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PRÉFACE ■ IM« I) y a plus d'un siècle que l'algèbre d'Alkhayyâmî fixa pour la première fois l'attention d'un savant mathématicien. En 1742, Gérard Meerman publia à Leyde son a Spécimen calculi » fluxionalis, » précédé d'une préface dans laquelle le célèbre auteur es- quisse rapidement , mais avec érudition et élégance , le développement successif du calcul analytique. En parlant des progrès que les Arabes avaient fait faire à cette branche des mathématiques , il cite (*) un manu- scrit arabe du traité d'Alkhayyâmî , légué par Warner à la bibliothèque de Leyde. Il conjecture que ce manuscrit pourrait bien contenir la ré- solution algébrique des équations cubiques. Cela n'est pas; car on verra dans la suite que les découvertes d'Alkhayyâmî, quelque ingé- nieuses qu'elles soient , n'ont rien de commun avec celles des algébristes • italiens du seizième siècle. Il est vrai que le titre du manuscrit arabe , tel que le donne le catalogue de la bibliothèque de Leyde, pouvait faire croire le contraire. En effet, on retrouve la pensée de Meerman chez Monlvcla [**), le savant historien des mathématiques; puis chez 31. Gartz, auteur dune disser- tation latine sur les traducteurs et commentateurs arabes d'Euclide, pu- bliée en 1823. Personne cependant n'avait encore pensé à examiner ce traité, signalé ainsi à l'attention des géomètres et des orientalistes , lorsque M. L.-Am. Sédillot . annonça dans le Nouveau Journal asiatique (***) qu'il avait découvert, dans un manuscrit arabe de la Bibliothèque royale, un fragment très-intéressant d'un traité d'algèbre. Le contenu de ce morceau présentait une analogie remarquable avec ce qui , selon toute probabilité , devait former le sujet du manuscrit de Leyde. Quelque temps après, M. Sédillot fit connaître ce *) Voir la dixième page de sa préface. **) Hist. des Math., nouv. éd., t. I, p. 383. ***) Mai 1834. IJ — fragment d'une manière plus détaillée dans un mémoire inséré aux Notices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque royale (*). D'après l'analyse donnée par M. Sédillot , M. Chasks, dans l'admirable travail qu'il a consacré it l'histoire de la géométrie, déclara (**) qu'une publication complète de ce fragment serait d'un véritable intérêt pour l'histoire des sciences malhématiques. Cette opinion sur la valeur du document en question fut évidemment partagée par M. Libri"'), qui découvrit à la Bibliothèque royale un ma- nuscrit complet de cet ouvrage. Ce manuscrit constatait en même temps l'identité de son auteur avec celui du traité conservé à lu bibliothèque de Leyde ("*"), cl M. Libri annonça qu'il se proposait d'en publier une édition. Une telle unanimité sur l'importance de l'algèbre d'Mkliayyami devait suffire pour me décider à en entreprendre la publication. Les manuscrits que j'avais à ma disposition pour établir In texte arabe étaient au nombre de trois. C'était d'abord le manuscrit arabe n" 1136, ancien fonds de la Bibliothè- que nationale , celui qui avait été remarqué par M. Libri. Ce manuscrit est d'une écriture très-élégante, mais dépourvu en grande partie des points diacritiques. Des trois manuscrits , c'est celui qui offre le texte le plus cor- rect, et dans les cas douteux j'ai généralement préféré les leçons qu'il présente Je l'ai désigné dans les indications des variantes par la lettre A- Le second manuscrit , que j'ai désigné par la lettre B , est le frngint'iii examiné par M. Sédillot , et faisant partie du manuscrit arabe n" 1 101 , ancien fonds de la Bibliothèque nationale. L'écriture de ce manuscrit est beaucoup moins belle que celle du n° H30, mais la ponctuation est presque complète, et parfois on y trouve même les voyelles. Le manu- scrit est détérioré en quelques endroits , et les coins sont quelquefois en- dommagés par l'humidité, de manière à en rendre l'écriture illisible. Mal- heureusement ce fragment ne contient qu'à peine les trois septièmes du texte entier, et s'arrête précisément à l'endroit ("*'") où l'auteur va exposer ce qu'il y a de vraiment original et d'intéressant dans son ouvrage , c'est- à-dire au commencement de la construction des équations cubiques. Enfin , messieurs les conservateurs de la bibliothèque de Leyde ont eu l'extrême bonté de me confier le manuscrit cité par Meerman et Montucla, et contenu dans le volume n° li du legs Warnérien. C'est probablement •j Tome Xlll, panes 130 à 110. ") Aperçu histurlqne sur te rféert'ippenitnl des méthodes en géométrie Bruwlles, 1837, in -4", page* 49.1, 49i, et paitieuliéienn'iil p. -liin, [radASH noie ***} llisinirr dru sciences matlièmatiquts en Italie. 1. 1, note m», p 300 v\<\. •"••) Voir, (w. cil., ton notes an lia» Art- \ntfiu, 301 vi i\n. '.«ir pw 7\ rin lutttmbt, ft" ,f ip une copie faite sur un manuscrit oriental par un Arabe chrétien , domicilié à Amsterdam, et occupé par l'illustre Golius à copier des manuscrits ara- bes que les propriétaires refusaient de vendre, et que Golius était obligé de renvoyer en Orient après en avoir l'ait prendre copie ('). Ce manuscrit , que j'ai désigné par la lettre C, est d'une écriture large el lisible. Quoiqu'il soit moins correct que le manuscrit A, il ne m'en a pas moins été trés- ulile pour la rédaction du texte. Les ligures géométriques qui accompagnent te texte sont (racées dans le manuscrit A avec assez de netteté; si ce n'est que les sections coniques y sont invariablement représentées par des arcs de cercle qui se rencon- trent au sommet de la conique sous un angle passablement aigu. Dans le manuscrit C, ces figures ne ressemblenl quelquefois que d'assez loin à ce qu'elles sont destinées à représenter. Dans les manuscrits B et C, les numératifs sont toujours exprimés par des mots, excepté dans les citations des propositions, et quelquefois aussi des livres , des ouvrages d'Euclîde et d'Apollonius. Dans ce dernier cas , les manuscrits B et C emploient les lettres de l'alphabet numéral. C'est uniquement pour la petite table des puissances descendantes et ascen- dantes (p. 42 du texte arabe; que le manuscrit C fait usage des chiffres. Le manuscrit A, au contraire, se sert de ces derniers presque partout où les deux autres manuscrils emploient des mots ou des lettres numérales; cependant il conserve les lettres exclusivement pour les propositions citées des ouvrages d'Euclide et d'Apollonius. Ayant rendu compte des manuscrits dont je me suis servi pour l'édition du texte d'Aikhayyàmi, je vais ajouter quelques mots au sujet des manu- scrits dans lesquels j'ai rencontré les morceaux qui forment l'objet des additions. Pour les additions A et C , j'ai mis à contribution le manuscrit n" 14 du legs Warnérien , mentionné ci-dessus. Quant au mémoire , que j'examine dans l'addition C, j'en avais découveit une seconde copie dans le ma- nuscrit lK.V-,"h supplément arabe de la Bibliothèque nationale. Les mor- ceaux dont les additions \î , D et E présentent des extraits discutés sont tirés du manuscrit n" 168 du legs Warnérien de la bibliothèque de Leyde, tin de ceux qui ont été achetés par Golius en Orient (***>, Ce manuscrit •) Voit a ce. 6ujel les pages \iv et *v de la préface do nouveau catalogue «le la biuliolliÈque. de Lcjtle, par m. Dnzy, dont le premier tome vient de paraître il y a peu île semaines, M. Doiy avait bien voulu m 'instruire à l'avance de iss délail*, et t'est aveu empressement que je saisis celle occasion de témoigner publiquement ma reconnaissance à ce savant, ainsi qu'à M. Reintitiii, qui non-se idem eut m'a coinmuiiiipie, avec la complaisance qui h> distingue, tons les manuscrit dunl je pouvais aïoir besoin, mais encore m'a permis de recourir en tonte occasion â sa vaste Érudition ") Hument du catalogue mamis de

< Alkhatjtjàin signifie fabricant de tentes. Il n'est guère vraisemblable que le célèbre géomètre ait lui-même exercé cette profession ; mais probablement c'était celle de son père ou d'un de srs ancêtres, et en conséquence, des deux levons, l/A/un/j/rhui semble être celle qu'il faut préférer. On ne sait avec précision les dates , ni de la naissance , ni de la mort d 'Alkhayyàmi; mais on connaît suffisamment les circonstances desa vie "). Il fui élevé en compagnie de deux jeunes gens qui dans la suite devin- rent des personnages célèbres. Ce sont Mzhâm A Intuitif, vizir des sullans Seldjoukides Alp-Arslan et Maliq-Chah , el Ihirttn Uni Sabbah, fondateur de l'ordre des Assa sins. Les trois amis s'étaient promis que si l'un d'eux se voyait un jour dans une position brillante et élevée . il profiterait de sa prospérité pour y faire participer ses anciens camarades. Arrivé au pouvoir, Nizltàm Almoulqfut fidèle à sa promesse. Il fit donner à Haçan la place de hàdjib ou chambellan. Jlais celui-ci , ingrat envers son bienfaiteur, chercha à le remplacer dans la faveur du sultan. C'est pourquoi Nizhâm Almoulq l'éloigna de la cour par des ihowiis que la perfidie de Haçan excuse peut -être. Plus lard, le vizir encourut, dans un âge déjà avancé , la disgrâce du sultan ; cl lorsque sa chute l'eut mis à la portée des poignards des fedaïs ismaéliens, Haçan assouvit sa vengeance [*")• Alkhayyàmi, au contraire, refusa presque les offres généreuses du puissant vizir. 11 ne demandait qu'une aisance modeste qui lui permit de se livrer tranquillement à ses penchanls s ientifiques et littéraires. On sait cependant qu'il prit une place distinguée parmi les astronomes de Maliq- •] ce manuscrit semble avoir fait partie d'un petit reeotll de Mpl traités. dMl I algèbre >aiti1 étail le premier. 011 avait donc donné sur lu page du litre de celui-ci nu RtMagne île! lit rr& de Imite* les pièces qui conpMaunil utte ptlile r.dleili™, diurne d'ailleurs cela se hit aussi en ta* pareil sui mis livres modernes. 1/ikriluie de te» titres ,-s.l ir In pltinjrl !■■ kiurui er'i i. -, ■. .jn'il est difllcilc de les déchiffrer . •') \iiir lii HTMlU WtttB» nui.vnire h AII.U.ii liuil par M. lleinawl, i\în* les ftflHpmtlIW de ,a Irartnrlimi .t.: la |éagTtfUlle lathnoMMi, pr*ge CI. — tfotkôl $t Eitrattt, el,.,, ■'■ v Mémoire de K, De/rtmtri/ i Journal ntiatlyur, l"*H l'Ii.iluire dm SeldjmilidcB et des iMMétta y Chah , et qu'il était un des principaux auteurs de la réforme du calen- drier introduite en 1079 par ordre de ce prince (*). Alkhayyâmî lui-même nous apprend (p. 13 de la traduction) qu'il avait composé aussi un traité sur l'extraction des racines des ordres supérieurs ; et le peu qu'il en dit suffit pour nous révéler ce même esprit générali- sâtes qui , comme nous allons bientôt le voir, l'avait conduit à une théo- rie .systématique des équations cubiques (**]. Alkhayyâmî était poète (***) . Mais ses vers , écrits en persan , lui ont valu une réputation d'athée et de libertin. Rappelons-nous cependant que les mêmes accusations furent portées contre Descartes par un turbulent théologien, le recteur Voët, de l'université d'Utrecht. Ne nous empressons donc pas de souscrire à un jugement qui a peut-être sa source uniquement dans les haines religieuses que les poésies satiriques et spirituelles d'Aï- khayyâmî devaient susciter contre lui. Voici maintenant la traduction de la pièce inédite que j'ai donnée à la fin du texte du traité d'algèbre. Ce morceau est extrait du manuscrit n° 481 , supplément arabe, de la Bibliothèque nationale, qui contient un abrégé du Târikh-Alhoqamâ , terminé en 647 de l'hégire, et dont l'auteur s'appelait Alzoûzenî (****). « Omar alkhayyam, imàm du Khorâçân , le grand savant du temps, était versé dans les sciences des Grecs. Il exhortait à chercher le Dieu unique, gouverneur d a monde, par la purification des mouvements corporels, de manière à rendre l'âme humaine exempte de toute impureté. Il recommandait aussi une étude persévérante de la poli- tique (*****) , fondée sur les bases de cette science établies par les philosophes grecs. Les — — m ... *) Voir Abulfedœ Annales muslemici, éd. de Reyske et Ad 1er, t III, pag. 236, lig. 18 sqq. (On lit en cet endroit « Ibrahim, » au lieu de «fils d'Ibrahim;» c'est une erreur; comparer la note de M. RHnaud, dans les Prolégomènes à la Géogr. d'Aboulf., loc. cit.)— Joh. Gravii Epochœ célébrités. Londini, 1650. Pag. 37 sqq, — Muhammedis fil. Ketiri, qui vulgo Al/raganus diciiur, Elementa a*tronomiea, opéra Jac. Golii. Amstelodami, 1669. Notas, pag. 32 sqq. — Ismaelis Bullialdi Astronomia philolaica. Paris, 1645, in- fol. Tabulœ philo- laica?, pag. 210-232, et particulièrement pag. 214 et 223; comparer Delambre, Hist. de Pastr. au moyen âge, pag. 191-196. — Montucla, Hist. des math., éd. nouv., 1. 1, pag. 387: — Delambre, Hist. de l'astr. moderne, pag. 75-84. **) La bibliothèque de Leyde (voir n* 1067 du catalogue de 1716) possède aussi un ouvrage d'Alkhayyâmî sur l'explication des difficultés présentées par les définitions placées en tête des livres des Éléments d'Éuclide. ***) Voir /. v. Hammer Gescbichte der scbœnen Redekuenste Persiens. Wien, 1818, pag. 80 82. ****) Voir Wenrich, de auctorum Gra?corum versionibus et commentariis Syriacis, Arabi- ci8, Armeniacis, Persicis commentatio. Lipsiae, 1842, pag. iv-xu, et particulièrement pag. x ult. — Dans les citations que dans le cours de cet opuscule j'aurai à faire de cet abrégé, je le désignerai comme « le Ms. du Tâitkh Alboqamâ de la Bibliothèque nationale. * *****) te terme arabe rappelle la dérivation du nom de cette science du moiiréXtç. Comparer les Prolégomènes à la géographie d'Aboulféda, pâ> M. Reinaud, p. lxix ; on y verra en même temps de quelle manière chez les Arabes la politique se rattachait aux sciences exactes. — V J - Soulï» des iemps postérieurs on! ai cueilli le sens dopaient d'une partie de ses poésies, et puis les mil accommodées à leurs doctrines, de surle qu'ils en l'ool l'objet de'disciis- sionsdans leurs assemblées et dans leuis ivunious priu'o. M; h is le sriis caché (*) de se» poésies consiste en axiomes de la religion universelle ("), el en principes (îénéraux embrassant le» iJevuirs pratiquas. Comme les liouimes de son leuips blâmaient n nions religieuses, el mettaient li ik cniiverl te qu'il cachait eu secrel, il craignit pour sa vie, et mil nu frein aux toits de sa tangue et de sa plume. Il lit te pèlerinage, grâce plutôt il une rencontre fortuite que par piélé; et l'on extérieur trahit ses pensées se- crètes, bien que rien n'en parût dans ses paroles (***). Lorsqu'il fut arrivé & Bagdad, les personnes qui s'claienl liu.es aux mfiiie.-elmles que lui en fait de sciences ancien- nes aceoiinirtiil auprès il* 1 lui; mais il leur ferma sa porte, en humme qui avait renoncé à ces études, et non pas en homme qui fui resté leur confrère. Après être retourné de son pèlerinage dans ion pays, il se rendait au lieu des prières le soir et le malin, et cacliait ses secrets, qui pourtant ne pouvaient pas manquer de se révéler. Il était Si pareil dans l'astronomie i-i dans la philosophie; el *a capacité imminente dans ces silence» aurait passé eu proverbe, s'il avait reçu en partage le respect des conveni lui des poésies légères dont le sens caché perce h travers leurs expressions voilées, et dans lesquelles la veine de la conception poétique est Iroublée par l'impureté de l'in- tention cachée. Poésie ; » Comme mon Ame se contente d'une aisance modeste et facile à obtenir, que tonte- - fois ma main et mou bras ne me procurent qu'avec elTort, ■ le suis a l'abri de toutes les vicissitudes de la fortune, el, dans mes malheurs . ma ■ main el 1rs projets que je lorino sont mon reloge. ■ Les sphères dans leur mouvement n'ont-elles pas prononcé l'arrêt , que toutes les ■■ cloiles heureuses Unissent par décliner vers mie position funeste? ■ Persévérance doue. Il mon cime, dans ton repos ! Tu eu fais seulement crouler le ■ sommet, en voulant eu consolider les bases. ■ Évidemment ces lignes ne sont pas l'œuvre d'une main amie. A les eo croire, le caractère d'Alkhnyyami n'aurait été qu'un mélange d'impureté et d'hypocrisie. Mais tout ce qu'elles s'efforcent de jeter d'ombre sur la mo- ralité de notre auteur ne sert qu'à faire ressorlir d'une manière plus bril- - lante l'hommage qu'elles ne peuvent refuser au mérile du gavant. C'est un homme détestable , mais c'est un astronome sans pareil ; c'est peut-être un hérétique ; mais , ù coup sûr, c'est un philosophe du premier ordre. Trois cents ans plus tard, les passions avaient eu le temps de se calmer. La connaissance ou du moins le bruit des découvertes d'Alkhayyamt s'était répandu jusqu'en Espagne, et Uni Klialdoûn y put faire allusion dans ses Prolégomènesf*"). Alors ce n'est plus ni l'hypocrite ni le libertin Al- khayyumi ; c'est simplement « un des plus grands géomètres de l'Orient, n *) C'étaient de semblables « sens caché» « que les Ismaéliens croyaient découvrir dans les livres sacrés de l'isLuuiniii.', qui leur tirent donner le nom de Bâlintens. ■*) Il aurait été plus naturel de dire : t_lj ïxjjlM ; alors le sens : - en axiomes renfermant les dogmes religieux, el eu ma vîmes qui comprenaient les devoirs pratiques, « répondrai! mieux au parallélisme de la phrase. — ) Peut-être faut-il lire j\-S$\ ^-> au lieu de j\^}\ ^ , et traduire ■ .1 (ji.sa échapper des secrets qui n'étaient pat très-purs, pas roiilormw a l'honnêteté. • "*•] Le passage itonl je MMi piller liil partir du chapitre que j'ai indiqué dans I» uni» - Ylj — Trois autres siècles passèrent sans diminuer l'estime dont jouissaient ses travaux. Hadji-Khalfa nous en offre le témoignage en citant une partie con- sidérable, du commencement de l'algèbre d'Alkuayyâmî("), tandis qu'ordi- nairement il se contente de donner le titre ou tout au plusles premiers mots des ouvrages dont son immense bibliographie contient la nomenclature. La réputation d'Alkhayyâmi ne brillait que d'un plus vif éclat au milieu des ténèbres où le temps avait plongé tant de célébrités secondaires. Examinons donc l'ouvrage qui , sans aucun doute , a puissamment con- tribué à immortaliser ainsi le nom de son auteur, et dont les feuilles sui- vantes présentent le texte et la traduction. H se divise naturellement en cinq parties, delà manière suivaute : iTiit- troduction, comprenant une préface, les définitions des nolions fonda- mentales de l'algèbre , et un tableau des équations que l'auteur se propose de discuter (p. 1-12 de la traduction) ; 2" la résolution des équations des deux premiers degrés (p. 12-28); 3" la construction des équations cubiques (p. 28-68)$ 4" la discussion des équations à termes fractionnaires, ayant pour dénominateurs des puissances de l'inconnue [p. 69-81); B° remarques additionnelles (p. 81-88). Il est une particularité de cette algèbre qui mérite d'être remarquée et discutée dès l'abord. C'est que l'auteur se fait une loi, pour toutes les équations dont il s'occupe, de joindre la résolution numérique ou arithmé- tique (") à la construction géométrique , et vice versa. Il est vrai que, pour les équations cubiques, il est forcé de se borner a cette dernière; mais aussi il constate exprès, et signale aux algébristes à venir, celte lacune à ir(p. 9.). Afin de comprendre pourquoi l'algébriste arabe se croyait si strictement obligé de compléter, l'une par l'autre, l'arithmétique et la géométrie , il faut expliquer ce ■ ô84. ") Oii verra bimioi par qiiellet mitons j'é\ile = r-. On voit aisément que la condition (3] est véritablement nécessaire , puis- *) Voit pages 4i, iO. 47, 43, 57,63. Bi. *•) Mophuti avait pris k = T. qu'il s'agit de rendre rationnels les côtés du Iriangle , c'est-à-dire que dans l'équation (1} , non-seulement Vinctmnu*, niais aussi les coefficients sont assujettis à certaines conditions. li se présente ici la question suivante : Si , pour la résolution numérique, l'algébrisie arabe exige qu'on satisfasse a l'équation proposée par un nombre entier, il fait donc de l'algèbre indéterminée ? 11 nous manque un élément pour répondre à celte question d'une manière décisive. C'est que l'auteur ne se prononce pas sur la nature des coefli- - cients de l'équation proposée. D'après les termes dont il se sert , on peut croire qu'il considère le terme connu (jajyUl jjjJI) comme un nombre entier donné; mais le coefficient de l'inconnue {J»"^ sJ.s ou simple- ment (*) jl.ÂsJ^Î) est laissé entièrement indéterminé. En supposant que ce coefficient doive également être un nombre entier, il s'agit en effet, pour obtenir les conditions de la solubilité a numérique i> de l'équation du se- cond degré, de discuter l'équation indéterminée x' -f- yx= a. Si , au con- traire, on laisse :mx constantes de l'équation déterminée proposée toute leur généralité, la déterminai ion des conditions nécessaires pour satisfaire à la proposée par un nombre entier dépend d'un problème plus général. Ce qu'il y a de certain , c'esl que la résolution numérique de l'algébrisie . arabe comprend : t" ce qu'aujourd'hui on désigne par la résolution algé- brique d'une équation ; 2° !a détermination des conditions nécessaires pour que la fonction des coefficients, qui est égale à l'inconnue, devienne un nombre entier. Alors si les coefficients de l'équation proposée satisfont à ces conditions, la résolution numérique, selon notre auteur, est possible ; dans le cas contraire , elle est impossible. Vu cette « impossibilité, » la construction géométrique sert, chez l'ai- . gébriste arabe, non-seulement d'éclaircissement et d'explication, mais de complément nécessaire à la résolution numérique; et on comprend pour quelles raisons il dit , dès l'abord , que l'objet de l'algèbre est formé autant par le nombre absolu que par les quantités géométriques. _ On reconnaît dans celle séparation , portée même trop loin , de la quan- tité discontinue d'avec la quantité continue, ou, si l'on veut, de la quantité rationnelle d'avec la quantité irrationnelle; on y reconnaît, dis-je, les *) On pourrait être l.-ntÉ île IrouviT ici une autre tract de l'iiifliieucc \W nkqil^nlp, puisque celui-ci dit 'vj-jiu.iL; pour iiésiaurr lf vnvfjirietil roti\e qu'aux temps de ni al^éli islr Uiopliaulr' ait ilte ili-ja cniiiiu aux Arabes. Il Tant Aime clicrclier nill'i'is l> split'-aliim île i-Hlc ''"incidence, à moins qu'on ne veuille la considérer ranime accidentelle, et n'ajanl rien de Irës-aucprenanl en elle-même. — D'un autre cAlé, on pourrait trouver que le mol S^c a l'air d'une Iraduelion du lerme itÀjpo: ■ qui se trouve chez niopltantr. conséquences de !a distinction l'on damen taie établie entre le touôv hu>f,m i i.{- »ov el le mwàv auvsxÉspar Aristote, dont le système a si puissamment influé sur le développement et sur le génie de la science arabe. Les résolutions qu'Alkhayyâmi donne des équations du second degré , el qui ont présenté les données principales pour la discussion précédente , vont me fournir encore le sujet de quelques autres observations. On remarquera d'abord combien les démonstrations de ces résolutions sont plus élégantes et plus scientifiques que celles de Mohammed Ben Moùçâ, combien toute la discussion est prise de plus haut et maniée avec supériorité. Pour faire ressortir celte différence, j'ai placé en noie, au-des- sous des démonslralions d'Alkbayyâmî , celles de Mohammed ISen Mouçâ. Seulement, j'ai traduit celles-ci en langage algébrique, afin qu'on puisse saisir immédiatement la marche suivie dans ces démonstrations, et plus nu moins déguisée dans leur rédaction originale. On remarquera aussi que la démonstration donnée par Mohammed Ben Moùçâ , pour l'équation n" 8, est incomplèle en ce qu'elle ne s'applique qu'à un seul des deux cas de la résolution. Je saisis cette occasion pour m' excuser auprès de ceux de mes lecteurs qui pourraient trouver que les noies dont j'ai accompagné ma traduction sont trop chargées de détails élémentaires. Pour me justifier, je n'aurai qu'à expliquer quel était mon but dans la rédaction de ces notes. Je voulais re- produire fidèlement, avec tous leurs détails, les procédés de mon auteur , et cependant les traduire dans le langage des mathématiques modernes, pour épargner aux géomètres qui parcourraient cet opuscule l'ennui que leur causerait sans doute la lecture de ces longues résolutions et démonslralions parlées de l'algébi'iste arabe. Dans la partie de son traité qui contient la discussion des équations e. uniques , ces courts aperçus contribueront peut- être à rendre apparents, même à ceux qui ne voudraient y jeter qu'un coup d'œil fugitif, le parallélisme et l'ensemble des constructions d'Al- khayyàmi. Mais , sous peine d'être accusé d'inconséquence , je ne pouvais supprimer pour une partie de l'ouvrage arabe ce que je donnais pour une aulre. J'étais Icnu de rendre compte de l'esprit des méthodes arabes, de les anatomiser aussi scrupuleusement que possible. Lorsque ces méthodes étaient élémentaires, ces explications entraînaient nécessairement des con- sidérations élémentaires. Mais revenons encore aux équations du second degré, et a la manière dont AlkhayyAmi les construit au moyen des propositions connues des Données et du deuxième el du sixième livre des Éléments d'Euelide- Cette construction répond d'une manière remarquable à la supposition de Cossali (*) , qui pensait que la transformation de ces propositions de géo- — Xj — métrie en théorèmes algébriques pouvait avoir eu lieu dans l'intervalle de temps qui sépare Euclide de Hiophante. Seulement, nette transformation , h lieu d'avoir été U source de l'algèbre, ne se serait opérée qu'à une époque où cette science était déjà considérablement développé)?. Il se pour- rait cependant que Gossali ne se fût pas entièrement trompé, et qu'Al- khayyaml n'eût pas l'honneur d'avoir le premier aperçu les relations qui existent entre les propositions mentionnées et la construction des équations du second degré. En effet, dans le Qîtftb Alfihrist, un article relatif à Hipparque est conçu de la manière suivante (*) : ■ BlPPARQM LE KAFANIEK *'). I lu ,1 Je lui , PII lilil .i'ilil H :ij;.-t ■ II.' I I ailr il',i Ultirv. connu aussi sous le nom des Définitions. Cel ouvrage Cul traduit eL revu |>ar Alwùl Waia Moliammrd Ben Mohammed te calculateur, qui -.-st aussi auteur d'un commeu?aiie du même ouatais, accompagné de dénMMUtfallMu fondée) sur des raisonnements géo- métriques. (Puis on a d'Hi|iparqne un) Traité sur la division .les nombres u Plus loin on lit , dans la même bibliographie , à l'article Aboûl Wal'â . parmi les ouvrages de ce géomètre énumérés très-coin pi élément : «Com- mentaire de l'ouvrage d 'Hipparque sur l'algèbre ("'*). n Le témoignage de ces passages , qui attribuent à Hipparque des travaux en dehors de ceux qui l'ont illustré comme astronome , est corroboré par les mots suivants de Plut arque (**") : Xpûaimw* oi hbVeiç i\iy/jni\ ^J—alj >_>btfl lia JJU JjJ-a^lj s_sj«3 * jljj^l j^-S wjL^-T. ï^-l^JI ^I^Jb allé, iaji Unit ilj wwLrM ") Le Loubb Atlmtbdb explique ainsi ce nom (éd. de Veto., t. I, p. ((V ) ^jlJjJI *UJ! j _1jUsL.i jJj [ï~»j] 'i~3j J,l ,ju>j j^;^»^. — L'origine syrienne qu'on attribue ici il Hipparque serait en contradiction avec la tradition reçue, suivant laquelle Hip- parque était originaire de Bieè Bithynta. *"i j-or'l j ^.âjjl wibi j..i.).'i i_>U-S\ "**J Oiip. omuia. I>ari>. Ifij'i, loi., I. III, ri H»iî;cf |t. 731, — HJ - On dit quelquefois, el on pense assez généralement, que les Grecs ont construit des équations du troisième degré; maïs cette opinion renferme, sinon une erreur, du moins une inexactitude. Il est vrai que les géomètres grecs ont résolu certains problèmes géométriques qui , ramenés à leur ex- pression algébrique, conduisent à une équation du troisième degré. Mais on conviendra sans doute qu'il est très différent de résoudre géométrique- ment un semblable problème , ou de reconnaître que ce problème dépend d'une équation cubique : de traiter, entre autres problèmes de géométrie, quelques-uns du troisième degré, ou d'énumérer systématiquement les formes des équations cubiques , de les construire une à une , et de discuter les cas particuliers que présentent ers solutions ; lout cela avec le but clai- rement prononcé (") de donner implicitement, lui moyen de ces théorèmes généraux , la résolution de tel problème spécial qu'on voudra se proposer. C'est ce qui n'a été fait nulle part par les géomètres grecs , mais c'est ce qu'on trouve chez les Arabes , et notamment dans l'algèbre d'Alkhayyâmi. En effet , pour construire les équations cubiques , les géomètres grecs auraient, avant tout, dû les connaître. Or, comme on ne trouve, dans aucun des ouvrages gémnetriques des Grecs . nulle Irace d'algèbre , il est im- possible de dire que les Grecs aient construit des équations du troisième degré. Ce sont les Arabes qui ont le mérite d'avoir, les premiers, essayé d'ap- pliquer l'algèbre à la géométrie , et vire versa ; d'avoir jeté les fondements de cette liaison du calcul avec la géométrie, qui, dans la suite, a éminem- ment conlriltué au développement des mathématiques i**). Notre auteur prend même à tache de montrer ('") comment ce progrès se fit chez les Arabes , et comment d'abord c'était AlmaMni qui , en par- tant d'un problème posé par les anciens , essaya de le résoudre en le ra- menant à son expres.-ion algébrique. Ce premier essai ne fut pas couronné de succès; mais bientôt d'autres géomètres furent plus heureux, et les constructions qu'ils donnèrent de plusieurs équations cubiques, auxquelles ils furent conduits par des problèmes qui n'étaient encore que particuliers, firent naître chez Alkhayyamî la conception d'une théorie systématique des équations du troisième degré. Disons quelques mots du problème qui servit de point de départ a îles découvertes aussi intéressantes. Dans la cinquième proposition du second livre du Traité de la sphère et du cylindre, Archimède se propose le pro- *) voir pag. tw, lia, it. "i Par rapport ■ celte CMMlion intime que les gfoaaMlta uraiirs cherchaient s établir «utre le> parties arillinvHiqucB et le* parties, gAmétri<|4H, 4w nMlUaHUqim in ne com- parera peu I -Cire fia e dans inln. 1 ! bealdagM ''''-- «l?r*B«l miitliémiiliqiieWimi Alliailliam, •Immépar cet auteur même, dans le passade que J'ai étirait n'Ibii Alil Oçaibiah; voir pag. 73. *") Voir pag 2 et i, el comparer UWlM B, pan. VU. Vciir au**) pag 13, M et B! ««. sfifl. • • • — xuj — blême de couper une sphère par un plan , de manière que le rapport de l'un des deux segments à l'autre soit égal à un rapport donné (*). Il dé- montre que ce problème dépend de la construction suivante : Étant donnés une ligne DZ et sur cette ligne deux points B, T, de telle sorte que B soit situé entre D_et T, déterminer un point X de la ligne DZ , tel qu'on ait XZ : ZT = BD a : DX a . Ramenons ce problème à son expression algébrique en désignant BD , ZT, ZD, DX, par a, b, c, x, respectivement ; il s'agira de déterminer x au moyen de la proportion (c — x) : b = a* : x*, c'est-à- dire de construire l'équation cubique x 3 -4-a 1 . b = cx*. Il paraît que ce lemme fixa d'une manière toute particulière l'attention des géomètres arabes. Gomme Archimède n'en avait pas donné la solution, _ c'est peut-être qu'ils mettaient un certain point d'honneur à prouver qu'ils savaient surmonter aisément un obstacle qui semblait avoir arrêté Archi- mède (**). J'ai réuni , dans les additions A et B, différentes solutions de ce lemme, données par des géomètres arabes (***). Quant à la manière dont Alkhayyâmî construit les équations cubiques, je vais donner une indication rapide des traits généraux de sa méthode, sans entrer dans les détails dont on se rendra facilement compte en parcourant les notes qui accompagnent ma traduction. Dans ces notes j'ai fidèlement reproduit les procédés du géomètre arabe, tout en m'ef- *) Édition d'Oxford, p. 157 sqq. **) il est vrai que, d'après Eutocius, Archimède lui-même aurait donné une solution de ce problème qui revient à construire le lemme par la combinaison de la parabole x 7 = y -, avec l'hyperbole éqnilatère y(c — x) = b.c. il ne faut pas croire, cependant, que le commentaire d'Eutochis sur le Traité de la sphère et du cylindre n'ait pas été connu de bonne heure aux Arabes. On peut comparer à ce sujet un passage que j'ai extrait d'un manuscrit de la Bibliothèque nationale, pag. 103 ult. On trouve même dans un autre rna- uuscrit de la Bibliothèque nationale (n° 952, 2, Supplément arabe), écrit à Chlrâz l'an 358 de l'hégire (corn p. page 117, première note), un fragment intitulé de la manière suivante : « Traité d'JEutocius (^Ji^joy ), rendant compte des solutions, données par les anciens, du problème de la détermination de deux lignes entre deux autres lignes, de telle sorte que ces quatre lignes soient en proportion continue. Traduit par Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah, Cet ouvrage contient dix-huit figures et (les solutions de) onze géomètres, à savoir : Héron (.j^t), Pliilon le Byzantin (Jai^J ! ^L^J) f Apollonius (^^JjLjIj, Diodes ( -Jfô^O), Pappus (/r^'-0» Sporus {ty>y*Sj" sic), Ménechme ( ^^js^ Lt), Êratosthène ( >J Lr-«»>Jgj !) , Platon (.^Js&it), Architas ( ^JL^à * I) , Nicomède /^.JuwSjaj sic). » C'est une traduction du commentaire de la 3 e proposition du Traité de la sphère et du cylindre. ***) Les géomètres arabes désignent généralement ce problème comme celui posé dans la quatrième proposition du Traité de la sphère et du cylindre. C'est que le terme arabe, traduit par « proposition, > signifie à la lettre « figure, » et que, à compter d'après les figures, celle de la 5« proposition n'est en effet que la 4' du second livre, puisque la 1" proposition de ce livre est sans figure. ce qu'ils avaient quelquefois de traînant et cl'en- forçant d'ôter à tortillé. Àlkhayyamî commence toujours par rendre homogène l'équalion pro- posée. On remarquera que c'est pour ce but qu'il a mis en tête de la partie de son mémoire qui contient la construction des équations cubiques, deux théorèmes auxiliaires. En général, on aura souvent occasion d'admirer l'esprit d'ordre, le génie systématique, qui distinguent notre auteur. Outre ces deux lemmes, c'est encore la construction de l'équation x 3 = a qui sert pour ces transformations relatives à l'homogénéité, lorsqu'il s'agit de substituer un cube au terme connu de l'équation. Ensuite Alkuayyàmi détermine , au moyen des coefficients transforma de l'équalion , deux coniques , et arrive , par l'intersection de celles-ci , à une égalité de deux solides. >oil en décomposant ceux-ci , soit en ajou- tant ou en retranchant de part et d'autre des solides communs , il obtient enfin l'équalion proposée. Ramenons maintenant à son expression générale la méthode suivie par Alkhayyamî pour déterminer les deux coniques au moyen des constantes de l'équalion proposée. En formant les équations analytiques des coniques qu'il emploie , puis en comparant entre elles ces équations, et en désigi par x, X, (a, v, ç, o des quantités qui ne peuvent prendre que les valeurs +- ou — 1 (ce qui permettra de poser x.X = -, x' = i , etc.) , on trouve que It procédé du géomètre arabe se réduit aux trois systèmes suivants : V' + we'-Hg*— x' — l/ù.jr= o . x = . . . parabole. x = + 1 . . cercle. x = — i . . . hyperbole . parabole. x' + v.bx* + >ax = 3X — \/lT^ = . y' + xntr + une = (i - ou x 1 + xbx + ta = . hyperbole. . parabole. V.T.' -f J*#* + <> — OU »'-f KiCX' + X gx + i V% ■ x + ? — = — • * T *» + « f « + T =.o 1 Le système I sert à la construction des équations 3,13, H, 15, lorsqu'on — XY — te système {I est employé pour les équations 46 à 48, lorsqu'on fait 16. m =s= \/a x = — 1 X = — i 3 17. m = \/a x =f + 1 X = — l 18. m = c x = — l À = +l. Enfin le système III correspond aux équations 49 à 25, lorsqu'aux quan- tités x, X, p., v, Ç,

