dem . Determinentur numeri ju, » ita vt fiat »»=1, ponaturqne b(A yi aS' — £j/ AO • — 4* + a» «J1 — Co m v/ (qui erunt integri propter — Gy ~ j± i;B Tum erit A ^4{b4m4-Fc4n4') — r4Ca4m4 4* b4n4) =: eruntque T7, T7' valores expr.y'" ifef (mod. D ) ad quos repraesentatio prima et secunda pertinent. Si in V4 pro f, »»,«*,» valores ipsorum substituuntur; in V vero pro a, a4** 4 2,b4ay 4 e4yy pro bt a!^ 4 b4{ <*$ 4^) 4“ c4y^j pro c, a4&G *b ’&b4£} 4* 'c4$&i inuenietur euolutione facta V — fr<(*}—Gyj. Quare erit aut V — V4, aut ~V ■==. — prout «£— £> = ’ 4- i aut r=r ~ i, i. e. repraesentationes per¬ tinebunt ad eundem valorem expr* yf M (mod. D ) vel ad oppositos, prout transformatio formae F4 in F est propria vel impropria. Q* E. D ♦ Si itaque plores repraesentationes numeri M per formam (a, b , c), °Pe valorum inter se primorum indeterminatarum a?, y9 habentur ad valores diuersos expr, yf D (mod. M') perti¬ nentes : repraesentationes respondentes per for¬ mam ( a b b b c 0 ad eosdem resp«, valores pertine¬ bant, et si nulla repraesentatio numeri M per formam aliquam ad valorem quendam deter¬ minatum pertinens datur, nulla quoque dabi¬ tur ad hunc valorem pertinens per formam illi aequiualentem. 168. Theorema* Si numerus M per formam axx -f- zbxy + cyy repraesentatur tribuendo ipsis x3 y v alares inter se primos m , ny votor que expressionis D (mod. M), ad qmm haec repraesentatio pertinet , est N t formae (a7 b% c), {M, iV, J proprie aequimlem tes erunt , Vemonstr . Ex art. i55 patet, numeros inte¬ gros » inueniri posse ita vt sit mu -f- f > — j -J- r») — d- £») ~ JVi. Quo facto forma (0, *r) per substitutionem x ~ mx' — v y* y = «*' 4* quae manifesto est propria* transit in formam cuius determinans = ' D(m^ + «0* h e. = D, siue in formam aequiiialen- tem: quae forma si ponitur “(i#', N' M> J erit M ' = awjw -f* 4- = M; N' ■ — — ~ m’£ 4- (mu — mfb 4- me = JV. Quare forma in quam («, c) per transformationem illam mutatur erit (M, N , £5Lli-£\ a £t g)a Ceterum ex aequationibus m 44 n* = i, + »r) — v{ma 4- nu) == JV deducitur u =s tt V Hh ^ J»& ^ » W — vvux ■+• nb t -f- MC — r m V . 1 11 ' 1 " II 1— , V ■ I I WMW fe amm^ 2bmn ^ cnn M M ' qui numeri itaque erunt integri. Porro obseruandum , hanc propositionem locum non habere, si M = o; tum enim ter¬ minus ~~~ fit indeterminatus *)♦ M 169. Si plures repraesentationes numeri M , per {<*, b , c) habentur, ad eundem valorem expr. yf D (mod. M'), N9 pertinen¬ tes (vbi vafores ipsorum x, y semper inter se primos supponimus): plures etiam transfor¬ mationes propriae formae (<3,6, Y), (Fj, in (itf, N , ((?) inde deducentur. Scilicet si r hos valores x = m\ y = «' talis repraesentatio prouenit, (F) etiam per substitu- tionem x = w'#' -f- — — — — - - y %y -t* m‘a *i* m*b . . - — - — y* 1 m (Gr) .transit* Vice versa, ex quauis transformatione propria formae (F) in ((5) sequetur repraesentatio numeri M per for¬ mam (F), ad valorem N pertinens. Scilicet si (Y) transit in ((?) positis a? = mx ' — >2/', y = -f repraesentatur per (i?) ponendo a; s= #», y s= m, et quoniam hic ?% Hh «> == i> valor expr. I? (mod. M) ad quem repraesen¬ tatio pertinet erit hm -j- cn\ — - v(am -f- bn) i. e. N, Ex pluribus vero transformationibus propriis diuersis, sequentur totidem repraesen¬ tationes diuersae ad N pertinentes **). — - Hinc *) In hoc enim casu, si ad ipsum phrasin extendere volumus, haec? N esse valorem expr. )/'D (mod. M), siue NN == D (mod. M) significabit, NN — D esse multiplum ipsius M, adeoque zzz O. **) Si ex duabus transformationibus propriis diuersis eadem repraesen¬ tatio defluere supponitur, illae ita se habere debebunt: j) x = NN — M etiam £) facile colligitur, si omnes transformationes pro* priae formae (F) in (G) habeantur, ex his omnes repraesentationes ipsius M per (F) ad valorem N pertinentes sequi. Ynde quaestio de reprae¬ sentationibus numeri dati per formam datam (ia quibus indeterminatae valores inter se primos nanciscuntur) inuestigandis , reducta est ad quaestionem de inueniendis omnibus transfor¬ mationibus propriis formae illius in datam ae« quiualentem. Applicanda iam ad haec, ea quae in art* 1 62 docuimus, facile concluditur : Si repraesen-; tatio aliqua numeri M per formam (F) ad va¬ lorem N pertinens sit haec: x = *, y » y r formulam generalem omnes repraesentationes eiusdem numeri per formam (F), ad valorem AY pertinentes, comprehendentem fore hanc: at — (»b — j— yc'u yt HS- (cta, Hh V b)u * = , y — ~ ~ - ry vbi m diuisor communis maximus numerorum a, 2 b,' c; et ty u omnes numeri, indefinite, aequationi it Duu = mm satisfacientes. 170» Si forma (a9 by c) ancipiti alicui ae-i quiualens , adeoque formae ( M, N> tam proprie, quam improprie, siue tam formaa nc), facile deducitur esse aut M === O aut — 8'» » =5 At M o iam exclusimus» proprie : repraesentationes numeri NI habebun¬ tur per formam (E), tam ad valorem N, quam ad valorem — - Nt pertinentes. Et vice versa si plures repraesentationes numeri M per ean¬ dem formam (E), ad valores oppositos expr. y r D (mod. M), N, — N, pertinentes habentur : for¬ ma ( F) formae (Gr) tam proprie quam impro¬ prie aequiualens erit, formaque anceps assigna¬ ri poterit, cui (E) aequiualeat. Haec generalia de repraesentationibus hic sufficiant: de repraesentationibus, in qui¬ bus indeterminatae valores inter se non primos habent, infra dicemus. Respectu aliarum pro-* prietatum, formae quarum determinans est ne¬ gatum s prorsus alio modo sunt tractandae, quam formae determinantis positiui: quare iam vtras- que seorsim considerabimus. Ab illis tamquam facilioribus initium facimus. 17 1. Problema. Proposita forma quacmque(aybt a4) cuius determinans negatiuus ,= —— D, designante D numerum positiuum , inuenire formam huic proprie aequi- mimtemy (A, By C), in qua A non £>y^ i$f B non > | A} C non <$ A. f Solutio . Supponimus in forma proposita non omnes tres conditones simul locum habere: a- lioquin enim aliam formam quaerere opns non esset. Sit b 4 residuum abs. min» numed — b b>b‘ 4. D secundum modulum a'%), atque a" = ~ ~ 9 *) Obseruare conuenit, si formae alicuius b, a1) terminus primus vel vltimus a vel a1 sit ==2 O, ipsius determinantem esse quadra¬ tum positiuum : quafe illud in easu praesenti euenire nequit. — Ex simili ratione termini exteri a, a1 formae determinantis negati- ui, signa opposita habere non possunt. v . . \ X ■— I97 “ qui erit integer quia b4b4^ bb, b'b'-b I) s bb J) ^ aa' == o (mod. a4), Iam si a44 a4y fiat denuo b 44 resid. abs. min. ipsius — b4 secun- dum mod. a 44 , atque a 444 = — ~ — . Si hic iterum a444 ‘ D ipsius b44 secundum mod. a"'atquealv =- — ~ — . Haec operatio continuetur donec in progressi¬ one a4 , a44 , a444 , alv etc. ad terminum am + 1 perueniatur , qui praecedente suo am non sit minor, quod tandem euenire debet, quia alias progressio infinita numerorum integrorum con¬ tinuo decrescentium haberetur» Tum forma (am, bm, a™*1') omnibus conditionibus satisfaciet. Dem ♦ I. In progressione formarum (a, b , a% (&', b4, a44), (a44, b ", a444) etc, quaeuis praece¬ denti est contigua, quare vltima primae proprie aequiuaiens erit (artt. i5g, 160). II. Quum bm sit residuum absolute mini* mum ipsius — bm— i secundum mod. am, ma¬ ior quam f am non erit (art. 4). III. Quia am a®+r = D + bm bm , atque non <$ amy am am non erit D 4 bm bm , et quum bm non J> \ cim, am am non erit $> D -f- |am am et | a™ am non > V, tandemque am non ExempL Proposita sit forma (3o4, 217, i55) cuius determinans = — * 3 i. Hic inuenitur progressio formarum: (3o4, 217, i55), (i55, — * N 3 J — 198 — &V »5), (28, 12, 7), (7, 2, 5), (5, — 2, 7), yitima est quaesita. — Eodem modo formae (1 ai, 49» 20), cuius determinans = — - 19, ae- quiualentes intremuntur : (20, — 9, 5), (5, i, 4), (4? 5); quare (4, i, 5) erit forma quaesita* 4 • i ' i-’' ' • '--v " Tales formas (d, B, C ), quarum determi¬ nans est negatiuus et in quibus A non ^> \f f D,B non |> | \A.y A non > C> formas reductas vocabimus* Quare cuiuis formae determinantis negatiui, for¬ ma reducta proprie aequiualens inueniri pot¬ erit. 172. Problema* Inuenire conditiones , sub qui¬ bus duae formae reductae non identicae, eiusdem deter¬ minantis, — Dy {ay by c)y {a' y b4 } c 4) proprie aequi - uatentes esse possint , Sot, Supponamus, id quod licet, a 4 esse non > 0, formamque^^d- 2 bxy -f- cyy transire in a4x4x* -j- 2 bix4y‘ + c*y4y4 per substitutionem propriam oc = ux/ b y y#' 4- Tumjiabebun- tur aequationes 0** b* -b O'!*' = * • • f • « • . ♦ . [1] d-x€ q. -{- £y) + cy$ = ■&'..♦ 4 ■.. . [2] ^ - £>. = I. . . * , . . [5] Ex [1] sequitur aa,4 ~{a«-\-bv')% 4- Drv ; quare J^eritpositiuus ; et quum ac = D b bb,a4c4~ JJ-h b4bf etiam ac} a4c4 positiui erunt : quare a, a4y cf c 4 omnes eadem signa habebunt. Sed tum a tum a4 110x1 > adeoque aa4 non > ~ ; quare 1 *99 inulto mmtis Dw ( = aa* — (a* 4" #y)5) maioc quam. fi?- esse poterit. Hinc y erit aut = os; aut = tt *• I. Si y o, ex [5] seguitur esse aut « i ? i , aut * = — i $ zzz — i ♦ In vtroque casu fit ex [1] at,*=s a, et ex [2] b‘ i> = ±l fo*. Sed 6 non > §0, et V non > §x»y proin etiam non > | a. Quare aequatio b4 — - I» = _± , consistere nequit nisi fuerit aut h = tnde. sequeretur r' - ^ D === — s=? r, quare formae (a, c), (a', b'f e*) identicae essent contra hyp. ‘ ' aut b » — - h* = r.h &«♦ In Hoc etiam ea-* Su erit c' z=z c formaque (V, h\ c4) erit (0, — &,s) i* e., formae .{aybycf) opposita. Simul patet for-, ruas Has esse ancipites propter 2 b = ^ a . II. Si y = j±. 1, iit ex [1] Hf- c — - a4 s= jir 2^ss. Sed r non minor quam a9 adeoque ..non minor quam a4 : Hinc 4- r — xj' sine certo non minor quam <**«.. Quare quum non sit maior quam a, erit « non mirior quam «3; ynde necessario, aut « = o, aut ±. x. 1) Si « = o, Et ex [tj, a* == r, et quoniam a neque maior quam r, neque minor quam a4, erit necessario a4 = 0 = c* Porro ex [3] fit ,fy = — 1, ynde ex [2] b 4- h4 = ±_ $c =s j* to- Hinc simili modo vt in (I) sequitur esse N 4 200 aut b s= b*, iri quo casu formae ( d , b} c) cr) forent identicae, contra hyp. aut b == — in quo casu formae (af b , r), (a', 6', r') erunt oppositae. s) Si # = *> ex i1! sequitur V 2& =s a [4 c — a Quare quum neque a% neque c < erit 2.b non <| a, et non < r. Sed 26 etiam non > neque > c , vnde necessario ±: %b ~ a = cy et hinc ex aequ; +: = « + c •— a\ etiam .===. a\ Fit igitur ex [2] b ' s= *i(*£ 4- 4- 4. Cy)y siue, propter — . €y =: i> b* — b = *?(*£ 4- + 2^ y ==s 0 (<*£ 4- rfc £>), quare necessario, vt ante 6 = 6', ynde formae (a, b , c), (a', b c ') identicae, contra hyp. aut b t= — adeoque formae illae op¬ positae. Simul in hoc casu propter a s= r±, formae erunt ancipites. Ex his omnibus colligitur, formas (a, b, c) (a*y b'y c 4) proprie aequiualentes esse non posse nisi fuerint oppositae, simulque aut ancipites, mt a m c = 0' _3; c'. In hisce casibus for¬ mas {a% b j 0, (a't b\ c ') proprie aequiualere, vel a priori facile praeuideri potuit; si enim formae sunt oppositae, improprie, et si insuper ancipites, etiam poprie aequiualentes esse debent ; r — b)* si vero a ~c, iorma ( - — — — , a — - b, a) formae (0, b> c) contigua et proin aequiuaiens erit; sed propter D 4 bb = ac r— aa 1 •= 2« — .zb) forma vero (2 a. — zb, a — bf a) est anceps ; quare (a, by c) oppositae suae etiam proprie aequiualebit. Aeque facile iam cliiudicari potest quando duae formae reductae (a, b, c), (a% b', c') non opp ositae improprie aequiuaientes esse possint. Erant enim impr. aequiuaientes, si (a, b, c) (a'> — b\ c% quae non identicae erunt, proprie sunt aequiuaientes, et contra. Hinc patet, condi¬ tionem, sub qua illae improprie sint aequiuaientes, esse, vt sint identicae, insuperque aut ancipites aut a = c, ~~ Formae vero reductae quae ne¬ que identicae sunt neque oppositae, neque pro¬ prie neque improprie aequiuaientes esse possunt. 173. Problema. Propositis duabus formis eius¬ dem determinantis negatiui, F et F‘, inuestigare vtrum sint aequa lentes. Solutio . Quaerantur duae formae reductae /, /' formis F, F ' resp., proprie aequiuaientes : si formae /, /' surit proprie, vel improprie vel vtroque modo aequiuaientes, etiam F, F' erunt; si vero f f nullo modo aequiuaientes sunt, etiam F, F' non erunt. Ex art. praec. dari possunt quatuor casus; 1) Si /, /' neque identicae neque oppositae, F, F* nullo modo aequiuaientes erunt, i 2) Si /, f sunt primo vel identicae vel opposi¬ tae, et secundo vel ancipites, vel terminos ' N 5 suos extremos aequales habent: Ft F' tum proprie, tum improprie aequiualentes erunt. 5) Si /, f sunt identicae, neque vero ancipites neque terminos extremos aequales habent : F, F 4 proprie tantum aequiualebunt. /t 4) Si /, /' sunt oppositae, neque vero ancipir tes, neque terminos extremos aequales ha¬ bent: F, F/ proprie tantum aequiualentes erunt. Ex. Formis (4i, 35, 3o), (7, 18, 47) qua¬ rum determinans ==: — 5, reductae (i, o. 5), {2, 1, 3) aequiualentes inueniuntur, quare il¬ lae nullo modo aequiualentes erunt. ~~ For¬ mis vero (a3, 38, 63), (i5, 20, 27) aequmalet eadem reducta (2, 1, 3), quaea quum simul sit anceps, formae (25, 38, 63), (i5, 20, 27) tum proprie tum improprie aequiualebunt. — For¬ mis (57, 53, 78), (53, 7 5, 102), aequiualent reductae (9, 2, 9), (9, — 2, 9) quae quum sint oppositae, ipsarumque termini extremi aequa¬ les: formae propositae tam proprie* quam im¬ proprie erunt aequiualentes. 174. Multitudo omnium formarum reducta¬ rum, determinantem datum — D habentium, semper est finita, et, respectu numeri D% satis modica: formae hae ipsae vero duplici modo Inueniri possunt. Designemus formas reductas determinantis — D indefinite per (a, b, e), vbi 200 — itaque omnes valores ipsorum a, bf c determina* ri debent. Methodus prima. Accipiantur pro a omnes numeri, tum . positiui tum negatiui non ma¬ iores quam yf f D, quorum residuum qua- draticum — D , et pro singulis a , flat b sueees- siue aequalis omnibus vatoribus expr. — D (mod. a), non maioribus quam Is, tum positiue tum negatiue acceptis; c vero pro singulis valo- ribus determinatis ipsorum a, b , ponatur — a * Si quae formae lioc modo oriuntur in quibus e < :a, hae erunt relidendae, reliquae autem manifesto erunt reductae. Methodus secunda. Accipiantur pro h omnes numeri, tum positiui tum negatiui, non maiores quam iV~ W, siue sf i D; pro singulis b re- soluatur bb +■ D omnibus quibus fieri potest modis Jn binos factores (etiam signorum di uer- sitatis ratione habita) ambos ipso 26 non mino¬ res ponaturque alter factor, et quidem, quan¬ do factores sunt inaequales, minor, a, alter r — * c. Si quae formae hoc modo prodeunt, in quibus a I D, erunt reiiciendae, reliquae vero omnes manifesto erunt reductae. — De¬ nique patet, nullam formam reductam dari pos¬ se quae non per vtrainque methodum in ne- niatur. Ex. Sit D — 85. Hic limes valorura ipsi¬ us a est qui iacet inter io et i u N ti¬ meri vero inter i et io (incL) quorum residuum _ 85, sunt i, 2, 5, io. Ynde habentur for¬ mae duodecim: (i, o, 85), (2, i, 45), (2, — - 45)? (5j o, 17), (icq 5, 11); (io — 5f u);(— — so4 I, ©, — 85) (— 2, I, — 45), C — « (~~ 5, o, — 17), (— 10, 5,— 11), ( — 11). Per methodum alteram limes valorum ipsi¬ us b habetur qui situs est inter 5 et 6. Pro b — o, prodeunt formae (1,0, 76), (— 1* o, — 85), ( 5, o, 17), ( — 5, o, — 17), pro b ~ zt 1 hae: (2, -± 1, 43) ( — 2, ±z 1, - — 43). Pro b Ji: 2 nullae habentur, quia 8g in duos factores, qui ambo non £> 4> resol- ui nequit. Idem valet de ±. 3,ii 4* Tandem pro b == Hh 5, proueniunt (io, rir 5, n),-( — 1 o, rh 5, — n). 175. Si ex omnibus formis reductis de¬ terminantis dati, formarum binarum, quae, licet non identicae, tamen proprie sunt aequiualen- tes, alterutra reiicitur: formae remanentes hac insigni proprietate erunt praeditae, vt, quaeuis forma eiusdem determinantis alicui ex ipsis proprie sit aequiualens, et quidem vnicae tan¬ tum (alias enim inter ipsas aliquae proprie ae- quiualentes forent)* Vnde patet, omnes formas eiusdem determinantis in totidem classes distribui posse - quot formae remanserint , referendo scilicet formas eidem reductae proprie aequiualentes in ean¬ dem classem. Ita pro D p= 85, remanent formae (1, o, 85), (2, i,43), (5, o, 17), (10, 5, u),(- i, o» * 84)» ( — 2, i,-^— '43), (“** 5,o, ■■ 17)5 (•io, 5 — ii); quare omnes formae determinantis — 85 in octo classes distribui poterunt, prout for¬ mae primae, aut secundae etc. proprie aequi- ualent* Perspicuum vero est, formas in eadem — . so5 classe locatas proprie aequiualentes fore, for¬ mas ex diuersis classibus proprie aequiualentes esse non posse» Sed hoc argumentum de clas- sificaiione formarum infra multo fusius exse- quemur» Hic vnicam obseruationem adiici- mus. lam supra ostendimus, si determinans formae (a, b, c) fuerit negatiuus = — D, a et c eadem signa habere (quia scilicet ac = bb -f- JD adeoque positiuus); eadem ratione facile per¬ spicitur, si formae (a, b , r), {a4, b4\ c 0 sint ae¬ quiualentes, omnes a, cf a4, c4 eadem signa ha¬ bituros. Si enim prior in posteriorem per substitut: x = V = yx‘ + V trans¬ it: erit a ** + zb«y + cyy == a\ hinc an* =(a* adeoque certo non negatiuus; quoniam vero neque a, neque a4 = o esse pot¬ est, erit aa4 positiuus et proin signa ipsorum a a 4 eadem. Hinc manifestum est, formas quarum termini exteri sint positiui, ab iis qua¬ rum termini exteri sint negatiui, prorsus esse separatas, sufficitque ex formis reductis eas tantum considerare quae terminos suos exteros positiuos habent, nam reliquae totidem sunt multitudine, et ex illis oriuntur, tribuendo ter¬ minis exteris signa opposita ; idemque valet de formis ex reductis relidendis et remanentibus. 176. Ecce itaque pro determinantibus qui¬ busdam negatiuis tabulam formarum, secundum quas omnes reliquae eiusdem determinantis in classes distingui possunt; apponimus autem, ad annotat, art. praec., semissem tantum, scili¬ cet eas quarum termini exteri positiui. 1 . • s — 20S D i (h 0, 1). • -jr ■■ •. • * ; r . 2 (r, 0, 2). b " O Ch O, 3), (9, 2). 4 ih O, 4), Cp“9 0, 2). 5 (i> 0, 5), (2, i, 3). 6 0, 6), (2, 3). .7 (h 0, .7% (2> h 4)* 8 Ch 0, 8), (2, 0, 4), (3, r , 3); 9 (*> 0, 9)* Cv 4 5), (3, 0, 3). IO Ch 0, 10), (2, o, 5).. 1 1 Ch 0, 11), (2, 6), (3, 1, 4), (3 - - h 4). 12 Ch 0, 12), (2 > 0 , 6), (3, 0 4), (4, 2) 4). Superfluum foret hanc tabulam hic vlterius continuare, quippe quam infra multo aptius disponere docebimus. Patet itaque, quamuis formam determinan¬ tis « — i, formae xx h- yy proprie aequiualere, si ipsius termini exteri sint positiui, vel huic — xx — - yy, si sint negatiui ; quamuis formam determinantis — 2, cuius termini exteri posi¬ tiui, formae xx ~f zyy etc. 5 quamuis formam determinantis — 1 i, cuius termini exteri posi¬ tiui, alicui ex his xx *-J- 1 1 yy, zxx -f* 2 xy ■+• 6yy, Zxx + 2 xy -j- 4 yy% % xx — S&xy + l\yy etc, ir7rj» Problema» Habetur series formarum, qua-, rum quaenis praecedenti a parte posteriori contigua: desi¬ deratur transformatio aliqua propria primae in formam quamcunque seriei * Solutio . Sint formae {alb,a*')^ F) ( a *;■ b\ aN) = F<\ (a", b", a*1 ') = aIV) s= F‘‘4 2.0J b •+ y b> -f* b“ etc. Designentur — 7— > — 7~~> etc. re- spectiue per /*'» h'!, h*“ etc. Sint Indetermi¬ natae formarum F, F4, FJ‘ etc. sc, y\ x*9 y'; x", y“ etc. Ponatur F transmutari in F' positis x = «V + &y*9 y j= y*x -f F44 . ♦ ♦ a; = Ct*y**9 y 7=zyf,x0 y <* F444 • . • x •===: ^4lxt44i^r^444y444^y^=^Vl,,xi4it-^^ 4,ytil etc,. Tum quia .F transit in JP7 positis x — y ~ x4 -f- 1?' in F14 positis === - — yay y* #" -p A" JF7' in F7" positis zz: — ■ y,4\ y 44 ~ -f- h444y444 etc. (art. 160), facile erue¬ tur sequens algorithmus (art. 169): a, : * 44 - tc = £" <3 II 1 H /' I £" ~h4‘%4— «' y// == y g/,/— /pz/gV/ — a/. /"= *" fey^zfcVtj'44—^ yiv y =r*' ^“—h44'*44— y44 ^IV — 3,'// etc. S1UQ «' -~o e/ — — r y/ - 1 °s l! y" w 1 % •w •as II «"•—e" Qu^ysi&t — £/ y'//zr^// «>v=e«' Civ~^v yiv irr^" hv -~ivs $iil — F* etc. Omnes has transformationes esse proprias tum ex ipsarum formatione tum ex art, 1 69 nul¬ lo negotio deduci potest* ( 208 Algorithmus hic perquam simplex et ad calculum expeditus, algorithmo in art 27 expo¬ sito est analogus, ad quem etiam reduci pot¬ est*). Ceterum solutio haec ad formas deter¬ minantis negatini non est restricta, sed ad o- mnes casus patet, si modo nullus numerorum a',- a", aai etc, m O. 178, Problema. Propositis duabus formis F, f, eiusdem determinantis negatiui , proprie aequiualentibus t inuenire transformationem aliquam propriam alterius in alteram . Sol Supponamus formam F esse B,A') et per methodum ait. 17 1 inuentam esse pro¬ gressionem formarum (A', B\ A"), (A", Bu, AUi} etc. vsque ad (Am, Bm, Am+m 1 ) quae sit redu¬ cta : similiterqun / esse (a, b , a') et per ean¬ dem methodum inuentam seriem b «"), (a", 6", a "0 vsque ad (^n, bn , a15-*1), quae sit reducta. Tum duo casus locum habere possunt. I. Si formae ( Am , Bm, A™*1), (a*>, bn> aP* 1) sunt aut identicae, aut oppositae simul- que ancipites. Tum formae (A™—1, Bm~If Am)9 (an, — fon q an— i) erunt contiguae (designante Am~~ 1 terminum progressionis AtA't A“ ♦ . . Am penultimum, similiaque 1). Nam Erit scilicet in signis art. 27, £n ■= jil [ — h'1, hln — - &iv. . t ' /in], vbi signa ambigue posita, esse debent — — ; — >-f< ; ■+* — ■+ -f. ; prout n formae 4 h ■+■ o ; I ; 2 i 3 — - et == it, \h> — h", h‘“ . . . .. t_ vbi signa ambigua esse debent 4- — ; 4- + ; — — ; — H- prout » formae $li 4- o; 1; 2; 3. Sed hoc, quod quiuis facile ipse confirmare poterit, fusius exsequi, nobis breuitas non permittit. 209 Am = an , j3m~I = — i?m (mod. Am ), &n — i — 6n (mod, an siue Am ), ynde i?m— i — bn—1 bn.~~Bm adeoque ^o* si formae (^m , E™ ,Am*'), (a°, #n, sunt identicae et = 2 bn adeoque = o, si sunt oppositae et ancipites, Quare in progressione formarum (A, B , A'), (A'y B\ A“) ...» (Am r, B0*-*, Am ), (an, — 1, a"~ 0,(an~'1, — '2?£»a— 2). . . 0?', b, a)7 (a, b, a') quaeuis forma praecedenti contigua erit, adeoque per art. praec. transformatio propria primae F in vltimam / inueniri poterit. II. Si formae (Am , Bm , Am+*) y (an, bn, un + 1) non identicae , sed oppositae simulque Am =*= Am,+l “ an — a*1* *. Tum progressio formarum (^, •#, ^0» C^y> B4, A tf) .... C<4m , i?™, £n~ an~ r), (an~r, — /?n~ 2, «n —2) .... (*?', — b, a), (^, b , 4, erit H > wj quare in tt -f Duu mm, « necessario debebit esse — o, adeo- que t alios valores quam m, et — m habe¬ re nequit. Hinc si F, f vnico tantum modo ae- quiualentes sunt et transformatio aliqua x — «x* + y ~ v x* 4- praeter hanc ipsam quae prodit ex t - m (art. 162 ), et hanc x '== *x' — %'> y = — — %' aliae locum ha¬ bere non possunt. Si vero F. , / tum proprie tum improprie aequiualent, atque propria ali¬ qua transformatio habetur x = -}- Cy*f — yX* 4 impropriaque x === «'a?' -f y — >'ar' ‘f praeter illam (ex t ~ m) et hancce ar =: — «V — y ~ — >'#' • — (ex t = — m) alia propria non dabitur; similiterque nulla impropria praeter x === Fx4-h $4y4,y~ y4x4 ~\-84y‘ et * = — — &y4, y 4 == — yx4 — £4y4. 2)Si 4» siue D = mm, aequatio 4* Duu = mm quatuor solutiones admittet 4, ^ => e; — wq o; o, 1 ; o, — 1. Hinc si F f vnico tantum modo sunt aequiualentes et trans* formatio aliqua x == « x 4 -f Cy4, y = yx4 -f- . quatuor omnino transformationes dabuntur, # d* y=jyj* yx4 jdr #=47 aB+*yc Hh — y\ y m uA+yB X 4 HH m O Sive’* 212 ro F, f duobus modis aequlualent, siue praeter transformationem illam datam alia ipsi dissi¬ milis habetur ; haec quoque suppeditabit quatuojr illis dissimiles, ita vt octo transfor¬ mationes habeantur. — Ceterum facile demon¬ strari potest in hoc casu F , / semper reuera duobus modis aequiualere. Nam quum D = mm = AC — BBf m etiam ipsum B metietur. A B C Formae (-» -) determinans 'erit=— 'i, quare formae (i, o, i) yel huic ( — i, o,— i) erit aequi- ualens. Facile vero perspicitur, per eandem transformationem per quam (A-> -» transeat in (~t 1,0, -t i) formam (B, B , C) transire in (±_m, o, ±z m), ancipitem. Quare forma (^, B , C), an- cipiti aequiualens, cuiuis formae, cui aequiua- let, tum proprie tum improprie aequiualebit. 3) Si — c=s 3, siue 3mm. Tum m mm erit par omnesqne solutiones aequationis tt -f. Duu == mm erunt sex, Z, » = m, o ; — m, o ; Jm, I m, •— i ; — |m, i, Si itaque lm. duae transformationes dissimiles formae F in / habentur, # == ~j- Gy't y = yx* ~j- ^=2 4- # a= -f- <%': habebuntur duo¬ decim transformationes, scilicet sex priori similes x — -±r t txf r± €y\-y = ±~ yx* rt -t (|« =± (xg — s m )y* p )*' *-(** + -Ltify. $e m a A + Va. y==±=(i? + m etB -p yC' Mi ) (i* m »a -f- y b j - —X4\ m t «b 4- m }y* et sex posteriori similes, quae ex Lis nascun» tur ponendo pro ..«♦ £> y» 2 hos £'> y', Quod vero in hoc casu semper F,f vtro- que modo aequiualent, ita demonstramus. For¬ mae ( determinans erit = ■* — — v m tv m vnm == — - 5» adeoque (art. 176) aut formae (+: i> o, h- 5)aut huic (2, i, 2) aequiualens. Ynde facile perspicitur, formam (^, B, C) aut formae (r±| *»* v o, ±2 | m) aut huic (_±-w, iw, =±m)*) quae ambae sunt ancipites, aequiualere adeoque, cuiuis ae- quiuaienti, vtroque modo. 4) Si supponitur ~ == 1, fit(~)* = 4 — *— 2, adeoque ^ 2(mod. Sed quum nullum * quadratum esse possit = 2(mod. 4) hic casus locum habere nequit- 5) Supponendo — = 1, fit (— )^ = 4^f — ^ j = — i (rnod, 4)» Quod quum impossibile sit, etiam hic casus nequit locum habere. Ceterum quum 1) neque =2 o, neque ne- gatiuus sit, alii casus praeter enumeratos dari non possunt. 180. Problema. Xnuenire omnes repraesentatio - nes numeri dati M per formam axx -f- 2 bxy + cyy . . . F} determinantis negatiui — D , in quibus x, y vMores- inter se primos nanciscuntur . •) Demomtrari potest, formam {A, B, C) necessario posteriori aeqrn- nalere : sed hoc hic non necessarium. 0 3 Sol. Ex art. i54 patet, M eo quo requl- ritur modo repraesentari non posse, nisi — D sit resid. quadt, ipsius M. Inuestigentur ita¬ que primo omnes valores diuersi(t. e. incongrui) expr. yf — D( mod. M), qui sint N , — N , N' N\ N", — N " etc. ; quo simplicior euadat calcu¬ lus, omnes N, N' etc. ita deterjninari possunt, vt non sint > \M. Iam quoniam qua, eois re¬ praesentatio ad aliquem horum valorum per¬ tinere debet singuli seorsim. considerentur. Si formae F, ( M , N, non sunt M proprie aequiualentes, nulla repraesentatio ipsi¬ us M ad valorem N pertinens dari potest (art, 168). Si vero sunt, inuestigetur transformatio propria formae F in 2.Nx'y4 + quae sit x = ux' 4- y~ yx' -f- eritque x =r «, y — y repraesentatio numeri M per F ad N pertinens. Sit diu, comm, max. numerorum A , zB, C, = m distinguanturque tres casus (art. praec.): r) Si ™ > 4» aliae repraesentationes ad N pertinentes quam hae duae x = »9 y — y ; x = — <*, y ~ — - y non dabuntur (artt. 169, 180). 2) Si — “ 4> habebuntur quatuor reprae¬ sentationes # ~ :± «, y ™ ±_ v } ^ — : zp 3) Si 4D mm tationes, x m. B +~ yC 3, habebuntur sex repraesen- *3 y — x — =± (I* — m «5 4 yC _-±(§ y + yB ); x (§* -t* m )>y m ■ §cd yB — ;,7 — )• cf> — ■ Eodem modo quaerendae sunt repraesen- sentationes ad vaiores — N} N'y iV* etc* pertinentes* 181. Inuestigatio repraesentationum nu¬ meri M per formam F in quibus x , y vaiores inter se non primos habent, ad casum iam con¬ sideratum facile reduci potest. Fiat talis re¬ praesentatio ponendo x = ne, y == k/» ita vt t* sit diu. comm. max. ipsorum ve, siue e , / inter se primi. Tiim erit M — w(A.ee + 2 Bef -f Cff) adeoque per w* diuisibilis ; substitutio vero x = e, y =* f erit repraesentatio numeri F- per formam F, in qua x, y vaiores inter se primos habent. Si itaque M per nullum qua¬ dratum (praeter i) diuisibilis est, e, g. si est numerus primus : tales repraesentationes ipsius M non dabuntur. Si vero A diuisores quadra¬ ti cos implicat, sint hi etc. Quae¬ rantur primo omnes repraesentationes numeri ~~ per formam ( A , B , C ), in quibus x, y vaio¬ res inter se primos habent, qui vaiores si per F multiplicantur praebebunt omnes repraesen¬ tationes ipsius M, in quibus diu. comm. max. numerorum#, y est* Simili modo omnes repraesentationes ipsius ~ in quibus vaiores O 4 * 2 I 6 ipsorum x , y inter se primi sunt, praebe¬ bunt omnes repraesentationes ipsius M in qui¬ bus diu. comnn max. valorum ipsorum x} y est 9 etc. Palam igitur est, per praecepta praeceden¬ tia omnes repraesentationes numeri dati per formam datam determinantis negatiui inueniri posse. 182. Descendimus ad quosdam casus par¬ ticulares, tum propter insignem ipsorum ele¬ gantiam, tum propter assiduam operam ab ill. Eu- Iero ipsis impensam, vnde classicam quasi di¬ gnitatem sunt nacti* I. Per formam xx -f yy ita repraesentari Vt x ad y sit primus, (siue in duo quadrata in¬ ter se prima discerpi), nullus numerus potest nisi cuius residuum quadraticum est — i, tales vero numeri, positiue 'accepti, omnes poterunt* Sit M talis numerus, omnesque valores expr. — i (mod, M) hi ; N, — N, N\ — N4, N"f — N'4 etc. Tum per art. 176 forma (jfe7, N, NN 4 X - — xormae ( r, o, 1 ) proprie aeqmualens erit. Sit transformatio aliqua propria huius in illam, a; = «x4 Hf- y = yx4 *-f fy4, eruntque repraesentationes numeri M per formam xx -f- yy ad N pertinentes hi quatuor *): x = *, y = ±z y; x = 4- y, y ±z «. *) Patet enim, hunc casum sub (2) art, igo contentum esse. — 217 *— Quum forma (r, o, i) sit anceps, patet, etiam formam (M, ~ N, ipsi proprie aequiualentem fore, illamque proprie in hanc transmutari positis x *x' — y ■== ~~ yxf + ¥• Hinc deriuantur quatuor repraesentatio¬ nes ipsius M ad — N pertinentes, a; =■ ±z y = qp y\ x = # = hF *♦ Manifestum itaque est, octo repraesentationes ipsius M da¬ ri, quarum s emissis altera ad N, alteua ad — N pertineat; sed hae omnes vnicdm tantummo¬ do discerptionem numeri M in duo quadrata exhibent, M =. '** 4* yy, siquidem ad qua¬ drata ipsa tantum, neque vero ad ordinem ra- dicumue signa spectamus. Quodsi itaque alii valores expr. — • r (mod, M) praeter N et — - N non dantur, quod e.g. euenit, quando Me st numerus primus, M vni- co tantum modo in duo quadrata inter se pri¬ ma resolui poterit. lam quum — i sit resi¬ duum quadraticum cuiusuis numeri primi for¬ mae 4« 4 i (art. 108), manifestoque numerus primus in duo quadrata inter se non prima dis¬ cerpi nequeat, habemus theorema: Quinis numerus primus formae !\n 4 I *» duo quadrata decomponi potest} et quidem vnico tantum mo-> io. ,i~o-}- i, 5 i 4- 4> i3 4 4 9> 17 = i 4 16, 29 m 4 4 26, 37 == 1 4 56, 4 r = 16 4 25, 53 =: 4 4 4g> 61 — 25 4 36, 70 rzz. 9 4 64, 89 — a5 + 64, 97 =- x6 + 81 etc, O 5 a i.8 Theorema hoc elegantissimum lam Ferma* tio notum fuit, sed ab ili. Eulero primo de¬ monstratum est, Comm ♦ non, Petr, T. V, ad an¬ nos 1754? 1755) p- 3 sqq. In T. IV , diss. ex¬ stat ad idem argumentum pertinens, p 3 sqq.t sed tum rem penitus nondum absoluerat, vid. imprimis art. 27. Si igitur numerus aliquis formae l\n -f 1 aut pluribus modis aut nullo modo in duo qua¬ drata resolui potest, certo non erit primus. Vice versa autem, si expr. y/~ — 1 (mod. lif) praeter N et — N alios adhuc valores ha¬ bet, aliae adhuc repraesentationes ipsius M da* buntur, ad hos pertinentes, fn hoc itaque casu M pluribus modis in duo quadrata resolui pot¬ erit e. g, 65 rzn 1 -f- 64 = 16 + 49» 221 = 25 -f- 196 — ’ 100 4- 1 2 1 . Repraesentationes reliquae, in quibus x, y valores qbtinent non primos inter se, per met¬ hodum nostram generalem facile inueniri pos¬ sunt* Obsefuamus tantummodo, si numerus aliquis factores formae 4« + 5 inuoluens, per nullam diuisionem per quadratum ab his libe¬ rari possit (quod fiet, si aliquis aut plures ta¬ lium factorum dimensionem imparem habet), hunc nullo modo in duo quadrata resolui posse *)• *) Si numerus M ~== <2? Sdub^ V' . » . ita vt a, b, c etc. sint numeri primi inaequales formae 4 n -4- 1» atque S productum ex omni- tus factoribus primis ipsius M formae 4» «— h 3 (ad quam formam 219 II. Per formam xx -f- 2 *yy nullus nume¬ rus, cuius non* residuum - — 2, ita repraesenta¬ ri potest vt x ad y sit primus, reliqui omnes poterunt. Sit — 2 residuum numeri M, at¬ que N valor aliquis expr« , — 2 (mod. M). Tum per art. 176 formae (1, o, 2), ( .M, N, proprie aequiualentes erunt. Transeat illa proprie in hanc ponendo x *x* + y rzz yx* -f- %y, eritque .r «, y y reprae¬ sentatio numeri M ad N pertinens. Praeter quam et hanc x ~ y zxz - — y aliae ad N non pertinebunt (art, 180). Simili modo, vt supra, perspicitur, reprae¬ sentationes x “ 6&f y y ad valorem — . N pertinere. Omnes vero hae quatuor repraesentationes vnicam tantum discerptio¬ nem ipsius M in quadratum et quadratum duplex exhibent, et si praeter N et — Ar alii valores expr.y^ — 2 (mod. M ) non dantur, aliae discerptiones non dabuntur. Hinc adju¬ mento proposs. art. 116 facile deducitur theo¬ rema : quinis numerus posifciuus reduci potest, faciendo tu, o quando M est impar, et S = I quando M nullos factores formae 4 n «q-, S implicat); M nullo w.odo in duo quadrata resolui poterit, si S esfc non-quadratus ; si vero S est quadratus, dabuntur i|(*H — r) (C 1) i(y*H-0 etc discerptiones ipsius M, quando aliquis numerorum st, £* y etc. est impar, aut +• i) (C-+0 (y-$— 1) etc. "h z' quando cmnes «, £, y etc. sunt pares (siquidem ad quadrata jpSa tantum respicitur). Qui in calculo combinationum aliquantum sunt versati, demonstrationem huius theorematis (cui, perinde vt aliis particularibus, immorari nobis non licet) ex theoria nostra generali haud difficulter eruere poterunt. Cf. art. 105. Quinis nwttems primus formae 8n 4- i vel Sm 4,3.*» quadratum et quadratum duplex decomponi potest et quidem vnico tantum modo . i zzz i + or 3 rz i + 2, ii = 9 | 2, 17 =r 9 + 8, 19 — 1 + s 8, 4i — 9 ■+* 32,. 43 r= 25 4- 18, 69 rzr 9 -f- 5o, 67 ~ 49 4. 18, 73 — x 4. 72* 83 = 81 4- 2; 89 =81+8, 97 = 25 4 72 etc. Etiam hoc theorema, vti plura similia. Formatio innotuit : sed ili. La Grange primus demonstrationem dedit, Suite desrecherches d' Arith« metique , Nouv . NI em, de 1' Ac. de Berlin 1775, p. 323 sqq. Multa ad idem argumentum perti¬ nentia iam ili. Euler absoluerat, Specimen de vsu obseruationum in mathesi pura Com m, nou . Petr . T VI p , 18 > sqq . Sed demonstratio completa theorematis semper ipsius industriam elusit, p* 220» Conf. etiam diss. in T. VIII (ad annos 1760, 1761), Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum y sub iin, III. Per methodum similem demonstratur, quemuis numerum cuius residuum quadr. sit — 3 repraesentari posse aut per formam ocx 4* 3 yy, aut per hanc QaOCOC ~h zxy 4- 2 yy, ita yt valor ipsius x ad valorem ipsius y sit primus* Qua¬ re quum — 3 sit residuum omnium numerorum primorum formae 4 1 (art. 119) manife- stoque per formam 72 etc. Demonstrationem Imius theorematis ili. Eu- ler primus tradidit in commentatione modo laudata, Comm . non. Pctr+ T . VJ //, f, io5 sqq. Simili modo vlterius progredi et e. g. osten¬ dere possemus, quemuis numerum primum for¬ mae 2.0» + 1, vel 20 n + 3, vel 20$ + 7, vel 20 n + 9 (quippe quorum residuum — 5) per alterutram formam xx 4- 5 yy, -ixx + 2,xy + re¬ praesentari posse, et quidem numeros primos for¬ mae 20 n + 1 et 20*2 + 9 per priorem, primos formae 20 n -f- 3, 20*2 -j- 7, per posteriorem, neo non dupla primorum formae 20*2+ x, 20 n + 9 per formam zxx + zxy +-3 ytf, dupla primorum formae 20 n + 3, 20*2+ 7, per forrnam xx-\-$yy : sed hanc propositionem infinitasque alias particulares quiuis proprio marte ex praecedentibus et infra tradendis deriuare poterit. — Transimus itaque ad formas determinantis positiui , et quum harum indoles prorsus alia sit, quando determinans est quadratus, alia, quando non- quadratus : formas determinantis quadrati hic primo excludimus posteaque seorsim considerabimus, l83. Problema. Proposita forma quacunque ia, h, a% cuius determinans positiuus mn« quadratus «= D: inuenire formam huic proprie aequiualentem 9 2224 B, C), in qua B sit positiuus et yf D ; A vero\ si est positiuus, vel — A, si A negatiuus , inter yf D et yf D — B situs . \ Sol. Supponimus in forma proposita vtram- ■ que conditionem nondum locum habere; alio- quin enim aliam formam quaerere opus non esset. Porro obseruamus, in forma determi¬ nantis non-quadrati terminum primum vel vlti- mum = o esse non posse (art. 17 1 ann.). Sit /?' — b (mod. a4) atque intra limites ■\f' D et yf V += a situs (accepto signo superiori, quan¬ do a4 positiuus, inferiori, quando est negatiuus) quod fieri posse simili ratione vt art* 3, facile demonstratur, ponatur que — — — — = a", qui CL erit integer, quia b4b4 — D = bb ~ JD^aa4 — o (mod. ^0* Iam si ai‘ < a'j ^at demio b44 es — b4 (mod* a44) et inter yf D elyr D a'4 si¬ tus (prout positiuus vel negatiuus) et b—^Z— = a Si hic iterum d444 J>\ a°)9 (*" b"> a'" ') etc. quaeuis praecedenti est contigua : vltima ( A, B, C) primae (a, h, a ') proprie aequiualens erit. II. Quia B inter yf D et y/ B rp A situs est (accipiendo semper signum superius quan¬ do A est positiuus, inferius quando A est negatiuus) : patet, si ponatur yf D ~~ B ~ p, B — - (yf D A) = q, lios p, q fore positiuos. Iam facile confirmatur, fore qq %pq r\- zpyf D Sr= D + AA BB ; quare D + A A — Ui? erit numerus positiuus, quem ponemus == r. Hinc propter D = BB — AC, fit r = A A — AC, adeoque A A — AC numerus positius: quia vero per hyp. A non est maior quam C , mani¬ festo illud aliter fieri nequit, quam si AC est negatiuus, adeoque signa ipsorum A , C opposi- tai Hinc BB = D + AC erit ac = bb— Df adeoque* propter b < Df negatiuus. - 225 — - a) Numerus c perinde vt d, positiue ac¬ ceptus, inter yf D + b et yf D b situs erit. Nani — r = ; quare, abstractione facta b *tet » a signo, c iacebit inter \f D *« b yf D inter yf D ■ — b et D -p i. e. 5) Hinc patet, etiam (c, b} a) fore formam feductam. 4) Tum a turU c erunt <* %yf D. Vterque enim est yf adeoqiie apOtiori <2^ D¥ 5) Numerus & situs erit inter yf D et yfD qr d (accepto signo superiori quando a positi- uus, inferiori quando est negatiuus). Quia e- nim tk « iacet inter yf D b et yf D — b, erit d — (yf D ~ b ), siue b — (yf D qr positiuus ; b — - yf D autem est negatiuus ; quamobrem b inter yf D et yfD 3= a erit situs, i — Prorsus eodem modo demonstratur, b inter yf D et yfD “+ c iacere (prout c pos. vel nOg.). 6) Cumis formae reductae (a, b, c) ab Vtraque contigua est reducia vna} et non piares* Fiat d* Sr* c3 b* ~ ■ b yf D et yfD+: a4 situs *), c4 forma (a', b c') formae (a, h9 c) ab Vltimst . d4) et iiiter b‘b< — D , • - entque *) Vb! signa ambigua sunt, superiora senaper valent quando mr esi positiuus, inferiora quando u* negatiuus. P 0 — - 2 2,6 — * parte contigua, simulque manifestam est, si vila forma reducta formae ( a , b, c) ab vltima- parte contigua detur, eam ab hac {a4 b4, c') di- uersam esse non posse* Hanc vero reuera es¬ se reductam, ita demonstramus. A) Si ponitur D 4" 6 += d4 s== p, rh a 4 — (x/rD — b) = q, sf D — & == r, hi p, q , r ex f 2) supra et defin, formae reductae erunt positiuL Porro ponatur b 4 — (y^ jD zp a') = y^ £> — === r' eruntque q4, r' positiui, quia b 4 iacet inter y/' D ety D a'. Denique sit b 4 b4 -=■ j±> ma' eritque m integer. Iam patet esse p -f q 4 = b bU adeoque £ d- b ' siue ±1 «a' positi- uum, et proin etiam m ; vnde sequitur m — 1 certe non esse negatiuum* Porro Fit v q4 zh m a4 =s , siue 2$' = r -p q 4 ±z (m ■ — i}#', vnde 2^>/ et b 4 necessario erunt po¬ sitiui. Et quoniam b4 + P = erit6'<; y^D. B) Porro fit r j* «ia' =£ y^D 4* siue ir -±.(m - tW =^D 4 quare \f D 4 6' 4^ erit positiuus. Hinc et quoniam r± a' — ( yf* — b4') 2= q4, adeoque positiuus, iaeebit inter /D -f ^ et ■yfB — b '♦ Quocirca (a', 6', r') erit forma reducta. Eodem modo demonstratur, si fiat rc -s ^ 4b s .. — 4 (mod. 'r) et inter yf D et D 4 'c situs, 'a =? formam 4bt 4c ) fore re- ‘c ductam. Manifesto autem forma haec formae (0, 6, r) a parte prima est contigua , aliaque I — ~ 227 reducta praeter 4b, hac proprietate prae¬ dita esse non poterit. Ex. Formae reductae (5, 11 14), cuius determinans == 191, a parte vi lima contigua reducta ( — 1/4 , 3, i5), a parte prima vero haec (— 22, 9, 5). 7) Si formae reductae (a, b, e) apartevltima contigua est reducta (V, h\ c4): reductae (r, u) contigua erit a prima parte forma (c'5 bU a/\ et si reductae (a, b, c) a prima parte contigua est fonna (fa, 4 b , 4c) ; reductae (r, b, d) reducta ('r, 'b, 'a) contigua erit ab vitima parte. Porro etiam formae ( — 'a, 4 b , — 'c), (— rq b , — r), ( — s', b4, — P) reductae erunt, et secunda primae, tertia secundae ab vitima parte conti¬ guae, siue prima secundae, secundaque tertiae a parte prima ; simiiiterque tres formae ( — c\ b 4 — a4), (•— r, b, a), (— - 'r, '6, — 'a). Haec tam obuia sunt vt explicatione non egeant* i85. Multitudo omnium formarum re¬ ductarum determinantis dati D semper est fi¬ nita, ipsae vero duplici modo inueniri pos¬ sunt. Designemus indefinite omnes formas re* ductas determinantis D per ( a} b , r) , ita vt omnes valores ipsorum a, , b , c determinare oporteat* Methodus prima . Accipiantur pro a omnes numeri (tum positi ue, turn negati u e) minores quam a/* ' 'morum, residuum quadraticum Dj et pro s’ngulis a, ponatur b aequalis omni- P a 228 bus valoribus positiuis expr. yf D (mod. a) inter ^ D et a iacentibus* c vero pro singulis valoribus determinatis ipsorum a, bj ponatur == bt> Si quae formae hoc mo* d' do oriuntur, in quibus ±h a extra \f D 4- b et sf D ~ h situs est, reiiciendae sunt. Methodus secunda . Accipiantur pro h omnes numeri positiui minores quam 1 ), pro singu¬ lis b resoluatur bb ■— D omnibus quibus fieri potest modis in binos factores qui neglecto signo inter D b ei yf D — b iaceant* ponaturque alter == ai alter === c. Manifestum est, singulas resolutiones in factores prae¬ bere binas formas, quia vterque factor tum. =■£ tum = c poni debet* Ex. Sit D =i 79 eruntque valores ipsiu^ Jviginti duo qp 1, 2,3, 5, 6, 7, 9, 10, i3, 10, i5* Vnde inueniuntur formae Vndeuiginti i (t, 8, — i5), (2* 7» ,(3> fi* ““ 3)» (0,7* — 1 o)j (5, 8, - 3), (5, 7, 6), (6, 7, — (6, 5, 9), (7» 4-* (7t 3, C9> 6)» (9» 4* ~ 7)> Oo> 7> — 3)» 0°> 3, — 7), (i5, 1, — 6), (14, 3, 5), (i5, 8, - 1), (i5, 7, - 2), (i5* 2, — 5), totidemque aliae quae fiunt ex his si terminorum exterorum signa commutantur, puta ( — 1, 8, 25), (— 2,7, i5) etc. itavt omnes triginta octo sint. Sed ex his reiiciendae sex (— *3, 1, +z 6)* (±_ 14, 3, r± 5), (p: i5, 2, ±.5); reliquae triginta duae omnes reductas amplectuntur. Per methoduni secundam eae- — S29 — * dem forma prodeunt sequenti ordine*): (=± j9 §, =? x°)^ te IO> 5, +? 7)? te 7* 4» V 9), te 9» 4, +-7). ( ± 6, 5, 4- 9), ( ± 9, 5, ^=h 6), (r± 2, 7, i5), te 5, 7, += io)9 C— \7» +v% (=± 6, 7, -+ 5), (=± 10, 7, ^3) (— 7> ^ *0* C™ b, "+ x5)| (jHh 3, 8, *+- 5), (V 5? 8, 3), (r± *5, 8, ;+ i). 186. Sit F forma reducta determinantis JP, ipsique ab yltimo parte contigua forma re¬ ducta F ' ; buic iterum ah vltima parte contigua reducta F", reducta F 144 ipsi F" contigua ab yltima parte etc. Tum patet, omnes formas jF'> F*',' F‘" etc. esse prorsus determinatas, et tum inter se tum formae F proprie aequiua- lentes. Quoniam vero multitudo omnium for¬ marum reductarum determinantis dati est fi¬ nita, manifestum est, omnes formas in progres¬ sione infinita F, F\ F4i etc. diuersas esse non posse. Ponamus jp» et J^n-n esse identicas, eruntque F™—1, Fm + *— t reductae, eidem for¬ mae reductae a parte prima contiguae, adeoque identicae; hinc eodem modo F™—* et jfTna — {^n — a etc* tandem que F et Fa identicae erunt. Qua¬ re in progressione F, F F" etc.s si modo sa« tis longe continuatur, necessario tandem forma prima F recurret; et si supponimus F* esse primam ideuticani cum F, siue omnes F4, F". . . Fn' 1 a forma F diuersas: facile perspicitur, omnes formas F, F \ F". , , . F*—' diuersas fore. •) Pro b = i, — 78 in duos factores qui neglecto, signo inter rb I et 79 “ I iaceapt,. j-esolui nequit; quare hic valor tst praetereundus, e* eadt naque ratione valores 2 et 6. P 3 / ^ s3o Complexum harum formarum vocabimus perio* dum formae F. Si igitur progressio vitra viti- xnam periodi formam producitur, eaedem for¬ mae F, F4, Fu etc. iterum prodibunt, progres¬ sioque lota infinita F? F\ F" etc. constituta erit ex hac periodo formae F infinities repetita. Progressio F , F', F" etc. etiam retro con¬ tinuari potest, praeponendo formae F redu¬ ctam ‘F, quae ipsi a parte prima est contigua j huic iterum reductam "F, quae ipsi a prima parte contigua etc. Hoc modo habebitur pro¬ gressio formarum vtrimque infinita "F, 'F, F , F', F ", F perspicieturque facile, JF identicam fore cum Fn~ *, "F cum Fn— 2 etc. adeoque progressio¬ nem etiam a laeua parte e periodo formae F, infinities repetita, esse constitutam* Si formis F, F', F ", etc. 'F, "F etc. tribuuntur indices o, i , 2 etc., — i, _ a etc. generaliterque formae Fm index mr for¬ mae mF index — mf patet, formas quascunque se¬ riei identicas fore vel dmersas , prout ipsarum indices congrui sint vel incongrui secundum modulum n. Ex. Periodus formae (3, 8, — 5) cuius determinans ==, 79, inuenitur haec : (3, 8 — 5) ( - 5, 7, 6), (6, 5, — 9), ( - 9, 4, 7); (7> 3> — 10), ( — 10, 7, 5). Post vltimam iterum prodit (3, 8, — 5). Hic itaque n = 6, 187. Ecce quasdam obseruationes gene¬ rales circa has periodos. I) Si formae F , F', F" etc.; 'F, "F, liiF etc. ita exhibetur: (as, b, *—«'), (— a'* ^V'0, (a"> buy — a444') etc.; ( — 'a, 4b, d), (" Fm •+*. «... F°— F, F'. . . . F*1*”1, in qua eaedem for¬ mae eodemque ordine occurrunt, vt in perio¬ do formae F, et quae ah hac tantummodo respectu initii et finis discrepat. - ■ % i ’ ' ■ 5) Hinc patet, omnes formas reductas eius¬ dem determinantis D, in periodos distribui posse. Accipiatur aliqua harum formarum, F, ad libi¬ tum inuestigeturque ipsius periodus, F, F', F<1 .... Fn~ *, quam designemus per F. Si haec omnes formas reductas determinantis Q nondum amplectitur, sit aliqua in ipsa non conten¬ ta G huiusque periodus Q. Tum patet P et Q nullam formam communem habere posse ; alio- ' quin enim etiam G in P contenta esse deberet periodique omnino coinciderent. Si P et ^ Omnes formas reductas nondum exhauriunt, a- liqua ex deficientibus, B> periodum tertiam, R, suppeditabit, quae neque cum P neque cum Q formam communem habebit* Hoc modo con¬ tinuare possumus, vsquedum omnes formae re» -5~ 5S33 “S*f / .. j ,, -■ - - ductae sint exhaustae* Ita *• g> omnes formae reductae determinantis 79 in se^ periodos jdis- tribuuntur : |. (1,7,— 15), (-i5,7, 2).(2,7,— 15),(— i5,8, 0, II, (-1,8, i5), (i 5, 7,-2), (—2, 7, x5),(i5,8,— i), III, (3, 8, - 5), (- 5, 7, 6), (6, 5, - g), (- g, 4, 7% (.7, 3» — ioI, (— io, 7, 3). |V, (- 3, 8, 5), ( 5, 7, -6), ( - 6, 5, g), (9, 4, - 7> (— 7, 3* (- »0. 7, - 3>. V. (5, 8, _ 3), (- 3, 7, io), (io, 3, — 7), (— 7, 4, 9), (9, 5, — 6), (— 6, 7, 5), VI. (— 5, 8, 3), (3, 7, — io), (— 10, 3, 7), (7, 4» — 9), (— g, 5, 6), (6, 7, — 5). 6) Vocemus formas sodas, quae ex iisdem terminis constant, sed. ordine inuerso positis, vt C a> br — $')» (— by a ). Tum facile per¬ spicitur ex art. 184, 7, si periodus formae re¬ ductae F sit F , F', JP". ... F20-"1, formae F so¬ cia / formisque F^— *, F2*—®. . . . F", F' resp. sopiae sint formae /', /". . , . /a~2, : perio¬ dum formae / fore /, /', 2, ad- eoque ex totidem formis constare, vt perio¬ dum formae F* Periodos formarum sociarum vocabimus periodos socias. Ita in exemplo nostra sociae sunt periodi Ilf et VI 5 IV et V*. 7) Sed Heri etiam potest, vt form^/ ipsa in periodo sociae suae F occurrat, vti in ex. nostro in periodo I et II, adeoque periodus P 5 ' formae F cum periodo formae / conueniat, si¬ ue V t periodus formae F sibi ipsi sit socia Quoties hoc euenit, in hac periodo duae formae an- cipites inuenientur Ponamus enim periodum formae F constare e 2?« formis siue F et F2a esse identicas; porro sit 2m-}-i index formae / in periodo formae F*), siue F2m *+ t et F so- ciae. Tum patet etiam F ' et ' F2m fore socias nec non F‘* et F% ra~ 1 etc., adeoque etiam Fm et F™**1. Sit Fm = (am, bm, — a«-n), jF®-+i =** ( — ammirI9 bm+m,r9 Tum erit bm -f- 6m+I == o, (mod. ex defin* formarum sociarum vero erit bm == bm atque hinc 2 bm-*—i = o (mod. om+-i) ? siue formae Tm— t-1 anceps. — Eo¬ dem modo F*m et FGn erunt sociae; hinc j^2m+2 et 1 ; F2m** s et F2*—* etc. tandem- que Tra-+n et Fm +n* 1 , quarum posterior erit anceps, vti per simile ratiocinium facile pro¬ batur. Quia vero m - j- r et m T n -f 1 secun¬ dum mod. 2w sunt incongrui, iormae E111-*1 et Fm identicae non erunt (art. 186, vbi *sidem denotat, quod hic 2 ri). Ita in I sunt formae ancipites (1, 8, — iS), (2, 7, — i5), in II va¬ ro (—1, 8, ?5), (— 2, 7, i5). 8) Vice versa, quaeuis periodus, in qua forma anceps, occurrit , sibi ipsi socia est . Facile enim perspicitur, si Fm sit forma reducta anceps : formam ipsi sociam , ( quae etiam est re¬ ducta), simul ipsi a parte prima contiguam esse, i. e. Fm~J et Fm socias. Tum vero to- \ >■■■> ■ ’■ v' ■ ' *• ■' ' ’ 7 . ’ . - ’• , ;; { y • ' ' 1 «) Index hic necessario erit impar, quia manifesto termini prinji for» Ciarum F, f signa opposita habent (yid, supra, 2). ta periodos sibi ipsi socia erit. — Iiinc pa- i tet, jieri non posse , vi vnica tantum forma anceps in periodo aliqua contenta sit . g) Sed etiain plures< quam duae in eadem peri¬ odo esse nequeunt ♦ Ponamus enim in periodo formae F, ex an formis constante, tres formas ancipites dari F*, F\ ad indices a, /u, v re¬ specti li e pertinentes, ita vt v, » sint numeri inaequales inter limites o et an < — i (incl.) siti. Tum formae FA~J et Fx erunt sociae; similiterque F*—' 2 et F**1 etc. tandemque F et F2*~ i. Ex eadem ratione F et F2»—*- sociae erunt, nec non F et F®—1', quare F2^— i, jT2»— i identicae, indicesque a a • — r, 2^ — ’ i, 2? - — 1 secundum modulum an congrui erunt, et proin etiam * = y. = » (mod. nj. Q, E. A . quia manifesto inter limites o et an — 1 tres numeri diuersi secundum modulum n congrui jacere nequeunt. 188. Quum omnes formae ex eadem pe¬ riodo proprie sint aequiuaiente§ : quaestio ori¬ tur, annon etiam formae e periodis diuersis proprie aequiualentes esse possint. Sed ante^ quam ostendamus, hoc esse impossibile , quaedam de transformatione formarum reductarum sunt exponenda. Quoniam in sequentibus de formarum transfotmationibus persaepe agendum erit; vt prolixitatem quantum fieri potest euitemus, se¬ quenti scribendi compendio abhinc semper vtemur» Si forma aliqua LXX + aMXf -p t ' i' i ) i yf> / M ' - ' V ,j. ' — * s56 «— s ,) v ' ; ; " NTT pe?* substitutionem X s= *x -f T =se y% + ty in formam Ixx ^ zmxy + nyy trans¬ formatur ; simpliciter dicemus, (£, Mr N ) trans¬ formari in (/, m, n) per substitutionem *, £, v, Hoc mo,do opus non erit, indeterminatas for¬ marum singularum, de quibus agitur, per signa propria denotare. — Palam vero' est* indeter¬ minatam primam a secunda in quauis forma pro¬ be distingui debere. Proposita sit forma reducta (a, b, r- a'). . * f, determinantis V. Formetur simili modo vt in art. 186 progressio forinarum reductarum vtrimque infinita, .... "/, '/, et quidem sit jf' '==* a', b', af%1 f' (a*\ b'\ ““ Gt444- ) e^c, \ 4f == ( — - /af a), 44 f == (7/<| 44bt 'a) etc. Ponatur ■ it’ iit 4, 1,111 *— a“‘ — a* U‘“ etc. ; 11? ==. h\ '-11? = % A',l±l'=, h“, aU * b +"k{ 9 ?4'k etc. Tum patet, si (vt in art. 177) numeri «*'# «''j *"< etc. £', f"< etc. etc. formentur Secundum, algorithmum sequentem «' =0 ' == I t*'1 == a yn — - $4 «"'= C" _ £' y "== ===£"* C.iv =/jIV — &' fto- x. ' ' i ’u F =4' ==h"y- / transformatum iri per substitutionem C', ^ tn /' /" tt OC j y/ f'», v'", 5'" etc, omngsque has transformationes fore proprias. Quam '/ transeat in / per substitutionem propriam o# h (art. 161): /trarisibit in '/ per subst. propr. /2, 1, — 1, o. Ex simili ra¬ tione '/transibit irt '= "/t IV a==///^//2a _ III,* iv£ — lUg isyz—IUfoUly— Uy feta IV2 —My transformatum iri in '/ "f wf per substitutionem •a* *■> y> 'S "C, "y, "'C/"yt '*'& etCi femnesqiife ha$ transformationes forfe proprias. Si ponitur « =-£ i*. £ =? o, > o, ^ 1 s 4 a 4 * ' 7 , hi numeri eandem relationem habebunt ad for¬ mam /* quam habent 3/, ^ ad f' ; *" ad /" etc.; 'C; ‘t ad >/ etc. Seili- pet per Substitutionem £, ^ forma / trans¬ ibit in /. Tuiti vero progressiones infinitae ie", etc.* '«f* **** etc.* per intercalationem termini *f concinne i ungentur ita, vt vnam Con¬ tinuam vtrimque infinitam constituere concipi possint secundum eandem legem vbique pro- / gredientem «, »m ,t, Lext progressionis haec est : 4- '* = "/j"ay "* t Hh <& “ 'h'*) *<*> "{“* *•* es 4* «S#/ = /f'#', et' *-|- * 6 10/ — h ,i*“ etc», siue generaliter (si indicem t negatiuuma dextra scriptum idem designare sup- • ponimus, vt positiuum a laeua) «to~i -f- a«»+“i=r= Simili modo progressio . ♦ . £, £' „ , continua erit, cuius lex £m—* 4- = ; et proprie cum praecedente identica, omnibus » terminis yno loco promotis, C" = '£ =?«, £ t= «' etc, Lex progressionis continuae ... >'? >" ..... erit haec >m~x -f- == : h™ymj et lex huius... .♦ erit ^n— * 4- ^tn+« i s= km "+i$m insuper que generaliter ; >m+r. Sit forma proposita / haec (3, 8, — 5) quae transformabitur in formam I per substitutionem vnj (“ io3 7? 3) 1 8o5, — - i5e r+l40, + 27 Vl/ (3, 8, — 5) 1— i5a3 4 45 > +27,— S ;v (- 5, 7> 6) + 45, + 17 ■ - 3, - 5 ,v/ C6» 5, *— 9) i7» — 1 ~~ “ 4* 2 Hf c~ 9» 4, 7) — ii. — 6, 4 2, 4 1 "/ (7» 3, ■ 10) — 6, + 5, '+■ 1, — 1 '/ c— 10, 7» 3) 4 5, “h l» — 1, 0 / (3, 8, — 5) *> 0, 0, 4* 1 f (-- 5, 7» 6) 1» 4- 1, *— 3 f“ (6, 5, 9)1 1» — 2, — 3, - 7 (- 9» 4, 7) 2, 4* 3, 7> 4 10 f"' (7» 3,- — i o) 4* 3, 5, b iOj 4-* *7 /V . c- IO, 7» 3 5, — 8,- 17» — 27 /VI , f 3 8 - V ■ 5)| — 8, — 45, - 27» - 1 5a /vnj C- 5, 7» 6>1 — 45, 4 i43,~ ~ 1 5.2 , 4“ 480 etc* «*«*• 20Q •****- i8g. Circa liunc algorithmum. sequentia sunt annotanda. 1) Omnes af a' a" etc., 4at 41 a etc. eadem signa habebunt; omnes b} b\ bu etc. Jb, i4b etc. erunt positiui*, in progressioni . . /fh, lk> h, h', h" ... signa alternabunt* scilicet si omnes a , a 4 etc, sunt positiui, km vel wk erit positiuus quando m est par, negatiuus quando m impar; si vero a<» a4 etc. sunt negatiui, km vel mk pro m pari erit negatiuus, pro impari positiuus* 2) 81 a est positiuus adeoque k! negatiuus, A" positiuus etc., erit ■= — i neg.» *,t4 =a h44*" neg. et > (vel = si h4 4 ^ i ) ; = h444*4** — 44 pes. et £> *44* (quia h4/4a444 pos,, a44 neg ) ; =- fov *jv — pos. et > «IV (quia &!V *IV pOS;) etc. Hinc facile concluditur, pro¬ gressionem *4,i etc. in infinitum cresce¬ re duo que signa posiriua semper duo negati- ua e>:cipere ita vt <*m habeat signum -f, — prout *»■= o, i, 2, 3 (mod. 4). — Si a est negatiuus, per simile ratiocinium inuenitur a44 neg., *4-N pos. etvel>vel==: alv pos. > *v neg. > «1V etc*, ita vt progressio etc. continuo crescat, signumque termi¬ ni «m sit -J-, — j — , -{^ prout m ^ o, i, uf 5 (mod. 4) 3.) Hoc modo inuenitur, omnes quatuOr progressiones infinitas «4 «w/ etc* y, y% y" etc.; a4, a, * ~ -~ i ipsius 8m > + 4“ — ih; ipsius m*,+ rt — *+> ipsius + ift — ; ipsius my9 tp — i±± 4- ; ipsius 4- t+T — : h— « valentibus superioribus quando a est pbsitiuus, inferioribus quando a hega- tiuus. Teneatur imprimis haec proprie¬ tas : Designante m indicem quemcunque posi- tiuum, «m et ym habebunt eadem signa quando u positiuqs, opposita quando A negatiuus, simili- terque Cm et $m contra ; m* et mv , vel **£ et™^ habebunt eadem signa quando . negatiuus, bps- posita quando a positiuus. 4) In signis art. 3 a, magnitudo ipsorum «** fete, cohcinne ita exhiberi potest, ponendo $r' /i' == k', tt h" s=s 4T /P" == fc'" fete, rh /i == ft* === Hh "h 3= etc. ita Vt omnes k" etc. k, 'k etc. sint numeri po- sitiui : «m = 4- [£'*, jfe"', £rv . . . ^m~IJ ; £m === -P [i*f Jfe'" k'Vi..k* ] ; ym r - 3= \ku k", k‘>K. . i * \ == ^ U', i . .&m ] ; “« == ip [&> "A. . . . ; ra£ == 4± [L 'L "L * • • ] > = it. ['£, '4 . . . m— = j±i [ "L . . «. to— 2^]; vero ad praecepta modo tradita determinari debent. Secundum has formulas, quarum demonstrationem propter facilitatem Omittimus, calculus semper expeditissime ab- solui poterit. i 90. Lemma* Designantibus m, ju, m(, nt % hf Humeros integros quoscunque , ita tamen vt trium po» steriorum nullus sit =0 :dico} si~ iaceat inter limites m, » jp et ~r ex clusiu e , atque sit mn' — nm' = p de» nominatorem * fore maiorem quam n et n*i v. s*4t Dem ♦ Manifesto iacebit inter mn* et: adeoqne ab vtroque limite minus differet quam limes alter ab altero, i. e« erit mn* mm i unn' — - *mn' et |> •— >»m', siue » > n‘ (fin — >*») et > n (nn*-r~ m'), Iiinc se¬ quitur, quoniam m certe non oe o (ali- oquin enim foret ^-contra hyp.), neque pn* -—m* — o (ex simili ratione), sed vterque ad minimum t= i, fore $ > #/ et >• n * Q. D. Perspicuum itaque est, •» non posse esse * • e t i» e* si fuerit — - ^m/ == ±l i, inter fractiones — > “ nullum numerum integrum iacere posse. Quare etiam cifra inter ipsas ia- cere nequit, n e. fractiones istae signa oppo¬ sita habere nequeunt. igl* Theorema, Si forma reducta (a, b, ~ a') determinantis D per substitutionem «, Cf $ transit in reductam ( A , 15, — A') eiusdem determinantis X ia - e — — - inter — cf- # y d nequg cebit , primo, > ^ o, h e . ii vterque limes est finitusf ac¬ cepto signo superiorij quando neuter horum limitum ha¬ bet signum signo ipsius a oppositum (siue clarius , quando aut vterque idem habet , alter idem , alter est == o)^ inferiori quando neuter habet idem vt a ; secundo tor JL - (siquidem m * <*< « £ v J « neque € o), superiori accepto quando limes neuter signum signo ipsius a' (vel a') oppositum i habet, inferiori quando neuter habet idem vf *) Manifestum est, alios casus iocum habere non posse, quum ex art. praec. propter — Cy ~ dz i, limites biui neque signa op* posita habere, neque simul =, o esse possint, ' T)sm« Habentur aequationes + %bay ~— &*yy — A* ... [i]; -f- 2&Q — . == «■« , , [2]. Ynde deducitur y~ a =t STU> + £) _ ’ i”” P] e_ > « c a * **««•••♦ [4] \f (D aA!‘ a‘ ) + b && OS» ft" *% - - w.w*«j - aat^-r*»* ♦•♦•♦*♦ (Oj 4 /(D + ^;) + b a1 : .. J ... . [6]. Aequatio 3, 4, 5, 6 reiicienda erit, si 7, *, *, € resp. =0. — Sed dubium hic manet, quae signa quantitatibus radicalibus tribui debeant; hoc sequenti modo decidemus. Statim patet in [3] et [4] necessario signa C superiora accipi debere* quando neque -neque —= signum habeat signo ipsius a oppositum ; quo¬ niam accepto signo inferiori —> et y fierent quantitates negatiuae. Quia vero A et A 4 signa eadem habent, D cadet inter yf* ( D + et yf(D *— “) adeoque in hocce casu^^.& a 43 inter-- et y Quare pars prima theorematis pro casu priori est demonstrata. Eodem modo perspicitur, in [5] et [6] ne¬ cessario signa inferiora accipi debere, quando neque y neque y signum idem habeant vt a' siue a9 quia accepto superiori neces-* sario fierent quantitates positiuae. Vnde proti^ nus sequitur - pro hocce casu iacere inter y et y. Demonstrata est itaque etiam pars secunda theorematis pro casu posteriori. Quod- si aeque facile ostendi posset, in [3] et [4] signa inferiora accipi debere, quando neutra quantitatum , y signum idem habeat vt a} et in [5] et [6] superiora,quando neque —neque-y signum oppositum habeat: hinc simili modo se¬ queretur* pro illo casu iacere inter —et T, pro hoc — — — inter q et siUQ pars prima theorematis etiam pro casu posteriori, et secunda pro casu priori demonstratae forant. Sed quum illud difficile quidem non sit, atta* men sine quibusdam ambagibus fieri nequeat methodum sequentem praeferimus. . - " |-* Quan- ^44 do itaque neutra harum quantitatum signum idem habet vt a' siue a, adeoque Z1^£±L& inter a' & - — *:*«*—-. 66 " signum et ^ cadit: neutra quantitatum — idem vt a habebit , cadetque a' — sfD^b e intern et v ^ O, ~~ V'D b (propter act1 = D — a Quare pro eo casu vbi neque <* neque £ pars prima theor. etiam pro casu secundo est demonstrata (nam conditio vt neque y neque ^ = o, iam in theor. ipso est adiecta). Simili modo, quando nullus numerorum G, y9 $ = o, et neque ~ neque — signum signo ipsius a vel a* oppositum habet, adeoque £nJ inter ^-et -v- iacet: etiam — et -c- signum oppositum y ® signo ipsius a' non habebit, cadetque^-^-^ = Y'D^-b inter — et In eo igitur casu vbi neque y neque $ = o pars secunda theor* etiam pro casu secundo est demonstrata. !Niliil itaque superesset quam vt demon¬ stretur, partem primam theor. etiam pro casu secundo locumhabere si alteruter numerorum G sit = o, et partem secundam pro casu pri¬ mo si aut y aut ^ = o; At omnes hi casus sunt impossibiles . Supponamus enim, pro parta prima theor., esse neque y neque $ et G non habere signum idem vt a atque esse i ) * e= o. Tum ex aequ. «J* — Gy = i fit G l r± i, ^ = _±. i. Hinc ex [1] A = — quare ^ et a', adeoque etiam « et signa opposi¬ ta habent, vnde fit \f(J) a^~) > yfD > Hinc patet in [4] necessario signum inferius accipi debere, quia accepto superiori ma¬ nifesto signum idem obtineret vt a ♦ Fit itaque f- > — V~“ > 1 (propter a < jD 4- b ex def. formae reductae), Q. E. A . quum e — =fc 1 , et ^ non =0. — 2). Sit £ ~ o. Tum ex aequ. ^ ± 1 iit « = i i, £ = ±l. i. Hinc ex [2] — -A' = — a\ quare a et a et A signa eadem habebunt, vnde fity^D -f* J> y rD^>b, Hinc patet in [3] signum inferius accipi debere, quia accepto superiori ~ signum idem obtineret vt a. Fit itaque ~ t> — Y1D J |> 1 Q. E* A. eadem ratione vt a ante. — Pro parte secunda si supponimus ne- que *, neque £ >= o ; non habere signum signo ipsius af oppositum atque 1) y s=s o: ex aequ. — Gy = hh x fit <* = -h 1, ^ 1. Hinc ex [1 } A == a, quare a* et A ' signa eadem habebunt, vnde fit y^C D + S> b> Quocirca in [6] signum superius erit ac¬ cipiendum, quia accepto inferiori, —■ obtineret signum oppositum signo ipsius a\ Fit igitur £ k. *TD+b ^ 1, CjJ* E . ^,^quia £ = ±z 1 et Q 3 7) $a 246 C non s= *l — - £y o. Tandem 2) si esset 5 = 0, ex fit G =: ±1 ad- eoque ex [e] — = a* Hinc */* (D — - — } #* ^ > yf D > by quare in [5] signum superius ac¬ cipiendum. Hinc — > > 1, Q.E.J, — Quare theorema in omni sua extensione est demonstratum* Quum differentia inter — , > ** yf D ~~ b et _e i sit differentia inter zh \T d e& y et — vel yh \ inter 7 erii < ■& autem et vel inter il« C lam quantitatem et -j nulla fractio iacere pot-' erit, cuius denominator non sit maior quam y aut ^ ( lemma praec*). — Eodem modo diffe¬ rentia quam itatis -—jCEjtl a fractione vel a t* hac J. erit minor quam -i», et inter illam quan- titatem et neutram haram fractionum iacere potest fractio cuius denominator non sit inaior quam * et C. 192* Ex applicatione thepr. praea ad Igorithmum art* 188 sequitur, quantitatem — £dH.i quam per L designabimus, iacere inter ..it* mter 77/ et JiT* etc. J C' . £" y et jT i mter ,/7 et fr'> y. (facile enim ex art. 189, 5 fin. deducitur, nul¬ lum horum limitum habere signum oppositum 247 “ signo ipsius a; quare quantitati radicali yfD signum positiuum tribui debet) siue inter etc. Omnes itaque 8 /t „/// ete ct ’ .ea* ct ~ et y,; tnter ^ et — a*1' fractiones ~~9 etc. ipsi L ab eadem par-: te iacebunt, omnesque ~n ^ ~ etc* a par-; te altera. Quoniam vero y < y4ii, y- iacebit */" . , an extra -77, et L , similique ratione ~ extra L et extra L et — etc* Vnde manifestum «1V Y * yV est, has quantitates iacere sequenti ordine: e* et4"* «v r «VI «IV dU ~.cc y j “77 j ~v***-^*®* ■ y — ■ > ts Differentia y i Y" * yv yX' yiV ' yU autem inter — et L erit minor quam differen- tia inter iL et ~ i. e. < -1^ , similique ra- y y yy tione differentia inter -- et L erit <1 yJy?» ui' etc. Quamobrem fractiones — , — / continuo proprius ad limitem L accedunt, et quoniam /, y", y444 continuo in infinitum crescunt, differentia fractionum a limite qua- nis quantitate data minor fieri potest. » y *y * Ex art. 189 nulla quantitatum 7— > -t etc. signum idem habebit vt a ; hinc per rati* cinia praecedentibus omnino similia sequitu Q ‘i illas et hanc quam per Z designabi- • • i » y °y mus, lacere sequenti ordine; — , — , A 4 <* m IVtC, '• * « t O V« , My Z' . J5?, -X Differentia autem inter— et Z' minor erit quam '-7— differentia inter OLCCi }y 1 77 et Z minor quam — — etc. Quare fractio- nes — , 77 etc. continuo proprius ad Z' acce¬ dent, et differentia quauis quantitate data minor fieri poterit. In ex. art, 188. fit Z == )Cl2^?. tss 0,2 et fractiones appropinquantes §> I, f, x3s* £?> x~5zi Jlf etc* Est autem Jf-3 == 0,2960662. — Ibidem fit V ==s t=s — * 0,1776688. fractionesque approximantes f , — O O X n “T -r A t - - 3_ T7 8 33» o,! 776397. ' ar i5a ISJ etc. Est vero f£f 196, Theorema* Si formae reductae f, F proprie aequiualentes sunt ; i» alterius periodo contenta erit ♦ Sit f ■= (a — f?1'), F B, ^y)? determinans harum formarum D, transeatque illa in hanc per substitutionem propriam St, g5, SD. Tum dico, si periodus formae / quae¬ ratur progressioque vtrimque infinita forma¬ rum reductarum atque transformationum for- — 249 — xnae/ in ipsas eruatur, eodem modo vt art* i88 ; vel 4- SI fore aequalem termino alicui progressio¬ nis... S *, *"♦«., hocque posito c= a™, -f 33 fore = , '+ € = , •+ © = ; ■— SI fore aequalem termino alicui , et — 18, — - <5, — SD resp. == £m , y* , £ra (vbi m et¬ iam indicem negatiuum designare potest). In ytroque casu F manifesto identica erit cum /». Dem. I. Habentur quatuor aequationes, <*OT + 2^31(5 — s== 4 . . . [ i ] , ^3193 4- #(§ID 4* 33€) &'(5D = B* ,. [2], a9533 4- zbftQ — a'D2> — — 4'«*. [3]; 3TD — 93(5= 1.... [4]. Consideramus autem primo casum, vbi ali¬ quis numerorum 31, 93, % ® =■ o. i° Si 31 = o, fit ex_[41 95<5 = — 1, ad¬ eo que 33 = + 1, I == 1. Hinc ex [1], — - a* == A ; ex [2], — b *i'D = .5 siue B ~~ — b (mod. a 4 vel A)\ vnde sequitur formam (A, B , '4') formae (a, b, — a') ab vltima parte contiguam esse. Quoniam vero illa est reducta, necessario cum f identica erit. Ergo B — b\ adeoque ex [2] 6 + b‘~ — *'©&== rL hinc propter ■ ~ 5= fit £3 = qr 4'. Ynde colli- — gitur, 31, 35, (E, hP ID esse resp. == o, — 1, «fi x, h* siue ea &, y9 20 Si «8 = o, fit ex [4] 31 == ±z i, O == ± 1; ex [3] a' =? 4'; ex [2] 6 =F a'<5 == B , si¬ ue & = i? (mod. a). Quoniam vero tum / tum F sunt formae reductae ; tum b tum B ia- Q 5 I— SOO cebunt inter yf D et yf' D ±r a' (prout a' pos. vel neg., art. iB5, 5). Quare erit necessario h = jjs et € o. Hinc formae /, X sunt i den¬ ti ca e atque rt 21» ~ 33, r± 3D = i, o, o, i = *, €, ^ * (resp.). 5° Si € = o, fit ex [4] 21 = +: i, JD = ± i ; ex [m] a = J; ex [2] j± -j- b t= B siue b = i? (mod. a). Quia vero tum & tum B i acent inter yf D et yf D^+ai erit necessario B £= 6 et 25 = o. Quare casus hic a praece¬ dente non differt. 4° Si iD = o, fit ex [4] 35 = =± 1, <5 = hP 1 ; ex [3] a = — ^ ; ex [2] rt a2l — 6 = B sine B EB — b (mod. a ). Hinc forma F for- inae / a parte prima contigua erit, et proin cum forma '/ identica. Quare propter 'tif a *= h, et B ~ 'b, erifc :± 21 = Vnde colli¬ gitur ±1 % Bz 23, Hh (5, ±1 SO resp. esse = h9 1, — i, o, = 'c, Supereat itaque casus vbi nullus numero¬ rum 21, jiB» €, 3D = o. Hic per Lemma art*. 190 quantitates idem signum habebunt, oriunturque inde duo casus , quum signum hoc vel cum signo Ipsorum a , a* con- uenire vel ipsi oppositum es se possit. II. Si iL» idem signum habent vt ai a © quantitas (quam designabimus per X) inter lias fractiones sita erit (art. 19 1). De¬ monstrabimus iam, JL aequalem fore alicui fractionum -77, — etc., atque ~ proxime 5£ sequenti, scilicet si — fuerit /HI 30 © fore am °-§~ I tes ym"+I J at" 777 y/* > y"* In art* praec. ostendimus, quantita- etc., (quas breuitatis gratia per (1), {2), (5) etc. denotabimus) atque X, hunc ordinem (I); obseruare (1)* (3), (5)..* X... (6), (4)? ( 2 )i prima harrnn quantitatum est — o (propter »' == o), reliquae omnes idem signum habent vt X siue a, Quoniam vero per hyp. Si 6 (pr0 quibus scribemus Wl, 3t) idem signum habent: patet has quantitates ipsi (1) a dextra iacere (aut si manis ab eadem parte a qua X), et quidem, quum L iaceat inter ipsas, alteram ipsi X a dextra, alteram a laeua. Fa¬ cile vero ostendi potest, ipsi (2) a dextra iacere non posse alio quin enim sjj ia ceret in» ter (1) et X, vnde sequeretur primo (2) iacere inter 9$ et adeoque denominatorem fracti¬ onis (2) maiorem esse den.omina.tore fractionis (art. 190), secundo f iacere inter (1) et (2), adeoque denorn. fractionis esse ma¬ iorem quam denom. fractionis (2), Q. X» A. Supponamus nulli fractionum (2), (3), (4) etc. aequalem esse, vt, quid inde sequatur, videamus. Tum manifestum est, si fractio m ips L a laeua iaceat, necessario eam sitam esse &ut inter (i) et (3), aut inter (3) et (5), aut in¬ ter (5) et (7) etc. (quoniarni L est irrationalis, adeoque ipsi certo inaequalis, fractionesque (1), (3), (5) etc. quauis quantitate data, ipsi L inaequali, propius ad L accedere possunt). Si vero 3)i ipsi L a dextra iacet ; necessario iacebit aut inter (2) et (4), aut inter (4) et (6) aut inter (6) et (8) etc. Ponamus itaque ia- cere inter (m) et ( m 4- 2), patetque quantita¬ tes 19?, (m), (m + 1 ) , (m q- 2) , L i a cere se¬ quenti ordine, (II) *) : (m), ( ), (m + 2) , L , (m -f 1). Tum erit necessario 91 = (mf 1). Iacebit enim 9c ipsi L a dextra ; si vero etiam ipsi (m-j-i)a dextra iaceret, (m 4- 1) iaceret inter Wtet 9t, vnde ym*~ 1 > (£, 9)1 verp inter (m) et (m -h 1) vnde (S > (art. 190), Q* E. A.\ si vero 9? ipsi (m + 1 ) a laeua iaceret, siue in¬ ter (m + 2) et (m + 1 ), foret £> > , et quia (m 2) inter 1 et % foret > £), Q. £. Erit itaque 9t = ( m -p x ) , siue Sg _ ** Id ym+-x Quia 2i£> — 93 =5 — pa , Iam ♦) Nihil hic refert, siue ordo in (ll) idem sit vt in (I), siue huic op¬ positus, i, #, siue (m) etiam in (l) ipsi L a laeua iaceat siue a deattra. ( — 2G 3 — quum forma / per substitutionem propriam «ra , £m , ym » in formam /m transmutetur, quae est (-h am , , zp am+~I) : habebuntur ae¬ quationes 2.h*mym - =- Ura . . ... [5]; 4- + Cmyn ) — afyn^m = [6j; — ^rr = ^«ni+I *.♦•[?]; — &»>»> = *. . . [8]. Hinc fit : (ex aequ. 7 et 3), ^ Porro multiplicando aequationem [2] per «m^n — £myrn, aequationem [6] per 21© — 33S et subtra- ' hendo facile per euolutionem confirmatur esse B — bm = «,*- 2l>m ) 0r$£m + 6(©£m -{-23 /0 — a' ©r ) 4- (25^ — ©Cm ) (a2I*m + 6 ( ^ra + 21>m ) — ). . • [9] siue quoniam vel £«* = S5? 5m — © vel £m — ~ 25, = — 5D), B — bm = rt (m ) (^2325 -f- 2625© 0'©©) = zp (€*m — 2l>m ) /i'. Hinc B ^ bm ( mod. A*) ; quia vero tum i? tum bm , inter ^.D et zp iacent, necessario erit B = 6ra ad- . SI «m eo que <£*“ — • 2l>m = o, siue — = — , 2. 2)? = (w) Hoc modo itaque ex suppositione, 501 nulli quantitatum (2), (3), (4) etc. aequalem esse, deduximus, eam reuera alicui aequalem esse* Quodsi vero ab initio supponimus, esse ffi = (m), manifesto erit vel 21 = *m , <£ = >m > vel — 21 = , — (E = . In vtro- que casu fit ex [1] et [5] A =? rh am , et ex [9] ^ — 6ra = Hh (23 ^ra — ©C“ ) A, siue B ==? bm (mod. A). Hinc simili modo vt supra con¬ cluditur B ^ bm 9 et hinc 25^m = ; quare «*** *** quum $8 ad = , et pro i u ex [7] — A* = rp am-+*. Quamobrem formae F> /m idemicae erunt. Adi umento aequationis — -\S3(S-e=s ®m^m • — * C® ym autem pullo negotio probatur, poni de¬ bere +" 85 = *■ Hb £> = , quando + 9X = *m , € = ym ; contra — 58 = 6» , — © =3 — ®ra s quando — = <**» , — ($ =s * Q. E* D . III. Si signum quantitatum ?L signo ipsius ^ oppositum : demonstratio praecedenti tam si- ‘ milis est, vt praecipua tantum momenta addi- gitauisse sufficiat. Iacebit ZlS'..0 inter Fractio iO gj- alicui fractionum 'T > i‘Q ///£ ^t> etc. aequalis erit..,. (I), qua posita = erit = — . (II), Demonstratur au- tem (I) ita: Si ^ nulli illarum fractionum aequalis esse supponitur: inter duas tales et lacere debebit. Hinc vero eodem modo vt supra deducitur,- neces- # S ttiHhiJ1 m y sano esse -j- *= —Q « atque vel SI ** mei , & s= , vel — - $ == “* , — € — Quoniam vero / per substitutionem propriam m» ) ra^ my> in formam “/ '= (*-q na, mbt h- m— ia) transit: hinc emergunt tres aequa- 255 tiones, ex quibus commictis cum aeqo. i, 2, 3, 4 atque hac, — » m%my = 1 deducitor eo¬ dem modo vt supra, terminum primum A} for¬ mae F, termino primo formae m/ aequalem esse, illiusque terminum medium medio Huius congruum secundum modulum A, vnde sequi¬ tur, quia ytraque forma est reducta , adeoque vtriusque terminus medius inter vrD et I) J± A situs, hos terminos medios aequales esse : . v _ © hmc vero deducitur ^ s= — f Feritas itaque assertionis (I) deriuata hic est ex suppositione illam esse falsam. Supponendo autem prorsus si¬ mili modo et per easdem aequationes demon, stratur, esse etiam quod erat secun¬ dum (II). Hinc vero adiumenfo aequationum — • — 1, ■ — rabray = 1 deducitur esse vel 21 =• 58 = <§ = £'== m*9 vel — #;=“*--•©=*: % — € = =3 formasque F, identicas. Q, E, Df I9^» Quum formae quas supra socias vo^ cauimus (art+ 187, 6) semper sint improprie aequiualentes (art. 160), perspicuum est, si formae reductae F} / improprie aequiualentes sint, formaeque F socia forma G , formas /, G proprie aequiualentes fore adeoque formam G in periodo formae / contentam. Quodsi ita¬ que formae F, / tum proprie tum Improprie aequiualentes sunt, patet, tum F tum G in pe- s56 i riodo formae / reperiri debere. Quare perio¬ dus haec sibi ipsi socia erit, duasque formas ancipites continebit (art. 187» 7). Vnde theo¬ rema art. x65 egregie confirmatur ex quo iam poteramus esse certi, formam aliquam ancipi- tem dari formis F , / aequiualentem. 195. Problema* Propositis duabus formis quibuscunque 4> eiusdem determinantis i diiudicare vtrum aequiualentes sint, annon . Sol . Quaerantur duae formae reductae Ff /, propositis

n et (p, $v tales vt quaeuis forma sequens praecedenti pro¬ prie aequiualeat, vltimaeque $n? F sint formae re¬ ductae 5 et quum ,

quaeuis forma praecedenti ab viti- ma parte contigua erit, vnde per art. 177 inueniri poterit transformatio propria primae

