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Department  of  Mathematics 


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COURS  DE  LA  FAClJL'i:^:  DES  SCIENCES  DE  PARIS 


LEÇONS 


SIR    LES 


HYPOTHÈSES  COSMOGONIÛUES 

PROFESSÉES  A  LA  SORBONNE 


PAR 


H.  POINCARE 

MEMBRE   DE   l'aCADÉMIE   FRANÇAISE  ET   DE  l'ACADÉMIE  DES   8CIBNCK8 


Rédigées  par  Henri  YERGNE, 

Ingénieur  des  Arts  et  Manufactures,  Docteur  es  sciences  mathématiques 


PARIS 

LIBRAIRIE   SCIENTIFIQUE  A.  HERMANN  ET  FILS 

LIBRAIRES   DE   S.    M.    LE   ROI   DE   SUÈDE 
6,    RUE   DE   LA   SORBONNE,    6 

1911 


LEÇONS 


s  L'a    LFS 


HYPOTHÈSES   COSMOGONKjlES 


Digitized  by  the  Internet  Archive 

in  2010  with  funding  from 

University  of  Ottawa 


http://www.archive.org/details/leonssurleshyOOpoin 


COURS  DK  LA  FACIXTK  DKS  SCIKXCKS  DK  l'AllIS 


LECOXS 


sii\    Li:s 


IIYPOTHI^SES  COSMOOOMQIES 

PIJOFESSÉES  A  LA  SOlîliO.X.NE 


PAR 


H.  POINCARE 

NK.MBRK    DE    l'aCADKMIE    KllANiJAlSK    ET    DE    l"aCADÉ.\IIE    DES    SCIENCES 


Rédigées  par  Henri  VERGNE, 

Ingénieur  dos  Arts  et  Manul'actures,  Docteur  es  sciences  mathénialiques 


DHPAliTMtNT  OT  MATViEMATiCS 
UNIVERSITY  OF  TORONTO 


PARIS 


LIBRAIRIE    SCIENTIFIQUE  A.  HERMANX  ET  FILS 


LIBKAIUES    DE    S.    M.    LE    ItOI    DE    SL  EUE 
6,    ItUE    DE    LA    SORBONNE,     G 

19il 


COI'YRKiHT   BY   A.   HeRMAXX    I;T  FiLS,    IHl. 


PRÉFACE 


Le  problèmo  de  l'origine  du  Monde  a  de  lout  temps  préoccupé 
tous  les  hommes  qui  rélléchissent  ;  il  est  impossible  de  contempler 
Je  spectacle  de  l'Univers  étoile  sans  se  demander  comment  il  s'est 
formé  ;  nous  devrions  peut-être  attendre  pour  chercher  une  solu- 
tion que  nous  en  ayons  patiemment  rassemblé  les  éléments,  et 
<|ue  nous  ayons  acquis  par  là  quelque  espoir  sérieux  de  la  trouver  ; 
mais  si  nous  étions  si  raisonnables,  si  nous  étions  curieux  sans 
impatience,  il  est  probable  (|ue  nous  n'aurions  jamais  créé  la 
Science  et  que  nous  nous  serions  toujours  contentés  de  vivre  notre 
petite  vie.  Notre  esprit  a  ilonc  réclamé  impérieusement  cette  solu- 
tion, bien  avant  (ju'elle  lût  mûre,  et  alors  qu'il  ne  possédait  que 
de  vagues  lueurs,  lui  permettant  de  la  deviner  plutôt  que  de  l'at- 
teindre. Et  c'est  pour  cela  que  les  hypodièses  cosmogoniques  sont 
si  nombreuses,  si  variées,  qu'il  en  nait  clia(|ue  jour  de  nouvelles, 
tout  aussi  incertaines,  mais  tout  aussi  plausibles  que  les  théories 
plus  anciennes,  au  milieu  desquelles  elles  viennent  prendre  place 
sans  parvenir  à  les  faire  oublier. 

On  pourrait  penser  que  l'Univers  a  toujours  été  ce  qu'il  est 
aujourd'hui,  que  les  êtres  minuscules  qui  rampent  à  la  surface  des 
astres  sont  périssables,  mais  c[ue  les  astres  eux-mêmes  ne  changent 
pas,  et  qu'ils  poursuivent  glorieusement  leur  vie  éternelle,  sans 
se  soucier  de  leurs  misérables  et  éphémères  parasites.  Mais  il  y  a 
deux  raisons  de  rejeter  cette  manière  de  voir. 

Le  système  solaire  nous  présente  le  spectacle  d'une  parfaite 
harmonie;  les  orbites  des  planètes  sont  toutes  presque  circulaires, 
toutes  à  peu  près  dans  un  même  plan,  toutes  parcourues  dans  le 

PoiNCARli. 


HÏI'OTIIESES    COS.MOGOMyUES 


même  sens.  Ce  ne  peut  être  l'effet  du  hasard  ;  on  pourrait  supposer 
qu'une  intelligence  infinie  a  établi  cet  ordre  au  début  une  fois  pour 
toutes  et  pour  toujours,  et  tout  le  monde  se  serait  contenté  autre- 
fois de  cette  explication  ;  aujourd'hui  on  ne  se  satisfait  plus  à  si 
bon  marché  ;  certes  il  y  a  encore  bien  des  gens  qui  tiennent  un 
Dieu  créateur  pour  une  hypothèse  nécessaire,  mais  ils  ne  conçoi- 
vent plus  l'intervention  divine  comme  le  faisaient  leurs  devanciers  ; 
leur  Dieu  est  moins  architecte  et  plus  mécanicien  ;  et  il  reste  alors 
à  expliquer  par  quel  mécanisme  il  a  tiré  l'ordre  du  chaos.  Si  l'or- 
dre que  nous  constatons  n'est  pas  du  au  hasard,  et  si  on  renonce 
à  l'attribuer  à  quelque  décret  divin  immédiatement  exécutoire,  il 
faut  qu'il  ait  succédé  au  chaos,  il  faut  donc  que  les  astres  aient 
changé.  Et  c'est  bien  ainsi  qu'a  raisonné  Laplace. 

D'autre  part,  le  second  principe  de  la  Thermodynamique,  le 
principe  de  CAR^0T,  nous  apprend  que  le  Monde  tend  vers  un  état 
final;  l'énergie  «se  dissipe»,  c'est-à-dire  que  le  frottement  tend 
constamment  à  transformer  le  mouvement  en  chaleur  et  que  la 
température  tend  partout  à  s'uniformiser.  L'état  iinal  du  Monde 
est  donc  un  état  d'uniformité  ;  cet  état,  qu'il  doit  atteindre,  n'est 
pas  atteint  encore;  donc  le  monde  change  et  môme  il  a  toujours 
changé. 

Et  voilà  le  champ  ouvert  aux  hypothèses;  la  plus  vieille  est  celle 
de  Laplace;  mais  sa  vieillesse  est  vigoureuse,  et,  pour  son  âge, 
elle  n'a  pas  trop  de  rides.  Malgré  les  objections  qu'on  lui  a  oppo- 
sées, malgré  les  découvertes  que  les  astronomes  ont  faites  et  qui 
auraient  bien  étonné  Laplace,  elle  est  toujours  debout,  et  c'est 
encore  elle  qui  rend  le  mieux  compte  de  bien  des  faits  ;  c'est  elle 
qui  répond  le  mieux  à  la  question  que  s'était  posée  son  auteur. 
Pounpioi  l'ordre  règne-t-il  dans  le  système  solaire,  si  cet  ordre 
n'est  pas  dû  au  hasard  ?  De  temps  en  temps  une  brèche  s'ouvrait 
dans  le  vieil  édifice;  mais  elle  était  promplement  réparée  et  l'édi- 
lice  ne  tombait  pas. 

On  sait  en  quoi  consiste  cette  hypothèse.  Le  système  solaire  est 
sorti  d'une  nébuleuse  qui  s'étendait  autrefois  au  delà  de  l'orbite  de 
Neptune  ;  cette  nébuleuse  était  animée  d'un  mouvement  de  rotation 


uniforme  :  elle  ne  pouvait  être  liomoj^vne,  elle  était  condensée  et 
même  fortement  condensée  vers  le  centre;  elle  était  formée  d'un 
noyau  relativement  dense  qui  est  devenu  le  Soleil,  entouré  d'une 
atmosphère  d'une  ténuité  extrême  (jui  a  donné  naissance  aux  pla- 
nètes. Elle  se  contractait  par  refroidissement,  abandonnant  de 
temps  en  temps  à  l'équateur  des  anneaux  nébuleux;  ces  anneaux 
étaient  instables  ouïe  devenaient  promptement;  ils  devaient  donc  se 
rompre  et  linalemcnt  se  rassembler  en  une  seule  masse  spliéroïdale. 
Au  moment  où  le  système  commence  à  se  former,  il  y  rogne 
déjà  un  commencement  d'ordre;  les  mouvements  internes  de  la 
nébuleuse  ne  sont  pas  capricieux  et  désordonnés;  ils  se  ramènent 
à  une  rotation  uniforme  ;  c'est  cette  harmonie  initiale  quia  produit 
l'harmonie  finale  que  nous  admirons,  mais  cette  harmonie  initiale 
est  aisée  à  expliquer.  Les  frottements  internes  de  la  masse  ont  dû 
promptement  détruire  les  irrégularités  de  ses  mouvements  intes- 
tins et  ne  laisser  subsister  qu'une  rotation  d'ensemble  parfaitement 
régulière.  Promptement?  Cela  dépend  du  sens  que  l'on  attache  à 
ce  mot;  les  inégalités  disparaîtront  promptement  ?i  l'on  regarde 
quelques  milliards  d'années  comme  un  délai  très  court.  Quand  on 
veut  faire  le  calcul  en  attribuant  à  la  matière  de  la  nébuleuse  la 
viscosité  des  gaz  que  nous  connaissons,  on  arrive  à  des  chiffres 
fantastiques.  Et  ce  n'est  pas  tout  :  le  refroidissement  même  et  la 
contraction  qui  en  résulte  tendent  à  troubler  cette  harmonie  si  len- 
tement conquise,  et,  pour  qu'elle  se  conserve,  il  faut  que  celte 
contraction  et  l'évolution  entière  du  système  soient  aussi  prodi- 
gieusement lentes.  D'autant  plus  que  l'on  a  établi  qu'il  faut  des 
centaines  de  millions  d'années  pour  que  les  diverses  parties  d'un 
même  anneau,  en  se  mouvant  séparément  suivant  les  lois  de 
KEPLER,  finissent  par  se  choquer  et  se  coller  les  unes  aux  autres  ; 
phénomène  qui  ne  doit  être  regardé  pourtant  (jue  comme  un  court 
épisode  dans  l'évolution  générale.  Ces  chiffres  ne  doivent  pas  nous 
effrayer  :  ils  sont  en  désaccord  avec  l'âge  que  d'autres  théories 
attribuent  au  Soleil  et  aux  étoiles;  mais  ces  théories  soulèvent  de 
leur  côté  de  grandes  diflicultés.  Une  réflexion  toutefois  s'impose; 
d'autres  svstèmes  semblables  au  nôtre  devaient  subir  en  même 


IIYPOTIILSES    COSMOGOMOL'ES 


temps  la  même  évolulion  ;  chacun  d'eux  occupait  un  espace  consi- 
dérable s'étendant  hien  au  delà  du  rayon  de  notre  Soleil  actuel  ; 
si  celle  évolution  a  duré  trop  longtemps,  on  est  obligé  de  compter 
avec  la  probabilité  d'un  choc,  venant  tout  détruire  avant  qu'elle 
soit  terminée. 

Pour  Paye,  l'origine  des  planètes  est  toute   différente;  c'est  à 
l'intérieur  de  la  masse  nébulaire  elle-même  que  les  planètes  et  le 
Soleil  se  sont  dilïérenliés  ;  dès  qu'un  commencement  de  condensa- 
tion s'est  produit  en  certains  points,  ces  points  sont  devenus  des 
centres  d'attraction,  ils  ont  attiré  la  matière  environnante,  s'en  sont 
nourris  pour  ainsi  dire,  jusqu'à  ce  qu'ils  aient  lini  par  absorber 
toute  l'atmosphère  très  ténue  de  la  nébuleuse  primitive  et  par  se 
mouvoir  dans  le  vide.  Cette  théorie  conduit  à  de  singulières  consé- 
quences: Mercure  serait  plus  vieux  que  Neptune  et  la  Terre  elle- 
même  plus   vieille  que  le  Soleil.  Les  planètes  étaient  autrefois 
beaucoup  plus  éloignées  du  Soleil,  et  Mercure  par  exemple  était  à 
la  dislance  de  Saturne  ;  elles  se  sont  graduellement  rapprochées 
de  l'aslre  central  en  conservant  des  orbiies  circulaires.  On  ne  peut 
pas  dire  que  Fave  ne  rend  pas  compte  de  la  faiblesse  des  excentri- 
cités et  des  inclinaisons  ;  du  moins  il  cherche  à  le  faire  et  il  est  bien 
décidé  à  donner  les  coups  de  pouce  nécessaires  pour  obtenir  ce 
résultat;  mais  l'explication  qu'il  donne  est  bien  imprécise  et  bien 
moins  satisfaisante  pour  l'esprit  que  celle  de  Laplace.  11  avait  cru 
devoir  abandonner  les  idées  de  Laplace,    incapables  d'après   lui 
d'expliquer  le  mouvement  rétrograde  du  satellite  de  Neptune.  Il 
croyait,  comme  Laplace  lui-même,  que  le  sens  de  la  rotation  d'une 
planèle  dépend  de  la  distribution  des  vitesses  dans  l'anneau  qui 
lui  a  donné  naissance.  Nous  savons  aujourd'hui  que  celte  distri- 
bution ne  peut  être  qu'éphémère,  puisque  l'anneau  est  instable, 
qu'elle  ne  peut  donc  avoir  aucune  influence  sur  le  résultat  final  ; 
que  les  rotations  de  toutes  les  planètes  ont  dû  être  primitivement 
rétrogrades  quelle  (|ue  soit   leur  origine,  et  que  l'inlluence  des 
marées  a  pu  seule  les  rendre  direcles.  Dans  ces  conditions,  nous 
n'avons  plus  aucune  raison  de  préférer  l'hypothèse  de  Fave  à  celle 
de  Laplace. 


La  théorie  de  M.  i»u  Licomiks  dérive  à  la  fois  de  celle  de  Faye  et 
de  celle  de  Ka>t.  Pour  lui,  le  point  de  départ,  n'est  plus  la  nébu- 
leuse de  Laplace,  dont  les  mouvements  sont  déjà  régularisés  par  le 
frottement,  c'est  un  chaos  véritable.  Au  lieu  d'une  masse  gazeuse 
dont  les  diverses  parties  sont  rendues  plus  ou  moins  solidaires  les 
unes  des  autres  par  l'elVel  de  la  viscosité,  et  (|ui  forme  en  tout  cas 
un  coiiliiiu,  nous  n'avons  plus  qu'un  essaim  tie  projectiles  se  croi- 
sant au  hasard  dans  tous  les  sens.  Que  sont  ces  projectiles?  Ce 
peuvent  être  des  météorites  solides,  ou  d'énormes  bulles  de  gaz, 
peu  importe;  entre  eux  il  n'y  a  que  le  vide  ou  une  atmosphère 
assez  ténue  pour  ne  pa'S  gêner  la  liberté  de  leurs  mouvements.  De 
temps  en  tcm[)S  ces  mouvements  sont  troublés,  soit  parce  que  ces 
corps  approchent  beaucoup  les  uns  des  autres,  soit  parce  qu'ils  se 
choquent  physicjuement.  Et  ce  sont  ces  chocs  qui  produisent  l'évo- 
lution ;  s'il  n'v  avait  ni  choc,  ni  résistance  passive,  ou  même  si  les 
corps  qui  se  choquent  étaient  parfaitement  élastiques,  ces  projec- 
tiles, malgré  l'attraction  qu'ils  exercent  les  uns  sur  les  autres, 
pourraient  circuler  iniléfiniment  sans  montrer  aucune  tendance  à 
la  concentration  ;  de  même  que,  dans  le  vide,  les  planètes  tourne- 
raient perpétuellement  autour  du  Soleil,  sans  jamais  tomber  sur 
l'astre  qui  les  attire.  Supposons  au  contraire  deux  planètes  circu- 
lant en  sens  contraire  sur  la  même  orbite  circulaire;  avant  d'avoir 
décrit  une  demi-circonférence,  elles  se  rencontreront,  leur  vitesse 
sera  détruite  par  le  choc,  si  on  les  suppose  dépourvues  d'élasticité, 
et  elles  tomberont  ensemble  sur  le  Soleil,   augmentant  ainsi  la 
masse  de  l'astre  central.  De  pareils  chocs  peuvent  devenir  fréquents 
dans  un  milieu  constitué  comme  l'imagine  M.  du  Lico.ndés  ;  il  va  donc 
une  concentration  progressive  de  la  masse  ;  on  la  voit  peu  à  peu  s'or- 
ganiser, les  planètes  et  le  Soleil  se  difîérenlient,  puisse  nourrissent 
delà  matière  qui  les  entoure  et  finissent  par  tout  absorber.  On  peut 
montrer  que  par  le  jeu  même  de  ces  chocs,  on  arrive  à  un  système 
d'orbites  peu  excentriques  et  peu  inclinées.  Bien  que  se  faisant 
au  hasard  et  pour  ainsi  dire  aveuglément,  ces  chocs  transforment 
le  chaos  en  un  cosmos  admirablement  réglé,  oîi  l'uniformité  pri- 
mitive a  fait  place  à  la  variété,  mais  à  une  variété  harmonieuse. 


HYPOTHESES    COSMOGO!<IQUES 


La  nébuleuse  de  M.  du  Ligondès,  sillonnée  en  tous  sens  par  des 
projectiles  se  mouvant  au  hasard,  ressemble  beaucoup  au  gaz  de 
!a  théorie  cinétique.  Peu  importe  que  les  projectiles  soient  de  taille 
très  différente,  puisque  dans  un  cas  ce  sont  des  atomes  et  dans 
l'autre  des  météorites,  ou  de  petits  astres.  Et  cependant  la  Thermo- 
dynamique et  la  théorie  cinétique  nous  enseignent  que  les  gaz, 
comme  le  monde  physique  tout  entier,  tendent  sans  cesse  vers 
l'uniformité.  Les  lois  du  hasard  et  celles  des  grands  nombres  ten- 
dent à  niveler  très  rapidement  les  inégalités  que  le  gaz  peut  pré- 
senter, jusqu'à  ce  que  la  température  et  les  vitesses  deviennent 
uniformes  dans  toute  la  masse.  Prenons  comme  point  de  départ  un 
système  de  molécules  gazeuses  dont  les  vitesses,  au  lieu  d'être 
fortuitement  réparties,  seraient  harmonieusement  distribuées,  de 
manière  à  faire  une  sorte  de  cosmos  pareil  au  système  solaire  ;  au 
bout  de  peu  de  temps,  nous  serons  retombés  dans  le  chaos,  les 
masses  primitivement  ditférentiées  se  seront  confondues  en  une 
seule,  les  vitesses  seront  de  nouveau  réparties  suivant  la  loi  de 
Maxwell,  qui  est  celle  du  hasard.  Comment  deux  mécanismes  en 
apparence  idendiques  ont-ils  pu  produire  deux  effets  opposés?  La 
réponse  est  aisée  :  dans  la  théorie  cinétique  des  gaz,  on  regarde 
les  molécules  gazeuses  comme  parfaitement  élastiques,  il  n'y  a  rien 
qui  ressemble  à  une  résistance  passive,  la  force  vive  n'est  jamais 
détruite  ;  dans  l'hypothèse  de  M.  du  Ligondks,  les  corps  en  se  cho- 
quant perdent  leur  force  vive,  au  moins  en  partie,  et  la  transfor- 
ment en  chaleur;  nous  avons  vu  que  c'était  là  l'origine  d'une 
tendance  à  la  concentration  et  par  conséquent  à  la  différentia- 
tion.  Nos  projectiles  peuvent  donc  subir  deux  sortes  de  pertur- 
bations ;  de  brusques  déviations  causées  par  l'attraction  newto- 
nienne,  quand  deux  masses  viennent  à  se  rapprocher  sans  se 
toucher,  et  des  chocs  physiques.  Les  premières  perturbations, 
de  beaucoup  les  plus  fréquentes,  se  font  sans  perle  de  force 
vive,  elles  sont  tout  à  fait  assimilables  aux  chocs  des  molécules 
gazeuses  dans  la  théorie  cinétique  :  elles  tendent  donc  à  maintenir 
le  chaos,  ou  morne  à  le  rétablir,  et  à  faire  régner  partout  la  loi 
de  Maxwell.  Les  chocs  physiques  au  contraire  entraînent  des  résis- 


tances  passives;  c'est  à  eux  (|ue  nous  devons  l'organisation  du 
cosmos. 

Kt  alors  une  réllexion  s'impose;  on  admet  en  général  que  les 
atomes  ne  sont  soumis  à  aucune  résistance  passive,  de  sorte  qu'ils 
se  comportent  dans  le  choc  comme  des  corps  élastiques:  ils  suivent 
ainsi  sans  restriction  les  lois  de  la  Mécanique  théorique.  Si  les 
corps  de  dimension  sensible  semblent  s'en  écarter  à  tel  point  (jue 
les  phénomènes  observés  sont  irréversibles,  c'est  qu'ils  se  com- 
posent d'atomes  très  nombreux  et  que  la  loi  des  grands  nombres 
intervient.  Cela  va  bien  si  les  atomes  sont  eux-mêmes  regardés 
comme  des  points  matériels  et  si  le  mot  «  atome  »  doit  être  entendu 
au  sens  étymologique;  mais  il  est  loin  d'en  être  ainsi;  les  éléments 
d'un  gaz  dans  la  théorie  cinéli(|ue  sont  les  «  molécules  »  et  chacune 
d'elles  contient  plusieurs  atomes  chimiques;  chaque  atome  à  son 
tour  est  formé  d'électrons,  et  il  serait  puéril  de  supposer  qu'on 
n'ira  jamais  plus  loin  et  que  les  électrons  ne  se  résoudront  pas  un 
jour  en  éléments  plus  petits.  Une  molécule  en  un  mot  est  un  édi- 
fice aussi  compliqué  que  le  système  solaire;  ses  éléments  ultimes 
très  nombreux  doivent  obéir  à  la  loi  des  grands  nombres,  de  sorte 
que  dans  l'intérieur  de  l'atome  lui-même,  il  y  aura  des  résistances 
passives.  Ne  pourrait-on  concevoir  (|ue  ces  résistances  jouent  le 
même  rôle  que  dans  la  théorie  de  M.  du  Licomiès  et  ne  pourraient- 
elles  tendre  à  produire  la  dilTérentialion  a  l'encontre  du  principe 
de  Caunot ? 

Dans  la  théorie  de  M.  See,  les  planètes  ne  se  sont  pas  détachées 
du  Soleil,  non  plus  que  la  Lune  delà  Terre.  Tous  ces  astres  ont 
eu  de  tout  temps  une  existence  individuelle. 

Les  planètes  ont  été  captées  par  le  Soleil  et  la  Lune  par  la  Terre. 
Comment  s'est  faite  cette  capture  ?  Le  Soleil  était  autrefois  entouré 
d'une  atmosphère  ;  dès  qu'un  astre  vagabond  y  pénétrait,  il  éprou- 
vait une  résistance;  son  orbite,  d'aboril  hyperbolique  devenait 
elliptique  par  suite  de  la  diminution  de  vitesse  ;  puis  elle  se  rap- 
prochait de  la  forme  circulaire,  en  même  temps  que  son  rayon 
décroissait.  L'astre  ainsi  capté  aurait  fini  par  tomber  sur  le  Soleil, 
s'il  avait  continué  à  subir  la  résistance  de  l'atmosphère  solaire, 


HYPOTHESES    GOSMOGOMQUES 


mais  cette  atmosphère  absorbée  par  le  Soleil  est  devenue  de  plus 
en  plus  tenue  et  a  fini  un  jour  par  disparaître  ;  à  partir  de  ce  mo- 
ment les  orbites  des  planètes  n'ont  plus  varié.  Cette  théorie  rend 
bien  compte  de  la  faiblesse  des  excentricités,  mais  elle  n'explique 
pas  celle  des  inclinaisons. 

Il  ne  faudrait  pas  croire  que  si  notre  système  solaire  a  évolué 
dans  le  passé,  il  a  atteint  aujourd'hui  son  état  définitif;  que 
l'atmosphère  plus  ou  moins  ténue  dans  laquelle  nageaient  pour 
ainsi  dire  les  corps  célestes  ayant  été  résorbée  et  ayant  disparu, 
les  planètes,  désormais  séparées  les  unes  des  autres  par  le  vide, 
sont  ainsi  soustraites  à  une  résistance  passive.  Même  à  distance, 
ces  résistances  peuvent  entrer  en  jeu  ;  on  sait  qu'on  a  construit  des 
moteurs  qui  utilisent  la  puissance  des  marées;  ces  moteurs  ne 
peuvent  créer  de  l'énergie,  il  faut  qu'ils  l'empruntent  à  une  source 
quelconque,  et  cette  source  ne  peut  être  que  la  force  vive  des  corj^s 
célestes.  Si  l'homme  n'avait  pas  construit  de  moteurs,  l'énergie 
ainsi  empruntée  n'aurait  pas  été  utilisée,  elle  se  serait  perdue  inu- 
tilement en  frottements,  en  chocs  des  vagues  sur  les  côtes;  mais 
dans  un  cas  comme  dans  l'autre,  la  force  vive  des  astres  va  sans 
cesse  en  diminuant;  la  vitesse  de  rotation  de  la  Terre  diminue 
constamment,  mais  avec  une  extrême  lenteur;  cela  est  arrivé  beau- 
coup plus  rapidement  pour  la  Lune  et  le  processus  s'est  pour- 
suivi jusqu'à  ce  ({ue  la  durée  de  sa  rotation  soit  devenue  exacte- 
ment égale  à  celle  de  sa  révolution  ;  de  telle  sorte  que  notre  satellite 
nous  présente  toujours  la  même  face. 

Ce  phénomène  a  joué  dans  l'évolution  cosmogonique  un  rôle 
que  Sir  G.  II.  Darwin  a  bien  mis  en  évidence.  Deux  causes  ten- 
daient à  modifier  la  rotation  des  planètes  ;  l'action  des  marées  dont 
nous  venons  de  parler  tendait  à  la  ralentir  et,  plus  exactement,  à 
lui  donner  même  sens  et  même  durée  qu'à  la  révolution  de  l'astre- 
autour  du  Soleil  ;  d'autre  part,  le  refroidissement  et  la  contraction, 
en  diminuant  le  moment  d'inertie,  tendait  au  contraire  à  l'accé- 
lérer. La  première  de  ces  deux  causes  a  transformé  la  rotation  des- 
planètes primitivement  rétrograde  en  une  rotation  directe  de  même- 
durée  que  la  révolution   orbitale;  c'est   ensuite  que   la   seconde- 


cause,  devenue  prépondérante,  a  donné  à  ces  planètes  une  rotation 
qui  est  restée  directe,  mais  (|ui  est  devenue  beaucoup  plus  rapide. 

La  durée  du  jour  va  donc  sans  cesse  en  augmentant,  mais,  par 
une  sorte  de  réaction,  celle  du  mois  augmente  également,  la  Lune 
s'éloigne  constamment  de  la  Terre.  Au  moment  de  sa  formation, 
notre  satellite  touchait  pres(|ue  la  surface  de  notre  globe  ;  le  mois 
et  le  jour  avaient  même  tlurée,  cinci  ou  six  de  nos  heures  actuelles  ; 
en  revanche,  quand  de  longs  siècles  seront  écoulés,  le  mois  et  le 
jour  redeviendront  égaux  entre  eux,  à  peu  près  égaux  à  deux  de 
nos  mois  actuels,  et  la  Terre  présentera  toujours  la  même  face  à  la 
Lune,  comme  la  Lune  à  la  Terre. 

Toutes  ces  hypothèses,  si  divergentes  d'ailleurs,  ont  un  caractère 
commun  ;  ce  sont  des  théories  de  Mécanique  rationnelle,  d'Astro- 
nomie mathématique;  elles  font  peu  d'emprunts  aux  sciences 
physiques;  elles  sont  par  l;i  incomplètes.  Les  physiciens,  dont  l'in- 
tervention était  aussi  inévitable  qu'elle  était  désirable,  se  sont  sur- 
tout préoccupés  de  l'origine  de  la  chaleur  solaire.  Des  mesures 
précises  nous  ont  montré  l'étonnante  dépense  de  chaleur  (|ue  fait 
le  Soleil  a  chaque  seconde.  Quelles  ressources  a-t-il  (lui  lui  per- 
mettent une  telle  prodigalité?  Oii  a-t-il  pu  emmagasiner  une  pro- 
vision d'énergie  suflisante  pour  des  millions  d'années?  Lt  (luelle  a 
pu  être  l'origine  de  celte  provision?  On  a  pu  penser  d'abord  que 
cette  énergie  était  d'origine  chimique,  le  Soleil  brûlerait  comme 
un  gros  morceau  de  charbon  :  cette  hypothèse  n'est  pas  tenable  ; 
à  ce  compte,  le  Soleil  n'aurait  été  qu'un  feu  de  paille  éphémère,  à 
peine  capable  d'éclairer  les  hommes  pendant  la  durée  de  l'histoire. 

Et  alors  Lord  Ki:lvi.n  et  Helmholtz  ont  pensé  que  l'énergie  solaire 
pouvait  être  d'origine  mécani(|uo;  on  a  songé  d'abord  aux  météo- 
rites qui  tombent  comme  une  pluie  constante  à  sa  surface,  et  dont 
la  force  vive  est  constamment  détruite  el  transformée  en  chaleur. 
Cela  ne  suffisait  pas  encore  ;  mais  si  les  divers  matériaux  dont  est 
formé  le  Soleil  ont  été  autrefois  séparés  par  de  grandes  distances 
et  se  sont  ensuite  concentrés  sous  l'inlluence  de  l'attraction,  le 
travail  de  cette  attraction  a  dû  être  énorme;  s'il  s'est  transformé 
en  force' vive,  puis  en  chaleur,  nous  avons  une  provision  de  cha- 


HYPOTHESES    COSMOGONIQUES 


leur  dix  mille  fois  plus  grande  que  celle  que  donnerait  la  combus- 
tion d'un  globe  de  charbon  gros  comme  le  Soleil. 

La  nébuleuse  solaire  a  sans  doute  été  froide  au  début  et  elle 
s'est  échauffée  parce  qu'elle  se  contractait. 

Nous  voilà  bien  loin  de  la  nébuleuse  de  Laplack,  primitivement 
très  étendue  parce  qu'elle  était  très  chaude  et  qui  se  contractait 
parce  qu'elle  se  refroidissait.  On  est  ainsi  amené  à  se  demander 
comment  va  se  comporter  une  masse  gazeuse  soumise  à  la  gra- 
vitation; elle  ne  peut  perdre  de  la  chaleur  sans  se  refroidir,  ni  se 
refroidir  sans  se  contracter,  ni  se  contracter  sans  s'échauffer.  Que 
va-t-il  en  résulter  en  somme  'i  Sa  température  va-t-elle  s'élever 
bien  qu'elle  perde  de  la  chaleur  par  rayonnement,  comme  si  sa 
chaleur  spécifique  était  négative  ?  Ou  bien  enfin  allons-nous  avoir 
à  la  fois  contraction  et  refroidissement?  On  peut  donner  une  ré- 
ponse a  celte  question  s'il  s'agit  d'un  gaz  parfait:  s'il  est  mono- 
atomique ou  diatomique,  il  se  contractera  quand  il  perdra  de  la 
chaleur  par  rayonnement,  mais  sa  température  augmentera,  il  se 
comportera  comme  si  sa  chaleur  spécifique  était  négative;  au 
contraire,  il  se  contractera  en  se  refroidissant,  s'il  est  polyato- 
mique  ou  bien  encore  s'il  est  assez  condensé  pour  s'écarter  nota- 
blement des  lois  d'un  gaz  parfait. 

Quoi  qu'il  en  soit,  on  n'aura  ainsi  de  chaleur  que  pour 
5o  millions  d'années;  et  alors  les  transformistes  et  les  géologues 
ont  jeté  les  hauts  cris  :  «  Cinquante  millions  d'années,  qu'est-ce 
que  c'est  que  cela!  Comment  voulez-vous  qu'en  aussi  peu  de 
temps,  nous  fassions  évoluer  les  espèces,  que  nous  engloutissions 
des  continents  et  que  nous  en  fassions  surgir  de  nouveaux,  que 
nous  élevions  deux  chaînes  de  montagnes  pareilles  aux  Alpes, 
comme  les  chaînes  calédonienne  et  hercynienne  et  que  nous  les 
rasions  ensuite  par  le  lent  mécanisme  de  l'érosion  ':'  »  Ces  plaintes 
paraissent  légitimes,  et  il  faut  bien  200  millions  d'années  depuis 
le  début  du  dévonien  ;  mais  alors  d'où  vient  la  chaleur  solaire,  si 
son  origine  n'est  ni  mécanique,  ni  cliimi(|uc  au  sens  ordinaire  du 
mot?  La  question  paraissait  sans  réponse  quand  on  a  découvert  le 
radium.  Lui  seul   paraissait  capable  de  tout  expliquer;  tout  au 


moins  il  nous  montrait  qu'il  reste  bien  des  mystères  à  découvrir 
et  qu'il  ne  faut  pas  se  hâter  d'affirmer  ([u'un  phénomène  est  inex- 
plicable. 

La  théorie  de  Laplack,  comme  toutes  celles  que  nous  venons 
d'exposer,  ne  sort  pas  des  limites  du  système  solaire.  Lapla<:e  sans 
aucun  doute  ne  négligeait  pas  de  propos  délibéré  les  autres  sys- 
tèmes, mais  il  pensait  qu'ils  devaient  tous  être  plus  ou  moins 
semblables  au  nôtre  et  que  ce  qui  convenait  à  l'un  convenait 
aux  autres.  D'ailleurs  ils  lui  semblaient  séparés  par  de  trop 
grandes  distances  pour  pouvoir  réagir  les  uns  sur  les  autres.  Les 
progrès  de  l'astronomie  stellaire  ne  nous  permettent  plus  de 
nous  attarder  à  ce  point  de  vue  ;  le  télescope  nous  révèle  dans  le 
ciel  étoile  une  variété  beaucoup  plus  riche  que  tout  ce  qu'on 
aurait  pu  attendre.  Nous  avons  d'abord  les  étoiles  doubles,  qui 
sont  loin  d'être  des  exceptions;  on  peut  estimer  que  sur  trois 
étoiles  il  v  a  pour  le  iiKinis  une  étoile  double.  Parfois  les  deux 
composantes  sont  faciles  à  séparer,  parfois  aussi  elles  se  touchent 
presque  et,  si  l'une  d'elles  est  peu  lumineuse,  des  éclipses  pério- 
diques se  traduisent  pour  nous  par  des  variations  d'éclat.  C'est 
alors  la  spectroscopie  ou  la  photométrie  qui  nous  apprennent  qu3 
nous  avons  affaire  à  un  système  double  et  qui  nous  permettent 
d'en  déterminer  l'orbite.  Est-il  possible  que  le  même  mécanisme 
ait  pu  donner  naissance  à  un  système  comme  le  notre  où  un  corps 
central  a  absorbé  la  presque  totalité  de  la  masse  et  oii  des  planètes 
minuscules  sont  séparées  par  des  distances  énormes  ;  et  à  un  de 
ces  systèmes  singuliers  oii  la  masse  est  à  peu  près  également  par- 
tagée entre  deux  ou  trois  composantes  et  où,  dans  certains  cas,  les 
distances  des  astres  sont  comparables  à  leurs  dimensions? 

A  ces  systèmes  doubles,  la  théorie  de  Laplace  n'est  évidemment 
pas  applicable  (et  d'ailleurs  les  excentricités  ne  sont  généralement 
pas  très  petites)  ;  mais  on  peut  imaginer  d'autres  hypothèses; 
considérons  une  nébuleuse  en  rotation  comme  celle  de  Laplace, 
mais  qui  en  diffère  parce  que  sa  masse,  au  lieu  d'être  concentrée 
presque  tout  entière  dans  un  noyau  central,  est  à  peu  près  uni- 
formément répartie.  En  se  refroidissant,  elle  se  contractera  et  sa 


HYPOTIIi;sES    COSMOr,O.NK)LKS 


rotation  va  s'accélérer;  elle  s'aplatira  de  plus  en  plus;  quanti 
l'aplatissement  aura  dépassé  une  certaine  limite,  elle  s'allongera 
dans  un  sens  de  façon  à  présenter  trois  axes  inégaux  ;  c'est  la 
figure  que,  dans  le  cas  d'homogénéité  parfaite,  on  appelle  un 
ellipsoïde  de  Jacobi;  plus  tard  encore  cette  ligure  s'étranglera  dans 
sa  partie  médiane  et  finira  par  se  diviser  en  deux  masses,  inégales 
sans  doute,  mais  comparables.  11  est  possible  que  ce  soit  là  l'ori- 
gine des  étoiles  doubles;  mais  sans  sortir  de  notre  système  solaire, 
il  est  possible  que  ce  soit  également  celle  de  la  Lune.  Ce  satellite 
est  plus  petit  que  la  Terre,  mais  le  rapport  des  masses  est  loin 
d'être  aussi  faible  que  pour  les  satellites  de  Jupiter,  de  Saturne, 
ou  même  de  Mars. 

Ce  n'est  pas  tout  :  les  étoiles  simples  elles-mêmes  ne  sont  pas 
toutes  pareilles  entre  elles  ;  le  spectroscope  nous  a  montré  combien 
elles  diffèrent,  et  il  est  assez  naturel  de  supposer  qu'elles  difTèrent 
surtout  par   l'Age   et  que   les  dilTérenls  types  spectraux  corres- 
pondent à  différents  types  de  l'évolution.  Si  même  elles  se  sont 
toutes  formées  en  même  temps,  il  peut  y  avoir  bien  des  raisons 
pour  lesquelles  certaines  d'entre  elles  ont  vieilli  plus  vile  que  les 
autres.  D'autres  objets  sollicitent  encore  l'attention  de  l'astronome  ; 
il  y  a  d'abord  les  amasstellaires,  puis  les  nébuleuses  dont  les  unes 
sont  résolubles,  tandis  que  les  autres  montrent  par  leur  spectre 
qu'elles  sont  entièrement  formées  d'un  gaz  très  subtil.  Ces  nébu- 
leuses présentent  les  formes  les  plus  variées,  disques,  anneaux,, 
spirales  ou  amas  irréguliers.  Les  premiers  qui  les  ont  examinées 
avec  quelque  soin  ont  été  naturellement  conduits  à  les  assimiler  à 
la  nébuleuse  de  Laplace,  ou  à  celles  des  théories  rivales  qui  ad- 
mettent toutes  le  même  point  de  départ.  Ces  nébuleuses  sont-elles 
de  futures  étoiles  ou  de  futurs  amas  d'étoiles;  on  était  d'abord 
invinciblement   porté  à  le  penser;  on  en  est  bien  moins  sur  au- 
jourd'hui. 

Il  semble  que  nous  avons  sous  les  yeux  des  objets  qu'il  suffit 
de  comparer  pour  reconstruire  tout  le  passé  des  astres,  comme  le 
naturaliste  qui  a  dans  le  champ  de  son  microscope  des  cellules 
présentant  toutes  les  phases  de  la  division  cellulaire,  et  (|ui  peut 


reconsliluer  à  coup  sûr  toute  l'iiisloire  de  cette  division,  bien  (|ue 
ces  cellules  soient  désormais  fixées  et  inertes. 

La  cosmogonie  va-t-clle  donc  sortir  de  l'àgc  des  Inpothèses  et 
de  l'imagination  pour  devenir  une  science  expérimentale,  ou  tout 
au  moins  une  science  d'observation?  Bien  mieux,  de  temps  en 
temps  nous  voyons  naître  une  étoile,  qui  s'allume  inopinément 
dans  le  Ciel,  pour  diminuer  promptement  d'éclat  et  prendre  un 
spectre  qui  rappelle  celui  des  nébuleuses  planétaires;  de  sorte 
qu'on  n'a  jamais  vu  une  nébuleuse  se  transformer  en  étoile  comme 
le  voulait  Laplack  '),  et  que,  au  contraire,  on  a  vu  souvent  une 
étoile  se  transformer  en  nébuleuse.  La  nature  n'est-elle  pas  là 
surprise  en  flagrant  délit  dans  sa  fonction  créatrice? 

11  ne  faut  pas  pourtant  se  leurrer  de  vaines  illusions  ;  de  trop 
grandes  espérances  seraient  au  moins  prématurées.  Et  ce  qui  le 
prouve,  c'est  la  diversité  des  opinions  des  astronomes  sur  l'évo- 
lution des  étoiles,  et  en  particulier  sur  l'origine  des  étoiles  nou- 
velles. La  première  pensée,  la  plus  naturelle,  a  été  que  les  nébu- 
leuses sont  extrêmement  chaudes  et  représentent  la  première 
phase  de  révolution,  et  pour  ainsi  dire  l'enfance  des  astres,  et 
qu'on  rencontre  ensuite  les  étoiles  blanches,  puis  les  étoiles  jaunes 
et  enfin  les  étoiles  rouges  de  plus  en  plus  vieilles  et  en  même 
temps  de  plus  en  plus  froides.  Pour  Sir  N.  Lockver,  l'histoire  du 
monde  stellaire  a  été  plus  compliquée;  les  nébuleuses,  sont  au 
contraire  très  froides  (et  sur  ce  point  je  crois  que  tout  le  monde 
est  aujourd'hui  d'accord  et  qu'on  regarde  la  lumière  dont  elles 
brillent  comme  d'origine  électri(jue).  Elles  ne  sont  en  réalité  qu'un 
essaim  de  météorites  ;  par  leurs  chocs  incessants,  ces  météorites 
s'échaufTent,  se  vaporisent  et  forment  finalement  une  masse 
gazeuse  extrêmement  chaude,  en  un  mot  une  étoile  :  les  chocs 
ont  alors  cessé  et  le  calme  renaît;  par  l'effet  du  rayonnement, 
l'étoile  se  refroidit  peu  à  peu  et  finit  par  s'éteindre  et  s'encroûter  ; 
elle  repasse  dans  l'ordre  inverse  par  les  stades  de  température 

(^)  Il  ne  faut  pas  tirer  de  là  un  argument  contre  la  théorie  de  Laplace. 
l'illustre  astronome  n'ayant  jamais  prétendu  qu'une  nébuleuse  devait  se 
transformer  en  étoile  en  quelques  jours  ou  en  quelques  mois. 


HYPOTHESES    COSMOGOMQUES 


qu'elle  a  parcourus  dans  son  ascension,  de  sorte  que  le  cycle 
complet  sera  :  nébuleuse,  étoile  rouge,  étoile  jaune,  étoile  blanche, 
étoile  jaune,  étoile  rouge,  étoile  éteinte.  Les  étoiles  de  la  série 
ascendante  sont  néanmoins  bien  différentes  des  étoiles  correspon- 
dantes de  la  série  descendante  ;  toute  la  masse  des  premières  est 
brassée  par  de  violents  courants  de  convection  ;  les  météorites 
n'ont  pas  encore  entièrement  disparu  et  leurs  chocs  entretiennent 
l'agitation;  les  secondes  jouissent  d'un  calme  relatif;  Sir  N. 
LocKYER  croit  pouvoir  distinguer  cette  différence  par  l'étude  de 
leurs  spectres. 

Les  NovcH,  depuis  l'époque  de  Ticho-Buahé,  ont  surexcité  l'ima- 
gination des  astronomes.  Leur  apparition  est  brusque  et  a  les 
allures  d'un  cataclysme.  Est-ce  une  éruption  qui  serait  en  grand 
analogue  à  celles  qui  produisent  les  protéburances  solaires?  On  a 
mieux  aimé  recourir  à  l'hypothèse  d'un  choc,  et  c'est  en  effet 
l'idée  que  l'aspect  de  ces  phénomènes  nous  suggère  irrésistible- 
ment. Mais  il  y  a  bien  des  façons  de  comprendre  les  circonstances 
et  les  effets  d'un  choc.  Sont-ce  deux  corps  solides  qui  s'échauffent 
subitement  dès  que  leur  rencontre  a  détruit  leur  force  vive?  Est-ce 
un  corps  solide  énorme,  ou  une  étoile  peu  brillante,  ou  encore  un 
essaim  de  météorites  qui  pénètre  dans  une  nébuleuse  et  qui  doit 
son  incandescence  au  frottement?  Ou  bien  encore,  comme  le  veut 
Arrhemus,  les  soleils  encroûtés  ne  conservent-ils  pas  dans  leurs 
ilancs  une  provision  d'énergie  énorme,  sous  forme  radioactive  par 
exemple?  Cette  provision  qui  demeure  inutilisée  et  comme  latente, 
tant  qu'elle  reste  emprisonnée  dans  la  croûte,  ne  peut-elle  être 
libérée  subitement,  si  un  choc  vient  à  briser  cette  croûte  ?  Elle  se 
dépense  alors  en  peu  de  temps  ;  de  sorte  que  le  choc  produirait 
de  la  chaleur,  non  comme  quand  une  balle  a  frappé  une  cuirasse 
(ju'elle  n'a  pu  traverser  et  qu'elle  retombe  toute  rougie  sur  le  sol  ; 
mais  comme  quand  la  fusée  d'un  obus  chargé  de  matières  explo- 
sives détone  à  la  rencontre  d'un  obstacle.  Il  est  certain  que  les 
NovcC  se  montrent  souvent  entourées  de  nébulosités  ;  mais  ces 
nébulosités  sont-elles  la  cause  ou  l'effet  du  phénomène  ;  est-ce 
parce  que  l'étoile  les  a  rencontrées  qu'elle  est  subitement  devenue 


brillante;  ou  est-ce  quehjue  {l«'n'hel  (lu'i^Ile  rejette  de  son  sein  et 
comme  la  fumée  de  l'explosion.  De  tout  cela  nous  ne  savons 
rien. 

Le  mystère  s'accroît  (|uan(l  au  lieu  de  considérer  tdiaijue  étoile 
en  particulier,  on  en  envisage  l'ensemble  et  (ju'on  réiléchit  sur 
leurs  mutuels  rapports.  Les  «'toiles  ont-elles  piis  naissance  en 
même  temps,  ou  s'allument-elles  successivement,  pendant  (pie 
d'autres  s'éteignent?  Si  elles  ont  même  date  île  naissance,  les  unes 
ont-elles  vieilli  plus  vite  que  les  autres,  et  est-ce  pour  celte  raison 
qu'elles  sont  aujourd'hui  dilVérentes?  Mais  alors  à  côté  des  étoiles 
brillantes,  n'y  a-l-il  pas,  en  beaucoup  plus  grand  nombre,  des 
étoiles  éteintes  dont  la  masse  inutile  encond)re  les  cieux?  Comment 
pouvons-nous  le  savoir  '(  Peut-être  les  considérations  suivantes, 
dont  la  première  idée  est  due  à  Lord  Ki:i.vi.\,  peuvent-elles  aider  à 
résoudre  la  question.  La  Voie  Lactée  est  formée  d'étoiles  fort  nom- 
breuses, s'attirant  mutuellement  et  se  mouvant  dans  tous  les  sens; 
elle  nous  olfre  donc  l'imaiic  d'un  gaz,  dont  les  molécules  s'attirent 
et  sont  animées  de  vitesses  dans  les  directions  les  plus  diverses  ; 
chaque  étoile  joue  ainsi  le  rôle  d'une  molécule  gazeuse.  Cette  assi- 
milation semble  légitime  et  l'on  peut  songer  à  étendre  à  l'univers 
stellaire  les  résultats  de  la  théorie  cinétique  des  gaz.  Un  gaz  sou- 
mis à  l'attraction  ne\vtonienne  prendra  au  bout  de  peu  de  temps 
un  état  d'équilibre  adiabatique  ou  les  vitesses  moléculaires  obéiront 
à  la  loi  de  Maxwell  et  où  la  température  croîtra  vers  le  centre;  la 
température  centrale  dépendra  de  la  masse  totale  du  gaz  et  de  son 
volume  total.  Cette  température  est  mesurée  par  les  vitesses  molé- 
culaires. Appli([uons  ces  principes  à  la  Voie  Lactée  ;  les  vitesses 
stellaires  que  nous  observons  appartiennent  aux  astres  voisins  de 
nous  et  par  conséquent  du  centre  de  la  Voie  Lactée  :  elles  corres- 
pondent donc  à  la  «  température  centrale  »,  et  elles  peuvent  nous 
renseigner  sur  les  dimensions  et  sur  la  masse  totale  de  cette  agglo- 
mération détoiles  assimilée  à  une  énorme  bulle  gazeuse.  On 
trouve  ainsi  que  le  télescope  en  a  presque  atteint  les  limites 
extrêmes,  et  qu'il  doit  y  avoir  peu  d'étoiles  obscures;  si  en  effet 
il  y  en  avait  beaucoup  plus  que  d'astres  brillants,  elles  concour- 


HYPOTHESES    COSMOGOMQUES 


raient  à  l'atlraclion  totale  et  les  mouvements  propres  des  étoiles 
seraient  beaucoup  plus  grands  que  ceux  qu'on  a  observés. 

Cela  paraît  reposer  sur  des  raisonnements  irréfutables;  si  la 
Voie  Lactée  a  atteint  l'état  stable  vers  lerjuel  elle  tend  nécessaire- 
ment, tout  ce  que  nous  venons  de  dire  est  vrai,  et  les  mouvements 
propres  doivent  être  répartis  conformément  à  la  loi  de  Maxwell. 
Le  sont-ils?  l'observation  seule  peut  répondre;  or  il  paraît  bien 
qu'elle  répond,  non.  D'après  Kapteyn  et  d'autres  astronomes  tout 
se  passe  comme  si  on  se  trouvait  en  présence  de  deux  essaims 
d'étoiles,  obéissant  séparément  à  la  loi  de  Maxwell,  mais  avec  des 
constantes  dijfèrentes  ;  ces  deux  essaims  se  pénètrent  d'ailleurs 
nmtuellement  et  ne  sont  pas  séparés.  Il  semble  que  deux  voies 
lactées  qui  avaient  atteint  leur  état  d'équilibre  final  se  sont  un  jour 
rencontrées,  et  n'ont  pas  encore  exercé  l'une  sur  l'autre  une  action 
assez  prolongée  pour  que  les  difterences  qui  les  distinguent  se 
soient  entièrement  nivelées.  Elles  sont  semblables  à  deux  bulles 
gazeuses  qui  se  seraient  rencontrées,  mais  n'auraient  pas  encore 
eu  le  temps  de  se  mélanger.  Nous  retrouvons  ainsi,  sous  une  forme 
nouvelle  et  inattendue,  cette  intervention  du  clioc,  dont  l'impor- 
tance cosmogonique  a  été  mise  en  évidence  par  l'étude  des  Novœ, 
et  que  nous  retrouvons  à  la  base  de  certaines  théories,  telles  que 
celle  de  M.  Belot. 

Si  néanmoins  les  conclusions  de  Lord  Kelvln  subsistent  dans 
leurs  traits  généraux,  et  si  le  nombre  des  étoiles  éteintes  n'est  pas 
énorme,  nous  devons  penser  que  tous  les  llambeaux  de  notre  ciel 
se  sont  allumés  à  peu  près  en  même  temps  et  que  l'âge  de  la  Voie 
Lactée  ne  dépasse  pas  un  petit  nombre  de  vies  d'étoiles. 

L'une  des  théories  cosmogoniques  les  plus  récentes,  et  à  coup 
sur  l'une  des  plus  originales,  est  celle  de  M.  Svame  Aurhenujs. 
Pour  lui,  les  astres  ne  sont  pas,  comme  on  le  pense  d'ordinaire, 
des  individus  à  peu  près  étrangers  les  uns  aux  autres,  séparés  par 
des  vides  immenses  et  n'échangeant  guère  que  leurs  attractions  et 
leur  lumière  ;  ils  échangent  bien  d'autres  choses,  de  l'électricité, 
de  la  matière  et  jusqu'à  des  germes  vivants.  La  pression  de  radia- 
tion est  une  force  qui  émane  des  corps  lumineux  et  (jui  repousse 


les  corps  légers,  c'est  elle  qui  forme  les  queues  des  comètes  dont 
la  matière  très  ténue  est  repousséc  par  la  lumière  du  Soleil.  C'est 
elle  aussi  (|ui,  d'après  M.   Aiu!iii;mi  s.  chasserait  du  Soleil  de  très 
petites  particules,  et  les  pousserait  jusque  sur  la  Terre,  jusqu'aux 
planètes  et  jusqu'aux  lointaines  nébuleuses,  (les  particules  Uniraient 
par  s'agglutiner  en  formant  les  météorites;  et  ces  météorites,  péné- 
trant dans  la  masse  des  nébuleuses,  deviendraient  des  centres  de 
condensation  autour  desquels  la  matière  commencerait  ;i  se  con- 
centrer;  nous  retrouvons  ensuite  toute  l'histoire  des  étoiles,  leur 
naissance  presque  obscure,  leur  splendeur,  leur  décadence  abou- 
tissant à  l'encroûtement  final.  Cet  encroûtement  ne  serait  pas  tou- 
tefois la  mort  définitive;  mais  seulement  le  début  d'une  longue 
période  de  vie  latente,  obscure  et  silencieuse  juscpiau  jour  où  un 
choc  libérerait  brusquement  cette  énergie  endormie.  L'explosion 
qui  en  résulterait  donnerait  naissance  à  une  nébuleuse  et  le  cycle 
recommencerait. 

La  vie  latente  doit  être  beaucoup  plus  longue  que  la  vie  bril- 
lante; d'où  il  suit  (|u'il  doit  y  avoir  beaucoup  plus  d'étoiles 
obscures  que  d'étoiles  visibles,  contrairement  aux  vues  de  Lord 
Kelvin. 

Pour  M.  AuuiiR.Mis.  le  monde  est  infini  et  les  astres  y  sont  dis- 
tribués d'une  façon  sensiblement  uniforme;  si  nos  télescopes  sem- 
blent assigner  des  limites  à  l'Univers,  c'est  parce  qu'ils  sont  trop 
faibles,  et  c|ue  la  lumière  qui  nous  vient  des  soleils  les  plus  éloi- 
gnés est  absorbée  en  route.  On  a  fait  ;i  celte  hypothèse  une  double 
objection.  D'une  part,  si  la  densité  des  étoiles  est  constante  dans 
tout  l'espace,  leur  lumière  totalisée  devrait  donner  au  Ciel  entier 
l'éclat  même  du  Soleil.  Cela  serait  vrai  si  le  vide  interstellaire 
laissait  passer  toute  la  lumière  qui  le  traverse  sans  en  rien  garder, 
de  sorte  que  l'éclat  apparent  d'un  astre  varierait  en  raison  inverse 
du  carré  de  la  distance.  Il  suffit,  pour  échapper  à  cette  dilliculté, 
de  supposer  que  le  milieu  qui  sépare  les  étoiles  est  absorbant;  il 
peut  d'ailleurs  l'être  très  peu.  L'autre  objection,  c'est  que  l'attrac- 
tion newtonienne  serait  inlinie  ou  indéterminée  ;  pour  nous  tirer 
d'afl'aire,  il  nous  faut  alors  supposer  que  la  loi  de  >>.wt().\  n'est  pas 

PoiNCARK. 


HYPOTHKSES    COSMOGOMOUES 


rigoureusement  exacte,  et  que  la  gravitation  subit  une  sorte  d'ab- 
sorption, se  traduisant  par  un  facteur  exceptionnel.  Si  on  consent 
à  faire  cette  hypothèse,  les  conclusions  de  Lord  Kelvix  ne  s'im- 
posent plus,  car  nous  les  avons  établies  en  partant  de  la  loi  de 
Newton  ;  la  Voie  Lactée  ne  serait  plus  assimilable  à  une  bulle  ga- 
zeuse dont  la  densité  et  la  température  augmente  vers  le  centre, 
mais  à  ce  que  nous  pouvons  voir  d'une  masse  gazeuse  indéfinie 
et  homogène,  de  densité  et  de  température  uniforme. 

Ce  n'est  pas  tout  :  le  monde  de  M.  Arrhemus  n'est  pas  seulement 
infini  dans  l'espace,  mais  il  est  éternel  dans  le  temps  ;  c'est  sur- 
tout ici  que  ses  vues  sont  géniales  et  qu'elles  nous  apparaissent 
Gomme  suggestives,  quelques  objections  qu'elles  soulèvent  d'ail- 
leurs. L'Univers  est  comme  une  vaste  machine  thermique,  fonc- 
tionnant entre  une  source  chaude  et  une  source  froide;  la  source 
chaude  est  représentée  par  les  Étoiles  et  la  source  froide  par  les 
nébuleuses.  Mais  nos  machines  thermiques  ne  tarderaient  pas  à 
s'arrêter,  si  on  ne  leur  fournissait  sans  cesse  de  nouveaux  com- 
bustibles ;  abandonnées  à  elles-mêmes,  les  deux  sources  s'épuise- 
raient^, c'est-à-dire  que  leurs  températures  s'égaliseraient  et  fini- 
raient par  se  mettre  en  équilibre.  C'est  là  ce  qu'exige  le  principe 
de  CAR>ioT.  Et  ce  principe  lui-même  est  une  conséquence  des  lois 
de  la  Mécanique  statistique.  C'est  parce  que  les  molécules  sont  très 
nombreuses  qu'elles  tendent  à  se  mélanger  et  à  ne  plus  obéir 
qu'aux  lois  du  hasard.  Pour  revenir  en  arrière,  il  faudrait  les 
démêler,  détruire  le  mélange  une  fois  fait;  et  cela  semble  impos- 
sible ;  il  faudrait  pour  cela  le  démon  de  Maxwell,  c'est-à-dire  un 
être  très  délié  et  très  intelligent,  capable  de  trier  des  objets  aussi 
petits. 

Pour  q,ue  le  monde  pût  recommencer  indéfiniment,  il  faudrait 
donc  une  sorte  de  démon  de  Maxwell  automatique.  Ce  démon, 
M,  Arrhemus  croit  l'avoir  trouvé.  Les  nébuleuses  sont  très  froides, 
mais  très  peu  denses,,  très  peu  capables  par  conséquent  de  retenir 
par  leur  attraction  les  corps  en  mouvement  qui  tendent  à  en  sortir. 
Les  molécules  gazeuses  sont  animées  de  vitesses  diverses,  et  plus 
les  vitesses  sont  grandes  en  moijcnne  plus  le  gaz  est  chaud.  Le 


rôle  du  démon  de  Max\vei.l,  sil  voulait  refroidir  une  enceinte, 
serait  de  trier  les  molécules  chaudes,  c'est-à-dire  celles  dont  la  vi- 
tesse est  grande  et  de  les  expulser  de  l'enceinte,  où  ne  resteraient 
que  les  molécules  froides.  (3r,  les  molécules  qui  ont  le  pluç  de 
chances  de  s'échapper  de  la  nébuleuse,  sans  y  être  retenues  par  la 
gravitation,  ce  sont  précisément  les  molécules  à  grande  vitesse,  les 
molécules  chaudes;  les  autres  restant  seules,  la  néhuleuso  pourra 
rester  IVoide  tout  en  recevant  de  la  chaleur. 

On  peut  tenter  de  se  placer  à  d'autres  points  de  vue,  de  dire 
par  exemple  qu'ici  la  véritable  source  froide,  c'est  le  vide  avec  la 
température  du  zéro  absolu  et  qu'alors  le  rendement  du  cycle  de 
C.vuNOT  est  égal  à  1.  D'autre  part,  ce  qui  distingue  la  chaleur  de  la 
force  vive  mécanique,  c'est  que  les  corps  chauds  sont  formés  de 
molécules  nombreuses  dont  les  vitesses  ont  des  directions  diverses, 
tandis  que  les  vitesses  qui  produisent  la  force  vive  mécanique  ont 
une  direction  uni(|ue;  réunies,  les  molécules  gazeuses  forment  un 
gaz  ([ui  peut  être  froid  et  dont  le  contact  refroidit;  isolées,  au  con- 
traire, elles  seraient  des  projectiles  dont  le  choc  réchaufferait.  Or, 
dans  le  vide  interplanétaire,  elles  sont  séparées  par  d'énormes 
distances  et  pour  ainsi  dire  isolées  ;  leur  énergie  s'élèverait  donc 
en  dignité,  elle  cesserait  d'être  de  la  simple  «  Chaleur  »  pour  être 
promue  au  rang  de  «  Travail  ». 

Bien  des  doutes  subsistent  toutefois  ;  le  vide  ne  va-t-il  pas  se 
combler,  si  le  monde  est  infini;  et,  s'il  ne  l'est  pas,  sa  matière 
en  s'échappant,  ne  va-t-elle  pas  s'évaporer  jusqu'à  ce  qu'il  ne  reste 
rien?  De  toutes  manières,  nous  devrions  renoncer  au  rêve  du 
«  Retour  éternel  «  et  de  la  perpétuelle  renaissance  des  mondes  ;  il 
semble  donc  que  la  solution  de  M.  Akrhkmus  est  encore  insuf- 
sante;  ce  n'est  pas  assez  de  mettre  un  démon  dans  la  source  froide, 
il  en  faudrait  encore  un  dans  la  source  chaude. 

Après  cet  exposé,  on  attend  sans  doute  de  moi  une  conclusion, 
et  c'est  cela  qui  m'embarrasse.  Plus  on  étudie  cette  question  de 
l'origine  des  astres,  moins  on  est  pressé  de  conclure.  Chacune  des 
théories  proposées  est  séduisante  par  certains  côtés.  Les  unes 
donnent  d'une  la(;on    très  satisfaisante  l'explication  d'un  certain 


HÏPOTlIbSES    COSMOGOMQLES 


nombre  de  faits;  les  autres  embrassent  davantage,  mais  les  expli- 
cations perdent  en  précision  ce  qu'elles  gagnent  en  étendue;  ou 
bien,  au  contraire,  elles  nous  donnent  une  précision  trop  grande, 
mais  qui  n'est  qu'illusoire  et  qui  sent  le  coup  de  pouce. 

S'il  n'y  avait  que  le  système  solaire,  je  n'hésiterais  pas  à  pré- 
férer la  vieille  hypothèse  de  Laim.aci:;  il  y  a  très  peu  de  choses  à 
faire  pour  la  remettre  à  neuf.  Mais  la  variété  des  systèmes  stellaires 
nous  oblige  à  élargir  nos  cadres,  de  sorte  que  l'hypothèse  de 
Laplack,  si  elle  ne  doit  pas  être  entièrement  abandonnée,  devrait 
être  modifiée  de  façon  à  n'être  plus  (ju'une  forme,  adaptée  spécia- 
lement au  système  solaire,  d'une  hypothèse  plus  générale  qui 
conviendrait  à  l'Univers  tout  entier  et  qui  nous  expliquerait  à  la 
fois  les  destins  divers  des  Etoiles,  et  comment  chacune  d'elles  s'est 
fait  sa  place  dans  le  grand  tout. 

Or,  sur  ce  point,   les  données  sont  insuflisantes  et  nous  avons 
encore  beaucoup  à  attendre  de  l'observation.  Les  deux  courants 
d'étoiles  de  Kaptkv.n  existent-ils  et  y  en  a-t-il  d'autres  ?  Que  sont 
les  nébuleuses  et  en  particulier  les  nébuleuses  spirales  ?  Sont-elles 
à  des  distances  énormes,  en  dehors  de  la  Voie  Lactée,  et  sont-elles 
elles-mêmes  des  voies  lactées  vues  de  loin?  Ou  bien,  malgré  la 
nature  de  leur  spectre,  sont-elles  incapables  d'être  assimilées  a  des 
amas  de  vraies  étoiles;  devons-nous  accepter  la  mesure  de  Boulin 
au  sujet  de  la  parallaxe  de  la  nébuleuse  d'Andromède  et  la  conclu- 
sion que  See  en  tire,  et  qui  nous  représenterait  cet  objet  céleste 
comme  formé  de  soleils  sans  doute,  mais  de  soleils  gros  comme 
les  astéroïdes  qui  circulent  entre  Mars  et  Jupiter?  Est-il  possible 
d'admettre  que  notre  système  solaire  soit  sorti  d'une  des  espèces 
de  nébuleuses  que  nous  connaissons,  par  exemple  des  nébuleuses 
spirales,  ou  planétaires,  ou  annulaires  ?  Voilà  une  question  à  laquelle 
on  ne  pourra  tenter  de  répondre  que  quand  on  connaîtra  mieux  la 
nature,    la   distance  et  par   conséquent  les    dimensions   de    ces 
corps. 

Un  fait  qui  frappe  tout  le  monde,  c'est  la  forme  spirale  de  cer- 
taines nébuleuses;  elle  se  rencontre  beaucoup  trop  souvent  pour 
(ju'on  puisse  penser  qu'elle  est  due   au   hasard.    On  comprend 


combien  esl  iiicomplelo  toute  théorie  cosmogoiii(|ue  (|ui  en  lail 
abstraction.  Or,  aucune  d'elles  n'en  rend  compte  d'une  manière  satis- 
faisante et  l'explication  (|ue  j'ai  ilonnée  moi-même  un  jjur,  par 
manière  de  passe-temps,  ne  vaut  pas  mieux  que  les  autres.  Nous 
ne  pouvons  donc  terminer  (|uc  par  un  point  d'interrogation. 


llvMll     PolNCAUi:. 


•  LEÇONS 


SI  IV 


LES  HYPOTHÈSES  COSMOGOMOUES 


CHAPITRE  I. 

HYPOTHÈSE    DE   KANT. 


1.  Emmanuel  K.wt  a  exposé  ses  idées  sur  la  conslilulion  et  l'ori- 
gine de  l'Lnivcrs  dans  un  Ouvrage  publié  en  17Ô5  sous  le  titre 
Albjemcinc  ISatunjeschichle  iiivl  Tlworie  des  llimnicls  {'),  et  il  les  a 
reproduites  en  ijGo  dans  un  autre  écrit  :  Der  ein:i<j  miUjUclic  lieweis- 
fjnuul  zu  eincr  Dcmonslration  des  Daseins  Galles.  Nous  empruntons 
au  Livre  de  II.  Fate  :  SurrOn'fjine  du  Monde  Paris,  riauthier-Villars, 
'r  édit.,  1907,  p.  i3i  et  suiv.  la  traduction  de  quelques  [)assages 
du  grand  philosophe  allemand. 

((  Les  conditions  mécaniques  du  système  planétaire  dont  toutes  les 
parties  tournent  dans  le  même  sens  autour  du  Soleil,  dans  des  cercles 
couchés  à  peu  près  sur  le  même  plan  de  son  équateur,  ont  frappé  tous 
les  chercheurs.  Tous  se  sont  accordés  à  y  voir  TeHet  d'un  mouvement 
d'ensemble  déterminé  par  quelque  cause  naturelle.  De  là,  les  tour- 
billons de  Descartes  qui  ont  conservé  des  adhérents  longtemps  après 
que  Neavton  eut  prouvé  qu'il  n'y  avait  au  ciel  rien  de  semblable,  et 
que  les  queues  des  comètes  traversaient  ces  prétendus  tourbillons  sans 
s'y  laisser  dévier.  »  (p.   i32.) 

Ainsi,  Descartes  avait  rempli  l'espace  de  ses  tourbillons,  tandis 
que  Neanto.n  avait  montré  qu'il  est  vide  de  toute  matière  pondérable. 
Kaxt  cherchera  alors  à  expliquer  les  particularités  du  système  pla- 

(')  On  Irouvora  la  traJuclion  complète  de  cet  Ouvrage  à  la  fin  du  Livre  de 
C.  WoLK  :  Les  llYpollièses  cosinotjoniqucs    Pari},  Gaulhier-Villar»,  1886^. 

PonCABÉ.  I 


IIYPOTHKSES    COSMO(;OMni  ES 


né'aiic,  en  supposant  que  l'espace,  acliiellenient  vide,  ne  l'a  pas  tou- 
jours été.  Il  admet  qu'à  l'origine  la  matière  qui  compose  les  astres 
était  répandue  dans  tout  l'espace,  où  elle  lorniait  une  sorte  de  chaos 
nébnlaire  uniforme  dont  les  particules  s'attiraient  mutuellement  sui- 
vant la  loi  de  Newton.  Cet  état  d'uniformité  serait  instable,  tout 
centre  de  condensation,  si  petit  qu'il  soit,  devenant  immédiatement 
centre  d'attraction. 

Donc,  d'après  Kant,  l'uniformité  doit  engendrer  la  diversité,  l'ho- 
mogène doit  produire  l'hétérogène;  —  c'est  là  un  point  que  nous 
étudierons  et  discuterons  plus  loin  en  détail  (*)  —  disons  seulement 
dès  maintenant  qu'E.MMAivLEL  K.v?iT  n'est  pas  en  contradiction,  mal- 
gré les  apparences,  avec  le  second  princi[)e  de  la  Thermodynamique, 
qu'on  énonce  parfois  de  cette  façon  un  peu  vague  :  l'état  final  des 
systèmes  est  l'homogénéité. 

C'est  un  peu  [)lus  loin  que  Ka>t  se  met  en  opposition  absolue  avec 
les  principes  de  la  Mécanique  : 

«  yUlmettons  donc,  dit-il,  qu'à  l'origine  la  matière  du  Soleil  et  des 
planètes  ait  été  répandue  dans  tout  cet  espace,  et  qu'il  se  soit  trouvé 
quelque  part,  là  oi"i  le  Soleil  s'est  clïectivement  formé,  une  légère 
})répondérance  de  densité  et  par  suite  d'attraction.  Aussitôt  une  ten- 
dance générale  s'est  prononcée  vers  ce  point,  les  matériaux  y  ont 
alllué  et,  peu  à  peu,  cette  masse  première  a  grandi.  Bien  que  des  maté- 
riaux de  densités  dilïérentes  se  trouvassent  partout,  cependant  les  plus 
lourds  ont  dû  particulièrement  se  presser  dans  cette  région  centrale  ; 
car,  seuls,  ils  ont  réussi  à  pénétrer  à  travers  ce  chaos  de  matériaux 
plus  légers,  et  à  s'approcher  du  centre  de  la  gravitation  générale.  Or, 
dans  les  mouvements  qui  devaient  résulter  de  la  chute  inégale  de  ces 
corps,  les  résistances  produites  entre  les  particules  se  gênant  les  unes 
les  autres  n'ont  pu  être  si  parfaitement  les  mêmes  en  tout  sens,  qu'il 
n'en  soit  résulté,  çà  et  là,  des  déviations  latérales.  En  pareil  cas  s'ap- 
plique une  loi  générale  des  réactions  mutuelles  des  corps,  à  savoir  que 
ces  corps  se  détournent  et  talonnent,  pour  ainsi  dire,  jusqu'à  ce  qu'ils 
aient  trouvé  le  chemin  de  la  moindre  résistance.  Ces  déviations  laté- 
rales aboutissent  donc  forcément  à  une  circulation  commune,  dans  le 
même  sens  et  dans  la  même  région.  Et  même  les  particules  dont  le 


[>}  Au  Cliapitrc  V,  à  l'occasion  tic  l'liv|)Olli(jse  de  M.  du  Licjomji:; 


IIYPÛTUKSE    DE    KANT 


"Soleil  a  élé  forme  lui  sont  parvenues  aiïeclées  déjà  par  ce  genre  de 
-déviation,  en  sorte  que  le  cor[)s  résultant,  le  Soleil,  s'est  trouvé  animé 
d'une  rotation  dans  le  même  sens.  »  (p.  i32-i33.) 

La  pensée  de  K  wr,  à  larpiclle  aucun  mathématicien  ne  saurait  se 
rallier,  se  comprend  sans  difliculté  et  il  est  aisé  de  voir  quelle  a  été 
l'urigine  de  l'erreur;  dans  une  fuule  la  police  impose  parfois  un  sens 
•déterminé  de  circulation  afin  d'éviter  les  heurts  et  les  encombrements. 
Ka>t  imagine  qu'il  s'établit  entre  les  particules  en  mouvement  une 
•sorte  de  police  spontanée  et  automatique,  par  reilet  des  chocs  eux- 
'inèmes.  Inutile  d'ajouter  que  les  allirmalions  de  Ka>t  sont  en  con- 
'tradiction  formelle  avec  le  principe  des  aires,  d'après  lequel  le 
moment  de  rotation  d'un  svstème  soustrait  à  toute  action  extérieure 
est  constant  :  ce  moment  de  rotation  doit  rester  toujours  nul  s'il 
l'est  initialement.  Il  est  donc  impossible  qu'un  système  parlant  du 
repos  ait  engendré  le  système  solaire,  pour  lequel  le  moment  de 
rotation  n'est  pas  nul  :  or,  Ka\t  suppose  explicitement  que  la  ma- 
tière primitive  du  Soleil  part  du  repos.  Pourquoi  Ivant  n'a-t-il  pas 
supposé,  comme  le  fit  plus  tard  Laplace,  une  rotation  initiale?  C'est 
que  Laplace  se  bornera  à  considérer  la  nébuleuse  d'où  est  sorti  le 
système  solaire,  tandis  que  IvA>r  a  voulu  essayer  d'expliquer  la  for- 
mation de  la  Voie  Lactée  tout  entière.  Peut-être  aussi  KANra-t-il 
•trouvé  plus  philosophique  de  ne  pas  supposer  un  mouvement  initial. 

2.  Quoi  qu'il  en  soit.  Kant  pense  que,  vers  le  centre  de  sa  nébu- 
leuse, va  se  former  une  condensation  prépondérante  (Soleil  ,  autour  de 
laquelle  les  particules  vont  circuler,  à  peu  près  dans  un  même  plan, 
suivant  les  lois  de  Kkpi.er  ;  ces  particules  donneront  par  la  suite  des 
•condensations  secondaires  (planètes)  : 

«  Ainsi  l'équateur  solaire  n'est  autre  chose  que  le  plan  de  cette  cir- 
culation générale.  Or,  les  particules  qui  se  trouvaient  hors  de  ce  plan 
ont  dû,  en  vertu  des  lois  de  la  gra\italion,  aller  le  rencontrer  quelque 
part  dans  leur  mouvement  de  circulation  et  s'y  accumuler,  surtout 
vers  la  région  centrale.  D'ailleurs,  au  milieu  de  ces  particules  se 
poussant,  se  résistant  l'une  à  l'autre,  celles-là  seules  ont  du  continuer 
-à  se  mouvoir  librement  en  cercles  concentriques  qui  étaient  arrivées 
•à  ces  cercles  juste  avec  la  vitesse  linéaire  exigée  par  les  lois  des  forces 
■centrales.  Cette  vitesse  résulte  de  la  hauteur  de  chute  ;  la  déviation. 


IIYPOTHliSES    COSMOrjOMQLES 


latérale  résulte  de  ces  conflits  incessants  dont  le  résultat  final  est  d'ar- 
river à  la  direction  de  moindre  résistance.  Quant  aux  particules,  en 
Lien  plus  grand  nombre,  pour  qui  la  vitesse  n'était  pas  dans  la  pro- 
portion voulue,  elles  ont  continué  leur  chemin  en  s'approchant  de 
])lus  en  plus  du  Soleil  et  ont  contribué  à  le  former. 

((  Ainsi  le  système  premier  se  trouve  transformé,  par  les  lois  com- 
binées de  l'attraction  et  de  la  résistance,  en  un  autre  système  dans 
lequel  tout  l'espace  compris  entre  deux  plans  parallèles,  assez  rappro- 
chés de  part  et  d'autre  du  centre  du  Soleil,  est  parcouru  librement 
par  des  particules  se  mouvant  dans  des  cercles,  chacune  avec  la  vitesse 
qui  répond  à  sa  distance  au  centre.  Comme  leurs  résistances  mu- 
tuelles sont,  là,  aussi  faibles  que  possible,  cet  état  de  choses  durerait 
indéfiniment  si  leur  attraction  n'intervenait  pour  le  modifier  et  y 
faire  naître  les  germes  de  formations  nouvelles,  les  planètes.  En  elTet, 
les  particules  voisines  décrivant  des  cercles  presque  égaux  et  paral- 
lèles, elles  se  trouvent  comme  en  repos  les  unes  par  rapport  aux  au- 
tres :  alors,  s'il  se  trouve  quelque  centre  d'attraction  prépondérante, 
les  particules  voisines  tendront  vers  ce  point  et  y  formeront  une  masse 
dont  l'attraction  toujours  croissante  finira  par  s'étendre  et  ramasser 
au  loin  de  nouveaux  matériaux.  Évidemment  les  corps  ainsi  formés 
seront  animés,  autour  du  Soleil,  des  mêmes  mouvements  circulaires 
que  leurs  éliments  primitifs.  »  (p.  i3'4-i35.) 

3.  Ka^it  essaie  ensuite  d'expliquer  la  rotation  directe  des  planètes 
et  la  formation  de  leurs  satellites  : 

(I  Tout  ce  qui  s'est  passé  en  grand  autour  du  Soleil,  se  répétera  en 
petit  autour  de  toute  planète,  pourvu  que  sa  sphère  d'attraclion  ait 
acquis  une  extension  suffisante.  »  (p.  io5.) 

Pour  expliquer  ce  sens  direct  de  rolalion  des  planètes  et  de  révo- 
lution des  satellites,  Kant  donne,  il  faut  l'avouer,  des  raisons  fort  in- 
sulïisantes.  Il  semblerait  même  que  les  particules,  se  mouvant  autour 
du  Soleil  selon  la  troisième  loi  de  Kkplkh,  auraient  tendance  à  en- 
gendrer des  planètes  à  rolalion  rétrograde,  puisque  les  particules  ont 
une  vitesse  linéaire  d'autant  plus  grande  qu'elles  sont  plus  proches 
du  Soleil.  —  \ous  discuterons  plus  loin  les  raisons  que  l'on  peut  invo- 
quer pour  expliquer  les  rotations  directes. 


llYPOriltSE    DE    KAST 


4.  Kant  s'occupe  aussi  de  la  formation  de  l'anneau  de  Saluine  : 

«  Pour  monlier,   par  un  autre  e\em[)le,  que  la  simple  action  de 
la  gravitation,  en  réunissant  des  élcmenls  dispersés,  produit  nécessai- 
rement des  ellets  d'une  telle  régularité,  je  vais  dire  comment  l'anneau 
de  Saturne  a  pu  et  dû  se  former  par  une  voie  entièrement  mécanique. 
Que  l'on  veuille  bien  m'accordcr  seulement  ceci  :  à  l'origine,    sous 
l'influence  de  la  chaleur,  l'atmosphère  de  Saturne  s'est  développée 
bien  au  delà  de  ses  limites  actuelles  ;  plus  tard,  elle  s'est  refroidie,  et 
les  particules  atmosphériques  qui  s'étaient  élevées  ont  commencé  ù 
retomber  sur  la  planète.  Cela  posé,  le  reste  suit  avec  une  rigueur 
toute  mécanique.  Les  particules  de  cette  atmosphère,  en  s'élevant,  ont 
emporté  avec  elles  la  vitesse  de  rotation  qu'elles  possédaient  primiti- 
vement, selon  la  place  qu'elles  occupaient  sur  la  planète.  Elles  ont 
donc  dû,  d'après  les  règles  des  forces  centrales,  décrire  librement  des 
cercles  autour  du  centre.   Mais  il  s'en  est  trouvé  dont  la  vitesse  était 
insufiisante  pour  que  la  force  centriluge  fît  exactement  équilibre  à 
leur  pesanteur;  celles-là  ont  dû  s'cnlre-choqucr,  se  ralentir  et  linalc- 
ment  retomber  sur  la  planète,  tandis  que  les  autres,  à  vitesses  plus 
grandes,   continuaient  à  se  mouvoir  librement  sur  leurs  orbites  cir- 
culaires. Celles-ci  devaient  nécessairement  traverser  à  chaque  révolu- 
tion le  plan  de  l'équateur  de  la  planète,  et  s'y  ramasser  de  manière 
à  former  une  sorte  de  limbe  dans  le  prolongement  de  ce  plan.  Ce 
limbe,  formé  ainsi  de  particules  se  mouvant  librement  autour  de  la 
planète,  ne  pouvait  être  qu'un  anneau  constitué  principalement  par 
les  molécules  équatoriales,  puisque  celles-ci  possédaient,  en  s'élevant, 
la  plus  grande  \itessc. 

«  Et  comme  il  n'y  a,  entre  toutes  les  distances  au  centre,  qu'une 
seule  distance  pour  laquelle  cette  vitesse  équatoriale  soit  compatible 
avec  le  mouvement  libre  dans  un  cercle,  on  pourra  décrire  dans  le 
plan  de  ce  limbe  une  circonférence  concentrique  à  Saturne,  au  de- 
dans de  laquelle  toutes  les  particules  devront  retomber  sur  la  planète. 
Les  autres  particules  comprises  entre  cette  circonférence  et  le  bord 
extérieur  du  limbe,  sous  forme  d'anneau,  continueront  à  circuler 
autour  de  la  planète  sans  jamais  retomber  sur  elle. 

«  Cette  solution  nous  fournit  immédiatement  le  moyen  de  déter- 
miner la  durée  inconnue  de  la  rotation  de  Saturne.  En  ellet,  la  vitesse 
de  circulation  des  particules  situées  au  bord  interne  de  l'anneau  étant 


HYPOTHESES    COSMO<;ONIQUES 


égale  h  colle  que  possède  un  point  de  l'équateur  de  Saturne  en  vertu 
de  sa  rotation,  il  suffira  de  calculer  la  durée  de  sa  révolution  au 
moyen  de  celle  d'un  des  satellites,  pour  avoir  la  durée  de  la  rotation 
de  la  planète.  On  trouve  ainsi  6''25'"52^  »  (p.  i^3-i^\.) 

Sans  nous  arrêter  à  ce  chiffre  beaucoup  trop  faible,  disons  que 
Kant  fait  ensuite  quelques  réflexions  intéressantes  sur  la  stabilité  de 
l'anneau  de  Saturne,  11  le  considère  comme  formé  de  particules  tour- 
nant indépendamment  les  unes  des  autres  autour  do  la  planète,  selon 
la  troisième  loi  de  Kepler;  et  il  pense  que,  dans  l'anneau  se  produi- 
sent «  des  lignes  de  rupture  qui  le  divisent  en  amicaux  concentriques 
isolés  l'un  de  l'autre.  »  (p.  i^J-)  Cette  idée  est  d'autant  plus  remar- 
quable que  Kaa't  ne  connaissait  pas  la  grande  division  de  Cassim. 

Enfin,  si,  parmi  les  planètes,  Saturne  est  la  seule  qui  possède  un 
anneau,  c'est,  d'après  Kant,  parce  que  sa  densité  est  faible  et  sa  rota- 
tion très  rapide.  11  s'ensuit  que  le  rapport  de  la  force  centrifuge  à  la 
gravité  est  plus  grand  pour  Saturne  que  pour  les  autres  planètes. 

5.  Les  comètes,  selon  Ka>t,  ont  une  origine  analogue  à  celle  des 
planètes.  Dans  un  chapitre  assez  confus,  il  s'efforce  de  montrer  qu'elles 
ont  dû  se  former  à  de  grandes  distances  du  Soleil,  et,  d'après  ses 
idées,  l'orbite  d'un  astre  doit  s'éloigner  d'autant  plus  de  la  forme  cir- 
culaire que  l'astre  s'est  formé  plus  loin  du  Soleil.  Le  sens  du  mouve- 
ment des  comètes  devrait  être,  en  général,  le  même  que  celui  des 
planètes,  c'est-à-dire  direct;  et  si,  de  son  temps,  on  connaissait  dix- 
neuf  comètes  rétrogrades,  Kant  fut  porté  à  en  attribuer  au  moins 
quelques-unes  à  une  illusion  d'optique. 

6.  Tels  sont  les  traits  principaux  de  la  Cosmogonie  delvAM'.  On  voit 
qu'il  eut  l'idée  d'attribuer  une  commune  origine  au  Soleil  et  à  toutes 
les  planètes.  11  ht  même,  à  ce  sujet,  une  curieuse  remarque  :  si  le 
Soleil  et  les  planètes  sont  formés  des  mômes  éléments,  la  densité 
moyenne  de  celles-ci  doit  être  égale  à  celle  du  Soleil  ;  or,  adoptant 
les  nombres  de  Buffox,  Ka>t  trouve  que  le  rapport  de  ces  densités 
est  celui  de  61  à  65,  coïncidence  assez  curieuse.  Malheureusement, 
ses  affirmations  sont  trop  souvent  en  contradiction  avec  les  principes 
de  la  Mécanique. 


CHAPITRE  IL 

HYPOTHÈSE  DE  LAPLACE. 


7.  IvANTavaitélcndu  ses  conceptions  à  l'ensemble  du  monde  slellaae, 
à  toute  la  A  oie  Lactée.  Laplace,  dans  sa  célèbre  bypotbèse,  se  borne 
à  en\isager  la  formation  du  système  solaire.  La  nébuleuse  de  Kant 
était  une  espèce  de  cbaos  :  les  matériaux,  s'étant  agglomérés  autour 
de  certains  centres  de  condensation,  formaient  conmie  un  essaim  de 
météores  indépendants,  dont  les  mouvements,  primilivcmcnl  désor- 
donnés, se  seraient  plus  tard  ordonnés,  par  suite  des  cbocs  et  des 
frottements.  La  nébuleuse  de  L.vpl.vce,  au  contraire,  est  une  véritable 
atmospbèie  (jazcuse  animée,  dès  l'origine,  d'un  mouvement  de  rota- 
tion bien  uniforme.  Au  centre  de  cette  atmosplière  L.m'lace  suppose 
une  forle  condensation.  C  est  donc  une  sorte  d'étoile  nébuleuse,  cons- 
tituée par  une  masse  centrale  fluide,  Soleil  déjà  à  demi  formé,  entourée 
d'une  atmospbère  extrêmement  ténue  s'étendant  à  une  très  grande 
distance,  l'ensemble  tournant  d'un  seul  bloc.  En  se  contractant,  cette 
atmospbère  abandonnera,  dans  le  plan  de  l'équateur,  une  série  d'an- 
neaux successifs  d'oiî  naîtront  les  planètes. 

8.  Les  premières  idées  de  Laplace  sur  la  formation  du  système 
solaire  sont  indiquées  dès  la  première  édition  (1796)  de  V Exposilion 
du  Sysli'inc  du  Monde.  Mais  c'est  seulement  dans  des  éditions  posté- 
rieures que  l'exposé  complet  de  la  tbéorie  de  Laplace  devient  l'objet 
de  la  Note  VU  et  dernière.  Nous  suivrons  ici  le  texte  du  Tome  M  des 
Œuvres  Complètes  de  Laplace  (Paris,  Gauthier-Villais,  i884,  p. 
4f)8-5og.) 

«  On  a,  dit  l'Auteur,  pour  remonter  à  la  cause  des  mouvements 
primitifs  du  système  planétaire,  les  cinq  pbénomènes  suivants  :  les 
mouvements  des  planètes  dans  le  même  sens  et  à  peu  près  dans  un 
même  plan.;  les  mouvements  des  satellites  dans  le  même  sens  que 
ceux  des  planètes;  les  mouvements  de  rotation  de  ces  dillérents  corps 


8  ini'OTHESES    COSMOr.OXIQLES 

et  du  Soleil,  dans  le  même  sens  que  leurs  mouvements  de  projection 
et  dans  des  plans  peu  dilTérents  ;  le  peu  d'excentricité  des  orbes  des 
planètes  et  des  satellites  ;  enfin,  la  grande  excentricité  des  orbes  des 
comètes,  quoique  leurs  inclinaisons  aient  été  abandonnées  au 
liasard . 

«  BuFFOx  est  le  seul  que  je  connaisse,  qui,  depuis  la  découverte  du 
vrai  système  du  monde,  ait  essayé  de  remonter  à  l'origine  des  pla- 
nètes cl  des  satellites.  11  suppose  qu'une  comète,  en  tombant  sur  le 
Soleil,  en  a  cliassé  un  torrent  de  matière  qui  s'est  réuni  au  loin,  en 
divers  globes  plus  ou  moins  grands  et  plus  ou  moins  éloignés  de  cet 
astre  :  ces  globes,  devenus  par  leur  refroidissement  opaques  et  solides, 
sont  les  planètes  et  leurs  satellites.   »  (p.  498.) 

Lai'lace  n'avait  donc  pas  connaissance  des  travaux  de  Kant,  puis- 
qu'il ne  cite  que  Buffon.  Il  n'a  pas  de  peine  à  réfuter  la  tbéorie  de 
ce  dernier,  car  elle  n'explique  pas  les  cinq  pliénomènes  qu'il  a  rap- 
pelés. Lai'lace  se  den)ande  alors  s'il  est  possible  de  s'élever  à  la  véri- 
table cause  de  ces  pbénomènes  : 

«  Quelle  que  soit  sa  nature,  puisqu'elle  a  produit  ou  dirigé  les 
mouvements  des  planètes,  il  faut  qu'elle  ait  embrassé  tous  ces  corps, 
et,  vu  la  distance  prodigieuse  qui  les  sépare,  elle  ne  peut  avoir  été 
qu'un  fluide  d'une  immense  étendue.  Pour  leur  avoir  donné  dans  le 
même  sens  un  mouvement  presque  circulaire  autour  du  Soleil,  il 
faut  que  ce  fluide  ait  environné  cet  astre  comme  une  atmosplière.  La 
considération  des  mouvements  planétaires  nous  conduit  donc  à  penser 
qu'en  vertu  d'une  cbaleur  excessive,  l'atmosplière  du  Soleil  s'est  pri- 
mitivement étendue  au  delà  des  orbes  de  toutes  les  planètes,  et  qu'elle 
s'est  resserrée  successivement  jusqu'à  ses  limites  actuelles. 

((  Dans  l'élat  primitif  oïl  nous  supposons  le  Soleil,  il  ressemblait 
aux  nébuleuses  que  le  télescope  nous  montre  composées  d'un  noyau 
plus  ou  moins  brillant,  entouré  d'une  nébulosité  qui,  en  se  conden- 
sant à  la  surface  du  noyau,  le  transforme  en  étoile.  Si  l'on  conçoit, 
par  analogie,  toutes  les  étoiles  formées  de  cette  manière,  on  peut 
imaginer  leur  état  antérieur  de  nébulosité  précédé  lui-même  par 
d'autres  états  dans  lesquels  la  matière  nébuleuse  était  de  plus  en  plus 
diflïise,  le  noyau  étant  de  moins  en  moins  lumineux.  On  arrive  ainsi, 
en  remontant  aussi  loin  qu'il  est  possible,  à  une  nébulosité  tellement 


\ 


IIYPOTIIKSIC    DE    I.AI'LACE 


difTuse,    que   l'on   pouirail   à    peine    en    soupronncr    rexistcncc.   » 
(p.  499-500.) 

L'étoile  nébuleuse  à  forte  condensation  centrale  n'est  donc  pas, 
pour  Laplace,  l'état  tout  à  fait  [)rimortiial,  puisqu'il  lui  suppose  un 
état  antérieur.  Mais  il  s'occupe  seulement  de  la  faron  dont  les  planètes 
ont  pu  naître  aux  dépens  île  l'almosjjhère  qui  entoure  le  iioNau  cen- 
tral de  la  nébuleuse,  il  lonunence  par  rejeter  l'Iiypollièse  qui  attri- 
buerait aux  planètes  une  origine  extérieure  à  la  nébuleuse,  celle-ci 
les  ayant  captées  ;  puis  il  montre  que  l'almosphère  de  la  nébuleuse, 
en  se  contractant,  abandonne  une  série  d'anneaux  : 

<«  Mais  comment  l'atmosplière  solaire  a-t-elle  déterminé  les  mou- 
vements de  rotation  et  de  révolution  des  planètes  et  des  satellites?  Si 
ces  corps  avaient  [)énélré  |)rolbiidément  dans  cette  atmospbère,  sa 
résistance  les  aurait  fait  tomber  sur  le  Soleil;  on  peut  donc  conjec- 
turer que  les  planètes  ont  été  formées  à  ses  limites  successives,  par  la 
condensation  des  zones  de  vapeurs,  qu'elle  a  dû,  en  se  refroidissant, 
abandonner  dans  le  plan  de  son  équaleur. 

((   ...  L'atmosphère  du  Soleil  ne  peut  pas  s'étendre  indéfiniment; 
sa  limite  est  le  point  où  la  force  centrifuge  due  à  son  mouvement  de 
rotation  balance  la  pesanteur;   or,  à  mesure  que  le  refroidissement 
resserre  l'atmosphère  et  condense  à  la  surface  de  l'astre  les  molécules 
qui  en  sont  voisines,   le  mouvement  de  rotation  augmente  ;  car,  en 
vertu  du  principe  des  aires,  la  somme  des  aires  décrites  par  le  rayon 
vecteur  de  chaque  molécule  du  Soleil  et  de  son  atmosphère  et  pro- 
jetées sur  le  plan  de  son  équateur  étant  toujours  la  même,  la  rotation 
doit  être  plus  prompte  quand  ces  molécules  se  rapprochent  du  centre 
du  Soleil.   La  force  centrifuge  due  à  ce  mouvement  devenant  ainsi 
plus  grande,  le  point  où  la  pesanteur  lui  est  égale  est  plus  près  de  ce 
centre.  En  supposant  donc,  ce  qu'il  est  naturel  d'admettre,  que  l'at- 
mosphère s'est  étendue  à  une  époque  quelconque  jusqu'à  sa  limite, 
elle  a  du,  en  se  refroidissant,  abandonner  les  molécules  situées  à  cette 
limite  et  aux  limites  successives  produites  par  l'accroissement  de  la 
rotation  du  Soleil.  Ces  molécules  abandonnées  ont  continué  de  cir- 
culer autour  de  cet  astre,  puisque  leur  force  centrifuge  était  balancée 
par  leur  pesanteur.  Mais,  celte  égalité  n'ayant  point  lieu  par  rapport 
aux  molécules  atmosphériques  placées  sur  les  parallèles  à  l'équateur 


lO  IITPOTlIliSES    COSMOGOMQUES 

solaire,  celles-ci  se  sont  rapprochées,  par  leur  pesanteur,  de  l'atmos- 
phère à  mesure  qu'elle  se  condensait,  et  elles  n'ont  cessé  de  lui 
appartenir,  qu'autant  que,  par  ce  mouvement,  elles  se  sont  rappro- 
chées de  cet  équalcur.  »  (p.  5oo-5oi.) 

Admettons  donc,  avec  Laplace,  un  tel  ahandon,  dans  le  plan  de 
réquatetn-,  d'anneaux  concentriques  de  vapeurs,  — cette  question  sera 
soumise  à  l'analyse  dans  le  Chapitre  suivant,  —  et  demandons- 
nous  ce  que  deviennent  ces  anneaux.  Chaque  molécule,  abandonnée 
à  elle-même,  décrira  un  cercle  en  obéissant  à  la  troisième  loi  de  Ivéi'ler 

oj-r'  =  const., 

oj  désignant  la  vitesse  angulaire  et  /•  le  rayon  de  l'orbite  des  différentes 
molécules  ;  d'où  il  suit  que  les  molécules  les  plus  éloignées  du  Soleil 
auront  une  vitesse  angulaire,  et  même  une  vitesse  linéaire,  moindre 
que  les  molécules  les  plus  rapprochées. 

Si  donc  A  et  B  sont  les  cercles  qui  limitent  extérieurement  et  inlé- 
rieurcmenl  un  anneau  dont  C  est  la  ligne  moyenne  {/îg.  i),  la  vitesse 


•  0 

f"J-   I- 

des  molécules  situées  en  A  sera  tout  d'abord  inférieure  à  celle  des  mo- 
lécules situées  en  B.  Mais  Laplace  invoque  le  Irotlement  mutuel  des- 
molécules qui  tend,  dil-il,  à  égaliser  toutes  les  vitesses  angulaires,  de 
telle  façon  qu'on  ait  finalement 

oj  z=  const.  ; 

par  suite  la  vitesse  linéaire  des  molécules  telles  que  A  deviendra  supé- 
rieure à  celle  des  molécules  telles  que  B.  Une  seconde  cause,  d'après 
Laplace,  a  du  agir  dans  le  même  sens.  Par  les  effets  du  refroidisse- 
ment et  de  la  condensation,  l'anneau  a  dû  se  rétrécir,  si  bien  que  A 
et  B  se  seraient  rapprochés  de  la  ligne  médiane  C.  En  vertu  de  la  loi 
des  aires,  B  s'éloignant  du   centre  a  du  diminuer  sa  vitesse;  A  s'erk 


IITPOTIIÈSE    Dr    L.VPLACE 


rapprochant  a  (là  augmenter  la  sienne.  Si  L.m'lace  insiste  sur  ce  lait 
que,  dans  un  même  anneau,  les  vitesses  linéairesdes  molécules  les  plus 
éloignées  du  centre  ont  dû  finir  |)ar  être  plus  grandes,  c'est  que  ce 
sera  là  son  principal  argument  pour  expliquer  les  rotations  directes 
des  planètes.  —  Toutes  ces  questions  seront  disculées  plus  loin. 

