FRANCISCI VIETAE IN ARTEM ANALYTICEM ISAGOGE SEORSIM EXCUSSA AB... Frangois Viete Digitized by Google T '7^ \ Fr ANC ISCI ViETifi IN ARTEM ANALYTICEM Isagoge Seorfim cxcufTa ab Opere refUtut* Mathematic4 AnaljJeos , Seu, Algcbia noua. •Wi.. ■ V * » » i . _k% • » A ' * ‘ Ai'. , i . ^iiVjT- V: * - A;V.-.C3^.C ) 1 - - 4 - /?/ T V R O N I S, Apud I AMETIVM MettAYER Typographum R egium, c^nno i s 9 u ^(OltTU URD IT Y ' \ OPERE RESTITVT^ MATHEMATICA . Analyseos Sev Algcbra noua * ■" Continentur A T^^Mrtem ^nalyticem Ifr^oge. i. Logifiiccm Jpedofam Nota priores, Zeteticorum Lihrt e^uinque. ^De numerosa potefiatum ad Exegefim refolutione. De recognitione zAequationum. u4d Logifiicem Jpectofam J^ta pofteriores. 2- E^Hionum Geometricarum Canonica recenjio. ^ Supplementum Geometria. oAnalyttca angularium Jeclionum in tres partes tributa. Variorum de rebus Mathematicis reJj>on forum , Ltbri feptem. Operi autem prarpofita eft Icquens Epiftola. . '■ ! O jniiij» H entriq».!' ; m c • . i INCLYTiE PRINCIPI MELVSINIDI CATHARINiB PaRTHEN^ENSI, IISSIM^ PROCERVM ROHANIORVM MATM FRANCISCVS VTBTA P0NTEX*EN1I1 hoBortm voueo & cyeqiuum, Xcollenc Armorici ,6 princeps Mclufinis, piiffima pro- cerumRohaniorum mater, genus &ftcmmata gentis Rohanix , qua haud fcio an ex plenioris fidei cenfibus& monumentis vlla alia poflit detegi in orbe terrarum antiquior &illuftrior. Adgnofccnt gnatos tuos aborigcnes,&: e regio Con- nanifanguine luperftites inuaforis Neomemj vim nutuDei non paflbsjtandiuquegcnerofameam ftirpem duraturam confidet, quandiu circumeuntes Salarum vellrarum lapidicinas , fy luas & ftagna, cernent inlcripta marmoribus quercubus>& pifeiura fquamis aurearum Rhomboidum, quas gcftat,inllgnia. Sua e- nim Cabala tcftabuntur ita a Deo Optimo Maximo fingulan fuo beneficio conceflum fuiflcprecanti diuoMcriadecofami- li£E quondam principi, ficut ctiamnum inauditos circa facellum quondam fuura per medios faltus & amarniora vireta conftru- aum auium garritus, & alia rara quq,mihi pauca admiranti c6- tigit non femcl admirari. Ego Fontenarenfis Pido, riparum Ma- ioris-venti frequens in cola, arcis a diuaMelufina,cuius es &Rac- mundibeataproles.quondamconftruaae.Melufmai&Mclufi- nidarurh colo nomen 6cnumen. addo etiam & omen. Neque vero ideo gentis Rohaniae ludicaclibus , Eudonibus , Erechis €uosGuidones,Godoffedos,Hugoncs Brunos opponomo fuis regibus Britanicis, principibus in Leonia, comitibus in Porhoe- to, tuos reges Cyprorum, tuos Antiochix& Armenia: princi- pes, tuos comites Angolifmaj& Marchiae:non fuac Ylabellac Scotifilix.velYfabell^NauarrhtuamYfabcllam regum An- glorum &auorum tuotum Lufigna:anorum matrem. At pib recordor feliciter ac veluti fatidico confilio ccflifTc iudico, - A ij i 2uod Mclufina dea in gratiam accepti a Renato Rohanib benc- cij , quod is obfciTam Guifiadum confilio fuam arcem Lufi- gnaranamftrenuc dcfcndifTctjtefua&Rxmundi prole & here- de vna cum familiae Rohania: principatu ftarimcumdonauit. Eracjiempe Ra:mundusipfeeditus ex gente Rohania, &iam Rxmundi & Mclufinx proles ad id a quo primum experatre- uerfa eft initium, vix vnquam idcirco interitura, cum iit circui- tus verum &verfc phyficum fymbolum perpetuitatis. Sed mi- nus virtutes tux interiturx funtin hac ortos periodici reftitu- tionc. Etquemadmodum nollrates fuo, quod tunc temporis v- furpabatur idioraate, atauiam tuam dixere Faydsm ob vcncra- dum confpeiauni & raras & fingulares animi dotes , ficte pofte- ritas vj^id5^'A r iK^n^ov -y/Jiffirl.'.';] 'jfi-tiviJt .■. ■» ''»Jon_vbiJ .^?n3fir.-:c5^ .•=:>;;’•! jfw^juoVisrfli i; ,i=^; Cilrazj.t':'’ ct^mj .1 hv man f i^v^- liiiu':. .^A* .■'IB li» IV ^ oniy < :!>t Ti llhb :i^n6:yj ^^.£rniRi3“3T xhjiiouai rrj : oii arL.-^^rr fvjfja -31 j5:2BlCUtJinCD obti3fj2it.^Pvn? .a&Ul !;‘ ^.--..axi -o,;i i<(5' 3V , iiB fp. j cnu3iaiii«3T; a iuZTiJlttifnnii vi^iscj 3 ^i«q -i|3ncj r -wuchai^tiU d^bouiriiui ■ y>jsi*pyi , jierbibi jini rmn -b^i! 2!3ijsfj^3EM- n:ch pif sUqiaJib , iifs ii i j .--j r jin 3 noW .i ? . ; ^ :ap3IbV^^^l5i•J3fj)hf^£^o^^25lLolJpalul!c13^^E^^b■o^l£o ,';n -ijfSfiia :2J J: 3 bwili mij-H/s r-UJ^iravciai*/ A .K'-:; ; -'.oLil ib rWif iiHniljEDjjasTjatii-jVfipjunVHDrJi .•z}trlvrj.