. Inueniri poterit itaque transformatio pro¬ pria formae cp in formam cui est opposita 5 quae /si supponitur fieri per substitutionem «, £, y, «f, facile perspicitur, $ improprie transformari in ipsam $ per substitutionem a , — C , y , — J4. Hinc etiam perspicuum est, si formae 0, $ tum proprie tum improprie aequiualentes sint, in¬ ueniri posse duas transformationes, propriam et impropriam. Ex. Quaeritur transformatio impropria for¬ mae (129, 92 , 65) in formam (42, 59, 80? quam, *) Ita vt ■$* oriatur ex 0 commutando ;terminum primum et viti* mum tribuendoque medio tignum oppositum , siimiiterque d« reliquis. i- \ — ' HQ — illi improprie aequiualere in art praec. inuemmus. Jnuestiganda erit itaque primo transformatio pro¬ pria formae (129, 92, 65O in formam (42, — 59, gi ), Ad hunc finem euoluitur progressio forma- rum haec: (1.29, 92,65), (65,— @7, 10), (io, 7, —5)? (7- 5,8, 5), (5,22, 81), (81, 39, 42), (42, — 59? 61 ). Hinc deducitur transformatio propria — 47, 56,75, - 87, per quam ( 129, 92, 65) transit in (42, — 59, 81)5 quare per impro¬ priam — 47, — 56, 75,' 87 transibit in (42, 59,81). 197, Si transformatio vna formae alicuius (or, b, c) . N. . 9 in aequiualentem habetur; ex hac omnes transformationes similes formae 9 in $ de¬ duci poterunt, si modo omnes solutiones aequatio¬ nis indeterminatae tt — Duu — mm assignari pos¬ sunt, designante D determinantem formarum , @5 m diuisorem communem maximum numerorum a , 2 b , c ( art. 162 ). Hoc igitur problema , quod pro valore negatiuo ipsius D iam supra soluimus, nunc pro positiuo aggrediemur. Quia vero mani¬ festo quiuis valor ipsius t aequationi satisfaciens etiamnum mutato signo satisfacit, similiterque qui¬ uis valor ipsius ui sufficiet si omnes valores positi~ uos ipsorum £, u assignare possimus, fungeturque quaelibet solutio per valores positiuos, quatuor so¬ lutionum vice. Hoc negotium ita absoluemus , vt primo valores minimos ipsorum £, u (praeter hos per se obuios t = m, u “ o ) inuenire, tum ex his omnes reliquos deriuare doceamus. 198. Problema. Inuenire numeros minimos t , u aequationi indeterminatae tt — Duu ~z mm satis facien- * test siquidem forma aliqua {M, N, P) datur , cuius de» R 2 / sSo — . terminans esi D 9 ■ mmeronmqm M9 2 N9 p dmisor communis maximus, m. Sol. Accipiatur ad lubitum forma reducta (ay b7 — a6) ... f y determinantis IJ . vbi diuisor com¬ munis maximus numerorum a, o,hy a‘ sit m , qua¬ lem dari vel inde manifestum est, quod forma re¬ ducta formae ( M, N9 P ) aequiualens inueniri potest ? quae per art. 161 hac proprietate erit prae» dita : sed ad propositum praesens quaeuis forma re¬ ducta in qua conditio haec locum habet poterit adhiberi* Euoluatur periodus formae fy quam ex n formis constare supponemus. Retentis omnibus signis quibus in art* 1B8 vsi sumas,/» erit ( an7 bny~~ an+l)y quia n par, et in hanc formam trans¬ ibit f per substitutionem propriam , Qn 9 y* ? Quia vero f et f' sunt identicae: f transibit in fa etiam per substitutionem propriam i?o,o? i. Ex his duabus transformationibus similibus formae f in /n per art. 162 deduci poterit solutio aequatio¬ nis tt — Duu = mrn in integris , scilicet t f (aequ. 18 art 162 ), u =r (aequ. 19) *), Designentur hi valores positiue accepti si forte nondum sunt per T\ 27, eruntque hi T, U valores minimi ipsorum t, n, praeter hos t — m? u zrz o (a quibus necessario erunt diuersi , quia manifesto yu non poterit esse — o). Supponamus enim dari adhuc minores valo¬ res ipsorum t, u jluta t, u qui sint positiui et u Q^ae in art. l^Z erane «,£,y,* A 9 B , C; A\ B1, C‘ ; e , hic sunt I, 0,0, I ; af hf — . a1; a9 b, — a1; x. non rr- o. Tum per art. 162 forma / per substi¬ tutionem propriam (f — b u), — a* U9 ~ aii9 i (t +■ h u) transformabitur in formam cum ipsa identicam. Iam ex art. 195, II sequitur, aut — ( t — h u) aut — — ( t - — - b u) alicui nume- rorum «t11, a111, #lv etc. aequalem esse debere, puta »f* ( quia enim t f — D if U h- mm zgz bh UU -H tiu *f- rara, erit tt > &&UU, adeoque f — & U positiuus; hinc fractio quae % respondet fractioni — in art. 195, idem signum habebit vt a vel a1 ) 5 atque in casu priori -h as u9 ~ a u , “(t-f>&u)7in posteriori easdem quan¬ titates mutatis signis , resp. — yF7 Jn\ Sed quum sit U <5 £/ 1. e. u et > o : erit ^ <3 yn et > 05 quocirca quum progressio y , y\ yu etc, continuo crescat, necessario u iacebit inter o et « exci. Forma vero respondens ,/**, identica erit cum forma/, Q.E.A , quum omnes formae/,/, etc. vsque ad /n — * diuersae esse supponan¬ tur. Ex his colligitur, minimos valores ipsorum / zz (exceptis valoribus ra, o) esse T, U. Ex. Si D ~ 7 9, m — 1: adhiberi poterit forma ( 5 , 8 , — 5 ) , pro qua n — 6 , atque <*n ™ — 8, >n — — 27, £n = — 152 (art. 188). Hinc r rz 80, U — 9, qui sunt valores minimi numerorum / zz, aequationi tt — 7 9&ZZ — 1 satisfacientes. R 3 f • . . ' ' . " ' • " . ; ^ f ; igg* Ad praxin formulae adhuc commodio¬ res emi possunt. Erit nimirum 2byn -zz - — a(ctn — - it: ), quod facile ex art. 162 deducitur, mul¬ tiplicando aequ. [19] per 2 b, [20] per a et mu¬ tando characteres illic adhibitos in praesentes. Hinc fit etn 4- rzr 2, «Tn — yn , adeoque -4- T = m (»" — — y" ), 4- V — v~. Per similem methodum hos valores obtinemus +■ T— m («" -4- 4 6”), +■ U— ‘ Tum hae tum illae formulae perquam commodae euadunt, propter yu zzz S" — 1 , «n = £n — r, ita vt si hac vteris, solam progressionem £*, £7/, ... Gn , si illa vti mauis, solam hanc o#, i", etc, supputauisse sufficiat. Praeterea ex art. 189 ? 5 fa¬ cile deducitur, quum n necessario sit par, a.n et b b — Sn eadem signa habere jneque minus £n et—ynf ita vt in formula priori pro T differentia ab¬ soluta, in posteriori summa absoluta accipi debeat, neque adeo ad signa respicere omnino opiis sit. Receptis signis in art. 189* 4 adhibitis erit ex for¬ mula priori T — m [ k ', k11, ktn .... &n] ■— — - — [k1, k“7 kUi .... ^ a /c” — !]; Uz zr ~ [k1, k11, k"1 .... — x]j ex posteriori X=m [k“, k"> .... fc" — 1] J7 — j- [ k“, k‘" .... fc” J, vbi pro valore ipsius T etiam m [ ku} k111 ^n? p-] scribi poterit. Ex. Pro D — 6 1 , m = 2 adhiberi potest forma (2, 7, — 6), pro qua eruitur n 63 pi ^111 kvi reSp> __ 2, 7, 2, 2, 7. Hinc fit T— 2 [2, 2, 7, 2, 2,73 — 7 [2, 2, 7, 2,2] — 2888 — 1365 — 1525, ex formula pri¬ ma 3 idem prouenit ex secunda T ~ 2 [ 2, 7, 2, 2] 4- | [ 2, 7, 2, 2, 7 ]. U vero fit zz | [ 2, 2, 7, 2, 2 j --[2, 7, 2, 2, 73 ~ 195- Ceterum plura artificia adhuc dantur, per quae calculus contrahi potest , sed de his fusius hic loqui breuitas non permittit. 2oo. Vt ex valoribus minimis ipsorum t y u omnes obtineamus, aequationem TT — DUU — TU T U mm ita exhibemus ( — 4- — \fD) ( — — — D) — v m m v ' m m ' 1, vnde etiam erit (— -f- — \fDY (~ _ , -- D vm m v 7 'm m * ^ ~ 1 . . . [ 1 ] , denotante e numerum quemcunque, lam designabimus breuitatis caussa valores quan¬ titatum m T U M ~r (-4- — Y D) 2 Km ™ J m m T TT (-4- E y Dy m m * T 2 ' m m U m *D) ( T U 2 /I? x m ‘ m ¥ ^ * 2 /D " m generaliter per tc , uQ resp. i. e. illarum valores pro f) hi* *°i5s quatuor expressionibus et in aequ. f I J e denotat expo» nentem potestatis » in reliquis literae apici adseriptae setnper indicem designant. R 4 e tzz o, per uQ (qui erunt m, o) ; pro g = 1 per t‘: u‘ (qui fiunt T, £7) 5 pro e zz. 2 per f", pro f zz 5 per t“ u111 etc. — - demonstrabimusque, si pro e accipiantur omnes numeri integri non ne- gatiui i. e» o , omnesque positiui ab 1 Vsque ad QO , expressiones illas exhibere omnes valores positi» uos ipsorum t , u : scilicet I) omnes valores illa¬ rum expressionum esse r eu era valores ipsorum t9 u; II) omnes valores illos esse numeros integros ^ III) nullos valores positiuos ipsorum t , u dari qui sub formulis illis non contineantur» I. Substitutis pro te , ue valoribus suis nullo negotio aduimento aequ. [1] confirmatur, esso ( te Jr ue D') {te — ue sf* D) =5: mm $ i e. ?e t~ — 1) ue ue = mm, y\ ' ■>*'■** \ * ■ ' , ‘ • M II. Eodem modo facile confirmatur, esse gene¬ raliter £e-Hl 4- fe— I ™- te , ^4*1 + ^-!=^, Hinc manifestum est duas progressiones t°9 Vr t ", t‘“ etc., w", utu etc. esse recurren¬ tes , et vtriusque scalam relationis — 1 , sci¬ licet t“ = 2— V — t°. tUi = ^ t*1 — V etc m ■ m 2T i * — u* etc, m - \ lam quoniam per hyp. forma aliqua datur, (M, N, P)9 determinantis D , in qua M, 2iV, JP per 7?z sunt diuisibiles: habebitur TT' =■ (NN — - MP) UU -j- 772777, eritque adeo manifesto 4TT per 2 jT mm diuisibilis. Hinc — - erit numerus integer et quidem positiuus. Quia vero t° == m , : ## = T, m® == o 7 u‘ = (7, adeoque integri : omnes P' , P" etc, xP* u“l etc. etiam integri erunt. Porro perspi¬ cuum est, quia TT > mm , omnes £° , P, tu\ tilt etc. positiuos et continuo in infinitum crescentes esse, nec non omnes m°, zP' , u111 etc. HI Supponamus, dari adhuc alios valores positiuos ipsorum u qui in progressione t°9 P, P' etc, n°, zP, zP' etc. non contenti sint, puta ii -Manifestum est, quum progressio u ul etc» a o in infinitum crescat, 11 necessario inter duos terminos proximos , un et un -f- £ «itum fore , ita vt sit U > un et il < un 4- i. Yt absurditatem huius suppositionis demonstremus, obseruamus 1° Aequationi tt — .Dzzzz = wm satisfactum iri etiam ponendo t = — (££n — D\Xun ), u = — (Jtfp* — - !£zzn). Hoc quidem nullo nego¬ tio per substitutionem confirmatur : quod vero hi valores quos ponemus breuitatis gratia =7, &, sem- per sunt numeri integri ita ostendimus. Si ( M , jV, P) est forma determinantis D, atque m di- uisor communis numerorum M, oTV, P: erit tum £ -piVll tum rn + Nun per m diuisibilis adeoque etiam U (P1 + Nun>) — un + iVU) siue U t* <- — % ua . Quare v erit integer et proin etiam 7, quia 77 = D w + mm. 2° Patet v non posse esse == o; hinc enim sequeretur illi tn tn = X X zzn zzn siue U U ( Dunun T = ZZn ZZn (i^Ull + mw) siue UU = R 5 s66 un un , contra hyp. ex qua il > . Quum igitur praeter valorem o, minimus valor ipsius u sit Uj erit v certe non minor quam U. ‘| 'a . * - . ■ ’ . ■ \ - 1 '>• . 'i 3° Facile ex valoribus ipsorum tn , tn 4- *, un-i-1 confirmari potest esse mU= tn — £n 4- 1 Quare ll tn - — ^ u* certe non erit minor quam un 4- 1 tn — f» 4- i un , " • % . N " -,V . ■' , •• , /'■’ ’ , _ ; ,A 4° Iam ex aequatione $Sl — J9UU = 7nw habetur ~ = y/~ ( D + jr??) et similiter U v v \\VLJ w-t-i ==:V^ C.D + — )> vnde facile deducitur «'H-I fn 4- j esse -pr >■ ~ x — * Hinc vero et ex conclusione U i in 3° sequitur (U*1* — £ un ) (tn + --) > ll ?" — rn-t-x un ) (tn + U» siue, p+I y ? > euolutione facta, et loco ipsorum J tn p» , ^n-t-i substitutis valoribus suis DUU + mmf D Un Un + J7Z77Z, D -f 777 777 ? i- (UU~ttn nn ) > — - - (uv^i I — . un un ), vnde, quoniam vtraque quantitas manifesto posi- tiua, fit transponendo U un-t-x 4.^?® r ^tn-i ^ ‘ U * Q. E. A, quia quantitatis prioris pars prima mi¬ nor est quam pars prima quantitatis secundae, nec non illius secunda minor quam secunda hu- — — ius„ Quamobrem suppositio consistere nequit et progressiones t f V , t ", etc. u , zz', uf\ i etc. omnes valores positiuos ipsorum u exhi- 3 bebunt Ex, Pro JD 61, m = 2 valores mini¬ mos positiuos ipsorum r, u inuenimus i525? 195: quare omnes valores positiui exhibebuntur per has formulas t 2= ( -f — ^5 61/ -f- ( 1 ^ — 2 2 2 _ iVei)', « = + ^V60’ 2 ^ 6l 2 2 6 1 ) e ). Inuenitur autem ^2 2 *° = 2, V = 1525, = 1525 t° =S 2519527, — 1525 — t‘ = 5552618098 etc.; 7/ = o , zz' — 195, zz" = 1525 m* — n° = 296985, 14"' = 1525 zz" ~ zz' == 452507960 etc. 20 1. Circa problema in artt. praecc. tra¬ ctatum sequentes obseruationes adhuc adiicimus. 1) Quum aequationem 1 1 — D uu = m m pro omnibus casibus soluere docuerimus, vbi m est diuisor communis maximus trium numero¬ rum M, 2 iV, P , talium vt N N — M P = Di operae pretium est omnes numeros qui tales di- uisores esse possunt siue omnes valores ipsius m pro valore dato ipsius D assignare. Ponatur D = nnD ', ita vt D‘ a factoribus quadraticis omnino sit liber, quod obtinetur si pro n n assumitur ma¬ ximum quadratum ipsum D metiens : sin vero D I / , ^ S6S ^ lam per se nullum factorem quadraticum impli¬ caret, fieri deberet n = i. Tum dico Primo , si D/ fuerit formae 4^4-1, quemuis; diuisorem ipsius 2 tz fore valorem ipsius m* et vice versa. Si enim g est diuisor ipsius 2 n9 ^ fin (D1-— i ) ^ habebitur forma Qg-, n, — cuius de- terminans est jD , et in qua manifesto diuisor com¬ munis maximus numerorum g, 2 mf _ 1 ? erit g* ( patet enim. , -f'-4 ~~ 1 X ~ 4 4 esse numerum integrum ) . Si vero , vice versa, g supponitur esse valor ipsius m9 scilicet diuisor communis maximus numerorum M, 2 N, P7 at¬ que NN — MP = D: manifesto 4 D siue 4 nnD' diuisibilis erit per gg. Hinc vero sequi¬ tur, 2 n necessario per g diuisibilem esse». Si enim g ipsum 2 n non metiretur, g et 2 n ha¬ berent diuisorem communem maximum mino¬ rem quam g9 quo posito = «T, atque 2 n == = «?£', foret n‘ n1 D‘ per g' gi diuisibilis, ne ad g‘ ad eo que etiam n* n1 ad g*g*' primus et proin etiam D1 per glg> diuisibilis, contra, hyp. secundum quam D‘ ab omni factore qua- dratico est liberatus. Secundo , si D‘ fuerit formae 4^ + 2 vel 4^+5? quemuis diuisorem ipsius n fore valo¬ rem ipsius 7?z, et vice versa quemuis valorem ipsius m metiri ipsum n. Si enim g est diuisor ipsius ny habebitur forma Qgy o? — — )5. cuius ■'<2 determinans - = D, et vbl manifesto numerorum g o? diuisor communis maximus erit 'g. •« g Si ¥ero g supponitur esse valor ipsius m , puta diuisor communis maximus numerorum M? 2 iV p atque N N — M P = D : eodem modo vt supra g* metietur ipsum 2 n, sine _ erit integer. g Si quotiens Mc esset impar': quadratum foret" 1 ' 'nnm gg = 1 (mod.4), adeoque i—-~9 aut EE 2 aut g g _ f 1 4 nn D‘ 4 D 4 NN 3= 5 (m.od.4 > At i— = — - = — — — £**?== ±EE Cmod.4), et proin g g _Jfg gg, aut EE 2 aut EE 5 Cmod.4}, Q . E»A., quia om¬ ne quadratum aut cifrae aut vnitati secundum modulum 4 congruum esse debet Quare quo¬ tiens 2 n n necessario erit par ? adeoque — integer? g § siue g diuisor ipsius m Patet itaque , 1 semper esse valorem ipsius m . siue aequationem t t — D u u =■ 1 pro quouis valore positiuo non quadrato ipsius D per praecedentia resolubilem esse$ 2 tunc tantum¬ modo esse valorem ipsius m 9 si D fuerit aut formae 4 k, aut formae 4^+1. ,y ; ' 1 ,, ,* 2) Si m est maior quam 2, attamen nume¬ ras idoneus ? solutio aequationis 1 1 — D u u — m m reduci potest ad solutionem similis aequa- tionis, vbi m est aut i aut q. Scilicet posito vt ante % D = n n D‘ , si m ipsum n metitur , metietur mm ipsum D. Tum si valores minimi ipsorum /?, q D m aequatione pp — qq =5 1 supponuntur esse p == P, q = Q\ valores minimi ipsorum t , u in aequatione it — D uu ■==.. mm erunt t=mP7u=zQ, — Si vero m ipsum n non metitur, metietur saltem ipsum 2 n erit que certo par 5 autejp integer. Et si tunc valores minimi ipsorum p , q in aequatione p p — -t? qq mm v * s= 4 -inuenti sunt p = P, q = Q: valores minimi ipsorum ?, w in aequatione tt • — Duu = /tztti erunt £ = — P , u = Q. ■- — • In vtroque autem casu non solum ex valoribus minimis ipsorum p7 q valores minimi ipsorum t7 u7 sed ex omnibus valoribus illorum omnes valores horum per hanc methodum manifesto deduci poterunt. 5) Designantibus u°7 p7 u*7 tf,7 un etc4 omnes valores positiuos ipsorum t, u in aequa¬ tione tt — Duu = mm (vt in art, praec.), si contingit vt valores quidam ex serie illa, valori¬ bus primis in eadem secundum modulum quem¬ cunque datum r, congrui sint, puta t? £=E t° (si- ueEim), u$ EE uc siue EE o (mod. r)$ simul- que valores proxime sequentes valoribus secundis, puta T-f-r EE t1 , u zEZ u1 (mod,r ): erit etiam t 'EEztl,9ui'i~!i uuy eEE ==3 uUi etc. Hoc facile inde deducitur, quod vtraque series t°7 P, t1* etc., u°7 u*7 u" etc. est ex recurren- 2 T tium genere, scilicet quoniam tn — — p _ J m t° , P+-2 = — tf erit tu = > m similiterque de reliquis. — Hinc autem sequitur, fore generaliter th^ EE th , uh +* EE wh (mod. r), denotante h numerum quemcunque, nec non adhuc generalius, si fuerit^ — v (mod, fore t1* EE t'1 , u* EE u1 ( mod. r ), 4) Conditionibus autem in obseru. praec, re¬ quisitis semper satisfieri potest, scilicet semper inueniri potest index £ (pro modulo quocunque dator) pro quo sit P EE t°7 t^1 EE p, u* £E~ u°7 EE u Ad quod demonstrandum ob- seruamus primo , conditioni tertiae semper satisfieri posse. Nullo enim negotio per criteria in (1) tradita per¬ spicietur, etiam aequationem pp — - rrDqq = mm solubilem fore 5 et si valores minimi positiui ipsorum p7 q (praeter hos m, o) supponuntur esse P, Q: inter valores ipsorum £, u manifesto erunt etiam t = P, u = r Q, Quare P, r Q in progressionibus t°, V etc., u° 7 u 1 etc, contenti erunt, et si P == P, r Q = rp , erit iP = o EE (mod. r ). Praeterea facile perspicietur, inter u° et zP nullum terminum fore ipsi u° secundum modulum r congruum. Secundo patet, si hic insuper tres reliquae condi¬ tiones adimpletae sint, puta si etiam ux^~l = u\ — t\ poni tantummodo debere f == a. Si vero vna aut altera illarum conditio¬ num locum non habet , dico certe statui posse ^ = 2 /•. Nam ex aequat. [1] formulisque genera¬ libus pro f , ue in art praec. deducitur t2A = V c t* t* + Dux u* ) {mm + zDu* u* ) adeoque liL = JilPPPL, quae quanti-' r m r tas erit numerus integer , quia per hyp. r ipsum metititur, nec non jwm ipsum 4Z}, adeoque a potiori m ipsum 2D. — Porro erit u%h = 1 £azA et quoniam 4 tx tx = 4 D u*ux -f- 4 adeoque per m m diuisibilis, 2 tK erit diuisibilis per m, et proin u2K per r, siue u2K = (mod. r). — Tertio inuenitur £2A4~ 1 = v -f» ®Pv'XuX ^ s '' M et quoniam ex simili ratione est inte- m r ger, erit t2^1 = f' (mod. r). _ Tandem re- peritur w2A*s- 2 = et quoniam m per m diuisibilis est, per r: erit = u* (mod. r). (X E. E. Ceterum vsus posteriorum duarum obserua- tionum in sequentibus apparebit. 202. Casus particularis problematis, nempe soluere aequationem 1 1 — Duu = 1 , iam a geometris seculi praecedentis fuit agitatus. Saga¬ cissimus Fermatius problema hoc analystis Anglis . : m' , ; , — ®75 — proposuit, Wallisiusque Brounkerum tamquam inuentorem solutionis quam in Alg. Cap. 98, Opp, T. II p. 416 sqq. tradit nominat 5 Ozanam Ferma- tium } denique ill. Euler qui de illo egit in Comm. JPetr. VI p. 175, Comm , nou. X/, p. 28 *) , Algebra P. II. pag , 226, Opiusc. An. I. p. 5 1 o, Pellium, vnde problema illud a quibusdam auctoribus Pelliarium vocatum est. Omnes hae solutiones, si essentiam spe¬ ctas, conueniunt cum ea quam obtinemus, si in art. 198 formam reductam eam adoptamus in qua a = 1 5 attamen operationem quam praescribunt tandem necessario finiri , siue problema semper reuera solubile esse, nemo ante ill, Ea Grange rigorose * * ) denionstrauit, Mei anges de la Soc . de Turrn T. IV. p. 19 , et concinnius Hist. de l'Ac. de Berlin , 1767, p. 237. Exstat haec disquisitio etiam in supplementis ad Eui eri Algebvam iam saepius lau¬ datis. Ceterum methodus nostra (ex principiis omnino diuersis petita, neque ad casum m = 1 restricta ) plerumque plures yia$ ad solutionem perueniendi suppeditat, quoniam in art. 198 a quauis alia forma reducta (n, b? — a1) profi¬ cisci possumus. *) In hac comm. algorithnnus quem arfc. 32 exposuimus» per similia sigria exhibetur, quod nes illic annotare negleximus. **)Quae WalHsius ad hunc finem protulit 1. c, p. 427' 4^S n'hil pon* deris habent, Paralogismus in eo consistit, quod p, 428 4* SUP" ponit, proposita quantitate p inueniri. posse numeros integros a, X *y tales vt -- minor sit quam*), defectus vero assignato minor. Hoc ytique verum est, quando defectus assignatus est quantitas data, neque vero, quando ab a et z pendet adeoque variabilis «*t, vti in casu praesenti euenit. s I •' i — 374 — 205. Problema. Si formae ,

transformatio vna formae

, quae sit a9 £, >, con¬ tentae erunt sub prima formularum sequentium I, in posteriori vel sub prima I vel sub secunda H I.... — ( «£ — -(«&■+• yc)u), — ( & — (£b m m j /7 (y* 4- («a 4* yb^u), ~ 4- (Qa + C.... — (*'b 4- yJc)a), ( Pt — (£'£ 4- &c)u), —(y 4- 4- {H 4- (&aH-M)u)t m m « -Eo:. Desiderantur omnes transformationes formae (129, 92, 65) in formam (42, 59^ 275 8 1 ). Has improprie tantum aequiualentes esse in art. 1 95 inuenimus et in art. se q. transforma¬ tionem impropriam illius in hanc emimus — 47^ — 56, 75 , 87. Quamobrem omnes transforma¬ tiones formae { 129, 92, 65) in (42, 59, 81 ) ex¬ hibebuntur per formulam — (47 t -f- 421 u\ — (56 t 4- 5°5 75 1 + 655 u, 87 * + 780 zz, vbi t7 u sunt indefinite omnes numeri aequa¬ tioni tt — 79 uu = 1 satisfacientes j hi vero exhibentur per formulas ±f= j((8o+9V“ 79)*'+(8o — gy" 79)'), ± u (C8° + 9V* 79)e-(8o-9V" 79)? ) vbi pro e omnes numeri integri non negatiui sunt accipiendi. 204. Perspicuum est, formulam generalem omnes transformationes exhibentem eo simpli¬ ciorem euadere , quo simplicior luerit transforma¬ tio initialis ex qua formula est deducta. Iam quum arbitrarium sit, a qua transformatione proficisca¬ mur, saepenumero formula generalis simplicior reddi potest, si ex formula prime inuenta trans¬ formatio simplicior deducitur tribuendo ipsis 1 1 u valores determinatos, et tunc ex hac alia lormula componitur. Ita e. g. positis in formula in ex. art. praec. inupnta, t = 80, u =■ — 9, prodit trans¬ formatio simplicior quam ea a qua profecti eramus, scilicet 29, 47, —57, — 60 vride deducitur for¬ mula generalis 29 t •— 265 w, 47 t — 424 z/, — 57 t + 557 — 60 t + 545 u. Quando itaque per praecepta praecedentia formula generalis eruta S & .7 — •— est, tentari poterit , annon , tribuendo ipsis t, u valores determinatos Hh £', Hh u*\ t ", + u'' etc. transformatio obtineatur simplicior quam ea ex qua formula deducta fuit , in quo casu ex illa transfor¬ matione formula simplicior deriuari poterit. — Ce¬ terum in diiudicanda simplicitate aliquid arbitrarii remanet, quod si operae pretium esset ad nor¬ mam fixam reuocare, nec non in progressione t\ t", u“ etc. limites assignare possemus, vitra quos transformationes continuo minus simplices prodeant, ita vt vitra progredi opus non sit sed intra illos tentamen instituisse sufficiat: attamen quum plerumque per methodos a nobis prae¬ scriptas transformatio simplicissima vel statim vel adhibitis pro t, u valoribus _+ t\ + u 1 prodire soleat, hanc disquisitionem breuitatis gratia sup¬ primimus. qo%. Problema. Inuenire omnes repraesenta¬ tiones numeri dati M per formulam datam axx +• 2 bxy -f- cyy , cuius determinans positinus non - qua¬ dratus ~ V» \ Sol. Primo obseruamus , inuestigationem re¬ praesentationum per valores ipsorum x, y inter se non primos, hic prorsus eodem modo, vt supra ( art. 1 8 1 ) pro formis determinantis negatiui , ad eum casum reduci posse, vbi repraesentationes per valores indeterminatarum inter se primos quae¬ runtur, quod igitur hic repetere superfluum foret. Ad possibilitatem repraesentationum per valores ipsorum jr, y inter se primos autem requiritur, vt D sit residuum quadraticum ipsius M, et si om¬ nes valores expressionis D (mod. M) sunt N9 »77 — Nj Ar', — JV‘, iV", — N" etc. (quos ita ac¬ cipere licet vt nullus sit > f M) , quaeuis reprae¬ sentatio numeri M per formam propositam ad aliquem horum valorum pertinebit. Ante omnia itaque valores illi erui debebunt; tunc repraesen¬ tationes ad singulos pertinentes deinceps inuesti» gari. Repraesentationes ad valorem N pertinentes non dabuntur, nisi formae (a, b. c) et (M. N. NN — D . - — ) proprie aequiualentes sunt; si vero sunt, quaeratur transformatio aliqua propria prioris in posteriorem, quae sit C, y, & Tum habebitur repraesentatio numeri M" per formam (a, b, c') ad valorem N pertinens haec: x = «i y = y, omnesque repraesentationes ad hunc valorem pertinentes exhibebuntur per formulam x === — (at — (#b -h yc) u) , y zzz — (yt~h( aa~h yb)u\ m m v designante m diuisorem communem maximum numerorum 2 &, c; et ?, u indefinite omnes numeros aequationi tt — Duu — mm satisfa¬ cientes. — * Ceterum manifestum est, formulam hanc generalem eo simpliciorem euadere, quo simplicior sit transformatio £, y, £ ex qua de¬ ducta est; quare haud mutile erit, transformatio¬ nem simplicissimam formae («, b, c) in (M, JVr ) secundum art. praec. antea eruere, et ex hac formulam deducere. — Prorsus eodem modo repraesentationes ad valores reliquos -K JV>, — - N1 etc. pertinentes (si quae dantur) per formulas generales exhiberi possunt. Ex. quaeruntur x lixxllax uxiiiicc» i c px acscuia numeri 585 per formulam 4,2 xx -f + S 5 Quod ad repraesentationes per valores ipsorum x, y inter se non primos pertinet, statim patet alias huius generis dari non posse, quam in quibus diuisor communis maximus ipsarum x7 y sit 3: quum 585 per vnicum quadratum 9 diuisibilis sit. Quando itaque omnes repraesenta¬ tiones numeri i. e. 65 per formam 42^^ -f* 62x‘y* + 2 \yiyi inuentae sunt, in quibus x‘ ad y‘ primus 5 omnes repraesentationes numeri 585 per formam ^>2xx + 62 xy + 21 yy\ in quibus x ad y primus, exiliis deriuabuntur ponendo x = £x'j y = 3 y‘. Valores expressionis y/* 79 (mod. ^5 ) sunt pjp 12, dp 27. Repraesentatio numeri ad valorem -f* 12 pertinens inuenitur x 1 = 2 , y' = — 14 quocirca omnes repraesentationes ipsius 65 ad hunc valorem pertinentes exhibe¬ buntur per formulam x1 = 2t — 41W, y* = ► — t ■ f 55^, adeoque omnes repraesentationes ipsius 585 hinc oriundae per formulam x = 6? — 123 y = — 3? -f 159M. Simili modo inuenitur formula generalis omnes repraesentationes numeri 65 ad valorem — 12 pertinentes exhibens x* = 22 1 — 19 ou: y1 — — 23? -f 2 1 m; et formula omnes repraesentationes numeri 585 bine oriundas complectens x = 66? — 597M, y = — 69? + 633^. Ad valores -f 27 et — 27 autem nulla repraesen¬ tatio numeri 65 pertinet. — - Vt repraesentationes numeri 585 per valores ipsorum x, y inter se primos irmeniantur, primo valores expressionis \f ' 79 (mod. 585) eruere oportet, qui sunt + 77, + 103, dp 157, dp 248. Ad valores dp 77, pjp 105, dh* 248 inuenitur nullam repraesentationem pertine¬ te $ ad valorem + 157 autem pertinet repraesenta- »7 9 tio x =2 5, y = i, vnde deducitur formula generalis omnes repraesentationes ad hunc va- lorem pertinentes exhibens x — 3? — 114 u, y c= ? + 157u$ similiterque inuenitur repraesen¬ tatio ad — 157 pertinens x = 83, # = — 87, et formula in qua omnes similes sunt con¬ tentae X = 83* - 746*2, y = - 87? + 789/^. Habentur itaque quatuor formulae generales sub quibus omnes repraesentationes numeri 585 per formam 4 qxx + 62 xy + 21 yy contentae sunt x = 6? — 123& x = 66? — * 597^ .r = 5? — 114^ x = 83? — 746 w vbi f, n indefinite omi tant, qui aequationi ?? ^ = — ■ 5f + I59M y — — 69? 4“ 65312 */ = ? -f 157^ 2* '= — 87* + 789^ numeros integros deno- 79 uu = 1 satisfaciunt. Applicationibus specialibus disquisitionum praecedentium de formis determinantis positiui non-quadrati breuitatis gratia non immoramur, quippe quas simili modo vt artt 176, 182 quis¬ que, sine negotio, propriu marte instituere pote¬ rit statimque ad formas determinantis positiui qua¬ drati, quae solae adhuc supersunt, properamus. 206. Problema. Proposita forma ( a , b, c) determinantis quadrati hh , * designante h ipsius radicem positiuam , muenire formam ( A , B , C) illi proprie aequiual entem , in qua A taceat inter limites o et 2h — i incl. , B sit zzz hf C rrr: o* Sol. I. Quoniam hh — hh — ctc, erit {h — b): a '■£= c: — (h + b). Sit huic rationi aequalis ratio C: ita vt £ ad £ sit primus, de- terminenturque a , y ita vt sit &S — Qy = 1 , quae f , .; ! ;d ; S 4 fieri poterunt. Per substitutionem a, £, y, $ transeat forma {a, b1 c) in ( a ', b c‘ ) , quae igitur ilii proprie aequiualens erit. Habebitur autem b 1 = (Z&o ~|- b (<*.<£ ty) "b cy$ == ( h — by ~b b ( ,** ^ + £> ) — ( h “b b y = h ( — £ ) = /*$ c' — + 26^ -b CM' — -^ b)cs + $/:?££ — ( h + & ) == o* Quodsi itaque insuper «' inter limites o et 2 h — i iam est situs, forma («', b‘, e') omnibus conditionibus satisfaciet. IL Si vero extra limites o et zh — l iacet, sit A residuum minimum positiuum ipsius a‘ secundum modulum 2/z, quod manifesto inter hos limites situm erit* ponaturque A — a( = 2hk. Tum forma (#', b1, c1) i. e. (o\ h9 o) per sub¬ stitutionem i , o, A:, i transibit in formam (A,h,o)y quae formis («*, c '), (a,b,c) proprie aequi¬ ualens erit ohmibusque conditionibus satisfaciet. — Ceteram perspicuum est, formam («, c) trans¬ ire in formam (^, h, o) per substitutionem « -b bj y "b ^ i Ex. Proposita sit forma (27, 15, 8) cuius determinans == 9. Hic h == r?* rationibus .— 12: 27 = 0: — . ‘18 in numeris minimis aequalis est ratio 4: — 9. Positis itaque £ == 4, j = — g , * = — 1, y = 2 , forma («*, c*) fit ( ~ 1, 5, 0), quae transit in formam (5, 5, o) per substitutionem 1, o, 1, 1. Haec igitur est forma quaesita, transitque in eam proposita per substitutionem propriam 3,4, — 7, — 9. Tales formas (A, B9C} in quibus C ~~ o, B = hr A inter limites o et 2 h — 1 situs, for¬ mas reductas vocabimus , quae igitur a formis reductis determinantis negatiui, vel positiui non* quadrati, probe sunt distinguendae. 207. Theorema. Duae formae reductae (afh,o), (a1, h. o), non identicae proprie aequiuaientes esse non ''' ‘ V ) - : • ' " . \ . 1 > ’/ possunt Dem. Si enim proprie aequiualere suppo¬ nuntur, transeat prior in posteriorem per substi¬ tutionem propriam S* habebunturque quatuor aequationes: d** + 2/z«y = a' ... [lj, + h %v) = & .».[2], «.X + 2 o ... [5], <*£— -£y = i ...[4]. Multiplicando aequationem secundam per £, tertiam per a et subtrahendo fit ~ h by )b — Gh, siue, propter [4], — ch s= £/z, vnde necessario £ == o. Quare ex [4], = i? et * = "t 1. Hinc ex [1], a yb 2 -A = a* , quae aequatio consistere nequit , nisi y 5= o (quoniam tum a tum a\ per hyp. inter o et 2 h — • 1 iacent) z. nisi a = a1, siue formae (ay /z, o), (zz', /z, o) identicae j contra hyp. ' ,v— v • ' \- \u ■ n' t -0 ' .. >} ’ - ■ Y % ' />, Hinc sequentia problemata, quae pro deter¬ minantibus non-quadratis multo maiorem difficul¬ tatem facessebant, nullo negotio solui poterunt. I. Propositis ducibus formis F, F‘ eiusdem deter¬ minantis quadrati , inuestigare an proprie aequiualeant. Quaerantur duae formae reductae formis Fy F* resp. proprie aequiuaientes 5 quae si identicae sunt, propositae proprie aequiuaientes erunt, sin minus, non erunt. II. Iisdem positis inuestigare an improprie aequi¬ ualeant Sit forma alterutri ' propositarum e. g. formae F opposita, Gy quae si formae F‘ proprie aequiualet, F et F1 improprie aequiualebunt, et contra. s 5 20& Problema. Propositis duabus formis F, F‘ determinantis hh proprie aequiual entibus : inue - fiire transformationem propriam alterius in alteram . Sol. Formae F proprie aequiualeat forma reducta , quae itaque per hyp. etiam formae F1 proprie aequiualebit. Quaeratur per art. 206 transformatio propria formae F in transfor¬ mabitur in F per substitutionem propriam — — y** et hinc .Fin F‘ per substitutionem pro¬ priam — W) y&‘ — tyy fra1 — yfe7. Operae pretium est, aliam formulam pro hac transformatione formae F in F euoluere, ad quam formam reductam $ ipsam nouisse ne opus quidem sit. Ponamus formam F esse (#', b1, c ), F = ( a‘ , F, c7), $ = ( A , hy o ). Quoniam ra¬ tionibus h — b: a vel c: — (h + b) in numeris minimis aequalis est ratio £: facile perspicitur b ~r~ ^ _ a r * • • — y— = yiore integrum y qui sit /5 nec non = — -j — - integrum fore qui ponatur = g. Ha¬ bebitur autem A = ciolcl -f- 2 bay -f- cyy adeo que QA 5= -f- 2b^v + e£yy , siue (substitutis pro a"9 FJi — b ), pro c, £#,) QA = + b( 2Qy — + ££yyg- siue (propter & = — h — $g)9 QA = Cy)/i + £y)ag s= 2 uh F F Simili modo $A = <2*«^ -j- 2bA$ -p cyy^ = uol^J -p & ( 2 — byy ) — £yyh = "b 2y(ct^ — £y) h = +/. Quare • = y = -g— Prorsus eodem modo positis h - bl k — b* 0 2' fi ■ fi L. r. , £‘A—g‘ . S‘A~~f> - - . gl / = - - ^ . ^ 6 2 h 1 2 h Quibus valoribus ipsorum *> y> y' in formula modo tradita pro transformatione formae F in F substitutis, transit in hanc: w- 2lz.ML 2 h J 2 h 7 2h ? 2 h A omnino abiit. ex qua Si duae formae F, F improprie aequiualen- tes proponuntur, et transformatio impropria alte¬ rius in alteram quaeritur, sit forma G opposita forma F1 et transformatio propria formae G in F1 haec *» £> y» & Tunc manifestum est £, u-~ y, — J fore transformationem impropriam formae F in F. Denique patet, si formae propositae et pro¬ prie et improprie aequiualentes sint, hoc modo in- uenire posse transformationes duas alteram pro¬ priam alteram impropriam. 209. Nihil itaque iam supe^est quam vt ex vna transformatione omnes reliquas similes deduce¬ re doceamus. Hoc vero pendet a solutione aequa¬ tionis indeterminatae tt — hhuu = mm7 designante m diuisorern communem maximum numerorum a7 c, si (<2, &, c) est alterutra formarum ae~ quiualentium. Sed haec aequatio sernper duobus tantum modis solui potest, nempe ponendo aut t = m7 u = o, aut £ = «*- m9 u = o. Ponamus enim dari adhuc aliam U , ita vt U non == o. to metitur, erit ' mm solutionem £ = T, m =s Quia mm ipsum 4 hh cer- 4 hhUU ~ =4, atque tum 4 TT 4 hhUU W tum ~ ~nm 1uadrata mtegra. Sed nullo negotio perspicitur, numerum 4 duorum quadra¬ torum integrorum differentiam esse non posse, nisi quadratum minus sit o i. e. U = o, contra hyp. — Si itaque forma F in formam F‘ per substitutionem y, ^ transit, alia transforma¬ tio huic simili^ non dabitur praeter transformatio¬ nem — £, — y, — £ Quare si duae formae aut proprie tantum, aut improprie tantum aequiua- lent, duae tantum transformationes dabuntur; si vero tum proprie tum improprie, quatuor , nempe duae propriae duaeque impropriae. Sio. Theorema. Si duae formae reductae {a, h, 0), (a1, h. o) improprie sunt aequiualentes , erit aa' rEr mm ( mod. 2mk ), designan: e m dmisorem com¬ munem maximum numerorum a , 2 ht vel a', 2 h ; et vice versa , si a, 2 h ; a 2 h eundem dmisorem communem ma¬ ximum m habent, atque est a a1 mm (mod. 2mh), for¬ mae ( a , h, o ) , ( a‘, hy o ) improprie aequinalentes erunt . Dem. I. Transeat forma (a* h, o) in formam ( a ', h, o) per substitutionem impropriam £> v? * ita vt habeantur quatuor aequationes 4* 2 h*v = **• [1]? 4- = /1 ... [2]; -f- = 0... [3]; /tcT — Gy = — 1 »..[4]. Hinc sequitur, multiplicando [4] per et subtrahendo a [2], quod ita exprimimus [2] — h [4], .... (as* 4* 2hy)* s= 2/i ... [5]; similiter ex [2] — 285 yy [5] — ( a + a*y + hy f) [4] deletis quae sese destruunt... — a <*S = a + 2/zy^, siue — («« 4. &hy)$ = a ... [6] 5 denique ex a [1] ... a* {a- 4«. s/zy ) = aa‘: siue ( a* + 2 hv )* — aa' — 2hv ( a* 4- zhy) siue («« -f- 2 hy)* ~ aa 1 (mod. 2/z ( a « -f* 2/fy)) ••• [7]* Iam ex [5] et [6] sequitur zz* -J» g/zy metiri ipsos a/z et zz, adeoque etiam ipsum m, qui est diuisor communis maximus ipsorum a , 2/z$ manifesto autem m metietur etiam ipsum a * + 2 hyj quare necessario a*- {- 2 hy erit aut = + m aut = — m. Hinc statim sequitur ex [7I, mm IE aa* (mod. 2 mh). Q, E, P. II. Si a , 2/15 zz' , 2 h eundem diuisorem com¬ munem maximum m habent, insuper que est aa* mm (mod. 2mh), — , m a 1 m aov mm 2 mh erunt integri. Facile vero confirmatur, formam (a, h , o) transire in ( zz' , /z, o) per substitutio- ci1 2h aa1 — mm a nem — — , — — , - , — , — ; nec non hanc m1 m 7 2 mh 7 m1 transformationem esse impropriam. Quare for¬ mae illae erunt improprie aequiualentes. Q . E. $. Hinc etiam statim diiudicari potest, an for¬ ma aliqua reducta data (a, h, o) sibi ipsi impro¬ prie aequiualens sit Scilicet designato diuisore communi maximo numerorum zz, ah per m7 esse debebit aa ~ mm (mod, 2mhy 211. Omnes formae reductae determinantis dati hh obtinentur, si in forma indefinita (-A, h, a) pro A omnes numeri a o vsque ad 2 h .... 1 md, substituuntur, quarum itaque multitudo erit 2/2. Perspicuum est omnes iormas determinantis hh @8§ in totidem classes distribui posse, hasque iisdem proprietatibus praeditas fore quas supra (artt. 175, 195) pro classibus formarum determinantis nega- tiui, et positiui non quadrati attigimus. Ita om¬ nes formae determinantis 25 in decem classes di¬ stribuentur, quae per formas reductas in singulis contentas distingui poterunt Hae formae redu¬ ctae sunt: (o, 5? 0 )? ( 5? o)? (2, 5? 0)5 (d? 5? °)> ( 8, ' 5, o ), ( 9, 5, o ), quae sibi ipsae simul im¬ proprie aequiualent$ (5, 5, o) cui improprie aequiualet (7, 5, o^j (4, 5, o) cui improprie aequiualet (6, 5, o). 212. Problema. Inuenire omnes repraesenta - tiones numeri dati M per formam datam axx + 2 bxy + cyy determinantis hh. Solutio huius problematis ex principiis art 165 prorsus eodem modo peti potest, vt supra (artt. 180, 181,205) pro formis determinantis ne- gatiui et positiui non quadrati ostendimus 5 quod, quum nulli difficultati sit obnoxium, hic repetere superfluum esset. Contra haud abs re erit, solu¬ tionem ex alio principio quod casui praesenti pro¬ prium est deducere. ( h -f b ) ~~k — b Positis vt artt. 206, 208, h — b : a = Cs h h b a c : c ~e ~ gy nullo negotio probatur, formam propositam esse productum ex factoribus Sx — ~y et fx — gy. Vnde manifestum est, quamuis re¬ praesentationem numeri M per formam proposi¬ tam praebere resolutionem numeri M in binos £a- 28/ ctores. Si itaque omnes diuisores numeri M sunt d, d1, d(i etc. (inclusis etiam i, et M, et singulis bis sumtis puta tum positiue tum negatiue ) , patet omnes repraesentationes numeri M obtineri, si successius ponatur $x — Gy = c?, /ir — gp = ~ ^ etc., valores ipsorum ar, y hinceuoluantur, eaeque repraesen¬ tationes eiiciantur vbi x aut j valores fractos ob¬ tinent. Manifesto vero ex duabus primis aequa- .. £m '-idd tiombus sequitur x = - — - — - — - , et r &M~ Qdd iV (■•/- cg )d 9 , quos valores semper determinatos fore inde manifestum quod Gf ~~ i g = 2/2, adeo- que numerator certo non = o. — Ceterum ex eodem principio, puta resolubilitate cuiusuis for¬ mae determinantis quadrati in binos factores, etiam reliqua problemata solui potuissent: sed methodo ei quam supra pro formis determinantis non qua¬ drati tradidimus analoga etiam hic vti maluimus. Ex. Quaeruntur omnes repraesentationes nu¬ meri 1 2 per formam $xx -f 44 y jyy. Haec resol- uitur in factores x — y et $x -f- jy. Omnes di¬ uisores numeri 12 sunt 4^ 1, 2, 5, 4, 6, 12. Posi- lis x — y = 1, 3* + 7y = 12 fit x = 22 „ — . qui valores tamquam fracti sunt reiiciendi. Eodem modo ex diuisoribus — i, + 5, 4 4, -f- 6 4 12 valores inutiles obtinentur, ex diuisore -J- 2 vero obtinentur valores x = 2 , ^ =: o.; et ex diuisore — 2 hi x = — 2 , y = 05 praeter has duas repraesentationes igitur aliae non dantur. S88 Methodus haec adhiberi nequit, si M =r ©„ In hoc casu manifestum est omnes valores ipsorum x, y aut aequationi H — £y — o, aut huic fx — gy — o satisfacere debere. Omnes autem solu¬ tiones aequationis prioris continentur in formula x = y = $z, designante z indefinite numerum integrum quemcunque ( siquidem vti supponitur ", } inter se primi sunt ) 5 similiterque ponendo diui- sorem communem maximum numerorum/, g , = m, omnes solutiones aequationis posterioris exhi¬ bebuntur per formulam x — g%: _ hz m ? y m Quare hae duae formulae generales omnes repraesenta^ tiones numeri M in hoc casu complectentur. * * * In praecedentibus omnia quae ad cognoscen¬ dam aequiualentiam et ad inueniendas omnes transformationes formarum nec non ad repraesen¬ tationes omnes numerorum datorum per formas datas indagandas pertinent, ita sunt explicata, vt nihil amplius desiderari posse videatur, Su- perest itaque tantummodo, vt propositis dua¬ bus formis quae propter determinantium inaequa¬ litatem aequiualentes esse nequeunt, diiudicare doceamus, annon altera sub altera contenta sit, et in hoc casu omnes transformationes illius in hanc inuenire. st 3, Supra artt 157, 158 ostendimus, si forma f determinantis D formam F determinantis E onpiicet atque in ipsam transeat per substitu¬ tionem y, fore E =5 («£ — *y)% D) si lue- 1 r • 289 ST'. ' , — £y = 1 ? formam f non modo implica¬ re formam F sed ipsi aequiualentem esse et proin si f ipsam F implicet neque vero eidem aequiualeatj quotientem jj esse integrum maio¬ rem quam 1. Problema itaque hic so luendum erit, diiudicare an forma data f determinantis JD formam datam F determinantis Dee implicet , vbi e ^supponitur esse numerus positiuus maior quam 1. Hoc negotium ita absoluemus, vt mul¬ titudinem finitam formarum sub f contentarum assignare doceamus quae ita sint comparatae, vt F si sub f contenta est necessario alicui ex illis aequiualere debeat. I. Ponamus omnes diuiso res (positiuos) nu¬ meri e (inclusis etiam 1 ei e) esse m , mf mfi etc., atque e = mn = mm1 = mun 11 etc. De¬ signemus breuitatis gratia formam in quam f trans¬ it per substitutionem propriam 772, o, o, n ita (m; o), formam in quam f transit per substituti¬ onem propriam 772, 1, o, n per (7725 1) etc. generaliterque formam in quam f per subst. pro¬ priam, m o, n transmutatur per (7715 k ). Si¬ mili modo transeat f per subst. propriam m‘7 o, o, n 1 in (m‘j 0)5 per hanc 772', 1, o, n1 in (t?z'5 1)$ etc.? per 772", q, o, 72" in ( m "> o ) etc. etc. Omnes hae formae sub f proprie contentae erunt, et cuiusuis determinans === Dee. Complexum omnium for¬ marum ( 772p O), (t72?* 1 ), (/72? 2) .... (/72? 772 — I ) ( 772^* o ) , ( 777 q i ) .... f 7?2 q m‘ — i j ( m11} o ) etc. quarum multitudo erit 77Z -j- m* -f 772“ -f etc. et quas omnes inter se diuersas fore facile perspici- tur? designemus per £>. i . 1 - - ■■ 290 Si e. g. forma f est haec ( 2 , 5 , 7 ) atque t = 5 , {2 comprehendet sequentes sex! formas (1; o); (5; o), ($ ; 1), (5; 2), (5; 5), (5; 4) quae si euoluuntur sunt (2, 25, 1 75), (50, 25, 7), (50, 55, 19 )> (5°> 45j 55)» (50, 55, 35 )> (50,63,79) # - f. ' • . _ IL lam dico , si forma .F determinantis Dee sub /* proprie contenta sit , necessario eandem alicui formarum proprie aequiualentem fore. Ponamus formam f transformari in F per substi¬ tutionem propriam #> £> y> eritque — ®y = & Sit numerorum y, # (qui ambo simul o esse nequeunt) diuisor communis maximus positiue acceptus = /i, atque — - == m , qui manifesto erit integer. Accipiantur g , h ita vt sit 3 g + ^ == 7i, denique sit A: residuum minimum positi- uum numeri ag -f secundum modulum m. Tum forma (m-7 k ) quae manifesto erit inter for¬ mas & , formae F proprie aequiualebit , et qui¬ dem in ipsam transformabitur per substitutionem propriam y ag -f- k n m -fft, n ug -f- t h — k m Si n a , Nam primo perspicuum est hos quatuor nu¬ meros esse integros; secundo facile confirmatur substitutionem esse propriam; tertio patet, for* mam in quam ( m, h) per substitutionem illam transeat eandem esse in quam f *) transeat per substitutionem m ( ^ -j- h) -f- m *) Quippe quae per substitutionem m> kto,ri , in (mi k) ‘t ranis it V* art. 159. / g ) + •— > $ siue fl niam yg- «<%), — ' 7 ^ quoniam = * hyp.7 in F, Quare (. myh ) et improprie aequi- ualentes erunt, Q. E, D. Ex his igitur semper diiudicari potest, an for¬ ma aliqua data jf determinantis D formam F determi¬ nantis 'Dee proprie implicet. Si vero quaeritur an f ipsam F improprie implicet, inuestigari tan¬ tummodo debet an forma ipsi F opposita sub f proprie -contenta sit, art. 159. 214. Problema. Propositis duabus formis fi determinantis D, et F determinantis Dee i quarum prior posteriorem proprie implicat' exhibere qmnes transformationes proprias formae f in F*, Sol. Designante tl eundem formarum com¬ plexum vt in art* praec, , excerpantur ex hoc com¬ plexu omnes formae quibus F proprie aequiua- let, quae sint $v/ etc. Quaeuis harum for¬ marum sequenti modo suppeditabit transformatio¬ nes proprias formae f in F, et quidem aliae aliak (i. e. singulae diuersas), cunctae vero cunctas (i, e. nulla transformatio propria formae f in F erit quam non vna ex formis v , 4' etc* praebeat). Quoniam methodus pro omnibus formis 4>:, etc. eadem est, de vna tantum loquemur. T a 2Q2 Ponamus $ esse (M; A), atque e = MTV ita Vt / in '

in F sequetur transformatio pro¬ pria formae f in F. — Eodem modo tractandae sunt formae reliquae etc., quarum singu¬ lae transformationes propriae in F transformatio¬ nem propriam formae f in F praebebunt. Vt appareat hanc solutionem ex omni parte completam esse, ostendendum erit I. Hoc modo omnes transformationes proprias possibiles formae f in F obtineri. Sit transformatio quaecunque propria formae/' in F haec £> v> $ atque vt in art. praec. II, n diuisor communis maximus numerorum y, numeri 772, g , /2, k autem eodem modo vt illic determinati. Tunc forma (m,’ k') erit inter formas <£, o' etc., et y ciy — — ii j & &y -j-« b hi — k y c5v n m ‘ lt> n m n ’ n aliqua ex transformationibus propriis huius for¬ mae in F$ ex hac vero per regulam modo tra¬ ditam obtinetur transformatio €, y? £5 haec omnia in art. praec. sunt demonstrata. II. Omnes transformationes hoc modo pro¬ deuntes inter se diuersas esse > seu nullam bis obtineri. Nullo quidem negotio perspicitur, plu- res transformationes diuersas eiusdem formae \ . . . • vel ** etc. in F eandem transformationem for-* mae f in F producere non posse ; quod vero etiam formae diuersae e. g. <& et $7 eandem trans¬ formationem suppeditare nequeant, ita demon¬ stratur. Supponamus, transformationem propriam $ formae f in F obtineri tum ex trans¬ formatione propria a, 6 f t, b formae

