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Vous pouvez effectuer des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse fhttp: //books .google. com| ^4, >AI9f3 I tl • » GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE • I LIBRAIRIE DE BACHELIER Ouvrages du même jouteur. TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DE ST AtlQUE , à Pusage des Écoles de la Manne; huitième édi- tion , conforme à la précédente revue par M. Hachette , et suivie d*une Note contenant une nouvelle démonstration du parallélc^ramme des forces, par M. Jlug. Cauchy ; in-8®, i846 . • 4 fr. APPLICATION DE L'ANALYSE A lA GÉOMÉTRIE, à l'usage de TÉcole Polytechnique; in-4^9 5*^ édition, revue, corrigée et annotée par M. J. Liouvills, membre de 1* Académie des Sciences et du Bureau des Longitudes , professeur à l'École Polytechnique. (Sous presse.) DESCRIPTION DE L'ART DE FABRIQUER LES CANONS ; in-4», figures. . . . aS fr. Ceg ouvrages se trouvent aussi: A ANGOULÊME . . BORDEAUX BOURGES BREST CHERBOURG. . . JJLLE LORIENT LYON MARSEILLE. . . . METZ MONTPELLIER . NANCY chez PéREZ-LEGLERG. — Chauxas. — Verxxil. — M'y^'LBPOURNIER. — Lefrangois. — VANAGEiRE. — Leroux-Cassant. — PiRissi frères. — GiBEBirON et BRITlf . — Cahoin. — Warion. — Séwallè. — G. Grimblot et C*^. A NANTES, ORLÉANS. . . RENNES ROCHEFORT . ROUEN STRASBOURG. TOULON TOULOUSE. . chez FoRBST. GuiRAUT. SUIREAU. — Gatineau. — Verdier. — PÉIIART. — Lebrument. — TREUTTILetWURTZ. M"* LEVRAOT.T. — Dériva ux. — MONGEetWlLLAMUS. — Gallon. — GiXET. ET A li'ETRAlirGER s A AMSTERDAM. . . chez BERLIN... — BRUXELLES ... — CAMBRIDGE. . . — COPENHAGUE . . — FLORENCE — GÊNES — GENÈVE '.. — LA HAYE ^ LEIPSIG — LONDRES. ..... — Van Bareenes. B. Behr. Decq. — Périchon . Deigton. HOST. Pl\tti. Beuf. Cherbuliez. Van-Cleef frères. Michelsen. Bailliàre. Dulau et C*'. A MADRID. • • • MILAN NAPLES PÉTERSBOURG . ROME STOCKHOLM. . TURIN VIENNE chez M"* Ant. Poupart et frère. — dumolard. — Dufresne. — Graff. — Belli- ZARD. — Merle. — BONIER. — BOGGA. — ROHRXANN. IMPRIMERIE DB DACHFXlBR rue du Jardioet, la. '^yi à GEOMETRIE DESCRIPTIVE, PAR Gt^^MONGE: SUIVIE d'une THÉORIE DES OMBRES ET DE LA PERSPECTIVE, BXVBAITK MIS PAPUOUi DC li'AlJTEIJIft* PAR M. BRISSON, . Ancien Élève de l*École Polytechnique, Inspecteur divisionnaire des Ponts et Chaussées. SEPTIEME EDrriON. PARIS, BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE V de l*Éc*lc r«7»le Pslyteelinlqae et du Borean 4e«^Ii*nct««4ea; ^ les Aigiitin, S5. A KHIMUS, €IBZ MIUU BT C"'. || A LBIPZie, GMEZ MKIBLSBN. 4847. ri AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR DE LA QUATRIÈME ÉDITION. Ce Traité de Géométrie descriptwe a été compose pour l'usage (^ élèves de la première École Normale , créée par une loi du 9 brumaire an III ( 3o octobre 1 794) • Cette École , qui n'a subsisté que pendant les quatre premiers mois de Tannée 1796, et qui était destinée à régénérer l'instruction pu- |v, blique, anéantie en France sous le règne de la terreur, comptait ^ quinze cents élèves pris dans tous Tes départements , parmi les insti- tuteurs et les hommes cultivant les sciences et les lettres ; elle avait pour 3^ professeurs : \ MM. Lagrange Laplace * P^''" *^' Mathémat^ues; { MONGE pour la Géométrie descriptive ; ^ Hauy ...:.... pour la Physique; jî Berthollet.. : . . pour la Chimie ; Daubenton pour l'Histoire naturelle ; Thouin pour l'Agriculture ; BUACHE Mentelle \ pour la Géographie et THistoire ; Volney Lahabpe Garât.. • I pour la Grammaire, la Littérature et Bernardin-de-Saint-Pierre. . I la Morale. SiCARD MM. Lacroix et Hachette étaient Professeurs- Adjoints pour la Géométrie descriptive. Les leçons orales sur cette science se don- » I \ i vj AVERTISSEMENT. naient, ainsi que pour les autres parties de l'enseignement , à l'amphi- théâtre du Jardin des Plantes. On avait disposé , dans les bâtiments de la Sorbonne , de grandes salles de dessin , où les élèves de l'École Nonnale étaient exercés aux constractions graphiques. Cette nouvelle édition des Leçons de Géométrie descriptive ren- ferme , de plus que les précédentes , l'extrait de trois Leçons inédites , contenant les principes de la Théorie des Ombres et de la Perspectwe, sujet annoncé dans le programme. M. Brisson, Inspecteur division- ntirè des Ponts et Chaussées , ancien élève de l'Ecole Polytechnique , auteur de cet extrait , a exposé son but et sa marche dans une Lettre dont on va lire quelques fragments : struction publique. Je crois que l'impression des trois premières D de ces Leçons serait un véritable service rendu aux jeunes gens . » Comme elles ont toutes la négligence de rédaction que compor- » tent des Leçons verbales , recueillies par des personnes qui n'en- }> tendaient pas la matière , je me suis occupé du soin de les rétablir, » et en quelque sorte de les refaire. Je crois n'avoir rien omis d'es- » sentiel ; mais je me suis permis quelques changements , dont il est » bon que je prévienne. Dans ces Leçons , Monge parle de la partie 7> physique de la détermination des ombres et de la perspective 3) aérienne immédiatement après la construction graphique des om- » bres et avant la perspective linéaire; j'ai suivi un ordre inverse, » en renvoyant la partie physique des ombres après la perspective » linéaire. AVERTISSEMENT. vij j> J'ai donné plus de développement à la théorie des ombres , dans )> le cas où le corps lumineux a des dimensions finies. J'en déduis, » pour le cas où le corps éclairant est le soleil , une détermination de )> la largeur des pénombres , soit sur le corps éclairé , soit sur le plan » qui reçoit l'ombre. » Dans la perspective , j'ai ajouté tout ce qui se rapporte au cas » où le tableau est courbe ; et l'invention des panoramas , quoique » postérieure aux Leçons de Monge, m'a paru mériter qu'on en dît » un mot. J'ai aussi proposé , pour résoudre le problème général de » la perspective , de concevoir deux plans passant à la fois par l'œil » et par le point à mettre en perspective ; l'intersection de ces deux )) plans contenant le rayon visuel , il ne sagit que de construire leurs » traces sur le tableau. » Dans la troisième partie , je suis entré aussi dans quelques détails » sur la manière dont la lumière se distribue sur les surfaces des » corps opaques mats , et en est renvoyée à l'œil. Monge né dit rien » là- sphère non polie; l'un d'eux se chargea de dessiner en secret une sphère, en disposant les » teintes du lavis d'après les résultats du calcul : l'image étant parfaite, sitôt qu'elle fut » achevée , on la plaça sous les yenx de Monge. Il est difficile de se faire une idée du moment » de bonheur qu'il éprouva; vingt ans après il ne pouvait en parler sans émotion. » viij AVERTISSEMENT. M . Hachette , et concernant principalement les surfaces gauches ; on ne Ta pas reproduit ici, pour ne pas trop grossir le volume, et parce qu'on peut se le procurer à part. MM. Brisson et Dupin, deux des élèves de Monge les plus distin- gués , se sont empressés de payer à la mémoire de leur illustre maître un juste tribut de reconnaiss$mce : nous placerons ici quelques frag- ments de récrit de M. Dupin, déjà recueillis par M. Delambre dans son Analyse des travaux de l'Académie des Sciences pendant tan- née iSi8{*). ce Disons hardiment que de tels hommes font honneur à la so- ciété — Honorons-les pendant leur vie; et quand la mort nous les enlève , accordons sans hésiter à leurs mânes le tribut de nos éloges , de nos regrets et de notre vénération Si nous osons entreprendre cette tâche , ce n'est pas pour donner un juste , mais stérile éloge à d'illustres conceptions et aux fatigues d'une vie consacrée à les réa- liser par des institutions utiles à la patrie ; c'est pour conserver, c'est pour propager les idées d'un esprit supérieur ; c'est pour consolider l'empire des vérités qui lui sont dues. » G. Monge naquit à Beaune en 1746 Ses progrès méritèrent qu'on le chargeât de professer, au collège de Lyon, la Physique qu'il venait d'y apprendre l'année précédente Étant venu à Beaune au^temps des vacances, il entreprit de lever le plan de cette ville. Il n'avait pas d'instruments pour cette opération, il en composa. Il fit hommage de son travail à l'administration de sa ville natale , qui ré- compensa le jeune auteur aussi généreusement que pouvaient le per- mettre les moyens bornés de la richesse communale. Un lieutenant- colonel du génie militaire , qui se trouvait stlors à Beaune , obtint que Monge fut attaché comme dessinateur et comme élève à l'École d'ap- pareilleurs et de conducteurs des travaux des fortifications — Gomme (*) Notice historique sur Gaspard Monge , et Essai historique sur les Services et les Travaux scientifiques de Gaspard Monge, AVEBTISSEMENT. . jx il dessinait avec une rare perfection , on considérait uniquement son talent nianuel. Il sentait déjà sa force , et ne pouvait sans indignation songer à T estime exclusive qu'on accordait à ses dispositions mécani- ques, ce J'étais mille fois tenté , disait-il longtemps après , de déchirer » mes dessins , par dépit du cas qu'on en faisait , comme si je n'eusse y> pas été bon à produire autre chose. » Le directeur de TLcole le chargea des calculs pratiques d'un cas particulier de défilement, opé- ration qui sert à combiner le telief et le tracé des fortifications avec le moins de frais possible , et de manière que le défenseur s'y trouve à l'abri des coups de l'assaillant. Monge abandonna la route suivie jusqu'alors, et découvrit la première méthode géométrique et gé- nérale qu'on ait donnée pour cette importante opération En appli- quant successivement son talent mathématique à diverses questions d'un genre analogue, et généralisant toujours ses moyens de concevoir et d'opérer, il parvint enfin à former un corps de doctrine; ce fijt sa Géométrie descriptive.... Pendant plus de vingt ans , il lui fut impos- sible de faire enseigner au corps de Mézières l'application de sa Géo- métrie aux tracés de la charpente. Il fiit plus heureux pour l'applica- tion à la coupe dés pierres; il suivit avec soin les méthodes em- ployées à cette étude, et les perfectionna en les simplifiant par sa Géométrie. • » Ses travaux scientifiques le firent nommer répétiteur de Mathé- matiques et de Physique , pour suppléer Nollet et Bossut ; ensuite il fiit nommé professeur titulaire : alors il tourna ses vues vers l'étude d'une foule de phénomènes de la nature ; il fit de nombreuses expé- riences sur l'électricité; il expliqua les phénomènes qui se rapportent à la capillarité , fut le créateur d'un système ingénieux de- météoro- logie ; il opéra la composition de l'eau ; il arriva à cette grande décou- verte sans avoir eu connaissance des recherches un peu antérieures de Lavoisier, Laplace et Gavendish. Il ne se contentait pas d'expliquer aux élèves , dans les salles d'études , les théories de la science et leurs applications ; il aimait à conduire ses disciples partout où les phéno- X AVERTISSEMENT. mènes de la nature et les travaux de l'art pouvaient rendre sensibles et intéressantes ces applications. H communiquait à ses disciples son ardeur et son enthousiasme , et changeait en plaisirs passionnés des observations et des recherches qui, dans l'enceinte d'une salle et par des considérations abstraites, n'eussent paru qu'une pénible étude. » En 1 780 , afin d'attirer Monge à Paris , on l'adjoignit à Bossut , professeur du cours d'Hydrodynamique institué par Turgot. Pour concilier les devoirs des deux places qu'il remplissait , il passait six mois de l'année à Mézières et six mois à Paris. La même année , il fut reçu à l'Académie des Sciences ; et , à la mort de Bezout , en 1 788 , il fut choisi pour remplacer ce célèbre examinateur de la Marine. Plus d'une fois le marquis de Castries invita M onge à récrire le Cours élémentaire de Mathématiques pour les élèves de la Marine ; mais toujours Monge s'en défendit. « Bezout a laissé , disait-il , une veuve qui n*a d'autre » fortune que les écrits de son mari , et je ne veux point arracher )) le pain à l'épouse d'un homme qui a rendu des services si impor- » tants à la science et à la patrie. » Le seul écrit élémentaire que Monge publia , fut son Traité de Statique; et , à quelques passages près , où l'évidence supplée à ce qu'on pourrait désirer d'une plus grande rigueur, la Statique de Monge est un modèle de logique, de clarté et de simplicité. » A une époque où les malheurs publics appelaient dans les rangs supérieurs tous les talents utiles et courageux au secours de la patrie menacée d'une invasion , Monge fut créé ministre de la Marine. Il fit tout pour conserver à la France les hommes recommandables par leur mérite ou leur bravoure ; il descendit jusqu'à la prière , pour obtenir de Borda la continuation de ses services, et il eut le bonheur de réussir. Il fut un des hommes les plus actifs dans les travaux de la science pour le salut de l'État. On lui dut la construction des nou- velles machines à broyer qu'on établit dans la poudrière de Grenelle , et des foreries établies sur des bateaux de la Seine. H passait les jours à AVERTISSEMENT. XJ donner Tinstruction et le mouvement aux ateliers, et les nuits à ré- diger son Traité de VArt de fabriquer les cojions, ouvrage destiné à servir de manuel aux directeurs d'usines et aux artistes. » Ce fut dans son coufs à l'École Normale qu'il fit paraître , pour la première fois , ses Leçons de Géométrie descriptive , dont il ne lui avait pas été permis plus tôt de révéler les secrets. Un autre établissement qui précéda l'École Normale dans l'ordre des conceptions , mais qui , mûri plus longtemps par ses auteurs , la suivit de près dans l'ordre de l'exécution, vint réaliser une partie des espérances qu'on avait vainement conçues à la fondation de la première École encyclopé- dique qu'on eût ouverte en France. Monge y apporta les résultats de la longue expérience de Mézières ; il y joignit ses vues profondes et neuves , il créa le plan des études , indiqua leur filiation , et proposa les moyens scientifiques d'exécution. Sur quatre cents élèves appelés dès l'origine à l'École Polytechnique, les cincpiante plus instruits fu- rent réunis dans une école préparatoire : ce fut Monge qui les forma presque seul ; restant le jour entier au milieu d'eux , leur donnant tour à tour des leçons de Géométrie et d'Analyse ; . . . . les exhortant , les encourageant, les enflammant par cette ardeur, cette bienveillance , cette impétuosité de génie , qui le faisaient , en faveur de ses élèves , déployer les vérités de la science avec une force et un charme irrésis- tibles. Le soir, quand les travaux étaient finis , Monge en commençait d'un autre ordre; il écrivait les feuilles d'Analyse qui devaient servir de texte à ses Leçons prochaines , et le lendemain il se trouvait avec ses élèves au premier moment de leur réunion. La bonté de Monge n'était en lui ni le calcul du sage^ ni même l'effet de l'éduca- tion : c'était une bienveillance naive qu'il devait à son heureuse orga- nisation. II était né pour aimer et pour admirer. Il fiit exeessif dans son admiration comme dans son amour : par là peut*etre il ne resta pas toujours dans les limites où l'aurait arrêté l'impassible et fi^oide raison — Comme il était le père des élèves au sein de l'école, tel il était , au sein des camps , le père du soldat. Xij AVERTISSEMENT. )) En parcourant l'Italie pour recueillir les statues et les tableaux cédés à la France (*) , Monge avait été frappé du contraste singulier que présentent les monuments des Grecs et ceux des Egyptiens , transportés au bord du Tibre , sous Auguste et ses successeurs. Les caractères comparés des monuments antiques devaient être le sujet fréquent des entretiens du vainqueur de Tltalie et du commissaire qui recueillait , pour la patrie , les plus beaux fruits de la victoire. Monge concevait l'idée de reculer le domaine de l'histoire par delà les âges fabuleux de la Grèce; d'apprendre, avec la certitude du géomètre, ce qu'étaient les travaux des anciens sages de l'Orient; de retrouver, par la contemplation de leurs monuments , ce qu'ont été — les procédés de leurs arts , les usages de leur vie publique , l'ordre et la majesté de leurs fêtes et de leurs cérémonies, » Monge , chargé par le général en chef d'apporter au Directoire le traité de Gampo-Formio , fut , peu de temps après , au premier rang des savants qui composèrent la Commission des sciences et des arts qui devait accompagner l'expédition d'Egypte. Il fat le premier nommé président de l'Institut d'Egypte, formé sur le modèle de l'Institut de France. Deux fois il visita les Pyramides; il vit l'obélisque et les grandes murailles d' Héliopolis, il étudia les débris d'antiquités épars autour du Caire et d'Alexandrie. Ce fut dans une marche pénible , dans l'intérieur du désert , qu'il trouva la cause de cet étonnant phé- nomène connu sous le nom de mirage. Au temps de la révolte du Caire , il n'y avait dans la ville que quelques détachements de troupes ; le palais de l'Institut n'était gardé que pat* les savants : on avait pro- posé de se faire jour \e& armes à la main jusqu'au quartier général ; mais Monge et BerthoUet , songeant que le palais contenait les livre», les manuscrits , les plans et les antiquités , fruits de l'expédition , sou- tinrent que la conservation de ce précieux dépôt était le premiw de- (*) Par des traites solennels. {Note de l'éditeur, ) AVERTISSEMENT. xilj voir de® savants ; et ils se décidèrent k mourir, s'il le fallait , en défen- dant ce trésor. » Monge présida la Commission des sciences et des arts d'Egypte ; il contribua puissamment, par ses conseils, à la sage conception du plan, à la coordonnance , à la proportion des parties principales; enfin , aux moyens de perfectionner les arts d'exécution. » Monge avait une manière inimitable d'exposer les vérités les plus abstraites , et de les rendre sensibles par le langage d'action Cependant ce n'est qu'en combattant la nature , qu'il avait pu de- venir un excellent professeur : il parlait difficilement et presque en bégayant ; il avait dans le discours une prosodie vicieuse , qui lui fai- sait allonger à faux certaines syllabes et précipiter les autres avet^ rapidité. Sa physionomie , habituellement calme , présentait l'aspect de la méditation ; mais lorsqu'il parlait , oncroyait tout à coup voir un autre homme : un feu nouveau brillait tout à coup dans ses yeux , ses traits s'animaient , et sa figure devenait inspirée — » Monge, affaibli par les années, était encore la victime d'mie imagination qui , suivant les temps adverses ou propices , l'emportait au delà des justes craintes , comme au delà des justes espérances {*) Ses derniers moments ont été sans dernières penàées, sans derniers épanchements , sans derniers adieux : il s'est éteint dans le silence , sans angoisses, sans terreur et sans espérances La régularité du service n'a pas permis qu'une jeunesse généreuse vînt, à l'heure de ses funérailles , déposer la palme de la reconnaissance et des regrets sur la tombe de leur premier bienfaiteur ; mais , dès l'aurore qui suivit le jour des derniers devoirs, les élèves s'acheminèrent en C^) On en vit un bien déplorable effet, lorsqu*en 1816 son nom fut effacé de la liste des membres dk l'Institut. Cependant une juste confiance dans l'éclat de ses titres scientifiques aurait dû le préserver de tout abattement ; car pour de tels hommes , on peut dire avec Tacite : Prafulgebam eo ipso quod imagines eorum non visebantur ( Ann. HI, 76). ( Note de l'édite tir» ) XIV AVERTISSEMENT. silence vers le lieu de la sépulture , et y déposèrent un rameau de chêne auquel ils suspendirent, une couronne de laurier. Vingt-trois anciens élèves de l'Ecole Polytechnique , tous résidants de la ville de Douai , se réunirent spontanément, et décidèrent d'écrire en commun à M. BerthoUet, pour le prier de diriger l'érection d'un momiment, qui serait élevé aux frais des anciens élèves de l'École Polytechnique , en l'honneur de Gaspard Monge (*). » A la suite des fragments que nous venons de rapporter, M. De- lanibre ajoute : « Nous avons dû extraire de préférence les renseigne- » ments qui, faisant mieux connaître Tâme de M. Monge , explique- )> ront l'attachement de ses anciens élèves et les regrets de ses anciens )) confrères. » {*) Tous ceux qui ont eu connaissance de cette Lettre se sont empressés de concourir à un hommage si bien mérité. ( Wote de l'éditeur. ) PROGRAMME. Pour tirer la nation française de la dépendance où elle a été jusqu'à présent de l'industrie étrangère , il faut premièrement diriger l'édu- cation nationale vers la connaissance des objets qui exigent de T exac- titude , ce qui a été totalement négligé jusqu'à ce jour, et accoutumer les mains de nos artistes au maniement des instruments de tous les genres , qui servent à porter la précision dans les travaux et à me- . surer ses différents degrés : alors les consommateurs , devenus sen- sibles à l'exactitude , pourront l'exiger dans les divers ouvrages , y mettre le prix nécessaire , et nos artistes , familiarisés avec elle dès l'âge le plus tendre , seront en état de l'atteindre. Il faut, en second lieu, rendre populaire la connaissance d'un grand nombre de phénomènes naturels , indispensable aux progrès de l'industrie, et profiter, pour l'avancement de l'instruction générale de la nation , de cette circonstance heureuse dans laquelle elle se trouve , d'avoir à sa disposition les principales ressources qui lui sont nécessaires. Il Êiut enfin répandre , panni nos artistes, la connaissance des pro- cédés des arts , et celle des machines qui ont pour objet , ou de dimi- nuer la main-Kl'œnvre , ou de donner aux résultats des travaux plus d'nniformité et plus de précision; et, à cet égard, il faut l'avouer, nous avons beaucoup à puiser diez les nations étrangères. \ f XVJ PROGRAMME. On ne peut remplir toutes ces vues qu'en donnant à T éducation nationale une direction nouvelle. . C'est d'abord en familiarisant avec l'usage de la Géométrie des- criptive tous les jeunes gens qui ont de l'intelligence, tant ceux qui ont une fortune acquise, afin qu'un jour ils soient en état de faire de leurs capitaux un emploi plus utile et pour eux et pour l'État, que ceux mêmes qui n'ont d'autre fortune que leur éducation , afin qu'ils puissent un jour donner un plus grand prix à leur travail. Cet art a deux objets principaux : r^e premier est de représenter avec exactitude , sur des dessins qui n'ont que deux dimensions, les objets qui en ont trois, et qui sont susceptibles de définition rigoureuse. • Sous ce point de vue , c'est une langue nécessaire à Thomme de génie qui conçoit un projet , à ceux qui doivent en diriger l'exécution , et enfin aux artistes qui doivent eux-mêmes en exécuter les différentes parties. Le second objet de la Géométrie descriptive est de déduire de la description exacte des corps tout ce qui suit nécessairement de leurs formes et de leurs positions respectives. Dans ce sens , c'est un moyen de rechercher la vérité ; elle offre des exemples perpétuels du passage du connu à l'inconnu; et parce qu'elle est toujours appliquée à des objets susceptibles de la plus grande évidence , il est nécessaire de la faire entrer dans le plan d'une éducation nationale .x Elle est non- seulement propre à exercer les facultés intellectuelles d'un grand peuple , et à contribuer par là au perfectionnement de l'espèce hu- maine , mais encore elle est indispensable à tious les ouvriers dont le but est de donner aux corps certaines formes déterminées; et- c'est principalement parce que les méthodes de cet art ont été jusqu'ici trop PROGRAMME. xvij peu répandues , ou même presque entièrement négligées , que les pro- grès de notre industrie ont été si lents- On contribuera donc à donner à l'éducation nationale une direc- tion avantageuse, en femiliarisant nos jeunes artistes avec TappUcation de la Géométrie descriptive aux constructions graphiques qui sont nécessaires au plus grand nombre des arts , et en &isant usage de cette Géométiûe pour la représentation et la détermination des élé- ments des machines, au moyen desquelles l'homme, mettant à con- tribution les forces de la nature , ne se réserve , pour ainsi dire , dans ses opérations , d'autre travail que celui de son intelligence. Il n'est pas moins avantageux de répandre la connaissance des phé- nomènes de la nature , qu'on peut tourner au profit des arts. Le charme qui les accompagne pourra vaincre la répugnance que les hommes ont, en général, pour la contention d'esprit, et leur faire trouver du plaisir dans l'exercice de leur intelligence, que presque tous regardent comme pénible et fastidieux. Ainsi , il doit y avoir à l'École Normale un Cours de Géométrie descriptive. Mais, comme nous n'avons sur cet art aucun ouvrage élémentaire bien fait, soit parce que jusqu'ici les savants y ont mis trop peu d'in- térêt, soit parce qu'il n'a été pratiqué que d'une manière obscure par des personnes dont l'éducation n'avait pas été assez soignée , et qiii ne savaient pas communiquer les résultats de leurs méditations , un cours simplement oral serait absolument sans effet. Il est nécessaire , pour le cours de Géométrie' descriptive , que la pratique et l'exécution soient jointes à l'audition des méthodes. Ainsi , les élèves doivent s'exercer aux constructions graphiques de la Géométrie descriptive. Les arts graphiques ont des méthodes géné- Géom. Monge, «j^édil. c xviij PROGRAMME. râles , avec lesquelles on ne peut se familiariser que par l'usage de la règle et du compas . Parmi les différentes applications que Ton peut &ire de la Géométrie descriptive , il y en a deux qui sont remarquables , et par leur généra- lité , et par ce qu'elles ont d'ingénieux : ce sont les constructions de la perspective , et de la détermination rigoureuse des ombres dans les dessins. Ces deux parties peuvent être considérées comme le complé- ment de l'art de décrire les objets. TABLE DES MATIÈRES. f af es AvERTXsSEiisHT dc TÉditeur v Programme ♦ xv I. Nnméroc. I . Objet de la Géométrie descriptive i 2 à g. Considérations d*après lesquelles on détermine la position d'un point situé dans l'espace. De la méthode des projections. (PI, lyfig» i à 3.) i à 12 I o. Comparaison de la Géométrie descriptive avec l'Algèbre 12 et 1 3 II à i3. Convention propre à exprimer les formes et les positions des surfaces. Application au plan i3 à 18 14 à 2à. Solutions de plusieurs questions élémentaires relatives, à la ligne droite et au plan. (PL II et III, Jig. 4 à 1 1.) 18 à 27 II. « 23 a 26. Des plans tangents et des normales aux surfaces courbes 27 à 3o 27 à 3i. Méthode pour mener des plans tangents par des points donnés sur les surfaces. {PI. IV ei F, Jlg. m k i5.) 3o à 38 32. Des conditions qui déterminent la position du plan tangent à une sur- face courbe quelconque ; observation sur les surfaces développables. . 38 à 4o 33 et 34* Des plans tangents aux surfaces , menés par des points donnés dans Tespaoe 4^ ^4^ 35 à 44* ^^ P^^^ tangent à la surface d'une ou de plusieurs sphères. Propriétés remarquables du cercle , de la sphère , des sections coniques, et des surfaces courbes du second degré. {Pi. VI, VII et VIII^ fig. i6à 22.) 43 à 55 45 à 47- I^ phm tangent à une surfiice cylindrique, conique, à une surface de révolution , par des points donnés hors de ces surfaces. (PL IX et X^ fig. 23 à, 25. ) ^ 55 à 59 m. DES nm&SBGTIOKS DES SUEFACBS COUABCS. 48. Définition des courbes à double courbure 59 49 et 5o. Correspondance entre les opérations de la Géométrie descriptive et celles de rélimination algébrique 60 à 63 5i à 56. Méthode générale pour déterminer les projections des intersections de surface. Modification de cette méthode dans quelques cas particuliers. (PL XI , fig. o&.) 63 à 67 57 et 58. Des tangentes aux intersections de sur&ces 67 à 69 59 à 83. Intersection des surfaces cylindrique, conique, etc. Développements de ces intersections lorsque l'une des sur&ces auxquelles elles appartien- nent est développable. ( PL XII à XVIII, >^. 27 à 35. ) 69 à 89 XX TABLE DES MATIÈRES. NamérM. Patres. 84 à 87. Méthode de RoberPdifOMt mener une tangente à une courbe qui est donnée par la loi du mouvement d*un point générateur. Appli- cation de cette méthode à l'ellipse et à la courbe résultante de rintersection de deux ellipsoïdes de révolution qui ont un foyer commun. (PI, XVIlIy fig. 36 et 37. ) 89 à g?. IV. 88 à 102. Application de la méthode de construire les intersections des surfaces courbes à la solution de diverses questions. [PL XIX à XXUy fig. 38 à 42. ) ga à 109 v. io3. Udlité de l'enseignement de la Géométrie descriptive dans les écoles secondaires 109 et 1 1 o io4 à 109. Des courbes planes et k double courbure» de leurs développées, de leurs développantes, de leurs rayons de courbure. [PL XXIII, fig, 43 et 440 ' iio à ii4 1 1 o a 1 1 2. De la surface qui est le lieu géométrique des développées d'une courbe à double courbure; propriété remarquable des développées, con- sidérées sur cette surface. Génération d'une courbe quelconque à double courbure par un mouvement continu. {PL XXIII y fig. 45.) 114^117 ii3 à 124* ^^ surfaces courbes. Démonstration de cette proposition : « Une surfkce quelconque n^â , dans chacun 'àt ses points , que deux courbures ; chacune de œft oouri>ures â on sens particalieri son rayon particulier, et les deux arcs snr lesquels se mesurent ces deux courbures sont à angles droits snr Ia surface. » ( PL XXIV ^ /^ . 46 à 48 . ) 1 1 8 à 1 26 1 25 à 1 3 1 . Des lignes de courbure d'une surfaoe quelconque; de ses centras de courbure , et de la surface qui en est le lien géométrique. Appiiça- don à la division des voûtes en vonssoirs et à l'art du graveur. ( PL XXIV, /^ . 49 . ) • • • 1 26 à 1 3 4 THÉORIE DES OMBRES ET DE LA PERSPECTIVE. ! 32. Udlité des ombres tracés sur les épures. 1 35 1 33 à 1 35. De la description graphique des ombres. {PL XXVy XXVIei XXVII, fig.Sok52.) 137 à i56 THÉORIE DE LA PERSPECTIVE. 1 36 à 1 39. Méthodes pour mettre ks objets en perspective. ( PL XXVII2 , fig» 53.) 157 à 166 1 40 à 1 42 . De la détermination des teintes dans la représentation des objets, et de la Perspective aérienne.. .»....» « 167 à i8<> T 43 . Des variations qtw subissent les couleurs dans certaines circonstances . 1 80 à 1 84 FI^ DE LA TABIK DRS BtATIÀHIïS. D M » GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 1. t Objet de la Géométrie descriptive. 1. La Géométrie descriptive a deux objets : le premier, de donner les méthodes pour représenter sur une feuille de dessin qui n a que deux dimen- sions, savoir, longueur et largeur, tous les corps de la nature qui en ont trois, longueur, largeur et profondeur, pourvu néanpioins que ces corps puissent être définis rigoureusement. Le second objet est de donner la manière de reconnaître, d après une des- cription exacte, les formes des corps, et d en déduire toutes les vérités qui résultent et de leur forme et de leurs positions respectives. Mous allons d'abord indiquer les procédés qu'une longue expérience a fait découvrir, pour remplir le premier de ces deux objets; nous donnerons ensuite la manière de remplir le secohd. Considérations d'après lesquelles on détermine la position d'un point situé dans V espace. De la méthode des projections (PI. I , fig. i à 3) . 2. Les surfaces de tous les corps de la nature pouvant être considérées ■ comme composées de points, le premier pas que nous allons faire dans cette Géométrie Monge, 7* éd. i . a ' GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. » matière doit être dUndiquer la manière dont on exprime la position d'un point dans l'espace. L^espace test sans limites ; toutes ses parties sont parfaitement semblables , elles n ont rien qui les caractérise , et aucune d'elles ne pent servir de terme de comparaison pour indiquer la position d'un point. Ainsi, pour définir la position d^un point dans l'espace, il faut nécessai- rement rapporter cette position à quelques autres objets distincts des parties de l'espace qui les renferme, et qui soient eux-mêmes connus de position, tant de celui qui définit que de celui qui, veut entendre la définition ; et pour que le procédé puisse devenir lui-même d'un usage facile et journalier, il faut que ces objets soient aussi simples qu'il^ est possible, et que leur position soit la plus facile à concevoir. N 3. Parmi tous les objets simples , nous allons rechercher quels sont ceux qui présentent plus de facilité pour la détermination de la position d'un point;* et parce que la Géométrie n^offre rien de plus simple qu^un point, nous examinerons dans quel genre de considérations on serait entraîné si, pour déterminer la position d^un point, on le rapportait à un certain nombre d^au- très points dont la position serait connue; enfin, pour mettre plus de clarté dans cette exposition, nous désignerons 'ces points connus par les lettres suc- cessives Â, B, C, etc. Supposons d'abord que la définition de la position du point comporte qu'il soit à I mètre de distance du point connu A. Tout le monde sait que la propriété de la surface de la sphère est d'avoir tous ses points à égale distance de son centre. Ainsi, cette partie de la défi- nition exprime que le point que l'on veut déterminer a la même propriété que tous ceux de la surface d'une sphère dont le centre serait au point A , et dont le rayon serait i mètre. Mais les points de la surface de la sphère sont les seuls dans tout l'espace qui aient cette, propriété ; car tous les points de l'espace qui sont au delà de cette surface, par rapport au centre, sont plus éloignés du centre que de i mètre, et tous ceux qui sont entre cette surface et le centre sont, au contraire, moins éloignés du centre que de GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 3 I mètre : donc tous les points de la surface de la sphère non-seulement jouis* sent de la propriété énoncée dans la proposition , mais encore ils sont les seuls qui en jouissent; donc enfin, cette proposition exprime que le point cherché est un de ceux de la surface d une sphère dont le centre serait au point  y et dont le rayon serait i mètre» Par là, ce point est actuellement distinct d une infinité d^aulres^plaCés dans lespace, mais il est encore confondu avec tous ceux de la surface de la sphère ; il faut d autres conditions pour le reconnaître parmi eux. Supposons ensuite que , d'après la définition de la position du point , il doive être à a mètres de distance du second point connu B : il est évident qu'en raisonnant pour cette seconde condition comme pour la première, le point doit encore être un de ceux de la surface d'une seconde sphère , dont le centre serait au point B, et dont le rayon serait 2 mètres. Ce point, de- vant se trouver en même temps et sur la surface de la première sphère et sur celle de la deuxième , ne peut plus être confondu qu'avec ceux qui sont communs aux deux surfaces, et qui sont dans leur commune intersection : or, pour peu qu'on soit familiarisé avec les considérations géométriques, on sait que l'intersection des surfaces de deux sphères est la circonférence d un cercle dont le centre est sur la droite qui. joint ceux des deux sphères, et dont le plan est perpendiculaire à cette droite; donc, en vertu des deux conditions réunies , le point cherché est actuellement distinct de ceux qui sont sur les surfaces des deux sphères, et il ne peut plus être confondu qu'a- vec ceux de la circonférence du cercle, qui jouissent tous des deux condi- tions énoncées, et qui en jouissent seuls. Il faut donc encore une troisième condition pour le distinguer. Supposons enfin que le point doive se trouver à 3 mètres de distance d'un troisième point C, connu. Cette troisième condition le place parmi tous ceux de la surface d'une troisième sphère, dont le .centre serait au point C, et dont le rayon serait 3 mètres. Et parce que nous avons vu qu'il doit être sur la circonférence d'un cercle connu de position , pour satisfaire en même temps aux trois conditions , il faut qu'il soit un des points communs , et à la surface de la troisième sphère , et à la circonférence du cercle : or, on sait I . 4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. qu une circonférence de cercle et la surface d'ane sphère ne peuvent se cou^- per qu'en deux points; donc, en vertu des trois conditions, le point se trouve distingué de tous ceux de l'espace, et ne peut plus être que Fun des deux points déterminés; en sorte qu en indiquant, de plus, de quel côté il est placé par rapport au plan qui passe par les trois, centres, ce point est absolument déterminé, et ne peut plus être confondu avec aucun ^utre. On voit quen employant, pour déterminer la position dun point dans lespace, ses distances à d autres points connus, et dont le nombre est né- cessairement trois, on est entraîné dans d^ considérations qui ne sont pas assez simples pour servir de base à des procédés d un usage habituel. 4. Recherchons actuellement quelles seraient les considérations auxquelles on serait conduit , si, au lieu de rapporter la position d un point à trois autres points connus, on le rapportait à des droites données de position. Nous ferons observer, auparavant, qu'une ligne droite ne doit jamais être considérée comme terminée, et qu'elle peut toujours être indéfiniment pro- longée dans Tun et dans l'autre sens. Pour simplifier, nous nommerons successivement A , B, C, etc. , les droites que nous serons obligés d'employer. Si de la définition de la position du point il résulte qu'il doive se trouver, par exemple , à i mètre de distance de la première droite connue A , on énonce que ce point est l'un de ceux de la surface d'un cylindre à base cir- culaire, dont l'axe serait la droite A, dont le rayon serait i mètre, et qui serait indéfiniment prolongé dans les deux sens de sa longueur ; car tous les points de cette surface jouissent de la propriété énoncée dans la définition , et sont les seuls qui en jouissent. Par là, le point est distingué de tous les points de l'espace qui sont en dehors de la surface cylindrique; il est pa- reillement distingué de tous ceux qui sont dans l'intérieur du cylindre, et il ne peut être confondu qu'avec ceux de la surface cylindrique, parmi lesquels on ne peut le distinguer qu'au moyen de conditions nouvelles. Supposons donc que le point cherché doive, en outre., être placé à a mè- tres de distance de la seconde ligne droite B : on voit de même que par là GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5 . on place ce point sur la surface d'un second cylindre à base cii'culaire, dont l'axe serait la ligue droite B, et dont le rayon serait a mètres , mais avec tous les points de laquelle il est confondu , si Ton ne considère que la seconde condition seule. En réunissant ces deux conditions, il doit donc se trouver en même temps, et sur la première surface cylindrique, et sur la seconde : donc il ne peut être que lun des points communs à ces deux surfaces, c'est- à-dire lun de leur commune intersection. Cette ligne , sur laquelle doit se trouver le point, participe de la courbure de la surface du premier cylindre et de la courbure de celle du second, et est, en général, du genre de celles qu'on appelle courbes à double courbure. Pour distinguer le point de tous ceux de cette ligne , il faut une troisième condition. Supposons, enfin, que la définition énonce que le point demandé doive encore être à 3 mètres de distance d'une troisième ligne droite C. Cette nouvelle condition exprime qu'il est un de ceux de la surface d'un troisième cylindre à base circulaire, dont la troisième ligne droite C serait Taxe, et qui aurait 3 mètres de rayon : donc, en réunissant les trois condi- tions, le point cherché ne peut plus être quun de ceux qui sont communs, et à la troisième surface cylindrique , et à la courbe à double courbure, inter- section des deux premières. Or, cette courbe peut , en général , être coupée par la troisième surface cylindrique en huit points; donc les trois condi- tions réduisent le point cherché à être l'un des huit points déterminés , et parmi lesquels on ne peut le distinguer que par qiielques conditions particu- ' Hères, du genre de celles dont nous avons donné un exemple dans le cas des points. On voit que les considérations auxquelles on est conduit pour déterminer la position d'un point dans l'espace , par la connaissance de ses distances à trois lignes droites connues, sont encore bien moins simples que celles aux- quelles donnent lieu ses distances à trois points, et qu'ainsi elles peuvent encqre moins servir de base à des méthodes qui doivent être d^un service fréquent. 5. Parmi les objets simples que la Géométrie considère , il faut remarquer 6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. principalement : i^ le point qui n*a aucune dimension; a^ la ligne droite qui uen a quune; 3^ le plan qui en a deux. Recherchons s il ne serait pas plus simple de déterminer la position d un point, par la connaissance de ses dis- tances à des plans connus, qu^il ne Test d employer ses distances à des points ou à des lignes droites. Supposons donc qu'il y ait , dans l'espace , des plans non parallèles, connus de position, et que nous désignerons successivement par les lettres A, B, G,D,etc. Si, d après la définition de la position du point, il doit être, par exemple, à I mètre de distance du premier plan A, sans qu'il soit exprimé de quel côté il doit être placé par rapport à ce plan , on énonce qu il est un de ceux de deux plans parallèles au plan A, placés Tun d'un côté de ce plan, Tautre de^ l'autre, et tous deux à j mètre de distance du premier: car tous les points de ces deux plans parallèles satisfont à la condition exprimée, et sont, de tous ceux de lespace , les seuls qui y satisfassent. Pour distinguer, parmi tous les points de ces deux plans, celui dont on veut définir la position , il faut donc encore avoir recours à d autres conditions. Supposons, en second lieu, que le point cherc|ié doive être à a mètres de distance du second plan B : par là, on le place sur deux plans parallèles au plan B, tous deux à ^ mètres de distance de ce plan, lun dun côté, lautre de l'autre. Pour satisfaire en même temps aux deux conditions , il faut donc qu'il se trouve, et sur l'un des plans parallèles au plan A, et sur l'un des deux plans parallèles au plan B; et par conséquent, qu'il soit l'im dés points de la commune intersection de ces quatre plans : or, la commune intersection de quatre plans parallèles deux à deux, et de position connue, est Tassemblage de quatre ligues droites également connues de position; donc, en considérant en même temps ces deux conditions, le point n^est plus confondu avec tous ceux de l'espace, ni même avec tous ceux de quatre plans , mais seulement avec ceux de quatre lignes droites. Enfin , si le point doit être aussi à 3 mètres de distance du troisième plan C , on exprime qu'il doit être l'un de ceux des deux autres plans parallèles au plan C , et placés de part et d'autre, par rapport à lui, à 3 mètres de distance. Ainsi , en vertu GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 7 des trois conditions , il doit être en même temps, et sur Tun des deux derniers plans, et sur l'une des quatre lignes droites, intersections des quatre premiers plans : il ne peut donc être que l'un des points communs et à Tun de ces deux plans et à lune des lignes droites. Or, chacun des deux plans ayant un point commun avec chacune des quatre lignes droites, il y a huit points dans l'espace, qui satisfont à la fois aux trois conditions : donc, par ces trois conditions réunies , le point demandé ne peut plus être que l'un des huit points détermines, et parmi lesquels on ne peut le distinguer qu'au moyen de quel- ques conditions particulières. Par exemple, si, en indiquant la distance au premier plan A, l'on exprime aussi dans quel sens par rapport à ce plan la distance doit être prise, au lieu de deux plans parallèles au plan A, il n'y en a plus qu'un qu'il faille considérer; c'est celui qui est placé, par rapport à lui, du côté vere lequel la distance doit être mesurée. De même, si l'on indique dans quel sens par rapport au second plan la distance doit être .prise, on. exclut la considé- ration d'un des deux plans parallèles au second , et il n'y en a plus qu'un dont tous lesf points satisfassent à la seconde condition; et, en réunissant ces conditions, le point ne peut plus être sur les quatre droites d'intersection de quatre plans parallèles deux à deux, mais seulement sur l'intersection de ë deux plans, c'est-à-dire sur une ligne droite connue de position. Enfin , si l'on indique auàsi de quel côté le point doit être placé par rapport au troisième plan, de deux plans parallèles au troisième, il n'y en aura plus qu'un dont tous les points^ satisfassent à la dernière condition ; et , pour satisfaire en même temps à ces trois conditions, le point devra se trouver à l'intersection de ce troisième plan avec la droite unique , intersection des deux premiers. Il ne pourra donc plus être confondu avec aucun autre dans l'espace, et il sera, par conséquent , entièrement déterminé. On voit donc que, quoique, par rapport au nombre de ses dimensions, le plan soit un objet moins simple que la ligne droite qui n'en a qu'une, et que le point qui n'en a pas, il présente cependant plus de facilité que le point et la ligne droite pour la détermination d'un point dans l'espace : c'est ce procédé que l'on emploie ordinairement dans l'application de l'Algèbre à 8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. la Géométrie, où, pour chercher la position d'un point, on a coutume de chercher ses distances à trois plans connus de position. Mais dans la Géométrie descriptive, qui a été pratiquée, depuis beaucoup plus longtemps , par un beaucoup plus grand nombre d'hommes , et par des hommefs dont le temps était précieux , les procédés se sont encore simplifiés ; et, au lieu de la considération de trois plans, on est parvenu, au moyen de projections , à n'avoir plus besoin explicitement que de celle de deux. 6. On appelle projection d'un point sur un plan le pied de la perpendi- culaire abaissée du point sur le plan. Cela posé, si Ton a deux plans connus de position dans l'espace, et si l'on donne, sur chacun de ces plans, la projection du point dont on veut définir la position , ce point sera parfaitement déterminé. En effet, si, parla projection sur le premier plan, on conçoit une perpendi- culaire à ce plan, il est évident qu'elle passera par le point défini; de même, si , par' sa projection sur le second plan , on conçoit une perpendiculaire sur ce plan, elle passera de même par le point défini ; donc ce point sera en même temps sur deux lignes droites connues de position dans Tespace; donc il sera le point unique de leur intersection ; donc enfin il sera parfaitement déterminé. Dans les paragraphes suivants , on indiquera les moyens de rendre ce pro- cédé dun usagé facile, et de nature à être employé sur une seule feuille de dessin. 7. Si, de tous les points d'une ligne droite indéfinie AB [PL lifig. i), placée d'une manière quelconque dans lesp'ace, on conçoit des perpendi- culaires abaissées sur un plan LM NO , donné de position , tous les points de rencontre de ces perpendiculaires avec le plan seront dans une autre ligne droite indéfinie ab\ car elles seront toutes comprises dans le plan mené par AB perpendiculairement au plan LMNO , et elles ne pourront rencon- trer ce dernier que dans l'intersection commune des deux plans, qui, comme on sait , est une ligne droite. La droite ab^ qui passe ainsi par les projections de tous les points d'une GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 9 autre droite AB sur un plan LMNO, est ce qu'on appelle la projection de la droite AB sur ce plan. Gomme deux points suffisent pour déterminer la position d une ligne droite; pour coùstruire la projection d une droite, il suffît de construire celle de deux de ses points, et la droite menée par les projections de ces points sera la pro- jection demandée. Il suit de là que, si la droite proposée est elle-même perpendiculaire au plan de projection, sa projection se réduira à un seul point, qui sera celui de sa rencontre avec le plan. Étant données sur deux plans non parallèles LMNO, LMPQ {PL J^fig^ a), les projections ab^ a!h\ d^une même droite indéfinie AB, cette droite est dé- terminée : car, si, par lune des projections ab^ on conçoit un plan perpen- diculaire à LMNO, ce plan, connu de position, passera nécessairement par la droite AB ; de même , si , par Tautre projection alh\ on conçoit un plan perpendiculaire à LMPQ , ce plan , connu de position , passera par la droite AB. La position de cette droite , qui se trouve en n\éme temps sur deux plans connus, et par conséquent à leur commune intersection , est donc absolument déterminée. 