^'ji:{!ibi jue, w;7 ►33«po3 ) 2)3 one) 37,2;3ol:Iiolai mM* -^sQt 33n£ xa^Tr^b{l3^^4^{^}^i^■c ;t!o)?firi^^!o:HOfja3<^no.'i - pl abu;*t*f :• -o iBprnb-^oib cmfii4oii;a:iCC&lT . ^ .•«‘m.r >}b aizi / ib.? v^rauASs?^ -ai3t>.r>ln*7-buti mcup^^iii | ' ' Dfl! jSiiiUn-r.iofl mubiai«mu)f.j?)r:3itbAiiiJif;jnofi.-4E:,^ ^ £6in ,ogiE iHijieieb: ; jdo aaai;- ub f ^«rirtr* rr*rfrt-r .* ' F. odii/i Mifovjt asmiMncc^i/uil^f lii nnla fijuiciaiat judtfc’'’* ■■, .IHl l^aHh;^ou^:^ ^)r:,di££j^^ -3^;t ifiikiifirii 3^ iTtiiri- vi; s«sffv wi''r3w?yj;‘5a piunorf' w«Mi tii, 3^'. V IN ARTEM ANALYTICEM i l S A G O G E. . fl l :t-r. ,i a ;l *T>eDtfimtione(p* Partitionez/fniil^ feos ^ dcijsqu^iuuant ^ ^ 'C A r V T - ’ ' - .: .1; r ST veritatis inquirenda: viaouxdam in Maclteinacitis.quain Pbto primus •f?iK7r inucnillcdicirur^ii i neoncnoqrinw Aailyii3,JKal>axlcmdetiirita,AdUiitri HUJLUll laiiquaiii luih-uiii [jli tuii.muun.ia au vciuiii <.miLLuuiH. — vC yontra>ynttieirs>AUis«mptio conccur pt< copiBtjuenm an «yiyiiti nnetn g plic ;&£ j.>*€omprekenfionern. fit quanquam veteres duplicem tancUm ptopoluerunt Analy litn ICu-nrnxItu i mfi'nKUi,i i i^yarotii, conienupeum clt , vtiit Zctcticc qui iflueiiicuf jqujucai propomoueniJgnuuoinis ac qua gu.Tricur,cum ijs qu j aara lunc. ']’orilhce, qua dc xqualicacc vel proportione pedinaii T linoicnucu veneas examinatur. rfixcgecicc, qu4 ex ordinata aiqualitace vcl proportione ip(a de qua quxrifur cxiiibciu r jnagnirudo. Atque adeo tocaars Analytice ttyipx rUtid uj?r ycn iieaiis oHicium deniiu- Antfyt tur,Do£triDabcneinueniendiin Matiicm.-iti.cis.AcquodadZctcticcniqMideni attinet, 'tinftitaitur arte logica per ryllogifmos enthymemata, quorum firmamcta(untcaipfi ^quibus aequalitates gc proportiones concluduntur fymbol a , rain ex communibus deri- iuanda notionibuSiquim ordinandis vi ipfius Anaiy fcos tlicorcaiatn.For«u eur^ Zete- iim ineundi ex arte proprii eft,nopiam in numeris luam logicam cxcrccntc, qua: fuit .i otcicantia veterum Analyltaruni,led per logilliccm lub Ipccic noiincrinducmdam , tc- liciorcm mult& & potiorcm numerofa ad comparandum intct fe roagiritndme6,propo^ d)ca,primdm homo gencortim Icgc,&: inde conRituci.vt uiagnitudinuni cx genere ad genns viiua propdrtionaliteradlcendcntium vcl dclceiidcntiMioicricicuica-i ja, qua gradus earundem &: genera in comparationibus dcligncptiu ae diUmauancuc. f ^ ' .* ■' :Uwii • ** t De Sjmbolu aqualitatum gy proportionum, G A p v T i i. SYmbola xqualitatum Sc proporcionurn notiora qu.r liabcaxur in Elcincntis*jdrumit Analyricc vt demonlirata, qualia funt fere, ^ I Totum Tuis partibus .-equariT Qug eidem a:quantur, inter feeflcarqiialia. Si aqualia xqualibus addantur, cora cilc jqualia. A iiij • 1 1 ^ artem analyticem 5 Si*qua «per i4uili4n,ultipl,ccntur/afta c/tLou.I,. ^ Si gqualta pera-oua ij ^....,41 a» ,/r- f diu.aincur,or» ei ■' /-» nalia. ftOf or,io„.|.bu. .„fr„ tota cWUS|V ,C3mnifqiiciit Aiialyfibny TOO- iconuerfo. . vet tettia qugpuin ad^aham-w^m^^^ v^pnma ad fcciindjm;it.i Ceeandi :Hj, ■ medii.. ^ aium.encquodfit fab cxcrcm.sccrmim^arqnalc ri >p,oa Aj •'A' ' ‘Ojcqualitatis.^^^^uaji^^^rcfnlutia^ tvm^aratarjm: UL. ^CTaTvt III, i P 'on«pta^cftSki homogenet , cognolti non powft.yt dice- bat Adra/Iuj. luque, Si magnitudo magnitudini additur, ha;c illi homogenea cft Si magnitudo in magnitudinem ducitur.quar fit huic & illi hrr’,-r ' n 3 ^gnitudinum Scalarium prima eft , , /' T Latus,ftu Radix. 2 Quadratum. • ' * ujsS Cubus. 4 <^2draco-quadratuni. ' 5 Quadrato-cubus. »^uuu CUL)U!>. 7 Qs^drato-quadrato-cubus, :. S "T7^ S Q^uffci — , A 5 ISAGOGE. 8 Qiiadrato-cubo cubus, g CTibo-cubo-cubusT" F.t c3 deinceps ferie & metiiodo denominanda reliqua. 7 Genera magnitudinum comparatarum, vti dc Icaiaribus enunciancur ordine, funt. .1 Longitudo latuudou^ 1 Planum. 3 Solidum. . 4 Plano-planum. '• j Plano-lolidiim. 6 SoliJo-iolidum. 7 Plano-plano-iblidum. 8 Planofolido folidum. Solido- iblido-iblidum. &: Cg deinceps ferie & methodo denominanda reliqua. 8 Ex ferie fcalarum gradus aItior,in quo cCiiltit comparata magnitudo exinde i latere, vocatur potellas. Rcliquf inferiores Icalares funt gradus parodici ad potefhtcm. 