' in F. Sit $ = (M; I), ' = (M'5 /f'), e = MN ~ M'N‘. Habebuntur ita¬ que aequationes u = Ma + Kc = 4- Jf'c' ... [ij, £ = M6 + Ab = Mb* + K‘b> ... [2], y =z NC = N‘C' ... [3], , $7 non sunt diuersae, contra hyp- ' 4-''. . v Ceterum patet, si D fuerit negatiuus vel positiuus quadratus, per methodum hanc omnes transformationes proprias formae f in F reuera inueniri posse,- si vero D positiuus non -quadra¬ tus, formulae certae generales assignari poterunt in quibus omnes transformationes propriae (qua¬ rum multitudo infinita) contentae erunt. T 5 Denique, si forma F improprie sub forma f contenta est, omnes transformationes impro¬ priae illius in hanc per methodum traditam fa¬ cile exhiberi poterunt. Scilicet si y , ^ inde¬ finite omnes transformationes proprias formae f in formam quae formae F opposita est, designare supponitur: omnes transf. impropriae formae/* iri F exhibebuntur per — £, y , — A Ex. Desiderantur omnes transformationes formae (2, 5, 7) in (275, o — 1), quae sub illa tum proprie tum improprie contenta est. Complexum formarum £1 pro hoc casu iam in art./praec. tradidimus ; examine instituto inueni- tur, tum (5 j 1) tum (£5 4) formae (275, 0, — i) proprie aequiualere. Omnes transformationes pro¬ priae formae (551) i. e. (50, 55, 19) in (275? o, — i) per theoriam nostram supra explicatam inueniuntur Contineri sub formula generali i6£ — 275 u; — t -f ibnf — 1 5? -f 2 75M, t — 15 u, vbi t, u designant indefinite omnes numeros in¬ tegros aequationi tt — 275 uu = i satisfacientes," quare omnes transformationes propriae formae (2, 5, 7) in f 275 , o, i) hinc oriundae con¬ tentae erunt sub formula generali 6fjt — i 100 Z4, — - .+ 6514, — 1 5? + 275^, t — 15 u. Simili modo , omnes transformationes propriae formae (5; 4) i- e • (So, 63, 79) ™ (273, o, — 1) continentur sub formula generali 14^ + 2 7544, t + 14 uy — 15? — 275/2, — t — 1 5^, adeo- que omnes transformationes propriae formae (2, 5, 7) in (275, o, — 1 ) hinc oriundvae sub hac io? + 27544, ioz/, — i5£ — 27514, — £ — 1514. Hae duae formulae igitur omnes transformationes proprias quaesitas amplectuntur* — Eodem vero modo inuenitur omnes transfor¬ mationes improprias formae (2, 5, 7) in (275, o , — 1 ) sub sequentibus duabus formulis con¬ tentas esse: (I) 65 1 — 1100«, 4 1 ~ 652, — 1 -f- — t+1511; et (II) ... 10? + 27 5z^ — £ — 1QW? — 15? — 27512, t + 15M* 215. Hucusque formas determinantis o ab amnibus disquisitionibus exclusimus, de his ita¬ que, vt theoria nostra ab omni parte com¬ pleta euadat, quaedam adhuc sunt adiicienda» Quoniam generaliter demonstratum est, si forma aliqua determinantis D formam determinantis D‘ implicet, D‘ esse multiplum ipsius D, statira patet formam cuius determinans = o aliam for-» mam quam cuius determinans etiam sit =?= o im¬ plicare non posse» Quare duo tantummodo pro¬ blemata soluenda restant, scilicet i° propositis duabus formis f, F, quarum, posterior habet determi¬ nantem o, diiudicare virum prior posteriorem implicet necne, et in illo casu omnes transformationes illius in hanc exhibere , 2° Inuenire omnes repraesentatio - nes numeri dati per formam datam determinantis o , Problema primum aliam methodum requirit, quando determinans prioris formae f etiam est o, alictm quando non est o. Haec omnia iam ex¬ ponemus» I. Ante omnia obseruamus, quamuis for¬ mam cixx + 2hxy -f cyy 1 cuius determinans bb — : ac ■=. o , ita exhiberi posse m ( gx -j- hy ) %7 denotantibus g , h numeros inter se primos, m Integrum, Sit enim m diuisor communis maxl- T 4 296 mus ipsorum c eodem signo acceptus quo hi numeri ipsi sunt affecti (hos signa opposita habere hon posse facile perspicitur), eruntque ~ , >~ integri inter se primi non negatiui, productum ex ipsis == — ~ i. e. quadratum, adeoque illi ipsi quadrata (art, 21). Sit == gg, JL =3 hh, eruntque etiam g, h inter se primi, gghh — , et gh = +_ Hinc patet m(gx mm m HH fay ) % fore =s axx -j- 2bxy cyy. lam propositae sint duae formae f , F , vtra- que determinantis o, et quidem sit f = m (gx + hy) , F = M ( GX + HYY , ita vt # ad h, G ad H sint primi. Tum dico si forma f impli- cet formam F, m aut ipsi M aequalem esse aut saltem ipsum M metiri et quotientem esse qua¬ dratum 3 et vice versa si ~ sit quadratum inte¬ grum , incontentam esse sub f. Si enim-/' per substitutionem x === «I f 6F, y === ^X + *TF ■ # y/ in F transire supponitur, erit ( GX-f IIY) 1 = (( < g + vA) X -f ~r tA) F)2, vnde facile se^- M quitur — esse quadratum. Ponatur = ee^ erit- que e ( GX -f /TF) == ± ((g + 7-h) X+ (£g + ih) Y i. e. jT ^G = + yh ? eH = Cg + tf/zj si itaque ©; jp ita determinantur vt sit ©G -f = 1, erit dq £ = © ( g -f- >/z) -f ( « + $h )., adeoque integer. Q. E. P. — ■ Si V Vero, vice versa, supponitur, — esse quadratum Integrum .== ee, forma f implicabit formam F. Scilicet integri y, ^ ita poterunt determi¬ nari vt fiat dg -h yh = + eG, Cg + ih = + eH. Accipiantur enim integri g, § ita vt fiat Qg -f fyh = i , satisfietque aequationibus illis po¬ nendo * = +_ cGq + hz, i} = ±. «G.& — € = +. eHo, 4- Ac', J = +. elfy ~~ Sz S nancisci possunt, i. e. omnes trans¬ formationes formae f in F exhibere, si modo c, z‘ indefinite omnes numeros integros exhibere supponantur. II. Propositis duabus formis / == axx 4* Qbxy 4- erp cuius determinans non = 0, et F =5 Af ( GX 4" HY) 1 cuius determinans — o ( de¬ signantibus vt ante G, II numeros inter se pri¬ mos ) , dico primo , si / implicet ipsam F , nume¬ rum M per formam / repraesentari posse 5 c undo , si Af per / repraesentari possit, F sub / 'contentam esse 5 tertio , si in hoc casu omnes re¬ praesentationes numeri M per formam / indefi¬ nite exhibeantur ita x — / — v, omnes trans¬ formationes formae / in -E exhiberi ita Gf? ATI» Gu, /A. Quae omnia sequenti modo demon¬ stramus. i° Ponamus f transire in F per substitutio¬ nem d, £7 7 , A;, accipianturque numeri @, S} ita vt sit @G 4- SdH 5= i; Tunc manifestum est, T s 2Q8 d ponatur x = «© + r = y® -p Hp, ca¬ lorem formae f fieri dZ, adeoque M repraesen- labilem esse per formam f 2° Si supponitur esse aU -p 2&l« -p cw == M, manifestum est per substitutionem G|, iZ£„ Gi/, II v , formam / transire in F, Quod vero 5° in hoc casu substitutio Gf, HI, G», Hv omnes transformationes formae / in F exhibeat, si I, v supponantur exhibere omnes valores ipso¬ rum x, y , qui faciunt / = Mr ita perspicitur. Sit <*, £, y> ^ transformatio quaecunque formae / in -F, et vt ante ®G -f- Jp// == i. Tum in¬ ter valores ipsorum xr y erunt etiam hi, x ==. «t® -p T = }® + Hp, ex quibus obtinetur substitutio G(>® -p £§)> H(ot® -f- £#), G('v® + ?:&).> siue et -P (£G — * ctZF), C -f ® (-// — 6G), y + ^ (^G — - y/Zj, i' -p ® (vH — ZG), Sed quoniam a («X -p £F)1 -p ab ( «X -p £F) (yX -p cfF) + c (yX + «f F)1 == M ( GX -p //F) 1 erit a ( *$*— ®y ) 1 = M($G — yH)\ vnde patet, formulam traditam omnes transformationes formae / in F suppeditare» III, Superest vt omnes repraesentationes nu¬ meri dati per formam datam determinantis o exhibere doceamus. Sit forma haec m {gx -p l ]fiy)r7 patetque statim, numerum illum per m diuisibilem, et quotientem quadratum esse de¬ bere. Si itaque numerus propositus statuitur = mee , perspicuum est, pro quibus yaloribus ipso¬ rum x7 y fiat m (gx + hy) 1 -= mee , pro iisdem fieri gx + hy aut = + aut = — e. Quare omnes repraesentationes habebuntur, si omnes solutiones aequationum linearium gx. -f- hy = e7 gx + hy = — e in integris, sunt inuentae. Has vero solubiles esse constat (siquidem g, h sunt inter se primi vt supponitur). Scilicet si g, f) ita determinantur vt sit §g + §h — i , aequationi priori satisfiet ponendo x = §e -f- f)z7 y — fye • qz7 posteriori vero faciendo x = — ge ,-f §z , y == — — gz , denotante z integrum quem¬ cunque. Simul vero formulae hae omnes valores integros ipsorum x7 y exhibent, si z indefinite numerum quemuis integrum designare suppo¬ nitur. * „ * * His disquisitionibus coronidis loco apponimus 216. Problema. Inuenire omnes solutiones aequationis generalis *) indeterminatae secundi gradus duas incognitas implicantis axx -{- 2hxy + cyy + 2 dx -p 2ey -f- / = o (vbi a, b , c et e, sunt integri quicunque dati ) per nu¬ meros integros . *) Si aequatio proponeretur in qua coefficiens secundus , 'quartus vel quintus non esset par, multiplicata perneam formam reciperet quam hic supponimus. 500 Sol Introducamus loco incognitarum x, $M alias p = ( bb — ac) x -f- be — cd , et q = : ( bb - — #c) y -f bd — * tfc, qui manifesto sem- • per erunt integri, quando xry sunt integri Quo facto habebitur aequatio app -f- zbpq + cqq -f- ( bb — ac) ( aee — %bde -f cdd) = o, siue po¬ sito breuitatis gratia numero {bb — ac) ( aee — Sibde -f cdd) = — AT, haec app -f- 2 bpq -f cqq = M. Iam omnes solutiones huius aequationis, i. e. omnes repraesentationes numeri M per for¬ mam («,&, c) in praecedentibus inuenire docui¬ mus. Si vero ex singulis valoribus ipsorum p , q1 valores respondentes ipsorum x9 y adiumento aequationum x = y __ u bb ~ ac J bb — ac determinantur , facile perspicitur , omnes hos valo¬ res aequationi propositae satisfacere, et nullos va¬ lores integros ipsorum x9 y dari qui hoc modo non obtineantur. Si itaque ex omnibus valoribus ipsorum x% y sic prodeuntibus valores fractos eii- " cimus, omnes solutiones quaesitae remanebunt. • Circa hanc solutionem sequentia sunt ob- semanda. 1° Si aut M per formam (a9 b9 c) reprae¬ sentari non potest, aut ex nulla repraesentatione valores integri ipsorum x9 y sequuntur: aequatio in integris nullo modo solui poterit. 20 Quando determinans formae Qa9 b9 c)9 i. e. numerus bb ac est negatiuus, vel positi- ■uus quadratus simulque M non == o: multitudo repraesentationum numeri M per formam {<2, b9 c) 501 erit finita , et proin etiam multitudo omnium so¬ lutionum aequationis propositae (si quae omnino dantur) finita erit, 5° Quando bb — ac est positiuus non-qua- dratus , vel quadratus et simul M = o: numerus M, si vllo modo , infinitis modis diuersis per for¬ mam ( a , b , c ) repraesentari poterit ; sed quoniam impossibile est, has repraesentationes omnes ipsas inuenire et tentare virum valores integros ipso¬ rum x , y praebeant an fractos, necessarium est regulam tradere, per quam, quando forte nulla omnino repraesentatio valores integros ipsorum #, y praebere potest, de hac re certi fieri possi¬ mus (nam quotcunque repraesentationes in hoc casu tentatae fuerint, absque tali regula ad certi¬ tudinem numquam perueniremus) $ quando vero aliae repraesentationes dant valores integros ipso¬ rum x , y., aliae fractos: docendum erit quomodo hae ab illis a priori generaliter dignosci possint. 4° Quando bb — ac == o: valores ipsorum 3c , y per formulas praecedentes omnino non pos¬ sunt determinari j quare pro hoc casu methodus peculiaris inuestigaii debebit» 2if. Pro eo casrtj vbi bb — ac est nume¬ rus positiuus non-quadratus , supra docuimus^ o- innes repraesentationes numeri M per formam app -f %bpq -f cqq (si quae omnino dentur) ex¬ hiberi posse, per vnam vel per plures formulas tales p = 2. (Ut + 58^), q == — ((fo + JBm), - denotantibus S* ® numeros integros da- 1 302 tos , m diuisorem communem maximum numero^ rum a, 2 b, Cj denique f, u indefinite omnes nu¬ meros integros aequationi tt — (bb — ac) uu == mm satisfacientes, Quoniam omnes valores ipso¬ rum t, u tum positiue tum negatiue accipi pos¬ sunt: pro singulis illarum formarum quaternas alias substituere poterimus, p = (3ft + 3$n), q «= -I (<£* + ©«); P = q — m m * ' ' i. (£f _ ©«)5 P = 1 ( - .»+'»!»), q =s JL (_ ^ -f SD«)? /??== — — (3(?-h 93n), a == — m '' «1 ' '■ JL ( (Et + $D*0> Yt multitudo omnium formu- larum nunc quater maior sit quam antea, t et u vero non amplius omnes numeros aequationi tt _ ( bb — ac ) uu = mm satisfacientes exprimant , sedi positiuos tantum. Quaeuis harum formarum ita¬ que seorsim considerari -, et qui valores ipsorum r, u praebeant valores integros ipsorum x, y, inuestn- gari debebit Ex formula p == ( Ut -j- S$u ) , q == JL (Sf + *£)u) ... [1] sequuntur valores ipsorum u:. —j— j— THcd y •ac) Supra vero ostendi- y Ih: * — - T^rJU m ( bh Qit -j- -j- mae — mbd m ( bb ac) miis, omnes valores (positiuos) ipsorum t consti¬ tuere progressionem recurrentem t\ £', t“ etc. , similiter valores . .respondentes ipsius u quo¬ que seriem recurrentem formare u ', uH etc. j praeterea assignari posse numerum g ‘Ia- 505 lem, vt secundum modulum quemcunque datum fiat t? = t° , ??+-1 EE t1, tf^-2 EE V etc., u$ — 7 1? , EEE zd etc. Pro hoc modulo acci¬ piemus numerum ra ( bb — nc), designabimUsque breuitatis gratia valores ipsorum x, y qui prode¬ unt ponendo t = t°, u = ii° 7 et quibus tribue¬ mus indicem o, pera:0, y'') similiterque eos qui prodeunt faciendo t =. V y u == u1, per x‘7 y '• qui¬ bus tribuemus indicem X , etc. Tunc nullo nego¬ tio perspicietur, si xh , yh fuerint numeri integri atque ^ rite determinatus , etiam yh~^? $ nec non ’S/h-4- 2? et generaliter x e- k? ? ^h4-kf , integros fore 5 et contra si xh vel yh sit fractus, etiam xh 4- kf , vel *Cv-f~k? fractum fore*. Hinc facile concluditur, si valores ipsorum jr, y9 quibus indices o, 1, 2 v.,« e — x competunt, euol- uaniur, et pro nullo horum indicum tum xr tum y integer sit, nullum omnino indicem darq pro quo tum x , tum y valores integros recipiant* in quo Casu ex formula [1] nulli valores integri i ipsorum x , y deduci poterunt Si vero inter illos indices aliqui sunt, puta u, E , ^ etc, quibus va¬ lores integri ipsorum x , y respondent, omnes va¬ lores integri ipsorum x, y, qui quidem ex formu¬ la [1] ‘obtineri possunt, ii erunt, 'quorum indices sub aliqua formularum ^ + fa, ^ -f etc. sunt contenti, denotantae k indefinite orpnes muneras integros positiuos , inclusa etiam cifra. Formulae reliquae sub quibus valores ipsorum Pi q contenti Surit, prorsus eodem modo sunt tractandae. Si contingeret, vt ex nulla omnium diarum formularum valores integri ipsorum x9 y — 504 — obtineantur , aequatio proposita in integris nullo prorsus modo solui posset? quoties vero reuera est solubilis, omnes solutiones in integris per praecepta in praeco, tradita exhiberi poterunt. 218. Quando bb — ac est numerus quadra¬ tus atque = o, omnes valores ipsorum p, q comprehensi erunt sub duabus huiusmodi formu¬ lis p ==, q ~ $$z; p == li‘z, q — 53'z, vbi z indefinite designat quemuis numerum integrum, 31, vero sunt integri dati, quorum pri¬ mus cum secundo, tertius cum quarto diuisorem communem non habent ( art, 2 1 2 ), Omnes itaque valores integri ipsorum x, y ex formula prima oriundi contenti erunt sub formula [1] 1 X -f- cd — he bb — ac $8% 4. ae — bd bb - ac. omnesque reliqui ex formula secunda oriundi sub hac [2] 7Llz -f cd — be -f- ae — bd x = — -77 — - 5 y = - tt - " • bb — ac 7 bb—- ac Sed quoniam vtraque formula etiam valores fra¬ ctos praebere potest ( nisi bb — ac == 1 ) ,* opus est vt eos valores ipsius z, qui tum ipsum x tum ip¬ sum y integrum reddunt, a reliquis in vtraque fornSula separemus 5 attamen sufficit primam scb lant considerare , quum pro altera prorsus eadem methodus adhibenda sit. i Quoniam. 3f, 53 inter se primi sunt, duos numeros a, b ita determinare licebit vt fiat a'& -b == 1. Quo facto habetur (cur + ) {bb-* I 505 m ) * z + 0 (cd — be ) -p 6 # g — • &7), vnde statim patet, omnes valores ipsius z qui valores integros ipsorum x, y producere possint , neces¬ sario numero a (be cd) -p b (bd — ae) sea mod. bb — ac congruos, siue sub formula (bb — ac)zi -p a (be — cd ) -p 6 bd — ae ) con¬ tentos esse debere, designante z‘ indefinite nu¬ merum integrum. Hinc facile loco formulae [ij obtinemus sequentem x = %z* -p & X y sx — a X % ' bd ~ ae) — B ( — rd ) bb — nr • , * . V I t(bd - «*) B (be — cd) bb ~~ quam aut pro omnibus valoribus ipsius ' z* aut pro nullo valores integros ipsorum x , y prae¬ bere manifestum est, et quidem casus prior sem- per locum habebit quando li (bd ae) et i be — cd) sec. mod. bb . — ac sunt congrui, poste¬ rior quando sunt incongrui. — Prorsus eodem modo tractanda erit formula [2], solutionesque in integris ( si quas praebere potest) a reliquis separandae» 219. Quando bb — - ac === o, forma axx + 2 bxy -p cyy exhiberi poterit ita: m ( c-x -p Cy ) a , vbi m , £ sunt integri (art. 215.). Po¬ natur ctx -p y === z, transitque aequatio propo¬ sita in hanc* mzz *p 2dx -p 2 ey p / ss o, vnde et ex z =±± ux -p deducitur )mzz "P 2ez + -f 2ote Id > y utllZZ -p 4“ «/ 2:d ~ lam patet, nisi fuerit «e == (quem casum i. xi — gb6 , ■— statim seorsim considerabimus ) , valores ipsorum x, y ex his formulis deductos tribuendo ipsi z valorem quemcunque, aequationi propositae sa¬ tisfacere; quare nihil superest, nisi vt eos valo¬ res ipsius z determinare doceamus ex quibus va¬ lores integri ipsorum xr y sequantur. Quoniam -f* % = z , necessario pro "z numeri integri tantum accipi possunt; praeterea vero manifestum esi, si aliquis valor ipsius 2 tum ipsum x tum ipsum y integrum reddat, omnes valo¬ res ipsius £ illi secundum modulum Zete — - 2 Cd con¬ gruos itidem valores integros producere. Quodsi itaque pro z omnes numeri integri a o vsque ad 2ae — 2 Cd — i (quando de — Cd est positi- uus) aut ad 2 td — Q&e — 1 (quando a e — Cd est negatiuus) incl. substituuntur, et pro nullo horum valorum tum x tum y integri fiunt, nul¬ lus omnino valor ipsius z valores integros ipso¬ rum x , y producet , aequatioque proposita in in¬ tegris nullo modo poterit resolui; si vero quidam ex illis valoribus ipsius z ipsis x, y valores inte¬ gros conciliant, puta hi & i', £“ etc. (quos etiam per solutionem congruentiarum secundi gradus ex principiis sect. IV» inuenire licet); omnes so¬ lutiones prodibunt ponendo z = ( 2ne — 2 £d)v + Z == ( 2. e — 2^-) v -[- i1 etc.> designante V indefinite omnes nutnerOs integros. 220. Pro eo quem exclusimus casu, vbi te = methodum peculiarem indagare opor¬ tet. Supponamus, G inter se primos esse, d quod licere ex art. 215. I constat, eritque — ss &0f — . — numerus integer (art. 19 , quem statuemus r= h. Tunc aequatio proposita hanc induit for¬ mam: ( m<&x -f m&jr 4- h ) “ — hh -f f = o, ma¬ nifesto que adeo rationaliter solui nequit , nisi hh - f fuerit numerus quadratus, - Sit hh — f = •hk, patetque aequationi propositae sequentes duas aequiualere m*x -f mty .+ h -f k ,<= q, et ’+ Hh h — k — o , z, e. quamlibet solutionem aequationis propositae etiam alterutri harum ae¬ quationum satisfacere, et vice versa. Aequatio prior manifesto in integris solui nequit, nisi h -{- k per m fuerit diuisibilis , similiter que posterior solutionem in integris non admittet , nisi h k per rn fuerit diuisibilis. Hae vero conditiones ad resoiubilitatern vtriusque aequatipnis sufficiunt fquia «v £ inter se. primi esse 'supponuntur \ omnesque solutiones secundum regulas notas exhiberi poterant. 22 1. Casum in art. 217 consideratum (quia Omnium difficillimus est) exemplo illustramus. Proposita sit aequatio xx -f 8 xy + yy -f 2x — . 4^ -f- 1 === o. Ex hac primo per inti oductionem aliarum incognitarpm p -=== i $x — 9, q = 157--!- 6 deriuatur aequatio pp + 8 pq + qq = — 540. Huius ‘autem solutiones omnes in integris, contineri inue- niuntur sub quatuor formulis sequentibus: p = 6f, q ==: — 24 1 — 90 u p ~ 6f, q ■= — 24 1 + 90 u p = — 6 r, q == 24? — goz£ p ■ = — 6 £, q = 24? -f gozz denotantibus zz indefinite omnes numeros inte¬ gros positiuos aequationi tt _ x^zzzz == 1 satis- U 2 facientes, quos complectitur formula t = § ((4 + V~ 15)" + (4--/' 15)"),“= —~((4 + yf 15 ) n — (4 — 15)n)> si n indefinite omnes numeros integros positiuos (inclusa etiam cifra ) designat. Quamobrem omnes valores ipsorum x , y contenti erunt sub formulis his : x = l (<2t + 3 ) , y — — 1(8* + 5 ou + 2) x = I (a? + 3), 7 = — | (8* — > 50^ 4- 2) x = I (— 2t + 3), 7 = 1 (8? — 30 U — 2) X = I (— 2t + 3), 7 = | (8t 4- 30Z4 — 2). Praeceptis autem nostris rite applicatis, reperie- tur, vt valores integri prodeant, in formula pri¬ ma et secunda eos valores ipsorum £, u accipi debere, qui proueniant ex indice n pari ,* in ter¬ tia quartaque vero eos, qui ex impari n obtinean¬ tur. — Solutiones simplicissimae habentur hae: x = 1,— 1, — 15 y — - 2? e, 12 resp. Ceterum obseruare conuenit, solutionem problematis in aitt. praecc. explicati plerumque per multifaria artificia abbreuiari posse, praeser¬ tim quantum ad exclusionem solutionum inuti¬ lium i. e. fractiones implicantium pertinet 5 sed haec ne nimis longi fiamus hoc loco praeterire coacti sumus. 222. Quoniam complura ex iis quae hucus¬ que pertractauimus etiam ab aliis geometris con¬ siderata sunt, horum merita silentio praeterire non possumus. De formarum aequiualentia dis¬ quisitiones generales instituit ili. La Grange, Nouv. Mem. de tAc. de Berlin , 1773/?. 263 el l775 P‘ 525. 6qq. , vbi imprimis docuit, pro quo- — 5 og — uis determinante dato multitudinem finitam for¬ marum dari ita comparatarum, vt quaeuis forma illius determinantis alicui ex ipsis aequiualens sit, adeoque omnes formas determinantis dati in classes, distribui posse. Postea clar. Le Gendre plures pro¬ prietates elegantes huius classificationis, ad maxi¬ mam partem per inductionem detexit, quas infra tra¬ demus demonstrationibusque muniemus. Ceterum distinctionem aequiualentiae propriae et impropriae, cuius vsus maxime in disquisitionibus subtiliori¬ bus conspicuus est, nemo hucusque attigerat. i Problema famosum in art. 216 sqq. expli¬ catum ili. La Grange primus complete resoluit, Hist. de TAc. de Berlin 1767, p. 165, et 1768 p. 181 sqq. Exstat solutio (sed minus completa) etiam in Suppi, ad Euleri Algebram iam saepius laudatis. Iam antea ili. Euler idem anmmen- O tum aggressus fuerat, Cornm. Fetr. T. FI p. 175; Comm* Nou. T. IX p. 3; Ibid. T. XVIII p. 185 sqq., sed inuestigationem suam eo semper re¬ strinxit, vt ex aliqua solutione, quam iam cogni¬ tam esse supponit, aliae deriuentur,- praeterea- que ipsius methodi in paucis tantummodo casi¬ bus omnes solutiones suppeditare valent ( vid. La Grange Hist. de TAc. de Berlin 1767, p. 2 57). 'Qqum vltiroa harum trium commentt. recentioris da, i sit quam solutio La Grangiana, quae pro¬ blema omni generalitate amplectitur nihilque hoc respectu desiderandum relinquit: Euler tunc temporis (Tomus XVIII Commentariorum per¬ tinet ad annum 1775, et a* 1774 est publicatus) illam solutionem nondum nouisse videtur. Ce¬ terum solutio nostra (perinde vt omnia reliqua U 5 5io quae in hac sectione hactenus tradidimus), prin¬ cipiis omnino, diuersis est superstructa.. Quae ab aliis,, Diophanto, Fermatio etc.. huc pertinentia sunt tradita, casus maxime speci¬ ales spectant 5 quare quum eorum quae praeser¬ tim memoratu digna visa sunt iam supra mentio facta sit, sigiliatim omnia enarrare supersedemus^ * Quae hactenus de formis; secundi gradus ex¬ posuimus , pro primis tantum elementis huius; doctrinae sunt habenda: innixius hanc disquisitio¬ nem persequentibus campus se aperuit nobis va¬ stissimus, eX quo ea quae attentione imprimis; digna videntur in sequentibu# excerpemus., Nam¬ que argumentum hoc tam fertile est, vt per¬ multa alia , quae iam nunc inuenire nobis conti¬ git, breuitatis gratia silentio praeterire oporteat:, multo vero plura sine dubio, adhuc latent nouos- que conatus expectant. Ceterum in limine harum inuestigationum statim adnotare conuenit, formas determinantis o inde exclusas esse, nisi contra¬ rium moneatur, 225, Iam supra (artt. 175, 195, 211) osten¬ dimus, proposito numero quocunque integro D (siue positiuo siue negatiuo ; assignari posse mul¬ titudinem finitam formarum Fj F. etc. de¬ terminantis D, ita comparatarum, vt quaeuis for¬ ma determinantis D proprie aequiualens sit ali¬ cui ex illis et quidem vnicae tantum. Omnes Igitur formae determinantis D (quarum multi¬ tudo est infinita) secundum illas formas classi ficari poterunt, formando scilicet e complexu omnium formarum formae F proprie aequiua- leutium classem primam j e formis quae formae F* proprie aequiualent , secundam etc. Ex singulis classibus formarum determinan¬ tis dati D r forma aliqua eligi, et tamquam for¬ ma repraesentans totius classis considerari poterit. Per se quidem prorsus arbitrarium est, quaenam forma ex quaque classe accipiatur, attamen ea semper praeferenda erit, quae reliquas simplicitate superare videtur. Simplicitas formae alicuius (fl, b-i c) manifesto ex magnitudine numerorum r. Sed hinc res nondum determinatur penitus, arbitrioque nostro relin¬ quitur e. g. , vtram ex formis ( 17 , o, *— 45), ( 5 , o , — 155) pro simpliciori habere malimus. Plerumque tamen e re erit, [sequentem normam obseruare : I., Quando determinans D est negatiuus, adoptentur formae reductae in singulis classibus contentae tamquam formae repraesentantes j vbi vero in eadem classe duae formae reductae repe- riuntur ( quae erunt opp ositae , art. 1 72), reci¬ piatur ea cuius terminus medius, positiuus. XI. Quando determinans D est positiuus non-quadratus , euoluatur periodus formae alicu¬ ius reductae in classe proposita contentae > in qua U 4 I 513 — aut duae formae ancipites inuenientur aut nulla (art. 187). 1) In casu priori sint formae ancipites hae: (A, B, Cj, {A1 , B', O ) ,* residua minima nu¬ merorum B, B' secundum modulos A , ^ resp. jkf, M' (quae positiue accipi poterunt nisi sunt . . D—MM D M‘M* = • o j denique — ^ - = Jy, - — - s=s 7V'. His ita factis, ex formis ( A , M, — iV), ( A‘y M‘y ~~ N*) ea quae simplicissima videtur pro forma repraesentante accipiatur. In. hoc iudicio forma cuius terminus medius = o praeferatur 5 quando vero terminus medius aut in vtraque aut in neutra est o, ea quae terminum primum mi¬ norem habet alteri praehabenda, et quando ter¬ mini primi magnitudine sunt aequales signis di- uersi, signum negatiuum positiuo postponendum, Q) Quando vero nulla forma anceps in to¬ ta periodo habetur, eligatur ex omnibus periodi formis ea quae terminum primum sine respectu signi minimum habet, ita quidem, vt si duae forrnae in eadem periodo occurrant, in quarum altera idem terminus primus signo positiuo affe¬ ctus sit in altero negatiuo, posterior priori post¬ ponatur. Sit haec forma ( A , B, C), deduca- turque ex ipsa eodem modo vt in casu praec, forma alia {A, M, — N) (puta, accipiendo pro M residuum absolute minimum ipsius B secun- D NINI dum mod. A, et faciendo N =s= — — - ); haec demum pro repraesentante adoptetur. Quodsi vero eueniret, vt idem terminus " > mus minimus A pluribus periodi formis comihi> * 515 nis sit j omnes hae formae eo quo praescripsimus • modo tractandae et ex formis prodeuntibus ea cuius terminus medius quam minimus euadifc tamquam forma repraesentans assumenda erit. Ita e. g. pro D = 505 habetur periodus inter alias haec: (17, 4, 17), — 17, 13, &), (8, ii, - 25), (— 25, 12,7;, (7, 16, - 7), ( — 7, ia, 25), (25, 11, — 8), (—8, 15, 17), ex qua primo eligitur forma (7, 16, — 7)^ hincque secundo deducitur forma repraesentans <7,3, — 45)- III. Quando determinans est positiuus qua¬ dratus = kk , ematur forma reducta ( A, /c, o ) in classe proposita contenta et, si A < k aut = k , pro forma repraesentante ipsa, recipiatur; si vero A > k, assumatur illius loco forma ( A — • 2k, /c, o), cuius terminus primus erit negatiuus , sed minor quam k. Ex. Hoc modo omnes formae determinan¬ tis — 235 ) distribuuntur in classes sedecim, qua¬ rum repraesentantes erunt: (1,0, 255), (2, 1, 118 , (4? 1 > 59 ) > ( 4 > — ~ 1 > 59)? (5) °? 47 (10, 5, 26), (13, 5, 20 ), (15, — 5, 20), octo- que aliae a praecedentibus in solis signis termi¬ norum externorum diuersae , ( — 1 , o , — 235 ), (—2, x ? — 1x8 ) etc. Omnes formae determinantis 79 in sex clas¬ ses discedunt , quarum repraesentantes { 1 , o, _ 79 i- 5» 1» - — 1, — 26), (_ 1,0, 79)7 (-5>i>a6),(_ 3, - i, 26;. U 5 224. Per hanc itaque classificationem for¬ mae quae proprie aequiualentes sunt a reliquis, omnino segregabuntur. Duae formae eiusdem determinantis D , si ex eadem classe sunt, pro¬ prie aequiualentes erunt ; quiuis numerus per vnam repraesentabilis etiam per alteram reprae-i sentari poterit; et si numerus quicunque M per formam priorem ita repraesentari potest, vt inde¬ terminatae valores inter se primos habeant, idem numerus per alteram formam eodem modo re¬ praesentari poterit, et quidem ita, vt vtraque repraesentatio ad eundem valorem expressionis ' •yf' D (mod. M) pertineat Si vero duae for¬ mae ad classes diuersas pertinent, proprie aequi¬ ualentes non erunt; a repraesentabilitate numeri alicuius dati per vnam ad repraesentabilitatein eius¬ dem numeri per alteram concludi nequit; contra, si numerus M per alteram repraesentari potest ita vt valores indeterminatarum inter se primi sint, statim ceiti sumus , nullam similem repraesenta¬ tionem eiusdem; numeri per formam alteram dari, quae ad eundem valorem expr. yf D ( mod, M) p ertineat. ( V., artt. 167, 1 £> 8 ). Contra vtique fieri potest, vt formae duae Fj F‘r e classibus diuersis K, K‘ improprie aequi¬ ualentes sint, in quo casu quaeuis forma ex al¬ tera classe cuiuis formae ex altera improprie ae- quiualebit; quaeuis forma ex K formam sibi op¬ positam habebit in. 10 , classesque ipsae K, K* op¬ positae dicentur. Ita in exemplo primo art. praec. classis tertia formarum det. 255 quartae, septima octauae opposita est; in ex. secundo classis secunda tertiae, quinta sextae. Propositis itaque duabus formis quibuscunque e classibus oppositis, quiuis numerus M qui per alteram repraesentari potest etiam per alteram poterit,* quod, si in altera fit per valores indeterminata» rum inter se primos, in altera perinde fieri pote¬ rit,. ita tamen, vt hae duae repraesentationes ad valores oppositos expr, D (mod. M) perti¬ neant. — * Ceterum regulae supra traditae pro electione formarum repraesentantium ita sunt constitutae, vt classes oppositae formas reprae¬ sentantes oppositas semper nanciscantur.. Denique dantur etiam classes sibi ipsis op¬ positae, Scilicet si forma aliqua simul cum for¬ ma opposita in eadem classe continetur, facile perspicitur, omnes formas huius classis tum pro¬ prie tum improprie inter se aequiualentes esse, oppositasque suas serum habere. Hanc indolem quaeuis classis habebit, in qua forma anceps con¬ tinetur, et vice versa in quauis classe sibi ipsi opposita necessario forma anceps reperietur (ait. 165, 165 ), quamohrem classis anceps nuncupa¬ bitur. Ita inter classes formarum determinantis — 055 octo ancipites habentur, quarum reprae¬ sentantes sunt (1,0, 255)> (2, 1, 118), (5, 0, 47); (io, 5, 26^, (- 1, o, - 255), (— 2, 1, - »8;, ( — 5, 0, -47 ; (- 10, 5, — 26); inter classes formarum determinantis 79 duae, quarum repraesentantes (1, o, — 79 j, ( — 1, o, 79 ). — Ceterum si formae repraesentantes secun¬ dum regulas nostras determinatae sunt, classes ancipites nullo negotio inde cognosci poterunt Scilicet pro determinante positiuo non quadrato classis anceps certo formam repraesentantem an- 5*6 cipitem nanciscitur, (art. 194); pro determinante negatiuo forma repraesentans classis ancipitis aut ipsa anceps erit, aut talis cuius termini externi sunt aequales (art. 172)5 denique pro determi- . nante positiuo quadrato per art. 210 facile diiudi- catur, an forma repraesentans sibi ipsi impro¬ prie aequiualens sit adeoque classis quam reprae¬ sentat, anceps. 225. Iam supra (art. 175.) ostendimus, in forma ( a , b , c) determinantis negatiui terminos externos eadem signa habere tum inter se tum cum terminis externis cuiusuis aliae formae illi aequiualentis. Si a, c sunt positiui, formam (#, b, c) positiuam vocabimus, nec non totam clas¬ sem in qua (— 1, 59), 5,o,47), (13, 5 1 20), i 1 3 , — 5, 20), totidemque inter negatiuas,* binae vero inter vtrasque impropriae. - 1 i ' • . , ... z/ " . 4 ' ' *) Hos 'terminos propyie et improprie ideo hic elegimus quia klii magis idonei non occurrebant, quod admonemus, ne quis ititer hanc significationem eamque qua inde ab art 157 vsi sumus, ne¬ xum occultum quaerat, qui nullus adest. Ceterum ambigujtas 'hinc non est metuenda. — . Classes formarum determinantis 79 (vtpote numeri formae \n + 5 ) omnes sunt propriae. Si forma (<2, h , c') est deriuata, et quidem e primitiua — ^ , haec aut proprie pri¬ mitiua aut improprie esse poterit. In casu priori m erit diuisor communis maximus etiam nume¬ rorum a, 2br c\ in posteriori horum numero¬ rum diu. cornm, max. erit zni. Hinc infelligitur distinctio inter formam e forma proprie primi - ua deriuatam , et formam ex improprie primitiua deriuatam } nec non (quoniam propter ari. 16 1 omnes formae eiusdem classis hoc respectu per¬ inde se habent ) inter classem deriuatam e classe proprie primitiua et classem ex improprie primi¬ tiua deriuatam . Per has distinctiones fundamentum primum hacti sumus, cui distributionem omnium classium formarum determinantes dati in varios ordines superstruere possumus. Classes duas, quarum repraesentantes sunt formae ( b ,c), (a^b\c‘) in eundem ordinem coniiciernus , tum si numeri tz, b, c eundem diuisorem communem maxi¬ mum habent Vt 'a*\ b1, c*, tum a, 2Z?, c eun¬ dem vt a‘ , b* , c1 ; si vero aut alterutra aut Vtra- que harum conditionum locum non habet, clas¬ ses ad ordines diuersos referentur. Hinc statim patet, omnes classes proprie primitiuas vnum ordinem constituere.; omnes classes improprio prirhitiuas, alium 5 si mm est quadratum deter¬ minantem D metiens classes deriuatae e clas¬ sibus proprie primitiuis determinantis D mm 54d mabunt ordinem peculiarem, aliumque classe» deriuatae e classibus improprie primitiuis deter- minantis -Q- etc. Si forte D per nullum mm r quadratum ( praeter i ) diuisibilis est, ordines classium deriuatarum non aderunt adeoque aut vnus tantum ordo dabitur ( quando D EE 2 vel 5 secundum mod. 4 ) puta ordo classium proprie primitiuarum , aut duo quando D — 1 (mod. 4)) scilicet 0. classium proprie primitiuarum et O. cL impr. primitiuarum. Per principia calculi com- binationum haud difficile conditur regula sequens generalis: Si supponitur D = D1 22^ a2* b 2* c2y .... ita vt D' nullum factorem quadrati" cum implicet, et a, by c etc. sint numeri primi impares diuersi (ad quam formam quiuis nume¬ rus redigi potest faciendo u = o quando D pet 4 non est diuisibilis; et at, y etc. omnes — o siue quod eodem redit omittendo factores a2^ h2®, c2y etc. quando D per nullum quadratum impar diuidi potest ) : habebuntur aut ordines ( ft + f ) ( * + 1) ( £ + i ) ( v + 1 ) • • • nempe quando D' ” 2 vel 5 ( mod. 4 ; aut ordines C4 + 2 ) (* + 1 ) ( C + l ) ( y + 1 ) . . quando zE* 1 ( mod. 4 ). Sed demonstrationem hu¬ ius regulae supprimimus, quoniam neque diffi¬ cilis neque hic adeo necessaria est. Ex. 1. Pro D =s 45 =s= 5. 5 1 habentur sex classes , quarum repraesentantes ( 1 , o , — 45), ( - 1, o, 45 i;, ( 2, 1, — 22 ( 2, 1, 22), (5, o, ~ 1.5), 6, 5, ~~ 6). ttae dis¬ tribuuntur in quatuor ordines, scilicet 0. I com- 5ai prehendet duas classes proprias quarum repr. (i, o, — 45)? X — x? °? 45)? O. II continebit duas classes improprias, quarum repr. (2, 1, — 22), ( — 2, i, 22)5 O. III continebit vnam clas¬ sem deriuatam e propria determinantis 9, puta cu¬ ius repr. (5, o, ■— 15)5 Q. IV constabit ex vna classe deriuata ex impropria det. 9 , puta cuius repr. ('6, 3, — 6 ). ♦ Ex. 2. Classes positiuae determinantis — jqq = — 11, 31 inter quatuor ordines distribuen¬ tur: O. X complectetur classes proprie primitiuas sequentes*): (i, o, 99), (4, 1, sg), (4, — 1, sg }, (g, 1, 20), (g, — 1, 20), (9, 0, 11 I; O. II continebit classes improprias (2, 1,' 50), ( 10, 1, 10 )?* O. III classes deriuatas e propriis determinantis — 11, (5?°?55)? (9? 5? x4)j ( 9 , — 5 , 12)5 O. IV classem vnicam deriuatam ex impropria det — 11, (6, 3, 18). — Clas¬ ses negatiuae huius determinantis prorsus eodem modo in ordines distribui poterunt. Obseruamus , classes oppositas semper ad eundem ordinem referri , cuius theorematis ratio nullo negotio perspicitur. 22 j. Ex his diuersis ordinibus imprimis or¬ do classium proprie primitiuarum maximam at¬ tentionem meretur. Nam singulae classses deri- uatae a certis classibus primitiuis ( determinantis minoris) originem trahunt, ex quarum conside^ *) Adhibendo breuitatis caussa formas repraesentantes pro classibus ipsis quarum vice funguntur. X ratione ea quae ad illas spectant plerumque sponte sequuntur. Infra autem docebimus, quam¬ libet classem improprie primitiuam simili modo quasi associatam esse aut vnicae classi proprie primitiuae aut tribus ( eiusdem determinantis ). Porro pro determinantibus negatiuis classes nega- tiuas praeterire licebit, quippe quibus singulis certae classes positiuae semper respondent. Vt itaque naturam classium proprie primitiuarum profundius penetremus, ante omnia differentiam certam essentialem explicabimus, secundum quam totus ordo classium propriarum in plura genera subdiuidi potest. Quoniam hoc argumentum gra* uissimum hactenus nondum attigimus, res ab in¬ tegro nobis erit repetenda. 228. Theorema. Per formam quamcunque pro¬ prie primitiuam F repraesentari possunt infinite multi numeri per numerum primum quemcunque datum p non diuisibiles . Dem. Si forma F = axx -f- 2 bxy -f cyy9 manifestum est, p omnes tres numeros «, 2 &, c simul metiri non posse. lam quando a per p non est diuisibilis, patet, si pro x assumatur nu¬ merus quicunque per p non diuisibilis, pro y vero numerus per p diuisibilis, valorem formqe F fieri non diuisibilem per p$ quando c per p non est diuisibilis, idem obtinetur tribuendo ipsi x valo¬ rem diuisibilem ipsique y valorem non diuisibi¬ lem; denique quando tum a tum c per p sunt diuisibiles, adeoque 2 b non diuisibilis, forma F valorem per p non diuisibilem induet tribuendo tum ipsi x tum ipsi y valores quoscunque per p, non diuisibiles. Q. E. D. Manifestum est, theorema etiam pro formis improprie primitiuis locum habere , si modo non fuerit p -== 2. Quoniam plures huiusmodi conditiones simul Consistere possunt, vt idem numems per quos¬ dam numeros primos datos diuisibilis sit, per alios non diuisibilis (v. art. 52.): facile perspici¬ tur, numeros x7 y infinite multis modis ita de¬ terminari posse, vt forma primitiua axx -fr- 2bxy + cyy valorem per quotcunque numeros primos datos non diuisibtleto adipiscatur, a quibus vnice excludendus est 2 quoties forma est improprie primitiua. Hinc patet, theorema generalius ita proponi possem p^r formam quamcunque primitmam repraesentari possunt infinita multi numeri > qui ad nu¬ merum quem cunque datum ( imparem , quando formet ®st improprie primitiua ) sint primi. '229. Theoremx. Sit F forma primitiua de - terminantis D, p numerus primus ipsum D metiens: tum numeri per p non diuisibiles qui per formam F re¬ praesentari possunt in eo conuement , vt vel omnes sirit residua quadratica ipsius p , vel omnes non residua . Dem. Sit F == (<2, £)>• fn 1 duo nu¬ meri quicunque per p non diuisibiles qui per for¬ mam F repraesentari possunt* scilicet m == agg + 2bgh -f- chh , nV == ag‘gl d* 2bglhi -j- ch'h'* Tum erit mm* = (agg1 -f b ( gh 1 -f %' ) -f vhh1}1 — Z) — hg1)1) quare m' quadrato congruus erit secundum modulum Z), adeo que etiam secundum p , i, e. mmt erit residuum qua* draticum ipsius p. Hinc sequitur, aut vtrumqu® X a — * 534< m, m1 esse residuum quadraticum ipsius /?, aut vtrumque non-residuum. Q. E » D. Simili modo probatur, quando determinans D per 4 sit diuisibilis, omnes numeros impares per F repraesentabiles vel esse EE i , vel omnes rE 3 (mod. 4). Scilicet productum e duobus nu¬ meris talibus in hoc casu semper erit residuum quadr. ipsius 4, adeoque EE 1 (mod. 4)} quare vel vterque erit EE 1 , vel vterque EE 3. Denique quando D per 8 est diuisibilis, productum e duobus numeris quibuscunque im¬ paribus, qui per F repraesentari possunt, erit R. Q. ipsius 8 et proin EE 1 (mod. 8). Quare in hoc casu omnes numeri impares per F reprae¬ sentabiles vel erunt EE 1 , vel omnes EEE 5 , vel omnes EE 5 , vel omnes E 7 ( mod. 8 ). Ita e. g. quum per formam (10, 3, 17) repraesentari possit numerus 10 qui est N. R. ipsius 7: omnes numeri per 7 non diuisibiles, qui per formam illam repraesentari possunt, non-residua ipsius 7 emn£. — ■ Quum — - 3 per formam ( — 5 ? 1 ? 49) repraesentabilis et sec. mod. 4 sit EE 1 , omnes numeri impares per formam hanc repraesentabiles perinde se habebunt. Ceterum, si ad proprositum praesens neces¬ sarium esset, facile demonstrare possemus, nu¬ meros per formam F repraesentabiles ad nullum numerum primum qui ipsum D non metiatur, talem relationem fixam habere, sed promiscue tum residua tum non-residua numeri cuiusuis primi ipsum D non metientis per formam F re- praesentari posse. Contra respectu numerorum 4 et 8 analogon quoddam etiam in aliis casibus locum habet 5 quos praeterire non possumus. I. Quando determinans D formae primitiuae F esi EE 3 ( mod . 4): omnes numeri impares , per for¬ mam F repraesentabiles , erunt vel EE x> vel omnes EE 3 {mod. 4). Si enim m, m' sunt duo nu¬ meri per F repraesentabiles, productum mm‘ eodem modo vt supra sub formam pp — Dqq redigi poterit. Quando itaque vterque ra, m 1 est impar, necessario alter numerorum /?, q par erit, alter impar, adeoque alterum quadratorum pp , qq EE o, alterum EEE 1 (mod. 4). Vnde facile deducitur, pp — Dqq certo esse EE 1 (mod. 4), adeoque aut vtrumque m, m‘ EE 1, aut vtrumque EE 5 (mod. 4). Ita e. g. per formam (10,5, 17) alii numeri impares quam qui sunt formae 4 n F 1 repraesentari nequeunt». II» Quando determinans D formae primitiuae F est EEE 2 ( mod. 8 } .* omnes numeri impares , per F repraesentabiles , erunt vel partim EE 1 partim EE vel partim ~ 3 partim EE 5 {mod. 8)» Pona¬ mus enim m, m‘ esse duos numeros impares per F repraesentabiles, quorum igitur productum mm* sub formam pp — Dqq redigi poterit. Quando ergo vterque m, m' est impar, necessario p im¬ par esse debebit (quia D par), adeoque pp EE 1 f 8); qq vero erit vel E— o, vel EE 1, vel — 4, et proin Dqq vel EE o vel EE 2. Hinc inm‘ = pp — - Dqq fit vel EE 1 vel EE 7 (mod. 8)5 si itaque m est vel EE 1 vel EE 7, etiam m1 erit vel 1 vel : — : 7^ si vero m est vel X 5 , 526 " 5, Vel EE 5, etiam m* erit vel -EEE 5 vel EE g» F. g. omnes numeri impares per formam { 5, 1, 5 ) repraesentabiles sunt aut EE 5, aut EEE 5 (mod. g ) ? nullique numeri formae 8 h -f 1 aut 8n + 7 per formam illam repraesentari possunt. III. Quando determinans T) formae primitmae E est EE 6 ( mod. g) :■ prr formam hanc repraesentari possunt numeri impares vel tales tantum qui sunt EE 1 et EE 3 (mod. g) , vel tales tantum qui sunt EE 5 et EE 7 {mod. g). Demonstrationem praecedenti (in II) omnino similem quisque nullo negotio euoluere poterit. — Ita e. g. per formam (5, 1,7) vni- ce tales numeri impares possunt repraesentari ■qui sunt aut EE 5 aut EE 7 i, mod. 8). a 50. Omnes igitur numeri qui per formam primitiuam datam F determinantis D repraesen¬ tari possunt, relationem fixam habebunt ad sin¬ gulos diuisores primos ipsius D (per quos qui¬ dem ipsi non sunt diuisibiles ) , liumeri impares vero qui per F possunt repraesentari, in quibus¬ dam casibus etiam ad numeros 4 et 8 relatio¬ nem fixam habebunt, scilicet ad 4, quoties D aut EE o aut EE 5 (mod. 4), et ad 8 quoties D aut EE o, aut EE 2 aut EE 6 (mod. 8)*). Ta¬ lem relationem ad singulos hos numeros, cha¬ racterem seu characterem particularem formae F vocabimus sequentique modo exprimemus: Pro determinantibus per diuisibilibus relatio ad numerum £ ne- gligt potest, quoniam in hoc casu sub relatione ad g iam est con¬ tenta. *““■ 7 ' * ” Quando sola residua quadratica numeri primi /? per formam F repraesentari possunt, tribuemus Ipsi characterem R p, in casu opposito characte¬ rem N pi similiter scribemus l, 4, quando alii numeri impares per formam F repraesentari ne¬ queunt nisi qui sunt EE 1 (mod. 4.), vnde sta- tim liquet quales characteres exprimantur per si¬ gna 5, 4; i, 8; 5, 8; 5, 85 7» 8. Denique for¬ mis per quas numeri impares tales soli reprae¬ sentari possunt qui sec* mod. 8 sunt vel Er 1 vel EE 7, tribuemus characterem 1 et 7, 8 5 ex quo significatio characterum 5 et 5 , 8 i 1 et 5, 8 5 5 et 7, 8 sponte sequitur. Characteres singuli formae primitiuae datae (#, b , c) determinantis D semper ex vno saltem numerorum a, c ( qui manifesto per formam il¬ lam ambo sunt repraesentabiles) cognosci pos¬ sunt. Nam quoties p est diuisor primus ipsius D, certe vnus numerorum a , c per p non erit diui- sibilis,- si enim vterque per p diuisibilis esset, p etiam ipsum bb (==D-f-«c) metiretur, et proin etiam ipsum b , i. e. forma ( a , b , c) non esset primitiua. Simili rnodo in iis casibus vbi forma («, by c) ad numerum 4 vel 8 relationem fixam habet, certo ad minimum vnus numerorum Classium formae repraesentantes (1,0,161), (2, 1,81), (9, 1, 18) (9,— 1, 18) (5,2,55), (5,— 2,55), (10,5,17) (10,-5,17) (7, 0, 25), ( 1 1, 2, 1 5), ( 1 1 , _ 2, 1 5) (i-!,:, 15) (5,1,54), (5,— 1,54), (6,1,27) (6,— 1,27). De multitudine characterum integrorum di- uersorum , qui quidem a priori sunt possibiles, te¬ neantur sequentia. I. Quando determinans D per 8 est diuisi- bilis , respectu numeri 8 quatuor characteres par¬ ticulares diuersi sunt possibiles,* numerus 4 nul¬ lum characterem peculiarem suppeditat (annot. ad art. praec.). Praeterea respectu singulorum diuisorum primorum imparium ipsius D bini characteres dantur,* quare si illorum multitudo est m, dabuntur omnino characteres inte¬ gri diuersi (statuendo m = o, quoties D est potestas binaria). II. Quando det. D per 8 non est diuisibilis, sed tamen per 4, insuperque per m numeros primos impares: omnino habebuntur cha¬ racteres integri diuersi. 1 " - _ • \ III. Quando det. D est par neque vero per 4 diuisibilis, erit vel ~ 2 (mod. 8) vel EE 6. In casu priori dabuntur duo characteres particu¬ lares respectu numeri 8 puta 1 et 7, 8, atque , 1X5 V ~ 550 — 5 et 5, 8? in casu posteriori totidem. Posita igitur multitudine diuisorum primorum impari¬ um ipsius D, = m: habebuntur omnino characteres integri diuersi. IV. Quando D est impar, erit vel EE l, vel Ei 5 ( mod. 4 '). In casu posteriori respectu numeri 4 du<5 characteres diuersi dantur, qualis relatio in casu priori in characterem integrum non ingreditur. Quare designante m idem vt ante, in casu priori dabuntur 2m, in posteriori characteres integri diuersi. Probe vero notandum est, hinc neutiquam sequi, totidem genera reuera dari quot characte¬ res diuersi a priori sint possibiles. In exemplo quidem nostro horum semissi tantum reuera clas¬ ses siue genera respondent, nullaeque classes po- sitiuae dantur, quibus characteres 1, 45 R 7, JV23 vel 1,45 N 7 $ R 23; vel 3,4; #75 R 25 vel 3, 45 N 75 AT23 competant. De quo argu¬ mento grauissimo infro fusius agetur. Formae (1, o, — D ), quae haud dubie in¬ ter omnes formas determinantis D pro simplicis¬ sima habenda est, nomen formae principalis abhinc tribuemus 5 classem totam in qua illa re¬ pentur classem principalem vocabimus 5 denique genus totum in quo classis principalis contenta est, genus principale dicetur. Probe itaque dis¬ tinguendae sunt forma principalis, forma e classe principali et forma e genere principali 5 nee non classis principalis et classis e genere principali. His denominationibus semper vtemur, etiamsi forte pro determinante aliquo aliae classes prae¬ ter principalem, vel alia genera praeter genus principale non dentur, vti e. g. euenit plerumque quando D est numerus primus positiuus formae 4 n -j- l. 252. Quamquam ea quae de formarum cha¬ racteribus explicata sunt proxime eum in finem sunt allata, vt subdiuisio ordinis positiui proprie primitiui inde petatur: tamen nihil impedit quo¬ minus eadem etiam ad formas classesque negati- uas aut ad improprie primitiuas applicentur, at¬ que tum ordo improprie primitiuus positiuus, tum ordo proprie primitiuus negatiuus, tum or¬ do improprie primitiuus negatiuus ex eodem prin¬ cipio in genera subdiuidantur. Ita postquam e. g. ordo proprie primitiuus formarum determinantis 145 in duo genera sequentia subdiuisus est ii 5 , R26 IV5,iV 26 (1,0, — 145), (5, o, (5, 1, — 48), (3, — — 29) 1, 48) etiam ordo improprie primitiuus perinde in duo genera subdiuidi potest: #5, #29 (4, 1, — 56), (4,— 1,-56) iV5,iV29 (2, 1, — 73), (10, 5, — 13) vel, sicuti classes positiuae formarum determi¬ nantis — 129 in quatuor genera distribuuntur : 1.4, ’ ^35 #45 1,4; iVj; N4, 5 6.4, - R 3; IV45 5j 4 i -W53 #45 (h o, 129)7 (1°, 1, 15), (1°,- 1,13) (2, 1, 63 ), (5, 1, 26), (g, — 1, 26) (3,o,43), (7,2,19), (7, — 2,19) (7,3,23), (ii,3,i4), (n,-5, 14) 53® etiam classes negatiuae in quatuor ordines disce¬ dunt 3) 4 >• V45 3; 41 #55 -^43 1,4 j JV4; «43 x,4; «5; V43 (— 1,0,— i29)»(— io,i, — i3), (— 10, — 1,— 13) (-2, 1,-65), (—5,1,— 16), (—5,— 1,-26) (— 3, o,-43), (- 7, 2, — 19), (— 7,-2,- 19) (—6,3,- 25), (—ii,5, — i4), (— ii,-5,— 14) Attamen quum systema classium negatiuarum sy- stemati posiliuaram semper tam simile euadqt, plerumque superfluum videbitur illud seorsim con¬ struere. Ordinem improprie primitiuum autem ad proprie primitiuum reducere infra docebimus. Tandem quod attinet ad ordines deriuatos: pro horum suhdiuisione regulae nouae non sunt necessariae. Quum enim quiuis ordo deriuatus ex aliquo ordine primitiuo (determinantis mino¬ ris) originem trahat, illiusque classes singulae ad singulas huius sponte referantur: manifesto sub- diuisio ordinis deriuati e subdiuisione ordinis pri- mitiui peti poterit* • . _ 255. Si forma ( primitiua ) F =■ (a, b , c) ita est comparata, vt inueniri possint duo nume¬ ri g9 h tales vt fiat gg EE a, gh EE b , hh EE c secundum, modulum datum m, dicemus formam illam esse residuum quadraticum numeri m at¬ que gx -f by valorem expressionis y^ ( axx + Qbxy + cyy') (mod. m), siue breuius (g,h) va¬ lorem expr. (a, br c) vel y~ F (mod . m'). 355 Generalius, si multiplicator M9 ad moduluin m primus, eius est indolis vt fieri possit gg EE aM7 gh EE bMj hh EE cM ( mod. mjr dicemus M X (a9by c) siue MF esse res. quad. ipsius m9 atque (g, h) valorem expressionis M (a, b,c) vel yf' MF (mod. m). Ita e. g. forma (5, i? 54) est res. quadr, ipsius 25 atque (7, 10) valor expr. yF (5, 1, 54) (mod. 25); similiter (2,. — 4) valor expr. y'* 5 (10, 5, 17) (mod. 25). Vsus harum definitionum infra ostendetur: hic notentur propositiones sequentes: I. Si M ( <2 , & , c ) est R. Q. numeri m , hic determinantem formae (<2, b, c ) metietur. Si euim (g, h') est .valor expressiones y'" M (a,b,c) (mod. 772), siue ggr EE ailf, gk Er bM, hh ~ cM (mod. 7?2.): erft bbMM — acMM EE o, siue ( bb — ac) MM per m diuisibilis. Quoniam au¬ tem ikf ad primus esse supponitur, etiam bb — - ac per m diuisibilis erit. II. Si M (a, b, c ) est R. Q. ipsius ttz, at¬ que m aut numerus primus aut potestas numeri primi, puta = p**; character particularis formae («, b, c) respectu numeri p erit vel Rp. vel Npy prout M est residuum vel non-residuum ipsius p. Hoc statim inde sequitur, quod tum «M tum cM est residuum ipsius m siue ipsius p\ atque ad minimum vnus numerorum a , c per p non di¬ uisibilis ( art. 250 ). Simili modo, si (manentibus reliquis) m — 4, erit vel 1, 4 vel 5, 4 character part. for* mae (a, b, c ) prout M EE 1 vel EE 5; nec non si m 3= 8 vel altior potestas numeri 2, erit r, 8| 8; 5, 85 7, 8 char. part. formae (tf3 c) pront M EE: 15 55 5? 7 (mod. 8) resp. III. Vice versa si m est numerus primus aut numeri primi imparis potestas = p*9 deter¬ minantem bb — ac metiens, atque M vel resi¬ duum vel non-residuum ipsius p, prout character formae (a, b, c ) respectu ipsius p est Rp vel Np resp: erit M ( a , b, c ) resid. quadr. ipsius m» Quando enim <2 per p non est diuisibilis, aM erit res. ipsius p adeo que etiam ipsius m, si ita¬ que g est valor expr. y/* aM (mod. m')^ h valor (■ t) & * expr. ~ (mod. m), erit gg “ aM $ ah — bg adeoque agh zE bgg EE abM et gh ~ bMj de¬ nique ahh EEr bgh EE EE bbM — ( && — * dc) M EE tzcM adeoque hh EE cM, i. e. (g, h) valor eXpr. sec, mod, CY , ((£,£') etc. numerique g, h ita determinantur vt sit g EE 21 > 53, (E etc. 5 & EE li1, 53f, 0 etc. secundum modulos A*,B*7Cy etc, resp, (art. 32): facile perspicietur, fore gg EE- tzM, gh ~ bM1 hh EE cM secundum omnes modulos C* etc, adeoque etiam secundant modulum D qui illa¬ rum est productum* VI. Propter has rationes numeri tales vt M vocabuntur numeri character is dei formae (<2, h9 c), poteruntque per V, plures huiusmodi numeri nullo negotio inueniri simulae omnes characte¬ res particulares huius formae siint eruti ; simpli¬ cissimi autem tentando plerumque euoluuntur facillime. Manifestum est, si M sit numerus cha¬ ra cteristicus formae primitiuae datae determinan¬ tis D , omnes numeros, ipsi M secundum mod. D congruos, fore numeros cliaracteristicos eiusdem formae; formas in eadem classe, siue etiam in classibus diuersis ex eodem genere, contentas eosdem numeros .ch?uacteristicos habere, quamob- rem quinis numerus characteristicus formae da¬ tae etiam toti classi et generi tribui potest; deni¬ que 1 semper esse numerum cliaracteristicum fo rmae classis et generis principalis, siue quam¬ libet formam e genere principali esse residuum determinantis sui. VII. Si (g, h) est valor expr. M (ct,bf c) (mod. 772), atque g' EE g, h1 EE /i (mod. m ): erit etiam (g1, h ') valor eiusdem expressionis. Tales valores pro aeqidualentibus haberi possunt; contra si (g,/i), (g', h') sunt valores eiusdem expr, M (a, h , c), neque tamen simul g1 Er g, h1 EE h (mod. m), diuersi sunt censendi. Manifesto quoties (g, h) est valor talis expressi¬ onis, etiam ( — g, — h) erit, facileque demon¬ stratur, hos valores semper esse diuersos nisi m = 2. Aeque facile demonstratur, expressionem yf M («, h, c) (mod. m ) plures valores diuersos quam duos tales (oppositos) habere non posse, quando m sit aut numerus primus impar aut nu- 55 7 meri primi imparis potestas aut = 4; quando vero m sit = 8 aut altior potestas numeri 2 , qua- tuor omnino dari. Hinc facile deducitur per VI, si determinans D formae (a7 b7 c) sit = +: A* B° . . .^designantibus A7 B etc. numeros pri¬ mos impares diuersos quorum multitudo == n% atque M numerus chara cteristicus illius formae: dari omnino vel 2" vel vel 2*1~H2 valores diuersos expr.-y^ M («., b7 c) (mod. D)7 prout f* vel < 2 vel = 2 vel > 2. Ita e. g. haben¬ tur sedecim valores expr. yf' 7 (12, 6, — 17) (mod. 240), puta (+ 18, 11), ( ± 18, dfc. »9), (± 18, + 91), (± 18, ± 109 (± 78» ±19), (± 78, ± 59), C± 78, + 61), (± 78 , pT 101). Demonstrationem ampliorem quum ad sequentia non sit adeo necessaria breuitatis gratia non apponimus. VIII. Denique obseraamus, si duarum for¬ marum aequiualentium ( a. b7 c), ( a‘7 b1, c') de¬ terminans sit D , numerus characteristicus M7 pri- orque transeat in posteriorem per substitutionem a,, €, y7 S: ex quouis valore expr. yf M (a7 b7 c) vt (g7 h) sequi valorem expr. yf M (a‘7b‘7 c‘)7 puta ( etg + ')h7 &g + h). Demonstrationem quisque nullo negotio eruere poterit. ■ 1 1 _\ 1 . '(• 1 . - 254. Postquam haec de formis in classes genera et ordines distribuendis praemisimus, pro¬ prietatesque generales quae ex his distinctionibus statim defluunt explicauimus , ad aliud argumen¬ tum grauissimum transimus a nemine hucusque attactum, de formarum compositione. In cuius disquisitionis limine, ne posthac demonstrationum Y seriem continuam interrumpere oporteat, statira. intercalamus Lemma. Habentur quatuor series numero - rum integrorum a , a ', a" ... an $ b^b*, bu ... bn ; <7, c\ c11 ... c1 y db d“ ... dn ex aeque multis ( puta Kii) terminis constantes , atque ita comparatae , vt cdt ~ dcl , cd" ■— dc“ etc.y c‘du — etc. respectiue sint = /i — te), 7c ( ab11 ~ te' ) «fc?., A: (a^M — te") etc. etc ., generaliter c*d^ — dxc* = k (ahb^ — frte4 ) , tante k numerum integrum datum i a, « integros quoscunque inaequales inter 0 et n incl. quorum maior F *) ,• praeterea omiies a* b** — te a* di - uisorem communem non habent. Tunc inueniri possunt quatuor numeri integri <«, C, y, «f tales , vt sit aa + Gb = c, *#' -f '6£r = c*, »a>' -f 6V* = c" etc. y 5 a + JZ? = z7, r}a' -j- ib* = d‘ etc. siue generaliter »av -{- CZ/ = c% -f~ quo facto erit — Cj/ = 7«. Quum per hyp. numeri ah 1 — te , te' — te' etc. te" — /?'#" etc. (quorum multitudo erit === | (tz -f l)n ) diuisorem communem non habeant, inueniri poterunt totidem alii numeri integri, per quos illis xesp. multiplicatis producto* rum summa fiat = i (art. 40). Designentur lif multiplicatores per (0,1), (0,2) etc. ( 1 , 2 ) etc., siue generaliter multiplicator ipsius a^bf**-. per (a, f*), ita vt sit 2 (a, (a*bu — *■ Considerando « tamquam a®, & tamquam b° etc. — • Ceterum raa*» aifesto eadem aequatio valebit quoque quando A^/* aut A|> t = i» (Per literam X denotamus aggrega¬ tum omnium valorum expressionis, cui praefixa est, qui oriuntur tribuendo ipsis a, i* omnes valo^ res inaequales inter o et ny ita vt sit b > x)« Quo facto si statuitur X (a, p) (cxb^ — bxc*) ■sssr*-, X (a, aO (axcf* — cxa^) = C, x (a, [dxbP — bx du ) =>, X (a, (A, cf* s= + C b t* , fit d b & — ^ Z>A c*4 = « ( b f* — bx d*)9 similique modo d d — ex o!-1 as C (d b,A> — hA 0^)5 cZA Z?^ — -■ fcA eZ“ = «/ ' d bf* &x a? )5 /zx — e?A a1* = S ' (d b* — » #A ex quibus formulis valores ipsorum «t, C, y, £ multo facilius erui possunt, si modo a, ^ ita ac¬ cipiuntur vt d bu — Z>A non sit = o , quod certo fieri poterit, quia omnes d bu — bx d per hyp. diuisorem communem non habent, adeo- que omnes = o esse nequeunt. — Ex iisdem aequationibus deducitur, multiplicando primam Y » ) 54o I - • v' .. ‘ ‘ ' , ( • : > ' per quartam, secundam per tertiam et subtra¬ hendo, ( et, a — £y ) (#A — b^a^)1 = («A b* — b% au ) (cA d* ~~ dh cP') , = k (ax bH — M vnde necessario — Cy = A:. Q. E . «9. 255. Si forma AXX 4- zBXY 4- 'CFF... .F transit in productum e duabus formis mr.r 4* + CJY • •"•'fi et a'xlX‘ “b 2b'x‘y‘ 4- 0‘y'y *-'f‘ Per substitutioiffem talem X — pxx' p‘xyf 4. pnyx‘ 4“ pntyy' , F — 4“ q‘%* 4" q“yzl 4" q'“yy‘ (quod brepitatis causa in sequentibus semper ita exprimemus: Si F transit in fft per substitutionem p , p'7 pn? pn'f <7, q\ <7", qn> *) }? dicemus simpliciter, formam F trans formabilem esse i nff‘j si insuper haec transformatio ita est comparata, vt sex numeri pq1 — - qpf pq“ — qpuy pq111 — qp"f p*Qu ~~ q'p‘f p‘q“' ~~ q'pt'l’> P‘!.qul . — q^p111 diuisorem communem non habeant: for¬ mam F e formis f7 f‘ compositam vocabimus. Inchoabimus hanc disquisitionem a supposi¬ tione generalissima , formam F in ff* transire per substitutionem p , p‘7 p", plu; <7, ql7 <7", qilt et quae inde sequantur euoluemus. Manifesto huic suppositioni ex asse aequiualebunt sequentes nouem aequationes ( i. e. simulae hae aequatio¬ nes locum habent, F per substitutionem dictam transibit in Jf>7 et vice versa j : / ' * In hac igitur designatione ad ordinem tum coefficientium p, jo* ete, tum formarum /, f‘ probe respicere oportet, Facile autem perspi¬ cietur, si ofdo formarum f, f‘ conuertatur vt prior fiat posterior, coeUicientes pJ, f cum his pu, qu commutandos esse» reliquos suo v quemlibet loco manere, • - • f App -f zBpq + Cqq == aa* [1] Ap'p! + 2Bp'q' 4~ Cq'q' = ac' ... . . [2] Ap"p" + 2Bp"q" -f* Cq"q" = ca' .... .... [5] Ap"'p'" T 2Bp"'q‘" + Cq'"q"' == cc' . . [4] + jS (p<7y -f qp4) + Cqq ' = ab' ... . . [5] App" -t B \P9“ + qpu) + Cqq" = ha' .. . [6] App"' + B {p*q"' -j- q‘vilt ) + Cq'q‘" = bd' [7] ApupiU -j- B ( p"qln + q"pu/) -f Cq"ql " = cbJ [8] A (pp//7 -f pypy/) + B ( pqiu + qp,n + P‘91* + q'p,/ ) + C ( qqtu + 9*9nJ = * • fo.i f, ,» " 1 • * • • , - -* Sint determinantes formarum F, j \ f' resp. D9 d7 d* $ diuisores communes maximi numerorum A, %B, C-: a , 2 b\ Cy a %b'y cl resp. My m , mf (quos omnes positiue acceptos supponimus). Porro determinentur sex numeri integri 11, 33, (E, 11% 33', (E' ita vt sit Ihz + 2%b + = my H'a' -,L 2i3'b' -f- C/c/ = m'. Denique designen¬ tur numeri pq' — qp' , pq" — gp", p<77" — <7 p;", piqii — q‘p", p‘q"' — qp"* y p"q‘" — q"p'“ resp. per P y Q y Ry Sy Tq U7 sitque ipsorum diuisor communis maximus positiue acceptus = k. — Iam ponendo App111 + B ( pqtu 4- qp111) 4" Cqq111 = hhJ + A [10] fit ex aequ. g 1 •• Ap fp11 4“ B (plqf* 4" qtp1 0 + Cqfqf/ = bb* — A [11] ^ 'V • /• . , • - f' r / * - Ex his vndecim aequationibus 1 . .\ 1 1 9 se¬ quentes nouas euoluimus *) : *) Origo harum aequationum haec est: 12 ex 5. g — I, 2 5 13 eI 5* 9 — 1. 7 — 2. 6 5 14 ex 10. 11 — 6. 75 15 Imm 54^ Z)i>P = 'daa _ [12] DP R — S ) = &dJab . . [15} JDPU = rfy/2C — (aa — eM') . . v. .... [14] D (R — Q ( ii ■4^6’) = adatb* . . [ig] JDQT = drtc* —r ( aa < — dc?7) . [30] 4 db/b/ + 2 ( aa — [21] (il + Z7 = 2db,ci . . [22] DTT == £fc7c7 . . [25] Hinc rursus deducuntur hae duae: o = &dlaa (aa — dd1) O = (AA — dd1)1 - 2 17 ex 8. 8 ■— 3. Deductio sex reliquarum eodem modo adornatur, si modo aequationes 2 , 5 , 7 cum aequationibus 3 > 6 , 8 resp. commutantur , et reliquae 1 , 4 ) 9 » 1 0 j 11 eodem loco deinceps retinentur, puta ig es 6, 6 — I. 3 etc* Haec deriuatio aequationis A A ~ — ad institutum prae¬ sens sufficit» alioquin analysin elegantiorem sed Mc nimis .prolixam tradere possemus , directe deducendo ex aequatio¬ nibus I II hanc o (AA ♦ ♦♦ ^ -545 a (vbi n, n1 etiafri fractiones euadere posse probe notandum, etsi mn y, m‘n necessario sint integri);, facile ex aequatt. 12... 17 deducitur Dmmn 'n* — W (lia -f 2^3b -f Q£c)z = d!mm similiterque ex aequ. 18 ... 25 Dmlmhm = d (li* a* -j- 2^/bi 4- '2'c7) 1 = d^mh Erit igitur d = Dnn, d1 = Dn*nl, vnde nanciscimur conclvsionem primam: Determinari - tes formarum F, /, f* necessario inter se habent rationem quadratorum ; et secvndam: Z) semper metitur numeros dm^m^ dlmm. Patet itaque, J9, d , d‘ eadem signa habere, nullamque formam in productum ffi transformabilem esse posse, cu¬ ius determinans maior sit quam diuisor commu¬ nis maximus numerorum dm'ml , d‘mm. Multiplicentur aequationes 12, 15, 14 resp. per S, Si similiterque per eosdem numeros aequatt. 15, 15, 16, et 14, 16, 17,* addantur terna producta, diuidaturque summa per Dmn1 \ scripto pro d DnW. Tunc prodit P = an* ) R — S = zbn1, U == cid Simili modo multiplicatis aequationibus 18, 19, 20 nec non 19, 21, 22 et 20, 22, 25 resp. per W, S3y, Cy, obtinetur Q = a*rir R + S = sbhi, T = Hinc habetur conclvsio tertia: Numeri 2 b, c proportionales sunt numeris -P, — V 1 4 \ 544* £7, positaque illorum ratione ad hos vt l ad d' erit ri radix quadrata ex ^ similiter que numeri af, 2 c' ad Q7 R + T eandem ra¬ tionem habent , quae si ponitur esse vt 1 ad nr erit n radix quadrata ex Ceterum quantitates n , nl radices vel posi- d di tiuae vel negatiuae ex jj esse possunt, vn« de distinctionem petimus, quae primo aspectu sterilis videbitur, sed cuius vsus in sequentibus sufficienter apparebit. Scilicet dicemus, in trans¬ formatione formae F in ff‘ formam f accipi di¬ recte quando n est positiua, inuerse quando n negatiua $ similiterque f* accipi directe vel inuerse prout n1 positiua vel negatiua. Accedente autem conditione vt k sit = 1 , forma F vel ex vtra- que forma /*, f1 directe composita, vel ex vtra- que inuerse vel ex f directe et ex f‘ inuerse , vel ex f inuerse et ex f1 directe dicetur, prout vel 72, n* ambae sunt positiuae, vel ambae negatiuae, vel prior positiua posterior negatiua, vel prior negatiua posterior positiua. Ceterum quisque fa¬ cile ihtelliget, has relationes ab ordine quo for¬ mae jf, /' collocantur (vid. annot. prima ad art praes.) non pendere. Porro obseruamus, diuisorem maximum communem numerorum P, Q, R, A, P, U puta k metiri numeros mnl , m‘n ( vti ex valoribus supra stabilitis manifestum est) adeoque quadra¬ tum kk ipsos mmidn* , ndmhin ,. atque Dkk ipsos dmm7 dnVm1. Sed et vice versa quiuis diuisor 1 545 communis ipsorum mn1 , metietur ipsum k. Sit enim e talis diuisor qui manifesto etiam nu¬ meros an1, 2bni , cnl , ahi , zbhi , metietur, i. e. numeros P, — A, £7, Q, il + P et proin etiam ipsos sil et 2 A. lam si - esset numerus impar, etiam impar esse deberet ‘(quoniam summa et differentia sunt pares) adeoque etiam productum impar. Hoc autem productum fit = ~ ( bWnn — bbnhi1} = 4- ( dhm + aJchin — dnln* ' ’ '■ , ( • r- • acn/n1') = A (ddnn — acnln1') adeoque par, 1 .. v ' 'i; ' ' ■ >V- ' o R quia e ipsos a‘n^ chi. an cn‘ metitur. Quare — necessario erit par, et proin R nec non S per e diuisibilis. Quoniam igitur e omnes sex P, Q, R , A, P, U metitur, metietur etiam ipsorum diuiso- rem communem maximum k. (). E. D. — Hinc concluditur k esse diuisorem communem maxi¬ mum numerorum mn1 , mhi ; vnde facile perspi¬ cietur , Dkk fore diuisorem communem maximum numerorum dmsml , dlmm. Quae est conclvsio qvarta. Patet itaque, quoties F exf et/7 compo¬ sita sit, D fore diuisorem communem maximum, numerorum dm‘m\ dm‘m , et vice versa,- quae proprietas etiam tamquam definitio formae com¬ positae adoptari potuisset. Forma igitur compo¬ sita e formis /, f‘ determinantem maximum pos¬ sibilem inter omnes formas in productum ff transformabiles habet. f Antequam vlterius progredi possimus, ante omnia valorem ipsius a accuratius definire oportet, / - Y 5 *** 5|^6 »»« quem quidem ostendimus esse = yr dd) =s \f DDnnrtn* , sed cuius signum hinc nondum de¬ terminatur. Ad hunc finem ex aequ. fundamenta¬ libus l — n eruimus DPQ == haa1 ( quae aequ. obtinetur ex 5. 6 — 1. 11), adeoque DaMnn* = A.aa1, vnde, nisi aliquis numerorum a , a 1 est = o, fit a == Dnn*. Sed prorsus simili modo ex aequatt. fundd. ocio aliae deduci possunt in qui¬ bus ad laeuam Dnn1 ad dextram A multiplicati habeantur per 2 ab', acf, 2ba', 4 bb1 , chc1 , ca 2cb^ cc'*), vnde facile concluditur propterea quod neque omnes a , 2b, c , neque omnes afy 2b‘ , c/ possunt esse == o, in omnibus casibus fieri A = Dnn1 , adeoque A idem signum habere vt D, dy d* vel oppositum, prout ny nl eadem signa habeant vel diuersa. Porro obseruamus , numeros aa1 , 2abf , ac *9 2ba/ , 4 bb', 2bc/y ca ', 2 cb1 , cc ', 2 bb/ + 2A, %bbf — 2a omnes per mm1 diuisibiles esse. De nouem prioribus hoc per se manifestum est, de duobus relicjuis autem simili modo demonstrari potest vt antea ostendimus R et S per e diuisibiles esse. Scilicet patet, 4 bb + 4A et 4 bb[ — 4A per mm1 diuisibiles esse (quoniam 4 a = sf 1 Qdd< atque 4 d per /72772, 4 d1 per mW diuisibilis, adeoque 1 Qdd1 per mmm 'm1 et 4 A per mm‘) et differen¬ tiam quotientium parem} productum ex quotien- tibus facile demonstratur esse par, vnde vterque quotiens par, et 2bbt + 2A, Per mmi , diuisibiles. *) Analysin quam lectore» facile detegere poterunt breuitati» causta «uppriiuere oportet. — 547' — * Xam ex vndecim aequationibus fundamentali¬ bus facile deducuntur sex sequentes: JLPP db atf^q' — 2 ab‘qq' + ac'qq A Q Q = aa'qHq" — 2 ba‘qqn 4. — aa,q,“qul — 2 ( bb' -f- a ) aq" -f- cc'qq ASS =z ac'q"q" — 2 (bb‘ — A) -f- ca'q'q' ATT — 'ac,q,,,q,u — 2 bc‘q‘qn' 4- ■cc,q/qt AUU — ca,q“‘q‘“ — 2cb‘q"qu' +,cc‘qiiqn [■ ' . - . ' ' 1 Hinc sequitur , omnes APP, AOQ etc. diuisi- biles esse per mm1 , vnde facile deriuatur, quo¬ niam kk diuisor communis maximus numerorum PP, QQ, RR etc/, etiam Akh per mml diuisibi- lem esse. Substitutis autem pro <2, 2^, c, a1, 2b*9 c1 valoribus suis — etc. siue — - ( pq* qp1) et.c,9 transibunt in sex alias aequationes, in quibus ad dextram habebuntur producta ex quantitate JL_ ( q‘q“ — qq‘u ) in PP, Q Q > RR etc. Calcu- fin' lum facillimum lectoribus relinquimus. Hinc se¬ quitur (quoniam omnes PP, QQ etc. esse = 0 nequeunt) Ann 1 ===• q'q“ — qq"\ . Simili modo ex aequationibus fundamentali¬ bus deriuantur sex aliae aequationes, a praece¬ dentibus in eo tantummodo discrepantes, quod pro A vbique habetur C et pro q , q‘, q ", q"‘ resp. p , pi9 piU^ quas ipsas breuitatis caussa non ad- scribimus. Hinc eodem modo sequitur, Ckk per jnm' diuisibilem esse atque Crm1 == p‘pli — ppu/. Denique ex eodem fonte petuntur sex ae¬ quationes hae: i 548 ***** aalp‘q' 4 (fg" 4- qp1 )-*■ — aa'p"q" 4 ( f q" 4 qp" ) — ca'pq — aaip“,qin 4- (bbr-{- a) (^^/// + grp///) — rr'pf — ac‘p“q" 4 ( bb‘ — A) (p'#" 4 q‘f“) — ca'p‘q> — ac,pn,q,n 4 bc‘ ( p‘q"‘ 4 q' p — cc^q* — crtfq"' 4 cb' ( p"q"‘ 4 q"p' ") — - cc‘q"q " vn.de perinde vt ante concluditur, 2Bkk diuisibi- lem esse per 777772 7 atque zBnn1 = 4 qp"‘ p'q" — q'pn- r , ■ ' •' . ’ . , • . 1 ' ;; Quoniam itaque Akk , zBkk , Ckk per mmi sunt diuisibiles, facile perspicietur, etiam Mkk per ??2??2 7 diuisibilem esse debere. Ex aequatio¬ nibus fundamentalibus autem colligitur, M metiri ipsos aci1 , 2^/, atc7, 4&^/, 2ftc7, cal , 2d?', cc‘ , adeoque etiam ipsos 22772' , 2^772', cm1 (qui sunt diuisores comm. max. trium primorum medio¬ rum et yltimorum resp.); denique etiam ipsum 772 772 7 qui est horum diu. comm. max. Hinc pa¬ tet, in eo casu vbi forma F ex formis f, f com¬ posita est siue k = o , necessario esse M = mmk Quae est conclvsio qvinta. Si diu. comm. max. numerorum B, C est 9J1, hic erit vel — M (quando forma F est proprie primitiua vel ex proprie primitiua deriuata) vel = f M (quando F est forma improprie primitiua vel ex improprie prim. deriuata) 5 similiter designando diuisores comm. max. numerorum a, b , c; a'f b', c' resp. per m, m' erit m vel = m vel 1 772, et m7 vel = 7?2 7 vel <= | 772 7. Iam patet, trtm metiri ipsum d} m7m7 ipsum d/ , adeoque tttmm7m7 BPP — B Q Q BRR ~ BSS — BTT = BUU = 1 I — 549 — ipsum dd1 sine AA, et tum' ipsum A. Hinc ex sex vltimis aequationibus pro BPP etc. sequitur, mm7 metiri ipsum Bkk, adeoque (quum etiam ipsos Akk,yCkk metiatur) etiam ipsum Wlkk. Quoties igitur F ex f, f‘ composita est, metie¬ tur mm' ipsum Quando itaque in hoc casu vtraque f, /' est proprie primitiua vel ex proprie primitiua deriuata siue mm7 = mm1 — Mi erit m = M, siue F similis forma. Quando Vero, in eadem suppositione, aut vtraque f, f aut al¬ terutra saltem est improprie primitiua vel ex im- » proprie primitiua deriuata, e. g. forma /,* ex ae¬ quationibus fundamentalibus sequitur, aai , desi¬ gnabimus) locum habere supponantur , spectatis adeo ipsis zz, zz' tamquam incognitis, quarum ta¬ men neutra = o: rpep substitutionem facile con¬ firmari; etiam aequationes fundamentales 1 9 necessario veras esse siue formam (^, jB, C) per substitutionem p, p', p", p'" ; q, q/, q", q<“ in pro¬ ductum e formis {a, b9 c) ia',b',c') tranrire; praetereaque esse bb — ac = nn {BB — 1 V. *— * 55° — ** b'b' — a'c ' — rin' f BB — AC). Calculum quem hic apponere nimis prolixum foret lectorum in¬ dustriae committimus. Problema. Propositis ducibus formis quarum determinantes aut aequales sunt aut saltem rationem quadratorum inter se habent : inuenire for* mam ex illis compositam. Sol Sint formae componendae ( a , b , c) ... /,(&', b c1 ) * • . fJ y harum determinantes d9 d diuisores communes maximi numerorum a9 nb) ci a1, 2 b\ c' resp. m,m,\ diuisor comm. ma¬ ximus numerorum dmJm', dhnm eodem signo vt d, d1 affectus D. Tunc — , ~n™±. erunt nu¬ meri positiui inter se primi ipsommque produ¬ ctum, quadratum $ quare ipsi erunt quadrata (art. Si). Hinc yf' ~jj erunt quantitates ra¬ tionales quas ponemus == /z, n', et quidem acci¬ piemus pro n valorem positiuum vel negatiuum, prout forma / in compositionem vel directe vel inuerse ingredi debet, similiterque signum ipsius n * ex ratione qua f in compositionem ingredi debet determinabimus. Erunt itaque mn m‘n numeri integri inter se primi,* n et n 4 autem etiam fractiones esse possunt. His ita factis, ob- seruamus, an‘, cn*, a ‘n, c% bn‘ -f b'n, bn' — b'iz esse integros, quod de quatuor prioribus per se manifestum est (quum an1 — — mn 1 etc. ),* de ■m duobus reliquis eodem modo probatur vt in art. praec. demonstratum fuit R et S per e diuisibi- les esse. / — 551 — lam accipiantur quatuor numeri integri flt, ft/, 0/* 0/" ad libitum, ea sola conditione vt quatuor quantitates in aequatione sequente (I) ad laeuam positae non omnes simul = o fiant, po- naturque . * . (I) 0/ an 7 + t)JlCLln + tXln (bn{ -f- bfn) = — 0nn7 + tXn/dn — 0" (frzz7 — b>n) = f#7 0//» — £La‘n + 0/ {bn1 — dn) = f-V1 • — OJ'cn' — OJdn — 0 {bn* -f- b,n)> = F7/, ^3777 tales vt fiat tyq + ^/P/ + <^nqtl + 5V7'#777 = 1. Quo facto determinentur numeri p^ p*y pn} pnt per aequationes sequentes . . . (II): an 7 + tyUafn -f ^)777 (bn1 , -f b^n') = p — ^zz/z7 + )/l,c‘n — ^)// (bn* — bin') = p7 tyufcnf' — *P«/?z + 5^7 (^7 — bKri) = pu _ Sp^czz7 — (#/z7 4“ = /?777 Tandem ponatur q>q" — qq = ./tf/z/z7, pqm 4. <^/// — p/q" — = zBnn* , plplt — PP/J/ = Cnn Tunc J5, C erunt numeri integri forma¬ que (A, B, C) . . . Fex formis /, f composita. Dem. I. Ex aequatt. I et II nullo negotio confirmantur sequentes quatuor aequationes . . . (III); O = q^n* — qridn — #7// ( bn 7 — b' , ' . 4 . \ • # l ' '■ . v- s . • i _ • )> — 55» — ) ' J-C. ‘l , }. '■■■., I p = qmctn' + qdn — ql ( bn 7 + btn) o = q“anl — q‘a‘n — q (bn1 — 6'/z) . » IL lam ponamus, numeros integros 71, 35, 21', 33 V 81, 81' ita determinatos esse vt fiat Tia + 2$3£ -f (£c = iit , 2l7zz7 -f C'b>8ln + &c'8ln = i. Hinc atque ex aequatt.' (III) fa¬ cile confirmatur, si statuatur / . , . \ N - , $ 'f . — ?721927 — . qu7V8l — q‘“ %8l' + ?B792) = q 0 219I7— ?/7'(E792-f ?7' (>M27 — 3V92) == q7 — ?'7'£027 + qtV8l — q' 08327— 35792)==q77 2"£927 T ?'(E7D2 + q ,3302' + 33'92) == q777 fore ... (IV) q^zz7 + q/7zz'72 -f q777 (bn1 -f bh z) — q • — q«/z7 -f qv77c//z — q77 (6/z7 _ b‘lt — qt q777C7z7 — qzz7/z + q7 \bn‘ _ bin)=z q 77 q77czi7 — q7c7/z — q (bn1 -p &7/z) — qut i * f Quoties t* = i , hae aequationes non sunt • necessariae, sed ipsarum loco aequationes (I), quibus omnino analogae sunt, retineri possunt. Quodsi nunc ex aequatt. II, IV valores ipsorum Ann' , 2ihz/z7, Cnn 7 (i. e. numerorum q‘q » — qqur etc. ) euoluuntur , et quae mutuo se destruunt delentur: inuenietur, singulorum partes es¬ se vel producta ex integris in zzzz7, vel ex in¬ tegris iri drtn* vel ex integris in dJnn, insuper- que omnes partes constituentes ipsius zBnn' im¬ plicare factorem 2. Hinc concluditur (quoniam 555 dWn1 i dn'n' = d‘nn, et prom -- ===■ sunt integri ), A7 B, C esse numeros (X E. P. * 'sfdfr integros* ili. Substituendo ex aequatt. (II) valores ipsorum p7 p p 11 , p,u7 facile comprobatur adiu- mento aequatt. (III) et huius tyq + q • -{- + sj yn‘qu> = i , esse pq* — qp' ==; an* , pq*'* — • qpth L^. piqti qipu ~>Qbn*7 p‘*q“* — - q‘*p‘‘‘ == 67?', pq** ~ qp" ==« a*n7 pq 1,1 — qp'" -j~ p^}" — $jp'' ==. Qb'n7 p*ql*‘ — '== c‘n7 quae aequa¬ tiones identicae sunt cum sex prioribus (.Q.) art praec. 7 tres reliquae autem iam «per hyp. locum habenL Quare ; ibid. sub f in.) forma F transibit m ff\ *per substitutionem p7 p*7 p‘*7 p"*7 q7 q*7 q", q"*7 ipsi usque determinans erit = D, siue aequalis diuis. comm. max. numerorum dm*m*7 d*mm7 quam- obrerii per conci, quartam art praec. F ex f7 f* Composita erit Q. E. S. Denique facile , perspi¬ cietur. F ex f. f* ita compositam esse vt prae¬ scriptum sit , quum signa quantitatum n7 /z' iam ab initio rite sint determinata* - 257. Theorema. Si forma F in productum e duabus fornus /, f' est transformabitis , atque form& f formam f“ implicat : F etiam m productum e for - ‘mis fi f' iratis formabilis erit . Dem. Pvetineantur pro formis F7f7f* omnia signa art. E55 ; forma f" sit — ( a**7 b**7 c11 ), 'trahseatque f* iri f" per substitutionem *> C, y, K Tunc nullo negotio perspicietur, F transire in jff“ per substitutionem kp + yp*7 Qp + Sp4, &p" ■* \ , 'Z f / 554 ^ yp‘", ty“' + Sp‘fi «q + yq', c q + iq',tq‘‘ + yn“< 6q<‘ + Sq“>. Q. E. D. ' - / . > • . - s '• • Positis breuitatis caussa co efficientibus «p 4* i?', cp + ¥ etc-> = $v Wif ty"; A, A*, m", £t'"> numeroque — Cy =s er ex aequatt* ii art. 255 facile confirmatur, esse ^)£p - — MP «= antei $£V" — 4* A'5?" ==s Qbn‘e, tyuDJu ■ — = cn'c $ :9>&" — 04V' = «t*a're + <2ayb'n -f yyc'n == ^)£V« _ M)/'' = %Bmde, tyty" — ; Qnn*e, Xam designato .determinante formae /' per ri'*, erit > radix quadrata ex et quidem positiua vel negatiua , prout forma / formam /" vel pro¬ prie vel improprie implicat. Quare rde erit ‘radix d“ quadrata ex jy$ vnde patet, nouem aequationes praecedentes aequationibus a art. 255 prorsus analogas esse, formamque f in transformatione formae F in ff“ eodem modo accipi, vt in trans¬ formatione formae F in formam /" vero in illa vel eodem modo vt / in hac, vel opposito, prout/1 ipsam/' proprie implicet vel improprie, 258* Theorema. Si forma F sub forma F* est contenta atque in productum \ e formis /, /' trans for¬ mabilis : etiam forma F‘ in idem productum transfor¬ mabitis erit . umL, , / * Dem. Retentis pro formis F, /, /' iisdem signis vt supra et supponendo formam F1 trans- — 555 — ire in F per substitutionem «, C, y, facile , perspicietur, F\ per substitutionem *p -f Qq% -f- gq% ap" -f tq", af “ 4- *qtu ; ?P + ypt 4. fq1, yp11 -t - %'h vP'" +• ! g‘ aequiualentiae formarum F? G similis sit vel dissimilis, 239. Theorema. Si forma F ex formis f, p composita est : quaeuis alia forma in productum ff eo * dem modo transformabitis vt F, ipsam F proprie im » plicabit. Dem. Retentis pro F, f ■» P omnibus signis art. 235, aequationes .Q etiam hic locum habe¬ bunt, Ponamus formam F‘ == B‘r C'), cu¬ ius determinans = Df transire in productum ff1 per substitutionem p, p', p", p'"$ q, q', q" q"' designemuSque numeros pq' — - qp', pq" — qp"? pqm __ p/q/i __ q/p//? p/q/// — q'p">, p"q"C — O"' resp. per Pf Q1. Rf S‘9 T* 9 U\ Tunc ha¬ bebuntur nouem aequationes ipsis ii omnino si¬ miles puta P1 an1 , R _ $' =s 2 bnf U* ==s ! ~~ 557 — etv, Q j = arn, R ' +.S1 = T* = c'tt, qyqy* — qq"' =.- A‘ml, pq"' + qp"' — p'q" — qyp" = ©i^rm', p'p" . — pp"' = C'rm', quas per n' desi¬ gnabimus. Quantitates n, n' hic erunt radices qua¬ dratae ex 2y( 7 jp et quidem iisdem signis resp. affectae vt n, n'-, si igitur radix quadrata ex positiue accepta (quae erit numerus integer) sta¬ tuitur = k, erit n = kn, n' = kn1. Hinc et ex aequatt. seriis prioribus in et £l‘ manifestum est, fore j P' = kP, Q' — kQ , R' = kR, S* = P = kT , Ul .= kU. Quare per lemma art. 254 determinari poterunt quatuor numeri integri £, y, <£ tales vt fiat 4 ^ = P, yp + % == q; af -h Qq* = PS yf' + :$q‘ == q' etc., atque — - Cy = Z. Substitutis his valoribus ipso¬ rum p, q, p', q' etc. in aequatt. tribus vltimis a facile confirmatur adiumento aequationum tl = kn, n' = kn1 triumque vltimarum n , fore + 2j5'«y + Pyy = + iBy (cifr -{- £y ) + CV == 5, AlX + + CW = C, qua¬ propter forma F‘ per substitutionem £, y, £ (quae propria erit, quoniam = A: est po¬ siti uus ) transibit in F , i. e. formam p proprie implicabit. Q. .E. Xb Si itaque p e formis f, f etiam composita est (eodem modo vt F ex iisdem), formae F, F1 eundem determinantem habebunt, eruntque adeo proprie aequiualentes. Generalius, si for¬ ma G e formis g, g‘ eodem modo composita est vt F ex/, / resp., formaeque g, g 1 ipsis /, f proprie aequiualent: formae F, G proprie aequiualebunt Z5 V I- — 558. Quum is casus vbi ambae formae compo¬ nendae compositionem directe ingrediuntur sim- ■ pltcissimus sit, ad ipsum qn e reliqui facile redu¬ cantur, illum solum in sequentibus contemplabi¬ mur, ita vt si forma aliqua simpliciter dicatur e duabus aliis composita, semper subintelligere oporteat, ex vtraque illam proprie esse compo¬ sitam *). Eadem restrictio valebit , quoties forma in productum e duabus' aliis transformabilis dice-. tui. 240a Theorema». Si e formis f, f' compositio, est forma F; ex F et f1 forma g ; ex f, f“ formet F‘; ex F ' et f forma gjt; formae g, %* proprie aequi- ua lentes erunt., ^ V 1 ^ ■ * ’ r' "•»'-> ■ Dem . I. Sit / =; axx + 2bxy 4- cyy, fi ss? a^x^1 -f- 2b>x‘y‘ -j- eff1, f“ = anx“xu F 2b“x“yu -f c“y“y‘\ F~ AXX + 2 gXY -j- CYY, F 1 =*•' A‘X‘X‘ + 2B‘X‘Y‘ -f OY Yf 8 ~ 7(3636 4- 2&36<$ + dyy, 8' Tf'36'36/ + 2®>36^ 4- determinantes harum septem formarum resp». d, d1, d“ , 17, IT, >D, &)', qui omnes eadem signa, et rationem quadratorum inter se habebunt. Porro sit m diuisor communis maximus numero¬ rum a, 2b , c, similemque significationem ha¬ beant 772' , 772 'p M relatiue ad formas fi, fi1, F.. 1 Tum ex conci. -4 art. 255, D erit diu. comm. max. numerorum dmW, dhmfi, adeoque Dm^m" diu. comrn. max. numerorum / Y •• . \ b Y, ,/'• ■ bbp' i v ■ > *) Similiter vt. iSi compositione rationum ( quae cum composi¬ tione formarum magnam analogiam habet. ) subintelligi solet^ rationes componendas direpte accipiendas es.se nisi vbi con.- trarium monetur., • ^ 5 59 \ M = mm*$ diu. comm. max. num. Dmllmn , d“MM , siue numerorum Dmumu, diimmmW. Hinc concluditur, ® esse diu, comm. jnax. trium numerorum dmlmlm,lmH , d,mmm‘‘m!'9 ; ex simili autem ratione eorundem trium numerorum diuisor communis maximus erit 5 quare quum ££)' eadem signa 'habeant, erit ® == «Jjq siue formae §, §' eundem deter¬ minantem . habebunt II lam transeat F in ff‘ per substitutionem X = pxx{ + p‘xy> puyx‘ + piUyy', Y ^ qx x( + q‘xyJ. + + qtuyy*\ atque g in Ff" per substitutionem 38 = pXx" + plXy“ + $nYxu 4- °C) ==> qXz" 4- q'X#" + q"To;" + (\iliYy11, designenturque radices quadratae posi- .. d d* I) du / cv> M// tiuae ex p, per rc, m', Df, tt". Tunc per art. 255 . habebuntur decem et octo aequationes, quarum semissis altera ad transfor¬ mationem formae F in ff‘ pertinebit, altera ad transformationem formae g in Wu* Prima erit pq‘ — qp' z=z an1 , ad cuius instar* facile formari poterunt reliquae breuitatis gratia hic omitten¬ dae, Ceterum quantitates ?z, ny DI, tV' rationa-' les quidem erunt, sed non necessario numeri integri» III. Si valores ipsorum. X, Y in valoribus ipsorum 36, substituuntur, prodit substitutio talis: 36 = (1) xx>x“ 4- (2) xx‘y“ + (5) xylx“ + (4) xyty" 4- C5)y%W. 4“ (6) yxlyli 4* (7) yyty" 4~ (8)\yy‘yu; 3) = (9) xx>x“ + (10) xx‘yl/. -f (n) xy‘x11 -f (1 2).'xy!y‘* 4* (15) yx‘xu + (14) yx^y11 4- (15) yy>xli -f (16) yy‘yn , per quam manifesto Z 4 . 3 $6o N g transibit in pfoductutn ///". Co efficiens (i> erit = pp + qp“\ valores quindecim reliquorum non apponimus , quippe quos quisque nullo ,ne» gotio euoluet. Designemus numerum \ i) (10) — 2) (9) per (1, 2), numerum (1) (11) * — {5) (9' per (1,5), et generaliter (g) (8 + h) (h) (8 -f g) per ig7 h)7 supponendo 'g7 h esse integros inaequales inter 1 et 16 quorum maior hoc modo omnino viginti et octo signa ha¬ bebuntur. lam denotatis radicibus quadratis posi- d dj • A sitiuis ex — per n, n' (quae erunt == ttDT, wm, eruentur sequentes 28 aequationes: ( i7 2) = aa‘tx‘% ( 1, 5) == aa“n‘7 (1, 4) =^. ab‘n“ -f ( V5) == a'a"n, ( 1, 6) = a‘b\V\ + a‘b‘% (1 j 7) = a“bn‘ 4- a"£'n, (i, 8) == + &'Z?"n 4- (2, 5) =2 abm", ( 2 , 4) == (2, 5) = a‘b“x\ — a‘bx\u , (2, 6) == (2,7) = bb^n1 + blblln — Z^n" — , £mn'n", (2, 8) === &cf'rt' 4- b'c“ n, (5, 4) == "n — ~ (5, 7) ==f a"c% (5, 8) 5= bc< n" 4- fc"c'n , (4, 5 ) = Z>'Z?"n — Z^n" — bb^w 4- 3>ttn'n", (4, 6 ) = £'c"n — frc"n'? (4,7) = b"c't\ — Z?c'n", (4, 8) == c‘c“ n, (5, 6) == ca‘r \“, (5,7) = caut[‘7 (5,8) =. 6'co" — /:>"cn'? (6? 7) = Z?"ctV — ( 6„ 8) = cc"iV, f 7, 8) ==: cc'n", quas per €> designabimus 7 nouemque aliae: (10) C11) — (9) (12) == (1) (12) — *) Horum signorum significatio praesens non est confundenda cum ea in qua in art. 2 34 accepta erant ; nam numeri per haec signa hic expressi apprime respondent iis, qui in art, 234 numeros similibus signis illic denotato* multiplica¬ bantur; / (2)(n) — (5) (10) + (4) (9) = c«n'n“33 , (s) (5) — (1) (4) = an'n<'£, — (9) (16) + (10 (15) + (11) (14) — (12) (15) = afen'n"2(, (1) (16) _ (2) (xg) — (5) (14) + (4) (15) + (5) 'i2) — (6) (11) — (7) (10) + (8) (9) — 4i>n'n»S, — (1) (8) + (2) (7\ + (3) (6) - (4) (5) — 2fcn'n“g, (14) (15) — (13)7(16) = cn'ii"2(, (g) (16) — (6) (13) — (7) (14) + (8) (13) — 2cn'n"53, (®) (7) — (5) (8) = ctVti"S, quas designabi- mus per Y *), , IV. Originem omnium harum 57 aequatio¬ num deducere nimis prolixum foret: sufficiet quasdam confirmauisse, ad quarum instar reliquae haud difficulter demonstrari poterunt. 1) Habetur (1,2) = (1) (10) (2) (9) == (pq' — qp') pp -f (pq'" - qp'" p'q" 4- q'p") pq + ( P"q"' — q"p"') qq = n" (App -f &Bpq -f Cqq ') == H“aa‘ , quae est aequ. prima. 3) Fit (1,3) = (i)(n) — (3) (9) = (P<|" — <|P") (P<)' — <|P') = a"9ta«' s= aa“\V , aequ. secunda, 5) Erit (1,8) === (1) (16) — (8) (9) ==' (pq' — qpO pp,n 4- ( pq"' — qp"') pq — ( p'q" < — q'p'0 qp‘u 4- (p"q'" — q"p'") qqlli = n" {App‘“ 4- B ( pq‘“ -f qpUi) + Cqqut ) 4- ‘bfjjti ( pq‘“ — qp111) = n" (bb‘ + ddf) + (bn -f b'n')**) *) Qbseruare conuenit , 18 alias aequationes his ^ similes erui posse, in quibus ad dextram loco factorum d , 2 b, C ha- .beantur d1, 2b\ C' \ d", 2,b“, C" ■ sed has quum ad institu¬ tum nostrum non sint necessariae omittimus» **) Hoc sequitur ex: aequ. IO art. 235 et sqq. Quantitas radi- «alie ^fdd' fit ~ Dnn' ^ iDnn', Z S ***** ^ 6$ * s . . t. s= WW + tt ‘bbu + -ff ©tttfftt", aequatio octa- ua in $. Aequationes reliquas lectoribus confir¬ mandas linquimus. V. Ex aequatt. $ sequitur^ viginti octo nu¬ meros (i, 2) , (1, 5) etc. nullum diuisorem com¬ munem habere, sequenti modo. Primo obser- uamus , viginti septem producta e ternis factori-* bus, quorum primus vel n, secundus aliquis nu¬ merorum a‘y ab‘y. c', tertiusque aliquis jium ero¬ rum a“y 2b“y c“y vel primus n', secundus aliquis e numeris ay 2b , c , tertius aliquis numerorum auy2b“yc“ y vel denique primus ttu, secundus aliquis numerorum a , 2b , c tertiusque aliquis e numeris a‘v2b'y c‘ — singula haec viginti septem producta propter aequatt. $ aequalia esse vel alicui ex vi¬ ginti octo numeris (i, 2), (1, 5) etc. vel plurium .summae aut differentiae, (e. g. wa‘a“ =- (1,5}, %na‘b" = (1,6) + (2,5), =' (1, 8) -ff (% 7) + (5, 6) -j- (4, 5) , et sic de reliquis )j quamobrem si hi numeri diuisorem communem haberent, hic necessario etiam omnia illa pror ducta metiri deberet. Hinc vero facile deducitur adiumento art. 40 et per methodum saepius in praecedentibus adhibitam , eundem diuisorem etiam numeros n 'mm", W^mm1 metiri debere, adeoque horum quadrata quae sunt dnmmmlm‘ " — 5 — X) — Per llhns ffua* dratum diuisibilia esse, Q. E. quoniam per I trium numeratorum diuisor communis maximus: est adeoque quadrata ipsa diuisorem commu¬ nem habere nequeunt. \ VI. Haec omnia pertinent ad transformatio¬ nem formae f in ff‘fuy et ex transformationibus 'V 5^5 “ formae F in ffl formaeque § ‘in ^fu deducta sunt. Sed prorsus simili modo e transformatio¬ nibus formae F‘ in ffu formae que § in F1/1 de- riuabitur transformatio formae in fff" talis ; 36' == (i )'xx'xn +■ (2jlxxlya + (5 yxyW* 4* etc., 9)' - = (q)ixx‘xu -f (io yxxly11 + etc. (designando omnes coefficientes similiter vt in transformatione formae § i n singulisque distinctionis caussa lineolam affigendo), ex qua perinde vt ante 28 aequationes ipsis analogae deducentur, quas per 4>' designabimus, nouemque aliae ipsis T analogae, quas exprimemus per 'i'1. Scilicet denotando (i)'(ig)' — (^)/(9)/ Per C1? a)S (0'C11)* — (5)'(9)' per (1, 5)' etc., aequationes erunt (1, 2)' = aa‘nu j (1, g)' == ab‘tlu -f ctb11®*; etc. 5 aequationes f1 autem (10 ; (9)'(i2)' =e anwH' etc. (Euolutionem vberiorem breuitatis gratia lectoribus relinquimus ; ceterum periti no- uum calculum ne necessarium quidem esse, sed analysin primam per analogiam facile huc trans¬ ferri posse inuenient). Quibus ita factis, ex et statim sequitur (1,2) === (1, 2 )>, (1, g) = (1, 5)S (1,4) =f (i>4)S C% 5) = (2, 5)‘ etc.; hinc vero, et inde quod omnes (1,2), (1,5), (a, g) etc. diuisorem communem (per V) non habent, adiumento lemmatis art. 254 conclu¬ ditur, . quatuor numeros integros y, £ ita determinari posse, vt fiat -f C(q)* = (1), 0(2 y -h £(io)' = (2), *(g)' -f €(11)' = (5) etc. 5. >(1)' -f S(g)' =3 (9), 4- l(io)' == (10) etc., atque af - ^ VII. Hinc atque substituendo ex tribus aequatt. primis Y valores ipsorum n3J, «33, *zg, — 5§4 — et ex tribus aequ. primis T' valores ipsorum all'7 a%5'7 ' a&- facile confirmatur fore affixa + s33a:y - f" Cfyy ) ==^ ciffi* 7 a^ffiaZ -f- 53 (uci' T ) -f- ^ 'niiV, affigg -f- ^S3££ 4* ) = a&7 vn- de, nisi a ==. o7 manifesto sequitur, formam g transire in g' per substitutionem propriam £ y, & — Adhibendo autem loco trium aequatio¬ num primarum in T et Y' tres sequentes, facile confirmabuntur tres aequationes mdcto traditis omnino similes, in quibus loco factoris a vbique inuenitur b7 vnde patet, eandem conclusionem etiamnum valere si modo non sit b = o. De¬ nique adhibendo tres vltimas aequationes Y, Y* inuenietur eodem modo, conclusionem veram esse nisi c o. Quocirca, quum terto omnes a7b7c simul = o esse nequeant, necessario for¬ ma g per subst. £, y, £ transibit in g', a deo¬ que huic formae proprie aequiualebit. Q. E. D. 241. Talem formam v_t g vel g'; quae oritur, si vna trium formarum datarum compo¬ nitur cum ea quae ex compositione duarum re¬ liquarum resultat, ex his tribus formas composi¬ tam vocabimus, patetque ex art. praec. , nihil hic interesse quonam ordine tres formae componan¬ tur. Simili modo propositis quotcunque formis /, f, f ', f“' etc. ( quarum determinantes rationem quadratorum inter se habere debent), si forma f componitur cum /', resultans cum f“7 quae hinc oritur cum fiu etc. : forma , quae ad fi¬ nem huius operationis prodit ex omnibus formis, f, /', f“, f‘“ etc. composita dicetur. Facile vero demonstratur, etiam hic arbitrarium esse quo¬ nam ordine formae componantur* i . e. quocun- -- .. ^ v , V • - . / . ' „ •' :• ri ' ■-■ 7: (■ " ■ ' ' ... ' ' ' ' — ' 5% — que ordine hae formae cdmponantur, formas ex compositione oriundas semper proprie aequi- ualentes esse. — - Porro manifestum est 7 si for¬ mis f, fl> f“ etc. proprie aequiualeant formae g9 g‘, gH etc. resp. , formam compositam ex his proprie aequiualentem fore formae ex illis com¬ positae. 243. Propositiones praecedentes formarum compositionem maxima vniuersalitate complectun¬ tur y progredimur iam ad -applicationes n^agis particulares, per quas illarum ordinem interrum¬ pere noluimus. Ac primo quidem resumemus problema art. 256, quod per conditiones sequen¬ tes limitabimus: primo vt formae componendae eundem determinantem habeant, siue sit d ■== d‘$ secundo vt m, m‘ sint inter se primi 5 tertio vt forma quaesita directe ex vtraque f9 f* compo¬ sita sit. Hinc etiam mm9 m‘m‘ inter se primi erunt,* quare diuisor communis maximus nume¬ rorum dmtm* , d‘mm i. e. D fiet == d .=== d‘ , at¬ que n == 71'.== 1. Quatuor quantitates £t, OJ9 £X“' , quae ad libitum assumi po- sunt, statu¬ emus = — 1, o, o, o resp., quod semper li¬ cebit vnico casu excepto vbi a, a1 , b -f b‘ simul sunt = o , ad quem igitur hic non respiciemus £ manifesto autem hic casus occurrere nequit nisi in formis determinantis positiui quadrati* Tunc patet, p fieri diuisotem communem maximum numeroritm n, n', b 4- b*) numeros ita accipi debere vt fiat ty1 a -p a 1 {b 4- b‘ ) === ^ $ ipsum vero omnino arbitrarium esse. Hinc prouenit, substituendo L c* pro /?, qf p* , q* etc. valores suos* A =s — — ^ J3 s 566 i (tyaW + ty‘ab> + fy“a‘b + p1" (bb1 + -D))| f* C autem per aequationem AC = BB — D pot¬ erit determinari, si modo non simul a et a{ = o. ,, V In hac igitur solutione valor ipsius A non pendet a valoribus ipsorum ( qui infinitis modis diuersis determinari possunt ) j B autem alios valores obtinebit tribuendo his nu¬ meris alios valores, operaeque pretium est inue* stigare, quomodo omnes valores ipsius 8 in¬ ter se connexi sint* Ad hunc finem obserua- inus I Quomodocunque determinentur 3>", valores ipsius B inde prodeuntes omnes congruos esse secundum modulum A. Ponamus, si statuatur = p, = p', = p", =: pv", fieri jB = 33 5 faciendo autem = p 'f ty, $)' = p' 4- b', ty" = p" + b<#, 9>"' = p"'-bb"', prodire B = 33 + Tunc igitur erit ab1 + a'b" -b ( b -{- ) b"' =0, aa‘h -j- ablb‘ -f a‘bba -f- (bb1 -f -D) brti Multiplicando aequa¬ tionis posterioris partem primam per ap 1 -b a‘pIJ + (b - b &') P'" 'secundam per /*, et subtrahendo a producto primo quantitatem (ab^p1 q~ m&p" -b ( bv* ~b £?)p//y) ( «b/ -b atb1'! -b ( # 4- £) byy') , quae propter aequationem priorem manifesto erit •== o, habebitur euolutione lacta et sublatis quae se destruunt aa‘ U'b + ((b‘ _ b) p" 4- c‘p‘“) b* ^ ((b ~ b1) p‘ q- cp"') b ' — (c'p' -b cp") b"') = , vnde manifesto per , siue 2) per — i. e. per A diuisibilis erit, atque 33 EE33 "b ee > / ~ 567 — . , - V- , _ , „ ' •' • . ' _ ; IL Si valores p, p', p", p"' ipsorum tym reddant B == S, inueniri posse alios valores horum numerorum ex quibus B nancisca¬ tur valerem quemcunque datum ipsi $5 secun¬ dum mod. A congruum, puta 9$ 4 kA Primo obseruamus, quatuor numeros j», c, c', b — &/ di- uisorem communem habere non posse 5 nam si quem haberent, hic metiretur sex numeros <2, a‘9 b 4 /?S £«, c b — b‘ ad eo que tum ipsos a7 Qb9 c, tum ipsos 2,b\ c* et proin etiam ipsos tn9 mf9 qui per hyp. inter se sunt primi. Quamob- rem quatuor numeri integri h7 h‘ , /z", h,u pot¬ erunt assignari tales vt fiat fit* 4 h‘c 4 h11^ 4 h,M { b ~ b‘) z— 1. Quo facto si statuitur kh = b, k {h“ $ 4* h‘) — % & (hl (b 4 &') 4- h“‘a} = ^b", — k {h1 a1 4* hna) = ^b'", pa¬ tet, ipsos b, b', b7/, by// esse integros; porro facile confirmatur, fieri «b' 4 <2'b" 4 (bX-b‘) b7" = o, b11 etc. secundum modulos a , a‘7 au etc* resp.5 >-s ,B .B — ' P in * ■* * * ■ C =: — — | — * racile emni perspicietur, ex duabus formis (tf, 6, c)i (a1, b c1) compositam fore formam ( aa‘ , B} - — -- — ) ; ex hac atque (0", 6", c") formam ( aa,a,,7 B> etc* v 7 7 v 7 7 aa‘an * Vice versa 4) Proposita forma proprie primitiua [A7 B, C) determinantis D 7 si terminus A in factores A a quotcunque inter se primos a, a‘, a 11 etc. resoluf- tur> numeri K &'? b“ etc* ipsi B vel aequales vel «altem se c. mod. a , a1, a“ etc. resp. congrui ac¬ cipiuntur, atque fit ac ■== bb — D, alci = b'b* — JD, ducil =z .bubvs — ~ D ete.: forma ( B, C) composita erit e formis (u, b, c) , c'j, (aiff b‘\ c“), siue in has formas resolubilis , Nullo negotio probatur, eandem propositionem adhuc- dum valere, etiamsi forma (A, B, C) sit impro¬ prie primitiua vel deriuata. Hoc itaque modo quaelibet forma in alias* eiusdem determinantis resolui potest, quarum termini antecedentes omnes sint vel numeri primi vel numerorum primorum potestates. Talis resolutio saepenumero commode applicari potest, si ex pluribus formis datis com¬ ponenda est vna. Ita e. g. si quaeritur fofma composita e formis (5, 1,254), (10,5,41), (i5j 27), resoluatur secunda in has (2, 1, 201), (5, — 2,8 1), ter; ia in has (5, — 1, 154), (5, 2, 81), patet- que, formam ex quinque formis (5, 1, 154), (2, 1,201), (5,- 2,81), (5,r 1)154), <5,2, 81) compositam, quocunque ordine accipiantur, etiam ex tribus datis compositam fore. At ex compo¬ sitione primae cum quarta oritur forma principa¬ lis (i, o, 401)5 eadem prouenit ex compositione tertiae cum quinta; quare ex compositione cun¬ ctarum conflatur forma (2, 1, 20 1), 5) Propter rei vtilitatem operae pretium est, hanc methodum adhuc amplius explicare. Ex obseruatione praecedente manifestum est, problema, quotcunque formas datas proprie pri- mitiuas eiusdem determinantis componere , reduci posse ad compositionem formarum,, quarum ter- mini initiales sint potestates numerorum primo* rum 'nam numerus primus tamquam sui ipsius potestas prima considerari potest), Quamobrem eum imprimis casum contemplari conuemt, vbi duae formae proprie primi tiuae (n, b. c) , ( a‘yb‘rc sunt componendae, in quibus a et a ' sunt potesta¬ tes eiusdem numeri primi. Sit itaque a === hK 9 d' = hx designante h niimeru# primum, sup- ponamusque (quod licet), k non esse minorem quam a. Erit itaque hx diu. comm. max. nume¬ rorum a7 a‘, qui si insuper ipsum b 4- h‘ meti¬ tur, habebitur casus initio huius art. consideratus^ eritque A, B , C) ex propositis composita si sta¬ tuitur B EE b ( mod. A* A ) et 3 b1 (mod. i), quae conditio posterior manifesto omitti potest 5 C == — ~E — . — Si vero h* ipsum b + b' non metitur, necessario diu. comm-. max. horum numerorum et ipse erit potestas ipsius h\ sit igitur = hv , eritque i, < * statui debet * = o, si forte ti et b 4- b* inter se primi sunt). Si itaque ita determinantur! vt fiat 4“ 4* ^n‘X. b 4* ^/) === bv , ve¬ ro ad lubitum assumitur > forma {Ah B. C) ex datis erit composita, si statuitur A «= hr x 2V B = b 4» 4-.^ (b — £♦) — € = Sed facile perspicitur* in hdc casu etiam ad libitum assumi posse, quare statuendo === = o, fit B == b chK~~ ? siiie generaliter B = ^ 4- b — , designante numerum arbitrarium (art, praec»). In hanc formulam simplicissimam Aa 0 e J, solus ingreditur, qui est valor expr. fr ( mod. hK ). Si e. g. quaeritur forma composita ex ( 16, 3, io ) et (8, i, 5 7), est h = o>, * ' =s 4, a = 5, v = 2. Hinc ^ = 8, valor expr. J ( mod. 8), qualis est 1, vnde B = 8& — 73, adeoque faciendo k = 9, B == — 1 atque C = 37- siue (8, — l, 37). forma quae* sita. * Propositis itaque formis quotcunque, quarum termini initiales omnes sunt potestates numero¬ rum primorum, circumspiciendum erit, num ali¬ quarum termini antecedentes sint potestates eiusdem numeri primi, atque hae inter se respectiue per regulam modo traditam componendae. Hac ra¬ tione prodibunt formae, quarum termini primi etiamnum erunt potestates numerorum primorum, sed omnino diuersorum; forma itaque ex his composita per obseru. tertiam definiri poterit. E. g. propositis formis (3, 1, 47), (4, o, 33 ), (5r o, 28)5 (16, 2, 9), (9, 7, 21), (16, 6, 11), ex prima et quinta conflatur forma (27, 7, 7)$ ex secunda et quarta confit (16, — 6, 11), ex hac et Sexta ( 1 , o , 140 ) , quae negligi potest. Supersunt itaque ( 5, o, 28), (27, 7, 7), ex qui¬ bus producitur (155, — 20, 4), cuius loco assm mi potest proprie aequiualens ( 4, o, 53 ). Haec itaque est resultans ex compositione sex proposi¬ tarum* Ceterum ex hoc fonte plura alia artificia in applicatione vtilia hauriri possunt; sed ne nimis 375 longi fiamus, vbertorem huius rei tractationem supprimimus, ad alia difficiliora properantes. 244. Si per formam aliquam f repraesen¬ tari potest numerus <2, per formam f* numerus q? , atque forma F in ff* est transfomiabilis: nulla negotio perspicitur, productum aa1 per for¬ mam F repraesentabile fore. Hincstatim sequitur, quando determinantes harum formarum sint nega- tiui, formam F positiuam fore si vel vtraque /, f‘ sit positiua vel vtraque negatiua 5 contra F fieri negatiuam si altera formarum /, /' sit positiua altera negatiua. Subsistamus in eo imprimis ca¬ su ,. quem in art. praect. considerauimus , vbi F ex /, /' composita est, atque /, / et F eundent determinantem D habent. Supponamus insuper, repraesentationes numerorum a, ar per formas /?/ fieri per valores indeterminatarum inter se primos, atque priorem pertinere ad valorem b expressionis/*' D ( mod. <2), posteriorem ad va- lorem b1 expr .y/D (mod. a1), ponaturque bb — * D = ctCyFb* — D a'c(. Tunc per art. 168 formae ( a: b , c), (a1, b*r c1) proprie aequiuale- bunt formis /, fl\ quare F etiam ex illis duabus formis composita erit. Sed ex iisdem formis composita erit forma (A, B , C),. si, posito nu¬ merorum a, a1, b -f- b‘ diuisore communi ma- ximo = u. statuitur A == — , Bxxzb et F sec. W* . Cb. C&t^ modulos — resp., AC = BB — quare . f*1 haec forma proprie aequiualebit formae F. Iam per formam Axx + %Bxy 4- Cyy repraesentatur numerus aa1 , faciendo x = i*, y === o, quorum valorum diuisor comm, max, est quare aa1 Aa 5 •— 574 — ■ fstiam per formam F repraesentari poterit ita vt calores indeterminatarum habeant diuisorem com¬ munem maximum ju (art. 166). Quoties igitur euadit « — 1, aa‘ per formam F repraesentari poterit tribuendo indeterminatis valores inter se primos, repraesentatioque haec pertinebit ad va- •* lorem B expr. (mod. aa1), ipsis b , bf secundum modulos a, a* resp. congruum. Condi» tio u =. 1 semper locum habet, quando a, a1 inter se primi sunt,* generaliter autem, quando diu. comto, max. ipsorum ay a* ad b + b' e st primus. 24 5* Theorema. Si forma f ad eundem 0 r di n em referenda est vt gf similiterque f est eoe eodem ordine vt g' : forma F eoe f, f composita eundem determinans tem habebit ex, eodemquf ordine erit vt forma G ex g9 g1 composita.. v Dem. Sint formae f, f1, F == (a, b , c), (a% b>, cy, (4 b., cy resp. , ipsarum que determinans tes = d, d 'j D, Porro *sit numerorum a , libr c diu. cornm. max. = mt, numerorum similesque significationes ha¬ beant /?z m' respectu formae f\ et M, £0$ respectu formae F. Tune ordo formae / deter¬ minabitur per - numeros dy m , m, vnde iidem numeri etiam pro forma g valebunt 5 eadem ra¬ tione numeri d\ m1, m/ idem erunt pro forma gJ quod sunt pro forma f. Iam per art. 255 , nu¬ meri D , M, £0? determinati sunt per dy df m‘, m, m' f scilicet erit D diuisor communis ma- ximus ipsorum dmbn', d‘mm 5 M == mm‘ $ atque 9)1 == illiii' (si simul m === m, m‘ = m'), vel ttim' (si m = am, aut mf = am'). Quae ~ 575 tk,- _ ' proprietates ipsorum DfiM, SOI, quum inde se¬ quantur, quod F ex /, /' composita est: facile perspicitur, D, M et 93? etiam pro forma G va¬ lere , adeoque G esse ex eodem ordine vt K Q. E . D* Ex hac ratione ordinem in quo est forma F compositum dicemus ex ordinibus in quibus sunt formae /, /'. Ita e. g. ex duobus ordinibus pro¬ prie primitiuis semper cOmpositus est similis ordo 5 ex proprie primitiuo et improprie primitiuo, im¬ proprie primitiuus* — Simili modo intelligen- dum est, si ordo aliquis ex pluribus aliis ordi¬ nibus compositus vocabitur,, 246- Problema. Propositis duabus formis primitiuis quibus cunque /, /', ex quarum compositione oritur F: ex generibus ad quae pertinent f, f definire genus ad quod referenda erit F \ SoL I. Gonsideremus primo eum casum vbi ad minimum vna formarum /, f' e. g. prior est .proprie primitiua, designemusque determinan¬ tes formarum /, /',, F per d, d*9 D. Tunc D erit diuisor communis maximus numerorum dm‘m‘ , vbi m! est aut 1 aut 2, prout forrrla f est proprie aut improprie primitiua j F autem in casu illo pertinebit ad ordinem proprie pri- naitiuum, in hoc ad improprie primitiuum. Iam gemis formae F definietur per ipsius characteres particulares, nempe tum respectu sin¬ gulorum diuisorum primorum imparium ipsius Z>, tum, pro quibusdam casibus, respectu nume¬ rorum 4 aut 8. Hos igitur singulos determinare oportebit» Aa 4« l6* Si p est diuisor quicunque primus im¬ par ipsius D , necessario etiam ipsos d , d1 metie¬ tur, adeoque etiam inter characteres formarum fy /' occurrent ipsarum relationes ad p. Tam si per / repraesentari potest numerus a , per/ numerus afi productum aa‘ repraesentari poterit per F. Si ita¬ que tum per/, tum per / repraesentari possunt residua quadratica ipsius p (per p non diuisibilia), etiam per F residua quadratica ipsius p repraesen¬ tari poterunt , L e, si vtraque /, / habet characte¬ rem Rp, forma F eundem characterem habebit. Simili ratione F habebit characterem Rp, si vtra¬ que fy / haBet characterem Np> contra F ha¬ bebit char. Npy si altera formarum /, / habet Rpy altera Np, 2°. Si in characterem integrum formae F ingreditur relatio ad numerum 4, talis relatio etiam in characteres formarum /, f ingredi, debet Nam illud tunc tantummodo euenit, quando D est ~ o aut EE 5 ( mod. 4 ). Quando D per 4 est diuisibilis, etiam dm‘1711 et d‘ per 4 diuisi- hiles erunt, vnde statim patet, / non posse esse improprie primitiuam, adeoque esse m1 = 1 ; hinc tum d tum d1 per 4 diuisibiles erunt, et in vtriusque characterem ingredietur relatio ad 4. Quando D EE 5 (mod, 4), metietur D ipsos d, d1; quotientes erunt quadrata, adeoque etiam df d1 necessario vel — o vel EE 5 ( mod. 4), et inter characteres ipsarum /, / relatio ad 4. Hinc eodem modo vt in (1°) sequitur, characterem formae F fore 1, 4, si vel vtraque /, f habeat 1, 4 vel vtraque 5, 4$ contra characterem for¬ mae F fore 5, 4, si altera formarum /, / habeat h 4> altera 5, 4. 577 — 5°. Quando D per 8 est diuisibilis, etiam d1 erit 5 hinc /1 certo proprie primitiua, m 1 =s i atque etiam d per 8 diuisibilis; quare inter cha¬ racteres formae F aliquis e characteribus i , 8 > 5? 8 5 5, 8 ; 7, 8 tunc tantum locum habere pot¬ est, si etiam in charactere tum formae /, tum formae/' talis relatio ad 8 adest. Facile autem confirmatur eodem modo vi ante, characterem formae F fore i, 8, si / et /' respectu ipsius 8 eundem habeant,- characterem formae F fore 5 , 8 , si altera formorum /, /' habeat i , 8 altera 5, 8, vel altera 5, 8 altera 7, 8? F habere 5, 8, si /,/ habeant 1, 8 et 5, 8 vel 5, 8 et 7, 8j F habere 7, 8, si / et /' habeant vel 1, 8 et 7, 8, vel 5, 8 et 5, 8. _ 40. Quando est D 2 (mod. 8), erit d* vel EE o vel EE 2 (mod. 8); hinc 772 = 1, adeo- que etiam d vel EE o vel EE 2 ( mod. 8 ) i atta¬ men vterque d , d1 per 8 diuisibilis esse nequit, quoniam D est diuisor communis maximus ipso¬ rum. Quare in eo tantum casu alteruter characte¬ rum 1 7, 8; 5 «£ 5, 8> formae D tribui debe¬ bit, vbi vel vtraque forma/*, /' aliquem ex illis habet, vel altera aliquem ex illis, altera aliquem horum 1,8? 3,8; 5 , 8 5 7 , 8- Hinc facile de¬ ducitur, characterem formae F determinari per tabulam sequentem, si character in margine po¬ situs pertineat ad alteram, formarum/,/, ad al¬ teram vero character in facie: * i et 7, 8 3 et 5, 8 vel 1, 8 vel 3, 8 ' X vel 7, 8 vel 5, 8 1 etji 8 1 et 7, 8 3 et 5, 8 3'f5>8 3^5,8 1 et 7, 8 Aa 5 / 5°‘ Eodem modo probatur , ipsi F tribui non posse alterutrum characterum l et 5 , 8 ; 5 et 7, 8, nisi etiam aliquis ex iisdem saltem vni formarum f7 f‘ competat, alteri que vel aliquis ex iisdem, vel aliquis ex his 1, 8; 5? 8? 5? 8? 7 , 8. Et quidem character formae F determina¬ bitur per hanc tabulam,, in cuius margine et fa¬ cie sunt characteres formarum f7 f1 1^3,8 vel 1,8 vel 3, 8 5etT>S vel 5, 8 vel 7, 8 5 x 8 1**3» 8 5 etf, 8 aet7>8 iet 3, 8 II. Si vtraque forma f7 f* est improprie primitiua , erit D diuisor communis maximus numerorum 4 d7 4 d7 siue J D diu. comm. ma¬ ximus numerorum d7 d1. Hinc facile sequitur, tum d7 tum d‘7 tum £ D fore EE 1 ( mod. 4). Ponendo autem F == (A7 Bf C)7 diu. comm. xnax. numerorum A7 B7 C erit = <2, et diu. comm. max. numerorum A\ 2B7 C erit 4. Quare F erit forma deriuata ex improprie primitiua (| A7 I S, I C), cuius determinans erit % D , et cuius genus determinabit genus formae F*. Cha¬ racter autem illius formae,: tamquam improprie primitiuae, relationes ad 4 vel 8 non implicabit* sed tantummodo relationes ad singulos diuisores primos impares ipsius J- D. Iam quum omnes hi diuisores manifesto etiam ipsos d7 d1 metiantur, atque semissis cuiusuis producti duorum facto¬ rum, quorum alter per f alter per f est reprae¬ sentabitis, per formam {±\A} \Br\C) reprae- — 579 — ■ ^ ■' ' .. fi .sentari possit: facile perspicietur, characterem huius formae respectu cuiusuis numeri primi imparis p ipsum | D metientis fore Rpr tum si fuerit %Rp atque formae /, f‘ respectu ipsius p eundem characterem habeant, 'tum si fuerit %Np atque characteres formarum /, f* respectu ipsius p oppositi 5 contra characterem illius formae fore JSfp, tum si /, f‘ habeant characteres aequales respectu ipsius p atque sit 2Np , tum si f, fl ha¬ beant oppositos atque sit %Rp. 1 . ‘ . i 247. Ex solutione problematis praec. mani¬ festum est, si g sit forma primitiua ex eodem ordine et genere vt /, nec non g 1 forma primi¬ tiua ex eodem ordine et genere vt f1: formam ex g et g1 compositam ad idem genus pertinere ad quod pertineat forma ex / et f‘ composita. Hinc sponte sequitur significatio generis ex duo¬ bus aliis generibus (siue etiam pluribus) compo¬ siti, Porro ibinde patet, si /, /' eundem deter¬ minantem habeant atque / sit forma e genere principali, F vero ex / et /' composita: F fore ex eodem genere vt /'5 quocirca genus princi¬ pale in compositione cum aliis generibus ‘eius¬ dem determinantis semper omitti poterit. Si ve¬ ro reliquis manentibus / non est e genere princi¬ pali, /' autem forma primitiua: F certo erit ex alio genere quam /'. Denique si jf, f[ sunt for¬ mae proprie primitiuae eiusdem generis , F erit e genere principali j si vero sunt ambae proprie primitiuae eiusdem determinantis, sfed e diuersis generibus, F ad genus principale pertinere non poterit. Quodsi itaque forma quaecunque pro¬ prie primitiua cum se ipsa componitur, forma 1 580 inde resultans, quae etiam proprie primitiua eius^ demque determinantis erit , necessario ad genus principale pertinebit. 548* Problema. Propositis duabus formis quibuscunque /, /', e quibus composita est F: e generi¬ bus formarum /, f definire genus formae F. Sol Sit / = ( a, b, c), /' = («', b1, c')> F = (A, B, C), porro m diu. comm. max. nu¬ merorum a, b , c, atque m' diu. comm. max. nu¬ merorum a1, b ', c', ita vt /*, /' sint deriuatae e i . ... , « b c . / a1 b' c' < -i primitivus (-, quas de notabimus per f , f' resp. Xam si saltem vna forma¬ rum f, f' ©st proprie primitiua, diuisor comm. max numerorum A , B , C erit ttim', adeoque F deriuatsi ■ .. \ ; svt' # . %' ab c e forma primitiua (■ — - - .) ... vnde patet, genus formae F pendere a genere formae Sed facile perspicietur, §per eandem substitutionem transire in ff', per quam F transeat in ff‘ adeoque § ex f, f' esse compositam, ipsiusque genus per problema art. 246 determinari posse. — Si vero vtraque f, f' est improprie primitiua, diuisor c. m. numerorum A> B, C erit amm', formaque g etiamnum ex f, f composita et manifesto e A B C proprie primitiua (- — ,, - - - , V deri- uata. Huius itaque formae genus determinari pot¬ erit per art. 2465 et quum F ex eadem forma deri- uata sit, ipsius genus hiric sponte innotescit. Ex hac solutione manifestum est, theorema in art praec. pro formis primitiuis explicatum, scilicet si jf', g* sint ex iisdem generibus resp . 58i vtfj g9t formam ex eodem genere fore ex quo sil forma ex f, g composita , generaliter pro formis quibuscunque valere. 1249. Theorema. Si format f9 f sunt ex iis - dem ordinibus generibus et classibus vt g, g1 resp.t forma ex f et f composita ex eadem classe erit vt for¬ ma ex g et g1 composita, . Ex hoc theoremate (cuius veritas ex art. <259 protinus sequitur) sponte patebit significatio classis e duabus classibus datis siue etiam e plu¬ ribus compositae. Si classis quaecunque K cum classe princi¬ pali componitur, classis K ipsa prodibit, siue classis principalis in compositione cum aliis clas¬ sibus eiusdem determinantis negligi potest. Ex compositione duarum classium oppositarum pro¬ prie primitiuarum semper oritur 'classis principa¬ lis eiusdem determinantis (v. art. 245). Quum itaque quaeuis classis anceps sibi ipsa opposita sit: ex compositione cuiusuis classis ancipitis pro¬ prie prirnitiuae cum se ipsa classis principalis eiusdem determinantis prouenit. Propositio vltima etiam conuersa valet: sci¬ licet si ex compositione classis proprie prirnitiuae K cum se ipsa prouenit classis principalis H eius¬ dem determinantis , K necessario erit classis an¬ ceps. Si enim K! est classis opposita ipsi K , e tribus classibus Ky K , K‘ composita erit eadem classis quae oritur ex H et 10 j ex illis prouenit K ( quoniam K et K‘ producunt //, haec cum K ipsam K) , ex his 10 j quare K cum K1 coincidet eritque adeo classis anceps* Porro notetur propositio haec: Si classes K7 L oppositae sunt classibus K‘, et D resp.: clas¬ sis ex K, et L composita classi ex K‘ et D com¬ positae erit opposita. Sint formae /, .gy /, resp.' e classibus K , L , K1, Z,'; forma F compo¬ sita ex /, g, atque F* composita ex/', g‘. Quum /' ipsi/, atque g‘ ipsi g improprie aequiuaieant, F autem composita sit ex vtraque /, g directe : F etiam ex /', g * composita erit, sed ex vtraque inuerse. Quare forma quaecunque, qitae ipsi F improprib aequiualet, composita erit ex g' directe adeoque ipsi F1 proprie aequiualebit (artt* 258? 259)? vn(ie F, G improprie aequiualebuniy classesque ad quas pertinent oppositae erunt. Hinc sequitur, si classis anceps K cum classe ancipite L componatur, semper prodire classem ancipitem. Nam opposita erit classi, quae com¬ posita est e classibus ipsis F, L oppositis, adeo¬ que sibi ipsi, quoniam hae classes sibi ipsae sunt oppositae. Denique obseruamus, si propositae sint clas¬ ses duae quaecunque K , L eiusdem determinan¬ tis, quarum prior sit proprie primitiua, sempet inueniri posse classem M eiusdem determinantis, ex qua atque K composita sit L. Manifesto hoc obtinetur, accipiendo pro M classem quae com¬ posita est ex L atque classe ipsi K opposita; si¬ mul perspicietur facillime, hanc classem esse Vnicam quae hac proprietate sit praedita, siue classes diuersas eiusdem, det, cum eadem classe pr. prim. compositas producere classes diuersas» , Classium compositio commode per signum additionis, -f-, denotari potest, sic uti classium 5^5 identitas per signum aequalitatis. In his signis propositio modo tradita exhiberi potest ita; S& K‘ est classis opposita ipsi erit K -J- K‘ classis principalis eiusdem determinantis, vndo K -j~ IQ + L = L; posita • itaque K* .f L == M, erit JT + ' M = L, vti desiderabatur; si vero praeter M alia HY' daretur* eadem ' proprietate praedita, siue K -p M‘ = i, foret = L + K‘ = M, vnde M' =. M. — Si plures classes identicae componuntur, hoc (ad instar multipli¬ cationis) denotari potest praefigendo ipsarum nu¬ merum, ita yt %K idem designet vt ^ -f K, 5K idem vt K -f K + K etc. Eadem signa etiam ad formas transferri possent, ita vt (a 4- b + c) (a1 + b‘i c1') designaret formam ex (a q- b -f c)9 ( a ' *f b* -f c‘) compositam: sed ne vel species ambiguitatis oriri possit, hac abbreuiatione absti¬ nere malumus, praesertim quod tali signo sf'M{a9 b, c) significationem peculiarem iam tribui¬ mus. — Classem %K ex duplicatione classis K. oriri dicemus, classem 5 1 ex triplicatione etc. 250. Si D est numerus per mm diuisibilis (vbi ipsum m positiuum supponimus:: dabitur ordo formarum determinantis D ex ordine pro- D r prie primitiuo determinantis - — deriuatus (siu@ duo , quando D est negatiuns, nempe positiuus et 71 negatiuns); manifesto forma (m, o. —'•-■) ad m J illum ordinem pertinebit (scilicet ad positiuum) meritoque tamquam forma simplicissima in eo T\ considerari potest Ysicuti ( — m, o, — 'i erit i 7 7 m J simplicissimar in ordine negatiuo quando D neg.). ? • I A < Si insuper est D — mm 5B4 — | . 1 (mod. 4), dabitur etiam ordo formarum det D ex improprie primitiuo det. ^ deriuatus , ad quem manifesto forma mm mm — D v , • 1 . ^ . (sm, m, — — - ) pertinebit et pro simplicis- sima in eodem habebitur. { Quando D est neg., rursus duo ordines dabuntur et in negatiuo for» , D — mm \ . .... ma ( — 2m, — ■ ?n, — - - ) pro simplicissima habebitur). Ita e. g., si etiam eum casum vbi m = 1 huc referre lubet, in quatuor ordinibus formarum det. 45 sequentes erunt simplicissimae (1,0, —45), (2,1 22 5, o, -- 15), ( 6? 3, — 6). Quibus ita intellectis, offert se Problema. Proposita forma quacunque F eoe ordine O , inuenir e formam proprie pnmitmam ( posu tiuam) eiusdem determinantis , ex cuius compositione cum forma in O simplicissima oriatur F. Sol. Sit forma F = ( ma , mb , mc) deriua- ta e primitiua / = (n,&, c) cuius, determinans = d , supponamusque primo , / esse proprie pri- mitiuam.• Primo obseruamus, si forte a ad 2dm non sit primus, certo dari alias formas ipsi (<2, h, c) proprie aequiualentes, quarum termini pri¬ mi hac proprietate sint praediti. Nam per art. 228 dantur numeri ad 2dm primi per formam illam repraesentabiles ; sit talis numerus a[ = aa» f &b/y + cyy , supponamusque, (quod licet), a, y esse inter se primos ; tum , acceptis £ , l ita vt fiat — Cy = 1 , transeat / per substitutionem tt} w, y, £ in formam (m, c'), quae illi pro- — 535 prie a equius! ebit et proprietate praescripta erit praedita. Iam quum etiam F et (a‘m7 b‘m , crm) proprie aequiualearit, facile perspicietur, sufficere eum casum considerare vbi a ad 2dm sit primus. Tunc (#, bm7 crnm ) erit forma proprie primi- tiua (si enim a7 %hm7 cmm diuisorem commu¬ nem haberent, hunc etiam' 2 dm = 2 bbm — 2acrn implicaret) eiusdem determinantis vt F, confirmaturque facile, F transmutari in produ¬ ctum e forma (m, 0, — dm ), quae, nisi F est forma negatiua , erit simplicissima ordinis O , in Xai bm7 cmm) per substitutionem 1, 0, — - cm7 o^m^a^bm, vnde per criterium in obs. 4. art. 255 concluditur, F ex (m, dm) et (<2, bm7 cmm ) esse compositam. Quando autem F est forma negatiua, transibit in "productum e forma simplicissima eiusdem ordinis (— /7Z, o , cfrn) in positiuam ( — <2, bm , — * crnm) per substitutionem 1, o, Zr, — - cmj o, m7 — a7 bm7 adeoque ex ipsis erit composita. Secundo , si f est forma improprie primitiua, supponere licebit is ad 2 dm esse primum; si enim haec proprietas in forma f locum nondum habet, inueniri potest forma ipsi f proprie aequi- ^ alens et hac proprietate praedita. Hinc autem sequitur facile, (| a, bm7 2 cmm) esse formam proprie primitiuam eiusdem determinantis vt F,- aeque facile confirmatur, F transire in productum e formis { ±_ 2 mr +_ m +. § {m — dm)) , ( +_ § a7 hmr + a cmm) per substitutionem 1 , o, J ( 1 qT b)7 — cmy o, ± 2772, Hh § q7 (b 1) rn7 vbi signa inferiora accipienda sunt quando F est for¬ ma negatiua, superiora in casibus reliquis, adeo- Bb — 586 — que ex tils duabus formis esse compositam, qua¬ rum prior erit simplicissima ordinis O, posterior forma proprie primitiua (positiuaj. \v' " ' ■ - ' \ ' ' . ?/.' ■ . , v''-: ^51*. Problema. Propositis duabus formis F, f eiusdem determinantis D et ad eundem ordinem O per» timentibus: inuenirs formam proprie primtmam deter¬ minantis D, quae cum f composita producat F. Sol Sit

