Digitized  by  Googie 


Digitized  by  Coogie 


Digitized  by  Googie 


SCRITTI 

r>  I 

LEONARDO  PISANO 

MATI:M\TIC0  DKL  SECOI.O  DtaMOTERZO 


l)A 


BALDASSARRE  BONCOMPAGNl 


•4»,|u>  iiipivttin  ••  rnKTiPUlt  imctt.  f 

<.oHii«»o5i>t^iK  BiLL'  Acr.tnrHit  attr.r  artir  «ctrmr  »t 
iiEiL.v  at.vLC  Accmraia  ortt-r  «cmmk  «i  kapoli, 
t ueLLt  posriricti  tci.iokniA  vittt 
BLt  i’ ISTITVTU  VI  lOlOCaA 


VOLUME  1. 


ROMA 

TIP0CR\m  SfLLE  fClENiE  MaTKM\TICHE  E FISICUC 
VIA  r.ATA  MH  * 211 
MDCCCLVll. 


Digitized  by  Googie 


LIBER  ABBACl 

p I 

LE0N4RD0  PISANO 

PIBBUCATO 

SKCONDO  LA  U;ZU)NE  DEL  CODICE  MAGLIAHECIU ANO 
C.  I,  2fi!0,  iiitdia  Fiorcntiua^  n.“  73. 


UA 


BALDASSARIIE  BONCOMPAGM 


MCIO  Ok»l!(4aia  BKlb'ACC«BC«IA  rOXTiriCU  »t'|ie«Mrl  Liacti,  I MCI» 
«oiauronvcall  •RLL*ACC4»tMiA  IliLt  »ILLI  «ctcatc  Bt  t»aiBn, 
•XLl»  tSALK  ACClBtaiA  BtLtC  (ClCIia*  BIBkVAtl» 
k BBLI.A  rOMTtriCIA  ACCtBCIIIA  BKLI.E  ACICBik 
•CLt'UTlT«r«  Bl  BOLOSliA 


R O.M  A 

Ttror.RAFu  OPU.B  sciesie  MirniiTiciiE  r.  fimche 

VIA  LATA  «CK.*  211 

MDCCCLVII. 


Digitized  by  Googie 


Incipit  Uher  Ahaci  Comf)ositiLs  a leonardo  fliio  Botuicij  Pisano 
In  Anno.  M*  cc*  tj.* 


SCniPSlSTis  mihi  domine  mi  magister  Mlcliacl  Scotte,  summe  philosophe,  vt  librum  tie 
numero,  <ptem  dudum  cnm[>osui,  uubU  transcriberem:  vnde  uestrac  obseriitidaiis  |x>- 
stulaliotii,  ipsum  subtiliori  perscrutans  Indagine  ad  uestrum  honorem  et  aliorum  mul- 
lorum utilitatem  correxi,  lii  cuius  correctione  4|iiedam  necessaria  addidj,  et  (picdam  su- 
perflua rcsccaui.  In  quo  plenam  numerorum  dtaUnnam  nlidj,  iuxta  modum  indorum, 
quem  nunlum  iti  ipsu  scientia  prcstaiiliorem  elegi.  Kt  que  arismctrica  et  geometria  (j/c) 
scientia  sunt  connexe,  et  sufTnigatoric  sibi  ad  iniiicem,  non  potest  de  numero  plena 
tradi  doctrina,  nisi  intersecantur  geometrica  qiiedam,  ucl  ad  geometriam  spectantia,  que 
bic  tantum  iuxta  mcnliim  iiumerj  u[)crantur;  qui  modus  est  sumptus  ex  multis  proba- 
tionibus et  demonstrationibus  , que  figuris  geometricis  fmnt.  Verum  in  alio  libro,  quem 
de  practica  Geometrie  composui,  ea  (|uc  ad  («cometriain  jiertincnt  et  alia  plura  copiosis 
cxplicaui,  singula  subicctis  approlialionibus  geometricis  demoiLStraiido.  Sane  hic  libor  ma- 
gis ad  theuricam  spectat  <|uam  ad  pralicain.  Vnde  (jui  per  cum  huius  scicnlic  prac- 
ticam  bene  scire  uulucriiit,  oportet  eos  continue  usu  et  c\en:ilio  diuturno  in  cius  pi*n- 
ticLs  ]>erstudore:  qumi  scientia  per  practicam  uersa  in  liabiliim,  memoria  et  intellectus 
adeo  concordent  cum  manibus  et  ilgiiris  , qiunl  tpiasi  uno  impulsu  et  anelitu  in  uno 
et  eodem  instanti  circa  idem  per  omnia  imtuniiitcr  consutieiit:  et  tunc  cum  fuerit  di- 
scipulus habitudinem  consecutus,  gradatim  poterit  ad  perfectionem  huius  facile  pcrtic- 
nire.  Lt  ut  facilior  pateret  doctrina,  hunc  librum  per  .xv  distinxi  capitula  : ut  (|uicquid 
de  his  lector  iiuliicrit,  possit  leuius  inuciiire.  Porro  si  iii  hoc  oj>cre  repentur  insullicientiu 
uel  defectus,  illud  emendationi  uestre  subicio. 

Cviu  genitor  mciu  a patria  publicus  scriba  in  duana  bugee  pro  pisanis  mercntorilnis 
ad  eam  connuentibus  coastiUitus  pieessct  , me  in  pueritia  mea  ad  se  ticnirc  faciens, 
inspecta  utilitate  et  commoditate  futuni,  ibi  me  studio  abbari  |>er  aliquot  dic*s  siarc 
uoluit  et  doceri.  Vbi  ex  mirabili  magisterio  iii  arte  per  nouem  liguras  iadotmni  intro- 
ductus , scientia  artis  in  tantum  mihi  pre  ceteris  placuit,  et  intellexi  ad  illam,  quod 
quirquid  studcliatur  ex  ea  apud  cgyptum,  syriam,  greciam,  siciliam  et  prouiiiciam  cum 
suis  uariis  mo<lis,  ad  que  loca  negotiationis  tam  postea  peragi^aui  per  multum  studium 
et  disputationis  didici  counicUun.  Sed  hoc  totum  etiam  et  aigorismum  atque  arcus  picta- 
gore  quasi  errorem  computaui  resjicclu  modi  indurum.  Quare  amplectens  strictius  ipsum 
iiinduiu  imiorum,  et  allciilius  studens  in  eo,  ex  proprio  sensu  quodam  addens,  et  qucdnm 
etiam  ex  subtilitatibus  cuclidis  geonieti-cc  aiiis  ap|x>nciis,  summam  huius  lihri,  quam  in- 
tclligibilitis  potui,  in  .\'v.  capitulis  distinctam  componere  laboraiii,  fere  omnia  que  in- 
serui, certa  probatione  ostendens,  ut  extra,  perfecto  pn;  ceteris  modo,  hanc  scrientiam  a|K 
petentes  instruantur,  et  gens  latina  de  cetero,  sicut  hactenus,  absque  illa  minime  inue- 
niatur.  Si  quid  forte  minits  aut  plus  insto  uel  necessario  intermisi  , mihi  deprecor 
itidulgcalur;  cum  nemo  sit  qui  uilio  careal,  et  in  omnibus  undique  sit  circumspectus. 


i 

Explicit  proiogtis.  Incipiunt  cnpitula. 

t)E  cogiiilioiic  uoucm  figurarum  ymlonim,  et  qualiter  cum  eLs  omnL»  numerus  scribatur; 
et  qui  numeri,  cl  qualiter  retineri  debeant  in  manibus,  et  de  introductionibus  ab> 
baci.  I 

De  multiplicatione  integrorum  numerorum.  4 

Dc  additione  ipsorum  ad  inuicem.*  8 | (') 

De  extractione  minorum  numerorum  ex  maioribus. 

Dc  diuisione  integrarum  (jie)  nuraerurum  per  intcgn>s. 

Dc  multiplicatione  integrarum  (sic)  numerorum  cum  ruptis  atque  ruptorum  sine  sanis. 
Dc  additione  ac  extractione  et  diuisiune  numerorum  integrarum  cum  ruptis  atque  par- 
tium numci-orum  in  singulis  partibus  retluctionc. 

Dc  emptione  et  venditione  rerum  ucnalium  ct  similium. 

De  baractis  rerum  ucnalium  ct  de  emjitione  boUntialie,  et  quibusdam  regulis  similibus. 
De  societatibus  factis  inter  consocios. 

De  consolamine  monetarum  atque  eorum  regulis  , qnc  ad  consolamen  pertinent. 

Dc  solutionibus  multarum  positarum  questionum  quas  erraticas  appellamus. 

De  n^gula  cicataym  qualiter  per  ipsam  fere  omnes  erratice  questiones  soluantur. 

De  reperiendis  radicibus  quadratis  et  cubitis  ex  multiplicatione  cl  diulsionc  seu  extra- 
ctione eanim  in  se,  ct  dc  tractatu  biiiomiorum  et  rccisonim  et  etirum  radicum. 
Dc  regulis  proportionibus  geometrie  pertinentibus:  dc  questionibus  aliebre  ct  almucliabalc. 
Incipit  prinuim  capitulum. 

Noueiu  figure  imiorum  he  sunt 

9876543SI 
t'vm  his  itaijuc  noucm  figuris,  ct  cum  hoc  signo  o,  quod  arabirc  zephirum  appellatur, 
scribitur  quilibet  numerus,  ut  inferius  demonstratur.  Nam  numerus  est  unitatum  per- 
fusa collectio  siuc  congregatio  unitatum,  que  per  suos  iii  infinitum  ascendit  gradus. 
fCx  quibus  primus  cx  unitatibus,  que  sunt  ab  uno  u.sr|ue  in  decem,  comstat.  Secundus  ex 
dccenis,  que  sunt  a decem  usque  in  centum,  fit.  Tertius  fit  cx  centenis  que  sunt  a centum 
usque  in  miilc.  Quartus  fit  cx  millenis  que  sunt  a mille  usque  in  decem  milia,  et  sic 
Msjuentiiim  graduum  in  infinitum,  quilibet  cx  decuplo  sui  antecedentis  constat.  Primus 
gradus  in  descriptione  numerorum  incipit  a destera.  Sctmndus  ucro  uersus  .sinistram  sequi- 
tur primum.  Tertius  secundum  sequitur.  Quartus  tertium,  ct  quintus  quartum,  ct  semper 
sic  uersus  sinistram  gi-adits  gradum  sequitur.  Figura  itaque  (|uc  in  primo  reperitur  gradu 
sc  ipsam  representat,  hoc  est:  si  in  primo  gradu  fuerit  figura  unitatis,  unum  representat; 
.si  binarii,  duo;  si  ternarij,  tria,  ct  ita  per  ordinem  que  secuntur,  usque  si  notienarij: 
noucm  figure  quidem  que  in  secundo  gradu  fuerint,  tot  dccenus  rcpresenlant,  quot  in 
primo  unitates;  boc  est  si  figura  unitatis  .secundum  occu|Wt  gradum,  denotat  dcccm; 
si  binari),  uiginti;  si  ternarij,  triginta;  si  nuueuarij,  nonaginta. 

Figura  namque  que  in  tertio  fuerit  gradu,  tol  centenas  denotat,  quot  in  secundo  dc- 
cenas,  ucl  in  primo  unitates,  ut  si  figura  unitatis  centum;  .si  binarij,  ducenta ; si  ter- 

(’)  Nei  tnxrfiini  Ulc-ralf  eslrmo  ed  inf^Tiore  rlrl  rtHa  dpll.i  raria  f dH  M)^cri(ato  rodico  Mairiiabrchiano 
r.  /.  SCIS.  Httdtn  Fiarntlinik  n.*  73.  prr»»<»  alia  linea  4d  ed  ultima  dd  nirde5imo  rerlo.  trovasi  scrilio  in  dur 
lin^T  in  caratim  piu  modoniu  dei  rimaurnte  di  4|urslo  nrio;  • Li^onanli  Pisani  Algurismi  Geometriae  ||  Inter 
> CcKlicrs  de  irnalur  num:  44:  ». 


Digitized  by  Googie 


3 

Darijt  trecenta,  et  nouenaiij,  nongenta,  [p&a  igitur  que  fuerit  in  quarto  gradu  tot  mil- 
Jciias  quot  in  tertio  centenas,  aut  in  secundo  dcccnas,  uel  in  primo  unitates  denotat; 
ct  sic  semper  mutando  gradum,  numerus  decuplando  ascendit.  Et  ut  hoc  quod  dictum 
est  lucidius  dcclarcscat,  ipsum  cum  liguris  ostendatur.  Si  ligura  septenarij  fuerit  in  primo 
gradu,  et  ternarij  in  secundo,  ainhe  insimul  37  denotant;  uel  econtra  : Hgura  temarij 
in  piimo,  ct  septenarij  iii  secundo,  73  denotabunt.  Item  si  Hgura  quatertiarij  fuerit  in 
primo,  ct  unitatis  in  secundo  sio  14,  nimirum  .xiiu.  denotabunt:  uel  si  figura  unitatis 
fuerit  in  primo,  et  quaternarij  in  secundo  sic  41,  denotabunt  xli.  RursiLs  iii  primo  iS,  et 
in  secundo  faciunt  27;  contrarium  enim  facit  7i.  Si  autem  septuaginta  tantum  scribere 
uo|lucrit,  jKinat  in  primo  gradu  0,  et  ]X)st  ipsum  ponat  figuram  septenarii,  sic  ?o;  si  octua- 
ginta  sequatur  zephyrum  figuram  octoiiarij  sic  SO:  hac  itaque  demonstratione  queinliWl 
numerum  a decem  usque  in  centum  cum  dualius  figuris  scribere  potes.  Cum  tribus 
ueru  a centum  scribitur  usipie  in  mille;  ut  si  ligura  octonarii  fuerit  iu  primo,  ct  qui- 
narii in  secundo,  ct  unitatis  in  tertio  158,  ccntuiu  quinquaginta  octo  denotabunt  ; ct 
ecuuuerso  : si  ligura  unitatis  fuerit  in  primo,  et  (|uinarii  in  secundo,  et  octonarii  in 
tertio  6Si,  octigciita  ct  quiiKjuaginta  unum  denotabunt ; uel  econtra  : si  ligura  octo- 
narii fuerit  in  primo  , et  unitatis  iu  secundo  , ct  quinarii  iu  tertio,  denotabunt  5is. 
Item  si  pemiutatim  figura  (piinarii  fuerit  in  primo,  octonarii  in  secundo,  ct  unitatis 
in  tertio,  denotabunt  <83.  Item  si  figura  unitatis  fuerit  in  primo,  octonarii  in 
et  quinarii  in  tertio,  nimirum  deitotabunt  3$i:  tres  ucro  unitates  sic  itl,  centum  un(^ 
cim  faciunt.  Verum  si  quinquaginta  tantum  scribere  uolucris,  in  primo  cl  in  secundo 
gradu  ponas  zephyra,  ct  in  tertio  figuram  quinarii  huc  mmlo  soo;  et  sic  cum  duobus 
zephyris  quemlibet  centenariorum  numenim  scribere  |>olcrIs.  Et  si  cenleiiuria  cum  de- 
cenis  siue  unitatibus  scrilicre  uulueris,  |ioiia.s  in  primo  gradu  zephyrum,  iu  secundo  de- 
cenas,  ct  in  tertio  centenas  quas  uolucris.  Verbi  gratia:  st  in  primo  gradu  fiat  zephyrum, 
ct  in  secundo  figura  nouciiarii,  ct  in  tertio  binarii,  denotabunt  230.  Si  autem  absque  tic- 
cenis  centenaria  cum  unitatibus  scribone  uolucris  , |>o(ics  in  secundo  gradu  , scilicet 
in  loco  dcccnarii  zcpliyrum,  cl  in  primo  numerum  unitatum  quem  uolucrit,  et  in  tertio 
centenariorum:  ut  si  in  primo  fuerit  figura  nouciiarii,  ct  in  secundo  zephyrum,  ct  in  tertio 
binarii  2og;  et  sic  secundum  sujiradictam  demonstrationem  qualem  uolucris  , numerus  a 
centum  usque  in  mille  si.rihes  cum  tribus  figuris.  Cum  <(uatUior  namque  a mille  usrpie 
in  decem  milia,  ut  in  sequenti  cum  liguris  numeris  super  notatis  ostenditur. 


M .1 

MMxxiii 

MMMxxii 

MMMxx 

MJIMMMui 

MMM 

Mcxi 

Mccxxxmi 

MMMMcccxm 

1001 

10  8 3 

3 0 2 2 

3 0 2 0 

5 6 0 0 

3 000 

Hll 

12  3 4 

4 3 2 1 

Et  sic  in  reliquis  numeris  est  pnx:edcndum.  Cuin  quinque  namque  liguri.s  scribunlui 
omnes  numeri,  incipiendo  u derein  milia  usque  ad  cciiliim  milia.  Cum  sex  uero,  a cen- 
tum milibus  usque  in  mille  milia,  ct  sic  deincejis,  addendo  figuram  liguris,  numerum 
gradatim  in  decuplum  asremlit.  Vtidc  si  coutigeril  ejuod  ali(|uem  numerum  multarum 
ligurunim  propter  multitudinem  ligurnriim,  quis  legere  uel  iiitclligerc  nequeat,  quali- 
ter legere  et  iiitcliigcre  ipsum  debeat,  ostendere  procural>o. 


Digitized  by  Google 


4 

De  prima  itaqnc  figura,  lioc  est  dc  figura  primi  gradus,  dicat  tinum. 

De  secunda  (|ue  est  in  secundo  gradu,  dicat  decem. 

De  tertia  que  erit  in  tertio  gradu,  dical  contum,  ct  adeontet  eam  in  Miperiori  parte. 

De  quarta  namque  figura  eiusdem  numeri, dicat  mille, et  adeentet  eam  iii  Inferiori  parte. 

De  quinta  ucrn  dicat  decem  milia. 

De  sexta  itaque  centum  milia,  ct  adeentet  cam  in  supeiiori  parte. 

De  .septima  dicat  mille  milia,  et  adeentet  cam  rursum  in  inferiori  parte. 

De  octaua  dicat  decem  milia  milium. 

De  nona  dicat  centum  milia  milium,  et  adeentet  eam  in  stijieriori  parte. 

De  decima  dicat  mille  milia  milium,  ct  adeentet  eam  in  inferiori  parte;  et  sic  sem- 

{>cr  per  lios  tres  numeros  , scilicet  per  millenos,  ct  decem  millenos,  et  centum  millr> 

nos  et  adeentando  millenos  in  inferiori  parte,  ct  centum  millenos  in  superiori,  usque 

ad  ultimum  giadiini  numeri  studeat  adcentarc.  Kt  inde  | incipiat  legere  numerum  ah 
tillinio  gradu  ipsius  j>cr  acenta  predicta,  dicendo  semper  de  inferiorihiis  adrentLs  tot 
milia  milium  quot  adeenta  fuerint  ante  ipsa  iii  inferiori  |)arte  uersus  primum  gniduin, 
e|  de  superiorihiis  adeentis,  dicens  tot  centum  milia,  quot  adeenta  fuerint  ante  ipsam 
in  inferiori  parte  similiter  iicisus  primum  gradum  numeri;  et  de  figuris  que  non  fuerint 
adeentate  post  quartum  gradum  numeri  dicet  tot  decem  millenas,  quot  adeenta  fue- 
aiilc  ipsa-s  in  inferiori  parte;  cl  sic  jHiterit  cognoscere  ct  legere  qualem  uolucrit 
munerum  multarum  figuramm.  Kt  ut  lioc  melius  iiitclligatiir,  qitcndam  numerum  octo 
figurarum  proponamus  S7C^i3Sl.  De  uno  naiiiqiic  qui  est  in  primo  gradu,  dicet  unum  ; 
de  hinario  s,  que  .sunt  in  secundo,  dicet  decem;  dc  ternarios,  qui  .sunt  in  tertio,  dicet 
centum  que  adceiiteiiliir  in  stqicriori  parte.  De  quaternario  est  4,  qui  .suat  in  quarto 
gradu,  dicet  mille,  que  adeententur  in  inferiori  parte,  ut  in  jirescripto  ntimcro  ostendi'* 
tur.  Dc  quinario  s qui  est  in  quinto  gradu,  dicet  decem  milia;  dc  senario  6 qui  sunt 
in  sexto  gradu,  dicet  centum  milia,  que  adeententur  tn  superiori  parte;  dc  septenario  7 
que  est  in  septimo  gnuUi,  dicet  mille  milia  que  adeententur  ia  inferiori  parte;  de  octo* 
iiario  qui  e.st  in  ultimo  gradu,  dicet  decem  milia:  ergo  lialielur  in  .supradicto  numero 
ocluaginta  .septem  milia  milium,  propter  duo  inferiora  adeenta,  quorum  unum  est  .suh 
7 et  aliud  snh  4 , ct  insuper  sexcenta  quinquaginta  quattuor  miliaria  , ct  insuper 
.cccxxt.  liem  jiroponamns  alium  numeriini  dc  iioucm  figuiis  t576awi3  , que  pro  or- 
dine adeentato  cc^uxscitur  quod  conliiictur  in  ipso  ducenta  quinquaginta  septem 
milia  miliaria,  el  sexcenta  qtiaUuor  miliaria,  ct  (xiingenta  trcdeinm.  Item  alius  niiincru.s 
do  trcdci  im  figuris  proponatur  ioo75432A9»si,  pro  cuius  adeentis  cogno.sritur  ipsum  esse 
mille,  .septem  milia  milia  miliaria,  ct  quingenta  quadraginta  tria  milia  miliaria,  ct  du- 
centa ocluaginta  noucm  miliaria,  cl  insuper  ocluaginta  unum.  Possumus  enim  aliam  tm* 
dere  regulam  Icuiam  que  (m’)  poteris  citissime  legere  numerum  plurium  figurarum.  Verhi 
gmtia:  projHjnamu.s  numerum  I5  figurarum  CTsywfriiwatW,  dimi.ssi.s  tribus  primis  figuiis, 
.scilicet  J9<5,  .suj>er  quibuslibet  aliis  tribus  protrahe  uiiguhim  in  modum  arcus  ut  in  pro- 
misso exemplo;  ct  pro  qualihet  uirgula  dices  ; ct  illas  tres  figuras,  quas  in  principio 
dimisistis,  leges  .sicut  stant;  et  .sic  dices  sexcenta  septuaginta  octo  milia  milia  milia  mi- 
lium, cum  quattuor  sint  uirgule,  el  noningenta  cl  triginta  quinque  milia  mitia  milium, 
ciim  super  sint  taulum  tres  uirgule  cl  septingenta* ocluaginta  quattuor  milia  milium,  cum 


Digitized  by  Google 


duc  super  sint  linee  et  los  roiliav  cum  una  tantum  sit  uirguia,  ct  >96  pro  illis  trihus 
<{uas  in  principio  dimisisti:  et  si  per  ultimum  cum  remanent  una  llgura  ucl  duc,  pone 
i|»sas  sub  ultima  uir^ila,  et  leges  cas  omnes  ucl  omnes  quinque  simul,  et  sic  |m>- 

teris  legere  numerum  quot  cumque  poteris  iiguranim. 

raedictis  figuris  carumcjuc  gnidibus  secmiduni  materiam  superius  descriptam  cum  fre- 
quenti usu  bene  cognitis,  opportet  cos  qui  arte  abbaci  uti  noluerint,  ut  subtiliores  et  inge- 
niores  appareant  scire  cumpiitum  {>er  Hguram  manuum, secmidum  magistrorum  aIdMci  usum 
antiquitus  sa]>ientksime  imientam.  Que  signa  sunt  bec.  Curuatio  auricularis  digiti  sinistre 
mantis  super  medium  U(»lc  palme  manus  nutat  unum.  Curuatio  qtiidcm  eiu.sileni  cum 
anulari  similiter  stiper  mediam  tiolam  duo,  cum  quibus  curuatiir  medius  iria.  Cur- 
iiatio  autem  anularis  ct  medis  4 super  medium  iiulain.  Curuatio  ucro  medii  tantum  s. 
Anularis  6.  Positio  quip^ie  auricubiris  sursum  sti]>cr  uulam  7,  super  quem  locum  cum  po- 
nitur auricularis  et  anularis  notantur  8:  jmsitio  quidem  euruimlcm  cum  medio  super  eun- 
dem locum  .9.  Cum  ab  eitrcmilate  indicis  et  {lollice  fit  circulus  in  nodo  pollicis,  de- 
notant 10.  Cum  pollex  ct  index  smit  extensi  ct  tangunt  sc  >0.  Cum  ab  extremitate  eo- 
runidcm  sit  circulus  30.  Cum  ponitur  pollex  super  indicem  in  exterion  jiartc  indicis  40. 
Curuatio  pollicis  super  principium  indicis  so.  Curuatio  indicis  super  cunialum  |Hillicem 
61).  Curuatio  indicis  sii|>er  extremitatem  extensi  pollicis  70.  Cumatio  itaque  iridicis  super 
uii^lam  extensi  pollicis  8o.  Item  curuatio  totius  indicis  in  .sc  90.  Centenaria  quoque 
ct  miliaria  fiunt  in  dextera  manu  eodem  ordine,  scilicet  signum  unitatis  facit  loo  in 
dextera  manu;  binarii  quidem  >oo;  docenarii  autem  mille,  et  signum  nonagesimum  facit 
900U,  ut  in  scffueiiti  pagina  (')  picUis  {sic)  manibus  demonstratur.  Componuntur  itaque  in 
inanibus  cum  bis  sigiii.s  omnes  reliqui  mimeri  qui  sunt  a decem  tisqnc  in  decem  milia  lioc. 
modo:  ex  signo  uigenarii,  et  ex  signo  ternarii  conifionuntur  >3;  ct  ex  .signo  trium  milium 
et  cx  signo  quingentarum  componuntur  in  dextera  munii  tria  milia  quingenta,  ct  sic  in- 
Iclligiis  in  reliquis. 


(q  Nt*|  «{Hldrllo  Coilico  C.  I.  26(6  manca  U uitpra  carla.  numerala  3.  che  davrvj*csser<' quella  indicaU 
rollr  parulr  « Mrqvrnti  pagina  * rlip  Irovansi  nelln  lim‘a  39  cU>lla  rarta  S c-n-n>  di  qiuslo  ru)lire.  f ndia  linea 
22  driia  prcM'iitc  pagina  6. 


hUroductiones  in  ac  ditione  (sic)  et  muUipriehatione  numerorum 


2 

et  2 fiunt 

1 

4 1 

2 

3 

5 

S 

4 

“ 

2 

S 

2 

6 

8 

2 

T 

9 

2 

8 

10 

2 

9 

11 

1 

10 

12 

/aaua  tetnttrit 

3 

et  3 fiunt 

0 

3 

4 

7 

3 

s 

H 

3 

6 

9 

3 

7 

10 

3 

8 

11 

3 

0 

12 

3 

10 

13 

Ijna*  ^uattrmaril 

4 

4 fiuFlt 

8 

4 

5 

9 

4 

6 

10 

4 

7 

11 

4 

8 

12 

4 

9 

13 

4 

10 

14 

/unu<t  QMitiirii 

5 

10 

S 

c 

11 

5 

7 

12 

5 

8 

13 

3 

9 

14 

i 

10 

15 

UmuM  ttttmni 

6 

et  tfinnt 

12 

6 

7 

13 

6 

8 

14 

6 

9 

15 

8 

10 

IA 

7 

7 

14 

7 

S 

15 

7 

9 

16 

7 

10 

17 

8 

et  8 fiunt 

16 

8 

9 

17 

8 

10 

18 

9 

et  9 fiunt 

18 

9 

10 

19 

i0  4?f  \Vi  fiunt 

20 

120  ct  20  fiunt  40 

20 

30 

50 

20 

40 

00 

20 

50 

70 

20 

00 

80 

20 

70 

90 

20 

80 

100 

20 

90 

no 

30 

et  30  fiunt 

60 

30 

40 

70 

30 

50 

80 

30 

GO 

90 

j30 

70 

100 

30 

80 

110 

I30 

90 

120 

|io  vt  40  fiunt 

80 

40 

so 

9« 

(0 

60 

100 

40 

70 

110 

40 

80 

liU 

40 

90 

130 

|so  50  fiunt 

100 

30 

co 

no 

30 

70 

120 

50 

80 

130 

50 

90 

140 

60  et  66  funt 

120 

60 

70 

130 

60 

80 

140 

»0 

90 

150 

1 70  et  70  fiunt 

140 

70 

80 

150 

70 

90 

160 

|}W  et  80  fiunt 

160 

80 

90 

170 

1 et  fiunt 

90 

90 

180  { 

1 tumrHanet  \ 

yartfauat  mufiiftiia 

fte  A«ti<trt« 

liMicej  2 fiunt 

4 i 

r 

3 

8 

'2 

4 

8 

i* 

S 

10 

I2 

6 

12 

2 

7 

14 

2 

8 

16 

2 

9 

18 

2 

10 

20 

/V  lermart^ 

3 nives  3 fiunt 

9 

:3 

4 

12 

13 

S 

15 

6 

18 

'3 

7 

2i 

3 

8 

24 

3 

9 

27 

3 

10 

30 

Dm  fwafaraari* 

4 uiccs  4 fiunt 

16 

4 

5 

20 

4 

6 

24 

4 

7 

28 

4 

8 

32 

4 

9 

36 

4 

10 

40 

5 uices  s 

fiunt 

3 

A 

30 

3 

7 

35 

3 

S 

40 

5 

9 

45 

3 

10 

50 

traari* 

6 nives  6 

fiunt  36 

A 

7 

42 

A 

8 

48 

6 

9 

54 

6 

10 

AO 

7 

uives  7 

fiunt  49 

7 

8 

56 

7 

9 

63 

7 

10 

70 

iV 


9 lilces  H fiunt  64 

9 7S 

10  BO 


0 tiiccs  9 fiunt  8i 

9 10  90 


Ar  «/«■rrnarf» 


10  uicesio  fiunt  looj 

tO  SI) 


KAfUiftmnt 


Digilized  by  Googie 


7 

Pie.scripta5  itaque  in  tabulU  iunriioncs  et  multiplicationes  in  manibus  addiscendo  sem- 
per  utantur  colligere,  vt  animus  pariter  cum  manibus  in  additationihus  et  multiplica- 
tionibus quorumlibet  numerorum  expeditior  fiat. 

Incipit  capitulum  secundum  de  multiplicatione  integrorum  numerorum. 

Cipitulum  secundum  de  multiplicationibus  integiorum  numerorum  in  octo  partes  dt- 
uidimus,  ut  dilbercntic  atque  proprietates  carum  melius  intelligaiitur.  Quarum  prima 
pars  erit  de  multiplicatione  duarum  figurarum  contra  duas,  atque  unius  figure  contra 
plurcs.  Secunda  de  multiplicatione  trium  figuranim  contra  tres,  atque  duarum  figura- 
rum in  tribus.  Tertia  de  multiplicatione  quattuor  figurarum  contra  quattuor,  etiam  et 
duarum  figurarum  et  trium  in  quattuor  Bguris.  Quarta  de  multipHcacionc  quinque  fi- 
gurarum in  quinque.  Quinta  de  multiplicatione  plurium  figurarum  <]uam  quinque,  qua- 
liter multiplicentur  ad  inuiccm.  Sexta  de  multiplicatione  numerorum  .secundi  gradus  per 
numeros  eiu.sdem  gradus,  hoc  est  duarum  figurarum  per  dua.s,  atque  unius  ligure  contra 
plurcs,  qualiter  cordetenus  in  manibus  multiplicentur.  Septima  de  multiplicatione  trium 
figuranim  per  tres  similiter  qualiter  in  manibus  cordetenus  multiplicentur.  Octaiia  de 
multiplicatione  omnium  numcronim  alium  mo<lum. 

IncifMt  fiars  prima  de  multiplicatione  duarum  fgurarum  contra  duas. 

NYmeru.s  i|ksum  multiplicare  dicitur,  quando  similis  |>cr  similem  multiplicatur,  ut  12 
)ter  12,  uel  20  per  20.  Numerus  nuincnim  multiplicare  dicitur,  quando  numeri  se  iii- 
uicem  multiplicantes  fuerint  ad  inuicem  inequales,  ut  12  ]>cr  37  et  46  et  )>cr  59  : de- 
nique nos  primum  numeros  secundi  gradus  ut  promisimus,  .scilicet  a 10  usijue  in  cen- 
tum in  semetipsos  multiplicare  doceamus.  Cum  autem  uis  multiplicare  aliquem  numerum 
secundi  gradus  ]>cr  aliquem  numerum  eiusdem  gradus,  siue  equales  .sint  numeri,  siue 
inequales,  scrilics  numerum  sub  numero,  ita  ut  similis  gradus  sit  subsimili  gradu;  et 
si  numeri  sunt  inequales,  sit  maior  sub  minore,  et  incipiat  multiplicationem  a primo 
gradu  numerorum  in  tabula  prescriptonim.  Siquidem  multiplicet  figuram  primi  gradus 
superioris  numeri  in  tabula  proscripti  per  figuram  primi  gradus  subterioris,  et  scribantur 
unitates  super  primum  gradum  numerorum  prescriptorum,  et  per  unam  quamque  dcccnaro 
retineat  in  manu  sinistra  unum  : deinde  multiplicet  figuram  primi  gradus  superioris  nu- 
meri per  figuram  secundi  gradus,  per  ultimam  silicet  subterioris  numeri,  et  econtra: 
Bgura  primi  gradus  subterioris  multiplicetur  ]>er  ultimam  figuram  .su]>crioris,  et  addantur 
in  manu  cum  seruatis  decenis;  et  iterum  unitates  scribantur  super  secundum  gradum,  et 
1'ctiucaiitur  in  manu  decene.  Item  multiplicetur  ultima  figura  su(>erioris  numeri  per  ulti- 
mam subterioris,  et  quod  ex  multiplicatione  euenerit  cum  seruatis  decenis  in  manu  super 
addatur,  et  unitates  in  tertio  gradu,  et  dcccnc  super  fuerint  in  quarto  ponantur , et 
hal>ebitur  multiplicatio  quorumlibet  numerorum  a decem  usque  in  centum.  Verbi  gra- 
tia : ut  si  quesierit  multiplicationem  de  i2  in  12,  .scribantur  12  bis  in  tabula  dealbata 
iii  qua  iillerc  leuiter  deleantur,  sicuti  in  hac  margine  scriptum  cernitur,  primus  gradus 
subterioris  numeri  sub  primo  superioris,  hoc  est  figura  binarii  sub  figura  binarii , et 
.secundus  gradus  .subterioris  sub  secundo  superioris,  scilicet  figura  unitatis  sub  figura 
unitatis,  et  multiplicet  binarium  per  binarium,  erunt  4,  que  ponat  super  utrumque  bi- 
narium ut  in  prima  descriptione  posita  sunt.  Iterum  multiplicentur  superiora  2 qui  est 
in  secundo  gradu  inferioris  numeri,  erunt  2 que  seruentur  in  manu,  et  multiplicet  ile- 


< UliuU  <lMib*ht  ....«Ittiftiut,  ■!  * 
4 It*.  28  IS;  Mf. 

7.  Um.  17  — pg  9,  U». 


descriptio 

priaia 

4 

12 

it 

Secunda 

44 

12 

12 

Vltimii 

144 

ts 

12 

Digitized  by  Google 


f<4  S rrtto- 


4<  • (M.  i rrel0.  Itu. 
3-U)  |>»s  S,  ]>n. 


9 

prima 

37 

37 

r.y  1 

>ci'umla 

37  1 

37  1 

, 

1369 

[ prolM  »t  .1 

1 

37 

37 

8 

riini  t .subtcrioris  numeri  {ler  i .supcnoris,  erunt  S;  <|uc  addat  cum  duolin^i  supcriu.s  scr- 
uatis,  erunt  4>  (}uc  |K»iiat  sii|>er  unitatem  utranupu*  facient  i)K»a  4 secuiidura  gradum,  p4isi 
priora  polita  4 que  fecerant  primum  gradum,  ut  in  secunda  descriptione  dc-scribitur;  et 
adhuc  multiplicetur  i de  superiori  numero  per  unum  de  subteriuri,  faciei  l;  quod  i 
■scribatur  in  tertio  gradu,  scilicet  jMist  44  dcM  ripla,  ut  in  tertia  ct  ultima  descriptione 
ostenditur.  Kt  in  tot  as(‘cndit  multiplicatio  de  ri  iii  se  ipsa,  sidlicct  144. 

iTcruiii  ut  lucidius  clarescat,  37  per  37  multiplicentur.  Scribantur  quidem  37  sub  37, 
ut  superius  dc  iS  diximus,  ct  multiplicentur  7 per  7,  erunt  43:  jionantiir  itaque  9 $u> 
|>er  ulrumqiic  7 ut  in  prima  descriptione  oslciidilur,  et  pro  qualtnur  dc  dcTcnis,  que 
sunt  in  49,  seruentnr  4 in  muiui,  ct  muUiplicentiir  7 dc  superiori  numero  {>cr  3 dc  in* 
feriori,  et  7 dc  inferiori  per  3 dc  superiori,  et  iuiiganttir  insimul,  erunt  42,  quibus  ad- 
ditis cum  4 superius  scruatis,  erunt  46:  scriliaiitur  unitates  de  46,  que  sunt  6 snper 
utnimquc  3,  ut  in  secunda  descriptione  denotatur.  Et  4 pro  quattuor  dcccnis  que  sunt 
in  4G  I in  mami  senienlur,  ct  udbuc  multiplicentur  3 de  superiori  iiunierupers  de  in- 
feriori, erunt  9;  que  adde  cmii  4 m<»du  in  manu  sematls,  emnt  13:  |M)mintiir  3 dc  13  in 
tertio  gradu  et  i in  quarto,  ut  continetur  in  tertia  et  ultima  dc<scriplione. 

Qvc  multiplicatio,  .si  recta  est,  ila  cognoscitur,  lungantur  quidem  (igurc  que  sunt 
in  -su|K:rioribiis  37,  scilicet  3 cum  7,  erunt  iO,  dc  quibus  dematur  9, remanebit  1,  quod  ser- 
iiclur.  Fodcinqnc  modo  colligantur  ligure  de  37  iiiferiuribus,  et  demantur  inde  9,  re- 
manebit similiter  i:  iiiultiplicetur  ergo  l qucKl  rctiiaiisit  de  su{)eriuribus  37  peri  qinxl 
remansit  de  inferioribus,  faciet  i,qiio<l  macetur  pensa  uel  porlio,  et  seructur  iu  tabula 
super  ipsam  mnlliplicalionem,  ut  in  tertia  desi*riptit»iic  cernitur:  jMistea  colligantur  iigure 
que  sunt  in  siminiu  niultiplicatioiiis,  ct  de  cidlecta  quantitate  demantur  o quotiens  polu- 
crilj  et  .vi  t remanebit  siniti  pm  pensa  seniatum  est,  recta  ntiqiic  erit  rmiltiplicalio. 
Verbi  gi-atia  : ut  .si  iuiuiimis  ligiiras  qiic  sunt  in  summa  multiplicationis,  sirilicet  i 
ct  3 et  6 et  9,  ct  erunt  19,  do  quibus  extrahe  bis  noucnariuni,  remanebit  i,  ut  pro 
l>eu.sa  prcdixiimis  eum  debere  remanere:  iiol  de  dictis  lo  dele  9 que  siiiit  in  primo 
gradu  ipsorum,  remanebit  similiter  i.  F.l  nota  cum  additis  liguris  de  37,  .scilicet  3 cum 
7,  tunc  diuidis  37  per  9,  dc  qua  diuisioiie  remanet  i,  sicut  remansit  ex  lo  que  pi*ocrea- 
ta  fuerint  ex  addiiiioiie  3 et  7,  cum  cx  eis  extracta  fuerunt  9:  nam  residuum  qucxl 
remanet  cx  qiiouis  iiiimcix»  diuiso  per  9,  est  summa  que  )Nmitur  cx  additationc  omnium 
figurarum  facicnliutu  ipsum  iiuinmini.  Et  notandum  riii'sus,  cum  aii(|iiis  numerus  di- 
uidilur  in  |)arte.s,  et  una  queque  jKirtium  multiplicatur  per  aliquem  numerum,  .sunt  ille 
multiplicationes  in  uiuim  collecte  cfpialcs  multiplicationi  totius  numeri  ditiisi  in  nume- 
rum, in  quem  multiplicate  fueniul  omnes  partes  ipsius.  Ergi>  multiplicationes  de  36  per 
37,  ct  dc  1 ]H'r  37  in  itniim  coniunclc,  cquaiitur  multiplicatioiii  dc  37  in  37.  Sed  cx  mul- 
tiplicatione de  36  iu  37  prmiciiil  numerus  qui  creatus  est  cx  alhjua  multitudine  tiuue^ 
nariorum,  cum  36  sint  concreta  ex  noucnariis.  (Juarc  numerus  surgeiis  cx  36  in  37,  si 
diui.sus  fuerit  |)cr  9,  nichil  cx  eo  remanebit  indiuisibilc.  Item  nnilliplicaliu  de  i in  37, 
est  equalis  summe  multiplicationis  de  i in  36  et  dc  i in  f.  Sed  cx  niullipiicatioiie 
de  1 in  36  pruuenit  mimenisqtii  integralitc.'  diuiditur  per  9 ; multiplicatio  ergo  de  i 
in  1,  scilicet  i,  remanet  indiuisibilis  j>cr  9.  Ergo  de  37  in  37  diulsa  per  9 remanet  i, 
quod  habetur  cx  collectione  figurarum  onmium  que  sunt  in  summa  dc  37  in  37,  ut  su- 


Digitized  by  Coogie 


0 

perius  iaueninms:  uel  ci  Jicta  summa  prohice  o,  remanebunt  I3S,  de  quibus  deme  3 ct 
6 cum  coniunta  faciant  9,  remanebit  similiter  i indiuisibilcs  de  I360  diulsis  per  9. 

Irem  si  multiplicare  uls  98  per  98,  scribantur  ut  predixi  98  sub  98  et  multiplicentur 
8 per  8,  erunt  84:  ponantur  4 super  utrumque  8,  et  senientur  pro  decenis  iu  manu  6,  ct 
multiplicentur  8 per  9,  erunt  7i;  ct  iterum  ccontra  multiplicentur  8 de  iuferion  per  9 
de  superiori  , erunt  similiter  78,  que  iungantur  cum  aliis  78  et  cum  6 in  manu  scr- 
uatis,  erunt  iso;  et  cum  non  sit  unitas  in  prediclis  150  , ponendum  est  zephyrum  su- 
per utrumque  9,  et  scruentur  pro  decenis  in  manu  is,  et  multipl-centur  9 }>er  9,  erunt 
81,  que  addantur  cum  15  in  manu  seruatis,  erunt  90,  de  quibus  ^ scribantur  6 in  ter- 
tio gradu  et  9 in  quarto,  ut  io  hac  descriptione  ceniitui.  Modo  uidcanuis  si  hcc  mul- 
tiplicatio recta  est;  iunganlur  figurc  dc  superiori  98,  scilicet  9 cura  8,  et  dematur  9, 
remanebunt  8.  Iterum  illud  idem  fiat  dc  inferioribus  98,  remanebunt  similiter  8;  ct  mul- 
tiplicentur 8 por  8,  erunt  64,  de  quibus  extrahantur  omnes  noucne  que  sunt  in  eisdem 
64,  remanebit  pro  pensa  i,  iicl  aliter:  Jungantur  figurc  que  sunt  in  predictis  04,  scilicet  6 
cum  4,  erunt  lo,  de  quibus  demantur  9,  remanebit  similiter  i,  postea  colligantur  itgure, 
que  sunt  in  summa  multi]>licationis,  scilicet  9 et  6 et  0 et  4 tamen  nun  est  necesse 
iit  figura  nouenarii  colligatur  iu  aliqua  persimili  probatione,  cum  noucnarius  semper 
erit,  ut  extrahi  prccipiatur  unde  colligantur  o et  o ct  4,  eruut  lO  , de  quibus  demantur 
9,  remanebit  l pro  pensa,  sicuti  remanere  oportebat.  Cum  autem  uulucris  multiplicare  ali- 
quem numerum  de  secundo  gradu  iu  sc  non  habentem  unitates,  uel  in  ]»rimo  gradu, 
ut  in  10  ct  40  uel  90,  in  quorum  capitibus  zephyrum  sem[>er  esse  ncccssc  csl,  sic  erit 
faciendum:  scribarum  numerum  hoc  ut  supra  dixi;  et  multiplicabitur  sccimdits 
gradus  per  secundum  tantum,  ct  {amatur  ante  summe  duo  zephyra,  et  sic  habebimus 
summam  cuiuslibet  dictarum  multi{)licationum.  Vt  {>otc  si  queratur  multiplicatio  dc 
70  in  70,  scribantur  itaque  utraque  TO  siipradicto  mwlo,  ct  multiplicetur  figura  septe- 
narii que  est  in  secundo  gradu  superiori  {sic)  numeri  per  7 inferioris,  cruiu  49,  ante  quem 
numerum  {Kuiiiiitur  duo  zephyra,  scilicet  pro  his  que  sunt  ante  utratjuc  7,  facimil  49oo, 
que  sunt  summa  qiiesite  muIti{>Iicationis,  scilicet  queratur  | de  37  iu  49,  scriliantur  49  sub 
37,  scilicet  maior  numerus  sub  minori, ct  similis  gi-adtis  sub  simili  gradu,  ul  iu  hac  margine 
cernitur;  ct  multiplicentur  7 |>er  9,  enmt  63;  ponantur  3 sup^r  7,  et  pro  decenis  scr- 
uentur in  maiiu  6,  ct  multiplicentur  7 per  4 in  cruce,  cmntsi,  ouc  addantur  cum  6 in 
manu  seruatis,  erunt  34.  Item  multiplicentur  9 ^>er  3, eruut  87,  que  .iddantur  cum  34,  cnmt 
01:  {Kmutur  1 super  3 ct  pro  decenis  scruentur  in  manu  6,  ct  multiplicentur  3 per  4, 
eruut  18,  ({ue  addat  cum  6,  erunt  is,  que  |K)mit  {Njst  13  superius  prtsita,  egredientur 
pro  summa  dicte  multiplicationis  <si3,  ut  hic  ostenditur. 

£t  si  multiplicatio  recta  est,  ila  cognoscitur:  diiudantur  3*  per  9,  hoc  est,  addantur 
figurc  dc  37,  scilicet  3 cum  7,  cnmt  lo,  de  quibus  dt-inautiir  9,  remanebit  i,  quod  ser- 
uet;  similiter  addantur  figurc  de  49,  scilicet  4 cum  9,  erunt  n,  de  qi.ibus  demantur  9, 
remanebunt  4,  que  multiplicet  cum  i scruato,  erunt  4,  que  scruct  pro  pensu,  cL  colli- 
gantur figurc  que  sunt  iu  summa  multiplicationis,  scilicet  i et  8 et  i ct  3,  erunt  13, 
de  quibus  demantur  9,  remanebunt  4,  ut  oportet  pro  pensa  remanere. 

pRoccdit  hic  moilus  inulti{>]icandi  cx  his  que  dixi  superius  dc  numero  iu  partes 
diuiso  , et  multiplicato  in  alium  quem  uls  numerum.  Nam  multiplicatio  de  37  in  49, 

8 


* ItfM  II  hK  ■ 

<ruJ.  B re<f,  lin.  23-8^:  }u«. 
9.U.M0J. 


1 pmld  rat  -1 

96114 

9K 

i 

98 

Cr»lii  111  ....  |wm*niiir  • (f.il-  B 
rtcl*.  In- 3S  34.  ;i,  li>- 

10-31.  Iia.  17|. 


r«i. 


S 


17  ....  «r  • (fi  t-  & 
i^r«o.  lin.  1-6  i iviK-  9. 


Digitized  by  Coogie 


....  rfiTBltMtBr  pr»t  t 
((■•1.  S *>rrn,  ti«.  tS-l8i  |«|. 

1«,  Um.  n tt}. 


•»l>w  8 M7  « |M.  6 r0H», 
lil.  1-4;  ing.  40,  li*.  17— {Mg- 
11,  lim.  1). 

St56 

7 

308 


10 

equatur  collectioni  multiplicationum  de  7 in  40  et  de  M in  49.  Sed  multiplicatio  de 

7 in  49  equatur  coniuncto  multiplicationum  de  7 in  7 et  de  7 iu  40  » et  multiplicatio 
rursus  de  ao  iu  40  equatur  multiplicationibus  de  30  in  9 et  de  30  in  40.  Ergo  multipli* 
catio  de  37  in  49  equatur  (piattuor  muldjdicationibus  que  sunt  7 in  o ct  7 in  40  et  30 
in  0 et  30  io  40.  Que  .mi.'**  multiplicationes  accepte  sunt  su|)cr  ]>er  ordinem:  multipli- 
cauimus  jmraum  7 per  9,  ct  posuimus  unitates  super  primum  gradum;  quia  primus  gradus 
quemcumque  gradum  multiplicatt  ipsum  gradum  facit,  ucl  terminante  in  ipso.  Secundo 
multiplicauimus  7 per  4;  tertio  o per  3,  et  harum  multiplicationum  accepimus  summam, 
de  qua  ]x>suimus  unitates  in  secundo  gradu;  quia  cum  primus  gradus  secundum  multi- 
plicat, secundum  gradum  facit.  Et  hoc  fuit  multiplicare  7 }>er  40  et  9 per  30;  postea 
ad  ultimum  multiplicauimus  3 per  4,  scilicet  secundum  gradum  per  secundum.  Et  ei 
ipsa  multiplicatione  addita  cum  decenis  scruatis  posuimus  unitates  in  tertio  gradu,  et 
decenas  que  super  fuerunt  in  quarto;  ct  hoc  fuit  multiplicare  30  |>cr  40,  quia  secundus 
gradus  quemcumque  multiplicat,  secundum  gradum  facit  ]>ust  i|>sum  (juem  multiplicat. 
Similiter  tertius  gradus  numeri  quemcumque  gradum  multiplicat,  tertium  gradum  facit 
post  ipsum  quem  multiplicat.  Et  quartus  facit  quartum  pi>sl  ipsum  quem  multiplicat, 
et  quintus  quintum,  ct  est.  Significabo  itaque,  quid  est  Uicere  primum  gradum  quem- 
cumque  multiplicat,  ipsum  facit,  aut  facit  numerum  terminantem  iti  ijtso.  Cum  multi- 
plicatur figiira  per  figuram,  ct  ex  multiplicatione  nmi  prouenit  ultra.  Item  multiplicatio 
illa  facit  ipsum  gradum;  et  cum  ex  multiplicatione  eadem  prouenit  numerus  secundi 
gradus,  ut  so  ucl  30,  aut  com{)osilu.s  ex  secundo  et  primo  ut  15  et  3S;  tunc  facit  numerum 
terminantem  in  ipso  gradu  quem  primus  gradus  multiplicat;  ct  ideo  cum  multiplicauimus 
primum  gradum  {ler  aliquem  gradum  punimus  unitates  illius  multi{)lirationis  sujier  i|>sum 
gradum  ct  decenas  scruanius  ud  sequentem  gradum:  hoc  idem  intelligas  dc  niultiplica- 
tiotie  reliquorum  graduum. 

De  multiplicatione  unuis  p^ptre  contra  plures. 

Item  si  queratur  multiplicatio  unius  figurc  contra  duas,  uel  conti-a  plures,  scriba- 
tur ipsa  sola  figura  sujier  figuram  primi  gradu.s  ipsius  numeri,  cum  quo  ipsam  multi- 
plicare uoluerit,  et  multiplicet  ipsam  solum  cum  prima  ipsius  numeri,  ct  ponantur  uni- 
tates super  ijisam  ct  in  manu  retineantur  deceiie,  et  muUijilicetur  cudem  soU  figura 
l>er  secunda  inferioris  numeri,  ct  addatur  cum  dccenis  seruatis,  et  ponantur  semper 
unitates,  et  decene  scruentur,  ct  ipsa  figura  per  onlincm  multiplicetur  per  tertiam 
ct  ]>er  quartam,  et  deinceps  per  reliquas.  Verbi  gratia:  ut  si  queratur  multiplicatio  de 

8 cum  49,  ponatur  8 su|>cr  9 ct  multiplicentur  8 |>er9,  erunt  7S;  ponantur  s super  8 ot 
seructur  in  manu  7 ct  multiplicetur  ipsa  8 per  4,  erunt  39;  super  que  addat  seruala  7 
erunt  39;  et  ponantur  9 et  3,  egredientur  pro  dicta  multiplicatione  309,  ut  in  margine 
ostenditur.  Item  si  queratur  multiplic4itio  dc  7 cum  sos  scribantur  7 | super  8 et  mul- 
tiplicetur 7 per  8,  erunt  so  ponantur  6 ct  retineantur  5,  et  multiplicentur  7;  ]ier  0, 
facient  0,  quod  addat  cum  5 scruatis  faciet  5,  que  ponat  post  |)osita  e,  et  multiplicet  7 
per  3,  facient  91,  que  ponat  post  50  posita,  et  egredientur  9150  que  sunt  summa  dicte 
multiplicationis,  ct  sic  una  figura  contra  plures  multiplicatur. 

De  eoilem. 

irem  si  uoltieris  multiplicare  70  per  81,  dematur  0 dc  70,  remanent  7;  et  multijilicentui 


Digitized  by  Coogle 


I! 

7 per  61,  erunt  S67  cum  numero  ante  ponatur  0 pro  eo  quod  de  70  abstulimus,  erunt 
5670. 

Incipit  pars  secunda  secundi  capituli. 

Cvm  autem  tres  figuras  per  tres  figuras  quis  multiplicare  uoluerit,  uoiuersalem  re- 
gulam ei  leuiter  edocemus.  Scilicet,  ut  scribatur  gradus  unius  numeri  contra  gradum 
alterius,  hoc  est  unitas  sub  unitatibus,  decene  sub  decenis,  et  centene  sub  centenis,  et 
multiplicetur  prima  superioris  numeri  per  primam  subterioris,  et  ponat  unitates  super 
primum  gradum  numerorum,  et  decene  seruentur  in  manu,  et  multiplicet  primam  su- 
perioris per  secundam  subterioris,  et  primam  subterioris  per  secundam  superioris,  et 
addat  utrasque  multiplicationes  cum  seruatis  unitatibus,  et  ponat  unitates  et  decenas 
seruet;  et  multiplicet  primam  superiorem  per  tertiam  inferiorem,  et  primam  subterio- 
rem  per  tertiam  superiorem,  et  secundam  per  secundam,  et  addat  tres  dictas  multi- 
plicationes cum  numero  seruato,  et  ponat  unitates  super  tertium  gradum,  et  per  unam 
quamque  decenam  seniet  in  manu  i;  et  multiplicet  secundam  superioris  numeri  per 
tertiam  subterioris,  et  secundam  inferioris  per  tertiam  superioris;  et  de  collecta  summa 
ponat  unitates  et  dccenas  rcscruet,  et  multijdicct  tertiam  per  tertiam,  et  addat  cum  ser- 
uatis dcccnis,  et  ponat  unitates  et  postea  ]>onat  decenas  si  superfuerint  positis  unita- 
tibus; et  si  habebit  multiplicationem  quorumlibet  numerorum  trium  figurarum  , siuc 
cquales  fiant  siue  iticquales. 

Ad  cuius  rei  euidentiam  sint  equales  numeri  345  et  345,  quos  insimul  multiplicare 
op|M)rtct,  qui  collocentur  ad  inuicem  sicuti  in  pagina  collocati  esse  cernuntur;  et  mul- 
tiplicet 5 per  5 erunt  25,  ponat  5 super  utrumque  5,  sicuti  in  secunda  descriptione  cer- 
nitur, et  pro  decenis  seniet  in  manu  2 et  multiplicet  5 superioris  numeri  per  4 sul>- 
terioris,  et  5 inferioris  per  4 superioris;  quibus  additis  cum  s seruatis,  erunt  42:  ponat 
2 super  utrumque  4,  sicuti  in  tertia  continetur  descriptione,  et  seruentur  pro  quattuor 
decenis  4;  cl  multiplicet  s superioris  per  3 subterioris  ct  5 inferioris  per  3 superioris, 
et  4 per  4,  et  summa  ipsarum  trium  multiplicationum  addatur  cum  4 in  manu  seniatis, 
erunt  so:  ponat  o super  utrumque  3,  ut  in  quarta  descriptione  ostenditur,  et  seruentur 
in  manu  5,  et  multiplicet  4 superioris  per  3 inferioris,  et  4 infcrioiis  per  3 superioris, 
et  addantur  cum  5,  erunt  29;  ]>onat  9 post  o,  ut  in  quinta  patet  descriptione,  et  ser- 
uentur  ia  manu  2,  ct  multiplicet  3 per  3,  erunt  9,  que  addat  cum  2,  erunt  ii,  que  ponat, 
ut  in  sexta  et  ultima  descriptione  ostenditur.  Que  multiplicatio  si  recta  est,  }>er  supra- 
diclum  modum  cognoscitur,  uidciicet  ut  addantur  figure  de  345  superioribus,  et  dematur 
inde  9,  remanebunt  3;  similiter  fiat  de  345  inferioribus  ct  remanebunt  similiter  3;  et  mul- 
tiplicentur 3 per  3,  de  quibus  dematur  9,  remanet  0 quod  habeat  pro  pensa,  tunc  col- 
ligantur figure  que  suiit  in  summa  multiplicationis,  scilicet  < et  i et  2 et  5,  erunt  9, 
dc  quibus  trahantur  9,  remanet  o ut  upportet.  Assignabo  quidem  quare  multiplicatio 
secunde  figure  per  secundam  additur  cum  multiplicatione  primarum  figurarum,  in  ter- 
tias; quia  ut  dictum  est  primus  gradus  quicuraque  multiplicat  ipsum  gradum,  facit  se- 
cundus gradus,  quicumque  multiplicat  secundum  gradum,  facit  past  ipsum  quem  mul- 
tiplicat. Et  sic  est  primus  gradus  multiplicat  tertium,  tertium  gradum  facit.  Et  cum 
secundus  multiplicat  secundum,  facit  eundem,  silicet  tertium,  qui  est  secundus  post 
ipsum  quem  multiplicat.  Ergo  opporlet  cum  multiplicatio  secundi  gradus  per  secundum 


t rna,  •namo  ....ml»  imiUULut. 

lia-  5-8;  m 11. 

lia-  1-6). 


5670 

70 

61 


r A<l  niiu  Hcpnrum  » (6>i- 
6rvcf#t  Un-  18-43  i ]U(,  II, 
lia-  Si>  — tt,  lia-  2)- 


345 

345 


secunda 


5 

345 

345 


25 

345 

345 


quarta 

025 

345 

345 

9035 

quinta 

345 

345 

119035 

345 

VUima 

345 

Digitized  by  Google 


fi4.  G vtrt*. 


■ et  n «leeenif  ectin«»l  4 • 
(fui.  G lin-  i-4|  |4g.  12, 

lin.  7.8  — Ua.  14). 


3 6 8 4 4 0 
0 0 7 
6 0 7 


et  mullipliret  •••.  wtilti^lira. 
It9«i>  • ifu|.  Grereo,  bu.  G-9; 
|ug.  12,  lia.  14-22. 


6 0 8 4 0 0 I 

7 8 

7 8 ' 

1 


• (etineilor  »...  SfiDHIt.  B>  • 
6 vrrt*  , iin-  lS-18;  (•■k- 

ii>.  2y.»). 


tf«l. 

12. 


8 I g 0 0 0 I 


« renviDcre  ....  | fxe  2 • /M.  G 
cerei»,  lin.  22-21;  12,  liii. 

89  >—  fu||.  13,  lin.  2). 


prolM  iisl  0. 


5 6 0 8 8 
1 2 3 
4 5 6 


12 

iungatur  multipUcatioriibus  primarum  in  tertias.  Sei[uuntur  multiplicatio  secuntlarum 
figurarum  in  tertias,  dc  qua  pixmciilt  <{uartus  gradus  , silicet  secundus  ab  co  cjucm 
multiplicat.  .\d  ultimum  multiplicatur  tertiu-s  gradus  per  tertium,  de  qua  multiplica- 
tione prouciiit  quintu-s  gradu.s  , silicet  tertius  ab  co  quem  tertius  gradus  multiplicat. 
Et  bac  ratione  ex  bis  que  procreantur  ex  raultiplicatiunc  primaiimi  in  tertias  et  se- 
cunde in  secundam:  posuimus  unitates  in  tertio  gradu,  ct  scruauimus  dccciias  ad  quar- 
tum gradum.  Et  ex  his  que  procrcatilur  ex  multiplicatione  secundarum  in  tertias,  | ct 
cx  decenis  .seruatis  posuimus  unitatc.s  in  quarto  gradu,  et  seniauimu.s  decena.s  ad  quin- 
tum gradum,  que  dccene  adduntur  cum  multiplicatione  tertii  gradus  in  tertium,  ct  po- 
nuntur eorum  in  quinto  gradu,  ct  deceuc  in  sexto , ct  sic  lialn^lur  multiplicatio  su- 
pradicta. 

Dc  eoifem. 

Irem  si  uoluerit  multiplicare  607  cum  C07,  collocatis  nuniciis,  muUiptiectur  7 per  7, 
erunt  40;  ponat  9 et  retineat  4,  et  mullijilicct  7 per  o et  7 |>er  o in  cruce,  et  addantur 
cura  4 seruatis,  erunt  4,  que  ponat;  ct  muUiplirel  7 per  o ct  7 per  6 ct  0 per  0,  erunt 
84:  |Kmat  4 retineat  8,  et  multiplicet  o |ier  6 et  o per  6,  et  addatur  cum  8,  eruut  s et 
|Hmat  8,  ct  multiplicet  6 [kt  6,  cniut  30:  ponat  o et  3,  ct  sic  habebis  pro  summa  dicte 
inulliplicalionLs  308440. 

De  einlem. 

Irem  si  uoluerit  multiplicare  780  per  78o,  dematur  de  utri.sqnc  780  .suum  0,  remanebit 
78  ct  78;  ct  multiplicet  78  {>cr  78,  erunt  C084,  ante  quam  ponantur  duo  zcpbyia,  ct  ba- 
bebitui'  pro  summa  dicte  iniilliplirationis  coh400.  Item  si  uoluerit  mulliplicurc  000  cum 
901),  demantur  zepltyra  dc  utro<[uc  numero,  ct  multiplicet  o pero,  erunt  8i,  quibus  ante 
|>uuatitur  zcpliyra  quattuor,  silicet  pro  quattuor  demptis  zepbyiis  de  utruijuc  ooo  , et 
habebitur  pro  summa  dicte  multijdicationis  sioauo. 

De  eodem  cum  inequttlihus  ftumcvbf. 

Si  autem  inequalc.s  numeros  rpils  mnltiplicarc  uoluerit,  eadem  uia  et  ordine  erunt 
multiplicandi  ; ut  .si  oportuerit  multiplicare  isa  < um  436,  scribantur  ad  inuiceni  iiu- 
meri  ut  supradictum  est,  ut  nuilliplireiitiir  3 por  6,  erunt  18;  ponantur  8,  retineatur  i ct 
multiplicentur  3 jicr  5,  erunt  <5,  que  addantur  cum  i semato,  erunt  16  ct  6 per  2,  et 
addantur  cum  16,  erunt  28:  ponantur  8 ct  retineantur  2,  ct  multiplicentur  3 {>cr  4 et  e 
|>cr  1 ct  2 per  3,  ct  addatur  cum  2 seruatis,  erunt  30:  ponatur  o,  retineantur  3,  et  mul- 
tipliccutur  2 per  4 ct  5 per  i,  ct  addantur  cum  3 seruatis,  erunt  ic:  ponantur  e,  ct  retinean- 
tur I,  cum  quo  addatur  multiplicatio  de  i iu  4,  erunt  5 que  pnuaiitur,  et  liabcbitur  pro 
summa  tuuUiplicalionis  dicte  5G08S.  Si  autem  buc  probare  uoluerit, iuugantur  figurc  de  123, 
erunt  6,ct  fignrc  dc  456,  erunt  15,  de  quo  numero  dematur  0,  remanebunt  c,  que  multipli- 
centur cum  6,  erunt  36,  quibus  per  0 diiiisis  remanet  0 quod  pro  jvensa  habeatur.  Tunc 
colligantur  figurc  que  sunt  iu  summa  dicte  multiplicationis,  erunt  27,  quibm  per  noue- 
iiarium  diuisis,  remanet  0,  ut  expedit  pro  pemsa  remanere.  Item  si  proponatur  multipli- 
care 37U  cum  451,  quamuis  per  snpradictam  ductrinam  multiplicari  pos.sint,  tamen  cum 
zephyrum  sit  in  primo  gradu  unius  numerorum,  silicet  de  376,  aliter  multiplicari  do 
reaiitur,  silicet  ut  dematur  ipsum  0 dc  370,  remanebunt  37,  que  multiplicentur  cum  451; 
erit  itaque  illunim  multiplicatio  duarum  figurarum  per  tres,  que  multiplicatio  sic  fieri 


Digitized  by  Google 


i3 

docelur.  Scribantur  37  super  51  de  45»,  et  multiplicentur  7 per  1,  erunt  7 que  |)onantnr. 
£t  7 }>cr  5 et  1 per  3 muUipliccutur,  cruiit  38;  ponantur  s et  retineantur  3,  et  7 per  4 
et  3 per  5 multiplicatis,  et  additus  cum  3 scruatis,  erunt  4C:  ponantur  A ct  i^etineaiUur 
4,  et  multiplicentur  3 per  4 ct  addantur  cum  4 seruatis,  erunt  16;  ct  {Muinntur  6 ct  1, 
ct  liabcbimus  pro  summa  dicte  imiltiplicaliuiiis  duarum  illarum  figurarum  in  tres,  »6687; 
quibus  ante  ponatur  0 pro  dcmlo  0 de  370,  exibunt  I6C8TO:  hac  itaque  uia  que)i)>et  duc 
Hgurc  per  quaslibet  ires  figuras  multiplicantur.  Item  si  queratur  multiplicatio  de  320 
per  570,  dematur  0 de  utiw|uc  numero,  remanebunt  38  ct  57,  qui  numeri  insimul  mul- 
tiplicentur, erunt  iS24  , quibus  ante  |K)iiantur  duo  zcpliyra,  el  habebitur  pro  sumrou 
dicte  multiplicationis  »k2400. 

Pars  tertia  de  rmiltipHcatione  fjuattnor  fi'^uranim. 

Cvm  autem  quattuor  figuras  contra  quattuor  quis  multiplicare  uoluerit,  describat  nu* 
meros,  et  collocatis  gradibus  sub  gradibus  similibus,  multiplicet  primum  per  primam  ct 
{Minat,  reminiscendo  tamen  seruare  dccenas  semper  cum  p^isuerit  unitates,  ct  multiplicet 
primam  per  secundam,  et  primum  ]>cr  secundam,  et  ]>onat;  ct  {irimam  {ler  tertiam,  ct 
primam  per  tertiam,  et  secundam  per  secundam,  ct  ponat;  ct  primam  per  quartam,  ct 
{irimam  per  quartam,  ct  secundam  per  tertiam,  ct  secundam  ]>er  tertiani,  el  ponat;  ct 
secundam  |>cr  quartam,  ct  secundam  per  quartam,  ct  tertiam  per  tertiam  et  ponat;  et 
tertiam  {icr  quartam,  et  tertiam  per  quartam  , et  ponat ; ct  quartam  {ler  quartam  ct 
ponat;  ct  sic  habebit  muUiplicationcm  quorumlibet  nuniemrum  quattuor  figurarum  siuc 
equales  uel  incqiialcs  extiterint. 

Ad  cuius  rei  cuidentiam  pro|H>nalur  multi{dicalio  de  1234  in  sc  ipsa  , et  descri|)to 
i()So  numero,  bis  multiplicetur  prima  per  | primam  ut  |>rediximus,  silicct  4 per  4,  erunt 
ic;  ct  pfinantur  6 super  utrumqiic  4 ct  retineatur  t,  ct  multijdiccntur  4 {ler  3 ct  per 
3,  ct  addantur  cum  1 serualo  erunt  85,  {»onaiilur  6 su{>er  ulrumquc  3 el  retineantur*. 
Item  multiplicentur  4 su|)criorU  numeri  per  2 inferioris,  ct  4 })er  s ct  3 |»cr  3,  et  ad* 
dantur  cum  s seruatis,  emnt  S7:  pouuiitur  7 super  utrumque  2 ct  rctiucantiir  s:  multi- 
{dicentur  4 per  1 et  4 {>cr  1 ct  3 per  8 et  3 {>er  *,  et  addantur  bce  quattuor  mulli- 
{dicationes  cum  8 seruatis,  erunt  s*:  {Minantur  s super  utrumque  i,  ct  rcliiicaiititr  iu 
maiiu  1,  ct  multiplicentur  3 per  i ct  3 {icr  1 et  8 per  8,  et  addantur  cum  8 seruatis, 
erunt  18:  {Minantur  t ct  retineatur  iu  manu  i,  ct  multiplicentur  2 {>cr  1 et  8 per  » ct  ad- 
dantur cum  i scniato,  eruiit  s,  que  ponantur,  et  multi|)liceulur  1 per  1 erit  1 ({iuhI  {ki-* 
natur;  et  sic  liubcbitur  pro  summa  i|i.sius  mulliplirnlionis  »522756. 

De  eodem. 

Ircrum  ut  inlcUigibilius  intelligatur,  nnilti{»licatio  dc  8345  in  6789  proponatur;  dc.scri- 
{ilis  itaque  numeris,  iimlti{diccotur  5 per  g,  cruiit  45,  {Hinanlur  5 ct  retineantur  4,  ct  mul- 
ti{)iiccDlur  5 per  8 et  9 per  4,  ct  addantur  cum  4 .scMuatis,  erunt  80:  ponatur  0 et  re- 
tineantur 8,  el  multiplicentur  5 per  7 et  9 {icr  3 ct  4 per  8,  ct  addantur  cum  8 ser- 
uatis, erunt  »08;  {lonantur  8 ct  retineantur  in  manu  »o,  ct  multiplicentur  5 {>er  6 ct  9 
per  a ct  4 per  7 ct  8 per  3,  et  addantur  cum  iO  seruatis,  erunt  iio:  {Kmatur  0 et  re- 
tineniilur  11,  et  multiplicentur  4 per  6 ct  8 per  8 ct  3 per  7,  ct  addantur  cum  11  ser- 
uatis, erunt  78:  {mnautur  8,  retineantur  7,  ct  multi{>Iiccntur  3 per  6 et  7 ]>cr  8,  ct  ad- 
dantur cum  7 seruatis,  erunt  39:  ponantur  9 et  retineantur  3,  quibus  addatur  multqili- 


[MMuntar  5 ....  aiiUt>«nilur  » 

|l»l,  6 |j«.  27*St;  fwi,- 

li.  Ii».  S-9». 


» 6 6 8 7 0 


rl  iirmiam  •‘ttil^iiiil  * (l-t. 

S MT.M,  lin.  3^-35  I |»i;-  13  . 
I».  15-2li. 


I 8 2 4 0 0 
3 8 
5 7 


t'»l.  1 li»il 


S Hi<M4M<Hr  ....  «iim  » litoi. 
» rfrtt,  lia-  2-S;  13.  tiw 

2V33I 


» .S  2 2 7 5 Ii 
12  3» 
1 2 3 I 


• il4iiu,  .... Mru,tii  rritv, 

U.  9-Ui  |>iK.  It,  lin.  34  431- 


1 5 9 8 0 8 » .1 
prulia  est  6.  8 3 4 .1 
6 7 8 9 


Digitized  by  Googie 


• Qimm» SmOOOO  » Kol-  7 

Ua.  18-Sl  1 14,  Ub. 

MI). 

37893000 
S I 
7 4 3 


llmiM  . ..  3 arrMiii  « <M-  7 
bu.  84-17(  f«g-  14,  Im' 

nto< 


9 s s 2 s 0 0 
i 5 
3 7 0 1 


I").  7 »mi  *i*in<r»lf>, 


14 

catio  dc  I in  6»  erunt  15,  ct  |>onantur  5 et  i,et  sic  liabebitur  multiplicatio  dictorum 
numerorum,  ut  hic  ostenditur. 

Probatio. 

Qve  si  recta  fuerit,  ita  probatur:  multiplicetur  ]>eusa  de  S345  que  est  5 cum  pensa 
de  67S9  que  est  3,  erunt  15,  de  quibus  demantur  o remanent  0 que  sunt  peusa  summe  mub 
tiplicatiunU. 

Qramuis  ita  ut  dictum  est  oranes  numeri  quattuor  figurarum  multiplicandi  sint,  ta* 
meii  sunt  inter  eos  qui  aliter  et  Icuius  multiplicari  po«.sunt:  illud  (^t^)  silicet,  qui  habent 
in  capililius  zc]>h)Ta  ; ut  si  queratur  multiplicatio  dc  5000  cum  7000,  multiplicentur  s 
per  7,  erunt  35,  ante  que  |>onatur  tot  zephyra,  quot  sunt  cum  ijtsis  numeris  que  sunt 
.sex,  ct  sic  liabebitur  pro  summa  dicte  multiplicationis  3soooooo. 

Irem  si  queratur  multiplicatio  dc  Sioo  cum  7430,  multiplicentur  si  per  743,  enuit  3780S, 
quibus  ante  positis  zepbyra  tria  que  sunt  in  capitibus  utrorumque  numerorum,  ct  sic 
liabebitur  pro  summa  dicte  multiplicationis  37693000. 

Irem  si  quererct  multiplicationem  de  isoo  cura  3701,  demat  duo  zcpliyra  que  sunt  in 
capite  dc  2500,  remanebunt  25,  que  multiplicet  per  370i,  siiicct  duas  figuras  contra  quat- 
tuor, quarum  ordo  hic  c.st:  descrilial  25  .super  3701  ut  inferius  cernitur,  et  multiplicabit 
5 per  1,  cmnl  5,  que  ponat;  ct  5 per  o ct  i |>cr  2,  erunt  2,  que  [Kmal;  et  5 per  7 et  2 per 
0,  erunt  35;  (>onal  5 ct  remanebit  3,  ct  multiplicet  5 j>cr  3 ct  2 per  7 ct  addat  cum  3 
soniatis,  erunt  32;  ct  ponatur  2,  retineatur  3 ct  2 per  3,  erunt  c,  que  addat  cum  3 scr- 
uati.s;  oiunt  9,  que  |>onat.  Kl  sic  habetur  pro  multiplicatione  de  25  in  3701,  ut  in  de- 
scriptione ostenditur,  92525,  quibus  ante  |K>nantur  duo  zcphyra,ut  habeatur  summa  prioris 
multiplicationis  quesite. 

Pars  quarta  secundi  capifuii. 

Cvin  autem  quemlibet  numerum  quinque  figurarum  per  quemlibet  numerum  eiusdem 
gradus  quis  multiplicare  uulucrit,  silicei  quinque  figuras  ]>cr  quinque  , collocatis  nu- 
meris multiplicet  primum  per  primam,  ct  |>onat;  ct  primam  per  secundam,  et  primam 
per  .secundam,  et  ponat;  et  primam  per  tertiam,  ct  primam  per  tertiam,  et  secundam  {ler 
.secundam,  ct  ponat;  ct  primam  per  quartam,  et  primum  j>cr  rjuarlam,  et  secundam  per 
tertiam,  ct  secundam  per  tertiam,  ct  [amat;  ct  primam  per  quintam,  ct  primam  per  quin- 
tam, ct  secundam  per  quartani,  et  secundam  per  quartam,  ct  tertiam  per  tertiam,  et 
ponat;  ct  secundam  per  quintam,  et  secundam  per  quintam,  et  tertiam  per  quartam,  et 
tertiam  per  quartam,  et  ponat;  ct  tertiam  per  quintam,  ct  tertiam  per  quintam,  et  quartam 
per  quartam,  et  ponat;  et  quartam  per  quintam,  et  quartam  per  quintam,  ct  ponat;  et 
quintam  per  quintam,  et  ponat.  Et  sic  habebit  multiplicationem  quorumlibet  numerorum 
quinti  gradus:  ct  ut  hic  apertius  demonstretur,  quedam  multiplicatio  pro]K>natur,  ut  per 
eam  equales  et  incquales  multiplicationes  eiusdem  gradus  intelligantur:  ut  si  uoluerit 
multiplicare  12345  per  12345,  descriptis  numeris,  ut  | supra  docuimus,  multiplicet  5 per  s 
cnint  25:  ponat  5 ct  retineat  2,  ct  5 j>cr  4 ct  s per  4,  el  addat  cum  2 seruatis,  erunt 
42;  ponat  2 ct  retineat  4,  et  5 ]>er  3 et  5 per  3 et  4 per  4,  et  addat  cum  4 seruatis,  erunt 

50;  ponat  o ct  retineat  5,  ct  5 per  2 ct  5 per  l ct  4 per  3 ct  4 per  3,  et  addat  cum 

s senialU,  cnmt  49:  ponat  9 et  retineat  4,  et  5 per  i et  5 per  i et  4 per  2 ct  4 per 

2 et  3 per  3,  ct  addat  cum  4 .seruatis.  erunt  39:  ponat  9 ct  retineat  3,  ct  4 per  t ct 


Digitized  by  Googie 


1$ 

4 per  I et  3 per  i et  3 per  s,  et  addat  cum  3 seruatis,  erunt  as;  ponat  3 et  retineat 

a,  et  3 per  i et  3 per  t et  a per  s,  et  addat  cum  a seruatis  erunt  la;  ponat  a et  re- 
tineat <,  et  a per  t et  3 per  i»  et  addat  cum  i seruato,  erunt  5,  que  ponat;  et  i per  t 

erit  1 quod  |X)nat;  ct  sic  habebit  summam  dicte  multiplicationis.  Ostendam  rursus  hunc  mo- 

dum multiplicandi  procedere  ex  his  que  accidit  {sic)  inter  numeros  sibi  inuiccro  proportio- 
nales. Nam  cum  tres  numeri  proportionales  sunt»  ita  quod  sicut  primus  est  ad  secundum, ita 
secundum  sit  ad  tertium;  tunc  multiplicatio  primi  in  tertium  equatur  multiplicationi 
secundi  in  se.  Kt  cum  quattuor  numeri  sunt  proportionales,  fueritque  sicut  primus  ad 
secundum,  ita  tertius  ad  quartum.  Tunc  multiplicatio  primi  in  quartum  equa  est  mul- 
tiplicatioui  secundi  in  tertium,  ut  in  euclidc  reperitur.  Ascendit  enim  numerus  in  in- 
finitum per  gradus  continuos;  quia  sicut  primus  gradus  est  ad  secundum,  ita  secundus 
est  ad  tertium,  et  tertius  ad  quartum,  et  unusquisque  antecedentium  ad  suum  conse- 
quentem. Quare  multiplicatio  secundi  gradus  in  sc  facit  eundem  gradum  factum  ex  mul- 
tiplicatione primi  in  tertium.  Et  mullijdicatio  secundi  gradus  in  tertium  facit  gradum 
factum  cx  multiplicatione  primi  in  quartum.  Incipitur  quidem  in  multiplicationibus  a 
figuris  primi  gradus,  ex  qua  multiplicatione  aut  pruueiiit  numerus  primi  gradus,  aut 
terminans  in  ipso.  Et  ideo  ex  multiplicatione  prime  figure  per  primam  ponuntur  uni- 
tates super  primum  gradum,  et  decene  seniantur  ad  vSecundum,  cum  quibus  adduntur 
multiplicationes  primarum  in  secundas,  et  prouenit  numerus  secundi  gradus,  uc1  ter- 
minans in  ipso.  Quare  ponuntur  unitates  super  secundum  gradum,  et  pro  unaquaque 
decena  que  habetur,  servatur  .t.  ad  tertium  gradum.  Deinde  multiplicantur  prime  per 
tertias,  ct  additur  cum  eis  multiplicatio  secuiidc  in  secundam;  quia  multiplicatio  se- 
cundi gradus  in  secundum  facit  eundem  gradum,  quam  facit  multiplicatio  primorum 
graduum  in  tertios.  Et  ideo  cx  multlplicatioiribus  primarum  figurarum  in  tertias , et 
secundarum  in  secundas,  ponuntur  unitates  super  tertium  gradum;  post  hec  multipli- 
cantur prime  per  quartas,  ct  secunde  per  tertias,  cum  sint  in  quattuor  gradiltiis  pro- 
jK>rtionalibus;  quia  sicut  primus  est  ad  secundum,  ita  tertius  ad  quartum,  ct  prouenit 
cx  ipsis  multiplicationibus  numerus  terminans  in  quarto  gradu.  Et  idcirco  pouunlur 
unitates  super  quartum  gradum,  et  multiplicantur  pastca  prime  per  quintas,  et  secunde 
per  quartas,  et  tertie  per  tertias;  quia  est  sicut  primus  gradus  ad  secundum,  ita  quartus 
ad  quintum.  Quare  multiplicatio  secundi  gradus  in  quartum,  facit  gradum  factum  ei 
multiplicatione  primi  in  quintum  , silicct  quintum  gradum  ; ct  est  rursus  secundus 
gradus  ad  tciiium  sicut  tertius  ad  quartum.  Quare  multiplicatio  tertii  gradus  in  tertium 
facit  gradum  factum  ex  multiplicatione  secundi  in  quartum,  scilicet  quintum  gradum. 
Et  ideo  pon>mtur  unitates  super  quintum  gradum,  et  .sic  secundum  pn>portiunalilutem 
cnicitur  summa  quorumlibet  numerorum  multiplicatiuiiis.  Et  hec  pitssunt  manifeste  m- 
tclligi  in  his  que  sccuntur.  Et  notandum  quia  sicut  primus  gradus  est  ad  secundum,  ita 
|>cnuitimus  est  ad  ultimum;  et  .sicut  primas  est  ad  tertium,  ita  tertius  ab  ultimo  est 
ad  ultimum;  ct  sicut  primus  est  ad  quartum,  ita  quartus  ab  ultimo  est  ad  ultimum 
et  cetera.  In  hac  siquidem  multiplicatione  (piinque  figuranim  in  quinque,  post  posiiumcm 
quinte  figure  super  quintas,  multiplicantur  secunde  per  quintas,  et  tertie  per  quartas; 
ipie  multiplicationes  faciunt  sextum  gradum;  quia  cum  secundus  gradus  multiplicat  quin- 
tum, sextum  gradum  facit,  quem  facit  multiplicatio  tertiarum  in  quartas,  cum  sit  sicut 


• 0 ....  lubeLit  tantwMi  • 

(f»l-  T Im.  t-Ti  Twf.  11. 
iiM.  It  — |A,  4). 


132399023 
1 2 3 4 3 
1 2 3 4 5 


Digitized  by  Google 


!0 

gradus  ad  tertium,  ita  quartus  ad  quintum.  Deinde  multiplicantur  tertie  per  quintas  et 
quarta  {>cr  quartam,  ct  proucnil  sepius  gradus ; quia  cum  tertius  gradus  multiplicat 
(}uintum,  facit  tertium  gradum  ad  quinto,  silicet  septimum:  deinde  multiplicantur  quarte 
{>er  quintas,  que  faciunt  octauum  gradum.  Ad  ultimum  multiplicantur  quinta  per  quin- 
tam que  facit  noiium  gradum;  ct  .sic  habetur  summa  dicte  multiplicationis.  Post  liec 
enim  que  de  multiplicatione  dicta  sunt,  quilibet  ingeniosus  potest  per  supradictam  do* 
M H ctrinam  multiplicandi  habere:  tamen  ut  rudes  hic  |>erfcctam  habeant  doctrinam  {,  multi- 

plicationi (Klaui  gradus  ostendere  procuraui. 

Pars  quinta  secuTuii  cafutidi. 