9 Pura eltpoteftascum adteCtione vacat. Adlccta,cui homogcneumlubparodico ad poteftatem gradu Si adicitii cocfhcicnie magnitudine immilcetur. I Magnitudines adicititi; lub quibus & gradu paradico ht potcltati quid homogencu ad eam adhciendum dicuntor i>ub-graduaies. ~ ' Dt prn ncgatumAiegatum. Cui przcepto etiam conrequenscfl rtduAione negatorum nominum alterius in alterum, ladutu fttadfirmacum,vccum A B duceturin D G, quoniam id quod fit ex adfitmau A in G negatam manet negatum , quod efl nimium negare minuere uc quandoquidem A cll ducen- damagnitudo produdla nonaccuraia.Etfimilitcrquod fitexnegata B in D adlirraatam manet Bcgatum,quod eflrurfum nimium negare quandoquidem O cit ducenda magnitudo produfia non accurata,ideoincompenrationemdum B negata ducitur io G negatam faaum efl adfirmatum. Denominationes fadlorum i (candentibus propoitionaliter cx genere ad genus magni- tudinibus iflo prorftis modo fe habent. i Latus in fe facit Quadratum. Latus in Quadratum facit Cubum. Latus in Cubum facit Quadrato-quadratum. Latus in Quadrato-quadratum, facit Quadrato-cubuna. Latus in Quadrato-cubum, facit Cubo-cubura. Ec pcrmutactm, id cll Quadratum in lacus facit Cubu. Cubus io lacus,facu Quadrato-qua- drarum &c. Rurliis, Quadratum in fe facit Quadrato-quadratum. Qiudracum in Cubum, facit Quadrato-cubum. Quadratum in Quadrato-quadratum, facit Cubo-cubum. • ’ «2cn>^ crpermucacim. Rurfus, Cubus in (e facit Cubo-cubum. Cubus in Quadraco-quadratum,facic Quadrato quadrato-cubum. Cubus in Qiiadrato-cubum,facic QMdrato-cubo,OLlnVM. Seu Sol i d i Qiiadratum. 5t n I I II t Cubus. 1 5 Quadratum, Quadrato quadratum, Quadrato-cubo cubus, 8t quae continuo eo ordine a le ipfilmet fiunt, funt potcftatcs fimplicis medi; , Reliqua: multiplicis. 1 6 Magnitudo cena cui comparantur reliqua, cft homogencum comparationis. 17 In numeris homogenca comparationum funt vnitates. 18 Ciimradixdc qui quaeritur in fui bafccoofiftens data: magnitudini homogenex compa- ratur,xquatioeftfimplexabfolutb. # 1 5> Cum potcftas radicis de qui quxritur puta ab adfe^ione datx homogenex comparatur, xquatioeftfimplei Climadlica. ' ic • j a o Cum potcftas radicis db qua queritur adfefla fub defignato gradu 8c data cocfiicicntc dar tx magnitudini homogenex comparatur. Aequatio poly nomia eft pro adfeaionum multitu- dine & varietate. , n n- I ■ Quot funt gradus parodici ad poteftatem tot adfe^onibus potcftas poteft impUcari. 21 Itaque Quadratum poteft adfici fiib latere. Cubus fub latere & Quadrato. , n . n C^rato-quadratum fub latete. Quadrato , 8t Cubo. Quadrato^:ubas fub latere. Quadrato, & Cubo, & ei in infinitum fcric. - 1 2 2 Analogifmi a generibus Aequationum in quas incidunt rcfoluti,diftingutur & nomcncur turam accipiunt. AdExege- I 9 ISAGOGE. I ? AJ Excgcticcm in Arithmeticis iiifttuimr Aiulylla cdoflus NJiimcrum numero addcrcT T^jniiicriim munero fubducerc. Numerum in numerum ducere. Numerum per numerum diuidcrc. Potcflaciim porro quarumcumque , . Solidum in Planorolidum factc SoUdo-foUduro. yifot fUtf-p>(sdth falidmm. . Eodem >0^0 Plano iblido folidum adplicatum Iblido rcfticuic {olido* Iblidum ] ScfwS ddn si- faM$4* frhgrsiHdUs, :'n 1 .15 ■rtl: (i: t !, : fn, )h*!ip .ICI" n ” rnn> „1 ifji •X :l ,53irf'i . ha^O c jtitl 5JP' J .• !.• ’:l: Ai-r <■ . f t 5 .1 4 .A :'S m:n. i;rf; J / ili-i;,' ■'n f ■ fjsi Tiir:.- 1,1 • Ii 1.1 ■■ : " II: ~:ipri'\l lii ji| l ? oii 1« T : : /1 EFFECTIONVM GEOMETRICARVM Canonica rcccnfio. 1 z EFFECTIONVM G E O M E T R I C A R V M Canonica Recensio. SFfeftioncs Geometricas quibus iEquariones omnes qux (^dratorum metam non excedunt y commode explicentur , ita Canonice rcccnico. Propositio I. Datam lineam datae redx linex addere. o»»» Sint du* reai Imei AB BC. Oportet alteram alteri add^ re. Continuetur A B longitudine B C. Dico faflum effe quod oportuit. CompoU- tam enim efle aC ex AB BC. . r- Propositio II. Datam re£kam lineam datx redJx linex maiori auferre. Opuf fubduSliomf. Sint datx dux te&z linex inxquales AB B C. Oportet ex A B maiore , minorem auferte. Ex A B abfrindatur B C. Dico fiftum efle quod opor- tuit. Differentiam enim inter A B ■ & B C elle A C. Propositio III. Dcfcribcre tres lineas redas proportionales. Sub A centro , interuallojuocum- que deferibatur circulus , Sc