. Q. E . I Quaeuis itaque classis ordinis dati considerari potest te.rn.quam composita ex quacunque classe data eiusdem ordinis et aliqua classe proprie pri- mitiua eiusdem determinantis. 252. Theorema. Pro determinante dato m singulis generibus eiusdem ordinis contentae sunt classes aeque multae . Dem. Pertineant genera G et II ad eun¬ dem ordinem, constet G ex n classibus K, K‘ y K“ ... K ^ 1 , sitque L classis aliqua e genere II. Inuestigetur per art. praec. classis proprie primi- tiua M eiusdem determinantis, ex cuius compo¬ sitione cum K prodeat L, designenturque classes quae oriuntur ex compositione classis M cum K11 . . , K! 1 resp. per L1 ? Lu , , . L(t' ~ K Tunc ex v «**» 5*8^ m0m obs. vltima art. £49 sequitur, omnes classes Ly Z', L“ ... Ln~l esse diuersas, et per art. ©43 omnes pertinebunt ad genus idem, i. e. ad genus M Denique perspicietur facile, H alias classes praeter has continere non posse, quum quaeuis classis generis H tamquam composita considerari possit ex M et alia classe eiusdem determinantis quae necessario semper erit e genere Q. Quo¬ circa H perinde vt G continet n classes diuersas* q. e: d. S55. Theorema praecedens supponit ordinis, identitatem neque ad ordines diuersqs est exten¬ dendum. Ita e. g. pro determinante - — 171 dantur 20 classes positiuae, quae reducuntur ad quatuor ordines:' in ordine proprie primitiuo duo continentur genera, vtrumque sex classes com¬ plectitur in ordine impr. primitiuo duo genera quatuor classes possident, singula binas; in or¬ dine deritiato ex O. proprie prim. det. — ig vnicum est genus quatuor classes complectens; denique O. deriuatus ex impr. prim. det. — ig vnicum genus habet ex vna classe constans; per¬ inde se habent classes negaturae. Operae itaque pretium est, in principium generale inquirere, a quo nexus inter multitudines classium in diuersis ordinibus pende at* Supponamus, /i , L esse duas classes ex eodem ordine (positiuo) O determi¬ nantis D, atque M classem proprie primitiuam eiusdem det. , ex cuius compositione cum K oriatur Z, qualis per art. 251 semper potest assignari. lam. in quibusdam casibus fieri potest, vt Msit vnica classis pr. primitiua quae cum K composita producat Ly in aliis plures classes diuersae pr. primitiuae exstare pos- Bb a ' * V 1 d p ' « / ■ ;> .? • ... '■ ■ •' : • ’ _ '• ' \ ' > ’ -s ' ¥ ' ' ‘ • sunt hac proprietate praeditae. Supponamus ge¬ neraliter, . dari r huiusmodi classes pr. primitiuas, M, Mq M“ ... Mr- , quae singulae cum K com¬ positae producant eandem classem X, designe- musque illarum complexum per W. Porro sit D alia classis ordinis O (a classe X diuersa;, atque N1 classis pr. prim. dei. D quae cum X compo¬ sita efficiat Xq designeturque complexus classium N‘ + M, N1 -f M', N> Jr ... N 1 + M " (quae omnes erunt proprie primitiuae et inter se di- uersae) per FV‘. Tunc perspicietur facile, K cum, classe quacunque ex W compositam producere Xq vnde concluditur, W et' XXI nullam classem communem habere,- praeterea nullo negotio com¬ probatur, nullam classem pr. primitTiam 'm com¬ plexu XX' non contentam dari, quae cum K com¬ posita producat ipsam X'. Eodem modo patet, si X" sit alia classis ordinis O a classibus X, U diuersa, dari r formas pr. primitiuas tum inter se tum a formis EX, W1 diuersas, quae singulae cum K compositae ipsam X" producant, et perinde res se habebit pro omnibus reliquis classibus or¬ dinis O. Quoniam vero quaeuis classis pr. prim. (positiua) determinantis D cum K composita classem ordinis O producit, facile hinc colligitur, si multitudo omnium classium ordinis O siit 72, multitudinem omnium classium proprie primiti- uarum ( positiuarum } eiusdem determinantis fore rn. Habemus itaque regulam generalem: Deno¬ tantibus X, X classes quascunque ordinis O, at¬ que r multitudinem classium proprie prim it ma¬ rum diuersarum eiusdem determinantis, quae singulae cum K compositae ipsam X produc unt, multitudo omnium classium in ordine proprie — 589 ” prirmtiuo ( positiuo ) r vicibus maior erit quam multitudo classium ordinis O. Quum classes L in ordine O omnino ad libitum assumi possint, etiam classes identicas accipere licebit, ;et quidem e re erit ea classe Vti, in qua continetur forma huius ordinis simpli¬ cissima. Quam itaque pro K et L assumendo, res eo reducta et, vt omnes classes proprie pri- mitiuae assignentur, quae cum K compositae ipsam K reproducant. Huc via sternitur per se¬ quens 254. Theorema. St F — ( A , B , C) est forma simplicissima ordinis Q determinantis D, atque f ~ ( a, b, c) forma proprie ‘primitiua eiusdem deter¬ minantis : per hanc formam f repraesentari poterit nu¬ merus AA , si F oritur per compositionem formarum f, F; et vice versa F ex se ipsa atque f composita erit, si A A per f repraesentari potest . Dem. L Si F in productum fF transit per substitutionem p , p', p", piu, q , q\ p", qUi', ex art. 255 habemus A ( aq^q" — 2bqq“ +' cqpj) == A 3, vnde AA = aq^q11 — 2 hqq" .+ cqq. Q. K P. '«8 Ii: Si supponitur , A per f repraesentari posse, designentur valores indeterminatarum per quos, hoc efficitur per q", — q, siue sit AA = 'acfjq" — 2bqq“ pcqq, ponaturque q“a — q {b -f- B) = Ap1 — qC= Apf q" (b — B) - qc =2= Apu , ' — q“C = Apnif qua — , q {b — B) .== qil (&+,.&) qc ~ Aqili. Quo facto, facile confirmatur, F Bb 5 transire in productum fF per substitutionem p,p', p", p'",* qr q q“ , atque adeo ex/ et incom¬ positam esse, si modo omnes numeri p, /?' etc, sint integri» lam per descriptionem formae sim- • • • 2 J5 >plicissimae, ^ est vel o vel f I?, adeoque in- C teger?* ibinde patet, sexnper esse integrum. Hinc q‘ — p, p', , vel sal¬ tem ipsum 4 1), et in casu posteriori quotiens semper erit EE 1 (mod. 4). II. Si aa ipsum D metitur, omnes vqlores expr. s/~D (mod. aa ), qui quidem inter o et aa — 1 iacent, erunt o, <2, 2 a ... aa — <2, adeoque a miiltitudo formarum in V $ sed inter has tot tantummodo erunt proprie primitiuae, quot nu- ^ D - 4 aa ' aa aa merorum 595 cum a diuisorem communem non habent Quan¬ do = i, V ex vnica forma constabit, ( i, o, D), quae semper erit proprie primitiua. Quando a est 2 vel potestas quaecunque ipsius 2, semissis illorum a numerorum par erunt, semissis impar ; quare in V aderunt \a formae proprie primitiuae. Quando a est" alius numerus primus p vel potestas numeri primi /;, tres casus sunt di¬ stinguendi: scilicet, omnes illi a numeri ad a primi erunt, adeoque omnes formae in V pr. primiti¬ uae, si “ per p non est diuisibilis simulque non residuum quadraticum ipsius p ; si vero p ipsum — -metitur , in V erunt ~ formae pr. pri- aa 7 p . r mitiuaej denique si ^ est res. quadr. ipsius p per p non diuisibile , in V erunt — — for¬ mae pr. primitiuae. Haec omnia nullo negotio demonstrantur. Generaliter autetn posito a 2vp7r q&r* ..., designantibus prq7 r etc. numeros pri¬ mos impares diuersos, multitudo formarum pr. pri- mitiuarum in PevilNPQR . . vbi statui debet N = i (si t' = o) vel N ==■ 21'-1 (si y > 0)5 P = pv n ' . t V' ( si ^ est non residuum quadr. ipsius p ) vel P = aa D 1 (si — per p est diuisibilis) vel dd (P - 1 ) P z=x (p — * 2) pv (si £ aa est res, qu. ipsius p per p non diuisibile) 5 Q, R etc. autem eodem modo ex q^ r etc. sunt definiendi vt P ex p . Bb 5 — 594 III. Si ao, ipsum D non metitur, erit i?-. aa integer et =±. i (inod. 4), valoresque expr. yVD (mod. aa) hi \a9 1 a ... aa ~~ f a, vnde mul¬ titudo formarum in V erit <2, tot autem inter ipsas erunt proprie primitiuae quot ex numeris D T D _ J D_ __ „ __ D _ ( T y d 4 Dz X_ _ 00 1 (mod. 8), omnes aci aa "*■' 0$ d sunt primi. Quoties hi numeri erunt pares, adeoque in Anulla for¬ ma pr. primitiua; quando autem .EHE 5 (mod. g), omnes illi numeri erunt impares, adeoque omnes formae in V pr. primitiuae , si a est 2 vel potestas ipsius 2, generaliter autem in hoc casu tot formae pr. primitiuae in V erunt, quot illo¬ rum numerorum per nullum diuisorem primum imparem ipsius a sunt diuisibiles. Multitudo haec erit NPQR ..., si a = vbi statuere oportet N = 2V, ipsos P, Q, R etc. autem eo¬ dem modo ex p, q , r etc. deriuare vt in casu praecedente* IV. Hoc itaque modo multitudines forma¬ rum pr. primitiuarum in P, V ', V“ etc. definiri possunt 5 pro aggregato omnium harum multitu¬ dinum haud difficulter emitur sequens regula ge¬ neralis: Si A — designantibus K, », € etc. numeros primos impares diuersos, multitudo totalis omnium formarum pr. primiti¬ uarum in :V, Vn etc. erit == Anotfa C ..., vbi . _ . A-LP statui debet tt = 1 (tum si v =uo, tum sx { 595 — r / 'Er 1, mocl. 8)5 vel n = 2 (si v > o simulque '-J2 integer), vel n = 5 (si ri> o simulque 4^ ^5, mod.8); porro a = 21 (si ipsum -E? AA metitur), vel a = It ■+. 1 (si % ipsum 4^ non metitur, accipiendo signum superius vel in¬ ferius prout est non- residuum vel res. qu. ipsius 20, denique 6, c etc. eodem modo ex SB, € deriuari vt a ex 2f. Demonstrationem fusius hic explicare, breuitas non permittit. V. Iam quod attinet ad multitudinem classi¬ um, quas suppeditant formae pr. primitiuae in V, Vtl etc., tres casus sequentes sunt distin¬ guendi. j Primo , quando D est numerus negatiuus, singulae formae pr. primitiuae in V, V‘ etc. con¬ stituent classem peculiarem, siue multitudo ipsa classium quaesitarum exprimetur per formulam in obi era. praec. traditam, duobus casibus ex- aD ceptis, scilicet vbi vel = — 4 vel = — . 5, siue vbi D vel == — AA vel == — J AA. Ad demonstrationem huius theorematis manifesto v ostendi tantummodo debet, fieri non posse, vt duae formae diuersae ex V, V Vu etc. sint proprie aequiualentes. Supponamus itaque, Qhh? z, A;), ( hlh ', i% k‘) ©sse duas formas diuersas pr. primitiuas ex P9 Z7', V“ etc. ad eandem classem pertinentes, transeatqud prior in posteriorem per substitutionem propriam 0, C, y , $5 vride habe- 596 buntur aequationes &J — £ = I , hh&*. + Aty -f kyy == h‘A , hkxQ -f z (,«3’ -f Cy) + Ayd == zC Hinc facile concluditur, primo y certo non esse s= o (vnde sequeretur, esse a, = ~h i, hh == /z'/z', V zzr i (mod.M) adeoque formas proposi¬ tas ideniicas,' contra hyp.j; secundo , y diuisibi lem esse per diuisorem maximum communem numerorum /z, /z' 5 (ponendo enim hunc diuiso¬ rem ii r, lue manifesto etiam metietur ipsos 2z’? 21 1 , ad k vero erit prunus; praeterea r/* metie¬ tur ipsum /z/z/c — hdVk1 = zz z'z'5 vnde fa¬ cile deducitur, r etiam metiri ipsum i - z'?‘ ha¬ betur autem cti 1 — Ailh' = <&z -J- yk , vnde yk et proin etiam y diuisibi lis erit per r )f tertio , esse ( sthh H z ) 1 . — Dyy = hhivlv. Ponendo ita¬ que aJz/i -j- ^z = rp, y == rq , p et q erunt in¬ tegri quorum posterior non ' = o , atque pp — - khldk1 0 •, hkkh' . . . JJqq = - . bed - erit numerus mini- / / yy - yy mus per hh et hdi1 simul diuisibilis adeoque ipsum A A et proin etiam ipsum 4 D metietur, 4 Drr . . , • \ quare erit integer ( negatiuus ) , quem sta- 4 D tuendo e, erit pp Dqq e siue 4 = (~^-)1 + £<7*7, in qua aequatione pars ( ^pp ) 1 tamquam quadratum ipso 4 minus ne¬ cessario erit vel o vel 1. In casu priori erit eqq et D = — 'hh‘'t - - - *D 4, et D = — (—)*, vnde sequitur, pj- esse quadratum signo negatiuo affectum adeoque certo non SE 1 (mod.,4 , neque adeo O ordi¬ nem improprie primitiuum neque ex improprie pri- / 39 7 *-* B mitiuo deriuatum. Hinc -yj erit integer, vnde facile deducitur, e per 4 esse diuisibilem , qq =s hh' . , . . A A l9 D = — ( — )l atque etiam ~ jy integrum. Hinc necessario erit D = — AA siue = — 1, quae est exceptio prima. In casu posteri- vnde 5 et 4 D ori erit eqq = 3 — 5 (/— )%• liinc 3 ^ j 1 erit integer , qui , quoni- r A am per quadratum integrum ( ^ ) r multiplicatus producit 3, non poterit esse alius quam 3; hinc 4 D '== — ^AAmue D — — ^AA, quae est ex¬ ceptio secunda. In omnibus igitur reliquis casi¬ bus omnes formae pr. primitiuae in /ri ^77/ etc. ad classes diuersas pertinebunt. — Pro' casi¬ bus exceptis ea, quae ex disquisitione haud diffi¬ cili sed hic breuitatis caussa supprimenda resul- tauerunt, apposuisse sufficiat. Scilicet in priori, ex formis pr. primitiuis in V \ V‘r V “ etc. binae semper ad eandem classem pertinebunt, in poste¬ riori ternae, ita vt multitudo omnium classium quaesitarum in illo casu fiat semissis, in hoc triens valoris expressionis in obs. praec. traditae. Secundo quando D est numerus positiuus quadratus: singulae formae pr. primitiuae in V " etc. sine exceptione classem peculiarem .constituunt. Supponamus enim, " hh,9 z, k } , ( /V/z', P, k1 ) esse duas tales formas diuersas proprie aequiualentes, trameatque prior in posteriorem per substitutionem propriam s y, Tum / 'patet, onfnia ratiocinia pro casu praec. adhibita, in i quibus non supponatur D esse riegatiuum, etiam i hic valere. Designantibus itaque p7 r/, r idem vt illic, etiam hic erit integer , at non am~ piius negatiuus sed positiuus insuperque quadra-- tus, quo posito = gg, erit {?!?)* — ggqq — • 4,, Q. E. quia differentia duorum quadratorum i nequit esse 4, nisi quadratum minus fuerit 0£ quamobrem suppositio consistere nequit. Pro casu tertio autem, vbi D est numeras 1 positiuus non quadratus, regu-lasm. generalem pro 1 comparanda multitudine formarum pr. prirmtiua- rum in V, \ V, V“ etc. cum multitudine classium diuersarum inde resultantium hucusque non ha¬ bemus. Id' quidem asserere possumus, hanc vel illi aequalem vel ipsius partem aliquotam esse.; quin etiam nexum singularem inter quotientem horam numerorum et yalor.es minimos ipsorum ?, u aequationi tt — Dim ■== A A satisfacientes deteximus, quem hic explicare nimis prolixum foret; an vero possibile sit, illum quotientem in omnibus casibus ex sola inspectione numerorum D7 cognoscere (vt in casibus praecc.), de hac re nihil certi pronuntiare possumus. ' Ecce quaedam exempla,' quorum numerum quisque facile augere poterit. Pro D = 15, A = 2, multitudo formarum pr. prim. in V etc. est 5, quae omnes sunt aequiualentes siue vnicam clas¬ sem efficiunt; pro D = 5 g, A ™ 2, etiam tres formae pr. prim. in V etc. habentur, quae ad tres classes jdiuersas pertinent; pro D = 588, 599 A =- 7, habentur octo formae pr. prim. in V- etc. quae efficiunt quatuor classes; pro D = 8bg? ^ = 17 in ^ etc. sunt 18 formae pr. primitiuae, totidem pro D = 1445 , 'A = 17., sed quae pro illo determinante in duas classes discedunt, pro hoc in sex. VI. Ex applicatione huius theoriae genera¬ lis ad eum casum | vbi O est ordo improprie primitiuus, colligitur, multitudinem classium in hoc ordine contentarum fore ad multitudinem omnium classium in ordine proprie primitiuo, vt 1 ad multitudinem classium diuersarum quas j _ j) hae tres formae (1,0, — D), (4, 1, — - -), JD ^ (4, 5, 2 — —-) efficiunt. Et quidem hinc resul- 4 tabit vnica classis, quando D znz i (mod. 8), quia in lioc casu > forma secunda et tertia sunt improprie primitiuae ? quando vero D ~ 5 (mod. 8), illae tres formae omnes erunt pro¬ prie primitiuae totidem que classes diuersas pro¬ ducent si D est negatiuus, vnico casu excepto, vbi D = — - 5, in quo vnicam classem constitu¬ unt? denique casus vbi D est positiuus (formae 8 n. + 5 ) ad eos pertinet , pro quibus regula ge¬ neralis hactenus desideratur. Id tamen asserere possumus, illas tres formas' in hoc casu vel ad tres classes diuersas pertinere vel ad vnicam, numquam ad duas; facile enim perspicitur, si formae ( l, o , — D), (4, , ( 4, 3) 2— ) resp. pertineant, ad classes 10 7 K" fore 4oo K -f K{ = K1, K[ + & = K“ i adeoque, si K et K‘, identicae esse supponantur, etiam K‘ et Kn idonticas fore 5 simili ratione si K et I" suppo¬ nuntur esse identicae, etiam K1 et Ku erunt $ de¬ nique quum sit K1 + K“ == Kr ex suppositione, K‘ et K“ iderriicas esse, sequitur, etiam K et K“ coinddere; Viide _ colligitur, vel omnes tres clas¬ ses K1 /i', K'li esse diuersas, vel omnes tres id en- ticas. E. g. infra 6oo dantur 75 numeri formae g.?z -p 5 , inter quos sunt 17 determinantes pro ■quibus casus prior locum habet sitie multitudo classium in ordine pr. primitiuo ter maior est quam in impr. primitiuo, puta 57, 101, 141, 189, 197, 269, 525, 555? 549? 575? 581, 589, 597? 405, 485? 557? 575 > Pro 58 reliquis casus po¬ sterior valet, siue multitudo classium in vtroque ordine est aequalis. VII. Vix opus erit, obsemare, per disquisi¬ tionem praecedentem non solum multitudines classium in ordinibus diuersis eiusdem determi¬ nantis, comparari posse, sed illam etiam ad quos- uis determinantes diuersos qui rationem quadra¬ torum inter se teneant esse applicabilem. Scili¬ cet designante O ordinem quemcunque det. dmm, O' ordinem det. dm'm O comparari poterit cum ordine proprie primitiuo det. dmm , atque hic cum ordine deriuato ex ordine pr. prim. det, d , siue, quod respectu multitudinis classium eodem redit, cum hoc ordine ipso; et cum eodem prorsus simili ratione comparari poterit ordo 0'. 257. Inter omnes classes in ordine dato de¬ terminantis dati imprimis classes ancipites disqui- 1 Sinonem vberiorem postulant, determmatioque multitudinis harum classium ad multa alia viam nobis aperiet. Sufficit autem, hanc multitudinem in solo ordine pr. primitiuo assignare, quum ca¬ sus reliqui ad hunc facile reduci possint. Hoc negotium ita absoluemus, vt primo omnes for*- mas ancipites pr. primitiuas (A, B , C) determi¬ nantis propositi D, in quibus vel B = o vel B ==•■§ Ay eruere, tunc ex harum multitudine mul¬ titudinem omnium classium ancipitum pr. primi- tinarum det. D inuenire doceamus. I. Omnes formae pr. primitiuae (A, 6, G) determinantis D manifesto inueniuntur, accipien¬ do pro A singulos diuisores ipsius D (tum po si¬ tius tum negatiue ) pro quibus C = — ~ fit primus ad A. Quando itaque D === i , duae huiusmodi formae dantur ( i , o, -r- l), ( — i, o, 1)5 totidem quando D = — 1 , puta (1,0, i ) , ( — 1 , o , — 1 ) ; quando D est numerus primus aut numeri primi potestas (siue signo positiuo siue negatiuo), quatuor dabuntur ( 1 , o, — D ), C— 1, o, D ), (D, o, - 1), (- Di o, 1). Generaliter autem, quaridd D per n nu¬ meros primos diuersos est diuisibilis (inter quos hoc loco etiam- 2 in computum ingredi debet); dabuntur omnino huiusmodi formae,* scili¬ cet posito D — PQR designantibus Py Q, R etc. numeros primos diuersos aut numero¬ rum primorum diuersorum potestates quorum multitudo = 72, valores ipsius A erunt 1, P7 Q, R etc. atque producta ex quotcunque horum nu¬ merorum^ horum valorum multitudo fit per theo-» 0' 402 riam comminationum 2n , sed duplicanda est, quo» niam singulis valoribus tum signum positiuum tum negatiuum tribuere oportet. II. Simili modo patet, omnes formas pr. primitiuas ( 2J3, H*, C) determinantis D obtineri, si pro B accipiantur omnes diuisores ipsius D (positiue et negatiue), pro quibus C = \ (B — P) fit integer et ad 2B primus. Quum itaque C necessario debeat esse impar, adeoque CC EE 1 (mod. 8 , ex D = BB — 2j BC= (B — C)1 — CC sequitur, D esse vel EE 5 (mod. 4), quando B impar, velEE o (mod. 8), quando B par,* quoties itaque D ali¬ cui numerorum 1,2,4, 5, 6 sec- mod. 8 est congruus, nullae huiusmodi formae dabuntur. Quando D EE 5 (mod. 4), C fit integer et impar, quicun¬ que diuisor ipsius D pro B accipiatur; ne vero C diuisorem communem cum 2 B habeat, B ita ac¬ cipi debebit, vt ad B fiat primus,* hinc pro D — — 1 duae formae habentur (2, 1 , 1 ), ( — 2,. — 1, — 1), generaliterque facile perspi¬ citur, si multitudo omnium numerorum primo¬ rum ipsum D metientium sit 7z, . omnino emer¬ gere 2n"*“ formas. — Quando D per 8 est diui- sibilis, C fit integer, accipiendo pro B diuisorem quemcunque parem ipsius \ £); conditioni alteri autem, vt C = l B — - ad aB sit primus, satisfit primo , accipiendo pro B omnes diuisores impariter pares ipsius D, pro quibus ^ cum B diuisorem communem non habet, quorum mul¬ titudo (habita ratione diuersitatis signorum) erit si D per n numeros primos impares diuer* sos diuisibilis esse supponitur; secundo, accipien¬ do pro B omnes diuisores pariter pares ipsius • T) i | D , pro quibus fit primus ad B, quorum multitudo quoque erit 2"-*-1, ita vt in hoc casu omnino habeantur 2n4~ 1 huiusmodi formae. Sci¬ licet ponendo D === HH 2 “PQR.>it) designante p exponentem maiorem quam 2; P, O, R nume¬ ros primos impares diuersos aut talium numero¬ rum primorum potestates quorum multitudo m tum pro I B , tum pro accipi possunt valo- res 1 , P , Q , H etc. productaque ex quotcunque horum numerorum , signo et positiuo et negatiuo. Ex his omnibus colligitur, si D per n nu¬ meros primos impares diuersos diuisibilis suppo¬ natur (statuendo n = o, quando D = + 1 aut + 2 aut potestas binarii ), multitudinem omnium formarum pr. primitiuarum (E, il, C), in qui¬ bus B vel o vel I A, fore 2nM~ * quando D aut 1 aut EE 5 (mod. 8); 2uH~ 1 quando P E: 2, 5(4, 6 aut 7 f mod. 8 5 ? denique 2n4~5 quando D = o (mod. 8). Quam comparando cum iis quae in art. 251 pro multitudine omnium characterum possibilium formarum primitiuarum det. D tra¬ didimus, obseruamus, illam in omnibus casibus praecise esse duplo hac maiorem. Ceterum ma¬ nifestum est, quando D sit negatiuus, inter illas formas totidem positiuas affore quot negatiuas. 258» Omnes formae in art. praec* erutae manifesto pertinent ad classes ancipites f et vice Ccs 4^4 versa In quauis classe ancipite pr. primitiua det» D saltem vna illarum formarum contenta esse debet 5 in tali enim classe certo adsunt formae ancipites et cuiuis formae ancipiti pr. primitiuae (n, b: c) det. D aliqua formarum art. praec. D aequiualet, -scilicet vel (#, o, — — ) vel ( jj _ _ \a ~ — ), prout & vel — o vel — | a fmod. a\ Problema itaque eo reductum est, vt quot classes diuersas illae formae constituant inuestb gemus. Si forma (<2, o, c) est inter formas art. praec., forma (c, o, a ) inter easdem occurret et ab illa semper erit diuersa, vnico casu excepto vbi a = c = +. i a deo que D = — i , quem aliquantisper seponemus. Quoniam vero hae for¬ mae manifesto ad eandem classem pertinent, sufficit vnam retinere, et quidem reiiciemus eam, cuius terminus primus est maior quam tertius; eum casum vbi a = — c = + . i siue D = i quo¬ que seponemus. Hoc modo omnes formas '(A9 o, C) ad semissem reducere possumus , retinendo e binis semper vnam,- et in omnibus remanenti¬ bus erit A vnde (quoniam B < -g h e. B < 2C — Bj adeoque 2 B < 2 C, siue B < C), 2C — 2B < C et C ~~ B < \C et proin ( c, C — B, C ), quae manifesto illi aequiualet, forma reducta. Hoc modo totidem formae re¬ ductae habentur, quot formae habentur in et quum facile perspiciatur , inter illas neque identicas neque oppositas occurrere posse, vnico casu excepto vbi C ■— B = o, in quo erit B = C — J+L h adeo- que B — — i, quem iam seposuimus ):■ ornnes ad classes diuersas pertinebunt. Hinc colligitur, multitudinem omnium classium ancipitum pr. primitluarum det. multitudini formarum in W- seu semissi multitudinis formarum art. praed ae¬ qualem esse ; in casu excepto autem jy = — i per compensationem idem euenit, scilicit duae classes habentur, ad quarum alteram pertinent formae ( i, o, i)., (2, l, i), ad alteram hae ( i, o, — i ) , ( — 2, • — i, — i ). Generaliter itaque pro determinante negatiuo multitudo omnium classium ancipitum pr. prim. aequalis est multitudini omnium characterum assignabi- lium formarum primitiuarum huius determinan¬ tis,* multitudo classium ancipitum pr, prim. posi- tinarum autem semissis erit. II. Quando J) est positiuus quadratus = hhy haud difficile demonstratur, singulas formas in W ad classes diuersas pertinere ; sed pro hoc casu ad problematis solutionem adhuc breuius se¬ quenti modo peruenire possumus. Quum per art, 210 in quauis classe ancipite pr, prim, det, hhr neque in vlla alia, contineatur forma redu¬ cta vna ( a, h, o ) , in qua a est valor expr. 1 (mod. 2 h) inter o et zh — i incl. situs: per¬ spicuum est, totidem classes ancipites pr. prim. det. hh dari, quot valores expressos illa habeat. Ex art, 105 autem nullo negotio deducitur, mul¬ titudinem horum valorum esse 251 vel 2n+,i vel % prout h sit impar vel impariter par vel pariter par, siue prout D ~ 1 vel EE 4 vel EE o (mod. 8)* designante n multitudinem diuisorum primorum imparium ipsius h siue ipsius D- Hinc colligitur, mul¬ titudinem classium ancipitum pr, prim. semperesse semissem multitudinis omnium formarum in art* praec. erutarum, siue multitudini formarum in W vel omnium characterum passibilium aequalem* / 4o 7 ni. Quando D est positiuus non quadratus, ex singulis formis (A, B, C) in W contentis alias deducamus (A, B', C')r accipiendo B1 S B mod. A ) et inter limites yf D et yf' D A (vbi signum superius vel inferius adhibendum, B‘B' — D prout A est pos. vel neg.) atque Q = - - - > designemusque harum complexum per W1, Ma¬ nifesto hae formae erunt proprie primitiuae an- cipites det. D, atque omnes inter se diuersae: praeterea vero omnes erunt formae reductae. Quando enim A < yf' J)>, B ' manifesto erit \T D ^ A adeo que A ~ B‘ etproln A, positiue acceptus, certo inter yf' D + B1 et yf D — B1 situs. Quan¬ do vero A >> yfD<, non poterit esse B = o (quippe quas formas eiecimus), sed erit neces¬ sario B ■= I A $ hinc B1 magnitudine ipsi | A ae¬ qualis, signo positiuus (quoniam enim A <” D, + \ A iacebit inter limites ipsi B 1 assi¬ gnatos, ipsique B sec. mod. A erit congruus 5 quare B1 = I A)y proin B' < yf D, vnde 2>Bl ). Prodibit itaque ex compositione classis X cum K classis X ipsa; ex compositione classis X cum K‘ , K‘l etc. prouenire supponamus classes X', Lu etc. resp., quae mani¬ festo omnes ad eundem determinantem D per¬ tinebunt, atque improprie primitiuae et ancipi¬ tes erunt Patet itaque, theorema demonstratum fore, simulae probatum fuerit, omnes classes X, X', X " etc. esse diuersas, aliasque ancipites impr, prim. det D praeter illas non dari. Ad hunc finem sequentes casus distinguimus: I. Quando multitudo classium impr. primi¬ tiuarum multitudini pr, primitiuarum aequalis est, quaeuis illarum oritur ex compositione classis i cum classe determinata proprie primitiua, vnde necessario omnes X, X'? X" etc. erunt diuersae. 409 Designante autem £ classem quamcunque ancipi- tem impr. prim. det. D, dabitur classis proprie primitiua $ talis vt sit $ -J-* X = £> si classi ^ opposita est ' classis it', erit etiam (quo¬ niam classes X, £ sibi ipsae oppositae sunt) it' 4- L = £, vnde necessario it cum it' identica, erit, adeoque classis anceps: hinc it reperie- tur inter classes K7 K‘t K“ etc. atque £ inter has X, X', X" etc. II. Quando multitudo classium improprie primitiuarum ter maior est quam multitudo clas¬ sium pr. primitiuarum , sit H classis in qua est forma (4, 1, — - .), H1 ea in qua est forma (4, 9 ~ D\ 4 '■)’ eruntque H , H‘ proprie primitiuae et tum inter se tum a classe principali K diuer- sae, atque H - + H‘ = X, H< , 2 H‘ = H; et si £ est classis quaecunque improprie primi¬ tiua det i}, quae oritur ex compositione classis X cum proprie primitiua it, erit etiam £ = X + $ 4 - H et £ == X + it 4~ XT'.; praeter tres classes (pr. prim. atque diuersas) it, it + XT, it 4- H‘ aliae non dabuntur > quae cum X compo¬ sitae ipsam £ producant. Quoniam igitur, si £ est anceps atque it' ipsi it opposita, etiam X 4" it' = £, necessario it' cum aliqua illarum trium classium identica erit. Si it'\ — i?, erit it anceps 5 si it' = it 4* X7, erit jfiT === ^ H- iv' == 2it 4“ H = 2 (it 4- i?) adeoque it 4- E' anceps 5 simili- terque si it' = it 4- H1 erit $ 4- H anceps, vnde concluditur, £ inter classes i, X', JL“ etc, neces¬ sario reperiri, Facile autem perspicitur, inter Cc 5 4io tres classes $ + H, $ + H‘ plures ancipites esse non posse 5 si enim tum tum St 4- H an- cipites essent siue cum oppositis suis jp, M1 + H' resp. identicae, foret $ -f H = $ H‘7 eadem conclusio resultat ex suppositione , $ et $ + H* esse ancipites j denique si $ + i/, $ *+• H1 anci- pites siue cum oppositis suis 5P + H1 , + H identicae essent, fieret & -j- H -{- -f- H = 4 - H1 + & + H1 , vnde 2 H — 2 //', siue H 1 = H. Quamobrem vnica tantum classis anceps pr. prim. dabitur, quae cum L composita ipsam £ producit, adeoque omnes L7 L ', L“ etc. erunt diuersae. / V \ ' r Multitudo classium ancipitum in ordine de- riuoto manifesto aequalis est multitudini classium ancipitum in ordine primitiuo ex quo est deri- uatus, adeoque per praecedentia semper poterit assignari. 260. Problema. Classis proprie primitiua K determinantis D oritur ex duplicatione classis proprie pnmitiuae k eiusdem determinantis : quaeruntur omnes similes classes , ex quarum duplicatione classis K oritur» Sol. Sit H classis principalis det. J) atque H', //", H 1,1 etc. reliquae classes ancipites pr. pri- mitiuae eiusdem determinantis 5 classes quae ex harum compositione cum k oriuntur, k + h + Hn, k + H‘n etc. designentur per k‘7 k“7 k111 etc. Tunc omnes classes k , k1, k11 etc. erunt pr. primitiuae det. D et inter se diuersae j aeque facile perspicitur, ex singularum duplicatione oriri classem K. Denotante autem $ classem quamcunque pr. prim. det. D9 quae duplicata producit classem K , necessario inter classes k , A:', k11 etc. contenta erit. Ponatur enim $ == k -f ita vt Jp sit classis pr. prim. det. D (art. 249), eritque 2 k -f 2Jp = 2$ = K = 2/c, vnde facile concluditur, 2$ coincidere cum classe principali, Jr> esse ancipitem siue inter H , //', H“ etc. con¬ tentam, atque $ inter A;, A:', k11 etc.; quamobrem hae classes completam problematis solutionem exhibent, t ;V l » Ceterum manifestum est, in eo casu, vbi D sit negatiuus,. e classibus k, k1, k11 etc. semissem fore classes positiuas, semissem negatiuas. Quum igitur quaeuis classis pr, prim. det» D, quae ex vilius classis similis duplicatione oriri potest, omnino ex totidem classium similium duplicatione proueniat, quot classes ancipites pr. prim. det. I) dantur: perspicuum est, si multi¬ tudo cunctarum classium pr. prim. det. D sit r, multitudo omnium classium ancipitum pr. prim, huius det, n, multitudinem omnium clas^ sium pr. prim. eiusdem det. quae ex duplicatione similis classis produci possint fore Eadem formula resultat, si, pro det. negatiuo, characte¬ res r, n multitudinem classium positiuarum de¬ signant, ille omnium pr. prim., hic solarum an¬ cipitum» Ita e. g. pro J} = 161 multitudo omnium classium pr. pr. positiuarum est 16, mul¬ titudo ancipitum 4, vnde multitudo omnium clas¬ sium quae per duplicationem alicuius classis oriri possunt debebit esse 4, Et reuera inuenitur, omnes classes In genere principali contentas hac proprietate esse praeditas; scilicet classis princi¬ palis ( i , o , 1 6 1 ) oritur ex duplicatione quatuor classium ancipitum; (2, i, ig) ex duplicatione classium (9, 1, 18), (9, — 1, 18), (11, 2, 15), (11 ? — 2 5 15)) (9? ^9 ^ 8 ) ex dupl. classium ( 5? 54 1? h 27)? (5? — 2, 55), ( 10, 5, 17 ; denique (9, — 1, 18) ex duplicatione classium (5>— h 54), (6, — i, a 7), (5, 2,55,, (10,— 3, 1/)- 261. Theorema. Semessi omnium characte- rum assignabilmm pro determinante positmo non qua¬ drato nulla genera proprie primitiua respondere pos¬ sunt ; pro determinante negatiuo autem nulla genera proprie primitiua p.ositiua. Dem. Sit m multitudo omnium generum proprie primitiuorum ( positiuarum )t determinan¬ tis D ) k multitudo classium in singulis generibus contentarum, ita vt km sit multitudo omnium clas¬ sium proprie primitiuarum (positiuarum); n mul¬ titudo omnium characterum diuersorum pro hoc det. assigna bilium. Tunc per art. 258 multitudo omnium classium ancipitum (positiuarum) pr. primitiuarum erit f n; hinc per art. praec. mul¬ titudo omnium classium pr. prim. quae ex du¬ plicatione similis classis oriri possunt erit — — . Sed per art. 247 hae classes omnes pertinent ad genus principale, in quo continentur k classes; si Itaque omnes classes generis principalis ex dupli¬ catione alicuius classis prouenire possunt (quod reuera semper locum habere in sequentibus de» monstrabitur), erit — k7 siue m s= Inj certo autem nequit esse > k neque adeo m <> f 72. Quoniam itaque multitudo omnium ge¬ nerum pr. prim. (positiuorum) certo non est maior quam semissis omnium characterum assi- gnabilium: ad minimum horum semissi talia ge¬ nera respondere nequeunt. Q. E . D. — Cete¬ rum probe notandum est, hinc nondum sequi, semissi omnium characterum assignabilium re- uera respondere genera pr. prim. (positiua), sed huius propositionis grauissimae veritas infra de¬ mum e reconditissimis numerorum mysteriis enodari poterit. Quum pro determinante negatiuo totidem genera negatiua semper exstent quot positiua, manifesto ex omnibus characteribus assignabilibus non plures quam semissis generibus pr. prim. ne- gatiuis competere possunt, de qua re vt et de generibus impr. prim. infra loquemur. Denique obseruamus, theorema ad determinantes positi- uos quadratos non extendi, pro quibus nullo ne¬ gotio perspicitur singulis characteribus assignabi¬ libus genera reuera respondere. 262. In eo itaque casu, vbi pro determinante non-qUadrato dato D duo tantummodo characteres diuersi assignari possunt, vnico tantum genus pr. primitiuum (positiuum) respondebit, ( quod non poterit esse aliud quam genus principale), alter nulli formae pr. prim. (pos. ) illius determinantis competet. Hoc euenit pro determinantibus — - 1, 2, — 2, — 4, numeris primis formae \n -f 1 414 positiue, iisque formae 4 n + 5 negatine acceptis, denique pro omnibus numerorum primorum formae \n + 1 potestatibus exponentis imparis positiue sum- tis,et pro potestatibus numerorum primorum formae 472 + 5 positiue vel negatiue surntis prout expo¬ nentes sunt pares vel impares. Ex hoc principio methodum nouam haurire possumus, non modo theorema fundamentale, sed etiam reliqua theo¬ remata sect. praec. ad residua — 1, + 2, ■ — 2 pertinentia demonstrandi, quae a methodis in sect. praec. adhibitis omnino est diuersa, elegan¬ tiaque his neutiquam inferior aestimanda videtur. Determinantem — 4 autem, et qui sunt nume¬ rorum primorum potestates, quum nihil noui doceant, praeteribimus. + Jj , <• : \ . ’• ' ( $ ■' , 7 ’ ' I •' ' - ' •- ; - ’ ' v' * ' , . ' ' ' ' , Pro determinante — 1 itaque nulla forma positiua datur cuius character sit 5, 45 pro deter¬ minante + 2 1 nulla omnino forma cuius cha¬ racter sit 5 et 5, 8f pro determinante — 2 nulli formae positiuae competet character 5 et 7, 8j pro determinante + P> si p est numerus primus formae 472 + 1 , vel pro determinante — p , si p est numerus primus formae 472 + 3 , nulli for¬ mae pr. pr. (positiuae in casu post.) competet character Np. Hinc theoremata sect. praec. se¬ quenti modo demonstramus: I. Est — 1 non residuum cuiusuis numeri (positiui) formae 4 n + 5. Si enim — i resi¬ duum talis numeri A esset, faciendo — 1 = BB AC, foret ( A , B, C) forma positiua det. — - 1 cuius character 5, 4. — 415 — II. Est — i residuum cuiusuis numeri pri¬ mi p formae 4 n 1. Nam character formae ( ~ 1, ( ~ 8, 3, ) erunt proprie primi- tiuae (prout n impar vel par), adeoque ipsarum character Rp] hinc + 8 Rp et — ■ 8 Rp, vnde etiam 2H/?, — - %Rp* IV. Est + 2 non residuum cuiusuis numeri formae 8^ + 5 aut 8 n -f 5. Si enim esset resi¬ duum talis numeri A, daretur forma ( A , B , C) determinantis -f- 2, cuius character 3 ef 5, 8. V. Simili modo — 2 est non residuum cu¬ iusuis numeri formae 8« + 5 aut 8n -f 7, alio- quin enim daretur forma (A, B, C) determinan¬ tis — * 2 cuius character 5 et 7, 8. VI. Est — 2 residuum cuiusuis numeri pri¬ mi p formae 8« -f 3* Hanc propositionem per methodum duplicem demonstrare licet. Primo, quum per IV sit -f 2Np> atque per I, — iNp , necessario erit -f 2 Rp. Demonstratio secunda petitur ex consideratione determinantis + 2 p , pro * quo quatuor characteres sunt assignabiles , puta Rp, 1 et 3, 8; Rp, 5 et 7i 8; Np, i et 3,8; Rp, 5 tt 7, 8, ex quibus igitur saltem duobus — 41® *— nulla genera respondebunt., lam formae ( i , bj — 2/?) competit character primus 5 formae ( — i, 0,2 p) quartus $ quare qui reiici debent sunt se¬ cundus atque tertius. Quum itaque character for¬ mae (/?, o, — 2) relatiue ad numerum 8 sit 1 et 5, 8, ipsius character relatiue ad p non pote¬ rit esse alius quam Rp , vnde — %Rp . VII. Est + 2 residuum cuiusuis numeri prh mi p formae 8n + 7, quod per methodum du¬ plicem demonstrari licet. Primo , quum ex I et V sit — 1 Np) — 2Npy erit + 2 Rp. Secundo quum vel ( 8 , 1 , ) vel ( 8, 5, — ^ ) sit for¬ ma proprie primitiua determinantis p (prout n par vel impar), ipsius character erit Rp adeo- que 8 Rp et aRp. x VIII. Quilibet numerus primus p formae 471 + 1 est non residuum cuiusuis numeri imparis <7, qui ipsius p non residuum est. Patet enim, si p esset residuum ipsius <7, dari formam proprie primitiuam determinantis p cuius cha¬ racter Np. f ’ ■ > ' v' IX. Simili modo si numerus quicunque im¬ par q est non residuum numeri primi p formae 4^ + 5, erit — p non residuum ipsius <7; alio- quin enim daretur forma positiua pr. primitiua determinantis — p cuius character Np. X. Quiuis numerus primus p formae 471+1 est residuum cuiusuis alius numeri primi 77, qui ipsius p residuum est Si etiam q est formae M7 4^+5? eiat etiam <7 residuum ipsius p (pro» pter II) adeoque pRq (ex IX). .4 XI. Si numerus quicunque primus q est re* siduum alius numeri primi p formae q/z -{- 3 erit — p residuum ipsius q. Si enim q est for¬ mae 472 4- 1, ex VIII sequitur pRq^ adeoque (per II) , — pRq ; casus autem vbi etiam q est formae \n + 5 huic methodo se subducit, atta¬ men facile ex consideratione determinantis -f pq absolui potest. Scilicet quum ex quatuor chara¬ cteribus pro hoc determinante assignabilibus Rp„ Rq-y Rpf Nq$ Np , Rq‘, Np , Nq duobus nulla genera respondere possint, atque formarum ( l, o, — pq)) ( — i, o, pq) characteres respectiue sint primus et quartus, character secundus et ter¬ tius nulli formae pr. prim. det. pq competere possunt. Quum itaque character formae (qy o, — p) resp. numeri p per hyp. sit Rp1 eiusdem formae character respectu numeri q debet esse Rq7 adeoque — pEq. Q • E- E). Si in proposs. VIII et IX, q supponitur de¬ signare numerum primum, hae cum X et XI iunctae theorema fundamentale sect. praec. exhi¬ bent. 265. Postquam theorema fundamentale de¬ monstratione noua comprobauimus, eam chara¬ cterum semissem, quibus nullae formae pr. pri- mitiuae (positiuae) respondere possunt, pro de¬ terminante quocunque non quadrato dato discer¬ nere ostendemus, quod negotium eo breuius ab» soluere licebit, quum ipsius fundamentum iam Dd 418 in disquisitione artt. 147 - 150 sit contentum. Sit ee quadratum maximum, determinantem propo¬ situm D metiens, atque D = D‘ee , ita vt D * nullum factorem quadratum implicet; porro sint a, b: c etc. omnes diuisotes primi impares ipsius D', adeoque D1 sine respectu signi sui vel pro¬ ductum ex his numeris vel duplum huius pro¬ ducti. Designetur per Q. complexus characterum particularium Na , Nb , Nc etc., solus, quando D1 EE 1 (mod. 4)5 adiuncto charactere 5, 4, quando D1 EE 5 atque e impar aut impariter par; adiunctis his 5, 8 atque 7, 8, quando D * EE 5 atque e pariter par; adiuncto vel charactere 5 et 5, 8, vel duobus 5, 8 atque 5, 8, quando D > EE 2 ( mod. 8) atque e vel impar vei par; deni¬ que adiuncto vel charactere 5 ^ 7, 8, vel duo¬ bus 5, 8 atque 7, 8, quando D\ EE 6 (mod. 8) atque e vel par vel impar. His ita factis, omni¬ bus characteribus integris, in quibus multitudo impar characterum particularium a continetur, nulla genera proprie primitiua (positiua ) deter¬ minantis D respondere poterunt. In omnibus casibus characteres particulares, qui exprimunt relationem ad tales diuisores primos ipsius D qui ipsum P1 non metiuntur, ad generum possibili¬ tatem vel impossibilitatem nihil conferunt. — Ex theoria cOmbinationurn autem facillime perspici¬ tur, hoc modo reuera semissem omnium chara¬ cterum integrorum assignabilium excludi. Demonstratio horum praeceptorum ador¬ natur sequenti modo. E principiis sect. praec., siue theorematibus in art. praec. , denuo demon¬ stratis nullo negotio deducitur, si p sit numerus — 419 — primus (impar positiuus) ipsum D non meti ens, cui aliquis e chara cteribus reiectis competat, D‘ implicare multitudinem imparem factorum qui sint non residua ipsius p, atque adeo D' , et hinc etiam D, esse non residuum ipsius porro fa¬ cile perspicitur, productum e numeris quotcun- que imparibus ad D primis, quorum nulli aliquis characterum reiectorurn competat, etiam cum tali charactere consentire non posse 5 hinc vice versa perspicuum est, quemuis numerum impa¬ rem positiuum ad D primum, cui aliquis chara¬ cterum reiectorurn conueniat, certe aliquem fa¬ ctorem primum eiusdem qualitatis implicare, ade- oque D ipsius non residuum esse. Si itaque for¬ ma proprie primitiua (positiua) determinantis D daretur, alicui characterum reiectorurn respon¬ dens, D foret non residuum cuiusuis numeri po¬ situri imparis ad ipsum primi per talem formam repraesentabilis , quod manifesto cum theoremate art. 154 consistere nequit. Tamquam exempla conferantur classificatio- nes in artt. 250, 231 traditae, quarum numerum quisque pro lubitu augere poterit. 264. Hoc itaque modo pro quouis deter¬ minante non quadrato dato omnes determinantes assignabiles in duas species P, Q aequaliter dis¬ tribuuntur, ita vt nulli characterum Q forma proprie primitiua positiua respondere possit, re¬ liquis autem jP, quantum quidem hucusque no- uimus, nihil obstet, quominus ad tales formas pertineant. Circa has characterum species note¬ tur imprimis propositio sequens, quae ex ipsarum Dd 3 420 criterio facile deducitur: Si character ex P curri charactere ex Q componitur ( ad normam arh 246 perinde ac si etiam huic genus responderet) prodibit character ex Q ; si vero duo characteres ex jP, vel duo ex Q componuntur > character re¬ sultans ad P pertinebit Adiumento huius theo¬ rematis etiam pro generibus negatiuis atque im¬ proprie primitmis semissis omnium characterum assignabilium excludi potest sequenti modo» I. Pro determinante negatiuo D genera ne- gatiua positiuis hoc respectu prorsus contraria erunt, scilicet nullus characterum P pertinebit ad gelius proprie primitiuum negatiuum , sed haec genera omnia habebunt characteres ex Q. Quan¬ do enini D' ~ i (mod. 4), erit — nume¬ rus positiuus formae 472 + 3, adeoque inter a * b, c etc. multitudo impar numerorum formae 472 + 5, quorum singulorum non residuum erit — i, vnde patet % in characterem integrum for¬ mae ( — 1,0,/)) in hoc casu ingredi multitudi¬ nem imparem characterum particularium ex ih siue illum pertinere ad Q ; quando £)• zEz 5 (mod. 4), ex simili ratione inter n, b , c etc. vel nullus numerus formae 472 -p 5 reperietur, vel duo, vel quatuor etc., sed quum vel 3, 4 vel f, 8 in hoc casu occurrat inter characteres particu¬ lares formae ( — 1, o, D), patet * characterem integrum huius formae etiam hic pertinere ad Q. Eadem conclusio aeque facile in casibus reli¬ quis obtinetur, ita vt forma hegatiua ( — i* o, Z?) semper habeat characterem ex Q. Sed quoniam haec forma cum quacunque alia pr. primitiua negatiua eiusdem det. composita similem formam positiuam producit, facile perspicitur, nullam for¬ mam pr. prim. negatiuam characterem ex P ha¬ bere posse. II. Pro generibus improprie primitiuis (po- siiiuis) simili modo probatur, rem vel eodem modo se habere vt in proprie primitiuis, vel con¬ trario, prout ]) EE i vel EE $ (mod. 8). Nam in casu priori erit etiam JDj EE 1 ( mod. 8 ) , vnde facile concluditur, inter numeros a, h, c etc. vel nullum numerum formae 8n + 5 et 8/2 + 5 re- periri vel duos vel quatuor etc. (scilicet produ¬ ctum ex quotcunque numeris imparibus inter quos numeri formae 8 n + 5 et 8 n + 5 con- iunctim multitudinem imparem efficimit semper euadit vel EE 5 vel EE: 5 (mod» 8)? productum autem ex omnibus a, h, c etc., aequale esse de¬ bet vel ipsi /P vel ipsi — D'); hinc patet, cha- rj racterem integrum formae (2,1, — — — ) inuol- uere vel nullum characterem particularem ex n, vel duos vel quatuor etc., adeoque pertinere ad P. lam quum quaeuis forma improprie primi- tiua (positiua) determinantis J) spectari possit tamquam composita ex (2, 1, -1—— — ) atque pro¬ prie prirnitiua (positiua) eiusdem determinantis, perspicuum est, nullam formam improprie pri- mitiuam (positiuam) characterem ex Q in hoc casu habere posse. In casu altero, D == 5 (mod. 8), omnia contraria sunt, scilicet J)»y qui e,tiam erit — 5 , certo multitudinem imparem facto¬ rum -formae 8 n + 5 atque 8 n + 5 implicabit, vnde concluditur, characterem formae (2, i, P<*5 432 i~^), atque hinc etiam characterem cuiusuis formae improprie primitiuae (pos.) det. D, per¬ tinere ad Q , adeoque nulli characterum P genus impr. prim. pos. respondere posse. III. Denique pro determinante negatiuo ge¬ nera improprie primitiua negatiua rursus contra¬ ria sunt generibus improprie primitiuis positiuis, scilicet ilia non poterunt habere characterem ex P vel ex Q , prout J) :::£ i vel EE 5 (mod. 8), siue prout — - D est formae 8n + 7 vel 8^ + 5* Hoc nullo negotio deducitur inde, quod ex com¬ positione formae (—1, o, P), cuius character est ex Q, cum formis improprie primitiuis ne- gatiuis eiusdem determinantis formae improprie primitiuae positiuae proueniunt, adeoque, quan¬ do ab his exclusi sunt characteres Q , necessario ab illis exclusi esse debent characteres P, et contra. ©65. Ex disquisitionibus artt. 25 7, 258 supra multitudine classium ancipitum, quibus omnia prae¬ cedentia sunt superstructa, multae aliae conclu¬ siones attentione perdignae deduci possunt, quas breuitatis caussa supprimere oportet; sequentem tamen, elegantia sua insignem, praeterire non possumus. Pro determinante positiuo p , qui est numerus primus formae \n + 1 , vnicam tan¬ tummodo classem ancipitem proprie primitiuam dari ostendimus,* quapropter omnes formae anci- pites proprie primitiuae talis determinantis pro¬ prie aequiualentes erunt. Si itaque b est nu¬ merus integer positiuus proxime minor quam 425 '*x* p, atque p — bb = a1, formae ( i, h, — &Q, ( — ■ l, b , <2') proprie aequiualebunt , adeoque, quum vtraque manifesto sit forma reducta, altera in alterius periodo erit Contenta. Tribuendo for¬ mae priori in periodo sua indicem o, index po¬ sterioris necessario erit impar (quoniam termini primi harum duarum . formarum signa opposita habent) 5 ponatur itaque = 2 m 4 1. Porro facile perspicitur, si formae indicum 1,2,5 etc. resp. sint ( — b1, a'1), b“7 - — aUi), ( — , alu7 bui7 alv) etc.: indicibus 2772, 2 m - — 1, 2 m — 2 , 27? 1 — 5 etc. resp. responsuras esse formas ( b7 — 1), ( — - a“7 b1, a‘)7 ( a b", ~ <2"), ( — aIvy atu ) etc. Hinc colligitur, si forma indicis m sit (yf, B, C), eandem fore ( — - C7 B, — - A)? adeoque C = — A et p == BB 4 AA, Quare quiuis numerus primus formae 47? + 1 in duo quadrata decomponi potest (quam proposi¬ tionem supra, art. 182, e principiis prorsus di- Uersis deduximus), et ad talem decompositionem peruenire possumus per methodum simplicissi¬ mam et omnino vniformem, scilicet per euolu- tionem periodi formae reductae, cuius determi¬ nans est ille numerus primus et cuius terminus primus 1, vsque ad formam, cuius termini ex¬ terni magnitudine sunt aequales, signis oppositi, Ita e. g. pro p = 253 habetur (1, 13, — 8)* (— * B, 9? 19 )> (x9> — 7)1 (— 7, n, 16), (16, 5, — 15), ( — 15, 8, 15), atque 255 =3 64 4 rbq. Ceterum patet, A necessario fieri imparem (quoniam ( A , B, — A') debet ess© forma proprie primitiua), et proin B parem. — Quum pro determinante positiuo p , qui est nu¬ merus primus formae 47? 4 i> etiam in ordine Dd 4 improprie primitiuo vnica tantum classis anceps contineatur, perspicuum est si g sit numerus impar proxime minor quam p, atque p — gg = 4 /z, formas reductas improprie primitiuas (2, g , — - 2/i), (- — 2, g, 2 h) proprie aequiualere, adeoque alteram in alterius periodo contentam esse. Hinc per ratiocinia praecedentibus omnino similia concluditur, in periodo formae (2, g , — 2 h) reperiri formam, cuius termini externi ma¬ gnitudine aequales sint, signa habeant opposita, ita vt discerptio numeri p in duo quadrata etiam hinc peti possit. Patet autem, terminos externos huius formae fore pares, adeoque medium im¬ parem 5 et quum constet, numerum primum vni- co tantum modo in duo quadrata decomponi posse, forma per hanc posteriorem methodum inuenta erit vel ( B , — B ), vel (- — B} B ). Ita in exemplo nostro pro p = 255 habetur (2, 15, — 4), (— 4, 15, 16), (16, 3, ~ H), (~ 14, 11, 8), (8, 15, — 8), et 253 == 169 -f- 64 vt supra. 266. Hactenus disquisitionem nostram ad tales functiones secundi gradus restrinximus, quae duas indeterminatas implicant, neque opus fuit, denominationem specialem ipsis tribuere. Sed manifesto hoc argumentum tamquam sectionem maxime particularem disquisitionis generalissimae de functionibus algebraicis rationalibus integris homogeneis plurium indeterminatarum et plu¬ rium dimensionum considerare, talesque functio¬ nes secundum multitudinem dimensionum in formas secundi , tertii , quarti gradus etc se¬ cundum multitudinem indeterminatarum autem — 425 — in formas binarias , ternarias , quaternarias etc. commode distinguere possumus. Formae itaque, hactenus simpliciter sic dictae , vocabuntur formae binariae secundi gradus ,* tales autem functiones vt Axx -f- zBxy + CW 4- 2 Dxz -f %Fyz f Fzz (denotantibus A? I>, C, Z>, E, F integros datos) dicentur formae ternariae secundi gradus et sic porro. Proxime quidem Sectio praesens splis formis binariis secundi gradus est dicat q 5 sed quoniam complures veritates ad has spectantes, eaeque pulcherrimae, adhuc supersunt, quarum fons proprius in theoria formarum ternariarum secundi gradus est querendus, breuem ad hanc theoriam digressionem hic intercalamus, in qua ex prihiis eius elementis ea trademus, quae ad perfectionem theoriae formarum binariarum sunt necessaria, quod geometris acceptius fore spera¬ mus, quam si illas vel supprimeremus, vel per methodos minus genuinas erueremus* Exactio¬ rem autem de hoc argumento grauissimp disqui¬ sitionem ad aliam occasionem nobis reseruare debemus, tum quod ipsius vbertas limites huius operis iam nunc longe egrederetur, tum quod spes est, luculentis adhuc incrementis eam in posterum locupletatum iri, Formae vero tum quaternariae, quinariae etc. secundi gradus, tum omnes superiorum graduum hoc quidem loco ab instituto nostro penitus excluduntur*), sufficiat- que hunc campum vastissimum geometrarum at¬ tentioni commendauisse, in quo materiem ingen- *) Propter hanc rationem formae binariae vel ternariae seCtlH^ di gradus in sequentibus semper sunt intelligendae , quo¬ ties de talibus formis simpliciter loquemur* pa5 tem vires suas exercendi, Arithmeticamque subli¬ miorem egregiis incrementis augendi inuenient. 267. Ad perspicuitatem multum proderit, inter tres indeterminatas, in formam ternariam ingredientes , simili modo vt in formis binariis, ordinem fixum stabilire , ita vt indeterminata pri¬ ma , secunda et tertia ab inuicem distinguantur 5 in disponendis autem singulis formae partibus hunc ordinem semper obseruabimus, vt primum locum obtineat ea pars quae quadratum indeter¬ minatae primae implicat, in sequentibus eae quae implicant quadratum indeterminatae secun¬ dae, quadratum tertiae, productum duplum se^ eundae in tertiam, productum duplum primae in tertiam , productum duplum primae in secundam deinceps sequantur; denique numeros integros determinatos per quos haec quadrata et producta dupla multiplicata sunt eodem ordine co efficient em primum 1 secundum , tertium , quar¬ tum , quintum , sextum vocabimus. Ita axx + «trtr' + altxllx,‘ + 2bxlx" + 2b‘xx" + 2 bllxxl erit forma ternaria rite ordinata, cuius indeter¬ minata prima x, secunda x ', tertia x ", coefficiens primus a etc., quartus b etc. Sed quoniam ad breuitatem multum conferet, si non semper ne- cesse est , indeterminatas formae ternariae per literas peculiares denotare, eandem formam, qua¬ tenus ad indeterminatas non respicimus, etiam Ponendo bb — a‘a" A , b^b* — aa" = A, b“bu — aa‘ = A", ab — b‘b" = B , a‘b 1 — bb" = B aub" ■— bb * = j3"? oritur alia forma 42 7 ( B ’ B', B») ' • ' F’ 1uam formae (b’,f’, b" ) ...f, acliunctam dicemus. Hinc rursus inuenitur, denotando breuitatis caussa numerum abb -f- a^b* + a"b"b" — aa'a" — zbb'b " per D , BB — A1 A" = ari, B‘B> — AA" = abD, = = bD, A'B‘ — BB" == £'Z>, — 55' = &".D, vnde patet, formae F* r / aD , auD\ XT adiunctam esse formam i jjj) frijj, ^//jy )• Mu- merum D, a cuius indole proprietates formae ternariae f imprimis pendent , determinantem hu¬ ius formae vocabimus,* hoc modo determinans formae F fit = DD, siue aequalis quadrato de¬ terminantis formae f, cui adiuncta est. Ita e. g. formae ternariae ( 29’ 9 ] b V 7r — i, 14 -/ adiuncta est determinans c 68, — 260 , 181 V vtriusque 217,— III, 133/* “ 1. Formae ternariae determinantis o ab inuesti- ■' - - . : v gatione sequente omnino excludentur, quippe quae, vt in formarum ternariarum theoria, alia occa¬ sione vberius tradenda, ostendetur, specie tantum sunt ternariae, reueraque binariis aequipollentes» 268. Si forma aliqua ternaria f determinan¬ tis D, cuius indeterminatae sunt x, x1, x" (puta prima = x etc. ) in formam ternariam g deter¬ minantis E, cuius indeterminatae sunt y, y1, y\ transmutatur per substitutionem talem x = *y" 428 vbi nouem co efficientes a, 6 etc. omnes suppo-* nuntur esse numeri integri, breuitatis caussa lie-j glectis indeterminatis simpliciter dicemus , f trans»; ire in g per substitutionem ($) &■> y y' „u £u ,, u a , . ■» , y ■ atque f implicare ipsam g, siue g sub f conten¬ tam esse. Ex tali itaque suppositione sponte se¬ quuntur sex aequationes pro sex coefficientibus in g, quas apponere non erit necessarium 5 hinc autem per calculum facilem sequentes conclu¬ siones euo luuntur; I. Designato breuitatis caussa numero a&y1* -p £ y ‘ot,11 -f- — yQ‘oiu — —— Cetyn per ky inuenitur post debitas reductiones E = kkDy vnde patet, D metiri ipsum E et quotien- tem esse quadratum. Patet itaque, numerum k pro transformationibus formarum ternariarum si¬ mile quid esse, ac numerum — £y in art. 157 pro transformationibus formarum binariarum, puta radicem quadratam ex quotiente determi¬ nantium, vnde coniectare possemus, diuergitatem signi ipsius k etiam hic stabilire differentiam es¬ sentialem inter transformationes atque implicatio¬ ne?? proprias et improprias. Sed rem propius contemplando perspicuum est, f transire in g £tii$n per hanc substitutionem a. I — 429 ponendo autem in valore ipsius A: pro pro £> — £ etc. prodebit — quare haec substi¬ tutio substitioni 6* dissimilis foret, et quaeuis for¬ ma ternaria, aliam vno modo implicans, ean¬ dem etiam altero modo implicaret. Talis itaque distinctio, quoniam in formis ternariis nullum vsum habet, hic omnino proscribetur. IT. Denotando per F, G formas ipsis f, g resp. adiunctas, determinantur coefficientes in F per coefficientes in f, cobfficientesque in G per valores coefficientium formae g ex aequationibus quas suppeditat substitutio S notos. Exprimendo coefficientes formae f per literas, ex compara¬ tione valorum coefficientium formarum F, G nullo negotio confirmatur, F implicare formam G atque in eam transmutari per substitutio¬ nem («sd Calculum ipsum nullis difficultatibus obnoxium non adscribimus* III Forma g per substitutionem ($u) C'y" — C"yS £"y — Zy", Gy* — C'y y>a-u y"u,> y“«- •— y&"r> y« i# — y' u, — «#', manifesto in eandem formam transmutatur^ in quam f transit per hanc — CV. y ~ y'V, pv — Cy"> y‘‘ot, — y*". — Zyi T.ffV. yst} ““ y**. - — ■* — 45° — • •* '' • J ’*'• ' * ^ ky o, o Oy ky O 0,0 y k siue in eam, quae oritur multiplicando singulos coefficientes formae f per kk. Hanc formam de¬ signabimus per f‘. IV. Prorsus simili modo probatur, formam G per substitutionem ( V'" ) U) CC ‘y ff, cv ff" 7t y1) y" transire in formam, quae oritur ex Fy multi¬ plicando singulos coefficientes per kk. Hanc for¬ mam exprimemus per F‘. Substitutionem S oriri dicemus per trans¬ positionem substitutionis 5 Si tunc manifesto V rursus prodit ex transpositione substitutioMs S,uf atque V', Su altera ex alterius transpositione. — Substitutio S1 commode appellari potest substitu¬ tioni V adiunctay vnde substitutioni S,u adiuncta erit S“. 269. Si non modo forma f implicat ipsam gy sed etiam haec illam, formae fy g aequiua- lentes vocabuntur. In hoc itaque casu non mo¬ do D ipsum E metietur, sed etiam E ipsum Dy vnde facile concluditur esse, debere D = E. Vice versa autem, si forma f implicat formam g eiusdem determinantis, hae duae for- 45i e fcnae erunt aequiuaientes. Erit enim (adhibendo eadem signa vt in art. praec. excipiendoque ca¬ sum vbi JD = o ) /c = Hh i , adeoque forma f' , in quam transit g per substitutionem S“, cum/ identica, siue /'sub g contenta. Porro patet, in hoc casu etiam formas F, G, ipsius/, g adiun- ctas, inter se aequiuaientes fore, posteriorem que in priorem transire per substitutionem S". De¬ nique vice versa, si formae F, G aequiuaientes esse supponuntur , atque prior transit in posterio¬ rem per substitutionem T, etiam formae /, g aequiuaientes erunt, transibitque / in g per sub¬ stitutionem ipsi T adiunctam, atque g in f per eam quae oritur ex transpositione substitutionis T. Nam per has duas substitutiones resp. transit forma ipsi F adiuncta in formam ipsi G adiun¬ ctam atque haec in illam 5 hae duae formae au¬ tem oriuntur ex /, g multiplicando singulos co efficientes per D; vnde milio negotio conclu¬ ditur , per easdem substitutiones transire f in gy atque g in f resp. 270. Si forma ternaria / formam terna¬ riam / implicat , atque haec formam /": impli¬ cabit etiam / ipsam /". Facillime enim perspi¬ cietur, si transeat f in f‘ p«r substitutionem, y *'• v' C", y" \ f / u per substitutione»; >, i i', \ •"> i' f transmutatum iri per substitutionem I \ \ — 45* — 4” £o' 4“ yS'1 , at* 4” £f' 4“ yf", 4" £ ’ • ■ ,. • ‘ \ . ■ ' •• - / ' . V - • , . ■ In eo itaque casu, vbi f aequiualet ipsi /, atque f 1 ipsi /", forma / etiam formae /" aequi- ualebit. — Ceterum sponte manifestum est, quo¬ modo haec theoremata ad plures formas sint applicanda. 271. Hinc iam patet, omnes formas terna¬ rias, perinde ac binarias, in classes distribui posse, referendo ad* classem eandem formas aequiualentes, non aequiualentes ad diuersas. Formae itaque determinantium diuersorum certo ad classes diuersas pertinebunt, et proin classes infi¬ nite multae formarum ternariarum dabuntur; for¬ mae autem ternariae eiusdem determinantis mo¬ do minorem modo maiorem classium numerum efficiunt; quod vero tamquam proprietas pal¬ maris harum formarum est considerandum, omnes formae eiusdem determinantis dati sem- per constituunt classium multitudinem finitam . Euolutioni vberiori huius grauissimi theorema- tis praemittenda est explicatio sequentis diffe¬ rentiae essentialis, quae inter formas ternarias obtinet. Quaedam formae ternariae ita sunt compa¬ ratae, vt per ipsas sine discrimine repraesentari possint numeri positiui et negatiui, e. g forma xx 4- TY — ££ , quamobrem formae indefinitae vocabuntur. Contra per alias numeri negatiui re¬ praesentari nequeunt, sed (praeter cifram quae - I 455 — ■ prodit, ponendo singulas indeterminatas = o) positiui tantum, vt xx -j- yy +.zz, quare formae positiuae dicentur 5 denique per alias numeri po¬ sitiui repraesentari nequeunt, vt — xx — yy — ~ zzj. vnde appellabuntur formae negatiuae $ formae positiuae et negatiuae nomine communi formae definitae dicentur. Ecce iam criteria ge¬ neralia, per quae haec formarum indoles discer¬ ni poterit. Multiplicando formam ternariam f = axx -f- aWx1 -f a^x^x11 -f ob&x" 4" sbixx11 4" %b“xxq determinantis D per n, denotandoque co eidi cien¬ tes formae ipsi f adiunctae , perinde vt in art. 268 per A, Aq A*f H, B' , Bny prodit (ax + bnx‘ 4" b‘xb )d — AnXi‘x‘ 4“ qBx‘x" — ■ A'xnxH = gy multiplicando denuo per A1 ^ prouenit A ( ax 4- b“x‘ 4“ Mr")2, — (A‘xn — - Bx1 ) 1 4* aDx‘x‘ = h. Hinc statim concluditur, si tum A‘y tum aD sint numeri negatiui, omnes valores ipsius h esse negatiuos, vnde manifesto per for¬ mam f tales tantummodo numeri repraesentari poterunt, quorum signum oppositum est signo ipsius a A1 , i. e. identicum cum signo ipsius a9 siue oppositum signo ipsius D , In hoc itaque casu f erit forma definita, et quidem positiua vel negatiua, prout a est positiuus vel negatiftus, siue prout D est negatiuus vel positiuus. Si vero vel vterque aD , A* est positiuus, vel alter positiuus alter negatiuus (neuter == o), facile perspicietur, h per debitam quantitatum x, x', xil determinationem valores tum positiuos tum negatiuos nancisci posse. Quare in hoc Ee 454 casu f valores tum eodem signo affectos vt aA e tum opposito, obtinere poterit, eritque adeo forma indefinita. Pro eo casu, vbi A* = o, neque vero a ' = o, fit g = ( ax + b“xl + b,xi‘)'1 — x1 (Auxl ■ — n;> nU j* versabiturque negotium nostrum in eo, vt a, 6, y etc. ita definiantur, vt forma g simplicior eua- dat quam f. Sint formae ipsis /, g adiunctae (A, A‘, A“\ ( M , M', M»\ Quae d_ resp. b,9 b„j9 N,f N„J9 quae de¬ signentur per F, G. Tunc per art. <269. F transibit in G per substitutionem ipsi S adiunctam, G autem in F per substitutionem ex transpositione ipsius S oriundam. Numerum a&y11 + *,*>i,y T y‘ *— . a. n&y — , qui esse debebit vel = F 1 vel == — 1 , denotabimus per k. Quibus ita factis, obseruamus I. Si fiat y = 0, y 1 q, y11 =? x, fore o, »* 4~ Z?'*} n' = bet' 4“ZP«fi ^// — — 4" Z?^ 4~ ^') 4- et1#**1 Praeterea esse debebit «0 — £*# vel == 4“ I vel = — l. Hinc manifestum est, formam bina¬ riam ( a , b“, a '), cuius determinans est A", transmutari per substitutionem *> «V «' in for¬ mam binariam (ra, n", m' ) determinantis .M", et proin ipsi aequiualere propter «£' — £*'■== 4- i , vnde erit Mu == ^Z/y , quod etiam directe facile confirmatur. Nisi itaque («, Z>", a1) iam est forma simplicissima in classe sua, ipsos «. , «*'» C' ita determinare licebit, vt (pz, nu7 jn1') sit forma simplicior.; et quidem e theoria aequiua- lentiae forni amm binariarum facile concluditur, hoc ita fieri posse, vt m non sit maior quam - — i A11, si Au fuerit negatiuus, vel non maior quam si An fuerit positiuus, vel m ■==. o si A‘l ~ o, ita vt in omnibus casibus valoi; (absolutus) ipsius m certe vel saltem vsque ad ± deprimi possit. Hoc itaque modo for¬ ma f ad aliam reducitur coefficientem primum, si fieri potest, minorem habentem, et cuius for¬ ma adiuncta coefficientem tertium eundem ha¬ bet vt forma F ipsi f adiuncta. In hoc consistit reductio prima. II. Si vero fit « = i , f=o,y = oj«'=:o, = o, erit k = &yu — £"y' =4-1} substi¬ tutio itaque ipsi S adiuncta erit Ee 5 l I 458 Hh i , 0, 0 o, yl,9 — o, — • y' 9 C' per quam F transibit in G. Habebitur itaque m = a, n1 = b,ytt + bnyl7 n11 = b^n + bnQ* m1 == -f ab&S" + T7 lu = CL,y,yl -f- Qbv^11 -f- Ct,n7llyii TL = 'Cl,^tyl b ( OyH ^{- y*G11') -{- M‘ =s ^/[lyUyu — QMyty^ -f” A^y^y1 N = — A^lty11 -f i> ( b'y/J/ -f y '£") — AfWy* M“= — 2IPG" -f. Hinc patet, formam binariam (^, jB, ^'), cu¬ ius determinans est Da, transire per substitutio¬ nem £' , — • y', — C", y" in formam (M", iV, M/) determinantis Dm , adeoque (propter £V' — yG" == i i, vel propter Da = .Dttz) ipsi aequiua- lere. Nisi itaque (^", -B, ^7') iam est forma simplicissima classis suae, coefficientes y, y11 ita determinari poterunt, vt (M", iV, M') sit simplicior, et quidem hoc semper poterit fieri ita, vt M" sine respectu signi non sit maior quamy^ i.? Da. Hoc itaque modo forma f re¬ ducitur ad aliam coefficientem primum eundem habentem, sed cuius forma adiuncta coefficien¬ tem tertium si fieri potest minorem habeat quam forma F ipsi f adiuncta. In hoc consistit reductio secunda. III. Si itaque f est forma ternaria, ad quam neque reductio prima neque secunda est applica- 459 bilis, i. e. quae per neutram in formam simpli¬ ciorem transmutari potest: necessario erit tum aa < vel = tum AA < vel = \aD sine respe- tu signi. Hinc a4 erit 11. canda erit ad formam f substitutio o o 2 5> > 0 > — 7 11 per quam inuenitur f 19» 354? 4769 ^ f, v — 1299, 301, ~ 82 y ” * y ’ tius formae, huic adiunctae, est transire in hanc Coefficiens ter- 2 , quo re¬ spectu f‘ simplicior est censenda quam f Ad formam f1 applicari potest reductio prima. Scilicet quum forma binaria (19, — 82, 554) transmutetur in (1, o, 2) per substi¬ tutionem 15, 4, 5, 1: applicanda erit ad for¬ mam f substitutio *5> 3, 4? 1 o o o l per quam transit in hanc 16 ' * * J?# c Ad formam jf", cui adiuncta — 513» ~~45I3? “ 2 \ denuo applicari potest — 95» 32 ? 1520 r reductio secunda. Scilicet ( - — 2% — 95, — 4515) transit per substitutionem 47, 1. — 1, 0 in ( — 1 , 1, — 2)5 quamobrem ad /" appli¬ canda erit substitutio Ee 5 44® * i, o, o O 1 y O per quam transit in o^iO * ' * Huius coefficiens primus per reductionem pri¬ mam amplius diminui non potest, neque for¬ mae, ipsi adiunctae , tertius per secundam. Ex. 2. Proposita . . . fy cui adiuncta est sit forma (io, 26, 2 7 > o, 4 — 244 8 J cuius determinans = 2. Hic successiue reperi- untur, applicando alternatim reductionem secun¬ dam et primam, 445 Forma fiy per reductionem primam vel secun¬ dam vlterius deprimi nequit. 274. Quando forma ternaria habetur, cuius coefficiens primus, atque formae adiunctae ter¬ tius, quantum fieri potest per methodos praece¬ dentes sunt depressi: methodus sequens reductio¬ nem vlteriorem suppeditat. Adhibendo signa eadem vt in art. 272, et» ponendo « == 1, = o, £'=■ 1, = o, = o, yu = 1, i. e. adhibendo substitutionem I , C, y Oj I, y‘ O ? O f I erit m =: a, m' — a1 + 2bu" + a&l 9 m“ = a" -j- 2&V' + 2&V + 4" 2bllyy‘ + V, 72 = b 4" a'y‘ + (7 + ) 4~ ay 4- ? nn = Z?" -f- praeterea .M" = N = B — Al,yfi = B1 — NS — A“y- Per talem itaque substitutionem coefficientes ci: A“ , qui per reductiones praecedentes diminuti sunt, non mu¬ tantur 5 quamobrem negotium in eo versatur, vt per idoneam determinationem ipsorum £, -y, y1 depressiones in coefficientibus reliquis obtinean¬ tur. Ad hunc finem obseruamus primo , si fuerit Au = o, supponi posse, esse etiam a = 05 si enim a non = o, reductio prima ad¬ huc semel applicabilis foret, quum cuiuis formae binariae determinantis o aequiualeat forma talis (o, o, A), siue cuius terminus primus — o ( V. art. 215). Prorsus simili ratione supponere licet, 444 esse etiam A" = o, si fuerit a ■= o, ita vt vel neuter numerorum ct0 A" sit o vel vterque. In casu priori manifestum est, ipsos £, y, y' ita determinari posse, vt sine respectu signi n ", jV, N1 resp. non sint maiores quam *a, IA", | Aa. Ita in exemplo primo art. praec. transibit forma i> 2 57 i 2 ^ \ cui adiuncta est postrema ^ c — 513» -2, 16, ■ 1 32 j , per substitutionem 16, 16 °: o. o 1 1 in hanc IY. Vo, o, o J o> c flY , cui adiuncta est — 1, o, 1, — o> In casu posteriori, vbi a = = o, adeo» que etiam Z?" = o, erit m = o, m1 = a', m11 = Hb 2Z>'y + «hV, n = b + a + h'£, n* = b 72" == o. Erit itaque D = — afyb1 = — 171‘n‘n1 5 perspicietur que facile, C et 5/' ita determinari posse, vt 72 fiat aequalis resi¬ duo absolute minimo ipsius b secundum modu¬ lum qui est diuisor communis maximus ipsorum d , b* , i. e. vt n fiat non maior quam semissis huius diuisoris sine respectu signi, adeoque 72 = o, quoties <2', b‘ inter se sunt primi. Ipsis £, y* in hunc modum determinatis, valor ipsius y ita accipi poterit, vt 772" non sit maior quam b‘ sine respectu signi j hoc quidem impossibile esset / 445 quando b1 === 05 tunc vero foret D =~ o, quem casum exclusimus. Ita fit pro forma postrema in ex. 2 art. praec. /2 ==? — 2 — ® + sy', vnde statuendo C = — 2, y‘ — o, fit n = o, porro 77Z" =2 — 2y , et ponendo y = 1? 772" = o. Habemus itaque substitutionem per quam forma illa transit iri 275. Si habetur series formarum, ternaria¬ rum aequiualentium f9 f, f<\ f“r, etc. , atque transformationes cuiusuis harum formarum in sequentem: ex transformationibus formae / in /', formaeque f‘ in f“ per art. 270 deducitur trans¬ formatio formae / in /"$ ex hac atque transf. formae /" in f‘“ sequitur transf. formae / in fiU etc., manifestoque hoc pacto transformatio for¬ mae / in quamcunque aliam seriei inueniri pot¬ erit. Et quum ex transformatione formae / in quamcunque aliam aequiualentem g deduci pos¬ sit transformatio formae g in / ( Su ex S artt, 2683 269), hoc modo erui poterit transformatio cu¬ iuslibet formae seriei fi , f“ etc. in primam /. — Ita pro formis exempli primi art. praec inue*» niuntur substitutiones v 13? 4? 0 !3? 188,- -4 13?- -20, 16 %- -7 87?~ -2 6,~ - 9? 7 9?- -3? 11 — 9?- -150, 3 —9? 14,— -IX 4 — 446 per quas / transit in /", /1V resg. , et ex subst. vltima haec i j 4 ? 4 5? lr 5 5 >— a, 3 'v ' " y. ' . 1 ■- . jv. : per quam /1V transit in /. Simili modo pro ex. a art. praec. prodeunt substitutiones „ 1 i , i “3? 4? 3 io,-— -14, ii 2, — 5? — i 5> ij o 2, 4, i per quas resp, transit forma (o’ — i’ o)? atque haec in illam. 276. Theorema. Classium, in quas omnes formae ternariae •determinantis dati distribuuntur, multitudo semper est finita. Dem. I. Multitudo omnium ^y/ J determinantis dati D , in formarum quibus <2 ..= o, b14 = o, & non maior quam semissis di- uisoris comm. max. numerorum <2', <2" non maior quam b manifesto est finita. Quoniam enim esse debet a‘b4b 4 = D, pro b4 alii valores accipi nequeunt, quam -f- 1 , — 1 atque radices quadratorum ipsum D metientium (si quae alia praeter 1 dantur) signo positiuo et negatiuo af¬ fectae , quorum valorum multitudo finita est. Pro singulis autem valoribus ipsius b4 valor ipsius 447 a 1 est determinatus, ipsorumque b , an valores manifesto limitantur ad multitudinem finitam. II. Simili modo finita est multitudo omnium formarum determinantis D1 in qui¬ bus a non = o, neque maior quam %\jT dt D $ b‘ ‘b“ ■ — aa‘ = A“ non = o neque maior quam b11 non maior quam \a\ ab — fyb" B et a‘bl — bbu = B 1 non maiores quam \An* Nam multitudo omnium combinationum valorum ipsorum a7 h“7 Au , B\ B' finita erit 5 liis vero singulis determinatis, etiam formae coefficientes reliqui a‘y by b*7 a“y coefficientesque formae ad- iunctae bb — a'aJI = A.y b ibs — aa“ == A'y aubu — - bb‘ = Bn determinati erunt per aequa- t . b"b'* — A" ■ BB — aD tiones nasce : a‘ = - — - •, = - - , B‘B' — a'D „ BB1 + h“D A == — ; -gr, - , -B" = - -jr, - ) b = — _ _ Ba‘ + .B'6" , , _ ^'5' — £/?» _ 156" Hh it frfr —rA1 bb — ^ — -at, *a — 5 - T* — bb* 4“ B11 - F' - * *am V. 2, m r~I, 2, IV I, 2,- I-y 0,0 f 7 \ O, O, oh ^0,0, ©•'' J c -1) 0 J ( O.O/ Pro f ©, 2, 0 ^ V, 0, ±i 0 ) > I, f1’”1’ 2) 7 \ 0, 0, 0/ ? — I, — I, -- 0, 0, 0 J ? r \o> c~ o, 2,* O, “ 449 — Ceterum multitudo classium ex his formis in his tribus casibus prodeuntium formarum mul¬ titudine multo minor este Scilicet facile confir¬ matur I Formam (°9 T’ °") \o 9 i, oj f o> 5 vo, transire m /o, i, i \o, Hh h o substitutiones i» + i> 0 • C; Ii — O, fo, t,o\ \c,-~i,o J* o) resP- Per 1,0, 0 o, 0, 1 0? 0, i o, 1, o 0, 1,- - 1 0, h i o, o, — - 1 ±.‘> h 0 + 1,- - r, — i o. G,-~h 1 1 1 formam (*> I') autem in f* I? jc> 1 ^ C o?o’o) Per so^arn indeterminatarum per¬ mutationem. Quare illae decem formae terna¬ riae det. i ad has duas reducuntur (0i If ° j , (~Sr2r£> Pro Pr^or^ s* magis arridet, etiam haec ^ ^ accipi potest Quum forma prior indefinita sit, posterior definita, manifestum et quamuis formam ternariam in- l aequiualere formae xx -f - rr definitam det. Qyz , quamuis definitam huic — zz . XX II. Prorsus simili modo inuenitur. quamlibet formam ternariam. indefinitam de¬ terminantis — i aequiualere formae — » xx Ff 45° 4- Qyz j quamlibet definitam huic xx -f- yy 4- zz. III. Pro determinante 2 ex octo formis (II) etatim reiici possunt secunda, sexta et septima, quippe quae ex prima per solam indeterminata¬ rum permutationem oriuntur, simili que rationi etiam quinta quae e tertia, et octaua quae e quarta perinde proueniunt; tres reliquae , cum sex formis I, tres classes constituunt; scilicet (o’ to) transit 'm (Z-to) Per substitu» tionem formaque Q’ /"o,2,~l\ /O, \o, I, o /* \o,- substitutiones i, o, O, 1, o o 1 in (°f 1%) {°> i\ oy Vo,~i/oy# V D> Qr resp- per 1, 0,1 1,0,— 1 1,0, o 1,6,6 1, 2, O I, 2, O 1, 2,— 1 1,2, 1 1, 1,0 1, 1, 0 1, 1, — .1 1, 1, 1 1,6,0 O, 1, 2 O, 1, 1 Quaeuis itaque forma ternaria determinatitis 2 ad aliquam ex his tribus est reducibilis ( °’ 2 9 ° ^ * ^ Vo, i, oj* (i j f f — 1 2 'N / — ~ I $ —• i 5 2 \ -i • * 0,0, o)’ { o, o, o )* loco Prlmae 81 xnagis placet etiam (*’ accipi potest Ma- nifesto autem quaeuis forma ternarii definita ne» cessario aequiuaiebit tertiae — xx — yy — qzz7 quum duae priores sint indefinitae $ quaeuis inde-' finpa' primae vel secundae, et quidem primae qxx + %yz 'j si ipsius coefficiens primus, secundus et tertius simul sunt pares (quoniam facile per¬ spicitur, talem formam per substitutionem quam¬ cunque in similem formam transire, adeo que for¬ mae secundae aequiualere non posse), secundae xx -f yy — 2 zz autem, si ipsius coefficiens pri¬ mus, secundus et tertius non simul pares sunt, sed vnus, duo omnesue impares (in talem enim formam ex simili ratione forma prima Qxx + Qyz per nullam substitutionem transformabilis esse poterit). Quod igitur in exemplis artt. 275 , 274 eue- mt, vt forma definita Z1?’ 2lf ^° ) determinan- 7 \ 1 5> 28? tis — 1 ad hanc xx + yy -}- zz, atque forma indefinita ( : 10 ’ s 2 ) determinantis 2 ad qxx \ 7» ° s 4 ✓ — Qyz siue (quod eodem redit) ad qxx -f %yz reduceretur, per disquisitiones praecedentes a priori praeuideri potuisset. 27 8. Per formam ternariam , cuius indeter¬ minatae sunt x, x\ x“ , repraesentantur tum nu¬ meri, tribuendo ipsis x , x‘ , x“ valores determi¬ natos, tum formae binariae per huiusmodi sub¬ stitutiones x = mt -f nu, x‘ = m't -f n'u, x14 = m llt -{- n“uy designantibus 772, 72, m* etc. nu¬ meros determinatos $ f, m indeterminatas formae repraesentatae. Ad theoriam itaque completam formarum ternariarum requireretur solutio se- F £2 45» quentium problematum: I. Inuenire omnes re¬ praesentationes numeri dati per formam terna¬ riam datam. II. Inuenire omnes repraesentatio¬ nes formae binariae datae per ternariam dataim III. Diiudicare, vtrum duae formae ternas iae datae eiusdem determinantis aequiualentes sint, necne, et in casu priori omnes transformationes alterius in alteram inuenire. IV. Diiudicare, vtrum forma ternaria' data aliam datam determinantis maioris implicet, necne, et in casu priori omnes transfor¬ mationes illius in hanc assignare. De quibus problematibus longe difficilioribus quam analoga in formis binariis alio loco pluribus agemus: hic disquisitionem nostram restringimus ad osten¬ dendum, quomodo problema primum ad secun¬ dum secundnmque ad tertium reduci possit^ tertium vero pro casibus quibusdam simplicis¬ simis formarum que binariarum theoriam im¬ primis illustrantibus soluere docebimus j quar¬ tum hic omnino excludemus* 279. Lemma* Propositis tribus numeris inte * gris quibuscunque a, a', au ( qui tamen non omnes si-° mul — o); inuenire sex alios B, B\ B ", C, C'9 C‘a ita comparatos vt fiat B' C“ — BllC‘ ~ af B“ C — BC“ — a' * BO — B C~ a "* Sol Sit « diu. comm. max. ipsorum a, a\ i accipianturque integri A, A A“ ita vt fiat A a + A‘a> + A“a° = «. Porro accipiantur tres integri C, (£', (E" ad lubitum ea sola condi¬ tione, vt tres numeri &A" — Gi^A', &‘A “** ( Z A 'S QA' — &A} quos resp. per b , b‘, b 11 ipso- rumque diuisorem communem maximum per C 45 S designabimus, non fiant simul = ©* Tunc pe« natur a‘bn — a^b1 = «£C, a“b — abu = «£, re¬ praesentari per formam ternariam / cuius inde¬ terminatae x9 x* 9 x"9 ponendo x = mt + nuy x1 = m 't + n'ur xu = mlit -f nnur ipsi que f adiunctam esse formam Fr cuius indeterminatae X , X“. Tunc per calculum facile confirma¬ tur (designando coefficientes formarum f, F per literas peculiares) siue etiam ex art. 268. II. pro¬ tinus deducitur, numerum JJ repraesentari per F ponendo X = m,n11 — mhn‘9 X* = m^n ~ mnu9 Xa == mn1 — m‘nr quae repraesentatio numeri Ff 5 i ***- 454 D repraesentationi formae