Cvm  autem  quemlibet  numerum  octo  figurarum  j>er  quolibet  (r^)  numerum  eiusdem  gra- 
dus quis  multiplicure  uolucrit,  multiplicet  primam  per  primani,  et  ponat;  ct  primam 
jKT  secundam,  ct  primam  per  secundam,  ct  ponat;  et  primam  per  tertiam,  el  primam 
per  tertiam,  ct  secundam  per  secundam,  et  |Mmat;  et  primam  ju?r  quartam,  ct  j)rimani 
per  quartam,  ct  scrimdam  per  tertiam,  ct  secundam  per  tertiam,  ct  ponat;  et  primam 
per  quintam,  et  primam  per  «juintam,  ct  .secundam  per  quartam,  et  tertiam  per  ter- 
tiani, et  ponat;  ct  primam  per  .>extam,  ct  primam  per  sextam,  et  secundam  per  quintam, 
et  secundam  per  quintam,  ct  tertiam  |>er  (piartam,  ct  tertiam  per  quartam,  ct  ponat; 
el  primam  per  septimam,  ct  pnmam  per  septimam,  ct  secundam  per  sextam,  ct  secundam 
per  sextam,  ct  tertiam  per  quintam,  ct  tertiam  j»cr  qtiintam,  ct  quartam  per  quartam, 
et  {MUiat;  ct  primam  per  ootauain,  ct  ]>rimam  per  oclauam,  et  secundam  per  septimam, 
et  secundam  per  .septimam,  silicet  eas  que  .sunt  secus  primam  ct  nctauam  , ct  tertiani 
per  sextam,  et  tertiam  per  .sextam,  co  ({uod  sibi  secus  secundas  et  septimas,  ct  quartam 
per  quintam,  ct  quartam  per  quintani;  ideo  quia  sunt  .serus  tertias  ct  sextas,  ct  ponat.  Et 
sic  .semper  iii  omnibus  nmltiplicalioiiibus  ab  interiori  parte  ipse  figure  ab  (.r/c)  inuicem 
semper  ab  utrarpic  parte  multiplicande  sunt,  que  secus  eas  exLstunt,  que  primum  mul- 
tiplicantur: donec  ca.s  ita  multiplicuiidu  .sc  ad  iiiuiccm  coniunxerint;  et  tunc  jioncnde 
sunt  unitates  ct  dcccnc  in  manibus  seruatide.  Et  cum  multiplicatio  primarum  figurarum, 
in  rcli({uis  per  ordinem  gradatim  ascendendo,  conqdcta  fuerit  usque  ad  ultimas;  tunc 
penitus  relinquende  suiit  prime  figure  utrunimque  numerorum,  et  secunde  ]kt  ultimas 
muitiplicandc,  hoc  c.st  ut  in  hac  questione  multiplicet  secundam  per  octauam,  et  .secundam 
per  oclauam,  ct  tertium  per  .sej)llmam,  ct  tertiam  per  septimam  ; quia  sunt  secus  se- 
cundas ct  octauas;  ct  quartam  per  sextam,  ct  quartam  |>er  sextam ; quia  smit  seciu( 
tertias  ct  septimas;  ct  quintam  per  quintam;  quia  .sunt  inter  quartam  et  sextam,  ct  ponat; 
et  tunc  relinquat  secundas;  ct  multiplicet  tertiam  per  octauam,  ct  tertiam  per  octauam, 
et  quartam  per  septimam,  ct  quartam  per  .septimani,  ct  quintam  per  sextam,  cl  quintam 
per  sextam,  et  ponat;  et  relinquat  tertias,  ct  multijilicet  quartam  per  octauam,  et  (piartam 
(ler  octauam,  ct  quintam  per  .septimam,  ct  quintam  per  septimam,  et  .sextam  per  sextam, 
et  ponat;  cl  relinquat  quartas,  et  multiplicet  quintam  |>er  oclauam,  ct  (piiulam  per  octa- 
uam, et  sextam  per  septimam,  ct  sextam  per  septimam,  et  ponat;  el  relinquat  quintas, 
ct  multiplicet  sextam  per  octauam,  et  sextum  per  oclauam,  et  septimam  per  septimam, 
el  ponat;  cl  septimam  per  oclauam,  el  .septimani  per  (K'tauam,  cl  ponat;  ct  octauum  j>cr 
octauam,  et  ponat;  et  sic  haliebitur  multiplicatio  onuiium  numerorum  octo  figurarum: 
et  ut  in  numeris  clarius  intclligatur:  sit  numeri  12^5678  el  87654311,  qui  ut  multiplicentur 


DIgitized  by 


17 

ad  tiiukcm  dc^iilraiitur,  «icrumlum  quod  supra  dirtum  ct  muUijdiccl  8 [>cr  1,  cruiU  8, 

((uc  |xmat  i ct  8 per  8 el  i ]>cr  7 cnmt  23,  ponat  3 ct  retineat  2 , et  8 per  3 ct  t 

per  6 el  7 per  2,  ct  adduntur  cum  2 soniatis  erunt  4A,  ponat  ft  et  retineat  4,  ct  8 per 
4 ct  i per  5 ct  7 per  3 ct  2 |M?r  c cnint  74,  jMmat  4 ct  retineat  7,  ct  8 per  5 ct  i per  4 

et  7 }>cr  4 ct  2 |H?r  5 ct  ft  per  3 erunt  I07,  ponat  7 et  retineantur  lo,  el  8 per  6 et  i 

per  3 et  7 |>cr  $ ct  2 {ler  4 et  c per  4 et  3 per  serunt  M3,  ponantur  3 ct  retineantur 
u,  el  8 per  7 el  i j>cr  2 ct  7 ]H*r  « et  2 per  3 ct  o per  5 et  3 |>cr  4 ct  5 per  4 erunt 
182,  ponantur  2 ct  retineantur  18,  ct  8 per  8 ct  i per  i ct  7 j>or  7 ct  2 |»cr  2 et  c per 
c et  3 per  3 ct  S per  s ct  4 per  4 eniiit  222,  ponat  2 et  retineat  22,  et  7 per  8 ct  2 
per  1 ct  0 per  7 et  3 |>er  2 ct  s per  6 ct  4 |)or  3 et  4 jicr  5 eiunt  190,  |Kmat  0 et 

retineat  to,  et  c per  8 ct  3 per  1 ct  s per  7 ct  4 jicr  2 ct  4 per  0 cl  s per  3 cninl 

1S2,  ponat  2 et  retineat  I3,  ct  5 per  8 et  4 per  1 ct  4 |>cr  7 ct  s per  2 et  3 per  G erunt 

IIS,  (Minat  5 ct  retineat  n,  cl  4 per  8 et  S per  l ct  3 per  7 et  6 (>cr  2 erunt  81,  ponat 

I ct  retineat  8,  ct  3 per  8 ct  G per  1 cl  2 per  7 eiunt  52,  ponat  2 ct  rclincut  s,  ct  3 
(icr  8 ct  7 per  1 miiit  28,  jMinat  8 ct  rctinCHt  2,  el  1 per  8 erunt  10,  que  |Mmanliir;  ct 
sic  luiheliitur  summa  dicte  multipiicaiionis. 

si  in  quorumlibet  capitibus  iiiiineronira  zepbyra  ruerit  deniaiUiir  de  i|>sis  iui> 
meris  omnia  zeplivra  que  in  capitibus  exiiterint,  ct  reliquas  li^iras  insimul  multiplicet, 
et  nmltiplicaiiuni  dempta  zcpliyra,  nnlc  ponat,  el  habebit  ipsomm  numerorum  mulli’ 
pliciitioiicni,  ut  iii  secundi  ct  terti),  ct  quarti  gi-adus  miillipli|cationcs  denotauiimis,  cl 
si  per  supradictas  multiplicationum  demonstrationes  quis  multiplicationem  |Kmcunim  li> 
{gurarum  contra  plurcs  scire  non  |Milcrit,  describat  numeros,  sed  maioi-cm  sub  minori, 
bm'  est  numcnim  plurium  li|^urarum  sub  ipso  numero  paucarum,  co!l<K'ans  (irimiint  gra- 
dum unius  su!)  primo  alterius,  el  deinceps,  ut  supra  diximus  , alios  i^radus  collocabit, 
et  jMiiiat  post  mimeiiim  )>aucanim  figurarum  tot  zepbyra,  quot  ligiirc  supcriiabundant  dc 
maiori  miiucro,  et  sic  liabebit  equales  numerus  iii  mnltiplieatione,  ut  si  qucrcret  mul- 
tiplicare tres  Ifgunts  contra  sex,  ponat  numerum  sex  figurarum  sui)  numero  trium  fi- 
gurariini,  ct  ponat  post  tres  ligiiras  tria  zepliyra,  ut  sint  in  multipliratimic  sex  tigure 
contra  sex,  ((uas  secundum  per  suprudiclam  doctnnam  nuiUiplicet.  Verbi  gratia:  iil  si- 
({ueratur  multiplicare  345  cum  G98r>ti  describat  eos  hoc  ordine,  scilicet,  tria  zepliyra 
post  345.  Ventm  quod  de  positione  zepbyruruai  post  figiiius  dictum  est,  non  nisi  ru- 
dibus necessarium  fore  arbitror,  <)uia  subtiles  non  indigent  tali  positione  zepliyrorum. 

Pars  se.rta  secundi  cafiituli. 

CErum  cum  suprasrriptam  multiplicandi  doctrinam,  frequenti  usu  in  tabula  quis  ope- 
rari sciucrit,  et  uulucrit  eandem  doctrinam  rordeteims  cl  in  manilms,  absifiic  tabuic  de- 
scriptione, in  numeris  secundi  ct  tertij  gradus  Uaixue,  retineat  desi  riptioiiein  numerorum 
in  corde  quos  multiplicare  noluerit,  ct  incipiat  multiplicare  secundum  prescriptum  or- 
dinem, cl  primam  positionem  in  manu  sinistra  in  loco  unilatuni  ponat,  ct  secundam 
scilicet  {Mxsitionem,  in  eadem  manu  in  loco  divcnarurn.  Tertia  nero  in  manu  dextera 
ifi  loco  cenieuariomm.  t^tuartam  uero  in  loco  roiliarorum  studetur  jHiiierc  consuescat. 
Quintam  uero  ct  deinceps  in  corde  retineat,  cum  in  manibus  amplius  retinere  non  possit; 
et  sic  hal>ebit  quorumlibet  niiraerunim  multiplicationem.  Verbi  gratia:  ut  si  noluerit  mul- 
tiplicare 12  per  12,  retineat  dc.srriptioncm  illorum  in  coixle,  ct  multiplicet  2 j>cr  2 fa- 

3 


A |if«  7 tt  1 i-cr  % ....  cl  4 |ir* 
I rt  4 |>fr  • lM-8  rrtt»,  lia- 
10-31;  17.  Im.  j l2l. 


I IU82I52U22374G38 

i 

I 12345G78 


87f.5l32f 


A «vrce 

« Nai|U.ri  ii.i«  ,n- 

a>|,|r«l  • if«|.  0 liB.  4>!k 

— )>n.  910;  |«t:  St' 


2401)0GG4.‘> 


j 0 0 0 3 4 .4 

I 6 8 8 5 4 1 


Digitized  by  Googie 


fwr  12  ....  tifmu  <|«4clngiiurM  « 
«fuj.  t ••«•rta.  Ita.  p*|{. 

17.  lia.  19.Ub  M). 


•B  laro ....  iMlactd  • iM.  2 •-<*' 
»».  ba.t4-2«i  pM  18.  Im  8-14|. 


2S  r«rS7  ..  . 

mi  * Ifal.  2.  .-••rw.  Iin  tl'- 
32i  rH.  12.  Imi  U I'Jj. 


l.S 

ciunt  4,  qtic  4 ponat  in  .sini.«itra  manu  in  toro  unitatum,  ct  multiplicet  S dc  supcrioribu.s 
IS  |>cr  1 dc  inferitinl>u.s,  et  s dc  iiiferiuribuf  per  t dc  superioribus,  ct  addat  insimul 
erunt  4,  que  ponat  in  eadem  manu  sinistra  in  lucu  decenariu,  huc  est  in  signo  r|ua- 
dragenariu,  ct  multiplicet  i per  i,  scilicet  .secundam  figuram  per  smiiulam,  faciunt  i, 
(|iiud  ponat  in  manu  dextra  in  luco  centenariurum.  Kt  sic  hahehit  pru  quesita  multi- 
plicatione 144,  ut  in  hac  |>agina  cernitur. 

Item  si  cordctciias  uulucrit  multiplicare  48  per  48,  multiplicet  B {)cr  8 erunt  64,  ponat 
cf^u  4 in  manu  siui.slra  in  loco  unitatum,  et  6 retineat  iit  mami  dextra  in  Uku  cente- 
nariorum. Et  mnitiplicet  8 |>cr  4 et  8 per  4 et  addat  insimul  cnint  64,  que  addat  cum 
6 seruatls  in  manu  dextra  eniiit  70,  ex  qiiihus  ponat  O,  hoc  est  nihil,  in  manu  sinistra 
in  locu  dccenariurum,  et  7 retinent  in  manu  dexlru,  cuin  quibus  addat  multiplicationem 
dc  4 in  4,  .scilicet  IG,  erunt  23,  ex  quu  ponat  3 in  inanii  dextra  in  loco  centenariorum. 
Kt  2 i>onat  in  eadem  manu  in  loco  miliariorum,  hoc  est  in  .signo  bis  miilcno.  Et  sic 
habohit  pro  quesita  multipliratiime  2304.  Item  si  muiliplicare  uulucrit  23  per  57,  retineat 
eorum  descriptionem  in  corde,  ct  niuUiplicet  3 |>er  7 erunt  2i,  ponat  i in  loco  unitatum 
in  manu  sinistra,  et  retineat  in  manu  deitni  s,  et  3 per  5 ct  7 per  s,  ct  addat  cum 

2 scruatis  erunt  3f,  jMiiial  i in  loco  decenarum  et  retineat  iu  manu  dextra  3,  et  2 |>cr 
5,  et  addat  cum  3 scruatis,  13  erunt,  ponat  3 in  loco  cciitcnariorum  in  manu  dextra  et 
in  loco  miliariorum,  ct  .sic  habebitur  pro  ista  multiplicatiuiic  isil. 

Pfirs  flJ"  sveumti  capifuti. 

Item  .si  uulucrit  coixletcnus  multiplicare  347  per  347,  multiplicet  7 per  7,  retenta  im- 
merorum  descriptione  in  conle,  cniiit  40,  |>onat  o iii  niami  sinistra  in  loco  unitatum 
et  iii  dextra  retineat  4,  et  bis  7 per  4,  et  addat  cum  4 scruatis  erunt  60,  ponat  o in  loco 
decenarioimm  in  manu  sinistra,  lioc  est  nihil,  ct  retineat  in  dextra  6,  et  bis  7 {ler  3,  ct 
4 |ier  4,  et  insimul  iuiiclis  eninl  64,  ponat  4 in  dextra  in  loco  ceiiteiiarionim,  et  6 rc> 
lineat  in  loco  miliimirum,  uel  in  corde,  ct  bis  4 jicr  3,  et  addat  cum  6 erit  seruatis,  erunt 
30,  deleat  de  loco,  multiplicet  G ct  ponat  il>idrni  pro  o nicliil,  ot  retineat  in  curde  3,  ct 

3 per  3,  et  addat  cum  3 scruatis  in  corde  erunt  12,  ipie  iterum  retineat  cum  non  po.s- 
sit  ipsum  in  manibiLs  )Mmore,  ct  sic  liabebitnr  pn>  hac  multiplicatione  <20400.  Et  ita  si 
immenKS  in  corde  i^cliiiore  .scine  (.v/c)  sciuerit  cl  que  ad  mmliim  edi»celur  proegreditur  (x/c) 
leuiu.s  quam  in  tubula,  {Miteril  multiplicationes  quorumlibet  inmierunim  secundi  gradus 
ettertij  cordetenus  in  nmnibn.s  inncnirc. 

Incipit  capituUim  tertium  th  ntldilione  integrorum  numerorum. 

Cvm  autem  quoslibet  numenw  ct  quotcumque  quis  addere  iinlucrit,  collocet  eos  iii 
tabula,  .secundum  quod  in  multiplicatinnibus  niimemnim  prediximiis,  hoc  est  primum 
gradum  cunctorum  numerorum  quos  addere  uulucrit  suli  primo  ip.sius  qui  ante  in  iun- 
ctionem  j»osilus  fuerit.  Et  .secundum  sub  secundo,  et  deinceps  qui  sccuntur.  Et  tunc 
incijiial  in  niaiiibu.s  colligere  numeros  figuranim  que  in  primis  gradibu-s  cunctorum  nu- 
merorum que  in  iunctionem  positi  fuerint,  ab  inferiori  numero  usque  ad  su|]>erioreni, 
ascendendo:  ]>onat  itaque  unitates  .super  primum  gradum  numeronim  et  decciias  in  manu 
reseruct,  quibus  decenis  .su|>era(idat  numeros  qui  in  secundis  gradibus  extiterint,  ct  ]>unat 
unitates  super  secundum  gradum,  ct  ilcnira  decenas  rc-seruct.  Cura  quibus  colleclionetit 
tertii  gradus  mimeronira  super  addat,  ct  sic  ponendo  unitates,  et  decenas  rcscruando. 


Digitized  by  Googl' 


49 

gradatim  numeros  colligendo,  potest  collectionem  cunctorum  numerorum  usque  ad  infi> 
iiitum  habere.  Et  ut  melius  iutelligatur  iuiictiones  duorum  numerorum  et  etiam  terti), 
nec  non  et  pluiium  ostendantur. 

Est  enim  alius  mcnlus  multiplicandi  ualde  laudalulis,  maxime  in  multiplicandis  magnis 
numeris,  quem  ostendam  in  multiplicatione  de  M7  in  4321.  Con.stituatur  quadrilaterum 
in  forma  scaeberii,  habens  puncta  s in  longitudine,  scilicet  unum  plus  numero  figu- 
rarum maioris  numeri  , ct  lial>eat  in  latitudine  puncta  3 , sicuti  sunt  tres  figure  in 
minori  numero,  et  jionatur  maior  numerus  super  quadrilaterum  supradictum,  et  minor 
ponatur  ante  ipsum,  ut  bic  cernitur,  ct  multiplicetur  prima  figura  miuoris  ntinicri,  scilicet 
7,  per  t,  scilicet  per  primam  maioris  itumeri  facies  7,  que  |)Oiiantur  in  primo  puncto  su- 
|>cnoris  linee,  scilicet  sub  ipso  i,  ct  multiplicentur  7 per  secundam  ngiiram  maioris  nu- 
meri, scilicet  per  2,  enint  u,  ponantur  4 sub  2 |M>st  posita  7,  scilicet  in  sc<‘undo  puncto 
su|»crioris  linee,  et  scruetur  i,  cum  quo  addatur  multiplicatio  coriimdcni  7 in  3,  erunt 
22,  ponantur  2 in  tertio  puncto  post  4 (>osita,et  serneiitnr  2,riimqnibus  addatur  multipli- 
catio de  7 in  4,  scilicet  in  ultimam  figuram  maioris  numeri  erunt  30,  ex  quibus  ponatur  o 
in  quarto  puncto  ct  3 in  quinto.  Simili  quoque  m<Mlo  multiplicabuntur  o singulariter  per  i 
ct  per  2 ct  per  3 et  per  4,  exibunt  6 in  primo  puncto  secunde  linee,  ct  2 in  secundo,  et  9 
in  tertio,  et  S in  quarto,  ct  2 in  quiuto;  quml  idem  Hat  de  quinque  que  sunt  in  ultimo 
gradu  minoris  numeri,  et  habebitur  S in  primo  puncto  tertie  linee,  et  o in  s<x‘undo,  ct  e 
in  tertio,  et  i in  quarto,  et  2 in  quinto.  Deinde  pro  7 que  posita  sunt  iu  primo  puncto 
}H>uautur  7 .su|>er  i,  et  addantur  6 ct  4 que  sibi  inuicem  sunt  opposita;  post  i{v.sa  7 erunt 
10:  jxmatiir  o super  2 et  scruetur  i,  cum  quo  addatur  ft  et  2 ct  2 que  item  sibi  in- 
uicem  sunt  opposita:  post  predicta  o ct  4 erunt  iO:  ponatur  itemm  o supertertium  gra- 
dum, scilicet  super  3,  ct  senietur  iterum  t quml  addatur  cum  o et  9 et  o ({iic  itera 
sibi  inuicem  sunt  opposita:  post  dicta  S el  2 ct  erunt  iO:  {mnatur  itemm  o super  4,  sci- 
licet su{)cr  ultimum  gradum  maioris  muneri  ct  senietur  itemm  l:  quod  addatur  cum 
c el  5 et  3 que  sunt  in  sequenti  oppositione  erunt  IS:  ponantur  S in  quinto  gradu,  et 
scruetur  umira  quod  addatur  cum  .1.  et  .2.  que  sunt  in  sequenti  oppositione,  erunt  4 
que  jionantur  in  sexto  gradu.  Deinde  |>onantur  2 in  septimo  gradu  pro  2 que  sunt  in 
angulo  quadrati  jmst  dictam  oppositionem  de  i et  2 ct  habebis  prcdictam  summam. 

Ut  si  quesieris  scire  aditutioiiem  de  2S  cum  49  collocet  49  sub  25  tamquam  deberet 
cos  ad  inuicem  multiplicare,  et  addat  9 cum  S,  enmt  14:  jmnat  4 super  primum  gradum 
ct  j)ro  dcccnis  resemet  in  manu  i quod  addat  cum  4 et  cum  2,  eroni  7 que  ]>o{)at,  et 
sic  habebuntur  pro  eorum  collectione  74,  ut  hic  (xstenditiir. 

Item  si  uolueril  scire  collectionem  de  m cum  4567,  descrilial  eos  ut  hic  ccrutnUur;  el 
addat  7 cum  3,  emnt  lO;  |K)riat  o ct  retineat  I quod  addat  cum  6 cteura  2,  erunt  9 que 
()onat.  Item  addat  5 ciim  i que  sunt  in  tertio  gradu,  erunt  6 que  ponat  sujier  eundern 
gradum,  ct  per  4 que  sunt  in  quarto  gradu  inferioris  numeri,  ponet  4 in  quarto  gradu 
exeuntis  summe,  cum  non  sit  alir(ua  figura  super  ipsa  in  alio  numero,  scilicet  in  1S3, 
ct  sic  habebit  pro  eumm  additatione  4690. 

Item  si  uoluerit  addere  4321  cum  S067S9,  descriptis  cis  ordine  prescriptn,  addat  9 cum 
1,  enint  lo:  |>onet  o et  retineat  i quod  addat  cum  s et  cum  2,  erunt  il;  ponet  i,  retineat 
1 quod  addat  cura  7 ct  cum  3,  emnt  H.  Itemm  ponat  i et  retineat  i quod  addat  cum 


i»fi/n>iuai  ....  • 

(fnl.  9 rrrio,  4>S  — lia. 
lOi  |»f.l9.  lio.  I 10| 

2 4 S 0 U U 7 

4 3 2 1 


s 1»  2 0 j w -''S> 

2 I 6 0 5 I " 


C(  uc  ha|lirl<it  .(fia. 

9 rMo,  lia.  24-2S  — Ii».  14; 
|ng.  19,  (ia.  31  — |I«|.  ^1», 
Ii». 


Digitized  by  Google 


i»l  ^ 


----  '«IrwilillK  * |f-*l 

V,-rrt»^  Im-  XI-I7j  |»*«  . 

litt.  Xl-s?*. 

1 M S •!  2 I 

2 r»  i 

4 1 I 

fi  7 8 0 I 

i 

' i 0 7 I H ; 

i _ < a I ^1 


20 

Q (|Uot)  csl  in  inferiori  numero,  erit  i qiitnl  |N)iiat,  fucieiis  itt  summa  quintum  gntdiiin;  et 
pi*o  s que  restant  in  inferiori  numem,  |H)mit  in  summa  s facienti  ad  se&luin  gradum, 
et  sic  liaJjchit  in  summa  iuncliunis  ipsorum. 

Prttlfa/io. 

Si  autem  ipsam  coUcctiuricm  |x?r  penstim  proliarc  uolueiit,  accipiat  jM^tisam  per  noucna- 
rium  de  4321  que  est  t,  siculi  iu  multiplicutionibus  docetur;  que  addat  cum  pensa 
de  S0fi789  que  est  8,  erunt  9 dc  quo  dematur  o,  relmanet  o quod  est  pensa;  et  ita  si  ac> 
cejMuit  pens4ini  do  snmma  iuncinmis,  scilicet  dc  stilio,  inuciiict  eum  esse  o ul  i)p|M)rtet. 
Demum  ut  ustendat  unde  talis  proI>alio  procedat,  sint  duo  mimcri  .a.  h,  et  quos 
insimul  addere  uidmniis,  erit  ergo  coniiinclus  e\  cis  numerus  .a.  g.  Dico  quidem  quod 

ex  addita  pensa  iiunuTi  .a.  h.  cum  |HMisj(  iiiimen  .b.  g.  prouonit  .g.  Sit  primum  quod 

iinus4juisf|ue  numermmni  .a.  b.  et  .b.  g.  diuidatiir  integraliter  |>er  9,  erunt  itaque  9 co> 

munis  mensura  numerorum  .a.  b.  ct  .b  ,g.  Ouare  totus  numerus  .it.  g.  diuidetur  iiitc* 

graliter  |»er  9 erit  ergo  pensa  ipsius  zephyrum  ut  habetur  ex  aditione  pndwimin  iiel 
prul>a  mimerortim  ,a.  b.  et  .b.  g.  Item  unus  illorum  diuidutur  iiitcgnditer  (>er  9 alius 
non  exit  numerus  ,o.  b.  ille  qui  integnililer  diuiditiir  per  9 et  c\  iiumcix» diuiso 
per  9.  i^emaneat  riunienis  .(/.  g.i  ergo  numeri  .J.  b.  et  .A.  n.  diuidunlur  integraliter  jwr 
9.  Et  totus  ergo  ,d.  a.  numerus  |>er  9 diuidetur.  Et  quia  minieinis  .n.  g.  su]>crliabundat 
riumeruiii  m.  d.  in  numero  .b.  r/.,  cl  numerus  m.  d.  ditiidiuir  integraliter  [»er  o,  remanebit 
ergo  ex  toto  m.  g.  riuiiienis:  ergo  .d.  iiidiuisibilis  {ter  9 qui  prouenil  ex  additione  |>n»be 
numeri  .a.  b.  rpic  est  zc{tlivnim  cum  |»nd>a  numeri  .b.  g,  (jtic  csl  mimems  .d,  g. 
Rursus  nullus  numerorum  .a.  b.  et  ,b.  g.  diuidatiir  integraliter  per  9.  Sed  cx  niimeru 
.n.  b.  remaneat  numerus  ti.  e.  et  ex  iiunM'r<»  .b.  g.  remaneat  numeras  .d.  g.  Residui 
quidem,  scilicet  numeri  .e.  b.  et  -A.  d.  diuidunlur  inlegixditer  {km*  9.  Quare  et  totus  ,e. 
d.  diuisibilis  est,  cum  sil  c\  aliqua  imillitinlinc  iiniioiiarionim  coiicreliis:  mnaiicnt  ergo 
indiuUibilcs  numen  .u.  c.  et  .d.  g,  c\  loto  numero  .tt.  g.  qiii  sunt  probe  mmiemritra 
M.  b.  et  .b.  g.  , ex  quorum  roniuiictioiie  prouenil  {tensa  numeri  .tt,  g.  ut  o{H>rti‘lHit 
«tslcnderc. 

Item  si  uoliieiit  addeix'  2.i  et  4fit  et  fi:.s9  et  et  491  et  10718,  dcsiTibaiitur  omnes 
numeri  {ter  ordinem,  siciiti  in  positione  {tositi  siiiil,  ct  addat  irurnerum  figurarum,  que 
ligure  sunt  in  ca{>itilms  cunclortiiii  dirtonim  mimeronim,  inri{)ieiido  ab  inferiori,  .scilicet 
8 et  1 ct  8 et  9 et  i et  .s,  senqier  in  manu  siiiistm  colligendo  , erunt  32:  {Hiiiat  9 et 
retineat  3,  su|K'r  que  cidligat  inmicros  liguniruin  <{ue  in  secundo  gradu  numerorum  sunt, 
scilicet  1 cl  0 ct  5 cl  R et  6 cl  2,  erunt  34:  {H>nat  4 et  retineat  3,  siqier  quem  ascetulut 
colligendo  numennii  figiminim  tertii  gradus,  «a  ilicel  7 el  4 cl  7 et  4,  cniiit  23:  ponat 
» ct  iTtineat  2 siqicr  i{uem  addat  mitncriiin  (igiiranim  que  sunt  in  4{uarto  gradu,  sci> 
licet  9 ct  6,  cnint  8 que  {mnat:  {Kist  licc  {loiial  l {>ro  i quod  restat  in  quinto  gnidu  in- 
ferioris numeri,  cum  iion  siiit  iii  rclitjuis  numeris  (igiii-c  facientes  eundem  gradum;  ct 
sic  habebis  pro  eorum  colicctioitc  iHrni,  ut  hic  oslciiditur. 

Quam  coilertioncra  st  {mibare  uolueiit,  colligat  omnes  figuras  que  sunt  iii  omnibus 
numeris,  ct  colligendo  si'm{>cr,  relinquat  noucnas;  cl  quod  super  fuerit  relidis  nuuenis, 
{tro  pensa  summe  habeantur.  Nam  in  multorum  mimeiorum  iuuctiuiic  non  indigemus  pm> 
hationc,  cum  non  minus  cito  jussimus  recolligere  summam  quam  |>cnsuin.  Volo  demon- 


Digitized  by  Googie 


st 

slnire  un<lc  hic  motlus  adJcmli  proueiiit:  udiluiitur  quidem  piiimmi  omnes  figuic  que 

sunt  in  primo  gnidii  omnium  muucroriini,  quos  addere  iii»lumus,  ex  rpin  coniunctione,  cum 

omnes  ipse  liguie  sint  unitates,  cuUigitur  mimcnis  unitatum.  (^)uare  |>ouendc  suiit  unitates 

in  primo  gradu  et  decene  reseruaiide  ad  secundum,  cum  dc4'cnc  sint  de  secundo  gnidu: 

quare  cum  l]»iis  dccciiis  seruatis  addimus  omnes  numeros  Hguranim  que  sunt  in  secundo 

gradu  numerorum  omnium;  et  quot  unitates  ex  eorum  collectione  proueiiiunt,  tot  dccctie 

liaheiitur  in  sumina  colIcctionU:  quare  (K)imntiir  unitates  in  secundo  gradu,  cura  i|>se 

unitates  dcccne  sint,  et  pn>  uiutque  dei'cna  seruatiir  unum  ad  tertium  gmdum.  Nam 

ex  dcccm  deCenis  edicitur  centeuaritts  numeiiis;  cum  qiiihus  uuitatilius  adduntur  lui- 

meri  tertii  gi'adiis  unmium  numemntm,  et  quicquid  procreatur  cx  eorum  collectione 

est  ex  numero  tertii  gradus,  scilicet  ceiitcriarionim.  Kt  idcM  (loiiuiilur  unitates  in  | tertio  m io  r.,/- 

gradu,  ct  smiantur  decene  ad  quartum;  ct  ideo  gnidaliiii  per  continuos  gradus,  colligendo 

et  iii  continuis  gnidilms  figuras,  ponendo  iiM|ue  ad  fmem  tiunicnuiuii  pruuenimus. 

Cvm  autem,  smindum  pmscriplani  iuuetionis  diKlrinaiu,  numeros  adhilict  quis  sciverit, 
et  uulucrit  colUgere  summas  ex|Knsarum  iiaiiiiim  ct  similium  in  quibus  cuiitiiieiitur  libre 
et  solidi  ct  denarii.  Iiitelligat  u camerario  ucl  scril>a,  uel  a romintiatorc,  semindum  quod 
dicitur  singulariter  e\(»cnsas,  ucl  emptiones  singulariter  qiiarumlihet  rerum;  ct  dcst^riliat 
iu  tabula  llnculiter  pretium  uiiiits  cuiusque  rei  collocans  libnis  sub  libris,  soldos  sub  sol- 
dis, denarios  sub  denariis  cxpciisariim  imius  cuius^pic  faciei,  uel  caiilele;  ct  tunc  faciat  se 
opliiiic  ab  ipso  qui  exjieiisas  reiiunliat  abscultari,  ne  forte  aliquam  fallaciam  sciipseril 
iu  tubula;  ct  correcta  in  taluila  descriptione  expensaiurii  colligat  omnes  denarios , el 
faciut  itidc  soldas;  ct  quartis  <|ui  superfuerint  soldis  reseniet  et  factis  .soldis,  descriluit 
sub  soldis  iu  tubula  et  colligat  eos,  ct  dc  eorum  summa  faciat  libras,  quas  ponat  inferius 
in  lineatione  librarum;  ct  soldis  qui  superfuerint  fartis  libris  sujicr  soldos  post  dcnaiiiis 
soruatos  rcscruct:  ]>ost  hcc  accipiat  summam  libninim,  ct  sic  liabebit  summam  ipsius 
]Mgine  uel  cartiile.  Verbi  giulia:  ut  si  quidam  renuntiet  in  quadam  cx]»eiisa  (|uimI  de- 
disset iu  tali  ct  iu  talibus  rebus,  ut  iu  sequenti  |»agiiia  denolaltir,  adiscat  scribere  nu- 
meros libninim,  soldorum  et  denariorum,  sicut  in  eadem  pagina  describuntur,  in  tjua 
pagina  denarii  qui  sunt  in  ea  sunt  in  summa  73,  qui  siml  soldi  6 et  denarii  i:  cum  (piibus 
.soldi  6 junctis  soldi,  qui  sunt  in  eadem  |Kigina,  fiunt  132  ipii  sunt  libre  6 et  soldi  s; 
el  cum  ipsis  libris  6 colligat  libras,  rc|>erict  in  summa  libras  3G8:  est  ergo  summa  li- 
brarum oniiiium  soldonim  ct  denariorum  insimul  iunclortim  libre  3Gh  el  soldi  s ct  denarii  t 
que  .sumina  est  ivseruanda  in  fine  pagine,  de  qiia  expensa  collecta  csl;  el  .sic  |KT  ordinem 
4'olligat  ex]>cns;)s  ]k'I‘  |mgiiiu.s  et  utiicui<|uc  |sigine  .summa  faciendo  : post  bec  resciiliat 
in  tabula  .summas  cuuctanim  |iagii]anim,  et  faciet  iiidc  .summam  siimmanim;  ct  .sic  (Milerit 
colligcra  qiiaslilicl  expensas  bizantiurum,  et  karatoruni,  ct  auri  tmciaimm,  ct  tarenonim 
gniouinorum,  catitnrionini,  etiam  et  rotulorum  et  cunctarum  rerum  numeris  adiacentium. 


Digitized  by  Googie 


t2 


l*n>  tiili  rc  lilire  iii  et  soMi  iiii  et  driuirii  ii 

l'rii  tuli  librc  xu  ct  suidi  xv  cl  denarii  v 

l*rii  tali  lilirc  liii 

l'ru  tali  librc  lxxx 

I’n>  tali  soldi  xv 

I'ru  tali  soldi  xviii 

I*ro  udi  soldi  viin  ct  denarii  x 

I’ro  tali  denarii  xi 

l'ro  tali  denarii  vii 

I’n>  udi  librc  v ct  soldi  M ct  xi  denarii 
l’n>  tali  librc  vm  cl  soldi  vii  et  denarii  v 

l'ro  tali  librc  Lxxxvii  ct  denarii  viiii 

l‘ro  tali  librc  vm  et  soldi  vi 

l'ia>  tali  librc  xxvii  ct  soldi  xv  ct  denarii  vt 
Pro  tali  soldi  xm 

Pn>  tali  rlrnari  vii 

Pro  tali  librc  xxx  ct  siddi  viii 

Summa  librc  ccclxmii  ct  soldi  ii  ct  denarii  i 

r.j  n.r.»  Incipit  capitulum  quartum  tle  ejctratiime  minorum  numerorum  ite  maioribus. 

Cvm  autem  numerum  de  numero  (juis  cilralierc  uoliicrit,  dcscrilait  minorem  numerum 
sub  maiori,  collocans  similes  gradus  sub  similibus,  ct  incipiat  cxtralierc  primam  ligunim 
minoris  numeri  de  prima  maioris;  ct  ponat  suimr  Imbumlanlem  numerum  super  primas 
figuras.  Kt  secundam  cxtraliat  de  .seetiuda,  ct  ]Minat  residuum  super  .secunda,  ct  tertiam 
de  tertia.  Et  relii|uas  de  reliquis  per  onlinera,  scniper  re.sidua  ]>oncndo.  Et  cum  figura" 
minoris  numeri,  de  figura  ciusilcm  gradus  maioris  numeri  cxtndii  non  ualucrit  , ideo 
quia  ip.sa  de  minori  nuincm  maior  erit  in  ccsleni  gradu  ipiani  ipsa  de  maiori:  tunc  fignrc 
maioris  numeri  addendus  est  dccciiarius,  ct  de  coniiinctu  niimcro,  figura  minuris  numeri 
erit  exlralieiida.  Et  pro  iiinclione  dicti  decenarii  in  manu  unitas  erit  l■e.seruanda.  Et 

s «,  «I,,,,». r.i  '1““*  *®‘l*“‘'“‘  fignrc  minoris  numeri  super  addenda  ct  concreata  quantitas  de  superiori 

iu™«..  i,s.  rsi  st.  figura  eiusdem  gradus,  si  passibile  fuerit,  erit  cxtralicnda;  sin  autem  de  addito  decenario, 
ut  .supradiximus,  citrabatur;  et  .sic  gradatim  icsqiie  ad  ultimam  figuram  minoris  numeri 
ojicrando  erit  gradiendum:  ct  si  maior  numenis  minorem  in  gradibus  super  liabiiudaiicrit 
figura  que  in  ipis  gradibus  extiterint,  in  fine  erit  {Hinendiis.  Et  sic  liabebitiir  residiiiini 
de  quorumlibet  extractionibus  mimeronim.  Verbi  gratia  , ut  si  noluerit  quis  de  S9 
extraliera  as,  ponantur  as  sub  89,  ut  in  liac  margine  uslciiditiir:  extralmntur  itaque  s de  9, 
remanent  «,  quem  (sic)  ponatur  super  0 ct  cxlniliantur  a de  8,  remanent  s que  jionat  super 
et  sic  babcbimtur  per  residuo  posite  extractionis  M:  et  si  ao  de  85  extrahere  noluerit 
descriptis  minieris,  extrahat  9 de  a,  quod  est  impossibile.  Vnde  addat  lo  eiii.sdem  a,  erunt 
15,  de  quibiu  extrahat  9,  remanent  e que  jionat;  et  pro  additis  10,  retineat  in  manu  i 
quod  addat  cum  3,  eninl  4 que  extrahat  de  8 remanent  4 quem  ponat  super  dictam  8 
et  sic  habebit  4G  pro  residuo  posite  extractionis. 

Irem  si  uolueril  extrahere  so  de  aos,  potiat  80  .sub  393  ct  extrahat  o dea,  remanent 


Digitized  by  Googie 


ii 

2 <|uc  |)ona(,  et  8 demat  dc  9,  remanet  i quod  ponat:  past  hoc  ponat  3 que  Iiabundant 
in  minori  numero,  et  sic  haliebuntur  ats  pro  residuo  dicte  citractionU. 

Irem  si  ccontra  de  380  uohicrit  extrahere  92,  desciiptls  9S  sub  38o,et  cum  sit  impossibile 
deo  extrabere  i addantur  eidem  zephyro  lo,  erunt  10  de  quibus  extndiaiitur  2 que  sunt 
in  minori  mimeru,  remanent  8 qnc  ponat  cl  pro  additis  lo  retineat  in  manu  i,  qmxl 
addat  cum  0,  erunt  in  que  extrahenda  essent  de  8 si  furet  possibile:  sed  cum  possibile 
noii  sit,  cilrabantiir  de  IB,  remanent  8 que  ponat  el  retineat  l,  quo<l  extrubat  de  3,  re> 
manent  i que  [K>nat,  et  sic  habebit  m pru  residuo  dicte  extractionis. 

Iiern  si  queratur  residuum  dc  457,  extractis  dc  939  descriptis  numeris,  extrahat  7 de 
9,  remanent  t que  ponat  et  3 exlndiat  dc  13,  cum  sit  impossibile  ipsa  extrahere  de  3, 
remanent  B que  ponat,  et  retinebit  in  manu  t que  ndilat  cum  4,  erunt  5 que  extrahat 
de  9,  remanent  4 que  ponat}  cl  sic  balielut  482  pro  residuo  dicte  extractionis. 

Irem  si  uohierit  extrahere  84t  de  1373«,  cxtndiat  i dc  8,  remanent  7 que  ponat  et  remanet 
9 que  ponat,  et  retineat  in  manu  i quod  addat  cum  8,  ei'unt  o que  extrahat  de  17,  re> 
manet  s que  {>utiat  et  retineat  i quod  extrahat  de  s que  sunt  in  quarto  gradu  supe- 
rioris numeri,  remanent  4 que  ponat,  ct  pastea  {Kinat  l quod  restat  in  quinto  gradu 
eiusdem  numeri}  et  sic  habebit  14807  pro  residuo  dicte  extractionis. 

Irem  si  iiolueril  extrahere  S«39l  dc  8172$,  extrahat  t dc  8,  remanent  7 que  ponat  et 
9 extrahat  de  12,  remanent  3 que  ponat,  et  retineat  l quod  addat  cum  3,  erunt  4 que 
extrahat  dc  7,  remanent  3 que  ponat.  Item  8 que  sunt  in  quarto  gradu  minoris  numeri 
exlrabat  dc  ii,  scilicet  dc  i quod  | est  in  eodem  gradu  maioris  numeri,  ct  dc  decenario 
ci  super  addito  remanent  3 <(uc  ponat  ct  retineat  l (|uod  addat  cum  ultima  Hgura 
minoris  numeri,  scilicet  cum  2,  cnint  3 que  cxlmhal  de  ultima  tigura  maioris  numeri, 
scilicet  dc  8,  remanent  i que  |)Onat}  ct  sic  habebit  53337  pro  residuo  dicte  extractionis. 

Probatio. 

Si  autem  pensam  prescriptarum  extractionum,  iiel  quarumlibet  alianini  quis  nos.se  uo- 
luerit,  accipiat  pensam  utroniuique  numeroniin  secundum  qu(xl  iii  miilliplicilionibus 
edcxTuimim.  Et  extrahat  jiensam  minoris  numeri,  si  possibile  fuerit,  de  pensa  maioris  nu- 
meri } sin  autem  addat  super  pensam  maioris  numeri  numemm  pense  , scilicet  9 et 
residuum  pfx>  pensa  eiusdem  extractionis  habeatur.  Verbi  gratia:  pensa  maioris  numeri, 
.scilicet  dc  81728  est  8 el  minuris,  scilicet  dc  28391  est  5}  et  extractis  $ des,  remanent 
pro  pensa  3 ut  in  summa  ncntraliter  residui  extractionis  reperitor. 

liem  extractis  4302  de  8383  remanent  382i  pensa  maioris  mimcii  est  4 minuris  numeri 
est  8}  ct  cum  noti  {•ossit  extnibi  8 do  4,  scilicet  pensa  minoris  numeri  dc  pensa  ma- 
ioris numeri,  addantur  9 .super  |iens!im  inuiuris  eninl  13,  de  quibus  cxtraliantur  8,  sci- 
licet pensam  minoii.s  numeri,  remanent  5 que  sunt  pensa  residui  dicte  extractionis,  sci- 
licet dc  3821,  dc  til  Ilie  ostenditur. 

Incipit  capitulum  quintum  ile  (iiuUionihus  integrum  mimerorum. 

Uolentilms  .scire  diuidere  quoslibet  numeros  jier  quosliliet  iiumenis,  necessarium  est  eis 
ut  addiscant  prius  diuidere  omnes  numeros  per  numeros  qui  sunt  a binario  usque 
in  decenariiim}  et  cum  hoc  scire  non  }X)ssint,  donec  quasdam  introductiones  diuisiomim 
quonimdam  nuincronim  per  ijxsos  cordetenus,  sciant  quorum  diuisiones  iii  sequentibus 
{laginis  in  tabulis  declarantur.  Sed  ct  doceatur  primum  qualiter  cuncta  minuta  nume- 
rorum perfecte  scribantur. 


lUia  ....  rtlricliowi*.  iiM. 

Kn.  tO-tSi  !»«-«■ 

li*.  42  . |u|.  2S.  lin.  in. 


M. 


1 1 rrrfe. 


« Si  aai.'fn  •...  1 1 

prulM  i'»t  3 
5 3 3 3 7 
8 17  2 8 
2 8 3 0 1 


llrni  ....  iiilr||n>riiai  • ( I»t  II 
lia.  K.|2;  ,■•1;-  23,  liii 

X1-31J. 


|prub.i 

i 

|i-«t  S 

] 8 ! 1 1 

8 3 8 3 

4 S C 2 1 

Digitized  by  Google 


u 

Cum  5U|>cr  <|iicnitil>cl  niimrrnm  qucilam  uirgula  protrarla  fuerit,  ct  su[)cr  ipsam  rjui- 
lihct  alius  uumcriis  descriptus  fuerit,  siij)orior  numerus  jKirlem  ucl  jwrles  inferioris  nu- 
meri afliimut;  iiam  iiifcriur  derumiimilus,  ct  su|>eriur  deiiominnus  appellatur.  Vt  si  su|>cr 
binarium  protracta  fuerit  uir^iila,  et  su|)cr  ipsam  imitas  descripta  sit  ipsu  imitas  unam 
|>arlem  dc  duabus  partibus  unius  integri  alUnnal,  hoc  est  medietatem  sic  ^ ct  sii|MM‘ 
ternarium  ipsa  unitas  ]MXsi(a  fiient  sic  denotat  tertium:  ct  si  sii]>er  septenarium  sic 
T septimam;  ct  si  super  lo  dirimam;  ct  si  super  19,  nouaindccimam  partem  unius  integii 
aflimiat,  ct  sic  deiiico[)s.  Item  si  binarius  super  ternarium  extiterit  sic  ^ duas  partes 
de  Iribus  |>artibiLs  iitiius  integri  aflliinal,  linc  est  duas  tertias.  Kt  si  super  7 duas  septimas 
sic  -f  et  si  super  23  duas  uigesimas  tertias  donoUibmit,  et  sic  deinrc|is.  item  si  septe- 
narius super  noiietiarium  pi»situs  fuerit  si<‘  ^ sejitem,  noiieiias  unius  integri  uCIimiaut; 
et  si  7 sii|>cr  07,  septem  nonagesimas  septimas  denotabunt.  Item  iz  posita  super  29,  ti*c- 
rlecini  uigesinias  nonas  aflimiaiit.  Kl  si  13  sunt  super  347,  tredecim  trecentesimas  <[ua- 
dmgesimas  septimas  indicabunt,  et  sic  de  reli(|iiis  numeris  est  iiitelligendum. 

Irem  si  snb  una  endeni  iiirgtila  phires  numeri  positi  fuerint,  et  su|>er  unum  quemque 
ipsonim  alii  numeri  describeiitiir,  niimorus  qui  in  capite  uirgiilo  dextere  pirtis  sii{>cr  nu- 
meniiu  |N>siliis  fuerit  ipsius,  snb  jNisiti  numeri  jtartem  uel  partes  ut  predixiinns  de- 
notabit. Oui  uem  su|M:r  secundum  ipsius  secundi  pirtos  de  |tartibus  jirimi  sub  positi 
numeri  declarat.  Ou»  autem  su|>er  tertium,  ipsius  tertii  pirtcs  pirtiiim  secutuli  de 
libiis  primi  afiirinat,  ct  sic  sinuper  qui  sequentur  super  uirgulain  partes  jiartium  cun- 
ctorum anlccedeiitimii  sub  uirgula  denotanl,  ut  si  sub  quadam  iiirgtila  liat  2 ct  7 et 
super  2 sit  1 et  super  7 sint  f til  bic  cernitur,  denotantur  quattuor  septime,  ct  me- 
dietas Ullius  septime.  Si  autem  su|>er  7 esset  zephyrum  sic  medietas  tantum  uiiiiis 
septime  denotaretur.  Item  siili  quadam  alia  uirgula  sint  1 et  6 et  10;  et  super  2 siti; 
et  super  6 sint  s et  super  1»  siiil  7 ul  hic  osleiiditiir  septem  que  sunt  sujkt 

IU  in  capite  iiii*gule  representant  septeni  (Icieiias,  et  5 >|iie  sunt  siqior  6 denotant  qiiin<|ue 
sextas  unius  decime  pirtis,  et  1 quod  est  super  2 denotat  medietatem  sexte  unius  derrinie 
niiiiis,  el  sic  singulariter  dc  singulis  iiitelligaliir:  tamen  monendum  csl  ut  semper  nii- 
u iion^s  iimneri  sint  uerstis  sinistniiii  sub  eadem  tiirgiifa  : sed  si  | plurcs  fuerint  iiirgule 

rupti  unius  iiirgiilc  non  res|>oiidcnt  ruptis  alterius,  el  illa  uirgula  que  est  maior  |mrs 
iulogi-i,  -seiiqicr  csl  ponenda  uei-siis  dexteram  manum.  Diciititur  quidem  fractiones,  (jue 
siiiil  in  una  tiirgn,  esse  in  gradibus,  ct  est  primus  gnidus  carum  fractio,  que  csl  iti  ca- 
pite uirge  a dextera  parte.  Secundus  csl  frsiclio  sequens  iiersiis  sinistram  qnercrcl.  Verbi 
gratia  in  suprascripta  iiirga,  scilicet  in  ‘ J sunt  in  primo  gnidii  ipsius  uirge  el 

sunt  in  secundo,  ct  ^ est  in  tertia,  hoc  est  in  ultimo  gntdii  eiusdem  uirge,  et  sic 
quot  sunt  numeri  siih  uirga,  tot  sunt  gradus  eiusdem.  Kt  si  in  uirga  fuerint  phires  nipti, 
et  i|»sa  uirga  lerrninniicrit  in  circulo,  tunr  fractiones  cins,  aliter  quam  dictum  sit  de- 
notabunt, ut  in  hac  cuius  uirge  fractiones  denotant,  octo  nonas  unius  integri, 

et  sex  septimas  dc  octononis,  ct  quattuor  quintas  sex  septimarum  de  octo  nonis  et  duas 

tertias  qualluor  quintarum  sex  septimarum  dc  octo  nonis  unius  integri.  Et  si  hoc  uirga 
terminaret  ah  alia  parte  in  circulo  sic.  denotaret  tantum  duas  tertias  de  <|unltuor 

quintis  de  sex  septimis  dc  octononis  unius  integri.  Item  si  niigule  protraherentur  super 
iiirgam  in  hunc  modum  ; •;  *;  denotanl  fniclioncs  cius  quinque  nunas  ct  tertiam  el 


Digitized  by  Coogie 


Digitized  by  Google 


<»l.  li 


1“ 

Regula  uniuersalis  dc  diuisione  numerorum  per  numeroa  primi  gradus. 

Notis  igitur  prcscriplis  diuisiunibus  atque  eius  frequenti  usu  optime  pcrscinitatis, 
ct  si  quU  uoluit  quemlibet  numerum  cuiuslibet  gradus  per  quemlibet  dictorum  nu> 
mci'orum,  scilicet  eorum  qui  sunt  a binario  usque  in  decenarium  diuidere,  describat 
numerum  in  tabula»  et  ponat  figuram»  per  quam  figuram  numerum  diuidere  uolucrit 
sub  primo  gradu  i()sius  numeri  ; ct  incipiat  diuisionem  ab  ultima  bgura  numeri,  ct 
diuidat  eam»  si  possibile  fuerit,  per  uuroemm  figure,  per  quam  numerus  diuidere  iio* 
luerit,  ])oiiens  diuisionem  inferius  in  tabula  sub  eodem  ultimo  gradu  : et  si  aliquid 
ex  diuisione  superfuerit,  {xmat  ipsum  supernuum  super  eandem  ultimum  liguram;  ct 
copulet  ipsum  cum  rons<K{ucnti  figura,  ct  diuidat  eas  duas  figuras,  tariquam  facientes 
numerum  duamm  figurarum  » et  ponat  diuisionem  sub  eadem  sequenti  figura;  ct  su> 
perfluum  si  fuerit,  suj>cr  ipsam  describat.  Kl  sic  semper  prcscriplo  ordiuc  suj>eilluuni 
sequenti  figure  cupulando,  et  iiuincrtim»  qui  cx  diuisione  prouencrii»  |>oiicmlo  el  su- 
perfluum superius  describendo  gradatim  us«|uc  ad  primam  figuram  numeri  deuencrit 
pnKcdcndo.  Nam  cum  sepe  contigerit,  quod  figure  in  quibus  numeri  diuidentur  ma- 
iores ultimis  figuris  ipsorum  numerorum  extiteriut  » tunc  cum  non  ualcant  ipse  per 
ipsas  diuidi  » incipiat  diuisionem  ab  ultimis  » ct  a consequentibus  figuris;  ct  diuidat 
cas  proscripta  ratione  copulatas»  ct  diiiisioncs  ponat  sub  periultimis»  ct  dc  superfluis  ua- 
dat  usque  ad  finem»  ut  pradiximus,  operando  : si  suj>crnuum  quinque  non  fuerit,  di- 
uidat  tantum  ipsam  figiinim  , quousque  siqierfluum  inucnerit,  que  copulari  edocetur: 
ct  si  ipsam  diuidere  iiori  {xitcrit»  ideo  quia  sit  minor  ipsa»  per  quam  diiiidilur»  i>oiiat 
sub  ipsa  zepiiyrum,  et  totam  ipsam  taiirpiam  su{K'rfliium  conse<|uenti  figure  «'opulando 
adiuiigat;  cl  sic  habebit  quarumlil>et  dictarum  diulsiomim  quantitates. 

Ut  .si  uoluerit  diuidere  3its  per  9,  dcs<‘ribat  9 in  <|uadam  parte  tabule,  el  desuper 
protrahat  uirguiam»  Ct  alia  9 |Hmat  sub  5,  ct  incipiat  diuidere  3 per  9»  scilicet  ulti- 
mam figuram,  dicens  $ ^1^  3 csl  (»  et  3*emariet  i:  describat  i sub  eisdem  3 ct  i qucnl 
remanet  describat  superius,  ut  in  prima  descriptione  cernitur;  ct  rciiiaiiciilc  i copulato 
cum  6,  que  sunt  iuxia  iihiinani  dictam  figuram,  facient  13:  accipiat  | de  16  quod  est  8; 
jKMial  ergo  8 sub  e antejKjsiluin,  i sub  3,  iil  in  secunda  descriptione  cernitur;  ct  cum 
nicliil  sit  superfluum  in  diuisione  dc  lo,  diuidat  5 per  9,  exibunt  9 et  remanet  i:  dc- 
scrilmt  9 sub  s ct  l quod  remanet  scribat  super  posita  9 rpie  ex  |>artG  cum  uirgula 
scruare  iussimus;  el  erit  medietas  unius  integri:  et  ante  ipsum  | describat  mimemm 
exeuntem  cx  diuisione»  scilicet  189,  ut  iii  ultima  descriptione  |>alel.  Nam  rupti  ucl  fra- 
cti semper  {loiiendi  sunt  )>ost  inlcgra»  qtiamuis  prius  integra  quam  rupti  pnnmittiari 
del^cant.  Et  iiolaiulum  rursus»  quia  quando  aliquis  numerus  diuisus  est  |>er  aliquem 
numerum»  tunc  ex  niitUiplicalioiie  diuisoris  in  cxcuiilem  pruueiiil  diuisus  numerus.  Vt 
si  40.  diuiduntur  per  4.»  ucniunt  10.  Quare  si  multiplicamus  4.  {>cr  lo  quadraginta,  sci- 
licet diuisum  iiumcnim  faciunt.  Similiter  si  multiplicabunt  4 182  per  9»  scilicet  exeun- 
tem uumonim  per  diuisorem»  proucnient  365»  scilicet  nuiuems  diuisus. 

Irem  si  eadem  365  per  3 diuidere  uolucrit,  describat  3 sub  5 et  diuidat  3 per  3, 
exibit  i.»qiiod  ponat  sub  3.  Item  diuidat  6 per  3»  exibunt  9 que  ponat  sub  6;  ct  di- 
uidut  5 {K*r  3,  exibit  i et  remanent  9.:  ponat  i sub  5 el  9 super  uirguiam  de  3 cx 
parte  seruata  , et  ante  ipsum  ponat  numeruin  exeuntem  ex  diuisione,  scilicet  I9i  et 


• ll-ot»  ....  • 

<r»|.  IX  lia-  16  XI;  IMS. 

97. 1.I., 


3 6 5 


© 

3 6 5 
1 H 

© " 

3 0 5 
l 8 9 

IluaiRk»  aiuitiain  , 

J I 8 s 


Digitized  by  Googie 


28 

sic  habebitur  \ isi  pro  quesita  diui.sione,  ut  hic  ostenditur.  Et  notandum  quod  nu- 
merus qui  diuiditur  uocatur  diuisus  uel  diuidcndus ; et  numents  qui  diuidit  uocatur 
diuidens,  ucl  diuisor;  et  numerus  qui  prouenit  ex  diuisione  uocatur  procedens  ucl  exiens. 

Dinisio  1346  per  4. 

Item  si  uoluerit  quis  diuidere  1346  per  4,  ponat  4 sub  6 et  diuidat  13  per  4,  cum  non 
])Ossit  diuidere  i,  quod  est  in  ultimo  gradu  numeri,  exibunt  3 et  remanet  i : ponat 
3 sub  3 et  remanens  i |>onat  .sub  eadem  3,  et  copulet  ipsum  l cum  4 que  antecedunt 
3 in  numeiT) , erunt  14:  .sumat  quartam  de  14  que  est  3 et  remuneiit  s:  |Mmat  3 infeiius 
sub  4 et  remanentia  t superius,  quibus  copulatis  cum  6,  fariutit  26;  que  diuidat  per  4, 
exibunt  6 et  remanent  i:  ponat  6 .sub  o ct  remanentia  2 ponat  sub  uirguia  de  4 cx 
itwr«.  parte  seruata  | que  notant  duas  quartas  unius  integri,  que  Ci|ualcs  suiit  medietati  unius 
integri ; et  ante  i])sas  ponat  numerum  exeuntem  cx  diuisione,  scilicet  336;  cl  .sic  ha- 
bebuntur 4 336  pro  quesita  diuisione.  Verbi  gnitia:  diuistiiiu.s  primum  13  per  4,  que  I3 
terminantur  in  tertio  gradu.  Quare  ipsa  e.sse  centenaria  cognoscimus,  cum  tertius  gra- 
dus sit  centenariorum.  Diiii.sis  ergo  trcdecim  centenariis  per  4,  ueniunt  renteiiaria  tria 
et  remanet  unum  centenarium  indiulsibile.  Quare  posuimus  3 in  tertio  gradu,  scilicet 
in  loco  ceiilcnariorum  et  i,  quod  fuit  superfluum,  posuimus  .super  c et  est  denotans 
centum;  ct  ropulauirous  ipsum  i cum  4,  fecerunt  14  que  terminantur  in  secundo  gradu, 
scilicet  in  loco  deceuarum.  Quare  denotant  centenas  decenas  14,  qtias  diuisimus  per  4, 
uenerunt  tres  decene,  ct  duedeceuc  remanserunt  indiiiisil>ilc.s:  quare  pasiiimus  3 sub  4 
et  2 super  4 in  loco,  uidelicet  dccenarum,  cl  copulauimus  ipsa  2 cum  6 primi  gradus. 
Ex  quorum  copulatione  habuimus  tc  unitates  ; cum  ipsa  copulatio  terminet  in  primo 
gradu;  ct  diuLsinius  i|»sas  26  unitates  per  4,  ct  uenerunt  unitates  6,  et  reman.scnint  2. 
Quare  jHxsuinms  c in  loco  unitatum,  et  duo  |H)siumu$  su{M?r  iiirgam  do  4;  et  sic  iiitel- 
ligatur  de  reliquis  similibus  diuLsioiiibus. 

Dtutsio  3439  per  5. 

Item  si  uoluerit  diuidere  5439  per  5,  ponat  3 sub  9 ct  dicat  \ de  s est  l,  quod  po- 
nat sub  3 et  ^ de  4 est  0,  et  remanent  4:  ponat  o stib  4,  et  pro  rcmanctitibiis  4 co- 
pulet ipsa  4 cum  3 et  dicat:  ^ de  43  sunt  s et  remanent  ipsa  3:  ponat  8 sub  3 ct  ac- 
cipiat quinUini  de  i|>sis  3 cupulatU  cum  9,  scilicet  de  39,  exibunt  7 ct  remanent  4 : 
|H)nal  7 sub  9 et  4 super  uirgulam  de  s ex  parte  scriialis  ct  ante  ponat  numerum 
exeuntem  cx  diuisione. 

Diuisin  9000  per  7.- 

Item  si  uoluerit  diuidere  9000  per  7,  ponat  7 sub  primo  zephyro,  et  diuidat  o ]>cr 
7,  exibit  1 ct  remanent  2:  |>onat  ergo  l sub  o ct  2 dcsiqKT,  (juibus  copulatis  cum  o, 
qutal  est  .secus  0,  faciunt  20  que  diuidat  per  7 , exibunt  t et  remanent  6 : ponat  2 
snl)  illo  zephyro,  ct  6 desuper,  quibus  copulatis  cum  .sequenti  zephyro,  faciunt  60  que 
diuidat  per  7,  exibunt  8 ct  remanent  4:  ponut  8 sub  illo  zephyro  o,  et  desuper  ponat 
4,  quibus  copulatis  cum  zephyro  primi  gradus,  faciunt  40,  que  diuidat  per  7,  exibunt 
3,  ct  remanent  S:  ponat  3 sub  i|)so  o et  reinanciilia  3 |>otial  super  uirgulam  de  7 cx 
parte  descripta,  et  aiilc  ipsam  ponat  numenim  exeuntem  cx  diuisione. 

IHuisio  10000  per  8. 

Item  si  uoluerit  diuidere  loooo  per  8,  {xmat  8 sub  o primi  gradus  el  dicat:  J de  lo 


Digitized  by  Googie 


29 

est  1 et  Tcronnent  2:  ponat  i suh  o tertii  gradus^  et  desuper  ponat  4 et  accipiat  | de 
40  que  est  S quc  }K>iiat  sui)  serundo  gradu;  et  ut  expleatur  ordo  graduum  exeuntis  nu> 
meri  , p{>neudura  est  o sub  o primi  gi^udus,  ut  iii  bac  descriptione  cernitur. 

Dhiisio  120037  f)er  9. 

Item  si  120037  ]>er  o diuidere  uulucrit,  describat  9 stib  7 et  dicat:  J de  12  est  l et 
remanent  3:  ponat  t sub  2 et  superius  3,  ct  J de  30  est  3 et  remanent  3 : {umat  3 
suh  0 quarti  gradus  , et  desuper  {tonat  3;  ct  ilenim  accipiat  9 de  30  qiiixl  est  3 et 
remanent  3:  poaat  3 sub  o tertii  gmdiis  ct  3 ponat  sii])cr  ipsum  0:  iterum  et  ~ de  33 
est  3 et  rrinaueiit  6;  |H)iiat  3 sub  3 et  sii|>erius  o et  J de  G7  est  7 ct  remanent  4:  {Htnat 
7 sub  7 ct  remanentia  4 |>onat  super  uirgui‘m  de  9 ex  prte  descripta.  Kt  ita  .si  secundum 
prescriptuiu  dtiiidcudi  oniiiiom  diuidere  sciucrll  in  a!it|uibus  similibus  diuisioni])us  nun^ 
quam  |H)lcril  deuiare:  etiam  per  cumlcm  miKlnm  omnes  numeri  diuidi  j»ossunt  |kt  i i 
ct  per  13:  tamen  o|M»rtct  primum  scire  iiUro<lucliones  ij>soruni  ordinum  aliorum  suj»msrri- 
{>lorum  ut  in  tabulis  diuisionum  su|>erius  cuutiiientur.  Nam  introductio  dc  ii  ascendit 
a»,  uno  us({ue  in  decies  ii,  scilicet  in  fio.  Et  introductio  dc  I3  ascendit  ab  i usipic  in  dc* 
cies  I3f  scilicet  130. 

Dinisione  tmmerorum  per  it. 

Notis  qiiidcm  dictis  introdiirtimiibits,  et  noluerit  «piis  diuidere  12532  per  ii,  ponat  ii 
sub  32.  Et  accipiat  dc  12  , quc  sunt  in  capite  diiiidendi  numeri  (juud  est  t , ct 
remanet  f.  Ideo  qnia  de  ii  est  l sicut  in  suprasrriplis  tabulis  ostenditur;  ergo 
de  12  est  1 ct  remanet  i.  Tone  itacpie  j sub  2 de  ipsis  2 et  remanens  f ponat  sujier 
2,|ct  copulet  ipsum  i cum  antecedente  figura,  scilicet  rum  5, facient  I5,de  quibus  accipiat 
^ que  est  1 et  remanet  4 dicta  ratione;  ct  ponat  7 sub  3 el  remanentia  4 super  b que 
copulet  cum  antecedente  figura,  st:iliecl  cum  3,  facient  43:  dc  quibus  iterum  accipiat 
quc  est  3 ct  remanet  lO:  ideo  quia  dc  33  est  3,  a quibus  us<|ue  in  43  sunt  fo:  ergo 

dc  43  est  3 ct  remanent  lo  ut  diximus:  ponat  ei^o  3 sub  3,' et  lo  j>onat  super  43, 

lioc  est  {lonat  t super  4,  quc  jiostla  fuerunt  $u{>er  s et  o ponet  super  3,  et  copulet  nii'siis 
ipsa  10  cum  anlcce<lenlc  figuru,  scilicet  cum  2 quc  sunt  in  primo  gnidu,  erunt  io2,  de 
quibus  iterum  aaripiet  erunt  9 et  remanent  3:  ponat  0 sub  dictis  2 ct  remanentia 

3 |M)nat  super  tiii^ulam  de  ii  ex  parte  seruata,  ct  habebit  pro  quesita  diuisione^^  ti39. 

Diuisio  de 

Item  si  uoliicrit  diuidere  l235ss  j>er  13,  {>ositls  13  sub  8fi,  diiiidat  123  |>cr  13;  cum 
12  minus  sit  de  I3,  exibunt  9 ct  remanent  6.  Nam  tertia  decima  dc  ti7  est  9,  a quibus 
usque  in  123  desunt  6:  |>ouat  9 sub  3 de  ipsis  I23  ct  remanentia  c ponat  super  eisdem 
3 el  copulabit  ea  cum  5,  erunt  cs,  qtionim  est  s:  quare  ponat  5 sub  5 et  .sub  s {)omit 
0 cum  3 mimis  sint  dc  i3,  et  copulabit  ipsa  a cum  6 que  sunt  in  primo  gradu,  erunt  86, 
quorum  ^ cum  sit  6 ct  rcmaiiciit  8 : {KMiet  s in  primo  gradu  exeuntis  numeri,  et  s super 
uii^am  dc  i3,  ct  habebit  {>ro  quesita  diuisionc  ~ 9506:  per  hunc  etiam  modum  |Kissunt 
diuidi  numeri  {>cr  17  ct  per  I9;  tamen  oportet  scire  introductiones  ipsoniiu  ordine  alioixim 
suj>rascriplomm  immei-orum.  Sed  cum  gi-aue  uideatur  ipsorum  introductiones  cordelcnus 
|K)sse  rcliiicri,  qualiter  per  alium  mwlum  numeri  diuidanlur  per  net  per  I9,  etiam  el 
{>er  alios  numeros  duarum  figurarum,  in  suo  hx'o  dcmostrabiinus. 


{Miiial  ■...  /•••r  9 

«■f..,  liit.  81-27:  I 
41  — 1««.  t9.  Ii 


2 4 

1 0 0 0 0 
n 

12  5 0 


• 13*.- 

I- 


I 


[ 


Digilized  by  Googie 


I<4  14  n»f#« 


30 

De  diuisUine  numerorum  cordetenus  in  manibus  f^er  eosdem  mitncros. 

Ucrum  si  materia  consimilium  tliuisionum  cortlelcnus  in  manibus  operari  uoluerit»  reti- 
ncut  numcimni  in  inanibus  quem  diuiderc  uoluerit,  ct  eat  scmjicr  per  manas,  gradatiin 
ditiuleudu,  incipiendo  ab  ultima  figura,  ponens  semper  in  manibus  numeras  ex  diuisione 
exeuntes,  superflua  semper  cordetenus  retinendo;  et  numerum  diiiidciidum  gradatim  de 
manibus  delendo.  Verbi  gratia:  ul  si  pro{>osticril  diuidere  7343  |>er  o,  retineat  pre.scriptum 
tiuiuerum  in  manibus,  ct  diuidal  7 |>cr  6,  <(ue  7 suut  in  manu  dextera  in  loco  miliariorum, 
exibit  1 et  remanet  i:  deleat  7 de  manu  ct  ponat  ibidem  i,  et  remanens  i retineat  in 
corde, quod  copulet  cum  s que  sunt  in  manu  dexetra  in  loco  centcfiarionim,  erunt  I5,que 
diuidat  per  c,  exibunt  s ct  remanent  3:  deleat  s de  manu  et  ponat  ibidem  s ct  in  corde 
roliiieat  3;  quibus  copulatis  cum  4 que  sunt  in  sinistra  manu  iii  loco  decenarum,  faciunt 
34,  que  diuidat  per  q,  exibunt  s et  remanent  4:  deleat  4 de  manu,  et  ponat  ibidem  s 
ei  renumcnlia  4 in  corde  retineat,  que  copulet  cum  3 que  sunt  io  eadem  manu  in  loco 

unitatum,  erunt  43  que  diuidat  per  6,  exibunt  7 ct  remanet  i:  deleat  3 de  manu  et  ]>onat 

tbidcni  7,  ct  pro  remanenti  l dicat  sextam;  ct  sic  habebit  in  manibus  pro  quesita  diulsiune 
! 1*37. 

Diuisio  SU59  per  5. 

t cl  si  uoluciit  diuidere  8059  per  s,  retineat  numenim  in  manibus  ct  dicat:  j de  a que 
sunt  in  luco  miliarorum  est  i cl  remanent  3:  deleat  8 dc  manu  et  ponat  ibidem  i , 
et  in  corde  retineat  3;  ct  cum  in  )uh^  numero  iu  loro  centenarionira  non  habeatur  ali- 
(}uid  in  mniiu,  dicendum  est  quod  sil  ibi  zcpbyriint,  cum  quo  copulet  3 scnmtn  , facient 
30,  quorum  -|  est  6 que  |X)iiat  in  corde  luco,  scilicet  centenariorum;  et  ducat  diuisionem 
dc  manu  dextera  ad  sinistram,  dicens  \ dc  8,  scilicet  de  cis  rpie  sunt  in  loro  dccenanim 
est  1:  dcicut  5 et  ]>uu:it  ibidem  i ct  accipiat  \ de  o que  est  i et  retineat  4,  scilicet 

de  cis  que  sunt  in  loco  unitatum:  deleat  ipsa  s dc  manu  ct  |Kmat  ibidem  t cl  pro  re- 

munentibus  4 dicat  {;  et  sic  habebit  pro  quesita  diuisione  | icii,  et  sic  tn  reliquis  si- 
milibiLs  diulsionibus  intclligatur. 

Cvin  aliquis  aliquem  mimmim  per  jo  diuidere  uoluerit  , deleat  ex  i|>so  numero 
figm-am  piitiii  gnidus  | cl  ponat  eam  super  quodam  lO  pksitum  ex  parte  cnm  uirgiila,  et 
ante  ijKsa  jKUial  numerura  qui  remanserit  post  deiet'tioncm  dirlc  prime  Cgiire;  et  sic 
poterii  quemlibet  miincriiin  per  lo  diuidere.  Verbi  gratia:  ul  si  uoluerit  diuidere  tC7 
per  to,  deleat  ex  ipsis  figuram  primi  grudus,  scilicet  7 ct  ponat  ea  super  quedam  lo,  ut 
diximus,  cx  jtuile  scruata  cum  uirgula,  et  ante  ipsam  ponat  remanentem  iiumernm,  scili- 
cet 16;  et  sic  habebis  pro  quesita  diuisionc  ~ 16.  El  si  t673  per  lo  diuidere  uoluerit, 
deletis  3 de  1673,  remanent  pro  quesita  diuisionc  167. 

Incipiunt  diuisiones  nunu^rorum  fter  numeros  incompositos  secundi  gradus. 

Nvincrorum  quidam  sunt  incompositi,  et  sunt  illi  qui  in  arismetrica  et  in  geometria 
primi  appellantur.  Ideo  quia  a nullis  numeris  minoribus  cxistentibiis  i|isls,  preter  quum 
ab  unitate,  metiuntur  uel  numerantur.  Arabes  ijisos  hasam  appellant.  Greci  coris  ca- 
non, nas  uiitcm  sine  regulis  eas  appellamus;  cx  quibus  illi  qui  sunt  infra  centum,  in 
(piadam  tabula  in  serpicntibus  describuntur.  Alius  ucro  primus,  qui  sunt  ultra  centum, 
per  regulam  inuenire  docebo.  Reliqui  ucro  compositi,  uel  epipedi,  idest  superficiales,  a 
peritissimo  geometriae  Euclide  appellantur.  Ideo  quia  com{M)nimtur  cx  multiplicatione  ali- 


Digitized  by  Coogle 


31 

quorum  numcroruiut  ul  duodecim  que  compummtur  ex  muUiplicalione  binarii  in  .6.»  uel 
temaiii  io  -i,  nos  autem  ipsas  regulares  iiumcms  appellamus.  Et  cum  dtuidendi  doctrina 
per  primos  et  comjiositos  non  sit  eadem,  in  primis,  scilicet  per  eos  qui  sunt  sine  regulis 
infra  centum,  quosUl^ct  numeros  i]vsis  maiores  exlstentes  diuidere  ostendamus. 

Cvm  autem  quemlibet  numerum  per  aliquem  prcscriploruni,  qui  sil  sine  regula,  quis 
diuidere  uohierit,  dcscrilMt  numerum  in  talmla,  et  sub  ipso  {H>nat  ipsum  primum  iiU' 
merum,  per  quem  diuidere  uoluerit,  collucans  siquidem  similem  gnidum  sub  simili  ct  ni- 
deat,  si  duc  ultime  numeri  diuidciidi  ligure  maiorem  numerum  facient  , uel  e^pialem 
uel  minorem  i|itf»o  primo  numero,  per  quam  numcitu  diuidetur.  Kt  si  maiorem  uel  efpiatcm 
numerum  fecerint,  incipiendus  est  ultimus  gradtis  exeuntis  numeri  sub  sequenti  ultimo 
gradu  diiiidendi  minicri,  lior  est  sub  penultiina,  et  |Mjiiat  ibidem  arbitrio  talem  figuram, 
r{ue  multiplicata  per  i{>sum  ditiisomn  imntcnim,  faciat  numerum  duarum  figurarum  ub 
tiniarum  prcdlotaniin,  uel  fere.  Kt  tunc  multiplicabis  ijisam  per  ultimam  figuram  i{>sius 
primi  numeri,  scilicet  diuLsoris,  cl  exeuntem  summam  de  ultima  figura  extraliat.  Kt  si 
aliquid  su|>cr  liabiimluuerit,  describat  babundanliam  super  ipsam  Hgiinim.  £t  multiplicet 
eaindem  jMisilam  figuram  per  primum  eiusdem  primi  numeri,  scilicet  ditiisoris,  ct  muU 
tipiicationem  de  copulatione  dicte  super  liabundantic  cl  {K*nultime  figurc  oxtniliat,  et 
residuum  si  fuerit  numerus  dvanim  figurarum,  lioc  est  quod  sit  amplius  de  lo,  jMmat 
primum  gradum  ipsius  numeri  super  penultimam  figiinitn,  et  ultimum  super  ultimam. 
Si  autem  primi  gradus  ipsum  superfluum  extiterit,  scilicet  minus  lo,  ponat  figuram  ipsius 
super  ppiinitimatii,  et  copulet  ipsum  superlliiura  cum  tertia  figura  ab  ultima.  Kt  sub 
ipsa  tertia  figura  ponat  arbitrio  talem  figuram,  que  multiplicata  |>cr  eundem  diuisoi‘cni, 
faciat  munerum  dicte  copulationis,  ucl  fere:  ({uod  arbitrium  qualiter  ex  arte  lialieatiir; 
in  sequentibus  diuisionilms,  secundum  diflereiitiam  ipsorum,  ostendere  procurabo.  Kt  tunc 
niuUipUcet  i|Mam  positam  figuram  sub  tertia  per  ultimam  ditiisoris,  et  suimiiain  cxtniliat, 
si  possibile  fuerit,  cx  ultimo  gradu  dicti  su{>erliiibuii(lan(is  ct  coniuncti  minicri.  Sin  autem 
extrahet  eam  de  copulatione  ultime  et  .sequentis,  cl  su|>ernuum  ponat  super  cumlcin 
gradum.  Fl  multiplicet  ilcnim  ipsam  per  primam  diuisoris,  et  summam  extrahat  de  re- 
manenti numero,  ct  superfluuin  |Km.it  desuper.  Kt  sic  semper  copulando  superflua  cum 
ngtiris  j)er  gradus  .seipicnies,  ct  sub  Ipsis  gradibus  figuras  ponendo  arbitrio,  cl  secundum 
proscriptum  orxlincm  tmiUiplicaiido  ustpicquo  ad  fincin  mimeiideucnerit, procedere  studeat. 
Venim  cum  so|>c  contigerit  quod  dc  copulatione  superflui  ct  antecedentis  figurc  numerus 
diuisor  extrahi  non  poterit,  tunc  scribendum  erit  zephyrum  sub  eadem  antecedente  fi- 
gura, et  copulabit  eos,  scilicet  antecedenti  ucl  se«pieii(i , ct  superfluo  aliam,  uel  sc- 
qiieiitom  antecedentem  figuram,  et  sub  ipsa  punut  illam  figuram,  que  multiplicatu  per 
ilivisorem  mimcium  faciat  numerum  illarum  dictarum  liium  figurarum,  scilicet  ips«irum 
que  exibunt  ex  copulntionc  supcriiabundanlis  figurc  , ct  duarum  nntccetletiliuin , uel 
secpicntium  figurarum.  Viidc  si  due  ultime  figure  | diui<ieiidi  numeri  minorem  numerum 
diuisorc,  ut  prodiximus,  fecerit,  incipiendus  erit  ultimus  gradus  exeuntis  numeri  sub 
tertia  figura  ab  uitirnu;  ct  itu  quoslibet  numeros  {>cr  prodictos  primus  numeros  diuidere 
poteris.  Kt  ut  inlclligibilius  que  dicta  sunt  intclligantur,  ea  cum  numeris  ostenduntur. 

Diuisio  de  IWM  f>er  17. 

Si  quis  uoluerit  diuidere  184m  per  it,  describat  it  sub  56  dc  1843C,  ct  accipiat  de 


»pp«ll«nai-->-auniirfii<  ^viriMn  • 
|l>4. 14  rttt»  , Im.  Ii  « it  ~ 
tl«  t3  I SI.  U.  f-llll 


[tKKTT 

•riKrunuB 

" 

37 

07 

1 13 

41 

71 

n 

43 

73 

19 

47 

-!■  ' 

13 

53 

H3 

29 

59 

K9 

j|  31 

»1 

97 

1 1 > 


Digilized  by  Googie 


nl  lliair  ....  iul.<^tiir  * (TmI. 
1 1 vfrtc  , lia.  4 • ft  — 9 I 

l«|.  It,  Uu.  1.7). 


dcKn|<U»  |>r 

I 

IBUG 

17 

10» 


/ 

/ 

't 


tvrM.  In.  • Hl  |-»|> 

3t,  )ia.  7.11). 


«rriitliU 

6 

1 4 9 
18  4 3 6 
I 7 
1 0 8 


rt  lr<ltet  pMi*a  •iinl  • l^->. 
1 4 (•«‘rao.  It>.  1 1 r 13  — !tti 
|M|.  1«.  lin. 


Vllina 


1 4 9 
1 S 4 5 C 


10  8 5 

! ; I <*  a 3 


ilf  |M  mi>lii|Jr/>u  fcv  • 
11  Ii*.  X8-U:  |«|;. 
12,  U IMUj. 


9 13  I 
18  4 5 6 


d »1  ,>.•  sr«Ju  • |r»|. 

M,  lia.  IS.|8  s ]uf.  12  , 1<D. 
41  ~|M|  13.  In.  3j. 


0 13  2 I 

1 8 4 5 6 I 


1 0 


32 

18  que  sunt  ultime  duc  llgurc  diuidondi  numeri  que  est  i»  et  remaneat  i;  et  ponat  i 
sub  8 de  ipsis  18,  et  remanens  i |>onat  super  8,  ut  iit  prima  descriptione  o-steiiditur.  Et 
copulet  ipsum  1 cum  antecedente  figura,  scilicet  cum  4,  facient  14  que  14  cum  minus 
sint  diuUore  numeiti,  scilicet  de  17,  ponet  O .sub  i|)sis  4,  scilicet  antc]>usitum  l sub  8 
cl  copulabis  ipsa  14  cum  antecedente  figura,  scilicet  cum  s,  facient  145:  |>onet  itaque  sub 
dictis  s taiem  figuram  arbitrio,  que  per  it  multiplicata,  faciat  fere  dicta  I45;  nam  ut 
ipsum  arbitrium  es  arte  habeatur,  uideatur  de  diulsorc  numero,  scilicet  de  n cui  de* 
cenariu  numero  propinquior  c.st  : e.st  enim  propimjuior  20:  diuidat  ergo  dicU  I45  per  2o 
quod  sic  fit:  de  20  reliquat  primam  figuram,  scilicet  zephyrum,  remanebunt  S de  i]isis  20} 
et  relinquat  iteium  primam  figuram  de  M5,  scilicet  5,  remanebunt  14,  que  diuidat  per 
dicta  2,  exibunt  7;  et  talis  debet  esse  figura  (|uam  debet  jKmcrc  sub  5 ucl  i amplius, 
scilicet  8 et  lue  contigit,  quia  17  minus  sunt  de  2o:  unde  maior  jKirs  est  ~ de  145  quam 
vV  Ponat  itaque  8 sub  5 de  145,  quia  lue  itaque  op{>ortct  et  multiplicet  ipsa  8 per  17 
et  extrahet  nuiUipUcationcm  ipsorum  de  145  quod  sic  fU:  muliiplic:ibLs  itaque  8 per  ul- 
iitnnm  figuram  de  17,  scilicet  per  unum,  erunt  8,  que  extrahat  de  14,  remuiiebuiit  6 que 
]M)iiHt  super  4 de  14  et  copulet  i|ksa  6 cum  antecedente  5,  facient  65,  de  quibus  extrahat 
multiplicationem  corumdem  8 iu  aliam  figtircim  de  n , scilicet  in  7 que  multiplicatio 
est  56,  rcimineut  9 et  tot  remanet  de  14S,  cxti*acia  inde  imiUiplicationc  de  8 in  n,  ut 
iu  secunda  descriptione  (Attenditur:  jioiiat  itaque  9 su{M*r  15  et  copulet  i{>sa  cum  antecedente 
figura,  scilicet  cum  6,  facient  que  restant  diiiideuda  per  17,  96,  et  ponat  sub  6.  iterum 
talem  figumin  quo  multiplicata  per  17  faciet  proprius  quam  {uiterit  de  96.  Vnde  ut  sciat 
(pialis  sit  illa  figura,  relinquat  6 de  90  et  remaiieutia  9 diuidat  per  i,  sicut  antea  fecimus, 
de  14,  exibunt  | 4:  quare  |Mmat  S,  hoc  est  amplius  de  | 4 sub  6,  hoc  est  in  primo  gradu 
exeuntis  numeri,  et  multiplicabLs  ipsa  S |>er  t de  17,  .scilicet  per  ultimam  figunini  ijtsonim, 
facient  5,  que  extrahat  de  9 que  jiosita  sunt  super  5,  reman.  * 4,  que  ponat  super  ijisis 
9 et  copulabis  ipsa  4 ('tim  antec^edentihus  o,  scilicet  cum  quibus  u tea  copulauimus  0,  fa- 
cient 46,  de  quibus  extrahet  inullipricationem  de  eisdem  5 in  7,  hoc  est  35,  remanebunt  n 
remanebunt  (Wc),  cpie  ponat  su]>cr  17  ex  pirtc  sematls  sub  uirga,  et  exeuntem  numerum, 
scilicet  1UH5,  ponet  ante  ipsam;  et  sic  habebis  ^ I085  pro  qucsila  diubsiune,  ut  in  liac 
ultima  descriptione  ostenditur. 

Kvrsiis  si  eadem  18436  per  19  diuidere  uulucril,  dcsrribal  19  sub  56  de  1S456.  Et  }H)nct 
sub  4 de  184  talem  figuram  que  multiplicata  iu  19  faciat  fere  ipsa  184,  que  ({ualLs  sit, 
eodem  inudo  (|uod  i7  diximus,  cognoscitur,  hoc  e.st  quod  relinquat  4 de  i]ksi$  134,  rema- 
nent 18  que  diuuiut  per  2,  exibunt  9;  et  talis  debet  esse  figura  ponenda,  scilicet  9:  quare 
ponat  0 sub  4,  scUicet  sub  tertio  gradu,  et  multiplicet  9 per  i de  19,  erunt  9,  que  extrahat 
de  18,  remanent  9,  que  j>onat  super  a et  copulet  ipsa  9 ('um  4,  facient  94,  de  quibus 
extrabat  multiplicationem  de  eisdem  9 in  9 de  <9  que  est  8t,  remanent  13:  ponet  ipsa 
13  super  94,  scilicet  l super  9 el  3 super  4,  ut  in  prima  descriptione  ostenditur.  Et  co- 
puluiiLH  13  cum  antecedente  figura,  scilicet  cum  5,  erunt  135.  Et  ponet  sub  5 talem  fi- 
guram  que  multiplicata  per  19  faciat  135  uel  fere,  crilque  7:  quia  si  relinquantur  5 de 
135,  remanebunt  13  que  si  per  2 diuiserit,  exibunt  6 et  amplius:  unde  |Kjnct  7 sub  5 et 
multiplicabis  7 ]>cr  i de  10,  erunt  7,  que  extrahet  de  13,  rcmaneul  6,  (|ue  |>onat  super  3 de 
13  et  copulabis  6 cum  5,  facient  65,  de  (|uibii.s  extrahet  multiplicationem  de  7 in  9,  sci- 


Digitized  by  Googie 


^3 

liccl  G3y  rcmaiiebuiil  1,  <|uc  p)ncs  su|»cr  8,  ut  iii  secunda  descripliunc  uslcudilur.  Et  cti- 
|mlal>ls  2 cum  antecedente  figurat  scilicet  cum  8 que  sunt  in  primo  gradu»  facient  21)» 
rjuc  diuidet  per  lo,  ut  ita  dicamus,  exibit  i et  remanent  7:  ponet  l in  primo  gradu  exeuntis 
numeri,  si  ilicct  suh  o,  et  remanentia  7 [amat  su|>ci'  uirgiilani  de  lO,  ({uc  debent  ex  |iartc 
seruari»  et  exeuntem  | numerum,  scilicet  971,  jKmet  ante  i|K>am  uirgidam;  et  sic  liabcbit 
pi*o  quesita  diuisioiic  071,  ut  in  hac  uilima  descriptione  astendiliir. 