agatur diar meter B A C. Sumantur autem in con- trarias partes circumfetentix C D CE xquales , Et connexa D E fecet B C in F. Dico fa£him effc ouod opor- tuit. Proportionales enim elle B F tU FC. i Propositio IIII. Defcribcrc triangulum rcdlan- gulurn. Repetiti ruperiore conlltu^one conne- ^latur A D. Dico fadum elle quod opor- tuit. T riingulum enim elTe A F D , ip- fiimqueccAangulum^ quoniam angulus AFD ell ie£hu,vt demonftratui in Elementis. Propositio V. Daris duabus lineis rc«^is inuenire mediam inter eas proportio- nalem. • opus multiplicatioms. Traditum cft enim quod fit ab extremis planum annuale elTe medix C^adrato. Sint datz dux reAzlinez BF FC, O- portet inuenire mediam inter eas proportio- nalem. Continuetur B F longitudine F C, & B C fecetur bifariam in A, Et I centro A interuallo AB vel A C delcribatur circulus & excitetur ad pundum F perpendicularis abfeindens circumferen- tiam in D. Dico faAum elTe quod opor- tuit. Mediam enim quzfitam elle D F , vc manifellum fit ex deferiptione canonici trium proportionalium. Sic dato Plano datur Quadratum a^- quale. Propositio VI. Daris duabus lineis reftis inuenire tertiam proportionalem. Opm uJpUcationif. illud enim ejl. Datum pla- num icu plano iequalc Quadratum redix ad- plicarc , & latitudinem ortiuaiu exhibere. Qu^atum 'videlicet medtg udpLcatut ad primam, & oritur tertia. • Sint datz duz linez redbe BF FD. Oportet inuenire tertiam propdtdonalem. Inclinentur ad redosangulos BF, FIJ, dr connedfatur BD, quz fecetur bifuiam A redtos angulos I redii AH J ah intercipiente ipf»m BD in G, ipfam vero BF in A, Et centro A, in- tcmillo A B vel A D defcribacnt circulus, ad cuius circumferentiam protrahatur B F in C. Dico iaiium efle quod oportuit. Ad datas enim B F F D tertiam proportio- nalem quzlitam eile FC, vt manifellum Iit ex defcriptione canonici trium proportio- nalium. M inm autem effieitiones Canonica fint. I Datis tribus lineis rc^is inucnire Quartam proportionalem, a Facere vt numerum ad numerum ita lineam rcilam ad reiftam de tjui quxri- • tur ceteris datis. 3 Facere \t Qu^adratum ad Quadratum , ita lineam redlam ad rcftani de qu3 quf ritur ceteris datis. 4 Facere vt lineam rcdlam ad redam, ita Quadratum ad Qu^adratum lateris dc quo^uxritur ceteris datis. Qu;p tamen fi quando iuuant habentur ex Elementis. Sed neque fequentes elTcdtiones omnino regulares fiint,at commendandae tamen propter frequentem carum vlum Sc impendium. Propositio VII. Datis trianguli rcdanguli duobus lateribus circa redum inucnire latus tertium. Opm ^iiimnu Planorum. Docuit nempe Pythagoras, Q^ata a lateribtw circa reflum e^uar, :^adrato latern relisu,. Qjmd etiam principia Analytica arguunt ei ipH delcti- ptione trianguli. Traditum elt 'uim ex Analyticis adgregacum duorum lacerum, dum ducitur in dinerenti .m laterum, facere differentiamQy- dratorum. Adgregatum autem ex AD feu BA AF eft B F, Et differentia inter AD, feu A C, Sc AF eft FC. BF autem duda in FC facit Qiudratum ex DF. Itaque Qiudra- tum ex D F eft differentia Quadrati ex AD & Qnadrati ex A F. Et per artis tranllationem, qutr dicitur Antithelis.C^dratum ex AD eft lumma Quadratorum ex A F & D F. Sint data duo latera trianguli reiftanguli ip- fum angulum redhim ambientia A F F D. O- pr ttet inuenire latus tertium quod angulum te- dhim fubtendit. Inclinentur igitur AF FD ad angulos redios Bc conneclatur AD. Dieo fa- dfum elfe quod oportuit. Lacus enim dc quo quzricur elle AD fubcendens DFA redfum angulum trianguli, fadhim 1 datis AF, FD. Propositio VIII. Dato latere fubtendente angulum redum trianguli , & vno e reliquis inuenire latus tertium. Ofmfubdudiotm Planorum. Sint data duo latera trianguli redlanguli.vnum AC, quod fubtendit angulum re^m , alterum A F inG- ftens circa tedium illum. Oportet inuenire latus teliquum. Centro A iatenullo AC deferibatur cir- culus , Sed ex AC xbrdndacuc A F, & id pun^him F excicecur perpendicularis in AC, edque lecet circumferentian in D> & conne^cur AD. Dico fai^m elFe quod oportuit. Latus enim D F elTe quziitum , ambiens angulum re^him in triangulo A F D, cuius data fuerunt reliqua lacera A F k AD, id eft AC. Propositio IX, Si fiicrint tres lines redis proportionaIcs,Quadratum