x-\-a = 0, #"+0 = 0, k j +6i4;ij = 0, a: ! +e;E ! -Hi = -f-Gz'-f- bx + a = 0. —Ces furiiiefi «util rjulemnil iir^li^i'es pr Cardon, par mime par Harrtat, liien c|iie celui-ci fui auteur du IH.jw liVrire l"sénnaiionsen fori inesomme algébrique c-.iLv uw m («u'irte est li- premier <\\n ilisi «lu eus [ormes. Voir WDII lie DcuaMM pahHin par V. Goutta, loi» V, p. 38u à 'ilt, ul pju-liciili ère ment ges JSW, 389, 404, 405. '■ i li l'i mie provii-nl île i-e i|«e l'iiulciir n'a pas bien dur.utp les intersection- du rerela .le l'Iiypi'iliole lig. Î8 , ■ ; cir les Jeux courbes peuvent avoir deui r( ptliM île leurs eircon 1ère» ces comprises ei "*,i l'ii.pbnntc ne parle eneo ru que d'une seule ri ••") Abstraction fuiic de ferre — XVI] — tives. Pour ces dernières équations, lorsqu'elles n'admettent pas deà racines positives, il les déclare a impossibles, *> et il établit parfaitement le critérium géométrique de la réalité des deux racines conjuguées, à savoir lu rencontre en deux points , ou le contact des deux coniques qui construi- sent Féquation. Au cas du contact, il n'admet naturellement qu'une seule racine, et ne distingue pas deux racines égales. Pour compléter sa théorie, Alkhayyâmî aurait dû établir encore des rela- tions entre les coefficients de l'équation proposée , correspondant à cette limite qui est géométriquement représentée par le contact des deux coniques. C'est ce qu'il ne fait réellement pas. Mais, approchant de ce but, il dis- tingue quelquefois certains cas, et énonce en même temps que dans l'un ou dans l'autre de ces cas le problème est, ou n'est pas, ou possible, ou im- possible. En ramenant les relations, établies de cette manière, à leur ex» pression algébrique , on trouve par exemple qu'il montre pour l'équation 47 : quêtant quel/ a 3| y il existe nécessairement deux racines posi- 3 c tives ; que lorsque V^a >o> elles peuvent exister ou nonj et que lorsque k a ^ c, elles ne peuvent pas exister du tout. Pour l'équation 21 : i que lorsque a -+- b* l/~c < \/a . bc 9 deux racines positives existent né- 3 cessairement, tandis que lorsque a -\-b 2 [/ c> {/a . bc , elles peuvent exister ou non. Pour l'équation 24 : que lorsque ■g-ZT c, elles n'existent a pas (*). Pour l'équation 25 : que lorsque r > c, elles peuvent exister ou non; mais que lorsque -r-3 c, elles existent nécessairement (**). D'autres géomètres arabes réussirent mieux dans la détermination de cette limite, qui fut tentée seulement par Alkhayyâmi. C'est sous ce rap- port qu'on ne remarquera peut-être pas sans intérêt les morceaux dont j'ai rendu compte dans les additions B et C. J'y ai montré comment un théo- rème démontré par Eutocius contenait le germe de ces découvertes , et comment, en partant de la simple considération que l'expression *) Parce qu'alors la construction donne seulement la troisième racine positiTe ; mail malheureusement aussi dans le cas r < c , l'auteur (comme je l'ai fait observer ci-dessus) ne découvre que cette troisième racine. **) En conséquence de l'autre erreur mentionnée ci-dessus, l'auteur ne trouve ici, • en vérité, qu'une seule de ces deux racines positives. h no a lest pées aue - xviij - (a — a:) x' devient un maximum pour «c = -» où Abdallah Almflhânl; an nombre des savants qui ont cul- tivé l'arithmétique el la géométrie; d'une force du génie célèbre entre tous les savants nuise sont occupés de ces matières. Il vécut à Bagdad, et a composé des ouvrages sur cetle partie des sciences, nous en citons : le traité des latitudes des étoiles, — le traité du rapport, — le traité Intitulé Sur les vingt-six propositions du (premier) (ivre (des éléments) d'Eoelide, dans la démons (ration desquelles on n'a pas besoin de la supposition du contraire. » Je tra- duis ceci du Ms. du Tdrikh al Hvqamd que possède la Bibliothèque nationale, el qui est conforme dans ce passage au texte publié par Casiri (vol. I, p. 431). Au lieu de jSj jt <• la- titudes, » le Ms. du Fihrist delà même bibl. porte /pijjt. le Ms. du Filirîst de la bîbl. de Lejdc (-.jjè (j-ijjt?). Ce dernier Ms., au lieu de i—JI j « du rapport. (-A, porte j ijj I j n de lu similitude ». Les Arabes sa sont occupés surtout aussi de la composition desrap|iorts ,_^_Jl iwàJlj'; voiracesujel Chastes , Aperçu historique. etc. , note Ti. Quant au troisième ouvrage cité, le Ms, parisien du Fihrist porte J^' ï)UU' ( ^, et puis ^_^AJ^I ,J,\ L&a ■ i çi i_j ~b^. s ^Jt. Voici les vingt-six propositions dont il s'agit: 5,8,9, [3, I j-lS, 10. 31,14, 38, 30, 33-SS. 41-41, 47, 48. Caiiri n'a pas com- pris le sens de en dernier passage. J'observe encore que plusieurs mathématiciens arabes ont écrit sur l'arrangement systématique il» ItfnWlU d'i-luclido; j'ai rencontré dans les Hss.de la bibl. de Lejde deux mémoires de ce genre. — Voir encore, au sujet d'Alm.lbànl , notices et Extraits des manuscrits, aie , t. VII, p. as, 80, 101-111, 104. D'Herbclot, Bibl. orient., Paris, IB97, fol., p. »Î4, col. b, p. S32, col. a. "} Voir ci -dessous la discussion de l'équation n* 17, et les additions A et B, — 3 — parut (*) AboûDjafar Alkhâzin (**), qui résolut l'équation à l'aide des sections coniques. Après lui tous les géomètres avaient besoin d'un certain nombre des espèces des susdits théorèmes (***), et l'un en résolut une, et l'autre une autre. Mais aucun d'eux n'a rien émis sur l'énumération de ces espèces, ni sur l'exposition des cas de chaque espèce , ni sur leurs dé- monstrations , si ce n'est relativement à deux espèces, que je ne manquerai pas de faire remarquer (****). Moi, au contraire, je n'ai jamais cessé de désirer vivement de faire connaître avec exactitude toutes ces espèces, ainsi que de distinguer parmi les cas de chaque espèce les possibles d'avec les impossibles, en me fondant sur des démonstrations; car je savais combien est urgent le besoin de ces théorèmes dans les difficultés des problèmes. Toutefois je ne pouvais pas m'appliquer d'une manière suivie à la composition d'un semblable exposé , ni lui vouer une méditation persévérante , empêché que j'en étais par les désastres survenus. Nous avons été témoin du dépérissement des hommes de la science, réduits mainte- nant k une mince troupe, dont le nombre est aussi petit que ses afflictions sont grandes, et à laquelle les rigueurs de la *) La leçon &*!> est confirmée en effet par la citation que Hadji Khalfa fait de ce pas- sage (éd. de Fluegel, tora. 11, p. 684); mais la leçon &J que je dois à l'avis bienveillant de M. Reinaud m'a paru tellement préférable, que je n'ai pas hésité à la recevoir dans le texte. **) a Aboû Djafar Alkhâzin , dont ce surnom est plus connu que son véritable nom, Per- san d'origine , versé dans le calcul , la géométrie et la théorie des mouvements planétaires , habile à la fois dans la construction des instruments astronomiques et dans leur emploi, re- nommé pour cette partie des sciences dans son temps. Nous citons de ses écrits : la table des SaÛhas, l'ouvrage le plus célèbre et le plus complet qui existe sur cette matière ; — le traité des problèmes arithmétiques. » Ici encore Casiri s'est trompé en traduisant : liber Tabula- rum Latitudinum. Les Saflhas forment une partie de l'astrolabe des astronomes arabes ; on trouve à ce sujet d'amples détails dans l'excellent mémoire de M. Sédillot sur les instrum. «stron. des Arabes, p. 154-162 et 185-191. — Outre les ouvrages mentionnés ci-dessus, la bi- bliothèque de Leyde possède un commentaire du dixième livre des Éléments d'Euclide, par Aboû Djafer Alkhâzin. ***) A savoir, des équations cubiques. ****) Voir p. 11 et 12, et les discussions des équations n° 17 et n° 21 . 1. fortune ont imposé l'obligation commune de s'adonner, tant qu'elles durent, au perfectionnement et à l'exploration d'une 3 seule science. Mais la plupart de ceux qui par le temps actuel ont l'air de savants, déguisent la vérité par le mensonge, ne dépassent pas les limites de l'imposture et de l'ostentation savante , et ne font servir la quantité de savoir qu'ils possèdent qu'à des buts matériels et vils. Et s'ils rencontrent un homme distingué (*) par la recherche de la vérité et l'amour de la véracité, s'efforçant de rejeter la vanité et le mensonge, et d'a- bandonner l'ostentation et la tromperie, ils en font l'objet de leurs mépris et de leurs railleries. C'est Dieu que nous implo- rons en tout état, c'est lui qui est notre refuge. Dieu m'a gratifié de l'intimité de son excellence notre glo- rieux et incomparable seigneur, le grand juge, l'imam, le sei- gneur AboûTâhir, que Dieu prolonge son élévation et confonde ceux qui nourrissent contre lui de l'envie ou de l'inimitié! — lorsque j'avais désespéré déjà de jamais rencontrer un homme possédant aussi complètement toutes les perfections pratiques et théoriques, toutes, depuis la pénétration profonde dans les sciences jusqu'à la fermeté inébranlable dans ses actions et dans ses efforts de faire du bien à chacun de ses frères mortels. Sa présence dilate ma poitrine, sa société rehausse ma gloire; ma cause grandit en empruntant de la lumière à sa splendeur, et ma force est augmentée par sa munificence et par ses bien- faits. Je me sentis donc obligé de renouer le fil de ces recherches que m'avaient fait perdre les vicissitudes de la fortune, et de choisir parmi ce que j'ai approfondi en fait de la moelle des théories philosophiques avec quoi je puisse approcher de son siège sublime. C'est ainsi que j'ai commencé à énumérer ces *) La ponctuation donnée dans le texte est celle du Ms. B. Dans les deux autres manus- crits le mot n'est pas ponctué du tout. Peut-être vaudrait-il mieux lire moannayan « qui se fatigue à rechercher, etc. ; » ce qui s'accorderait surtout avec le moudjtahidan suivant. — 5 — espèces de théorèmes algébriques, vu que les sciences mathé- matiques sont les plus dignes de la préférence. Et je saisis la corde du concours divin, espérant que Dieu m'assiste à pour- suivre ce but, en indiquant avec exactitude jusqu'où s'étendent mes recherches et jusqu'où celles de mes prédécesseurs , dans ces parties des sciences nobles entre toutes les autres. J'appuie ma main sur l'anse solide de la protection du Très-Haut. C'est lui qui est le seigneur de l'exaucement, et c'est sur lui que repose notre confiance en tout état. Avec l'assistance de Dieu et avec son concours précieux, je dis : L'algèbre est un art scientifique. Son objet, ce sont le nombre absolu et les grandeurs mesurables , étant inconnus, mais rapportés à quelque chose de connu de manière à pouvoir être déterminés ; cette chose connue est une quantité ou un rap- port individuellement déterminé, ainsi qu'on le reconnaît en les examinant attentivement (*); ce qu'on cherche dans cet art, ce sont les relations qui joignent les données des problèmes à (l'inconnue ) , qui de la manière susdite forme l'objet de l'al- gèbre (**). La perfection de cet art consiste dans la connais- *) Ou bien : • Et on arrive à cette chose connue en analysant l'énoncé du problème. » En effet, les données du problème, c'est-à-dire les coefficients de l'équation algébrique à laquelle on le ramène, ne sont presque toujours indiquées dans les énoncés qu'indirectement. **) On peut comprendre ce passage de différentes manières, tant à cause des pronoms suf- fixes féminins qu'on peut rapporter soit à cinâah, soit à awâridou, qu'à cause du mot maoudoûon employé deux fois de suite dans deux sens différents ; enfin à cause du mot awâridou , qui proprement signifie « les accidents », par opposition à maoudoûon , « la substance » ; de sorte qu'il faudrait traduire : « Ce sont les attributs qui joignent leur sujet à ce qui de la manière susdite forme l'objet de l'algèbre », ou « à ce qui ... constitue les don* nées dn problème » ; car on trouve aussi le mot maoudoûon employé dans ce dernier sens , exprimé ordinairement par le mot mafroûdon. Le sens du passage reste cependant toujours essentiellement le même, c'est-à-dire que l'auteur veut parler des relations algébriques qui existent entre lesdonnées et l'inconnue, et que l'algébriste a à établir.— La définition donnée par l'auteur, et qui , grâce surtout aux pronoms suffixes, ne se distingue pas par la clarté, a cela de remarquable, qu'elle n'a plus du tout égard aux deux opérations préliminaires dont se compose le nom arabe de l'algèbre, et qui en effet ne constituent que la résolution des équa- tions du premier degré. C'est un indice d'un état avancé de la science , d'un point de vue plus élevé, parfaitement en harmonie avec la manière supérieure dont l'auteur dans la suite traite son sujet.— Voir ;> pour d'autres définitions arabes de l'algèbre, Hadji Khalfa, éd. de sauce des méthodes nia thé m» tiques au moyen desque est en état d'effectuer le susdit genre de déterminatii inconnues, soit numériques, soit géométriques. Par grandeurs mesurables j'entends la quantité continue, dont il y a quatre espèces : la ligne, la surface, le solide et le temps, ainsi qu'on le trouve exposé généralement dans les catégories, et spécialement dans la métaphysique (*). Quelques savants considèrent l'espace comme une subdivision de la sur- face, subordonnée au genre de la quantité coutiuue(**); mais un examen exact decette question prouve contre eux que c'est une erreur. La vérité est que l'espace est une surface dans un état et dans des circonstances dont la détermination exacte est étran- gère au sujet qui nous occupe ici. Il n'est pas d'usage d'intro- duire le temps parmi les objets des problèmes algébriques; mais s'il avait été fait, cela aurait été parfaitement admissible. Il est d'habitude chez les algébristes de nommer dans leur art l'inconnue qu'on se propose de déterminer « chose d, et son produit en elle-même « carré », le produit de son carré en la chose a cube » , le produit de son carré en lui-même « carré- carré », le produit de son cube en son carré « quadrato-cube, » le produit de son cube en lui-même « cubo-cube », et ainsi de suite à une étendue quelconque. Il est connu, par l'ouvrage d'Euclide sur les Éléments (***), que tous ces degrés sont en Fmegel, tom. Il, p. 58?; L'édition de M ah. lien M'.iiçd, par Rosen, p. 177- 186, >l mi passée très- intéressant des Prolégoméues tYIbn Khaliluiin que j'avais extrait d'un Ms. àe la bi- bliothèque de Levde,mais que je ne reproduis par, kï , parée que le k'\le ili'S P roi é^uuié ues sera prochainement publié par M. Quoi réméré dans les Notices et Extraits, Cela nie permet de me bornera dire qu'un y trouvera ce passage relatif i l'algèbre dans le chapitre qui traite des science! mathématiques, tbn Khaldoun > discute tes sciences (Juins l'ordre suivant : l'a- ri Mimétique, (ipécullttf e) , — lecâfcoJ, — l'algèbre, — les OpértHoU commerciales, — les héritages, — U géométrie, — la théorie des Agora ipbériques et des coniques, — la géodé- sie,— l'optique, — l'astronomie, — la théorie des tables astronomiques. Le tout occupe en- viron cinq pages du Ms. de Leyde. ") nfûni sji).o«çt*. '*) Voir Arttiotr, Calegor,, inp fi ; Phys. IV, cap. 4 ult. •*■) Voir Eueltde. Klemt-nls, IX, prop s snq. — 7 — proportion continue, c'est-à-dire l'unité est à la racine comme la racine au carré et comme le carré au cube (*); conséquem- ment le nombre est aux racines comme les racines aux carrés, comme les carrés aux cubes et comme les cubes aux carré- carrés, et ainsi de suite (**). Il faut qu'on sache que ce mémoire ne saurait être compris que par ceux qui possèdent une connaissance parfaite des ouvrages d'EucJide sur les Éléments et sur les Données, ainsi que des deux (premiers) livres des Coniques d'Apollonius. Pour quiconque serait en défaut relativement à la connaissance d'un de ces trois ouvrages, il n'y a pas moyen de saisir bien exactement les théories que je vais exposer. Déjà je n'ai pas réussi sans peine à me borner, dans les citations à faire dans ce traité, aux trois livres que je viens de nommer. Les résolutions algébriques ne s'effectuent qu'à l'aide de l'équation, c'est-à-dire en égalant ces degrés les uns aux autres, comme cela est bien connu. Si l'algébriste emploie le carré- carré dans des problèmes de mesure, cela doit s'entendre métaphoriquement (***) et non pas proprement, puisqu'il est absurde que le carré-carré soit au nombre des grandeurs mesurables. Ce qui rentre dans la catégorie des grandeurs mesurables , c'est d'abord une dimension, à savoir la racine, ou , par rapport à son carré , le côté ; puis deux dimensions : c'est la surface; et le carré (algébrique) fait partie des gran- deurs mesurables , étant la surface carrée. Enfin trois dimen- sions : c'est le solide; et le cube se trouve parmi les grandeurs mesurables, étant le solide terminé par six carrés. Or comme il n'y a pas d'autre dimension , il ne peut rentrer dans la catégo- rie des grandeurs mesurables ni le carré-carré, ni à plus forte *) i : x = x : x 1 =s x* : x 1 . **) a : ax = ax : ax* = ax 1 : ax* = ax 1 : ax* = etc. ***) Voir an sujet du terme de rhétorique madjdz le commentaire des Matâmes de Haïti 1. Rout. éd. ; Paris, 1847, p. A. — 8 — raison les degrés supérieurs (*). Et si l'on dit que le carré- carré fait partie des grandeurs mesurables , cela se dit par rap- port à sa valeur réciproque employée dans les problèmes de mesure (**), et non pas parce que les quantités carré-carrées elles-mêmes soient mesurables, ce qui constitue une différence. Le carré-carré ne fait donc partie des grandeurs mesurables ni essentiellement ni accidentellement; et on ne peut le comparer au pair et à l'impair qui en font partie accidentellement, par rapport au nombre au moyen duquel la continuité des gran- deurs mesurables est représentée comme discontinue. Ce qu'on trouve dans les ouvrages des algébristes, relative- ment à ces quatre quantités géométriques, entre lesquelles se forment les équations, à savoir : nombres absolus, côtés, carrés et cubes, ce sont trois équations renfermant le nombre, des côtés et des carrés (* ¥¥ ). Nous allons , au contraire , proposer des méthodes au moyen desquelles on pourra déterminer l'in- connue dans l'équation renfermant les quatre degrés dont nous venons de dire que ce sont eux exclusivement qui peu* vent faire partie des grandeurs mesurables, à savoir : le nom» bre, la chose, le carré et le cube. Les espèces d'équations dont la démonstration (****) dépend des propriétés du cercle, c'est-à-dire des deux ouvrages d'Eu- clide sur les Éléments et sur les Données, se démontrent bien facilement. Pour celles qu'on ne peut démontrer qu'à l'aide *) Il suffit de rappeler que c'est Descartes qui a répondu victorieusement à cette argu- mentation, universellement adoptée avant lui. **) Il est facile d'imaginer un semblable problème. Supposons, par exemple, qu'il soit ques- tion d'une sphère dont le volume soit à l'unité de volume comme une ligne donnée a à son rayon ; en désignant ce rayon par r, on aura -y « -j • ***) x* + bx = a, x 1 + a = bx, x* = a + bx. L'auteur, voulant parler icidu progrès qu'il a fait faire à l'algèbre, fait abstraction en cet endroit des trois formes a = x 9 a «= x 7 9 bx = x 7 , qui se trouvaient aussi dans les ouvrages de ses prédécesseurs, comme de problèmes tout à fait inférieurs. ****) C'est-à-dire la démonstration des procédés qui constituent leur résolution. — 9 — des propriétés des sections coniques, il faut s'eu rapporter à ce qui est contenu dans les deux (premiers) livres des Co- niques. Lorsque l'objet du problème est un nombre absolu (*), ni moi, ni aucun des savants qui se sont occupés d'algèbre, n'avons réussi à trouver la démonstration de ces équa- tions (et peut-être un autre qui nous succédera comblera-t-il cette lacune), que lorsqu'elles renferment seulement les trois premiers degrés," à savoir : le nombre, la chose et le carré. Pour ces espèces, dont la démonstration s'effectue au moyen de l'ouvrage d'Euclide, j'en indiquerai la démonstration nu- mérique (**). Et sachez que la démonstration géométrique de ces procédés ne rend pas superflue leur démonstration numé- rique, lorsque l'objet du problème est un nombre, et non pas une grandeur mesurable. Aussi voyez-vous bien qu'Euclide, après avoir démontré certains théorèmes relatifs à la propor- tionnalité des quantités géométriques, dans le cinquième livre de son ouvrage, donne derechef la démonstration exacte- ment des mêmes théorèmes de proportionnalité, lorsque leur objet est un nombre, dans le septième livre (***). Les équations ayant lieu entre ces quatre degrés sont, ou simples, ou composées. Des équations simples, il y a six es- pèces (****) : i° Un nombre est égal à une racine; a° Un nombre est égal à un carré; 3° Un nombre est égal à un cube; • *) C'est-à-dire lorsqu'il s'agit de satisfaire à l'équation proposée par un nombre entier. Voyez la préface. **) 11 faut toujours entendre : la démonstration de la résolution lorsqu'il s'agit de satis- faire à l'équation par un nombre entier. Je ne répéterai plus cette remarque dans la suite. ***) Voir EucL, Élém. VII, prop. 4-22. ****) l° a = X; 2° a = x 7 ; 3° a = # 3 ; 4° bx = x 7 ; 5° bx = x z ; 6* ex 7 = x 3 . J'échange ici les numéros 5 et 6 l'un contre l'autre; c'est l'ordre suivi plus tard par l'auteur lorsqu'il discute ces équations une à une. — 10 — 4° Des racines sont égales à un carré; 5° Des carrés sont égaux à un cube; 6° Des racines sont égales à un cube. Trois de ces espèces se trouvent mentionnées dans les trai- tés des algébrîstes(*). Ils disent : La chose est au carré comme le carré au cube; il suit donc nécessairement que l'égalité entre le carré et le cube soit équivalente à celle entre la chose et le carré (**), et de même le nombre est au carré comme la racine au cube (*"*); mais ils n'avaient pas démontré cela géo- métriquement. Quant au nombre qui est égal au cube, il n'y a de moyen, pour trouver le côté de ce dernier, que par la connaissance préalable de la suite des nombres cubiques ("**) lorsque le problème est numérique; lorsqu'il est géométrique, il n'est résoluble que par les sections coniques. Les équations composées sont en partie trinômes, en partie quadrinomes. Les espèces des équations trinômes sont au nombre de douze. Les trois premières sont (**"•) : i° Un carré et des racines sont égaux à un nombre; a° Un carré et un nombre sont égaux à des racines; 3° Des racines et un nombre sont égaux à un carré. Ces trois espèces se trouvent mentionnées dans les traités des algébristes, et y sont démontrées géométriquement, mais pas numériquement. *) A savoir, les numéros l, 1, 4. "I x î ** = a* : ** dune ax' = j' lorsque ax = x 1 . ***) a : x* = ax : i J (donc ax = x' lorsque a = x'). *"') Le mol - is/itrii - désigne proprement ludion d'aller de place en plaie ; indique un jugement par induction, l'oiiue sur la cotmaissiime des t:as pailiniliers qu'on ob- tient en les parcourant l'on après Frein (Voir Pialict» et Extraits, tbmt X, p. il). En par- lant toujours de celte signilinilion (undjuufidiile bien établie , il tu.dij rendre ce terme da différente* manières, selon les tircoitsloiuts. Voir p. 8 ult, sijq., p. 10, lig. 2 , p. 33 pas! p. 48, lig. S du texte arabe , — el ad di lion C , il peu près à la lin , où il esl que-lion du t c — 11 — Les trois espèces suivantes sont (*) ; i° Un cube et des carrés sont égaux à des racines; a° Un cube et des racines sont égaux à des carrés; 3° Des racines et des carrés sont égaux à un cube. Les algébristes disent que ces trois secondes espèces sont proportionnelles aux trois premières, chacune à sa correspon- dante, c'est-à-dire que l'équation : « un cube et des racines sont égaux à des carrés » est équivalente à celle-ci : et de même rela- tivement aux deux autres. Mais ils ne l'avaient pas démontré, lorsque les objets des problèmes sont des quantités mesura- bles. Pour le cas où l'objet des problèmes est un nombre, c'est une conséquence immédiate du traité des Éléments (***). Or, j'en démontrerai aussi le cas géométrique. Les six espèces qui restent des douze , ce sont (****) : i° Un cube et des racines sont égaux à un nombre; 2° Un cube et un nombre sont égaux à des racines; 3° Un nombre et des racines sont égaux à un cube; 4° Un cube et des carrés sont égaux à un nombre; 5° Un cube et un nombre sont égaux à des carrés ; 6° Un nombre et des carrés sont égaux à un cube. De ces six espèces rien n'a paru dans les traités d'algèbre, excepté la discussion isolée d'une d'entre elles (*****). Moi, je les 8 discuterai et les démontrerai géométriquement, pas numéri- quement. La démonstration de ces six espèces n'est possible qu'au moyen des propriétés des sections coniques. *) 10° x 3 + ex 3 = bx; 11° x l + bx = ex*; 12° ex 2 + bx = x 3 ; **) x 3 + bx = cr 2 , divisé par #, donne x* + b = ex. ***) Vu là proportionnalité qui a lieu entre ces équations et les trois précédentes. Voir page 6, nlt. ****} 13« x* 4- bx = a; 14° x 3 + a = bx; 15° bx + a = x\ 16» x 3 + ex 7 = a; 17° x 3 + a = ex 7 ; 18° ex 7 + a = x 3 . *) Voir la discussion de l'équation n° 17. — 12 — Quant aux équations composées quadrinomes, il y en a deux classes : premièrement, celles dans lesquelles trois degrés sont égalés à un degré. Ce sont quatre espèces (*) : i° Un cube, des carrés et des racines sont égaux à un nombre ; a° Un cube, des carrés et un nombre sont égaux à des racines; 3° Un cube, des racines et un nombre sont égaux à des carrés ; 4° Un cube est égal à des racines, des carrés et un nombre. La seconde classe comprend celles dans lesquelles deux de- grés sont égalés à deux degrés. Il y en a trois espèces (**) : i° Un cube et des carrés sont égaux à des racines et un nombre; a° Un cube et des racines sont égaux à des carrés et un nombre ; 3° Un cube et un nombre sont égaux à des racines et des carrés. Ce sont là les sept espèces quadrinomes : aucune desquelles nous n'avons réussi à résoudre que géométriquement. Un de nos prédécesseurs avait besoin d'un cas particulier d'une de ces espèces, que je ne manquerai pas de faire remarquer (***). La démonstration de ces espèces ne peut être effectuée qu'à l'aide des propriétés des sections coniques. Maintenant je vais discuter et démontrer, une à une, toutes ces vingt-cinq espèces; et j'implore l'assistance de Dieu : qui- conque se confie sincèrement à lui, Dieu le dirige et lui suffit. Première espèce des équations simples. « Une racine est *) 19° x* + cx* + bx = a; 20° x*+cx* + a = bx; 21° x*-\-bx +a = ex*; 22* cx* + bx +« = # 3 ; **) 23» x*+cx* = bx + a; 24* x z + bx = cx* +a; 25° x 3 + a = ex 7 + bx. ***) Voir la discussion de l 'équation n° 21 . — 13 — égale a un nombre (*). » Donc, la racine est nécessairement connue; ce qui va également pour le nombre et pour les quan- tités géométriques. Seconde espèce. «Un nombre est égal a un carré (**).» Le carré numérique sera donc connu, étant égal au nombre connu; sa racine ne peut être trouvée numériquement que par la connaissance préalable de la suite des nombres carrés : car ce n'est que de cette manière qu'on sait, par exemple, que la racine de vingt-cinq est cinq, et non pas par un procédé algébrique. Nous n'aurons, à ce sujet, aucun égard à ce qu'en disent ceux, parmi les algébristes, qui sont d'un avis différent. Les Indiens possèdent des méthodes pour trouver les côtés des carrés et des cubes (***), fondées sur une telle connais- sance d'une suite de nombres peu étendue, c'est-à-dire sur la connaissance des carrés des neuf chiffres, à savoir, du carré de un, de deux, de trois, etc., ainsi que des produits formés en les multipliant l'un par l'autre, à savoir, du produit de deux en trois, etc. J'ai composé un ouvrage sur la démonstration de l'exactitude de ces méthodes, et j'ai prouvé qu'elles con- duisent en effet à l'objet cherché. J'en ai, en outre, aug- menté les espèces, c'est-à-dire que j'ai enseigné à trouver les côtés du carré-carré, du quadrato-cube, du cubo-cube, etc., aune étendue quelconque, ce qu'on n'avait pas fait précédem- ment. Les démonstrations que j'ai données à cette occasion ne sont que des démonstrations arithmétiques (****), fondées sur les parties arithmétiques des Éléments d'Euclide (*****). **\ *) i, a = x. *) 11, a = x 7 -, x = i/o. C'est-à-dire : pour l'extraction des racines carrées et cubiques. — Ce que Fauteur dit des méthodes indiennes s'accorde avec ce que nous en savons par l'ouvrage de Colebrooke. ****) Quant à la restriction exprimée par l'auteur, il faut l'entendre ainsi : « Je n'en ai pas donné en même temps des démonstrations géométriques. » *) Ce que l'auteur dit ici de son ouvrage sur les démonstrations mathématiques de l'ex- — 14 — La démonstration géométrique de la seconde espèce est la suivante (*). Supposons que la ligne AB (fig. i) soit donnée et égale au nombre donné, et que AC soit égale à l'unité et perpendiculaire à AB. Complétons le rectangle AD. Il est connu alors que la mesure du rectangle AD est ce nombre donné. Nous construisons ensuite un carré égal au rectangle AD, lequel soit le carré E, ainsi qu'il a été expliqué par Eu- clide dans la quatorzième proposition du second livre de son ouvrage. Le carré E sera donc égal au nombre donné et connu, et son côté sera pareillement connu, vu la démonstration donnée par Euclide. Mais c'est ce qu'il s'agissait d'obtenir. Toutes les fois que nous dirons dans ce Traité : « un nombre est égal à un rectangle », nous entendrons par le nombre un quadrilatère à angles droits, dont l'un des côtés est l'unité, et le second une ligne égale en mesure au nombre donné, en sorte que chacune des parties de sa mesure soit égale au se- cond côté, c'est-à-dire à celui qui a été pris pour unité. 10 Troisième espèce. «Un nombre est égal a. un cube (**), w Si l'objet du problème est un nombre, le cube sera donc connu; et il n'y a d'autre moyen pour en trouver le côté, que traction des racines ilus ili:;iv. sut-i'i'ieni-s quelconques mm utile cire li'une importance fillil que médiocre pour l'bïsluire dis mfltliématiques cliez les Arabes. On sait qu'après la renais- sance des lettres, ce furenl Slifrl et Vtèle qui abordèrent ce sujel (voyei Francisai Vletx opéra matliematica in un lira voliirnen mngesla, éd. Fr. a Sclioolen ; Lngduui Balavorllin, 1646, loi., p. 103 sqq., de niimcrosa pu testa tum purarum resolutione). Je fais observer que l'extraction de ta racine il'im tle^rc qut'l<- dépend île la formule am-^ ma »i-+. . .+c»>+ +ra(a-(-o^)^'d+m,(o+H ^j, J^^H ..y> «dans le onzième livre des Éléments», conjecture qui serait corroborée en quelque sorte par la leçon /^L> du manuscrit C. Eu effet, la proposition XI, 34, implique comme cas spécial le théorème qui serait l'expression géométrique de la démonstration dont il s'agit ici. Toutefois je considère cette supposition comme très-improbable, vu que l'auteur distingue toujours rigoureusement les démonstrations géométriques des démonstrations — 17 — Quant à la démonstration géométrique (*) , nous suppo- sons le cube ABCDE (fig. 3) égal au nombre de ses carrés, par exemple, égal à deux carrés. Le carré de son côté est AC. Donc la surface AC, multipliée par deux, produira le cube ABCDE; et en même temps, multipliée par BD, qui est (égale au) côté de ce (carré), elle produit également le cube ABCDE. Donc BD, qui est le côté de ce cube, sera égale à deux ; et c'est ce qu'il s'agissait d'obtenir. Toutes les fois que nous dirons, dans ce traité, « carrés du cube, » nous entendrons par cette expression des carrés de son côté. Après avoir terminé la discussion des équations simples, passons maintenant à celle des trois premières des douze équa- tions trinômes. Première espèce. « Un carré et dix racines sont égaux a trente-neuf en wombre (**).» Multipliez la moitié (du nombre) des racines par elle-même. Ajoutez le produit au nombre, et retranchez de la racine de la somme la moitié (du nombre) des racines. Le reste est la racine du carré. Si le problème est arithmétique, deux conditions doivent être remplies; la première : que le nombre des racines soit pair, de sorte qu'il ait une moitié (entière) ; la seconde : que le carré de la moitié (du nombre) des racines et le nombre, ajou- arithmétiques. Mais, au lieu du huitième livre, on pourrait citer la huitième proposition du neuvième livre; en effet, celle-ci comporte que 1 : x = x 2 : x* d'où il suit c : x = ex 2 : x 3 . *) 2. (carré AC) = 2 BD*= BD = cube ABCDE BD. (carré AC) = cube ABCDE, donc 2. (carré AC) = BD . (carré AC) ou 2 = BD. **) vu, x 2 + bx =a {x 2 + 10* = 39); \/ a + \-$) — y = *. Je fais observer que Mohammed Ben Moûçâ énonce cette équation sous la même forme spéciale, qu'Alkhayyâmt a gardée peut-être comme consacrée par l'usage. 2 — 18 — tés ensemble, produisent un nombre carré. Sinon, le problème, considéré comme arithmétique, est impossible (*). Géométri- quement , cette espèce ne comprend pas de problèmes impos- sibles du tout. La démonstration arithmétique est facile, et conforme à la démonstration géométrique. Voici cette dernière (**). Nous supposons le carré AC (fig. 4) ensemble avec dix de ses racines égal à trente-neuf en nombre. Supposons encore que dix de ses racines soient représentées par le rectangle CE. La ligne 12 DE sera donc égale à dix. Divisons-la, au point Z, en deux parties égales. Alors, parce que la ligne DE a été divisée en deux parties égales au point Z, et qu'on lui a ajouté en ligne droite la partie AD , le produit de EA en AD , qui est égal au rectangle EB, ajouté au carré de DZ, sera égal au carré de ZA. Mais le carré de DZ, qui est la moitié (du nombre) des ra- cines, est connu, et le rectangle BE, qui est le nombre donné, est également connu. Par conséquent, le carré de ZA et la ligne ZA seront connus ; et lorsque nous retranchons ZD de ZA, le reste AD sera connu. *) ici l'auteur se trompe; aucune des deux conditions n'est nécessaire pour que x soîl entier. Désignons par a un nombre positif et irrationnel, par a un nombre positif et entier; supposons a > a et a = a . a, ô = a — a. Certainement a — a ne sera pas alors un Ay_ «y / mais on avait (b+x) x = x 7 +bx= a, donc a+ f-J = - (5 + *y ° u v ° +(!)" 5 = *• a — a — - — =* a sera un — 19 — Autre démonstration (*). Supposons que ABCD (fig. 5) soit un carré ; prolongeons BÀ jusqu'à E, et faisons EA. égale à un quart (du nombre) des racines, c'est-à-dire à deux et demi. Prolongeons DA jusqu'à Z, en faisant ZA égale à un quart (du nombre) des racines. Menons d'une manière sem- blable des lignes de tous les sommets du carré , et complétons la figure HT. Elle sera un carré, parce que ZE, AC et CT sont des carrés , vu ce qui se trouve exposé dans le sixième livre des Éléments (**). Les quatre carrés situés dans les coins du grand carré sont égaux chacun au carré de deux et demi; conséquemment leur somme sera égale à vingt-cinq, c'est- 10 1 25 *)AB = BC = a:, EA = ZA= -y =2-, EZ = -j-, 4 EZ = 25; ZB = ZA. AB = 2 5 AB, 4 ZB = 10 AB; Âï'+ 10 AB = 39 , ÂB*+ 4 ZB = 39; HT =ÂB + 4 ZB + 4 EZ = 39 + 25 = 64; X = AB = EM — (EA + BM) = côté de HT — 2 EA = \/ 64 — -y = 3. Le principe de cette démonstration consiste à compléter le carré; en effet, nous avons HT = x 1 + 4 (t x J + \ 7 ) == (x+ -) ,et en môme temps, parce quex*+bx=a 9 Cette démonstration est essentiellement la même que celle donnée par Mohammed Ben Moûçâ ; voyez l'édition de Rosen, pages 13 et A. Mohammed Ben Moûçâ en ajoute une seconde, doit voici l'exposé (voir fig. 6, a) : Équation proposée : x* + 10 x = 39. Démons tr. : AB = x 2 ; G = D = -r- x ; AB + (G +D) = x 2 + 2 ( y X J = 39 . — ... a SH-(AB + (G + D)|=SH-39=(î|y. - ...(j)' SH = 39 + (y)' = «4; . . . a + (j)' côté de SH = y/ 64 = 8 ; ... %/ a + f -Y 10 / 7&V * x = côté de AB = 8 — y =3.— ... 1/ a + ( - ) — ^ **) Euclide, Éléments, VI, 24. 2. =x. 13 — 20 — à-dire au carré de la moitié (du nombre) des racines. Le rec- tangle ZB est égal à deux et demie des racines du carré AC, parce que ZA est égale à deux et demi. Les quatre rectangles seront donc ensemble égaux à dix racines du carré AC. Mais on avait supposé le carré AC ensemble avec dix de ses ra- cines égal à trente-neuf en nombre. Conséquemment le carré HT est égal à soixante-quatre. Prenons-en la racine, et retran- chons d'elle cinq. Il reste AB. Supposons encore (*) qu'une ligne AB (fig. 6) soit donnée égale à dix, et que l'on demande le carré qui, ajouté au produit de sou côté en AB, soit égal au nombre donné. Représentons le nombre donné par la figure E, laquelle soit un parallélogramme à angles droits, ainsi que nous l'avons dit précédemment^*). Appliquons à la ligne AB un parallélogramme égal au rectangle £ et excé- dant d'un carré, ainsi qu'Euclide l'a expliqué dans le sixième livre des Éléments. Que ce soit le rectangle BD, et que le carré excédant soit AD; le côté AC de ce carré sera connu, confor- mément à ce qui se trouve établi dans les Données (***). Seconde espèce. « Un carré et un nombre sont égaux a des racines (****). » H est nécessaire, dans cette espèce, que le nombre ne soit pas plus grand que le carré de la moitié (du nombre) des racines. Sinon, le problème est impossible. Lorsque le nombre est égal au carré de la moitié (du nombre) des racines , la moitié (du nombre) des racines est elle-même la racine du carré. Lorsque le nombre est plus petit, on le re- *) AB = 10, E = 89. La construction d'Euclide, Eléments VI, 29, implique la déter- mination d'une ligne AC telle que BD = AC + AC . AB = E; donc x = AC **) Pag. 14,lig. 12. ***) Prop. 59, éd. d'Oxford, 1703, fol., p. 497. r ) vin, X* + a = bx (6= 10). Condition : a ~ l - j (sans cela en effet x est imaginaire) ****> — 2i — tranche du carré de la moitié (du nombre) des racines, on prend la racine du reste et on l'ajoute à la moitié ( du nombre) des racines, ou la retranche de cette dernière. Le résultat, tant de l'addition que de la soustraction, est la racine du carré. La démonstration arithmétique est conforme à la démons- tration géométrique (*) (qui suit). Supposons un carré ABCD (fig. 7) , et supposons (le rectangle) ED , égal au nombre, joint à ce carré du côté de AD. Le rectangle (produit) EC sera donc égal à dix (**) côtés du carré AC, et conséquemment EB sera égale à dix. Que dans la première figure (7, 1) AB soit égale à la moitié deEB, dans la seconde (7, 2) plus grande, et dans la troisième (7, 3) plus petite que la moitié deEB. Alors, dans la première figure, AB sera égale à cinq. Dans la seconde et dans la troisième figure, divisons EB au point Z, en sorte que la ligne EB soit divisée en deux parties égales au point Z, et en deux parties inégales au point A. Donc, le rectangle EA en AB, ajouté au carré de ZA, sera égal au carré de ZB, ainsi qu'il est expliqué au second livre des Éléments. Le rectangle EA en AB , étant égal au nom- bre, est connu; conséquemment, lorsqu'on le retranche du *) AB = AD = X, ED = a, EC = 10 . AB = bx, EB = 10 = b; EB 1) * = AB= — = 5; J)\ AB < T' EL == ZB> EAAB +ÂZ==BZ(Eiiclide, Éléments, II, 5); EA.AB = ED = a et BZ = -r- = - étant conn us, on connaîtra donc a 2) ) AZ et AZ, ainsi que j ZB :£ AZ == AB = x . — - Voici le principe de cette démonstration: la proposition d'Eue! ide implique pour les cas 2) et 3) que x (b — x) + fz±T fa; — ôyJ ^ V27 ' mais * 6 ~" apa==fl » dor,c - (* "" ï) = y/G) 2 - a ou * = \ - vG) 2 - a - au «** *• ,e radical disparaît, parce que a = ( - J , donc x = - • **) La valeur spéciale adoptée ici , rappelle encore renoncé donné de cette équation par Mon. Ben Moûçà. — 22 — carré de ZB, qui est la moitié (du nombre) des racines, le carré de ZA, qui reste, sera connu. En retranchant dans la troisième figure ZA de ZB, et dans la seconde figure en ajoutant ZA à ZB , on obtient pour reste ou pour somme la ligne ÀB, Et c'est ce qu'il s'agissait de trouver. On peut , si l'on veut , démontrer cela encore d'autres ma- nières (*); mais nous nous bornons à ceci , de peur d'être pro- lixe. Supposons (**) qu'une ligne AB (fig. 8) soit donnée égale à dix , et qu'on demande à retrancher d'elle une ligne telle que, lorsqu'on la multiplie par AB, ce produit soit égal au carré de cette même ligne , plus un autre rectangle , lequel ne soit pas plus grand que le carré de la moitié de AB, c'est-à-dire plus le nombre donné qui soit représenté par le rectangle E. Nous nous proposons donc de retrancher de AB une ligne dont 14 le carré plus le rectangle E soit égal au produit de ABen *) Voici l'exposé de la démonstration que Mohammed Ben Moûçâ (édition de Rosen, page 16 et \\) donne de cette espèce (voyez fig. 7, a) : Équation proposée : x* + 31 = 10 x. . Démonstration : AD = £ 2 ; HB = 21; HD=HN.HC=2.10; HC 10 CG = HG = y = T = 5 > GK = CG — GT=5 — x; TK=GK+GT=CG=5; NT=HG = CG=5; «=»=(?)