Demonstrata  quidem  materia  in  balKUido  arbitrium  in  pusitiuiic  (igurarum,  cum  jicr  I7  et 
[>cr  10  numeros  diuidimus;  nunc  uero  ostendimus  <pia)ilcr  Imbcalur  arbitrium  in  (lonendU 
figuris,  cum  per  reliquus  asain  qui  sunt  infra  centum  diuiderc  uolucrimus.  Et  Iiic  est  mo- 
dus; quia  sicut  rum  diuidimas  per  17  uel  per  10,  accipimus  nicdielaleiii  ex  diiiidciidis 
numeris',  prima  figura  relicta  et  quinque,  uno  amplius:  ideo  quia  I7  ol  10  minus  sunt  de 
20,  ut  prediximus;  itu  cum  diiiiserimus  per  23,  accipiemus  medietatem,  ucl  ipiiiique,  uno 
minus,  quia  23  plus  sunt  de  io;  et  sic  cum  diuiserimus  per  29«  delieimis  acri|>erc  tertiam 
et  quinque,  i plus:  ideo  quia  20  mimis  sunt  de  30,  quibus  propiiora  sunt  quam  aliis 
decciiariis.  Et  cum  diuiserimus  |>er  3i,  debemus  accipere  tertiani,  et  quinque,  uno  niiiiiis. 
Et  sic  eodem  modo  cum  diiiiscnmus  per  37,  deliemus  acci|>erc  <|uarlam  et  quinque  , i 
]>lus.  Et  cum  per  4i  ucl  per  43,  debemus  accipere  qmirtam  iicl  quiinpic  minus.  Et  cum 
diuiserimtts  per  47,  debemus  accipere  quintam  et  quinque,  i plus.  Et  cum  ]>cr  83,  quintam 
et  quinque,  1 minus;  et  cum  per  89,  sextani  uel  plus.  Et  rum  |>er  oi,  sextam  uel  uno 
minus.  Cum  per  C7,  septimam  uel  uno  ])1i:s.  Cum  per  71  ucl  per  73,  septimam  ucl  iiiio 
minus.  Et  cum  per  70,  debemus  accipere  octauam,  iiel  plus.  Et  cum  |>cr  S3,  <K‘launm 
ucl  minus.  Et  cum  per  89,  deliemiis  acci|ierc  nonam,  nel  plus.  Et  cum  per  07  diulsc- 
rimus,  debemus  arripere  dc<'imam  diuidcndoruin  iitimeroruin,  una  figura  relicta,  ucl  quin- 
que, uno  plus.  Vnde  cum  quis  diuiscrit  quoslilxct  numeros  per  quemlibet  prescriptoniin 
numerorum;  et  ignoraucrit  utrum  debeat  dare  plus  ucl  minus  quam  diximus,  ponat  ipsam 
partem  que  ei  sii|>eiiiis  declaratur,  et  multiplicet  i|>sam  partem  per  numerum  diiilsorcm; 
et  si  multiplicatio  maior  fuerit  diuidendi  numeri,  detur  unum  minus.  Et  si  minor  ultra 
qunm  delicat  Iit  multiplicatio,  detur  unum  pUis;  et  sic  |>uterit  quemlibet  numerum  |>er  pre- 
dictos  numeros  diuiderc.  Tamen  nos  in  quibus<Iam  dinisionibus  boc  idem  declarabimus. 

Dinisio  de  13076  /vr  23. 

Irem  si  I3S7C  per  23  quis  diuiderc  noluerit,  {Kmat  23  sub  76;  et  cum  23  sint  plus  quam 
13,  silicei  de  numero  duarum  uUiinanini  figiiraniin  diuidendi  numeri,  accipiende  sunt  Ires 
i|ise  ultime  figiire,  quarum  numeniscsl  130.  Vnde  incipiendus  est  ultimus  gradus  exeuntis 
numeri  sub  eisilcm  o;  jHMiat  ibi  6,  que  .sic  iinieniunlur  per  luateiiam  dicti  arbitrii,  scilicet 
quod  debemus  relinquere  primam  figuram  de  130,  scilicet  0,  remanent  13,  que  delienius 
diuiderc  per  2:  quin  23  proprior  est  2o  quam  ufio  decenario  numero,  exibunt  6 et  seinis. 
Vnde  rum  debeamus  ponere  minus,  nini  23  sint  plus  2U,  rcliiiqiiiimis  ipsum  scmls,  et 
ponemus  6 suh  o,  ut  diximus;  et  mtillipliccl  i{>sa  e per  2 de  23,  erunt  I2,  que  extralint 
de  13,  remanet  i,  quo<l  |)onat  super  3 et  c<ipnlet  ijisum  cum  9,  erunt  10.  Et  multiplicet 
e per  3 que  sunt  in  23,  erunt  is,  ([iic  extrahat  de  lO,  remanet  i,  quod  |Kmat  super  9,  ut  in 
prima  descriptione  ceniitur.  Et  copulet  i|>sum  i cum  7 que  anlcccdil  cum  in  numeris, erunt 
17;  et  cum  i|Mji  n minus  sint  quam  23,  ponendum  est  zepbirum  sub  ipsa  7 et  6 que  .sunt 
in  primo  gradu  numeri  sunt  cum  i{isls  17,  copulanda  erunt  176:  ]>ost  licc  |Kmal  sub  dicta 

5 


(M.  14  otna  , nur^oc  iklmuu- 

«imioj. 


> IllOM 
16 
932 


lirM  . ..  I ( ( IX 

lV-24;  [is-  33,  Iitt. 

3t:- 


D^rrii.lio  |ir>iiii 

f 

13  9 7 6 
2 3 
G 


<jmnl  ....  • 

{f>4.  15  lin.  X5-3(h  |>*9- 

33,  lia.  39  ^ 34.  lin- 

I 

I 3 

I I 3 0 7 e 

2 3 
6 0 7 


Digitized  by  Coogie 


34 

6 talem  figuram,  que  multiplicata  in  t3  faciat  fere  t76;  critque  7 prescripta  ratione,  hoc 
est  minus  medietate  de  t7:  multiplicet  itaque  i|>sa  7 per  s que  suiit  in  33,  erunt  14,  que 
extrahat  de  n,  remanent  3,  que  |>onat  super  T ct  copulet  i|)sa  cum  6 primi  gradus,  erunt 
36,  ex  quibus  extrahat  multiplicationem  de  7 in  3 dc  23,  remanent  ts,  que  ]>unat  su|>cr 
uirgulam  dc  S3  cx  parte  scruatls,  ut  in  hac  ultima  descriptione  describitur. 

Probatio  suprascripte  diuisionis. 

UEriim  si  proscriptam  diulsionem  per  peiLsani  nouenarii  probare  uolucrit,  accipiat 
pensam  dc  13976  que  sunt  8,  et  scruct  cam  cx  parte.  £t  iterum  accipiat  |>cnsain  exe* 
untLs  numeri  , scilicet  de  e07  que  sunt  4,  ct  multiplicet  eam  per  pensam  dc  S3  que 
sunt  3,  erunt  so;  de  quibus  accipiat  pensam,  que  sunt  3 ct  addat  eam  cum  15  que  sunt 
super  uirgulam  dc  33,  erunt  17, quorum  pensa  sunt  8,  sicuti  superius  cx  (>arte  scniauimus. 
Verbi  gi'atia:  quoniam  ex  diuis4>rc  ducto  in  exeuntem  numcnim  pruucnil  diuisus  nU’> 
merus;  ergo  .si  multiplicamus  probam  diuisuris  ]>cr  protwni  exeuntis,  uenicl  prolw  diuisi 
numeri:  sed  cx  diuiso  numero  {>cr  33,  remanserunt  is,  quibus  extractis  dc  13976,  remanent 
13961,  quibus  diulsis  |ier  33,  iicniunt  607.  f'rgo  cx  multiplicatione  de  33  in  607  pioueniunt 
13961.  I^luarc  si  multiplicatur  pioba  dc  607  que  est  4 per  probam  dc  33  que  est  5,  ue> 
iiiunt  20,  quorum  proba  , scilicet  3,  est  proba  dc  139G1  , tpiibus  additur  proba  dc  15 
w.  fjue  su|>cr  sunt  <|uc  est  | 6,  faciunt  8,  scilicet  proba  dc  13976,  ct  hoc  uolui  demonstrare. 

l’ussunt  enim  multiplicationes,  addictatioiics,  minutiones  seu  diuisiones  numerorum  aliter 
per  alias  quasdam  pensas  probari,  scilicet  per  eam  dc  ? ct  dc  omnibus  numeris  asam 
cxisleutibus,  ut  |>cr  ii  ucl  per  13  ct  deiiic(’|ks.  Quum  doctrinam,  secundum  quod  nobis 
uidebitur  congruum,  in  scquenlibiLS  denumstnibimus. 

. 11^  ....  » \ M.  is  irem  si  uolucrit  diuiderc  3io59  per  3i,  describat  3t  sub  S459  ct  nunal  .sub  zcnhinim 

Ii».  512i  14,  u.  . . • I 

33  41).  7:  ideo  quta  3 sunt  circa  30  ct  sunt  plus.  Viidc  si  acccpciimu.s  de  3i,  scilicet,  extractu 

prima  figura  dc  240,  habcbimiM  pro  tertia  parte  8 que  sunt  plu.squam  7.  Vnde  j>onemu.s, 

ut  diximus,  7 sub  tepliyroj  ct  .secundum  prescriplum  ordinem  multipiict*t  ipsa  7 per  3 

dc  31,  erunt  21  que  extrahat  de  34,  remanent  3,  que  |M>nat  super  4 ct  multiplicet  eadem 

7 per  1 de  31,  emnt  7,  que  extrahat  dc  30,  remanent  23;  que  ponat  super  30  ct  darapnet 
i|)sa  3,  .si  uiilt;  uel  si  mm  unit,  cas  in  corde  habeat  pro  dampiiatis.  Item  copulet  ijisa 
32  cum  s,  erunt  235,  ct  {xmat  iterum  prescripUi  ratione  7 sub  3,  scilicet  mitius  tertia  parte 
dc  23  ct  multiplicet  i{isa  per  3,  erunt  21  tpic  extrahat  dc  23,  remanent  2:  jainat  2 suj>i*r 
3 et  dampnet  ijxsa  23  et  copulet  ipsa  cum  5,  faciunt  25;  ct  scm])cr  intelligat  antecedentium 
cum  con.se<|uentihu.s  copulationes,  et  multiplicet  cadem  7 ]ior  1,  erunt  7, que  extnihat  de  S5, 
remanent  I8:  ponat  ipsa  super  25  cl  dampnet  i}tsa  25.  Past  hec  accipiat  ~ dc  I8,suprascripta 
ratione,  erunt  6.  Vnde  {Kunit  6 sub  9 ct  sub  t de  31,  quibus  [Kxsitis,  multiplicet  ipsa  per 
3 de  31,  erunt  I8,  per  que  dampnet  super  jKxsita  18  ct  multiplicet  cadem  6 per  1,  erunt  6, 
que  extrahat  dc  9,  remanet  3,  que  ponat  super  uirguha  dc  3i  ex  parte  descripta.  Et  sic  ha- 
bebis pro  quesita  diuisionc  ^ 776,  ut  in  hac  descriptione  cemiuir.  Volo  demonstrare  unde 
hic  modus  diuideudi  pruueniat:  posuimus  quidem  suh  tertio  gi*adu  numeri  diuidendi  , 
quam  muUipIicauimu.s  per  3 que  sunt  In  ultimo  gradu  diuisoris,  et  occupant  sccuixlum 
gradum;  cum  sint  sub  secundo  gradu  diuidendi  numeri;  et  cx  i|»a  multiplicatione  pro- 
uenit  numerus  terminans  in  quarto  gradu:  quare  tertius  gradus  qucncumquc  gradum  mul- 
tiplicat, tertium  gradum  facit  ab  ipso  quem  multiplicat,  ucl  facit  numerum  terminantem 


Digitized  by  Coogie 


ia  i|iso.  Nani  quartus  giadus»  tertius  est  a secuntlu.  Et  ideo  extraximus  multiplicationem 
de  7 iu  3,  scilif*ct  Si  dc  24  que  tcrroiaanlur  ia  (|uarto  gradu;  et  ]K>suimus  3 super  eundem 
quartum  gradum,  scilicet  sujier  4,  et  intelleximus  copulationem  3 cum  o que  est  in  tertio 
gradu  numeri  diuideiidi,  que  copulatio  est  30:  et  multiplicamus  nirsas  eadem  7 {>ci'  i 
quod  est  in  ipso  gradu  diuisoiis;  et  quia  in  liac  multiplicatione  mulliplicjimiis  tertium 
gmdum  per  pHmum,  quod  est  idem  quod  multiplicare  primum  per  tertium.  Et  ideo  mul- 
tiplicationem dc  7 iu  1,  scilicet  7 extraximus  de  30,  que  30  tenninantur  io  tertio  gradu  : 
quare  ex  multiplicatione  tertii  gradus  in  primum,  uel  primi  iu  tertium  prouenit  nu- 
merus tertii  gradus,  uel  teminans  in  ipso  gradu:  cl  |HjsiiiinU8  23  super  30  uel  in  loo» 
eurum,  et  copulaiiimus  ijtsu  23  cum  S que  sunt  in  secundo  gradu,  et  Imbuimus  233;  que 
teniuiiaiitur  in  secundo  gradu;  et  |M)suimus  in  secundo  gradu  alia  7 que  nmltipltcamus 
iterum  jier  3 diuLsoris,  boc  est  secundum  gnidum  |kt  secundum,  cx  qua  multiplicatione 
pniuenit  numerus  tertii  gradus,  ucl  tenninans  in  ipso;  cl  ideo  extraximus  2i  dc  23;  cum 
anil>o  temiinrntur  in  tertio  gradu,  et  2 que  remanserunt  |>osuimus  super  3,  et  intclle- 
xlimis  cupulutiuncm  eorum  cum  S sequentibus,  que  copulatio  est  25  et  terminantur  in 
secundo  gradu,  quibus  extraeximus  multiplicationem  de  7 in  t,  sxilicet  secundi  gradus 
in  ])riiuuiii,  cx  qua  multiplicatione  prouenit  numerus  secundi  gradus,  ucl  terminans  in 
i|«o,  remanserunt  is  in  eisdem  gi*adibus,  in  quibus  sunt  25,  scilicet  in  tertio  gradu  et 
K in  secundo;  et  copiilauimus  i{Mm  is  cum  e primi  gradus,  fuerunt  iso,  et  {xkSuimiLs  fi  iu 
primo  gradu  exeuntis  numeri  et  muUipiicauimus  ca  per  3,  scilicet  primum  gradum  pci 
secundum,  ex  qua  multiplicatione  prouenit  numerus  terminans  in  secundo  gradu,  que 
multiplicatio  fuit  is,  pro  quibus  deleri  fccimits  supnidicta  is,  cum  terminentur  in  secundo 
gradu:  et  muUipiicauimus  eadem  e per  i,  ct  fuerunt  o in  ipso  gnidu , que  extraximus 
dc  9 rpie  sunt  in  eodem  gradu,  remanserunt  3,  quibus  diuisis  per  31,  proueniunl  ct 
sic  Imbuimus  ^ 776:  et  secundum  huc  intclligas  in  similibus  diuisionibus.  Nam  si  pre- 
scriple  diuisionis  probam  per  j>ensam  dc  7 cognoscere  cupit,  accipiat  jK‘nsam  per  7 de 
24059,  boc  est  su|>ornuum  eiusdem  numeri  iu  7 diuisi,  qiuKl  superfluum  sic  erit  acci- 
piendum: dicatur  dc  y de  24,  remanent  3 dc  30,  eundo,  scilicet  copulando,  remanent  2; 
dc  25  retnanetil  4;  de  49  remanet  o pro  quesitu  superfluo,  quod  balamtur  pro  {)ensu:  eo- 
dcmqiic  I modo  accijiiat  ]>cnsam  de  776  que  sunt  6,  ct  multiplicet  i|xsa  per  j>cnsam  dc  3< 
que  sunt  sub  uirgula,  boc  est  per  3,  erunt  is  que  diiiidat  per  7,  remanent  4,  que  addat 
cum  3 (pio  sunt  sujicr  uirgulam  dc  31,  erunt  7,  que  diuidut  per  7,  rcmaiicl  0,  ut  oportelmt 
pro  jxciisa  remanere. 

Diuisio  de  780005  per  59. 

Si  autem  7S0i)05  per  59  diuiclere  uolueril,  descriptis  numeris,  ponat  l sub  s;  ideo 
(|uia  si  relimpicrimus  8 de  7«,  remanent  (jue  si  diuiserinuis  per  6 propter  hoc  quoti  59 
sunt  ciraa  co,  exibit  i ct  amplias.  Viide  debemus  ponere  l sub  8,  ut  pradiximus:  quo 
positu  multiplicet  ipsum  per  5,  fuerit  5,  <|uc  extrahat  de  7,  rcnmiieiil  2,  que  ponat  super 
7 cl  multipHcei  eundem  i |ht  9,  et  extrabal  ipsam  multiplicationem  dc  28,  remanent  19; 
ct  deleat  2 uel  daropiiel  |>osita  su{>er  7,  ct  |H)nat,  dicat  19  su])cr  78.  Et  p<»nat  3 sub  o 
proscripta  ratione  quam  gradus,  et  multiplicet  i|isa  per  5,  erunt  is,  que  extrahat  de  19, 
renimiet  4:  deleat  i|isa  19,  ct  in  loco  nouenarii  }>onat  ipsa  4.  Et  multiplicet  eadem  3 ]>cr 
9,  cl  extrahat  dc  40,  remanent  13:  deleat  ipsa  4 et  ponat  in  1,  ct  super  0 ]>onat  3:  post 


Cul.  16  nti* 


ul  fvplitainiw.-..  H 
t«r  1 (fol.  16  rret»,  lia-  6 — 
H r 13|  lin.  11  — 

|ng-  t6,  Na.  4t- 


I 4 3 S 
2 9 13  12  2 
7 8 0 0 0 5 
5 9 
1 3 2 2 0 
n 1 3 2 3 0 


Digitized  by  Googie 


91  ci»t«u«  .•••  • (l>il  iC 

rtet»,  liii.  2S-tfi,  pag-  3$.  («it- 


ft  uri  4*  (|>»M  • { fol,  1$ 
trrto  . lia.  3?>3U  ] ]Mg.  3&  , 
liit.  n 3»j. 


5917200  j 

n g ' 0 Q s j 


30 

hcc  diuicleiula  suiU  UO  per  59,  ct  danda  t .supradicta  ralionc  pro  ca  diuisionc  cl  sub 
zcpliiru  Icrlii  gradus  |»>iieiida  sunt  ipsa  i,  que  2 in  59  multiplicata  ct  dc  130  extracta, 
remanent  I2j  qu(Ml  idem  est  si  multiplicentur  dicta  2 per  5,  ct  extrahentur  dc  13,  et  mul- 
tiplicareutur  ]>cr  o,  et  extraherentur  dc  30;  deleat  itaque  13  cl  ponat  i iii  loco  ubi  erat 
3 de  13,  ct  2 ponat  suj>cr  o tertii  gradus.  Post  hoc  jjonat  2 sub  o secundi  gradas,  ct  mul- 
tiplicet i|istt  j>or  59,  ct  extrahat  dc  120,  remiment  2 suj>cr  o;  et  deleat  tn  animo  suo  12U 
<[uc  superfuerant  de  j>relcrila  diuisionc,  ct  quo  delere  figuras  dicitur  uel  dapnarc  sunt 
sicut  eas  deletas  intelligcrc  ucl  dapnatas:  |>osl  hcc  copulet  i|>sa  cum  5 que  sunt  in  primo 
gradu  numeri,  faciunt  25,  que  cum  sint  minus  59,  ponat  0 suh  s primi  gradus,  et  25  super 
tiirgiilam  de  59  cx  parte  descripta,  ut  in  hac  descriptione  manifeste  designatur. 

Et  ut  qnc  de  diiiisiunihiLs  dictu  sunt  lucidius  iuitcscaiit,  r|uendam  numerum  ]>er  97 
diuidamus:  sitqiic  5917200,  jKisilis  97  sul»  utioque  zephyro,  diuidat  nunienim  trium  ullinia- 
nim  figurarum  numeri  diuidendi,  siliret  S9i  |>er  97,  pi*o  qua  diuisionc  eueniunt  6;  ideo 
quia  97  prupiiora  suiit  100  quam  ah  alio  dcceiiario  numero.  Vnde  del>cnius  diuidere  59, 
scilicet  numennu  diiamm  figuranim  ultimarum  per  10,  cx  qua  diuisionc  proueniunt  fere  6, 
.scilicet  decima  minus;  et  cum  07  minus  sint  dc  too,  dchemits  Hccijierc  quinque  amplius 
deriem.  Vnde  contingunt  c:  ponat  i|>sa  6 siih  primo  gra<lu  numeri  ipsaiimi  trium  figu- 
rarum, Iuk:  est  sub  1' quod  est  in  quinto  gradu  totius  numeri;  et  multiplicet  i()sa  6 j>cr 
9 de  07,  cniiit  54,  que  extrahat  de  59,  scilicet  c\  numero  duarum  ultimarum  figuranim, 
remanet  5 que  |>onat  super  9;  et  multiplicet  eadem  c per  7 de  97,  erunt  42,  que  extrahat 
de  SI,  scilicet  dc  copulatione  5 super  |Misilanim  cum  1 antecedente,  remanent  9,  que 
|Mmat  super  1 cl  posita  5 ue!  dapncl,  uel  deleat  in  conle.  Et  prcdicla  9 que  |>usita 
sunt  .siqier  1 remanent  ex  diuisionc  dc  S9i  in  97;  quibus  0 copulatis  cum  figura  ante- 
cedente in  gradibus,  scilicet  ciim  7,  que  sunt  in  quarto  gradu  muneri,  faciunt  97,  que 
diuidat  per  97,  scilicet  |>er  ditiisorcm,  exibit  l:  |Kmat  1 sub  7 ct  iiuiltiplicet  ideo  per 
9 dc  07,  erunt  9,  pm  quibus  deleat  9 qiic  superfuerant  dc  591,  et  multiplicet  eundem  1 
per  7,  enint  7 , pn>  quibas  ndimpiat  7 cum  rpiibus  9 fuerat  copulata  ; et  cum  niliil 
remaneat  dc  i|>sis  7 a<l  copulandum  cum  2 aiilecedeiitia  sibi,  ct  ipsa  2 minus  sint  de 
97,  ponat  0 sub  i|»sls  2 et  copulet  ijvsn  2 cum  0 ei  aiileccdentem,  et  erunt  20.  Item  cum 
ij)sa  20  minus  sint  dc  07,  |x>ncndtis  erit  0 sub  dicto  0 cum  2 co])ulatLs  , scilicet  sub 
ipso  quod  est  in  secundo  gradu  numeri:  post  bec  copulet  ipsa  20  cum  0 ei  aiilercdcnli, 
scilicet  cum  illo  quod  est  in  primo  gradu,  facient  200,  que  diuidemhi  rx^staiit  per  97,  pro 
qua  diuisionc  ponenda  sunt  2 sub  0 primi  gradus  proscripta  ratione;  et  mtiUiplircI  i]>sa 
]>er  9,  et  extrahat  de  20  su]>erius  ciq>ulatls,  remanent  2, que  jH>nat  siqter  0 secundi  gradus; 
et  intelligal  copulalioneni  i|«anim  oiim  0 aiitecedciile  <jUod  est  in  primo  gradu  que  sunt 
20,  de  quibus  extrahat  multiplicationem  eorundem  2 in  7,  remanebunt  6,  que  jKinat  sii|ier 
uirgidam  de  97  cx  jiarte  discripta;  ct  hnbchit  pro  quesita  diuisionc  ~ etoo3. 

Cvm  satUde  diuisionc  numemixim  in  numeris  duarum  figurarum  qui  sunt  sine  regulis, 
idest  asam,  dictum  esse  uidcatur,iiunc  uem  eorumdem  diulsitmcs  in  eis  iptc  sunt  coiqKisili, 
idest  cum  regulis,  ostendantur:  ct  quamiils  per  cunpasitos  luiineras  tampuim  )>cr  | primos 
omnes  iiumeitK  diuidere,  multiplicamus  tamen  lenias  et  subtilius,  in  sequeuti  ostendit  do- 
ctrina, scilicet  ul  rcperiaiitur  ipsorum  regule.  ScUiccl  numeri  cx  quibus  com|Hmmilur,  cl 
|Riiiaiitur  sub  quadam  uirgula,  ut  seniper  minores  sequantur  maiores  iicrsiis  sinistram,  ut 


Digitized  by  Googie 


37 

supra  in  hoc  eodem  capitulo  edocetur:  p(»t  Iioc  diuidat  numerum  quem  diutdere  ]H?r  min«>- 
rem  ex  coinpoticnlil)Us  diuisorem,  hoc  est  per  minorem  numerum;  uel  figura  que  fuerit  sub 
uiigula;  et  si  aliquid  super  liabuiidaucrit^  |tonat  i|>sum  sujkt  eadem  figura  uel  numerum 
et  exiens  numerus  ex  diuisionc  diuidatur  ]>er  antecedentem  numerum^  uel  figunim  in  uir* 
gula,  ct  su]>erflluum,  si  fuerit,  {>onat  su|)er  i|>sum  antecedentem  numerum  ucl  figuram.  Kl 
sic  semper  per  ordinem  per  anleredcntes  cutijmnciites  numeros  exeuntes  cx  diuisionc, donec 
ad  finem  ips:muu  «Icucncrit,  cliuidcre  studeat;  et  superflua  super  cas  |Mmenda,et  exeuntem 
numerum  cx  diuisionc  ultime  coiipositionis,  idest  ultimi  numeri,  sub  uirguln  cxislonlis 
ante  ipsam  ponere  curisucs<'at.  Et  sic  habebit  diulsiunem  quorumlibet  numcronim  factam 
per  qiiemlibet  compositum  numerum  quonimlibet  gra<lmim.  Nam  ante  quam  Imk*  demostra- 
tionibus  declaretur,  compositiones  compositorum  numerorum  iiiucnire,  nec  non  ei  eorum 
que  sunt  sine  regulis  cognoscere  , demonstrare  duximus  neressarium.  Et  cum  numeri 
duarum  figurarum,  qui  sunt  sine  regulis,  in  quadam  tabula  superius  sint  dcinonslrati, 
compositorum  regule  duarum  similiter  figurarum  singulariter  sub  uirgulls  mteudantur; 


Digitized  by  Googie 


38 

llei^tda  uniuersalis  de  repcriendis  comfwsitiombus  im/iarium  numerorum. 

Cvm  autem  regulas  prcscnptarum  iiumcrurum  iu  tabulis  ex  frequenti  usu  quis  sciveritf 
ct  noluerit  regulas,  iilcst  compositiones  cuiuslibet  numeri  aliorum  numerorum  trium  uel 
plurium  figurarum  reperire,  uel  qui  primus  numerus,  idest  secundum  regulam  eitilcrit, 
cognasccre  uolucrity  describat  numerum  in  tabula,  et  descripto  prouideat  si  numerus 
|)ar  fuerit  ucl  impar.  Nam  si  par  fuerit, ipsum  compositum  esse  cognoscat.  Si  impar  autem 
compositus,  aut  primus  erit.  Sunt  enim  numeri  pares  com|x>$iti  aut  ex  paribus  et  impari- 
bus, aut  cx  paribus  tantum.  Quare  regule  ijusorum  primo  iiiuestigandc  sunt  a paribus  nu- 
meris, ut  in  suo  demonstrabitur  loco.  ln|mrcs  ucro  numeri  coni))oiiuiitur  ex  im)»aribu.« 
tantum.  Vnde  cum][X)nentcs  ipsos  per  impares  tantum  inuesligatur,  a (juibus  .sumamus 
initium.  Cum  itaque  figura  primi  gradus  cuiu.sUbet  imparis  numeri  S extiterit  numeru.s,  a 
S comjHisitum  esse  cognoscat,  hoc  est  quod  (xr  S iiitcgniUter  diuidetur.  Si  autem  ulia 
figura  impar  iii  primo  gradu  extiterit  que  facit  totum  numemm  esse  imparem,  accipiat 
siquidem  j>en.sam  i[)siu.s  {ter  noucnariuro,  (pie  si  fuerit  zephyrum,  tunc  et  si  3 uel  s 
|>cn.sa  fuerit,  tunc  in  sua  erit  compositione:  si  autem  ]>cnsa  nulla  Istarum  extiterit,  di- 
uidat  ipsum  per  7>  et  si  aliquid  imic  superfuerit,  diuidat  iterum  mitncrum  per  ii;  ct 
si  ali<|uid  superfuerit,  diuidet  ipum  j>cr  I3  el  .semper  eat  diuidendo  per  jirinios  numeros 
ordinate,  secundum  quod  scribuntur  in  tabula  sii|>erius  descripta,  donec  allpiem  primum 
iiumeruiu  inucnerit,  ]>er  quein  propositum  uunicmiii  absfjiic  aliijua  su|>crationc  possit  di- 
nidere,  uel  donec  ad  eius«lcm  uenerit  radicem:  si  per  nullum  ipsorum  diuidi  putuerit, 
tunc  ipsum  priiiumi  esse  iudicabit.  Si  autem  jjicr  aliquem  predictorum  primorum  nume- 
ixirum  ijjsuin  diuidere  abstjue  superatione  potuerit,  quod  cx  diuisionc  pmucncrit,  diuidat 
iterum  ]>er  ipsum;  et  numerus  ((ui  cx  diulsioiie  extiterit,  iterum  jH‘r  eumdem  primum  nu- 
merum diuidat,  hoc  est  quod  ab  eiKb‘m  incipiet  querere  componentes  i|i$lus  jier  ordinem 
per  ivliquus  piimos  numerus  us<pic  ad  ijtsitis  radicem, si  ipse  non  halmerit  compositionem: 
et  sic  semper  faciendo  egi'cdiatur,  donec  omnes  ijtsum  habuit  comjKmcnles.  Quibus  |jcr- 
fecte  Imbitis,  ipsas  sub  (piudam  uirgula  minores  per  maiores  .summo  studio  studeat  collo- 
care. Rt  sic  habebit  regtilam,  idest  compositionem  cuiuslibet  impiris  numeri.  Verbi  gtatia: 
sit  mimenis  ho.i,  cuius  regula  queratur:  cum  prima  ij^ius  fjgiini  sit  s,  uiininim  \ in  sua 
erit  ('umiHjsitiono.  Quare  diuidat  eum  numerum  jicrs,  exient  isi,  quorum  pmsa  accepta, 
«juc  est  8,  astendit  ijww  ici,  nec  per  3,  nec  jwr  9 posse  diuidi  integmliler.  Vnde  diuidat 
cum  jKjr  7,  exient  23,  qui  numerus  est  .sine  regula;  aptet  repertos  componentes,  scilicet  5 
et  5 ct  7 ct  23  sub  quadam  uirgula,  ct  habebit  pro  sos  compositione,  hoc  est  (piintam 
septime  unius  xx*  tertie  partis  que  est  una  octingentesima  quinta  : quare  ducta  mul- 
tiplicatione dc  quinque  in  septeni,  scilicet  xxxii.  in  xx.^'  tria,  surgit  in  805.  Item  .si  re- 
gulam de  057  inuonirc  rptesierit,  diuidat  ipsa  per  3;  ideo  quia  3 est  pensa  i{)sius  numeri, 
exibunt  319,  que  per  3 iterum  diuidenda  non  .sunt,  cum  ]>en.sa  ipsorum  sit  4:  etsidi- 
ulserit  eam  per  7,  superabunt  4 perii:  itaipie  ditiidunlur  et  est  eorum  xi*  pars  29,  qui 
nunieiiLS  primus  est : collocata  itaipic  reperta  regula  sub  uiigula  pro  com|io$itionibus 
037  habebitur  ostenditur. 

De  regula  de  95i  reperienda. 

Uxrum  si  regulam  dc  9si  reperire  uolucrit,  diuidat  i{tsa  per  3;  ideo  quia  pensa  i[iso- 
ruiu  est  C,  exibunt  317,  quibus  aliam  regulam  iiiuenirc  est  impossibile,  cum  integralitcr 


Digitized  by  Googie 


39 

non  possit  diiiidi  per  7,  ticc  per  iiy  nec  per  f3,  nec  ]>cr  17.  Et  pru  ijisomm  regula  am- 
plius querendum  non  est;  quare  si  diiiisa  fuerit  j^KT  19  c\irct  primo  numerus  <{uum  19 
ex  diuisione;  ergo  regula  de  93!  est  Itera  si  eam  de  873  liaherc  uolucrit,  cum  pensa 
ipsius  numeri  sit  o»  diuidat  eum  per  9»  exibunt  97,  qui  numerus  97  su]>crius  in  tabula 
primus  esse  monstratur.  ()ua  regula  inuentn,  si  sub  uirgula  fuerit  collocata,  erit  \ de 
l\vfpiht  de  1469  inuentio. 

Nxm  si  regulam  dc  1409  habere  noluerit,  accepta  i^tsius  numeri  pensa,  que  est  2,  dc- 
moustrat  ij»sum  carere  regula  ternarii  ct  noiieoarii.  Nam  si  per  7 cum  diuiscrit,  superant 
6;  si  |>er  tl,  remanent  similiter  .6.;  per  n ucro  si  eum  diuiscrit,  exibunt  1 13,  pro  quibus 
non  ojmrtet  amplius  querere  j>cr  aliquem  sei|uentium  primorum  numerorum  iicl  j>er  ea- 
dem 13;  cum  sit  plus  ipsorum  radice;  unde  cx  primis  uumciis  fure  cognoscuntur.  Est 
ergo  regula  de  1469,  ut  hic  ostenditur  "• 

De  regttl4t  de  2343  rcf)crienda . 

Irem  si  cam  dc  2543  ba}>erc  uolucrit,  accepta  i{»ius  numeri  ]»cnsa,  que  est  s,  demunstnit 
ijisum  ncc  3 nec  9 in  sua  regula  ]Kxsse  habere.  Nam  ea  diuLsa  per  .septenarium  rema- 
net 2.  Et  per  II,  remanent  2,  cl  {>er  13,  superant  8.  Et  sic  iii|ueniet,  quia  nec  per  17,  ticl 
per  19,  aut  per  23  .seu  per  29,  ucl  j>cr  31,  ncc  j>cr  37  aut  per  4i,  ncc  etiam  per  47  ucl 
per  S3  |>otest  diuidi,  ct  ultra  ({tiam  }>cr  53  non  est  4|uereiidiim:  quare  53  sunt  plus  ni- 
dice ijisias.  Et  si  possibile  esset  2543  in  sua  compositione  alif|iiem  maiorem  primum  im- 
memin  <|uein  53  balicre  |H^e;  ergo  i|isc  maior  numerus  iti  quemlibet  alium  multiplicatur, 
faceret  eundem  2543  quam  o|>ortcrel  esse  minus  de  S3  quo<l  est  impossibile  : ideo  quia 
usque  in  53  ipsias  regulam  ipicrcndo  cum  mm  inuenimus;  ergo  est  sine  regula. 

Iicm  si  eadem  624481  rejwrirc  uolucrit,  ipsum  iiumenim  ncc  3,  nec  9,  nec  7 baliere 
dictis  dls|iositionibus  esse  cognoscet:  per  il  ucro  diuiditur  cuius  pars,  uidelicct  unde- 
cima, est  .36771,  que  iterum  ]kt  fi  diuidat,  scilicet  ut  sclut  si  iterum  habuerit:  nam  ]>er 
eos  numeri  qui  sunt  minores  dc  ii,  scilicet  per  9 cl  per  7 et  per  3,  non  opjwrlcl  ut  di- 
uidautur;  ideo  quia  in  624481  reperti  non  fuerunt.  Ncc  etiam  in  isto,  scilicet  in  SC771, 
cum  sil  dc  ipsius  comjxwiliouc  ali<|uo  imxlo  piteiil  rc|KTiri.  Ex  qua  ucro  diulsione,  .vi- 
Itccl  per  II,  exibunt  siGl,  quibus  iterum  ]>cr  ii  diuisis,  remanet  2.  Quare  ipsa  itenim 
habere  est  imjKJSsibilc;  {kisI  liec  uidenduin  est  si  baboaiU  scilicet  diuidat  cn  {>er  13, 
ex  qua  diuisionc  exeunt  397,  quibus  iicc  ncc  aut  rc[>criri  jwitcrint.  Vnde  i|»sa 
397  esse  asam  cognoscimus;  quare  inter  10  et  ipsius  radin  m non  est  aliquis  primus  nu- 
meras, idest  siiic  regula,  nec  ultra  ijisiiis  nidiccni,  ut  prcdixiinas,  erit  (|ucreiidum:  est 
enim  comp<»itio,  idest  regula  dc  G2448I,  ut  bic  ostenditur 
Probatio  suprascripte  regule. 

Nxm  si  inucntani  r 'gulam  |)cr  [KMisain  dc  7 pixdmrc  tiohierit,  accipiat  pensam  de  621481 
|>er  7 que  est  4,  et  seruct  cam  cx  parte  ; ct  sumat  pens:ira  de  ll  primo  positis  sub 
uirgula,  que  est  4 ; et  multiplicet  eam  j>or  4 , scilicet  per  pensam  de  aliis  n,  erunt 
ifi,  <|uc  diuidat  per  7,  remanent  t,  tpie  multiplicet  per  6,  scilicet  per  pensam  dc  13,  eniiit 
12,  dc  quibus  demat  7,  remanent  5,  que  multiplicet  per  s,  scilicet  per  pensam  de  397, 
erunt  25,  (pic  diuidat  per  7,  rcniaiient  4,  iit  pro  ]>eiisa  scniata  sunt. 

De  regula  parium  numerorum  reperieudis  modus  utiiuersalis. 

Si  uck»  cx  aliquo  imntcro  pari  cpiis  regulam  inueiiiic  uolucrit,  accijiial  similiter  jicfi- 


17  <■«•»0. 


iiuiiu  ....  » iM.lt  «vr- 

«o  . lin.  X-14  t {<JS-  19,  lia. 

tt  tsi. 


6 2 4 4 H 1 
I 1 

5 6 7 7 1 
I I 

I 5 16  1 

pensa  \ 3 

(i)  3 » 7 I 

I » 0 n I 

II  li  It  i»T 


Digitized  by  Googie 


40 

sam  cius  ]>cr  9,  que  si  fueiit  o,  habebit  Et  $1  fuerit  3 ucl  e halicbit  \ iii  sua  com- 
pusiliunc.  Si  autem  pensa  iiulJa  istarum  exlitcrit,  (traubieat  diuidendu  |K'r  s uumerum 
duarum  hgurarmn  que  sunt  in  primo  et  secundo  gradu  quule  fuerit  sti{>er£luura:  quod  si 
fuerit  0,  cl  (igurc  tertii  gradus  par  extiterit»  uol  t uel  4 uel  e aut  8,  ucl  o,  totum  nu- 
meiuni  cuiuslibet  gradus  {>cr  8 diuidi  |kiissc  cogiuisrat.  Si  autem  ipa  tertia  figura  impir 
exlitcrit,  ut  1 uel  3 ue!  s uel  7 aut  9,  numerus  i|tsc  -J  in  sua  cumpositione  recipiet.  Si 
ucru  illud  suiKTduum  4 extiteritt  et  Hgura  tertii  gradus  fuerit  impar,  totus  numerus  |>er  8 
similiter  diuidetur.  Kt  si  par  extiterit,  tantum  ~ in  sua  habebit  rumpositiouc.  Si  autem 
illud  su{>ernuum  8,  uel  6 cxtiteril,  iitinitMus  Uiiitum  j>er  2 cx  paribus  numeris  diiiiditur. 
Et  secundum  Ium:  accipiat  {Kircs  coni|Hjsithmcs  de  {Kiiibiis  uumeris,  donec  liabcal  regulam 
ipsius,  uel  ad  aliquem  iiiqwrem  numcium  occurrat:  de  epio  iin{viri,  secundum  suprascri- 
ptimi  iiiijKirium  oidincm  regulam,  studeat  inueiiirc.  Nam  si  in  ipso  gradu  aliquorum  j>a- 
rium  nunicroium  zephyrum  exliterit,  <icniatur  ipsum,  el  pro  ipso  halieatur  in  com|H«i- 
tione  illius  mimeri.  Et  si  aliud  o in  capite  numeri  iTinanserit,  dematur  iteium  ipsum 
de  numen»;  ct  iterum  — in  ciuMlem  numeri  comj»osilioue  habeatur.  El  sic  semper,  donec 
u in  capite  numerorum  exliterit,  debet  tntelligere.  Et  ut  que  dicta  sunt  dc  |)ariuni  nume- 
rorum regularum  inucnlionc  lucidius  deprehendantur,  ea  cum  inimcronim  demosirationi- 
Ims  ostemlqntur. 

Ve  ref^/ilu  tle  120  rcfferiemla, 

Ti  si  <]ueratur  regida  dc  !2fi,  quonim  pnsa  cum  sit  0,  ostendit  nonam  eorum  |»ailem 
itilegram  esso:  quare  126  dtuidal  per  9,  exibunt  14,  quorum  regula  superius  in  tabula 
i.h  » iii.iin  regularum  romj»ositoruin  numerorum  duaitim  figurarum  secundi  gradus  ^ osse  utique 

demonstratur:  unde  pro  regula  dc  t26  habetur  ut  hic  ostenditur. 

iTcm  si  queratur  raguhi  dc  isc,  i|)sorum  pensa  tjuc  est  3 demusUat  quod  per  6 pi^- 
suut  diuidi,  quilnis  in  6 diuisis,  exeunt  26,  quorum  regula  csl  ct  sk  hahchilur  pro 
regula  dc  IS6,  ul  hic  notatur 

Si  ucro  ea  de  2112  reperire  uulueril,  cum  ipsarum  jieiisa  qtic  csl  6 astendat  i|»sa  per 
6 |K»ssc  diuidi.  Oiuidaiitur  ergo  2112  per  6,  exibunt  342,  de  quibus,  accepta  pensa  que  est 
1,  asteiidil  qiUMl  nec  |K^r  fl  ncc  per  9 possunt  diuidi:  undo  dUiidenda  sunt  42  {»er  8,  scilicet 
numerus  diiaium  hguranim,  dc  qua  diuisione  remanet  4;  ex  «pia  remansione,  et  cx  eo 
f.i.  qiunl  figura  | tertii  gradus  iiuiucri,  scilh  et  3 in  prima  existii,  (««letiditur  352  |»er  8 |KiSse 

diuidi;  diiudanturcpic  |>cr  8,  cxibiml  44,  cuius  regula  est  unde  )ial>entur  pro  regula 
dc  2112,  ut  Ilie  ostenditur  cum  J-J  que  in  eadem  uirgula  conlinclur  sint 

regula  de  II,  que  laudabiliorem  regulam  liabere  in  tabula  compositionum  numerorum  re- 
|>eriuntiir,  scilicet  ideo  «piia  maior  figura  csl  iii  ea  quam  in  quia  maior  est  h 
ipiam  6:  quuix'  semper  sumende  sunt  iTgule  numerorum  extixme,  qiic  regule  sunt  coni- 
|Hjsitc  cx  numeris  qui  suiit  a binario  usque  in  fa,  ut  in  sef{ucntilms  demonstrabitur.  Vtidc 
couttanda  est  irgula  iiaieiila,  sidlirct  J J J-n  ff^V 
Ve  ref^nltt  de  4C4i  reperienda. 

L f.iiiin  si  regula  dc  ion  reperire  uulueril,  i]LSorum  jwiisa,  que  est  t,  nec  J ncc  J-  bn- 
bere  posse  ustciHlit.  Et  quia  c\  numero  dimnim  figurarum  ia  rapite  existcntium,  sci- 
licet 64  iii  8 diuiso,  remaiiel  o;  cl  figura  «pic  est  in  tertio  gradu,  scilicet  6,  est  |mr; 
ideo  4CC4  habere  [ cognoscet:  quare  si  en  per  8 diuiserit,  583  nimirum  cx  diuisioue  egre- 


n 

3 

3 4 2 


N 

4 4 

I ft  II  ♦ 

4 C • 11 


Digitized  by  Google 


41 

dietur;  quorum  regula, &i  per  doctrinam  supradicUm  imparium  numerorum  quesierit 
ijksani  esse  rc|>crict:  uiide  pro  regula  dc  4664  habetur  * »V 

Naiii  si  camdem  130S2  reperire  uoluerit,  pensa  ipsorum  que  est  8,  ea  J ct  | carere 
demonstrat.  Nam  si  numerum  duarum  iigurarum  iii  eorum  capite  eilstcntium  ]>er  8 di- 
uLscrit,  4 remanebunt.  Vnde  cum  figura  tertii  gradas,  idest  e,  |mr  CAistit,  in  ijtsorum 
regula  indicant  esse:  quare  I365S  per  4 diuiserit,  34i3  innascitur;  que  cum  regula  careaut, 
habetur  pro  regula  dc  1365Z,  ut  hic  denotatur, 

i)e  regula  de  iswo  reperietula. 

Itaque  .si  i{isam  de  isseo  rc|>enrc  uoluerit,  cum  sit  zcjdiyrum  in  primo  gradu,  dematur 
ijisum,  et  jiro  i|iso  habeatur  ~ iii  regula  prescripti  numen  : deince{LS  studeat  reperire 
regulam  remanentis  immcri,  scilicet  eam  de  isso,  quonim  pcn.sa  que  est  S,  ostendit  i|t5u 
carere  { et  {•.  Kt  quia  ex  numero  duarum  figurarum  i|Ksoruni  capitis,  idest  56  in  8 diuiso, 
remanet  o.  Et  quia  figura  tertii  gradus,  idest  s,  impar  existit,  nullam  regulant  dc  jKiribus 
uumcrls  {H>sse  haheii  maionun  quam  4 (wteiiditur.  Denique  1556  |ter  4 ditiisis,  exeunt  3S9, 
que  regula  carere  prodictis  osleiisionihas  rcpcriuiitur.  Viidc  habetur  pro  regula  dc  i55fM), 
ut  hic  denotatur, 

Irem  si  regulam  de  ssgoo  rc]>erirc  uoluerit,  cum  ia  i{isorum  j>riinu  gnidu  sit  o,  debet 
in  ij^orura  R'gtilani  pro  eodem  zepbyn)  habere.  Kl  i|tso  o dc  lutmeru  dempto,  re- 
manet 32CO.  In  quorum  primo  gradu  similiter  est  o,  pro  <pio  habendum  est  iterum 
Et  dempto  t|i«o  dc  numero,  rcrnaiiciit  3SG,  quorum  |ieri.sa,  que  est  2,  negat  ijisa  \ tiel  * 
in  suam  habere  jkxssc  composiliouein.  Nam  26,  que  suitt  numerus  duarum  figurarum  ca- 
pitis de  320,  si  |>cr  b diuidutur,  remanent  2:  quare  320  per  aliquem  parem  numerum,  pre* 
tenjuam  per  binarium,  iion  posse  diuidt  cognoscimus.  Viidc  i|)sls  320  diuLsls  per  2 exeunt 
163,  que  cum  oireant  regula  pro  ijwa  dc  32000,  hal>clur  /p'  cl>* 

Er  st  eum  de  «srcooo  repenrc  uoluerit,  demptis  dc  ipso  numero  tribits  zephyris,  ct 
pru  ijvsis  habitu  remanet  7510.  Ouorum  |>ciisa  que  e.st  4 negat  ipsa  {mussc  habere 

{ ucl  ~ iu  sua  com|Misiti<me.  Nam  si  46.  <]ui  sunt  iu  capite  dc  7546,  per  8 diuiserit,  re- 
manent 6;  quare  nullum  alium  (mrem  ruimcriim,  preter  2,  |Mxst  se  bulierc  cognos<'etur:  que 
scilicet  7546,  si  [>er  2 diuiserit,  exibunt  3773.  Ouontm  regula,  si  sccunduni  j>ariuiii  nu- 
menmim  doctiinam  reperire  .studuerit,  ijxsjiiu  f-*-*-,*  fore  rcpcrict.  f.fuam  si  cum  rc[>crta 
su|terius  regula,  scilicet  cum  | hi  uirgula  coaptauerit  pro  regula  dc  7546000, 

halicbiiur  ;4^nrrrfirTi- 

Dittisto  fle  749  per  7S. 

Nota  siipiidem  regularum  numerorum  iiiuentinne  5 uoluerit  quis  diuidere  749  per  7S, 
reperta  regula  de  75,  que  est  , diiiidat  719  per  3,  exibunt  219,  ct  remanent  2;  que 
2 |M>iiat  .super  3 de  uirgula  iu  parte  seniata,  ct  diuidat  219  per  s,  ]>cr  ea  scilicet  que 
antecedunt  3 in  uirgula,  exeunt  49  ct  remanent  4;  qnc  4 |K)tial  .sii|>er  eadem  5,  ct  49 
diuidat  iterum  per  5,  \m  ea  que  sunt  in  fine  uirgiile,  exeunt  9 et  remanent  4;  que  4 
|»unat  super  ipsa  5,  et  9 jHinal  ante  i{>sam  utrgulam;  ct  sic  habebit  ex  quesita  «liui- 
sione,  ut  lue  ostenditur,  vAV* 

Diuisio  de  67998  />cr  neo. 

Ctnim  .si  67898  |>er  I700  diuidere  uoluerit,  rej)crta  regula  dc  1760,  que  e.st  i-i, 
diuidat  07898  (>er  2,  exibunt  33949,  ct  remanet  o ; quod  o ponat  .su|>cr  2 , et  diuidat 

0 


(fol.  IS  i«e(«  . It*.  6-iU  I 
{*(.  40.  Iiii.  29— |'<K  ^1. 
Un  16|. 


Digitized  by  Googte 


4S 

. ifv^rM.  33949  |M*r  exibunt  4Sl3t  et  j remanet  s;  <]ue  s ponat  su|>er  8 ile  uirgula,  et  diuidat  4143 
]>er  10,  exibunt  414  et  remanet  3,  boc  e^it  ut  dematur  figura  priiiii  gnidti^  dc  4143;  que 
414  diuidat  per  11,  exibunt  38  et  remanent  6,  que  6 |>onat  sii|>cr  11  de  uirgula,  et  38 
|K>iiat  ante  nirgulam;  et  sic  habebit  pro  quesita  diuisione  * * 38. 

Probatio  suprascrifite  dinisionis. 

Qvani  diuisionem,  si  per  pensam  de  13  probare  noluerit,  diuidat  proscripta  67898  per 
13,  remanent  il , que  buWantur  pro  pimsa.  Past  hec  diuidat  38  ante  uirgam  posita 
per  13,  remanent  tl,  que  multiplicet  jier  ii  dc  uit^iila,  ct  de  super  addat  6,  quo  sunt 
super  11,  erunt  138;  que  diuidat  [»er  13,  remanent  h;  que  multiplicet  per  10  do  uirgula, 
ct  do  suj)cr  addat  3 que  sunt  siq>cr  lo,  entnl  83;  que  diuidat  per  I3,  remanent  5;  que 
raultijdiccl  per  8 de  uirgula,  ct  de  .su|>er  addat  5,  que  sunt  per  8,  eiuiit  45;  que  di- 
uklal  ]>er  13,  remanent  6;  que  raulli[dicet  per  i de  uirgula,  erunt  ll,  ut  sujKrius  pro 
j>ensa  scruatum  est.  F.l  canendum  est  nequis  aliquam  diuisionem  {>cr  aliquam  {>ensam 
alicuius  numeii  cxislcntls  sub  uirgula  ditiisioni.s  luiiiqiiain  pndmre  consuescat:  ideo  quia 
icuiter  per  eam  |»osset  esse  deceptiLs;  quare  in  liac  diulsione  probihetur  per  ll  probare; 
quia  sujH^inuo  quod  remaneret  de  38,  uel  ex  quolibet  alio  numero  in  ii,  que  sunt  sub 
uirgula  multiplicato,  ct  per  it  dc  |>ensa  diuiso,  nil  superaret:  unde  si  i|>sa  38  recta  non 
essent,  non  possent  per  probationem  dc  ii  cognosci.  Et  sciat  quia  in  diiiisionibus  nii> 
merorurii  alta  restat  doctrina,  scilicet  cum  numerus  diuidendus  aliquam  babet  roinuni< 
tateni  cum  diulsore,  scilicet  quoil  diuidendus  niimenis  diuidaliir  integralitcr  ]>or  aliquem 
numerum,  uel  numeros  qui  sint  cx  regula  diuison.s.  Tunc  primum  diuidatur  numeras 
]>cr  numerum  cam|M)sitionis  quam  in  uirgule  diulsorls  ipse  diuidendu-s  Imbuerit,  siuc  maior 
in  uiigula  sit,  uel  minor:  ideo  quia  cum  ipsum  |>er  i])siim  diuLserit,  nibil  cx  diulsione 
remanebit.  Et  ut  liec  a|H?rtius  intelligantiir , ea  cum  nnmerls  in  sequentibus  demon> 
strentur. 

Aw/a/o  r/c  81540  prr  si90. 

Ut  si  81540  [icr  8100  diuidere  noluerit,  reperialur  diuisoi  is  regula,  qiie  est  el 

cum  in  regula  de  8tS40  sit  ^ , pnqiler  0 quiul  e.st  in  primo  gnidii  ipsonim,  quamuis 
» non  sit  in  capite  uirgule;  tamen  per  lo  primitiis  si540  sunt  diuidenda,  lioc  est  (puni 
dematur  o dc  i[isu  numero,  n‘manebiiiil  8154  que  nstuiil  diuidendam,  extracto  dc  tiir> 
gula,  i«r  ; ; 

Irem  8154  [lei  9 diuiditur  , ideo  quia  o est  [leiisu  ijKvonitn  per  nouermrium.  \ ndc 
diuidat  ijisu  |h.t  9 de  uirga,  exibunt  90C,  que  restant  diuidenda  per  uerum  ooo  per 
7 diulsls,  exeunt  is9  ct  remanent  3;  que  3 (mnat  super  7.  Et  IS9  per  13  diuidat,  exeunt 
9 et  remanent  is,  que  li  ponat  super  13,  ct  exeuntia  9 {K>nat  ante  uirgani,  et  balndut 
pro  quesita  diulsione 

Nxm  si  presciipta  diulsione  probare  uuluerit,  (Hincnda  enint  lo  ei  9 que  extracta  fue- 
runt de  uirga  sub  eadem  uiiga  post  7 , ct  sujier  ipsa  |Mjneiida  sunt  zepbyni  , ut  iii 
bac  uirgula  cernitur,  l»**slea  |M>terit  ea  prolmir  .secundum  prescripluni  probandi 

ordinem.  Vel  aliter  babeautiii  900  pro  numero  diuiso  ct  pro  diuisore,  ct  secundum 
bcc  probare  studeas  per  imnlum  supradictum.  Satis  enim  dc  diuisiunibiis  mimerurum 
jwr  com|>«xsilos  numeros  dictum  esse  uiderctur,  nisi  in  eorum  cumjiusitionibus  niimeniin 
trium  figurarum  uel  plurium  cxlsteront.  Sed  ut  in  lioc  opusculo  expleta  doctrina  di- 


Digitized  by  Googie 


43 

uiilcn<1i  conlinratur,  numeros  diuulcrc  in  eis,  (]ui  sunt  Irtum  ligurarum  ucl  plutium}  iii 
sei|ucnlibus  ostcmlantur. 

DiutJiw  numerorum  f)cr  numeros  asham  tertii  grufius. 

Cvm  autem  <fucmlibrt  numerum  iuiuslibet  gradus  per  quemlibet  numerum  trium 
tigurarum,  boc  est  tertii  gradus,  quLs  diuidere  uolucrit,  ponat  similem  gradum  ijisius 
numeri  tiium  figurarum  sub  simili  gradu  diuidendi  iiumcii,  cl  pmuideat  si  nuinenis 
trium  ligui-arum  iiUimarum  diuidendi  numeri  maior  diuLsore  cxlstcrit  : si  enim  maior 
uel  equulis  fuerit,  incipiendus  erit  ulliiiiiis  gi-adus  exeuntis  numeri  sub  tertia  figura  ab 
ultima;  et  si  minor,  incipiendus  erit  sub  antecedente,  hoc  est  sub  quarta  ab  ultima.  Et 
posita  figura  sub  qualiliel  prediclariim  qiumi  talem  es.se  conuenit,  qucal  multiplicata  ipsji 
in  numerum  diuisorcro,  scilicet  in  eum,  in  quo  numerus  maior  diuiditur,  faciant  numerum 
trium  figurarum,  uel  quattuor  ultimarum,  ucl  ita  fere,  ut  non  remaneat  inde  numerus 
diiiUoris  uel  ultra.  Et  tuoc  multiplicet  eam  |>cr  ultimam  figurum  diuisoris  numeri.  El 
multiplicationem  de  numero  ultime  ligure,  .si  |H)tcris,  exlralmt.  Et  si  non,  eam  extrahat 
di'  numero  duanun  figurarum  uUimartim,  ct  su{>crnuum  ponat  sii|>er  eundem  gradum 
de  quo  superfuerit.  Et  multiplicet  iterum  eandem  |K)sitam  figuram  per  antecedentem 
I ultime  diuLSoris  numeri,  .stnlicot  per  eam  que  est  in  i^>sius  secundo  gradu;  et  ueiiientcm 
summam  extrahat  de  suprascripto  .su|>crfluu  cum  antecedente  figuia  in  maiori  numero 
cojmlato  : ct  si  superfluum  fuerit,  ponat  primum  gradum  i|ksius  super  eandem  ante- 
reudeiilem  figurarum,  ct  adiipios  uero  post  ipsos  delendo  scilicet,  uel  dampnando  aliud 
primum  positum  su]>ernuum.  Et  adhuc  iniillipHcel  eandem  positam  figuram  |>er  figuram 
primi  gi*adu.s  eiusdem  diutsoris  numeri,  cl  siinimuiu  niuUiplicationis  extrahat  dc  copu- 
latioQC  .secundi  superflui  cum  antecedente  figura  maioris  numeri  ; et  primum  gratluiii 
i{tsius  superflui  |H)uat  su|H'r  ipsam  antecedentem  figuram;  reliquos  uero  |Kist  ){>sum  de- 
lendo, .scrilicet  uel  dampnando  alium  .secundum  dictum  superfluum.  Tust  lier  studeat  pv 
nere  aliam  talem  figuram  sub  alia  antecedente  figura  maioris  niiincri,  idest  ante  primam 
positam  figuram, que  multiplicata  in  pre.scriptum  diulsorcm  luimeiuin,  faciat  copululioiiem 
tertii  superflui,  et  antecctlentis  figurc  uel  fere,  cum  qua  uadat  multiplicando  {>er  or- 
dinem per  figuras  diiiisims  numeri,  .sicut  in  prima  pisita  figura  ducetur,  sem|K^r  su|>erf]iia 
per  ordinem  super  jKmeudo;  et  deinceps  in  relir|uis  figuris,  us(|ue  ad  finem  jirwiulendo, 
similiter  .studeat  operari.  Si  uero  ex  alH{uo  superfluorum  supradictorum  ct  aiilecedeiite 
figura  procreabitur  numeras  minor  diulsore,  tunc  j>uiiut  zephyrum  sub  i|isa  antecedente 
figura;  et  copulabit  eidem  antecedenti  figure,  cl  su|K?rfluo  aliam  antecedentem  figuram, 
sub  qua  ante  prediclum  zephyrum  erit  utique  |H3tietu)a  figura  : ct  si  ilemot  numerus 
cupulalionts  su{>crnui,  cl  duarum  antecedentium  figurarum,  minor  diulsorc  fuerit,  erit 
iterum  ante  prediclum  zephyrum  aliud  0 {xmciulum,  cl  copulabis  dicto  siii^crfluo,  el 
dictis  duabiLs  figuris  aliam  eis  antecedentem  figuram  sub  qua  pmat  talem  figuram,  <{ue 
miiltiplicala  in  diuisori  numero  faciat  fere  numerum  copulationis  su))crflui,  et  trium  ei 
antecedentium  figurarum;  ct  habebis  qunnimlihet  similium  diuLsioiies:  ct  ut  que  dicta 
sunt  liquidius  exponantur,  ea  cum  numeris  asleiidantur. 

Ut  si  uolucrit  diuidere  1340  per  IST,  describat  257  sub  349  dc  1349.  Et  quia  numerus 
trium  figuranim  ulliniarum  diuidendi  numeri,  idcsl  134,  minor  est  de  257., scilicet  de  diuiso- 


Digitized  by  Googie 


fKraoi  .•••  t <}UoJ  > (fui.  Itt 

liO-  Xi-iSi  pag.  44,  liii. 


41 

rc  mmieir*,  ideo  sub  quarta  figura  ipsius  diuidendi  muneri,  que  piimum  occupat  gradum, 
idest  sub  0,  Hgura  exeuntis  numeri  erit  ponenda;  et  talis  que  multiplicata  in  257,  faciat 
fere  1349  que  erit  s;  quihu.s  positis  sub  9, multiplicet  ij)sam  per  ultimam  figuram  diiiisoris 
numeri,  scilicet  per  2,  erunt  to,  que  extrahat  dc  13,  scilicet  de  numero  diianira  ultimanim 
figurarum  numeri  diuidendi;  cum  nun  possint  ca  dc  luimcru  ultime  frguic  extrahere, 
remanent  3,  que  copulanda  sunt  cum  antecedentihus  4,  faciunt  34;  dc  quibas  extrahat 
multiplicationem  positorum  5 in  s diiiisoris  numeri,  remanent  9,  que  |M)iiat  suj>er  4 et 
multiplicet  eadem  posita  5 per  7,  erunt  3S,  que  extrahat  de  09,  scilicet  de  copulatione  o 
primi  gradus  diuiilemii  numeri,  reinancnl  64;  que  |K>nat  super  uirgam  supradictonim 
9 cum  dc  257  seorsum  descriptam.  Et  exunlia  s ponat  ante  ipsam  uirgam,  et  hahebit 
pro  quesita  diuisiotie  ^ s. 

Diuish  de  30749  /icr  307. 

Uerum  si  30749  j)cr  307  diuidere  uulueril,  describat  307  sub  749;  et  quia  M7,  qui  csl 
numerus  trium  figurarum  uitimaruni  diuidendi  numeri,  equulis  est  diuisori  numero,  |>o- 
nendiim  est  f .siib  primo  gradu  numeri  piTdiclaritm  trium  figurarum  , .scilicet  sub  7 
que  sunt  in  tertio  gradu  diuidendi  numeri;  et  multiplicet  ipsum  l per  3 diuisorls,  faciunt 

3,  pro  quibus  reliquantur  3 que  sunt  in  ultimo  grailu  diuidendi; et  multiplicet  iterum  eiin> 
dem  i per  o diuisorls,  faciet  o;  pro  quo  relinquat  ijistim  o quod  est  iiidiuidcndi  numero;  cl 
itcnim  multiplicet  eundem  i per  7, faciunt  7,pru  (|iiibus  relinquat  i]»sa  rquesuntiiuliuidendi 
numero.  Nam  tertius  gtndus  qiicmciiinque  gradum  multiplicat,  tertium  gniditm  facit  ab 
i|xso  quem  multiplicat.  Ergo  cum  multiplicat  lertiuni,  quintum  gradum  facit;  ct  cum 
rniiltiplicat  secundum,  facit  quartum;  ct  cum  multiplicat  primum,  facit  tertium.  Et  quia 

4,  que  antecedunt  7 iiidiiiidemli  numero,  minus  sunt  de  307,  scilicet  diuLsure,  ponendum 
est  0 sub  ipsis  i;  et  iterum  quia  49  eiu.sdcin  diuidendi  numeri  minus  sunt  eisilem  307, 
ponendum  erit  o sub  9,  scilicet  in  primo  gradu  exeuntis  numeri;  et  prcilicta  49  |>oriat 
sii]>cr  uirgiilam  de  307  ex  parte  .sernata,  et  exeuntia  loo  ponat  ante  uirgiilam;  cl  habebis 
^ 100  pn)  quesite  diuisiuiii  (w). 

iTcni  si  pro|H)Suerit  diuidere  574030  |>cr  563,  positis  563  sub  930, ponat  prescriptis  disposi- 
tionibus I sub  4,  scilicet  in  quarto  gradu,  et  multiplicet  ipsum  (>cr  5 diuisorls  numeri, 
fiunt  5,  pro  qiillms  relinquat  S que  sunt  in  ultimo  gi-adu  diuidendi  numeri:  quia  cum 
quartus  gntdus  multiplicat  tertium,  sextum  gradum  facit,  hoc  est  quartum  ab  ipso  quem 
multiplicat;  et  muUiplicot  eundem  i pero  diulsoris,  fiiiiil  6,  que  extnihat  dc  7,  remanet 
1,  quod  ponat  super  eadem  7:  nam  cuin  quartus  gradus  multiplicat  secundum,  quintum 
gradum  facit;  ct  iterum  multiplicet  i por  3 diuisoris,  flent  3;  que  extrahat  de  4,  hoc 
est  de  14,  propter  i quod  | remansit  suj>cr  7:  iiam  cuni  quartus  gradus  multiplicat  primum, 
quartum  gradum  facit  iiel  teiTiiiiiantc  in  ipso.  Et  ideo  predicta  3 sunt  extrahenda  dc 
4,  que  sunt  in  quarto  gradu,  hoc  est  dc  14  qiic  terminant  in  ipso,  rcmmiebunl  li,  scilicet 
1 super  quintum  grudiim  ct  aliud  super  quartum;  cum  qiiihus  ii  copulet  9 fiimt  I19, 
que  cum  sint  minus  dc  563,  scilicet  diiiisorc,  poneiidiim  c.st  o sul>  ipis  9;  ct  copulet  3 
que  sunt  iti  secundo  gradu  diuidendi  numeri  cum  lio,  ficiit  1103.  Quare  {Kuiat  in  secundo 
gradu,  arhitrio  exeuntis,  talem  figuram  que  multiplicata  per  S63  faciat  fere  H93,  que  figura 
erit  2,  que  multiplicet  |H*r  5 diuisoris,  liiint  10,  que  extrahat  dc  ii  prescriptis,  remanet 
i;  pro  quo  relinquat  ipsum  i quod  fuerat  jmsitum  super  4,  ct  deleat  aliud  i quod  est 


Digitized  by  Coogie 


4S 

fiupcr  7,  et  iTuilliplirct  t per  8 <Uuisoi*ls  fiunt  ll;  fjue  c\tralint  dc  19,  remanent  7 tjiic 
pnnat  super  o ct  delcal  l <jucmI  est  super  4;  et  niuUipUrct  t per  5 diuUoris  fiunt  6j 
que  extrahat  dc  73,  remanent  67:  deleat  7 cpie  erant  super  t>  et  jxmat  67  suj>cr  93,  ut 
in  descriptione  habetur.  Et  ropiilel  ipsa  67  eum  o,  fiunt  670;  pro  qiiilnw  dictis  disjiositis 
{)onat  I suh  0,  ct  multiplicet  ipsum  per  S diuisoris,  fiimt  6,  que  exlralml  de  e,  remanet 
i:  dcicat  ipsu  6 cl  ponat  ihidem  l;  et  imiltiplieet  i per  e,  fiunt  6;  que  extrahat  dc  7 
remanet  i:  deleat  7 ct  jmiiat  ibi  i{>sum  i;  et  niulliplirct  i j>cr  3 diiiUoris,  fiunt  3,  que 
extrahat  de  ho,  remanent  I07,  que  pmiat  $ii|>er  uii^utam  do  563  et  ante  ipsam  ponat 
exeuntia  toii,  ut  in  hac  descriptione  desrnbitur. 

Pn^Mtio  suprtisiTip/p. 

Hvam  diiiisumem  sl  per  ]>ensiim  dc  it  proharc  uolueiit,  diiiidat  S74930  per  tl,  remanent 

4,  que  sentes  pro  i>en.sa  ; ct  diuidat  exeuntia  losi  similiter  per  ii,  remanent  9,  que 
multiplicet  per  s que  remanent  ex  diuisis  563  per  ii,  erunt  quibus  addat  pensam 
numeri  remnuentis  siqH^r  iiirgam,  scilicet  dc  lOT,  que  |>ensa  est  8:  quia  diiiUis  107  |>er 
it,  remanent  8;  et  sic  lialndiit  sc,  quibus  diiiLsis  per  ii,  remanent  4,  ut  pro  |HMisa  op- 
portet  remanere.  Ad  liahcndiim  itaque  arbitrium  in  |M>nemlis  figuris  in  exeuntibus  iui> 
moris,  cum  muneri  trium  figurarum  iiel  plurium  diuiduutur  per  numeras  trium  figuramm, 
tale  tnidinms  magisterium  , ut  consideret  .si  diuisur  miinenis  prope  fuerit  alicui  iui> 
mero  centenario,  siuc  plus,  siuc  miuus  sit  eo:  ct  aspiciat  contra  quot  fignnis  .sit  |m- 
neuda  figui'a  in  numero  exeunto,  et  ex  illis  figuris  relinquat  dua.s  que  suiit  in  secundo 
ct  in  primo  gradu  cimun.  Residuum  uero  numeros  diuidat  per  mimemm  rentenariomm, 
cui  diulsor  proprior  extiterit;  et  quot  ex  diulsione  perucnerit,  erit  (xmenda  figuni,  iiel 
parum  plus  si  diulsor  erit  minius  numero  predicto  centenariorum,  ucl  ]>ai'um  minus,  si  di* 
uLsor  fuerit  plus  ctnlem  munero  centenariorum.  Verbi  gratia:  uolumus  diuiderc  1147  per 
421,  iclimpianios  4 et  diuidemus  12  que  mnanent  per  4;  ciim  42i  .sint  proprior  40u  quam 
alio  centenario  numero,  ucnient  3;  sed  dandum  erit  minas,  quia  421  .sunt  plus  de  400:  cl 
si  esset  minus  ut  370,  dandum  esset  plus;  et  sic  iulelligas  in  reliquis.  Et  si  dtulsi)!'  im* 
merus  c-ssct  (iroprior  alicui  centenario,  et  dimidio  ut  f$0,  uel  ducentis  quimpiagiiita,  et 
ccteri.s  siniililnis:  tunc,  relictis  duabus  figuris  prcdictis,  reliquum  numerum  dupplirct, 
ct  dtippUeatam  summam  ])er  duplum  centenariorum,  et  dimidium  diuidat,  et  habebit 
arbitrium  (>onendc  figurc.  Verbi  gratia:  iiuUimiis  diuiderc  9f37  [ler  563  , diuidimiLS  21 
per  ^ 5,  Iioc  est  duplum  de  2t,  scilicet  42,  per  duplum  de  | $,  hoc  e.st  per  tt,  exihunt 
3 ct  plus;  ct  hoc  modo  accipiatur  arhitrium  in  similihus. 

Irem  .si  5050000  (>er  743  diuiderc  uoluerit,  descriptis  numeris,  ponat  8 suprndlctis  di* 
s|K)silis  sub  0 quarti  gradus,  .scilicet  quia  relidis  so  de  S943,  remanent  59;  «juorum  duplum 
si  diuidalur  per  duplum  dc  | 7,  pnqitcr  diui.surem  (jiii  est  pnipe  750,  fere  s iienict  ex 
diuisioiie;  et  muUipli<’ol  8 per?  diuLsorU,  erunt  56,  que  extrahat  dc  59,  remanent  3;  que 
|H>nat  .super  9.  Et  8 per  4,  rmnt  32,  que  extrahat  de  35,  i*cmaiicnt  3;  que  ponat  super 

5,  ct  dapnet  ipsa  3 ipic  fuerunt  {xisita  super  9.  Et  8 |>er  3 diuisoris  fiunt  24 , que 
extrahat  ile  30,  remiinciil  6;  que  jMmat  super  0,  ct  deleat  3 que  fuerunt  super  5;  ct  .sic 
senipcr  muUlplicala  posita  figura,  singulariter  per  figuras  diuisoris  numeri,  incipiendo 
scilicet  ab  iiUirna  asipie  ad  primum  uciiicndo,  semper  opporlct  diiiisloncm  remanere  in 
ipsa  figura;  siih  qua  figura  poni  precipilur,  ut  in  prima  huius  diulsionls  dtsciiplionc 


Digitized  by  Googie 


«(f»!.  SO 

Iin.  9'13i  |<4g.  44.  ItB. 


i 9 5 i)  0 0 U i 


I 7 4 3: 

j 8 0 U H 

I 


9 ....  •i*n»m  • 

/v/-*d  , liB.  46, 

h».  Sl-2»'. 


Ilrm  ...  rrn>4»<<  » ( 4»l.  20 

ti-ri.»  . >Mi.  tt-tl'  ; i>««'  46  , 

l.u.  st  4|>. 


4C 

I tlcmotiAtraiur.  P(»8l  licc  j^mat  duo  zcjdiyni  sub  dtiu))U8  zejihytis  (crlii  el  secundi  gra- 
dus, ideo  (|iukI  ulrarjuc  zejthyra  copulata  cum  G minorem  faciunt  numerum  quam  743. 
Vnde  summenda  sunt  6 cum  tribus  zcpliyriS}  scilicet  Gooo  cl  in  743  diuidciida,  pro  qua 
diuUione  jtonenda  .sunt  8 in  ]>iiino  gradu  exeuntis  numeri,  scilicet  sub  o primi  gradus: 
quare  dituso  duplo  de  GO  j>er  duplum  de  J 7,  ueiiiuiit  s;  quibus  8 in  7 multiplicatis, 
ct  do  60  eitruclis,  remanent  a;  que  4 ponat  .stq>cr  o tertii  gradus,  ct  dapiict  6 que  sunt 
super  u quarti  gradus;  ct  iterum  8 in  4 diuisitrls  multiplicatLs,  ct  de  40  extractis,  re- 
majient  9 : nam  sicut  multiplicatio  pie-sciipturuni  8 per  ordinem  dc  gradu  mutatur  in 
gradu  iii  diuisori  minioro;  ita  oonini  imiUipHcationes  in  diuidendi  munero  dc  gradu  in 
gradu  nuitaii  debent.  Ponat  siquidem  muaiicntia  b super  o secundi  gradus,  ct  deleat 
Ipsa  4 que  fuerunt  |Hi.sita  .super  o tertii  giadus;  ct  mulliplin  t 8 |)cr  3,  fiunt  t4,  qiic 
extrabat  dc  80,  remanent  se;  que  |Miiiat  .sii|)cr  uit^ulmn  dc  743,  et  ante  ij>sani  ponat  boob; 
ct  lialicbit  propt^ile  diuisionis  quantitatem.  Rt  cum  |>or  ea  que  dc  diulsionibus  dicta  sunt 
plenum  magisterium  liaberi  possit  in  dinidcndi.s  numeris  per  iiitinerus  figiirurum  et 
plurium;  tamen,  ut  melius  iiitelligaiitur,  prcdicta.s  diulsioiies  per  aliquot  numerus  quat- 
tuor figurarum  demumstreulur. 

Diuhio  de  I78*9/«t  i073. 

L'l  si  pixqionalur  diuidere  I7B49  |H>r  i973,  descnbalur  diuisor  .sub  diutdendo,  scilicet 
4073  sub  7849  de  17849  ; Cl  cum  iiunicms  t[uatluur  ultimarum  figunirum  diuidendi  nu- 
meri, idest  1784,  miuoi'  sit  diuisoiv,  prtsitio  ligure  eveuntLs  numeri  sub  prinm  gnidu  di- 
uidendi numen  fieri  iieccsse  est.  Viule  |KMiat  o sub  priinu  gradu  ulruruinque  mnneromiii; 
ideo  quia  ducto  uoucnario  in  diuLsore,  facit  fere  diuidcndum  numerum;  uel  quia  dtuhsor 
est  pnqw  20  ceiileiinrii.s,  diuidemla  siml  17  per  2,  el  relinquende  tres  figurc  numeri  di- 
uidendi, .si'ilicct  849:  et  tunc  mulliplicet  i{^  0 \*cr  l diuisoris,  ct  extrahat  dc  17,  re- 
manent 8 que  |M>nut  super  7,  el  mulliplicet  9 ))cr  h diuisoris,  et  extrahat  dc  88,  re- 
iiialient  7,  que  |Hmal  super  8,  ct  dapnet  |)osita  8.  Rt  iterum  multiplicet  o per  7 diui- 
.soris,  el  cxtralial  de  71,  remanent  ii,  que  ponat  .super  74,  et  mulliplicet  g per  3 diuisoris 
numen,  etcxtraliat  de  tio,  remanent  02,  que  ponat  super  tiirgulam  dc  1973,  et  ante  ipsam 
{HUiat  0;  ct  habebit  pm|Misite  diuisionis  quantitatem. 

Dittish  de  183S(UI9  fter  400". 

Itoui  si  uolucrit  diuidere  1233089  [»cr  4007,  desciiptls  numeris,  |Hiuat  3 sub  tertio  gradu 
numerorum  , presi^riptls  .scilicet  dls|K».si(i.s  ; el  inultiplirct  ipsa  3 per  4,  fuint  12,  pm 
quibus  relinquat  12  que  siuit  miniciu.s  duaniin  ultimarum  figurarum  diuidendi  numeri. 
Rt  multiplicet  3 per  0,  quod  est  iti  tertio  gradu  diuisoris,  faciet  o;  quod  extrabat  dc  3, 
que  sunt  in  diuidendi  numeiTi,  remanet  ipsa  3.  Et  iterum  multiplicet  3 jicr  0 .secundi 
gradus  diuisoris,  faciet  0.  OuckI  extrahat  de  35, remanent  iteiuiu  ijisa  35. Et  3 per  7 faciunt 
21,  (}ue  extrahat  de  350,  remanent  335,  tpie  |Kmat  super  356.  Nam  cum  3358  que  sunt  co- 
pulatio remanentis  numeri;  eum  ei  antecedente  figura  mimis  sint  dc  4O07,  jMmendum  est 
0 atitc  [Misila  3,  scilicet  sub  secundo  gradu  imincrorum,  el  copulanda  sunt  3358  eum  ante- 
cedente figura,  idest  cum  9,  sub  quibus  |Kmat  8 in  exeunti  numeri.  Et  multiplicet  ipsam 
per  4,  et  extrabat  de  33,  remanet  t,  <|uod  ponat  siq>cr  3 jirimi  gradus  de  33,  et  dapiiet 
33.  Et  8 per  0 tertii  gradus,  et  extrabat  dc  15,  remanet  is.  Et  iterum  nmlliplicel  8 (kt 
0 secundi  gradus  diuisoris  numeri,  el  exlrubat  dc  158,  remanet  i{v»a  15S.  Et  8 per  7 faciunt 


Digitized  by  Googie 


47 

56,  que  cxtruliat  <le  iS69,  remanent  1533,  que  j)oiiat  super  uirgulam  de  4007,  et  ante  ipam 
ponat  308j  et  hahehit  quesite  diuLsiimis  quantitatem,  ut  in  liac  denotatur  descriptione. 

UEnim  si  eam,  ucl  qnainliliet  aliam  diuisiouein  aliter  quam  per  pensas  prcd>ai*c  no- 
luerit, multiplicet  exeuntem  numenim  per  diuisoreni,  et  uenicnll  suniinc  addat  rema- 
nentem numoniiu  ex  diuUiuiie,  S4ulicet  ijisuin  <pii  su{>cr  uirgulam  puni  precipitur.  Vt 
in  hac  niiiUiplicet  30S  per  4007,  et  inultipliraliuni  super  addat  1533  que  suiit  supr  uir- 
gulam; et  si  collecta  summa  fecerit  diuisum  numerum,  ipsam  diuLsionem  rectam  fure 
cognoscat. 

ExpUvit  Cfipitulum  (fuintum.  Incipit  cnpitulum  sc.vtttm 
tie  mnltipricfuitione  intf^rorum  numerorum  cum  ruptis. 

I Ct:m  autem  quemlibet  mimerura  ruiuslihel  gradus  cum  c|uoUl>et  rupto  uel  ruptis  ]>er 
quemlibet  numerum  cum  quoli)>ct  rupto  uel  niptls  multiplicare  uoluerls  , describe 
maiorem  numenim  cum  suo  nipto,  uel  niptis  sub  minori  numera  cum  suis  minutis  , 
.S4:ilicct  numerum  sub  numero,  ct  minuta  sub  minutis.  Kt  acrijic  superiorem  mimenim 
cum  suU  ininuti.s.  Et  fac  inde  talia  minuta  <(ualia  sunt  ilia  que  sunt  cum  ipso  numero. 
Kt  similiter  de  inferiori  facW^s  sua  minuta.  Et  multiplicabis  facta  minuta  superioris  nu- 
meii  }>er  facta  minuta  inferioris.  Et  summam  diuides  |K.*r  minutu  ulrius<[ue  numeri  sub 
una  uirgula,  scilicet  coaptata;  cl  bubebis  ciiiusliliel  numerorum  cum  minutis  multipli- 
cationes. Et  ut  liec  cum  dcmoiistnilionibus  numerorum  iiitelligibiliter  ostendatur 
llot*  capitulum  in  partes  octo  diiiidimus. 

Ovmum  piima  erit  de  luulliplicaliorie  iiumemrum  iiitegroruni  cum  uno  rupto  sub  una 
uirgida. 

SECiinda  de  multiplicatione  miincrorum  cum  duoI)iLs  et  tribus  ruptis  sub  una  uirgula. 

I srtia  de  muUiplicalioue  minieronim  cum  duabus  ruptis  sub  duabus  uii^ulis. 

Qvarta  dc  multiplicatione  numerorum  cum  duabus  uirgulLs  cum  }duril)us  ruptis. 
Ovinta  de  multiplicatione  numerorum  cum  tribus  uirgulLs. 

SExta  de  multiplicatiuiic  ruptorum  sine  sanis. 

SEptinia  dc  multiplicatione  numerorum  et  ruptorum, quorum  lurgc  lenniiianlur  in  circulo. 
Octaua  dc  multipUcalionc  |»arliuin  numerorum  et  ruptis. 

Incipit  pars  prima  de  muitiprkatinne  numerorum  integrorum 
cum  uno  rupto  suh  una  uirgula. 

Si  noluerit  multiplicare  ii  ct  dimidium  |>cr  is  el  tertiam,  describe  maiorem  luiiue- 
nim  sub  minori,  scilicet  J Si  suh  J n,  ut  liic  ostenditur;  deinde  fac  dimidius  de  | ii; 
ideo  quia  ruptus  qui  est  cum  it  est  medietas,  quml  sic  (it:  multiplicabis  ii  per  t que 
.sunt  sub  uii^ula  {Mjst  ipsa  il,  et  de  siqicr  adile.s  i,  quod  est  super  uirgulam  de  s,  erunt 
medie  S3:  uel  duplica  | it,  cmrit  53:  describe  53  siqKT  3 11,  ut  in  descriptione  ostenditur: 
eademque  ratione  multiplicabis  sa  |K?r  suam  uirgulam,  boc  est  per  3 que  sunt  sub  iiir- 
gula  post  52,  erunt  tertie  66,  cum  quibus  adde  i.  <|U(m1  est  super  3,  erunt  tertie  67,  qne 
serua  super  ^ 55,  ct  hoc  fuit  triplicare  ^ 25:  ct  niulliplicabis  dimidias  S3  |>er  tertias  67, 
cnint  sexte  15li,  quas  diuides  j>er  ruptos  qui  suiit  sub  uii^lls  amhonim  iiumcrurtim  , 
scilicet  {>er  s et  per  3;  que  diuisio  sic  fit:  multiplica  s per  3,  eruut  6,  in  quibu.s  diuide 
1541,  exibunt  integra  | 256  pro  quesila  multiplicaliono,  ut  in  prescripta  descriptione  de- 
moslratur.  Nam  querenti  quare  ex  multiplicatione  medietatum  in  tertias  proueniaitt  sexte, 


■IvM-rdiC  --  jiMla-tMtn  » (M. 

tu  1!*  tl;  I'**-  17- 

Im  tf 


Digitized  by  Google 


r<l  Sl  rreto- 


ll«■a  ...  n>uli>|-lir>liu«i«  • 

21  trria  . lia-  S 6j  |m(.  44  . 
Iiu.  Sl-81|. 