am' + yn‘ =* *m>l T yn“ = Cm -f- = /2, tm' -f <^z' ^ £772' -{- $nr=; /2', £t?2'' -f- £tz" =; hn: formam ^ repraesentatum iri per / statuendo .r — gp -f /227, a;' = g-'p + /2'^, a;'' — g*"n -f- /2"2/ . . . (#'), calculo¬ que facto inuenitur ( propter •— £y = 1 ) esse g‘hu — • guhl ^myt" — mhn', g“k ■— gh“ ==?. m,ln — wm", gh 1 ~ g‘h £== 772/2* 772*72, i. e. repraesentationibus Jl, il* eadem repraesentatio ipsius JR per i*7 ad¬ iuncta esh ' Ita in ex. praee. formae

> — g>ip -f /z"p, atque esse /zz-Vz" — m/y7z' — g‘hn ■— g"/z' — £, tzz^/z — mn11 == g"/z — g/z" — L', mn 1 — mln =. g/z' - g‘h = Ln. Accipiantur integri Z, Z', Z" ita vt fiat Ll + L‘l‘ + Llllu = i , ponaturque n‘1" — nuV •£= M, nul — nl " = nV — n‘l =. ZfZ", l‘m“ — lnm‘ = ZV, l“m — Zzzz" = ZV', Im 1 — Vm = Z\g$ denique statuatur gM +■ + gnM = *, /zM -f /z'M' + = C, giV + g'ZV' + g"ZV" == >, /zZV + ZzW -J- hhN{l =. «f. Hinc fa-~ cile deducitur «67W + yTZ = # — l (gL + g'.Z> + g"i>) == g' Gm + Sn = h — l[hL + h‘L‘ + /z"L") = h similique modo <*ra' + :> n' — g' , ^zzz' + £zz' = Zz', «z?z" + vn>l ==. g", £^z" + fa11 = h". Hinc patet mt + zzzz, nVt + zz'zz, zzz'^ -f- n“u transire per substitutionem t — *-p + £<7, u =z yp ... (5*) in gp + hq , g'p + h>q7 gnp + huq resp., vnde manifestum est, 4> transire per substitutio¬ nem 61 in eandem formam, in quam jf transeat ponendo x — gp + hq , = g‘p + h‘q , = g"p + hU(h adeoque in formam cui itaque aequiualet. Denique per substitutiones debitas fa¬ cile inuenitur — Cy == Ll + Lll‘ + L“lh = i, quocirca substitutio iS* est propria, formaeque % proprie aequiualentes. ) 457 Ex his obsemationibus deriuantur regulae sequentes ad inueniendum omnes repraesentatio¬ nes proprias ipsius D per F: Euoluantur omnes classes formarum binariarum determinantis D , et ex singulis vna forma ad libitum eligatur 5 quae¬ rantur omnes repraesentationes propriae singula¬ rum harum formarum per f (reiectis iis quae forte per / repraesentari nequeunt), et ex singu¬ lis hisce repraesentationibus deducantur reprae¬ sentationes numeri D per F. Ex I et II manife¬ stum est, hoc modo omnes repraesentationes proprias possibiles pbtineri, adeoque solutionem esse completam 5 ex III, transformationes forma¬ rum e classibus diuersis certo producere reprae¬ sentationes diuersas. 281. Inuestigatio repraesentationum impro¬ priarum numeri dati D per formam F ad casum praecedentem facile reducitur. Scilicet manife¬ stum est, si D per nullum quadratum (praeter x) diuisibilis sit, tales repraesentationes omnino non dari 5 sin secus, metientibus ipsum D qua¬ dratis xk, w etc., omnes repraesentationes improprias ipsius D per F inueniri, si omnes I \ # . D D D repraesentationes propriae numerorum — , — -, — etc. per eandem formam euoluantur, indetermi- natarumque valeres per \ ^ , etc. resp. multipli¬ centur. Hoc itaque modo inuentio omnium reprae¬ sentationum numeri dati per formam ternariam datam, quae alicui formae ternariae adiuncta est , a problemate secundo pendet 5 ad hunc vero ca¬ sum, qui primo aspectu minus late patere videri Ff 5 l 45$ posset, reliqui ita reducuntur. Sit D numerus? repraesentandus per forma (f ’ f/'’ f !!) ? cuius determinans A, et cui adiuncta est forma { H h' %•): ^ 'f' Tunc huic rursus adiuncta erit ~ F> Patet(lue> repraesentationes jnumen &D per F (quarum inuestigatio a praece* pendet ) omnino identicas esse cum repraesenta¬ tionibus numeri D per formam propositam. — * Ceterum quando omnes coefficientes formae f diuisorem communem ^ habent, perspicuum est, omnes co efficientes formae F diuisibiles esse per quocirca etiam a D per diuisibilis esse de-1 bebit (alioquin nullae repraesentationes daren¬ tur) ; repraesentationesque numeri D per for* mam propositam coincident cum repraesentatio* . ' aD 5 ^ nibus numeri — per formam quae oritur ex F% diuidendo singulos coefficientes per i*pr cui for¬ mae adiuncta erit ea, quae oritur ex jf, diuiden- do singulos coefficientes per Denique obseruamus, hanc problematis pri¬ mi solutionem in vnico casu, vbi D == o, non, esse applicabilem ; hic enim omnes formae bina¬ riae determinantis D in multitudinem finitam classium non distribuuntur; infra autem hunc ca¬ sum ex aliis principiis soluemus.. 282. Inuestigatio repraesentationum formae hl lariae datae cuius determinans non = o *) per •) Hunc casam per methodum aliquantum diuersam trtctKSft? dum hoc loco br cui tatis caussa praeterimus» I — > 459 “ ternariam datam pendet ab obseruationibus se» Ruentibus: I Ex quauis repraesentatione propria for- Hiae binariae (p, <7, r) = '

per f haec x =3 mt + tu, & + Ou, xii ~ -f (designantibus x, x‘, xu 5 f, n indeterminatas formarum/, cp ) 5 accipiantur integri > , 7', y" ita vt (ct'o/J — a‘l£1') y -b *■ — ri -f* — «'£) y" = A: fiat vel = + 1 vel =s 1 trans e atque f per substitutionem * > £> y £'* y- y'4 in formam (^’ ^ =^= g, cui adiuneta sit (^’ B' B" ) ^ Tunc manifestum, est, fore n — p, === <7, 0' = r, == /9, atque A determinantem formae g1; vnde — p + A‘D, BB' ',== — &q + B‘B • == r + — * Ita 0. g. forma 19^ + Qtu + 41^ reprae¬ sentatur per .+ x'x' + x“xlt ponendo x =3 4" 5M? x1 =z, — 4^, ari ==? vnde statu¬ endo y = — 1, y = 1, y" = o, eruitui B s== — 171, ip' = 27, siue valor (t- 171, 27) expr, — i (19, — 5, 41) (mod. 770;. Hinc iam sequitur, si A ( p , — q , r) non s sit residuum quadratum ipsius /3 , p per nullam formam ternariam determinantis a proprie re- praesentabilem esse posse 5 in eo itaque casu vhi a, D inter se primi sunt, A numerus characte- risticus formae p esse debebit. II. Quum y9 y" infinite multis modis diuersis determinari possint, etiam alii atque alii vaiores ipsorum B, B ' inde prodibunt, qui quem nexum inter se habeant videamus. Ponamus, etiam «T, \ m v b, b', b" ) = g, cui adiuncta (|’ |!!) = 0* Tunc g9 g erunt aequiualentes, adeoque etiam G et 0, et per applicationem praecep o- rum in artt. 269, 270 traditorum*) inuenitur, si sta¬ tuatur ( £'y" — £'V) ^ + ( C"y ~ Wy") ^ + (V — £'y) == £ » ( y ' 'A“ — Y "rt' ) ^ + ( ynet — - yot," ) S1 + ( yce.1 — y '«) = v, formam 0 transire in G per substitutionem ky o , o P, ky O 19 f *) Eruendo ex transf. formae, y in g , transformationem, formae g in f\ ex hac atque transf., formae y in g, transf. formae g in g; denique ex hac , per transpositionem, transf. fojr-. 9Hi.e @ in G, Hinc erit B = ,W + m, B' = + adeoque, propter Jft ,=== 'i i, vel £ z= & , £• ~ 58', vel jB ~ B1 = — 8' (rnod. £>). In casu priori valores ( i? , il' ) , ( 58 , 58' ) aequiualen- tes vocamus, in posteriori oppositos 5 repraesen¬ tationem formae

£ \ O, i, « O, O, + 1 ' in formam g, cuius determinantem esse A, m forma adiuncta vero coefficientes 4 et 5 resp. 5= 33, 23' fieri facile perspicietur» Faciendo au¬ tem *£ + £>» +. y = -f 6's +. y = «f, + C"« +_ 7*' = Hoc problema pro eo casu, vbi est for¬ ma primitiua atque A ad D primus , supra ( art. 2 55) solutum est, casusque reliqui ad hunc facil¬ lime reducuntur, quam tamen rem fusius hic ex¬ plicare breuitas non permittit. Obseruamus tan¬ tummodo, quoties A ad D primus sit, expressio¬ nem A (p, — - q, r) residuum quadraticum ipsius I) esse non posse, nisi

), siue valor (B9 B1) sibi ipsi oppositus. V. Ex iis, quae supra (art, £fi) de criteriis formarum definitarum et indefinitarum tradidimus, facile sequitur, si A sit pos tiuus, D negatiuus, atque 0' forma negatiua, g fieri formam definitam nega- tiuamj si vero a sit positiuus, atque vel D posi¬ tiuus, vel D negatiuus et $ forma positiua , g euadere formam indefinitam. lam quum f, g certo aequiualentes esse nequeant, nisi respectu huius qualitatis similes sint, manifestum est, for¬ mas binarias determinantis positiui nec non po- 466 sitluas, per ternariam negatiuam proprie reprae¬ sentari non posse, neque formas binarias nega- tiuas per ternariam indefinitam determinantis po- sitiui; sed per formam ternariam prioris poste- riorisue speciei vnice binarias posterioris priorisue resp. Simili modo concluditur, per formam ter¬ nariam determinantis negatiui definitam (i. e. po- sitiuam) vnice repraesentari binarias positiuas, per indefinitam vnice negatiuas et formas det, positiui. 284. Quum repraesentationes impropriae for¬ mae binariae

ad eundem diuisorem quadratum datum ee (cuius radicem e positiue acceptam supponimus) pertinentes per regulas sequentes inueniuntur, ex quarum de¬ monstratione synthetica, propter breuitatem hic praeferenda, analysis per quam euolutae sunt fa¬ cile restitui poterit. — 467 — 'Primo eruantur omnes formae binariae de¬ terminantis ~ , quae in formam

; *, y integros posi- tiuos ( quorum productum itaque = e), a inte¬ grum positiuum minorem quam y (siue etiam cifram). Hae formae, cum transformationibus respondentibus, ita inueniuntur: Aequetur * successiue singulis diuisoribus ipsius e positiue acceptis (inclusis etiam i et e)9 fiatque h = — ; pro singulis valoribus determina¬ nt tis ipsorum *, ? # tribuantur ipsi a omnes valores integri a o vsque ad y — i , quo pacto omnes transformationes certo habebuntur. Iam forma, quae per quamuis substitutionem T = -f- a u7 27 = yU in

esse aliquam ex hisce formis, quae in ^ transeat per subst. T = U = nu$ inuestigentur omnes repraesenta¬ tiones propriae formae $ per f (si quae dantur )f exhibeanturque indefinite per x == 2iT ~f x' = 2C'T + + 33"£/ . . . (91)? denique ex singulis (91) deducatur repraesentatio (^) x == «r + ^ + €'zj, a:" -J- €"zz per aequationes (R) *#, ** SSS *2C', *" = 4C", e = *2C + juS5, & = *2£' + £" = a#" + Eodem prorsus modo, vt forma $ , tractentur formae reliquae per re¬ gulam primam inuentae (si plures adsunt), ita vt ex singulis cuiusque repraesentationibus propriis aliae repraesentationes deriuentur, dicoque, hoe modo prodire cunctas repraesentationes formae ad diuisorem ee pertinentes, et quidem quamli¬ bet semel tantum* Dem. I. Formam ternariam f per quamuis substitutionem ( ^ ) reuera transire in fiunt == e(W®“ •— 2C"B')> e (2i“® — 2l®“)$ e ( — 2C'S5 ) ? vnde illorum diuisor commu max. manifesto erit e ( quoniam 91 est repraesen¬ tatio propria)» IL Ostendemus, ex quauis repraesentatione data (^) formae 1 situm dari. Quo facto quum etiam §3, 83', 85" valores determinatos nanciscantur, ni¬ hil superest, nisi vt demonstremus hos sem- per hinc integros euadere. Fiet autem 25 =? — (S — *2£) = i(f(x — a3() — 2C(a'£‘ + a"f")) .<** %k — • — (a‘‘(%“Z — %;<>) — a' — 3£'») ) — %k = i (a" (,«e — «f?<) — 4/ («s< _ «<{) ) — %k7 eritque adeo manifesto integer, similiterque facile confirmatur, etiam ipsos £3', 23" valores in¬ tegros nancisci, — Ex his ratiociniis colligitur , nul¬ lam repraesentationem impropriam formae

eanturque omnes substitutio¬ nes , per quas /in se ipsam transit, indefinite per * » G t y et*, yl «"» Z", VU \ ita vt satisfieri debeat aequationibus ( fl ) . . . aa* + a ‘ ^'u* "f” a" a" u.'* = g9 aZZ + ■+• cl4404 = a ', ayy + a* ify4 -j- a,,yilyn = a44, a*£ +■ a 4*4& + a>rJ1^1 == o, a»ty -{- a,x,yt + ct,,(ll,y16 = o, a£y + a4t4y + al404y44 = o» Iam tres casus sunt distinguendi: I. Quando a9 a4 9 a44 (qui idem signum ha¬ bebunt ) omnes sunt inaequales, supponamus a a' 9 eaedem conclusiones sic obtinentur: ex aequ, 2, 5 necessario erit £ = o, y = o, et vel g' — dt 1 , v' === o, £" = o, 7" = 4- 1, vel C' = o, y' :=. ± 1, '&* = ± 1, v" == oj pro suppo¬ sitione vtraque ex aequ. 4, 5 erit <4' = o, = o, atque ex 1, « = + 1, Habentur itaque, pro vtroque casu, 1 6 transformationes diuersae. _ Duo casus reliqui, vbi vel a = an , vel a == a\ prorsus simili modo absoluuntur, si modo cha¬ racteres <*', k" in priori cum C, £', £", in posteriori cum Vf y>, resp. commutantur, III. Quando omnes a9 a1, au aequales sunt, aequationes 1, 2, 5 requirunt, vt e tribus nume¬ ris «, nec non ex C, £', £", vt et ex y, y', y" bini sint = o, tertius = i 1. Per aequ. 4, 5, 6 autem facile intelligitur , e tribus numeris #,C9-y vnum tantummodo = + 1 esse posse, simili* terque ex £', y', nec non ex a", £", y". Quamobrem sex tantummodo combinationes dantur et < 6 u ‘ ** = _± 1 C ' £" £ C" £ £' = + 1 y" y' yu y y1 y = ± 1 Coefficientes seni reli¬ qui = o ita vt ob signorum ambiguitatem omnino 48 transformationes habeantur. — Idem typus etiam — 475 — casus praecedentes complectitur: sed e sex co* lumnis primis prima sola accipi debet, quando it a1, a" omnes sunt inaequales; columna prima et secunda, quando a1 = a11-, prima et tertia, quando a ^ a1 ; prima et sexta, quando a = an * Hinc colligitur, si forma-'/ == axx + a*x‘x* 4- auxtlx11 in aliam aequiualentem /' transeat per substitutionem x •=== $y + sy‘ + ^ == 4. 4- i'* == '+ + *lytl * omnes transf. formae / in /' contineri sub schemate se¬ quente: X X x\ \x* x11 xn ssr + (Sy 4" *yl 4“ %yn ) x1 x“ x :xn X X1 it C^-y + s,y* 4* Qy11 ) X" X1 xu\x x‘ X = ± 0“y 4- s"y‘ + £"/") eo discrimine, vt sex columnae primae v omnes adhibendae sint, quando a = = a"; co¬ lumna x et 2, quando <2', a" aequales, a inae¬ qualis; 1 et 5, quando a ■=. a), 1 et 6, quando a = an, denique columna prima sola, quando a, a1 , au omnes inaequales. In casu primo trans¬ formationum multitudo erit 48, in secundo , ter¬ tio et quarto x6, in quinto 8. if 5|S * Ab hac succincta primorum elementorum theoriae formarum ternariarum expositione ad quas dem applicationes speciales progredimur, in- ter quas primum locum meretur sequens “ 47s — Probrema. Proposita forma binaria F A B> C) determinantis D ad genus principale pertinente : muenire formam binariam f, e cuius dupli - eatione Ula oriatur . Sol. I. Quaeratur repraesentatio propria for* inae ipsi F oppositae F1 -.= ATT -— zBTU -f CUU per formam ternariam xx — 2yzy quae sit x = *T + sllr y .== «‘T + £'£/, z^a^T + quod fieri posse e theoria praec. forma¬ rum ternariarum facile colligitur. Quum enim F per hyp. sit e genere principali, dabitur valor €XPr* S (A R* C) (mod. D ), vnde inueniri poterit forma ternaria $ determinantis i , in quam (A — B, C) tamquam pars ingrediatur, cuius formae coefficientes omnes fore integros nullo negotio perspicietur. Aeque facile intelligitur, <$> fore formam indefinitam ( quoniam per hyp. F certo non est forma negatiua ) ; vnde necessario formae xx — a yz. aequiualens erit. Assignari poterit itaque transformiatio huius in illam, quae repraesentationem propriam formae F1 per xx — - &yz suppeditabit. — Tunc igitur erit A .==; «« : et§ — 0 :== '££ — porro designatis numeris *£< — «'£, «'£'* — a1*#, a"Z — A" per cty by c resp., hi dxuiso» rem communem non habebunt, eritque D =?■ bb — II. Hinc adiumento obseruationis vltimae art $55 facile concluditur, F transire per substitutionem £, £, £<'; 2U1, u, uy «" in productum formae (2<3, — b, c) in se ipsam, nec non per substitutionem £, C, 2*"; tsf x, 2xu in productum formae (a9 — b, 2c) in se ipsam. lam diuisor commu¬ nis maximus numerorum Qa, Qb9 qc est 2; si itaque c est impar, 2a9 2b, c diuisorem commu¬ nem non habebunt, siue (2a7 — Z?, c) erit for¬ ma proprie primitiua 5 similiter , si a est impar, ( a , — Z>, 2c) forma proprie primitiua erit$ in casu priori F oritur ex duplicatione formae (2 a9 . — b9 c), in posteriori ex duplicatione formae (<2, - — Z>, 2c), (V. conci. 4, art. 255 ); ynus ve¬ ro horum casuum certo semper locum habebit» Si enim vterque a9 c esset par, b necessario foret impar 5 iam facile confirmatur, esse Q^a + C& -f- &c = o, “"a + «Z> + «'c ==■ o, vnde sequere¬ tur, Qb9 ab 9 adeoque etiam # et C esse pares. Hinc autem A et C forent pares, quod esset contra hypothesin, secundum quam F est forma e genere principali adeoque ex ordine proprie primitiuo* — Ceterum fieri etiam potest, vt tum a tum c pares sint, in quo itaque casu duae statim formae habebuntur, e quarum duplicatio¬ ne F oritur. Ex. Proposita sit forma F :== (5, 2, 51), det. — * 151. Valor expressionis v^(5? 51) hic inuenitur (55, 22)5 hinc forma ternaria

qaae ih # transit per substitutionem 2, 2, — i i, — 6, — 2 0? i, l I — 478 — Hinc adiumento transformationum in art. 277 traditarum inuenitur, ( T? 0 } transire in ’ V — i? o, o J $ per substitutionem 7,-2 1, o 9? — '5 Fit itaque a = 11, b = — 17, c = 205 quare quum a sit impar, F oritur ex duplicatione for-» mae (11, — 17, 40) transitque in productum huius formae in se ipsam per substitutionem — ■> — 7,-7,— 9i 5, i- 287. Circa problema in art. praec. solutum sequentes adhuc annotationes adiicimus. I. Si forma F per substitutionem p, p*\ p'"} q 7 q'j q'{ q,4‘ in productum e duabus formis (/i, 2, k) , (/i', z', k1') transformatur, (vtraque vti semper supponimus proprie accepta), habebun¬ tur aequationes, ex conci. 5 art. 255 facile dedu¬ cendae: p^hn1 — pWn — p ( in* — i‘n') = ■ o, ( p 41 — pr) {in‘ + Vn ) — p (kn1 — krn) -f piU Qmf. — * h‘n) zzzOiP^kn* ~~ p^fcn — p"' (m' — 2'tz) = o, tresque aliae ex his per commutationem numerorum 7», P"? P111 cum ?? 7V <7"? <7//v oriundae 5 n, n‘ sunt radices quadratae positiuae e quotientibus prode¬ untibus, si determinantes formarum ( h , 2, &), ( /2', r', k1 ) per det. formae F diuiduntur. Si ita¬ que hae formae sunt identicae, siue n = n1 , h = h\ i = z', -sate Af<, illae aequationes trans¬ eunt in has; (p" — /?') hn as o? (/?" ~ p)iiz 3? — — 1, — — 479 — * = ©, (pu — ■ pJ) kn = o, vnde erit mees sario = p", prorsusque simili modo q' = qr". — - Tribuendo itaque formis (h, i, k)7 (/*', f', A:') easdem indeterminatas t , n, designandoque inde¬ terminatas formae .F per T, £/, transibit F per substitutionem T = ptt -j- 2pltu + puluu, U = qtt -f 2q‘tu + q,nuu in (Jitt -f 2itu -f- kuu)\ II. Si forma F oritur e duplicatione formae /, orietur etiam e duplicatione cuiusuis aliae formae cum / in eadem classe contentae siue classis formae F e, duplicatione classis formae /( V. art. 258). Ita in ex. art. praec. (5, 2, 51) orietur -etiam e duplicatione formae (11, 5, 16), ipsi (11, — 17, 40) proprie aequiualentis. Ex vna classe, per cuius dupl. classis formae F oritur, omnes ( si plures dantur ) inueniuntur adiumento probi. 2605 in exemplo nostro alia huiusmodi classis positiua non dabitur, quia vna tantummo¬ do classis anceps proprie primitiua positiua det. — 15 1 exstat (puta principalis).; quum e com¬ positione classis vnicae ancipitis negatiuae ( — 1, o, — 151)? cum classe (11, 5, 16) oriatur clas¬ sis ( — - 11, 5, — 16), haec erit vnica negatiua, e cuius duplicatione classis (5, 2, 31) oritur. III. Quum per solutionem ipsam probi, art. praec. euictum sit, quamuis classem formarum binariarum proprie primitiuam (positiuam) ad genus principale pertinentem ex alicuius classis pr. prim. eiusdem det. duplicatione oriri posse: theorema art. 261, per quod certi eramus, ad minimum semissi omnium characterum pro de- terpamante non quadrato dato X) assignabilium genera proprie primitiua (positiua) respondere non posse, eo iam ampliatur, vt praecise semissi omnium horum characterum talia genera reuera respondeant, alteri que ideo semissi nulla respon¬ dere possint \ V. demonstr. illius theor.). Quare quum in art. 265 omnes illi characteres assigna- biles in duas species P, Q aequaliter distributi sint, e quibus posteriores Q formis pr. prim. (po- sitiuis) respondere non posse probatum erat, de reliquis autem P incertum maneret, an singulis genera semper reuera responderent: nunc hoc dubium penitus est sublatum, certique sumus, in toto characterum complexu P nullum adesse cui genus non respondeat. — Hinc facile quoque deducitur, pro determinante negatiuo in ordine pr. prim. negatiuo , in quo omnes P impossibiles solosque Q possibiles esse in art. 264, I osten¬ sum est, omnes Q reuera possibiles esse. De¬ signante enim K characterem quemcunque ex Q, / formam arbitrariam ex ordine pr. prim. heg. formarum det. D, atque 10 ipsius characte¬ rem, hic erit ex Q; ynde facile perspicitur, cha¬ racterem ex I, K1 compositum (ad normam art. 246) ad P pertinere, adeoque formas pr. primi- tiuas positiuas det. D exstare quae ei respondeant 5 ex compositione talis formae cum / manifesto orietur forma pr. prim. neg. det. D cuius cha¬ racter erit K. - Prorsus simili ratione probatur, in ordine improprie primitiuo eos characteres qui per praecepta art 274 II, III «ytf/z possibiles inue- niuntur omnes possibiles esse, siue sint P siue Q . — Haecce theoremata, ni vehementer fallimur, ad pulcherrima in theoria formarum binariarum sunt referenda, eo magis quod licet summa sim* plicit&te gaudeant, tamen tam recondita sint vt ipsarum demonstrationem rigorosam absque tot aliarum disquisitionum subsidio condere non li¬ ceat. Transimus iam ad aliam applicationem di¬ gressionis praecedentis, ad discerptionem tum numerorum tum formarum binariarum in terna quadrata, cui praemittimus sequens 288* Problema. Designante M numerum positiuum , inuenire conditiones sub quibus formae bi¬ nariae primitiuae negatmae determinantis — M dari possint, quae sint residua quadratica ipsius M sine pro quibus i sit numerus characteristicus . Sol. Designemus per a complexum omni¬ um characterum particularium quos praebent relationes numeri i tum ad singulos diuisores primos (impares) ipsius M tum ad numerum 8 vel 4 quando ipsum M metitur ; manifesto hi characteres erunt Rp, Rp Rp 11 etc., denotanti-, bus p , p ', p" etc., illos diuisores primos; atque l, 4 quando 4; 1, 8 quando 8 ipsum M metitur. Praeterea vtamur literis P, Q in eadem significatione vt in art. praec. siue vt in 265. Iam distinguamus casus sequentes. I. Quando M per 4 diuisibilis est, o erit character integer, patetque ex art. 255 V, 1 ta¬ lium tantummodo formarum numerum characte- risticum esse posse, quarum character sit ti. Sed manifestum est, n fore characterem formae prin¬ cipalis ( 1 , o , M), adeoque ad P pertinere et proin formae proprie primitiuae negatiuae com¬ petere non posse; quare quum formae Impro- m — 48^ — prie primitiuae prp tali det. non dentur, nullae omnino formae prirn. neg. in hoc casu dantur, quae sint residua ipsius M II. Quando ME 3 (mod. 4), prorsus ea¬ dem ratiocinia valent ea sola exceptione vt in hoc casu ordo improprie primitiuus negatiuus exstet, in quo characteres P vel possibiles erunt, vel impossibiles, prout M EE 5 vel EE ,7 (mod. 8), V. art. 264, III. In casu igitur priori in hoc ordine genus dabitur, cuius character sit vnde 1 erit numerus characteristicus omnium forma¬ rum in ipso contentarum } in casu posteriori nul¬ lae omnino formae negatiuae hac proprietate praeditae dari poterunt. HI. Quando M — 1 (mod. 4), n nondum est character completus, sed iusuper accedere debet relatio ad numerum 45 patet autem, n ne¬ cessario in characterem formae cuius num. char» sit 1 ingredi debere, et vice versa, formam quamuis, cuius character sit vel O. j 1,4, vel £2 5 5, 4, habere numerum char. 1. Iam tt, 1, 4 manifesto est character generis principalis, qui ad P pertinet adeoque in ordine pr. prini, negatiuo impossibilis est $ ex eadem ratione n; 5, 4 ad Q pertinebit (art. 265), vnde ipsi in ordine pr. prim. negatiuo genus respondebit, cuius formae omnes habebunt num. char. 1. Ordo improprie primi¬ tiuus in hoc casu, vt in sequente, non datur. IV. Quando ME* 2 (mod. 4), ad n acce¬ dere debet relatio ad 8? quo fiat character com¬ pletus, puta vel 1 et. 5, 8, vel 5 et 7, 8, quan^ do M -E 2 (mod. 8)j et vel 1 et 7, 8? vel 5 et 485, 5, 8, quando ME 6 ( mod. 8 ). Pro casu priori character nj i'rf,5, 8, manifesto pertinet ad P9 adeoque nj 5 et 7, 8, ad Q, vnde ipsi respon¬ debit genus pr. prim. neg.j similique ratione pro posteriori vnum genus in ordine pr. prim. nega- tiuo dabitur, cuius formae proprietate praescripta praeditae sint, puta cuius character £1$ 5 et 5 , 8. Ex his colligitur, formas primitiuas negati- uas det. — M quarum numerus chara cteristicus sit 1 dari, quando M alicui numerorum 1, 2, 5, 5 , 6 secundum modulum 8 congruus sit et quidem in vnico semper genere, quod impro¬ prium erit quando M z~ 55 tales formas omni¬ no non dari, quando M EE o, 4 vel 7 (mod. 8). Ceterum manifestum est, si ( — <2, — b9 • — c) sit sit forma primitiua negatiua cuius num. char. + i? (ai b) c) esse formam primitiuam positiuam cuius num. char. — 15 hinc perspicu¬ um est, in quinque casibus prioribus (quando M EE 1, 2, 5, 5, 6) dari genus vnum primiti- uum positiuum cuius formae habeant num. char. — - 1, et quidem, pro M = 5, improprium , in tribus reliquis vero (quando M EE o, 4, 7) ta¬ les formas posiliuas omnino dari non posse. 289. Circa repraesentationes proprias for¬ marum binariarum per ternariam xx -f yy -f. zz = /, e theoria generali in art. 28 a tradita colliguntur haec: I. Forma binaria # per / proprie reprae¬ sentari nequit, nisi fuerit forma positiua primi¬ tiua, atque — 1 (i. e. det. formae f) ipsius nu¬ merus characteristicus. Quare pro determinante po- sitiuo, nec non pro negatiuo — M quando M esfc Hh 2 n; 4^4* vel per 4 diuisibilis vel formae 8^ + 7, nullae for¬ mae binariae per f proprie repraesentabiles dantur» II. Si vero (p = (/?, r) est forma positiua primitiua determinantis — M, atque — - i numerus characteristicus formae d>, adeoque etiam oppo¬ sitae (p9 — q , r): dabuntur repraesentationes propriae formae

in tria quadrata producunt, si ad quadrata ipsa tantum, neque ad ipsorum ordinem radicumue signa respicitur. IV. Posita multitudine omnium numerorum primorum imparium diuersorum ipsum M me- lientium = p, haud difficile ex art. 255 conclu¬ ditur, multitudinem omnium valorum diuerso¬ rum expressionis yf' — (p7 — q, r) (mod. M) fore = 2*% e quibus per art. 285 semissem tan¬ tum considerare oportet (quando M > 2). Qua- 485 re multitudo omnium repraesentationum propria¬ rum formae per / erit = 48.2“ === 5.2^* 5 multitudo autem discerptionum diuersarum in terna quadrata = 2U~*. Ex. Sit

in tria quadrata tt — ■ 12 tu -f 3 Quu, 9 tt 4- 12 tu + 4 ««j 9^ + bta + uu producunt. Prorsus simili modo valor (171, — - 27) suppeditat discerptionem in quadrata (5 1 -{- 6u)ly (3 1 — • 4ti)z, tty valor 269, — ~ 85) hanc Ct -f 6u)z 4" ( 5^ 4- m)?* 4- ( 5/^ — 2/2) j denique va¬ lor (291, — 127) hanc it 4- 3 u)‘ 4- (5 ^ + 4W)* 4- (3? — 41*)*? singulae hae decompositiones Hh 5 486 48 repraesentationibus aequipollent. — Praeter has 192 repraesentationes autem, siue quatuor discerptiones, aliae non dabuntur, quum 770 per nullum quadratum diuisibilis sit, adeoque reprae¬ sentationes impropriae exstare non possint. 290. De formis determinantis — 1 et — 2, quae quibusdam exceptionibus obnoxiae erant, paucis seorsim agemus. Praemittimus obseruatio- nem generalem, si y et o, quae discerptio 24 repraesen¬ tationibus aequiualet. II. Sit $ = tt -f Qf quaecunque alia forma binaria positiua det. — 2, in quam p‘ transeat per substitutionem t ■= at* + €u‘, u ==£ yV -f- $u‘. Tunc simili modo vt in casu praec. concluditur,

sed in cam postreme repraesentatio manifesto est impropria» deriuetur repraesentatio ipsius M per xx 4~ yy + zz haec x = m‘nil - — y = mun , i = mn 1 — m‘n. In complexu harum repraesentationum, quem per & designemus, omnes repraesentationes ipsius M necessario con¬ tentae erunt. III. Superest itaque tantummodo, vt inqui¬ ramus, nurn in & repraesentationes identicae oc¬ currere possint; et quum ex art. 280, III iam constet, eas repraesentationes in n, quae e for¬ mis diuersis e. g. ex

t e theoria transformationum formarum binaria¬ rum det negatiui in art. 179 explicata sequitur, Hh 5 in omnibus casibus praeter I == i et M = 5, duas tantummodo transformationes proprias for¬ mae