8. Ce que nous venons de dire est indépendant de la position des plans de projection, et a lieu également, quel que soit Fangle que ces deu^ plans fassent entre eux. Mais si 1 angle que forment les deux plans de projection est très-obtus, Tangle que forment entre eux ceux qui leur sont perpendicu- laires est très-aigu, et, dans la pratique, de petites erreurs pourraient en ap- porter de très-grandes dans la détermination de la position de la droite. Pour éviter cette cause d'inexactitude , à moins qu on n^en soit détourné par quel- ques considérations qui présentent de plus grandes facilités , on fait toujours en sorte que les plans de projection soient perpendiculaires entre eux^ De plus , comme la plupart des artistes qui font usage de la méthode des pro- jections sont très-familiarisés avec la position dun plan horizontal et la direction du fil-à-plomb , ils ont coutume de supposer que , des deux plans de projection , 1 un soit horizontal et lautre vertical. Géométrie Monge, 7" éd. % lO GÉOBffÉTRIE DESGRIPTiyE. La nécessité de faire en sorte que dans les dessins les deux projections soient sur une nrême feuille, et que dans les opérations en grand elles soient sur une même aire , a encore déterminé les artistes à concevoir que le plan vertical ait tourné autour de son intersection avec le plan horizontal, comme charnière, pour s abattre sur le plan horizontal, et ne former avec lui qu^un seul et même plan, et à construire leurs projections dans cet état. Ainsi , la projection verticale est toujours tracée de fait sur un plan hori- zontal , et il faut perpétuellement concevoir qu'elle soit dressée et remise en place, au moyen d'un quart de révolution autour de Tintersection du plan horizontal avec le plan vertical. Pour cela, il faut que cette intersection soit tracée d une manière très-visible sur le dessin. Ainsi, dans la^g. a, la projection dhf de la droite ÂB ne s exécute pas sur un plan qui soit réellement vertical : on conçoit que ce plan ait tourné autour de la droite LM pour s'appliquer en LMP'Q' ; et c'est dans cette posi- tion du plan qu'on exécute la projection verticale dl/. Indépendamment des facilités d'exécution que présente cette disposition , elle a encore lavantage d'abréger le travail des projections. En effet, sup- posons que les points a, a! soient les projections horizontale et verticale du point A> le plan mené par les droites Aa , Aa', sera en même temps per- pendiculaire aux deux plans de projection , puisqu'il passe par des droites qui leur sont perpendiculaires; il sera donc aussi perpendiculaire à leur commune intersection LM ; et les droites aC , d^ , suivant lesquelles il coupe ces deux plans, seront elles-mêmes perpendiculaires à LM. Or, lorsque le plan vertical tourne autour de LM comme charnière, la droite ^C ne cesse pas, dans ce mouvement, detre perpendiculaire à LM; et elle lui est encore perpendiculaire lorsque , le plan vertical étant abattu , elle a pris la position C^. Donc les deux droites aC , Q»a[\ passant toutes deux par le point C, et étant toutes deux perpendiculaires à LM, sont dans le prolongement lune de l'autre; il en est de même des droites éD, D^, par rapport à tout autre point comme B. D'où il soit que, si l'on a la pro- jection horizontale d'un point , la projection de ce même point sur le plan vertical supposé abattu , sera dans la droite menée par la projection horizon- GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. II taie perpeDdicnlairemenl à Imtersecticm LM des deux plans; de projection , et réciproquement. Ce résultat est d un usage très-fréquent dans la pratique. 9. Jusqu'à présent, nous avons regardé la ligne droite A6 {PL I ^Jig. i) comme indéfinie , et alors nous n avions à nous occuper que de sa direction ; mais il peut se faire que cette droite soit considérée comme terminée par deux de ses points, A, B; et alors on peut, de plus, avoir besoin de connaître sa grandeur. Nous allons voir comment on peut la déduire de la connaissance de ses deux projection^. Lorsqu'une droite est parallèle à un des deux plans sur lesquels elle est projetée , sa longueur est égale à ceUe de sa projection sur ce plan , car la droite et sa projection , étant toutes deux terminées à deux perpendiculaires au plan de projection , sont parallèles entre elles , et comprises entre parai- lèles. Ainsi , dans ce cas particulier, la projection étant donnée, la longueur de la droite qui lui est égale est aussi donnée. On est assuré qu'une droite est parallèle à un des deux plans de projection , lorsque sa projection sur l'autre est parallèle à Tintersection de ces plans. Si la droite est en même temps oblique aux deux plans, sa longueur est plus grande que celle de chacune de ses projections; mais elle peut en être déduite par une construction très-simple. âoit AB {PL I^Jig' 11) la ligne droite, dont les deux projections â6 , c^b\ soient données , et dont il faille trouver la longueur ; si , par une de ses extré- mités A , et dans le plan vertical qui passe par la droite , on conçoit une horizontale AE, prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre en E la verticale abaissée par l'autre extrémité , on formem un triangle rectangle A£B , qu^il s agit de construire pour avoir la longueur de la droite AB, qui en est l'hy- poténuse. Or, dans ce triangle, indépendamment de l'angle droit, on con- naitle côté AE, qui est égal à la projection donnée ab. De plus, si flans le plan vertical on mène par le point a! une horizoatale afe^ qui sera la projection AE, elle coupera la verticale 6'Dy en un point e, qui sera la projection du point E. Ainsi , b^e sera la projection verticale de BE, et sera , 2. 12 ^ GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. par conséquent, de même longueur quelle. Donc, connaissant les deux côtés de l'angle droit, il sera facile de construire le triangle, dont Thypoténuse donnera la longueur de AB. Vidifig. a, étant en perspective, n'a aucun rapport avec les constructions de la méthode des projections : nous allons donner ici la construction de cette première question , dans toute sa simplicité. La droite LM {PL I^fig* 3) étant supposée l'intersection des deux plans de projection, et les droites ab^ a"b" étant les. projections données d^une ligne droite; pour trouver la longueur de cette droite, par le point a!' on mènera rhorizontale indéfinie He, qui coupera la droite bb" en un point e, et sur. la- quelle, à partir de ce poiut, on portera ab de e en H. On mènera Fhypoté- nuse Wfj et la longueur de cette hypoténuse sera celle delà droite demandée. Comme les deux plans de projection sont rectangulaires , l'opération que l'on vient de faire sur un de ces plans pouvait être faite sur Tautre, et aurait donné le même résultat. D'après ce qui précède, on voit que si Ton aies deux projections d'un corps terminé par des face& planes, par des arêtes rectilignes, et par des sommets d'angles solides, projections qui se réduisent aux systèmes de celles des arêtes rectilignes , il sera facile d'en conclure la longueur de telle de ses dimensions qu'on voudra; car, ou cette dimension sera parallèle à un des deux plans de projection, ou elle sera en même temps oblique aux deux : dans 1^ premier cas, la longueur demandée de la dimension sera égale à sa projection; dans le second, on la déduira de ces deux projections par le procédé que nous venons de décrire. Comparaison de La Géométrie descriptkfe a^ec V Algèbre. m 10. Ce serait ici le lieu d!indiquer la manière dont se construisent les pro- jections des solides terminés par des plans et des arêtes rectilignes; mais il n'y a pour cette opération aucune règle générale : on sent en effet, que, selon la manière dont la position des sommets des angles d'un solide est définie , la construction de leurs projections peut être plus ou moins facile , et que la GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. |3 nature de Topération doit dépendre de celle de la définition. Il en est pré- cisément de cet objet comme de l'Algèbre, dans laquelle il n'y a aucun pro- cédé fjénéral pour mettre un problème en équations. Dans chaque cas par- ticulier, la marche dépend de la manière dont la relation entre les quantités données et celles qui sont inconnues est exprimée ; et ce n'est que par des exemples variés que l'on peut accoutumer les commençants à saisir ces rela- tions et à les écrire par des équations. Il en est de même pour la Géométrie descriptive. C'est par des exemples nombreux et par Tusage de la règle et du compas dans des salles d'exercice, que l'on peut acquérir l'habitude des constructions, et que Ton s'accoutume au choix des méthodes les plus sim- ples et les plus élégantes, dans chaque cas particulier. Mais aussi, de même qu'en Analyse, lorsqu'un problème est mis en équations , il existe des procédés I ■ • pour traiter ces équations, et pour en déduire les valeurs de chaque inconnue ; de même aussi, dans la Géométrie descriptive, lorsque les projections sont faites ,^ il existe des méthodes générales pour construire tout ce qui résulte de la forme et de la position respective des corps. Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la Géométrie descriptive à l'Algèbre; ces deux sciences ont les rapports les plus intimes. U n'y a au- cune construction de Géométrie descriptive qui ne puisse être traduite en Analyse ; et lorsque les questions ne comportent pas plus de trois inconnues , chaque opération analytique peut être regardée comme l'écriture d'un spec- tacle en Géométrie. Il serait à désirer que ces deux sciences fussent cultivées ensemble : la Géométrie descriptive porterait dans les^opérations analytiques les plus com- pliquées l'évidence qui est son caractère, et, à son tour, l'Analyse porterait dans la Géométrie la généralité qui lui est propre. Convention propre à exprimer les /ormes et les positions des surfaces. application au plan. 11. La convention qui sert de base à la méthode des projections est propre à exprimer la position d'un point dans l'espace , à exprimer celle d'une ligne ^ • l4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. droite indéfinie ou terminée , et, par conséquent, à représenter la forme et la position d un corps terminé par des faces planes , par des arêles necttlignes , et parades sommets d angles solides; parce que, dans ce cas, le corps est entièrement connu quand on connaît la position de toutes ses arêtes et celle des sommets de tous ses angles. Mais si le corps était terminé , on par une surface courbe unique, et dont tous les points fussent assujettis à une même loi , comme dans le cas de la sphère , ou par l'assemblage discontinu de plu- sieurs parties de surfaces courbes différentes, comme dans le cas dW corps façonné sur le tour, cette convention non-seulement serait incommode , im- praticable , et n^aurait pas lavantage de faire image , mais encore elle man- ■ querait de fécondité et elle serait insuffisante. D'abord , il est facile de voir que la convention que nous avons faite serait incommode, et même impraticable, si elle était seule; car, pour exprimer la position de tous les points d'une surface courbe, il faudrait non^seulement que chacun d eux fàt indiqué par sa projection horizontale et par sa pro- jection verticale, mais encore que les deux projections d'un même point fussent liées entre elles, afin qu*on ne tài pas exposé à combiner la projec- tion horizontale dun certain point avec la projection verticale dun autre; et la manière la plus simple de lier entre elles ces deux projections , étant de les joindre par une même droite perpendiculaire à la ligne d'intersection des deux plans de projection , on surchargerait les dessins d'un nombre prodi- gieux de lignes qui y jetteraient une confusion d autant plus grande, qu^on voudrait approcher davantage de l'exactitude. Nous allons faire voir ensuite que cette méthode serait insuffisante, et qu'elle manquerait de la fécondité nécessaire. Parmi le nombre infini de surfaces courbes différentes , il en existe quel-- ques-unes qui ne s'étendent que dans une partie finie et circonscrite de l'es- pace, et dont les projections ont une étendue limitée dans toutes les direc- tions; celle de la sphère, par exemple, est dans ce cas. L'étendue de sa projection sur un plan se rédoit à celle d'un cercle de même rayon que la sphère; et l'on peut concevoir que le plan sur lequel on doit en faire la pro- jection ait des dimensions assez grandes pour la recevoir. Mais toutes les GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i5 surface» cyliadrique& sont indéSnies dans une certaine direction , comme la droite qui leur sert de génératrice. Le plan lui-même, qui est la plus simple des surfaces, eât indéfini dans deux sens. Enfin , il existe un grand nombre de surfaces dont les nappes multipliées s'étendent en même temps dans toutes les régions de lespace. Or, les plans sur lesquels on exécute les projections ont nécessairement une étendue limitée. Si donc on n avait d^autre moyen pour faire connaître la nature d'une surface courbe , que les deux projections de chacun des points par lesquels elle passe, ce moyen ne serait applicable qu'à ceux des points.de la surface qui correspondraient à Fétendue des plans de projection ; tous ceux qui seraient au delà ne pourraient être ni exprimés ni connus : ainsi, la méthode serait insuffisante. Enfin, elle manquerait de fécondité , parce qu'on ne pourrait en déduire rien de ce qui serait relatif aux plans tangents de la surface, à ses normales, à ses deux courbures en chaque point, à ses lignes d'inflexion, à ses arêtes de rebroussement , à ses lignes multiples, à ses points multiples, à toutes les affections enfin qu'il est nécessaire de considérer, dès qu'on veut opérer sur une surface courbe. Il a donc fallu avoir recours à une convention nouvelle qui fût compatible avec la première , et qui pût la suppléer partout où elle aurait été insuf- fisante. C est cette convention nouvelle que nous allons exposer. 12. IL n y a aucune surface courbe qui ne puisse être regardée comme engendrée par le mouvement dune ligne courbe, ou constante de forme lorsqu'elle change de position , ou variable en même temps et de forme et de position dans l'espace. Gomme cette proposition pourrait être difficile à comprendre à cause de sa généralité, nous allons l'expliquer sur quelques- uns des exemples avec lesquels nous sommes déjà familiarisés. Les surfaces cylindriques peuvent être engendrées de deux manières principales : ou par le mouvement d'une ligne droite qui reste toujours pa- rallèle à une droite donnée pendant qu'elle se meut, en s appuyant toujours sur une courbe donnée ; on par le mouvement de la courbe qui servait de conductrice dans le premier cas, et qui se meut de manière que, s'appuyant toujours par le même point sur une droite donnée, tous les autres points l6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. décrivent des lignes parallèles à cette droite. Dans Tune et l'autre de ces deux' générations , la ligne génératrice , qui est une droite dans le premier cas et une courbe quelconque dans le second , est constante de forme : elle ne fait que changer de position dans Tespace. Ijes surfaces coniques ont , de même , deux générations principales. On peut d^abord les regarder comme engendrées par une droite indé^ finie qui, étant assujettie à passer toujours par un point donné, se meut de manière qu elle s^appuie constamment sur une courbe donnée qui la dirige dans son mouvement. Le point unique par lequel passe toujours la droite est le centre delà surface; c'est improprement qu'on lui a donné le nom de sommet. Dans cette génération, la ligne génératrice est encore constante de forme ; elle ne cesse jamais d être une ligne droite. On peut ensuite engendrer les surfaces coniques d'une autre manière; que , pour plus de simplicité, nous n appliquerons ici quau cas de celles qui sont à bases circulaires. Ces surfaces peuvent être regardées comme parcou* rues par la circonférence d un cercle qui se meut de manière que son plan restant toujours parallèle à lui-même, et son centre se trouvant toujours sur la droite dirigée au sommet, son rayon, dans chaque instant du mou* vement , soit proportionnel à la distance de son centre au sommet. On voit que si, dans son mouvement, le plan du cercle tend à s'approcher du sommet de la surface , le rayon du cercle décroit pour devenir nul lorsque le plan passe par le sommet, et que ce rayon change de sens pour croître ensuite indéfiniment, lorsque le plan, après avoir passé par le sommet, s en écarte de plus en plus. Dans cette seconde génération, non-seulement la circonférence du cercle , qui est la courbe génératrice , changé de position , elle change encore de forme à chaque instant de son mouvement, puisqu'elle change de rayon, et, par conséquent, de courbure et d'étendue. Citons enfin un troisième exemple. Une surface de révolution peut être engendrée par le mouvement d une courbe plane , qui tourne autour d une ligne droite placée d une manière quelconque dans son plan. Dans cette manière de la considérer ,* sa courbe génératrice est constante de forme; elle est seulement variable de position. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 17 Mais aussi on peul la regarder comme engendrée par la circonférence d'un cercle qui se meut de manière que son centre étant toujours sur l'axe, et son plan étant toujours perpendiculaire à cet axe, son rayon soit à chaque instant égal à la distance du point où le plan du cercle coupe Taxe à celui où il coupe une courbe quelconque donnée dans l'espace. Alors la courbe gé- nératrice change en même temps et de forme et de position. Ces trois exemples doivent suffire pour faire comprendre que toutes les surfaces courbes peuvent être engendrées par le mouvement de certaines lignes courbes, et qu'il n'y en a aucune dont la forme et la position ne puissent être entièrement déterminées par la définition exacte et complète de sa génération. C'est cette nouvelle considération qui forme le complément de la méthode des projections. Nous aurons souvent occasion, par la suite, de nous assurer et de sa simplicité et de sa fécondité. Ce n'est donc pas en donnant les projections des points individuels par lesquels passe une surface courbe, que l'on en détermine la forme et la position, mais en niettant à portée de construire par un point quelconque la courbe génératrice, suivant la forme et la position quelle doit avoir en passant par ce point. Sur quoi il faut observer : i^ que chaque surface courbe pouvant être engendrée d'un nombre infini de manières différentes, il est de l'adresse et de la sagacité, de celui qui opère, de choisir parmi toutes les générations possibles, celle qui emploie la courbe la plus simple, et qui exige les considérations les moins pénibles ; 2^ qu'un long usage a ajipris qu'au lieu de ne considérer pour chaque surface courbe qu'une seule de ses générations, ce qui exigerait l'étude de la loi du mouvement et de celle du changement de forme de sa génération , il est souvent plus simple de consi- dérer en même temps deux génératrices différentes, et d'indiquer pour cha- que point la construction des deux courbes génératrices. Ainsi, dans la Géométrie descriptive, pour exprimer la forme et la position d'une surface courbe, il suffit, pour un point quelconque de cette surface, ;et dont une des projections peut être prise à volonté, de donner la manière de construire les projections horizontale et verticale de deux génératrices dif- férentes qui passent par ce point. Géométrie Monge, 7* éd. 3 l8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 13. Appliquons actuellement ces généralités au plan, qui, de' toutes les surfaces , est la plus simple , et celle dont 1 emploi est le plus fréquent. Le plan est engendré par une première droite donnée d*abord de position , et qui se meut de manière que tous ses points décrivent des droites parallèles à une seconde droite donnée. Si la seconde droite est elle-même dans le plan que Ion considère , on peut dire aussi que ce plan est engendré par la seconde . droite , qui se meut de manière que tous ses points décrivent des droites parallèles à la première. On a donc Tidée de la position d'un plan par la considération de deux lignes droites, dont chacune peut être regardée comme sa génératrice. La position de ces deux droites dans le plan qu elles peuvent engendrer est absolument indifférente : il ne s'agit donc , pour la méthode des projections , que de choisir celles qui exigent les constructions les plus simples. C'est pour cela que , dans la Géométrie descriptive , on indique la position d^un plan , en donnant les deux droites suivant lesquelles il coupe les plans de projec- tion. Il est facile de reconnaître que ces deux droite^ doivent rencontrer en un même point Fintersection des deux plans de projections , et que , par con- séquent , ce point est celui où elles se rencontrent elles-mêmes. Comme il arrivera très-fréquemment que nous ayons des plans à consi- dérer, pour abréger le langage, nous donnerons le nom de traces aux droites selon lesquelles chacun d'eux coupera les plans de projections y et qui ser- . viront à indiquer sa position. Solutions de plusieurs questions élémentaires relatives à la Ugne étroite et au plan (PL II et m, fig. ^k 1 1). 14. Ces préliminaires étant posés, nous allons passer aux solutions de. plusieurs questions successives, qui rempliront le double objet de nous exercer à la méthode des projections, et de nous procurer les moyens de faire ensuite de nouveaux progrès dans la Géométrie descriptive. Première question. — Étant donnés {PL Iljjig. 4) un point dont lespro- GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 19 jections soient D^d^ei une droite dont les projections soient AB et ab^ con- struire les projections d'une seconde droite menée par le point donné paral- lèlement à la première? Solution. Les deux projections horizontales de la droite donnée et de la droite cherchée doivent être parallèles entre elles; car elles sont les inter- sections de. deux plans verticaux parallèles, par un même plan. Il eii est de même des projections verticales des mêmes droites. De plus, la droite de- mandée devant passer par le point donné, ses projections doivent passer . * respectivement par celles du même point. Dpnc, si par le point D on mène EF parallèle à AB, et si par le point d on mène e/* parallèle à ab^ les droites EF et ç/*seront les projections demandées. 15. Deuxième question. — Étant donnés {PL II y fig. 5) un plan, dont les deux traces soient AB, BC, et qn point dpnt les projections soient G, g, construire les traces d un second plan mené par le point donné parallèle- ment au premier? Solution. Les traces du plan demandé doivent être paraUèles aux traces respectives du plan donné , puisque ces traces , considérées deux à deux , sont les intersections de deux plans parallèles, par un* même plan. Il ne reste donc plus à trouver, pour chacune. d'elles, qu un seul des points par lesquels elle doit passer. Pour cela , pai: le point donné, concevons une droite horizontale qui soit dans le plan cherché ; cette droite sera parallèle à la trace AB , et elle coupera le plan vertical en un point, qui sera un de ceux de la trace du plan cherché sur le vertical, et Ion aura ses d^ux projections en menant par le point g Thorizontale indéfinie gF, et par le point G la droite GI , parallèle à AB. Si Ton prolonge GI jusqu a ce qu elle rencontre intersec- tion LM des deux plans de projection en un point I , ce point sera la pro- jection horizontale de Imtersection de la droite horizontale avec le plan vertical. Donc ce point d'intersection se trouvera sur la verticale IF, menée par le point I. Mais il doit se trouver aussi sur gF; donc il se trouvera au 3. 10 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. point F d'inlersectioii de ces deux dernières droites. Donc enfin, si par le point F on mène une parallèle à BC, elle sera, sur le plan vertical, la trace du plan cherché; et si^ après avoir prolongé cette trace jusqu^à ce qu'elle rencontre LM en un point E, on mène ED parallèle à AB, on aura la trace du même plan sur le plan horizontal. Au lieu de concevoir sur le plan cherché une droite horizontale, on aurait pu concevoir une parallèle au plan vertical, ce qui, par un raisonnement absolument semblable, aurait donné la construction suivante : On mènera par le point G, et parallèlement à LM, la droite indéfinie 6D ; par le point g* on mènera gH parallèle à CB, et on la prolongera jusqu'à ce qu^elle coupe LM en un point H , par lequel on mène HD perpendiculaire à LM : cette dernière coupera GD en un point D, par lequel, si Ton mène une parallèle à AB, on aura une des traces du plan demandé; et si, après avoir prolongé cette trace jusqu'à ce qu elle rencontre LM en un point E, on mène EF parallèle à BC , on aura la trace sur le plan vertical. 16. Troisième question. — Étant donnés {PL Iljjig. 6) un plan dont les deux traces soient AB, BC, et un point dont les deux projections soient D, J, construire, i^ les projections de la droite abaissée perpendi- culairement du point sur le plan; a^ celle du point de rencontre de la droite et du plan. Solution. Les perpendiculaires DG, dg, abaissées des points D et ^ sur les traces respectives du plan , seront les projections indéfinies de la droite demandée; car, si par la perpendiculaire on conçoit un plan vertical, ce plan coupera le plan horizontal et le plan donné en deux droites, qui seront, Tune et Fautre, perpendiculaires à la commune intersection AB de ces deux plans : or, la première de ces droites , étant la projection du plan vertical , est aussi celle de la perpendiculaire quil renferme; donc la projection de cette perpendiculaire doit passer parle point D, et être perpendiculaire à AB. La même démonstration a lieu pour la projection verticale. Quant au point de rencontre de la perpendiculaire et du plan , il est évi- GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Sèf deat qu'il doit se trouver sur rintersection de ce plan avec le plan vertical mené par la perpendiculaire; intersection qui est projetée indéfiniment sur EF. Si Ion avait la projection verticale yê de cette intersection, elle con- tiendrait celle du point demandé; et parce que ce point doit aussi être pro- jeté sur la droite dg^ il se trouverait à Tintersection g des deux droites y^ eidg. Il ne reste donc plus à trouver que la droite yé : or, Tintersection du plan donné avec le plan vtrtical qui lui est perpendiculaire, rencontre le ' plan horizontal au point E , dont on aura la projection verticale e, en abais- sant Ee perpendiculairement sur LM ; et elle rencontre le plan vertical de projection en un point dont la projection horizontale est Imterscction F de la droite LM avec D6, prolongée, s'il est nécessaire, et dont la projection verticale doit être sur la verticale F/et sur la trace CB; elle sera donc au pointy de leur intersection. La projection verticale g du pied de la perpendiculaire étant trouvée, il est facile de construire sa projection horizontale; car, si Ion abaisse sur LM la perpendiculaire indéfinie gG, cette droite contiendra le point demandé : or la droite DF doit aussi le contenir; donc il sera au point G de l'intersec- tion de ces deux droites. 17. Quatrième question, — Étant donnés [PL Il^^fig. 7 ) une droite dont les deux projections soient AB , ah^ et un point dont les deux projections soient D, r/, construire les traces du plan mené par le point perpendiculaire- ment à la droite? Solution. On sait déjà, par la question précédente, que les deux traces doivent être perpendiculaires aux projections respectives des deux droites; il reste à trouver, pour chacune d'elles, un des points par lesquels elle doit passer. Pour cela , si, par le point donné, on conçoit, dans le plan cherché , une horizontale prolongée jusqu^à la rencontre du plan vertical de projec- tion , on aura sa projection verticale en menant par le point d une horizon- tale indéfinie ^G, et sa projection horizontale en menant par le point D une perpendiculaire DH à AB^ prolongée jusqu^à ce quelle coupe LM en un 22 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. point H, qui sera la projection horizootale du point de rencontre de l'hori- zontale avec le pian vertical de projection. Ce point de rencontre, qui doit se trouver dans la veilicale HG et dans Thorizontale dG , et par conséquent au point G d'intersection de ces deux droites, sera donc un des points de la trace Y sur le plan vertical; donc on aura cette trace, en menant par le point G la droite FG perpendiculaire à ab; donc enfin, si par le point C, où la pre- mière trace rencontre LM. on mène CE perpendiculaire à AB, on aura la seconde trace demandée. SHl était question de trouver le point de rencontre du plan avec la droite , on opérerait exactement comme dans la question précédente. Enfin, s'il fallait abaisser une perpendiculaire du point donné sur la droite, on construirait, comme nous venons xle le dire, la rencontre de la droite avec le plan mené par le point donné, et qui lui serait perpendiculaire; et Ion aurait, pour chacune des deux projections de la perpendiculaire de- mandée, deux points par lesquels elle doit passer. 18. Cinquième question. — Deux plans étant donnés de position {PL III ^ Jig. 8), au moyen de leurs traces AB et Ab pour l'un, CD et Crfpour l'autre, construire les projections de la droite si^ivant laquelle ils se coupent? Solution. Tous les points de la trace AB se trouvant sur le premier des deux plans donnés, et tous ceux de la trace CD se trouvant sur le second, le point E d'intersection de ces deux traces est évidemment sur les deux plans ; il est, par conséquent, un des points de la droite demandée. On reconnaîtra de même que le point F d'intersection des deux traces sur le plan vertical est encore un autre point de cette droite. L'intersection des deux plans est donc placée de manière qu elle rencontre le plan horizontal en E et le plan vertical en F. Donc, si l'on projette le point F sur le plan horizontal, ce qu'on fera en abaissant sur LM la perpendiculaire F/, et si l'on mène la droite fE , elle sera la projection horizontale de l'intersection des deux plans. De même, si l'on projette le point E sur le plan vertical , en abaissant sur IM la perpen- GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a 3 diculaire Ee, et si 1 on mène ladraite ËF, elle sera la projection verticale de la même intersection. 19. Sixième question. — Denx plans {PL Illyjig. 9) étant donnés, au moyen des traces AB, Ab du premier, et des traces CD, G^ du second, construire l'angle quils forment entre eux? Solution. Après avoir construit, comme dans la question précédente, la projection horizontale Efde Imtersection des deux plans; si Ton conçoit un troisième plan qui leur soit perpendiculaire, et qui soit, par conséquent, per- pendiculaire à leur commune intersection, ce troisième plan coupera les deux plans donnés en deux droites , qui comprendront entre elles un angle égal à Tangle demandé. De plus, la trace horizontale de ce troisième plan sera perpendiculaire à la projection Ey*de Tintersection des deux plans donnés, et elle formera avec les deux autres droiteâ un triangle dont langle opposé au côté horizontal sera Tangle demandé. Il ne s agit donc plus que de construire ce triangle. Or il est indifférent par quel point de Tintersection des deux premiei*s plans passe le troisième ; on peut donc prendre sa trace à volonté sur le pian horizontal , pourvu qu elle soit perpendiculaire à Ë/I Soit donc menée une droite quelconque 6H, perpendiculaire à E/^ terminée en G et en H aux traces des deux plans donnés, et qui rencontre E/'en un point I; cette droite sera la base du triangle qu'il faut construire^ Actuellement, concevons que le plan de ce triangle tourne autour de sa base GH comme charnière , pour s appliquer sur le plan horizontal; dans ce mouvement, son sommet, qui est d abord placé sur Tintersection des deux plans , ne sort pas du plan vertical mené par cette intersection, parce que ce plan vertical est perpendiculaire à GH ; et lorsque le plan du triangle est abattu , ce sommet se trouve sur un des points de la droite E/ Ainsi il ne reste plus à trouver que la hauteur du triangle ou la grandeur de la perpendiculaire abaissée du point I sur Tinter- section de deux plans. Mais cette perpendiculaire est comprise dans le plan vertical mené par EJ. 5 i a4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Si donc on conçoit que ce plan tourne autour de la verticale yT pour s'ap- pliquer sur le plan vertical de projection, et si l'on porte f^ de f en e^fl do jf en /, la droite eF sera la grandeur de la partie de l'intersection comprise entre les deux plans de projection j et si du point l Ion abaisse sur cette droite la perpendiculaire ik, elle sera la bauteur du triangle demandé. Dofic enfiû , portant i de I en K, et achevant le triangle GKH, 1 angle en K sera égal à Tangle formé par les deux plans. 20. Septième question. — Deux droites qui se coupent dans lespace ( Pi Illjjig, lo) étant données par leurs projections borizontales AB, AC, et par leurs projections verticales- ne, ac, construire Tangle qu'elles forment entre elles? Avant de procéder à la solution , nous remarquerons que , puisque les deux droites données soiit supposées se couper, le point A de rencontre de leurs projections borizontales, et le point a de rencontre de leurs projections verticales, seront les projections du point dans lequel elles se coupent, et seront, par conséquent, dans la même droite aGA perpendteulaire à LM. Si les deux points A et a n'étaient pas dans une même perpendiculaire à LM , les droites données ne se couperaient pas, et par conséquent ne seraient pas dans un même plan. Solution. On concevra les deux droites données prolongées jusqu'à ce quelles rencontrent le plan horizontal, chacune en un point , et Ton construira ces deux points de rencontre. Pour cela, on prolongera les droites ab, ac . jusqu'à ce qu elles coupent LM en deux points r/, e, qui seront les projections verticales de ces deux points de rencontre : par les points l'autre aurait un angle aigu; et dans la réaction que les deux voussoirs exercent lun sur lautre, ces deux angles ne seraient pas capables de la même résistance : à cause de la fragilité des matériaux , langle aigu serait exposé à éclater, ce qui altérerait la forme de la voûte et com- promettrait la durée de 1 édifice. Ainsi , la décomposition d'une voûte en vous- soirs exige donc absolument la considération des pians tangents et des nor- males à la surface courbe de la voûte. 25. Passons à un autre exemple pris dans un genre qui, au premier coup d œil, ne parait pas susceptible d'une aussi grande sévérité. On a coutume de regarder la Peinture comme composée de deux partie^ distinctes : Tune est lart proprement dit; elle a pour objet d exciter dans le GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ag spectateur une émotion détermiDée , de faire naître en lui un sentiment donné, ou de le mettre dans la situation qui le disposera le mieux à recevoir une certaine impression ; elle suppose dans lartiste une grande habitude de la philosophie ; elle exige de sa part les connaissances les plus exactes sur la nature des choses, sur la manière dont elles agissent sur nous, et sur les signes , même involontaires , par lesquels cette action se manifeste ; elle ne peut être que le résultat d^une éducation très-distinguée, que Ion ne donne à personne, et que nous sommes bien éloignés de donner à nos jeunes artistes; elle nest soumise à aucune règle générale; elle ne suppose que des conseils. L'autre partie de la Peinture en est, à proprement parler, le métier : son but est l'exécution exacte des conceptions de la première. Ici rien n est arbi- traire ; tout peut être prévu par un raisonnement rigoureux , parce que tout est le résultat nécessaire d^objets convenus et de circonstances données. Lors- qu'un objet est déterminé de forme et de position, lorsqu'on connaît la nature , le nombre et la position de tous les corps qui peuvent Péclairer, soit par une lumière directe, soit par des rayons réfléchis; lorsque la position de ê % Toeil du spectateur est fixe , lorsque enfin toutes les circonstances qui peuvent influer sur la vision sont bien établies et connues , la teinte de chacun des points de la surface visible de cet objet est absolument déterminée. Tout ce qui a rapport à la couleur de cette teinte et à son éclat dépend de la position du plan tangent en ce point à Tégard des corps éclairants et de Toeil du spectateur : elle peut être trouvée par le seul raisonnement ; et lorsquelle est ainsi déterminée , elle doit être appliquée avec exactitude. Tout affaiblisse- ment, toute exagération changeraient les apparences, altéreraient les formes et produiraient un autre effet que celui qu attend lartiste. Je sais bien que la rapidité de 1 exécution , qui est souvent nécessaire , ne permettrait que bien rarement Temploi d une méthode qui priverait Tesprit de tout secours matériel, et labandonnerait à lexercice de ses seules facultés, et qu il est beaucoup plus facile aru peintre de poser les objets , d observer leurs teintes et les imiter; mais s il était accoutumé à considérer les positions des plans tangents et les deux courbures des surfaces en chacun de leurs points , courbures qui feront lobjet de leçons ultérieures , il tirerait de ce 3o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. moyeu matériel un parti plu8 avaalagenx; il serait en état de rétablir les effets que 1 omissioD de quelques ciroonstances a empêchés de naître , et de supprimer ceux auxquels donueut lieu des circonstances étrangères. Enfio, les expressions vagues, comme celles de méplat ^ clair^^bscur, que les peintres emploient à chaque instant, sont un témoignage constant du besoin qu'ils ont de connaissances plus exactes et de raisonnements plus rigoureux. 26. Indépendamment de son utilité dans les arts, la considération des plans tangents et des normales aux surfaces courbe^ est un des moyens les plus féconds que la Géométrie descriptive emploie pour la résolution de ques- tions qu'il serait très-difficile de résoudre par d'autres prot^édés, et nous en donnerons quelques exepiples. Méthode pour mener des plans tangents par des points donnés sur les surfaces (PI. IV et V, fig. i a à 1 5). 27. La méthode générale pour déterminer le plan tangent à une surface courbe consiste (n^ 23) à concevoir par le point de contact les tangentes à deux courbes génératrices différentes qui passeraient par ce point , et à construire le plan qui passerait par ces deux droites. Dans quelques cas par- ticuliers, pour abréger les constructions, on s écarte un peu de cette méthode prise à la lettre, mais on fait toujours l'équivalent. Quant à la construction de la normale , nous ne nous en occuperons pas en particulier, parce qu^elle se réduit à celle d'une droite perpendiculaire au plan tangent , ce que nous savons faire. 28. Première question. — Par un point considéré sur une surface cylin- drique, et dont la projection horizontale est donnée , mener un plan tangent à cette surface? Solution. Soient AB , ah {PL If^^ Jig. i st ) les projections Itorizontale et verticale de la droite donnée , à laquelle la génératrice de la surface cylin- GÉOMÉTBIE DESCRIPTIVE. 3f drique doive être paitiUèle ; soit BPD lâ courbe donnée dans le plan hori- zontal , sur laquelle la génératrice doive constamment $ appuyer, et que Ion peut regankr comme la trace de la surface cylindrique ; enfin soit C la pro- jectifon horisotilale donnée du point considéré »ur la surface cylindrique, par lequel doive être mené le plan tan^nt. Cela posé^ par le point considéré sur la surface, et dont la projection horizontale est en C, concevons la droite génératrice dans la position qu'elle doit avoir, lorsqu'elle passe par ce point : cette génératrice étant une ligne droite, elle sera elle-même sa propre tangente; elle sera donc une des deux droites qui détermineront la position du plan tangent ; de plus , elle sera parallèle à la droite donnée : donc ses deux projections seront respectivement parallèles à A6 et ab; donc, si par le point C on mène à AB une parallèle indéfinie EF, on aura la projection horizontale de la génératrice. Pour avoir sa projection verticale, coqcevons la génératrice prolongée sur la surface cylindrique jusqu a ce qtt elle rencontre let plan horizontal ; elle ne le pourra faire que dans un point qui sera en même temps sur la projection EF et sur la courbe EPD, et qui sera, par conséquent, Tintersection de ces deux lignes : ainsi Ion déterminera ce point, en prolongeant EF jnsqùa ce quelle coupe quelque part la coupe EPD. Ici il se présente deux cas : ou la droite EF ne coupera la trace du cylindre qu'en un seul point, ou elle la coupera en plusieurs points. Nous allons examiner ces deux cas séparément, et supposer d*abord que, quelque prolongée que soit la droite EF, elle ne rencontre la courbe EPD qu'en un seul point D. Le point D étant la trace de la génératrice , si on le projette sur le plan vertical au moyen de la perpendiculaire Ddf, et si par le point d on mène dj parallèle à a6, on aura la projection verticale de la génératrice. Ainsi on aura les deux projections d une des droites par lesquelles doit passer le plan tangent demandé* De plus , la projection verticale do point de contact doit se trouver sur la droite Ce', menée du point donné C perpendiculairement à LM; elle doit aussi se trouver mrdf; donc elle sera au point û d'intersection de ces deux lignes. 3^ GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Si la droite EF coupe la trace EPD de la surface cylindrique en plusieurs points Dy E 9 on opérera pour chacun de ces points de la même manière que nous venons de décrire pour le point D, regardé comme seul ; il en résultera seulement qu*on aura les projections verticales df^ ef\ d autant de droites génératrices, et les projections verticales Cy d^ d autant de points de contact quHl y aura de points dlntersection entre la droite EF et la trace EPD. Dans le cas de la fi^. i a , Plj[^0y la trace de la surface cylindrique est une circonférence de cercle qui a la propriété detre coupée par une droite en deux points : ainsi la verticale élevée par le point donné C doit rencontrer deux fois la surface , d'abord dansun premier point , dont la projection ver- ticale est c, et par laquelle passe la génératrice, lorsqu'elle s^appuie sur le point D9 et ensuite dans un second point, dont la projection verticfale este, et par laquelle passe la génératrice lorsqu'elle s appuie sur le point E de la trace. Ces deux points, quoiqu'ils aient la même projection horizontale, sont néanmoins très-distincts, et à chacun' d'eux doit répondre un plan tangent particulier. Actuellement, pour chacun des deux points de contact, il faut trouver la deuxième droite qui doit déterminer la position du plan tangent. Si Ion suivait strictement la méthode générale , en regardant la trace comme une seconde génératrice, il faudrait la concevoir passant successivement par chacun des points de contact , et construire dans chacun de ces points une tangente ; mais , dans le cas particulier des surfaces cylindriques , on peut employer une considération plus simple. En effet, le plan tangent au point Ce touche la surface dans toute letendue de la droite génératrice qui passe par ce point ; il la touche donc en D , qui est un point de cette génératrice ; il doit donc passer par la tangente à la trace au point D. Par un semblable raisonnement, on trouvera que le plan tangent Çtd doit passer par la tan- gente à la trace en E. Donc, si par les deux points D, E, on mène à la trace les deux tangentes DK,EG,prolongéesjusqu à ce qu elles coupent la droite LM en deux points K, G, on aura sur le plan horizontal les traces des deux plans tangents. Il ne reste donc plus à trouver que les traces des mêmes plans sur le plan vertical ; et parce que nous avons déjà pour lune de ces traces le point K , GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 33 et pour l'autre le point G , il ne reste plus à déterminer qu un seul point pour chacune d elles. Pour celai, et en opérant pour le premier des deux plans tangents , con- cevons que le point à construire soit celui dans lequel une horizontale menée dans le plan par le point de contact rencontre le plan vertical ; on aura la projection horizontale de cette droite en menant par le point C une paral- lèle à la trace DK , qu'on prolongera jusqu^à ce qu elle rencontre la droite IM en un point I ; et Ion aura sa projection verticale en menant par le point c une horizontale indéfinie. Le point de rencontre du plan vertical avec Tho- rizontale se trouvera donc en même temps et sur la verticale Ii et sur Tho- rizontale ci; il sera au point i de leur intersection : donc , si par les points i et K on mène une droite , on aura la trace du premier plan tangent sur le plan vertical. En raisonnant de même pour le second plan tangent, on trou- vera sa trace sur le plan vertical , en menant par le point C une droite GH parallèle à la trace horizontale EG , et on la prolongera- jusqu'à ce qu elle coupe LM en un point H, par lequel on élèvera la verticale Hh ; par le point c' on mènera une horizontale qui coupera la verticale HA en un point h , par le- quel et par le point G si Ton mène une droite Gh , on aura la trace demandée. 29. Deuxième question. ^ Par un point considéré sur une surface coni- que, et dont là projection horizontale est donnée, mener un plan tangent à cette surface? La solution de cette question ne diffère de celle de la précédente qu en ce que la droite génératrice, au lieu d'être toujours parallèle à elle-même, passe toujours par le sommet dont les deux projections sont données. Nous pensons qu'il est convenable de ne pas Fénoncer ici , et de conseiller au lec- teur de la chercher lui-même , en lui offrant le secoui's de la^g. 1 3 , PZ. If^^ si toutefois cela était nécessaire. 30. Troisième question. — Par un point considéré sur une surface de révolution autour dun axe vertical, et donné sur la projection horizontale « mener un plan tangent à la surface R ? ê Géométrie Monge, 7' éd. 5 34 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Solution. Soient A {PL f^^fig* i4) J* projection horizontale donnée de l'axe, aa' sa projection verticale, BCDEF la courbe génératiice donnée^ considérée dans un plan mené par Taxe , et G la projection horizontale don- née du point de contact. Cela posé , si par le point de contact et par Taxe on conçoit un plan ver- tical dont la projection sera Thorizontale indéfinie A6, ce plan coupera la surface de révolution dans une courbe qui sera la ^génératrice, passant par le point de ^contact; si par le point G on conçoit une verticale, elle rencontrera la génératrice et, par conséquent, la surface en un ou plusieurs points qui seront autant de points de contact,' dont G sera la projection horizontale commune. On trouvera* tous ces points de contact considérés dans le plan de la génératrice , en portant AG sur LM , de a en e , et en menant par le point e une parallèle à €ia' \ tous les points E, C, dans lesquels cette. droite coupera la courbe BCDEF, seront les intersections de la courbe génératrice avec la verticale menée par le point G, et indiqueront les hauteurs d'autant de points de contact au-dessus du plan horizontal. Pour avoir les projections verticales de ces points de contact, on mènera par tous les points E, C , des horizontales indéfinies, qui contiendront ces projections; mais elles doivent aussi se trouver sur la perpendiculaire à LM , menée par le point G ; donc les intersections g, g' de cette droite avec les horizontales seront les pro- jections des différents points de contact. Actuellement, si par chaque point de contact on conçoit une section faite par un plan horizontal , cette section , qui.pourra être regardée conune une seconde génératrice , sera la circonférence d^un cercle dont le centre sera dans Taxe, et dont la tangente, qui doit être perpendiculaire à lextré- mité du rayon, sera aussi perpendiculaire au plan vertical mené par AG, et dans lequel se trouve le rayon; donc le plan tangent, qui doit passer par cette tangente , sera aussi perpendiculaire à ce même plan vertical , et aura , sur le plan horizontal, sa trace perpendiculaire à AG. Il ne reste donc plus , pour avoir la trace de chacun des plans tangents , que de trouver sa distance au poiut A : or, si par les points E, C, on mène à la première gé- nératrice les tangentes El, GH, prolongées jusqu'à ce quelles rencoptrent LM GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 35 en des points I, H', les droites al, aH , seront égales à ces distances; donc, si Ton porte ces droites de A en i et de A en A, et si par les points i et h on mène à AG des perpendiculaires iQ , AP, prolongées jusqu'à la rencontre de la droite LM, on aura, sur le plan horizontal, les traces de tous les plans tangents. Pour trouver sur le plan vertical les traces des mêmes plans , il faut conce- voir par chaque point de contact , et dans le plan tangent correspondant , une horizontale prolongée jusqu'au plan vertical de projection ; cette droite , qui n'est autre chose que la tangente au cercle , déterminera sur ce plan tin point qui appartiendra à la trace. Or, pour tous les points du contact, ces droites ont la même projection horizontale; c'est la droite GK, menée par le point G perpendiculairement à AGr, et terminée à la droite LM . Donc , si par le point K on mène à LM une perpendiculaire indéfinie Kkk\ elle con- tiendra tous les points de rencontre des horizontales avec le plan vertical de projection. Mais ces points de rencontre doivent aussi se trouver sur les horizontales respectives menées par les points E, G; donc les intersections A: , kf de ces horizontales avec la verticale Kk\ seront chacune un point de la trace d'un des plans tangents. Ainsi, la droite Qk sera, sur le plan vertical, la trace d'un des plans tangents ; la droite Pk' sera la trace de l'autre; et ainsi de suite , s'il y en avait un plus grand nombre. Nous nous bornerons , dans ce moment , aux trois exemples précédents , parce qu'ils suffisent pour tontes les surfaces dont nous avons défini la géné- ration. Dans la suite de cet écrit , qous aurons occasion de considérer les générations de familles de suifaces infiniment plus nombreuses; et, à mesure qu'elles se présenteront , nous appliquerons la même méthode à la détermi- nation de leurs plans tangents et de leurs normales. Maintenant nous allons proposer une question dans la solution de laquelle on peut employer d'une manière utile la considération d'un plan tangent. 51. Quatrième question. — Deux droites étant données (PL V^fig. i5), par leurs projections horizontales A6, CD, et par leurs projections verti* cales ab^cdy construire les projections PN ,/in, de leur plus courte distance , 5. 