minoris cx- trems adiundlum Redlangulo fub differentia extremarum & ipfa mi- nore extrema squatur medis Quadrato. Exponatur canonicum diagramma trium li- nearum relitarum proportionalium , & incelli- gitur F C minor extrema , cui zqualis po- natur BG, vnde differentia inter BF ma- iorem extremum, & BG, idefl FC mi- norem extremam , Iit F G. Dico quadra- tum ex C F adiunAum reAanguIo fuD £ F F G squati quadrato ex D F. Nam Qjy- dracum ex C F aliter ell fa^um ex C F in G B. Itaque duo hzc (aifta ex C F in G B, & C f in F G valent fadtum ex C F in F B. Cui (z&o fub extremis con- feqaenier squale eft Q^dratum ex DF me- dia inter extremas. COffSeCT^RlVM MECH^NICEM Q^ir4ti ndfetii ndtnnShone PUm fub Utere. Itaque cum proponetur A ^adratum ,plus B in A aquari D §i^adrato, Intelligetur D media inter extremas, B differentia ea- rumdem. Et ex media & differentia extremarum quarentur extrema quarum minor erit A, de qua quaritur. Vc hic ex datis GF FD conftruentur proportionales BF, FD, F C, Acent F C minor quslita. Vc ex Zececicis poterat argui. Et iam figura Geometrica per lynche- lim demonllrat. Si fiierint rres lines redis propor- tionales, Q^dratum maioris extrems, multatum redlangulo fub differentia extremarum , & ip^ m-tiore Squatur medis^i^drato. Repetatur proxime antecedens conllruAio. Di- co Quadratum ex B F, minus redangulo fub B F G F, squari Q^draco ex D F. Q^dracum emm ex B F, valet fadum ex BF in GF, Ac inTupet ex BF in BG. a' 4 Qgadcaco iginuex BF auferatur fa^m ex BF in FG, relinquitur fa^m ex BF in B G , id e(l ex conBru^ione in F C. Cui fado fub extremit confequenter xquale cB Q^dratum ex O F media inter extremas. CONSECT^RIVM MEC MANICEM QV ^DR^T t tdfeiit multa Piam fub latere. Itaque cum f reponetur A Q^dratum , minus B in A aquari D iil^adrato , InteUigetur D media inter extremas , B differentia earumde^ , C?- ex media ty- differentia extremarum quarentur extrema , qua- ^ rum maior erit A de qua quaritur. Vt hic ex datis -GF FD conftruentur proporti.onj^les BF FD F C. Et erit BF maior quxCta. Vt ex Zeteticis poterat argui, & iam.,figura Geometrica perSynthe- fim demoiiBrat. P R O P O S I T I O ‘ " X I.' Si fuerint tres linea: redhe proportionales, Rcd:angulum fub coni' po/Ita ex extremis & harum altera maiore minoreue, multatum eiuf- dem alterius Q^adrato,a:quatur Redlangulo fub extremis. Expotmurcanonicum diagramma trium pro- portionalium.llico reiBangulum fub B C F C, miniis Quadrato ex F C xquari Quadrato ex Et rurfus reiBangulum fub B C B F, mimis Quadraro ex B F xquari Ojiadrato ex D F. Q^iiiam enim BC ell compoiita ex BF F C, ideo fadlum ex B C in F C valet faflum ex BF in FC, & FC in FC hoc cft Q^dratum ex F C. Cum itaque ex fa- dlo B C in F C auferetur quamatum ex FC, relinquitur faftum ex BF in FC, cui fa^lo fub extremis confequenter xquale eft Qua- dratum ex D F, media inter excremas. Atque id efto primum. i€qui quoniam B C compoiita eft ex C F FB, ideo&Qumex BC in BF valet faftum ex CF BF, hoc eftQijadratiunex BF. Cum itaque ex fafto BC dratum ex BF relinquetur faflum ex CF in B F. Cui f quenter xquale eft Qjjjdtatum ex DF media inter extremas, monitrindum. co N SECTi/iR IV M .AD MEC H .AN ICE M P L.A N I fub latere negati de Qj^ata. Itaque cum proponetur B in A, miniis A Quadrato aquari D Q^rato, InteUigetur D media inter extremas, B adgregatum earum- dem.Et ex media Cr adgregato extremarum quarentur txtremaMtarum alter- utra erit A de qua quaritur, B ij t ; Vc ex Zeceticis poterat argui, Sc iam figura Geometrica per Sjrnthefim demonftnt. Propositio XII. Data media trium proportionalium & differentia extremarum in- uenire extremas. Mnhamce Qj^drati adfeSlt fub laterr. $u data F O inedia trium proportiona- lium , d.rta quoque G F ditferentia extrema- rum , Oportet inuenire extremas. IncUuentur GF FU ad angulos redos,& /eceiut G F bifariam in A. Centro autem A , interuallo A D; defcribatur circulus, ad cuius.circumierentiam producantur AG AF, in pundiis B, G. Dico fa^m elfe quod oportuit. Extremas enim inuenmndas elte BF FC, inter quas media proportionalis e(l F D. Et ipfat B F F C dilTerunt per F G, quandoquidem A F de A G conlirudlx funt xquales , Et AC A B conftrudlx quoque