)% -{- (g't -{- h'u')* + ( g“t 4- h"u )*, omnes discerptiones formae lu ) % , nec non ex his easdem discerptiones nu¬ meri j|K deriuari vt ex illis. Denique pro eo ca¬ su vbi est forma e classe ancipite , attamen ne¬ que e classe principali neque formae (2, o, fdf) aut (2, 1, |(M 4- 1)) aequiualens (prout M par aut impar), e valoribus expr. ^ — (p, — q9 r) semissem omittere licet; sed breuitatis caussa hocce compendium fusius hic non explicamus. — Ceterum iisdem compendiis etiam vti possumus, *) Semper subintelligendum propriae , si hanc expressioaera % repraesentationibus ad discerptiones transferre Inbet, 494 quando omnes repraesentationes propriae ipsius M per xx -f yy 4* desiderantur, quum hae e discerptionibus facillime euoluantur. Exempli caussa inuestigabimus omnes discer¬ ptiones numeri 770 in terna quadrata, vbi v = 3, e = e1 = o, adeoque E === zk. Per classifi- cationem formarum binariarum positiuarum de¬ terminantis — 77 o, quam quoniam a quouis ad normam art. 231 facile condi potest breuitatis gratia non adscribimus, inuenitur classium posi¬ tiuarum multitudo =s= 32, quae omnes sunt pro¬ prie primitiuae et inter 8 genera distribuuntur, ita vt sit k = 4, et proin E = 8. Genus, cu¬ ius numerus characteristicus — • 1, respectu nu¬ merorum 5, 7, ii manifeste) characteres particu¬ lares Nji Ni 1 habere debet, vnde per art. 263 facile concluditur, ipsius characterem re¬ spectu numeri 8 esse debere x et 3 , 8. Iam in eo genere cuius character 1 et 3, 85 Nj$ Nil9 quatuor classes reperiuntur, pro quarum, repraesentantibus eligimus formas (6, 2, 129), (6, — 129)? (W 5? 41V(19> ““ 41)? classem secundam vero et quartam reiicimus, vtpote pri¬ mae et tertiae oppositas. Quatuor discerptiones formae (19, 3, 41) iam in art. 289 tradidimus, e quibus sequuntur discerptiones numeri 770 in 9 4- 361 + 400, 16 4- 25 4- 729, 81 4- 400 4- 289, 576 4* 169 4* 25. Simili ratione inueniun- tur quatuor discerptiones formae 6tt 4* Atu + 129 uu in (t — 8 u)z 4* (&t 4- u)% + (t 4" Su} (t — 10 u)z 4- (&z 4- 6U)% 4" (* 4* (2£ — 5*0* +'(t + ion)* 4- (t 4- 3 u)% , (2 1 + 7*0* 4* (t — 8 u)% 4- {t — resp, e valori- 495 bus expressionis — - (6, > — 2, 129) hisce ori¬ undae (48, 569)j (&*, — 149)? (92> — 159)? (202, — 61)$ vnde prodeunt discerptiones nu¬ meri 770 in 225 + 256 + 289, 1 + 144 -f 625, 64 + 81 + 625, 16 + 225 -f 529. Prae¬ ter has octo discerptiones aliae non dantur* Quae ad discerptiones numerorum in terna quadrata diuisores communes habentia attinent, tam facile e theoria generali art 281 sequuntur, vt non opus sit huic rei immorari. 295. Disquisitiones praecedentes etiam sup¬ peditant demonstrationem theorematis famosi, omnem numerum integrum positiuum in tres nu~ meros trigonales discerpi posse, quod a Ferma- tio olim inuentum est, sed cuius demonstratio rigorosa hactenus desiderabatur. Manifestum est, quamuis discerptionem numeri M in trigonales + i> + 57(7 + 1) + §2(7 + 1) producere discerptionum numeri 8M + 5 in terna quadra¬ ta imparia (2x + 1 ) * + (27 + 1 )z + ( 2£ -f i ) a , et vice versa. Quiuis autem numerus integer positiuus 8^ + 3 per theoriam praece¬ dentem in tria quadrata resolubis est, quae ne¬ cessaria erunt imparia (V. annot. art. 291)3 re¬ solutionumque multitudo pendet tum a multitu¬ dine factorum primorum ipsius 8^f -f- 3, tum a multitudine classium in quas formae binariae de¬ terminantis — (8^ + 5) distribuuntur. Toti¬ dem discerptiones numeri M in ternos trigona¬ les dabuntur. Supponimus autem . §x(x + i) pro valore quocunque integro ipsius x tamquam tri¬ gonalem spectari 3 quodsi magis placeret ciliaris excludere, theorema ita immutare oporteret: Quinis integer positiuus vel ipse trigonalis est, vel in duos vel in tres trigonales resolubilis. Similis mutatio in theoremate sequente facienda esset, si cifram a quadratis excludere placeret Ex iisdem principiis demonstratur aliud Fer- matii theorema, quem ais numerum integrum positiuum in quatuor quadrata decomponi posse i Subtrahendo a numero formae 4 n + 2 quadra¬ tum arbitrarium (illo numero minus), a numera formae 472 + 1 quadratum par, a numero for¬ mae Agi + 5 quadratum impar, residuum in omnibus his casibus in tria quadrata resolubilis erit, adeoque numerus propositus in quatuor. Denique numerus formae 47 1 exhiberi potest per 4 ita vt N ad aliquam trium formarum prae¬ cedentium pertineat: resoluto autem ipso N in quatuor quadrata, etiam resolutus erit. A numero formae 8n + 5 etiam subduci potest quadratum radicis pariter paris, a numero for¬ mae 8n 4- 7 quadratum radicis impariter paris, a numero formae 8n -f 4 quadratum impar, residuumque in tria quadrata resolubile erit. Ceterum hocce theorema iam ab ili. La Grange demonstratum erat, Nouv . Mem. de lAc. de Berlin 3-77° p. 125, quam demonstrationem (a nostra prorsus diuersam) fusius explicauit ili. Euler in Actis Ac. Petr. Vol. II. p . 48. — Alia Ferma- tii thepraecedentium quasi continuationem consti¬ tuunt, quinuis numerum integrum in quinque nu¬ meros pentagonales, sex hexagonales, septem hep- tagonales etc. resolubilem esse, demonstratione hactenus carent, aliaqua principia requirere videntur* — 497 — 294* Theorema» Designantibus a, b, c, nu¬ meros inter se primos quorum nullus neque ~z o neque per quadratum dmisibiks , aequatio axx -i- byy -f- cxx r= o ... (o) resolutionem in integris non admittet [prae¬ ter hanc x ~ y ~ % z:z: o ad quam non respicimus ) nisi r~ bc, — ac , — ■ ab resp . residua quadratica ipsorum a, b, c , atque hi numeri signis i n a e q.u alibus affecti ; his vero quatuor conditionibus locum habentibus (q) in integris resolubilis erit . Dem. Si (fi) per integros omnino est reso¬ lubilis., etiam per tales valores ipsorum .r,, resolui poterit qui diuisorem communem non ha¬ bent j nam valores quicunque, aequ. O, satisfacien¬ tes, etiamnurn satisfacient, si per diuisorem. com¬ munem maximum diuiduntur. lam supponendo app + bqq -f crr == o, atque p, q, r a diuisore communi liberos, etiam inter se primi erunt $ si enim q: r diuisorem communem g haberent, hic ad p primus esset , autem metiretur ipsum app a deo que etiam ipsum a7 contra hyp.$ et perinde P i r P i P inter se p rimi erunt. Repraesentatur itaque •— app per formam binariam byy -p czz. tribuendo ipsis y , z valores inter se prunos q^ t\ vnde illius determinans — bc residuum qua¬ di aticum ipsius app adeoque etiam ipsius a erit (art. 154)5 eodem modo erit — acRb, — abRc. Quod vero (xi) resolutionem admittere non pos¬ sit, si _ — * yffi = Aa , y*" ~~ *vy' = Bb3 &/£// £'*«= Cc. lam transeat/per substitutionem C, C' £" u in C ~ . Q», n“ J erit ) , dico que m‘, Ponatur enim £"y — £"« == C', y ? y 5* (quae ipsi / aequiualens m", n per abc diuisibiles fore. y“£ === = i?', £V ~~ = Au , y ^ore formam ternariam de¬ terminantis i; porro quum per hyp. a7 b, e eadem signa non habeant, f erit forma indefinita, vnde facile concluditur etiam g1 et gni indefini¬ tas esse debere 5 quare gul aequiualebit formae ( l’ ° ), ( art. 277) poteritque transforma^ \i) e > o y tio (#) illius in hanc inuenirij manifesto autem per {S1 ) forma g' transibit in g11. Hinc etiam g11 sub f contenta erit, et ex combinatione sub¬ stitutionem ( S) , ( & ) deducetur transformatio for¬ mae f in gu. Quae si fuerit s 9 e1, e11 $ i" manifestum est, duplicem solutionem aequationis ( ) haberi, puta x = y = z = et x y = z s= simul patet, neutros valores simul =. o euadere posse, quum neces-# sario fiat &'{!* -f t- — $"**£ — d. Q. E . «£ Exemplum f Sit aequatio proposita 7^ — - i.5y/ + 252Z ==. o, quae resolubilis est quia 545^7? — 161.R15, 10 5/(2 3. Habentur hic va¬ lores ipsorum. S5-, (5 hi 3,, 7, 6; faciendoque q = 6 == c =; 1 inuenitur ^ = 98, 5 == — ■ 59? ^ 7== — * 8» Hinc eruitur substitutio 5, 5 * 22 — 1, 2, — 28 8, 25, —7 per quam/ transit in Hinc Ht ' ' ,v- • - ■ ' - • t C 1520, 14490,-7245' 2415,-1246, 4735; 7245? 22, ••2415, 2, —28 19320, 25, —7 3670800, 6, —3 —i,— 124.6, 4735 Forma gni transire inuenitur in per substitutionem fi, o, o\ \1> O, o/ 5r 5, 1 2440,-4066, — 815 — 722, — 144 i qua cum (.Sy combinata prodit haec: Ii 3 9, ii, ia '—'h 9j — 9 9j 4? 5 per quam, / transit in g'K Habemus itaque du¬ plicem aequationis propositae solutionem x === 11 , 7 ==. 9» * == 4? et # ==. 12, j = — g, ^ — 5; posterior simplicior redditur diuidendo valores per diuisorem communem 5, vnde x =s 4? r == — 5? * == 1» 295. Pars posterior theorematis art praec. etiam sequenti modo absolui potest. Quaera¬ tur integer h talis vt sit ah EE1 (5 (mod. c), (characteres 2C, §3, Q eadem significatione accipimus vt in art. praec, ), fiatque ahh -f h = ci. Tunc facile perspicitur, i fieri integrum, numerumque ab esse, determinantem formae binariae ( ac , ah, z) Haec forma certo non erit positiua, (quum enim per hy.p. a, h, c eadem signa non habeant, ah et ac simul posi- tiui esse nequeunt); porro habebit numerum character jsticum — 1 , quod synt helice ita de- monsUamus: Determinentur integri e, e* ita vt sit e o (mod. zz) et EE 0 (mod. h); ce' EE: 2i(mod.n) et = /z0 (mod. h), eritque (e, e1') valor expr. ^ — '(ac, ah, i). Nam secundum modulum a erit ee EE o; TE _ _ ac,, ee\ EE o EE — ah, cce‘e‘ EE %% EE — bc EE — - cci a deo¬ que e'e‘ “r- - — z; secundum modulum h autem erit ee EE 33.0. EE — ac, cee‘ EE /z00 EE — ach adeoque ee* ~ — ah, cce‘e‘ EE EE — achh zzz * — ccz adeoque EE — i\ eaedem vero tres congruentiae quae secundum vtrumque 505 modulum a , & locum habent, etiam secundum modulum ab valebunt. Hinc per theoriam for- marum ternariarum facile concluditur,

/z, x “ v? z .'== Cv, tum per x == £c — - shx y ' = #, z = — £?$ simul manife¬ stum est, neque illos valores neque hos simul = o fieri posse 5 si enim Sc — yh == o, y = o, fieret etiam £ = o atque $ == — 1 (*£ -f %u)% vnde ab — o contra hyp., et perinde de alteris. — In exem¬ plo nostro inuenimus formam

per o’ o) hanc,

4pqt + g‘, \pqt + g“ etc. (G) contenti quoque erunt non residua ipsorum p, q formae 4 n + 1. Iam patet, ad suppositionem stabiliendam demonstrari tantum¬ modo debere, sub formis (G) certo contineri nu¬ meros primos 7 quod sane iam per se valde plau¬ sibile videtur, quum hae formae vna cum his 4pqt + /z, 4 pqt + h*. etc, ( H ) omnes numeros ad 4pq primos adeoque etiam omnes numeros absolute primos (praeter 2, p, q) comprehen¬ dant, nullaque ratio adsit, quin numerorum pri¬ morum series inter illas formas aequaliter distri¬ buti sint, ita vt pars octaua referantur ad (G)? Jeliqui ad (H), Attamen perspicuum est, tale ratiocinium a rigore geometrico longe abesse. 111. Le Gendre ipse fatetur, demonstrationem theorematis, sub tali forma kt + Z, designantibus fcr l numeros inter se primos datos, t indefini¬ tum, certo contineri' numeros primos, satis diffi¬ cilem videri, methodum, que obiter addigitat, quae forsan, illuc conducere possit; multae vera disquisitiones praelmiinares necessariae nobis vi-, dentur, antequam hacce quidem via ad demon¬ strationem rigorosam pemenire liceat. — - — Circa aliam vero suppositionem (Iit, meth. se¬ cunda) dari numerum primum r formae 471 + 5 tuius non residuum sit alius numerus primus da¬ tus p formae Api -f 1 , ili. Le Gendre nihil omni- po adiecit. Supra demonstrauimus (art. 129), numeros primos quorum iV.it' sit p certo dari, sed methodus nostra haud idonea videtur ad exi- Stentiam talium numerorum, primorum qui simul sint formae 4 n -f- 5 ostendendam ( vt hic requiri¬ tur neque vero in dem. nostra prima). Ceterumi veritatem, quidem huius suppositionis ita facile, probare possumus. Per art. 287 dabitur genus positiuum formarum binariarum, det. — p, cuius character 5, 45 Npy sit («, b, c ) talis forma atque a impar (quod supponere licet). Tum a erit formae Api 5 atque vel ipse primus vel saltem factorem primum r formae 4/2 -f 5 im¬ plicabit. Erit autem — - pRa , adeoque etiam — ■ pRr , vnde pNr. At probe notandum est, propp, artt. 265, 287 theoremati fundamentali inniti, adeoque circulum, vitiosum fore, si qua huius pars iflis superstruatur* — — Denique suppositio in methodo prima II adhuc multo magis gratuita est, ita vt non opus sit plura de illa hic adiicere» Liceat obseruationem addere circa casum V, qui per methodum praec. quidem non satis pro- batur, attamen per sequentem commode abscidi¬ tur. Si illic sitnul esset 'pNq, qNp , foret — vnde facile defluatur, - — ' i esse nume¬ rum characteristicum formae (p, o, p), quae proin, (secundum theoriam formarum ternaria¬ rum) per formam xx + yy -f zz repraesentari poterit. Sit ptt -f- quu = Q*t + Cw)1 + (*?£ -f €‘u)z -J- (a" t -f- C"u) , siue + *•»' 4- «"*" = p, Co + £'£' 4- — q, A -f- «fe' 4- ±£ c, erunt- que ex aequa tt. i et 2, omnes «, C, &9 £'; impares 5 tum vero manifesto aequatio tertia con¬ sistere nequit. — Haud absimili modo etiam ca¬ sus II absolui potest. 298. Problema. Designantibus a , b, c nu¬ meros quoscunque 9 quorum tamen nullus ~ 0: initcnire conditiones resolubilitatis aequationis axx 4- byy 4” €%•%> . . O . . . (#)* Sol. Sint ££, yy quadrata maxima ipsos bc , ac, ab resp. metientia, fiatque ua = %yA, C b = ayB , yc = AC. Tum A, B , C erunt integri, inter se primi 5 aequatio (w) autem reso¬ lubilis erit vel non erit, prout haec AXX + BTT 4" CZZ == o...(a) resolutionem admittit vel non admittit, quod per art. 294 diiudicari poterit. Dem. Ponatur bc = ac = 85 ab = @yy, eruntque 2C, IB, (5 integri a factoribus quadratis liberi atque % = BC? $$ — ACi <$ = ^5 hinc 3C&<5 = ( ABC ) % adeoque ABC ^ AU == B18 = necessario integer. Sit nume¬ rorum 3C, diuisor comm. max. /tz, atque % === Jp» A% == hm , eritque g primas ad hr nee non ( quia % liber a fact. qu.) ad m. Xam fit hhm — gAA% = glBS, vnde g- metietur ipsum hhm , quod manifesto impossibile est, nisi g = ±.1. Hinc 2t =- im, ^ = + /?, et proin in¬ teger, et perinde B, C integri erunt Q. E. P. — Quam % = BC factores quadratos non im- plicet; necessario B , C inter se primi esse debe¬ bunt 5 et similiter A ad C et ad B primus erit. Q E. S. Denique patet, si aequationi (ii) sa¬ tisfaciat X '= P, Y = Q, Z = it, aequatio¬ nem ( ) resolui per x = ecP> y = QQ, z «== et vice versa si huic satisfiat per x = p, y — q, z = r, illi satisfieri per X = £yp, Y '= *y<7 ? ^ == «£r, vnde vel vtraque resolubilis vel neutra. Q. P. Zl 299. Problema. Proposita forma ternaria f — axoc 4- awx' 4- a^x^x" 4~ 2 bx'x“ 4- 2 b‘xx“ •+* 2 b“xx' , inuenire , an cifra per eam repraesentari pos¬ sit ( per v alor es indeterminatarum qui non simul == o). 6b/. L Quando « = o, ' valores ipsorum x‘7 x11 ad lubitum assumi possunt, patetque ex ae¬ quatione a,x‘xi + 4- aBxuxu = — 2x b'xn 4- b"x‘) , x inde valorem determinatum rationa¬ lem nancisci; quoties pro x hoc modo fractio prouenit, oportet tantummodo, valores ipsorum x, xf x“ per fractionis denominatorem multipli¬ care, habebunturque integri. Vnice excludendi sunt tales valores ipsorum P, xu, qui reddunt b ‘x11 4* hux' = o? nisi simul faciant aixlxi 4" &bx‘xu -\r a^xuxu = o, in quo casu x ad libitum accipi poterit. Simul patet * hoc modo omnes solutiones possibiles obtineri posse. Ceterum is casus vbi b‘ et b“ = o huc non pertinet ; tunc enim x in / non ingreditur , siue f est forma bi¬ naria, cifraeqUe repraesentabiiitas per f e theoria talium formarum diiudicari debet. IT. Quando vero non est a == o, aequa¬ tioni f = o aequiualebit haec {ax -f- b^x1 4- b'x“y • — A"xixi -f- 2Bx*xu — — A‘xuxn' === o, ponendo b“b“ — aa1 = A" , = B , b'b‘ — nu:" = Iam quando hic = o, neque vero B z== o, manifestum est, si ax -f- Z?".*;' q- Z?'#" atque ju" ad lubitum assumantur, a: et x' inde rationaliter determinari , et quando integri non fiant, saltem multiplicatorem idoneum integros producturum. Pro vnico valore ipsius x11 valor ipsius ax -}- bux‘ -j- b‘xl‘ non est arbitrarius sed i quoque = o poni debet ; tunc vero x 1 ad lubi- ! tum assumi poterit valoremque rationalem ipsius x producet. — Quando vero simul An et B = G, patet, si A " sit quadratum '=== kk, aequationem f = o reduci ad has duas lineares (e quibus vel vna vel altera locum habere debet) ax -f bilxt ( br + k ) x“ = o, ax + b"x' + (h‘ — k) x" == oy si vero (in eadem hyp.) A" est nonqua- drattis, manifesto solutio aequ, propositae pendet ab his (quae simul locum habere debent) xn = o et ax -f- b^x1 == o* Ceterum vix necessarium erit obseruare, me¬ thodum in I etiam applicari posse, quando a 1 Vel a 11 =o, methodumque in 11 quando A/ = o. III. Quando vero nec a nec A " = o, aequa¬ tioni/ s= o aequiualet haec A' {ax + bux( -f fyx") — ■ "(■ Al,xl — Bx11)1 d~ Dax“xu == o, designando 'per D determinantem formae/’ sine per Da numerum BB — ■ A' A11. Quando D = o ? solutio simili toodo se habebit vt in fine casus praec. 5 scilicet si xf' est quadratum = kk , aequV prop. reducitur ad has kax + (kbn — x' -f kb1 B) xu -= o, kax -f- d~ x‘ -f (&&" — B\ x“ — o 5 si vero est non quadratus, fieri debet «x -j- b,txt -f b\xn = o, -^"x' — *■ -^x" = o. Quando autem i) non = o, reducti sumus ad aequatio¬ nem A‘tt — * uu + Davv =s o, cuius possibilitas per art. praec. diiudicari potest. Quodsi haec aliter resolui nequit, quam per / ^=0, u = o, z; = o, manifesto etiam proposita aliam solutio¬ nem non admittet, quam hanc x :a=±' o, xj =t= o, x" = 05 si vero illa aliter solubilis est, e valo- ribus integris quibusuis ipsorum £, zz, v deriua- buntur, per aequationes ax -f bux‘ -f tyx" == t, A“x> — Bx“ = zz, x" ■== n, saltem valores rationales ipsorum x, x', x", e quibus si fractio¬ nes inuoluunt per idoneum multiplicatorem inte¬ gri elici poterunt. Quamprimum autem vna solutio aequationis J — = o in integris inuenta est, problema ad ca¬ sum I reduci, et perinde ac illic solutiones omnes exhiberi poterunt sequenti modo Satisfaciant ae¬ quationi / — o valores ipsorum x, x\ x" hi a, tt\ *Ny quos a factoribus communibus liberos sup¬ ponimus, accipiantur (per arti. 40, 379) inte¬ gri £, 7, 7" tales vt sit — £'y) + - £y") + *"(Cy' — £q) = 1 , transeatque / per substitutionem (S) ... x = *y + tyk. -f yy“t x1 = a*y + %‘y* d" y// = «cy d- d“ y,lyil ing == cyy + cyy' -f c^yVy1* + zdyty" -f. s fryyi* + 2d“yy‘. Tunc manifesto erit c == o, atque g ipsi / aequiualens, vnde facile concluditur, ex omnibus solutionibus aequationis g = o deriuarl (per S) omnes solutiones aequationis f — o in integris. Iam ex I sequitur, omnes solutiones aequ. g = o contineri sub formulis y = _ . z(c‘pp + 2 dpq + cuqq ) , y‘ = 2 z(d"pp -f d*pq\ y " = 2z(dudq -f d'qq ) , designantibus p, q in¬ tegros indefinitos, z numerum indefinitum pro quo etiam fractiones accipi possunt, modo ita vt 7? 7'? 7" integri maneant. His valoribus ipsorum 7? 7'? 7" in (^) substitutis, omnes solutiones aequ. / = o in integris habebuntur. — Ita e. g. sif = xx + x,x‘:sk — 4x'xu + 2xx" -f Sxxp atque vna solutio aequationis / = o habetur r = i r/ — — 2, xu = 1: faciendo £, y, y/ 1, O, o, o, x prodit ^ = y‘y‘ -f- jr'#" — 42^" T 1 W". Hinc omnes solutiones aequ. g = o in integris contenti erunt sub formula y = — Z(PP ~~ 4P9 -f w)? 7' = 1 2£/?<7, yH = 12 zqq, et proin omnes solutiones aequ. y' = o sub hac x = ■ 2 (p/? 4 pq T <7*7 ) ? -^/ »*(#> -f 2pq. + qq)9 x" a* — z (pp — qpq — 1 1<7$). ; . y • 500. E problemate art praec. sponte de¬ fluit solutio aequationis indeterminatae -p ®bxy -f 077 T %dx + 2^/ -f / = o, si valeres tantummodo rationales desiderantur , quam, $i in¬ tegri postulantur* supra (art. 216 sqq.) iam ab- soluimus/ Nam omnes qyalores rationales ipso- rum *> X exhiberi possunt per p, t, ita vt t, u. , K fe v sint integri, vnde patet, solutionem illius ae¬ quationis per numeros rationales identicam esse cum solutione aequationis att + 2 btu + cuu + Qcltv -j- 2 euv fvv == o per numeros integrosj haec vero conuenit cum aequ. in art. praec. tractata. Excludi debent eae solae solutiones vbi v = tales autem prouenire nequeunt, quan¬ do bb — ac est numerus non- quadratus. Ita e. g. omnes solutiones aequationis ( in art. 221 per integros generaliter solutae) xx -f 8xy -f yy -f qx — P \y + 1 = o per numeros rationales con¬ tentae erunt sub formula x pp-wg + gg. pp — 4pq~$r Liqq1 J 2pp + ^p q-\-2qq pp~ wq-i- 11 qq designantibus p , q integros quoscunque. — Cete¬ rum de his duobus problematibus arctissimo nexu comunctis breuiter tantummodo hic egimus, mul¬ tasque obseruationes huc pertinentes suppressimus^ tum ne nimis prolixi fieremus, tum quod solu¬ tionem aliam probi, art. pfaec. habemus, principi¬ is generalioribus innixam, cuius expositionem, quia penitiorum formarum ternariarum disquisitionem postulat , ad aliam occasionem nobis reseruare debemus. 501. Reuertimus ad formas binarias, de quibus adhuc plures proprietates singulares re¬ censere oportet. Et primo quasdam obseruatio¬ nes circa multitudinem generum et classium in ordine proprie primitiuo (positiuo pro det. neg.) adiicemus, ad quem breuitatis caussa disquisitio* Item restringimus. Multitudo generum , in quae omnes formae (pr. prim. pos.) determinantis dati positiui vel negatiui + distribuuntur, sernper est i, 2, 4 vel altior potestas numeri 2 , cuius exponens pen¬ det a factoribus ipsius D, et per disquisitiones praec. omnino a priori inueniri potest. Iam quum in serie numerorum naturali numeri pri¬ mi cum magis miriusque compositis permixti sint, euenit, vt pro pluribus determinantibus suecessiuis ±(P + i)? + 2) etc. multitudo gene¬ rum nunc crescat nunc decrescat, nullusque in hac serie perturbata ordo adesse videatur. Nihilomi¬ nus si multitudines generum multis dett. succes- siuis +\D, ±\D -i- 1)... -f m ) responden¬ tes adduntur, summaque per determinantium multitudinem diuiditur, multitudo generum me¬ diocris prouenit, quae circa medium determi¬ nantium 4 ~ {D 4- \rri) locum habere censeri pot¬ erit, progressionemque valde regularem consti¬ tuit. Supponimus autem, non modo m esse satis magnum, sed etiam D inulto maiorem, vt ratio determinantium extremorum D, D + m non ni¬ mis a ratione aequalitatis discrepet. Regul.ari- tas illius progressionis ita iutelligenda est: si D1 est numerus multo maior quam £>, multitudo generum mediocris circa determinantem 4 ~D‘ sensibiliter maior erit quam circa D $ si vero D, D1 non nimis differunt, etiam generum multitu¬ dines mediocres circa D et D‘ fere aequales erunt. Ceterum multitudo mediocris generum circa determinantem positiuum 4 -D sernper fere aequalis inuenitur multitudini mediocri circa ne- gatiuum , eoque exactius quo maior est D, quum pro valore paruo prior paullulum maior euadat Kk 2 quam posterior. Hae obseruationes magis illu¬ strabuntur per exempla sequentia, e tabula classi- ficationis formarum binariarum plures quam 4000 determinantes complectente excerpta. Inter cen¬ tum determinantes a 801 vsque ad 900 repet¬ untur 7 quibus vnicum genus respondet 5 32, 52, 8, 1 quibus resp. 2,4, 8, 16 genera respondent j hinc omnino emergunt genera 559, vnde mul¬ titudo mediocris == 5.59. Centum determinan¬ tes negatiui a — 80 1 vsque ad 900 producunt genera 360. Exempla sequentia omnia desu¬ muntur a determinantibus negatiuis. In centade 16 (a — 1501 vsque ad — 1600 mult. med. ge- nerum inuenitur 3,89, in centade 25 est 4,01; in centade 51 prodit 4,24: e sexcentis dett. - 940! ... — 10000 computatur 4,59. Ex his exemplis patet, multitudinem generum mediocrem multo lentius crescere, quam determinantes ipsos 5 sed quaeritur, quaenam sit lex huius progressionis? — Per disquisitionem theoreticam satis difficilem, quam hic explicare nimis prolixum foret, inuentum est, multitudinem generum mediocrem circa de¬ terminantem + D vel — D quam proxime ex¬ hiberi per formulam etlogD -f- 6, vbi C sunt quantitates constantes, et quidem « =± = 0,4052847546 (designante semiperipheriam circuli cuius radius 1), 6 = 2 g -f 5 ncth — lctlog2 =0,8830460462, vbi g est smuma se- riei 1 — log( 1 + 1) -f- § log, 1 -f* I) -j- i — - log 1 + |) ff- etc. = 0,5772156649 (V. Euler Inst. Cale. Diff. p. 444)5 h vero summa seriei llogz + |Zog3 -f jp/og’4 + etc., quae per appro- ximationem inuenta est = 0,9375482545» hac formula patet, multitudinem mediocrem ge¬ nerum crescere in progressione arithmetica, si determinantes augeantur in geometrica. Valores huius formulae pro D — 850*, 15505, 245 o|, 5050 J , 97-005 mOeniuntur 5,6275. 5,86; 4,0465. 4,5395 4,601, qui a multitudinibus mediocribus' supra datis parum discrepant. Quo maior fuerit determinans medius, et e quo pluribus multitu¬ do mediocris computetur, eo minus a calore for¬ mulae differet. Adiumento huius formulae etiam, aggregatum multitudinum generum determinanti¬ bus successiuis Dr d- .(. D + 1 ) ... -H(D -j - m) respondendum quam proxime erui potest, si multitudines mediocres singulis respondentes com¬ putantur et in summam colliguntur , . quantumuis diuersi sint extremi Dr D -f- m. Haec summa erit = a(logD + log{D 4* 1 + etc. Hb i°g(P + m) + + i) siue satis exacte = ((D + nt)> log D m ) — D i jlog (D — 1); 4- (€ — *) (ni 4- 1 • Hoc modo summa mult gen. pro dett. — . 1 vsque ad — 100 inuenitur == 254,4 quum reuera sit 2555 similiter, a — 1 vsque ad — -2000, = 7116,6, quum sit 71085 a 9001 vsque ad — 10000 vbi est 4595 formula praebet 4594,9 qualis consensus vix exspectari potuisset. 502. Respectu multitudinis, classium ( pr. pnrnit. posit., quod,, semper subintelligendum \ deteimjnantes positiui prorsus aliter se habent quam ±egatiui; quamobrem vtrosque seorsim con- siderabiinis. In eo hi- cum illis conueniunt, quod, pro deterrimante dato in singulis generibus clas¬ ses aeque mqae continentur, adeoque multitudo omnium classi^ aequalis est producto e multi- Kk 5 tudine generum in multitudinem classium in sin¬ gulis generibus contentarum* Quod primo attinet ad determinantes neg;a- tiuos, multitudo classium pluribus dett. successi- uis — D , — (D -f i ) , — (-D + 2 ) etc. re¬ spondentium progressionem aeque perturbatam constituit, ac multitudo generum. Multitudo classium mediocris autem (quae definfttione opus non habebit) valde regulariter crescit, vt ex exemplis sequentibus apparebit. Centum deter¬ minantes a — 500 vsque ad — 600 suppeditant classes 1729, vnde multitudo mediocris = 17,29. Similiter in centade 15 multitudo classium me¬ diocris inuemtur 28,265 e centadibus duabus 24 et 25 computatur 36,285 e tribus 61, 62 et 65 prodit 58,50 e quinque 91 5 595 , fit 71,565 deni¬ que e quinque 96^100 fit 75,54. Haec exem¬ pla ostendunt, classium multitudinem mediocrem lentius quidem crescere, quam determinantes, multo tamen citius, quam multitudinem medio¬ crem generum 5 leui autem attentione cognosce¬ tur, illam satis exacte crescere in ratione radi¬ cum quadratarum e determinantibus mediis. Re- uera per disquisitionem theoreticam inuenimus, classium multitudinem mediocrem circa determi¬ nantem — ■ D proxime exprimi per rD — X, vbi y =■ 0,7467183115 = -- , denotante £ summam seriei 1 . + i + Zf + h + x* etc’> X = 0,2026423673 — : valores medocres se- 7T7T eundum hanc formulam computati f ^ 9U0S supra e tabula classificationum ex4jr^Ps^mus Pa~ 519 rum differunt. Adiumento huius formulae etiam aggregatum multitudinum omnium classium < pr. pr. pos.) determinantibus successiuis — D. — (D + x)? — ( Z? +. a) _ — ( -0 -f- /72 — i) responden¬ tium quam proxime assignari potest, quantumuis extremi sint diuersi, summando multitudines me¬ diocres illis determinantibus secundum formulam respondentes, vnde erit = y{\/~ D -j-^( D -{- i) -f» etc. sr ( D + m — i ) ) + $m siue quam proxime ==■ mP 171 ~~ i)— ( I)5) "H *m‘ ^a e. g. illud aggregatum pro centum dett. — l... — 100 ex formula computatur = 481,1, quurn reuera sit 4775 mille determinantes, — 1 ... — 1000 secundum tabulam suppeditant 15535 clas' ses, formula dat 15551,45 millias secunda sistit classes 28605 secundam tabulam, formula prae¬ bet 28585,75 similiter millias tertia reuera sugge¬ rit 37112 classes, formula dat 57074,3? millias decima dat 72549 per tabulam, formula 72572. 305. Tabula determinantium negatiuorum secundum diuersitatem classificationum ipsis re¬ spondentium digesta multas alias obseruationes singulares offert. Pro determinantibus formae ■ — (8 n -f 5 ) multitudo classium (tum earum quae in omnibus, tum earum quae in singulis generibus pr. primitiuis contentae sunt) semper diuisibilis est per 5, vnico determinante — - 3 excepto, cuius rei ratio ex art. 256, VI sponte sequitur. Pro iis determinantibus, quorum for¬ mae vnicum genus conficiunt, multitudo classi¬ um semper impar est 5 quum enim pro tali de¬ terminante vnica tantum classis anceps detur, puta principalis, multitudo classium reliquarum, Kk 4 e quibus binae semper oppositae erunt, necessa¬ rio erit par, adeoque multitudo omnium impar 5 ceterum haec posterior proprietas etiam pro de¬ terminantibus positiuis valet. — Porro series de¬ terminantium , quibus eadem classificatio data ( i, e, multitudo data tum generum tum classium ) respondet, semper abrumpi videtur, quam obser- uationem satis miram per aliquot exempla il¬ lustramus. (Numerus primus, romanus, indicat multitudinem generum pr. prim. pes.; sequens multitudinem classium in singulis generibus com terttamm; tunc sequitur series determinantium, quibus illa classificatio respondet, et quorum signum negatiuum breuifatis caussa omittitur), I. x ... 1, 2, 5, 4, 7 1.5.. . 11, 19, 25, 2g, 51, 45, 67, 165 1.5.. . 47, 79, I05, 127 1.7. . .71, 151, 225, 545, 465, 487 II. 1... 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 15, 16, 18, 22, 25, 28, 57, 58 11.2.. .14, 17, 20, 52, 54, 56, 59, 46, 49, 52, 55, 65? 64, 75, 82, 97, 100, 142, 148, 195 IV. X...21, 24, 50, 33, 40, 42, 45, 48, 57, 60, 70, 72? 78, 85, 88, 93, 102, 112, 130, 133, 177, 190, 232, 235 VIII. 1,105, 120, 165, 168, 2x0, 240, 273, 280, 513» 55°? 545, 557, 585, 4°8, 462, 520, 760 XVL 1.840, 1320, 1365, 1848 Similiter 20 determinantes reperiuntur (maximus ;= — 1423), quibus classificatio I, 9 respondet; 4 1 maximus =s — 1503 ) , quibus respondet classificatio !♦ %i etc.; dassiflcatiqnes II. 3; II. 4; II. 5; IV. s respondent determinantibus non plu¬ ribus quam 48, 52, 42, 68 resp., e quibus maxi- mi — 65 2, — 862, — 15185 ■— 1012. Quum tabula, ex qua haec exempla sumsimus, longe vitra maximos determinantes hic occurrentes pro¬ ducta sit*),- nec vili amplius prodierint ad illas classificati ones pertinentes: nullum dubium esse videtur, quin series adscriptae reuera abruptae sint, et per analogiam conclusionem eandem ad quasuis alias elassihcatioiies extendere licebit. E. g. quum in tota milliade decima determinantium nullus se obtujerit, cui multitudo classium infra 24 responderet: maxime est verisimile, classilica- tiones I. 255 I. 21 etc.$ ii. 115 II. 10 etc.$ IV. 55 IV. 45 IV. 55 VIII. 2 iam ante — - gooo desiisse, aut saltem perpaucis determinantibus vitra — * 10000 competere. Demonstrationes autem rigo- rosae harum obsematiomirn perdifficiles esse vi¬ dentur. — - Non minus admiratione dignum est, quod omnes determinantes, quorum formae in 52 aut plura genera distribuantur, ad minimum binas classes in singulis generibus habeant, adeo- que classifiicationes XXXII. 1, LXIV. 1 etc. om¬ nino excidant (minimo ex liuiusmodi dett., — 9240, respondet XXXII. 2)5 satisque probabile videtur, multitudine generum crescente continuo plures classificationes excidere. Hoc respectu 65 determinantes supra traditi, quibus classificationes I. 15 II. 1; IV, 15' VIII. 14 XVI. 1 respondent, vai- \ *) Dura haee imprimuntur, vsque ad — - 3000 vno tracti!' nec non per totam milliadem decimam , pluresque alias centades. dispensas , quibus accedunt permulti determinantes singula- ros sedulo electi, Kk 5 de sunt memorabiles, perspiciturque facile, illos omnes ac solos his duabus proprietatibus insigni¬ bus gaudere, vt omnes classes formarum ad ipsos pertinentes ancipites sint, et formae quaecunque in eodem genere contentae necessario tum pro¬ prie tum improprie aequiualeant. Ceterum iidem 65 numeri (sub aspectu paullulum diuerso cuius mentio infra fiet et curn criterio demonstratu fa¬ cili ) iam ab ill. Eulero traditi sunt Nouv. Mem. de VAc . de Berlin 1776 p. 558. 304. Multitudo classium pr. primitiuarum, quas formae binariae det. positiui quadrati kk constituunt, omnino a priori assignari potest, multitudinique numerorum ad 2 k primorum ipso- que minorum aequalis est 5 vnde per ratiocinia non difficilia sed hic supprimenda deducitur, multitudinem mediocrem classium ad tales deter¬ minantes circa kk pertinentium proxime exprimi per — . — Determinantes positiui nonquadrati 5T7T autem hoc respectu phaenomena prorsus singu¬ laria offerunt. Scilicet quum classium multitudo parua, e. g. classificatio I. 1 aut I. 5 aut II. 1 etc. pro determinantibus negatiuis et quadratis par- uis tantum et mox omnino cessantibus locum habeat: contra e determinantibus positiuis non- quadratis, saltem non permagnis, pars longe ma¬ xima tales classificationes praebent, vbi vnica clas¬ sis in quouis genere continetur, ita vt hae I. 35 I 5; II. 2; II. 3?’ IV. 2 etc. sint rarissimae. Ita e, g. inter 90 dett. non qu. infra 100 reperiuntur 1 1, 48, 27, quibus respondent classilicationes I. t, II, 1, IV. i resp j vnicus tantum (57) habet I. 5? duo (54 et 82) habent II, 2; vnus (79) II. 5. Attamen, determinantibus crescentibus, classium multitudines maiores sensim frequentio- res fiunt 5 ita inter 96 dett. non- qu. a 101 vsque ad 200 duo (101, 197) habent I. 5; quatuor (145, 146, 178, 194; II. 25 tres (141, 148, 189) II. 5. Ex 197 dett. a 801 vsque ad 1000 tres habent I. 55 quatuor 1L 25 quatuordecim II. 5 5 duo II. 53, duo II. 6 5 quindecim IV. 2 5 sex IV. 55 duo IV. 45 quatuor VIII. 25 reliqui 145 vnam classem in quouis genere. — Quaestio curiosa foret, nec geometrarum sagacitate indi¬ gna , secundum quam legem determinantes vnam classem in quouis genere habentes continuo ra- riores fiant inuestigare 5 hactenus nec per theo¬ riam decidere possumus, nec per ohseruationem satis* certo coniectare, vtrum tandem omnino abrumpantur (quod tamen parum probabile vi¬ detur), aut saltem infinite rari euadant, ari ipsorum frequentia ad limitem fixum continuo magis accedat. Multitudo classium mediocris in ratione parum maiori increscit, quam, multitudo generum, longeque lentius quam radices quadra¬ tae e determinantibus 5 inter 800 et 1000 illa inuenitur === 5,01. Liceat bis obseruationibus aliam adiicere, quae analogiam inter determi¬ nantes positiuos et negatiuos quodammodo resti¬ tuit. Scilicet inuenimus , pro determinante posi- tiuo D non tam multitudinem classium ipsam, quam potius hanc multitudinem per logariili- mum quantitatis t + iiyfD piultipjicatam (de¬ signantibus f, u numeros minimos, praeter 1, o, aequationi tt — Duu = 1 satisfacientes) mul¬ titudini classium pro determinante negatiuo pluri- bm rationibus hic fusius non explicandis analogam esse, atque valorem mediocrem illius producti ae- que exacte exprimi per formulam talem m^fD n } sed valores quantitatum constantium /n, n ha¬ ctenus per theoriam determinare non licuit 5 si quid ex aliquot centad ibus determinantium inter se com¬ paratis concludere permissum est, m parum a 2J differe videtur. — Ceterum de principiis disquisitio¬ num praecedentium circa valores mediocres quan¬ titatum lege analytica non progredientium , sed ad talem legem asymptotice continuo magis appro¬ ximantium alia occasione fusius agere nobis re- seruamus. Transimus iam ad aliam disquisitio- nem, qua classes d mersae pr. prim. eiusdem det. inter se comparabuntur, finisque huic longae se¬ ctioni imponetur. 505* Theorema. Designante K classem 'prin¬ cipalem formarum determinantis dati D , C classem quam cunque aliam e genere principali formarum eius¬ dem det ^ ( , 3 C3 4 C etc. classes resp, e duplicatione ? triplicatione, quadriiplicatione etc. classis C ortas {vt in- art. 249 ) : in progressione C, 2C, 3 C etc. satis conti¬ nuata tandem, ad classem cum K identicam peruenitur ; supponendoque , mC esse primam cum K ideMicam , atque multitudinem omnium classium m genere princi¬ pali ~ n , erit vel m ~z n , vel m pars aliquota ipsius m Dem. I. Quum omnes classes K, C, qCt 5 C etc. necessar io ad genus principale pertineant (art. 247), classes n + 1 priores huius seriei C, 2C ... nC manifesto omnes diuersae esse nequeunt. Erit itaque vel K cum aliqua classium Ci, 2C, 5C ... riC identica, vel saltem duae ex Ips classibus inter se identicae. Sit ' rC = sC — 525 *— atque r > s, eritque etiam (r ( s — i ) C, ( r — <2 ) C =* ( -y et 'O + i — j) C = Cj vnde (r Q. E. P. IT. Hinc etiam protinus sequitur, esse vel jn z=z n vel m • 5772, in quo casu clas-* sis alia C1'", in genere principali contenta, neque vero in d, d' vel d'1, simili modo tractata doce¬ bit esse vel n = 4/72. vel tz > 4772, et sic porro, lam quum n et m sint numeri finiti, genus principa- 1) C h ) C etc. sj C == m / le necessario tandem exhaurietur, eritque n multi¬ plum ipsius m , siue m pars aliquota ipsius m Q.E. S. Eic. Sit D = — 556, C — (5, 2, 72) *), inuenieturque 2C — (20, 8, 21), 5(7 — (4, o, 89) 4C= (20, — 8, 21), 5 C = ' ( 5 ■ > “ 2, 72), 6C == (1, o, 556). Hic itaque est ra = 6, n vero pro lioc determinante est 12. Accipiendo pro Cq classem (8, 2, 45), classes quinque reli: quae in <5' erunt (9, — 2, 40), (9, 2, 40), (8, — 2, 45), (17, 1, ai), C1/, — 1, si). 506. Demonstratio theor. praec. omnino analoga inuenietur demonstrationibus in artt.45,49, reueraque theoria multiplicationis classium cum argumento in Sect. III. tractato permagnam vn- dique affinitatem habet. At limites huius operis non permittunt, illam theoriam ea qua digna est vbertate hic persequi 5 quocirca paucas tantum¬ modo obseruationes hic adiiciemus, eas quoque demonstrationes quae apparatum prolixiorem re¬ quirerent supprimemus, disquisitionemque am¬ pliorem ad aliam occasionem nobis reseruabimus. I. Si series K, C , 2 C7 $C etc. vitra ( m — 1) C producitur, eaedem classes iterum com¬ parent, rnC = K« (772 + 1) C = C, (772+2) C == (2C etc.?* generaliterque (spectando concin¬ nitatis caussa K tamquam oC) classes gC , g‘C identicae erunt vel diuersae, prout g et g‘ secun¬ dum modulum m congrui sunt vel incongrui. Classis itaque n C semper identica est cum prin¬ cipali K . *) Classes hic semper per firmas ( simplissimae ) in ipsi» con¬ tentas exprimuntur. — 5 27 — /■ _ sf II. Complexum classium K , C, 2Cd<.(m ' — ‘ C, quem supra per (5 designauimus , voca* bimus periodum classis C, quae expressio non est confundenda cum periodis formarum reducta¬ rum det. positiui non-quadrati in art. 186 sqq. tractatis. Patet itaque, e compositione classium quotcunque in eadem periodo contentarum oriri classem in ea periodo quoque contentam gC +. g‘C + g“ C etc. — (g -f g1 -f g" + etc.) C III. Quum C ( m — i) C = Kg classes C et (m — i) C oppositae erunt, et perinde 2 C et (m — 2 ) C, 5 c et (m — 5 ) C etc. Si itaque m est par, classis sibi ipsa oppo¬ sita erit adeoque anceps ,* vice versa, si in <§ praeter -7C adhuc alia classis anceps occurrit puta g erit gC — tn — g) C adeoque g = (m g) ,=== §nz. Hinc sequitur, si 7/2 sit par, praeter duas JV et | mC ; si vero m sit impar, praeter vnam if, aliam classem ancipitem in .• r , ’ t IV. Si periodus alicuius classis hc in (£ con¬ tentae supponitur esse K , hc, ?hC, fhC ... (mi — 1 ) h C% manifestum est, nvh es.e multiplum minimum ipsius h per m diuisibile. Si itaque m et h inter se primi sunt, erit m' = r/z, duae- que periodi easdem classes sed ordine diuerso dispositas continebunt i generaliter autem desi¬ gnante p diuisorem cornm. max. ipsorum m, /z, fYl erit m* = — . — ■ Hinc patet, multitudinem clas- sium in periodo cuiusuis classis ex (5 contenta¬ rum esse vel m yei partem aliquotam ipsius 2 B fct quidem tot classqs in @ habebunt periodos m terminorum, quot numeri ex his o, i, 2... m - 1 ad m primi sunt, siue £772, vtendo signo art. 59? generaliter vero tot classes in (g habe¬ bunt periodos ^ terminorum, quot numeri ex ft his o, 1, 2 ....772 — 1 diuisorem maximum p cum m communem habent, quorum multitudi- nem esse — iaeile perspicitun Si itaque mz=zn7 siue totum genus principale sub (5 contentum, dabuntur in hoc genere omnino (pn classes, qua¬ rum periodi idem genus totum includunt, et ,. vel hanc cum ®, illam cum — Quando a adhuc maior est, semper pars ata omnium generum classes £i includent (singula a classes). VI. Supponamus iam, C esse talem classem, cuius periodus ex n terminis constet, perspicie- turque facile, in eo casu vbi a == 2 adeoque n par, nullam ex ad G pertinere posse (tunc eninl talis classis in periodo classis C contenta foret $ si itaque esset == r C, siue 2rC ==. C, foret 2r Er 1 (riiod. n ) Q. E. A. ) $ quarnobrem quum G ad @ per¬ tineat, necessario omnes classes 12 inter genera distributa erunt. Hinc colligitur, quoniam (pro det reg. ) in G omnino dantur pn classes periodos n terminorum habentes, pro eo casu vbi a = 2 inueniri in quouis genere omnino 2 pn classes, quarum periodi <2n terminos, adeoque tum ge¬ nus suum tum principale, complectantur 5 quando vero a = 1 , in quouis genere a principali di- uerso 1, 18) — 2 E (2> h 54) = 4 E (9? “ - 1, 18) &E V\ 3 !-•’ 4i R7> J N723 f <7> 23) = ■A (11,— 2,15) = ■A+2E (14, 7, 15) = A + ^E (Ii, % 15} = 4 + 6£ V 3*4» K?i' B23 (a» 1, 5 0 = e (6,- - 1, 27) = 3 e (6, 1, 27) = 5S (3>- - i, g4) =? 7e I IA" :* 4; A7; n23 (10, 5, 17)=^+^ (5, : 2, 35) = ^7+ 5® ^5, — ■2, 53) =A+5% (10,- -3,i7)=?:^ + 7J5 II. Determinans — 546. Octo genera positiua; in singulis ternae classes* G 1 et 3, 8; /?3; A7; A13 (i? o, 546) = (22?— 2,25) = 2£ (22, 2, 25) .==? 4£ F5 I^3> 3rN31 R7\ Nl3 (2, O, 275) =A (11,-2,50 ) = ^ + 2^: (u>. 50) =5=4 + 4$ r 5«7>81N3iN7;wi3 (g, 3, 110) == e (21, o, 26) = 3 E (5,-2, 110)== g£ V" 5>t7,,8;«3;_N7;«3 (l°, 2) 55)=^+^ (13, o, 42)=^+3£ (10.— 9,5$)—A+5e , ' » • .s ( '*■ ' p • * ' , , /' /' . - •' - . .1 \ 4 — 659 — FIV' i («3 s; N3;:N7;/?i3 (5, 0, 182 = A‘ (17? 7? 35) = A' + %E (17? " 7?3o)==^, + 4^: 5**7» s;*3; *7; ^13 (15, - 3?37) = ^ + ^ (7, o, 78 .» =4' + 5-® (i5? 3? 37) =^4' + 5-S Fy i«?3-8;/?3; Nr; N*3 (6, 0, 91 )~A+A' (19? 9? 53 )=A+AJ~h2E ( 1 9,- 9,5 5)=^-h^'+4^ FVI 5^7 s; ^3; *r» -p*3 (25,11,39)=^+^+-® ( 14, 0, 26) ==44"4j4”5-® (23,— ii,a9)==?4+4rf+5^ , 1» 54° Sectio Sexta ' ' . -4 - ' ■ . ~ ^ . ; \ , VARIAE D I S Q ¥ I S I T 1 0 N V M PR AE- CEDENTIVM APPLICATIONES. 50B. Quam fertilis sit arithmetica sublimior ve¬ ritatibus, quae in aliis quoque matheseos partibus vsurri praestent, pluribus iam passim locis addigi- tauimus 3 quasdam vero applicationes, quae expo¬ sitionem ampliorem merentur, seorsim tractare non inutile duximus, non tam vt hoc argumen¬ tum, quo plura volumina facile impleri possent, exhauriatur, quam potius vt per aliqua specimi¬ na illustretur. k In hacce quidem sectione primo de resolutione fractionum in simpliciores agemus 5 dein de conuersione fractionum communium in de~ cimales*, tum methodum nouam exclusionis expli¬ cabimus, solutioni aequationum indeterminata¬ rum secundi gradus inseruientem 5 tandem me¬ thodos nouas expeditas trademus, numeros pri¬ mos a compositis dignoscendi,1 horum que facto¬ res explorandi. In sectione sequente autem theoriam generalem generis peculiaris functio¬ num, per totam analysin latissime patentis, quatenus cum arithmetica sublimiori arctissime connexa est, stabiliemus, imprimisque theoriam sectionis circuli, cuius prima tantum elementa baetemus innotuerunt, nouis incrementis ampli¬ ficare studebimus. 509. Problema.- Fractionem cuius deno¬ minator n est productum e duobus numeris inter se pri¬ mis a> b, induas alias discerpere , quarum denominato - res sint a, b . • i oc Sol. Sint fractiones quaesitae — , , ii eri¬ que debebit bx + ay = mm7 hinc x erit radix congruentiae bx EE m( mod. a }, quae per sect, II erui poterit, y vero fiet == — — — . Ceterum constat, congruentiam bx ~ m radices infinite multas, sed secundum a congruas^ habere, vnica vero tantum positiua minorque quam a dabitur ; fieri autem potest etiam, vt y euadat negatiuus. Vix necesse erit monere, y etiam per congruentiam ay E= m (mod. Z?), atque m — au . . . x per aequationem x = — muenin posse. — E. g. proposita fractione f| , erit 4 valor expr. fi (mod. 7), vnde || resoluitur in + *§. 'V . WL 510. Si fractio ~ proponitur, cuius deno¬ minator n est productum e factoribus quotcunque inter se primis a , b , c, d etc.: per art. praec. primo in duas resolui potest, quarum deno mina¬ tores sint a et bcd etc.; secunda iterum in diias denominatorum b et cd etc.; posterior rursus iri duas et sic porro, vnde tandem fractio proposita sub hanc formam redigetur 4 £ 4 i? a 4- 2 etc. Numeratores #, £, y9 «f etc, manifesto positiuos ac denominatoribus suis minores ac¬ cipere licebit , praeter vltimum, qui reliquis de¬ terminatis non amplius est arbitrarius, atque etiam negatiuus aut denominatore maior fieri potest (siquidem non supponimus m < n ), Tum plerumque e re erit, ipsum sub formam -f k redigere, ita vt * sit positiuus ac minor i quam e , k vero integer. Denique patet, a , || c etc, ita accipi posse, vt sint vel numeri primi vel numerorum primorum potestates, Ex, Fractio fff- , cuius denominator \ 4.5.7.11 hoc modo resoluitur in i + »3 i 5 »3 I ¥ 3 8 ¥7’ J4 in # »3 1 1 pro Yi fit 3 9 X 9»4 Ii 5 vnde, scribendo fr = f 4- i 4- l+rr — lo 511* Fractio m n unico lanium modo sub formam -4- 4“ 4" etc. 4. k reduci potest, £ ita vt et, 6 etc. sint positiui ac minores quam af b etc. scilicet supponendo === ~ 4* ^ 4. a T- 4- etc. -j- k + ~r + etc. c a ' b ' c 4- k1 , atque etiam a', 6' etc. positiuos ac mino¬ res quam n, b etc., necessario erit a = £ =s y == etc., k =±= k1. Multiplicando enim per tn === n&c etc., patet fieri /nEE abcd. etc. EE «,'bcd etc. (mod. a)9 vnde quoniam bcd etc, ad a primus f 545 est , necessario * et' adeoque et = et pe- g = g' etc*, vnde etiam sponte A: = k'. Iam quum prorsus arbritrarium sit, cuiusnam denominatoris numerator primus supputetur, ma¬ nifestum est, omnes numeratores ita inuestigari posse, vt et in art. praec. puta g per congruerim tiam Gacd etc. EE m ( mod. b ), y per hanc yctbd etc* EE m (mod. c) etc. >* summa omnium fractionum sic inuentarum vel propositae aequalis erit, vel differentia numerus integer === k7 qua via simul confirmationem calculi nanciscimur. Ita in ex. art. praec. valores expr. J~(mod. 4), i||_ r mod. 5) , -’'f- ( mod. 7 ), ?894— (mod. 1 1 ) statim suppeditant numeratores i, 2, 1, 4 deno- minatoribus 4, 5, 7, 11 respondentes, summaque harum fractionum propositam vnitate superare inuenitur. 5 12. Definitto. Si fractio communis in decimalem conuertitur, seriem figurarum deci- malium *) (excluso si quis adest numero inten gro), siue finita sit, siue in infinitum excurrat, fractionis mantissam vocamus, expressionem, alias tantummodo apud logarithmos vsitatam, in significatione latiori accipientes. Ita e. g. fractio¬ nis I mantissa est 125, mantissa fractionis || 1875? fractionis ~ mantissa 054054. .* in inf. Ex hac definitione statim patet, fractiones / ^ eiusdem denominatoris n n easdem vel diuersas *) Breuit&tis caussa disquisitionem sequentem ad systema vul¬ gare decadicum restringimus , quum facile ad quoduis aliud «xttudi possitj. 544 mantissas habere, prout numeratores Z, m secundum m congrui sint vel incongrui. Mantissa finita non mutatur, si ad dextram cifrae quotcunque apponan- tur. Mantissa fractionis ■ — — obtinetur, rescin¬ m dendo a mantissa fractionis — figuram primam et generaliter mantissa fractionis inuenitur n rescindendo v figuras primas mantissae ipsius — . Mantissa fractionis -i- statim figura signifi- catiua (i. e. a cifra diuersa) incipit, si n < lOj si vero n i= io vel duas figuras primas mato tissae fractionis, cuius denominator 23, esse 59, habemus productum 23.59 == 1557, a huo dua$ vltimas figuras abiiciendo, vnitatemque addendo, numerator quaesitus prodit = 16. 314. Inchoamus a consideratione talium fractionum, quarum denominatores sunt numeri primi vel numerorum primorum potestates, post¬ ea que reliquas ad has reducere ostendemus. Et primo statim obs eruamus , mantissam fractionis (cuius numeratorem a per numerato primum p non diuisibilem esse sfempef supponimus) fini¬ tam esse, atque ex p figuris constare, si p «== a aut = 5; in casu priori haec mantissa, tam¬ quam numerus integer considerata, erit ±= 5^ in posteriori === 2ua. Haec tam obuia sunt, vt expositione non egeant» Si' vero p est alius fluto erus pritous , l or^t per pu numquam diuisibilis ferit, quantumuis magnus accipiatur r, vnde sponte sequitur, man¬ tissam fractionis F a m; P iiececessario in infini¬ tum progredi. Supponamus, ioe esse potestatem Mrn infimam numeri 10, quae vmrati secundum mo¬ dulum pu congrua fit (Conf. sectio III, vbi osten¬ dimus, e vel numero (/? — aequalem vel ipsius partem aliquotam esse), perspicietur- que facile, etiam 10 ea fore numerum, in serie 10 #, 100«, 1000« etc. primum, qui ipsi a se¬ cundum eundem modulum sit congruus. lam quum per art. 512 mantissae fractionum , IOO® IO CCl . i i . r — v ~ ... - onantur, aemendo mantissae fracti- pp pf* onis F figuram primam, duas e figuras pri¬ mas resp., manifestum est, in hac mantissa post primas e figuras, neque prius, easdem iterum repeti. Has primus e figuras, e quibus infinities repetitis mantissa formata est, periodum huius mantissae siue fractionis F vocare possumus* patetque magnitudinem periodi, i. e. multitudi¬ nem figurarem e quibus constat, quae, est == ef a numeratore a omnino independ entem esse, efc per solum denominatorem determinari. Ita e. g. periodus fractionis f* est 09 , fractionis f perio¬ dus 428571 *)» 515. Simulae igitur fractionis alicuius pe¬ riodus habetur, mantissa ad figuras quotcumque produci poterit. Porro patet, si fuerit b EE \oAd 1 , . j) t . . (mod. p"J ) , periodum fractionis ----- oriri, si pri- pr mae a figurae periodi fractionis F (supponendo *) Cel. Robertson periodi initium et finem duobus pvnttls figu¬ rae primae et vltiinae suprascriptis indicat ( T h e o ry o f circulat i n g fractions, Philos, Trani* 1764)* quod bic non necessarium putamus*. i , h •Ql Ar 5 = 0, 8 ■ - 4 9 • ■■■— 0 , 4444444444 4444444444 44 aa 49 = 0,4489795918 5675469587 75 5 13 — 0, 5846155846 1558461558 46 7 a'7 = 0, 1489561702 1276595744 68 5% 59 = 0, 8815559323 0558985050 84 F = 4, 7958315235 1271954166 1 7 Haec fractio est vna ex iis , quae ad radicem quadratam ex 23 quam proxime appropinquant, et quidem excessus est minor quam septem vnitates in loco figurae decimalis vigjs- siniae, ‘ - 1 Mm 4 v pii caussa considerabimus fractionem 552 Defectus huius summae a iusto certo minor est quinque vmtatibus in figura vitima vigesima secunda, quare viginti primae inde mutari ne¬ queunt. Calculum ad plures figuras producendo, pro duabus, figuris vltimis 17 prodit 1893956 ... — - Ceterum vel nobis non monentibus quisque videbit, hanc methodum, fractiones communes in decimales conuertendi, ei potissimum casui accommodatam esse , vbi multae figurae decima¬ les desiderentur 5 quando enim paucae sufficiunt, diuisio vulgaris siue logarithmi aeque expedite plerumque adhiberi poterunt, 518. Quum itaque resolutio talium fractio¬ num, quarum denominatores e pluribus numeris primis diuersis compositi sunt, ad eum casum iam reducta sit, vbi denominator est primus aut prfmi potestas: de illarum mantissis pauca tan¬ tum adiiciemus. Si denominator factorem 2 et '5 non continet, mantissa etiam hic e periodis Constabit, quoniam pro hoc quoque casu in serie 10, 100, 1000 ad terminum, vnitati secun¬ dum denominatorem congruum, tandem per- uenitur, simulque huius termini exponens, qui per art. 92 facile determinari poterit, periodi magnitudinem, a numeratore indep en dentem, indicabit, siquidem hic ad denominatorem pri¬ mus fuerit. — Si vero denominator est formae (O 2 designante N numerum ad 10 primum, «» et £ numeros quorum vnus saltem non est 0, fractionis mantissa post primas a vel C figuras (prout es vel € maior) e periodis constare inci¬ piet, cum periodis fractionum cum denomina- tore N respectu longitudinis conuenientibusj hoc facillime inde deriuatur, quod illa fractio in duas alias cum denominatoribus 2*5^ et N resolubilis est, quarum . prior post primas <*■ vel £ figuras abrumpetur. — Ceterum de hoc argumento mul¬ tas alias obseruationes adiitere possemus, prae¬ sertim circa artificia, talem tabulam vt III quam citissime construendi, quas breuitatis caussa eo lubentius hoc loco supprimimus, quum plura huc pertinentia tum a cel. Kobertson 1. c., tum a cel. Bernoulli ( Nouv , Mem, de TAc , de Bertin 1771) Iam sint tradita, 519. Congruentiae xx A (mod, m), quae cormenit cum aequatione indeterminata xx 5= A + piy, possibilitatem in sect. IV (art. 146) Ita tractauimus, vt nihil amplius desiderari posse videatur 5 respectu inuestigationis incognitae ipsius autem, iam supra (art. 152) obseruauimus , me¬ thodos indirectas directis longe esse praeferendas. Si m est numerus primus ( ad quem, casum reli¬ qui facile reducuntur), tabulam indicum I (cum III secundum obs. art. 316 combinatam ) ad hune finem adhibere possemus, vt in art. 60 genera¬ lius ostendimus: haec vero methodus intra, tabu¬ lae limites restricta foret. Propter has rationes methodum sequentem generalem ac expeditam arithmeticae amatoribus haud ingratam fore speramus. Ante omnio obseruamus sufficere, si ii tan¬ tummodo valore sipsius x habeantur, qui sint po- sitiui atque non maiores quam Jm, quum quiuis alius horum alicui vel ipsi vel negatiue sumto secundum modulum m. congruus sit?* pro tali Mm 5 » 554 vero valore ipsius x valor ipsius y necessario in¬ ter limites — — ' et im — ™ contentus erit. m * m Methodus itaque, quae statim se offert, in eo consisteret , vt pro singulis valoribus ipsius y in¬ tra hos limites contentis, quorum complexum exprimemus per n, valor ipsius A + tny quem per V denotabimus computetur, iique soli reti¬ neantur, pro quibus V fit quadratum. Quando m est numerus paraus ( e. g. infra 40 ) , hoc ten¬ tamen tam breue est, vt contractione vix opus habeat 5 quando autem m est magnus, labor per methodum 'exclusionis sequentem, quantum lu- bet, abbreuiari poterit, 520. Sit E numerus arbitrarius integer ad jn primus ac maior quam 25 omnia eius non residua quadratica diuersa (i. e, secundum E in- congriia ) liaec a9 b%c etc,; denique radices con¬ gruentiarum A -{- fny ” a, A + my Ez h, A + my Ez c etc, sec, mod. E_ hae £, y etc., quas omnes positiuas ac minores quam E accipere li¬ cebit. Si itaque ipsi y valor alicui ex his nume¬ ris a, £> y etc. secundum E congruus tribuitur, valor ipsius V == A -f my inde oriundus alicui ex his a , b , c etc. congruus et proin non resi¬ duum ipsius E erit, neque adeo quadratum esse poterit. Hinc patet, ex Li omnes statim nume¬ ros tamquam inutiles excludi posse, qui sub for¬ mis Et + «, Et + £, Et + y etc, contenti «sint, sufficietque , tentamen de reliquis, quorum complexus sit tl1 , instituisse. In illa opera¬ tione numero E nomen excludentis tribui pot- est. 655 Accipiendo autem pro excludente numerum idoneum alium E' , prorsus simili modo inueni- entur tot numeri y' etc., quot non residua diuersa quadratica habet, quibus y secundum modulum E' congruus esse nequit. Quare de~ nuo ex ii* eiicere licebit omnes numeros sub formis E‘t -f- E*t + E*t + v* etc. contentos. Hoc modo continuari poterit, alios aliosque sem» per excludentes adhibendo, donec multitudo nu¬ merorum ex ii tantum deminuta fuerit, vt non difficilius videatur, omnes superstites tentamini reuera subiicere, quam exclusiones nouas insti¬ tuere. Ex , Proposita aequatione xx = 22 + 97 y7 limites valorum ipsius y erunt — f f et 245 — ■ — , vnde ( quoniam inutilitas valoris o per se est obuia) ii comprehendet numeros 1, 2, 5 . . . 24. Pro E = 3 habetur vnicum non residuum a == 25 vnde fit « = 15 excludendi sunt itaque ex il omnes numeri formae 3? -{- 1$ multitudo rema¬ nentium li1 erit 16. Simili modo pro E = 4 habetur a == 2, b == 3, vnde « — o, £ = 15 quare reiici debent numeri formae 4£ et 4£ + 1 restantque hi octo 2, 3, 6, 11, 14, 15, 18, 25* Perinde pro E = 5 reiiciendi inueniuntur nu¬ meri formarum 5? et 5f + 3$ remanenlque hi 2, 6, xi, 14. Excludens 6, remoneret numeros formarum 6t -{■ 1 et 6£ -p 4, hi vero (qui cum numeris formae 3 1 + 1 conueniunt ) iam absunt. Excludens 7 eiicit numeros formarum 'Jt + 2, 7* + 5? 7t + 5? ac relinquit hos, 6, 11 , 14. Hi pro y substituti producunt resp, V === 604, 1089, 1580, e quibus valor secundus sa¬ lus est quadratus, vnde x jb 33% I ' ' 1 • \ ,v , C , ^ 5 0 ’ 'esxsx*‘ 521. Quum operatio cum excludente E in- stuta e valoribus ipsius V, valoribus ipsius y in £1 respondentibus, omnfes eos releget, qui sunt non residua quadra tica ipsius jE, residua vero eiusdem numeri non attingat 5 facile intelligitur, vsum excludentium E et 2 E nihil differre, si E sit impar, quum in hoc casu E et 2E eadem residua et non residua habeant. Hinc patet, si successiue numeri 5, 4, 5 etc. tamquam exclu¬ dentes adhibeantur, numeros impariter pares 6, 10, 14 etc. tamquam superfluos praetereundos esse. Porro perspicuum est, operationem dupli¬ cem, cum excludentibus Ey E‘ institutam, omnes eos valores ipsius V remonere, qui vel vtriusque E, FJ vel vnius non residua sint, eosque qui sint, vtriusque residua remanere. Iam quum in eo casu, vbi E et E. 1 diuisorem commu¬ nem non habent, ilii numeri eiecti omnes sint non residua, atque h:i superstites residua producti EE‘ i manifestum est, vsum excludentis EE' in hoc casu omnino tanturidem efficere, ac vsum duorum jE, JE', adeoque illum, post hunc, superfluum fieri. Quare eos quoque excludentes omnes praeterire licebit, qui in duos factores in¬ ter se primos resolui possunt, sufficietque iis vti, qui sunt vel numeri primi (ipsum m non me- tientes) vel primorum potestates. Denique mani¬ festum est, post vsum excludentis qui sit potestas numeri primi p, excludentem p seu quando v <. p superfluum fieri 5 quum enim p* inter valores ipsius V sola sui residua reliquerit, a pbtiori non-residua ipsius p aut potestatis cu- tusuis inferioris p9 non amplius aderunt. Si vero p aut pv iam ante adhibitus est, hic manifesto < tales tantum valores ipsius V eiicere potest, qui simul sunt residua ipsius p (aut /E) atque non residua ipsius /?“$ quare huiusmodi tantum non- residua ipsius p pro b, c etc. accipere sufffr ciet 522. Computus humerorum <*, 6, y etc* cultris excludenti dato E respondentium multum contrahitur per obseruationes sequentes. Sint 21, 16* d etc. radices congruentiarum my EE a , mf EE A, my EE c etc. (rnod. j£) atque A: radix huius my ~ — A, patetque fieri «t EE 21 + A, £ EE 18 -f- A , y EE (t -j- A etc. lam si ipsos 21, 18, d etc. reuera per solutionem illarum congru¬ entiarum eruere oporteret, haec via ipsos ee, 6, y etc. inueniendi nihil vtique breuior foret, quam ea quam supra ostendimus: sed illud neutiquam est necessarium. Si enim, primo, E est nume¬ rus primus, atque m residuum qu. ipsius E7 patet per arU 98, ipsos 21, 33, d etc., qui sunt Clf b c valeres expr. — , — , — etc. (mod. £), fieri nori L m7 m' m v 7 residua diuersa ipsius j E, adeoque cum ipsis ««, y etc. omnino conuenire, abstrahendo ab ipsorum ordine, cuius nihil hic refert}* si vero in eadem suppositione m est non-residuum ipsius Ei numeri 21, 16, d etc. cum omnibus residuis quadraticis , abiecto o, conuenient. Si E est qua¬ dratum numeri primi- (imparis), = pp , atque p iam tamquam excludens applicatus, sufficit per art. praec., pro «, A, c etc. ea non residua ipsius pp assumere qui sunt residua ipsius p, i. e. nu¬ meros /?, 2/?, 5 p , . . pp — p (scilicet omnes nu-< meros infra pp praeter o qui per p sunt diuisibh 4 — 558 — les ) ,* hinc vero facile perspicitur, pro 2C, 35, 'M etc. omnino eosdem numeros prouenire debere, aliter tantum dispositos. Similiter si post appli¬ cationem excludentium p et pp ponitur E — p*? sufficiet pro a, b, c etc. accipere producti singu¬ lorum nonresiduorum ipsius p in pp, vnde pro 31, 33, <§ etc. prouenient vel iidem numeri, vel producta ipsius pp in singula residua ipsius p praeter o, prout m est residuum vel non resi¬ duum ipsius p. Generaliter accipiendo pro E potestatem quamcunque numeri primi puta p omnibus inferioribus iam applicatis, pro 3C, 33, @ etc. prodibunt producta ipsius 1 vel in omnes numeros ipso p minores, o semper excepto, quando u par, vel in omnia non residua ipsius, p minora quam p, quando e- impar atque mRp, vel in omnia residua, quando mNp. — Si E t= 4 , adeo que a = 2, b = 5, pro 3C, 33 habe¬ mus vel -2 et 5 vel 2 et * 1 , prout m -EE 1 aut HEE 5 (mod. 4)* Si post vsum exci. 4 statuitur E = 8 , habemus « = 5, vnde 31 fit 5 ,7, 1 , 5, prout m — 1, 5, 5, 7 (mod. 8 ). Generaliter autem, si E est potestas altior quaecunque bi¬ narii puta 2^, inferioribus iam applicatis, poni debet a c== a''-1, & == 3.2“^% quando m est par, vnde fit 2C_ = 2*'-1, € == 5.2“^ ■* vel = 2**-* prout m — i vel — 5, quando vero ,« est im¬ par, ponendum est a — 5.2"“ 3 , vnde 2C aequa¬ lis fit producto numeri 2^“* in 5, 7, 1, vel 5, prout m E 1, 5, 5 vel 7 (mod. 8). Ceterum periti facile comminiscentur appa¬ ratum , per quem valores inutiles ipsius y mecha¬ nice ex il eiici possint, postquam pro tot exclu-. 559 e' . dentibus quot necessarii ] videntur numeri <*, £, y etc. sunt computati 5 sed de hac re sicut, de aliis artificiis laborem contrahendi hic agere non licet. 525. Omnes repraesentationes numeri dati A per formam binariam mxx nyy, sine solu¬ tiones aequationis indeterminatae mxx + nyy =. A , in sectione V methodo generali inuenire docui¬ mus, cuius breuitas quoque nihil desiderandum re¬ linquere videtur, si omnes valores expr. — mn. secundum modulum A ipsum , et per suos facto¬ res quadratos diuisum > iam habentur 5 hic autem pro eo casu, vbi mn est posi tinus , , solutionem explicabimus, directa multo expeditiorem, si ad hanc illos valores antea computare oportet. Sup¬ ponemus autem, numeros m, n et A esse posi- tiuos atque inter se primos , quum casus reliqui ad hunc facile possint reduci. Manifesto quoque sufficit, valores positiuos ipsorum x: y eruere, quum reliqui inde per solam signorum mutatio¬ nem deducantur. Perspicuum est, x ita Comparatum esse de- 'l. . At tyT/lXX 7 -jr • . bere, vt - - — - , pro quo scribemus /q positi- uus, integer , et quadratus euadat. Conditio pri- * ^ ^ } A ma requirit, vt x non sit maior quam \T~m 5 se“ eunda iam per se locum habet quando n == 1, A alio quin requirit, Vt valor expr. — (mod. n ) sit residuum quadrati cum ipsius n , designando- qne omnes valores diuersos expr' y — (mod. n) per + q Hb r1 etc., x sub aliqua formarum nt 5^0 4- r, nt r, + r' etc. contentus esse debe-* bit. Simplicissimum itaque foret» omnes nume¬ ros harum formarum infra limitem tiuo- y m 7 rum complexum per Xl exprimemus, pro x sub¬ stituere , eosque solos retinere , pro quibus V fit , quadratum. Hoc tentamen, quantum lubeat, contrahere, in art. sq. docebimus/ 524. Methodus exclusionum, per quam hoc efficiemus, perinde ac in disqu. praec. in eo consistit, vt plures numeros, etiam hic excludefi - tes vocandos, ad lubitum accipiamus, pro qui¬ busnam valoribus ipsius x valor ipsius V fiat non residuum qu> horum excludentium inuestigemus, talesque x ex XI eiiciamus. Per ratiocinia iis quae in art. 521 exposuimus omnino analoga ap-^ paret, tales tantum excludentes adhibendos esse, qui sint numeri primi aut numerorum primorum potestates, et pro excludente posterioris generis ea tantum ipsius non residua a valoribus ipsius V arcenda, quae sint residua omnium potestatum inferiorum eiusdem numeri primi, siquidem ex¬ clusio cum his iam est instituta. Sit itaque excludens E = pu (includeridd etiam eum casum vbi H = 1), vbi p est nume¬ rus primus ipsum m non meti ens, supponamus- que *) p * esse summam potestatem eiusdem nu¬ meri primi per quam n sit diuisibilis. Sint aj b9 q Breuitatis caussa duos casus , in quibus ii per p est diuisi¬ bilis ac non diuisibilis , simul complectimur j in posteribii > 0 ponere oporteti — $6i c etc. non residua quadratica ipsius E (omnias, quando u = i j necessaria siue ea quae sunt re¬ sidua potestatum inferiorum, quando p > Computentur radices Congruentiarum mz EE -A - — 7z<2, mz EE A — nb , mz EE A — nc etc*. (mod. Epv ==■ ' p1**'9')-, quae sint a, €, y etc., patetque facile , si pro quo valore ipsius x fiat xx EE « (mod. Ep 'j, valorem respondentem ipsius V fieri EE a (mod. E) siue non residuum ipsius JE, similiterque de numeris reliquis !S, y etc. 5 aeque facile vice versa perspicitur, si quis valor ipsius x producat V EE a (mod. E), pro eodem fieri xx EE a (mod. Epv ) , adeoque omnes va- lores ipsius x, pro quibus xx nulli numerorum et, 6, y etc. sec. mod. Ep * congruus sit, tales valores ipsius V producere, qui nulli nume¬ rorum «, &, c etc. sec. mod. E sint congruii Eligantur iam e numeris et, €, y etc. omnia re¬ sidua quadratica ipsius Ep1' , quae sint g, g', g11 fetc.j computentur valores expressionum y^g-, y^g" etc. (mod. Ep’)*, ponam usque hinc prodire +/z, + /h, Eh/h' etc. His ita factis ma¬ nifestum est, omnes humeros formarum Epvi 4- /2, Epft dp h* j Epft h" etc. ex ii tuto eiici posse, uullique valori ipsius x in £1 post hanc exclusiohem remanenti valorem ipsius V sub formis Eu -f «, Eu -\- /?, Eu + c etc. con¬ tentum respondere posse. Ceterum manifestum Cst, tales valores ipsius V iam per se e nullo valore ipsius x prodire posse, quando inter hu¬ meros at, G, y etc. nulla residua qu. ipsius Ep’ imieniantur, adeoque in hoc Casu humerum E tamquam excludentem applicari hoh posse. — Huiusmodi excludentes j quot placet ^ adhiberl| E -Nb- 1 N V V 562 atque sic numeri in XI ad lubitum diminui pos¬ sunt. Videamus iam, annon etiam numeros pri¬ mos ipsum m metientes, taliumue numerorum potestates tamquam excludentes adhibere liceati Sit B valor expr. (modi 772), patetque, V semper ipsi B secundum mod. m congruum fieri* quicunque valor pro x accipiatur, adeoque ad possibilitatem aequ. prop. necessario requiri, vt B sit residuum quadrat icum ipsius m . Designante itaque p diuisorem quemcunque primum impa“ rem ipsius m, qui per hyp. ipsos n et A , adeo¬ que etiam ipsum B non metietur, pro valore quocunque ipsius x erit V residuum ipsius p ‘ adeoque etiam cuiuscunque potestatis ipsius p? quamobretn p ipsiusque potestates nequeunt ex¬ cludentium loco haberi. — Prorsus simili ratione quando m per 8 est diuisibilis ad, aequ. prop. possibilitatem necessario requiritur vt sit B EE 1 (mod. 8), vnde etiam V pro valore quocunque ipsius x fiet EE 1 (mod. 8), et proin binarii potestates ad exclusionem non idoneae. — Quan¬ do autem m per 4 neque vero per 8 est diuisibi¬ lis, ex simili ratione esse debebit B EE 1 (mod. A 4), adeoque Valor expr. — (niod. 8) vel 1 vel 5 5 ff designetur per C. Nullo negotio perspicietur* pro valore pari ipsius x hic fieri V Er: pro impari, f E C + 4 (mod. 8 $ vnde patet, va- lores pares reiiciendos esse, quando C — 5; im¬ pares . quando C = 1. Denique quando m per 2, neque vero per 4 est diuisibilis, sit vt an- A te C valor expr. — (mod. 8), qui erit i , 5, '5% Vel 7$ atque £? valor huius (mod* 4), qui erit 1 vel 5. lam quum valor ipsius V mani¬ festo semper fiat EE C — %Dxx ( mod. 8), adeo- qUe pro x pari EE C, pro impari EE C — ■ * 2D, facile hinc colligitur, reiiciendos esse omnes valores impares ipsius x, quando C =±= 15 omnes pares, quando C = 5 et D = 1, aut C t= 7 et £> = 3 , atque valores remanentes omnes producere Z7 EE 1 (mod. 8) siue residuum cu- iusuis potestatis binarii 5 in casibus reliquis autem, puta quando C =s 5, aut C = 3 et D = 5, aut C = 7 et D = 1 , fiet EE 5 , 5 vel f (mod. 8), siue x accipiatur par siue impar, vnde liquet, in his casibus aequationem prop» solutio¬ nem omnino non admittere» ^ t. - - ' 1 ' Ceterum quum prorsus simili modo, vt hio Valorem ipsius x per exclusiones inuenire docui¬ mus, etiam, mutatis mutandis, valorem ipsius f 'elicere possimus, methodum exclusionis ad pro¬ blematis propositi solutionem duobus semper modis applicare licebit (nisi m n s= 1, vbi coinciduiit), e quibus si plerumque est praefe¬ rendus, pro quo cl terminorum multitudinem mi¬ norem Continet, quod facile a priori aestimari poterit. — Denique vix necesse erit obseruare, si post aliquot exclusiones omnes numeri ex n, abierint, hoc vt certum indicium impossibilitatis aequationis propositae esse considerandum. 525. Ex. Proposita sit aequatio §xx 4* 455/X = 10857362, quam duplici modo solue* Nn a mus, primo inuestigandb valores ipsius x $ dein valores ipsius y. Linies illorum in hoc casu esi -^56 19120!, qui cadit inter 1902 et 19035 valor ■A expr. — (mod. 455) est 354 atque valores expr. yf 354 (mod. 455) ± 82, ± 152, X 175» ■+ 212. Hinc ii constat e 33 numeris sequenti¬ + bus: 82, 152, 175? 2*2? »45 > ^82, 505, 375? 537? 807, 628, 667, 698, 757? 758, 828, 992, 1062, 1083, 1122, 1153? H92? 1215? 1285? 1447, 1517, 1558, 1577? 1608, 1647, 1668, 1738, 1902. Numerus 3 in hoc casu ad exclu¬ sionem adhiberi nequit , quia ipsum m metitur. Pro excludente 4 habemus a = 2 , b s= 3 , vnde a, == o, £ = 35 g — °? atque valores expr. yf* g (mod. 4) hos o et 25 hinc sequitur, omnes numeros formarum 4 1 et 4 i + 2, i. e. omnes pares ex a eiiciendos esse 5 designentur (sede¬ cim) reliqui per DJ. Pro E = 5, qui etiani ipsum n metitur, habemus radices congruentia¬ rum mz EE A — Qn et mz EE ^ — 3 n (mod. 25) has 9 et 24, quae ambae sunt residua ipsius 25, valoresque expressionum y^9 et y/~ 24 ( mod: 25) fiunt 4- 3, 4- 7 j eiectis ex DJ omnibus nu¬ meris formarum 25 t +_ 3, 2 5? + 7 restant hi decem (c«)i 175, 573, 337, 667, 757, 1085, 1213, 1283, 1517, 1377- _ PfO E — 7, habe- mus congruentiarum mz = ^ E~ 312, mz X ^ — 572, mz A — 672 (mod. 49) radices 32, 39, 18 7 quae omnes sunt residua ipsius 49, at¬ que valores expr. yT 32, y^39, y^i8 (mod. 49) hos + 9, Hb 25, Hb 195 eiectis ex a" numeris for¬ marum 49? HH 9, 49? 4- 19, 49? + 25 r« ma¬ nent hi quinque 537, 737, 1083, 121§? 1517. Pro E = 8 habemus a = 5, vnde « _s=s 5, qui est non residuum ipsius 8; quare exclu¬ dens 8 non potest adhiberi. Numerus 9 ex ea¬ dem ratione praetereundus est vt 5. Pro E = 11 numeri a , b etc. fiunt 2, 6, 7, 8, 105 t == 05 vnde numeri £ etc, = 8, 10, 5, o, 1, e quibus tres sunt residua ipsius 1 1 puta o , 1 , 5 5 hinc deducitur, ex jQ'" reficiendos esse numeros formarum 11 f, i.i£ Hh 1, n? + 4, quo facto remanent 557, 1085, 1215. Quos tentando pro¬ deunt pro V resp. valores 21961, 16129, 14161, e quibus secundus ac tertius soli sunt quadrata* Quare aequ. prop. duas solutiones per valores positiuos ipsorum x, y admittit, x = 1085 7 y f= 127 ? et JC == 1215, y = II 9. II. Si alteram eiusdem aequationis incogni¬ tam per exclusiones indagare placet, ponatur haec sub formam 455.^? + 5 yy == 10857562, commutando x cum 44 vt omnia signa arti 525, 524 retinere liceat Limes valorum ipsius x hic " A cadit inter 154 et 1555 valor expr. — (mod. n) est 1.) valores huius sf' 1 (mod. 5) sunt -j- 1 et — 1. Quare £i continet omnes numeros forma¬ rum 5^ + 1 et 5f — - 1 , i. e. omnes per 5 non diuisibiles vsque ad 154 incl. , quorum multitudo est 1055 applicando autem praecepta supra data inuenitur fx& exc-L 5 4 9 ii i/ 19 ^5 reii ciendos esse numeros formarum . ' •• n 9 1 ± 4 4?, 4 f+2 siue omnes pares 272 Hh 1, 27? +1 10 ii?, 1 1 £ Hh 1, ii? +.5 i7f±5, !7f±4) i7f±5, i7«±7 i9f±2> r9f±3> 19t±8, 19/ +.9 25.?, 25; +. 5, 23* ±.7? 25? ± 9, 25? +. 10 His. deletis superstites inueniuntur ng, 127, 157, e quibus duo priores soli ipsi V valorem quadra¬ tum conciliant, easdemque solutiones suggerunt, ad quas supra peruenimus., 526. Methodus praecedens iam per se tam expedita est, vt vix quidquam optandum relin¬ quat f attamen per multifaria artificia magnopere adhuc contrahi potest, e quibus hic pauca tan¬ tum attingere licet. Restringemus itaque disqui¬ sitionem ad eum casum , vbi excludens est nu¬ merus primus impar ipsum A non meti ens, siue talis primi potestas, praesertim quoniam casus reliqui vel ad hunc reduci vel methodo analoga tractari possunt. Supponendo primo , excluden¬ tem E = p esse numerum primum ipsos m , m /S A» p» Sion metientem , atque valores expr. — , — — , r m 7 m nb fic ~ — « etc- 1 > - Risibilis, Numeri a, b, c etc. erunt producta, numeri pp~x vei in omnes numeros ipso p mi¬ nores (praeter o), vel in omnia non residua ipsius p infra p7 prout & est par vel impar ,• ex¬ primantur indefinite per upt~%. Sit k valor expr. — (mod. p* ~w), eritque per p non diuisibilis, quia eadem proprietas in A supponitur^ porro patet , omnes * , £, y etc. ipsi k sec. mod. p con¬ gruos fieri, adeoque pu nihil ex n excludere, si kNp'y si vero kRp adeoque etiam kRpu sit r valor expr. sf^k (mod. qui per p non erit diuisibilis , atque e valor huius K1 - ~~ 2?^ (mod- eritque * = rr -j- lerap (mod. pu 1 ) , vnde facile colligitur, & esse resi¬ duum ipsius p“~^\ atque valores expr. yf o& (mod. pu * ) fieri • _+ (r + eapf ) ; hinc omnes /z, /z', /z" etc. exprimentur per r -f-. &pu Denique nullo negotio hinc conclu¬ ditur, numeros /z. /7% h “ etc. oriri ex additione numeri r cum productis numeri -1 vel in omnes numeros infra p ( praeter o ) , puta quan¬ do ^ par 5 vel in omnia non residua ipsius p in¬ fra hunc limitem, quando u impar atque cRp siue quod hic eodem redit quando — 2mrn‘Rpi vel in omnia residua (praeter 0), quando ^ im-. par atque — ■ 'zmrtVNp. Ceterum simulae pro singulis excludentibus, quos applicare placet, numeri /z, h 1 etc. sunt eruti , exclusionem ipsam etiam per operationes mechanicas perficere licebit, quales quisque ha¬ rum rerum peritus facile proprio marte excogi¬ tare poterit, si operae pretium esse videbitur. Tandem obseruare debemus, quamuis ae-? quationem axx + &bxy + cyy == M, in qua bb — ac negatiuus = — D , facile ad eam formam quam in praecc. considerauimus reduci posse. Designando enim diuisorem communem maximum numerorum a, b per t?z, et ponendo a =s ma\ b = mb'.— — a'c — ■ mbb1 = 72, utr + by == ' 7 «* 7 ■ «r*, aequ. illa manifesto aequiualet huic rri^x1 + 727/ == «'M, quae per praecepta supra tradita solui pot¬ erit. Ex huius autem solutionibus eae tantum erunt retinendae, in quibus x‘ — by per a‘ fit diuisibilis, siue vnde x valores integros nanci¬ scitur „ 527. Quemadmodum solutio directa aequa,- tionis axx -f o,bxy + cyy ===. M in sect. V con¬ tenta valores expr. y -(bb, — ac ) (mod. M) no¬ tos supponit: ita vice versa pro eo casu, vbi bb — ac est negatiuus, solutio indirecta in praeco, exposita methodum expeditissimam subministrat, illos valores eruendi, quae, praesertim pro valo- re permagno ipsius M, methodo art. 522 sqq. longe est praeferenda. Supponemus autem, M esse numerum primum, aut saltem ipsius facto¬ res, si compositus esset, adhuc incognitos; si enim constaret, numerum primum p ipsum M metiri, atque esse M == p^M' , ita vt M‘ fa¬ ctorem p: non amplius implicet, longe com¬ modius foret, valores expr. yf(bh — ac) pro modulis p * et M‘ sigillatim explorare (priores ex valoribus secundum modulum /?, art. 101), va- loresque sec. mod. M ex horum combinatione deducere (art 105), I >— ■ 57° * -- N ~ V -r X Quaerendi sint itaque omnes valores expr. v — D (mod. M), vbi D et M positiui suppo¬ nuntur, atque M sub forma diuisorum ipsius xx + D contentus (ait. 147 sqq,), alioquin enim a priori constaret, nullos numeros expressioni pro¬ positae satisfacere posse. Sint valores quaesiti, e quibus bini sernper oppositi erunt, ±_ r y i. r‘y -h r" etc., atque D -{- rr === M7z, D -f r‘r‘ = ikf/z', D -f- =■ Mklt etc.; porro designentur ci asses ad quas formae (M, r, /2), (M, r, /z), (M, r', h), (M, — r', h ), ( M, r", /z ), ( M, — - r", h) etc. pertinent, resp. per d, — d, ($4 — (5^, d", d" etc. ^ ipsarumque comple¬ xus per ©. Hae classes quidem, generaliter lo¬ quendo, tamquam incognitae sunt spectandae ,*• attamen perspicuum est, primo , omnes esse po- sitiuas atque proprie primitiuas, secundo omnes ad idem genus pertinere, cuius character ex in¬ dole numeri ikf, i. e. ex ipsius relationibus ad singulos diuisores primos ipsius D (insuperque ad 4 aut 8 quando hae sunt necessariae) facile cognosci possit (art. 250). Quum suppositum sit, M contineri sub forma diuisorum ipsius xx + Dy a priori certi esse possumus, huic chara¬ cteri necessario genus pos. pr. pr. formarum de- term. — - D respondere, etiamsi forsan expressi¬ oni — D (mod. M} satisfieri nequeat,* quum itaque hoc genus sit notum, omnes classes in ipso contentae . erui poterant, quae sint C, O, C" etc., atque ipsarum complexus G. Patet igitur, singulas classes d, — d etc. cum aliqua classe in G identicas esse debere; fieri potest quoque, vt plures classes in © inter se, adeoque cum ea¬ dem in G identicae sint, et quando G vnicam f classem continet, certo omnes in © cum hac conuenient. Quare si e classibus C, C', Ca etc. formae (simplissimae) /, /" etc. eliguntur, (vna e singulis): e singulis classibus in © vna forma inter has reperietur. Iam si axx + 2 bxy 4- cyy est forma in classe d contenta, dabuntur duae repraesentationes numeri M per ipsam ad valorem r pertinentes, et si vna est x = m7 y = 72, altera erit x =■ ■ — m, y = — vnicus casus excipi debet, vbi D = i, in quo quatuor repraesentationes dabuntur (v. art, i8o). Ex his colligitur, si omnes repraesentationes numeri Af per singulas formas /, fn etc. in- uestigentur (per methodum indirectam in praeec, traditam), atque hinc valores expr. yf' — D (mod. M ) ad quos singulae pertinent deducantur (art. 154 sqq), omnes valores huius expressio-? nis inde obtineri, et quidem singulos bis, aut, si D =s= 1 , quater. Q. E. F. Si quae formae in- ter f, fl etc. reperiuntur, per quas M reprae¬ sentari nequit, hoc est indicium, ipsas, ad nullam classem in © pertinere, adeoque negligendas esse j si vero M per nullam illarum formarum repraesentari potest, necessario — D debebit esse non residuum quadraticum ipsius M. — Circa has operationes teneantur adhuc obserua- tiones sequentes. L Repraesentationes numeri M per formas f, /* etc., quas hic adhibemus, subintelliguntur esse tales, in quibus indeterminatarum valores inter se primi sunt; si quae aliae se offerunt, in quibus hi valores diuisorem communem ^ ha hent ( quod tunc tantummodo accidere potest, ybi, pu metitur ipsum Mr certoque accidet, quando M . ' ' : ' ’ ' ‘ — ) hae: ad institutum praesens omnino negligi debent, etsi alio respectu vtiles esse pos¬ sint. II. Ceteris paribus, labor manifesto eo faci¬ lior erit, quo minor est multitudo classium /, fu etc., adeoque breuissimus, quando D est vnus e 65 numeris in art. 505. traditis, pro quibus in singulis generibus vnica tantum classis datur. III. Quum binae semper huiusmodi reprae¬ sentationes x == 772, y == h\ x — — 772, y = — n ad eundem yalorem pertineant, perspicuum est, sufficere, si eae tantummodo repraesentatio^ nes considerentur, in quibus y positiuus. Tales itaque repraesentationes diuersae semper valori- bus diuersis expr. yf — D (mod. M) respon¬ dent, vnde multitudo omnium valorum diuer- sum multitudini omnium talium repraesentatio¬ num prodeuntium aequalis erit (semper extib piendo casum D == 1, vbi illa huius semissis erit). IV. Quoniam, simulae alter- duqram valo¬ rum oppositorum + r, — r, cognitus est, alter sponte innotescit, operationes, adhuc aliquantum abbreuiari possunt. Si valor r obtinetur e reprae¬ sentatione numeri M per formam in classe C contentam, i. e. si (5 = C$ valor oppositus — r manifesto emerget e repraesentatione per for¬ mam, in classe ipsi C opposita contentam, 575 quae differens erit a classe C, nisi haec est an¬ ceps. Hinc sequitur, quando non omnes classes in G ancipites sint, e reliquis semissem tantum considerare oportere, puta e binis oppositis qui¬ busque vnam, alteram negligendo, e qua valores iis, quos prior suppeditauit, oppositos resultare iam absque calculo praeuidere licet. Quando autem C est anceps, ambo valores r et — r si¬ mul inde emergent 5 puta, si ex C classis anceps axx + 2 bxy -f cyy electa est., atque valor r prodiit e repr. x = 772, y = 72 r valor — r pro- • 2 bfi dibit ex hac x = -- - m - — ■ * y = n. n • V. Pro eo casu vbi D = i, Vna tantum classis omnino datur, e qua formam xx -f yy electam esse supponere licebit. Quodsi valor r ex repraesentatione x == 772, y == n prouenit, idem ex his prodibit x = — m1 y = — n $ x = 7i, y = — 772$ x == — ny y == m, op¬ positusque — - r ex his x £== m. , y = — 72- # • — m, y — ny x — 72, y = 7775 3; = — 72, # s= — m:} quare ex his octo reprr. , quae vni- 'cam discerptionem constituunt, vna sufficit, si modo valori inde resultanti oppositum associe¬ mus. VI. Valor expr. sf — D (mod. M), ad quem repr. haec M = amm + Qbmn + cnn perti¬ net, per art. 155 est « (mb -f nc) — v {ma -f. nb) siue numerus quicunque huic secundum M Congruus , ipsis v ita acceptis vt fiat -f- vn ==* t* Designando itaque talem valorem per ferit 72222 = vm (mb + /2c) — » (M — mrib =» / 574 nnc ) tr= 4* tO ( mb 4" hc) ~ mb + nc (mod. M). Hinc patet , ^ esse valorem expr» ^ I ' tyll/ f -I *», • *1» ^ -j • • ~~m — C m°d‘ M)h similique modo muenitur, i> esse valorem expn — (tnod. M). Ha6 formulae saepenumero ei ex qua deductae fue¬ runt praeferendae sunt» 5^8« Exempla. I. Quaeruntur omnes valo- res expr. — 1565 (mod. 5428681 = numerus M hic est -Er 1, 1, 1, 6, 11 (mod. 4, .5 ? 5? 7 1 x5) adeoque sub forma diuisorum. ipsorum xx -f- 1 , xx 4- 3 , xx — 5 , et sub for- ma non diuisorum ipsorum 3C Cfi ^ y OCOC ^ et proin sub forma diuisorum ipsius xx 4. 1365 contentus; characterque generis in quo classes d$ reperientur erit 1 , 45 R 3; R5 ; 1V7 ?* iVa.3. In hoc genere vnica classis continetur, e qua eligi¬ mus formam dxx 4. Qxy 4. Q2gyyy- vt omnes repraesentationes numeri -47 per hanc inuenian- tur, ponemus 2X 4. y s= x* 9 vnde fieri debebit ^'x' -f 4 55yy = 2 M: Haec aequatio quatuor solutiones admittit in quibus y est positiuus, pm ta y = 127? x' = ± 1083, y = 119, =* 4- 1213. Hinc prodeunt quatuor solutiones aequ. dxx + 6xy + 22Qyy — M7 in quibus y positiuus, X 478 — 605 647 I — 666 y 127 127 119 1 119 Solutio prima dat pro v valorem expr» ^ sl* 575 ue — — — (mod. jff), vnde imiSsnitiir 2550978? •# secunda producit valorem oppositum — 2550978; tertia hunc 2600262 , quarta oppositum — » 2600262» II. Si quaerendi sunt valores expr. -7— 286 (mod. 4272945 = AT), character generis in quo classes © contentae sunt, inuenitur 1 et 7, 8; iln; /£15; quare erit genus principale, in quo tres classes continentur, per formas (1,0, 286), (14,-6, 25), (145 — * 6, 25) exhibitae; ex his tertiam, vtpote^ secundae oppositam ne- glig ere ] icet. Per formam xx + 286yy duae re¬ praesentationes numeri M inueniuntur, in qui¬ bus y positiuus, puta y.== 105, x = pb 1115, vnde prodeunt valores expr. propositae hi 1495445, — 1495445. Per formam (14, 6, 25) autem M non repraesentabilis inuenitur, vn¬ de concluditur, praeter duos valores inuentos alios non dari • ' /‘ , 1 ■ ’’ III. Proposita expr» •r — 70 (modi 99755 O? classes © contentae esse debebunt in genere cuius character 5 et 5, 8; ibj? iV 7 ,• in hoc vnica classis reperitur cuius forma reprae¬ sentans haec ( 5 , o , 14 ). At calculo instituto inuenitur, numerum 997551 per formam (5, o, 14) non esse repraesentabilem , quamobrem — 70 necessario erit non residuum qu, illius numeris . - V V , * 529. Problema, numeros primos a compo¬ sitis dignoscendi, hosque in factores suos pri¬ mos resoluendi, ad grauissima ac vtilissima toti- v 376 us arithmeticae pertinere, et geometrarum tum. veterum tum recentiomm industriam ac sagaci¬ tatem occupauisSe, tam notum est, vt de hac re copiose loqui superfluum foret. Nihilominus fateri oportet, omnes methodos hucusque prola¬ tas vel ad casus Valde speciales restrictas esse, vel tam operosas et prolixas, vt iam pro nume¬ ris talibus, qui tabularum a viris meritis constru¬ ctarum limites non excedunt, i. e. pro quibus methodi artificiales superuacuae sunt, calculato¬ ris etiam exercitati patientiam fatigent, ad maio¬ res autem plerumque vix applicari possint. Etsi Vero illae tabulae, quae in omnium manibus versantur, et quas subinde adhuc vlterius Conti¬ nuatum iri sperare licet, in plerisque casibus vulgo occurrentibus vtique sufficiant: tamen calculatori perito occasio haud raro se of¬ fert, e numerorum magnorum resolutione in factores magna emolumenta capiendi, quae tem¬ poris dispendium mediocre largiter Compensent | praetereaque scientiae dignitas requirere videtur, vt omnia subsidia ad solutionem problematis tarri elegantis ac celebris Sedulo excolantur. Propter has rationes non dubitamus, quin duae methodi sequentes, quarum efficaciam ac breuitatem lon¬ ga experientia confirmare possumus, arithmeti¬ cae amatoribus haud ingratae sint futurae. Cete¬ rum in problematis natura fundatum est, vt me¬ thodi quaecunque continuo prolixiores euadant^ quo maiores sunt numeri ad quos applicantur^ attamen pro methodis sequentibus difficultates perlente increscunt, numerique e Septem, octo vel adeo adhuc pluribus figuris constantes prae¬ sertim per secundam felici semper Successu tra~ 5 77 elati fuerunt ? omnique celeritate , quam pro tan¬ tis numeris exspectare aequum est, qui secun¬ dum omnes methodos hactenus notas laborem, etiam calculatori indefatigabili intolerabilem, re¬ quirerent. Antequam methodi sequentes in vsum vo¬ centur, semper vtilissimum est, diuisionem nu¬ meri cuiusque propositi per aliquot numeros pri¬ mos minimos tentare, puta per 2, 5, 5, 7 etc. vsque ad 19 aut adhuc vlterius, non solum, ne poeniteat, talem numerum quando diuisor est per methodos subtiles ac artificiosas eruisse, qui multo facilius per solam diuisionem inueniri po¬ tuisset*), sed etiam, quod tunc, vbi nulla diuisio successit, applicatio methodi secundae residuis ex illis diuisionibus ortis magno cum fructu vti- tur. Ita e. g. si numerus 514159265 in factores suos resoluendus est, diuisio per 5 bis succedit, posteaque etiam diuisiones per 5 et 7, vnde ha¬ betur 514159265 g.5.7.997551, sufficitque numerum 997551, qui per 11, 15, 17, 19 non diuisibilis inuenitur , examini subtiliori subii cere. Similiter proposito numero 45429448, factorem 8 auferemus, methodosque magis artificiales ad quotientem 5428681 applicabimus. 550. Fundamentum methodi primae est theorema, quemuis numerum positiuum seu ne - gatiuum , qui alius numeri M residuum quadra- ticiim sil7 etiam, residuum cuiusitis diuisoris *) Eo magis j inte* e«x numeros r, generaliter' loquendo, vixmw-pit emuea-fy. 3, .5.»,, 19 non recentar, Oo 578 & $ l y - \ ' ( ipsius M esse. Vulgo notum est, si M per nul¬ lum numerum primum infra yf'M diuisibilis sit. certo M esse primum p si vero omnes numeri primi infra hunc limitem, ipsum M metientes sini /;, q etc.,, numerum M vel ex his solis (ipsorumue potestatibus) compositum esse, vel vnum tantum alium factorem primum maiorem quam y/~M implicare posse , qui iriuenitur, cliui- dendo ipsum M per /?, q etc. quoties licet. De¬ signando itaque complexum omnium numero¬ rum primorum infra yf*M ( exclusis iis, per quos diuisio frustra iam tentata est) per fi, manifesto sufficit, si orqnes diuisores primi ipsius M, in n contenti, habeantur. Iam si alicunde constat, numerum aliquem r (non-quadratum) esse resi¬ duum quadratic.um ipsius M, nullus certo nume¬ rus primus cuius NR est r diuisor ipsius M esse poterit 5 quare ex il omnes huinsmodi numeros primos (qui plerumque omnium semissem fere efficient) eiicere licebit. Si insuper de alio nu¬ mero non quadrato, r', constat, ipsum esse re¬ siduum ipsus Af, e numeris primis in Q post pri¬ mam exclusionem relictis iterum eos excludere poterimus, quorum N.R est r', qui rursus illorum semissem fere conficient, siquidem residua r et rf sinit independentia, (i. e. nisi alterum necessario per se est residuum omnium numerorum, quo¬ rum residuum est alterum, quod eueniret quan¬ do rr‘ esset quadratum). Si adhuc alia residua ipsius M noti sunt, r", r'" etc., quae omnia a reliquis sunt independentia *), cum singulis ex- *) Si productum e numeris quoteunque f r1, V" ete. quadrd- tuxu est; quisque ipsorum e, g*. T erit residuum euiusui» 579 «•lusiones similes institui possunt, per quas multi¬ tudo numerorum in ii rapidissime diminuetur, ita vt mox vel omnes deleti sint, in quo casu M certo erit numerus primus, vel tam pauci re¬ stent (inter quos, omnes diuisores primi ipsius M, si quos habet, manifesto reperienttir), vt di- uisio per ipsos nullo negotio tentari possit. Pro numero millionem non multum superante ple¬ rumque sex aut septem,* pro numero ex octo aut nouern figuris constante, nouem aut de¬ cem exclusiones abunde sufficient. Duo iam sunt de quibus agere oportebit, primo quomodo residua ipsius M idonea et satis multa inueniri possint, deinde quo pacto exclusionem ipsam commodissime perficere liceat. Sed ordinem harum quaestionum inuertemus, praesertim quo¬ niam secunda docebit, qualia potissimum residua ad hunc finem sint commoda. 531. Numeros primos quorum residuum est numerus datus r (quem per nullum quadra¬ tum diuisibilem supponere licet),' ab iis quorum non residuum est, siue diuisores expr. xx — r a non diuisoribus distinguere, in sect IV copiose docuimus, omnes priores sub certis huiusmodi formulis rz -f a, rz -f b etc., aut talibus qrz -f a, 4 rz + b etc, contentos esse , posterioresque sub aliis similibus. Quoties r est numerus valde paruus, exclusiones adiumento harum formularum per¬ commode perfici possunt 5 e. g. excludendi erunt numeri primi ( nullum ex ipsis meticntis ) , qui reliquorum r" etc. residuum est. Vt igitur residua quotcunque tamquam independentia considerari possint, nullum produ¬ ctum nec e binis? nec e ternis etc, quadratum esse oportet, Oo 3 omnes numeri formae 4 z + 5? quando r == - — 1; omnes numeri formarum $z + 5 et 8 z + 5, quando z. — 2 etc. Sed quum non sem- per iri potestate sit, huiusmodi residua numeri propositi M inuenire , neque formularum appli¬ catio pro valore magno ipsius r satis commoda sit, ingens lucrum est, laboremque exclusionis mirifice subleuat, si pro multitudine satis magna numerorum (r) per quadratum non diuisibilium tum positiuorurn tum negatiuorum tabula iam constructa habetur, in qua numeri primi quo¬ rum residua sunt illi singuli (r) ab iis quorum non residua sunt distinguuntur. Talis tabula per¬ inde adornari poterit ac specimen ad calcem huius operis adiectum supraque iam descriptum; sed vt ad institutum praesens vtilitatem satis am¬ plam praestet, numeri primi in margine ppsiti (moduli) longe vlterius puta saltem vsque ad 1000 aut ad 10000 continuati esse debent, prae- tereaque commoditas multum augetur, si in fa¬ cie etiam numeri compositi et negatiui recipiun¬ tur, etsi hoc non sit absolute necessarium, vt e sect. IV perspicuum est. Ad summum autem commoditatis fastigium vsus talis tabulae euehe- tur, si singulae columellae verticales e quibus constat exsecantur Iamellisque aut baculis (Ne- perianis similibus) agglutinantur, ita vt eae qua® in quouis casu sunt necessariae i. e. quae nume¬ ris r, r', r“ etc., residuis numeri propositi in factores resoluendi, respondent, separate exami¬ nari possint. Quibus iuxta tabulae columnam primam (quae modulos exhibet) rite positis, i. e. ita, vt loca singulorum baculorum eidem, numero primo columnae primae respondentium 58 1 cum hoc in directum iaceant, siue in eadem li¬ nea horizontali siti sint: manifesto ei numeri primi, qui post exclusiones cum residuis r, r', rn ex n remanent, per solam inspectionem imme¬ diate cognosci poterunt,* nimirum hi conuenient cum iis in columna prima, quibus in omnibus baculis adiacentibus lineolae respondent, reiici- que debent omnes, quibus in vllo bacillo spa¬ tium vacuum adiacet. Per exemplum haec suf¬ ficienter illustrabuntur. Si alicunde constat, nu- meros — 6, + 15, — 14, + 17, + 57', — 55 esse residua ipsius 997551, consociandae erunt columna prima (quae in hoc casu vsque jad 99 f continuata esse debet, i. e. vsque ad numerum primum proxime minorem quam ^997550 atque lamellae, in quarum facie numeri — 6, + 15 etc. sunt suprascripti. Ecce partem sche¬ matis hoc modo prodeuntis: Quemadmodum hic 'ex sola inspectione co¬ gnoscitur, ex iis numeris primis qui in hac sche¬ matis parte continentur solum 127 post exclusi¬ ones cum residuis —6, 15 etc* in a relinqui, ita schema integrum vsque ad 997 extensum ostendit, omnino nullum alium ex a remanere.} diuisione autem tentata, 997551 per 127 reuera diuisibilis .inuemtur. Hoc itaque modo ille nu¬ merus in factores primos 127 . X 7855 resolutus habetur *), Ceterum ex hac expositone abunde colligi¬ tur, praesertim vtilia esse residua non nimis magna, aut saltem in factores primos non nimis magnos resolubilia, quum tabulae auxiliaris vsus immediatus non vitra nurneros in facie positos pateat, vsusque mediatus tales tantum complectatur, qui in factores in tabula contentos resolui possunt 552. Ad inuenienda residua numeri dati M tres methodos diuersas trademus, quarum expo¬ sitioni duas ohseruationes praemittimus, quarum adiumento e residuis rninus idoneis simpliciora deriuari possunt Primo , si numerug akk per quadratum kk diuisibilis ( quod ad M primum esse supponitur) est. residuum ipsius M, etiam a erit residuum} propter hanc rationem residua *) Auctor apparatum satis amplum tabulae liic descriptae, quem ad vsum suum construendum curauit , publici iuri» lubenter faceret , si paucitas eorum , quibus vsui esse pot¬ est, sumtibus talis incepti sustentandis sufficeret. Si quis interea arithmeticae amator, principiis probe penetratis, proprio marte talem tabulam sibi condere optat , auctor magnae voluptati sibi ducet, omnia cum eo emolumenta ac artificia per literas communicare. 585 per magna quadrata diuisibilia aeque vtilia sunt ac parua; ornmaque residua per methodos se¬ quentes suppeditata a factoribus suis quadratis statim liberata • supponemus. Secundo si duo pluresue numeri sunt residua, etiam productum ex ipsis residuum erit. Combinando 'hanc obser- uationem cum praee., persaepe e pluribus resi¬ duis quae non omnia sunt satis simplicia aliud admodum simplex deduci potest, si modo illa multos factores communes implicant. Hanc ob caussam talia quoque residua valde sunt oppor¬ tuna, quae e multis factoribus non nimis magnis composita sunt, conuenietque omnia statim in factores suos resoluere. Yis harum obseruatio- num melius per exempla vsumque frequentem quam per praecepta percipietur. I. Methodus simplicissima, iisque, qui per frequentem exercitationem iam aliquam dexte¬ ritatem sibi conciliauerunt, commodissima, con¬ sistit in eo, vt M aut generalius multiplum quod¬ cunque ipsius M quomodocunque in duas partes decomponatur kM = a -f- b (siue vtraque sit positiua siue altera positiua altera negitiua) quarum productum signo mutato erit residuum ipsius M- erit enim — - ab EE da EE bb (mod. ilf), adeoque — abP^M. Numeri b ita accipiendi sunt, vt productum per quadra¬ tum magnum diuisibile quotiensque vel paruus vel saltem in factores non nimis magnos resolu¬ bilis euadat, quod semper non difficile effici pot¬ erit. Imprimis commendandum est, vt pro a accipiatur yel quadratum, vel quadratum duplex, vel triplex etc. a numero M numero vel paruo Oo 4 V ~ ''584 vel in factores commodos resolubili discrepans* Ita e. g. inuenitur 997551 = 999 * — 2.5.67 ==. 99 4Z + 5-H-i5z = 2.706* + 5.17.3* = 3.575* + 11-5142 = 5-577z — 7-1541 = 5-5781 — 7.19.37 == 11.299* + 2.5.5.29.4* == 11.501* + 5-i i2, etc. Hinc liabentur residua sequentia 2-5-67, -2.5-17, — 5-11-51, 5-7-15. 3,7.19.57, — •_ 2.3.5.11.29 5 discerptio vltirna suppe¬ ditat residuum — 5.11 quod iam habemus. Pro residuis — 3.11,51, 2.5.5.11.29 haec adoptare possumus 3.5,51 , 2.5.29, ex illorum combinatio- ne cum — 5.11 oriunda. II. Methodus secunda et tertia inde petun¬ tur, quod, si duae formae binariae (A, B7 C), (^', O ) eiusdem determinantis iH, aut — ili, aut generalius nb/cjH, ad idem genus pertinent, numeri AA‘ 7 AO , AC sunt residua ipsius kMj hoc nullo negotio inde perspicitur, quod nume¬ rus quiuis characteristicus vnius formae, puta m7 etiam est numerus cliar. alterius, adeoque mA, mC\ mA, tnO omnes residua ipsius hM • Si ita¬ que (a, i?, a') est forma reducta determinantis positiui M aut generalius kMy atque (#', b ', an)y (a°9 ani) etc. formae ex ipsius periodo, adeo¬ que ipsi aequiualentes et a potiori sub eodem genere contentae: numeri aal ^ aa11, aallt etc. omnes erunt residua ipsius Computus multi¬ tudinis magnae formarum talis periodi facillime adiumento algorithmi art. 187. instituitur.} resi¬ dua simplicissima plerumque prodeunt statuendo a = 15 ea quae factores nimis magnos impli¬ cant, erunt reiicienda. Ecce initia periodorum formarum (i5 9983 — ■ 1527) et (i, 1412, v — gi8), quarum determinantes sunt 997551,, 1994662: (1, 998, — 1527) C— x^7, 329? 670) (670, 541, — 1513) (— I3i5, 974) 37) (37) 987) — 626) (— 626, 891, 52S) (525) 734) — - 14H) (— 1411, 677, 382) (3827 851, — 715> ( 1, 1412, — 918) ( — 918, 1342) 211) (211, 1401, — 131) (— 151, 13177 1723) ( 1725, 406, - 1062) (— 1062, 636, 1473) (1473) 817, — 901) (— 901, 983) 1137) etc. Sunt itaque residua numeri 997551 omnes nu¬ meri — 1527, 67 o «tc.; negligendo autem ea, quae factores nimis magnos implicant, haecce habemus: 2.5.67, 57, 15, — 17.85, — 5-H-15? — 2.5.17, — 2.59, — 17-555 residuum 2.5.67, nec non hoc — 5.11, quod e cjombinatiorie ter¬ tii cum quinto euoluitur, iam supra erueramus. III. Si C est classis quaecunque formarum det. neg. — M siue generalius — kM, a princi¬ pali diuersa, ipsiusque periodus haec 2 C, 5 C etc. (art. 507.): classes 2 C, 4 C etc. ad genus princi¬ pale pertinebunt; hae vero 5 C, 5C etc. ad idem genus vt C. Si itaque (#, b, c) est forma ( sim¬ plicissima) ex C atque (a:', b‘r c1 ) forma ex ali¬ qua classe illius periodi puta ex nCr erit vel a'% vel aa 1 residuum ipsius M, prout 72 par vel im¬ par (in casu priori manifesto etiam cl% in poste¬ riori ac1, ca1 et cc,1). Euolutio periodi, i. e. for¬ marum simplicissimarum in ipsius classibus, mira facilitate perficit^, quando a est valde parau% Oq 5 586 praesertim quando est = 5, quod semper effi¬ cere licet, quando kM EE f2 (mod. 5). Ecce initium periodi classis , in qua est forma (5, 1, 552444) C (5, 1, 552444> 2 c (9,— ,2, 110815) 5^ (27, 7? 56940) 4C (81,34. 12527) 6C (245,54,4109) 6C (729, 209, 1428) 7C (4 76, 209, 2187) 8C (1027, 342, 1085) 9C (952, — 457, 1275) xeC (425, 12, 2547) Hinc promanant residua ( inutilibus relectis) 5.476, 1027,^1085, 425 siue (tollendo factores quadratas 5-7-17, 1 5-79 , -5.7.31 , 17, e quorum combinatione apta cum octo residuis in II incien¬ tis facile eruuntur duodecim sequentia — 2.5, 1.5, — 2.7, 17, 57, — 55, — 5.11, 79, 1» 85, — 2.59, — . 2.551, 2.5.675 sex priores sunt iidem quibus in art. 551 vsi sumus. Adiici pot¬ uissent residua 19 et — 29, si ea quoque in vsum vocare voluissemus, quae in I reperta suntj reliqua illic eruta ab iis quae Jhie euoluimus iam sunt dependentia. 555. Methodus secunda, numerum datum M in factores resoluendi, petitur e consideratione valorum talis expr. y^ — D (mod. obserua- tionibtisque sequentibus innititur. I. Quando M est numerus primus aut po¬ testas numeri primi (imparis ipsumque D non metientis erit — D residuum vel non residu¬ um ipsius My prout M vel in forma diuisorum vel in fprma non diuisorum ipsius xx + D con¬ tinetur, et in casu priori expressio y^ — . D (mod. — 587 — / duos tantummodo valores diuersos habebit, qui oppositi erunt. II. Quando vero M est compositus, puta = pp'p" etc., designantibus p , p', p" etc. nume¬ ros primos (diuersos impares ipsumque D non metientes) aut talium numerorum potestates: — - D tunc tantummodo residuum ipsius M erit, quando est residuum singulorum p, j)\ p‘l etc., i. e. quando hi numeri omnes in formis diuiso- rum ipsius xx + D continentur. Designando autem valores expr. y'"' — D sec. modulos p, p7, p" etc. resp. per + r, + r', +r" etc., omnes va¬ lores eiusdem expressionis sec. mod. M orientur, eruendo numeros qui secundum p sint EE r aut EE — r, secundum p' aut EE r1 aut EE — - r' etc., quocirca ipsorum multitudo fiet = 2**, designan¬ te u multitudinem numerorum p, p', p“ etc. Quodsi itaque hi valores sunt R, — - R, R\ — ~ JR', R“ etc., sponte erit R SE R secundum omnes p, p', p" etc., sed secundum nullos R — — ~ R* , vnde diuisor communis maximus numeri M cum R - — R erit M, et i diu. commi maxl ipsius M cum R -j-ilq sed valores duo nec identici nec oppositi vt R et R1 necessario secundum vnum pluresue numerorum p, p', p " etc., neque vero secundum omnes, congrui erunt, et secundum reliquos R EE — R‘j hinc illorum productum erit diuisor communis maximus numerorum M et R — R' , productumque horum d. c. m. ipso¬ rum M et R + RK Hinc facile sequitur, si omnes diuisores communes maximi ipsius M cum differentiis inter singulos valores expr. ~ D (mod. M ) atque aliquem valorem datum computentur 5 horum complexum continere nu¬ meros i, p, /?', p't etc. atque omnia producta e binis, ternis etc. horum numerorum. Hoc ita¬ que modo e valoribus illius expressionis numeros P> P\ P“ etc . eruere licebit. Ceterum quum methodus art. 527 singulos hosce valores ad valores expressionum huius for¬ mae “(mod, M) reducat, ita vt denominator n ad M primus sit: ad institutum praesens ne ne¬ cessarium quidem est, has ipsas computare.. Nam diu. comm. max. numeri M cum differentia inter R et Rl qui cum — conueniunt manifesto et- iam erit diu. comm. max. ipsorum M et nn‘ (R — - R*), siue ipsorum M et mnl — m‘n , quippe cui nn‘ (R — RJ) secundum modulum M est congruus. 554. Applicatio obseruationum praecc. ad problema de quo agimus duplici modo institui potest; prior non solum decidet, vtrum numerus propositus M primus sit an compositus, sed in iioc casu etiam factores ipsos suppeditat ; poste¬ rior autem' eatenus praestat, quod plerumque calculum expeditiorem permittit, sed factores ipsos numerorum compositorum, quos quoque a primis protinus distinguit, interdum non profert, nisi pluries repetatur. I, Inuestigetur numerus negatiuus — D7 qui sit residuum quadraticum ipsius M7 ad quem finem methodi in art. 352 sub I et II traditae adhiberi poterunt. Per se quidem arbitrarium 589 est, quidnam residuum eligatur, neque hic vt in methodo praec. opus est, vt D sit numerus par- uus$ sed calculus eo breuior erit, quo minor est multitudo classium formarum binariarum in singu¬ lis generibus pr. pr. det. — - D contentarum f quamobrem imprimis talia residua qui inter 65 numeros art. 505 continentur, si qui se offerunt, opportuna erunt. Ita pro M == 997551 ex o- mnibus residuis negatiuis supra brutis hoc — 102 maxime idoneum esset. Eruantur omnes valores diuersi expr. — D(mod. M /-> quodsi duo tan¬ tum proueniunt (oppositi), M certo erit vel nu¬ merus primus vel numeri primi potestas 5 si plu- res, puta 2W, M compositus erit ex ^ numeris j primis, aut primorum potestatibus, diuersis, qui I factores per methodum art. praec. erui poterunt. Vtrum vero hi factores numeri primi sint an I primorum potestates, tum per se facillimum erit ; dignoscere 5 tum etiam via ipsa per quam valo¬ res expr. — D inueniuntur, omnes numeros | primos, quorum potestas aliqua ipsum M meti¬ tur, sponte indicat 5 scilicet si M diuisibilis est j per quadratum numeri primi *•. , ille calculus qer- ! to etiam vnarn pluresue repraesentationes tales numeri M ^ M = amm 4- Q,hmn + cnn9 pro¬ duxerit, in quibus diuisor comm. max. numero¬ rum m, n est jt (et quidem ideo, quod in hoc casu — • D etiam est residuum ipsius Quam* do vero nulla repraesentatio prodiit, in qua m et n diuisorem communem habent, hoc certum indicium est, M per nullum quadratum diuisibi- letn esse adeoque omnes p, p\ p" etc. numero^ primos» 590 Ex. Per methodum supra traditam inueni- iintur quatuor valores expr. — 162 (mod. 99755 1 ) cum valoribus haram Hh hxy 1 dt ~ r5' conuenientes'; diuisores communes maximi 997551 cum his 5.1664 — 115.2824 et 5.1664 -f 115.2824 siue cum 514120 et 524104 eruuntur hi 7855 et 127, vnde 997551 = 127.7855, vt supra. II. Accipiatur aliquis numerus negatiuus — D talis , vt M contentus sit in forma diuiso- rum ipsius xx + D:; per se arbitrarium est, quis huiusm odi numerus eligatur, sed commoditatis caussa imprimis videndum est, vt multitudo clas¬ sium in generibus det. — D sit quam maxime parua. Ceterum inuentio talis numeri nulli dif¬ ficultati obnoxia est, si tentando adeaturj nam plerumque inter multitudinem considera bilem numerorum tentatorum pro totidem fere M in forma diuisorum continetur, ac in forma non diuisorum. Quare maxime e re erit, tentamen a 65 numeris art. 505 inchoare ( et quidem a maximis), et si eueniiet, vt nullus idoneus esset (quod tamen generaliter loquendo inter 16584 casus semel tantum accidit), ad alios progredi, vbi classes binae in singulis generibus continentur. ■ Tunc inuestigentur valores expr.y^ — D (mod* M ), et si qui inueniuntur, factores ipsius M prorsus eodem modo inde deducantur vt supra 5 si vero nulli valores prodeunt, adeoque — D est non residuum ipsius Af, certo M neque nume¬ rus primus neque numeri primi potestas esse poterit. Quodsi in hoc casu factores ipsi deside¬ rantur, vel eandem operationem repetere opor¬ tet, alios valores pro D accipiendo, vel ad me¬ thodum aliam confugere. \ |+^S — 591 — Ita e. g. tentamine facto 997351 contentus inuenitur in forma non diuisorum ipsorum xx 1848, xx -f 156; «j 0000 4- 1330, sed in forma usorum ipsius xx + 840; pro valoribus expr. — 840 (mod. 997331) prodeunt expr* ~h , vnde iidem factores deducuntur vt ante. Si quis plura exempla desiderat, art. 328 consulat, vbi primum docet esse 5428681 == 507.17683; secundum, 4272945 esse numerum primum; tertium, 997331 certe e pluribus pri¬ mis compositum esse* Ceterum limites huius operis praecipua tan¬ tum momenta vtriusque methodi factores inue- stigandi hic exsequi permiserunt; disquisitionem vberiorem vna cum pluribus tabulis auxiliaribus aliisque subsidiis aliae occasioni reseruamus. © Sectio Septima. DE AEQVATIONIBVS CIRCVLI SE¬ CTIONES DEFINIENTIBVS. 555* Inter incrementa splendidissima , ma¬ thesi per recentiorum labores adiecta, theoria functionum a circulo pendentium procul dubio locum imprimis insignem tenet. Cui mirabili quantitatum generi, ad quod in disquisitionibus maxime heterogeneis saepissime deferimur, cu¬ iusque subsidio nulla vniuersae matheseos pars carere potest, summi geometrae recentiores in¬ dustriam sagacitatemque suam tam assidue im¬ penderunt, disciplinam que tam vastam inde ef- formauerunt, vt parum exspectari potuisset, vl- lam huius theoriae partem, nedum elementarem atque in limine quasi positam, grauium adhuc incrementorum capacem esse. Lbquor de theo¬ ria functionum trigonometricarum , arcubus cum peripheria commensurabilibus respondentium, si- ue de theoria polygonorum regularium, cuius quam parua pars hucusque enucleata sit, sectio praesens patefaciet. Mirari possent lectores, ta¬ lem disquisitionem in hocce potissimum opere, disciplinae primo aspectu maxime heterogeneae imprimis dicato, institui 5 sed tractatio ipsa aburi- 595 de declarabit, quam intimo nexu hoc argumen tum cum arithmetica sublimiori coniunctum sit. Ceterum principia theoriae, quam expone¬ re aggredimur, multo latius patent, quam hic extenduntur. Namque non solum ad functiones circulares, sed pari successu ad multas alias functiones transscendentes applicari possunt, e. g. © © d-S/ ad eas quae ab integrali — pendent, praetereaque etiam ad varia congruentiarum ge¬ nera: sed quoniam de illis functionibus trahsscen- dentibus amplum opus peculiare paramus, de congruentiis autem in continuatione disquisitio¬ num arithmeticarum copiose tractabitur, hoc loco solas functiones circulares considerare visum est. Imo has quoque, quas summa generalitate am¬ plecti liceret, per subsidia in art. sq. expo¬ nenda ad casum simplicissimum reducemus, tum breuitati consulentes, tum vt principia plane no- ua huius thebriae eo facilius intelligantur. 536. Designando circuli peripheriam siue quatuor angulos rectos per P, supponendoque 771, tl esse integros, atque 72 productum e facto¬ ribus inter se primis b, c etc.: angulus A =3, mP — — per art. 3x0 sub hanc formam reduci potest (CC £ etc.) P, functionesque trigonometricae ipsi respondentes e functionibus ad partes ~ ~ etc. pertinentibus per metho¬ dos notas deducentur. Quoniam itaque pro a, b9 # etc. numeros primos aut numerorum primo- I 594 — ram potestates accipere licet: manifesto sufficit, sectionem circuli in partes, quarum multitudo est numerus primus aut primi potestas, conside¬ rare, polygonumque n laterum e polygonis b, c etc. laterum protinus habebitur. Attamen hoc loco disquisitionem ad eum casum restringemus, vbi circulus in partes diuidendus est, quarum multitudo est numerus primus (impar), sequenti praesertim ratione inducti. Constat, functiones circulares angulo — — respondentes e functioni- mP pp bus ad — — pertinentibus per solutionem aequa¬ tionis pu gradus deriuari, et perinde ex illis per aequationem aeque altam functiones ad — — per¬ tinentes etc., ita vt, si polygonum p laterum iarn habeatur, ad determinationem polygoni p * late¬ rum necessario solutio & — i aequationum pXx gradus requiratur. Etiamsi vero theoriam sequen¬ tem ad hunc quoque casum extendere liceret, tamen hac via non minus ad totidem aequatio¬ nes p*1 gradus delaberemur, quae ; siquidem p est numerus primus, ad inferiores deprimi nullo modo possunt. Ita e. g. infra ostendetur, po¬ lygonum 17 laterum geometrice construi posse: sed ad determinationem polygoni 289 laterum aequationem i?ml gradus nullo modo euitare licet. 557. Satis constat, functiones trigonometri- kP cas omnium angulorum , denotando per k in¬ definite omnes numeros o , 1 , a . . . n — 1 , per f I £95 radices aequationum nli gradus exprimi, puta si¬ nus per radices liuius (I) x 4 I n-a~ 3 ^ -4 i6 i.a 'n + etCo +_ 7ZJC T n. n - 4-n. — 5 n - 6. 64 I. *• 3 . X - Q cosinus ppr radices huius (II) xn ~nxn' + T( n-n - 3 6 I- 3 T n.n- A-n— 5 »; 6 4 X* ~sP S X -f etc. — n /2^ — i o denique tangentes per radices huius (III) o;" «-•»- 1 u i- » ' x + «.n— i;« — a.. n — 3 u — 4 x . ?r iT - 4 x 7n£ = Q — etc. HK Hae aequationes (quae, generaliter pro, quouis valore impari ipsius n valent, II vero pro pari quoque ) , ponendo n = 2m -f- 1 ? facile ad gra¬ dum 772tum deprimuntur* scilicet I . et III, diuiden- do partem a laeua per x et substituendo y pro xx. Aequatio II autem- manifesto radicem x ==£ i ( = cos o) implicat, et e reliquis binae sem- per aequales sunt (cos cos 2P COS (n-2)P P- n. cos ( n — i ) P •• n. etc. )* quare ipsius pars a n, n . laeua per x — . i diuisibilis, quotiensque quadra,- turn erit, cuius radicem quadratam extrahendo^ aequatio II reducitur ad hanc - ^ (/n — 1) xm~* — I (m — - 2) x* _.L _I_ m-a-m-3 ^“4 J_ _X_ m ' 3 • m - 4 m- 5 TT xs — i - - x -T 5» — • n O cuius radices- erunt epsinus angulorum 2-—\ "*:■ ° n 1 n 7 Pp & 59® n mP ~ v-fl n Vlteriores reductiones harum aequa¬ tionum, pro eo quidem casu vbi n est numerus primus, hactenus non habebantur. Attamen nulla harum aequationum tam tra¬ ctabilis et ad institutum nostrum tam idonea est, quam haec x " — »1 = 0, cuius radices cum radi¬ cibus illarum arctissime connexas esse constat. Scilicet, scribendo breuitatis caussa i pro quanti¬ tate imaginaria 1, radices aequationis xx — 1 = o exhibentur per cos ~ -f i sin -~ n n = r, vbi pro k accipiendi sunt omnes numeri o, 1, 2 ... n — 1. Quocirca quum sit ^ = kP . i kP cos — — i sin — , radices aequationis I exhibe- n n 7 u ) siue per i' 1- rr) radi- buntur per — (V — ■r 2i \ y / x 2 r ces aequationis II per f ( r + --) = h deni¬ que radices aequationis III per r ' 7 i( 1 - 2 r rr V 1 rr Hanc ob caussam disquisitionem considerationi aequa¬ tionis xn — 1 = 0 superstruemus, ipsum n esse numerum primum imparem supponendo. Ne ve¬ ro inuestigationum ordinem interrumpere opor¬ teat, sequens lemma hic praemittimus. 558. Problema. Data aequatione (W) . . . zm -f- AzP ~ 1 etc. = o , inuenire aequationem (W‘), cuius radices sint potestates xtae radicum aequationis ( W) , designante ^ exponentem inte - , grum posiituum datum . Soh Designatis radicibus aequationis, W perr, % b, c etc., radices aequ. Wt esse debebunt &A, bx ) cx etc. Per theorema notum Newtonia? num e coefficientibus aequ. W inuenire licet ag¬ gregata quarumlibet potestatum radicum a , Zj, c etc. Quaerantur itaque summae ax + bx -f- cx -}- etc. , -f bxX -j- cxX etc. etc. vsque ad anlX -f b™h + c™* + etc., vnde via inuersa per idem theorema coefficientes aequ. W* deduci poterunt. Q. E. F. Simul hinc liquet, si omnes coeffi¬ cientes in W sint rationales, omnes quoque in Wt rationales euadere. Alia quidem via probari potest, si illi omnes integri sint, etiam hos omnes integros fieri j huic autem theoremati , ad institutum nostrum non adeo necessario , hic non immoramur» 359* Aequatio xn — • i == o (in supposi¬ tione semper abhinc subintelligenda , m esse nu¬ merum primum imparem ) vnicam radicem rea- lem implicat, x = 15 n — . 1 reliquae, quas aequatio xn~x + + etc. + x -f 1 = o com¬ plectitur . omnes sunt imaginariae j harum comple¬ xum per a , functionem que x"~x -f + etc. + ^ + 1 per X denotabimus. Si itaque r est radix quaecunque ex £2, erit 1 =±. rn = r2" etc., et generaliter rm = 1 pro quouis valore integro ipsius £, positiuo seu negatiuo | hinc perspicuum est, si a5 sint integri secundum n congrui, fo¬ re rx = ru. Si vero a , fc see. mod. n incon* grui sunt» rx et inaequales erunt 5 in hoc enim casu integer v ita accipi potest vt fiat (a — v EE 1 (mod. n), vnde = r, adeo-: que rhMf* certo non s 1. Porro patet, quamuis pp 5 598 potestatem ipsius r etiam radicem aequ. . i = o esse? quocirca quum quantitates i (±= r° % i , rr . r 1 omnes sint dmersae, hae exhibebunt omnes radices aequ. x1 — i e= o, et proin hae /\ rr, r? . . . r1' 1 cum £> coincident. Facile hinc r?e generalius colligitur,, a conuenire cum re, , , »J3e r'\,-.r^~xr, si e sit integer quicunque per n non diuisibilis, positiuus Seu hegaliutis. Erit itaque A' = (.r — r°) (x — r3=) {x — r3' )...(> — rt«-i >•'), vnde re -f r3° -f r3e... -f i ? et l -f- r -f r^e ... -f- 0> Duas ra2* dices tales vt r et f C= r'"1), aut generali- ter rc et r~c reciprocas vocabimus; manifestum est, productum ex duobus factoribus simplicibus x — r et x — \ fieri reale = xx — - 2x cos -f i , ita vt angulus u vel angulo ~ vel alicui multiplo eius sit aequalis» # 54°* Quoniam itaque, vna radice ex £1 per r expressa, omnes radices aequ. xn — i = o per potestates ipsius r exprimuntur, productum, e pluribus racticibus huius aequ. quomodocumque conflatum, per rA exhiberi poterit, ita vt a sit vel o, vel positiuus et <1 n. Designando itaque per $ ( i , u , v . . . ) functionem algebraicam ra*- tionalem integram indeterminatarum t, u, v etc., qualem per summam talium partium ht^iftv7 . . fc exprimere licet: manifestum est, si pro t, u, i> ejtc. quaedam, e radicibus aequ. x* — i = o substituantur, puta t = a, u = h, v = c etc., cp ( <2 , b , c . . . ) sub formam A -f A‘r + A“rr -f* AluA ... + A9 r'~ r reduci posse, ita vt coefficien- tes A7 A* etc. (e quibus etiam aliqui deesse adeo* t i 599 que = o fieri possunt) sint quantitates determi¬ natae, insuperque omnes hos coeffieientes inte¬ gros fieri, si omnes coeffieientes determinati in