9.  Voyons  maintenant  comment  Lu-i.ack  explique  la  manière  dont 
les  anneaux,  instables  en  général  i>ar  eux-mêmes,  ont  donné  nais- 
sance aux  planètes  et  celles-ci  aux  satellites, 

M  Si  toutes  les  molécules  d"un  anneau  de  vapeurs  continuaient  de 
se  condenser  sans  se  désunir,  elles  formeraient  à  la  longue  un  anneau 
liquide  ou  solide.  Mais  la  régularité  que  cette  formation  exige  dans 
toutes  les  parties  de  l'anneau  et  dans  leur  refroidissement  a  dû 
rendre  ce  phénomène  exl reniement  rare.  Aussi  le  système  solaire  n'en 
otlre-l-il  qu'un  seid  exemple,  celui  des  anneaux  de  Saturne.  Presque 
toujours  chaque  anneau  de  \apcurs  a  dû  se  rompic  en  plusieurs 
niasses  qui,  mues  avec  des  vitesses  très  peu  dilVércnlcs,  ont  continué 
de  circuler  à  la  même  distance  autour  du  Soleil.  Ces  masses  ont  dû 
prendre  une  forme  sphéroïdiquc,  avec  un  mouvement  de  rotation 
dirigé  dans  le  sens  de  leur  révolution,  puisque  leurs  molécules  infé- 
rieures avaient  moins  de  vitesse  réelle  que  les  supérieures;  elles  ont 
donc  formé  autant  de  planètes  à  l'état  de  vapeurs.  Mais  si  l'une 
d'elles  a  été  assez  puissante  pour  réunir  successivement  par  son 
attraction  toutes  les  autres  autour  de  son  centre,  l'anneau  de  vapeurs 
aura  été  ainsi  transformé  dans  une  seule  masse  sphéroïdique  de  va- 
peurs, circulant  autour  du  Soleil,  avec  une  rotation  dirigée  dans  le 
sens  de  sa  révolution.  Ce  dernier  cas  a  été  le  plus  commun  :  cependant 
le  système  solaire  nous  oiïre  le  premier  cas  dans  les  quatre  petites 
planètes  qui  se  meuvent  entre  Ju[)iter  et  Mars,  à  moins  qu'on  ne 
suppose,  avec  M.  Olbeus,  qu'elles  formaient  primitivement  une  seule 
planète  qu'une  forte  explosion  a  divisée  en  plusieurs  parties  animées 
de  vitesses  dilTérentes. 

«  Maintenant,  si  nous  suivons  les  changements  qu'un  refroidisse- 
ment ultérieur  a  dû  produire  dans  les  planètes  en  vapeurs  dont  nous 
venons  de  concevoir  la  formation,  nous  verrons  naître  au  centre  de 
chacune  d'elles  un  noyau  s'accroissant  sans  cesse  par  la  condensation 
de  l'atmosphère  qui  l'environne.  Dans  cet  état,  la  planète  ressemblait 
parfaitement  au   Soleil  à  l'état   de  nébuleuse  où  nous  venons  de  le 


I2  HYl'OTI  ÈSES    COSMO(;OMQt'ES 

considérer;  le  refroidissement  a  donc  dû  produire,  aux  diverses  li- 
miles  de  son  atmosphère,  des  phénomènes  semblables  à  ceux  que 
nous  avons  décrits,  cest-à-dire  des  anneaux  et  des  satellites  circulant 
autour  de  son  centre,  dans  le  sens  de  son  mouvement  de  rotation,  et 
tournant  dans  le  même  sens  sur  eux-mêmes.  La  distribution  régulière 
de  la  masse  des  anneaux  de  Saturne  autour  de  son  centre  et  dans  le 
plan  de  son  équateur  résulte  naturellement  de  cette  hypothèse,  et, 
sans  elle  devient  inexplicable  :  ces  anneaux  me  paraissent  être  des 
preuves  toujours  subsistantes  de  l'extension  primitive  de  l'atmos- 
phère de  Saturne  et  de  ses  retraites  successives.  Ainsi  les  phénomènes 
singuliers  du  peu  d'excentricité  des  orbes  des  planètes  et  des  satellites, 
du  peu  d'inclinaison  de  ces  orbes  à  l'équateur  solaire,  et  de  l'identité 
du  sens  des  mouvements  de  rotation  et  de  révolution  de  tous  ces 
corps  avec  celui  de  la  rotation  du  Soleil,  découlent  de  l'hypothèse 
que  nous  proposons  et  lui  donnent  une  grande  vraisemblance.  » 
(p.  3o2-5o3.) 

10.  Pour  Lm'lace,  les  comètes  sont  d'origine  étrangère  au  système 
planétaire.  Il  les  considère  comme  «  de  petites  nébuleuses  errantes  de 
systèmes  en  systèmes  solaires  »  (p.  5o/i),  ce  qui  expliquerait  pourquoi 
les  orbites  des  comètes  sont  aussi  bien  rétrogrades  que  directes  et, 
de  plus,  pourquoi  elles  ont  de  fortes  excentricités  et  inclinaisons.  Mais 
cette  manière  de  voir  n'est  plus  adoptée  en  général,  car  aucune 
comète  ne  présente  d'orbite  l'ranchement  hyperbolique,  ce  qui  ne 
manquerait  sans  doute  pas  d'arriver  si  ces  astres  étaient  d'origine 
cosmique  et  nous  arrivaient  de  l'infmi  avec  des  vitesses  sensibles 
relativement  à  la  vitesse  de  notre  système  solaire. 

11.  Lai'lack  voit  dans  la  lumière  zodiacale  une  preuve  nouvelle  à 
l'appui  de  son  hypothèse  : 

((  Si,  dans  les  zones  abandonnées  par  l'atmosphère  du  Soleil,  il 
s'est  trouvé  des  molécules  trop  volatiles  pour  s'unir  entre  elles  ou 
aux  planètes,  elles  doivent,  en  continuant  de  circuler  autour  de  cet 
astre,  offrir  toutes  les  apparences  de  la  lumière  zodiacale.  »>  (p.  ôoO.) 

12.  L'égalité  rigoureuse  entre  la  durée  de  révolution  sidérale  de  la 
Lune  et  sa  durée  de  rotation  sur  elle-même,  égalité  qui  fait  que  la 
Lune  tourne  toujours  vers  nous  un  même  hémisphère,  a  été  expliquée 


HYPOTllîiSE    DE    LAPI.Ar.E  l3 

par  Laplace  en  supposant  qu'à  l'origine  les  deux  mouvements  an- 
gulaires de  rotation  et  de  révolution  étaient  peu  diflorents  : 

((  Alors,  dil-il,  l'atlraction  de  la  planète  a  élabli  entre  eux  une 
[)arraite  égalité  ;  mais  en  même  temps  elle  a  donné  naissance  à  une 
oscillation  périodique  dans  l'axe  du  satellite,  dirigé  vers  la  planète, 
oscillation  dont  l'élendue  dépend  de  la  différence  primitive  des  deux 
mouvements.  »  (p.  .J07.) 

La  Lune,  encore  fluide,  a  donc  pris  une  forme  allongée  dans  le 
sens  de  la  Terre;  son  grand  axe  tendait  constamment  à  être  ramené 
dans  celte  direction  par  l'attraction  terrestre,  tel  un  pendule  écarté 
de  la  verticale;  les  oscillations  de  cet  axe  produisaient  une  libnilion. 
Mais,  dans  un  corps  fluide,  la  libration  est  accompagnée  de  marées 
internes  qui  font  naître  des  frottements;  ces  frottemenis  tondent  à 
diminuer  la  libration  qui  deviendra  très  petite  et  pourra  finir  par  dis- 
paraître, même  si  elle  était  notable  au  début. 

13.  Une  autre  question  tout  à  fait  analogue,  et  c'est  par  elle  que 
Lvi'i.ACE  teruiine  son  Exposition,  est  la  question  relative  à  la  particu- 
larité que  présentent  les  trois  premiers  satellites  de  Jupiter.  \p[)clant  n, 
n',  n",  leurs  moyens  mouvements  et/,  /'./"leurs  longitudes  moyennes 
respectives,  on  a  constamment,  entre  les  trois  longitudes  moyennes, 
la  relation 

/_3/' 4_  2/'=  180", 

et  entre  les  trois  moyens  mouvements,  la  relation 

n  —  3ai'  -+-  2ti"  =  o. 

Or,  Laplack  a  montré,  dans  sa  Mécanique  Céleste,  que,  si  les  con- 
ditions initiales  ont  été  telles  que  ces  égalités  soient  approximative- 
ment satisfaites,  l'action  mutuelle  des  satellites  a  suffi  pour  les  main- 
tenir satisfaites  en  moyenne,  avec  une  inégalité  périodique  d'autant 
plus  faible  que  ces  égalités  étaient  plus  près  d'être  rigoureusement 
vérifiées  initialement.  Cette  inégalité  périodique  est  tout  à  fait  compa- 
rable à  la  libration  dont  nous  venons  de  parler.  Or,  Dklamiuie  n'a  pu 
parvenir  à  la  mettre  en  évidence  au  moyen  d'observations.  Gomme  il  y 
a  ((  l'infini  contre  un  à  parier  »  que  les  deux  égalités  écrites  ci-dessus 
n'ont  pas  été  rigoureusement  vérifiées  par  les   conditions  initiales. 


•  l'i  HYPOTHESES    COSMOCONIQLES 

Laplace  conclut  que  celle  inégalité  périodique  a  dû  exister  au  début, 
mais  qu'une  cause  l'a  lait  disparaître  :  cette  cause,  c'est  la  résistance 
de  milieu  qu'opposait  l'atmosphère  primitive  de  la  plancle  au  mou- 
vement de  ses  satellites  : 

((  Dans  notre  hypothèse,  les  satellites  de  Jupiter,  immédiatement 
après  leur  formation,  ne  se  sont  point  mus  dans  un  vide  parfait  ;  les 
molécules  les  moins  condensables  des  atmosphères  primitives  du 
Soleil  et  de  la  planète  formaient  alors  un  milieu  rare,  dont  la  résis- 
tance, dilVérente  pour  chacun  de  ces  astres,  a  pu  approcher  peu  à  peu 
leurs  moyens  mouvements  du  rapport  dont  il  s'agit,  et  lorsque  ces 
'mouvements  ont  ainsi  atteint  les  conditions  requises  pour  que 
1  attraction  mutuelle  des  trois  satellites  établisse  ce  rapport  en  ri- 
gueur, la  môme  résistance  a  diminué  sans  cesse  l'inégalité  que  ce 
rapport  a  fait  naître,  et  enfm  l'a  rendue  insensible.  On  ne  peut  mieux 
comparer  ces  effets  qu'au  mouvement  d'un  pendule  animé  d'une 
grande  vitesse,  dans  un  milieu  très  peu  résistant.  Il  décrira  d'abord 
un  grand  nombre  de  circonférences;  mais,  à  la  longue,  son  mouve- 
ment de  circulation,  toujours  décroissant,  se  changera  dans  un  mou- 
vement d'oscillalion,  qui,  diminuant  lui-même  de  plus  en  plus  par 
la  résistance  du  milieu,  Unira  par  s'anéantir;  alors  le  pendule,  arrivé 
A  l'état  du  repos,  y  restera  sans  cesse.  »  (p.  5o8-5o9.) 


CIÏAlMTKi:  111. 

ANALYSE  DE  L'HYPOTHÈSE  DE  LAPLACE.    TRAVAUX  DE  ROCHE. 
ÉTUDE  DE  LA  STABILITÉ    DUN   ANNEAU.    FORMATION  DES  SATELLITES, 


I.  —  Surfaces  de  niveau. 

14.  \ous  allons  maintenant  entier  dans  le  détail  de  riivpolhèsc  de 
Lapi.ace,  et,  comme  l'a  fait  Kocme  (').  soumettre  celle  liypothèsc  au 
calcul. 

Considérons  la  nébuleuse  de  Laplace,  constituée,  nous  l'avons  dit, 
par  un  noyau  central  condensé,  entouré  d'une  atmosphère  très  ténue, 
dont  la  masse  est  supposée  très  petite  par  rapport  à  celle  de  la  con- 
densation centrale.  Les  couches  atmos[)héri(]nes  sont  supposées  parti- 
■ciper,  en  vertu  des  Irottements,  à  la  rotation  du  noyau  qu'elles 
recouvrent,  de  sorte  que  l'ensendjle  est  animé  d'une  vitesse  angulaire 
uniforme  oj.  Désignons  par  M  la  masse  du  noyau  que  nous  supposons 
sphérique,  et  négligeons  lattiaclion  mutuelle  des  molécules  de 
l'atmosphère.  Quelle  sera,  dans  ces  conditions,  la  forme  des  surfaces 
de  niveau  !* 

Prenons  pour  axe  des  x  l'axe  de  rotation  de  la  nébuleuse,  pour 
plan  des  vc  le  plan  perpendiculaire  à  l'axe  de  rotation  mené  par  le 
centre  de  gravité  o  ;  et  désignons  par 


r  =  \  X-  -r-  V"  —  y 


la  distance  d'un  point  quelconque  à  l'origine. 

Le  potentiel  dû  à  l'attraction  du  noyau  central  est 


INI  M 


V  x^ 


(',  Les  travaux  de  E.  [iocuE  sur  ce  sujet  se  Irouvcfit  résumés  dans  son  Essai  sur 
la  conslitution  et  Corijine  du  sysl'eine  solaire,  1878  Acad.  de  Montpellier,  Sec. ion  des 
Sciences,  t.  VIII,  p.  aSoj. 


i6 


HYPOTHESES    COSMOGONIQUES 


le  polcntlcl  dû  à  la  force  centrifuge  est 

L'équation  générale  des  surfaces  de  niveau  (surfaces  équipolentielles) 
s'écrira  donc 


M 


^  +  V  (J^  -^-  ")  =  C' 


C  désignant  une  constante.  Les  surfaces  de  niveau  sont  donc,  comme 
il  était  évident  a  priori,  de  révolution  autour  de  ox  et  symétriques 
par  rapport  au  plan  yoz.  Nous  obtiendrons  l'équation  des  méri- 
diennes de  ces  surfaces  en  faisant  ;  =  o  dans  l'équation  précédente, 
ce  qui  donne 


(0 


-+-  —  J"  =  G. 


\Jx^  -t-  y^         ■« 
Lorsque  la  constante  C  est  très  grande,  chaque  méridienne  (y?^.  2) 


A7-  a. 

se  compose  d'une  petite  courbe  entourant  l'origine  et  de  deux  branches 
infinies  très  éloignées,  coupant  l'axe  des  y  ;  l'ensemble  de  la  méri- 
dienne est  désigné  par  i  dans  la  figure.  Lorsque  C  diminue,  la  courbe 
entourant  l'origine  se  dilate,  les  deux  branches  infinies  se  rapprochent, 
et  donnent  l'ensemble  de  courbes  2.  Si  la  constante  G  diminue  encore, 
on  obtient  la  courbe  .'>  qui  présente  deux  points  doubles  sur  l'axe  oy, 
puis  enfin  des  courbes  telles  que  f\  et  5  qui  ne  coupent  plus  l'axe 
des  y. 


AN.VLTSE    DE    L  UïrOTIIL>E    DE    HPL.VCE  I-T 

15.  Quels  sciont  les  points  de  ces  courbes  où  la  tangente  sera  pa- 
rallèle à  oy  '}  On  obtiendra  ces  points  en  dilîérentiant  par  rapport  à  y 
l'équation  (i)  de  ces  courbes,  ce  cpii  donne 

My 

„-  -f-  lo-V  =  O  . 

,.3 

Celle  équation  est  satisfaite  pour  v  =  o.  les  points  de  l'axe  des  x 
sont,  en  cITel,  des  somniels  pour  nos  couibes  ;  elle  est  satisfaile  éga- 
lement pour 

le  lieu  des  points  où  la  tangente  sera  parallèle  à  ovest  donc  (en  dehors 
de  l'axe  des  x)  un  cercle  V  de  rayon 

En  chaque  point  de  ce  cercle,  on  a 

Mv 


/• 


>lv, 


c'est-à-dire  que  la  force  centrifuge  est  égale  et  opposée  à  la  compo- 
sante de  la  gravité  parallèle  à  oy.  En  particulier,  aux  deux  points 
doubles  A  et  A',  la  force  centrifuge  balance  exactement  la  pesanteur, 

16.  Cela  posé,  reprenons  noire  nébuleuse  qui  tourne  tout  d'une 
pièce.  Son  atmosphère,  qui  est  supposée  s'étendre  aussi  loin  que  pos- 
sible, se  termine  nécessairement  à  la  plus  grande  des  surfaces  de 
niveau  dont  la  méridienne  ne  dépasse  pas  le  cercle  Y ,  car,  au  delà  de 
ce  cercle  la  force  centrifuge  l'emporterait  sur  la  pesanteur.  La  surface 
libre  de  l'atmosphère  est  donc  engendrée  par  la  révolution  delà  courbe 
à  points  doubles  o  autour  de  ox  :  celle  surface  présente  une  arête 
saillante  tout  le  long  de  l'équaleur.  La  surface  de  niveau  qui  vient 
immédiatement  après  n'enveloppe  pas  complètement  les  précédentes  : 
elle  s'ouvre  à  l'équaleur,  puis  se  développe  en  deux  nappes  infinies, 
comme  le  montre  la  figure  2. 

Lorsque  la  nébuleuse  se  contractera  par  suite  du  refroidissement, 
la  vitesse  de  rotation  w  augmentera,  d'après  la  loi  des  aires  ;  le  ravon 
7'  du  cercle  F,  défini  par 


PoiSCi 


HYPOTHESES    COSMOGONIQLES 


diminuera  :  la  surface  libre  de  l'atmosphère  se  conlractcra  donc,  pour 
ainsi  dire,  en  restant  semblable  à  elle-même.  Par  suite  de  celle  con- 
traction, la  couche  fluide  qui  se  trouve  en  e\cès  descend  des  pôles 
vers  réquateur  en  coulant  le  long  des  surfaces  de  niveau,  puis  elle 
s'échappe,  comme  par  une  ouverture,  par  l'arête  saillante  que  nous 
avons  signalée.  Elle  cesse  dès  lors  de  faire  partie  de  l'atmosphère  de 
la  nébuleuse  :  elle  forme  une  zone  équatoriale  dont  les  particules  con- 
tinueront à  décrire  des  cercles  autour  du  centre,  dans  le  plan  de 
réquateur,  puisqu'au  moment  de  l'abandon  la  force  centrifuge  faisait 
équilibre  à  la  pesanteur. 

?sous  comprenons  donc  maintenant  la  formation  des  anneaux  de- 
Laplace  :  elle  est  due  à  la  présence,  sur  la  méridienne  de  la  surface 
libre,  des  deux  points  doubles  A  et  A',  dont  l'importance  a  élé  mise 
en  évidence  par  Roche  ('). 

II.  —  Nécessité  de  l'hypothèse  d'une  condensation  centrale. 

17.  Dans  ce  qui  précède,  nous  avons,  avec  Laplace,  supposé  une 
très  forte  condensation  centrale  de  notre  nébuleuse.  Aurions-nous  pu. 
nous  dispenser  de  cette  hypothèse  ?  Il  est  facile  de  A^oir  que  non. 

Reprenons  en  effet,  en  abandonnant  cette  hypothèse,  la  détermi- 
nation de  nos  surfaces  de  niveau.  Le  potentiel  dû  à  la  force  centrifuge 
est  toujours 

Appelant  \{x,  y,  z)  le  potentiel  du  à  l'allraction,  nous  aurons  pour  le 
potentiel  total 

2 

TJ(a:,  r,  z)  =  Y{x,  y,  :)  +  '^  (y-  -f-  z').  ^    , 

L'équation  des  surfaces  de  niveau  sera 

U(.r,  y,  :)  =  C 
et  l'équation  de  leurs  méridiennes,  dans  le  plan  des  xy,  sera 

U(t,  yO,  )  =  C. 


(')    E.  IJociiE  :    Mémoire  sur   la  Jiijure  des   nlinosphères  des   corps   célestes,  i854 
[Acad.  de  MoidijclUer,  Section  des  Sciences,  t.  Il,  p.  899). 


ANALYSE    DE    L  inPOTlltsr:    DE    LAl'LACi;  ig 

Polirions- nous  avoir,  pour  la  siurace  libre  île  l'atmosphère  une 
arèle  saillanlc,  [)ar  où  la  condcnsalion  laissera  s'échapper  des  molé- 
cules [)our  rornicr  un  anneau?  Oui,  s'il  existe  une  méridienne  présen- 
tant des  points  doubles,  ce  qui  arrivera  on  général,  car  les  trois 
équations 

U(a:.  j.  0)  =  C. 

-,  -  =  G  ,  -  -  =  G. 

déleruiincroiil  un  point  double  situé  >ur  l'axe  des  y.  En  elïot,  sur  cet 
axe,  on  a 

dU 

par  raison  de  symétrie  ;   les  deux  autres  équations  délermincnt  les 
valeurs  de  G  et  de  y. 

INous  aurons  donc  bien  une  méridienne  à  point  double,  et  de  plus, 
comme  nous  l'apprend  l'équation 

dU 

en  ce  point  double  la  force  totale,   résultante  de  la  gravité  et  de  la 
Torce  centrifuge,  sera  nulle. 

Donc  il  y  aura,  comme  précédemment,  abandon  de  molécules  dans 
le  plan  de  l'équateur.  Ces  molécules  commenceront  par  décrire  des 
cercles  autoiu-  tie  la  nébuleuse  qu'elles  viennent  d'abandonner,  puis- 
qu'au  moment  de  l'abandon  la  force  centrifuge  contrebalance  la 
pesanteur.  On  pourrait  croire,  à  première  vue,  que  rien  n'est  changé  et 
que  l'anneau  ainsi  formé  continuera  à  se  comporter  comme  un  anneau 
de  Lapi.aci-.  Il  n'en  est  rien.  I\e[)réscntons,  en  elTet,  un  anneau  AA' 
{Jl'j.  o)  qui  vient  de  se  détacher  de  la  nébuleuse.  Ses  molécules  dé- 
crivent des  cercles  autour  de  l'axe  ox  sous  l'action  d'une  attiactlon 
égale  à  la  force  centrifuge.  Lorsque  le  reiroidissement  aura  contracte 
la  nébuleuse,  la  force  centrifuge  sera  bien  toujours  la  môme,  mais 
l'attraction,  qui  est  celle  d'un  corps  aplati,  aura  varie,  (tandis  que, 
dans  l'hypothèse  de  Laplace,  l'attraction  du  noyau  sphérique  ne  va- 
riait pas  avec  la  condensation).  Il  semble  donc  que  les  orbites  des 
molécules  ne  pourront  pas  rester  circulaires,  et  qu'elles  deviendront 
excentriques.  Mais  nous  verrons  plus  loin,  à  propos  de  la  théorie  de 


HYPOTHÈSES    COSMOUONIQUES 


Fa\e,  qu'une  planète  déciivant  une  oibitc  primitivement  circulaire  et 
soumise  à  une  attraction  Icnlemenl  variable  d'après  une  loi  quelconque, 
conservera  une  orbite  circulaire. 


^ 


-^ 


18.  On  peut  encore  mettre  en  évidence  la  nécessité  de  supposer  une 
grande  condensation  à  la  nébuleuse  de  Laplace,  par  les  calculs  sui- 
vants dus  à  M.  l'oLcnÉ  (').  iNous  connaissons  le  moment  de  rotation 
du  système  solaire  :  il  est  approximativement  égal  au  moment  de  ro- 
tation du  Soleil  autour  de  son  axe,  augmenté  du  moment  dû  à  la 
révolution  de  l'ensemble  des  planètes  autour  du  Soleil,  (le  moment 
dû  à  la  rotation  de  cbaque  planète  autour  de  son  axe  étant  négligea- 
ble). Prenant  pour  unités  le  rayon  de  l'orbite  terrestre,  la  masse  du 
Soleil  et  le  jour  moyen,  M.  Fouché  donne  les  cbiflres  suivants  : 

Pour  le  moment  dû  à  la  rotation  du  Soleil 

2:^  X  0,000  000  353  8, 

Pour  le  moment  dû  à  la  révolution  des  planètes 

2iT  X  0,00000961 1  0  ; 

on  voit  donc  que  la  plus  grande  partie  du  moment  de  rotation  est  dû 
aux  planètes,  et  que  le  moment  de  rotation  total  est  égal  à 

2-  X  0,000009965/1. 

D'après  le  tliéorème  des  aires,  ce  moment  n'a  pas  dû  varier  depuis 
l'origine.  Supposons  un  instant  qu'à  l'époque  où  la  nébuleuse  a  aban- 
donné l'anneau  qui  a  formé  Neptune,  celte  nébuleuse  était  homogène. 


['j  ^I.  FoLciiÉ  :  Comptes  rendus  de  rAcadéinic  des  Sciences,  2]  nov.  i88i  (t.  90, 


p.  go3j. 


ANALT<E    DE    L  llYPOTHLi^E    DE    LAPI.ACE 


Son  moment  de  rotation  (m'iI  rlé  alors  compurahlr  à  celui  d'une  sphère 
homogène,  de  même  masse  que  le  Soleil,  s'élendanl  jusf|u'à  l'orhitc 
de  Neptune  et  tournant  avec  la  vitesse  angulaire  actuelle  de  celte  pla- 
nète. Ce  moment  de  rotation  égale 

7, — '—  X  -   X  (3o,oG  -       ou       2-  X  o.ooO  oa, 
boi8i        0       ^ 

chiiïre  plus  de  six  cents  fois  phis  grand  que  le  précédent.  On  voit 
donc  quelle  énorme  condensation  il  faut  accepter  pour  réduire  le  mo- 
ment de  rotation  à  la  six-centième  partie  de  ce  qu'il  serait  dans  le 
cas  d'homogénéité. 

M.  Foucnic  présente  encore  la  cliosc  d'une  autre  manière.  Imagi- 
nons, pour  prendre  un  cas  simple,  la  nébuleuse  formée  d  un  noyau 
sphérique,  entouré  d'une  atmosphère  liomogène  s'étendant  jusqu'à 
l'orbite  de  Neptune,  le  tout  tournant  avec  la  vitesse  angulaire  actuelle 
de  celle  planète.  Le  théorème  des  aires  exige  que  la  somme  du  mo- 
ment de  rotation  du  noyau  et  du  moment  de  rotation  de  l'atmosphère 
soit  égale  à 

u-  X  0.000009905^, 

par  conséquent  le  moment  de  rotation  de  l'atmosphère  est  inférieur  à 

2-  X  0.000 009  9(m /|. 

Or,  si  nous  appelons  m  la  masse  de  cette  atmosphère,  son  moment 
de  rotation  est  comparable  à  celui  d'une  sphère  homogène  de  masse 
m,  c'est-à-dire  à 

V.  ^  V  X  "i  X  ?  X  (iio.oG)-  ; 
60  1 8 1  0 

ce  moment  devant  être  inférieur  au  précédent,  il  vient 

m  -<  0.00 1  ()(), 

chiffre  à  peine  supérieur  à  la  masse  de  toutes  les  planètes  réunies.  Il 
faudrait  donc  que  l'atmosphère  tout  entière  de  la  nébuleuse  se  fût 
réduite  en  planètes,  si  cette  atmosphère  avait  été  homogène. 

Les  calculs  précédents  ne  sont  relatifs  qu'à  des  ordres  de  grandeur; 
mais  ils  sulfisent  pour  montrer  combien  est  capital,  dans  la  théorie 
de  L.VPLACE,  le  fait  de  la  condensation  centrale. 


HyrOTIIKSES    COSMOGOMQUES 


19.  Sans  celte  condensation,  il  aurait  fallu,  clans  le  calcul  des  sur- 
faces de  niveau,  tenir  compte  de  l'attraction  des  molécules  de  l'atmo- 
sphère les  unes  sur  les  autres,  ce  qui  nous  aurait  donné,  pour  leurs 
méridiennes,   des  courbes  analogues  à  celles  de  la  figure  4 .  L'anneau 


J'U-  ^■ 

abandonne  aurait  eu  un  profd  tel  que  ACD.  Nous  allons  trouver  faci- 
lement une  limite  inférieure  à  la  densité  d'un  tel  anneau.  Appliquons 
au  volume  total  de  l'anneau,  c'est-à-dire  au  volume  engendré  par  la 
révolution  de  ACD  autour  de  ox,  la  formule  bien  connue  de  Green 


r/U 
dn 


AU  dz. 


où  (h  représente  un  élément  du  volume,  c/w  un  élément  de  la  surface 
qui  limite  ce  volume,  -j-  la  dérivée  normale  intérieure  et  U  le  po- 
tentiel total 

V  +  V  0-'  +  -■') 

■dont  il  a  été  question  plus  haut.  La  stabilité  exige  qu'à  la  surface  ACD 
de  l'anneau,  la  force  totale  soit  dirigée  vers  l'intérieur,  c'est-à-dire  que 

(/U 


du 


>o. 


ce  qui  donne  par  conséquent 


AUc/-  <o. 


Or,  si  p  est  la  densité  de  l'anneau,  nous  avons,  d'après  la  formule  de 
Poissox, 


d'ailleurs 


par  suite 


ANVL\SE    DE    l'hypothèse    DE    LAI'LVCE  3$ 


A  Y  Cx'  +  ^')  =  ■"'-' 


AU   r=r_   /,-0   -I-    2<o2 


Si  nous  admellons,  pour  simplifier,  que  la  Jcnsilé  o  est  uniforme 
•dans  loul  l'anneau  (ou  plus  généralement,  si  nous  désignons  par  o  la 
densité  moycniiL'  de  l'anneau),  l'inégalité  (2)  exige  que 

/j-O     I-  2  (1(2  <  o. 

<l'oij 

0  >  —  • 

'  2Z    ' 

nous  avons  ainsi  une  limite  inférieure  de  la  densité  de  l'anneau,  et 
a  foiiinri  de  la  nébuleuse.  Lorsqu'on  prend  pour  o)  la  vitesse  angulaire 

•de  Ne[)tune,  on  trouve  pour  0  un  chill're  tellement  grand  que,  d'après 
ce  chilTre,  la  niasse  totale  de  la  nébuleuse  serait  très  supérieure  à  celle 

•du  Soleil. 

III.  —  Formation  successive  des  anneaux. 

20.  Revenons  à  l'hypothèse  de  Lvplvce  d'une  très  forte  condensa- 
tion centrale,  hypothèse  oij  nous  négligeons  l'action  mutuelle  des 
molécules  de  l'atmosphère.  L'équation  des  surfaces  de  niveau  est 
alors,  nous  l'avons  vu  dans  la  Section  I, 

r  2   ^  / 

-ces  surfaces  ont  leurs  méridiennes  représentées  sur  la  figure  2. 
Si,  dans  cette  équation,  nous  changeons 


X,  y,  z 

Cl) 

Ix.  ly,  \z. 

U) 

en 

|JtO), 

M 

en 

XV-M. 

G 

en 

>-{^-C, 

cette  équation  ne  change  pas,  et  la  figure  2  est  simplement  remplacée 
par  son  homothétique,  le  rapport  d'homothétic  étant  À  :  c'est  un  cas 
•de  similitude  mécanique. 


24  IIYrOTIlÈSES    COSMOGONIQUES 

Dans  ces  conditions, 

le  volume  V  se  trouve  multiplié  par  X^ 

le  moment  d'inertie  I  se  trouve  multiplie  par  l^ix-  x  '>^-  =  A-a% 

le  moment  de  rotation  J  =:  wl    sa  trouve  multiplié  par  ^x  x  V'iJ^  =  V'ix^  ; 


les  deux  expressions 


o2y  j^ 

"M    '        \W 


ne  changent  pas.  C'est  dire  que  h  forme  des  surfaces  de  niveau  ne 
dépend  que  de 

si  l'on  adopte  comme  variables  définissant  la  nébuleuse  M,  V  et  o)  ; 
elle  ne  dépend  que  de 

J" 
VM^  ' 

si  l'on  adopte  comme  variables  ^I,  V  et  J.  A  la  surface  lenticulaire  à 
arête  saillante  (engendrée  par  la  révolution  de  la  méridienne  à  points 
doubles;,  correspondront  toujours  pour  ces  expressions  deux  valeurs 
bien  déterminées  A  et  B.  Toutes  les  fois  donc  que  nous  aurons 

oi-\  Jfi 

nous  dépasserons  cette  surface  lenticulaire  et  la  surface  libre  s'ou- 
vrira à  l'équateur.  Nous  aurons  donc  abandon  de  molécules  et  forma- 
tion d'un  anneau  de  Laplace. 

21.  Que  se  passera-t-il  par  suite  du  refroidissement  de  notre  nébu- 
leuse!» La  masse  M  du  no}au  et  le  moment  de  rotation  J  resteront 
constants,  tandis  que  Y  diminuera  ;  donc 

augmentera  et  dépassera  la  limite  B  :  il  se  formera  un  anneau.  Si  le 
refroidissement  restait  uniforme,  ce  processus  serait  conliiui,  et  nous 
aurions  une  plage  continue  de  vapeurs  abandonnées  dans  tout  le  plan 
de  l'équateur,  et  non  pas  une  série  discrète  d'anneaux  séparés  les  uns 
des  autres. 


AN\L\SE    DE    L  IIYPOTIIUSE    DE    LAPLVCE 


Pour  expliquer  la  formallon  successive  des  anneaux,  il  faut  donc 
supposer,  avec  Roche,  que  le  refroidissement  n'est  pas  uniforme. 
Supposons  d'abord  le  refroidissement  purement  superficiel.  V  dimi- 
nuera, mais  fj)  ne  variera  pas  sensiblement,  le  moment  d'inertie 
n'ayant  guère  changé,  car  la  densité  de  l'atiuosphère  est  très  faible. 
Quant  à  M  il  reste  toujours  constant.  Donc 

M 

diminuant,  il  ne  se  formera  pas  d'anneau.  Si,  au  contraire,  le  refroi- 
dissement est  central,  V  demeurera  constant,  tandis  que  o)  ira  en 
croissant  par  suite  de  la  condensation  du  noyau  qui  diminue  le  mo- 
ment d'inertie.  Donc 

M 

ira  en  augmentant,  dépassera  la  limite  \,  et  il  y  aura  production 
d'un  anneau. 

Mais  un  refroidissement  central  ne  sera  pas  suivi  iinincdialenienL  de 
la  formation  d'un  anneau.  En  effet,  par  suite  d'une  condensation 
centrale,  la  vitesse  de  rotation  du  noyau  augmentera,  celle  de  la  partie 
superficielle  demeurant  la  même  au  moins  pendant  un  certain  temps, 
car  il  faut  un  certain  temps  pour  que  le  frottement  parvienne  à  com- 
muniquer à  la  périphérie  la  vitesse  angulaire  que  possède  le  noyau. 
Or,  la  vitesse  angulaire  oj,  qui  importe  pour  la  formation  d'un 
anneau,  c'est  celle  de  la  superficie.  Pendant  un  certain  intervalle  de 
temps,  oj  et  Y  restent  donc  constants,  et  il  ne  se  forme  pas  d'anneau. 

22.  Gomment  expliquer  ces  alternances  de  refroidissement  central 
et  de  refroidissement  superficiel?  Supposons  que  notre  nébuleuse  ait 


atteint  la  forme  lenticulaire  ABA'B'  {fig.  3),   puis,  qu'elle  se  con- 
tracte et  arrive  à  la  nouvelle  forme  lenticulaire  AjBiViB  i   :   il   se 


"26  IIÎPOTIIÈSES    COSJrOGO?JinUES 

produit  alors  un  anneau  cqualorial.  En  même  temps  une  portion  de 
fluide  almospliérique  en  excès  descend  des  pôles  vers  l'équateur, 
mettant  ainsi  brusquement  à  nu  une  nouvelle  couche  A,B,A'i  B'i, 
qui  va  se  refroidir  rapidement.  Donc  l'instant  de  l'abandon  d'un 
anneau  est  immédiatement  suivi  d'une  période  de  refroidissement 
superficiel,  pendant  laquelle  il  ne  se  formera  pas  d'anneau.  Cette  pé- 
riode durera  jusqu'à  ce  que,  le  refroidissement  ayant  gagné  les  parties 
centrales,  le  même  mécanisme  puisse  se  renouveler.  Nous  compre- 
nons ainsi  que  les  anneaux  aient  pu  se  produire  dune  manière 
discontinue. 

23.  D'après  la  loi  de  Bode,  la  planète  de  rang  n  se  trouve  à  une 
dislance  Xn  du  Soleil  donnée  par  la  formule 

x„  =  a  -\-  h", 

a  el  b  étant  deux  constantes.  Donc,  au  moment  de  l'abandon  des 
anneaux  successifs,  le  rayon  équatorial  de  la  nébuleuse  solaire  devait 
être  représenté  par  cette  formule.  D'autre  part,  en  vertu  de  la  loi 
exponentielle  du  refroidissement,  ce  rayon,  variable  avec  le  temps  t, 
devait  être  représenté  par  une  expression  telle  que 

a  +  Pe-H 

a,  Ij,  /.  étant  trois  constantes.  Par  suite,  l'époque  /  de  l'abandon  de 
l'anneau  de  rang  n  est  donné  par  l'équation 

a  -h  fc"  =;  a  -h  Pe"'''. 

Or,  attribuer  à  n  une  suite  de  valeurs  entières  dans  le  premier  membre 
de  cette  équalioTi,  revient  à  attribuer  à  /,  dans  le  second  membre,  des 
valeurs  équidislanles.  Donc  les  époques  où  la  nébuleuse  solaire  a 
abandonné  les  anneaux  successifs  ont  du  croître  en  progression  arith- 
métique. Telle  est,  dans  l'ordre  d'idées  qui  nous  occupe,  la  signifi- 
cation de  la  loi  de  Bode. 

24.  Revenons  à  noire  nébuleuse  cpii  abandonne  un  anneau  en 
passant,  par  contraction,  de  la  forme  lenticulaire  \BA'B'  à  la  nou- 
velle forme  lenticulaire  AiBiA',B'i  \  fi'/.  ")).  11  y  a  lieu  de  remarquer 
■que,  seules,  les  molécules  qui  se  trouvaient  déjà  au  voisinage  de 
l'équateur  contribueront  à  former  cet  anneau,  car  les  molécules  de  la 


A>\MSE    DE    L  lITPOTIIKSr    DE    I  VPI.ACE 


porlion  tle  fluitlc  aluiospliérique  en  excès  qui,  des  pôles  descend  vers 
l'équaleur  en  s'écoulanl  sur  la  surface  libre,  possédaient  priinilivement 
une  vitesse  linéaire  de  circulation  d'autant  plus  petite  qu'elles  étaient 
plus  voisines  du  pùle.  Celle  vitesse  linéaire  tendra  à  diminuer  (en  vertu 
de  la  loi  des  aires)  quand  la  molécule  se  rapprochera  de  l'équateur. 
Les  molécules  q»ii  alTluenl  ainsi  vers  l'équateur  ne  possèdent  donc 
pas,  en  y  arrivant,  la  vitesse  nécessaire  pour  décrire  un  cercle,  mais 
une  vitesse  moindre.  Chaque  particide  A  jiarlira  donc  langentiellement 
à  l'équateur  et  décrira,  dans  le  plan  de  cet  équateur,  une  ellipse  AA' 
{fin.  G  ,  de  lover  o,  d'autant  [)lus  excentrique  que  sa  vitesse  à  l'a- 
phélie A  est  plus  faible.  Les  particules  qui  partent  ainsi  successive- 
ment de  A  n'ont  pas  toutes  la  même  vitesse  tangentielle  ;  mais  toutes 
celles  (pii  sont  animées  d'une  même  vitesse  langentielic  décrivent  la 
même  ellipse  et  donnent  une  Iniincc  clltiHi<jiu'  intérieure  à  l'atmos- 
phère de  la  nébuleuse.  Il  y  a  ainsi  dans  le   plan  de   l'équateur  des 


f"J-  6. 
tramées  elliptiques,  de  toutes  orientations  et  de  grandeurs  diverses, 
qui  se  croisent  entre  elles.  Les  chocs  résidtant  de  la  coexistence  de 
toutes  ces  traînées  finiront  bientôt  par  détruire  les  vitesses  radiales  et 
par  ne  laisser  subsister  que  la  vitesse  angulaire  de  circulation.  L'en- 
semble des  particules  (inira  par  constituer  un  système  de  cercles  con- 
centriques que  Roche  a  appelé  anneau  intérieur,  parce  que  ses  parti- 
cules se  meuvent  à  l'intérieur  de  l'atmosphère  et  décrivent  des  cercles 
dont  le  rayon  est  plus  petit  que  celui  de  l'équateur. 

Suivant  les  circonstances,  un  tel  anneau  intérieur  pourra,  ou  bien 
subsister,  si  la  résistance  qu'oppose  l'atmosphère  au  mouvement  cir- 
culairo  de  ses  particules  est  faible;  ou  bien  se  détruire,  si  la  résistance 
du  milieu  atmosphérique  est  assez  forte  pour  faire  tomber  ses  particules 
vers  le  centre.  .C'est  principalement  pour  expliquer  la  formation  de 
certains  satellites  que  Uoche  a  fait  jouer  un  rôle  aux  anneaux  inté- 
rieurs. 


28 


IIYIIOTIIKSES    COS.MOGOMQUES 


Remarquons  que  la  formalion  des  traînées  elliptiques  Aworise  les 
allernatives  entre  le  refroidissement  superficiel  et  le  refroidissement 
central,  des  particules  primitivement  superficielles,  et  par  suite  froides, 
tombant  vers  le  centre.  Remarquons  aussi  qu'avec  les  anneaux  inté- 
rieurs, RociiE  abandonne,  au  moins  en  partie,  la  conception  primitive 
de  Laplace,  c'est-à-dire  la  conception  d'une  nébuleuse  entièrement 
gazeuse.  Si,  en  efTet,  un  anneau  intérieur  était  gazeux,  il  se  mélan- 
gerait par  dilTusion  au  reste  de  l'atmosphère  et  ne  pourrait  jamais 
subsister.  Il  faut  supposer  que  cet  anneau  est  formé  par  des  poussières 
météoriques  tenues  en  suspension  par  le  gaz  de  la  nébuleuse. 


IV.  —  Discussion  de  l'hypothèse  d'une  rotation  uniforme. 

25.  La  conception  de  Laplace  repose  sur  le  fait  que  la  nébuleuse 
est  animée  d'une  rotation  uniforme,  due  au  frottement  des  couches 
atmosphériques  les  unes  sur  les  autres.  C'est  aussi  le  frottement  qui, 
d'après  Laplace,  doit,  dans  les  anneaux,  augmenter  la  vitesse  des 
molécules  extérieures  et  diminuer  celle  des  molécules  intérieures,  jus- 
qu'à rendre  uniforme  la  vitesse  angulaire  de  l'anneau  (fig.  i,  p.  lo). 

Le  frottement  est-il  vraiment  capable  de  [)roduire  ces  elTets?  L'ob- 
servation nous  enseigne  que,  malgré  les  frottements,  l'atmosphère  du 
Soleil  et  les  atmosphères  des  planètes  ne  possèdent  pas  une  rotation 
uniforme.  D'ailleurs,  Heljiholtz  a  montré  combien,  pour  de  grands 
volumes  fluides,  l'influence  des  Irottements  est  longue  à  se  faire  sentir. 
Ecrivons,  en  elTet,  les  équations  de  l'hydrodynamique  : 


Y  A", 

tAh-, 
■  o; 


(3) 


(/!'         I  dp  \  (/({             du 

dx        p  dxj         dt             dx 

du             du 

dy             dz 

dP        I  dp\        du            d» 
dy  "^  p  dy)  ~~  dt    "^  "  dx  ~^ 

du                   d'J 

dy              dz 

dP         I  dp\         div            dut 
d:  '^  p  d:)  ~'dl  "^  "  J.r  ^ 

dut            div 
"  dy  -^  '"  ^7 

do         d    ,     .          d 
dt         dx  ^'    '         dy 

»  +  i  (?'") 

les  trois  premières  sont  les  équations  de  ?\avieii,  la  dernière  est  l'équa- 
tion de  continuité. 

Dans  ces  équations  P  désigne  le  potentiel  des  forces  extérieures,  /> 


ANALYSE    DE    l'hYPOTIIKSE    DE    LAPLACE  29 

la  pression,  o  la  dcnsilé,  y  le  coelliclenl  tic  \Uco^ilé,  u,  v,  w  les  com- 
posanles  de  la  ^ilesse. 

Si,  clan:^  les  équalions  (3),  nous  multiplions 

X,  Y,  :,  t,  Y 

par  une  même  conslanlc  n,  et  que  nous  ne  changions  pas 

P,  p,    Z,    U,    V,   U', 

ces  équalions  ne  chan^^ent  pas. 

Si  donc  nous  considérons  deux  \olumes  fluides  Y,  et  V^  liomotlié- 
tiques  l'un  de  l'autre  dans  un  rapport  n,  et  qu'aux  points  homologues 
nous  avons  les  mêmes  valeurs  initiales  de 

1\  p,  ?,  ",  V,  't-; 

si,  en  outre,  le  coeflicient  de  viscosité  7  est  n  fois  plus  grand  pour  le 
second  volume  que  pour  le  premier,  les  phénomènes  produits  au  hout 
du  temps  /  pour  le  premier  volume  se  produiront  pour  le  second  au 
hout  du  temps  ni.  Le  frottement  agira  donc  plus  lentement  sur  le 
second  volume  que  sur  le  premier,  hien  que  la  viscosité  du  second 
volume  soit  plus  forte. 

Hei.muoltz  a  reconnu  que,  pour  une  atmosphère  de  S  kilomètres 
d'épaisseur,  le  temps  nécessaire  pour  réduire  par  le  iVottement  de 
moitié  une  différence  de  vitesse  est  de  '-xi~'\~  ans,  soit  4io'*.  Ici 
l'épaisseur  de  notre  atmosphère  est  le  rayon  de  l'orbite  de  Neptune, 
soit  4-10^  kilomètres;  le  temps  nécessaire  pour  réduire  les  différences 
de  vitesse  de  moitié  serait  donc 

Zl.io*.  ^o—  =  2.10'' 

années,  avec  un  coefficient  de  viscosité  —0—  plus  grand  que  celui  de 
notre  atmosphère  ;  avec  le  même  coefficient  de  viscosité,  cela  Icrait 

2.10'^   -^ —  =   IO-- 

années.  Il  faut  donc,  si  l'on  veut  que  la  rotation  ait  pu  se  maintenir 
sensiblement  uniforme,  que  le  processus  de  refroidissement  et  de  pro- 
duction des  anneaux  ait  été  excessivement  lent. 


3o 


H  ïPOTIli;SES    COSMOGO.MOLES 


26.  Cette  faiblesse  de  l'induence  du  tVoltement,  quand  il  s'agit  de 
grands  volumes  fluides,  nous  conduit  à  reclierclier  s'il  ne  serait  pas 
possible  d'abandonner  l'iiypollièse  d'une  rotation  uniforme  de  la  né- 
buleuse, et  à  étudier  les  diverses  hypothèses  que  l'on  pourrait  faire  sur 
la  distribution  des  vitesses  angulaires.  Cette  question  présente  beau- 
coup d'analogie  avec  le  problème  suivant  :  Quelle  sera,  dans  une 
atmosphère  (par  exemple  l'atmosphère  terrestre),  la  distribution  sta- 
tionnaire  des  températures  ?  On  pourrait  dire,  d'une  part,  que  si  la 
température  initiale  de  l'atmosphère  n'est  pas  uniforme,  elle  le  devien- 
dra bientôt  par  suite  de  la  conductibilité  :  l'état  d'équilibre  des  tem- 
pératures de  l'atmosphère  serait  donc  l'état  isotherme.  On  pourrait 
penser,  d'autre  part,  supposant  la  conductibilité  négligeable,  que  les 
mouvements  internes  de  l'atmosphère  et  les  brassages  qui  s'y  pro- 
duisent finiront  par  déterminer,  pour  les  températures,  l'état  d'équi- 
libre dit  adiabaliqiie . 

L'observation  montre  que  dans  les  couches  les  plus  basses  de 
l'atmosphère,  jusqu'à  lo  kilomètres  environ,  on  suit  la  loi  adiabatique 
parce  que  ces  couches  sont  brassées  constamment  par  les  grandes 
perturbations  et  les  cyclones.  Plus  haut,  on  retrouve  la  loi  isother- 
mique ;  plus  haut  encore,  on  ne  sait  rien.  Quoique  ni  l'un  ni  l'autre 


des  deux  états  ne  soit  cfTccliNement  réalisé  par  ratmos[)hèrc,  nous 
pouvons  essayer  d'étendre  ces  considérations  à  la  distribution  des  ro- 
tations dans  une  masse  fluide  tournant  autour  d'un  axe  de  révolution 
x'x  [fifj.  7).  Décomposons  par  la  pensée  la  masse  fluide  en  une  infi- 
nité d'anneaux  très  déliés,  tels  que  AA',  tournant  indépendamment 
autour  de  x'x.   Chaque  anneau  possédera  une  vitesse  angulaire  oj,  et 


ANALTSE    DE    l'iI YPOTUÈSE    DE    LVPL.VCE  3» 

celle  vilesse  w  vaiieia  d'un  anneau  à  l'autie.  Si  nous  admettons  qu'il 
y  ait  froltcuient  des  divers  anneaux  les  uns  sur  les  autres,  il  y  aura 
tendance  à  l'uniformisation  des  vitesses  angulaires,  et  o)  deviendra 
bieiilùl  le  même  pour  toute  la  masse  qui.  finalemenl,  louiiieia  d'une 
seule  [lièce.  Cetclal  final  correspond  à  l'équilibre  i^ulliermc  de  l'almos- 
phcre  dont  nous  venons  de  [)arler,  le  rroltemcnl  jouant  ici  le  rôle  quc^ 
jouait  plus  haut  la  c  iiiductibililé  thermique. 

Su|)posons  au  contraire  que,  le  frottement  étant  négligeable,  notre 
masse  fluide  soit  le  siège  de  brassages  intérieiirs,  (ces  brassages  étant 
supposés  conserver,  pour  simplifier,  la  symétrie  de  révoluùon  de 
noire  masse  aiilour  de  x'x).  Dans  ce  cas  le  moment  de  rotation  de 
chaque  anneau  demeurera  constant  ;  et,  si  on  ap[)elle  R  la  distance  de 
chaijuc  molécide  à  l'axe  de  rotation,  l'état  permanent  de  di^lribulion 
des  vitesses  angulaires  sera  défini  par  l'équation 

wR-  =  const. 

Cet  étal  (que  nous  pourrons  encore  appeler  adiabaliquc)  est  analogue 
à  l'équilibre  adiabalique  des  températures  :  chaque  anneau  emportant 
avec  lui,  dans  son  (lé[)lacemont,  son  moment  de  rotation,  comme  tout 
à  l'heure  chaque  particule  de  l'atmosphère  conservait  la  même  quan- 
tité de  chaleur. 

Remarquons  que,  dans  celle  distribution  adiabalique  des  rotations, 
on  aurait  oj  =  x  sur  l'axe  de  rotation.  Cet  état  n'est  donc  qu'un 
élat  limite  idéal,  doiil  on  pourra  s'a[)[)rocher  plus  ou  moins;  il  corres- 
pond au  cas  d'un  tourbillon  recliligne  dirigé  suivant  l'axe. 

27.  Etudions  les  conditions  d'équilibre  d'une  telle  masse  fluide 
tournant  d'un  mouvement  permanent  autour  d'un  axe  de  révolution 
ox  {Ji'j.  7),  la  vilesse  angulaire  oj  n'étant  plus  constante,  mais  variant 
d'un  anneau  A.V  à  l'autre.  Xous  reprenons  les  équations  (3)  de  l'hy- 
drodynamique dans  lesquelles  nous  faisons  y  =  o,  car  dorénavant 
nous  négligerons  le  frottement.  Les  trois  premières  équations  (3)  de- 
viennent alors  les  équations  bien  connues  d'EuLEu.  Chaque  molécule 
tournant,  par  hypothèse,  autour  de  ox  avec  une  vitesse  angulaire  o), 
nous  devons  faire 

U  ^  o,       l'  =  — -  lùZ,       W  =  (OJ, 


32  HYPOTHÈSES    COSMOGOMQLES 

et  les  trois  premières  équations  (3)  deviennent 


(A) 


dp     I  dl)  _ 

dx        p  dx 

=  o, 

dP        I  dp  _ 

dy         p  dy 

=  W'V: 

dP         I  dp 

'dï  '^  pdz  " 

=   0/2., 

Dans  le  cas  d'isotliermie,  p  et  p  sont  reliés  par  la  loi  de  Mauiotte  ; 
dans  le  cas  d'adiabatic  ils  sont  reliés  par  une  autre  formule  ;  mais, 
dans  les  deux  cas,  /)  est  fonction  de  ^  et 

'^P  =  du 

p 

est  une  différentielle  exacte.  Multipliant  les  équations  (4)  respective- 
ment par  dx,  dy,  dz  et  ajoutant  les  résultats  obtenus,  nous  trouvons 

dP  +  du  =  i.'>~{ydy  -\-  zdz), 

qui  s'écrit 

(5)  (i(P+  ll)  =  a)2iyR, 

en  appelant 

R  =  /Tm^ 

la  distance  d'un  point  à  l'axe  de  révolution. 

Le  premier  membre  de  l'équation  (5)  étant  une  différentielle  exacte, 
il  en  est  de  même  du  second;  donc  fjj  ne  doit  dépendre  que  de  R  et 
nous  pouvons  poser 

io2R  =  o\l\)  ; 

l'équation  (5)  s'écrit  alors 

d{P  -{-U)  =  d'i, 

ce  qui  nous  donne  l'intégrale 

P  H-  n  —  ç  =:  const. 

Les  surfaces  d'égale  pression,  qu'on  peut  encore  appeler  surfaces  de 
niveau,  s'obtiendront  en  donnant  à  FI  une  valeur  constante;  elles  au- 
ront donc  pour  équation 

o  —  V  =  G. 


ANVI.YSE    DE    l.'ll YPOTIIKSE    DE    LAPLACE  33 

Dans  riiypolhèsc  d'un  noyau  très  condensé  de  masse  M,  nous  pou- 
vons écrire 

P  =  _  ^^ 

;• 

ce  qui  donne  pour  éfpi.ilion  dos  surfaces  d'égale  pression 

r 

Les  méridiennes  de  ces  surfaces  s'obliendronl  en  faisant  z  ^  o  dans 
cette  équation,  ce  qui  donne 

»(v)-+--=!i=  =  C. 
\/x^  -t-  j- 

Telle  est  donc  l'équation  des  méridiennes  des  surfaces  de  niveau 
lorsque  la  vitesse  angulaire  o)  n'est  [)lus  constante,  mais  varie  avec  la 
dislance  à  l'axe  de  révolution  suivant  la  loi  représentée  par 

u,n\  =  o'(U). 

28.  La  forme  de  ces  méridiennes  dépend  essentiellement  de  la 
lonction  's.  Dans  le  cas  adopté  par  Laplace  et  par  Rociii:,  oj  est  cons- 
tant; alors 

?sous  retombons  sur  l'équation 

Al 

=  c 


>Y  ^       M 


^  y/a;-  -+-  y- 

qui  a  donné  les  courbes  représentées  parla  figure  2  (p.  16). 

Si  nous  supposions  que  la  distribution  des  vitesses  angulaires  suit 
la  loi  adiabatique,  nous  aurions,  Q.  étant  une  constante,  les  équations 

et 

L'équation  des  méridiennes  serait  alors 

Q-    .  M 


2J'  V'X-^  -h  f 


PûINCARÉ. 


34 


lIÏPOTHtSES    COSMOGÛMQUES 


ce  qui  donnerait  les  combes  représentées  par  la  figure  8,  Les  surfaces 
de  niveau  auraient  donc  des  formes  toutes  différentes  ne  se  prêtant 
pas  à  la  formation  d'anneaux. 

Remarquons  que,  dans  le  cas  de  la  figure  2,  si  l'on  parcourt  l'axe 
oy  depuis  0  jusqu'à  l'inlini,  la  constante  C  commence  par  décroître, 
puis  elle  passe  [)ar  un  minimum  au  point  double  A  et  croit  ensuite 


Jhj.  8. 

indéfiniment.  Au  contraire,  dans  le  cas  de  la  figure  (S,  la  constante  G 
part  de  —  ce  ,  passe  par  un  maximum  au  point  A,  et  ensuite  décroît. 
Donc,  lorsque  la  quantité 

M 

y 


(6) 


?(r) 


passera  par  un  minimum,  quand  y  varie  de  o  à  +  00,  les  méridiennes 
présenteront  un  point  double  et  il  y  aura  formation  d'anneaux  de 
Laplace.  Lorsque  cette  quantité  passera  par  un  maximum,  les  méri- 
diennes affecteront  une  forme  analogue  à  celle  de  la  ligure  8,  incom- 
patible avec  la  production  d'anneaux. 

Dans  les  deux  cas,  qu'il  y  ait  maximum  ou  minimum,  la  dérivée 
première  de  la  quantité  (6)  s'annulera  au  point  correspondant  : 


^(r)-p==o. 


ce  qui  s'écrit 


y' 


o  ; 


AXM.ïSE   i>E   l'iiypotiiksi-:   de   L\rL.»CE  35 

•donc  en  ce  point  la  force  ccnlrifuge  fait  équilibre  à  la  pesanteur.  Mais 
il  n"v  aura  minimum,  t-t  par  suite  l'ormalion  possible  d'anneaux,  que 
>i  la  dérivée  seconde  est  positive,  c  esl-à-dire  si 

O)*  -^-  2(o(.)  V  -I — n-  ■>  G, 
V* 

•ce  qui  s  ecriljCn  rcni[)i.'i(;ant   ,j  par  son  égal  oj-, 

3(0*  -f-   2(0<.j'v  >  G. 

'Cette  condition  cx[)rime  simplement  que  l'expression 


croît  avec  }'.  Cette  condition  n'est  pas  réalisée  dans  la  distribution 
.dite  adiabatique  des  vitesses,  puisqu'alors  on  a 

tov"^  =  const. 

Nous  voyons  donc  que,  pour  expliquer  la  formation  des  anneaux 
-de  Laplace,  il  est  absolument  nécessaire  de  supposer  qu'on  est  très 
loin  de  l'adiabatie,  et  qu'on  se  ra[)proclic  d'une  rotation  uniforme  de 
la  nébuleuse. 

V.  —  Étude  de  la  stabilité  d'un  anneau.  Anneaux  de  Saturne. 

29.  Quoi  qu'il  en  soit  des  discussions  précédentes,  supposons  qu'un 
anneau  ait  été  formé  et  examinons  les  conditions  de  sa  stabilité. 

La  question  a  été  principalement  étudiée  pour  la  constitution  et  la 
stabilité  des  anneaux  de  Saturne.  On  peut  faire  sur  la  constitution  de 
ces  anneaux  trois  liypolbèses  :  ils  sont  solides,  ou  fluides,  ou  formés 
d'astéroïdes  indépendants  très  nombreux  circulant  autour  de  la  pla- 
nète. ÎSous  allons  voir  qu'il  faut  rejeter  les  deux  premières  bypothèses 
pour  des  raisons  mécaniques.  La  troisième  bypollièse,  proposée  déjà 
par  Cassim  en  lyiô,  mais  sans  preuves  à  l'appui,  semble  confirmée 
par  l'expérience  :  l'anneau  intérieur  de  Saturne  est  en  elVet  transpa- 
rent et  la  lumière  le  traverse  sans  trace  de  réfraction;  ce  n'est  donc 
pas  un  milieu  continu.  Les  observations  spectroscopiques  montrent, 
de  plus,  "que  la  vitesse  d'une  molécule  de  l'anneau  n'est  pas  la  même 
sur  le  bord  interne  que  sur  le  bord  externe. 


30  inroTiiKSES  cosmogomques 

30.  Travaux  de  Lapla.ce  et  de  IIir>.  —  Laplage,  supposant  les 
anneaux  de  Saturne  solides,  a  fait  remarquer  que,  si  ces  anneaux 
étaient  parfaitement  réguliers,  ils  seraient  nécessairement  instables, 
car  un  anneau  solide  régulier,  sous  l'influence  du  plus  faible  déplace- 
ment provoqué  par  la  cause  la  plus  légère,  tendrait  à  tomber  sur  la 
surface  de  la  planète. 

Supposons,  en  eff'et,  que  le  centre  de  Saturne  soit  en  o,  le  centre 
de  l'anneau  déplacé  étant  en  C  {Jig.  9).  Soit  ab  la  corde  perpendicu- 
laire en  0  à  oC.  11  est  clair  que  l'altraclion  de  la  planète  sur  un 
aie  tel  que  mit,  l'emporte  sur  son  attraction  sur  un  arc  tel  que  m'n'. 


Donc  le  segment  amnb  de  l'anneau  est  plus  attiré  par  Saturne  que  le 
segment  an'm'b.  L'anneau  tendra  par  conséquent  à  s'excentrer  davan- 
tage et  à  se  joindre  à  Saturne.  Donc  un  anneau  solide  ne  peut  être 
stable  que  s'il  est  suffisamment  irrégulier. 

ILux  s'est  demandé,  d'autre  part  ('),  dans  l'bypotbèse  d'anneaux 
solides,  quelle  résistance  on  devrait  attribuer  à  ces  anneaux  pour 
qu'ils  ne  soient  pas  brisés  par  l'attraction  des  satellites.  Il  est  arrivé 
à  cette  conclusion  :  aucun  corps  connu,  si  rigide  ou  si  tenace  qu'on 
le  suppose,  ne  saurait  résister,  sans  se  rompre,  aux  ellorts  qu'il 
aurait  à  supporter. 

31.  Calculs  de  Maxwell.  —  J.  Clerk  Maxwell  avait  aussi  trouvé 
que  les  anneaux  de  Saturne  ne  pouvaient  être  solides,  car  leur  stabi- 
lité exigerait  alors  des  irrégularités  si  grandes  qu'elles  sont  inad- 
missibles. Il  examine  donc  l'hypothèse  qui  (ad  des  anneaux  de  Sa- 
turne une  multitude  d'astéroïdes  indépendants  :  il  les  assimile  à  des 
cordons   de  perles  disposées  circulairement  autour  de  la   planète  et 

(M  IIihn  :  Mémoire,  sur  les  conditions  d'ôijuilibre  cl  sur  la  nature  probable  des 
cnneaux  de  Saturne,  iS-^i. 


ANALYSE    DE    l'hYPOTIIK-E    DE    F.  VPL\<:E  $7 

alïectccs  de  vagues  régulièies,  soit  dans  le  sens  du  rayon,  soit  dans 
le  sens  transversal  ;  chaque  perle  est  un  petit  satellite.  Puis  il  cherche 
les  conditions  pour  que  l'amplitude  de  ces  vagues,  nées  des  pertur- 
bations, ne  croisse  pas  indéfiniment,  ^oici  les  grandes  lignes  de 
l'analyse  de  ^IA\^^EI,l.  ('). 

32.  i*icnons  d'abord  p  satellites  IV  i^.  •••'  1*/-.  Je  même  masse  v.M 
(M  désignant  la  masse  de  Saturne),  équidislanls  sur  un  même  cercle 


J]çj.    lO. 

de  rayon  a  concentrique  à  Saturne  {fuj.  lo).  La  distance  2  5  de  deux 
satellites  voisins  sur  ce  cercle  est  une  constante  : 

P 

Ln  mouvement  possible  est  celui  où  chaque  satellite  parcourrait  le 
cercle  avec  une  même  vitesse  angulaire  'a  déterminée  par  l'attraction 
de  la  planète  à  laquelle  s'ajoute  la  force  centrale  due  à  l'attraction  de 
tous  les  autres  satellites.  Appelions  ce  moxwcxnenl  moiwc ment  normal, 
et  cherchons  un  mouvement  plan  peu  dillcrent  de  celui-là.  Désignons 
par 

le  rayon  vecteur  du  satellite  P,,  et  par 

l',-  =  2  tO    +    0)1   H-    7,- 


[*  ]  Maxwell  :  On  Ihe  staOility  of  ihe  molion  of  Satuni's  rings.  Cambridge,    iSijQ. 
Maxwell'  s  Scienli[ic   Papers,    t.    I,   p.    288-376.  Voir  aussi  Tisseuand  :  Traité  de 
Mécanique  Céleste,  t.  II,  (lliap.  xii;  et  II.  Poincauk  :  Figures  d'équilibre  d'une  masse 
jluide,  Chap.  viii    Paris,  (laulhier-Villars,  1900  , 


38  HVPOTIIKSES    COSMDGONIQUES 

son  angle  polaire.  Dans  le  mouvement  normal  non  troublé,  on  aurait 

p;  =  G,  a,  =  G  ; 

et  dans  un  mouvement  peu  dilTérent,  o,  et  7,  seront  petits;  nous  négli- 
gerons leurs  carrés  et  produits. 

Écrivons,  en  coordonnées  polaires,  les  équations  de  mouvement  de 
l'un  quelconque  des  satellites,  par  exemple  da  satellite  \\  : 

\       W~'''\dl!   ~        r|+  dr,  ' 
^^^  ''      d^Vj  dv,  dr,  _  i  JK, 

'■'   di'   +  ^   (//   "(//   ~  /•,   dv,  ' 


M  désigne  la  masse  de  Saturne,  et 


j=p 


K,  =  V 


[jiM 


_    V^d  -^  r)  —  2  r^i-j  (cos  Vj  —  v^) 

est  le  potentiel  perturbateiu'  dû  à  laltraction  de  tous  les  autres  sa- 
tellites sur  le  satellite  Pi.  fNous  négligeons  les  attractions  exercées 
sur  Saturne  par  les  satellites,  attractions  qui  se  compensent  d'ailleurs 
presque  exactement.) 

Chaque  satellite  donne  ainsi  deux  équations  telles  que  les  équations 
(i)  :  il  Y  a  donc  en  tout  2j)  équations  entre  les  O;  et  les  c,.  Ces  équa- 
tions devant  admettre  la  solution 

pi  =  O,  ff.-  =  G, 

les  termes  indépendants  des  o,  et  des  Ci  dans  ces  équations  se  détrui- 
ront et  disparaîtront  d'eux-mêmes.  Si,  dans  ces  2/)  équations  (i) 
nous  ne  conservons  que  les  termes  du  premier  ordre  par  rapport  auv 
pi  et  aux  cTm  nous  obtenons  les  équations 

{  a-     a  j, 

où  nous  avons  désigné  par 

I   rf(oR,)  i  rf[olV| 

a      dji     ''  a      di, 


ANALYSE    DE    l'iI  YP<  > TIIKSE    DE    LAPLACE  Sq 

les  parties  de 

qui  dépendent  elTedivement  des  o,  et  des  cr..  Les  seconds  n»end)res 
des  équations  '2  sont  des  fonctions  linéaires  des  c,  et  des  7,,  puisque 
nous  nous  en  tenons  aux  termes  du  [)rouiicr  ordre.  Les  équalrons  (2) 
forment  un  système  d'équations  dillércnliellos  linéaires  à  cocIVicients 
constants.  On  pourrait,  suivant  la  méthode  classique,  les  intéj^'rer  par 
des  exponentielles  de  la  forme 

^  p,  =r  ll,e>:(. 

Substituant  ces  valeurs  dans  les  équations  (2),  on  aurait  un  ensemble 
de  2/)  équations  linéaires  homogènes,  entre  lesquelles  on  éliminerait 
les  11,  et  les  K,.  On  trouverait  ainsi  une  équation  de  degré  '\p  en  N. 
A  chaque  racine  N  correspondrait  pour  les  équations  (2)  une  solution 
de  la  forme  (3).  Pour  que  le  mouvement  normal  soit  stable,  il  est 
nécessaire  que  0,  et  7,  restent  toujours  petits.  Par  suite,  il  laudrait 
écrire  que  toutes  les  valeurs  de  N  ont  leur  partie  réelle  négative  ou 
nulle.  Cette  méthode  serait  longue,  aussi  Mvxwkll  procède-t-il  in- 
directement. Il  cherche  pour  les  équations  (2)  une  solution  [)articu- 
lière  de  la  forme 

(  Pi  =  A  cos  {t  -^-  2  7îO  +  nt), 
^^  (  cr;  =  B  sin  (a  H-  aytO    -  ni), 

où  A,  B,  n  et  a  désignent  des  constantes  et  y  un  entier  positif.  11  se 
trouve  que,  si  l'on  substitue  à  0,  et  à  7j  ces  valeurs  (4),  les  seconds 
membres  des  équations  '2'  prennent  respectivement  la  forme 

(o-a[ALY  —  BM"]  cos    a  -h  2  7tO  H-  ni  , 
lo^ajAMy  -f-  BN"]  sin  (a  -+-  2-;  iO  +  nt), 

OÙ  L-.,  M-,  N-.  sont  trois  constantes  dépendant  de  l'entier  y.  La  subs- 
titution des  valeurs  (\)  dans  les  équations  (2)  conduit  donc  aux  deux 
équations 

S  3co-A  -h  2  oMiB  -i-  n'-\  =  w^afAL;  —  BM-;], 
■(  _  n'^B  —  o  (0 /lA  =  wV  [ÀMy  -h  B.\y], 


^JO  HYPOTIltsES    COSMOGONIQUES 

homogènes  en  A  et  en  B  et  propres  à  déterminer  n  et  le  rapport  .  , 

une  lois  choisi  l'entier  y  (').  Par  l'éliminination  de  A  et  de  B  on  obtient 
l'équation  en  n 

(5)      {n^  -f-  3  co2  _  io-^ixL..)  (/(»  +  (o2aN,p  _  (2  ^n  +  (o^aM.,)'  =  0. 

A  chaque  racine  n  de  cette  équation  du  quatrième  degré  corres- 
pond pour  les  équations  (2)  une  solution  de  la  forme  (4)-  Comme, 
dans  ces  formules  (/j),  y  peut  recevoir  une  série  de  valeurs  entières  (^), 
on  conçoit  la  possibilité  d'obtenir  ainsi  les  intégrales  générales  des 
équations  (a). 

33.  Remarquons  que,  pour  une  solution  simple  telle  que  la  solution 
(4),  la  position  et  la  vitesse  du  satellite  P^à  l'époque  /  sont  les  mêmes 
que  la  position  et  la  vitesse  du  satellite  P,_i  à  l'époque 

n 

On  peut  donc  dire  que  le  mouvement  se  communique  d'un  satellite  à 
l'autre  dans  le  temps 

n 
Chaque  solution  simple  représente  ainsi  une  onde  ou  vague  élémen- 
taire propageant  le  mouvement  avec  une  vitesse  angulaire  égale  à  -,  Le 

mouvement  total  est  la  superposition  des  mouvements  qui  corres- 
pondent à  plusieurs  ondes  élémentaires.  Les  ondes  les  plus  dange- 
reuses pour  la  stabilité  sont  les  ondes  courtes,  c'est-à-dire  celles  qui 
correspondent  aux  grandes  valeurs  de  y;  pour  de  telles  ondes,  en 
effet,  deux  satellites  voisins  pourraient  se  rapprocher  d'une  façon 
sensible,  et  leur  action  mutuelle  ne  serait  plus  très  petite  par  rapport 
à  l'action  de  Saturne. 

34.  Pour  que  le  mouvement  normal  soit  stable,  il  faut  que  toutes 
les  valeurs  de  n  soient  réelles    :   sinon  les  formules  (/j)  donneraient 

(')  Ces  deux  équations  sont  les  mêmes,  quel  que  soit  1  indice  i  du  satellite  que 
l'on  considère. 

(^)  Si,  par  exemple,  le  nombre  des  satellites  est  pair,  p  =  a*/,  il  sulTira  de  donner 
à  Y  les  valeurs  i,  a,  ..,q.  yV  riiacurie  de  ces  valeurs  correspondent  '1  valeurs  de  ;i, 
soit  en  tout  l\q  valeurs  de  n.  Or,  pour  chaque  valeur  de  n,  les  formules  ('1)  compor- 
tent deux  arbitraires  (savoir  a  et  un  facteur  constant).  On  obtient  donc  ainsi 
85  =4/^  constantes  arbitraires,  comme  l'exige  l'intégrale  générale  dos  équations  (y). 


A>ALYSE    DE    l'iIÏI  O  TIltsE    DE    LAPLACE  4  • 

pour  0;  et  7,  des  exponentielles  en  i  croissant  indéfiniment.  Montrons 
tout  d'abord  que,  si  le  nombre  des  satellites  est  lini,  on  peut  prendre  la 
masse  aM  de  chacun  d'eux,  et  par  suite  la  masse  totale  de  l'anneau, 
assez  petite  pour  assurer  la  réalité  de  toutes  les  valeurs  de  n.  En  eiïet, 
le  premier  membre  de  l'équation  (5)  en  n  est  de  la  forme 

]i-[n-  —  W-)  -t-  A[JL  H-  IV'- 
Ce  premier  membre  sera  donc  négatif  si,  a  étant  Irî-s  petit,  on  attribue 
à  n*  la  valeur  —  par  exemple.  Si  donc  on  substitue  à  n  dans  le  pre- 
mier membre  de  l'équation  (5)  les  valeurs 

(•)  w 

—  X)  , ~=         ,         G         ,         +7^         1        +<»  » 

\l  1  V'2 

on  trouvera  que  ce  premier  membre  prend  les  signes 

+     ,     —     ,     +     ,     —     ,-+-• 

Ces  quatre  changements  de  signe  prouvent  que  les  quatre  racines  de 
l'équation  (5)  sont  réelles.  Il  y  a  donc  stabilité  si  [j.  est  suffisamment 
petit.  Bien  entendu,  si  w  est  nul  il  y  aura  instabilité,  et  a  pourra  être 
d'autant  plus  grand  que  w  le  sera  lui-même  :  la  stabilité  croît  avec  la 
rotation,  comme  il  arrive  pour  une  toupie  ou  un  gyroscope. 

Si  m  =  'j.p  désigne  le  rapport  de  la  masse  de  tous  les  satellites  à  la 
masse  de  Saturne,  Maxaaell  a  montré  ainsi,  qu'il  laut,  pour  qu'il  y 
ait  stabilité,  que 

On  voit  que  si  le  nombre  p  des  satellites  augmente  indéfiniment,  leur 
masse  totale  mM  (c'est-à-dire  la  masse  de  l'anneau)  doit  tendre 
vers  zéro  ;  c'est  là  un  inconvénient  de  la  théorie  de  Maxwell  ;  mais 
c'est  un  inconvénient  artificiel,  car  l'hypothèse  d'un  grand  nombre  de 
petits  satellites  répartis  sur  une  seule  circonférence  est  trop  simple.  Il 
faudrait  supposer  une  distribution  des  satellites  occupant  un  certain 
volume  de  l'espace  ;  alors  la  difficulté  signalée  disparaîtrait. 

35.  Limi/e  supérieure  de  la  densilé  d'un  anneau  fluide.  —  Maxwell 
étend  son  analyse  au  cas  d'un  anneau  supposé  fluide.  Malheureuse- 
ment, dans  cette  partie  de  son  Mémoire,  les  raisonnements  manquent 
parfois  de  rigueur  et  même  de  clarté,  aussi  faut-il  les  considérer  seu- 


42  HÏPOTIIKSES    COSMOGONinUES 

lement  comme  im  aperçu,    dont    la    conclusion  semble  néanmoins 
devoir  être  acceptée. 

Décomposons  l'anneau  supposé  fluide  en  un  grand  nombre  de  tran- 
ches MXM'N  par  des  plans  méridiens  (y?^.  Il)  et  assimilons  chaque 


f"J-     TI. 

tranche  à  un  des  satellites   précédents   P,.    Il  s'agit  de  calculer  les- 
seconds  membres  des  équations  (2),  c'est-à-dire  (en  elTaçant  l'indice  /)• 

(h'       '         dji    ' 
On  peut  concevoir  que  la  quantité 

<I  rA\) 

puisse  être  faite  égale  à  zéro,  car  elle  représente  (à  un  facteur  près)  le- 
travail  élémentaire  du,  dans  un  déplacement  radial  de  la  tranche,  aux, 
inégalités  de  l'anneau  ;  or,  ce  travail  est  très  petit. 
Calculons  à  présent  la  quantité 

d{oï\) 

~dT' 

qui  représente  (à  un  facteur  près)  le  travail  élémentaire  dû  aux  iné- 
galités de  l'anneau,  dans  un  déplacement  tangentiel  de  la  tranche. 

Appelons  D  la  densité  du  lluidc  dans  le  mouvement  normal  et 
D  H- c?D  sa  densité  dans  le  mouvement  troublé.  Le  théorème  de 
Poisson  donne 

A(R4-SR)  =  — /i-(D  + oD), 

c'est-à-dire 

(5)  A(oR)  =  -/i:r(8D). 


A^\LTSE    DE    I.'llYPOTIlKSE    DE    LVI'LACE  /j5- 

puisque  dans  le  mouvement  normal  on  a 

A[\  =  — /i-l). 

Si  nous  adoptons,  ponr  un  instant,  uti  ave  des  x  langent  à  la  cir- 
conférence movenne  de  l'anneau,  nous  reconnaissons  que  la  dérivée 

est  bien  plu>  grande  que  les  deux  autres,  car  c'est  dans  le  sens  des  x 
que  l'onde  de  condensation  se  propage,  et  nous  choisissons  les  ondes 
les  plus  défavorables  à  la  stabilité,  c'est  à^dire  les  plus  courtes;  l'onde 
étant  très  courte  les  variations  dans  le  sens  de  la  propagation,  c'est-à- 
dire  dans  le  sens  de  l'axe  des  ./;  sont  très  rapides;  nous  |)Ouvons  donc 
écrire,  au  lieu  de  l'équation  (5), 

(O;  'i:g^  =  -4.(îD). 

La  contraction  a  eu  pour  ellcl  de  niulli[)lier  la  densité  de  la  tranche 
par 

elle  a  multiplié  son  épaisseur  par 


''^\. 
%/..)' 


comme  sa  masse  totale  n'a  pas  changé,  on  doit  avoir 

oD\ /  à- 

c'est-à-dire 


'^  D    ['~''dx)  =  '^ 


"*  dx  ~        D 


Alors  l'équation  (G)  donne  la  suivante 


(Le-  ax 


d'où  l'on  tire,  en  intégrant, 


— ^j — ■-  ou  — >,^  =  Ix-axJ-. 
ax  a     a- 


44  HYPOTHÈSES    COSMOGOMOLES 

Le  second  membre  de  la  seconde  équation  (2)  est  donc 

nous  avons  vu  d'ailleurs  que  le  second  membre  de  la  première  équa- 
tion (2)  peut  être  pris  égal  à  zéro. 

Si  maintenant  dans  les  équations  (2)  nous  substituons  les  valeurs 
(4)  de  p  et  de  7,  nous  obtenons 

(  3<o2A  -h  2w/jB  4-  n\\  =  G, 

)  —  n^B  — 2io7iA  =  4^DB; 

et  l'élimination  de  A  et  de  B  entre  ces  équations  conduit  à  l'équation 
en  II 

OU 

n'^  _  (,^2  _  /,;,D)n2  +  i2-t«2D  =  o. 

Celte  équation  bicarrée  en  n  doit,  s'il  y  a  stabilité,  avoir  ses  racines 
réelles,  ce  qui  exige  que 

(to-  —  /JTiD)-  —  /jSttcu-D  >  o; 

cette  inégalité  peut  s'écrire  ainsi  : 

M'  —  5G:tDoj2  -if-  i67:-D-  >>  o. 

Nous  savons  déjà  que  la  masse  de  l'anneau  et,  par  suite,  sa  densité 
doivent  être  petites  pour  qu'il  y  ait  stabilité.  Négligeant  donc  D-,  nous 
obtenons  la  condition 

w^  >  56-D, 
d'oij  nous  tirons  l'inégalité 

(7)  4.D<^^ 

qui  fixe  une  limite  supéricnir  à  la  densité  de  l'anneau.  Maxw  cll  con- 
clut que  si  l'anneau  était  liquide  sa  densité  ne  pourrait  pas  surpasser 
3^  de  celle  de  la  |)lancte.  Ce  résultat  est  vrai  pour  tm  anneau  de 
poussières  cosmiques  comme  pour  un  anneau  liquide  :  la  stabilité 
ne  peut  cxi>^tcr  que  si  la  densité  est  suffisamment  petite. 


ANALYSE    DE    l.'llïl'OTIIl'.SE    DE    LAI'LVCE  45 

36.  Liniile  iiifcricurc  'le  lu  dc/isiti-  (11111  (inncaii  fln'ulc.  —  Un  cal- 
cul ([uc  nous  avons  déjà  fait  à  la  fin  de  la  Section  II  (p.  23),  donne 
une  limite  infcrieiire  pour  la  densité  d'un  anneau  fluide  homogène 
su[)posé  tourner  d'une  seule  pièce  avec  la  vitesse  angulaire  oj  :  l'an- 
neau n'est  stable  que  si  sa  densité  o  satisfait  à  l'inégalité 

l8)  ?  >  "^^  • 

^      ^  '271 

Le  même  raisonnement  nous  permet  même  de  dire  que,  pour  une 
masse  fluide  homogène  tournant  autour  d'un  axe  avec  une  vitesse  an- 
gulaire constante  o)  et  soumise  à  l'altraction  mutuelle  de  ses  molé- 
cules, aucune  fi<i lire  ncsl  stable  si  l"mé(jaiilc  (8)  nesl  pas  salis/aile  f  \ 
Si,  dans  cette  inégalité,  nous  prenons  pour  w  la  vitesse  angulaire  d'un 
satellite  dont  l'orbite  coïnciderait  avec  l'anneau  de  Saturne,  nous 
trouvons  que  la  densité  o  de  l'anneau  doit  être  supérieure  à  -V  de 
celle  de  la  planète.  Cette  condition  est  incompatible  avec  celle  de 
Maxwell  et  elle  nous  force  à  rejeter  rhypothèse  de  la  lluidité  des 
anneaux  de  Saturne.  Comme  ces  anneaux  ne  sont  pas  non  plus  so- 
lides, d'après  Maxwef.l  et  d'après  IIiiw,  nous  sommes  amené  à  les 
regarder  comme  formés  d'un  grand  nombre  de  corpuscules  indépen- 
dants :  le  calcul  de  MaxwELL  nous  a  appris  qu'une  telle  constitution 
peut  être  stable  si  la  masse  totale  de  l'anneau  est  assez  petite. 

37.  La  limite  inférieure  de  la  densité,  donnée  par  l'inégalité  (8),  a 
été  trouvée  en  supposant  que  la  vitesse  angulaire  o)  est  la  même  pour 
tout  le  fluide.  AH'ranchissons-nous  de  cette  hypothèse  et  considérons, 
comme  dans  la  Section  IV,  une  masse  fluide  tournant  d'un  mouve- 
ment permanent  autour  d'un  axe  de  révolution  x'x  {/kj.  7,  p.  3o), 
la  vitesse  angulaire  o)  variant  d'un  anneau  élémentaire  AA'  à  l'autre. 
Conservant  les  notations  de  la  Section  IV,    nous  avons   (p.  82)  la 

relation 

'j  —  n  —  P  ^  const. 

Or,  la  pression  p  est  nulle  à  la  surface  et  positive  à  l'intérieur  du 
lluide  ;  donc 


"-j?' 


(*)  H.  PoiNCARÉ  :    Sur   VcquiUbre  (Vnne    masse  Jlulde    animcc  cVun    mouvement    de 
rolalion,  i885  (Bulletin  astronojnique,  t.  II,  p.  117). 


46 


llYI'OTlll:^iES    COSMOC;0>'lQtES 


■présente  un  maximum  à  rinlcrieui-;  par  conséquent  H  en  est  de  même 
de  l'expression 

o  -  P. 
Il  y  a  donc  certainement,   à  linléiieur  de  la  masse  iluidc,  un  point 
(ou  plusieurs)  où  l'on  a 

■(9)  A('..-P)<o. 

Or,  rappelons-nous  que  ç^  ne  dépend  que  de  la  dislance 

R  =  v/j'  +  ^' 
à  l'axe  de  rotation  ;  on  a 


-et  comme  on  a  (^p.  32 
il  vient 


Aç  =  o"  +  J^  ; 


)2R, 


\'ji  =  2  (.oo)'R  -h  2  w-  ; 
•d'ailleurs,  le  théorème  de  Poisson  donne 

A(-P)  =  -4::o. 

L'inégalité  (9}  montre  donc  qu'il  existe  à  l'intérieur  de  la  masse  fluide 
des  points  satisfaisant  à  la  condition 

{10)  2  w-  -H  2ww'R  —  ZiTTO  <;  O. 

Si  nous  supposions  que  03  ne  varie  pas  avec  R,  nous  retrouverions 
la  limite  inférieure  de  la  densité  donnée  par  l'inégalité  (S). 

38.  Nous  pouvons  même  serrer  davantage  l'inégalité  'io\  Consi- 
dérons un  anneau  lluide  dont  la  méridienne  est  QQ'  et  qui  tourne 


^_ 


QK^^Q' 


JC 


autour  de  son  a\c  ox   {fig.  12).  Nous  venons  de  dire  qu'il  existe  à 
l'intérieur  du  Iluidc  des  i)uinls  A  où  çj  — ■  P  est  maximum  ;  le  lieu  de 


\>.Vl.YSE    DE    L'ilYPOTlirsr     l)F,     L\1'1.ACK 


47 


CCS  points  est  ici  un  cercle  d'axe  xx  cl  Je  laNOu  oV.  Uf,  en  un  point 
oii  c; P  est  maximum,  on  a,  non  seulement 


mais  encore 


A('f-P)<o. 


ax- 


00  \  ^-df-  <"• 


€I^^I)<o. 


Pour  lanncaii  de  Saturne  nous  pouvons  poser 


_  P  =  -^'  ^  et-. 


-  étant  le  potentiel  dû  à  ratlracllon  de  Saturne  et  c?P  étant  le  poten- 
tiel dû  à  Paltraction  de  l'anneau  sur  lui-mOmc.  Calculons  séparément 
les  trois  dérivées  secondes  en  x,  y,  r  de 


O,  —     ,01 

r 


ivu  point  Ade  l'axe  des  y  [fuj.  12}  où  9  —  P  passe  par  un  maximum. 
Nous  trouvons  qu'on  a,  en  ce  point  A, 

^■?  —  O  1-.  =  i"'  +  2  coco 'y  ,  ',1,  =  '"-  ' 

d:r^  —  "  '  c(v^  ^' 

-j^  =  -  p  •       d^2  -  Y  '  d-j        f  ' 

£  et  1'  sont  de  petites  quantités  positives;  d'ailleurs,  au  point  A  consi- 
déré, ^l  diffère  peu  de  or  (troisième  loi  de  Kûpler),  et  l'on  peut  écrire 
approximativement 

.=^i        ^'':.       '4'    ., 
^=--.  ^-=="''  -3-=-- 


'■3  HYPOTHÈSES    COSMOGONIQUES 


Il  esl  aisé  de  se  rendre  compte  de  l'erreur  commise  en  écrivant  ces 

,  M  .,        . 

équations  ;  on  a  remplacé  ~.^  par  «^  ;  l'équation  exacte  s'obtient  en 


y 

écrivant 


d(o 


dy         -- 
ou 

do        d  M       doV  _ 

dy        dy  r  dy    ~ '^ 

ou 

M       doV 

oj-y ,  H — T —  =  o. 

J        J-  dy 

do  P 
L'erreur  commise  est  donc  de  l'ordre  de  — ,-  ;  si  les  dimensions  de  la 

section  méridienne  de  l'anneau  sont  très  petites  par  rapport  au  rayon 

de  l'anneau  (c'est-à-dire  par  rapport  à  y  ou  à  R)  -7,-    sera  de  l'ordre 

de  —  :  a  étant  l'une  des  dimensions  de  la  section  méridienne,  il  sera 

J 
donc  négligeable  non  seulement  d'une  manière  absolue,  mais  devante, 

c'est-à-dire  devant  •  et  c  qui  sont  du  même  ordre  que  0. 

vUors  les  trois  inégalités  (11)  donnent  les  trois  suivantes 

_  o>2  -  ç  <  o. 

3  w-  -f-  2  tooj'y  -{-  e  -f-  £'  —  lx~p  <^  o, 
—  £'  <  O. 

La  première  et  la  troisième  sont  satisfaites  d'elles-mêmes.  De  la 
seconde  on  lire,  en  remplaçant  r  par  11,  et  se  rappelant  que  1  et  0' 
sont  positifs,  l'inégalité 

(l'î).  3  to-  -H  2  w  lo'R  <^  4 ■'^p. 

donnant  pour  la  densité  p  une  limite  inférieure  plus  précise  que  la 
limite  donnée  par  l'inégalité  (10). 

Si  donc  la  distribution  des  vitesses  angulaires  dans  l'anneau  est 
telle  que  le  premier  membre  de  l'inégalité  (12)  soit  positif,  il  existera 
une  limite  inférieure  de  la  densité;  si,  au  contraire,  ce  premier 
membre  est  négatif  il  n'en  existera  pas  :  or,  ce  premier  membre  est 
positif  ou  négatif  suivant  que  (,ylV  croît  ou  décroît  quand  11  aug- 
mente. 


ANALYSE    DE    L  inP0TIlî;5E    DE    LAPLACE  .'ig 

VI.  —  Rupture  des  anneaux  de  Laplace.  Formation  des  planètes. 

39.  Kevenons  maintenanl  aux  anneaux  abandonnés  par  la  nébu- 
leuse de  Lmm.ace  dans  le  plan  de  son  équaleur,  et  montrons  qu'il 
arrivera  un  moment  oîi  ils  seront  nécessairement  instables.  Nous 
venons  de  trouver,  dans  la  Section  précédente,  une  limite  supérieure 
et  une  limite  inférieure  pour  la  densité  o  d'un  anneau  fluide.  Pour 
qu'il  y  ait  stabilité  on  doit  avoir  à  la  fois,  d'après  les  inégalités  j) 
et  (12), 

/  0 

(.3)  '-■=<û- 

4  ~?  >  -5  *'i'  4-2  0)  to'U. 

A  l'instant  où  l'anneau  est  abandonné,  sa  densité  est  très  petite, 
donc  la  première  inéf^alité  est  vérifiée.  De  plus,  les  particules  de 
l'anneau  se  mouvant  selon  la  troisième  loi  de  Kepler,  on  a 

w-R^  =^  const. 

et  par  suite,  en  différcntiant  et  en  divisant  par  R", 

3  w-  H-  :>  w  w'R  =  o  ; 

la  seconde  inégalité  est  donc  vérifiée  aussi. 

Donc  l'anneau  est  stable  au  début.  Mais  cet  état  de  cboses  ne  peut 
pas  durer.  D'abord,  par  suite  du  refroidissement,  la  densité  p  aug- 
mentera et  la  première  inégalité  pourra  cesser  d'être  satisfaite. 
Ensuite,  le  frottement  des  couclies  les  unes  sur  les  autres  tendra, 
d'après  Lapl\ce,  à  uniformiser  la  vitesse  angulaire  (,)  qui  deviendra 
constante  :  la  dérivée  fj)'  devenant  nulle,  les  deux  inégalités  (i3) 
deviennent  incompatibles,  et  l'anneau  ne  peut  pas  subsister. 

40.  D'ailleurs,  une  cause  autre  que  le  frottement  agit  pour  rendre 
<o  uniforme  et  oï  nul.  Cette  cause  est  celle  qu'indique  L.vplace  et  que 
nous  avons  déjà  signalée  (Gliap.  I,  p.  lo,  fig.  i).  A  l'instant  /o  oii 
l'anneau  est  abandonné,  la  troisième  loi  de  Kepler  donne,  entre  la 
vitesse  angulaire  Wo  d'une  particule  et  sa  distance  Ro  au  centre,  la 
relation 

(M)  •  wgRg  =  M. 

PoiHCABÉ.  4 


irTPOTHliSES    COSMOGOMQUES 


A  une  époque  ultérieure  /,  l'anneau  s'est  rétréci  et  a  diminué  d'épaisseur 
par  suite  du  refroidissement;  le  moment  de  rotation  de  chaque  par- 
ticule étant  demeuré  constant,  la  nouvelle  vitesse  angulaire  w  et  la. 
nouvelle  distance  au  centre  R  vérifient  Téqtiation 

(i5)  wR2  =  tooR^. 

Comparant  l'équation  (i\)  à  l'équation    i5)  il  vient 

(16)  -=i;.vm- 

L'anneau  étant  très  mince,  nous  prenons  pour  unité  son  rayons 
moyen  et  nous  posons 

R  =  I  +  s, 

c  et  £p  étant  de  petites  quantités.  La  contraction  ).  étant  mesurée  par 

le  rapport  7- ,  on  a 

'0 


la  vitesse  angulaire  o)  à  l'époque  /  est  donnée  par  l'égalité  (16)  qui 
s'écrit 


v/m(i +-;"-..) 


Quand  la  contraction  aura  atteint  la  valeur  À  =  ,  ,  oj  aura  atteint,  or» 

le  voit,  une  valeur  constante  y  M  . 

Ce  mécanisme  concourt  donc  avec  le  frottement  à  imiformiser  la 
vitesse  de  rotation  de  l'anneau  et  à  la  rendre  constante,  les  particules 
les  plus  e.vternes  acquérant  ainsi  une  vilesse  linéaire  plus  grande  que 
les  plus  internes,  comme  le  voulait  Lapi, ace  pour  expliquer  la  rotation 
directe  des  planètes.  Malheureusement  l'anneau  de\icntlra  instahie 
avant  que  cet  état  de  rotation  uniforme  ne  soit  atteint,  puisque  les 
deux  inégalités  (i3)  seront  devenues  incompatibles. 


A>".VLÏSE    DE    l'hïPOTIIKSE    DE    LAPLACE  5t 

41.  T/anneau.  n'étant  pins  stal)le,  se  rompra  en  plusieurs  parties, 
qui  ne  seront  encore  que  des  masses  ga/cuses  plus  on  moins  dilVnses, 
décrivant  chacune  un  cercle  autour  du  Soleil,  à  la  façon  d'un  satellite. 
Si  toutes  ces  masses  gazeuses  étaient  juste  à  la  même  dislance  du- 
Soleil  elles  n'arriveraient  pas  à  se  rencontrer.  Mais,  si  leurs  dis- 
tances au  Soleil  sont  un  peu  diilërentes,  leurs  vitesses  angulaires  le 
seront  aussi,  et  par  suite  lune  des  masses  rejoindra  l'autre  :  si  la 
dilTérence  de  leurs  distances  au  Soleil  est  plus  petite  que  la  somme 
<les  ra\ons  dos  deux  niasses,  celles-ci  se  choqueront  et  se  réuniront 
en  une  seule.  Nous  com[)renons  ainsi  comment  les  diverses  masses 
en  lesquelles  s'est  brisé  l'anneau  peuvent  arriver  à  se  réunir  en  une 
seule  et  à  donner  une  planète  unique. 

42.  Cause  (le  l<i  rolalioii  directe.  —  Il  s'agit  maintenant  d'expliquer 
pourquoi  cette  planète  aura  en  général  un  mouvement  de  rotation 
direct,  puisque  rex[)lication  de  Laplace  est  insuflisante.  Considérons 
deux  masses  gazeuses  M  et  M'  provenant  de  la  rupture  de  l'anneau 
et  dont  les   distances   au    Soleil  sont   un    peu   dilTérentes  {Jig-  i3). 


M' 


fiO-  i3. 


D'après  la  troisième  loi  de  Kli'leu.  la  masse  la  plus  éloignée  M'  a 
une  vitesse  moindre  c[ue  la  plus  rapprochée  ^I  :  c'est  donc  M  qui 
rejoindra  M',  \iendra  la  choquer  et  se  coller  à  elle.  Il  semble,  à  pre- 
mière vue,  que  la  planète  résultant  de  ce  choc  aura  un  mouvement  de 
rotation  rétrograde,  puisque  ses  parties  internes  auront  des  vitesses 
plus  grandes  que  ses  parties  externes.  Mais  la  masse  gazeuse  globu- 
leuse, grossièrement  ronde,  résultant  de  la  réunion  de  M  et  de  M', 
n'est  pas  soustraite  à  toute  action  extérieure.  Elle  subit  l'attraction 
du  Soleil  ;  cette  attraction  lui  fera  prendre  une  forme  allongée  vers 
cet  astre,  l'attraction  solaire  tendant  toujours  à  ramener  son  grand 
axe  dans  cette  direction.  Il  se  produira  donc  dans  la  masse  des 
marées  internes  considérables  accompagnées  de  frottements,  qui 
tendront  à  rendre  éixales  la  durée  de  rotation  et  la  durée  de  révolution. 


HYPOTIFESES    COSJIOGOMOIES 


Ce  mécanisme  ne  dillère  pas  de  celui  qu'invoquait  Laplace  pour 
expliquer  le  fait  que  la  Lune  présente  toujours  à  la  Terre  le  même 
hémisphère  (Chap.  II,  p.  i3.) 

La  masse  planétaire  arrivera  donc  à  présenter  une  durée  de  rota- 
lion  égale  à  sa  durée  de  révolution,  et  à  ce  moment  sa  rotation  sera 
devenue  divecle.  La  condensation  augmentant  \yàv  suite  du  refroidis- 
sement, celle  vitesse  de  rotation  directe  tend  à  augmenter;  mais  les 
marées  tendent  à  la  maintenir  égale  à  celle  de  révolution.  Au  déhut, 
l'influence  des  marées  l'emportera  et  les  deux  vitesses  seront  égales; 
puis,  l'influence  des  marées  diminuant,  la  masse  planétaire  commen- 
cera à  présenter  une  librallon;  enfin,  la  condensation  se  poursuivant, 
l'influence  des  marées  cessera  d'être  prépondérante  et  il  y  aura  nne 
rotation  directe  plus  rapide  que  la  révolution  (voir  au  Chap.  YII  ce  que 
nous  disons  à  propos  de  la  théorie  de  Darayim).  L'action  des  marées 
diminue,  en  effet,  à  mesure  que  la  contraction  se  poursuit,  car  la 
marée  sur  un  astre  dépend  de  la  différence  entre  l'attraction  solaire  à 
la  surface  de  cet  astre  et  l'attraction  solaire  en  son  centre  ;  cette 
différence  est  évidemment  plus  faible  pour  un  petit  astre  que  pour  un 
gros. 