•.-...©• KL = KG; ML = KM — KL = KT — KG = TG; LR=KG=CG — GT = CG— CA=GA; ML . LR = TG . GA, MR = TA; HT+MR=HT + TA = HB=21; ...a = MT — (HT + MR)=25 — 2l=4;../-V — a RG=y/4 = 2;...Y/(jy-a tf = AC = CG-GA = CG — RG=5— 2=3.— ... - — %/ f-j —a; puis Mohammed Ben Moûçâ ajoute seulement que 5 + 2 satisfera aussi à l'équation proposée, sans le démontrer. **) AB = 10 = b f E = a. La construction d'Euclide, Éléments VI, 28, implique la détermination d'une ligne BC telle que E = AZ = AB . BC — Bc'ou Bc'+ a = b . BC donc BC = x. KR — 23 — cette ligne. Or, appliquons à la ligne connue AB un rectangle égal au rectangle connu £ et défaillant d'un carré, ce qui est possible (*) , parcç que le rectangle E n'est pas plus grand que le carré de la moitié de AB. Que ce soit le rectangle AZ, et que le carré défaillant soit CD, conformément à ce qui est exposé par Euclide dans le sixième livre des Éléments. Le côté CB sera alors connu, ainsi qu'il est expliqué dans les Données (**). Mais c'est ce qu'il s'agissait de montrer. Il est évident que cette espèce comprend différents cas (***), et qu'elle donne lieu à des problèmes impossibles (****). Quant aux conditions de sa solubilité en nombres entiers , elles peu- vent être déduites de ce que nous en avons dit à l'occasion de la première espèce (*****). Troisième espèce. « Uw nombre et des racines sont égaux a un carre (******). » On ajoute le carré de la moitié (du nombre) des racines au nombre , puis on prend la racine de la somme , et l'ajoute à la moitié (du nombre) des racines. Ce qui résulte est la racine du carré. *) Voir Euclide, Éléments, VI, 27, 28. **) Prop. 58. ***) A savoir les cas x > - < 2 ****) A savoir lorsque a > ( « ) • *****) En ce cas-ci, une des deux valeurs pourra être entière sans qu'aucune des deux con- ditions dont veut parler l'auteur soit remplie ; on n'a qu'à supposer a = a. a, b = a + a , une M deux solutions sera a. Mais même afin de les rendre entières toutes les deux, la pre- mière condition, que b soit pair, n'est pas nécessaire ; et quant à la seconde, que f - ) — a doit être un nombre carré , il est nécessaire seulement que cette expression soit de la forme ( ? ) > P désignant un nombre entier pair ou impair. Pour s'en convaincre , il suffit de supposer a = a. p, & = a + (5 en désignant par a un nombre positif, entier et pair, par p un nombre positif, entier et impair. ******) ix, bx + a = *» ; \ + y/a + Qy = x. — 24 — Démonstration (*). Que le carré ABCH (fig. 9) soit égal à cinq de ses racines plus six en nombre. Retranchons-en le nombre qui soit représenté par le rectangle AD. Il reste le rec- tangle EC, égal au nombre de racines, lequel est cinq. La ligne EB sera donc égale à cinq. Nous la divisons en deux parties égales au point Z. La ligne EB sera donc divisée en deux par- ties égales au point Z , et en même temps on lui a ajouté la partie EA , d'où il suit (**) que le rectangle BA en AE, c'est-à- dire le rectangle connu AD , plus le carré connu de EZ, est égal au carré de ZA. Le carré de ZA et ZA seront donc connus. Mais ZB est connue; conséquemment AB est connue. Il existe encore d'autres démonstrations de ce théorème (***), la recherche desquelles peut servir d'exercice au lecteur. *) AB a =5AB+6; AB = ÀH = X, AD = 6, EC = 5AB, EB = 5, EZ==ZB=-^; m BA . EA+ïzWzï'ou AD+EZ = ZA; —a mais AD et EZ étant connus, ZA, ZA et ZA + ZB = AB = x seront également connus. La proposition citée d'Euclide implique en ce cas-ci que a: (x — ô) + ( - J = ( 3? — - J ; mais on a x (x — b) = x 2 — bx = a, donc a + (ff = (x- f)' ou \ + ^/ a + QJ = x . **) Euclide, Éléments, II, 6. ***) Voici l'exposé de celle donnée par Mohammed Ben Moûçâ (édition de Rosen , p. 19 et \f — voir fig. 9, a). Équation proposée : 3x + 4 = x*. Démonstration : AD =* x 2 ; HC = 3, HD = 3x ; HB = AD — HD = x 7 — 3x = 4— ... a HC 3 —a /3V 1 fb\ 2 CG = GH= y -5; HT=HG=(- 2 ) = 2 ; .-...(5) TL = AH; GT = GH; GT + TL=GH + HA, GL = GA; MA=GL=GA; donc 1) AB — MA = AC— GA, BM = CG = GH = LN 2) GL — GT = GA — GH, TL = AH = MN; BM.MN = TL.LN, BN=TN; 4=HB=AN + BN = AN + TN; GM = HT + (AN4-TW) = 2 £+4; -.-(jY +« AG =v/ 2 ï +4=2 -i ; -\/(D 2+o ^ = AG + CG = 2i + ?=4.-...y/Qy+a+^ — 25 — Supposons encore (*) que la ligne BE (fig. 10) soit égale au nombre des racines, et qu'on demande un carré et son côté, en sorte que ce carré soit égal au nombre (donné) de ses côtés plus le nombre donné. Que le nombre donné soit repré- senté par le rectangle T, et que H soit un carré égal à ce rectangle. Construisons un carré égal à la somme du carré H 15 et du carré de EK, ligne qui est égale à la moitié du nombre des racines. Que le carré construit soit Z. Faisons KC égale au côté de Z, et complétons le carré ABCD. Celui-ci sera le carré qu'il s'agissait de trouver. II est évident que ni cette troisième espèce ni la première ne donnent lieu à rien d'impossible, tandis que c'est le cas pour la seconde espèce , laquelle en même temps comprend diffé- rents cas , ce qui n'arrive pas dans les deux autres. Démontrons maintenant que les espèces de la seconde triade de ces équations sont proportionnelles à celles de la première. Première espèce. « Un cube et des carrés sont égaux a des racines (**)• » Supposons un cube ABCDE (fig. 1 1 ) , pro- longeons ÀB en ligne droite jusqu'à Z, faisons AZ égale au nombre des carrés , et complétons le solide AZHTCD en guise de prolongement du cubé AE, comme cela se fait habituelle- ment. Le solide AT sera égal au nombre de carrés, et le solide EB b *) EB = &, T=H=«, EK = y =-; Z = H + EK=a+r~J ; KC=côtéde Z=l/a + f- J ; BC = BK + KC=* + y/ a+(|y =*. Je remarque qu'ici l'auteur ne construit pas l'équation carrée proposée , ainsi que c'était le cas dans ce qui précède, mais la racine de cette équation qu'il prend toute résolue. **) x, x* + ex* = bx. • Démonslr. : cube ABCDE = x 3 t AZ = c, AZHTC = cx 7 9 BT = x 3 •+• ex 2 = bx ; K=6, AD = #, K . AD=6 . X\ HB . AÛ = BT = kr; donc K.AD = HB.AD et K = HB=BC + HA. OU b~X 2 + CX. BT, qui est égal au cube plus le nombre donné de carrés sera égal au nombre donné de racines, Construisons u tangle K égal au nombre donné des racines; la racine le côté du cube, c'est-à-dire AD. Donc le rectangle K, mul tiplié par AD, sera égal au nombre donné de cotés. D'un autre côté, le rectangle HB, multiplié par AD, produit le cubi plus le nombre donné de carrés. Mais ces deux solides sont égaux; c'est-à-dire le solide BT et le solide construit sur K ayant pour hauteur AD. Conséquemment, leurs bases seron réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs. Or, leui ! hauteurs étant égales, leurs bases nécessairement le seront aussi. Mais la base HB est égale au carré CB plus le rectangle HA qui est égal à ce nombre de racines (de CB] qui avait été donné pour les carrés. Donc K., qui est le nombre donné pour les ra- cines, est égal au carré plus le nombre de racines donné pour les carrés. Mais c'est ce que nous nous proposions de démoi trer. Voici un exemple de cette espèce. Un cube et trois carn sont égaux à dix racines; cela équivaut à: un carré et trois r; eines sont égaux à dix en nombre, Seconde espèce. « Un cube et uecx racines sont égaux trois carrés (*). » Cela équivaut à : un. carré plus deux e: égal à trois racines. Démonstration. Supposons un cubeABCDE(fig. ia), lequel ajouté à deux de ses racines, soit égal à trois carrés. Suppi sons de plus un carré H égal à CB, et une droite K égale à trois. Le produit de H en K. sera alors égal à trois carrés du cube AE. Construisons sur AC un rectangle égal à deux , et complétons t>e nt : :'; = Cti = Jr-, K* :i. H.K. = w; AL = 1, AT=2i^ B , r = ZB.AC = ZB.T l ; BT=AK + AT=J-' + î3- = SI : ; donc ZB = BL = BC + .\l.= a'4-I; A=W.AB = 3*i dune T ; + Ï = 3a. — 27 — le solide AZCTD ; il sera égal au nombre de racines. Mais lors- qu'on multiplie la ligne ZB par le carré de AC , il résulte le solide BT, et le solide AT est égal au nombre de côtés; con- séquemment, le solide BT sera égal au cube plus une quantité égale au nombre de ses côtés. Le solide BT sera donc égal au nombre de carrés. Il en suit, d'une manière analogue à ce qui a été expliqué dans le théorème précédent (*), que la ligne ZB est égale à trois. En même temps le rectangle BL est égal à un carré et deux. Conséquent ment, un carré et deux sera égal à trois racines , parce que le rectangle BL est formé par le produit de AB en trois. Mais c'est ce qu'il s'agissait de démon- trer. Troisième espèce. « Un cube est égal a un carré et trois racines (**). » Cela équivaut à : un carré est égal à une racine et trois en nombre. Supposons un cube ABCDE (fig. i3) égal à son carré, plus trois de ses côtés. Retranchons de la ligne AB, qui est le côté du cube , la ligne AZ égale au nombre des carrés , lequel est 1 7 un, et complétons le solide AZTHC. Alors ce solide AZTHC sera égal au nombre donné de carrés. Il reste donc le solide ZE égal au nombre donné de côtés ; et l'un des deux solides sera à l'autre comme la base ZC à la base ZL , ainsi que c'est démontré dans le onzième livre des Éléments (***) , puisque leurs hauteurs sont égales. Mais le rectangle ZC est égal à *) C'est-à-dire , les deux solides ZB.AC et 3x 2 étant égaux, leurs bases doivent être réci- proquement proportionnelles à leurs hauteurs; or, leurs bases étant égales ( AC = x 2 ), leurs hauteurs seront égales, ZB = 3. Dans le théorème précédent les hauteurs étaient égales, et on en déduisait l'égalité des bases. **) xii, ex 2 + bx = x z (x 3 = i.x 2 + Zx). Démons tr. : cube ABCDE =o? 3 = 1 . x 2 + 3x; AZ = c = 1, TC = l . x 2 ; TL = AE — TC = X* — 1 .X 2 = 3# ; ZC = AZ. AC = 1 .X ; TL : TC = ZL : ZC ou 3x ; x 2 = ZL : x, donc ZL = 3 ; CB = ZC + ZL ou x 2 = 1 .X + 3. ***) Euclide, Éléments, XI, 32. — 28 — une fois la racine du carré CB, et le rectangle ZL est le ne bre des racines, à savoir, trois. Conséquemment, le carré sera égal à une racine plus trois en nombre, et c'est ce q nous nous proposions de démontrer. Tant que ces démonstrations (des équations 10, n, ia) sont pas entendues de cette manière (géométrique; tan qu'auparavant on ne les avait envisagées que du point de vue purement arithmétique, voir pg. il, 1g. 10), l'art de l'algèbre n'est pas véritablement scientifique, bien que cette méthode de démonstration exige qu'on aborde quelques difficultés. Or, aprèsavoirtraité précédemment ces espèces d'équation: qui peuvent être démontrées au moyen des propriétés du o cle, c'est-à-dire au moyen de l'ouvrage d'Euclide, occupons nous à présent de la discussion de celles dont la démons tion ne peut être donnée qu'au moyen des propriétés d sections coniques. Ces dernières espèces sont au nombre quatorze, comprenant i° une équation simple, à savoir l'é ([nation : « un nombre est égal à un cube; » a° six équations trinômes qui restent (encore à être discutées, des douze équa lions trinômes proposées dans le, tableau général des équa- tions algébriques); 3° sept équations quadrinômes Faisons précéder cette discussion par quelques proposition: fondées sur l'ouvrage des Coniques (*), afin d'offrir à l'étudiao 1 un arrangement systématique, et afin que dans ce Traité nous n'ayons à renvoyer à plus des trois ouvrages mention nés, à savoir, les deux ouvrages d'Euclide sur les Eléments et sur les Données, et les deux (premiers) livres du traité des Coniques. Trouver fleur lignes entre deux autres lignes (dt ') Ceci ne s'a|>|ilir|iic i|ii'an (ii'emirr 'le- trois MMiorimcf prélinilmi (données) , mirait — 29 — de manière que ces quatre lignes soient en proportion continue (*). Que les deux droites (données) soient AB, BG (fig. i4), et 18 plaçons-les de manière qu'elles renferment l'angle droit B. Construisons une parabole dont le sommet soit situé au point B, dont l'axe soit BC, et dont le paramètre soit BC. Que ce soit la conique BDE. Elle sera connue de position, parce que son sommet et son axe sont connus de position, et que son para- mètre est connu de grandeur. Elle touchera la ligne BA, parce que l'angle B est un angle droit, et conséquemment égal à l'angle de l'ordination , ainsi que cela est démontré dans la trente-troisième proposition du premier livre des Coniques (**). D'une manière semblable nous construisons une autre para- bole ayant pour sommet le point B , pour axe AB , et pour paramètre AB, laquelle sera la conique BDZ, ainsi que cela est démontré par Apollonius dans la cinquante-sixième proposi- tion du premier livre (***). La conique BDZ touchera la ligne BC. Les deux paraboles s'entrecoupent donc nécessairement. Que D soit leur point d'intersection. Alors le point D sera connu de position, parce que les deux coniques sont connues de position. Abaissons du point D deux perpendiculaires DH, DT, sur AB, BC. Elles seront connues de grandeur, ainsi que cela est démontré dans les Données (****). Et je dis qu'alors les *) ab : x=x : y = y : bc. Construction : B sommet, BC axe, BC paramètre de la parabole BDE; B sommet, BA axe, AB paramètre de la parabole BDZ; Parab. BDE . .. HD == BH . BC, HD =BT, donc BC : BT = BT : HB Parab. BDZ ...DT = BA . BT, DT = HB, donc BT : HB = HB : BA conséquemment AB : BH = BH : BT = BT : BC x = BH, y = BT C'est la seconde des deux constructions de ce problème attribuées à Ménechme. Voir Ar- chimède, éd. d'Oxford, pg. 142. **) Voir l'édition d'Oxford, 1710 , fol., p. 57. La proposition à laquelle l'auteur fait allu- sion y est la trente-deuxième. ***) Édit. d'Oxford, livre I, prop. 52. *) Voir propp. 30, 25, 26. ^r^HHt^ — 30 — quatre lignes AB, BH, BT, BC, sont en proportion con- tinue. Démonstration. Le carré de HD est égal au produit de BH en BC, parce que la ligne DH est ordonnée de la parabole BDE ; conséquemment BC est à HD, laquelle est égale à BT, comme BT à HB. La ligne DT est ordonnée de la parabole BDZ. Le carré de DT, laquelle est égale à BH, sera donc égal au produit de BA en BT. Conséquemment BT sera à BH comme BH à BA. Les quatre lignes sont donc en proportion continue; et la ligne DH est connue de grandeur, vu qu'elle est menée d'un point connu de position à une ligne connue de position, sous un angle connu de grandeur; et semblablement DT sera connue de grandeur. Il suit donc que les deux lignes BH , BT, sont connues de grandeur, et qu'elles sbnt en même temps moyennes proportionnelles entre les deux lignes AB, BC, c'est-à-dire que AB est à BH comme BH à BT, et comme BT à BC. Mais c'est ce qu'il s'agissait de démontrer. 19 Étant donnés le carré ABCD (fig. i5,i), base du parallélipi- pède rectangle ABCDE , et le carré M H , construire sur M H comme base un parallélépipède rectangle égal au solide donné ABCDE ( ¥ ). Faisons AB à MZ comme MZ à K, et puis AB à K comme ZT à ED. Plaçons ZT de manière qu'elle soit perpendiculaire au plan MH au point Z,et complétons le solide MZTH. Je dis que ce solide est égal au solide donné. Démonstration. Le carré AC est au carré MH comme AB à K. Le carré AC sera donc au carré MH comme ZT, la hau- *) On détermine K et ZT au moyen des deux proportions 1) ÀB : MZ = MZ : K 2) AB : K = ZT : ED il suit AB : MZ a = ZT : ED, donc ÂB . ED = Sz' . ZT ou solide BE = solide MTH. — 31 — teur du solide MTH, à ED la hauteur du solide BE. Il suit que les deux solides sont égaux , puisque leurs bases sont réci- proquement proportionnelles à leurs hauteurs, ainsi que c'est démontré dans le onzième livre des Éléments (*). Toutes les fois que nous nous servirons de l'expression « solide, » nous désignerons par cela un parallélipipède rec- tangle; et de même, toutes les fois que nous nous servirons de l'expression « figure plane», nous vaudrons parler d'un rectangle. Étant donné un solide ÂBCD (fig. i5, 2) dont la base AC est carrée, construire un solide dont la base soit un carré , la hauteur égale à la ligne donnée ET, et lequel soit égal au solide donné ACD (**). Faisons ET à BD comme AB à K, et prenons entre ÀB et R une moyenne proportionnelle EZ. Faisons EZ perpendiculaire à ET, et complétons TZ. Puis faisons EH perpendiculaire au plan TZ et égale à EZ , et complétons le solide HETZ. Je dis que le solide T, ayant pour base le carré ÏIZ et pour hau- teur la ligne donnée ET, est égal au solide donné D. Démonstration. Le carré AC est au carré HZ comme AB 20 à K ; conséquemment le carré AC sera au carré HZ comme ET à BD. Les bases des deux solides étant ainsi réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs, les solides seront égaux. Et c'est ce qu'il s'agissait de démontrer. Ces préliminaires établis , nous pouvons donner la résolution de la twisième espèce des équations simples, *) Prop. 34. **) On détermine K et EZ au moyen des deux proportions 1) ET : BD = AB : K 2) AB : EZ = EZ : K il suit "ÂB*: ËZ a = ET : BD , donc AV. BD ="Ëï\ ET ou solide D = solide T. — 32 — laquelle était : « Un cube est égal a un nombre (*). » Représentons le nombre par le solide ABCD (fig. 16), dont la base AC soit le carré de l'unité, comme nous l'avons expli- qué précédemment (**) , tandis que sa hauteur soit égale au nombre donné. Nous désirons construire un cube égal à ce solide. Prenons, entre les deux lignes AB, BD, deux moyennes proportionnelles : celles-ci seront connues de grandeur, comme nous venons de le démontrer (***). Que ce soient les lignes E, Z. Faisons HT égale à la ligne E, et décrivons sur HT le cube THKL. Ce cube et son côté seront connus de grandeur, et je dis que ce cube est égal au solide D. Démonstration. Le carré AC est au carré TK en raison double de AB à HK, et la raison double de AB à HK. est égale à la raison de AB à Z, de la première à la troisième des quatre lignes, et conséquemment égale à la raison de la seconde HK à la quatrième BD. Les bases (TK, AC) du cube L et du so- lide D sont donc réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs (HL= HK et BD). Il suit de là que ces deux solides sont égaux, et c'est ce qu'il s'agissait de démontrer. Après cela, occupons-nous des six équations trinômes qui restent à être discutées. Première espèce. « Un cube et des côtés sont égaux a un nombre (****).» Faisons la ligne AB (fig. 17) égale au côté *) m, a = 2 3 . Faisons AB = BC = 1, BD = a ; déterminons deux lignes E, Z en sorte que AB : E = E : Z = Z : BD; il suit AB*: R *= AB : Z = E : BD, —3 — » donc E = AB . BD = 1 .a = a ■3 ou, en faisant HT = E, a = HT . . . x = HT. **) Pg. 15. ***) Pg. 28 ult.sqq. ****)xm, x* + bx = a. A&=b, ÂB*. BC = a. B sommet, BZ axe, AB paramètre de la parabole HBD. BC diamètre du cercle CDB. — 33 — d'un carré égal au nombre des racines , lequel côté sera donné. Construisons ensuite un solide dont la base soit égale au carré de AB , dont la hauteur soit égale à BC , et lequel soit égal au nombre donné , construction que nous avons enseignée dans ce qui précède (*) , et faisons BC per- pendiculaire à AB. On sait d'ailleurs (**) ce qu'il faut en- 21 tendre dans notre traité par le nombre solide : c'est un so- lide dont la base est le caré de l'unité, et dont la hauteur est égale au nombre donné, c'est-à-dire à une ligne dont le rap- port au côté de la base du solide est égal au rapport du nombre donné à l'unité. Prolongeons AB jusqu'à Z, et cons- truisons une parabole dont le sommet soit B, l'axe BZ, et le paramètre AB; ce sera la conique HBD. Elle sera connue de position, comme nous l'avons expliqué dès la première de ces constructions (***) , et touchera la ligne BC. Décrivons sur BC un demi-cercle : il coupera nécessairement la conique. Que le point d'intersection soit D. Abaissons de D, qui , comme on sait, sera connu de position, deux perpendiculaires DZ, DE, sur BZ, BC. Elles seront connues de position et de grandeur. La ligne DZ étant ordonnée de la conique, son carré sera égal au produit de BZ en AB; conséquemment AB sera à DZ, qui est égale à BE, comme BE à ED, qui est égale à ZB. Mais BE est à ED comme ED à EC. Les quatre lignes suivantes sont donc en proportion continue AB, BE, ED,~IÏC; et conséquem- ment le carré de la première AB est au carré de la seconde BE Parab. : DZ = AB.BZ, DZ = BE , BZ = DE. . . AB : BE = BE : DE Cercle : BB;DE = DE; EC * ■••-?"* AB*: BË a = BE : EC, BÊ 3 = AB*. EC BE + AB*. EB = AB . EC + AB*. EB =~ÂR . BC ou BE + b. BE = a, 2= BE. *) Voir pag. 30. **) Voir pag. 15. ) Voir pag. 29. 3 _ 34 _ comme la seconde BE à la quatrième EC. Il suit île là que le solide dont la base est le carré de AB, et la hauteur EC, est égal au cube de BE, puisque leurs hauteurs sont réciproque- ment proportionnelles à leurs bases. Ajoutons à tous les deux le solide, dont la base est le carré de AB, et la hauteur EB. Le cube de BE, plus ce solide, sera égal au solide, dont la base est le carré de AB, et la hauteur BC, lequel solide nous avons posé égal au nombre donné. Mais le solide dont la base est le carré de AB, qui est égal au nombre des racines, et la hau- teur EB, qui est le côté du cube, sera égal au nombre donné de côtés du cube de EB. Couséquemment le cube de EB, plus le nombre donné de côtés du même , est égal au nombre donné; et c'est ce qu'il s'agissait d'obtenir. Cette espèce ne présente ni variété de cas, ni problèmes impossibles (*). Elle a été résolue au moyen des propriétés du cercle combinées avec celles de la parabole. Seconde espèce des six équations trinômes, « Un cube et 22 un nombre sont égaux a des cotés (**). d Faisons la ligne AB (fig. 18) égale au côté d'un carré égal au nombre des racines, et construisons un solide ayant pour base le carré de AB, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit BC, et placée perpendiculairement à AB. Décrivons une parabole dont le sommet soit situé au point B, et l'axe dans la direction de AB, et dont le paramètre soit AB. Ce sera la courbe DBE, *) L'équation x' -\-bx — a = positive. ") m, x'-\-a = bx. B sommet, BU a; C !■■ ini 1 1 ii ■ i , CT a» n'admet qu'une seule racine réelle, laquelle est touji AB =6, AB . BC=a. , AB paramètre de la parabole DBE. , BC paramètre de l'hyperbole équilatére ICZ Ët'=BT.CT. .. BT: ET = ET:TC :TC Panb. : EU = BK-AB.EH = BT, BH = ET...AB : BT = BT:ET BT + AB . BC = A AB : BT = BT : TC , BT t=AI '. BC= ÂB*. BTonBT + a=6BT, X = — 35 — connue de position. Puis construisons une seconde conique, à savoir une hyperbole, dont le sommet soit situé au point C, et l'axe dans la direction de BC, et dont le paramètre et le grand axe soient tous les deux égaux à BG; que ce soit la courbe ECZ. Cette hyperbole sera connue de position, ainsi qu'il est démontré par Apollonius dans la cinquante-huitième proposition du premier livre (*). Les deux coniques se ren- contrent ou ne se rencontrent pas. Si elles ne se rencontrent pas, le problème est impossible. Mais si elles se rencontrent, soit par contact en un point , soit par intersection en deux points , le point de rencontre sera connu de position. Que les deux coniques aient une intersection au point £ : abaissons de £ deux perpendiculaires ET, EH, sur les deux lignes BT, BEL Les deux perpendiculaires sont infailliblement connues de position et de grandeur. La ligne ET est ordonnée (de l'hyperbole); conséquemment le carré de ET sera au produit de BT en TC comme le paramètre au grand axe, comme cela est démontré par Apollonius dans la vingtième proposition du premier livre (**). Mais le paramètre et le grand axe sont égaux; le carré de ET sera donc égal au produit de BT en TC. Il suit de là que BT est à TE comme TE à TC. D'un autre côté , le carré de EH , qui est égal à BT, est égal au pro- duit de BH en BA, comme cela se trouve démontré dans la douzième proposition du premier livre du Traité des Coni- ques (***); conséquemment AB est à BT comme BT à BH, et comme BH, qui est égale à ET, à TC. Les quatre lignes sont *) Éd. d'Oxf. p. 89, Prop. 63. — Les deux Mss. portent bien tous les deux ^>, tandis que 53 aurait été écrit a~>. ; serablableraent la 52 e prop. était citée par l'auteur comme la 56*. (Voirpag. 29.) H semble donc que l'auteur avait sous les yeux une rédaction des Coniques un peu différente de la nôtre. **) Éd. d'Oxf. p. 46, Prop. 21 . ***) Éd. d'Oxf. p. 31, Prop. 11. 3. — 36 — donc en proportion continue, et le carré de la première AB sera au carré de la seconde BT comme la seconde BTà la qua- trièmeTC. Il suit de là que le cube de BT est égal au solide dont la base est le carré de AB, et la hauteur CT. Ajoutons à tous les deux le solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BC, lequel nous avons fait égal au nombre donné. Alors le 23 cube de BT, plus le nombre donné, sera égal au solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BT, lequel représente le nombre de côtés du cube. Il est évident que cette espèce comprend différents cas, et que certains, parmi les problèmes qui dépendent de cette espèce, sont impossibles (*). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux coniques, d'une paraboleet d'une hyperbole. Troisième espèce. « Un cube est égal a des côtés, plus un nombre (**). » Faisons la ligne AB (fig. 19) égale au côté d'un carré égal au nombre des côtés, et construisons un solide ayant pour base le carré de AB, et égal au nombre donné. Que . la hauteur de ce solide soit BC, et qu'elle soit perpendiculaire à AB. Puis prolongeons AB et BC , et décrivons une para- bole dont le sommet soit situé au point B, l'axe sur le prolon- gement de AB, et dont le paramètre soit AB. Que cette pa- *) L'équation x z — bx + a=0 a toujours une racine réelle et négative, dont l'algébriste arabe ne tient pas compte; les deux autres racines sont, ou imaginaires (et en ce cas le pro- blème est « impossible» ), ou positives et égales (x=y - J , ou positives et inégales —ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l'auteur. **)xv, bx + a = x*. ÂB*=ft, AB*.BC = a. B sommet, BT axe, AB paramètre de la parabole DBE. B sommet, BH axe, BC paramètre de l'hyperbole équilatère ZBE. Hyperb. : ÊH* = CHBH, EH = BT... BH:BT=BT:CH Parab. : ET* = AB.BT , ET = BH. . . AB : BH = BH : BT Xb : BH*= BH : CH BH S =Ïb\ CH = ÏB . BH+ÂB*. BC ou BH 3 = 6.BH+ a, x = BH. — 37 — rabole soit DBE; elle sera connue de position , et touchera la ligne BH , conformément à ce qui est démontré par Apollo- nius dans la trente-troisième proposition du premier livre (*). Puis décrivons une seconde conique , une hyperbole dont le sommet soit situé au point B, Taxe sur le prolongement de BC, et dont le paramètre et le grand axe soient tous les deux égaux à BC. Que ce soit l'hyperbole ZBE. Elle sera connue de position, et touchera la ligne AB. Les deux coniques s'en- trecouperont nécessairement. Que leur intersection ait lieu au point E. Ce point sera alors connu de position. Abaissons du point E deux perpendiculaires ET, EH. Elles seront connues de position et de grandeur. La ligne EH sera ordonnée (de l'hy- perbole ), et , conformément à ce que nous avons expliqué ci- dessus (**) , son carré sera égal au produit de CH en BH. Con- séquemment CH sera à EH comme EH à HB. Mais EH, qui est égale à BT, est à HB — qui est égale à ET, qui de son côté est or- donnée de l'autre conique — comme ET à AB qui est le paramètre de la parabole. Les quatre lignes sont donc en proportion conti- nue: AB est à HB comme HB à BT, et comme BT àCH; et le carré de la première AB sera au carré de la seconde HB comme la se- conde HB à la quatrième CH. Conséquemment , le cube de HB sera égal au solide dont la base est le carré de AB et la hauteur CH, parce que leurs hauteurs sont réciproquement proportion- nelles à leurs bases. Mais ce dernier solide est égal au solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BC , lequel nous avons 24 fait égal au nombre donné; plus le solide contenu sous une base égale au carré de AB et sous la hauteur BH, lequel solide est égal au nombre donné de côtés du cube de BH. Le cube *) Voirpag. 29. **) Voir pag. 35. de BH est donc égal au nombre donné, plus le nombre donné de ses côtés, et c'est ce qu'il s'agissait d'obtenir. Il est évident que cette espèce n'admet pas une variété de cas, et que cette espèce, c'est-à-dire que les problèmes qui en dépendent, ne renferment rien d'impossible (*). Elle a été résolue par les propriétés d'une parabole combinées avec celles d'une hyperbole. Quatrième espèce des six espèces d'équations trinômes. » Un cubk et des CAiinés sokt éoaux a un bombre ('*). h Repré- sentons le nombre des carrés par la ligne AB (fig. 20), et cons- truisons un cube égal au nombre donné. Que le côté de ce cube soit H. Prolongeons AB en ligne droite, et faisons BT égale à H. Complétons le carré BTDC, et faisons passer par le point D une hyperbole ayant pour asymptotes BC et BT, à savoir l'hyperbole EDN , ainsi que cela est connu en vertu des propositions quatrième et cinquième du second livre , et de la cinquante-neuvième proposition du premier livre (***). La co- nique EDN sera connue de position , parce que le point D est connu de position, et que les deux lignes BC, BT, sont con- nues de position. Décrivons ensuite une parabole ayant pour sommet A, pour axe AT, et pour paramètre BC. Que ce soit la conique AK ; elle sera connue de position. Les deux coniques s'entrecouperont nécessairement. Que le point d'intersection bx — a = Oesl toujours réelle et positive; les deux ' en aucun Je ces cas l'algebriste arabe *) Une des racines de l'équation autres sont toujours ou négatives n'en lient compte. "Jxvi, x' + cx'=a. AB=c, 5' = a, H = BC = BT. BC. BT asy m 1 '("!''- lt tqitUttn EDN . qui passe par le point n A sommet, AT aie, BC paramètre de la parabole AEK. Parabole . BC : EZ = ES : AZ Hyperbole . BZ : BC = BC : EZ BZ . AZ : "•) Voir éd. d'0»f. tt, 4, p. 109. BC = BC : AZ ;'+ BZ*. AB o a = BZ + r - BZ . i = BZ. — 39 — soit E. Alors £ sera connu de position. Abaissons de ce point les deux perpendiculaires EZ, EL, sur les deux lignes AT, BC. Elles seront connues de position et de grandeur. Maintenant , je dis qu'il est impossible que la conique AEK coupe la coni- que EDN dans un point tel, que la perpendiculaire abaissée de ce point sur la ligne AT tombe sur T ou au delà de T (*). Car supposons qu'elle tombe sur T, s'il est possible; alors son carré sera égal au produit de AT en TB, qui est égal à BC; mais cette perpendiculaire est égale à la perpendiculaire DT; donc le carré de TD sera égal au produit de AT en TB; mais, 25 d'un autre côté , le carré de TD serait égal au produit de BT en lui-même, ce qui est absurde; en sorte que la perpendiculaire ne peut pas tomber sur T. Et de même elle ne peut pas tom- ber au delà de T, puisqu'alors cette perpendiculaire serait plus petite que TD, et que l'absurde aurait lieu à plus forte raison. La perpendiculaire tombe donc nécessairement sur un point situé entre A et T , ainsi que le fait EZ. Le carré de EZ est égal au produit de AZ en BC, donc AZ à EZ comme EZ à BC; et le rectangle EB est égal au rectangle DB, comme il est démontré dans la huitième proposition du second livre des Coniques (**); donc EZ à BC comme BC à BZ. Il suit que les quatre lignes AZ, EZ, BC, BZ, sont en proportion conti- nue. Conséquemment, le carré de la quatrième BZ est au carré * *) Le point d'intersection des deux coniques ne peut être ni D, ni un point de la partie DN de l'hyperbole. 1° Si c'était D, onaufait dans la parabole Dtf = AT . BC; mais BC= DT=BT; donc Bf = AT . BT oo BT = AT = AB 4* BT , ce qui est absurde. 2° Si c'était un point de la partie DN de l'hyperbole tel que P, en abaissant la perpendiculaire PQ, on aurait PQ < DT, donc PQ < DT ; et puis PQ = AQ . BC , donc DT > AQ . BC, ou BT > AQ . BT , ou BT>AQ, c'est-à-dire BT>AB+BT-fTQ, ce qui est absurde. — La môme chose peut être dé- montrée immédiatement comme suit : Puisque a,c,x sont considérés par l'algébriste arabe 3 3 comme des quantités positives, de l'équation x* + ex 1 = a il suit x=\/a — ex 2 < \/a ; 3 _ donc, puisque x est représenté par BZ, et t/â par BT, BZ < BT ; c. q. f. d. **) Éd. d'Oxf. , p. 1 14, Prop. 12. — 40 — de la troisième BC comme la troisième BC à la première AZ. Le cube de BC, que nous avons fait égal au nombre donné, sera donc égal au solide, dont la base est le carré de BZ et la hauteur AZ. Mais ce solide, qui a pour base le carré de BZ et pour hau- teur AZ, est égal au cube de BZ, plus le solide dont la base est le carré de BZ et la hauteur AB. Cependant, ce solide, ayant pour base le carré de BZ et pour hauteur AB, est égal au nom- bre donné de carrés. En sorte que le cube de BZ , plus le nom- bre donné de carrés du même, est égal au nombre donné; et c'est ce que nous nous proposions de montrer. Cette espèce ne comprend ni variété de cas ni problèmes impossibles (*). Elle a été résolue au moyen des propriétés de la parabole combinées avec celles de l'hyperbole. Cinquième espèce des six espèces d'équations trinômes qui restaient à être discutées. « Un cube et un nombre sont égaux A DES CARRÉS (**). » Représentons par la ligne AC (fig. 21) le nombre des carrés, * et décrivons un cube égal au nombre donné. Que le côté de ce *) L'équation # 3 +ar* — a = a toujours une racine réelle et positive, tandis que ses deux autres racines sont négatives ou imaginaires , et conséquemment négligées par l'algé- briste arabe. **)xvn, x 3 + a=cx 7 . AC = c,H =a. a, c,x sont considérés comme des quantités positives. H>AC. I, H = AC. x _ 3 1) x = H. . . kCx 2 = H eu ex 2 =0, donc ex 2 H. . . x* > KCx 2 ou x 3 > ex 2 , donc « s +a > ex 2 . II , H > AC . . impossible par des raisons tout à fait analogues. III, H < AC, BC=H. . .BC >AB ou i/â > r î carré BCDE=ïu=a T . < < 2 CA , CE asymptotes de l'hyperbole équilatère DZ (fig. 21 , i ), DT (fig. 21, s, s), qui passe par le point D. A sommet , AC axe, BC paramètre de la parabole AT (fig. 21 , « ), AL (fig. 21,2), AK(fig. 21,s)- — 41 — cube soit H. La ligne H ne pourra qu'être ou égale à la ligne AC, ou plus grande que AC, ou plus petite. Si H est égale à AC, le problème est impossible, parce qu'alors le côté du cube cherché sera nécessairement ou égal à H, ou plus petit, ou plus grand que H. Or, si le côté du cube cherché est égal à H, le produit du carré de ce côté en AC sera égal au cube de H , en sorte que le nombre sera égal au nombre de carrés, sans qu'on ait besoin d'ajouter à celui-là le cube (cherché). Si le côté du (cube) cher- 26 ché est plus petit que H, le produit du carré de ce côté en AC sera plus petit que le nombre donné, en sorte que le nombre de car- 1) BC = AB (fig. 21, « ) • • • BD = AB.BC ; donc D un point situé sur la circonférence de la parabole; l'autre point dont parle l'auteur aura pour abscisse (en prenant C pour origine) x = - c J l/T +1 J et pour ordonnée y = 2) BC> AB (fig. 21, «). . . BD > AB.BC; d'où il suit que la parabole passe en deçà du point D L'auteur dit encore que lorsque V / a> -c, x doit être JL 3 compris entre c et l/â ; de l'équation proposée x 3 + a=cx 7 il suit im- 3 _ médiatement ex 7 > x 3 ou x \/a. Observons d'abord qu'il ne pourra être question d'une rencontre des deux sections coniques que tant que \/a < -c, parce que de VH'T-c il suit 27 a ^ 8 c 3 > 4 c 3 , ce qui rendrait l'intersection imaginaire. Or on a d(cx* x 3 ) |2 ) • v = 3# j - c — x\y d'où il suit que, pour toutes les valeurs de dx %( 3 ) 2 3 - x comprises entre et - c, ex 7 — x 3 décroîtra avec x. Pour x = V^a y 3 puisque en même temps c < 2 \Za , on trouve ex 7 — x 3 < a ; donc pour 3 toutes les valeurs de x plus petites que l/ô, ex 7 — x 3 < a, ce qu'il s'a- gissait de prouver. — Le cas du contact donne deux racines égales et posi- 2 tives x = - c. s ^ 3) BC < AB (fig. 21, s). . . BD < AB.BC; la parabole passe au delà du point D, et ren- contre nécessairement l'hyperbole en deux points; ce qui suit aussi de ce 1 que de I/o < - c on tire 4c 3 >32 a > 27 a. 2 — 42 — rés sera plus petit que le nombre donné, sans qu'on ajoute en- core quelque chose à ce dernier. Enfin, si le côté cherché est pi grand que H, le cube de ce côté sera plus grand que le produit di son carré en AC, sans qu'on ajoute encore le nombre à ce cube Puis si H est plus grande que AC, l'impossibilité a lieu d. les trois cas à plus forte raison. 