, c,..) -f

cum etc., insuperque valor pro t = i, u = i, v = i etc. manifesto fiat = o : summa p + p* + pu . . . -f- p* erit integer per n diuisibilis. Praeterea facile perspicietur, productum PP‘PU . » . fieri = Xx, adeoque pplp11 . . . = nx. Iam si omnes coefficientes in P rationales assent, omnes quoque in P‘7 P " etc. per art, 558 'S- rationales euaderentj per art. 42 autem cuncti hi coefficientes necessario forent integri. Hinc etiam p, p1, p 11 etc. omnes integri forent, quo¬ rum productum quum sit multitudo vero n — 1 a, necessario quidam ex ipsis (saltem n — 1 — a) esse debebunt = 1, reliqui vero ipsi n vel potestati ipsius n aequales. Quodsi itaque g ex ipsis sunt = 1, summa p + P' +• etc. manifesto erit EE g (mod. n ) adeoque certo per n non diuisibilis. Quare suppositio consiste¬ re nequit. II. Quando $ et 91 non quidem coincidunt, attamen quasdem radices communes continent, sit % harum complexus atque T = o aequatio cuius radices sunt. Tunc T erit diuisor commu¬ nis maximus functionum P, R (vt e theoria ae¬ quationum constat). Manifesto autem binae semper radices in Z reciprocae erunt, vnde per ante demonstrata omnes coefficientes in T ratio¬ nales esse nequeunt. Hoc vero certo eueniret, si omnes in P adeoque etiam omnes in R ratio¬ nales essent, vt e natura operationis, diuisorem comm. max. inuestigandi sponte sequitur. Quare suppositio est absurda. III. Quando et €> vel coincidunt, vel saltem radices communes implicant, prorsus eo¬ dem modo omnes coefficientes in Q rationales esse nequeunt j fierent vero rationales, si omnes in P rationales essent 5 hoc itaque est impossibile. IV. Si vero neque $ cum 3?,. neque £L cum €? vllam radicem communem habet, omnes Pp 5* 6o2 :• - ' / ' ' J " ,v . . radices necessario reperientur in @, omnesque 'sD, in di , vnde erit P == S et Q = R. Quam- obrem X = PQ erit productum ex P in ii, i. e. ex xA -b Axx~x . . . + Kx + L in X -f jx*"1 + j~ x 4* -j--) vnde statuendo x ==? i? nL = (i + A ... ■ f* K -f- P)b Iam si omnes coefficientes in P rationales, adeoque per art. 42- etiam integri essent, L qui coefficientem viti- mum in X i e vnitatem metiri deberet necessa¬ rio foret + 1, vnde + n esset numerus quadratus. Quod quum hypothesi repugnet, sup¬ positio consistere nequit Ex hoc itaque theoremate liquet, quomodo- cunque X in factores resoluatur, horum coefficien¬ tes partim saltem irrationales fieri, adeoque ali¬ ter, quam per aequationem eleuatam, determi¬ nari non posse» 542. Propositum disquisitionum sequenti¬ um, quod paucis declarauisse haud inutile erit, eo tendit, vt X in factores continuo plures grx- datim resoluatur, et quidem ita, vt horum coefficientes per aequationes ordinis quam, infi¬ mi determinentur, vsque dum hoc modo ad fa¬ ctores simplices siue ad radices n ipsas peruenia- tur. Scilicet ostendemus, si numerus n — - i quomodocunque in factores integros 6, y eta resoluatur ( pro quibus singulis numeros primos n — 1 accipere licet), X in a factpres — - dimensio- <& num res olui posse, quorum coefficientes per ae- quatioiiem gradus determinentur 5 singulos hGs factores iterum in 4 alios — — dimensionum ad- r «5 iumento aequationis Sli gradus etc.., ita vt desi¬ gnante v multitudinem factorum es, 6, y etc. in- uentio radicum & ad resolutionum t aequationum ttxi , •€ti , yxi etc. gradus reducatur. E. g. pro n =± 17, vbi n — J. = 2.2.2.25 quatuor aequationes quadraticas soluere oportebit, pro n = 75 tres quadraticas duasque cubicas. Quum in sequentibus persaepe tales potesta¬ tes radicis r considerandae sint, quarum expo¬ nentes rursus sunt dignitates, huiusmodi expres¬ siones autem non sine molestia typis describan¬ tur: ad facilitandam impressionem sequenti in po¬ sterum abbreuiatione vtemur. Pro r, rr , r? etc. scribemus [i], [2], [5] etc., generaliterque pro r*, denotante a integrum quemcunque, [x]. Ta¬ les itaque expressiones penitus determinatae non¬ dum sunt, sed fiunt, simulae pro r siue [1] ra¬ dix determinata ex n accipitur. Erunt itaque generaliter [a], [/.4] aequales vel inaequales, prout a, secundum modulum n congrui sunt vel incGngrui$ porro [0] = 15 ±= [X 4* /«]$ [*']' — summa [0] + [a] + [2a] .*• -f [(n — i)a] vel o vel prout a per /i. non di- uisibilis est vel diuisibilis* 545. Si, pro modulo tz, g est numerus ta¬ lis, qualem in sect. III radicem primitiuam dixi¬ mus, n — 1 numeri 1, g, gg,.’. g*^ his 1, 2, 5 • • • tl — ~ 1 secundum mod. /i congrui erunt, etsi alio ordine , puta quiuis numerus vnius seriei congruum habebit in altera. Hinc sponte sequi* tur, radices [i], [g], [gg ] .... [g^] cum a coincideref et prorsus simili modo generalius [a], l*g]r frgg\ r^] cum a coincident, designante a integrum quemcunque per n non diuisibilem. Porro quum sit gn~~x EE i (mod. 72), nullo negotio perspicietur, duas radices [>ga], E*'] identicas vel diuersas esse, prout *>., * se¬ cundum n — l congrui sint vel incongrui. Si itaque G est alia radix primitiua, radices [ l], [§■}'. . . [#*“*] etiam cum his [ i ], [G] ... [Gu“z] conuenient, si ad ordinem non respici¬ tur. Sed praeterea facile probatur, si e sit di- uisor ipsius n — i, atque ponatur n — i = ef[f ge — /z, Ge = H, etiam f numeros i, /z, hfp + . . hf~ 1 his i , H* ... Hf~~ 1 secundum n con¬ gruos esse (sine respectu ordinis). Supponamus enim G EE ga (mod. u) sitque u numerus arbi¬ trarius positiuus et hh] ... [a/z/-*] cum [a], [xHJy [ iEP- ] . • . [ \Hf~x ] conuenire. Aggregatum talium f radicum [a} T [a/z] -f> etc. + [a/z/-*]? quod, quum non mutetur accipiendo pro g aliam radi¬ cem primitiuam, tamquam independens a g con¬ siderandum est, per (/, a) designabimus , earun- dem radicum complexum vocabimus periodum (fi a), vbi ad radicum ordinem non respicitur*). — * In exhibenda tali periodo e re erit, singulas radices e quibus constat ad expressionem simpli¬ cissimam reducere, puta pro numeris a, 7, /i, a hh etc. residua minima sec. mod. n substituere, se¬ cundum quorum magnitudinem , si placet, etiam periodi partes ordinari poterunt. E. g. Pro n === ig, vbi 2 est radix primiti- ua, periodus (6, 1) constat e radicibus [ij, [8], [643, [512], {4096}, [527683, siue [i], [7], [83, [nj, [J2], [183- Similiter periodus (6, 2) con¬ stat ex .[2], [5], I5J, [14], [163, [173. Periodus (6, 5) cum praec. identica inuenitur. Periodus (6, 4) continet [4], [6], [9], [10], £15], [15]. \ 544. Circa huiusmodi periodos statim se offerunt obseruationes sequentes: I. Quum sit 'hh>i EE a.? 1 EE >h etc. (mod. n), manifestum est, ex iisdem Radicibus, e quibus constet (/, a), etiam constare (/, a/z), (/”, a hh) etc. } generaliter itaque designante [y§ radicem quamcunque ex (/, a), haec periodus cum (/, x/ ) omnino identica erit. Si itaque duae periodi ex aeque multis radicibus constan¬ tes (quales similes dicemus) vllam radicem com¬ munem habent, manifesto identicae erunt. Qua¬ re fieri nequit , vt duae radices in aliqua period® simul contineantur, in alia simili vero vna earum *> # ^ , tantum reperiatur j porro patet , si duae radices *) Aggregatum in sequentibus etiam periodi valorem numeri-. eum vocare liceat , aut simpliciter periodum , vbi -aanblgmtae '0 mm, .metuenda* JM> EV.] ad eandem periodum f terminorum pertineant, valorem expr, JL (mod. n) alicui po¬ testati ipsius h congruum esse, siue supponi posr se x1 ~E *grG (mod. n\ II. Si f = n ■— i, e =xs i , periodus (_/, l) manifesto cum n coincidit; in reliquis vero casibus £2 ex * periodis (/, i), (/, g),. gg.) ••.•(/?£* 1 J compositus erit. Hae periodi ita¬ que omnino inter se d iners a e erunt, patetque quamuis aliam similem periodum (/, a) cum ha¬ rum aliqua coincidere , siquidem [a] ad (l pertineat, i. e. si a per n non diuisibilis sit. Periodus ( j\ o) autem aut (jf, kn ) manifesto ex f vnitatibus est composita.. Aeque facile perspicitur, si a sit nu¬ merus quicunque per n non diuisibilis, etiam complexum e periodorum (/,*), (/, *g>, (f,*gg) ... (/, *gc~l) cum a conuenire. — Ita e. g. pro n — ig7 f == 6, n constat e tribus periodis ( 6 , i ) , (6,2), (6,4), ad quarum aliquam quaeuis alia similis, praeter (6, o), reducitur. III. Si n — i est productum e tribus nu¬ meris positiuis a , Z?, c, manifestum est, quarm «is periodum bc terminorum ex b periodis c ter¬ minorum compositam esse, puta (Z?c, a) ex (c, a), (c, Aga), (c, Ag*a), ... (£r,p^ab-a), vnde hae gub, illa contentae dicentur. Ita pro n = 19 periodus (6, 1) constat e tribus (2, 1), (2, 8), (a, 7), quarum prima continet radices r, r18 5 secunda r8, ru$ tertia r7, P*. 545. Theorema. Sint ( f , a), (/, ,«) -periodi similes , identicae aut diuersae , constet - tfue (/, a) e radicibus [a], [ A' ] , i>" J . etc. Tunc productum ex (fy x) in (/,,*) erit aggre¬ gatum f periodorum similium puta == (/, a 4 f*) + (/? *' + /») + (/,. V' 4 aO + == F7 Dem. Sit vt supra n — l == a/z) -f- [>AAJ . (/, a/z/z) -f etc* adeoque == [a + 7*] “F [aA 4" 7*] • • • + [A/z/'1 4 |u] 4 [a/z 4- kA] 4" [>/7/7 4 f*A] ... 4* [aA^ 4* rdi\ 4“ [aAA 4“ phh] 4“ [aA^ 4- (JiK\ ... 4“ [aA-F 1 4 phh\ etc. •quae expressio omnino ^/f radices continet. Quod* si hic singulae columnae verticales seorsim in summam colliguntur, manifesto prodit (/, a 4 4“ (/, aA 4 <*) ... 4" f /> a/F'1 4* A«), quam expres¬ sionem cum F7 conuenire nullo negotio perspi¬ citur , quum numeri a, a', a" etc. per hyp. ipsis, x-j aA, >hh . . . A/z/"1 secundum modulum n congrui esse debeant (quonam ordine hic nihil intarest), adeoque etiam a 4 f*, x> 4 a" 4 ^ etc. ipsis a 4 7*5 A/z 4 f6 5 a/z/z 4 7* • • • A/z/ ‘ 1 4 f*« Q* JS. ZX Huic theoremati adiungimus corollaria se¬ quentia i I. Designante k integrum quemeunque, pm„ ductum ex (/, Aa) in (/, hi) erit = (/, * U 4 fD) 4~ (/? A (A/ 4- t*)) 4 (/ 5 A (A" 4- f4) 4* et^. II. Quum singulae partes, e quibus FF constat, vel eum aggregato (/, o), quod est a=* 6og i - f, vel cum aliquo ex his (/, x)? (/> #)? ( f gg) *'‘(Age~iy conueniant, W ad formam sequen¬ tem reduci poterit W = af + b (/> 1 ) 4* b4 ( f9 g) + (/, gg i . 4" A*(/, ge~*), vbi coeffici- entes A) + 6' (/, Ag) ... + £*(/, Age~‘). — Ita e. g. pro 72 = i g productum ex aggregato (/6, i ) in se ipsum , siue quadratum huius aggregati fit = (6, 4- (6, 8) '+ (6, 9) + (6, ia) + (6, 15) + & 19) = 6 + *(6, 1) + (6, a) + 2(6,4). HI. Quum productum ex singulis partibus ipsius FF in periodum similem (/, >) ad formam analogam reduci possit, manifestum est, etiam productum e tribus periodis (/, *).(/, ,*)♦(/, *) per cf 4- d(f,g) ... -{- ^(/jg*6-1) exhiberi posse, et coefficientes c, d etc. integros ac positiuos (siue = o) euadere, insuperque pro valore quocunque integro ipsius A fieri (/, k\) . (/, A^) . (/, Av) = cf 4" d (/, A) 4" d4 (/, Ag) 4" etc. Perinde hoc theorema ad producta e periodis similibus quot- cunque extenditur, nihilque interest, siue hae periodi omnes diuersae sint, siue partim aut cunctae identicae. IV. Hinc colligitur, si in functione quacun¬ que algebraica rationali integra F =

), quaeuis alia similis pe¬ riodus (/, ^ ) , vhi etiam p per n non diui sibilis s supponitur , reduci poterit sub formam talem a -f> + ypp • • « + 6pe~1<) ita vt coejficieMes € ££& «n? quantitates determinatae rationales . Dem . Designentur ad ahbreuiaridum perio¬ di (/, *#)> (/, *££), (/, ) etc. vsque ad (/, Age “ 1 ) ? quarum multitudo est £ — 1, et cum quarum aliqua (/, *) necessario conuteniet, per p y, /?", py" etc. Habetur itaque statim aequatio o = X + p + p' + p“ -f* pu‘ etc. ... I); euol- qendo autem secundum praecepta art. praec. valo- res potestatum ipsius p vsque ad e — itam , e — , 2 aliae tales promanabunt: o = pp + A + ap -f a'p‘ + aup" + + etc. (II) o = p* -f- B -f- bp -f b‘p‘ -f b^p11 + bthpn> -f- etc. (III) o = p 4 f C f 9 -f c'/?y -f cy'nyy + c,i,p,,i -f etc. (IY) etc. vbi omnes coefficientes a, a 1 etc. B, b , b‘ etc. etc. erunt integri, atque, quod probe notandum est et ex art. praec. sponte sequitur, a a omnino independentes 5 i. e. eaedem aequationes eti iri¬ num valebunt, quicunque alius valor ipsi * tri¬ buatur; haec annotatio manifesto etiam ad aequ. I extenditur, si modo a per n non diuisibilis ac¬ cipiatur. — Supponamus (/, ^ =? p*y facillime — 6io — enim perspicietur, si (f, cum alia perio¬ do ex p", piU etc. couueniat, ratiocinia sequen¬ tibus prorsus analoga adhiberi posse. Quum multitudo aequationum X, XI, III etc. sit e — i, quantitates p" , p"' etc., quarum multitudo = e — per methodos notas inde eliminari pos¬ sunt, ita vt prodeat aequatio talis (Z; ab ipsis libera o = 2C -f 25/) -f (5pp etc. -f Wlpe*x + $lpf7 quod ita fieri poterit, vt omnes coefficientes 2f, 38... 92 sint integri atque certe non omnes = o. Iam si hic non est 91 = o, protinus liquet, p* inde ita vt in theoremate enunciatum est deter¬ minari. Superest itaque, vt demonstremus, 92 = o fieri non posse. Supponendo esse 92 = o, aequatio Z fit $ftpe~x -f etc. + ~$3p + = o, cui, quum vitra gradum e —■ ltl-m certo non ascendat, plures quam e — i valores diuersi ipsius p satisfacere neque¬ unt. At quum aequationes, e quibus Z deducta fuit, a \ sint independentes, liquet, etiam Z a a non pendere, siue locum habere, quicunque integer per n non diuisibilis pro a accipiatur. Quare aequ. Z satisfiet, cuicunque ex e aggre- gatis (/, i), (/, g), (/, gg) g-'-1) aequa- lis statuatur p, vnde sponte sequitur, haec aggre¬ gata omnia inaequalia esse non posse, sed ad minimum duo inter se aequalia esse debere. Contineat vnum e duobus talibus aggregatis ae¬ qualibus radices [£], [ ] , [£"] etc., alterum has (Vj, [«Q? etc., supponamusque (quod licet), omnes numeros etc., », «j#, etc. esse positiuos et <. n7 manifesto omnes etiam diuersi erunt, nullusque = o. Designetur functio + v ) . ' . ' ... / , • : . ,LX _ — 611 — » + x + etc* — x* — * x*' — x*“ — etc. , cuius terminus summus non vitra x"~ 1 ascendet, per T, pafetque fieri Y = o si statuatur x = [ i ] ; liinc Y implicabit factorem x — [ i ] , quem cum functione in praec. per X denotata commu¬ nem habebit; lioc vero absurdum esse facile mon¬ strari poterit. Si enim Y cum X vllum facto¬ rem communem haberet, diuisor communis ma¬ ximus functionum X, Y ( quem certo vsque ad, n — i dimensiones ascendere non posse iam inde patet, quod Y per x est diuisibilis ) , omnes coefficientes suos rationales haberet, vt e natura operationum, diuisorem communem maximum duarum talium functionum inuestigandi quarum coefficientes omnes sunt rationales, sponte sequi¬ tur. Sed in art. 541 ostendimus, X implicare non posse factorem pauciorum quam n — 1 dimensionum, cuius coefficientes omnes sint ra¬ tionales: quamobrem suppositio, esse 91 = 0, consistere nequit. Ex. Pro n — 19, / = 6, fit pp = 6 + Qp + P1 + 2/?"., vnde et ex o = 1 + p -f p1 -f- pu deducitur p* = 4 — /?/?, p" = — 5 — p + pp. Quare (6, 2) = 4 •- (6, 1)% (6, 4) = — 5 — (6, !) + (6, 3-)1; (6> 4) = 4 — (6, 2)S (6, 1) = — 5 — (6, 2) + (6, 2) *5 (6, 1) = 4 — (6, 4)S (6, 2) = _ 5 _ (6,4) + (6,4)=. 547. Theorema. Si F =r $(t, u, v...) est. functio inu ari ab ilis*) algebraica rationalis integra *) Functiones inuariabiles eas vocari constat, quibus omne* indeterminatae eodem modo insunt, siua clarius, quae non Qq a f indeterminatarum t, u, v etc. > atque substituendo pro his f radices in periodo (/, :x) contentas valor ipsius F per praecepta ari. 340 ad formam A -f- A'{ 1] 4- A“i 2] -f- etc. zn IV reducitur : radices quae in hac expressione ad eandem periodum quamcunque f terminorum pertinent co efficientes aequales habebunt . Dem. Sint [p], [q) duae radices ad vnam eandemque periodum pertinentes, supponantur- que p, q positiui et minores quam 72 ? ita vt de¬ monstrare oporteat, [p] et [q) in W eundem co- efficientem habere. Sit q EE pgte (mod. njj sint porro radices in (/, ?.) contentae [x ] , [V] , [x^] etc., vbl numeros x? V, *n etc. positiuos et minores quam n supponimus^ denique sint resi¬ dua minima positiua numerorum *g¥% 6 etc., secundum modulum n, haec ^ V1 etc-? quae manifesto cum numeris a, x', V' etc. iden- tici erunt, etsi ordine transposito. lam ex a it. 540 patet, 0 ( rg1' e , *‘gVe 9 ^r,gre ■...) = (I) reduci ad A + A'[gve] -h Ali[2gy*'\ + etc. aut ad A + A*[S\ + A>m etc. = ( PF1)} designando per 0, 8‘ etc. residua minima numerorum s’% 2/' etc. secundum modulum /2, vnde manifestum est, [q\ habere eundem coefficientem in {JVf) , quem [p] habeat in Sed nullo negotio perspicitur, ex euolutione expressionis (I) idem prouenire atque ex euolutione huius 4 ( u , ‘V1 etc.) quo¬ niam p 4E *gve ? A ~EE Agie etc. (mod. n ) 5 haec vero expressio idem producit ac haec 4 ( * , V4 mutantur, 'quomoflocunqiie indeterminatae inter se permu¬ tentur; cuiusmodi sunt e. g. summa omnium, productum «x omnibus , sumina productorum e binis etc, quoniam numeri A* etc. ordine tan¬ tum ab his Ay a', ?J‘ etc. discrepant, cuius in functione inuariabili nihil inter est. Hinc colligi¬ tur, FF omnino identicam fore cum JFy qua.nl- obrem radix [q] eundem coefficientem in W ha¬ bebit vt [p\ Q» E. Do Hinc manifestum est, W reduci posse sub formam A +■ a (/, i) + «'(/, g) + a" (f? gg). ... +- n'(/, ge~x) , ita vt coefficientes A', a ... a8 sint quantitates determinatae, quae insuper inte¬ gri erunt, si omnes coefficientes rationales in F sunt integri. — - Ita e. g. si' n =■. ig, / = 6, a = 1 , atque functio