Cette  expliquation  de  la  rotation  directe  de  la  plupart  des  planètes, 
fondée  sur  l'action  des  marées  est,  semble-t-il,  la  meilleure.  Si  les 
planètes  les  plus  extérieures  (Uranus  et  Neptune)  ont  une  rotation 
rétrograde,  c'est,  sans  doute,  que  leur  très  grand  éloignement  a  rendu 
la  marée  solaire  très  faible  et  insulTisante  à  produire  la  rotation 
directe. 

VII.  —  Formation  des  satellites. 

43.  Nous  venons  de  nous  rendre  compte  comment  un  anneau  de 
Laplace,  en  se  rompant,  a  pu  se  transformer  en  une  masse  sphé- 
roïdale  généralement  animée  d'un  mouvement  de  rotation  direct. 
Cette  masse  sphéroïdale,  que  nous  appellerons  nébuleuse  planéhure, 
pourra  à  son  tour  engendrer  une  planète  accompagnée  de  satellites. 
Cette  nébuleuse  planétaire,  en  effet,  est  comparable  à  la  nébuleuse 
solaire,  mais  sous  de  moindres  proportions.  Elle  pourra,  par  l'effet 
de  la  condensation,  abandonner  le  long  de  son  équateur  des  anneaux 
nébuleux  qui  finiront  par  engendrer  des  satellites. 


ANALYSE    DE    l'iIYI'OTHÈSE    DE    LVPLACE  53 

Toiîiefois,  tandis  que  la  nébuleuse  solaire,  libre  de  toute  action 
extérieure,  présentait  une  ligure  de  révolution  autour  de  son  axe  de 
rotation,  la  nébuleuse  planétaire  est  soumise  à  l'influence  de  l'attrac- 
tion solaire  cpii  \  produit  des  marées  :  sons  cette  influence  la  nébu- 
leuse planétaire  s'allonge  dans  le  sens  du  Soleil  et  tend  à  tourner 
constamment  vers  cet  astre  les  mômes  points  de  sa  surface.  Ainsi 
s'établit,  comme  nous  l'avons  dit,  l'égalité  entre  les  durées  de  rota- 
lion  et  de  révolution  de  la  nébuleuse  planétaire.  Cette  égalité  qui, 
pour  une  raison  analogue,  a  lieu  encore  aujourd'hui  pour  la  Lune  et 
probablement  pour  plusieurs  satellites,  ainsi  peut-être  que  pour  les 
planètes  Mercure  et  Vénus,  a  dû  se  rencontrer  chez  toutes  les  planètes 
dans  la  première  phase  de  leur  existence. 

Tant  que  s'est  maintenue  cette  égalité,  la  nébuleuse  planétaire  a 
du  rester  dans  des  conditions  impropres  à  la  formation  de  satellites. 
En  effet,  son  volume  V  diminuait  par  suite  de  la  contraction,  mai^3  la 

,  j  ,  t'j"N     ,.      .         .  ... 

vitesse  03  restait  la  même;  donc  ^,  dmimuait,  condition  incompa- 
tible avec  la  production  d'anneaux,  ainsi  que  nous  l'avons  vu  dans 
la  Section  III.  Si  l'égalité  entre  les  durées  de  rotation  et  de  révolu- 
tion a  lieu  encore  actuellement  pour  tous  les  satellites,  nous  nous 
expliquons  pourquoi  il  n'y  a  pas  de  satellites  du  second  ordre. 

44.  Etudions  de  plus  près  et  analytiquement  les  conditions  ovi  s'est 
trouvée  la  nébuleuse  planétaire  dans  cette  première  phase  oii  elle  tour- 
nait sur  elle-même  dans  un  temps  égal  à  celui  de  sa  révolution. 
D'abord,  on  peut  faire  au  sujet  de  sa  constitution  deux  hypothèses 
très  différentes  :  on  peut  la  supposer  à  peu  près  homogène,  ou  bien 
avec  une  très  forte  condensation  centrale.  Pour  la  nébuleuse  solaire, 
la  seconde  hvpothèse  s'imposait  à  l'exclusion  de  la  première  (Sec- 
tion II).  Mais  pour  une  nébuleuse  planétaire  elle  ne  s'impose  pas 
autant,  et  il  y  a  lieu  d'examiner  successivement  les  deux  hypothèses. 

45.  Cas  d'une  masse  homorjène.  —  Etudions  donc  en  premier  lieu 
les  conditions  d'équilibre  d'une  masse  fluide  homogène  animée  d'un 
mouvement  de  rotation  uniforme  o)  autour  d'un  axe  de  direction  fixe 
Ox  passant  par  son  centre  de  gravité  o  ;  cette  masse  est  soumise  à 
l'attraction  mutuelle  de  ses  parties,  et  aussi  à  l'attraction  d'un  astre 
éloigné  G  (Soleil)  situé  dans  le  plan  de  l'équateur.  Nous  supposerons 
que,  en  vertu  de  cette  dernière  force,  le  point  o  décrit  un  cercle  ayant 


54 


HYPOTHESES    COSMOGOMQLES 


son  centre  en  C,  et  que  la  durée  de  révolution  est  égale  à  la  durée  de 
la  rotation  de  la  masse  fluide  autour  de  ox  (').  Ce  sont  bien  là  des 
conditions  analogues  à  celles  où  se  trouvait  la  nébuleuse  planétaire 
>cjue  nous  éludions. 

Prenons  pour  axes  rectangulaires  mobiles  (fig-  i4)  l'axe  de  rotation 
'OX,   l'axe  oy  dirigé  vers  le  Soleil  G  et  Taxe  o:,  perpendiculaire  aux 


J>9-  l'i- 

deux  précédents.  Dans  ces  conditions,  la  tliéorie  élémentaire  des 
marées  nous  apprend  que  le  potentiel  perturbateur  dû  à  l'attraction 
solaire  est 


0-^  -  -), 


M'  désignant  la  masse  du  Soleil  et  /  sa  distance  au  point  o.  Si  M  est 
la  masse  du  fluide  en  mouvement,  la  troisième  loi  de  Kkpler  donne 
l'équation 

,o-^/^^  =:  M  +  M'  ; 


d'où  nous  tirons,  en  appelant 


M' 


le  rapport  de  la  masse  fluide  à  la  niasse  solaire, 


M' 
P 


(')  E.  I^ocuE  :  Mrinoirc  sur  la  fi(jui'c  d'une  masse  Jluide  soumise  à  l'atlraclion 
d'un  point  iHoifjné,  i^\q,  iSâo,  i85i  [Acad.  de  Montpellier,  Section  des  Seiences,  t.  I, 
p.    '>.'['^    et    3,'î,'?,    t.   11,  p.  2T1.  Voir  aussi  Tisseuand  :  Traité  de  Mécanviue  (Céleste, 

i.    11,    Cil.    AIII,   p,    1  lO. 


AX.Vl.ïSE    DE    L  UYPOTIlliSE    DE    LVPLVCE  03 

par  suite  nous  pouvons  écrire 

V3  =   — ^"^  (2y2  _  x'  -  c2), 

•*  2(t    -f-   [Xj    ^     '  ' 

Le  polenlicl  lIù  à  la  force  centrifuge  est 

2    -  ^ 

\ous  voulons  prouver  que  la  masse  iluidc  homogène  peut  prendre, 
dans  l'équilibre,  la  figure  d'un  ellipsoïde 

,     ,  .-r-        y-        c- 

(17  0   -H  'rr,  -h~,  =   I, 

^   "  a-        Ij-       c- 

donl  les  axes  sont  dirigés  suivant  ox,  oy,  oz.  On  sait  que  le  potentiel 
d'allraclion  à  l'intérieur  d'un  tel  ellipsoïde  homogène  peut  s'écrire 

V,  =  —  l  (IV^  -h  (y-  -h  R:^), 

P,  Q,  Il  étant  trois  constantes.  Si  l'on  désigne  par 

■(^^)  •^  =  /y..  '  =  ,-.' 

les  carrés  des  rapports  d'un  des  axes  de  l'ellipsoïde  aux  deux  autres, 
ces  trois  constantes  ont  pour  valeurs 

n  _      r  ''" 


■où  l'on  a  posé 


A  =  \\i  -h  u){i  -+-  s«)(^i  -+-  lu]. 

Donc,  lorsque  la  masse  homogène  affecte  la  forme  de  l'ellipsoïde 
{17),  le  potentiel  total  a  pour  valeur 


56  IIYl'OTIliisES    COSMOGOMQUES 

Pour  montrer  que  l'ellipsoïde  (17)  est  une  figure  d'équilibre,  il  sullit 
de  l'aire  voir  qu'on  peut  l'identifier  avec  une  surface  équipotentielle 

A',  +  V^  +  V3  =  const.  ; 

cette  dernière  équation  s'écrit 

—  (PX2  ^-  Q/  -}-  Rc2)   -^   to2(_v2  +  ;-3N  _|_   ^_^   (^V^"'  —  x'  —  2^)  =  COUSt., 

1  —)—  [^ 

et  l'identification  avec  l'équalion  (17)  donne 

Avec  la  notation  (18),  ces  deux  dernières  équations  s'écrivent,  on  le 
voit  de  suite, 

n       p.  -  to-(s  +  3  -+-  ix) 

I    -t-  IX 

I   H-  (i. 

Ce  sont  deux  équations  aux  deux  inconnues  5  et  /  :  elles  détermineront 
les  rapports  des  axes  de  l'ellipsoïde  qui  est  une  figure  d'équilibre.  Si 
nous  posons 

ces  deux  équations  s'écrivent,  en  remplaçant  P,  O,  R,  par  leurs  va- 
leurs (19), 

V      s(i  —  s)       (  uda 


-h  [i       *■  +  3  +  |Jt  J„     (i  -^  u)(i  +  su)A 
(20)  <(  .^ 

i(\  —  /)     r  udii 

~    <  +  F    Jo      (i  +  «)(!  -i-'«)A" 

Puisque  V  est  essentiellement  positif,  s  et  /  seront  toujours  plus  petits 
que  1,  c'est-à-dire  que  l'axe  de  rotation  sera  toujours  le  petit  axe  de 
l'ellipsoïde. 

46.  La  seconde  des  équations  (20)  peut  être  considérée  comme 
représentant  une  courbe  dans  le  plan  des  st.  Si  nous  construisons  la 
portion  de  cette  courbe  intérieure  au  carré 

o  <  s  <  1, 
o</  <  I. 


ANALYSE    DE    l'iIïI'OTIIÈSE    DE    I.VPLVCE 


5? 


nous  tiouvons  qu'elle  a  la  forme  représentée  sur  la  figure  i.)  :  elle  se 
compose  de  deux  branches  AB  cl  OD.  Pour  la  brandie  Alî,  nous 
avons  t  >  s  :  l'ellipsoïde  a  son  grand  a\c  dirigé  vers  le  Soleil,  ce  qui 


s  =  1 

A 

\  /f 

> 

1 

II 

/^''          \ 

■0 

t' 

f"J-  '•'•• 

correspond  a  des  formes  stables.  Au  point  A  Tellipsoïde  se  confond 
avec  une  sphère,  au  point  B  c'est  une  aiguille  infiniment  allongée,  a 
section  circulaire.  La  branche  OD  pour  laquelle  t  <  s,  correspond 
à  des  ellipsoïdes  allongés  dans  une  direction  perpendiculaire  à  celle 
du  Soleil  ;  ces  ellipsoïdes  sont  des  figures  toutes  instables.  Au  point  D 
l'ellipsoïde  est  une  aiguille  très  allongée  à  section  circulaire,  au 
point  0  c'est  une  aiguille  très  allongée  et  à  section  aplatie. 
Si  l'on  examine  comment  varie 


V  = 


lorsqu'on  chemine  sur  ces  deux  branches  de  courbe,  on  reconnaît  que 
Y  partant  de  o  au  point  A.  commence  à  croître,  passe  par  un  maxi- 
mum, puis  reprend  en  B  la  valeur  o.  De  même  V  part  de  o  au  pomt 
D,  passe  par  un  maximum  et  s'annule  de  nouveau  au  point  O. 

Si  l'on  considère  le  moment  de  rotation,  on  constate  que,  nul  en 
A,  il  ne  cesse  de  croître  le  long  de  la  branche  AB  et  devient  infini  en 
B  (en  ce  point  B,  le  moment  de  rotation  est  infini,  bien  que  la  vitesse 
angulaire  soit  nulle,  car  le  moment  d'inertie  de  i'aiguille  infiniment 
allongée  est  infini). 

47.  Etudions  spécialement  deux  cas  particuliers.  Soit  d'abord 
7,  =  GC  ,  c'est-à-dire  que  la  masse  M'  de  l'astre  perturbateur  G  est 


HYPOTHESES    COSMOGOMOIES 


supposée  négligeable  par  rapport  à  la  niasse  liquide  M  en  rotation.  La 
question  revient  alors  à  chercher  les  formes  d'équilil)re  d'une  masse 
fluide  homogène  animée  d'une  rotation  uniforme  et  soustraite  à  toute 
action  extérieure,  problème  connu  :  les  deux  branches  de  courbe  AH 
et  OD  de  notre  représentation  graphique  se  rejoignent  alors  en  un 
point  H,  et  la  figure  i5  se  transforme  en  la  figure  i6;  la  ligne  OV 
bissectrice  des  axes  de  coordonnées  correspond  à  des  ellipsoïdes  de 
révolution  (ellipsoïdes  de  MAC-LAiRn)  ;  la  ligne  DB  correspond  à  des 
■ellipsoïdes  à  trois  axes  inégaux  (ellipsoïdes  de  Jacobi). 


s  =  ± 

A 

\  / 

xi/ 

•vj 

t 

fuj.  1(3. 

48.  Le  second  cas  particulier  que  nous  envisagerons  est  celui  tb 
y,  =  o.  La  masse  fluide  en  rotation  est  alors  très  petite  par  rapport  à 
la  masse  de  l'astre  troublant  G  (c'est  le  cas  d'une  nébuleuse  plané- 
taire dont  la  masse  est  très  petite  par  rapport  à  celle  du  Soleil).  Dans 
ce  cas,  la  branche  OD  de  la  figure  i5  vient  s'a[)latir  contre  l'axe  des  /, 
tandis  que  la  branche  AB  subsiste.  Quand  on  parcourt  cette  branche 
AB,  la  quantité  A  part  de  o,  passe  par  un  maximum  égal  à  o,o4t), 
puis  décroît  jusqu'à  o.  Pour  qu'une  forme  ellipsoïdale  d'équilibre  soit 
possible,  il  est  donc  nécessaire  que  l'on  ait 


V  = <  o,oZi<) 

2  -3 


Cette  inégalité  va  fournir  ime  limite  supéiieure  que  n'a  pas  pu  dé- 
passer le  diamètre  d'ime  nébuleuse  planétaire  (supposée  ellipsoïdale 
et  homogène}.  Prenons,  par  exemple,  la  nébuleuse  planétaire  qui  a 
engendré  Ju[)iter.  Si  /•  désigne  un  ra\on  movcn  de  l'ellipsoïde 
qu'était  initialement   celte  nébuleuse,  la  niasse  i\I  de  celle-ci  (M  est 


a:<alyse  de  l'htpotiii:se  de  lvi'lvce  •'O 

appro-timativement  la  masse  de  Jupitci  )  est  égale  à 

(21)  M==.^.p,     , 

d'ailleurs,  /désignant  la  distance  de  .Inpiter  au  Soleil  dont  la  masse 

est  M',  on  a 

(2.)  ^'l'  =  ^l'- 

La  comparaison  de  l'égalité  (21)  et  de  l'égalité  (21.)  donne 


(jï 

Sw^M        3  M  ,, 
—  li-p  M'  ~  2  M' 

Puisqu'il  faut  que 

V  <  o,o/|0 

et  que 

M 

j^=O.OOL 

environ,  on  voit  que  le  rayon  moyen  /•  de  la  nébuleuse  de  Jupiter 

devait  salisl'aire  à  l'inégalité 

/  r  \  ■'        3 

(    j   <      X  o.ooi  X  o,oAt). 

d'oii  l'on  tire 

^<o,oAi. 

Or  /=  5,2  (le  rayon  de  l'orbite  terrestre  étant  pris  pour  unité); 

donc 

/•  <<  0,2l3. 

Prenant  pour  unité  le  rayon  de  Jupiter,   cette  inégalité  signifie  que 
;•  doit  être  inférieur  à  /i4o  rayons  de  Jupiter. 

Ainsi  la  nébuleuse  planétaire  qui  a  engendré  Jupiter  et  son  cortège 
de  satellites  n'a  pas  dû  avoir  initialement  un  rayon  moyen  supérieur  à 
4jio  rayons  actuels  de  Jupiter.  Les  satellites  n'ont  donc  pas  du  se 
former  à  une  distance  plus  grande.  En  effet,  le  plus  éloigné  des  satel- 
lites actuellement  connus  est  à  une  distance  de  la  planète  égale  à 
357  rayons.  Mais,  si  l'on  venait  à  découvrir  un  satellite  à  une  dis- 
tance notablement  {')  supérieure  à  A^o  rayons,  il  y  aurait  là  un  sérieux 
argument  contre  la  théorie. 


'    Je  dis  nolablemenl,  car  r  est  le  rajon   moyen  de    la  nébuleuse  ;  or,  celle-ci  est 
allongée  vers  le  Soleil,   donc  son  plus  grand  rayon  peut  dépasser  sensiblement  r. 


6o  IlYPOTlliiSES    COS.MOGO.NIQUES 

49.  Cas  d'une  masse  à  Jorle  condensation.  — Envisageons  à  présent 
l'hypothèse  où  la  nébuleuse  planétaire,  qui  tourne  autour  du  Soleil 
en  un  temps  égal  à  celui  de  sa  rotation,  présenterait  une  très  forte 
condensation  centrale  de  masse  M,  et  cherchons  la  figure  d'équilibre 
relative  de  son  atmosphère. 

Adoptons  les  mêmes  axes  de  coordonnées  que  précédemment  (//y.  i4). 

Le  potentiel  d'attraction  du  à  la  condensation  est  -7  (nous  négligeons 

l'attraction  mutuelle  des  molécules  de  l'atmosphère);  le  potentiel  dû  à 
la  force  centrifuge  est 

Y  0'-  +  ^-)  ; 

le  potentiel  total  est 

=  -  -+--0''  +  ^'-)  +  ^?, 

c'i  représentant  le  potentiel  dû  à  l'action  perturbatrice  du  Soleil,  situé 
en  C  sur  l'axe  des  y  (potentiel  que  nous  avons  appelé  plus  haut  V3). 
Les  surfaces  de  niveau  ont  pour  équation 

U  =  const. 

Lorsque  c'^  est  nul,  nous  retrouvons  l'équation  déjà  discutée  (Section  I), 
et  les  surfaces  sont  de  révolution  :  l'une  d'elles  présente  un  cercle 
double  équatorial  formant  arête  saillante.  Mais  il  n'en  est  plus  de 
même  lorsque  S'-D  n'est  pas  nul.  Dans  ce  cas,  l'unedes  surfaces  acquerra 
un  point  double  si  l'on  a  à  la  fois 

d\]  d[]  dU 

dx  =  '''         7^=°'         d?  =  °- 

La  première  de  ces  équations  est  vérifiée  dans  le  plan  x  =  o,  par  rai- 
son de  symétrie  ;  les  deux  autres,  en  prenant  des  coordonnées  polaires, 
c'est-à-dire  en  posant 

y  ^=  r  cos  0,  z  ^  r  sin  0, 
sont  équivalentes  à 

(/U  d[] 

7/r  =  ^'  ./O  =  °- 

Ces  deux  dernières  nous  donneront  les  coordonnées  polaires  du  point 
double  ;  on  aura 

dU  M         ,  d'^ 

dr  r-  dr  ' 


ANALYSE    DE     I.'m  TPOTII  |":SE    DE    LvPLACE  Ol 

£  étant  très  petit,  cette  équation  donne  approximativement 

A\aiit  ainsi  la  distance  ;•,  nous  la  portons  dans  l'équation 

f/U 

S  =  °' 

qui  donnera  l'azimut  0  du  point  double.  Comme 

dV  _    (h 

dfi  ~~  '  (70  ' 

nous  voyons  qu'en  ce  point  double  la  fonction  '>  passera  (en  tant  que 
l'onction  de  0),  par  un  maximum  ou  par  un  minimum  :  on  reconnaît 
aisément  qu'elle  passera  par  un  maximum. 

Dans  le  cas  actuel,  la  fonction  perturbatrice  î'>  due  à  l'action  so- 
laire a  pour  expression 

^?  =  2-;3  (2J'  — ^'  — 2'', 

M'  désignant  comme  plus  haut  la  masse  du  Soleil  et  /  sa  distance  au 
centre.  Elle  présente,  pour  une  valeur  donnée  de  r,  deux  maxima 
égaux,  en  deux  points  de  l'axe  des  y. 

Donc  l'une  de  nos  surfaces  de  niveau  présente  deux  points  doubles 
ou  points  coniques  ;  les  surfaces  de  niveau  extérieures  à  celle-là  ne 
sont  plus  fermées. 

50.  Jusqu'ici  la  durée  de  rotation  de  la  nébuleuse  planétaire  a  été 
supposée  égale  à  sa  durée  de  révolution,  et  nous  avons  dit  (n"  43] 
que,  pendant  toute  la  période  oii  s'est  maintenue  cette  égalité,  la  né- 
buleuse n'a  pas  dû  former  de  satellites.  Lorsque,  par  suite  de  la  con- 
densation, la  marée  solaire  est  devenue  plus  faible,  la  rotation  s'est 
accélérée,  et  la  nébuleuse  planétaire  a  cessé  de  présenter  constamment 
au  Soleil  les  mêmes  points  de  sa  surface.  Roche  admet  que,  dans 
cette  seconde  période,  l'atmosphère  planétaire  prend  à  chaque  ins- 
tant la  figure  avec  laquelle  elle  pourrait  être  en  équilibre  sous  l'action 
du  Soleil  :  sa  surface  libre  est  allongée  vers  le  Soleil,  et  peut  acquérir, 
aux  sommets  du  grand  axe,  deux  points  coniques  comme  ceux  dont 
nous  parlions  plus  haut.  C'est  par  ces  deux  pointes  opposées  que  la 
contraction  laissera  s'échapper  l'excès   de  fluide  atmosphérique,   et 


Ga  IIÏI'OÏIIÈSES    COS.MO(;0MQLES 

non  plus  par  toute  une  arête  saillante  équatoriale,  comme  il  arrivait 
pour  la  nébuleuse  solaire  de  révolution.  Donc,  au  lieu  d'un  anneau 
régulièrement  disposé  autour  de  la  planète,  nous  aurions  une  émission 
de  matière  s'elïectuant  par  deux  points  opposés,  llocni:  pense  que  les 
diverses  masses  ainsi  délaissées  ne  présenteraient  aucune  condilion  de 
stabilité  ni  de  durée,  et  qu'en  réalité  les  satellites  ne  se  sont  pas  formés 
dans  cette  seconde  période  :  ils  appartiendraient  à  une  phase  bien 
postérieure  oh  la  durée  de  la  rotation  se  trouvait  déjà  tellement  ré- 
duite que  l'allongement  de  la  nébuleuse  planétaire  vers  le  Soleil  était 
presque  négligeable.  La  nébuleuse  planétaire,  devenue  alors  tout  à  fait 
comparable  à  la  nébuleuse  solaire,  aurait  abandonné  des  anneaux 
ordinaires  de  Laplace  qui  auraient  engendré  les  satellites. 

Dans  ce  cas,  aucun  satellite  ne  se  serait  formé  avant  que  la  nébuleuse 
planétaire  ne  soit  assez  contractée  pour  que  la  ditTérence  R'  —  R", 
entre  son  plus  grand  et  son  plus  petit  rayon  équatorial,  soit  descendue 
au  dessous  d'une  certaine  limite  0.  Estimant  assez  arbitrairement 
cette  limite  û  à  fi,ô  rayons  terrestres,  Roche  en  conclut,  pour  le 
rayon  IV  des  dilTérentes  nébideuses  planétaires,  au  moment  où  elles, 
ont  pu  commencer  à  abandonner  des  anneaux  équatoriaux,  les  va- 
leurs suivantes  (exprimées  en  rayons  de  la  planète  correspondante)  : 

Jnpiler  Saturno  Uranus  JNejitune 

48,6  G^,/|  i55  200 

C'est  seidement  en  deçà  de  ces  distances  qu'on  doit  s'attendre  à 
trouver  des  satellites.  Les  satellites  anciennement  connus  satisfont 
bien  à  cette  condition.  Mais  il  n'en  est  plus  de  même  pour  certains- 
satellites  récemment  découverts  :  pour  Jupiter,  par  exemple,  on 
connaît  un  satellite  à  une  distance  de  la  planète  égale  à  oô~  ravons. 
Il  y  a  donc  lieu  de  penser  que.  contrairement  à  l'opinion  de  Roche, 
les  masses  gazeuses  abandonnées  par  les  deux  ]ioints  coniques  de  la 
nébuleuse  dans  la  seconde  phase  de  son  existence  ont  pu  concourir 
à  la  formation  de  satellites.  Gela,  en  elTet,  ne  parait  pas  impossible 
à  imaginer  :  les  masses  successivement  abandonnées  auraient  pu  se 
répartir  sur  un  anneau  ;  mais  si,  ce  qui  est  le  plus  probable,  aucun» 
anneau  n'avait  pu  se  former,  on  se  serait  précisément  trouvé  dans  les- 
mêmes  conditions  qu'après  la  rupture  de  lanneau  devenu  instable.. 
Que  cet  état  ait  été  atteint  en  passant  par  une  phase  d'anneau  stable^ 


ANALYSE    DE    l'uYI'OTHKSE    I>E    LVPI.ACE  65 

OU  sans  passer  par  celle  phase,  la  foniialioii  d'un  salellile  aurait  tou- 
jours pu  en  résulter  par  un  mccanisuie  identique. 

51.  Cas  (le  la  Lune.  —  Uociin  estime  que  la  Lune  se  présente,  à 
divers  points  de  vue,  comme  un  satellite  exceptionnel  : 

«  Elle  se  dislingue,  dit-il,  par  la  grandeur  de  ses  dimensions  et  de 
sa  masse  coniparées  à  celles  de  la  Terre,  par  rexccntricité  de  son 
orbite,  surtout  par  sa  distance  à  la  Terre.  Saturne  et  peut-être  Lranus 
en  ont  un  aussi  éloigné  comparativement  au  rayon  de  la  [)lanète, 
mais  c'est  alors  le  dernier  d'une  série  de  satellites.  Ici  le  satellite  est 
unique.  »  {Essai  sur  la  coii^iUiUioii  cl  l'orif/uic  du  syslcmc  solaire^ 
n"  52.) 

Ces  raisons  lui  font  attribuer  à  la  Lune  une  origine  spéciale  : 

((  Il  a  pu  arriver  aussi  exceptionnellement,  et  telle  est  l'origine  pro- 
bable de  la  Lune,  quun  amas  de  vapeurs  déjà  refroidies  s'étant  formé 
au  dedans  de  la  nébuleuse  terrestre,  dans  la  région  équaloriale  et  à 
une  certaine  profondeur,  cet  amas  soit  devenu  un  centre  de  conden- 
sation autour  duquel  se  sont  groupés  d'autres  amas  semblables.  De 
cette  agglomération  est  résultée,  dans  l'atmosphère  même  de  la  Terre, 
une  nouvelle  nébuleuse,  origine  de  la  Lune.  »  {loc.  cil.,  n°  58.) 

Le  système  Terre-Lune  serait  donc  comparable,  dans  cette  manière 
de  voir,  à  une  sorte  de  planète  double.  Nous  sommes  donc  très  loin 
des  idées  de  L.\i'lace. 

52.  Anneau  (Je  Salurne.  —  Pourquoi  le  dernier  anneau  équalorial 
abandonné  par  la  nébuleuse  de  Saturne  est-il  resté  sous  forme  d'an- 
neau et  n'a-t-il  pas  donné  un  satellite  ?  C'est,  d'après  Roche,  parce 
qu'à  une  aussi  faible  dislance  de  la  planète,  ime  masse  fluide  ellipsoï- 
dale n'aurait  pas  pu  être  en  équilibre.  l\appelons-nous  en  ellet  ce  que 
nous  avons  dit  relativement  à  une  masse  fluide  homogène,  soumise 
à  l'attraction  d'un  astre  central  éloigné  (ici  Saturne)  et  animée  d'une 
rotation  uniforme  d'une  durée  égale  à  celle  de  sa  révolution.  Lorsque 
la  masse  fluide  est  très  petite  par  rapport  à  celle  de  l'astre  central 
fcas  de  u.  =  o  ,  nous  avons  vu  (n"  48)  qu'il  faut  avoir 

-"--  ■<  o,o/|G 

'2  ■■0 


C4  IIÏPOTIIÈSES    C05JI0G0MQUES 

pour  qu'une  forme  ellipsoïdale  d'équilibre  soit  possible.  Mais  la   lidi- 
sième  loi  de  Kepler  donne 

M  désignant  ici  la  masse  de  Saturne  et  /  sa  distance  à  la  masse  fluide: 
il  faut  donc  que 

M' 


2TT0/^ 


-<  o,oZ|G. 


Remplaçons  M'  par   ..  -r^â,  r  et  r)  étant  le  rayon  et  la  densité  de 
Saturne,  l'inégalité  précédente  devient 

Si,  pour  fixer  les  idées,  on  suppose  les  deux  densités  égales,  â  =  p, 
la  condition  d'existence  du  satellite  lluide  est  simplement 

D'où  cette  conclusion  :  à  une  distance  de  la  planrte  inférieure  à 
deux  fois  et  demie  son  rayon,  un  satellite  de  môme  densité  à  létat 
lluide  ne  saurait  se  maintenir  sous  forme  ellipsoïdale.  Comme  le 
rayon  moyen  de  l'anneau  de  Saturne  est  inférieur  à  cette  distance,  sa 
matière  n'a  donc  pas  pu  s'agglomérer  en  un  corps  unique.  Cela 
appelle  les  observations  suivantes  :  à  cette  distance  une  forme  annu- 
laire lluide  ou  solide  est  instable  ;  nous  l'avons  vu  et  nous  en  avons 
conclu  que  l'anneau  se  composait  de  satellites  tiès  petits  et  ellipsoï- 
daux. Mais  d'après  Roche,  mie  figure  ellipsoïdale  (en  supposant  l'éga- 
lité des  vitesses  de  révolution  et  de  rotation)  est  également  instable. 
Nous  devons  donc  conclure  que  les  petits  satellites  dont  est  composé 
l'anneau  ne  présentent  pas  toujours  la  même  face  à  Saturne. 

VIII.  —  Objections  à  la  Théorie  de  Laplace. 

53.  Nous  avons  exposé  en  détail  les  développements  théoriques  aux- 
quels ont  donné  lieu  les  idées  de  Lapl.vce.  Voyons  maintenant  les 
quelques  objections  que  l'on  peut  faire  et  que  l'on  a  faites  en  clïet  à 
cette  théorie. 


ANALYSE    DE    L  HYPOTHESE    DE    LAPI..VCE 


Le  biilde  Laplace  était  de  rendre  compte  de  la  fail^lessc  des  excen- 
tricités et  des  inclinaisons,  et  du  sens  direct  de  tous  les  mouve- 
ments connus  de  son  temps.  Son  hypothèse  explique  fort  bien  les 
deux  premiers  de  ces  phénomènes  ainsi  que  le  sens  direct  de  toutes 
les  révolutions  des  planètes.  Quant  aux  rotations  directes,  elles  sont, 
avons-nous  dit,  insullisammcnt  expliquées  par  Laplace;  mais  nous 
avons  pu  en  rendre  conq)te  dune  façon  salisl'alsanle  au  moyen  de 
l'elïet  produit  [)ar  les  marées  solaires  sur  les  nébuleuses  planétaires 
(mécanisme  f|ui  n'avait  pas  échai)pé  à  Laplace  en  ce  qui  concerne  la 
Lune).  La  marée  solaire  étant  très  faible  pour  les  planètes  les  plus 
extérieures,  nous  répondons  du  même  coup  à  l'objection  qu'on  pour- 
rait tirer  des  mouvements  rétrogrades  des  systèmes  d'Uranus  et  de 
Neptune. 

54.  On  a  aussi  objecté  à  la  théorie  de  Laplace  l'énormilé  du  temps 
nécessaire  à  la  transformation  d'un  anneau  en  une  masse  planétaire 
unique.  1  n  anneau  devenu  instable  s'est  rompu  en  plusieurs  masses 
sphérofdiqucs  qui,  d'après  Lapi.ace,  ont  dû  se  réunir  en  une  seule. 
Or,  ]\L  IvuiKwooD  a  fait  remarquer  que  cette  réunion  exigerait  un 
temps  considérable.  Si  les  fragments  de  l'anneau  étaient  tlistribués  à 
peu  près  régulièrement  le  long  de  rorbite.  leurs  actions  perturbatrices 
se  détruiraient  à  très  peu  de  chose  près,  et  on  ne  pourrait  invoquer 
en  faveur  de  la  réunion  des  morceaux  un  peu  éloignés  que  la  diffé- 
rence de  leurs  vitesses  de  révolution.  Or,  considérant  deux  fragments 
de  l'anneau  de  Neptune  distants  de  i8o''  en  longitude,  et  dont  les  dis- 
tances au  Soleil  différeraient  de  looo  milles,  M.  KnikA\ooD  calcule 
que  leur  jonction  ne  se  ferait  qu'au  bout  de  i5o  millions  d'années. 
Pendant  ce  temps  les  masses  se  seraient  refroidies  et  encroûtées,  et 
cette  durée  semble  beaucoup  trop,  considérable,  étant  donné  l'âge  que 
la  Thermodynamique  permet  d'assigner  au  système  planétaire.  Pour 
échapper  à  cette  grave  difficulté,  M.  Kïrkxvood  propose  d'admettre 
que  les  planètes  ont  été  projetées  par  des  espèces  d'éruptions  solaires  : 
elles  seraient  en  quelque  sorte  assimilables  à  d'anciennes  protubé- 
rances que  le  Soleil  aurait  comme  oubliées  en  se  contractant.  Mais 
dans  celte  supposition,  on  ne  trouve  aucune  raison  pour  ex[)liquer  la 
faible  excentricité  des  orbites.  D'ailleurs  nous  n'avons  aucune  espèce 
d'idée  du  temps  qui  a  pu  être  nécessaire  pour  la  formation  du  sys- 
tème solaire.   Il  est  possible,  il  est  probable  même  que  i5o  millions 


G6  HYPOTIIÙSES    (:0SM0(;0>'1QLES 

d'années  ne  représentent  qu'une  fraction  tiès  faible  de  ce  temps.  Il 
n'y  a  donc  rien  à  retenir  de  l'objection  de  M.  KinkAvooD. 

55.  l  ne  autre  difficulté  de  Ihypothèse  de  Laplac.e  provient  de  ce 
que  plusieurs  satellites  sont  à  des  distances  de  leur  planète  inconq)a- 
libles  avec  cette  In  potbèsc.  Ou  a  dit,  par  exemple,  que  la  distance  de 
la  Lune  à  la  Terre  est  plus  grande  que  n'a  pu  être  le  rayon  de  l'at- 
Tnosplièrc  terrestre  à  l'époque  de  la  formation  de  la  Lune,  c'est-à-dire 
lorsque  la  nébuleuse  terrestre  tournait  sur  elle-même  en  •2-i°"^%o, 
durée  de  la  révolution  de  la  Lune.  La  liinile  de  l'atmosphère  de  cette 
nébuleuse  était  en  elïet  le  point  où  la  force  centrifuge  jointe  à  l'at- 
traction solaire  contrebalançait  l'attraction  terrestre,  et  l'on  a  cru 
pouvoir  en  déduire  que  l'atmosphère  terrestre  ne  s'étendait  qu'aux 
trois  quai  ts  de  la  distance  de  la  Lune  à  la  Terre.  ^lais  Rocue  a  mon- 
tré que  cette  affirmation  est  inexacte.  Dans  le  calcul  de  cette  limite 
de  l'atmosphère,  ce  qui  intervient,  ce  n'est  pas  l'attraction  absolue  du 
Soleil,  mais,  comme  dans  le  calcul  des  marées,  son  attraction  relative, 
c'est-à-dire  la  dilï'érence  entre  l'attraction  exercée  sur  une  molécule 
de  l'atmosphère  et  l'attraction  exercée  sur  le  centre  de  la  Terre.  On 
trouve,  avec  cette  rectiticalion,  qu'à  l'époque  indiquée  l'atmosphère 
terrestre  atteignait  la  distance  de  la  Lune.  La  (jvande  distance  de  la 
Lune  n'est  donc  pas  une  objection  à  la  théorie  tle  Laplace. 

Il  n'en  est  pas  de  même  pour  les  petites  distances  auxquelles  se 
trouvent  le  premier  satellite  de  Mars  et  l'anneau  intérieur  de  Saturne. 
D'après  riiy[)olhèse  de  Laplace,  «  tous  les  corps  qui  circulent  autour 
d'une  planète  ayant  été  formés  par  les  zones  que  son  atmosphère  a 
successivement  abandonnées,  et  son  mouvement  de  rotation  étant 
devenu  de  [)lus  en  plus  rapide,  la  durée  de  ce  mouvement  doit  être 
moindre  que  celles  de  la  révolution  de  ces  dilïérents  corps.  »  [Expo- 
sition du  Syslcine  du  Monde,  p.  5o3.)  Or,  on  sait  que  le  satellite  le 
plus  voisin  de  Mars  (Phobos)  et  l'anneau  intérieur  de  Saturne  ont  une 
durée  de  révolution  moindre  que  la  durée  actuelle  de  rotation  de  la 
planète.  On  peut,  pour  expliquer  celte  anomalie,  avoir  recours  à  la 
formation  d'anneaux  intérieurs  par  la  rencontre  de  traînées  ellip- 
tiques, telle  qu'elle  a  été  indiquée  par  IIocue  (n"  24).  Le  satellite  de 
Mars  se  serait  ainsi  formé  à  l'intérieur  même  de  l'atmosphère  primi- 
tive de  la  planète,  c'est-à-dire  à  une  distance  inférieure  à  celle  que  lui 
avait  assignée  Laim.ace.  Ce  satellite  aurait  ensuite  subi  la  résistance 


ANALYSE    HE    I.'inPOTlli.SE    DE    I.APLVCE  67 

de  milieu  de  celle  atinos|)hcrc,  ce  qui  auiail  pu  contribuer  à  rétrécir 
son  orbite  et,  par  conséquent,  à  augmenter  sa  vitesse  de  révolution. 
L'iiypothèse  de  Laplaci:  est  ainsi  sauvée,  mais  au  prix  d'ime  modi- 
ficaliou  profonde. 

56.  l^nlln  la  découverte  récente,  autour  de  Jupiter  et  de  Satur?ie, 
de  satellites  à  révolution  rétrograde,  crée  une  nouvelle  dillicul té.  On 
pourrait  essayer  de  la  lever  en  considérant,  comme  au  n"  42  ([>.  .")!), 
-deux  masses  M  et  jM'  provenant  de  la  rupture  de  l'anneau  {fi<j.  i3)  : 
Ja  masse  M'  sera  supposée  très  petite,  la  masse  M,  provenant  de  la 
réunion  antérieure  de  plusieurs  noyaux,  sera  supposée  très  grande. 
Lorsque  la  masse  M  rejoindra  et  dépassera  la  masse  M',  elle  pourra 
ne  pas  la  choquer,  mais  elle  pourra  la  capter  (si  cette  masse  secon- 
daire pénètre  dans  l'atmosphère  de  la  masse  principale,  et  i^i  la  résis- 
tance do  cette  atmosphère  réduit  la  vilcsse  relative  ties  deux  masses) 
•et  s'en  faire  un  satellite  à  révolution  rétrograde.  On  pourrait  supposer 
également  que  le  satellite  s'est  formé  par  le  mécanisme  ordinaire  à 
l'époque  où  la  rotation  de  la  nébuleuse  planétaire  était  encore  rétro- 
grade. Le  mécanisme  de  la  marée  solaire  continuant  à  agir  sur  la 
masse  planétaire,  celle-ci  prendra  un  mouvement  de  rotation  direct, 
•et  les  satellites  ultérieurement  formés  seront  à  révolution  directe. 


CHAPITRE  IV. 

HYPOTHÈSE  DE  H.  FAYE. 


57.  Dans  le  syslème  cosmogonlque  de  Hervé  Fa\e  ('),  l'espace 
est  dès  l'origine  rempli  par  ((  un  chaos  général  excessivement  rare, 
formé  de  tous  les  élénicnls  de  la  Chimie  terrestre  plus  ou  moins 
mêlés  et  confondus.  Ces  matériaux,  soumis  d'ailleurs  à  leurs  attrac- 
tions mutuelles,  étaient  dès  le  commencement  animes  de  mouvements 
divers  qui  en  ont  provoqué  la  séparation  en  lambeaux  ou  nuées. 
Ceux-ci  ont  conservé  une  translation  rapide  et  des  gyrations  intestines 
plus  ou  moins  lentes.  Ces  myriades  de  lambeaux  chaotiques  ont 
donné  naissance,  par  voie  de  condensation  progressive,  aux  divers 
mondes  de  l'univers.  »  (p.  238.) 

Les  gyrations  intestines,  placées  par  Fave  dans  ses  lambeaux  chao- 
tiques, sont  analogues  auv  mouvements  tourbillonnaircs  que  nous 
observons  aujourd'hui  dans  les  nébuleuses  spirales. 

Des  résultats  fort  différents  pourront  se  produire  suivant  l'intensité 
de  ces  mouvements  gyratoires,  et  suivant  la  forme  des  lambeaux. 

Si  le  lambeau  est  un  amas  sphérique  homogène,  sans  mouvements 
intérieurs  d'aucune  sorte,  sa  condensation  donnera  une  étoile  sans 
satellites  et  sans  rotation.  Si,  étant  sphérique  et  homogène,  ce  lam- 
beau est  le  siège  de  mouvements  de  gyration  se  compensant  récipro- 
quement, il  produira  soit  un  amas  .sphérique  d'étoiles  décrivant 
toutes  dans  le  même  temps  des  ellipses  ayant  leur  centre  au  centre  de 
gravité  et  de  figure  de  l'amas,  soit  une  étoile  centrale  accompagnée 
d'une  foule  de  petits  corps  rapidement  éteints,  la  condensation  cen- 
trale l'ayant  considérablement  emporté  sur  les  condensations  par- 
tielles. Dans  les  deux  cas,  les  gyrations  se  compensant,  le  moment  de 


('     II.  I^'aye  •:    Sur   VOriijinr.  du  Monde,  'i"  cdit.  (Paris,  Gautliier-Villars,  1907). 
Chap.  XIII  et  XIV. 


no  HYPOTHÈSES    COSMOCO>"IQUES 

rotation  lolal  est  nul  ;  les  orbites  sont  orientées  dans  des  directions- 
diverses  et  décrites  aussi  bien  dans  un  sens  que  dans  l'autre. 

Un  cas  beaucoup  plus  irénéral  sera  «  celui  d'un  amas  non  splié- 
rique,  non  homogène  et  animé  de  tourbillonnements  susceptibles  de 
se  résoudre  en  une  gyration  unique.  »  (p.  2G2.)  La  condensation 
s'opérant  alors  autour  de  quelques  centres  d'attraction,  finira  par 
former  deux  ou  trois  globes  séparés  :  d'où  la  formation  d'une  étoile 
double  ou  multiple.  ((  Et  comme,  dans  la  série  des  niouvemenls  des 
corpuscules  se  précipitant  vers  des  corps  distincts,  il  n'a  dû  se  pré- 
senter aucun  moyen  de  régularisation  capable  d'imprimer  la  forme 
circulaire  à  leurs  trajectoires,  les  étoiles  finales,  associées  par  couples,, 
décriront  des  ellipses  plus  ou  moins  excentriques,  ayant  leur  i'ovcr 
commun  au  centre  de  gravité.  »  (p.  260.) 

Abordons  maintenant  la  formation  de  notre  système  solaire.  Ce  s\s- 
tème  présente  cette  remarcjuable  particularité  que  les  orbites  des  pla- 
nètes sont  presque  circulaires.  «  Il  faut  donc  que,  parmi  les  conditions 
initiales  de  notre  lambeau  chaotique,  il  s'en  soit  trouvé  une  qui  ait 
empêché  les  gyrations  de  dégénérer  en  mouvements  elliptiques,  et  qui 
ait  rectifié  d'abord  et  fermement  conservé  ensuite  la  forme  à  peu  [)rès 
circulaire  à  travers  toutes  les  péripéties.  »  p.  aôj. ,  Favk  suppose  que- 
le  chaos  partiel,  le  lambeau  d'où  est  sorti  le  système  solaire,  était  à 
l'origine  une  sorte  de  nébuleuse  sphcriquc  et.  honuxjcnc  et  que  cette- 
nébuleuse  possédait  un  lent  mouvement  tourbillonnaire  atTectant  une 
partie  de  ses  matériaux.  Il  pense  qu'à  l'intérieur  de  cette  nébuleuse 
se  formeront  des  anneaux  concentriques  animés  d'un  mouvement  de 
rotation  commun,  semblables  à  l'anneau  dont  la  nébuleuse  de  la 
Lyre  nous  oflVc  un  exemple  : 

«  Les  mouvements  tourbillonnaires  que  ce  lambeau  chaotique  em- 
porte dans  son  sein  aflectent  une  forme  spiraloïde  avec  des  vitesses 
dirigées  à  peu  près  perpendiculairement  au  rayon  vecteur.  Ces  vi- 
tesses vont  en  croissant  vers  le  centre.  Il  y  aurait  donc  peu  à  faire 
pour  transformer,  en  ])arlie,  im  mouvement  de  ce  genre  en  ime  véri- 
table rotation,  si  cette  dernière  était  compatible  avec  la  loi  de  1» 
pesanteur  interne. 

«  Or,  c'est  précisément  le  propre  de  ce  genre  d'amas  chaotique  de 
ne  permettre  aux  corps  qui  s'y  meuvent  que  des  révolutions  ellip- 
tiques ou  circulaires  concentriques  el  de  même  durée.  Des  portions 


IIYPOTIlKSi:    DE     M. 


notables  des  lourbillons  intéilems  pourront  donc  y  prendre  l'allure 
d'un  anneau  plal,  lournant  autour  du  centre  avec  nne  même  vitesse 
angulaire,  exactement  comme  si  cet  anneau  nébuleux  ctait  un  cerceau 
solide.  Il  n'y  a  à  cela  qu'une  condition,  c'est  que  la  durée  de  la  gyra- 
tion  de  ces  particules  soit  égale  à  la  durée  commune  de  tous  les  mou- 
vements elliptiques  ou  circulaires  qui  se  produisent  sous  l'inlluence 
de  la  force  centrale. 

((  Ainsi  toutes  les  particules  qui  auront  la  vitesse  convenable,  dans 
le  plan  des  gyrations,  s'arrangeront  immédiatement  sous  l'inlluence 
de  la  gravité  en  anneau  plat,  animé,  autour  du  centre,  tl'une  véritable 
rotation.  Les  autres,  à  vitesses  trop  grandes  ou  trop  petites,  se  mou- 
vront dans  le  même  plan,  en  décrivant  des  ellipses  concentriques  à 
l'anneau.  Si  ces  ellipses  sont  très  allongées,  les  matériaux  qui  les 
parcourent  se  rapprochent  beaucoup  du  centre  oi*!  s'opérera  une  con- 
densation progressive;  ils  finiront  par  y  être  englobés,  tout  en  com- 
muniquant au  globe  central  naissant  une  rotation  dans  le  plan  mémo 
de  la  gyration  primitive.  Si  elles  diU'èrent  peu  d'un  cercle,  la  faible 
résistance  du  milieu  sullira  pour  uniformiser  la  vitesse  et  disposer  les 
matériaux  en  anneaux  lournant  comme  le  premier.  »  (p.  •>.6{\--y.()- .) 

58.  Nous  constatons  ici  une  première  dilVérence  essentielle  entre 
la  conception  de  Vx\e  et  celle  de  L aplaci:  :  les  anneaux  de  Laplace 
se  formaient  à  l'extérieur  de  la  nébuleuse,  ceux  de  Favi:  se  forment  à 
l'intérieur.  Seulement,  tandis  que  LAiT.Act:  rendait  parfaitement 
compte  de  la  faiblesse  des  excentricités  et  des  inclinaisons  mutuelles 
de  ces  anneaux,  Faye  donne  de  ce  phénomène  une  explication  beau- 
coup moins  nette.  Le  but  principal  que  Laplace  s'était  proposé  ne  se 
trouve  ainsi  qu'imparfaitement  atteint.  Dans  les  deux  théories,  c'est 
la  rupture  des  anneaux,  devenus  instables,  qui  donne  naissance  aux 
planètes. 

59.  "Niais  suivons  l'évolution  de  la  nébuleuse  de  FA\t:.  Au  début, 
elle  était  sphérique  et  homogène  ;  l'attraction  à  l'intérieur  était  pro- 
portionnelle à  la  distance  r  au  centre  et  pouvait  être  représentée  par 

Ar, 

A  désignant  une  constante.  Plus  tard,  l'attraction  mutuelle  des  par- 
ties, jointe  aux  chocs  et  aux  frottements  inévitables  entre  j)arti- 
cules,   produisit  nécessairement  une  condensation  centrale  ;  celle-ci 


•-2  HYPOTHESES    COSMOCOMQUES 

s'est  peu  à  peu  nourrie  aux  dépens  de  l'atmosphère  nébulalre  qui  se 
raréfiait  de  ce  fait.  C'est  ainsi  que  le  Soleil  s'est  finalement  formé  vers 
le  centre  par  la  réunion  de  tous  les  matériaux  non  engagés  dans  les 
anneaux,  faisant  ainsi  le  vide  autour  de  lui.  Dans  cet  état  final,  qui 
est  l'état  actuel,  l'attraction  est  inversement  proportionnelle  au  carré 
de  la  distance  au  centre  ;  elle  a  pour  expression 

B 

B  étant  une  nouvelle  constante. 

Dans  la  période  intermédiaire,  Fave  admet  que  la  loi  d'attraction, 
en  fonction  de  la  distance  /',  peut  se  représenter  par  l'expression 

(E)  ar  +  ^,  , 

où  a  va  en  diminuant  de  A  à  o  et  6  en  augmentant  de  o  à  B. 

Cette  loi  correspondrait  exactement  à  une  nébuleuse  formée  d'un 
noyau  central  d'une  certaine  masse  qu'envelopperait  une  atmosphère 
parfaitement  homogène.  Il  est  peu  vraisemblable  que  la  nébuleuse 
solaire  ait  offert  cette  constitution  dans  la  période  intermédiaire.  La 
loi  d'attraction  réelle  avait  sans  doute  une  forme  beaucoup  plus  com- 
pliquée ;  la  loi  simple  proposée  par  Fave  nous  donne  donc  simple- 
ment une  idée  approchée  de  la  façon  dont  pouvait  varier  la  pesanteur 
à  l'intérieur  de  la  nébuleuse  primitive. 

60.  l<]ludions  maintenant  comment  se  comportent  les  anneaux  de 
Fate  au  point  de  vue  de  leur  rotation. 

Considérons  une  molécule  quelconque  d'un  anneau.  Sa  trajectoire 
est  circulaire  et  sa  force  centrifuge  fait  équilibre  à  l'attraction.  Si  l'on 
appelle  w  sa  vitesse  angulaire,  on  a,  d'après  l'expression  (E) 


d'où  l'on  tire 

■•"•=v 


Or,  r,)r  est  la  vitesse  linéaire  de  la  molécule  :  si  cette  vitesse  croît 
avec  r,  les  molécules  externes  auront  une  vitesse  supérieure  à  celle 
des  molécules  internes,  et  l'anneau,  après  sa  ruplme,  donnera  une  pla- 


HYPOTHESE    DE    H.     lAYE 


73 


nètc  à  rotalion  directe.  Au  conlralic,  si  ojr  csl  une  l'onclion  décrois- 
sante de  r.  la  planète  issue  de  l'anneau  aura  une  rotalion  rétrograde. 
Voyons  donc  dans  quel  sens  varie  o)r,  c'est-à-dire  dans  quel  sens 
varie  l'expression 

r 

Ce  sens  dépend  du  signe  de  la  dérivée 

6 


2ar 


Tant  qu'on  aura  l'inégalité 

h 

l'anneau  engendrera  une  planète  à  rotalion  directe.  La  rotalion  de  la 
planète  sera  indirecte  si  cette  inégalité  n'est  pas  vériliée.  Or,  au 
début,  b  est  nul,  donc  l'inégalité  est  satisfaite  partout.  Mais,  avec 
le  temps,  6  croît  et  a  décroît,  donc  à  chaque  distance  /■  il  arrivera  un 
moment  où  l'inégalité  cessera  d'être  vérifiée,  lue  planète  formée 
après  cette  époque  aura  une  rotation  rétrograde. 

Les  rotations  sont  donc  directes  lorsque  a  est  grand  et  b  petit, 
c'est-à-dire  au  commencement.  Ainsi,  d'après  Fave,  les  planètes  à 
rotation  directe  sont  les  plus  anciennement  formées  :  l'âge  relatif  des 
dilTérentes  planètes  est  inverse  de  celui  que  leur  assignait  Lm'l.vce. 

61.  Dans  cette  hypothèse,  la  Terre  sérail  non  seulement  plus  viedle 
que  Jupiter  ou  Neptune  par  exemple,  mais  beaucoup  plus  vieille 
même  que  le  Soleil,  puisqu'au  moment  où  elle  s'est  formée,  a  était 
grand  et  b  petit  ;  par  suite,  la  condensation  centrale  de  la  nébuleuse 
était  très  fiiible. 

Les  géologues  estiment  que  le  dépôt  des  sédiments  terrestres,  depuis 
le  début  de  l'ère  primaire,  a  exigé  un  minimum  d'une  centaine  de 
millions  d'années.  Or,  nous  verrons  plus  tard  qu'HELMiiOLiz  et  Lord 
Kki.vin,  au  nom  de  la  Thermodynamique,  assignent  au  Soleil  un  âge 
qui  ne  dépasse  pas  une  cinquantaine  de  millions  d'années.  Fave  re- 
gardant la  Terre  comme  beaucoup  plus  ancienne  que  le  Soleil  espère 
faire  disparaître  cette  contradiction  inquiétante.  Mais  observons  que 
l'étude  des  fossiles  de  l'époque  cambriennc  nous  invile  à  penser  que 
les  conditions  générales  de  la  vie  n'étaient  pas  alors  extrêmement 
dilTérentes  de  ce  qu'elles  sont  aujourd'hui,  et  il  paraît  assez  dillicile 


74  IIYI'CTIli:sES    COSMOr.OMQUES 

d'admettre  que  les  êtres  de  cette  époque  aient  vécu  sans  soleil,  ou 
mieux  encore,  à  l'intérieur  de  l'atmosphère  solaire. 

62.  Les  comètes,  d'après  Lapl.vce,  étaient  des  corps  étrangers  au 
système  solaire,  mais  appelés  dans  ce  système  par  l'atliaction.  D'après 
Faye,  ces  astres  appartiennent  originellement  au  système  solaire  : 
((  Parmi  les  matériaux  non  engagés  dans  le  tourbillon  primitif,  et 
décrivant  en  tous  sens  des  ellipses  allongées  autour  du  centre,  il  a  dû 
s'en  trouver  qui  échappèrent  à  la  condensatiou  centrale.  Ces  maté- 
riaux, partis  des  limites  du  chaos  primitif,  ont  continué  à  se  mouvoir 
dans  des  courbes  allongées.  )>  (p.  273.)  Ils  ont  donné  les  comètes 
dont  les  orbites  sont  devenues  des  ellipses  presque  paraboliques  ayant 
leur  foyer  à  l'endroit  où  les  premières  avaient  leur  centre. 

63.  jNous  avons  exposé  les  points  essentiels  de  la  théorie  de  Faye. 
Cette  théorie  fut  imaginée  principalement  pour  expliquer  ce  fait  que 
les  systèmes  planétaires  intérieurs  sont  directs  tandis  que  les  systèmes 
jolanétaires  extérieurs  sont  rétrogrades.  Faye  croit  ce  fait  absolument 
inconciliable  avec  l'hypothèse  des  anneaux  de  Laplace,  car  ces 
anneaux  doivent,  selon  lui,  donner  des  planètes  toujours  rétro- 
grades (').  Les  planètes  se  séparent  donc  ici  en  deux  catégories  très 
nettes  :  les  planètes  directes  (les  plus  rapprochées)  dont  la  formation 
est  antérieure  à  celle  du  Soleil,  et  les  planètes  rétrogrades  (les  plus 
éloignées)  dont  la  formation  est  postérieure  à  celle  du  Soleil  ("). 

Laplace,  n'ayant  connaissance  que  de  mouvements  directs,  avait 
annoncé  que  si  l'on  venait  à  découvrir  une  nouvelle  ])lanète  ou  un 
nouveau  satellite,  il  y  aurait  des  milliers  de  milliards  à  parier  contre 
un  que  la  circulation  de  ce  satellite  ou  la  rotation  de  cette  planète 
serait  directe.  Personne  ne  tint  le  pari,  mais  Laplace  l'aurait  perdu  : 
la  découverte  deNeptune  et  de  son  satellite  lui  ont  donné  un  démenti. 
Aux  yeux  de  Faye,  c'était  là  la  faillite  de  la  théorie  de  Laplace  et 
c'est  ce  qui  l'engagea  à  en  proposer  une  autre.  Pour  lui,  les  diverses 


(')  Nous  avons  vu  que  l'cll'ot  des  marées  solaires  permet  de  répondre  ù  ceUo 
objection. 

(-)  La  planète  L'ranns  se  serait  formée  à  une  éporpic  de  transition,  intermédiaire 
entre  celle  des  planètes  à  satellites  l'ranchcment  tiirecls  et  celle  de  >c|itune  à  sa- 
tellite francliement  rétrograde.  I^a  rotation,  d'abord  directe,  aurait  été  forcée 
ensuite  de  devenir  rétrograde,  de  là  serait  résulté  un  conflit,  contraignant  l'équa- 
teur  de  la  planète  naissante  à  s'incliner  sur  le  plan  de  l'orhitc,  jusqu'à  lui  devenir 
perpendiculaire  et  à  dépasser  même  un  peu  cette  position  \ers  le  sens  rétrograde. 


inpi5Tni:si;  de  h.   vwe 


planètes  peuvent  aussi  bien  tourner  sur  elles  mêmes  dans  un  sens  que 
dans  l'autre  —  cela  dépend  de  l'épocpie  de  leur  formation  ;  —  mais  il 
aurait  volonlieis  parié  à  son  tour  cpie  les  satellites  se  mouvront  tou- 
jours autour  de  leurs  planètes  respectives  clans  le  sens  de  rotation  de 
celles-ci.  Lui  aussi,  il  aurait  perdu  :  on  connait  aujourd'hui  des  sa- 
tellites ^qui  circulent  autour  de  Jupiter  et  de  Saturne  dans  le  sens 
rctro-rrade.  llestant  dans  l'ordre  d'idées  de  Fvye,  on  pourrait  essayer 
d'expliquer  le  mouvement  rétrograde  de  ces  satellites  autour  de  leurs 
planètes  par  des  considérations  analogues  à  celles  que  nous  avons 
données  à  la  lin  du  Gluipitr(>  précédent.  Les  premiers  satellites  de 
Jupiter,  par  exemple,  auraient  été  formés  pendant  la  période  directe, 
c'est-à-dire  quand  l'inégalité  (i)  était  encore  vérifiée  à  la  distance  de 
Jupiter,  le  dernier  aurait  été  capté  plus  tard,  pendant  la  période 
rétrograde,  comme  nous  l'expliquions  au  n"  56  (p.  G7  . 

64.  Examinons  à  présent  un  point  capital  pour  la  théorie.  Au  mo- 
ment où  chaque  planète  se  forme,  son  orbite  est  circulaire,  puisque, 
par  hypothèse,  la  planète  provient  d'un  anneau,  ^ous  avons  vu  que 
sur  ce  point  les  explications  de  F  vye  ne  sont  pas  entièrement  satisfai- 
santes ;  nous  ne  reviendrons  pas  là-dessus,  et  nous  les  admettrons 
provisoirement.  Mais  la  loi  d'attraction  varie  avec  le  temps.  \  sup- 
poser que  l'orbite  ait  été  initialement  circulaire,  a-t-cllc  pu  rester 
circulaire?  Montrons  qu'il  en  est  bien  ainsi. 

Représentons  par  'jî(r,  /)  la  loi  d'attraction,  variable  avec  la  distance 
V  de  la  planète  au  centre,  et  variable  aussi,  lentement,  avec  le  temps  t. 
Le  rayon  vecteur  v  satisfait  à  l'équation 

d^r  /f/e 


ou  -r.  désigne  la  vitesse  angulaire.  La  force  étant  centrale,  nous  avons 
l'équation  des  aires 

dt 
G  étant  une  constante.  L'équation  précédente  s'écrit  alors 
,  •  dh^      C-^ 


■jfi  HYPOTHÈSES    COSMOGOMQLES 

Introduisons  une  fonction  H(/',  /)  définie  par  l'équation 
lin  C2 

(dans  riiypolhèse  de  Fa\e,  où  nous  avons 

h 

la  fonction  II  serait 

,1         C-        or^       b 
II  =     .,  H ; 

2  r-  2  r 

mais  nous  restons  ici  dans  le  cas  général  où  II  est  une  fonction  quel- 
conque connue  de  /•  et  de  /).  L'équation  (a)  s'écrit  alors 

,„,  iPr       dll 

Dans  le   cas  où  II  ne  dépend  pas  de  /,  cette  équation,  multipliée 
par  OT  et  intégrée,  donne  immédiatement  l'équalion  des  forces  vives 

I  /dr\- 

■Ad 


w  ..(;y;)^ji=^- 


où  T  est  une  constante. 

Dans  le  cas  actuel  où  II  dépend  de  /,  nous  posons  cette  même 
équation  { f[)  :  elle  servira  de  définition  à  T,  qui  n'est  plus  une  cons- 
tante, mais  une  quantité  qui  dépend  du  temps.  Calculant  la  dérivée  jj 
de  T  par  rapport  au  temps,  on  trouve 

(/T  _dU        (dll        f/V\  dr 

di  ~  (//:  ~^'  \dr  "^  df'j  dr 

La  parenthèse  du  second  membre  étant  nulle  d'après  l'équation  (3), 
-..-  est  égal  à  la  dérivée  partielle  de  II  [)ar  rapport  au  temps  : 

<IT  _d\l 

di  ~   dl  • 

Dans  le  cas  où  l'ail raclion  ne  dépend  pas  du  temps,  nous  obtenons 
la  dislance  aphélie  /y  en  écrivant  que 

dr,. 


iivi'OTin:sii  Dr   h.   fa\i: 


Si  nous  appelons  11^  ia  valeiii-  de  II  i)oui-  r  =  i\,  l'équalion 
(5)  Ho  =  T 

définit  alors  la  distance  apiiélie  r^  cl  aussi  la  distance  péiiliélic. 

Dans  le  cas  où  l'attraction  varie  lentemeni  avec  le  temps,  nous 
pouvons  continuer  ù  dire  que  celle  même  équation  (5)  définit,  ù 
chaque  instant  /,  la  distance  aphélie  osciilalrice,  c'est-à-dire  la  distance 
aphélie  de  l'orbile  que  décrirait  la  planclc  si  la  loi  d'attrac^lion  cessait 
de  varier  à  cet  instant  /. 

Cette  définition  semblera  jusllliée  si  l'on  remarque  (pi'à  l'inslant 

,   ,     ,•  •  'li- 

on la  dislance  /'  passe  par  un  uia\unum  on  a    ■.  =  o,    et  que   par 

conséquent  II  =  1;  à  ce  moment  on  a  également  r  =:  i\  et  par  con- 
séquent IIq  =  T. 

Ce  qui  caractérise  un  mouvement  circulaire,  c'est  que  la  distance 
aphélie  est  égaie  à  la  distance  périhélie,  c'est-à-dire  que  l'équation 

II  =  T 

a  une  racine  double  r  ;  celte  racine  double  salisiait  aussi  à  l'équation 

dU 

,    =  o. 

dr 

Inversement  si  la  dislance  aphélie  annule    ,    ,  l'équation  précédente 

a  une  racine  double  et  l'orbite  est  circulaire. 

Supposons  donc  qu'à  l'instant  initial  /  les  deux  équations 

ïl  =  T 
et 

rfll 

-d?  =  ° 

ont  une  racine  commune  /•,  rayon  de  l'orbile  circulaire  de  la  planète. 
Si,  à  une  époque  un  peu  ultérieure  /  +  (//,  l'orbite  a  cessé  d'èlre  cir- 
culaire, sa  distance  aphélie  r,,  sera  donnée  par  l'équation 

llo  =  T. 

Eludions  les  variations  de  Fq,  et  pour  cela  différentions  la  dernière 
équation  par  rapport  à  /.  Nous  obtenons 

(G) 


du,  di-        f/IL 

dT 

d\\ 

0          0    _i                0   

di-     dt          dl   ~ 

^di  - 

~  dt 

78 


m  l'OTlIllSES    COSJIOGOMQUES 


Or,  t\  dilleianl  [X'u  de  /',  nous  aMons 

(/ll„       dli       ,  ,  dm 


et 


(/II,,    _    </II  ,  _        N     '/'Il 

di  —  dt   "^  ^''"        ''  drdC 


Portons  ces  valeurs  dans  l'équation  (G)  en  nous  souvenant  que  -17 
est  nul  ;  nous  trouvons  l'équation 

dm<h'^      dm  _ 

dr-    dl         drdt 
Comme  r^  diffère  peu  de  /',  l'équation  précédente  s'écrit 


dm     dm  dr 

drdt  ~^  dr^  dt  ' 

=  0. 

,    dU 

Le  premier  membre  est  la  dérivée  totale  de    ,7  par  rapport  au  temps. 

Cette  dernière  équation  nous  montre  que    .,,  nul  à  l'époque  /,  reste 

nul  à  l'époque  /  -h  <U.  Lorbite  initialement  circulaire  reste  donc  cir- 
culaire, mais  son  rayon  /•  varie  avec  le  temps. 

65.  11  y  a  un  cas  oii  nous  pouvons  étudier  la  question  de  beaucoup 
plus  près.  Supposons  que,  dans  la  formule  de  Fate 

h 

c  ir,  t)  ^=  ar  -\ ^, 

'  r- 

a  soit  nul  :  ce  serait,  par  evemplc,  le  cas  où  la  nébuleuse  de  Favl: 
posséderait  un  noyau  déjà  très  condensé,  avec  une  atmospbère  de 
dcnsilê  négligeable,  mais  de  masse  importante  vu  la  grande  distance 
où  elle  s'étend  ;  cette  atmospbère  tombe  peu  à  peu  sur  le  noyau  cen- 
tral pour  augmenter  sa  masse.  En  d'autres  termes,  nous  allons  étudier 
le  mouvement  d'une  planète  attirée  suivant  la  loi  de  Neavton  par  un 
soleil  dont  la  masse  (que  nous  désignerons  par  M)  varie  lentement 
avec  le  temps. 

Dans  ce  cas,  la  fonction  que  nous  appelons  il  a  pour  expression 

11  =  ^-"; 

2  r-         r 


ini'OTIIKSE    DE    H.     l•^^E  7<( 

par  suite 

ilT  _  du  _  _  I  */M 
\U  ~  lit  "~        r    <//  ■ 

Or,  'I'  est  la  constante  tics  forces  vives  (|ui.  dans  le  mouvement  képlé- 

rien,  a  pour  valeur  —        ,    a"  étant  le  o'ranJ  axe  de  l'orbite  ;  nous 

avons  donc 

c/  /_  M\        _  I  ./M 
dl  \       2fl/  "         ;•    '// 

OU 

,  M\        dMdt 

Nous  pouvons  adincllre  que,  pendant  le  lomps  d'une  révolution  de 
la  planète,     .j-  reste  sensijjlcment  constant.  Calculons    .    ou  plutôt  sa 

valeur  moyenne  pendant  une  révolution.  En  désignant  par  n  et  u  le 
moyen  mouvement  et  l'anomalie  excentrique  de  la  planète,  [)ar  c 
l'excentricité  de  son  orbite,  nous  avons 

n/  =  u  —  e  sin  », 

d'où  nous  tirons,  n  et  e  ne  variant  que  très  lentement, 

n  dl  =  du  (  I  —  e  cos  (0  ; 

d'ailleurs,  une  formule  bien  connue  du  mouvement  elliptique  donne 

/•  =  a  (  i  —  e  cos  II)  ; 

donc 

dt        du 

n  =  —  . 

r         a 

Or,  pendant  une  révolution,  n  est  une  constante,  et  du  a  pour  valeur 
moyenne  n  dl  ;  donc 

,    dl       dl. 
niovenne  de  —  =  —  • 

•"  r         a 

La  formule  (7)  donne  par  conséquent  pour  la  variation  séculaire  du 
grand  axe 

\2a/  a 


8o  HYPOTHÈSES    COSMOGONIQUES 

OU 

adM  -h  Mf/«  =  o, 

et  par  suite 

Ma  =  const. 

Le  ffrand  axe  varie  donc  inversement  à  la  masse  du  Soleil. 

D'ailleurs,  si  nous  appelons  b  le  petit  axe  de  l'orbite  elliptique,  la 
constante  des  aires  G  a  pour  valeur 


nous  avons  donc 


et 


c  =  v/M^; 


=  const., 

a 


M-62 

-.,  -  =  const. 
Ma 


Ma  étant  lui-même  constant,  Mb  l'est  aussi.  Les  deux  axes  2a  et  2^ 
de  l'orbite  de  la  planète  varient  donc  proportionnellement  l'un  à 
l'autre.  L'orbite  de  la  planète  —  et  ici  nous  n'avons  pas  eu  besoin  de 
supposer  son  excentricité  très  petite  —  reste  donc  constamment  sem- 
blable à  elle-même.  Elle  ss  rapetisse  à  mesure  que  la  masse  M  du 
Soleil  augmente. 

66.  Ainsi,  dans  l'bvpotlièse  de  Fave,  l'orbite  d'une  planète  reste 
toujours  quasi-circulaire,  mais  le  rayon  de  cette  orbite  va  en  dimi- 
nuant; les  planètes  s'approcbent  de  plus  en  plus  du  Soleil  à  mesure 
que  celui-ci  augmente  de  masse  ('). 

Demandons-nous  quelles  pouvaient  être,  à  l'origine,  les  distances 
des  diverses  planètes  au  centre  de  la  nébuleuse.  Pour  une  planète  dont 
a  est  le  rayon  de  l'orbite  actuelle  et  dont  w  est  la  vitesse  angulaire,  le 
moment  de  rotation  est 


ce  moment  de  rotation  n'ayant  pas  dû  varier,  si  w'  est  la  vitesse  an- 


(')  Si  la  planète  a  un  satellite  (ou  plusieurs),  ce  rapprocliemcnt  entraîne,  comme 
effet  secondaire,  une  légère  augmcntalion  de  la  distance  du  satellite  à  la  planète  : 
conséquemmcnt,   la  durée  du  mois  augmente,  tandis  que  celle  de  Vaiiiu'e  diminue. 


IlYPOrilliSt:    DE    II.     FA\E 


8i 


gulairc  et  à  le  ra}on  de  l'orhlLe  de  la  [)lancle  à  roiiglno,  on  a 

(8)  ioa-  =  w'«'2. 

Or,  à  l'oiifiinc,  la  nibuleuse  de  1\\^e  était  sphcrique  et  homogène, 
rattraclioa  était  donc  pioporlionnelU;  à  la  distance  au  centre,  par 
suite  0)  était  le  même  pour  toutes  les  [)lanètcs.  Supposons,  par  exem- 
ple, que  la  nébuleuse  primitive  homogène  ait  eu  le  rayon  de  l'orbite 
actuelle  tie  Ne[)tune  f^cc  qui  est  un  minimum)  :  alors  son  attraction 
sur  Neptune  aurait  été  la  même  que  si  toute  sa  masse  avait  été  con- 
centrée en  son  centre.  Sa  condensation  ultérieure  en  un  Soleil  central 
n'a  rien  dû  changer  au  mouvement  de  Neptune,  qui  lui  restait  tou- 
jours extérieur.  La  valeur  de  ^i'  est  donc,  dans  cette  hypothèse,  la 
vitesse  angulaire  actuelle  de  Neptune,  et  la  formule  (S)  permet  de 
calculer  la  distance  initiale  a  de  chaque  planète  au  centre  de  la  nébu- 
leuse. On  peut  ainsi  former  le  Tableau  suivant,  où  l'on  a  mis  en  regard 
la  distance  actuelle  et  la  distance  initiale  des  planètes  au  Soleil,  le 
rayon  actuel  de  l'orbite  terrestre  étant  pris  comme  unité  : 


Planùles 

Distance  actuelle  a 

Dislance  initiale  a' 

^[ercure     .      .      .      . 

O,'. 

10 

Venus  

0,7 

1  1 

la  Terre     .... 

I 

10 

Mars 

1,5 

.4      .       1 

.Jupiter 

•  '  >  '* 

20             1 

Saturne      .... 

(),:> 

3  2 

l'raiins 

!',),' 

27 

ÎNeptuiic     .      .      .      . 

.'>o 

3o 

Nous  voyons,  par  exemple,  que  Mercure  se  serait  formé  à  peu  près 
à  la  distance  où  se  trouve  aujourd'hui  Saturne.  Si  le  rayon  \\  de  la 
nébideuse  homogène  primitive  avait  été  encore  plus  grand,  les  dis- 
lances a'  se  trouveraient  encore  augmentées.  L'attraction  est  initiale- 
ment représentée  par  A/',  A  étant  proportionnel  à  la  densité  de  la 

nébuleuse,  c'est-à-dire  à  tv^^  ;  w'  égal  à  \/A  est  donc  proportionnel  à 

R  2  ;  comme  u'a'^  a  une  valeur  constante,  nous  concluons  que  a   est 
proportionnel  à  l\* . 


Poi>( 


ga  HYPOTHÈSES    COSMOGOMQUES 

Donc,  si  la  nébuleuse  primitive  a  eu  un  ravon  double  de  la  dis- 
lance  actuelle  de  Neptune,  c'est  par  2^  qu'il  faut  multiplier  les  nom- 
bres de  la  dernière  colonne  du  Tableau  ci  dessus.  Si  l'on  admet  quel» 
nébuleuse  solaire  touchait  à  l'origine  celle  de  l'étoile  la  plus  voisine- 
(a  du  Centaure),  qui  se  trouve  éloignée  à  une  dislance  de  l'ordre  de 
200000  ravons  de  l'orbite  terrestre,  c'est  par  un  nombre  de  l'ordre 

de  ( — y Y  qu'il  convient  de  mullijilier  les  distances  a'.  Dans  l'hy- 

potlièse  de  Faye,  c'est  donc  à  d'énormes  distances  que  les  planètes  se 
seraient  Ibrmées. 

L'hypothèse  de  Fate  présente  en  résumé  un  caractère  ingénieux  ;; 
mais  elle  rend  moins  facilement  compte  que  celle  de  Laplace  de  la 
faiblesse  des  excentricités  et  des  inclinaisons.  Elle  a  été  imaginée  à  1» 
suite  de  certaines  objections  qui  avaient  été  opposées  à  la  théorie  de 
Laplace  ;  nous  avons  vu  plus  haut  comment  la  plupart  de  ces  objec- 
tions avaient  pu  être  écartées  et  avaient  été  victorieusement  réfutées 
par  les  partisans  des  idées  de  Laplace.  La  principale  difficulté,  ignorée 
d'ailleurs  de  Faye,  provient  du  mouvement  rétrograde  des  satellites 
extérieurs  de  Jupiter  et  de  Saturne;  mais  elle  n'est  pas  mieux  expli- 
quée par  la  nouvelle  théorie  que  par  l'ancienne. 


CHAPITRE  V. 

HYPOTHÈSE  DE  M.  DU  LIGONDÈS  (*). 


67.  Le  point  tics  original  de  la  théorie  de  M.  di  Luiondès  consiste 
dans  l'idée  quil  se  fait  du  chaos  primitif  : 

((  V  l'origine  l'Univers  se  réduisait  à  un  chaos  général  extrêmement 
rare,  formé  d'éléments  divers  mus  en  tous  sens  et  soumis  à  leurs 
attractions  mutuelles  ... 

«  Ce  chaos  s'est  partagé  en  lambeaux  qui  ont  donné  naissance,  par 
voie  de  condensation  progressive,  à  tous  les  Mondes  de  l'Univers.  » 
{Formalion  mécanique  du  syslhne  du  Monde,  p.  l'i.) 

Nous  sommes  loin,  on  le  voit,  delà  nébuleuse  de  Laplaci:  qui  tour- 
nait tout  dune  pièce  avec  une  vitesse  de  rotation  bien  uniforme.  Les 
tourbillons  et  gyrations  intestines  dont  Paye  dotait  sa  nébuleuse  pri- 
mitive sont  aussi  supprimés.  Nous  sommes,  en  quelque  sorte,  «  reve- 
nus aux  idées  de  Kant,  avec  le  mouvement  en  plus,  non  pas  le 
mouvement  régulier  de  la  rotation  ou  des  tourbillons,  mais  le  mouve- 
ment sans  ordre  apparent.  »  (p.  i4-) 

Nous  devons  donc  nous  représenter  l'un  quelconque  des  lambeaux 
nébuleux  en  lesquels  le  chaos  initial  s'est  partagé,  par  suite  de  la 
tendance  de  toutes  les  molécules  à  se  porter  vers  les  régions  les  plus 
denses,  comme  formé  par  un  très  grand  nombre  de  masses  séparées, 
«'attirant  les  unes  les  autres,  se  mouvant  en  tous  sens  et  pouvant 
arriver  à  se  choquer  de  temps  à  autre.  Les  vitesses  de  tous  ces  pro- 
jectiles ne  sont  soumises  à  aucune  loi  :  la  seule  loi  sera  celle  des 
grands  nombres  : 


(')  Lieutenant-Colonel    \\.   du   LinoNors    :    Formation    mécanique    du  système  da 
Monde  (I^aris,  (jautliier-Villars,  1897J. 


84  HYPOTHÈSES    COS.MOGOMQLES 

u  Nous  ne  faisons  aucune  liypolhèsc  sur  la  naluic  de  ces  mouve- 
menls;  nous  les  abandonnons  entièrement  à  ce  qu'on  est  convenu 
d'appeler  le  hasard.  C'est  en  cela  que  riiypotlièsc  dont  kous  allons 
développer  les  conséquences  dill'ère  essentiellement  de  toutes  celles 
qui  ont  été  émises  jusqu'ici  ;  c'est  ce  qui  lui  donne  un  caractère  de 
vraisemblance  et  de  généralité  qui  doit,  a  priori,  la  faire  préférer  à 
toute  autre.  L'hyj)ollièse  de  Ivant,  malgré  son  apparente  simplicité, 
est  moins  g;énérale  que  la  nôtre,  puisque  la  matière  y  est  primitive- 
ment en  repos  ;  le  repos  n'est  qu'un  cas  particulier  du  mouvement.  » 
(p.  i5.) 

68.  Examinons  maintenant  comment  M.  ni  LiooNDiiS  fait,  d'un 
des  lambeaux  chaotiques,  naître  le  système  solaire. 

Observons  tout  de  suite  —  c'est  là  un  point  capital  —  que 
M.  DU  LigondC'.s  n'est  pas  en  contradiction  avec  le  principe  des  aires, 
comme  l'était  Ka>t  qui  supposait  sa  nébuleuse  initiale  partant  du 
repos.  Les  projectiles  dont  se  compose  le  lambeau  ont  leurs  vitesses 
distribuées  an  hasard.  Considérons  alors  les  vecteurs  qui  représentent 
le  moment  de  la  quantité  de  mouvement  de  chacun  de  ces  projectiles 
par  rapport  au  centre  de  gravité  du  lambeau  :  ces  vecteurs  seront 
orientés  dans  tous  les  sens  et  auront  des  grandeurs  diverses;  et,  puis- 
que le  mouvement  est  supposé  complètement  désordonné,  la  somme 
géomélrique  de  tous  ces  vecteurs  sera  très  petite  par  rapport  à  leur 
somme  ariihmérujae,  c'est-à-dire  par  rap])ortà  ce  qu'elle  serait  si  tous 
ces  vecteurs  avaient  même  direction  ;  mais  en  général  elle  ne  sera  pas 
nulle.  Or,  cette  somme  géométrique,  c'est  précisément  le  moment  de 
rotation  total  du  système,  moment  qui  doit  demeurer  constant  à  partir 
de  l'instant  où  le  lambeau  considéré  est  suflisamment  séparé  des  au- 
tres pour  pouvoir  ôlrc  regardé  comme  isolé.  Il  n'y  a  donc,  a  priori, 
aucune  contradiction  à  faire  sortir  le  système  solaire  d'un  pareil  lam- 
beau nébuleux  chaotique. 

69.  Cherchons  à  nous  faire  une  idée  de  la  somme  géométrique  et 
de  la  somme  arithmétique  des  vecteurs  dont  nous  venons  de  parler, 
et  du  rapport  de  ces  deux  sommes.  La  somme  géométrique,  nous  la 
connaissons,  c'est  le  moment  de  rotation  actuel  du  système  solaire. 
Pour  essayer  d'évaluer  grossièrement  la  somme  arithmétique,  assimi- 
lons la  nébuleuse  chaotique  initiale  à  une  sphère  homogène  avant  une 
masse  M  égale  à  la  masse  totale  du  svstèmc  solaire,  et  un  rayon  U 


HYPOTlIKSr:    DE    M.    I)L     I.IGONDI 


85 


égal  à  looooo  unités  astronomiques  (').  \  l'intéiicur  d'iuic  telle 
sphère  homogène,  l'attraction  est  proportionnelle  à  la  distance  au  cen- 
tre et  toutes  les  molécules  décrivent  des  ellipses  dans  le  même  temps. 
Pour  calculer  ce  teiups,  considérons  une  molécule  décrivant  une 
orhite  circulaire  ayant  justement  pour  rayon  looooo  unités.  Cette 
molécule  se  mouvant  comme  si  toute  la  masse  delà  néhuleuse  était 
concentrée  au  centre,  sa  durée  de  révolution  se  calculera  suivant  la 
troisième  loi  de  Kéhlek  :  elle  aura  pour  valeur  (100000)-,  soii  en\i- 
rou  3o  millions  d'années.  Une  molécule  m  décrivant  dans  ce  temps 
tme  clli[)sc  d'axes  2a  cl  26  aura  donc  pour  moment  de  rotation 

2  -ah 

m  .j , 

00  000  000 

et  la  somme  arilhméli(jue  des  moments  de  rotation  de  toutes  les  mo- 
lécules sera 

!>„  =  n -.     >  mab, 

•io   X    10'  -m^ 

la  somme  2i  étant  étendue  à  toutes  les  molécules  qui  constituent  la 
néhuleuse.  Pour  calculer  cette  sonuno  nous  aurions  hesoin  de  con- 
naître l'ellipse  décrite  par  chaque  molécule.  Or,  nous  n'avons  pas  la 
moindre  idée  de  la  façon  dont  varient  ces  ellipses  d'une  molécule  à 
l'autre,  et  il  semble  dilFicile  de  l'aire  à  ce  sujet  une  hypothèse  qui  puisse 
se  justifier.  Mais,  cherchant  ici  sculemenl  un  ordre  de  (jrandeiir,  nous 
remarquons  que,  pour  la  plupart  des  molécules,  a  et  h  sont  compa- 
ntbles  au  rayon  U  de  la  nébuleuse  sphériquc  et  nous  nous  contenions 
d'écrire,  avec  une  approximation  grossière 

S„  =  ^ — ,    >  m 


?)0  X    lo'^ 
3o  X  10" 


M. 


Quant  à  la  somme  géométrique  S^,  qui  est  le  moment  de  rotation  du 
système  solaire,  voici  comment  on  peut  l'évaluer.  Le  calcul  montre 
que  la  sphère  bomogène  de  ravon  R  =^  100000  unités  devrait,  pour 


(')  L'unité  astronomique  est  la  distance  movenne  de  la  Terre  au  Soici!.  Les 
étoiles  les  plus  voisines  du  Soleil  en  sont  à  une  distance  de  l'ordre  de  200000 
unités  astronomiques. 


g6  HYPOTHÈSES    COSMOGOMQCES 

avoir  un  moment  de  rotation  égal  à  celui  du  système  solaire,  tourner 
sur  elle-même  d'un  seul  bloc  en  lo'- années.  Son  moment  de  r<jtation, 
égal  au  produit  de  son  moment  dinerlie  [)ar  sa  vitesse  angulaire, 
aurait  alors  pour  expression 

S 
Le  rapport  ^^  de  la  somme  gcométrirpic  à  la  somme  arithmétique 

des  moments  derotation  des  molécules  est  donc  </e /'o/v//y' de  ^|, —  > 

soit  à  peu  près  de  l'ordre  de  ^ ('). 

^        '■  ooooo  ^  ^ 

Il  faut  donc  penser  que,  dans  le  lambeau  nébuleux  chaotique  d'où 
est  sorti  le  système  solaire,  le  hasard  a  élabli  cette  légère  prédomi- 
nance des  moments  de  rotation  dans  un  certain  sens.  Pour  d'autres 
lambeaux,  la  prédominance  a  pu  être  plus  forte  :  ce  lut  le  cas  de  ceux 
qui  ont  donné  naissance  à  des  svsièmes  d'étoiles  doubles.  M.  du  Li- 
GoxDÈs  remarque  en  etTet  que  les  étoiles  doubles  ont  en  général  un 
moment  de  rotation  beaucoup  plus  grand  (^)  que  celui  du  système 
solaire  (car,  pour  ce  dernier,  la  masse  presque  totale  du  système  se 
trouve  concentrée  près  du  centre  de  gravité). 

70.  Chaque  molécule  décrivant  approximativement  une  ellipse  au- 
tour du  centre  de  la  nébuleuse,  l'état  chaotique  persisterait  indéfini- 
ment s'il  ne  se  produisait  pas  de  chocs  entre  les  dilVérenls  projectiles. 
Mais  ces  projectiles  se  rencontreront  inévitablement  de  temps  à  autre, 
et  de  leurs  chocs  résultera  un  double  etTet  : 

1°  Une  concentration  de  la  nébuleuse,  une  tendance  à  la  formation 
d'un  noyau  central  se  produira,  car  deux  projectiles  qui  se  hcurlent 
se  collent  ensemble  et  n'en  forment  plus  qu'un  ;  il  y  a  perte  de  force 
vive,  ce  qui  se  traduit  par  une  chute  des  matériaux  vers  le  cenire. 

2"  Le   sphéroïde  qu'est  la   nébuleuse  chaotique  initiale  s'aplatira. 


(i)  Ce  rapport  dépend  éviticmment  du  ra\oii  II  f[ue  l'on  assigne  à  la  nébuleuse 
initiale,  et  ce  rayon  peut  être  choisi  arljitraireinenl.  Si.  par  excniple,  au  lieu  de 
prendre   R=  looooo    unités,    nous  avions    pris  11  =  3o   luiitcs,    c'est-à-dire  le 

rayon  de  l'orbite  de  Neptune,   nous   aurions    trouvé   t,' do  l'ordre  de  ^—  .   Conten- 
tons-nous  de  remarquer  que  rc  rapport  est  toujours  petit. 

(-)  25o  fois  environ  pour  la  Gi'^  du  C\j.'ne,  cl  plus  de  :<ooo  fois  pour  a  du 
Centaure. 


HYPOTllLSE    DE    M,    DL'    LI(;0>r)KS  87 

Considérons,  en  ciVel,  le  plan  du  maximum  des  aires,  per[)cndiculaire 
au  moment  de  rolalion  résultant  du  svstèmc.  Parallèlement  à  ce  plan 
il  va  fpour  ainsi  dire  par  déiinilion  imc  légère  })répondérancc  de 
molécules  tournant  dans  un  certain  sens,  tandis  que  parallèlement  à 
un  plan  perpendiculaire  à  celui-là,  cette  prépondérance  n'existe  pas. 
Les  chances  de  chocs  seront  donc  moins  uondDreuses  dans  le  plan 
équatorial  du  maximum  des  aires,  où  le  mouvement  est  un  peu 
orienté,  que  dans  im  plan  méridien,  où  les  mouvements  se  font 
indifféremment  dans  tous  les  sens.  Il  en  résulte  évidemment  une 
tendance  du  sphéroïde  à  s'aplalir  suivant  la  perpendiculaire  au  plan 
tlu  maximum  des  aires. 

71.  Montrons  (|ue  cet  aplatissement,  une  ibis  commencé,  \a  s'ac- 
■ccntuer.  Assimilons  la  nébuleuse  a[)latie  à  un  ellipsoïde  homogène. 
A  l'intérieur  d'un  tel  ellipsoïde,  l'attraction  au  point  x,  r,  r  a  pour 
■composantes 

—  a-x,  —  '^'-y,  —  7'-;, 

a^  [■:>'-,  Y"  étant  trois  constantes  (').  La  trajectoire  d'une  molécule 
•quelconque  sera  définie  par  les  équations  dill'érentielles 

d'-x    ,      , 


)  dt' 


,         --    =r  O, 

V    dl 

<lont  les  intégrales  générales  sont 

X  =^  V  ces  3t/  +  B  sln  -xt, 
Y  =  Al  CCS  ^l  -t-  B,  sin  ^t, 
z  ^=  A,  cos  ';t  -+-  B,  sin  '(i. 

La  trajectoire  donne  donc,  en  projection  sur  chaque  axe.  un  mouve- 
ment pendulaire  simple,  mais  les  périodes  de  ces  trois  mouvements 
pendulaires  ne  sont  pas  égales.  On  aura  donc  dans  l'espace  une  courbe 
analogue  aux  courbes  connues,  dans  le  plan,  sous  le  nom  de  courbes 
de  Liss.vjocs. 


<  Les  axes  de  coordonnées  sont  les  axes  principaux  de  rellipsoïde;  a-,  ^*,  y^ 
sont  les  trois  constantes  que  nous  avons  appelées  P,  Q,  R  au  Chap.  III,  Sec- 
tion VII  (p.  55). 


33  HYPOTHESES    COSMOGOMQIES 

Dans  le  cas  actuel  les  trois  constantes  a,  fi,  7  varient  lentement 
avec  le  temps,  puisque  l'ellipsoïde  commence  par  s'aplatir.  >ous 
sommes  donc  en  présence  d'une  question  analogue  à  celle  qui  a  été 
étudiée  au  Chapitre  précédent  (n"  64,  p.  75).  Si  nous  posons 

11  a-    t)  = , 

la  première  équation  (i)  s'écrit 

dl-  dx 

Si  H  ne  dépendait  pas  de  /,  cette  équation  multipliée  par  -j^  et  intégrée 
donnerait  l'équation  des  forces  vives 

h 


i   fdxV- 
2  \  dt  j 


+  1I=T. 


oi!i  T  serait  une  constante.  Ici,  où  H  varie  lentement  avec  /,  nous 
posons  cette  même  équation,  qui  servira  de  définition  à  T.  La  dérivée 
de  T  par  rapport  au  temps  est  alors 

dT  _  dll  _  X^  d{yr) 
dl   ~    dl    ~   2      dl     ' 

.         ,        (/(a-  !  ^  -, 

Pendant  imc  oscillation  — ,y-  peut  être  regarde  comme  constant,  et 
X-  a  pour  valeur  moyenne--",  Xç,  désignant  l'élongatlon  maxima  ; 
on  a  donc  pour  la  valeur  moyenne  de  -,r  pendant  une  oscillation 

^^^  dt  ~  J  ~dr  ' 

dx 
D'autre  part,  -^j  s'annulant  pour   x  =  x^^,  la  constante   des  forces 

vives  T  a  pour  valeur 

T  —  II  —  ^" 

d'où 

^^  dl  —  2    dt  "^2  ~f/r  * 

La  comparaison  des  équations  (2)  et  (3)  donne 
2       dt     ^  4      dl     —  °' 


c"esl-à-diie 


on  encore 


ii'ïi'iiTiiiiSE  DE   M.   DU   lk;ondi;s  89 


const. 


Donc,  qnand  a  augmente,  l'ampUtnclc  des  oscillations  parallMe- 
ment  à  Taxe  tics  x  diminue.  Or,  quand  rdlipsoïde,  en  gardant  la 
même  niasse,  s'a[)lalit  snivanl  l'axe  des  ./•,  a  augnienlc  visiblement. 
Kn  réalité,  dans  le  cas  actnel,  a,  j^  et  y  vont  tous  trois  en  augmentant, 
mais  c'est  a  qui  augmente  le  plus  vite  si  l'axe  da^  x  est  perpendicu- 
laire au  plan  du  maximum  des  aires.  L'aplatissement  commencé 
s'accentuera  donc  de  plus  en  plus. 

72.  C'est  ainsi  que  M.  ni  Lir.o]\DKS  rend  compte  du  double  fait 
d'une  condensation  centrale  et  d'une  tendance  à  l'aplatissement;  le 
noyau  central  donnera  le  Soleil,  et  les  matériaux  extérieurs  formeront 
autour  de  lui  une  sorte  de  disque  lenticulaire  équatorial  qui,  s'apla- 
tissant  de  plus  en  plus,  deviendra  lui-même  instable  :  ce  disque 
pourra  se  résoudre  iinalement  en  anneaux  qui  se  transformeront  en 
planètes. 

Nous  avons  ainsi  expliqué  la  tendance  des  trajectoires  à  s'orienter 
parallèlement  au  plan  équatorial  du  maximum  des  aires.  Mais  pour- 
quoi les  trajectoires  des  dilVérents  projectiles  tendent-elles  à  devenir 
et  à  rester  circulaires  !'  Lorsqu'un  projectile  en  heurte  un  autre,  il  y  a 
perle  de  force  vive  se  traduisant  par  une  diminution  du  grand  axe 
de  l'orbite  de  ce  projectile.  Cette  diminution  du  grand  axe  est-elle 
accompagnée  d'une  diminution  ou  d'une  augmentation  de  l'excen- 
tricité? Pour  nous  en  rendre  compte,  supposons  qu'un  de  nos  pro- 
jectiles soit  très  gros  ice  sera,  s:  l'on  veut,  une  planète  déjà  presque 
formée  ,  les  autres  étant  relativement  petits  :  le  gros  projectile  subira 
alors,  du  fait  de  ses  chocs  contre  tous  les  petits,  un  effet  analogue  à 
celui  d'une  résistance  de  milieu.  Or,  nous  verrons  au  Chapitre  sui- 
vant qu'une  résistance  de  milieu  a  en  général  pour  cll'et  de  diminuer 
l'excentricité  de  l'orbite  de  la  planète  (\\n  la  subit,  c'est-à-dire  de 
rapprocher  cette  orbite  de  la  forme  circulaire. 

73.  Si  l'on  compare  la  conception  de  M.  m  LicoNnr.s  à  la  théorie 
cinétique  des  gaz,  on  ne  peut  s'empêcher  de  remarquer  un  contraste 


90 


II  vP0Tni;sES  cosmogomques 


riap2:)ant.  M.  du  Ligondks  remplit  l'espace  de  piojecliles  qui  le 
sillonnent  en  tous  sens.  Les  chocs  de  ces  projectiles  produisent  l'évo- 
lution du  chaos,  sa  transformation  eu  un  système  planétaire  hien 
ordonné.  Dans  la  théorie  cinétique,  les  molécules  des  gaz  sont  de 
même  assimilées  à  des  houlets  se  croisant  dans  toutes  les  directions, 
mais  leurs  chocs,  au  lieu  d'amener  une  dilVérentiation,  produisent  au 
contraire  l'homogénéité  parfaite  de  la  masse  gazeuse.  \ous  sommes 
donc,  semble-t-il,  devant  un  paradoxe  ('),  puisque  des  prémisses  en 
apparence  identiques  conduisent,  ici  et  là,  à  des  conséquences  diamé- 
tralement opposées.  En  réalité,  dans  les  deux  cas,  le  second  principe 
de  la  Thermodynamique  (Principe  de  Carnot-Clausius,  ou  de  dégra- 
dation de  l'énergie)  trouve  son  application,  mais  de  deux  façons 
dilTérentes.  En  ell'el,  les  prémisses,  quoi  qu'il  paraisse  tout  d  abord, 
ne  sont  nullement  les  mêmes  :  les  projectiles  de  la  théorie  des  gaz 
sont  supposés  parfaileincni  élastiques,  tandis  que  les  projectiles  cos- 
miques de  M.  DU  LiGONiiKS  sont  plutôt  mous.  Aussi,  au  moment  du 
choc,  deux  molécules  gazeuses  rebondissent  l'une  sur  l'autre  comme 
deux  balles  élastiques,  sans  perte  de  force  vive;  tandis  que  deux  pro- 
jectiles cosmiques  qui  se  heurtent  se  collent  ensemble  avec  dégage- 
ment de  chaleur,  et  par  suite  avec  perle  de  force  vive.  Différence  de 
nature  des  projectiles,  voilà  la  vraie  cause  de  l'apparent  paradoxe  que 
nous  signalions. 

Mais  il  convient  d'insister  et  de  pousser  plus  loin  ce  parallèle  entre 
Ja  théorie  cinétique  des  gaz  et  la  Cosmogonie  de  M.  dl  Ligundlis. 