36 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. c est-à-dire de la droite qui est en même temps perpendiculaire à Tune et à l'autre , et trouver la grandeur de cette distance? Solution. Par la première des deux droites données, concevons un plan parallèle à la seconde , ce qui est toujours possible , puisque si par un poinf quelconque de la première on mène une droite parallèle à la seconde , et si Ion conçoit que cette troisième droite se meuve parallèlement à elle-même le long de la première, elle engendrera le plan dont ils'agit. Concevons, de plus, une surface cylindrique à base circulaire, qui ait pour axe la seconde droite donnée, et pour rayon la distance cherchée; cette surface sera touchée par le plan en une droite qui sera parallèle à Taxe, et qui coupera la première droite en un point. Si par ce point on mène une perpendicu- laire au plan, elle sera la droite demandée; car elle passera, de fait, par un point de la première droite donnée, et elle lui sera perpendiculaire, puis* quelle sera perpendiculaire à un plan qui passe par cette droite : elle cou- pera, de plus, la seconde droite perpendiculairement, puisqu'elle sera un rayon du cylindre dont cette seconde droite est Taxe. Il ne s agit donc plus que de construire successivement toutes les parties de cette solution. i^. Pour construire les traces du plan pai^allèle aux deux droites données , on mènera par un point quelconque de la première une parallèle à la seconde; les projections de cette parallèle seront parallèles aux droites CD , cd, La droite cd coupant la droite ab au point 6, si Ton abaisse de<;e point la per- pendiculaire 66'B sur Imtersection commune LM des plans de projection, et si Ton mène par le point de la première droite , dont les projections sont B et b^ la parallèle à la seconde droite, cette parallèle aura pour projections horizontale et verticale les droites BE , cd\ elle rencontrera le plan horizontal au point E , qu on obtient en menant la droite cE perpendiculairement à m Tintersectiou commune f^M. Donc , si Ion joint les points  et E par une droite , cette droite sera la trace du plan parallèle aux deux droites données. " a^. Pour construire la ligne de contact du plan parallèle aux deux droites données avec la surface -cylindrique, il faut observer que cette ligne de GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVï:. Sy contact est parallèle à la seconde droite donnée , et qu un seul point de cette ligne détermine sa position. Pour trouver ce point, on mène par un point quelconque de la seconde droite, qui est Taxe du cylindre (par exemple par le point C, où elle rencontre le plan horizontal), un plan perpendicu- laire à cet axe ; Tintersection de ce plan avec le plan parallèle aux deux droites est la ligne de contact de ce dernier plan avec la base circulaire de la surface cylindrique. Le plan vertical CD ayant tourné autour de sa trace CD' pour s'appli- qqer sur le plan horizontal, on construira Tangle jS'CjS que la seconde droite donnée fait avec le plan horizontal, en prenant une verticale ]3']3 égale à b'h. Le même plan vertical CD coupe le plan parallèle aux deux droites, suivant la droite FK parallèle à G^' ; d'où il suit que le plan perpendiculaire à Taxe du cylindre mené par le point C coupe le plan vertical CD suivant la droite GK, perpendiculaire à CP' ou à FK, et le plan horizontal suivant la droite CH , perpendiculaire à CD. Ce plan perpendiculaire à Taxe du cylindre, tournant autour de sa trace horizontale CH pour venir s^appliquer sur le plan horizontal, le point K s abaisse en K'; le point H de la trace ÂE reste fixe, et la droite IIK' est Tintersection du plan tangent à la surface cylindrique, et du plan perpendi- culaire à Taxe de cette surface. Donc , si du point C on abaisse la perpendi- culaire CI sur cette droite HK% le cercle décrit du point C comme centre, avec le rayon CI, est la base de la surface cylindrique, et la droite IN, parallèle à CD, est la projection horizontale de laréte de contact. Cette arête coupe la première droite en un point dont les projections sont N et n , et par lequel passe la perpendiculaire aux deux droites données. 3^. Connaissant les projections N, n d*un des points de la perpendiculaire commune demandée, pour avoir celles de cette perpendiculaire, iLsuffira de mener par le point N la droite NPQ, perpendiculaire à la trace AE. Cette droite coupe la projection horizontale CD de la seconde droite donnée au point P, extrémité de la projection horizontale MP de la perpendiculaire demandée. La projection verticale de cette perpendiculaire étant np^ on en construira la grandeur par le procédé de la^. 3, PL /. f 38 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. La considération d une . surface cylindrique touchée par un plan n'était point nécessaire pour la solution de la question précédente. Après avoir ima- giné un plan parallèle aux deux droites données, on aurait pu, par chacune de ces droites, mener à ce plan un plan perpendiculaire, et Tintersection de ces deux derniers plans aurait été la direction de la plus courte distance de- " • > • mandée. Nous nous contenterons d énoncer cette seconde manière, en con- seillant au lecteur d en chercher la construction pour s^exercer. Des conditions qui déterminent la position du plan tangent à une surface courbe quelconque; observation sur les surfaces dévehp- pables, 32. Dans les différentes questions que nous avons résolues sur les plans tangents aux surfaces courbes , nous avons toujours supposé que le point par lequel il fallait mener le plan tangent était pris sur la surface, et quil était iui>-même le point de contact : cette condition seule suffisait pour déterminer la position du plan. Mais il n en est pas de même lorsque le point par lequel le plan doit passer est pris hors de la surface. Pour que la position d un plan soit déterminée, il faut quHl satisfasse à trois conditions différentes, équivalentes chacune à celle de passer par un point donné : or, en général, la propriété detre tangent à uhe surface courbe donnée ^ lorsque le point de contact n est pas indiqué , n^équivaut qu a une seulede ces conditions. Si donc c est par des conditions de cette nature que l'on se propose de déterminer la position d un plan , il en faut , en général , trois. En effet, supposons que nous ayons trois surfaces courbes données, et quun plan soit tangent à Pune d'entre elles, en un point quelconque; nous pouvons concevoir que ce plan se meuve autour de la surface , sans cesser de la toucher : il pourra le faire dans toutes sortes de sens; seulement le point de contact se mouvra sun la surface à mesure que le plan tangent changera de position, et la direction du mouvement du point de contact sera dans le même sens que celle du mouvement du plan. Concevons que ce mouvement .se fasse dans un certain sens jusqu^à ce que le plan rencontre la seconde sur- 6ÉOMÉTRl£ DESCRIPTIVE. 39 face et la touche en un certain point; alors le .plan sera en même temps tanguent aux deux premières surfaces , et sa position ne sera pas encore arrêtée. Nous pouvons, en effet, concevoir que le plan tourne autour des deux sur- faces, sans cesser de les toucher l'une et lautre. Il ne sera plus libre, comme auparavant, de se mouvoir dans toutes sortes de sens, et il ne pourra plus le faire que dans un seul sens. A mesure que le plan changera de position , les deux points de contact se mouvront chacun sur la surface à laquelle il appartient; de manière que, si Ion conçoit une droite menée par ces deux points, leurs mouvements seront dans le même sens par rapport à cette droite, quand le plan touchera les deux surfaces du même côté; et ils seront dans des sens contraires , quand le plan touchera les deux surfaces , lune d^un côté, lautre de Tautre. Enfin concevons que ce mouvement, qui est le seul qui puisse avoir encore lieu , continue jusqu à ce que le plan touche la troisième surface en un certain point : alors la position du plan sera arrêtée , et il ne pourra plus se mouvoir sans cesser detre tangent à Tune des trois surfaces. On voit donc que pour déterminer la position d'un plan , au moyen de contacts indéterminés avec des surfaces courbes données, il en faut, en gé- néral, trois. Ainsi, si 1 on se proposait de mener un plan tangent à une surface courbe donnée, cette condition n^équi vaudrait qua une seule des trois aux- quelles le plan peut satisfaire : on pourrait donc encore en prendre deux autres à volonté, et, par exemple, faire passer le plan par deux points donnés, ou, ce qui revient au même, par une droite donnée. S^il fallait que le plan fàt tangent en même temps à deux surfaces „ il y aurait deux condi - tions employées; il ny en aurait plus qu une disponible, et Ion ne pourrait assujettir de plus le plan qu'à passer par un point donné. Enfin , si le plan devait toucher en même temps trois surfaces données, on ne pourrait plus disposer d aucune condition, et sa position serait déterminée. Ce que nous venons de dire regarde les surfaces courbes en général ; il faut néanmoins en excepter ce qui a rappoit à toutes les surfaces cylindri- ques, à toutes les surfaces coniques et à toutes les surfaces développables , car, pour ce genre de surfaces, le contact avec un plan n'est pas réduit à un 4o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. point unique ; il s'étend tout le long d'une droite indéfinie qui 3e confond avec la génératrice dans une de ses positions. La propriété qu'aurait un plan de toucher une seule de ces surfaces équivaudrait à deux conditions, puis-* quelle lassujettirait à passer par une droite, et il ne resterait plus quune iseulc condition disponible, comme, par exemple, de passer par un point donné. On ne pourrait donc pas proposer de mener un plan qui fut en même temps tangent à deux de ces surfaces, et à plus forte raison à trois, à moins qu'il n y ei^t quelques circonstances particulières qui rendissent ces conditions compatibles. Des plans tangents aux surfaces , menés par des points donnés dans Vespa^e. 35. Il n est peut-être pas inutile , avant que d'aller plus loin , de donner quelques exemples de la nécessité où Ion peut être de mener des plans tan* gents à des surfaces courbes par des points pris au dehors d'elles. Mous pren- drons le premier de ces exemples dans la construction des fortifications. ^ Lorsqu'on expose les principes généraux de la fortification , on suppose d'abord que, dans tous les sens, le terrain qui environne la place forte à la portée du canon soit horizontal et ne présente aucune éminence qui puisse donner quelque avantage à Fassiégeant; puis, dans cette hypothèse, on dé* termine le tracé du corps de place , des demi-lunes, des chemins couverts et des ouvrages avancés ; et l'on indique les commandements que les différentes parties de la fortification doivent avoir les unes sur les autres, afin qu'elles contribuent toutes , de la manière la plus efficace, à leur défense réciproque. Ensuite, pour faire l'application de ces principes au cas où le terrain qui environne la place présenterait quelque hauteur dont l'assiégeant pourrait profiter, et de laquelle il faudrait que la fortification fût défilée , il ne reste plus qu'une considération nouvelle. S'il n'y a qu'une seule hauteur, on choisit dans la place deux points par lesquels on conçoit un plan tangent à la hau- teur de laquelle on veut se défiler : ce plan tangent se nomme plan de défi" lement; et l'on donne à toutes les parties de la fortification le même relief GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 4» au-dessus du plan de défilement, qu elles auraient eu au-dessus du. plan horizontal , si le terrain eût été de niveau : par là elles ont les unes sur lés autres , et toutes ensemble sur la hauteur voisine , le même commandement que sur un terrain horizontal, et la fortification a les mêmes avantages que dans le premier cas. Quant au choix des deux points par lesquels doit passer le plan de défilement, il doit satisfaire aux deux conditions suivantes : i^ que Tangle formé par le plan avec Thorizon soit le plus petit possible , afin que les terres-pleins ayant moins de pente, le service de la défense rencontre moins de difficultés; a^ que le relief de la fortification au-dessus du terrain naturel soit aussi le plus petit possible, afin que sa construction entraîne moins de travail et moins de dépense. Si, dans les environs de la place, il y a deux hauteurs desquelles la forti- fication doive être en même temps défilée, le plan de défilement doit être en même temps tangent aux surfaces de ces deux éminences f il ne reste « plus , pour fixer sa position , qu une seule condition disponible , et Ton en dispose; c^est-à-dire on choisit dans la place le point par lequel ce plan doit passer, de manière que Ton satisfasse Iç mieux possible aux conditions énon- cées dans le premier cas. » 34. Le second exemple que nous rapporterons sera encore pris dans la Peinture. Les surfaces des corps, surtout lorsqu elles sont polies, présentent des points brillants , d^un éclat comparable à celui du corps lumineux qui les éclaire. La vivacité de ces points est d'autant plus grande, et leur étendue est d'autant plus petite, que les surfaces sont plus polies. Lorsque les surfaces sont mates, les points brillants ont beaucoup moins d éclat, et ils occupent une partie plus grande de la surface. Pour chaque surface, la position du point brillant est déterminée par la condition suivante : que le rayon de lumière incident, et le rayon réfléchi dirigé à Fœil du spectateur, soient dans un même plan perpendiculaire au plan tangent en ce point, et fassent avec ce plan des angles égaux , parce que le point brillant de la surface fait fonction de miroir, et renvoie à Tœil une Géométrie Monge, 7* éd. 6 4a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. partie de Timage de Tobjet lamineux. La détermination de ce point exige une extrême précision ; et quand même le dessin serait de la plus grande correction, quand même les contours apparents seraient tracés avec une exactitude mathématique, la moindre erreur commise dans la position du point brillant en apporterait de très-grandes dans l'apparence des formes. Nous nen apporterons quune seule preuve, mais bien frappante. La surface du globe de lœil est polie; elle est, de plus, enduite d'une légère couche d^humidité qui en rend le poli plus parfait ; aussi , lorsqu'on observe un œil ouvert, on voit sur sa surface un point brillant d'un grand éclat, d'une très-pelite étendue, et dont la position dépend de celle de l'objet éclairant et de l'observateur. Si la surface de l'œil était parfaitement sphé- rique, l'œil pourrait tourner autour de son axe vertical , sans que la position du point brillant éprouvât le moindre changement; mais cette surface est allongée dans le sens de Taxe de la vision , et lorsqu'elle tourne autour de Taxe vertical , la position du point brillant change. Un long exercice nous ayant rendus très-sensibles à ce changement, il entre pour beaucoup dans le jugement que nous portons sur la direction du globe de l'œil. C'est principa- lement par la différence des positions des points brillants sur les globes des deux yeux d'une personne, que nous jugeons si elle louche ou si elle ne louche pas ; que nous reconnaissons qu'elle pdus regarde , et , lorsqu'elle ne nous regarde pas , de quel côté elle porte la vue. En rapportant cet exemple, nous ne prétendons pas que, dans un tableau, il faille déterminer géométriquement la position du point brillant sur le globe de Fœil; nous avons seulement l'intention de faire voir comment de légères erreurs dans la position de ce point en apportent de considérables dans la forme apparente de l'objet, quoique d'ailleurs le tracé de son contour appa- rent reste le même. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 4^ Du plan tangent à la surface d'une ou de plusieurs sphères. Pro- priétés remarquables du cercle, de la sphère, des sections coniques, et des surfaces courbes du second degré (PI. VI, VII et VIII, fig. i6 k 2*^). 55. Passons actuellement à la détermination des plans tangents aux sur- faces courbes menées par des points pris au dehors d elles. La surface de la sphère est une des plus simples que Ton puisse consir dérer; elle a des générations communes avec un grand nombre de surfaces différentes : on pourrait, par exemple, la ranger parmi les surfaces de ré- volution, et ne rien dire de particulier pour elle. Mais sa régularité donne lieu à des résultats remarquables , dont quelques-uns sont piquants par leur nouveauté, et dont nous allons nous occuper d^abord, moins pour eux- mêmes que pour acquérir, dans l'observation des trois dimensions, une habitude dont nous aurons besoin pour des objets plus généraux et plus utiles. 36. Première question. -^ Par une droite donnée, mener un plan tangent à la surface dune sphère donnée? Solution. Première manière, — Soient A et a {PI. f^J^fig* i6) les deux projections du centre de la sphère, BGD la projection du grand cercle horizontal, EF et e/ les deux projections indéfinies de la droite donnée. Soit conçu, par le centre de la sphère, un plan perpendiculaire à la droite, et soient construites, par la méthode que nous avons donnée {PL II,jig, 6), les projections G et g* du point de rencontre de la droite avec le plan. Cela posé, il est évident que, par la droite donnée, on peut mener à la sphère deux plans tangents , dont le premier la touchera d un côté, le second la touchera de Tautre , et entre lesquels elle sera placée ; ce qui déterminera deux points de contact, différents, dont il s'agit d abord de construire les projections. 6. 44 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Pour cela, si du centre de la sphère on conçoit une perpendiculaire abaissée sur chacun des deux plans tangents, chacune délies aboutira au point de contact de la surface de la sphère avec le plan correspondant, et elles seront toutes deux dans le plan, perpendiculaire à la droite donnée : donc les deux points de contact seront dans la section de la 3phère par le plan perpendiculaire , section qui sera la circonférence d un des grands cercles de la sphère , et à laquelle seront tangentes les deux sections faites dans les plans tangents par le même plan. Si , dans le plan perpendiculaire et par le centre de la sphère , on con- çoit une horizontale dont on aura la projection verticale en menant Thori- zontale ah^ et dont on aura Tautre projection en abaissant sur EF la per- pendiculaire AH, et si Ton conçoit que le plan perpendiculaire tourne autour de cette horizontale comme charnière , ji^squ a ce qu'il devienne lui-même horizontal , il est évident que sa section avec la surface de la sphère viendra se confondre avec la circonférence BCD-, que les deux points de contact seront alors sur cette circonférence , et. que , si Ton construisait le point J , où la rencontre du plan perpendiculaire avec la droite donnée vient s^ap- pliquer par ce mouvement, les tangentes JC, JD, menées au cercle BCD, détermineraient ces deux points de contact dans la position où on les con- sidère alors. Or il est facile de construire le point J , ou , ce qui revient au même, de trouver sa distance au point H : car la projection horizontale de cette distance est GH , et la différence des hauteurs verticales de ses extré- mités est gg'; donc, si Ion porte GH sur Thorizontale ah de g*' en A, Thy- poténuse hg sera la grandeur de cette distance; donc, portant gh sur EF de H en J, et menant les deux tangentes JC, GD, les deux points de con- tact C, D seront déterminés dans la position qu'ils ont prise lorsque le plan perpendiculaire a été abattu sur le plan horizontal. Actuellement, pour trouverleurs projections dans la position qu'ils doivent avoir naturellement, il faut concevoir que le plan perpendiculaire retourne à sa position primitive, en tournant encore autour de Thorizontale AH comme charnière, et qu'il entraîne avec lui le point J, les deux tangentes JC, JD, prolongées jusqu à ce qu'elles coupent AH en des points K, K', et la corde CD, GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 45 qui coupera aussi la même droite AH en un point N. Il est évident que , dans ce mouvement, les points K, K' et N, qui sont sur la charnière, se- ront fixes, et que les deux points de contact G, D décriront des arcs de cercle qui seront dans des plans perpendiculaires à la charnière, et dont on aura les projections horizontales, en abaissant des points C , D, sur ÂH, les perpendiculaires indéfinies CP, DQ; donc les projections horizontales des deux points de contact se trouveront sur les deux droites CP, DQ. Mais dans le mouvement rétrograde du plan perpendiculaire , les deux tangentes JGK', JKD ne cessent pas de passer par les points de contact respectifs; et lorsque ce plan est parvenu dans sa position prinjitive , le point J se trouve de nou- veau projeté en G , et les deux tangentes sont projetées suivant les droites GK', GK; donc ces deux dernières droites doivent aussi contenir chacune la pro- jectipn horizontale d un des points de contact; donc enfin les intersections de ces deux droites, avec les droites respectives GP, DQ, détermineront. les projections horizontales R et S des deux points de contact qui se trouveront avec le point N sur une même ligne droite. Pour trouver les projections verticales des mêmes points, on mènera d Sa- bord sur LM les perpendiculaires indéfinies Rr, S^; puis, si Ton projette les points K, K^ en /:, k\ et si par le point g on mène les droites gkj gk\ on aura les projections verticales des deux mêmes tangentes. Ges droites con- tiendront donc les projections des points de contact respectifs; donc les points r, ^, de leurs intersections avec les verticales Rr, S^, seront les projec- tions demandées. Les projections horizontale et verticale des deux points de contact étant trouvées , pour construire sur le plan horizontal les traces des deux plans tangents, on concevra, par chacun des points de contact, une parallèle à ' la droite donnée. Ges droites seront dans les plans tangents respectifs , et Ion aura leurs projections horizontale et verticale en menant RU , S V parallèles à EF, et ru y sv parallèles à ef On construira, sur le plan horizontal, la trace T de la droite donnée , et les traces U, V des deux dernières droites ; et les droites TU, TV seront les traces des deux plans tangents. Au lieu de concevoir, par les points de contact, de nouvelles lignes droites , 46 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. on pourrait trouver les traces des deux tangentes OR, QS, qui rempliraient le même but. Quant aux traces des deux mêmes plans avec le plan vertical , on les trouvera par la méthode que nous avons déjà souvent employée. . Cette solution pourrait être rendue beaucoup plus élégante en faisant passer les deux plans de projection parle centre même de la sphère. Par là les deux projections de la sphère se confondraient dans le même cercle, et les prolongements des lignes droites seraient moins longs. Nous n'avons se* paré les deux projections que pour mettre plus de clarté dans Fexposition. « Il est facile actuellement de donner à la construction toute la concision dont elle est susceptible. 57. Seconde manière, — Soient A et a [PL f^I^fig^ 17) les deux projec- tions du centre' de la sphère , AB ou ab son rayon , BCD la projection de son grand cercle horizontal, et EF, e/*ies projections de la droite donnée. Si Ion conçoit le plan du grand cercle horizontal prolongé jnsqua ce qu'il coupe la droite donnée en un certain point, on aura la projection verticale de ce plan en menant par le point a Thorizontale indéfinie bag\ le point /^, où cette horizontale coupera ef^ sera la projection verticale du point de ren* contre du plan avec la droite donnée, et Ton aura la projection horizontale G de ce point , en projetant g sur EF. Gela posé, si en prenant ce même point pour sommet on conçoit une sur* face conique qui enveloppe la sphère , et dont toutes les droites génératrices la touchent chacune. en un point, on aura les projections des deux droites génératrices horizontales de cette surface conique, en menant par le point G les deux droites GG , GD, tangentes au cercle BCD, et qui le toucheront en deux points G , D , qu'il sera facile de déterminer. La surface conique tou- chera celle de la sphère dans la circonférence d'un cercle, dont la droite CD sera le diamètre , dont le plan sera perpendiculaire à Taxe du cône , et par conséquent vertical , et dont la projection horizontale sera la droite CD. Si par la droite donnée on conçoit deux plans tangents à la surface coni- que, chacun d'eux la touchera suivant une de ces drorîtes génératrices, qui sera en même temps sur la surface conique et sur le plan; et parce que GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 47 cette droite génératrice touche aussi la surface de la sphère , et un de ces points qui se trouve sur la circonférence du cercle projeté en CD, il s ensuit que ce point est en même temps sur la surface conique, sur le plan qui la touche, sur la surface de la sphère, et sur la circonférence du cercle projeté en CD, et qu'il est un point de contact, commun à tous ces objets. Donc ^ i^ les deux plans tangents à la surface conique sont aussi tangents à la sur- face de la sphère , et sont ceux dont il faut déterminer la position ; a^ leurs points de contact avec la sphère , étant dans la circonférence du cercle projeté en CD, seront eux-mêmes projetés quelque part sur cette droite ; 3^ la droite qUi paasje par les deux points de contact, étant comprise dans le plan du même cercle , sera projetée elle-même indéfiniment sur CD. Actuellement , faisons pour !e plan d^un grand cercle parallèle à celui de la projection verticale « la même opération que nous venons de. faire pour le plan du grand cercle horizontal. La projection horizontale de ce plan sera la droite BAH , indéfiniment parallèle à LM ; le point où il rencontre la droite donnée sera projeté horizontalement à Tintersection H des deux droites ËF, BAH ; et Ton aura sa projection verticale en projetant le point H sur ey en h. Si Ton conçoit une nouvelle surface conique dont le sommet soit en ce point de rencontre, et qui enveloppe la sphère comme la première, on aura les projections verticales des deux droites génératrices extrêmes de cette surface , en menant par le point h , au cercle 6KI , les tangentes AK , £1 , qui le toucheront en des points K, I, que Ion déterminera. Cette seconde surface conique touchera, celle de la sphère dans ia circonférence d'un nouveau cercle dont Kl sera le diamètre, et dont le plan, qui sera perpen- diculaire à celui de la projection verticale, sera, par conséquent, projeté indéfiniment sur Kl. La circonférence de ce cercle passera aussi par les deux ppints de contact de la sphère avec les pians tangents demandés ; donc les _ projectioiis verticales de ces deux points de contact seront quelque part sûr Kl; donc aussi la droite qui joint ces deux points sera projetée sur la même droite Kl. Ainsi , la droite menée par les deux points de contact est projetée horizon- talement sur CD, et verticalement sur Kl; elle rencontre ie plan du grand 48 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. cercle horizontal en un point dont la projection verticale est à l'intersection n de Kl avec bag^ et dont on aura la projection horizontale N en projetant le ' point N sur CD. Cela fait , concevons que le plan du cercle vertical, projeté en CD, tourne autour de son diamètre horizontal comme charnière, pour devenir lui-même horizontal , et qu'il entraine avec lui, dan^ son mouvement, les deux points de contact par lesquels passe sa circonférence, et la droite qui joint ces deux points. On construira ce cercle dans cette nouvelle position, en décrivant sur CD, comme diamètre, le cercle CPDQ; et si Ion construisait la position que prend la droite des deux points de contact^ elle couperait la circonfé- rence CPDQ en deux points, qui les détermineraient sur cette circonférence considérée dans sa position horizontale. Or le point N de la droite des deux contacts étant sur la charnière CD ne change pas de position dans le mouvement. Cette droite doit donc encore passer par ce point , lorsqu'elle est devenue horizontale ; de plus , le point où elle' rencontre le plan du grand cercle parallèle a la projection verticale, point dont la projection horizontale est à la rencontre O des deux droites CD, BAH, et dont on aura la projection verticale t en projetant le point O sur Kl ; ce point) dis-je, dans son mouvement autoui: de la charnière CD, décrit un quart de cercle vertical perpendiculaire à CD , et dont le rayon est la ver- ticale ot\ donc, si Ton mène par le point O une perpendiculaire à CD, et si sur celte perpendiculaire on porte ot de O en T, le point T sera un de ceux de la droite des contacts , lorsqu'elle est devenue horizontale ; donc ^ si par les points N et T on nïène june droite , ses deux points de rencontre F, Q , avec la circonférence CPDQ , seront les deux points de contact considérés dans le plan vertical abattu. Pour avoir les projections horizontales des deux mêmes points dans leurs positions naturelles, il faut concevoir que le cercle CPDQ retourne dans sa position primitive en tournant sur la même charnière CD. Dans ce.mouve-* ment , les deux points P, Q décriront des quarts de cercle dans des plans verticaux perpendiculaires à CD , et dont les projections horizontales seront les perpendiculaires PR et QS, abaissées sur CD; donc les projections GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. /J^j horizontales des deux points de contact seront respectivement sur les droites PR ei QS : or nous avons vu qu elles devaient être aussi sur CD ; donc elles seront aux deux points de rencontre R et S. On aura les projections verticales r, s des deux mêmes points, en proje- tant les points R et S sur Kl, ou, ce qui revient au même, en portant sur les verticales Rr, Sj, à partir de Thorizontale bag^ r'r égale à PR, et s's égale à QS. Les projections horizontales et verticales des deux points de contact étant construites , on déterminera les traces des deux plans tangents, comme dans la première solution. Cette secondé solution peut aussi être rendue beaucoup plus concise eu faisant passer les plans de projection par le centre de la sphère ; ce qui réduit les deux projections à une même figure. 38. Ces dernières considérations vont nous conduire à la découverte de quelques propriétés remarquables du cercle, de la sphère, des sections coni- ques et des surfaces conrbes du second degré. Nous venons de voir que les deux surfaces coniques circonscrites à la sphère la touchaient chacune dans la circonférence d'un cercle, et que ces circonférences passaient toute» deux par les deux points de contact de la sphère avec les plans tangents. Cette propriété n'est point particulière aux deux surfaces coniques que nous avops considérées; elle convient à toutes celles qui auraient leur sommet dans la droite donnée, et qui seraient de même circonscrites à la sphère. Donc , si Ton conçoit une première surface conique qui, ayant son sommet sur la droite donnée, soit circonscrite à la sphère, et si Ton suppose que cette surface se meuve de manière que son sommet parcoure la droite, sans qu^elle cesse d'être circonscrite et tangente à la sphère ; dans chacune de ses positions , elle touchera la sphère dans la circonférence d un cercle : toutes ces circonférences passeront par deux mêmes points , qui seront les contacts de la sphère avec les deux plans tan- gents; et les plans de ces cercles se couperont tous suivant une même ligne droite, qui sera celle des deux contacts. ECnfin, si Ion conçoit le plan mené Géométrie Monge, 7* éd. 7 :)0 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. par la droite donnée et par le centre de la sphère , ce plan , qui passera par les axes de toutes les surfaces coniques , sera perpendiculaire aux plans de tous les cercles de contact, et par conséquent à la droite qui est leur corn* mune intersection, et il coupera tous ces plans dans des lignes droites qui passeront par un même point. Réciproquement, étant données une sphère et une ligne droite, si Ion conçoit par la droite tant de plans quon voudra, qui couperont la sphère chacun suivant un cercle, et si, pour chacun de ces cercles, on conçoit la surface conique droite dont il serait la base, et qui serait circonscrite à la sphère, les sommets de toutes ces surfaces coniques seront dans une autre même ligne droite. 59. En considérant seulement ce qui se passe dans le plan mené par la droite donnée et par le centre de la sphère, on est conduit aux deux propo- sitions suivantes, qui sont des corollaires immédiats de ce qui précède : « Étant donnés dans un plan {PI. VII, fig. 18 et 19) un cercle dont le centre soit en A, et une droite quelconque BG; si, après avoir mené par on point quelconque D de la droite deux tangentes au cercle, et la droke EF qui passe par les deux points de contact, on conçoit que le point D se meuve le long de la droite, et entraine avec loi les deux tangentes, sans qu'elles ces- sent de toucher le cercle, les deux points de contact changeront de position, de même que la droite EF qui les joint ; mais cette droite passera toujours par un même point N qui se trouve sur la perpendiculaire AG, abaissée du centre du cercle sur la droite. » u Réciproquement, si par un point N pris dans le plan d^un cercle, on mène tant de droites EF qoon voudra, qui couperont chacune la circonfé- rence du cercle eo Aeu\ points , et si par ces deux points on mène au cercle deux tangentes' ED , PD, qui se couperont quelque part en un point D, la suite de tous les points d'intersection trouvés de la même manière sera une même ligne droite BC perpendiculaire à AN. 9 Ce n'est pas parce que tous les points de la circonférence sont également éloignés du centre', que le cercle jouit de la propriété que nous venons GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5l d'énoncer, c'est parce qu il est une courbe du second degi*é; et toutes les sec- tions coniques sont dans le même cas. En effet, soient AEBF ( PL Vllyjig, ao) une section conique cpielconque , et CD une droite quelconque donnée dans son plan ; concevons que la courbe tourne autour d'un de ses axes AB pour engendrer une surface de révolution , et concevons les deux plans tangents à cette surface menés par la droite CD; les deux plans auront chacun leur point de contact particulier. Cela posé, si en prenant pour sommet un point quelconque H de la droite CD , on con- çoit la surface conique circonscrite et tangente à la surface de révolution , elle touchera cette dernière surface dans une courbe qui passera nécessai- rement par les deux points de contact avec les plans tangents. Cette courbe sera plane; son plan, qui sera perpendiculaire à celui de la section conique donnée, sera projeté sur ce dernier suivant une droite EF, et cette droite passera par les points de contact des tangentes à la section conique, me- nées par le point H. Actuellement, si Ton suppose que le sommet H de la surface conique se meuve sur la droite CD sans que cette surface cesse d être circonscrite et tangente à la surface de révolution; dans chacune, de ses positions, sa courbe de contact aura les mêmes propriétés^ de passer par les deux points de contact avec les plans tangents, d être plane et d avoir son plan perpendiculaire à la section conique. Donc les plans de toutes les courbes de contact passeront par la droite qui joint l^s deux points de contact, et qui est dle-*même perpendiculaire au plan de la section conique ; donc enfin les projections de tous les plans seront des lignes droites qui passeront toutes par la projection N de la droite qui joint les deux points de contact. 40. Enfin, cette proposition nest elle-même quun cas particulier d une autre plus générale qui a lieu dans les trois dimensions , et que nous nous contenterpns d'énoncer ici : « Étant données dans l'espace une surface courbe quelconque du second degré, et une surface conique circonscrite qui la touche, et dont le sommet soit en un point quelconque ; si la surface conique se meut sans cesser d être circonscrite, à la première surface et de la toucher, de manière cependant 7- 5a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. que son sommet parcoure une droite quelconque, ie plan de la courbe de contact des deux surfaces passera toujours par une même ligne droite (qui sera déterminée par les contacts de la surface du second degré avec les deux plans tangents qui passent par la droite des sommets); et si la surface conique se meut de manière que son sommet soit toujours dans un même plan , le plan de la courbe de contact passera toujours par un même point. » 41. Deuxième question, — Par un point donné , mener un plan tangent à la fois aux surfaces de deux sphères données? Solution. Soient A, a (jP/. F'III^Jig. a i ) les deux projections du centre de la première sphère; B, b celles du centre de la seconde, et C, c celles du point donné. Après avoir mené les droites indéfinies AB, ab^ projections de celle qui passerait par les deux centres, et après avoir construit les pro- jections GEF, gé/, HIK , hik des grands cercles des deux sphères parallèles aux plans de projection, on concevra une surface conique circonscrite à la fois aux deux sphères, et qui les touche toutes deux. Cette surface aura son sommet dans la droite qui passe par les deux centres. On mènera aux deux cercles GEF, HIK, les deux tangentes communes EH, FK, qui se couperont en un point D de la droite AB , et ce point sera la projection horizontale du sommet du cône : on aura la projection verticale du même point, en projetant le point D en d sur le prolongement de ab. Enfin, on mènera les projections CD, cd Ae la droite menée par le sommet du cône et par le point donné. Cela posé, si par cette dernière droite on conçoit deux plans tangents à la surface conique, ils la toucheront chacun en une de ses droites génératrices; et, par conséquent , ils seront tous deux tangents on même temps aux deux sphères, fia question est donc réduite à mener parla droite qui passe par le sommet du cône et par le point donné, deux plans tangents à la surface d'une des sphères , ce qui s'exécutera comme dans la question précédente, et les deux plans seront en même temps tangents à la seconde sphère. Il faut observer que Ton peut concevoir deux sui faces coniques circon- * GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 53 scrites aux deux mêmes sphères. La première les enveloppe toutes deux en dehors 9 et a son sommet an delà d'une des sphères par rapport à lautre : les plans tangents à cette surface conique touchent chacun les deux sphères du même côté. La seconde surface conique enveloppe les sphères, Tune en dedans, lautre en dehors, et a son sommet entre les deux centres. On ' trouve la projection horizontale D' de ce sommet en menant aux cercles EFG et HIR les deux tangentes intérieures qui se coupent en un point de la droite AB, et Ion a sa projection verticale en projetant le point D' en rf' sur ab. Les deux plans tangents menés à cette surface conique touchent aussi chacun les deux sphères ; mais ils touchent la première d'un côté , et la seconde de Tautre. Ainsi quatre plans différents peuvent satisfaire à la ques- tion : pour deux d'entre eux, les deux sphères sont du même côté du plan; pour les deux autres, elles sont de côtés différents. 42. Troisième question. — Mener un plan tangent en même temps à trois sphères données de grandeur et de position? Solution. Concevons le plan tangent en même temps aux trois sphères , et imaginons d abord une surface conique circonscrite aux deux première^i sphères, et qui les touche toutes deux; le plan tangent touchera cette sur- face conique le long d'une de ses droites génératrices, et passera par le sommet du cône. Si Ton imagine une seconde surface conique circonscrite à la première sphère et à la troisième , le même plan tangent la touchera de même le long d'une de ses droites génératrices, et passera ^ par conséquent, par son sommet. Enfin, si Ton conçoit une troisième surface conique qui em- brasse et louche la seconde sphère et la troisième, le plan tangent la tou- chera encore le long d'une de ses droites génératrices, et passera par son sommet. Ainsi les sommets des trois surfaces seront dans le plan tangent ; mais ils seront aussi dans le plan qui passe par les centres des sphères , et qui contient les trois axes : donc ils seront en même temps dans deux plans différents, donc ils seront en ligne droite. Il suit de là que si îon construit , comme nous Tavons indiqué dans la question précédente, les projections 54 GÉOMÉTRIE DBSCRIPTITE. horizontales et verticales de ces sommets, dont deux suffisent , on poun^a faire passer par ces projections celles d^une droite qui se trouve sur. le plan tangent. La question se réduit donc à mener une droite donnée au plan tan- p^ent à celle des trois sphères qu on voudra , ce qui s'exécutera par les mé- thodes précédentes , et ce plan sera tangent aux deux autres. 43. Il faut observer que, puisqu'on peut toujours concevoir pour deux sphères quelconques deux surfaces coniques qui les enveloppent et les tou- chent toutes deux, la première ayant son sommet au delà dun des centres par rapport à l'autre, la seconde ayant son sommet entre les deux centres, il est évident que, dans la question précédente, il y aura six surfaces coniques , dont trois seront circonscrites en dehors aux trois sphères prises deux à deux, et dont trois auront leurs sommets entre les sphères. E^es sommets de ces six c6nes seront distribués trois par trois sur quatre droites, par chacune des- quelles on pourra mener deux plans tangents en même temps aux trois sphères. Ainsi huit plans différents satisfont à cette troisième question : deux d entre eux touchent les trois sphères du même côté par rapport à eux; les six autres sont tellement placés , qu'ils touchent deux des sphères d'un côté , et la troisième de Tautre. 44. Ces considérations nous conduisent à la proposition suivante : u Trois cercles quelconques étant donnés de grandeur et de position sur un plan [PL VIII, fi^, ^^) > û , en les considérant deux à deux, on leur mène les tangentes extérieures prolongées jusqu'à ce qu'elles se coupent, les trois points dMntersection D, E, F, qu'on obtiendra de cette manière, seront en ligue droite. » Car, si l'on conçoit les trois sphères dont ces cercles sont les grands cer- cles, et un plan qui les touche toutes les trois extérieurement, ce plan tou^ cbera aussi les trois surfaces coniques circonscrites aux sphères considérées deux à deux, et passera par leurs trois sQmmets D , E, F. Mais ces trois som- mets sont aussi sur le plan des trois centres : donc ils sont sur deux plaos différents, et, par conséquent, en ligne droite. « K aux mêmes cercles, GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 55 considérés deux à deux, oa mène les tangentes intérieures qui se croiseront, les trois nouveaux points d'interseetion G, H , I seront deux à deux en ligne droite avec un des trois premiers, en sorte que les six points O, E, F, G , H , I seront les intersections des quatre droites. » Enfin , cette proposition n'est qu'un cas particulier de la suivante , qui a lieu dans les trois dimensions : »( Quatre sphères quelconques étant données de grandeur et de position dans l'espace y si Ton conçoit les six surfaces coniques qui sont circonscrites extérieurement à ces sphères considérées deux à deux, les sommets des six cônes seront dans un même plan et aux intersections de quatre droites ; et si Ton conçoit les six autres surfaces coniques circonscrites intérieurement , c'est-ànlire qui ont lenrs sommets entre les centres de deux sphères, les sommets de ces six nouveaux cônes seront trois par trois dans un même plan avec trois des premiers. Du plan tangent à une surface cylindrique, conique, à une surfojoe de résolution , par des points donnés hors de ces surfaces ( PI . IX et X, fig. 23 à a5). 4S. Quatrième question. — Par un point pris arbitrairement, mener un plan tangent à une surface cylindrique donnée? Solution. Soit ËIFK {PI, IX, fig. i3) la trace de la surface cylindrique sur le plan horizontal, trace que nous sopposons donnée. Soient AB, àb les deux projections données de la droite à laquelle la génératrice doit tou- jours être parallèle ; et C, c celles do point donpé. Si par. ce point on conçoit une parallèle à la droite génératrice , cette droite sera dans le plan tangent demandé, et les points dans lesquels elle coupera les plans de projections seront sur les traces du plan tangent. Donc, si par ce point C on mène CD parallèle à AB, et par le point c , cd parallèle à â& , on aura les deux projec* tions de cette droHe; et si, après avoir prolongé c^ jusqu'à ce qu elle ren- contre LM en un point ar conséquent, un point delà section. Si Ton failles mêmes opé- rations pour tant d'autres points qu'on voudra, pris sur la droite donnéev on aura autant de points gf,y^ r, n, par lesquels on fera passer la courbe demandée. Gela fait, supposons que la droite donnée et le plan tangent, par >lenr rotation simtiltanée autour de Taxe, soient parvenus dans une position telle, que le plan tangent soit perpendiculaire an plan vertical de projection. Dans cette position, sa projection sur ce plan sera une ligne droite, et cette droite sera tangente en même temps aux deux courbes apia'^ 8^* ^^ donc on mène à ces deux courbes toutes les tangentes communes, telles que g/, npf on aura les projections de tous les plans tangents qui satisfont à la question, et considérés dans la position qu'ils ont prise lorsque , par la rota^ tton, ils sont devenus succeasivemeiit perpendirulaircsau>plan'Tertieal. Tjcs points de contact i, p de ces tangentes, avec la génératrice de la première surface*, détermineront les bauteurs de ceoic de celte surface avec tou9 les plans tangente; par conséquent, si par ces points on mène' les borizontàles indéfikiies /^ ^ ps^ elles contiendront les projeolicns verticales des poinls^ de contact de la surface avec les plans ; et si di» point A comme centre, et avec des rayons égaux respectivement à it et k ps, on décrit des arcs de cercle IK , PQ , eesarcs contiendront les projections boriaonlales des mêmes points. Il ne reste donc plus, pour acbever de les déterminer, quà trouver sur^quels méridiens de la surface de révolution ils doivent se trouver : cest ce à quoi doivent serar les points de contact g, /i* Pour cela, après avoir projeté les point» g, n sur AG, en 6 et.N, si du poiat A comme centi^, et avec des intervalles suocessivement éganx à AG et AN, onid^oril les arcs de cercle 6H^ NO, jusque ce qu'il» coupent la drotta BCeiidea points H et O, ces arcs expriment la quantité de^rotafion GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Sp qae^ pour chaque plan tan^nt, la droite qui passe par ses coDtacts avec les deux aur£aces a été oJbligée de faire pour se transporter dans le plan ver- tical, parallèle à' celui de projection. Donc on aura les projections horizon- fâUs ide ces mêmes droiites, considérées: (dans leurs positions naturelles^ en menant par le point A les droites AH, AO; doiic enfin les points K/Q, où les dernières droites couperont les arcs correspondants IK , PQ, seront les proji^ctions horizontales )de6 |>oints de contact delà première surface avec les plans tangents menés par la droite donnée. Quant aux projections verticales des mêmes points, on les aura en |)ro* jetant les points K, Q^ en A:, 9, sur les horizontales respectives lY, ps. Les projections horizontales et verticales des points de contact étant déter- minées, on construira les traces de tous les plans tangents par les mêmes méthodes que nous avons déjà employées. Cette méthode peut facilement se généraliser et s appliquer aux surfaces engendrées par des coudées quelconques , constantes de formes , et variables de position dans Tespace. m. DES INTERSECTIONS DES SURFACES COURBES. Définition des courbes à double courbure. 48. Lorsque les ^générations de deux surfaces courbes sont entièrement déterminées et tconnues; lorsque, pour chacune d elles , la suite de tous les pointa delespaee par lesquels elle passe n a plus rien d'arbitraire ; lorsque, pour chacun de ces points, une des deux projections étant prise à volonté, l'autre rprojectioii tpeot toujours être construite ; si ces deux surfaces ont quel- ques : pointa communs dans Tespace, la position de tous ces points caowuiuns est absolument déterminée ; elle dépend et de la forme des deux surfaces courbes , et de leurs positions respectives , et elle est de nature à pouvoir tou- jours être déduite de la définition des générations des surfaces, dont elle est une conséquence néoessaire. 8. 6o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. La suite de tous les points communs à deux surfaces courbes déterminées forme y en général , dans Fespace une certaine ligne courbe qui , pour des cas très- particuliers, peut se trouver dans un certain plan, et n avoir qu une seule courbure; qui, pour des cas infiniment plus particuliers, peut devenir une ligne droite, et n avoir aucune courbure; enfin qui, pour des cas infiniment plus particuliers encore, peut se réduire à un point unique, mais qui, dans le cas^ général , est ce qu on nomme courbe à double courbure, parce qu elle participe ordinairement des courbures des deux surfaces courbes, sur cha- cune desquelles elle se trouve en même temps, et dont elle est Tintersection commune. Correspondance entre les opérations de la Géométrie descriptive et celles de V élimination algébrique. 