4^ 

rvspotides:  (juiu  cum  semel  lertia  accipitur  hoc  cum  multiplicatur  per  tertiam  proueuit 
tertia.  (Juarc  cum  imiltipiicatur  medietas  unius  per  tertiam,  scilicet  cum  accipitur  me* 
dieta.s  tertie,  sextam  pruucriirc  ncccs.se  est.  F.t  ideo  ex  multiplicatione  medietatum  iu 
tertias  pruueniunl  sexte.  Rui-sus  cum  secundum  alium  intellectum  niulliplicauimu.s  du- 
plum dc  I 11  , scilicet  u ]>cr  tnpium  dc  scilicet  per  67,  tunc  habuisse  scxuplum 
summe  multiplicaliouis  eorum  demunslrabo.  Ex  muItiplic'atione  (juidein  de  | ts  m ^ il 
prouciiit  summa  <[uesita.  Quare  si  multiplicatur  ^ 2S  per  duplum  de  ^ tl  « hoc  est  per 
20,  pruueiiit  duplum  quesite  .summe.  Ergo  si  multiplicatur  triplum  dc  { 22,  hoc  est  67 
per  23,  scilicet  per  duplum  de  | 11,  nimirum  triplum  dupli,  hoc  est  sexuplum  summe 
«|uc.sitc  prouenict.  Quare  .sexta  pars  .summe  muUiplicatiouLs  eorum  est  summa  quesita, 
quod  o|>nrtchit  o.stendcrc.  Et  scias  quin  ideo  niultiplicauimus  2 per  3 quando  per  2 ct 
per  S diuidere  dehcanias;  quia  multi|)licatio  illorum  non  surgit  ultra  derciiarium  numerum; 
cl  sic  dehe.s  facere  dc  omnihu.s  numeris,  quorum  iimlliplicatioues  non  ascendunt  ultra 
decem.  V'crbi  gratia:  ut  cum  debueris  diuidere  aliquem  numerum  {>cr  2 et  per  2,  di- 
uides  ipsum  j>er  4;  ideo  quia  bis  2 faciunt  4;  et  si  debueris  i|)sum  numerum  diuidere 
per  2 ct  per  4,  diiiidcs  eum  per  8;  ct  si  {)cr  2 ct  per  5,  diuides  cum  {>cr  10;  et  si  |>er 
3 cl  per  3,  diuide.s  eum  per  9;  et  si  jM*r  3 cl  per  5 numerum  «liquem  diuidere  no- 
lueris, diuidas  eum  ]>cr  pj  : ideo  quia  inultijdicatio  dc  3 in  5 surgit  in  I5,  quia  nu- 
merus maior  est  dc  10.  Vnde  melias  est  ut  diuidas  per  | quam  per  15. 

De  einlem. 

Item  si  uulueiis  multiplicare  ^ 12  ))cr  \ 23,  describe  quc.slioncm  ut  hic  ustcmliUir  , 
el  multiplicabis  12  jier  2 que  .sunt  .sub  iiirgiiia,  ct  addes  1 quod  est  .super  ipsa  2,  erunt 
medie  23.  Item  imiUiplicahis  23  per  S que  .sunt  siih  tiirgula,  ct  addas  3 que  sunt  stiper 
ijis^i  5,  erunt  quinte  iis  : muUiplirahls  ergo  medias  2.S  per  quintas  118,  erunt  medie 
quiiitc,  scilicet  di^irac  29dv:  quare  diuides  per  2 et  per  5,  tpie  sunt  sub  uirgulis,  huc 
est  per  10,  ucl  dcln^s  2950  diuidere  per  10;  quia  cx  duplo  de  ~ is  in  quincuplum  de  | 23, 
.scilicet  dc  2S  in  iis,  prouentt  decuplum  nuiltiplirationis  dc  ^ 12  in  | 23  , exibunt  integra 
203  ct  nihil  aliud,  ul  .siqK^rius  in  questione  demonstratur.  Poles  enim  summam  dicte  mul- 
tipliculionis  aliter  rrperire,  scilicet  ut  ante  quam  nmlliplices  2.S  per  118,  diuidc  25  por 
5 dc  uirgula;  cum  per  ipsam  integraliter  jHissint  cliuidi,  exibunt  s que  scrua;  ct  diiiide 
118  per  2 que  sunt  suh  uirgula;  cum  eorum  mediota.s  sit  integra,  exibunt  59,  que  mul- 
tiplica per  5 scruata  fuetunt  quinta  pars  do  25  enint  295,  que  sunt  .summa  dicte  mul- 
tiplicationis, ut  superius  reperUim  est:  et  hec  talis  est  uitatiu  multum  est  consideranda, 
per  quam  cuitatur  labor  imiUiplicandi  ct  diuidendi:  graiiius  enim  est  multiplicare  25 
per  118,  quam  5 per  59;  quorum  nmiliplicatumcm,  scilicet  dc  S in  50,  non  o]>urtet  per 
aliquem  ruptum  diuidere.  \ nde  cum  dclmeris  multiplicare  ali({iicm  miiiicruiii  jicr  aliquem 
iiumcnim,  ct  debueris  summam  illonim  |>er  aliquem  numerum,  «cl  numeros  diuidere,  per 
({ucm,  ucl  ]>cr  (pius  aliquem  iiumorurum  illorum  ptjissis  iiUogralitcr  diuidere,  studebis 
seiuj>er  diuidere  has  «pios  integraliter  diuidere  |H>teris,  ante  quam  multiplices:  dcin<lc 
multiplicabis  residuum  numerorum  ad  inuicem,  ct  diuide.s  per  ruptum,  ucl  per  ruptos 
*pii  lenianchuni  ex  cuitatione,  quod  in  .siMpienlibu-s  demonstrare  curabimus.  Sed  primum 
uolo  demonstrare  unde  talis  ciiitatio  pnKcdat.  Quia  ex  mullipliralionc  dc  25  in  iis  pro- 
uenit  decuplum  multiplicationis  de  ^ 12  in  | 23,  ut  habetur  per  ea  que  in  antecedente 


Digitized  by  Googie 


49 

muIlipUcatione  du\imus.  Krgo  ex  multiplicatione  quinte  partis  dc  iS  in  118  proucnicl 
quinta  decupli  triplicationis  de  | it  io  J 13,  scilicet  diuisum  ipsius  multiplicationis  : 
quare  si  multiplicetur  quinta  ss,  scilicet  5 per  dimidium  de  ti8,  scilicet  per  59,  pro* 
uenit  ijtsa  multiplicatio  dc  J is  in  { 83. 

Ve  eodem. 

Rvrsus  si  uolucris  multiplicare  ~ 13  {>cr  f 84,  descriptis  numerU  ut  liic  ostenditur, 
multiplica  I3  per  3 et  adde  8,  que  sunt  5U{ier  ipsa  3,  erunt  tertie  4i.  Item  multiplica 
84  per  eorum  regulam,  lioc  est  per  7,  et  adde  s,  erunt  septime  173,  quas  multiplica  cum 
41,  erunt  uigcsiine  prime  7093.  Quas  diuidc  |>er  3 et  per  7,  que  sunt  sub  uirgulis  po* 
sitis  sub  uiia  uirgula  sic  exibunt  integra  ^ 337:  dc  bac  enim  multiplicatione  non 
potes  aliquid  cuitare,  ideo  quia  4i  ucl  173,  nec  per  3,  nec  ]>cr  7 intcgralitcr  diuidutUur. 
Si  autem  |>er  pensam  noucnarii  cognoscere  uolucris  utrum  recta  fueiit  liec  multiplicatio, 
Ilei  non  : accijie  pensam  de  13  per  cimdcni  iiouenarium  que  est  4,  et  multiplica  eam 
l>cr  3,  (juc  sunt  sub  uirgula  post  i|)sa  I3,  erunt  is,  et  adde  8,  que  sunt  super  ijisa  3, 
enint  14,  dc  quibus  accijie  pensam,  que  est  5,  et  serua  eam.  Et  uidc  de  4i  si  jk?!!.*»! 
i()sorum  est  5,  sicut  modo  seruasti;  quia  tunc  scies  i|isa  4i  recta  esse,  si  pensa  eoium 
fuerit  s.  Tcasa  enim  de  4i  est  5,  ut  opjKirtet;  quare  scruabis  5 su|>er  4t,  ucl  post  ipsa: 
jKXstea  uidebis  per  camdciu  pensam  mmeuurii  de  173  si  recta  sunt,  uidclicet  multipli- 
cabis pensam  dc  84,  que  est  C per  7 que  sunt  sub  uirgula,  et  addes  5 que  sunt  super 
ipsa  7,  erunt  47,  quorum  pensa,  que  est  8,  serua.  Quia  talLs  debet  esse  (>ensa  de  173,  et 
Ita  est:  quare  pones  8 super  173,  et  multiplicabis  pensam  dc  4i  per  pensam  dc  173  , 
scilicet  5 i>cr  s,  erunt  lO;  de  quilius  extrahe  pensam,  remanet  i,  quod  est  i^ensa  summe 
multiplicationis:  seniabis  enim  ipsum  i sujtcr  summam  multiplicationis,  scilicet  super 
pj  337.  Et  multiplicabis  pensam  de  337  que  est  4 per  7,  que  suut  sub  uirgula  post  337; 
et  super  adde  s,  erunt  33,  quorum  pensa  que  est  6 multiplicabis  per  3,  que  sunt  su}>cr 
eadem  uirgula  post  7,  et  adde  i,  quod  est  super  ipsa  3,  erunt  19,  quorum  |>eusa  est  i, 
ut  pro  pensa  summe  multiplicationis  super  337  in  questione  seruatum  est:  ergo  recta 
est  dicta  multiplicatione  (ric);  nam  ordo  probandi  est  cum  inceperis  multiplicare, debes  in- 
cipere probare.  Vt  in  bac  multiplicatione,  cum  habuisti  41  ex  multiplicatione  de  13  in 
3,  duobus  super  additis,  debuisti  statim  |icr  pensam  cognoscere,  st  i{isa  4i  recta  esset  : 
similiter  et  cum  habuisti  173,  debuisti  cognoscere  per  pensum  si  recta  esset.  Iterum  cum  | 
multiplicasti  4i  per  I73, debuisti  c<^Tioscere  per  pensam, si  eorum  multiplicatio  recta  esset. 
Et  cum  habuisti  summam,  scilicet  337,  debuisti  cognoscere  similiter,  secundum  quod 
su}>crius  demonstrauimas,  si  illa  diuisio  rexia  esset. 

Ve  eodem . 

Iterum  si  uolucris  multiplicare  j 16  per  { 27 , descnpta  questione,  multiplica  ic  per 
eorum  uirgularo,  scilicet  per  4 et  adde  i,  erunt  quarte  q5,  quem  numerum  proba  per 
jMMisara  sic:  ut  si  per  pensam  septenarii  probare  uolucris,  diuides  lo  per  7,  remanebunt 
2,  qiic  multiplica  |H*r  4 dc  uirgula  et  adde  l,quod  est  super  4,  erunt  e,  que  diuidc  per 
7,  rcniaiieiit  2;  et  tot  debet  remanere  dc  G5,  st  diuidantur  per  7,  ct  tot  remanent.  Ergo 
pensa  de  6s  est  1,  cpie  serua  super  ftS:  deinde  multiplica  27  per  eorum  uirgulara,  erunt 
(juinte  137,  quu.s  |Mine  super  | 27,  ct  uidc  )>er  ])cnsam  de  7 si  i|Lsa  137  recta  sint,  sicuti 
uidisti  dc  os;  ct  re|»eric8  quod  {>en$a  dc  137  debet  esse  4 ct  ita  est:  quia  si  diuiseris  137 

7 


Rvnu*  ....  P^nui  • |lwi.  21  i>*. 
et*.  Um.  22-21>.  >>" 

4l7j. 


per  U 

$ 

!) 

41 

1*5 

.73(5 

{M>nM 

14337 

f» 

Itmiai  ---•  «riwijiN  • ir*'1-2l 
li».  3-|i)i  42.  I*»- 

16  . |.g.  liM.  X). 


6.S 


Digitized  by  Googie 


so 

]>er  7,  nimirum  4 remanebunt.  Quare  seruabis  4 super  137  pro  ipsorum  pensa:  deuide  mu)' 
tiplicabis  63  per  137,  erunt  uigesime  SMS.  Que  multiplicatio  si  recta  fuerit,  ita  per  eandem 
septeiiarij  pensam  cognosces:  multiplicabis  seruatam  pensam  de  65,  scilicet  i,  per  j>eiisam 
de  t37  que  est  4,  erunt  8,  cpie  diuides  per  7»  remanet  i:  et  tot  debet  remanere  de  8905 
si  diuidatur  per  7,  et  ita  fit.  Vnde  cognoscimus  quod  recta  est  illa  multiplicatio.  Postea 
diuide  8905  per  ruptos  qui  sunt  sub  uirgulis,  hoc  est  per  4 et  per  5 jxisitos  sub  una 
uirgula.  Tamen  diuide  prius  per  5;  ideo  quia  8905  integraliler  ()er  5 diiiiduntur,  eiibunt 
445  pro  summa  quesite  multiplicatiouis.  Que  diuisio  si  recta  est,  ita  debet  cogno> 
scere:  diuides  445  per  7,  remanent  4.  Que  multiplica  per  4 que  sunt  sub  uirgula  post  ipsa 
443,  et  adde  1 quod  est  super  i[xsa  4,  erunt  iV,  que  diuide  per  7 remanent  y,  que  mul- 
tiplica per  5|  que  sunt  sub  uirgula  }>ost  4,  et  adde  zephyrum  quod  est  super  5,  erunt 
is;  que  diuide  per  7,  remanet  i;  quod  i cum  sit  pensa  de  8905,  scimus  quod  prescripU 
diuLsio  recta  est.  Et  scius  <|uarc  s que  sunt  sub  uiigula  diuisiouis  post  4,  cum  super 
i|)sa  sit  0,  nihil  representant.  Ergo  descnpta  multiplicatio  est  > 445.  Posuimus  enim  i{isa  5 
sub  uirgula  ut  inucniretur  pensa.  Aliter  prumtius  potes  banc  eandem  multiplicationem 
cuitando  rc|>cnrc, scilicet  ut  diuidas  65  reperta  per  5 que  suiit  sub  uirgula, exibunt  I3,que 
multiplica  per  137,  ct  diuides  per  4 de  alia  uirgula,  exibunt  similiter  j 445,  ut  superius 
reperta  sunt.  Nam  sem]^>er  cum  debemus  alirjucm  numerum  |>er  4 ct  per  s diuidere,  hoc 
est  per  si  ipse  numerus  habuerit  consuescimus  ijtsum  prius  per  5 quam  per  4 di* 
uiderc,  propter  integram  ijksius  diuisionem,  sicuti  modo  fecimus  de  8905.  Et  si  numerus 
i|)se  per  4 integralitcr  diuiditur,  consueuimus  ijisum  prius  per  4 quam  per  5 diuidere.  Et 
si  numerus  ille  nec  per  4,  nec  ]>er  s integralitcr  diuidi  possit,  consueuimus  i|isum  di* 
uiderc  ]>er  ^ ; ideo  quia  quattuor  quinque  faciunt  20,  quorum  regula  est  Et  hoc 
facimus  pn>pter  pulchriorem  locutionem;  quia  pulchrius  est  dicere  quam  j- , quamuis 
idem  sint.  Similiter  debes  intelligere  dc  quibusdam  aliis  numeris,  scilicet  cum  debueris 
diuidere  aliquem  numerum  per  3 ct  }>er  4,  hoc  est  per  qui  numerus  non  diuidatur 
per  aliquem  i|isorum  integralitcr,  diuides  curo  per  quod  est  pulchrius.  Item  cum  de- 
bueris diuidere  |>cr  4,  et  per  4,  hoc  est  per  diuides  cum  per  |J.  Et  cum  debueris 
diuidere  per  3 cl  per  6,  boc  est  |)cr  diuides  per  ideo  quia  tantum  faciet  mul- 
lijtlicatio  dc  S in  9,  quantum  de  3 iu  6.  Item  cum  debueris  diuidere  per  4 ct  per  6, 
hoc  est  j>cr  JJ,  diuides  per  Et  cum  debueris  diuidere  per  i|,  diuides  per  Et 
cum  debueris  diuidere  |)cr  diuides  per  Et  cum  debueris  diuidere  per  di- 
uides per  fj;  ideo  quia  utraque  uirgula,  scilicet  cl  est  regula  de  36.  Sed  nos  di- 
ligimus plus  extremos  numeros,  qui  sunt  a decem  et  infra  in  compositionibus  nume- 
rorum, ct  ideo  pulchrius  est  quam  Et  hoc  idem  intclligas  dc  preccdciitihus.  Ve- 
nim  si  diuidere  uolueris  aliquem  numerum  |>er  aliquos  alios  numeros  infra  dccenarium 
exLstentes,  prelcr  hos  quos  superius  docuimus  coaptare,  cum  ipsi  coaptari  noii  possint, 
diuides  ipsum  per  ijisufi;  ut  si  dcbuciis  diuidere  eum  {>er  s,  et  per  7,  diuides  ipsum 
j>cr  , et  sic  intelligas  de  reliquis. 

Rvrsus  si  uolueris  multiplicare  | 18  per  ~ 94,  descripta  questione,  multiplica  18  per 
eorum  uii^ularo,  hoc  est  per  8,  ct  adde  3,  eniiit  147.  Item  multiplica  94  per  9,  ct  adde 
fuj.  n 4,  erunt  990.  Que  multiplica  per  I47  et  diuide  j>er  ruptos,  exibunt  j ^ 449,  quorum  pensa 

est  0 per  U.  Nam  si  dc  que  i>artes  sint  unius  integri  scire  uolueris,  multiplica  i quod 


Digitized  by  Googie 


81 

est  super  9 per  8,  et  adde  4«  erunt  it;  que  serua  pro  numero  denominante:  et  multi- 
plica 9 per  8,  que  sunt  sub  uii^^la,  erunt  7S  pro  denominato;  que  diuide  per  seruata 
la  exibunt  e;  de  quibus  6 dicas  } ; et  talis  pars  sunt  II  de  71:  similiter  talis  sunt 
I unius  integri.  Dicam  hoc  pulcrius;  quia  ex  multiplicatione  de  a in  9 surgunt  7i:  fac 
septuagesimas  secundas  de  uno  integro,  erunt  7i;  de  quibus  accipe  nonam  et  quattuor 
octauas  unius  none,  erunt  8 et  4,  scilicet  ii,  ut  habentur  ex  multiplicatione  de  i quod 
est  super  9 in  8,  additis  4 que  super  8.  l^rgo  sunt  Quare  proportio  de  ad  unum 
integrum  est  sicut  ii  ad  7i.  Sed  proportio  de  ti  ad  71  est  sicut  pro{>ortio  duodecime 
partis  de  ii  ad  duodecimam  partem  de  71,  lioc  est  de  i ad  6:  quia  ut  in  Euclide  re- 

peritur,  sicut  totum  ad  tutum,  ita  juirs  est  ad  partem:  est  enim  de  6 sexta  jmrs  que 

habetur  pro  summa  prescriple  multiplicationis  de  | 449. 

Aliter  jKissumus  banc  eandem  summam  euitandi  reperire:  sed  cum  debeas  multiplicare 
147  per  110,  et  |>06tea  diuidere  per  8 et  per  9,  multiplica  tantum  tertiam  partem  de  M9, 

que  est  49,  per  quartam  partem  de  iio,  hoc  est  per  ss,  et  diuides  summam  per  tertiam 

partem  de  9,  hoc  est  per  3,  et  per  quartam  de  8,  hoc  est  per  i.  Ergo  diuides  eoimni 
summam  per  6,  exibunt  j 449,  ut  superius  repertum  est.  Et  nota  cum  numerus  deno- 
minans comunicat  cum  denominato,  scilicet  numerus  qui  est  super  uirgam  cum  numero 
qui  est  sub  uirga,  tunc  debent  aptan  diuidendo  eos  {>er  maiorem  uuiacrum,  qui  est 
comunis  ulrisque,  a quo  ipsi  sunt  comunicantes.  Verbi  gratia:  habemus  ^ : sunt  enim 
e cum  9 comunicantes,  et  est  eorum  comunis  measura  ternarius.  Quare  diuides  utiaque 
eorum  per  3,  et  quod  ex  diuisione  superioris  proucnerit,  scilicet  i,  pones  su{)er  quamdam 
uirgam;  et  quod  egredietur  ex  diuisione  inferioris  pones  (sic)  ]>oncs  sub  ipsa;  et  habebis 
t •’  r«  quinarius,  scilicet  numerus  denominaas  comunis  mensura  eorum. 

Quare  si  diuidautur  utrique  numeri  }>cr  s,  scilicet  s et  lo,  proucniet  | pro  uptatioue  de  • ; 
et  hoc  iutelligas  in  similibus.  Est  enim  modus  inucniendi  maximam  comunitatem  quam  in- 
ter se  habent  numeri  comunicantes,  ut  diuidus  maiorem  per  minorem;  ct  si  ex  ipsa  diui- 
sione nihil  superauerit,  tunc  minor  numerus  erit  maxima  eorum  comunis  mensura,  ut  in 
et  si  ex  ipsa  diuisione  aliquid  superfuerit,  .serua  illud  pix)  residuo  [irimo  in  quo  diuides 
minorem  numerum;  ex  qua  diuisione,  si  nichil  supci-fucrit,tunc  residuum  primum  erit  co- 
munis mensura  numerorum  ut  in  quorum  comunis  mensura  est  i:  quare  diuisis  n per 
10,  remanent  l,  in  quibus  10  integralitcr  diuidunlur:  cl  si  ex  diuisione  minoris  numeri 
per  primum  residuum  aliquod  su{)erfuerit,  uucabis  illud  residuum  secundum:  in  quusi 
maior  numeras  integralilcr  diuidatur,  tunc  residuum  secundum  erit  comunis  mensura 
numerorum,  ut  in  quorum  comuuls  mcasura  est  4:  cpiia,  diuisis  10  per  ii,  remanent  8; 
in  quibus  diuisis  ii,  remanent  4,  iii  quibas  ti  iiitegraiitcr  diuidunlur:  et  si  ex  diuisione 
maioris  numeri  abquid  superfuerit,  uocabisque  eum  residuum  tertium,  in  quo  diuides 
minorem  numerum;  et  sic  semper  facies,  donec  aliquod  residuum  proucniat  in  maiori 
numero,  per  quod  iutegralitcr  diuidatur  minor,  ucl  donec  in  minori  proueniat  residuum 
]>er  quod  diuidatur  maior;  et  illud  residuum  erit  comunis  mensura  et  maxima,  ut  iii 
Euclide  apertis  demonstrationibus  declaratur. 

E-rpiteit  /Mrs  prima  sexti  capituli.  Incipit  seauida 
De  multiplicatione  numerorum  cum  pluribus  ruptis  sub  una  uirgula. 

Si  autem  13  et  tres  octauas,  et  dimidium  unias  octaue,  quod  sic  scribuntur  ^ t3,  uo- 


Ai  JIQ  ....  «il  luiani  * [M.tX 
• * ’ ' 

rrrfa.  I'6|  XO  . hu' 
Ai  — fmt.  51.  u.  T|. 


[p. 


|pen»A  «I  147 
1 prr  11  Qj 

* 18  i 


ISO 

i*» 


(s 


Digitized  by  Google 


qit*  »it  ....  Ilmt  n » (Cut. 
rr.fi.,  u.  ai-S9i  &t.  La. 
lilj. 


pcflM  r*t  2iS  /q 

3 PCMI  lil  13 


B7S 

i)  c» 

— ' 44 

iu 


■niai  a»nr  ■ ■ ■ . fw^ik  de  » 
4fvl.  4t  vrrt».  Illi-  l-lOi  |>'C. 
ii,  tio.  l3-44>. 


prttsa  os  I 
0 l>cr  ^ S5I9 
t«l  . 
:«ii 

5 N8UI) 


fr J n 


(■• 


St  a»i  oiirntlUuf  ( fui.  44 
vrrto,  lin.  ll}-44-,pM-  &4,  Ua. 
42  4IJ. 


luerui  multiplicare  prr  I4  ct  duas  nonas  , ct  Ires  rpiarUs  unius  none  , <|ue  sic  scri- 
buntur ^ 14,  describe  questionem  ut  hic  ostenditur.  Et  multiplica  13  per  8,  et  adde  3, 
erunt  oclauc  107;  que  multiplica  per  i,  que  sunt  sub  uirgula  per  8 et  adde  i,  qnod 
est  super  ij>sa  s,  erunt  scicdecime  sis;  quia  s et  8,  que  sunt  sub  uirgula,  insimul  mul- 
tiplicata, faciunt  18:  pone  ergo  iiS  suj>er  pj  13.  Similiter  multiplica  24  per  eorum  uir- 
gulam,  scilicet  per  0 ct  adde  2 que  sunt  super  9,  erunt  none  tis;  que  per  4 que  sunt 
sub  uirgula  post  9,  et  adde  3 que  sunt  super  4,  eruut  875  trigesime  sexte;  quas  pone  super 
— 24,  ct  multiplica  2is  j>cr  875,  ct  diuidc  per  numeros  qui  sunt  sub  uirgulis  utriusque 
numeri,  Loc  est  per  ucl  per  JJ-J,  quod  csl  pulchrius,  exibunt  320;  ct  sic  ]>otrris 

multiplicare  per  quemlibet  numerum  cum  duobus  ruptis  sub  una  uirgula  per  qucinlil>€l 
numcnim  cum  duobus  ruptis  sub  alia.  Item  si  | 14  et  tres  undecimas  et  tres  octauas  unius 
undecime  ct  dimidium  oclauc  unius  undecime,  que  sic  scribuntur  •*  * 14,  multiplicare 

uolucris  per  25  ct  quattuor  Ircdecimas,  ct  duas  nonas  unius  trcdecime,  ct  tertiam  unias 
none  dc  una  tredccima,  que  sic  scribuntur  ^;25,  describe  questionem,  ut  liic  osten- 
ditur; ct  multiplica  14  per  eorum  uirgulam,  hoc  est  |M*r  ii,ct  adde  3;  que  pers,  ct 
adde  3,  que  sunt  super  8;  que  per  2 ct  adde  l,  erunt  centesime  septuagesime  sexte 
2519,  quas  pone  .super  * \ 14.  Similiter  multiplica  25  per  eoi-uin  uirgulam,  erunt  trecen- 

tesime quinquagesime  prime  8890,  quas  ]>une  .suj>cr  25:  et  multiplica  2519  per  88M, 
erunt  223930to;  que  diuidc  per  rclhjuos  ruptos  qui  sunt  sub  utraque  uirgula,  scilicet 
jHur  , exibunt  362  : cjuia  cum  dc  J euitutur  remanet  \ . Quam  multiplica- 
tionem, si  per  i^tLsara  de  7 probare  uoluciis,  accipe  pensam  de  j ■ * - i4,quc  sic  acci- 
pitur: multiplicabis  pensam  dc  14,  que  est  o,  per  pensam  de  ii,quc  est  4,  ct  adde  3, 
que  .sunt  super  il,  erunt  3;  que  multiplica  per  pensam  dc  8 que  est  l ct  adde  3,  que 
sunt  super  8,  erunt  o;  que  multiplica  per  2 que  sunt  sub  uirgula  et  adde  i,  quod  est 
super  2,  erunt  13,  quorum  jwnsa,  que  est  6,  est  pensa  dc  Eademque  uia  ct 

ordine  accipe  pensam  de  [ * 25,  et  inucnias  eam  esse  o,  que  multiplica  per  6,  scilicet 

|>cr  pensam  dc  * [ I4  modo  inuentani,  erit  o,  quod  est  pensa  summe  multiplicationis. 
Viide  uideos  si  {>cn.sa  de  ^ ^ * "h~ll  recta  erit  multiplicatio;  et  intellige 

pensam  de  I3,  et  suis  fiuctionibas,  scilicet  C esse  pensam  numerorum,  scilicet  de  2519 
et  pensam  dc  2.5  et  suLs  fructiuiiibus,  scilicet  o,  est  j>cnsa  dc  8890:  «piare  pensa  que  pro- 
uciiit  dc  6 in  o,  scilicet  o,  est  pensa  multiplicationis  de  2.ii9  in  889u. 

Si  uis  multiplicare  i$,  ct  tertiam  ct  quartam  unius  integri,  que  sic  scribuntur  cum 
duabus  .separatis  uirgulis  i i per  ct  quintam  ct  sextam,  que  sic  scribuntur  f | 86, 
describe  qucsliuncm  ut  liic  ostenditur,  et  multiplica  15  per  3 que  suut  sub  prima  uir- 
gula ct  adde  i,  quod  est  super  3,  erunt  tertie  46;  quas  multiplica  per  4 que  sunt  sub 
alia  uirgula,  erunt  dmxlecime  I84,  super  quas  adde  niulliplicutioncm  dc  i quod  est  su|>er 

4 in  3:  quia  quarta  cqualur  tribus  dufKlecimis,  erunt  similiter  duodecime  i87,  qua.s  jKjnc 

ili  qucsliuiic  super  1 1 is.  Similiter  multiplica  26  per  suas  uirgulas,  lioc  est  per  5,  ct  addes 
1,  quod  est  su|>er  5,  erunt  xxx.*""  791,  quas  pone  super  ic;  ct  multiplica  I87  j>cr79i, 
erunt  147917;  que  diuides  per  omnes  numerus  qui  sunt  sub  uirgulis,  scilicet  }>cr 
qui  coaptati  reuertuntur  in  exibunt  4io,  ut  in  questione  ostenditur. 

liem  si  uolucris  multiplicare  | y !6  cum  n J 27,  descripta  questione,  multiplica  iC|>er 

5 et  adde  3;  que  omnia  multiplica  per  9,  et  adde  multiplicationem  dc  2, que  sunt  super  9 iu 


Digitized  by 


Googie 


53 

s,  eruni  757,  que 
que  multiplica  75 

ruptos,  exibuot  467.  Quam  multiplicationem,  si  per  pensam  de  7 probare  uolucris, 

accipe  pensam  de  ||  te,  que  sic  accipitur:  multiplicatur  pensa  de  I6,  que  est  s,  per 
5 de  uirguin,  et  suj>cr  adduntur  3,  que  sunt  super  s,  Ount  13,  qiionim  pensa,  que  est 
6,  multiplicatur  per  |>cnsam  de  9 que  est  1,  fiimt  it;  super  que  additur  multiplicatio 
de  t,  que  sunt  super  9 in  S,  fimit  29,  quorum  pensa,  que  est  1,  est  pensa  de  I6.  £t  tot 
debet  esse  j)cnsa  de  757  et  ita  est.  Item  aad|KJ  j»ctisam  de  - } S7  que  accipitur  secundum 
quod  accepimus  ipsam  de  1 1 et  iiiucnics  pensaro  ipsorum  esse  4,  que  4 surit  pensa 
de  2447.  Multiplica  ergo  1 per  4,  erunt  4,  que  4 sunt  |>cnsa  summe,  scilicet  de  * * 467. 

**  > II  [wrles  unius  numeii  reduccic  uis , multiplica  11  per  10,  et  eorum 
summam  multiplica  {>er  9,  et  hoc  totum  per  4,  erunt  3M0,  qui  numerus  est  dciiominalus: 
pone  ergo  ipsum  sub  quadam  uirga,  et  multiplica  s que  sunt  sub  11  per  10,  et  addes 
4,  que  sunt  su[>er  10;  que  omnia  multiplica  per  9,  et  adde  8,  que  sunt  super  9;  que 
per  4 et  adde  3,  que  sunt  super  4,  erunt  3059,  qui  nuraenis  est  denominatus.  Quare 
pones  cum  su|>er  uirgam,  et  habebis  pro  re  quesiia.  Jlcm  si  uis  multiplicare  ^ 17 
per  -pj  j 28,  multiplica  integra  per  eorum  uirgas  ordine  vsuprascriplo;  et  habebis  pro  su- 
perion  numero  1241,  et  pro  infcrioii  numero  i448  ; quos  numeros  debes  insimul  mul- 
tiplicare, et  summam  per  omnes  ruptos  diuidere,  scilicet  |>cr  Et  quia  coimmicatio 
inter  numerum  diuidendum,  et  diuidentero,  hoc  est  inter  miineros  multiplicantes  et  nu- 
meros qui  sunt  sub  uirga,  debes  immitari  modum  cuilatioiiis  supradictum,  uidelicet  ac- 
cipies Y:  * scilicet  73  pro  uno  ex  multi{dicationibus  (w)  numeris,  propter  quod 

relinquemus  I7,  que  sunt  sub  uirga.  Item  accipies  ^ de  1448,  | scilicet  isi  pro  alio;  et 
relinques  -J  de  uirgula.  Ergo  multiplicabis  73  per  I8I,  et  diuides  summam  per  reliquos 
iiumci’os,  qui  sunt  sub  uirga,  scilicet  (>er  exibunt  489  pro  quesita  multiplicatione: 
cuius  summae  probam  accipies  ex  proiKt  de  73  et  de  isi;  cum  eorum  multiplicationis 
summa  sit  diulsa.  Nam  pro  { dices  j;  pro  j-J  dices  J et  tertiam  none.  Item  habemus 
in  quadam  uirga  hoc  pronuntiabis  ita:  pro  dices  et  pro  f dices  «(uartam 

dctumc;  et  pro  | dices  dimidium  octaue  decima;  et  pro  | dices  dimidium  sexte  octauc 
decima;  et  hoc  contingunt  propter  comunitates  quas  haWnt  supciiores  numeri  cum  in- 
ferioribus. Et  notandum  quod  multe  fractiones,  que  sunt  sub  diuersis  uirgis,  passunt  re- 
duci ad  unam  uirgam,  scilicet  ad  j)arlcs  unius  numeri,  ut  iu  suo  demuiLstrabitur  loco. 
Sed  Ilie,  qualiter  duc  fractiones  que  sunt  sub  duabus  uii^is  couiunguntur,  duxi  neces- 
sarium demonstrare:  multiplicabis  numerum  qui  fuent  sub  prima  uirga  per  numerum 
qui  fuerit  sub  secunda;  et  quot  pioucnict,  |kmics  sub  quadam  uirga:  deinde  multipli- 
cabis numerum  qui  est  super  piimam  uiiguin  jier  numcium  qui  est  sub  secunda;  et 
numerum  <pii  est  super  sccuudan\  multiplicabis  per  numerum  ({ui  est  sub  piima;  et  has 
duas  multiplicationes  cuniuiiges  ; et  quot  prouencrint  pones  super  uirgam,  et  habebis 
optatum.  Verbi  gratia:  uolumus  addere  ~ cum  multiplica  2 per  5 que  sunt  sub  uirgis, 
erunt  to,  que  (»onc  sub  quadam  uirga;  et  multiplica  1 quod  est  super  2 per  5,  et  2 que 
sunt  super  5 per  2 que  sub  uirga,  erunt  5 et  4,  scilicet  9:  que  9 pone  super  uirgam, 
et  habebis  ^9  l s*  Aliter  fac  de  uno  intcgni  decimas,  erunt  decime  tO:  quare  pro 
\ habebuntur  y«  » et  pro  {habebuntur,^;  et  sic  pro  { et  { habeutur  ut  prediximus. 


pone  super  | } le.  Itera  multiplica  27  i>er  suas  uirgulas,  enmt  2442,  per  « ••••  ,^-unJtMn  • a 

. }•  • } . ‘I*  . l•Dlt  . » iifi.  tX  iMc.  42.  Im. 

, et  diulues  summam  per  omnes  ruptos,  scihccl  per  et  c<»apta  i»*.  54,  i,«.  •). 


Digitized  by  Googie 


51 

El  f[uamuU  per  os  duos  modos  possunt  quelibet  due  fracUoues  duarum  uirgarum  ad 
unam  reduci  uirgam;  tamen,  qualiter  in  fractionibus  que  habent  sub  uirgis  numeros  co- 
municantes,  subtilius  procedere  edocebo.  Vt  si  uolueris  | ^ in  unam  uirgam  reducere; 
quia  3 et  0,  que  sunt  sub  uirgis,  comunicant  inter  se,  et  est  ternarius  eorum  cornu* 
nicatio,  diuide  unum  ex  ipsis  numeris,  scilicet  3,  ucl  9 per  3,  scilicet  {>er  eorum  co* 
munem  mensuram;  et  quod  prouenict  multiplica  per  alium  numerum , et  prouemeot  9 
pro  numero  denominato.  Verbi  gratia:  multiplicata  quidem  tertia  parte  de  3,  scilicet 
I per  9,  ucl  multiplicata  tertia  |>arte  de  9 ]>er  3,  nimirum  ex  qualibet  multiplicatione 
prediclarum  9 proucnient:  ponas  ea  sub  quadam  uirga,  et  multiplica  t,  quod  est  super 
3,  j>er  tertiam  partem  de  g,  erunt  3 que  scrua  in  manu;  et  multiplica  i que  sunt  $U(>er 
9 per  tertiam  partem  dc  3,  scilicet  per  i,  erunt  9;  que  adde  cum  3 scruatls,  enuit  5; 
que  pone  super  uirgam  sub  qua  posita  sunt  9,  et  habebis  | pro  ^ * . Item  uolurous 
addere  | |:  quia  binarius  est  comunis  de  4 et  de  6,  multiplica  dimidium  de  4)>cr6, 
ucl  dimidium  de  6 ]>er  4,  uel  accipe  dimidium  multiplicationis  dc  4 in  6,  et  habebis  ix; 
<{ue  pone  sub  quadam  uirga,  et  multiplicabis  3,  que  sunt  super  4,  per  dimidium  de  C, 
que  sunt  super  6,  per  dimidium  dc  4;  ct  Iiabcbis  9 et  10;  que  insimul  iunge,  erunt  19; 
que  19  (Minenda  esset  su(>cr  ix  (xisitis  sub  uirga,  si  esset  minus  quam  IX:  sed  quia  sunt 
plus,  diuides  19  per  ix,  exibunt  coniuiictionc  dc  J j.  Et  nota  cum  sub  duabus 

uirgulis  ponuntur  numeri  comunicanles,  uel  ex  quorum  multiplicatione  non  proueniat 
ultra  decem,  tunc  ()ro(iter  dictam  doctrinam  debes  ipsas  fractiones  reducere  ad  unam 
uirgam,  et  ipsarum  habere  loco  illarum  duarum  uirgularum,  ut  in  sequentibus  demo* 
strabo.  Sed  (>onam  prius  in  subscriptis  tabulis  duas  fractiones  quas  aptare  debes;  et 
ante  eas  ponam  aptaliones  carum,  et  incipiam  a j ct  ~ que  suiit  l:  deinde  secuunlur 
~ \ que  sunt  | ct  celera,  que  in  sequentibus  tabulLs  describuntur. 


5 

1 MU« 

i 

» 

t 

% 

i . i«ko 
!•  • 

“ 

t 

S 

1 ^ 

1 

i 

T 

1 

t 

4 

» 

A ' 

1 

f 

!• 

A 

1 

1 

; 1 

i 

t 

t 

> 

< 

t 

t 

» 

% 

1 

1 

t 

T 

t 

t* 

1 

> 

1 

♦ 

« 

* 

1 

t 

r * 

T 

1 

1 

f 

r 

to 

'i 

? 

? 

S 

1 

1 

« 

t 

t 

t« 

i 

• 

• 

II  < 

Digitized  by  Google 


55 


Nulis  ila<jue  proscriptis  uirguUrum  attationibus  ; ot  proponantur  multiplicare  § 
per  I j 13:  multiplicabis  | tl  per  ~ 11.  Similiter  si  tiis  multiplicare  | f pci*  adde 
primum  J cum  erunt  ~ i,  hoc  est  ; qiuxl  adde  cum  ii,  cnint  ^ 13:  similiter  adde 
^ cruut  j : ergo  multiplicabis  1 I3  per  ^ 13>  et  sic  intelUgas  iu  similibus. 


Incipit  pars  quarta. 

Si  uis  multiplicare  n el  quinque  octauas  et  dimidias  octaue  et  duas  nonas  et  quintam 


uone  per  ss  quattuor  undecimas  ct  tres  o<-Uuas  .xi.*  « et  quintam  ct  duas  quiutas 
«piinte,  scribe  uumeros,  ut  in  margine  cernitur)  et  multijdica  17  per  quam  primam  uii^am, 


scilicet  ]>cr  h,  et  adde  s;  quod  totum  per  s et  adde  i,  erunt  1S3;  que  multiplica  per  muneros 


qui  sunt  sub  secunda  iiirga,  scilicet  per  1)  ct  illud  totum  per  s,  erunt  11735:  nunc  proba 
si  rcctc  multiplic^asti,  scilicet  )>cnsam  de  n,  que  est  3«  |H?r  septenarium  multiplica  {>cr 


(■•I.  rrrf». 


$i  MM  •••.  14  <ir. 

e*«,  li«-  i'l5|  p*K-  !>■>.  C 
— 56.  I>n-  lit. 


Digitized  by  Coogie 


(v«uin  . ■ ('roliarf  • t4 

rrtta.  Ua.  IS>2$i  j>a(.  46.  ba. 
II-IO). 


1 I » 9 2 D 0 


I s I g » i 
r « ( T « 10 


to 


< U 7 0 3 I 9 
nt  >u 

■|»f  6«* 

S 4 S t « l » 


8«  MI aa>»r*<'  • 

rrfto.  tia.  St-26i  pig-  Mi  Im. 
S«42>. 


I t 9 

■»  V T 


32 


5 t T > ♦ 

« t • 9 (• 


713 


e 

0 


S6 

]»cnsain  dc  8,  que  est  i,ct  adde  5 que  sunt  super  6; quorum  pensa,  scilicet  1,  multiplica  per 
8 ct  adde  i,  <juod  est  su|>er  8,  erunt  3,  que  sunt  pensa  de883;  quam  multiplica  per  pensam 
de  g,  erunt  6;  que  multiplica  {>cr  5 que  sunt  sub  uirga,  cnmt  30, quorum  pensa  est,  scilicet 
s,  est  pensa  inuenti  numeri,  scilicet  de  12735  : deinde  multiplica  t que  super  0 per  5, 
el  adde  1,  quod  est  super  ipsa  5;  que  per  2;  que  per  8 que  sunt  sub  prima  uirga,  erunt  176; 
dc  quibus  accipe  probam  sic:  multiplica  2 que  sunt  super  8 per  5 et  adde  1,  erunt  11; 
quorum  probatio,  scilicet  4,  multiplica  j>er  2,  erunt  8;  quorum  proba,  que  est  1,  multiplica 
per  probam  de  8,  proueniet  1;  et  tot  debet  esse  proba  dc  170:  ct  quia  ita  est,  scimus 
176  recta  esse:  adde  ergo  ea  cum  1273S,  erunt  12911,  quorum  proba  est  3,  que  proucnit 
ct  additione  probarum  iunctorum  numerorum:  senia  ergo  ca  super  17;  studeas  ordine 
rodem  muitiplican;  28  per  suas  uirgulas,et  proucnicut  63091;  senia  ergo  super  28, ct  probam 
curuin  similiter,  que  est  O;  et  mulliplic;i  12911  per  63091  diuidc  per  omnes  numeros  qui 
sunt  sub  4 uirgis,  ct  apta  uirgiilam;  cl  habebis  qucsiUim  summam,  ut  iu  questione  ostendi- 
tur: cuius  summe  prol>a  est  quod  proucnit  ei  multiplicatione  seniatarum  probatarum  in  se. 
Rursus  si  uis  miiUiplicarc  19  per  23;  ct  multiplica  19  per  suas  uirgulas, 

scilicet  per  10,  ct  adde  3 que  sunt  super  lO;  que  per  9 et  adde  2 que  sunt  super  9;  que 
per  7 ct  adde  s que  sunt  super  7,  erunt  12175;  que  multi]>lica  |>cr  8;  que  per  o;  que  per 
2 que  sunt  sub  secunda  uirga,  erunt  1168S00,  quorum  prolm  j>cr  pensam  de  it  est  6 : 
scrua  ea,  cl  multiplica  i,  quod  csl  5U]>cr  8,  per  6 et  udde  5 que  sunt  super  6;  que 
2 et  adde  1 quod  cstsiij>cr  2,  erunt  23;  que  multiplica  per  7;  que  per  9;  que  {icr  10  que 
.sunt  sub  prima  uirga,  erunt  14490,  quonim  proba  per  11  est  3:adde  ergo  14490  cum  seruatis 
1 108800,  erunt  ns3290,  quorum  proba  est  9,  ul  colligitur  ex  c et  3,  que  sunt  probe  liomm 
dictorum  numerorum.  Multiplica  ergo  11S329  per  1070319  que  proueniunt  ex  multiplicatione 
dc  23  in  suas  uiigas,  et  eorum  proba  per  11  est  4:  ct  diuides  summam  per  numeros  qui 
sunt  sub  omnibus  quattuor  uiigis:  ut  si  uis  cuitare  comunilalcs  quas  liabent  numeri 
luulliplicantcs  cum  diuidentibus , accipe  ~ dc  1183290;  ct  dc  decima  accipies  tertiam 
partem,  nenient  39443.  Similiter  diuide  ioo4so9  i»cr  3,6111111  354953;  que  multiplicabis  jK^r 
39443,  et  diuides  summam  per  omnes  ruptos  prodictos,  extractis  cx  eis  est 

et  studebis  aptare  ruptos  online  supntscripto;ct  lialrebis  quesitam  summum,  ut  in  questione 
osleudilur.  Kt  si  ipsa  probare  uulueris,  multiplica  probum  de  39443  per  probam  de 
334953,  ct  balicbis  probum  quesite  summe. 

Incipit  fxtrs  (piinta. 

.Siuis  multiplicare  21  et  | et  7 et  J per  32  ct  f ct  ' cl  {,  describe  numeros  ut  in 
margine  cernuntur;  et  multiplica  Si  |>cr  3 et  adde  1 quoil  est  super  3,  erunt  64;  que 
|>cr  4;  que  j>er  s que  sunt  sub  uirgis  ucl  in  una  multiplicatione;  multiplica  64  per  20, 
erunt  1280  sexagesime;  ct  1 quoil  est  su|>cr  4 quml  est  quarta,  multiplica  {>cr  5 que  sunt 
sub  tertia  tiiiga;  que  per  3 rjuc  sunt  sub  prima,  erunt  sexagesime  15.  Item  1,  quod  est 
super  5 quod  est  quinta, multiplica  ]>cr  4 que  sunt  sub  secunda  uirga;  que  per  3 que  sunt 
sub  prima,  erunt  sexagesime  12:  adde  ergo  I2S0  ct  I5  ct  12  sexagesimas,  erunt  sexagesime 
1307;  ct  tot  sexagesime  smit  in  | ; 21;  quorum  prol;a  per  ii  est  9,  que  habetur  ordine 

quo  rauUiplicaulur  nuracri.  Similiter  fac  sua  minuta  de  -j  1 1 32,  scilicet  multiplica  32 
per  7 el  adde  3 que  sunt  super  7;  que  per  9;  que  per  3,  erunt  10844  quingentesime  quarte. 
Item  2 que  sunt  super  0 mulltplica  per  8;  que  (>cr  7,  erunt  112  similiter  quingentesime 


Digitized  by  Googlf 


S7 

(juarlo.  liem  i ijutHi  «*st  suj>rv  8 multiplica  per  9,  cruul  9 septuagesime  secunde,  <juas 
inultiplicA  per  7,  enint  03  quingcnlejsimc  (piQrle,<pnbus  additis  cura  quingentesimis  quartis 
ns  et  cum  10344,  erunt  losi9  quingentesime  quarte,  quarum  pruba  ]>er  ii  est  8;  deinde 
multiplica  1307  |>er  16519,  et  diuides  summam  per  sexagies  quingenta  4.*%  boc  est  per 
4Hnne.s  numeros  qui  sunt  sub  .sex  uirgis,  scilicet  per  rT"^T  scilicet  de  j-J 

fac  — , et  de  fac  d;  et  sic  habebis  pro  aptatione  uirgule  f-J-jo»  et  summa  quesilc 
multiplicationis  est  in  questione  ostenditur.  Et  memento  ut  in  similibus 

imiiquam  jKJiias  sub  uirgis  unius  lateris  numeros  sibi  inuicera  comunicantes:et  si  ab  aliquo 
tibi  pro|M)sili  fuerint,  adde  eos,  scilicet  redige  cos  in  unum  iiirgam  si  |Hitens,  ucl  in  duas, 
[ter  doctrinam  c|uain  l>abes  superius, et  per  ea  que  sunt  in  tabulis  siipniscnptis:  sed  ul  hoc 
melius  intcliigas,  pn>}x)nam  quasdam  aplationes  uirgulanira:  ut  si  iits  aptare  J ^ de 
5-y  fac  [,  et  de  J J fac  ?;  et  sic  pro  \ \ jbaliesJ.  Itera  pro  5 | habebis  *;  quia  ~ | 
sunt  t et  I ^ sunt  |.  Rursus  pro  1 1 ^ habentur  et  pro  ^ | [ habentur  quia  \ | sunt 
J et  J J sunfjjel  pro  J J J habentur  f };  et  pro  J | habentur  J;et  pro  { j } habentur 
\ et  pro  \ J liabeutur  lioc  est  ; cl  si  uis  aptare  J { j,addc  primum  | cum  ;j  enint 
~i  deinde  adde  ^ scilicet  multiplica  dimidium  de  B {>er  18,  uel  dimidium  de  18  per  8, 
seu  accipe  dimidium  multiplicationis  de  8 in  18,  et  prmieniunt  72  quodeumque  feceris  de 
predictU  senia  ea  sub  quadam  uirga  pro  numero  denominato;  deinde  ut  habeas  niimenim 
denominantem,  multiplica  <,  quo<l  est  super  8,  per  dimidium  de  18  cl  5 que  sunt  su|M?r  is 
|>cr  dimidium  de  8,  uciiient  9 et  20,  hoc  est  29  pro  numero  denoraiiianle:  pone  ergo  ea 
su{>cr  72  et  habebis  pro  J’  pro  J j ucl  aliter  iiiuento  numero  denominato  qui  culuropiia 
uocatur  a multis;  cum  sil  minimus  iutegraliler  diuidere  per  6 et  per  8 et  per  9,  scilicet 
72,  accipe  ex  eis  J et  | et  j,  exibunt  12  et  9 cl  8,  scilicet  29  pro  numero  denominante. 
Et  si  J*  redigere  uis  in  partes  partium  de  72,  diuidc  29  per  regulam  de  72,  exibunt  JJ, 
quam  uii^am  habeas  loco  de  ; ^ f • 

Irem  si  uls  aptare  ^ inucnias  minimum  mensuratum  nurneromm  s et  8 et  lo,  huc 
est  minor  numerus  qui  iutegraliter  diuidalur  per  unum  quemque  eorum,  erilque  lio:  |x)ne 
cum  sub  quadam  uirga,  et  acci|ic  i 120,  erunt  20  ct  15  ct  12,  que  adde  simul, 
cniiU  47,  que  pone  suj>er  uii^am  sic  —5:  et  si  ea  in  partes  partium  de  120  redigere  uis, 
diuidc  47  per  regulam  dc  120,  cxihiiul  * ,*  quam  uirgam  haliebis  pro  i J.  Comenda 
itaque  hcc  omnia  tenaciter  meraorie;  ct  sic  rcucrlamur  ad  prn|>ositum. 

J)e  multipricatione  integrorum  cum  tribus  uirgis  et  duoims  ruptis  sub  uirga. 

Si  uis  multiplicare  23  et  duas  septimas  et  duas  tertias  septime  et  duas  nonas  ct  octa- 
iiara  none  ct  quintam  et  duas  quinta.s  quinte  |)cr  32,  et  quinque  tredecimas  et  quartani 
tertie  decime  et  tres  decimas,  et  duas  quintas  x*  et  quinque  septimas  decimas  ct  dimi- 
diam septime  x*,  j>onc  numeros  ut  ia  margine  cernuntur,  et  multiplica  23  per  primam 
suam  uirgam,  scilicet  per  7,  et  adde  2;  que  per  3,  et  adde  8 fjue  sunt  super  3,  erunt 
491;  que  multiplica  jicr  9;  que  per  8;  que  j>er  s;  que  per  $,  que  sub  reliquis  duabus 
iiirgulis,  emnt  883800  ; (piorum  ]>ensa  per  pensam  de  11  est  5.  Item  multiplica  2 que 
sunt  super  9,  per  s que  sunt  sub  eadem  uii“ga;  et  adde  i <piod  est  sii)>cr  s,  enint  47; 
que  multiplica  per  5;  (pie  per  5,  que  sunt  sub  tertia  uirga,  erunt  42s;  que  per  3,  que 
per  7 que  sunt  sub  prima  uirga,  erunt  8925;  (piorum  proba  csl  4 : post  hcc  multiplica 
4,  quod  esi  sujier  5,  per  s que  sunt  sub  eU  retro,  ct  adde  2 cninl  7;  que  multiplica 

8 


l«r  5 f*T  iiM*  • (fi*l.  21 

K».  20-39;  |Mg  97.  t>»- 
41  90,  li«.  u;. 


> 3 3 0 9 
il  •*  ^ 

I»  ■»  *T 
2923156 
is  » I j t_ 

tj  I I*  4 It 
t I 1 


32 


(2 

i 

(5 


i»  7 < I»  !♦  1«  10  It 


Digitized  by  Googie 


ii 

l>cr  i'f  que  per  9;  que  per  7;  que  per  7 que  sunt  sub  secunda  et  prima  uirga,  cnmt 
10584,  quorum  pensa  est  s:  adde  primum  tres  inueutas  pensas,  ut  7 et  4 et  2,  ciiint  ii,  quo> 
riim  |>ciisa  est,  scilicet  o : scrua  et  adde  postea  tres  inuentos  numeros,  erunt  905309  , 
quorum  pensa  est  o <{uod  seruasti,quam  pensam  rcc^uires  in  predicto  numem  &ic:diuisi5  de 
primum  90,  scilicet  numerum  duarum  ultimarum  figuranim  per  ii  , remanent  i;  quibus 
copulatis  cum  tribus,  que  sunt  in  quarto  gradu,  faciunt  S3;  quibus  diuisis  per  li,  re* 
manent  l:  quo  copulato  cum  3 tertii  gradus,  faciunt  13}  quibus  diuisis  per  ii,  remanent 
2}  quibus  copulatis  cum  o secundi  gradus,  eiiint  20j  quibus  cliuisis  per  ii,  remanent  2; 
quibus  copulatis  cum  9 primi  gradus,  faciunt  99;  quibus  diuisis  per  ll,  remanent  0 ut 
0{H)rtel:  et  hic  est  modus  inuestigaudi  probas  iti  numeris:  senia  ergo  903309,  ct  eorum 
u proba  super  23:  deinde  multiplica  32  per  suas  | uirgos  oitlinc  quo  muUiplicasti  23  per 

suas,  ucnient  2923156;  serua  ea  cum  eorum  |>ensji  (pic  erit  S su{>er  32;  cl  multiplica  903309 
|ier  2923150,  cl  diuide  per  omnes  numeros  qui  sunt  sub  uirgisr  sed  primum  propter  eui- 
talionem  qua  neri  potest,  diuide  903300  per  3,  ucnicnl  30ii03;  ct  diuide  2925156  per  4, 
ucuient  T30789,  qtic  multiplica  per  3oil03,  et  dele  de  diuisiouc  3 que  sunt  sub  prima 
su|)orioruin,  cl  4 que  vsunt  sub  prima  uirga  inferiorum,  cl  reliquos  numeros  apta  sui» 
una  uirga,  quorum  aptatio  est  S lV~t»  iV<^  n~u*  habebis  summam  quesitara, 

ut  in  questione  ostenditur.  £t  quia  hanc  summam  habuisti  diuisiune  numeri  pro> 
creati  ex  multiplicatione  de  30ti03  per  730789,  debe^  ]>cnsam  ipsius  summe  habere  ei 
multiplicatione  pense  do  30H03  que  est  o , in  pensa  de  730789  que  est  4 : quare  est 
summe  pensa  suprascripte  est  o;  quia  multiplicato  o per  4 facit  o. 

De  einiem  cum  tribus  uir^is  sub  unaquufjue  uirga. 

Irem  si  tres  ruptus  sub  unaquaque  uirgula  ponere  nolueris,  et  in  bac  in  qua  poni- 
tur mulliplicatio  dc  jIj  nn  **  iTT  tH  2*»  descripta  quc-slionc,  mulliplicalis 
11  per  primam  suam  uirgulam,  erunt  2705;  que  nuiitiplira  per  omnes  numeros  qui  sunt  suh 
alLLs  suis  duabus  uirgulis,  erunt  3C5IT500,  que  scrua:  et  multiplica  3 que  sunt  super  lO  de 
secunda  uirgula  per  0,  et  adde  2;  que  multiplica  per  2, et  adde  l,  erunt  59,  que  multiplica 
per  numeros  qui  sunt  sub  aliis  duabus  uirgulis,  scilicet  sub  tertia  et  sub  prima,  cniut 
1053150  que  serua:  deinde  accipe  numerum  tertie  uirgulc,  scilicet  multiplica  i quod  est 
super  5 per  alia  5,  que  sunt  post  ipsa,  et  adde  2;  que  per  3,  ct  adde  i,  erunt  22,  quo 
multiplica  per  omnes  miincros  qui  suat  sub  aliis  duabus  uii^lis,  scilicet  sub  secunda 
et  sub  prima,  eniiil  942480:  adde  ergo  942480  cum  1053150  ct  cum  36517500  , erunt  38513139, 
que  pone  super  li  ct  suas  uirgulas:  deinde  multiplica  22  per  suas  uii'gulas,  stciili  moilo 
multiplicasti  tt  {ler  suas,  erunt  in  sumina  i45iS87io,  que  pone  super  22  et  suas  uirgulas; 
et  multiplica  3S513130  per  145288710,  ct  diuide  per  omnes  mptos  qui  sunt  sub  omnihus 
uirgulis,  et  habebis  summam  quesite  multiplicationis.  Num  si  cuitare  uolueiis  ea  que 
inde  cuitari  possunt,  diuide  38513130  per  lO,  que  suiit  sub  secunda  uirgula  inferiori  la- 
tere : ideo  quia  inlegralitcr  {>otcs  fieri,  cxihunt  3851313;  que  diuide  per  3 que  sunt  suh 
tertia  uirgula  superioris  numeri, exibunt  1283771  que  scruabis;  ideo  quia  non  |>ossunl  diiiidi 
per  aliquem  numerum  existentem  sub  aliqua  suprascripturum  sex  uirgularum,  ct  relinques 
quod  non  diuides  per  3,  nec  per  lO,  in  quibus  modo  diuisisti:  deinde  diuidet  145288710 
per  10,  que  sunt  in  prima  uirgula  inferioris  numeri,  et  per  7 ct  per  g que  sunt  suh 
secunda  uirgula:  quia  in  cis  inlegralitcr  diuidi  possunt,  exibunt  230617;  que  multiplica 


• »■  ••••  • |luJ-  24 

rrcto  , Ii».  IU*li  ; p«|.  S8  , 
li«.  24-I3}. 

I pensa  esi  10  l*erl|  | 
38513130 

0 

l_s_i  i ? » II  ♦ I, 

I I I3288TI0  (9 

1->1  i 'J_'  SJ 

II  *J  » 3 • S • 1«** 

pensa  esi 

a 7 7 i « »~ii  f if  n*** 


Digitized  by  Coogie 


50 

|>ci‘  1393771,  erunt  300050416707;  quc  diuide.s  |>cr  omnes  alios  numeros  qui  simt  suh  pre- 
scriptis  uirgulls,  scilicet  per  quos  apta  secundum  siiprascripluni 

aptandi  modum,  exibunt  374  pro  summa  quesite  multiplicationis. 

ExplicU  pars  quinta  sexti  capituli. 

Incipit  sexta  de  multiphcatione  rupturum  sine  sanis. 

Si  uolurris  multiplicare  1 per  | , multiplica  i «piod  est  super  3,  per  l quod  est  su- 
j)cr  4,  erit  i,  quod  diuidc  {►er  3 et  per  4 que  simt  sub  uirgiilis,  hoc  est  per  JJ,  ucl 
per  exibunt  JJ  uel  hoc  est  una  pars  de  xii.*"  (.«c)  partibus  unius  integri:  unde 
jK)tes  cognoscere  tpiantum  est  si  multiplicaueris  J per  quantum  si  accepens  uel 
JJ ; et  Iioc  idem  intelligas  de  omriilms  niplis;  quia  semper  multiplicatio  cuiuslibet  rupti 
in  quemlibet  ruptu  (x/c)  facit  quantum  acceptio  unius  illorum  ex  alio:  quia  cum  mul- 
tiplicatur 1 j>er  tunc  semel  accipitur  ^ : ergo  cum  multiplicatur  tertia  j:er  quartam, 
tunc  accipitur  tertia  quarte,  cl  sic  ex  multiplicatione  de  tertia  in  quartam  prouenit  xii.* 

De  eodem. 

Irem  si  uolueris  multiplicare  | per  multiplica  s,  que  sunt  supera,  |>er3quc  sunt 
super  4,  erunt  6;  que  diuidc  per  3 et  per  4 que  sunt  sub  uirgulis , exibunt  | unius 
integri. 

De  ewlem. 

Irem  si  uolueris  multiplicare  f per  J , multiplica  3 per  -t  <pii  sunt  super  uirgulis, 
cnint  13,  quc  diuidc  [>er  7 et  per  o quc  sunt  sub  uirgulis,  exibunt  unius  integri, 

huc  est  XII. "*  partes  de  scxagiiita  tribus  partibus  unius  integri  , que  suiit  quattuor 
partes  de  si  unius  integri,  ht  hoc  inuenies  duplici  modo.  Primus  quidem  modus  est 
ut  diuidas  13  et  63  per  3 ; ideo  quia  hanc  diulsioiicm  unusqiiiscpie  eorum  integraliter 
recipil,  exibunt  4 et  si  : unde  si  diuiserU  4 per  si,  exibunt  unius  integri.  Ve!  ali- 
ter debuisti  diuiderc  I3  per  diuidc  prius  is  {>er  3,  exibunt  4:  .similiter  diuidc  9 
j>cr  3,  exibunt  3;  in  quibus  etiam  et  in  7 diuiJes  4,  exibunt  septima  pai-s 

unius  integri , et  insuper  tertia  pars  i|xsius  .septime  partis,  quod  tantum  est  quantum  | 
quattuor  partes  de  81. 

• De  eodem  cum  trihus  ruptis  sub  una  uin^da. 

Si  uolueris  multiplicare  per  J-J , dcscril«  questionem  ul  liic  ostenditur,  et  multi- 
plicabis 4 quc  .sunt  .su|»er  7 dc  superiori  uirgula,  per  2 quc  .smil  sub  eadem  uirgula, 
et  adde  1 quod  est  su|>er  8,  erunt  9,  que  pone  super  : similiter  multiplica  3 qiic 
.sunt  super  5 dc  inferiori  uirgula,  per  3 que  sunt  sub  eadem  uirgula,  et  adde  s quc 
sunt  su]>er  ipsa  3,  erunt  11;  que  pone  super  ||  ; et  multiplicabis  0 |>er  li,  erunt  99; 
quc  diuides  per  s,  ct  per  7,  et  per  3,  et  per  5,  que  sunt  sui)  uirgulis,  exibunt  |~" 
unius  integri. 

De  eodem  cum  tribus  ruptis  sub  una  uirgula. 

Irem  .si  nolueris  multiplicare  tres  ruptas  sub  una  uirgula  per  tn?s  ruptos  qui  sint 
sub  alia  , ut  dicamu.s  j>er  DX  , describe  questionem  , et  multiplicabis  3 qui  est 
su|>er  II  per  .suam  uirgulam,  hoc  est  per  s ct  adde  5,  quem  per  3 et  adde  1,  erunt  59, 
quem  i>orie  super  : deinde  multiplica  7 que  est  super  13  per  suam  uirgulam,  boc 
est  per  9,  et  adde  4;  f[uc  per  3 cl  adde  1,  erunt  302,  que  pone  super  ; ct  multi- 
plica 59  per  203,  ed  diuidc  per  omnes  numeros  qui  sunt  sub  ulraquc  uirgula,  quorum 
aptatio  est  ; exibuut  j-f  H-A' 


TuJ.  34  vtr*». 

• Si  uolileri»  ....  dicAtna,  > JmI. 
34  , Imi.  1-6;  iMg.  49, 

lia.  40-391  ■ 


Digitized  by  Googie 


....  V.I  , |(„|.  S5^ 
M.  ha-  1I-S9;  iM.  l«a.  i 
— p*|..  61.  Itik-  (). 


470 

n l_l 

Vi  3 f 
1407  (pj 

13  i t 

«II  I a 


3 P • t f 
' «••911 


0 


I I I 
lia 


^ 149 

♦ i • 
7 * » 


a 


I I > • s_ 

3 7 9 t«  10 


I 300  1 2 

I ■ 3 7 t t ♦ 

I 19  i 1 • SII 

^ 17  9 14 

I l_l  l_*  I 7_ 

I 3 a 17  9 II 

l l 1 6 «_J  • 7 I 

3^7  ■ 9 9 19  19  II  13  ' 


60 

De  e<Kiem  cum  duabus  itirgtdis. 

Si  uolucris  miiUiplicarc  | | per  ^ , describe  rpiestionem  ut  bic  astcnditur;  ct  mul- 
tiplica 1 7{uc  suDt  super  3,  per  4 qiic  sunt  sub  secunda  uirgula,  erunt  8.  Itero  mul- 
tiplica 1 quod  est  .stqtcr  ipsa  4«  per  3 que  sunt  sub  prima  uirgula,  erunt  3;  que  adde 

cum  8 erunt  ll,  que  pone  super  : deinde  accedas  ad  ^ |t  ct  multiplica  3 que  sunt 

su}>er  s,  per  6 et  i quod  est  su|>er  6,  ]>er  5,  et  adde  insimul  erunt  13,  que  pone  super 

( j , et  multiplica  ii  jier  13  erunt  153  , que  diuide  per  omnes  numeros  qui  sunt  sub 
uirgulLs. 

De  eot/em  cum  duofms  ruptis  sub  ututquutjue^ 

Et  si  uolucris  ponere  duos  ruptos  sub  unaquaque  uirgula,  ut  cum  ^ de- 

scribe questionem  , ct  multiplica  4 que  sunt  super  7 per  suam  uirgulam,  hoc 
per  1,  et  adde  i,  erunt  9;  que  muUijdica  per  8 et  per  4,  que  sunt  sub  secunda  uir- 
gula  cius<lem  lateris,  erunt  iss,  que  serua;  et  muUiplka  3 que  sunt  super  8 per  suam 
uii^ulam,  scilicet  per  4 ct  adde  i,  erunt  13;  que  multiplica  per  l et  per  7,  que  sunt 
sub  prima  uirgula,  erunt  ibi;  que  adde  cum  iss,  eruiil  470,  que  ]>oue  super  ipsas  un- 
gulas superiores:  ct  multiplica  similiter  eodem  modo  reliquas  duas  uirgulas inferiores, 
ct  lia!>cbis  in  eorum  muUiplicalioric  I407,  que  pone  sii]>er  ipsas  uii^ulas;  et  niullipliea 
470  per  1407  , et  diuide  ]>er  omnes  numeros  qui  sunt  sub  uirgutis;  et  habebis  qiicsitam 
multiplicationem:  tamen  si  uis  poles  inde  euttarc,  scilicet  diuides  1407  {>er  7,  exibunt 
101;  que  diuide  per  3,  exibunt  67;  que  multiplica  per  470,  erunt  3(490;  que  diuide  |»rr 
omnes  numeros  qui  sunt  sub  uirgulis,  preter  quam  jier  7 ct  per  3,  in  quibus  diuidisti 
1407.  Et  ajitabis  prescriplos  ruptos  sub  una  uirgula,  exibunt  * ° ” 9~iV  hunc  enim 
modum  potes  multiplicare,  si  sui>  uirgulis  |7oiiei-entur  tres  rupti  uel  plures. 

De  tribus  uirgitlis. 

Si  uoluciis  multiplicare  j J et  J , per  } ct  J ct  j , describe  questionem,  et  incipe 
multiplicare  su|>eriores  uirgulas  , scilicet  | { I in  sc  ipsas  sic:  multiplicabis  i,cpiod 
csi  super  3,  per  4 que  sunt  sub  secunda  uirgula;  que  |>er  5 que  sunt  sub  tertia,  enmt 
20;  et  multiplicabis  1 quod  est  super  4 de  secunda  uirgula,  per  5 que  sunt  sub  tertia, 
ct  per  3 que  sunt  sub  prima,  erunt  i&;  ct  multiplicabis  1 quod  est  super  3 tertie  uir- 
gule  per  4 que  sunt  sub  secunda,  et  per  3 que  sunt  sub  prima,  erunt  11;  que  addr 
cum  13  ct  cum  20  serualis,  erunt  47;  que  pone  super  J J J in  questione:  post  liec  fa- 
cies similiter  dc  J | , ct  habebis  in  eorum  summa  I49,  que  pone  suj>cr  ^ j f J 
multipUca)>is  47  per  149,  erunt  7003;  que  diuides  j>cr  omnes  ruptos,  et  apta  cus,  exibunt 

3 7 9~  19” !•* 

De  eodem  cum  duobus  ruptis  sub  unaquaque. 

Irem  si  iiolucrisS  j>oncrc  duos  niplos  sub  unaipiaque  uirgula  , ut  ct  ^ ct  cuin 
~ ct  ~ ct  -JJ  , describe  questionem  , et  multiplica  primas  sii|>criores  tres  uirgulas 
in  se  ipsas,  lioc  est  6,  que  sunt  super  11,  |>er  2,  ct  adde  1,  ermil  I3;  que  multiplica 
per  10  et  per  3,  que  sunt  sub  secunda;  que  omnia  per  9 et  {>cr  4,  que  sunt  sub  tertia, 
eninl  I4040,  que  serua:  et  multiplica  3 que  sunt  super  io  de  secunda  uirgula  j>er  3 qnc 
sunt  sub  uirgula  |H7st  ipsu,  ct  adde  i que  sunt  su^ier  ipsa  3,  cnint  ii;  que  iniiUipHca 
{)cr  9 et  per  4 i|ue  suut  sub  tertia  uirgula,  ct  per  2 ct  per  il  que  sunt  sub  prima, 
enmt  6713,  que  serua;  ct  multiplica  3,  que  sunt  super  9 de  tertia  uirgula,  per  4 et  adde 


Digitized  by  Coogie 


61 

iy  erunt  if;  que  mulliplira  {>cr  3 et  per  lO  que  Mint  sub  secunda  uirgula,  et  per  s 
et  per  ii  que  sunt  sub  prima,  erunt  7250;  que  adde  cum  8713,  et  cum  Moio  scruatis, 
erunt  30012;  que  pene  desuper  in  (picstione.  Deinde  multiplica  inferiores  tres  uirgulas 
in  se  ijisa.s;  et  erit  eorum  summa  27914,  que  |)onc  super  ipsus  uirgulas;  et  multiplica 
30012  per  37914,  et  diuide  summam  multiplicationis  per  omnes  riiptim  qui  sunt  sub  uir- 
gulis;  et  liabcbis  quesitam  multiplicationem.  Veljsi  uolueris  inde  cuitarc,  facies  secundum 
rjuod  superius  demonslrauiitius;  et  liabebis  pro  quesita  multiplicatione  ,V?"J  iTTrliTi*' 
Si  uero  tres  rupti  sub  unaquaque  uirgula  ponerentur,  uel  si  plures  uirgulc  similiter 
poncrcutur  cum  integris,  uel  secundum  integros,  per  prevScriptum  magisterium  omnia 
]Kiteris  subtiliter  operari. 

Jnct/Mi  pars  septima  ile  multiplicatione  numerorum  et  ruptorum 
quorum  uir^^e  terminantur  in  circulo. 

Si  uis  11  et  quattuor  nonas,  et  quinque  octauas  quattuor  nonarum,  et  duas  tertias 
quinque  oclauarum  dc' quattuor  nuuis,  que  sic  scribuntur  ti»  multiplicare  per 

23,  et  sex  septimas  octo  nonarum  ex  iioucin  decimis,  tjue  .sic  scribuntur  *2»  de- 

scribe questionem,  et  multiplica  il  per  suam  uirgulam,  que  multiplicatio  sic:  multipli- 
cantur ti  per  9 et  adduntur  4,  et  sunt  I03  none;  que  miiltiplicaiitur  per  8,  et  sunt  S2i 
septuagesime  secunde;  quibas  additur  multiplicatio  de  5 in  4 que  sunt  siq^r  uirgain,cnint 
814  septuagesime  secunde:  quia  cum  multiplicantur  4 que  sunt  su|»cr  9 j>er  s proucriil  nu- 
merus, citius  proportio  est  ad  numerum  uentcnlem  et  ductis  9 in  8,  sicut  pro|>ortio  de 
4 ad  9.  Ergo  32  sunt  ^ de  73.  Item  proportio  numeri  iicniciitls  ex  ductis  5 in  4,  sciUcet 
20,  ad  numerum  iienicutem  cx  ductis  8 in  4,  scilicet  ad  33,  est  sicut  proportio  de  S ad 
8.  Ergo  30  que  procreantur  ex  5 in  4 sunt  quinque  ocUue  ex  quattuor  nonis  de  72;  et 
sic  sunt  30  septuagesime  secunde:  deinde  multiplicantur  844  per  3,  et  .super  adduntur  40, 
ipie  pnmciiiunt  ex  muUipUeaiione  dc  2 in  s;  quam  in  4 que  sunt  super  uirgam,  erunt 
2573  ducentesime  sexte  x/:  serua  eas  super  ll,  cum  eonim  prol>a  que  accipitur  ordine 
eodem,  scilicet  multiplicatur  proba  ll  per  probam  de  9,  et  addatur  4,  quorum  proba  mul- 
tiplicatur per  8,  ct  additur  miiUiplicatio  de  s in  4,  cuius  summe  proba  multiplicatur 
per  3,  et  additur  multiplicatio  dc  3 in  5 ducta  in  4,  cuius  summe  proba  est  pmba  dc 
SS73;  ct  est  9 per  probam  de  il:  deinde  multiplica  23  per  suam  uiigam,  quod  sic  fit: 
multiplicatur  33  per  lo,  que  summa  muUtplicalur  per  o;  que  per  7,  exibunt  13860  sex- 
centesime trigesime;  quibus  adde  multiplicationem  dc  e in  8;  <pie  in  g,  que  sunt  super 
uirgam,  scilicet  432,  erunt  14392  seicculcsime  trigesime:  serua  eas  super  22,  cum  eorum 
proba  que  est  3;  ct  multiplica  2572  per  14292,  et  diuides  summam  [>cr  omnes  ruptos, 
qui  suiit  sub  ambabus  iiirgis;  tamen  cuitabis  quo  cuitare  {K>tcrunl;  ct  habebis  summam 
prescripte  multiplicationis  370. 

Et  si  partes  unius  numeri  redigere  uis,  hoc  dupliciter  facere  demonstrabo: 

multiplica  primum  g per  b;  que  per  3,  erunt  216;  de  quibas  fac  columnam,  et  accipe  ci 
eis  erunt  96;  de  quibus  acci|>e  enint  GO;  de  quibus  accipe  |,  erunt  40:  adde  itaque 
96  et  60  et  40,  erunt  196;  que  diuide  per  2I6,  exibunt  {*,  lioc  est  uel  aliter  multi- 
plica 4 que  sunt  super  9 |>er  8,  et  adde  multiplicationem  de  s in  4,  erunt  52;  que  mul- 
tiplica per  3,  et  adde  multiplicationem  de  t in  S;  quam  in  4,  sciUcet  40,  erunt  simi- 
liter 196  per  quartam  de  8 que  sunt  sub  uirga,  ct  j>er  3 et  (ler  9,  exibunt  similiter 


f..i. 


I*..  miitil  • fi^f. 

l<n.  4 11  c 11;  |-g- 
61,  li«.  11  24). 


[ 270 


« Kt  m ....  f->n»  nl  • UoJ.  16 
Irri0,  ti».  21-17;  ]»|(.  61,  }>n. 
36  — f«,|.  61.  ),u.  4|. 


I 9 6 

t > * 
11« 

4 3 2 
• i » 

I » t« 

I i 

i V 


Digitized  by  Googie 


Si  an  m iriLiu  » (fol.  16 
lia.  S0-S9i  iikf.  tSi  lia. 

11*1 


I Si  wnlarris  ....  atiaien»*  «{f.J 
16  .^rjo.  1.0.  4-Ui  paf.  6j. 
I>a.  19-41). 


I 6 2 I 


23  i 
6 3 f» 

38  n 

r 374 


[tem  si  <44t«  partes  unius  iutegri  Dumeri  redigere  uis,  multiplica  6 per  8,  que  per 
0,  scilicet  ca  que  .suj>cr  uirgam,  erunt  432;  que  diuide  per  numeros  qui  sunt  sub  uiiga, 
et  euitabis  quod  cuitari  poterit,  exibunt  ||,  boc  est  ^ . Et  si  l-J-io  per  multi- 

plicare uis,  ]X)DC  ut  in  margine  cernitur;  et  multiplica  inuenta  13G,  scilicet  numerum 
su|>crioris  uirge  per  432,  scilicet  per  numerum  inferioris;  et  diuide  summam  per  omnes 
numeros  qui  sunt  sub  utraque;  et  cuita,  exibunt  . 

Si  uis  multiplicare  it  et  septem  decimas,  ct  quattuor  nonas  septem  decimarum,  et  tres 
octauas  quattuor  nonarum  septeni  decimarum,  ct  quinque  undecimas,  et  quinque  .sextas 
quinque  xi""®,  et  tres  quartas  quinque  sextarum  quinque  xr*'“*  per  22,  Ct  tres  octauas 
<|uattuor  nonarum  septem  dccimamm,  ct  tres  quarta.s  quinque  sextarum  quinque  unde- 
cimarum, describe  hoc  ut  ceniis  iu  margine;  et  multiplica  li  j>er  lo  ct  adde  ?;  que 
jier  9 ct  adde  quater  septem;  que  |H*r  8 ct  adde  ter  4 uicibus  7,  erunt  8732;  que  j»er 
if;  que  per  6;  que  j>cr  4 que  sunt  sub  alia  uirgula,  erunt  2305248.  Kt  tnulliplica  sque 
sunt  super  il  per  6,  ct  adde  quinquies  5;  que  ]>er  4,  ct  adde  ter  $ quinquic.s,  scilicet 
multiplicationem  numerorum  qui  sunt  su|)cr  uirgam,  erunt  295;  que  multiplica  per  nu- 
meros qui  sunt  sub  prima  uirga,  scilicet  per  8;  qtie  per  9;  que  per  lo,  erunt  212400, 
que  adde  cum  alio  inuento  numem,  enml  25I7G48,  que  {K>nc  $u|)cr  ii,  quorum  proba  per 
7 est  0:  ct  multiplica  22  per  suas  iiirgas,  scilicet  |>er  lO;  que  jicr  9;  que  j)Cr  8,  ct  adde 
multiplicationem  de  3 iu  4 ductum  in  7,  .scilicet  84,  cniiil  15924,  que  multiplica  per  n; 
que  per  6;  que  per  4,  erunt  4203036.  Cum  i|uibus  adde  multiplicationem  numeri  secunde 
uirge  in  numeros  qui  sunt  sub  prima  uirga,  scilicet  dc  75  in  b;  que  in  9;  que  in  to. 
Nam  75  procreatur  ex  tribus  | ductis  in  5;  quibus  in  s,  que  sunt  su|>er  uirgam,  erunt 
54000,  que  adde  cum  4203930,  erunt  4257336,  que  scrua  super  22,  quorum  proba  est  4: 
deinde  inulti[dica  numerum  |x>siium  super  n per  numerum  positum  super  2i,ct  diuide» 
summam  per  omnes  numeros  qui  sunt  .sub  uirgis,  ct  euitanda  euita;  ct  habebis  que- 
sita  ut  in  questione  ostendituj’. 

Incipit  pars  septima  sejcti  capituli  dc  multiplicatione  futrtium  numerorum 

cum  ruptis. 

$1  uoliicrts  multiplicare  | dc  j 29,  que  sic  scribuntur  f 23  , { cum  n I 38* 
sic  scribuntur  f 3S  ; describe  questionem  ut  liic  (wlcndilur.  Et  multiplica  29  per 
suam  uirgulam  que  est  cis  retro,  sc*ilicct  per  7,  ct  adde  4,  erunt  207;  que  multiplica 
per  3,  que  sunt  super  aliam  uirgulam  que  est  ante  ipsam,  scilicet  super  5,  erunt  62i, 
que  pone  .su)>cr  7 29  { : similiter  imiltiplira  38  per  suam  uirgulam  que  est  eis  retro  , 
scilicet  per  3,  et  adde  2,  cniut  116;  que  mnltipltc.')  )»er  6 que  sunt  super  11,  erunt  C96. 
que  ]>onc  5U|>cr  |38  Et  multijdica  C2l  per  tertiam  de  696,  ct  diuides  per  omnes  re- 
liquos ruptos  utriu.squc  lateris,  .scilicet  per  ; ct  habebis  ]iro  summa  quesite  mul- 
tiplicationis 374. 

De  em/em. 

Irem  si  j | dc  | * 33,  que  .sic  scribuutur  f|  33  77  uolucris  multiplicare  per  77  de 
^ 244  , que  sic  scribuntur  ~ | 244  {*,  dcscrilie  ca  ut  in  bac  margine  cernitur;  ct  mul- 
tiplica 33  per  suam  uirgulam  que  eis  retro,  scilicet  |ier  9,  ct  adde  5;  que  per  7,  ct  adde 
2 erunt  2116:  deinde  multiplica  3 que  sunt  .super  4 per  5 et  1,  quod  est  super  s,  per 
4,  erunt  19,  quod  csl  numerus  ipsarum  duarum  uirgulanim,  que  sunt  ante  ipsa  33,  que 


Digitized  by  Googk 


63 

]>cr  10,  miiltipUta  tne,  erunt  40201,  que  super  pone  *|  33  | quorum  pensa  ]>cr  13,  or> 
(ijue  quo  multiplicaiiimus,  arrepta  est  S;  que  8 |»oiic  super  40204  tn  questione,  hem 
raultiplira  244  per  suas  uirgtilas  que  sunt  retro  cis,  scilicet  per  6,  et  adde  S)  que  per 
11,  cl  adde  multiplicationem  dc  1 quini  est  super  11  in  6,  erunt  ioi63;  que  multiplica 
per  numerum  iiirgiile  que  est  ante  ipsa  244,  scilicet  [>er  13,  que  surgunl  cx  nuiUiplU 
cationc  de  3,  que  sunt  super  7 in  4,  ipso  1 super  additu,  quod  est  super  4,  erunt  210145, 
que  ]H>nc  super  214  et  suas  uirgulus.  Kl  super  ipsa  poiic  0,  quod  est  pensu  ipsorum  per 
13;  ct  multiplica  40304  per  210145,  et  ditiidc  summum  multiplicationis  per  omnes  ruptos 
qui  sunt  sui)  umtiihiis  uirgulis.  Et  sic  liaheliis  quesitani  multiplicationem,  ^d  ul  nunlus 
euitandi  in  huc  retineatur  mnUiplicatione,  diuides  40204  per  4 que  sunt  sub  una  prc> 
scriptarum  uii^ilarum,  exibunt  I005i,quc  serua;  cum  non  possit  ex  eis  amplius  cuitaii. 
hem  diiiide  2l0t43  per  5,  qiic  sunt  sub  alia  uirgiila,  exibunt  42029;  per  que  multiplica  10051, 
et  diuides  jwr  omnes  alios  rupti»,  exibunt 

Oe  ef*(iem  cum  pluribus  ruptis. 

Irem  si  uoluerU  multiplicare  ~ J de  - | 4i  {>er  } J | de  J-J-i  23,  descnl>c  que- 
stiuQcm  , et  incipias  multiplicare  42  per  suas  uirgiilas  que  sunt  eis  retro,  erunt  30G44; 
et  accipe  iuuenias  numerum  ipsorum  ruptorum,  scilicet  multiplica  s que  sunt 

su]>cr  9 per  8,  ct  adde  3;  que  ])er  7,  et  adde  2,  erunt  303;  per  que  multiplica  30C44,  erunt 
0285132:  deinde  ut  inucnias  numerum  inferions  lateris,  multiplicabis  331  per  suam  uir- 
gulum  que  est  cis  retro,  uidelicet  ]>cr  li,  ct  adde  3,  que  sunt  super  ipsa  11;  que  mul- 
tiplica per  5 cl  |>cr  3,  qui  sunt  sub  eadem  uirgula,  et  desuper  adde  3 que  sunt  su|)cr 
ipsa  3,  erunt  54662;  ct  rc|)cnas  numonim  de  | ~ qui  est  479;  {icrquc  multiplica  546C2, 
erunt  26i8309s;  que  {)onc  su{>cr  331  ct  vSuis  uirgulis;  et  multiplica  9285132  jier  26183098, 
et  diuidc  per  omnes  ruptos  qui  sunt  sub  omnibus  uirgulis,  ct  culta  inde  ea  que  cuitari 
|M)terunt;  et  habebis  pro  quesita  multiplicatione,  ul  hic  ostenditur,  ,V A i\  ***** 

Incipit  cupitulum  septimum  de  aditione  et  extractione  et  diuisione  numerorum 
cum  ruptis  et  de  reductione  plurium  pardum  in  singulis  partibus. 

Septimum  itaque  capitulum  in  partes  sex  diuidimiis.  In  prima  quarum  addictionem 
unius  uirgulc  cum  alia  , nec  non  extractionem  unius  tiirgule  de  alia  dcmonslmhiiiius 
et  diuisioiiem  unius  uirgule  per  aliam. 