11 est donc nécessaire que soit plus petite que AC; sinon, le problème sera impossible Retranchons donc de AC la partie BC égale à H. La ligne BC sera ou égale à AB, ou plus grande que AB, ou plus petite. Qu'elle soit dans la première figure (fig. ai, i)égale; dans la conde (fig. ai, 2), plus grande; et dans la troisième (fig. ai plus petite. Complétons dans les trois figures le carré DC et faisons passer par le point D une hyperbole ayant poui asymptotes les lignes AC , CE. Ce sera dans la première figure la courbe DZ , dans la seconde et dans la troisième DT Décrivons ensuite une parabole dont le sommet soit situé au point A, dont l'axe soit AC et le paramètre BC. Ce ser; dans la première figure AT, dans la seconde AL, et dans la tro sième AK. Les deux coniques seront connues déposition. Dan: la première figure, la parabole passera par le point D, pan que le carré de DB est égal au produit de AB en BC, d'où i suit que D est situé sur la circonférence de la parabole. Celli ci rencontrera (l'hyperbole) encore dans un autre point, ce qu'on peut reconnaître par la moindre réflexion. Dans la se- conde figure, le point D sera situé en dehors de la circonfé- rence de la parabole, parce que le carré de DB y sera plus grand que le produit de AB en BC; alors, si les deux coniques se rencontrent dans un autre point par contact ou par inter- section, auquel cas la perpendiculaire abaissée de ce point (sur AC) tombe infailliblement sur le segment compris entn les deux points A et B, le problème est possible; sinon, il est BC î >ur ère — 43 — impossible. Ce contact , ou cette intersection , ont échappé à l'excellent géomètre Aboûl Djoûd (*), en sorte qu'il déclara que si BC est plus grande que AB, le problème est impossible ; en quoi il s'est trompé. Cette espèce est aussi celle parmi les six espèces dont avait besoin Almàhânî; de sorte qu'elle est connue. Dans la troisième figure, le point D est situé dans 27 l'intérieur de la parabole , en sorte que les deux coniques se coupent en deux points. Dans tous les cas(**), abaissons du point de rencontre une perpendiculaire sur AB. Que ce soit dans la seconde figure TZ. De même, abaissons de ce point une seconde perpendiculaire sur CE ; ce sera TR. Le rectangle TC sera égal au rectangle DC, et conséquemment ZC sera à BC comme BC à TZ. Or, TZ est ordonnée de la conique ATL, d'où il suit que son carré est égal au produit de AZ en BC ; donc BC à TZ comme TZ à ZA. Il en résulte que les quatre lignes sont en proportion continue , à savoir : ZC à CB comme CB à TZ f et comme TZ à ZA. Le carré de la première ZC sera donc au carré de la se- conde BC comme la seconde BC à la quatrième ZA; et consé- quemment le cube de BC , qui est égal au nombre donné, sera égal au solide dont la base est le carré de ZC et la hauteur ZA. Ajoutons à tous les deux le cube de ZC. Alors le cube de ZC , plus le nombre donné , sera égal au solide dont la base est le carré de ZC et la hauteur AC, lequel solide est égal au nombre donné de carrés; et c'est ce qu'il s'agissait d'obtenir. On discutera d'une manière analogue les deux autres cas., en *) Ce géomètre était contemporain d'Albtroûnt. Voir l'addition D, premier problème. **) Hyperbole : ZC:BC= BC:TZ Parabole •. BC ; TZ = TZ : ZA zc*: bc = bc : za » bc j =zc*. za ZC 3 +BC 3 ==ZC 3 +ZC 2 . ZA=ZC a . AC ou ZC 3 +a=C.ZC a , X = ZC. ~ 44 — observant que le troisième donnera nécessairement deux cubes comme solution du problème, parce que chacune des (deux) perpendiculaires (abaissées des deux points de ren- contre que les deux coniques ont en ce cas) coupera de CA un côté d'un cube (qui satisfait à l'équation proposée) , ainsi qu'on vient de le démontrer. II résulte de ce qui précède que cette espèce comprend une variété de cas , et qu'elle renferme des problèmes impos- sibles (*). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux sections coniques combinées d'une parabole et d'une hyper- bole. Sixième espèce des six espèces d'équations trinômes qui restaient à être discutées : « Un cube est ^gal a des carrés, plus des nombres (**) . » Représentons le nombre des carrés par la ligne AB (fig. 22), et construisons un solide ayant pour hauteur AB et pour base un carré, et qui soit égal au nombre dojiné. Que le côté de sa base soit BC et perpendiculaire à AB. Complétons le rectangle DB, et faisons passer par le point C, qui est connu de position, une hy- perbole ayant pour asymptotes les droites AB, AD, à savoir la conique CEZ. Puis décrivons une seconde conique, une para- bole ayant son sommet au point B, et son axe sur le prolonge- *) L'équation x* — ex* +c=0a toujours une racine réelle et négative, dont l'auteur ne tient donc aucun compte. Les deux autres racines sont positives ou imaginaires. Dès qu'elles ne sont pas positives, le problème est « impossible ». Quant aux différents cas mentionnés par l'auteur, ils ont été distingués dans la note précédente. **)xvm, cx 2 +a = x*. AB=c, AB.BC a =a. AB , AD asymptotes de l'hyperbole équilatère CEZ qui passe par le point C B sommet, BK axe, AB paramètre de la parabole BEH. Hyperbole: bc:ak=ek:ab,bc*: Âk =£k': âb' Parabole : AB: EK = EKt BK , KK*: AB = BK : AB bc': ak = bk: ab, Ik'.bk = ab.bc 1 HT' ÀB + ÂfT. BK = ÂK > . AD + AB . Bc'ou ÂK=C .AK + fl, JT = AK — 45 — ment de ÀB, et dont le paramètre soit AB. Ce sera la courbe BEH. Or ces deux coniques s'entrecoupent nécessairement. Que 28 leur point d'intersection soit E. Alors E sera connu de position. Abaissons de ce point deux perpendiculaires ET, EK, sur AB, AD. Le rectangle EA sera égal au rectangle CA, et AK sera à BC comme AB à EK. Les carrés de ces côtés seront donc également proportionnels. Mais le carré de EK est égal au produit de KB en AB, parce que EK est ordonnée de la conique BEH ; et conséquemment le carré de AB sera au carré de EK comme AB à BK. Le carré de BC sera donc au carré de AK comme BK à AB ; d'où il suit que le solide dont la base est le carré de BC et la hauteur AB, est égal au solide dont la base est le carré de AK et la hauteur KB , à cause de la proportionnalité réciproque des hauteurs et des bases des deux solides. En ajoutant à tous les deux le solide dont la base est le carré de AK et la hauteur AB , le cube de AK sera égal au solide dont la base est le carré de BC et la hau- teur AB, que nous avons fait égal au nombre donné; plus le solide dont la base est le carré de AK et la hauteur AB , lequel est égal au nombre donné de carrés. Le cube de AK sera donc égal au nombre donné de carrés du même, plus le nombre donné. Cette espèce ne renferme ni variété de cas, ni problèmes impossibles (*). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux sections coniques combinées, d'une parabole et d'une hyperbole. Après avoir ainsi terminé la discussion des équations tri- nomes , occupons-nous de celle des quatre équations quadri- nômes, dont chacune consiste dans une égalité entre trois *) L'équation # 3 — ex 2 — • a = admet toujours une racine réelle et positive ; les deux autres racines sont toujours imaginaires. termes et un terme. Première espèce des quatre équation: quadrinômes : « Un cure , des càrhés et des cotés sont égac: A DES NOMBRES {*). » Faisons BE (fig. i'5) égale au côté d'un carré égal au nomb donné des côtés, et construisons un solide ayant pour base 1 carré de BE, et égal au nombre donné. Que sa hauteur soit BC, et que BCsoit perpendiculaire à BE. Plaçons BD, égale au nombre donné des carrés, sur le prolongement de BC, et dé- 29 crivonssurDC comme diamètre le demi-cercle DZC. Complé- tons le rectangle BK., et faisons passer par le point C une hyper- bole ayant pour asymptotes les droites BE,EK.ElIe coupera le cercle au point C, parce qu'elle coupe CK, la tangenle au cercle; il suit donc nécessairement que l'hyperbole coupe le cercle dans un second point. Que ce poiut d'intersection soit Z. Alors Z sera connu de position, parce que le cercle et la coni- que sont connus de position. Abaissons de Z deux perpendi- culaires ZT, ZA sur EK, EA. Le rectangle ZE sera égal au rectangle BK.. En retranchant EL commun à tous les deux, il re3te le rectangle ZB égal au rectangle LK. Conséquemment ZL sera à LC comme EB à BL , parce que EB est égale à TL , et les carrés de ces côtés seront de même proportionnels. Mais le carré de ZL est au carré de LC comme DL à LC, à cause du cercle. Il résulte que le carré de EB sera au carré de BL x' + CX 1 -\-bx=a. EB =È, EB . BC=a, BD = e. DC diamètre dj cercle DZC EA , EK aflyinplotes île l'liy|n'rljoli' rquilalm' t~7. qui passe par le pniot C Hyperbole ; ZE=BK _ EL = BK _ EL OIP ZB = LK zl:l . LC = BL . DL = BL + BL . BD BL + BD . BL + EB . . LC + EB . BL = EB . BC i BL + rRL +6.BL = a,a:=BL. — 47 — comme DL à LC, d'où il suit que le solide dont la base est le carré de EB et la hauteur LC, est égal au solide dont la base est le carré de BL et la hauteur DL. Mais ce dernier solide est égal au cube de BL, plus le solide dont la base est le carré de BL et la hauteur BD, lequel est égal au nombre donné de carrés. Ajoutons de part et d'autre le solide dont la base est le carré de EB et la hauteur BL, lequel est égal au nombre (donné) de racines. Le solide ayant pour base le carré de EB et pour hau- teur BC, lequel nous avons fait égal au nombre donné, se trouvera être égal au cube de BL, plus le nombre donné de ses côtés et plus le nombre donné de ses carrés. Mais c'est ce que nous nous proposions de montrer. Cette espèce ne renferme ni variété de cas ni problèmes impossibles (*). Elle a été résolue au moyen des propriétés d'une hyperbole combinées avec celles d'un cercle. Seconde espèce des quatre espèces quadrinômes. «Un cube, DES CARRÉS ET DES NOMBRES SONT ÉGAUX A DES COTÉS (**). » Faisons AB (fig. 24) égale au côté d'un carré égal au nombre des côtés, BC égale au nombre donné des carrés, et faisons BC perpendiculaire à AB. Construisons un solide ayant pour base le carré de AB et égal au nombre donné, et plaçons sa 30 hauteur BD sur le prolongement de BC. Après avoir complété *) L'équation # 3 + c# a + ta — a = admet toujours une racine réelle et positive, tandis que ses deux autres racines sont ou négatives ou imaginaires, et conséquemment né- gligées par l'auteur. **) xx, x 3 + cx* + a = bx. ÂB =6, BC = c, Âb\ BD = a. AB, AE asymptotes de l'hyperbole équilatère ZDH qui passe par le point D. D sommet, DL axe , DC paramètre de l'hyperbole équilatère TDH. Hyperb.ZDH... AH=AD, donc AH — EM + DH= AD — EM + DH OU EL=LM, donc kl 2 ou ab': "bl* = hl" : ld* Hyperb. TDH... HL = LD.CL , BL l Ld'= CL : LD aï*: bT= cl : ld, il*, lc = ab ld BL 3 +BL\ BC +Iï\ BD=ÏB a . LD +15' . BD=7b\ BL ou BL +C.BL + a = b. BL, # = BL. 3* — 48 — le rectangle BE, faisons passer par le point D une hyperbole ayant pour asymptotes les droites ÀB, AE, à savoir l'hyper- bole ZDH. Décrivons ensuite une seconde hyperbole ayant son sommet au point D et son axe sur le prolongement de BD, et dont le paramètre et le grand axe soient égaux tous les deux à DC. Ce sera la courbe TDH. Cette conique coupera nécessairement la première au point D. Alors s'il est possible que les deux coniques se rencontrent encore dans un autre point, le problème est possible; sinon, il est impossible. Cette rencontre par contact (dans un point) ou par intersection, en deux points, dépend de ce qui est exposé dans le qua- trième livre du traité des Coniques. Or, nous avions promis de ne nous en rapporter qu'aux deux (premiers) livres de cet ouvrage. Toutefois ceci ne touche en rien à notre promesse , puisque, pourvu que les deux coniques se rencontrent , il est indifférent que ce soit par contact ou par intersection. Remar- quez cela. La rencontre peut donc être un contact ou une in- tersection; mais si l'une des deux coniques coupe l'autre dans un autre point que 1), elle la coupera nécessairement en deux points (outre en D). Dans tous les cas, abaissons du point de l'intersection ou de la rencontre quelle qu'elle soit, disons du point H, deux per- pendiculaires HM, KHL. Elles seront connues de position et de grandeur, puisque le point H est connu de position. Alors le rectangle AH est égal au rectangle AD. Retranchons EM, qui est commun à tous les deux; il reste MD égal à EH; puis ajou- tons à l'un et à l'autre de ceux-ci DH; il résulte ML égal à EL; d'où il suit que les côtés, et de même les carrés des côtés, de ces rectangles seront réciproquement proportionnels. Le carré de AB sera donc au carré de BL comme le carré de HL au carré de LD; mais le carré de HL est au carré de LD comme — 49 — CL à LD, ainsi que nous l'avons démontré plusieurs fois(*). Conséquemment le carré de AB sera au carré de BL comme CL à LD; d'où il suit que le solide dont la hauteur est LD, et la base le carré de AB, est égal au solide dont la base est le carré de BL et la hauteur LC. Mais ce second solide est égal au cube deBL, plus le solide dont la base est le carré de BL et la hauteur BC, lequel est égal au nombre donné de carrés. Ajoutons de part et d'autre le solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BD, lequel nous avons fait égal au nom- 31 bre donné. Le cube de BL, plus le nombre donné de carrés du même et plus le nombre donné , sera égal au solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BL, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BL. Mais c'est ce qu'il s'a- gissait d'obtenir. Il est évident que cette espèce admet différents cas: quel- quefois on trouvera dans les problèmes qui en dépendent deux côtés correspondant à deux cubes, et quelquefois cette espèce, c'est-à-dire les problèmes qui en dépendent, n'auront pas de solution (**). Elle a été résolue par les propriétés de deux hyperboles. C'est ce que nous nous proposions de démontrer. Troisième espèce des quatre équations quadrinômes. « Un CUBE, DES CÔTÉS ET DES NOMBRES SONT ÉGAUX A. DES CARRÉS (***). » Représentons le nombre donné des carrés par la ligne BE *) Voir pages 35 et 37. **) L'équation x* + ex 7 — bx + a = admet toujours une racine réelle et négative, né- gligée par l'auteur. Ses deux autres racines sont ou imaginaires (alors le problème est « im- possible »), ou positives et égales (a? = — -c + - l/36 + c* . . . contact des deux hy- perboles), ou positives et inégales (intersection des hyperboles en deux points , outre D), — ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l'auteur. ***)xxi, x* + bx + a=cx*. BE = c, bc*=ô, BC*. AB = o. Rectangle HC = rectangle ÇA. — AE diamètre du cercle AZLNE. CZ, CM asymptotes de l'hyperbole équilatère LHN qui passe par le point H. 4 — 50 — i iig. -*r>), et frisons BC égale au coté d'un carré égal au nombre ♦U\* c6té$« Que BC soit perpendiculaire à BE; construisons un lolido ayant pour buse le carré de BC et égal au nombre donné. Que la hauteur AB de ce solide soit placée sur le pro- longement île BE. Décrivons sur AE le demi-cercle AZE. I*u point G sera situé, ou dans l'intérieur du cercle, ou sur Ma vu conférence* ou en dehors du cercle. Qu'il soit d'abord situé dans l'intérieur du cercle. Prolon- néon* lit! jusqu'à ce qu'elle coupe le cercle au point Z; com- plétont* le rectangle AC> et construisons sur ZC un rectangle éyal au rectangle AC> lequel sera CH. Le point H sera connu lu poMiiou, parce que le rectangle CH est connu de grandeur, pin *e*anglwi sout aussi connus de grandeur, et que la ligne VA\ (vil ( unuue do position et de grandeur. Ce point tl aéra à son tour situé, ou dans l'intérieur du cer- ( le, ou \ur st& çivcouférence, ou en dehors du cercle. Qu'il guil d'abovd situé dans l'intérieur du cercle. Faisons im^y-j pîu" le pviul U une hyperbole ayant pour asymptotes \n di()ilc^ lÇ t (1A1. i>ans cette position elle coupera nécessai- iciiiciiL le evrcWcM deux points. Que les deux points d'inter- m 4 1 .nui soient L et N; ils seront connus de position. Abais- iii de. çç{i dcxx\ poiuts deux perpendiculaires LR, NF sur \\i> ci du poinl, L une perpendiculaire LT sur BZ. Le rec- uujjle LC gura égal au rectangle CH, et CH est égal à CA. \jtiutuus de piut l*l d'autre CK. On obtiendra DR égal à TK. \/a.bc. II) C est situé sur la circonférence du cercle 6 a = ac. III) C est situé en dehors du cercle b 2 > ac. **) C'est parfaitement inutile. — « Dans l'autre cas », c'est-à-dire pour raccourcir le rec- tangle CH dans l'un ou l'autre sens.— Il semble qu'ici l'auteur, de même qu'auparavant, dans la construction de HC sur une base terminée exactement par la circonférence du cercle, puis 4. — 52 — Alors, si la conique ne reucontre pas le cercle, le problème ont impossible. La démonstration de son impossibilité consis- tera dans l'inversion de ce que nous venons d'exposer. Lorsque ti tombe sur la circonférence ou en dehors du cercle , nous prolongeons CZ, et nous décrivons un rectangle ayant un de ses sommets au point C, et tel que, si Ton faisait passer par le sommet opposé au sommet C une hyperbole de la manière 3îl indiquée ci-dessus, elle rencontrerait le cercle par contact ou par intersection. On reconnaît cela au moyen de quelques es- sais successifs, en employant un cas de cette règle facile, que je ne reproduis pas ici, afin de laisser un exercice aux lecteurs de ce Mémoire. Car celui qui ne serait pas assez fort pour trouver cela lui-même ne comprendrait rien à ce traité, fondé sur les trois ouvrages mentionnés ci-dessus. Nous démontrons l'impossibilité des cas impossibles de cette espèce, par l'inversion de la démonstration que nous avons donnée pour les cas possibles. Pour cet effet, nous constatons d'abord que le côté du cube doit nécessairement tHre plus petit que EB, qui représente le nombre donné des carrés (*), parce que, si le côté du cube était égal au nombre donné des carrés, ce cube serait égal au nombre donné de carrés du même, sans qu'on ajoute encore au premier quelque autre chose en fait de nombre ou de côtés du cube; et si le côté du cube était plus grand que le nombre donné des carrés, le cube lui-même serait déjà plus grand que le nombre donné de carrés du même, sans qu'on ajoute encore quelque chose dan* U règle qu'il Ta donner aussitôt , a suivi les traces d'une discussion donnée par ce ma- tlittinatloien. qui, de l'aveu de l'auteur, s'était occupé antérieurement de cette équation. Mais fe Itt lin, AlkliayyAml, comme on verra, rejette toutes ces particularités inutiles, et leur sub- Mitiie une règle qui ne contient en effet que ce qui suffit et ce qui est nécessaire. *) SI Ton avait x *T c , U s'ensuivrait # 3 > ca? 5 et x % + bx + a > ex* ; de sorte que , l'Oiu que l'équation x* + bx + a = cr 7 puisse subsister, il faut qu'on ait x < c. — 53 — >e. Il est donc démontré que le côté du cube doit être •etit que BE. Conséquemment coupons de BE une partie . égale au côté du cube, et menons de F une perpendiculaire (à BE) jusqu'à la circonférence du cercle. Puis, intervertissons la démonstration proposée ci-dessus : il résultera que le som- met de la perpendiculaire sera situé sur la circonférence de l'hyperbole (*), dont on avait dit qu'elle ne peut rencontrer le cercle. Mais cela est absurde. Cependant, puisque je suis d'opinion que ces essais pour- raient sembler incommodes à quelques-uns des lecteurs de ce Mémoire, je vais rejeter tout ce procédé, et proposer une règle indépendante de ces essais. Elle consiste à construire sur une ligne (de longueur) arbitraire, prise sur le prolongement de BC, quelle que soit d'ailleurs la position du point C, en dehors ou en dedans du cercle, un rectangle ayant un de ses sommets au point C et égal au rectangle ÀC, les côtés duquel rectangle seront infailliblement connus de grandeur et de po- sition. Ensuite, à faire passer par le sommet opposé au som- met C une hyperbole ayant pour asymptotes ZC, CM, la der- 34 ni ère de ces deux lignes étant la perpendiculaire (à ZC) au point C. Alors, si la conique rencontre le cercle par contact *) En effet, puisqu'on avait supposé que BF représente le côté du cube demandé, on a BF 3 + BC ". BF + BC*. AB = BE . *BF = BF 3 -f- BF*. FE; doncBC . BF + BC . AB =1Sf\ FE ou BC . AF = BF . FE, et conséquemment BC : BF = FE : AF. Mais on a dans le cercle ÏF: FA*= FE : AF, doncTF :"fT="bC 2 :Tw=7d : BÏ'et NF . FB = FA . AD ou SF == DF, par conséquent SF — CF = DF — CF ou NC = ÇA = CH; d'où il suit que N est situé sur la circonférence d'une hyperbole qui passe par H, et qui aZC, CM pour asymptotes. A l'occasion des autres espèces qui présentent des cas « impossibles » , l'auteur s'est toujours borné à remarquer que l'impossibilité a lieu lorsque les deux coniques qui construi- sent le problème ne se rencontrent pas , sans le prouver. La démonstration qu'il indique ici irait, avec quelques changements, aux autres cas semblables ; de sorte qu'on la pent suppo- ser donnée une fois pour toutes. J'ai signalé (addition D , premier problème) une semblable démonstration donnée par un autre géomètre arabe. ou par intersection, le problème est possible; sinon, il impossible. La démonstration de l'impossibilité sera celle qi j'ai présentée ci-dessus. Un géomètre qui avait besoin de celte espèce la résolut fectivement, si ce n'est qu'il ne démontra pas la variété de ses cas, et qu'il ne lui vint pas à l'esprit que quelquefois la solu- tion est impossible, ainsi que nous l'avons démontré. Donc, remarquez cela, et remarquez surtout la seconde règle relative à la construction de cette équation , et à la distinction des cas possibles d'avec les cas impossibles. Cette espèce a été résoli au moyen des propriétés du cercle combinées avec celles l'hyperbole ; et c'est ce que nous nous proposions d'expliqui Voici le problème qui obligea un des géomètres modem* à chercher la solution de cette espèce (*) : Diviser dix en deux parties, de sorte que la somme des carrés des deux parties, plus le quotient de la partie majeure parla partie mineure, soit égale à soixante-douze. Or il posa une des deux parties égale à « chose », et l'autre égale à dix moins chose, ainsi que c'est la coutume des algébristes dans les exemples qui prési tent de semblables parties. Alors l'emploi des opérations gébriques conduit à un cube plus cinq en nombre et pli treize et demi de ses côtés égal à dix carrés. Dans cet exempt les deux points C, H tombent exactement dans l'intérieur di cercle; et ce géomètre excellent résolut le problème, qi avait résisté aux efforts de tous les mathématiciens distingi de l'Irak, du nombre desquels était Aboû Sahl Alqoùhi ("' cas *, (10 — z)* + x*-\ = 73. ou £ J + 13 ;i+ ;.= 10J'; les rnci -ï = 3, x = \± z 1^74. Les deux points C , H tombent loua les deux eu deliors de; l'assertion contraire du leite doit donc être atlribuée à une faute de copie c> par liasard aux deux manuscrits, ou à une erreur momentanée de l'auteur **) Ce surnom ■ Àlqoûiil ■ est expliqué dans le QitAb Atfihral, par les mots iSj I ^y ,.l~ i-Js JLjv . Pour des détails concernant la vu 1 de ce géomètre , je me bomoà ren- injer a f'usii i, lom. I, p. 4M-4W, rt Aboùl Faradj, tit. dePotoïke, p 32U Mais je — 55 — que Dieu soit miséricordieux envers eux! — si ce n'est que l'au- teur de cette solution, que Dieu lui soit favorable! tout illustre pléterai ce qu'on trouve dans Casiri au sujet des ouvrages d'Alqonhl. En voici d'abord le ca- talogue, extrait du Qitâb Âlfihrist : 1) Traité des centres des instruments (O^jJ ; le texte de Casiri et le Ms. du Târtkli «I Hoq. de la Bibl. nat. portent S*\ 9 « des sphères »), qu'il laissa inachevé. 2) Traité des éléments à la manière de Pouvrage.d'Euclide (,-, JulS \ s^>\j& jx* ^X& ; le texte de Casiri porte /^jJ^! OoJ **° ^Jlc , et le Ms. du TArikh al Hoq. ^Jx ^-»JulS I ^ïjfysr* ; tous les deux ajoutent encore à cet ouvrage qu'il resta inachevé). 3) Traité du compas parfait; deux livres. 4) Traité de l'art de construire des astrolabes, avec démonstrations; deux livres. 5) Traité de la détermination des points sur des lignes. 6) Traité au sujet des logiciens relativement à la combinaison continue des deux mouve- ments, à la défense de ThAbit Ben Korrah. 7) Traité des centres des cercles situés sur des lignes, suivant la méthode de l'analyse , «ans synthèse. 8) Traité de la construction des deux lignes en proportion. 9) Traité des cercles qui se touchent, suivant la méthode de l'analyse. 10) Traité des additions au second livre d'Arcbimède. 11) Traité de la détermination du côté de l'heptagone inscrit au cercle. Quant aux ouvrages 7 et 9, j'ai rencontré, dans un Ms. de la Bibl. nationale , uu mémoire d'Alqoûhl, intitulé : « Des centres de cercles qui se touchent, situés sur des lignes ». Alqoûhl y résout successivement les problèmes suivants : Construire un cercle passant par deux points donnés — ou touchant deux droites données — ou passant par un point donné et touchant une droite donnée — et dont le centre soit situé sur une droite donnée; constr. un cercle passant par un point donné et touchant une droite donnée — ou touchant une droite donnée et un cercle donné — et dont le centre soit situé sur une courbe quelconque donnée; constr. tin cercle passant par un point donné et touchant un cercle donné, et dont le centre soit situé sur une droite — puis sur une courbe quelconque donnée; enfin, constr. uu cercle dont le centre soit situé sur une courbe quelconque donnée, et touchant deux cercles donnés. A la tin de ce mémoire, l'auteur ajoute : « Avant de prendre connaissance du traité d'Apollonius sur les sections coniques, nous avions résolu un des cas spéciaux de ce problème, lequel ne con- duit pas à des sections coniques. C'est celui où la ligne connue de position est une partie de la circonférence d'un cercle , tandis que les centres des trois cercles sont situés sur la même droite. Nous en avons fait mention, ainsi que de quelques -unes de ces propositions, dans no- tre traité analytique, lequel nous avons intitulé de même : «Des centres de cercles qui se tou- chent, situés sur des lignes». Mais nous n'en avons pas parlé ici, parce que cela rentre dans les principes des subdivisions, et que si nous avions voulu nous occuper des subdivisions et des spécifications, et de la synthèse et de rémunération des différents cas des positions des points suivant la méthode employée par Apollonius dans un de ses ouvrages , notre traité se sérail trop étendu. Mais nous espérons pouvoir encore traiter à fond cet objet , si telle est la vo- lonté de Dieu. » Quant à l'ouvrage 5 , c'est probablement le mémoire d'Alqoûhî , dont une copie se trouve dans le même Ms. de la Bibl. nat., où il est intitulé «Traité du problème de mener d'un point donné deux lignes renfermant un angle donné». Il y est question de mener ces deux lignes de sorte qu'elles aboutissent à une droite donnée de position, et que le rapport — ou le pro- duit des deux segments interceptés entre le point donné et la droite donnée — ou que l'aire du triangle produit — ou que la base de ce triangle — ou que la somme des carrés des deux segments — ou que la somme de ces segments — ou leur différence — soit de grandeur don- née. Puis Alqoùlil résout les quatre premiers cas en supposant que la ligne donnée de posi - — 56 — et tout habile mathématicien qu'il était, ne conçut pas l'idée de ces différents cas, bien que parmi les problèmes de cette Jl« tion n'est plus droite , mais une circonférence de cercle. Si le sujet de ce mémoire corres- pond assez au titre de l'ouvrage 5 , son titre ressemble encore plus parfaitement à celui de l'ouvrage 8 , qui cependant indique peut-être un mémoire sur la construction des deux moyennes proportionnelles. Quant à l'ouvrage 10, que Casiri a pris pour une addition faite au traité d'Arcbimède sur les conoïdes et les sphéroïdes -r en quoi il s'est trompé i— je n'ai qu'à renvoyer aux addi- tions jointes à la tin de cette traduction. J'ai rendu compte dans l'addition C de ce que con- tenait ce mémoire d'Alqoûht. Quant à l'ouvrage 4, il en existe une copie dans un Ms. de la bibliothèque de Leyde; elle y occupe vingt-huit pages, et est suivie d'un commentaire. Quanta l'ouvrage 3, la bibl. de Leyde en possède également une copie, cotée n° 1 126 du ca- talogue de 1716, mais que je n'ai pas eue sous les yeux : cependant j'ai examiné un petit mé- moire d'un Ms. de la Bibl. nat. qui traite du même sujet, et dans lequel on cite Alqoûhl et Albtroûnt. Ce petit traité fut composé pour le célèbre sultan Almaliq Alnâcir SelâhEddtn Aboûl Mozhaffir.Ioûçouf ben Ayoûb, par Mohammed ben Alhoçaïn ben Mohammed ben Alhoçaïn . — Voici quel est le principe de cet instrument imaginé par les géomètres arabes pour décrire les sections coniques par un mouvement continu. Supposons un cône coupé par un plan, dé- signons par a l'angle générateur du cône , par p l'angle que fait l'axe dn cône avec le plan coupant , par K la partie de l'axe comprise entre le sommet du cône et le plan coupant. En désignant parjP et JA le paramètre et le grand axe de la section produite, on aura P A . _ A . sin a . cos a — = tg a . sm p, - = :± K " ' ' K ~~~ cos* a — cos'p on pourra déterminer a et p. En effet, posant pour abréger 1 /P sin p. Réciproquement , A, P, K étant donnés, ± v --t A = p, (-) +i—. on aura cos * a + (p R. I. — 59 — Cette espèce ne présente ni variété de cas ni problèmes impossibles (*). Après avoir terminé l'examen des quatre équations quadri- qônies, discutons les trois espèces dont chacune est composée de deux, termes qui sont posés égaux à deux autres termes. Première espèce des trois équations quadrinômes qui res- tent. « Uff CUBE ÇT DES CARRÉS SOHT ÉGAUX A DES COTÉS ET UN NOMBRE (**), » Faisons BD (fig. %*j) égale au côté d'un carré égal au nombre donné des côtés, et CB égale au nombre donné des carrés. Que CB soit perpendiculaire à BD. Construisons un solide ayant pour base le carré de BD, et égal au nombre donné. ■ Que la hauteur de ce solide soit S. La ligne S sera ou plus grande ou plus petite que BC, ou égale à BC. Que d'abord S soit plus petite que BC (fig. 27, 1 ). Prenons sur BC un segment AB égal à S , complétons AD, et prenons sur le prolongement de BD une longueur quelconque DZ. Décri- vons sur DZ un rectangle égal à AD, lequel soit ED. Le point E sera connu de position, et les côtés du rectangle ED seront tous connus de position et de grandeur. Faisons passer par le point E une hyperbole ayant pour asymptotes ZD, DO. Ce *) L'équation x* —ex* — bx — a = a toujours une racine réelle et positive ; les deux autres racines sont on imaginaires ou négatives, et conséquemment n'existent pas pour l'algébriste arabe. » a < **) XXIII, x i +cx i = bx + a. BD = Ô, BC=C, BD .S = a. S = BC. I) S < BC (fig. 27, 1 ) , AB = S. — Rectangle ED = rectangle AD. DZ, DO, asymptotes de l'hyperbole équilatère EH qui passe par le point E. A sommet, ABaxe, AC paramètre de l'hyperbole équilatère AHT. Hyperbole EH... HD = ED = AD, HD+ DK = AD-J-DK OU HB = AM HK : £1= MK*: KB = BD*: KB* Hyperbole AHT. . . HK*: KÂ*= CK : AK BD*: KB*= CK : AK, KB*. CK = BD*. AK KB 3 +"KB*. BC="BD . KB+TÛi*. AB ou KB^CKB = ÔKB+cr, JC = KR — 60 — sera la conique EH, et cette courbe sera connue de position. Décrivons ensuite une seconde hyperbole ayant son sommet au point A, son axe sur AB 9 et son paramètre et son grand axe égaux tous les deux à AC. Ce sera la conique AHT, et elle coupera nécessairement l'autre conique. Que cette intersec- tion ait lieu au point H. Alors H sera connu de position. Abaissons de H deux perpendiculaires HK, HL. Toutes les deux seront connues de position et de grandeur, et le rec- tangle HD sera égal à ED, lequel à son tour est égal à AD. Ajoutons le rectangle commun DK. Le rectangle HB sera égal à AM. Il s'ensuit que leurs côtés et les carrés de leurs côtés seront réciproquement proportionnels. Mais le carré de HK est au carré de KA comme CK à AK, en vertu de l'hyperbole AHT, ainsi que nous l'avons démontré plusieurs fois. Couse- quemment le carré de BD sera au carré de KB comme CK à AK, et le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur AK 37 sera égal au solide dont la base est le carré de BK et la hauteur CK. Mais ce second solide est égal au cube de BK, plus le solide ayant pour base le carré de BK et pour hauteur BC, lequel est égal au nombre donné de carrés. D'un autre côté, le premier des deux solides est égal au solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur AB, lequel nous avons fait égal au nombre donné, plus le solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur BK, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BK. Conséquemment le cube de BK, plus le nombre donné de ses carrés, est égal au nombre donné plus le nombre donné de ses côtés. Et c'est ce qu'il s'agissait d'obtenir. Lorsque S est égale à BC (*), BD sera le côté du cube cher- *) 2) S = BC. . .#=BD. Démons tr. BD*. BD = BD OU &.BD= BD BD . BC = BD . S ou C.BD = O conséquemment BD + c . BD = b . BD + a. — 61 — ché. Démonstration. Le solide ayant pour base le carré de BI) et pour hauteur aussi BD, et qui représente le nombre de cô- tés du cube de BD, est égal au cube de BD. Et le solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur BC, et qui repré- sente le nombre donné de carrés du cube de BD, est égal au solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur S, qui représente le nombre donné. Conséquemmentlecube de BD, plus le nombre donné de ses carrés, est égal au nombre donné plus le nombre donné de côtés. Et c'est ce qu'il s'agissait d'ob- tenir. Mais on reconnaîtra aisément que dans ce cas il y aura aussi égalité entre le cube de BD plus le nombre donné, et le nombre donné de carrés plus le nombre donné de côtés de ce cube ; en sorte que cette espèce rentre dans la catégorie de la troisième espèce, laquelle est : « Un cube et des nombres sont égaux à des carrés et des côtés. » Lorsque S est plus grande que BC (fi g. 27, 2), nous faisons AB égale à S, et faisons passer la seconde hyperbole par le point C, en prenant son paramètre et son grand axe, tous les deux égaux à AC. Elle coupera nécessairement l'autre conique, le côté du cube sera encore BK, et le reste de la construction et de la démonstration est analogue à ce qui précède, si ce n'est que le carré de HK sera au carré KA comme AK à KC (*). Il a été démontré que cette espèce présente des formes et des Mais en même temps BD + a = c.BD + ft.BD, ce qui rentre dans la catégorie de l'éq. 25) x* + a = ex 2 + bx. *) C'est-à-dire que les points A et C, tels qu'ils étaient dans la première figure, ont, si l'on veut, échangé leurs rôles. Mais en réalité la démonstration donnée ci-dessus s'applique rigoureusement aussi à la seconde figure, et l'on aura par rapport à celle-ci, comme aupara- vant, HK : KA. = CK : AK. — Le fait est que réellement rien n'est changé dans les deux coniques qui construisent l'équation; seulement l'intersection considérée ici se fait sur l'autre branche de la seconde hyperbole. On peut passer du premier cas au second en faisant mouvoir A sur BC vers C et jusqu'au delà de C ; lorsque A et C coïncident (S =BC) , — 62 — 38 cas différents , et qu'une de ses formes rentre dans la troi- sième espèce ; mais l'espèce actuelle ne donne pas Heu à des problèmes impossibles (*). Sa solution a été effectuée au moyen des propriétés de deux hyperboles. Seconde espèce des trois équations quadrinôtttes qui res- taient. «Un cube et des côtés sont égaux a des cabrés et des NOMBRES (**). » Faisons BC (fîg. 28) égale au nombre donné des carrés, et BD égale au côté d'un carré égal au nombre des c arréo - et perpendiculaire à BC. Construisons un solide égal au nombre donné, et ayant pour base le carré de BD. Que la hauteur de ce solide soit S. La ligne S sera ou plus petite que BC, ou égale à BC, ou plus grande que BC. Que d'abord S soit plus petite que BC (fig. 28, 1). Prenons sur BC un segment BA égal à S, complétons AD, décrivons sur AC comme diamètre un cercle AKC qui sera connu de position, et faisons passer par le point A une hyperbole ayant BD, DZ la seconde hyperbole s'identifie avec ses asymptotes, et la première hyperbole se trouve combinée avec une droite passant par A, et renfermant avec AB un angle de 45 degrés. *) L'équation x» + c« a — te — a = a toujoors une racine réelle et positive ; ses deux autres racines sont ou négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l'auteur. Les « différents cas » présentés par cette espèce sont S = BC, c.-à-d. - = c. > b > **) my, x' + bx*=cx*+a. BC=c, BD=ft, BD. a S = a. S = BC 1) S < BC (fig. 28, 1), AB = S. AC, diamètre du cercle AKC. DB, DZ, asymptotes de l'hyperbole équilatère HAT qui passe par le point A. Hyperbole: AD = KD, AD— MZ+AK = KD— MZ+ AK on BK=AL kk*: eâ= le : ïeWbd : be 1 Cercle: KE*: EA*= EC : EA BD : BE = EC : EA, BD . EA = BE . EC BÏ 3 +BD . EA = B?+BÊ\ EC= BE*. BC BE+BD*. BE = BC . BÊ+BD*. AB OU BE 3 + &.BE=C.BÊ+a, JC=BE. — 63 — pour asymptotes. Ce sera la conique HAT, et elle sera eonnue de position. HAT coupe AZ, la tangente au cercle, et conséy quemment coupe le cercle, parce que, si elle tombait entre le cercle et AZ , nous pourrions mener du point A une tangente à la conique, ainsi qu'il est exposé par Apollonius dans la soixantième proposition du second livre (*). Alors cette tangente pourrait , ou bien tomber entre AZ et le cer- cle, ce qui est absurde — ou bien au delà de AZ, en sorte que AZ- serait une ligne droite tombant entre la conique et sa tangente , ce qui est également absurde. La conique TAH ne tombe donc pas entre le cercle et AZ, et par conséquent coupe alors ce dernier. Et nécessairement elle coupera ce dernier encore dans un autre point. Que cette intersection ait lieu au point R. Alors K sera connu de position. Abaissons de ce point deux perpendiculaires RM, KE sur BC, BD. Toutes les deux seront connues de position et de grandeur, comme on le sait. Complétons le rectangle RD. Le rectangle AD sera égal au rec- tangle KD. Retranchons le rectangle commun MZ, et ajou- tons le rectangle commun AK. Alors BR sera égal à AL, et les côtés de ces deux rectangles ainsi que les carrés de leurs côtés seront réciproquement proportionnels. Mais le carré de RE est au carré de EA comme EC à EA. Conséquemment le carré de BD est au carré de BE comme EC à EA; et le solide dont la 39 base est le carré deBD, et la hauteur EA, est égal au solide dont la base est le carré de BE et la hauteur EC. Ajoutons à tous les deux le cube de BE. Le solide dont la base est le carré de BE et la hauteur BC sera égal au cube de BE, plus le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur EA. Mais le pre- mier solide est égal au nombre donné de carrés du cube de *) Éd. d'Oxford, livre II, prop. 49, pag. 140. — 64 — BE. Ajoutons de part et d'autre le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur BA, lequel nous avons fait égal au nom- bre donné. Alors le cube de BE, plus le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur BE, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BE, sera égal au nombre donné de carrés du même, plus le nombre donné. Et c'est ce qu'il s'a- gissait d'obtenir. Lorsque S est égale à BC (*), BC sera le côté du cube cher- ché. Démonstration. Le cube de BC est égal au nombre donné de ses carrés, et le solide dont la hauteur est BC, et la base le carré de BD, est égal au nombre donné, et égal aussi au nom- bre donné de côtés du cube de BC. Conséquemment le cube de BC, plus le nombre donné de ses côtés , est égal au nombre donné de ses carrés plus le nombre donné. Mais ce cas rentre aussi dans la catégorie de la troisième espèce, parce que le nombre donné de côtés du cube de BC est égal au nombre donné, en sorte que le cube de BC, plus le nombre donné, est égal au nombre donné de carrés plus le nombre donné de côtés de ce cube. Lorsque S est plus grande que BC (fig. 28, 2) (**), faisons BA égale à S, et décrivons le cercle sur AC comme diamètre. Alors *) 2) S = BC. . .