74.  Théorenic  du  viriel.  —  Considérons  un  système  mécanique 
formé  d'un  grand  nombre  de  points  matériels.  Soient  m  la  masse  de 
l'un  d'eux,  x,  y,  z  ses  coordonnées,  X,  Y,  Z  les  composantes  de  la 
force  qui  agit  sur  lui.  On  a 

Û-.X  ,- 

m  ^^^,  =  \. 

d'y     V 

'"  dt^  =  ^' 


(')  Nous  avons  tlûjà  signale  ce  point,  à   propos  de   l'Iixpfjlliùsc  de   Iva>t  (Cli,  I, 
11"  1,  p.  2). 


ll\I'OTlli:SE    DE    M-     DU    LIGOXDIIS 

Posons 
et 

les   sommes^  s'étendant   à    toutes    les    molécules.   La    quantité    \ 
s'appelle  le  viriel  du  système. 
Calculons    ,,  : 

La  picmière  somme  ^  n"(;st  aulicquc  la  force  vive  lï,  la  seconde 
somme  n'est  antre  que  le  viriel  \  .  On  a  donc 

,.  d\j  „,        ,- 

14)  -_  =  .1+^. 

Supposons  que  tous  les  points  restent  à  distance  finie  et  que  leurs 
vitesses  restent  aussi  finies  :  dans  ce  cas  U  sera  toujours  fini.  Prenant 
les  valeurs  moyennes  des  deux  membres  de  l'étjv.alion  {'\)  [)endant  un 
intervalle  de  temps  très  long  /^  —  /,,  il  vient 


nioveniic  de    a  T  -+-  V) 


Or,  Ui,  Lo,  valeurs  de  L  aux  époques  l\,  U,  sont  finies,  et  /j  —  /,, 
est  aussi  grand  qu'on  le  veut.  On  peut  donc  dire  que  pendant  un 
temps  très  long  la  valeur  moyenne  du  second  membre  est  nulle  :  ce 
que  nous  écrivons,  en  surmontant  les  lettres  d'un  trait  pour  indiquer 
qu'il  s'agit  de  valeurs  moyennes, 

(5)  2  T  -I-  V  ^=  o. 

Tel  est  le  théorème  du  viriel. 

75.  Faisons  d'abord  l'application  de  ce  théorème  à  un  gaz  renl'crmé 
dans  un  vase.  Ktant  données  deux  molécules  gazeuses  m\.  et  mi,  leur 
viriel  a  pour  expression 

(a?iXi  +  ViY,  -\-  r,  Z,~i  -f-  (.ToX.  -H  J^Y.  -}- z^Zj). 


03  ,  HYPOTIIliSES    COSMOGONIQUES 

Quelles  sont  les  forces  Xi,  \i,  Zi,  X^,  \i,Z<  appliquées  à  ces  deux 
molécules?  Xous  pouvons  négliger  les  actions  mutuelles  des  molé- 
cules, sauf  aux  moments  des  chocs,  d'ailleurs  au  moment  d'un  choc 
on  a 

puisque  les  deux  molécules  sont  au  contact;  et  d'autre  part 

X|  -f-  X,  =  o,  Y,  H-  y.  =  o,  Z,  +  Z.  =  o, 

puisque  la  réaction  est  égale  et  opposée  à  l'action.  Le  viriel  dû  aux 
chocs  des  molécules  entre  elles  est  donc  nul,  au  moins  en  première 
approximation  ('). 

Mais  il  faut  tenir  compte  aussi  des  chocs  des  molécules  contre  les 
parois  du  vase  :  à  ces  chocs  est  due  la  pression  /)  du  gaz.  La  Ibrce 
exercée  sur  un  élément  (k)  de  surface  dont  hi  normale  extérieure  fait 
avec  les  axes  les  angles  a,  fj,  y  a  pour  composantes 

—  p  cos  adio,  — p  cos  [3f/(o,  — p  cos  '(dw. 

Le  viriel  Y  dû  aux  chocs  contre  la  paroi  a  donc  pour  expression 


Y  ^  —  p  j  j   (a*  cos  a  -t-  7  cos  P  +  ;  cos  y)  d'o^ 
l'intégrale  étant  étendue  à  toute  la  surface.  Or,  on  a 

X  cos  a(/<o  =  j  j  Y  cos  ^  dio  =^  j  l   z  cos  Y  f?co  =  v. 


V  désignant  le  volume  total  du  vase;  par  suite 

\  =  —  3pv, 
et  l'équation  (5)  du  viriel  donne 

3p/j  =  2  T . 
Celle  relation,  due  à  Cf,\usius,  traduit  la  loi  de  YIariotte  et  G\r- 

(1)  Si,  passant  à  une  seconde  approximation,  on  tenait  compte,  avec  v\n  der 
Waals,  des  dimensions  finies  des  sphères  d  action  des  molécules,  on  trouverait,  au 
lieu  de  la  l'ormule  de  Maiuotte  et  Gav-Lussvc  sur  laquelle  nous  tombons  plus 
loin,  une  formule  plus  api>rocliée.  Nous  n'en  avons  pas  besoin  ici. 


IlYPOTIli;sr    DE    M.     I)f    Lir.ONDKS  ().) 

LussAC,  car  la  force  vive  moyenne  i>T  est  propoillonnclle  à  la  tempé- 
rai me  absolue  du  gaz. 

76.  A[)[>liquons  maintenaiil  le  ihéorème  du  viiiel  à  la  nébuleuse 
chaotique  lie  M.  m  Li(;om)i:s.  Ici  nous  n'avons  plus  de  parois,  mais 
nous  ne  [)Ouvons  plus  négliger  l'attraclion  mutuelle  îles  projectiles. 
A[)[)elant  /•  la  distance  de  deuv  masses  //*,  et  m.,  nous  désignons  par 

il; 

la  fonction  des  fm'ces.  Calculons  le  \lric'l  :  la  force  (X;,  ^,,  Z,.  qui 
s'exerce  sur  m,  par  suite  de  l'aclion  de  m .  a  [)0ur  composante  suivant 
l'axe  des  .c 

A,  ==  ih,!)}:  -  (r)  ; 

la  masse  lU;  fournit  donc,  dans  le  viricl.  le  terme 

Ai-T,  =  /H,  Mi/..  9  (r)  ; Xi- 

La  masse  /H/_  fournit  de  même  le  terme 

\/.rr,,  =  »i,m/,  'c  (r)  r,,. 

'  r 

La  somme  de  ces  deux  termes  est 


r 

jSous  voyons  aisément  que  le  viriel  total  a  pour  valeur 

ik 

=^;?j,m/,  'i'{r)r. 
ik 

Dans  le  cas  de  l'attraction  newtonienne,  nous  avons 

et 

o'(r  r  =  —  -  ; 


g4  HYPOTHESES    COSMOGOMQLES 

par  suite 

=  —  M. 
L'équation  du  viiiel  donne  donc 

2  T  -   W  =  G. 

D'ailleurs,  nous  pouvons  écrire  aussi  l'équation  des  forces  \ives 

T  —  W  =  C. 

C  restant  constant  lant  qu'il  n'y  a  pas  (Je  choc.  De  ces  deux  dernières 
égalités  nous  tirons 

T  =  — C, 
^==_.  2C. 

Que  pouvons  -nous  conclure  de  là!*  Supposons  tout  d'abord  que  les 
projectiles  soient  parfaiterncal  élastiques  :  leurs  chocs  n'entraînent 
aucune  perte  de  force  vive,  et  C  reste  constant  malgré  ces  chocs. 
Alors  les  valeurs  moyennes  de  T  et  de  AA  sont  aussi  constantes.  Or, 

^V  =  V  "''  '"/■ 

augmente  avec  la  concentration  :  il  n'y  aura  donc  pas  tendance  à 
la  formation  d'un  noyau  central  très  condensé.  Ce  seraient  là  les 
conditions  d'une  masse  gazeuse  entièrement  isolée  dans  l'espace  : 
cette  masse  ne  se  concentre  pas  indéfiniment,  elle  admet  un  certain 
état  final  d'équilibre,  auquel  elle  tend  d'elle-même  à  revenir  si  elle 
s'en  est  écartée  accidentellement.  S'il  se  produit  en  un  point  une 
petite  condensation  anormale,  elle  tend  à  disparaître  d'elle-même. 

Au  contraire,  si  les  projectiles  ont  une  certaine  mollesse  —  et  c'est 
le  cas  pour  les  matériaux  cosmiques  de  M.  du  LiGoiN'Dr;s  —  la  cons- 
tante des  forces  vives  C  décroll  à  chacun  des  chocs,  par  suite 

W  =  — 2G 

croîtra    sans   cesse   :   c'est   dire   que   les   distances  /'  décroîtront   en 


IIYPOTIU:SE    DE    M.    Df     LUlONDliS  C)D 

moyenne,  et  par  suite  que  les  chocs  provoquent  une  tendance  à  la 
concentra  lion  indéfinie  ('). 

77.  Loi  de  rcparlllioii  des  vitesses.  —  Avant  de  donner  la  loi  de 
M.wwEi.i,  sur  la  répartition  des  vitesses  des  molécules  gazeuses  ilans 
la  théorie  cinétique,  exposons  quelques  considérations  préliminaires. 

Envisageons  un  liquide  enlermé  dans  un  vase  de  forme  invariahle 
qu'il  remplit  complètement.  Soient  .'.',  v.  *  les  coordonnées  d'une 
molécule  liquide,  X,  \,  A  les  com[)Osantes  de  sa  vitesse,  de  telle 
façon  que  les  équations  ditrérentielles  des  trajectoires  des  molécules 
s'écrivent 

dx        dy        dz         , 
i6)  X  =  Y=Z=^''' 

X,  ^  ,  Z  sont,  par  hypothèse,  des  fonctions  données  de  j:,  y,  :  et  /. 
Dans  ce  qui  suit,  le  mouvement  sera  supposé  permanent,  en  sorte 
que  X,  \,  Z  ne  dépendront  que  de  x,  v,  r.  Comme  le  liquide  est 
incomprcssihle,  on  aura 

d\       d\       dZ 
(7)  dx  +  dy  +  r/r  =  °- 

Nous  supposerons  que  le  liquide  est  un  mélange  de  deux  autres 
liquides  :  un  liquide  blanc  et  vm  liquide  rose,  par  exemple.  Si,  au 
début,  ces  deux  liquides  ne  sont  pas  mélangés,  on  prévoit  facilement 
qu'en  général  les  brassages  tins  aux  mouvements  des  molécules 
liquides  auront  pour  ell'et  de  les  mêler  et  de  rendre  linalemenl  la  masse 
homoûène. 

Parmi  les  molécules  liquides  distinguons-en  un  certain  nombre 
(par  exemple  les  molécules  du  liquide  rose),  et  considérons  leur  dis- 
tribution à  une  certaine  époque  /  à  l'intérieur  du  vase.  Appelons  o  la 
densité  du  liquide  rose  (^)  au  voisinage  du  point  quelconcpie  x,  y,  z  : 


i'  lîemarquons  de  plus  ce  fait  curieux  :  l'énergie  cinétique  moyenne  T  va  aussi 
en  augmentant  ;  les  chocs  ont  pour  eiïet  (Wui'jnieiiter  les  vitesses.  Ce  fait  est  à 
comparer  au  suivant  que  nous  rencontrerons  au  Chapitre  prochain  :  une  résistance 
de  milieu  a  pour  eiïet  d'accroître  la  vitesse  linéaire  d'une  planète  ou  d'une  comète. 
Nous  aurons  aussi  plus  loin  (Gh.  VIII,  n°  171  l'occasion  de  constater  un  autre 
paradoxe  du  même  genre. 

!-  s  sera  le  rapport  du  nombre  des  molécules  roses  au  nombre  total  des  molé- 
cules comprises  dans  un  petit  volume  entourant  le  point  a:,  y,  :. 


96  IlYPOTUhSLS    COSMOGONIQUES 

nous  conviendions  de  dire  que 

p  dx  dy  dz 

est  proportionnel  à  la  probabilité  pour  qu'à  l'époque  /  une  molécule 
rose  soit  intérieure  au  petit  élément  de  \olume  (/a;  <-/}' </r.  La  proba- 
bilité pour  qu'à  l'époque  /  une  molécule  rose  soit  intérieuie  à  un  cer- 
tain volume  fini  sera  de  même,  par  définition,  proportionnelle  à  Tin- 
té "-raie 


n\ 


dx  dy  dz 


étendue  à  ce  volume. 

Soit  'b[x,y.  z)  une  Ibnclion  quelconque.   La  valetu-  moyenne  de 
celte  fonction  à  l'instant  t  pour  les  molécules  roses  ^era  par  définition 


I 


Y     \\\   pM^.  J.  ^)  dxdydz, 

Ydéisignant  le  volume  total  du  vase,  et  l'intégrale  étant  étendue  à  tout 
ce  volume.  Cette  intégrale  mesure,  si  l'on  veut,  res[)érance  mathéma- 
tique d'un  joueur  à  qui  l'on  aurait  promis  une  somme  ^ii[X,  y,  z) 
chaque  lois  qu'une  molécule  rose  sera  intérieure  au  volume  dx  dy  dz. 

Au  lieu  de  considérer  l'ensemble  des  molécules  roses  à  une  certaine 
époque,  on  pourrait,  si  on  le  préférait,  considérer  une  molécule  déter- 
minée et  la  suivre  dans  son  mouvement  pendant  un  temps  très  longï. 
La  probabilité  pour  que  cette  molécule  rose  soit  intérieure  à  un  vo- 
lume V  serait  alors,  par  définilion,  le  rapport  à  T  du  temps  pendant 
lequel  la  molécule  envisagée  a  été  intérieure  à  ce  volume.  De  même, 
la  valeur  moyenne  d'une  fonction  ^  serait  définie  comme  étant  la 
moyenne,  pendant  ce  temps  très  long-,  des  valeurs  que  donnent  à 
'i;(aî,  y,  z)  les  coordonnées  de  la  molécule  en  question. 

Les  mouvements  des  molécules  liquides,  définis  par  les  équations 
(6),  auront  en  général  pour  elïet  de  faire  tendre  le  liquide,  au  bout 
d'un  temps  suffisamment  long,  vers  un  état  limite  pcriitanenl.  Dans 
cet  état  final  la  densité  o  du  liquide  rose  devenue  indépendante  de  /, 
comme  le  sont  X,  Y,  Z,  ne  dépendra  plus  que  de  x,  y,  z.  Quelle  sera 
■cette  distribution  finale  permanente  des  densités  0  i>  ]<]crivons  l'équa- 
tion de  continuilé  relative  au  liquide  rose 

dp       d(^\)       f/foY)        d(pZ] 
de  dx  dv  dz 


llYPOTlIliSE    DE    M.    DU    I.KJONDLS  Q" 

dans  Télal  final  [termanent,  la  dciivcc  parlielle  -,'.  sera  nulle;  cl  celle 
(•(jualion  se  réduira,  en  verlu  de  l'cqualion  {-),  à 

,.  do        ,.  do        r,  do 
\  {  +\    ,'  +  /  -^  =  o. 
dx  dv  d: 

Celle  cqualion  sinlcipi'ètc  lacileaienl  :  d'après  les  équalions  (6), 
\,\  ,Z  sont  proportionnels  au\  composantes  dx,  tly,  dz  du  déplace- 
ment clénienlaiie  de  la  molécule  ;  on  a  donc 

do    ,  do    ,  do    , 

,'-  dx  H-    ,'-  dv  -h    ,'-  d:  =~-  G. 
dx  dy    •'         d: 

Celte  équation  signifie  que,  quand  l'clal  pcnuducnl  csl  allcint,  o  ne 
varie  pas  loul  le  Id/k/  de  la  Irajeeloirc  d'une  molécule  quelconque . 

Si  donc  une  Irajcctoire  (pielconcjue  reinplil  le  vase  tout  entier  ('), 
l'état  final  pei'Uianenl  donnera 

p  =  const. 

dans  tout  le  vase;  c'est-à-dire  que  le  mouvement  aura  eu  pour  ré- 
sultat le  mélange  complet  des  deux  liquides.  C'est  le  cas  le  plus  gé- 
néral. 

Mais  il  peut  airivcr  que  les  équations  données  (G)  admettent  une 
intégrale  première 

J  [x,  j,  z)  =  const. 

Cette  équation  représente  une  lamille  de  surfaces,  et  une  trajectoire 
cpielconque  est  alors  située  tout  entière  sur  une  telle  surface.  Si  elle 
remplit  cette  surface,  la  densité  o  sera  constante  sur  celte  surface  et 
la  disliibulion  finale  des  densités  sera  représentée  par 

P  =/lJ), 

f  étant  une  fonction  quelconque. 

De  même,  si  les  équations  (6)  admettent  deux  intégrales 

3i  X.  V,  :    =  const.,  3,  x,  v.  c    =  const., 


(')  C'est  ce  qui  arrive,  par  exemple,  pour  une  couriic  de  Lissajols  analogue  à 
celles  que  nous  avons  considérées  au  n"  71  (p.  87  ,  el  qui  emplit  tout  un  paral- 
lélé(iipède  si  les  trois  constantes  a,  p,  ^  du  n"  71  ne  sont  pas  comniensuraLles 
entre  elles. 


g8  iiypoTHi:sES  cosmogomqles 

on  aura  comme  loi  finale  de  distribution  des  densités 

78.  Après  CCS  préliminaires,  envisageons  un  système  mécanique  (S) 
à  //  degrés  de  liberté.  Sa  situation  à  l'époque  /  est  définie  par  n  para- 
mètres 

7,,  q.,  ...  q„. 

Son  énergie  potentielle  U  est  une  fonction  de  ces  variables^,.  Sa  force 
vive  2T  est  une  fonction  des  q^  et  de  leurs  dérivées  y/  p^^r  rapport  au 
temps.  Si  nous  posons 

nous  aurons,  pour  définir  le  mouvement  du  système,  les  211  équations 
différentielles  suivantes  (équations  canoniques  de  IIamilto>{)  : 


(8) 


(h II (/E  dpi (/E 

àt         dpi  dt  dqj 


oîi  E  =  T+ U  représente  l'énergie  totale  du  système,  fonction  des 
qiet  des  pi.  Posant  pour  abréger 

(Π _  _  <'E  _  p 

dp,  ~    ^'   '  'tq,  -  '  " 

les  équations  (8)  s'écrivent 

(9)  ;';"=î^='"- 

Elles  sont  de  la  même  forme  que  les  équations  (G),  les  P;  et  les  Q, 
étant  indépendants  de  /.  De  plus,  les  Pi  et  les  Q,  satisfont  évidem- 
ment à  l'équation 

'''/i  "^  dp, 

de  môme  forme  que  l'équation  d'incompressibilité  (7). 
Si  donc  nous  considérons 

7l'   'h,    ■•-,   'In,  Ih,  Ih,    •••■  I>n 


IIYPOTIIKSE    DE    M.    Df    L100^Dl:S  1)9 

-comme  les  coordonnées,  dans  un  espace  à  2//  dimensions,  d'une  par- 
ticule matérielle  II,  dont  la  vitesse  aurait  [)Our  composantes 

nous  pourrons  dire  que  les  équations  (9)  sont  les  équations  différen- 
tielles de  la  trajectoire  de  la  particule  II. 

Dans  cet  espace  à  211  dimensions,  considérons  fictivement  un  vase 
complètement  rempli  par  un  Tujuide  incompressible,  les  molécules  de 
ce  liquide  se  mouvant  conformément  auv  équations  (9).  Comme  les 
composantes  de  la  vitesse  de  la  particule  II  satisfont  à  l'équation  (10; 
d'incompressibilité^  nous  pouvons  considérer  cette  particule  II  comme 
étant  en  .suspcn.sioii  dans  un  pareil  liquide  liclil'  (jui  l'entraîne  dans 
son  mouvement. 

•Ainsi,  au  niouvenicnt  de  notre  système  mécanique  (S),  nous  faisons 
correspondre,  dans  l'espace  à  211  dimensions,  la  trajectoire  d'une  par- 
ticule n  en  suspension  dans  un  fluide  incompressible. 

Si,  au  lieu  d'un  seul  système  mécanique  (S),  nous  en  considérons 
un  très  grand  nombre 

(SJ,  (S,).  ...,  (S,„). 

obéissant  aux  mêmes  équations  (9)  de  mouvement,  mais  diJîérant 
entre  eux  par  les  conditions  initiales,  au  lieu  d'ime  seule  particule  11, 
nous  aurons  à  en  considérer  m 

n„  n„  ...,  n,,,, 

toutes  en  suspension  dans  le  même  liquide  incompressible.  Ces  parti- 
cules n  vont  jouer  ici  le  rùlc  des  molécules  roses  que  nous  considérions 
un  peu  plus  liant. 

Définissons  la  probabilité  pour  qu'à  un  instant  donné  /,  un  de  nos 
systèmes  pris  au  hasard  parmi  nos  m  svstèmes  satisfasse  à  certaines 
conditions,  par  exemple  pour  que  sa  particule  représentative  II  soit 
intérieure  à  un  certain  volume  v  de  l'espace  à  211  dimensions.  Si,  ù 
cette  époque  /.  la  densité  des  particules  FI  est  représentée  par  0  ('),  la 


[^)   La  ilcnsilé   p   est   proportionnelle  au   noml^re  de  particules  II  intérieures  à 
runité  de  volume,  au  voisinage  du  point  considéré. 


HYPOTIIliSES    COSMOGOMQUES 


probabilité  en  question  sera,  par  définition,  proportionnelle  à  Tinté' 
grale  '211  uplc 


ff  !■ 


p   '^'j'i    <^'72    •••    f^7)j   '/Pi    dp-2    •■•   ^h^ii 

étendue  à  ce  volume  v. 

Soit  à{(iy,  </2,  ...,  q,u  Pi,  pi,  ...,  p,,)  une  fonction  quelconque.  Sa 
valeur  moyenne,  à  l'instant  /,  pour  les  particules  H  sera,  par  défini- 
tion, 

Y     II     •••     (     P'^f^'7l    '^72    ••■    ^kn   '^y^    '^/'j    •••    '^/^'M 

A'  désignant  le  volume  total  du  vase  dans  l'espace  à  un  dimensions  et 
l'intégrale  étant  étendue  à  tout  ce  volume. 

Au  lieu  de  considérer  simultanément  les  m  systèmes 

(S.).(S,).  ....(S,„), 

on  pourrait,  si  on  le  préférait,  considérer  seulement  l'un  d'entre  eux, 
et  le  suivre  dans  son  mouvement  pendant  un  temps  très  long  T,  entre 
les  époques  /^  et  /q  -H  T.  La  probabilité  pour  que  ce  système  satis- 
fasse à  certaines  conditions  serait  alors,  par  définition,  le  rapport  à  T 
du  temps  pendant  lequel  il  a  satisfait  à  ces  conditions  entre  les  épo- 
ques /„  et  /(,  +  T.  On  définirait  de  même  la  valeur  moyenne  d'une 
fonction  à{(J^,  fj.^,  ...,  qn,  />i,  p-2,  .-.,  pn)  comme  étant  la  moyenne, 
pendant  ce  temps  très  long  T,  des  valeurs  que  donnent  à  à  les  coor- 
données de  la  particule  II  rcpréscntalive  du  système. 

Le  liquide  fictif  de  l'espace  à  2/i  dimensions  va,  en  général,  quelles, 
que  soient  les  conditions  initiales,  par  suite  des  mouvements  intérieurs 
définis  par  les  équations  (9),  tendre  vers  un  élat  limite  permanent, 
comme  il  arrivait  précédemment  dans  le  cas  simple  de  trois  dimen- 
sions. Le  raisonnement  fait  dans  ce  cas  simple  (p.  97)  est  évi- 
demment général  et  nous  permet  de  dire  qu'une  fois  Vêlai  pcnuducnl 
allcint,  1(1  dcnsiU-  0  des  paiiiciih's  ][  ne  inirlcra  pds  loul  le  /o/n/  de  la 
Irajceloire  d'une  nioléeule  quelconque. 

Si  donc  une  de  ces  trajectoires  emplit  le  vase  tout  entier  la  distri- 
bution finale  des  densités  0  sera 

p  =  const. 


DEPARTMENT  OF  MATHEMATICS 
^  UNIYERSITY  OF  TORONTO 


ini'OTIIi;SE    DE    M.    DL     LIOONDKS 


dans  tout  le  vase.  Si  les  équations  (9)  de  mouvement  admettent  une 
inté'.'-fale  piemière 

J  =r  const. 

celte  distribution  finale  sera 

Si  les  équations  (9)  admettent  A:  intégrales  premières 

Jj  =  const.,  J  <  ;=  const.,  ....  J^  =  const., 
la  distribution  fmale  sera 

P=/(J.,J„....J,). 

Toutefois  celte  dernière  airirmalion  suppose  implicitement  que  la  tra- 
jectoire tl'une  des  molécules,  qui  est  située  tout  entière  sur  la  multi- 
plicité à  2/2  —  le  dimensions  définie  [)ar  les  équations 

J,  =  const.,  J.,  =  const J/.-  ^^^  const., 

rempli/  cette  multi[)licilé.  Nous  ailmcllrons  —  c'est  en  cela  que  con- 
siste le  ('  postulat  de  M.vx-well  »  —  qu'il  en  est  elTectivement  ainsi 
pour  les  systèmes  que  nous  considérons. 

79.  Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  les  équations  (8)  ou  (9)  du  mou- 
vement admettent  une  intégrale,   celle  des  forces  vives 

E  =  const. 

Supposons  d'abord  que  ce  soit  la  seule.  La  loi  de  distribution  finale 
des  densités  0  est  alors 

?  =/(E). 

Supposons  un  instant,  pour  simplifier  et  pour  avoir  une  représen- 
tation géométrique,  que  notre  espace  n'a  cjue  trois  dimensions  ;  alors 
l'intégrale 

E  =  const. 
représente  une  famille  de  surfaces  ;  la  loi 

?=/(E) 

nous  enseigne  que  0  est  constant  tout  le  long  d'une  telle  surface, 
mais  peut  varier  d'une  surface  à  l'autre.  Considérons  deux  surfaces 


103  IHiPOTIIÈSES    COSMOGONIQUES 

voisines  E  et  E  -t-  '/E  {fi<j-  \~)  ;  les  normales  à  E  le  long  du  contour 


d'un  petit  élément  de  surface  <h  définissent,  entre  ces  deux  surfaces^ 
un  élément  de  volume 

'Ç  représentant  la  distance  qui  sépare  les  deux  surfaces.  La  probabilité 
pour  qu'une  particule  11  soit  inlérieurc  à  cet  élément  <h  est  par  déli- 
nition  proportionnelle  à 

de  sorte  que,  si  nous  restons  constamment  sur  la  même  surface  E, 
nous  pouvons  dire  que  la  dcnsilc  superficielle  le  long  de  cette  surface 
est  représentée  par 

elle  est  proportionnelle  à  'Ç,  qui  visiblement  est  lui-même  propor- 
tionnel à 

I  I 


Restant  encore  dans  le  cas  de  trois  dimensions,  supposons  main- 
tenant que  les  équations  de  mouvement  admettent  deux  intégrales 

Jj  =const.,  J2  =  const. 

L'ensemble  de  ces  deux  équations  représente  vmc  famille  de  courbes- 
le  long  desquelles  0  reste  constant,  tout  en  pouvant  varier  d'une  courbe 
à  l'autre.  Assujettissons  J,  à  rester  compris  entre  J'^  et  J,'  -+-  ^/J",  et 
J2  à  rester  compris  entre  J"  et  J','  h-  d,]'].  Nous  définissons  ainsi  un 
petit  labc  dont  nous  appelons  ^  la  section  droite.  Nous  pouvons  alors- 
prendre  des  éléments  de  volume 

dt  =  :da. 


inroTiitst:  de  m.  du  ligondks  io3 

<h  rcprcscnlanl  ici  l'éléiaent  lim';iirc  de  la  courbe 

î     10  T     —    ïn 

J,   —  J,,  Jo  —  J^, 

ce  qui  nous  amène  ù  délinir  le  Ion;;-  de  celle  courbe  une  densité 
lincairc 

r    —  r*-' 

proporlionnelle  à  la  scclion  drnilc  JT  du  tid)e  ;  et  ici  l'on  aura  ^.,  pro- 

porlionnel  à 

L  D(v,  -)     I  ^  Ll)(r,  .r)  J  ^     LD(.r,j)  J   ■ 

Plaçons-nous  à  picsont  dans  le  cas  général  dun  espace  à  211  di- 
mensions, et  supposons  que  les  é(|uations  de  uiouvcmcnt  ())  admettent 
k  intégrales 

Ji  =  consl,,         J,  =  const.,       ...,       J/.=  const. 

L'ensemble  de  ces  k  équations  définit  une  famille  de  multiplicités 
à  211  —  A-  dimensions,  le  long  dcsquelhs  0  est  constant,  tout  en  pou- 
vant varier  de  Tune  à  l'autre.  Nous  pourrons  encore  considérer  un 
élément  (h  d'une  de  ces  multiplicités,  et  cberclier  une  dcnsilc  fictive 
d  correspondante  :  nous  trouverons  encore 


I    ,         .  .  .  ,  , 

VI  étant  ici  proportionnel  a 


A2. 


où  les  A  sont  les  dllTérents  jacobiens  d'ordre  /<■  qu'on  peut  former  avec 
les  k  fonctions  J  et  les  -m  variables  ^i  et  y>,. 

Le  résultat  serait  le  même,  et  nous  trouverions  la  même  densité 
fictive  (j  ,  si  nous  posii^ns  le  problème  d'une  façon  un  pou  diiïérenle. 
Supposons  que  les  équations  de  mouvement  (9),  au  lieu  d'admettre  k 
intégrales,  en  admettent  seulement  /i 

(11)  J,  =  consl.,       Jj  =^  const.,        ....        J,,  =  const.  ; 

mais  nous  imposons  à  notre  système  l'obligalion  de  satisfaire  à  k  —  h 
autres  conditions 

(12)  J/._i.i  ^=  consl.,        J/,_i_2  =  const. J/,:=  const., 


I04  IlYPOTlIliSES    COSMOGOMQl'ES 

que  nous  nous  donnons  arbilraircment.  En  d'aiilres  termes,  parmi 
tous  les  systèmes  qui  satisfont  aux  h  conditions  (i  i),  nous  considérons 
seulement  ceux  qui  satisfont  en  même  temps  aux  /,•  —  h  conditions 
(12).  Et  c/'da  sera  proportionnel  à  la  probabilité  pour  qu'un  système 
satisfaisant  à  la  fois  au\  conditions  (ii)  et  (lu)  ait  sa  particule 
représentative  11  située  sur  l'clémcnt  (/c  de  la  multiplicité  à  in  —  k 
dimensions  définie  par  les  conditions  simultanées  (11)  et  (12). 

Remarque.  —  Dans  les  cas  que  nous  considérerons,  les  multipli- 
cités à  2/i  —  k  dimensions  que  nous  aurons  à  envisager  présenteront 
la  symétrie  de  sphères  concentriques  ou  de  cylindres  coaxiaux,  si 
bien  que  la  quantité  'Ç  sera  une  constante  tout  le  long  de  la  multipli- 
cité envisagée,  et  il  en  sera  de  même  de  rj . 

80.  Appliquons  les  considérations  précédentes  à  un  système  méca- 
nique formé  par  un  très  grand  nombre  n  de  projectiles  dont  l'action 
mutuelle  dépend  seulement  des  masses  et  de  la  distance  :  ce  système 
sera,  si  l'on  veut,  un  gaz  dont  chaque  molécule  est  assimilée  à  un 
projectile.  Soient  Xi,  x-2,  Xi  les  coord(3nnée.s  du  premier  projectile 
dont  la  masse  sera  désignée  indifféremment  par  //h,  m-i  ou  m,.  Soient 
de  même  £Ci,  x'.;,  Xi-,  les  coordonnées  du  second  projectile  dont  la 
masse  sera  désignée  indifl'éreniment  par  /??,,  m.,  ou  m,-,  ...  VA  ainsi  de 
suite. 


Non 


s  poserons 


/-■  =  V"' 


et 


qi  =   V  m;  Xi 


L'énergie  potentielle  U  du  système  sera  une  certaine  fonction  des  Xi, 
c'est-à-dire  des  qu  La  demi-force  vive  T  aura  pour  valeur 

1  =:       >  /»,  r,  -  ^        >  -y,  -  =  --    >  \)-. 

Et  comme  on  a 

rfT 

^'  ^  àql  ' 

les  y,  et  les  [),  lormenl  un  système  de  luiridhles  cdiioniqnes  ;  autrement 


1IYP0TI11:*E    Di:    .M.     Df 


dit,  on  aura  pour  définir  le  niouvemenl  les  équations  de  IIamilton 


(8) 


(/7,  _  </!•:  dp,  _  _  r/K 

dl  dp,  dl  d(li 


oîi  E  =  T  —  l    repiésciilc  l'énergie  totale. 

En  supposant  que  les  positions  des  molécules  ou  projectiles 
soient  do/inccs,  les  </,  et  L  seront  des  constantes  fixées  une  fois  pour 
toutes.  Cherchons  alors  une  loi  de  prohahilité  pour  les  vitesses,  c'est- 
à-dire  pour  les/),.  En  d'autres  termes,  cherchons  comment  les  vitesses 
seront  distribuées  en  movcmie  chaque  l'ois  que  le  système  repassera 
par  sa  configuration  initiale  (()u  par  une  configuration  très  voisine). 

On  conçoit  que  les  considérations  développées  [)his  haut  trouvent 
ici  leur  application.  Su[)pusons  d'abord  que  les  équations  (8)  n'ad- 
mettent pas  d'autre  intégrale  que  celle  des  forces  vives 

E  ==  const. 

Dans  lespace  à  •2ii  dimensions  des  coordonnées  fji  et  p,,  nous  aurons 
alors  à  considérer  la  multiplicité  à  211  —  i  dimensions 

(l3)  E  =  const. 

^lais  comme  on  nous  a  imposé  d'avance  les  positions  de  toutes  les 
molécules,  c'est-à-dire  les  (/i,  il  faudra  que  nous  prenions  l'intersec- 
tion de  cette  multiplicité  avec  les  plans 

(^1^  const..         'yj  =  const (y,;  r=  const. 

Cette  intersection  est  une  multiplicité  M  à  n  —  i  dimensions.  Les  rj- 
el  U  étant  des  constantes,  l'équation  (i3)  s'écrit  simplement 

T  =  -    >  /»,-  :=:  const.  : 

telle  est,  dans  l'espace  à  n  dimensions  des  p ,.  l'équation  de  notre  mul- 
tiplicité M  à  /i  —  I  dimensions. 

Cette  multiplicité  M  présente,  on  le  voit,  la  svmétrie  d'une  sphère  ; 
par  suite  d'après  la  remarque  faite  à  la  page  loV  la  quantité 
appelée  plus  haut  'Ç  et  la  densité  fictive  0'  sont  constantes  tout  le  long- 
de  cette  multiplicité  M,  que  nous  pouvons  appeler  une  s[)hère  à  n —  i 
dimensions,  pour  faciliter  le  langage. 


I06  UYPOTuioSES    OOSMOGOMQLES 

Le  point 

}h,  Ih Pn 

représenlalif  des  vitesses  de  noire  système  est  donc  situé  sur  cette 
sphère.  Et  comme  la  densité  o'  à  la  surface  de  cette  sphère  est  cons- 
tante, nous  pouvons  dire  que  la  probabilité,  pour  que  ce  point  repré- 
sentatif soit  situé  dans  une  certaine  région  R  de  cette  sphère,  est  pro- 
jiortionnelle  à  la  surface  de  cette  région  R. 

Quelle  est  alors  la  probabilité  pour  que  Pi  soit  compris  entre  p'I  et 
p[  -h  dpl'^  Nous  n'aurons  qu'à  prendre  comme  région  R  la  zone  dé- 
coupée sur  la  sphère  par  les  deux  plans 

et  la  prol)abilité  cherchée  sera  proportionnelle  à  la  surface  de  celte 
zone,  surface  que  nous  allons  évaluer.  Appelons  /•  le  rayon  de  notre 
sphère  h  n  —  i  dimensions.  Ce  rayon  est  délini  par 

V  ,,,.  =  ,.=  ; 

et  nous  posons 

r'-  =  nk-, 

n  étant  le  nombre  des  molécules  ;  la  constante  /.-  sera  alors  la 
moyenne  arithmétique  de  tous  les  /),-.  Si  nous  posons 

p'i'  =  /•  cosO, 

la  surface  de  la  zone  en  question  sera  proportionnelle  à 

sin"— -0  t/O, 


c'est-à-dire  à 
Mais  nous  avons 


sin"-''0  dpi. 
sin2  0=  I  —'À 


1- 

Pf- 


~  ni,-'  ' 

par  suite  nous  pouvons  représenter  la  surface  de  notre  zone  par 


n  — 3 


-^(■^£V'«; 


lYPOTHKSi;    Di;    M.     Dl     LIGOTIDES 


celle  expression  représente  aussi  la  prol)al)ililé  pour  que  /)i  soit  com- 
pris enlrc  />j'  el  p"  -h  r///,'.  Gomme  n  esl  1res  |_M-ancl,  par  hypothèse, 
on  peut  écrire  api)ro\imalivemcnl  (') 


cc  qui  clnnno  à  la  probabilité  la  forme 

_PÏ' 

Telle  est  l'expression  de  la  loi  de  Maxwell  sur  la  répartition  des  vi- 
tesses des  molécules  gazeuses  (-). 
Le  point 

Pi'  P^ /'" 

étant  situé  sur  la  sphère 

^  p;"-  =  const.. 

et  la  densité  fictive  '>'  étant  constante  à  la  surface  de  celte  sphère,  tous 
les  p"-  ont  même  valeur  moyenne  ;  ce  que  nous  écrivons 

Pr=Ph 

en  surmontant  les  lettres  d'un  trait  pour  indiquer  qu'il  s'agit  de  va- 
leurs moyennes.  Faisant  d'abord  /=  •>,  pi  ci  p.,  sont  relatifs  à  une 
même  molécule,  et  l'équation  précédente  montre  que  cette  molécule  a 
même  force  vive  moyenne  dans  le  sens  des  ,'■  et  dans  le  sens  des  y. 
Si  p,  et  pi  sont  relatifs  tous  deux  à  l'axe  des  a:,  mais  à  deux  molécules 
dill'érentes,  la  même  équation  prouve  que  ces  deux  molécules  ont, 
suivant  une  même  direction,  la  même  force  vive  moyenne.  Donc,  si 


(')    On  sail  cti  dlct  fjiic  (  i   +      j     a  pour  limite  C  quand  n  croit  indéfiniment. 

(-  Si,  parmi  nos  n  molécules,  il  s'en  trouve  deux  identiques,  on  peut  les  inter- 
vertir sans  ciianger  la  configuration  du  système  :  les  deux  systèmes  ainsi  définis 
satisfont  à  la  mrme  loi  de  probabilité.  S'il  se  trouve  >  molécules  identiques,  on 
peut  les  intervertir  de  A  !  façons  différentes  :  on  obtient  ainsi  N  !  systèmes  satis- 
faisant à  la  même  loi  de  probabilité.  Cette  loi  subsiste  donc  même  si  l'on  ne  con- 
sidère pas  comme  distincts  ces  >  !  systèmes  qui  offrent  tous  la  même  configuration. 


I08  HYPOTHÈSES    COSJIOUOMOLES 

l'une  des  molécules  a  une  masse  plus  grande  que  celle  de  l'autre,  sa 
vitesse  moyenne  sera  plus  faible. 

81.  La  démonstration  précédente  s'applique  au  cas  d'un  gaz  en- 
fermé dans  un  vase  à  la  même  température  que  lui.  Si  le  gaz  est 
entièrement  libre,  cette  démonstration  demande  à  être  complétée. 
Dans  ce  dernier  cas,  en  elTet,  les  équations  (8)  du  mouvement  n'ad- 
mettent pas  seulement  l'intégrale  des  forces  vives  qui  s'écrit  toujours, 
les  (ji  étant  supposés  donnés, 

(i4)  7   pr  =  const.  ; 

elles  admettent  aussi  les  intégrales  du  centre  de  gravité  (').  Si  nous 
projetons  la  quantité  de  mouvement  de  toutes  les  molécules  sur  la 
direction  quelconque  dont  £i,  ii,  s.,  sont  les  cosinus  directeurs,  la 
somme  de  ces  projections  est  une  constante  A.  La  première  molécule 
a  pour  quantité  de  mouvement  en  projection  sur  cette  direction 

/     ,  /  /  / —  /  / 

£i/»i:f  1  -T-  ^lUoXi  -h  HiiifX  -i  =  ^^  \/mipi  +  i.,  \  in.p.,  +  £3  \   in.p^. 

La  seconde  molécule  a  de  même  pour  projection  de  sa  quantité  de 
mouvement  sur  la  même  direction  l'expression 

OÙ  l'on  a  posé,  pour  plus  de  symétrie  dans  les  notations, 


Et  ainsi  de  suite.   L'intégrale  du  mouvement  du  centre  de  gravité, 
en  projection  sur  la  direction  envisagée,  s'écrit  donc 

dans  celte  égalité  on  a  posé 

2  =:;  "S  •••  -^.^ . —  ,  •••1 

E,    =    £,;==    f„    =     ...=    £3,^  =•••• 


(')  Ces  intégrales  n'exislaicnt  pas  dans  le  cas  d'un  gaz  renfermé  dans  un  vase. 
puisque  les  molécules  étaient  soumises  aux  réactions  des  parois  du  vase  qui  sont 
des  forces  cxlcriciires  au  sjstètne. 


llYPOTIILSi;    DE    M.    DU    I.I«;ONDi;S  10^ 

\ous  devons,  dans  l'espace  à  n  dimensions,  couper  la  s[)lièie  (iV) 
par  le  plan  (i5)  :  l'intersection  est  une  splicic  à  n  —  •.>  dimensions 
dont  nous  appelons  p"  les  coordonnées  du  centre.  Pour  avoir  ce 
centre,  nous  abaissons  de  l'oriirine  la  perpendiculaire  sur  le  plan  (  lô)  : 
nous  obtenons  les  équations 

qui  expriment  que  les  p'I  sont  proporlionncls  aux  cosinus  directeurs 
de  la  normale  au  plan  (i5)  ;  et  pour  déterminer  la  constante  /.-,  nous 
écrivons  que  le  point  p'/  est  situé  dans  le  plan  (i3),  ce  qui  donne 

/.V  ,.„,=.  A. 

Avant  ainsi  obtenu  le  centre  de  notre  sphère  à  n  —  2  dimensions^ 
transportons-y  l'origine  en  posant 

La  sphère  (l'i  )  devient  alors 

^  l>\-  -h  2  ^  /)■/)"  -+-  ^  /)"-  =  con:t.  ; 
or,  on  a 

=  k[\  —  A] 
=  o  ; 

par  suite,  l'équation  de  la  sphère  (i '1)  s'écrit 

^  p-  =  const. 
Il  faut  couper  celte  sphère  par  le  plan  diamétral  (i5),  devenu 

La  multi[)licilé  li  n  —  2  dimensions  qui  résulte  de  cette  intersec- 
tion présente  encore  la  symétrie  de  la  sphère.  Un  raisonnement 
identique  à  celui  qui  a  été  lait  plus  haut  montrerait  alors  que  la  dis- 
tribution des  p[  satisfait  encore  à  la  loi  de  Max\\  ei.l. 


0  nVPOTIIi:SES    COSMOr.O.MQLE!» 

Or,  si  Ion  fail  successivement 

£1    =    1,  E,   :^  O,  Ej 


puis 

enlin 


o,  -2=1,  ^1  =  o, 


o,  £0  =  o, 


afin  d'utiliser  l'ensemble  des  trois  intégrales  du  centre  de  gravite',  les 
p\  ne  sont  antre  chose,  on  le  voit  aisément,  que  les  variables  qui 
correspondent  aux  vitesses  des  molécules  par  rapport  au  centre  de 
(jravilé  du  système . 

?sous  pouvons  donc  dire  que  dans  une  masse  gazeuse  entièrement 
libre,  la  distribution  des  vitesses  relatives  par  rapport  au  centre  île 
gravité  satisfait  encore  à  la  loi  de  Maxwell.  En  particulier,  les  di- 
verses molécules  auront  même  force  vive  moyenne  ;  si  leurs  masses 
sont  inégales,  les  grosses  molécules  auront,  relativement  au  centre 
de  gravité,  une  vitesse  moyenne  plus  faible  que  les  petites  ;  plus  les 
masses  des  molécules  seront  grandes,  plus  leurs  vitesses  se  rappro- 
cheront de  celle  du  centre  de  gravité. 

82.  Tout  ce  qui  précède  s'applique  aux  gaz  arrivés  à  un  état  station- 
naire,  et  qui,  par  conséquent,  se  trouvent  dans  leur  ensemble  en  état 
d'écpiilibre  mécanique  et  thermique.  Lorsqu'au  contraire  la  masse 
gazeuse  possède  diverses  régions  où  les  vitesses  et  les  températures  ne 
sont  pas  les  mêmes,  le  mécanisme  du  frottement  et  de  la  conducti- 
bilité tend  à  égaliser  ces  vitesses  et  ces  températures,  et  à  déterminer 
im  état  slalionnaire.  Considérons,  en  effet,  deux  portions  conliguës  A 
et  B  où  les  vitesses  moyennes  sont  dillérentes,  les  molécules  de  B, 
par  exemple,  présentant  une  prépondérance  de  vitesses  dirigées  dans 
un  certain  sens.  Des  échanges  de  molécules  s'elVectuent  entre  les  ré- 
gions A  et  B,  et  les  molécules  qui  passent  de  B  en  A  apportent  avec 
elles  leur  vitesse  ;  la  prépondérance  diminuera  donc  en  B  et  la  vitesse 
augmentera  en  A  :  c'est  ainsi  que  le  frottement  ou  la  viscosité  de  la 
masse  gazeuse  tend  à  égaliser  les  vitesses  de  A  et  de  B,  et  à  rendre 
nulle  la  vitesse  relative  de  l'une  des  régions  par  rapport  à  l'autre. 
L'ensemble  de  la  masse  gazeuse  tendra  donc  vers  un  état  final  où  elle 
se  mouvra  d'un  bloc,  à  la  fa<;on  d'un  corps  solide.  Si  le  moment 
de   rotation  total  était  nul  initialement,  cet  état  final  est  une  simple 


DE   M.  i>u;   Li(;<>M)i:s 


Iranslalion  ;  si  ce  mrirncnl  de  rotation  Inilial  cxislail,  l'élal  final  est 
une  translation  acco[n[)agnée  d'une  rotation  autour  d'un  certain  axe. 

Le  mécanisntie  de  la  conductibilité  tlieriniquc  est  entièrement  ana- 
logue. Ueprenons  nos  deux  régions  conliguës  \  et  li  et  supposons  la 
région  B  plus  chaude  que  la  région  A.  Les  molécules  de  B  auront 
alors  une  lorce  vive  moyenne  supérieure  à  celle  des  molécules  de  A  ; 
par  suite  les  molécules  qui  passent  de  H  en  A  tendent  à  écliauller  A; 
celles  qui  passent  de  A  en  H  tendent  à  refroidir  li.  Les  températures 
finiront  donc  par  s'égaliser. 

Toutcl'ois,  si  la  masse  gazeuse  est  d'un  volume  considérable,  elle 
n'arrivera  à  son  état  final  stationnaire  tant  mécanique  que  thermique, 
qu'au  bout  d'un  temps  excessivement  long  (').  Mais  chaque  petit 
volume  atteindra  assez  rapidement  un  état  d'équilibre  local,  où  les 
vitesses  des  molécules  satisferont  à  la  loi  de  Maxxvei.l  (il  s'agit  ici  des 
vitesses  relatives  par  rapport  au  centre  de  gravité  de  la  région  res- 
treinte envisagée). 

83.  Revenons  maintenant  à  la  nébuleuse  chaotique  de  M.  vn  Li- 
coxDÈs,  et  vovons  dans  quelle  mesure  tout  ce  qui  vient  d'être  dit  sur 
les  vitesses  des  molécules  gazeuses  dans  la  théorie  cinétique  s'applique 
aux  projectiles  qui  composent  cette  nébuleuse.  Si  ces  projectiles 
étaient  parfaitement  élastiques,  l'assimilation  serait  complète.  Lorsque 
deux  projectiles  élastiques   de   même    niasse,  qui   se    sont   choqués, 


A'/-  1^- 

rebondissent  l'un  sur  l'autre,  la  vitesse  de  leur  centre  de  gravité 
commun  n'a  ])as  changé,  la  force  vive  totale  non  plus  ;  quant  à  la 
vitesse  relative  de  l'un  par  rapport  à  l'autre,  elle  n'a  pas  changé  en 
grandeur,  mais  elle  a  changé  en  direction.  En  d'autres  termes,  si  les 
vecteurs  oa  et  ob  représentent  (fifj-  i8)  les  quantités  de  mouvement 
des  deux  projectiles  axant  le  choc,  leur  somme  géométrique  oc  n'a 

I     ^  oir  ce  qui  a  clc  dit  au  Cliap.  III,  Section  IV,  a»  sujet  de  la  faiblesse  de 
riiillueiice  des  rrollemeiils  quand  il  s'agit  de  grands  >oUiaics  lluiiles. 


IlVPOTllli!>L:S    COSMOGOMOVES 


pascliangé;  leur  dilTércncc  géométrique  ah  a  conservé  sa  grandeur 
mais  a  varié  en  direction.  Telles  sont  les  lois  du  choc  de  deux  corps 
élastiques  de  môme  masse. 

Considérons  maintenant  deux  points  matériels  A  et  B  de  même 
masse  s'attirant  (ou  se  repoussant)  suivant  une  loi  quelconque  fonction 
de  la  distance,  l'action  étant  nulle  à  distance  infinie.  Quand  ces  deux 
points  sont  très  éloignés  l'un  de  l'autre,  leurs  trajectoires  sont  recti- 
lignes  ;  elles  s'incurvent  ' fig.  19  lorsque  ces  deux  points  viennent 
à  passer  l'un  près  de  l'autre;  puis,  la  distance  augmentant,  les  deux 
trajectoires  redeviennent  rectiligncs.  La  force  vive  n'a  pas  changé; 
quant  à  la  vitesse  relative,  lorsque  les  deux  points  sont  arrivés  en  A'  et 
en  B'  oii  les  trajectoires  sont  redevenues  sensiblement  rectilignes,  elle 


+  B' 


7'.7-  19- 

na  pas  varié  en  grandeur,  mais  elle  a  changé  en  direction.  Nous 
retrouvons  donc  exactement  les  mêmes  lois  que  dans  le  choc  de  deux 
corps  élastiques  ;  en  effet,  le  choc  de  deux  corps  élastiques  peut 
être  regardé  comme  un  cas  particulier  du  problème  que  nous  envi- 
sageons. Nous  conviendrons  de  dire  que  les  points  matériels  A  et  B, 
ainsi  déviés  de  leur  route,  ont  subi  un  dciui-clioc.  Les  demi-chocs  se 
font  conformément  aux  lois  des  corps  élastiques. 

Les  matériavix  qui  constituent  la  nébuleuse  de  M.  du  Lir.oxDKS  et 
qui  s'attirent  entre  eux  suivant  la  loi  ne^^tonienne  vont  ainsi  subir  un 
grand  nombre  de  demi-chocs  :  à  ce  point  de  vue  ils  sont  assimila- 
bles aux  molécules  d'une  masse  gazeuse.  iNLais,  à  côté  des  demi-chocs, 
il  faut  distinguer  aussi  les  cliocs  vcrilahics  (jui  ont  lieu  lorsque  deux 


iivpOTm:*!:  de  m.   nu   lkjondus 


|Mojectiles  A  et  B  viennent  à  se  toucher  physiquement.  Ces  chocs 
vérilahlcs  se  font  toujours  avec  perle  de  force  vive,  et  par  suite  avec 
tendance  à  la  concentration,  parce  que  les  matériaux  cosmiques  ne 
sont  pas  parfaitement  élastiques  mais  plutôt  mous. 

Les  deiui-chocs,  dans  la  néhulcuse,  sont  certainement  beaucoup 
plus  fré(juents  que  les  chocs  véritables.  Par  suite,  malgré  la  possibilité 
(le  ceux  ci,  les  vitesses  auront  loul  d'abord  une  tendance  à  se  répartir 
selon  la  loi  de  Maxwelf.,  les  [)rojcctilcs  les  plus  gros  prenant  une 
vitesse  moindre  que  les  plus  petits.  L'elîet  concentrateur  des  chocs 
véritables  produira  quelques  grosses  agglomérations.  Ces  grosses 
agglomérations,  en  vertu  de  la  loi  de  Maxwell  (que  les  demi-chocs 
tendent  toujours  à  maintenir},  prendront  une  vitesse  relative  assez 
faible  par  rap[)ort  au  centre  de  gravité  de  la  région  où  chacune  d'elles 
se  trouve.  Comme  la  nébuleuse  entière,  assimilée  à  une  masse  ga- 
zeuse, lend,  par  suite  du  frottement,  à  tourner  d'un  seul  bloc  comme 
le  ferait  un  corjis  solide,  les  grosses  agglomérations  tendront  finale- 
ment à  jirendre  une  vitesse  peu  différente  de  celle  qui  correspond  à 
une  rotation  uniforme  autour  d'un  axe. 

Dans  ces  conditions,  reconnaissons  que  les  inclinaisons  des  orbites 
des  grosses  agglomérations  sur  le  plan  équatorial  vont  tendre  à  dimi- 
nuer. Soient  O  le  centre  de  la  nébuleuse.  Il  le  plan  équatorial  du  maxi- 
mum des  aires  et  Y  la  vitesse  actuelle  d'une  grosse  agglomération  1^ 
{fi<j.  20).  Celte  vitesse  tend  à  se  rapprocher  de  la  vitesse  V  qui  cor- 


^^-P^\ 


^'0 


jhj.  20. 


respondrail  à  une  rotation  luiiformc  autour  d'un  axe  Oz  perpendicu- 
lairi;  au  plan  II.  Or  il  est  manifeste  que  le  plan  OPV'  est  moins 
incliné  sur  le  plan  II  que  le  plan  OPV.  Il  y  a  donc  à  chaque  instant 
tendance  à  là  diminution  de  l'inclinaison  de  l'orbite  de  P,  qui  finira 
par  se  rapprocher  du  plan  IT. 


Poi 


Il',  HYPOTHliSES    COSMOGOMQUES 


En  même  temps,  l'excentricité  de  l'orbite  tendra  à  diminuer.  En- 
effet,  si  PV  est  la  vitesse  de  la  grosse  agglomération  P  en  projection 
sur  le  plan  équatorial  {fi(j.  21),  cette  vitesse  tend  à  se  rapprocher  de 


/' 


fig.  31. 


la  vitesse  PV  qui  est  perpendiculaire  au  rayon  vecteur  et  qui  corres- 
pond à  la  rotation  uniforme.  L'orbite  ayant  une  fois  atteint  la  forme 
circulaire,  la  conservera  comme  il  a  été  expliqué  au  Chapitre  précé- 
dent. 

On  comprend  également,  et  pour  la  même  raison,  pourquoi  les. 
orbites  des  planètes  sont  toutes  directes  (*). 

84.  II  y  a  lieu  ici  do  faire  une  remarque.  Si  les  demi-chocs  exis- 
taient seuls,  comme  ils  se  font  conformément  aux  lois  des  corps 
élastiques,  la  nébuleuse  chaotique  serait  alors  entièrement  assimilable  à 
une  masse  gazeuse  isolée  dont  la  figure  d'équilibre  finale  serait  un 
sphéroïde  très  peu  aplati  et  sans  forte  condensation  centrale.  Dans 
l'aplatissement  et  la  concentration  de  la  nébuleuse  de  M.  du  Ligoxdi:s, 
le  rôle  tout  à  fait  essentiel  est  joué  par  les  chocs  véritables.  Or,  ceux- 
ci,  nous  l'avons  dit,  sont  beaucoup  moins  fréquents  que  les  demi- 
chocs.  Sont-ils  néanmoins  assez  nombreux  pour  qu'on  puisse  leur 
attribuer  la  transformation  de  la  nébulcTiseen  système  solaire,  et  n'est- 
ii  pas  à  craindre,  au  contraire,  que  l'effet  des  demi-chocs  ne  l'emporte? 
La  question  n'est  pas  tranchée  et  demanderait  à  être  approfondie. 

85.  Cherchons  maintenant  pourquoi  les  planètes  ont  un  mouve- 
ment de  rotation  direct,  excepté  celles  qui  sont  les  plus  éloignées  du 
Soleil.  Nous  pourrions  encore  faire  intervenir  l'influence  des  marées 
solaires,  telle  que  nous  l'avons  expliquée  au  Chapitre  III,  Section  VI. 

Ce  n'est  pas  ce  que  fait  M.  dl  Lkiondics.  L'intensilé  de  la  pesanteur 
à  l'inléricur  de  la  nébuleuseayant  varié  avec  le  temps,  depuis  l'origine 

(')  Observons  que,  dans  l'Iiypollièse  de  INI.  du  Lihondès,  il  n'est  pas  nécessaire 
de  supposer  que  la  dilTérenlialion  initiale  de  la  nébuleuse  s'est  faite  sous  fornie 
d'anneaux  :  les  grosses  agglomérations  ont  pu  se  produire  d'une  façon  quelconque- 
à  son  intérieur. 


iiYPoriiKsr:   de  m.    du   i.innMiKs 


OÙ  elle  était  pioporlioniiclle  à  la  distance  au  centre  jusqu'à  l'état  linal 
actuel  où  elle  varie  en  raison  inverse  dn  carré  de  la  distance,  il  admet, 
comme  F.v^r:  (Cf.  n°  60,  p.  72),  qu'il  y  a  eu  à  cliaque  dislancc  une 
pcridde  directe  c{  wna  période  rélrof/radc.  La  loi  par  hupielle  il  repré- 
sente l'intensité  de  la  pesanteur  dans  la  période  intermédiaire  est  seu- 
lement plus  compliquée,  mais  aussi  elle  est  plus  voisine  de  la  réalité 
que  celle  de  Faye.  La  période  directe  a  duré  très  peu  de  lemjis  pour 
les  régions  extérieures  de  Neptune  et  d'Lianus,  aussi  ces  planètes 
sont-elles  rétrogrades.  Elle  a  duré  beaucoup  plus  longlenq^s  pour  les 
régions  des  planètes  inlérieures,  et  lorsque  la  période  rétrograde  est 
arrivée  en  ces  régions,  il  était  trop  lard  [)(iur  changer  le  sens  de  rota- 
lion  de  ces  planètes  déjà  presque  complètement  formées. 

86.  M.  DU  Li(:o>Di:s  tente  aussi  d'expliquer  certains  faits  particuliers 
oflerls  par  le  système  solaire.  Par  exemple,  Jupiter  se  trouve  être  la 
plus  grosse  des  planètes,  parce  que  le  disque  équatorial  aplati,  géné- 
rateur des  planètes,  aurait  présenté  à  la  distance  correspondant  à 
Jupiter  un  maximum  de  densité.  Il  trouve  aussi  certaines  raisons  pour 
rendre  compte  des  lois  suivant  lesquelles  varient  les  masses  des 
dilVérenles  planètes,  leurs  distances  au  Soleil,  les  inclinaisons  de  leurs 
axes... 

Disons  enfin  que,  d'après  M.  m  Lkjondi'.s,  l'ordre  des  |)lanètes, 
rangées  au  point  de  vue  de  leur  âge,  serait  le  suivant  :  Jupiter, 
^e[)tune,  Uranus,  Saturne,  la  Terre,  Mars,  Venus,  Mercure. 

Les  considérations  développées  dans  les  n"^  85  et  86  nous  paraissent 
avoir  moins  d'importance  que  les  précédentes.  On  pourrait  les  aban- 
donner sans  renoncer  aux  principes  fondamentaux  de  la  théorie  que 
nous  venons  d'exposer.  En  ce  qui  concerne  le  sens  de  la  rotation  des 
planètes,  nous  avons  vu  que  la  théorie  des  Marées  était  seule  capable 
d'en  rendre  compte;  les  objections  faites  aux  idées  de  E ave  sur  la 
((  période  directe  »  et  la  «  période  rétrograde  »  conserveraient  ici  leur 
valeur.  D'autre  part,  il  nous  semble  prématuré  de  chercher  à  rendre 
compte,  par  des  considérations  a  priori,  des  lois  qui  lient  les  masses 
des  planètes  aux  grands  axes  de  leurs  orbites,  à  la  durée  de  leur  rota- 
tion, au  nombre  et  à  la  répartition  de  leurs  satellites.  Si  ces  considé- 
rations étaient  justifiées  elles  devraient  s'ap[)liquer  aux  systèmes  pla- 
nétaires qui  entourent  toutes  les  étoiles,  et  tous  ces  svslèmes  devraient 
être  identiques  ce  qui  est  bien  peu  vraisemblable. 


CHÂPITUE  VI. 

HYPOTHÈSE    DE    M.     SEE. 


87.  Pour  ^I.  See  ('),  les  planètes  n'ont  pas  du  tout  été  l'ormécs  par 
des  iVagaicnts  de  la  nébuleuse  solaire  et  la  Lune  ne  provient  pas  d'un 
fragment  de  la  nébuleuse  terrestre.  Les  planètes  sont,  d'après  lui, 
d'origine  cosmique  extérieure  à  la  nébuleuse  solaire;  ce  sont  des  corps 
étrangers  qui,  venant  à  ]iasser  dans  le  voisinage  du  Soleil,  ont  été 
captés  par  lui.  De  même  la  Lune  a  été,  à  une  certaine  époque,  captée 
par  la  Terre. 

Gomment  s'est  produit  ce  phénomène  ?  M.  Sel:  pense  qu'autrefois 
le  Soleil  était  entouré  d'une  vaste  atmosphère,  et  que  c'est  par  l'elTcl 
de  la  résistance  de  milieu  créée  par  cette  atmosphère  que  la  capture  a 
eu  lieu. 

88.  Etudions  donc  l'clTct  d'une  résistance  de  milieu  sur  le  mouve- 
ment d'une  planète  (■).  Si  la  résistance  était  nulle,  le  mouvement 
serait  képlérien,  l'orbite  serait  une  ellipse  d'excentricité  d'ailleurs 
quelconque.  La  densité  du  milieu  résistant  étant  par  hypothèse  très 
faible,  cette  orbite  variera  lentement.  >'ous  allons  étudier  les  varia- 
tions de  cette  orbite  par  la  méthode  de  la  variation  des  constantes. 

Rappelons  d'abord  quelques  formules  du  mouvement  elliptique  des 
planètes. 

Appelant  r  le  rayon  vecteur  et  v  l'anomalie  vraie,  l'équation  de 
l'orbite  est 

^  '  i  -\-  e  cos  V 

e  désignant  l'excentricité,  et 

(2)  p  =  a{\—e') 

('1  T.  J.  J.  See  :  Rescarches  on  the  Evolutionof  Ihe  Stellor  Systems,  vol.  Il  :  The 
Capture  Theory  of  Cosmical  Evolution  1  Lynii,  Mass  ,  U.  S.  A.,  Tlios.  P.  ^'icllols  and 
Sons;  Paris,  A.  Ilermann,    1910  . 

{-J  T.  J.  J.  See  :  Loc.  cit.,  Ch.  MI,  p.  iSj-iôS. 


H8  IIYPOTIIKSES    COSMOr.ONIQUES 

désignant  le  paramèlre  de  l'oibilc  cllipllque  dont  sa  est  le  grand  axe. 
Nous  avons  aussi  l'équalion  des  aires 

la  constante  des  aires  C  ayant  pour  valeur 

G  =  /My> , 

oii  M  représente  la  masse  du  Soleil.  (Nous  négligeons  la  masse  de  la 
planète  vis-à-vis  de  celle  du  Soleil.)  Le  moyen  mouvement  n  est  lié 
au  demi-grand  axe  a  par  la   troisième  loi  de  IvKPLiiu 

(3)  nhi'  =  M. 

Enfin  l'équation  des  forces  vives  donne 

.^,  _  M  _  _  M 

/•  -la 

ï  étant  la  demi-force  vive. 

Diirérentiant  l'équation  (  i)  par  rapport  au  temps,  il  vient 

dr pe  sin  v        dv 

dt         (,!"+"  <-'  ^"os  v)-  dl 
pe  sin  u        C 


(  I  -t-  <-'  cos  V)  -  r- 

ne  sin  y         C    ,  ,  , 

=  7 — r,  -9(1   H-  «  COS  l'j- 

(  [   +  e  cos  j;,r  p-  ^  ' 

C      . 

:^  -  e  SUl  l'. 

V 
Or  TT  est  la  composante  de  la  vitesse  suivant  le  rayon  vecteur.  La  com- 
posante perpendiculaire  à  ce  rayon  a  pour  valeur 

do        C 
'■  dl  =  r 

=  -  (  I  -t-  ^  cos  V). 

p 

Des  deux  composantes  de  la  vitesse  V  nous  déduisons,  pour  le  carré 
de  celle  vitesse, 

V^  r=  —    (i  -t-  2  e  cos  V  -h  e^). 
p2  .  J 


liyPOTUKSE    DE    M,    SEE  HJ 

Si,  pour  abréger,  nous  posons 


nous  aurons 


V='^o 


Les  formules  ci-dessus  conviennent  au  mouvement  képléricn. 

Supposons  maintenant  qu'il  existe  un  milieu  atmosphérique  don- 
nant une  résistance  R  directement  opposée  à  la  vitesse  et  tonclion  de 

la  valeur  \  de  cette  vitesse.  La  constante  des  forces  vives  —  ^—  subira, 

pendant  le  temps  '//,  une  variation 

cette  variation  sera  égale  au  travail  de  la  résistance  R,  travail  qui  a 
pour  valeur 


on  a  donc 


^  '^  =  _  RV 
aa-  dt 


d'où  l'on  tire 


da aRpa- 

rempla<.-ant  M  et  p  par  leurs  valeurs  (2)  et  (3)  dans  cette  dernière 
équation,  on  obtient 

/,v  da  2R? 


dt 


n  V  I  —  e'^ 


A  oilà  l'équation  qui  donne  la  variation  du  grand  axe  :  le  second  mem- 
bre est  essentiellement  négatif.  L'effet  de  la  résistance  de  milieu  est 
donc  toujours  de  diminuer  '/,   et  par  suite,  d'après  l'équation   (3), 


I20  HYPOTHESES    rOSMOGOSIQUES 

d'augmenter  n.   La  \itesse  angulaire  de  la  planète  s'accélère  (')   en 
même  temps  que  sa  distance  moyenne  au  Soleil  diminue. 

Etudions,  à  présent,  l'cfTet  de  la  résistance  de  milieu  sur  l'excen- 
tricité de  l'orbite. 

Tout  d'abord  la  constante  des  aires  C  aura  sa  dérivée  -„  éj-ale  au 

al     " 

moment,  par  rapport  au  centre  d'attraction,  de  la  force  perturbatrice 
R.  Or,  cette  force  R  opposée  à  la  vitesse  a  pour  composantes  : 

suivant  le  rayon  vecteur 

r/r 

-  R  '''   , 

V 

perpendiculairement  au  rayon  vecteur 

dv 

-  R  ^  ; 

Y 

et  le  moment  de  la  force  W  par  rapport  au  Soleil  est 

.dv 


On  a  donc 

(5) 
Rappelons  que 


11      y     —  *^  Y 


rfC  _  _  R  C 

dl  —       V 


=  M=*  a-  (i  —  e-y-. 


Prenant  les  dérivées  logarilbmiques  des  deux  membres  extrêmes,  il 
vient 

rfC        i  /da         2  ede 


oC I  /da 

G         2  \  a         1 


(i)  La  formule  (3)  montre  mùme  que  na  augmente  quand  a  diminue.  D'où  cette 
conséquence  curieuse  :  une  résistance  de  milieu  a  pour  eflet  d'augmenter  la 
vitesse  linéaire  de  la  planète. 


llYPOTIIESIi    Di:    M.     SEE 


Celle  équation  va  nous  pernicllie  d'ohlcnir  '/<•  puisque  da  et  dC  vien- 
nent d'être  calculés.  On  trouve 


ae      de i  da        •?.  (/C 

1  —  e-  dt         a  dl        C   (// 


.    , ,     .  ,  da       (W.  ,  / /\    .  /-\ 

cqualion qui  s  ecril,  en  remplaçant  ^^    et  ^    par  leursYaieurs(/i)et(a), 


(C^) 


3e       ( 


le  aRo  2K 


c-  dt  ,ia  \' i  —  g2         \ 

Transformons  le  second  membre  de  celle  égalité.  Nous  avons  trouvé 
précédemment  (p.  119) 

/M 
P 
na 


V  =  ?  V 


par  suite  ce  second  membre  se  met  sous  la  forme 

na  V^i  —  e-  L'  ?       J 

ou  encore,  en  nous  rappelant  la  valeur  de  0-,  sous  cette  autre  forme 

aR  26  cos  V  H-  2e- 


na  V  I  —  e  r 

L'équation  (ô)  donne  donc  finalement 

,  ,  de  2R  v^i  —  e-  ,  . 

(7)  j,  = (^  +  cos  V). 

^'^  dl  nap  ' 

Telle  est  l'équation  qui  donne  la  variation  de  l'evcentricité  de  l'orbite. 

89.  Les  formules  (4)  et  (7)  permettent  de  calculer  à  chaque  instant 
les  variations  du  grand  axe  et  de  l'excentricité.  Mais  ici  il  importe 
seulement  d'obtenir  leurs  variations  séculdircs,  et  pour  cela  de  cal- 
culer les  valeurs  de  da  et  de  de  pendant  le  temps  d'une  révolution 
complète. 

Prenant  pour  variable  indépendante  l'anomalie  vraie  v,  nous  aurons 

'    da da  dl 

S   dv        dt  dv  ' 
^^)  .  \de_dedl 

[   dv  ~  dt  dv  ' 


123  iiypoTHfSEs  cos:mogomques 

Or,  l'équation  des  aires  donne 


<9) 

=::   p-    (l    +   e   COSI')" 


<lv  ~  C 


Les  formules  (4),  (7)  et  ^g)  permettront  donc  d'écrire  les  valeurs  (8 

,    da        de        .     .      ,      ,  .     .  , 

de  ^^  et    ,-  qui,  intégrées  entre  o  et  :>-,  donneront  les  variations  tlu 

demi-grand  axe  et  de  l'excentricité  pendant  une  révolution. 

II  y  a  lieu  de  faire  certaines  hypotlièses  sur  la  résistance  de  milieu 
R.  Cette  résistance  croît  avec  la  vitesse;  nous  la  supposerons  propor- 
tionnelle à  une  certaine  puissance  de  la  vitesse  V.  Elle  varie  avec  la 
distance  /•  au  Soleil,  car  la  densité  (et  par  suite  la  résistance)  de 
l'atmosphèie  de  cet  astre  croît  à  mesure  qu'on  s'en  approche;  nous 
admettrons  que  R  est  proportionnel  à  une  certaine  puissance  (néga- 
tive) de  /■.  Bref,  nous  poserons 

(10)  R  =  /tV*r-?, 

h,  a  e:  1^  étant  des  constantes  positives.  Comme  Y  est  proportionnel 

à  0,  et  /•  a   — — T~,  nous  pouvons  écrire  la  lormule  (10)  ainsi  : 

i  1  H-  e  cos  u  A  ^      ' 

Y\  =  hf  (1  +ecosi')?, 
Ji  étant  une  nouvelle  constante  positive. 

Avec  cos  liypothèses  sur  R,  les  valeurs  (8)  de  ,  et  ,  ,  calculées  au 
moyen  des  formules  (^j),  (7)  et  (9),  peuvent  s'écrire 


oii  n  désigne  la  constante  positive 


j=  —    II  (  '  —  e-)  ^      p*      '  (  I  +  e  cos  I')''      '-'■  {e  +  cos  v)  ; 


2}rli 


rappelons  que,  dans  ces  valeurs  (i  i), 

I 

p  =  (  I  -t-  2  e  cos  /.'  +  e-)  a  . 


HYl>nTHi:SE    DE    M.     SKE 


133 


Pour  ('ludicf  les  varialious  séculaires  de  a  et  de  e,  nous  devons 
développer  les  seconds  membres  des  valeurs  (ii)en  séries  trigonn- 
niétriques  suivant  les  cosinus  des  niulliples  de  v,  cl  intégrer  entre 
)' =  o  et  r  =  '2T..  A  l'intégration  tous  les  cosinus  donneront  zéro; 
par  suite  ce  qui  nous  intéresse,  ce  sont  les  termes  constants  de  ces 
Llé\e!oppenicnts  trigonomélriques  et  surtout  le  si<jnc  de  ces  termes 
constants. 

da  ...  ,       .,.         .  da 

Nous  savons  déjà  que    ,     est  cssentielleuicnt  negatil,  puisque  ^j 

l'est  loujoius.  Occupons-nous  donc  seulement  de  .;.  Nous  devons 
développer  en  série  liigonomélrique  l'expression 

p*~"'     \  -^  e  cosv)''~''  {e  —  cosv). 

Or,  si  nous  dévcluppous  d'abord  le  produit  des  deux  premiers  termes, 
nous  obtenons  : 

la)     p''""'  (i  -f-  e  cosi'"^~-  =  Aq  -t-  A,  cosf  —  A.  cos2d  —  ...  . 

Nous  remarquons  que  Ao  est  essentiellement  positif  puisque  c'est  la 
valeur  movcnne  du  premier  membre  dont  les  deux  termes  sont  tou- 
jours positii's.  Multipliant  ensuite  les  deux  membres  de  la  rormule(i2) 
par  {e  -h  cosr),  il  vient 

/  A ,  ' 

p^~'  (i  +  c  cosi')'^~"    e  H-  cosr^  =  (  A^e  H-  - 

les   termes   non   écrits   au   second   membre  ayant   tous   leur  valeur 

moyenne  nulle. 

La  seconde  iormule  (ii)  donne  donc  pour  la  valeur  moyenne  de 

de  ^  ,      .      . 

1  ^  pendant  une  levolulion 

('3)  !/'  =  -"  i---Kv  +  ^)- 

Reconnaissons  que  le  second  membre  de  l'équation  (i))  est,  en 
général,  négatif  ;  nous  en  conclurons  que  la  résistance  de  milieu  a 
pour  cITet  de  diminuer  l'excentricité  de  l'orbite.  Cela  aura  lieu  en 
particulier  toutes  les  fois  que  A,  sera  positif.  Or,  d'après  la  formule 
(l'i).  on  a 

/^T.  2 I 

Al  =  ^    I     (  I  H-  2  e  CCS  r  -I-  e-)     ^        i  -{-  e  cosr'"~-  cosvdv. 


124  inPOTUisES    COS.MOGOMOUES 

Si  l'on  a  en  même  temps 

a>  I,  ?  >  2, 

Al  sera  positil",  car  de  deux  éléments  de  l'intégiale  correspondant  aux; 
deux  valeurs  i'  et  tt  —  v  de  la  variable  d'intégration,  l'un  est  positil" 
et  l'autre  négatif,  mais  l'élément  positif  est  plus  grand  en  valeur 
absolue  que  l'élément  négatif. 

D'une  façon  analogue,   on  reconnaîtrait  que  si  les  deux  inégalités 

sont  satisfaites,  on  aura  de  même  Ai  >•  o. 

Si  nous  supposons  l'excentricité  c  assez  petite  pour  pouvoir  négliger 
son  carré  e'-,  nous  trouverons  des  conditions  plus  larges.  La  seconde 
formule  (  1 1)  se  réduira  à 

</e  -  .  , 

-,-  =  —  H    I  -h  (a  —  lie  ces  y  -|-  ('P  —  2)  e  ces  y]  (e  -h  cosv)  ; 

d'où,  en  ne  gardant  que  la  valeur  moyenne  du  second  membre,  on 
lire 

de  ,,  /  a  -+-  B  —  3 

du  \  a 

Ile  Q  , 

= (a  +  a  —  1). 

Il  suffît  alors,  pour  que  l'excentricité  décroisse,  que  l'on  ait 

Dans  ce  cas,  même  si  |3  =  o  (c'est-à-dire  si  la  résistance  R  ne  varie 
pas  avec  la  dislance  r  au  Soleil),  il  suflira  que  l'on  ait 

a  >  1, 

c'est-à-dire  que  K  croisse  plus  vite  que  la  simple  puissance  de  la  vi- 
tesse. Or,  on  admet  souvent,  à  titre  d'approximation,  qu'une  résis- 
tance de  milieu  est  proportionnelle  au  carré  de  la  vitesse. 

90.  Cette  diminution  de  l'excentricité  par  le  fait  d'une  résistance 
de  milieu  aurait  pu  se  prévoir,  en  gros  et  sans  calcul,  de  la  manière 
suivante.  Supposons  que  la  résistance  ne  se  fasse  sentir  qu'au  voisi- 
nage du  péribélie  P  [/}(/.  ay)  ;  dans  ce  cas,  la  planète  subit  en  ce 


HYPOTIIKSE    DE    M.    SEE  125 

point  P  une  brusque  diminulion  de  vitesse,  d'oiî  résulte  vinc  diminu- 
tion du  jjiiaml  axe.  Le  péiilu'lie  reslaul  le  mémo  et  l'apliélie  se  lap- 
piocliant,  il  est  clair  (pic  Icxccnliicilé  tlécroît.  Au  contraire,  si  la 
résistance  n'agissait  f|u';iu  moment  de  l'aphélie,  la  nouvelle  orbite 
aurait  même  a[)liélie  (pic  l'ancienne,  mais  son  périhélie  se  rappro- 


cheralt  du  Soleil  :  l'exciMilricilé  augmenterait.  Dans  la  réalité  la  ré- 
sistance se  fait  sentir  tout  le  long  do  rorl)ite,  mais  deux  raisons  font 
qu'elle  est  plus  importante  au  périhélie  :  d'abord,  en  ce  point  la 
vitesse  est  maxima,  puis  l'atmosphère  étant,  en  général,  plus  dense 
à  mesure  qu'on  se  rapproche  du  Soleil,  elle  oppose  une  plus  grande 
résistance  [ucs  du  périhélie. 

91.  En  résumé,  l'etlet  d'une  résistance  de  milieu  sur  une  orbite 
képlérienne  est  de  diminuer  à  la  fois  le  grand  axe  et  l'excentricité  ('). 
Donc,  si  l'on  admet,  avec  AI.  See,  qu'autour  du  Soleil  s'étendait  pri- 
mitivement à  de  très  grandes  distances  une  atmosphère  résistante,  on 
conçoit  qu'un  astre  d  origine  cosmique,  venant  à  passer  dans  la  sphère 
d'action  du  Soleil,  ait  pu  modifier  sa  trajectoire.  Celle-ci,  de  parabo- 
lique ou  hyperbolique  qu'elle  était,  a  pu  d'abord  devenir  elliptique  ; 
puis  la  résistance  de  milieu  continuant  à  faire  décroître  le  grand  axe 
et  l'excentricité  de  l'orbite,  celle-ci  s'est  rapprochée  de  la  forme 
circulaire.  Lorsque  l'atmosphère  résistante,  peu  à  peu  absorbée  par 
le  Soleil,  a  finalement  disparu,  l'astre  a  continué  à  circuler  autour  du 
Soleil  dans  son  orbite  voisine  d'un  cercle.  Telle  est,  d'après  AL  See, 
l'histoire  de  toutes  les  planètes. 


(')  On  reconnaît  aisément  que  celte  résistance  ne  produit  aucun  c(Tet  séculaire 
(au  moins  en  preniière  approximation)  sur  la  longitude  du  périliélie.  Bien  entendu, 
elle  ne  modilîe  pas  le  plan  de  l'orbite,  qui  garde  la  même  inclinaison  et  la  même 
ligne  des  nœuds  par  rapport  à  un  plan  fixe. 


laO 


HYPOTHESES    COSMOGOIQUES 


92.  Do  môme  que  les  planètes  ont  été  captées  par  le  Soleil,  de 
même,  selon  M.  See,  les  satelliles  ont  été  captés  par  leurs  planèlcs 
respectives  ('). 

Pour  étudier  celle  capture,  plaçons-nous  dans  le  cas  relativement 
simple  qu'on  appelle  le  problème  reslreinl.  Le  Soleil  S  et  une  pla- 
nète J  (par  exemple  Jupilcr)  décrivent  chacun  {fi(j.  23)  autour  de 


^P 


^V.P2 


fuj.   23. 

leur  centre  de  gravité  commun  G  une  orbite  circulaire,  avec  une 
vitesse  angulaire  0)  constante.  Il  s'agit  d'étudier  le  mouvement  d'une 
petite  planète  P  dont  la  masse  est  négligeable  par  rapport  ù  celle  de 
la  planète  principale  J  et  qui  par  conséquent  ne  troublera  pas  le 
mouvement  de  celle  dernière.  Prenons  pour  origine  le  centre  de  gra- 
\ilé  (i  du  système  S-J,  pour  plan  des  xy  le  plan  où  S  et  J  décrivent 
leurs  orbiles  circulaires,  et  dans  ce  plan  des  axes  rectangulaires  mo- 
biles, l'axe  des  x  étant  la  droite  SGJ  qui  joint  le  Soleil  à  Ju[)iler  ; 
l'axe  des  z  est  la  perpendiculaire  en  (!  au  plan  de  l'orbite.  Les  forces 
agissant  réellement  sur  le  point  P(x,  }',  z)  sont  l'attraction  du  Soleil 
et  celle  de  Jupiter.  Ces  deux  forces  dérivent  respeclivement  des  deux 
fonctions  de  forces  ;  -) 


U,  = 


Ml 


U.  =  M:^ 


Ml,  M,  étant  les  masses  du  Soleil  et  de  Jupiter,  <;i,  ^^  leurs  distances 
à  P.  Les  axes  étant  mobiles,  il  convient  d'ajouter  à  ces  forces  la  force 
centrifuge  et  la  force  centrifuge  composée.  La  force  centrifuge  a  pour 


(')  T.  .T.  J.  See    :    Loc.   cit.   Cliap.  VIII,    p.    i^fj-iSa  et  Gliaji.  X,  p.  Tii-'i^n. 

(-)  Nous  supposons  égale  à  l'unité  la  masse  i\i  de  la  petite  planète  P.  Plus  exac- 
tement, cette  masse  m  se  trouvant  partout  en  facteur,  nous  ne  l'ccTivons  pas  clans 
les  l'orniulcs. 


IIYI'UTIIKSI-;     DE     M.     SEE  l't~ 

composantes 

«o-.r,  0/2  v^  o. 

La  force  cenlrilnge  composée  a  pour  composantes 

ilv  d.r 

Les  équations  de  mou\ement  do  la  planète  P  relativement  aux  axes 
mobiles  sont  donc 

il'x       dl\        dl..  ,  dv 

dl-  dx  dx  dl 

d-Y        (/U,         dlj.,  ,  dx 

dl-  dy  dy  -  dl 

d':  _  rfU,         dU.. 

d?  ~    d:    '^    d:   • 

Si  nous  multiplions  respectivement  ces  trois  équations  par 

dx  =  '!;'  dl,  dy  =  '{■'  dl,  d:  =  'î:  (//, 

dl  dl  dl 

et  que  nous  ajoutions  les  résultats,  novis  obtenons  une  combinaison 
iuunédiatenienl  intégrable  qui  nous  conduit  à  l'intégrale  suivante 

i[/dx\'-       /dvV-        /'l-\-l        M,        M,        io2      ^ 

connue  sous  le  nom  d'iiiléi/fale  de  jAcom. 

Le  premier  membre  de  celte   dernière  équation  étant  positif,  les 
coordonnées  x,  y,  :  du  point  P  satisferont  à  l'inégalité 

M,       M,       o-     , 

— ^  H -i (x-  -+-  r-   —  C  >  o. 

Pi  ?2  ^ 

Par  suite  la  projection  (x,  y    du  point  P   sur  le  plan  des  xy  sera 
intérieure  à  la  courbe 

dans  cette  équation,  Oi  et  02  désignent  les  distances  de  cette  projection 
du   point   P  aux  points  8  et  J.   Pour  les  très  grandes  valeurs  de  lu 


lyS 


m  POTIUJSES    COSJIOGOXIQUES 


constante  C,  celle  couibc  comprend  deux  boucles  ^désif^nées  par  i  sur 
la  fifj.  2/i)  entourant,  l'une  le  point  S,  l'autre  le  point  J.  Lorsque  C 
décroît,  ces  deux  boucles  se  dilatent  et  se  rejoignent  à  un  certain 
moment  en  un  point  double  A  (courbe  2).  Puis,  G  diminuant  encore, 
elles  n'en  font  plus  qu'une  (courbe  3)  qui  entoure  à  la  Ibis  S  et  J  ('). 


f>'3-  24. 

Donc,  lorsque  la  constante  C  n'est  pas  trop  grande,  la  [)chte  [)Ianètc 
obligée  de  rester  intérieure  à  la  courbe  .')  est  néanmoins  libre  d'aller 
au  voisinage,  soit  du  Soleil,  soit  de  Jupiter.  Si,  au  contraire,  la  cons- 
tante C  est  très  grande,  la  petite  planète  restera  à  l'intérieur  de  l'une 
des  deux  boucles  i  :  elle  sera  un  satellite  soit  du  Soleil,  soit  de 
Jupiter. 

Or,  l'effet  d'une  résistance  passive  telle  qu'une  résistance  de  milieu 
est  d'augmenter  la  constante  G  du  second  membre  de  l'intégrale  do 
Jacoiu.  Par  suite,  la  courbe  qui  encercle  la  petite  planète  se  rétrécit 
sans  cesse.  Si  elle  était  initialement  la  courbe  3,  elle  deviendra  à  un 
certain  moment  la  courbe  à  point  double  2.  Si  h  ce  moment  la  pla- 
nète est  voisine  du  Soleil,  jamais  elle  ne  retournera  au  voisinage  de 
Jupiter  :  elle  est  captée  par  le  Soleil.  Si,  au  contraire,  elle  est  voisine 
de  Jupiter,  elle  ne  reviemlra  jamais  près  du  Soleil  :  elle  est  captée  par 
Jupiter  dont,  à  partir  de  cet  instant,  elle  devient  un  satellite. 

93.  La  tliéorie  de  M.  See  rend  bien  compte  de  la  faiblesse  des 
excentricités  des  orbites  des  planètes  et  des  satellites  (^).  Mais  pour- 


(')  Nous  ne  nous  occupons  pas  de  certaines  portions  de  courbes  pouvant  se 
trouver  très  éloignées  de  l'origine. 

{-)  La  diminution  tic  l'excentricité  du  fait  d'une  résistance  de  milieu  n'est  pas 
seulement  capitale  dans  la  théorie  de  M.  See  :  elle  intéresse  aussi  les  tliéories  de 
Faye  et  de  ^L  uu  Lico^ois. 


IIYl'OTIlilSE    DE    M.    5EE  1 29 

quoi  les  mouvemonts  de  presque  tous  ces  astres  sont-ils  directs  et 
pourquoi  leurs  orbites  ont-elles  de  faibles  inclinaisons  mutuelles ;* 
Ces  deux  questions  restent,  dans  l'iiypothèse  de  M.  See,  sans  ré- 
ponse bien  satisfaisante.  Pour  essayer  d'expliquer  la  faiblesse  des 
inclinaisons,  on  peut  supposer  que  l'atmosphère  résistante  du  Soleil  a 
une  forme  lenticulaire  très  aplatie  :  alors  un  astre  dont  l'orbite  est 
très  inclinée  sur  le  plan  de  ce  disque  subit  une  icsistance  beaucoup 
moindre  qu'un  astre  qui  se  meut  dans  le  plan  même  du  disque.  Le 
premier  astre  a  donc  beaucoup  moins  de  tendance  à  être  ca[)té  que 
le  second,  et  c'est  surtout  dans  le  plan  du  disque  que  se  feront  les 
captures  des  planètes. 

On  pourrait  aussi  supposer  que  le  milieu  résistant  est  lui-même  en 
rotation  :  il  tendrait  alors,  non  pas  à  annuler  la  vitesse  de  la  planète 
qui  s'y  meut,  mais  à  imprimer  à  celte  planète  une  vitesse  d'un  certain 
sens  :  on  se  retrouverait  donc  dans  des  conditions  analogues  à  celles 
qui  ont  été  étudiées  au  Chapitre  précédent  (n"  83,  p.  ii3  et  ii4). 
La  résistance  n'étant  plus  directement  opposée  à  la  vitesse,  le  plan 
de  l'orbite  pourrait  varier  et  tendre  à  diminuer  son  inclinaison  sur  le 
plan  équatorial  de  l'atmosphère  solaire. 


PomcA 


CHAPITRE  VII. 

THÉORIE  DE  Sir  G.  H.  DARWIN. 


I.  —  Généralités. 

94.  Dans  l'hisloire,  lanl  passée  que  future,  des  astres  du  système 
solaire,  Sir  G.  II.  Dahavin  attribue  un  rolc  essentiel  à  l'influence  des 
marées  ('). 

Considérons  les  marées  produites  sur  une  planète  T  par  im  astre 
troublant  L  (  /?ry.  25   :  la  planète  sera,  par  exemple,  la  Terre  (M  l'astre 


fig.  35. 

troublant  la  Lune.  Rendons-nous  compte  de  l'action  du  frottement 
de  la  marée  sur  la  rotation  de  la  planète  et  de  la  réaction  qui  en  ré- 
sulte sur  le  mouvement  de  l'astre  producteur  de  la  marée.  Si  la 
théorie  statique  des  marées  pouvait  être  appliquée,  la  surface  des 
océans  terrestres  serait  un  ellipsoïde  allongé  vers  la  Lune  L.  Mais  les 
trottements  dus  à  la  viscosité  ont  pour  effet  de  produire  un  décalage, 
un  retard  de  la  marée  sur  l'instant  du  passage  de  la  Lune  au  méri- 


(i  I  I.es  travaux  de  Sir  (î.  H.  Darwin  sur  ce  sujet  forment  l'objet  d'une  série  de 
Mémoires  ijubliés  dans  les  Philosopldcal  Transarlions  et  dans  les  Proccedinqs  of  the 
Royal  Society  de  1879  à  1882.  Ils  se  trouvent  réunis  dans  (t.  H.  Darwin'  s  Scien- 
ùjir  Papers,  dont  ils  forment  l'ensemble  du  Volume  II  intitulé  Tidal  Jriction  and 
Cosmofjony  (Cambridge,  190S).  A'oir  aussi  C.  Wolf  :  Les  Ilypolkcses  Cosmogo- 
tiqucs,  Cliap.  VI,  p.  ~5. 


l32  llYPOTntsES    COSMOGOMOUrS 

dien.  Le  grand  axe  de  l'ellipsoïde  terrestre  fera  donc  un  certain  angle 
avec  la  ligne  TL  qui  joint  les  centres  de  gravité  des  deux  astres  ('). 
Par  conséquent,  la  résultante  R  des  attractions  de  la  Lune  sur  les 
molécules  terrestres  ne  passe  pas  par  le  centre  de  gravité  T  de  la  Terre, 
mais  est  appliquée  à  un  certain  point  A  :  cette  résultante  a  donc  un 
moment  par  rapport  au  point  ï  et  tend,  par  suite,  à  ralentir  le  mou- 
vement de  rotation  de  la  Terre. 

De  même,  l'attraction  R'  de  la  Terre  sur  la  Lune  n'est  pas  dirigée 
suivant  le  rayon  vecteur  LT  :  ce  n'est  plus  rigoureusement  une  force 
centrale  :  elle  a  une  petite  composante  tangentielle  qui  va  troubler  le 
mouvement  orbital  de  la  Lune.  Cette  composante  tangentielle,  dirigée 
dans  le  sens  même  du  mouvement  de  la  Lune  sur  son  orbite  produira 
évidemment  un  elTet  inverse  de  celui  d'une  résistance  de  milieu,  cette 
dernière  étant  une  force  tangentielle  dirigée  à  lopposé  du  mouvement 
orbital  de  la  Lune.  Il  y  aura  donc  augmentation  du  gTand  axe  de 
l'orbite  lunaire  et,  conséquemment,  diminution  de  la  vitesse  angu- 
laire de  révolution. 

Cette  augmentation  du  grand  axe  de  l'orbite  lunaire  pouvait  encore 
se  prévoir  autrement.  L'effet  de  freinage  des  marées  est  de  diminuer 
la  vitesse  angulaire  de  la  Terre  et  par  suite  son  moment  de  rotation. 
D'autre  part,  le  moment  de  rotation  total  du  système  Terre-Lune  doit 
rester  constant.  Donc  le  moment  de  rotation  dû  au  mouvement 
orbital  de  la  Lune  doit  augmenter,  c'est-à-dire  que  la  distance  de  la 
Lune  à  la  Terre  doit  s'accroître. 

Nous  prévoyons  donc  dès  maintenant  et  sans  calcids  que  les  deux 
principaux  effets  du  frottement  des  marées  sont  la  diminution  de  la 
rotation  terrestre  et  l'augmentation  corrélative  de  la  distance  de  la 
Lune.  En  d'autres  termes,  la  durée  du  jour  augmentera,  ainsi  que 
celle  du  mois. 

95.  Pour  expliquer  l'accélération  séculaire  du  moyen  mouvement 
de  la  Lune  dont  la  gravitation,  comme  on  le  sait,  ne  paraît  pas 
rendre  entièrement  compte,  Delaunat  avait  déjà  proposé  d'admettre 
une  augmentation  de  la  durée  du  jour  sidéral,  due  précisément  à 
l'action  du  frottement  des  marées  sur  le  fond  des  océans.  Dans  cette 
hypothèse,  l'accélération  séculaire  de  la  Lune  ne  serait  pas  réelle;  ce 

'M  Ici,  la  Lune  L  est  regardée,  pour  simplifier,  comme  un  simple  point  ma- 
tériel sans  dimensions. 


Tiii'oniE  DE  SIR  a.  II.   uvinviN  l33 

ne  serait  qu'une  apparence  tlne  à  ce  que  notre  unité  de  lem[)S,  le  jour 
sidéral,  augmenterait  peu  à  peu.  Bien  plus,  l'clTet  des  marées,  loin  de 
produire  réellement  une  accélération  du  moven  mouvement  de  la 
Lune,  au^mienterait  au  contraire  la  distance  de  cet  astre  à  la  Terre 
et  sa  période  de  révolution,  comme  nous  venons  de  le  remarquer. 
iN'est-il  pas  à  craindre  alors  que  ce  retard  elTectif  ne  l'emporte  sur 
l'accélération  apparente  1'  Pour  répondre  à  cette  objection,  Delalnav 
soutenait  que  le  coefficient  du  relard  imprimé  à  la  Lune  est  moindre 
que  celui  du  relard  de  la  rotation  de  la  Terre,  ce  qui  se  trouve  être 
exact,  seml)le-t-il.  Mais,  si  l'on  ne  tient  compte  que  du  frottement 
des  océans  actuels  sur  leur  fond,  l'cU'el  total  est  tout  à  fait  minime  et 
insignifiant.  Il  faudrait  supposer  que  l'intérieur  du  globe  terrestre 
n'est  pas  rigide,  qu'il  est  plus  ou  moins  visqueux,  et  que,  par  consé- 
quent, les  marées  internes  y  produisent  des  frottements  intenses. 

II.  —  L'excentricité  et  l'inclinaison  de  l'orbite  lunaire 
sont  supposées  nulles. 

96.  Quoi  qu'il  en  soit,  et  [lour  en  revenir  au  point  de  vue  cosmo- 
gonique,  on  doit  siq)[)oser,  avec  Sir  G.  11.  Daiuvin,  que  dans  ses  étals 
antérieurs  la  Terre  était  lluide  et  visqueuse.  Elle  a  alors  subi  des 
marées  dans  toute  sa  masse  (boflily  liclcs  ,  et  les  fiolternenls  dus  à  ces 
marées  internes  étaient  incomparablement  plus  énergiques  que  ceux 
qu'on  peut  attribuer  actuellenient  aux  marées  océaniques. 

97.  Nous  nous  proposons  d'étudier  de  plus  près  les  variations  que 
subissent,  du  fait  de  ces  marées,  la  distance  de  la  Lune  el  la  rotation 
terrestre. 

Pour  simplifier,  nous  supposerons  tout  d'abord  que  le  plan  de 
l'orbite  lunaire  coïncide  avec  celui  de  l'équaleur  terrestre  et  que  cette 
orbite  est  circulaire.  Il  est  bien  clair  que,  par  raison  tle  symétrie, 
l'orbite  restera  alors  indéfiniment  dans  le  plan  équatorial.  Mais  res- 
tora-t-elle  toujours  circulaire?  Montrons  qu'il  en  sera  bien  ainsi  et 
que.  si  l'excentricité  est  initialement  nulle,  elle  le  restera  toujours. 
Soient  F  la  force  perturbatrice  perpendiculaire  au  rayon  vecteur  (')  et 

'  L'allraclion  U'  de  la  Terre  siir  la  Lune  Juj.  y,'>;  se  décompose  en  :  i"  une 
forrc  centrale-  presque  égale  à  la  force  entière  et  donnant  le  mouvement  ké- 
plérien,  el  a"  une  force  perlubalrice  F  perpendiculaire  au  ravon  vecteur. 


l34  HYPOTHÈSES    COSMOGONIQl  ES 

ds  le  chemin  parcouru  par  la  Lune  pendant  le  temps  dl  :  le  travail  de 
la  force  perturbatrice  est 

</T  =  F  ds  cos  a, 
OÙ  a  désigne  l'angle  de  F  avec  f/.s\  Soit  .Ib  le  moment  de  rotation  :  sa 
dérivée  -jr-  est  égale  au  moment  de  la  force  perturbatrice  ;  on  a  donc 
l'égalité 

où  /'  désigne  le  rayon  vecteur  et  [-:>  l'angle  de  F  avec  la  perpendicu- 
laire à  ce  rayon  vecteur. 