49. Il existe entre les opérations de l'Analyse et les méthodes de la Géo- métrie descriptive , une correspondance dont il est nécessaire de donner ici une idée. Dans TAlgèbre, loi*squun problème est mis en équations, et qu*on a autant d'équations que d'inconnues, on peut toujours obtenir le même nombre d^équations, dans chacune desquelles il n'entre qu'une des incon- nues ; ce qui met à portée de connaître les valeurs de chacune d*elles. L o* pération par laquelle on parvient à ce but, et qui s appelle, élimination, consiste, au moyen d'une des équations,. à chasser une des inconnues de toutes les autres équations ; et en chassant ainsi successivement les différentes inconnues, on arrive à une équation finale qui n^en contient plus qu'une seule, dont elle doit produire la valeur. L'objet de l'élimination, dans l'Algèbre, a la plus grande analogie avec les opérations par lesquelles, dans la Géométrie descriptive, on détermine les intersections des surfaces courbes. En effet, supposons que, considérant un point dans l'espace, et repré- sentant par x^ jr^ z les distances de ce point à trois plans rectangulaires entre eux , on établisse une relation entre ces trois distances, et que cette GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 6t relation soit exprimée par une équation dans laquelle entrent les trois quan- tités j:,^^, z, et des constantes. En vertu de cette relation, la position du point ne sera pas déterminée; car les quantités x^ j^z pourront changer de valeur, et, par conséquent , le point pourra changer de position dans les- pace, sans que la relation exprimée par Téquation cesse d avoir lieu; et la surface courbe, qui passe par toutes les positions que le point peut occuper ainsi, sans que la relation entre ces trois coordonnées soit altérée, est celle à laquelle appartient Téquation. Par exemple, supposons qu'une sphère dont le rayon soit exprimé par A, ait son centre au point d'intersection commune des trois plans rectangulaires, et qu en considérant un certain point sur la surface de la sphère, on imagine des perpendiculaires abaissées de ce point sur les trois plans, et représentées par les lettres x^ ^, z; il est évident que le rayon de la sphère, dirigé au point que Ion considère, sera la diagonale d'un parallélipipède rectangle, dont les trois arêtes seront x^ j^z^ que son carré sera égal à la soinme des carrés des trois arêtes, et qu'ainsi on aura l'équation x^ 4- j2 -H 2^ __ ^2 • Gela posé, si le point change de position sur la surface de la sphère, ses distances Xjjr^z aux trois plans rectangulaires changeront; mais sa distance au centre ne changera pas, et la somme des carrés de ces trois coordonnées, qui est toujours égale au carré du rayon, aura toujours la même valeur : on aura donc encore, entre les coordonnées de ce point, la relation exprimée par Inéquation X* -f- ^* -I- 2* = A*. Cette équation, qui a lieu pour tous les points de la surface de la sphère , et qui a lieu pour eux seuls, est celle de cette surface. Toutes les surfaces courbes ont ainsi chacune leur équation ; et s'il n'est pas tODJoui*s facile d'a- voir cette équation exprimée en^ quantités aussi simples c|ue les distances x^ jr^ z, il est toujours possible de l'obtenir en quantités plus compliquées, telles 6a GÉOMÉTRIE le^ mener à dislances arbitraires», nous snppo- • 64 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. serons que dans la projection verticale on ait mené tant de droites horizon- tales ee', ee\ eé^ etc. {PL Xl^Jig. 26), qu'on ait voulu , et que la suite de ces droites soit la projection verticale de la suite des plans qu on a conçus. Cela posé, on fera successivement, pour chacun de ces plans, et par rapport à la droite eef qui en est la projection , lopération que nous allons indiquer pour celui d entre eux qui est projeté en EF/. liC plan EE' coupera la première surface en une certaine courbe, qu'il sera toujours possible de construire , si Ton connaît la génération de la sur- face ; car cette courbe est la suite des points dans lesquels le plan EE' est coupé par la génératrice dans toutes ses positions. Cette courbe, étant plane et horizontale, aura sa projection horizontale ^gale , semblable à elle-même, et placée de la même manière ; il sera donc possible de construire cette pro- jection , et nous supposerons que ce soit la courbe FGHIK. ' liC même plan EE' coupera aussi la seconde surface dans une autre courbe plane horizontale , dont il sera toujours possible de construire la projection horizontale, et nous supposerons que cette projection soit la courbe F06PN. Cela fait, il peut arriver que les deux courbes dans lesquelles le même plan EE' coupe les deux surfaces, se coupent elles-mêmes, ou qu^elles ne se coupent pas : si elles ne se coupent pas , quelque prolongées qu^elles soient , ce sera une preuve qu^à la hauteur du plan EE', les deux surfaces n'ont aucun point commun; mais si ces deux courbes se coupent, elles le feront en un certain nombre de points qui seront communs aux deux surfaces , et qui seront, par conséquent, autant de points de Tintersection demandée. En effet y en tant que les points d'intersections des deux courbes sont sur la première d'entre elles, ils sont sur la première des deux surfaces proposées ; i en tant qu'ils sont sur la seconde courbe, ils sont aussi sur la seconde sur- face : donc , en tant qu'ils sont sur les deux courbes à la fois, ils sont aussi sur les deux surfaces. Or les projections horizontales des points dans lesquels se coupent les deux courbes doivent se trouver, et sur la projection de la preqnière, et sur là projection de la seconde; donc les points F, 6, etc., de rencontre des deux courbes FGHIK et FOGPN , seront les projections horizontales d'autant de GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 65 points de Tintersection demandée des deux surfaces courbes. Pour avoir les projections verticales des mêmes points, il faut observer qu'ils sont tous compris dans le plan horizontal EE', et que leurs projections doivent être sur la droite EE'. Donc, si Ion projette les points F, G, etc., sur EE' enf^ g, etc\ , on aura les projections verticales des mêmes points. Actuellement, si pour toutes les autres horizontales eef, ee', etc., on fait la même opération que nous venons de faire pour EE', on trouvera pour cha- cune d'elles, dans la projection horizontale, une suite de nouveaux points F^ G, etc., et dans la projection verticale une suite de nouveaux points f^ g , etc. ; puis , si par tous les points F, etc. , on fait passer une branche de courbe, par tous les points G, etc., une autre branche, et ainsi de suite, lassemblage de toutes ces bi*anches , qui pourront quelquefois rentrer Tune dans lautre , sera la projection horizontale de Tintersection des deux sur- faces. De même, si par tous les points y^ etc. , on fait passer une branche de courbe, par tons les points ^, etc. , une autre branche , et ainsi de suite, lassemblage de toutes ces branches, qui pourront aussi quelquefois ren- trer les unes dans les autres , sera la projection verticale de Tintersectton demandée. 53. La méthode que nous venons d exposer est générale, même en sup- posant quW ait choisi pour système de plans coupants une suite de plans horizontaux. Nous allons voir que, dans certains cas, le choix du système de plans coupants n'est pas indifférent , quon peut quelquefois le faire tel, qu'il en résulte des constructions plus faciles et plus élégantes, et même qu'il peut être avantageux, au lieu d un système de plans , d'employer une suite de sur- faces courbes, qui ne diffèrent entre elles que par une de leurs dimensions. Pour construire l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont verticaux , le système de plans le plus avantageux est une suite de plans horizontaux; car chacun des plans coupe les deux surfaces en des circoufé- renées de cercle dont les centres sont sur les axes respectifs, dont les rayons sont égaux aux ordonnées des courbes génératrices , prises à la hauteur du plan coupant, et dont les projections horizontales sont des cercles connus Géométrie Monge, 7* éd. 9 66 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. de grandeur et de position. Dans ce cas, tous les points de la projection horizontale de Tintersection des deux surfaces se trouvent donc par des in- tersections d'arcs de cercle. On sent que si les surfaces de révolution avaient leurs axes parallèles entre eux , mais non verticaux, il faudrait changer de plans de projection, et les choisir de manière qne l'un d'entre eux fût per- pendiculaire aux axes. 54. S'il s'agissait de construire l'intersection de deux surfaces coniques à bases quelconques, et dont les traces sur le pian horizontal fussent données ou construites , le système de plans horizontaux entrainerait dans des opé- rations qui seraient trop longues pour ce cas, car chacun des plans hori- zontaux couperait les deux surfaces dans des couiiies qui seraient bien, à la vérité, semblables aux traces des surfaces respectives; mais ces courbes ne seraient point égales aux traces : il faudrait les construire par points , chacune en particulier, tandis que si, après avoir mené une droite par les sommets donnés des deux cônes, on emploie le système de plans qui passent par cette droite , chacun de ces plans coupera les deux surfaces coniques en quatre droites, et ces droites, qui seront dans le même plan, se couperont, indépendamment des sommets, en quatre points, qui seront sur Tinter- section des deux* surfaces* Dans ce cas, chacun des points de la projection horizontale de l'intersection sera donc construit par l'int^i^seclion de deux lignes droites. 55. Pour deux surfaces cylindriques à bases quelconques, et dont les génératrices seraient inclinées diversement, le système des plans horizontaux ne serait pas le plus favorable que Ion pourrait choisir. Chacun de ces plans couperait, à la vérité, les deux surfaces dans des courbes semblables et égales à leurs traces respectives; mais les courbes qui ne correspondraient pas verticalement aux traces auraient pour projections des courbes qui se- raient distantes des traces elles-mêmes, et qu'il faudrait construire par points. Si l'on choisit le système de plans parallèles en même temps aux génératrices des deux surfaces, chacun de ces plans coupera les deux sur- GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 67 faces dans des lignes droites, et ces droites se couperont en des points qui appartiendront à l'intersection des deux surfaces. Par là, les points de la projection horizontale seront construits par des intersections de lignes droites. Au reste , ceci n*est que la conséquence nécessaire de ce que nous avons dit pour le cas de deux surfaces coniques. 06. Enfin, pour deux surfaces de révolution dont les axes seraient dans le même plan, mais non parallèles entre eux, ce ne serait plus un système de plans qu'il serait convenable de choisir, ce serait le système de surfaces sphériques qui auraient leur centre commun au point de rencontre des deux axes; car chacune des surfaces sphériques couperait les deux sur- faces de révolution dans les circonférences de deux cercles qui auraient leurs centres sur les axes respectifs , et dont les plans seraient perpendicu- laires au plan mené par les deux axes, et les points d'intersection de ces deux circonférences, qui seraient en même temps et sur la surface sphérique et sur les deux surfaces de révolution, appartiendraient à lïntersection de* mandée. Ainsi les points de la projection de l'intersection seraient construits par les rencontres de cercles et de lignes droites. Dans ce cas, la position la plus avantageuse des deux plans de projection , est que Tun soit perpendi- culaire à un des axes, et que L'autre soit parallèle aux deux axes. Ce petit nombre d^observations, par rapport aux surfaces courbes, qui se rencon- trent le plus fréquemment, suffit pour faire voir la manière dont la mé- thode générale doit être employée , et comment , par la connaissance de la génération des surfaces courbes, on peut choisir Tespèce de section qui doit donner des constructions plus faciles. Des tangentes aux intersections de surfaces. 57. Lorsque deux surfaces courbes sont définies de formes et de posi- tions respectives, non-seulement la courbe de leur intersection est déter- minée dans l'espace , mais encore toutes les affections de ces courbes s'ensui- vent immédiatement. Ainsi y par exemple, dans chacun de leurs points, la 68 GÉOMÉTRIE DESCBIPTIVE. direction de leur tangente est déterminée : il en est de même de celle de leur plan normal, c'est-à-dire du plan qui coupe la courbe à angle droit, et qui est, par conséquent, perpendiculaire à la tangente au point d'intersec- tion. Quoique nous devions avoir souvent occasion , dans la suite , de consi^ dérer les plans normaux aux rourbes à double courbure, nous n'entrerons ici, par rapport à leur détermination , dans aucun détail, parce que ces plans étant toujours perpendiculaires aux tangentes, il nous suffira d'avoir donné la manière de construire les projections des tangentes aux intersections des sur- faces courbes* SECOND PROBLÈME GÉNÉRAL. 58. Par un point pris à volonté sur Tintersection de deux surfaces courbes, mener la tangente à cette intersection. Solution. Le point pris à volonté sur Tintersection des deux surfaces courbes se trouve en même temps et sur l'une et sur l'autre de ces surfaces. Si donc par ce point considéré sur la première surface on mène à cette sur- face un plan tangent , ce plan touchera l'intersection dans le point que l'on considère. Pareillement, si par le même point considéré sur la seconde surface on mène à cette surface un plan tangent, ce plan touchera l'inter- section dans le point que Ion considère. Les deux plans tangents toucheront donc l'intersection dans le même point, qui sera en même temps un de leurs points communs, et, par conséquent, un de ceux de la droite dans laquelle ils se coupent; donc l'intersection des deux plans tangents sera la tangente demandée. Ce problème donne lieu à l'observation suivante , qui est d'un grand usage dans la Géométrie descriptive : « La projection de la tangente d'une courbe à double courbure est elle- même tangente à la projection de la courbe, et son point de contact est la projection de celui de la courbe à double courbure. » En effet, si, par tous les points de la courbe à double courbure, on con- çoit des perpendiculaires abaissées sur un des plans de projection , par GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 69 exemple sur le plan horizontal, toutes ces perpendiculaires seront sur une surface cylindrique verticale, qui sera coupée par le plan horizontal dans la projection même. De même si , par tous les points de la tangente à la courbe à double courbure, on conçoit des verticales abaissées, elles seront dans un plan vertical qui sera coupé par le plan horizontal daps la projection même de la tangente. Or la surface cylindrique et le plan vertical se tou- chent évidemment dans toute Tétendue de la verticale abaissée du point de contact, et qui leur est commune; donc les intersections de la surface cylin- drique et du plan par le plan horizontal se toucheront dans un point qui sera Tintersection de la droite du contact de la surface cylindrique et du plan vertical. Donc enfin les projections d^une courbe à double courbure et d'une de ses tangentes se touchent en un point qui est la projection du point de contact de la courbe. Intersection des surfaces cylindrique, conique, etc. Développements de ces intersections lorsque Vune des surfaces auxquelles elles appartiennent est développable . (PI. XII à XVIII, fîg. 27 à 35.) o9. Nous allons actuellement faire lapplication de tout ce qui précède à quelques cas particuliers; et, pour commencer par des considérations sim- ples, nous supposerons d abord qu une des deux surfaces dont il faut déter- miner Tintei'section soit un plan. Première question. — Construire l'intersection d'une surface cylindrique donnée, par un plan donné de position? La position des plans de projection étant arbitraire, nous supposerons d abord, ce qui est toujours possible, que ces deux plans aient été choisis de manière que Tun soit perpendiculaire à la génératrice de la surface, et que lautre soit perpendiculaire au plan coupant, parce que, dans cette suppo- sition, la construction est beaucoup plus facile; puis, pour donner aux élèves rhabitude des projections , nous supposerons que les deux plans de projection soient placés d\me manière quelconque. yo GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Solution. Pi^emier cas dans lequel on suppose que la génératrice de la surface soit perpendiculaire à l'un des plans de projection^ par exemple au plan horizontal ^ et que le plan coupant soit perpendiculaire à l'autre. Soient A {PL Xlljjig. ay) la projectioa horizontale de la droite à la- quelle la génératrice de la surface cylindrique doit toujours être parallèle ; aa" sa projection verticale; BCDE la trace donnée de la surface cylindrique, trace qui sera la projection horizontale de la surface indéfinie, et, par con- séquent, celle de la courbe d'intersection; soient^g la projection verticale donnée du plan coupant, projection qui sera aussi celle de l'intersection demandée, et PG la trace horizontale du inéme plan : il est évident que si Ion mène k la courbe BCDE , et perpendiculairement à LM , les taogentes indéfinies Ee", Ce*, les droites ec", cc^ seront les projections verticales de la génératrice dans ses positions extrêmes, et que les points e', c^, dans lesquels elles couperont la projection /g du plan coupant , termineront sur J'g la pro- jection verticale de rintersec4ioD demandée. Cela posé, si par un point pris arbitrairement sur Tintersection (point dont la projection horizontale sera un point H , pris à volonté sur la courbe BCDE, et dont on aura la projection verticale en projetant le point H en î^ sur^), on veut mener la tangente à cette intersection , il est clair que cette tangente sera comprise dans le plan coupant , et que sa projection verticale sera la droite ^g; il est clair aussi qu^elle sera comprise dans le plan vertical tangent à la surface cylindrique, et que sa projection horizontale, qui sera la même que celle du plan tangent, sera la droite FHN, tangente en H à la courbe donnée BCDE. Ainsi tout est déterminé par rapport à l'intersection demandée. 60. Actuellement supposons qu'il s'agisse de construire cette intersection telle qu'elle existe dans son plan, et, par un de ses points pris à volonté, de lui mener une tangente. Si le plan de projection veiticale se trouve à une trop grande distance de la courbe BCDE, on pourra concevoir un autre plan vertical qui lui soit parallèle , qai passe dans Tintérieur de la courbe BCDE, et dont la projection horizontale soit la droite EC parallèle à IjM. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ^f Ce plan vertical coupera le plan coupant dans une droite parallèle à sa projection yg , et autour de laquelle, comme charnière, nous supposons que le plan coupant tourne pour devenir vertical , et présenter en face la courbe demandée. Cela posé, par tant de points H quon voudra, pris arbitraire- ment sur BCDE, on concevra des plans verticaux perpendiculaires au plan vertical de projection, et dont on aura en même temps les projections ho- rizontales et verticales, en menant par tous les point;^ H des droites HJK//' perpendiculaires à LM. Chacun de ces plans coupera le plan coupant dans une droite horizontale perpendiculaire à la charnière, et dont la pro- jection verticale sera le point de rencontre V des deux droites yg, //'. De plus , dans chaque plan , cette droite horizontale rencontrera la charnière dans un point dont la projection horizontale sera l'intersection J des deux droites EC, HJKâ''; et elle rencontrera la courbe demandée dans des points dont les projection^ horizontales seront les intersections H, K de la droite HJKiï' avec la courbe BCDE. Enfin , cette droite et toutes ses parties seront égales à leurs projections horizontales. Or, lorsque le plan coupant tourne autour de la charnière pour devenir vertical, toutes ces droites, qui d'a- bord étaient horizontales, ne cessent pas d être perpendiculaires à la char* nière, et ne changent pas de grandeur. Donc, si par tous les points l'on mène kfg des perpendiculaires indéfinies hk^ et si sur ces perpendiculaires on porte JH de V en À, et JK de V en Ar, on aura tant de points A, k quon vou- dra , par lesquels on fera passer la courbe demandée e'kdh. 61. La courbe étant constraite dans son plan, il s agit par un de ses points A, pris arbitrairement, de lui mener une tangente : on aura la pro- jection verticale de ce point en abaissant du point // ^uv Jg la perpendicu- laire hi'; on aura sa projection horizontale en projetant i' en H sur la courbe BCDE; on aura la projection horizontale de la tangente demandée, en menant la droite FN, tangente en H, à la courbe BCDE; et il suffira de rapporter sur le plan de la courbe un point quelconque de la tangente, celui, par exemple, qui est projeté sur le point N, pris arbitrairement, et dont la projection verticale est sur Jg en a'. Or, en raisonnant pour ce point 7^ GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. comme pour tout autre point du plan coupant, il est clair que si par le point a! on mène à^ la perpendiculaire a'n^ et que si sur cette droite on porle de ci en n la distance NA du point N à la droite EC , le point n sera le second point de la tangente. Donc, en menant la droite An, on aura la tangente demandée. • ■ 62. Quelle que soit la courbe donnée BCDE, on voit que l'intersec- tion elkcfh jouit de la propriété que, pour un de ses points quelconque, la sous-tangente a'n est égale à la sousnt les droites a'c menées par la projection dit sommet; et leurs traces horizontales seront les droites cC perpendiculaires à LM, qui coupe- ront la trace de la surface conique quelque part en des points G, G', etc. Ges plans couperont la surface en des droites dont les projeetîons verticales se^ ront les droites a'c^ etc., et dont on aura les projections horizontales en me* nant au point A les droiCes CA^ G'A , etc. Ijcs mêmes plans couperont aussi 10. 76 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. le plan coupant dans des droites qui seront perpendiculaires au plan vertical. Les projections de ces droites seront les points A, etc., de rencontre àejg avec les droites a'c , etc., et Ton aura leui*s projections horizontales en abais* sant des points h y etc. , sur LM, les perpendiculaires indéfinies AB, etc. Gela fait ) les droites AH, etc., couperont les droites correspondantes CA, C'A, etc., en des points H, H', etc., qui seront les projections horizontales d^autant de points de Tintersection demandée; et la courbe PHQH', qui passera par tous les points construits de cette manière, sera la projection de Imtersection. 70. Pour mener à cette courbe une tangente par un point H pris à vo- lonté sur elle, il suffit de chercher sur le plan horizontal la trace de la tan- gente de Tintersection dans le point qui correspond au point H. Or cette trace doit être sur celle du plan coupant, et, par conséquent, sur G/; elle doit être aussi sur celle du plan qui touche la surface conique dans la droite dont la projection est AH : de plus, si Ion prolonge AH jusqu'à ce qu'elle ren- contre la courbe BCDE quelque part en un point C , la tangente GF de cette courbe au point G sera la trace horizontale du plan tangent. Donc le point F de rencontre des deux traces ^G, GF sera sur la tangente au point H de la courbe PHQH\ 71. S'il est nécessaire de construire Fintersection considérée dans son plan, on pourra indifféremment concevoir, ou que le plan coupant tourne autour de Gr/* comme charnière, pour s abattre sur le plan horizontal, et construire la courbe dans la position qu elle aura prise alors, ou qu'il tourne autour de sa projection verticale^ pour s'appliquer sur le plan vertical; cest cette dernière hypothèse que nous allons suivre. Toutes les horizontales dans lesquelles la suite des plans menés par le sommet a coupé le plan coupant, et qui sont perpendiculaires à/g, ne chan- gent pas de grandeur dans le mouvement du plan coupant , et ne cessent pas d être perpendiculaires kjg : donc , si par tous les points h on mène kjjg des perpendiculaires indéfinies , et si Ton porte sur elles les horizontales corres- pfmdantes KH , KH', de A en N et en N', les points N et N' seront des points GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 77 de la section; et la courbe RNSN% menée par tous les points ainsi construits, sera Tintersection considérée dans son plan. 72. D'après tout ce qui précède, il est évident que, pour mener à cette courbe une tangente en un point N , pris arbitrairement sur elle , il faut , du point N y abaisser sur^ la perpendiculaire NA, mener la droite a! h jusqu a ce qu'elle rencontre LM en un point c, projeter ce dernier point en C sur la courbe BCDE, mener à cette courbe la tangente en C, qui coupera la trace G/ quelque part en un point F, et porter F/perpendiculairement 2ifg de f en O. lia droite ON sera la tangente demandée. Quant à la manière de construire le développement de la surface conique à base quelconque , et de tracer, sur ce développement , Teffet de Tintei^sec- tion par le plan coupant , nous rexposerons incessamment, après avoir parlé de Tintersection de la surface conique par celle d une sphère qui aurait son centre au sommet. 73. Troisième question. — Construire Tintersection de deux surfaces co- niques à bases circulaires , et dont les axes sont parallèles entre eux? Solution. — Nous ne répéterons pas ici sur la^g. a6, PL XI, tout ce que nous avons dit en exposant la méthode générale à laquelle cette figure servait de type; nous observerons seulement que, dans le cas dont il s'agit ici , de même que dans celui de deux surfaces quelconques de révolution , les sections faites dans les deux surfaces par les plans horizontaux sont des cercles; mais nous entrerons dans quelques détails par rapport aux tangentes, dont nous n avons pas eu occasion de parler. 74. Pour trouver la tangente au point D (P/. XI,fig. 26) de la projec- tion horizontale de Tintersection , nous nous rappellerons qu elle est la pro- jection de la tangente de l'intersection des deux surfaces, au point qui cor- respond à D, et qu il suffit, pour la déterminer, de trou^ver le point S qui est, sur le plan horizontal , la trace de la tangente de Tintersection. Or cette der- ^ 78 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. nière tangente est dans les deux plans qui touchent les surfaces coniques dans le point de Tintersection ; donc, si Ton trouve les traces horizontales Rr, Qq de ces deux plans tangents, elles détermineront, par leur rencontre, le point S. Mais le plan tangent à la première surface la touche dans une droite qui passe par le sommet , et dont on aura la projection horizontale en me*- nant la droite indéfinie AD. De plus , si Ton prolonge AD jusqu a ce qn elle rencontre en un point Q la trace circulaire horizontale TQUV de la surface, le point Q sera un point de la ligne de contact de la surface et du plan; par conséquent, la trace homontale du plan sera tangente en Q au cercle TQUV: soit donc menée cette tangente Qq. Pareillement, si Ton prolonge le rayon BD jusqu'à ce qu'il rencontre en B la trace horizontale circulaire RXYZ de la seconde surface 9 et si Ion mène à ce cercle la tangente en R, cette droite Rr sera la trace horizontale du plan tangent à la seconde surface. Donc, si par le point S d'intersection des deux tangentes Q^, Hr, on mène la droite SD, on aura la tangente au point D de la projection horizontale de rinterseolion. Quant à la tangente au point correspondant d de la projection verticale, il est clair qu on Tobtiendre en projetant le point S en s^ et en menant en- suite la droite sd^ qui sera cette tangente. 75. Il peut arriver qu'il soit nécessaire de construire sur le développe- ment de Tune des surfaces coniques , peut-être même sur celui de chacune d'elles, leffet de leur mutuelle intersection; ce qui serait nécessaire , par exemple, s'il fallait exécuter les cônes avec des substances flexibles^ telles que des feuilles de métal : dans ce cas , on opérera pour chaque cône, comme nous allons Tindiquor pour le premier. Mous observerons d'abord que, lorsqu'une surface conique se développe pour devenir plane, les lignes droites qui sont sur cette surface ne changent ni de forme ni de grandeur, parce que chacune d'elles est successivement la charnière autour de laquelle s'opère le développement : ainsi tous les points de la surface restent toujours à la même distance du sommet. De plds^ lors- que, comme dans ce cas^ la surface conique est droite et circulaire, tous les points de la traoe horizontale cironlaire sont à égales distances du sommet ; GÉOMÉTHiE DESCRIPTIVE. 79 ils doivent donc être à égale distance du sommet sur le développement, et, par conséquent , sur un arc de cercle dont le rayon est égal à la distance constante do sommet à la trace circulaire. Donc, si, après avoir pris arbi- trairement un point pour représenter le sommet sur le développement, on décrit de ce point, comme centre^ et d*un rayon égal à aC, un arc de cercle indéfini, cet arc sera aussi indéfiniment le développement de la trace hori<^ zontale de la surface. Puis 9 si, à partir du point T de la trace par lequel on veut commencer le développement , on porte Tare de cercle TQ sur 1 arc qu on vient de décrire , on déterminera la position du point Q sur le déve- loppement; et la droite indéfinie, menée par ce point au centre du dévelop- pement, sera la position qu occupera la droite de la surface qui est projetée en AQ , et sur laquelle devra se trouver le point D , rfde la section rapportée. Pour constrvire ce point, il ne s agira plus que de trouver sa distance au sommet, et de la porter sur la droite indéfinie, à partir du centre du déve- loppement. Four cela , par ie point ^dans la projection verticale , on mènera rhorizontale ^Ar jusqu'à ce quelle coupe le côté aC du cône en un point k; et la droite ak sera cette distance. En construisant de même successivement tous les autres points de Fintersection , et faisant passer par tous ces points une courbe , on aura l'intersection des deux surfaces rapportées sur le déve- loppement de la première : on opérera de même pour la seconde surface. 70l Quatrième question. — Gonstrnii'« Tintersection de deux surfaces coniques à bases quelconque»? Solution. Soient A, a {PL XV, fig. 3o) les projections du sommet de la première surface, C6D6' sa trace donnée sur le plan horizontal, B, 6 les projections du sommet de la seconde, et EHFH' sa trace sur le plan hori* zontal. On concevra par les deux sommets une droite, dont on aura les projections eo menant les droites indéfinies AD, ab^ et dont on construira fseikement la trace 1 sur le plan horizontal. Par cette droite on concevra une série de plans qui couperont chacun les deux surfaces eotttques dans le système de plusieurs lignes droites ; et celles de ces lignes droites qui seront 8o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. dans le même plan détermineront par leurs rencontres autant de points de Tintersection des deux surfaces. Les traces horizontales de tous les plans de cette série passeront nécessairement par le point 1; et, parce que la position de ces pians est d ailleurs arbitraire, on pourra donc se donner arbitraire- ment leurs traces , en menant par le point I tant de droites IK qu on voudra , pour chacune desquelles on fera lopération que nous allons décrire pour.une seule d entre elles. r^a trace Kl de chacun des plans de la série coupera la trace horizontale de la première surface conique en des points G, G^, qui seront aussi les traces horizontales des ligues droites suivant lesquelles le plan coupe la surface conique : ainsi ÂG, AG' seront les projections horizontales indéfinies de ces droites, et Ion aura leurs projections verticales en projetant G, G' en g, g\ et en menant les droites indéfinies ag, ag'. Pareillement la trace Kl du même plan de la série coupera la trace horizontale de la seconde surface conique dans des points H, H\ par lesquels si l'on mène indéfiniment BH, BH', on aura les projections horizontales des droites suivant lesquelles le même plan de la série coupe la seconde surface, el Ton aura leurs projections verticales en projetant H, H' en A, h% et en menant les droites indéfinies bky bh'^ Cela fait, pour le même plan dont la trace est Kl, on aura sur la pro- jection horizontale un certain nombre de droites ÂG, ÂG', BH, BH^; et les points P, Q, R, S, où celles qui appartiennent à lune des surfaces rencon- treront celles qui appartiennent à Tautre, seront les projections horizontales d^autant de points de Tintersection des deux surfaces. Ainsi, en opérant successivement de la même manière pour d'autres lignes Kl, on trouvera de nouvelles suites de points P, Q, R , S ; et faisant ensuite passer par tous les points P une première branche de courbe , par tous les points Q une seconde , par tous les points R une troisième , etc. , on aura la projection horizontale de Tintersection demandée. Pareillement, pour le même plan dont la trace est Kl, on aura sur la projection verticale un certain nombre de droites ag , ag\ bh , hhf^ dont les points de rencontre seront les projections verticales d autant de points de Fintersection. GÉOMÉTUIE DESCRIPTIVE. 8l Il faut observer ici quHl n^est pas nécessaire de construire les deux pro- jections de la courbe d'intersection indépendamment l'une de l'autre, et qu un point de Tune étant construit, on peut trouver son correspondant sur lautre projection, en le projetant par une perpendiculaire à la commune intersection des deux plans de projection , sur lune des droites qui doit le contenir; ce qui fournit les moyens de vérifier les opérations et d'éviter, dans certains cas, les intersections de droites qui se couperaient sous des angles Irop obliques. 77. Pour trouver les tangentes à la projection horizontale, celle, par exemple, qui la touche au point P, il faut construire la trace horizontale T de la tangente de Tintersection au point qui correspond à P. Or cette tan- gente est Fintersection des deux plans qui touchent les surfaces coniques dans ce point : sa trace sera donc dans la rencontre des traces horizontales de ces deux plans tangents. De plus , AG'P est la projection de la droite de contact du plan qui touche la première surface ; ainsi , la trace de ce pre- mier plan sera la tangente de la courbe CGDG' au point G' : soit GTV cette tangente. Pareillement BHT est la projection horizontale de la droite de contact du plan qui touche la seconde surface ; ainsi , la trace horizontale du second plan tangent sera la tangente au point H' de la courbe EHFH' : soit H'TTI cette tangente. I.ies deux tangentes G'V, H'U se couperont donc en un point T, par lequel si 1 on mène la droite TP, on aura la tangente au point P demandée. En raisonnant de même pour les autres points Q , R , S , on trouvera , I ^ que la tangente en Q doit passer par le point de rencontre des tangentes en G^ et en H ; a® que la tangente en R doit passer par la rencontre des tan- gentes len H et en G ; 3^ que la tangente en S doit passer par la rencontre des tangentes en G et en H\ Quant aux tangentes de la projection verticale, elles nont aucune diffi- culté , lorsque celles de la projection horizontale sont déterminées ; car en projetant les traces horizontales des tangentes de l'intersection , on a les points par lesquels elles doivent passer. Géométrie Monge, 7* éd. n Sa GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 78. Cinquième question. — Construire Tintersection d'une surface conique à base quelconque, et de celle d^une sphère? Nous supposerons ici que les deux surfaces sont concentriques , c'est-à-dire que le sommet du cône est placé au centre de la sphère, parce que nous au- rons besoin de ce cas particulier pour la question suivante. Solution. Soient A^a{PL XF^I,fig. 3i) les projections du centre com- mun des deux surfaces, BCDE la trace horizontale donnée de la surface conique, am le rayon de la sphère, et le cercle If'g^mla projection verticale de la sphère. On concevra par le centre commun des deux surfaces une série de plans , que Ton pourra de plus supposer tous perpendiculaires à Tun des deux plans de projection. Dans la ^g. 3 1 , nous les avons supposés verticaux. Chacun de ces plans coupera la surface conique dans un système de lignes droites , et la surface de la sphère dans la circonférence d*un de ses grands cercles ; et pour chaque plan les rencontres de ces droites avec la circonférence du cercle détermineront des points de Tintersection demandée : soient donc menées par le point A tant de droites indéfinies GAE qu on voudra, qui seront les projections horizontales d autant de plans verticaux de la série , et en même temps celles des lignes suivant lesquelles ces plans coupent les deux surfaces. Chaque droite CAE coupera la trace horizontale BCDE de la surface conique en des points C, E, qui seront les traces hori- zontales des sections faites dans cette surface par le plan correspondant ; et si , après avoir projeté les points C , E sur LM en c , e, on mène les droites ac , nCf on aura les projections Verticales des mêmes sections. Il s*agit actuelle- ment de trouver les rencontres de ces sections avec celles de la sphère par le même plan. Pour cela , après avoir mené par le point A la droite GAF parallèle à LM, on concevra que le plan vertical mené par CE tourne autour de la verticale qui est élevée parle point A, et projetée en a'a^ jusquà ce qu*il devienne parallèle au plan vertical de projection , et , de plus , qu'il entraine avec lui les sections qn*il a faites dans les deux surfaces. Dans ce mouvement, les points C, E décriront autour du point A, comme centre, des arcs de GÉOMÉTRIE Descriptive. 83 cercle CG, EF, et viendront s appliquer en G, F; et si Ton projette ces der- niers points sur LM en g ^f^ les droites ag , o/'seront les projections verticales des sections faites dans la surface conique , considérées dans la nouvelle po- sition qu'elles ont prise en vertu du mouvement du plan. La section^faite dans la surface de la sphère , considérée de même dans la nouvelle position , aura pour projection verticale la circonférence If g' m. Donc les points de rencontre y, g' de cette circonférence avec les droites ag , aj\ seront les pro- jections des points de Tintersection demandée, considérés aussi dans la nou- velle position du plan. Actuellement, pour avoir les projections des mêmes points considérés dans leur position naturelle , il faut supposer que le plan vertical de la série retourne dans sa position primitive. Dans ce mouvement, tous les points du plan, et par conséquent ceux de Tintersection qu'il contient, décriront des arcs de cercles horiaontanx autour de la verticale élevée par le point A comme axe, et dont les projections verticales seront des droites horizontales. Donc, si par les points ^^J'^ on mène les horizontales g^ifh^ elles con- tieikdroni les projections verticales des points de Fintersection ; mais ces pro- jectîons doivent aussi se trouver sur les droites respectives ac, ae: donc elles seront aux pokits de rencontre i, h de ces dernières droites avec les hori- zontales g^i, y A. Ainsi la courbe khni^ menée par tons les points construits de la même manière pour toute autre droite que CE, sera la projection verticale de Tintersection demandée. Si Ton projette les points i, h sur CE en J, H, on aura les projections horizontales des mêmes points de 1 Intersection ; et la courbe RHNJ , menée par tous les points J, H, construits de la même manière pour toute autre droite que CE , sera la projection horizontale de Fintersection. 79. Pour trouver la tangente au point J de la projection horizontale, il faut construire la trace horizontale P de la tangente au point correspondant de Fintersection. Cette droite doit se trouver à la rencontre des traces des plans tangents aux deux surfaces au point de Fintersection qui correspond au point J. Or il est évident que, si par le point C on mène à la courbe II . 84 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. BCDE la tangente CP, on aura la trace du plan tangent à la surface conique. Quant à celle du plan tangent de la sphère, on opérera comme nous Pavons vu pour les surfaces de révolution , c'est-à-dire en menant par le point g^ an cercle If'g^m la tangente g'o prolongée jusqu'à la droite LM en o, en por- tant ensuite a!o sur CE de  en O , et menant par le point O la droite OP perpendiculaire à CE. Donc les deux traces CP , OP se conperont en un point P, par lequel, si Ion mène la droite JP, cm aura la tangente au point J. Enfin , il est évident que Ton aura la tangente an point t de la projection verticale de l'intersection , en projetant le point P sur LM en p, et menant ensuite la droite ip^ qui sera la tangente demandée. 80. Si la sphère et la surface conique n'étaient pas concentriques , il fau- drait concevoir par leurs deux centres une ligne droite, et choisir la série des plans coupants qui passerait par cette droite. Chacun de ces plans cou- perait la surface conique dans des droites, et celle de la sphère dans un de ses grands cercles , comme dans le cas précédent; ce qui donne paiement une construction simple : mais alors il serait avantageux de placer le plan vertical de projection parallèlement à la droite menée par les deux centres, afin que, dans le mouvement que Ton fait faire à chaque plan coupant pour le rendre parallèle au plan vertical de projection , les deux centres soient immobiles et ne changent pas de projections, ce qui simplifie les construc- tions. 81 . Sixième question. — Construire le développement d*une surface co- nique à base quelconque, et rapporter sur cette surface ainsi développée ime section dont on a les deux projections? Solution. On concevra la surface d'une sphère d'un rayon pris à volonté, et dont le centre soit placé au sommet du cône , et Ton construira , comme nous Tavons fait dans la question précédente, les projections de Tintersection de ces deux surfaces. Cela fait, il est évident que tous les points de Tintersection GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 85 spbérique étant à la même distance du sommet, ils doivent anssi, sur la sur- face développée , se trouver à la même distance du sommet , et par conséquent sur un arc de cercle décrit du sommet comme centre , et avec un rayon égal à celui de la sphère. Ainsi , en supposant que le point R {PL XVI ^fig. 33) soit le sommet de la surface développée, si de ce point comme centre, et d'un rayon égal à am (PL XVI, fig. 3i], on décrit un arc -de cercle indé- fini STUy ce sera sur cet arc que tous les points de Tintersection spbérique viendront s appliquer, de manière que les parties de cet arc seront respecti- vement égales aux parties correspondantes de Pintersection sphériquc. Il s'agit donc actuellement , après avoir pris à volonté sur cette intersection un point pour origine, par exemple celui qui est projeté en N, tz {Jig. 3i), et un point S {fig. 33) pour son correspondant sur la surface développée , de développer les différents arcs de Tintersection spbérique, et de les porter successivement sur Tare de cercle STU de S en des points T. Pour cela , la courbe spbérique étant à double courbure, il faut lui faire perdre successi- vement ses deux courbures , sans altérer sa grandeur, de la manière suivante. L*intersection spbérique étant projetée sur le plan borizontal en NJKH {PL XVI, fig. 3i), on peut la regarder comme tracée sur la surface d'un cylindre vertical, dont la base serait NJKH : on pourra donc développer cette surface, comme nous l'avons indiqué {PL XII, fig. 27), et rapporter sur cette surface cylindrique développée Tintersection spbérique, en déve- loppant lare NJ {PL XVI, fig. 3i) en N'J' {PL XVI, fig. 32) et en portant la verticale i'i {fig* 3i) perpendiculairement à N'N' {fig* 3a) de J'en J". La courbe N"J*K"H"N'^, qui passera par tous les points i" ainsi déterminés , sera Tintersection spbérique privée de sa courbure horizontale , sans avoir changé de longueur. On aura la tangente au point J'' de cette courbe , en prenant JP {fig. 3i), et la portant sur N'N' {fig. 3a) de J' en F, et menant la droite J"P'. Actuellement , on développera la courbe N"J''K"H''N" pour la replier sur lare STU {fig. 33): par exemple, on portera l'arc N"J'' de S en T, et le point T sera, sur la surface conique développée, le point où s applique celui de l'intersection spbérique, dont les projections sont J , / {fig* 3i). Donc, si 86 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Ton mène la droite RT, on aura , sur le développement de la surface , la gé- nératrice dont la projection horbontale est AG {fig. 3i) : enfin, s'il se trouve sur cette génératrice an point qu'il faille rapporter sur la surface développée, il ne s'agira plus que de prendre {fig* 3i) la distance de ce point au sommet de la surface conique, et de la porter {Jig. 33) sur RT de R en V; et le point V sera , sur la surface développée , celui que l'on considère. 82. Septième question. — Construire l'intersection de deux surfaces cy- lindriques à bases quelconques? Solution. Lorsque, dans la recherche qui donne lieu à la question dont il s^agit , on n'a pas d'autres intersections k considérer que celle des deux sur- faces cylindriques, et surtout quand ces surfaces sont à bases circulaires, il est avantageux de choisir les plans de projection de manière que l'un d'entre eux soit parallèle aux génératrices des deux cylindres : par là, l'intersection se construit sans employer d'autres courbes que celles qui sont données. Mais , lorsqu'on doit considérer en même temps les intersections de ces sur- faces avec d'autres, il n'y a plus d'avantage à changer de plans de projection, et même il est plus facile de se représenter les objets en les rapportant tous aux mêmes plans. Nous allons donc supposer les génératrices des deux surfaces , placées d'une manière quelconque par rapport aux plans de projection. Soient donc {PL XVII.fig. 34) TFFU, XGG' V les traces horizontales données des deux surfaces cylindriques ; AB , ab les projections données de la droite à laquelle la génératrice de la première doit être parallèle; CD ^ cd celles de la droite à laquelle doit être parallèle la génératrice de la seconde. On concevra une série de plans parallèles aux deux génératrices. Ces plans couperont les deux surfaces dans des lignes droites; et les rencontres des deux sections faites dans la première surface , par les sections faites dans la seconde , détermineront les points de l'intersection demandée. Ainsi , après avoir construit, comme dans la^. i5, PL V^ la trace hori- zontale AE d'un plan mené par la première droite donnée parallèlement à GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 87 la seconde , on mènera parallèlement à cette trace tant de droites FG' qu'on voudra , et Ton regardera ces parallèles comme les traces des plans de la sé- rie. Chaque droite FG^ coupera la trace de la première surface en des points F, F', et celle de la seconde en d^autres points G, G' par lesquels on mèttera aux projections des génératrices respectives lès parallèles FH, PH', etc., GJ, G'J', etc.; et les points de rencontre P, Q, R, S, de ces droites, seront les projections horizontales d'autant de points de Tintersection des deux surfaces. En opérant de même pour la suite des droites FG^, on trouvera une suite de systèmes de points P, Q, R, S, et la courbe qui passera par tous les points trouvés de la même manière sera la projection horizontale de Tintersection. Pour avoir la projection verticale, on projettera sur LM les points F, F', etc., G, G', etc., enf,f'j etc., g, g', etc., et, par ces derniers points, on mènera aux projections des génératrices respectives les parallèles JTi , f'h\ etc.^giy g^i\ etc., qui, par leurs rencontres, détermineront les projec- tions verticales /7, 9, r, s des points de Fintersection. En opérant de même pour toutes les autres droites FG^, on aura de nouveaux points />, 9, r, ^ ; et la courbe qui passera par tous ces points sera la projection verticale de Tintersection. Pour avoir les tangentes de ces courbes aux points P et p^ on construira la trace horizontale F'T du plan tangent en ce point à la première surface cylindrique; puis la trace Gr'Y du plan tangent en ce même point à la se- conde; et la droite, menée du point P au point Y de rencontre de ces traces, sera la tangente en P. Enfin, projetant Y sur LM en jr^ et menant la droite Pjr^ on aura la tangente au point p de la projection verticale. 85. Huitième question, — Construire Tintersection de deux surfaces de révolution, dont les axes sont dans un même plan? Solution. On disposera les^lans de projection de manière que l'un d^entre eux soit perpendiculaire à Taxe d une des surfaces, et que lautre soit paral- lèle aux deux axes. D'après cela, soient A [PL XVIII, fig. 35) la projection horizontale de Taxe de la première surface , ad sa projection verticale , et cde 88 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. la génératrice donnée de cette surface. Soient AB, parallèle à LM, la pro- jection horizontale de la seconde surface , a'b sa projection verticale, de ma- nière que A et a! soient les projections du point de rencontre des deux axes ; et soit J'gh la génératrice donnée de cette seconde surface. On concevra une série de surfaces sphériques , dont le centre commun soit placé au point dé concours des deux axes. Pour chacune des surfaces de cetle série, on con- struira la projection iknopq du grand cercle parallèle au plan vertical de pro- jection; et ces projections, qui seront des arcs de cercle décrits du pointa' comme centre, et avec des rayons arbitraires, couperont les ^exxx généra* trices en des points k , p. Cela posé j chaque surface sphérique coupera la première surface dans la circonférence dun cercle dont le plan sera perpendiculaire à Taxe oa', dont on aura la projection verticale en menant Thorizontale Aro, et dont ou aura la projection horizontale en décrivant du point A comme centre, et d un diamètre égal à Ao, la circonférence de cercle KROB^ De même, chaque surface sphérique de la série coupera la seconde surface de révolution dans la circonférence d^un cercle dont le plan sera perpendiculaire au plan verti- cal de projection 9 et dont on aura la projection verticale en menant par le point p une droite pn perpendiculaire à a'b. Si le point r, dans lequel se coupent les deux droites ko, pn^ est plus près des deux axes respectifs que nen sont les points A:,/>, il est évident que les deux circonférences de cercles se couperont en deux points, dont le point r sera la projection verticale commune ; et la courbe menée par tous les points r, construits de la même manière , sera la projection verticale de Tintersection des deux surfaces. Projetant le point r sur la circonférence du cercle RROR' en R et R', on aura les projections horizontales des deux points de rencontre des circonférences de cercles qui se trouvent sur la même sphère; et la courbe menée par tous les points R, R^ construits de la même manière, sera la projection horizontale de Tintersection demandée. Ces exemples doivent suffire pour faire connaître la manière dont il faut employer la méthode de construire les intersections des surfaces, et de leur mener des tangentes , surtout si les élèves s'appliquent à construire avec la GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 89 p]us grande exactitude, s'ils emploient de grandes dimensions, et si, autant qu il sera possible , ils tracent les courbes dans toute leur étendue. * Méthode de Roberval pour mener une tangente a une courbe qui est donnée par la loi du mouvement d'un point générateur. Application de cette métfiode à l'ellipse et à la courbe résultante de l'inter- section de deux ellipsoïdes de réwbition qui ont un foyer commun. (PL XVIII, fig. 36 et 37.) 