# = BC.D4mon**r.BC = BC.BC a 00 B(f= CBC* BD . BC = BD*. S ou fc.BC = a conséquemment BC + 6.BC = c.BC + a. — 3 — * Mais en même temps BC + a = c.BC + b . BC , ce qui rentre dans la catégorie de l'éq. 25) x* -{-a=c. x 7 + b.x. •*) 3) S > BC (flg. 28,i), AB = S. Hyperbole : AD = KD, AD — ED = KD — ED ou EZ = BK kë*: ëâ*= za': bë = bd*: bë* Cercle : KË*: ËÂ*= EC : EA BD : BE = EC : EA, BE . EC = BD . EA BË = b5\ EA + Be! BC, ÊF+ BD* EB=BD*. AB-f-BC. BE ou BK + ô.BE = rt ■+■ C.BE, #=BE. — 65 — l'hyperbole qui passe par le point A coupera le cercle au point K, comme nous l'avons démontré. Abaissons du point K deux perpendiculaires KE, KM, ainsi que nous l'avons fait dans la figure précédente. EB sera le côté du cube cherché, et la démonstration est comme auparavant. Nous retranchons le rectangle commun ED; les côtés des deux rectangles EM, EZ, ainsi que les carrés de ces côtés, seront réciproquement pro- portionnels, et la démonstration sera absolument analogue à la précédente, sans rien y changer. On vient de démontrer que cette espèce présente des formes et des cas différents, et qu'une de ses formes rentre dans la 40 catégorie delà troisième espèce. L'espèce actuelle ne donne pas Heu à des problèmes impossibles (*), et a été résolue au moyen des propriétés du cercle et d'une hyperbole. Troisième espèce des trois équations quadrinômes qui res- taient. « Un cube et des nombres sont égaux a des côtés et DES CARRÉS (**). » Faisons BC (fig. 29) égale au nombre des carrés, et BD per- pendiculaire à BC , et égale au côté d'un carré égal au nombre *) L'équation « 3 — . ex 1 + bx — a = a toujours une racine réelle et positive. Dans les cas 2) et 3), lorsque - ZT c, les deux autres racines sont imaginaires ; mais dans le pre- ^ a mier cas, - < c, elles peuvent être positives, en sorte que l'équation alors aura trais racines positives. Il est bien à regretter qu'une circonstance aussi importante ait pu échapper à l'auteur. a a < **) kv, x 3 + a =ar* + bx. BC = c, BD = b, BD . S = o. S = BC 1) S < BC (fig. 29, 1), AB = S. BD, DZ, asymptotes de l'hyperbole équilatère HAT qui passe par le point A. C sommet, CE axe, AC paramètre de l'hyperbole équilatère KML. Hyperbole H AT... DA = DM, DA— ZN+AM=DM— ZN+AM ou NE=ZE ——a —a a ——a — — a a ME : EA = OE : BE = DB : BE Hyperbole KML... MÈ* : Ë a = CE : EA BD* : BE*= CE : EA, BE*. CE = BD*. EA BÊ*. BC + BË*. CE OU BË 3 = BE*. BC + BD *. EA BE + BD . AB =~BE. BC + BD . BE ou "51*+ a = C.BE+ ô.BE, X v= BE. 5 — 66 — des racines. Construisons un solide ayant pour base le carré de BD, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit S. La ligne S sera, ou plus petite que BC, ou égale a BC, ou plus grande que BC. Que d'abord S soit plus petite que BC (fig. 29, 1). Prenons sur BC un segment BA égal à S 9 complétons BZ, faisons pas- ser par le point A une hyperbole ayant pour asymptotes BD, DZ, laquelle soit la conique HAT, et décrivons une seconde hyperbole ayant son sommet au point C, son axe sur le prolon- gement de BC, et son paramètre et son grand axe égaux tous les deux à AC. Cette hyperbole, qui sera KCL, coupera infailli- blement l'autre conique. Que l'intersection des deux coniques KCL et HAT ait lieu au point M. Le point M sera connu de po- sition, parce que les deux coniques sont connues de position. Abaissons de ce point deux perpendiculaires MN, EMO. Elles • seront connues de position et de grandeur, le rectangle DA sera égal au rectangle DM ; et, par les raisonnements que précé- demment nous avons employés plusieurs fois, on trouvera NE égal à ZE, et conséquemment les côtés de ces deux rectangles et les carrés de leurs côtés seront réciproquement propor- tionnels. Mais le carré de ME est au carré de EA comme CE à EA, en vertu de l'hyperbole KCL. Conséquemment le carré de BD sera au carré de BE comme CE à EA, et le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur EA sera égal au solide dont la base est le carré de BE et la hauteur CE. Ajoutons à tous les deux le solide dont la base est le carré de BE et la hau- teur BC, lequel représente le nombre de carrés du cube de BE. Alors le cube de BE sera égal au nombre donné de ses carrés, plus le solide dont la base est le carré de BD et la hau- 41 teur EA. Ajoutons de part et d'autre le solide dont la hauteur est BA et la base le carré de BD, lequel nous avons fait égal au — 67 — nombre donné. Il résultera que le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur BE, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BE, plus le nombre donné de carrés du cube de BE, est égal au cube de BE, plus le nombre donné. Lorsque S est égale à BC (*), BC sera le coté du cube. Dé- monstration. Le cube de BC est égal au nombre donné de ses carrés, et le nombre donné est égal au nombre donné de cotés du cube de BC. Conséquemment le cube de BC, plus le nom- bre donné, est égal au nombre donné de carrés, plus le nom- bre donné de cotés de ce cube ; et c'est ce qu'il s'agit d'obtenir. D'un autre côté, le cube de BC, plus le nombre donné de ses cô- tés, sera égal au nombre donné de ses carrés, plus le nom- bre donné ; en sorte que ce cas rentre dans la seconde espèce. Lorsque S est plus grande que BC (6g. 29, 2) (**), faisons BA égale à S, complétons le rectangle (BZ), et faisons passer la pre- mière hyperbole par A et la seconde également par A. Elles se couperont. Or, si les deux coniques ont une seconde rencon- tre, soit par contact en un seul point ou par intersection en deux points, ainsi que cela est connu d'après le quatrième livre du traité des Coniques, le problème sera possible; sinon, il *) 2) S = BC . . a?=BC. Démonstr. BC = BC . BC*ou BC = c.Bc' BD.S=BD .BCoo a = ft.BC S a conséquemment BC + a = c. BC + &.BC. Mais en même temps aussi BC+ fc.BC = c . BC + a , ce qui rentre dans la catégorie de l'équation 24) x* + bx = ex 2 -h a. Ce qui échappe à l'auteur, c'est que dans ce cas aussi x =BD sera une solution, et que l'on a BD = BD . BD ou BD = fc.BD BDS=BD . BCOU a = C.BD 3 a donc BD + a = c.BD + 6.BD. Et en même temps on aura BD+c.BD = ft.BD + a, ce qui rentre dans la catégorie de l'équation 23) x 3 + ex 2 = bx + a. **) 3) S > BC (fig. 29, 2) , AB = S. — Hyperbole HAT comme auparavant. — A sommet, AE aie, AC paramètre de Khyberbole équilatère KML. — Ensuite la démonstration donnée pour le cas 1) s'applique trait pour trait à cette seconde figure. 5. — G8 — sera impossible. Si les deux coniques se coupent, abaissons des deux points d'intersection deux perpendiculaires ; elles déter- mineront, comme segments, deux côtés correspondant à deux cubes (dont chacun satisfait à l'équation proposée). La démons- tration est comme ci-dessus, sans que rien y soit changé. On vient de démontrer que cette espèce a différents cas, et parmi eux d'impossibles (*). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux hyperboles. Il est évident aussi que ces trois équations quadrinônies ren- trent l'une dans l'autre, c'est-à-dire qu'on trouve un cas de la première qui est exactement aussi un cas de la seconde (**), et un cas de la seconde identique avec un cas de la troisième, et un cas de la troisième qui s'identifie absolument avec un cas de la seconde, ainsi que nous l'avons démontré. Après avoir ainsi terminé la discussion des vingt-cinq espèces des propositions de l'algèbre, après en avoir fait l'examen le plus exact et le plus complet, après avoir fait connaître les cas particuliers de chacune de ces espèces, après avoir proposé ■| Dans les cas S ^ BC, c.-à-d. g ^e, l'équation x~- — ex' — bx + a = a touji deux racineB positives. Dans te cas - < c, l'auteur ne trouve par sa construction qu'une seule île ces deux cines , tandis que l'autre lui échappe. A celte dernière correspond le point d'intersection F (Bg. 29, >) de l'hjperbole HAT avec l'nutre brandie île l'hyperbule KCL, La perpendiculaire abaissée de P 6ur BA rencontrera cette ilroile entre B et A, c.-à-d. que celte perpendiculaire rencontrera le coté posilil de l'axe àm ahtdiMI. L'antMi ^it dn remarquer cette cir- Lorsque - = c , l'autre racine positive est x = + V'b ï cir- ront Pour le cas - > c, l'auteur observe avec juntose que. nu liien les deux coniques ailro une intersection en deux points, ou un contact en un point, ou le problème sera impossible; e.-à-il. que l'équation a, un bien deux racines positives et mégiiles, mi positives et égales I x = ; e + ; \/%b + c' J , ou deux racines imaginaires. Dans tous les trois cas l'équalion a, outre ces deux racines conjuguées, un et négative, dont l'existence est naturellement ignorée par l'algébrisle Limbe. ") Plutôt de U kratttue. Voir pag fin iilt. aqq. — 69 — la règle pour distinguer les cas possibles d'avec les impossibles 42 dans les espèces qui admettent des problèmes impossibles, et après avoir démontré que la plupart d'entre elles n'en admet- tent pas (*), occupons-nous des parties correspondantes (**). La partie de la chose est le nombre qui est à l'unité comme l'unité est à cette chose (***). Donc , si la chose est trois, sa partie est un tiers ; et si la chose est un tiers, sa partie est trois. De même si elle est quatre, sa partie est un quart; et si elle est un quart, sa partie est quatre. Et en général la partie d'un nombre quelconque est la partie dénommée d'après ce nombre (****), comme le tiers d'après trois, lorsque le nombre est entier, et trois d'après un tiers, lorsque le nombre est frac- tionnaire. Pareillement la partie du carré est la partie dé- nommée d'après le nombre égal à ce carré, que ce nombre soit entier ou fractionnaire; et il en est de même relativement à la partie du cube. Et, pour en rendre l'évidence plus palpa- ble, disposons ces parties en tableau : Partie du cube. Partie du carré. Partie de la racine. 1 2 Cube. 8 La partie du cube est à la partie du carré comme la partie *) En effet, parmi les 25 espèces, 7 seulement, à savoir les équations 8, 11, 14, 17, 20, 21, 25, donnent lieu à des cas dans lesquels l'équation n'admet pas des racines réelles et positives. **) Pour ôter à la terminologie employée par l'auteur dans ce qui suit ce qu'elle peut, au premier abord, avoir de choquant, il suffira de remarquer qu'il entend par « partie de A » la valeur réciproque de À, et par « N parties de A » la fraction -. on peut d'ailleurs corn- A pacer à ce sujet les définitions du septième livre d'Euclide. ***) - : 1 = 1 : x. x 1 î 8 4 Unité. Racine. Carré. i 2 4 k ) C'est-à-dire la fraction ayant pour dénominateur ce nombre, et pour numérateur l'imité. nfer- ie du du carré à la partie de la racine, comme la partie de la racine à l'unité, comme l'unité à la racine, comme la racine au carré, et comme le carré au cube. Ce sont donc sept degrés en pro- portion continue. Nous allons traiter exclusivement des équations qui ont lieu entre lesdits degrés. Quanta la partie du 43 carré-carré et à la partie du quadrato-cube et à la partie du cubo-cube, et ainsi de suite, elles sont aussi en proportion continue. Mais nous n'avons pas besoin de nous en occuper, parce qu'il n'y a pas moyen de résoudre (les équations re: mant) ces autres degrés. Sache que si tu considères le huitième, qui est partie cube, comme cube, sa partie sera huit, ce qui est le cube par inversion (*). Et la même règle s'applique aux autres parties; de sorte que ces quatre degrés, la partie du cube, la partie du carré, la partie de la racine et l'unité, forment une analogie avec le cube, le carré, la racine et l'unité. Par exemple, si l'on dit(**) : « Une partie de carré est égale à la moitié d'une partie de racine, » c'est la même chose que si l'on avait dit: « Un carré est égal à la moitié d'une racine. » Alors ce carré est un quart, ce qui est en réalité une partie de carré, et le carré cherché sera quatre, la partie (du carré cherché) un quart, et la partie de la racine (du carré cherché) un demi. C'est là la méthode à suivre pour les équations simples. Quant aux équations composées, lorsqu'on dit (***) *) c'est- à-dire que ai à — on a substitué s', on trouvera x', en (irenant , i déterminé s', la valeur réciproque de s\ **) Equation proposée : ~, = - - - ; on resotil l'a-i, ce qui donne donc x' =4, Ji=£i - =j. *'•) Equation pio|H>séi' : ~ -\- 1 - — \ , , nu résout s'+ ]s = =;, *> = {, donc *' = *. iode — 71 — partie de carré et deux parties de racine sont égales à un et un quart , » c'est comme si l'on avait dit : « Un carré et deux racines sont égaux à un et un quart. » Alors, au moyen de la méthode exposée précédemment , on trouve la racine égale à un demi et le carré égal à un quart, si ce n'est que l'énoncé du problème portait « une partie de carré et deux parties de racine. » Donc le quart, qui était d'abord le carré, sera la par- tie du carré cherché, et le carré cherché sera quatre. On suivra le même procédé dans les équations à quatre termes. Lorsqu'on dit (*) : « Une partie de cube plus trois parties de carré plus ciuq parties'de racine sont égales à trois et trois huitièmes , » alors c'est comme si l'on avait dit : ce Un cube plus trois carrés plus cinq racines sont égaux à troiset trois hui- tièmes. » Au moyen de la méthode exposée ci-dessus et fondée sur les sections coniques, on déterminera le côté du cube, le- quel sera la partie de racine cherchée. Nous poserons donc ce côté à l'unité donnée, comme l'unité donnée à une autre ligne (iuconnue). Cette dernière ligne sera le côté du cube cherché. Il est évident qu'il existera entre ces quatre degrés vingt- cinq autres espèces de telles équations, proportionnelles aux vingt-cinq espèces précédentes. Quant à la multiplication de l'un de ces degrés par l'autre, c'est une matière suffisamment connue par les ouvrages des algébristes, facile à comprendre, et sur laquelle, conséquent 44 ment, nous ne nous étendrons pas (**). Or, quant aux équa- tions entre ces quatre degrés et les quatre degrés précé- *) Équation proposée : -5 + 3-5 + 5 -=3 - ; on résout s 3 + 3s 2 + bz= 3 - ; ayant X Où X o © déterminé la racine Ç de cette dernière équation, on fait Ç : 1 = 1 : /, et l'on aura x = l. **) L'auteur appelle ici préalablement l'attention du lecteur sur la multiplication des dif- férentes puissances de l'inconnue l'une par l'autre, parce que c'est le moyen qu'il emploie pour résoudre les équations qu'il va pro|toser. dénis (*), on y procède comme je vais exposer. Lorsqu'on dit (**) : « Un cube est égal à dix parties de cube, » c'est-à- dire à dix parties de lui-même, alors ie cube est le premier des sept degrés, et parties du cube le septième. Multiplie l'un par l'autre, et prends la racine du produit. Le résultat sera (de l'ordre) du degré moyen , c'est-à-dire du quatrième ("*), et égal au cube cherché. Pour plus de précision, nous remarque- rons que chaque nombre multiplié en sa partie produit l'u- nité; que, multiplié en deux de ses parties, il produit deux; et que, multiplié en dix de ses parties, il produit dix en 1101 bre ("**). Et c'est comme si dans notre exemple on avait di « Quel cube mulliplié en lui-même est égal à dix? » Donc la racine de dix sera le cube cherché. Puis la détermination du côté de ce cube est effectuée de la manière démontrée ci-des- sus au moyen des sections coniques. — Et de même lorsqu'on dit (*****) ; u Quel carré est égal à seize des parties dénommées d'après lui ? » alors multiplie l'unité en seize et prends la racine du produit, laquelle est quatre; ce sera le carré cherché. Et, conformément à la règle précédente, c'est comme si l'on avait dit : « Quel carré multiplié en lui-même est égal à seize ?» — Et de même lorsqu'on dit (**'***) : a Quelle racine est égale ;t quatre de ses parties? » c'est comme si l'on avait dit : « Quel : lit! •] L'auteur suppose les sept puissances arrangées ite la manière suivante : I) X> 3) »» 3) x 4) t 5) i 0) ^ 7) ^3 ■(»■»-» = l/|6 = 4. = 1/* = j. — 73 — nombre multiplié en lui-même produit quatre ? u Or, ce nom- bre est deux. Mais si l'on dit (*) : « Quel carré est égal à un certain nom- bre de parties du cube de son côté? » alors la solution de ce problème ne peut pas être effectuée au moyen des méthodes que nous avons exposées, parce qu'elle dépend de la détermina- tion de quatre lignes (moyennes proportionnelles) entre deux lignes données (**), eu sorte que les six lignes soient en propor- tion continue. C'est ce qui a élé démontré par Aboù Ali lbn Alliait harn (***) , que Dieu le Très-Haut soit miséricordieux en- **) En effet, déterminant quatre ligne I ***) Voir CasiTi, t. I, pag. M sqq. — Aboût Farailj, éd. île Pococke, pag. 340-34Ï.— Gartz, de Interprétions et Euplanatoribus Euclidis Arabicis ; Halae, 1 823, pag. S2-Î4. En vertu de la règle donnée par M. deSacy dans non Anthologie granwialkale(pag. llî), j'ai adopté dans le texte la leçon du ma. C; car j'ai trouvé que le nom complet de ce géomètre était Alhaçan Ben Alhar.an Ben Al liait ham , de sorte que d'Alhaïlhnm a lui il n'y a pas descendance immédiate. Relativement aux ouvrages d'Ihn Alhaïlham, et particulièrement à ceux de ses ouvrages i[iii se rapporleut au) sciences mathématiques, j'extrais deux passages du ms. des Biogra- phies des médecins célèbres par lbn Abi Oçatbiah, que possède la Bibliothèque nationale. Dans le quatorzième chapitre dg son ouvrage, lbn Abt Ocaïbiah consacre à la vie et aux écrits d'Ibn Alhaittiam (qu'il nomme Mohammed, tandis que, suivant le Tflrlkli Alhoqamâ, Ibu Alhiiïlliam l'appelait Albaçan) un article très-étendu, et renfermant des détails beaucoup lilua circonstanciés que n'en offrent les notices données sur ce géomètre par Casiri, et dans le ms. du Tûrlkh Alhoqama que possède la Bibliothèque nationale. Voici les deux passages ayant trait plus spécialement à ce qui doit nous intéresser ici : - Mohammed Ben Alhaçan a dit Et de ce que j'ai composé sur les sciences mathé- matiques, te nombre des ouvrages monte à vingt-cinq: t " Comnn mtalK i ■! abrégé des élé- ments de géométrie et d'arithmétique d'Euclide; 2° Recueil des Eléments de géométrie et d'arithmétique, tiré îles traités d'Euclide et d'Apollonius: dans cet ouvrage, j'ai classé et divisé les éléments et en ai donné des démonstrations fondées sur les mathématiques, le calcul et la logique, de sorte que, quant à l'arrangement des matières, j'ai renversé l'ordre s«i»i par Euclide et Apollonius; 3" Commentaire et abrégé de l'Almageste, fondé sur des démons! rai ions ; je n'y ai rien traité au moyen du calcul , si ce n'est un très-petit nombre de problèmes sans importance ; mais si Dieu me donne la vie et que les circonstances me permettent de l'achever, je commencerai un commentaire très-détaillé du même ouvrage, lequel je ramènerai tout à l'arithmétique et au calcul; 4° Recueil des éléments du calcul, ouvrage dans lequel j'ai déduit, des principes posés par Euclide dans ses Eléments île géoméliie et d'aritliméliquc, 1rs i-lrini-nl- .1,- iniilos les espères du calcul ; j'y ai établi la — 74 — méthode de la résolution des problèmes du calcul, par le double moyen de l'analyse géomé- trique et de la vérification arithmétique, en in 'abstenant, en même temps, d'y employer les principes cl les termes techniques des algébrisles; â° Abrégé d'opliqne, lire des deux ouvrages d'Eudide et de Ptolémée; j'y aï complété (restitué) ,)e sujet du premier litre perdu du traité de Ptolémée; t>° Traité de l'analyse des problèmes géométriques; /'Traité de l'analyse des problèmes arithmèliques'par la méthode de l'algèbre, avec démonstrations; 8° Traité complet sur l'analyse des problèmes géométriques et arithmétiques ; toutefois I» partie qui se rapporte aux problèmes arithmétiques est sans démonstrations, mais fondée sur les principes de l'algèbre; 9' Traité de la mesure à la manière des Eléments; 10° Traité . . -le dis. Et c'est 11 que finit ce que j'ai trouvé en (ait de cela, écrit de la main de Mohammed Ben Alliacan Ben ÂtUaïtliam, l'auteur : que ta miséricorde divine repose sur lui ! Et voici encore une liste dis ouvrages d'ilm Alliaitham que j'ai trouvée, el qui vu jusqu'à la Du de l'an 479 : 1° Mémoire sur la configuration du monde; 2° Commentaire sur les définitions de l'outrage d'Euclido (Voir Gar/i, loc. cit. — C'est probablement l'ouvrage c6U n° 1069 du catalogue de la bibliothèque de l.eyde de 171G); 3" Traité d'optique en sept livres (c'est probablement un commentaire de cet ouvrage, qui est coté n° 1073 du cata- logue de la bibliothèque de Leyde); 4° Mémoire sur la manière de faire des observations astronomiques; 5* Mémoire sur les étoiles qui se forment dans l'air; ou bien des tangentes et cotangentes trigonomé- triques) ; 37° Mémoire prouvant que la partie visible du ciel est plus grande que la moitié du ciel ; 38° Mémoire sur la solution d'un doute sur un endroit du premier livre de l' Aima- geste, qui avait présenté des difficultés à plusieurs savants; 39° Mémoire sur la solution d'un doute sur la partie stéréométrique de l'ouvrage d'Euclide ; 40° Mémoire sur la division des deux quantités de grandeur différente mentionnées dans la première proposition du dixième livre de l'ouvrage d'Euclide (le théorème d'exhaustion) ; 41° Problèmes sur les changements optiques; 42° Mémoire sur la détermination du côté de l'heptagone; 43° Mé- moire sur la section de la ligne employée par Archimède, dans son Traité de la sphère et du cylindre (voir l'addition A du présent opuscule) ; 44° Mémoire sur la détermination de la méridienne au moyen d'une seule ombre (l'ombre observée donne la hauteur du soleil, laquelle am. m. . .,.,.. sin h sin © — sin 8\ ,_,,. étant connue, le problème se ramené à la formule cos A = , ) ; 45° Mémoire cos h cos 9 J sur le problème d'inscrire un pentagone à un carré; 46° Mémoire sur la voie lactée; 47° Mé- moire sur la détermination du côté du cube (probablement une construction d'équations cubiques) ; 48° Mémoire sur la lumière des étoiles ; 49° Mémoire sur les traces qu'on re- marque dans la lune; 50° Mémoire sur un problème arithmétique; 51° Mémoire sur les nombres harmoniques ; 52° Mémoire sur le mouvement qui a lieu dans le plan ; 53° Mémoire sur l'analyse et la synthèse; 54° Mémoire sur les connues (c'est l'ouvrage qu'a fait connaître M. Sédillot) ; 55° Mémoire sur la solution d'un doute sur le douzième livre de l'ouvrage d'Euclide; 56° Mémoire sur la solution des difficultés présentées par le premier livre de l'ouvrage d'Euclide; 57° Mémoire sur le calcul des deux fausses positions; 58° Réponse à un problème de mesure ; 59° Abrégé sur l'azimut de la Kiblah ; 60° Mémoire sur la lumière ; 61° Mémoire sur le mouvement complexe (?) ; 62° Mémoire pour réfuter ceux qui étaient d'une opinion contraire au sujet de la voie lactée (comparer le catalogue de la bibliothèque de Leyde, n° 1159); 63° Mémoire sur la solution des doutes sur le mouvement complexe; 64* Mémoire sur les doutes sur Ptolémée ; 65° Mémoire sur l'atome ; 66° Mémoire sur les lignes horaires ; 67° Mémoire sur le tAy*~*j* (?) (il faut peut-être lire \Ay~f > voir le Recueil de termes techniques donné par M. Sédillot à la fin de son Mémoire sur les instruments astronomiques des Arabes); 68° Mémoire sur l'espace; 69° Mémoire sur la dé- termination des hauteurs perpendiculaires des montagnes; 70° Mémoire sur les démonstra- tions (c'est dans ce sens qu'on trouve employé le mot ilc- par Moh. Ben Moûça) du calcul indien; 71° Mémoire sur les hauteurs des triangles (traité de trigonométrie plane?); 72° Mémoire sur les propriétés des cercles ; 73° Mémoire sur la proposition des Béni Moûça , 74° Mémoire sur la construction de l'heptagone inscrit au cercle ; 75° Mémoire sur la détermination de la hauteur du pôle avec la plus grande exactitude (la bibliothèque de Leyde possède ce mémoire, dont voici les premières lignes : « Traité d'AIhaçan Ben Alhoçaïn Ben Alhaïtham sur la détermination de la hauteur du pôle avec la plus grande exactitude, il n'y a pas une seule des théories astronomiques qui se rapportent à l'observation qui n'ait besoin, dans Tes observations qu'elle comporte, de la détermination de l'élévation du pôle sur vers lui! Seulement, celle construction est assez difficile; de sorte que nous ne pouvons l'ajouterai! présent traité (*). — Et de l'horizon du lieu de l'observation , cl c'est uniquement au moyen des in Et ru me nu, e[ après avoir déterminé exactement la position des instruments relativement à l'horizon, qu'on peut venir à bout de reconnallre les ntOUf ameuta •:< leates; mail M ne pont obtenir celle déter- mination de la position de l'instrument, relativement à l'horizon , qu'an moyen d'une connaissance enacle de la bailleur du pôle, etc. »); 70" Mémoire sur la construction des clepsydres; 77" Mémoire sur la sphère ardente (le ms. d'ibn Abi Oçaïb. porte iî-s-M *$', le ms. du Târ. Alboq. et Casiri, «^1 ïS$\ ; peut-être faudrait-il lire ïS'.^M ÏJ&, de Sphsera moia, sujet d'un ouvrage d'An toi jais, Iraduil par Tliabit Ben Korrali ; comparer la n° 1096 du catalogue de la. bibliothèque de Leyde); 78° Mémoire sur lui problème arithmé- tique solide; TU" Mémoire sur un problème géométrique; 80" Mémoire sur la ligure de l'éclipsé; 81° Mémoire sur la plus grande ligne qu'on peut placer dans un segment de cercle; 81- Mémoire sur le mouvement de la lune; 8;i" Mémoire sur les problèmes d'intersection ; 84" Commentaire sur l'arithmétique eu (orme de scolies ; Si" Commentaire du canon (Ëuclide, seclio canouia?) en forme de scolies; 86° Comme atatra im l'harmonique (d'Eu- clide?) eu forme de scolies ; 87° Traité de la section du trapèze en plierai ; SB ■' Mémoire sur l'éthique; 8H- Mémoire sur les connaissances nécessaires aux gens de bureau; iln" Traité de politique, cinq livres; 01° scolies ajoutées par le médecin égyptien Ishak Ben Yoilnis (ce pourrait bien Être le célèbre aslrouoine de ce nom , si ce n'est que celui-ci s'appelait Alt et nou pas Isbak) à l'ouvrage d'ibn Alliailham sur le Traité des problèmes- d'algèbre de Diophanie ; 0.2" Mémoire sur la solution d'un problème arithmétique. On doit à M. L. Âm. Sédillot la connaissance du Traité des connues géométriques d'Ibu Albatlbam, mentionné ci-dessus, n" 54. Voir le nouveau Journal asiatique, mai tS3i, et l'Aperçu historique, etc., de M. Chastes, pag. 4'JS sqq. Pour donner une idée de ce qu'élaienl les ouvrages du genre de celui mentionné ci-dessus n' 89, voici une indication rapide du contenu d'un ouvrage d'Abotil Wafû, dont la lii- bliotlièque de Léyde possède la première moitié (n° 1048 du catalogue); il est intitulé Trailé d'Aboûl Wafà Mohammed Ben Mohammed AlboAzdjàul , sur les connaissances néces- saires aux gens de bureau et aux gens d'affaires et autres, en fait de l'art du calcul. Le premier livre traite : Du rapport, des différentes espèces de fractions (comparer le deuxième chapitre, première préparation, du petit traité de Behâ-Kddiu), et de la règle des sii quantités (comparer Chasles, Aperçu hist., not. VI); le deuxième livre: De la multi- plication et de la division des nombres entiers et des fractions simples ou composées, de l'addition et de la soustraction des fractions, de la multiplication et île la division abrégées ; le troisième livre : De la mesure des ligures planes et de la mesure des distances. C'est jusque-là que va le ms. de la bibliothèque de l.-yile. [.l'npi-és le sommaire, le ijiintrième livre traite des différents genres d'impôts , de la tenue îles regislrcs d'impôts, et des calculs qui s' rapportent ; le cinquième livre , île l'échange des troupeaux de chameaux, des blés et des terres, particulièrement par rapport au territoire de Narrali H île QoOfah et aux con- trées environnantes , puis des partages ; le sixième livre , du commerce de cliange d'or et de pièces monnayées, du payement des troupes, des bijoux, des vêlements, des asso- ciations nierc.;iiihles ; le st'jitiéme livre , des calculs que ni'ccssilenl fs ilillércnts genres d'opérations mercantiles. Chaque livre est divisé en sepl iliiipilris. el chaque chapitre eu un nombre plus ou moins grand (I jusqu'à 9) de sections. *) Userait inléressatd de connaître celte ronstrurlioti d'imf équation du cinquième, degiv — 77 — même lorsqu'on dit (*) : « Quel cube est égal à un certain nom- bre de parties du carré de son côté, » on a besoin de la susdite proposition auxiliaire, et il est impossible de résoudre le pro- 45 blême au moyen de nos méthodes. — En général, lorsque le premier de ces sept degrés est multiplié par le sixième (**), on aura besoin de la détermination de quatre moyennes propor- tionnelles entre deux lignes données, ainsi que Ta démon- tré Aboû Alî Ibn Alhaïtham : que Dieu le Très-Haut soit mi- séricordieux envers lui! Et si Ton dit (***) : « Quel cube est égal à seize parties de son côté ? » le premier degré sera multiplié par le (dénominateur du) cinquième, et la racine de la racine du produit sera le côté du cube cherché. Et la même règle s'appliquera toujours lorsqu'un de ces sept degrés est égalé à celui qui, à partir de lui, est le cinquième de la proportion continue (****). par un géomètre arabe, à moins que ce ne soit une simple reproduction du procédé imaginé par Ératosthène. (Voir Archimède, éd. d'Oxf., p. 144-146.) **) x * - Zi 5 c ' e *t à x" ax > 1 l l X~ 3== a ' p = aa: » x = ax y — 80 — La totalité des équations ayant lieu entre ces sept degrés, et résolubles au moyen des méthodes exposées par nous, monte 1 l , i % F - ax * F = ** » ï = ax > (~ == ax 7 , -5 == flkr s . . . équations d'Ibn Alhaïtham J _1_ a: 3 -3 = ***• Équations composées. II. Équations du second degré (« résolubles au moyen des propriétés du cercle »). Équations à termes entiers, n° 7 à 12. x 2 + bx = a, x 2 + a = bx 9 bx + a = x 7 , x 9 + ex 2 = te, a: 3 + te = cap*, ca? 3 + bx = a: 3 . Équations à termes fractionnaires. - + a = bx, - + te = a, - = a + te, i_L_£ — 1, 1 j-i,— a i fl il «.aT r — 09 "Zit" ° — Z.9 ~2 — Z m r Q 9 JU **» •*> « Ju %A> JU Ju -z + a + te = ex 7 , - + a + ex 2 = bx, X * X ' ' ' - + bx + cx 2 = a, -=a + bx + cx 2 , - + a=bx + cx 2 , -+bx = a + cx 2 f - + ex 2 == a + bx. X X X H est remarquable que l'auteur n'ait pas été frappé par la pensée qu'on peut produire un nombre irtfini d'équations « résolubles par ses méthodes » en multipliant chacune de ses vingt-cinq (ou plutôt en rejetant les équations n os 4 à 6, et 10 à 12, dix-neuf) équations ±n primitives par x , n étant un nombre entier quelconque. Ce sont probablement ses théories philosophiques sur la nature des puissances (voir pages 7 et 8) qui l'empêchaient de concevoir cette idée. *) A savoir, les espèces n°» 1, 2, 4, 7, 8, 9. — Voir les traités de Mon. Ben Moûça et de Behâ Eddln, et comparer le passage d'Ibn Khaidoûn cité par Hadji-Khalfa (éd. deFluegel, t. H, pajre 584). 6 — 82 — Mohammed Ben Allaïth, que Dieu soit miséricordieux envers lui! était auteur d'un traité sur 1 enumération de ces espèces, et sur la manière de ramener au moyen de l'analyse la plupart d'entre elles à des sections coniques , sans cependant discuter complètement leurs cas et sans distinguer les problèmes pos- sibles d'avec les impossibles , mais en donnant seulement les développements auxquels il était conduit par la considération de problèmes particuliers dépendant de ces espèces. Je ne serais pas porté à croire cela très-loin de la vérité , parce que les deux espèces que j'ai dit appartenir à un de mes prédécesseurs lui sont attribuées. Et la personne dont j'ai parlé les avait vues dans un exemplaire complet des ouvrages d'Aboûl Djoûd, écrit de la main d'Alhâzemî (*) le Khârezmien. L'une de ces deux espèces est trinôme , à savoir: «Un cube « et un nombre sont égaux à des carrés (**). » Cette équa- tion a des cas, et les cas sont sujets à des conditions, ainsi qu'il a été expliqué dans ce mémoire. Mais d'abord il n'a pas énoncé complètement les conditions, et ensuite il s'est trompé de nouveau à l'occasion de cette espèce en affirmant que, si le coté du cube égal au nombre donné est plus grand que la moitié du nombre des carrés, le problème est impossible. Car il n'en est pas ainsi, comme nous l'avons démontré. Il fut induit dans cette erreur, faute d'avoir reconnu la possibilité du con- tact ou de l'intersection des deux coniques dans cet autre cas. L'autre espèce est quadrinôme, à savoir: «Un cube plus un « nombre plus des côtés est égal à des carrés (***) ; » et certes rien de plus beau que sa solution de ce problème après que tous les géomètres s'étaient épuisés en vains efforts pour l'obtenir. *) Voir le Loub Alloubdb du Soyoûti, éd. de Vetb, vol. I, p. Vf. ) C'est l'équation n° 17 d'Alkhayy&mt. Voir page 40 sqq. ) C'est l'équation n f 2! ri'Alkhayyâmt, Voir page 49 sqq. — 83 — Cependant le problème qu'il résolut était particulier, et l'es- pèce» a différents cas et est sujette à des conditions; enfin elle renferme des problèmes impossibles. De tout cela il ne donna pas une discussion exacte et complète. J'ai parlé de cela uniquement afin que les personnes qui rencontreraient les deux traités — pourvu que ce qui m'a été raconté relativement à cet excellent géomètre soit exact — puis- sent comparer mon mémoire présent avec celui attribué à cet excellent géomètre. 4 8 Or, je crois n'avoir négligé aucun soin pour rendre ma dis- cussion complète, m'efforçant en même temps de satisfaire pleinement à ma promesse , et d'éviter pourtant une prolixité ennuyeuse. Si j'avais voulu , j'aurais facilement pu donner des exemples de chacune de ces espèces et de leurs cas. Mais, crai- gnant d'être prolixe, je me suis borné à proposer ces théorèmes généraux, confiant en l'intelligence de l'étudiant, parce que ce- lui dont l'esprit a bien pénétré l'idée de cet ouvrage ne sera certainement pas arrêté par tel problème spécial qu'il voudra se proposer, ou par la difficulté de le ramener à l'espèce dont il est le cas particulier. C'est le concours de Dieu qui conduit au succès, et c'est en son assistance que nous nous confions en tout état. J'ajoute encore ce qui suit. Un de nos élèves nous a pressé de ses instances d'exposer l'erreur (*) commise par Aboûl Djoûd Mohammed Ben Allaïthdans la discussion delà cinquième des six espèces trinômes résolubles au moyen des coniques. C'est l'é- quation CA, les deux coniques n'ont pas de rencontre du tout. (Voir pages 43 et 82.) **)N°17. x 3 + a = cjc 2 . 6. — 84 — ligne AB (6g. 3o), et prenons sur AB un segment BC égal au côté d'un cube qui est égal au nombre. La ligne BC sera, ou égale à CA, ou plus grande, ou plus petite que CA. Il dit : Lorsque CA est égale à BC (fig. 3o, i ), complétons le rectangle CE, et faisons passer par D une hyperbole ayant AB, BE pour asymptotes. Construisons aussi une parabole ayant son sommet au point A, son axe sur AB, et son paramètre égal à BC. Cette parabole passera infailliblement par le point D, comme nous l'avons démontré. Puis il dit que les deux co- niques se touchent au point D. Mais c'est une erreur , parce qu'elles ont nécessairement une intersection. Démonstration. Faisons BZ égale à BA, et joignons AZ. Alors AZ passe infailli- blement par D, et sera située (relativement à sa partie AD) dans l'intérieur de la parabole. L'angle ADB sera un angle droit, et l'angle ABD sera égal à l'angle ZBD. Or il est connu que l'axe de l'hyperbole divise en deux parties égales l'angle (des asym- ptotes) qui l'enveloppe. Conséquemment la ligne BDT est l'axe de l'hyperbole qui passe par D. Mais la ligne AD est parallèle 49 aux ordonnées (de l'hyperbole); elle sera donc tangente à r hyperbole. Il s'ensuit nécessairement que la parabole coupe l'hyperbole, ne pouvant être située entre l'hyperbole et la tangente à l'hyperbole ; parce que si la parabole touchait cette tangente à l'hyperbole , les droites menées du point D à un point quelconque pris sur la circonférence parabolique AD tomberaient entre la parabole et sa tangente, ce qui est absurde. AB = C, BC = «, BC < AB. BC > AC, ou \/a > ^. — BCDE carré. < < 2 AB, BE, asymptotes d'une hyperbole équilatère qui passe par le point D. A sommet, AB axe, BC paramètre d'une parabole. I) BC = AC (fig. 30 , i). La parabole passe par D (voir la note page 41), et tes deux sections coniques se rencontrent en D, non par contact, mais par inter- jection. — ss- il en résulte avec nécessité que la parabole coupe l'hyperbole encore dans un autre point situé entre A et D. Et c'est ce que nous nous proposions de démontrer. C'est ainsi que ce géo- mètre excellent s'est trompé en avançant que les deux coniques nécessairement ont un contact au point D. Maintenant quant à ces mots : « Lorsque BCest plus grande que CA, le problème est impossible, parce que les deux coniques ne se rencontrent pas, » c'est une assertion erronée. Au contraire, les deux coniques peuvent très-bien se rencontrer, soit par intersection , soit par contact, en un seul point ou en deux points, situés entre A et D, ainsi que nous l'avons démontré ci-dessus. Et l'on peut eu donner une démonstration plus générale que celle que nous avons proposée. Que AB (fig. 3o, *) soit égale au nombre des carrés, et BC égale au côté du cube (qui est égal au nombre donné) et plus grande que la moitié de AB. Complétons CE, et décrivons les deux coniques de la manière qu'on sait. Supposons (*) AB égale à dix, et ZB égale à six. Le produit du carré de ZB en ZA sera cent quarante-quatre. Ce sera le nombre donné; le AB *) 2) BO AC ou BC > — (fig. 30, s). —Supposons AB = c= 10 , ZB = x = 6 ; a 3 _ 3 de jf 3 + a = ca: a il suit a = x\c — x) = ZB .ZA = 144; BC = 1/0 = 1/144 > 5, ou AB BC>y. De BC 3 = ZB 2 . ZA il suit : 1) Ïb\ BC = BC : ZA. Coupant l'hyperbole au point H par une perpendiculaire élevée au point Z, on aura rectangle HB égal au carré EC , donc 2) ZB : BC = BC : ZH et 3) zi*: bc = zb:zh De 1) et 3) il suit 4) ZB : BC = ZH : ZA de 2) et 4) 5) BC : ZH= ZH : ZA on ZH = BCZA ; enfin de 4) et 5) ZB : BC = BC;ZH = ZH : ZA. or, de ZH = BCZA il résulte que H est situé aussi sur la circonférence de la parabole , bien AB que nous ayons supposé BO ~ ou BC > AC Conséquemment l'assertion d'Aboûl Djoûd qu'en ce cas les deux coniques ne se rencontrent pas, est erronée. — L'autre racine posi- tive est, dans l'exemple présent, x = 2 + 1^28 • — 86 — côté ( du cube qui lui est égal) sera BC, et BC sera infailliblement plus grand que Cinq, parce que le cube de cinq est cent Tingt- cînq. Or le solide ayant pour base le carré de ZB, et pour hau- teur ZA, est égal au cube deBCConséquemment leurs bases dont réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs, c'est-à-dire le carré de ZB est au carré de BC comme BC à ZA. Menons deZ une perpendiculaire qui coupera l'hyperbole au point H, et complé- tons le rectangle HB. Le rectangle HB sera égal à CE. Consé* quemment leurs côtés seront réciproquement proportionnels, c'est-à-dire ZB sera à BC comme BC à ZH. Donc le carré de ZB sera au carré de BC comme ZB à ZH. Mais on avait trouvé le 50 carré deZB au carré de BC comme BC à ZA; par conséquent ZB à ZH comme BC à Z A , et alternando (*) (ZB à BC comme ZH à ZA ). Il en résulte que les quatre lignes ZB, BC, ZH, Z A sont en proportion continue, et que le carré de ZH est égal au produit de BC en ZA. Mais BC est le paramétre de la parabole dont AB est l'axe et A le sommet; conséquemment ZH est or- donnée de cette parabole , et le point H sera alors infaillible- ment situé sur sa circonférence. Mais H était déjà situé sur la circonférence de l'hyperbole. Les deux coniques se ren- contrent donc; et l'erreur d'Aboûl Djoûd, lorsqu'il dit qu'elles ne se rencontrent pas, est évidente. Or, c'est ce qu'il s'agissait de démontrer. Afin d'éclaircir encore plus cette question, supposons (**) AB ** *) Voir Euclide, Éléments, liv. V, déf. 13. 