Dans  le  cas  d'une  orbite  circulaire,  cos  a  et  cos  ,'5  sont  tous  deux 
égaux  à  I,  et  Ton  a 

ds  =  rndl, 

n  étant  le  moyen  mouvement.  Nous  tirons  alors  des  formules  précé- 
dentes 

(i)  dT  =  ndÀh. 

Or.  d'Y  csl  la  différentielle  de  la  constante  des  forces  vives  ( ): 

\       ia  l 

^n  =  d(-^^^^'^'^-. 

\       2a  J         2  a- 
et  le  moment  de  rotation  Mo  a  pour  valeur 

Jb  =  V/Ma(i  —e^): 

M  désigne  la  masse  de  l'ensemble  Torrc-Lune,  •la  et  e  sont  le  grand 
axe  et  l'excentricité  de  l'orbile  lunaire.  L'écpiation  (i)  s'écrit  donc 

Mc/«  ./IT(i- — e-)da  —  ad(e^) 

2\/a  (i  —  e.-) 

L'orbite  étant  supposée  circulaire,  nous  faisons  c-  =  o;  il  \icnl 


/  N  Wda  /.,     da  .  /,,  \  a  ,,  ,^ 

Or,  on  a 


2\'  a 


M  =  n-d''  \ 


THÉORIE    DE    SIK    G.   11.    DAKWIN  l3j 

les  termes  en  du  se  détruisent  donc  dans  l'équation  2  qui  donne 
alors 

L'excentricité  ne  subit  donc  |)as  de  variation  :  nulle  au  début,  elle 
restera  nulle. 

On  pourrait  l'aire  ici  une  objection.  Il  n'est  pas  étonnant,  dira-l-on, 
que  d[e-)  soit  nul,  et  d'ailleurs  cela  ne  prouve  rien  ;  en  effet 

d{e-)  :=  2  e  de, 

et,  pour  une  orbite  circulaire,  c  est  nul.  Mais  il  est  facile  de  recon- 
naître que,  dans  le  calcul  ci-dessus  de  (/(e^)  (ou  pour  être  plus  précis, 
de  sa  partie  séculaire),  tioiis  n'avons  néf/ligé  que  des  termes  en  e-. 
Donc  d{e'-)  est  de  l'ordre  de  e-  et  de  est  de  l'ordre  de  <?  :  il  est  par 
suite  nul  pour  une  orbite  circulaire,  et  l'objection  n'a  pas  de  portée. 

98.  Considérons  donc  la  Lune  décrivant  autour  de  la  Terre  une 
orbite  circulaire  dans  le  plan  de  l'équateur.  Désignons  par  y  la  vitesse 
angulaire  de  rotation  de  la  Terre  autour  de  son  a.\c,  par  Ù  la  vitesse 
de  révolution  de  la  Lune  autour  de  la  Terre,  et  posons 


Nous  allons  écrire  que  le  moment  de  rotation  du  système  est  cons- 
tant (principe  des  aires),  et  que  l'énergie  mécanique  diminue  par 
suite  du  frottement  (principe  de  dégradation  de  l'énergie). 

Soit  G  le  moment  d'inertie  de  la  Terre  autour  de  son  axe.  Le 
moment  de  rotation  de  la  Terre  est   Cj  et  sa  demi-force   vive   est 

■c,=. 

Tenons  compte  à  présent  du  mouvement  de  révolution  de  la  Lune 
et  de  la  Terre  autour  de  leur  centre  de  gravité  commun.  Le  moment 
de  rotation  dû  à  ce  mouvement  est  proportionnel  à  x,  car  il  a  pour 
valeur 

\/Ma; 

il  est  donc  proportionnel  à  y/«   qui  lui-même  est  proportionnel  à 

_  I 
1}    3  ,  d'après  l'équation 

n^Q-  =  M, 


l36  HYPOTHÈSES    COSMOGOMQLES 

et  la  constante  des  forces  vives  ( —  —  I  est  proportionnelle  à     ,  c'cst- 
a-dire  a  -, . 

Nous  choisirons  les  unités  de  façon  à  simplifier  les  coefficients  de 
proportionnalité.  Nous  prendrons  tout  d'abord  les  unités  de  masse  et 
de  longueur  de  manière  que  G  =  i.  Ensuite  nous  choisirons  l'unité 
de  temps  de  telle  sorte  que,  pour  û  =  i,  le  moment  de  rotation  du 
système  Terre-Lune  dans  sa  révolution  autour  de  son  centre  de  gra- 
vité soit  égal  à  C,  c'est-à-dire  à  i.  Alors,  le  moment  de  rotation  dû 
au  mouvement  orbital  est  non  seulement  proportionnel,  mais  égal  à 
X.  D'ailleurs,  l'équation  du  viriel  (n"  74,  p.  91) 

2T-t-V=o, 
qui,  puisque  le  mouvement  est  circulaire,  s'écrit  ici 


T4-  V=:o, 


nous  apprend  que  l'énergie  totale  T  -h  Y  est  égale  à  —  T,  c'est-à- 
dire  à  la  demi-force  vive  changée  de  signe.  On  en  conclut  immédiate- 
ment qu'avec  les  unités  choisies,  la  constante  des  forces  vives,  pro- 
portionnelle à  —2  r  est  égale  à  —  — 2  • 

Pour  l'ensemble    du    système   Terre-Lune,  nous    avons   donc   le 
moment  de  rotation  total 

X  4- j, 

et  l'énergie  totale 

ï    2         ' 

Le  moment  de  rotation  reste  toujours  constant  :  nous  écrivons  donc 

(3)  X  -\-  y  =  h. 

Quant  à  l'énergie,  elle  va  constamment  en  diminuant,  absorbée  qu'elle 
est  par  le  frottement  qui  la  transforme  en  chaleur  :  si  donc  nous 
posons 

Y  -  v^  -  i 

Y  ira  toujours  en  décroissant. 


THEORIE    DE    SIH    <;.     11.    DAKWIN 


i3- 


Si  nous  remplaçons  y  par  sa  valeur  //  —  x  tirée  de  l'équation  (3), 
^  devient  l'onction  de  x.  Nous  obtiendrons  ses  maxima  et  ses  mininia 


en  annulant 


ix 


d\ 


dv 


dx  ^    dx         x^ 


,.3   • 


c^Y 


Annuler  ,     revient  donc  à  écrire 
arc 

x^y  ^  I , 

ou  encore,  se  rappelant  la  définition  de  x, 

y  =  i>. 

Ainsi,  lorsque  l'énergie  est  maximum  ou  minimum,  la  vitesse  an- 
gulaire de  rotation  de  la  Terre  est  égale  à  la  vitesse  angulaire  de 
révolution  de  la  Lune. 


fig.  36. 

99.  Prenons,  avec  Sir  G.  H.  Dakvvin,  x  pour  abscisse  et  y  pour 
ordonnée;  et  traçons  (/?y.  2O)  la  droite 


(3) 

et  la  courbe 


3-  H-  j  =  h. 


x'v  =  I. 


i38 


HYPOTHESES    COS.MOGONIQUES 


Cette  courbe,  Sir  G.  11.  Dahwin  la  nomme  courbe  de  rù/iflité,  [)arce  que 
si  le  point  représentatif  (a;,  j)  est  sur  cette  courbe,  la  durée  de  rotation 
de  la  Terre  égale  la  durée  de  révolution  de  la  Lune,  et  l'ensemble 
Terre- Lune  tourne  d'un  seul  bloc  à  la  façon  d'un  corps  solide. 

Deux  cas  sont  à  distinguer  suivant  la  valeur  de  la  constante  h.  Ou 
bien  la  droite  (3)  coupe  la  courbe  de  rigidité  (4)  en  deux  points  G  et 
D  ;  ou  bien  la  droite  (3)  ne  coupe  pas  la  courbe  (4). 

Prenons  d'abord  le  premier  cas,  et  étudions  Y  en  fonction  de  x. 
Nous  avons 

Si  nous  prenons  x  pour  abscisse  et  Y  pour  ordonnée,  cette  équation 
représente  une  courbe  telle  que  celle  de  la  figure  27  :  les  points  C/  et 


D'  où  Y  passe  par  un  maximum  et  par  un  minimum  correspondent 
aux  mêmes  abscisses  que  les  points  G  et  D  de  la  figure  26  situés  sur 
la  courbe  de  rigidité. 

Dans  le  second  cas,  où  la  droite  (3)  ne  coupe  pas  la  courbe  de  rigi- 
dité (4),  la  fonction  \  de  x  ne  présente  plus  ni  maximum  ni  mini- 
mum, et  la  courbe  de  la  figure  27  est  remplacée  par  celle  de  la 
figure  28. 

Nous  pouvons  maintenant  suivre  les  cbangements  subis  par  le  svs- 
tème  formé  par  la  planète  et  son  satellite. 

Supposons  que  l'état  initial  soit  représenté  par  un  point  de  la  droite 
AHGDE  {fi(/.  2())  :  alors  le  point  représentatif  {x,  y)  restera  toujours 
sur  cette  droite,  mais  de  telle  façon  que  Y  aille  toujours  en  décroissant. 


ïiitoiiiE  Dr  siu  (;.    M.    iiMiwiN 


l3ç) 


Si  le  point  repicsentalit'(a:,  y)  initial  eslsiliiéenlre  A  et  U  (J'nj.  -îô), 
le  point  (x,  Y)  {J'kj.  27)  est  situé  sur  la  hranche  A'B'  et,  puisque  V 
diminue  toujours,  il  décrit  cette  branche  en  allant  de  V  vers  B'.  Le 
point  (.r,  y)  {fifj.  2())  décrit  donc  la  portion  de  droite  AB  en  aYan(:anl 
toujours  à  droite,  jusqu'au  point  B  cpii  représente  l'état  final.  En  ce 
point  on  a  x  ==  o,  c'est-à-dire  12  =  x  ;  autrement  dit,  le  satellite 
finira  par  tomber  sur  la  planète.  Beniarquons  que,  dans  ce  cas,  le 
satellite  circule  toujours  autour  de  sa  planète  dans  un  sens  inverse 
de  celui  de  la  rotation  de  celle-ci  (x  <C  o,  J  >  o). 


fi'.h  28. 

\ous  arriverions  à  une  conclusion  analogue  —  le  satellite  tomberait 
finalement  sur  la  planète  —  si  le  point  représentatif  (x,  y)  initial  était 
situé  entre  B  et  C,  car  alors  le  point  (x.  Y)  {fifJ.  27)  décrirait  la 
branche  de  courbe  G'B"  en  allant  toujours  vers  B".  Cette  fois,  les  deux 
mouvements  de  rotation  de  la  planète  et  de  circulation  du  satellite 
sont  de  même  sens  (x  >>  o,  y  >>  o)  ;  mais  puisqu'on  a 


c'esl-à-dire 


rV<  1, 


V  <  0- 


le  mouvement  angulaire  du  satellite  est  plus  rapiilc  (pie  celui  de  la 
planète  :  le  mois  est  plus  court  que  le  jour. 

Supposons  maintenant  que  le  point  représentatif  (x,  y)  soit  entre 
C  et  D  {fig-.  26).  Les  deux  mouvements  sont  alors  directs  (x  >  o, 
}'  >  o),  et  le  mois  est  plus  long  que  le  jour  (x'y  >  i)  :  c'est  le  cas 


140  iiiPOTiiiiSEs  cosMa(jO>'iQLi:s 

oflert  par  ic  système  Terre-Lune.  Alors  le  point  {x,  \  )  ifig.  '2')  dé- 
crira l'arc  CD'  en  marchant  vers  D'  puisque  \  décroît.  L'état  final  est 
représenté  par  le  point  D  de  la  courbe  de  rigidité  (/?//.  126),  pour 
lequel  les  deux  durées  de  rotation  et  de  révolution  sont  égales. 

Enfin,  si  le  point  représentatif  (x,  y)  était  situé  entre  D  et  E.  l'état 
final  serait  encore  le  point  D, puisque  le  point  {x,  \  )  {Ji'j-  27)  décri- 
rait alors  la  branche  E'D'.  Dans  ce  cas,  le  mois  est  toujours  plus  court 
que  le  jour  [x^y  <  i),  le  mouvement  du  satellite  est  toujours  direct 
(x  >  o),  mais  celui  de  la  planète  a  pu  commencer  par  être  rétrograde 
(j<o). 

Dans  le  cas  011  la  droite 

X  H-  y  ==  h 

ne  couperait  pas  la  courbe  de  rigidité,  la  figure  27  serait  remplacée 
par  la  ligure  2S.  L'état  final  serait  toujoius  le  point  IV  ou  B",  c'est- 
à-dire  que  le  satellite  finirait  toujours  par  tomber  sur  la  [)lanèle. 

La  plupart  des  satellites  connus  correspondent  au  cas  où  les  deux 
mouvements  sont  de  même  sens,  mais  avec  le  mois  plus  long  que  le 
jour  :  le  point  représentatif  {x,  y)  est  alors  (Ji<j-  2O)  entre  C  et  D. 

100.  l'^tudions  s[)écialement  le  sNstènie  Terre-Lune.  Pour  ce  sys- 
tème, on  a  les  valeurs  numériques  suivantes 

X  =  3,2,  y  =  0,8,  /(  ■=  l\, 

et  le  point  représentatif  se  trouve  dans  une  position  telle  que  P.  Ce 
point  se  déplace  lentement  vers  le  point  D  qui  représente  l'état  final. 
Si,  au  lieu  de  chercher  à  prévoir  l'avenir,  nous  remontons  dans  le 
passé,  nous  pouvons  dire  que  le  système  Terre-Lune  est  parti  de  l'état 
initial  représenté  par  C.  Dans  cet  élal  initial,  le  mois  égalait  le  jour  et 
leur  durée  comnnine  était  de  .")'', 30.  La  durée  du  mois  et  celle  du  jour 
se  sont  mises  ensuite  à  croître,  la  première  plus  vite  que  la  seconde, 
en  même  temps  que  la  Lune  s'éloignait  de  la  Terre.  Lorsque  l'étal 
final  D  sera  atteint,  le  mois  sera  redevenu  égal  au  jour,  leur  durée 
commune  étant  d'environ  55  jours  actuels. 

Cet  état  final  serait  définitif  si  la  Terre  et  la  Lune  existaient  seules. 
Mais  le  Soleil  produit  aussi  sur  la  terre  des  marées  qui  continueront 
à  retarder  sa  rotation  :  le  jour  et  le  mois  continueront  donc  à  croître, 
quoique  lentement,  et  la  Lune  s'éloignera  de  plus  en  plus  delà  Terre, 
qui  pourra  finir  par  perdre  son  satellite. 


TlIKOUin     DE     SIU    G.     It.     DARWIN  l4l 

Dans  lY'lat  Initial,  la  durée  Je  rcvolulion  de  la  Lune,  ,")'', oli,  était 
courte  et  par  suite  la  distance  de  cet  astre  à  la  Terre  était  faible  :  le 

calcul  montre  que  cette  dislance  était  de  2     rayons  terrestres.  Donc, 

d'après  les  idées  de  Sir  G.  I[.  Darwin,  la  Lune  aurait  pris  naissance 
tout  près  de  la  Terre,  et  son  orbite  se  serait  peu  à  peu  élargie  et 
dilatée.  Nous  remarquons  là  un  contraste  complet  avec  la  théorie  de 
Faye  selon  laquelle,  nous  l'avons  vu,  le  satellite  se  formerait  très  loin 
de  l'astre  central,  son  orbite  se  rétrécissant  [)eu  à  peu  h  mesure  que 
la  masse  de  l'astre  central  augmenterait  par  suite  de  la  condensation. 

101.  Dans  tout  ce  <|ui  précède,  nous  avons  regardé  G,  moment 
d'inertie  de  la  Terre,  comme  constant.  Or,  la  Terre,  en  se  contrac- 
tant par  suite  du  refroidissement,  diminue  de  volume  et  G  décroît. 
Nous  étudierons  un  peu  plus  loin  l'ellet  qui  en  résulte.  Gependant 
disons  dès  maintenant  que,  pour  la  Terre,  cet  elTet  paraît  [)eu  impor- 
tant et  ne  change  pas  beaucoup  l'allure  générale  des  [)hénomènes. 

102.  Pour  le  système  Terre-Lune,  le  point  représentatif  actuel  P 
{Jif/-  26)  est  assez  voisin  du  point  D,  puisque  x  =  3,2  est  sensible- 
ment plus  grand  que  y  =  0,8.  Par  conséquent,  ce  système  est  rela- 
tivement assez  près  de  son  état  final. 

Si  nous  nous  occupons  maintenant  des  systèmes  formés  par  les 
autres  planètes  et  leurs  satellites,  nous  constatons,  au  contraire,  que  le 

rapport  ~  se  trouve  être  extrêmement  petit.  Par  conséquent,  leur  point 

représentatif,  au  lieu  d'être  voisin  du  point  D,  est  voisin  du  point  G. 
Ges  systèmes  sont  donc  beaucoup  plus  près  de  leur  état  initial  que 
de  leur  état  final.  Gela  tient  à  ce  que,  pour  ces  systèmes,  la  masse  des 
satellites  est  extrêmement  faible  par  rapport  à  la  masse  de  la  planète; 
les  marées  sont  donc  peu  importantes  et  n'ont  pas  encore  eu  le  temps 
de  produire  un  effet  considérable. 

Pour  le  système  formé  par  le  Soleil  et  l'ensemble  des  planètes,  la 
masse  des  planètes  est  sans  doute  fort  petite  par  rapport  à  celle  du 
Soleil,  mais  les  rayons  de  gyration  sont  très  grands,  et  l'on  constate 

X 

que  le  rapport-  est  aussi  très  grand.  Il  semble  donc  que  ce  système 

doive  être  très  près  de  son  état  final.  Mais  cette  affirmation  ne  sup- 
porte pas  l'examen.  Les  planètes,  en  effet,  produisent  sur  le  Soleil  des 
marées  qui  retardent   sa  rotation  ;   et  c'est  de  ces  marées  qu'il  faut 


l/|a  HYPOTlIKïSliS    COSMOIJOMQUES 

tenir  compte  si  l'on  cherche  les  variations  de  la  rotation  du  Soleil. 
Mais,  inversement,  le  Soleil  produit  des  marées  sur  les  planètes,  et  ces 
dernières  marées  sont  beaucoup  plus  fortes  que  les  premières  :  leur 
effet  devrait  donc  s'être  produit  depuis  longtemps,  c'est-à-dire  que 
les  ]>lanètes  devraient  toujours  tourner  une  même  face  vers  le  Soleil, 
ce  qui  n'a  pas  lieu. 

III.  —  Cas  général. 

103.  Dans  l'exposé  qui  précède,  nous  avons,  pour  simplifier,  sup- 
posé nulles  l'excentricité  de  l'orbite  lunaire  et  l'inclinaison  de  cet 
orbite  sur  le  plan  de  l'équateur  terrestre.  Nous  allons  à  présent  nous 
affranchir  de  ces  hypothèses  et  entrer  dans  le  détail  de  la  théorie  de 
Sir  G.  II.  Daramn. 

Auparavant,  il  est  nécessaire  de  rappeler  quelques  points  de  la 
théorie  statique  des  marées  ('). 

Dans  celte  théorie  statique,  on  suppose  que  la  mer  prend  à  chaque 
instant  sa  forme  d'équilibre  :  la  surface  libre  de  l'océan  est  donc  une 
surface  de  niveau  relativement  à  la  somme  des  potentiels  de  la  gravité 
et  de  l'astre  perturbateur  qui  produit  la  marée. 

Le  potentiel  de  la  gravité  peut  se  représenter  par 


V,.  — 


!/^ 


Yo  désignant  la  valeur  constante  de  ce  potentiel  au  niveau  moyen  des 
mers  et  Ç  la  dénivellation  de  la  particule  liquide  superficielle  envi- 
sagée (-). 

Le  potentiel  dvi  à  l'astre  perturbateur,  nous  le  désignons  par  V,. 
Soient  m  la  masse  de  l'astre  perturbateur  L  (qui  sera,  par  exemple,  la 
Lune),  /•  sa  dislance  à  un  point  A  de  la  surlace  de  la  mer  {Ji(j-  29). 
ÎNous  avons 

(6)  V,  =  "^  . 


(')  Voir  M.  Levy  :  Leçons  sur  la  Tliéorir  drs  Marées,  t.  I,  cliap .  I  ;  et 
11.  l'oi:ic\Kiî  :  Leruiis  de  Mécanique  Célesle,l.  III,  Tliéorle  des  Marées,  chap.  l  et  111. 

(■-)  Dans  Vq  il  est  tenu  compte  de  la  force  centrifuge  qui  provient  de  la  rotation 
diurne.  Nous  négligeons  le  potentiel  dû  à  la  couche  d'eau  comprise  entre  la  sur- 
face moyenne  et  la  surface  vraie  des  mers. 


TilKOniE    DE    SIR    G.     II.     DARWIN  l'43 

Comme  nous  rapportons  les  points  de  la  mer  à  des  axes  de  coor- 
données invariahleinent  liés  à  la  Terre,  il  faut,  pour  pouvoir  regarder 
ces  axes  comme  fixes,  appliquer  à  chacpic^  point  A  les  Ibrces  appa- 
rentes dues  à  leur  mouvement.  Mais,  puiscpi'il  ne  s'agit  ici  que  de 
Téquilibre,  la  force  centrifuge  composée  n'intervient  pas;  il  ne  reste 
que  la  force  d'inertie  dans  le  mouvement  d'entraînement  du  point  A 


avec  les  axes.  La  Ibrce  [)rovenant  de  la  roUitiim  diurne  a  déjà  été  i)rise 
en  considération  dans  A,,.  Il  suffit  donc,  aux  forces  réelles,  d'ajouter 
la  force  d'inertie  due  à  la  translation  des  axes,  c'est-à-dire,  puisque 
l'origine  est  au  centre  de  la  Terre,  une  force  accélératrice  —  J  égale 
et  contraire  à  l'accélération  J  que  l'astre  perturbateur  tend  à  imprimer 
à  ce  point. 

Soient  J, ,  J,,,  J;  les  composantes  rectangulaires  de  J.  A  chaque 
point  A,  on  devra  appliquer  une  force  de  composantes 

—  J,,       —  Ir       —  J3  ; 

comme  ces  composantes  ne  dépendent  que  du  temps,  et  non  des 
coordonnées  x,  y,  z  du  point  A,  elles  peuvent  être  considérées  comme 
les  dérivées  partielles  de  la  fonction 

(7)  —  {3jX  -h  J,/V  H-  J^j)  =  —  Ja  cosi'J,  a), 

en  appelant  a  le  rayon  moyen  des  mers,  égal  sensiblement  à  la  dis- 
tance du  point  A  au  centre  T  de  la  Terre,  et  en  désignant  [)ar  (J,  a) 
l'angle  de  J  avec  le  rayon  TV.  Finalement,  en  écrivant  que  la  somme 
des  trois  expressions  (5),  (6)  et  (7)  est  égale  à  une  constante,  nous 
obtiendrons  l'équation  de  la  surface  libre  des  océans  rapportée  à  des 
axes  invariablement  liés  à  la  Terre  : 

^8)  Yg  —  y^  -+-  ^  i  —  J<ï  cos  (  J,  a)  =  const. 


I  la  IIYPOTIllOSES    COSMOGO'IQUES 

Telle  est  l'équation  qui,  clans  la  théorie  statique,  donne  la  dénivel- 
lation 'Ç.  Nous  allons  la  transformer. 

104.  L'accélération  J  que  la  Lune  L  imprime  au  centre  de  la  Terre 

T  a  pour  valeur  ^  ,  et  est  diri"-ée  suivant  la  droite  TL  =  o.  Donc 

'-  Q-  O  j 

l'angle  (J,  a)  n'est  autre  que  l'angle  désigné  par  7  sur  la  figure  29 
(c'est  la  distance  zénithale  géocentrique  de  la  Lune),  et  l'on  a 

Ja  cos  (J,  a)  =  ~r  cos  a. 

Comme  on  a 

/■^  =  a-  +  p^  —  2ao  cos  a, 

le  potentiel  Vi  dû  à  la  Lune  peut  s'écrire 

Vl  — 


[0-  -+-  a-  —  lao  cos  cr) 


m  I  2a  a- 

1  • cos  J  H-    ., 

0  0- 


m        am  a^m  3  cos'-a  —  1 

cos  0- 


p  p^  p-  2 


en  négligeant  les  termes  de  l'ordre  de  ~x  •  Nous  écrirons 


Vl  =  Uo  -}-  u,  +  u,, 


en  posant 


TT  m  Tj  am  ,,  a-m  ocos-cr — ^i 

Ug  =^  —  ,  Ui^=-„   COS  7,  Uo  ^ — ^ 


Par  suite,  nous  pouvons  écrire  l'équation  (8)  ainsi 

^0  —  f/C  H-  IJo  +  U^  =  const. 

Vq  et  Uq  =  -  étant  des  constantes  ne  dépendant  pas  du  point  A,  cette 
équation  nous  donne  finalement,  pour  la  dénivellation  ^, 

».       U2  .1  à^m  3cos^(T — r 

ç  =  —  -h  const.  T=z 1-  const, 

9  9   ?'  2 


TIIEOIIIE    DE    «lU    i;.     II.     DAinVlN  1^5 

La  constante  du  second  nienibio  se  déteiiuinerait  en  écrivant  que 
le  volume  total  de  la  met-  est  constant,  c'est-à-dire  que  l'inléj-'^rale 


Jï-"- 


étendue  à  tous  les  éléments  <h  de  la  surface  des  mers,  est  nulle.  On 
reconnaît  ainsi  que,  si  la  mer  recouvre  toute  la  surface  de  la  Terre, 
cette  constante  est  nulle,  et  l'on  a  alors  la  formule  définitive  de  la 
dénivellation  statique 

,  ,  „       U.,        I  a^in  Scos^T —  I 

(9)  ^  =  --"  = 


0        9    ?  2 

105.  Dans  la  théorie  statique,  on  ne  tient  pas  compte  de  l'inertie 
des  eaux  de  la  mer.  Dans  quelle  mesure  cela  est-il  léjjritime?  L'iner- 
tie, proportionnelle  à  l'accélération,  joue  un  nMe  dans  les  marées 
//  coiirle  période;  au  contraire,  pour  les  marées  à  lomjue  période. 
l'efTet  de  l'accélération,  c'est-à-dire  de  l'inertie,  est  négligeable.  Mais 
que  doit-on  entendre  par  longue  et  courte  période?  La  période  d'une 
marée  pourra  être  qualifiée  de  longue  ou  de  courte  suivant  que  cette 
période  sera  ou  ne  sera  pas  très  considérable  par  nipporl  à  la  période 
d'oscillalion  propre  de  la  mer. 

Par  conséquent,  si  la  période  d'oscillation  propre  est  tiès  courte, 
toutes  les  marées,  même  les  marées  semi-diurnes,  pourront  être  con- 
sidérées comme  étant  à  longue  période,  et  la  théorie  statique  s'appli- 
quera. Or,  si,  avec  Sir  G.  H.  Daramn,  nous  considérons  la  Terreaux 
époques  reculées  où  elle  était  entièrement  liquide,  nous  trouvons  que 
sa  période  propre  d'oscillation  est  elTectivement  très  petite  par  rapport 
à  la  demi-journée  :  il  est  donc  légitime  de  se  contenter  de  la  théorie 
statique. 

Au  contraire,  l'inertie  jouerait  un  rùle  important,  et  la  théorie  sta- 
tique deviendrait  tout  à  fait  insuffisante,  si  l'on  voulait  étudier  le 
mouvement  des  océans  actuels,  dont  la  période  propre  d'oscillation 
est  de  l'ordre  du  demi-jour. 

106.  Mais  si,  dans  le  calcul  de  l'action  des  marées  produites  par 
la  Lune  sur  la  Terre,  nous  pouvons  négliger  l'inertie,  nous  devons  en 
revanche  tenir  compte  de  la  viscosité,  puisque  ce  sont  précisément 
ses  effets  que  nous  voulons  étudier. 

PoiSCARt.  10 


£^(j  HYPOTHESES    COSMOGONIQUES 

Reprenons  la  formule  de  la  dénivellation  statique 
Uj I  a-ni  3  cos- j  —  I 

\9)  •  g  ^     p^  2 

Le  mouvement  de  l'astre  perturbateur  L  étant  connu  en  fonction  du 
temps  t,  le  troisième  membre  de  cette  formule  peut  cire  développé 
sous  forme  trigonométrique 

^    A  COS  a/, 

les  A  étant  des  fonctions  des  coordonnées  x,  y,  :  du  lieu  géogra- 
pliique  et  les  (/.  étant  des  constantes.  Nous  envisagerons  séparément 
chacun  des  termes  de  la  somme  ^  et,  pour  tenir  compte  de  la  vis- 
cosité, nous  ajouterons  au  second  membre  de  l'équation  qui  donne  'Ç 
un  terme  négatif  proportionnel  à  jj  .  L'équation  en  Ç  prend  ainsi  la 
forme 

t  =  A  COS  ai  —  k  -,    , 
dt 

ou  encore 

(10)  A- ^J  H- C  =  A  COS a<, 

/,•  étant  une  constante  proportionnelle  à  la  viscosité  du  liquide. 

Pour  intégrer  cette  équation  linéaire  à  second  membre,  nous  consi- 
dérerons l'équation  suivante  : 

(11)  A-^  +  C^Ae'^ 

où  /  désigne  l'imaginaire  \/ —  i,  et  nous  ne  conserverons  que  la 
partie  réelle  de  sa  solution.  Cette  solution  est  de  la  forme 

C  =  Ce'^'  ; 

en  la  substituant  dans  l'équation  (ii),  il  vient  pour  déterminer  C, 
l'équation 

G(l  H-  i/i-a)  =  A. 

Posant 

(12)  /va  =  lg£, 


TlIliOIUE     DE    Slll    (;.    II.     DMIWIN"  14" 

on  aura 

I  +  i  k%  =  I  4-  t  Ifr  £  = ; 

°  COSî 

par  suite 

C  =  A  cos  £«"''. 

El  l'inlégralc  de  l'équation  (  1 1)  est 
dont  la  partie  réelle 

^  =^   A   cos  t  cos     -Xt  E 

est  rintcgraie  cherchée  de  l'éqnalion    lo  . 

ÎSous  voyons  donc  que  l'efTet  de  la  viscosité  est  d'ahord  de  réduire 
l'amplitude  de  la  marée  dans  le  rapport  de  cos  £  à  i,  ensuite 
d'amener  pour  la  marée  un  retard  de  phase,  un  décalarje,  égal  à  ê. 

Si  l'astre  sur  lequel  se  produit  la  marée,  au  lieu  d'être  liquide  et 
visqueux,  était  solide  et  parfaitement  élastique,  nous  aurions  bien 
une  réduction  de  ranq)lilude,  mais  nous  n'aurions  pas  de  décalage. 
S'il  était  solide  et  visqueux,  nous  aurions  à  la  lois  une  réduction  de 
l'amplitude  plus  grande  que  cosc  et  un  décalage. 

107.  Reprenons  la  formule  112)  qui  définit  £ 
(12)  'g^  =  ''''• 

Si  la  viscosité  est  très  faible,  c'est-à-dire  si  k  est  très  petit,  l'angle  £ 
est  petit,  il  se  confond  sensiblement  avec  sa  tangente  et  il  est  pro- 
portionnel à  a,  c'est-à-dire  à  la  vitesse  de  la  marée  :  de  même  sin  :  et 
sin  2£  seront  proportionnels  à  a  ;  quant  à  cos  £  il  sera  presque  égal  à  1 . 
Au   contraire,    si   la   viscosité    était  très  forte,   /.•  serait    très   grand, 

tg£  aussi,  £  serait  voisin  de  -  ,  et  l'on  aurait  sensiblement 

^  2  kx 

dans  ce  cas,  sin  £  serait  très  sensiblement  égal  à  i;  cos£,  égal  alors 
à  cotgc,  serait  proportionnel  à     ,  et  sin  2£  =  2  sin£  cos£  serait  aussi 

proportionnel  à      • 


i4î 


lYPOTIIESES    COSMOi;ONI<^L"ES 


Dans  le  cas  actuel  devons- nous  considérer  la  viscosité  comme  faible 
ou  comme  forte?  >ious  devons  la  considérer  comme  fdihlc,  car  une 
substance  comme  la  poix   nous  donnerait,  si  nous  faisions  le  calcul, 

un  angle  s  très  petit  et  non  voisin  de  ^"  .  La  poix  doit  donc  être  consi- 
dérée, au  point  de  vue  qui  nous  occupe,  comme  un  corps  à  viscosité 
très  faible,  et  il  y  a  lieu  d'admettre  que  la  Terre,  à  l'époque  où  elle 
était  liquide,  n'oll'rait  pas  une  viscosité  incomparablement  su[)érieure 
à  celle  de  la  poix. 

108.  Revenons  à  la  formule  de  la  dénivellation  statique  . 

,  ,  „        Uo         I  a^in  ocos'-G- —  i 

'         9         tJ    ?  ^ 

et  indiquons  maintenant  comment  on  pourrait  développer  eiïeclive- 
ment  son  troisième  membre  sous  forme  trigonométrique. 

Représentons  sur  une  sphère  le  pôle  boréal  P,  le  lieu  géographique 
A  et  l'astre  perturbateur  L,  de  façon  à  former  un  triangle  sphé- 
rjque  PAL  (triangle  Pôle-Zénitli-Astre)  dont  les  trois  côtés  sont 

PA  =  â'         colatitude  du  lieu, 

PL  =  r)'         complément  de  la  déclinaison  de  l'astre, 

LA=  G"  distance  zénithale  géocentrique  de  l'astre. 

L'angle  APL  =  Jb  est  l'angle  horaire  de  l'astre  relativement  au  point 
A  où  on  étudie  la  marée.  La  formule  londamenlale  de  la  trigono- 
métrie sphériquc,  appliquée  au  triangle  sphérique  PAL,  nous  donne 
l'équation  suivante  : 

cos  ■j  =  cos  0  cos  o'  H-  sln  ^  sin  o'  cosili, 
d'où  nous  tirons 
cos^c7  =  cos-o  cos-o'-i-sin-o  sui-o -f- a  siiiocoso  snio  coso  cos^. 

2 

Si  nous  portons  cette  valeur  dans  la  formule  (()),  nous  voyons  que  'Ç 
contient  trois  sortes  de  termes  (')  : 


l'i  Z.  sera  fonclion  du  temps  par  l'iiilernu'diaire  de  p,  o'  et  .li.  Observons  que 
les  coordonnées  s  cl  o'  de  l'astre  varient  très  lentement,  tandis  (jue  son  angle 
horaire  JIj  varie  vite. 


Tiii:oi!ir;   de  sir. 


11.    DUS  WIN  149 


i"*  Des  termes  indqxiuLinls  de  l'angle  horaire  .1  :  ils  donncionl  les 
marées  à  longue  période  ; 

2"  Des  termes  en  cosaJl  dont  la  période  est  voisine  d'un  demi-jour: 
ils  donneront  les  marées  semi-fliiirnes  ; 

3°  Des  termes  en  cos.b  dont  la  période  est  voisine  d'un  jour  :  ils 
correspondent  aux  marées  (liurnes. 

Introduisons  les  éléments  usculalcursde  l'orbite  de  l'astre  L.  Soient, 
sur  la  sphère  céleste  (//^.  00),  E  le  plan  de  l'équateur  terrestre,  0  le 
plan  de  l'orbite  de   l'astre  troublant  L,   N   le  nœud   de  l'orbite  sur 


l'équateur,  A^  l'origine  des  longitudes  géographiques  intersection  de 
l'équateur  avec  le  méridien  de  Paris),  A'  l'intersection  de  l'équateur 
avec  le  méridien  du  lieu  géographique  A,  ttt  le  périgée  de  l'astre.  Nous 
avons 

A'Aq  = /o          longitude  du  lieu, 

AqN  ^=  X  angle  horaire  du  nœud  à  Paris. 

Nous  désignons  par  ^  l'arc  Nnr  égal  à  la  longitude  du  périgée  moins 
la  longitude  du  nœud  ;  et  par  /  la  longitude  moyenne  de  l'astre  dans 
son  orbite,  comptée  à  partir  du  nœud  N. 

Alors,  si  nous  développons  le  troisième  membre  de  la  formule  (g, 
autrement  dit  cos'c,  en  série  de  fonctions  trigonométriques  dont  l'ar- 
gument est  une  fonction  linéaire  du  temps  /,  nous  obtiendrons  des 
termes  tels  que 

(l3)  Al  COS    ay_  +  »-/„  -h  ^/  -f-  -^m). 

M  étant  une  fonction  des  coordonnées  du  lieu  A,  et  a.  ^b,  y  étant  des 


l50  HYPOTHÈSES    COSMOGOMIQLES 

entiers.  C'est  en  effet  des  quantités 

/.  +  Zo-        ^       ^ 

que  dépendent  les  coordonnées  horaires  de  l'astre  .i  et  r)'. 

Puisque  dans  l'expression  (i3),  /q  ne  dépend  comme  M  que  des 
coordonnées  du  lieu  A,  et  non  de  l'astre,  nous  l'isolerons  en  déve- 
loppant le  cosinus  sous  la  l'orme 

(i4)      cos  a/g  cos  (a/_  -f-  p/  -4-  vto)  —  sin  «/q  sin  {^.y  -}-  j3/  -h  ■^rs). 

Et  finalement  les  différents  termes  du  développement  trigonométrique 
de  Ç  seront  de  la  forme 

(i5)  AX  cos  (a'x,  +  ^/  -h  Y^  -H  /*■)• 

où  la  constante  //  vaut  o  ou  ±  - ,  suivant  que  l'on  prend  le  cosinus  ou 

le  sinus   qui  figure  dans  la   formule  (i4),  et  où  nous  désignons  par 
AX  le  coelficient  qui  dépend  des  coordonnées  du  lieu  géographique. 

De  quelle  nature  seront  ces  coefficients  y\X  en  tant  que  fonctions 
des  coordonnées  du  lieu  ?  Ils  seront  évidemment  des  fondions  sphéri- 
ques  du  second  ordre  comme  l'est  lui-même  le  troisième  membre  de 
la  formule  (9).  Nous  avons  désigné  chacun  de  ces  coefficients  par  un 
produit  AX  :  la  lettre  A  désigne  une  constante  numérique,  et  la  lettre 
X  une  fonction  sphérique  du  second  ordre  multipliée  par  un  nombre 
con\enable  de  telle  façon  que  l'intégrale 


X'-dc 


étendue  à  tous  les  éléments  de  surface  de  de  la  sphère,  ait  une  mente 
valeur  constante  K  pour  toutes  les  fonctions  sphériques  que  nous  au- 
rons à  envisager. 

Soient  x,  y,  :  les  coordonnées  du  lieu  par  rapport  à  trois  axes  rec- 
tangulaires invariablement  liés  à  la  Terre  et  passant  par  son  centre, 
l'axe  des  z  étant  l'axe  de  rotation,  le  plan  des  xz  étant  le  méridien  de 
Paris.  îSous  aurons  (en  prenant  pour  unité  le  rayon  terrestre  a) 

X  =  sin  0  cos  /„, 
y  =  sin  6  sin  /g, 
z  =  cos  0. 


TIIKORIE    DE    SIU    r..    M.     nUOVlN 


Les  fonctions  .,l.é.iqnes   X  '!"'-'™;'";'f  ^ 'l'"^,*",:' 'uP- 
gonomélriquo  du  troisième  memb.o  ,1e  la  formule  (9)  =onl 


vantes  (')  : 


T-  —  V"        sin-0 

± -L  ^=  cos  2-/( 

2  2 

sln''û 


.TV  =   sin  2/û, 

2 

.rr  =  sin  o  cos  o  cos  •/(,. 
yz  :=  sin  0  cos  0  sin  /q. 
x^^h^}'^  -  2:^  ^  ^_--^^cos^S^ 

Faisons  malmenant  quelques  remarques  sur  les  trois  entiers  a.  [%  '/• 

Tout  d'abord  on  aura 

a  =  0,1  on  2, 

suivant  que  le  terme  considéré  correspond  à  une  ---j^|-^^^^ 
riode    à  une  marée  diurne,  ou  à  une  marée  semi-dmrne.  cai,  dan 
rode,  ^^^"e  .  e  très  lentement  et  peuvent 

i::=s^:ot.e::nSi::e„fcons.i„.s.E„su 


est  nulle,  on  aura 


?  -h  ï  =  o, 


car  alors  les  deux  plans  E  et  0  (/,•  3o)  coïncident,  le  pomt  >  devient 
indéterminé,  et  les  seuls  angles  qui  interviennent  sont  7  -  -  et  /  • 
Par  suite,  dans  les  termes  indépendants  de  l'Inclinaison,  on  aura 

a  +  p  -+-  ï  =  o- 

Dons  les  termes  qui  contiennent  l'inclinaison  à  la  puissance  ),.  on 
verrait  facilement  que 

1  a  -f-  P  +  Y  1 


('    On  reconnaît  aisément  que  l'intégrale 

étendue  à  toute  la  sphère  a,   comme   nous   le  désirions,   la   même  valeur  K  pour 
toutes  CCS  fonctions  sphériques  X. 


l52  IIYPOTUKSrS    COS.MOGOUTQUES 

doit  être  au  plus  égal  à  1  et  de  même  parité  que  À.  Enfin,  dans  les 
termes  indépendants  de  l'excentricité,  w  n'intervient  pas,  on  a  donc 

Y  =  o; 

et  dans  les  termes  qui  contiennent  l'excentricité  à  la  puissance  ).,  on 
verrait  que  |  y  |  est  au  plus  égal  à  ).  et  de  même  parité  que  ).. 

Gomme  nous  ne  conserverons  dans  la  suite  que  des  termes  du  pre- 
mier ordre  au  plus  par  rapport  à  l'excentricité  e  et  à  l'inclinaison  /, 
nous  aurons,  dans  les  termes  indépendants  de  e  et  de  i, 

Y  =  G.  a  H-  p  =  o  ; 

dans  les  termes  en  e, 

Y  =  ±  I ,         a  -+-  p  -I-  Y  =  o  ; 
dans  les  termes  en  /, 

Y=:=:0,  a4-[3=drt, 

109.  liref,  nous  avons  prouvé  que  le  troisième  membre  de  la  for- 
mule (g),  qui  représente  (au  facteur  7  près)  le  potentiel  U^  générateur 
de  la  marée,  peut  se  développer  en  une  série  de  termes  de  la  forme  (i5)  : 

-^  =  V  AX  cos  (a/  4-  s/  -h  Y^  -+-  /O- 

g  j^  V     -  r  ; 

ce  que  nous  écrivons  simplement 

-2  =  y  AX  cos  G, 

en  posant  pour  abréger 

0  =  oL/  -f-  p/  +  Y"  +  /'• 

Si  nous  voulons  maintenant  tenir  compte  de  la  viscosité  comme 
nous  l'avons  fait  au  n"  106  (p.  i/|0),  nous  trouverons  que  ce  po- 
tentiel perturbateur  LU  produit  une  dénivellation 

(16)  ^  ~  5i  ^^-^  ^*^^  "  ^°^  (^  "■  ^)' 

oi'i  c  est  donné  par  la  formule 


TlIl'jOKlE     I>E    SIH    (;.     11.     nvRUIN  IJ*} 

(  ,.  représente  ici  la  vitesse  de  la    marée  que  nous  a[)[)elions  a  au 

n«  106)  ('). 

Nous  nous  proposons  de  clicrchcr  l'action  de  la  Terre,  uin>i  dé- 
formée par  la  marée  (i6),  sur  un  cor[)s  extérieur.  Pour  fixer  les  idées, 
nous  supposerons  que  la  marée  (i6)  est  [)roduite  par  le  Soleil  et  nous 
clierclierons  les  perturbations  que  cette  marée  solaire  (iG)  fait  subir 
au  mouvement  de  la  Lune. 

Les  quantités  /,  /,  ^  sont  donc  relatives  au  Soleil.  Nous  appellerons 
/.',  /',  to'  les  mêmes  quantités  relatives  à  la  Lune.  Comme  nous  cher- 
chons l'action,  sur  l'orbite  de  la  Lune,  du  bourrelet  soulevé  par  la 
marée  solaire  à  la  surface  de  la  Terre,  nous  introduirons  une  fonction 
perturbatrice  M'  qui  sera  le  potentiel  dû  à  l'attraction  de  ce  bourrelet. 


f"j-  •il- 

Soit  /•'  la  distance  de  la  Lune  L  à  l'élément  Ç'h  di\  bourrelet  (//'/.  ji). 
Nous  aurons  alors 

lintégrale  étant  étendue  à  toute  la  surface  de  la  sphère  terrestre. 

Nous    pouvons   développer    ,  comme  nous   avons   développé  -  au 
n"  104  (p.  i\'\)  et  écrire 

'  —  l  '   -+-  U'   -^  U' 

l,f   *-    0   ^^    '^    1      •       ^    i' 

L'o,  U',,   L  .,  étant  respectivement  des  fonctions  sphériques  d'ordre 
o,   I,  2,    par    rap[)ort  aux    coordonnées    du   lieu    <jréogra[)hique    A. 


('     Rappelons  qno  l'angle  t  est  très  petit  et  peut  être  confondu  avec  sa  tangente 
ou  son  sinus  (n°  107;. 


I04  11\P0TIU:SES    COSMOGO>'IQUES 

Comme  'C  est  lui-même  mie  Ibnclion  sphérique  du  second  ordre  par 
rapport  aux  coordonnées  du  même  point  A,  on  a 


Nous  avons  donc  simplement  pour  notre  Ibnclion  perturbatrice 

(17)  w^ffaiw.. 


Développons  U',  sous  forme  liigonométrique  de  la  même  manière 
que  nous  avons  développé  U^  un  peu  j^lus  haut  :  nous  aurons 

U;  =  _^'^"^'  cos  (a'//  +  f!7'  +  vV  +  //) 

a',  fj,  y'  étant  trois  entiers,  h'  étant  une  constante  égale  à  o  ou  à 
=t-,A'  étant  un  coefficient  numérique,  et  X'  une  Ibnction  sphé- 
rique du  second  ordre  telle  que  l'intégrale 

étendue  à  toute  la  sphère  ait  une  valeur  constante  donnée  K,  la  même 
pour  toutes  les  Jonctions  sphériques  \'.  Nous  éciirons  simplement 

(18)  U;  =  ^A'X'cosO', 

en  désignant,  pour  abréger,  par 

G'  =  a'//  ^-  p'/'  +  7'ttt'  +  h' 

l'argument  du  cosinus.  Alors,  d'après  (16)  et  (iS),  l'expression  (17) 
de  AV  peut  s'écrire,  en  faisant  sortir  du  signe  I  I  tout  ce  qui  ne 
dépend  pas  des  coordonnées  du  lieu  A, 

(  1 9)  W  =  V  A  A'  cos  t  cos  (0  —  t)  cos  0'  )  f  \X'  ch. 


Telle  est  l'expression  de  la  fonction  perturbatrice  dont  nous  avons 
à  chercher  l'action  sur  l'orbite  de  la  Lune. 


TIIKORIE    nE    Slll    i;.     II.     DAUWIN 


110.  Nous  appliquerons  la  niélhotle  de  la  variation  des  constantes. 
?^ous  commencerons  par  définir  la  position  de  la  Lune  par  un  sys- 
tème de  six  éléments  canoniques  ('),  Aux  trois  quantités  y'.ra',/',  nous 
adjoindrons,  pour  achever  de  déterminer  la  position  de  la  Lune,  les 
trois  suivantes  : 

r/  =  I  —  \/V 


I 

•    -,  ' 
2  sin-  - 

2 


a',  e',  i'  représentant  le  demi-grand  axe,  l'excentricité  et  l'inclinaison 
sur  l'équateur  de  l'orbite  lunaire. 

Le  vecteur  des  aires  a  alors  pour  valeur  (à  un  facteur  constant  près 
dépendant  des  niasses  et  dont  nous  faisons  abstraction) 


et  la  projection  de  ce  vecteur  sur  la  perpendiculaire  au  plan  de  1  équa- 
teur  a  pour  \aleur 

\/a'  \  \  —  e'-  cos  t"  =  ;'(i  —  t/)  (i  —  \x). 

Les  six  éléments 

r.     r(r-V).     ?'(!  -V)(i  -[-'),     l'-^',     ^'^     -  )•'- 
forment    un    système    de    variables    canonirjiies  '-)  entre    lesquelles 
existent  les  équations  de  HAMu/rox.  Nous  aurons  en  particulier 


dW 


dt  ~~  d{l'  —  m'y 

d[^'{l  —  V)'.  _  d^ 
\  dl  ~  dm'  ' 


/      ,  ;d[^{l—r^)\         d\S 

(20)  '  -t^-i -' — 


di-yy 


(')  ^oil•  H.  PoiNCARÉ  :  Lerons  de  Mécanique  Céleste,  l.  I,   Cliap.  III. 
(-)  Ce  sont  celles  t|iii  ont  clé  désignées  par 

L,     G,     e,     /,     g,    6, 

à  la  p.  -(]  fie  rOuvrage  de  M.  H.  Poincaré  :  Leçons  de  Mécanique  Céleste,  t.  I. 
Dans  les  trois  premières  de  ces  variables,  nous  faisons  abstraction  d'un  même 
facteur  constant  où  fisurent  les  masses  de  la  Terre  et  de  la  Lune. 


i56 


HYPOTIIKSES    COSllOr.OMOUES 


Telles  sont  les  équations  auxquelles  nous  conduit  l'application  de 
la  méthode  de  la  variation  des  constantes,  pour  calculer  les  pertur- 
bations des  éléments  lunaires  sous  l'action  de  la  fonction  perturba- 
trice AA. 

111.  Le  calcul  qui  précède  est  relatif  à  l'action,  sur  l'orbite  lu- 
naire, du  bourrelet  liquide  soulevé  sur  les  océans  terrestres  par  la 
marée  solaire.  ?Se  pourrait-on  pas  appliquer  le  même  calcul  à  l'action, 
sur  l'orbite  lunaire,  du  bourrelet  liquide  soulevé  par  la  marée  lunaire 
elle-même?  On  le  peut  certainement,  mais  à  condition  de  prendre 
quelques  précautions  :  -/',  ro',  /'  devenant  alors  égaux  à  /,  w,  l,  la 
fonction  perturbatrice  W  se  trouve  dépendre  de  la  variable  -/  de  deux 
manières  différentes  :  elle  en  dépend  par  '/et  ensuite  par  -/'.  Dans  le 

calcul  de  -ï-7  ,  il  faut  donc  supposer  d'abord  '/'  ;zf  /,  puis  dériver  W 

par  rapport  à  "/',  et  enfin  faire  /  =  '/'•  Les  mêmes  précautions 
doivent  être  prises  dans  le  calcul  des  autres  dérivées  de  W.  En 
d'autres  termes,  il  faut  distinguer  la  Lune  en  tant  qu'astre  troublant 
producteur  des  marées  et  en  tant  qu'astre  troublé  par  ces  marées. 
C'est  ainsi  que  Sir  G.  II.  Dakwix  appelle  notre  satellite  Diane  quand 
il  est  troublant  et  Lune  quand  il  est  troublé  :  alors  '/,  w,  /,  sont  les 
coordonnées  de  Diane,  /',  w',  /',  sont  les  coordonnées  de  la  Lune,  et 
l'on  a 

y'  =  -/,        Tir'  =  rn.        /'  =  /. 

Moyennant  cette  précaution,  notre  analyse  s'applique  à  l'action  des 
marées  lunaires  sur  la  Lune  elle-même. 

112.  Nous  reprendrons  donc  les  formules  {•lo),  et  comme  nous  ne 
nous  occupons  que  des  elTets  séculaires,  nous  ne  conserverons  aux 
seconds  membres  que  les  termes  constants  indépendants  du  temps  /. 
Nous  avons  d'après  la  formule  (ig) 

(20'""')     •  'l~  =.  —  V  A  A'  ros  i  cos  (0  —  s)  (y'  -h  'p')  sin  0'  /  /  XX'  (/t. 

jrzm)  =      "^^  A  A'  cos  £  cos  (0  —  i)  a'  sin  0'   M  XX'  ch. 


TiiicouiE   DE   sut  i;,   ii.    rmiwiN 


Dans  ces  cxpicssloiis,  le  temps  ne  (lyuie  que  clans  le  produit 

cos  (0  —  h)  si  11  0', 
produit  qui,  dével(j[)|)é,  rournil  des  termes  en 


et  des  termes  en 

cos 
sin 


;o  +  ()'). 


Nous  aurons  donc,  aux  seconds  membres  des  expressions  ("io),  un 
terme  indépendant  de  /  chaque  (bis  que  5  —  d/'  ou  5  H-  ^'  se  réduira 
à  une  constante.  Comme  \J  +  ■;'  n'est  jamais  une  constante,  les  termes 
séculaires  correspondent  à 

0  —  '/  :=  const., 
c'est-à-dire  à 

(/6        t/f)' 


(21) 


dl         dt 


Si  l'astre  troublant  et  l'astre  troublé  sont  différents,  celte  condition 
n'est  jamais  remplie  ('),  car  le  rapport  des  moyens  mou\ements  de 
ces  deux  astres  n'est  pas  commensurable.  Nous  [)ouvons  donc  dire 
que  la  marée  solaire  ne  produit  pas  d'etTet  séculaire  sur  Torbite 
lunaire. 

Mais  si  l'astre  troublant  et  l'astre  troublé  sont  identiques,  la  con- 
dition (2  1)  est  remplie  chaque  lois  que  6  =  0'  et  n'est  remplie  que 
dans  ce  cas  :  on  a  alors 

cos  (0  —  s)  sin  0'  =  '  sin  (0'  —  0  +  s)  +  '  sin  fe'  +  0  —  t), 

2  ^  '2  ^  ^ 

qui  donne  le  terme  constant 

^  sin  (0'  —  0  +  ç)  =.  ^  sin  t. 


(')  Excepté  pour    les  termes  sidéraux.  Ces  termes  sidéraux  n'ont  d'ailleurs  d'in- 
fluence que  sur  l'inclinaison,  et  cette  influence  est  faible. 


l58  HÏPOTIlîvSES    COSMOGOMQUES 

Les  seconds  membres  des  formules  (20'"'),  dans  lesquels  on  ne  con- 
serve que  les  termes  constants  indépendants  de  /,  deviennent  donc 

V  AA'  ^  «' j  j^XX'rf,. 

Nous  pouvons  maintenant  elTacer  les  accents  «  prime  »  devenus  inu- 
tiles, puisque  tout  se  rapporte  au  même  astre,  la  Lune.  Nous  remar- 
quons que  le  facteur 

est  /('  même  pour  tous  les  termes,  puisque  nous  avons  eu  soin  de 
choisir  les  fonctions  spliériques  X  de  façon  que  cette  intégrale  ait 
toujours  la  même  valeur  constante  K  (note  de  la  p.  i5i).  Nous  n'écri- 
vons donc  pas  ce  facteur,  qui  est  le  même  partout  (quitte  à  le  rétablir 
plus  tard),  et  les  formules  (20'"')  prennent  la  forme 

Rappelons-nous  que  l'angle  z  est  très  petit  et  que  par  suite  sin  2  2 

,  ,  .        -     1-       •.  I       •  11  '    do    ^ 

est  proportionnel  a  tang  s,  c  cst-a-du-c  a  la  vitesse  de  la  marec   ■  .  Ur, 

(/O  _        dy  dl  dm 

dl^'^tl^^  dl  "^  "^   (//  ' 


et  i'oii  a 


d/ 

dl  =  " 

(// 

dm  ,   ,   , 

r=:  O         a  très  peu  pros. 
dl 


vitesse  angulaire  de  rotation  de  la  Terre, 
vitesse  angulaire  de  révolution  de  la  Lune. 


I 


Tiii:oniE  DE  sin  n.   ii.  D.vnwiN  lOf) 

Par  suite,  dans  les  formules  (20'-'),  nous  pouvons  remplacer  sin  2  c 
par 

a/l  -+-  p.i 

(jui  lui  est  pioporlionnel. 

Finalement  les  formules  (20),  dans  lesquelles  on  ne  conserve  que 
ce  qui  est  relatif  aux  ternies  séculaires,  sont  devenues 


Ces  dernières  formules,  par  un  calcul  imincdial,  nous  fournissent  les 
suivantes  : 


22)  ;  '  777'  =  —  S  -^'^'^  +  ^'î^)(*"  +  P--)' 


[   I  ^T  =        ^  A-(a  +  ^  —  !^?)(3"t  +  ,3i>)  -h  termes  en  r,. 

Ces  trois  formules  vont  nous  permettre  de  calculer  les  variations 
séculaires  du  grand  axe,  de  l'excentricité  et  de  l'inclinaison  de  l'orbite 
lunaire,  provoquées  par  le  bourrelet  liquide  de  la  marée  lunaire  elle- 
même.  Dans  la  troisième  de  ces  fornmies  (22),  qui  nous  servira  à 
calculer  la  variation  de  l'inclinaison  (a  =1  —  cos  /),  nous  néglige- 
rons les  termes  en  r^ ,  car 

■t\  =  1  —  v/i  —  e- 

s'annuleavec  l'excentricité,  et,  dans  le  calcul  relatif  à  l'inclinaison,  nous 
pouvons,  en  première  approximation,  supposer  l'excentricité  nulle. 

113.  Les  seconds  membres  de  (22)  sont  des  sommes  de  termes^ 
dont  chacun  provient  d'un  des  termes 

(i5)  AX  cos  (a/_  ~h  '^l  ^  Y^  -+■  /')  =  AX  cos  6 

en  lesquels  on  a  pu  décomposer  le  potentiel  U^  producteur  de  la  marée 
lunaire.  Parmi  ces  termes,   nous  ne  conserverons  ici  que  ceux  qui 


l6o  lIYrOTIltsES    COSMOGOMI^UES 

sont  du  premier  ordre  au  plus  par  rapport  à  rexcentricilé  e  et  à  l'in- 
clinaisou  .  La  théorie  des  marées  (')  nous  enseigne  que  ces  termes 
sont  les  suivants  : 

Termes  semi-diurnes  : 
ÇSl^)  =        cos  (2/  -+-  2/0  —  il)  (principal  senii-diurnc), 

(N)  =:         ^ cos  (2/  +  2/0  —  31  -\-  w)     (elliptique  majeur), 

/T  -               e  sin-  0  .  ,  ,         /  11-    ,•  •  N 

(L)  =  —      cos  (2/  +  2/n  —  /  —  ra)         (cilq)tique  mmcur)  ; 

Termes  diurnes  : 
(0)    =   siu       sin  20  cos  (/.  +  /o  —  2  /  -h  -  j   (principal  diurne), 
(Kj)    ^=    siu       siu  20  cos  f  /  H-  /u  —    "  )  (sidéral); 

Terme  à  longue  période  : 
[M,„)  ^.  ~  (i  —  a  cos^  0)  cos  (/  —  TTî)  (elliptique  mensuel). 

Ces  six  termes  sont  ceux  que  nous  conserverons  dans  U^  (seul  le 
premier  (AI^)  est  indépendant  de  e  et  de  /). 

114.  Tels  qu'ils  sont,  ces  six  ternies  ne  sont  pas  tout  à  fait  de 
la  forme  (1 5)  (puisque  Zq  figure  dans  l'argumenl)  ;  or,  il  convient  de 
les  rendre  de  cette  forme. 

1°  Les  trois  termes  semi-diurnes  sont  de  la  forme 

{sd)  B^^cos(2/o  +  0), 

qui  peut  s'écrire 

,     siu-   0  nu   ^i""   "■'     •  fa 

\i  cos  2/_„  cos  0  —  13  SIU  2/0  cos     G  — 


(')  Voir  Maurice  Lévy  :  Leçons  sur  la  Ihcorie  des  Marées  t.  I,  Cli.  III,  et 
H.  PoiNCAnÉ  :  Leçons  de  Mécanique  Céleste  t  III,  Théorie  des  Marées,  Ch.  II.  Nous 
faisons  ici  abstraction  d'un  facteur  constant,  le  mente  pour  tous  les  termes.  Et  nous 
laissons  de  côté  les  termes  éveclionnels  et  variationnels,  bien  qu'ils  ne  contiennent 
e  qu'à  la  puissance  i  ou  o,  [)arce  qu'ils  se  trou\cnt  alTectés  de  coefficients  numé- 
ricpies  très  petits. 


THÉORIE    DE    sni    G.    11.     D\RWi:«  l6l 

or, 


sin'^  0  X-  —  y^ 

et 


COS  37n 


sin-  0    . 

— ^  sin  2/„  =r  o-j 

sont  justement  des  fonctions  spliérkjiies  \  qui  donnent  à  l'intégrale 

la  valeur  K  (note  de  la  p.  i5i).  Donc  chaque  terme  semi-diurne  (sd) 
fournit   deux  termes   de  la   forme  (i5)  ayant  respectivement   pour 

coefficient  B  et  —  l>,   et  pour  argument  0  et  S  —  -.    Par   suite, 

chaque  terme  semi  diurne  fournit  aux  seconds  membres  des  formules 
(22)  deux  termes  égaux,  pour  lesquels  on  a 

\-  =  B2. 

2°  Les  deux  termes  diurnes  sont  de  la  forme 

(t/j  B  sin  -2  0  COS  (Xo  +  6), 

ce  qui  peut  s'écrire 

r,  sin  20                                „  sin  20    .                 /          -\ 
2  B COS  •/(,  COS  6  —  2  B  sm  /q  cos  (  6 1  ; 


or, 


et 


sm  2  0 

— --  COS  Xo  =  xz 


sin  2  0    . 

— r—  sin  Xo  =  )'. 


sont  justement  des  fonctions  sphériques  X  qui  donnent  à  l'intégrale 

X^  f/- 


la  valeur  K.  Donc  chaque  terme  diurne  {d}  fournit  deux  termes  de  la 
forme  (i5)  ayant  respectivement  pour  coefficient  2B  et  —  2  B_,  et 


PoiNCARK. 


i6a 


HYPOTHÈSES    COSMO<;OSIQfES 


pour  argument  0  et  S  —  -' .  Par  suite,  chaque  terme  diurne  fournit 
aux  seconds  membres  des  formules  (>'i;  deux  termes  égaux,  pour 
lesquels  on  a 

3»  Le  terme  à  longue  période  est  de  la  forme 

„  I  —  3  cos-  0 

B cos  0  ; 


et,  comme 


3  co%-  0        a-2  +  y 


2  _U  v2  O  -2 


2\/3  2\/3 

est  une  fonction  sphérique  X  donnant  à  l'intégrale 


X^da 


la  \aleur  K,  ce  terme  est  de  la  forme  i5),  ayant  pour  coefilcient 
Bv/3-  Il  donnera  donc  aux  seconds  membres  des  formules  (22)  un 
seul  terme  pour  lequel  on  aura 

Comme  cliacjue  terme  diurne  ou  semi-diurne  en  fournit  deux 
éo-aux  dans  les  seconds  membres  des  formules  (22),  tandis  que  le 
terme  à  longue  période  n'en  fournit  (\\\un  seul,  il  v  a  lieu  de  multi- 
plier par  2  la  quantité  A"  relative  à  chaque  terme  diurne  ou  semi- 
diurne.  Au  lieu  de  cela,  nous  diviserons  par  2  la  quantité  A-  relative 
au  terme  à  longue  période  ('),  pour  lequel  on  devra  prendre,  par  con- 
séquent, 

3B^ 


A-  = 

2 


115.  Bref,  si  nous  prenons  les  six  termes 

CM,),       (X),       (L),       (O),       (K,)       ,M, 


■')  Cela   revient  à   faire  abstraction,  ainsi  que    nous  l'avons  déjà  fait  plusieurs 
fois   d'un  mcine  facteur  constant  aux  seconds  membres  des  équations  (22  . 


TiiEOuiE  Di;  «m   i;.  ii.    dauwin 


16} 


nous  pouvons  former  le  tableau  suivant  à  tlouhle  entrée 


a 

? 

A^ 

a/i  -(-  'it> 

— ,'— f.> 

ï-f  .3— ;i? 

Terme  (M^) 

3 

—  2 

■' 

■ 

■1  n  —   -  ii 

"  r, 

X  a 

Terme  (N) 

a 

—  3 

1 

'l'.l 

fi 
i. 

■i  n  —  ;5  fJ 

—  ■ 

» 

Terme  (L) 

2 

—  1 

-  ■ 

1 

2/1  —  a 

' 

» 

'l'erme  (Oj 

I 

—  2 

0 

2  ;j. 

u  —  an 

» 

—  1 

Terme  fKi) 

I 

- 

'• 

2  ;j. 

fl 

» 

■ 

Terme  (M„.) 

0 

1 

—  I 

W  r, 

Q. 

I 

» 

Pour    le    calcul   des   quantités   A^   t'^  a  été  remplacé   par    2/;  et 

sin-  .^  par  -.   Dans  les  deux  dernières  colonnes  on  n'a  conservé  les 

termes  en  r,  et  en  a  que  pour  le  terme  principal  (M^).  Enfin,  dans 
l'avant  dernière  colonne,  on  ne  s'est  pas  occupé  des  termes  (0;  et  (K,) 

(|ui  contiennent  sin  ^  en  facteur;  dans  la  dernière  colonne,  on  ne 
s'est  pas  occupé  des  termes  (N),  (L)  et  (M„,)  qui  contiennent  e  en 
facteur;  car,  pour  le  calcul  des  variations  de  l'excentricité,  nous  sup- 
posons l'inclinaison  nulle  et,  pour  le  calcul  des  variations  de  l'incli- 
naison, nous  supposons  l'excentricité  nulle. 

116.  Le  Tableau  précédent  fournit  tous  les  éléments  nécessaires 
pour  calculer 

dr  'dJ'  '^dT 

au  moyen  des  formules  (22).  Nous  trouvons  ainsi 
di 


=  ( —  Z|/i  H-  4ii)  -f-  termes  en  r,  et  en  tji, 


Il 

-^J  =  -ir.hn  —  2l>)  —  ^jr,{2n  —  3l2)  +  --rX-^n  —  o)  -f-  3r.lJ, 


idiJ. 
^dt 


(m 

-TT^=   5^(2/1   2  il)   2|Jl(/t 


2  12; 


2  an. 


i64 


lIYPOTIlliSES    COSMOGOMIQUES 


Ces  trois  formules  s'écrivent  (en  négligeant  an  second  membre  de 
la  première  les  termes  en  rj  et  u.  a  côté  du  premier  terme  qui  est  fini) 

(23)  ^^;^,;  =  -«,,  + 7..., 

1  [x     al 

Rappelons-nous    que    nous    avons   lait   abstraction,    aux    seconds 
membres  des  formules  (20)  ou  (22),  d'un  même  facteur  constant.  Ce 

facteur,  il  est  facile  de  le  voir,  est  négatif.  Désignons-le  par  —  t  ,  et 
rétablissons-lc  maintenant  dans  les  formules  (23)  qui  deviennonli 
ainsi 


dt 

dn 
^  dt 


=  k{n  —  il), 

V  [J.      dt 

Au  lieu   de   conserver  les  variables  -^  et  11,  introduisons  l'excentricité 
e  et  l'inclinaison  /  :  nous  avons,  à  des  termes  près  d'ordre  supérieur,. 


.   ,  t         i- 
a  =  2  sin-  -  =  — , 
2         2 


et  par  suite 


I 

'0 

dr, 
dt    - 

1  de 
^  ë  dt' 

1 

dix 
dJ- 

_  -j  di 
~  i  dt  ' 

Les  équations  (2/1)  s'écrivent  donc 

(.5)  ^Ç^^  =  'f  {,,„_, 8.). 

.  di  Id 

'dt  =  -2"- 


TMLOIUE    DE    SIR    C.   M.    DVUWIN 


105 


Ces  dernières  cqualions  donneront  les  variations  du  grand  axe,  de 
l'excentricité  et  de  l'inclinaison  de  l'orbite  lunaire  par  suite  de  l'effet 
des  marées. 

117.  Nous  voulons  aussi  calculer  la  variation  de  la  vitesse  angulaire 
n  de  rotation  de  la  Terre.  Nous  nous  servirons  pour  cela  du  théorème 
des  aires.  Dans  la  Section  II  de  ce  Chapitre,  nous  avons  posé 


et  l'équation  des  aires  nous  a  donné  (n"  98) 

(;i)  X  -h  Y  =  II. 

En  vertu  de  la  Iroisièmo  loi  de  Képleu,  x  est  proportionnel  à  la 
racine  carrée  du  grand  axe,  c'est-à-dire  à  ce  que  nous  appelons  ici  £. 
Donc,  en  adoptant  des  unités  convenables,  cette  équation  (3)  peut 
s'écrire 


Mais  cette  équation  n'a  élé  établie  qu'en  supposant  nulle  l'incli- 
naison de  l'orbile  lunaire  sur  l'équateur,  hypothèse  que  nous  aban- 
donnons ici.  Représentons  {/}(/.  .Sa)  par  0  le  plan  de  l'orbite  lunaire, 


fifj.    32. 

par  E  celui  de  l'équateur  terrestre,  et  par  Yl  le  plan  invariable  (plan 
du  maximum  des  aires). 

-Modifiant  im  peu  les  notations  précédentes,  nous  appellerons  i  l'in- 
clinaison de  lorbile  sur  le  plan  invariable  et  j  linclinaison  de  celui- 
ci  sur  l'équateur. 

Le  théorème  des  aires  donne  alors  les  deux  équations  suivantes  : 

E  co.si  H-  n  cosj  =  h, 
:  sin  i  —  n  sin  j  =  o. 


l66  IIYPOTIIKSES    COSMOGOMQLES 

Les  angles  /  et  j  étant  supposés  petits,  ces  équations  s'écrivent  appro- 
ximativement 

(     jn  =  ic. 

Ces  équations  nous  serviront  à  calculer  les  variations  des  éléments 
terrestres  n  et  j,  puisque  les  variations  des  éléments  lunaires  |  et  / 
sont  données  par  les  équations  (25).  Nous  aurons  d'abord 

(^7)  -„  =  -  s,--  =  -  /.■('.  -  "). 

Ensuite,  puisque  nous  appelons  maintenant  /  -+-  i,  ce  qui.  dans  les 
équations  (25),  est  désigné  simplement  par  /,  nous  devons,  dans  la 
troisième  équation (25),  rem[)lacer  /  par  j  +  /  (di  n'étant  pas  changé)  ; 
cette  équation  devient 

Alors  la  seconde  équation  (2 G)  donne 


.  dn  dj .  (/:         ^  di 

^  dt  '^'  "  dl^'Jt'^'^  Il  ' 


d'où  nous  tirons 


(29)  "|/J  =  2   ('+j)   ("—  212). 

118.  Hennissons  dans  un  tableau  les  deux  [)rcmières  équations  (25) 
et  les  équations  (27),  (28)  et  (2<))  : 

'       dt=^'^"-'^' 

du  , 

^,=-/.(.-i2), 

(30)  {    ^^^    =^^   (lI»-I.So). 

C'est  de  ces  écpialions  que  nous  allons  tirer  les  varialions  des  élé- 
ments. 


THtOIUE    DP    Pin    n. 


167 


119.  Kemarquons  d'abord  que  les  deux  premières  ne  contiennent 
ni  r,  ni  /.  l-]llcs  donnent  les  variations  de  la  rotation  terrestre  et  de  la 
distance  niovennc  de  la  Lune.  Ce  sont  ces  variations  que  nous  avons 
discutées  en  détail  dans  la  Section  II.  Rappelons  les  résultats  de  cette 


Jig.  Où. 

discussion.   Prenant  pour  abscisse  |  et  pour  ordonnée  n  {Ji'J-  33), 
nous  traçons  la  droite 


+  n  =  h, 


et  la  courbe  de  rigidité 


qui  coupe  la  droite  en  deux  points  G  et  D.  Le  point  représentatif 
(|,  n)  du  système  Ïerre-Lune  est  parti  de  G,  état  dans  lequel  le  jour 
et  le  mois  étaient  tous  deux  égaux  à  5''36"'  ;  actuellement,  ce  point 
représentatif  est  en  P  (c.  =  0,2,  n  =  o,(S)  ;  et  l'état  final  sera  repré- 
senté par  D,  où  le  jour  redeviendra  égal  au  mois,  leur  durée  com- 
mune étant  de  55  jours  actuels. 

120.  Passons  maintenant  à  la  variation  de  l'excentricité  c  donnée 

par  la  troisième  équation  (3o).  Il  s'agit  de  savoir  si  j^   est  positif  ou 

négatif,  pour  reconnaître  si  l'excentricité  e  croît  ou  décroit.  Or,  le 

de 
signe  de  -n  dépend  du  signe  de  l'expression 


i8o. 


l()8  HYPOTHÈSES    COSMOGO>inLES 

Si 

lin  —  i8i>  >■  o, 

l'excentricilé  croît.  Si,  au  contraire, 

lin  —  1 8  <>  <;  o, 

l'excentricité  décroît.  Traçons  sur  la  figure  33  la  courbe 

un  —  i8  ti  ^  o, 
c'est-à-dire  la  courbe 

I  I 

Cette  courbe   (représentée  en  trait  ponctué)  coupe  la  droite  AP]  en 
deux  points  C  et  D'. 

Lorsque  le  point  représentatif  (H,  n)  parcourait  le  segment  de  droite 
ce,  on  avait 

.,  ^  18 

c'est-à-dire 

lin  —  1 8  n  <  o  ; 

l'excentricité  a  donc  commencé  par  décroître. 
En  P    état  actuel),  on  est  entre  C  et  D',  par  suite 

un  —  1 8 1>  >•  o , 

et  l'excentricité  est  en  train  de  croître. 

Enfin,  lorsque  le  point  représentatif  parcourra  D'D,  l'excentricité 
recommencera  à  décroître. 

Si  l'on  trace  la  courbe  (fty.  ofi)  qui  représente  les  variations  de 
l'excentricité  e  en  Ibnction  de  ç  (ce  qui  est  possible  puisqu'on  con- 
naît l'état  actuel  P),  on  constate  que  cette  courbe  présente  une  asym- 
ptote verticale  correspondant  à  l'abscisse  du  point  C  et  que  l'excen- 
tricité c  passe  par  un  minimum  en  C,  par  un  maximum  en  D',  ])uis 
décroît  ensuite  jusqu'au  point  final  D  où  elle  s'annule. 

Il  ne  faudrait  pas  croire  que  l'asymptote  verticale  signifie  que 
l'excentricité  a  été  initialement  très  grande.  Les  équations  (3o),  en 
eiTct,  supposent  essentiellement  e  très  petit  et  cessent  d'être  appli- 
cables dès  que  e  devient  grand. 


TlIKOniE    ME    5in    <;.  II.    DAinvIN  MlÇ) 

D'ailleurs,  ce  n'est  pas  ainsi  cpie  le  problème  se  pose.  Supposons 
que  l'excentricilé  e  ail  été  initialement  nulle,  la  Iroisirme  équation 
(3o)  donnerait 

de 

donc 

e  r=  o 

est  une  solution  :  elle  correspond  à  une  orbite  circulaire  restant  indé- 
iiniment  circulaire  (').  L'important  est  de  savoir  si  celte  solution  est 


f'O-  3i. 

stable  ou  inxlahlc.   Supposons  que  e  ail  subi  une  petite  variation  :  la 
troisième  équation    3o   étant  de  la  forme 

de        y. 

la  solution 

e  =  o 

sera  stable  ou  instable,  suivant  que  ■NI,  c'est-à-dire 

1 1  n  —  i8t>, 

sera  négatif  ou  positif. 

Donc,    tant  que   le    point  représentatif  [J"J-  33    est  situé  entre  G  et 

C,  la  solution 

e  =  o 

est  stable  :   l'orbite  reste  circulaire.  ^lais  à  partir  du  point  C  celte 
solution   devient  instable,  et  l'excentricité,   avant  cessé   d'être   nulle 


M,  Cf.,  n"  97. 


lyO  HYPOTIIliSES    COSMOGONIQLES 

par  suite  d'une  pelite  perturbation  quelconque,  croît  jusqu'en  D'  ; 

de 
puis,  à  partir  de  là,     ,.  devenant  négatif,  elle  décroît  jusqu'en  D  où 

elle  s'annule. 

La  courbe  représentative  de  l'excentricité  (y/7.  34)  se  composerait 
ainsi  de  la  portion  de  droite  cC  et  du  morceau  de  courbe  CDD. 

Par  suite,  le  Jait  qu'actuellement  l'orbite  lunaire  est  excentrique 
n'implique  pas  Ibrcément  qu'à  l'origine  l'excentricité  était  difTérente 
de  zéro  :  le  frolLcment  des  marées  a  pu,  d'après  Sir  G.  H.  Darwin, 
faire  naître  une  excentricilé  qui  n'exislail  pas  inUialemeiit. 

121.  Etudions  maintenant  les  variations  des  inclinaisons  /  et  j, 
données  par  les  deux  dernières  équations  (00).  Gomme  ce  qui  nous 
intéresse  c'est  l'angle /+j  que  fait  l'orbite  avec  l'équateur,  nous 
ajoutons  ces  deux  équations  :  il  vient 

,0   \  d(i-]-  j)        k  ,.        .,   /  12 


Donc  (/  4- J)  croîtra  ou  décroîtra  suivant  le  signe  de  la  quantité 


Remplaçant  n  par  1i  —  ç,  cette  quantité  s'écrit  (au  facteur  positif 
n'z^  près) 

—  2\'  +  3/if  —  h'^  —  2; 

ce  polynôme  en  |  présente  deux  variations  de  signe  ;  il  a  donc  au  plus 
deux  racines  positives.  Dans  le  cas  de  la  Lune,  il  a  elfectivement 
deux  racines  positives  qui  correspondent  aux  abscisses  de  deux  certains 
points  G"  et  D'  situés  entre  G  et  D  {/kj.  33). 

jNous  pouvons   donc  faire  pour   l'inclinaison  la  même  discussion 
que  pour  l'excentricité.  Nous  avons  pour  l'équation  (3i)  la  solution 

Gctte  solution  est  stable  lorsque  le  point  représentatif  est  entre  G  et  G"  ; 
elle  devient  instable  entre  G"  et  D".  Si  donc  nous  partons  d'un  état 
initial  où  l'inclinaison  /  -+- /  est  nulle,  l'inclinaison  restera  nulle  au 
début;  puis,  lorsque  le  point  représentatif  sera  arrivé  en  G',  si  elle 
cesse  d'être  nulle  par  suite  d'une  petite  perturbation  quelconque,  clic 


TMiiouiE  nr  siii 


II.      IIMIWIN 


au^Miicnlcra  jusqu'en  D  ;  ensuite  clic  diminucia  jusqu'en   D  où  elle 
s'annulera  de  nouveau. 

Nous  voyons  donc  (|ue  /('  frolIciDenl  ilrs  nvu'i'i's  n  pu  Jnirc  naître 
une  inclinaison  da  pl'in  de  forhilc  sur  l\'iju'ilcur,  qui  n'e.rislnd  pas 
inilialcmenl. 

122.  Nous  venons  d'exposer,  dapns  Sitli.  11.  Dauwin.  l'évolution 
passée  du  svstènic  Teric-Lune.  Mais  quelle  a  pu  être  la  durée  de  cette 
évolution  1'  Nos  formules  ne  nous  l'apprennent  pas,  car  il  y  entre  le 
coeflicient  de  viscosité  inconnu  qu"a\ait  la  Terre  quand  elle  était 
encore  [)àteuse.  Néanmoins  nous  pouvons  reconnaître  facilement  qu  il 
y  a  un  maximum  de  l'action  pcrturliatricc,  c'est-à-dire  un  mtiumum 
de  temps  nécessaire. 

Les  seconds  membres  des  formules  (20'")  sont  de  la  forme 


(32) 


A- 3  siu  21. 


Les  \-  et  les  ^j  sont  connus  par  la  théorie  des  marées.  ^Llis  les  sin  21, 
définis  par  les  équations 

Ig  t  =  A-  a/i  —  3l>), 

sont  inconnus  puisque  A:  dépend  de  la  viscosité.  Ur.  un  sinus  est  tou- 
jours inférieur  à  l'unité  en  valeur  absolue.  Nous  exagérerons  donc 
l'expression  (3:?),  par  suite  nous  diminuerons  le  temps  nécessaire  à 
la  variation  de  |,  si  nous  rem[)laçons  les  sin  2£  par  l'unité  et  si  nous 
prenons  tous  les  termes  avec  le  même  signe. 


Durée 

Inverse 

Distance 

Durée 

du  mois 

Incli- 

de 

(en 

ï 

Chaleur 

Epoques 

du  jour 

^en 
jours 

actuels 

naison 

l'aplatis- 
sement 

rayons 
terrestres 
actuels 

n 

dégagée 

0 

23''56°' 

27,32 

.■?3°28' 

232 

60.4 

4.01 

0 

.46.3oo.ooo 

i5  3o 

18,62 

20  4o 

96 

46.8 

2,28 

225 

56.0)00.000 

9    33 

8.17 

17  20 

40 

27,0 

i.ii 

760 

56. 800.000 

7  5o 

3,59 

i5  3o 

25 

i5,6 

0,67 

i3oo 

56  810.000 

6  45 

1,58 

i4  25 

18 

9.0 

0,44 

1760 

C'est  de  celte  façon  qu'à  procédé  Sir  G.  H.  Darwin  pour  introduire 
le  temps  dans  son  analyse.  11  a  dressé  le  Tableau  ci-dessus,  dans  lequel 


HYPOTIIKSES    COS\IO(;OMOL'ES 


la  première  colonne  indique  le  nombre  d'années  écoulées  à  partir  de 
l'époque  actuelle,  et  en  arrière  (ces  époques  sont  de  plus  en  plus  rap- 
prochées à  mesure  qu'on  remonte  dans  le  passé,  parce  que,  la  Lune 
étant  alors  plus  proche  de  la  Terre,  les  eiïets  des  marées  étaient  plus 
considérables). 

L'énergie  mécanique  du  système  Terre-Lune  a  toujours  été  en  di- 
minuant, le  frottement  la  transformant  en  chaleur.  Si  cette  chaleur 
avait  été  employée  à  échauiTer  la  Terre,  elle  aurait  élevé  sa  tempéra- 
ture d'un  certain  nombre  de  degrés  (FAKE>nfc;rr)  :  c'est  ce  nombre  de 
degrés  qui  ligure  à  la  dernière  colonne  du  Tableau.  Sir  G.  IL  Darwin 
fait  remarquer  que  l'on  pourrait  peut-être  invoquer  cette  cause  pour 
expliquer  l'origine  de  la  chaleur  interne  du  globe. 

123.  Sir  G.  IL  Dahwin  a  aussi  essayé  de  calculer  une  valeur  du 
coellicient  de  viscosité  inconnu  de  la  Terre,  en  [)artant  de  l'accélération 
séculaire  de  la  Lune.  Des  observations  déclipses  dans  l'antiquité  ont 
permis  d'évaluer  cette  accélération  à  lo".  Or,  le  calcul  indique  une 
accélération  théorique  de  6"  seulement.  Il  y  a  donc  une  accélération 
de  \"  que  la  gravitation  n'explique  pas(').  SirG.  IL  Dauwi.n  cherche, 
comn)e  le  lit  autrefois  Di^lalnay  (n"  95),  à  en  rendre  compte  par 
l'augmentation  du  jour  sidéral,  due  au  frotlemeut  des  marées.  La 
Lune  s'éloignant  de  la  Terre  subit  réellement,  non  pas  une  accéléra- 
tion, mais  un  retard,  et  son  accélération  apparente  ne  serait  due  qu'à 
la  différence  entre  le  retard  réel  de  la  rotation  terrestre  et  le  relard 
réel  de  la  révolution  lunaire,  le  premier  de  ces  deux  retards  étant 
plus  grand  que  l'autre.  C'est  en  égalant  à  /j  '  la  diflérence  de  ces  deux 
retards,  telle  que  la  lui  donnent  ses  formules,  que  SirG.  H.  Daihvix  a 
calculé  le  coeflicient  de  viscosité  de  l'intéiieur  de  la  Terre.  Si  l'on  adop- 
tait le  coeflicient  ainsi  obtenu,  on  trouverait  pour  la  durée  de  l'évolu- 
tion plusieurs  milliards  d'années;  mais  il  inqjorte  d'observer  que  la 
Terre  a  pu  être  autrefois  beaucoup  plus  liquide  qu'aujourd'hui. 

124.  Jus^pi'ici,  nous  avons  toujours  adopté  des  unités  particulières 
destinées  à  simplilier  les  fornndes.  Cela  était  légitime,  parce  que  nous 
étudiions  l'action  des  marées  produites  par  un  même  astre,  la  Lune, 


(*!  l^ciit-èlrc  qu'en  ajoutant  moins  de  loi  à  certains  |)asgages  d'Auteurs  anciens, 
«[tii  en  sont  parfois  peu  dignes,  ou  dont  les  textes  sont  plus  ou  moins  ol)SCurs, 
quand  ils  rapportent  des  observations  d'édipses,  on  arriverait  à  rétablir  l'accord 
er>lrc  i'obscivalioii  et  la  tliéoric  de  la  gravitation. 


TiihoiuE  DI-:  !-iK  (;.  II.   Dvuwi.N  1-5 

sur  un  munie  astre,  la  Terre.  Mais  si  nous  voulons  niaintcnanl  com- 
parer l'action  des  marées  produites  par  divers  astres  sur  im  même 
astre,  ou  par  un  même  astre  sur  divers  astres  (par  exemple  si  nous 
envisageons  le  système  formé  par  une  planète  et  plusieurs  satellites, 
ou  bien  le  système  formé  par  le  Soleil  et  l'ensemble  des  planètes),  il 
faudra  rétablir  les  coeffîcients  de  proportionnalité.  C'est  ce  rpie  nous 
allons  faire. 

125.  De  même  que  la  marée  lunaire  a  une  inlluence  sur  la  lon- 
gueur du  jour  et  du  mois,  la  marée  solaire  a  une  influence  sur  la 
longueur  du  jour  et  de  l'année. Désignons  par  S,  L,  T  les  masses  du 
Soleil,  de  la  Lune,  de  la   Terre.  Nous  appelons  toujours 

C  le  moment  d'inertie  de  la  Terre, 

Il  sa  vitesse  angulaire  de  rotation, 

Ll  la  vitesse  de  révolution  de  la  Lune, 

a  le  demi-grand  axe  de  son  orbite. 

L'équation  des  aires,  a[)pliquée  au  système  Terre- Lune,  supposé 
seul,  s'écrit 

(33)  Lrt-i2  +  Cn  =  const. 

Cn  représente  le  moment  de  rotation  dû  à  la  rotation  terrestre,  L'^/-il 
le  moment  de  rotation  dû  au  mouvement  orbital  de  la  Lune.  Le  mo- 
ment de  rotation  dû  au  mouvement  orbital  de  la  Terre  autour  du 
centre  de  gravité  du  système  Terre-Lune  étant  très  petit,  nous  le  né- 
gligeons à  coté  de  La-0.  Quant  à  celui  qui  est  dû  à  la  rotation  de  la 
Lune  sur  elle-même,  nous  en  faisons  abstraction,  envisageant  ici  la 
Lune  comme  un  simple  point  matériel  sans  dimensions. 

Ecrivons  maintenant  l'équation  des  aires  pour  le  système  Terre- 
Soleil,  supposé  seul.  Appelant 

Q.'       la  vitesse  de  révolution  de  la  Terre  autour  du  Soleil, 
a'       le  demi-grand  axe  de  l'orbite  terrestre, 

nous  aurons 

(3Z,)  Ta'n>'-K  C/i  =  const. 

Cn  représente  toujours  le  moment  de  rotation  dû  à  la  rotation  terres- 
tre ;    Ta'-Ù    représente  le   moment  de  rotation   dû  au   mouvement 


llVPOTIlIlSrS    COSMOGOMQU'ES 


orbilal  de  la  Terre  aulour  du  Soleil,  à  cùté  duquel  celui  qui  est  dû  au 
mouvement  orbilal  du  Soleil,  aulour  du  centre  de  gravité  du  système 
Terre-Soleil,  est  négligeable.  ?Sous  faisons  aussi  abstraction  du  mo- 
ment de  rotation  du  à  la  rotation  du  Soleil  sur  lui-même,  en\isageant 
ici  le  Soleil  comme  un  simple  point  malériel,  ou,  si  l'on  préfère, 
comme  mie  sphère  absolument  rigide  dont  le  moment  de  rotation  est 
constant. 

Transformons  les  équations  (3>3)  et  (3/i),  en  introduisant  les  quan- 
tités 


et  en  nous  servant  de  la  troisième  loi  de  Kli'Leu  qui  donne 

œ'ii^  =  T. 

Les  équations  des  aires  (33)  et  (3/|)  s'écrivent  alors 

•2 

LT-';   -h  C;)  =  const., 

2 

TS-'?'  -t-  C/i  =  const.. 

Considérons  d'abord  l'action  de  la  marée  lunaire.  Cette  marée  donne, 
pendant  un  ceitain  temps  ~,  à  la  rotation  n  de  la  l'erre  une  variation 
r^n,  et  il  en  résulte  pour  r  une  variation  c?r  donnée  par 

(35)  LT^»  o^  +  Co/i^o. 

De  môme,  la  marée  solaire  fait,  dans  le  même  temps  t,  subir  à  //  une 
variation  6"n,  et  il  en  résulte  pour  |'  une  variation  c?  |'  donnée  par 

(36)  TS^  5'i'-4-Co'/ir=o. 

Comparons  r)'n  à  (?/?  :  il  s'agit  de  l'action  de  deux  marées  dill'é- 
rentes  sur  un  môme  astre,  la  Terre.  Le  rapport  de  o"n  à  c?//  sera  donc 

A'- 
a[)proxiuialivement  égal  au  rapport  -ty  des  carrés  des  coefficients  des 

deux  marées.  La  marée  solaire  est  environ  trois  fois  moindre  que  la 
marée  lunaire.  On  a  donc 

o;»_.V2_  /iY_  I 


TIlliOUIE    DE    SIU    (;.    H 


L'augmentation  de  la  diitée  du  jour  provenant  de  la  marée  solaire  est 
donc  environ  9  lois  moindre  que  celle  qui  provient  de  la  marée 
lunaire. 

Les  équations  (o~))  et  (30)  donnent  ensuite 

0';'  _  1  LT^  . 

or,  le  second  membre  est  exlrcmcment  petit;  o"c'  est  donc  incompa- 
rablement plus  petit  que  rj'z  ;  ce  qui  signifie  que  la  marée  solaire  n'a 
qu'une  inlluence  insignifiante  sur  la  distance  moyenne  de  la  Terre 
au  Soleil,  c'est-à-dire  sur  la  longueur  de  l'année. 

126.  Les  marées  que  la  Lune  soulrve  sur  la  Terre  ralentissent  la 
rotation  terrestre.  De  même  les  marées  que  la  Terre  pourrait  soulever 
sur  la  Lime  exerceraient  une  inlluence  sur  la  rotation  de  la  Lune. 
Actuellement,  la  Terre  ne  soulève  [)as  de  marées  sur  la  Lune,  puisque 
la  Lune  nous  présente  toujours  le  même  hémisphère.  Mais  aux  épo- 
ques reculées,  la  Terre  a  dû  soulever  des  marées  sur  son  satellite,  et 
c'est  précisément,  ainsi  que  l'avait  déjà  affirmé  Laplace,  à  l'action  de 
ces  marées  qu'est  due  l'égalité  actuelle  de  la  durée  de  rotation  et  de 
la  durée  de  révolution  de  la  Lune. 

Soit  M  la  masse  de  l'astre  perturbateur  qui  produit  la  marée  sur 
un  astre  sphérique  T  de  rayon  a  {Jl^.  35).  Appelons  c  la  distance 


7/;/.  35. 

TM  du  centre  de  la  sphère  T  à  l'astre  perturbateur  et  /•  la  dislance 
MA  de  l'astre  perturbateur  à  un  point  V  de  la  surface  de  l'astre  T. 
Le  potentiel  dû  à  l'astre  perturbateur  est 


M        M  /  a  a' 

—  ==  —     I  —  -i  ~  cos  7  H — 5 

/•  c      s.  r  c- 

M    ,   Ma  Ma2  Scos^^cr 

= 1 ^  cos  7  H ■ 

c  c-  C'  2 

=  Uo  +  U,  4-  U,. 


1-6  HYPOTHÎOSES    COSMOGONIQLES 

Le  potentiel  yénérateui-  de  la  maiée  est 

,,  Ma-  3cos-j —  1 

il  est  proportionnel  à 

La  dénivellation  statique  est 

u 

elle  est  proportionnelle  à 

Le  bourrelet  liquide,  du  à  cette  dénivellation,  produit  sur  Taslre  M 
un  potentiel  perturbateur 

où  IV  désigne  la  densité  du  bourrelet  liquide  soulevé  sur  l'astre  T. 
Or.   nous  avons,    le  signe  ^^  indiquant  la  proportionnalité, 

^         Ma- 

et  —  peut,  sous  le  signe    I  I     être  remplacé  par  U.  (')  qui  est  propor- 
tionnel à  •  i^ous  pouvons  donc  écrire 


W^—, 


M-ahu 


c''g 


Le  couple  l'  qui  lait  varier  la   rotation  de  l'astre  T  est  propor- 
tionnel à 


(*)  Car  on  a 
puisque  !^  est  une  fonction  spliérique  du  second  ordre. 


TIlliORlE    DE     Slll    i;.  II.     UAUWl.N  I77 

puisque 

<ly 

représente  le  travail  \itiuel  [)r(xluil  dans  une  petite  rotation  >ly  de  la 
sphère  T. 

Comme     .—  est  lui-même  proportionnel  à  VV  Cj  le  couple  F  est 

proportionnel  à 

Si,  maintenant,  nous  tenons  compte  de  la  viscosité  de  l'astre  T, 
nous  trouvons 

couple  perturbateur  I  c>o  — t: —  sin  2  t. 

La  dérivée  7,  de  la  vitesse  de  rotation  de  l'astre  T  s'obtiendra   en 

divisant  le  couple  perturbateur  F  par  le  moment  d'inertie  de  la  sphère 

T  qui  est  proportionnel  à  iva". 

Bref,  nous  aurons 

dn        M'a    . 

-j-i  ="^  — ,—  sin  2  £. 

dt  &g 

L'angle  c  est  défini  par  l'équation 

tgt  ^=  k-x, 

k  étant  une  constante  proportionnelle  à  la  viscosité  et  a  étant  propor- 
tionnel à  la  vitesse  de  la  marée.  Pour  la  marée  principale  semi-diurne, 
on  trouve,  en  faisant  le  calcul, 

a  — il 

tg  2  =  I  q  V  , 

"  '^       gaw 

V  étant  le  coefficient  de  viscosité  de  l'astre  T.  Comme  l'angle  i  est  très 
petit  (en  prenant  pour  v  le  coefficient  de  viscosité  de  la  poix,  on  trouve 
que  col  angle  ne  dépasse  pas  10'  pour  le  système  Ïerre-Lune),  nous 
pouvons  écrire 

,  n—  il 

sin  1 1  c:^:  te  t  --^^  • 

°  gaiu 

I,    Bien   entendu,   nous  ne  conservons  dans  W  que  le  terme  le  plus  important, 
celui  qui,  pour  les  marées  terrestres,  est  appelé  terme  principal  semi-diurne. 

POINCARK.  13 


1-8  UYPOriiijSES    COSMOGO.NHitES 

Or,  nous  avons  pour  la  gravité  fj,  à  la  surface  de  l'aslre  T 
et  par  suite 


iva' 

q  3VS  — :;-  CVS  iva, 
^  a- 


n  —  £1         n  —  il 

SUl  2  î  3V3  , —  cvn  -, — T-   ■ 

g-  a-iv- 

Finalement,  il  vient 

du        M-fl  n  —  a        M'\n  —  Q) 
cil  c  g       g-  c  lo'a' 

Si  la  sphère  T  est  la  Terre  et  l'astre  M  la  Lune,  ces  proportionna- 
lités représentent  la  diminution  de  la  rotation  terrestre  due  à  la  marée 
lunaire. 

Si,  maintenant,  nous  voulions  avoir  la  diminution  -tt  de  la  rotation 

de  la  Lune,  due  aux  marées  que  la  Terre  produit  sur  la  Lune,  nous 
aurions 

dl  "^^      àw'-^a!' 

où  M'  désigne  cette  fois  la  masse  de  la  Terre,  iv'  et  a'  la  densité  et  le 
ravon  de  la  Lune,  oj  sa  vitesse  angulaire  de  rotation. 

Actuellement,  les  durées  de  rotation  et  de   révolution  de  la  Lune 

.,  1  A  1         '^"'  T 

étant  les  mêmes,  'A  —  il  est  nul  et  il  en  est  de  même  de    ,    :  1  action 

retardatrice  de  la  Terre  sur  la  Lune  est  épuisée.  Mais  il  n'en  a  pas 
toujours  été  ainsi  :  à  l'origine  w  —  0  était  comparable  à  n  —  12,  cl 
alors  on  avait 


ce  qui,  puisque 


s'écrit 


dn' 

dt 

^{f,)'m 

(a 

dn  '' 

\7^ 

^t 

M  c^  w'a'\ 
M'  CVS  w  a\ 

dll^ 

dl  /v'Y'/ay 

ïïiT  ^  \w')  [â'J  • 


dl 


TiiiiOniE  DE  SI  II  r.. 