84. Dans tout ce qui précède , nous avons regardé les courbes à double courbure comme déterminées chacune par deux surfaces courbes dont elle est Tintersection , et cest, en effet, le point de vue sous lequel elles se pré- sentent le plus ordinairement dans la Géométrie descriptive. Dans ce cas , nous avons vu qu'il est toujours possible de leur mener des tangentes. Mais , de même qu une surface courbe peut être définie au moyen de la forme et du mouvement de sa génératrice, il peut arriver aussi qu'une courbe soit donnée parla loi du mouvement d'un point générateur; et alors, pour lui mener une tangente , si Ton ne veut pas avoir recours à l'Analyse , on peut employer la méthode de Roberval. Cette méthode , qu'il inventa avant que Descartes eût appliqué l'Algèbre à la Géométrie , est implicitement comprise dans les procédés du Calcul différentiel, et c'est pour cela que les éléments ■ • de mathématiques n'en font pas mention; nous nous contenterons ici.de l'ex- poser d'une manière sommaire. Ceux qui désireront en voir des applications nombreuses pourront consulter les Mémoires de V Académie des Sciences antérieurs à 1699, ^^^^ lesquels les ouvrages de Roberval ont été re- cueillis. 83. Lorsque, d'après la loi de son mouvement, un point générateur est perpétuellement poussé vers un même point de l'espace , la ligne qu'il par- court en vertu de cette loi est droite : mais si, dans chaque instant de son mouvement, il est en même temps poussé vers deux points, la ligne qu'il Géométrie Monge , 7* éd. 12 90 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. parcourt, et qui, dans quelques cas particuliers, peut encore être une droite, est en général une ligne courbe. On aura la tangente à cette courbe en menant, par le point de la courbe, deux droites suivant les deux direc- tions diffét^entes du mouvement du point générateur, en portant sur ces di- rections, et dans le sens convenable, des parties proportionnelles aux deux vitesses respectives de ce point, en achevant le parallélogramme, et en me- nant la diagonale , qui sera la tangente demandée ; car cette diagonale sera dans la direction du mouvement du point décrivant, au point de la courbe que Ton considère. 86. Nous ne citerons qu'un seul exemple : Un fil AMB [Pl^ XP^IIIjJîg. 36) étant attaché par ses extrémités à deux points fixes A, B, si, au moyen d'une pointe M, on tend ce fil, et si Ton fait mouvoir la pointe, de manière que le fil soit toujours tendu, la pointe dé- crira une courbe DGM qui, comme on sait, est une ellipse dont les points fixes A , B sont les foyers. D'après la génération de cette courbe , il est très- facile de lui mener une tangente par la méthode de Roberval. En effet, puisque la longueur du fil ne change pas, dans chaque instant du mouve- ment , le rayon AM s'allonge de la même quantité dont le rayon BM se rac- courcit. La vitesse du point décrivant dans la direction AM est donc égale à sa vitesse dans la direction MQ. Donc, si Ton porte sur MB, et sur le pro- longement de AM , des droites égales MQ , MP, et si Ion achève le parallélo- gramme MPRQ , la diagonale MR de ce parallélogramme sera la direction du point générateur en M, et par conséquent la tangente au même point de la courbe. On voit clairement , d'après cela , que dans Fellipse la tangente partage en deux parties égales langle BMFformé par un des rayons vecteurs et p$r le prolongement de Fautre; que les angles AMS et BMR sont égaux entre eux, et que la courbe doit avoir la propriété de réfléchir à un des foyers les rayons de lumière émanés de l'autre. il est facile d'étendre la méthode de Roberval au cas des trois dimensions, et de rappliquer à la construction des tangentes des courbes à double courbure. En effet, si un point générateur se meut dans l'espace, de ma- GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 9I aière qu^à chaque instant de son mouvement il soit poussé vers trois points différents, la ligne quHl parcourt, et qui, dans quelques cas particuliers , peut être plane et même droite, est , en général , une courbe à double cour- bure. On aura la tangente de cette courbe en un point quelconque , en me* nant par ce point des droites, suivant les trois directions différentes des mouvements du point générateur ; en portant sur ces droites , et dans le sens convenable , des parties proportionnelles aux trois vitesses respectives de ce point, en achevant le parallélipipède, et en menant la diagonale du paralléli- pipède , qui sera la tangente de la courbe au point que Ion considère. 87. Nous allons appliquer cette méthode à un cas analogue à celui de lellipse; et la^g. Sy, PL XVIII ^ que nous allons employer, représentera Tobjet en perspective , et non pas en projection. Trois points fixes , A , B , C , étant donnés dans lespace , soit un premier fil AMB attaché par ses deux extrémités aux points A et B ; soit un autre fil AMC, dune grandeur indépendante de celle du premier, et qui soit attaché par ses extrémités aux deux points A et C; si un point générateur, saisissant en même temps les deux fils , se meut de manière que ces fils soient toujours tendus, il parcourra une courbe à double courbure (*). Pour mener à cette courbe une tangente au point M, il faut remarquer que la longueur du premier fil AMB étant constante dans chaque instant du mou- vement^ la quantité dont la partie AM s'allonge est égale à celle dont la partie MB se raccourcit, et que la vitesse du point générateur dans la direction AM est égale à sa vitesse dans la direction MB. De même, la Ion- (^) M. Dupin, en s'occupant de la déterminatioD d'une sphère tangente à trois autres , a fait voir que la courbe indiquée ci--deasu8 comme à double courbure , est plane et du second degré 9 ce qui tient à la théorie générale du nombre infini de foyers qui appartiennent à chaque courbe du deuxième degré. {^Voyez la Correspondance sur TÉcole Polytechnique, tome I, page 22 ; tome n, page 387 ; et les Déueloppements de Géométrie , par M. Dupin , page 280.) ( Note communiquée par M . Dupin . ) 12. 9^ GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. guenr du fil ÂMG étant constante, la vitesse du point générateur dans la direction MC est encore égale à sa vitesse dans la direction AM. Donc , si sur le prolongement de AM , et sur les droites MB , MC , on porte les parties égales MP, MQ,.MR, et si l'on achève le parallélipipède MPUSVQRT, la diagonale MS de ce parallélipipède sera la tangente demandée. Comme la méthode de Roberval est fondée sur le principe de la compo- sition du mouvement, il est facile d'apercevoir que, dans les cas moins simples que ceux que nous avons choisis pour exemples, on peut s aider des méthodes connues pour trouver la résultante de forces qui sont dirigées vers un point, et dont on connaît les grandeurs et les directions. IV. Application de la méthode de construire les intersections des surfaces courbes a la solution de diverses questions. 88. Nous avons donné {PL Xl^Jig. a6) la méthode de construire les projections de Imtersection de deux surfaces courbes définies de forme et de position , et nous Tavons fait d'une manière abstraite , c est-à-dîre sans nous occuper de la nature des questions qui pourraient rendre nécessaires de pareilles recherches. L'exposition de cette méthode, considérée d'une manière abstraite , serait suffisante pour le plus grand nombre des arts ; car, si Ion prend pour exemples l'art de la coupe des pierres et celui de la char- penterie , les surfaces courbes que Ton y considère , et dont on peut avoir besoin de construire les intersections, forment ordinairement l'objet prin- cipal dont on s'occupe , et elles se présentent naturellement. Mais la Géo- métrie descriptive devant devenir un jour une des parties principales de l'éducation nationale , parce que les méthodes qu'elle donne sont aussi nécessaires aux artistes que le sont la lecture, l'écriture et Tarithmétique , nous croyons qull est utile de faire voir, par quelques exemples, comment elle peut suppléer l'Analyse pour la solution d'un grand nombre de ques- , GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. gS tioDs qui, au premier aperçu, ne paraissent pas de nature à devoir être traitées de cefte manière. Nous commencerons d'abord par des exemples qui n exigent que les intersections de plans, nous passerons ensuite à ceux pour lesquels les intersections de surfaces courbes sont nécessaires. 89. La première question qui frappe d'une manière remarquable ceux qui apprennent les éléments de Géométrie ordinaire, est la recherche du centre du cercle dont la circonférence passe par trois points placés arbitrai- rement sur un plan. La détermination de ce centre par Tintersection de deux lignes droites , sur chacune desquelles il doit se trouver nécessaire- ment, frappe les élèves, et par sa généralité , et parce qu'elle donne un moyen d'exécution, Si toute la Géométrie était traitée de cette manière, ce qui est possible, elle conviendrait à nn plus grand nombre d'esprits; elle serait cultivée et pratiquée par un plus grand nombre d'hommes; Finstruc-' tion moyenne de la nation serait plus avancée, et la science elle-même serait poussée plus loin. Il existe dans les trois dimensions une question analogue à celle que nous venons de citer, et c est par elle que nous allons commencer. 90. Première question. — Trouver le centre et le rayon d'une sphère dont la surface passe par quatre points donnés arbitrairement dans 1 espace ? Solution. Les quatre points étant donnés par leurs projections horizon- tales et verticales, on concevra par l'un d'eux des droites menées à chacun des trois autres, et Ton tracera les projections horizontales et verticales de ces trois droites; puis, considérant la première de ces droites, il est évi- dent que le centre demandé devant être à égale distance de ses deux extré- mités, il doit se troi|ver sur le plan perpendiculaire à cette droite, et mené par son milieu. Si donc on divise en parties égales les projections de la droite , ce qui donnera les projections de son milieu , et si l'on construit les traces du plan mené par le point perpendiculairement à la droite, ce que nous savons faire , on aura les traces d'un plan sur lequel le centre demandé doit se trouver. Considérant ensuite les deux autres droites , et faisant suc- 94 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. cessivement pour chacane d'elles la même opération , on aura les traces des trois plans différents, sur chacun desquels doit se trouveP le centre de* mandé. Or, de ce que le centre doit être sur le premier de ces plans et sur le second, il doit être sur la droite de leur intersection; donc, si Ton construit les projections de cette intersection , on aura, sur chaque plan de projection , une droite qui contiendra la projectf on du centre. Par la même raison , si Ton construit les projections de lintersection du premier plan et du troi- sième, on aura encore, sur chaque plan de projection, une autre droite qui contiendra la projection du centre. Donc , sur chaque plan de projection , on aura deux droites qui, par leur intersection, détermineront la projection demandée du centre de la sphère. Si r^n employait Tintersection du second plan et du troisième , on aurait une troisième droite qui passerait par le centre, et dont les projections passeraient encore par les projections demandées, ce qui fournit un moyen de vérification. Quant au rayon, il est évident que si, par la projection du centre et par celle d'un des points donnés, on mène une droite, elle sera sa projection ; on pourra donc avoir la projection horizontale et la projection verticale du rayon, et, par conséquent, sa grandeur. 91. Si Ion est libre- de choisir la position des plans de projection, la méthode précédente peut être considérablement simplifiée. En effet, suppo- sons que celui de ces plans que nous regardons comme horizontal {PL XIX j Jig. 38) passe par trois des points donnés, de manière que des projections données A , B , C , D des quatre points , les trois premières se confondent avec leurs points respectifs ; puis , après avoir mené les trois droites AB , AC, AD, supposons que le plan vertical soit parallèle à AD, c'est-à-dire que les droites LM et AD soient parallèles entre elles : les projections ver- ticales des trois premiers points seront sur LM en des points a , 6 , c , et celle du quatrième sera donnée quelque part en un point ^f de la droite D^ per- pendiculaire à LM. Cela posé, la droite menée du point A au point B étant horizontale, tout plan qui lui sera perpendiculaire sera vertical, et aura 6É0MÉTBIE DESCRIPTIVE. 96 pour projection horizontale une droite perpendiculaire à AB. il en est de même pour la droite menée du point A au point C. Donc si , sur le milieu de AB, on lui mène la perpendiculaire indéfinie E^, cette perpendiculaire sera la projection horizontale d un plan vertical qui passe par le centre de la sphère; donc la projection horizontale du centre sera quelque part sur la droite Ee. De même , si , sur le milieu de AC , on lui mène la perpendi* culaire indéfinie F/*, cette perpendiculaire sera la projection d un second plan Vertical qui passe par le centre de la sphère , et la projection horizon- taie de ce centre sera quelque part sur un point de la droite F/; donc le point G d'intersection des denx droites Ee , F/^ sera la projection hoiîzontale du centre de la sphère ^ dont la projection verticale sera , par conséquent , sur la droite indéfinie de projection Ggg^. La droite menée du point A au quatrième point étant parallèle à sa pro- jection verticale oc/, tout plan qui lui sera perpendiculaire sera aussi per- pendiculaire au plan vertical de projection, et aura pour projection verticale une droite perpeadicolaire à €id. Donc , si sur le milieu de ad on lui mène une perpendiculaire indéfinie UA ^ on aura la projection d un troisième plan qui passe par le centre de la sphère; donc la projection verticale de ce centre , devant se trouver en même temps et . sur g^ et sur lAh , sera au point R dlntersection de ces deux droites. Enfin, si Ton mène les deux droites AG» nK, on aura évidemment les deux projections d'un même rayon de la sphère^ donc, si Ion porte AG sur LM , de g en J, la droite JK sera la grandeur du rayon demandé. 92. Deuxième question. ^ Inscrire une sphère dans une pyramide tri- angulaire donnée , c^est-à-dire trouver la position du centre de la sphère , et la grandeur de son rayon? Solution. La surface de la sphère inscrite devant toucher les quatre faces de la pyramide , il est évident que si par le centre de la sphère et par cha- cune des six arêtes on conçoit un plan, ce plan partagera en deux parties égales Tangle que forment entre elles les deux faces qui passent par la même . • 96 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. arête. Si donc parmi les six arêtes on en choisit trois qui ne passent pas toutes par le même sommet d angle solide , et si par chacune de ces arêtes on fait passer un pian qui partage en deux parties égales langle formé par les deux faces correspondantes, on aura trois plans, sur chacun desquels le centre de la sphère demandée doit se trouver, et qui, par leur intersection commune, doivent déterminer la position de ce centre. 93. Pour simplifier la construction , nous supposerons que les plans de projection aient été choisis de manière que celui que nous regarderoas comme horizontal soit le même qu une des faces de la pyramide. Soient donc A, B, C, D (PL XX^Jîg. 89) les projections horizontales données dé^ sommets des quatre angles solides de la pyramide, et a, 6, c^d' leurs projections verticales; par le sommet de la pyramide, on concevra des plans perpendiculaires aux trois côtés de la base; ces plans seront verticaux , et leurs projections horizontales seront les droites DE, DF, DG, abaissées perpendiculairement du point D sur les côtés ÂC , CB, BA de la base. Chacun de ces plans coupera la base de la pyramide et la face qui passe par larête , en deux droites qui comprendront entre elles un angle égal à celui que la face forme avec la base. Si donc on porte sur LM les droites DE, DF, DG, à partir de la verticale Ddd\ de d en c , y, g, et si par le sommet d' on mène les droites d'e , d[fy d'g , ces droites formeront avec LM des angles égaux à ceux que les faces correspondantes de la pyramide forment avec la base; et si Ton partage chacun de ces trois angles en deux parties égales par les droites ee', J'f\ gg', les angles que ces dernières droites formeront avec LM seront égaux à ceux que formeraient avec la base les faces d'une seconde pyramide qui aurait la même base que la pyramide donnée , et dont le sommet serait au centre de la sphère demandée. Pour trouver le sommet de cette seconde pyramide , on la coupera par un plan horizontal mené à une hauteur arbitraire, et dont on aura la pro- jection verticale en menant une horizontale quelconque pn. Cette droite coupera eel^ff^ gg', en des points A', i\ k\ desquels on abaissera sur LM les verticales A'A, i'i^ k'k\ et si Ion porte les trois distances eh^ fi, kg sur les GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 97 perpendiculaires respectives de E en H, de F en J et de G en K, on aura en H, J, K, les projections horizontales de points pris dans les trois faces de la seconde pyramide, et qui se trouvent sur le plan horizontal arbitraire. Qonc, si par les points H , J, K , on mène aux côtés respectifs de la base des parallèles PN, NO, OP, ces droites seront les projections des sections des trois faces de la seconde pyramide par le même plan horizontal; elles se couperont en des points N, O, P, qui seront les projections d autant de points des trois arêtes de la seconde pyramide ; et si par ces points on mène aux sommets des angles respectifs de la base des droites indéfinies AP, BO j CN , ces droites seront les projections des arêtes ; enfin , le point unique Q , dans lequel elles se rencontreront tontes trois, sera la projection horizontale du sommet de la seconde pyramide, et, par conséquent, du centre de la sphère demandée. Pour avoir la projection verticale de ce centre, on mènera d abord la droite indéfinie de projection Qq(fy sur laquelle elle doit se trouver; puis on projettera les trois points N, O, P, sur Thorizontale np en n, o, ^; par les projections a , 6, c des sommets des angles respectifs de la base, on mènera les droites apj bo^ cn^ qui seront les projections verticales des trois arêtes ; et le point unique Troisième question. — Construire les projections d'un point dont on Con- naît les distances à trois autres points donnés dans Tespace ? Géométrie Monge, 7* éd. 1 3 98 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Solution. Nous supposerons les plans de projeclion choisis de manière que celui que nous regarderons comme horizontal passe par les trois points donnés, et que lautre soit perpendiculaire à la droite qui joint deux de ces points. D après cela, soient A,B,C {PL XIX ^fi^. 4o) les trois points donnés; Â\ B^ O les dislances données de ces points au point demandé. On joindra deux des points par la droite AB, perpendieulairement à laqiielle on mènera la droite LM qui détermine la position du plan vertical de projec-* tion. Puis, des points A, B, C, comme centres, et avec des rayons, égaux aux distances respectives A', B', G', on décrira trois arcs de cercle qui se couperont deux à deux, eo des points D, E, F, J, P, Q; par les points d'in- tersection de ces arcs considérés deux à deux, on mènera les droites D£ , FJ, PQ ) qui seront les projections borisBontaleâ des circonférences de cer- cles dans lesquelles les trois sphères se coupent; et le point unique N, dans lequel ces trois droites se rencontreront, sera évidemment la projection ho/i- /.ontale du point demandé. Pour avoir la projection verticale du même point, on mènera la ligne de projection indéfinie N/in^; puis, observant que le cercle projeté en DE est parallèle au plan vei^tical^ et que sa projection sur ce plan doit être un cejrcle de même, rayon , 00 projettera la droite AB sur LM a« point r, duquel y -comme centre, et avec un< intervalle é^l à DR, ou à la moitié de DE, on décrira le cercle dnen'\ et la circonférence de ce cercle, coupera.la droite Hwt' en deux points n, /i% qui sei\>nt indifféremment la projection verticale du point demandé. Ce sera d après les autres circonstances de b question qu'on déterminera si les deux points n et n' doivent être tous deux employés, et, dans le cas où il n'y en aurait qm^ui de lïécessaire, quel esT celui qui àokX être rejeté. Le lecteur pourra se proposer de cofistmire les projections d'un point dont on connaît les distances à trois lignes données dans l'espace. 9$. Qualribne question.. -- Un in^aieup paircourant un* pays de mon- tagnes, soit pour étodier U iprnia du terrain, aoit p^Mir feire le- projet i^ GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 99 travaux publks qui dépendeot de cette foitDe, est muni d'une carte topo- graphique, dans laquelle non-senleinent les projections des différents points du terrain sont exactes, mais encore les hauteurs de Ioub ces points au-dessus d une même surface de niveau sont indiquées par des nombres placés à c6té des points respectifs, et auxquels on a coutume de donner le nom de cotes. U rencontre un point remarquable qui n'est pas placé sur la carte , soit parce qu'il a été omis, soit parce qu'il a été reifdu remarquable depuis la confec* lion de la carte. L'ingénieur ne porte avec lui d'autre instrument d'observa* tion, qu'un graphomèCre propre à mesurer les angles, et cet instrument est garni d'un fil-à-plomb. On demande que, sans quitter la station, il construise sur la carte la posi- tion du point où il est, et qu'il trouve la cote qui convient à ce point, c'est-à- dire sa hauteur au-dessus de la surface de niveau. Moyen de solution. Parmi les points du terrain marqués d^une manière précise sur la carte, et qui seront les plus voisins, l'ingénieur en distinguera trois, dont deux au moins ne soient pas à même hauteur que lui; puis il obsesvera les angles formés par la verticale et les rayons visuels dirigés à ces trois points; et, d'après cette seule observation, il pourra résoudre la question. En effet, nommons A, B, G les trois points observés dont il a les projec- tions horizontales sur la carte, et dont il pourra construire les projections verticales au moyen de leurs cotes. Puisqu'il connaît Tangle formé par la ver- ticale et par le rayon visuel dirigé au point A , il connaît aussi Pangle formé par le même rayon et par la verticale élevée au point A ; car, en négligeant la courbure de la terre, ce qui est convenable , ces deux angles sont alternes- internes, et, par conséquent, égaux. Si donc il conçoit une surface conique à base circulaire , dont le sommet soit au point A , dont Taxe soit vertical , et dont l'angle formé par l'axe et par la droite génératrice soit égal à Tangle observé, ce qui détermine complètement cette surface, elle passera par le rayon visuel dirigé au point A, et, par conséquent, par le point de la station : ainsi il aura une première surface courbe déterminée, sur laquelle i3. lOO GÉOMÉTRIE DEâCRIPTlVE. se trouvera le point demandé. En raisonnant pour les deox autres points B, C , comme pour le premier, le point demandé se trouvera encore sur deux autres surfaces coniques à bases circulaires, dont les axes seront verticaux, dont les sommets seront aux points B, G , et pour chacune desquelles Tangle formé par Taxe et par la génératrice sera égal à Tangle formé par la ver- ticale et par le rayon visuel correspondant. Le point demandé sera donc en même temps sur trois surfaces coniques déterminées de forme et de posi- tion , et , par conséquent , dans leur intersection commune. Il ne s agit donc plus que de construire, d'après les données de la question, les projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces considérées deux à deux; les intersections de ces projections donneront les projections horizontale et verticale du point demandé, et, par conséquent, la position de ce point sur la carte, et sa hauteur au-dessus ou au-es se couperont toutes trois, seront les projections horizontales d'autant de points qui satisfont à la question. De même dans la projection verticale, par tous les points d^ d\ etc., on fera passer une première courbe ; par tous les points k^ k\ etc., une seconde ; et par tous les points i, i'j etc., une troisième. Ces courbes seront les pro- jections verticales des intersections des trois surfaces considérées deux à deux ; et les points p^ etc., dans lesquels ces courbes se couperont touies trois, seront les projections verticales de tons les points qui satisfont k la question. Les projections P, p d^un même point seront dans une même perpendicu- laire à LM. li observateur, après avoir reconnu, parmi tous les points P, celui qui appartient au point de la station, aura la projection horizontale de cette sta- tion , et par conséquent sa position sur la carte; puis, au moyen de la hau- teur du point correspondant p au-dessus de la droite LM, il aura l'élévation du point de la station au-dessus du- point observé A, et, par conséquent, il trouvera la cote qui convient à la station. 97. Dans cette solution, nous avons construit les projections des trois intersections des surfaces, tandis que deux auraient suffi. Nous conseillons d'agir toujours de même, parce que les projections des deux courbes à double courbure peuvent se couper en des points qui ne correspondent pas à des points d'intersection, et que, pour reconnaître les projections des points d'intersection, il faut suivre les branches des deux courbes qui sont sur la même nappe d'une des surfaces; ce qui exige une attention pénible, dont on est presque toujours dispensé ai construisant les trois courbes : les points où elles se coupent toutes trois sont de véritables points d'intersection. 98. Cinquième question. •— Les circonstances étant les naémes que dans GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. lo3 la questioD précédcote , avec cette seule différence qoe l'instrument n'est pas garni de fil-à*pkMBb , de manière que les angles avec la verticale ne puissent être mesurés 9 on demande encora que Fingénteur, sans quitter la station , détermine sur la carte la position du point où il est, et qu^il trouve la cote de ce point , cest-è-dire son élévation au-dessus delà surface de niveau à laquelle tous les points de la carte sont rapportés? Moyen de solution. Aprèsavoir choisi trois points du terrain qui soient marqués d'une manière précise sur la carte , et tels que le point de station ne soit pas avec eux dans le même plan, ringémenr mesurera les trois an- gles que forment entre eux les rayons visuels dirigés à ces trois points, et , au moyen de cette seule observation , il sera en état de résoudre la question. En effet y si nous nommoos A , B , C les trois points observés , et si on les suppose joints par les trois droites AB, BC, CA, l'ingénieur aura les projec- tions horizoatales de ces droites tracées sur la carte; de plus, au moyen des cotes des trois points, il aura les différences de hauteur des extrémités de ces droites; il pourra donc avoir la grandeur de chacune d'elles. a Cela posé, si dans uo plan quelconque mené par AB on conçoit un trian- gle rectangle BAD {PL XXII, fig. 4^) construit sur AB comme base, et dont l'angle en B soit le complément de langle sous lequel le côté AB a été observé I l'angle en D sera égal à l'angle observé, et la circonférence de cercle, décrite par les trois points A, B, D, jouira de la propriété que, si d'un point quelconque E de Parc ADB on mène deux droites aux points A et B, l'angle en E qu'elles compren^nont entre elles sera égal à langle ob- servé. Si donc on conçoit que le plan du cerde tourne autour de AB comme charnière , l'arc ADB engendrera une surface de révolution dont tous les points jouiront de la même propriété, c'est-à-dire que si d'un point quel- conque de la surface on ukène deux droites aux points A et B, ces droites formeront entre elles un angle égal à l'angle observé. Or il est évident que les points de cette surface de révolution sont les seuls qui jouissent de cette propriété; donc la surface passera par le point de la station. Si Ton raisoime Io4 GÉOMÉTRIE OESCRiPTIVfi. de Ja même manière pour les deux antres droites BG, GA, on aora deux autres surfaces de révolution sur chacune desquelles se trouvera le point de la station ; ce point sera donc en même temps sur trois sur&ces de révolu- tion différentes, déterminées de forme et de position; il sera donc un point de leur intersection commune. Ainsi, en construisant les projections hori- zontales et verticales des intersections de ces trois surfaces considérées deux à deux , les points où les projections se couperont elles- mêmes toutes trois seront les projections du point qui satisfait à la question. La projection horizontale donnera la position du point sur la carte, et la projection ver- ticale donnera Télévation de ce point au-dessus ou au*dessous des points observés. 99. Si cette question était traitée par F Analyse, elle conduirait générale- ment à une équation du soixante-quatrième degré; car chacune des surfaces de révolution a quatre nappes distinctes, dont deux sont engendrées par Tare de cercle ADB, et dont les deux autres sont engendrées par Tare AFB. Chacune des nappes de la première ponvant être coupée par toutes celles de la seconde, il peut en résulter seize branches dans la courbe d*intersec- tion ; et les seize branches pouvant être coupées par les quatre nappes de la troisième surface, il peut en résulter soixante -quatre points d'intersection des trois surfaces : mais ces points ne satisferaient pas tous à la question. En efifet, si d un point quelconque F de Tare AFB on mène des droites aux extré- mités de AB , I angle AFB qu elles comprendront ne sera pas égal à Tangle observé; il en sera le supplément. Les nappes engendrées par l'arc AFB, et les nappes analogues dans les autres surfaces de révolution , ne peuvent donc servir à résoudre la question , et tous les points d'intersection qui appar- tiennent à quelques-unes de ces nappes sont des points étrangers au pro* blême. Dans la Géométrie descriptive , on peut et Ton doit exclure Tare AFB et ses analogues dans Les deux autres surfaces; chacune de ces surfaces n a plus alors que deux nappes, et le nombre de leurs points d'intersection possibles se réduit à huit. De ces huit points, quatre sont d un côté du plan qui passe GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, I05 par les trois axes de révolution, et quntre sont de l'autre. L'observateur con- > naissant toujours de quel cdté il est placé par rapport à ce plan , il ne con- struira pas les intersections qui sont placées de l'autre côté, et le nombre des points qu'il pourra trouver est réduit à quatre. Enfin, parmi ces quatre points, s'ils existent tous, il reconnaîtra facilement celui qui sera placé par rapport aux points A, B, G, de la même manière que celui delà station l'est, par rapport aux trois points du terrain qu'il a observés. 100. Construction. On choisira la position des deux plans de projec- tion de manière que celui que nous r^ardoos comme horizontal passe par les trois points observés, et que l'autre soit perpendiculaire à la droite menée par deux de ces trois points. Soient donc ABC {PI. XXJJ,Jig. 43) le triangle formé par les points observés, considéré dans son plan, et A', B', C les trois angles donnés par l'observation. On mènera perpendicolairement au côté AB la droite IjM qui indiquera la position du plan vertical de projection, et l'on construira, comme nous venons de l'indiquer (n** 98), les arcs de cercle générateurs ADEB, BGC, CLA des trois surfaces de révolution, dont les côtés AB, BC, AC sont les axes. Gela fait, du point A comme centre, on d^rira tant d'arcs de cercle EOL qne l'on voudra , et qui couperont les gé- nératrices dont les axes se rencontrent en A, dans des points E,L, desquels oxk abaissera sur les axes respectif^ les perpendiculaires indéfinies EE', LL'; ces perpendiculaires se couperont quelque part en un point H qui sera la projection horizontale d'un point d'intersection des deux surfaces dont les axes sont AB et AC, et la courbe AHP, menée par tous les points H, etc., trouvés de cette manière, sera la projection horizontale de cette intersection. Puis, après avo e AB en a, on décrira du pointa comme cen- tre, et avec des ssivement égaux aux perpendiculaires EE', des arcs de cercle e n desquels, projetant le point H correspondant en hy on aura verticale d'nn point de l'intersection des deux mêmes surface: a; et la courbe ahp, menée par tous les -points h, etc., coDstruits de cette manière, sera la projection verticale de cette in- terseclîoD. Géométrie JUonge, 7* éd. '4 . id6 géométrie descriptive. On opérera de même ponr les deux surfaces de révolution autour des axes ABy BG, c est-à-dire du point B de rencontre des deux axes, comme centre, on décrira tant d arcs de cercle MKG que l'on voudra; ces arcs cou- peront les deux génératrices en des points M, G, desquels on abaissera sur les axes respectifs les perpendiculaires indéfinies MM^ GG' : ces perpendi- culaires se couperont en un point J, et la courbe BJP, menée par tous les pointai, etc.,' sera la projection horizontale de Tinterseclion de la première et de la troisième surface de révolution. Du point a comme centre , et avec des rayons successivement égaux aux perpendiculaires MM', on décrira des arcs de cercle mm'i^ sur lesquels on projettera en i les points J correspon- dants; et la courbe aip^ menée par tous les points i, sera la projection verticale de la même intersection. Cela fait, tous les points P, etc., dans lesquels les deux courbes AHP, BJP se couperont, seront les projections horizontales d'autant de points qui satis- font à la question; et tous les points p, etc., dans lesquels se couperont les courbes ahpj mpj seront les projections verticales des mêmes points. Les projections ainsi trouvées ne donneront pas immédiatement la posi** tien du point de station sur la carte, ni sa hauteur, parce que le plan bori- zontal de projection n est pas, celui de la carte; mais il sera facile de la rap- porter sur les véritables plans de projection. iOI. Sixième question. — • Le général d'une armée, en face deTennemi, n'a pas la carte du pays occupé par celui-ci, et il en a besoin pour faire le plan d une attaque qu'il médite. Il a un aérostat. H charge un ingénieur de s élever avec laérostat, et de prendre toutes les mesures nécessaires pour faire la carte et pour en donner un nivelleinent approché ; mais il a lieu de croire que si laérostat changeait de station sur le terrain, l'ennemi s aperce- vrait de son dessein : en conséquence il permet à l'ingénieur de s'élever à dif- férentes hauteut^s dans l'atmosphère, si cela est nécessaire, mais il lui défend de changer de station à terre. L'ingénieur est muni d'un instrument propre à mesurer les angles, et cet instruinent est garni d'un fil-à-plomb : on demande comment Imgénieur pourra exécuter les ordres du général? GÉOBfÉTRIE DESCRIPTIVE. 107 Moyen de solution. L'ing^éoieur fera deux stations dans la même verti- cale , et il connaîtra lear distance en faisant mesurer la corde que 1 on aura filée pour Félever de Tune à Fautre. Dans Tune des stations, par exemple dans celle qui est inférieure , il mesurera les angles que fait la verticale avec les rayons visuels dir^és aux points dont il veut déterminer la position sur la carte; puis, parmi tous ces points, il en choisira un qu'il regardera comme premier, et que nous nommerons Â, et il mesurera de plus, succes- sivement^ les angles formés par le rayon visuel dirigé au point A, et ceux qui sont dirigés à tous les autres. Dans lautre station , il mesurera les angles formés par la verticale , et les rayons visuels dirigés à tous les points du terrain. D après ces observations, il sera en état de construire la carte demandée. En effet , puisqu'on connaît les angles formés par la verticale , et les deux rayons visuels dirigés des deux stations au même point , ce point se trouve en même temps sur deux surfaces coniques déterminées et connues, car ces surfaces sont à bases circulaires ; elles ont leurs axes dans la même verticale ; la distance de leurs sommets est égale à la différence des hauteurs des deux stations, et les angles que leurs génératrices forment avec Taxe commun sont égaux aux angles observés. De plus , puisqu*on conntut Tangle formé par le rayon visuel dirigé de la première station à ce point , et par celui qui est dirigé au point A, le point que Ton considère sera donc encore sur une troi- sième surface conique à base circulaire , dont Taxe incliné sera le rayon visuel dirigé de la première station au point A, dont le sommet sera à la première * station , et dont Fangle formé par Taxe et la génératrice sera égal à Tangle observé. Le point que Ton considère se trouvera donc en même temps sur des surfaces coniques i^) à bases circulaires connues de forme et de position ; il sera donc an point de leur intersection commune; et, en constmisant les {*) ï)eux de ces surfaces sont des cônes droits à base circulaire , qui ont pour sommet le point A, et qui se coupent nécessairement suivant deux droites. On détermine un point de chacunede ces-deux droites par Fintersection de deux cercles , en considérant les cônes comme des surfaces de révolution dont les axes se rencontrent {n? 85). 14. loS GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. projections borizôoiale et verticale de cette intersection , on aura la posi- tion du point sur la carte, et son élévation an-dessus ou au-dessous des autres. 102. Sans changer de considérations, la construction peut devenir plus simple, au moyen de quelques-unes des méthodes que nous avons déjà expo- sées précédemment : car, connaissant les angles formés à la première station par le rayon visuel dirigé au point A , et par les rayons visuels dirigés à tous les autres points, et connaissant, pour chacun de ces angles, les angles que ' ces côtés forment avec la verticale, il sera facile de les réduire à Tborizon, c'est-à-dire de construire leurs projections horizontales. Si donc on prend sur la carte un point arbitraire pour représenter la projection de la verticale de l'aérostat, et si par ce point on mène une droite arbitraire, qui doive repré- senter la projection du rayon visuel dirigé au point A; enfin, si par .le même point on mène dçs droites qui fassent, avec la projection du rayon dirigé au point A y des angles égaux aux angles réduits à Thorizon, il est évident que chacune dé ces droites devra contenir la projection horizontale du point du terrain qui lui correspond. Il ne s'agira donc plus que der trouver la distance de ce point du terrain à la verticale. Or si, dans la projection verticale, et ^ sur la projection de la verticale de Taérostat, on prend deux points qui , en parties de l'échelle, soient distants l'un de Tautre d'une quantité égale à la . distance mesurée des deux stations , et si par ces points on mène des droites qui fassent avec la verticale des angles égaux à ceux qui ont été observés par un même point du terrain , c^s droites se couperont en un point dont la dis- tance à la verticale sera la distance demandée. Portant donc cette distance sur le rayon correspondant, à partir de la projection de l'aérostat, ou aura sur la carte la position du point du terrain. Les deux mêmes droites, dans la projection verticale, déterminent, par leur intersection , la hauteur du point du terrain; prenant donc sur la projection verticale les hauteurs de tous les points du terrain au-dessus d'un même plan horizontal, on déterminera les cotes qui conviendront à tous les points de la carte, et l'on aura le nivelle- ment du terrain. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 109 Cette construction est assez simple pour ne pas avoir besoin de figure. La droite, menée de la projection de la verticale de Taérostat à celle du premier point A observé ayant été tracée d'abord arbitrairement sur la carte, il s ensuit que la carte n'est point orientée; et, en effet, dans les observations que nous avons indiquées, il ny a rien qui puisse déterminer la position des objets par rapport aux quatre points cardinaux de Thorizon. Mais si Tingénieur observe* à terre langle que fait, avec la méridienne, un rayon vi- saei horizontal dirigé du pied de la verticale à un des points placés sur la carte, et s'il rapporte cet angle sur sa projection, il aura la direction de la méridienne , et la carte sera orientée. \ . V. Utilité de V enseignement de la Géométrie descriptû^e . dans les écoles secondaires. 103. Ce que nous avons vu jusqu'à présent de la Géométrie descriptive, considérée d'une manière abstraite, contient les principales méthodes dont on peut avoir besoin dans les arts. Si donc on avait établi dans toutes les villes un peu considérables des écoles secondaires ) dans lesquelles les jeunes gens de lage de douze ans, et qui se destinent à la pratique de quelques-uns des arts, auraient été exercés pendant deux années aux constructions graphiques, et familiarisés avec les principaux phénomènes de la nature, dont la connaissance leur est indispen- sable, ce qui, en développant leur intelligence et en leur donnant Thabitude et le sentiment de la précision, aurait contribué, de la manière la plus cer- taine, aux progrès de l'industrie nationale, et ce qui, en les accoutumant à l'évidence, les aurait garantis pour toujours de la séduction des imposteurs de tous les genres; et si nous ne nous proposions que de faire le livre élé- mentaire qui aurait dû servir de base à Imstruction de ces écoles secon- daires, il faudrait terminer là les généralités et passer immédiatement aux IIO GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. applications les plus utiles, et à celles dont Tusage est le plus fréquent. Mais nous ne devons pas écrire seulement pour les élèves des écoles secondaires , nous devons écrire pour leurs professeurs. On ne doit faire entrer dans le plan d^ane instruction populaire que des objets simples et dune utilité journalière ; mais, si un artiste rencontre une seule fois dans sa vie une difficulté dont il n'ait point été question dans les écoles, à qui s adressera- t-il pour la lever, si ce n est au professeur? et com* ment le professeur la lèvera-t-il , s'il ne s est exercé à des considérations d'une généralité plus grande que celles qui forment Tobjet ordinaire des études? Pour donner aux professeurs la connaissance de quelques propriétés géné- rales de retendue , et dont on peut avoir occasion de faire usage dans les arts , nous allons consacrer quelques leçons à Texamen de la courbure des courbes à double courbure et dé celles des surfaces courbes. Des courbes planes et a double courbure , de leurs développées , de leursdés^eloppanteSj de leurs rayons de courbure. (PI. XXni,fig. 43 t et 44.) 104. On sait que si une droite , considérée dans un plan , tourne autour d'un de ces points supposé fixe,* tous les autres points de la droite décriront autour du point fixe des circonférences de cercles concentriques. Il n*y a au- * cune courbe qu'on ne puisse concevoir engendrée d'une manière analogue. Soit MNO {PL XXIII ^ Jig. 43) une courbe quelconque tracée sur un plan ; si l)on conçoit qu'une droite AB se meuve de manière qu elle soit per- pétuellement tangente à la courbe, et sans prendre de mouvement dans le sens de sa longueur, chaque point P de cette droite dé^^rira une courbe GPPP^H qui aura évidemment les propriétés suivantes. Cbaque élément PQ de la courbe décrite sera perpendiculaire à la direc- tion correspondante de la droite AB , car cet élément a la même direction qu'aurait en P l'élément d'un arc de cercle décrit du point M de contact, comme centre, et avec un rayon égal à PM. Ainsi la tangeate en P de la GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. III courbe décrite sera perpendiculaire à la droite menée par le point P, tan- gente à la courbe donnée MNO. Si le point décrivant P est placé du côté vers lequel la droite ÂB s'ap» proche de la courbe touchée, la courbe GP se dirigera vers MNO jusqu a ce qu elle la rencontre , ce qui arrivera lorsque le point décrivant sera de- venu lui-même le point de contact de la droite AB, supposée transportée en CD ; mais cette courbe ne se prolongera pas au del^ , et si la droite continue son mouvement^ le point P, et par conséquent la courbe qu il décrit, se ré- fléchira en F. La courbe décrite étant toujours perpendiculaire à la droite mobile, les deux branches GPP' et FPH seront toutes deux perpendicu* laires à la droite CD, et, par conséquent, à la courbe MNO que cette droite touche en F. Ces deux branches se toucheront donc elles*méme$ en F. Le point F dans lequel une courbe se réfléchit ainsi, de manière que ses deux branches se touchent à ce point, se nomme point de rebroussement. La courbe MNFO, sur laquelle s'appuie la droite en la touchant perpé- tuellement, s'appelle la désfeloppée de la courbe GPFF'H, parce qu'un de ses arcs quelconques MNF est égal à la partie correspondante MP de la droite mobile, et la courbe GPFP^H s'appelle la développante de la courbe MNO. Comme on peut avoir autant de courbes décrites de la même manière que Ton peut concevoir de points P, p'^ sur la droite AB, regardée comme indéfinie, il est évident quWe même développée peut avoir une infinité de développantes différentes, teUes que GPFPH, gpp'p^h; et toutes ces dé- veloppantes ont la propriété d avoir les mêmes normales. Nous verrons in- cessamment que , réciproquement , il n'y a pas de courbe qui n^ait une infinité de développées différ^ites. 105. .On fait usage dans les arts de quelques développantes , et princi- palement de celle du cercle , qui est une spirale dont le nombre des révolu-- dons est infini , et dont toutes les branches successives sont éloignées les unes des autres d une quantité constante égale à la circonférence du cercle déve- loppé. C'est suivant la courbure de cette développante que Ton coupe les cames ou dents das arbres tournants qui soulèvent les pilons, comme dans^ lia GÉOMÉTRIE DESGBiPTiVE. les bocards, parce que le contact de la came avec le mentoQnet du pilon étant toujoars dans la même verticale, l'effort de larbre pour soulever le pilon est constamment le même. Vaucanson employait souvent la spirale dé- veloppante du cercle comme moyen d engrenage pour transmettre le mou- vement d'un arbre tournant à un autre arbre qui lui était parallèle , surtout lorsqu'il fallait que lengrenage f&t exact et transmit subitement, sans temps perdu, le mouvement dun arbre à l'autre. / 106. Nous avons fait voir (n° 104) comment la développante peut être formée d'après la développée; il est facile de concevoir comment, à son tour, la développée peut être formée d|après la développante. En effet, nous avons vu que toutes les normales de la développante sont tangentes à la dé- veloppée. Si donc , par tous les points P, Q , d'une courbe proposée GPQP, on conçoit des normales, la courbe MNO:, qui touchera toutes ces normales, sera la développée. De plus, si par deux points P, Q, consécutifs et infini- ment proches, on conçoit deux normales PB,Q&, le point M où elles se couperont, pour se croiser au delà, sera sur la développée; et ce point pourra être regardé comme le centre d'un petit arc de cercle qui, étant décrit avec le rayon PM , aurait la même courbure que l'arc PQ de la courbe que l'on considère. Le rayon PM du cercle , dont la courbure est la même que celle de l'arc infiniment petit PQ d'une courbe , se nomme le rayon de courbure de cet arc j le point M où se coupent les deux normales consécutives en est le centre de courbure y çt cette courbure est connue lorsque la position du point M est déterminée. 107. Jusqu'ici nous avons supposé que les courbes étaient planes, et nous n'avons considéré que ce qui se passe dans leur plan. Nous allons passer aux courbes à double courbure, telles que celles qui sont produites par l'inter- section de deux surfaces courbes. Si l'on conçoit une droite menée parle centre d'un cercle, perpendicu- lairement à son plan^ et indéfiniment prolongée de part et d'autre, on sait .quje chacun des points de cette droite sera à égale distance de tons les GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. II 3 points de la circonférence; que, par conséquent, si Ton imagine qu^une se- conde droite, terminée, d'une part, à un des points de la circonférence, et, de Fautre, à nn point quelconque de la perpendiculaire, tourne autour de cette dernière comme axe, en faisant constamment le même angle avec elle, son extrémité mobile décrira la circonférence du cercle avec la même exac- titude que si Ton eût fait tourner le rayon autour du centre. La description du cercle au moyen du rayon, et qui nest quun cas particulier de la pre- mière, par sa simplicité , est plus propre à donner lidée de Tétendue du cer- cle; mais, s'il ne s'agit que de description, la première peut, dans certains cas, avoir de 1 avantage, parce qu'en prenant sur Taxe deux pôles placés de part et d'autre du plan du cercle, puis menant par ces deux points deux droites qui se couperaient en un point de la circonférence, et faisant ensuite mouvoir le système de ces deux droites autour de Taxe, de manière que leur point d'intersection fût fixe sur Tune et sur l'autre droite, ce point décrirait la circonférence du cercle, sans qu'il eût été nécessaire d'exécuter aupara- vant le plan dans lequel elle doit se trouver. 