3 ) (Fig. 30, ») AB = C=80, BC=l/o = 41, AC = AB — BC=39, BC> AC CD = BC , donc CD > BC . AC ; conséquemment D est situé en dehors de la parabole. LC a =BC.AC = 1599, LC = 1/Î599 = 40 — s , où e < ^-. HO TC «= BC = 41, AT = 2; HB = BT. . . HT tangente à l'hyperbole ; AC 39 3 AK = -r —■ -r- == 9 l > M & perpendiculaire à AK. — » — » LC 1 LC : MK. = AC : AK = 4 , MK = -r- = 20 — e', où t < — . Z 160 — 87 — (fig. 3o, s) égale à quatre-vingts, et BC qui représente le coté du cube qui est égal au nombre donné, égale à quarante et un, de sorte qu'elle sera plus grande que AC. Le point D tombera en dehors de la parabole. Que celle-ci passe donc par le point L. Alors la ligne LC sera égale à la racine de mille cinq cent quatre-vingt-dix- neuf, ce qui fait quarante moins une petite quantité. Faisons TC égale à CB , BH égale à BT, et joignons TH. Alors TH sera tangente à l'hyperbole, comme nous l'avons démontré. Prenons un segment AK égal à un quart de AC, et menons de K une perpendiculaire qui cou- pera la parabole au point M. Le carré de LC sera au carré de KM comme ÂC à AK, parce que les deux premières lignes sont ordonnées de la parabole; c'est ce qui a été démontré par Apollonius dans la 19 e proposition du premier livre (*). KM sera donc la moitié deLC, c'est-à-dire égale à vingt, moins une petite quantité. Or, CT est quarante et un, AK neuf et trois quarts , et AT deux (**) ; conséquemment KZ sera onze et trois quarts , parce que KZ est à KT comme HB à BT ; mais les deux dernières lignes sont égales. Il en résulte que la ligne ZM sera plus grande que huit, ce qui est compté à partir de 3 KZ : KT = HB : BT, donc KZ = KT= KA + AT = 1 1 ^. ZM = MK — KZ= 8 -, — e' > 8. 4 L'abscisse KN de l'hyperbole qui correspond à KM sera égale à-= -- — — = 23,93; Dix AD mmm Alk donc KN > KM , de sorte qu'ici les deux coniques sont situées en dehors l'une de l'autre. AC Mais, en effet, on ne voit pas bien pour quel motif l'auteur a supposé AK= -r-; car s'il avait donné à K une valeur comprise entre 17,8 et 36,6, il aurait nécessairement trouvé que l'hyperbole passe dans l'intérieur de la parabole, et vice versa, ainsi que le montre la figure dans le tracé de laquelle les données numériques du texte ont été rigoureusement observées. *) Éd. d'Oxf., p. 46, liv. I, prop. 20. **) J'ai laissé subsister dans le texte la leçon ithndni, comme se trouvant également dans les deux mss. ; mais il vaudrait mieux lire ilhnaïnî. — 88 — la tangente à l'hyperbole; et ce sera dans cette position infail- liblement en deçà de l'hyperbole ; de sorte qu'on serait forcé d'avouer que les deux coniques ne se rencontrent pas lorsque BC est plus grande que CÀ. Mais il n'en est pas ainsi néces- sairement dans tous les cas, et Aboûl Djoûd s'est trompé dans 51 cette assertion. Remarquez cela. Si on veut, on peut facilement en trouver des exemples numériques. Ce problème revient en vérité à celui d'appliquer à une li- gne donnée (c) un solide ( { c — x J x 2 ) défaillant d'un cube (.r 3 ), et égal à un autre solide donné (a) (*). Alors, si le côté (l^a) du cube, qui est égal au solide donné, est égal à la moitié ( - ) de la ligne, ou plus petit, la construction est nécessairement possible; mais lorsque ledit côté est plus grand que la moitié de cette ligne, le problème peut conduire à des cas impossi- bles, conformément à ce que nous avons exposé. Cest Dieu qui facilite la solution de ces difficultés par ses bienfaits et par sa générosité. Terminé (* ¥ ), à midi, le premier jour de la semaine, le vingt- troisième du mois Rabîa premier de l'an six cent *) Comparer l'addition B. — c'est peut-être cette analogie qui existe entre la construction de l'équation x* + a~cx* et la 28 me proposition du VI" e livre des Éléments d'Euclide (ou, si l'on veut, l'équation carrée x*+a = bx) qui a causé l'erreur d'Aboul Djoûd relatiTement à la limite de la solubilité. Car dans cette dernière proposition cette limite, en effet» a heu lorsque la racine (carrée) de la surface donnée est égale à la moitié de la ligne donnée» en supposant que le parallélogramme appliqué doive être défaillant d'un carré. **) A savoir la copie. — Quant au millésime qui est indiqué dans le manuscrit par un parafe difficile à déchiffrer, j'en ai inséré dans le texte un fac-similé gravé, pour ne pas hasarder une explication conjecturale. ADDITIONS. « Mémoire cTlbn Alhaïtham, c'est-à-dire du chaïkh Aboûl Haçan Ben Alhaçan Ben Alhaïtham sur la section (tune ligne employée par Archimède dans le second livre. » « Il dit : Archimède employa, dans la quatrième proposition du second livre du Traité de la sphère et du cylindre, une ligne qu'il suppose divisée suivant une raison particulière, sans démontrer comment on divise cette ligne suivant cette raison. Et puisque la section de cette ligne ne peut être effec- tuée qu'au moyen des sections coniques, et qu'il n'employa dans son ouvrage rien des sections coniques, il ne s'avisa pas de mêler au traité ce qui était étranger à son sujet. Nous avions donc admis cette section d'une ligne, en présupposant qu'elle peut être effectuée. Mais tant que nous ne divisons pas effectivement la ligne suivant la raison donnée par Archi- mède, la démonstration de la proposition dans laquelle cette section fut employée par lui reste incomplète. Puisque donc il en est ainsi, nous nous sommes proposé d'effectuer cette section et d'en montrer la possibilité, afin de rendre évidente la justesse du procédé d' Archimède. » « La section employée par Archimède consiste en ce qu'il donne une ligne, et sur cette ligne deux points D, Z (fig. 3i ). Il suppose que les deux distances DB, BZ, sont connues, ainsi que le rapport de BZ à BT. Puis il dit : Faisons maintenant le rapport de HZ à ZT égal au rapport du carré de BD au carré de DH. » — 92 — « Déterminons donc la ligne au moyen de ces données, et occupons-nous de sa section. » J'ai traduit textuellement cette petite introduction, puis- que les paroles du célèbre géomètre arabe ne sont pas sans une certaine valeur historique. Pour la solution même qui suit, je ne vais en donner qu'un exposé succinct, afin de ne pas fatiguer le lecteur par la prolixité des démonstrations ancien- nes adoptée par les Arabes. Faisons AD, ET, CZ, égales à BD et perpendiculaires à DZ, et joignons les points A, £, C, qui sont en ligne droite. Faisons passer par E une hyperbole ayant CZ, ZD pour asymptotes. Elle coupera AD en un point K situé entre A et D. Puis construisons une parabole dont l'axe soit DA, le som- met D, et le paramètre DB. Elle coupera AC en un point S, en sorte qu'on aura AS = AD . BD = BD,' donc AS=BD. Et puis- que AE=DT>DB (*), on aura AE>AS. E sera donc situé en dehors de la parabole, tandis que K, comme point de son axe, sera situé dans l'intérieur de la pa- rabole. Il s'ensuit que l'hyperbole et la parabole ont une in- tersection. Abaissons du point d'intersection M une perpendiculaire dur DZ ; le pied H de cette perpendiculaire sera le point cherché, Car, en menant par le point M une droite NML parallèle k ■ a DZ, ou aura, en vertu de la parabole, MN = BD . DN, ou IWWBD.MH, donc i) BD: DÏÏ = BD:MH. Puis, en vertu de l'hyperbole, on a ML: EC = ET:MH, ou a) HZ:ZT = BD:MH. *) PtiiiqMt 07, > y,T, voir Avchimède, éd. d'Oxf., p. 158, lig. 26 du texte grec. — 93 — Mais de la combinaison de i) et a) il suit : HZ : ZT = BD a : DÎT; c. q. f. d. On peut voir la même chose d'un seul coup d'œil. Désignant DB, TZ, DZ, DH par a y b, c, x respectivement, et prenant D pour origine des coordonnées , l'équation de l'hyperbole sera y. (c — x)=a.bj celle de la parabole x* =.y.a, et la combinaison de ces deux équations donne x* (c — x) = a*. b y ce qui est en effet l'équation qu'il s'agissait de construire. (Voir la préface.) A la suite du mémoire d'Ibn Alhaïtham il se trouve une autre solution du même problème, précédée de ces mots : « D'une autre manière par un autre, au moyen du mouve- ment de la ligne. » Elle m'a paru mériter une attention par- ticulière , comme solution mécanique d'un problème de géo- métrie; et encore parce qu'elle prouve, comme on verra, combien les Arabes ont su pénétrer dans l'esprit des méthodes grecques, et s'en faire des instruments qu'ils maniaient habi- lement. Voici le procédé du géomètre arabe : Menant des points D et Z (fig. 3a) deux perpendiculaires à la ligne DZ, il prend sur la première un segment D A égal à BD, et sur le prolongement de DZ un segment ZC égal à ZT. Puis il imagine deux droites pivotant autour des points A et C en res- tant constamment parallèles entre elles : la première de ces droi- tes mobiles coupera constamment la droite DZ ; la seconde cou- pera la perpendiculaire menée du point Z ; la droite qui joint les deux points d'intersection changera de position avec les droites mobiles, et renfermera avec elles des angles variables. Qu'on fixe entre toutes les positions que prend successivement le système de ces trois droites mobiles , celle dans laquelle la troisième droite qui joint les points d'intersection est per- pendiculaire aux deux parallèles mobiles. Le point d'intersec- — 94 — tion H de la première droite mobile avec la droite fixe DZ, qui répond à cette position, sera celui qu'il s'agissait de trouver. Car on aura AD:DH = HZ:ZE; donc AD : DH =HZ : ZÊ' =HZ:ZC; mais AD = BD et ZC=ZT; donc "BD :~DHf — = HZ:ZT; c. q. f. d. Examinons cette solution. Désignons comme ci-dessus BD, TZ , DZ, DH par a,b,c y x respectivement ; il s'agit de construire l'équation 1) a? — ex* + a*.b = 0. La construction du géomètre arabe revient virtuellement à ceci : de construire la courbe lieu géométrique des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées du point C sur toutes les tangentes d'une parabole dont À est le foyer, et DC la tan- gente au sommet; puis de couper cette courbe par une droite perpendiculaire à DC au point Z. En d'autres termes, pre- nant le point C pour origine des coordonnées, on combine la courbe I) t 3 4- x'*y — (b+c)afy+ aa/ % = o avec la droite x r = b, ce qui, lorsqu'au moyen de la relation a : x -=-y : af =y : b 7 on introduit encore x en place de y , produit effectivement l'équation proposée. Voici maintenant comment cette construction se rattache à celle donnée par Platon pour le problème des deux moyen- nes proportionnelles (*). La solution de Platon consiste en ce qu'on prend, sur les deux côtés d'un angle droit à partir du sommet B (fig. 33), deux segments BA, Br respectivement égaux aux deux lignes données, et que l'on trouve, à l'aide d'un instrument-qu'il imagine pour cet effet, deux points E, A *) Archim., éd. d'Oxf., p. 135. — 95 — situés sur les prolongements de AB et de TB; de sorte que TEA et EAÀ soient des angles droits. Désignant Br par b, BE par/, BA par z, BA par a , on aura en effet b \y =y : z = z : a; donc on aura construit l'équation Mais évidemment cette construction revient à ceci : de cons- truire la courbe lieu géométrique des pieds de toutes les per- pendiculaires abaissées du point T sur toutes les tangentes de la parabole dont A est le foyer et Br la tangente au som- met; puis de couper cette courbe par le prolongement de la droite AB. Cette courbe est donc la même que celle dont nous venons de parler. Prenant le point T pour origine des coordonnées, ce sera la courbe II) y*+a?y — bxy — aa* = o, qui, combinée avec la droite x = b, produit y*-=.àb % ; En échangeant les directions positive et négative des^, les équa- tions I) et II) deviennent identiques lorsque les paramètres (b + c) et b sont les mêmes. Le géomètre arabe s'est donc ingénieusement servi pour la construction de l'équation 1) des moyens imaginés par Platon pour celle de l'équation 2). On a dit que la construction d'une équation cubique à l'aide d'une courbe du troisième degré renfermait une pétition de principe, en ce que la succession des points de ces courbes ne saurait être trouvée que par la résolution d'une équation cu- bique. Cette objection s'évanouit cependant à l'égard des courbes qu'on peut décrire à l'aide d'un instrument par un mouvement continu , et l'on peut dire en quelque sorte que c'est ce que virtuellement Platon du moins a fait. Rien n'est ■ iif »■ plus facile que d'imaginer un pareil instrument pour la court) qu'on vient d'examiner (*). « Au nom de Dieu clément et miséricordieux! « C'est en Dieu que repose ma confiance. » a J'ai lu ce que tu as mentionné, ô mon frère, de ce q dit le géomètre Aboù Abdallah Almâhânî dans le mémoi: qui a pour objet de commenter le second livre du traité d'Aï chimède sur le cylindre, la sphère et le cône, à savoir que di neuf propositions qui composent ce livre , il réussit à en com truire huit, tandis qu'il s'efforçait en vain de donner une lution parfaite de la quatrième, laquelle est la section d'une sphère en deux parties suivant une raison donnée, à cause de la difficulté du lerame dont il avait besoin pour cette so- lution. H chercha alors à la résoudre par l'algèbre, et ramena le problème à une égalité du cube et des carrés à un nombre (**) (équation) dont les éléments ne sont pas proportionnels (*" Cela revient à appliquer à une ligne donnée un solide à côt» *) En discutant l'équation I), on trouve que celte courbe a deux brandies infinies, ayi pour asymptote commune la directrice in, il, II du trait- d'AIWmxaml, en sorle qu'on pourrait, en lu divisant par.r, la ramener à une éqiiatiw 1 ché — 97 — parallèles et défaillant d'un cube. Or j'ai eu besoin, pour effec- tuer ceci (*), de résoudre antérieurement un autre problème à la solution duquel on parvient sans difficulté, et que voici: » a Étant données deux lignes AB et C (fig. 34), diviser AB au point D, en sorte que AD soit à C comme le carré de C au carré de BD. Et c'est ce dont on a besoin pour résoudre le problème dans la solution duquel échoua Almâhânî. » « Mais cela n'est possible que lorsque la ligne C n'est pas plus grande que la ligne qui peut le solide ayant pour arête un tiers de AB et défaillant d'un (cubé qui a pour base le) carré dont le côté est égal à deux tiers de AB (**), c'est-à-dire : la ligne qui peut quatre neuvièmes d'un tiers du cube de AB (***). » « Toutefois supposons que C puisse être plus grande, ce qui sera plus général, et considérons AB dans deux cas, en *) Savoir, pour appliquer à une ligne donnée un parallélipipède de volume donné et défaillant d'un cube. **) Lems. porte *.~«j-ae-~M ^Js> ^^JuJI la-s^l f jJ» Jjil a. JLaL ^£j J 131 v_>t w**£» s^Ju pLmoI AxjjI On se serait attendu à trouver ^X& ^J>jv\ Ja-âr— M _>! UU *JU> L*C ^jûSLJI v^l Jaa. ^J\ ^L4l ^m^s-M Pour expliquer les termes employés dans le texte, rappelons d'abord que cette construction d'un parallélipipède appliqué à une ligne et défaillant d'un cube est calquée sur celle d'un rectangle appliqué à une ligne el défaillant d'un carré. (Eu cl., VI, 28.) En effet, en désignant par / la ligne don- née, par v ou s le volume ou la surface donnés , la première construction s'exprimera par la formule v=(/ — x)x 7 f la seconde par la formule s=(l — x) x. Donc, au Heu de parler du solide $- K appliqué à la ligne ay et défaillant du cube yo, dont le s côté est py, le géomètre arabe, en faisant abstraction de la bauteur commune ye, égale au côté du cube re- • tranché, n'a en vue que la base aô, qui dans cette con- struction est la partie essentielle de la figure , et appelle le solide «défaillant d'un carré dont le coté est py »• Ensuite remarquons que tandis que le solide otS est, en effet, dans toute sa longueur appliqué à la ligne cty, la ligne cty n'est pas tout entière appliquée au solide otî ; or la partie, de cet le ligne appliquée au solide &JI ^Lajl, c'est ap, l'arête du solide i appliqué, et dans notre cas r AB. ***) Condition : C ~ \/ f AB — j AB V | AB J ou C ^ y/ ^ Âï\ fv===R a =i — 08 — nous proposant dans l'un de retrancher BD de AB, et dans l'autre d'ajouter BD à AB, en sorte que AD soit à C comme le carré de C au carré de BD. » Voici maintenant la solution que le géomètre arabe donne du problème ainsi posé, et que je ne reproduis pas textuelle- ment, afin d'abréger. Il fait BE=C, et construit sur BE comme base le carré BEZH. Il décrit une parabole dont le sommet est A, Taxe AB, et le pa- ramètre C; ensuite il fait passer par Z une hyperbole ayant EB, BH pour asymptotes. Les deux coniques se rencontrent néces- sairement. Du point d'intersection T, on abaisse deux perpen- diculaires TK, TD sur BH, BE. On aura en vertu de la parabole 1) AD : TD =TD : C , en vertu de l'hyperbole BK : BE = EZ:KTou a)TD : C=C : BD. Delà combinaison de i) et a) il suitAD:TD=TD:C=C:BD ou AD:C=(T:BD; c.q. f. d. Puis il en revient ainsi au problème principal : « Après avoir résolu préalablement ce lemme, prenons AB dans les deux cas, et proposons-nous d'appliquer à AB un so- lide à côtés parallèles , égal à un solide donné, excédant ou défaillant d'un cube (*). Que la ligne C soit le côté d'un cube égal au solide donné. Dans Pun des deux cas retranchons de AB, et dans l'autre ajoutons à AB une ligne BD, telle que AD soit à C comme le carré de C au carré de BD. » « (La possibilité de) cette construction n'est pas limitée au second cas, mais elle l'est nécessairement au premier. La limite, c'est que la ligne C ne soit pas plus grande que la ligne qui peut un cube égal à quatre neuvièmes d'un tiers du cube de AB, c'est-à-dire le solide ayant pour arête un tiers de AB *) Que le volume donné soit égal au cube C Au moyen du lemme on trouve AD, en sorte » — S a S que AD . BD = C; mais AD=(\B±:BD); donc AB . BD ±: BD égal au volume donné; ca qu'il s'agissait d'obtenir. — 99 — et défaillant d'un (cube qui a pour base le) carré dont le côté est égal à deux tiers de AB (*). » « Le produit dut carré de BD en AD est égal au solide à côtés parallèles , terminé par deux carrés de BD et par quatre rec- tangles AD, BD; le produit du carré de C en C, c'est le cube égal au solide donné. Le solide appliqué à AB sera dans un cas défaillant, et dans l'autre excédant, d'un cube dont le côté est égal à BD. C'est ce que nous nous proposions de démon- trer. » Ensuite le géomètre arabe se propose? ce problème plus gé- néral : Étant donné un volume V, un parallélépipède P, et une droite a, appliquer à cette droite un parallélipipède égal à V, et défaillant ou excédant d'un parallélipipède semblable à P. J'abrégerai considérablement la démonstration par laquelle il ramené ce problème au lemme résolu préalablement, en in- troduisant quelques notions modernes. Désignons par/>, y, /•, trois arêtes d'un parallélipipède abou- tissant à utt ttième sommet , et par a, 6, y les angles compris eiitre ces trois arêtes prises deux à deux; le volume de ce parallélipipède sera représenté par l'expression p.q.r.\/i -h 2COsa cosjj cosy — cosa* — cosp* — cosy*. Des qu'il i'agit, «toâMrteici, de pafallélipipèdes semblables, a, 6, y seront coûtants, q et r pourront être remplacés par \ . p et p. p, \ et {a désignant dés rapports constants, etp seul restant v^jt Lilj Évidemment ^ipt est une erreur dé copiste pour .jâïLJl ; comparer le pas- sage du texte cité ci-dessus. 7. — 100 — variable, le volume d'un quelconque de ces parallélipipèdes s'exprimera par p % . k, k désignant une constante. Maintenant déterminons p* en posant p* . k = V; puis résol- vons l'équation (a — x)x*=p* (résolution donnée par l'auteur dans son lemme); ayant déterminé x, prenons sur AB (fig. 35) un segment DB = .r, et faisons le parallélipipède BK sem- blable à P. On aura, volume de BK=x s . k. Mais on voit que BK : AK = BD: AD; donc volume de AK=(a — x).x\k= p* ,k = V; ce qu'il s'agissait d'obtenir. — Je ne m'arrêterai pas à faire remarquer comment les deux constructions données par l'auteur de ce morceau, des équa- tions (ABdtzx)x*=£* (en désignant BDpar .r), sont exactement les mêmes que celles des équations n° 1 6 et 17 par Alkhayyâmî. Il suffira pour cela de jeter un coup d'œil sur les figures 20, a 1 et 34- Mais ce sur quoi j'appelle l'attention, c'est la limite énoncée dans ce morceau relativement à la solubilité de l'équation (AB— x)x*=G\ c'est-à-dire de l'équation .r 3 +a=cx % . Car il n'y a pas d'ambiguïté à ceci : l'auteur déclare, avec une précision parfaite, que le lemme d'Archimède fut ramené par Almâhânt à une équation de la forme x*-\-a=cx\ et que la résolution de cette équation que se proposa Almâhânî dépend à son tour du lemme résolu par l'auteur, c'est-à-dire de la construction de l'équation (AB — x):C=C*:x\ La relation qui exprime la li- mite de la solubilité d'un de ces problèmes enchaînés l'un à l'autre, est donc nécessairement censée être donnée en même temps pour les autres. Or l'auteur énonce cette limite absolument comme les mo- dernes, c.-à-d. qu'il l'exprime par la relation c = \/i. AB ou 27a = Ac\ 27 / 1 — 101 — Après avoir signalé ce fait, qui me paraît digne d'une atten- tion particulière, je vais montrer comment les géomètres ara- bes pouvaient arriver à cette découverte. Le le m me d'Archimède avait été résolu par Eutocius (*) sous la forme suivante : Déterminer sur une droite donnée AB un segment BE, tel que AE soit à une ligne donnée comme une surface donnée au carré de BE. Puis Eutocius avait re- marqué et démontré que le produit de la surface donnée en la ligne donnée ne doit pas être plus grand que le produit AE . EB lorsqu'on prend BE = a . EA . C'est par l'heureuse idée de substituer au produit des deux données linéaire et superficielle, le cube d'une seule ligne donnée, que le géomètre arabe est parvenu à l'expression moderne de cette limite. Enfin je fais observer que ce qui dans la bouche d'Euto- cius n'était qu'une propriété isolée d'un certain cas de géo- métrie, se changea entre les mains des Arabes en un théo- rème de la théorie des équations cubiques. Mais on verra dans la note suivante que ce n'est pas même à ceci que se borne le parti que les mathématiciens arabes ont tiré de ce problème d'Eutocius , dont ils ont su comprendre toute la portée. — Ce morceau n'est précédé d'aucune indication de son auteur, m et le texte même n'en contient pas non plus. La démonstra- tion se termine exactement à la fin de la dernière ligne d'une page, et au-dessous du milieu de cette dernière ligne se trou- vent les mots *à*>j & J^a^lj (Soli Deogloiïd), d'une écriture plus mince que le reste. La page suivante commence ainsi : *) Archimède, éd. d'Oxf., p. 164- sqcj. — 102 — Jl ^ l^lit .iJtllIj l«k.j c'est-à-dire : n La résolution de cette proposition appartient au professeur Aboù Sahl Alqoùhî, que Dieu lui soit favo- rable! et moi, j'en ai communiqué un exemplaire au chaïkti Aboùl Djoûd , que Dieu soit miséricordieux envers lui ! Propose à un homme d'imaginer trois nombres différents, de sorle que le premier soit le pins grand, le second moyeu, et le troisième le plus petit. Ensuite, » etc. De cette manière on ne sait pas si c'est le problème qui précède ou celui qui suit qui est attribué à Alqoûhi. Malheu- reusement encore il ne se trouve dans le manuscrit qu'un fragment de ce problème arithmétique ou algébrique, dont l'énoncé commence avec la troisième ligne, ce qui ne permet pas de faire des conjectures sur son auteur. Toutefois je suis porté à croire que les mots en question se rapportent au morceau précédent; en sorte que le mérite des découvertes dont je viens de rendre compte, appartiendrait à Alqoùhî. Ce qui me fait adopter celte opinion, c'est exac- tement celle considéralion délimite, fondée sur le théorème d'Eutocius. Car on rencontrera dans la discussion d'un pro- blème qui fait l'objet de l'addition suivante, et qui appartient indubitablement à Alqoùhî, d'autres considérations de limites, fondées également sur le théorème d'Eutocius, et présentant ainsi une connexion intime avec le morceau en question. Le catalogue de la bibliothèque de Leyde (1716, fol.), où ce morceau se trouve coté numéro 1 100, porte : « Muh. lbn Leitli nota? ad commentaria Mahani in secunçUun lîbrum Ar- chimedis de sphrera et cyliudro. » Je ne sais pas sur quoi se fonde cette indication ; mais la seule chose que je puisse affirmer avec certitude , c'est que ce — 103 — morceau ne peut pas avoir pour auteur Âboûl Djoûd Moham- med Ben Allaïth. Car on voit que les erreurs commises par ce géomètre dans la discussion de l'équation x* -+• as=caf y et relevées par Alkhayyâmî (voir p. 43, 8a et 83 sqq.), portent exactement sur la limite de la solubilité, tandis que le prin- cipal mérite du morceau en question consiste à avoir énoncé cette limite avec justesse et élégance. Et si les deux lignes du manuscrit discutées ci-dessus se rapportent à ce morceau, de sorte qu'une copie en ait été communiquée (*) à Aboûl Djoûd, certainement cela doit avoir eu lieu après qu'il eut composé le mémoire examiné par Alkhayyâmî. « Au nom de Dieu clément et miséricordieux! » « Je dis (**)• Et Aboû Sahl Vîdjan Ben Vastem Alqoûhî est auteur d'un mémoire qu'il composa dans le but de combler la on m'en a* *) On peut aussi entendre les mots Ji ^~*U L^s?* 4j vJ^Jas! ainsi : « communiqué un exemplaire portant Aboûl Djoûd comme nom d'auteur. » Alors c'est une contradiction d'un seul exemplaire avec l'assertion positive de la ligne précédente; et mes argumenta n'en subsistent pas moins. **) On voit que ce n'est qu'une reproduction ou un extrait du traité original d'Alqoûhl. En* effet, ee morceau, qui dans te ms. de la bibliothèque de Leyde est isolé, fait partie, dans le ois. delà Bibliothèque nationale, d'une traduction ou plutôt d'une édition arabe du traité de la sphère et dn cylindre d'Archimède. Dans une courte préface , l'auteur, qui d'ailleurs ne se nomme pas, dit qu'il a fait cette édition 1° d'après un exemplaire de l'édition vulgaire de ce traité, mal traduit d'abord, revu et corrigé ensuite par Tliâbit Ben Korrah, duquel il s'est efforcé d'éliminer les fautes qui s'y étaient glissées par l'ignorance du copiste ; 1* d'après une traduction du commentaire d'Eutocius, faite avec soin et intelligence par Ishâk Ben Honaïn^ anquel commentaire se trouvait entremêlé le texte du traité d'Archimède. De plus, if y était joint séparément le texte du premier livre jusqu'à la quatorzième proposition, traduit de même par Ishâk. L'éditeur dit encore avoir donné des explications qui lui sont propres, et avoir mis à contribution les ouvrages oVautres géomètres pour éclaircir les endroits dif- ficiles; enfin tt nous avertit que le nombre des propositions du premier livre, dans l'exem- plaire de Thabit, était quarante-huit; dans celui d'Ishâk, quarante-trois; et qu'il a jugé conve- nable de joindre à la fin du traité le livre de la mesure du cercle par Archimède. — L'ouvrage original d'Alqoûhl est mentionné dans le passage du Qitâb AKibrist cité ci-dessus (p. 55, 1. 19). \ — 104 — lacune qui se trouve dans le second livre de l'ouvrage d'Ar- chimède. Il a dit dans ce mémoire qu'il y a là trois construc- a /•(*), on trouve: i° Que le problème n'a de solution que tant que ô'™ 18 a"; 2 Que lorsque £' = i8a", le segment cherché est l'hémi- sphère (**); 3° Que pendant que 36«">£'> 18a", on obtient deux seg- ments, dont l'un est plus et l'autre moins grand que la moitié de la sphère ; 4° Que lorsque b' = 36a' % il existe deux solutions dont l'une donne une sphère entière, l'autre un segment dont la hau- teur rapportée à l'unité du rayon est égale à 0,268 environ; 5° Enfin, que lorsque ô'>36a", il n'y a qu'une seule solution et un seul segment plus petit que la moitié de la sphère. Cet exposé rapide fait voir que le problème que se propose. Aiqoûhî est d'une difficulté supérieure aux deux premiers résolus par Archimède. Ce n'est même que grâce à la forme particulière des équations 1) et 2), que le problème ne conduit *) On discute facilement les deux équations proposées sous ce dernier rapport, en y sub- stituant 1 à r, ce qui change la condition b' > 18 a' 2 dans 4 > A (3— A) 2 , et en examinant ensuite , à l'aide du théorème de M. Sturm , le nombre des racines réelles de l'équation A 9 — 6A 3 + 9 A — e = (où 4 > e > 0) comprises dans les deux intervalles de à + 1 et de + 1 à + 2, en distinguant pour le second intervalle les cas 4 > e> 2 , 2>e>0 et e = 2 ; dans ce dernier cas on aura A 3 — . 6A* + 9A — 2 = (A— 2) . (A— 2— \/z) . (A— 2+ l/â). **) Les deux équations se décomposent, en ce cas, de la manière suivante : (A_y/|)'(A+»/2F)=o * (r-y/|) , ('+ï» / ^) = o. pas à une équation du sixième degré. Or le géomètre arabe ne résout pas seulement le problème, mais il en discute encore les cas particuliers tout aussi complètement qu'on vient de le faire- Pour arriver à ce résultat, il s'y prend de la manière suivante: Il construit deux cônes tels que le premier soit égal en vo- lume au premier segment de sphère donné, et que le second ait pour hauteur et pour rayon de sa base une droite égale à la droite HN, menée du pôle du second segment de sphère donné à un point quelconque de la circonférence de sa base(*). En désignant les volumes de ces deux cônes par C et G respec- tivement, on aura HN=l/Â' et Ensuite il prend une ligne BK.= 3 G UN- — et une lign S = HN.p7=3«'. Avec ces données il construit deux coniqui une hyperbole, èqidlatère ,r.^-=HN et une parabole ^-*=(BK — x)S. L'intersection de ces deux coniques a pour ordonnée la hau- teur du segment qu'il s'agit de construire, et pour abscisse le diamètre de la sphère à laquelle ce segment appartient (*"} Ce qu'il y a de remarquable ici, c'est la construction simi tanéededeux équations renfermant deux inconnues, par l'inter- section de deux coniques, Mais passons à la discussion, bien plus intéressante, que le géomètre arabe fait des cas particulii ir île cplleilrflile r.st lou» li» segrm *) On Toit ni se ment que In ilr. »pli«* égaux M surfilée. ") En effcl , bb éliminant alternat ircmput m el y entre les équations des ileux * toniques, après y avoir substitué i HN, HK, S leurs valeur» en ai et f, « 3 V b'> 5) y>--b-y + 3a-b' = ù, fl) * J -iS*' + ï5 = itaéqnaliont, comparées aux émiatione 3) et *), montrent immédiatement que y répo — 107 — Aiqpubî distingue ces cas suivant les différentes valeurs que G peut prendre le rapport jt, à savoir: cî ; ce qui équivaut à V ^ 18a", 18a'* < A' < 36a'% V > 36a\ Il démontre d'abord d'une manière rigoureuse, par la con- sidération de la tangente commune, qu'au cas du contact des deux coniques on a j T =— - ; ensuite qu'on a généralement ( — ) = t-t4 — ^-tt;> et Q ue le dénominateur de cette dernière VÇy A (3r — -A) expression deyenant un maximum au cas du contact, puisque alors A=r, la valeur — ? correspondant au cas du contact C 7 sera la valeur minimum du rapport p-, et la limite qu'il ne peut pas surpasser en petitesse. Il démontre ensuite , d'une manière non moins rigoureuse et non moins purement géométrique, que tant que A > r, on f aura — < -rr ; d'où U suit que lorsque lç segment qu'il s'agit de construire doit être plus grand que l'hémisphère, le rap- port donné— a pour limite supérieure -• L'auteur constate encore que lorsque le segment est plus G petit que l'hémisphère, le rapport — n'a pas de limite supé- Li G rieure , et que de ce qui précède il suit qu'aux valeurs de — — 108 — comprises entre — - et - peuvent correspondre des segments dans les deux moitiés de la sphère. Mais le passage qui se rapporte à cette discussion me sem- ble trop important pour que je puisse, malgré sa longueur, me dispenser d'en donner la traduction textuelle. Après avoir terminé l'analyse (*) du problème, l'auteur s'ex- # prime ainsi : « Et nous disons : Le rapport du cône de la surface au cône du segment (**) ne peut pas être un rapport quelconque, mais il existe nécessairement pour lui une limite de petitesse qu'il ne surpassera pas, et qui correspond au contact des deux sec- tions coniques en M (fig. 36). Menons (en ce cas) la droite OML touchant les deux sections coniques et passant par leur point de contact. À cause de l'hyperbole on aura OM égale à ML, comme c'est démontré dans la troisième proposition du deuxième livre du traité des Sections Coniques (***) ; donc, parce que DM et BO sont parallèles , LD sera égale à DB, c'est-à-dire au diamètre de la sphère. Et parce que ML est tangente à la parabole , LK sera égale à KD, en vertu de ce qui est démon- tré dans la trente-troisième proposition du premier livre du même traité (****j ; conséquemment DR sera égale au rayon de la sphère , et le point K coïncidera avec le point E (*****). Mais on vient d'expliquer ci-dessus que le rapport du cône de la surface au cône du segment est égal au rapport du rectangle *) Dans l'acception ancienne de ce mot. **) C'est ainsi que Tanteur nomme les deux cônes dont nous avons désigné les volumes par tf et C respectivement. ***) Apollon., éd. d'Oxf., page 108. ****) Apollon., éd. d'Oxf., page 59. *****) On avait déterminé le point K en prenant sur le prolongement du diamètre BD, à partir du point D, un segment DE éfial au rayon. — 109 — AB en BK au rectangle BZ en BE (*) , c'est-à-dire BZ en BK, qui est égal au rapport de AB à B2. Le rapport de ces cônes étant égal aussi au rapport de AB à S (**), on aura BZ, c'est- à-dire DM égale à S; et le rectangle S en DK étant égal au carré de DM (***), DK sera égale à DM, c'est-à-dire à BZ ; d'où il suit que BZ et pareillement AZ seront égales au rayon de la sphère. Le rapport du cône de la surface au cône du seg- ment, qui est égal au rapport de AB à BZ, sera donc en ce cas égal au rapport qui multiplié en lui-même produit le rap- port de deux à un, parce que le rapport de AB à BZ multi- plié en lui-même est égal au rapport deDB à BZ. Ce rapport, qui multiplié en lui-même est égal au rapport de deux à un, est le rapport de deux à sa racine, ou le rapport de la racine de deux à l'unité. Le rapport dont il s'agit (****) ne peut donc pas être plus petit que cela ; car le rapport du rectangle AB en BD au rectangle BZ en ZE, qui est égal au rapport du cône de la surface au cône du segment (*****) , est composé du rapport de AB à BZ , c'est-à-dire du rapport de DB à BA, et du rapport de BD à ZE; de sorte qu'il est égal au rapport du carré de BD au rectangle AB en ZE. Prenant BD comme hau- teur commune, le rapport du cône de la surface au cône du *) 7 SES ni m? » on vérifie <*!* aisément au moyen des relations proposées ci-dessus, C AB.BK C ^BZ.BE page 106. **) Voyez page 106, ligne 14, et la première note de la même page. ***) A cause de la parabole; voir page 106 , lig. 16. ' C *****) Dans ce qui précède, l'auteur avait obtenu cette relation de la manière suivante. En prenant un segment TZ tel que TZ : BZ=(DE+DZ):DZ , il avait (voir Archim., Spb. et Cyl. II, 3, éd. d'Oxf., page 150) C = -TZ.