In  secunda  addictionem  ct  cxtmctiouem  duarum  uirgiilarum  cum  duahus,  et  de  di- 
ulsioiic  earum  ad  itmicem. 

In  tertia  diuisioiiem  integrorum  numerorum  per  integros  cl  ruptos  et  comm  contrarium. 

In  quarta  additionem  et  extractionem  ct  diulsionem  inlegmrum  numerorum  cum  ru- 
ptis cum  integris  et  niptis. 

Ia  quinta  aiilcm  addictatioiics  extractiones  .seu  diulsionos  partium  numerorum  cum  ru- 
ptis edocebimus. 

In  ultima  quo<pic  reductiones  plurium  partium  in  singulis  jvartibus  ostendemus. 

De  aditione  y cum  { . 

St  nolueris  addere  ~ cum  hoc  tc  dupliciter  facere  ducemus:  primum  quidem  secundum 
uulgi  modum.  Iuuenias  in  quo  numero  reperiatur  * et  qui  immenLs  sic  inuenitur:  mul- 
tiplica 3 per  4,  que  sunt  .«ub  uirgulis,  erunt  12,  in  | quibus  rejieriuntur  ^ ct  ideo  accipe 
tertiam  partem  eorum,  que  est  4,  ct  quartam  pariem  que  csl  3;  el  adde  ca  iusimul,  cninl 
7;  qiic  diuide  per  12,  exibunt  lioc  est  septem  {lartcs  duodecimis  partibus  unitis  inlegri. 


...I  rtiliuwt  > «M-  iS 
)tn.  12-20;  |ug.  42,  Um. 
4S  — |M(.  SI,  li«.  Ilj. 


^ 33  ^ 

7 II  **‘*  * * 


Irm....  Mlt  • ir*>l.  26^r«*. 

lin.  22-29;  \ia-  lO-Ut. 


Digitized  by  Googie 


iTfM  ..4.  i • Ifiil.ST  rt- 
t tu,  Im  t‘6,  |UK-  64,  li«.  1>T)- 


3 4 

I I 

i I 

.'Mldkli» 


lr«Ti»  4...  I'i  4 • <t"l.  4/  f*' 
rto.  liB.  16-1'/.  1'^D-  44  , ]«D. 

XI 


13 

lil 

t 

s 

j 

1 

1»  ' 

Gi 

Itori  aliter  describe  { | iii  hunc  modum;  et  miilliplica  l»  (|uod  est  super  3 per  4,  erunt 
4 ; que  pone  su|>er  | , et  t quod  est  sti|)er  4 , multipliru  per  3^  erunt  3 ; que  |>one 
su|>cr  et  adde  ea  insimul,  erunt  7;  que  diuidc  per  3 et  per  4 que  sunt  sub  uirgulLs, 
hoc  est  per  12,  exibunt  similiter  ~ pro  eonim  iuiirtionc:  et  scias  quia  tale  est  addere 
I cum  quale  est  dicere  | J , que  partes  sunt  unius  integri:  sunt  enim  ^ unius  in- 
tegri; et  sic  intelHgas  de  omnibus  ru])torum  additationibus. 

De  extratione  \ de  \ . 

Et  si  uulucris  | de  \ extrahere:  tria  que  sunt  sti]>ci  hoc  est  quartam  de  12,  eUralie 
de  4,  que  sunt  super  hoc  est  de  tertia  de  12,  remanebit  i;  quod  diuide  |>cr  12  iu- 
ueiita,  uel  per  3 et  |>cr  4 que  sunt  sub  uirgis,  exibit  pro  residuo  dicte  extractionis 
lioc  est  J*.  Et  si  \ per  J diuiderc  uis,  diuidc  4 que  sunt  super  ^ per  3,  el  habebis 
jl  pro  eo  quod  couligit  integre  j>ai  ti.  Verbi  gratia:  pro|>ortio  de  | ad  } est  sicut  pro- 
|Mirtio  duodeciipli  de  | ad  dutxlecuplum  de  hoc  est  sicut  4 est  ad  3,  ita  | est  ad 
Ouare  diulsio  J ]»er  ( proucnit  illud  quod  ex  diuisls  4 per  3:  ucl  aliter,  cum  dicitur: 
diuidc  I i>cr  tunc  iutclligilur  quai*tc  ]>arti  configere  tertiam  integri.  Quare  quadruplo 
<|uarte  )>ai'tLs  , scilicet  juirti  ititegrc  coutigit  quadruplum  unius  tertie  , scilicet  J t,  ut 
predixt.  El  si  ^ j>cr  | diuidere  uls  ut  scias  quid  inde  contingat  uui  parti  integre,  di- 
uide 3 posita  super  { |kt  4 )K>sita  su{>cr  exibunt  } : nam  proportio  dc  { ad  J est 
sicut  proportio  dc  3 ad  4,  uel  cum  tertie  parti  contingit  ^ tribus  tertiis,  scilicet  parti 
integre  contingent  | . 

iTem  si  uoineris  addere  | cum  | , iiiiionias  similiter  iu  quo  numero  reperiantur  | | 
sic:  multiplicabis  3 |>er  s que  sunt  sub  uirgulis,  erunt  is;  el  in  ipso  numero  reperiuntur 
j I : quare  accipe  | dc  13,  que  suat  10,  et  | dc  15,  que  suiit  12,  et  adde  insimul  eninl  22; 
que  diuidc  jM?r  I3,  exibit  I pro  adiunctioiie  dc  | et  J . 

Irciii  aliter  dcscril>cs  | | ut  in  margine  ostenditur;  et  multiplica  2 que  sunt  super 
3 per  S,  erunt  if>;  que  ]K)nc  su|)cr  |,  et  4 <}iic  sunt  sii|>er  S per  3,  erunt  12;  que  pone 
siqMM'  j in  questione.  Adde  ergo  1Q  cum  12,  erunt  22  ut  supra;  que  diuidc  per  ruptos 
qui  sunt  sub  uirgulis,  scilicet  per  exibunt  1,  ut  in  questione  ostenditur,  hoc  est 
i,  ut  })or  alium  nuMltim  repertum  est. 

LEiiiin  si  I de  } extrahere  nolueris,  inucnies  lO  et  12  superius  repertis  ]>cr  qualem 
tiolueris  modum  descriptis  duolms  modis;  et  exlnihe  10  de  12,  remanent  2;  que  diuidc 
j)Cr  ruptos,  uidelicet  per  JJ,  exibunt  J*,  hoc  est  pro  residuo  quesiic  extractionis.  Et 
si  { per  I diuiderc  uls,  diuidc  12  |>cr  10,  exihil  { 1 ; et  tot  contingit  unius  j>arti  in- 
tegre ex  ipsa  diuisionc.  Et  si  | per  diuiderc  uis,  diuidc  10  per  12,  exiJjunt 

jidditio  de  | cum  ~ . 

Irem  si  uoluerts  addere  | cuin  reperies  similiter  in  quali  numero  rejieriaiitttr  | et 
: nmitiplicabis  ergo  S por  10,  erunt  GOr  reperiuntur  etiam  et  in  minori  numero  quam 
su.  Et  hic  contingit  prtjpter  eomunitatem  quam  halM?t  0 cum  lO,  uidelicet  quia  uter- 
que numerus  intcgraliter  per  2 diuiditur.  Vnde  diiiidas  00  |>cr2,  exibunt  30,  in  quibus 
etiam  reperiuntur  | el  |>olos  enim  hcc  30  aliter  reperire  , uidelicet  ut  multiplices 
6 |>er  medietatem  de  fo,  scilicet  per  S,  et  erunt  30;  uel  mullJjdica  10  per  medietatem 
dc  6.  boc  est  per  3,  et  erunt  similiter  30;  et  accipe  | de  30,  que  sunt  2S,  et  adde  cum 
de  30,  que  sunt  21,  erunt  46;  que  diuidc  |>cr  30,  exibit  JJ  1,  hoc  est  1. 


Digitized  by  Google 


Cd 

De  eotlem  aliter . ^ 

Itoiti  aliter  itcsciibc  sic  ct  quia  6 cum  10,  qiic  Miiit  sub  iiirgulis,  hal>ciit  co« 

munem  regulam,  scilicet  S,  cliuiclc  lo  j>cr  s,  exibunl  i;  in  quibus  multiplica  5, que 
suiU  su{H*r  6,  crunl  25,  sicuti  superius  pru  | do  30  repertu  fuerunt.  Item  diukle  c per 
eudcni  2,  exibunt  3,  que  poite  sub  in  quibus  iimltijilicu  7 que  sunt  sii|»cr  lo,  exibuiil 
21  pru  dc  30:  adde  ergo  it  cum  23,  erunt  4Cj  «pic  diukle  |KT  medietatem  dc  lo,  cl 
per  6,  boc  esi  per  uel  per  me<lictatem  de  o cl  j«r  lO,  hoc  csl  per  exibit 
quod  tantum  est  quantum  l,  iiol  tpiaiituni  !. 

Kriractio  de  de 

Usrum  si  de  | extrahere  uoluerls,  repones  proscripta  21  et  13,  cl  extrahe  2i  de  23, 
remanent  4;  que  dinidc  |>cr  3Q  , uel  |M?r  i|>sortim  regulam,  que  est  exibit  pn> 
it*sidtio  quesilc  extractionis.  Et  si  | jkt  diuidero  uis,  diuidc  23  ])cr  2i,  exibit  f-f  i- 
Kl  si  uis  diuidero  jH-r  | , diuidc  2i  per  23,  exibunt  J-j  . 

Additia  J-  cum  ’ . 

Uvrsus  si  uolucris  addere  \ cum  | , iiitieiiias  in  quo  immen»  rc|>eriuiitiir  | et  quod 
sic  [ iiiuenilur;  quia  3 sunt  rommiis  regula  dc  o et  dc  9,  diukle  o |icr  3,  exibunt  2; .. 
que  multiplica  per  9,  eniiit  ib;  uel  diukle  o per  3,  exibunt  3;  que  iimitiplk»  per  6,  cniiit 
similiter  iB,  in  quibus  re|>criuntur  ^ { : unde  acci|>c  \ de  ts,  que  est  3,  et  adde  cum 
I de  iSy  que  sunt  10,  enint  13>  que  diuidc  {>cr  regulam  de  18,  exibunt  ^ : ucl  aliter 
descril>c  ruptos,  ut  bic  ostenditur;  ct  mtiUipHcu  i,  quod  est  super  6,  |H!r  tertiam  dc  o 
propter  conmiicm  regulam  ij)sorum,  crunl  3 , qiic  pone  super  J;  et  multiplica  S qiie 
sunt  super  9 |>cr  tertiam  dc  0,  scilicet  jwr  2,  ciiml  lO,  (pie  jume  siij»er  y et  adde  3 cum 
10,  erunt  13;  que  diuidc  per  tertiam  multiplkationis  dc  6 in  9,  biM*  est  per  is,  cxilmnt 
^ j>ro  iunctiunc  ipsorum,  ut  in  questione  ostenditur. 

Extractio  6 //o  | . 

L crum  si  y dc  y extrahere  uolucris,  reperies  proscripta  3 et  lo;  cl  extrahe  3 de  lO, 
ranianeiiunt  7;  que  proscripta  ratione  diuidc  per  is  , uel  per  ipsorum  regulani  que 
est  exibunt  pru  residuo  dicte  cxtractiunis.  Et  si  | jfcr  | diuidero  uLs,  diuidc  lo 
])cr  3,  que  sunt  siqKT  y,  exibunt  j 3.  Et  si  | per  | diuiderc  uLs,  diukle  3 ]»cr  lo,  cxk 
Imiil 

Pars  secunda  de  additione  et  extractione  tluorum  ruptornin  ad  innet  ione 
et  de  eorum  ditiisione. 

Si  nolueris  addere  -J  ~ cum  | | , uide  dc  j [ | | in  (juo  mimei-o  repcriatitur,  quod 
sic  uidendura  est : muUiplica  insimul  numeros  ijui  siml  sub  iiirgulis,  uidclicel  3 per  4; 
que  ])cr  3;  (pic  per  7,  cnint  42U,  (pic  est  minimus  comnicrisuratus  presi'ripturiini  nii> 
men>runi,  hoc  est  (juod  est  mim»r  numerus,  in  quu  reperimitur  proscripti  nipti;  ideo 
(piia  noii  habent  aliquam  comunem  regulam  ad  iiuiicem.  Accijie  ergo^  dc  42o,  que  est 
140,  et  adde  cum  «piarta  dc  eisdem  420,  (pie  in  I05,  et  cum  quinta  que  est  S4,  et  cum 
septima  (]uc  est  co,  erunt  ass;  quem  diuidc  jier  420,  exibunt  * pro  iuriciione  prescri- 
ptoiuni  ruptorum.  Et  csl  idem  cum  queritur  dc  5 i i i q»«’ partes  sint  unius  integri. 
lN>ssumus  enim  aliter  secundum  itiagislcrium  nuineromm  addere  ^ \ cum  | {,  uideiicct 
qiKHl  descniiaiitur  rupti  secundum  quod  hic  cernuntur;  ct  multiplica  l rpunl  est  siq>cr 
3 j>cr  4,  et  1 (pnxl  csl  sii|)cr  4 |«t  3,  crunl  “;  que  multiplica  |>cr  5,  et  jier  7,  que 

9 


M.  HrHU 


3 ■■■■  S»  I . i(>4.  t; 
t •-  {Mg  Illi. 

17-iXj. 


10 

3 

5 

1 

9 

« 

05 

;u 

aiMilit» 

Crivm  ....  • ( fwl. 

27  «.«.rMi.  liii.  « lU  I 45, 
itm.  26  I2|. 


10  3 

4 l 

* « 

rxlnilitt 


42V  4|«.-  ....  rl  Mr  w(>a.27 

»v.r««  , lin.  15-21  i |.<||.  65  . 
17  ~ |M|(.  66.  ha.  5^ 


144  243 

11  II 

T i Si 

a<klilio 


Digitized  by  Googie 


• rtil-uni  ■—  itst  • ((oi.  17 

rrrto  , li«.  1611  i M.  66  • 

iU-t9j. 


144  243 

II  11 

I * • I 

» t s 

• S^rTo  pxlractio 


<|M('  M«IU  Irt  • (fitl. 

17  «vr...,  Ii».  » }7.  |»s.66. 
11-17}. 


1303  1231 

2 ■ I « 

9 i T I 

1 ! y 10  * »Miclio 


Kt  *ulcm  ....  i -1  » ( fui.  U 
r*et«,  Un.  1-4]  i>*9-  66  > lio. 
SI-SA). 


M3I  J*”'  IMS 
auum 

t t at 

1 » ? I 


I t 7 

4 > » 10 


sunt  siih  ullis  tluahus  uirguUs  alterius  lateris,  erunt  143,  que  sunt  { f do  410,  ut  su- 
|terius  iiiucnimus  : ]Kme  ergo  S4S  super  ; in  questione  •,  deinde  accedas  ad  } } ; et 
multiplica  i,  quod  est  super  i per  7,  et  1 quod  est  super  7 per  5,  cnml  ll;  que  roul> 
liplica  per  3 et  per  4,  que  sunt  sub  uii^Iis,  erunt  144,  que  sunt  { ^ de  4io  : pone 
ei^o  $44  su|>cr  y y,  et  adde  144  cum  143,  emnt  3S0;  que  diuide  per  ruptos,  uideliret 
per  j-rri»  prescriptos  ruptos,  exibunt  , que  cquantur 

Ejvtrnctio  f/t*  | | i/e  | J. 

Si  uero  | | de  | | extrabere  nolueris,  rej>cries  proscripta  143  et  144  por  cqualem  uo- 
lucris  modum  dc  duobus  prescriptis  tiuniis;  et  extrahe  144  de  245  , remanebunt  lOi;  que 
supra  proscripta  ralioiie  diuide  jwr  exibunt  pro  residuo  dicte  extractionis. 

Kt  si  j j per  | } diuiderc  uis,  diuide  H5  per  regulam  dc  144,  exibunt  i.  Et  si  144 
per  regulam  de  143  diuiscris,  lial>ebis  ^ pru  eo  quod  contingit  integre  parti  ex  diui* 
sione  f | in  j {,  ut  in  questione  ostenditur. 

Additio  de  | | cum  | |. 

Ircin  si  nolueris  addere  | | cum  \ },  reperies  numerum  in  quo  rej>crianlur  rupti,  cril- 
que  2320,  qui  cxiit  cx  multiplicatione  quattuor  numerorum  qui  sunt  sub  uirgulis;  et 
non  rc|>eriuntur  in  minore  numero,  eo  quini  nmi  habent  aliijuam  cumuiiem  tTgiihim  nd 
inuii  cm:  ct  accipe  \ dc  1320,  que  sunt  I3ii,et  adde  cum  !•  de  I3ii),  que  sunt  Tio,  erunt 
1131,  que  .scrua.  Item  accipe  | J dc  1320,  que  suul  1303,  que  adde  cum  1S31  seniatis,  erunt 
3737J  que  diuide  jier  regulam  de  2520,  que  est  exibit  | } \ ^*^l . Itera  aliter  describe 

ruptos,  ut  inferius  cernitur;  ct  incipias  a ^ { sic:  multiplicabis  3,  que  sunt  suj>er  s,  |)cr 
7,  que  sunt  sub  uirgula,  erunt  ii.  Item  multiplicabis  2,  que  sunt  su|>er  7,  per  5,  erunt 
10,  que  addes  cum  li,  erunt  3i;  que  nuiltiplicabis  per  alios  ruptos,  uidelicet  per  8 et 
j)cr  9,  hoc  est  j>cr  72,  exibunt  2232,  ut  |>cr  7 f dc  2520  sujktius  reperta  sunt:  jK»ne  ergo 
2231  super  I 7 , ct  accedas  ad  | | ; ct  multiplica  3,  que  sunt  siq^cr  8 |>er  9,  et  t,  que 
sunt  su|ier  0,  per  8,  et  adde  insimul,  erunt  43;  que  multiplica  per  alios  ruptus,  uidc- 
Hcct  per  5 ct  per  7,  erunt  1305,  ut  superius  pro  | \ de  isio  inucnimus  : pone  ergo 
1503  super  I 7 : deinde  adde  isos  cum  1232,  erunt  3737;  que  diuide  per  omnes  numeros 
qui  sunt  sub  uirgulis,  ot  aptabis  cos,  exibit  similiter  | 

Extractio  \ \de\ 

Si  autem  | J de  | f extrahere  uolucris,  reperies  prescripta  1231  et  1305,  et  extrahes  1503 
dc  «32,  rcmanchuiit  “27;  que  prescripta  ratione  diuide  per  exibunt  \ , 

ut  in  huc  alia  cernitur  descriptione.  Et  .si  7 | |>cr-|  | diuidere  uis, diuide  «32  per  rc-gularo 
dc  1503, ct  primus  rontrariuni  facies  contrarium;ct  habebis  optata, ut  in  questione  cernitur. 

Additio  J-  J cum  | y. 

Itera  .si  uolucris  aildcre  1 1 cum  ^ J,  iniictiies  numcnim  in  quo  repcrianlur  prcscripti 
rupti.  Eritque  G0,qtii  numerus  nqieritur  ex  multiplicatione  dc  3 in  4 ct  in  s;  ct  iiun  oportet 
ut  multiplicentur  co  |>cr  6 jiropter  cuinunilatem  regule,  quam  habent  6 cum  3 ct  cum 
4:  tota  enim  3 sunt  romunia  eisdem  6;  quare  non  op|>oi'tct  ut  multiplicentur  GO  nisi  |>er 
tertiam  de  8,  que  est  2,  nec  etiam  j>cr  i|xsa  2 OjKirtet  GO  multiplicare;  quia  2 sunt  in  regula 
de  4:  et  ut  hoc  dicam  promptius:  regula  de  6 est  Ideo  non  rcjiclimus  3,  neque  1 in 
mulliplicatione,que  suiit  regula  dc  0 propter  3 ct  4, que  multiplicauimus  4 cum  habuimus 
w.  In  omni  enim  uumero,  in  quo  rcpcriunlur  J j,  reperietur  cliara  \t  accipe  itaque  } { 


Digitized  by  Googlej 


67 

\ f <lc  60,  ct  iuldc  insimul,  erunt  67;  que  diuidc  per  60,  cxihuiit  sed  quia  S7  cum  6o 
lialicnt  cumuiiem  re^am, scilicet  ^,p>ssumus  has  pulchrius  dicere,  uidelicet  ut  diuidas 
67  per  3, exibunt  I9;similiter  diuide  60  |»er  eadem  3,  exibunt  S0;in  quibus  diuidc  I9,  exibunt 
que  sunt  unum  integrum  minus  uigesimu.  Item  aliter  describe  nij>tos  ut  hic  osleiulitur; 
et  incipias  a } p cl  multiplicabis  f,  quod  est  super  3,  per  4,  et  i,  quod  est  super  4,  per 
3,  erunt  7;  que  multiplica  per  5 que  sunt  sub  uirgula,  erunt  36,  quo  dcl>ercs  multiplicare 
per  0,  nisi  relinqueres  propter  comitatem,  quam  liabes  6 cum  J - : j>oiic  ergo  35  suj>cr 
{ -{,  que  sunt  \ I de  CO:  deinde  multiplica  {,  quod  est  snpcr  s,  per  A,  ct  l,  quod  est  super  o, 
(>cr  6,  erunt  ii,quc  delrercs  multiplicare  (»cr  3 ct  {>er  4:sed  relinques  quml  non  multiplicabis 
per  3;  quia  sunt  in  regula  dc  6,  neque  |>cr  s,  que  sunt  in  regula  dc  4;  cum  sint  siinilitci 
in  regula  de  6:  ergo  multiplicabis  prescripta  ii  |K^r  3 que  remanent  de  4,  erunt  iS,  que 
sunt  7 ^ dc  CO:  jhjiics  ergo  ti  sujrcr  | |,et  addes  is  cum  36, erunt  57,  ut  superius  inucnimus: 
ct  diuide  ijxsa  per  quia  |»er  6 nort  debes  diuidere  eos,  co  quia  nos  relinquimus  ca  Iti 
mulliplicaliunc  utriusquo  luteris,  ct  aptabis  prescriptos  ruptos,  exibunt  ln>c  est 
ut  in  «juestione  ostenditur. 

Dicam  aliter  ct  apertius  in  i‘epchendis  stiprasciiptis  36  ct  3t.  Multiplica  3 per  4,  tpie 
sunl  sub  uirgis  ab  una  parte,  erunt  is:  serua  ca  in  manu  dextera;  el  multiplica  6 |>ei 
6,  que  sunt  sub  aliU  duabus  uirgis  alterius  lateris,  erunt  30,  que  serua  in  siiiistra;ct  diuide 
ulrumquc  numerorum  seruatorum  in  manibus  per  maximam  comunem  mensuram  eonitn 
que  est  6,  exibunt  in  manu  dextra  2,  ct  in  sini.stra  S:  {H>nes  i sub  { el  6 sub  ^ et 
multiplicabis  rejrerta  7 per  5 posita  sub  | et  it  per  2 j»osita  sub  |^;et  habebis  35 
et  22;  quorum  summam,  scilicet  57,  diuide  per  numeros,  qui  .sunt  sub  uiigis  unius  lateris, 
et  per  numerum  positum  sub  aliis,  scilicet  per  5 et  per  6 ct  |H;r  2 aut  |>er  3,  et  pei 
4 ct  per  5,  boc  est  per  regulam  de  co. 

Exlrntio  g j <ie  J | 

Si  autem  1 i dc  J J extrahere  uolucris,  reperies  pi-escripla  35  et  22,  cl  cxlnihcs  22  de 
35,  remanebunt  I3;  que  diuidc  suprascripta  ratione  per  exibunt  pro  residuo  dicte 
extractionis. 

AdtlUio  I I cum  5 

Irem  si  uoluciis  addere  ^ \ cum  } |,  reperias  iiunienim  in  quo  rcperiaiitur  rupti 
preseripti,  eritque  316;  qui  numei*us  exit  ex  multiplicatione  ruptmoim,  cuitatis  tamen 
inde  3,  que  sunt  comuiiis  regula  de  0 et  dc  3;  que  11011  ojKnlct  repetere  in  multipli- 
catione, ideo  quia  g ct  ^ rej>enuiitur  in  9:  unde  umuis  numerus,  qui  Iiabel  \ , baliet 
similiter  el  \ : acci|>e  ergo  | de  316,  que  sunt  210,  et  adde  cuin  { corumdem,  que  est 
45,  erunt  256,  que  senia:  et  accipe  g | dc  eisdem  315,  que  sunt  234,  et  adde  cum  25S, 
eniiil  480;  que  diuide  per  regulam  dc  315,  que  est  jyJ,  exibit  •• 

Aliter  secundum  artem  dcscril>c  niplos  ut  liic  ostenditur,  et  incijiias  a | | : multi- 
plica 2 que  sunt  super  3 per  7,  ct  1 quod  est  su^ier  7 ]>er  3,  ct  adde  insimul,  erunt 
17;  que  multiplica  per  S,  erunt  S5;  que  multiplica  |icr  tertiam  dc  9,  boc  est  ]>er  3,  pro- 
pter comitatem  regule  quam  habet  3,  que  sunt  sub  uirgula  cum  9 ; eritque  multipli- 
catio illa  255,  que  sunt  | f de  315,  ut  supenus  inucnimus.  Pones  ergo  255  super  j|  , 
et  accedas  ad  ~ \ multiplicando  3,  que  sunt  su{)er  5,  per  9 el  1,  que  sunt  super  9,  per 
5,  erunt  32;  que  multiplica  |>er  7,  cniiit  234,  ut  superius  pro  | | dc  3I5  rc(>erta  sunt: 


j»»  • n-l 

n fTct...  Im.  1M3;  tiii.  67. 
U.  Ut). 


2 2 3 3 

II  II 

> 18 

.5  2 

I » . ..  , 

1T77  MMilio 


l.km  ...  - X4  rc- 

rt».  Im-  24*<tS,  ftf  67.  iin. 


I 2 2 3 5 

II  II 

i 'i  « t 

r^c\traclio| 


I tlO  ....  haUrt » ir«I.  tS 

rrt/o.  bn.  *1-I7i  i>*«.  67,  IiB- 
61  ^ AS.  Im-  2|. 

laddUiol 

I 214  235 

* 1 »1 


Digitized  by  Googie 


vtiliil  ••••  <|ll«  > !ta\. 

•*rr-f*  , lia.  2-7i  fua.  Im. 

6^I5J. 

I^IraclHij 


» 


Isn  Ilum  ....  1«  nmhn«  * (M- 
VN  t-rrt»,  lin.  V-lfti  {■*(•  Wt 
Ita.  lS-831. 


< adilirtio 


I • _s 

» / 10 


»rtU  M ....  fli^m  rt  t rfi-l.  X» 
v*m,  lin.  88*XT;  |Mf.  6fl|lia. 
ti  - raR.  69.  U.  »J. 


GS 

i|uc  134  iioii  <)|M>rlel  multijiikiirc  per  3,  <[uc  sunt  suti  uirguin  pmjilrr  romilatcm  pre- 
liictiini,  ipiiim  liiilicl  3 cum  0:  juinas  igitur  134  su|>or  J J,  et  adde  134  cum  13S,  cniiit  489; 
i|UC  diuidc  [KT  ipic  sunt  -suli  uiigulis,  et  reliiupias  3 quod  luiii  diuides  per  ipsa; 
ideo  quia  in  muUipUeatione  utrarumque  partium  reliquisti  ipiud  non  multijiticasti  (ler 
3:  quare  summam  | iiiiictinnis  ipsanim  partium  non  delies  diuidere  |ier  3;  sed  delies  eam 
diuiderc  |ier  alios  luptos.  cum  per  ipsos  multiplicasti,  ciiliit  t,  ut  sujierius, 
Kririictio  | 5 | | • 

St  autem  ^ f <tc  7 | eslraliere  uolueris,  reperies  prescripla  133  et  134:  eitralies  S34 
de  233,  lemaneliunt  it,  que  diniile  siipruscripta  mtioiie  |ier  -7^  tantum  prius  diiiidas 
per  7 et  per  0,  quam  per  3:  ideo  ipiia  21  integraliler  diuiditur  per  7 et  per  3,  ipie  sunt 
dc  regtda  ijwonim  «,  e.xiliiuit  JJ  pm  residuo  dicte  estractioiils,  lioc  est  [J:  ile  diiiisione 
autem  rorum  ad  inuirriu  fac  ut  supra. 

jiililiiio  i/e  7 7 cum  j . 

Itvrsiis  si  uolueris  addere  J i cura  5 , multiplica  numeros,  i|ui  sunt  snli  uirgiilis, 
scilicet  4 jier  3,  erunt  211;  que  per  9,  erunt  t8i);  que  tso  non  o|Hirlet  multiplicare  |ier 
10,  cum  in  tso  rejuTialtir  7',.  Otiare  accipies  5 7 dc  180,  scilicet  171,  et  addes  ea  cum 

I dc  i,so,  scilicet  cum  38,  erunt  219,  que  ditiidr  |ier  tso,  esiliit  j-j—  t. 

Aliter  ile.scrilic  ruptos,  et  multipli.a  3,  que  sunt  siqier  4,  ]ier  3 et  t,  qutul  est  siqier 
5 per  4,  cnint  t9;  que  miiltijilira  per  9,  enint  171,  que  relinque  multiplicare  [ler  10  pni- 
pter  comitatem  quam  lialient  cum  3 et  cum  4 : jhiiic  eigo  t7t  sit|ier  fA  ; quia  i|isn 
sunt  7 7 dc  480  : deinde  multiplica  1,  que  sunt  .super  9,  |ier  10  et  I,  quml  est  .su|ier 
to  ]ier  9,  erunt  lo;  que  multiplica  jier  2,  et  relinques  comitatem  <|uani  lialiet  10  cum 
t et  cum  3,  criiut  58,  que  sunt  | dc  180:  adde  ergo  58  cum  I7t,  erant  229;  qiiediiiide 
|icr  ruptos,  ipii  sunt  in  uno  latere,  et  jier  rupium  alterius  lateris,  qui  multiplicatur  in 
mulliplicalione,  lio<-  est,  aut  [ler  4 et  per  s que  sunt  in  uno  latere,  et  per  9 que  sunt 
in  alio  latere,  in  qitilius  ninltiplicamtis  .superius  19:  uel  diuides  jier  9 et  jier  10,  que  siiiit 
e»  idtcio  latere,  et  per  2 que  .sumpsimus  es  alio  latere  iii  multiplicatione,  in  ipiilnis 
iiidclicet  nmltiplicauiiims  29;  nam  ^ uel  j-J-J  iinuni  est,  et  una  quoque  ipsarara  tiir- 
giilarani  est  regula  de  ISO,  e\il>il  J J-7^  I. 

N.ini  si  /7  I de  1 -J  eslralierc  uolueris,  reperies  proscripta  iri  ct  38,  et  cslralies  ss 
dc  171,  remaneijunt  113;  que  diuidc  siijiniscripta  ratione  per  exibunt  pro  re- 
siduo dicte  extractionis.  Kt  si  ea  ad  iiiuieem  diuiderc  uis,  fae  ut  supra.  Volo  demon- 
strare iniNium  inueniendi  minimum  mensuratum  daturam  quutiibot  iiimierurum  ; ut  si 
uis  iiiucnirc  miiiieram,  iii  quo  repcriaiiliir  f.  i i r i s r ! i > multipliea  maiorem  iiu- 
nicram,  qui  est  .sub  uirga  (ler  sequentem;  cura  non  sint  ciimuiiicanlcs,  scilicet  10  |ier 
0,  erant  90.  Ouc  multiplica  [kt  cnmilatcm  qnam  Iiabent  cum  8 , scilicet  |>cr  medieta- 
tem coram;  cum  biiiariiis  sit  eorum  coniunis  mensura,  erant  300;  que  multiplica  per 
7;  cum  nulla  sit  euilatiu  inter  ea,  erant  2320,  que  non  oportet  mullipliearc  per  s;  cimi 
ipsorum  regula  sit  fj,  que  jkiiIcs  suiil  cx  partibus  numerurani  niultiplii  aturain.  Nam  1 
est  dc  regula  dc  10,  que  regula  est  l-J;  ct  { est  de  regula  dc  9;  neque  etiam  imillipli- 
caiida  suiit  2320  per  5;  cum  5 sint  dc  regula  dc  10,  iiec  etiam  jier  4,  uel  ])er  2 siml 
multiplicanda;  eum  sint  iii  regula  dc  8.  Similiter  nec  jier  3 o|K)iiet  multiplicare  2520; 
cura  sint  de  regula  dc  0 : ergo  in  2520  reiieriuiitur  omnes  .supr.^srripti  nqiti  ; et  csl 
minimus  commciisuratus  omnium  numeroruni,  qui  .sunt  sub  prcscriplis  uirgis. 


Digitized  by  Googie 


G9 

Incipit  pars  tertia  ih’  iUuUume  integrarum  numerorum  per  intef^ros 
cum  ruptis  etiam^  et  <le.  earum  contrario. 

Cvm  iiohirris  iIuikIcr'  a1i4|iicin  intrgrtim  iiumcniin  nim  imo  nipto  , ik’I  pluribus , 
iie)  c«M>iilru  integrum  itunienim  cum  niplis  per  alium  integrum  numerum  , fac  ruptos 
ilc  utnK{uc  iiuiiion>  «piales  fuerit  ille,  iiel  illi  «pii  fui^riul  positi  ciiiii  niio  numenmiin: 
tieimio  iliuitle  summam  ruptorum  illius  mmieri  per  .summaiii  ruptorum  alterius,  et  habebis 
«pmlem  uolueris  Uiiiisioiiem.  Kt  ut  licir  imulius  :k1  iuhiIuiii  ilepreliciidas,  ijuonjuulam  iiu- 
mciurum  ilitiisioiies  iii  seipicntibus  ilemoi]slrai'c  pnxurabiiims. 

Diuisio  tie  83  jfcr  f s. 

Si  uolucris  diui{]ei‘e  83  |>cr  far  tertias  ilc  iiuoquorjuc  mimen)  sic:  multiplicubis 

a per  3,  «|uc  stiiit  sub  uir^ula,  et  adile  l,  eniiit  tertie  17:  et  multiplica  83  per  3,  ut 
facias  tertius  c\  ipsis,  cniul  tertie  219:  «liuidc  ei{*«>  219  |kt  17,  exiimiit  {{  u pro  ipic- 
sita  (liiiisione. 

K\  Ikm'  ergo  inanifestiim  est,  «pi«Ml  cadein  est  diiiisio  de  83  in  rpiam  de  ito  in 
17;  ct  Ium:  est  i]Uod  Kticlides  peritissimus  geometra  In  suu  liliro  dcclamt:  «puni  «putin 
projMirlionem  lmlH’t  <|uilibet  iiuinenis  ud  «|uemlil>et  numerum  , eandem  projHirtioiieni 
habent  e«|ua  «pielibet  multiplicia  illonim  ; <]ue  multiplicia  ergo  sunt  17  dc  \s  , tam 
multiplicia  sunt  219  dc  83:  sunt  eiiiiii  17  tripla  de  |5,  et  219  tripla  dc  83.  | 

Kt  si  ccontra  nolueris  diuidere  | 5 |H'r  83,  diuidc  17  |>er  regulam  dc  2t9  , «pic  est 
ITT»  <^'ibunt  ^ pro  «piesita  diuisionc. 

Diuisio  ile  94  per  {r». 

iTcni  si  uolucris  «liuidere  94  |>cr  | fi,  si  materiam  prcscripiam  sociinduni  huius  artis 
magisterium  retinere  indueris  , descril>e  numeros  ut  bic  ostenditur  : cl  muiliplicu  fi 
j>cr  suam  iiirgulam,  Inx;  est  jK'r  s,  et  adde  2,  erunt  quinte  32,  «{uas  iMuiesuiier  | c ; 
ct  imiiliplica  04  per  eadem  3,  emiit  (juinte  470;  <]tias  |Hme  su|kt  04,  et  diuide  470  per 
regulam  dc  32,  que  est  exibunt  ll  pro  «}uesita  diuisiom*.  Ht  si  32  |>cr  regulam 
«te  470  diuiserls,  bulrebis  pio  diuisionc  dc  | fi  iii  04,  ut  siqK^rius  in  des«*ripliono 
ostenditur.  Vemni  si  ll3  |>cr  ^ u diuidere  utducrts,  ul  liic  cernuntur,  numeros  desc‘ril>e: 
quibus  descriptis,  muUiplica  li  (mt  suam  uirgulam,  ciiint  sexte  diHrimc  ih3,  quas  jHuie 
super  11  : deinde  multiplica  Il3  ywr  9 et  ]>cr  2,  ijue  sunt  sub  uirgula,  lioc  est  ]H.*r 
16,  erunt  similiter  sexte  decime  isos,  quas  imnc  super  iia  : diuide  ergo  1808  per  re- 
gulam de  183,  exilmnl  |-^-j  9 pro  «piesila  diuisionc:  el  si  diuiserls  fS3  |H*r  regulam  de 
1HU8,  bul>cbi.s  ‘ * pro  diuisionc  de  il  in  113.  I:t  iam  si  plures  nipti  |K)nci*cnUir  sub 
eadem  uirgula,  similiter  pussi*s  ojicruri. 

Diuisio  ite  217  /xv  J | u. 

Si  uolucris  «liuidere  217  per  ^ | 13  , describe  numeros;  et  multiplica  13  |»cr  suas  iiir- 
gulas,  cniiit  IG7  dutMiedme,  «pias  (mne  siqier  { | 13  : deinde  muUijdira  217  |x?r  nu- 
merus, «]ui  sunt  sub  uii^ulls,  uidelicet  |Krr  3 et  |K*r  4,  ue|  iii  una  multiplicatione  per 
12,  erunt  similiter  xii.'  2724,  ipias  |muic  .sii|H‘r  217;  et  diuidc  2721  jicr  t07,  exibunt  ^16 
pro  ipiesita  ditiisione.  Kt  si  IC7  jier  ivgulam  de  2721  diuiserls,  exibunt  l^rn  I”**’ 
ulsioiic  dc  j 1 13  in  2I7,  ut  in  eadem  stqieriori  descriptione  «isteiiditur. 

Diuisin  ile  323  per  J \ 14. 

Irem  si  uolucris  diuidere  323  |>cr  | 1 14,  «piauiuis  liaiic  diuisionem,  seciindmti  demon* 


l?l  ul  ....  I <«••1. 

VN  Im-  I2-34;  i'iK. 

l<H.  7-IM. 


daaitiO  iiMMirM  |«r 


1 7 2 4 9 

? 3 H 3 


tiil.  IS  rrfim. 

• t , u ....  ..mial  iM-it  iM  ('•«. 

t,m.  1 ~ I.H  27-f3. 

I»»K-S1*,Ii».|!I  — |U||.1«i,iia.  f»i 


dtllMtW  ••iw» 

>,  l-r 

•Mv  n. 

rrr- 

2 4 0 

K 3 

rn-| 

dtikiuu  RUM.n 

< j*r»  min. 

.r..n 

i ” 

4 7 0 

9 4 

. 

■ 1 

iliaitM  fiiinMit  ,>r*  m>K 

.r.‘« 

3 2 
!» 

4 7 0 
9 4 

J 

1 6 7 

2 C 0 4 

2 1 

2 0 9 

3S  1 4 

* ^ 14 
a * ** 

i^i\ 
tosi  * 

«R  t«  0 
?5i  i:  r» 

3 2 3 

Digitized  by  Google 


70 

slrutum  muduni  faccit  ]>ussis  ; tamen  qualiter  euiUmlo  comiUilcm  ruptorum  fieri  cie- 
lieat,  ostendamus:  primum  dcscrihe  questionem;  dcimlc  multiplica  u |>er  suas  uirgulas, 
cuitando  tantum  sic:  multiplicabU  14  per  o et  adde  9,  cnint  sexte  sd,  quus  multiplica 
]>er  tertiam  de  9 propter  comitatem  re^le,  quam  ha1>et  o cum  0.  Sunt  enim  3 cornu- 
nis  regula  ipsorum,  erunt  octauc  decime  sot;  stiper  quas  adde  multiplicationem  de  I, 
quod  est  su|>cr  9,  in  tertiam  dc  6,  (juc  sunt  sub  uirgiila,  Ikk  est  in  t,  erunt  octaue  de- 
cime 269:  ucl  aliter  adde  | cum  erunt  p,  : quare  niimcri  u ]>cr  is  et  adde  t<,  erunt 
similiter  2C0  octauc  decime,  quas  pone  super  ^ | ii;  et  multiplica  323  aut  j>er  6 ct  |>er 
tertiam  de  9,  aut  j>cr  9 et  per  tertiam  dc  « propter  comitatem  regule  ipsoniin  : ergo 
multiplicabis  in  una  multiplicatione  323  per  18,  tpuxl  idem  est,  erunt  octaue  decime  5SI4, 
(|uas  pone  su|icr  323;  deinde  diuide  5S14  {>cr  269,  exibunt  f*';  2t  pro  quesita  diuisione. 
Nam  si  2C9  per  regulam  dc  58i4  diuiscrls,  rejwries  pio  diuisione  dc  - 1 14  in  323, 

ut  superius  iii  descriptione  ostenditur. 

Diuisio  de  t357  per  -{  | {83. 

Si  autem  uolucris  diuidere  1357  per  y f [ 83,  describe  numeros;  et  multiplica  83  per 
suas  uirgulas,  erunt  sexagesime  5927  : |>onc  ergo  S027  super  y ■{  -j  83,  cl  pioba  ea 
secuiiduni  quod  in  multiplicationibus  ^ler  tiiptum  tibi  demnstrabimus.  Est  enim  pensa 
ipsorum  i |»cr  septenarium,  ut  ojiortet;  quam  pensam  pone  siqior  5027  : deinde  multiplica 
<337  |)cr  numeros  r|ui  sunt  sub  uirgulis  ]>ost  83,  boc  est  per  3;  que  per  4;  que  |>cr  9, 
ucl  in  una  multiplicalioiie  per  co,  erunt  sexagesime  si420,  quos  |K>nc  su[>er  1337.  Et  su)>er 
ipsus  pone  |>eiLSam  ipsorum  per  septenarium  que  est  3:  deinde  diuide  81420  ]>cr  regulam 
dc  5017,  que  csl  exibunt  16  pro  quesita  diuisione:  quare  si  muUiplicaueris 

ipsa  |>cr  | | y 83,  eadem  <337  prouciicrint;  ct  est  pensa  ipsius  diuisionis  3 per  7,  sicuti 
est  pensa  de  81420:  ct  si  5027  per  regulam  dc  81420  diuiseris,  babebis  pro  <li- 

. r*r • •1..1  uisione  dc  y y yS3  in  <337,  cuius  diuisionis  |)ciisa  est  1 ]>er  7,  sicuti  sunt  de  5027;  et 

" 8IC  iiitelUgas  dc  pensis  quarumlibet  diuisionum  similium. 

Diuisio  2430  per  yj  J | 15. 

hem  aliam  Imiusmodi  cum  Iribus  ruptis  pitipniamus  diuisiuiicm,  qui  ad  itiuicem  co- 
munem  habeant  regulam  : ut  nimium  euiUmli  melius  iiitelligas,  projionimus  enim  tibi 
ut  diuidas  243G  per  ~ f y 13;  dcscrilie  questionem,  ct  multiplica  <3  ]K*r  suas  uirgulas, 
cuitando  sic:  multiplicabis  13  per  6,  ct  addes  5,  cniiit  sexte  93;  quas  luulliplica  per  ter- 
tiam dc  9,  que  sunt  sub  uirgiila;  quia  propter  comitatem  quam  babet  0 cum  G , mm 
o|Kirtct  ]icr  ipsa  tota  multiplicare;  erunt  itarpic  octauc  decime  285,  quas  multiplica  |>cr3, 
que  sunt  medietas  de  10  propter  2,  que  sunt  comunis  regula  dc  10  ct  dc  6,  cnint  no- 
f.i  iiagcsimc  1423.  Item  multiplica  2 que  sutit  super  9,  quo  sunt  none  | per  19,  enint  iioiiagc- 

sime  29,  (pias  non  o]>urtct  multiplicare  jier  6;  quia  tota  c comiinia  sunt  regularum  de 
9 ct  dc  <9.  Nam  regula  dc  c est  yy  et  | sequentis  regule  est  dc  regula  de  lO,  que  est 
K'  i'  *1^^  remanet  dc  6,  sunt  in  regula  de  9;  cum  ipsa  sit  yy : deinde  multiplica  1,  quod 
est  su|>er  10,  ]ier  9,  erunt  nonagesime  9 , <juas  11011  oportet  |K;r  6,  propter  ctimitatem 
prodictam,  multiplicare. 

Adde  ergo  nonagesimas  9 iiuicntas  cum  nonagesimis  20,  et  cum  nonagesimis  <423,  erunt 
uonagesime  1434,  quorum  jiensa  per  septenarium  csl  5:  |Mmc  oi-go  1454  su]>cr  is  ct  super 
niptos  suus,  ct  3 pro  {icnsa  pine  desuper.  Poles  enim  aliter  dc  *5  nonagesimas 


1 

14  3 4 

2 2 1 

O 4 O 

1 S 4 
» *• 

l 

1 5 n 

Digitized  by  Googie 


71 

facere  : tamen  notaiuhim  est  primum,  quare  inde  iinnagosime  Heri  debeant.  Debent  etiim 
fieri  pmpter  ^|  | que  rcjKriuntnr  in  oo:  et  est  minor  numerus,  in  quo  ijrSG  fractiones 
re|>eriuntiir:  quare  multiplica  IS  per  {K)>  erunt  nonagesime  I3S4:  su)>cr  quas  adde  -po  « i 
de  90,  qiic  sunt  nonagesime  loi,  erunt  similiter  nonagesime  m54:  |H)stea  fuc  nonagesimas 
dc  SI56,  c-rtmt  nonagesimo  ssioio;  quas  pone  su|H*r  tiso,  et  diukie  S2f040  per  regulam  de 
HI4S4,  exibunt  152  pro  quesitu  diuisiunc.  Et  si  1454  jier  regulam  de  221040  diiiiseris, 
habebis  diuisiunem  dc  ~ J }iS  in  2(56.  Que  diuisio  est  ut  superius  in  que- 

stione ostenditur. 

IncifHt  purs  quarta  de  aditione  extrntione  seu  dinisione  integrorum 
numerorum  cum  ruptis. 

Ctni  autem  aliquem  iiumemm  cum  uno  rupto  , ucl  jiluribus  addere  uolueris  cum 
({uolibel  alio  numero,  similiter  cum  uno  rupto  uel  pluribus,  uel  minorem  i|>surum  cum 
suo  rupto,  uel  ruptis  de  maiori  cum  suo  rupto,  uel  iiiptis  extrahere,  seu  aliquem  ipso- 
luni  jH?r  alterum  diuiderc,  descnltc  minorem  tmineiura  cura  suo  rupto,  ucl  ruptis  in 
dextera  tahulc  parte.  Maiorem  uero  cum  suis  ruptis  in  eadem  linea  uci'sus  sinislnini, 
sicuti  in  precedenti  parte  demonstrauimus:  et  multiplica  minorem  numerum  j>er  suam 
uirgulam,  sicuti  superius  docuimus;  et  summam  |>er  omnes  numcnis,  qui  fuerint  sub  uir- 
gula,  uel  uirgulis  maioris  numeri  mnlliplira.  Et  multiplicatio,  que  euenerit  su{>er  pre- 
scriplura  numerum  miiiorcra,  reseiiia.  Deinde  maiorem  numei-um  jKr  suam  iiii^ulani,  ucl 
uii'gttlas,  et  j>cr  omnes  numeros  qui  sunt  sub  uirgula,  uel  uirgulis  minoris  muneri  mul- 
tiplica. Et  summam  super  i|isum  maiorem  mimenim  describe.  Et  tunc  si  iiolueiis  ad- 
dere, addes  ipsos  numeros  repertus,  et  coadunatam  summam  }>er  omnes  ruptus  qui  fuerint 
ili  |>05itione  diuidc,  et  habebis  addilalioncm  ipsorum.  Et  si  maiorem  de  maiori  exliiihere 
uolueris,  extrahes  rejicrtum  numerum,  ct  positum  super  minorem  numerum  dc  rc|>crlo 
numero,  et  |>osito  super  maiorem,  residuum«pie  per  omnes  ruptos  similiter  dtuide  , et 
habebis  residuum  quod  est  inter  maiorem  ct  minorem.  Et  si  maiorem  per  minorem  di- 
uidere  u<dueris,  maiorem  repertum  numenim  per  minorem  repertum  numerum  diuide. 
Et  si  miriorem  per  maiorem  diuiderc  uolueris,  diuide  minorem  repertum  numerum  per 
maiorem  re{iertum  numerum;  et  sic  habebis  qualem  uolueris  ijisonim  diuisionem.  Et  ut 
hcc  omnia  apertius  intelligaiitur,  singulariter  ca  cum  jKisitionibus  numerorum  presen- 
tialitcr  pmjKmimus  demonstrare. 

Additio  de  J-12  c«m^  I26. 

Si  uolueris  addere  \ li  cum  | 126  , dcscrilic  mimems  ut  hic  ostenditur  , ct  multi- 
plica I2  per  suam  uirgulam,  erunt  tertie  37;  quas  multiplica  [»er  4,  que  sunt  sub  uirgula 
post  126,  cnint  XII.*  14S,  quas  |>unc  super  \ 12:  deinde  multiplica  126  per  suam  uii-gulam, 
emnl  quarte  507;  quas  multijdica  per  3,  que  -suut  .sub  uii^ula  |x>st  12,  emnt  duodecime 
1521,  quas  |H)nc  su]>cr  j 126:  adde  itaque  duodecimas  148  cum  duodecimis  1521  , erunt 
duodecime  1669;  quas  diuidc  per  utrumque  ruptum,  uideliccl  per  3 ct  ])cr  4 , ucl  in 
una  diuisionc  per  i2,  exibunt  130,  ut  in  questione  ostenditur. 

/)e  eoiiem. 

Potc.s  enim  hanc  camdem  additatiunem  aliter  rej>cnre,  ut  addas  integra  cum  integris, 
uidelicet  12  cum  126,  erunt  138  : deinde  adde  ruptos  in  unum,  .scilicet  | cum  7,  sicuti 
superius  in  prima  ]>artc  huius  capituli  demonstrauimus,  erit  j;  que  adde  cum  138, 
erunt  p,  139,  ut  modo  pro  suprascripta  iunctione  inucnimus.  | 


81  «tulliriu  ....  /V  4l'i/r4M-  » 
IFkI.  29  ¥trta  , lia.  31.SR( 

r*s  71.  iiH.  »-(•>  . 


15  2 1 

1 4 8 

j 1 t 6 

i|9 

StMitmi 

^13  9 

Digitized  by  Googie 


fui.  SOrrrl.». 


I iftiiM  Irwn|ili««i»  • 1^1. 

J'r4/'||  liN.  1*4  i |“(p:.  • 

I.U.  1-t). 


I — ■ ' -n 

1 .1  2 1 14  8 

[ I 1 0 4 * * 

llrMiluuMi  ptirurtK^iiii 

^114 


tT.m  ....  Ui*  • rr..i.  S'tn» 

hm  11«  I | 1«.  Im. 


1 5 S i 118 

* I 2 0 I 1 S 

iu<M>rrin  |H«  ■■l•ort«l 


• o<w(  ft  ....  ■!<-  • (fi4. 

S’>  llH.  kws.  •«. 

liM. 


15  11  I 4 S 

JlSO  l|S 

diMM*»  iMituirt. 

I*** 

i3zir| 

» I»  I»  I 


3i«4  . . . . 4r  tIS  . {M.  »0 
«VHfOi  liM.  tl  33;  |«B-  7«,  liti. 
«U  — |w||.  13,  liM.  4t. 


T* 

Extractio  <h  J-  it  de  -J  i2e. 

Cfiium  si  ^ 12  (Ic  I 120  €\lraIicio  iioluorU,  dcsojihcs  questionem  ut  supra,  et  rejwrics 
]>rcscnpta  its  et  l52l:  et  e&tnilics  148  de  i52i,  rcrnniiebuiit  duodecime  13T3;  quas  di- 
uide  .supra.sriipU  ratione  {kt  12,  exibunt  integre  lu  pn>  residuo  dicic  extractionis, 
ut  in  {piestioiic  ostenditur. 

CeI  aliter:  extralic  integra  dc  iiitcgiis  , uidelirel  I2  de  12C,  remanent  114:  deinde 
extraiic  I dc  remanent  , quas  adde  cum  fi4,  erunt  7,114  similiter.  Kt  si  diuiderc 
uoluciis  • 120  per  J it  , diuides  1321  per  regulum  dc  14S,  que  est  {-7,1  exibunt  — 10 
pm  quisiui  diuisionc,  ut  in  sua  deni(»ii.slrabiliir  descriptione. 

Item  si  mirioreni  per  muiurem  diuidera  uulucrU,  scilicet  y 12  per  \ 120,  rc|)crlw  <|ui- 
dcin  I4H  et  1521,  diuides  i4s  j»er  regulam  de  i5li,quc  e.sl  exibit  uiiiiLs  iii- 

Icgn  pni  qiicsiu  diuisionc. 

.dddictio  de  j 13  cum  J i7i. 

Si  ucru  j 13  cum  | I7l  addere  uoluerls,  desciibe  numerus  ut  prediximu-s;  et  multiplica 
13  per  4,  et  adde  3,  f|uc  sunt  super  4,  cniiit  quarte  55  ; quas  multiplica  per  S,  que 
sunt  .sub  iiirgnla  po.st  I7i,  erunt  uigesime  275,  quus  pone  super  f 13:  et  multiplica  171 
per  suam  uirgulain,  .scilicet  per  5 et  adde  2,  eiiint  quinte  557;  quas  multiplica  (>cr  4,  que 
sunt  sub  uirgula  |M>.st  13,  erunt  uigcsiiiic  3428,  quas  |huic  .super  | 171:  deinde  adde  275 
cum  3128,  erunt  xx.**  3703;  rjua.s  diuide  j)cr  ruptos,  scilicet  per  4 ct  |icr  5,  (jui  suut  sui» 
nii^iili.s  iitriusquc  immeri,  exibunt  ^ iss  pro  quesiia  iurictionc. 

Prolmtio  suprascripte  iunctioms» 

Qs'0  iunctit»,  si  rerta  est,  ita  per  7 cognoscitur:  peii.sa  dc  13,  <|ue  est  5,  per  4 multi- 
jilica,  ct  dc  su|fcr  adde  3,  que  .sunt  super  4,  erunt  27;  quorum  pensa  que  est  c iterum 
per  5,  que  smit  .sub  uirgtila  muUiptia»,  eniiil  30,  ipiunim  pemsa  qiic  est  2 est  pensa  de 
275.  Similiter  studeas  rej>crirc  pensum  dc  3428  per  ijisoitim  originem  .sic.  rensam  dc  i7t, 
que  est  3,  ]>cr  septenarium  nuiiliplica  per  5,  que,  suut  .sub  uirgula,  ct  adde  2 que  suiil 
super  5,  eixint  17;  tpionim  |»en.sa  qite  e.st  3 multiplica  per  4,  que  sunt  sub  uirgula,  erunt 
12,  quorum  pensa  que  est  5 debet  esse  pensa  de  3428:  ct  <(uia  erimus  rcctc  processisse, 
cum  habuinuis  ipsa  3428  itu  est:  quam  pensam  jattic  siijier  3428;  deinde  adde  j>cnsam 
de  275,  uidelirel  2 cum  j»ensa  de  3428,  .scilicet  cum  s,  ciuiit  7;  «juoitim  pensam,  «pie  est 
0,  habeas  pm  jicn.su  siimnic  iiinctionis. 

J)e  etttnmdem  additione. 

Potes  enim  proscriptam  iunctioriem  aliter  iniicnirc,  uidclicct  ut  addas  la  cum  271,  erunt 
284;  et  \ cum  |,  erit  ~ 1;  que  adde  cum  184,  ciunt  77,  IM,  ut  j»er  eorum  luiictioiicm 
repertum  csl. 

Extractio  de  * 13  de  | I7l. 

Et  .si  f 13  dc  | I7t  cxlralierc  uoluciis,  cxlrabc  275  de  3428,  remanent  3153;  que  diuide 
per  ruptos,  exibunt  157  j»n>  residuo  quesite  cxlraclioni.s. 

Ovod  residuum,  si  rectum  sit,  ita  |»cr  7 cognoscitur:  pensam  dc  273, que  est  2,  dc  pensa 
de  3428,  <pie  est  s,  extrahe;  residuum  iicro,  quod  est  3,  lia))ca.s  pro  jicnsa  dc  —^157. 

Possumus  enim  y 13  aliter  dc  ^ I7l  extrabere,  uidclicet  ut  extrahas  13  et  ^ dc  171,  re- 
manet -J  157;  cum  «piibiis  adde  minl  \ | 157,  lioc  csl  157. 

Uiaisio  \ 171  fter  f I3. 

Et  .si  \ 171  i»er  *J  13  diuiderc  uolueris,  diuide  3428  per  regulum  de  27S.  que  csl  J 


Digitized  by  Google 


73 

o:iihimt  li  pro  qucsitu  tliuisioiic  , quorum  pfusa  tlel»et  cssc  5 |>er  7 , siciil  est 

dc  342S,  f{ue  cliuiduiUur.  Et  si  ^ 13  per  l 171  diiiidcrc  uolueiis»  diiiidc  S73  por  regulam 
de  3428,  que  osl  i—yj,  exibunt  unius  integri,  quorum  ruptorum  |M?nsa  per  septena- 
rium est  2,  siculi  fuit  dc  175. 

Adtiivtio  de  \ 14  cum  jl3l. 

liem  si  uoluciis  addere  J 44  cum  | I3i,  describe  miiiieros  ut  liic  osicmlitor.  Kt  quamuis 
hanc  iuiicliouem  per  suprascriptum  modum  facere  |>ossis  ; taiiicii  pmpler  comitatem 
quam  Iiabciit  \ cum  ^ , qualiter  lioc  cum  cuilatioiic  fieri  debeat,  indicemus.  Multipli- 
cabis ita<[ue  14  |K;r  6 , et  addes  s,  erunt  sexie  hs;  quas  miiUiplica  per  3,  scilicet  per 
tertiam  partem  dc  D propter  comitatem  quam  bubet  6 cum  9,  cmiit  xviii.***  267,  quas 
|K>nc  sii{>cr  1 14  , et  pmba  eas  per  pensam  quamliliet  : csl  enim  pensa  i|»snrum  7 j>cr 
13  , quam  |K)iic  stqtcr  2C7  : deinde  multiplica  231  per  o ct  adde  2 , cnint  iioiie  2U8i ; 
<{uas  multiplica  |»er  tertiam  de  o,  boc  est  per  2,  erunt  similiter  xviii.”**  4t02,  quas  pone 
su|ior  -|  231,  et  super  cas  jMine  pensam  ipsarum  inuentam  similiter  per  | 13,  que  est  1: 
post  hec  adde  267  cum  4162,  erunt  4429;  que  diiiidc  per  unum  cx  ruptis  qualem  uolucris, 
et  ]>er  partem  comitatis  altciius,  lioc  est  aut  diuides  per  6 cl  per  tertiam  dc  9,  sci- 
licet per  3,  aut  diuides  per  0 et  per  tertiam  dc  6,  uidelicct  per  2,  exibunt  216  pro 
quesita  iunctiune,  cuius  summe  pensa  est  9 j>cr  i3,que  exit  ex  iuiictiune  |>ensc  dc  267, 
que  est  7,  ct  dc  4162,  que  csl  2.  Bt  ut  hec  iutclligibilius  liant,  diuidc  6 et  o per  co- 
mitatem eurum,  scilicet  per  3,  exibunt  2 ct  3 : jM>nc  itaque  i sub  o ct  3 sub  9 ; ct 
miiltijdicn  imicnta  89  per  3 |>osila  .sub  9,  ct  iusi  per  2 |M)silu  sub  6,  ct  habebis  nu- 
merus suprascriptos,  quonira  additionem  diuidc  per  unum  cx  numeris,  qui  sunt  sub  uirgis, 
cl  per  iiuroci-um  |K)situm  sub  alio,  scilicet  per  6 ct  i>cr  3»  ucl  per  9 ct  ]>cr  2.  Potes  cniin 
aliter  |i4  cum  | 131  addere,  uiddicet  ut  addas  priimim  14  cum  231,  erunt  145  ; deiiulo 
adde  ~ cum  f erit  1 , que  adde  cum  145,  erunt  240,  ut  superius  per  priorem  mo- 
dum reperta  sunt. 

Extractio  | 14  de  J I3t. 

Bt  si  !>  14  dc  1 131  extiTiiicrc  uolueris,  extrahes  167  dc  4IC2,  remanebunt  3895,  quorum 
jMMisa  csl  8 per  I3,  que  sic  rcpcrilur:  .scilicet  cum  non  possU  extmlicre  7,  <jue  sunt 
pensa  dc  267,  dc  ])Ciisa  de  4iC2,  lioc  est  de  2,  debc.s  addei*e  numerum  j>ctisc,  uidelicct  13 
cum  2 prcscriplis,  faciunt  is;  de  quibus  extrahe  prodictam  7,  remanent  8 pro  pen.sa  de 
3895,  ul  prediximus;  diuides  itaque  3805  (>cr  suprascripta  ratione  exibunt  2(6  pm 
residuo  dicte  extnictioiiis. 

Aliter  extrahe  14  de  J 231,  remanent  | 2i7,  dc  quibus  extrahes  | ircum  non  possis 
de  I extrharc,  remanebunt  21C;  et  extrahes  ^ de  1 1,  faciens  xviii.**  ex  eis,  remanebunt 
«piibus  additis  cum  216,  faciunt  21C,  ul  su]>erius  reperta  sunt. 

Diuisio  de  jt3i  per  | 14. 

Uirum  si  | X3i  per  \ 14  diuidere  uolueris  , diuidc  4(62  per  regulam  de  267,  exibunt 
15  pro  quesila  diuisionc. 

Diuisio  de  | I4  per  | 231. 

Irem  si  | 14  diuidere  uolueris  per  23i,  diuide  267  per  regulam  de  4162,  exibunt  •;  ^7 
pro  quesita  diuisione. 


r«i.  to  •'«««>. 

« 11  <|«e  MI  .. 
tl>  ••■■rM,  lill 

14  2» 

• itib  alia  a (fwl 
Un 

co 

(J) 

4 16  2 

2 6 7 

|i3i 

3 

2 

H*«i 

10 


Digitized  by  Googie 


71 

AJililiu  de  I { u cum  | i 3M. 

Irem  si  j 4 i I atldcrc  uulueris  , desciibe  numeros  ut  hic  ostenditur ; 

et  multiplica  IS  per  suits  uirgulas,  scilicet  per  3,  et  adde  l;  (|ue  per  4 et  adde  multi- 
plicationem de  I,  ((uod  est  sujKr  4 in  3,  erunt  xii.*  IS7;  (pias  multiplica  per  numeros 
(|ui  sunt  sub  uirgulis  jiust  3il,  scilicet  per  s et  |>cr  7,  erunt  quadiigentesime  uigesime 
. K54S,  (]uas  jHine  sujier  4 4'^-  ^<iiude  multiplica  311  per  suas  uirgulas,  erunt  trigesime 

(]uinte  lliss;  ([uas  multiplica  ]>er  numeros  qui  sunt  sub  uirgubs  post  15,  erunt  (juadri* 
gentesime  uigesime  usssi,  cpias  |»ne  su|>er  4 4 deinde  adde  ests  cum  135551,  erunt 
ccccxs.  t4i»97;  ([uas  diuide  jier  4ia,  hoc  est  per  omnes  numeros  ipii  sunt  sub  uirgulis, 
et  aptabis  i|»os,  eiibunt  33S  pro  quesita  iunctionc,  cuius  pensa  est  lO  |icr  il. 

Aliter  iunge  15  cum  311,  erunt  337)  et  adde  4 | 7 }>  secundum  quod  docuimus  in 

secunda  parte  Imius  capituli,  erit  4r^o'i  ‘1“®  «™nl  4r,{  338,  ut  predi- 

\inuis. 

Ejctractio  de  4 4 (/«  7 4 3ii- 

Kt  si  4 i f f cxlraheic  uolueris,  extiube  6545  de  135551,  remanebunt  110007, 

(juc  diuides  siipi-ascripta  demnustratione  per  exibunt  j-fp,  307  pro  residuo  (piesitc 

extractionis. 

•Aliter  extrahe  15  de  331,  remanebunt  307;  et  extrahe  j 4 4 I 1 remanebunt  j-rn  i 

que  adde  cum  307,  erunt  4n7  307,  ut  prodiximus.  Verum  si  4 f 311  |ier  4 4 13  diuidere 
uolueris,  diuide  135551  per  regulam  de  6345,  exibunt  fy^f-io  pro  (juesita  diuisione. 

DiuUio  4 4 *3  7 4 

Irem  si  4 4 l’'*'  7 4 3**  diuidere  uolueiis,  diuide  6545  per  regulam  de  135551,  exibunt 

44  rm  I'”’  'I<ie.sila  diuisione;  et  sic  secundum  prescriptum  modum  (|Uo.slibet  numeros 
cum  duobus  niptis  addeie,  et  extrahere,  et  diuidere  potes:  tamen  alias  ({uasdam  (|ue- 
stiones,  ex  (|uibus  euitare  |Hissumus  comitatem  regule  nqilorum,  ad  presens  projioaimus 
demonstrare. 

Mdilio  4 4'®  4 4 

Si  uolueris  addere  j 4 oum  ; 4 <**>  descriptus  numeris,  multi|ilica  primum  16  jier 
w 11 ,0,.  suas  uirgulas,  erunt  | x.x.'  339;  ((uas  rura  debeas  multijdicare  per  3 et  j>er  9,  que  sunt  sub 
aliis  uirgulis  non  multiplicabis  nisi  tantum  per  9 propter  aliam  5,  que  sunt  sub  uirgula 
]iost  4 16,  erunt  c*uxxx“*  3051,  quas  senia  .super  44*6:  deinde  multiplica  441  per  suas 
uirgulas,  erunt  xu\‘‘  10931,  quas  multiplica  tantum  per  4,  que  sunt  sub  uirgula  pist  16: 
I|uare  relimiues  quod  non  multiplicare  {sic)  per  5 supradicta  ratione,  erunt  similiter  c'lxxx' 
79714,  quas  jKinc  super  1 4***=  deinde  adde  3051  cum  79714,  erunt  c'l.xxx*  81775,  quas  diuide 
per  ISO  uel  per  omnes  numeros  qui  sunt  sub  uirgis,  preter  quam  per  unum  ex  duobus 
quinariis:  quia  sicuti  relinquuntur  quimpie  iu  multiplicatione  unius  cuius(|ue  duorum 
numerorum  prescriptorum,  ita  debent  relinqui  in  diuisione  summe  iunctionis  ipsomm  : 
ergo  diuide  s81775  per  4H  1 et  cuitabis  inde  4.  exibunt  54  «9  pro  quesiu  iunctionc. 

UeI  [lote.s  addere  integra  cum  integvLs,  et  quintam  cum  quintis,  et  4 cum  |,  ut  in 
precedentibus  docuimus;  et  habebis  similiter  summam  eiu.sdcm  iunctionis. 

Extractio  4 ! 'O  44 

lrcnim.si  IJ  16  de  4 4 c*^'^'''cre  uolueris,  extrahes  3051  de  79714,  remanebunt  76673: 

quesita  ratione  diuides  i>er  exibunt  residuo  rjiiesite  extractionis: 


Digitized  by  Google 


7S 

ucl  extrahe  J i«  de  J ] 4«,  reraancl  \ | 446;  cl  lunc  extnihes  } i | «1*^  5 i>  si  po&sihilc  es- 
set. Sed  quia  {lussihiie  non  cst«  cxtnilie  J |i  de  ~|426,  rematieiit  425:  deinde  extrahes  ~ de 
presrripto  JJi,  remanchunt  1 amplius  de  425  pro  eodem  residuo. 

Rvisiis  si  ^ \ 442  per  { f <6  diuidere  uolueris,  diuide  79724  |>er  rcgiitam  de  305l,  exil»unt 
20  pro  quesita  diuisione.  E!t  si  | | lO  {)or  f j4i2  diuidere  uolueris,  diuide  30Si  per 
regulam  dc  79714,  exibunt  ^7-^4»«  (ptesiia  diuisione. 

Addit  io  i}  17  cum  ^,5523. 

Si  ucro  ; f 17  cum  ~ | 523  addere  iiulueris,  descriptis  numeris,  inullipHca  5 per  6,  '}ue 
sunt  sub  iiirgis,  eniiit  30;  ct  0 |>cr  10,  que  sunt  suh  aliis  uiigis  alterius  latens,  erunt 
90:  tene  30  in  manu  dextera  , et  00  in  sinistra  , et  diuide  eu  }>er  maiorem  cumitatem 
quam  habent  nd  imiirem,  scilicet  per  30,  exibit  1 in  manu  dextera  et  3 in  sinistra.  Pone 
ergo  i sub  2 J ct  3 sub  ut  in  questione  iacent:  el  multiplica  17  per  suas  iiirgas, 
enint  S27  xxx';  quas  multiplica  |>er  3 ]K»sita  sub  ^ erunt  is.si  nonugesime,  quas  |>unc 
super  { 1 17:  deinde  multiplica  523  per  suas  utrgas,  erunt  similiter  nonagesime  47149;  quas 
multiplica  j>er  1 positum  sub  \ eitinl  similiter  47M9  nonagesime ; quas  [H>nc  super 

I 323,  ct  adde  ea  cum  }58i,cmnt  4S730,  que  diuide  per  iiumcn>s  qui  sunt  sub  uirgis 
unius  lateris,  et  por  numcnim  ]>osituni  sub  uirgls  alterius,  boc  est  per  5,  ct  |>er  6 , 
et  {)cr  3,  uel  per  0,  ct  per  10,  et  ]>or  1;  ct  sic  cadet  diuisio  in  90:  <ptia  op|M>rtet  ut 
summa  preilicta  nonagesimarum  reintegretur,  exibunt  pro  quesitn  iiinctioiie  ^ 541:  hunc 
enim  modum  studeas  tencic  in  omnibits  similibus,  cum  sit  pivcautior  ceteris  ct  niclim'. 

Kt  si  J I i7  dc  ” J 523  cxlrabcrc  uolueris,  extrahes  ipiidem  i.*wi  de  47149;  residua  nero 
que  sunt  45508,  diuides  suprascripta  ratitme  per  exibunt  506  pn>  residuo  quesite 
extractionis.  Vcl  cxtnib<*s  I7  de  523,  rcniancburit  500;  ct  extrahes  J J ,7  |,  remanebunt 
\lt  ut  prodiximus 

Diuisio  de  ^ 523  per  J J-  17. 

Nsm  si  “ 5523  jHT  J 1 17  diuidere  uolueris,  diuides  47U9  j»er  I59i:  ct  si  diulscris 
1581  per  47149  , habebis  diuisiunem  de  | i7  in  | S23  , ut  in  prcccdentibus  singu- 
lariter demonstrauimus. 

Incipit  fuirs  quinta  de  additatione  et  extratione  scu  diuisione 
fmrtium  n«meror«/7i  integrorum  cum  ruptis. 

Si  uolueris  addere  ^ dc  | 29  cum  f dc  J I28,  describes  niimen»s  ul  bic  ostenditur; 
ct  multiplica  29  |>cr  5 et  adde  2,  cniul  U7;  que  iniiUiplica  per  3,  que  sunt  su|>cr  4, 
erunt  44l;  que  raulti]dica  j>cr  7 et  per  0,  que  sunt  sub  uirgula  alterius  numeri,  cnml  27783, 
que  jKmc  super  J fo,  qumiini  j»cnsa  est  8 per  11,  que  rcjierilur  secundum  quod  mul- 
tiplicuuimus:  deinde  niulliplica  128  ikt  9,  ct  adde  2;  que  |»cr  5,  que  sunt  siipcr  7,  erunt 
5770;  «pic  multiplica  |)cr  5,  et  j>cr  4 que  sunt  sub  uirgulis  alterius  primi  itumeri,  erunt 
115400,  que  JKmc  super  | 129  j ; cl  est  pensa  ips«>rum  lO  per  11  : adde  ergo  it783  cum 
115400,  erunt  143183;  que  diuide  per  omnes  ruptos,  scilicet  per  J-fH»  rH^  *** 

]>ro  quesita  ] iunctione. 

Extratio  de  { 29  J r/e  J 128  | . 

Et  si  I 29  5 extrahere  uis  dc  | i2«y  , extrahes  27733  de  115400,  remanent  87617;  que 
similiter  diuide  per  5ffrg,  exibunt  P™  residuo  quesite  extractionis. 


Si  autf.iu  i (lui 

tl  r*«t0  , lad.  t|.19  I laii 

74,  lio.  SM9). 


115400  971 

Jl28f  |S 

«{hliclin 

* J * 10**'* 
extracti» 

«-7  » » cn 

1 ? 9 iO 


Digitized  by  Google 


U%r*it>  4iui>ww<  • 11 

rrrt*,  lia.  4-S;  |«g.  Ifi  . lui. 


»MU>M  naiant  niiiiurtoi 

» • 

t.«  * 1 

T I 

1 » * ■* 

«IM 

H>i»  par  nuKtfem 

t 1 

9 1 9 t 

t 1« 

19  9 T 2 

SI  9 .. 

. 14I6S  . ff.l.  SI 

, ]in. 

10.18  i p g.  76 

Im.  8-2S). 

KS4l'iH 

3iJ 

||>enM  rsl  per  13*  © 

! t It»» 


tnni  m ....  toti*  if  /f 

no»  • 31  v*rt«.  Ii».  iCl 

|u(.  7(.  li«.  ll^ 


76 

Diuiiio  {ie  \ I2S  y /^r|  19  • ♦ 

Rvrsus  jii  | ISS  ' per  f S9  ; diuiilcrc  uoluciU,  ir|>crtis  prescriptU  numeris,  scilicet 
277S3  ct  115400,  studoHS  inucnirc  regulam  <lc  27783,  que  est  j * * et  diuide  per  i{isani 
115400,  exibunt  f,—fTl  ^ que.sita  diuisionc. 

Adhuc  si  I dc  f 20  [>er  f de  | 128  diuidere  uolucrls  , diuides  27783  per  i'egulam  dc 
115400,  exibunt  {-iViVr?  * qucsila  diuisionc. 

Si  milcm  y J dc  f J J3  cum  dc  jy  j 944  addere  uulucris,  dcsciibcs  uumeros,  ut  hic 
usteiidilur;  cl  multiplica  33  i>er  o,  et  adde  s que  .sunt  super  o;  que  per  7,  et  adde  2, 
erunt  L*xiiP  iiio.  Itcni  multiplicia  3,  que  sunt  super  4 per  5,  et  i,  c{m)d  est  super  5,  {Kr 
4,  et  adde  insimul  erunt  x\*  19;  quas  multiplica  per  2iio  inuentas  , erunt 

m/cc.'l\'  40204,  qiiamm  pen.sa  per  13,  ut  multiplicauimus,  accepta  est  9;  c|uem  nume- 
rum, .sciliccl  40204,  cum  debeas  ipsum  multiplicare  j>cr  omnes  ruptos,  <|ui  sunt  sub  uir- 
guUs  alterius  latcrU,  .scilicet  per  7 et  ]>er  4,  ejue  sunt  sub  prima  uirgula  illius  latcri.s, 
cl  piT  6 ct  per  11,  relinques  pruuiim  quod  lum  muIlipUcabis  per  7,  nec  per  4 propter 
7 ct  4,  que  .sunt  sub  iiirgtiUs  primi  lateris.  Kt  rcdinqiies  ilenim  quml  non  multiplicabis 
per  3,  ipic  sunt  in  regula  dc  dictis  6 propter  3,  (jue  smil  iii  regula  de  9,  cjuc  9 suat  sub 
idliina  uirgula  primi  lateris.  Fi^o  multiplicabis  40204  per  2,  que  rcmuneiil  dc  uirgula  di- 
riorum 6 et  per  it,  hoc  e.st  in  tina  multiplicatione  per  22,  eiunt  xx*ur.DCC*.xx*  SH4488 ; 
(juas  jtonc  .sujier  J-J  33  J *,  cl  desuper  pone  pensam  i[>sanim  que  e.st  7.  Deinde  multi- 
plica  241  per  c,  que  sunt  sub  uirgula,  et  adde  s que  .sunt  super  6,  erunt  .sexte  1469; 
quas  iiiultipHca  per  ii,  et  su{>cr  adde  multiplicatioricm  dc  i,  quod  est  .super  ii  in  6,  erunt 
lxxY  I61C3;  «piarum  pensa  similiter  per  13  est  o.  Item  multiplica  3,  «picsuut  su|>cr  7,  per 
4,  ct  adde  f,  qiuMl  est  super  ipsa  4,  erunt  xx^.yiY  13;  <|iias  multiplica  lx.**  m/'  16IG5, 
ermit  x.*  dccc.*  xl.*viii.'2I0I43.  Quas  cum  debeas  multiplicare  j>er  omnc,s  numeros, qui  sunt 
sub  uirgulis  primi  luteris,  rclin<|ues  siipniscriplls  dispositis  qtiod  non  multiplicabis  ex  eis, 
nisi  tsmtum  per  3,  que  remaiieiil  de  rcgtda  dc  0,  ct  per  5,  hoc  est  iti  una  niultipliccitione 
per  15,  erunt  similiter  .xx.*  vii.'  dcc.*  xx.*  3ir»2i7S,  si«*nti  ftieniiil  ille  alterius  latcri.s.  Quas 
pones  iterum  super  \ 24l  f?  , et  desujicr  |M)nc  eanim  pensam  «pie  est  o;  deinde  adde 
8S4488  cum  3152175,  enint  4030C63,  quc  diuidcs  per  omnes  ruptos  iiniu.s  cuiii.slibet  lateris, 
ct  per  ruptos  qiii  accipiunliir  iii  multiplicatione  ex  altem  latere.  Vt  pote  per  4 , ct 
j»er  5,  et  per  9,  et  |»cr  7,  «pic  siinl  in  prinu>  lalei-e,  ct  j>er  2,  «juc  sunt  in  regula  dc 
0,  ct  |KT  11  alterius  lateris,  que  accipiuntur  in  multiplicatione  primi  numeri,  ucl  per 
7,  ct  per  4,  ct  j>er  G,  ct  per  ll,  «[tic  sunt  iu  secundo  latcm,  et  per  3,  «|ue  sunt  in  re- 
gula de  9,  ct  per  s,  «pie  sunt  iii  altero  latere,  exibunt  J fj-iVlT  quesiu  iunctione. 

Ertratio  r/e  - y fj  33  de  y 244  fj . 

Naiu  si  dc  [-y  de  ~ 4 ***  uolueris  extrahere  | * de  f®  33,  ucl  alhjuem  ijvsorum  per 
reliquum  diuidere,  reperies  suprascripto  modo  et  ordine  presrripta  H84488  et  3152175;  ct 
cx  ipsis  o]>crabi.s  secundum  «puni  superius  iii  hoc  capitulo  in  extractione  ct  diuisionc 
dm'uimiLS. 

Irem  .si  indueris  addere  ffj  de  \ 42  cum  y j ‘ de  331  , describe  numeros 
ut  bic  twleiidilur.  Kl  incipias  multiplicare  41  per  suas  uirgulus,  «pie  suul  ei  retro,  erunt 
30C44.  Et  accipe  fJJ,  et  multiplicas  5,  quc  sunt  sujicr  0 per  8,  et  adde  3;  quc  |>er  7, 
ct  adde  2,  erunt  303;  «pic  uiulliplica  cum  30644,  enint  92H5132;  que  cum  debeas  multi- 


Digitized  by  Coogie 


77 

plicxire  per  omnes  rmmrrr>s,  qiu  sunt  sub  omnibus  ulrgulis  altcnus  lateris,  scilicet  per 
7,  et  |)cr  s,  et  per  9,  que  sunt  sub  tribus  uirgulis  illius  lateris,  et  per  ti,  et  per  5« 
et  |)er  3,  que  sunt  sub  unu  uirgula,  relinques  (|U(»d  non  repetes  ea,  mulliplicamlt»  que 
iterum  sunt  in  hoc  primo  latere:  ergo,  relictis  illis,  restat  quod  non  multiplicabis  otS5<32 
ex  prcscnptls,  iiUt  tantum  per  3;  que  multiplicatio  ascendit  in  3785339«,  quem  numeruni 
[voiic  su|>ei'  primum  latus  : deinde  ut  inuenias  numerum  alterius  lateris,  multiplicabis 
34ti  per  suum  uirgulam,  <|uc  esi  ei  retro,  erunt  S46CS.  Et  reperies  numerum  reliquarum 
suamin  | trium  uii^iilarum,  S(*iliccl  de  | g fiunt  479;  per  quem  multiplica  544(jS,  erunt  m.  Urr^*. 

S6I83098:  que  cum  debeas  mullipUeare  per  omnes  numeros  <pii  sunt  sub  omnibus  uirgulis 
primi  lateris,  scilicet  per  13,  et  per  ii,  et  per  5,  que  sunt  sub  tribas  uirgulis  illius  piimi 
latetis,  et  {kt  7,  et  per  s,  et  ])er  9,  tjuc  sunt  sub  alia  uirgtilu,  rclinijucs  (juod  non  mub 
tiplicabis  ex  presrrlptls  , nisi  tantum  per  f3  propter  comitatem  , quam  habent  rupti 
iilriasquc  lateris  ad  inuiccm.  Multiplicatio  itaque  de  20t83008  in  uascciulit  in  340380374,  que 
|H)tias  super  secundum  latas.  Et  adde  ipsa  cum  numero  posito  super  primum  latus,  sci- 
licet cum  8785339«,  cruiit  38833.S070,  quc  diuitlc  pcr  omnes  numeros  qui  sunt  sub  uirgulis 
primi  lateris,  et  per  3 que  sunt  sub  una  uirgulariim  secundi  lateris,  boc  est  sicuti  nml- 
tiplicauimus  cum  habuimus  numerum  primi  lateris.  Vel  diuides  ea  per  omnes  ruptus  qui 
sunt  sub  uirgulis  secundi  lateris,  et  per  13  que  sunt  sub  una  uirgulanim  primi  lateris, 
boc  est  secundum  quml  muUiplioauimus  cum  habuimus  numciimi  secundi  luteris  : ergo 
rliuides  ipsa  per  1"®*  Imius  uirgulc  aptationem  rTu  I’*"** 

fjuesita  iunctiune,  c|uoruni  pcasa  per  17  est  3. 

y^liu  extratio. 

n A ^ 7T»  uolucris  de  331  J g 71  rc|>crics  suprascripto  ordine 

jirescripta  878xS.S396  et  340380874,  extrahes  minui^em  ipsorum  de  maiori,  remanebunt  312524878; 
que  diuides  similiter  suprascripte  iunctionis  ratione  per  * g j- *■  » e buii 1 1 4 ! 9 m i\ 

{>ro  residuo  quesite  cxtnictionLs. 

^Am  si  per  regulam  278333%  diuiseris  340380274,  habebis  diuisiunciii  maioris  |»ositi  nu- 
meri per  minorem:  contrarium  itaque  reddit  contrarium.  Si  uis  addere  ^ cum  fac 
eadem  uirgula  terminare  iu  circulo  ab  alia  parte;  et  habebis  (jucsituiu,  scilicet  7-’;  <pie 
rediges  ad  partes  unius  numeri  per  di>ctriiiaiu  su])iacliclam,  emnt  g”,  hoc  est  Et  si  ^ 
de  I extrahere  uLs;  si  de  •*,  hoc  est  de  |,extraxcris  ||,  niminim  jJ  remanebunt, hoc  cst^: 
uel  accipe  | de  45,  erunt  10;  de  quibus  extrahe  | i|i$oruin,  remanebunt  4;  quihas  diuisU 
per  43,  habentur  similiter  ^ pro  residuo  dicte  extractionis.  Similiter  si  ~ uis  extrahere 
de  7 , extrahe  ~ de  77,  scilicet  de  remanet  gj.  Nam  de  quacumque  re  extrahuntur  f 
eiusdem  rei  remanere  ueeesse  est.  Et  si  ex  aliqua  ro  extrahuntur  7,  ex  eadem  i-cmancnt 
\ , Vnde  si  ^ extraxeris,  remanebunt  et  sic  inlclligas  de  omnibus  similibus.  Simi- 
liter si  ^ uis  de  7 extrahere,  remanebunt  || , .scilicet  quia  de  quacumque  re  extra- 
huntur j,  ex  eadem  re  J remanere  necessc  est;  cum  7 et  | faciunt  unum  integrum. 

Incipit  fMrs  sexta  septimi  capituii  de  disgref^ationc  f*artium 
in  singulis  fuirtibus. 