xquales. Itaque ab x- qualibus B AC lubducendo xquales A G AF, remanent BG FC xquales. Eft autem G F dilTerentia inter B F Cc B G feu F P R O P O S 1 T C. Q{md erat demonftrandum. IO XIII. Data media trium proportionalium & adgrcgato extremarum in- uenire extremas. M echoice Piam fab Utere negati de Qu^ato, Sit data E media trium proportionalium, & BC adgregatumextremarum,Oportet in- uenire extremas. Secetur B C bifariam in A, Et centro A intCmallo AB vel A C defcribatur circulus. Sed & diametrum B A C fecet ad angulos redlos altera diameter GAH, & ex A G abfcindatui A I xqualis Ipfi E, Et per I ducatur leStx ipfi B C parallela intercipiens circumferentiam in D pim&o, ll quo cadat in B C perpendicularis D F ipii I A xqualis , & parallela. Dico fadium elfe quod oportuit. Extremas enim quxfitas elTe B F F C, ex quibus cumpofita ell B C data. Et fit media inter eas proportionales D F feu I A , id efi E data. Propositio XIII I, Q^dratum a media proportionali inter hypotenul^ trianguli icdan' i 5 rc(aanguH at-pct^endictilam eiufdrtn, proportionale eft inter Qiu- dratum perpendiculi ^ (itodratilitt identt perpendiculi continuatum bafis Qtwdrato. o ’ ! Sic trUngiilom reaingtJum ■ AB^ vero inter AB! hy^tenaiiai & 'BG pe^endicntuni fir B D. Dico Qiudra- tiimex B ti propor- tionale eiTeiutetQ^- dratum ex B C Sc idem Quadrarum ex B C pios Qjijdtaco 'ex A C. ^ ““c 1 . ) J Qjipniam enim pro- L C portionales funt BA ^ D B B C, Ideo proportionalia' quoque (unt qux ab eis fiunt Quadrati, videlicet dratum ex A B, Qiiadraeum ex D B, & quadratum ex B C. Ipfum autem C2^dr»- tum ex AB per interpretationem eft Qjiadratum ex B C pliU Qpadtato ex AC. Idem Quadrarum a media proportionali inter hypotcnulam trian- guli re<£hnguti & perpcndiculuni proportionale eft int‘er Quadra- tum hypptcnufx &c Qpadratum idem hypotenuix multatum baAs Quadrato. Cum fint proportio- nalia ( vt iam idnotatum eft ) Qua‘lratum ex AB, Quadratum ex B D, & Quadratum ex B C. Ip- fum autem Qjijdcatum ex B C per interpretatio- nem iit Qimdracum ex A B miniis Qjiadrato aiii: ex AC. CONSECT\ARIVM M E C H ui li I C E M QMdr4to-quadrati odfe£K'/u6 Quadrato.' ’ hatjue ,Si A ^adrtito-quadratum , plus B ^adrato in A SltuivAtum aquetur D ^adrato quadrato, InteUigetur B hajit trtanguh reilanguliy D media inter perpendiculum (y hypotenujam , er ex media er l>aje quaretur A perpendiculum. 'Vt hic ex datis AC BD quzretor BC, Cum ei retblutione expoliti primo loco Analogifmi Q^drato-quadratum ex B C plus planoplano fub Qjudrato ex AC A' Quadrato ex B C zquecur Quadrato-quadnto ex B D. ' Et fi eA ^Mdrato quadratum , minut B Qu^ato in A dratum aquetur D Quadrate- quadrato, Rurfiu B intelligetur bafis triaU' guli reSlanguli, D media inter perpendiculum er hypptenufam. Et ex me- dia Cr bafe quaretur cA hypotenufa, Vt hic ex datis AC B^D queretur AB. Cum ex refolutione expofiti fecundo lo- c8 UufldS^tU OjjlilMtcHqaadntiiai ctc^ rA-|l ninib pU)»^dana £tb Q^cito ex . AC Ic Qm
  • co ex A Bt cquetui Qyydratp-quadiaco ex B |>. Propositio XV.- ■ Qkndmutn i media propordouali imer ba/ira trianguli redan- guli & perpendiculum eiufdem , proportionale ell inner Qwdratum bafis, & (^adratum hypotenufe multatum ipfo bafis Quadrato. ^ Vel etiam inter Q^dratum perpendiculi, & Q^dratum bypote> nufe multatum ipfo perpendiculi Qiwdrato. Sit triangulum re^langulum ABC, media vei6 intet lacera circa redam AC B tu (!c C D. Dico Qjia- dtaerm ex C O pco> portionale elle inter C^adcatuiin ex A C Q^dtacum ex AB ini. nils Oliadrato ex AC. Quoniam enim pr^ . , pbtXiiAalbt Tubt aX; ^ CD BG, ideo ptopoftlofialia quoque luat quz ab iis fiunt CluadrAta. Videlicet Qua- dracum 'ex A C, Quadratum ex C D, Qiudracum ex B C. IpAun aUcem Qiudracum ■ax BC J>ttiht«^te«ati<)titm e(l Qutoiratinn e» AB mimU Quadrato ex AC. Vel etiam dico Quadratum ex CD proportionale elTe inter quadtalum ex B C> & quadratum ex A B, miniis Qiiadrato ex B C. Cum fine proportionalia, vt iam adnocacum eft. Quadratum ex AC, Quadratam ex C D, Qgadracum ex B C. Ipfiim autem Quadratum ex AC pcc incetprecationem fit Q^dracum ex AB mimis Qj^raco ex B C. eOK SECTAR IVM E C H ^ K I CE tA IfL^KO- fLmfiih QtuJritt ntgiui de -Qu^tuo-tjiudetto, I