Âz a ; d'un autre côté, il avait C= -AB.AB. Mais AB*: ÂZ*= DÏ': DÂ*= DB : DZ, donc — — * „ ; et puisqu'il avait fait TZDZ = = BZ.ZE,ilsuit: -«^jj; c.ij, f.d. segment sera égal au rapport du cube de BD au solide AB en ZE en BD: en même temps, donnant aux rectangles AB en BD, et BZ en ZE , la hauteur commune ZE , on aura le rapport du cône de la surface au cône du segment égal au rapport du solide AB en BD en ZE au solide ligne BZ en carré de EZ; donc, ex œquo, le rapport du cube de BD au solide ligne BZ en carré de ZE, égal au rapport du cône de la surface au cône du segment multiplié en lui-même (*). Mais le solide ligne BZ en carré de ZE est un maximum lorsque BZ est la moitié de ZE , comme il est démontré dans ce que nous avons rapporté (**) suivant Eutocius, àl'aidedes sections coniques*, cependant nous en donnerons plus tard une démonstration indépendante des sections coniques. Le rapport du cube de BD au solide ligne BZ en carré de ZE est donc un minimum lorsque BZ est égale au rayon de la sphère ; et si le cône de la surface est considéré comme invariable, le segment sera un maximum en ce cas. n « Belativementà la grandeur, le rapport dont il s'agit n'aura pas de limite lorsque le segment est plus petit que la moitié de la sphère. » •i Lorsque, au contraire, le segment est plus grand que la moitié de la sphère (***), ce rapport ne peut pas être plus grand *) voici le raison nem «il A l'auli-iir : VI '/.!■. AB " ZE AB.BD. ZE ftry _ bi> V e / BZ-ZE el en même temps ~ = . . ~.~~^~ ^ j onc •" BZ.ZE ") Je rappel)» que ce morceau faisait partie il' une édition arabe du traité de la spliè du cylindre, en sortit qu'il avait été précédé de ta cinquième proposition du second lÎTr du commentaire d'En tocsins qui s'y rapporte. Voir ta démonstration donnée par Eulot éd. d'Oif., page 166, ligno 25 du texte grec, sqq. ltZ> n aura AB.BD < BD ; donc 1) AB.BD BD BZ.ZE < BZ.ZE i tempâBZ ZE>BD.DE, donc a) _ < jg^ - ffi i de t) et 3) il .oit £AD.DC. Premier cas. On a AB:BC =BC:BE, donc AB.BE= BC." Mais AB.BE> AD.DE (parce que B est plus voisin du milieu de AE que D). Gonséquemment +) Les deux manuscrits portent « plus petit, » et le manuscrit parisien , au lieu de ,+J « un huitième» 9 porte « un troisième ». **) Ici ce terme me parait indiquer des essais successifs , une sorte d'interpolation. (Voir la note de. la page to.) ***) Les deux manuscrits portent JoSU \ « le diamètre », au lieu de JLft) ! s^juaj . 8 — 114 — ËD.DB ED. PB BD ED. PB ED.AD > BC ° U DA> BC ' d'où il suit AB ED.DB + BC DC _ . <,., „ „ Tn > =î ==i (Eucl., Élem., II, 6); AD BC BC donc AB.BC > AD.DÔ', c. q. f. d. Second cas. AB . BE = BC *< AD . DE , BD.DE BD.DE _BD BC* ÀP BC' > AD.DE - DA ? donC BDTDË < DB ; conséquemment d'où il suit DC AB BD.DE BD DC BD.DE ^BD ° U nr > BA' BC DA DC r, > ■^f ou AB.BC > AD.DC, c. q. f. d. D Problème résolu par Âboûl Djoûd Mohammed Ben Allaïth , et proposé à ce géomètre par Aboûl Rîhàn Mohammed Ben Ahmed Albîroûnî (*). Étant donnés une droite BC(fig. 38) et un point A, mener de A à BC une droite AD telle qu'on ait AD.BC + BD*=Bc! Aboûl Djoûd fait WB perpendiculaire et égale à BC, et cons- truit une parabole dont West le sommet, WB Taxe et BC le para- mètre. Ensuite il abaisse de A sur BC une perpendiculaire AL, et fait passer par A une h/perbole équilatère ayant son sommet en A, son axe sur le prolongement de LA et son paramètre égal ♦) jJL, L^ M t±>) s±Ji\ ^ ^ Sjs>\ ^\ J^UJI ^jJI v |^ ^îj^jJt J^aJ ^ J^^Lar^l j)\ J^eUI J)i\ aac. Albfroant rament à et problème la trisection de l'angle ; voir p. 1 19, 1. 10. — 115 — à 2 .AL. Le pied de la perpendiculaire abaissée du point d'in- tersection Z des deux coniques, sera le point D qu'il s'agit de déterminer. Je ne reproduis pas les raisonnements de l'auteur, qui n'of- frent rien de particulièrement remarquable, et je me borne à vérifier le résultat énoncé. Désignons AL, CL, BC par a, £, c respectivement; prenant C pour origine des coordonnées, l'équation de la parabole sera (c — x) 7 =c . (c — jr) 9 celle de hy perbole^* — {x — b) 7 = a 7 . Mais cette dernière équation exprime que AD=y, de sorte qu'en vertu de l'équation de la parabole on aura BD = BC(BC — AD), ce qu'il s'agissait d'obtenir. J'observe encore que l'auteur démontre: i°que si les deux coniques se rencontrent en deux* points , les deux perpendi- culaires abaissées des deux points d'intersection déterminent sur BC deux points satisfaisant tous les deux à la condition proposée; a° qu'il peut arriver que de toutes les lignes plus petites que BC(*) et menées de A à BC, aucune ne satisfasse à la condition voulue, et que c'est le cas lorsque les deux sec- tions coniques ne se rencontrent pas, parce qu'alors on aura AD.BC+BD'>BC\ Solution anonyme du problème suivant, dont l'auteur dit que « depuis un certain temps les algébristes et les géomètres se sont proposé mutuellement ce problème, sans que ni les uns ni les autres en aient donné une solution satisfaisante. » Construire un trapèze ABCD (fig. 39) de telle sorte que chacun des côtés AB, AD, BC soit égal à 10, et que Taire de la figure soit égale à 90. L'auteur montre expressément que ce problème dépend r *) L'équation de la parabole montre immédiatement qu'il doit être y < c ou AD < BC. 8. — 116 — d'une équation du quatrième degré; il prend pour cet effet DK=x (AR étant la perpendiculaire abaissée de A sur le prolongement de CD), d'où il suit (AB — x).AK=90, donc (AB — x)* . AR =90*; mais AB=io et AR = io f — x 1 conséquemment ( 1 o — .r)* . ( 1 00 — x 1 ) = 8 1 00 ou x* 4- aooo;r= aoj?*+ 1900 (*). Puis il construit le problème delà manière suivante. Il prend AB= 10, et fait EB perpendiculaire à AB et égale à -2- AB (**); ayant complété le rectangle BZ, il fait passer par E une hyper- bole ayant BA, AZ pour asymptotes. Un cercle décrit du centre B et du rayon BA coupera l'hyperbole, parce que AB>BE. Me- nons la droite BC=AB, et construisons un angle B AD 3= ABC en faisant AD=BC. Alors ABCD sera le trapèze demandé (***). En effet , en abaissant la perpendiculaire CL sur AB on aura triangle CBL égal et semblable à triangle ADR, donc ABCD= ALCR ; mais en vertu de l'hyperbole on a ALCK = ABEZ , donc ABCD= ABEZ =AB . EB =90. •) lLjuO ^jU J.X* j j»»l UNI, JU JLtl jL* Jjli, jf± 131^ **) C'est-à-dire on prendra BE égale au rapport de l'aire donnée à la droite donnée. +**) Désignant la longueur de AB par a, l'aire donnée par b* t l'équation qu'il s'agit dé construire sera x* — 2ax* + 2a 3 x — a 4 + b* = ou (a— x) % (a a — x*) = b 4 . Prenant B pour origine des coordonnées, l'équation de l'hyperbole sera (a— x)y = &*, celle du cercle 2' 4- y* = a 3 ; ces deux courbes construisent donc, en effet, le problème. — 117 — E TRAITA DE LA TRISKCTIOW OK L ANGLE RECT1L1GNK , PAR Abou Said Ahmed Ben Mohammed Ben AbdAldjaltl AlsîdfztÇ*). L'auteur commence par une dédicace de quelques lignes; ensuite il dit : « Malgré le désir ardent qui animait les anciens à résoudre ce problème , et malgré le grand nombre de ceux qui l'abor- dèrent d'une manière persévérante, aucun d'eux n'y a réussi, jusqu'à ce que dans les jours d'Almamoûn, le commandeur des. croyants, il fut résolu par Thâbit Ben Korrah Alharrânî et ensuite par Âboû Sahl Alqoûhî (**). Et rien de ce qui se rap- portât à ce problème ne fut résolu par aucun ni des an- *) Voir le Loubb Alloubdb, éd. de Veth., vol. I, page (["f. — La Bibliothèque nationale possède un manuscrit écrit presque entièrement de la main de ce géomètre à Chtrâz, pendant le coirs de l'année 358 de l'hégire , ainsi que l'attestent les post-scriptum ajoutés à la fin de plusieurs des morceaux qui composent ce manuscrit. **) On sait qu'il se trouve dans les collections mathématiques de Pappus (voir Ht. IV, prop. 31 à 34, et particulièrement la remarque introductoire, fol. 61, r. de l'éd. de Venise de 1589) deux solutions de la trisection de l'angle. L'angle BAD (fi*. 40) étant celui qu'il s'agit de diviser, la première solution consiste à compléter le rectangle DF, à faire passer par D une hyperbole ayant AF, FB pour asymptotes, à couper cette hyperbole par un cercle- décrit du centre D et d'un rayon égal au double de AB, et à mener AC parallèle à la droite qui joint D an point d'intersection du cercle et de l'hyperbole. On aura angle DAC = - DAB. L'autre solution consiste à combiner Fhyperbole dans laquelle le rapport du paramètre au grand aie est égal à 3, avec un cercle ayant pour corde la distance de l'un des foyers an sommet de la branche opposée, et dans lequel cette distance sous-tend un angle à la circon- férence égal à celui qu'il s'agit de diviser. L'arc de cercle compris entre ledit foyer et le point d'intersection des deux courbes sous-tend un angle à la circonférence qui est le tiers de l'angle donné. La première de ces deux solutions ressemble parfaitement à ce que l'auteur rapporte de celle qu'il attribue à Thâbit Ben Korrah , auquel , ainsi qu'à son maître Mohammed Ben Moûcà Ben Chàqir, les ouvrages des mathématiciens grecs n'étaient rien moins qu'inconnus. C'est donc à ceux-ci que Thâbit pourrait avoir emprunté sa solution. Quoi qu'il en soit, on n'est du moins nullement en droit de soupçonner la bonne foi de l'auteur du traité actuel en ce qu'il dit dans cet avant-propos ; d'autant moins que, plus bas» il attribue expressément une des solutions qu'il énumère aux « anciens », c'est-à-dire aux Grecs» et que les solutions qu'il donne comme siennes sont, en effet, originales, et entière- ment indépendantes de celles proposées par Pappus. — 118 — ciens ni des modernes, à l'exception de ces deux géomètres.» « Or moi, je l'ai résolu d'une manière plus élégante, j'en ai donné une démonstration plus évidente et une construction plus facile et plus immédiate ; de sorte qu'on est en état de ré- soudre une suite de propositions, chacune desquelles peut être ramenée à la trisection d'un angle, et dont aucun des anciens n'avait réussi adonner des solutions fondées sur des démons- trations géométriques. Tout cela, je l'ai réuni dansée morceau...» «Commençons donc par les propositions que les anciens et les modernes ont ramenées, au moyen de la méthode de l'ana- lyse, à la trisection d'un angle rectiligne. Puis faisons suivre la démonstration de ce que moi seul j'ai réussi à découvrir. Enfin démontrons chacune de ces propositions. » Proposition de Thâbil Ben Korrah Alharrânî. Que l'angle donné soit DAB (fig. l\o). Menons d'un point quelconque B d'un de ses cotés, BD perpendiculaire à AD et BC parallèle à AD, puis menons de A une transversale AEC en sorte que CE=2 . AB, on aura angle DAC= ~ DAB. Proposition dAboû Sahl Alqoûhi. Que l'angle donné soit CBE (fig. 40- Prenons sur le pro- longement du côté EB deux points A, D, et sur l'autre côté un point C, en sorte que i) AD=DC, 2) AB:BC=BC:BD. Menant BP parallèle àDC, on aura angle CBP=^ CBE. Proposition d' Aboûl Haçan Alchamst Alharawt (*). Que l'angle donné soit ABC (fig. 4 *)î construisons le triangle *) Voir Casiri, vol. I, page 426. — 119 — isocèle ABC et abaissons sur sa base la perpendiculaire AZ; menons de C la transversale CED en sorte que ED = DB, on aura angle EBC=t* ABC. Propositions proposées par Aboûl Rîhân {Alblroûnt)^ Première. Mener dans le triangle isocèle ABC (fig. 43) une droite AD, de sorte qu'en faisant AE= AD et menant ED on ait AB : BD = AD : DE, ce qui revient à faire angle BAD = « BAC (*). Seconde (**). Étant donnés un cercle et une corde AB (fig. 44)> mener un rayon EDC, de sorte qu'on ait AC=AD. Troisième. Étant donné un angle ABC (fig. 45) et sur ses deux côtés deux segments égaux BA, BC, mener de C une droite CD telle qu'on ait CD.AB + BD=ÂÏÏ! Cela revient à la tri- section de l'angle complémentaire HBC, car en prolongeant HB et CD jusqu'à leur point d'intersection T on aura angle HTC=^HBC (***). Proposition cFAbou Hdmid A Isagânl (****). Prenons un segment de cercle ABC (fig. 46) contenant le* supplément de l'angle qu'il s'agit de diviser, et déterminons sur la circonférence de ce segment un point B et sur le pro- longement de CA un point D en sorte qu'on ait BC = BD, AB = AD. On aura angle ACB = l. CBE. *) On le démontre en faisant passer par E une droite parallèle à BC, et par E, D et le point d'intersection de cette parallèle avec AC , une circonférence de cercle décrite du centre A. **) L^JO aJL*^ T % \» 2srcP J> « c'est une suite immédiate de la première ». ***) On a (Euclide, Éléments, II, 5) AB = DB*+ AD.DZ = DB*+CD.DE; maisonavauh fait"ÂB a =DB + CD.AB, donc DE = AB = BE, et conséquemment TE—BE. ****) Voir Casiri, vol. I, page 4!0. Proposition résolue par un des anciens au moyen de la règle et de la géométrie mobile, mais que nous devons résoudre au moyen de la géométrie fixe. Étant donnés tin cercle et l'angle au centre ACD (fig. 47 mener de D une transversale DHZ coupant le prolongement du diamètre ACB au point Z, de sorte que HZ = AC. On aura angle DZA = ^DCA (*). Proposition résolue par nous. Ayant mené dans un demi-cercle une corde BC (fig. 48) ren- fermant avec le diamètre BA l'angle qu'il s'agit de diviser, mener un rayon DE tel qu'en faisant EZ parallèle à BC on BZ.ZD=ZE. On aura angle ABE=£ ABC (/"). : Qt ra Proposition que f ai découverte, et au moyen de laquelle f> démontré les autres propositions mentionnées. Étant donné l'angle KCD (fig. 4g), prenons sur les côtés l'angle supplémentaire des segments égaux CD,CA, et menoi de D une droite DE , de sorte qu'on ait 1) DE.EC + ÏC = CD' Décrivant un cercle du centre C et du rayon CA, on ai CD'=ÂC'— ËC + AE.EK = ËcP + DE.EM; mais on avait faitCD = ËC + DE.EC, donc EC = EM; d'où il suit im- médiatement que les angles M ou D sont chacun un tiers l'angle donné KCD. m- *) Le procédé de l> ■ géométrie mobile • consiste a Taire piroler auteur du point D une règle diïisée en parties aliqnotes du rayon, jusqu'à ce que le nombre dea parties interceptée» entre ia cirroiiii'rnu a du Mfdf ri le prolongement de AB soit égal an nombre de ces p qui correspond .1 la longueur du rayon. Comparer Archimtàe. Lewmes, prop, 8, éi. «TOi p. 358. — Celle proposition est essentiellement la même que la troisième d'AlblroOnl. **) L'est absolument la même chose que la proposition d'Alqorlhl. — 121 — Voici maintenant le procédé employé par l'auteur pour ob- .-y-fa tenfir la relation t). Il dit: « Construisons une hyperbole (fig. 5o) ayant son sommet au point C, équilatère, dont le grand axe soit égal à CA et l'angle des ordonnées égal à l'angle C, conformément à la proposi- tion du premier livre des Coniques d'Apollonius {*). Ce sera la cotarbe BC. Faisons BC=CD f *j et DE parallèle à BC. Je dis qu'on aura DÉ.EC -f- ËC=CD\ » a Démonstration. Menons l'ordonnéeBZ, on aura AZ.ZC=ZB. Mais AZ.ZC = AC.CZ + CZ = BCXZ+CZ; donc BC.CZ + -4- CZ = BZ. Or les triangles BCZ et DEC étant semblables , ■ * leurs côtés seront proportionnels, de sorte que DE.EC + EC est à Tfâ comme BC . CZ -f- CZ'à Bz! Mais alors DE . ÊC + EC* sera égal à CD, ce qu'il s'agissait de démontrer. » Voici maintenant comment l'auteur ramène effectivement à cette proposition toutes les précédentes : i . Troisième proposition (TAboûl Rthdn. Après avoir fait EM=EC (fig. 5i), menons de M au prolon- gement du diamètre une droite MZ égale au rayon , et menons ZD , TC. On aura triangle DCM égal et semblable à triangle CMZ; donc MC parallèle à Zï), et angle M2D== angle CDZ = angle CTD, conséquemment aussi MZ parallèle à CT, donc ZT = MC= CT, de sorte que dans le triangle tectangle ZCL on aura ZT=TC=TL; mais c'est à cela que se ramenait cette proposition d'Albîroûnî (voir la note à cette proposition). a. Proposition de Thâbit. ' * *.-.... Après avoir fait EM=ËC (fig. 5 1), menons de D une droite -lO. ■*) La proposition dont il s'agit, et dont le nombre est laissé en blanc dans le manuscrit, est la cinquante-troisième, édition d'Oxf., page 91 . **) Cela revient à combiner avec l'hyperbole un cercle décrit du centre C et'du rayon CD. — 122 — DLTZ parallèle à MC; de ce qui précède il suit qu'où aura LZ=2 .DC; mais c'est à quoi se ramenait, dans la proposition de Thâbit, la trisection de l'angle CDN. 3. Seconde proposition (TA boûl Rihdn. Après avoir fait EM=EG (fig. 5i), qu'on mène le diamètre MCF et les cordes DQR , FK. On aura angle FKD = angle DMF = angle ECM = angle KCF ; angle QFK = angle KFC; donc triangle FKQ semblable à triangle FCK. Mais c'est à cela que se ramenait cette proposition. 4- Première proposition d'Aboûl Rihdn* C'est-à-dire mener dans le triangle isocèle DCK (fig. 5i) une droite CQ telle , qu'en faisant CX = CQ on ait CK : KQ = CQ : QX. De la similitude des triangles FKQ , FCK il suit KQr=KF, de sorte qu'en menant QX parallèle à KF, on aura CQ : QX = CF : FK = CK : KQ. 5. Proposition d? Alchamst. Pour mener dans le triangle isocèle CFK (fig. 5a) la trans- versale FQZN, de sorte que ZQ=ZK, décrivons un cercle du centre C et du rayon CF, prolongeons les rayons KC, FC jus- qu'à A et D, et faisons EM = EC; de M menons le diamètre MIN, on aura obtenu le point N qu'il s'agissait de déterminer. En effet, en comparant les différents angles à la circonférence et au centre, on trouve aisément qu'on a ZKQ =DFN = 2 .NFK ; mais aussi ZQK = a.NFK , donc ZQ = ZK , ce qu'il s'agissait d'obtenir. 6. Proposition (FMqoâhi. Faisons KCD (fig. 53) égal à l'angle donné ; puis faisons EM = EC, et menons CS parallèle à MD et SO parallèle à DC. On avait CD== DE . Efc + ÊC , conséquemment OS =SC . CO 4- CO "= AO . CO ; donc AO : OS = OS : CO, ce qu'il s'agissait d'obtenir. — 123 — 7- Proposition d'Alsagdni. Exécutons d'abord la construction de la figure 49 > en pre- nant KCD égal à l'angle donné; ensuite faisons dans le segment donné (fig. 46) l'angle ACB égal à l'angle EDC de la figure 49, et prenons BD = BC. On aura alors AB= AD, parce que les triangles BCD, DAB de la figure 46 seront semblables aux triangles CDM, MEC de la figure 49- Démonstration de la première des propositions d!Aboûl Rthdn (Tune autre manière singulière de notre invention. « L'angle aigu ABC (fig. 54) étant donné, dont le côté BC est prolongé indéfiniment, mener une droite telle que AC, de sorte que, si l'on mène CD de manière à faire AD = AC, on ait AB: BC=AC : CD. » « Construisons une hyperbole ayant son sommet au point B, son grand axe égal à BA, équilatère, et ayant l'angle des ordonnées égal à l'angle B. Ce sera la conique BE\ Puis dé- crivons du centre A et du rayon AB un arc de cercle BE'. Il coupera nécessairement l'hyperbole; que ce soit au point E'( ¥ ). La droite qui joint A et E' coupera l'autre côté de l'angle au point C qu'il s'agissait de trouver. » « Démonstration. En faisant AD= AC et menant DE parallèle à BC, on aura AB : BC = BC : BD (**), et angle B = angle B; *) A partir d'ici, je me suis permis quelques petits changements pour abréger, parce que Fauteur, pour être plus explicite, après avoir construit la combinaison de l'hyperbole et du cercle, avait considéré, dans une seconde figure à part, les relations qui ont lieu dans le triangle ABC. **) En effet, on a Ëtf = AD'. r/B (Apollon., I, 53) et CB parallèle à E' D', CD parallèle à ■a E'B, donc BC = AB.BD. — Le cercle et l'hyperbole de cette résolution,- que l'auteur qualifie de singulière (<^^J w£) , sont absolument les mêmes que ceux de sa solution précédente. Seulement l'auteur considère ici l'intersection du cercle avec l'autre branche de l'hyperbole. , Qu'on ne se hâte pas de lui en faire un reproche; on serait aussitôt forcé d'en faire un non moins grave à Pappus , qui , à l'occasion du même problème, dans la seconde partie de la trente- quatrième proposition du quatrième livre, donne comme un àXXw; une construction qui en réalité est absolument la même que celle qui la précède. dune triangle ABC semblable a triangle CBD, ut angle BAC = angle BCD sangle EDC; en même temps angle DCA = angle ECD; donc triangle DAC semblable à triangle EDC, consé- quemment DE = DC, donc AB : BC = AD : DE = AC : CD, c. q. f. d. » Ici l'auteur termine son traité; mais, en guise d'appendice, il y ajoute encore la discussion des cinq problèmes suivants proposés par Albîroûnî comme pouvant également être menés à la trisection de l'angle. i. Étant donné le triangle isocèle ABC (fig. 55), donner à AB un prolongement BD tel que, faisant angle ECI) = angle EDC , on ait AE . EB = AB . BD. a. Supposons un trapèze ABCD (fig. 56) dans lequel soit parallèle à CD, AC= BD, DE =2 DB, CD : BD = AB : Etant connus le côté CD et les angles du trapèze, trouver li côtés AB, BD, AC. 3. Etant donné le triangle isocèle ABC (fig. 5j), couper prolongement de la perpendiculaire à la base par une trai versale EZH telle que BZ — ZE et HZ — ZC. !%. Étant donné le triangle isocèle ABC (fig. 58) et la pendiculaire à la base AD, mener une transversale BZE, sorte que BZ = EC. 5. Le triangle ABC (fig. 59) dont PangleBestun angledroi el dans lequel on a joint le sommet B au point milieu D de la base, étant connu d'espèce, mener de C une ligne CZE telle que BZ: CE=BD: AC. L'auteur résout tous ces problèmes au moyen du lemme suivant : Construire sur une base donnée un triangle tel que l'un de ses angles soit le double de l'autre, et que la somme de ces deux angles soit égale à un angle donné. Il résout ce second lemme au moyen de celui qui lui avaii ]ts, •r à — 125 — servi pour la solution de toutes les propositions qui faisaient l'objet de la partie principale de son traité. En effet , en pre- nant (fig. 49) CK égale à la base donnée et angle KCD égal à l'angle donné, qu'on fasse £M=£C. Dans le triangle CDE décrit sur la base donnée CD, on aura angle CED = 2. angle CDE, et la somme CED + CDE égale à l'angle donné, ce qu'il s'agissait d'obtenir. J'abandonne aux amateurs le plaisir de trouver eux-mêmes la solution des cinq problèmes d'Albîroûnî, ce qui sera d'au- tant plus facile, que je viens d'en indiquer le moyen. A ce traité de la trisection de l'angle je vais joindre encore un cas particulier de ce problème, dans lequel il sera intéres- sant de constater que les Arabes ont reconnu qu'il dépend d'une équation du troisième degré. En effet, la troisième d'une suite de questions proposées par Albîroûnî à Aboûl Djoûd, et dont j'ai fait connaître la première dans l'addition D, est conçue de la manière suivante : « Pour- quoi nous avons dit, dans la septième proposition du septième chapitre du quatrième livre de notre traité de géométrie, qu'au moyen de cette proposition (*) on peut construire algébri- quement l'ennéagone. » Dans sa réponse Aboûl Djoûd considère la corde AB(fig.6o) qui sous-tend la neuvième partie de la circonférence d'un cercle circonscrit au triangle isocèle ABC. Il prend AD=AB, ED = AD, EZ = ED. En considérant les angles aux bases des différents triangles isocèles ainsi formés, on trouve CZ= AB(* ¥ ) *) L'auteur dit, à la fin de sa réponse, que cette proposition contenait la construction de l'équation : «,des racines sont égales à un cube plus un nombre ». 360° **) Généralement, si l'on prend angle ACB = -— , n étant un nombre entier de la forme 4m + 2, on arrivera toujours au sommet de l'angle en plaçant ainsi la corde sous- tendant* saccessîYement m fois entre les deux côtés de l'angle. — 126 — et EA = AB. Abaissant les perpendiculaires AT, ZK., on aura CZ : CK. = CA : CT, donc CZ : CE = CA : a.CT; conséquem- ment CZ : (CZ -+- CE) = CA : (CA + -a . CT) ou AB : (EA -i- CE) = CA:(CB+ fCB + CDt), c'est-à-dire AB:CA = CA : (CD + a.CB). Arrivé là, le géomètre arabe pose AC = i et AB = .c, et obtient ainsi .i'.(CD+î)=i; mais de la similitude des triangles ABC, BDA il suit AC.BD= AB; donc BD=x*, etCD = i — a», ce qui, substitué dans l'équation qu'on vient d'obtenir, donne ,r»+ i = S»0- Pour construire le cOlé de l'bcpUgoM inscrit an cercle (* ') , les Arabes e mptoyaient des considérations tout à fait analogue» à celles qui précèdent. J'en trouve l'exposé dan» uue réponse anonyme à la question suivanle, proposée par Aboo Bi'.jr Mohammed lieu Yakoûb Alcliamsl : Déterminer dans un triangle rectangle le rapport d'une caltirte à l'autre, l'angle opposé à la première des deux catbètes étant donné. L'auteur tait observer d'abord qu'on peut résoudre ce problème approximativement moyen de la table des cordes. Ensuite il détermine les valeurs exactes du rapport mentionne, en faisant successivement éïnl au\ iliui'i i-nls S(Hi--siiul)i[itcs d'un nngle droit. Désignant par B le sommet de lunule drnit, parC le sommet de l'angle connu a, et le sième sommet par A, le géomètre arabe trouve : letroi- Pour a = -y- AB : BC = 1 : I AB : Pour « = — AB : BC = i : \S\ Pour a = -j- AB : BC = 1 : {t + \Zï) ÂB*: Pour a s — 15': nc*= | : (a + t/ïô) Pour a. = y AB : BC = I ; (2 + 1^3 ) Pour a = — il démontre que le rapport du carré de AD - AC = I AC = I : (4 + V"*) :(i + t/i> : (t/5 + \/i) AB , au carré du *) C'est ce que devient , en effet , l'équation 4 (mhJb) 3 + sine = 3sin;i>pour 11 — M', lorsqu'on pose i=3(sin ju), *•} L'équation que je déduis ci-dessous (p. 137,11g. 13 en rem.) des relations données par le géomètre arabe, est ia même que celle à laquelle Viète ramène cette construction ; en même temps Viète ae sert, pour arriver à celte équation, de considérations très- semblables à celles du géomètre arabe. Voir Fioncùci Vicl x ope ra mail lemalica , in unum volumencoogesla, opéra et studio Francisa à Sciiooten. Lugduni Batuvorum , taie, fol. , pag. 363, protasis IV. Dans l'équation qui se trouve à la lin de celle proposition (pag. 363, lig. 14 en rem.), on lit, par Mille d'une faute d'impression, -fin au lieu de _ 3> — 127 — diamètre AH du cercle circonscrit au triangle ACD(*), est égal au rapport (l — \/\) : 2; que l'on a T CBBT = Âb' CB + BT = CT; et que, conséquemment, CB, BT et le rapport AB : BC sont connus. c 90° Pour a = — il divise le rayon du cercle circon- h 10 scrit au triaugle ACD en moyenne et extrême raison. Alors il a la partie majeure = AD = 1 , la partie mi- neure = l/ïï— |, MT = 3+Vïl = AM, AB=±; donc MB a = 1 i + \ZT\\ et , MB étant connu, BC, AB : BC, AC = AB + BC* AB : AC, seront également connus. 90* Pour * ma -— il démontre , en faisant AB = BD 7 et DE = AD, que E -^ AE : AD = AD : AC, AD : CE = AC : (AC + ce). c < ^r 90° Pour a = — il démontre que AE : AD = AD : AC = = AC : (2AC + CE). 90° La démonstration du, cas a = — est absolument identique avec celle que je viens de 90° donner ci-dessus d'après Aboûl Djoud; et pour la démonstration du cas a = — , l'auteur se sert également d'un procédé parfaitement analogue à celui employé par Aboûl Djoûd pour la construction du coté de l'ennéagone. Or, en faisant, comme ci-dessus, AC=1, AD = #, les deux relations données pour 90° « = -=- se transforment dans AE = x 7 , (1— x 2 ) = x (2 — x*) ; donc x 3 — x 7 — 2a?+l =0; on voit donc que la construction de l'heptagone inscrit au cercle dépend d'une équation du troisième degré, ou de l'intersection de deux coniques. Et en effet, dans l'introduction de ce mémoire, l'auteur s'exprime ainsi : « Lorsque , par exemple , on aura déterminé les deux côtés renfermant l'angle droit dans un triangle dont un des deux autres angles est égal à la septième partie d'un angle droit, on peut facilement construire la corde de la septième partie de la circonférence, dont la déter- mination n'avait pu être obtenue jusqu'à nos jours , jusqu'à ce qu'Aboû Sahl Alqoûht (**) et moi nous l'ayons construite au moyen des sections coniques. » Puis, après avoir terminé 90° la discussion du cas a = ■=-, l'auteur ajoute : « Et c'est au moyen de cette proposition que j'ai construit l'heptagone inscrit au cercle. » *) La corde DE, qui est perpendiculaire au diamètre AH, est prise pour unité dans ce cas. **) Comparer pag. 55, lign. 20. ERRATA ET CORRIGENDA. Texte arabe. En plusieurs endroits des lettres se sont cassées , et des points et des filets superposés sont tombés pendant le tirage. Il faut y suppléer comme suit : P. 11, 1. il JjûU.— P. 14, 1. 11 tlXaJ^N. -»P. 15, note 19 Jxw. — P. 17,1. 1 **£■*> — P. 19, 1. 1 ^Jcacf t.— F. 23,1. 1 laJ P. 23, 1. 15 3* P. 25, 1. 19 .jjSj. — P- 31, 1.2 a**X"M. — P. 32, BOte5l*>jj£jl.— P. 46, 1. 2 JU.— P. 48, 1. 1 ^tt. — P. 52, l. 9 ^r^j. — 0n remarquera quelquefois des h qui ressemblent à des jo ; c'est qu'on ne fond que des J» dont on enlève ensuite les points avec le couteau. Des traces de ces points imparfaitement enlevés, qui étaient absolument invisibles dans les épreuves, ont reparu dans le tirage. f~ Traduction. Dans la l re feuille, on a imprimé binôme, trinôme, etc., au lieu de binôme, trinôme. P. 41, 1. 3 en rem., au lieu de BD il faut lire BD* P. 56, 1. 6. L'ouvrage 8 traitait probablement du problème suivant: Étant donnés un faisceau de trois droites issues d'un point B et un point E, faire passer par E une trans- versale qui coupe les trois droites respectivement aux points A, D, C, de manière que le rapport AE : CD, ou le rapport EC : AD, soit égal à un rapport donné. Je trouve cet ouvrage mentionné dans un mémoire d'Aboûl Djoûd, où ce géomètre se propose de compléter le travail d'Alqoûbt par la considération du cas ED : AC = const. V. 56, 1. 22, au lieu de P et A il faut lire 2 P et 2 A. P. 75, 1. 13 en rem. La leçon %yxwJ est bonne. Le Târtkh Alboqamâ attribue à Kostâ Ben Loûkâ un ^ h *«JÙ\ ^Ll) , ce que Casiri traduit par «De Mmica Liber ». Le mot »^kwjJ> est évidemment la transcription arabe du mot persan ^yyL*jS ou ^\yX^yS y que Richard son traduit par « a large public weiçbing- engine ». Peut-être aussi fautril lire «Oy* 3 -****, mot persan que Richardson traduit par « a public standard of weights or measures ». X P. 76, 1. 9, au lieu de XysA il faut lire &^s~M. r c5 \*lù\ J ^Jt JU pfll ^UD m ip.1 U tjj-4-ttj * àjj* J ajLj J*l _ ji Uj * *#!>* J&iD fL**j r*** •->■*&* s ^' J~* i 1 ^ «V i' ^ o* ^ ♦ ^' (i) Le Ms. porte ^J^y». Dans le premier hémistiche du vers suivant, le Ms. porte l&jjjp» j ^JiliiJ ce que j'ai changé dans [*>\y 3 >jJbSiïîl pour satisfaire au mètre. L*C ^L^j ^ ^jao ; J J0jj*> Lx jl f~»" (4) LiL©l (3) ^ Ul~4l p*-*^ v3j^' v^i" £*** Jf j^ J"^ ^' f*^ k^~" O&s (i) v^liS^J ^1 C. — (a) *Ju> ^ A. — (3) ^ C. — (4) mjL*>! A. — (5) .(^manque dans A. — (6) *»JU3 L-Ij jJ L> C. Ici suit dans le Ms. C. le passage relatif à la publication des ouvrages d'Aboûl-Djoûd *X-** TJu» ^J J**> etc. (voyez pag. f^ note 14), jusqu'à Jla> Ji'sj après quoi le Ms. C. se termine en ajoutant la formule J-£pl **>j dJ! L«»»aj. c. rj vJL^ ^ *~[>.J v' ***** <3^' <3^' »J»sU - JLïM JUI j» ^ lj lit* ^M ^ (4) J>> (3) ^î ^Dij U±> V y^JI^I (») *Jy (5) fjia.1 ijJJ ^L4t s-**S3l *L*y ^JJI «?j ^u* 3i £*» J-fc *?_> ^J ^? J*-* ? (7) J*?^ »j-- t-îA *» («) c^' c^ £>* ^ ^ & ***"* «^ 7 *^ JLi ^ «J* c^*" d 1 ^ '^ *** ^Uîl islj Mj.I (i3) âJ&j ÛJ' >*J|j i^îVjIî (ia)l«XsJ (n) la»} L-~> jl y» â*^ IS" ^1 y l~j s pb.l U&, yu jia.1 iT là. „y£» jJ!)J1 ^1 J±b J y^C ^1 \S* J (.5)^ (i4)^ip3 ^Ul (i) wv^jJt C — (a) jJj» ,3 manque dans A. — (3) Ici le Ms. C. ajoute Jj» L»l etc. (voyez.pag. ^ note 6). — (4) Si sans jC. — (5) .XoJj A. ,)».! C. — (6) jyo^l C. — (7) JwœJj A. J*a^ C. — (8) *1 A. C. - (9) J*j A. -(io) v-^/JJ C — (ii)lij A.-(ia) *±) A. C.-(i3) ^ C— (14) JjI^JI A. — (i5)j»j c. Voy. Fig. 3o, 3. tLar~>* ÂLL4I jULa. ^ Xl^ yj^'^ Jj» Ltj 3 ,J* M^^l^s» w*Q1 JUs-jUÎ Jïydt ¥j* (*) ^jÇJj ( 7 ) «lijfi L, ^1 ^L.jj «JU, (g) J-» L^ ^1 J**ij ïT (8) p*xJj v l v-i^J tf Jk»! j»j g 6£>\JlJj\j v^j &jv dj^pli ^JJt ^ar^li ^V^frj (lOjL^Àj ÎjL» jL (.3) L^*UL3^ ^IzjK* (la) ^51 L>U*ftLU & wotCi (n) J*, Ij 3 CT* g^ '-> ^' ^ ïr * J ^ ^ £^ ^ ^ £/* ^ CP^ sJ* ] JjU 3"! ^^3Z(i4)f^j7^ J* JjIjM «Jaidl Jwi bj*e d^* 5 ^ ^ *r^S Jl v>j ^ ^ &&* U^pbUU ^: (i) ^-L^ C— (a) I J,t A.-(3) 3 sans ^ C- (4) ^L^ C.-(5)Ao lieu de ^ \ ^j*-* L^i le Ms. A. porte ï\ . — (6) Dans le Ms. C. tout ce passage à partir de Jj£ L»ij manque ici et se trouve inséré plus bas (voyez pag. o* note 3). — (7) Liyi C— (8) ^> À. ~j C — (9) Ji manque dans C — (10) ^«+£j AoL y ^^ C. — (11) J» manque dans A. — (1%) %Sf manque dans A.— (i3) L^i&Jj)} C. — (14) ^ A. pxJ^ C. (•) Voyez Fig. 3o, a -^ *J-»i ^ ^ Ji f UI j>> J> S^- Utf! (4) y^JtyJI L^I^â-I-Ij (6) À-J/js-H ih»"i!l ^ i^j^j Le^ajù "il î)L~j)| »j»» (5) .j*^ (*) «-ai •b== J 'jJ^ JLs ^l.y! Jj*> iJ*, w*»C j»j g^lj Jar^' ^1 a^ j»j ijjd) jL»* ^^^JtX-» *L» 4JL> Jw^iftJj w>l lai J|y>^! (8) »J_c Jâ^lil (lo)Jlii^l j! u- ^Jtel j\ Ç Ji» ^ ^1 W ^3 ( 9 ) W IT ^1 *UJb "il Ijj'Ij LslaJ» J J* J^j *^ -A»-» H (•«) /►**-> L*L» *^ C. — (3) Ce passage à partir de*»j*4t manque dansC. — (4) ij^^j-*-** manque dans C. — (5) jy\ C. — (8) *Xa> C. — (9) ibs^j C. — (10) JLS manque dans C. — (1 1) vJ A. C. — (ia) v^cs^. C — (i3) jIj^Sj C— (14) J^aiJ^C. — (i5jkjar*l C. — (16) ^man- que dans C, (*) Voyez Fig. 3o. — ( ¥ *) Voyez Fig. 3o, ,. J,l Uj-jJ'l JJU^j ^ti-^t ïj* (/,) J-jJjJ J UlâS" (3) iiJ! 4,^ „^> ,^-tt (5) jz-^îj L^tJt ^->=- -Lâ-L. ^j-f- t-y M'jt^l f^UiJI ^ LJI (6) fc.j^l JJL41 J >Jf « ^als U w-^ J, J-^t ^ A=Jj ,Jt {BjL^-J {7) (jjiJJI L ^â-^' ^À» ^ oi)i JjuïïJ > Jj-L)L.jJI si» ^jjfi* j» L^*LJ!ji *e!yiîj styt *Jj lllyl ^1 1 ^pj* jj . > ^JL) •>_, sU~. (10) L/ ,JJ jS ^j (i3)w.Va. ^l-l - J iUW .—«.X^tl ^j îcUa. (12) w^t L» Jju îll—41 ïja ^^1(15) jbt)L-P tut J-* ^(14) JjUJ t^o/J UJtj .1x011 J,t ïjj_Ulj ïjjs ^JL-} (J^ Lïs». J-*LiJt 1ÀB JLa. ^ J, -Cx (16) l> pag. ol lign. 5), y suil immédiatement après les mots *Jlc -*=£ ->-& J [■ J.] ,j_»jXj;4! ,Jj S— oLx*-4t JjL—I! ^> et précède cet antre récit. — (1) Le Ms. A. porte LJJuu à la fin d'unn ligne et au commencement de la suivante J 1 — > i I e Ms - C. porte ^_ àJLÏ sans ^ . — (a) J^ 1 manque dans -(3) fclJI ^a-j manque dans A.— (4) J-J J-«-J C— (S)j^ij C. — (6) Wj^Jl A. îJjar't C. — (7) (J-JJJI C.- 'w^r 1 ( 9 ) Lfj^L. JJj A. - (.0) Ù A. _ [n) tr - Lrt^tlijJ jl C. — {11) ^— ilC. — (i3)ijjj?. «Jlw ^C. — (1») jjUJI C. - (.5) UL-yi C. -||») U J» J? ^1 A. n J. jUt .^ jWj* JUI ^ g^-fc^^i ^ y£i ^ là. ^li j^ j^jLw aJL jt^S-3 ^o!^» ip»^ ji ±£^x> ***-* /*oLJl (4) ^y^l^XsJ (3) w-jjjjl a^JI »àa> j^j-j ï^ijl ^jl^ll g^ffc^ ^>A? L^ô-*-j (6) LjJLj/L* g/**"* ^-^^ *■"•>' <.$*«* ( 5 ) pr^' X~^ xJty4l LîbLJI <*ASjl) ç^j ^1 ^.ly* L**^ yjl (8) ^t JT j ( 7 ) LM oLTy! Cs ^ J gjîUI j>\jki z j±*~>.jjï* j-^L^i oLT^tt ^^ g^i o*!^ g^k crf^-? H>' y^ cr^ (9) ^ v^lj-1' C îJl '** ^ t*JlP » *J^I t^ JL*£ j£* jj J3L4! J (la)^ çJJI jy oJJi ^ J JL2\j ^1 LJ ^L» .jii (i3) .^ ^jdLUl J* 1*1*41 JSL4t ^ *i* (i) ^wJt A. - (*) j^ C. - (3) w*ïl r ç-JI C. - (4) ri A. C^T*J J^~' c - — (S) j^l A. ^1 C. — (6) Li^L C. - ( 7 ) Ce pas- sage à partir de 3L)|^H manque dans C. — (8) îaOït C. — (9) ^jJI C. — (10) A*t A. ^Uîj &L- C. — (ii)^Sjj A. jSXi C. — (ia) *->jïj A. aj^j C. — (i3) »^& manque dans C. — (14) Ce passage à partir de JJLi se trouve dans le Ms. C. plus haut, et y est conçu d'une manière un peu différente (voyez pag. f f note 1). De même toute la suite, jusqu'à la fin de l'ouvrage, est différemment arrangée dans le Ms. C. Le récit relatif à la publication des découvertes d'Aboûl-Djoûd qui suit ici (à partir des mots jJj 1Â-& etc. jus- qu'aux mots Jla> JS* ^ pag. f A lign. 6 ) , s'y trouve transposé à la iin de l'ouvrage, tandis que l'exposition des erreurs commises par ce géomètre (î*XaJj .li J.*^. etc. pag. fA lign. 7, jusqu'à oJJ tfL^j ji L^ <*. A»*at »i-* ij? ^jUI ,j J^l s^jyo J\J LL^bj (i)b-îjiu l^ljsfc*-! ^ (5) f JL st JI (A) ^ J*^t iw IJ ÏJ^t, Ï-J J* (3) LsJ! ixJU ( 7 ) .^ yLc ls~, Jjjo, v^.0 ^t J^ lit b-l, (6) Jl*> dM jJ^ (9) jj.>~, b-^V, Ja» ; j-=> Jfc oLS^I J U!_, Ul (8j J (io) Ju-b, Sftill »JJ» J^tdjJt tf c ^JIj Ijio. Jaw JL> *j> J,^ Ja«. j»j Lwjl JU! EJ AJ gj/Àil i^U to.j» I i» «Okar* JJjJI ^» j^i-îl f "i^ 1 ?- t\j^ JU JJ (i3) ^1 ^DâT, ï ; Jo. (ia)^.> £* (n)UJj Jaw IjV J^«j (14) j^U, w**' y J ^ jâo. yS'ja-j UJj Jjjo I^J* Jj d ! ^I)j.r, ^jlUI JU! j» «UM ^sUi £y ^ i cî^ - * ^ *>• crfr? ^ J^ *'>' "r* 6 -» (i7p*Jt & -jàr"*- 3 bj>* ^r** Jj^ ;!^»-l ijji*} (19) .j^U} v_> *3& ïjî ïU-Jl^ wjlUljM ^ u^r* >■*/**' Jl^ ^^ M vi kv^ c x^i £•*" V^V "^ cr 9 y^ v^V ( ao ) £;' (1) LUb^Lj C. — (2) Jju*JI C. — (3)iuJl manque dans A. — (4) ^ A. — (5) f**$Jt A. a^\ C. — (6) J,Lu élil A^aj manque dans A. — (7) jU^ C. — (8) 3 manque dans C. — (9) ^jV^j C. — (10) Jjou v.^' J-i !il e;r j| UO L»jJuJ! î*j^b j\^ (5)i_d^^l! J (4) ^^awl s^^-^U (3)L^ ^LJl^ w*tft J V/» (9) ^ jLjJI ^ (8) aj^ J Vj ^ ^ ^yi 151 (io) w,*T ^t l:..?.l*„.# j Jj jJHi ^ji*3I ^ «yuft ? yti 41>>' ^1 JJ lit s^Dii'j 'Là>jj^\ ^ii3b aL^ L. J*>* wnxCJ! ^JL)3 (la) Jjî aifô wi^LLlI JUt^ r>^ **fj' j^j /*y j-M* ( ll ) ^j **^ ail» j àjL^yc \h\ ù±& ^t Jj *iK-i ût^t **fi' J-^i j*^ *3^ Jt* w*£> ♦IjaJ SJlC Jjju JL» ,3! Jj» 151 (i3) Ulj *Lu-jÎ j*j ÏjOj) J*ad» Jjjst* ^ SI ^L—r? ^' ('4) Ot/^Jb c^i ^ ^^ s!/*** - ' c>^ àJf ^ e> ÏJaIj L~~J J* IjuJI J,!^J cr Jaa. (l5) ^ J^LL Î*)j\ ï\j>\ J,l jji^I(i8)JUï ait *^j (17)^1 (16) ^î J*^'*-^^^ { ^S^y t (ao) bLi iLjXUl 3L»JlJL4I J,t ^bar?. (19) *JU> JL» .Ijfiwl ÏAft (1) Jj!a> bas L^J C. — (a) v^O manque ici dans C. et s'y trouve ajouté après . — (3) L^ manque dans C. — (4) L*^J»^»I C. — (5) J^j A. J^y C. — (6) Jxwj^JI A. — (7) **)*> C. — (8) Ujj-a> A. — (9) ISIi C. — (10) ^oiSi C. — (11) 3j=* 3 A. -Xa^ C. — (1a) Jyb iJK'sans ^ C. — (i3) ÛL5A. — (i4)^Ub A.— (i5) ^C — (16) ^A. — (17) ^1 A. ^yJt C. — (18) J,!»*!) é\î! i^» manque dans A. — (19) JjJUaJ L^tj^l C. — (ao)^j A. tr Jl U Âa-Ux $j (i) L~L-^ Lui j^ iLL-Ulb woJÎl wmiS' .ja^ ^Dt ^1 oJiil y,l >Jil Jet, 1*LLlju.1 J,l J—- S 51 U/i ji^l (5) .j^ JU! >y±j v^xtf t .j-«* ^L, Us ^jJL* (4) ^^b ( 7 ) J-^IP^ j Vtj JUIj V* 5 ^ f 5 ^ J> &£> wj^ll (6) *Ju> Juxipi, J*» JU JJ jjlili jJ^ ^ (8) wi-J J*u JU .^ JJ lit JU, *"£>* e^. vî^' J LiLi J 111 *> ■** k) cx£ J LiU J 3 ^ ^^ U^ *ïb^. J u*Lji-*-M '^ Jj 151 sliL^Jt ,3 (i3)jJ^ f.^j JU .^ JÏJJt w^^t^(ia)Uj ; JUijU^ijV jgi d ^sL^ ^ju\ jgt ^ j^i jgt ^ ^jji ^i ^ •Ij^l 3j^ w^T ^ JJ 15! oUyi J^Uj^ 1^1(14) vylUI &)$Jj w°^ vJ^ ^'G lJ^' î-ji^G ^-^ J^ J^ »î)^' À*M. g àj JU «L-^ ^jJt JjjJJLj ^gt UiiJj XJ^U JjJtj ;%! t *...»& ^ Jl^l à .«,* ^ jjt jsi a« ^^uai w^jyt ^u ^ l^i ^Jbs j^o SLoJLd! \su+e (i5) ^y^Jtj SLvsrU (i) L~-L* C. — (a) LaT manque dans A (3j A t*js± A. è^i^ »ja C- — (4) ^j»JLxJ\ sans ^ C. — (5) ^ A. — (6) »J^J C — (7) J^y^ jWl^ C. — (8) wÂaûj C. — (9) *>j2»2 A. .Jawj C. — (10) Aal ; A. C. — (11) J^tjC — (lajLjjlc. -(i3)jJ^ \^j JU ; J^ A. — (14) C JL^^ w^Ua-t' JUi manque dans C. — (i5) ^ JLx3l^ C. fr L^l J* Jiuli (.) obU^I *J ç& * U/TI ^1 L^ JfbLi .JJ\ Jt ^ UL' ,^ ^ i*U .^±JI ^ ^li .^1 »j> i/ 1 "; ^ e^ ^J *J> c)^ ^ c^e) 1 -^^ ^ £> v^Jiili'i.rJt siUjJ (4) (J --Jt '>?