I.x  prima  et  in  secunda  parte  huius  capituli  diucrsorum  iiumcroiaiin  paries  in  jiarlcs 
unius  numeri  aggregare  docuimus.  In  hac  uero  plures  partes  unias  numeri  in  singulas 
partes  disgregare  d<M*cmus,  ut  tiiteHigihilius  rupli  cuiuslibet  uirgulc,  que  pars  ucl  |»arlc.s 


Digitized  by  Googie 


T9 

sint  uiiiiu  iiitcgii  cognosi^ei^c  ualeas.  Diuiditur  enim  hoc  opus  in  septem  distinctiones, 
(^hianiin  prima  est  «piando  maior  numerus,  qui  est  sub  uirgula,  diuiditur  {>cr  minorem, 
scilicet  ]H*r  ipum,  qui  est  sub  uirgula.  Cuius  diiTcrcntic  regula  est,  ut  diuidas  maiorem 
)>cr  minorem}  et  liabcbis  partem  que  minor  est  de  maiori.  Verbi  gratia:  iiolumus  scire 
de  ^ que  pars  sint  uiuus  integri:  diuisis  quidem  i<  per  3,  reddunt  4,  pro  quibus  dicas 
~ } et  talis  pars  est  ^ ex  uno  integro.  Eademque  nitioiic  — sunt  \ unius  integri, 
sunt  quia  too  diuisis  per  5 reddunt  so,  (juod  idem  intclligos  de  similibus. 

Dmiditur  quidem  hcc  differentia  iii  tres  jmrtcs,  «{uarum  prima  est  simplex,  secunda 
com]K>sita,  tertia  reuuluta  comjiasita  nominatur.  Simplex  est  ilia,  de  qua  modo  feci  men- 
tionem. Com[K>sita  est  quando  simplex  refertur  ad  partes  alterius  numeri,  ut  : rt- 
feruntur  enim  f (|iic  sunt  de  prima  differentia  simplicc  ad  partes  de  9 : quare  j)ru 
liabetur  — , scilicet  et  pro  j|  habetur  et  pro  ^ habetur  cura  simpliciter  \ 
sint  y composite  cum  erunt  quod  idem  intcliigas  de  similibus:  prima  renoluta 
composita  sunt  |~,  cum  sint  ea  ad  que  sunt  simililer  intcliigas  de  que  reuoU 
uuntiir  in  y|  , scilicet  in  37  ; et  pro  ^ hula‘iitur  ^ , scilicet  -jJ, 

I)e  sfatmJa  {Ufferentia.  | 

.1-  w «rr«.  Secunda  differentia  est  «piando  maior  numerus  non  diuiditur  |)cr  minorem  ; sed  de 
minori  {Nissunt  heri  tales  partes  quod  per  quamlibet  i|xsarum  maior  diuiditur:  cuius  dif- 
fereiuie  regula  est  ut  de  minori  facias  partes,  per  quas  maior  diuidi  jHissit;  et  diuidatur 
maior  |K*r  unaiu«piami}tic  ijisanim  ]>artium,  et  habebis  singulares  partes,  que  minor  fuerit 
ex  maiore.  Vcrlii  gratia:  uolumus  disgregarc  | in  singulas  j>artcs  unius  integri:  r|uia 
G non  diuidutitur  |>cr  5,  negatur  y ex  prima  esse  diffoiciitia:  sed  «piia  9 diuiduiitur  in 
duas  {lartcs,  scilicet  in  3 et  in  2,  ]>er  quamlibet  quarum  maior,  scilicet  6,  diuiditur,  af- 
flraialur  esse  | de  secunda  esse  differentia.  Vnde  diuisis  6 per  3 et  per  2,  reddunt  1 
et  3;  pn>  (piibus  2 accipitur  y , et  pro  3 accijie  J:  ci-go  | sunt  -j  \ unius  integri:  uel 
aliter,  dtsgrcgalis  \ in  | et  {,  erit  una  quc«|uc  illarum  duarum  uirgulanim.  De  jtrima  dif- 
ferentia, scilicet  sunt  Et  | sunt  \ unius  \ sunt  \ -y,  ut  prediximus.  Similiter  si  \ 
rcsolucris  in  i,  et  in  et  in  y,  habebis  \ pro  J-  et  } pro  J et  J-  pro  j,  hoc  est  jier  J, 
habebis  J 1 habet  enim  hcc  secunda  differentia  similiter  partem  com|>ositam  et  jmrtcm 
reuoliitam  comjH)silam:  de  parte  <|uidem  rom{H»sila  siiiU  ^ ; «|uia  | pro  secunda  dif- 
ferentia sunt  y {:  «|uarc  per  habentur  comjwsile  ^ et  J-~,  hoc  est  ^ et  y;  : si- 
militer pro  ~ hahciilur  ^ et  Jy)  cum  \ sini  \ et  i;  setl  pro  J-y*,  cum  sint  de  jnima 
differentia  leuoliita,  non  rosoliics  in  t-y  et  Jyy,  cum  per  primam  differentiam  rcuol- 
uaiitiir  in  que  sunt  “ : et  hoc  continget  propter  comitatem  quam  habent  5,  «|uc 
sunt  .sujier  a;  cum  10  de  |>aite  «piidcm  reuoUita  comjiosita  huius  diffcrciitie  sunt 
que  rcuiduurilur  in  que  sunt  et  -”j,  hoc  est  ^ el  >5 ; quia  i simpliciter  re- 
«ligunlur  in  5 el  quare  ^ conij>o.sitc  resolueiitiir  in  et  in  similiter  pro  ^ 
habentur  ~ , scilicet  el  et  sic  iiitelligas  in  similibus.  Sed  «juia  jiartcs  prime  et 
secunde  diUcrcntic  pre  ceteris  in  negotiationibus  necessarias  esse  cognoscimus,  in  qui- 
bustlam  tabulis  disgregationes  partium  (|Uorumdam  numerorum  ostendere  ]ircsentialiter 
procuramus,  quas  cordetenus  addiscere  studeas,  ut  que  in  hac  parte  dicere  uolumus,  me- 
lius iiitelligas. 


Digitized  by  Googie 


80 


Tertia  differentia  disgrej^ationum . 

TErtiii  qiiidom  diiTcrentia  est,  cum  unu  plus  maiuri  numero  ditiidilur  per  minorem; 
cuius  diircrcntic  regtda  est,  ut  numerum  qui  fuerit  plus  maiuri  diuidas  per  minorem 
9,  quot  ei  diuisionc  ciierit,  talis  jmrs  iiniiLS  integri  erit  minor  de  maiuri,  et  insuper 
eadem  pars  partis,  que  i est  de  minuri  numero.  Verbi  gratia:  uulumus  facere  singulares 
|iartes  dc  ^>‘1*“^  diflerentia  cum  uno  jdus  de  ll,  scilicet  il  diuidantur 

|icr  i,  que  sunt  super  uirgulam;  ex  qua  diuisiune  cum  ciicniant  6,  reddunt  J,  et  insnjicr 
sextam  partem  de  ll,  scilicet  pro  singularibus  partibus  dc  eaderoque  ratione 
pro  j‘,  habebis  quartam  et  | -* , lioc  est  j . Et  pro  lialicbis  tertiam  et  hoc 
Ti  1 > P'”  n habebis  dimidium  et  f-n  , hoc  est  i J ; et  pro  -i  haliebis 

hoc  est  j;  cum  s que  sunt  super  lo  sint  J de  jo,  que  sunt  i plus  m:  comjioiiitur 
etiam  et  bis  tertia  diflerentia,  ut  que  sunt  — et  jj;  cum  * .sint  J 5:  simililer  ^ sunt 
if  T^>  ‘1*''“  7 “““l  Tt  7'  fl  reuoluiliir  etiam  bcc  eadem  diflerentia,  ut  ucl 
nam  siint  ^rTt  qf«  ;'i  per  tertiani  diflerentiam  sunt  J:  quare  l-i  sunt  J*  ct 
~ : similiter  f|  reiioliiunliir  in  Ii,  que  sunt  ex  duabus  dilferentiis  comjiositis,  scilicet 
ex  secunda  et  ex  tertia.  Secundum  quidem  .secundam  diflerentiam  rom|M)sitam  ii 
sunt  .scilicet  Ji  et  j|,  secundum  quoque  tertiam  diflerentiam  comiiositam  H sunt 

cum  pro  J habeantur  j;  et  huc  idem  intcliigas  dc  similibus. 

/M  eadem  differentia. 

Svnl  enim  ex  hac  eadem  diflerentia  quando  dc  minori  numero,  qui  est  sujier  uii- 
gulam,  jHissunt  lieri  due  partes,  per  quamlil>ct  quarum  uno  plus  maiori  iutegraliter  di- 
uiditur,  ut  i et  : nam  de  pu.s.sunt  fieri  duc  jiartes,  scilicet  ^ et  i-' unde  pro 
habemus,  .secundum  hanc  rationem,  duas  singulares  partes,  scilicet  — J;  ct  pro  ha- 
bemus j'j  J:  ergo  pro  ^ habemus  i J 1;  similiter  pro  quare  soluuntur  in  i 
et  in  i,  habemus  n I i i ct  pro  habemus  J,  1 i. 

II  sint  i I dc  ij;  que  is  sunt  uno  plus  quam  ti,qiic  sunt  .sub  uirgula. 

Ve  f/uarta  differentia  discrepationis. 

Qvarta  diflerentia  est  quando  maior  est  sine  regula,  ct  uno  plus  maiuri  diuiibtur 
per  I minus  minuri,  ut  ct  huius  diircrcntic  regula  est  ut  extrahas  1 dc  minori,  ex 

i|ua  facies  unam  singularem  |sirtem  unius  integri  , uidciicet  talem  qualis  fuerit  nu- 
merus, qui  est  sub  uirgula;  ct  tunc  remanebunt  tibi  partes  tertie  differentie:  ut  si  dc 
extraxeris  remanebunt  ,*j;  pro  quibus  habebis  singulares  partes  per  tertiam 
(.1  u,oo.  diflerentiam,  | j;  [;  cum  quibus  addita  ."j  supra.scri]ita,  reddunt  ~ J-  eademque  ratione 
pro  habebis  ,'j  1 , ct  pro  * habebis  j- 1 , et  pro  i habebis  J , ct  jiro 

i habebis  ; ;,  hoc  cst  • . 

Ve  quinta  differentia. 

Qvinta  diflerentia  est  cum  maior  numerus  fuerit  jiar  duo  plus  maiuri  diuiduntur  per 
1 minus  maiuri:  huias  differentie  regula  cst,  ut  dc  minori  numero  extrahas  t,  que  j 
erant  ex  prima  dilTerentia;  residuum  uero  erit  de  tertia  ut  jj:  ex  quibus  si  citraxeris 
,c,  que  sunt  secundum  regulam  prime  differentie,  remanent  —,  que  sunt  ^ -J,  hoc 
e-st  i cum  quibus  adde  erunt  nnj  pro  singularibus  partibus  dc  eademque 
ratione  pro  ~ habebis  Vn  n * • 


Digitized  by  Googie 


81 

sexUt  ififjerejUin. 

SeaIu  liiircrentiu  CH  qtiandu  maior  numerus  diiiulilui' iiilcgraiitcr  per  3,  ct  uno  jiius 
mniuri  diuiilitur  ]>cr  3 mimus  minori,  ut  7*7?  eiihis  rogiiia  est,  ul  cx  ipsis  prtihus  cxtnilies 
tres  {mrtes,  lioc  est  <|U(mI  ilc  minori  extralics  3;  tpic  tiTs  jmrtes  erunt  de  prima  diHc- 
rciilia,  rclhpm  ucro  cninl  dc  tertia:  ut  si  dc  ^ extriixeris  «|uc  sunt  \ scriindum  pri- 
mum dlifertuUmm  rei,  ct  {7  que  ]»cr  tertiam  diirciYntiam  sunt  *;  cuni  ipiilms  addita 
I supniscripta,  minl  J ^ pn»  partibus  dc  . Kademijue  ratimic  pro  ^ Imlndiis  J. 

Pe  septima  thjferentia. 

Septima  diirt'reiitia  est  (piando  milln  siipruscriptarum  diflemiliarum  continet,  cuius 
regula  est  multum  utilis:  jkt  hanc  enim  qiiarundum  siiprascriptanim  diiTcrentiamm 
partes  melius  quam  per  ips;iinim  regulas  (juaiidoquc  iiiueniuritur,  uideli('ct  partes  se- 
cunde, et  (piarte,  ct  quinte,  et  sexte  dincrcntic.  Vnde  partes  ipsarum  quattuor  dif- 
feitMiliarum  {ler  hanc  septimam  regulam  seai])cr  sunt  repetende,  ul  |MJssis  pulchriores 
|Kirtes  uel  per  ipsorum  regulas,  uel  per  hanc  siihtilius  re^ierirc:  est  huius  difTercntic 
n*gula,  ut  diuidus  niai(»rem  numerum  per  minorem;  et  ciim  ipsa  diuisio  iutegru  non 
fuerit,  considera  inter  ([uets  duos  numeros  illa  diuisio  ceciderit:  si  inter  3 et  4 cccidcrit, 
scies  quia  minor  mimenis  dc  maiori  est  minus  quam  ct  plus  (piam  { ipsius:  et  si 
inter  4 et  5 ceciderit,  eiit  minus  J et  plus  (piam  7;  ct  sic  intclligas  dc  omnibus  duo- 
bus numeris,  inter  <pios  illa  diuisio  ceciderit:  deinde  accipe  niaioram  {hirtein,  que  minor 
iiumcnts  fuerit  de  maiori;  ct  i*esidmim  quod  inde  remanebit  smia:  (piod  si  fuerit  ex 
atirpia  suprascriplamm  diirereniiarum,  o|>erarc  per  eam;  et  si  illud  residuum  noii  fuerit 
c\  alirpia  siiprascriptanim  diirerciitianini,  tunc  ex  ipso  residuo  accipies  maiorem  |mrtem; 
et  hoc  facies,  donec  remanebunt  partes  alicuius  siiprascriptanim  dineu  (itiariini  , uri 
donec  habueris  omnes  singulares  partes,  (pic  minor  fiiei-it  de  maiori.  Verbi  gratia:  uo- 
lumus  singiilures  partes  de  ^ facere:  diuisio  quidem  dc  13  in  4 radit  inter  3 el  4;  quare 
77  unius  integri  sunt  minits  de  J unius  integri,  et  jdus  ([uam  rjuarc  cogiius('imus  quini 

-J  est  maior  singularis  pars,  qiic  de  ^ accipi  jmtcsl.  Nam  faciunt  unum  intcgnim; 

(juure  quarta  |>ars  eoniro,  scilicet  J~,  est  \ unius  integri:  quare  extrahe  dc  ~ , 
remanebunt  j-—,  (pic  per  secundam  diilcrentiam  sunt  l-V  A,  boc  est  ~ ucl  quia 
sniil  4.;,  que  |>er  secunde  diircrenlic  regulam  sunt  similiter  75  ^7  ; ergo  pro  ^ habemus 
tres  singulares  partes,  scilicet  >7^1«  Aliter  portes  dc  per  hauc  se[>timam  regulam 
poles  reperire.  Videlicet  ut  diuidas  j>er  3,  exeunt  17  ct  plus:  quare  est  maior  pars, 
«pie  in  sit.  Vmlc  diuisis  5i  jier  18,  exeunt  { i ; quibus  extractis  dc  3,  remanet 
scilicet  h habemus  7^  /7;  quare  pro  ^ habemus  y j J . 

Irem  sic  faries  singulares  |»artes  dc  /7  : ditiide  6t  |>er  9,  exibunt  9 ct  amplius;  quare 
iiabebis  | pro  maiori  singiiiari  parte  de  : diuidos  itaque  Cl  per  T,  exibunt  *8,  qiic 
sunt  sexagesime  prime;  quas  extrahe  dc  rcmancbiinl  hoc  est  777,  qne  jfj  sunt 
«fi  scrundiira  tertiam  diircretitiam:  ergo  77  sunt  ifj  5 unius  integri, 

ut  pra  ^ lial>entur  |M*r  tertiam  comjMisitam  dilTercntiam  ^ et  : iptarc  pro  ^ 
Iwlwiilur  ^ . 

iicm  hunc  eundem  modum  dc  ~ uolumus  demonstrare.  Diuisls  quidem  t9  per  17, 
exiit  I,  el  amplius;  quare  cognovimus  magis  esse  medietate  unius  integri:  et  notandum 
est  (piia  tres  tertie,  ucl  quattuor  quarte,  ucl  J , ucl  J faciunt  unum  integrum  t si- 
li 


Digitized  by  Coogie 


M 

militer  ~ faciuut  uiium  integrum;  ex  rjuibus  si  acreperimus  medietatem,  scilicet 
et  extraxerimus  eas  ilc  remanebunt  Iioc  est  quare  ^ sunt  ^ J,  de  quibus 
. 31  rffi:  ojiortct  facere  singulares  |>artes,  scilicet  per  liaiic  eandem  ditrereiUiam:  quare  diuide  $9 

per  5,  exibunt  11  et  amplius.  Viidc  cognoscitur  quml  — est  maior  singularis  j>ars,  que 
sit  in  ji'.  unde  accipiatur  de  |J,  scilicet  de  integro,  erunt  a quibus  usque  in 
decsl  lu>c  est  et  sic  habebis  pr«)  ||  Ires  singulares  partes,  scilicet 
Regula  uniuersalis  in  tlisgregittione  fmrtium  numerorum. 

' Est  enim  lii  similibus  queduni  alia  uniuersalis  regula,  scilicet  ut  inuenias  numerum, 

qui  lml>eat  in  se  multas  regulus,  ut  12,  ucl  24,  ucl  30,  iiel  4S,  uel  60,  ucl  quemlibet 
alium  numerum,  <|ui  sit  maior  medietati  numeri  existenti  sub  uirgula,  ucl  minor  duplo 
i{Kius:  ut  pro  presi^riptis  ^ accipiamus  24,  que  sunt  plus  medietate  de  29;  et  multiplica 
igitur  17,  qiic  sunt  super  uirgulam  per  21,  erunt  40s;  (|uc  diuide  |>er  29  et  per  24,  exb 
bunl  jVH  * 4 4»  que  partea  sunt  de  21:  sunt  enim  uel quas  senia 

pro  partibus  de  yj ; cl  uidc  iterum  dc  2 que  sunt  su|>cr  29,  que  partes  sint  de  24:  sunt 
enim  ^ ipsorum,  pro  quo  babebis  in  eisdem  partibus  de  <juia  ^ dc  •—  erpiantur 

de  rb*  P*'*  H Iiabcbis  ucl  in  ii  I» 

periu-s  inuenimus. 

Irem  si  luultiplicaucris  it,  que  sunt  super  29  per  30,  sicuti  multiplicasti  ra  |>cr  24, 
et  diuisciis  similiter  per  29  ct  |ht  36,  exibunt  que  21  .sunt  j-J  ; uel  ^ } de  30 

ct  3,  que  sunt  su|)cr  29,  sunt  dc  36:  ct  cum  ipsa  3 sini  super  20,  erunt  lioc  est 
ct  sic  bal>el)Ls  iteiiiin  pro  (Nuiilms  singularibus  de  » • 1^-1 

scire  quare  multiplicauimus  |>er  24  illa  17,  que  sunt  su{>cr  29,  ot  diiiisimus  summam  per 
29,  scias  iios  de  ~ fecisse  ipiia  21  est  ruimenis  ex  multis  muneris  compositus,  unde 
|»arlcs  cius  cadunt  ex  prima  ct  secunda  dilEereiitia.  Sunt  enim  ut  predicta  iiiuenU 
sunt  ex  quibus  lj,que  sunt  in  cupite  uirge  baWnltir  per  secundam  dincrenliam 
{ uel  remanent,  habentur  |>cr  primam  dilTerciUiam  reuulutam 

boc  csi  . Similiter  cum  multiplicasti  t7  per  36,  et  diuisisti  per  29,  tunc  de 
fecisti  trigesimas  sextas.  .Sunt  enim  |J  er|tialcs  dc  quare  quam  jK>rtioiiein  babent 
29  ad  30,  oanuiem  propnrlionem  lialieinmt  17  ad  quartum  numerum:  «piare  niuItipHcauioiiu 
tertium  numcnim,  scilicet  17  ]>er  secundum,  scilicet  per  3C,  cl  diiiisimus  summam  {>er 
piinuuii;  quia  cum  .1111'".  numeri  sunt  proportionales,  est  multiplicatio  secundi  in  tertium 
LS|tia  multiplicationi  primi  iii  <|uarlum,  ut  ub  Euclide  demonstratum  est. 

Irem  si  JJ  in  singulas  partes  disgregare  uis,  quamuis  sint  ex  quarta  difrerentia  cum 
uno  ]>lus  de  diuidatur  pro  uno  minus  dc  19  : unde  pro  [*-  babebis  inde 

qualiter  |ier  septimam  regulum  licri  debeat,  ostendamus:  ditiisio  enim  dc  53  in  19  cadit 
inter  2 ct  3:  quare  lial>enius  J pru  maiori  .singulari  parte,  que  dc  accipi  potest;  et 
extrabe  tertium  de  53,  scilicet  J 17  dc  I9,  remanebunt  -J  1,  boc  est  {-yy  : ergo  singu- 
lares partes  dc  J|  sunt  -J,  ut  per  regulam  quarte  diUerentic  iriueiiinius. 

I*Er  lianc  enim  regulam  non  |Hissiint  ita  leniter  facere  singulares  jxirtes  de  , Vade 
imienics  eas  per  aliam  regulam,  uidclicol  multiplicando  20  per  alirpiem  numerum,  qni 
multas  babeat  regulas,  ut  prodiximus:  multiplicatis  quidem  2o  per  4S,  ct  diuisis  per  53  et 
|>er  48,  reddunt  ^|*;  que  I8  sunt  f4  dc  48,  ucl  ^ j ct  o,  qiic  sunt  sujier  53  .sunt  | de 
48:  quare  erit  J~;  cum  i|>sa  o siiii  super  53:  ergo  pro  singularibus  partibus  dc  |y  habes 


Digitized  by  Googie 


83 

W?  ¥ i Pn  Ti  V studeas  in  omnibus  simililms  (»j>crari:  cl  cum  non  possis 

j>cr  unuro  ex  prc-sriiptU  regulis  congruas  singulares  partes  r|uurumli})ct  similium  habeiv, 
studeas  eas  per  aliquam  aliarum  inuenirc:  et  riolundum  quia  sunt  multi  rupti, qui  aptandi 
sunt  antequam  disgregentur  in  singulares  part<'s, scilicet  cum  maior  numems  non  diuidatur 
{>cr  miiiurcni,  et  habeat  ad  inuicem  aliquam  comunem  regulam  ut  quorum  uiuLsquisquc 
numerus  iiilegraliter  i>cr  3 diuidilur:  (piai^;  diuides  utrutm{uc  eorum  per  3,  exibunt  s super 
uirgam,  et  3 sub  i()sa,  hoc  est  que  sunt  ex  tertia  dillcrentia;  cum  uno  plus  de  ^ di> 
uidaiitur  per  3;  <{uarc  sunt  J similiter  est  (|uorum  numcroimm  uterque  diuiditiir  |>cr 
t.  Vade  reducuntur  in  ct  sunt  \ ^ per  secundam  diirerenliam;  et  sic  intcJligas  de 
simililms.  Et  si  plurcs  | rupti  fuerint  sub  una  uirgula,  ojMirtel  \il  reducantur  in  uiio  rupto  m.  u 
sub  uii^la,  ut  que  sunt  Kt  reducuntur  sic:  multiplicantur  3,  que  sunt  sii|K'r  s 
pci' s,  et  additur  i:  punimus»  ct  sic  habemus  7;  et  multiplicabis  t pera»  que  suiilsub 
uii^ula»  fiunt  16;  que  <6  [miiimiLs  sub  uirgula»  ct  super  i|)su  ponimus  7. 

Irem  | * sunt  que  inucniuntur  secundum  suprnsrriptum  modum,  scilicet  mul- 
tiplicando 4,  que  sunt  su(>er  9 per  s,  et  addendo  3;  que  jver  3 ct  addendo  s;  ct  sic  habemus 
71  su{>cr  iiirgulam;  ct  ex  xmihiplicaltoue  de  3 in  5;  que  in  9,  habemus  I3S  sub  uirgula, 
que  ^ secumlura  septimam  regulam  disgrcgatiir 

Et  notandum  quia  quando  per  septimam  regulam  maiorem  jmrtem  acccjicris,  que  minor 
numerus  fuerit  de  maiori,  ct  rclinf|ucs  singulares  jKirles,  que  remanserint  minus  quam 
pulcre  cueiiitur:  relinques  ipsam  maiorem  jmrtcm,  et  openibcris  per  aliam  se<]uentem 
|>artem,  que  minor  sit  ea:  ut  si  maior  pars  fuerit  operal>crU  cum  sexta  : et  si  fuerit 
■J,  o|»eia!)cris  cum  J.  Verln  gratia  : in  ^ maior  pors  est  qua  extracta  do  ~ , re- 
maticnl  scilicet  jjr,  que  jM*r  quartam  difreieiiliam  sunt  : ergo  pro  j~ 

liabemus  ~ que  mimis  quam  pulcre  sunt:  quare  relinques  ",  ct  operare  cum 

qua  extracta  de  remanent  , lioc  est  cl  sic  per  jj  baliemus  ^ que 
partes  pulenores  sunt  factis  partibus;  et  reperiuntur  alio  modo:  scilicet  lU  diuidas  4, 
que  sunt  super  49  per  regulam  de  49,  exibunt  , que  per  tertiam  compositam  iliire- 
rcnliam  sunt  ^ nam  -Jj  est  n i ct  ~ est  ct  sic  pro  habemus  similiter  ^ 

Incipit  cnpituhtm  octauum  de  reperiendis  preciis  mercium  fter  maiorem  ^lisam. 

Ix  omnibus  itaque  negotiationibus  <|uattuor  numeri  projKirtionales  sem]ier  irperiuntur, 
cx  ((uibus  tres  sunt  noti,  reli(}uus  uero  est  ignotus:  primus  quidem  illorum  tiium  no- 
loium  numerunim  est  numerus  ueiidiliunis  cuiuslibet  meiris,  siuc  coitstet  numero,  siuc 
poiidcrc,  siuc  mensura. humero  quidem  ut  centum  coria,  ucl  centum  beccune  ct  similium: 

[Kindcra  quoque  ul  cantarum,  tiel  centum,  uel  librc,aut  unce  et  similium. Mensura  quidem 
ut  metra  olei,  sextaria  fiumenti,  et  canne  panni  et  similium.  Secundum  autem  est  pretium 
illius  uenditiouis,  hoc  est  illius  primi  numeri,  siue  sil  quantitas  qiioriiinliliet  detianonim, 
siuc  bizantionim,  siuc  tamiorum,  uel  alicuius  alie  currentis  monete.  Tertius  uero  qiiaudo- 
<[ue  erit  aliqua  eiusdem  iienditc  mercis  quanlitas,  cuius  pretium,  scilicet  quartus  numerus, 
ignoratur;  ct  quando<pie  erit  aliqua  similis  quantitas  secundi  pretii,  cuius  merces,  sdlirct 
quartus  ignotus  numems,  iterum  ignorabitur.  Quare,  ut  ignotus  nunierus  ^)cr  notos  re- 
ponatur, talem  in  omnibus  tradimus  regulam  uiiitiersidein,  iiidclicet  ut  in  capite  tabiilc, 
in  dcxteiTi  |>arte  scribas  primum  numerum,  scilicet  mcroeiu;  retro  in  eadem  linea  }>onas 
prolium  ipsius  mercis,  uidclicet  secundum  numerum  ; tertium  quoque  si  fuerit  mercis, 


Digifized  by  Google 


(t.|.  SI 


It"**!*  ^ ■ I ^'1 

9i  r«v/0»  Ii»-  li*19i  }u|t.  84. 
Iin.  4(1  — pji».  8S,  Imi.  6J- 


B4 

scrilni  cum  sub  mcrcc,  scilicet  sub  primo;  ct  si  fuerit  pretium,  scrilie  cum  sub  pretio, 
uidclicet  sub  secumio;  ita  tamen,  ut  sicut  fuit  ex  genere  ipsius,  sub  quo  scribendum  est, 
ita  etiam  sit  ex  (pialitate  ucl  ex  quantitate  ipsius  in  numero,  ucl  in  pondere,  iicI  in  men* 
sura;  hoc  est  si  superior  numerus,  sub  »pio  scribendus  est,  fuerit  numerus  ipsorum,  et 
ipse  similiter  Hat  rotulorum;  si  librarum,  UIrrantni;  si  iiiiccarum,  iiiiceanim;  si  cannarum, 
caunariun.  Kt  si  fuerit  numenis  soldonini,  et  ipse  sit  minienjs  soldorum;  .si  detiariomm, 
denariorum;  si  larenonim,  larenonim;  et  si  bizaiitiorum,  bixantionim.  Oiiibus  ita  descri- 
ptis, eiiideiitissimc  apparebit,  quod  duo  il!<»iiim  positi  erunt  scmjwr  ex  aduerso,  que  in- 
simul iiiuUipliceiitur;  et  sumimi  inuhiplit^ationis  euniin,  si  per  reliquum  tertium  numerum 
diuidiitur,  quartus  ignotus  iiiinirum  iiiueiiietur:  et  ut  lioc  apertius  inlclligatur,  cum  di- 
iiersis  mercibus  et  pretiis,  iii  se(|iietitibiis  explanabimus.  Sed  primum  asteiidain,  vnde 
Ilie  modus  procctlit:  stiitl  enim,  ut  dixi,  in  negotiationibus  nu"'  numeri  pro|H)r(ionaIes, 
scilicet,  ut  sicut  primus  est  ad  sinundiim,  ita  tertius  ad  (|uailum,  Ikn'  est,  sicut  mi-  I 

merus  alicuius  quaiitilulis  mercis  est  ad  nunicrum  (piantilalis  sui  pretii,  ita  numerus 
niiu.suis  qiiarililatis  eiusdem  nierins  ad  niimeitim  sui  piTtii:  tiel  sicut  aliqua  quantitas 
cuiusiiis  mercis  est  ad  quamtiis  quantitatem  eiusdem  mercis  , ea  est  pretii  unius  ad 
pretii  alterius:  et  cum  ita  llir*'  quantitates  pixiportionales  sunt,  erit  imiUiplicatio  se- 
cunde iti  tertiam  equa  nuiltipliracioni  prime  tii  (piarlam,  ut  in  ailsmclricis,  et  geome- 
tria pnibatiim  est : fpiare  si  (|uarta  qimnlitas  est  ignota  tantum  , ex  multiplieniione 
quidem  secunde  (pianlilatis  in  tertia  dtiiisa  per  primam,  iiimiixim  ex  diuisione,  quarta 
quantitas  prtmciiit:  quare  cum  diuiditiir  aliquis  numerus  jier  aliquem  numerum,  et  ex 
diuisione  aliquid  pnuienial;  si  pmueiiieiis  ia  tUuis^M-cm  | multiplicaucris,  nimirum  diuisiis  I 

nunienis  inde  proueniet.  Similiter  si  tertia  (piantilas  ignoratur,  diiiidcnda  est  jmm'  ter- 
tium multiplicatio  prime  iu  quartam:  et  ut  ea,  quo  ad  iiegolialitmes  pertinent,  perferte  ] 

in  luK'  libro  habeantur,  boc  capitulum  in  <piattuor  paries  dluulimus  ; quamm  prima 
cril  in  ueiiditionc  cantai  ium,  et  eariini  rerum,  que  ad  poiuhis  ucl  numerum  uendnnlur;  , 

secunda  in  eis  que  ad  loloiicuiu  seu  ad  cambiuin  pertinent,  ut  soldus,  libra,  ucl  marra 
argenti,  uncia  auri  et  .similia;  tertia  iii  uenditumc  catimimm,  Isillaium,  toi-scefli  et  .si- 
milium; (piarla  jKiis  erit  iii  reductione  Ftotuloniin  unias  cantaris  ad  Rutulos  cuiuslibet 
alterius  cantarium,  secundum  cius  diiieisitntem. 

De  cantare  pisano  cum  queritur  precium  de,  IlotuUst  pars  prima. 

Cantare  autem  pisaimm  habet  in  se  ccnlnm  pmies  , (|uariim  unaquc<jue  uoi'atur  i 

Rutulus;  et  Rotuli  tiabenl  uncias  tt,  (|tiaitini  iiimqueqm*  {Mindcrat  denarios  | 39  dc  cantare;  I 

et  dc[iarius  csi  (^rubbe  6,  et  currubba  est  grana  quattuor  frumenti.  Quod  cantare 
si  uendatur  pro  libris  XL  ; et  quemlur  quantum  uaicant  Rotuli  5:  quia  tres  noli  numeri 
prc|K)nuntur  iu  Iiac  jnisilionc,  sicuti  superius  necessc  fore  prodiximus,  scilicet  Rotuli  ^ 

100,  ct  libre  40,  et  Rotuli  5,  qtionim  duo  sunt  unias  generis,  scilicet  Rotuli  100  et  Rutuli 
5;  que  lUO  sunt  merces.  Aliter  uero*  scilicet  40,  est  aiterius  gtmeris,  scilicet  pretii;  cl 
est  pretium  dictoniro  100  Rotulorum:  quare,  ut  prodiximus,  describantur  Rotuli  too,  et 
libixi  40  in  una  linea,  retro  tiidelicct  scribiMido:  deinde  Rotuli  5 scribantur  sub  Rotuli<i 
100,  ut  liic  superius  ostenditur;  et  erunt  duo  numeri  unius  generis,  unus  suf>  alio,  ut  prodi- 
ximus, scilicet  Rotuli  5 sub  Rotulis  100:  tunc,  ipsis  ita  descriptis,  multiplicabis  numerexs, 
qui  sunt  ex  aducwo,  scilicet  S [ter  40,  ciuiit  ioi);  que  diiiidc  per  100,  exibunt  libre  2 pm 


Digitized  by  Google 


])i'Ctio  illorum  i Uotulomm,  qiic  s (lcscri)mittiir  suh  40:  quia  ille  numerus  ^ui  ex  diuisiune 
{leiniciiiS  semjwr  est  ex  genere  illius  solius  tiumerif  qui  est  iii  tribus  <liclis  numeris:  uiulc 
maiiifeslum  est»  qiUMl  ex  quattuor  numeris  qui  [louuiitur  iii  meirationibiis,  duo  illonim 
sunt  merces»  et  dtio  illonitii  sunt  pretia;  et  sunt  ita  pixqmrtiuualeSf  quia  sieiit  loo»  sci- 
licet mcixTSf  est  ad  smiin  prcliiiiii»  scilicet  ad  40;  ita  S»  scilicet  merces,  erit  ad  suum 
pix^tium»  sidlirct  ad  z.  Nam  luo  ad  40  sunt  quinque  medietates  eorum:  similiter  et  5 
ad  2 sunt  quinque  medietates  eorum.  Item  sicut  40»  scilicet  pretium»  est  ad  loo,  scilicet 
nd  suam  mercem;  ita  2 erunt  ad  suam  mercem»  s<*ilicet  ad  s:  iium  40  suiit  duu  quinte  de 
foo,  et  2 suiit  duo  J de  s:  permutalim  qu<M|uc»  sicut  merces  est  ad  mercem»  scilicet  5 nd 
100»  que  sunt  cius  ita  pretium  est  ad  pretium»  scilicet  2 ad  40:  uel,  sicut  luo  sunt 
ad  5,  que  sunt  uiciipliim  eorum  » ita  4o  sunt  ad  2 ; et  per  istas  proportiones  j)oteris 
ex  arbitrio  colligere»  si  quartus  numerus  ignotus  recte  iiuienlus  fuerit»  jinmt  demon- 
strabitur -SUO  loco. 

De  etniem  cnnt  queritur  uwrves  de  libris. 

Irom  Botuli  loo  per  libras  4o;  quot  Botub»s  linbiion»  per  libras  z:  quia  iu  bis  tribus 
numeris  duo  sunt  cx  genere  pretii»  .scilicet  libre  4u»  et  libre  z,  et  alter  est  cx  genere 
mercis,  describantur  4o  ct  too  in  uiui  linea;  ideo  quia  dicitur  Botuli  loo  per  libras  40: 
deinde  libre  z descriliaiitur  sub  libns  40»  ct  enuit  numeri  eiusdem  generis,  unus  sub 
alio,  ut  iu  bac  secunda  di^niptionc  ccmittir:  et  multiplica  numeros  qui  sunt  cx  adtiorso, 
scilicet  iou  ]>er  z,  erunt  2uo;  que  ditiide  per  40,  exibunt  Botuli  .1  pro  mcrcc  illarum  2 
librarum,  quos  des<'ril>e  sub  Botulis  loo. 

De  eodem  cum  queritur  precium  de  Ilotulis. 

Irem  cantare  ucndilur  pro  libris  u;  quanltini  ualcnt  Botuli  S7:  describarilur  numeri, 
ut  prodiximus,  scilicet  Botuli  loo  ct  lilirc  ts  in  una  Unca,ct  Botuli  Z7  sub  ioo:miiltipliccntur 
numeri  existentes  cx  adiierso,  scilicet  ij  j>cr  Z7,  cnnil  35ij  que  diuidc  per  loo,  scilicet 
per  jj-—,  exibunt  /j iiV  sub  libris  i3,  ut  in  bac  a1ia  }>atet  dcscnptionc. 

Nam  si  de  scire  uulueris»  que  |»artes  sint  iniius  libre,  multiplica  s que  smil  super 
to»  per  alia  to,  et  desuper  adde  l,  erunt  51;  que  multiplica  per  summam  denariorum  uniits 
libre»  scilicet  per  140,  erunt  12240;  que  diuidc  |>er  exibunt  denani  122»  que  sunt 
soldi  10  ct  denarii  | z:  aliter  duplica  s,  que  sunt  super  lo»  erunt  lo,  que  sunt  soldi. 
Item  duplica  l,  quod  est  super  alia  iO»  erunt  z,  que  lialM^ntur  pro  denariis  cum  totidem 
quintis.  Kx  liuc  ergo  manifestum  est,  quod  dc  unaqua<pic  iibt*a  denanomm,  que  diiiisa 
fuerit  |>er  loo,  j>eiueniunt  denarii  \ z;  ct  dc  onmi  dcccrio  librarum  soldi  z,  et  de  singulis 
s porucnit  .soldus  i. 

De  eodem. 

Irrni  si  Botuli  luo  ueiulantiir  prt>  libris  43;  ot  queratur  quot  ualcant  Rotuli  IQ: 
dcsrnplis  ijcsis  secundum  prescriptam  doclnnam»]  multiplica  numenis,  qui  sunt  cx  adticr- 
so»  scilicet  19  per  43,  cnuit  si*;  ijue  diuidc  jier  jVi#»  ‘^'•biinl  libre  h,  quas  pone  sub 
libris  43.  Nam  de  que  parle.s  sunt  unius  libre,  ita  ut  preilixiums,  cognoscetur.  Vidt'- 
licet,  ut  dnpUccs  niuini,  quial  est  .sn(>or  to»  enint  .stddi  z.  Item  duplicabis  7,  que  sunt 
su[>er  alia  lo,  erunt  denarii  ii  cum  totidem  quintis;  quibus  iiinrtls  cum  soldis  z»  quos 
modo  babuiiim.s,  emnt  soldi  3 ct  denarii  ~ 4;  et  tantum  ualcnt  ilH  Botuli  lO  magis 
dc  libris  8:  possumus  citim  cx  illis  7 promtius  agere»  ut  accipiantur  5 ei  ipsis  7 pni 


Irni»  ....  itr  ItAtiihi  » 

ifi.l  XX  rr«*rn.  lia.  M-Sl),  |u((. 
»X.  I.H.  IX  SIi. 


/. 

4*» 

toi) 

/ 

/ 

2 

.1 

• l'.vi  . 

XX  m-fii.  I»i 
Illi,  ii  x*(. 

li  ul  |V.«.‘|IX. 

/. 

■s’ 

13 

nm 

27 

• «nMllirJiri  «lam 
f»l.  XX  twrtv 
«A.  liM.  36  — 

liet,  t-1  t 

IMI-  H.  Ii».  X , 

r.it.  XX  fer*». 

©' 

43 

' ! 
100  ^ 

It  u " _ 

19  ; 

Digitized  by  Coogie 


>ii|'rf  »|»u  • 
crritf,  h*.  ^I4s  1^11 
M«i.  U.  » l«i. 


, • ....  . , roi. 

SS  lin.  S1*SI:  p«|| 

lia.  14  — l«|.  13,  Ii».  1}. 


86 

ijuibus  reliiioas  sultlum  i,  «[unu  adde  cum  soldLs  i inucntls»  erunt  soldi  3.  Ucslduum 
itaquCf  (piod  est  a s usque  in  7 duplica,  cioint  denani  4 cum  totidem  quintis,  ut  modo 
iiiuciiti  sunt. 

De  eodem. 

Item  Rotuli  100  ualcnt  libras  ^ iS;  quantum  ualent  ergo  Rotuli  3l:  descriptis  itaque 
iiunieiis  per  oi'diuera,  multiplica  IB  per  s,  que  sunt  sub  uirgula  }M)st  ipsa,  et  adde  i, 
quod  est  super  8,  eiiirit  37,  que  jmne  su|>cr  J I8j  et  multiplica  ea  per  31,  que  sunt  ex 
aducnm,  cruiit  i!47;  que  diuide  j>cr  ioo,  et  |>er  *,  que  sunt  sub  uirgula  de  18,  lioc  est 
per  exibunt  librc  J— ^-75  5 pro  pretio  qiiesitorum  Rutulorum  31. 

OikmI  si  rcctc  constat,  ita  per  pensam  dc  7 cognoscitur,  uidelicet  ut  diuidas  18  |>cr 
7,  remanet  4;  que  multiplica  per  2,  et  desuper  adde  1,  pro  uno  quod  est  super  ipsa 

2,  erunt  9;  que  diuide  j>er  7,  rcnianciil  2 pro  pensa  de  37.  Item  accipe  pensam  de  31 
per  septenarium,  que  csl  3;  et  multiplica  eam  per  pensam  niodu  iiiuontam  de  37,  sci- 
licet per  2,  erunt  0,  que  .serueiilur  pro  pensa  pretii  Rotulorum  31:  deinde  multiplica 
5 per  pensam  de  to,  que  sunt  ptisl  ipsa  in  uirgula,  .scilicet  ]}cr  3;  ct  desuper  adde 
poiisani  dc  7,  qiic  sunt  super  ipsa  10,  scilicet  0,  erunt  15;  que  diuide  per  7,  remanet 
l;  quod  niuUiplic'a  per  pensam  sequentium  10  in  uirgula,  scilicet  per  3,  et  desuper  adde 

3,  que  suiil  super  ipsa  10,  erunt  6;  que  multiplica  per  8,  que  sunt  sub  eadem  uirgula, 

et  desuper  adde  l,quiKl  est  sujkt  2,  erunt  13;  dc  quibus  tolle  7,  remanent  6,  ut  pro 
pensa  semaU  sunt.  Nam  .si  dc  J-jJ  que  partes  sint  iinius  librc,  ct)guosccrc  uolucris; 
mulliplica  7,  qiic  sunt  super  lo  ]>er  aliam  10,  et  desuper  adde  3,  que  sunt  super  ipsa 
tO;  que  multiplica  |>cr  2 de  uirgula,  et  adde  l,  quod  est  su{>er  s,  erunt  I47;  que  mul- 
lijtlica  per  210,  scilicet  per  mimmim  dciiariomm  unius  librc,  erunt  3S290,  que  diuide 
per  : inde  cum  in  ipso  multiplicatio  sit  zepliyrum,  in  ipsius  primo  gradu  di- 

uidatur  primum  per  iioc  est  tollatur  inde  ipsum  zepliynim,  remanent  3$2S;  que  diuide 
per  1—^,  cxtbutil  dc  ^ 176,  <|ui  sunt  .soldi  14,  ct  denarii  |s. 

De  centum  cum  queritur  precium  de  libris. 

RV1-SU.S  si  centum  pipeiis,  quod  jMuiderat  libras  100  subtiles,  quarum  unaqiie»|ue  est 
iincc  18  , et  quolibet  uncia  |Kmdcrat  denarios  23  dc  cautera  ; et  librc  I3B  ex  ipsis 
faciunt  cantare  1 , lioc  est  Rotuli  100  pisis  ucndanliir  pm  libris  ’ 13  ; ct  queratur 
quantum  ualent  librc  ^ 46r  srril>aiitui'  numeri,  ut  prediximtis,  scilicet  libre  100  in  una 
linea,  essent  librc  j 13,  et  libre  | 48  sub  libris  100,  scilicet  merces  sub  merce  , ut  su- 
^Krius  in  prccedentibus  fecimus:  ct  multiplica  nurnems,  qui  sunt  ex  ailucrsn,  .scilicet 
5 13  nim  \ 46,  ct  diuide  per  irM),  lioc  est  multiplica  13  per  4,  el  desuper  adde  3,  que 
sunt  super  4,  erunt  53,  que  pones  super  1 13.  Item  multiplica  46  per  3,  ct  adde  1,  erunt 
139;  que  |M>iic  super  J 46  , ct  multiplica  55  per  139,  enml  7645;  que  diuide  per  1O6  el 
per  3,  que  .sunt  sub  uirgula  de  46,  ct  per  4,  que  sunt  .sub  uirgula  de  13,  boc  est  jicr 
; et  summa  que  exierit  erit  pretium  illarum  librarum  J40:  sed  cum  de  fra- 
ctionibus, (jiic  ueniunt  super  uirgam,  non  possumus  cognoscere  que  j»ars , ucl  piirles 
sint  unius  libre,  donec  mulliplicenuis  numerum  uirge  per  denarios,  libras  scilicet  ]>er 
240;  ideo  aliter  frarlioncs  uirguic  diuisiouLs,  .scilicet  { * coaptande  sunt;  videlicet 
de  100,  in  quibus  diui.sio  peruenit,  faciamus  quia  iiliid  idem  est  quod 
dc  \ , el  de  I prescriplis  fnciainas  tantum  ct  ponatur  in  una  uirgula  sic  3-p-^, 


Digitized  by  Google 


87 

<|uih1  idcra  osl  quoti  i»  quihus  \ ,**,  tliuide  “C45;  ct  que  super  *o  rcman- 

scrinl,  erunt  soltli:  ideo  quia  libre  denarioi-um  est  soldi  *o;  et  que  super  ii  ceciderint, 
erunt  denarii.  Ideo  quia  soldus  esi  denarii  is  ; et  que  super  reliquas  fractiones  rc- 
nianserinl,  partes  tantum  unius  denarii  aflirinabuat:  quare  si  7fl43  per  diuiscris, 

exibunt  libre  * 6 piu  pretio  dirlarum  librarum  de  \ 46;  quod  tantum  est,  tjuan- 

tum  si  nominatum  diceret  libras  6,  et  soldos  7,  et  denarios  5.  Nam  si  ex  numeris,  in 
tpiibas  diuisio  peiiienit  aptari  non  passinl,  qualiter  tunc  fieri  debeat  in  setpien- 
tibus  questionibus  declarabimus:  sed  (|Uii)itcr  in  li  et  in  sn  omnes  numeri  leuiter  di- 
uidaiitur,  oslcndera  procuramus.  Iii  u enim  omnes  numeri  diuuli  possunt, |(»rdiiic  ctMlem, 
quo  numcrt>s  per  numerus,  qui  sunt  a binario  ustpic  in  nmienariuin,  diunlcre  docuimus. 
Viidc  adiscende  sunt  (luttitiindam  numerorum  diuisiones  facte  in  ii;  ut  de  ti  diiiisi  pri- 
mum is,  reddit  1,  dc  J4  perueniunt  2,  de  36  perueniunt  3,  de  48  perucnit  4,  de  «o  per- 
uenit  5,  dc  72  |>eruenit  6,  de  Ht  pcrucnit  7,  dc  96  peruenit  8,  de  los  pcnionit  9,  ut 
in  tabulis  diuisiutium  continetur.  Qu(.k1  autem  dc  qiudibet  numero  a t2o  infra  super 
quemliliet  istomm  superaucrtt,  est  illud  quod  debemus  in  diuisionibus  niimeronim  scri- 
bere super  illum  numerum,  de  quo  superauerit,  et  copulare  eum  cum  antecedente  fi- 
gura, que  fiunt  iii  numero  diitideiidi.  Verbi  gratia  : si  noluerimus  diuidere  3479  per 
12,  describantur  12  sub  79  dc  3479,  ct  accipiatur  xil  de  3i,  que  csl  2,  ct  remanent 
lo;  ct  lioc  est  superfluum,  quod  est  a 24  usque  in  34:  ct  (Hine  2 sul>  4 de  34,  et  iO 
super  eadem  34,  cum  quibus  lo  copula  7,  boc  est  aritccnlentrm  figuram,  emnt  iot;  que 
diuidc  |H*r  ii,  exibunt  8,  ct  remanent  ii,  boc  est  diflercntia,  que  est  a 9G  usque  in  107: 
jumes  igitur  8 sub  7,  ct  ll  super  107,  uidclicct  l super  o,  et  l super  7,  ct  copulabis 
ipsum  11  cum  9 eis  antecedentibus,  enint  M9;  que  diuide  per  12,  {icruciiient  9,  cl  re- 
manent 11:  ponas  9 sub  9,  et  11  in  quadam  alia  pnrtc  super  li,  et  habebis  pro  que- 
sita  diuisionc  ||  289,  ut  in  hac  descriptione  cernitur,  f.hiare  manifestum  est,  rpiod  de- 
narii 3470  sunt  soldi  289  ct  denarii  il;  ipiia  cum  aliqua  summa  denariitnim  diuidihir 
per  12,  tunc  ex  ipsa  diuisionc  pruueniunt  soldi:  et  si  liec  que  de  diuisione  de  12  dicta 
sunt  crebro  studio  in  t:ibula  scribendo  firmaucris,  ca  cordetctiiis  in  manibus,  ea  lenissime 
poteris  operari. 

Diuisio  numerorum  per  20. 

1.8  20  enim  omnes  numeros  sic  diuidere  possumus:  rclirupte  figuram  primi  gradus 
ipsius  numeri  que  diuidere  uis  et  sub  sequenti  , lioc  est  sub  figura  scntndi  gradus 
eiusdem  numeri  ponas  2,  in  quibus  diuide  totum  numenim,  usque  ad  ipsam  figuram  sub 
<pia  posita  sunt  2;  ct  quod  ex  diuisionc  enciierit,  erit  ^ toliiis  numeri,  que  diuidere 
nolueris:  et  si  aliquid  superfuerit,  copula  eum  cum  figura  primi  gradus,  quam  relin- 
quere iussimus;  et  quo<l  ex  copulatione  exierit,  est  boc  qnml  de  suprascripla  diULsione 
remanebit:  et  si  super  secundam  figuram  nicltil  superfuerit,  erit  tunc  residuum  prima 
figura  tantum.  Verbi  gratia:  .si  noluerimus  diuidere  1234  j»er  20,  relinquantur  4,  que  sunt 
in  primo  gradu;  et  sub  .sc<{ucnti  figura,  scilicet  sub  3,  ponantur  2;  in  quibus  diui- 
dunliir  123,  que  remanent  dc  1234;  extractis  inde  4,  exibunt  61,  ct  remanet  t,  quo  co- 
pulato cum  4,  faciunt  14;  ergo  ucniiint  ci  et  remanent  14  ex  diuisione  dc  1X34  in  20. 
ut  Ilie  i>stcnditur:  ex  boc  enim  manifestum  est  quod  .soldi  il34  sunt  Ubrcdi  et  soldi 
14.  Ostensis  itaque  diulsionibu.s  dc  12  ct  dc  20,  nunc  uero  ail  preposium  redeamus. 


r..i. 


tht  4479  14- 

, JeSl  ....  i«  Ulan  • .f»t.  3A 
rtd*.  Ita.  8'l4j  87.  Um- 

i8-S8). 


I 

1 0 m 
3479 
1 2 

2 8 9 

II 


•i  jli>iuid  ■ '■  O * 

(M.  M fvr#.*,  lin.  IIM9.-  U. 
84-».  1-*^.  87.  Uu.  U-48  . 


I 

12  3 4 
2 

6 1 


Digifized  by  Googie 


M |vr  S • 


I •! 


36  vrr^. 


S'2  »tn>  <|uu  ....  t*)  i|iur>*  » 
36  «■•'rm.  lio.  II-X6:  |ok. 
»?*,  Ita.  23 — fjg.  Ki»,  liti.  l»j. 


0 C3S  3 

»1 

J I 23  10« 


08 

De  centetuiHo  maximuiitwntm. 

MAS.s;anuilitii  10«  ualoiil  libras  J 53;  r^iiantum  ualont  ergo  tnoi^vsanuititii  J 23:  describe 
inimcrt)s  |>cr  ordinem^  sictiti  dictum  est  su]>cr}us;  et  multiplica  numeros  qui  sunt  ex 
aduerso,  uidclicot  * 53  ]ier  ; 23  * et  dittidc  per  lou,  buc  est  multiplicabis  53  per  sirnm 
uirgulum,  eriiiit  I07,  <}uc  pone  super  { 53.  Item  mulliplic<ibis  23  per  0,  et  desuper  addes 
ly  erunt  20h;  (|ue  pone  super  \ 23,  et  imiltiplica  107  per  2os,  erunt  tifso;  rpic  diuidc 
per  100,  et  j>er  2,  et  per  9,  que  sunt  sub  uirgis  , luic  est  per  et  babebis 

pn‘tiuni  illunun  mussamutiiioniiii  1 23:  ue!  coapta  muneros  diuisiouis,  ita  ut  possis  ba> 
berc  in  cnpilc  uirguic  , ut  balieas  iii  una  multipUratioiic  libras,  et  soldus  , et 
denarios,  ut  iii  prc-scripta  questione  oponili  fuimus,  uidelicet  ut  de  facias 

ct  cum  dc  reliquis  minutis  diiiisiouls,  scilicet  dc  J et  de  J coaptare  — nuu  possimus; 
ideo  quod  c\  cis  po.ssimiis  accipere  dc  com|io.sitioiic  de  12  acvlpianitis,  boc  est  de  re- 
gula 9 accipere  debemus  j,  cl  commiscere  ipsam  J cum  faciunt  Heliquum  uci-o 
quml  deest  nobis  de  12,  scilicet  2,  debemus  multiplicare  per  22259,  eniiit  41312  ; que 
iittiidc  per  J exibunt  12  piv  pr«*lio  de  massamutiiils  J 23:  quod  si  pro- 

bare per  pctisnm  dc  7 nolueris,  accipe  [>ens:im  dc  53,  que  est  4;  et  multiplica  ipsam 
(Kir  2 dc  uirgula  ct  adilc  1,  enitit  9;  dc  quibus  acrijic  pen.*nim,  que  est  2;  et  tot  de- 
bet esse  pensa  dc  107,  ct  ita  est  : deinde  accipe  pensam  dc  23  rpiatcr  2,  et  multiplica 
eam  per  g dc  uirgula,  cl  adde  i,  enml  19;  quorum  jwiisa,  scilicet’ 5,  csl  pensa  de2os: 
quam  multiplica  j)cr  peit.sam  los,  scilicet  |>cr  2,  erunt  lO;  que  multiplica  per  2,  <{uc 
nobis  minueniiil  dc  regula  de  12,  uidelieel  per  2,  | per  que  inulliplicauimus  22239,  erunt 
2u;  dc  ipiibus  acci|K’  pcns^uii,  cpie  e.sl  C,  ct  sema  eam  pro  pensji  dc  { * 12  : que 

si  totidem  fuerit  in  omnibus,  rccle  processisse  rogno.scc:  cl  accipitur  jK*usa  qworum  sic: 
nmltiplicutur  pensa  12,  que  sunt  extra  tiirgiilam,  per  pensam  dc  20,  que  sunt  subiiir* 
gula,  S4'ilicet  5 |<cr  0,  siint  30;  quibus  .super  additur  pro  7,  que  sunt  su|>cr  20,  erunt 
37;  rjuonim  peiisH,  scilicet  2,  imiltiplicutur  per  5,  scilicet  per  |)ensjtm  de  12,  ct  addun- 
tur 3,  que  sunl  super  I2,  erunt  13;  quorum  peusn,  scilicet  fi,  multiplirntiir  per  5,  ct 
su|K:r  adduntur  2,  que  siml  super  5,  emnt  32;  quorum  pensa,  rpic  est  4,  imiltiplica  per 
3 dc  uirgula,  et  super  additur  1,  quod  est  super  3,  faciunt  13,  quorum  pensa  est  6,  ut 
pro  |HMisa  .S(‘niatum  est.  Kt  sic  .simiper  cum  qiianimliliet  similium  questionum  pensatu 
arripere  uulucris,  scciimium  quod  uadis  miiitiplicaiido,  ita  .studeas  ire  per  quamlibet 
2>ensum  probando,  donec  ad  ultimam  multiplicationem  dcuencris:  et  accepta  jictisa  ul- 
time niiiUiplirationis,  eam  pro  pensa  .summe  diulsionis  sertia;  et  quod  de  pen.s«i  boc  di- 
ctum est,  satis  in  aliis  quostiunibii.s  credimus  sufficere. 

De  vcfittun  corJornm. 

Si  coria  100  ualcnl  libras  ^ \ «3;  qiianliiin  iialenl  coria  32;  describe  numeros,  et  mul- 
tiplica JJ83  per  32:  ideo  quia  ponuntur  ex  aduci-si»,  ct  diiinlc  miiltipliealioncm  eo- 
rum per  100,  boc  c.st  nuiltijdica  «3  per  siias  uirgulas,  cnuit  37C7;  que  ponesuper  J | h3, 
ct  proba  ca  per  quamlihet  pensarum  preter  quam  per  o:  deinde  mullipliea  3767  per  32, 
erunt  120341 , qiie  diuidc  per  loo  et  per  {J,  et  apia  cos  ul  habeas  in  capite  uirgule 
: sic  dc  iiw  fac  , ct  de  ^ fac  f-J  ; ct  accipe  unnin  ^ illorum,  ct  muUipli- 

cabis  eam  per  4 ; ideo  qiiwl  faciunt  12,  cl  jionc  ipsa  12  post  20,  iit  superius  facere 
dciiumstrauinuis;  ct  apia  relnpias  fractiones  post  ipsam  , cl  bal>cbis  in  uirgula 


Digitized  by  Google 


89 

diuislonU  {-  {■  \ t y ^ • €t  quia  minuit  nol»i.s  •[  do  ipsis  12,  )>onc  4 super  loo,  ut  habeas 
ea  tenacius  memurie  commendata,  rnm  acceperis  pensam;  et  multiplica  in  cam  i20$44, 
einint  4aii7e;  que  diuidc  per  vvviVro»  i"f4~iV4o  P*^  pretio  illonim  59 

coriorum,  ut  superius  in  descriptione  cemilur.  bursas  botuli  lOO  ualeiit  libras  } J 93; 
quid  ergo  ualcnt  Rotuli  | • describe  questionem,  et  multiplica  93  per  suas  uir- 

gulas,  erunt  6S5;  que  pone  super  25,  et  prolta  eam  per  i^ensuin,  si  recta  sint:  deinde 
multiplica  64  per  suam  uirgulam,  erunt  4177;  el  multiplica  ipsa  per  653,  erunt  97SS95S, 
que  optime  pn>bare  non  negligas;  et  diuidc  i|vsum  per  numerum  loo,  et  per  fractiones 
utrorumque  numei-oniin,  qui  positi  sunt  ex  aduerso,  optime  insimul  uidciicct  aptatas; 
ita  ut  halwas  in  capite  uirgulc  quod  sic  facias:  de  lOO  facias  ; et  uidc  si 

poteris  de  reliquis  fractionibus  diuisiotiis  extrahere,  ut  habeas  in  I9,  uel  aliquam  ipsias 
jKiiiem;  de  quibus  tantum  ^ poles  liabere  dc  partibus  de  li,  hoc  est  ex  illius  comjK»- 
sitionc:ergo  minuunt  uohis  3,  ut  haheamas  19  in  uirgula  post  90  : quare  pone  3 super 
too,  ut  in  questione  ostenditur,  ut  ipsa  tenaci  memorie  rescrues,  et  apta  relhjuos  mi> 
meros  dinisionis  jx>st  sic  multiplica  9735935  per  3 scniata  super 

100,  erunt  8907805;  que  iterum  proba  per  pensam,  et  diuidc  ea  jwjr  exibunt 

1'T’ri»  tt  li  **  pretio  qiiesilonim  Rotulorum;  ct  est  pensa  illarum  per  )>cnsiim 
do  ut  superius  iu  descriptione  cernitur. 

De  canfare. 

Irem  cantare  cuiuslibet  mercis  ualei  librus  14  et  soldos  7 ; quantum  ualcnt  ergo 
Rotuli  37  eiusdem  mercis:  fac  de  soldis  7 partes  uinus  libre,  erunt  que  j>onc  post 
14  sic:  ^ 14;  ct  describe  questionem,  ct  multiplica  14  per  37,  que  sunt  ex  aduerso,  ct 
diuidc  per  100,  boc  est  multiplica  14  per  90,  desuper  adde  7,  que  .sunt  super  90,  erunt 
soldi  987;  quos  jKine  su|>cr  ~ I4,  ct  multiplica  eos  j»er  37,  erunt  looio,  que  debet  di- 
iiidere  per  100  ct  per  9o  dc  uirgula:  sed  cum  19  in  uirgula  diuisioiiis  nos  bal>crc  opor- 
teat, ut  habemus  in  una  multiplicatione  libras,  et  sold<is,  ct  denarios,  multiplica  106IO 
per  ipsam  19 , et  diuidc  per  100  ct  por  boc  est  per  Vo  "iVtViB»  libic 

i*Q  19  h ® P*"”  pretio  dictorum  Rotulorum  37,  quonim  pensa  esi  6 per  nouenarium. 

De  centum  pannorum. 

Irem  ranne  100  pannonim  ualcnt  libras  15;  quantum  ualcnt  ergo  canne  j 97,  boc  est 
caiinc  97  et  brachia  : descripta  itaque  questione,  multiplica  15  per  90,  ct  adde  11, 
enint  soldi  sii,  quos  |>onc  super  15.  Item  multiplica  97  per  8,  ct  adde  5,  cnint  99i; 
que  |H)nc  super  97,  et  multiplica  3ii  per  92i,  erunt  6K731,  que  dehemus  multiplicare  |»cr 
19,  ut  hahenmus  ea  in  uirgula,  nUi  quia  hahemus  in  diuisioiie  9,  scilicet  ea  que  sunt 
sub  uirgula  jKiist  cannas  | 97,  quorum  regula  est  -**:  (|uare  tripllcabimas  4,  et  habebimus 
19  in  diuisioiie.  Vnde  multiplicentur  ipsa  6S75i  {>or  3;  cpiia  cum  triplicatur  diuisor,  tri- 
plicandus est  numenis  diuideiidus,  erunt  906103;  (jue  diuide  jkt  9,  que  remanent  de  re- 
gula de  8,  extractis  uidelicet  inde  4,  el  per  100,  el  per  19,  et  per  fo,  hoc  est  per 
3 t9  M oxihunt  libre  \ quorum  j>cnsa  per  septenarium  est  1,  ut  in 

hac  descriptione  certtilur. 

De  centum  f>if}eris. 

Item  cenlum  piperis  ualet  libras  ^il;  quantum  ualcnt  ergo  lihre  ^46,  lioccslli- 
bre  46,  el  unce  j 5:  desrrilxc  questionem,  et  multiplica  ii  per  905,  ct  adde  9,  cruiit  sio, 

19 


jmr  KN  ....  |>n*atn|i*r  • if>4- 
» I.B.  tX  17  I |s.K-  SV. 
|.n.  U XS^ 


987 

n '* 

19 

100 

57 

, la iTn»  . 

..  rattIU 

» <r»i.  16 

vmetn.  laB. 

14  49.  ha 

UUj. 

n 

e 

1. 

1 '' 

15 

110 

c6 

\ 

G) 

<■  \«* 

1 « «10 

1:  li  i«  li 

u 

r<4-  17  rre(«. 


Digitized  by  Google 


t dn  rq;«l4  ....  Jitai.lrvdi  • ■(«•li 
17  prri^  , Imi*  |w<.  19. 

r^  ii.  i*u- 1^ 


(5)  ISO  (. 

” -k 

[wflwi  ppr  "]\ 

co<  \ 

fl  - 

1 It  i«  1: 

100 

© 

:sso 

CO 

tne. 

3041  /. 

1200 

-»-1«  12 

fienM  prr  7]  \ 

© 

@ N 

» • 9 1«  1«  IS  S« 

J 

(s)  S0957 

N 

100 

‘ iV- 

(<: 

|>cnsa  piT  II  \ 

IS  324 

-i-r=« 

|(^  3127  |pcnsa  prr  7]  l^' 

Tr:^'’ 

MH) 

(£)  \ 

‘ “ 06 

I*  it  IS  It  •''* 

\ 

743 

jr.7/. 

1000 

227 

(i)  117»! 

/. 

1000 

rrijST  \ 

^ (!») 

\527 

pema  prr  1 1 j 

^67 

/. 

. 24 

2200 

HC 

90 

(juc  ]Hmc  suiK*!'  II.  Item  multlplira  46  per  I2,  et  atide  que  per  4«  et  adde  t,  oruut 
22S9;qiic  pone  super  4«,  et  multiplica  229  per  2220,  erunt  sioi4i;  que  diuidc  per  lUO 
n per  20,  et  pci  lioc  est  per  exiliuul  Ul»re  ,V/o— ® 

illanim  librarum  l-Yi  46,  quorum  pensa  per  septenarium  est  1. 

Item  centum  ualel  Iil)ras  12,  et  soldos  13,  et  deimrius  5,  boc  csl  libros  12;  quan> 
tum  ualet  er|;o  uncia  ^ | 5 : quamuis  in  huc  cpicstiunc  sint  ex  genere  mercis  lihre 
100  et  uiiciu  I ; 5,  tamen  non  sint  unius  ponderis;  quia  100  sunt  libre,  ct  ^ | s sunt 
nneie:  quare  de  libris  too  faciende  sunt  uncie,  cniiit  1200;  et  tunc  erunt  ambe  similes: 
ct  erit  tunc  talis  questio,  uidelicet  qiu)d  unrie  itou  ualent  libras  j*  t2;  quid  ualent 
ergo  uncie  ||3:  quam  questionem,  ut  docuimus,  scribe,  ct  multiplica  per  suam  uir- 
gulam,  erunt  denarii  30ll,  quos  pone  super  libras  12.  Item  multiplica  s per  suas  uir- 
gulas,  erunt  2lt,que  |Mmc  super  ct  multiplica  211  per  304t,  erunt  64IC51;  que  di- 

uidc per  120«,  ct  JKT  4,  cl  j>er  9,  cl  per  optime  iii  una  iiirgula  aptata,  exibit 
♦ « 8 0 1*0  'h~h  P*'*  pretio  quesitarura  uiiceurum,  ut  in  liac  descriptione  cernitur. 

/Je  canture^ 

Irem  cantare  ualet  libras  et  queratur  ({uanlum  ualeant  Poluli  4 ,?_-L43  , 

hoc  est  Rotuli  43,  ct  uncie  J | 7.  Multiplica  igitur  questionem  descripta  21  per  suam 
uirgiilam,  erunt  iOOST.  Item  inuUiplien  Rutulos  43  per  12,  et  adde  7;  que  per  s,  et  adde  2; 
que  per  7,  et  adde  niuUiplicatiuneiii  de  uuo,  qutnl  est  siipcr  7,  iii  6,  emnl  is324;  que 
multiplica  per  209S7,  cruiit  3S401006h;  que  diuide  per  100  el  per  fractiones,  que  sunt  sub 
uirgulLs  ainls»rura  aliorum  numerorum, optime  scilicet  apiatas, exibunt  J r4“,V^VH"iTTi^* 
ut  in  liac  descriptione  cernitur,  quuniin  pensa  per  ti  csl  7. 

De  cantare  uendito  f)ro  libris  et  ilenariis. 

Irem  cantare  ualet  libras  13,  ct  denarios  7,  hoc  est  libras  13;  quantum  ualet 

ergo  cantaria  7,  et  Rotuli  43,  hoc  est  Rotuli  43  : d(\scnl>c  questionem,  ct  multiplica 
13  [>or  20;  ([uc  per  I2,  et  adde  7,  erunt  3127;  que  imiUiplu^  per  743,  eniiit  2323301;  que 
diuidc  per  10«,  el  per  hoc  est  jxrr  iVii 'iV^>  *^****"“‘  /tTiVa  H®®  pro  pretio  il- 
lorum Rotulonini  743. 

De.  miliario  uemlito  pro  libris  ei  soldis. 

Irem  miliarium  uariurum  ueiidiliir  pro  libris  133  cl  soldis  9,  hoc  est  pro  libris  ^ 133; 
quaiitmn  iiuleiit  ergo  uaria  22?  : describe  questionem,  ct  multiplica  153  per  .suam  uir- 
gulam,  cniiit  30G9;  que  multiplica  per  227,  erunt  696CC3;  qiic  multiplica  per  12  ut  habeas 
ea  in  uirgula  ditiUionis,  cniut  sssao.’»;  que  diiiide  per  regulam  de  1000  ct  j>er  77-^» 
hoc  est  per  exibunt  bhre  34  pn»  pretio  quesitonim  nariorum. 

De  eodem  pro  libris  et  soldis  ct  denariis. 

Itoiu  Rotuli  iouo  ueiiduiilur  pro  libris  57;  quantum  ualent  ergo  Rotuli  | 87  : 
descripta  itaque  questione,  miiUiplica  57  per  suam  uirgutam,  erunt  13781,  que  pone  super 
37.  Item  multiplica  87  per  e,  ct  udde  s,  erunt  527;  que  inuUi]dica  per  13781,  cruiU  72G2587; 
que  diuide  per  1000,  cl  j>cr  fractiones  reliquorum  numerorum,  hoc  est  per  * -iVrViViVjs » 
cxilimil  libre  [ iW.-irTr^ 

De  fxmdei'€  casei  pisano. 

Pondus  casci,  quod  pensat  centum  22,  Ik>c  est  Hbras  2200,  ucndilur  pro  libris  24;  f[uc- 
rilur  quantum  ualent  libre  86:  describe  questionem,  et  multiplica  24  per  36,  erunt  2064; 


Digitized  by  Google 


01 

que  (liuitle  per  rcfjulain  dc  stoo,  Itor  osi  jier  J ,V"iVn!  lanifn  far  ~ de  J~,  ut  ha- 
)»oanui&  ipsam  in  uir^ula  sic  Tpn^'  habeamus  is  in  hac  diiiisione,  mul- 

tiplicetur soni  jKT  IJ,  et  iun^aliir  is  sub  iiirga  diuisionLs.  Quia  rura  adduntur  is  sub 
uirga  diuisionts,  tunc  multiplicntur  diuisor  per  is:  t{uarc  multiplicandus  est  similiter 
diuidetidus  numerus  per  is  | ut  projrartio  diuidetidi  | ad  diuisorem  fiat  eadem  , que 
erat  prius  ex  his 

Pe  eofiem. 

Irem  pondus  rasei,  hoc  est  libre  tjoo,  ualent  libras  11  19;  quantum  ualent  ergo  libre 
100:  hanc  nutem  ipieslionem  non  indiget  scribere,  ideo  quia  loo  est  ^ de  2i0(i:  quare  non 
indiget  aliud,  nisi  ut  diiiidalur  dictum  pretium  ponderis  per  regulam  de  S2,  hoc  est  in 
qiiml  sic  facere  poles:  acri|>e  j de  libris  is,  et  soldis  li,  enint  libre  9,  et  s<»Idi  - 5 ; 
dc  quibus  fac  soldos,  erunt  soldi  iss  et  denarii  6;  quns  diuide  per  II,  exibunt  soldi 
16,  ct  remanent  soldi  9,  et  denarii  6 ad  diuidendiim  in  ll;  de  quibus  fac  denarias,  erunt 
denarii  Ii4;  quos  diuide  per  H,  exibunt  denarii  ^ i(i;  et  tot  iialet  centenarium  casei, 
uidclicei  soldos  ic,  et  denarios  lo. 

Dc  ewiem  pro  iihris. 

Irem  ]Mmdus  ualet  libras  ^19;  (|iianliim  ualent  ergo  libre  7X3  : dcsrrilic  questionem, 
et  multipliea  lo  per  so  et  adde  I3,  erunt  soldi  303;  quos  nmitiplira  per  7S3  , erunt 
307710,  que  diuidere  <le)ics  per  regulam  de  2200,  ct  j>er  20,  que  sunt  sub  uirgula,  hoc 
est  per  * loVlTTa*  hal»eamiis  12  in  uirgula,  multiplica  307719  per  6;  que  6 

coaptabis  cum  2,  qiic  sunt  iii  uirgula,  ct  lialicbis  12  in  ipsa  uii^la  sic  /0  tVA~iVf»* 
«ilmiil  Ubre  ^ViVIrH  '• 

De  corica  prouincie. 

Cxrii^a  pixMiiiicie,  qiic  pensat  libnis  300,  uenditur  pro  liliris  is  ct  soldis  7,  hoc  est 
pro  Iihris  ^ 13;  queritur  quantum  ualent  lihrc  HC  : multiplica  13  {>er  20,  ct  adde  7, 
erunt  307;  que  pone  super  15,  et  multiplica  ea  per  H6,  erunt  20102;  <|uc  diuide  jkt  3U0 
et  per  20,  hoc  est  per  1 exilnmt  libre  f-rii"?;  4 pi'o  pretio  quesitarum  lilira- 

i-um  Rfi,  ut  liic  ostenditur. 

Sic  ciiiin  debes  studere  iimcnirc  regulas  numeniruni,  quibus  diuisionem  peruenit,  si- 
culi  modo  fecimus  dc  300:  qiianniis  ipsius  regula  sit  tamen  cam  esse  J J jM>- 

suimus,  ut  haliemus  sicuti  halnmius  illa  seilicct,  que  sunt  eum  15. 

J)e.  eatlem  carica. 

Itciii  carica  piperis  ualet  libras  M,  ct  soldas  7,  ct  denari(»s  3,  hoc  csl  libras  '^'h 
quantum  ualent  ergo  libre  127,  ct  imcie  y J J S , hoc  est  it?  : describe  que- 

stionem, ct  multiplica  11  suam  uirgiilam,  eruat  2729,  que  |>one  super  11.  Item  mul- 
tiplica 127  per  suns  uirgulas,  Ih»c  est  per  12,  et  :iddi*s  5;  que  jier  3,  ct  adde  i;  qmal 
per  4;  que  per  3,  erunt  91700.  Item  iimitiplica  1,  quod  csl  .super  4,  {>cr  3;  que  |>er  3, 
eniiil  13,  Hiirsus  multiplica  i,quod  est  super  5 i>cr  4;  que  per  3,  eruiit  ll,  que  adde 
cum  13,  et  cuni  01760,  erunt  9l7i!7;  que  pnie  sujwr  127,  et  multiplica  j>cr  2729.  erunt 
23019H723  ; que  diuide  j>er  regulam  dc  3oo  , cl  per  omnes  ruptos  , exibunt  libre 
tViV^  il  ^ pretio  illarum  qiiesitanim  librarum. 

Pe  iiotu/is. 

botuli  37  ualent  libras  11  ; quantum  ualent  erg<»  Hotuli  18  ; multiplica  11  per  is 


r»l.  ITtvrni. 


• iiadf»,  rmnl  ....  biihIii  fiv». 
MU*  «{riJ.  47.>rrn.,|,n.5-13i 
|>«(.  91.  lia.  12->0|. 


0)  393 
i. 

19 

Ut, 

2200 

© 

^;s3 

0 3«7 

1 

1 

300 

pen$*  per  7| 

© 

t. 

i t t t . 
i S IS  SQ  ^ 

HO 

■O  t*M  ....  iifrliu  illirani  • 

ifiil.  87  v»rf0,  l*«.  13-88:  |«x. 
91.  Im. 


(1^  2729 

tit 

- — ^ 11 

11  T* 

300 

1«T|  ' 

Q) 

la  1 \ 

91787 

4 4 1 

7i'” 

<|iu<«aLinMn  liLnrwm  ....  t« 
«na  a ifni.  il  mfrto,  lifl.  iX- 
iS;^,.9I.U..  40-4* _p.«. 
92.  iHi.  I2n 


/. 

■< 

0 11 

37 

lirr 

® 

18 

1 t « 1 - 

1 1 1:  s«^ 

i 

© 

•i 

- - 13 

42 

0 

»111  - 

: is  :♦  * 

i.. 

Digitized  by  Google 


• ilia>*M>U«tM  •...  rt  dm4riu«  • 

(rol.  S7  SS.I9;  fUR. 

n.  lia.  14.S|>. 


@ 100 

"J 

1»^ 

109 

per  1 1 1 

® 

eo 

1*7 

4/.  j. 

.... 
Kl  U 1»*' 

tK 

„ 0 > 1 » i « . 

Iim  ....  I 7 , t » It'  * 
<f»l.  IS  Im.  4-10ip*(. 

lia.  S7  U.I 


91 

cnint  198;  que  multiplica  per  ii  et  per  lo,  Iioc  C8t  per  140  ut  ]>al>camus  ea  in  uirgula, 
erunt  4T»20;  que  diuidc  per  s,— c.\ibunt  pretio  de  RolulU  I8. 

De  einJem. 

Irem  Rotuli  4i  ualciit  libras  ^ 13;  (|uutitum  ualent  ergo  Rotuli  \ is:  multiplica  13 
per  suas  uirgulas»  erunt  169;  et  multiplica  fs  ]>cr  1 et  adde  i,  erunt  37;  que  multiplica 
per  169,  erunt  9953;  que  diuidc  jier  regulam  de  41,  scilicet  per  et  per  1,  et  per  4, 
et  X)cr  3,  que  sunt  sub  uirgulis  amborum  numerorum,  coaptan.s  cos  sic,  quod  de  j et 
\ facies  1^  » et  de  J et  f facies  ^ ; et  babebis  in  eorum  coaptatione  ciibunt 

librc  5 pro  pretio  illorum  Rotulorum  1 18. 

Nvnc  satis  dictum  est  de  ucudictioriibus  cantarium,  et  alioium  diueisorum  ponde- 
rum pro  libris  denariorum,  in  quibus  indigemus  habere  in  uirgulas  diuisiunum  ipsoium 
ut  habeamus  libras,  soldus,  et  denarios  iii  uiia  mulliplicalione:  nunc  de  eurum 
ueudiltottibus  factis  a soldis,  in  <[uibus  indigebimus  halierc  tantum  ~ in  capite  uir- 
gularum  diuisiunum  ipsorum;  ut  que  su]>cr  ii  ex  diuisiunibus  remanserint,  liant  de- 
narii; cum  ea,  que  ex  diiiisioiiibus  extra  uirgulam  exierit,  sunt  soldi. 

De  cantare  uendito  pro  soldis  et  ruptis. 

Irem  cantaria  ualet  soldos  J 17,  hoc  c.st  soldos  i?  et  denarios  3;  qiiaiuum  ualent 
ergo  Rotuli  ~ 41  : multiplica  17  per  4,  et  adde  1,  erunt  109.  Item  mullipliru  41  per  3, 
et  adde  t,  emnt  117;  que  multiplica  per  109,  cniiit  13H43;  que  diuidc  per  lOO,  et  jH*r 
3,  et  per  4,  lioc  est  per  exibunt  soldi  11. 

De  eodem  pro  soldis  et  denariis.  | 

Irem  cantaria  ualent  soldos  16,  et  denarios  s , hoc  est  soldos  ^ 16;  quantum  ualeut 
ergo  Rotuli  | 3t  : multiplica  26  per  11,  et  adde  3,  erunt  denarii  3I7.  Item  multiplica  3l 
per  8,  et  adde  5,  erunt  253;  que  multiplica  jicr  317,  erunt  80Ui;  que  diuidc  per  frVTT”!!* 
cxibuiu  {-iV7'ni  »■ 

/)e  eodem  pro  soldis  et  denariis  et  ruptis. 

hem  cantaria,  Ikk  est  Rutuli  loo,  ualent  soldos  LJ L is,  hoc  est  soldos  I8,  et  de- 

iiarios  j { s ; quantum  ualent  ergo  librc  | 7 : quarauis  Rotuli  lOO  , et  librc  | 7 sunt 
unius  generis,  tamen  non  sunt  ex  una  qualitate  iiel  |>ondct'e;  <ptia  loo  sunt  Rotuli,  cl 
-j  7 sunt  librc:  quare  aut  de  libris  * 7 faciendi  sunt  Rotuli,  aut  de  Rotulis  10Q  faciende 
sunt  lilire;  ut  sicuti  sunt  ex  uno  genere,  ita  sint  unius  quantitatis,  scilicet  uniu.s  pon- 
deris: uel  Rotuli  sint  umbo,  ucl  libre  faciamus  quidem  de  Rotulis  100  libras;  et  erunt 
libre  138  pisis  : .sed  alias  sunt  libre  139  , que  |Kjnautur  in  questione  pro  ucnditiouc 
pretii  : deinde  multiplica  I8  per  suam  uirgulam,  erunt  4099.  Item  multiplica  7 j>cr  7, 
et  adde  1,  erunt  31;  que  multiplica  per  4099,  ciiiiil  looolo;  que  diuide  per  138,  cl  j>cr 
fractiones  , que  insimul  c*Kiptarc  faciant  * ° * iViV  «exibunt  .soldi  {-*-*-*,  j | i:  uel 
multiplica  tantum  tertiam  de  SI,  scilicet  17  {H*r  4099,  et  tolles  3 de  uirgulu;  quia  .sem- 
per  iu  umuibu.s  (jucstionibus,  in  quibus  multiplicatio  et  diulsio  cadunt,  debes  ol>ser* 
uare  modum  cuilandi  supradictum. 

De  cantare  nendito  pro  tarenis. 

Si  cantare  cuiuslibet  racrcLs  uendatur  apud  Siciliam  pro  tarenis  I6  ; queratur  quot 
ualeaut  Rotuli  47:  describe  ([uestiunem,  et  multiplica  numeros,  qui  sunt  ex  aduerso,  uidc- 
licel  26  per  47,  cnmt  iiu;  que  diuide  ])Cr  regulam  de  lOO,  aptans  eam  ut  habeamus 


Digitized  by  Coogie 


S3 

iiulc  ^ in  rapite  uirgulc  ; ideo  quia  tareiius  ponderat  grana  ta  frumenti;  et  ca  que 
super  20  remansciinty  enmt  grana.  Regula  itaque  de  loo  est  in  qua  si  diuiseris  1222, 
exibunt  tareni  tarciii  12,  et  gniua  | 4:  uel  aliter  quia  hal>cs  iii  summa 

multiplicatiaiiis  1222,  acci[)e  pro  1200  tarciios  i2  ; ideo  quia  1200  sunt  ccninrii  12:  deinde 
ea  que  remanent,  scilicet  22,  diuide  per  5;  et  «pic  cx  diuisiunc  |H‘rueuil,  Idest  ;4,  sunt 
grana,  ut  mudu  inueuimus. 

J)e  eodem. 

Irem  cantare  uenditur  jiro  tarciiis  | 57;  quantum  ualcnl  ergo  Rotuli  83!  , boc  est 
cantaria  8,  ei  Rotuli  3t:  multiplica  igitur  57  per  4,  et  adde  1,  cniiit  220;  que  multiplica 
per  831,  erunt  1902W;  (pic  diuide  )kt  100,  et  per  4,  lioc  est  per  J ?*'**  * ri~~h*  quod 

est  pulciius,  exibunt  tareni  47S,  qui  larcui  475,  qui  sunt  cx  pondere  messaiie;  et 

uulueris  scire  quot  uncic  sunt,  diuide  ipsos  tareiius  475  per  30;  ideo  quia  tareni  30  fa- 
ciunt ibi  unciam  1,  exibunt  uncie  J is.  Iterum  si  ipsi  473  erunt  dc  pondere  panonni  , 
diuide  475  per  j 27  ; ideo  quia  uncia  paiiomii  est  tareni  | 27. 

De  eot/em. 

Irem  cautarc  uenditur  pro  tarenis  ^ 117,  lioc  est  taivuis  liTct  granis  11;  quantum 
unient  ergo  Rotuli  ^42  : multiplica  127  |mu'  20,  ct  adde  11,  enml  2551.  Itero  multiplica 
42  per  4,  ct  adde  1,  erunt  I60;  cpic  multiplica  per  25551,  erunt  431119;  que  diuide  per  100, 
ct  per  4,  ct  per  20,  exilniiil  tareni  * \\  53. 

Nvnc  satis  do  uciiditionilms  pro  tarenis  dictum  est , nunc  uero  de  ucnditiuriiLus 
rerum  pro  bizantiis  dc  garl>o  tractemus,  quorum  unusquisijuc  est  miliarenses  lo:  quare 
opus  est,  ut  in  ijisis  semper  Labeamas  ~ in  capite  uirge  dinisiouum,  ut  (juc  super  10 
remanserint,  fiant  miliarenses. 

Si  cantare  cuiuslibet  mercis  apud  garLum  ucndaliir  pro  bizantiis  47  ; quantum 
ualcnt  Rotuli  29  : describe  questionem,  et  multiplica  47  per  39,  que  sunt  cx  aduei-so, 
erunt  1833;  que  diuide  per  100,  .scilicet  per  exibunt  bizantii  19,  boc  est  bi- 

zantii  18;  ct  multiplica  3,  ei  tantum  ualcnt  alii  Rutuli  39. 