Itaque Ji B SmdratUm in A Sjudratum , minus A drato-quadrato , aquetur D ^t^rato-quadrato. InteUigetur B hj- fotmuja trianguli reSan^U D media inter perpendiculum bajim. Et ex media O- hypotenujk qtueretur A bafis 'vtl perpendiculum. Vthic ex datis A B • D C quzretur A C vel B C. Cum ex refolutione tnaldgifini peimb pofiti , Platio-planum filb Qsadrkto ,tr AB 6c (^adtato &: A C, Xnihiis Q^^araco-quadraco ex AC, xquetucQiiadraCo quadrato ex CE. Vel etiam ex refolutione analogifim lecundo loco expoliti , Planoplanum fiib Q^iadra- (b ex AB Be Ogadraeb ex B C mimis QAadrato-quadieco ex B C cqtietur Qiia- drato-quadraco ex D C. PRORoilTIO XVI. Data prhtia trium proportionalium, & ea ctilus quadratu *qualc eft «gregato Qu^acorumrect*bd3e& tettix, Dantur fecunda St, tertia. A Eturitueri)fiMt quoque 'frofarUendiefi I 'Thiia ftiu prifuSi II Potens ilLu quadrero, III Terti*. Qiu m ferte datur frima 'differentia extremarum. Data autem media & diffeixmii 'eXtrenmrutU tLmtur exiuem*. Per Propofitionem X II. huius Capitis. i Propositio XVII. Si Quadratum medix inter perpendiculum trianguli redlanguli & hypotenu&madpliceturad balim, perpendiculum proportionale eft inter bafim &eam cuius quadratum xqualeeft difFercntix inter Qua- dratum latitudinis oriundx ex ea adplicatione & Quadratum per- pendiculi. Sil trijueuli «ftanguli hypotMala qnidem biih At, BC, media v«o proportionalis intet AB & BC "fil CO, cum adplKabitur a/ AC faciat latitudinem CT. Sed 8r Oeadritum ipfitB pUceiurad AC & faciat latitudinem CE. coioi Qajdratum vna cum QuaflMto C ij Expolita autem analogia,quam alioquin firmauit Zetefis, pcrfpi^ cft ex atqua- tionc in quam refoluitur. Faciunt enim extren* Quadratum ter^ redan- gulo cx prima in tertiam , id cft piis Quadrato ftcundx , qu* duo Quadrata ae- quant quadratum medix. . . r n j Et vero Propofirio bxc inter Canonicas adfcnbitur qnonianuparalceue eift ad Mccbaniccm Quadrato-quadrati adfcdli fob Quadrato. Itaqudmagiseft vtipfuiu opus integrum prx oculis fubitditur. PropoTinunlgitur efto Data pritru tiitim proportionaliurn 8c ca cuius quadratum xtjaale ^adgtcgato OjwdraKmimfccundx &tcitixinuenire proportionales. •' -Sit d»ta prfci» («ulo proponioiMilium A B, QuxYtri poteft qnadt^ fiwuUs te- Bquas B C. Oportet inuenita fecundas Sc tkrcum. Inciiaeiitta; ai angulos ceaot ab BC, & fecetut AB bifariam in D , & centro ^ D intesuallo D C .d'*'*^^- bacar circulus «bfeindens ip- fam A B ptodudsen binc- inde in punftis E, F, de (it E punflum vetius B, ac F verfus A, & fiat A E diameter alterius circu- li, ad quam producatur BG. Pico proportionales de tjui- bus quaritut elfa <5 B qui- •dem fecundam BE ter- tianv-Proporctonales enim «1- fe AB, BG. BE impri- mis conflat vel ei canonico trium proportionalium dia- gramimte. Suoetefl igitur vt ^ B C^at;^ Id autTrTka^ft^manifefturo. -OapniOT enim F D D E^ iunt xquales ex conflruiilione. nam vttaque femidiametet eft dtctffi primum deftriim , At *qo^ qooMo excortftruaione AD DB. Ergo fiunt quoque arqudes FA BE. Et tutfus «quales FB A E faftl fubduflione & additione xqualHim aT) «qnalfbus. Medra auttm 'propor- tionalis imet EB BF eft BC ex pridido canonico diagrammate. Media quoque Imer EB & A E id eft ipfam BF^Il G E. Q^re ipf» GE eadem eft qu« BC. Quod oftendiCTe oportuit. , . i- . Ad datam igitur AB primam, & BC potentem Qjudrato duas reliquas , Inuent* funt tres proportionales AB B G B E. Q^od faciendum erat. k ex ;BC, x- 3uetMT Qii}- ntoex BE. Dico B E ede xqualem ipfi Cr. Ita- me CE ef- ie eam cuius Q^dracum , ur- ,;rj‘ •[j. • * >I rt....— — “B * " iiWiii Jr: ;j '•'} l.yff V \ \\ 7 ‘‘ / » / ■ cjuaaracuni cquale (it diiFerenciz iutec quadratuip e,x C F feu B E, eorifequencer wtd< eaiti & aC ;^r6portionalem e(Te BC, Ttdeeernitpi , Etenim vt. AG ad 'CD, 'lea jC D i»d CF ex conftruflione. .Eft quoque wt L., Cc Qjja^atum ex ' B C> Ec BC, Ttdeeehiit propofiti Perpendiculum. * totus cfuadrati aqualis differentia inter QMdratum perpendiculi Quadratum latitudinis quam facitmediaQufdratumadplicatu haft. Qm in /eriedaturprima&' Latus quadr,ai aqualis tdfftgato Qu^atorum a duobus reliquis. Itaque dabuntur dua reliqua per propofitionem XV,. £ji autem Mechanice Q^rato-quadrati