108. Soit RAaD (P/. XXIII, Jig. 44) une courbe à .double courbure quelconque tracée dans l'espace. Par un point A de cette courbe, soit conçu un plan MNPO perpendiculaire à la tangente en  ; par le point a infini- ment proche, soit pareillement imaginé un plan mnVO perpendiculaire à la tangente en a; ces deux plans se couperont en une droite OP qui sera Taxe du cercle , dont le petit arc ka de la courbe peut être censé faire partie : de manière que si , des points A , a , on abaisse deux perpendiculaires sur cette droite, ces perpendiculaires, égales entre elles , la rencontreront en un même point G qui sera le centre de ce cercle. Tous les autres points g, g', g", etc., de cette droite seront chacun à égale distance de tous les points de l'arc in- finiment petit Aa, et pourront, pai* conséquent, en être regardés comme les pôles. Ainsi , si d'un point quelconque g de cet axe on mène deux droites aux points A , a , ces droites gk , ga seront égales entre elles , et formeront avec l'axe des angles AgO , agO, égaux entre eux ; en sorte que si l'on voulait définir la courbure de la courbe au point A, il faudrait donner la longueur Géométrie Monge, 7* édit. i5 Il4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. dn rayon de courbure A6, et que, s'il s'agissait d'assigaer le sens de la cour- bure , il faudrait donner la position du centre G dans Pespace. Mais s'il est simplement question de décrire le petit arc, il suffira également ou de faire tourner la droite Ag autour de Taxe, sans altérer langle AgO qudle fait avec lui , ou de faire tourner le rayon de courbure AG perpendiculairement à cet axe. Ainsi la droite OP peut être regardée comme la ligne des pôles de Télé- nient Aa ; le centre de courbure de cet élément est celui de ses pôles dont la distance à l'élément est un minimum ; enfin son rayon de courbure est la perpendiculaire AG, abaissée de Télénaent sur la ligne des pôles. 109. Que Ion fasse actuellement sur tous les points de la courbe à double courbure la même opération que Ton vient de faire sur un de ses éléments , c est-à-dire que par tous les points consécutifs A, A', A% A*", etc. {PL XXIII, Jig. 45), Ton fasse passer des plans MNPO, perpendiculaires chacun à la tangente de la courbe au point où il la coupe; le premier de ces plans ren- contrera le second dans une droite OP qui sera le lieu géométrique des pôles de lare AA'; le second rencontrera le troisième dans une droite O'P, lieu des pôles de lare A'A'' ; et ainsi de suite. Il est évident que le système de toutes les droites d'intersection , ou la surface courbe qu'elles forment par leur assemblage, sera le lieu géométrique des pôles de la courbe RAD; car cette courbe n'aura point de pôle qui ne soit sur la surface , et cette surface n aura pas de point qui ne soit le pôle de quelqu'un des éléments de la courbe. De la surface qui est le Heu géométrique des développées d'une courbe à double courbure; propriété remarquable des développées, considérées sur cette surface. Génération dune courbe quelconque a double courbure par un mouvement continu. (PI. XXIII , fig. 45.) i 10. Avant que d'aller plus loin , il est nécessaire d'exposer quelques pro- priétés dont jouissent les surfaces de ce genre^ indépendamment de la courbe qui a servi à leur formation. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Il5 Ces surfiaoes peuvent se développer sur un plan sans rupture et sans du- plicature. Efi effet, les éléments, tels que OPFO\ dont est composée la snrfaee, sont des portions de plans infiniment étroites, et qui se joignent successivement par des lignes droites. On peut donc toujours concevoir que le premier de ces éléments OPPX!)' tourne autour de O'P' comme char- nière, jusqu'à ce qui! soit dans le plan de Télément suivant OP'^O' ; qu en- suite leur assemblage tourne autour de 0"P^, jusqu'à ce quil soit dans le plan du troisième , et ainsi de snite. D'où Ton voit que rien n'eoipécbe que de cette manière tous }es éléments de la surface ae viennent sans rupture se ranger dans uù même plan. De même que les plans normaux de la courbe KAD , par leurs intersec- tions successives, forment une surface courbé à laquelle ils sont tous tan- gents 9 pareillement les lignes droites dans lesquelles ils se coupent , se ren- contrent successivement dans des points qui forment une courbe à double courbure à laquelle toutes ces droites sont tangentes : car deux de ces droites' consécutives sont les intersections d'un même plan normal avec celui qui le précède, et avec celui qui le suit immédiatement. Ces deux droites sont donc dans un même plan; elles se coupent donc quelque part en un point, et la suite de tous ces points de rencontre forme une courbe remarquable sur la surface développable. En effet, les droites consécutives, après s'être croisées sur la courbe qui les touche toutes , se prolongent au delà , et for- ment par leurs prolongements une nappe de surface, distincte dé la nappe formée par les parties des mêmes droites avant leurs rencontres. Ces deux nappes se joignent sur la courbe qui est, par rapport à la surface entière, une véritable arête de rebroussement. Actuellement, du point A {PL XXIII j^g. 45) de la courbe, par lequel passe le premier plan normal MNPO , soit menée dans le plan , et suivant une direction arbitraire, une droite Ag jusqu'à ce qu'elle rencontre la sec- tion OP quelque part en un point g; par les points A', g, soit menée dans le second plan noi*mal la droite A'g prolongée jusqu'à ce qu^elle rencontre la section O P en un point g' ; soit pareillement menée A''g^g'\ et ainsi de suite. La courbe qui passe par tous les points g, g', g^, etc. , est une déve- i5. Il6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. loppée de la courbe KAD; car toutes les droites Agy k'g^^ k^^'t sont les tangentes de la coarbe gg'g", puisqu'elles sont les prolongements des élé- ments de cette courbe. De plus, si Ion conçoit que la première, Ag, tourne autour de OP, comme axe, pour venir s'appliquer sur la suivante, A'g, elle n aura pas cessé d'être tangente à la courbe g^^\ et son extrémité A, après avoir parcouru Tare AA', se confondra avec lextrémité A' de la seconde. Que Ion fasse de même tourner la seconde ligne , A'g^, autour de CKP, comme axe , pour qu elle vienne s'appliquer sur la troisième , A^g', elle ne cessera pas de toucher la courbe gg^^y et son extrémité A' ne sortira pas de Tare A'A'^ et ainsi de suite. Donc la courbe gg'gf' est telle, que si Ton conçoit qu une de ses tangentes tourne autour de cette courbe sans cesser de lui être tangente , et sans avoir de mouvement dans le sens de sa longueur, un des points de cette tangente décrira la courbe KAD; donc elle est une de ses développées. Mais la direction de la première droite kg était arbitraire, et, suivant quelque autre direction qu'on l'eût menée dans le plan normal, on aurait trouvé une autre courbe gg'^ qui aurait été pareillement une dé- veloppée de la courbe KAD. Une courbe quelconque a donc une infinité de développées qui sont toutes comprises sur une même surface courbe. Les droites A'g' et k"^ forment des angles égaux avec la droite O' P ; et Télément g^g^' étant le prolongement de la droite A'^g', il s'ensuit que les deux éléments consécutifs gg', g^^ de la développée gg' g" forment des angles égaux avec la droite O'P qui passe par leur point de rencontre. Or. lorsqu'on développe la surface pour l'appliquer sur un plan, les éléments de la développée ne cessent pas de faire les mêmes angles avec les droites O'Pj donc deux éléments consécutifs de la courbe gg'g^, considérés dans la surface étendue sur un plan , forment des angles égaux avec une même ligne droite ; donc ils sont dans le prolongement l'un de l'autre. Il suit de là que chacune des développées d'une courbe à double courbure devient une ligne droite lorsque la surface qui les contient toutes est étendue sur un plan; donc elle est, sur cette surface, la plus courte que l'on puisse mener entre ses extrémités. On déduit de là un moyen facile d'obtenir une développée quelconque GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Il 7 d'une courbe à double courbure y lorsqu'on a la surface développable qui les contient toutes. Pour cela , il suffit, par un point de la courbe , de mener un fil tangent à la surface, et de plier ensuite ce fil sur la surface en le tendant : car, en vertu de la tension, il prendra la direction de la courbe la plus courte entre ses extrémités; il se pliera, par conséquent, sur une des dé- veloppées. « 111. On conçoit, diaprés cela, comment il est possible d'engendrer, par un mouvement continu, une courbe quelconque à double courbure: car, après avoir exécuté la surface développable , touchée par tons les plans nor« maux de la courbe, si, du point donné dans l'espace, et par lequel la courbe doit passer, on dirige deux fils tangents à cette surface ; et si , après les avoir plies ensuite sur la surface en les tendant, on les fixe par leurs autres extré* mités, le point de réunion des deux fils qui aura la faculté de se mouvoir avec le plan tangent à la surface, sans glisser ni sur lun des fils ni sur 1 autre , engendrera , dans son mouvement, la courbe proposée. 112. Tout ce que nous venons de dire par rapport aux Courbes à double courbure convient également aux courbes planes 9 avec cette différence seu- lement, que tous les plans normaux étant perpendiculaires au plan de la courbe , toutes les droites de leurs intersections consécutives sont aussi per- pendiculaires an même plan, et par conséquent parallèles entre elles. La surface développable touchée par tous ces plans normaux est donc alors une surface cylindrique, dont la section perpendiculaire est la développée ordi- naire de la courbe. Mab cette surface cylindrique contient de même toutes les développées à double courbure de la même courbe, et chacune de ces développées fait, avec tontes les droites génératrices de la surface cylin- drique , des angles constants. Le filet d'une vis ordinaire est une des déve- loppées de la développante du cercle qui sert de base à la surface cylindrique sur laquelle il se trouve, et, quelle que soit la hauteur du pas de la vis, si le diamètre du cylindre ne change pas, le filet sera toujours une des dévelop- pées de la même courbe. Il8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Des surfaces courbes. Démonstration de cette proposition : « Une » surface quelconque na, dans chacun de ses points, que deux » courbures ; chacune de ces courbures a un sens particulier , son » rayon particulier y et les deux arcs sur lesquels se mesurent ces » deux courbures sont a angles droits sur la surface. » (PL XXIV, fig. 46à48.) 113. Après avoir exposé la théorie des courbes à double courbure, nous allons nous occuper des surfaces courbes. Cet objet est de nature à être traité avec beaucoup plus de facilité par le secours de TAnalyse que par la simple contemplation des propriétés de Tétendue ; mais les résultats auxquels il conduit peuvent être utiles à des artistes que nous ne devons pas supposer familiarisés avec les opérations analytiques : nous allons donc essayer de les présenter en n'employant que des considérations géométriques. Cette mé- thode introduira la clarté qui lui est particulière , mais aussi elle apportera de la lenteur dans la marche. Les surfaces, par rapport à leurs courbures, peuvent être divisées en trois grandes classes. La première comprend celles qui , dans tous leurs points, n ont aucune courbure ; les surfaces de ce genre se réduisent au plau, qui d'ailleurs peut être placé d'une manière quelconque dans lespace. La seconde classe renferme toutes celles qui , dans chacun de leurs points , n ont qu une seule courbure ; ce sont , en général , les surfaces dé veloppables , dont deux élé- ments consécutifs peuvent être regardés comme faisant partie d'une surface conique, même en regardant la grandeur de ces éléments comme Indéfinie dans le sens de la génératrice de la sur£sice conique. Enfin, toutes les autres surfaces courbes composent la troisième classe ; dans chacun de leurs points, elles ont deux courbures distinctes et qui peuvent varier Tune indépendam- ment de lautre. Commençons par considérer les surfaces courbes les plus simples, et d'abord les surfaces cylindriques. 1 14. Soit ABFE {PL XXIV, fi^. 46) une surface cylindrique indéfinie à GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Il g base quelconque, sur laquelle on considère un point L pris arbitrairement. Par ce point concevons la droite génératrice CL6, et une section JLK faite par un plan perpendiculaire à la génératrice ; cette section sera parallèle et sem- blable à la base de la surface. Enfin , par le point L concevons à la surface la normale LP; cette normale sera perpendiculaire à la génératrice CG, et par conséquent dans le plan delà section JLK; de plus, efle sera perpendiculaire à la tangente de la section au point L, ou , ce qui comprend à la fois les deux conditions, elle sera perpendiculaire au plan tangent à la surface en I^. Cela posé , si Ion prend sur la surface deux autres points infiniment voisins du point h y Tun M sur la génératrice GG, lautre N sur la section perpendicu* laire, et si par chacun de ces points on mène une nouvelle normale à la surface, ces deux normales MQ, NP seront chacune dans un même plan avec la pre- mière normale LP ; mais ces plans seront différents pour les deux dernières normales. En effet, le plan tangent à la surface en L étant aussi tangent en M, les deux droites LP et MQ sont perpendiculaires au même plan; elles sont donc parallèles entre elles, et par conséquent dans un même pian. Ces droites parallèles peuvent être regardées comme concourant à Finfini. Quant aux normales LP, NP, elles sont évidemment comprises dans le pian de la section perpendiculaire; elles concourent donc en un certain point P de ce plan : ainsi les deux plans qui contiennent les trois normales deux à deux sont, non-seulement différents, mais perpendiculaires à lautre. 115. Actuellement, quelque autre point O que Ion prenne sur la surface , infiniment voisin du premier point L, si par ce point on conçoit à la surface une normale OQ, cette normale ne sera pas dans un même plan avec la première normale LP, et par conséquent ne pourra la rencontrer : car si par le point O on conçoit une nouvelle section lOAi perpendiculaire à la surface, et qui coupe quelque part en un point M la droite génératrice qui passe par le point L, la normale OQ sera dans le plan de cette section. I^s deux nor- males liP et OQ seront donc dans deux plans parallèles, et ne pourront être elles-mêmes dans un même plan, à moins qu^elles ne soient parallèles entre elles : or, elles ne sont point parallèles. En effet, si Ton conçoit la normale I20 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. au point M, nous avons vu que cette normale MQ sera parallèle à LP; mais elle ne sera pas parallèle à OQ : donc les normales LP et OQ ne seront point parallèles entre elles; donc elles ne sont pas dans un même plan; donc elles ne peuvent jamais se rencontrer. 116. On voit donc que si, après avoir mené, par un point quelconque d'une surface cylindrique, une normale à la surface, on veut passer à un point infiniment voisin pour lequel la nouvelle normale soit dans un même plan avec la précédente, et puisse la rencontrer même à Tinfini, si cela est nécessaire, on ne peut le faire que dans deux sens différents : i^ en suivant la direction de la droite génératrice de la surface, et alors la nouvelle nor- male rencontre la première à Finfini; a^ en suivant la section perpendicu* laireà la surface, et alors la nouvelle normale rencontre la première en un point dont la distance dépend de la courbure de la base dans le point corres* pondant; enfin, que ces deux directions sont entre elles à angles droits sur la surface. liCs deux points de rencontre des trois normales sont donc les seuls centres de courbure possibles de l'élément que Ton considère sur la surface; les deux plans différents qui passent par la première normale et par chacune des deux autres indiquent le sens de chacune de ces courbures; les distances du point de la surface aux deux points de rencontre des normales sont les rayons des deux courbures; et Ion voit que, dans les surfaces cylindriques, un de ces rayons étant toujours infini , tandis que la grandeur de lautre dé- pend de la nature de la base de la surface, pour chacun des points, il n'y a qu'une courbure finie; Tautre est toujours infiniment petite ou nulle. Ce que nous venons de dire peut s'appliquer facilement à toutes les sur- faces développa blés, dont deux éléments consécutifs, même indéfinis dans le sens de la direction de la droite génératrice, peuvent toujours être consi- dérés comme faisant partie d'une certaine surface cylindrique. Passons maintenant au cas général des surfaces courbes quelconques. 117. Soit ABCD {PL XXIVyJig. 47) une surface courbe quelconque, GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 121 sur laquelle on considère un point L pris à volonté, et par ce point soit conçue une droite FL/ tangente à la surface: la position de cette droite ne sera pas déterminée ; elle pourra être menée d'une manière quelconque dans le plan tangent à la surface au point L. Puis concevons que la droite Fy*se meuve de manière qu'elle soit toujours parallèle à elle-même, et qn elle soit toujours tangente à la surface courbe ; elle engendrera par son mouvement une certaine surface cylindrique EegG^ dont la base dépendra de la forme de la surface courbe, et qui touchera cette surface dans une courbe LCRAL, engendrée elle-même par le mouvement du point de contact de la droite génératrice avec la surface proposée. Cette courbe de contact LCRAL est, en général , à double courbure. 118. Dans le cas très-particulier de la surface courbe du second degré, c est-à-dire de la surface qui ^ étant coupée par un plan quelconque , produit toujours une section conique, la ligne de contact avec une surface cylin- drique qui Tenveloppe est toujours une courbe plane, quelle que soit d ail- leurs la direction de la génératrice de la surface cylindrique. 119. Dans le cas un peu plus général où la surface courbe est engendrée par le mouvement d'une ligne courbe plane, fixe dans son plan, mais mo- bile avec lui, lorsqu^l roule sur deux surfaces courbes données, pour chaque pointyde la surface il existe une direction à donner à la droite génératrice , pour que la surface cylindrique engendrée par le mouvement de cette droite touche la surface courbe dans une courbe plane; et cette direction doit être telle, que la droite soit toujours perpendiculaire au plan mobile, lorsqu'il passe par le point que Ion considère* Les surfaces de révolution en sont un cas particulier. En efiPet , si par un point quelconque d une surface de révo- lution on conçoit une droite tangente à la surface et perpendiculaire au plan du méridien qui passe par ce point , et si Ion suppose que cette droite se meuve de manière qu elle soit toujours tangente à la surface et perpen- diculaire au plan du même méridien, le point de contact de la ligne avec la surface parcourra la circonférence du méridien, et la droite engendrera Géométrie Monge, 7* édît. 16 122 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. \ une surface cylindrique qui touchera la surface de révolution dans la circonférence même du méridien, et par conséquent dans une courbe plane. 120. Pour tout autre cas, une surface cylindrique circonscrite à une sur- face quelconque touche cette surface dans une courbe LCKAL qui est à double courbure. Ija droite FI^/^ ayant d abord été menée d'une manière arbitraire dans le plan tangent à la surface au point L, si, parce point, on conçoit la tangente LU à la courbe de contact LCKAL, cette tangente fei^, avec la ligne droite génératrice FL/,* un angle FLU qui dépendra et de la nature de la surface courbe, et de la direction arbitraire donnée à la droite FIjf. Concevons, ce qui est toujours possible dans chaque cas particulier, que la direction de la droite FL/' change , sans que cette droite cesse d être tangente à la sarfoce au point L , et que, d'après cette nouvelle direction , elle se meuve parallèle- ment à elle-même en touchant toujours la surface; elle engendrera par son mouvement une autre surface cylindrique circonscrite à la surface, qui la touchera dans une autre ligne de contact à double courbure ; cette nouvelle courbe de contact passera encore par le point L , et sa tangente en ce point' fera, avec la nouvelle direction de la droite génératrice^ un angle différent du premier angle FLU. Concevons enfin qu on ait ainsi fait varier la direc- tion de la droite génératrice , jusqn^à ce que la surface cylindrique engen- drée par cette droite touche la surface dans une courbe de contact dont la tangente en L soit perpendiculaire à la droite génératrice. Cela posé, soit {PL XXIV, fig. 48) une surface courbe quelconque, sur laquelle on considère d'abord un certain point L ; soit FLJ la droite tan- gente à la surface en L, dont la direction soit prise de manière que, si on la fait mouvoir parallèlement à elle-même,- et sans qn elle cessé de toucher la surface, elle engendre une surface cylindrique EFGHJK, qui touche la surface en une courbe dont la tangente en L soit perpendiculaire à FLJ. La ligne de contact de la surface cylindriquq avec la surface proposée sera une courbe à double courbure ; mais au point L son élément se confondra xvec GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. t!i3 rélément LN de la section CNIJ) faite dans la surface cylindrique par un plan perpendiculaire à la droite génératrice FU. Les deux extrémités L, N de cet élément, se trouvant sur la ligne de contact, seront en même temps sur les deux surfaces ; et si par ces points L, N on mène deux normales LP, NP à la surface cylindrique , elles seront aussi normales à la courbe. Or ces deux normales sont dans le même plan perpendiculaire à la génératrice de la surface cylindrique, et doivent se rencontrer quelque part en un point P, qui * est le centre de courbure de Tare LN ; donc , sî sur une surface courbe quel- conque on prend deux points -L , N , qui soient placés sur la ligne de contact de cette SBrface avec la surface cylindrique dont la droite génératrice soit perpendiculaire à l'élément LN de cette ligne de contact, les normales à la surface courbe, menées par ces deux points, seront dans nn même plan, et se rencontreront en un point qui sera le centre de la courbure de la surface , dans le sens du plan qui contient les deux normales. 121. Si sur la droite FLJ on prend un point m infiniment proche du point Xi, et si par ce point m on conçoit une normale à la surface cylin- drique, cette normale sera parallèle à LP, et ne sera pas normale à la surface courbe. Mais si 1 on conçoit que dans le plan de là courbe ÂLM6, déterminé par les droites FLJ et LP, la droite FLJ se meuve sans cesser de toucher la surface, et prenne la position infiniment voisine fi^ de manière qu^elle touche la sarface dans un point M, infiniment voisin du point L, et si Ton suppose que cette droite f^i se meuve parallèlement à elle-même en tou- chant toujours la surface, elle engendrera une nouvelle surface cylindrique efghik^ infiniment peu différente de la première , tant pour la forme que pour la position, et la ligne de contact de cette nouvelle surface cylindrique passera par le point M. La normale MQ à cette surface cylindrique, au * point M, sera aussi normale à la surface courbe; elle sera dans un même plan avec la première normale LP, puisqu'elles seront toutes deux dans le plan déterminé par les droites FLJ, /M<; et ce plan sera perpendiculaire à celui qui passe par les normales LP, NP. Les deux normales LP et MQ se rencontreront donc en un certain point R , qui sera le centre de courbure i6. ia4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. de Parc LM , et par conséquent le centre de ta courbure de la surface dans le sens du plan qui passe par les droites FïJ^fML On voit donc que si, considérant sur une surface courbe quelconque un point quelconque L, on conçoit nne normale à la surface en ce point, on peut toujours passer, suivant deux directions différentes , à un autre point M ou N , pour lequel la nouvelle normale soit dans un même plan avec la première , et que ces deux directions étant dans des plans normaux rec* tangulaires entre eux, elles sont elles-mêmes à angles droits sur la surface courbe. 122. Actuellement ces deux directions sont, en général, les seules pour lesquelles cet effet puisse avoir lieu ; c'est-à-dire que si sur la surface courbe on passe dans toute autre direction à un point O infiniment voisin du point L, et que si par ce point on mène à la surface la normale OQ , cette normale ne sera pas dans un même plan avec la normale LP et ne pourra, par con- séquent , la rencontrer. En effet , concevons que la seconde surface cylindrique ah été inclinée de telle manière , que sa ligne de contact avec la surface passe par le point O ; Tare OM de cette ligne de' contact se confondra avec Tare de la section C'OMD' perpendiculaire à la surface cylindrique ; les deux normales en O et en M à la surface seront anssi normales à la surface cylindrique, elles se- ront dans le plan de la section perpendiculaire^ elles se rencontreront quel- que part en un point Q : mais la normale OQ ne rencontrera pas la nor- male LP ; car, pour que ces deux normales se rencontrassent, il faudrait que le point Q de la normale coïncidât avec le point R, dans lequel cette nor- male rencontre LP ; ce qui , en général, n'arrive pas, parce que cela suppose une égalité entre les courbures des deux arcs LM et LN , et ce qui ne peut avoir lieu que pour certains points de quelques surfaces courbes. Par exemple, la courbure de la surface de la spbère étant la même dans tous les sens, suivant quelque direction que Ion passe d'un de ses points à un autre infiniment proche , les normales menées par ces deux points sont toujours dans un même plan ; et cette surface est la seule pour laquelle cette pro- GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ia5 priété convienne à tons les points. Dans les surfaces de révolution pour les- quelles la courbe génératrice coupe Taxe perpendiculairement , la courbure au sommet est encore la même dans tous les sens , et deux normales consé- cutives sont toujours dans un même plan ; mais cette propriété n'a lieu que pour le sommet* Enfin , il existe des surfaces courbes dans lesquelles cette propriété a lieu pour une suite de points qui forment une certaine courbe sur la surface : mais cela n'arrive que pour les points de cette courbe ; et pour tous les autres points de la surface , la nouvelle normale ne peut ren- contrer la première y à moins que le point de la surface par lequel elle passe ne soit pris suivant J une des deux directions que nous avons définies. 123. Il suit de là qu'en général , une surface quelconque n'a dans chacun de ses points que deux courbures ; que chacune de ces courbures a son' centre particulier, son rayon particulier, et que les deux arcs sur lesquels se prennent ces deux courbures sont à angles droits sur la surface. Les cas particuliers pour lesquels, comme dans la sphère et dans les sommets de surfaces de révolution, deux normales consécutives quelconques se rencon- trent, ne sont pas une exception à cette proposition; il résulte seulement que, pour ces cas, les deux courbures sont égales entre elles, et que les direc- tions suivant lesquelles on doit les estimer sont indifférentes. 134. Quoique les deux courbures d'une surface courbe soient assujetties lune à l'autre par la loi de la génération de la surface, elles éprouvent, d'un point de la surface à l'autre, des variations qui peuvent être dans le même sens ou dans des sens conti*aires. Nous ne pouvons pas entrer, à cet égard , dans de très-grands détails, qui deviendraient beaucoup moins pénibles par le secours de l'Analyse; nous nous contenterons d'observer que pour cer- taines surfaces, telles que les sphéroïdes, dans chaque point les deux cour- bures sont dans le même sens, c'est-à-dire qu'elles tournent leurs convexités du même côté ; que pour quelques autres surfaces , dans certains points , les deux courbures sont dans des sens opposés , c'est-à-dire que l'une présente sa concavité et l'autre sa convexité du même côté (la surface de la gorge ia6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. dune poulie est dans ce cas); que pour quelques aotre|d surfaces, dans tons les points, les deux courbures sont dans des sens opposés (la surface en- gendrée par le mouvement d^une ligne droite , assujettie à couper toujours trois autres droites données arbitrairement dans Peapace , est dans ce cas) ; enfin que , dans une surface particulière, ces deux courbures opposées sont, pour chaque point , égales entre elles. Cette surface est celle dont Taire est un minimum. Des lignes de courbure d' une surf ace quelconque; de ses centres de courbure, et de la surf ace qui en est le lieu géométrique. Application à la division des coûtes en poussoirs et à l'art du graveur. (PI . XXIV , %• 49- ) 125. Passons maintenant à quelques conséquences qui suivent des deux courbures dune surface courbe, et quil est important de faire connaître aux artistes. Soit [PL XXIV, Jig. 49) une portion de surface courbe quelconque, sur laquelle nous considérions un point L pris arbitrairement , et soit conçue la normale à la surface en L. Nous venons de voir que Ton peut passer, suivant deux directions différentes , du point L à un autre M ou L', pour lequel la nouvelle normale rencontre la première , et que ces deux directions sont à angles droits sur la surface. Soient donc LM et LL' ces deux directions rec- tangulaires en L. Du point M on pourra de même passer dans deux directions différentes à un autre point N ou M', pour lequel la normale rencontre la normale en M; et soient MN, MM' ces deux directions rectangulaires en M. En opérant de même pour le point N , on trouvera les deux directions NO et NN' rectangulaires en N ; pour le point O , ou aura les deux directions OP, OO', et ainsi de suite. La série des points L, M, N, O, P, etc. , pour lesquels deux normales consécutives sont toujours dans un plan , formera sur la sur- face courbe une ligne courbe qui indiquera perpétuellement le sens d une des deux courbures de la surface , et celte courbe sera une ligne de pre- mière courbure , qui passera par le point L. Si Ion opère pour le point U GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 127 comme ob l'a fait pour le point L , oa pourra d abord passer, suivant deux directions rectangulaires, à un nouveau point M' ou I/, pour lequel la nou- velle normale rencontre la normale en I/, et Ton trouvera de même une nouvelle série de points L', M', N', O, P, etc. , qui formeront sur la surfince courbe une autre ligne de première courbure, qui passera par le point V. En opérant de même pour la suite des points V\ L^, L'^, etc., trouvés comme L', V^ on aura de nouvelles lignes de première courbure L*'M*WO"P, f/M'^N'^O'T*', etc., qui passeront par les points respectifs L", L'% W\ etc., et qui diviseront la surface courbe en zones. Mais la suite des points L, L', L", L'^yCtc, pour lesquels deux normales consécutives sont encore dans un plan , formera sur la surface courbe une autre courbe qui indiquera perpétuelle- ment le sens de Fautre courbure de la surface , et cette courbe sera la ligne de seconde courbure; M, M^, M'^ M*', etc. , formera une autre ligne de seconde courbure, qui passera par le point M; la série des points N, N', N", N', etc., formera une nouvelle ligne de seconde courbure qui passera par le point N, et ainsi de suite , et toutes les ligues de seconde courbure diviseront la sur- * face courbe en d autres zones. Enfin , toutes les lignes de première courbure couperont à angles droits toutes les lignes de seconde courbure, et ces deux systèmes de lignes courbes diviseront la surface en éléments roctttngulaires ; et cet effet aura lieu , non-seulement si ces lignes sonit infinim^it proches , comme nous Tavons supposé , mais même quand celles d un même système seraient à des distances finies les unes des autres. Avant que d'aller plus loin , nous allons en rapporter un exemple , avec lequel on est déjà fami- liarisé. 126. Si Ion coupe une surface quelconque de révolution par une suite de plans^ menés par Taxe^ on aura une suite de sections qui seront les lignes d'une des courbures de la surface; car, pour quune courbe soit ligne de courbure d'une surface , il faut qn en chacun de ses points , l'élément de surface cylindrique qui toucherait la surface dans Pélément de la courbe ait sa droite génératrice perpendiculaire à la courbe : or cette condition a évidemment lieu ici, non-seulement en chaque point 4e la courbe pour un ia8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. élément de surface cylindrique particulière, ce qui serait suffisant, mais même par rapport à toute la courbe pour une même surface cylindrique. De plus, si Ton coupe la même surface de révolution par une suite de plans perpendiculaires à Taxe, on aura une seconde suite de sections qui seront toutes circulaires, et qui seront les lignes de l'autre courbure; car si, par un point quelconque d'une de ces sections, on conçoit la tangente au méridien de la surface , et si Ion suppose que cette tangente se meuve parallèlement à elle-même pour engendrer Félément d une surface cylindrique tangait à la surface de révolution, «Félément de la surface cylindrique touchera cette surface dans lare de cercle , et cet arc sera perpendiculaire à la droite généra- trice. Ainsi, sur une surface quelconque de révolution, les lignes de courbure sont, pour une espèce de courbure, les méridiens de la surface, et pour l'autre courbure , les parallèles ; et il est évident que ces deux suites de courbes se coupent toutes à angles droits sur 1^ surface. 127. Si par tous les points d'unedes lignes de courbure LMNOP {PL XXIV , fiS' 49) d une surface courbe on conçoit des normales à la surface, ûous avons vu que la seconde normale rencontrera la première en un certain point , que la troisième rencontrera la seconde en un autre point , et ainsi de suite ; le § . système de ces normales, dont deux ^consécutives sont toujours dans un même plan, forme donc une surface développable qui est partout perpendiculaire à la surface proposée, et qui la coupe suivant la ligne de courbure. Cette ligne de courbure étant elle-même partout perpendiculaire aux normales qui , composent la surface développable, est aussi une ligne de courbure de cette dernière surface. L'arête de rebroussement de la surface développable, arête qui est formée par la suite des points de rencontre des normales consécu- tives, et à laquelle toutes les normales sont tangentes, est une des dévelop- pées de la courbe LMNOP ; elle est le lieu des centres de courbure de tous les points de cette courbe , et elle est aussi celui des centres d'une des cour- bures de la surface pour les points qui sont sur la ligne LMNOP. Si Ton fait la même observation poar toutes les autres lignes de coarbure de la même suite ,. telles C[ue I/M'N'0'P, L''M"N"0*P, etc. , toutes les normales de la GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 1^9 surface courbe pourront être regardées comme composant une suite de sur- faces développables , toutes perpendiculaires à cette surface , et le système des arêtes de rebroussement de toutes les surfaces développables formera une surface courbe qui sera le lieu de tous les centres d'une des courbures de la surface proposée. Ce que nous venons de remarquer pour une des deux courbures de la surface a également lieu pour lautre. En effet, si par tous les points L, f/, If y 17 y etc., d'une des lignes de l'autre courbure, on conçoit des nor- males à la surface, ces droites seront consécutivement deux à deux dans un même plan ; lenr système formera une surface développable qui sera partout perpendiculaire à la surface proposée, et qui la rencontrera dans la ligne de courbure Liy I/L''. . • qui sera elle-même une ligne de courbure de la surface développable. L'arête de rebroussement de cette dernière surface sera le lieu des centres de courbure de la ligne Lf/L'X'*. . . , et en même temps celui des centres de seconde courbure de la surface proposée, pour tous les points de la ligne LL'U'L"'. ... Il en sera de même pour toutes les normales menées par les points des autres lignes de courbure MM'M^^M*'. . ., NN'N"N'*. . . • En sorte que toutes les normales de la surface courbe proposée pourront être regardées de nouveau comme composant une seconde suite de surfaces développables, toutes perpeDdieulaires à cette surface^ et le système des arêtes de rebroussement de toutes les nouvelles surfaces développables formera une seconde surface courbe, qui sera le lieu des centres de la se- <:onde courbure de la première. m 188. Dans quelques cas particuliers, les surfaces des centres des deux courbures d'une même surface courbe sont distinctes, c'est-à-dire qu'elles peuvent être engendrées séparément ou qu'elles ont leurs équations sépa rées. On en a un exemple dans les surfaces de révolution pour lesquelles une de ces surfaces se réduit à l'axe même de rotation, et pour lesquelles lautre est une autre Surface de révolution engendrée par la rotation de la déve- loppée plane du méridien autour du même axe. Mais le plus souvent, et dans le cas général , ces deux surfaces ne sont point distinctes , elles ne peuvent Géométrie Monge , 9* éd. . 17 l3o GÉOMÉTfilË OESGAIPTIVE. être engendrées séparément; elles ont la méoie équation, et elles sont deux nappes différentes d une même sar£ace courbe. 129. Ou voit donc que toutes les normales d'une surface courbe peuveat être considérées comme les intersections de deux suites de surfaces dévelop- pabies l^iles, que chacune des surfaces développâmes rencontre perpendicu* laii*ement la surface proposée, et la coupe suivant une courbe qui est en même temps ligne de courbure de cette surface et ligne de courbure de la mrtêce développable , et que chacune des surfaces développables de la pre- mière suite coupe toutes celles de la seconde suite en ligne droite et à angles droits. 130. Voyons actuellement quelques exemples de 'Putilité doat ces géBé-* ratités peuvent être dans certains arts. Ije premier exemple sera pris dans fArchitectore. f jes voMes construites en pierres de taille sont composées de pièces dis* tinctes auxquelles on donne le nom générique de voussoirs. Chaque voussoir a plusieurs faces qui exigent la plus grande attention dans Texécution: i^la face qui doit faire parement, et qui^ devant être une partie de la surface visible de la voûte , doit être exécutée avec la plus grande préoîsiofi : cette face se nomme d&uelle; ù? les faces par lesquelles les voussoirs consécutifs s'appliquent les uns contre les autres: on les nomme généralement /aûi^^. TjCs joints exigent aussi la plus grande exactitude dans leur exécution; car la pres- sion se transmettant d un voussoir à lautre perpendiculairement à la surface du joint , il est nécessaire que les deux pierres se touchent par le (plus ^rand nombre possible dé points, afin que, pour chaque point de cootact, la pres- sion soit la moindre, et que pour tous elle approche le plus de Tégalité. Il faut donc que dans chaque voussoir les joints approchent le (plus de la véri- table surface dont ils doivent fait« partie ; et, pour que cet objet soit plus facile à remplir, il faut que la surface des rjoints soit de la natune la plus simple et de Texécution la plus susceptible de précision. C est pour^cela qw l'on fait ordinaii*ement les joints plans; mens les surfeces deiontes les v^ûAesne oom- GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. l3l portent paseette disposition, et dans quelques-anes on blesserait trop les convenances dont nous parlerons dans un moment, si 1 onne dounait pas aux joints une surface courbe. Dans ce cas, il faut choisir parmi toutes les surfaces courbes qui pourraient d'ailleurs satisfaire aux autres conditions , celles dont la génération est la plus simple et dont lexécution est plus susceptible d^exac- tltude. Or, de toutes les surfaces courbes, celles qu'il est plus facile d^exécuter sont celles qui sont engendrées par le mouvement d'une ligne droite, et sur- tout les surfaces développables; ainsi, lorsqu'il est nécessaire que les joints des voussoirs soient des surfaces courbes^ on les compose, autant qu'il est possible, de surfaces développables. Une des principales conditions auxquelles la forme des joints des voussoii*s doit satisfaire, c'est d^étre partout perpendiculaire à la surface de la voûte que ces voussoirs composent; car, si les deux angles qu'un même joint fait avec la surface de la voûte étaient sensiblement inégaux , celui de ces angles qui excéderait l'angle droit serait capable d'une plus grande résistance que l'autre; et, dans l'action que deux voussoirs consécutifs exercent l'un sur lautre , l'angle plus petit que Tangle droit serait exposé à éclater, ce qui, au moins, déformerait la voûte, et pourrait même altérer sa solidité et dimi- nuer la durée de l'édifice. Lors donc que la surface d'un joint doit être courbe, il convient de l'engendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire à la surface de la voûte; et si l'on veut, de plus, que la surface du joint soit développable , il faut que toutes les normales à la surface de la voûte, et qui composent pour ainsi dire le joint, soient consécutivement deux à deux dans un même plan. Or nous venons de voir que cette condition ne peut être rem- plie, à moins que toutes les normales ne passent par une même ligne de courbure de la surface de la voûte; donc, si les surfaces des joints des vous- soirs d'une voûte doivent être développables, il faut nécessairement que ces surfaces rencontrent celle de la voûte dans ses ligues de courbure. D'ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs d'une voûte soient exécutés , leur division est toujours apparente sur la surface ; elle y trace des lignes très-sensibles , et ces lignes doivent être soumises à des lois générales et satisfaire à des convenances particulières , selon la nature de la surface de l3a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. la voûte. Parmi les lois générales, les unes sont relatives à la stabilité , les autres à la durée de Tédifice; de ce nombre est la règle qui prescrit que les joints d un même voussoir soient rectangulaires entre eux , par la même rai- son qu'ils doivent être eux-mêmes perpendiculaires à la surface de la voûte. Aussi les lignes de division des voussoirs doivent être telles, que celles qui divisent la voûte en assises soient toutes perpendiculaires à celles qui divisent une même assise en voussoirs. Quant aux convenances particulières, il y en a de plusieurs sortes, et notre objet nest pas ici d'en faire Ténumération ; mais il y en a une principale, c'est que les lignes de division des voussoirs qui, comme nous venons de le voir, sont de deux espèces, et qui doivent se rencontrer toutes perpendiculairement, doivent aussi porter le caractère de la surface à laquelle elles appartiennent. Or il n existe pas de ligne sur la si»r* face courbe qui puisse remplir en même temps toutes ces conditions, que les^ deux suites de lignes de courbure, et elles les remplissent complètement. Ainsi la division d'une voûte en voussoirs doit donc toujours être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte, et les joints doivent être des portions de surfaces développables formées par la suite des normales à la surface qui, considérées consécutivement, sont deux à deux dans un même plan; en soite que pour chaque voussoir, les surfaces des quatre joints, et celle de la voûte, soient toutes rectangulaires. Avant la découverte des considérations géométriques sur lesquelles tout ce que nous venons de dire est fondé, les artistes avaient un sentiment con- fus des lois auxquelles elles conduisent , et, dans tous les cas, ils avaient cou- tume de s y conformer. Ainsi, par exemple, lorsque la surface de la voûte était de révolution, soit qu'elle fût en sphéroïde, soit qu'elle fût en berceau tournant, ils divisaient ses voussoirs par des méridiens et par des parallèles , c'est-à-dire par les lignes de courbure de la surface de la voûte. Les joints qui correspondaient aux méridiens étaient des plans menés par Taxe de révolution; ceux qui correspondaienl aux parallèles étaient des sur- faces coniques de révolution autour du même axe; et ces deux espèces de joints étaient rectangulaires entre eux, et perpendiculaires à la surface de la voûte. Mais, lorsque les surfaces des voûtes n'avaient pas une génération GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. l33 aussi simple, et quand leurs lignes de courbure ne se présentaient pas d une manière aussi marquée , comme dans les voûtes en sphéroïdes allongés et dans un grand nombre d'autres, les artistes ne pouvaient plus satisfaire à toutes les convenances, et ils sacrifiaient, dans chaque cas particulier, celles qui leur présentaient les difficultés les plus grandes. Il serait donc convenable que, dans chacune des écoles de Géométrie des- criptive établies dans les départements, le professeur s occupât de la déter- mination et de la construction des lignes de courbure des surfaces employées ordinairement dans les arts, afin que, dans le besoin, les artistes, qui ne peuvent pas consacrer beaucoup de temps à de semblables recherches ^ pus*^ sent les consulter avec fruit, et profiter de leurs résultats. 131. Le second exemple que nous rapporterons sera pris dans 1 art de la gravure. Dans la gravure, les teintes des différentes parties de la surface des objets représentés sont exprimées par des hachures que Ion fait d'autant plus fortes ou d'autant plus rapprochées, que la teinte doit être plus obscure. Lorsque la distance à laquelle la gravure doit être vue est assez grande pour que les traits individuels de la hachure ne soient pas aperçus, le genre de la hachure est à peu près indifférent, et, quel que soit le contour de ses traits, Tartiste peut toujours les forcer et les multiplier de manière à obtenir la teinte qu'il désire et à produire Teffet demandé. Mais, et cest le cas le plus ordinaire , quand la gravure est destinée à être vue d^assez près pour que les contours des traits de la hachure soient aperçus, la forme de ces contours n'est plus indifférente. Pour chaque objet, et pour chaque partie de la surface d'un objet, il y a des contours de hachures plus propres que tous les autres à donner une idée de la courbure de la surface; ces contour» particuliers sont toujours au nombre de deux , et quelquefois les graveurs les emploient tous deux à la fois, lorsque, pour forcer plus facilement leurs teintes, ils croisent les hachures. Ces contours, dont les artistes n'ont encore qu un sentiment confus , sont les projections des lignes de courbure de la sur- face qu'ils veulent exprimer. Comme les surfaces de la plupart des objets ne l34 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. sont pas susceptibles de définition rigoureuse , leurs lignes de courbure ne sont pas de nature à être déterminées , ni par le calcul , ni par des construc- tions graphiques. Mais si , dans leur jeune âge , les artistes avaient été eiiercés à rechercher les lignes de courbure d'un grand nombre de surfaces diffé- rentes, et susceptibles de définition exacte, ils seraient pins sensibles à la forme de ces lignes et à leur position, même pour les objets moins déter- minés; ils les saisiraient avec plus de précision, et leurs ouvrages auraient plus d'expression. Nous n insisterons pas sur cet objet, qui ne présente peut-être que le moindre des avantages que les arts et Tindustrie retireraient de rétablisse- ment d une école de Géométrie descriptive dans chacune des principales villes de France. THÉORIE DES OMBRES ET DE LA PERSPECTIVE. (Extrait des Leçons inédites de G. Mongk, par M. Brissott^ Ingénieur des Ponts et Chaussées. ) Utilité des Ombres tracées sur les épures. 