Beccuuc  100  ualcnt  bizantios  \ 42  ; quantum  ualent  ergo  bccunc  21  : multiplica  42 
per  4,  ct  adde  3,  erunt  I7i;  que  multiplico  |>cr  21,  erunt  3.391;  que  diuide  per  100,  el  per 
4,  huc  csl  per  exibunt  bizantii  * s pi'o  pretio  illarum  heccunarum  21. 

De  cantare  uendito  pro  bizanliis  et  miiiaremibus, 

liem  cantare  uenditur  pro  bizaiitiis  23 ; ct  multiplica  J 4 , hoc  est  pro  bizantiLs 
i-yj  23;  quantum  ualcnl  ergo  Rotuli  | 31  ; multiplica  23  jkt  10,  et  adde  4;  que  per  2, 
ct  adde  1,  erunt  469.  Item  multiplica  31  per  4,  ct  adde  1,  cruiit  123;  quorum  (juintam 
quinte,  scilicet  | S multiplica  per  469,  et  summam  diuide  per  ipiinlam  ijuiiitc  de  too, 
sciUccl  per  4,  ct  per  omnes  numeros,  qui  suut  sub  uirgis,  exibunt  bizantii  J-J— *o?. 

Decena  pannelUtm  uenditn  in  garbo. 

pAnnelli  10  ualent  bizantios  { 34;  quantum  ualent  ergo  pannelli  37  : multiplica  34  per 
4,  el  adde  1,  erunt  137;  i|uc  multiplica  i>er  37,  erunt  5069;  que  diuide  peno,  ct  per  4 
de  uirgula,  boc  est  per  exibunt  bizautii  126,  boc  csl  bizantii  126,  et  milia- 
renses [ 7. 

De  liotulo. 

Rotulus  zalTurani,  uel  nutium  rouscatarum,  uel  aliarum  quarumlibet  mcrlium  uendi- 


. «ri 

3ll  r^Wo,  Itn.  II-SS;  |uj|. 
92. 1.U.  46~|u,(.  9S,  Uii.lij. 


Nvn«  s.lii ....  ^aiaU‘  trilkrl  • 

0«l.  6«  . lia.  29-19  i 

91.  I.a  M-X». 


Digitized  by  Coogie 


....  I6S9  » i W. 

• |><|.  t-t);  |u§.  C3.  liu- 

16  — f.f.  94,  Um.  1«|. 


S f*r  } <e4iM»»iHK>fuii«  • 

if-l.  Sfl  «’<rr>».  I>«.  |tS>}li  !>*(. 
94.  I.H.  lll-4Si. 


04 

liir  pro  Lizaiiliis  3 ct  mUiaren.<iiljus  | 7«  lioc  c^l  pro  Inzatitiis  quantum  ualontcrgu 
Rotuli  17,  <*t  uncic  J 5,  lioc  est  Rutuli  f-j^  I":  tlescribc  cpicstiunem  ulhic  cernitur,  cl 
nmitipiira  3 (ter  lO,  cl  atide  7;  (pie  per  4,  ct  adde  l,  cniiit  149.  Item  multiplica  17  per  li, 
cl  adde  9;  (pie  per  8,  cl  adde  i,  erunt  419;  cpie  multiplica  ]>er  I49,  et  diuidc  summam 
per  frarltones  nml>oruin  iiumrroruni,  c\il>unt  bizaiitii  * * * 6S,  ut  su]>crius  in  deseri- 

]>tione  ostenditur. 

De  eotlem. 

Cemm  si  eadem  ratione  quis  qiiererct  quantum  tmleiil  uiicie  Umtiim  fac  un- 
cias de  Rotulo  1,  erunt  18:  deinde  pone  in  questione,  quix!  uncic  lizan*arani  ualcnt  In- 
zaiilio.s  3,  ct  iiiiliarenscs  7,  lioc  est  Iti/aiitios  3;  et  ipiantuni  ualent  uncic  ^ 5,  que- 
ritur. MuUiplicald.s  siipiidem,  ut  superiti.s,  3 per  .suam  uirgiilarn,  erunt  similiter  140;  et 
multiplicahis  5 per  2,  et  addc*s  t,  erunt  il;  que  muUipliadiis  |>cr  I40,  cruiil  1639;  quem 
diuidc  per  12,  cl  per  reliquas  fractiunes,  lioc  c.st  jw:‘r  ■*  * exilmnt  Inzaulii  |. 

IVvnc  sati.s  de  liis,  qiic  ad  lii^mitios  miliarenses  pertinent,  de  prima  parte  huius  ca- 
pituli dictum  est;  Illinc  iien»  de  eis,  ipie  pertinent  ad  hizantios  siirucenatos  ucl  yper- 
peros  dicamus,  in  qtiihus  indigehiimis,  ut  imlK^as  iti  capite  uirgiilunjiii  de  14,  hoc  est 

: ideo  (juia  unu.<upiisrpic  illoruni  hizantionim  in  se  caratus  S4  continet;  ct  hcc  <]ue 
super  ex  diuisionilius  remanserint,  karatos  esse  non  duhitaliis. 

De  cantare  Uni  uel  alterius  cuiuslibet  mercis,  que  uemlitur  in  Suria 
uel  in  alexamlria. 

Si  cantare  lini  uel  alie  cuiuslibet  mercis  apud  suriam  uel  alexundriam  uendaiitur 
pro  bizautiis  4 saraceiiatis  ,«et  uolueris  s<‘ire  quantum  uuleiit  Rutuli  37;  describe 
questionem,  et  multiplica  4 per  37,  erunt  I4m;  que  diuidc  per  100,  exibunt  bizantii  1 : 
si  autem  de  unius  bizantii  karatos  facere  nolueris,  multiplica  4,  rpie  sunt  super 

tu  per  aliam  10,  et  adde  s,  erunt  4s;  que  multiplica  per  karatos  unius  bizantii,  scilicet 
j«*r  84,  erunt  1152;  que  diuidc  per  7^-^,  exibunt  karati  : uel  ut  lial>c*as  sum- 

niaiii  iti  una  multiplicatione  , niuUipUca  U8  jkt  quartam*  Je  24,  scilicet  per  6,  cl  di- 
uide  summam  per  (|iini(iiin  de  100,  et  per  regulam  de  2«,  exibit  similiter  bizantius 
b<H!  est  Idzaiitius  1,  et  karutus  -"g- it:  quia  si  niulliplicauciis  3,  que  .sunt 
super  8 per  3,  ipie  .sunt  sub  uirgubi,  cl  addes  2,  erunt  karati  11;  et  .suiit  in 

tiirgidu  ]Mist  sunt  partes  tantum  uniu.s  karati;  cl  sic  semper  faciendum  est  de  omni- 
bus altis,  in  (|uibus  pones  in  rapite  iiirgulo  uideliret  nuiUiplicitrc  hoc,  quod  erit 
super  8 per  3,  que  erit  ]m)sI  ipsa  H in  uirgiila,  et  addere,  lioc  est  quod  ciit  super  3, 
ubi  mo<lo  ferimas,  ct  habebis  karatos  illitis  uirgidc. 

De  eutlern. 

Irem  cantare  uuiet  bizaiitios  { tl  ; quantum  ualcnt  er^o  cmitara  2,  ct  Rotuli  37, 
hoc  est  Rotuli  237  : iniiUiplica  11  per  4,  cl  adde  t,cruiit4d,  ((iionim  quinta,  s<’iticet  9 
inulliplica  per  237;  <|U(m1  lutum  etiam  multiplica  per  3,  ut  habeamus  regulam  dc  24  sub 
uirga,  erunt  f.399;  que  diuidc  per  quintam  de  loo,  et  per  4,  que  sunt  sub  uiiga,  et  per 
3,  que  addidimus  miilliplicatKmi,  que  uenient  ajitala  in  exibunt  bizantii  ° * 28, 

iit  in  Iiac  ([uestkme  describitur. 

De  miliario  olei  constantinvpolis . 

Milianum  olei  apud  con.slunlinopolira,  quod  est  metra  J 33,  ucndilur  pro  bizautiis 


Digitized  by  Googie 


93 

^31  ; (piantiim  ualciit  crf;o  iticlra  13  : describe  «jue.stionem,  et  multiplica  33  {>er  3, 
c|iic  sunt  post  (|u.iTii  in  iiirgiihi,  ct  aiidc  i,  erunt  ioo;  que  pone  super  33|  ut  inferius  in 
descriptione  ceniis:  deimle  multiplica  3f  jMjr  24,  et  adde  5,  erunt  karati  74Dj  qiuw  jHmc 
super  31,  ct  multiplica  '49  per  <3,  crmil  0737;  (|ue  multiplicn  per  3,  que  sunt  sub  uir^ 
gula  dc  33,  eniiit  292tl;  que  diuidc  |kt  loo,  que  posita  sunt  super  33,  et  ]^r  24,  Ikk: 
iSt  per  iVir-ri*  l>«antii  inVi-i  **• 

De  uncia  ffanormi  que  mutuatur  ad  ftersoiiteudum  pisas. 

U?(cia  panurmi,  que  est  tamii  ^ 27,  mutuiintur  ibi  ad  pei-soliieudum  pisas  pru  soldis  ,'jt07; 
queritur  fpiantiiin  iialent  eadem  ratione  tareni  | 7:  multiplica  27  per  3,  et  adde  i,  quod 
est  sii|>cr  3,  erunt  S2,  que  serua  super  \ 27  : deinde  multiplica  lo7  j>er  12,  et  adde  5, 
minl  denarii  iiso,  quos  pone  super  t07.  Item  multiplica  7 jk  t 4 | ct  adde  l,  erunt  29; 
quo  pone  super  J 7;  ol  multiplica  numerus,  qui  sunt  ex  aduorso,  scilicet  i2S9per29, 
enint  37SI;  que  multiplica  per  3,  que  suiit  sub  una  uirgula  de  27,  erunt  ti2l43;  que  di« 
uide  per  regulam  de  n2,  et  per  fractiones  reliquorum  nuiiiertuum,  scilicet  per  ct  per 

qui  iiisimui  coaptati  faciunt  frrn 

Irem  eadem  uncia,  scilicet  tareni  J 27  prestantur  pro  libns  4,  Ikm!  est  pro  libris 

4,  et  soldU  n;  quantum  nalent  ergo  tareni  63$:  multiplica  4 }>er  • 635,  ct  diuide 

summam  eorum  per  J 27,  quod  sic  fieri  dcmunstrainus:  uidelicet  ut  multiplices  27  per 
3,  et  adde  i,  erunt  82,  que  serua  su|>cr  27:  deinde  multiplica  libras  4 per  2o,  et  adde  17, 
erunt  soldi  07,  qtius  ]K>nc  super  ~ 4 : jacstea  multiplica  635  per  2,  et  adde  l,  erunt  liTl, 
que  |K)nc  super  J 635.  Kt  multiplica  67  jier  ~ dc  I27i,  scilicet  |)cr  3i;  que  pei*3,  qiic 
sunt  sub  uirgnia  jm»sI  27,  ennit  9021;  que  diuidc  jwr  ^ dc  82,  et  |>er  20,  et  per  2,  qiic 
sunt  sub  iiirgis,  hoc  est  per  4^*4»  non  o|H»rtet  nrjitijdicare  j>cr  3,  que  desunt  dc 
cum  non  remaneant  fiactiones  alique  {H^st  | de  ~ ; et  i|}sa  quarta  sit  de  regula  de 
12,  exibunt  |-4|  libre  ll2,  et  soldi  15,  et  denarii  3. 

De  /lotuiis  (pii  ucndnutur  pro  tareuis. 

Hotuli  J J 22  ueiiduntur  pro  tarenls  J \ I4;  quantum  iialont  Uotuli  [|  I7:  describe  questio* 
nem,  ct  multiplica  22  per  suas  uirgulas,  cnml  823,  que  jwne  suj)cr  J \ 22:  deinde  multiplica 
14  j»cr  suas  uirgidas,  erutil  iku,que  pone  super  15*4.  Itera  multiplica  17  j>cr  suas  uirgulas, 
enint  213;  que  multiplica  per  3St,  ciiint  124915,  que  debes  mulliplicurc  j>er  numeros,  qui 
sunt  sub  uirgulis  dc  22,  scilicet  per  4,  ct  per  g,  et  diiiidcre  summam  per  823,  et  per 

5,  ct  per  9,  ct  per  2,  et  jver  6,  que  sunt  sub  uirgulU  op|io.sitorum  numeronim,  scilicet  dc 
14  et  de  l7:Si*d  ut  immittemus  subtilitatem  euitandi,  quam  ostoiulimusiii  multiplicatiuiiibus 
numeronim,  relinquetur  qiUHl  non  muUipticclur  12491$  per  4,  nec  per  3, que  sunt  de  regula  de 
ipsis  9;ct  relinquetur  quod  non  diuiditur  per  2, et  jiere,  que  totidem  sunt.Scd  multiplicabis 
124915  per  3,  que  remanent  de  ipsis  g,  exibun^  3744T>,  que  iT-staiit  ut  diuidemia  {>er 

hoc  est  per  , uidelicet  ut  habeamus  20  sub  caj>ite  iiirgulc,  super  ipic  uenient  grana, 

exibunt  tareni  j^rrrao'  p‘Huimus  enim  dictum  euitandi  iinnlum  in  quibusdam  dc 
suprascriptis  negotialioiiibiis  olwcruai-e.  Sed  cum  rclinr|uimus  , ne  forlc  inipcdircntnr 
que  ifi  eis  demonstrare  iioluimis,  tamen  in  omnibus  bic  idem  modus  olisemandus  est. 

De  iiofuiis  et  eorum  fuirtes  (sic) 

Ijem  Hiituli  J-J-n ‘3  ueudunlur  pro  bi2iitilii.s  J { 7;  quantum  ualciil  ergo  ^ | unius 
Rotuli:  multiplica  I3  per  suam  uirgulam,  enint  2327,  que  pone  super  13;  deinde  multiplica 


• Mllkiritini  ....  miul  R2  • 

34  Un.  34-3H;  1*3. 

1».  JS  ^ p«|.  I».  |u> 


(»])  74U 

100 

n ^ 

Mrlrr 

i w 

lirtiki  |MT  1 J 

13 

lol.  39  r*et». 

Ii*.  1-1) 

1117). 

• » (M-  39 
fw*-  93  , l,M 

(l}l«U 

,\l07 

«co 

t. 

Q \ 

i" 

CO  21' 
J’ 

I 6S3  ....  ^r«  . • a»I 

3V  l«n-  S*I0;  |*'|(-  > 

u».  17-Mj. 


© 07 

t. 

h- 

© 

co 

t. 

1271 

112 
4 >0  '** 

1 035 

19  r^H*,  liiii  II  17  < IN. 
«5.  Ii»  27  36' 


Digitized  by  Googie 


' > 3 i;s  ti 

fitil.  Sit 

9S,  Iwi.  4t  — |Mf.  96,  Itii-  lj> 


li«i*  j ....  tttfgulti  • (M.  S9 

rtet*  ■ liB.  99-39  » m.  96  . 
ha  19-S9J. 


lina  ....twl  • (f»l. 

39  rriMi.  Ii».  4.|0  » U(p»g. 
9«.  h».  99-4I). 


7 {>cr  suas  uirgula.s,  erunt  467,  que  poiic  super  7:  pexst  hec  multiplica  3»  que  sunt  super 
5 per  7,  ct  1 quod  est  super  7 in  5,  erunt  26,  que  pone  super  J J;  ct  multiplica  tertiam 
decimam  de  26  per  467,  ct  per  numeros  qui  .sunt  sul>  uirgula  de  13,  scilicet  per  2,  et 
per  8,  el  j>er  ii,  erunt  164384;  que  diuidc  per  tertiam  decimam  de  1327,  lioc  est  per  179, 
j>cr  numeros  qui  .sunt  .sub  uii^lis  numerorum,  qui  sunt  ex  aduerso:  tamen  cum  in  eis 
regulam  de  24  accipere  non  pus.sumus;  ideo  quia  non  habemus  ex  ea  iu  ipsis,  nisi  tan- 
tum I unde  minuit  nobis  addatur  2 in  diui.sione,  et  multiplicentur  164364  per  2, 
erunt  3287C8;  que  diuide  per  }-]-*—*  exibunt  **  \\o. 

De  parte  Rotuii  pro  parte  biznntii. 

Item  J unius  Rotuli  pro  { unius  bizantii;  quantum  ualet  ergo  | unius  Rotuli:  describe 
quc.stionem,  et  multiplica  numeros,  qui  sunt  cx  aduerso,  scilicet  \ {ler  {,  et  diuide  per 
j,  quod  sic  fit:  imilUplica  i,  quod  est  .super  4,  j>cr  i,qu<Hl  est  super  5,  erit  i;  quod 
multiplica  per  3,  erunt  3;  que  diuide  per  i,quod  est  super  ip.sum  3,  ct  per  4,  et  per 
s,  que  sunt  sub  tiirgulis,  scilicet  per  i—,  exibit  unius  bizantii,  hoc  est  cx  quibus 
si  Karatos  nolueris  fuccre,  nuiltipHca  3,  que  sunt  super  20,  |>cr  cpiartam  de  24,  exi- 
bunt I 3. 

De  parte  RotuH  pro  parte  soldi. 

Irem  | unius  Rotuli  pro  \ imius  soldi;  quantum  ualent  ergo  ^ uiiiu.s  Rotuli:  mul- 
tiplica 3,  (jue  sunt  super  5,  per  4,  i[ue  .sunt  super  7;  que  j»cr  3,  que  sunt  sub  uirgula, 
erunt  36;  que  diuide  per  2,  que  .sunt  .super  3,  ct  per  5,  ct  per  7,  lioc  est  per exibit 
unius  .soldi,  lioc  est  denarii  ||  6. 

De  paiiUnis  Rotuli  pro  partibus  bizantii. 

Ireiii  J I unius  Rotuli  per  yj  unius  bizantii;  quantum  ualent  ei^o  JJ  unius  Rotuli: 
multiplica  per  et  diuide  per  quod  sic  IU:  multiplica  2,  que  sunt  super  3,  j>cr 
4;  et  I quod  c-st  super  4 per  3,  ct  adde  insimul,  ciiml  ii,  que  pone  super  fj.  licm 
multiplica  i,  quod  est  .sii|>ct-  s,  per  6,  ct  i,  quod  c.st  su|>er  6 per  s,  et  adde  in.simul , 
erunt  11,  que  pone  super  {{.Item  mulliplica  5,  que  sunt  super  9 per  6,  ct  adde  i, 
erunt  ll;quc  pone  .super  |{,  ol  inulliplica  if,  que  .sunt  super  {{  per  ii,  que  sunt  sii|>er 
{J;  que  per  3,  el  per  4,  que  sunt  sub  uirgulis  | ct  diuide  .summam  per  n,  que  sunt  sujier 
{-{,  ct  per  alios  niplos.  Sed  quia  deljcs  multiplicare  per  il,  et  per  3,  ct  per  4,  et  diiii- 
dere  perii,et  per  2,  et  per  6,  relinquatur  quod  non  multiplicetur  ii,  que  .sunt  super 
{ {,  nec  per  a,  nec  per  4,  que  sunt  sub  uirgis  { nec  ditiideUir  per  n,  nec  per  6;  sed 
diuides  II,  que  siiiil  .super  uii-gulls,  exibunt  {|. 

Item  J{|  imiu.s  Rotuli  pro  {-j-{  unius  larcni;  quantum  ualent unius  Rotuli  : 
mulliplica  i,  quod  est  su|>cr  3,*por  4;  que  per  5,  erunt  20;  ct  multiplica  i,  quod  csl 
super  4,  per  s;  que  per  3,  erunt  is;  ct  1,  quod  est  .suj»er  5 j>er  4;  que  per  3,  cninl  ii; 
et  adde  20  cum  is,  el  cum  12,  erunt  47,  que  p<mc  super  {{ |:  deinde  mulliplica  4 , que 
sunt  super  q,  per  s;  qiic  per  7,  erunt  221;  et  mulliplica  3,  que  sunt  super  8,  per  ?,  ct 
adde  2,  erunt  23;  que  per  9,  eiimt  2«7;  que  adde  cum  224,  erunt  43i,  «jue  pone  super 
-fj-Tj-.  Item  mulliplica  7,  :pic  sunt  su]>cr  11  |>er  iO,  ct  adde  3;  que  per  6,  ct  ad<lc  l,  erunt 
439;  que  pone  super  j-jf-n,  ct  multiplica  431  per  439,  que  sunt  ex  aduerso,  erunt  IS9209, 
que  deberes  multiplicare  per  niplos,  qui  sunt  sub  47,  scilicet  per  3,  el  per  4,  cl  per  5, 
ct  diuidere  per  eadem  47,  el  per  ruptos,  qui  swiil  sub  aliis  uii*gulis;  sed  relinquatur 


bigitized  by  Google 


9T 

muliiplicuiiu  dc  3 et  dc  f,  qiic  sunt  in  rrgtda  dc  4;  ei  multiplirciitur  isoioo  lanium 
ptT  i,  quo  rcmnncrit  dc  ipsis  4,  cl  per  5,  Iior  est  per  <o,  erunt  isoscdo;  et  i-clinquatur 
quml  non  diuidetur  ]>cr  6,  sunt  siili  tiirgula  de  ®<‘g«  diuidiUir  per  \ 

IxK!  csl  ut  lialx-ainus  ~ in  capite  uirgulo  |kt  | ^ oilmnl  gnma  \ 

Irem  libre  loo  piperis  uonduiitur  (>cr  aliquod  pretium,  ul  ponamus  piu  libris  | ti; 
et  queratur  quantum  ilalet  Rutulus  l:  quia  libre  loo,  et  Rutulus  i sunt  uiiius  generis, 
et  non  sunt  unius  quantitatis;  ideo  quia  too  sunt  libre,  et  i est  Rotulus,  redigendi 

sunt;ul  sicuti  sunt  unius  generis,  ita  siiil  unius  quantitatis,  aut  ex  quantitate  Rotulorum, 

aut  c\  quantitate  librarum:  et  runi  utraque  sit  genere,  aliud  inde  facere  denu»slramus: 
uidolirel  ul  redigantur  an»bo  ad  ]mrte.s  raiitnrii,  Iioc  est  quod  uidens  de  libris  iflo,  que 
partes  sint  iiuius  cantnrii:  omnis  enim  libni  pisaiia  est  ~ unius  cantaiii;  quare  libre  loo 
sunt  unius  caulani,  et  Roluhis  i est  ciitsdem  cantarii:  quibus  ita  redactis  in 
tali  questione,  rctligelur  qucNl  unius  cantarii,  iialeiil  libras  J ii  ; et  queritur  quan< 
tum  uulet  unius  cantarii  : dcsr^rilic  enim  questionem  sic;  et  o|K‘raiieris  secundum 
qiKKl  suj>crius  demonsirnuiinus,  ct  habebis  pn)  pretio  illius  Rotuli  iVlViV^r®  • 
Item  libre  -i-a  pro  soldis  ii;  quantum  iieniuiit  Rotuli  9:  fac  de  libris  J k j>arles 
unius  cantarii,  erunt  ct  dc  Rotulis  ~ o fac  similiter  partes  cantarii  , crunlqiic 

et  describe  questiunoin,  ct  muUiplica  a,  que  sunt  super  iSH,  per  i,  et  adde  l, 

eiuiit  17;  que  pone  sujH!’r  77^»  et  multiplica  M per  <*,  ct  addo  S;  que  per  4,  ct  adde 

3,  erunt  539,  que  jKnie  super  il:  adhuc  multiplica  9,  <|uc  snnt  sujier  lao,  per»,  et 
adde  3;  que  j»er  J,  et  adde  l,  enml  J5l;quc  j>one  super  et  multiplica  I5I  per 

539,  erunt  Si3S9,  que  deberes  multiplicare  per  s,et  per  I5S,  cpic  sunt  sub  uirgula  sub  17, 
et  diuiderc  per  eadem  17,  ct  t>cr  ruptos  aliarum  uirgularum.  Sed  relinques  multiplica* 
tiunem  de  2,  que  sunt  post  15S  iii  uirgula  , ct  multiplicationem  dc  1,  que  sunt  iii 
158;  sed  multiplica  tantum  hi3B9  ]>or  medietatem  de  158,  scilicet  per  79,  ct  pm  ipsis  2, 
et  2,  per  que  non  multiplicasti,  relimpios  quini  non  diuides  per  4,  que  sunt  in  uirgula 
post  12:  multiplicatio  enim  dc  81389  per  79  est  ei2973i;  quibus  diuisis  in  J-J— 
esibiinl  soldi  i \ k*  i*  it 

liem  Rotuli  - 4 unius  cantarii,  iiendimtur  uro  denariis  19; 

({uantum  ualenl  libre  n 5 ; buc  est  .L  unius  cantarii:  describe  questionem, 

et  multiplica  11,  que  sunt  siij>er  100,  per  5,  et  adde  3;  que  per  9,  et  adde  multiplica- 
tionem de  i,quod  est  super  9 in  5,  cnmt  527,  que  pone  suj>er  ^ * **.  . Item  multi* 
plica  19  per  10,  et  adde  3;  que  per  2,  ct  adde  i,  erunt  387,  que  pono  suj>er  |-j„-  19:  ct 
adluic  raiiltiplic'a  7,  que  sunt  super  i5h  per  4,  erunt  28ri6;  cl  multiplica  387  |>cr  28C6, 
cruiU  II09I42:  que  ciim  del>eas  multiplicare  per  s,  et  per  9,  cl  per  loo,  que  sunt  sui) 
uirgula  sub  527,  et  diuiderc  summam  per  regulam  <le  527,  que  est  ct  per  reli- 

quos mimeros,  qui  sunt  sub  uirgulis  reliipiorum  duorum  iiuinei‘omni,  relinquatur  ipiod 
non  imiltiplicctiir  per  9,  ncc  per  loo;  et  relinquatur  quod  non  diuidetur  per  9,  nec  per 
10,  que  sunt  in  uirgula  sub  280G,  ncc  per  lo,  que  sunt  siil>  uirgula  sub  387:  ergo  mul- 
tiplicabis I 1109U2  tantum  per  s,  enint  5545710;  que  diuides  per  f-J-rn-yrt  » 

i>cr  ^ ^ * . c\ibuiit  denarii  e 

r*-*  * « *T  It  :»♦  '■'OJuni  ucnuiii  ,,,,,,  a. 

Item  Rotuli  it  gerouini  ualent  in  alexandria  karatos  17;  quantum  ualcnt  Rutuli  9 
forforini:  quia  Rotuli  it,  et  Rotuli  9 uon  sunt  unius  ponderis;  uel  de  Rotulis  n Gerouinis 

13 


luta  ....  rr|li<|ir.<H>«  • fn|. 

lin.  48-27  < 28;  nu-  97. 
Ii».  8V-27I. 


fol  40  <vr>«. 


Digitized  by  Coogle 


• Itrm  ■...  Rntnti  • (fui.  40  rv* 
<■/«•  Uu.  X-7;  fMf.  97,  tis.  49 
— S8,  lid.  €] 


licM  ....  L4rjli  » rfi>l.  40 
rrc-/o,  hn.  9-14;  pu.  99.  lad. 
917  • 19;. 


r?  T U 

40  tMi,.  liO.  Mh  H8  «I»- 
J|«.  ISIS' 


faciC!»  Rnlulos  forforinos,  ucl  tlc  Rotulis  g forforiiils  facies  Rotulas  Gemuinos,  ut  flant 
ambo  ucl  forforini,  ucl  Goruutiii:  sed  quia  dc  Rotulis  Gerouinis  ii  Icuius  potes  facere  Ru- 
tulus furforinos^  quam  de  Rotulis  9 furforiitis  facere  Geruuiiius  ; ideo  quia  unas«[ULsquc 
Rotulus  Gcruuitius  est  Rutulus  ^ s forfuriiius:  quia  si  iiiultipiicauerit  Rutulos  ll  Gero- 
uifios  per  | 2 faciet  Rutulos  \ 23  furforiuos.  Vnde  describe  quod  Rotuli  ~ 23  forforini 
ualcnt  kanitos  17;  quantum  ualciU  Rotuli  g forforiiii:  multiplicabis  crjju  17  per  o,  que 
sunt  ex  aduersot  ct  diuides  per  | 23,  cxilniut  karali  4*—^  6. 

De  Ihtuiis  forforinis  cum  queritur  precium . Contrarium. 

Item  Rotuli  13  forforini  unient  karatos  ^ g;  quantum  ualeiit  Rutuli  7 gerouini : fac 
forforinus  de  Rotulis  7 gerouinis,  lioc  est:  multiplicabis  Rotulos  7 gerouinos  per  J 2, erunt 
Rotuli  j 15  forforini  : ergo  de.scribe.s  qiunl  Rotuli  13  forforini  ualcnt  kurat<js  J 9 ; quan- 
tum uuleiit  Rotuli  \ 15  forforini : multiplicabis  Jo  |kt  ^ 15,  et  diuides  per  13,  ct  eui- 
tabis  inde  41,  cum  pc»s.sibile  sit,  ct  | similiter,  exibunt  karati  | 11. 

Irem  Rotuli  Gerouini  |i2  pro  karatis  | 21;  quantum  ualeiit  Rotuli  | 11  forforini:  fac 
Rotulus  forforinus  de  Rotulis  J 12  gerouinis,  lioc  est  multiplica  J 12  per  j 2,  erunt  Rotuli 
forforini  ^ 2G  : deinde  describe  qumi  Rotuli  2C  forforini  ualeiit  karatos  ; 21  ; quantum 
ualcnt  Rotuli  | tt  forforini:  multiplicabis  | 2i  per  | 11,  ct  diuides  per  ^ 26,  exibunt  ka* 
rati  4 * * ^ g,  ut  in  liuc  dcscriplioiic  ceniilur  : possumus  enim  hoc  idem  o{>erari, 

uitando  imiltiplirationem  de  12  in  ^ 2,  qiuxl  superius  niultiplicauimus,  uidelicel  ut 
describantur  in  questione  Rotuli  J 11  Rjrforiiii  .sub  -J  12  geirminis:  deinde  pi-ouideas  dc 
Rotulo  1 gcrotiiiio,  quot  forforini  sint,  uidelicet  { 2:  ]H)uo  enim  2 ante  12,  ut  iii  bac 
descriptione  remis  ; et  erit  tunc  talis  fjuesito,  quod  J 2 uicilnis  Rotuli  J 12  forforini 
ualcnt  karatos  | il;  quantum  ualeiit  ergo  j ii  forforini  : multiplicabis  ergo,  ul  predi- 
\imus,  I 21  per  ’ li,  et  diuides  per  ; li,  et  J 2,  quod  sic  Iit:  uidelicet  quod  mul- 
tiplices 2 per  6,  ct  adde  1,  quu<l  csl  .su{>ci'  6,  erunt  13;  que  pone  .super  J 2,  et  multi- 
plica 12  per  4,  et  adde  i,(}uod  csl  super  4,  erunt  49,  que  punc  super  1 12.  Item  mul- 
tiplica 21  per  5,  ct  adde  3,  cinint  lo»,  que  jamc  .super  J2l:ct  adhuc  multiplica  ll  jku- 
s,  et  adde  3,  erunt  iil;  que  pone  .super  1 11,  ct  multiplica  los  per  9i,  ct  per  ruptos,  qui 
sunt  .sub  4!>,  et  sub  n,  scilicet  per  4 et  per  6,  ciiirit  235872;  qiic  diiiidc  per  13,  et  |>er 
49,  et  per  iuimeii>s,  qui  sunt  sub  uirgiilis  aliorum  duorum  numerorum,  scilicet  {>er  5, 
et  per  8,  bor  est  per  [ * ^ exibunt  karali  * ° ! ,V  A ® » ut  superius  inuenimus. 

Vel  aliter  describe  que.slionein,  scilicet  Rolnh>s  J n forforinus  sub  Rotulis  j 12  gerouinis; 
ct  uideas  de  I Rotulo  forforino,  (jtie  pars  sit  unius  Rutuli  Gerouini,  uidelicet  ^ hac 
ratione:  <]uia  ruai  Rohilus  1 gen.>uimis  sil  Rotulus  | 2 forforiiias;  ergo  Rotuli  6 Gerouini 
sunt  Rotuli  13  forforini.  Vnde  Rtilulus  1 forforiims  est  ~ de  Rotulo  1 Ccrouiiio,  ut 
pmliximus  : poue  ergo  cuius  Rotulos  J it  forforinos,  .sicuti  su|>crius  in  preccdenli 
descriptione  |>o.su»mus  J ante  Rotulos  J 12  gerouinos,  ut  in  bac  dcsi  riptioiic  cernitur; 
el  erit  tunc  talis  c|uestio  , quod  Rotuli  J 12  gerouini  ualcnt  karatos  | 21  ; et  <pie- 
ritur,  quantum  ualeiit  dc  Rotulis  J li  gerouinis;  quod  sic  facies:  multiplicabis  J 21 
per  J M /j  , cl  diuide.s  per  | 12  sic:  multiplica  12  per  4,  et  adde  i,  erunt  49,  que  pone 
.super  [ if;  ct  {Kine  lOH  eadem  ratione  super  |2i,ct  91  super  | 11  , et  multiplica  1 os 
jKT  numeros,  qui  sunt  ex  aduerso,  uidelicet  per  9i,cl  per  6,  ct  per  4,  que  .sunt  sui» 


Digitized  by  Googlc 


90 

49,  erunt  .similiter  935871;  quo  diuidos  ]>cr  regulum  de  40,  et  (>cr  ruptus,  qui  sunt  sub 
uirgulis  reliquorum  numerorum,  scilicet  per  I J-5»  qui  coaptnti  rum  regula  de  dictis 
49  faciunt  similiter  quibus  dittUeris  13.VS71,  exibunt  karati  J-J-J-rpn 

ut  superius  his  iniictiimus  : ct  ut  lioc  quml  in  Imc  questione  demonstrare  uotuimis 
non  inquHliretnr,  iion  euitauimus  lalxircin  miiUiplicandi  ct  diuidendi,  quem  euitare  po> 
tuimus:  .sed  ut  iiun  dimittatur  magisterium  euitandi  lulmrem,  in  quibu.s  jNissiiimis;  t|na- 
liter  in  Ikh!  euitamiiini  sit,  astciidamiis;  cl  est  lior  quu<!  numquam  deWmiis  mullipli> 
rare  aliquem  numeium;  (iini  summa  nuiltiplicatlonis  eorum  per  .similem,  uel  per  similes 
delieamiis  ]KkStea  diuidcit!,  ut  in  liar  quo<l  niiiltiplicauimus  los  per  91 ; que  per  g;  que 
per  4,  que  smit  sub  uirgula  dc  49;  et  | diuisimus  summam  per  { ? , *p  » poteramus 
enim  rclimpiere  in  dicta  niuUiplicationc  quml  nuii  niultiplirarctur  91,  nec  aliqua  pars 
ipsius;  et  relin(|ueremus  diuisioricm  dc  7,  et  dc  13,  que  sunt  iti  uirgula  diuisiuiiis,  que 
cqiialcs  sunt  dc  01  : ideo  quia  7 ilicibus  I3  faciunt  91;  ct  quia  eqiiales  .sunt,  ergo  si- 
mile.s:  et  boc  est  quod  dicimus,  rpiod  non  delK^miis  multiplicare  9i  in  dicta  mitUipli- 
ratione,  rum  debeamus  postea  diiiiderc  per  remanet  enim  ut  mullipluelur  loa  per 
6;  quo  per  4,  et  diuidatur  tantum  per  ,*  , de  quibus  |H)ssunius  etiam  euitare,  nt  mm 
multiplicemus  multiplicationem  dc  G uicibas  los  per  4,  ct  non  diiiidimus  {K?r  4,  que 
sunt  iu  diuLsione.  Mulliplicabimos  ergo  tantum  o per  dimidium  dc  los,  erunt  321;  que 
diuides  |>er  ^ tantum,  exibunt  karati  ^ 9,  qiic  tolidera  .sunt  quantum  t > 7 A A 
Rt  ut  boc  ucrum  sit,  ita  cognasriliii : multiplica  3,  que  .sunt  super  13  per  10,  que  sunt 
{MLSt  13  iti  uirgula,  et  adde  1,  que  suut  super  10,  erunt  33;  que  multiplica  {kt  7,  ct 
adde  3,  que  sunt  super  7,  emnt  I3i;  que  diuidc  |>er  iVrV"?*  <’'ibimt  e.st  enim  piil- 
cnus  dircre  quam  quare  semper  studendum  est,  ut  euilemus  boc  quod  eiiU 

lare  potuerimu.s,  ut  minor  labor  sit,  ct  pulcriores  ulquc  inlelligibiliores  liabeamti.s  ruptos. 

De  ftotuUn  forforinis  cum  /jiteriiur  de 

Item  Rotuli  forforini  J | 13  per  karatas  -}  | o ; quantum  ualent  ergo  Rotuli  Gerouini 
* I 7 : describe  questionem  larit|iiam  essent  Rotuli  unius  |Hmdcris  ; deinde  pone  ante 
Rotulos  forforinos,  uel  ante  Rotulos  gerouinos  pone  \ 2 ea  ratimie,  qua  superius  de- 
monstrauinuis  : ponamus  ergo  ~ jn  hac  questione  ante  Rutubxs  forforinas  J J 13,  ut  liic 
ostenditur;  et  multiplicabis  13  per  suas  uirgulas,  erunt  169;  et  multiplica  0 |icr  suas, 
erunt  410.  Item  imilliplica  7 per  suas  uirgulas,  erunt  .539;  ct  multiplica  419  per  530,  que 
sunt  ex  adiiersn;  quem  multiplica  per  ruptos  reliqui  numeri,  scilicet  per  4,  ct  per  s, 
et  per  13;  et  summam  que  exierit  diiiide  per  6,  que  sunt  super  13.  et  per  169,  et  per 
i-uptos  reliquorum  nimicronim  duuium,  scilicet  per  6,  ct  per  7,  cl  ])or  8,  ct  per  9 ; 
et  euitubis  Ium*  quod  euitare  potes,  .sicuti  in  preredenti  questione  demonstniuimus,  et 
liu]>ebLs  karalus  j j ii:  et  sic  potes  facere  de  qiialiliet  .simili  |uxsitione,  in  qua 

proponatur  ueiulilio  Rotulorum  unius  ponderis;  et  quesieris  pretium  Uotulcmim  quo- 
rumlibet alterius  ponderis.  Item  lU  intelligatur  melius  Rotuli  <1<^  ine.ssatia  ualent 
tareims  J*7;  et  quantum  ualent  Rotuli  ^ f queratur.  Primum  querendum 

est  de  Rotulo  ine.ssnne  ipiot  Rotulos  pisanos  ponderet,  uidelicet  {-1,  ut  ita  ponamus,  quos 
|K)ne  ante  Rotulos  messane.  sicuti  superius  docuimus  ponere  [ 2 ante  Rotulos  gerouinos; 
uel  pone  I ante  Rotulo.s  pi.sanos;  ideo  quia  Rotulus  pisanus  est  ~ dc  Rotulis  mc.ssane. 
In  hac  autem  ponamus  \ 1 ante  Rotulos  messane,  ut  hic  ostenditur;  ct  multiplica  1 per 


fvl.  iOtrlt»- 


• ....  liMnMliaiH  4e  » 

f«l.  40  frrjtn  , Im.  1-4  | pag 
9».  Ii».  IU.IN1. 


H-ilitloriun  • tf»l. 

40  I.a.  t4.»ti-.  (mr.  »9. 

lim.  tSSIl. 


....  fJr  ramt^rr  t 

<M.  40.  p«<. 

99  . lia.  S7  « tS  ~ loir 
illi,  lll- 


338 

105 

1 : 

* » 

7 

\ 

V 501 

338 

205 

1 9 

• T 

7 

^ 14 

$U1 

i ! 17  • 

Digitized  by  Google 


Ithrx  & ititv  « ( fui-  40 
••rjw  . lia-  24-3(1]  |>,f.  100. 
U».  tS-20;. 


lol. 


41  irvi0 


lifm  ...  - dr  • 

IM.  41  li«.  ( If. 

lOU.  Illi.  tV-Z6). 


C5  / 

{.« 

lUO 

m s 

fcfl  i 

823  / 

II  i » * 

m 

4,  ct  Uililc  I»  enint  O,  qoc  pone  super  deinde  multiplica  1 4 per  suam  uiigaro,  eruiil 
S05,  que  pone  super  X14^  multiplica  7 per  suas,  erunt  308»  que  pone  super  7.  Item 
miiUiplica  I7  per  suus  niptos,  erunt  soi;  que  pone  su|>er  17,  et  muiliplica  338  persoij 
que  per  i*uplos,  qui  sunt  superius,  scilicet  per  *,  et  per  7,  cl  per  4>  cl  diuides  per  9 
et  per  reculam  ao3,  ct  per  reliquos  ru])los,  uideliret  per  f-j-J-J;  et  cuiubis  c«  que  cuitari 
poteris.  Kl  pro  pretio  illorum  Uotulonim  lial>cl»is  tarenos  , [*  *.  Eaplicatis  qui- 

dem  demonstrationibus  in  uenditionibus  mortium,  in  quibus  inucniuiitur  pretia  mortium; 
nunc  uero  reuertamus  ad  easdem  ueiiditioiics,  in  quibus  reperiantur  merces  ]H>sitorum 
pretiorum,  secuiulum  diuersitalos  uenditiomim  ipsarum,  rciicrtcntes  (|uidcin  a<l  uemli- 
tiones  caiitarium. 

yfe  cantare  cum  uemlitur  pro  lihris',  et  queritur  Rotulus  de  libris. 

Si  cantare  cuiuslibet  mercis  uemlitur  pro  libris  13;  ct  ([ueratur  quot  Botulos  quis 
pro  libris  & babuerit,  descrilic,  ut  prcdiximtis  in  prci'cdciitibu.s  positionibus  in  pri* 
ma  uciiditionc  , scilicet  Botulos  lau  ; deinde  in  eadem  lineatione  retro  pone  pretium 
illorum  Botulorum  , uideliccl  libni-s  13  ; deinde  pone  libras  s sub  13:  ideo  quia  sunt 
unius  generis  cl  unius  quantitatis,  scilicet  pretii;  et  descriptis  luinieris.  ul  bic  osten- 
ditur, multiplicabis  numeros,  qui  sunt  cx  aduei-so,  uideliret  s per  luo,  erunt  soo;  que  di- 
uides per  13,  exibunt  Botuli  ~ 38,  ut  in  Itac  descriptione  cernitur;  et  tot  Botulos  ha- 
buerit pro  libris  i dc.s4:riptis:  nam  si  de  ~ utiius  Botuli  uncias  facere  nolueris,  multipUea 
e,  que  sunt  super  13,  per  js;  iilco  quia  uiiuMpusipic  Botulus  ponderat  uncias  m,  cnirit 
72;  que  diuidc  per  13,  exibunt  uiicie  5;  de  quibus  unius  | uncic  ]>os.sumus  eixleni 

modo  facere  partes  unius  uncic,  secundum  partes  que  fuerint  ijisiiis  uncic,  sine  pisani 
Botuli,  aut  libre,  tiel  alicuius  alterius  B<»tuli:  et  ut  melius  intclligatiir,  ponamus  quo<l 
ipse  sint  de  uncia  pisane  libix':  unde  si  uolueriiiuis  cognoscere  e\  cis  ipiot  denarii 
sint  de  cantare  ; ideo  <|uia  uncia  eiusdem  libre  jwiidcrat  ilenariusjs  de  cantare,  miil- 
liplicabis  7,  que  sunt  super  13  per  23,  et  diuides  per  13;  et  sic  iiilcllige  de  quibuslibet 
unciis. 

Ile  eodem  cum  ruptis. 

liem  cantare  uulct  libras  | le;  cl  queritur  quot  Rotulos  pro  libris  3 quis  ba- 
bucril : describe  questionem  in  liunc  imnlum,  ct  multiplica  le  per  l,  et  adde  1,  enml 
03,  que  pone  super  J lo  ; deinde  multiplica  3 per  suam  uirgam,  erunt  8*3;  que  pone 
super  3 , et  multiplica  lao  jver  923;  que  per  4,  que  sunt  sub  uirgula  de  le  , ct 
diuides  summum  per  regulam  dc  63,  que  est  ct  per  niplos  inferioris  uirgule,  .sci- 
licet per  , et  aptabis  12  in  capite  uirgule  ; ideo  «piia  ea,  que  fuerint  .super  12, 
eruiit  uncia,  uel  uncie;  cril  ci^o  aptatio  illorum  ;V~4^'  cuileimis  laborem 

multiplicandi  et  diuidemii,  relimpiatur  multiplicatio  dc  100,  ct  reliiiquclur  diuisio  dc 
que  .sunt  in  uii-gula  diuisioni.s;  ergo  multiplicabi.s  8*3  per  4,  et  diuides  lanium  per 
exibunt  Rotuli  **•  probatio  autem  Imius  rei  ct  similium  eadem  est,  quam 
.superius  dcmoiistrauimus,  uidciicet  ut  siculi  egredieris  cura  iiumeri.s,  multiplicando  el 
diuidendu,  ita  egredieris  unam  quamlibet  pensam  operando.  t^Kiare  pensa  buiu.s  positionis 
e.sse  2 per  7 reperies. 

De  centenario  pif>eris  secundum  suprascriplnm  nmdum. 

Irem  ccnlenariuni  piperis  pro  libris  12,  cl  soldis  7,  et  denariis  5,  lioc  est  pn»  libris 


Digitized  by  '^'oogle 


n lYrm  ••••  «tult.i.li- « • M H 
rayfi) . lia.  IK  14  . 1U'I  , 

]i(i.  4)  _ |u(.  101.  liA- 


101 

iWu**’  quot  Uhras  pt{>cris  liahueio  j>n>  soldis  u,  el  dciNiriis  O:  quia  Mbrc  JS»  ct 
soldi  ^iifSunt  unius  gcncm,  scilkcl  prelii , ct  non  sunt  iiiiiiis  quantitatis,  cum  is 
siiil  libro,  ct  soldi  il,  sunt  soldi  r ergo  uel  de  libris  It  faciendi  sunt  s<ddi,  iicl 

dc  soldis  II  faciende  sunt  libro  , boc  est  partes  unius  libre;  ut  siniti  sunt  unius 
goneiis,  ita  sint  unius  quarililatis:  ct^o  de  soldis  faciamus  partes  unius  libro,  que 
sunt  ot  describantur  sub  libris  is,  iil  in  liac  descTiptionc  uslciiditui  ; et 

multiplicetur  ll  per  suam  uirgularo,  erunt  fss.  Item  multiplica  ll  por  ts,  ct  adde  o, 
cntnl  141;  ct  multiplica  itl  por  loo;  que  |>er  it  et  por  so,  que  sunt  sub  uirgula  de  it, 
el  diuidc  sunimam  j>cr  29C9,  et  per  sed  ut  ouiles  laborem,  iion  multiplicare  per 

It,  nec  per  toj  ol  uon  o|>oiicbil  diuidere  per  ergo  niulliplicalns  MI  j>or  lUO,  eiiint 

Mioo;  que  diuides  per  tor>9,  uel  ut  babeamus  uncias  super  nirgulam,  multiplica  Uloo  per 
IS,  el  diuidc  per  <-'ibuiil  Rotuli  i . 

Oe  ctintare  uefuhicto  fH*r  libras^cum  querittir  merces  denariorum. 

Irein  cantare  iialet  libras  |fl3;  ct  quantum  quis  pro  denariis  [9  babuerit  que- 
ritur, Imk!  est  per  VA  *“^*‘**  libre,  ut  liant  ex  eadem  quantitate  librarum  ^ | 13  : 
describatur  questio  ut  hic  ostenditur;  ct  multiplica  u per  suas  uirgulas,  erunt  60$. 
Item  nuiltiplica  9,  que  sunt  super  it,  per  4,  et  adde  i,cruiit  37;  et  multiplica  37  per 
too;  fpie  )>er  .s,  et  per  0,  que  sunt  sub  tiirgnlis  pikst  13;  et  diuides  summam  per  re- 
gulam tlc  cos,  que  est  el  per  ‘1“'  »'*ipti  insimul  coaptati  sunt 

et  liabcbis  quesiUin  qumitilalcm:  uel  si  iiulueris  cuitarc,  noli  multiplicare  37  per  totum 
100,  sed  relinrjues  lO  dc  regula  100,  propter  qu(Ml  relinques  <pte  est  in  uii-giila  diiii- 
sionis:  ergo  inuUiplicabis  37  per  10,  que  remanent  de  100,  el  per  s,  ct  per  9 prodicta, 
emiil  16650;  que  diuidc  per  i-TViVil»  <*^'bunt  . 

Irem  si  centenarium  ueiidutur  pro  soldis  | | <7  ; et  queratur  quantum  cpiis  ex  ipsa 
merce  pn»  libris  ^ babuerit,  vcrlc  soldos  j | 17  ad  partirs  unius  libre,  erunt  L*  ~ 

unius  I liabuerit  ucrle  soldos  J 1 17  ad  partes  unius  libre,  erunt  * unius  libre;  et 
lior  facies  ut  ambo  numeri  sint  unius  nominis  : deinde  describes  (juestiuiiem  in  Inmc 
modum;  et  operaberis  secundum  <|Uod  superius  dictum  est , ct  liabebis  pro  quesitn 
quanlitale  illiiLs  mcrrls  libras 

Regnln  luiiuersaiis  in  centenario. 

Uolumus  enim  quamlam  regulam  dcmmislrare,  que  procreatur  ex  euitatioiic  multi* 
plicutionuin,  et  diuisiniuim  ipsorum  iiunieronim,  qui  ponuntur  in  similibus  qnestionilms; 
et  liec  est,  ut  cum  proponatur  qiiml  centenarium  piperis  tmlcat  libras  qiiotlibet  absque 
fraetionibus,  ut  ponamus  pi*o  libris  13;  ct  queratur  ipiaiilum  quis  pro  denariis  quot1il>ct 
habuerit,  ut  ponamus  3;semper  multiplica  denarios  per  s,  ct  dinide  per  pretium  cen- 
tenarii, ut  in  har;  multiplica  denarios  3 per  5,  erunt  15;  que  diuidc  per  13,  exibunt 
-?l  l;  cl  tiil  uncias  liabiieris  pro  ipsis  denariis  7:  nerum  si  eadem  ratione  quenitur,  quan- 
tum ipse  pro  soldis  7 halicrct,  multiplicabis  similiter  7 per  s,  erunt  35;  que  diuide  si- 
militer per  13,  exibnnt  libre  t;  ct  sic  iiitelligas  dc  omnilms  similibus. 

licm  si  c contra  qiiesieris  quantum  eadem  ratiune  uncie  7 ualcant;  multiplicabis  7 
per  13,  ct  diuides  per  s,  exibunt  denarii  { is.  Nam  si  ipicsieiis,  quantum  ualciit  libre 
7 cius<lem  mercis  ; miilliplicabls  similiter  7 per  13,  et  diuidc  pers,  exibunt  soldi  | is, 
idest  soldi  is,  ct  denarii  | t;  et  sic  facies  dc  siiuitibas. 


t!H*y  t. 


{•.■■iM  n(  S| 


141 

* _M 
i i ?• 


160 


♦ ^ 

« t>v  I j 


Ithh  ....  rrl.n  <]«(•(  • '■••I.  41 
ivs'/u  , 1,11.  3‘l-26  t 27  I i>4g. 
IUI.  I»  li  ill. 


Tui.  4 1 

• Siliurnt  frM  • ,r»|. 

41  wrM  , Imi.  1-7  * ?.  j.ig 

lui.  Iiu. 


Digitized  by  Googie 


• na«im  ...  » ((kI-  41 

i~ert»  , hn.  Ifr-SI  t 4*^1  • 
Iw.  41  ~ Iftl.  !•«•  I4l 


|KT  4 ....  ir  Ritnli»  • ;M-  41 
Im.  Il-)4i  |u^  |02,  lia- 
|4-IH>. 


dr  RiHuIm  >.••  9 |K«  • ( 4<d« 
41  . liu.  «-tl;  p*c-  101, 

iin.  I1ST>. 


117  *■ 

<07 

T \ 5 

i ?I3  ‘2 
e J 

0 

/ 

i 

« ; V n '» 

102 

Ilcm  RoUili  14  pro  tarciiU  | 5;  cjuut  Rotulos  habuero  pro  tarenis  | 17:  describe  «juc- 
stionem  hoc  modo;  et  multiplicu  numeros  qui  sunt  ex  aduerso,  scilicet  14  per  f I7,  et 
diiiide  per  * 5»  exibunt  5"i~n 

liem  noluli  J 17  pro  tarenis  \ 11;  quantum  habuero  ex  ipsis  pro  granU  J 7,  hoc  est 
pro  unius  larcni,  ut  fiant  ex  quantitate  tarenorum  ^11  supniscriptorum  : describe 
questionem  sic;  et  multiplicabis  | 17  per  , et  diuide  per  | fl}cl  fac  ut  hal>eas  11 
in  capite  uirgule  propter  uncias,  et  exibunt  uncic  I|-|V 

De  Hotulis  uenditis  pro  granis^cum  queritur  merces  tarenorum. 

Item  KoluU  J j 3 pro  granis  J | 13;  <juol  Rotulos  habuei-o  pn>  tarenis  | * ll:  fac  partes 
unius  tareni  de  granis  j * 13,  erunt  ^1-^;  et  descrilM»  qiioslioiicm  sicut  infcKus  cer- 
nitur, et  multiplicabis  -J  J 3 per  • | H,  et  diuides  per  *_|Jl,cxihunt  Rotuli 

Item  J unius  Rutuli  pro  [ unius  bizaiitii;  quantum  habuero  pro  * unius  bizantii : 
describe  que.<itionem,  et  muUiptica  3,  que  sunt  snper  4,  per  6,  que  suiit  .super  7,  cruiit 
fs;  que  per  5,  «pie  sunt  sub  uirgula  superiori,  oiimt  00;  que  diuide  per  4,  qtie  sunt 
super  5,  et  per  4,  et  per  7,  que  sunt  sub  aliis  iiirguUs,  idest  per  exibunt 
unius  Rotuli. 

De  ruptis  rotulorum. 

Item  J <1  unius  Rotuli  pro  | | | unius  bizantii;  quantum  halmero  de  Rotulis  per 
unius  bizantii  : describe  questionem  sic,  ct  multiplica  J|  per  Jv-n»ct  diuide 
per  ~ ^ 7,  quu<1  .sic  fit:  accipe  prius  1 1«  ct  multiplicabis  2,  qiic  suiit  .super  3,  in  4,  et 
i,quod  est  super  4,  in  3,  et  adde  insimul,  enint  ii;  4|iic  pone  super  | J,  et  inuenies 
numeruni  de  | J *,  erunt  H»;  que  ^mne  suj|K‘r  f i f » et  inuenies  iiumenim  dc  | * 
eniiit  337:  et  multiplicabis  H per  537;  qne  perruptos,  | qui  sunt  suli  uirgiills  sub  lii, 
S4'iliret  per  s,  et  per  6,  et  per  7;  ct  diuides  .summam  per  14Q,  et  per  ruptos,  qui  sunt 
sub  11,  et  .siib  337,  lioc  e.st  jmjc  * " t ‘|‘**  insimul  coaptati  sunt  rr~n ~i49lV  *^'**'V 
!»is  hiH'  quod  cuitnrc  poteris,  exibunt 

De  lUttnlis  Genminis  et  forforinis. 

Item  Rotuli  Germiini  ||  13  pn>  bizaiitiis  ' | 3;  quot  Rotulos  forforinos  habuen.i  pro 
bizaiiliis  { s:  quia  uenditio  sit  de  Rotulis  Gemiiinis,  et  qnesitio  sit  de  Rutulis  forforinis; 
idfH)  de  Rniulls  J 13  germiinls  faciendi  .siiiit  Rotuli  forforini,  lio(!  est:  multiplica  eas 
per  1 1,  ct  ticnientcm  summam  jmne  in  questione  pm  uenditionc.  Kt  ut  euitcmu.s  lalxH 
rem  dicte  multiplicationis,  pone  ^ 2 ante  Rotulos  1 1 13,  ut  superius  in  similibus  fa- 
cere demostrauimus;  et  descrilie  questionem  .sic:  et  multiplica  2 per  a,  et  adde  1,  cntnl 
13,  que  {xmc  super  ~ t;  deinde  multiplica  13  per  suas  uirgiilus,  erunt  407:  et  multiplica 
3 per  suas  uirgulas,  erunt  H7:  ptjst  hec  multiplica  2 per  4,  et  adde  1,  emnt  9;  que  jn>nc 
super  { 2;  et  multiplica  0 per  uumems,  qui  sunt  ci  cx  aduerso,  uidclicet  13,  ct  per 
407,  erunt  47619;  que  multiplica  per  ruptus,  <pii  sunt  sub  117,  uidclicet  per  5,  et  j>er  •; 
et  diuide  per  summam  per  regulam  de  117,  que  c.st  ct  per  numeros,  qui  .sunt  sub 
iiirgtills  oppmitonini  riumen»runi,  uidclicet  per  6,  que  sunt  sub  13,  et  per  s,  ct  j>cr  «, 
que  sunt  .sub  407,  ct  per  4,  que  sunt  sub  9:  ucrum  si  lalxirein  multiplicandi  et  diui- 
dendi  cuitare  nolueris,  considera  cum  diximus;  multiplica  9 j>er  13,  et  relinque  eorum 
multiplicationem,  quod  non  multiplicos  ea,  ct  non  diuides  per  9,  et  ]Kt  13,  que  sunt 
iti  uirgula  diuisiotils:  ergo  remanet  tantum,  ut  multiplices  407  perruptos,  qui  sunt  suh 


Digitized  by  Google 


m 

117,  el  rcraaiicl  ul  «liuuUs  per  quibus  ivlinqucs  iterum  quod  iioii  iniiltipli- 

cabis  per  5,  <pic  sunt  sub  uirgula  sub  nx;  et  nuii  diuides  per  5,  que  suiil  sub  uirgula 
diuisioiiLs:  ergo  multiplicabis  407  per  7,  que  sunt  s»ib  uii*gu!a  sub  H7,  cl  diuides  per 
--J,  hoc  est  |>cr  ut  lialwamus  uncias  super  ll  , e\ibuut  noluli  fur- 

foriiii  , ut  superius  in  descripUuiie  ostenditur. 

/)t’  etulftn  in  contrario. 

Item  si  diluerit  quoil  Rotuli  J | »*  forforiiii  iialent  buantias  | 4;  et  qU(»t  Rolubw  gero- 
iiiiios  quis  pro  karalis  ? 17,  hoc  est  pro  unius  bizantii,  habuerit  queratur:  quia 
unuMpiisipic  Rutulus  forfurinus  est  unius  Rotuli  gerouiiii,  poiieude  sunt  ~ ante  Ro- 
tulos 2 I is  forfurinus,  ut  in  huc  descriptione  osteiulitur.  Ft  acci|>irs  ^ , et  mul- 

tiplicabis 12  per  suas  uirgulus,  erunt  M3:  deinde  accede  ad  { 4,  et  multipliculiis  4 per 
4,  et  addes  3,  eiiint  19:  item  multiplicabis  17,  que  suiit  super  14,  per  S,  et  adde  2,  erunt 
«7;  et  multiptical)is  st  per  6,  que  sunt  ci  ex  aduerso  super  13;  tpie  |»er  5«3;  que  per 
4,  que  sunt  sub  uirgula  sub  I9,  et  diuides  summam  )»er  19,  et  jwr  numeros  qui  sunt 
sub  uirgulis  oppositorum  numerorum,  uideliret  per  s,  et  per  o,  et  per  13,  et  per  S,  et 
jver  24,  Ikk!  est  per  * y %°o~*t~iV"P*  euitabis  quod  euitarc  poteris,  el  )ial>cbi.s  pro  que- 
sita  quantitate  * unius  Rotuli  genmini. 

Pars  secunda  octaui  cafutuli  de  cambiis  monetarum. 

Si  soldus  imperialium,  scilicet  denarii  ll,  aut  cuiuslUiet  alie  monete  uendatiir  pi*o 
denariLs  3l  pisaninis,  uel  pro  aliis  <|uibuslilx't  ; et  queratur  quot  denarios  pisaiiinus 
quis  pro  ifii]>cnalibiLS  11  habuerit:  describes  questionem,  uidelicct  primo  uenditiunein, 
scilicet  imperiales  ii;  deinde  in  eadem  lineatione  retro  scriWs  pirliuin  illorum,  scilicet 
denarias  34  pisaninos;  ct  imperiales  ii  jKmcs  sub  iraporialibus  12,  ut  bic  <»stenditur:  et 
laullipUcabis  | numeros  qui  sunt  ei  aduerso,  scilicet  11  }>cr  34,  erunt  341;  ipic  diuide  per 
12,  exibunt  denarii  2s. 

Et  scias  quia  (piot  denarios  pis4uiiiios  ualet  soldus  imperialium,  scilicet  imperiales 
12,  tot  soldos  pisaninas  ualent  soldi  12  iniperialium;  cl  tot  Ubras  pisane  iialcnt  libiT 

11  imperialium:  unde  si  dixeris,  qutal  stddus  iiii|)erialium  ualet,  ut  prodiximus,  pisaninos 
31;  el  queratur  quantum  ualent  soldi  11  imperialium;  erit  tunc  talis  qxicslio:  quod  soldi 

12  im[KTialium  ualent  soldus  31  pisaninas;  queritur  quantum  ualent  soldi  11  imperialium: 
describe  questionem  ut  superius,  ct  multiplicabis  31  per  it,  ut  prediximus,  et  diuides 
similiter  j>cr  42;  ct  sic  exibunt  st>ldi  ^ is,  boc  est  soldi  2S,  et  denarii  5 pls;itinmm, 
ut  in  hac  secunda  cernitur  descriptione. 

i)e  einiem. 

Reims  si  eadem  ratione  querores,  quantum  ualcant  libre  11  imperialium  , erit  tunc 
talis  questio.  Quod  libre  42  imperialium  ualent  libnis  31  pisiminas  ; quare  scribenda 
est  questio  ut  supra,  et  multiplicanda  ll  per  31,  ct  diuidenda  est  summa  jier  li,  ut 
prediximus;  ct  balndiis  lilmi-S  ~ 28,  ut  in  bac  alia  de.scriptionc  ostenditur.  Nam  side 

unius  libre  soldos  facere  uotueris,  multiplica  s,  (pie  sunt  super  12,  )>er  20,  erunt 
soldi  100;  (|uc  diuide  per  12,  «pic  sunt  sub  uirgula,  exibunt  soldi  s,  et  denarii  4:  ergo 
libre  11  imperialium  ualent  libras  28,  el  soldos  8,  ct  denarios  4:  uel  per  S,  multiplica 
341,  que  summa  mulliplicalionls  de  31  in  ll;  ct  diuides  postea  |>er  5,  ct  per  12,  boc  est  per 
2 de  10,  ct  babebis  soldas,  et  denarios  in  prima  diuisioiie.  Quia  ({ue  super  lO  ceciderint, 
erunt  soldi;  el  que  ucnient  super  3,  erunt  tertie  soldi;  et  tertia  soldi  est  denarii  4. 


Iinn  . ■ ■ . Miulhpl.1  .t>u  87  . 
Ool.  4t  rrrfa,  |,m-  24-X9.  |.«|| 
103,  Jm.  7 I3|. 


19  SG3 


? t ? I » t;  in  tn 

13» 


fl  Mvhti^vaUl  • 

ir..|.  4X  . Ii..  13  39  I 
IUI.  ti».  l9-34>. 


f«i.  42 


It  tAt  ....  d>.i4le«  * ( fn| 
42  «-rraa,  lin.  |-7i  lU);  103. 
Iin  27-31t. 


> lu<»r  (<li«  ....  •I«»ni  4 • ((«I. 
42  vrrn,  l«n-  11-13)  pif.  lUS. 
U».  33  « 34-4(1). 


Digitized  by  Coogie 


/V  t^utrm  > it«l- 
4t  {og.  tU4, 

llM.  X-f|. 


ffit-  IM/I. 


It«»  ....  t (f.l.  4t 

• , lia.  23-S'l  I |o|.  10 1, 

I.M.  »|S). 


miMirtf  ....  «itii  MtriiiMlrf  • 

4«  vrri«.  lia.  SS-41  r SH-.  |og 
|i>i.  |)>.  1«  rl7 


|.4-  43  rrctn- 


m 

/A»  etxiem. 

Uvrsus  jMildus  inipcrialiura  ualet  pUanim»s  34,  ul  pmUximu.<i  ; cl  quoraliir  fjiiul  im- 
jieriales  quis  pro  pisatiiiiis  ii  hobucrit:  quia  li  .sunt  tantum  denarii,  et  .sunt  pisanini, 
.sii|>cr  nutabis  denarios  suj>cr  31,  et  .super  is;  et  pones  ll  sub  31,  scilicet  pi.saninos  .sub 
pisoiiiuU,  vt  in  Imc  descriptione  ostenditur:  multiplicabis  itaque  ii  ]>cr  it,  erunt  l3s; 
que  diuides  j>cr  31,  exibunt  imperiales  4. 

Oe  cofteni. 

Ifcm  soldus  Januinomm  uenditiir  pro  denariis  ^ 2i  plsaninls;  et  queratur  quantum 
ualcanit  .soldi  7,  ct  denaims  (jie)  5 lanuini,  hoc  e.st  .soldi  ^7:  dcs<'i'ibc  qucsliunem  sic: 
et  multiplica  21  per  2,  ct  adde  l,«pic  sunt  super  2,  cnint  43,  quo  ]>onc  super  ^21.  liem 
miiUiplica  7 per  12,  et  adde  5,  que  sunt  super  12,  erunt  89;  que  pone  super  7,  ct 
multiplica  43*|>cr  so,  erunt  3827;  que  diiiidc  per  soldos,  scilicet  per  12,  et  per  niiniero.s, 
qui  .sunt  sub  uii^ulls,  uidclicet  per  2,  et  per  li;  qui  numeri  insimul  coaptati  faciunt 
exllmnl  soldi 

Vc  ew/em. 

Irem  si  ecuntra  eadem  ratione  queratur  quot  laiminos  pro  soldis  " 7 pisane  mo- 
nete  liabueris,  de.scribc  j®,  7 .sub  ^ 2l  in  de.scriptiofie  j ideo  quia  .sunt  eiusdem  generis, 
uideliccl  pisanoniin;  cl  niiiitiplicabis  <^7  per  12,  que  sunt  cx  aducm,  et  diuides  per 
I 21.  Qtnal  sic  fit:  imienias  43  ct  89,  et  describe  eos  numeros  super  ipsos,  et  multiplicabis 
89  per  12,  que  sunt  ei  cx  aduerso;  que  per  2,  que  .sunt  sub  uirgula  post  21,  erunt  2i30; 
que  diuide  per  43,  cl  per  I2,  que  suiil  sub  uirgula  post  --  7,  exibunt  soldi  4, 
ul  in  liac  descriptiunc  ostenditur. 

De  eodiem. 

Irem  .soldi  mergiilicnsiiim,  .scilicet  denarii  12,  iialent  apud  prouinciant,  [ denarias  ; 
13  iTgalium;  et  (pieratur  quantum  naient  libre  3,  ct  soldi  13,  liuc  est  mergulien- 
sium  : ergo  cum  queratur  dc  libris,  talis  est  questio  , fjuod  librc  12  mcrguilensium 
iialcnt  lilinis  J u regalium:  dcs4*ribc  itaque  questionem  .sic;  cl  acccdc  ad  j 13,  multi- 
plicans 13  ]ier  4,  ct  addens  1,  erunt  33:  demde  multiplicabis  s per  .suam  uirgiilam,  erunt 
113;  et  multiplniiliis  53  per  113,  emnt  5989;  <|ue  diuide  per  12,  ct  per  4,  et  per  20,  que 
sunt  siil)  iiirgulis,  exibunt  libre  { Nam  si  libras  3,  et  soldos  is  regales  esse  jiosue- 

lis  ; el  uolueris  cx  cis  emere  mergiilienses,  describe  tunc  ~ 3,  .sunt  J 13,  (|iiia  .sunt 
unius  generis;  et  miiltiplirabis  5 per  if,  que  erunt  cx  aduerso,  el  diuides  per  [ 13, 
lioc  e.st  niultiplieabls  m per  I2;qiiepcr  4,  que  sunt  post  13,  erunt  si24:  que  diuides 
per  S3,  ct  |>er  20  dc  uirgula;  sed  prius  multiplicabis  3124  per  12,  ut  lia]>cas  ipsa  in  uir- 
gula post  20,  exibunt  libre  3 raergulieiisium. 

Irem  soldi  lijircclloiiensinm,  .scilicet  denarii  12,  ualent  podienses  | 17  ; et  queratur 
quot  quis  dc  [Hidiensilms  pni  libris  31,  ct  .soldis  14,  et  denarii.s  9 barcelloneiisium  lia- 
Imeril  , dc.scrihe  questionem,  ut  )iic  cernitur;  el  multiplicabis  \ n )»er  3t , que 
.sunt  ex  aduerso,  et  diuides  per  12,  exibunt  libi-c  podiensium. 

Pe  eodem. 

UEium  .si  ipsas  libra.s  31  po<liciises  es.se  prepoiics  ; cl  ucUe.s  ex  eis  l>an'cilo- 
nenses  emere  , describe  itaque  jM>»lienscs  sub  podiensibus , ut  in  bac  alia  quc.stionc 
demonstratur;  el  multiplicabis  it  per  *y-|*  31,  el  diuides  per  1 17,  lioe  est  multipli- 


Digitized  by  Coogie 


m 

caliis  i^M-ta  11  prr  7617,  que  sunt  ex  adiicrso;  que  (>cr  3,  que  Mint  »uh  ulrg^ilu  pusi 
17,  cl  diuides  per  53  et  per  que  sunt  sub  uirgulis  post  31,  cxilnint  libre  b-}|-  ii. 

Adhuc  soldus  im|)erialiuiii  uaUat  pisnaitios  | is,  et  amplius  denarus  \ i itriaqucque 
libra  imperialium;  et  cpicratur  quot  pisaiiini  habeantur  prt)  libris  li,  et  denariis  | 5 
imperialium,  boc  est  pro  libris  * ii;  quia  soldus  est  uigesim»  libre,  diuide  denarios 
J 1 |>er  20,  exibunt  unius  denarii  pisanini;  que  adde  cum  pretio  soldi,  et  sic  ini' 
[lerialcs  ii  ualcbuiil  pisuninos  2S.  Quare  libre  12  imperialium  ualcnt  2s;  |Hmcs 
itaque  II  sub  libris  12  imperialium,  cl  multiplicabis  eas  per  et  summam 

diuides  jier  u,  et  babehis  pro|Ktsitiim.  Et  si  stddus  imperialium  ualeat  pisauiiios  J 28 
minus  denariis  ^ i utiaqueque  libra  imperialis,  diuides  iterum  denarios  j,  i per  io,  ueniel 
7^;  que  extrahe  dc  -J  is,  remanent  pisanini  is  pro  pretio  unius  soldi  iinjierialium. 
Vnde  si  habueris  libras  31  pisauimmim,  dc  quibus  uis  imperiales,  multiplica  eas 

per  12,  ct  diuide  per  7^  2^-  Et  nota  quot  denarii  dantur  per  libram,  tiel  plus,  ticl  minus 
dc  pretio  soldi;  tot  tiigesimas  addes,  ucl  extrahes  dc  ijtso  pretio,  ct  habebis  pretium 
ipsius  soldi. 

E^tpUeU  de  cambio  monetarum  que  uenduntur  ad  soidum. 

Incipit  de  cambio  carundem  cum  uenduntur  ad  libram  denariorum. 
l.ibra  pisaninonim,  scilicet  soldi  20,  nalet  libram  1 bonnniorum,  ct  amplius  Imnoninis 
54,  boc  est  soldi  20  pisaninorum  ualeiit  soldos  | 24  bonoiiionmi.  Quare  pisanini  20  iialent 
iMUioiiinos  ; 24;  et  libre  20  pisaninorum,  j ualenl  bonoiiionim  lilirns  ^ 21;  et  queritur  quot 
bonouinus  {sic)  habeantur  pro  pisaninis  il:  scrilic  questionem  iit  bic  ceniitur;  et  multi' 
plica 11  per  {24,  et  diuide  |>er  pi.saiiiDos  20,  exibunt  bommini  13:  et  si  nimbium 
libre  pisanc  fuerit  boiionini  56,  boc  est  soldi  20  pisanini  ualeniit  soldos  24, ct  denarios  *s, 
boc  est  soldos  24;  et  uis  scire  quot  pisaniiios  ualeaiil  soldi  I4,el  denarii  5 bononiorum; 
[Kines  itaque  .soldas  i 14  sub  soldis  J—  24,  ct  multiplica  ^ 14  |>er  20,  et  diuides  24, 
hoc  est  multiplicabis  173  per  20;  que  per  12,  ct  |>er  2,  que  sunt  sub  uirga;  ct  diuides 
perS93,  et  per  12,  que  sunt  uirga  dc  14,  exibunt  soldi.  - 

Rvrsus  cambium  libre  pisaninc  sit  iMinonini  } 57,  boc  est  qm)«l  soldi  20  pisanini  ualcrit 
soldos  24;ct  queratur  quot  iHmoninos  ualent  libre  I7,  cl  soldi  11,  et  denarii  $ pisanini; 
descripta  questione,  multiplica  ^-7^  17  per  libras  11,  el  diuide  jwr  libras  20  pl 
saninas,  exibunt  bononini.  El  si  habueris  libras  17  bononiorum,  multiplica  eas  per 

20,  el  diuide  per  24,  ct  habebis  propositum. 

Soldus  itaque  imperialium  ualet  pisatiinos  *28;qucritur  quot  bononinos  linlieat  cambium 
libre  1 plsanitie:  quia  soldus  imperialium  est  bononini  36;  cf^o  pisanini  ^ 2S  ualent  .soldas 
36  bononinos;  ct  libre  Jis  pisaninc  ualent  libras  3C  l>unoniorum.  Quare  libre  Jis  pi- 
saninnrum  habent  cambium  libre  J 7 l^monionim,  que  sunt  ad  \ 28  in  36:  et  quia  queris 
cambium  unius,  ucl  j>onc  i sub  libris  J la,  ut  in  liar  cernitur  descriptione;  cl  multiplica 
1 (K!r  7 7,  ct  diuide  per  * 28,  boc  est,  multiplica  1 per  15,  et  diuide  per  S7  : sed  ut 
habeas  in  uti^a  multiplica  dictam  multiplicationem  de  i in  15  per  80,  erunt  1200; 

rpic  diuide  per,^*^  tS~^»  exibunt  denarii  boc  est  denarii  ^63;  el  tot  est  cam- 

bium libre  jiisHne.  Et  si  ccontra  dicatur  : cambium  unius  libre  pisanc  o&se  s^ddos  s,  et 
denarias  ^ 3 , hoc  est  soldi  20  pisaninorum  ualenl  soldos  -,7-^  bononionim  ; cl 
queratur  quot  pisaninos  ualeat  soldus  imperialium  , pro  ipso  soldo  pones  soldos  3 sub 

14 


««•(.«ut  ....  M«aniiH  » (M-  43 
rr<-/a,  lin.  tl-)0  | p*c.  103  , 
Illi.  Mii. 


. * *.  <•« 
* rg 

!■  imp. 
12 

/. 

^21 
* 15  :•  *' 

/.  imp, 

ii 

/ 

1 s _J^ 

4 13  i-t 

ti 

4lrfr'/«.ii».  S«-40i  lun  I<i3. 
liB.  I6-2UI- 


ti.  fii. 

49 

2U 

45 

i " 

fui.  43 


divide  ....  ,«ldi,  • <ful  43 
rfr»«,  ],u.  3-S;  IVS,  Iib 


« 36  ....  — ^ 7785 

hu<  * 43  Ii».  Ift. 

S61  fMR  103,  lia,  39  |«|; 

1V6,  lia. 


Digitized  by  Google 


100 

solliis  S5>  cum  soldas  inipcnalium  sit  soldorum  3 lionoiiiorum  ; ct  multiplicabis 
ipsa  3 per  2o,  que  sunt  eis  ex  aduersu,  et  diuides  per  25  » boc  est  per  25 
ijuc  idem  sunt,  rum  sint  ^ tantum,  exibunt  soldi  5-^*»  boc  est  denarii  ^ ts  pro 

...hM  ....  . I.U..  . <t,i.  impcrialU. 

41  lo-ii;  i«p.  106.  Rvrsus  ualeat  soldus  imperialium  pisaninos  - 2S  minus  denanis  J 1 per  quamlibet  Ii> 

bram  iiupenalium;  ct  queratur  <|uut  bononinos  habeat  cambium  librc  l pisaninorum  pro 
predictis  denariis  J i,  extrahe  de  pUaninis  J 2S,  scilicet  de  pisuniiiis  ^ is,  remanebunt 
pisanini  28  pro  pretio  soldi  imperialium.  Ergo  librc  2s  ])isaninonim.  Adiret 
libre  28,  et  soldi  12,  ct  denarii » pisaninorum  ualent  libras  30  Innioiiioiiim.  Quare  eam- 
biuni  de  libris  2S,  ct  soldis  12,  et  denariis  9,  est  libre  7,  et  soldi  7,  ct  denarii  3 bi> 
iionionim  , que  sunt  a libris  2s,  et  soldis  12,  ct  denaris  9 ustpic  in  libris  36.  Quare  de- 
scribes questionem  ut  hic  astenditur  ; ct  multiplicabis  I j>er  7 , ct  diuides  |)cr 

nxiliuni  « » I 

* J,  2S,  cxiDuni  I,  to'  I 

r*i.  44  Irem  cambium  librc  pisanc  sit  l>uiHmini  ^ 64,  boc  est  soldi  J 23  Ixmoniorum  ualenl 

. eo  ...  sold«.»s  20  pisaninorum;  ct  queratur  preliiim  dc  soldis  3 iKmoiiiorura,  scilicet  de  soldis  1 

3:  M.  106.  lia.  iniperialiumr  dcst^ripla  itaque  questione,  multiplica  25  j>er  suam  uirgam,  eniiil  203:  mul- 

tiplicabis ergo  3 per  20;  rpc  per  s,  erunt  4ho,  que  diuidenda  suiit  per  203,  scilicet 
\~h'  multiplica  ca  per  20  et  per  12,  erunt  ijr»tuo;  (jue  diuidc  per  } exibunt 

\ '*  2,  boc  csl  denarii  \ ||  28.  Et  nola,  quia  ideo  aptaui  ■—  |H)st  ut  cade- 

rent super  ea  uigcsiuia  denarionim,quc  cunlinguiit  soldo;  quia  quot  uigesime  conlingiitil 
soldo  , tot  denarii  contingunt  uni  librc  : ergo  soldas  imperialium  ualet  denarios  ts 
pisaninorum  , et  in.stij)cr  denarios  7 per  unamquamque  librum  imperialium.  Sed 
ex  denariis  tpiinquc  contingentibus  libix!  contingit  soldo  quarta  unius  denarii;  et  pru 
denariis  40  contingunt  ct  pn>  denariis  t3  contingunt  soldo  ^ unius  denarii.  Eigu 
soldus  iiii|>crialium  ualet  | 2S,  ct  amplius  denarios  2 per  libram,  boc  est  parum 
minas  denariis  ^ 2.  Viide  soldus  iinjKTiulium  ualet  pisaninos  \ 2s,  minas  denariis  1 2 
per  iinaniquamquc  libram;  ct  sic  studeas  facere  in  similibas. 

. ^.iiK  ....  • a’j  De  uenefinriis  cum  uemluntur  tui  librum  numeri; 

44,  r#i-ro,  1«D.  13-21. fwg  1(I6, 

Ii*.  16.16,.  f(  queritur  precium  libre  fwmlcris. 

Libra  ueaotianorum,  scilicet  soldi  20,  ueiiditur  pro  libris  12,  ct  soldis  4 pisanuioruni; 
cl  queratur  (piaiitum  ualeat  libra  ponderis  eorundem,  (|uam  j)oiiimas  esse  soldorum  12 
ct  denariorum  | 3:  multiplicabis  12  per  { I2,  ct  diuides  |>er  20;  ct  si  libra  ponderis 
uciictiaiioruiu  ualeat  libras  | 8;  ct  uis  scire  jiretium  libre  numerate,  scilicet  de  soldis 
20,  nuilliplit  a 20  per  ^ 8,  et  diuide  ])cr  • il,  et  sic  habebis  indubitanter  pixqxisilum. 

A?  libru  arcenti. 

. 8t  likr, ....  i»,a.<,i«a,  • lihia  argenti,  1k»c  est  uncie  (2,  uciidatur  pro  libris  7;  et  aueralurnuanluinua- 

<4ri>r/«.  Ii*.  21-25;  PHI  , • i • . , * . * * 

16-46).  Icnt  uncic  2,  descnfte  in  questione  uncias  sub  uncas,  scilicet  2 sub  12,  ct  multiplica- 

bis 2 per  7,  que  sunt  ex  aduerso,  erunt  14;  et  diuide  jwr  12,  exibunt  librc  denariorum 
2 i,  boc  est  soldi  23  ct  denarii  4,  ut  iii  buc  ([uestione  ostenditur.  Vel  aliter:  quia  uncie 
2 sunt  i unius  libre,  accipe  | de  libris  7,  quial  csl  soldi  23,  ct  denarii  4,  ut  pivdiximus. 

Item  libra  argenti  uendilur  pro  libris  7,  cl  .soldis  0 , hoc  est  libris  ^ 7 , cl  que- 
ratur <{uantum  ualeant  uncic  \ 2 ; dcsrril»  questionem,  ut  bic  ostenditur,  et  multi- 
plica J 2 per  7,  et  diuidc  per  12,  evihunl  librc  *• 


Digitized  by  Googie 


Ua.  6-1I). 


389 

2291 

4»k.  /. 

1 

4 

SqJ  4 5«** 

IJ  50  * 

107 

Item  lihra  uulel  lihras  7,  ct  soldus  ii»  Ium*  est  libras  ct  queratur  «[uaiituni 

ualeaiit  uncic  7,  et  denarii  14  {Manderis  dc  cantenit  lioc  cslutidc  " 7:  ideo  quia  unde 
ponderant  denarios  15  dc  cantem;  describe  questiuiiem  ut  bic  ostenditur,  ct  multiplicabis 
iVtl'  ’ l*®**  n diuides  per  is,  exibunt  libre  * 

De  eoilem. 

Item  libra  argenti  ueiiditur  pro  libris  4 regalium;  et  queratur  quantum  ualeuiit 
libre  4,  ct  uncic  J 7,  boc  est  libre  4;  quia  queratur  iu  bac  positione  pretium  li- 
bra mm  , descn})ciidum  est  tantum  l pro  uenditione,  scilicet  pru  libra,  ut  liant  ambo 
unius  (pialitatis  , sicuti  sunt  unius  generis,  ut  hic  ostenditur;  et  multiplicabis  ^-^7  4 
j»er  “j-  4,  et  diuides  per  1,  scilicet  per  libras,  exibunt  libre  * * 10  i-egalium. 

De  ewlem.  \ 

Irem  libra  argenti  ueiiditur  pro  libris  ; | 7>  ct  queratur  quantum  ualeiit  libre  ii, 
et  uncic  7,  ct  denarii  0 dc  cautcra,  lioc  est  libre  H:  multiplicabis  ergo  nuiiienis, 
qui  sunt  ex  aduerso,  uidelicet  j | 7 per  tl«  et  diuides  per  uenditiunem,  uidciicet 
per  1,  exibunt  libre  87. 

Irem  libre  ^ | 7 argenti  pro  biianliis  saraccnatis  | | 63;  ct  queratur  quantum  ua- 
leaiit  uncic  5,  et  denarii  11  dc  cantera,  ct  carruW  S,  boc  est  uncic  s:  quia  libre  J | 7, 
ct  uncic  2~H  ^ unius  generis,  uidciicet  argenti,  et  non  sunt  unius  rpialitatis;  quia 
y J 7 sunt  libre,  ct  |-j|  5 sunt  uncic;  ucl  de  libris  y }•  7 faciende  sunt  uncie,  ucl  de 
unciis  5 faciende  sunt  partes  unius  libre,  que  sunt  unius  libre;  ctdescrilie 

questionem  ut  bic  ostenditur,  et  multiplicabis  7 per  suas  uirgulas,  erunt  105.  Item  mul- 
tiplicabis 63  per  suas  uirgulas,  erunt  2541;  ct  multiplicabis  5,  que  sunt  super  12,  j>cr 
suam  uirgulam,  erunt  8II;  que  multiplicabis  peristi,  ct  per  4,  ct  per  9,  que  sunt  sub 
uirgulis  sub  iU3,  et  diuides  per  regulam  de  S65,  ct  per  omnes  alios  ruptos  ordinando, 
ut  balieas  ^ in  uirgula  diitisionis  propter  karatos,  exibunt  libre  *■■■?■  ..Ji- 3. 

De  eodem . ^ 

Hvrsus  si  proponatur  quod  libra  argenti,  lioc  est  uncic  is,  uuleiit  libras  8;  et  queratur 
quantum  argentum  quis  habuerit  pro  libris  5 denariorum;  describe  5 sub  8 in  que- 
stione, ct  multiplica  5 per  11,  erunt  66;  ipic  diuidc  per  8,  exibunt  uncic  | 7,  ut  in  que- 
stione ostenditur. 

De  etnlem. 