, in (/, g), (/, gg) etc., quam¬ primum e aggregata (/, l), ( /, g), (/, gg) etc. innotuerunt, aut potius quamprimum vnum quod¬ cunque eorum inuentum est, quoniam per art. praec. ex vno omnia reliqua rationaliter dedu¬ cere licet. Quo pacto simul functio X in e fa¬ ctores f dimensionum resoluta habetur: produ¬ ctum enim e functionibus z , z', z" etc. manife¬ sto erit = X. Ex. Pro n = 19 summa omnium radicum in periodo ( 6, 1 ) est — ( 6, 1 ) == « 5 summa productorum e binis fit == 5 -j- (6, 1) -j- (6, 4) = £5 similiter summa productorum e ternis in- uenitur = 2 + 2 (6, 1) +(6, 2 ) = > 5 sum¬ ma productorum e quaternis — 5 -f- (6, 1) + (6, 4) = £5 summa productorum e quinis = (6, 1) = ty productum ex omnibus = 15 quare aequatio z = x6 — -j- Qx* — yx% -f- Sxx — tx -f 1 =0 omnes radices in ( 6, 1 ) contentas complectitur. Quodsi in coefficientibus «t, £, y etc. pro (6, 1), f 6, 2), (6, 4) resp. substituantur (6, 2), (6, 4), (6, 1.), prodibit aequatio z1 = o, quae radices in (6, 2) com¬ plectetur,* et si eadem commutatio hic denuo applicatur, habebitur aequatio z" = o, radices in (6, 4) complectens, producturnque zz'z" erit = X 349. Plerumque commodius est, praeser¬ tim quoties f est numerus magnus, coefficientes I £, y etc. secundum theorema Newtomanum & summis potestatum radicum deducere. Scilicet sponte patet, summam quadratorum, radicum in (y a ) contentarum esse ==* (/, 2* }, summam cuborum (/, 3A) etc. Scribendo itaque breui- tatis caussa pro (/, a ) , (/, 2A)? (/, 3* ) ,, etc. <7, qg qu etc. erit as = <7, 2^ ==? «<7 — q 3 y =a. % ~ “9* + qu etc., vbi producta e duabus perio¬ dis per art. 345 statim in summas periodorum sunt conuertenda. Ita in exemplo nostro, scri¬ bendo pro (6, 1 ), (6, 2 ), (6, 4) resp. p, p', p" hunt <7, qg quy qni7 , (/, — g) etc. siue (/, n — g), (f, n — 1 ) etc. Casus prior locum habet quando, f est par 7* posterior quando / impar 5 coefficiens, vltimus autem semper fit = 1. Fundam entunx huius rei innititur theoremati art. 79,* sed breui tatis caussa huic argumento non immoramur. 350. Theorema. Sit n, — 1 productum e tri~ , tus integris positiuis a, £ , y; constet periodus ( Zyr a) , quae est Cy terminorum , ex Q periodis minoribus y terminorum his (y, a), (y, a')? (y? A'') etc.j sup¬ ponamus que 5 sz m functione £ indeterminatarum >. ji- Q<14 ' I **■— ■ 616 — w militer affecta vt in art. praec . , puta in F ~ ( i, u, v .. . pro indeterminatis i, u, v etc. substituantur aggregata (■,, ), (y, v,, (y, y1) etc. resp ., eius va- lorem per praecepta art. praec , reduci ad A -f* a ( y* *) + g) ... + a<(y, #**■"«)' .... -f »f(A, {?’ ~ 1 ) — W. Tum dico , si F sit functio inUaria- bilis , eas periodos in IV, quae sub eadem periodo £y terminorum contentae sint , i e. generaliter tales ( y, §■'“) designante » integrum quemcun¬ que, coejfiaentes eosdem habituras esse. Dem. Quum periodus ( &y, *g*) identica sit cum hac (63,, *), minores hae (>, *g*), (>, (y, *"#*) etc., e quibus manifesto prior constat, necessario cum iis conuenient e quibus posterior constat, etsi alio ordine. Quodsi ita- quB, illis pro t, u, v etc. resp, substitutis, F in FVi transire supponilur, fV* coincidet cum JV. At per art. 547 erit JV‘ = A -f a(y, gK) + afy, + a\y,g“°),.. + a\y,gA f = A + «(>,«*) + «<(r, i) — + <2&(y ? §>*~ 1 ) ? quare quum haec expressio cum W conuenire debeat, coefficiens primus, secun¬ dus, tertius etc. in W (incipiendo ab a) neces¬ sario conueniet cum « + it0, * at0, & -f 5t0 etc., vnde nullo negotio concluditur, geileraliter coef- ficientes periodorum (y, gu), (y, g*^**), (y, gi*-*-*)". (y,gr“ qui sunt g + ltll% a, + f 4” itM, 2« F a + itus-.. vot + a + itn% inter se conuenire debere. Q. E. D. Hinc manifestum est, W reduci posse ad formam A + «(*y, 1 ) -f- «'(Cy, g) ••• + g*~ x), vbi omnes coefficientes A, a etc. integri erunt, si omnes coefficientes determinati in F sunt integri. Porro facile perspicietur, si postea pro indeterminatis in F substituantur £ periodi y terminorum in alia periodo terminorum puta in (£y, *k) contentae, quae manifesto erunt (y, aA), (y, a 'A j , (y, a"A) etc., valoremnnde pro¬ deuntem fore A + a(£y, A) + &'(®y> gk).., + Ceterum patet, theorema ad eum quoque casum extendi posse, vbi « — i , siue £y = n — 15 scilicet hic omnes coefficientes in W ae¬ quales erunt, vnde W reducetur sub formam A + tf(Cy? i> 551. Retentis itaque omnibus signis art. praec., manifestum est, singulos coefficientes ae¬ quationis, cuius radices sunt £ aggregata (y, a), (y, x'), (y, a") etc., sub formam talem A + tf(£y, 1) -j- ^(ty, 5*)... + tff(£y, g*"1) reduci posse , atque numeros A , # etc. omnes fieri inte¬ gros ?* aequationem autem, cuius radices sint £ periodi y terminorum in alia periodo (£y, Aa) contentae, ex illa deriuari, si vbique in coeffi- cientibus pro qualibet periodo (*y; ju) substitua¬ tur (by, k« . Si igitur * = 1, omnes £ pe¬ riodi y terminorum determinabuntur per aequa¬ tionem gradus, cuius singuli coefficientes sub formam A + a (£y, 1) rediguntur, adeoque sunt quantitates cognitae , quoniam (£y, 1) = (72 — 1,1) = — 1. Si vero 00 > 1, coeffi¬ cientes aequationis, cuius radices sunt omnes pe¬ riodi y terminorum in aliqua periodo data £y ter¬ minorum contentae, quantitates cognitae erunt, Qq. s 6i8 'X simulae valores numerici omnium « periodorum 6y terminorum innotuerunt. - — Ceterum calculus coefficientium harum aequationum saepe com¬ modius instituitur, praesertim quando £ non est valde paruus , si primo summae potestatum ra¬ dicum eruuntur, ac dein ex his per theorema Newtonianum coefficientes deducuntur, simili modo vt supra art. 549. I l ‘u. " ' Ex. I. Quaeritur pro n •=. 19 aequatio cuius radices sint aggregata (6, 1), (6, 2), (6, 4> Designando has radices per p , p', p 11 resp., et aequationem quaesitam per - — Axx + Bx — - C = o, fit A — p + p' + p", B = pp‘ 4- pp “ + p‘pn 5 C = pp'p“. Hinc A = (18, 1) = — 15 porro hpbetur pp' — p -f %p' -f 5 p", pp" = 2p + 3 P* 4- p", p'p“ = 5/7 4- p' 4“ 2PUy vnde == 6 (p 4" p' 4~ P") = 6 ( 18, 1 ) = — denique fit C = (p 4- 2p' 4- 3P'0 p" = 3 (.6, o) + n(p 4- Z7' + p") = 18 — 11 = 75 quare aequatio quaesita ;r? 4" ## — 6.r — 7 = 0. — - Vtendo methodo altera habemus p 4- p' + p" = — 15 pp = 6 4~ 3P 4~ P* 4“ 2 p", p'p' = 6 4* sp' 4“ p" 4“ 2p , p"p" =64- 2p" 4- p 4- 2p', vnde pp 4- p‘p' 4- p"p" === 18 4~ 5 (p 4“ p' 4 p") = 15? similiterque p? 4- p 4" p"? = 5^ 4~ 54 (p 4~ P1 4- p") = 2? hinc per theorema Newtonianum eadem aequatio deriuatur vt ante. II. Quaeritur pro n — 19 aequatio cuius radices sint aggregata (2,1), (2,7), (2,8). Quibus resp. per <7, <7', q“ designatis, muenitur q + q' + q“ — (6, l), qq‘ + qq " + q'q“ = (6, l) + (6, 4), qq‘q" = 2 + (6, 2), vnde, I retentis signis ex. praec., aequatio quaesita erit X7' — . pxx + ( p + Pl‘ ) X — 2 — p‘ — o. - ' Aequatio cuius radices sunt aggregata (2, 'a), (2, 5) , (2,5), sub (6,2) contenta, e praecedente deducitur, substituendo pro p, p', p" resp. p', p", p, eademque substitutione iterum facta, prodit ae¬ quatio , cuius radices sunt aggregata (2, 4 ) , (2, 6) , (2, 9) sub (6, 4) contenta. 552. Theoremata praecedentia cum conse¬ ctariis annexis praecipua totius theoriae momen¬ ta continent, modusque valores radicum Q. inue- niendi paucis iam tradi poterit. Ante omnia accipiendus est numerus g, qui pro modulo n sit radix primitiua , residuaque mini¬ ma potestatum ipsius g vsque ad gn~z secundum modulum n eruenda. Resoluatur n — 1 in facto¬ res , et quidem , si problema ad aequationes gradus quam infimi reducere lubet, in factores primos 5 sint hi (ordine prorsus arbitrario) £, y... ponatur que — — = 6y .. .. g = =2 y ... £ = b etc. Distribuantur omnes radices Xi in es periodos a terminorum 5 hae singulae rursus in £ periodos b terminorum 5 hae singulae de- nuo in y periodos etc. Quaeratur per art. 550 aequatio d B gradus cuius radices sint illa os aggregata a terminorum, quorum itaque valores per resolutionem huius aequationis innotescent. At hic difficultas oritur, quum incertum vi¬ deatur, cuinam radici aequationis ^ A ) quoduis aggregatum aequale statuendum sit, puta quae- / - — 620 - nam radix per ( a , i), quaenapi per (a, g) etc. denotari debeat: huic rei sequenti modo reme¬ dium afferri poterit. Per (n, i) designari pot¬ est radix quaecunque aequationis (A)j quum enim quaeuis radix huius aequ. sit aggregatum a radicum, ex O. , omninoque arbitrarium sit, quae¬ nam radix ex a per [ i j denotetur, manifesto supponere licebit, aliquam ex iis radicibus, e quibus radix quaecunque data aequ. (A) constat, per [1] exprimi, vnde illa radix aequ. (A) fietr (#, i;; radix [1] vero hinc nondum penitus de¬ terminatur, sed etiamnum prorsus arbitrarium seu indefinitum manet, quamnam radicem ex iis quae (<2, t) constituunt pro [1] adoptare veli¬ mus. Simulae vero («, 1) determinatum est, etiam omnia reliqua aggregata a terminorum rationaliter inde deduci poterunt (art. 546). Hinc simul patet, vnicam tantummodo radicem per huius resolutionem eruere oportere. — Pot¬ est etiam methodus sequens, minus directa, ad hunc finem adhiberi. Accipiatur pro [1]^ radix -1 • kP k P determinata, i. e* ponatur fil = cos - I- i sin — , v, L J n n 5 integro k ad lubitum electo, ita tamen vt per n non sit diuisibilis j quo facto etiam [2], [5] etc. radices determinatas indicabunt, vnde etiam ag-\ gregata (/2, 1), (<2, g) etc. quemtitates determh natas designabunt. Quibus e tabulis sinuum leui tantum calamo computatis, puta ea praecisione, vt quae maiore quaeue minora sint decidi possit, nul¬ lum dubium superesse poterit, quibusnam signis singulae radices aequ. (A) sint distinguendae. Quando hoc modo omnia # aggregata a ter¬ minorum innenta sunt, inuestigetur per art 550 1 621 aequatio ( B ) gradus, cuius radices sint £ ag¬ gregata b terminorum sub ( a , i ) contenta 3 co~ i efficientes huius aequationis omnes erunt quanti¬ tates cognitae» Quum adhuc arbitrarium sit, quaenam ex a = &b radicibus sub (<2, 1) con¬ tentis per [1] denotetur, quaelibet radix data aequ. (B) per (&, 1) exprimi poterit, quia na a* niiesto supponere licet, aliquam b radicum e qui¬ bus composita est per [1] denotari. Inuestigetur itaque vna radix quaecunque aequationis (B) per eius resolutionem , statuatur = ( fr, 1 ) , deriuen- turque inde per art. 346 omnia reliqua aggre¬ gata b terminorum. , Hoc modo simul calculi confirmationem nanciscimur, quum semper ea aggregata b terminorum, quae ad easdem perio¬ dos a terminorum pertinent, summas notas con¬ ficere debeant. — In quibusdam casibus aeque expeditum esse potest, « — 1 alias aequationes C** gradus eruere, quarum radices sint resp. sin¬ gula £ aggregata b terminorum in reliquis perio¬ dis a terminomnt, (<2, g) , £<2, gg ) etc. conten¬ ta, atque omnes radices tum harum aequationum tum aequationis B per resolutionem inuestigare: tunc vero simili modo vt supra adiumento tabu¬ lae sinuum decidere oportebit, quibusnam pe¬ riodis b terminorum singulae radices hoc modo prodeuntes aequales statui debeant. Ceterum ad hocce iudicium varia alia artificia adhiberi pos¬ sunt , quae hoc loco complete explicare non li¬ cet 3 vnurn tamen, pro eo casu vbi C = 2, quod imprimis vtilp est, ac per exempla breuius qham per praecepta declarari poterit, iit exempli® sequentibus cognoscere licebit. / 622 Postquam hoc modo valores omnium ag¬ gregatorum b terminorum inuenti sunt, prorsus simili -modo hinc per aequationum yu gradus omnia «Sy aggregata c terminorum determinari poterunt Scilicet vel vnam aequationem gra¬ dus cuius radices sint y aggregata c terminorum sub ( b7 i) contenta, per art. 550 eruere 5 per eius resolutionem vnam radicem quamcunque eli¬ cere / et = (c, 1) statuere, tandemque hinc per art. 546 omnia reliqua similia aggregata dedu¬ cere oportebit 5 vel simili modo omnino «S ae¬ quationes y*1 gradus euoluere, quarum radices sint resp. y aggregata c terminorum in singulis periodis b terminorum contenta, valores omni¬ um radicum omnium harum aequationum per resolutionem extrahere, tandemque ordinem ha¬ rum radicum - perinde vt supra adiumento tabu¬ lae sinuum, vel, pro y = 2 , per artificium in¬ fra in exemplis ostendendum determinare. Hoc modo pergendo, manifesto tandem 71 J omnia — — — aggregata ( terminorum habebun- tur$ euoluendo itaque per art. 548 aequationem C gradus, cuius radices sint £ radices ex Ll in (£, 1) contentae, huius coefficientes omnes erunt quantitates cognitae ; quodsi per resolutionem vna eius radix quaecunque elicitur, hanc — [1] Statuere licebit, omnesque reliquae radices XI per huius potestates habebuntur. Si magnis placet, etiam omnes radices illius aequationis per reso¬ lutionem emi, praetereaquae per solutionem — 1 aliarum aequationum C gradus, quae resp. omnes £ radices in singulis reliquis perio — ■ 625 — ■ dis £ terminorum contentas exhibent, omnes re¬ liquae radices a inueniri poterunt. Ceterum patet, simulae prima aequatio (A) soluta sit, siue simulae valores omnium * aggre¬ gatorum a terminorum habeantur, etiam resolu¬ tionem iunctior’s X in « factores a dimensio¬ num per art. 548 sponte haberi.; porroque post solutionem aequ. B , siue postquam valores omnium «£ aggregatorum b terminorum inuenti sint, singulos illos factores iterum in £, siue X in factores b dimensionum resolui etc. 553. Exemplum primum pro n = 19. Quum hic fiat n — 1 = 3.5.2, inuentio radi¬ cum £1 ad solutionem duarum aequationum cu¬ bicarum vniusque quadraticae est reducenda. Hoc exemplum eo facilius intelligetur, quod operationes necessariae ad maximam partem in praecedentibus iam sunt contentae* Accipiendo pro radice primitiua g numerum 2, residua mi¬ nima eius potestatum haec prodeunt (exponen¬ tes potestatum in serie prima residuis sunt su- pr ascripti ). O.I.2.5. 4, 5.6. 7.8. 9.10.11.12.13.14.15.16.17 1.2.4.8.16.13.7.14.9.18.17.15.11. 3. 6.12. 5.10 Hinc per artt. 344, 345 facile deducitur di¬ stributio sequens omnium radicum ii in tres pe¬ riodos senorum, harum que singularum in ternas* binorum terminorum: 624 (6, i) ii = (i8?i) < (6,2) (6,4) ‘(2, i).. (2, 8).. • ( 2 ? 7) *• (2, a),; (2, 16).. (2, 14).. 7», 4)- (2, 13) •• C 2 , 9 ) * • ri],[i8] [8]', [i'ij [7]? [12] MJ17] [3l?[i6] l5li [Hi M , [15] [6] 5 [15] f9]? [10] Aequatio (^f), cuius radices sunt aggregata ( 6, 1 ) , ( 6, 2 ) , (6,4;, inuenitur .x* + a;:r — 6x — 7 = 0, cuius vna radix emitur ?ss 1,2218761623. Hanc per (6, 1) exprimendo fit (6, 2) = 4 — (6, i)* == 2,5070186441, (6, 4) = — 5 — (6, 1) + (6y 1 )* ==z. — 2,2851434818- Hinc X in tres factores 6 di¬ mensionum resoluta erit, si lii valores in art. 548 substituuntur* Aequatio (.S), cuius radices sunt aggrega¬ ta (2, 1), (2, 7), (2, 8), prodit haec x3 — (6 1) ^ + ((6, 1) + (6, 4)) x — fi — (6, fi) = o siue a:3 -f 1,2218761623^ - 4,5070186441 = o 5,5070186441^ — cuius vna radix elicitur — 1,3545651455, quam per (2, 1) exprimemus* Per methodum art 346 autem inueniuntur aequationes sequentes, vbi breuitatis caussa <7 pro (2, 1) scribitur: (2, 2) =. qq — 2, (a, 5) = 9’ — 39, (2, 4) = 94 — 499 + a, (2, g) = 95 — 59J + 5 9, (3, 6) = 1 625 6 0> 8) r (2> 7) — 97 — 79r : <7" — . 8<7> -f 207+ — • T - 149^ 1679 + 2, (2, 9) = q° — 99 7 + 279r 509* + 9*7. Commodius quam per praecepta art 546 hae aequationes in casu praesenti per reflexiones sequentes euolui possunt. Supponen- kP . . . kP cos do [1] = 18 kP cos - - - 19 adeoque (2, 1) 19 + i sin neraliter [*] =t cos + i sin 18 kP __ 19 ~ — 2C0S ikP 19 COS kP , fit [18] = kP . . kP — — 1 sm — , 19 19» (2, x) = >,kP acos — . 19 == 2COS2^? (2, 3) 19- + M + [18*] = I9 , i sin nec non ?,kP I9 M + [ ge- adeoque *3 = Quare si \q COS w etc. r erit (2. 2) vnde per ae¬ quationes notas pro cosinubus angulorum multi¬ plicium eaedem formulae vt supra deriuantun _ lam ex liis formulis valores numerici sequentes eliciuntur : (2.2) = (2.3) = (3-. 4) = 0,1651586909 1,5782810188 1,9727226o68 ^0958963162 (2,6)== 0,4909709745 (&,?) = - 1,7589475024 (2.8) = 1,8916344834 (2.9) = - 0,8033908495 Valores ipsorum (2, 7), (2, 8) etiam ex ae¬ quatione (2g, cuius duae reliquae radices sunt, elici possunt, dubium que, vtrct harum radicum fiat (2, 7) et vtra (2, 8), vel per calculum approximatum secundum formulas praecc., vel per tabulas sinuum tolletur , quae obiter tantum consultae ostendunt, fieri (2, 1) = 2cos« po- Kr — ften^O » == ■~P, vnde fieri oportet (2, 7) =ar scos ~P = acos — P, et (2. 8) =^. scos — P s= 2C0S— - P. — Similiter aggregata (2, 2), (2. 19 6)? (3? 5) etiam per aequationem .r> — (6, 2) xjc -f* ((6, 1) + (6, 2)) a; — 2 — (6, 4) = o, cuius radices sunt, inuenire licet, incerti- tudoque, quaenam radices illis aggregatis resp* aequales statuendae sint, prorsus eodem modo remonebitur, vt ante 5 et perinde edam ag- gregata ( a, 4), (s, 6), ( 2, 9) per aequadonem x* — (6, 4) xx -f ((6, 2) 4- (6, 4))^ — . 2 . ( 6, 1) = o elici poterunt. Denique [1] et [18] sunt radices aequatio-* nis xx — (2, i)x -f 1 = o, quarum altera fit = 1(2,' 1) + i>f(i — \(2, i)1) = 1(2, 1) + i\T(\ ~ altera = \ ( 2, 1) — V"(S"- 5 0, fl)), hinc valores numerici =3 — 0,67728157!^ +. 0,75572591072. Sedecim radices reliquae vel ex euolutione potestatum vtriusuis harum radicum, vel e solutione octo aliarum similium aequationum deduci possunt, vbi in methodo posteriori vel per tabulas sinuum vel per artificium in ex. sq. explicandum decidi debebit, pro vtra radice parti imaginariae signum positiuum et pro vtra negatiuum praefi¬ gendum sit. Hoc modo inuenti sunt valores sequentes, vbi signum superius radici priori; inferius posteriori respondere supponitur* |i] et [18] — — 0,6772816716 ± 0,7557259107^ [2] et [17] = — o,o825795455 + 0,99658449301 [5] et [16] = 0,7891405094 + 0,61421271271 [4] et fi5j == — 0,9863613034 ± 0,164594590^' [5] et [14] = 0,5469481581 + 0,83716647831 [6] et [13] = 0,2454854871 ± 0,96940026591' [7] et [12] = — o,87947375i3 + #-75 94759301 [8j et [11] = 0,9458173417 + 0)3246994693^ [9] et [10] = — 0,4016954247 Hh 0,91577332671 554. Exemplum secundum pro n = 17. Hic habetur n — 1 = 2.2. 2.2, quamobrem cal¬ culus radicum £1 ad quatuor aequationes quadra- ticas reducendus erit. Pro radice primitiua hic accipiemus numerum 3, cuius potestates residua minima sequentia secundum modulum 1 7 sup¬ peditant; 0.1.2. 3. 4.5. 6. 7. 8. 9,1 o. 1 1.1 2.1 3.1 4.1 5 1.3:9.10,13.5.15.11.16.14. 8. 7. 4.12. 2. 6 Hinc emergunt distributiones sequentes com¬ plexus O in periodos duas octonorum, quatuor quaternorum, octo, binorum terminorum; ,3/(3) 1) •••[!]) [16] VT? ) V ( <•> 1 rr > i A 1 f 1 ^ 1 a zzz (16, t) Ca -rnM ’ J *** L/ J > L J Rr & \ 6a8 Aequatio (^f), cuius radices sunt aggregata (8y x)7 (8j 5), per praecepta art 551 inUeni- tur haec xx + x — » 4 = 05 huius radices com¬ putantur — i + 'I/' : 17 = 1,5^15528128, et — i — IsT *7 = — 2,5615528128^ priorem sta¬ tuemus = (8y i), vnde necessario posterior po*- tlenda erit = (8, 5)» Porro aequatio, cuius radices sunt aggregata (4> 1) et (4? 9), eruitur haec (£): xx — (8y 1) x — 1 = o; huius radices sunt 1(8, 1) ±l\ ru + (8, i)*) = 1(8, i) ± bf (ia + 5(8, I ) + 4(8, 5) ? eam in qua quantitati radicali signum positiuum tribuitur, et cuius va- lor numericus est 2,0494811 777 y statuemus == ( 4 7 1 ) i vnde sponte altera y vbi quantitas radica- lis negatiue sumitur et cuius valor est — 0,4879285649 y per (4, 9) exprimi debebit* Aggregata autem reliqua quatuor terminorum, puta (4, 5) et (4, 10) duplici modo indagari possunt* Scilicet primo per methodum art. 546, quae formulas sequentes suppeditat, vbi ad ab- breuiandum pro (4, 1) scribitur pi (4, 5) == — | + 5P — “ lp% == 0,3441507514 (4, 10) == | -f 2p — pp-~lpi — — 2,9057055442 Eadem methodus etiam hanc formulam largitur (4, 9) 1 — 6p + pp + fi.} vn¬ de valor idem elicitur quem ante tradidimus. Secundo vero aggregata (4, 5), (4, 10) etiam per resolutionem aequationis cuius radices sunt determinare licet, quae aequatio fit xx — (8, 5)« i k e* vnde eius radices sunt i(8, 5) §2Q ±- I/X4 + (8, siue 1(8, 5) + !'/*(!« + 4(8, 1) + 5(8, 3)) et s'/'(8, 3) — iV~ ( 12 + 4(8, 1) + 5(8, 3)); dubium vero, vtram radicem per (4, 5) et vtram per (4, xo) ex- primere oporteat , per artificium sequens cuius mentionem in art. 552 inierimus tolletur* Euol- tiatur productum ex (4, 1) — (4, 9) in (4, 3) { 4, xo), vnde emergere inuenietur 2(8, x) __ 2(8, 5)*) j iam huius expressionis valor manifesto est positiuus puta ==;. -{- 23/^17 , prae- tereaque etiam producti factor primus (4, r) (4, 9) positiuus est puta — + \J~ (] 2 + 3(8, 1) + 4(8, 3)), quare necessario etiam alter factor (4, 5) — (4, 10) positiuus esse debebit, et proin (4, 5) radici priori in qua signunt positiuum radicali praefigitur, et C4, 10.) poste¬ riori aequale statui. Ceterum hinc jidem Tai 0® res numerici deriuantur vt supra.. Cunctis aggragatis quatuor terminorum inr, uentis progredimur ad aggregata duorum termi¬ norum, Aequatio (C), cuius radices sunt haec (2, x), (2, 13), sub (4, 1) contenta, eruitur haec xx r— (4, 1 ) x + (4, 5 ) === 05 huius ra¬ dices sunt |(4, x) Hh liA-- 4 (4? 5) + (4? x)z) siue |(4, ij ,+ (4 + (4?9) 2(h 5))>\ eam vbi quantitas radicalis positiue sumitur et cuius valor feperitur === 1,8649444588, statuimus = (2, t), *) Vera indoles huius artificii in eo consistit , quod a priori praeuideri poterat, hocce productum euolutum aggregata quatuor terminorum non continere sed per sola aggregata octo terminorum exhiberi posse, cuius rei rationem hic breuitativ caussa praetereundam periti facillime deprehen¬ dent, Rr 5 vnde (2, 15) aequale fiet alteri, cuius valor 5= 0,1-845367189. — Si aggregata reliqua duorum terminorum per methodum art. 546 inuestigare placet , pro (2, 2), (2,5), (2,4,), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8) eaedem formulae adhiberi poterunt, quae in ex. prae e. pro quantitatibus si¬ militer disig natis tradidimus, puta (2, 2), ( si¬ ne (2, 15 ) )> = (2, I ) 1 — 2 etc. Si vero magis arridet, binas per resolutionem aequationis quadraticae computare, pro his (2, 9), (2, 15) inuenitur aequatio xx . — (4, 9 ) x + (4? Io) === o, cuius radices euoluuntur §(4, 9) 4 ( 4 4 (4, 15.)) 5 quo pacto vero signum am¬ biguum hic definire oporteat, simili modo deci¬ detur vt supra. Scilicet per euolutionem producti (2, i) (2, 13) in (2, 9) — (2, 15) pro¬ ducitur — , (4, 1) + (4, 9) — (4, 3) 4 -(4* 10)4 quod quum manifesto sit negatiuum, factor (2, 1) — (2, 15) vero positiuus, necessario (2, 9) _ (2, 15) negatiuus esse debebit, quocirca in expressione ante data signum superius positi- uum pro (2, 15), pro (2, 9) inferius negatiuum. adoptandum erit. Hinc computatur (2, 9) z=s — 1, ?65946i994, (2,1.15} = 1,4780178544. — - Perinde quum ex eublutione producti ex ( 2, I) — (2, 15) in (2, 3) — (3, 5) prodeat (4, 9) (4, 10), adeoque quantitas positiua, factorem (2, 3) — . ( 2, 5 ) positiuum esse concludimus j hinc simili calculo vt ante instituto inuenitur (2, 5) ~ 1(4 5 5) 4 i\/*(4 4 (4? 10) 2- (4? 9)) ~ o,8 9 1 47 6 7 1 1 6 a : - - - ' . - : 1 (2, 5) = 1(4, 5) — iv^(4 + (4> -fo) — 3 (4, 9)) = — 0,5475259801 Denique per operationes omnino analogas eru¬ itur (2, .io) = I (4, 10) — \\T (4 + (4? 5) ‘ — 2 (4? 1)) = — 1,7004542715 (2, 11) = 1(4, 10) 4- |vf(4 + (4? 5) — ' 2 (4? 1)) = — 1,2052692728 Superest vt ad radices & ipsas descendamus» Aequatio (D) cuius radices sunt [1] et [16] pro¬ dit xx — (2, 1) x + 1 = o, vnde radices 4(2, 1) ± iV~((2, i)5" — 4) aut potius iV"(2? D ±zV~(4~~ (2, i)x) siue 1(2,1) +5zyr(».— (2, 1 5)) 5 signum fsuperius pro [ij, inferius pro [16] adoptamus. Quatuordecim reliquae radices vel per potestates ipsius [1] habebuntur 5 vel per resolutionem septem aequationum quadratica- rum, quae singulae binas exhibent, vbi incerti- tudo de signis quantitatum radicalium per idem artificium tolli poterit vt in praecedentibus. Ita [4] et [15] sunt radices aequationis xx — ( % 15) x 4- 1 = o, adeoque 1(2, 15) + liyr( & _ (2, 9)) 5 per e uolutionem producti ex [1] — * [16] in [4] — [15] autem prodit (2, 5) — (2, 5), adeoque quantitas realis negatiua , quare quum [1] _ [16] sit 4- fvT(2 (2, 15)), b e. productum ex imaginaria f in realem positiuam , etiam .[4] - — [13] esse debet productum ex i in realem positiuam propter ii = — 1 } hinc colligitur, pro [4] signum superius, pro [15] inferius acci¬ piendum esse. Simili modo pro radicibus [8] et [9] inuenitur j( 2, 9) rh §zV**(a — ( 2, 1))? quoniam productum ex [1] — - [16] in [8] [9] fit (2, 9) — (2, 10; adeoque negatiuum, I\r 4 pro [8] signum superius, pro [9] inferius acci¬ pere oportet. Computando perinde radices reli¬ quas, sequentes valores numericos obtinemus, vbi radicibus prioribus signa superiora, posterioribus inferiora respondere sublnteliigendum est: 0,9524732294 + 0,56125166622 0,7590089175 ± 6,67 569564562 °>4457335558 ± 0,89516529141' 0,0922685595 ± 0,99575417651 0,2756629901 + 0,96182564522 0,6026546564 + 0,79801722752 0,8502171557 + 0,52645216292 o?982975°997 ± o,i857495i7d?‘ ■ : ' - ' ■ ^ / ; ' , ' - ; v _ Possent quidem ea quae in praecc, sunt tra¬ dita ad solutionem aequationis ;ru , — i = o adeo que etiam ad inuentionem functionum tri- gonometricarum arcubus cum peripheria com¬ mensurabilibus respondentium sufficere: attamen, propter rei grauitatem, finem huic disquisitioni imponere non possumus, quin antea ex magna copia quum obseruationum hoc argumentum il¬ lustrantium tum positionum ei affinium vel inde pendentium quaedam hic annectamus. Inter quae talia potissimum eligemus, quae sine magno aliarum disquisitionum apparatu absolues re licet, alite rque ea considerari nolimus quam vt specimina huius amplissimae doctrinae, in posterum copiose pertractandae. 7 [15] ••• ? [14] ••• [1], [16]... 2_ 5". 4] , [13] — 5] , [12] ;6], [11] .7), [10] — [8J, { 9] - f i — 655 — 555. Quum n semper supponatur impar, erit 2 inter factores ipsius n — 1, complexus¬ que ex f ( /z — 1) periodis duorum termino¬ rum formatus. Talis periodus, vi (2, a), e ra¬ dicibus [a] et constabit, denotante g vt supra radicem primjtiuam quamcunque pro modulo 71. Sed fit g^n~ ^ Er -r. i (mod. n) adeoque AgiC^**1) EE — a (V. art. 62 }, vnde M ■ 1) ] 'EE [ — a ]. Quare supponendo [>,] = kP kP h P cos — + i sin — - , et proin [ a ] = cos — ■ Tl fl ff/ kP . kP i sin — , fit aggregatum ( 2, a ) === 2cos — - . Vnde hoc loco hanc tantummodo conclusionem deducimus, valorem cuiusuis aggregati duorum terminorum esse quantitatem realem. Quum quaeuis periodus, cuius terminorum multitudo par = 2«, in a periodos binorum terminorum discerpi possit, patet generalius, yalorem cuius¬ uis aggregati cuius terminorum multitudo par semper esse quantitatem realem. Quodsi itaque in art, 552 inter factores C, y elc, binarius ad vltimum locum reseruatur , omnes operationes vsquedum ad aggregata duorum terminorum peruetiiatur per quantitates reales absoluentur, imaginariaeque tunc demum introducentur, quan¬ do ab his aggregatis ad radices ipsas progre* dieris. 556. Summam attentionem merentur ae¬ quationes auxiliares, per quas prq quolibet va~ lore ipsius n aggregata complexum P. consti¬ tuentia determinantur, quae mirum in modum cum proprietatibus maxime reconditis numeri n Rrg 6 34 connexae sunt. Hoc vero loco disquisitionem ad duos casus sequentes restringemus: primo de aequatione quadratica cuius radices sunt aggre¬ gata | (n — i) terminorum, secundo , pro eo casu vbi n — i factorem 5 implicat, de cubica cuius radices sunt aggregata f \n — 1) termi¬ norum agemus. Scribendo breuitatis caussa m pro \(n — 1) et designando per g radicem primitiuam quam¬ cunque pro modulo n1 complexus a e duabus periodis ( m , 1 ) et { m, g) constabit, continebit- que prior radices [i], [gg], [§<*] ... po¬ sterior has (g], [g3], [gf] . . . [g-"'*]- Supponen- do residua minima positiua. numerorum gg, secundum modulum n esse, ordine arbitrario, it, R R 11 etc.$ nec non residua ho¬ rum g , g* , g5 . ..g"”2, haec JV, N1 , N" etc.? radices e quibus ( m , 1) constat conuenient cum his [1], [R-], [il'] , [ii"] etc., radicesque periodi (m, g) cum his [7V], [N1], [iV"] etc. Iam patet, omnes numeros 1, R, R R" etc. esse residua quadratica numeri n , et quum omnes diuersi ipsoque n minores sint ipsorumque mul¬ titudo = | ( n — 1) adeoque multitudini cun¬ ctorum residuorum positiuorum ipsius n infra n aequalis, haec residua cum illis numeris omnino conuenient. Hinc sponte sequitur, omnes nu¬ meros N, N{, N11 etc», qui tum inter se tum ab ipsis 1 , R, R1 etc. diuersi sunt, et cum his simul sumti omnes numtros 1, 2, 5 , . . n — 1 exhauriunt, eum omnibus non residuis quadra- ticis positiuis ipsius n infra n conuenire debere, Quodsi iam supponitur, aequationem cuius ra- / dices sunt aggregata (m, i), (m, g ) esse 'xx Ax + B = o, fit ^ =. (m + i)-{- (m.y g) = — i, 5 = (772 9 i) x(m, g)* Productum ex (/72, i), in (//2, #) per art. 545 fit = O, JSf ' - j- 1) + (/72, iV' + I) "f1 ^m’} + 1 ) Hh etc. = /F, atque hinc reducetur sub formam talem «<.(772, o) 4” €(772, 1) 4* y (mj 'gy Ad determinationem coefficientium *t, €, 5/ obser- uamus , primo , fieri «4" *“ 4“ "/ = m ( scilicet quoniam multitudo aggregatorum in W est = m), secundo , esse £ = y (hoc sequitur ex art, 550 quum productum (772, i) X (772, g-) sit functio inuciriabilis aggregatorum (772, I), (772, g-), e quibus aggregatum maius (72 — - 1 , 1 ) compo¬ situm' est) > tertio , quum omnes numeri N + 1? JV> + 1, iV" 4" 1 etc* infra limites 2 et 72 + 1 exci, contineantur, manifestum est, nullum aggregatum in W ad (72, o) reduci adeoque„ esse a = o, quando inter numeros N, Nr? N" etc. non occurrat n — r, vnum puta (772, 22), et proin haberi <* = 1, quando n — 1 in¬ ter numeros N, N ', N'.‘ etc. reperiatur. Hinc colligitur, in casu priori fieri ot, = o, C = y s= |7?2, in posteriori a = I, £ === y =5' |(tt2 _ _ _ 1), simul hinc sequitur, quum numeri 6 et y necessario fiant integri, casum priorem locum habere, siue n — 1 (aut quod idem est — 1) inter non residua ipsius n non reperiri, quando m sit par siue n formae 4/c 4” 1 5 casum poste¬ riorem vero adesse , siue n — 1 aut — * 1 inter non residua ipsius n reperiri, quoties m sit impar siue n formae 4 k + 5 *). Hinc productum *) Jfoc modo na.cti sumus demonstrationem nouani theorema¬ tis, — — 1 esse residuum omnium jiumerorum primorum J 656 quaesitum fit, propter (m, o) === m, (m, 1) -f (m, g ) = — 1, in casu priori = — | m, in posteriori = § ( m -f* 1 ) , adeoque aequatio quaesita in illo casu xx -f x _ _ } ( n 1 ) = o, cuius radices sunt — J + h°c vero jur -f jr -j-Kft ■+ 1) = 0, cuius radices — I ± I */»• Quaecunque itaque radix ex n pro [1] ado¬ ptata est, differentia inter summas t [01] et 2 [9£], vbi pro omnia residua pro 91 omnia non residua quadratica positiua ipsius n infra n substituenda sunt, erit '= 4; yOi, pro n EE 1, et 4=: +_ i*f n , pro n — 5 (mod. 4)* Nec Aon hinc facile sequitur, denotante /c integrum quem- Cunque per n non diuisibilem, fieri X cos + /« et X sin 2 sin — — == o pro n xx 1 (mod. 4); contra pro n zx. 5 (mod, 4) differentiam illam === o, hanc 5= + sTn, quae theoremata propter ele¬ gantiam suam valde sunt memorabilia, Cete¬ rum obseruamus, signa superiora semper valere quando pro k accipiatur vnitas aut generalius re¬ siduum quadraticum ipsius inferiora quando pro k non residuum assumatur, nec non haecce theoremata salua vel potius aucta elegantia sua formae \k l f non residuum omnium formae 4 k ~h 3, quod supra ( art. 108, IO9, 262) iam pluribus mo¬ dis diuersis comprobatum fuit. Si magis arridet , Hoc theo¬ rema supponere , non necessarium erit ad distinctionem dudruiH casum diuersorum eius conditionis rationem habere, quod C) y iam per se fiunt integri, — 63 7 — etiam ad valores quosuis compositos ipsius n ex¬ tendi posse: sed de his rebus quae altioris sunt indaginis hoc loco tacere earumque consideratio¬ nem ad aliam occasionem nobis reseruare oportet. 55 7« Sit aequatio mn gradus, cuius radices sunt m radices in periodo (m, i) contentae haec xm _ axm ~ c + bxia^z — * etc. t=s o siue z =a o, eritque a = (m, i), singulique reliqui coefficientes b etc. sub forma tali ‘It -f i) + 6fm,. g) com¬ prehensi, ita vt 2t, §3, (5 sint integri (art. 548)5 denotandoque per z' functionem, in quam z transit , si pro ( ra , 1 ) vbique substituitur ( m , g), pro (m, g) vero (m, gg) siue quod idem est (m, l), radices aequationis z1 s=» o erunt radi¬ ces in (m, g) contentae, productumqne zz‘ = — — X Potest itaque z ad formam talem R -f S(rn, 1) + T(m , g ) reduci, vbi ii, S, T erunt functiones integrae ipsius r, quarum omnes coefficientes etiam integri erunt 5 quo facto habebitur z* == R -f- g) -f 2\ m , i). Hinc fit scribendo breuitatis caussa p et q pro ( my i) et (m, g) resp., 2£ =2 aii -f (5*+ T) (p + <7) ^ (T<— S) ( p ~~ q) == 2R — S — T — (T (/? <7) similiterque 2z' = 2R ~~ S — Z* + ( 71 — . 6") ( /? ■— * <7), vnde ponendo aii — «S* — r = r,;T-~ s == z, ht 4x == rr — (P _ q)1ZZ1 adeoque quum (/y <7)* = + n:, 4X == fT 4 rcZZ, signo superiori valente quando n est formae 4/s -f 1 ? inferiori quando n formae 4^ + 5’ Hoc est theorema, cuius demonstra¬ tionem supra (art. 124) polliciti sumus. Ter¬ minos duos summos functionis Y semper fieri l / <6* ' . " v\ — 658 — 24“ *f zm~l§ summnmque functionis Z, facile perspicietur 5 coefficientes reliqui autem, qui manifesto omnes erunt integri, variant pro diuersa indole numeri n , nec formulae analyti- cae generali subiici possunt. Ex. Pro n = 1 7 aequatio cuius radices sunt octo adices in (8^1) contentae per praecepta art, 548 eruitur x* — px7 4- (4 +p + zq) x6 — (4 p + 5c/)xf + (6 + 5P + 59)x4 **- (4 P + 390^ + (4 + P 4 2q)xx — px 4 1 =0, vnde R = 4 4^r5 4 6-£4 4 ^xx -f 1, 6* = — x7 4 xr> «— 4- 5#4 — 4^3 4 xx — xy T ~ 2x6 — 5%r "h 6X v — 5^3 4 23^ ? atque hinc Y =2 2^* 4 yr7 4 5^s “f 7^*74 -4^4 4 ?x* 4 4 x 4* 2 , Z = x7 -f x6 4 x5 4 4 4* ## -f x. Ecce adhuc alia quaedam exempla: n y Z 5 2X 4 1 1 5 4“ X 4 2 rv 7 2X3 4- XX ~~ X — 2 /V»V «-4— /v» | «V 1 1 2X5 4- — - 2X3 4* 4- x X ■ — ~ a; — • 2 15 2&-6 4” — 434 — x% x5 4“ x3 4” x : — 4^;^ 4“ x 4* 2 19 2X9 4~ #8 — *4^7 4" 3#6 x 8 _ x ^ 4* #5 4* x* \~~x* 4- 5#5 — 5#4 — 3^3 4 4^ - A? _ 2 4“ 2T 25 2#11 q_ xl°^- $x° _ &x% ^Id 4- _ #7 _ 2#6 — — 7^T _ _ 4A;6 4" 4#5 4* 7&'4 4- S#3 4* 2X5 — X* 4“ xx 4" x >_„# _ 2 1 — 659 “ 558. Progredimus ad considerationem ae¬ quationum cubicarum, per quas in eo casu vbi n est formae 5 k + 1 tria aggregata f(/z — 1) terminorum complexum Q. componentia deter¬ minantur. Sit g radix primitiua quaecunque pro modulo n) atque | (7 1 — 1) = m , qui erit integer par. Tunc tria aggregata e quibus a constat erunt ( in , 1), (772, g’), (7??, gg) pro quibus resp. scribemus p , p1 , p ", patet que primum continere radices [1], [g3], ig6] ... [gn ~ 4] , secundum lias [g-], [g*] ... [ga“ 3], tertium has [gg]) [g,f] . . . Lg'11"2]. Supponendo, aequationem quaesitam esse — . Axx + Bx — C = o, fit A = p -|- p* + P ", B = /7/5' -f /7'/?" pp“) C = pp‘p“) vnde protinus habetur A == — . 1. Sint residua minima positiua nu¬ merorum g3, , g6 . . . gw ~ 4 secundum modulum tz ordine arbitrario haec 2C, B, (§ etc., atque $ ipsorum complexus superadiecto numero ij «imiliter sint 2C', £8', etc. residua minima nu¬ merorum g , g4, g-7 ...gn“3, atque it' iliorum complexus 5 denique 2t", §8", (S" etc. residua mi¬ nima ipsorum gg, g- , g-3 . . . et eorum complexus, vnde omnes numeri in jt', diuersi erunt et cum his 1, 2,^5 ...tz — 1 con- uenient. Ante omnia hic obseruandum est, nu¬ merum 7z — i necessario in $ reperiri, quippe quem esse residuum ipsius glm facile perspicitur. Hinc facile quoque consequitur, duos numeros tales h) n — . h semper in eodem trium com- plexuum reperiri, si enim alter est residuum potestatis g* , alter erit residuum p ob¬ testatis g** |m, aut huius si * > \m. De¬ notemus hqcce signa multitudinem nume- 1 rorum in seriei i, 2,5,..« — < 1 qui tum ipsi tum simul numeri proximi vnitate maiores in $ conti¬ nentur 3 similiter sit ($$') multitudo numerorum in eadem serie qui ipsi in $ proxime sequentes vero in jt1 continentur, vnde simul significatio signorum (M"), (M), (jW)y (M’0? (£"$), ($"$") sponte innotescet. Quo facto dico primo , fieri (M') — ($'$). Supponendo enim, /2, h‘ , /z" etc. esse omnes numeros seriei 1,2, 3 ... 72 — 1 qui ipsi in $ proxime maio¬ res h + 1? h* + l ? h“ + 1 etc, autem in con¬ tinentur, et quorum ideo multitudo = ($$'), manifestum est omnes numeros rt — . h — - r, ra — h* — \f n — . h“ — . 1 etc. in M1 contineri, proxime maiores vero n — hy n — 1» etc. in .Stj quare quum tales numeri omnino dentur (&'$)/ certo nequit esse ($'$) < (M'),- et perinde de¬ monstratur, esse non posse (St&) $«) = -h (£"$') +■ (&"$"} = nr His ita praeparatis euoluimus per praecepta art. 545 productum pp1 in (m, 2£' + i) + {mr 33' d- 1 ) -t {m, (i' -f 1 ) -f etc., quam expressionem facile perspicietur reduci ad (S'$t)p + d* (&'$") p"9 et quum per art. 545 I productum 641 plp" ex illo oriatur, substituendo pro ( m , i), (m, g), (m, gg) resp. ( m , g), ( m , gg ), (mg*-) i. e. pro p, p1 ', p" resp. p', p“ , p, fiet p'p" = (3t'S) p' + ($'£') P" + et prorsus simili modo p“v = ($'$) p" + ($'$') p 4- ($'$") p'. Hinc protinus sequitur primo B = 7/2 (p + p' + p") == — m) secundo quum si-* mili ratione, vt antea pp' euolutum est, etiam pp" ad ($"$) p + ($"$') p 1 + p" re¬ ducatur, atque haec expressio cum praecedente identica esse debeat, necessario erit -= (k'M*) et ($"$") = (&'&). Hinc colligitur, sta¬ tuendo (StW) — (k"$‘) == a, = ($'$) = (M') = b , (M') = ($"$) = (£$", = C, fieri m — 1 — ($$) + (&£') + (&SC“) = ($$) + b + c, atque a + b + 0 == m, vnde f,f = a — l , ita vt illae nouem quantitates inco¬ gnitae ad tres, a, h, c siue potius propter ae¬ quationem n + h + c — 7/2 ad duas reductae sint. Denique patet, quadratum pp euolui in (/n, 1+1)4- (/h, % + 1) + (m, $8 + 1) + (m, (5 + 1) + etc.$ inter partes huius expressio¬ nis reperietur (m, n ) quae reducitur ad (222, o) siue ad /?/, reliquas vero facile perspicietur re¬ duci ad ($$)p + ($$')/?' + (M'']p", vnde habetur pp =. /n 4- (<2 — 1) p + bp* + cp". Hoc itaque modo per disquisitiones praece¬ dentes quatuor hasce reductiones nacti sumus: pp = m + {a ~~ 1 )p + bp ' + cp" pp* bp + cp1 + ap" pp11 = cp + ap1 + bp" p'p" = ap + bp‘ + cp" Ss vbi inter tres incognitas a,h, c aequatio condi- tionalis a -f- b + c = rn . . . (1) intercedit, insu- perque certum est ipsas esse numeros integros. Hinc colligitur C == p x p‘pu === cipp 4* bpp‘ -f tppn = -j- (ftfl + bb + cc — &)p + 4- bc -f- cuc) p‘ + (bb + bc -f Pn • At quum pp'p" sit functio inuariabilis aggregatorum p, p', p", coefficientes per quos haec in expr. praec. multiplicata sunt necessario aequales erunt (art. 550), vnde habetur aequatio noua aa -f- bb -f cc — a = ab + bc - f- ac . . . (II) , atque hinc C = am 4- (ab + bc -f- «c) (p + P' + p"), sine (propter I, et p -f- p' 4- p" = — 1), C = nn — bc . . . (III). lam etsi C hic a tribus inco¬ gnitis pendeat, inter quas duae tantum aequatio¬ nes habentur, tamen hae, adiumento conditionis ex qua <2, b, c sunt integri, ad plenam determi¬ nationem Ipsius C sufficiunt. Quod vt ostenda¬ mus, aequationem II ita exhibemus 12 a -f- 12 h -f 12 c + 4 = 5 6aa -f 5 6bb 4- — 5 Qab — ^6ac — 56&C 24« 4" 4- isc + 49 pars prior, per I, fit == 12 m + 4 = 4^5 poste¬ rior vero reducitur ad (6 a — 3 b — 5 c — 2) 2 4- 27 (h — ff}2, aut scribendo /c pro 2a — b — c, ad (5& — 2) 2 4- 27(^ — c)2- Hinc patet, numerum \n (i, e! generaliter quadruplum cuius¬ libet primi formae 372 4" 1 ) Per formam xx 4“ 27 yy repraesentari posse, qucd quidem sine dif¬ ficultate e theoria generali formarum binariarum deduci potest, attamen satis mirum est, talem dis¬ cerptionem cum valoribus ipsarum a,b,c cohaere¬ re. At numerus 472 semper vnico tantum modo in quadratum et quadratum zfl°* discerpi potest, quod ita demonstramus *)o Si supponatur 4 n === ti 4 271^ =±= f'£' 4- afuw, fieret primo (M1 _ w/uu‘Y -f ?7 (tu* + ^w)2, == i6zztz, jg- cumlo ( tt 1 -f Qjuu1)1 + 2y (tu' — - £'zz)z = 1 6j271j tertio ( tu ' + (tu' — t‘u) = \n(u'u' — zzzz); ex aequatione tertia sequitur > ipsum /z, quoniam est numerus primus * alterutrum numerorum tu1 + t'u , £zz* i— ?'zz metiri; e prima et secunda vero patet, vtramque hunc numerum esse mino¬ rem. quam zz; quare is quem n metitur necessa¬ rio esse debet =■ o, adeoque etiam u'u' — uu = o, vnde u'W 2= zzzz et = #, i. e. duae illae discerptiones non different Si itaque dis¬ cerptionem ipsius 4 n in quadratum et quadra¬ tum 27plex notam supponimus (quam vel per methodum directam sect. V vel per indirectam in artt. 325, 324 traditam emere licet) puta si habetur 4zz = MM 4~ 2?NN7 quadrata (3 k 2)% ( b ■. — c)z determinata erunt, et loco ae¬ quationis II duas iam nacti erimus. Sed facile patet, non solum quadratum (3 k _ 2)* sed etiam radicem ipsam 5 k _ 2 penitus determi¬ natam esse; quum enim necessario sit vel = + M vel = — M, ambiguitas inde tolletur quod k fieri debet integer ? quamobrem statuetur 3 k ~ 2 = f M ve 1 =s — M, prout M est for¬ mae 3z + 1 vel 52; 4- 2 **). Iam quum fiat k *) Magis direete hafecee propositio * principii# Seet, V probari posset* 1 . # i \ **) Manifesto M hcquit esse formae g£, alioquin fenim 4«, per 3 diuisibilis «maderet. — Ad ambiguitatem, vtrum & ~ C *tatui debeat ~ j\T, an ~ — N , hic non opus «st respicere , ne^ue etiam per rei naturam viio modo Ss a 644 *““• = %a — , b — c =± 5« ■— ttz, erit a ' ==s |(m -f A), b -{- c = m — « === |(2m — A), vnde C = aa — bc = cta — J(&. 4* c): + J(A — c)1 = |(m + A)* - £(a« — A)1 + *i\W = J~AA •f |At?2 + | JV7V , atque sic omnes coeffici entes aequ. quaesitae inuenti. O. F. F. — Haec for¬ mula adhuc simplicior euadit, si pro jViV eius valor ex aequ. (5A — 2)1 -f* 2,7 NN = ,472 ,= 12772 4* 4 substituitur, vnde elicitur calculo facto C == |(772 + k + 5&T72) === J(t72 + k?i). Idem valor etiam ad (5 A — 2) NN 4“ A;5 — * 2 AA 4- A; — km 4* nL reduci potest, quae expressio, ad vsum quidem minus idonea, protinus mon¬ strat, C vt par est certo euadere integrum. \ Ex. Pro n — 19, fit 472 == 49 4* 27, vnde 3fc _ 2 =s + 7, k = 5, C — J(6 + 57) = 7 et aequatio quaesita od ~jr xx — • ($x — 7 ==' o vt supra (art. 551). — Simili modo pro n = 7, 15, 51, 57, 45, 61, 67 valor ipsius & emi¬ tur resp. 1, •— 1, 2, — 5 , 2 , 1 , — - 1, vn¬ de C == 1, — 1, 8, — ii, — 8, 9, ■— 5- Ceterum etsi problema in hoc art. solutum satis intricatum sit, tamen id supprimere nolui¬ mus, tum propter solutionis elegantiam, tum quod variis artificiis in vsum vocandis occasionem de¬ dit, quae in aliis quoque quaestionibus insigni cum fructu adhiberi poterunt. auferri poteit , ^uura ,ab electione radicis primitiuae g pen- deat , ita vt pro aliis radicibus primitiuis differentia b — C positiua euadat, pro aliis negatiua. — 645 — 559* Disquisitiones praecc, circa inuentio - nem aequationum auxiliarium versabantur: iam de earum solutione proprietatem magnopere in¬ signem explicabimus. Constat, omnes summo¬ rum geometrarum labores, aequationum ordi¬ nem quartum superantium resolutionem genera¬ lem, siue (vt accuratius quid desideretur defini¬ am) AFFECTARVM REDVCTIONEM AD PVRAS, inU6- niendi semper hactenus irritos fuisse, et vix du¬ bium manet, quin hocce problema non tam analyseos hodiernae vires superet, quam potius aliquid impossibile proponat (Cf, quae de hoc argumento annotauimus in Demonstr. noua etc. p. 22). Nihilominus certum est, innumeras ae¬ quationes affectas cuiusque gradus dari, quae ta¬ lem reductionem ad puras admittant, geometris¬ que gratum fore speramus, si nostras aequationes auxiliares semper huc referendas esse ostenderi¬ mus. Sed propter amplum, ambitum huius dis¬ quisitionis, praecipua tantum, momenta, quae ad possibilitatem ostendendam necessaria sunt, hoc loco tradimus, vherioremque tractationem qua hoc argumentum perdignum, est ad aliud tempus differimus. Praemittendae sunt quaedam obser- uationes generales circa radices aequ. xe — 1 = o , quae eum quoque casum complectantur^ vbi e est numerus compositus, I. Exhibentur hae radices (vt ex libris ele- xnentaribus notum est) per cos^- + i sin y vbi pro k accipiendi sunt e numeri o, 1, 2, 5 ... e — 1 , aut quicunque alii his secundum modu¬ lum e congrui, Vna radix, pro k = o aut ge- S-s 5 neraliter pro k per e diuisibili fit = i ; euiuis alii valori ipsius k radix ab i diuersa respondet. Tr ~ , kP , , . kP\x IL Quum sit (cos ~ ■+• £ sui — ) cos xkp -f- i sin xkP patet, si R sit radix ta¬ lis quae respondeat valori ipsius, k ad e primo, in progressione RR, il? etc. terminum etum quidem esse == i , omnes antecedentes vero ab i diuersos. Hinc statim sequitur, omnes e quan¬ titates i, Rr R.R , if3 ... R°~ 1 inaequales esse, et quum manifesto omnes aequationi xs — r i = o satisfaciant, exhibebunt omnes radices hu¬ ius aequationis. III. Denique in eadem suppositione aggre¬ gatum i RA + R1* . . . + fit == o, pro quouis valore integro ipsius ^ per e non di- i — - j?Aa pisibili; etenim est = - —nr- $ cuius fractionis numerator fit ==. o, denominator vero non === o. Quando vero a per e diuisibilis est, illud aggre¬ gatum manifesto fit == eK 560. Sit, vt semper in praeec. , n numerus primus, g radix primitiua pro modulo n, atque n — 1 productum e tribus integris positiuis; breuitatis caussa disquisitionem ita statim insti¬ tuemus, vt etiam ad casus vbi «« aut y === l pa¬ teat; quando 7 = 1, pro aggregatis (y, 1 ), (y, g) etc. radices [1], [g] etc. accipere oporte¬ bit, Supponamus itaque, ex omnibus * aggrega¬ tis Cy terminorum cognitis (£>, 1), / 647 — (cr> &§)••• (6y> gu"x) deducenda esse aggre¬ gata y terminorum, quod negotium supra ad aequationem affectam 6tl gradus reduximus, nunc vero per puram aeque altam absoluere docebi¬ mus. Ad abbreuiandum pro aggregatis (y, i), (.y,g“), (>> i?*-'*)» quae sub (e>, 1 ) contenta sunt , scribemus a , b , c ... m resp. ?* pro his O, #), (y, sub (€y, g) contentis resp. b* ... pro Ilis (>,gg), (.*, g**1) •••(■>■> resp. b" . . . m" etc. vsque ad ea quae suh (S-/, g-“-1) continentur. I. Iam designet ii indefinite radicem ae¬ quationis x* i = o, supponamusque ex euo- lutione potestatis 6tae functionis t = a + Bb + Rc , . . -f- R^^^in oriri per praecepta art. 545. N -}- Ad Bb -b Cc • • “b + A‘a‘ -b B'b‘ -b Oc* . . . -b M‘m* -b Auau + B“bu -b C"c" . . . + M“mu -b etc. T vbi omnes coefficientes N% A, B , A1 etc, erunt functiones rationales integrae ipsius id. Suppo¬ nantur etiam potestates CUc duarum aliarum fun¬ ctionum u =;. R^a + Rb -b RRc . . . + R^~xm<) u' ‘=fe=- b -b Rc -b Rud . . . -f* R?~%m +. resp, euolui in U et L7/, perspicieturque facile ex art. 55 0-, quum u1 oriatur ex t commutando aggregata n, b, c ... m resp, cum b7 c , d ... ay fore £/' ^=. Ss 4 i N ~{- Ah "{“ Rc -{“ Cc?- ... ■{“ Ma + Ab' + B‘c' + Od' . . . + M‘a‘ + Aub“ + Bucl‘ + Chdu ... + M"ail + etc. Porro patet quum sit u = Ru1, fore U = R^U1, quare propter R^ — i coefficientes cor- respondentes in U et U 1 aequales erunt} dfmique quum t et u in eo tantum differant, quod a in t per vnitatem, in u per Rp multiplicatur, fa¬ cile intelligetur , omnes coefficientes correspon- dentes (i. e. qui eadem aggregata multiplicant) in T et U aequales esse, et proin etiam omnes coefficientes correspondentes in X" et U‘. Hinc tandem colligitur A = B — C etc. = M\ A‘ = B> = O etc., A" - = Bu = C11 etc. etc., vn- de T reducitur ad formam talem N + A(* y , i) + Af(J*yyg) 4" Au^Vj gg) etc., vbi singuli coefficientes iV, A, A1 etc. sub formam talem reducere licet + p'R^Z+ p“R°~3 + etc. ita vt p, p‘, p“ etc. sint numeri integri dati. II. Si pro R accipitur radix determinata aequationis _ i = o (cuius solutionem iam haberi supponimus), et quidem talis cuius nulla inferior potestas quam 6ta vnitati aequalis est, etiam T quantitas determinata erit , ex qua t per aequationem puram t° — T = O deriuare licet. At quum haec aequatio € radices habeat, quae erunt £, Rt , RRt ... R°~xty dubium videri potest, quamnam radicem adoptare oporteat. Hoc vero prorsus rbitrarium esse, ita facile apparebit. Meminisse oportet, postquam omnia aggregata 649 Cy terminorum determinata sint, radicem [1] eatenus tantum definitam esse, vt aliqua ex £y radicibus in (Sv, 1) contentis, hoc signo denotari debeat,* et perin omnino arbitrarium esse, quidnam ex C ag¬ gregatis ipsum (®y, 1) constituentibus per a desi¬ gnare velimus. Quodsi iam, aliquo aggregato de¬ terminato per a expresso supponatur fieri t — facile perspicietur, si postea aggregatum id, quod modo designabatur per h, per a denotare lubeat, ea quae antea erant c , d . . . a , b nunc fieri by c...m, a , adeoque valorem ipsius t nunc = •— = Simili modo si per a id aggregatum exprimere placet quod ab initio erat c7 valor ipsius t fiet =. StjR*-*,. et ita porro t cuicuilque quantitatum r, ZR^~% etc. aequa¬ lis censeri potest, i. e., cuilibet radici aequ. x* — T = o, prout aliud aliudue aggregatum sub (£y, 1) contentum per (y, 1) expressum sup¬ ponatur. (J. E. ZZ III. Postquam quantitas t hoc modo deter¬ minata est, £ —1 alias inuestigare oportet, quae ex t prodeunt, si in eius expressione pro R suc- cessiue RR: Z!3, RA . ... Ro substituuntur, puta V = a + RRb + R*c . . . + R^zmy t" = «5 + i?3^ "b Z!6c • • • + R**~ etc. Vltima quidem iam habetur , quum manifesto fiat =.«+'& + c . . . + m = (£y, 1)? reliquae vero sequenti modo erui possunt. Si per praecepta art. 545, simili modo vt V antea in L, productum euoluitur, probabitur per methodum praecedenti prorsus analogam , quod inde prodeat ad for¬ mam talem k + 21 (gy, 1) + g1) + Ss 5 650 3C^(Cy, gg) etc. =3 T* reduci posse, ita vt 9$, etc. sint functiones rationales integrae ipsius R , adeoque T* quantitas nota, vnde habebitur = — Prorsus eodem modo, si ex euOlu- tione producti t*-*tu prodire supponitur T", haec expressio similem formam habebit et proin ex eius valore noto deriuabitur tli per aequatio- T"t% nem tu == — yr-j perinde tUi per aequationem talem inuenietur tiu ~ titas nota etc. "TtHfGr —jt- ita vt T‘“ sit quan- Haec methodus non foret applicabilis , si fieri posset t == o, vnde etiam esse deberet T = T1 = Tn etc, = o; sed probari potest hoc esse impossibile, etsi demonstrationem propter prolixitatem hoc loco supprimere oporteat — Dantur etiam artificia peculiaria per quae fra- rJ~*j y ctiones y-, y,- etc* *n functiones rationales inte¬ gras ipsius R conuertere licet 5 nec non methodi breuiores pro eo casu vbi « == 1 valores ipsarum t " etc, eruendi, quae omnia hic silentio prae¬ terire debemus. IV. Denique simulae t , P, tu etc. inuentae sunt, habebitur statim per obs. III art. praec. t + p _j_ p» 4. etc. = fifl, vnde valor ipsius a notus erit, ex quo per art. 546 valores omnium reli¬ quorum aggregatorum 7 terminorum deriuari pot¬ erunt. _ Valores ipsorum br e, d etc. etiam per aequationes sequentes elici possunt, quarum ratio cuiuis attendenti facile patebit: %b It" t +. I . ***** b 1 + R°~3t“ + etc., ec == Ri:--*t + R^-at^ R^-H" etc., Sd == R3°~*t + M3*-6t‘ + e tc. etc Ex magno. numero obseruationum ad dis¬ quisitionem praec. pertinentium hic vnam tan¬ tum attingimus. Quod attinet ad solutionem ae¬ quationis purae x* T =z o, facile patet, T fn pl erisque casibus valorem imaginarium P + iQ habere, vnde illa solutio partim a sectione anguli (cuius tangens ^7 p) partim a sectione rationis (vnitatis ad PP -f QQ)) in Q partes, vt constat, pendebit. Vbi, valde mirabile est (quod tamen fusius hic non exsequimur), valorem. ipsius \/T(PP -f- QQ) semper rationaliter per quan¬ titates iam notas exprimi posse, ita vt, praeter extra¬ ctionem radicis quadraticae , ad solutionem sola se¬ ctio anguli requiratur , e. g. pro ® - - 5 sola trisectio anguli, quum pro plerisque aliis aequationibus cu¬ bicis, quarum radices omnes reales sunt, simul anguli et rationis trisectio euitari nequeat Tandem quum nihil obstet, quo minus .sta¬ tuamus « == 1, y = 1 adeoque £ = n _ 1: manifestum est, solutionem aequationis x — 1 = o statim reduci posse ad solutionem aequa¬ tionis purae n — id gradus x'x~l — T =: o, vbi T per radices aequationis xri~ 1 — 1 o determi¬ nabitur* Vnde adiumento obseruationis modo fa¬ ctae colligitur, sectionem circuli integri in n par¬ tes requirere i° sectionem circuli integri in n — \ partes, 2° sectionem alius arcus, qui illa sectione facta construi potest, in n — • 1 partes, 50 ex¬ tractionem vnius radicis, quadraticae, et quidem ostendi potest, hanc semper esse s/^yl 6ga f-r j 561. Superest vt nexum inter radices & n atque functiones trigonometricas angulorum 2 P 3 P {n — 1) P ,, . i — . — ... - - - adhuc propius contempte- n 1 n n r r r mur* Methodus quam pro inueniendis radici¬ bus & exposuimus ita comparata est, vt adhuc incertum relinquat (nisi tabulae sinuum inter la¬ borem ita vt supra diximus consultae fuerint, quod tamen minus directum foret), quaenam radices singulis, illis angulis respondeant i. e, r -4. ° P . . . P quaenam radix sit = cos — + 1 sm — , quaenam 2 p 2P = cos — 4- i sin — etc. Haec vero incertitudo n ' n facile discutitur, reflectendo, cosinus angulorum — , — , — ... — - — continuo decrescere ( si- quidem etiam signorum ratio habeatur), sinus . . , (n~i)P (n — 2 )P omnes positiuos esse j angulos - - - ? (n—^)P (n -\-i)P " '• •. •- - — 2 n n n n vero eosdem resp. cosinus ha¬ bere vt illos, sinus autem negatiuos ceteram ma¬ gnitudine absoluta sinubus illorum aequales. Qua¬ re e radicibus £1 duae istae, quae partes reales ma¬ ximas (inter se aequales) habent, respondebunt angulis — , et quidem priori ea vbi quantitas imaginaria 1 per quantitatem positiuam, posteriori ea vbi i per quantitatem negatiuam multiplicata est, Ex n — 5 reliquis radicibus istae rursus quae maximas partes reales habent n P ( fi — 2) P . angulis — , — - — respondebunt et sic porro. n ■3- — Simulae ea radix cui angulus ~ respondet agnota est, eae quae angulis reliquis respondent etiam inde distingui poterunt, quod, si illa sup- r 1 r 2 P 3P 4 P ponatur esse ==, [lj angulis , — , — etc» manifesto respondebunt radices [3V], [5 a] , [4*] etc. Ita in exemplo art. 555 illico videtur, angulo ~$P aliam radicem respondere non posse quam hanc [11] anguloque J \P radicem [8]$ similiter angulis ~gP, ~P, -~P, -±|P etc. respon¬ dent radices [5], [16], [14], [5] etc. In exem¬ plo art. 554 angulo iVP manifesto respondet radix [1], angulo f-7P haec [2] etc. Hoc itaque modo P 2P cosinus et sinus angulorum — ? ~~ etc. pleiie determinati erunt. 362. Quod vero attinet ad reliquas functio¬ nes trigonometricas horum angulorum, possent eae quidem e cosinubus et sinubus respondenti¬ bus per methodos vulgo notas facile deriuari, puta secantes et tangentes, diuidendo vnitatem et sinus per cosinus $ nec non cosecantes et cotangentes, diuidendo vnitatem et cosinus per sinus. Sed commodius plerumque idem obti¬ netur adiumento formularum sequentium absque diuisionibus per meras additiones. Sit - angulus P 2P Jn — i)P atque quicunque cos« + zsin» bus cosa ex his 21 r( R ) n n n - R\ vnde P erit aliqua e radici- = i(R + i) 1+RR ■ *( I - RR) 2 R 2 R Hinc fit smw seca 2 R i(l—RR) 2 Ri " ^-T— /777 , tangM a= — -7-7. 5- , cosec*> == -p-„- - i+itJ?* b i + ? RR — r i(RR — 1) cotang" = "ur — , I ' ’i ! - ' lam numeratores harum quatuor fractionum ita transformare ostendemus, vt per denominatores diuisibiles euadant. I. Propter R == R"^1 — R2'^1, fit 2 R == R -f quam expressionem per i + RR diuisibilem esse patet, quum n sit numerus impar. Hinc fit se.c» == R — R* -\- R-* E7 -f. Rln~x , adeoque (quum propter sin^ — sin(2/z — * i)tf, sin 5*, == — sin(2?2 —.5)» etc. manifesto fiat sim — sin5« + sin5« .. . + sin (272 — 1) » == o) , sec» =± coscy — 0053® -f cos5« . . . + eos (2 n i)»j siue tandem, (quoniam cosw = cos(2 n — i)af cosq^j sp cos(q?z •*— 3)® etc) , = 2(cosw •*-*. COS3® -f cos5&» . . . 4- cos (n — - 2 ) ® ) it cos?2ft> , signo signo superiori yel inferiori valente prout n est formae 4^ + 1 vel 4 k -f 3. Manifesto haec formula etiam ita exhiberi potest ^3 "■ • • s , sec« == “b ( i — 2C0S2a> -b 2COS4« *■>. 4*. 2C0S ( 71 — 1 )&>). IX. Simili modo substituendo i — R~' z pro 1 — RR, prodit tanga» === 2(1 — RR -f» R* _ ^ R"> ... i?2u), siue (quoniam 1 — i22tt 07 RR ^ R*"~z = azsina», -= 22sin4« etc*), tang® =2 2 (sin 2® — - sitLfiW Hh sind®*-. » ql sin ( « — i)®)- ' M , , • , . itt. Quum habeatur 1 + + -^4 • * • *f RZ^-% SS3 O fit 72 33 « — 1 — 655 = (i — i) + (i _ RR) + (i „ ... + (! _ i?*""*) cuius aggregati partes sin¬ gulae per i — RR sunt diuisibiles* Hinc T~ ~~rr ^ 1 + C1 + + C1 + ^ 4- ^ ) ... -f* ( i H R4 • • • 4" R3'1 4 ) == (n — i) 4- (n — q)RR 4- (72 — - 5 ) ^-4 . . . 4- RZn~ quocirca multiplicando per 2? subtrahendo o ~ (n — i) (i 4- RR 4“ R* .... 4- rursus- 2 fl Ji que per R multiplicando fit ^Z^RR 3=5 (ra — “ i ) R + (n — . 5)-^3 + (w — 5) #5 . . > (n — 5)i^u~3 *— (n — • i )j?*11~I? vnde protinus deducitur coseow == J((72 i) sinw 4" (72 •— 5) siligo ... — (n ■ — i) sin (222 — i)®) ==t ^((72 i ) sin*» 4- (t? •— 5)sin5'» — etc. 4- 2sin (72 — 2 ) a> >, quae formula etiam ita exhi¬ beri potest ©osec&j ==: — ~(2sin.2» 4* 451114» 4"1 6sin6ii) == tl((72 — 2) sin2« 4- (72 — 4) 8x04« , ♦ , 4- 5sin(?2 — 5) 0 4- sin(/2 -0*0? quam formulam etiam hocce modo exhi¬ bere licet cotangft» | (sin*> -f gsingw ♦ , * -f ( n — 2) sin ( n — . 2)«). 565. Quemadmodum, supponendo n — 1 = ef , functio X in e factores f dimensionem resolui notest, simulae valores omnium e a^pre- r . , 00 gatorum j terminorum innotuerunt (art, 548): ita tunc etiam, supponendo Z == o esse aequa¬ tionem n — itx ordinis cuius radices sint sinus aut quaelibet aliae functiones trigonometricae ■j P 2P ( n ~~ i)P . ^ ' >' a e ornorum — - — , — —— — , functio Z m e n n n 5 factores f dimensionum resolui poterit, cuius rei praecipua momenta haec sunt. Constet £1 ex & periodis f terminorum his (/,-1) — P, P', P11 etc., periodusque P e ra¬ dicibus [1], [n], [&], [c] etc. 5 P‘ ex his [a1], jP'J, [c'] etc. 5 P“ ex his [n"]? [&"], [c'*] etc. etc. Re¬ spondeat radici fi], angulus adeoque radici¬ bus [«], \b\ etc. anguli a b» etc., radicibus [«'], [&*] etc. anguli b‘u etc., radicibus [«"] , [bu] etc. anguli tz"*, b“*> etc. etc: per- spicieturque facile, omnes hos angulos simul P 2.P 3 P (n — i)P sumtos cum angulis — ? — 7 : — • • • * — - — - — & n n n n respectu functionum trigono metricarum *) con- *) Hoc respectu duo anguli conueniunt, quorum differentia vel peripheriae integrae vel alicui eius multiplo aequalis est , quales secundum peripheriam congruos vo¬ care possemus , si congruentiam sensu aliquantum latiori intelligere luberet. — — uenire» Quodsi itaque functio de qua agitur per characterem

(/, g-g-) ... + £(/, g'~') reduci posse, quo facto manifesto omnes pro cognitis habendi erunt, simulae valores omnium aggrega¬ torum f terminorum innotuerunt: hoc sequenti modo efficiemus. Sicuti costo = |[i] -f |[1]n“I , sin» === — feti] + Itfir S' ita per art. praec. reliquae quo¬ que functiones trigonometricae anguli » ad for¬ mam talem reduci possunt % + 33[i] + @[1]* + mv + etc., nulloque negotio perspicietur, functionem anguli k* tunc fieri = 2C + $$[k] + 4- £)[/cp *f etc. denotante k inte¬ grum quemcunque. Iam quum singuli coefficien¬ tes in Y sint functiones rationales integrae inua- riabiles ipsarum etc., summam quadratorum, cuborum etc., atque hinc per theorema Newtonianum illos coefficientes de¬ ducendo. — Quoties $ designat tangentem, se¬ cantem, cotangentem aut cosecantem adhuc alia compendia dantur, quae tamen silentio hic prae¬ ierimus. III. Considerationem peculiarem meretur is casus vbi f est numerus par, adeoque quaeuis periodus P, P', P" etc. ex | f periodis binorum terminorum composita. Constet P ex his (2, 1) (2 , a>, (2, &),($, c) etc., conuenientque nu¬ meri 1, a, b? c etc. atque n •— 1, n — .a, n mm &, n c etc. simul sumti. cum his 1, a , b9 c — 659 — etc, aut saltem (quod hic eodem redit) hissecun- dum modulum n congrui erunt. Sed est O etc.5 P“ ex (2, a")? (2, t") etc. etc., productum ex ^ x — . ^ — 9 y“ etc. perinde ex y deriuari, vt T*9 T** etc. ex T sequi ante ih 1 diximus 5 nec non singulos coefficientes in y quoque ad formam A + B(f, 1) + C(f, g) + etc. posse, quum summae singularum potestatum aeqii. y = o ma¬ nifesto 'sint semisses potestatum aequ. P = o, adeoque ad talem formam reducibiles. _ In quatuor casibus posterioribus autem T erit pro¬ ductum e factoribus xx — (p»)2, xx — (?<*?)% xx — (#&») 2 etc., adeoque formae x? — *xf"~* + uxf'“4 — etc., patetque coefficientes a, ^ etc, e summis quadratorum, - biquadratorum etc. radi¬ cum T •» etc, Tt 2 Ex. 1 Sit h = lf, jf rasss 8 atque designet £ cosmum. Hinc fit Z . = (jc8 + Jjc7 — J3;6 — + ff* "h ~h sis) 1 , opor- tetque adeo in duos factores quaternorum dimensionum y, y' resoluere. Periodus P === (8, i) constat ex (2, 1), (a, 9), (a, 15), (2, 15) vnde y erit productum e lactoribus x — x — 09«, 1 5« ? x — , muenitur $;» + ^90» -{- 4>i5« -f == 5(8, 1)5 (p®)1 + (^9") 1 + ( 1) cum (8,5)j substituendo itaque pro (8, 1), (8, 5) valores — | + l\T 17, — l — I/- 17 fit / = *4 + (| — JV" 17) x' — (i+ 5/V)** + (i + V 17)* — Vi _ y' = x + (J + \yf i7)x' — (1 — f/- 17>* + (J — t/ 1 7)* — h Simili modo y^Z in quatuor factores binarum dimensionum resolui potest, quorum primus erit ( x — — $50), quar¬ tus (# — (4> 10) exprimi pot- erunt. Manifesto autem productum e factor® 66x primo in secundum erit y, productum e tertio in quartum y'. Ex. II. SI, omnibus reliquis manentibus, V sinum indicare supponitur, ita vt Z XV4. + -1» , 935 3 57 X xx-?-xx% ■ 6 5 r _22I rU) 3 % X « 256 -X 5 6T_ 6 5 T 2 ' 4 + -2o~hx 'r ~~ 4^hxx + Z-S-STS in duos factores 8 dimensionum y, yl resoluere oporteat, erit y productum e quatuor factoribus duplicibus xx — ( = — !/[&] + Iz[rc * — A:], erit ((pA®)2, = — {[2 A:] + I[«J — {[271 _ _ 2&] = § — i[2^] i\2n. — 2k]\ hinc de¬ ducitur summa quadratorum radicum 9«, <615«, £15*» haec 2 — 4(8, 1), earundem biqua- dratorum summa = \ — A (8, i)? summa po¬ testatum sextarum = | — /5(8) 1) — ^3(8, 5 ), summa octauarum §4 — ^7»(8, 1) — =4(8, 5)* Hinc fit y = _ (2 _ f(8, 1 ) ** + (1 _ tV(8, 1) + 1(8, 5))*4 — U — /j 8, X) + 3^(8, 3 0** + ts — Srs(8, 1) + 3); y ' deriuatur ex y commutando ( 8 , 1 ) , (8,5), Ita vt per substitutionem valorum horum aggre¬ gatorum habeatur y = *s (f - \X — “V' 17)^ 17 32 32 ^>7 17)«as + — — f' = — (-33 I O^v */ i** -r 250I 64' — '17^ + j7)^4 (32 + iff ‘7)xx + §6 + ii'/"1 7 256 * 04 erinde Z in quatuor factores resolui potest, quo- Tt 5 ( 66a W mm co efficientes per aggregata quatuor termino¬ rum exprimi possunt, et quidem productum e duobus erit y, productum e duobus reliquis y'. 565. Reduximus itaque, per disquisitiones praecedentes, sectionem circuli in n partes, si n est numerus primus, ad solutionem tot aequatio¬ num, in quot factores resoluere licet numerum n — 1, quarum aequationem gradus per magni¬ tudinem factorum determinantur. Quoties itaque n — 1 est potestas numeri 3 , quod euenit pro valoribus ipsius n his 5, 5, 17, 7, 6555 7 etc., sectio circuli ad solas aequationes quadraticas re¬ ducetur, functionesque trigonometricae angulorum etc. per radices quadraticas plus minusue complicatas (pro magnitudine ipsius n ) exhiberi poterunt ,\ quocirca in his casibus sectio circuli in n partes, siue descriptio polygoni regularis n la¬ terum manifesto per constructiones geometricas absolui poterit. Ita e. g. pro n =17 ex artt* 554? 5^ 1 facile pro cosinu anguli -j^P expressio haec deriuatur: — TS "4 Tsyf 17 + 54 — 2V~ *?) — ihA1/ + 5 \Tn —/'(34 — 2/* 17) — 2-/'(34+3/' 17)) cosinus multiplorum illius anguli formam simi¬ lem, sinus autem vno signo radicali plus habent» Magnopere sane est mirandum, quod, quum iam Euclidis temporibus circuli diuisibilitas geo¬ metrica in tres et quinque partes nota fuerit, ni¬ hil his inuentis interuallo sooo annorum adie- ctum sit, omnes que geometrae tamquam certum — 665 “ pronunciauerint, praeter illas sectiones easque quae sponte inde demanant, puta sectiones in 15, 5.2*% 5.2“ , 15.2“ nec non in 2^ partes, nullas alias per constructiones geometricas absolui pos¬ se. — Ceterum facile probatur, si numerus pri¬ mus n sit = 2m + 1 y etiam exponentem m alios factores primos quam numerum 2 implicare non posse, adeoque vel = 1 vel = 2 vel altiori potestati numeri 2 aequalem esse debere 5 si enim m per vllum numerum imparem £ (vnitate maiorem) diuisibilis esset atque m £«, foret 2m -f i diuisibilis per 2* + 1, adeoque necessa¬ rio compositus. Omnes itaque valores ipsius nf pro quibus ad meras aequationes quadraticas deferimur, sub forma 2a 4 1 continentur,* ita quinque numeri 5, 5, 17, 257, 6555 7 prodeunt statuendo v == o , 1 , 2 , 5 , 4 siue m = 1, 2, 4, 8, 16. Neutiquam vero pro omnibus numeris sub illa forma contentis sectio circuli geometrice per¬ ficitur, sed pro iis tantum qui sunt numeri primi. Fermatius quidem inductione deceptus affirma- uerat, omnes numeros sub illa forma contentos necessario primos esse; at 111. Euler hanc regu¬ lam iam pro v — 5 siue 'm = 52 erroneam esse, numero 2sa ■)■ 1 = 4294967297 factorem 641 inuoluente, primus animaduertit. Quoties autem n — 1 alios factores primos praeter 2 implicat, semper ad aequationes altiores deferimur,* puta ad vnam pluresue cubicas quando 5 semel aut pluries inter factores primos ipsius n — 1 repentur; ad aequationes quinti gradus, quando n — 1 diuisibilis est per 5 etc., omniqve RIGORE DEMONSTRARE P0SSVMVS , HAS AEQVATIQNES Tt 4 ' 664 — ELEVATAS NVLLO MODO NEC EVITARI NEC AD INFE* B.10RES redvci posse, etsi limites huius operis hanc demonstrationem hic tradere non patiantur, quod tamen monendum esse duximus, ne quis adhuc alias sectiones praeter eas quas theoria nostra suggerit, e* g. sectiones in 7, ix, 15, 19 etc. partes, ad constructiones geometricas perdu¬ cere speret, tempusque inutiliter terat. 566. Si circulus in a* partes secandus est, designante a numerum primum, manifesto hoc geometrice perficere licet, quando « = r 2, ne¬ que vero pro vllo alio valore ipsius £, siquidem a > 1 ,* tunc enim praeter eas aequationes quae ad sectionem in a partes requiruntur necessario adhuc <6 — 1 alias a41 gradus soluere exportet,* etiam has nullo modo nec euitare nec deprimere licet. Gradus itaque aequationum necessariarum e factoribus primis numeri (a — i)^05"1 genera¬ liter (scilicet pro eo quoque casu vbi a = 1) cognosci possunt. Denique si circulus in N = aub*cy ... partes secandus est, denotantibus a, b, c etc. numeros primos inaequales, sufficit, sectiones in b^, cy etc. partes perfecisse (art. 536)5 quare vt gradus aequationum ad hunc finem necessariarum cogno¬ scantur, factores primos numerorum ( a — 1 )d*~z, (b — . (e — 1 ) cy ~ 1 etc., siue quod hic eodem redit producti ex his numeris considerare oportet. Obseruetur, hoc productum exprimere multitudinem numerorum ad N pri¬ morum ipsoque minorum (art. 38). Geome¬ trice itaque sectio tunc tantummodo absoluitur, I — 665 — - "J* y.. ' ' ' , _ , . / quando hic numerus est potestas binarii; quando vero factores primos alios quam 2 puta p ,' p • etc. implicat; aequationes gradus pl\ p,li etc. nullo modo euitari possunt. Hinc colligitur ge¬ neraliter, vt circulus geometrice in N partes di- uidi possit, N esse debere vel 2 aut altiorem potestatem ipsius 2, vel numerum primum for¬ mae 2m f 1, vel productum e pluribus huius- modi numeris primis, vel productum ex vno tali primo aut pluribus in 2 aut potestatem altiorem ipsius 2; siue breuius, requiritur, vt N neque vl- lum factorem primum imparem qui non est for¬ mae 2m + I implicet, neque etiam vllura facto¬ rem primum formae 2m + 1 pluries. Huiusmo- di valores ipsius N infra 500 reperiuntitr hi 58: 3, 3, 4) 5, 6, 8, IO, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 50, 52,54,40, 48,51.60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, x6o, 170, 192, 204, 340, 255, 256, 25 7t 272. ADDITAMENTA. /lc? art . 28. Solutio aequationis indeterminatae nx = by Hh 1 non primo ab ili. Eulero (vt il¬ lic dicitur ) sed iam a geometra 17“* saeculi Ba- chet de Meziriac, celebri Diophanti editore et commentatore, perfecta est, cui ili. La Grange hunc honorem vindicauit ( Add. a 1’Algebre dT Euler p. 525, vbi simul methodi indoles indicata est ). Bachet inuentum suum in editione secunda libri Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres , 1624, tradidit 5 in editione pri¬ ma ( a Lyon 1612), quam solam mihi videre licuit, nondum exstat, verumtamen iam annun¬ tiatur. Ad artt, 151, 296, 297. 111. Le Gendre demonstrationem suam denuo exposuit in opere praedaro Essai d'une theorie des nombres p. 214 sqq., attamen ita, vt nihil essentiale mutatum sit: quamobrem haec methodus etiamnum omnibus obiectionibus in art. 297 prolatis obnoxia manet. Theorema quidem (cui vna suppositio innititur), in quauis progressione arithmetica Z, l + k7 1 + 2 k ete., numeros primos reperiri, si k et / diuisorem 60^ communem -non habeant, fusius in hoc opere consideratum est p. 12 sqq.: sed rigori geometri¬ co nondum satisfactum esse videtur. Attamen tunc quoque, quando hoc theorema plene de¬ monstratum erit: suppositio altera supererit (dari numeros primos formae 472 + 5, quorum non residuum quadraticum sit numerus primus datus formae 4/2 + 1 positiue sumtus), quae an rigo - rose demonstrari possit, nisi theorema fundamen¬ tale ipsum iam supponatur , nescio. Ceterum obseruare oportet, ili. Le Gendre hanc posterio¬ rem suppositionem non tacite assumsisse , sed ipsum quoque eam non dissimulauisse , p, 221. Ad artt. 288**295. De eodem argumento, quod hic tamquam applicatio specialis theoriae formarum ternariarum exhibetur, et respectu rigoris et generalitatis ita absolutum esse videtur, vt nihil amplius desiderari possit, ili. Le Gendre in parte III operis sui p. 521^400 disquisitio¬ nem multo ampliorem instituit *). Principiis et methodis vsus est a nostris prorsus diuersis: atta¬ men hac via compluribus difficultatibus implicatus est, quae effecerunt, vt theoremata palmaria de¬ monstratione rigorosa munire non licuerit. Has difficultates ipse candide indicauit: sed ni falli¬ mur hae quidem facilius forsan auferri poterunt, quam ea, quod in hac quoque disquisitione the¬ orema modo memoratum (In quauis progressione 9 Vel nobis non monentibus lectores canebunt, ne nostras for» mas ternarias cum eo, quod ill. Le Gendre for me tri- naire d’ un nombre dixit, confundant. Scilicet per banc expressionem iadicauit decompositionem numeri in tria quadrata, arithmetica etc.) suppositum est ? p. 571 annot in fine. Ad art . 306 VIII. In chiliade tertia deter¬ minantium negatiuorum reperti sunt 37 irregula¬ res, inter quos 18 habent indicem irregularitatis Qj et ig reliqui indicem 3. Ad eundem X. Quaestionem hic proposi¬ tam plene soluere nuper successit, quam disqui¬ sitionem plures partes tum Arithmeticae sublimi¬ oris tum Analyseos mirifice illustrantem in con¬ tinuatione huius operis trademus quam primum licebit. Eadem docuit, coefficientem m in art. 304 p. 504 esse =£ y = 2,3458847616, desi¬ gnante y eandem quantitatem vt in art. 302, et 7r vt ibidem semicircumferentiam circuli cuius radius i. In regulam art. 256 IV error irrepsit, qui vt emendetur, in linea pen. p. 394, pro Amb c... legatur *; et in linea vlt. verba tum si v = o, tum , in 1. prima et secujida p. 395 vero haec v > o simulque deleantur. Taevla I (artt. 58, 91) J 2. 5. 5. 7.11 15.17.19.23.29 31,37.41.43.47 5j i 2 1 i. ; 1 51 2 1* 5 7i 5 2» 1. 5 91 2 1. *- 5- 4 i i| 2 * 00 ® • 13 6| 5. 8. J. 7.11 i6j 5! *♦ 5* 1. 2. 1 5 17 iO; 10. II. 7. 9.I5 12 \ ’ V -Y; i ' N 19 H Hi 0 C 17, 5. 2.12. 6 15. 8 25 8.20.15.21. 5 12.17. 5 ‘ 2-5 2 1. 7. *. 5.16 19.13.r8.11 27 a 1. *. 5.16.13 8. 1 5.1 2.1 1 29 10 1 1.27.18.20.23 1 ■ 2. 7*1 5^4 51 17 12.15.20. 4.29 23. 1.22.21.27 52 5 * 3. 1. 2. 5 7. 4* 7* 3 0 57 5 11.54. 1.28. 6 13. 5.25.21.15 27 4,3 6 26.15.22.59. 3 51.33. 9.36. 7 28.52 43p8 39.17. 5. 7. 6 40.16.29.20.25 32-35-18 47 I10 30.l8.17.58.27 5.42.29.3945 5.24.25.37 49 i10 2.I5.4I. * l6 9.51.55.32.24 7-38.27-36.23 55 J2C 25* 28.42.41.39. 6 45.22.55.50. 8 I \ ' 1 ■yf- 591 10 6i io P41 5 87 12 71I62 731 5 pp 9 81I1 1 85I50 2. 5. 5. 7.11 i5*i7*i9-25*29 5 i. 5 7.4 145.4 7 55.59.61.67.71 7579.85.89 25-52.54.44.45 28 47.42.14.25.45 5i-i7 *. 5- i.io, 5 5* 1* 5 29- 9-39* 7*8 1 5*54« 5 58.18.14-3343 59.29.57.11 8. 6. 1.55.55 53- 5-58-50.44 50.71.54.19.70 7-17-75-54-33 25- *55*22. I 45-53* 4*20.53 5.52.81.24.72 15.20.54.55.17 |89|5o 72.87.18. 7. 4 10.45.19.52.26 [97|io 86. 2.11.55.82 14.65.32.51.25 25a4.22.27. 4 7.41. 2.15.55 20.49.22.59.25 15.55.18.41.40 15.12. 7.i4ai 8. 9a4.15.12 25. 8.26,20.22 43*44-19-65.64 27* 7-38- 5- 4 13-3°*5544-i7 59-21-62.46.55 11.64. 4*5i-3i 74- 9*10*52. 1 78.25.21,47.55 4 38.15.12. 5, 7 14,24.29.10.15 48.52 87* 4-59»i8-38 52.60,58.49.69 45-47 65.82.55.31.2g 57.77.67-.59.54 68.46.27 83.19*27.79.47 26. 41.71,44.60 20.42.91a8 ' ' * ' ' • i ' vr-.' ' ' ;. •' / ,^a™5 . Tabvla. II (art 99) 1 — *i +*. 1 43' 1 +5 t? itu +131117 + !9 +23|+.’9|+3i +37 3 -»1 — — — '5; — — — - <— — “ — * 7 — ~~~ 11 — “ — - 13 — * — — — ■ — — • 17 * — ■ ■T,rr ?9 — — — — <— - »3 — — 1 — «aa». “ —— 29, 3i! H 1 — — » 37 41 __1 _ — — i — — r- 43 47 — — — r T? 53 - — — — aamm mtssss 59 — - — — ■ CZ8ZSS3 ^BSS&rn (SS3SB 61 — — — — — 67 ”==> «RES, — 71 73 79 — — — — — — 83 89 — — 97 — - “1 f4i t43l +47 1 +53I+59 fOr i +67 1+7 1 +73 ~h ) - •-4 'O _ —h 00 OJ +891+8 n' Oj — - -- . ’ ' ! _ 5 1 — — — — - — — - ' ■ 7 T T' — — - JL JL | 13 — — — • }'-Y — I7| — — — — - ^ T ■ — - — 19 — — — ' — — ^3 — — — — — 29; * - — — — — 31 — — — — 37| 1 — — — - — - - — 4* j — — — — 43 — - - — — — — — — — 47j r 3' - — " * r — - - 1 7 — — — — ■ — £) C. P. 225 1. 9 pro B 1. b . P. 227 1. 18 pro a 1. — a. P. 228 1. 3 et 2 a. c. pro ±5, 7pi5» ±5 ~~5> ±i5> 4^5- P- 232 1. 5 pro b 1. br. Ib. 1. 6 pro b f b " L b" f but. P. 233 L 4 forma prima debet esse (1, 8? — 15)* P* 23? 1. 12 pro 1. — V Ib. 1. 13 pro — "V 1. —“u. P. 240 1. 11 verbum contra ponatur post semicolon. P. 241-1. 3 pro *3) ” 2(4> 3))- P. 632 L dz 0,36124166622. P. 638 in valore ipsius T pro n — 13 terminis 4X4 et £xx signum f praefigi debet P. 646 1. 7 a c. post po- sitims insere u, £, P. 647 1. 5 a c. pro R" 1. R*. pe 653 1. 4 pro — , [ij 1. ==- [a],. P. 654 1. 2 numerator pro cot. a esse debet i{RR f 1). Erratorum multitudinem lector beneuolus, qui quam difficile in huiusmodi scriptis a typothetis tali la¬ bori minus adsuetis auctore absente euitentur nouerit, benigne ignoscet, et si quae alia vel minoris momenti vel sensum non turbantia offenderit, facile corriget QA Gauss, C-atl F. 241 Disquisitiones G3 arithmeticae . . . 1801 1801. RB NMAH SMITHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES 3 9088 00093 2822