179 


Gomme  les  densités  w  et  w'  de  la  Terre  et  de  la  Lune  sont  du  même 
ordre,  ce  rapport  est  comparable  à 

a  y 

-       =  82  000  environ. 

a  I 

Donc  l'action  retardatrice  de  la  Terre  sur  la  Lune  a  dû  ctre  au  dé- 
but environ  82000  fois  plus  forte  que  l'action  retardatrice  de  la  Lune 
sur  la  Terre.  On  conc.'oit  donc  que  cette  action  ait  pu  être  assez  puis- 
sante pour  avoir  arrêté  le  mouvement  de  rotation  de  la  Lune  relative- 
ment à  la  Terre,  et  pour  avoir  forcé  notre  satellite  à  nous  tourner 
toujours  la  même  face. 

127.  Si,  maintenant,  on  étudie  le  système  formé  par  le  Soleil  et  les 
différentes  planètes,  on  constate  d'abord  que  l'action  produite  sur  la 
rotation  du  Soleil  par  les  marées  que  les  planètes  soulèvent  sur  le 
Soleil  est  tout  à  fait  insignifiante.  Quant  à  l'action  retardatrice  de  la 
marée  solaire  sur  la  rotation  des  ditTérentes  planètes,  son  coefficient 
de  proportionnalité  est 

M-g  n  —  li 


ce  qui  peut  s'écrire 


Won 


en   négligeant  la  vitesse  angulaire  il  de  révolution   de  la  planète,  à 
côté  de  sa  vitesse  angulaire  n  de  rotation. 

Or,  M,  masse  du  Soleil,  est  le  même  pour  toutes  les  planètes,  et 
l'on  a 

tu 

3  '--'■  ;.2  • 


m  étant  la  masse  de  la  [)lanète  envisagée.   Le  coelHcient  de  propor- 
tionnalité auquel  est  proportionnel  ^^j  est  donc  pour  chaque  planète 


i8o 


HYPOTUKSES    COSMOGOMQUES 


Sir  G.  II.  Dakwln  donne  le  Tableau  suivant  (où  C   leprésenle   le 
moment  d'inertie  de  la  planète)  : 


Planètes 

dl 

dn 
~dï 

Mercure.     , 

Vénus     

La  Terre 

Mars 

Jupiter 

Saturne  

I 

o.oaC) 

2,3 

o,ii 

I  OOO 

1 1 

I 

o,oooo5 
0,00002 

Le  calcul,  en  ce  qui  concerne  Mercure  et  \cnus,  a  été  lait  en  sup- 
posant à  ces  deux  planètes  une  durée  de  rotation  de  l'x  heures.  On 
voit  que,  pour  ces  planètes  intérieures,  l'action  retardatrice  delà  marée 
solaire  est  forte.  S'il  est  vrai,  comme  le  prétendent  plusieurs  obser- 
vateurs, que  ces  deux  planètes  tournent  toujours  une  même  lace  vers 
le  Soleil  ('),  ce  lait  pourrait  s'expliquer  par  l'action  retardatrice  de  la 
marée  solaire.  La  tliéorie  ex])liquerait  aussi  pourquoi  les  planètes 
extérieures  Uranus  et  Neptune,  n'ayant  subi  qu'une  marée  solaire  très 
faible,  ont  conservé  leur  rotation  rétrograde. 

IV.  Influence  accélératrice  du  refroidissement. 

128.  Le  refroidissement  séculaire  de  la  Terre  la  contracte  et  di- 
minue son  moment  d'inertie  ;  par  suite,  en  vertu  de  la  loi  des  aires, 
sa  vitesse  de  rotation  doit  s'accroître  de  ce  chef.  Il  y  a  donc  lieu,  à 
coté  de  l'influence  retardatrice  des  marées,  étudiée  dans  les  pages 
précédentes,  de  tenir  compte  de  l'inlluence  accélératrice  du  refroidis- 
sement. 

Nous  avons  vu  plus  haut  (n"  126j  que  le  couple  retardateur  T  dû 
à  la  marée  est  proportionnel  à 


M'a' 


&'g 


sm  2  i. 


(1)  Celte   opinion,   en  ce   qui    concerne   Vénus,   ne  paraît  plus  guère  soulcnal)le 
depuis  les  récentes  observations  spectroscopiqucs  de  M.  Belopolsky. 


TUtOKlE    UE    SIK    G.  11.    DAll«  l.N 


t8l 


c'esl-à-diie  à 


ou  encore  a 


M-ahi 


M'a' 


Or,  M  (masse  de  la  Lune)  et  m  niasse  de  la  Terre)  sont  des  cons- 
tantes, et  nous  rejiarderons  aussi  c  (dislance  de  la  Lune  à  la  Terre) 
comme  constant.  Par  suite,  le  couple  V  est  i)ro[)oilionnel  à 

Le  moment  de  rotation  Cn  de  la  Terre  aura  sa  dérivée  j[~  P'O- 
porlionnelle  au  couple  V  :  nous  aurons  donc  l'équation 

(/(Cn) 


dl 


=  _  Aa"  (/i  —  il). 


A  étant  une  certaine  constante  positive. 

Comme  C,  moment  d'inertie  de  la  Terre,  est  proportionnel  au 
carré  a'-  de  son  rayon,  nous  pouvons  écrire  l'équalion  précédente 
ainsi 

^'=-Ba'(„-U), 

B  étant  une  nouvelle  constante  poï^itive.  De  là  nous  tirons 
.,  dn  2  n  da        ^  . 

Par  suite  du  retroidissement.    le  rayon  terrestre  a  dmimue,    et    tt 
est  négatif;  donc,  au  second  membre  de  l'équation  (07),  nous  avons 
un  terme  positif  dû  au  refroidissement  séculaire,  et  un  terme  négatif 
dû  au  frottement  de  la  marée. 
Posons 

da 

dl  =  -  '«• 


).  étant  une  quantité  positive.  L'équation  (87)  s'écrit 

dn 
dl 


(38)  ^?  =  "(2 >>  —  Ba")  -h  Ba'o. 


dl 

2 

da 

= 

■?'". 

I 

= 

IJL 
2 

('-', 

182  HYPOTHÈSES    COSMOCONIQLES 

Nous  allons  loul  d'abord  supposer,  à  seule  fin  de  l'acililer  les  cal- 
culs, que  le  refroidissement  suit  la  loi  particulière  indiquée  par  la 
formule 

2  X  =  ixa\ 

[i  étant  une  constante  :  nous  aurons  alors 

da [JL    „ 

Jl  ^^ 

d'où 


et 


le  rayon  terrestre,  avec  cette  loi,  varierait  comme  l'inverse  de  la  ra- 
cine septième  du  temps.  L'équation  (38)  s'écrit  alors 

I   dn  T-,\        r> 

Si  l'on  a 

I^>B. 

n  ira  constamment  en  croissant,  et  tendra  vers  ±:  oc  ,   suivant  son 
signe. 
Si  l'on  a 

i.<B. 

n  tendra  vers  une  limite  finie  qui  sera  atteinte  lorsque   ,j  s'annulera, 

c'est-à-dire  lorsqu'on  aura 

«^  _    —  W 
Q  ~  tx  —  jr 

Cette  rotation  finale  est  directe  (de  même  signe  que  D),  puisque  le 
second  membre  est  positif. 

129.  Appliquons  celte  loi  du  refroidissement  à  l'élude  de  l'évolu- 
tion d'une  nébuleuse  planétaire  qui  se  transforme  en  planète.  Nous 
avons  vu  (Chap.  TIÎ,  n"  42)  qu'au  début  de  son  existence,  lorsqu'elle 
vient  de  se  former  aux  dépens  d'un  anneau  de  Laplace,  la  rotation 
d'une  telle  nébuleuse  planétaire  est  rétrograde. 


TIlLOniE    DE    Sin    G.  II.    DAIUVIN  1 83 

Alors,  si 

l'cITet  du  refroidissement  l'empoile  sur  celui  des  marées  :  la  rotation 
reste  toujours  rétrograde  et  tend  mt^nie  à  s'accélérer.  C'est  ce  qui  a 
pu  arriver  pour  les  systèmes  extérieurs  d'I  ranus  et  de  Neptune. 
Si 

la  rotation,  d'abord  négative,  a  varié  en  tendant  vers  la  limite  finale 

—  Bii 

qui  est  positive.  Si  a  est  inférieur  à  B,  mais  très  voisin  de  B,  cette 
vitesse  angulaire  finale  est  très  grande.  On  peut  penser  que  ce  cas 
s'est  présenté  pour  Jupiter  et  Saturne,  car  leur  rotation  est  directe  et 
très  rapide. 

Pour  les  planètes  plus  voisines  du  Soleil,  B  —  u.  croît  puisque 
l'influence  de  la  marée  solaire  se  fait  sentir  davantage.  La  rotation 
finale  est  moins  rapide. 

Enfin,  pour  les  planètes  très  voisines  du  Soleil  (Mercure  et  \énus) 
(tout  au  moins  dans  l'opinion  de  M.  Schiapauelli!,  u.  est  négligeable 
devant  B  et  la  vitesse  limite  de  rotation  est 

B  =  i>  : 

elle  est  égale  à  la  vitesse  de  révolution. 

130.  Pour  une  loi  de  refroidissement  autre  que  celle  que  nous 
avons  envisagée  pour  simplifier,  'j.,  au  lieu  d'être  une  constante,  serait 
variable  et  n  tendrait  toujours  à  se  rapprocher  de 

—  Bn 
;z  —  B 

si  'j.  <C  B,  et  à  s'en  éloigner  si  y.  >-  B. 

Lord  Kelvin  estime  que  la  variation  séculaire  de  la  durée  du  jour, 

due  au  refroidissement,  serait  de  0-  de  seconde.  Cette  accélération  est 

très  petite  à  côté  du  relard  qui  serait  du  à  l'influence  de  la  marée.  On 
doit  donc  penser  que,  pour  la  Terre,  l'etl'et  du  frottement  de  la  marée 
interne  l'emporte  sur  celui  du  refroidissement,  et  que  la  vitesse  an- 


l84  HYPOTHESES    COSMOCOMQUES 


sfulaire  /?  de  rotation  de  la  Terre  est  actuellement  en  voie  de  décrois- 


sance 


131.  Une  troisième  cause  peut  modifier  la  rotation  de  la  Terre. 
Cette  cause,  c'est  l'augmentation  de  la  masse  de  la  Terre  par  suite 
de  la  pluie  météorique,  de  la  chute  d'étoiles  fdantes  dont  elle  est 
bombardée.  Ces  projectiles  qui  tombent  sur  la  Tcrie  viennent  aug- 
menter son  moment  d'inertie  et,  par  conséquent,  retarder  sa  rr)tation. 
On  a  dit  qu'il  suffirait,  pour  expliquer  les  /j"  d'accélération  séculaire 
de  la  Lune  dont  la  gravitation  ne  rend  pas  compte,  d'admettre  que  le 
rayon  de  la  Terre  s'accroît  de  i  mètre  en  loooo  ans,  par  suite  de  la 
chute  des  météores.  Mais  un  tel  accroissement  du  rayon  terrestre 
représente  une  pluie  météorique  vraiment  énorme  et  inadmissible. 

V.  —  Hypothèse  sur  la  formation  de  la  Lune. 

132.  Nous  avons  dit  que,  d'après  Sir  G.  II.  Daravix,  la  Lune  à 
sa  naissance  était  très  voisine  de  la  Terre.  Mais  comment  la  Lune 
a-t-elle  pu  naître  de  la  Terre? 

On  peut  d'abord  supposer,  restant  dans  l'ordre  d'idées  de  Lai'lace, 
qu'elle  s'est  formée  aux  dépens  d'un  anneau  abandonné  par  la  nébu- 
leuse terrestre. 

On  peut  aussi — ^  c'est  là  une  hypothèse  proposée  par  Sir  G.  H.  Dar- 
win —  penser  que  la  Terre  encore  liquide  subissait  la  marée  solaire  :  il 
est  arrivé  un  moment  oîi  la  période  propre  d'oscillation  de  cette  masse 
fluide  est  devenue  égale  à  la  période  de  la  marée  solaire.  Alors  l'am- 
plitude de  la  marée  s'est  exagérée  par  suite  du  phénomène  de  réson- 
nance  :  l'intumescence  est  devenue  énorme,  et  une  portion  de  la 
masse  se  serait  détachée  de  la  Terre,  lui  formant  un  satellite. 

Mais  une  autre  hypothèse,  que  nous  allons  examiner  maintenant, 
est  encore  admissible. 

133.  Rappelons  ce  que  nous  avons  dit  relativement  aux  figures 
d'équilibre  d'une  masse  fluide  homogène  soumise  à  l'attraction  mu- 
tuelle de  ses  parties  et  tournant  avec  une  vitesse  angulaire  constante  w 
autour  d'un  axe  ox  (n"  47).  Nous  avons  comme  figures  d'équilibre 
possibles  : 

I"  Des  ellipsoïdes  de  révolution  aplatis,  dits  ellipsoïdes  de  Mag- 
Lauuix  ; 


TIIKORIE     IT     >TU     <;.   II.     DARWIN 


2'  Des  ellipsoïdes  à  trois  nxes  inégaux,  dits  ellipsoulos  de  JACom. 

Reprenant  les  notations  du  n"  45,  nous  appelons  a,  h,  c  les  trois 

demi-axes  de  l'ellipsoïde  qui  est  une  liguic  d'équilibre,  et  nous  posons 


n- 
//2  • 


/  = 


Nous  avons  vu  que  .v  et  /  sont  com|)ris  entre  o  et  i,  c'est-à-dire  que 
l'axe  de  rotation  est  toujours  le  plus  petit  axe  de  l'ellipsoïde,  et  que 
dans  le  plan  des  s,  I,  la  courbe  lieu  du  point  (.v,  /)  représentatif  de 
l'ellipsoïde  se  compose,  à  l'intérieur  du  carre 

o  <  s  <  1 
o<  <  <  1. 

de  la  droite  OA,  et  d'une  ligne  DB  (Ji;/.  o6).  La  droite  OA  correspond 


Jiç,.  30. 

aux  ellipsoïdes  de  Mac-L\i  ui\,  la  courbe  DB  correspond  aux  ellip- 
soïdes de  Jacdiu. 

Si  l'on  examine  comment  varie  la  vitesse  angulaire  o)  lorscpi'on 
chemine  sur  ces  deux  portions  de  courbe,  on  constate  qu'au  point  A 
où  l'ellipsoïde  de  Mac-Lauri>  est  une  sphère,  la  vitesse  u  est  nulle; 
lorsqu'on  décrit  la  droite  AO  dans  le  sens  AO,  03  croît  jusqu'à  un 
certain  point  E  où  il  est  maximum,  puis  décroît  jusqu'en  0  oii  il 
s'annule  do  nouveau.  Si,  maintenant,  on  décrit  l'arc  DB  qui  corres- 
pond aux  ellipsoïdes  à  axes  inégaux,  o)  [)art  de  zéro  en  D,  croît  jus- 
qu'en Ci  où  il  passe  par  un  niaximimi,  puis  décroît  jusqu'en  B  où  il 
s'annule.  Deux  points  tels  que  M  et  M',  symétriquespar  rapport  à  OA, 
représentent- le  même  ellipsoïde  de  Jacohi,  ayant  simplement  tourné 
de  90". 


l86  ini'iiTIlÈSF.S    COSMOr.OMQlF.S 

Mais  ces  figures  ellipsoïdales  d'éf|iiilibic,  de  Mac-Lauiun  ou  de 
Jacoiîi,  ne  sont  pas  les  seules  possibles  [)our  noire  masse  fluide  homo- 
gène animée  d'un  mouvement  de  rotation  :  il  en  existe  une  infinité 
d'autres  (')  dont  nous  allons  maintenant  parler. 

134.  Rappelons  la  définition  des  foo7'(/o/î/uV.<«  cllipli(jiics  de  l'espace. 
Considérons  la  famille  de  quadriques  lionioCocales 

X-  y-  r^  

À-  —  a'^        À-  —  />-         /,"-  —  c- 

Par  chaque  point  de  l'espace  passent  trois  de  ces  surfaces  :  en  elTet, 
X,  y,  z  étant  donnés,  on  a  pour  déterminer  /-  une  équation  du  troi- 
sième degré,  dont  les  racines  sont  séparées  par  les  nombres  rr,  b-,  c-. 
Appelant  o-,  'X',  V"  ces  trois  racines,  nous  aurons 

?"-  >  a-  >  IX-  >  Ifi  >  v2  >  c\ 

La  plus  grande  racine  o-  corres|)ond  à  un  ellipsoïde,  la  racine 
moyenne  ir  à  un  hyperboloïde  à  une  nappe,  la  plus  petite  v^  à  un 
hyperboloidc  à  deux  nappes. 

Réciproquement,  si  o,  'J.,  v  sont  donnés,  on  a  trois  surfaces  se  cou- 
pant en  huit  points  placés  symétriquement,  par  rapport  aux  divers 
plans  de  coordonnées.  Si  on  ne  considère  que  les  points  situés  dans 
le  Irièdre  positif  des  axes  de  coordonnées,  les  trois  nombres  o,  [X,  v 
définissent  un  point  et  un  seul  :  ce  sont  les  coordonnées  elliptiques  de 
l'espace. 

Soit  R  une  fonction  de  o  qui  sera,  soit  un  polynôme  en  o-,  soit  un 
tel  polynôme  multiplié  par  un,  deux  ou  trois  des  radicaux 


V'p-  —  et-   .  \    z-  —  Ir  ,  \'  f  —  C-  . 

Soient  M  la  même  fonction  de  y,  et  N  la  mcine  fonction  de  v.  M  et  N 
ne  dilTèrent  de  R  que  par  le  changement  de  ^-  en  v.-  et  en  v-  respec- 
tivement. 

Le  produit  RMN  est  une  fonclion  de  .r.  y,  r.  Si  cette  fonction  est 
iiarmonique,  c'est-à-dire  si  l'on  a 

/  d'         d-         <P 


dx-        dy-        «-- 


(i)  II.  I*oi>f:AitÉ  :  Sur  réipiUlbrc  d'une  mai^sc  fluide  animée  d'un  mouvement  de  rota- 
lion  {Acla  Malhemaliai,  t.  Vif,  i8S5,  [).  'iSo-GSo).  Voir  aussi  H.  l^oi\c.\uii  :  Figures 
d'équilibre  d^une  masse  fluide  (Ln.ons  professées  à  la  Sorbonnc  en  1900). 


THLORIE    DE    ïlll    <i.  H.     DARWI!» 


187 


les  fonctions  l\.  M,  N   sont  dites  foncLions  de  Lamk.  On  démonlro 
qu'il  existe  elTectivement  une  infinité  Je  fonctions  de  Lamé. 

Considérons  un  ellipsoïde  E  correspondant  à  une  valeur  donnée  0 
du  paramètre,  et  définissons  une  surface  2i  l'oisine  de  l'ellipsoïde  E 


f'J-  37. 
[fit/.  07)  :  en  chaque  point  de  E  nous  menons  une  petite  normale  PP' 

:  =  £  /MX, 


de  longueur 


en  posant 


1  = 


\/(?'-i^'){?'--n 


l  est  une  fonction  bien  déterminée  du  point  quelconque  P  de  l'ellip- 
soïde E  ;  M  et  N  sont  deux  fonctions  de  Lamé  conjuguées  ;  i  est  une 
constante  très  petite. 

Le  lieu  du  point  P'  est  une  surface  -qui  coupe  l'ellipsoïde  E  suivant 
des  lignes  de  courbure  :  en  effet,  le  long  de  l'intersection  de  ces  deux 
surfaces,  on  a 

:  =  o, 

c'est-à-dire 

M  =  o         ou         N  =r  o  ; 

c'est  dire  que  cette  intersection  est  située  sur  un  hypeiboloïde 

u  ^  const.  ou  v^const., 

hyperboloïde  qui,  on  le  sait,  coupe  E  suivant  une  ligne  de  courbure. 


IIYI'OTHIiSES    COSMOGOMOUES 


135.  Revenons  maintenant  à  nos  ellipsoïdes  de  Mac-Lai  ri\  et  de 
Jacohi,  figures  d'équilibre  d'une  masse  fluide  homogène  en  rotation. 
On  peut  démontrer  qu'il  existe  une  infinité  d'ellipsoïdes  de  Mvc- 
Lauhin,  correspondant  à  des  points  N,  Ni,  N2,  ...,  (')  de  la  droite 
AO  [ficj.  36y,  tels  qu'une  surface  voisine  2  définie  comme  nous  venons 
de  le  Caire  soit  aussi  une  figure  d'équilibre.  De  même,  il  existe 
une  infinité  d'ellipsoïdes  de  Jacori,  correspondant  à  des  points 
M,  M,,  U„  ...,  M',  M',,  M',,  ...,  de  la  courbe  DB,  tels  qu'une  sur- 
face voisine  2l  soit  aussi  une  figure  d'équilibre. 

136.  Parlons  maintenant  de  la  stabililc  de  nos  figures  d'équilibre. 
On  démontre  que  les  ellipsoïdes  de  Mac-Lauiun  sont  stables  de  A  en 
G  et  instables  de  C  en  0  {fig.  36).  Pour  les  ellipsoïdes  de  Jacobi,  il 
suffit  d'examiner  la  demi-courbe  GB  :  ils  sont  stables  depuis  G  jus- 
qu'au point  M  où  l'on  rencontre  pour  la  première  fois  une  figure  1, 
ils  sont  instables  de  M  en  B. 

Quant  aux  figures  d'équilibre  .i  voisines  des  ellipsoïdes,  on  démon- 
tre qu'elles  sont  toutes  instables,  sauf  peut-être  une  seule,  celle  qui 
correspond  justement  au  point  M  où  l'ellipsoïde  de  Jacoiu  cesse  d'être 
stable. 

137.  Gonsidérons  alors  une  masse  fluide  homogène  animée  origi- 
nairement d'un  mouvement  de  rotation  et  se  refroidissant  lentement. 
Si  le  refroidissement  est  assez  lent,  le  frottement  interne  détermine  la 
révolution  de  l'ensemble  dans  toutes  ses  parties  avec  la  même  vitesse 
angulaire.  Le  moment  de  rotation  demeurera  d'ailleurs  constant. 

Au  début,  la  densité  étant  très  faible,  la  ligiue  de  la  masse  est  un 
ellipsoïde  de  révolution  peu  diiïérent  d'une  sphère.  Le  refroidissement 
aura  d'abord  pour  effet  d'augmenter  l'aplatissement  de  l'ellipsoïde  qui 
restera  cependant  de  révolution.  Le  point  représentatif  (/Z^.  36)  dé- 
crira la  portion  d^  droite  AC  qui  correspond  aux  ellipsoïdes  de  Mac- 
Laurin,  et  cela  jusqu'en  G  où  les  ellipsoïdes  de  Mac-Laurin  cessent 
d'être  stables.  Le  point  représentatif  ne  pouvant  pas  prendre  le  che- 
min GO  prendra  alors,  par  exemple,  la  direction  GM  ;  l'ellipsoïde 
deviendra  à  trois  axe  inégaux,  et  cela  jusqu'en  M  où  les  ellipsoïdes  de 
Jacobi  cessent  d'être  stables.  A  partir  de  là,  la  masse  ne  peut  plus 
conserver  la  forme  ellipsoïdale  puisque  celle-ci  est  devenue  instable  : 


[')  Les  poinls  N,  >,,  No,  ...,  sont  tous  situés  entre  C  et  O. 


miiOUIE    DE    SIK    U.  11.     DAKWl.X 


189 


elle  [)reiidia  alors  la  seule  l'oniie  possible,  celle  de  la  siu lace  ^  voisine 
<le  l'ellipsoïde.  Celte  surface  ^  (  //y.  A-)  présente  une  ligure  piriforme, 
ollranl  comme  un  étranglement  dans  la  région  marquée  3,  tandis  que 
les  régions  2  et  1  tendent  à  se  renller  aux  dé^)ens  des  régions  i  et 
3,  comme  si  la  masse  cherchait  ;\  se  diviser  en  deux  masses  inégales. 

Il  est  dillicile  d'annoncer  ce  qui  arrivera  ensuite.  On  peut  penser 
que  la  masse  ira  en  se  creusant  de  plus  en  plus  dans  la  région  3  et 
finira  par  se  partager  en  deux  corps  isolés. 

La  figure  piriforme  2i,  avons-nous  dit,  csl peul-clrc  stable;  mais  il 
n'est  pas  certain  qu'elle  le  soit  réellement.  Sir  G.  11.  D.vkuin  a  trouvé 
que  cette  figure  est  stable,  mais,  d'après  M.  Liaimh  Nofi-,  elle  serait 
instable.  Pour  trancher  la  question  il  faudrait  recoiunumcer  le  cal- 
cul :  or,  ce  calcul  est  extrêmement  pénible. 

Si  cette  figure  2^1  est  instable,  la  rupture,  la  séparation  de  la  masse 
fluide  en  deux  masses  inégales,  au  lieu  d'être  progressive,  se  produi- 
rait d'un  seul  coup  et  biusquemenl. 

138.  Quelles  conclusions  pouvons-nous  tirer,  au  point  de  vue  cos- 
mogonique,  de  la  discussion  [)récédente  ."^  Il  est  impossible  de  voir  là 
une  origine,  même  approchée,  des  planètes  :  car  les  planètes  n'ont 
qu'une  masse  insignifiante  relativement  à  celle  du  Soleil.  Mais  Sir 
G.  H.  Darwin  estimef';  que  certains  satellites  ont  [)u  se  former  de  cette 
façon  aux  dépens  de  leur  planète.  Cela  aurait  pu  arriver  notamment 
pour  le  système  Ïerre-Lune  dans  lequel  les  deux  masses  sont  compa- 
rables, l'une  n'étant  pas  une  fraction  extrêmement  petite  de  l'autre. 
La  Lune,  s'étant  ainsi  détachée  de  la  Terre,  aurait  décrit  autour  d'elle 
une  orbite  de  très  petit  rayon;  mais,  par  suite  du  irottement  des 
marées,  ce  rayon  aurait  été  en  augmentant,  ainsi  qu'il  a  été  expliqué. 

On  pourrait  concevoir  de  la  même  façon  la  formation  de  certaines 
étoiles  doubles,  dont  les  composantes  ont  des  masses  du  même  ordre 
de  grandeur. 


'j  Voir  r.lc//es5e  de  Sir  G.  H.  D.iuwiN  à  M.  II.  Poincaké  ^Séance  de  la  Société 
royale  astronomique  de  Londres  du  9  février  I900),  traduite  dans  E.  Lebox  : 
Savants  du  jour  :  Hesri  Poinc.vué    l^aris,  Gaulhicr-Villars,  1909  ,  p.  38-4o. 


CHAlMTKi:  YlII. 

SUR  L'ORIGINE  DE  LA  CHALEUR  SOLAIRE 
ET  DE  LA  CHALEUR  TERRESTRE. 


L  —  Chaleur  solaire. 

139.  Jusqu'ici  c'est  surlout  au  point  de  vue  mccaiwiuc  que  nous 
avons  envisagé  le  problème  cosmogonique.  Nous  ne  nous  sommes  pas 
encore  préoccupé  du  point  de  vue  thermodynamique .  Nous  allons 
aborder  cette  face  du  problème,  et  recliercber  l'origine  de  la  cbaleur 
solaire. 

Cette  question  s'est  imposée  lorsque,  vers  le  milieu  du  siècle  dernier, 
on  est  arrivé  à  se  rendre  compte  de  la  quantité  énorme  de  chaleur  que 
le  Soleil  perd  par  an.  Les  ditïérentes  mesures  que  l'on  possède  de  la 
constante  solaire,  c'est-à-dire  de  la  quantité  d'énergie  rayonnée  par  le 
Soleil,  sont  loin  d'être  d'accord;  mais  les  nombres,  tout  en  variant 
du  simple  au  double,  nous  renseignent  sur  l'ordre  de  grandeur  de 
cette  quantité  d'énergie.  Nous  adopterons  ici  les  chiilVes  de  Pocii.LEr 
bien  qu'ils  paraissent  un  peu  trop  faibles. 

Un  mètre  carré  de  surface  terrestre,  exposé  normalement  aux 
rayons  du  Soleil,  reçoit  de  cet  astre  une  quantité  de  chaleur  égale  à 
0,3  grande  calorie  par  seconde.  En  multipliant  ce  cliilïre  par  le  rap- 
port du  carré  de  la  distance  du  Soleil  à  la  Terre  au  carré  du  rayon  du 
Soleil,  on  trouve  que,  de  chaque  mètre  carré  de  surlace  du  Soleil,  il  sort 
par  seconde  iSqoo  grandes  calories  :  cela  représente  une  perte  de  (i 
millions  de  kilogramm êtres  par  mètre  carré  de  surface  solaire  et  par 
seconde.  En  multipliant  le  chiffre  10900  par  la  surface  du  Soleil, 
évaluée  en  mètres  carrés,  et  par  le  nombre  de  secondes  contenues  dans 
une  année,  on  trouve  que  le  Soleil  perd  2,7.10'"' grandes  calories 
par  an. 

Si  nous  supposions  que  le  Soleil  a  la  même  chaleur  spécifique  que 
l'eau,  il  serait  aisé  de  calculer  de  combien  s'abaissera  par  an  la  tem- 


192 


HYPOTHESES    C0S\l0(;0NlOLF.S 


péi'aliue  du  Soleil  par  suite  de  cette  perte  de  chaleur,  à  supposer  rpic 
celte  chaleur  ne  se  renouvelle  (las.  Il  sulHrait  de  diviser  le  chilTre 
précédent  2,7.10^*'  par  la  niasse  du  Soleil  en  kilogrammes  1,9.10'"  : 
on  trouverait  ainsi  i''4  comme  taux  actuel  du  refroidissement  annuel. 
Or,  la  température  actuelle  du  Soleil,  d'après  les  mesures  les  plus 
récentes,  est  généralement  évaluée  à  G 000°  environ.  Donc,  si  la  cha- 
leur solaire  ne  se  renouvelait  pas  par  quelque  procédé,  nous  arrive- 
rions à  celte  conclusion  qu'avant  6000  ans  d'ici  le  Soleil  serait  gelé. 
Mais  il  faut  observer  que  la  température  de  6000"  est  celle  de  la  pho- 
tosphère du  Soleil,  et  tout  nous  porte  à  croire  que  l'intérieur  de  l'astre 
est  incomparablement  plus  chaud,  la  température  augmentant  rapide- 
ment avec  la  profondeur.  La  photosphère  serait  donc  maintenue  à 
une  température  voisine  de  6000"  par  des  courants  de  conveclion  qui 
lui  amèneraient  constamment  de  la  chaleur  empruntée  aux  couches 
plus  profondes  et  plus  chaudes  de  façon  à  compenser  les  pertes  dues 
au  rayonnement.  La  chaleur  rayonnée  serait  donc,  en  dernière  ana- 
lyse, prise  à  la  masse  solaire  interne,  et  ce  serait  l'intérieur  du  Soleil 
qui  verrait  sa  température  s  abaisser. 

Quoi  qu'il  en  soit,  le  Soleil  ne  contient  pas  une  provision  de  cha- 
leur indéfinie  et  il  perd  annuellement  une  quantité  de  chaleur  consi- 
dérable. La  plus  grande  partie  de  cette  chaleur  se  dissipe  dans  l'espace 
céleste  et  est  entièrement  perdue.  Ce  n'est  qu'une  très  faible  portion 
de  l'énergie  rayonnée  qui  est  reçue  et  utilisée  par  les  planètes.  iNe 
pourrait-on  pas  supposer  que  le  rayonnement  ne  peut  se  faire 
qu'entre  deuv  corps  matériels  différents,  et  que,  par  conséquent,  dans 
les  directions  où  l'on  ne  rencontre  aucune  matière  pondérable,  il  ne 
se  produit  pas  de  rayonnement?  Dans  cette  hypothèse,  un  corps  abso- 
lument seul  dans  l'espace  ne  rayonnerait  pas,  ne  trouvant  aucun  autre 
■corps  avec  lequel  il  puisse  échanger  son  énergie.  Le  Soleil  ne  rayon- 
nant que  dans  les  directions  des  planètes  ne  perdrait  pas  beaucoup 
d'énergie.  Cette  hypothèse  permettrait  donc  de  prolonger  énormément, 
dans  le  passé  comme  dans  l'avenir,  la  durée  d'existence  du  Soleil  en 
tant  que  source  de  chaleur.  Malheureusement,  malgré  son  ingéniosité, 
cette  hypothèse  est  à  rejeter,  car  au  moment  où  l'énergie  quille  le 
Soleil,  elle  ne  peut  évidemment  pas  deviner  si  elle  rencontrera  ou  non 
vme  planète. 

Force  nous  est  donc  d'admettre  que  la  chaleur  solaire  se  dissipe 
■dans  tous  les  sens.  Puisque  ce  rayonnement  s'est  ellectué  sans  très 


St'K    l'origine    de    L\    chaleur    solaire    et    IlE    LA    CHALEUR    TERRESTRE  IqS 

grands  changements  pendant  les  temps  historiques  et  probablement 
aussi  pendant  une  très  grande  partie  des  temps  géologiques,  nous 
devons  en  conclure  que  le  Soleil  n'est  pas  simplement  assimilable  à 
un  corps  chaud  qui  se  refroidit,  mais  que  sa  chaleur  se  renouvelle  et 
s'entretient  par  un  procédé  quelconque.  Un  problème  se  pose  donc  : 
Quelle  est  l'origine  de  la  chaleur  solaire? 

140.  Hypothèse  chimique.  —  La  première  idée  qui  se  présente  à 
l'esprit  est  que,  dans  le  Soleil,  la  chaleur  est  peut-être  entretenue 
chimiquement  comme  dans  nos  foyers.  Mais  c'est  une  hypothèse  tout 
à  fait  insuffisante,  car  elle  ne  permet  d'attribuer  au  rayonnement  so- 
laire qu'une  durée  fort  limitée.  Un  kilogramme  de  charbon  en  brû- 
lant dans  l'oxygène  dégage  8000  calories.  On  en  déduit  immédia- 
tement qu'un  bloc  de  charbon  d'une  masse  égale  à  celle  du  Soleil, 
s'il  dégageait  par  an  un  nombre  de  calories  égala  2,7.  10"*,  serait 
entièrement  consumé  en  5  600  ans.  En  supposant  le  Soleil  formé  par 
un  mélange  détonnant  d'hydrogène  et  d'oxygène,  ou  par  un  bloc  de 
coton-poudre  brûlant  par  sa  surface  sans  déflagrer,  on  trouverait  un 
nombre  d'années  plus  grand,  mais  du  même  ordre  de  grandeur,  c'est- 
à-dire  encore  beaucoup  trop  petit. 

L'hypothèse  chimique  est  donc  à  rejeter  et  nous  sommes  amené, 
avec  Lord  Kelvin  ('),  à  examiner  si  des  hypothèses  mécaniques  ne 
seraient  pas  plus  satisfaisantes. 

141.  Hypothèse  météorique.  —  D'après  l'hypothèse  météorique, 
dont  la  première  idée  remonte  à  Robert  Mayer,  la  chaleur  du  Soleil 
serait  entretenue  incessamment  par  les  météores  qui  tombent  sur  cet 
astre,  la  force  vive  de  ceux-ci  se  transformant  en  chaleur.  Un  météore 
venant  de  l'infini  sans  vitesse  initiale  et  tombant  en  ligne  droite  sur  le 
Soleil,  posséderait  en  arrivant  à  sa  surface  une  vitesse  de  62^  kilo- 
mètres par  seconde.  La  chute  d'un  kilogramme  de  matière  représente, 
avec  cette  vitesse,  2.10'°  kilogrammètres  (^).  Or,  le  Soleil  perd  6.10*"' 


(')  Voir  Sir  William  Thomson  (Lord  Kelvin)  :  Constilullon  de  la  matière  (Confé- 
rences scientifiques  et  Allocutions,  traductioa  de  P.  Lugol,  avec  des  Notes  de 
M.  Brillouin,  Gauthier-Villars,  1898  ;  p.  335-276).  Sur  les  matières  de  ce  Cha- 
pitre, on  peut  voir  aussi  J.  Bosler  ;  Les  Théories  modernes  du  Soleil  (Encyclopédie 
scientifique,  O.  Doin,  1910),  Chap.  III  et  IV. 

(■-)  La   combustion   de   i  kilogramme  de  charbon  ne    dégage  que  8  000  calories 

dont  l'équivalent  mécanique,  Sii-io*  kilogrammètres,  ne  représente  que  -r du 

PoiNCABÉo  i3 


iq^  HYPOTHESES    COSMOGONIQLES 

kilogrammètres  par  mètre  carre  et  par  seconde.  Si  l'on  veut  que  la 
chaleur  engendrée  par  la  chute  des  météores  compense  la  chaleur 
radiée,  il  faut  faire  tomber  à  la  surface  du  Soleil  o,3  gramme  de  ma- 
tière par  mètre  carré  et  par  seconde,  soit  i  kilogramme  par  mètre 
carré  et  par  heure.  Avec  la  densité  de  l'eau,  une  telle  pluie  météorique 
roduirait  en  un  an  à  la  surface  du  Soleil  ime  couche  d'environ 
cmètres  d'épaisseur.  L'augmentation  qui  en  résulterait  pour  le  dia- 
mètre solaire  serait  absolument  inappréciable  à  nos  procédés  de  me- 
sure, et  rien  ne  pourrait  nous  la  révéler. 

142.  Mais  il  y  a  une  autre  dilTiculté.  Ce  bombardement  météo- 
rique accroîtrait  sans  cesse  la  masse  du  Soleil,  et  une  augmentation 
de  la  durée  de  l'année  en  résulterait.  La  troisième  loi  de  Kepler 
donne  en  effet 

M  désignant  la  masse  du  Soleil,  w  la  vitesse  angulaire  de  la  Terre  sur 
son  orbite  et  a  le  rayon  de  cette  orbite.  D'ailleurs,  la  force  étant  tou- 
jours centrale,  la  constante  des  aires  G  ne  varie  pas  ;  nous  avons  donc 

toa^  =  C. 

De  ces  deux  équations  nous  tirons 

la  vitesse  angulaire  de  révolution  de  la  Terre  varie  donc  comme  le 
carré  de  la  masse  du  Soleil. 

Or,  la  pluie  de  o*^'',3  de  matière  par  mètre  carré  et  par  seconde 

accroîtrait  en  un  an  la  masse  du  soleil  d'environ  ., de  sa  va- 

03  oooooo 

leur.  La  masse  du  Soleil  pourrait  donc  être  lepréscntée  par  l'expression 

t 


m( 


.52.  lO' 


où  t  désigne  le  temps  en  années. 

'    Soit  /  la  longitude  moyenne  de  la  Terre,  nous  avons 

dl 


clufrre   précédent  ;  on  conçoit  donc   la  supériorilé    des    théories   mécaniques   su^ 
les  théories  chimiques. 


SUR  l'origine  de  la  cii.vlelr  solviue  et  de  l.v  ciialelr  terrcstue        kjo 

celle  quantité  est  proportionnelle  au  carré  de  la  masse  du  Soleil,  c'esl- 
i\-dire  à 


[ 


^  ~^  32.10V  ~  '  "^    ^a.'io"' 


Nous  pouvons  donc  écrire  (à  tui  facteur  constant  près) 


dl  _  2< 

dt~  '  "^33.IO« 


d'où 


Si  nous  faisons 


àl  vient 


)2. 10" 


/  =  4000  années, 


/  =  4  000  H-  - 
2 


En  4  000  années  (de  nos  années  actuelles),  la  Terre  aurait  donc  par- 
couru, non  pas  4 000  circonférences,  mais  f '|000-f-  j  circonfé- 
rences. Par  suite,  il  y  aurait,  en  A  000  ans,  une  différence  de  six 
mois  sur  l'époque.  Or,  il  est  bien  certain  que  depuis  les  temps  histo- 
riques une  telle  différence  ne  sest  pas  produite.  La  masse  du  Soleil 
n'a  donc  pas  pu  varier  sensiblement  depuis  4  000  ans. 

143.  Dans  le  calcul  précédent,  on  a  supposé  que  les  météores 
•tombent  de  l'infini  sur  le  Soleil.  On  pourrait  supposer  aussi  que  les 
météores,  dès  l'origine  voisins  du  Soleil,  décrivent  autour  de  cet  astre 
des  orbites  à  peu  près  circulaires,  formant  comme  un  essaim  autour 
<le  lui.  Alors,  étant  intérieurs  à  l'orbite  terrestre,  ces  météores  atti- 
reraient la  Terre.  Lorsqu'ils  tomberaient  sur  le  Soleil,  l'attraction 
exercée  sur  la  Terre  resterait  la  même.  On  peut  donc  dire  que  leur 
chute  sur  le  Soleil  ne  produirait  pas  d'accroissement  de  la  masse  de 
cet  astre,  en  tant  que  celte  masse  allire  la  Terre;  partant,  la  longueur 
de  l'année  ne  varierait  pas. 

Mais,  pour  que  ces  météores,  décrivant  des  orbites  circidaires, 
puissent  tomber  sur  le  Soleil,  il  faut  qu'ils  se  meuvent  dans  un  milieu 
résistant,  ou  bien  qu'ils  soient  suffisamment  nombreux  poni  >e  cho- 
quer assez  souvent. 


iqG  hypothèses  cosmogoniques 

On  sait  que  la  vitesse  qui  correspond  à  la  trajectoire  circulaire  est 
à  la  vitesse  parabolique  clans  le  rapport  de  i  à  y  2.  La  force  vive  d'un 
météore  qui  tombe  sur  le  Soleil  par  spirales  de  plus  en  plus  serrées 
est  donc  deux  fois  moindre  qu'elle  ne  serait,  si  le  même  météore 
tombait  en  ligne  droite  de  l'infini.  Il  faudra  donc,  dans  l'hypothèse 
actuelle,  deux  fois  plus  de  matière  pour  produire  le  même  eiTet.  Au 
lieu  d'admettre  que  la  pluie  météorique  augmente  le  rayon  du  Soleil 
de  10  mètres  par  an,  il  faudra  admettre  qu'elle  l'augmente  de 
20  mètres,  soit  une  augmentation  de  i  kilomètre  en  5o  ans.  A  ce 
taux  le  diamètre  apparent  du  Soleil  croîtrait  de  i  "  d'arc  en  /i  000  ans, 
ce  qui,  bien  entendu,  est  tout  à  fait  inappréciable. 

On  peut  penser  que  la  lumière  zodiacale  est  constituée  par  un  tel 
essaim  de  météores  ;  ces  météores  tombant  peu  à  peu  sur  le  Soleil, 
entretiendraient  sa  chaleur.  En  attribuant  à  la  lumière  zodiacale  une 
masse  égale  à  cent  fois  celle  de  la  Terre,  on  trouve  que  la  chute  de 
sa  matière  sur  le  Soleil  pourrait  entretenir  le  rayonnement  de  cet 
astre  pendant  4  700  ans,  chiffre  bien  faible. 

Lord  Kelvin  se  demande  aussi  quel  effet  la  chute  de  ces  météores 
produit  sur  la  rotation  du  Soleil.  Si  l'on  admet,  dit-il,  que  les  mé- 
téores se  meuvent  tous  dans  le  sens  direct  et  dans  le  plan  de  1  "équa- 
teur  solaire,  on  trouve  que  la  durée  de  leur  révolution  est  devenue 
moindre  que  25  jours,  lorsque  leur  orbite  n'a  plus  pour  rayon  que 
le  rayon  du  Soleil  ;  par  conséquent,  en  tombant  tangentiellement  sur 
le  Soleil,  ces  météores  doivent  augmenter  sa  rotation.  Lord  Kelvin 
voit  là  une  origine  possible  de  la  rotation  du  Soleil  (^),  car  cet  astre 
aurait  pu  acquérir  ainsi  en  26000  ans  sa  vitesse  de  rotation  actuelle. 
Mais  rien  ne  prouve  que  les  météores  circulent  tous  dans  le  même 
sens,  ni  qu'ils  soient  orientés  dans  un  même  plan. 

144.  Une  grave  objection  à  la  théorie  météorique  telle  que  nous 
venons  de  l'exposer  vient  de  l'étude  spectroscopique.  Un  météore 
arrivant  à  toucher  le  Soleil  se  volatilise,  mais  il  conserve  néanmoins 
son  énorme  vitesse  orbitale.  D'après  le  principe  de  Doppler-Fizeau, 
ce   phénomène   devrait    se   traduire  par   un   déplacement  des   raies 


(')  Rappelons  que,  dans  la  théorie  de  Laplace,  c'était  plutôt  la  rotation  solaire 
qui  était  primitive  par  rapport  à  la  révolution  des  planètes.  Ici  ce  serait,  au  con- 
traire, la  révolution  des  corpuscules  qui  aurait  engendré  la  rotation  de  l'astre 
central. 


SLR    l'origine    de    L\    CHVLELR    SOLAIRE    ET    DE    LV    CIIALELR    TERRESTRE  1^7 

spectrales  ;  or,   le  spectroscopc   ne   révèle  aucune   déviation   de   ces 
raies. 

En  outre,  nous  avons  dit  (n°  140)  que  l'accroissement  de  la  niasse 
du  Soleil  aurait  pour  conséquence  une  variation  de  la  durée  de  l'année, 
si  l'on  ne  supposait  pas  que  l'essaim  de  météores  est  intérieur  à  l'or- 
bite terrestre.  Comme  la  durée  de  révolution  de  Mercure  n'a  pas  varié 
non  plus,  il  faut  supposer  que  l'essaim  est  même  intérieur  à  l'orbite 
de  .Mercure.  La  densité  de  ce  nuage  cosmique  devrait  donc  être  assez 
forte,  et  les  comètes  devraient  être  arrêtées  ou  tout  au  moins  forte- 
ment retardées  à  leur  passage  au  périhélie;  or,  même  pour  les  comètes 
passant  à  une  distance  de  la  surface  du  Soleil  inférieure  au  rayon  d 
cet  astre,  il  n'y  a  ni  arrêt,  ni  retard  très  appréciable. 

Il  y  a  donc  lieu  de  rejeter  l'hypothèse  météorique,  ou  tout  au 
moins  de  la  modifier  profondément,  comme  l'a  fait  Helmholtz.  Ce 
sont  les  idées  de  Helmholtz  que  Lord  Kelvin,  abandonnant  lui-même 
sa  première  hypothèse,  a,  dans  la  suite,  adoptées  et  développées. 

145.  Hypothèse  de  Helmholtz.  —  Dans  l'hypothèse  de  Helmholtz, 
ce  ne  sont  pas  des  météores  distincts  qui  tombent  continuellement  sur 
le  Soleil  et  le  réchaulïent.  L'origine  de  l'énergie  rayonnée  par  le 
Soleil  est  toute  différente.  Le  Soleil  est  considéré  comme  une  masse 
fluide  qui  se  contracte.  La  contraction  rapproche  les  particules  les 
unes  des  autres  ;  dans  ce  rapprochement,  le  travail  de  la  gravitation 
est  positif. 

L'énergie  potentielle  d'une  sphère  gravitante  est 


l/v.„„ 


dm  représentant  un  élément  de  masse  et  Y  le  potentiel  auquel  est 
soumis  cet  élément.  On  a 


/v. 


dm'  représentant  une  masse  attirante  élémentaire  et  /■  la  distance  de 
la  masse  attirante  dm'  à  la  masse  attirée  dm. 

Si  l'on  a  une  sphère  homogène  de  densité  o,  de  rayon  R  et  de  masse 
M,  une  couche  sphérique  de  rayon  a  et  d'épaisseur  da  a  pour  masse 

dm  =  p!iT.a-da. 


Ig8  HYPOTHÈSES    COSMOGO.MQLES 

Quel  esl  le  polentiel  V  auquel  est  soumise  cette  masse  dm':}  A  l'inté- 
rieur de  la  sphère  homogène  l'attraction  est  proportionnelle  à  la  dis- 
lance au  centre  ;  elle  a  pour  valeur 

Ma 

à  la  distance  a  du  centre  :  on  a  donc 

dV__Ma. 
(la  ~       R3  ' 

d'oii  l'on  tire 

^ P       Ma- 

M 

Comme,  pour  a  =  R,  on  doit  avoir  V  =  r>  ,  il  est  facile  de  calculer 

la  valeur  de  la  constante  C.  Remplaçant  alors  G  par  sa  valeur  on  a 

^  _  3M  _  Ma2 

2R  2R^^' 

L'énergie  de  gravitation  de  la  sphère  est  donc 


elle  est  proportionnelle  à 
et,  comme  on  a 


pMR2; 


4rpR'  =M, 
on  peut  dire  que  l'énergie  est  proportionnelle  à 


R 


Donc,  si  R  diminue,  le  travail  est  positif  :  une  sphère  gravitante 
homogène  qui  se  contracte  en  restant  homogène  fournit  de  l'énergie. 
Helmholtz  a  calculé  que,  si  la  densité  était  uniforme  dans  tout  le 

Soled,  une  contraction  de  --—  en  diamètre  fournirait  un  travail  égal 


1000 


SLll    L'oniGI>E    UE    L\    ClI.VLlCLll    SOLAIRE    ET    UE    LA    CIULEUU    TEUnESTHE  IQIJ 

à  9,0000  fois  l'équivalent  nircaniquc  de  la  quantité  de  chaleur  qui 
représente  le  rayonnement  annuel.  Bien  ([ue  le  Soleil  ne  soit  pas 
homogène,  on  conçoit  qu'un  jiioccssus  analogue  puisse  mettre  enjeu 
la  chaleur  nécessaire  à  son  rayonnement. 

146.  On  peut  aussi,  dans  le  même  ordre  d'idées,  essayer  de  cal- 
culer la  provision  de  chaleur  ou  d'énergie  emmagasinée  par  le  Soleil 
lors  de  sa  formation  et  d'évaluer  le  temps  pendant  lequel  il  a  pu 
rayonner  au  taux  actuel  de  sa  déperdition  de  chaleur.  INous  suppose- 
rons que  le  Soleil  et  sa  chaleur  ont  été  engendrés  par  de  petits  corps, 
primitivement  séparés  les  uns  des  autres  par  de  très  grandes  distances 
et  tombant  les  uns  sur  les  autres,  la  quantité  de  chaleur  totale  produite 
étant  équivalente  au  travail  positif  ainsi  produit. 

Considérons  la  sphère  solaire  comme  formée  de  couches  sphériques 
concentriques  homogènes.  A[)pelons  0  la  densité  à  la  distance  /'  du 
centre,  M  la  masse  de  la  matière  solaire  intérieure  à  la  sphère  de  rayon 
r  et  W  l'énergie  emmagasinée  par  cette  même  matière,  autrement 
dit  le  travail  que  produirait  cette  matière,  d'abord  disséminée  à  l'in- 
fini, en  se  condensant  jusqu'à  son  état  actuel.  AI,  W  et  0  sont  donc 
des  fonctions  de  r. 

Si  nous  donnons  à  r  l'accroissement  dr,  M  s'accroît  de 

Pour  calculer  dW,  accroissement  correspondant  de  W,  nous  devons 
supposer  que  la  masse  c/M  tombe  de  l'infini  à  la  surface  de  la  sphère 

de  rayon  r,  passant  amsi  du  potentiel  o  au  potentiel  —  :  nous  avons 

donc 

r 

Supposons  d'abord,  pour  simplifier,  la  densité  0  constante.  Dans 
ce  cas,  l'intégration  se  fait  immédiatement  :  on  a 


200  HYPOTHÈSES    COSMOGONIQUES 

d'où 


w  =  ^^^' .  ^'' 


3  M^ 
5   r  • 


Si  nous  appelons  R  le  rayon  du  Soleil,  l'énergie  que  cet  astre  a 
emmagasinée  en  se  formant  est  donc 

3  W 
5  R  ■ 

Pendant  combien  de  temps  cette  énergie  peut-elle  suffire  à  entre- 
tenir la  chaleur  solaire  au  taux  actuel  de  la  radiation  ?  Nous  avons  dit 
(n"  142)  que  la  chaleur  perdue  annuellement  par  le  Soleil  est  équiva- 
lente à  l'énergie  que  lui  fournirait  une  pluie  de  matière  tombant  de 

l'infini  sur  sa  surface  et  au^-mentant  sa  masse  de  o de  sa 

°  02  OOOOOO 

valeur  : 

M 


dm  =  ^ 


Saoooooo  ' 
cette  pluie  augmenterait  W  de 

_M-'  _i 

~  K  32.  io«" 

Telle  est  la  quantité  d'énergie  que  le  Soleil  perd  par  an.  Comme, 
d'autre  part,  celle  qu'il  a  emmagasinée  à  l'origne  est 

3  W 
5  K  ' 

le  Soleil  ne  peut  pas  rayonner,  au  taux  actuel,  depuis  plus  de 

3  M^ 

5  R  .„. 

3ï7ï^^  TT 

d'années  environ.  Ce  calcul  est  relatif  au  passé,  puisque,  dans  l'ave- 
nir, le  Soleil  peut  continuer  à  se  contracter  en  dégageant  de  nouvelles 
quantités  de  chaleur. 


SLR    L  ORIGINE    DE    LA    CHALEUR    SOLAIRE    ET    DE    LA    CUALELR    TERRESTRE  301 

147.  Mais  nous  avons,  dans  le  calcul,  supposé  constante  la  densité 
p.  Cette  simplification  n'est  pas  légitime,  car  il  est  bien  certain  que 
dans  le  Soleil  la  densité  croît  à  mesure  qu'on  se  rapproche  du  centre. 
Admettons  donc  que  la  densité  o  soit  représentée,  en  fonction  de  la 
distance  r  au  centre,  par  la  loi  suivante  : 


a  et  a  étant  deux  constantes  positives  {^).  Les  formules  trouvées  pré- 
cédemment [n"  146)  nous  donnent  alors 


d'où 


dM  ^  [\~ar-     ^dr 


3  — a 
M  =  IxT.n  l 


d\\'  =  -  dM 
r 

"S  —  a'^ 


par  suite 


W  = 


{h^ay  r'-'-''' 


3  —  a  5  —  2  a 

celte  dernière  égalité  peut  s'écrire 

M'^   3  —  a 


W  = 


r    0 


Dans  cette  hypothèse,  l'énergie  emmagasinée  par  le  Soleil  lors  de 
sa  formation  est  donc 

M^    3  —  oc 


R   5  —  2a' 

par  suite  le  Soleil  ne  peut  pas  rayonner  depuis  plus  de 

(i)  -         —  .  32.  lO*^ 

^  O  —  2  a 

années. 


(')  Celte   loi   donnerait   c  =  3C    au   centre  du    Soleil;    elle  n'est  donc    qu'une 
approximation,  de  laquelle  la  réalité  peut  se  rapprocher  plus  ou  moins. 


HYPOTHESES    COSMOGOMQUES 


Si  nous  supposons,  à  titre  d'approximation,  que  la  matière  solaire 
est  un  gaz  qui  suit  la  loi  de  Mariotte,  la  pression  p  devra  être  pro- 
portionnelle à  p.  L'équation  de  l'Hydrostatique  (équation  d'EuLER) 
donne 


Or, 


donc 


dp  _  M 

dr  ~        ^  r'- 

p  est  proportionnel  à  r" 
j\I  est  proportionnel  à  r^ 


-J  est  proportionnel  à  r'     ^*, 

p  est  proportionnel  à  r^~"^. 

Nous  voulons  que  p  soit  proportionnel  ii  p,  c'est-à-dire  à  ; — '".  jNous 
devons  donc  poser 


c'est-à-dire 

a  =  2, 

Alors  l'expression  (i)  donne,  pour  l'Age  du  rayonnement  solaire, 
32  millions  d'années. 

Cette  durée  calculée  du  rayonnement  serait  un  maximum.  Elle  est 
d'autant  plus  longue  que  l'on  suppose  plus  grande  la  condensation 
centrale  du  Soleil,  mais,  quoi  qu'on  fasse,  elle  est  toujours  du  même 
ordre  de  grandeur.  En  mettant  les  choses  au  mieux,  le  Soleil  n'aurait 
donc  pas,  d'après  la  théorie  de  Helmhgltz,  illuminé  la  Terre  pendant 
5o  millions  d'années. 

148.  Elude  de  la  chaleur  spécifique.  —  Nous  avons  dit  (n"  139) 
qu'en  supposant  au  Soleil  une  chaleur  spécifique  égale  à  celle  de 
l'eau,  son  rayonnement  abaisserait  (si  la  chaleur  ne  se  renouvelait 
pas)  sa  température  à  i^/j  par  an.  Ce  chiffre  est  évidemment  beaucoup 
trop  fort,  et  tout  fait  penser,  au  contraire,  que  la  température  du 
Soleil  n'a  que  bien  peu  varié  depuis  des  temps  très  reculés.  Tout  se 
passe  donc  comme  si  le  Soleil  possédait  une  chaleur  spécifique  très 
considérable,  celle-ci  pouvant  être  due  à  l'énormité  des  pressions 
qui  existent  à  l'intérieur. 


SLU    L  OIUGINE    DE    LA    CHALEUR    SOLAIHE    ET    DE    LA    ClIALELU    TERnESTRE  20.) 

Eludions  la  question  au  point  de  vue  de  la  Thermodynamique. 

Nous  assimilerons  tout  d'abord  le  Soleil  à  un  fluide  parlait,  c'est-à- 
dire  que  nous  supposerons  en  tout  point  la  pression  p  uniforme  et 
normale  à  l'élément  plan  qu'elle  sollicite.  Considérons  un  élément  de 
volume 

dz  =  dx  dy  dz  ; 

appelons  o  sa  densité,  X,  Y,  Z  les  composantes  de  la  force  (rapportée 
à  l'unité  de  masse)  qui  lui  est  appliquée.  Dans  un  déplacement  virtuel 
(j^x,  ây,  âz)  subi  par  cet  élément,  les  forces  accomplissent  un  travail 

(X  ox  -+-  Y  oy  -f-  Z  o;)  p  d-  ; 

et,  pour  tout  l'ensemble  de  la  masse  iluidc,  le  travail  accompli  dans 
un  déplacement  virtuel  a  pour  valeur 

S  W  =  jjj  (X  0.T  +  Y  5j  +  Z  or)  p  dz. 

Les  équations  de  l'Hydrostatique  donnent 


dx 

px. 

dp  _ 

dy- 

pY, 

dp_ 

dz  ~~ 

pZ: 

nous  pouvons  transformer  c?W  par  des  intégrations  par  parties  :  nous 
avons  par  exemple 


'  If ''"'''' -fff" 


or,   l'intégrale  double  est  nulle  parce  que  la  pression  p  est  nulle  à  la 
surface  libre  du  fluide.  Il  reste  donc 


.-i-i,-  I   I  I      (d.ox         d.cY         d .  oz\  , 

A\  =-  n  ï  p[-^~  -^  -^^^  -^  -^)d-.; 


2o4  HYPOTHÈSES    COSMOGOMQUES 

d'ailleurs,  comme  l'équation  de  continuité  donne 


d  .  Sa?        d  .cy        d.CfZ 


■  Q 


dx  dy  dz  p  ' 

nous  pouvons  écrire 

ou,  en  remplaçant  dans  cette  dernière  égalité  dr  par  —  ,  dm  étant  un 
élément  de  masse, 


Appelant  v 

le  volume 

spécifique,  nous  avons 

d'oii 

I 

par  suite 

8W  =  —  M  i  pZvdm. 

Chaque  élément  de  masse  dm  figure  donc,  dans  la  sommation, 
pour  la  quantité  de  travail 

pc,v  dm, 
soit 

par  unité  de  masse. 

Appelons  U  l'énergie  interne  par  unité  de  masse  et  âQ  la  quantité 
de  chaleur  fournie,  également  par  unité  de  masse,  dans  la  modifi- 
cation virtuelle  envisagée.  L'équation  fondamentale  de  la  Thermo- 
dynamique (')  donne 

oQ  =  oU  +poi;. 

(')  Cette  équation  traduit  le  principe  cr équivalence  :  la  chaleur  reçue  par  un 
corps  (ou  un  système  de  corps)  équivaut  à  l'accroissement  de  son  énergie  interne, 
augmenté  du  travail  e«terne  qu'il  a  fourni.  Dans  cette  équation  nous  ne  faisons 
pas  figurer  l'équivalent  mécanique  de  la  clialeur,  parce  que  nous  sup[)Osons  oQ 
évalué  en  unités  de  travail,  comme  les  quantités  du  second  membre. 


SUR  l'origine  de  la  chaleur  solaire  et  de  la  chaleur  terrestre        2o5 

La  chaleur  spécifique,  dans  une  modification  quelconque,  est  repré- 
sentée par  le  quotient 

8Q 

0  i 

de  la  chaleur  fournie  par  l'accroissement  de  la  température  absolue  T  : 

oQ  _  oU  OV 

Supposons  la  pression  p  très  grande.  Si  la  modification  a  lieu  à 
volume  constant,  âv  est  nul,  et  la  chaleur  spécifique  se  réduit  alors  à 

SU 
oT 

qui  généralement  est  une  quantité  finie.  Mais  à  pression  constante  (ou 
plus  généralement  à  volume  non  constant),  le  terme 

01' 

i'  oT 
peut-être  très  grand,  si  kj  n'est  pas  très  petit  :  il  est  possible  en  effet 

que   pour    un  solide,    ou  pour  un  liquide  peu  compressible,  ^r.-,  ne 

soit  pas  très  petit,  même  sous  pression  élevée  ;  toutefois  ce  n'est  pas 
ce  qui  arrive  dans  le  cas  d'un  gaz  parfait  (').  Nous  comprenons  ainsi 
comment,  sous  de  fortes  pressions,  la  chaleur  spécifique  peut  atteindre 
une  valeur  considérable. 

149.  Considérons  un  globe  chaud  qui  rayonnerait,  comme  le 
Soleil.  Perdant  de  la  chaleur  ce  globe  se  contracte  et  cette  con- 
traction tend  à  le  réchauffer .  L'ensemble  du  globe  va-t-il  s'échauffer, 
va-t-il  se  refroidir  ;  sa  température  va-t-elle  croître  ou  décroître  ?  C'est 
une  question  qui  sera  discutée  plus  loin  (Section  III).  Faisons 
cependant   la  remarque   suivante  :  pour  que  le  globe  s'échauffe  en 

oQ      . 
perdant  de  la  chaleur,  il  faut  que  la  chaleur  spécifique  w  soit  né- 


(')  Pour  les  gaz  parfaits,  lo  coefficient  de  dilatation  à  pression  constante 
-  ™  est  constant  (  et  égal  à  — ^  1  :  quand  la  pression  devient  très  grande,  le  vo- 
lume spécifique  v  devient   très   petit,   par  suite  -j.  le  devient  aussi.  Pour  un  gaz 

parfait,  la  chaleur  spécifique  resterait  donc  finie  sous  les  fortes  pressions.  Mais  il 
n'en  c«t  pas  ainsi  pour  les  solides  ou  les  liquides,  ni  même  pour  les  gaz  naturels. 


206  intPOTHÙSES    COSMOGOMQUES 

qative  ;  nous  verrons  plus  loin  que  cela  n'a  rien  d'impossible.  Il  peut 
donc  arriver  ou  que  le  globe  s'écliaulïe,  ou  qu'il  ne  se  refroidisse  que 
très  lentement  si  l'efTet  de  la  contraction,  en  accroissant  la  pression, 
est  d'augmenter  la  chaleur  spécifique. 

150.  Précédemment  (n"  148),  nous  avons  assimilé  le  Soleil  à  un 
fluide  parfait.  Si  nous  l'assimilions  maintenant  à  un  solide  élastique 
parfait,  la  même  analyse  et  les  mêmes  résultats  subsisteraient  à  peu  de 
modifications  près.  ^Jous  aurions,  au  lieu  d'une  seule  pression  p  en 
chaque  point,  à  considérer  les  composantes  de  la  pression,  bien 
connues  dans  la  théorie  de  l'Elasticité, 

P.r.v,  p. m.  P,z. 

Pyr,         Pl/iJ,  P;iz, 

/^-.       P-^u.       P^^  ; 
ces  composantes  se  réduisent  à  six  puisqu'on  a 

Ps!j  =  P,j,,  P,jz   =  Pz„,  P.x  =  Pxz. 

Les  équations  de  l'Elasticité  s'écriraient 


dpx.v  _^  dp:ru  _^    dp,.  _ 

dx           dy          dz 

-pX, 

dpyr    ,    dp,j,,        dp„,  _ 
dx    ~^   dy    "^    dz    ~ 

-PY. 

dpzx    ,    dp,,,        dp,, 
dx    ~^    dv    '^    dz    ~ 

—  pZ. 

Le  travail 


oW  =  (Xo.r  +  Yoj'  -+-  Zoz)pdx, 


accompli  dans  une  modification  virtuelle,  prendrait  la  forme  suivante 
(comme  on  le  voit  par  des  intégrations  par  parties)  : 

--iïr[/'.. 4^ -..  H-.,  cii^^.f  )-....]-, 

les  quatre  termes  non  écrits  dans  le  crochet  du  second  membre  se  dé- 
duisant, par  permulation  circulaire,  des  deux  termes  écrits.  Or,  la  dé- 


SLK    L  ORI(;!>E    DE    L\    CIIALELU    SOLAIHK    ET    DE    LA    CHALEUR    TEURESTItE  2O7 

l'ormaliou  virtuelle  est  cnliùremenl  déliiiie  par  les  six  déformations 
élémentaires  (trois  dilatations  et  trois  glissements)  : 


rp                     d.^X 

^•'""~   dx   ' 

rp                    f/.ÛV 

■r-':,r- 

„           d.oY        d.oz 
^^=—    dz'  ~^    dy  ' 

rp           d.oz        d.ox 
'"—   dx    "^    dz   ' 

rp           d.ox        d.oy 
^''■'—   dy    "^    dx 

L'équation  fondamentale  de  la  Thermodynamique  s'écrirait 

oQ  =  SU  -p..  î^^  -  ...  _  p„,  I-  _  ...  ; 

?  ? 

l'ensemble  des  six  derniers  termes  du  second  membre,  représentant 
ici  le  travail  externe  ('),  joue  le  rôle  que  jouait  le  seul  terme  po'v  dans 
le  cas  du  lluide  parfait.  Ces  six  termes  peuvent  acquérir  des  valeurs 
très  considérables  à  l'intérieur  de  la  masse  oii  les  pressions  sont  énor- 
mes. Nous  retrouvons  donc  bien  le  même  résultat  :  la  chaleur  spéci- 
fique devient  très  grande  sous  les  fortes  pressions. 

151.  Si,  maintenant,  nous  supposons  le  Soleil  visqueux,  ainsi  qu'il 
l'est  certainement  dans  la  réalité,  sa  contraction  aura  pour  effet,  non 
seulement  d'augmenter  sa  chaleur  spécifique,  mais  encore  de  déter- 
miner une  véritable  création  de  chaleur,  car  la  contraction  fait  naître 
des  frottements  qui  produisent  de  la  chaleur.  C'est  le  travail  de  la  gra- 
vitation, ainsi  transformé  en  chaleur  par  les  frottements,  qui,  d'après 
IIelmholtz,  entretient  la  radiation  solaire  (ii°  145). 

152.  Dans  l'intérieur  du  Soleil,  en  raison  de  la  très  haute  tempéra- 
ture, la  plupart  des  corps  doivent  être  chimiquement  dissociés.  Des 
courants  de  conveclion  amènent  à  la  surface  les  matières  de  ces  corps  ; 
là,  trouvant  une  température  moins  élevée,  elles  se  recombinent  avec 
dégagement  de  chaleur;  s'étant  ensuite  refroidies,  ces  matières  retom- 
bent à  l'intérieur  du  Soleil  où  elles  se  dissocient  de  nouveau.  On  peut 
concevoir  que  le  même  cycle  recommence  et  se  poursuive,  ce  méca- 
nisme permettant  à  l'énergie  emmagasinée  à  l'intérieur  du  Soleil 
de  venir  se  dissiper  à  sa  surface  (sans  qu'il  y  ait  là,  bien  entendu. 


(')  Rappelons  que,  dans  la  notation  habituelle  de  la  tliéorie  de  l'Elaslicilé,  les 
pressions  sont  regardées  comme  positives  si  elles  correspondent  à  des  tensions  et 
comme  négatives  si  elles  correspondent  à  des  compressions  ;  c'est  la  raison  des 
signes  —  qui  figurent  dans  ?Q. 


200  HYPOTHESES    COSMOGONIQUES 

créalion  de  chaleur,  puisque  ce  sont  toujours  les  mêmes  corps  qui 
alternativement  se  dissocient  et  se  recombinent). 

La  dissociation  des  matières  centrales  du  Soleil  joue  le  même  rôle 
qu'une  augmentation  ds  la  chaleur  spécifique.  En  effet,  si  c  est  la 
chaleur  spécifique,  pour  élever  de  T  degrés  la  température  superficielle 
du  Soleil,  il  faut  fournir  par  unité  de  masse  une  quantité  de  chaleur 

cT; 

s'il  faut,  en  outre,   dissocier  cette  masse,  on  devra  lui  fournir  une 
quantité  de  chaleur  supplémentaire  que  nous  pouvons  représenter  par 

aT. 

a  étant  positif.  La  quantité  de  chaleur  fournie  en  tout  sera  donc 

(c  +  ût)  T  ; 

tout  se  passe  donc  comme  si  la  chaleur  spécifique  avait  été  c  +  a  au 
lieu  de  c. 

153.  Plus  la  chaleur  spécifique  des  parties  centrales  est  grande, 
plus  est  considérable  la  provision  de  chaleur  que  représente  la  tem- 
pérature du  Soleil.  Quelle  température  peut-on  assigner  au  centre  du 
Soleil?  Celle  de  la  photosphère  est  d'environ  6000°;  mais  cette  tem- 
pérature n'est  pas  celle  de  toute  la  masse.  Puisque,  dans  certaines 
parties  de  l'atmosphère  terrestre,  il  s'établit  une  sorte  d'équilibre  adia- 
batique,  on  peut  penser  que,  dans  le  Soleil,  s'établit  un  régime  ana- 
logue, les  parties  les  plus  comprimées  étant  les  plus  chaudes  et  les 
parties  les  moins  comprimées,  les  plus  froides.  Dans  ces  conditions, 
le  gradient  de  la  température  serait,  d'après  M.  Arruenius,  de  9°  par 
kilomètre  pour  une  atmosphère  d'hydrogène  (en  admettant  que  l'hy- 
drogène soit  devenu  monoatomique  aux  hautes  températures  qui 
régnent  dans  le  Soleil).  Si  l'on  admet  que  ce  même  gradient  se  pour- 
suit jusqu'au  centre,  on  trouve  6  millions  de  degrés  comme  tempé- 
rature centrale  du  Soleil.  Il  est  inutile  d'insister  sur  tout  ce  que  des 
évaluations  de  ce  genre  présentent  d'arbitraire  et  d'incertain  ;  mais, bien 
que  la  température  superficielle  soit  faible,  il  n'en  est  pas  moins  vrai 
que  la  quantité  de  chaleur  contenue  dans  le  Soleil  est  énorme. 

Ces  diverses  considérations  nous  montrent  que  tout  a  pu  se  passer 
comme  si  la  chaleur  spécifique  du  Soleil  était  très  grande;  il  en  résulte 
que  le  Soleil  aurait  pu  emmagasiner  une  provision  de  chaleur  consi- 


SUR    L  ORIGINE    DE    I.\    CIlALELn    SOLAIRE    ET    DE    LA    CHALEUR    TERRESTRE 


209 


dérable,  sans  que  sa  température  moyenne,  et  surtout  sa  température 
superficielle,  seule  accessible  à  l'observation,  se  soient  élevées  à  des 
chiffres  non  admissibles.  Mais  ce  n'est  pas  là  une  solution  du  pro- 
blème ;  si  nous  admettons  que  cette  provision  est  due  à  l'énergie  de 
gravitation,  elle  se  trouve  toujours  limitée  par  le  calcul  de  IIelmuoltz 
et  la  difficulté  reste  entière. 

154.  Nous  avons  dit  que,  d'après  lÏEi.MUor.Tz  et  d'après  Lord  Knf,- 
viN,  le  Soleil  n'aurait  pas,  dans  le  passé,  une  durée  d'existence  attei- 
gnant 5o  millions  d'années  (').  Cette  conclusion  est-elle  acceptable!* 
La  plupart  des  naturalistes  l'ont  rejetée  absolument,  au  nom  du  trans- 
formisme, prétendant  que  l'évolution  des  espèces  a  dû  exiger  des 
centaines  de  millions  d'années;  il  est  vrai  que  cet  argument  a  perdu 
de  sa  valeur  depuis  la  découverte,  par  M.  De  Vries,  des  phénomènes 
de  mutation.  Mais  d'autres  arguments,  moins  sujets  à  de  semblables 
objections,  sont  tirés  des  faits  géologiques.  L'épaisseur  des  couches 
déposées  depuis  que  la  vie  existe  à  la  surface  de  la  Terre  (et  il  est 
bien  difficile  d'admettre  que  la  vie  ait  pu  exister  sans  Soleil)  exige, 
parait-il,  beaucoup  plus  de  5o  millions  d'années.  L'examen  des  chaînes 
de  montagnes  des  temps  géologiques  enlièrement  détruites  par  l'éro- 
sion conduit  à  la  même  conclusion  :  on  a  calculé  que,  pour  raser 
complètement  les  Alpes,  l'érosion  aurait  besoin  de  27  millions  d'an- 
nées. Or,  depuis  les  temps  dévoniens  où  la  vie  était  déjà  ancienne, 
nous  voyons  surgir  une  chaîne  pareille  aux  Alpes,  la  chaîne  calédo- 
nienne, puis  les  phénomènes  d'érosion  la  détruisent  ;  ensuite  la  chaîne 
hercynienne  s'élève  à  son  tour  et  est  rasée  par  l'érosion,  puis  vient  le 
calme  des  temps  secondaires,  et  enfin  la  période  tertiaire  où  se  sont 
formées  les  Alpes,  Les  géologues  sont  donc  très  à  l'étroit  avec  5o  millions 
d'années,  et  ils  réclament  un  temps  beaucoup  plus  long.  La  difficulté 
est  d'autant  plus  fâcheuse  que  Lord  Kelvin  a  calculé  aussi  combien 
de  temps  il  a  fallu  à  la  Terre  elle-même  pour  se  refroidir,  et  qu'il  est 
arrivé  à  un  chiffre  du  même  ordre  que  pour  l'âge  du  Soleil. 

II.  —  Chaleur  terrestre. 

155.  Exposons  les  calculs  de  Lord  Kelvin  sur  le  refroidissement 
de   la   Terre.    Reprenant    une    hypothèse    faite    antérieurement   par 

(»)  Nous  verrons  un  peu  plus  loin  (n°  163)  que  la  découverte  des  phénomènes 
radioactifs  fait  entrevoir  la  possibilité  d'augmenter  de  beaucoup  cette  durée. 

PoKCAnÉ  i4 


3IO  HYPOTHKSES    COSMOGOMQLES 

Poisson,  Lord  Kelvin  suppose  que  la  Teiie  aurait  autiefuis  parcouru 
des  espaces  chauds  où  elle  aurait  pris,  dans  toute  sa  niasse,  une  cer- 
taine température  uniforme,  et  que,  étant  arrivée  ensuite  dans  des 
espaces  plus  froids,  elle  aurait  commencé  à  se  refroidir.  C'est  ce 
refroidissement  que  nous  voulons  étudier. 

Prenons  donc  une  sphère  homogène  dont  la  température  initiale,  à 
l'époque  /  =  o,  est  uniforme  et  partout  égale  à  V,  et  plaçons-la  dans 
un  milieu  indéfini  à  température  zéro  (').  La  sphère  va  se  refroidir 
par  sa  surface,  celle-ci  prenant  par  hypothèse  la  même  température 
zéro  que  le  milieu  avec  lequel  elle  est  en  contact. 

Comme  le  rayon  de  la  sphère  terrestre  est  très  grand,  nous  le  sup- 
poserons infini.  Le  problème  se  ramènera  ainsi  à  celui  qu'on  désigne 
souvent,  d'après  Fourier,  sous  le  nom  de  problème  du  mur  indéfini 
se  refroidissant  par  contact  :  deux  milieux  I  et  II  sont  séparés  par  un 
plan  ;  le  milieu  I  sera  la  Terre,  le  milieu  II  l'espace  céleste  et  le  plan 
sera  le  plan  du  sol.  Prenons  pour  axe  des  x  une  perpendiculaire  à  ce 
plan  séparateur,  dirigée  vers  l'intérieur  du  milieu  I,  ce  plan  sépa- 
rateur ayant  alors  lui-même  pour  équation 


Il  s'agit  de  déterminer  la  température  i'  du  milieu  I  (fonction  de  x 
et  de  /  définie  pour  a;  >  o  et  /  >  o),  sachant  que  pour  /  =  o  cette 
température  est  uniforme  et  égale  à  Y,  et  que  pour  /  >  o  la  tempéra- 
ture superficielle  (pour  x  =  o)  est  v  =  o. 

La  fonction  v  n'est  définie  que  pour  £C  >■  o,  mais  nous  pourrons 
compléter  sa  définition  pour  x  <C  o,  en  convenant  de  prendre  pour  v 
une  fonction  impaire  de  x 

V  ( —  x)  =  —  V  {x)  ; 

alors  la  fonction  v  (si  elle  est  continue)  s'annulera  bien  pour  x  ^  o, 
comme  nous  le  voulons. 

L'équation  aux  dérivées  partielles  à  laquelle  satisfait  v  est  celle  de 

FOURIEK 

dv ,  d^v 

dt  dx^ 


(')  C'est-à-dire  que  nous  prenons  pour  zéro  des  tempcralurcs  la  tempcialure  du 
milieii  supposée  uniforme  et  constante. 


SLR  L  01U(;i>E  DE  I.  V  CHALEUR  SOLAIRE  ET  UE  LA  CMALELU  TERRESTUi;     311 

OÙ  k  est  une  constante  positive  (dépendant  de  la  conductibilité  du  mur 
et  de  sa  chaleur  spécifique). 
Considérons  la  fonction 

dv 
ilx 

Cette  fonction  satisfera  évidemment  à  la  même  équation  aux  dérivées 
partielles 

.  .  du        ,  d'U 

^'^  'dt=^',Lc^- 

Comme,  pour  /  =  o,  on  a 

t*  =        V         pour  a;  >>  o, 
u  =  —  \  pour  X  <Ci  o; 

la  fonction  u  satisfera,  pour  /  =o,  aux  conditions  initiales  suivantes  : 

«  =  o  pour  X  >•  o, 

u  =  o  pour  a;  <<;  o, 

u  ^  ce  pour  a-  =  o. 

Il  faut  donc  trouver  une  fonction  u,  de  x  et  de  /,  qui  satisfasse  à 
l'équation  (2)  et  qui,  pour  l  tendant  vers  o,  tende  elle-même  vers  o 
quel  que  soit  x,  sauf  pour  a;  =  o,  valeur  pour  laquelle  elle  tend  vers 
l'infini.  Il  est  facile  de  voir  que  la  fonction 

(3)  «  =  4  e~^^ 

satisfait  à  toutes  ces  conditions,  A  étant  une  constante. 
On  aura  alors 


X- 

ndx  =  A         -  e     ''^\\x 


il 

Pour  déterminer  la  constante  A,  nous  écrivons  que,  pour  x  =  -\-  '-^  , 
le  refroidissement  ne  s'est  pas  encore  fait  sentir  et  que  la  température 
est  égale  à  V  : 


^-^r^'%> 


212  HYI'OTIIliSES    COSMOGO:«IQL'ES 

l'intégrale  définie  du  second  membre,  qui  est  bien  connue,  a  pour 
valeur 


,f 


d^  :=  M-  ; 


par  conséquent  la  constante  A  a  pour  valeur 

A=X. 

La  température  v  a  donc  pour  expression 


e     ''Ux. 


156.  La  quantité 

dv  

dx 

représente  l'inverse  du  degré  fjéo thermique  :  le  degré  géothermique 
est  la  quantité  dont  il  faut  s'enlbncer  à  l'intérieur  du  sol  pour  voir 
croître  la  température  de  i°,  La  valeur  de  cette  quantité  pour  x  =  o 
est 

'dv\    _  A 
Jxl  ^        /L 
_    V 

Or,  pour  X  =  o,  c'est-à-dire  à  la  surface  du  sol,  nous  connaissons  le 
degré  géothermique  :  il  est,  en  moyenne,  égal  à  35  mètres  environ. 
Nous  connaissons  aussi  la  valeur  de  k,  qui  dépend  de  la  chaleur  spé- 
cifique et  de  la  conductibilité  thermique  du  sol.  Mais  nous  ignorons 
la  valeur  de  V  et  celle  de  /. 

La  valeur  que  Lord  Kelvin  adopte  pour  k  correspond  à 

k  =  ko, 

si  l'on  prend  pour  unité  de  temps  l'année  et  pour  unité  de  longueur 
le  mètre.  Il  vient  donc 

'dv\    _     V 
y.dxl^        V/ZioTrf 

— _L  y. 


SLH    l'oHIOINE    de    LA    CIIAI.ELII    SOLAIRE    ET    DE    LA    CHALEUR    TERRESTRE  21 S 

Faisant 

/,/,.\    _  I 
\dxL  ~35 


nous  aurons 


Y  =  '  !  s't         soit  -^   v'/. 

00  '  lO  * 

La  température  uniforme  A  à  laquelle  on  doit  supposer  que  la  Terre 
a  été  initialement  chauHée,  est  donc  [)rùporlionnellc  à  la  racine  carrée 
du  temps  /  depuis  lequel  elle  se  relroidil.  Si  nous  faisons 

t  =z  loooo  années, 
nous  aurons 

^"  =  3o" 

chiffre  évidemment  trop  faible.  Si  nous  faisons 

l  z=  locoooooo  d'années, 

nous  aurons 

V  =  3ooo", 

température  supérieure  à  la  température  de  fusion  de  presque  tous  les 
corps.  On  peut  penser  que  les  parties  profondes  de  la  Terre  n'ont  pas 
une  température  supérieure  à  celle-là.  Dans  cette  hypothèse,  la  Terre 
aurait  donc  commencé  à  se  refroidir  il  y  a  cent  millions  d'années. 

157.  Examinons  les  objections  qui  pourraient  être  faites  à  la  théorie 
précédente.  \ous  avons  (n"  155)  remplacé  la  sphère  terrestre  par  le 
mur  plan  indéfini.  Cette  simplification  est-elle  légitime?  La  formule 

(3)  montre  qu'à  chaque  époque  l,  le  gradient  ,-  de  la  température  est 

proportionnel  au  facteur 

_  ■'■       _  j^'L 

(en  adoptant  pour  /»  la  valeur  correspondant  à  celle  que  lui  attribue 
Lord  Kelvin).  Faisons 

t=  lO» 

soit  I  milliard  d'années;  à  quelle  profondeur  x  faudra-t-il  s'enfoncer 
pour  que  ce  facteur  devienne  égal  à  e~"  (c'est-à-dire  pour  que  le  gra- 


2l4  HYPOTHÈSES    COSMOGONIQI  ES 

dienl  devienne  pratiquement  nul)  ?  Pour  calculer  cette  profondeur  il 
faudra  écrire 


ce  qui  donne  x-  de  l'ordre  de  lo'^  et  a;  de  l'ordre  de  lo".  Il  fau- 
dra donc  descendre  à  i   million  de  mètres,  soit  à  looo  kilomètres 

ou  à  |T  à  peine  du  rayon  terrestre.    L'influence  de  la  courbure  n'est 

donc  pas  très  grande  et  l'assimilation  de  la  sphère  au  mur  plan  est 
assez  légitime. 

158.  Mais  d'autres  objections  auraient  plus  de  portée.  iNous  avons 
supposé  que  la  sphère  terrestre  est  partie  d'une  température  uniforme 
et  que  le  refroidissement  a  commencé  brusquement,  la  superficie  pre- 
nant immédiatement  et  conservant  la  température  zéro  du  milieu  froid 
dans  lequel  la  sphère  arrivait.  Actuellement,  le  refroidissement  n'aurait 
pas  encore  gagné  les  parties  centrales  de  la  Terre,  qui  auraient  con- 
servé leur  température  initiale. 

On  pourrait,  au  contraire,  pour  se  rapprocher  d'un  autre  problème 
classique  de  la  théorie  analytique  de  la  chaleur,  supposer  que  la 
sphère  est  partie  d'une  distribution  initiale  quelconque  des  tempéra- 
tures, et  qu'elle  s'est  trouvée  plongée  dans  un  milieu  à  température 
zéro.  On  sait  qu'alors  la  température  v,  à  une  époque  quelconque  /, 
peut  se  représenter  par  une  série  de  la  forme 

les  a  étant  des  constantes  positives  de  plus  en  plus  grandes;  les  U 
étant  des  fonctions  dépendant  des  coordonnées  x,  y,  z  du  point  envi- 
sagé, mais  ne  dépendant  pas  du  temps  /  ;  les  c  étant  des  coellicients 
constants  dépendant  de  l'état  initial.  Les  e\ponentielles  décroissent 
très  rapidement  quand  /  augmente,  et,  au  bout  d'un  certain  temps, 
la  seule  exponentielle  non  tout  à  fait  évanouie  est  la  première,  celle 
qui  correspond  au  plus  petit  des  nombres  7..  Le  premier  terme 

représente  donc  l'étal  pénnUième  de  la  sphère,  état  auquel  elle  arrive 
assez  vite  et  que  nous  pouvons  par  suite  supposer  atteint  actuellement. 


SUR    l'0RIGI>E    de    la    CUALEin    SOLilWE    ET    DE    LA    CllALELU    TERRESTRE  21 

Dans  le  cas  actuel,  qui  est  celui  de  la  sphère,  ce  i)remier  terme 


e-'''U, 


se  calcule  facilement  :  la  lonction  U,  ne  dépend  que  de  la  distance  r 
au  centre  de  la  sphère.  L'équation  aux  dérivées  partielles  de  Foluier 


^^  /   A 

^7  =  ^^' 


s'écrit  alors,  u  ne  dépendant  que  de  /•, 

dv .  l'd-v        2  dv\ 

dt  ~~      \d?'~^rdr)' 

.Nous  avons,  pour  cette  équation,  la  solution  suivante 


,,,  ,-   —  7.1  sin  /r 

^  ^  /r 

les  constantes  a  et  À  étant  liées  par  la  relation 

a  =  A),-. 

Pour  déterminer  1  nous  écrirons,  en  admettant  toujours  que  le  refroi- 
dissement se  fait  par  contact,  que  la  superficie  de  la  sphère  est  à  la 
température  zéro.  Par  suite,  en  appelant  R  le  rayon  de  la  sphère,  on 
doit  avoir 

sin  XR  =  o. 

Prenant  donc 

ÀR  =  - 

nous  obtiendrons  la  plus  petite  valeur  de  a 

a  =  ^'  S2  • 

L'état  pénultième  de  la  sphère  est  alors  donné  par  la  formule  (4). 
Nous  en  déduisons,  pour  le  gradient  de  la  température  à  la  surface 
(pour  7'  =  R), 

■      /dv\  T-    —  a(  X  COS  ),R  T-    —  aM 

-[dr).  =  -^'  ^R— =  ^^         R' 


2l6  IlYPOTHÈSliS    COSMOGOî<IQUES 

d'où 
et 


■^>-«©,.- 


Remplaçant — (-.'^|  par  ^^^  (inverse  du   degré  géothermique)  et  R 

j^ar  6.10''  (rayon  terrestre),  il  vient 

,.  ^  6.10'' 

K>  -35- >  ^7•IO^ 

Quelle  est  la  température  au  centre  de  la  sphère  terrestre  ?  Nous 
obtiendrons  cette  température  en  faisant  r  =  o  dans  la  formule  (4)  : 

Si,  dans  cette  formule,  nous  faisions  /  =  o,  nous  trouverions  pour 
la  température  initiale  au  centre 

f  =  K  >  17.  10^  ; 

mais   observons  que  la  formule  précédente  n'est  valable   que   pour 
l'état  pénultième  et  nullement  pour  les  états  voisins  de  l'état  initial. 
La  rapidité  de  décroissement  de  la  température  avec  le  temps  est 
mesurée  par  le  coefficient 

a  =  h-  nT,  =  AO 


R2  —  ^"  (6.  io«)2 


environ  ;  l'exponentielle  décroissante  est  donc 


i 


Ainsi,  au  bout  de  loo  milliards  d'années  la  température  aura  décru 
dans  le  rapport  de  e  à  ( . 

Nous  nous  trouvons  donc  dans  des  conditions  très  différentes  de 
celles  011  nous  étions  précédemment  (n"  156).  C'est  que  des  hypo- 
thèses différentes  ont  été  faites  :  ici  nous  supposons  que  le  refroidisse- 
ment s'effectue  depuis  longtemps  et  que  l'état  pénultième,   quasi- 


Sun    L  OniGINE    DE    LA    CIIAI.ELR    SOLAIIIE    KT    HE    LV    ClIALELR    TEKHESTHE  Ul' 

stationnai le,  est  atteint;  là,  au  contniiie,  nous  supposions  avec  Lord 
Kelvin,  que  la  Terre  était  partie  d'un  état  initial  où  la  lompéralure 
était  uniforme,  cl  que  le  refroidissement  n'a\alt  pas  encore  eu  le 
temps  de  gagner  le  centre.  L'une  des  deux  hypothèses  n'est  pas  plus 
invraiseniblahle  que  l'autre. 

159.  —  Jusqu'ici  nous  avons  toujours  admis  que  le  refroidisse- 
ment se  faisait  par  contact,  c'est-à-dire  que  la  Terre  arrivant  dans  un 
milieu  à  température  zéro,  sa  superlicle  prenait  immédiatement  et 
conservait  la  température  zéro  de  ce  milieu.  Ce  n'est  pas  ainsi  que  les 
choses  se  passent  et  en  réalité  le  refroidissement  se  fait  plutôt  [)ar 
rayonnement  :  la  surface  de  la  Terre  ne  prend  pas  la  température 
zéro  du  milieu  environnant,  mais  elle  perd  par  unité  de  temps  une 
quantité  de  chaleur  proportionnelle  à  l'excès  v  de  la  température  de 
sa  superficie  sur  celle  du  milieu  ambiant.  Ce  flux  de  chaleur  perdue 

étant  lui-même  proportionnel  à  la  dérivée  normale  ,~  de  la  tempéra- 
ture, la  condition  qui  doit  maintenant  èlrc  remplie  à  la  surface  est 

dv        , 
an 

h  étant  une  constante.  Dans  celle  nouvelle  hypothèse,  la  superficie 
n'étant  pas  à  la  température  zéro,  mais  à  une  température  supérieure, 
le  refroidissement  se  fera  plus  lentement  que  dans  l'ancienne  hypo- 
thèse. 

160.  Dans  tous  les  cas,  c'est  par  sa  surface  que  la  Terre  se  refroidit. 
La  croûte  superficielle,  l'écorce  terrestre,  se  contracte  et  doit  hlenlùl, 
semble- t-il,  devenir  trop  petite  pour  le  noyau  qu'elle  enveloppe.  Des 
fentes  devraient  donc  s'y  produire,  semblables  à  celles  qui,  d'après 
MM.  LoE\vY  et  PriSELx,  existent  à  la  surface  de  la  Lune.  Or.  ce  sont 
au  contraire  des  couches  plissées  que  les  géologues  observent  dans  les 
régions  tourmentées.  On  est  donc  porté  à  croire  que  la  croûte  est 
devenue  trop  large  pour  le  noyau  qu'elle  recouvre,  et  que  c'est  le 
noyau  qui  se  contracte  plutôt  que  l'écorce. 

U  ne  faudrait  pas  dire  :  la  croûte  superficielle  recevant  de  la  cha- 
leur du  Soleil  et  le  noyau  n'en  recevant  pas,  c'est  le  noyau  qui  doit 
se  refroidir  e.l  non  la  croûte  superficielle.  Ce  raisonnement  serait  dé- 
fectueux, car  c'est  toujours  par  la  superficie  que  la  chaleur  s'échappe. 


310  HYPOTIIliSES    COSMOGOMQUES 

et  les  couches  internes  n'auraient  aucune  raison  de  se  refroidir  si  les 
couches  externes  ne  l'avaient  pas  fait  avant  elles. 

161.  M.  RuDZKi  a  calculé  (^)  quelle  est  la  quantité  de  chaleur  per- 
due par  la  Terre  dans  son  refroidissement.  Soient  G  le  degré  géo- 
thermique (égal  à  35  mètres  ou  3  5oo  centimètres)  et  k  la  conducti- 
bilité des  roches  qui  forment  la  surface  de  la  Terre  (on  a  /t  =  o, 00682 
en  unités  G.  G.  S.,  d'après  Lord  Kelvin).  Le  flux  de  chaleur  perdu 

k 
par  seconde  et  par  centimètre  carré  étant  p  ,  on  a 

k        0,00582      ,    . 

7s  =  —or calones-"rammes, 

G  6  000  ° 

soit  une  perte  de  62  calories-grammes  par  centimètre  carré  et  par  an. 
M.  RuDZKi  cherche  aussi  (-)  à  se  rendre  compte  de  combien  le 
rayon  terrestre  se  raccourcit  par  suite  de  la  contraction  due  au  refroi- 
dissement. Soient  a  le  coefficient  de  dilatation  linéaire  de  la  Terre, 
S^a  son  coefficient  de  dilatation  cubique  et  T  la  température  d'un 
élément  de  volume  d-.  Dans  le  temps  et,  cet  élément  cl-  voit  son 
volume  varier  de 

o      dT  .,   , 

ou  -,,    et  ilz. 
dt 

Par  conséquent  la  variation  de  volume  âW  de  la  Terre  est 

l'intégrale  étant  étendue  à  tout  le  volume  de  la  Terre.  La  tempéra- 
ture T  satisfait  à  l'équation  de  Fouuier 

dT  „, 

Si  l'on  admet  que  u.  et  a  sont  des  constantes,  il  vient 
cV  =  3o/aa  ffi  AT(/t 


=  Solixa  I  I    '-^^-  <h; 


(•)  D"^  M.  I^.  RuDZKi  :  Physik  der  Erde  (Tauchnilz,  Leipzig,  itjii),  p.  118. 
(-)  RuDZRi  :  Loc.  cit.,  p.  315-217. 


Sun  l'oiugine  de  i.a.  chalelr  soi.miu;  et  de  l\  ciialelu  teiuiestiu:        219 

J'y 

or  j-  esl  (au  signe  près)  l'inverse  du  degré  géothermique  ;  donc 

0  \  =  —  .irj  ,xa  I  I  -p  =  —  •>  '■■''  [J-  «    -p —  . 

R  désignant  le  rayon  terrcslrc. 

Mais  d'autre  part,  on  a  évidemment 

On  trouve  donc,  en  égalant  ces  deux  valeurs  de  â\, 

SU 3  (la 

'et  ~         G'- 

En  reniplac.anl  u.  et  a  par  les  valeurs  numériques  qui  conviennent 
en  mo\enne  aux  roches  terrestres,  on  trouve 

ÔR 

-1^  ^  —  0,004  environ  ; 
tt 

le  rayon  terrestre  se  raccourcirait  donc  de  /i  millièmes  de  cenlimètrc 
par  an. 

Ce  calcul  suppose  que  ^a  et  a  sont  des  constantes.  Il  n'en  est  certai- 
nement pas  ainsi  dans  la  réalité,  surtout  pour  a  qui  dépend  de  la 
chaleur  spécifique.  Nous  avons  exposé  plus  haut  comment  le  cocfll- 
cient  de  dilatation  et  la  chaleur  spécifique  doivent  dépendre  de  la 
pression  qui  est  énorme  dans  les  parties  centrales. 

Certains  plis  montagneux  donnent  une  idée  du  rétrécissement  de  la 
croûte  terrestre  et  par  suite  de  la  diminution  du  rayon.  Comparant 
les  résultats  de  ses  calculs  et  les  résultats  donnés  par  l'observation 
de  ces  plis,  M.  Rld/.ki  croit  pouvoir  conclure  que  la  Terre  se  refroi- 
dirait depuis  3  milliards  d'années. 

162.  D'autres  méthodes  ont  été  proposées  pour  évaluer  l'âge  de  la 
Terre. 

a,  La  salure  de  la  mer  doit  augmenter  peu  à  peu,  puisque  l'eau 
qui  s'évapore  à  sa  surface  est  pure,  tandis  que  l'eau  que  lui  apportent 
les  fleuves  contient  en  solution  des  sels  qui  ont  été  dissous  dans  leur 
trajet.  Évaluant  la  quantité  de  sel  dont  la  mer  s'enrichit  ainsi  par  an, 
M.  JoLY  a  calculé  qu'elle  a  dû  mettre  100  millions  d'années  à  atteindre 
son  état  de  salure  actuel. 


IIIPOTHKSES    COSMO(;OMQLES 


b)  Depuis  répoque  cambrienne  il  a  pu  se  déposer  3oooo  mètres  de 
sédiments;  or,  comme,  d'après  les  géologues,  la  formation  d'un  mètre 
de  sédiment  exige  de  3  ooo  à  20000  années,  il  se  serait  donc  écoulé 
de  90  millions  à  600  millions  d'années  depuis  l'époque  cambrienne. 

c)  L'uranium  dégage  de  l'hélium  avec  une  rapidité  connue.  Mesu- 
rant donc  la  quantité  d'hélium  contenue  dans  les  roches  uranifères, 
on  en  a  déduit  que  ces  roches  pouvaient  avoir  ^|00  millions  d'années 
d'existence. 

d)  Le  radium  émet  constamment  de  la  chaleur  en  se  transformant 
en  émanation  :  d'après  Curie,  i  gramme  de  radium  émet  100  petites 
calories  par  heure.  IN 'est-il  pas  permis  de  voir  là  l'origine  de  ce  (lux 
de  chaleur  que  révèle  le  degré  géothermique?  Les  roches  granitiques 
renferment  une  fraction  de  radium  qu'on  a  évaluée  à  4-  io~'^  de  leur 
masse  totale.  Si  l'on  admettait  que  toute  la  Terre  possède  autant  de 
radium,  on  aurait  7^  fois  trop  de  chaleur  pour  réparer  la  perte  de 
chaleur  due  au  refroidissement.  C'est  i)Ourquoi  on  a  proposé,  pour 
rétablir  l'équilibre,  d'admettre  que  le  radium  n'existe  que  jusqu'à 
une  profondeur  de  72  kilomètres. 