132. Après avoir exposé les principes généraux a laide desquels on résout les différentes questions qu^embrasse la Géométrie descriptive , ii est conve- nable d'en faire connaître quelques applications. Nous nous proposons de nous occuper d'abord de la détermination des ombres dans les dessins ^ et ensuite de la perspective. Dans une école destinée à répandre les méthodes de la Géométrie des- criptive, il serait convenable que les élèves commençassent les applications de ces méthodes par Tétude de la coupe des pierres et de la charpente. La correction rigoureuse des épures que comporte ce genre de recherches ac- coutume Tesprit et la main à plus de précision ; les problèmes qui se pré- sentent sont plus variés, en général, et offrent plus d exercice à la sagacité. Mais dans un cours spécialement consacré à la Géométrie descriptive pro- prement dite, il est naturel de prendre pour premier objet d application la 'irhéorie des Ombres , qui doit être regardée comme le complément de cette acience. ONa a dit que la Géométrie descriptive doit étt*e envisagée sous deux points de vue. Sous le premier, on la considère comme un moyen de recherches l36 THÉORIE DES OMBRES pour arriver, avec précision, à des résultats dont on a besoin; et c^est ainsi que l'emploient la coupe des pierres et la charpente. Sous le second, elle est simplement un moyen de représenter les objets , et ^ dans ce cas, la détermi- nation des ombres est pour elle un auxiliaire avantageux. Les personnes qui sont au courant des méthodes de cette science savent qu une projection seule ne suffit pas pour définir un objet; qu'il faut nécessai- rement deux projections, parce quHl y a toujours sur un plan une des dimen- sions qui manque, mais qu*au moyen de deux projections, les trois dimen- sions se trouvent déterminées. Lors donc que Ton considère la description d'un objet faite complètement au moyen de ses deux projections , on doit comparer la projection horizontale avec la projection verticale ; et c^est de cette perpétuelle comparaison que Ion déduit la connaissance de la forme de Tobjet proposé. Quoique la méthode des projections soit facile, et qu^elle ne soit pas dé- pourvue d un genre particulier d'élégance, cependant celte obligation de comparer sans cesse deux projections Tune à lautre est une fatigue qu'on peut diminuer considérablement par Tiodication des ombres. Supposons, en effet, que Ton ait une projection horizontale^ comprenant toutes les dimensions en longueur et en largeur, mais qui ne détermine en rien les dimensions en hauteur ; si Ion admet que les corps soient éclairés d une manière bien connue (et il convient d'adopter, en général, la manière la plus naturelle, celle avec laquelle nous sommes le plus familiarisés) par des rayons de lumière parallèles entre eux , par exemple , ces corps vont porter ombre les uns sur les autres et sur le plan horizontal au-dessus duquel ils sont placés, et, parle moyen de Tétendue des ombres et de leurs formes, on jugera immédiatement des dimensions verticales. Ainsi la direction des rayons de lumière étant connue, on n'a pas besoin de deux projections : une seule, avec le tracé des ombres, donnera une idée complète de Pobjet que Ion considère ; et si Ton a la projection horizontale et la projection verti- cale, l'une et Fautre avec les ombres construites, ces deux projections seront plus aisées à lire, et montreront plus facilement l'objet, que si l'on n'avait jque les projeictions nues jet sans ombres^ ET DE LA PERSPECTIVE. l37 Ainsi , pour tous les arts où il s'agit de représenter des objets , où la Géo- métrie descriptive n est pas employée comme moyen de recherches , mais d exposition , la détermination des nombres est avantageuse et rend plus par- faite la représentation que Ton se propose de tracer. La détermination des ombres comprend deux parties distinctes : lune est la description graphique du contour des ombres, l'antre est la recherche de Tintensité des teintes à attribuer à chaque' partie des surfaces qui reçoi- vent ces ombres. Nous nous occuperons d abord de la première partie j de celle qui est relative à la description graphique. De la description graphique des Ombres. (PL XXV, XXVI et XXVII, fig. 5oà52.) 135. La théorie des ombres est entièrement fondée sur un phénomène que tout le monde connaît, c*est que la lumière se propage en ligne droite. Nous sommes si accoutumés à cette proposition , que toutes les fois qu on cherche à vérifier si une ligne est droite , on la compare à un rayon de lu- mière. Veut-on s'assurer quune règle est droite, 'on la compare, dans toute sa longueur, avec le rayon de lumière passant par ses deux extrémités ; cherche-t-on à savoir si une rangée d arbres est alignée , on se place de ma- nière que le rayon de lumière qui vient d'une extrémité de cette rangée jQsqu à Tœil passe le long des arbres , et si tous sont placés exactement le long de ce rayon , on reconnaît qu'ils sont parfaitement alignés. Nous admettons donc, comme principe, que la lumière se répand en ligne droite. Il faut cependant observer que cette proposition n est rigou- reusement vraie que quand le milieu dans lequel la lumière se meut est d^une densité uniforme ; mais dans les applications aux arts que nous avons ici uniquement en vue, on a rarement besoin de considérer les rayons de lumière comme prolongés à une grande distance, et traversant des milieux de densités sensiblement différentes : il nous sera donc permis de supposer Géométrie Monge, 7* éd. 18 1 l38 THÉORIE DES OMBRES les milieux uniformes , et les rayons de lumière rigoureusement en ligne droite. Nous distinguerons deux cas : celui où lespace est éclairé par un point lumineux unique , et celui où il est éclairé par nn corps lumineux de di- mensions finies; et nous considérerons d*abord le premier cas. Le point lumineux lance dans tous les sens des rayons de lumière dont lensemble occupe entièrement Fespace , si aucun corps ne s offre ponr les arrêter dans leur direction. U n'en sera pas de même s'il se trouve un corps opaque, c'est-à-dire qui ne soit pas pénétrable aux rayons de la lumière, qui les arrête ou les réfléchisse en tout ou en partie : les rayons qui ne le rencontreront pas continueront de se répandre dans Fespace; mais ceux sur la direction desquels il est placé seront arrêtés et ne s'étendront pas dans la partie de lespace qui est au delà, et qui, par Finterposition du corps, sera ainsi privée de lumière. Gpncevez une surface conique ayant son sammet au point lumineuic et enveloppant le corps opaque, et suppose2-la prolongée indéfiniment ; elle sera , au delà du corps opaque j la limite de la partie de Fespace dans laquelle pénètrent les rayons envoyés par le point lumineux , et de celle où il ne sau- rait en arriver aucun. Cette dernière partie, privé€| de lumière par Finterpo- sition du corps opaque , est ce qu'on appelle YomBre de ce corps; telle est du moins la définition de ce qu'on entend par le mot ombre, lorsqu^en parlant d une éclipse de lune par exemple , on dit que la lune entre dans Fombre de la terre. Le soleil est le corps lumineux duquel \m rayons partent et se ré- pandent dans toutes les directions; la terre est le corps opaque qui intercepte une portion de ces rayons; et, derrière elle, par rapport au soleil, il se trouve une partie de l'espace privée de lumière. Tmt que la lune est hors de cette partie , elle est éclairée et renvoi» de la lumière , elle est visible ; mais, du moment qu'elle y entre, elle ne reçoit pios de lumière, n'en ren* voie plus, et devient invisible. Dans le langage ordinaire, toutefois^ ce n'est pas là ce qu'on entend le plus souvent par le mot ombre y lorsque, par exemple, en se promenant au soleil , on remarque que les ombres sont courtes à midi. Dans cette acception , ET DE LA PERSPECTIVE. 1^9 1 ombre n'est point Fespace privé de lumière par l'interposition d'un corps qui arrête une partie des rayons lancés par le point lumineux, mais c'est la projection de cet espace sur la surface qui la reçoit ; c'est dans ce ^dernier sens que nous emploierons habituellement ce mot. Supposons que le point lumineux soit à une distance infinie , les rayons de lumière qui viendront de là jusqu'à nous seront parallèles entre eux , à ' peu près comme nous le paraissent ceux du soleil. Dans cette hypothèse , à laquelle nous nous arrêterons d^abord , on peut considérer deux cas , celui dans lequel le corps opaque qui porte ombre est terminé par des surfaces planes, et, par conséquent^ par des arêtes rectil ignés et par des sommets d'angles solides, et celui où il est tern&iné par des surfaces arrondies. Nous commencerons par nous occuper du premier, qui est extrêmement simple. . Si le corps qui reçoit la lumière et qui porte ombi;e est terminé par des faces planes, on conçoit aisément qu'une partie de ces faces est éclairée, que l'auti^e est obscure, et que la ligne qui, sur ce corps, sépare la partie éclairée de celle qui ne Test pas est formée par l'ensemble des arêtes recti- lignes d'intersection des faces obscures et des faces éclairées; cette ligne est facile à trouver, et c'est elle qui détermine le contour de l'ombre cherchée. Si l'on conçoit que le corps opaque vienne à disparaître, mais que cette même ligne continue de subsister, et qu'on lui suppose une épaisseur sen- sible , l'ombre de cette ligne , tracée sur la surface qui doit la recevoir, sera le contour de l'ombre du corps. On voit que, dans le cas que nous considé- rons , le problème se réduit à trouver Tombre de certaines lignes droites con- nues de position. » # Pour fixer les idées et rendre ce qui précède plus sensible, supposons que le corps qui porte ombre soit le parallélipipède ABCDabcd ( PL XXV, fig. 5o), que la direction des rayons de lumière parallèles entre eux soft indiquée par Li, et que le plan MN soit la surface qui doit recevoir l'ombre. On juge immédiatement, d'après la direction des rayons de lu- mière, que les faces ABCD, ABoé, AHad sont éclairées, et que les faces DCâ/b, CÉcb et iibcd ne le sont pas ; que les arêtes DG , CB , Bbj ba^adet dD sont les limites de la partie éclairée et de la pairtie obscure. Les ombres IKC, 18. l4o THÉORIE DES OMBRES G'B', B'6', bd^ a'd' et d'IV de ces six arêtes , sur le plan MN, forment le con- tour ou les limites de Fombre.du parallélipipède; les ombres des six autres arêtes, tombant dans Tintérieur de Faire enveloppée par ce contour, sont confondues dans Pombre totale du corps proposé. En général, quand il s'agit de corps terminés par des surfaces planes, les arêtes, limites , ou qui séparent les faces éclairées des faces obscures , se dis- tinguent immédiatement ou sont faciles à déterminer; et plus tard nous in- diquerons un moyen simple de les reconnaître sûrement, ^i dans quelques ^circonstances leur position pouvait laisser de Fincertitude. La question se ' borne donc, comme nous lavons déjà dit, à trouver lombre^ d'un certain assemblage de lignes droites connues de position. Chercbons, en premier lieu, lombre dune de ces droites. Nous observe- rons que le corps qui porte ombre étant connu de forme et de position par rapport aux plans de projection, lès arêtes qui terminent ses faces sont éga- lement connues par rapport à ces mêmes plans, c est-à-dire quon a ou qu'on peut trouver leurs projections horizontales et verticales. Supposons que Tobjet lumineux soit un point unique placé à une distance infinie; la direction des rayons de lumière, dans ce cas, sera donnée par la projection horizontale et verticale d'une ligne droite à laquelle ils devront tous êti^e parallèles. Les rayons de lumière qui rencontrent la droite dont nous cher- chons à déterminer lombre , forment un plan dont la position , par rapport aux plans de projection, résulte de la condition de passer par la droite proposée et d être parallèle à la direction de la lumière. Ce plan , prolongé , contient évidemment l'ombre de la droite; ou, si l'on considère le corps dont cette droite est une des arêtes, il sépare la partie éclairée de l'espace, de celle que Finterposition [de ce corps prive de lumière. Ce même plan va rencontrer la surface sur laquelle l'ombre est reçue, suivant une certaine ligne qui est l'ombre portée par la droite sur cette surface , ou qui appar- tient au contour de l'ombre du corps proposé. La surface étant connue et déterminée par rapport aux plans de projection , on pourra toujours con- struire son intersection avec le plan que nous avons conçu , et parvenir ainsi à connaître complètement cette partie du contour de Fombre cherchée. ET DE LA PERSPECTIVE. j4i Ce que Ton aura fait pour une première arête du corps qui porte ombre , on le fera pour une seconde, pour une troisième, et, enfin , pour toutes celles dont l'assemblage forme, sur ce corps, la séparation des faces éclairées des faces obscures. Si le point lumineux était à une distance finie, la solution précédente se- rait encore applicable en y apportant une légère modification. Les rayons de lumière partant de ce point dont on doit connaître les projections, et dirigés vers la première des arêtes quon a considérées, formeront également un plan déterminé dans Tespace, ou par rapport aux plans de projçction, par la condition de passer par cette droite et par le point lumineux ; et les rai- sonnements que nous avons faits tout à Theure, relativement au plan qui, dans là. première hypothèse, contenait les rayons de lumière parallèles, se répéteront pour celui qui contient les mêmes rayons, lorsqu'ils partent d un point placé à une distance finie. On voit que ces recherches ne sont que de simples applications des mé- thodes de la Géométrie descriptive. Reconnaître, sur le corps qui porte ombre, les arêtes qui séparent la partie éclairée de la partie obscure; par ces arêtes faire passer des plans qui soient parallèles à la direction des rayons de lumière , ou qui contiennent le po*int lumineux , s'il n est pas à une dis- tance infinie , et construire les intersections de ces plans avec la surface qui doit recevoir lombre : dans le cas qui nous occupe, telle est toute la solution. Nous avons dit que la distinction des arêtes limites dont les ombres cir- conscrivent lombre propre du corps est, en général, facile à faire; et, en effet, il suffit pour cela de chercher indistinctement les ombres de toutes les arêtes : celles d entre elles qui entreront dans Tintérieur du polygone formant le contour de lombre du corps, ne peuvent appartenir aux arêtes limites. Ainsi, dans la fig. 5o, les ombres ^c', d'd^ CV, A'o', A'D', A'B' des arêtes bc^dc^CCyAa^ AD , AB , n^appartiennent à aucune des arêtes limites , puisqu'elles entrent dans Pintérieur du polygone cHf^'Giyd'. Mais on peut, avec moins de travail, reconnaître si de deux faces planes dun corps, lune est éclairée et l'autre obscure, ou si elles sont toutes deux obscures, ou toutes deux éclairées, et, par conséquent, si leur intersection l4a THÉORIE DES OMBRES est une arête limite ou non. En effet, par un point quelconque de cette in- tersection, imaginons un rayon de lumière : si des deux faces lune est éclairée et lantre obscure, ce rayon de lumière prolongé les laissera toutes deux du même côté; mais si elles sont Tune et l'autre éclairées ou Tune et l'autre obs^ cures, il passera entre elles deux. Cela posé, les deux faces planes que nous considérons appartiennent à deux plans donnés dé position dans lespace, et dont , par conséquent , on peut construire les traces sur les plans de projec- tion, ainsi que les projections horizontale et verticale de leur intersection ; que, par un point quelconque de cette intersection, on fasse passer une ligne parallèle à la direction de la lumière , et que Ton construise ses deux points de rencontre avec les plans de projection; si ces deux points sont en dehors des traces des plans proposés, le rayon de lumière ne passe pas entre les deux plans, et Tun est éclairé et lautre ne Vbst pas; si lun des points ou tous les deux se trouvent en dedans des traces , on en conclura que le rayon de lumière passe entre les deux plans, et que ces plans sont tous deux éclairés ou tous deux obscurs : dans le premier cas, leur intersection est une arête limite; dans le aecmid, elle ne Test pas. Ainsi, on peut reconnaître d avance quelles sont les arêtes par nq>port auxquelles on doit opérer pour obtenir le contour de lombre du corps proposé. Les corps que l'on considère dans les arts présentent fréquemnient des arêtes verticales ; c'est ce qui rend souvent utile Tobservation suivante. La projection horizontale de la ligne verticale se réduit à un seul point ; la ligne passant par ce point dans le plan horizontal de projection, et dirigée vers le point lumineux , renferme toujours la projection horizontale de lombre de la verticale , sur quelque suaface que cette ombre soit reçue. Ce résultat est vrai, que le point lumineux soit à une distance finie ou infinie. En effets dans Tun et Tantre cas , lensemble des rayons de lumière passant par la verticale forme un plan vertical qui doit contenir lombre de la verticale proposée, et qui la donnera par son intersection avec la surface qui 29 etc. Considérons en particulier le plan P; il cou- pera la sphère suivant une courbe dont la projection verticale ne peut être que sur la trace Pp, et dont la projection horizontale sera la eoxkvhep'p'p'p'. Après lavoir construite, nous lui mènerons les deux tangentes &$' et l^t', parallèles à L'L', lesquelles seront les projections horizontales de deux rayons de lumière tangents à la sphère ; quant aux projections verticales de ces mêmes rayons , elles ne peuvent être Tune et Fautre que la trace P/^ elle-même. Les points de tangence T et 6' sont les projections des deux points où ces rayons de lumière touchent la sphère, et qui appartiennent, par consé- quent y à la courbe qui sépare , sur sa surface , la partie éclairée de la partie obscure. Pour avoir les projectiom verticales de ces mêmes points , on mè- '9- j48 théorie des ombres néra les deux lignes VT et 6'6, perpendiculaires à la commune intersection des deux plans de projection , prolongées jitsqu'à la rencontre de la trace Pp, et Ion obtiendra ainsi, en T et 0, les projections verticales des deux points dont il s'agit. En répétant pour chacun des plans P,, P^, Pj, P4 , etc. , l'opé- ration que nous venons d exécuter pour le plan P, on trouvera, sur le plan horizgntal, la courbe T^T'^T'^e'^e^ege^T;; et, sur le plan vertical , la courbe TTjTaQiôOjô^T,, pour les projections de celle qui, sur la sphère, sépare la partie éclairée de la partie obscure. Reprenons les rayons de lumière dont T't' et G'ô' sont les projections ho- rizontales, et dont Pp est la projection verticale , et cherchons les points où ils rencontrent la surface du cylindre; ce seront des points du contour de Tombre portée sur cet.te surface par la sphère. Le plan P coupe la surface du cylindre, suivant une courbe projetée sur le plan horizontal, dans le cercle qui sert de base au cylindre. Les lignes T't' et ©'6' rencontrent ce cercle dans les points t' et p'j qui sont, par conséquent, les projections horizon- tales des points de rencontre que nous cherchons : pour avoir leurs projec- tions verticales, il suffit de mener les lignes rV et p'p perpendiculaires à la commune intersection des deux plans de projection, et jusqu'à la rencontre de la ligne Pp. Si Ton répète également cette dernière opération relativement aux autt*es plans P,, Pj, etc., on trouvera les projections verticales de divers autres points du contour de Tombre portée par la sphère sur le cylindre, et Ton construira la courbe rr^ r^p^ pp^ p^, qui sera la projection verticale de ce contour. En considérant le plan P, et les deux lignes T^t\ et ©gô',, qui sont les pro- jections horizontales des deux rayons de lumière tangents à la sphère, situés dans le plan dont il s agit, on observera que Tune de ces projections, celle qui est désignée par T'3^'3, ne rencontre pas la base du cylindre, qui est la projection horizontale , ainsi que nous Tavons observé de la section de la sur- face cylindrique par le. plan P, ; le rayon de lumière auquel appartient la ptt>jection T 3^ 3 ne rencontre donc pas cette surface et passe à côté. On en conclura que Tombre portée par la sphère n'est pas reçue en entier par le cy- lindre , et que le contour de cette ombre sur la surface cylindrique n*est ET DE LA PERSPECTIVE. l49 point fermé, mais s^arréte aux points où les rayons de lumière tangents à la sphère sont aussi tangents au cylindre. % 135. Nous avons supposé jusqu'à présent que le poii^t lumineux était à une distance infinie, et cette hypothèse est celle qui est le pins fréquemment admise , parce qu'elle est à peu près conforme à la manière dont les corps sont éclairés par le soleil; mais si Ion supposait le point lumineux à une dis- tance finie, il suffirait, pour rendre la méthode précédente applicable en- core dans ce cas, de substituer aux plans parallèles que nous avons employés, une suite de plans assujettis à passer par le point lumineux, et du reste ton* jours perpendiculaires au plan vertical de projection, comme dans la pre- mière hypothèse. Le procédé que ijous venons d^expoaer peut souvent se simplifier dans les 'questions particulières, diaprés la génération de la surface du corps qui porte l'ombre et de celle qui la reçoit Nous renverrons, à cet égard, aux méthodes de la Géométrie descriptive, qui, dans ces recherches, sont sus- ceptibles de diverses applications intéressantes. Il nous suffit d'avoir fait connaître un mode de solution qui comprend , dans toute sa généralité , le problème de la détermination graphique des ombres, lorsque le corps lumi- neux se réduit à un point unique. La solution de ce problème satisfait à peu près à tout ce que demandent habituellement les ar t du dessin ; ce qui nous reste à dire nous donnera lieu de faire quelques observations , qui ne seront pas sans intérêt sous le rap- port de ces mêmes arts ; mais comme , en supposant que le corps lumineux ait des dimensions finies, les constructions graphiques deviennent extrême- ment compliquées, et seraient d ailleurs d'un usage à peu près nul, cç sera plutôt sous le point de vue de la théorie que sous celui des applications , que nous allons traiter cette dernière partie de la détermination linéaire des ombres. liOrsque le corps lumineux n'est qu'un point , et que rien dans l'espace ne réfléchit la lumière, l'ombre portée par un corps opaque sur une surface placée derrière doit être parfaitement noire, puisque aucun rayon ne peut l5o THÉOBIE DES OMBRES y arriver directement, à raison de Tinterposition du corps opaque, ni indi- rectement , car nous supposons qu*il n'existe aucun autre objet qui puisse y réfléchir de la lumière. Cette ombre, étant. donc d un noir absolu, sera, par conséquent, égale dans toute son étendue; et, de plus, elle se terminera brusquement à son contour, qui sera une ligne parfaitement nette et pro- noncée. 11 n'en est pas ainsi lorsque le corps lumineux a des dimensions finies ; le contour n*est pas tranché brusquement , et c'est par une dégradation insen- sible que Ton passe du noir de lombre à la clarté. En effet , cherchons ce qui a lien dans ce cas , en supposant toujours qu'il n'existe dans l'espace que le corps lumineux, le corps opaque et la surface qui reçoit l'ombre. Concevons un plan tangent à la fois au corps lumineux et au corps opaque, et tel , que les deux corps se trouvent du même côté relativement au plan ; ' puis concevons-en un semblablement tangent et infiniment voisin du pre- mier, qu'il coupera suivant une droite tangente à la fois aux deux corps. C(mcevons encore un troisième plan tangent , infiniment voisin du second ; il le coupera suivant une autre droite également tangente aux deux derniers plans, et Ion observera que cette seconde ligne doit rencontrer la première , puisque Tune et l'ailtre se trouvent sur le second plan tangent. En multipliant aitisi les plans tangents , on aura une suite de lignes tangentes à la fois aux ' deux corps et se rencontrant deux à deux; elles appartiendront à une sur- face que Ton doit reconnaître, d'après sa génération que nous venons dHn- diquer, pour être du genre de celles qu'on appelle déifeloppables (1 10). Cette surface développable enveloppe à la fois le corps lumineux et le corps opaque; et, dans la partie de l'espace qu'elle renferme au delà de ce dernier, il ne peut pénétrer aucun rayon lancé par le corps lumineux ; l'aire . de l'intersection de cette surface avec celle qui reçoit Tombre sera donc d\in noir parfait , et , par conséquent , égal dans toute son étendue. Maintenant , concevons une autre suite de plans tangents au corps lumi- neu|[ eit au corps opaque , mais placés de manière que Fun de ces corps se trouve d'un côté du plan, et que l'autre se trouve du côté opposé; les ET DB LA PERSPECTIVE. l5r iatersectioDS successives de ces plans donneront naissance, comme tout à l'heure , à une nouvelle surface développable qui enveloppera , ainsi que la précédente I le corps lumineux et le corps opaque; mais on observera, par rapport à cette surface et aux lignes droites dont on peut la concevoir com- posée, que lun des corps se trouve d'un côté et l'autre du côté opposé. Il résulte de cette disposition, que de tous les points extérieurs à cette seconde surface développable, on découvre en entier le corps lumineux, sans qu au- cune partie de ce corps puisse être cachée par l'interposition du corps opaque. Si Ton construit Tintersection de cette surface avec celle qui reçoit Tombre, chacun des points situés en dehors de cette intersection jouira d'une clarté totale , c est-à-dire recevra tous les rayons qui peuvent lui parvenir du corps lumineux. Si Ion considère maintenant les deux surface» développables à la fois ^ on remarquera que, dans lespace quelles comprennent entre elles, au delà de leurs courbes de tangence avec le corps opaque y une partie des rayons lancés parle corps lumineux est interceptée parle corps opaque, et qu^ainsi cette portion 4e Tespace n est pas complètement éclairée. Cherchant ensuite ce qui a lieu sur la surface qui reçoit lombre , on observera que Faire com-^ prise entre les deux contours donnés par les intersections de cette surface avec les deux surfaces développebles forme, en général, une espèce d'an- neau pour lequel l'ombre et la clarté sont incomplètes. Au milieu se trouve l'ombre absolue^ et , en dehors, la clarté totale; mais chacun des points situés dans l'aire annulaire elle-même ne reçoit qu'une partie des rayons émanés du corps lumineux, le reste lui étant enlevé par l'interposition du corps opaque. Si ce point pris sur l'aire annulaire est voisin du contour intérieur donné par la première surface développable, il ne peut recevoir la lumière que d'un très-petit segment du corps lumineux, le corps opaque lui déro- bant tout le reste; il est, par conséquent, trèsrprès de l'obscurité. Si ce même point est voisin du contour extérieur donné par la seconde surface déve- loppable, il n'y a, par rapport à lui, qu'une très-petite partie du corps lu- mineux qui reste couverte par le corps opaque; il est donc très-près de jouir de la clarté totale. On voit par là que , da contour intérieur au contour l5a THÉORIE DES OMBRES extérieur déterminés par les deux surfaces développa blés, rombre va en diminuant et la clarté en augmentant, de manière qu'il y a une dégradation insensible entre Tombre absolue renfermée dans le contour intérieur et la clarté totale qui a lieu au delà du contour extérieur : cette aire annulaire, qui entoure Tombre absolue , et dans laquelle Tombre et la clarté sont in- complètes, se nomme la pénombre^ ce qui signifie presque ombre. Nous n avons encore considéré la distribution de Tombre et de la lumière que sur la surface placée derrière le corps opaque ; il nous reste à la consi- dérer également sur la surface même de ce corps. La courbe de tangence de la première surface développable avec le corps forme la ligne de séparation de la partie de la surface qui ne peut recevoir aucun rayon de lumière, de celle qui peut en recevoir. La courbe de tan- gence avec la seconde surface développable forme également, sur la surface du corps opaque, la ligne qui sépare les points pour lesquels une partie des rayons lumineux est interceptée par la convexité même du corps opaque , de ceux pour lesquels cette convexité ne peut en arrêter aucun. II se trouve dçnc sur la surface du corps opaque, entre sa face obscure et sa face éclairée, une zone ou /^ehom&re sur laquelle Imtensité de lombre diminue par gradation insensible , pour passer de Fombre absolue à la clarté totale. Ce que nous venons d exposer, en embrassant dans toute sa généralité le problème qui nous occupe, se simplifie beaucoup et devient très«sensible dans des exemples particuliers. Supposons que le corps lumineux et le corps opaque soient l'un et l'autre des sphères représentées par les cercles L et O {PL XXVII ^Jig. 52), sur un plan de projection dans lequel leurs centres soient placés; que la surface sur laquelle l'ombre doit être portée soit le plan SS perpendiculaire à la ligne LO qui joint les centres des sphères. Dans ce cas , tous les plans tangents à la fois aux deux corps , et placés de manière qu^ils se trouvent tous du même côté par rapport à chaque corps , formeront, comme on le sait, par leurs intersections successives , une surfaee conique que nous indiquerons par les lignes TT', TT', suivant lesquelles cette surface coupe le plan de projection. Son sommet, ou centre^ tombera au delà de la sphère O, si cette sphère est d*un rayon plus petit que la sphère L ; et, au ET DE LA PERSPECTIVE. l53 contraire, en deçà de L, si cette dernière sphère est la plus petite. C'est à cette surface conique que se réduit la première surface développable que nous avons considérée en traitant le cas général. On voit aisément que Tes- pace qu'elle renferme au delà de la sphère opaque ne peut recevoir aucun rayon de lumière émané de la sphère L ; son intersection avec le plan SS est un cercle dont MN est le diamètre, et dont Tintérieur est absolument privé de lumière. Si Ion conçoit maintenant d^autres plans tangents également aux deux sphères, mais tels que, par rapport à chaque plan, l'une des sphères se trouve d'un côté, et lautre du côté opposé, ces plans^ par leurs intersections successives, formeront une autre surface conique dont le sommet sera placé entre les deux sphères, et que nous indiquerons, comme la première, par les lignes tt\ tt\ qui sont ses intersections avec le plan de projection; cette seconde surface conique répond à la seconde surface développable que nous avons considérée dans le cas général. On voit, de même, que tout l'espace qu elle laisse à son extérieur reçoit les rayons émanés de la sphère L , sans qu aucun soit arrêté par la sphère O. Son intersection avec le plan SS est un cercle dont mn est le diamètre , et tous les points du plan extérieurs à ce cercle reçoivent les rayons de lumière sans obstacle de la part de la sphère opaque. Mais l'espace compris* entre les deux surfaces coniques au delà de leurs courbes de tangence avec la sphère , et qui se trouve indiqué sur le plan de projection par les aires angulaires Yct\ Vct\ ne reçoit pas complètement les rayons lumineux de la sphère L, puisque chacun de ses points ne peut découvrir quune partie du corps lumineux, le reste lui étant dérobé par l'interposition de la sphère opaque : cet espace ne sera donc pas entièrement obscur ni entièrement éclairé. Les points du plan SS, situés entre le cercle du diamètre MN et le cercle du diamètre mn, seront dans ce cas; l'intervalle de ces deux cercles formera donc un anneau pour lequel ni l'ombre ni la clarté ne seront absolues. Si , sur cet anneau , on prend un point voisin du cercle intérieur, tel que le point ^, on voit y d'après la figure, qu'il ne peut recevoir des rayons Géométrie Monge, 7* éd. 20 l54 THÉORIE DES OMBRES lumioeux que de la partie de la sphère L , correspondante à 1 arc gf\ si , au contraire , on prend un point voisin du cercle extérieur, tel que f/^ on voit qu il peut recevoir des rayons de la partie de la sphère lumineuse , corres- pondante à lare ^f\ beaucoup plus g^rand que g/*; la clarté doit donc aller en augmentant, ou lombre en dimiouant , du cercle intérieur au cercle exté- rieur, ou dans Tétendue de ce <\\ie nous avons nommé la pénombre. Sur la surface de la sphère opaque , la courbe de tangence du pranier cône est un cercle projeté suivant son diamètre oa. La courbe de tangence du second cône est un antre cercle projeté suivant son diamètre bb. La partie de la surface de la sphère O qui est au delà du cercle cui est entièrement dans l'obscurité; celle qui est en deçà du cercle hb reçoit sans obstacle tous les rayons de lumière. Mais les points situés sur la zone comprise entre ces denx cercles ne voient qu^en partie la sphère lumineuse, sont, par con- séquent, dans un état intermédiaire entre la clarté et Tobscurité, et l'ombre perd de son intensité , du cercle aa au cercle bb , sans qu'il y ait nulle part de passage brusque et précis : il y a également une sorte de pénombre dans l'étendue de cette zone. On peut regarder, en général , comme inutile de déterminer d'une ma- nière géométrique les contours des pénombres, ce qui serait d'ailleurs fort long et fort embarrassant ; mais quelques observations assez simples peu- vent fournir des données sur la mesure de la largeur qu'il convient de leur attribuer. La distancef entre le corps lumineux L et le corps opaque O restant la même , si l'on rapproche parallèlement à lui-même le plan SS de ce dernier, ■ la ligne N/i, qui indique la largeur dé la pénombre, diminue; si Ton éloigne ce plan, elle augmente. On voit aisément quelle est proportionnelle à la dis- tance du corps opaque au plan sur lequel l'ombre est portée, et qu'elle dé- pend d'ailleurs de l'angle ticN formé par les arêtes TT' et tt' des deux cônes qui enveloppent la sphère opaque et la sphère lumineuse, angle qui dépend lui-même de la distance entre le corps opaque et le corps lumineux, et des dimensions de ce dernier. Si nous supposons que le corps lumineux soit le soleil, la distance de cet ET DE LA PERSPECTIVE. i55 astre à la terre étant partout sensiblement la même, Tangle dont il s'agit sera toujours égal, quel que soit le corps opaque que Ion considère comme éclairé parle soleil. Cet angle mesure ce quon appelle le diamètre apparent du soleil; il est d'environ un demi^degré^ et, de cette donnée ^ on peut conclure que la largeur de la pénombre sera environ la 1 1 5^ partie de la distance comprise entre le point qui porte lombrè et celui où elle est reçue sur le plan, que nous supposons à peu près perpendiculaire à la direction du rayon de lumière. Il est facile de voir que , s'il s'éloignait de cette posi^ tion, la largeur de la pénombre augmenterait dans le rapport inverse du sinus de l'angle que le plan ferait avec la direction de la lumière : on trou** verait par exemple, en supposant cet angle de 4^ degrés, que la largeur de la pénombre devrait être la 8i^ partie de la distance entre le point qui porte l'ombre et celui où cette ombre est reçue. Il est donc essentiel, dans les dessins, de donner une plus grande largeur à la pénombre, à mesure que l'ombre portée s'éloigne de l'objet qui la pro- duit; et les résultats que nous venons d'indiquer suffisent pour faire connaître rétendue à donner à chaque partie de la pénombre , avec plus dé précision même que Fexécution des dessins ne le comporte ordinairement. Nous avons remarqué qu'il se trouvait également une pénombre , ou zone incomplètement éclairée, sur la surface du corps opaque. Supposons ton- jours que ce corps soit la sphère O, et, pour trouver Tétendue de l'arc ba^ qui mesure la largeur de la pénombre, concevons aux points b et a deux normales à la surface, qui, dans le cas de la sphère , seront les deux rayons 06 et oa. On sait que l'angle formé parles normales est égal à celui que forment entre elles les tangentes TP et tt'; ainsi, la mesure de l'arc ba ne dépend que de deux éléments : Tangle formé par les tangentes, et le rayon oi, auquel l'arc est proportionnel. Si la lumière vient du soleil , Fangle dont il s'agit est toujours le nfiême , quel que soit le corps éclairé, et d'un demi-degré à peu près. On en conclura donc que la largeur delà pénombre sur la sphère est à peu près égale à la 1 1 5^ partie du rayon. On peut, sans erreur sensible, étendre ce résultat à un corps de figure 20. l56 THÉORIE DES OMBRES ET DE LA PERSPECTIVE. quelconque, en observant que, pour avoir la largeur de la pénombre cor- respondante à un point déterminé de la ligne de séparation de la face obscure et de la face éclairée de ce corps , il faut concevoir par ce point, et dans le sens du rayon de lumière, un plan normal à la surface du corps , et prendre la 1 1 5® partie du rayon de courbure de cette section. En nous bornant à ce qui précède , sur cette partie de la théorie des om- bres.qui a pour objet la détermination géométrique de leurs contours, il nous reste à traiter de celle qui est relative à la recherche de l'intensité des teintes qu'il faut donner aux différentes parties des surfaces ombrées , pour qu'elles nous offrent , dans les dessins , toutes les apparences d'ombre et de lumière que les objets imités nous présentent dans la nature ; mais pour em- brasser un tel sujet dans toute son étendue, il ne suffit pas d envisager uni- quement, comme nous lavons fait jusqu'à présent, un corps lumineux , un corps opaque et une surface qui reçoit Vombre, en faisant abstraction de toute circonstance accessoire ; il faut étudier les objets avec tout ce qui les entoure dans la réalité, et avoir égard, entre autres choses, à la position du spectateur, et aux modifications que la lumière peut éprouver avant d'arriver à son œil, pour y porter la sensation du spectacle sur lequel il attache sa vue. Ces considérations nous semblent exiger que nous fassions précéder ce que nous avons^à dire sur cette matière, par l'exposition de la Théorie de la Perspective. THÉORIE DE LA PERSPECTIVE Méthodes pour mettre les objets en perspective. (PL XXVIII, fig. 53.) 156. L'art de la Perspective consiste à représenter, sur un tableau dont la forme et la positon sont connues, des objets également donnés de forme et de position , tels qu'ils paraîtraient à un œil dont la position serait aussi » déterminée. Pour rendre cette définition encore plus sensible, supposons que le tableau soit d'abord une glace transparente. Si de tous les points des objets proposés, on conçoit des rayons dirigés vers Fœil, que ces rayons, en traversant le tableau transparent, y laissent leurs traces empreintes de la couleur et de la teinte propre aux points dont ils partent, Pensemble de ces traces formera sur le verre la représentation complète des objets : c est cette représentation quon se propose d obtenir dans Tart de la Perspective. On ' voit qu'ici , comme dans la Théorie des Ombres, on doit admettre deux parties distinctes : lune est purement géométrique, et son objet est de dé- terminer d une manière précise, sur le tableau, la position de chaque ppint représenté; lautre a pour objet la recherche de la teinte d^ombre et de lumière qu'on doit donner à chaque partie du tableau , et c'est par des cen- sidérations physiques' qu'on peut, en général, la traiter. Cette dernière partie , qu'on désigne sous le nom de Perspectif aérienne, rentre entière- ment dans le cercle des recherches que nous essayerons d'exposer plus tard , pour compléter la Théorie des Ombres; nous ne nous occuperons donc ici que de la première partie, appelée Perspective linéaire. D'après les définitions que nous venons de donner, il est facile de conce- voir que la Perspective linéaire se réduit à construire la section qu'une sur- 1 58 THÉORIE face déterminée fait 'dans une pyramide dont ]e sommet et la base sont donnés. L'œil est le sommet; la base peut être regardée comme répandue sur la surface des objets qu'on se propose de mettre en perspective, et la sur- face sécante est le tableau. Les méthodes de la Géométrie descriptive donnent aisément la solution de ce problème pris dans toute sa généralité , c'est-à-dire en supposant même que le tableau soit une surface courbe quelconque; cependant, comme nous avons surtout en vue ce qui est d'une utilité habituelle dans les arts , nous ne nous étendrons avec quelque détail que sur ce qui concerne les perspec- tives à tracer sur des surfaces planes , et nous nous contenterons de présenter ensuite quelques observations concernant les perspectives à construire sur des surfaces courbes. Nous supposerons que le tableau soit un plan vertical ou perpendiculaire à celui des plans de projection que Ton considère comme horizontal : on pourrait , sans difficulté , le supposer incliné d'une manière quelconque par rapport à ces plans; mais l'hypothèse à laquelle nous nous arrêtons est plus naturelle et simplifie les constructions. Ainsi , la position de Fœil , celle d'un objet connu de forme , et , enfin , celle d'un plan vertical , étant données par rapport aux plans de projection , il s'agit de trouver les rencontres de ce plan avec les droites menées de l'œil à chacun des points de l'objet proposé, et de les rapporter sur un tableau représentant ce même plan vertical supposé rabattu. Diverses constractions peuvent donner les points de rencontre avec plus ou moins d'avantage et de facilité, selon les positions respectives de l'objet, de l'œil et du tableau ; nous allons exposer, en premier lieu , celle qui est la plus simple et ordinairement la plus commode. Plaçons d'abord le plan vertical de projection dans une position telle , que celui du tableau lui soit perpendiculaire , et qu'en conséquence ce dernier s'y trouve projeté par une ligne verticale qui sera sa trace. Soient C et O" [PL XXVIII, fig. 53) les projections de l'œil, TT' et T^T celles du ta- bleau , ou les traces du plan vertical auquel il appartient; supposons qu'on ait au delà les projections des objets à mettre en perspective , déjà faites, DE LA. PERSPECTIVE. • rjg OU que Ton doit commeocer par faire sur les pi^ns de projection qu'on a adoptés; par exemple, celles dWe pyramide à base quadrangulaire, dont les sommets ou angles solides A, B, G, D, E, soient donnés en projection horizontale aux points A', B', C\ TV y E', et en projection verticale aux points A\ B\ C\ D\ E\ Si, de Tœil, on mène une ligne à un premier point de lobjet proposé, on aura, pour les projections de cette ligne, les droites O'A' et C'A", i.es points a' et a", où cesdroites coupent les projections TT' et T"T"du tableau , sont évidemment les projections du point de rencontre du rayon visuel avec le tableau; il ne s agit plus que de trouver la position de ce point sur le tableau lui-même, que nous concevrons enlevé de sa position TT'T'T'^, et placé en MN. Un moyen simple dy parvenir, est de déterminer sur ce ta-, bleau deux lignes que Ion prendra pour des aXes auxquels tous les autres points doivent se rapporter; la position de ces axes étant fixée ^r les plans de projection, on cherchera la distance à laquelle se trouve, de chacun deux, le point de rencontre du rayon visuel avec le tableau, et, à lai^e de ces distances, la situation du point sur le tableau sera facile à marquer. Ces deux axes pouvant être pris arbitrairement, nous supposerons que, par Foeil, on mène deux plans, Fun horizontal et lautre vertical, perpendicu-* laires tous deux au tableau ; leurs traces sur ceux de projection seront OY et (yX'y ils couperont le plan du tableau suivant deux lignes, Tune horizon- tale, représentée en projection verticale par le point or, et l'autre verticale, représentée en projection horizontale par le* point jr ; ces deux lignes se- ront les axes que nous adopterons, et sur le tableau, nous les représenterons, savoir, par XX Taxe horizontal , et par TY Taxe vertical. Gela posé, nous avons dit que a' est la projection horizontale du point où le rayon visuel mené au point A rencontre le tableau ; j'a' sera donc la distance à laquelle ce point doit se trouver de la verticale passant par le point ^, ou de Taxe Y Y sur le tableau MN. Si donc sur ce tableau , on mène à droite on à gauche de l'axe YY, selon qu^en projection horizontale a' est à droite ou à gauche de j*, une parallèle à une distance égale à jra% cette parallèle aa' renfermera le point cherché. De même a'' étant la projection 1 6o THÉORIE verticale du même point, xa'' mesure la distance à laquelle ce point se trouve de Taxe horizontal , mené dans le tableau par le point x : qu on tire donc sur le tableau une parallèle a" a à Taxe XX, en ayant l'attention de la placer au-dessus ou au-dessous, selon que, dans la projectioti verticale, le point a" sera au-dessus ou au-dessous du point x; les deux lignes a'a^ a^a^ parallèles aux axes, donneront par leur rencontre le point cherché, ou la perspective dii point A. On peut faire la même opération pour tous les points de la pyramide ABCDE , dont on obtiendra ainsi la perspective complète. Quelques observations abrégeront beaucoup le travail. On remarquera d abord que la perspective d'une ligne droite est une ligne droite lorsque le tableau est une surface plane. En effet, les rayons visuels menés de Tœil . aux divers points de la droite proposée sont dans le plan mené par cette droite et par Toeil ; par conséquent, leurs points de rencontre avec le tableau doivent être sur la droite d'intersection du tableau par le plan auquel ils appartiennent. Ainsi, il suffit de construire les perspectives de deux points d^ la ligne proposée, et de les joindre par une droite, pour avoir la per- spective de la ligne elle-même. Dans lexemple que nous avons pris, on pourra donc se contenter de construire les perspectives des cinq sommets A , B , C , D, E de la pyramide; et, en les joignant par des droites, on aura les per- spectives des arêtes. En second lieu , si le corps dont on veut faire la perspective est opaque et impénétrable aux rayons visuels, la partie antérieure dérobera la vue de Tautre partie; il est donc inutile de construire la perspective des points qui appartiennent à cette dernière : ainsi, dans lexemple proposé, le point E de la pyramide ne pouvant être aperçu de Fœil placé au point O , il est inutile de chercher sur le tableau MN le point qui lui correspond. La partie visible d'un objet est séparée de celle que l'œil ne peut aperce- voir, par une ligne que Ton appelle contour apparent, La perspective du contour apparent est le trait qui, sur le tableau, enveloppe l'image de l'objet qu'on se propose de représenter; il est donc important, en général , de bien déterminer le contour apparent d'un objet, et d'en faire avec soin la perspective. DE LA PERSPECTIVE. f6l Lorsque les objets à représenter sont terminés par dès surfaces planes et des arêtes rectilignes , il est, en général, facile de distinguer les faces visibles pour une position déterminée de l'œil, de celles qui ne le sont pas, et, par conséquent, de reconnaître celles des arêtes dont* l'assemblage forme la ligne du contour apparent. Mais, lorsque ces objets sont terminés par des surfaces courbes , le contour apparent nest plus formé de lignes droites : c'est alors une courbe qu^il faut déterminer sur la surface du corps , à Faide de son caractère particulier, qui Cjst de séparer la partie du corps qui est visible de celle qui ne lest pas , par rapport à un œil dont la position est donnée. On voit que cette recherche est tout à fait semblable à celle de la ligne qui sépare, sur un corps opaque, la partie éclairée de la partie obscure, lorsque le corps lumineux est un point unique , placé à une distance finie : il s agit également de trouver la courbe de tangence d'un cône dont le sommet est donné y et qui enveloppe un corps terminé par une surface connue. Nous croyons inutile de nous arrêter à cette recherche, et nous renverrons aux solutions que nous avons données, des questions parfaitement analogues, dans la Théorie des Ombres. 137. Nous devons faire connaître ici un résultat de perspective très- important par ses fréquentes applications , et dont Tobservation est essen- tielle. poqr la correction du dessin ; il consiste en ce que toutes les fois que Ton doit mettre en perspective plusieurs lignes droites parallèles entre elles (mais non pas au tableau j, sur quelque tableau que ce soit, les perspectives de ces droites concourent en un seul point. Si ce tableau. est plan, ces perspectives sont elles-mêmes des lignes droites qui passent toutes par le même point, proposition facile à démontrer. En effet, une droite étant donnée pour la mettre en perspective, on conçoit que Tensemble de tous les rayons visuels menés de l'œil à cette ligne forme un plan passant par la ligne et par Tœil , et dont Tintersection par le tableau trace la perspective demandée ; alors , si par l'œil on suppose une droite parallèle à la ligne donnée , elle se trouve en entier dans le premier plan. Maintenant, qu'on ait une seconde ligne parallèle à la première, à Géométrie MongCy 7* édit. .21 i6a TWÎORIË meUre é^Blemevkt en perspective, et que Fqq considère aussi le plan pusstnt par cette ligne et par Tesil, comédie traçait par soa iaterseetiaa avec le tar bleau la perspective qu^U s*agit dobteqir, puis qa.'oii mèae par Tœil une droite parallèle à la seconde lig^e doa«ëe ^ elle sera entièrement daofi le se- cond plan. Mais les' deux lignes données étwt parallèles, les droites quon mène par l'œil y parallèlement à la première et à la seconde , se çonfQadmt en une seule qui est en même temps dans le premier plan et dans le second : elle est donc leur ligne d'intersection ; le point où elle rencontre le tableau est, par conséquent , celui où se croisent les lignes suivant lesquelles ces plans coupent le tableau, ou, ce qui revient au même, celui où concourent les perspectives. Il suit de là que, pour mettre en perspective tant de droites parallèles qu on voudra , il n^y a qu'à mener par Vœil une ligne qui leur soit parallèle : le point où cette dernière rencontrera le tableau sera le point de concours auquel tendront les perspectives de toutes ces droites. Les projections de la ^oite menée par Toeil sont parallèles à celles de la ligne à mettre en perspective, et sont , par conséquent, faciles à construire ; on a les traces du tableau sur les plans de projection : il est donc aisé de trouver le point dé rencontre de la droite et du tableau. Le résultat que nous venons dexposer peut abréger beaucoup les opéra- tions, lorsque le tableau est une surface plane, et qu'il. s'agit de ti^er les perspectives de difféi?entes lignes^ parallèles.