adfeSlifub Qiudrato. Itaque in canonicarum numerum adjeribitur. Qjffi de causa opus ipfum mte^m confentasseum eji exhibere » Pro- pofttum icitur ejh Data bafc trianguli rcdanguli media inter hypotenufam & perpendiculum , exhibere ipfum triangulum. Sit data AC bafis trianguli lefianpili & data quoque CE media inter hrypote- mi Bufam «e perpendiculum. Oportet.exhibere ipto tria^lum. Ad datiyn A C "ur Quadrat ex CE faJena.latitudiitem / 'CP. X cuUriterad AC fettique A C bifariam in D. defenhantur propom^ri^^ CF; CG. Et fiat A E diameter circuli , 4 cuius citcumferenui cadat perpendicul^ L 7 B C. Dico A C D triangulum eift' ^ quo qaiKriioc. cniua videlicec b«6t ' P R o P 6 s I f l 6' X I X ■ ■■ ' rr(i 'fll-tid fl' '^jJ Si Oiwdratum medix inter baiim & perpendiculum triangpli re- (JtangiuTaidplicetur ad hypotenulim, oriur latimdo crit pro^ portionalis inter duo fegmenta hypotenu£e , quorum primi tum adiedhim Quadrato latimdinis xquat Q^dtan^ balis. Secun- di vero Q^dratum eidem Quadrato laotudinis adicAum , xquac Quadratum perpendiculi. Sit Trianguli redanauli hypoteimra quidem AB, bafii AC, perpendiculum B C , media inter b^m Sc perpendiculum , B E , ciliils quadratum adpUcatum ad A B faciat latitudinem B F. Cadat autem C D perpendicularitir 1 pundu C in A B. Sunt igitur proportionales A D Tegmencum primtitn hypotenuTz , C D edutVa , Sc D B Terentum hppocenufc reliquoTn. Dico D C efie zqmJm B E. luque E(S elTe proportionalem inter AD, cuius Quadratum adiunuaip draco C b zquet Q^dtatum A C bafis. Et D B , cuius C^ua'dratum el4em Qsir dtato CD adtedbim zquet Q^drltum CB perpendiculi, vt decernit Tbeoteriuu Eft enim vtAB ad BE, ita BE id BF, cz confttudtione. Eft quoque vt AB ad C B , ita AC ad C D ez fimilitudine ttiai^ulotum A C B A D C. Quadratum autem ex B E valet reAangulom C B ia AC. Ergo eadem media eft inter AB Sc BF quat inter AB dc CD. Ideoqne BF dc CO funt zquales. Atque adeo tata eft ptopofitio. Propositio XX. Daca hypotenulacHanguli rcdbmguli& medii proporrionali inter ba^m & perpendiculum datur triangulum. igrtr A J A£«iifwwj /imttK-dmtceiem* V.''"' HlffottnnfitJt^MeTttnmvmm. . . •.! n *. i. i> n.' 'laritiiA a»4m facit medi* Huadeat^m adfLc*ttm^'adhjfot^»pm:' ' "■■ • lif!' j?^j^6teimf*fiphe7Uim Etenim. f 't''" v h” e/ficit Q^dratum t^no- ms j Utenims circa reihtm, ^dteilam •uerb Quai •jMd^erurtj^r.rQiL '.■i-A.n y ■ .; ' £jl a^.i^ .Mts;h^iiif^^l^^ '"5^' Itaque in canomcar»m kummim < ujcnhitur. i JjM de caufa ofUis s^m mte^m confentdneum efl exhi- bere. Profofuum igitur, tjia :> Data hypotcni^ trianguli' H media proporaonali inter latera circa rcdhim, exhibere ipfum triangulum. - .du^nt. if mulu^iK *< r- 'mi Sit dUa AB . hytiotenuU tciaimii > Et data quoque AC inedia ptoeotcionali tateriliWA a • i e54fr«?f ,«mngq|iq^;jAd da* j(j. tas AB,' AC iadeniaiiiicfrciapco- * '^A T^ • ' *A R p6rit6iiidii • 'ad, ‘A B "dia^ «uterxitcidi,:id ipiam jd leAos an- gulos demiccacui i ciicumferencit redia F E ipE A D xqualis , 8c /ulktendaqtut AF JB. pico ip(a. 5? F_'’F'l!^enfc^ liceca circa redlum' i^biFAtjii atque adeo triangulum juo quititut elTe cuius ^ ^aero'h;fpotenula’«l^ X B data. U Mi)i|ia Wnque triangula redlangiila ftnr Fg* AFB. Itaque ell vc F & ad A F liraAione^ TE ,^e(t', Al pdttidhiilt Ift ifit*' A'F' FB. ff® AFB. Itaque eft vt F E ad A F ita„^ F^B' ad A B. Sed ex cdn|- lirtlAione ^ TE ,^elt r AD ad AC ita AC ad AB. .Q^re AC pro- pdttidhiilt Ift ifit*' A'F’ FB. ‘ ‘ - ■ Ad datam itaque A B hypotenufam & AC mediam proportionalem inter la- tera circa sedium exhibitum eft ipfum triangulum AFB. Qypd facere oportebat. idem autem Problema ira fotuit concipi. / Data media mum proportionalium &: ea cuius quadratum xqua- Ic eft adgregato Quadratorum ab extremis jlnuenire extremas. Vt hic datis A C media de AB - — ' - potente exctepias quadrato inueniuntur ipfx cxcrcDiZ r jy 51;. i .1 rB* s ,^8 I,t *ri .:i*- ' K : ‘ ■ * . 3 Ci A U J A r' U ^ A i?i , n ■ ‘ - R A. aihem mst-; > 0^. i.l .P A. ni 8P mjlii ;_s; J1 IsUt iniii U J :6 »!ipost)i .111} * Q A nsni xijp = R :/j fi A fjjfu iia iifloqosq ■. 09I» 9Up)A .XX 0 1 T I ; 0 H 0 11 T »3ni il«ioit:oqoiq £ifc'm riupntht AJtCI rvkiJ - .'iiilluurisin --iiTrh :nuL'; 11 a