Il  est  vrai  que  le  radium  ne  dure  pas  très  longtemps  :  en  l'espace 
de  1  200  à  I  900  ans  il  est  presque  com[)lètement  détruit.  On  a  admis 
alors  que  le  radium  n'est  qu'un  produit  de  transformation  de  l'ura- 
nium qui,  lui,  ne  se  transforme  que  très  lentement. 

163.  Les  considérations  précédentes  ont  été  étendues  au  Soleil  et 
l'on  a  proposé  d'admettre  que  l'énergie  qu'il  rayonne  est  d'origine 
radioactive.  On  pourrait  augmenter  ainsi  dans  des  proportions  consi- 
dérables la  quantité  d'énergie  que  le  Soleil  contient  en  réserve,  et 
prolonger  de  beaucoup  sa  durée,  aussi  bien  dans  le  passé  que  dans 
l'avenir.  Malgré  ce  que  cette  théorie  a  d'hypothétique  et  de  prématuré, 
elle  suffît  à  nous  convaincre  que  les  chiffres  de  Lord  Kelvin  et  de 
Helmholtz,  qui  refusent  au  Soleil  un  âge  supérieur  à  5o  millions 
d'années,  ne  doivent  pas  être  acceptés  sans  les  plus  expresses  ré- 
serves. Un  fLiit  entièrement  inconnu  de  IIelmuoltz  suffît  pour  que  son 
raisonnement  perde  sa  force  probante  ;  il  y  a  sans  doute  beaucoup 
d'autres  sources  ou  réservoirs  d'énergie  que  nous  ne  pouvons  pas  plus 
soupçonner  que  Helmholtz  ne  soupçonnait  le  radium. 


SUR    L  ORIGINE    DE    L\    CHAIELII    SOLAIRE    ET    DE    LA   CHALELIl    TERRESTRE 


III.  —  Équilibre  adiabatique  d'un  gaz  parfait    '  . 

164.  >'ous  avons  posé  'n"  149  la  question  suivante  :  une  masse 
chaude  qui  rayonne  tend  à  se  contracter,  la  contraction  tend  à  l'é- 
cliauiïer  ;  la  masse  va-t-ellc  linalemenl  s'échauffer  ou  se  refroidir  en 
perdant  de  la  chaleur?  Nous  allons  approfondir  cette  question  en 
supposant  que  la  masse  est  Ibrmée  par  un  <jaz  parfait  en  équilibre 
adiabalique  :  nous  entendons  par  là  un  état  tel  que  l'équilihre  des 
températures  ne  soit  pas  altéré  par  la  circulation,  sans  gain  ni  perle 
de  chaleur,  d'une  ]iarlio  de  la  matière  dans  un  tuhe  fermé  sur  lui- 
même. 

La  masse  gazeuse  va  prendre  évidemment,  sous  l'action  de  sa 
propre  gravité,  une  forme  spliérique  formée  de  couches  concentriques 
homogènes.  Soient  r  le  rayon  d'une  couche  spliérique  d'épaisseur  dr, 
0  sa  densité,  M  la  masse  gazeuse  intérieure  à  la  sphère  de  rayon  r. 
Nous  aurons 

(5)  (/M  =  4-r^sf/r. 

Appelant  /)  la  pression,  l'équation  de  l'Hydrostatique  donne 

dp  M 

\  )  dr  '  r- 

D'ailleurs,  puisqu'on  suit  la  loi  adiabatique,  la  pression  \)  est  pro- 
portionnelle à  iï  y  ^=  -  désignant  le  rapport  des  deux  chaleurs 
spécifiques  du  gaz  à  pression  constante  et  à  volume  constant)  : 

V  =  ^?    y 
d'où  nous  déduisons 

(7'  -'-  =  Y  —  . 

P  ? 

Les  trois  équations  5),  (G)  et  (-)  forment  un  système  de  trois 
équations  différentielles  du   premier  ordre,   propres  à  déterminer  M, 


(<)  J.  HoMER  La>-e  :  On  ihe  titeoretical  température  of  the  San  (American  Journal 
of  Science,  juillet  1870,  t.  5o,  p.  57-7'j). 


HYPOTHESES    f:0SMO(;O>iIQUES 


p  el  c  en  fonction  der,  moyennant  les  conditions  suivantes  servant  de 
conditions  initiales  : 

et      p  =  o. 


pour  ; 

•  =  U 

on  devra  avoir 

M  =  U, 

pour  ; 

■  =  o 

on  devra  avoir 

U=  o; 

r 

par 

ixr, 

M 

pa  r 

M. 

/' 

par 

IX- 'p. 

p 

par 

ix-'^p. 

R  désigne  le  rayon  de  la  sphère  et  M^  la  masse  totale. 

L'intégration  s'elïectuerait  sans  difficultés,  mais  nous  n'en  avons 
pas  besoin. 

Demandons-nous  ce  qui  se  passera  si  la  sphère  se  contracte,  c'est- 
à-dire  si  l'on  fait  varier  R.  Nous  allons  appliquer  le  principe  de 
similitude  mécanique.  Remarquons  que  si  l'on  remplace 


(8) 


les  équations  (5),  (6)  et  (7)  ne  changent  pas.  C'est  dire  que,  si  le 
rayon  de  la  sphère  varie,  la  pression  varie  comme  l'inverse  de  la 
quatrième  puissance  du  rayon,  et  la  densité  comme  l'inverse  du 
cube  du  rayon  (cette  variation  de  la  densité  était  facile  à  prévoir 
d'après  le  principe  de  conservation  de  la  masse). 

Mais  comment  variera  la  température  T  ')  L'équation  caracté- 
ristique des  gaz  parfaits  est  (') 

pv  =  RT. 

Puisque,  par  la  substitution  (8).  p,  se  trouve  multiplié  par  fj.-^  et 
V  par  p?,  T  se  trouve  multiplié  par  [J-^^.  La  température  varie  donc 
en  raison  inverse  du  rayon  :  quand  la  sphère  se  contracte  la  tempé- 
rature s'élève  ;  autrement  dit,  le  coefficient  de  dilatation  est  négatif. 

Si  l'on  avait  effectué  l'intégration,  avec  les  données  relatives  au 
Soleil,  on  aurait  obtenu,  en  admettant  que  le  Soleil  est  formé  de  gaz 
hydrogène,  supposé  monoalomique  aux  hautes  températures,  les 
résultais  donnés  par  le  Tableau  suivant  : 

(')  R  désigne,  dans  cette  équation,  la  constante  des  gaz  parfaits 

R  =  G  —  c; 

la  niûme  lettre  R  désignait  plus  haut  le  rayon  de  notre  sphère  :  aucune  confusion 
n'est  à  craindre. 


SUR  l'origine  de  l\  ciialecr  sol.mre  et  de  la  chalelr  terrestre        223 


Distance  au  centre 
en  fraction  du  rayon 

Dsnsité 

Pression 
en  atmosphères 

Températures 
en  degrés 

O 

0,5 

0,9 

3,5', 

0.2 

8.109 

a.io'-* 

0  017.10'-' 

2^.10''' 
2.10'' 

165.  Etudions  maintenant  la  chaleur  spccijiquc  de  la  masse 
gazeuse.  L'équation  fondamentale  de  la  Thermodynamique  donne, 
en  appelant  (/Q  la  quantité  de  chaleur  que  reçoit  l'unité  de  masse, 

(/O  =  rfU  -^  pdv 

r/U  désignant  l'augmentation  d'énergie  interne  et  pdvh  travail  externe 
dû  à  l'accroissement  do  du  volume  spécifique. 
Pour  vm  gaz  parfait,  on  a 

di:  =  cdT 
et  d'ailleurs 

pv  =  RT  =  {C  —  c)  T. 

Dans  le  cas  d'équilibre  adiabatique,  T   varie  en  raison  inverse  du 

I 

rayon,  c'est-à-dire  qu'il  est  proportionnel  à  i'     ^  :  on  a  donc 

do  _       .,  dT  . 

.)      -rrC     > 

V  i 


par  suite 


Il  vient  donc 


pdv  r=  py  —  =  —  3  :  C  —  c)  dT. 


dQ=:c<n  —  Z{C  —  c)dT. 


Cela  revient  à  dire  que  la  chaleur  spécifique  de  la  masse  gazeuze, 
dans  les  conditions  d'équilibre  adiabatique  que  nous  supposons,  est 

c  — 3(C  — c). 

G 

Son  signe  dépend  de  la  valeur  du  rapport  -• 


224  IIYPOTHIiSES    COSMOGONIQLES 

i"  Pour  les  gaz  monoatomiques  (comme  sont  l'hélium,  la  vapeur 
de  mercure,  et  comme  sont  probablement  tous  les  gaz  aux  hautes 
températures  du  Soleil),  on  a 

C_5. 
c  ~3' 

ce  qui  donne,  comme  chaleur  spécifique  de  la  masse, 

quantité  négative.  Donc,  quand  le  gaz  rayonnera,  c'est-à-dire  perdra 
de  la  chaleur,  sa  température  augmentera.  Comme  le  coefficient  de 
dilatation  est  aussi  négatif,  le  volume  du  gaz  diminuera  en  même 
temps. 

2°  Pour  un  gaz  diatomique,  on  a 

c        5' 
ce  qui  donne  à  la  chaleur  spécifique  la  valeur 

-4'-K?-')]=-5- 

quantité  encore  négative.  Aous  aurons  donc  les  mûmes  conclusions. 
3°  Pour  un  gaz  triatomique  ou  polyatomique  on  trouverait  une 
chaleur  spécifique  positive  :  la  masse  perdant  de  la  chaleur,  sa  tem- 
pérature diminuerait  ;  mais,  le  coefficient  de  dilatation  étant  négatif, 
son  volume  augmenterait  en  même  temps. 

166.  Telles  sont  les  conclusions,  d'allure  paradoxale  à  première 
vue,  auxquelles  nous  conduit  la  théorie  des  gaz  parfaits.  Il  ne  faut  pas 
se  hâter  d'en  déduire  que  ces  conclusions  sont  applicables  au  Soleil, 
parce  que  celui-ci  est  sans  doute  fort  loin  de  l'état  de  gaz  parfait. 

167.  Il  est  intéressant  de  retrouver  les  mêmes  résultats  en  s'ap- 
puyant  sur  la  théorie  cinétique  des  gaz.  Rappelons-nous  que  le  théo- 
rème du  viriel  (n"  74)  nous  a  fourni  l'équation  (') 

(9)  ^T  -t-  V  =  G. 

(')  Il  est  bien  entendu  qu'il  ne  s'agit  ici  que  de  valeurs  moyennes.  Aussi  nous 
dispensons-nous  de  surmonter  d'un  trait  les  lettres  T  et  V. 


SLR    LOUIGIXE    Di:     L.V    CHALEUH    SOLVIUE    ET    DE    LA    ClIALELll    TEUItESlME  22â 

OÙ  T  représente  la  deiiii-lorce  \ivc  de  Iraiislaliori  des  molécules  et  V 
leur  viriel.  Dans  le  cas  d'un  gaz  renfermé  dans  un  récipient,  le  viriel 
a  pour  valeur 

\-  =  —  3y>i'  ; 

mais  lorsqu'il  s'agit,  comme  ici,  d'une  masse  gazeuse  libre  dont  le» 
molécules  sont  soumises  à  l'altraclion  ne^vloniennc,  le  viriel  est  é'^al 
à  l'énergie  potentielle  (n"  76)  ;  on  a  donc 

Y  '\^  mm' 

r  désignant  la  distance  qui  sépare  les  deux  molécules  quelconques  m 
et  m' . 

Supposons  que  la  masse  gazeuse  reçoive  une  quantité  de  ciialeur 
</Q.  A  ce  gain  de  chaleur,  correspond  un  accroissement  de  la  demi- 
force  vive  de  translation  T  et  un  accroissement  de  l'énergie  poten- 
tielle.   L'énergie  potentielle  étant  égale  au  viriel  V,  nous  écrivons 

<io)  d()  =  dT^d\. 

Cette  équation  n'est  exacte  que  pour  un  gaz  monoatomique,  car 
pour  un  gaz  polyatomique  la  l'orcc  vive  totale  se  compose,  non  seu- 
lement de  la  force  vive  2T  de  translation  des  molécules,  mais  encore 
de  la  force  vive  due  aux  mouvements  des  atomes  d'une  même 
molécule  les  uns  autour  des  autres.  Dans  la  théorie  cinétique  des 
gaz,  ces  deux  sortes  de  forces  vives  sont  proportionnelles  l'une  à 
l'autre,  et  la  demi  force  vive  totale  peut  s'écrire 

'A\ 

tx  désignant  un    coefficient   égal   à   i    pour  les  gaz  mouoatomiques, 
supérieur  à  1  pour  les  gaz  polyatomiques. 

L'équation  (10)  doit  donc  être  remplacée  par  la  suivante  : 

dQ  =  [jdT  4-  d\  ; 

et  comme  l'équation  (9)  du  viriel  donne 

2dT  -+-  dY  :=  o, 
nous  aurons 

dQ  =  {ix—2)dT. 

Poi.NOARÉ.  l5 


<j20  ini'OTllÈSES    COSMOGO:<IQL'ES 

Comme  T  est  proportionnel  à  la  température  absolue,  la  chaleur 
spécifique  de  la  masse  gazeuse  est  proportionnelle  à 

IX  —  2. 

1"  Pour  un  gaz  monoatomique,  on  a 

y.=z    l,  JJL  2    =    I  . 

la  chaleur  spécifique  est  donc  négative. 
2"  Pour  un  gaz  diatomique,  on  a 

5  _        1 

la  chaleur  spécifique  est  donc  encore  négative. 

3°  Pour  un  gaz  triatomique  ou  polyatomique,  on  a 

[X  >   2, 

la  chaleur  spécifique  est  donc  positive. 

Comparons  cette  chaleur  spécifique  de  l'ensemble  de  la  masse 
gazeuse  à  la  chaleur  spécifique  du  gaz  à  vola/ne  constant,  celle  qu'on 
désigne  par  c.  S'il  s'était  agi  de  réchauffement  d'un  gaz  à  volume 
constant,  on  aurait  eu  simplement 

dQ  =  iidT, 

c'est-à-dire  que  le  coefficient  7,  est  proportionnel  à  la  chaleur  spéci- 
fique à  volume  constant  c. 

Par  suite,  la  chaleur  spécifique  de  la  masse  gazeuse  libre,  com- 
parée à  c,  a  pour  valeur 

;jL—  2 

c. 

Pour  les  gaz  monoalomiques,  u.  =  i,  la  chaleur  spécifique  est  —  c. 

5  r  •  ^  c 

Pour  les  gaz  diatomiques,  u.  =  r,,   la  chaleur  spécifique  est  —  ,  . 

Nous  retrouvons  donc,  par  la  théorie  cinétique  des  gaz,  exactement 
les  mêmes  résultats  que  par  la  théorie  des  gaz  parfaits. 

Etudions  de  même  le  coefficient  de  dilatation  de  la  masse  gazeuse. 
Si  nous  changeons  /•  en  )./",  le  viriel 

^.  ^^  mm' 


SI;r    LOIUUINE    DE    L\    ClIALECn    SOLVIUE    ET    DE    LA    CHALEUR    TERRESTRE  227 

se  trouve  multiplié  par  ^- ;    et  l'équation  (9)  montre  que  T   est  aussi 

multiplié   par     .    La   température  varie  donc  en   raison   inverse  des 

dimensions  linéaires  de  la  masse,  ce  qui  prouve  que  le  coefficient  de 
dilatation  est  négatif. 

168.  Ainsi,  une  masse  ga/euse  (monoatomique  ou  diatomique) 
enlièiement  libre,  s'échauffera  en  se  contraclanl,  h  mesure  qu'elle 
perdra  de  la  chaleur  par  rayonnement  :  ses  molécules,  en  perdant  de 
l'énergie,  verront  leur  force  vive  de  translation  augmenter,  (Jn  pgut 
comparer  ce  phénomène  à  celui  qui  se  produit  lorsqu'une  planète 
ou  une  comète  se  meut  dans  un  milieu  résistant  :  la  [)erle  d'énergie 
due  à  la  résistance  se  traduit  (voir  n"  88)  par  une  diminution  du 
grand  axe  de  lorbitc  (c'est-à-dire  de  l'énergie  [)0tentielle),  en  même 
temps  qu'augmente  la  vitesse  linéaire  (c'est-à-dire  l'énergie  cinétique 
de  translation), 

169.  Le  même  phénomène  continuera  jusqu'au  moment  où,  par 
suite  de  la  contraction  et  du  refroidissement  de  la  masse  gazeuse,  les 
molécules  seront  devenues  polyatomiques.  D'ailleurs,  il  n'est 
nullement  certain  que  le  raisonnement  soit  applicable  aux  gaz  mono- 
atomiques,  lorsqu'on  suppose  que  ceux-ci  subissent  les  pressions 
énormes  qui  régnent  à  l'intérieur  du  Soleil  :  car  alors  il  faudrait,  au 
viriel  V,  ajouter  des  termes  compliqués  provenant  des  actions  inler- 
alomiques  ;  le  gaz  s'éloignerait  de  l'état  parfait,  il  se  rapprocherait 
plutôt  d'un  liquide,  et  la  chaleur  spécifique  deviendrait  sans  doute 
positive. 


CHAPITRE  IX. 

THÉORIE  DE  Sir  NORMAN  LOCKYER. 


170.  Jusqu'ici,  noire  horizon  n'a  guère  dépassé  le  système 
solaire.  Mais  la  spcclroscopie,  en  faisant  naître  la  Chimie  slellau-e, 
a  révélé  des  étoiles  de  types  spectraux  très  différents,  et  l'on  a  été 
amené  à  étudier  l'évolution  de  ces  astres.  Les  théories  mécaniques  ou 
thermodynamiques  (ont  place  ici  à  des  théories  chimiques. 

La  théorie  de  Sir  Nouman  Lockyer  sur  la  genèse  des  grandes  étoiles 
repose  sur  l'étude  simultanée  de  la  composition  chimique  de  ces  astres 
et  des  différences  de  température  qu'ils  présentent  entre  eux{')- 

On  sait  que  le  spectre  d'un  corps  incandescent  est  d'autant  plus 
étendu  vers  le  violet  que  ce  corps  est  plus  chaud  :  c'est  ainsi  qu'une 
barre  de  fer  passe  successivement  du  rouge  sombre  au  blanc  ébouis- 
sant,  à  mesure  qu'on  la  chaulTe  à  une  température  de  plus  en  plus 
élevée.  On  sait  aussi  que  le  maximum  d'éclat  du  spectre  se  déplace 
vers  le  violet,  à  mesure  que  la  température  de  la  source  lumineuse 
augmente  (loi  de  AViex)  ;  on  conçoit  donc  que  l'étude  du  spectre  des 
étoiles  puisse  fournir  des  indications  sur  la  température  de  ces  astres. 

Au  point  de  vue  des  raies,  Sir  N.  Lockveh  distingue  parmi  les 
spectres  des  étoiles  trois  types  différents  : 

Le  spectre  de  la  flamme,  qui  est  un  spectre  de  bandes  ; 

Le  spectre  de  l'arc,  formé  par  des  raies  fines  ; 

Le  spectre  de  l'étincelle,  formé  par  de  nouvelles  raies  et  par  cer- 
taines raies  de  l'arc  renforcées. 

L'origine  de  cette  distinction  est  la  suivante  :  Si  l'on  place  un  corps 
successivement  dans  une  flamme  et  dans  l'arc  électrique  qui  est  plus 


, . ,  Voir  LocKYEu  iSir  NouM.vN)  :  U Évolnùon  inorganique  (Bibliothèque  scienti- 
fique internationale,  Paris,  Alcan  igo.',).  Further  Researches  on  the  ternpe rature  clas- 
sijicalion  o/.S/«/s(Proceeclings  of  the  Roval  Society  of  London,  iyo4,  vol.  L.WIII, 
p.  227-238). 


aSo  HYPOTHÈSES   cosiiogomques 

chaud,  on  voit  le  spectre  du  corps  s'enrichir  en  raies  ;  si  Ton  f;iit 
écUiler  l'étincelle  entre  deux  fragments  du  corps,  la  température  de 
l'clincellc  étant  encore  supérieure  à  celle  de  l'arc,  on  voit  de  nouvelles 
raies  apparaître,  pendant  que  certaines  des  raies  de  l'arc  se  renforcent 
et  que  d'autres  disjjaraissent. 

Du  fait  qu'un  même  corps  (un  métal,  par  exemple)  peut,  suivant 
la  température  à  laquelle  il  est  porté,  émettre  soit  les  raies  de  l'arc, 
soit  les  raies  renforcées  ou  celles  de  l'étincelle.  Sir  N.  Locryer  croit 
pouvoir  conclure  que  le  corps  s'est  transformé  ou  dissocié,  aux  hautes 
températures,  en  corps  plus  simples  qui  n'existent  pas  à  l'état  lihre  aux 
températures  usuelles  (^).  Il  nomme  protométal  la  forme  atomique  du 
corps  qui  correspond  aux  raies  de  haute  température  (raies  renforcées 
et  raies  de  l'étincelle).  Les  protométaux  seraient  en  quelque  sorte  des 
métaux  en  voie  de  formation,  ceux-ci  ne  prenant  naissance  que  lorsque 
la  température  est  sufQsammcnt  ahaissée. 

171,  Sir  >.  LocKVEu  cherche  à  suivre  les  transformations  gra- 
duelles de  la  matière  cosmique,  à  partir  des  météorites.  Il  pense  qu'il 
faut  voir  dans  l'état  plus  ou  moins  avancé  de  l'évolution  des  astres 
l'origine  des  différences  que  présentent  leurs  spectres. 

Les  néhulcuses  nous  offrent,  selon  Sir  N.  Logkver,  le  premier  stade  de 
l'évolution  cosmique.  Il  les  considère  comme  formées  par  des  essaims 
de  météorites  dont  les  chocs  mutuels  ont  pour  effet  une  condensation 
et  une  création  de  chaleur,  produisant  le  dégagement  des  gaz  inclus 
dans  les  météorites  qui  se  heurtent  :  les  gaz  qui  se  dégagent  et  se 
répandent  le  plus  facilement  étant  les  plus  légers;  on  observera  sur- 
tout les  raies  brillantes  de  l'hydrogène  et  de  l'hélium. 

La  concentration  se  poursuivant,  la  nébuleuse  se  transforme  en  une 
étoile  qui  s'échauffe  de  plus  en  plus  :  les  météorites  centrales  non  va- 
porisées donnent  de  la  lumière  continue  ;  celle-ci  traverse  l'atmos- 
phère qui  contient  une  ftuhle  proportion  de  vapeurs  métalliques  :  les 
raies  métalliques  commencent  donc  à  apparaître  sous  forme  de  raies 
sombres. 

Bientôt  la  température  atteint  son  maximum  :  les  raies  de  haute 


{')  11  pcul  s'agir,  suivant  les  cas,  soit  d'une  simple  transformation  inok'culaire 
comme  celle  de  l'Indrogèno,  habituellemenl  diatomiqiie,  qui  dcviciil  monoatomique 
aux  hautes  températures;  soit  d'une  véritable  dissociation  de  l'élément,  comme 
riiélium  qui  se  séparerait  réellement  en  deux  constituants,  l'hélium  cl  l'actinium. 


TIltOniE    DE    SIR    NORMAN    LOCKÏER 


33  I 


température  (prolomclalliqiics)  apparaissent  alors  dans  le  spectre  et 
remportent  sur  les  autres. 

Une  fois  toutes  les  météorites  vaporisées,  le  bombardement  cesse  et 
un  calme  relatif  lui  succède,  l'astre  va  commencer  à  se  refroidir  en 
même  temps  que  vont  disparaître,  dans  l'ordre  inverse  de  leur  appa- 
rition, les  raies  de  haute  température. 

Deux  étoiles  qui  paraissent  à  la  même  température  peuvent  donc 
être  à  des  stades  ti es  dilTérents  de  leur  évolution,  "suivant  que  leur 
température  croît  ou  décroît. 

172.  Sir  N.  Lockveu  a,  d'après  les  idées  que  nous  venons  d'expo- 
ser, classé  les  étoiles  en  un  certain  nombre  de  groupes.  A  chacun  de 
ces  groupes,  il  donne  le  nom  de  l'étoile  qui  lui  sert  de  t\pe,  ou  celui 


Argonien 

Cnucien 

Alnitamien 

Achernien 

Taurien 

N 

\         Algolien 

Rigelien        / 

\         Markabien 

Cycnien         / 

\ 

—       / 

\        Sinien 

Polarien     / 

\        Procyonien 

Aldebarien    / 

\     A  rcturien 

Antarien       / 

\        Piscien 

Jh-  38. 

de  la  constellation  qui  renferme  cette  étoile.  Il  place  ces  groupes  sur 
une  courbe  au  sommet  de  laquelle  se  trouvent  les  astres  les  plus 
chauds  (fifj.  38). 

Les  groupes  de  gauche  correspondent  à  des  étoiles  dont  la  tempé- 
rature va  en  s'élevant  ;  ceux  de  droite  à  des  étoiles  dont  dont  la  tem- 
pérature va  en  s 'abaissant. 

Au  sommet  de  la  courbe,  se  trouve  le  type  argonien  dont  le  spectre 


aSa  HYrOTHÈSES    COSMOGOMQUES 

est  caractérisé  par  les  raies  du  protoliydrogcne{^).  Un  peu  au-dessous 
sont  les  types  crucien,  taurien,  algolien,  ...,  où  apparaissent  d'abord 
l'hydrogène  et  l'hélium  (étoiles  gazeuses)  puis  l'oxygène  et  l'azote. 
Plus  bas  (types  rigelien,  rnarkabien),  le  spectre  présente  les  raies  des 

protoniétaux  (protocalcium,  protomagnésium, ).  Plus  bas  encore, 

les  raies  métalliques  apparaissent  de  plus  en  plus  (types  cycnien,  ..., 
arcturien)  au  détriment  des  raies  gazeuses  :  c'est  dans  le  type  arctu- 
rien  que  Sir  N.  Lockyeu  place  notre  Soleil  dont  le  spectre  ne  présente 
plus  les  raies  de  l'oxygène  ni  de  l'azote.  Enfin,  tout  au  bas  de  réchellc 
des  températures  (types  antarien  et  piscien),  on  trouve  les  étoiles  à 
spectre  de  bandes.  Si  l'on  descendait  encore,  on  trouverait,  à  gauche 
les  nébuleuses,  à  droite  les  étoiles  éteintes. 

Comment  dislingue-t-on,  par  le  spectre  d'une  étoile,  si  celle-ci  doit 
être  rangée  sur  la  branche  ascendante  ou  sur  la  branche  descendante 
de  la  courbe  des  températures  ?  Il  y  a  sans  doute  là  une  certaine  part 
d'arbitraire,  puisque,  sur  la  figure  38,  deux  groupes  situés  à  droite  et 
à  gauche  sur  une  même  ligne  horizontale  présentent  des  spectres 
assez  semblables.  Sir  N.  Lockyer  pense  néanmoins  que  certaines  raies 
accessoires  peuvent  fournir  des  renseignements  à  ce  sujet  :  celles  des 
métaux  à  poids  atomiques  olus  faibles  se  montreraient  de  préférence 
dans  les  étoiles  dont  la  température  s'élève  ;  celles  des  métaux  à  poids 
atomiques  plus  forts,  dans  les  étoiles  dont  la  tenqiérature  s'abaisse. 

173.  La  question  de  la  température  des  étoiles  a  été  reprise  récem- 
ment à  l'Observatoire  de  Paris  par  M.  Noudm  vx>  (-).  Il  observa  le 
maximum  de  radiation  dans  le  spectre  en  admettant,  à  titre  d'approxi- 
mation, que  la  loi  de  radiation  est  celle  des  corps  noirs.  Les  chiffres 
qu'il  obtient  nous  renseignent  tout  au  moins  sur  l'ordre  de  grandeur 
des  températures  stellaires,  et  surtout  sur  le  sens  dans  lequel  varie  la 
température  d'une  étoile  à  l'autre.  ^  oici  les  résultats  auxquels  il  est 
parvenu  : 


(i|  Les  raies  de  l'hydrogène  forment  une  série  satisfaisant  à  vine  formule  simple 
(formule  de  B.vlmeh)  où    figure    un  entier   arbitraire  n  ;  si  dans  cette  formule  on 

remplace  n  par  '"  on  obtient  une  seconde  série  de  raies,  caractéristiques  du 

protohydrogène. 

(-)  Cn.  NoRDMANN  :    Sur  les  alinosplières  absorbantes   el   les   celais  inlrinsèques  de 
quelques  étoiles  (Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  \fy  mars  1910). 


Tlli:OHIE     DE    Slll     N0U\1\N     l.iil  kVEU 


233 


Tvpe  antaricn 38-0° 

Soleil 5  300° 

Type  aldobarien 4  260° 

Type  polarien ^  j5o  à    8  200" 

Type  procyonieii -  sôo" 

Type  sirien i2r>ooà  i4r>oo' 

l'ypo  algolien i3  3ooà  i8  5oo° 

Type  rriicien i5  300° 

Type  taiirieii >  '10000° 

On  voit  que  la  classilicalion  des  températures  de  Sir  N.  Lokveii 
n'est  pas  en  complet  accord  avec  les  chilTres  de  M.  ?S()ru.ma>n,  quoi 
qu'en  gros  il  v  ait  une  certaine  concordance. 

174.  Sir  N.  LocKïEn  a  aussi  étudié  la  distribution  des  étoiles  des 
dilTérenls  types  dans  le  ciel.  11  remarque  que  les  étoiles  gazeuses  sont 
plus  condensées  vers  le  plan  de  la  Voie  lactée  que  vers  les  pôles  de 
ce  [)lan  ;  ces  étoiles  gazeuses  ont,  en  moyenne,  un  mouvement  [)roprc 
plus  petit  que  les  étoiles  métalliques  :  faut-il  en  conclure  que  les 
étoiles  mélalliqucs  sonl  moins  éloignées  de  nous  que  les  étoiles 
gazeuses  ')  Remarquons  plutôt  que  ce  résultat  n"a  rien  de  surprenant, 
car  les  étoiles  gazeuses  étant  plus  brillantes  que  les  autres  sont  vues 
de  plus  loin  :  à  égalité  de  grandeur  elles  doivent  donc,  en  moyenne, 
être  plus  éloignées  et  par  suite  olTrir  un  moindre  mou\ement  propre. 
On  peut  tenter  d'expliquer  d'une  façon  analogue  l'accumulation  des 
étoiles  gazeuses  dans  le  plan  de  la  ^  oie  lactée.  Si  la  ^  oie  lactée  a  la 
forme  d'im  disque  très  aplati,  les  étoiles  tendront  à  se  concentrer 
dans  le  plan  de  ce  disque  et  cela  d'aulanl  pins  «jumelles seront  plus  cloi- 
fjnées  ;  les  étoiles  gazeuses,  plus  éloignées  en  moyenne,  doivent  donc 
présenter  une  plus  grande  tendance  à  la  concentration.  On  peut  dire 
aussi  que,  si  l'on  rencontre  plus  d'étoiles  chaudes  dans  le  plan  galac- 
tique que  dans  les  autres  parties  du  Ciel,  c'est  que  c'est  dans  ce  plan 
que  les  chances  de  collisions  sont  les  plus  nombreuses.  C'est  pour 
cette  même  raison  que  les  Novae  apparaissent  de  préférence  dans  la 
Voie  lactée. 


CHAPITRE  X. 

THÉORIE  DE  M.  SCHUSTER. 


175.  M.  Sciu  STEH  (')  apporte  plusieurs  modifications  à  la  théorie 
de  Sir  Normal  Lockyeu  sur  l'évolution  des  étoiles.  Il  se  demande 
pourquoi  les  étoiles  dites  ga/.euses  sont  plus  chaudes  que  les  autres  : 
ont-elles  une  atmosphère  d'hydrof^ènc  parce  qu'elles  sont  plus 
chaudes;  sont-elles  au  contraire  plus  chaudes  parce  qu'elles  ont  une 
atmosphère  d'hydrogène  ?  Il  semhle  qu'on  puisse  supposer  que  l'at- 
mosphère d'hydrogène  ahsorbe  et  arrête  les  radiations  infrarouges, 
c'est-à-dire  les  radiations  calorifiques.  Une  étoile  à  atmosphère  d'hy- 
drogène, dans  ces  conditions,  perdrait  moins  de  chaleur  et  par  suite 
resterait  plus  chaude.  L'atmosphère  de  l'étoile  jouerait  ainsi,  en  quel- 
que sorte,  le  rôle  d'une  serre  chaude,  laissant  passer  les  rayons  lumi- 
neux, mais  arrêtant  la  chaleur  obscure. 

Pour  \l.  ScHLSTEu,  les  étoiles  gazeuses  sont,  non  seulement  plus 
chaudes,  mais  aussi  plus  jeunes  que  les  autres.  Or,  nous  avons  vu 
(Ch.  ^  III,  Section  III  que, pour  une  masse  gazeuse  en  équilibre  adia- 
batique  rayonnant  de  la  chaleur,  la  température  doit  aller  en  croissant 
avec  le  temps,  l'ait  qui  tendrait  plutôt  à  prouver  que  les  étoiles  chaudes 
sont  les  plus  anciennes.  D'après  M.  Schuster,  ce  n'est  là  qu'une  con- 
tradiction apparente  :1a  température  observée  est  celle  delà  photo- 
sphère de  l'étoile  et  non  celle  de  son  noyau  ;  les  étoiles  gazeuses  au- 
raient une  photosphère  plus  chaude,  mais  leurs  parties  centrales 
seraient  à  une  température  moins  élevée. 

176.  D'où  provient  maintenant  la  dilTérence  entre  les  spectres  des 
étoiles  gazeuses  (étoiles  à  hydrogène  et  les  spectres  des  étoiles  moins 
chaudes    étoiles  à  raies  métalliques  .  La  solution  la  plus  simple  est 


(')  A.  SciicsTER  :  Tlic  Evolution  of  Solar  Stars  (Aslroiiliysical  Journal,  ii|o3,YoI. 
XVII,  p.  1 65-200). 


236  HYPOTHESES    COSMOGONIQUES 

évidemment  d'admeltre  que  les  premières  sont  principalement  cons- 
tituées par  deriiydrogènc  et  les  secondes  par  des  vapeurs  métalliques. 
Nous  avons  vu  que  tel  n'est  pas  l'avis  de  Sir  N.  Lockyeii  :  celui-ci, 
invoquant  sa  théorie  de  la  dissociation  des  éléments,  admet  qu'il  n'y  a 
pas  de  diITérence  essentielle  de  composition  chimique  entre  les  astres, 
et  que  toutes  les  étoiles,  dans  leur  évolution,  sont  destinées  à  parcourir 
les  mômes  stades. 

M.  ScHusTER,  au  contraire,  ne  pense  pas  que  les  éléments  chimiques 
soient  dissociés.  Il  suppose,  il  est  vrai,  que  les  dilTérentes  étoiles  ont 
môme  composition  chimique  moyenne.  S'il  n'y  a  pas  de  courants  de 
convection,  l'hydrogène,  plus  léger,  apparaîtra  à  la  surface  (étoiles 
gazeuses);  si,  au  contraire,  des  courants  de  convection  produisent  un 
brassage  continuel,  les  vapeurs  métalliques  seront  amenées  dans  les 
régions  superficielles  (étoiles  métalliques). 

177.  Voici  donc  comment  M.  ScnusiER  se  représente  l'histoire  des 
grandes  étoiles.  La  matière  serait  à  l'origine  répandue  dans  tout  l'es- 
pace. Les  chocs  de  ses  diverses  parties  engendreraient  de  la  chaleur  en 
même  temps  qu'ils  donneraient  naissance  à  certains  centres  de  con- 
densation. L'attraction  de  ces  centres  serait  au  début  insuHisanle  pour 
maintenir  les  éléments  légers  tels  que  l'hydrogène  :  en  clîet,  dans  la 
théorie  cinétique,  les  molécules  gazeuses  ont  des  vitesses  moyennes 
d'autant  plus  grandes  que  le  gaz  est  plus  léger;  les  molécules  d'hydro- 
gène et  d'hélium  s'échappent  donc,  ou  plutôt  ne  sont  pas  retenues  par 
les  centres  d'attraction,  tandis  que  les  molécules  de  vapeurs  métalliques, 
plus  lourdes,  sont  captées  :  nous  avons  là  l'étoile  métallique  de  la 
branche  ascendante  des  températures.  Le  centre  d'attraction  augmente 
peu  à  peu,  et  l'étoile  se  nourrit  par  bombardement  ;  sa  masse  de- 
vient bientôt  assez  considéral)le  pour  retenir  d'abord  l'hélium  puis 
l'hydrogène  :  nous  sommes  au  sommet  de  la  courbe.  La  condensation 
augmentant  encore,  les  gaz  légers  finissent  par  être  absorbés  par  la 
masse  centrale  (comme  l'hydrogène  est  absorbé  par  une  masse  de 
palladium)  :  nous  arrivons  à  l'étoile  métallique  de  la  branche  des- 
cendante. 

Les  spectres  d'Arcturus  et  du  Soleil  (que  Sir  N.  LoCKVEn  plaçait 
dans  le  même  groupe)  difTèrent  en  ce  qu'Arclurus  ne  présente  pas  les 
raies  de  l'hydrogène.  M.  Schuster  suppose  que  cette  étoile  ayant  une 
masse  plus  considérable  que  le  Soleil,  son  noyau  central  aura  plus 
vite  absorbé  l'hydrogène,  qui  aura  ainsi  abandonné  son  atmosphère. 


Tlll^OUIE    DE    M.     SCIILSTEU  287 

Dans  les  étoiles  doubles,  la  composante  la  plus  brillante  ((jui  est 
sans  doute  aussi  la  plus  grosse)  est  souvent  du  type  Soleil,  alors  que 
la  plus  faible  est  blanche  et  du  type  gazeux.  La  dilVércnce  d'éclat 
pourrait,  d'après  M.  Sciilstek,  provenir  de  ce  que  la  grande  compo- 
sante a  absorbé  l'hydrogène  plus  vile  que  l'autre. 


CHAPITRE  XL 

THÉORIE  DE  M.  ARRHENIUS 


178.  Dans  la  théorie  Je  M.  Aiuuiemls.  la  pression  de  radiation 
jouant  un  rùlc  très  important,  il  est  nécessaire  de  commencer  par 
définir  cette  pression. 

Dans  une  de  ses  théories  de  l'électricité,  Maxwlm.  (-),  pour 
expliquer  les  attractions  électrostatiques,  fait  intervenir  l'élasticité 
du  milieu  fluide  répandu  entre  les  conducteurs.  Il  admet  que,  dans 
un  champ  électrique,  il  existe  des  pressions  et  des  tensions  :  en  cha- 
que point  du  milieu,  un  élément  plan  normal  à  la  Vv^ne  de  force 
subit  une  tension,  un  élément  plan  contenant  la  ligne  de  force 
subit  une  compression  ;  ces  tensions  et  ces  pressions  sont,  d'après 
Maxavell,  proportionnelles  au  carre  de  la  force  électrostatique. 

De  même,  pour  expliquer  les  actions  magnétostatiques,  Maxwell 
admet  qu'un  champ  magnétique  donne  lieu  à  des  pressions  et  des 
tensions  du  milieu,  en  tout  comparables  à  celles  qui  sont  produites 
par  un  champ  électrique. 

Si  le  milieu  est  à  la  fois  le  siège  d'un  champ  électrique  et  d'un 
champ  magnétique,  les  deux  sortes  de  pressions  et  Je  tensions  existent 
simultanément  et  se  superposent. 

La  lumière,  d'après  Maxwell,  est  un  phénomène  électromagné- 
tique périodique.  Considérons  de  la  lumière  rectilignement  polarisée 
se  propageant  par  ondes  planes  :  dans  le  plan  d'une  onde,  nous  aurons 
une  force  électrique  alternative  parallèle  à  la  «  direcliun  de  Fres- 
NEL  n  (3)  et  une  force  magnétique  alternative  perpendiculaire  à  cette 

(')  SvA>'TE  Arrhemls  :  U Ëvolulioii  des  Mondes,  traduction  française  par 
T.  Setrig  (Paris,  Béranger,  ujio  . 

(')  Voir  H.  PoiNC-VRÉ  :  Eleclricilc  et  Optique,  2'  édit.  I*aris,  Gaulhier-Villars, 
igoi)  i"  partie,  Ch.  IV  et  Cti.  XI. 

(3)  La  direction  de  Fresnel  est  perpendiculaire  au  plan  de  polarisation  de  la 
lumière  :  c'est  parallèlement  à  cette  direction  que  s'effectuent  les  vibrations  dans 
la  théorie  de  l'éther  lumineux  élastique  de  Fresnel. 


2^0  HYPOTHÈSES    COS.MOGOMQUES 

direclion.  Considérons  alors  un  élément  plan  parallèle  à  l'onde  :  cet 
élément  est  à  la  lois  parallèle  à  la  force  magnétique  et  à  la  force  élec- 
trique, il  subit  donc  une  pression  provenant  de  chacun  de  ces  deux 
champs;  ces  deux  pressions  s'ajoutent.  Considérons,  au  contraire,  un 
élément  plan  normal  à  l'onde  et  contenant  par  exemple  la  direction 
de  Fresnel  :  cet  élément,  étant  parallèle  à  la  force  électrique,  subit  une 
pression,  mais,  étant  perpendiculaire  à  la  force  magnétique, il  subit  une 
tension.  Or,  il  se  trouve  que  cette  tension  d'origine  magnétique,  détruit 
exactement  la  pression  d'origine  électrique  ;  donc  cet  élément  ne  subit 
aucun  effort.  On  reconnaît  qu'il  en  est  de  même  de  tout  élément 
plan  normal  à  Tonde.  Mais  pour  tout  élément  plan  non  normal  à 
l'onde,  il  n'y  a  pas  compensation  :  chaque  élément  plan  non  normal 
à  l'onde  subit  une  pression  d'île  pression  de  radiation  ('). 

179.  Le  principe  de  l'égalité  de  l'action  et  de  la  réaction  nous 
apprend  que  le  centre  de  gravité  d'un  système  de  corps  soustrait  à 
toute  action  extérieure  décrit  une  ligne  droite  d'un  mouvement 
uniforme.  A  cause  de  la  pression  de  radiation,  ce  principe  n'est  plus 
vrai  lorsque  les  corps  envisagés  reçoivent  ou  émettent  de  la  lumière. 
Il  faut  alors,  pour  obtenir  la  quantité  totale  de  mouvement,  celle  qui 
demeure  constante,  ajouter,  à  la  quantité  de  mouvement  réelle  des 
corps  matériels,  la  quantité  de  mouvement  d'un  fluide  fictif,  la 
lumière. 

Considérons  un  train  d'ondes  planes  TT' qui  se  propagent  (/«^.  89)  : 
dans  l'espace  occupé  à  chaque  instant  par  ce  train  d'ondes,  est  loca- 
lisée une  certaine  énergie  par  unité  de  volume.  Assimilons  le  train 
d'ondes  à  un  fluide  fictif  se  déplaçant  avec  la  vitesse  de  la  lumière, 
et  ayant  une  densité  proportionnelle  à  l'énergie  par  unité  de  volume. 
Supposons  que  notre  train  d'ondes  vienne  frapper  normalement  une 
plaque  plane  P  qui  lui  est  parallèle.  Admettons  d'abord  que  cette 
plaque  P  soit  parfaitement  absorbante.  Avant  le  choc,  le  fluide  fictif 
auquel  nous  assimilons  le  train  d'ondes  TT'  possède  une  certaine 
quantité  de  mouvement  M.  Après  le  choc  tout  se  passe  comme  si  le 
fluide  fictif  avait  disparu  :  la  plaque  P  aura  acquis  une  quantité  de 
mouvement  égale  à  M.  En  un  mot,  au  point  de  vue  des  quantités  de 

(')  Au  point  de  vue  de  l'ordre  de  grandeur  de  celte  pression,  disons  que,  pour  un 
mètre  carré  exposé  normalement  à  la  lumière  solaire,  elle  est  d'environ  o^^jô  si 
la  surface  est  absorbante  et  de  i^t'^a  si  elle  est  parfaitement  réfléchissante. 


TIILOIUE    DE     M.      VlUIllEMtS 


a^i 


mouvement,   tout  se  passe  comme  si  la  théorie  de  l'émission   de  la 
lumière  était  vraie. 

Si  lu   plaque   P  avait  été  supposée  parfaitement  réfléchissante,   le 
train  d'ondes  ÏT'  (ou  plutôt  son  lluide  lictif  représentatif)   aurait  eu. 


J'"J-  3y. 

après  le  choc,  la  quantité  de  mouvement  —  M  :  conséquemment,  la 
plaque  P  aurait  pris  une  quantité  de  mouvement  2M. 

Les  corps  qui  reçoivent  de  la  lumière  sont  donc  comme  pousses  par 
elle.  Pareillement,  les  corps  qui  émettent  delà  lumière  reculent  comme 
un  canon. 

180.  L'existence  de  la  pression  de  radiation  a  été  rattachée  par 
Bautoli  à  la  loi  de  Stefan,  au  moyen  de  considérations  thermody- 
namiques et  indépendamment  de  toute  hypothèse  sur  la  nature  élec- 
tromagnétique de  la  lumière. 

Considérons  un  corps  de  pompe  fermé  par  un  piston  mobile  sans 
frottement.  L'appareil  est  vide  et  maintenu  à  une  température  T  par 
une  source  extérieure.  L'appaieil  étant  entièrement  clos,  le  rayonne- 
ment en  équilibre  à  son  intérieur  est,  comme  on  sait,  celui  du  corps 
noir  idéal  (d'ailleurs,  rien  n'empêcherait  de  supposer  que  toutes  les 
parois  sont  parfaitement  noires).  Nous  allons  prouver  qu'il  ne  peut  y 
avoir  équilibre  que  si  le  piston  supporte  une  certaine  pression  p. 

D'aprèsla  loi  de  Stefan,  l'énergie  rayonnée  dans  tous  les  sens  par  les 
parois  du  corps  de  pompe  et  du  piston  est  proportionnelle  à  T'  ;  l'éner- 
gie absorbée  par  les  parois,  égale  à  l'énergie  émise,  est  aussi  propor- 
tionnelle à  T^.  Il  en  résulte  que  l'énergie  interne  totale  U  à  l'intérieur 
est  aussi  proportionnelle  à  T*  ;  elle  est,  d'ailleurs,  proportionnelle  au 


PoiNC/kRF. 


2^2  HYPOTHÈSES    (JOSMOGOMnUES 

volume  V  du  corps  de  pompe  ;  on  a  donc 

U  =  Â  Py. 

A  étant  un  coeflicient  constant. 

Supposons  que  le  piston  se  soulève,  accroissant  ainsi  le  volume  de 
dv  :  en  même  temps,  la  source  extérieure  cède  au  système  une  quan- 
tité de  chaleur  dQ,  et  l'équation  fondamentale  de  la  Thermodyna- 
mique (principe  d'équivalence)  donne 

(/Q  =  dU  4-  pdv 

=  4  AT3  vdT  -+-  AT'^  dv  +  pdv. 

Puisque,  par  hypothèse,  le  système  était  primitivement  en  équilibre, 
la  modification  peut  être  supposée  réversible,  et  par  suite 

ï 

est   une   différentielle   exacte    (principe   de  Carnot)  :    ce   que   nous 
écrivons 


4  AT^rflT  -i-  (  AT^^  ^  F^\  dv  =  f/S. 
La  condition  d'intégrabilité  du  premier  membre  donne 


d'oij 

-;;,(,!:)  =  ATS 

équation  qui  prouve  déjà  quey>  ne  peut  pas  être  nul. 
Intégrant,  il  vient 

Il  est  presque  évident  que  p  ne  dépend  pas  de  v  ;  nous  poserons  donc 

Ci  (y)  =  o. 

Par  suite 

AT* 
p  =  -3-, 


TItlîOlUE    DE    51.     VUIUIEMUS  2^3 

d'où 

Spv  =  AT*  y  ==  U, 

U 

P  =  or- 

La    pression   de  ladialion  à  rintérleiir  du    cylindre  est  ])ropoilion- 
nclle  à    _  ,  c'est-à-dire  à  l'énergie  i)ar  unité  de  volume,  qu'on  peut 

appeler  densité  de  l'énergie  de  radiation. 

Le  cas  que  nous  venons  de  traiter  n'est  pas  absolument  comparable 
à  celui  que  nous  étudiions  au  numéro  précédent,  oîi  nous  considé- 
rions un  train  d'ondes  planes  se  [)ropag'eant  dans  une  direction  fixe  et 
venant  choquer  normalement  un  mur  ;  ici,  à  l'intérieurde  noire  corps 
de  pompe,  nous  avons  des  ondes  de  toutes  directions.  Or,  la  pression 
de  radiation  est  assimilable  au  choc  produit  par  un  fluide  ficlil,  et  tout 
se  passe,  avons-nous  dit,  comme  si  la  théorie  de  l'émission  était  vraie. 
Alors  dans  le  corps  de  pompe  les  projectiles  lumineux  (ou  calorifiques) 
se  croisent  dans  toutes  les  directions,  ils  sont  comparables  aux  molé- 
cules gazeuses  dans  le  théorie  cinétique  des  gaz,  et  on  peut  leur  appli- 
(|uer  le  théorème  du  viriel  qui  conduit  à  l'équation  (n°  75) 

(i)  Spv  =  2Ï. 

Dans  le  cas  d'un  train  d'ondes  planes,  au  contraire,  tous  les  pro- 
jectiles fictifs  ont  la  même  direction  :  s'ils  viennent  choquer  normale- 
ment un  mur  plan  parlaitement  réfléchissant,  le  même  calcul  qui 
nous  avait  fourni  l'équation  (i)  nous  donnerait  maintenant 

pv  =  2  T. 

On  peut  donc  dire  que  la  pression  de  radiation  (à  énergie  égale)  est 
trois  fois  plus  forte  dans  le  cas  du  train  d'ondes  planes  que  dans  le 
cas  du  corps  de  pompe.  Elle  a  donc  pour  valeur 

U 

où  —  représente  l'énergie  par  unité  de  volume  due  à  l'ensemble  de 

l'onde  incidente  et  de  l'onde  réfléchie. 

Si  le  mur  plan,  au  lieu  d'être  réfléchissant,  avait  été  supposé  absor- 
bant, la  pression  eût  été  moitié  moiudi'e  ;  la  densité  de  l'énergie  eiit 


2l^^  HyPOTHtsES    COSMOr.ONIQUES 

été  réduite  de  moitié  aussi,   puisqn'alors  11  n'y  aurait  pas  d'onde  ré- 
fléchie. 

181.  Revenons  à  l'exposé  de  la  théorie  de  M.  xVruhemus.  Con- 
sidérons une  particule  matérielle  au  voisinage  du  Soleil.  Elle  subira  ;\ 
la  lois  une  attraction  due  à  la  gravitation  et  une  répulsion  due  à  la 
pression  de  radiation  provenant  de  la  lumière  du  Soleil  ;  rattraction 
est  proportionnelle  à  la  masse  de  la  particule,  la  répulsion  propor- 
tionnelle à  sa  surface.  Par  conséquent,  plus  la  densité  sera  faible  et 
plus  les  dimensions  de  la  particule  seront  petites,  plus  la  pression  de 
radiation  prendra  d'importance  relativement  à  la  gravité.  Elle  pourra 
même  arriver  à  l'emporter. 

Une  gouttelette  spliériqua  de  même  densité  que  l'eau,  parfaitement 
réfléchissante  et  de  diamètra  o'"'",oor5.  se  trouverait  en  équilibre  au 
voisinage  du  Soleil  sous  l'action  de  la  gravité  et  de  la  pression  de  ra- 
diation. Si  le  diamètre  de  la  gouttelette  diminuait,  la  force  répulsive 
deviendrait  prépondérante,  et  la  gouttelette  serait  chassée  loin  du 
Soleil.  Toutefois,  il  ne  faut  pas  que  le  diamètre  de  la  gouttelette 
devienne  par  trop  petit:  s'il  devenait  de  beaucoup  inférieur  à  une 
longueur  d'onde  de  la  radiation  incidente,  les  phénomènes  de  dilïrac- 
tion  changeraient  complètement  les  choses,  et,  au-dessous  d'un  cer- 
tain diamètre,  la  jiesanteur  reprendrait  son  influence  prépondérante. 
Mais,  entre  ces  deux  limites,  il  y  a  répulsion  etïective  :  pour  des 
gouttelettes  de  o""",oooi6  de  diamètre,  par  exemple,  la  répulsion  due 
à  la  lumière  solaire  serait  environ  dix  fois  plus  grande  que  la  pesan- 
teur (').  La  proportion  pourrait  être  encore  plus  forte  pour  des  liqui- 
des plus  légers  que  l'eau,  comme  le  pétrole. 

182.  Ainsi,  lorsque  de  telles  particules  arrivent  au  voisinage  du 
Soleil,  elles  en  sont  comme  chassées.  On  peut  expliquer  de  cette  ma- 
nière les  aspects  que  présentent  les  queues  des  comètes,  toujours  di- 
rigées à  l'opposé  du  Soleil,  et  qu'on  considérait  depuis  longtemps 
comme  étant  dues  à  une  force  répulsive  émanée  de  cette  astre.  On 
admet  actuellement  que  cette  force  répulsive  n'est  autre  que  la  pres- 
sion de  radiation  qui  s'e\erce  sur  les  particules  les  plus  fines  de  la 
matière  corné  ta  ire. 

(1)  Pour  qu'il  y  ait  pression  de  radiation,  il  faut  que  le  corps  sur  lequel  tombe 
la  lumière  ne  soit  pas  transparent  ;  s'il  laisse  passer  la  lumière,  celle-ci  ne  produit 
pas  fie  pression. 


TlIlOUlt:    UE    M.    ARP.IIE.MLS  J '\0 

183.  M.  Auiuii.MLs  pense  que  la  comonnc  solaire  esl  due  à  des 
phénomènes  du  même  genre.  La  matière  coronalc  serait  constituée 
par  de  fines  particules  cpie  la  pression  de  radiation  repousserait  loin 
du  Soleil.  La  couronne  serait  donc  parfailemenl  cimiparahle  oux 
queues  des  comètes. 

Quelle  (jue  soit  l'exlrème  ténuité  de  la  matière  coronalc,  ce  proces- 
sus représente  néanmoins  pour  le  Soleil  une  perte  constante  de  substan- 
ce. Ne  pourrait  on  pas  alors  revenir  à  la  théorie  météoritique  primitive 
de  Lord  Ki:r,viN  (n""  141  à  144  ,  qui  supposait  la  chaleur  solaire  entre- 
tenue par  une  pluie  de  météores  tombant  sur  le  Soleil.  On  se  rappelle 
<]ue  Lord  Kelvin  avait  abandonné  cette  hypothèse,  parce  qu'il  en 
serait  résulté  pour  le  Soleil  un  accroissement  de  masse,  ayant  j)Our 
conséquence  une  variation  inadmissible  de  la  durée  de  l'année.  Mais 
no  ^)ourrail-on  pas  penser  que  cet  accroissement  de  masse  est  com- 
pensé par  la  déperdition  constante  de  la  matière  coronalc  ?  Dans  cette 
hypothèse,  la  matière  décrirait  une  soi  te  de  cycle  :  les  météores  tom- 
bant sur  le  Soleil  s'y  trouveraient  désagrégés,  réduits  en  fines  pous- 
sières, et  celles-ci  seraient  à  leur  tour  chassées  par  la  pression  de  ra- 
diation ;  elles  se  rassembleraient  au  loin  pour  former  de  nouveaux 
météores  qui  retomberaient  sur  le  Soleil,  entretenant  ainsi  sa  chaleur. 
Celle  manière  de  \oir  esl  insoutenable.  En  clTcl.  dans  ce  cvcle,  les 
forces  elTectucnt  constanmicnt  un  lra\ ail  postlif:  (juand  le  météore 
tombe,  rattraction  l'emporte  et  c'est  la  gra\ité  qui  travaille  ;  quand 
les  poussières  coronales  sont  chassées,  la  répulsion  l'emporte  et  le 
travail  est  elTectué  par  la  pression  de  radiation.  Aux  dépens  de  quelle 
énergie  ce  travail  constant  est-il  produit  ?  C'est  évidemment  aux 
dépens  de  l'énergie  solaire.  Il  est  donc  impossible  de  voir  dans  ce  mé- 
canisme un  entretien  possible  de  celte  énergie. 

^L  AunMEMLS  a  d'ailleurs  essayé  de  se  faire  une  idée  de  la  quantité 
de  matière  météori(|ue  qui  tombe  réellement  sur  le  Soleil  :  la  quantité 
de  matière  tombant  annuellement  sur  la  Terre  est  d'environ  20000 
tonnes.  En  partant  de  celle  base,  ^L  Ahiuienus  évalue  à  3oo.io'^ 
tonnes  la  pluie  météorique  qui  se  précipite  annuellement  à  la  surface 
du  Soleil.  La  masse  totale  du  Soleil  étant  de  2.10^'  tonnes  environ, 
le  bombardement  météorique  accroît  donc  annuellement  cette  masse 
de 

Soo.io' 1.5 

2.  lo'''  10'* 


2^6  HYPOTHÈSES    COSMOGOMQLES 

de  sa  valeur.  Or  nous  avons  vu  que,  pour  compenser  la  perte  de  cha- 
Icuf  du  Soleil,  Lord  Kelvin  avait  besoin  d'admettre  que  la  masse  de 
cet  astre  s'accrût  par  an  de 


32000000        32.10'' 

de  sa  valeur,  chitTre  incomparablement  plus  fort  que  le  précédent.  La 
cbule  effective  des  météores  sur  le  Soleil  est  donc  beaucoup  trop  faible 
pour  être  capable  d'entretenir  sa  radiation  :  l'bypothèse  météorique 
est  à  rejeter. 

184.  On  sait  que  les  rayons  ultraviolets  ont  la  propriété  d'ioniser 
les  gaz.  Gomme  la  lumière  solaire  est  riclie  en  rayons  ultraviolets,  on 
peut  penser  que  l'atmosphère  du  Soleil  contient  des  gaz  ionisés.  Les 
ions  ont  la  propriété  de  condenser  les  vapeurs,  et  cette  propriété  ap- 
partient en  général  à  un  bien  plus  haut  degré  aux  ions  négatifs  qu'aux 
ions  positifs  (expérience  de  M.  Wilson  sur  la  condensation  de  la 
vapeur  d'eau).  Les  ions  négatifs  de  l'atmosphère  solaire  doivent  donc 
condenser  la  matière  autour  d'eux  et  former  de  fines  particules  qui 
seront  repoussées  par  la  pression  de  radiation.  Les  particules  de  ma- 
tière coronale  sont  donc  chargées  négativement,  et  il  doit  rester  à  la 
surface  du  Soleil  une  charge  d'électricité  positive.  Toutefois,  cette 
charge  positive  du  Soleil  ne  peut  pas  dépasser  une  certaine  limite, 
au  delà  de  laquelle  elle  deviendrait  assez  puissante  pour  retenir  les 
particules  chargées  négativement,  malgré  la  répulsion  que  leur  fait 
subir  la  pression  de  radiation.  Tous  les  phénomènes  électriques  résul- 
tant de  ta  pression  de  radiation  cesseraient  du  coup.  M.  Auuhemus 
estime  que  celte  charge  limite  du  Soleil  est  de  25o  milliards  de  cou- 
lombs. 

Le  Soleil,  étant  donc  chargé  positivement,  attire  à  lui  tous  les 
électrons  négatifs  libies  qui  parcourent  l'espace.  Ces  électrons,  une 
fois  captés,  condenseront  autour  d'eux  la  matière  de  l'atmosphère 
solaire  et  reformeront  des  particules  qui  seront  de  nouveau  chassées 
par  la  pression  de  radiation  :  ces  particules  s'aggloméreront  au  loin 
en  météorites  qui,  sous  l'influence  de  la  lumière  ultraviolette,  per- 
dront leur  charge  négative  sous  forme  d'électrons  libres  ;  ceux-ci 
seront  de  nouveau  captés  par  le  Soleil  et  le  même  cycle  recommen- 
cera. Bien  entendu,  il  ne  faut  pas  voir  dans  ce  cycle  l'origine  de  l'en- 
tretien de  la  chaleur  solaire,  puisque  dans  ce  cycle  il   y  a   constam- 


THÉORIE    DF    M.     ARRIIEMIS 


a47 


ment  un  travail  positif,  pioiliiit  aux  dcprns  de  l'énergie  solaii'c. 
comme  nous  l'expliquions  au  numéro  précédent  pour  réfuter  une 
hypothèse  analogue  ;  toutefois  le  travail  de  l'attraction  électrostatique 
vient  s'ajouter  à  celui  de  la  gravité  ;  et  un  même  accroissement  de  la 
masse  solaire  correspondu  un  apport  d'énergie  mille  fois  plus  consi- 
dérable. 

185.  Les  particules  chargées  négativement  que  chasse  la  lumière 
du  Soleil  pourront  atteindre  notre  atmosphère,  où  elles  se  manifes- 
teront par  les  aurores  boréales.  Elles  se  déchargeront  en  arrivant 
dans  les  hautes  régions  de  l'atmosphère  en  émettant  des  rayons  catho- 
diques, origine  de  l'aurore.  Les  maxima  et  les  minima  périodiques 
des  aurores  polaires  et  ceux  des  perturbations  magnétiques  concordent 
d'une  façon  très  marquée  avec  ceux  de  l'activité  éruptive  du  Soleil. 
C'est  ainsi  que  très  souvent  le  passage  d'une  tache  solaire  au  méridien 
dont  le  plan  contient  la  Terre  est  suivi  par  une  tempête  magnétique 
et  par  une  aurore.  Une  gouttelette  de  o""",oooi6  de  diamètre,  ayant 
la  densité  de  l'eau,  mettrait  50  heures  pour  venir  du  Soleil  à  la  Terre. 
Or,  plusieurs  observateurs  ont  constaté,  paraît-il,  un  retard  du 
même  ordre  entre  le  passage  d'une  tache  solaire  au  méridien  et  le 
maximum  de  la  perturbation  magnétique  ou  de  l'aurore  polaire 
correspondante. 

186.  Mais  les  particules  chargées  qui  sont  chassées  parle  Soleil, 
et  aussi  celles  que  chassent  les  diverses  étoiles,  peuvent,  selon 
M.  ARRHE>firs,  faire  des  trajets  beaucoup  plus  longs  à  travers  les 
espaces  célestes  :  elles  peuvent  atteindre  les  nébuleuses.  M.  Vrutieniis 
pense  que  les  nébuleuses  sont  à  des  températures  excessivement  froides 
(ôo"  absolus  environ  .  Malgré  cela  leurs  p.nrfies  périphériques 
arrivent  à  devenir  lumineuses,  par  suite  du  liombardement  que  leur 
font  subir  les  particules  chargées  qui  sillonnent  l'espace  de  toutes 
parts  :  l'origine  de  cette  luminescence  des  parties  superlicielles  de  la 
nébuleuse  serait  donc  comparable  à  celle  des  aurores  polaires  de  notre 
atmosphère.  Gomme  la  majeure  partie  des  particules  de  poussière  est 
arrêtée  avant  d'a\oir  pénétré  un  peu  profondément  à  l'intérieur  de  la 
nébuleuse,  c'est  la  périphérie  seule  qui  est  lumineuse.  Quant  à  ce  qui 
se  trouve  dans  les  parties  profondes,  nous  l'ignorons  absolument. 

Le  spectre  des  nébuleuses  présente  en  général  les  raies  de  l'hy- 
drogène, de  l'hélium,  et  d'un  autre  élément,  le  «  nébulium  »  dont  la 


2\S  JlYPOTlliiSES    COSMOGONIIJLES 

lumière  n'a  été  observée  nulle  part  ailleurs.  L'hélium  et  l'hydrogène 
(et  sans  doute  aussi  le  néhnlium)  étant  des  ga/  très  peu  condensahles, 
sont  susceptibles  d'exister  à  l'élat  gazeux  avix  très  basses  températures 
que  M.  Aruhenius  attribue  aux  nébuleuses  :  à  ces  températures  tous 
les  autres  éléments  sont  liquéfiés  ou  solidifiés  ;  par  suite,  les  parties 
profondes  de  la  nébuleuse  peuvent  contenir  ces  éléments  condensés  ; 
mais  les  parties  extérieures  ne  doivent  contenir  que  les  éléments 
gazeux,  c'est-à-dire  l'hydrogène  et  l'hélium  (et  le  nébulium).  La 
périphérie  de  la  nébuleuse  étant  seule  lumineuse,  d'après  M. 
Arkhexils,  il  n'est  pas  étonnant  que  le  spectre  de  la  nébuleuse  ne 
présente  que  les  raies  de  ces  derniers  éléments. 

187.  Revenons  au  Soleil  et  suivons  son  évolution.  Le  Soleil  perd 
constamment  de  la  chaleur;  mais  il  contient  à  son  intérieur  des 
matièies  radioactives  ou  des  combinaisons  endothermiques  ;  tout  se 
passe  donc  comme  s'il  avait  une  chaleur  spécifique  énorme,  et  il 
possède  un  provision  de  calorique  extrêmement  considérable  qui  lui 
permet  de  continuer  sa  radiation  pendant  très  longtemps  —  des 
billions  d'années,  dit  M.  Ahriiemus  (il  entend  par  là  lo'-  .  —  Mais 
quelle  que  soit  la  lenteur  extrême  du  refroidissement,  il  arrivera  un 
moment  où  la  température  de  la  surface  du  Soleil  sera  assez  abaissée 
pour  que  celle-ci  commence  à  s'encroûter.  La  croûte  mince  périphé- 
rique ainsi  formée  protégera  l'intérieur  du  Soleil  resté  fluide  contre 
le  refroidissement  qui  deviendra  de  plus  en  plus  lent,  de  même  que  la 
croûte  terrestre  garantit  les  parties  profondes  de  la  Terre  ('). 

Le  Soleil  ressemblera  alors  à  une  bombe  remplie  d'explosifs  :  sa 
surface  sera  très  froide,  mais  ses  parties  centrales  auront  conservé  une 
température  presque  aussi  élevée  que  celle  qu'elles  ont  aujourd'hui,  et 
il  s'y  trouvera  encore  les  mêmes  combinaisons  endothermiques  que 
maintenant. 

Que  deux  pareilles  bombes  viennent  à  se  rencontrer,  leur  choc 
produira  une  chaleur  et  une  lumière  énormes  :  c'est  l'origine  d'une 
étoile  nouvelle. 

Quelle  est  la  probabilité  pour  qu'une  étoile  déterminée  en  rencontre 
une  autre  :'  l'étant  données  les  distances  qui  séparent  en  moyenne  les 

(')  On  sait  que  I^ord  Kelvin  pense,  contrairement  à  cette  o|iinion,  qne  la  Terre 
est  entièrement  solidifiée  :  si  en  efTet  son  intérieur  était  lliiide,  le  pliénomèiie  de 
la  précession  des  écpiinoxes  serait  très  dilTérent  de  celui  que  nous  observons. 


TIILOHIK    UE    M.     AIIIIIIE.MLS 


U)l) 


étoiles  et  les  dimensions  de  celles-ci,  il  y  a  dos  chances  pour  fjii'un 
choc  se  produise  au  bout  d'un  lenips  de  l'ordre  de  lo'"  années.  Mais 
supposons  que,  dans  l'espace,  il  existe  non  seulement  les  étoiles  biil- 
lantes  que  nous  voyons,  niais  aussi  un  très  grand  nombre  d'étoiles 
obscures  :  les  chocs  deviendront  beaucoup  plus  fréquents.  Si  l'on  veut 
expliquer  par  de  telles  rencontres  le  nombre  relativement  grand  d'étoiles 
nouvelles  que  nous  observons  (soit  à  peu  près  une  par  an),  on  est 
amené  à  supposer  qu'il  y  a  environ  loooo  luis  plus  d'étoiles  obscin'cs 
que  d'étoiles  brillantes  ;  supposition  assez,  peu  vraisemblable,  car  si, 
dans  un  cube  ayant  pour  arête  la  distance  du  Soleil  à  a  du  Centaure,  il 
existait  loooo  étoiles  de  masse  comparable  à  celle  du  Soleil,  elles 
produiraient  sur  les  mouvements  des  planètes  des  pertubations  qui  ne 
passeraient  sans  doute  pas  inaperçues. 

Quoi  qu'il  en  soit,  supposons  que  deux  soleils  éteints  encroûtés  se 
heurtent  :  il  se  produit  une  A'ora.  Le  choc  en  général  no  sera  [)as  central 
et  il  en  résultera  un  uKuivoment  de  rotation  rapide  de  l'étoile  nouvelle. 
La  collision  aura  fait  jaillir  des  deux  corps  deu-v  puissants  jets  de 
matière  {fifj.  \o)  formant  comme  de  formidables  éruptions  des  maté- 


fifj.  Ao. 

riaux  explosifs  provenant  des  régions  centrales.  Ces  deux  jets,  grâce  à 
la  rotation  générale  de  l'ensemble,  présenteront  l'aspect  d'un  tourni- 
quet. Et  comme  l'expansion  des  gaz  projetés  produit  leur  rapide 
refroidissement,  les  jets  latéraux  seront  relativement  froids,  alors  que  le 
contre  sera  très  chaud.  La  lumière  blanche  du  corps  central  sera  plus 
ou  moins  absorbée  par  la  couche  ga/euse  des  deux  jets  spiraloïdes, 
suivant  la  position  de  ceux-ci  par  rapport  à  l'observateur,  La  rotation 
produira  don.c  une  alternance  d'absorption  et  de  non-absorption,  c'est- 
à-dire  une  variation  périodique  du  spectre  de  l'étoile  nouvelle,  ainsi 


20O  IlYl'OTUESES    COS.MOGO.NJ<JUES 

qu'on  l'a  observé  pour  la  Nova  Persei  qui  est  apparue  en  fé\  lier  1901 
dans  la  constellation  de  Persée. 

La  rotation  extrêmement  violente  de  la  masse  centrale  des  deux 
étoiles  fusionnées  produit  une  force  centrifuge  considérable  qui  trans- 
formera cette  masse  tournante  eu  une  sorte  de  disque  aplati,  présen- 
tant des  formes  spiraloïdes  :  ce  serait  l'origine  des  nébuleuses  spi- 
rales ('). 

La  nébuleuse  ainsi  formée  recevra  le  bombardement  des  corpuscules 
qui  sillonnent  l'espace  :  chacunes  de  ces  particules  deviendra  un  centre 
d'attraction  qui  se  nourrira  aux  dépens  des  gaz  de  la  nébuleuse  :  ainsi 
se  formeraient  les  météorites  à  l'intérieur  de  la  nébuleuse. 

Mais  les  nébuleuses  peuvent  faire  des  captures  bien  plus  importantes  : 
elles  peuvent  capter  de  petits  soleils.  Lu  petit  soleil  arrivant  dans  la 
nébuleuse  attire  à  lui  les  météorites  déjà  formées  et  accroît  ainsi  sa 
masse.  C'est  de  cette  façon  que  les  nébuleuses  se  transforment  en  amas 
d'étoiles.  Les  diverses  étoiles  d'un  même  amas  seraient  donc  originel- 
lement étrangères  l'une  à  l'autre  :  elles  auraient  seulement  été  retenues 
par  la  même  nébuleuse  qui  les  aurait  arrêtées,  de  même  qu'une  toile 
d'araignée  arrête  les  mouches  qui  essaient  de  la  traverser.  La  Voie 
lactée  elle-même  pourraient  avoir  cette  origine.  Ses  soleils  auraient 
été  captés  par  une  nébuleuse  gazeuse  provenant  d'une  énorme  Nova. 
et  leur  ensemble  reproduirait  la  forme  spirale  de  cette  nébuleuse 
gazeuse,  aujourd'hui  disparue. 

Chaque  soleil  de  l'amas  suivra  ensuite  l'évolution  habituelle  des 
étoiles  :  d'étoile  gazeuse  il  deviendra  étoile  protométallique,  puis  métal- 
lique, puis  étoile  à  spectre  de  bandes,  sa  température  allant  constam- 
ment en  diminuant.  Nous  arrivons  ainsi  au  soleil  refroidi,  encroûté. 

M.  AuiuiEMi  s  admet  donc  que,  de  tout  temps,  le  Monde  a  suivi  cette 
évolution  alternante,  les  nébuleuses  étant  engendrées  par  les  soleils,  les 
soleils  étant  à  leur  tour  formés  dans  les  nébuleuses.  Le  cvcle  de  cette  ■ 
évolution   est  h;   suivant  :  étoile    nouvelle,    nébuleuse   spirale,  amas 


''')  Le.»  nébiileiisos  spirales  présenlent  en  général  pliitùt  nn  sjicctre  conlinu 
qu'un  spectre  de  gaz  C'est  pourquoi  beaucoup  d'aslronomes  les  considèrent  comme 
des  voies  lactées  exirèmement  lointaines  que  leur  grand  éloignemcnt  a  seul  empêché 
jusqu'ici  de  résoudre  en  étoiles.  Ce  n'est  pas  l'opinion  de  M.  Vuriiemis  qui  pense 
que,  dans  les  nébuleuses  spirales,  les  couches  extérieures  qui  masquent  le  corps 
central  sont  extrêmement  raréfiées  et  ne  parviennent  pas  h  cacher  le  spectre  des 
jjoussiêres  iMcandc^celltes  des  couches  profondes. 


TIILOIUE    VF.    M.     ARRHENILS 


dV'loiles,  soleil  chaud.   ;>oleil  refroidi,    soleil  éteint.   Le  choc  de  deux 
soleils  éteints  donne  de  nouveau  une  Xova. 

188.  M.  AuKiucNu  >-  pense  que  le  Monde  est  infini.  S'il  n'en  élail  [)as 
ainsi,  tlil-il,  les  poussières  seraient  chassées  indélinimcnt  [)ar  la  pres- 
sion de  radiation,  elles  ne  seraient  pas  captées  en  chemin,  et  le  monde 
finirait  par  s'évanouir.  Cette  raison  n'est  [)as  convaincante,  car  on  peut 
penser  qu'une  l'ois  arrivées  à  de  très  grandes  distances,  les  poussières 
ne  suhissent  plus  la  pression  de  radiation,  la  lumière  étant  toujours 
plus  ou  moins  ahsorhée  dans  son  parcours. 

Si  l'Univers  est  infmi,  une  droite  de  direction  quelconque,  issue  de 
notre  œil,  doit  finir  par  rencontrer  une  étoile  :  il  semhie  en  résulter  que 
le  Ciel  tout  entier  devrait  avoir  l'éclat  du  Soleil.  Mais  cette  conclusion 
n'est  pas  légitune.  [)arce  que,  comme  nous  venons  de  le  dire,  la  lumière 
subit  toujours  une  absorption  [)lus  ou  moins  forte  dans  les  espaces 
interstellaires.  Dans  l'ordre  d'idées  de  M.  VaRUEMUs,  cette  absorption 
serait  due  aux  soleils  éteints,  et  surtout  aux  matières  cosmiques  nébu- 
leuses obscures  beaucoup  plus  grandes,  qu'il  suppose  abondamment 
répandues  dans  l'espace.  Ce  dernier  point  de  vue  semble  trouver  sa 
confirmation  dans  un  phénomène  qu'a  présenté  la  Aora  Pcrsct  :  on 
a  observé  autour  de  cette  étoile  nouvelle  plusieurs  nébulosités  sphé- 
rif(ues  s'éloignant  du  centre,  comme  des  ondes,  avec  des  vitesses 
comparables  à  celle  de  la  lumière  ;  il  semble  qu'on  puisse  supposer 
que  la  lumière  de  l'explosion  est  venue  successivement  rendre  visible 
les  diverses  couches  d'une  immense  nébuleuse,  ou  bien  encore  que 
c'étaient  là  des  vitesses  de  propagation  d'une  luminescence  due  par 
exemple  à  un  bombardement  cathodique  à  travers  une  nébulosité 
obscure  par  elle-même,  plutôt  que  des  vitesses  réelles  de  corps 
matériels. 

189.  Abordons  maintenant  un  point  très  délicat  de  cette  théorie. 
M.  AuRUEMUs,  supposant  que  l'Univers,  dans  son  évolution  des  nébu- 
leuses aux  soleils  et  des  soleils  aux  nébuleuses,  décrit  une  sorte  de 
cycle  fermé,  est  amené  à  penser  que  l'Univers  ne  doit  pas  «  vieillir  ». 
11  cherche  donc  à  échapper  à  la  «  mort  calorifique  »  [Warnielod)  que 
Cla.usius  avait  cru  pouvoir  assigner  à  l'Lnivers,  d'après  le  second 
principe  de  la  Thermodynamique    Principe  de  Carnot-Clausilsi. 

Ce  second  principe,  on  l'énonce  parfois  d'une  façon  peu  correcte 
en  disant  qu'  «  un  système  matériel  tend  vers  l'homogénéité  tant  au 


202  Jlïl'OTIlÈSES    COSMO(;oN:nLES 

poinl  de  vue  de  la  distribution  de  la  matière  qu'au  point  de  vue  de  la 
distribution  des  températures  ».  D'après  cet  énoncé  (et  en  admettant 
que  le  principe  puisse  s'appliquer  à  un  système  infini  comme  l'Uni- 
vers', la  matière,  dans  son  état  final,  serait  également  répandue  partout 
d'une  façon  uniforme  sans  aucune  dilTérentiation  locale  quelconque  : 
ce  serait  la  mort  du  système.  Or,  M.  Aiuiuemls  ne  veut  pas  voir 
mourir  l'Univers,  et  c'est  pour  cela  qu'il  s'ellbrce  de  mettre  en  échec 
le  principe  de  Carnot,  en  tant  qu'il  s'agit  de  l'Univers.  Selon  lui, 
u  l'entropie  augmente  dans  les  soleils,  mais  diminue  dans  les  nébu- 
leuses »  ;  autrement  dit,  «  l'énergie  est  dissipée  ou  <(  détériorée  » 
dans  les  corps  qui  se  trouvent  à  l'état  de  soleils  et  au  contraire 
(1  améliorée  )>  dans  ceux  qui  sont  à  l'état  de  nébuleuses  »  (L'Evolu- 
lion  (les  Mondes,  Préface,  p.  IV). 

Les  nébuleuses  reçoivent  de  la  chaleur  [)ar  le  rayonnement  des 
étoiles  :  il  semble  donc  qu'elles  ne  vont  pas  rester  froides,  mais 
tendre  h  se  mettre  finalement  en  équilibre  de  température  avec  les 
étoiles,  d'après  le  principe  de  Cau>ot  qui  paraît  exiger  la  tendance  au 
nivcllcnu'itl  des  températures  (de  même  qu'il  sendjic  exiger  la  tendance 
à  la  dilVusion  homogène  de  la  matière).  Nous  allons  voir  les  raisons 
que  donne  M.  Arrhe>'ils  pour  être  d'un  avis  contraire. 

190.  Dans  la  théorie  cinétique  des  ga/,  la  tendance  à  l'homogène 
s'explique  d'une  façon  très  simple  :  si  nous  avons  un  récipient  plein 
de  gaz  et  si  le  gaz  qui  remplit  une  moitié  du  réci[)ient  (par  exemple 
la  moitié  de  droite)  est  plus  chaud  que  celui  qui  remplit  l'autre  moitié 
(la  moitié  de  gauche),  la  vitesse  moyenne  des  molécules  est  plus 
grande  à  droite  qu'à  gauche.  Mais,  par  suite  tlu  brassage  [)roduit  par 
les  mouvements  des  molécules,  les  molécules  de  droite  passent  à 
gauche  et  inversement,  et  il  finit  bientôt  [)ar  s'établir  un  équilibre  de 
tem[)ératuie  dans  lequel  la  vitesse  moyenne  des  molécules  est  la  même 
partout. 

De  même,  si  la  moitié  de  droite  du  récipient  avait  été  occupée  ini- 
tialement par  de  l'azote,  et  la  moitié  de  gauche  par  de  l'hydrogène, 
l'étal  final  eût  été  le  mélange  complet,  |)ar  suile  du  mouvement  des 
imlécules  gazeuses. 

Nous  n'avons  aucun  moyen  d'ell'ecluer  inversement  (sans  travail 
extérieur  I  le  triage  entre  les  molécules  d'azote  et  celles  d'hydrogène, 
ou  bien  entre  les  molécules  à  très  grandes  vitesses  et  celles  à  petites 
vitesses,  de  façon  à  ramener  les  unes  à  droite  du  récipient,  les  autres 


TIlliOHlE    DE    M.     VUUIIFMUS  ^Sd 


à  gauche.  Mais  si  nous  ne  savons  pas  faire  cette  opération,  elle  serait 
résolue  sans  peine  par  les  «  dénions  »  ({ua  imaginés  Mawmm.l.  Sépa- 
rons en  deux  notre  récipient  par  une  cloison  percée  de  tout  petits 
trous,  pouvant  ne  laisser  passer  qu'une  seule  molécule  à  la  fois.  Chaque 
petit  trou    est    muni  d'une  soupape  qu'on  peut  à  volonté  ouvrir  ou 
fermer  sans   Iniviil.   Derrière  chacune  de  ces  soupapes,  plaçons  un 
observateur  infiniment  petit  (démon  de  Maxwkll). servant  en  quelque 
sorte  de  douanier.   Chaque  fois  qu'un  démon  verra  une  molécule  à 
grande  vitesse  se  diriger  de  gauche  à  droite,  il  ouvrira   sa  soupape 
pour  la  laisser  passer  ;  mais  il  la  fermera  à  toute  molécule  à  petite 
vitesse  allant  dans  la  même  direction  ;  de  même  il  ouvrira  la  porte  aux 
molécules  à  petite  vitesse  allant  de  droite  à  gauche,  mais  il  la  fermera 
aux  molécules  à  grande  vitesse  allant  dans  la  même  direction.  Nos- 
petits  démons,  sans  produire  aucun  travail  par  eux-mêmes,  arriveront 
ainsi  à  accumuler  à  droite  toutes  les  molécules  à  grandes  vitesses,  à 
gauche  toutes  celles  à  petites  vitesses  :  ils  auront   séparé  la    masse 
gazeuse  primitivement  isotherme  en  deux  parties  à  températures  dif- 
férentes. Ils  auront  tourné  le  principe  de  Gartot. 

191.  Pour  éviter  la   mort  calorifique  de  l'Univers,  M.  Arruenus 
pense  avoir  trouvé  un  mécanisme  analogue  se  produisant  naturelle- 
ment. Considérons  une  planète,  la  Terre  par  exemple,  possédant  une 
atmosphère  limitée  en  équilibre  convectif  (ou  adiabatique).  Une  molé- 
cule de    la  région  externe  de  cette  atmosphère,  si  elle  possède  une 
vitesse  suffisante    'ccUc  vitesse  serait  de   ii  kilomètres  par  seconde 
pour  la  Terre,  s'échappe  pour  toujours  de  la  sphère  d'attraction  de  la 
planète  et  continue  son  chemin  vers  l'infini.  L'atmosphère  delà  pla- 
nèle  perd  donc  sans  cesse  les  molécules  gazeuses  qui  sont  animées 
d'une  vitesse  suffisante.  Or  la  distribution  des  vitesses  obéissant  dans 
toute  région  à  la  loi  de  MAX^vEM.  (n"  80,  p.  107),  il  y  a  toujours  des 
molécules  qui  ont  de  grandes  vitesses  ;  par  suite  l'atmospbère  de  la 
planète  s'appauvrit  sans  cesse.   Les  vitesses  des  molécules  gazeuses 
sont  d'autant  plus  grandes  que  le  gaz  atmosphérique  est  plus  chaud 
et  plus  léger.   L'appauvrissement  sera  aussi  plus  fort  pour  une  petite 
planète  que  pour  une  grosse,  car,  par  la  gravitation,  une  grosse  pla- 
nète retiendra  plus  qu'une  petite  ses  molécules  atmosphériques.  C'est 
ainsi  que  la  Lune,  dont  la  masse  est  faible,  a  perdu  toute  son  atmos- 
phère. La  Terre  a  perdu  l'hydrogène  qui  est  très  léger,  elle  a  conservé 
l'oxygène  et  l'azote  plus  lourds. 


254  IIYrOTIIKSIÎS    COSMO(;ONIQUES 

Celle  pciie  tics  molécules  almosphériqnes  joue,  d'après  M.  Aiuuie- 
Mus.  un  rôle  extrêmement  important  dans  l'économie  des  nébuleuses, 
où  la  gravité  est  très  faible,  ainsi  que  la  densité  des  gaz  constituants. 
Les  parlies  périphériques  perdront  donc  très  facilement  leurs  molé- 
cules à  grandes  vitesses,  refroidissant  ainsi  les  couches  les  plus  éloi- 
gnées du  centre.  Il  en  résulte  que  la  chaleur  envoyée  par  les  soleils 
aux  nébuleuses  n  élève  pas  la  icmpêralurc  de  celles-ci  :  en  etîet,  cette 
énergie  communique  de  la  vitesse  à  certaines  molécules,  mais  ces 
molécules  s'éloignent  de  la  nébuleuse  pour  toujours.  Ces  molécules 
chaudes  finiront  par  être  absorbées  par  des  soleils,  contribuant  ainsi 
à  entretenir  leur  rayonnement. 

192.  Ce  mécanisme  nous  mcl-il  pour  toujours  à  l'abri  de  la  loi  de 
dégradation  qu'implique  le  principe  de  Carnot  ? 

Observons  que  le  raisonnement  s'appliquerait  à  un  univers  fini  : 
si,  par  exemple,  noire  Monde  n'était  pas  euclidien  mais  riemannien,  il 
serait  fini  qiioiqu'illimilé  :  nous  aurions  donc  un  système  fini  ne  se 
dégradant  pas  :  c'est  la  négation  absolue  du  principe  de  Cauxot,  tel 
qu'on  l'envisage  habituellement.  Que  vont  devenir  ces  particules 
échappées  des  nébuleuses?  on  peut  supposer  qu'après  avoir  erré  dans 
l'Espace,  elles  finissent  par  être  absorbées  par  les  soleils  en  formation 
en  leur  fournissant  à  la  fois  de  la  matière  et  de  l'énergie  ;  nous  avons 
vu  qu'elles  ne  sauraient  suffire  pour  entretenir  l'énergie  des  Soleils 
formés,  dont  la  masse  ne  s'accroît  plus. 

Mais  ce  processus  pourra-t-il  se  poursuivie  indéfiniment  ?  ou  bien 
ne  viendra-t-il  pas  un  moment  où  ces  particules  errantes  rempliront 
les  vides  interstellaires,  où  il  n'y  aura  plus  de  vide  et  où,  jiar  consé- 
quent, les  molécules  n'auront  plus  de  raison  de  quitter  les  nébuleuses. 
Une  comparaison  fera  mieux  comprendre  notre  pensée.  Reprenons 
le  cas  d'une  planète  munie  d'une  atmosphère  limitée   en   équilibre 
conveclif  :  cet  équilibre  convectif  suppose  implicitement  des  mouve- 
ments internes  et  par  suite  des  frottements  :  un  tel  équilibre  ne  sub- 
sistera donc  pas  indéfiniment,  il  tendra  à  se  transformer  en  équilibre 
isothcrmique.    Dans  le  cas  de  l'équilibre  isothermique,  l'atmosphère 
n'a  plus  de  limite  supérieure,  elle  s'étend  indéfiniment.   Comment 
cet  équilibre  isothermique  s'élablira-t-il  P  Ce  sera  par  l'échange  des 
molécules  entre  les  parties  hautes  et  les  parlies  basses  de  l'atmo- 
sphère :  or,  une  molécule  à  grande  vitesse  partant  des  régions  basses 
arrivera   dans   les    régions  hautes  avec  une  vitesse  très  diminuée  (à 


TiiiioniE  OE  >i.    vnniiEMis 


cause  (le  la  posanteur  ;  do  niêmn,  nno  molécule  se  dirigeanl  des 
régions  hautes  vers  le  bas  arrivera  avec  une  vitesse  très  augmentée. 
Il  ne  semble  donc  pas  à  première  vue  que  la  haute  atmosphère  va 
s'échaufTer  et  la  basse  atmosphère  se  refroidir.  11  semble  donc 
qu'ici  encore  nous  n'aurons  pas  tendance  au  nivellemement  des  tem- 
pératures, et  que  ce  mécanisme,  com[)arable  à  celui  de  AI.  Auiuiemus, 
mettra  en  échec  le  principe  de  G.vhnot.  Mais  observons  que  les 
seules  molécules  qui  pourront  passer  des  régions  basses  vers  les 
régions  hautes  sont  celles  (jui  sont  animées  d'une  très  grande  vitesse; 
et,  bien  que  perdant  en  route  une  partie  de  cette  vitesse,  elles  posséde- 
ront encore  assez  de  vitesse  pour  échaulVer  les  régions  hautes.  L'équi- 
libre final  sera  donc  isotherme,  conformément  au  principe  de  Carnot. 
Or,  dans  le  mécanisme  de  M.  Aukuemis,  il  se  passe  quelfjue  cliose 
de  tout  pareil  :  les  molécules  [jarties  des  couches  internes  de  la  né- 
buleuse vont  aller  dans  les  régions  supérieures,  c'est-à-tlirc  dans  le 
vide  où  règne  le  zéro  absolu:  la  densité  et  la  température  de  ces  ré- 
gions supérieures,  primitivement  nulles,  vont  donc  s'accroître  peu  à 
peu,  c'est-à-dire  que  nous  tendons  vers  l'uniformité  des  températures 
et  des  densités,  ce  qui  est  encore  en  parfait  accord  avec  le  j)rincipe  de 
Carxot  ;  les  nébuleuses  ne  s'échautl'ent  pas  quand  les  soleils  leur 
envoient  de  la  chaleur,  mais  c'est  parce  qu'elles  cèdent  à  leur  tour  de 
la  chaleur  à  une  source  encore  plus  froide,  le  vide  dont  la  tenq)éra- 
ture  absolue  est  nulle. 

Cependant  il  n'est  pas  tout  à  fait  légitime  de  comparer  les  gaz  des 
nébuleuses,  et  surtout  les  molécules  égarées  dans  un  vide  presque 
absolu,  à  une  atmosphère  gazeuse  ordinaire.  En  elTet,  dans  les  gaz 
exlrcmcmcnt  raréfiés,  la  vitesse  des  molécules  n'est  plus  de  la  chaleur, 
c'est  de  la  véritable  foixe  vive,  c'est-à-dire  de  l'énergie  non  dét/radée. 
Si,  par  exemple,  il  n'y  a  qu'une  seule  molécule  par  centimètre  cube, 
on  n'a  pas,  dans  chaque  petite  région  élémentaire,  un  mélange  confus 
de  projectiles  avec  vitesses  dirigées  dans  tous  les  sens  (comme  il 
arrive  pour  un  gaz  à  la  pression  ordinaire,  oîi  ce  mouvement  parfai- 
tement désordonné  constitue  la  chaleur),  mais  on  a,  au  contraire,  une 
vitesse  unique  dirigée  dans  un  sens  bien  déterminé.  Pour  agir  indivi- 
duellement sur  chaque  molécule,  nous  n'avons  plus  besoin  de  recou- 
rir aux  démons  de  Max^\ell;  nos  instruments  ordinaires  pourraient 
suffire.  Il  n'.y  a  donc  peut-être  pas  lieu,  pour  les  nébuleuses,  de  par- 
ler de  dégradation  de  l'énergie,  toute  énergie  y  étant  purement  méca- 


256  IIYIIOTIIÈSES    COSMOGOMQL'ES 

nique;  et  par  suite  le  principe  de  G.vRNor,  sans  être  en  défaut,    ne 
trouverait  pas  son  application. 

193.  M.  AuuHEMus  indique  une  seconde  cause  qui  fait  que  les 
nébuleuses,  en  recevant  de  la  chaleur  des  soleils,  voient  leur  tempé- 
rature, non  pas  augmenter,  mais  au  contraire  diminuer.  Il  assimile  les 
nébuleuses  à  des  masses  gazeuses  en  équilibre  adiabatique,  comme 
celles  que  nous  avons  étudiées  au  Chapitre  Vlll  (Section  III),  d'après 
M.  IIoMEa  Lane.  Une  telle  masse  gazeuse  a  une  chaleur  spécifique 
négative  ;  par  suite,  un  gain  de  chaleur  la  refroidit. 

Bien  entendu  il  ne  peut  pas  être  question,  cette  fois,  de  voir  dans  ce 
processus  un  échec  au  principe  de  Cvuxor  :  c'est,  au  contraire,  en  pleine 
conformité  avec  ce  principe  que  s'accomplit  le  phénomène.  Considé- 
rons, par  exemple  deux  masses,  de  gaz  parlait,  toutes  deux  en  équilibre 
convcctif,  mais  inégalement  chaudes  (')  :  la  plus  chaude  rayonnera 
vers  la  plus  froide  ;  cette  dernière,  recevant  de  la  chaleur,  se  refroidira 
encore,  tandis  que  la  première, 'perdant  de  la  chaleur,  s'échauffera.  Les 
températures  des  deux  corps,  loin  de  se  niveler,  s'écarteront  au  con- 
traire de  plus  en  plus  l'une  de  l'autre.  Le  principe  de  Cauxot  est-il 
violé?  Au  contraire,  il  est  pleinement  satisfait,  puisque  la  chaleur  a 
passé  du  corps  chaud  sur  le  corps  froid.  C'est  le  phénomène  inverse, 
le  nivellement  des  températures,  qui  l'aurait  violé,  s'il  avait  eu  lieu. 

De  cette  discussion  je  ne  veux  pas  tirer  de  conclusion  définitive  : 
il  semble  que,  par  ce  processus,  la  mort  calorifique  de  l'Univers  sera 
énormément  retardée,  mais  on  [)eut  croire  qu'elle  ne  sera  que 
retardée  (^). 


(')  On  peut,  si  l'on  veut,  placer  ces  deux  masses  aux  deux  fovers  d'un  miroir 
parfait  ayant  la  forme  d'un  ellipsoïde  de  révolution  :  de  la  soi  te  toute  l'énergie 
ravonnée  [)ar  l'une  des  masses  est  reçue  par  l'autre  ;  on  a  ainsi  l'exemple  d'un  système 
fini,  où  le  principe  do  Carnot  ne  tend  pas  à  niveler  les  températures,  au  moins  au 
début. 

(-)  Sur  les  tentatives  d'extension  du  principe  de  Carnoï-Clausius  à  l'Univers,  on 
peut  voir  Bi^uxaud  Brukhes  :  La  dcgradalloa  de  l'Energie,  Cli.  XXIV  (Paris, 
Flammarion,  1909). 


ciiÀPiTiu:  XII. 

LA    VOIE    L.\GTÉE    ET    LA    THÉORIE  DES  GAZ   :M. 


194.  Nous  allons,  dans  co  Chapitre,  exposer  des  considérations 
dont  la  première  idée  remonte  à  Lord  Kelvix. 

Dans  la  théorie  cinétique  des  gaz,  une  masse  gazeuze  est  regardée 
comme  un  système  formé  d'un  très  grand  nomhre  de  points  matériels 
(les  molécules)  s'entrecroisant  dans  tous  les  sens;  ces  points  matériels 
agissent  à  distance  les  uns  sur  les  autres,  mais  cette  action  n'est  sen- 
sible qu'à  dos  dislances  extrêmement  laihles  et  s'évanouit  très  vite 
lorsque  la  distance  augmente. 

Si  nous  envisageons  l'ensemble  de  la  Voie  lactée,  nous  trouvons 
que  cette  nébuleuse  est  constituée  de  même  par  un  grand  nunihrc  de 
points  matériels  (les  étoiles)  qui  s'attirent  l'un  l'autre  suivant  la  loi  de 
Neavton,  et  qui  sont  animés  de  vitesses  de  translation  paraissant 
dirigées  dans  tous  les  sens.  L'attraction  newtonienne  est  très  faible 
aux  distances  qui  séparent  ordinairement  les  étoiles  ;  aussi,  peut-on 
considérer  les  trajectoires  de  celles-ci  comme  étant  généralement  rec- 
tilignes;  elles  ne  s'incurvent  et  ne  se  dévient  que  lorsque  deux  étoiles 
viennent  à  passer  suiïisamment  près  l'une  de  l'autre. 

Nous  pouvons  donc,  à  un  certain  point  de  vue,  dire  que  la  Voie 
lactée  tout  entière  est  comparable  à  ime  masse  gazeuse  —  aux  dimen- 
sions près.  Et,  poussant  plus  loin  l'assimilation,  nous  pouvons  essayer 
de  lui  appliquer  les  théorèmes  de  la  théorie  cinétique  des  gaz. 

195.  Cherchons  à  nous  faire  une  idée  des  dimensions  de  la  Voie 
lactée  par  l'observation  des  mouvements  propres  des  étoiles.  De  même 
que,  dans  une  masse  gazeuse  libre  en  équilibre  adiabatique,  la  pression 


(/)  H.  PoixcvRÉ_:  Voir  Bullelin  de  la  Sociale  astronomique  de  France,  avril  i()o(), 
p.  i53-i65;  et  Science  et  Méthode,  Livre  IV,  Cli.  I  (Bibliothèque  de  Philosophie 
Scientifujue,  Paris,  Flammarion,  ijjoS). 