- Dans ce cas , ces perspectives sont elles-mêmes des lignes droites, et leur point de* concours étant déter- miné ainsi que nous lavons indiqué , il suffira , pour les tracer, de connaître sur le tableau, relativement à chacune d'elles, la perspective d'un second point. Mais ce n^est pas seulement comme moyen d'abréviation que ce que noua venons de dire doit être considéré; c'est encore le procédé le plus sur pour éviter des incorrections dont notre ooîl eat facilement blessé. Nous sonunes, en général , moins sensibles aux grandeurs réelles des objets qu'au parallé- lisme des lignes que nous jugeons devoir être parallèlesi Que deux lignes soient aq peu plus éloignées ou un peu plus rapprochées l'une de Tautre qu'elle&ne doivent Tétre, ii fuiiira un œil exercé et quelque attention pour DE LA PERSPECTIVE. l63 ce défaut; mais si elles doivent être parallèles etqueUes ne lé soient pas j nous nous en apercevrons sur-le-champ ^ et nous en serons vivement choqués. Si donc , lorsqu^on met en perspective pluMeurs lignes parallèles , les perspectives qui doivent concourir au même point n'y concoilrent pas en effet, cette erreur blesse extrêmement l'observateur, et les parallèles ne lui paraissent plus telles; ainsi, on peut toujours regarder comme essentiel de déterminer sur le tableau le point de concours des lignes qui représentent les perspectives des droites parallèles , afin d*être sûr que les perspectives pas- sent par ce point. Dans lexposition du procédé de construction que nous avons donné ci- dessus, nous avons supposé que le plan vertical de projection était perpen- diculaire au plan du tableau; nous avons trouvé, dans cette disposition ^ l'avantage davoir le tableau projeté en entier sur une seule ligne. Si le tableau était oblique au plan vertical de projection, pour trouver la hauteur de chaque point de la perspective au-dessus de Taxe ' horizontal auquel on le rapporte, il fendrait, du point où la v projection horizontale du rayon visuel rencontre la trace horizontale du tableau , abaisser une perpendicu- laire sur Tintersection des deux plans de projection , et la prolonger jusqu'à la rencontre de la projection verticale du rayon visuel* Gé travail, quoique assez long, peut, dans quelques circonstances, être moins pénible que la con- struction préliminaire d'une projection verticale sur uni plan perpendiculaire au tableau. Supposons qu'on ait à mettre en perspective une suite de pilastres sembla- bles, et dont la direction soit oblique au plan du taUeau; il serait fort long d'en faire la projection sur un plan vertical perpendiculail*e au tableau ; mais, en la faisant sur un plan perpendiculaire à la direction des pilastres, elle se réduit à la projection d'un seul d'entre eux. On voit que , dans ce cas , il devient préférable d'adopter cette dernière disposîldôn, malgré l'inconvénient d'avoir une hgne de plus à tracer pour construire la perspective de chaque point ISS. En général, le problème que présente la perspective linéaire; en le considérant dans ses éléments, se réduit à construire le poiht de rencontre ai. l64 THÉORIE du tableau par le rayon visuel mène de Tœil à un point déterminé ; et il est utile de connaître plusieurs moyens de le résoudre, afin de faire usi^e, en chaque circonstance, de ceux qui exigent le moins de travail. La plupart des méthodes données dans les ouvrages qui traitent de la Perspective, et particulièrement celle que nous avons déjà développée , rentrent dans le mode général de solution que nous allons indiquer. Si, par le point à mettre en perspective et par l'œil, on conçoit deux plans différents, le rayon visuel se confondra avec leur intei*section , et comme ils coaperont nécessairement le tableau , si 1 on construit les lignes ou les traces suivant lesquelles ils le rencontrent, le point où ces traces se croiseront appartiendra à Tintersection des deux plans entre eux, et sera, par conséquent, le lieu de rencontre du rayon visuel et du tableau. C'est au dessinateur à choisir, parmi le nombre infini de plans qui peuvent passer par Tœil et par le point k mettre en perspective , les deux plans dont il loi est le plus facile de déterminer les traces snr le tableau. En les prenant perpendiculaires chacun à l'un des plans de projection, .on retombe sur la méthode de construction que nous avons déjà donnée. Il peut être souvent avantageux de supposer l'un des plans perpendiculaire au tableau même; dans ce cas , il est aisé de voir que sa trace passera par les pieds des perpen- diculaires abaissées de l'œil et du point proposé sur le tableau. Plus généra- lement, si Ion conçoit 9 par le point et par lœil, deux lignes parallèles entre elles , l'intersection du tableau et du plan qui les contient passera par les points où le tableau est lui-même rencontré par ces parallèles. Ces diverses observations suffisent pour mettre les personnes qui sont au courant des méthodes de la Géométrie descriptive, en état d^abréger, dans un grand nombre de cas , et de simplifier beaucoup les opérations qu'exige la pratique de la Perspective linéaire. ^ Supposons maintenant que le tableau ne soit plus un plan, mais une surface courbe donnée; les considérations que nous venons d'exposer doivent, en général, conduire, pour chaque cas, à la plus avantageuse des constructions possibles. En effet, parmi tous les plans passant par l'œil et par le point dontt>n demande la perspective, et qui contiennent en conséquence le rayon DE LA PERSPECTIVE. l65 visuel , on peut toujoars choisir celui qui j d'après la nature connue de la surface proposée pour tableau , donne , par son intersection avec ce tableau, la courbe la plus aisée à construire , soit sur le plan même que Ton con^dère , soit dans lune de ses projections. Il sera ensuite facile de trouver Fintersec* tion de cette courbe avec le rayon visuel, ce qui déterminera le point où le rayon rencontre le tableau. Si , par exemple , le tableau était une surface spbérique , il faudrait que . le plan mené par Tœil et par le point à mettre en perspective passât égale- ment par le centre de la sphère ; alors Fintersection serait toujours un grand cercle, dont on trouverait facilement, sur le plan même, la rencontre par le rayon visuel. Si le tableau était une surface conique, on ferait passer constamment le plan contenant le rayon visuel par le sommet du cône ; Fintersection de ce plan avec le tableau serait une ligne droite dont on trouverait sans peine les projections, et leur point de rencontre avec celles dû rayon visuel. Les panoramas sont des perspectives tracées sur des surfaces cylindriques verticales à base circulaire, le point de vue étant pris sur Faxe même de ces surfaces. Pour mettre tm point quelconque çn perspective sur la surface d'un cylindre vertical, on concevra, par Fœil et par le point proposé, un plan vertical qui coupera cette surface suivant une de ses arêtes, déterminée par la rencontre de la trace horizontale du plan avec la circonférence du cercle servant de base au cylindre. Que Fou fasse la projection verticale de cette arête , sa rencontre avec la projection verticale du rayon visuel déter- minera la hauteur à laquelle le rayon visuel rencontre la surface du cylindre , au-dessus de k base de ce dernier; et il sera facile ^ d'après ce» données, de construire la perspective du point proposé, soit sur la surface même du cy- lindre , soit sur le tableau supposé développé. 139. Ce qui précède donnant les moyens de résoudre toutes les questions que peut présenter la Perspective , nous n'ajouteroîis plus que quelques ob- servations. Lorsqu'on a un tableau offrant la perspective d un objet, prise d'un point l66 THÉORIE déterminé , on peut en déduire le tracé d une perspective du même objet prise du même point de vue , et sur un tableau différent. En effet , Toeil et le premier tableau étant déterminés de position , la direction des rayons vi- suels menés de l'œil à chacun des points de lobjet représenté se trouve fixée, et Ion peut en déduire, par conséquent, leur rencontre avec la surface d'un autre tableau dont la position est donnée. Mais ce qu^on vient de dire ne saurait plus avoir lieu si 1 on prenait un autre point de vue, rien, dans ce cas, ne déterminant la direction des rayons visuels, et une simple perspective ne suffisant pas pour définir lobjet re- présenté. Une perspective est une sorte de projection qui ne diffère de la projection orthogonale dont on fait habituellement usage, quen ce que la première s opère par des hgnes qui concourent au point de vue d^où la per- spective est prise; tandis que, pour la seconde, ces lignes sont perpendicu- laires au plan de projection : or on sait qu'un objet n'est complètement dé- fini qu a Faide de deux projections ) il ne le serait également qu a Taide de deux perspectives, par rapport à chacune desquelles on connaîtrait la po- sition du poiot de vue. Nous terminerons ici nos recherches sur la partie géométrique de la Théorie des Omhres et de la Perspective. Les méthodes que nous avons exposées em- brassent, relativement à la représentation des objets, à peu près tout ce qui , dans Fusage , est susceptihle d'un tracé rigoureux. Ainsi , divers objets étant proposés et déterminés par leurs projections, si on les suppose éclairés d^une manière connoe, on construira les contours des parties éclairées et des parties obscures sur la surface de chacun d eux et ceux des ombres qu'ils portent tes uns sur les autres , puis on tracera sur un tableau d'une forme donnée la perspective de ces mêmes objets, ainsi que des contours de leurs ombres, prise d'un point connu : il ne restera plus , pour compléter leur représenta- tion, qu'à donner aux diverses parties de leur image les teintes avec les- quelles , duis la réalité , elles s'offrent à nos regai*ds. DE LêL PERSPECTIVE. 167 De ha détermination des teintes dans la représentation des objets, et de la Perspective aérienne. 140. La partie de la Théorie des Ombre» et. de la Perspective dont nous avons maiotenant à nous occuper est trèd^compliquée, et a besoin d*être étudiée avec plus de soin qu^elle ne Ta été jusqu'à présent; elle exige (ynet- que» connaissances physiques, et surtout un grand nombre d'observations* Malheui:eusement les peintres , qui sont obligés de réfléchir à tout moment sur cette matière ^ publient peu leis résultats de leurs niéditationa sur lemr art. Peut-^être plusieurs découvertes curieuses , des observations importantes, demeurent^Ues ignorées et perdues pour rinstruction générale^ parce que les artistes qui les ont faites n'ont pas su en rendre un eonpte préois , ou ont négligé de prendre ce soin. Nous somme» bien loin de présenter les re*^ cherches que nous alkms exposer comme un corps completde doctrine; ce ne sont que des idées jetées en avant et destinées à ouvrir une cairiere à peu près nonvelle : puissentnos essais faire naîûre des recherches plus profondes, et devenir ainsi, pour la science, le principe de quelques progrèa ultérieorsl La teinte qu offre à notre vue un objet éclairé dépend premièrement de Imtensité propre à la lumière reçue du corps lumineux et renvoyée à notre œil, et de la manière dont a lien sa. distribution sur la. surfaee de lobjel, et la réflexion qui la fait parvenir jusqu a nous^ secondement ,^ de» modifica- tions que la himière éprouve par Leffet des milieux ou de Tair qu'elle tra- verse, et des autres circonstances auxquelles elle est soumise: cest dans cet ordre que se suivront les oonsidéuations auxquelles nous alloua naus livrer. Commençons par chercher Imtensité de la liunière venant du corps lu- mineux à lobjet éclairé, et^ pour plus de simplicité , supposons que le corps lumineux soit unique, et considérons<-le comme réduit à un point. On sait que Viniensîtéde la lumière émise par un point lumineux diminue en raison iniferse du carré de la distance; il est évident, d après ce principe , que plus Tobjet éclairé est éloigné du corp» lumineux^ moinsilen reçoit de clarté. Gette observation n*est pas d*une très^grande importance dans les arts du- l6d THÉORIE dessin, parce qa'on suppose habituellement les objets éclairés par le soleil. Dans ce cas , la distance du corps lumineux étant immense , par rapport aux dimensions des objets éclairés et aux distances qui les séparent entre eux, elle peut être regardée comme égale pour tous ^ et que, par conséquent , il n y a aucune différence entre Fintensité de la lumière qui parvient aux divers points des objets que Ion considère ; mais, si Ton avait à représenter une scène nocturne , éclairée par une lampe ou un foyer, il faudrait avoir égard aux distances des objets éclairés au corps lumineux, et donner une clarté plus vive à ceux qu'on voudrait faire paraître plus voisins du point doù part la lumière. Ce que nous venons de dire nest relatif qu aux parties éclairées; quant aux parties dans Tombre, dès qu on suppose qu iln y a qu un seul point lumi- neux, et qu'on fait abstraction de tout ce qui peut réfléchir la lumière, elles ont toutes une intensité égale, elles sont toutes d'un noir absolu. Cette assertion * peut paraître extraordinaire, parce que nous ne somme3pas habitués avoir les corps éclairés de cette manière : le soleil est bien pour nous , dans le jour, la cause de la lumière; mais les autres corps la réfléchissent et nous la renvoient, tellement qu'il fait clair où les rayons directs du soleil n'arrivent pjisf et que nous n^avons jamais occasion de voir une ombre complète; on ne j^eut s'en former une idée que par les expériences de la chambre noire, et surtout par celles du microscope solaire. liOrsqu^on introduit dans la chambre noire un faisceau de rayons solaires, en les faisant tomber sur un verre len* ticulaire , ses rayons se réunissent au foyer, s'y croisent et de là divergent , en formant un c6n'e de lumière qui se projette , suivant un cercle Crès-Iumi- neux , sur le mur opposé de la chambre. Que Ion dispose un tableau très* blanc pour recevoir ce cercle lumineux , et qu'au devant , l'on place un objet qui intercepte une partie des rayons , l'ombre paraîtra du noir le plus in- tense et sera terminée par un contour très-précis , très-tranché. Dans ce cas , en effet, la lumière part d'un point unique, le foyer du verre lenticulaire par lequel passent les rayons lumineux, et il n'y a pas assez de lumière réflé- chie pour diminuer sensiblement lobscurité de la chambre noire, dans les parties où les rayons n'arrivent pas directement. DE LA PERSPECTIVE. 169 141. Considérons maintenant la lumière renvoyée de lobjet éclairé à rœil de l'observateur. Si elle avait à traverser un milieu parfaitement libre , qui ne lui offrit aucune résistance, qui nen interceptât aucune partie, deux objets de la même clarté paraîtraient à notre œil de la même clarté , quelle que fût leur distance par rapport à nous. Pour s en rendre compte, que l'on conçoive deux cercles égaux, également éclairés, et situés sur des plans éga- lement inclinés par rapport aux rayons menés de leurs centres à Toeil : l'in- tensité de la luinière renvoyée par chacun d'eux décroîtra en raison inverse du carré de leurs distances jusqu'à l'œil; mais, en même temps, les gran- deurs des images suivant lesquelles ces cercles se peindront à l'œil décroî- tront aussi en raison inverse des carrés des mêmes distances. Ainsi, d^une part, si la lumière renvoyée par tous les points du cercle le plus éloigné est moins intense, d'une autre part, elle est plus rassemblée et se condense pour nous offrir une image plus resserrée : ces deux effets contraires, se trouvant dans le même rapport , se balancent pour donner lieu à la sensation que nôtre œil éprouve, et il en résulte que lés deux cercles placés à des distances inégales doivent pourtant présenter la même clarté. Cependant il n^en est pas ainsi dans la nature , parce que l'air dans le- quel se meut la lumière n'est pas complètement transparent. Nous cberche- rons, plus tard, à apprécier les altérations que sa transparence imparfaite fait éprouver aux rayons lumineux ; mais nous devons, auparavant, examiner comment la lumière se comporte à la surface des corps éclairés , soit pour s'y distribuer, soit pour revenir à notre œil. Nous diviserons les surfaces en deux classes , relativement à la manière dont elles reçoivent et renvoient la lumière ; savoir : les surfaces polies et les surfaces mattes. Nous ne connaissons pas de surfaces parfaitement polies , mais nous re- garderons comme approchant de cet état celles qui forment miroir. On sait que les rayons de lumière qui viennent frapper une surface polie sont réfléchis en faisant l'angle de réflexion égal à Tangle d'incidence. Si la lu- mière émane d'un point unique, chaque point de la surface polie ne reçoit et ne réfléchit qu'un rayon , et , parmi ces rayons , un seul parvient à l'œil , Géométrie Monge, 7* éd. aa 170 ' ' THÉOHIE tous les autres Itii échappent : l'œil n aperçoit donc que ie poibt de la sur- face qui lui renvoie ce rayon , le reste est pour lui dans une complète obs- curité, et le point visible ai paraît d^autant plus brillant. La surface, la position de Tœil et celle du point lumineux étant connues , la détermination du point brillant est un problème de Géométrie descriptive, dont la solution est plus ou moins compliquée, suivant la génération de la surface proposée : il s agit 9 en effet, de trouver sur cette surface un point tel, que menant de là des lignes à Toeil et au point luminecK, ces lignes soient dans un plan perpendiculaire au plan tangent et fassent avec lui dés angles égaux (n^'34). U est facile de voir qu'en supposant la surface polie assez étendue y il doit y avoir, en général , un point brillant. Sur les surfaces planes , sur celles qui ont dans un sens des éléments plans indéfinis 9 telles que les surfaces cylin- driques,. coniques et développables, il ne peut se trouver, ainsi que sur les surfaces arrondies, que des points brillants, et non pas des lignes ou des arêtes brillantes, du moins tant que la lumière vient d^un point unique. Si elle vient d un corps de dimensions finies, plusieurs points de la surface polie renvoient à Tœil des rayons dont Fensemble lui présente Tirnage plus ou moins altérée du corps lumineux; le reste demeure d'un noir d'autant plus par- fait, que la surface est plus poUe. Lors donc que Ion doit représenter on corps poli, il faut, après avoir déterminé la position du point brillant, pein- dre ce.point d un blanc très-éclatao^, et tenir le rest» du corps dansl'ôbscurité. Les sur£aces mattes dont se compose la seconde classe , beaucoup plus nombreuse que la première, diffèrent dâe surfaces polies , en ce que , de tous leui^s, points auxqjyi^ls parviennent des rayons du corps lumineux, elles en renvoient à notre œil , à moios qu un corps interposé n'y mette obstacle. U est assez facile de se faire une idée précise de la quantité de lumière que cbaque partie ^nne surface quelconque reçoit du corps lumineux q[ue, pour pl|]s de simplicité, nous regarderoufi comn:^ >un point unique. On sait déjà, qu'abstraction faite de lobliquité suivant laquelle la surface présente chacune de ses parties, Tintensité de la lumière qui >lui arrive est en raison inverse du carré de La distance du point lumineux. De plus, si Tan con^t que ce point. soit 1^ centre d'une sjxbèrc^, Ja quantité de rayons ireçuepar un J DE LA PERSPECTIVE. I71 élément de la surface éclairée pourra se mesurer par !la portion de la sur- face de la sphère comprise dans le cône dont le sommet est au point lumi- neux , et dont la base est 1 élément de la surface proposée. Plus cet élément sera oblique, par rapport aux rayons qu'il reçoit, plus le cône sera resserré , et moins la portion de la surface de la sphère qui s y trouve comprise aura d'étendue. On peut donc en conclure que plus la surface éclairée se présente obliquement aux rayons lumineux, et moins elle recevra de lumière. On exprime d'une manière mathématique ces résultats, en disant que^ pour chaque point de la surface ^ Vîntensité de la lumière est en raison directe du sinus de l'angle d'incidence du rajon sur le plan tangent en ce point, et en raison inverse du carré de la distance au point lummeux. Il est plus difficile d apprécier d une manière satisfaisante comment la lumière est réfléchie par les corps mats , et quelle quantité chaque partie de leur surface en fait parvenir à notre œil. Cette recherche dépend de la contexture de Tenveloppe des corps ,, et nos connaissances physiques sont trop imparfaites pour nous fournir les données qui nous seraient nécessaires; « ce que nous allons dire sera donc fondé sur des hypothèses : nos résultats ne seront que probables, et nous ne les proposons que jusqu*à ce que Ton puisse les remplacer par d autres, fondés sur une théorie plus certaine. Nons admettrons donc que chacune des molécules qui appartiennent à une surface matte agit à la manière d'un corps lumineux, en réfléchissant dans tout l'espace libre la lumière qu'elle a reçue et qu elle n'absorbe pas. On sent que ces molécules doivent offrir une infinité d'aspérités ^ qui ne sont sensibles pour nous qu'en ce que le corps nous paraît mat, et qui n'empê- chent pas que la surface qui l'enveloppe ne soit , à nos yeux* unie et con- tiiMie. Dans cette hypothèse , chaque molécule placée à la surface du corps nous renvoie un rayon de lumière. Considérons un élément de la surface; nous avons déjà vu que la distance à laquelle se trouve de nous cet élément influe sur la grandeur de l'image qu'il nous présente , mais non sur la clarté avec laquelle il nons apparaît, autant du moins qu'on n'a aucun égard aux altérations qu'éprouve la lumière, par l'effet du défaut de transparence de l'air qu'elle traverse pour nous parvenir. L'ensemble des rayons réfléchis 22. 17a THÉORIE par tous les points apparteDanl à cet élément et dirigés vers l'œil forme un cône dont lelément est la base, et l'œil le sommet; et le nombre des rayons compris dans ce cône est proportionnel à 1 étendue de l'élément de la surface. Si Ton conçoit une sphère dont Tœil soit le centre, et d'un rayon égal à la distance comprise entre la base du cône et l'œil, la portion de la surface de cette sphère qui sera comprise dans le cône donnera la mesure de l'espace angulaire dans lequel les rayons se trouvcfnt réunis. L'intensité de la lumière arrivant à l'œil pourra donc s'évaluer par le rapport de l'étendue de l'élément que nous considérons, à celle de cette portion de la surface de la sphère. L'étendue de 1 élément restant la même , celle de la portion cor* respondante de la surface de la sphère sera d'autant moins grande , que cet élément fera un angle plus aigu avec les rayons visuels : ainsi, l'intensité de la lumière réfléchie par la surface matte sera d'autant moindre, que cette surface approchera plus d'être perpendiculaire aux rayons qu'elle nous ren- voie; ce qu'on peut exprimer d'une manière mathématique, en disant que, pour chaque élément de La surface^ cette intensité est en raison inverse du sinus de V angle que fait le plan tangent avec le rayon visuel. Ce résultat ne doit pas être interprété à la rigueur lorsque Taugle dont il s'agit est presque nul; dans ce cas, les aspérités delà surface matte, se cou- vrant en partie les unes les autres , nous dérobent une portion^de la lumière qu'elles devraient nous faire parvenir. Ainsi , en regardant une surface plane matte sous un angle très«aigu , on ne la voit pas avec une clarté très- intense, comme l'indique l'expression analytique que nous avons proposée : cette expression devient alors incomplète, parce qu'elle ne tient pas compte des petites aspérités dont la surface est couverte, et des rapports de leurs dimensions avec les distances qui les séparent. Nous citerons un exemple remarquable à l'appui du résultat précédent. La lune peut être regardée comme un corps mat éclairé par le soleil ^ dont il nous renvoie les rayons. Si cet astre était enveloppé d'une atmo* sphère , les rayons qu'il nous renvoie des bords de son disque auraient à la. traverser sur une plus grande épaisseur , et, sans doute , ils nous arriveraient, plus affaiblis que ceux qui viendraient du centre. Mais les observations as.- DE LA PERSPECTIVE. I 73 troDomiques prouvent que la lune d a point d^atmosphère sensible; et, à raison de sa forme sphérique , nous devons voir près de ses bords une plus grande étendue de surfaces sous un même angle visuel : il doit donc nous arriver de là plus de rayons réfléchis, et les bords doivent en conséquence nous paraître plus éclairés ; aussi observe-t-on que la clarté de la lune a plus d'intensité sur le contour de son disque que dans son milieu. La nature nous offre un grand nombre de corps dont les surfaces sont in- termédiaires aux deux classes extrêmes que nous venons de considérer, et participent jusqu a un ceitain point , comme le démontre lexpérience , aux propriétés des surfaces polies et des surfaces mattes. Relativement à ces corps, on peut admettre que les molécules qui appartiennent à leur enve- loppe extérieure sont des petites sphères à peu près polies , réfléchissant en partie la lumière , à la manière des corps polis , et plus ou moins engagées dans la solidité même du corps proposé , selon qtie son poli est plus ou moins parfait. Si elles étaient isolées , chacune offrirait un point brillant; mais, comme elles ne nous laissent voir qu une partie de leur contour, toutes ne peuvent pas nous présenter un point de ce genre : celles-là seules jouissent de cette propriété , pour lesquelles le point brillant tombe sur leur segment antérieur et visible , qui se confond sensiblement avec la surface générale du corps. On peut conclure delà que si, sur la surface du corps proposé, con- sidérée comme continue, on cherche la posidon du point brillant, ainsi qu'on le ferait dans le cas où le corps serait poli, on aura, en quelque sottf , le centre de la partie de la surface où se trouvant les molécules polies sus- ceptibles de nous offrir des points brûlants; et Ion conçoit que cette partie lumineuse sera d'autant moins resserrée que les molécules polies dont il s'agit seront plus brillantes , ou que le corps sera moins lisse;, en d autres termes, on peut dire que, pour les corps imparfaitement polis, le point brillant s'é- largit et se répand en s^affaiblissant sur un espace d autant plus étendu, que le poli est moins parfait. Sur \e reste de la surface du corps proposé , les molécules ne nous renvoient la lumière que de là manière propre aux sur- faces coDQplétement mattes, et ce que nous avons dit à ce sujet trouve là son application. 11^4 THÉORIE Jusqu'à présent , nous n avons considéré , dans la lumière , que l'intensité avec laquelle elle arrive au corps, s'y distribue et s'y réfléchit pour revenir à l'œil du spectateur ; nous avons fait abstraction des altérations qu elle subit dans les milieux qu elle traverse , et par l'effet des autres circonstances qui agissent sur elle : ce sont les modifications résultantes de ces diverses causes que nous avons maintenant à étudier. 142. L'air que la lumière traverse pour arriver jusqu'à nous n'est pas doué d'une transparence parfaite ; ses molécules arrêtent quelques rayons de lu- mière et les réfléchissent, comme le font le» corps opaques. Cet effet, qui est insensible pour les objets peu éloignés, devient frappant pour les loin* tains; il s'étend sur les parties éclairées comme sur les parties placées dans l'obscurité; il diminue Tintensité de la clarté des premières et de l'ombre des secondes, et modifie la couleur des objets. La lumière que réfléchissent les molécules de l'air a une couleur déter- minée; l'air, comme tous le§ autres corps de la nature, a sa couleur parti- culière ; c'est ce qui forme le bleu de ce que nous appelons le cieL Si Tair n'existait pas, ou ne renvoyait pas de lumière, le ciel nous paraîtrait d'un noir absolu ) sur lequel les astres formeraient des points brillants. Le bleu du ciel est d'autant plus vif que l'air a moios d'humidité; et c'est pour cette raison que le ciel des pays méridionaux est habituellement d*nn azur plus beau que celui des pays du nord. Lors donc qu'un faisceau de lumière traverse une étendue d'air assez cou- sidérable, il perd en chemin une partie des rayons dont il est formé, et par conséquent de son intensité. Cette observation n'est 'pas aussi importante lorsque l'on considère le rayon de lumière dans sa marche depuis le corps lumineux jusqu'à l'objet éclairé, que lorsqu'on le suit comme rayon visuel dans son retour de lobjet éclairé jusqu'à l'œil. En effet, relativement à tous les objets éclairés par le soleil, par exemple, qui s'offrent à nos regards dans un instant déterminé, la lumière traverse une couche d'air sensiblement égale pour éclairer chacun d eux , et la perte qu'elle éprouve dans sa marche diminue également la DE LA PERSPECTIVE. l'jS clarté de tous. Il y a cependant des circonstances où il est essentiel d avoir égard à cette perte; et, pour représenter dans un tableau un effet de soleil levant, un peintre remarquera que la lumière traversant alors horizontale- ment une grande étendue de latmospbère avant de parvenir aux objets qu^le colore, a bien moins de force et d'éclat qu^au milieu du jour. Mais cW surtout dans le trajet de Tobjet éclairé jusqu a Toeil, qu'il est es- sentiel d examiner comment la lumière est altérée par la masse d air inter- posée. Non-seulement une pai*tie des rayons réfléchis par Tobjet se trouva interceptée , mais les molécules d air intermédiaires reçoivent aussi des rayons directs de lumière, et les réfléchissent avec leur propre couleur, dans la direction même de ceux qui sont renvoyés à Tœil par Tobjet éclairé. La seo* sation que cet objet doit faire éprouver à lœil est donc altérée de deux ma- nières : d'abord^ en ce qu'une partie des rayons qui doit La {aite naître eat arrêtée, et ensuite parce que des rayons étrangers et d'une couleur bkuâtre se mêlent aux premiers. Cet effet est d'autant plus prononcé, que la masse d'air interposée est plus c.onsidérable ; et l'on peut admettce comme principe, qu'à mesure que la distance des objets éclairés à notre œil . augmente , leur clarté diminue, et leur couleur propre participe davantage de la couleur bleue de l'atmosphère. Pour les objets dans l'ombre, un effet analogue a lieu. S'il n^ avait qu un corps lumineux et point d^atmosphère , l'ombre serait d'un noîr absolu ; mais les objets environnants, et particulièrç^ient lair lui-même, éclairent jusqu a un certain degré les parties des corps qui ne reçoivent pas directement la lumière , et c'est ainsi que leurs formes deviennent sensibles pour uous. De plus, les rayons quelles peuvent nous renvoyer sont aussi en partie arrêtés par les molécules de Tair intermédiaire; ces molécules reçoivent et réfléchis- sent vers notre œil d autres rayons, qui nous parviennent dans la dijcection où l'ombre que nous considérons est placée relativenaent à nous , et qui affai- blissent l'intensité de cette.ombre, en y mêlant une teinte bleuâtre ; on peut donc admettre également qu^^ plus les objets non éclairés sont éloignés de nous, plus l'ombce diminue d'intensité en se rapprochant de la teinte de L'atmosphère. t 1 76 THÉORIE Concevons deux files d'objets semblables, se prolongeant à une grande distance : Tune composée d'objets éclairés, et l'autre d'objets dans Fombre. fia clarté des objets qui composent la première ira s'af faiblissant à mesure qu'ils s'éloignent; si on les' suppose de couleur blanche, le blanc diminuera d'éclat , et, de plus, il changera de couleur par degrés insensibles, d'un objet an suivant , mais d'une manière marquée sur la longueur de la file , et il pas- sera à une teinte bleuâtre. En même temps, l'ombre des objets qui compo- sent la seconde file diminuera d'intensité; elle s^éclaircira , non pas en s'ap- prochant de la couleur blanche, mais de la couleur bleue. Si les deux files d'objets que nous considérons s'étendent extrêmement loin, il arrivera enfin que le blanc de ceux qui sont édairés et le noir de ceux qui sont dans l'ombre, décroissant toujours pour se rapprocher du bleu, se perdront en se confon- dant dans la couleur de l'atmosphère. C'est ce qu'on remarque lorsqu'on aperçoit de hautes montagnes dans un lointain de vingt-cinq ou trente lieues ; leurs cimes couvertes de neiges et brillantes de clarté, leurs grandes ombres si prononcées, lorsqu'on les voit dune petite distance et pendant un beau jour , tout s'éteint presque entièrement et se fond dans l'azur du ciel. Ainsi y quand on veut faire sentir, dans un tableau, l'intervalle qui sépare deux objets inégalement éloignés, il est de principe de peindre celui qui est le plus distant de couleurs moins vives, en éteignant les clairs et en affaiblis- sant Pintensité des ombres, et, quand on doit représenter des objets très-loin- tains , les couleurs doivent prendre une teinte générale bleuâtre. Ce principe est bien connu, et même on l'exagère, et l'on en fait très- fré- quemment un abus qu'il est utile de signaler. D'après ce* que nous avons dit , ce n est que lorsque la différence entre les intervalles qui séparent divers objets de notre œil devient considérable , qu'il en résulte une différence sen- sible entre les effets produits par les masses d'air qui occupent ces intervalles sur la lumière que les objets nous renvoient. Si Ton a, par exemple, devant les yeux une façade d'architecture dont une partie forme une saillie ou un avant-corps d'un mètre, la couche d'air d'un mètre d'épaisseur que les rayons visuels venant de la partie en arrière-corps ont à parcourir de plus que les autres pour arriver jusqu'à nous, ne leur ôte rien de leur intensité, ou du DE LA PERSPECTIVE. 177 moins leur en ôte trop peu pour que la diminution soit appréciable par nos sens. En supposant donc lavant et Farrière-corps parallèles entre eux et semblablement éclairés , c est à tori qu^on établirait une différence entre les teintes qu il faut donner à Fun et à Fautre , comme le font beaucoup de des- sinateurs : ils nous paraissent également éclairés, et doivent être représentés avec la même clarté. « Cependant nous distinguons parfaitement, dans la réalité, quune partie forme saillie sur Fautre; il nest pas même nécessaire que Favant-corps porte ombre sur la partie en arrière; et lors même que la direction, du rayon de lumière venant du soleil , et la position de Fœil , sont telles qu au- cune ombre n'est apparente , on juge sans peine quel est le plan le plus voisin , et quel est le plus éloigné. Il est essentiel de reconnaître ce qui dirige à cet égard notre jugement, pour Fimiter, s'il se peut, et que la peinture avertisse Fœii par les mêmes moyens que ceux qui l'avertissent dans la réalité. Représentons-nous toujours une façade d'architecture, d'un ton de cou- leur parfaitement uniforme, et dont une partie forme sur Fautre un avant- > corps. Si Fon place un obstacle quelconque, tel quune planche, qui nous dérobe la vue de Farête par laquelle se termine Favant-corps , il nous de- vient impossible de juger laquelle des deux parties est la plus voisine de notre œil; mais, si Fobstacle est enlevé, on en peut juger à Finstant. Cette expérience, fort simple, nous apprend donc que c'est parla manière dont la lumière agit sur Farête qui termine l'avant-corps, que nous sommes avertis qu'il existe une saillie. Si Farête dont il s'agit était une ligne droite mathéma- tique, l'action de la lumière sur l'arête serait nulle, ou parfaitement inap- préciable , et nous ne pourrions pas encore distinguer quelle est la partie qui est en avant-corps. Mais cette arête n^est jamais tranchant, jamais une ligne droite mathématique : les matériaux dont elle est composée ne sont pas d'une compacité absolue, les instruments dont on fait usage pour les tailler ne sont point parfaits; on na point apporté au taillage une précaution infinie, et, en sortant des mains de l'ouvrier, cette arête était déjà loin d'être rigoureu- sement précise. Depuis , tout ce qui a pu la frapper, ou simplement la frotter, a dû Fémousser davantage; et, définitivement, au lieu d'être une arête tran- Géométrie Monge, 7* édit. 23 178 TUÉCMllE chante , ce n est qu une surface arrondie , que l on» peut considérer comme une portion de cylindre vertical circulaire et d'un très^petit rayon : c est par la manière dont la lumière agit sur cette surface cylindrique, et en est ren- voyée à notre œil , que j'existence de la saillie nous est indiquée. Nous avons montré précédemment que chaque partie d'une surface courbe reçoit d autant plus de lumière qu elle se i>résente plus directement aox rayons lumineux , et que la lumière qu elle renvoie à notre œil a d^autant plus d'intensité, que cette surface s'offre plus obliquement à nos regards. D'après ces principes , il doit se trouver sur la petite surface cylindrique qui représente l'arête du côté où vient la lumière , une partie dont la clarté est plus vive ; et sur l'autre arête , une partie dont la clarté est moindre que celle de la façade du bâtiment , le tout dépendant , pour la détermination pré- cise^ de la position de l'œil et de la direction des rayons lumineux. Ainsi, pour faire sentir, dans l'exemple proposé, qu'il y a une partie de la façkde qui forme saillie, il faut ménager aux arêtes, du côté de l'ombre, une ligne un peu moins claire, et, à celles qui sont du côté de la lumière, une ligne plus éclairée qu'on appelle reflet ; du reste, la teinte sur les deux plans parallèles dont se compose la façade doit être la même. Nous devons ajouter cependant encore quelques développements qni tiennent à d'autres considérations. N6s organes sont doués de certaines propriétés qui altèrent les sensations qu'ils nous transmettent. L'organe de la vue, par exemple, prolonge la sen- sation au delà de Tinstant où il l'éprouve : c'est ce que démontre une expé- rience bien connue : Quand on fait mouvoir avec rapidité un charbon allumé placé au bout d'un bâton , on voit , non pas le charbon occupant successive- ment différents points, mais un ruban de feu continu. Ce même organe jouit d'une autre propriété, c'est d'étendre, d agrandir les objets, d'autant plus qu'ils sont plus éclairés ; en voici un exemple frap- pant : Quelques jours après la nouvelle lune, et lorsqu'elle approche de son premier quartier, elle est visible sur l'horizon, encore un peu après le con- cher du soleil ; un quart environ de son disque seulement est éclairé; mais ce qui est dans l'ombre reçoit par réflexion quelque lumière de la terre, et DE LA PERSPECTIVE. I^g n est pas invisible pour nous; la partie éclairée parait alors d un diamètre beaucoup plus grand que celle qui est dans lombre, et il semble y avoir un ressaut considérable au passage de la courbure de lune à la courbure de lautre. A Fépoque du dernier quartier , et avant le lever du soleil , la même illusion se renouvelle ; mais la partie dans lombre, au premier quartier, est alors éclairée et paraît, à son tour, plus grande que l'autre, qui est devenue obscure. Pinceurs expériences confirment cette faculté qu'a la vue d'étendre les dimensions des objets blancs et éclairés, aux dépens de ceux qui sont obscurs; nous ne rapporterons que l'expérience suivante, comme la plus simple : Lorsqu'on place à côté lune de l'autre plusieurs bandes parallèles , parfaitement égales en largeur, et alternativement noires et blanches, en les regardant d'un point un peu éloigné, les bandes blanches paraissent beau- coup plus larges que les noires. Une troisième propriété que Tceil partage avec nos antres organes tient à ce qu en général les sensations fortes affaiblissent momentanément en nous la perception des sensations plus faibles. C'est ainsi que le canonnier qui vient d'entendre la décharge d'une batterie est insensible à l'impression d'un bruit médiocre. Il arrive même qu'une sensation vive éprouvée par un or- gane couvre tout à fait une sensation reçue ensuite par un autre organe d'une sensibilité plus obtuse. Avant de boire de la liqueur, nous sentons son parfiim ; mais notre odorat y devient insensible aussitôt que nous en avons bu quelques gouttes; la sensation forte éprouvée par le palais émousse * tout à fait la sensibilité de l'odorat. Cet effet des sensations vives est très- remarquable sur l'organe de la vue: les objets brillants nous rendent insensi- bles à ceux qui ne jouissent que d'une moindre lumière; lorsque Ton passe du grand jour dans un lieu peu éclairé, on ne distingue rien dans les pre- miers moments , on a de la peine à reconnaître les personnes les plus voi- sines de soi; mais peu à peu la vue s'habitue à cette faïhle clarté, et l'on parvient, après quelque temps, à lire même un caractère assez fin. Il est vrai qu au moment où l'on passe de la lumière à l'obscurité, la prunelle de l'œil se dilate et permet l'entrée à un plus grand nombre de rayons ; mais cette dilatation de la prunelle, a lieu instantanément et n'est pas la cause de a3. ido THÉORIE Teffet que nous venons de rappeler : il lient à ce que l'œil ne perd que len- tement Fimpression vive que lui a laissée la clarté du grand jour. En appliquant ces remarques à la détermination du reflet qn^on doit mé- nager sur une arête éclairée , on reconnaîtra que ce reflet parait à l'œil on peu plus large qu'il ne Test en effet, et que les paities contiguës paraissent uu peu plus obscures. Pour reproduire dans la peinture ces apparences , es- sentielles à la vérité de Fimage, il faudra donner une plus grande largeur au reflet, et placer parallèlement, à droite et à gauche, nne teinte nn peu plus sombre sur une faible étendue. Si nous avions à notre disposition des cou- leurs aussi vives que celles de la nature, si nous pouvions peindre le reflet d'un blanc aussi éclatant que celui qui a lieu dans la réalité , il deviendrait inutile de lui donner plus de largeur, et de le rehausser, en quelque sorte, paï* Fopposition de teintes plus sombres placées à côté : la copie fidèle de ce qui existe reproduirait sur nos organes Feffet produit par Fobjet lui-même,; mais nous sommes obligés de compenser, par une sorte d'exagération qui nous est facile, Fimperfection de nos moyens dlmitation. Des variations que subissent les couleurs dans certaines circonstances. 143. Après avoir traité des modifications que la lumière éprouve spécia- lement dans son intensité absolue,* et quelles que soient les couleurs dont elle nous apporte la sensation , il nous reste à examiner quelles sont les va- riations que subissent les couleurs elles-mêmes par Faction des diverses causes qui peuvent les modifier. Cette recherche se rattache à la partie de FOp- tique dont Fobjet est Fétude de la lumière colorée ; elle est beaucoup trop vaste pour que i3ous Fembrassions dans son entier, et nous nous bornerons à un petit nombre d'observations que nous croyons susceptibles d une assez fréquente application. Une des causes principales des variations qu éprouvent les couleurs tient à la nature du corps lumineux ; ainsi le bluet des champs, qui est d un beau bleu pendant le jour, semble violet à la clarté dune bougie; à la même clarté, le vert des feuiUes et des plantes devient beaucoup plus sombre, et le DE Là PERSPECTIVE. l8l jaune se rapproche beaucoup d'un blanc un peu rose : c est la raison pour laquelle les personnes dont le teint n est pas très-blanc paraissent avec plus d'avantage à la lumière. * Mais les changements qu'on observe dans les couleurs ne proviennent -pas uniquement de la nature de la lumière , soit directe , soit réfléchie , dont les objets sont éclairés; ils tiennent souvent, en partie, à une appréciation inexacte que nous faisons des couleurs , lorsque notre jugement est^ pour ainsi dire, faussé par des circonstances particulières : nous en citerons quel- ques exemples. Le matin , avant le lever du soleil , et lorsque le ciel est d un bel azur , si , devant une fenêtre ouverte, nous avons sur une table un papier blanc et une bougie, le papier se trouve à la fois éclairé. par la clarté de la bougie et par la lumière déjà répandue dans latmo^phère , et que Tair nous renvoie. Dans ces circonstances, que nous placions un corps qui intercepte en partie la clarté de la bougie par rapport au papier., Tombre portée sur le papier ne sera plus éclairée que par latmosphère ; elle paraîtra d'un beau bleu, ce qui doit être en effet , puisque la lumière réfléchie par latmosphère est bleue; mais, si nous éteignons la bougie, le papier ne sera en entier éclairé que par cette même lumière bleue , et cependant nous n hésiterons pas alors à le juger blanc ; et , s'il se trouve à côté un papier d'une teinte bleue , il nous paraîtra sensiblement blanc, comme le premier. Supposons encore que nous soyons dans un appartement dont les fenêtres soient parfaitement exposées au soleil, et que nous les £ermions par des ri- deaux rouges , la pièce sera alors entièrement éclairée par de la lumière rouge; au bout de quelques instants, l'œil, familiarisé avec la teinte rou- geâtre répandue sur tous les objets, reconnaît pour blancs ceux qui sont de cette couleur, et il regarde aussi comme blancs ceux qui sont de la couleur rouge des rideaux. Mais ce nest pas tout : si, dans le rideau, il se trouve une ouverture de trois ou quatre millimètres de diamètre , et qu on présente à peu de distance un papier blanc pour recevoir le faisceau de rayons du soleil qui passe par cette ouverture , ces rayons peindront sur le papier blanc une tache verte ; si les rideauiC étaient verts , la tache serait rouge. r i8a THÉORIE Nous ne pouvons pas ici expliquer pourquoi la tacbe est verte dans le pre- mier oas et rouge dans le second , parce que ce phénomène dépend de la ' ibéorie de la composition de la lumière; mais nous allons essayer d'exposer comment il se fait que lappaitensent étant éclairé par de la lumière rouge , par exemple , un objet blanc qui reçoit cette lutnière parait encore blanc , un objet rouge parait également blanc, et pourquoi la lumière blanche des rayons solaires , qui n'éprouve aucune altération , puisqu'elle passe par une ouverture du rideau, et quelle est reçue sur un papier blanc, paraît cepen- dant d une couleur toute différente. Il nous est nécessaire de faire précéder ce que nous avons à dire sur ce sujet par quelques considérations sur le rôle que la lumière blanche joue, en général , dans l'opération de la vision. Lorsque Ton regasde un corps, qnelle qu'en soit la couleur, cba(|ue mo- lécule de sa surface visible nous renvoie des rayons blancs avec ceux qui sont empreints ,dc la couleur propre du corps. Plus nous recevons des rayons dé ce genre, et plus l'objet nous parait éclairé, ou plus sa couleur nous parait vive et claire. On connaît le cinabre, substance composée de soufre et de mercure, de laquelle on obtient ce rouge brillant qu'on emploie dans la peinture des vitraux; en masse, le cinabre est dnn rouge brun assez terne, et semblable à celui de la brique fortement cuite ; mais , à mesure qu'on le broie , il perd cette couleur obscure et foncée; en se divisant, il acquiert plus de surface, et nous renvoie de la lumière blanche par un plus grand n'ombre de points; enfin, quand il est réduit en poudre impalpable, il offre un rouge- très-éclatant, et devient du vermillon. Chaque molécule du cinabre renvoie donc à l'œil plus ou moins de lumière ' blanche, et c'est lorsqu'elles peuvent en réfléchir une plus grande quantité, que cette substance prend une couleur plus . brillante. De même, si nous examinolis un chapeau , chaque poil dont le feutre est composé est un petit cylindre qui , vu au microscope , présente une arête blanche semblable à celle que nous voyons sur un bâton de cire d'Espagne quand nous le regar- dons au grand jour : cette arête renvoie donc à notre œil de la lumière blanche. Ce que nous vei)ons de é^re relativement à ces deux exemples est DE LA PERSPECTIVE. 1 83 vralde tons les corps de la natuce; cest cette lumière blanche, réfléchie de tous les points visibles, qui détermine essentiellement la teinte de clarté propre à chaque partie de lobjet considéré, parce que les rayot» blancs sont les plus complets et les plus, vifs de ceux que chaque molécule nous renvoie; ce* sont ceux^ par conséquent^ qui notiarfont mieux coimaître les formes, apprécier Findinaison^ de chaque élément, . et la courbure en chaque point de la surface. Nous sommes habitués à cette grande abon- dance de lumière blanche^ et aux services qu elle nous rend dans la vision . et c'est comparativement à. elle quen général nous jugeons- de la lumière colorée. Ceci posé, si les objets ne sont éclairés que par de la lumière déjà colorée, si , comme nous 1 avons supposé tout à Thenre , des rideaux ou des vitres rouges donnent cette couleur à toute la lumière que le soleil projette dans lin appartement, ce ne sera plus au moyen de la lumière blanche que nous jugerons de la forme des corps, puisque les rayons blancs que chaque point aurait réfléchis, si la lumière n'eût pas été altérée , deviennent alors des rayons rouges. Ces rayons, cependant, sont encore les plus complets et les plus vifs de ceux qui nous parviennent ^ et, quoique notre œil en soit affecté d'une manière différente, il juge cependant par leur secours, comme il leût fait à Faide des rayons blancs : il est donc conduit naturellement à les re- garder comme blancs, et c'est en comparant les autres rayons à ceux-là qu'il apprécie leurs couleurs. Ou voit , d'après ceci , que s'il se trouve dans l'ap- partement un corps du même rouge que la lumière dont la pièce est éclairée, cet objet, renvoyant des rayons de même nature que ceux que nous jugeons blancs, nous paraîtra blanc également. On vérifiera facilement cette expé- rience en plaçant un verre ronge devant ses yeux , et en regardant, au tra- vers, des objets blancs et des objets rouges : les uns et les autres paraîtront de la première de ces couleurs. La même cause qui nous détermine à regarder comme blancs des rayons qui ne le sont pas en effet, ne nous permet pas d'admettre comme tels ceux qui le sont réellement, et telle est la raison pour laquelle la lumière natu- relle du soleil, qui passe à travers une petite ouverture d'un rideau rouge. l84 THÉORIE DE LA PERSPECTIVE, va porter sur un papier blaoc une couleur qui nous parait très-sensiblement différente de la couleur blanche. Les observations précédentes que nous avons faites en considérant un exemple particulier sont de nature à être facilement généralisées, et s éten- dent à toutes les circonstances où la lumière dont les corps sont éclairés n'est pas telle que celle que nous recevons habituellement du soleil. On sent com> bien il peuj être essentiel quelquefois d^ avoir égard, surtout quand il s agit de peindre un objet qui ne reçoit que de la lumière réfléchie ou altérée' par les milieux diaphanes qu elle a traversés. Presque toujours , la lumière qui n'arrive que par réflexion est empreinte de la couleur des corps qui la réflé* chissent : cette modification influe sur les apparences que présentent les couleurs de lobjet qu'elle éclaire, et sur le jugement que nous portons de leurs rapports. FIN. j I \ \ \ \ \ I l \ \ ■ -..r' ^ / i \