^^» JJ* jS'-ja. .li Xl^bj Xwjl ^ Lss*** ïiJjJ ( 7 ) ( ^ W J| .jsrM (6)^» JUI *ja> vîJDj/j (5) Ij^ LJLi ( 9 ) ^^ ^fel ^^ ^J$j ^J5\ .^ ^Dii-j (8) l^jt »^àa^l .ja. « JLJI «j». « w*»Wt (io) »ja. I l l r f A A f r ^ JUI Jl jVI w^jV J.I -^Ipl *r- Sj^lj L-J ^ *^ly> v^'V (" )/«-«*• '■H' w*wl J.I JUI iL-US'j w^»tft JL» .JÇ.J JUI JU .ja. (ia) W, y ^ L^l*. J JOJ, __ >■ ' '_ _ __^ * - ■ * (i) Ici le Ms. G. ajoute le passage suivant &Ai> p^Lrr* \\ L) .jl— ». sXa-i ^Lu^l *j^ ^ï! UT ^1^ voyez pag. H note 14. — (a) ^)l A. — (3) Jca-tyl L^JlT manque dans A. — (4) , &■«<» M C. — (5) \j~£ i*fi ^ C, — (6) j A. — (7) ^*~4l C. — (8) \ylsk. — (9) jj^-arU C. — (10) Le Ms. A. porte jJisrM a * JUI ^ * v^s-juXïijp. . — (11) Le Ms, A. portée évidemment par suite d'une méprise, au lieu du chiffre V. — (1a) lî ! sans j C. JojM\ ^JjJJ bjb*w» «LJL^c ^$jJI (i) ->o *jj* AÏ3*!i^ b AcU-ijt ^jJt JjL* ^ ^jJI *J A^U-ijtj Jj *jy AÏ^cIi ^5^JI ***3rM j^^* l^i^ ^tj-lt ^iJD^ L&jJLi! A&bLtot (l) »,X& a^ 'LcjjiW ài\y\ ij& Jju J^j^ill ^kii)! J**u, JaJ! (4) p^Jj ^ Jj^ b (*) J*^ bli ^7 ^ ^1 ^; LJb* y (5) UuJI ^li ^LLlJL* L*,ï J* Lut ^LL)l/ï" J* J^ll ^ ur cr ~J a JU j*3 j,ULJb l^sj^ lUj j^ ^Ub bi J^j ^riV* ^UsJt j&U ^ z) à~-* bLU-ï (7) ^li SL^~* ^1 obji5> ^ t^AJtj i-^l (10) ^jL^^II J^ bJ\ JiS 3t^ .K^wl 'LL**. .li^M^ ,^ UU (1) Ce passage à partir de U àftU-ijIj manque dans C. — (2) Ces mots à partir de ù\y \ manquent dans A. — (3) *Jl& manque dans C. — (4) *^J C. - (5) UjJI C. - (6) ï C. - ( 7 ) u 1^ A. - (8) ^*CJi C. - (9) ^ C — (10) v^jL^t ^ c (*) Voyez Fig. 29, a 6 ws«5C j» (î) L»L)t LpU^I LÎHîM ^jL^I ^. viJL*)! ofcj' *-Jft b^» Jjj Jlj-^l »JjJ ■? (*) JojiJ °$\j.\j Ia3L»1 Jj»ï iUetj çkïM çkib SJLr* ^^3 II Jt. JJUtj (JLaJ! uU ^ J^ J£ ^ (9) V* gj*^ c*^' k^* c^*^' c^ c^ • ^ ^-^ f ^ ^^ Jt» b (il) Ja~i j^aMj (io) £*>Jt ^^ vfo£-T* £** C^ v^J^ Aaw LmJlT La» fljw» J,t A* j*j»-» L.w.0 ^W U^c^LôI oUjw» n^JUj/j U ^t ao> L-mjT aj «j** ^1 jj «j^9 L*J ^jCa-3 J^^ *-LS) U ,jt A-jJ^Lï ^jjJI **«arM JjU La telÀJAj Jj «jj* AjJLfili ^jJi *u*arlli ar> ÀpULi\!j JJ ajy Jui\Xfilï ^jJt **4«3pM J"*?^ ^ AfrUuMj U «Jy» aJI^I S.X& JJLj» 17 s-^*Sii l^xJL. II wUSS Jl^»t ïjx^ (i3) ^jJt ... ~A} Jj»^ U AftU-ïil^ ^} aJj* Ajjfili ^jjJI A^Mar^t a* l^>^jk[\ (i) gJ5jC— (a) J^IJ^ A. JôJjJC. —(3) SJL5I manque dans A. — (4) &U> manque dans C. — (5) aZ> A. *& C. — (6) t^l C. — (7) îiasu man- que dans A. — (8) >^\xp C. — (9) Lv-fc^ 9 ^' — ( I0 ) ^°^ manque dans A. — (11) JL~j A. — (ia)j1^ C. — (i3) ^DLi A. (*) Voyeas Fig. 29. — (**) Voyez Fig. 29, ,. ' C-r* i_i'j_cLs . UiLS ,*, jjl 4_jJl_&Lï ^JJI ri ■teU ^jjl jjjJJ L)jL»** ïUJL* ^jJî Lj mLlj'.Ij jj «jj *_i'j*li ^jJl i— t^^ J-J aJw> 4j)'j_»L_9 ^jJI .-crll *- AJ w^£» JJ^rr* K^-i^ L^J»*!' 3J-J-1I J_i_> (3)j* JJ iUJ Ù - J*Uj 5? liLè-ï.l j 1)1 (a) ~-arUj w*C jSUl ÏJ* Ji O-JLtJI „_£-a)t (6) J^IJJ. PjJI là» (5) ^Jj JXj TZ ^S (7) jlj 'L-to S jLj\ 6£%e\ ÏJ* w ï-tojjijl J!y I ÏJjJ ^J^— * aJJsUli: J^(n)^sXi ^ALl'U'iJL» ^U^JIj^jlUI wo^ll J ' W ^ c^' *M ' ï Li- fo ufly** 3J -« J ' £• A. - (a) p«i| HUj C. — (3)j»jA.— W ^*»^ C-.(5)^l)jiiA.-(6) JiAjC-bïyjtiC-P) Iw.^C.-fg) ^^Li-i C. - f.o) ji^JUl Ê.-{ll) Jfi» A. jqjjC. - (.a) jjûj A. (*) Voyez Fig. a», ,. (»)j» L»LM iUL^Jl ïJ&M ^jL^I ^ ^yLi)l ;_à.;,J t .,1 L-l ~^p U» ^ toLfcijI (3) ^yÇJj "3J gy *i*J*li c j^Gj jjpjyi-M iû ^t»>j J3 X ïlil ^ ÏjJtj LL» T ïkJ J* J^ù, £*pt t.jU (5) ï^lJI ^Lsj.^ gjj! jU ^-L.41 jl çJA tUj £*pi ^I»i ^^^ T ï_kJJ ^ £>e fci ^t ( 7 ) L^£,l jl ^j (*) L^J çSj^ *ji) £; U gb ^1 Wj JLw ^i, g,S Wlj j! (8) ^ ç6 ^ U M ^L^ll UM ^>XJi> ^yjJj A a )\ ^ L»»!j UjSJU^. Usa. j\ c J^Çi j' U* 4 *! j*' *» j* u^f 'jî^ c^ fe)^ £> Ci U~<& J 1 ^ ^^ ^1 ar* 'L*»£ l* *jj* J,t ࣠ajy L*J ^5o 1 »ftfi^Lfrt sJL>\jûj* s^XJiS^ (i3) ^Œ-^li La jt a? 8 » a^jl^ 3j ajy ^ Jj «ji»p LmJ jo^r^ (12) L* (1) Jâ.^. C. - (a) Jftj C. - (3) ^^Ô, C. - (4) **> A. va C. - (5> % i^>ii C. - (6) L^v^ c- - (7) L^j c. - (8) ^ C- (9) LU ^ ^J C. - (10) ^ A. p. C. - (n) jk A. Jûj C. - (12) I» J^8 iu-J C. — (i3) *-^rl|j A. (*) Voyez Fig. aH.— (*») Voyez Fig. a8, ,. rv a^LjLjjIj JJ f-?j-* àJÔx>\j ^Sj\ *hûp*^ jL^* J^l **%»arMj LtojJLit n^Jj s^otCyi LajJLlt >*Jb w**& t^ 9 ' Sj^^j* v^jJt >^Jf &&U-jjtj ôâ ^jJt (4) Jo L*a,j>t ^UuMj Jj *J w» aS\XbLS ^jJt *«*arM ^t Ù\j*j> S J,SJ\ (6) f, ... 7-M^ 37 w>w«jy jL^ 3ô y^JuO P-^ *■*• ( 5 ) j* ^.JUt ^JjJl^> y^iJt /h AfiU-i\lj Jo «j^ aÏ*XdLS ^jJt A^ac*^ jL-» Ï-Xc- «^ (J^Jj^i' ^-XaU jL*w» Lto^yUt (8) Jty t ÏJ^ft ■*• «X) ws*5C» .jjCi (i3) ^!j oUyj „jSail wi^Jl IJV ^1 ^ ji» (ia)«^ Jl ^Jt (1) xMif* >^ C— (a) Ces mots à partir de Ji-» sont écrits deux fois dans C. — (3)^a> Jt» C. — (4)L^J *->\ Aftli-ijIjC— (5) j» manque daosC — (6) ^JpM sans ^ C. — (7) ïOeli C. — (8) Jl^ A. - (9) ^^J C. - (10) Jj£ a. — (11) **> A. «ib C. — (12) *ib C. — (i3) ç\f\j manque dans A. (*) Voyez Fij;. 27 , 1. n J* (4) JjlJU Lj-oLj^» i*^h (3) ^jU^H Je Ll^jÎ ji 3! 3 ^Lu cr ^Jt ^ w-sy L*-. jU^ JT ^Jl (5) SJSLJI ^jL*tf I ^ JJUI L-^yi LîiL*Jt ^jL^YÎ ^ J^t ^j^Jl ^1 w^x^ giL^I ïjJ ^L~» «j^» JLo j^ (*) ^cai bj^ UiLoI Jjju J[y.tj d \ ut ^: k^ — ^ujy ^^ j*j>^ *x*l) (6) uj~* ^3 H *j> yL^I ^1 ^SiSi J ( 7 ) bjlw jl a^^I ^1 ^? ^ jJ^I ^yC L>LAsJ J* J3 j*>Jj Jl (8) ç-S-ij Zr J*"*r>^ tf J^J yj L*ki J^jÙ, ^Jt pU 3 j^Cà 3 ^iï ^ £3 5J »U1j ^ tJtj _ J* A nh S * h (9) jtJa*tob yLz\ ajasû\ *Jà& y£ Jaa.1 oJa3 *&j a.| ^IJjJL-9 Jsw ^U ^V^ k^ j;/^ C*^' ^^ ( 10 ) £ cJ^ )ao>\ «Jxi ^i^y siJl jl >^Jls> iu**^ ^ sL^jA J,l >^JU. «j^» L~J ^»W jJkX&LS ^jJt a«ms^| JjU s^Jl apUJjIj jj «jy àïjLftli ^jJt A*MaplL3 (1) ^mJ manque dans C. — (a) J, ^ v * " > L* manque dans C. — (3) Js ^jk**\ C. — (4) Jiuli C. — (5) ijàtJt C. — (6) ^Lw C. — ( 7 )jL. A— (8) oj A. ^J C. — (9) j!Ja*tob manque dans C. — (10) ^ 1^1^* nianque dans C. (*) Voyez Fig. 27.. — (**) Voyez Fig. 27, 1. r< 1 » «.- rr * J-»*îj fbL^I Ï3& Jjb» «Jj^ «JLto AJ (*) J&jÂ-J La£» Jjjl> v^t *LÀJj\ U ^J J ji^il! jj*1} l^lw ypCj'S g^ (i) aï^U *JxJL* Jf L wi--f jï I^I^Ua.!. J* (3) ^^Tl (») p^^ - - i - * >^JJaa. j^dj (5) | vmJ» ** sU-b "^ Ijotj U]a5 -, ^Jb J*jÛ; a-^)t L»^1m ^Jb ^ft^wj a. SjaiU A-J. Ijûlj (6)^-â.| Uaî J**\j «*toj)l >jl*# ^v^ Ci «b^Zi Jjl> JîLtlj JUll *u*U ^ jl»1j J£ i? 2»LLâJ (9) ^«^Li LJ J,t ari aw*' ^ gj* J,t ÂJ ^y L^Li W £& ^K^ ^j *-)j-* Ai'jicli ^jJI ^o^i J> ^t AfcULjjlj aj «J>^» jjJloLÎ '^jJl ÇLLijI^W £y AJ karf ^jJt par^jL^ J^t ^ ^ âftUjyj AJ f—fj-* A-i\*_fcL$ (loJ^jJl *~*arM j^ ^JljJJ L>^Lm^ *LJLo ^jJI yl Jt^i!! V\X-£ JjL» ^a ^jJI »? AfiULijIj ^ «J^» AÏJl&LS ^gjjt par^l (1) ÏJlcLS C— (a) ~J C— (3) <çfs*î manque dans C — (4) Jv*^ A.— (5) Jï" A.JÏ jS »l£b Jj!) jL^Î ,> ^^ C. - (6) \j±\ C. — (7) çÙi (;._(8) AAiL> A. — (9Ï p^l; A. — (m) ïLl^c ^1)1 C. (*) Voyez Fig. 26. tj?' JLuiv» çjj (a) jufUyj ^jSLii» crrr J J Ail ^t ja.^1 Jij wiLJl |jj> J,t (5) àL^LJ (4) *Lwj-j UJ" Jt 3 ^ ^ £*-t Urfj *t ^Ljj (3)^J«i Jt^ 4 ' ^ ^ j^j w^ 3 ' '*■ J^ Jj^iï JS^ ot^'j ^^Ljl ^ ( 7 )l^lj o^t ^1 31141 Litj ^ jl U^t L ^*j-* fe^e* Ht>S? W (J .*.**"*? L^v***? **£•& *J^> ^ wâu w**C Jt J**)t (10) ^5^îi oL~2)l t r ka-i «& L^JO 111*41 *JJ» v3j J!y' SjAjJ (11) J^U» wJLfiJj AftbL»! (ia) »jjb ^p\ L. jjo J*U)I lia ïL4t j/f^ yi^J J*k 7 ^ (14) *iîl ^j ^j^' Jv~^' ( l3 ) (^j o!/*^ •^ jfl * O" ^La* ^^-41 C^LtoUJI ,J ï.JiS Jbj JUà «^ (i5) Aie a\M ^oj ^jsk^I ta* .| "&\ L. (17) wi-wJI Ijjb JJL^ (16) J^ oLWbà^l »A* à)L-j ^asf. J (18) *U dJIj ^Jt^l ^'^ ^ J-*Li*' '^ Js*^- (1) Ij^IjC — (a)Uyj A. — (3)^j A. — (4) *L~o A.— (5) ^jj^li sans * C. — (6) Ces mots à partir de W-^ïj manquent dans C. — (7) «XaJ^ C. — (8) ^j^i sans w> C. — (9) Là.1 au lieu de Lli, H) C. — (10) lili C- (i 1) J^L« C. — (1a) «Ju* manque dans C. — (i3) rt**"'; A. *^~* sans ^ C — (14J Vc^J sans élil >fr^ A (i5) a^ »S3t ^>j manque dans A. — (16) sj,&3 C. — (17) ^UJI manque dans C. — (18) ^^^t jt sans éi)!^ Je! A. 1 1 (3) jp Li;pll »j» ^JL-j J (a) ^^LU J-*?. JÎ (.) *-si>" J*JI ^j-J^ L»U/i ^1 LJSsJI vjJÎI J* SL^. iJL-pi »jj» il ll& viCJS jjXj 1»jjU\ J\fi\ »J*J b,L* ^fc^l ui) Lv^t Jl>« *-Jc ^1 'Jt> ïi\j\ ijt %e\j (5) t&jjU) ii\y\ »JjJ bjL*# s_^»5yt Jt^iM «oc ^ *ict w^OI çU ^ ^li 4PÎL»! (6) ^ jl jj*M ^ ^ *_li> (7) J-aLii Ai*^Sl j^& ^1 w*s*2 «I crrt 9 4-U^t -^i (•o) ^j ïjJUM k~* Jl ( 9 ) lv> 3 ^ 5/^j 3J c^j (»)û çkiùjt k=** J* ^ J^JI ^î, ^1 j^y^j »Li/3 ^jJI ^U^JI ut S*% ju- (») siXJi, s^lJl jfc d i ^ -il ût (m) Jj ^jJi Ijuk ^c (i5) { Jw ._jJ'l_Lj i c- , 'Jj XJLarM »jw» (14) .JIjîsJ LJL» i_)L.J\ J* (16) jj-C Ui,l L» oi-J" ii Je Ui- J*»; Lît^j .^LsJtf «Ljljj j^l ^^ JUb jt l^U. Z (17) o^îj U .JLT^ fetLsJ jl»ÎU! ^--î «>' & •*? (i8)& çJ JO b,L* ^^ ^ZLU J* (19) IjJI; LU* Lj-IJ Lbliit w,UI J* J^J, -*JL .odJI &JLu (1) 3-Ty C. - (a)^LJJ A. - (3) jAujlTA. J>Uji\ C. _ (4) JJ C. — (5) Ces mots à partir de .j^& sont écrits deux fois dans C — (6) Ces mots ^y j\ JJjuI sont écrits deux fois dans G. — (7) aLojLjlJ C. — (8) ar 3 A.C. — (9) ^^ A. — (10) ^pSSui C. — (11) Jt. A. — (ia) ^*I)ja A. — (i3) 1^x6 (IjJto) A. — (14) ,3^ C — (i5) s Jju> C. — (16) jjC manque dans A. — (17) , a»j A. wfij C — (i8)^lj A. — (19) Juj!j C. 5 i r OfcLi- U^iL*»U 51 J-A. 3î j^Sj KyJL* "32 J*sJj Ç Ji. J,l OX» L~^T 1T «Jy J,\ viO «Jj* Â*W ^ L^iLtol Ol*Jj* vîJUâ^ ? J,l „•!» Ju~^ 3X ^y J.I 5? g/ l^> ^& d l ^ (a) «jÂIjU ? ~~arO *£* %j£>» (5) oJi w**£» J-*?"'.} (J^Jt^' iJ*)l J^*J *^^l' ZZ UkfiJ fSj 131 lia jjLa^Jt litf (8)3^ *-r**^ ci^ ^ ^^^J ^^ ( 9 ) U^i ^kdl J**^ Ï^IjJI ^U "^ d li 8^1 Jl Jib »^3 ^i)!^ s _£*dt lia ^» ÇjJI lia] «Jali-jdb jl ^L^Jb iiJljJl LxJS L» JJ^II Jjji^ L(ïo) bbjSjuu* ^xJI lil~4l -.l^s^-l 3 ^ja^l^jl ^^1 k* J* JaJI J**j Jly % Ï^IjJI çUM (ii) jb ^ ^ Ulaii ï^fUM ^kJI (ia) Jfc J d U ^1 g^J I J aj> J>| J Zj ç?s u)'-5 "MA* ^ lT 5 ^ ( i3 > U^ 1 ^' J* J^' ^J *Ur^~* *jJ\*J\ ^JLLi S^XSul! UJb JLi Z jjjlp (i 7 ) SbUUI (16) fcjlp I A. (i) ^jA.~ (a) iyUc — (3) >*ws^l manque dans C — (4) pbLto^l C. — (5) Ces mots à partir de ï^jJLi! sont écrits deux fois dans C. — (6) /j^jji-11 C. — (7) s^JJj^j manque dans C — (&)y A « *w C. — (9) Ujjj> A. — (10) Ce passage à partir de 9j$\ lia se trouve dans A. écrit en marge et manque dansC. —(n) ^ C — (1a) ^ C — (i3) L^xls^! C— (14) 3Z C — (i5) ^JaI ^J^ C. — (16) MjyJI C. — (17) Ici le Ms. C. ajoute encore ïLULil 3j,^U. ri Jj w>*C» j^SCi Xs-La jojjH\ j^jJ! Ji» »Ld^s ^JJI 3j ieLiJjlj ^jjt *_»-. s^l JA» jssj^iil (2) iAaJI >fc*j (1) tj^jf/d^ d\y\ ij* «^ oUj-ïj „_$&£.! a) ._«,:, J I Ijj» ^,1 ^^ JJLi 3^1 siOij i^ill Lîijl l> .iOij c^.^-1) c*"* 1 ' Jl ^^-L** awj k^, ^JlM Î^up (10) La>l »bt^ jjiJt ^Ijc ~Z jZ Z} *UL^ tjuty L*y ~ ikJ J* j^û, g^ljJI Jd.b %\ *£& ^ **& s£*y* («»)U^ jr/*^ ^pl ^>j^ (11) jLi^Cii ^ J (1) ^o^jLX\ A.. — (a) ^Jws «-^ C. — (3) Jao A. JuîLj-j C. — (4) ïllw C. — (5) ^^waCJ! C. — (6) «ij sans J&\ L^i C. — (7) Au lieu de ett-^ c?' ^^ c# portc c^* "Z ^ ^^ c# — ^ Ce P assa K e a P artir de^xa. manque dans C. —(10) .Lil C. — (11) ^j&j A. — (ia) L^J> A. C. (*) Voyez Fig. ^1 iJUr- y, ^1 j», p Jju J3U»j ^liM <^U ^ o^ aiUli jy*î SlJU J* LsJL. \ ^\ Ji ï J* J^l ^U ^tdl J_s «JbLs_sJL, _,! ^L^Jb .ULsN! (i) Ijl» âL^— ^ % hS^. .^w (4) ItaJI ^,1 J*> IJ^jm & |ji» **, u> ^Ls* J*^l J^J ^î u-i^Jb ^ ^i w .Ts^ij (6) '^i» (ôj^tujb jt (^uu ^ir **tij jljJx*>Li i (7) XJaâJ ^è ,J* wJâ .Li «J>LlJLi .jSÔ ,! L!j *» (9) —jLJUj il Ja«. Jjù» _! Ja-J «-4sj3t ï^jl»-» — ïJaSJ ."^ ,jiJ!j i» v» cej-y d^ ^^ ^ ^ *^ ^^ Si çjr* J>' v' £/* h~* t^fè b'/ *^ U^ J J,t J^ L^ ^5JlJ| arf A-cLiJ\|^ Jj «j^» Ai*jLftLS ^jJt f~»a^ ** J^ v^vxC JjL» s^A f-*y-+ A-J J-ftLi ^JJ! A~»srM J^a^^ Lto^jill J|y»it ÏJ*c- J.i* jô (1) lia ^1!^ C. — (2) tjjj *J?LiUJtj ^-UJb C — (3) wbJ" manque dans C. — (4) »^a> sans le reste A. — (5) ai?UjJ| sans w> C. — (6) Tout ce passage, à partir de IjJfc (lig. 6) se trouve dans le Ms. A. en marge en guise de glose se rapportant à »LiLjJilj qui suit ici, et qui manque dans C. — (7) ï*laà» C. — (8) ^ ^Sià C. -- • (9) ^jh sans j C. — (10) ÎJxli C. n rxkJ J* J^Jj ^ Jo— (i) p^^^JS SjSb ^i^ Ti^iï Je aiiî ^ &1LJ Ji> gjîljJI Jiib ^ iE IJ (3) Lia. lliL'Jl (a)!jj!j Uiï (4) ^1 LUJ Js l^Lu \ ç)Lf 3Ç^ IV ^Wt M çLb ^ ■< ar* J,l Jj L*J j^SS ^JD JL- Jâ> 3) J*~ JL^ s^SjZJLl\ ^ L,J.:^ L»t L^Uy ^JUj^ JE Ji* ^ ^ J? J' v* £/ ^ d^r* (5) ^'^ ^ 3 vi' J* V^V £/• J>* Jj g/ ^ ^j^ AJÛteli ^jJt parM ^^ ar> J,t Jj l^S Jj ^ J,l w* ^Su Jj teU-ï.^ Jj oJ^» JJ J-clS ^jJl ~*.arM j£» ar* AftLi-ijt^ v^>& Jj ^-J^» A-jJuxLS ^jJI *~»arM *la Jj w*st£» JjU^cL^t *u«arM lÔ* ,j,jJI » ... frM J*? 5 ^ I*>jJUl J\y$\ »Jx J^^a» v^oJI 3J uMJ^ jjjuD LjjLw» vLdyC ^jJt ar? AcU-ijIj w^& aJy àj Jxli ^jJl *~»arM ÎAs JJU a-*j (6) J^yiil acjUoI jj\c Jl» a> Jj v^aC Jà» JojjH\ o*!^ c* ^î) 5 ' c 1 ^' u*^ e^ *^ ^^ ^ Sf*-*^* ï/3 ïj-jJ a?J j £jL*>^!I jî^jJ jLw ^y JU» *,_>! (*) *^J L jUI (8) Jj*ï (i) vo A. JJ C— (a) -A. etC. portent^ a. SJaiLi ^tj Ijjlj uJaS J^w^ etc. C'est une méprise. — (3) laâ. C. — (4) J*> C. — (5) ^j!jJI ,JI A 4 — (6) ^yitl a. - ( 7 ) s^t Jl ^ »^.'j o !^ £^-5 c - - W J^ 3 ^ c. (*) Voyez Fig. a/|. ~js*j «-co^Jt hj** » ij^-r^ * «J-* I^IJLxJLi (î)jLL^L >U,kliLyj L~J .j^Ci ^ ( a ) J 9 * - J^ ^ Ja*** ^l w»l ,J^ s^Jjfc la* ,3^j*& t-fc^ £/ J>' ff? £/ s^ vlL J,t V»! î^ 3* £>/• J>' v^ g/ ^ AcliJjlj sf «jp» *i\jxli ^jJI ^œ4I *^5Cjà s^l J,l ^Ju L.,,M.lf ^*Jt JiK-rJ 3? j^ULjj^ 31 (3) -^. AjjiftLS ^jJ! ^^ b^U» 3Î A.X>U.K^ ^*J| ajy UJicLS ^jJl ^s-t! J-*?^ lJ^^^^J LJlP^*-*^ a:* £-*j-* A-J^cLS ^jJI j^anr^ L-JjL** 3l wjiSC» „ij£i fe^iLw» w>t AÏAdi ^jJI ***sA\ *j> j°jj*1\ ^«**Jt Ji» «LL^p ^jJ! wl ^LiJjtj ^ (4) ^'j-> ^^ Lj^Upt Jx (6) JjlJU ïJîLlH ^jL^lt J* (5) Lj'Î j£ ilj ( 9 ) J^l^ U±i J^L*J ^ (8) ^Sy Lp wÂJU* J^^JI (7) Swj^H l.»»«ar* J^j L&jJLlt pbLsi^t ÏJjJ jL*^> «Jy (ti) JU? A,) (*) tLjci t^lj^ol (i) v^L^L) »LxbLiL^» C. — (a) Ja*- manque dans A. — (3) Ces mots Acli-ijtj œ^ etc. manquent dans C. — (4) »*£ jjnj C. — (5) L-^J< C (6) J&jL^i C. — (7) à*)j£\ manque dans C. — (8) ^jr^y c - "" (9) J^ljj' C - — (10) Jjju C — (11) *U» JfC— (1a) ^ sans ^ C. — (i3) Jjus^^ C. (*) Voyez Fig. a3. rv J*~ J-lw» s^ï Ja~i >j£±> js>j 7Z ,JLs L^lp jd>\ (a) b^-c sjj3$Sj s^êyjl l^U ^ >j> Jl^?? L-*^ Jl^i^J^^Ô ji Jl ^ £~J ^^-C^ ^ê J j| y^j* J^ à^. j^C Jkl çLs J L**^ "3^ Jl Zj 2L*J L*-L-a» SjOj^II (3) i?j-Ls^li h J,! iL J+*Jj£ JW\ S çy JI (4) Ji^ll ^ £> r x~jj !j J'> i^j> JI ^T" jj^JI Jj^ ^ ^JJI ^ woiO j^i ^jiyi tj Jt ^yL^I ^? v^ ^L~_* ^^41 JJujJI «^ (8) âj s-^xXyi ^y^A ( 7 )^j s^**& Jj^j Jlj/^II ÏA& Jl» ^a v^jJ! 2^1 AfiU-i\lj (9)9-j fJj* AÏ»Xftli ^jJl ~~a?+" ( IO ) c^ # ^ L? " j w>l t»Liux*-l JL& ^— ^ ^ (i) ^^J^aJI A. — (2) J^ C. — (3) laj-kg-M sans ^ A. —(4) J^l manque dans C. — (5) ^Lw A. — (G) v-jy A. C. —(7) ^j A. C. — (8) v^j A. C. — (9) s^\ A. C. — (10) Tout ce passage, à partir de -r*-*^ manque dansC. — (11) J-S manque dans A. — (12) ^ t U)j C. — (i3) Jo A. ^ C. (*) Voyez Fig. 22. n r V.T* 9 cr* W/' *^ d^ c^^ cH' vfivfl* 5i k^ e ^ J* J*jJ,Z5 «y XJ&jJt JfeL^l J (5) ^j (4) ^ y^.1 sj^JUJî (6) ^Jbi\j JLsJI Jj J3 J^t Jj», ITli «LiL"*! IjJ|) l*JL*ï &Li ^ c^J ^  >îï ^ J c^i # J» (») ^-^* dy±î ?J Jv 1 v:r^ c^ f^*' v^ &/ &* ^^' ^^ ^ ^^ * îllUt vj^3Ï^xkJ ^ (9) L^J iJU^ ^ bel, L^> JjLJî ^Jt (1) ^JjJ! manque dans C. — (i)jS\ C. — (3) J»*aa\0 C. — (4) à^» man- que dans C. — (5) ^ A. tfj C. — (6) ^JliM J^ C. — (7) Le Ms. A. ajoute ^LaJI. — (8) oX5Csj sansj C. — (9) J LÎLa^M UJ Uïl^ C. — (10) UoJt ^ a. L^âJI ^ c. — (11) lit c. vjXJij^So ^^ UjU. *£)^l vjXJj-S'j (3)5 J^ «ij :yjJI ^^ ^^r*" £*-î jIA^ 1 ^ f>" J 1 ^' '^ d^ ^ er* r* 3 ' **^ ^ jJt tjjA-* *? Jj' vr* J^/* £?/-*>* J^ ' ^ U^ &^ J* ^j-^J) LyS' wO JL- Jà> v^^a» J^j ^ J' j* L^J^ jj» Jl jl 3LJ ^ L-jS' ïj Jl j? L~J j^So ^HjjsA\ ^ Ç> SÎL&. ^ £ J£i, J Jl a^U! W /»-fV L~*xJ (4)^ ar* ja> jl L~*L-£» Sjuj^I! i^las^li p ^1 iftLijjtj U &)wt aJ\Xcl£ ^jJ! M**3r*^ ^t.^"* LJ°3J*^ Sï^ IjjL-^ *LJ-^ ^jJI (% -M»,rr^l (5) I.X-&J w>l à-ftLfl-5jlj ^J **y àJi Jicli ^ôJl f-ss^'j jj wJiSC^j L*>.jUI Jl^îl »Ac Jji^ ^ w>l acUJjIj (6) jj **j* jjj^li ^-g-^-i »l Lo»l L» N^JUi^ ^^yUI ^JjA) jL^w» Lfcj^àJI Jl^»l ïjx «-» U» (8) jlÎI))Ij j£ll j^JI tf\j*i ~j± ^ j/i ^1 U jlfcî ^t *JÎ* UL41 cJLa—'l J b,L* Jf JLij»*) J Jl £ bxJ. ^[5 Jl^l »->* J-i-^ <^^*3I j^ "T v^ji^ JJU iJU^» J, a.1 (1) Ce passage à partir de ^jJI manque dans C. — (2) Ljjb^ C. — (3)LI C. — (4) l^Jas^li etc. manque dans C. — (5) I Jl»j manque dans C. — (6) y *j *» manque dans C. — (7) «ij C. — (8) ^l^lj ,J< «JaàJI C. (*) Voyez Fig. 21, m. 3. 4 jejj-LM Ujii Lj.jL~» «UL^c ^gjJI^J (1) *utUtJj\j v_>l *Jy A-i'jxli J^^Ut ^JjJ! JjU 3 yXo 3 yoQ A^Ul ^JU^I »As JJU Iju^J ^J Ail ^j^J jJLi l\jl\ ^tOij 'LojjiW &)Lo\ Sj* (3) JjL.^ ^ •>& («) ^J& tr^ (A* JjuJ jlylj w*«C îlJIjJI JLxJI ^L^l ^ ^tyi v-«;.«H ( 7 ) iJjJJ Ij^L— L..«-0 JvJj Jly^t ÏJjJ s_>l lai (») **» (6) liAft L ^ »UuL> "i! IjJIj [MJïLsLi ( 9 ) J* J^Jj ZlL gs (8) p^Jj uaà>j **&j\ ï*yju* ù AJaiuJ »2 ***>y| £2**-* r)*^ /"** iA&? ' ^JLi^ i^p* a-xJL*^ J»l a-^^wj I LkLi iwwtj LioL» L*JaS Jv^j ^-^yt L»jJU* Jk> sf ^1 h Jtq JIj ^>,pl (J*> (ta) «^Jl JaS j^Çi >*J| Ja5 jftj (il) s^ JliJI *t^>j3| APjU» » rV^ * ikïJ ^J*c (i4) LttLft-JLjU (i3),!^Ltolj .UtLijij ^jJ\ ^-tj** ^£j> ?? L\ ,J*± J^ >>» <_$^ k^ .çj&j tfJi. &« J* j^* £&> ^' ^ ^i j' cr 5 ^. ^ "' Jyl* j^'j (i5) «JLli L^. L^U ^1 I J* \jS\jj> il k^ J,l L^ JjUI ^*JI J-t» ^ ^jJI yi j il w^J bjU* A*y ^^i ^1 jl L ^ UjL-Ji ^ ^ ^jfè Lu ÏjôJ \j ô L+ 0& ^rJI s^XJj ^ ^ê (i) Ce passage à partir de »^! ^9. manque dans C. — (2) aj J^li A. — (3) JJU sansj C. — (4) Le Ms. C. porte ^ Jt^ 4 ** ^- — (5) ^J^->» manque dans C. — (6) blj^l C. — (7) ^Jc*J C. — (8) *sJ A. C— (9) aJL> c. — (io)ï53c. — (n) 13 a. c. - (12) vj/ljJI c. — (i3) jljLtolj manque dans A. — (14) LxLlibJld C. — (i5) «JaiLli A. (*) Voyez Fig. 20. rr ^>\ aJjA AjkXcIS ^iJI *~*ae-*^ Ljj^ (J^J^' ^J>jJ| a> b^l wfljuj) li^J .1 (•rr^' ^J w**C-4l £^*>l »<^S ^j ( 3 ) ^!i* o>^ ^3* s h J^^ L ' W ^L— ^ *JjP «.La w>t (*) a^aJ I^Jte^ UbLtol Jj.*J w**& O^JU3l ^^A^JI LjLw» ^^.j v*' ^^r 9 W ^ ,JlC LS Ly^ar* Jvûj (4) £~L©^!I Hj^ J^> J* S? ^1 g^j w^l J* b^ ^ë «^LLijI ^j Jîyiil J.xJ) v^>t îw»U«^wl J& i^wj'^^ a hJLi ***!» Liol» lu, a. S Jv^j i»LiL£~,l J* ^j ^ L,U*> j/jj £*>pi ^Ix. ^fij *o ^ v^! ^jLii3l AftUj f-jliJl (8) dujJLs ^j» J^wlj J$^ ar? LaliL^wl Jp *■*£— J V* (7) *-k,a,i w,l k^ L-L^ ç-*>jJ\ ^U (9) j^.j "ÂÏJ ^JaS ^ arf Jjt* jJUIj 1*JUp .j^^ » XJaJLj Js (io) ULLiusJlè *LxLLiL^ ïJLsr*^! «L«,-Ltt)li hà>j jjjJlj A^>yl U^Iju» L^^i ^J& Ja£> ^$3*^0 8 IfaiLi ^p» ~,jssr*j **&j\ J* ( !1 ) <3^l •<* *?~^ (aT v ^-^ a - o' -^ Ï**«^j ^a> Jl ^a* SL»mJJ j L«*j£ ^-a* Jl JaJ L^*j5j ja) Jt \^*a* ^yi ^ jyjw 3^: l^ ^wî -çx ^ ji j^i ZTi ^ ^^ô* AftLi-jjlj ^^! >Oj^» àJ'j^ftli ^^Jl A*4 A. 1- (9) ^J A. - (10) jLxtLiuJLi C- (11) Jl A. (*) Voyez Fig. 1 9. rr L^^ar* Jv-^ j^Ju^l ï-x*3 ^U*» f-fy A** v^' (*) lPj*"*"* L*^-^' ^^jl (0 cr^j u*V^' ^-^ L^j 1 — ex^b v J £/• "^ d^« ^Jc i^wj ^ Jk-h-cJ A-.I» Li&» L*JLiî J-»*-^ V-^l «i^ ^v^ .J-^J ?^ L/ ^1 ^ (3) ^jX*^^ (a)^? > JJUIj ^LfiJI ^xU L-J&.Ï ( 4 ) ^ U^ xll^Jli Li^ ^ ^li Lïbb ^! ^ U», ^ 1* L^^^iJ^ ^^3! ^O 1 * 9 UUr>^! jb^JI ^^ 3 t? ^jJI p^^Lw Ï7^*S^ ^yi? Jl^WlÇï^^îLiJlÇ V->t fcj* ^-i'j^l-S s^^^ ^«*ar^l Jjœ^ laa. i^Li-ijtj v^l «J^» AJj^Li JaJ s^saSS ^i^i feyiw J^jfiUÏ ^JjJJ LjjLv» ïLJl^ ^3<3Jt ar? ^U-ijî^ (i) /^j C. — (a) Ces mots à partir de Jpj manquent dans C. — (3) ^s C - (4) j» L^lj C. - (5) çJaJJ^ C. - (6) çjjtf. C. - ( 7 ) jbj *>)jù\ manque dans C. — (8) J^t A.. (*) Voyez Fig. 18. r» J^lJ, j J,l fcljfej J^3t -^j J^yi J,t (i) j^Ul^J^Jt s-^ Jv^Jj^i») Llv ^^.j UJt I~j L/ £^M ^Ixp ^ ^LS ^yCi ^ar^j 3" ^ ÀxlaiLU «iaiM JaiL; jLk^Li Lfcili Sjîb wft*aî ^ ^ v^l aJ^ âr* Jd? 17 , >l L>»Lj> ix>j)i\ (2) ■Ljiaar'li ar* ^t JJI partli ^)iyi ^5 J| ^JljJ! 77 'L^S J>UJ\!J gy Jl (3) J^SI A-cLi-i\!j v^t *Jj--» A-i'jLftli ^jJl ~*arM J^a^j L^jJxUJ jl^K^ ^jJt (4) >%~«arM J*JL* ***«arM |j^ *j> JJ v^x& * jS ~J* VJZJLa v^ c^ u ^)*^ s&Ai bjL** »L*to^3 ^£jJt a^ Acli-ijlj v_>! *jy a-ï^Lï ÀoljLi\ î^jjÂarM ï^Xfi JjU j& ^jJl s >! aJ*» JJJccli ^jJt ***arM ^kujJj ^!»-it v^iXJ^ ^jj^' ^jjJJ^L*^ (5) L^ilt isbLsl «^ ^ s.. j&t ^kiJI ^t^i ^ ï^IjJI j*^ Jjju ^Jlxj wvxSS (6) yt v^Wt îxJl ^L^ll ^ ^îLiM wâi^Jt (1) J^jÂi^ C. Les mots à partir de ^J&\ jusqu'à iP^yd^ manquent dans B. — (a) i^Jbarîb A. — (3) J^^TA. B. — (4) A-^arll JjU manque dans C. — (5) Ici 6nit le Ms. B. — (6)j>j C. rr •yAM sS** . ^L^j' (0 cr^j J*^ ^-^ L i* L — p j/b v>* £/• "^ d^* 1& a,^-«.>^ s.^> LLu a-.Ij Li&* L*Jb-S J^jljj s,^>! ^& ^v^ .j-^j ^ L/ ^31 pU (3) c pX L , j^* j-^ (*)^? Ji* JJfLtlj f?.^' ^° LJflLï (4) ^ U^~* iL-JU LJ^ ^U LiSa * ^1 UV, Jaâ. ^JLî ^-a> Isa ^^^ L^» (6) ^-t-^j » XJLiuJ ^Js LibLxJU «-^>^3t ^ 1* L-±jj±jJ\j ç-^J\ ^J» LU**'*! ^b^JI ^£à ~Z ^ JUd! L^jT sac-* 5 ^j .k> v-^r^ ^ ^* *Jy L~J iA&? s ^^r , V-'' ■» - 7* as ^ w>t «J*» A_jJ^li ^jJl **"ï3rM Jjœ^ ia^ àfiLi-ijtj v^l aJy AJj^Li (i) fj&j C. — (a) Ces mots à partir de J^j manquent dans C. — (3) ^ C.-(4) jl Wj C. - (5) ç-kiJbj C. - (6) g^. C. - (7) j&j aAm\ manque dans C. — (8) ,3^1 A.. (•) Voyez Fig. 18. d ^kJl j;jty4t »^t p^ i'^Li ^ J^â^ (i) ^t (*) £>^ Î^^J Jjust^ J^Âit »<^l p?^ IJ5L- Lj.y jJlî ^kJt sjj^ >>* p*- ( 3 ) p^j j à^JLi J* ~Z J*~ J^ \*j+ lj Jw^j ^**oc^ bjL^» i&^ij LJ°^y^ ■* u> J^* *&^\'j (8) fj»* ^i'%x&L5 Ly *sf* J»^ (10) ji? *_y_2jj Jaa> ^Jx bj-^ V» J-*^ j V* ^^ i~~J! A-sLÂ-Jjlj js*. &Y-* ^-JJ^LS ^jJt I? f"*^ A. iaa> sans JL- B* — (i3)^B.C. ^ : (•) Voyez Fig. 15, 1. — C*) Voyez Fig. 15, a. IA U^JUa^ . * À*Ltoj (3) *^3! Ujlxp A^^j A~»!i .^1 5*^)1 >^1ju »3j «Ja3 { a^3 Ï3j hji~* ^ ï^U; ^ ^ Jtf b W L.L^ j^ j^iJI pl~ ^U)| oLky*M ^V^ ^ (5) P ( 4 ) J^ J ^ 1/ s^>>)! oj^î jl^Ja-^toU (io) >l-x , kL s^j\ (i3) LjJaà. J J^ii oLIulU ^ (12) ( ^-> P l r^~ZÎ 3 ( l5 ) ^ V^ ^ J ^ VLH^ (*4) IjjLw 3 J^y> jJuSJt pk» (17) Z3 J*^ î-Jjyui 3L-Lu> ï*^ (16) -L^ks^li b J,| i - m 1— 1 1 1 — 1 ■ — »i ni ^ l - ^— ■ ■ ■ il» (1) ^Ja^sr* C. — (2) vLaJl C. — (3) Ces mots à partir de ^Û manquent dans B.— (4) J&JI C. — (5) 3^ A. ^ B. — (6) ^1 manque dans B. — (7) -a>^ C— (8) LeMs. C. ajoute ^3 ^ L,Lp.— (9)^ C — (10) jbtLiU B.— (11) LsLtLixJbB.— (la) { ^C. — (i3)Llc. — (i4)^Lwt A. — (i5) Jàj L**u-i manque dans B. — (i6)Jp^Jas-M C. — (17) ^=w A. — (18) »LJa^> sans L^jd* C. IV ^1 ôj ÏJ>*L» SL..JJ T jà?&\ J,! (5) L»*.X».! ^^^arU ÎLJj (4) LtojJUl ^LULi^l S! J^l ^ ( 7 ) »>* io^ 1 J e^' ^ 5 (6) »J«li J"-y V^? £-j>* < 10 ) ^'jj^ fe)j» ( 8 )?j ^ CT^J tt^ 1- "^ Aa.lj j j^- J*> v^ ( ,3 ) £/** "^ *** jlÂs^l (ia) iAP j» (n) Jj ^àj' J L. ^\j^\ »jj»j (.14) j;^ ^ L»-^' L» viOij oIjwc! SJiiij (17) ji-ï »-i ^ jlj (.6) iu^ SpL*J| ^ ^ M (i5) tô* J* Ij.* Lfclft (18) ,oL»jJt ^jC! ^1 .^jL^I «jj» ~>Ji-i' JJO ij-aj jù\ ^Lo^l J* (i 9 ) J^l Jidà ^ jJM v^bS' tf j*\ ïjîlJt ^îji Li_^^ ïwjl (ao) ^ gjk)t ^Vj=e y l^-U (.8) ^U^JI ^ ^ L), L» ...^ LSL> 3LJb5j L^wj L*& Ja*j ^ac ^j (21) J>JL» ju^l^ (1) vvJ B. ^ C. — (a) ^ijl A - B - C ' — ( 3 ) ^"Vj' A * B# "~ M Ce pas " sage à partir de À*-? manque dans C. — (5) L^&i J^-ÏC. — (6) * *XelS ^t aj manque dans €. — (7) b k.jXc, ioLsrM B. C. — (8) ar> A. »>v^ B. — (9) ^-> C — (10) Jia. \y C. — (1 1) Jj A. — (12) SAc A. — (i3) *Jji I C. — (14) ^1 ^j-J manque dans C. — (i5) »Â» V J* ^JU C. — (16) i^^. A. lZt£&> C. — (17) JLx* L^i A. lls^B. ^a^C. — (18) ^^\ €. — (19) Ji\ man- que dans A. et B. — (20) ^ A. — (ai) JyL» J^l^ manque dans A. — (aa) w>bi C. — (a3) Ici et ci-dessus, lig. 11, le Ms. A. porte /wJ^lSj^ Voyez Fig. 14. 3 n — » ■ h» U C ***** C->* ^^ »*6li,(i) y^ajL-s* jît ^U^Ç L^b'^Uu» JL y^jïJ-^l »j-ft* (3) Jj*j Jlyl SÎÎW, w^C («) JLv, ^ J t j|j*l îy^e (4) Jjjo jlia.1 îîîiîj ^pÇ Jl_j>l âJ&* Jjjuj ^i* ** s^»C (5) L^ ^ÎUM «-à^Jt, *^» •_»» *JLar?| w*xC a^ai (*) ijUwJ ASa\ Lj% Jjju ,.»-JlJ! ** b3L» lJ-®JJJ^\ **-* J-^ J^ ^j' f*«F* (7) j*»J ( 6 ) c^^ JaJ *~ar* «^Ci A&bLsl ÎJx JjL» (10) «*» wOiC-ll JjU JaJ amŒ* 5 frbLto^M f 1 *) c^ j' ^j' ^ ^^J^ *-^ «J V^' VÎT* c/ 9 -^ ( l3 ) ^ f^" Jjju L cUi *wi wo£» n «^ ab*i l%% (18) t.i^ Jjlxj f i 7 ) ju JjL* jl iua. A-jJLto^a ^iJt w>l iaâ. ^ J^ôftJ (1) ^Lj^L**^-^ bl sans »LJ^Xj C. — (a) ^ t^y-s-T* ^ manque dans A. Le Ms. B. porte ^r-JJ et puis au lieu de àJUji^j les mots l^j> ^UJt wâ^Jlj . — (3) Jjuuj C. — (4) J**Jj C. — (5) L^jLj» manque dans C. — (6) ^^^J A.— (7) ^ B. C. -(8) b C. — (9) »l C. — (10) £» manque dans C. — (11) >JJUI C. — (11) Jl A. B \ C. — (i3) 3" A. J^ B. — (14) (t ^rrJ B * "" ( l5 )>* manque dans C. — (16) &jll B. jlj^l j^C. — (17) ^L. A. — (iS) jtji^C. (*) Voyez Fig. ia. — (**) Voyez Fig. i3. JCJj frbL^It Ï.X-e ^^oi^fc (i) ^jJl oX* £~>j-* >t-> ^ Çjjl ^L)"** ^Xi J-=^l ^y» (4) fv-Hj; £^ ^^ • ^ J^J ( a )j £/ ^^-J s±JWI wà^J! la* J (6) jt ytJïj v^lLJI (5) ^ Z^T «y jjj J-e^i ^ ^ JU\J{*\ 3 J^ll J (8) HT, ( 7 ) J-a-* .^ J-*?^j j J>' i*LL&J ^Jjc w>l (ia) g/^j »•*??' v^ L*U r.,oi J* J^r^jt par* (i5) ~Hj Jtytfl (14) 8j* {18) w^juSU! JLto^jJ^tj i-toyill jt<3^N (17) ÏJj^ ^J (16) -k- l^jyijl ç^U>^l ïjx Jà» .^5o jI j ^yc (%6) ti) ^*J (19) JL~A «M^ (ai) iLtojJit Jj^t ÏJu& *^ w*x£^)t iJJ» jj^So j! ^w^p lit v3o! J*-j ADU-ijt ^£jJt sji"^C J[?**-4l ^> ^ lj Jw a**^* ^^' r)^' -, ^ :: ^ ^J »LjjL~*j^» (aa) UfcULiôjt^ U^cli-ij'^ ^Ûifel* ^j&. UaLïj^lXi al (1) Au lieu de ^jJI s^Xa> «j** ** le Ms. C. porte ^jJK'. — (a) Ce pas- sage à partir de ,3 jJ I oX& manque dans B. — (3) Jjia. B. Jax£ C. — (4) *^J ( C. — (ô)^j C — (6) jt manque dans C. —(7) S^^ B «— ( 8 ) '^ manque dans A. et B. — (9) Ai* A. Le Ms. C. porte JJ> J|/^l w&-i*aJb. — (10) b.Xe A. B. —(11) *-*y C. — (1a) ^âri C— (i3) Ces mots à partir de ,X& manquent dans B, — (14) ^«X-s A. — (i5) +zj B. — (16) ^Ja~ man- que dans C. — (17) ÏJjJ B. C. — (18) wsjuQI A. — (19) Ces mots à partir dejJcx-Mj sont remplacés dansB. par ^Jb** J**^. — (ao) 31 B. — (ai) Tout ce passage à partir de w*ô> — h_~j manque dans B. — (aa) .^w-iKjL* (*) Voyez Fig. 11. 1 If. Iœ*- **L,j ^ (i) ^yaft-i-i £jl»jt » Js-J bjlw LaH*- j^M' ^j\ ljà. ^OS, oLUI J (5) ^ UT L.>,. 3Z çL* y^SÇi (4) oUiL^t ( 9 ) J-^i (8) lJ ^1,^511 o»-î J* O^j iUljÀa. ÂàJi, iJ-J! J* ^-*J! ^ Xï-j ïjUa.| L-^ek Jjju ^aJ| *jy (*) ùl»j) JUI jÀa. j» jl.Xa.'iH (u) ÏJ* ar» —k-, J*-> i\ ^JL. (io)_j»j iJjJt J^M-i-J "J^>- «y* (i4)*s*uLi.l Js L *J (i3) Jjjj j J* ^^J^w pS cr* ^r^' ^ *^ ^j*** v' j^ çj*> vO-3 ( l6 ) f^ b-5 ç^** jli-^l !U*^ ^^Jl ^ jy ^| n Wj L^ (. 7 ) j^U ^yi ^jy-U! (18) ,xxjJ! «-• AftiL^t ïjjJ L>jL~» jj^ ^^ *jJU>^ ^4' v^j 'o?J- (ao) J^ù,~ J ^Ull gjllj (19) ï J*~ jpjj/il ^*Jî ^^k (1) (jâS^j C. — (a) 9 manque dans C. — (3) ^j&j B. — (4) K*> L^S ^piikw^! a^^L, J ^ L/C. — (5) ^ C — (6) Jâ^ B. ^\ JL*j C. — (7) tjJ^ A (8) L^i manque dans C. — (9) J^aa. A. — (10) i-x-fij B. — (n) *Jl^> A. B.— .(12) ^Ju A. A^^ibC. — (i3) Jj.^Jj C. — (i4)^Liixw! A. — (i5) />^Mt manque dans C. — (16) *J** \\^ manque dans A. — (17) jaijli C. — (18) 3-Xft C. — (19) L manque dans C. — (to) J*r*£ C. (*) Voyez Fig. 9. — (**) Voyez Fig. 10. T ^£ y,! (*) W*^. 1» Ij V J"*« ^.î J 1 * ^ ^ Wt S_àiJÎj (4) j!> JUI jô-. (3)^1^' ouù ; M ^J-i £/ > j* »j^ ^j?.^/f L^'V^' «-*-» ^ c^ -^ t/ÂJ (S)*"- J*' j ._j_aj JV .i-f. jyàl) ^JuJL* iJLftiJj JUI .iû. «o .Laft-Jt Jy4l ^jj ï—i* v^ ^j_sC-i =w1 /HV P*^* 19 ' ïr 1 * J"**! -^* ?=* ^JLi)l ^j, ^XJj^j >yK»_y»j ^JjJî_j» s_)1 ^ L» Ja~>j (i i) oLmSUmat LJU ^_j (io) (^^-y L»J (i3) j-Uj *^1d %^»lâ» J^ w,; ^ ^JLiJ! J M^j (i) ^A. — (a) v_~^ C. - (3) ^^!C— (4) jli C. — (5) to manque dans C. — - (6) ^ A. — (7) ^Ujj C. — (8) ^ JjJJ A. — (9) J^ C. — (10) ( JL> B. — (11) pi ...lifl v.J^l C. — (ia) Ces mots à partir de jtj^^t manquent dans B. — (i3) à^-j manque dans C. — (14) Lta> iw» J^oi» C. — (■5)^^, C. (*) Voyez Fig. 7. — (") Voyez. Fiy. 8. T *~* w*& .Ja** J*JL* y* ^jJt $\ j L* **->yo iA&? ^ ( 2 ) *^bLx~»l çj-Lx-* j\x^\ ul*oJ> j> ^jJt p ^^ tj ^i (3) b,iw jy ^ (*) jil ^by (7) s^XJjJ, b»>u 3! (6) vJ JL-j Tj ^a ^ôïJ til^ (5) bjL. jUJI ^ ^LL^II ^j l* J^j » J>^ b t j^j b^ j^l (8) ^ L-OU, J crrî ï L. ^ ^ (10) 1*^ ^ çwlj £^ ») Ji [m>ja £j-r^\ ç-ijA k^j J> jM («) ^ obo^t^ (11) J^l Ij-ij-^j L^À bu^ ^3 wsLJI^ ^^iJiJl £^ L^ (i3) 5^lt ^JjJJ bjb«^ ^1 ^j ijJLto LjuJj-^ L^ 3 *" A-^L^j ^J^ ^.yj * J^i h^**"* f^b^t «3jlr^ Lar«** (1) ài^Jj C. — (2) ^U-X-t A. — (3) jL*4-» A. — (4) ajjfi manque dans C. - (5) pU C. - (6) JbC.-( 7 )viO^C.-(8) C ^C.-(9) f sJB. C— (io)t^ jj&C. — (11) Jj^lln Jj^Lp JÏA.J^b Jfi ^^LJI b. a-^LJ! ,J ^^j Uf c. — (12) *jj&\ b. — (i3) SjlsJj b. — (14) %IjJa C. — {i$)jJL-& A. — (16) Ji-jjl A. J-jj! C. — (17) Les mots j&jjjitt JJjJ! a^ûi3 manquent dans B, — (i8)L^jiB. — (19) ^vX)^ B. H Voyez Fig. 5. — (*•) Voyez Fig. 6. Il ?■' Ç^* cj^-r» v*"*-M J-" 30 - ?•' £/ ,>*' *"^r* J «-rlr 49 '^ *"** J-jJ^ 2U^I v^xC «^ (4) Lili (*) SLwJj^Jb L.!j Jj-^VT (3) Ll^Lj J J-*aa> JjJLto jb ^Sj\ JJ ^J v^^o 131 Ait ^M «J^l yv«C J*û9b j^^i-îi L-»J^ s\ji\ y**£Jij ^rr^ vJ^ **k* p sS^ *** »jl^ * Jy ? r ?' w*& ^ J^l Lî&Jt J^ (6) jiLJà ob/l! J* lii'' •** ( 5 ) iL * V^TJC ( 8 ) Lp Ji^l (7) wi-lJjj S-h^' r^ ^r^' ^jl^H aU> vi (h) Jj^^H >^i^ s.-^li (io)bj^ ^^j **~^' Jj^ (9)1 1^' ^1 (1a) L^X^ ^jJJ! ^> Jl £ Ltarf J.X1JI W JUI ; J^^ tir* cJ^. e>' u^ ^^ J d^ 3 ^4) '^;'V^ «^ j^i bL^I L-^JLjL^^ ^ .^-à, J-jîs^i & (i3) iwJÛ^Jb L»lj JJcjJI »5 la ^oj-SLJ A^ Jia~> jb 9jlââ.! SjLftj ^JjJI ^-» ^J-Lîj c (1) J^aar* A. — (tt) Jjuu A. B. Jjuo C. — (3) A A. ^IJ C. — (4) Lîli manque dans A.etB.— (5) lili B.C.— (6) JJLvb A. JiuU C. — (7)wàLjli A. — (8) L^w» manque dans C. — (9) ftjljott B. — (10) bjx manque dans A elB.— (11) .iJLaJ^II manque dans B. — (ia) L^>Ja! B. — (i3) 3L-Ju^3l L»l et sans j C. — (14) Les mots ^JJL^Jt ûl&jjj manquent dans C. (*) Voyez Fig. 3. — (* ¥ ) Voyez Fig. 4. UT v^-*tf! w^ w^t JUj JUt Jb ^ LjojuJI wôl^l ^ Ja- ^ f-s-S-f fî (i) '^l* j^ L *#* ^l* v-Kj ^7 J** v' u-^ (6) LJpjj^I ^kaJI j^i^ ^t ^ ^ a)Uj ^-s-M lâ$J b,L* L*C Ly-^-ar* ^jjL-j ^jip LIS Lj^ L&J (7) oLjjJi^ ^ïLî .! J,l «Ijjà.li jjJj Ljt^l pJLi i^LtoVT jjjlj-x^ Lr^e* sjL* (8) ajJb ^*j ULi t^tUt ^JjJJ (9) Lj^L^ ^Lftjjlj Jokt^)! *y jj\x$U jtjua^lr ïj* (j^& ( IO ) *;'^' i-fcgÉk Jjju Jb sd\j}\ ^J^eô\j \X*j JUI J*aa> dà» ,J w^ !3!jia^t J^ JJjJb wUjJj JUI jlçw A^-^â» ï-wAi^Jb ùi»j)j L.» » aL ^ JUi J*o»> L*v^ v3 V\T* '^ J 1 ^ AfriLtot iu, M ^ &Ji& bu^ Le-»*- w***** 131 lij> SjojI Jli aJK' j^SCj L*f (îa) Jjjo jlj^vt Î*JjI aJLà» ^IL» (1a) Jjuo ^j* *^sJ (**) t-oj^b LIj (i3)j/J4t s^wwLJt jKi^L» J**j A. — (6)Ll>j^3rA| manque dans B. et C— (7) O^JXi^fb C. — (8) ^JjJ! C. — (9) ^Lw A.— (io)jtÂa.! A* — (11) jj-» ^AjJ Li C — (xa) Jjjo A. B. Jjju C. — (i3) »^j4I ^Ll! A. (l4) ^C^LwSj A. iOwL*»^^ B. (*) Voyez Fig. 2. — (**) Voyez Fig. 3. V (i) .lyLXw^L ijjj t UJLi 'U^± j* rf t jï*j L»+±j±^ ^\ ^y ^a JJ JjiI y* (3) ^niJU^! Jy Jl àJ (2) ^iJudJ & ^LJ! ^LriL'il aJu^ .c-^' ^ u **J> iy^' «J^L*-j** A_3fcXp yj «J^r* »!»£■ ."~>i .As Î-ju* Usl (5) ja-x-f ^3 '-^ 5aj V V-if 4 ** ^-^XJj^ » Ltojjjfc» w^l Ja^ a^Jûi (*) IjL-ScJfcy ^^ al J3.J LjjL*^t L«jy Lsr^- J^«iJ j»yilt ajJI oXJi ^^5 J^»Lï L»jJLx» *+J£j l-^J a*Loj L^lx» jO^j ^jj^ll ^*x*M J^» (O^ (i3) Us, LIS LJ^ ^tyt <*i£Jij ^«^1 ^ (ia) ^ ^yî v^^Jl ^j^l Ll^l Jlï L«4»~ ^L* JJjJLj ^ UU JJL^Î | *Jo> J Lar^ ^Lj *a>L4L> J^Â-4' (16) JjdJ jL. laô. (i5) ^'^Ij J^'j V^ (*A) ^' (17) ^'j (1) Ce passage à parlir de ^L-5 manque daus C. Le Ms. B. porte JU> au lieu de a*Lo . — (2) sjUJi % B.— (3) c ^ilAdrM B. — (4) J^Jlj C. — ^5) jJû^JI '^ to *f v-î'-V^^r 5 ^ ^* — (6) L&>ar , - 3 manque daus A. et B. — (7) L-^j3LÏ C. — (8) w^JLkit A. — (9) bjy© A. B. Ij JJld C. — (10) sj^.Laa-^-^t C. — (11) JJ B. C. — (1a) u manque dansC— (i3) b^x C. — (1/1) ^^^ A. — (i5) ^LHj C. -(16) ^^jJIj C— (17) J^lj c. (*) Voyez Fig. 1. 'X ^& *J ^^ L, J^l j»j (3) Lv.j^.1 ^l^-JLj (a) S^bp! oU^-S4î ^Lol L^l y.j (5) »jia.|p ïbl*. (4) wô'y ^L. Jj*-j iAt^jJA, v^' I bj* Jjjo jj^j JL*, w^ 1 ta«X*j ^lL»j I.JLa. Jjjo w^if J I.Âa. Jjuo iJ*j JL»j w^juf Ç> *%* j»j crr-^^ err^ 1 ** j 1 ^ V ^> ( 6 )^» ^»WI p£Jt_, bj^ ^!L» J^jjjç^ v^ v> '^^j 'j^ J^ J 1 ^ v^ ' .^1 JJLsï Jl LJ J~-~-^j Lpb^l ïiuJI ^Jb^ll (7) ^j* »' r^* J^tj^ot jj(à(io)L-jXj ija Ut (9)iwJj^)lj VT(8)L^u £.... » cr-^1 ^Ll^^Tiji* ^ (îa) «x&lj ^[^ «V^J ^rky^' fois*)! .jCi b*X* Jjjo jia. ob^iH ^ J^l wiuJli (i) L^Lm» A. C. JV-^-a-^ B. — (a) Tous ces mots à partir de La-»— ■) 1 *»anquent dans B. — (3) L_*-a>|j-a>! C. — (4) OJJ-* B. — (5) LtaLa* afjJ^UI B. ÏJo.1^3 ! àJjLu* C. — (6) j*j C. — (7) -* manque dans C. — (8) L^Lp manque dans C. — (9) a^-JJl^JLj C. — (10) L» jJLi C. — (11) ^J& jLu^t »Âj> manque dans A. — (ia) &J^t« »Aa.L) B. — (i3) Ces mots ci partir de ^JLjc:- manque dans B. Lp J^l (3) &k)li Lài^yi* !, j*. Jj*. jj*j JU Ç, bj* J*» J( ^ JL. (4)1 Lu* 8JUM ïîîWlj & jjJI X^x ^ Llj L«W|J| (7) L*^ J^ Jk> j>W ? j^ij jr j^i ïîibu l-l. (8)*jujî xM »à» ^i yu ^.^u ^Lr-T ^^J>Lfe ^iJLjJi bj* JJ.L4I f^ey» yj^'^ ^tî ola-j-*» ^^Ljw^jl jj_* i~Jl_»JI L^~J!j L^> ~-.JJ^JI ^c ^j^jLmj JL*eat jAbLlMI b^ Jj-« JL, v^»r î b^* Ja*j ; ^ v^uT t "ilL» Jj^-«j iJ*j v*"^ ® 'j*^ ( IO ) J***?. ,5Jl *-j v**' v 1 L-*-»-^ J->*> Jkj 3.J-* J UrJ' J->-*-J j «ï-a-j JA-6 ? (1} oLjmUI B. — (a) LJbL» C. — (3) JLÎJLsJLi manque dans A. — (4) \ manque dans A. — (5) j_jju-a. A. — (6) JL* A. — (7) J -X_x_> ._. « S ^L>j \jXa. A. B. — (8) î-JUJI manque dans A et B. — (9) oL»UI C .— (10) Jjuw bj*j C. « 1 1 tilk* bj^ (a) ïll-4! ^yiy yj^l^t ^jL^H (i) »J* J* t)^' L*'j jt^i i^, jut, .^ijâjji ^ J^-^yt zssitit j^ti ^ L^Jc ^L»^! ^ (5) ,3^. iJ (4) i-^L jj^LJI »jj» Je y) 1 »^' ujl » • I •" * v- L*_T Jj^Ï Jl^l 7 ^U Jj^uj 3j^ Z> Lao JJlxj jj^-9- j L-jO J<^*J ^*X-£ ^ JU! S-bL* ^ d t f> Li w-tf! J! JUt L^T JU! Jt *^J! ^ V' V-^ JU! J! *xJ! V* -^^> JLJJ .^L» JbU/ s^xSDJ ^i°^ A» J*^l SJL-yt jM j»j j«.!j)1 (6) AiJl ^j^LiUl J «b ^Jlj JUI JU^iLllI J joltfl J JUI, ^VJI j.j ^Ij-JI f **> Jl (7) ou*l lit ^\j\ JJ3WI J wÔJUtj p^l^j jL-^t «ÎWI J g/il (») J»JI L^-j-i «Xj & yil Ojo "4 31j oLw/ ô~» *J A»j=rf y^^-JI Jlsc-M j» JLej UJU^ilJUt J ( 9 ) JUI JL JJ lit, ùyUlà JUI JL» jUi ,j;y U^-jj ïa.^-^ L^'IjjJ ^ Î3.Lm4! jj* Lfc>'>?-' iJ ^ %j£Ji VUI, ^1f ^ j^U % olJJb-Sl ji^WI J C ^ JUI L^JLaït *j J-xa^J ^jJI iJjJI yw a f J »*"-? U** lO^. 'W^ ^1 i-Ai^l ^11 olil»Jt »a» ^ ^^1 v*^ vi v3^^ o"^L«^ st»iU j.» oL*5lllj ol«jll, p^*j *dkM ( IO ) *' J **' ^^^xJI Jî^-ULj ^J'îi«» ^ Wj J'^'j P^ 9 ^ J >**" (") en-? ^1 v-i'l^ (i«) £->j\ ^ $M\j J*«M &±?~!. jl ^ Ly JUI, .^ ijJI ^IjiiUUI J L^yTI ^ ^1 J^iW lis (i) ^b^C-tajiwA. Ju* B. C— (3) Sjla>Ij B. — (4)^1 sans ^J C. — (5) J^I^A-^L^I^tB. J-^^l C. — (6) Jjo C. — (7) vJUi^tC.— (8) Les mots 3uJt^ jj^ULil ^ JU!^ manquent dans C. — (9) JL» JL* C— (io)ilj^lC — (n) ^B. C. — (\î)'U)j\ tf B. f SI^ L»l •^Jï oX3\j L^Ls^l i^*i ** >jlx» * -£, J,! ïàL&»j *y^?^ L^j>^LL»j L^sr^^ juls (4) s^JU Jo^ Uj^d aJ L^Lio ^1 à^j ^Jx L**J H^ . £jJ1 ( 7 ) tt-*J L^ (6) cr iLj- jJ! JL^LeJt (5) jjjiJI Jx ^spt «j-fi-» j» L* V J* •jL'vMj f»?^ JLJIj laàrM Ïju.1 -»j £Lâ{t iu»flt ^Ul ^^ (9) p-Sj J^l J^» J ^ ^j^ J W ^\j)\ !a* ^ JkJ jJjijj A. — (5) ^J^UI C. — (6) ^^ C. — (7) L^J B.—(8) Jij^^\ manque dans C— (9) J> # A. — (10) JaJlC, — (11) Ces mots, à partir de "aL» manquent dans C. — (1a) Ici et pag. 0, lig. a, le Ms. A. porte rr»*>^SjU ailleurs rr»*^!. — (*3) Les mots ^Lxxîl Î^mxSj manquent dans C. — (14) JI^»VT Jl^»l J,t A. B. r cr . (4) aJ^-w. ^JJI jAiJl (3) ^jii-ï % îij*Xl> ^Jïfttj ^r^' (6) wdlw Lîk* ULJ! (5) IjJaL, jlj L-j-ô. aJjj je\jb \ J,^i\ pWI ju^i j^n uj^. ^.L^ j,i giktJîJij ,> j,uy a\ ^ u, s^-ik, ji^n j ^j f >)i j („) iijui (,o) ^ ^ s,^ 14) A^JLi^i U JU^J^\ (13) ^1 ^ U J^l ^ ^yjt *.», iL^I ^LUI V U ^ *£J-?1 U (.5) ^^ï ^ ^i ^ j-J^M J^ s^^lj ^asJU J*! (17) oL^JI (16) il i^l Jl ^1 U Jfc£^ 1^ £8 ^xJLi^ J*> (18) Ul, JUÏ d» ^ (1) ! Jia manque dans A.— (a) % C— (3) j^jj A. c jy u ^ B - (JL**-*** C * —(4) ûyyu A. B. AÎy^ï C.— (5) j*Li. C— (6) v^JJai C— (7) ijs**^! C. — (8) Ces mots à partir de Li J-~_w sont remplacés dans le Ms. A. par ^Si dans le Ms. C. par les motsj&li? ^>\ «LaKil ^g&\* 3a£&\ J&.& \X-J|.— (9) SJUà C. — (io) ^ B. — (1 1) s\*ïi\ A. $L . .1 B. SliA C. — (ia)^3 C. — (i3) J manque dans B. — (14) à^Ji^J A. A^oy B. a~^ C. — (i5) ^ôJLst^' B. — (16) lit C. — (17) oLeLjy I C. — (18) LaJj C. — (19) Le Ms. C. au lieu de z»^!*)! ^ porte /»J*Jt ^.j LoiJI ^». r OL^UI ^ ^jLU J| (3) Lfcà £ L*A (a) LiU-ILfc» \j (i) I^UIj Jj ^Afetl L.I L*J ^^kbJlyLi'l J* L^L (4) jlxJ II?. Lob*. (6)_j!^iJlj (5) ^JULJI j^ L^J lyU» J ^ 1^ .îiT ^ LJ! J^a. p-fr-ST U-ibJ J| Jiu (7) ,J jl Lfci>J! Jl f»U v^^ljk** J ^ L-JLJI (8) JJLiUt ^ «^l J&JI J xjLw ^J^iy! m^s-l aUxlj Jl^lj w,L*_r il ( 9 ) ^îLai^b Sjîjk.Mlj ïj$\ J uLT •LaâJI (n) *ys? (io)LLL» bjJ^Cil jl jjo L^JLsw J (Sa-sj Jà îbbo Uj^l £>â)b Ljkj ^LfeM j*± j\ (.3) ^J ^ ç^ (ia) jjb Ja. *^<0*»» Lji* ^Lvol ÏÂe il ^wJJL^il ^» îcL.a. «Juo jÂJiil J <*_i_JU» JS pLjl J^o-Œ^ Ljàbwsl J ^ >)j " «3 j»^ Jwa.lp if-Jj (j a -au. J! çj ^J !_, (14) L^/JL. c ^i^> ,J* ^1 w ^4 fX l^ jLâ^lj L^u J-;,-r » - : '.J b-^JL^J (i5) £^a- (Js**" 1 ' J* a 9 /**' -^^ '-^ Jj' a^cJl ^ ^'1 Jj IÂ* CU JJL4Î oiKL. j UJI ^J-JLi ÏL>L« ^1 JWI >l o 19 !/-^ (17) bu* Ji bli ^Upl ^j^ 3 («9) I^J ^Upi oSli Jo\fJ>\ (.8) ^ ^1 ^^T ij^f UX^b c ^4l j*!, J c («) .1*1, (ai) j^' il (*,) L^bJI (1) L».L4UaiiSjB. — (a)b> C — (3) *J C. — (4) jJcx. C— (5) ^_JLk4l G. — (6) j C. — (7) I -$■;.-» manque dans C. *Jj A. — (8) ïJbJL» C. — Cg) .obi C. — (10) Ces mots à partir de «Xw manquent dans B. — (11) ,-Ja.B. *\js* C. — (iià) ul> , ÎLaaJI B. *JI .L^a-âJI C. - di) fuJ A. Cr° B - & - w ■*• rr ~' v--v —j j — \--/£5tt 1 v--/j — ■ \^\ B.— (17) L»J3 C — (18) ^ C — (19) l>yJ B. - (10) Lftïbj' ^ïLîl) A. L^UJ'I B. b^bjl C— (ai) (J-r^l C. — (aa) ^lAot C. I I *- e^ i^lr *^ (**** jî (») err*»-?-' tr*^^' **'j ^ cl* ^^-j *l«-^l J* «jU'j ^l^ju ^^i susyi .jç. J I4JI t h^\ ï^Ldl JUl! j^I A. Les mots >X=>I „it par lesquels l'auteur entre en matière, sont précédés, dans le Ms. B., des seuls mots d) X r a*\ S* JL>j p^-J\ i-rv 2 »-*^ *^' /•*•? etc. sans aucun titre; dans le Ms. C. tout ce qui ici précède les mots >V-a I t .\l est remplacé par les moU suivants :j! J^_jS' ( »Js3rO XbUUlj *arH JïJIjL» (Ajljl* &<& l**W &j* £-*-$ w4r*-* CK*^ £•■**€ •• •• lAôl /OUi »♦ iW^^Ji ^j j iS L^\jJ 1 « * A 1 K »\ \ I! M G n * 'H 7. ^ - I . t ■ ! 3 T B J T I ï /.u 51 \nrç. Ysrraw^. ïfc tew, ] \î, . I •WWj XLlâJlj^Jl ^a»^ kS ,UJ|^ I I -l «* _* ^ IWilP ThiB boofc should be retumed I nr toefore tho last da THE BORHOWER WILL SE CHAHQED AN OVERDUE FEE IF THtS BOOK M NOT RETURNED TO THE LIBRARY ON OR BEFORE THE LAST DATE STAMPED BELOW. NON-RECEIPT OF OVEROUE NOTICES DOE8 NOT EXEMPT THE BORROWER FROM OVERDUE FEES. B 1 1993