Poi.XCARÉ, 


258  IIYPOTIU:SES    COSIMOGONIQUES 

et  la  température  croissent  de  la  superficie  an  centre,  de  même  pour 
la  Voie  lactée,  les  vitesses  propres  moyennes  doivent  être  plus  consi- 
dérables pour  les  étoiles  des  régions  centrales  que  pour  celles  de  la 
périphérie.  Nous  sommes  justement  situés  vers  le  centre  de  la  Voie 
lactée.  En  observant  les  vitesses  propres  des  étoiles  qui  nous  entourent, 
nous  connaîtrons  ce  qui  correspond  à  la  température  centrale  de  notre 
sphère  gazeuse  en  équilibre  adiabatique,  et  nous  pourrons  déterminer 
son  rayon. 

Comme  nous  ne  pouvons  pas  avoir  ici  d'autre  ambition  que  celle 
de  déterminer  un  ordre  de  (jrandeiir,  nous  ferons  une  hypothèse  sim- 
plificatrice. La  Voie  lactée  sera  supposée  sphérique  et  les  masses  des 
étoiles  y  seront  réparties  dune  façon  homogène.  Sans  doute,  cette 
hypothèse  est  loin  de  la  réalité,  mais  les  chiffres  qu*elle  nous  fournira 
seront  du  même  ordre  que  ceux  qui  correspondraient  à  des  hypothèses 
plus  voisines  de  la  réalité. 

Or,  à  l'intérieur  d'une  sphère  homogène,  un  point  matériel  quel- 
conque subit  une  attraction  proportionnelle  à  la  distance  au  centre  et, 
par  suite,  décrit  une  ellipse  ayant  même  centre  que  la  sphère.  Les 
équations  de  mouvement  à  l'intérieur  d'une  telle  sphère  sont  donc 


d'^x 
W- 

d^z 
di' 


ICC 


ou  l  on  a  pose 


a    _  3  o. 

0  étant  la  densité  de  la  sphère  homogène. 

Ces   équations    nous    fournissent    immédiatement   l'intégrale    des 
forces  vives 

«■(^'-/-H.^)+(*)V(:i;-H(§)=con,t., 

que  nous  écrirons 

îi-r^  -t-  V-  =  const,, 

en  appelant  /■  la  dislanc(>  du  [)oinl  mobile  au  centre  et  \  sa  vitesse. 


L\    VOIE    LACTEE    ET    LA    TIIEOIIIE    DES    GAZ 


■2i)g 


Appelons  r^  lYlongatlon  maxinia  du  mobile  et  supposons  qu'au 
point  coirespomlant  la  vitcs.se  V  soit  nulle,  ce  qui  correspond  au  cas 
d'une  trajectoire  rectiligne  ;  l'équation  des  forces  vives  s'écrira 

o.-r-  H-  V^  =  aVQ  , 
d'où 

V-  =  %-iri  —  /•-). 

Lorsque  le  mobile  passera  nu  centre  (r  —   o),  sa  vitesse  sera  donc 

(I)  V=-a,v 

Revenons  à  la  Noie  lactée  assimilée  à  une  spbcre  homogène  où 
toutes  les  étoiles  décrivent  des  ellipses  de  même  centre.  Pour  la  plu- 
part des  étoiles,  l'élongation  maxima  r^  sera  du  même  ordre  que  le 
rayon  de  la  sphère,  et  la  vitesse  maxima  V  sera  donnée  par  l'égalité 
(i  ).  Donc,  inversement,  si  dans  cette  égalité  (i)  nous  donnons  à  V  la 
valeur  de  la  vitesse  propre  moyenne  des  étoiles  voisines  de  nous  (et 
qui.  par  conséquent,  sont  voisines  du  centre  de  la  Voie  lactée),  nous 
trouverons  pour  /"„  le  rayon  de  la  Voie  lactée,  ou  pour  mieux  dire  son 
ordre  do  grandeur. 

Mais,  pour  faire  ce  calcul,  il  faut  d'abord  connaître  a,  qui  est  pro- 
portionnel à  la  racine  carrée  de  la  densité  fictive  o.  Si  la  masse  du 
Soleil  était  uniformément  répartie  dans  une  sphère  avant  pour  ravon 
/;^  le  rayon  de  l'orbite  terrestre  (ro=  i  unité  astronomique),  la  vitesse 
maxima  correspondant  à  cette  élongation  r^  =  i  serait  la  vitesse  o 
de  la  Terre  sur  son  orbite.  L'équation  (i)  donnerait  alors 


Mais,  pour  que  la  densité  de  la  Voie  lactée  devînt  homogène,  il  fau- 
drait répartir  la  masse  du  Soleil  dans  une  sphère  de  ravon  lo"  fois 
plus  grand,  ce  rayon  étant  à  peu  près  la  distance  des  étoiles  les  plus 
rapprochées.  La  densité  o  deviendrait  donc  lo'*'  fois  plus  faible;  par 
conséquent  a,  proportionnel  à  \'ô,  deviendrait  lo^  fois  plus  petit.  La 
valeur  de  a  à  adopter  est  donc 


et  la  formule-  (i  )  devient 

V  =  W.IO^'Tft. 


200  HYPOTHESES    COSMO<;ONH^)L ES 

L'observation  inonlie  que  la  vitesse  piopie  moveniie  A  des  étoiles 
voisines  de  nous  est  du  même  ordre  que  la  vitesse  w  de  la  Terre  sai- 
son orbite.  L'équation  précédente  donne  donc,  pour  l'ordre  de  gran- 
deur du  rayon  de  la  Voie  lactée  ('), 

r^  =  lo''  unités  aslronoinlques, 

soit  environ  looo  l'ois  la  distance  qui  nous  sépare  des  étoiles  les  plus 
rapprochées.  Le  nombre  total  des  étoiles  de  la  Voie  lactée  serait  alors 
environ  de  lOoo',  soit  i  milliard. 

Il  est  intéressant  de  constater  que  ce  chitl're  concorde  à  peu  près 
avec  les  évaluations  que  l'on  a  pu  déduire  des  observations  au  téles- 
cope et  qui  ont  conduit  à  admettre  l'existence  de  200  millions 
d'étoiles  :  au  point  de  vue  qui  nous  occupe,  200  millions  et  1  milliard 
ne  doivent  pas  être  regardés  comme  deux  cbilïres  dilïérents,  [)uisqu'ils 
sont  du  même  ordre  de  grandeur. 

Certains  auteurs  ont  prétendu  que  nos  télescopes  ne  percent  pas 
entièrement  la  Voie  lactée  et  que,  s'ils  avaient  une  portée  beaucoup 
plus  grande,  ils  nous  découvriraient  beaucoup  d'étoiles  que  nous  ne 
voyons  pas.  Les  considérations  (pie  nous  venons  de  développer  sont 
plutôt  contraires  à  cette  sup[)osition,  puisque  le  nombre  des  étoiles 
brillantes  que  l'on  a  «  comptées  d  concoide  avec  le  nombre  qui  a  été 
«  calculé  ». 

De  même,  ne  pourrait-on  pas  supposer  que  le  nombre  des  étoiles 
obscures  est  beaucoup  plus  grand  que  celui  des  étoiles  brillantes?  La 
même  raison  nous  invite  à  croire  que  non.  Si  n  désigne  le  rapport  du 
nombre  total  des  étoiles  (tant  obscures  que  brillantes)  au  nombre  des 
étoiles  brillantes,  la  densité  0  qui  nous  a  servi  à  calculer  a  devra  être 

multiplié  par  n  ;  a  devra  donc  être  multiplié  par  v /i,  et  /•„  [)ar  -,-- .  iNous 

\  '^ 
aurions  donc 

10'* 

r„  =     .-  • 
V/i 

Le  nombre  total  i\  des  étoiles  est  de  l'ordre  de  (—%)  ,  puisque  10" 
est  la  distance  de  deux  étoiles  voisines.   Nous  écrivons  donc  approxl- 

(')  Nous  parlons  du  rajon  de  la  ^  oie  laclée  comme  si  oelte  rirbuluiise  élaii  splié- 
riqiie;  or,  elle  a  |iliilùt  la  forme  d'un  disque  aplali  ;  r^  représentera  sans  doute  une 
longueur  inlcrnu'diairc  entre  r('paisseur  du  di>(juc  et  son  ra\on. 


L\    VOIE     l.\CTl';r    ET    1\    Tllliouii;    DES    GAZ  26 1 

inati\enienl 


'  lo^/ 


ou 


Si  N  est  voisin  de  i  milliard,  n  doit  être  voisin  de  l'unité.  Les  étoiles 
brillantes  représenteraient  la  presque  totalité  des  étoiles. 

196.  Dans  ce  qui  précède,  nous  avons  assimilé  la  ^  oie  lactée  à  une 
sphère  homogène.  Si  nous  avions  voulu  nous  rapprocher  un  peu  plus 
de  la  réalité,  nous  aurions  dû  l'assimiler  plutôt  à  une  masse  gazeuse 
en  équilibre  adiabatique  :   mais  on  sait  que  la   loi  adiabatique  n'est 

pas  la  même  pour  tous  les  gaz,  puisqu'elle  dépend  du  rapport  ^  ae 

leurs  deux  chaleurs  spécifiques,  et  que  ce  rapport  n'est  pas  le  même 
pour  les  gaz  monoatomiques  que  pour  les  gaz  diatomiques  ou  poly- 
atomiques.  Auquel  de  ces  gaz  devrait-on  comparer  la  \  oie  lactée?  A  un 
gaz  monoatomique  évidemment.  En  effet,  les  molécules  seraient  ici 
les  ditîércnts  svstèm(>s  stellaires,  et  nous  devons  considérer  qu'il  y  a 
choc  chaque  lois  que  deux  de  ces  molécules  passent  assez  près  l'une 
de  l'autre  pour  être  déviées  de  leur  route;  or,  même  si  nous  prenons 
une  étoile  multiple,  l'action  d'un  astre  étranger  qui  viendrait  à  en 
approcher  deviendrait  assez  sensible  pour  dévier  le  mouvement  de 
translation  général  du  système,  bien  avant  d'être  capable  de  troubler 
les  orbites  relatives  des  composantes.  En  un  mot,  l'étoile  multiple  se 
comporterait  comme  un  atome  indivisible. 

197.  Posons-nous  encore  une  autre  question.  La  ^  oie  lactée  est- 
elle  vraiment  comparable  à  un  gaz  ordinaire,  ou  n'est -elle  pas  plutôt 
assimilable  à  la  matière  rndinnfe  de  Crookks  ?  On  sait  que  le  gaz 
renfermé  dans  un  d  tube  de  Chookes  »  est  tellement  raréfié,  que  les 
chocs  entre  ses  molécules  sont  relativement  rares,  et  qu'une  molé- 
cule a  des  chances  de  parcourir  tout  le  tube  sans  être  déviée  de  sa 
route  :  Crookes  disait  alors  que  le  parcours  moyen  des  molécules 
est  plus  grand  que  les  dimensions  du  tube  et  que  la  matière  à  l'inté- 
rieur du  tube  esta  l'état  radiant. 

Qu'arrive-t-il  pour  la  A  oie  lactée?  Une  étoile  a-l-elle  des  chances 
de  la  traverser  sans  subir  de  choc,  c'est-à-dire  sans  passer  assez  près 


afia  HYPCTTIÙSES    COSMOOOMnlES 

d'une  aiiti'c  étoile  pour  être  déviée  de  sa  route?  Que  devons-nous 
entendre  d'abord  par  assez  près?  Ces  mots  comportent  forcément  un 
peu  d'arbitraire  :  nous  conviendrons,  par  exemple,  de  dire  qu'il  n'y  a 
pas  choc  si  la  distance  entre  deux  étoiles  reste  supérieure  au  rayon  de 
l'orbite  de  Neptune  (ce  qui  pourrait  représenter  une  déviation  d'une 
dizaine  de  degrés).  Imaginons  alors  chaque  étoile  entourée  d'une 
((  sphère  de  garde  »  ayant  le  rayon  de  l'orbite  de  Neptune  :  une  droite 
pourra-t-elle  passer  entre  ces  sphères?  A  la  distance  moyenne  des 
étoiles  de  la  Voie  lactée,  le  rayon  d'une  telle  sphère  serait  vu  sous  un 

angle  de  ~^  tle  seconde  environ;  or,  nous  avons  un  milliard  d'étoiles. 

Plaçons  donc  sur  la  sphère  céleste  un  milliard  de  petits  cercles  de 

--  de  seconde  de  rayon  :  recouvrirons-nous  ainsi  toute  la  sphère,  et 

ces  petits  cercles  empiéteront-ils  les  uns  sur  les  autres  i^  Loin  de  là, 

nous  n  aurons  recouvert  que  la partie  du  Liel. 

*■  I  ooo  '- 

Le  parcours  moyen  d'une  étoile  est  donc  plus  grand  que  les  di- 
mensions de  la  ^  oie  lactée,  et  celle-ci  ressemblerait  plutôt  à  de  la 
matière  radiante  qu'à  un  gaz. 

198.  Nous  avons  jusqu'ici  assimilé  la  Voie  lactée  à  une  sphère.  Or, 
elle  offre  plutôt  l'apparence  d'un  disque  aplati.  Gomment  expliquer 
cet  aplatissement?  On  peut  faire  à  ce  sujet  des  hypothèses  bien  diffé- 
rentes. 

On  peut  d'abord  supposer  les  étoiles  animées  de  vitesses  qui  sont 
en  majorité  parallèles  au  plan  galactique,  mais  d'ailleurs  distribuées 
uniformément  dans  tous  les  sens  parallèlement  à  ce  plan.  Un  pareil 
étal  de  choses  ne  pourrait  être  que  pro\isoire  el  ne  saurait  se  main- 
tenir  indéfiniment  ;  car  les  u  chocs  »  des  molécules,  ou  pour  mieux 
dire  des  étoiles,  tendraient  à  distribuer  les  vitesses  dans  tous  les  sens 
conformément  à  la  loi  de  Maxwell,  et,  finalement,  l'amas  devait 
prendre  la  forme  sphérique,  qui  est  l'état  normal  dune  masse  gazeuse 
libre. 

Une  seconde  hypothèse  est  de  supposer  que  la  ^  oie  lactée  a  une 
rotation  d'ensemble  entraînant  un  aplatissement  définitif.  On  sait  que, 
[)0ur  une  masse  fluide,  de  densité  o,  tournant  avec  une  vitesse  angulaire 
03,  il  existe  une  certaine  valeur  du  rapport 


L\    VOIE    LACTÉE    ET    LV    TlltOltlli    UES    GAZ 


jG3 


au  delà  Je  laquelle  la  force  centrUugc  à  l'équaleur  l'emporte  sur 
l'attrat  lion  :  la  figure  (ré(|uilil)re  currespondante  est  très  aplatie,  et, 
au  delà,  il  n'y  a  plus  de  li<,Mire  déquilihre  stable.  Comme,  pour  la 
Noie  lactée,  la  densités  est  extrêmement  l'aiMe.  la  vitesse,  angulaire 
limite  r.)  sera  très  l'aihle  aussi  :  elle  correspondiait  (environ  à  un  tour 

complet  en  joo  millions  d'années,  soit  -  de  seconde  d'arc  par  siècle. 
Ln  tel  mouvement  échapperait,  bien  entendu,  complètement  à  Tobscr- 
valion  :  nous  ne  [)ourrions,  en  elTct,  nous  en  apercevoir  qu'en  visant 
des  nébuleuses  exicricurcs  à  la  Voie  lactée  et  ne  participant  pas  à  sa 
rotation  (de  mèaie  que  nous  nous  apercevons  du  mouvement  diurne 
de  la  Terre  en  visant  les  étoiles  fixes  extérieures  à  la  Terre).  Or,  outre 
que  le  mouvement  à  mettre  en  évidence  est  extrêmement  petit,  les 
pointés  sur  les  nébuleuses  sont  fort  peu  précis. 

Tl  y  a  encore  une  autre  hypothèse  qui  consiste  à  regarder  la  Voie 
lactée  comme  une  nébuleuse  spirale  !'  .  Considérons  une  masse 
gazeuse  animée  d'un  mouvement  de  rotation  de  plus  en  plus  rapide. 
Au  début,  la  rotation  étant  nulle  ou  très  l'aible,  la  figure  de  la  masse 
ga/.euse  est  spbérique  ;  la  rotation  s'accélérant,  elle  s'aplatit  et  prend 
une  forme  analogue  (^)  à  l'ellipsoïde  de  Mac-Lu  iu\  ;  la  rotation  de- 
venant encore  plus  rapide,  l'aplatissement  augmente,  et  la  figure  de- 
vient analogue  à  l'ellipsoïde  de  Jacoiu.  Si  la  rotation  s'accroît  encore, 
la  force  centrifuge  aux  deux  extrémités  du  grand  axe  viendra  a 
l'emporter  sur  l'attraction,  et  la  matière  s'échappera  en  deux  jets  à 
ces  deu\  sommets  :  ces  deux  jets  prendront  évidemment  une  lorme 
spirale,  en  vertu  du  principe  des  aires,  Vaile  marchante  prenant  un 
retard  sur  le  pivot.  Ainsi,  la  masse  gazeuse  olVrira  l'image  d  une  nébu- 
leuse spirale,  ses  molécules  représentant  les  étoiles  dont  se  compose 
cette  nébuleuse.  Il  ne  paraît  donc  pas  impossible  d'expliquer  les 
formes  spirales  des  nébuleuses  en  ne  faisant  intervenir  que  la  loi  de 
gravitation  et  des  considérations  statistiques  rappelant  celles  de  la 
théorie  des  gaz. 

(M  Les  nébuleuses  spirales,  quoiqu'irrésolul^les,  offrent  un  speclre  coiilinu. 
Aussi  les  cnnsiilère-t-on  généralement  comme  formées  d'une  mulliludo  d'éloilcs 
que  leur  éloignement  empêche  rie  distinguer.  Elles  seraient,  en  quelque  sorte, 
d'autres  voies  lactées  situées  à  des  distances  immenses. 

f-)  Nous  disons  rmalorjue,  car  l'existence  des  (ignres  ellipsoïdales  do  Mac-I^aibi.n 
et  de  Jacohi  Ji'a  été  démontrée  'n°  47  cpie  pour  une  masse  lluide  liomogène,  et 
noire  ga/  ne  l'est  pas. 


jg/.  HYPOTHÈSES    COSMOGOMQliES 

199.  Reprenons  la  comparaison  de  la  Yole  laclée  avec  nne  masse 
gazeuse.  Si  cette  comparaison  était  tout-à-fait  exacte,  les  vitesses  des 
molécules,  c'est-à-dire  des  étoiles,  devraient  être  distribuées  confor- 
mément à  la  loi  de  Maxwell  :  par  suite,  dans  une  région  quelconque 
du  Ciel,  les  mouvements  propres  des  étoiles  qui  peuplent  cette  région 
devraient  nous  paraître  dirigés  indifléremment  dans  tous  les  sens 
d'une  façon  parfaitement  irrégulière  (abstraction  faite  d'une  même 
composante  dne  au  mouvement  de  translation  du  système  solaire  vers 
l'apex).  Or,  ce  n'est  pas  ce  qui  arrive  :  les  mouvements  propres  des 
étoiles  d'une  même  région  ont  une  tendance  marquée  à  marcher  dans 
deux  (Ureclions  dilJercntes.  M.  Kapteyn  conclut  de  cette  observation 
qu'il  existe  deux  essaims  d'étoiles,  deux  courants,  ayant  chacun  une 
translation  d'ensemble  déterminée  et  se  pénélrani  mutuellement  :  à 
chacun  de  ces  deux  essaims,  pris  séparément,  la  loi  de  M.^xavell 
s'appliquerait;  mais  les  deux  courants  paraissent  s'ignorer  l'un  l'autre. 
On  peut  les  comparera  deux  jets  gazeux  de  directions  difl'érentes  qui 
viennent  à  se  rencontrer.  Ces  deux  jets  ne  se  mélangent  pas  tout  de 
suite  :  au  début,  les  molécules  des  deux  espèces  de  gaz  n'ont  pas 
même  vitesse  moyenne;  mais,  au  bout  de  peu  de  temps,  les  deux 
jets  gazeux  se  mélangent  et  ne  forment  plus  qu'une  seule  masse.  Si 
les  deux  courants  d'étoiles  qui  constituent  la  Voie  lactée  sont  restés 
distincts,  c'est  qu'ils  n'ont  pas  encore  eu  le  temps  de  se  confondre  en 
un  seul  :  le  temps  nécessaire  à  ce  mélange,  excessivement  coiat  pour 
les  deux  jets  gazeux,  est  au  contraire  énorme  pour  les  cornants 
d'étoiles,  parce  que,  pour  ces  courants,  le  «  parcours  moyen  »  est 
très  grand  et  les  «  chocs  »  très  rares  ;  or,  ce  sont  les  chocs  entre 
molécules  gazeuses  qui  amènent  le  mélange  des  deux  jets.  La  \oie 
lactée  n'aurait  donc  pas  encore  atteint  cet  état  d'équilibre  statistique 
qui  permettrait  de  l'assimiler  à  un  gaz. 

Dans  la  théorie  des  gaz,  la  loi  de  Maxwell  assigne  aux  molécules 
les  plus  grosses  les  plus  faibles  vitesses,  et  aux  molécules  les  plus 
petites  les  plus  grandes  vitesses.  Les  étoiles  les  [ilus  petites  devraient 
donc  olTrir  les  plus  forts  mouvements  propres.  En  particulier,  les  mé- 
téorites, qui  sont  des  astres  très  petits,  devraient  posséder  des  vitesses 
énormes  ;  or,  les  bolides  ont  bien  en  général  des  vitesses  hyperboli- 
ques, mais  ces  vitesses  sont  presque  toujours  peu  supérieures  à  la 
vitesse  parabolique  ;  il  faut  donc  conclure  que  les  météorites  n'ont 
pas  encore  eu  le  temps  de  prendre   ces    vitesses   énormes  que   leur 


LA     VOIE    L\f:TLn    r.l     I.A    TlIliOlUE    DES    GAZ 


a  or» 


assigne  la  lliéoric,  et  on  est  do  nouveau  amené  à  penser  fjue  la  ^  oie 
lactc'e  n'a  pas  encore  atteint  son  état  d  équilibre. 

200.  Vu\  doux  essaims  d'étoiles  de  .M.  Km'tevn,  Scuiai'ARF.li.i 
adjoint  un  troisième  essaim  dont  le  Soleil  ferait  partie.  La  Noie  lactée, 
d'après  lui,  se  composerait  donc  de  trois  essaims  ayant  chacun  leur 
translation  d'ensemble.  Les  comètes  seraient  des  membres  infimes  de 
ce  troisième  essaim.  Ce  serait  pourcela  cpie  nous  n'observerions  [)as  de 
comètes  nettement  hyperboliques,  pnis(|ue  les  comètes  faisant  partie 
de  notre  essaim  auraient,  en  gros,  le  même  mouvement  de  translation 
que  nous.  Scni  vi'ahei.li  s'écarte  ainsi  de  lopinion  générale,  d'après 
laquelle  les  comètes  appartiennent  au  système  solaire. 

Lorsqu'une  étoile  ne  présente  pas  de  mouvement  [)ropre  sensible, 
on  en  déduit  habituellement  qu'elle  est  très  éloignée.  Schiaparelu  en 
tire  une  autre  conclusion.  Il  la  considère  comme  appartenant  au  troi- 
sième essaim  ;  son  absence  de  mouvement  propre  proviendrait 
simplement  de  ce  qu'elle  possède  à  peu  près  la  même  translation  que 
le  Soleil,  translation  qui  ne  dilTère  pas  sensiblement  de  celle  du  troi- 
sième essaim. 


CHAPITRE  XIII. 

FORMATION  DES  NÉBULEUSES  SPIRALES  D  APRÈS  M.  SEE. 


201.  Dans  l'Ouvrage  que  nous  avons  déjà  cité('),  M.  See  s'est 
occupé  de  la  l'ormation  des  nébuleuses,  en  particulier  de  l'origine  des 
nébuleuses  spirales. 

Imaginons  deux  nuages  cosmiques  N,  N'  à  peu  près  égaux  et  cbe- 
minant  en  sens  inverse  ffig.  \\,i).  Lorsqu'ils  viennent  à  s'approcher 
l'un  de  l'autre,  leurs  extrémités  les  plus  voisines  s'allongent  l'une  vers 


2 


JiO-  4i. 


l'autre  par  sTiite  de  l'attraction  mutuelle  r/7^.  /|i.2)  et  peuvent  même 
finir  par  se  réunir  ffuj.  /|i,3)  en  un  seul  corps,  vers  le  milieu  duquel 
l'attraction,  jointe  aux  frottements,  tendra  à  produire  une  condensa- 
tion, une  sorte  de  noyau  central.  Les  deux  nuages  primitifs  N,N'  tour- 
neront dans  le  sens  des  flèches  autour  de  ce  centre,  comme  deux  ailes 
de  moulin. 

Telle  serait,  d'après  M.  See.  l'origine  des  nébuleuses  spirales.  Le 
noyau  central  aurait  tendance  à  s'enrichir  de  plus  en  plus  aux  dépens 
de  la  matière  des  deux  branche  spirales  X,N'.  On  voit  donc  que,  pour 
M.  See,  le  mouvement  de  la  matière,  dans  les  deux  bras  de  la  nébu- 
leuse spirale,  serait  centripète,  et  non  centrifuge,  contrairement  à 
l'opinion  habituelle.  Que  le  mouvement  soit  d'ailleurs  convergent  ou 


(')  T.  .T.  .T.'  See  :  Researclies  on  Ihe  Eoohilion.  of  ihe  stellar  Systems,  vol.  II  :   TIte 
capture  Tlieory  of  cosinical  Evolution.  Cl».  XIX. 


268 


HYPOTHESES    COSMOHOMOUES 


divergent,  la  loi  des  aires  explique  aussi  bien  dans  les  deux  cas  le 
retard  de  l'aile  marcliante  sur  le  pivot,  c'est-à-dire  la  forme  spirale 
des  deux  ailes. 

Il  peut  arriver  que  les  deux  extrémités  des  deux  nuages  N,  N'  qui 
s  approchent  l'un  de  l'autre  ne  se  réunissent  pas,  mais  soient  seule- 
ment déviées  par  l'attraction  :  alors  la  phase  qui  suit  la  phase  2  de  la 
figure  4i  n'est  pas  la  phase  3,  mais  la  phase  [\  (fig.  [\'2),  puis  la 
phase  5.  ÎNous  assistons  à  la  naissance  d'une  nébuleuse  annulaire 
telle  que  la  nébuleuse  de  la  Lyre.  M.  See  voit  dans  les  deux  parties 
floues  diamétralement  opposées  que  présente  l'anneau  de  la  Lyre  un 
argument  à  l'appui  de  cette  diéorie  :  les  extrémités  des  deux  nuages 
A,  N'  ne  se  seraient  pas  parfaitement  soudées. 


Une  nébuleuse  annulaire  se  forme  donc,  d'après  M.  See,  par  le 
même  mécanisme  que  les  nébuleuses  spirales,  dont  elle  se  trouve 
ainsi  être  en  quelque  sorte  un  cas  particulier.  Mais  la  forme  annu- 
laire est  fort  rare,  parce  que  les  conditions  de  formation  d'un  anneau 
parlait  ne  sont  pas  souvent  réalisées. 

On  peut  faire  à  cette  théorie  une  grave  objection.  Les  deux  bras 
d'une  nébuleuse  spirale  sont  en  général  à  peu  près  symétriques.  Dans 
l'hypothèse  habituelle  où  l'on  suppose  le  mouvement  sur  ces  bras 
divergent,  cette  symétrie  peut  s'expliquer  puisque  les  deux  bras  ont 
une  origine  commune.  Dans  l'hypothèse  de  M.  See,  on  ne  voit  aucune 
raison  pour  en  rendre  compte,  car  les  deux  nuages  cosmiques  j\  et  N' 
qui  engendrent  la  nébuleuse  et  qui  se  sont  rencontrés  par  hasard,  ne 
seront  pas  égaux  en  général  :  ils  devraient  donc  donner  naissance  à 
une  nébuleuse  dissymétrique. 

202.  M.  See  [)ense  qu'à  l'origine  le  système  solaire  était  une  nébu- 
leuse spirale  d'une  grande  extension.  La  matière,  à  son  intérieur, 
s'est  d'abord  agglomérée  en  particules  qui,  la  résistance  de  milieu 
aidant,  par  le  mécanisme  exposé  au  Chapitre  VI,  se  sont  condensées 


FORMATION    DKS     Nl'jSLLELSLS    SFIUALES    u"\l>HÈS    M.    SEK  a(jy 

en  astéroïdes,  puis  en  [)lanèles,  celles-ci  se  nouriissaiil   par  homhar- 
dement  ('). 

Par  analogie,  M.  See  esl  amené  à  croire  que  les  nébuleuses  spirales, 
moins  avancées  dans  leur  évolulidu  (pie  le  syslème  solaire,  sont  rem- 
plies d'un  très  grand  nombre  d'aslres  1res  pelils  comme  les  planètes 
ou  même  la  Lune.  Si  nous  ne  pouvons  pas  «  résoudre  »  ces  nébu- 
leuses, ce  serait  à  cause  de  la  petitesse  extrême  des  composantes,  et 
non  pas  parce  que  ces  objets  célestes  sont  excessivement  éloignés  : 
M.  Boulin  a  essayé  de  mesurer  la  parallaxe  de  la  nébuleuse  d'yVndro- 
mède  (qui  est  une  nébuleuse  spirale  à  spectre  continu),  et  il  l'a  trouvée 
égale  ào",i7,  de  sorte  que  cette  nébuleuse  serait  relativement  très 
près  de  nous.  Mais,  étant  donné  le  peu  de  précision  que  comportent 
les  pointés  sur  les  nébuleuses,  doit-on  considérer  cette  observation 
comme  définitive  et  certaine  ? 


('j  ^I.  See  voit,  dans  les  cralcres  lunaires,  les  cmpreititcs  d'un  bombardement 
produit  à  la  surface  de  la  Lune  par  la  chute  d'un  grand  nombre  de  petits  satellites. 
Il  compare  ces  cratères  aux  empreintes  laissées  par  de  grosses  gouttes  de  pluie  sur 
le  sol  [loc.  cit  ,  p.  3'j3,  Planche  XII). 


CHAPITRE  XIV. 

HYPOTHÈSE  DE  M.  É.  BELOT. 


203.  Selon  M.  E.  Belot  ('  ,  les  chocs  et  les  lourbillons  jouent,  en 
Cosmogonie,  un  rôle  essentiel  et  son!  les  deux  facteurs  principaux 
de  la  formalion  des  mondes.  La  production  efTectivc  de  chocs  dans 
l'univers  cosmique  nous  est  prou\ée  par  l'apparilion  des  \ovac  ; 
quant  aux  mouvements  tourbillonnaires.  les  nébuleuses  spirales  nous 
montrent  qu'ils  existent  réellement  dans  la  nature. 

Le  système  solaire,  dans  la  théorie  de  M.  Belot,  serait  dû  au  choc 
d'un  lube-lourbillon  contre  un  nuage  cosmique.  Autrement  dit,  une 
nébuleuse  animée  d'un  mouvement  tourbillonnaire,  venant  heurter 
une  nébuleuse  amorphe,  s'\  serait  épanouie  et  transformée  en  notre 
système  solaire. 

Lord  Kelvin  et  ^L  J.-.L  TnoMS(i\  ont  monlié  qu'un  tourbillon  se 
comporte  comme  un  corps  élastique  :  il  est  susceptible  de  vibrer  sous 
un  choc.  Il  possède  une  stabilité  telle  qu'elle  va  parfois  jusqu'à  la 
rigidité    rigidité  gyrostatique). 

Imaginons,  avec  M.  Belot,  qu'une  nébuleuse  ayant  la  forme  d'un 
tube-tourbillon  vienne  heurter  en  B  un  nuage  cosmique  AÂ',  à  la 
façon  d'un  obus  frappant  une  plaque  de  blindage,  comme  il  est  repré- 
senté sur  la  figure  ^3  que  nous  empruntons  à  r(Juvrage  de  M.  Belot. 
Par  suite  du  choc,  le  tube,  en  vertu  de  son  élasticité  virtuelle,  va  se 
mettre  à  vibrer  longitudinalement  ;  cette  onde  longitudinale,  se  réflé- 


('  É.  Belot  :  Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  1905-1906-1908;  — 
RuKelin  de  la  Société  astronomique  de  France  1907  ;  —  Journal  de  l'Ecole 
Pol\ technique  1908  ;  —  Comptes  rendus  des  Congrès  tenus  en  rqoS  et  en 
1909  par  l'Association  française  pour  l'Avancement  des  Sciences. 

M.  Emile  Bei  ot  a  rassemble  et  développé  ses  idées  cosmogoniques  dans  un 
Ouvrage  intitulé  :  Essai  de  Cosmogonie  lourbillonnairc  (Paris,  (laulliior-Xillars, 
191 1 ,  I  vol.  in-8''j. 


IIYl'OTHESES    COSMOGONIQUES 


chissant  i\  l'exlrémité  postérieure  du  projectile,  donnera  lieu  à  une 
onde  stationnaire,  de  telle  façon  que  nous  aurons,  le  long  du  tube, 
une  série  de  nœuds  et  de  ventres  équidislanis.  Chaque  ventre  viendra 
à  son  tour  frapper  le  nuage  cosmique  AÂ'. 


fuj.  /i3. 

Le  tourbillon  primitif  serait  l'origine  du  Soleil,  les  ventres  seraient 
l'origine  des  dilïérentes  planètes.  Quant  aux  molécules  du  tourbillon, 
elles  ne  peuvent  quitter  celui-ci  en  majeure  partie  qu'aux  ventres  où  le 
rayon  est  dilaté,  et  elles  décrivent  alors  des  spires  s'épanouissant  sur 
nne  surface  évasée,  appelée  nappe  loiirbillonnaire. 

Prenons  pour  axe  des  c  la  direction   Z'OZ  de  la   translation    du 


IIVI'OTIIKSE    DE    M.     !..     liri.OT 


373 


touibillon  clans  le  nuage  cosmique,  direction  qui  n'est  autre  que 
celle  de  l'apex.  Le  plan  des  x  y,  oblique  à  l'axe  des  z,  sera  pris 
parallèle  à  l'écliptique,  auquel  M,  Belot  suppose  que  le  plan  de  rota- 
tion du  tourbillon  pritiiitif  était  parallèle. 

Une  molécule  quelconque  M  d'une  nappe  lourbillonnaire  subit  de 
la  part  du  nuage  cosmique  une  résistance  de  milieu  qu'on  peut 
supposer  proportionnelle  au  carré  de  la  vitesse.  Gomme  la  vitesse 
avec  laquelle  le  lubc-tourbillon  est  venu  frapper  la  nébuleuse  amorpbc 
est  excessivement  grande  (M.  Belot  estime,  peut-être  un  peu  arbi- 
trairement, qu'elle  serait  de  l'ordre  de  70000  kilomètres  par  seconde), 
la  composante 

V  .-=  ''^ 

dt 

de  la  vitesse  de  M  paralèllemcnt  à  OZ  est  incomparablement  supérieure 
à  ses  autres  composantes  ;  la  résistance  opposée  au  mouvement,  qui 
est  supposée  proportionnelle  au  carré  de  la  vitesse,  est  assez 
grande  pour  que  l'on  puisse  négliger  devant  elle  toutes  les  autres  forces  ; 
si  bien  que  l'on  peut  écrire 

dt-  —     k.  \dt  )  ' 

jv-  désignant  le  coefficient  de  la  résistance  proportionnelle  au  carré  de 
la  vitesse.  Cette  équation  s'écrit 


ou  encore 


Intégrant,  il  vient 

(0' 


dt  —        Iv, 


dl    ,    f/V 


/_!___      I 

K'      \'  —  ~  ^\ 


W,  désignant  la  valeur  initiale  de  la  vitesse  de  translation  V  à  l'instant 
(/  ^  oj  du  choc. 
Nous  pouvons  aussi,  de  l'équation  (i),  tirer  la  valeur  de  c  :  nous  avons 

d\  =  —  ,.-  \^àt 
=  —  ,-'    \d:  ; 

Poi.XCARK.  18 


•274  HYPOTHESES    COSMOGONIQUES 


par  suite 


€t 


rfz  =  —  kj    -y 


(2)  Z  =  K,l0g^-^', 

nous  avons  pris,  comme  plan  z  =  o,   celui   du  choc,   pour  lequel 
V=  W,. 

Mais,  dans  le  tourbillon  primitif,  chaque  molécule  décrit  une 
hélice  ;  par  suite,  si  ù  est  l'angle  mesurant,  dans  le  plan  XOY, 
l'azimut  de  la  molécule,  on  peut  écrire 

(3)  z  =  BK.û, 

en  appelant  BK,  un  coefficient  constant. 

M.  Belot  admet  que  cette  équation  (3),  qui  représente  la  trajec- 
toire hélicoïdale  avant  le  choc,  reste  encore  satisfaite  après  le  choc 
dans  la  nappe  tourbillonnaire  qui  émane  du  tourbillon  :  mais  les 
hélices  décrites  dans  la  nappe  auront  un  rayon  B  de  plus  en  plus 

grand,  en  raison  de  la  vitesse  d'expansion  radiale    -  dont  nous  allons 

nous  occuper. 

L'équation  (3),  différentiée  en  /,  donne 

dz  chî 

ou 

(5)  V  =  BKjW, 


en  appelant 


dÇi 


la  vitesse  angulaire  delà  molécule  M. 

204.  Etudions,  avec  M.  Belot,  \q  profil  de  la  nappe  tourbillonnaire 
qui  s'épanouit  et  s'évase  en  forme  de  tulipe.  Cette  tendance  à  l'épa- 
nouissement est  due  principalement  à  deux  causes  ;  d'une  part,  à 
l'impulsion  radiale  presque  instantanée  qui,  dans  le  choc,  porte  le 
rayon  du  tourbillon  (à  un  ventre)  de  sa  valeur  initiale  a  à  une 
valeur  plus  grande  a  +  £  ;  d'autre  part,  à  une  force  répulsive  due  à 


UYPOTIIKSE    DE    M.     L.    IlELOT  37^) 

la  pression  do  radialion,  le  choc  ayant  dégaj/é  une  grande  quantité  de 
chaleur  et  de  lumière. 

Appelant  U  la  distance  (comptée  parallèlement  au  plan  \OYj  de  la 
molécule  M  à  l'axe  ZZ'  du  tourbillon,  M.  Belot  pose,  peut-être  un 
peu  arbitrairement, 

^^'^^  =  B.co(K-a), 

Bi  étant  un  coefficient  constant.  La  vitesse  deNjiansion    ,.  s'annule 

en  ellet  [)our  R  =  ^/,  puisqu'on  est  alors  dans  la  position  primitive  du 
tourbillon.  De  cette  équation  nous  tirons 


R 

ce  qui  s'écrit,  d'après  l'équation  {^), 


^^     ^    ^L  d~ 


R  —  a  ~  HK , 

Telle  est  l'équation  qui  relie  le  rayon  H  de  la  section  circulaire  de  la 
nappe,  à  l'ordonnée  z.  C'est,  si  l'on  veut,  l'équation  dilTérentielle  du 
profd  de  la  nappe. 
Intégrant,  il  vient 

(6)  z  =  -j3-log-^. 

£  désignant  la  valeur  initiale  du  renflement  R  —  a  du  tourbillon  au 
ventre  considéré. 

Dans  ce  calcul,  M.  Belot  n'a  pas  tenu  compte  de  l'attraction,  qui 
devient  cependant  très  prépondérante  dès  que  le  Soleil  a  commencé  à 
se  former.  Dans  un  calcul  plus  exact,  il  y  aurait  sans  doute  lieu 
d'introduire  cette  attraction.  En  elTet,  dans  les  calculs  précédents, 
nous  avons  traité  les  difl'érentes  masses,  comme  si  elles  étaient  indé- 
pendantes et  on  ne  voit  pas  bien  pourquoi  elles  se  trouveront  finale- 
ment à  peu  près  dans  un  même  plan  (celui  de  l'écliptique).  Si  les 
calculs  de  M.  Belot  le  conduisent  à  expliquer  en  apparence  ce  fait 
important,  c'est  par  suite  d'hypothèses  qui  paraissent  mal  justifiées, 
et  auxquelles  l'Auteur  n  aurait  jamais  songé,  s'il  n'avait  pas  connu 
ce  résultat  d'avance.  Au  contraire,  en  tenant  compte,  dès  le  début, 
de  l'attraction  solaire,  on  arrive  tout  naturellement   au  même   but. 


2^6  HYPOTHESES   COSMOGOMQLES 

205.  Comparons  les  équations  (2)  et  (6).  En  posant 

B  —"' 


nous  aurons 


ce  qui  peut  s'écrire 


log  — ^ —  =  b  log  y  » 


V''(R  —  «)  =  const. 

ou  encore,  puisque  d'après  l'équation  (5)  V  est  proportionnel  à  oj, 

co''  (R  —  a)  =  const. 

Cette  formule  correspond,  dans  la  période  de  formation  du  système^ 
à  la  troisième  loi  de  Kepler,  sur  laquelle  on  retombe  en  faisant  a  =  o 


(condensation  finale  du  tourbillon)  et  6 


206.  M.  Belot  cherche  quelle  sera  la  loi  des  distances  planétaires^ 
C'est  la  relation  (G)  entre  r  et  R  qui  va  nous  renseigner  à  ce  sujet. 
Cette  relation  nous  apprend  que  le  profil  de  chaque  nappe  est  une- 
courbe  logarithmique.  Chacun  des  ventres  va  être  l'origine  d'une 
nappe  venant  couper  l'écliptique  suivant  un  cercle,  et  chaque  nappe 
donnera  naissance  à  une  planète. 

Comme,  par  hypothèse,  les  différents  ventres  sont  équidistants  sur 
le  tube-tourbillon,  nous  devons  donner  à  z  dans  la  formule  (6)  des 
valeurs  en  progression  arithmétique.  Il  en  résulte,  pour  R  —  a,  des 
valeurs  en  progression  géométrique.  C'est  la  loi  exponentielle  des 
distances  planétaires,  analogue  à  la  loi  de  Bode. 

La  formule  donnée  par  M.  Belot  est  (en  unités  astronomiques)  : 

xn  —  0.28  =      /  ,-  •  1,883", 

au  lieu  de  celle  de  Bode 

x,i  —  o,li  =  0,3  .  a". 

Une  difficulté  se  présente  ici  :  au  moment  de  la  formation  des  pla- 
nètes, la  nébuleuse  n'était  sans  doute  pas  encore  condensée.  Pendant 
la  condensation,  la  loi  d'attraction  a  varié,  et,  comme  nous  l'avons- 


HYPOTIIi;SE    DE    M.     lO.    IIELOT  2nn 

expliqué  à  propos  de  la  llicorie  de  Faye,  les  distances  des  planètes  ont 
dû  varier  également.  La  question  est  de  savoir  si  la  loi  de  13oi>e,  si 
on  la  suppose  vérifiée  à  l'origine,  a  pu  rester  vraie  pendant  cette 
variation. 

207.  Nous  allons  écrire,  avec  M.  Beloï,  la  condition  pourquc  toutes 
les  nappes  arrivent  simultanément  dans  le  plan  de  l'écliplique. 

Appelons  Y„  la  vitesse  de  translation  de  la  nap[)c  de  rang  n  au 
moment  où  elle  arrive  dans  l'écliptique,  W„  sa  vitesse  de  translation 
au  contact  du  tourbillon  en  Z„.  Soient  /„  le  temps  mis  par  la  nappe 
■de  rang  n  à  venir  de  Z„  à  l'écliplique  ;  t,,  le  temps  mis  par  le  tour- 
billon primitif  à  aller  du  plan  Z„  au  plan  Z„_  i.  Il  faudra  qu'on  ait 

D'après  l'équation  (i)  on  aura 

"■\  "71  "  n—  1 

Les  tn  satisfont  à  l'équation  (2)  qui  peut  s'écrire  d'après  l'équa- 
tion (1)' 

/W 
z  =  K,  log  i^-^t-^i 


ou 


on  a  donc 


^.-^,=.K. 


<9)  -^1,-^1=6^^^=6^'^ 

(10)  ^'''=i^,_,  +  i=e^^   =e      1^1       . 

Eliminant  /„,  tn-i,  ~n  entre  les  quatre  équations  (7),  (8),  (9),  (10), 
on  trouve 

J'ai  dit  plus  haut  que  les  hypothèses  qui  servent  de  point  de  dé- 
part à  ce  calcul  me  paraissent  un  peu  arbitraires,  et  qu'en  tenant 


278  HYPOTHÈSES    COSMOGONIQUES 

compte  dès  le  début  de  l'attraction  solaire,  on  arriverait  à  une  expli- 
cation toute  naturelle. 

208.  Mais  comment  chaque  nappe  tourbillonnairc  va-t-elle  donner 
naissance  à  une  planète?  Revenons  à  la  figure  /|3.  Supposons  que 
la  nébuleuse  amorphe  AA'  possède  elle-même  vme  vitesse  de  trans- 
lation perpendiculaire  au  plan  de  la  figure  et  dirigée  d'arrière  en  avant. 
La  rotation  du  tourbillon  étant  supposée  de  sens  direct,  il  y  aura 
maximum  de  conflit  de  vitesse  précisément  dans  le  plan  ZOX  de  la 
figure,  et  du  cùté  OX,  puisque,  en  cet  endroit,  la  vitesse  tangentielle 
des  nappes  sera  directement  opposée  à  la  vitesse  transitoire  de  la 
nébuleuse. 

C'est  donc  vers  OX  que  les  nappes  se  transformeront  en  tourbillons 
planétaires.  Telle  est,  d'après  M.  Belot,  l'origine  des  planètes. 

Quant  aux  satellites,  ils  sont  formés  par  le  tourbillon  planétaire, 
de  même  que  les  planètes  ont  été  formées  par  le  tourbillon  principal. 

209.  Sur  la  figure  /(3,  nous  voyons  que  les  profils  des  nappes  suc- 
cessives coupent,  sur  OX,  l'écliptique  sous  certains  angles  ;  et  ces 
angles  se  trouvent  coïncider  sensiblement  avec  ceux  que  les  axes  de 
rotation  des  planètes  font  avec  l'écliptique  (').  Cette  coïncidence 
s'explique,  puisque,  dans  la  théorie  actuelle,  on  admet  que  les  tour- 
billons planétaires  se  sont  tous  formés  du  côté  OX  et  que  l'axe  de 
chaque  tourbillon  est  resté  tangent  à  la  nappe  correspondante. 

La  position  de  l'axe  d'Lranus,  presque  couché  dans  le  plan  de 
l'écliptique,  est  expliquée  de  la  façon  suivante  :  la  projection  rapide 
du  tourbillon  principal  ZjjXja  dans  le  nuage  cosmique  aurait  déter- 
miné la  formation  d'un  lore-toiirbillon  analogue  à  un  anneau  de  fumée  ; 
c'est  cet  anneau-tourbillon  qui  aurait  engendré  Uranus. 

210.  Disons  encore  qu'à  la  loi  des  (Jlslances  et  à  la  loi  des  inclinai- 
sons, M.  Belot  joint  une  loi  des  rotations,  c'est-à-dire  une  formule 
donnant  la  durée  de  rotation  (directe)  d'un  astre  du  système  solaire, 
en  fonction  de  son  diamètre  et  de  sa  densité. 

M.  Belot  essaie  enfin,  par  un  mécanisme  analogue  (nébuleuse 
tourbillonnairc  venant  frapper  un  nuage  cosmique),  mais  en  variant 


(')  La  dislance  BO  est  inconnue  à  priori  :  or,  les  angles  eii  question  défendent 
évidemment  de  celle  dislance  ;  c'est  précisément  comme  conséquence  de  la  loi  des 
inclinaisons  que  M.  Belot  la  trouve  égale  à  Si  ravons  de  l'orbite  terrestre. 


HYPOTin:SE    DE    M.    K.    BELOT  a'Ql 

de  différentes  façon  les  conditions  initiales,  d'expliquer  la  formation 
des  différents  systèmes  sidéraux  (étoiles  multiples,  nébuleuses  spi- 
rales, ...)  que  nous  offre  l'observation  du  ciel.  Pour  ces  points,  nous 
renverrons  aux  Ecrits  de  l'Auteur. 

211.  Quelles  que  soient  les  critiques  que  nous  ayons  cru  devoir 
formuler  sur  divers  points  de  celte  théorie,  cette  tentative  mérite  l'at- 
tention. Si  on  peut  reprocher  à  M.  Belot  d'avoir  été  un  peu  plus 
ambitieux  qu'il  ne  convient  de  l'être  dans  l'état  actuel  de  la  Science 
et  d'avoir  voulu  prématurément  trop  embrasser,  et  si  ses  idées  ne 
semblent  pas  pouvoir  être  acceptées  sous  leur  forme  actuelle,  il  semble 
qu'il  peut  être  utile  de  les  faire  connaître,  parce  qu'on  pourra  un  jour 
v  trouver  à  glaner  d'intéressantes  vérités. 


TABLE  DES  MATIÈRES. 


Paces 


Préface 


CHAPITHE  PREMIER. 

HYPOTHÈSE    DE     KA>T. 


I.  Chaos  iriilial.  sa  cli(T<Tcntiation  —  2.  Formation  du  Soleil  et  des  planètes 
—  3.  Rotation  directe  des  planètes  —  '|.  Anneau  de  Saturne  —  5.  Co- 
mètes —  6.  Critique  de  riiypothèse  de  K\>t 


CHAPITRE  II. 

HYPOTHÈSE    DE    LAPLACE. 


7.  iSchuleuse  de  Laplace  —  S.  Formation  des  anneaux  —  9.  Rupture  des 
anneaux,  formation  des  planètes  et  des  satellites  —  10.  Comètes  —  11. 
Lumière  zodiacale  —  12.  Egalité  des  durées  de  rotation  et  de  révolution 
de  la  Lune  —  i3.  Satellites  de  Jupiter 


CHAPITRE  III. 

ANALYSE    DE    l'iITPOTHÈSE    DE     I.APLACE.    TRAVAUX    DE    ROCnE. 
ÉTCDE    DE    LA     STABILITÉ    d'lS    ANNEAU.    FORMATION    DES    SATELLITES. 

I.  Surfaces  de  niveau. 

ï^.  Méridiennes  des  surfaces  de  niveau  de  la  nébuleuse  de  Lai'lace  —  i5. 
Points  de  ces  méridiennes  où  la  tangente  est  perjiendiculaire  à  Taxe  de 
rotation  —  lO.  Abandon  d'aimeaux  dans  le  plan  équatorial  par  suite  de 
la  condensation i5 

II.  Nécessité  dt;  Vliypothèse  d'une  condensalion  centrale. 

17.  Abandon  d'anneaux  par  une  nébuleuse  dépourvue  de  condensation  cen- 
trale —  18  Calculs  de  M.  FoucuÉ  —  nj.  Limite  inférieure  de  la  densité 
d'un  anneau 18 


HVPOTHliSES    COSIIOGOMQLES 


III.  Formation  successive  des  anneaux. 


20.  Condition  de  formation  d'un  anneau  —  ai.  Discontinuité  de  l'abandon 
de  vapeurs  dans  le  plan  équalorial  par  suite  de  la  non-uniformité  du 
refroidissement  —  22.  Cause  de  la  non-uniformité  du  refroidissement  — 
33.  Signification  de  la  loi  de  Bode  —  24.  Formation  d'anneaux  inté- 
rieurs, d'après  Roche 23 

IV.  Discussion  de  lliYpothèse  d'une  rotation  iinifornie. 

25.  Faiblesse  de  l'influence  du    frottement  pour  de  grands  volumes  fluides 

—  26.  Distribution  adiabalique  des  rotations  dans  une  masse  fluide  tour- 
nant autour  d'un  axe  —  27.  Surfaces  de  niveau  dans  une  masse  fluide 
tournant  autour  d'un  axe,  lorsque  la  vitesse  angulaire  varie  avec  la  dis- 
tance à  l'axe  —  28.  Cas  particuliers  de  la  distribution  uniforme  et  de  la 
distribution  adiabatique  des  rotations  ;  la  distribution  adiabatique  est 
incompatible  avec  la  formation  d  anneaux  de  Laplace 28 

V.  Elude  de  la  stabilité  d'un  anneau.  Anneaux  de  Saturne. 

29.  Ilypotbèses  diverses  sur  la  constitution  des  anneaux  de  Saturne  —  3o. 
Rejet  de  l'hj'pothèse  d'anneaux  solides  par  Lapi.ace  et  par  IIirn  —  3i,  Sa, 
33,  34.  Calculs  de  Maxwell  relatifs  à  riivpotlièsc  d'anneaux  constitués 
par  une  multitude  d'astéroïdes  indéjjendants  —  35.  Extension  au  cas  d'un 
anneau  supposé  fluide;  limite  supérieure  de  la  densité  d'un  anneau  fluide 

—  3(5,  3",  38.  Limite  inférieure  de  la  densité  d'un  anneau  fluide  ...  35 

VI.  Rupture  des  anneaux  de  Laplace.  Formation  des  planètes. 

3g,  /40.  Instabilité   des   anneaux   de    Laplace  —  lii.    Leur   rupture  —  \'j. 

Cause  de  la  rotation  directe  des  planètes  :  efTet  des  marées  internes    .     .  ic) 

VIL  Formation  des  satellites. 

43.  Les  nébuleuses  planétaires  sont  comparables  à  la  nébuleuse  solaire,  mais 
sous  de  moindres  proportions  —  /j'|.  Etude  d'une  nébuleuse  planétaire 
tournant  sur  elle-même  dans  un  temps  égal  à  celui  de  sa  révolution 
autour  du  Soleil  —  45.  Equilibre  d'une  masse  fluide  bomogène  animée 
d'une  rotation  uniforme,  soumise  à  l'altraction  muluelle  de  ses  parties,  et 
à  l'attraction  d'un  astre  perturbateur  éloigné  —  /((l.  Représentation  géo- 
métrique —  fi-j.  Cas  particulier  oi'i  l'astre  perturbateur  a  une  masse  nulle; 
figures  d'équilibre  de  Mac-Laurin  et  de  .Lvcoiti  —  48.  Cas  particulier  oîi 
l'astre  perturbateur  a  une  masse  très  grande;  application  aux  satellites  de 
Jupiter  — •  4().  Equilibre  d'une  masse  fluide  présentant  une  forte  conden- 
sation centrale  —  5o.  Limites  supérieures  des  dislances  ties  satellites  aux 
planètes,  d'après  Roche  —  5i.  Origine  de  la  Lime  d'après  Roche  —  .")2. 
Ij'anneau  de  Saturne  ne  s'est  pas  transformi'-  en  satellite,  parce  que. 
d'après  Iîoche,  à  une  aussi  faihle  distance  de  la  planète,  une  masse  fluide 
ellipsoïdale  n'aurait  pas  pu  être  en  équilibre     .,,.,,.,.  5* 


TAni.E    DES    M.VTIlinES 


^III.  Objections  à  la  théorie  de  Laplace. 


a8S 


53.  Sens  direct  de  rotation  des  planètes  —  5'|.  Longueur  du  temps  néces- 
saire à  la  transformation  d'un  anneau  en  une  masse  planétaire  unique, 
objection  de  M.  Kihkwooh  —  55.  Grande  dislance  de  la  Lune  à  la  Terre 
et  faible  dislance  du  premier  satellite  de  Mars  et  de  l'anneau  intérieur  do 
Saturne  —  50.  Satellites  à  révolution  rétrograde 64 

CILVPITRE  n  . 

HYPOTHÈSE    DE    H.     TAYE. 

57.  Conception  de  IL  Faye  sur  la  nébuleuse  primitive  —  58.  Différence 
avec  la  conception  de  Laplace  —  5i).  Loi  de  la  force  centrale  ^ariable 
avec  le  temps,  d'après  IL  Faye  —  60.  Période  directe  et  période  rétro- 
grade —  61.  La  Terre,  dans  l'hypothèse  de  Faye,  serait  plus  vieille  que 
le  Soleil  —  6:>.  Comètes  —  1)3.  Planètes  directes  et  planètes  rétrogrades, 
satellites  à  révolution  rétrograde  —  ti'i.  Une  planète,  soumise  à  une  force 
centrale  dont  la  loi  varie  lentement  avec  le  temps,  conserve  une  orbite 
circulaire,  si  celte  orbite  est  inilialcmenl  circulaire  —  05.  Cas  particulier 
dune  force  centrale  inversement  proportionnelle  au  carré  de  la  distance, 
le  coefficient  de  proportionnalité  variant  a\ec  le  temps  —  GO.  Distances 
initiales  des  planètes  au  Soleil,  d'après  Faye 69 

CHAPITRE  V. 

HYPOTHÈSE    DE    M.     DU     LI(;OM)ÈS. 

67.  Le  chaos  initial,  d'après  M.  du  Licondès  —  0'^.  La  théorie  de  ^L  du 
LiGONDÈs  n'est  pas,  comme  celle  de  Kant,  en  conlradiclion  avec  le  prin- 
cipe des  aires  —  Ot).  Somme  arithmétique  et  somme  géométrique  des 
moments  des  quantités  de  mouvement  —  70.  Les  chocs  qui  se  produisent 
dans  la  nébuleuse  chaotique  ont  |)our  double  cHct  une  concentration  et 
un  aplatissement  de  cette  nébuleuse  —  71.  L'aplatissement,  une  fois 
commencé,  va  s'accentuer —  72.  Tendance  des  trajectoires  des  projectiles 
à  devenir  et  à  rester  circulaires  —  73.  Paradoxe  a])parcnt  qui  résulte  de 
la  comparaison  de  la  théorie  de  ^L  du  Ligo>dès  avec  la  théorie  cinétique 
des  gaz  —  74.  Théorème  du  viriel  —  jj.  Application  à  un  gaz  renfermé 
dans  un  vase,  loi  de  ^L\R10TTE  et  de  Gay-Lussac  —  7O.  Application  à  la 
nébuleuse  de  ^L  du  Lkjoxdès,  tendance  à  la  concentration  —  77.  Loi  de 
répartition  des  vitesses  dans  la  théorie  cinétique  ;  mouvement  d'un  li- 
quide, probabilités  —  78.  Heprésentation  du  mouvement  d'un  svstème 
matériel  à  ;i  degrés  de  liberté  par  le  mouvement  d'une  particule  en  sus- 
pension dans  un  liquide  incompressible  dans  l'espace  à  2  n  diinensions. 
Postulat  de  Maxwell  —  71).  Cas  où  les  équations  du  mouvement  ad- 
mettent des  intégrales  premières:  densilés  llctives  —  80.  Application  à 
un  gaz  renfermé  dans  un  vase,  loi  de  NLvxvvell  pour  la  répartition  des 
vitesses  des  molécules  —  81.  Extension  de  la  loi  de  Maxwell  au  cas 
d'une  masse  gazeuse  libre  —  82.  Frottement  et  conductibilité  thermique 
dans  une  masse  gazeuse  —  83.  Application  à  la  nébuleuse  de  ^L  nu  Li- 
GONDÈs  ;  chocs  véritables  et  demi-chocs  —  8'j.  Hi''le  des  demi-chocs  — 
85.  Sens  de  rotation  des  planètes  —  86.  Considérations  diverses    ...  83 


Paffes 


•284  inPOÏIlèsES    COSJIOr.OMQLES 

CHAPITRE   M. 

llYl'OTIlKSi;    DK    M.     SEE. 

87.  Pour  M.  See,  les  planètes  ont  été  captées  par  le  Soleil,  et  la  Lune  [lar 
la  Terre  —  88.  Effet  d'une  résistai. ce  de  milieu  sur  le  mouvement  d'une 
planète;  variation  du  grand  axe  et  de  l'excentricité  de  l'orbite  —  89. 
Effet  séculaire  —  90.  La  diminution  séculaire  de  l'excentricité  peut  se 
prévoir  sans  calculs  —  91.  Capture  des  planètes  par  le  Soleil  —  92. 
Capture  des  satellites  par  les  planètes  —  98.  Tentative  d'explication  du 
sens  direct  des  mouvements  des  astres  du  svstèmo  solaire  et  de  la  faible 
inclinaison  de  leurs  orbites , 117 

CHAPITRE  Yll. 

THÉORIE    DE     Sni    G. -H.     D.VUWIN. 

I.  Gcncralik's. 

•94.  Effet  du  frottement  des  marées;  ralentissement  delà  rotation  delà 
Terre  et  augmentation  corrélative  de  la  distance  de  la  Lune  —  95.  Accé- 
lération séculaire  du  movcn  mouvement  de  la  Lune i3i 

II.  L'exceiitricilé  cl  rincVinaison  de  l'orbite  lunaire  sont  suppost'cs  nulles. 

96.  Alarées  internes  aux  époques  reculées  où  la  Terre  était  encore  fluide  — - 
97.  Si  l'excentricité  de  l'orbite  lunaire  a  été  initialement  nulle,  elle  le 
restera  toujours  —  98.  Le  moment  de  rotation  du  système  formé  par  une 
planète  et  son  satellite  demeure  constant,  son  énergie  mécanique  décroit 
sans  cesse  —  99.  lîepréscntalion  géométrique  ;  dIscus>ion  —  100.  Cas  du 
système  Terre-Lune  —  loi.  Diminution  du  moment  d'inertie  de  la  Terre 
par  suite  du  refroidissement  —  102.  Cas  des  diverses  planètes  et  de 
leurs  satellites;  cas  du  Soleil  et  de  l'ensemble  des  planètes i33 

III.  Cas  (jt'ncral. 

io3.  Rappel  de  la  tbéorie  statique  des  marées  ;  dénivcll.ilion  statique  — 
10^.  Expression  de  la  dénivellation  statique  —  io5.  Légitimité  de  la 
théorie  statique  —  106.  Mise  en  compte  de  la  ^iscosité —  IC7.  La  visco- 
sité doit  être  considérée  comme  faible  —  108.  Développement  Irigono- 
métrique  de  la  dénivellation  statique  —  109.  Expression  du  potentiel 
perturbateur  dû  à  l'attraction  sur  un  point  extérieur  du  bourrelet  liquide 
soulevé  par  la  marée  • —  iio.  Variation  des  éléments  lunaires  sous  l'action 
perturbatrice  de  la  marée  solaire  —  iii.  Variation  des  éléments  lunaires 
sous  l'action  perturbatrice  de  la  marée  lunaire  elle-même  —  ii3.  Effets 
séculaires  —  11 3.  Termes  à  conserver  dans  le  potentiel  producteur  de  la 
marée  —  ii'i.  Transformation  de  ces  termes  —  iiô.  Tableau  rccajtitidatif 
—  116.  Equations  donnant  les  variations  du  grand  axe,  de  l'excentricité 
et  de  l'inclinaison  île  l'orbile  lunaire —  IJ7-  E<(uations  donnant  les  varia- 
tions des  éléments  terrestres  —  i  18.  Récapitulation  des  étpialions —  1  19. 
Variations  de  la  rotation    terrestre  et  de  la  dislance    moyenne  de  la  Lune 


TABLE    DES    MATIÈUES  28S 


—  I30.  ^arialion  de  l'cxccnlricilô  de  l'orbilc  lunaire  —  lai.  \arialion 
de  rincliiiaisoii  de  l'orbite  lunaire  sur  l'éciuatcur  —  132.  Durée  probable 
de  l'évolulion  —  i23.  Calcul  du  cociTicieiit  de  viscosilé  de  la  Terre  — 
13^,  i;j5.  Ilétablissemetit  des  cocllicienls  île  proporlionnalilé  —  126. 
Comparaison  entre  l'action  retardatrice  de  la  Lune  sur  la  Terre  et  l'action 
retardatrice  de  la  Terre  sur  la  Lune  :  cette  dernière  a  pu  être  33  000  fois 
plus  forte  que  la  premiùre  —  127.  Système  fornu'  par  le  Soleil  et  les 
piînèles l!^^ 

IV.  liijlucncc  accclcrutricc  du  refroitlissemcnl. 

128.  !Mise  en  compte  de  l'innucncc  accc'lèratrice  du  refroidissement:  loi 
particulière  de  refroidissement  —  129  Ap[)licution  à  l'cvolution  d'une 
nébuleuse  planétaire  —  i3o.  Pour  la  rotation  terrestre,  l'inlluence  accé- 
lératrice du  refroidissement  est  très  faible  vis-à-vis  de  l'influence  retar- 
datrice de  la  marée —  i3i.  Inlluence  retardatrice  de  la  pluie  météorique.        180 

V.  Ihpotlù'SC  sur  la  formalloii  de  la  Lune^. 

i32.  Formation  possible  de  la  Lune  aux  dépens  de  la  Terre  i)ar  suite  d'une 
exagération  de  l'amplitude  de  la  marée,  due  à  un  phénomène  de  résoti- 
nanco  — •  i33.  Figures  d'équilibre  d'une  masse  fluide  homogène  en  rota- 
tion :  ellipsoïdes  de  Mvc-Lauiux  et  de  Jacobi  —  \'i!\.  Fonctions  de  Lamé 

—  i35.  Figures  d'équilibre    inliniment    voisines  des  figures    ellipsoïdales 

—  i3G.  Stabilité  des  figures  d'érpiiiibre  —  137.  Ucfroidisscmcnrconlinu 
et  contraction  d'une  masse  lluide  homogène  :  elle  arrive  à  prendre  une 
figure  piriforme  —  i'38.  Formation  possible,  par  ce  processus,  du  système 
Terre-Lune  et  de  certains  systèmes  d'étoiles  doubles i8.'» 

CHAPITRE  MIL 

scR  l'origine  de  la  chaleur  solaire  et  de  La  chaleur  terrestre. 

I.  Chaleur  solaire. 

i3().  N  alenr  de  la  constante  solaire;  taux  annuel  du  refroidissement  du 
Soleil  ;  dissipation  de  sa  chaleur —  l'io.  Hypothèse  chimique  —  i^i. 
Hypothèse  météorique  —  i42,  i/i3,  i^A-  Difficultés  qu'elle  soulève  - — 
iA5.  Hypothèse  de  Helmholtz  ;  contraction  d'une  sphère  gravitante  homo- 
gène —  1:^6.  Provision  de  chaleur  emmagasinée  par  le  Soleil;  âge  du 
rayonnement  solaire  — •  1^7.  La  densité  du  Soleil  n'est  j)lus  supposée 
constante  —  i'|8.  Etude  de  la  chaleur  spécifique  ;  la  chaleur  spécifique 
peut,  sous  de  fortes  pressions,  devenir  très  considérable  ;  cas  où  le  Soleil 
est  assimilé  à  un  fluide  parfait  —  i'i9.  Pour  qu'un  globo  chaud  qui 
rayonne  s'échaufle  en  perdant  de  la  chaleur,  il  faut  que  sa  chaleur  spéci- 
fique, dans  les  conditions  considérées,  soit  négati^e  —  iSo.  Cas  où.  le 
Soleil  est  assimilé  à  un  solide  élastique  parfait  —  i5i.  Si  le  Soleil  est 
visqueux,  sa  contraction  détermine  une  véritable  création  de  chaleur  — 
102.  La  dissociation  chimique  des  matières  centrales  du  Soleil  joue  le 
même  rùlc  qu'une  augmentation  de  sa  chaleur  spécifique  —  iô3.  Tem- 
pérature du  Soleil  —  i54.  DiHicultés  de  la  présente  hypothèse.      ,     .     .        lui 


286  IIYPOTIIKSES    COSMOGOMQLES 

II.  Chaleur  terrestre. 

î55,  156.  Calculs  de  Lortl  Kelvin.  La  Terre  est  assimilée  à  un  mur  plan 
indéfini  se  refroidissant  par  contact  — ■  167.  L'inlluence  de  la  courbure 
étant  faible,  l'assimilation  de  la  sphère  au  mur  plan  est  assez  légitime  — 
i58.  La  Terre  est  supposée  partie  d'une  distribution  initiale  quelconque 
des  températures,  et  arrivée  à  son  état  pénultième  —  109.  Cas  où  le 
refroidissement  se  fait  par  rayonnement  et  non  par  contact  —  160.  Le 
refroidissement  de  la  Terre  s'eiïcclue  par  sa  superficie  —  161.  Calculs  de 
M.  IluDZKi  sur  le  refroidissement  terrestre  —  163.  Diverses  méthodes 
proposées  pour  évaluer  l'âge  de  la  Terre  —  i63.  L'énergie  solaire  est- 
elle  d'origine  radioacti\c.'' 

m.  Equilibre  adiabalique  cVun  (jaz  parfait. 


r  âges 


209 


i6/j.  Une  masse  de  gaz  parfait  en  équilibre  adiabatique  a  un  coefTicicnt  dn 
dilatation  négaLif  —  i65.  La  chaleur  spécifique  d'une  telle  masse  est 
négative  pour  les  gaz  monoatomiques  ou  diatomiques,  positive  pour  les 
gaz  polyatomiques  —  166.  Le  Soleil  étant  très  éloigné  de  l'été t  de  gaz 
parfait,  les  considérations  précédentes  ne  lui  sont  sans  doute  pas  appli- 
cables —  167.  On  retrouve  les  résultats  précédents  au  moyen  de  la  théorie 
cinétique  des  gaz  —  168.  Une  masse  gazeuse  (monoatomique  ou  diato- 
mique)  entièrement  libre  s'écliaulTe  en  se  contractant,  à  mesure  qu'elle 
perd  de  la  chaleur  par  rayonnement  ;  ce  phénomène  est  comparable  à 
celui  d'une  planète  qui  se  meut  dans  un  milieu  résistant  —  iGi).  Il  n'est 
pas  certain  que  les  raisonnements  s'appliquent  même  aux  gaz  monoato- 
miques, lorsque  ceux-ci  subissent  des  pressions  énormes 321 


CHAPITRE  IX. 

THÉOUIE    DE    Sin    MORJIAN    LOCKYER. 

170.  Sir  N.  LocKYER  distingue  parmi  les  spectres  des  étoiles  trois  types  dif- 
férents :  le  spectre  de  la  ilamme,  le  spectre  de  l'arc,  le  spectre  de  l'étin- 
celle. Théorie  de  la  «  dissociation,  des  éléments»  —  ^1^-  Evolution 
cosmique  d'après  Sir  ^l.  Lockyer  —  172.  Classification  des  étoiles  — 
173.  Températures  des  étoiles,  d'après  M.  Nordm.vnn  —  17'!.  Distribution 
des  étoiles  des  dilTérents  types  dans  le  ciel 220 

CHAPITRE  X. 

TUÉORIE    DE    M.    SCUUSTER. 

175.  Si  les  étoiles  gazeuses  sont  plus  chaudes  que  les  autres,  c'est  que  leur 
atmosphère  joue  le  rôle  d'une  serre  chaude,  laissant  passer  les  rayons 
lumineux,  mais  arrêtant  la  chaleur  obscure  —  176.  La  dilTércnce  entre 
les  spectres  des  étoiles  proviendrait  des  courants  de  convection  plus  ou 
moins  intenses  dont  elles  sont  le  siège  —  177.  Histoire  des  grandes 
•étoiles,  d'après  M.  Scuuster  ;  absorption  finale  des  gaz  légers  de  l'atmos- 
jîhère  par  la  masse  centrale a35 


TAHI.E    DKS    M.VTIKUES  387 


CHAPITRE  \I. 


TlILOniE    Di;    M.    AnUHEMLS. 


pHt-ea 


178,  179.  Pression  de  radiation  dans  la  tliéoric  éleclromagn(;li(|ue  de  la  lu- 
mière —  180.  L'cxislenre  de  la  pression  de  radiation  peut  se  déduire  des 
principes  de  la  Thermodynamique —  i8i.  Pour  des  particules  très  petites 
situées  au  voisinage  du  Soleil,  la  force  répulsive  provenant  de  la  pression 
de  radiation  peut  l'emporter  sur  la  force  attractive  due  à  la  gravitation 
—  182.  Queues  des  comètes  —  i83.  Couroime  solaire.  Estimation  de  lu 
quantité  de  matière  météorique  qui  tombe  sur  le  Soleil —  i8/j.  Ionisation 
des  gaz  de  l'atmosphère  solaire.  Charge  électrique  positive  du  Soleil  — 
i85.  Cause  des  aurores  polaires  —  i8G.  Nébuleuses  :  leur  périphérie 
devient  lumineuse  par  suite  du  bombardement  que  leur  font  subir  les 
particules  chargées  qui  sillonnent  l'espace  ;  leur  intérieur  nous  est  com- 
plètement inconnu  —  187.  E\olution  des  soleils  d'après  M.  AnnnEsius. 
Naissance  d'une  .\ova  j)ar  le  choc  de  deux  soleils  éteints —  188.  L'Univers 
est  infini  —  i8(j.  M.  Arrheml's  cherche  à  échapper  à  la  «  mort  calori- 
Hque  ))  que  le  principe  de  Caiinot  semble  assigner  à  l'Univers  —  190. 
Démons  de  Maxwell —  iqi.  Mécanisme,  imaginé  jiar  M.  AnnuEMLS, 
par  lequel  la  chaleur  que  les  soleils  envoient  aux  nébuleuses  n'élève  pas 
la  température  de  celles-ci  —  192.  Ce  mécanisme  peut-il  mettre  pour 
toujours  l'Univers  à  labri  de  la  loi  de  dégradation  qu'implique  le  prin- 
cipe de  Carnot? —  193.  Seconde  cause  d'après  laquelle  les  nébuleuses  ne 
s'échauflent  pas  quand  los  soleils  leur  envoient  de  la  chaleur     ....        289 


CHAPITRE  XII. 

LA    VOIE    LACTLE    ET    LA    THÉOIUE    DES    GAZ. 

194.  Comparaison  de  l'ensemble  de  la  Voie  lactée  avec  une  masse  gazeuse 
—  190.  Dimensions  de  la  Noie  lactée,  nombre  de  ses  étoiles  —  ig6.  Le 
gaz  auquel  il  convient  de  comparer  la  Voie  lactée  est  monoatomique  — 
197.  La  Voie  lactée  est  plutôt  comparable  à  la  matière  radiante  de 
Crookes  qu'à  un  véritable  gaz  —  198.  Causes  possibles  de  l'aplatissement 
de  la  Voie  lactée  —  199.  Les  deux  essaims  d'étoiles  de  M.  Kapteyn  — 
300.  Les  trois  essaims  d'étoiles  de  Schl\^i'arelli 


CHAPITRE  XII [. 

FORMATION    DES    NÉBULEUSES    SPIRALES    d'aPRÈS    M.     SEE. 

201.  Formation  d'une  nébuleuse  spirale  par  la  rencontre  de  deux  nuages 
cosmiques.  Nébuleuse  annulaire  de  la  Lvre  —  202.  Les  nébuleuses  s[)i- 
rales  seraient  formées  dun  très  grand  nombre  d'astres  de  très  petites 
dimensions 267 


200  HYPOTHESES    COSMOGOMQUES 

CHAPITRE  XIV. 

HYPOTHÈSE     DE    M.     É.     DELOT. 

2o3.  Le  système  solaire  serait  dû  au  clioc  d'un  lube-tourbillon  contre  un 
nuage  cosmique  amorphe  —  3o4.  Profil  des  nappes  tourbillonnaires  — 
2o5.  Formule  qui,  dans  la  période  de  formation  du  système,  correspond 
à  la  troisième  loi  de  Kepler  —  206.  Loi  exponentielle  des  distances  pla- 
nétaires —  207.  Condition  pour  que  toutes  les  nappes  arrivent  simulta- 
nément dans  le  {)lan  de  l'écliptique  —  208.  ^laissance  des  planètes  aux 
dépens  des  nappes  tourbillonnaires  —  20g.  Loi  des  inclinaisons  des  axes 
de  rotation  des  planètes  —  210.  Loi  des  rotations.  Formation  des  dilTé- 
rents  systèmes  sidéraux  —  211,  Conclusion 


P^îes 


INDEX  ALPHABETIQUE. 


A. 

Âdiabatique  —  Dislribulion  adiabalique  des  rotations  dans  une  masse  fluide 
tournant  autour  d'un  axe,  3i,  33  —  Equilibre  âdiabatique  d'un  gaz  parfait, 
32  1  et  suiv. 

Age  du  ravonnement  solaire,  d'après  Helmuoi.tz  et  Lord  Kelvin-,  aoo,  202  — 
Age  relatif  de  la  Terre  et  du  Soleil,  d'après  Faye,  73. 

Andromède  (Nébuleuse  d')  Sa  parallaxe  d'après  M.  Bohlin,  2O9. 

Anneaux  de  Lvplace,  9,  10,  11,  17,  18,  23,  a'i  —  Leur  instabilité,  ^9 —  Temps 
nécessaire  h  leur  transformation  en  planètes,  ()5. 

Anneaux  de  Saturne  —  Leur  formation  d'après  ]va>'t.  5  —  Diverses  bypotlièscs 
sur  leur  constitution.  35,  36  —  Travaux  de  Maxwell,  36  à  44  —  Limite  supé- 
rieure et  limite  inférieure  de  la  densité  d'un  anneau  fluide,  /|i  à  48  —  Opinion 
de  Roche,  63,  64  —  Faible  distance  de  l'anneau  intérieur  à  la  planète,  66. 

Anneaux  intérieurs  de  Roche,  27,  66. 

Aplatissement  de  la  néi)uleuse  de  M.  du  Ligondès,  86  à  89. 

ARRHENIUS  (SVANTE),  208  —  Tbéorie  de  M.  Aurhe.mus,  289  à  206. 

Aurores  polaires,  247. 


B. 


BALMER,  232. 

BARTOLI,  24i. 

BELOPOLSKY,  180. 

BELOT  —  Hypothèse  de  M.  E.  Belot,  271  à  279. 

BODE  (Loi  de).  26,  276,  277. 

BOHLIN,  269. 

Boréales  (Aurores),  247. 

BOSLER  (J.),  193. 

BRILLOUIN    -\L),  193. 

BRUNHES  (B.),  256. 

BUFFON,  6,  8. 


G. 

Canoniques  (Equations),  98,  io5,  i55  —  (Variables),  io4,  i55. 
Capture  des  planètes   par  le    Soleil  d'après  M.  See,  120  —  des   satellites   par   les- 
planètes,  d'après  ^L  See,  126  à  128. 

Poing  ARE.  '9 


2()0  HYPOTHESES    COSMOGONIQUES 

CARNOT  (Principe  de),  2,  90,  i35,  242,  25i  à  256. 

CASSINI,  6,  35. 

Chaleur  solaire  et  chaleur  terrestre,  leur  origine,  191  à  227. 

Chaleur  spécifique  du  Soleil,  202  à  208  —  d'un  gaz  parfait   en   équilibre  adiaba- 

tique,  223  à  226. 
Chaos  primitif,  d'après  K.vnt,  i  —  d'après  M.  du  Ligoxdès,  83. 
Charge  électrique  positive  du  Soleil,  246. 
Cinétique  (Théorie)  —  Voir  Gaz. 
CLAUSIUS,  90,  92,  25i,  206. 
Comètes,  G,  12,  74  —  Leurs  queues,  244- 

Concentration  de  la  nébuleuse  de  M.  du  Ligondès  par  suite  des  chocs,  86,  94. 
Condensation  centrale  de  la  néliuleuse  de  Lapla.ce,  18  et  suiv. 
Constante  solaire,  191. 

Contraction  d'une  sphère  gravitante  homogène,   198. 
Courants  d'étoiles,  264,  265. 
Couronne  solaire,  245. 
CROOKES,  261. 
CURIE  (P.),  220. 


DARWIN,  52  —  Théorie  de  Sir  G. -H.  Darwin,  i3i  à  189. 

DELAMBRE.  i3. 

DELAUNAY,  i32,  i33,  172. 

Démons  de  Maxwell,  253,  255. 

Densité  d'un  anneau  fluide,  limite  supérieure  et  limite  inférieure,  4i  à  48. 

Déperdition  de  la  chaleur  solaire,  191,  192. 

DESCARTES,  1. 

Diane,  i5G. 

Discontinuité  de  la  formation  des  anneaux  de  Laplace,  23  et  suiv. 

Dissociation  des  matières  à  l'intérieur  du  Soleil,  207. 

Dissociation  des  éléments,  d'après  Sir  N.  Lock-ïer,  23o. 

Distances  initiales  des  planètes  au  Soleil,  d'après  Faye,  81. 

Distances  maxima  des  satellites  aux  planètes,  d'après  Roche,  62. 

Distribution  adiabatique  des  rotations  dans  une  masse  fluide  tournant  autour  d'un 

axe,  3i,  33. 
DOPPLER,  196. 


E. 

Elasticité  virtuelle  des  tourbillons,  271. 

Entropie  des  soleils  et  des  nébuleuses,  262. 

Equilibre  d'une  masse  fluide  (Figures  d'),  53  à  61,  i84  à  188. 

Equilibre  adiabatique  d'un  gaz  parfait,  221. 

Essaims  d'étoiles,  264,  265. 

Etoiles  —  Leur  classification  d'après  Sir  N.  Lockyer,  23 i  —  Leur   température. 

23 1,  232  —  Leur   évolutioH   d'après   M.    Schuster,  236  —  Courants   d'éloile>, 

264,  265. 
EULER,  3i,  202. 


INDEX    ALPII.VIILTIQLE  SQI- 


FARENHEIT,  172. 

PAYE  (HERVÉ),  30,  83,  ii5,  i/n,  277  —  Ilypolliùse  de  II.  Faye,  (uj  à  82. 
Figures  créquilibre  d'une  masse  fluide,  53  à  (Ji,  i84  à  188. 
FIZEAU,  196. 
Fonctions  de  F.vmé,  187. 

Force  centrale  variable  avec  le  temps,  71,  76  à  80. 
Formation  successive  des  anneaux  de  Laplace,  23. 
FOUCHÉ    M.  ,  20,  21. 
FOURIER,  210,  21 5. 
FRESNEL,  ïSij,  2^0. 

Frottement,  sa   faible   influence   dans   le   cas   de    grands    volnnics    lliiiilcs,  28 
Frottement  des  marées,  ses  en"ets  d'après  Sir  (î.-H.  Dauwix,  i3i  à  180. 


GAY-LUSSAC,  92. 

Gaz  —  Théorie  cinétique,  8g  et  suiv.  —  Théorème  du  viriel,  90  à  (j'i  —  Loi  de 
répartition  des  vitesses  des  molécules,  96  à  1 10  —  Equilibre  adiabaliqiie  d'un 
gaz  parfait,  221. 

GREEN,  22. 


HAMILTON,  98,  io5,  i55. 

HELMHOLTZ,  28,  29,  73,  197,  198,  202,  207,  209,  220. 

HIRN,  36,  ',5. 


J. 

JACOBI  —  Ellipsoïde    de    Jacobi,  58,  i84  à  188,  263  —  Intégrale  de  .lAcobi  dans 

le  problème  restreint  des  trois  corps,  127,  128. 
JOLY,  219. 


KANT  (EMMANUEL),  7,  83,  8:1,  90  —  Hvpotlièse  de  Kant,  i  à  6. 

KAPTEYN,  264,  265. 

KELVIN  (Lord),  73,  i83,  193,  196,  197,  209,  210,  212,  2i3,  217,  218,  220,  2^5, 

240,  2'j8,  207,  271. 
KEPLER,  4,  6,  10,  49,  5i,  64,  85,  118,  i65,  194,  276. 
KIRKWOOD,  65,  66. 


292  HYPOTHÈSES    COSMOGONIQLES 


LAMÉ,  187. 

LANE  (HOMER),  231,  206. 

LAPLACE,  o,  71,  7;J,  82,  83,  182,  i8.\,  19!)  —  Ilypolhùse  de  Lai>lmje,  7  à  i4  — 

Analyse  de  Ihypothèse  de  Laplace,  i5  à  G7. 
LEBONfE.i.  189. 
LÉVY  fMAURICÈ),  l^2,  iGo. 
LIAPOUNOFF,  189. 

LIGONDÈS  (R.  DU),  2  —  lljpothèso  de  M.  du  Ligondès,  83  à  ii5. 
LISSAJOUS,  87. 

LOCKYER  (Sir  NORMAN),  235,  236  --  Théorie  de  Sir  N.  Lockyek,  229  à  200. 
LOEWY(M.),  217. 
Loi  de  Maxwell  pour  la    répartition   des   vitesses   dans   la   tiiéorie   cinétique   des 

gaz,  107,  109. 
LUGOL  (P.),  193. 
Lumière  —  Pression  de  radiation  de  ia  lumière,  239  à  2/)3  —  Liimiùrc  zodiacale, 

12. 

Lune  —  Egalité  des  durées  de  rotation  et  de  révolution,  12,  i3,  179  —  Augmen- 
tation du  grand  axe  de  son  orbite  par  l'effet  du  frottement  des  marées,  i3i, 
'67  —  Accélération  séculaire  de  son  moyen  mouvement,  i32,  172  —  Variation 
de  Texcentricité  de  son  orbite  par  l'effet  du  frottement  des  marées,  167  —  Va- 
riation de  l'inclinaison  de  son  orbite  sur  l'équateur,  170  -■-  Origine  possible  de 
la  Lune  d'après  Sir  G. -H.  Darwin,  i84  à  189. 

Lyre  (Nébuleuse  annulaire  de  la),  70.  268. 

M. 

MAC-LAURIN  (Ellipsoïde  de),  58,  i84  à  188,  263. 

Marées  internes  :  elles  sont  la  cause  de  la  rotation  directe  des  planètes,  5i  — 
Leur  inilucnce  sur  la  rotation  de  la  Terre  et  sur  les  éléments  de  l'orbite  de  la 
Lune,  i3r  à  172  —  Théorie  statique  des  marées,  i/|2  et  suiv. 

MARIOTTE.  92,  202. 

Matière  radiante,  261,  2G2. 

MAXWELL,  36,  87,  39,  !\i,  44,  45,  95,  loi,  107,  109.  1 10,  m,  11 3,  239,  2  03, 
205,  262,  2G4. 

MAYER  (ROBERT),  193. 

Mort  calorifique,  25i. 

Mutations,  209. 

N. 

Nappes    lourbillonnaires  dans  l'Inpothèse  de  M.  E.  15elot,  leur   profil,  27'],  275. 

NAVIER,  28. 

Nébuleuse  de  Laplace,  8,  9  —  Ses  surfaces  de  niveau,  i5,  iG  —  Sa  forte  con- 
densation centrale,  18  —  ■Nébuleuse  de  Paye,  69  —  Les  nébuleuses  d'après 
M.  AuRHEMLs,  i47  et  suiv.  —  Formation  des  nébuleuses  spirales  et  des  nébu- 
leuses annulaires,  d'après  M.  See,  267,  268. 

NEWTON,  I,  2.  78,  257. 

NORDMANN  (Ch.),  233.  333. 

Novae,  249,  35o,  25i,  271. 


iM)i;x   ali'u\ui:tiqle 


393 


€LBERS,  II. 

Origine  <lo  la  clialeur  solaire  et  de  la  clialcur  Icrrcslre,  iiji  à  UJ"]. 


P. 

Phobos,  satellite  de  Mars,  (iti. 

Piriforme    l'iiiure    d'équilibre  d'une  masse  lluide,  188,  i8(j. 

Planètes  —  Leur   formalioii   aux   dépens   des   aiuieaux   de    Laplace,    '19  —  Leur 

rotation  directe,  Tii. 
P0INCARÉ(1I.),  37,  45,  l4a,  i")."S,  i(io.  i8(|,  u^,  2J7. 
POISSON,  aa,  aïo. 
Postulat  de  Maxwell,  101. 
POUILLET.  19  f. 

Pression  de  radiation,  aoij  à  243. 
Probabilités,  96,  99. 


PUISEUX    P.).  217. 


'Queues  des  comètes,  a'i'i. 


Q 


R. 

Badioactivité,  20(|.  220. 

Ralentissement  de  la  rotation  terrestre  par  l'elTct  du  frottement  des  marées,  i3i, 

Refroidissement  tie  la  Terre  —  Son  iniluence  accélératrice  sur  la  rotation  ter- 
restre. 180  et  suiv.  —  Calculs  de  M.  Rudzki,  218,  219. 

Résistance  de  milieu,  89,  90,  117  à  i25. 

Rigidité  i,'vrostalique,  271. 

ROCHE    E.).  i5,  18,  25,  27,  28,  33,  54,  (5i,  62,  63,  64,  66. 

Rotation  directe  des  planètes,  sa  cause,  5i  —  Rotation  uniforme  de  la  nébuleuse 
de  Lm>l\ce,  28  à  35. 

RUDZKI,  218.  2i(|. 


Satellites  de  Jupiter,  i3,  i4,  09  —  Satellites  de  Mars,  GG  —  Satellites  à  révolu- 
tion rétrograde,  G7,  7Ô. 

Saturne  (Anneaux  de^  —  ^ oir  Anneaux. 

SCHIAPARELLI,  i83.  260. 

SCHUSTER  (A.)  (Théorie  de).  235  à  237. 

SEE  T.J.-J.  Hvpolhèse  de),  117  à  ia(,  —  Formation  des  nébuleuses  sp'ralpS 
d'après  M.  See,  267  à  269. 


2q4  hypotueses  gosmogoniques 

Serre  chaude  (Théorie  de  la),  235. 

Soleil  —  Origine  de  sa  clialeur,  191  à  209,  220  —  Hypothèse  chimique,  ig3  — 
Hypothèse  météorique,  198  —  Hypothèse  de  Helmiioltz,  197  —  Chaleur  spéci- 
fique du  Soleil,  202  à  208  —  Sa  température,  208  —  Sa  charge  électrique 
positive,  2/16. 

Spectres  des  étoiles,  229,  235. 

Stabilité  de  l'anneau  de  Saturne  et  des  anneaux  de  Laplace,  35  et  suiv.  —  des 
figures  d'équilibre  d'une  niasse  fluide,  188. 

STEFAN,  241. 

Surfaces  de  niveau,  de  la  nébuleuse  de  Laplace  i5,  16  —  dans  une  masse  tluide 
tournant  autour  d'un  axe,  82. 


T. 

Température  du  Soleil,  208  —  des  étoiles,  281,  282. 

Terre  —  Ralentissement  de  son  mouvement  de  rotation  par  l'efTet  du  frottement 
des  marées,  i3r,  167  —  Influence  accélératrice  du  refroidissement,  180  — 
Influence  retardatrice  de  la  pluie  météorique,  iS4  —  Origine  de  la  chaleur  ter- 
restre, refroidissement  de  la  Terre,  209  à  220. 

Théorie  cinétique,  voir  Gaz. 

THOMSON  (J.-J.),  271. 

THOMSON  (W.),  voir  KELVIN  (Lord). 

TISSERAND,  87,  54. 

Tourbillons  —  Leur  rôle  cosmogonique  d'après  M.  E.  Belot,  271  et  suiv. 


V. 

Viriel  (Théorème  du),  90  à  94. 

Vitesses  des   molécules  gazeuses  dans  la   théorie   cinétique,  loi  de  Maxwell,  90, 

107,  110. 
Voie  Lactée  (La)  et  la  théorie  des  gaz,  257  à  2G5. 
VRIES  (DE),  209. 


W. 


WAALS  (VAN  DER),  92. 
Wàrmetod,  201, 
WILSON,  24fi. 
WOLF  (C),  I,  i3i. 


Zodiacale  (Lumière),  12. 


9. 


•SAINT-AMAND    (cHER).   —    IMPRIMKRIE    BUSSIÈRE. 


ERRATA 


Paçie  96,  noie  (')  :  au  lieu  do  :  (Cli.  vui,  n'  J71). 
lire  :  (CI),  viii,  n'  168). 

Pane  26a,  linne  i/j  ;  au  lieu  de  : • 

•^  ^  1 000 

lire  :  -7 -• 

10  000 


294 


HYPOTHESES    COSMOr.oNIQUES 


Serre  chaude  (Théorie  de  la),  235. 

Soleil  —  Origine  de  sa  chaleur,  191  à  309,  220  —  Hypothèse  chimique,  igS  — 
Hypothèse  météorique,  igS  —  Hypothèse  de  Helmiioltz,  197  —  Chaleur  spéci- 
fique du  Soleil,  202  à  208  —  Sa  température,  208  —  Sa  charge  électrique 
positive,  246. 

Spectres  des  étoiles,  229,  235. 

Stabilité  de  l'anneau  de  Saturne  et  des  anneaux  de  Laplace,  35  et  suiv.  —  des 
figures  d'équilibre  d'une  masse  fluide,  188. 

STEFAN,  241. 

Surfaces  de  niveau,  de  la  nébuleuse  de  Laplace  i5,  lO  —  dans  une  masse  lluide 
tournant  autour  d'un  axe,  82. 


Température  du  Soleil,  208  —  des  étoiles,  a3i,  282. 

Terre  —  Ralentissement  de  son  mouvement  de  rotation  par  l'elTet  du  frottement 
des  marées,  181,  1G7  —  Influence  accélératrice  du  refroidissement,  180  — 
Influence  retardatrice  de  la  pluie  météorique,  i84  —  Origine  de  la  chaleur  ter- 
restre, refroidissement  de  la  Terre,  209  à  220. 

Théorie  cinétique,  voir  Gaz. 

THOMSON  (J.-J.),  271. 

THOMSON  (W.),  voir  KELVIN  (Lord). 

TISSERAND,  87,  54. 

Tourbillons  —  Leur  nMe  cosmogonique  d'après  M.  E.  Belot,  271  et  suiv. 


V. 

Viriel  (Théorème  du),  90  à  94. 

Vitesses  des   molécules  gazeuses  dans  la   théorie   cinétique,  loi  de  Maxwell,  90, 

107,  110. 
Voie  Lactée  (La)  et  la  théorie  des  gaz,  257  à  2G5. 
VRIES  (DE),  209. 


«AINT-AMAND    (CHER).   —    IMPRIMERIE    BUSSIÈRE. 


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Extrait  du  Catalogue  des  publications  de  la  Librairie  Scientifique 
A.    HERMANN   ET    FILS 


ANDOYER  (H.).  —  Nouvelles  tables  trigonométriques  fondamen- 
tales (Logariihmes).  iQii,  in-4° 30  fr.      » 

URBAIN  (G.).  —  Introduction  à  l'Etude  de  la  Spectrochimie, 
iç)ii 10  fr.      » 

GÀUSS  (0.  F.).  —  Recherches  arithmétiques,  nouvelle  édition, 
jf)ii 16  fr.      » 

COSSERAT(E.etF.).— Théoriedescorpsdéformables,  1909  6  fr.      » 

CHWOLSON  (O.  D.).  —  Traité  de  Physique  (voir  prospectus  spécial). 

KŒNIGS  (G  ).  —  Leçons  de  Cinématique  théorique,  avec  notes  de 
MiVI.  DARBOUX  et  COSSERAT.  Grand  in-8,  5oo  pages,  1897.         15  fr.      » 

GOURSAT  (E.).  —  Leçons  sur  l'intégration  des  équations  aux  dérivées 
partielles  du  second  ordre.  2  volumes  grand  in-8,  1896-98.        18  fr.      » 

TANNERY  (J.).  —  Introduction  à  la  Théorie  des  fonctions  d'une 
variable.  2'  édition  en  2  volumes.  Tome  1,  1904  ....  14  fr.  » 
Tome  II,  191 1 15  fr.      » 

MACH  (E.).  —  La  Mécanique,  Exposé  historique  et  critique  de  son 
développement.  Trad.  sur  la  4'  édition  par  Ed.  BERTRAND  (avec 
introduction  de  Em.  PICARD),  5oo  pages  avec  figures  et  portraits, 
1904 15  fr.       » 

ROUSE  BALL  (W.).  —  Histoire  des  Mathématiques.  Traduction 
FREUND.  2  vol.  grand  iu-8,  1906-1908 20  fr.       » 

ROUSE  BALL.  — •  Récréations  mathématiques,  3  volumes        15  fr.      » 

FABRY  (E).  —  Traité  de  Mathématiques  générales,  avec  préface  de 
M.   DARBOUX.  1908  (48o  pages) 9  fr.      » 

BJERKNES  (Trad.  HOUEL).  —  Niels-Henrik  Abel.  Gr.  in-8,  38o  pages 

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DESCARTES.  —  La  Géométrie,  1886,  in-4'" 5  fr.      » 

DUHEM  (P.).  —  Les  Origines  de  la  statique,  2  vol.     .     .        20  fr.      » 
DUHEM  (P.)-  —  Etudes  sur  Léonard  de  Vinci,  2  vol.     .        27  fr.      » 
GOURSAT  (E.)-  —  Leçons  sur  l'Intégration  des  équations  aux  déri- 
vées partielles  du  premier  ordre 14  fr.      » 

GREEN  (G.).  —  Mathematical  Papers.  New  édition.     ,     .        20  fr.      » 

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cul infinitésim.al 6  fr.      )) 

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utiles  pour  la  lecture  de  Platon,  traduction  DUPUIS     .  6  Ir.      » 

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rales, 19 10 10  fr.      » 

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SVANTEARRHENiUS.— L'atmospaôra  desplanètes,  191 1  1  fr.      » 

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1991 IS  l'r.      » 

SOMMER.   —  Introduction   à  la  Théorie  des   nombres  algébriques, 

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BURALI-FORTI  et  MARCOLONGO.  —  Calcul  vectoriel  et  applica- 
tions- 191 1 8  fr.      » 

FRÉCHET  et  HEYWOOD.  —  L'équation  de  Fredholm  et  ses  appli- 
cations à  la  physique  mathématique {sou>!  presse).