Irem  libm  argenti  ualet  libras  7;  et  queratur  quantum  quis  inde  pro  libris  4 ha- 
buerit : descripta  itaipic  questione,  multiplicabis  4 per  11,  erunt  48;  que  diuides  per 
7,  exibunt  uncie  f 6 . ^"am  si  dc  | unius  uncie,  quot  denarii  sint  dc  cantera  scire  uo- 
lucris;  quia  uncia  ])onderat  denarios  is,  multiplicabis  e,  que  sunt  su]>cr  7,  per  15,  enint 
150;  que  diuides  per  7,  exibunt  denarii  dc  cantera  >21.  Itcnini  si  dc  ^ ^nius  denarii 
curnilias  facere  uulueris,  multiplicabis  3,  que  sunt  super?,  per  6 : ideo  quia  denarius 
est  carnilie  6,  erunt  I8;  que  diuides  per  7,  exibunt  carrube  { 1 1 ergo  pro  illis  4 libris 
lialiebis  uncias  6,  ct  denarim  ii,  et  carrulios  1 1.  Nam  si  hoc,  secundum  maiorem  ma- 
gisterium, in  luia  tantum  multiplicatione  et  diuisione  habere  uolueris,  suprascripta  48 
multiplica  per  partes  unius  uncic,  scilicet  per  numerum  denariorum,  et  carnilibarum, 
hoc  est  per  13  et  per  6,  erunt  “loo;  qne  diuides  per  hoc  est  por  ”,  quod 

est  Icuius,  et  habebis  eandem  quantitatem,  ut  superius  in  questione  describitur:  <pic 


luw  . . Itr  rrntlm  t iful.  44 
rreht  , I<h.  41-4(1  ; lul  . 

Ii>.  « Iti 


I Ium  ...  f«r  »410  • iM.  41 
lin  l-lSi  |>«8-  lui.  liii. 

IX-»'. 


4 lUiiiMrit  aNl(ti|>liraliit  • 
|S>i-  44  wrM,  Ii*.  iX-tO  X7i 
107.  >m.  XX  t 4I-37)- 


Digitized  by  Google 


tos 

ueru  super  7 deucnient,  sunt  partes  uiiius  carrul>l>c;  ct  que  super  sunt  camibbe ; 
et  que  super  sunt  denarii  de  cantera}  ct  que  extra  ui^pilam,  sunt  uncie  , sicuti 
sunt  ille  IS  uenditionis,  sub  quibus  describuntur;  quia  semper  qualis  fuerit  numerus 
in  genere  et  in  qualitate,  sub  quo  summa  exiens  describitur,  talis  erit  et  ille,  qui  sub 
M.  n,r.t0.  ipso  describuntur.  Kt  ideo  | cx  ipso  miineru,sub  quo  summa  ponenda  est, scilicet  quartus 
iiuraci-us  ignotus  comprehendens  ea,  que  in  capite  uirgtile  diuisiuuis  bal)crc  debeas;  ut 
si  fuerint  libre  denanurum,  ca  que  super  uacuum  scribuntur,  studebis  liabcre  pro- 
pter soldos  ct  denarios:  que  si  fuerint  soldi,  studebis  lialiere  " propter  denarios.  Et  si 
tareni,  studebis  habere  ~ propter  grana.  Et  sunt  bizantii  saraccnati,  iiel  yjicrpcn,  stu- 
debis liaWrc  j et  si  bizutilii  dc  garbo,  studebis  lialiea»  et  si  fuerint  Ubre,  ucl 
rt*tuli  alicuius  mercis  non  multum  care,  ut  piperis,  studebis  lial>crc  ^ propter  uncias: 
et  si  fuerint  libre  pisane  alicuius  mercis  carioris  ut  zaflaruui,  studebis  habere  ^ 
propter  uncias  et  denarios  dc  cantera  > et  si  fuerint  libre  eiusdem  ponderis  alterius  ( 

mercis  carioris  ut  argenti  , studebis  bal>erc  J propter  uncias  , et  denarios,  et 

carrubas  : ct  si  fuerint  libre  carioris  rei,  ut  auri,  studebis  habere  {****,  propter 
uncias,  ct  denarios,  et  carrubas,  ct  grana  : et  si  fuerint  uncie  auri  pisane  libre,  stu- 
debis liabcre  propter  denarios  de  cantera,  ct  carrabbas,  ct  grana:  ct  si  fuerint 

denarii  de  cantera  auri,  studebis  habere  tantum  ||  propter  carnibba.s  ct  grana:  ct  si 
fuerint  carruhbe  auri,  uel  alicuius  rei  carioris,  studebis  liHl>cre  tantum  J-  in  uirgula  pnv 
pter  grana:  et  si  fuerint  uncie  ai^cnti,  suflicit  ut  habeas  tantum  propter  denarios 
et  carrulus,  ut  in  proscripta  questione  ordinabimus.  Et  si  fuerint  denarii  de  cantera 
argentum,  suflicit  ut  bal>cas  tantum  ^ propter  carrubas:  ct  si  fuerint  marce  argenti, 
studebis  liabcre  propter  uncias,  ct  denarios  , ct  carrabbas;  ct  sic  debet  fieri 

dc  omnibus  aliis  rebus,  secundum  diuersitatem  ptHulerum,  et  partium  conim,  et  se- 
ruiiduiu  consuetudinem  ct  oidincm  illarum  prouiiiciaram,in  quibus  hoc  o{HTari  debueris. 
Vnde,  si  Iioc  (juud  dictum  csl  optime  coti5uleraueri.s,  liul>cbis  in  una  multipliratiune, 
ct  in  una  diuisionc  lux'  quod  tibi  nec(‘s.sarium  fuerit  in  relms  (|uesitU:  et  ne  tradas 
obliuiniii  scniarc  ea,  que  quandor^uc  Imbueris  in  diuisionc  cx  parte,  ucl  ex  partibus 
proscripturum  numerorum,  f}uod  in  capite  uirgularam  ponere  indigebis  et  commiscere 
eam,  uel  eas  cum  bis,  que  defTicient  tibi  c.x  illis  numeris,  ct  multiplicare  cum  elstlem. 

Verbi  gratia:  ponamus  (|uod  oporteat  te  lialx?re  ^ in  capite  uirgule  propter  denarios, 
ucl  uncias,  ct  liabcbis  cx  co  | in  diuisionc;  minuit  ergo  tibi  j,  quas  commisces  insimul, 
faciens  ex  cis  quam  liabclus  in  capite  uirgule;  ut  multiplicabis  tutam  summam  |tcr  3 
propter  j que  minuit  tibi.  Num  si  ex  diuisionc,  in  qua  diuiderc  debueris  totum  Iioc, 
quod  in  capite  uiig;ulc  tibi  ncces.sarium  fuerit,  coinprelienderc  poteris,  studebis  illud 
coinpreliciidurc;  ct  pone  illud  in  capite  uirgule.  Verbi  gratia:  oportet  nos  liabcre 
propter  soldus  et  denarios;  et  debemus  diuiderc  summam  per  J— “ : commiscemur 

cigo  j cum  |*j  , ct  faciemus  cx  cis  ” : deinde  cc»mmlscemus  J cum  J , ct  faciemur 
f*i.  4S  .*!«  cx  eis  j-jL  I et  sic  babebimns  in  uirgula  tantum  est,  quantum 

Rvrsus  si  nihil  Imbueris  in  diuisionc  cx  Iioc,  quod  in  capite  uirgule  tibi  necessarium 
fuerit, multiplicabis  totam  summam  per  hoc  (|tiod  oportuerit  tc  lial>ere  in  capite  uiigute, 
et  super  addes  diuisioni  hoc  quod  debes  lial>cre  in  capite  uiigulc.  Verbi  gratia:  po- 
namus quod  debeamus  diuiderc  3tt  per  ; ct  oportet  nos  habere  in  capite  uir- 


Digitized  by  Google 


100 

gulc  propter  caratos;  imiUiplicalns  3S1  j>er  3,  et  per  ft,  lioc  est  per  J4;  et  hoc  est  fa- 
cere caratos  de  bizantiis  34l;  et  diuules  per  et  sic  inlelligas  de  reliquis:  et 

iios  in  serpiciitibus  singula  singulariter  explanabimus. 

De  marcha  arcenti. 

Si  raarca  argcnli,  hoc  est  uncte  8«  uenilatiir  pro  libris  et  queratur  quantum  ua- 
Icant  uncic  *:  describe  in  questione  uncias  sub  unciis,  scilicet  t sub  B,  ut  hic  usteu- 
ditur,  ct  multiplicabis  t per  9,  que  sunt  ex  aduerso,  erunt  lo;  que  diuides  per  8,  exibit 
libre  hoc  est  soldi  ut  in  questione  ostenditur:  ucl  aliter,  quia  uticic  s suat  { 
pars  unius  nian  e ; scilicet  dc  unciis  s accipe  j pretii  marce,  uidelicet  dc  libris  $, 
erunt  soldi  Z9,  ut  prediximus. 

De  eoJem. 

Et  si  eadem  ratione  quereres,  quantum  argentum  habueris  pro  libris  l,  describes 
pretium  sub  pretio,  uidelicet  s sub  9;  et  multiplicabis  i per  8,  erunt  lO;  et  diuides 
per  9,  exibunt  uricie  J 3,  I»jc  est  uiicie  3,  el  denarii  9 dc  caiitera;  quia  eadem  est  uncia 
marce  ct  libre. 

Item  marca  pro  libris  4,  et  soldis  13,  hoc  est  pro  libris  4;  quantum  ualent  uncic 
\ 3 : descril>c  questionem,  ut  hic  astenditur,  ct  multiplica  \ 3 per  ^ 4 , el  diuides  per 
8,  hoc  est  19  per  93,  que  faciunt  1395]  et  ditiidc  per  | sed  ut  hal)eas  ii  }>ost  20 
iu  uirguU,  cumisce  que  est  in  uii^la  cum  j,  et  habebis  it]  ot  multiplica  1303  per 
3,  el  diuide  summam  per  i « d pone  3 super  8,  ut  melius  memorie  cunimendcn- 
lur  propter  probam,  exibunt  libre  * t. 

De  eodem. 

Item  marca  argenti  uenditur  pro  libris  4;  ct  queratur  quantum  ualcant  uncie 

5,  et  denarii  ii  dc  cantera,  hoc  est  uncie  ||5  : describe  questionem  .sic;  ct  multipli- 
ca 4 per  suum  iiirgulam  , erunt  denarii  1049  ; quos  pone  desuper  , et  multiplicabis 
uncias  5 per  15,  et  addes  ll,  erunt  denarii  de  cantera  13C;  ct  multiplicabis  136  per  1040, 
ct  diuides  per  r , ct  per  omnes  ruptos  , el  ordinabis  iu  capite  uirgule  ; ideo 
(|uia  numerus  qui  est  super  uaruum,  in  quo  debemus  ponere  summam,  est  numerus  li- 
brarum, exibunt  libre  so  *• 

De  eofiem. 

Si  marca  argenti  uenditur  pro  libris  s,  et  soldis  7,  ct  denariis  o,  hoc  est  libris  9; 
ct  queratur  quantum  ualcant  uncie  3,  el  denarii  I3  dc  cantera,  ct  carrulK!  9,  hoc  est 
uncie  J-4|  V,  describes  questionem,  ut  bic  ccnulur;  el  multiplicabis  3 per  S, 
el  diuides  per  8,  exibunt  libre  { 2. 

De  eodem. 

Item  marca  uenditur  pro  libris  1 1 9 ; cl  <(ucratur  quaiilum  ualcant  denarii  7 dc 
cantera,  ct  carrubn  i,  boc  est  ~~~  unius  uncie  , describes  questionem  sir;  ct  multi- 
-plicabU  J | $,  et  diuides  per  8,  exibunt  * | * |*  /^  unius  libre. 

Item  marce  | 7 pro  libris  | 31  ; quantum  ualent  ergo  marce  | 9 : describes  questio- 
nem sic;  et  multiplicabis  7 per  4,  ct  addes  i,  erunt  so;  ct  muIlipUcabis  31  per  3,  ct 
addes  i,  erunt  94;  et  o per  $,  et  addes  2,  erunt  47;  el  multiplicabis  47  per  94;  qne 
per  4,  qiic  sunt  suh  lo,  erunt  17572;  et  diuides  per  20,  et  per  alios  ruptos,  scilicet  per 
3,  et. per  5 , que  sunt  sub  iiirgiiUs  : sed  quia  scimus  quod  summam  que  exierit  erit 


( St  iihire*  ....  . 

49  lia.  7-ll)i  JJ*. 

109,  lia. 


Zt  m ••••  /V  • ( M. 

49  r#rM,  lia.  1I>X9,  jwg  IdS, 
lifi.  11  ~ ptf-  110.  l>a-  7i. 


03  t. 

3 

r ,«■. 

*•  1 

8 

rf.  /. 

19 

1 T 4 , X 

iT7*i  * ^ 

! 3 

1040 

/. 

fnt- 

4 

H 

{^au  «st  1 fvr  7|  \ 

136 

1 t 9 1«^ 
10  10  la  >0  * 

1203 

/. 

fme. 

S-hK  » ' 

i « t 10  > ^ 

» m > 

0 U 10  It  90  " 

« s» 

248 

/. 

iW. 

S 

...,\ 
1 t 9 1 1 t ^ 

43 

1 7 

> 9 t It  SO*' 

rn 

04  /. 

±9 

Ijl 

'i-' 

•i.  €.  f. 

47 

40 

1 

Digitized  by  Coogie 


N auli  flun-it  » (fial. 
IS  vrtt».  liit.  |l)>l9i  |!«f.  IIU, 
Iit.  8 U 


r..i 


46  rvrf**» 


NU)  «t  ....  dcavii  • {fui.  46 
r^<t»  t liM.  4.81  t |M||.  IIQ  , 
li«.  IS  “ |Mg.  111,  lia.  8]. 


110 

■smmua  lilfinniin;  ideo  quia  locus,  in  i|Uo  debemus  ea  describere,  est  sub  libris,  ui> 
dclicet  sub  { 31:  unde  0|>orlct  uos  habere  xrii  capite  uirgulc  ut  habeamus  soldos,  ct 
denarios  post  libras.  Sed  quia  ex  ^ non  habemus  nisi  j,  scimus  quia  minuit  nubis  cx 
ipsa  \ : ct  f]uia  de  ^ non  hul>cmas  nisi  scimus  quia  minuit  nobis  cx  ipsa  alia  ei‘go 
minuit  nobis  10  inter  utramque;  quod  pones  super  29,  ct  multiplicabis  itots  per  10,  ct 
diuides  summam  j>cr  exibunt  libre  40. 

De  eoiiem. 

Niin  si  eadem  ratione  {{ucrcres  quantum  argentum  quis  pro  libris  0 habuerit 
describes  questionem  sic,  ct  multiplicabis  47  per  29;  que  |>cr  3,  ct  diuides  per  regulam 
dc  94;  qiic  per  , et  per  alios  ruptos,  uidelicet  per  4,  et  per  5 tantum  rclintjues 
quod  non  multiplicabis  47,  nec  diuides  per  47:  ergo  multiplicabis  tantum  xo  per  3,  que 
sunt  sub  uirgula  post  31,  erunt  S7;  que  diuides  per  et  per  quod  remanet  de  regula 
94,  boc  est  per  JJ.  Sed  scimus  quia  hoc  quod  exierit  cx  diuisionc  erit  summa  marcarum; 
ideo  quia  lorus,  in  quo  eam  ponere  dehemus,  est  sub  marcis,  | uidelicet  sub  | 7:  unde 
oportet  nos  habere  in  capite  uirgulc  * -”■  j-;  propter  uncias,  ct  denarios,  ct  camilms, 
cx  quibus  habemus  in  diuisionc  ergo  minuit  iiubis  hoc  est  30,  per  que  debemus 
multiplicare  87,  ut  haberemus  *— in  diuisionc.  Sed  quia  in  prescripla  diuisionc  rupti 
.sunt  tantum  cx  partibus  marce,  uidelicet  non  oportet  aliud,  nisi  ut  diuidantur  87 
per  exibunt  marce  |-^  t,  hoc  est  marce  2,  ct  uncia  I,  et  denarii  10  de  cantera. 

De  uncia  auri  pisana. 

Si  uncia  pisana  auri  ucl  tarenorum,  que  denarios  25  dc  cantera  |>nndcrat,  uendatur 
pro  lihrls  4;  ct  queratur  quantum  ualeant  denarii  17  de  cantera  eiusdem  auri  : de- 
scribes in  questione  17  sub  ts  ; ideo  (|uin  sunt  unius  generis,  uidelicet  auri,  et  unius 
}>oiideris , scilicet  denariorum ; ct  multiplicabis  libras  4 per  17;  (juia  sunt  ex  aduerso, 
erunt  librc  CS:  multiplica  68  per  48,  que  minuunt  nobis  dc  ; ideo  quia  non  ha- 
bemus cx  ipsa  nisi  tantum  J;  ct  diuides  summam  per  exibunt  libre  \ 2, 

ul  in  hac  questione  o^stenditur. 

De  eodem . 

iteui  eadem  uricia  uenditur  pro  libris  ^ 4;  et  queritur  Quantum  ualcut  denarii  9, 
ct  carniblMi  s,  hoc  est  denarii  | 9 ; doscrilMj  questionem,  ct  multiplica  ^ 4 per  \ 9,  cl 
diuides  per  25,  hoc  est  multiplica  83  per  59,  erunt  4807;  que  diuid4^.s,vpcr  2S,  ct  per  ruptos, 

hoc  est  per  C,  ct  per  20:  sed  ut  habeas  uirgula,  multiplica  4897  per  2,  que  mi- 

nuunt nobis  dc  ~ ; ideo  quia  nos  haWmus  | cx  ipsa  diuisionc,  crunl  9704;  que  diuides 
per  j l ‘‘i  exibit  libra  \ ^ 1,  hoc  est  soldi  32,  ct  denarii  |-j  7,  ut  in  questione 

astenditur. 

Item  eadem  uncia  uenditur  pro  libris  4;  quantum  ualent  ergo  denarii  n,  ct 

carrubbe  4,  cl  grana  .1,  hoc  est  denarii  if:  describes  questionem,  ut  hic  ostenditur, 

cl  multiplicabis  ^^4  per  {-5  11»  ct  diuides  per  25,  exibunt  libre  riViV  h SS 
in  questione  retenditur. 

De  eodem. 

Item  eadem  uncia  uenditur  pro  libris  | 4 ; el  queiatur  «[uanlum  ualent  uncie  13, 
et  denarii  14,  et  carrubljc  S,  ct  grana  3,  hoc  est  uncie  \ * \\  la:  quia  queritur  in  liar 
pretium  unciarum,  debemus  describere  1 pro  uncca  uendilioiils,  ut  hic  ostenditur;  ct 
multiplicabis  {4  per  J-f-JJ-  I3t  el  diuides  per  i,  exibunt  libre  \ * t^-58. 


Digitized  by  Googlc 


Item  unria  ucmiitur  |>ro  libris  ~ 4;  M queratur  quantum  quis  pro  libris  3 ex  ipsa 
uncia  liabu’^rit  : describes  questumem  sic,  et  niuItlpHcabis  3 per  erunt  73  ; que 
tliuides  per  4»  lioc  est  miilliplicabis  75  per  20  de  uirgula,  que  faciunt  I300;  el  di- 
uides  j»cr  ao,  exibunt  dciiurii  dc  caiitera  ^ ifi;  de  <|uibus  si  can*ubl>a.s  facere  uolucris, 
muitipliea  76  per  luimmim  rarrtibbanim  unius  denarii,  scilicet  per  6,  enmt  436;  que 
diuidc  per  80,  exibunt  carrublx*  ^ 5.  Nam  si  secundiim  maiorem  magisterium  hoc  facere 
uolucris,  multiplica  t500  per  6 propter  carruM^as;  que  per  4 propter  grana,  enmt  36i)0o; 
que  diuidc  per  /j-j-l»  exibunt  denarii  dc  caulcra  *c,  ut  iu  questione  ostenditur. 

De  etniem. 

Nam  si  eadem  ratione  quereres  quantum  pro  soldis  3 Imbueris,  fac  s^ddos  de 
libris  4,  erunt  soldi  89;  sub  ({uibus  ]xuie  soUU»s  3 in  questione;  et  nmltiplirabis  3 
per  23,  emnt  75;  (jue  multiplicabis  per  2t  ut  lialK;as  carrubbas,  et  gratia  in  uirgula; 
ct  diuides  summam  per  777--J1  exibunt  **  ” \y  lioc  est  carrtibbe  3 cl  unius  grani,  ut 
in  questione  ostenditur. 

Uvidam  tiuluit  emere  argentum  commixtum  cum  stagno,  quini  uuigariter  argetitum  faN 
sum  appeliutur.  Quod  cum  nesciret  , quantum  ai^ciitiini  purum  esset  in  libris  it)iu.s 
commixti  argenti,  cepit  cx  eo  granulum  unum,  cuius  }>oudus  fuit  carrubbe  5,ct  grana  ~ 2, 
lu»c  est  carrubbe  J 5;  ct  |M)Suit  sujior  iguero,  ut  a stagno  purgaretur  argentum:  et  cum 
hoc  fartum  esset,  inuenit  ihi  cx  argento  puro  rarruhas  2,  el  grana  i 2,  hoc  csl  car- 
nihhas  ‘ 2 > queritur  quantum  argeulum  jiurum  eiat  in  libris  illius  comixti  argenti. 
Primum  quidem  notandum  cr>tf  quia  x imi  carrubbe  ^ 5 sunt  ex  cmlem  jxmdcrc  cum  car- 
rubbis  I 2 ; ergo  sicut  in  carrubins  \ s illius  comixti  argenti  sunt  cari'ubl)e  | 2 puri 
argenti,  ita  in  denariis  5 commixti  argenti,  erunt  denarii  \i  puri.  Et  in  uncis  Js 
commixti,  erunt  uncic  puri:  similiter  et  iii  libris  Js  commixti  argenti  enmt  libre 
|f  puri  argenti.  Quare  cum  in  hac  questione  queratur  dc  libris,  hoc  est  de  unciis  12, 
{lones  in  questione  (piod  in  unciis 5 commixti  argenti  .sint  uncic  ^2  puri:  deinde  dc- 
scribes  uncias  12  sub  uiicii.^^3,  buc  est  commixtum  argentum  sub  commixto,  ut  bic 
ostenditur;  et  multiplicabis  J 2 per  i2,  el  diuide  per  J 5 ; el  ciiitabis  Ikk‘,  quod  inde 
euitari  poteris,  exibunt  uiicic  | 5;  ct  tanluin  argentum  purum  fuit  in  suprascripta  libra. 
Et  scias  quia  per  hanc  materiam  |K)les  cognoscere  quantum  argentum  purum  fuerit 
in  qualibet  quantitate  ctiiuslil>ei  ]>'>!.sonalie;  cum  sciueri.s  (piantum  argentum  fuerit  in 
solo  eiusdem  iiolsonalie,  ucl  per  uneiam,  uc!  in  libris,  uel  in  alia  qualibet  quantitate. | 
Iticipit  pars  tertia  octaui  capituli  ile  uenilititmc  cannarum^ 
et  primum  tle  canna  pisnna. 

CAima  pisuna  est  palmorum  I3,  uel  braciiioium  4:  canna  autem  lanue,  ot  dictum  est, 
palmorum  0.  Canna  itaque  pruuincic , ct  sicilie , (H  surie,,.  ti  constaiitiuo|iolis  sunt 
unius  mensure,  scilicet  palmorum  8;  ct  nos  prius  dc.ucmlitionc  pisune  canne  dicamus. 

De  canna. 

Si  canua  pisana,  que  est  'hrucliia  4 cuiuslibet  |>aiini,  ueudatnr  pro  soldi.s  7;  et  que- 
ratur quantum  ualct  braebium  !•  describe  (|uestioncm  ut  hic  ostenditur  : multiplica 
ergo  7 per  t,  ct  diuidc  per  4,  exibunt  soldi  [^1,  Ihk  est  denarii  li.  Nam  si  quereres 
pretium  unius  palmi,  eadem  ratione  describe  in  questione  palmos  canne,  uidelicet  10, 
siculi  imnio  descripsirous,  b;*achia  4 pro  canna;  ct  hoc  semper  debes  considerare,  ut 


4«  4 nirr4  I..  • i f»l- 

44  rrria,  Im.  llt> 

l<u.  S IS;. 


^lualuan  tciaent 

4S  rvrra,  Itn.  SU-S9,  |w4i  III. 
Im.  I6  II1. 


Digitized  by  Googie 


« ....  2 iJ<\j  I (fwl. 


44  Imi.  t*4<h  |«f-  Hi» 

ti«.  r ~ IIS.  Ua.  (Sj- 


m 

fiicuti  5cril>e$  iii  questione  similem  merrem  sub  simili  merce  | sic  describas  similes 
mensuras  sub  simili  mensum,  et  simile  pondus  sub  simili  poudere  , lioc  est  cannas 
.sub  catinis,  et  bracliiu  .sub  brachiis,  et  palmos  sub  ]>almi.s,  et  cantaria  sub  raiilarils, 
et  Rotulas  sub  Rutulis;  et  sic  intclligas  de  ceteris. 

Item  camiu  uenditur  pro  .soldis  46,  et  dciianls  s,  Ikk  est  soldis  ^ 46;  quantum  ualent 
ergo  brachia  3 : multiplicabis  46  per  12,  et  addes  s,  erunt  denarii  &S7;  quod  multipli* 
cabis  per  3,  et  diuides  per  4,  et  per  i«,  que  sunt  sub  iiirgula,  hoc  ast  per  J-—,  exibunt 
soldi  34. 

/)e  eoJem. 

Item  canna  uenditur  pro  libris  s;  et  queratur  quantum  ualcant  brachia  {^2,  h«K- 
est  brachia  Js:  describe.s  questionem  ut  hic  astenditur;  et  multiplica  Jsper  — s, ei 
diuide  per  4,  lioc  est  multiplicabis  ll  per  loo,  erunt  ll99;  que  diuides  |)cr  4 ucndilionls, 
et  jjcr  ruptos  duonim  rcliquonim  numerorum,  scilicet  per  4,  et  per  20:  se<l  cum  debea.s 
habere  ^ po^t  ^ sub  iiirgula  diuisionis,  mulliplicabis  lios  per  3,  erunt  3597;  que  diuuh^s 

l‘*"e  HiTv’- 

De  Cfw/f/M. 

Item  eadem  canna  uenditur  pm  libris  et  queratur  quantum  ualcant  brachia 

1^3,  hoc  est  brachia  |s:  describes  questionem,  et  multiplicabis  s per  suam  uirgulam, 
erunt  1315.  Item  multiplicabis  3 per  suam  iiii^ilam,  erunt  27;  que  multiplicabis  per 
131.%  et  diuides  j>cr  ueiulitioucni,  uidelicet  per  4,  et  per  omnes  ruptos,  exibunt  libre 

I * > n , 

i • 1*  t* 

Item  canna  uenditur  pro  libris  s;  et  queratur  quantum  iialeant  canne  il,  et 
brnebia  J-Jo,  boc  est  canne  f-f  ut  dlcaniu-S  pulcrius  , describemus  canna.s  ii; 

quia  in  hac  questione  queritur  pretium  cannarum;  ucl  de  ipsis  caimU  fniclcs  brachia, 
uel  de  brachiis  4 facies  unam  cannam  l.  In  hac  autem  dcscriliamus  Unicliia  4 pro 
ueuditionc  canne,  ut  hic  ostenditur;  et  de  cannis  ll,ct  brachiis  t-ts  facies  brachia; 
cruntque  brachia  j 47;  que  pones  in  questione  suh  brachiis  4;  et  multiplicabis  } 4*  per 
5,  et  diuides  per  4,  exibunt  libre  questione  ostenditur. 

De  c/innn  lanue. 

Item  canna  iaime,  que  est  palmi  9,  uenditur  pro  soldis  ii,  et  denariis  o,  hoc  c.st  soldis 
^11;  et  queratur  quantum  ualeuiit  palmi  -2:  describes  quc.stiunero,  ut  hic  ostenditur, 
et  multiplicabis  \ 2 per  | ll,  que  sunt  ex  aduerso,  et  diuides  per  9,  exibunt  .soldi  3. 
Et  scias  quia  quot  soldos  ualet  canna  ipsa,  tot  denarios  cum  totidem  tertiis  uniet  ]ialmus. 

De  cdtmn  prouincie. 

Canna  prouincic,  que  c.st  palmi  8,  uenditur  pi*o  libris  queratur  quantum 

Iialeant  palmi  ^ | 3 ! describes  questionem,  et  multiplicabis  | { 3 per  3,  et  diuides 
per  8,  ordinans  “p^  in  capite  uirguic  diuisumis  ; ideo  quia  locus,  in  quo  ponenda  est 
summa,  est  .sub  libris,  scilicet  sub  3,  exibunt  libre  fr-rTT^T**  scias  quia  quot 
soldos  ualuerit  ipsa  canna,  tot  denarios  cum  totidem  modus  denariis  ualebil  palmus. 
Verbi  gratia:  cum  canna  ualet  soldos  14,  palmus  uulel  denarios  14  cum  totidem  obulis, 
hoc  est  denarios  21. 

De  canna  Sicilie. 

Caima  Sicilie, cuius  longitudo  est  palmi  8,  uenditur  pro  taronis  19;  et  queratur  quantum 


Digifized  by  Google 


U3 

ualcant  palmi  i:  dcscrlLc  questionem,  ut  lik*  (»slcmlitur,  ct  multiplicabis  2 prir  to,  cniiit 
38  ; que  diuides  per  s,  exibunt  tuieiii  \ 4.  Vel  aliter:  quiu  palmi  s sunt  quarta  pars 
unius  ranne,  scilicet  de  palmis  8 acci{>e  i|uurtum  de  taienis  iO,  exibunt  tareni  \ 4,  ut 
pred. iimus. 

/)e  eo<lem. 

Kvrsum  eadem  catina  iicnditur  pro  tareiiis  »3,  ct  f^ranis  7,  buc  est  pro  turenis  83; 
et  queratur  «|uuntum  ualeant  palmi  • 3:  de8cri}ie.s  qucstiuiicm,  ct  multiplicabis  i 3 |H*r 
~j83,  et  diuides  summam  per  8,  exibunt  Ureni  1-|-^  lo,  boc  est  ta»i‘iii  lo,  et  j»rana  ~4. 

I)e  eodem. 

Item  eadem  canna  uenditur  pro  tareiiis  * S5;  ct  queratur  quantiini  uaiearit  canrie  9, 
et  j»almi  J 5,  boc  est  ranuc  9 : descrilw  queslioiieni  sic,  et  multiplica  85  per  suam 
uirguiam,  erunt  foi;  et  9 per  suam  uirgulam,  erunt  309:  deinde  imiltiplica  ioi  per  309, 
erunt  31209;  <|uc  diuide  per  I,  ct  per  rupUxs,  boc  csl  j>er  “i-fr  * bnius,  in 

quu  ponenda  est  summa  diuisionls,  est  sub  tareiiis,  uideliccl  \ 8S,  delreimis  baberc  ~ 
in  capite  uirpilc  propter  {^rniia;  rpiod  b non  |H).ssumus  in  prescripta  diiiLsione  baberc, 
scilicet  iii  ideo  | quia  miiiiiit  iioliis  cx  ipsa  unde  dcscrilie  in  questione  s .siipci 
t,  ut  mcliu.s  habeatur  memorio  cum  prubauciis;  et  multiplicabis  3<9V9  per  5,  et  diuide 
per  J-J-jV  evibuiit  lamii  J-|— JJ  243,  hoc  tureni  243,  et  grana  f-J  16. 

De  canna  f^nrln. 

Cxnna  garbi,  que  est  .similiter  palmi  8,  uenditur  pro  biiantiis  4,  et  miliarensibus  7, 
Imh-  e.st  pro  bizaiitiis  ^ 4;  et  queratur  quantum  ualeant  palmi  [ 2 : describe.s  questio- 
nem  sic,  ct  multiplicabis  •}  2 per  4,  ct  dluides  per  8,  exibunt  bizaiitii  ri^i^  b 
(piestione  i»stcnditur,  Ikh:  est  bixanlius  i,  et  miliarenses  {-J  3. 

De  eodem. 

Item  eadem  caima  uenditur  pro  bizantiU  ~ s;  ct  queratur  quantum  ualeant  eamie 
^ it  : de.senbc  questionem  .sir,  et  multiplica  5 ]>er4,  et  adde  3,  erunt  23,  que  pone  su{>er 
; s;  ct  multiplicabis  iterum  ii  per  suam  uirgulam,  erunt  23;  et  multiplicabis  23  per  23, 
erunt  529;  que  diuide  j)cr  raptos,  uidelicct  per  |J,  hoc  est  per  8,  et  per  1;  cuius  diuisio 
cum  iiicbil  tqierelur,  computanda  non  est,  exibunt  bizantii  | 66  : de  rjua  si  miliarenses 
facere  uis,  multiplica  l,quofl  e.st  sujier  8,  ]»er  10;  ideo  quia  bi/antiiis  1 est  miliarenses 
10,  erant  10;  que  diuide  per  8,  exibit  miliaren.sis  \ i;  uel  aliter;  quia  locus,  in  quo  po- 
nenda est  .summa,  e.st  sub  bizantiis  garbi,  ojuirtet  nos  lialiere  ^ in  capite  uirgule  pro- 
pter miliarenses  : quare  multiplica  5X9  j>cr  10,  boc  est  quml  ante  poties  eis  0,  erunt 
5290; que  diuide  per  ”, exibunt  bizmitii  6,  ut  superius,  ut  ita  in  questione  demonstra- 
tur. Et  secundum  her  que  diximus  de  canna  garbi  poles  intelligerc  de  omnibus  rebus, 
(|ite  in  eadem  regione  uenduntur  |)er  eiKS<lcm  bizautios. 

De  etniem. 

Item  eadem  catina  uenditur  pn>  bizaiitiis  4,  ct  karatis  13,  hoc  est  pro  bizantiis  i-J  4; 
et  «pieralur  qu  uitum  mileaiit  ranne  7,  ct  palmi  3,  hoc  e.st  ranne  ^ 7 : describe  que- 
slioiiem  sic,  ct  inultiplua  ^4  per  - 7,  ct  dluides  per  1,  exibunt  bizatuii  f||33. 

De  im/in  fustaneorum. 

i>Alla  fusiai.conim,  que  est  petianim  40,  uenditur  pru  libris  37;  et  queratMi- quantum 
ualctil  petia  una  : dcNcribe  questionem  sic,  ct  multijtlicu  J per  37,  erunt  37;  que  diuide 

15 


Illi.  43  ««(Iu 

c|U(i  ■MfIMit  . ■ - ■ ktfJiiUi  • 

rrrf«.  lia-  t*|5.  ixc 
lll.lm.  16  «Wf. 


Digitizefl  by  Google 


I>#  UII*....|w4U  ima  a {M.  41 
rr.7<*.  Un.  l&-tU  i )'aR.  111  . 
Im.  4|  _ H4.  hm.  4». 


Ilrw  kalia  ....  a (fal. 

41  n>r#a.  lia.  21*24}  lua.  ||4, 
lia.  $ II). 


5l  l<ir«’i-ll«i  . ..  /V  ta-ffiH  a 

(M.  47  n-rfa  . I.d-  2«  | 
|M|.  114.  I.k  12  I»  . 


luai  ai  ••••  a iM.  41 

rrci»  , lia.  21>-46  i |>ag.  114, 
Ii». 


f*l.  41.rr*a. 

• lia  i|a«alaan  ...•  qiaa  aal  • |f»l. 

41  fwra,  tm.  11*41;  pa|  114, 

Im.  11-1»). 

^ Imrr.  ctpffal 

I 41  lil 


*_!L* 

[fj  15  3» 


IU 

|)cr  regulam  de  40,  scilicet  per  uel  per  quod  est  melius  hic;  ideo  quia  lorus, 
in  quo  ponenda  est  summa,  est  sub  libris,  uidelicet  sub  37,  exibunt  hoc  e.st  .soldi 
J la:  et  ei  Iuk  quidem  manifc.stiim  est,  quixl  quot  libre  fuerint  in  medietate  pretii  ballc, 
tut  .soldo.s  ualet  pelia  una. 

Item  bulla  iienditur  pro  libris  ^ 38;  et  queratur  quantum  uulcant  polia  3:  desrribc 
questioiiein  sic,  et  multiplica  38  per  suam  uirgulam,  erunt  7fiti;  que  multiplica  per  3, 
que  simt  eis  ex  aduerso,  erunt  2307;  que  diuidc  per  regulam  de  40,  cl  per  20,  que  sunt 
sub  uirgiilu,  lioc  e.st  . Sed  prius  multiplica  2307  j>or  3,  qiie  minuunt  nobis  di» 

quam  debemus  baborc  in  uii^ula  post  20,  erunt  002l;  que  diuidc  per  *a  *,i  exibunt 
lihie  i-*-**»  t. 

iiwitr  ». 

De  iorsello. 

Si  tui-sc  oUus,  qui  est  cunne  f>o  pruuiucic,  lioc  est  de  palmis  8,  uenditur  jiro  libris  35; 
et  (ploratur  ({uantum  ualoat  canna  una:  desiTribe  questionem,  ct  multiplica  t per  35, 
el  diuide  per  regulam  dc  60,  que  est  , uel  quod  est  melius  liic ; ideo  quia 
indigemus  lialierc  ^ in  capite  uirgule,  exibunt  hoc  est  .soldi  11,  ct  denarii  8.  Kt 
ex  huc  manifestum  est,  quod  (juot  fuerint  libre  pretii  lorscelli,  tot  tertias  iiniu.s  .soldi 
iialct  canna  una. 

De  ew/em, 

item  si  eadem  rntiuiie  qtieres  quantum  ualcat  palmus,  facies  de  palmo  partem  unius 
caiinc,  erutil(|ue  \ : describe  ergo  «pie.stionem  sic,  et  multiplica  l,  quod  est  super  8,  per 
35;  que  diuidc  per  60,  et  per  8,  que  .sunt  sub  uiigula,  coaptans  ea  sic  * exibit 

* hoc  est  denarii  ^ I7.  Ex  huc  ergo  manifestum  est,  quia  quot  libras  ualel  tor- 

scellus,  tut  uhuios  ualcl  palmus. 

Item  torscellus  uenditur  pru  libris  ^37;  et  <|neralur  quantum  ualeaiit  ranne  9,  et 
|>almi  J 3,  hoc  est  eamie  J-J  o : desrril)e  questionem  sic,  el  multiplicabis  f-J  9 per  ^ 37, 
el  diuides  per  Go,  exibunt  libre  5,  ut  in  qui*slionc  ostenditur. 

Pe  stKietatihus. 

Ovamuls  in  derimu  huius  libri  capitulo,  qualiter  luenim  cnticarum  inter  sot'ius  di- 
uidendiini  sit,  debeamus  ostendere;  tammi  qualiter  hoc  idem,  secundum  suprascripturo 
negotiandi  mixlmn,  fieri  debeat,  ad  presens  nolumus  demoastrurc:  ut  hoc  dupliciter  dc- 
muiislrato,  promptiores  audientium  animos  reddat.  l'reponiinu.s  hoc  ita<|uc  de  quodam,  ijui 
hubueril  iii  .sua  hu^icu  libras  152,  cum  (piiim.s  lucratus  fuit  iibra.s  56;  et  ((uerilur  qui»t 
ex  ipso  lucro  ^^im'uiipie  sociorum  suorum  per  libram  reddere  dclieat.  Primum  quidem, 
.secundum  plsatiani  <:nii.suctudinem,de  suprasrripto  lucro  quartam  partem  debemus  auferre; 
cum  ipsa  sil  tractatoris,  remanent  libre  42.  t,Hiare  desciilK  in  questione,  quod  libre  152 
capitalis  lucrate  fuerunt  libras  42;  ct  {Mmes  i , uidelmet  libras  .sub  iSi  , ut  in  hac 
que.stionc  demmisiratur;  et  multiplicabis  imiiicros,  qui  sunt  ex  adurrso,  scilicet  l per 
42,  erunt  42,  (|uc  debes  diuidere  per  regulam  de  151,  (|uc  est  | sed  ut  habeas 
iu  capite  uirgulo,  multiplica  summam,  .scilicet  42  per  30  propter  trigesimam,  que  mi> 
nuit  aobls  dc  ijiso  cnint  1260;  que  diuidc  per  exibunt  *- ht>c 

soldi  5,  ct  denarii  c,  ct  fere  tertium  unius  denarii  partem:  uel  aliter  .scrtindum  imU 
garem  modumr  reperta  regula  de  132,  (jue  est  diutdes  lucrum,  uidelicet  libras  42  per 
8,  exibunt  libre  s,  el  soldi  5,  qui  sunt  soldi  ios;  (|uos  diuide  per  I9,  exibunt  soldi  5, 
et  denarii  6,  ut  prediximus.  Nam  si  suprascripta  ratione  inucnirc  uolueris  quod  eiicncrii 


Digitized  by  Google 


115 

(le  ipso  lucro  ci^  qui  libras  13  in  ipsa  liahucrit,  enticam  sic  facies:  multipli(*a  ta  per 
|)ortioiicm  lucri  unius  libre,  scilicet  per  soldos  s,  et  denanos  ^ que  multiplicatio 
scf  uiulum  uulgarem  modum  sic  fit:  multiplica  primum  13  per  soldus  5»  erunt  soldi  os; 
cum  quibus  adde  multiplicationem  dc  denariis  6 in  13«  htH*  est  soldos  6^  et  denarius  o, 
erunt  librc  3,  et  soldi  ii,  et  denarii  6.  Cum  quibus  iterum  adde  multiplicalioiiem  dc 
^ in  13«  boc  est  denarios  ^4,  erunt  librc  3,  et  soldi  ii,  et  denaiii  lO. 

U^rum  si  boc  idem  secundum  artem  repeiirc  desideras,  describes  ({ucstiuriem,  ut  hic 
ostenditur;  et  multiplica  13  }>cr  4t«  que  sunt  ex  aduerso,  erunt  S4o;  que  diuidc  per 
Sed  ut  babeus  rapite  uir^ile,  multiplica  540  per  30«  et  diuides  summam 

per  exibunt  librc  ^V"! *~iJ  superius  per  uulgarem  modum  inuenimus. 

/)e  eiultt». 

Irem  quidam  balmit  in  licnlica  libras  i S53«  cum  quibus  lunatus  fuit  ultra  suum 
quartum  proficuum,  libras  ',^03;  cpientur  quid  per  libram  unicuique  socionim  suorum 
reddere  del>eat  : describe  questloneral  et  multiplica  I per  f^03«  et  diuidc  per  | S53, 
lioc  est  multiplicabis  i per  1271,  que  per  2«  que  sunt  sub  uirgula  post  233,  erunt  2542; 
que  diuide  per  50,  et  per  20  : tamen  iimllipUca  prius  2542  per  4,  ut  Iial>eas  pt»st 

in  diuLsione,  exibunt  |VsV^  parum  minus  de  ‘ unius  denani. 

A'  etMiem. 

br  si  lioc  quod  accidit  dc  suprasrripto  proficuo  cuidam,  qui  in  suprascripta  bentica 
habuerit  bixaiilii>s  iVt»' uolucris;  descril>e  questionem,  ct  multiplicabis  libras 
13  j>er  suam  iiii^lam,  erunt  3200;  que  multiplicabis  per  1271;  que  per  2,  que  sunt  sub 
uir^la;  et  diuide  summam  per  SOT,  et  per  omnes  ruptos  reliquorum  duorum  mime- 
rurum:  tamen  cuitabis  inde  quod  non  multiplicabis  per  2,  ut  non  diuidas  per  2,  que 
sunt  in  regula  de  20,  exibunt  librc  3- 

Ve  eo</em. 

Item  quidam  Imbuit  in  bentica  libras  713«  cum  quilms  lucratus  fuit  ultra  suum 
quartum  proficuum  libras  queratur  ilenim  quid  de  ipso  lucro  per  unam- 

quamque libram  contigerit:  describe  questionem,  el  multiplica  i per  52231;  que  per 
20,  que  sunt  sub  uirgula  ]>ost  713;  et  diuide  summam  per  regulam  dc  14271,  que  est 
^ -**ub  uirgula  lucri,  exibunt  lioc 

est  soldi  c,  et  fere  denarii  jl:  el  sic  poteris  facere  dc  quolibet  lucro,  siue  larenunim 
sil,  siue  quorumlibet  bizantiorum.  Kliam  rl  si  pnqKmcrclur  quidam  Imbuisse  de  quantis- 
libet bizaulils  libras  quaiitaslibel  denariorum,  uel  ccuntra;  ct  qneieret  quot  ex  denariis 
cadit  unicuique  bizantio. 

Incipit  p<ir*  quarta  octaui  capituli  in  reuersione  unius  generis 
ad  llotulos  alterius. 

St  uls  scire  de  quotuis  Rotulis  pisani  cantarii,  quot  libre  subtiles  sint,  ut  dicamus 
de  Rotulo  .1.;  adiscas  prius  ex  eis,  in  qua  pnqHirlionc  sint:  sunt  enim  in  tali  propor- 
tione, uidelicet  quot  Rotuli  loo,  scilicet  cantarii,  suiit  librc  tss:  unde  describe  in  que- 
stione Uotuliis  KNi  pro  ticndilione,  et  libras  iss  pn)  pretio,  el  Rotulum  l«  de  quo  uU 
facere  libras,  describes  sub  Rotulis,  uidelicet  sub  luo,  ut  in  hac  questione  ostenditur; 
el  multiplica  i jM*r  15»,  et  diuide  per  loo,  hoc  est  triplum  de  158,  diuide  per  triplum 
dc  100;  ct  boc  facies  ut  habeas  -j  in  capite  uirge  propter  uncias,  exibit  libra  J— i, 
hoc  est  libra  1«  et  uncie  7 minus  ^ . 


Mf  ....  /V  > 

(M-  47  ver**,  lin-  0-llif«|| 
IU.  h*  Mlj. 


Utr.  t. 

42 

3«  /. 

\ 

IM 

*■  t. 

t 10  11«. 
»»  ij"ru  ** 

\ u,.. 
* 13 

iTrai  . . /V  r»«4riit  > ( iu} 

47  lia.  12  16.  11-^ 

liH.  12  IS 

1271  t 

sot  t. 

1 25J 

1 

tj  »■  ....  Itr  » iTmI. 

47  vorm.  lia.  17-YU:  imc  115. 
lia.  19-24,. 


*•  ®3  , 

\ 

/ 3200 

I J»  U_U  4t  »4  •*  1*  50*** I 


St^m  ....  ^mil  » <fu|.  47  rrr. 
«a.  lin.  21-20;  m.  I1&,  l.a. 

M-n>. 


• 8i  H)i  ....  4Hiiila  pM  • (fn*. 

47  «■•'rui.  lia-  2B-22;  im*. 

I>a.  27-421.  ' 


IMl  %i>e  tU  • • . . «<>|lum«  • 
(fol.  47  ra#-M.  Ita.  IllOrSli 
N(.  112,  lia.  42—  ||i», 



I.  «; 

IJ*  luo 

; / I. 

' i» 


t 


Digitized  by  Google 


' “TT« 

fful.  47  lia.  3^ 

|Mf.  116,  lia.  2-10). 

10 

c 37-40 

! 1. 

3 nj 

1r.11 

100 

rme. 

* ^ ■ i-m 

351 

■s 

l»  1«  »2*^ 

4*^ 

fui.  49jvrfa. 


Itrn  ....  o«  * (fn|. 

48  rtri»,  li*-  S*8i  iwg.  116, 
Ita.  14-Slj. 


f. 

3 ly 

158 

UIO 

1407 

....  "j 

;-4s 

• »» 

« bir  o«lf«4ilur  ....  •ddrtM*  » 
|(»l.  48  Ita.  9*tls  mc. 

116.  lio.  »>30|. 


f. 

..... 

9 

4 

387  /. 

/ 

1 98 

43 

pti«*  ....  ^i*i|uc  * f fui.  48 

rrct0,  lia.  t4<18  | nsg.  116  | 
Ua.  I••86^ 


48  lia.  19-t4;  |«g,  116, 
lia.  SI-431. 


116 

De  reitersione  libre  pisant  in  partes  unitis  RotuH. 

Rvnium  si  dc  libra  uiia  partes  uniiis  Botuli  faccre  uolucri.s;  dc.scrihcs  i sub  158*  ut 
in  liar  alia  qucstiuiic  describitur,  et  multiplicabU  i per  lOO,  enint  loo;  que  diuides 
per  158,  cruiit  imius  Rutuli  : de  quibus  si  urireas  Rutuli  facere  uulueris,  iiuiUiplica 
so  per  unceas  uniu.s  Rutuli,  iiideticet  per  12;  quia  sicut  libra  est  uncic  12,  ita  Rutulus 
e.st  uncic  12  tantum  sunt  maiores,  erunt  600;  que  diuidc  per  79«  exibunt  uncie  7 dc 
Rutulis. 

Item  si  de  Rotulis  J*  87  libra.s  facere  uulueris;  describe  itaque  Rotulas  sub  Rotulis, 
Ikm:  est  ’ 87  sub  loo,  et  multiplica  87  per  4,  cl  adde  3,  erunt  351;  que  nmltiplicu  per 
158,  erunt  55458;  que  diuides  per  loo,  et  per  4,  huc  est  per  | habeas 

in  uir^ula  diuisiunis  propter  unceas  , multiplica  55458  per  3,  et  diuides  per 
exibunt  libre  J.  138,  ut  in  questione  ostenditur. 

De  libris  ad  lUUubts. 

Item  si  de  libris  ~ 748  Rutulos  facere  uulueris;  describes  libras  sub  libri.s,  iu>c  est 
^ 748  sub  158,  et  multiplica  ^ 748  per  100,  ct  diuide  per  158,  tantum  multiplica  .summam 
dictam  per  3 • ut  liabeas  in  uir^la  diuisiunis  propter  unceas,  exibunt  Rutuli 
',‘^473,  ut  in  questione  o.siendilur. 

item  si  dc  Rutuli.s  43  de  cantare  mes.sane  libras  pi.sanas  facere  uulueris,  addiscas 
prius  in  (|ua  |Kirliuiic  sunt  Rutuli  messane  ad  libras  pLsanas.  Sunt  enim  in  tali  prtqKir- 
tiune  ut  credo,  quod  Rotulus  1 messane  est  libre  ~ 2 pisauc;  ergo  quattuor  Rotuli  mes- 
sane sunt  libre  9 plsaiic  : deinde  describe  questionem  ut  bic  ostenditur,  ct  multiplica 
9 per  43,  que  sunt  ex  aduerso,  et  diuidc  per  4,  exibunt  libre. 

De  libris  pisanis  ad  Rotulos  messane.. 

Item  .si  econtra  de  libris  1 9C  Rotulos  inc.s.sanc  faccre  uolueri.s ; describes  libras  sub 
libris,  uidelicet  [ 96  sub  9,  ut  in  hac  alia  cernitur  descriptione,  et  multiplica  } 96  per 
4,  que  sunt  ex  aduei*so,  ct  diuidc  per  9,  exibuut  Rotuli  43:  et  sic  poteris  de  umnibu.s 
.similibus  faccre. 

De  Rotulis  ^erouinis  ad  forforinos, 

Rvrsuin  si  apud  .\lcxandriam  dc  Rotulis  347  Gcrouints,  Rotulos  forforinos  faccre  uo- 
lueris;  addi.sca.s  prius,  in  qua  pro{>ortiuiic  .sunt  Rotuli  Gerouini  ad  Rotulos  forforinos. 
Sunt  enim  in  tali  pm{>ortionc,  ({uod  Rotulus  1 Gcn)uinus  est  Rotulus  i 2 forforinus:  ergo 
Rotuli  6 Gerouini  sunt  Rotuli  113  forforini;  et  sic  eos  dcscTibes  in  questione;  et  pones 
Rotulus  347  Gerouinos  sub  Rotulis  6 Gerouinis,  ut  hic  ostenditur;  cl  multiplica  13  per 
347  , et  diuidc  [>cr  0 , exibunt  Rotuli  forforini  1 751,  ut  in  questione  ostenditur,  iloe 
autem  cantaria  7 forforini,  ct  de  Rotulis  5i  et  unciis  lO;  quia  Rotulus  forforinus  est 
uncie  12,  quarum  unaqueque  jionderal  miliaren.scs  12  dc  Alexandria  ; et  unu.M|uls4{U4‘ 
Rutulus  Gerouinus  est  similiter  unde  12,  quarum  unaqueque  jKinderat  miliarenses  2f. 
ex  dictis  miliarcn.sibus;  qui  miliarenses  ponderant  karalos  6,  qui  karatu-s  (Hmdcrat  ablta.s 
3,  .scilicet  grana. 

De  forforis  ad  Gerouinos, 

Item  si  de  Uolulls  forforinis  453  Uolubw  Gerouinos  facere  uulueris ; describes  fiir- 
furinus  sub  furforinls,  lu>c  est  453  sub  t3;  ct  multiplica  6 per  453,  que  sunt  cx  adiierso, 
el  diuidc  per  13,  exibunt  Rotuli  *09»  ut  in  bac  descriptione  ostenditur. 


Digitized  by  Googie 


<17 

Rvrsum  si  de  RotulLs  Gcrouinis  7 J j forforiiias  faccrc  unlueiis;  «lescrilie  Gorouinus 
sub  Gcrouinis,  lioc  wl  { } \ 23  sub  8,  et  multiplica  23  per  suas  uii»utus,  erunt  <427; 
(|ue  multiplica  per  13,  etdiuiiie  per  fi,  et  per  ruptos:  tamen,  si  uLs,  multiplica  sunitiium 
|>er  2,  ul  liabcas  -*y  in  uir^ula  propter  uncias,  et  miliarenses,  exibunt  Rotuli  For- 
foriiii  st»  boc  est  Rotuli  51,  et  uncic  8,  et  miliarenses  | 4. 

Pe  furforinis  a Geroutms. 

Ircrum  si  prcscriptos  Rutulos  J { J 23  forforiiuw  fore  proposueris,  et  ex  cis  Rotulos 
Gerouinas  facere  nolueris;  describes  5 J 1 23  sub  13,  et  multiplica  numerum  ipsorum, 
scilicet  1427  |KT  0,  et  diuide  summam  per  13,  et  per  ruptos,  liuc  est  per  J— 
habebis  pn>{)ositum.  Tumen  si  uls  habere  miliarenses  |Kist  unreas  in  uirgulu,  multi- 
plica summam  per  2,  ct  diuides  per  J et  <jue  super  12  euenerint,  erunt  uiicie; 

et  que  super  ct  tpie  su|>erucneriiit,  erunt  miliarenses;  ideo  quia  uncie,ut  diximus, est 
miliaremscs  2C,  quorum  regula  est  j-i,  exibunt  Rotuli  J questione  osten- 

ditur, hoc  est  Rotuli  10,  ct  uncic  11,  et  miliarenses  | <s,  quia  multiplicanda  sunt  9,  que 
sunt  super  13  per  2,  que  siuit  jK)St  13,  et  addendum  zephyro,  quod  est  super  2;  ct  sic 
habentur  miliarenses  is,  ut  modo  diximus:  et  sic  secundum  prescriptam  materiam  }x>teris 
i|uosUbcl  Rotulos,  uel  caiitaria  iu  quiUbca  (j/c)  R«itulis,  ucl  cantariis  redigere,  si  habueris 
notitiam  propjrtioiium  illorum,  boc  est  qualiter  se  habeant  ad  inuiccm.  bt  liic  modus 
esi  utilis  multum  in  honcnitionc  uauium,  cum  lioiicreiitur  diuersls  merclbics,  que  habent 
modum  secundum  diuersijtatcm  ponderis,  ct  Icuitatera  uel  grauitatem  illarum,  ut  naues, 
«|ue  lionerantur  in  garlx),  que  honeraiitnr  ad  cantaria  coriorum.  Vnde  cum  in  i|mls  pon- 
derentur diuersc  merces  giauiorcs  ct  Icuiores  <piara  o>ria;  ct  habeant  minorem  globum 
et  maiorem  : unde  ab  antiquis  tolis  fuit  ordinatio  , quod  de  alume,  quod  ponunt  in 
fundo  naiiis,  ponunt  duo  cantaria  pro  uno  coriorum;  dc  bcccuiiis  uoru,  quia  sunt  Ic- 
uiores  coriis,  |H)iiunt  duo  cantaria  pro  tribus;  de  coniliis,  uel  dc  succaro,  ponunt  unum 
cantare  pro  duabus  dc  coriis.  Similiter  naues,  que  lionerantur  in  skilia,  boiicranlur 
ad  pondus  colli;  qui  collus  potest  babere  in  sc  Rutulus  100;  et  ponunt  dc  rame  tria 
cantaria  in  uno  collo;  dc  cotonc  ponunt  cantare  ^ 1 in  collo:  et  naues  que  lionerantur 
apud  alcxandriam,  honcrantur  as|>oi'tatas  piperis,  que  sporta  ]>oDilur  similiter  Rotulofi 
luo;  ad  quam  sportatam  reducuntur  merces  secundum  diuersitatem  illarum  ad  quasdam 
ordinationes,  quas  dicere  necc.ssc  non  csl;  quia  unus4;uls<[ue,  cum  ei  necessarium  fuerit, 
poterit  inde  interrogare.  Nam  cpialiter  hec  rcdiirtiones  ponderum,  secundum  diuersitatem 
mercium  pres<*riptarum,  per  premissam  doertrinam  liant,  quasdam  in  lioco|Krrc  positiones 
proponamus. 

Pc  cotoftis  reitersione  ad  collum  sicilic  carici  in  ^arbo. 

Si  quis  apud  siciliam  lial>cat  in  quadam  naui  lumcratum  <^iitariu  11,  et  Rotulos  47 
colonis;  et  uuluerit  eos  ad  colla  redigere;  quia  cautarc  ~ 1 cutoriis,  ut  diximus,  est  col- 
lum unum ; ergu  ({uattuor  cantaria  cotonis  sunt  colla  3 ; et  quattuor  Rotuli  colonis 
sunt  Rotuli  3 de  collo:  describes  in  questione  cantaria  <1,  ct  Rotulos  47,  hoc  est  Ro- 
tulos 1147  sub  Rotulis  4 cotonis;  ct  multiplicabis  1147  {>cr  3,  et  diuides  per  4,  exibunt 
Rutuli  { 880  de  collo,  ut  in  descriptione  ostenditur,  hoc  autem  colla  s ct  Rotuli  ~ oo 
de  collo. 


t ftTrtuM  ....  mJmvI  • ifwl,  IS 
m/p,  lia.  24-3V;  i**f.  117,  lin- 
1-»;. 


lifr. 

13 

fi 

M,-.. 

rhr,  5' 

- --  i ®3 

» i s 

flpmm  .... 

• 4f»l.  4l 

ravVP.  Iip> 

29-26;  fus-  111  . 

li«.  7-llj. 

for. 

tirr. 

13 

1427 

/ 

r.>i 


4S  < pr.ii . 


Si  ama  ...■  f«Ua  * (fvl.  4^ 

Krrpp.  1.U,  17  tl:  ji».  III  ■ 
fi».  M-411. 


H*  rotto 

lir 

3 

tit 

1 

\ 

-[  80« 

1147 

Digitized  by  Google 


<U1.  A*  «t9. 

|N.|.  IU.  U.  X-6l. 


I . . ..  IH^It  • (fol. 

U T^t».  I.R.  19  ili  Mg.lU. 
ii«.  ai-ii 


IIS 

De  bccunarum  redutiutie  ad  canfarta  carici  in  garho. 

Pivrsutu  si  apud  buccam  ucl  .se])tim  quLs  in  quadam  naui  habuerit  cantaria  beccuna^ 
lum  3l|  ct  Hululi  64;  el  uolucrit  eus  redigere  ad  coriorum  cantaria;  quia  cantaria 
duo  bccrunarum,  ut  di\imus»  .sunt  cantaria  3 coriorum;  ergo  ct  Rotuli  t beccunarum  sunt 
Rutuli  3 coriorum.  t,)uarc  dcscrilies  cantaria  31,  et  Rotuli  (sic)  64,  lioc  est  Rutuli  3164  sub 
Rotulis  s }>eccunarum;  ct  miilliplirabls  3 per  3164,  que  sunt  ex  aduerso,  ct  diuides  per 
3,  exibunt  Rotuli  4746,  ut  in  descriptione  ostenditur,  hoc  est  cantaria  47,  et  Rotuli  46. 
Vel  aliter  adde  medietatem  de  raiitariis  3i,  ct  Rotuli  64  super  eosdem  {sic)  cantaria  4t;  ct 
Rotuli  46  erunt  similiter  cantaria  47,  ct  Rotuli  46,  ut  nunlo  inuenimu.s:  ct  sic  poteris 
intclligcrc  dc  quibuslibet  similibu.s.  Vnde  ni»  huic  octauo  capitulo  finem  imponimus, 
ut  ad  nonum  facimus  transitionem. 

Incipit  capitulum  nonum  de  Intractis  mercium  atque  earum  similium. 

Ihx*  ituque  capitulum  in  tres  partc.s  diuiderc  decreui,  ut  quic<}uid  lector  iu  Ikk' 
audire  desiderat,  citiu.s  reperire  ualeal.  Quarum  prima  pars  e.st  de  baraclis  rerum  ue> 
nulium;  secunda  de  emptione  iKilsonalic  .secundum  modum  haracte;  tertia  dc  regulis 
equorum  ortleum  comedentium  in  conslituti.s  diebus. 

Uegtila  unitiersalis  in  baractis  mercium  primum  de  pipere  ad  linum. 

Cvm  autem  uolueris  quamlibet  mensem  cuni  qualibet  alia  merce  cambiare,  hoc  c.st 
haractare,  addiscas  pretium  uniu-scuiusque  mercis;quod  pretium  .semper  debet  esse  unius 
monete.  Kt  dcscrilms  illarum  ineivium  unum  in  capite  tahule,  ct  pretium  illius  mer- 
cis scribas  in  talmlu  retro  uersus  sinistra  iii  eadem  lineatione,  sicuti  in  negotiationibus 
in  antecedenti  capitulo  describere  docuimus.  Deinde  sub  pretio  illius  mercis  in  aliam 
lineam  describes  pretium  alterius  mercis;  ct  retro  describes  mercem  illius  pretii.  Et 
si  merces,  r|uum  alium  mercem  baratiarc  uolueris,  fuerit  ex  superiori  merce  de  prima 
uidelicot  di^scriptu  in  tabula,  poties  quantitatem  illius  mercis,  quam  habueris  sub  eadem 
merce.  Et  si  fuerit  ex  alia  rocrcc,  describere  quantitatem  illius  super  ipsam  mercem, 
ul  sicuti  mixlu  diximus  descriliendum  esse  pretium  unius  mercis  sub  pretio  alterius, 
ita  descrilwnlur  similes  merces  sub  simili  niercc.  Et  descriptis  ila<|ue  ipsis  quinque 
nunicri.s,  tunc  ultimum  eorum  per  numerum  pretii  oppositis  multiplica,  ct  quot  inde 
proueiierit,  in  alium  numerum  eidem  pretio  oppositum  ducere  studeas:  <|iionim  nume- 
rorum summam  per  reliquos  duos  numeros  diuidc,  et  habebis  optatura.  Verbi  gratia 
bracilia  so  {Kinni  ualcant  libnis  3 plsaiiinoriim;  et  Rotuli  42  cotonls  ualeant  5 similiter 
plsaiiinorum;  queritur  pro  brachiis  so  panni  quot  Rotuli  colonis  babcbunlur.  Pone 
itaque  brachia  20  in  tabula;  post  que  pone  libras  3,  scilicet  eorum  pretium,  sub  (juibu.s 
pone  libras  s;  post  quas  5 |H)nc  Rotulos  42;  deinde  bracilia  50  pone  .sub  brachiis  so,  et 
multiplica  50  per  3,  que  siuit  cis  ex  aduerso,  erunt  150;  que  multiplica  per  42,  cum  sint 
ex  aduer-so  eisdem  tribus;  el  quot  prouenerlt  diuide  per  reliquos  numeros,  scilicet  per 
20  et  })cr  s,  huc  rst  per  lOO,  uenient  63;  et  tot  Rotuli  Inimbicis  habebuntur  pro  bra- 
cliiU  50  panni.  Procedit  enim  bic  moiliis  ex  pro|)ortione,  quam  babet  jirima  mercium 
ad  aliam;  quam  uslcndam  esse  compixsitam  ex  duabus  proportionibus,  scilicet  cx  pru- 
jKirtione,  quam  babet  numerus  uenditionis  piimc  mercis  ad  numerum  .sui  pretii,  et  ex 
proportione,  quam  lia)>et  numerus  pretii  alterius  mercis  ad  numerum  uenditionis  sue 
mercis,  lioc  est  quod  in  hac  questione  dico;  quod  projwrlio  brachiorum  panni  ad  Ro- 


Digitized  by  Google 


119 

tuioR  rotonis  componitur  ex  proportione,  quam  habet  so  a<l  3,  et  s ad  4x:  nam  .sicut  to 
est  ad  3,  ila  quincuplum  de  lo  est  ad  quincuplum  de  3;  (piiocuplum  dico  propter  s, 
que  sunt  pretium  Itotulorum  43  predictonim,  huc  est  quod  brachia  lOO  ualcnt  libras 
IS:  rursus  sicut  s sunt  ad  43,  ita  triplum  de  s sunt  ad  triplum  de  4s:  triplum  dico 
propter  3,  que  sunt  pretium  dirtofiim  so  brachiorum,  hoc  est  quod  plu.s  15  hal>entur 
Uotuli  iss  bombicis:  ct  quia  brachia  loo  ualent  libras  is,  et  plus  is,  habentur  Uotuli 
116  : ergo  pro  brachiis  loo  habentur  Rotuli  iis;  et  sic  est  pro|M)rlio  com|Kisita  prime 
mercLs  ad  secundam  ex  duabus  projiortiouibus  prodictis.  Et  <]uia  sicut  loo  sunt  ad  ii6 
brachia  50  ad  rambiiim  quini  habentur  ad  Rotulos,  multiplicanda  sunt  so  per  1S6,  liuc 
est  50  per  3>  que  pcr4f,  ut  su|>criu.s  fecimus;  ct  summa  multiplicatiuiils  eorum  est  diui- 
detida  per  loo,  per  lo,  et  per  s,  exibunt  Rotuli  63,  quos  pme  super  Rotulos  4t:  est 
enim  hcc  talis  propositio  pnqiortioniim  ea  que  ostenditur  iu  figura  cata,  scilicet  sectoris, 
per  quam  Tliolomeus  docuit  in  almagesti  reperirc  demoiistratioiicin  circulorum  a circulo 
recto,  et  multa  alia;  et  Ametus  filius  ponat  decem  et  octo  combiiiationes  ci  ea  in  libro, 
quem  de  proj)ortionibus  coinjMisuit. 

hem  proponantur  Rutuli  63  bombicis  ud  baniclundum  cum  pamtis;  quorum  projMirlio 
inuenies  per  supradictam  esse  comjMisita  cx  pro{>ortiuite,  quam  habet  48  ad  5,  et  3 ad  3o; 
que  proportio  est  dc  IS6  ad  too,  boc  est  ipiod  pro  rotulis  l±6  liabciilur  brachia  lou  supra- 
scriptorum  pannorum:  quare  multiplicanda  sunt  63  per  loo,  ct  diuidrnjdH  per  126,  boc 
multiplica  C3  per  5,  que  sunt  cli  e\  aduerso;  quorum  summum  duc  in  so,  (]uc  sunt 
eisdem  5 tantum  ex  aduerso;  quod  totum  diuide  per  reliquas  duos  numerus,  scilicet 
per  3,  ct  per  42,  uciiicnt  brachia  so,  que  pone  sub  bracliiis  iO. 

De  pifiert  ad  ciminum. 

Centum  piperis  nalet  libras  13,  cl  cantare  cimini  ualct  libras  3;  queritur  quot  Rotuli 
dmini  habebuntur  pro  libris  34s:  descripta  questione  per  supnidicta,  iiiucuu*s  iiumenim 
prime  mercis  esse  ad  numerum  secunde,  sicut  centuplum  trium  ad  centuplum  de  13: 
et  ipjia  est  sicut  totum  ad  totum,  ita  jwrs  ad  partem  : erit  ergo  .sicut  centesima  cen- 
tupli trium  ad  centesimam  centupli  dc  13,  boc  est  .sicut  3 sunt  13,  ita  numerus  prime 
est  ad  numerum  secunde.  Kt  ex  hoc  quidem  manifestum  i*sl,  quod  quando  duarum 
mertium  diuisarum  numerus  uenditionis  est  idem,  tunc  est  sicut  numerus  pretii  serimde 
ad  numerum  pretii  prime;  ita  numerus  prime  mercis  est  ad  numerum  secunde.  Quare 
multiplicabis  342  in  hac  questione  per  13,  ct  diuidas  |>cr  3,  exibunt  Rotuli  14hs  cimini, 
quos  pone  in  questione  super  Rotulos  loo  : uel  secundum  modum  huius  artis  miilti- 
plicundu  sunt  34i  per  13,  que  sunt  eis  ex  aduerso;  tpiod  totum  per  loo  cimini;  quornm 
trium  roulliplicalorum  numerorum  summa  est  per  3,  ct  per  loo  diuidenda.  Vnde  si 
relinquerentur  100  ab  utraque  parte,  remanebit  tantum  multiplicatio  de  342  in  is  diiii* 
denda  per  3,  ut  superius  operati  fuimus.  Kt  si  dc  Rotulis  34s  cimini  piperis  habere  uis, 
pone  342  super  loo  cimini,  el  multiplica  ea  per  3;  quod  totum  per  loo  piperis,  et  di- 
uides  .summam  per  loo  cimini,  et  per  13:  tamen  cuita  loi)  ex  his,  hoc  est,  multiplica 
342  per  3,  ct  diuide  per  13,  exibunt  piperis  lihre  JJ  78,  quos  pone  sub  libris  iw  piperis. 

Rvrsum  cantare  Cerouinum  Masticis  ucuditur  alexandric  berai  ^ 23;  el  carica  piperis, 
que  est  Rotuli  500  forforini,  ualet  ibidem  berxi  \ { 51;  ol  quidam  habet  Rotulos  \ 523 
piperis,  hoc  est  caricam  unam,  el  Rotulos  | 23  foi-foriiios,  quos  ipse  uuU  baractare  ad 


«ot«  Htli.rt  . ir*<l. 

49  29  XI; 

U.  4.1t; 


63 


42 


3 20 

/ 

5 .70 


...  mMhi, |.< «l-i»  • 

ff«l.  49  ffr*».  Itn.  5-9  , 

Itf.  Ii«.  25-)2;. 


Digitized  by  Google 


( diuid»«  pfr  > (fol. 

49  •frM.  l>u.  tO-tS;  tM|.  Ite. 

Un.  1-9^ 


• ^ AS3  I..  ruiUrr 
«■•■rf».  (•Ii-  40  39  s 

lia.  XJ  <S>. 

. if.4  49 
l«K-  itil 

ao3.. 

^ 1 

ii  S3 

100  ! 

> \ 

2618  1 

/ ISO-  *> 

MU  Ii®' 

~ stsj 

fol-  M rrfta- 


*l  4)11*  ....  fft  t%*  • 

irt  t0.  Ii*.  !0-tSi  p>K- 


ISO 

inastirera;  ct  4|uesicrit  quot  Rutulos  Cerouinos  iiide  de  ijiso  }>i{)cre  lialjuerlt ; describe 
questionem  sic,  ct  multiplicabis  \ 523  per  | J 51;  que  per  loo,  ct  diuide  summam  eorum 
per  reliquos  du  &>  uumen»s,  scilicet  per  ^ 13,  ct  per  50o;  que  omnia  sic  fiuiil.  Multi- 
plica biiantius  S3  per  .suam  uii-j^ulam,  uidclicct  per  et  adde  <1,  erunt  503;  et  mul- 
tiplica 533  ])cr  suam  uii-gulam,  erunt  2GI8.  Item  5t  per  sua.s  uirgulas,  erunt  iso7,  que 
jMMie  super  ^ 51  : deinde  multiplica  2gis  per  1807;  que  per  loo;  que  ]>er  rupium  qui 
est  stib  uirgtila  de  23,  uidclicct  per  24,  ct  diuide  per  SS3,  ct  per  regulam  de  500,  et 
per  njpt{«,  qui  sunt  sub  uirgula  de  523,  et  de  5i,  hoc  est  per  5,  et  per  4,  ct  per  9; 
et  cuitabis  quod  multiplicabis  per  loo,  quod  diximus  in  multiplicatione;  nec  diuides 
per  100,  que  sunt  in  mgiila  de  soo;  ct  remanebit  5 de  i|Mis  soo,  in  quibus  debemus 
diuiderc.  Item  potes  adhuc  relinquere  J ex  diutsionc,  que  est  in  uir^iila,5i  relinqueres 
t itidem  de  regula  de  24,  que  dcl>cs  multiplicare:  ergo  multiplicabis  20IS  per  ik57;  que 
per  8,  que  remanent  de  24,  et  diuides  summam  per  -—-j  ®'>buut  Rotuli  J— 
ut  in  questione  demonstratur. 

Ov<mI  si  per  pensam  I3  jmibarc  uolueris;  quia  multiplicasti  2518  per  1867;  que  per 
8 ; ideo  debes  accipere  peasam  de  2CI8  per  13,  hoc  est  quod  debes  diuidere  2018  per 
13;  et  sic  remanent  5;  que  multiplica  per  pcn.sam  de  1867,  accejita  similiter  jier  13,  qae 
esi  8,  ct  cnint  4o;  de  quo  accipe  pciusum,  que  est  i;  quod  multiplica  per  8,  erunt  s, 
que  senieiitur  pi'u  pensa  summe  imiitiplicationis,  ut  uideas  .si  peresa  exeuntis  summe 
diuisionls,  scilicet  de  > * aV>  ti  similiter  8,  tunc  erit  recta. 

Ve  pijwre  ad  mastic/in. 

Irem  u eadem  ratione  quis  quereret  quantum  piper  de  Rotulis  J Si3  Masticis  habuerit, 
descrihe.sin  questione  * 523  sub  uenditionc  masticis,  Mulicet  sub  100,  ut  in  bac  alia 
denumstratioiie  describitur;  et  rcperi('s  omnes  numerus,  siruli  supeiius  fecisti  in  pixv 
cedenti  questione:  et  multiplicabis  26i8  per  563;  que  per  soo,  et  summam  eorum  multi- 
plica per  ruptos,  qui  .sunt  cum  5i,  scilicet  per  4,  et  per  0,  huc  est  {>cr  36;  et  summam 
diuide  per  100,  ct  per  isg7,  et  per  ruptos,  ((ui  .sunt  |K«t  523,  et  post  23,  hoc  est  per 
5 ct  per  24.  Nam  si  euitait^  | uolueris  hoc  quinl  inde  euitare  {Kiteris,  relinquet  quod  iiou 
niuttiplices  |U'r  .100.  Nam  diuides  per  100  supradictos,  nec  per  5,  que  .sunt  sub  iiirgula 
post  523,  relinques  adhuc  quod  iioa  mulliplicabls  per  2,  que  sunt  in  regula  de  4,  que 
siuit  sub  uirgula  past  5i;  et  non  diuides  per  t,  que  .sunt  in  regula  de  24;  ct  seniabls 
13,  que  remanent  de  i[isls  24  ad  {xincnda  ea  in  capite  uirgulc  propter  uncias:  ergo  mul- 
tiplicabis 2G18  per  5C3;  que  per  2,  que  remanent  de  4,  que  sniit  |>ost  Sf  sub  uirgula;  que 
per  9,  que  sunt  sub  uii^ula  post  eadem  si;  eritque  mulliplicatiu  eorum  in  summu 
26.S30HI2;  que  diuide  per  I8C7,  ct  per  2,  que  reman.scnmt  de  24,  exibunt  Rotuli  ^ uh4 
pi])cri.s,  hoc  est  carice  2,  el  Rotuli  1S4,  ct  uncte  2 : et  est  pensa  Istius  questionis  9 
per  13,  que  reperilur  secundum  prc.scrij>tum  mo<lum. 

/V  pipere  ad  zafranum. 

I rem  si  projKirialur,  <piod  Rotuli  7 pipeiis  iialeaiU  berzi  4,  el  libre  9 zallarani  ua- 
lent  berzi  11  ; et  queratur  quanlum  zaffranum  quis  de  Rotulis  23  pipieris  habuerit;  de- 
scribe questioneiK  .secundum  suprascriptum  modum,  et  multiplicabis  23  per  4,  quia  sunt 
eis  ex  aduerso;  ,jUod  totum  multiplica  per  9,  cum  9 sint  eisilem  4 ex  aduersu  ; ucl 
p<xs.sumus  hoc  alio  moilu  demunstnue,  per  quem  modum  amplius  poteris  cognoscere  quos 


Digitized  by  Google 


tres  I umeras  miiltiplirnrc  debueris.  In  huiusmodi  enim  questionibus  quinque  descri- 
buntur numeri  noli,  cum  quil>us  .sextum  numerum  ij»noluin  rrperiri  necesse  est.  Vnde 
bic  modus  uuculur  regula  sexte  pro|K>rlinnls,  ex  quibu.s  quimpie  numeris  quandoque 
inucnerls  tres  in  superioii  linea,  et  duos  in  inferiori;  et  quumliMpie  tres  in  inferiori, 
et  duas  in  superiori  linea.  Illi  duo  numeri,  qui  sunt  in  extremitatibus  ipsius  linee,  in  qua 
tres  numeri  positi  fuenit,  per  cis  oppositum  tmmenim  alterius  linee  insimul  multiplica, 
et  per  reliqm^  duos  numei-iis  rorum  summam  diuidc;  et  quod  ex  dinlsione  exierit,  erit 
((uaiilitas  sexti  nunicri,  ut  in  hac,  in  qua  sunt  duo  numeri,  uideUcet  berzi  4,  et  rotuli  7 
in  superiori  linea,  ct  inferiori  sunt  tres  numeri,  uideliect  9,  cl  tt,  et  *3j  de  quibus  9, 
el  13  sunt  in  extrt‘mitate  ipsius  linee;  quos  multiplicare  debes  per  eis  oppositum  nu- 
merum, qui  est  in  alia  linea,  .scilicet  inferiori,  boc  est  per  4.  Multiplicatio  enim  de  13 
in  4 facit  9i;  que  si  per  9 multiplu^aueris,  furiunt  92k;  (|uc  diiiide  per  irliqiios  duos 
numeras,  .scilicet  per  7,  per  ll,cxii>uril  libre  (0,  ut  in  questione  .scriptu  ostenditur. 

De  zafarano  ad  pif>ere. 

Nahi  si  eudem  ratione  de  libris  13  xnir»ruiii  piper  habere  uolueris  ; describes  que- 
.slioncm,  ut  docet,  hoc  est  similem  mercem  .sub  simili  merce,  ct  pretium  unius  mercis 
sub  pretio  alterius,  ut  hic  in  qua  sunt  tre.s  numeri  in  .superiori  linea,  scilicet  S3,  et 
4,  ct  7,  de  quibus  sunt  in  extremitate  13,  et  7;  quos  multiplica  per  eis  oppositum  nu- 
mmini,  scilicet  per  ii,  faciunt  I77i;  que  diuide  per  reliquos  duos  numeros,  scilicet  per  4, 
el  per  9,  hoc  est  exibunt  Uotuli  49  pi|>cris,  ho(!  est  Rotuli  49,  et  uiicic  \ i. 

De  pipere  ad  zinziherim, 

hem  Rotuli  J-7  piperis  ualent  tarciios  J 4,  ct  libre  <1  9 xinzibcrls  iialent  tarenns  { li; 
ct  queratur  quantum  xiiiziberis  quis  de  Rotulis  13  piperis  habuerit;  describe  questio- 
nem secundum  suprascriptum  modum,  ut  hic  ; et  multiplicabis  siipras<'ripta  ratione 
~ 13  per  *•  4;  ct  diiiides  summam  eorum  per  ndifpios  duos  numeras,  scilicet  per  ~ 7 , 
et  per  ^ii,  quod  .sic  (it:  multiplica  7 per  suam  uirgulam,  cnitil  iS,  que  pone  super 
>7;  ct  multiplica  4 per  suam  uirgtilam,  erunt  I3,  que  pone  super  J 4;  ct  9 per  suam 

uirgulam,  erunt  4«,  que  pone  super  J 9;  ct  li  per  suam  uirgulam,  erunt  67,  que  pone 

f,u\x;r  jli/Ct  13  per  suam  uirgulam,  erunt  163,  que  pone  .super  ^ 13;  et  multiplica  ici 
per  13,  que  sunt  ct  aduerso,  que  per  46;  cl  .summam  eorum  multiplica  per  ruptos  re- 
liquunim  duorum  numeronim,  scilicet  per  1,  que  sunt  .sub  uirgula  post  7;  que  {>er  6, 
que  .sunt  in  uii^ula  post  ll;  ct  diuide  lotum  summam  per  regulam  de  16,  ct  per  67, 

hoc  est  j>er  j-pvr»  ruptos  reliquorum  trium  numerorum,  uideliect  per  3,  que 

sunt  sub  uirgiila  post  4,  et  per  s,  que  sunt  .sub  uirguia  ]K»st  9,  el  per  7,  que  .sunt 
sub  uiigula  post  13,  exibunt  libre  J H. 

De  zinzihro  ad  pif)ere. 

hem  si  eadem  ratione  queratur  quot  Rotuli  piperis  quis  pro  libris  1 13  linzibcris 
liabiieril ; describe  quc.stioncm,  ut  hic  ostenditur,  et  multiplica  163  per  67;  que  per  13; 
que  per  ruptos,  qui  .sunt  sub  13,  et  sub  46,  hoc  est  per  3,  et  jicr  s,  erunt  i44383o;  que 
diuide  per  13,  et  per  40,  et  per  ruptos,  qui  sunt  reliquorum  trium  numerorum,  scilicet 
per  I 7,  et  per  6,  et  per  i,  et  coacta  cos,  ut  babeas  in  capite  uirgiilc  proj^r  uncias, 
exibunt  Rotuli 

16 


« jw  pi«  ....  praii,  > ((kI. 

Ii*.  3310;  p.«.  121,  J».  |8-<7? 


iCpI.  30  Iui.  li-Mi  im  JXI, 
Ii*.  17- 35  * U). 


« ....  ,rilK''l  • (fvl. 

50  prrfo.  lin.  u « 39;  |U<.  121. 

U.  ».4H|. 


Digitized  by  Googie 


7 »<  f*f  S •••>  MuHipl»««rr  • (Tat. 
&A  vor**!.  Ii».  l>4i  M.  121.  Ita. 
41  — |ug.  122,  lia.  «). 


iwt  Uftoia**  ....  <l»  «oUtt  * (fuJ. 
20  lin.  S>I0;  nn.  122,  IHt. 
ft-lSl. 


oiiKt  aumfri  ....  pisUri*  t \ («1. 

20  ttH-tn  , Jin.  11%17  I pKg.  122  , 
lio.  12-24J. 


II  |>i«MiD<M'u«  ....  <Mt«»4itar  *|r«l. 
.SO.rrM,  lin.  22-2],  pig.  122. lu. 
29  e 10  22). 


122  1 
De  imperialibus  ad  ianuinos. 

Irem  si  pmpoaitiir)  quod  .soldu.s  imperialium  ualeat  pUmiinos  3i;  et  soldus  ianut- 
nonim  uuleat  pisaiiirius  22;  et  queratur  c[Uut  ianuinos  ualeant  imperiales  7;  drscrihe 
questionem,  et  multiplicabis  7 per  31;  que  per  ianuioos  12;  et  diuidc  summum  eurum 
|>er  12,  et  per  regulam  de  22;  sed  relinque.s  rouUipiicarc  {>cr  ianuinos  Ii,  ct  non  diuida.s 
]>er  12  imperiales  : ci^u  multiplicabis  7 per  31,  et  diuide  per  regulam  de  22,  exibant 
ianuini  9,  ut  io  questione  ostenditur. 

De  eodem. 

Irem  ecuntra  queritur  dc  iuiuiitiis  7 quot  imperiales  ualcnt;  descrilie  ianuinos  7 
super  ianuinos  12,  ut  iiic  ostenditur,  ct  multiplica  7 per  22;  que  per  imperiales  12,  et 
diuide  per  31«  ct  per  ianuinos  12;  sed  relinque.s  qm>d  non  multiplices  per  12,  nec  di- 
uides  12,  ciibuitt  imperiales  4,  ut  in  questione  ostenditur. 

De  eodem. 

Irem  si  eadem  ralionc  queratur,  quot  iaiitiiiiuis  qnls  pro  .seddls  7 imperialium  liabucrit; 
quia  queritur  de  soldis,  omnes  numeri,  qui  sunt  in  questione,  .sunt  soldi:  unde  talis  oritur 
questio:  uidclicct  quod  .soldi  li  imperialium  ualent  soldus  plsaiioruni,  et  soldi  31  ia- 
nuiiiomm  ualent  soldas  12  pis:uiinorura.  Viule  de.srripta  questione,  pones  soldos  7 impe- 
rialium .sub  .soldis  12  imperialium,  ut  bic  intenditur;  et  multiplicabis  7 per  31;  que  per 
Ianuinos  12,  et  diuidc  summam  eorum  per  12  Imperialium,  et  per  regulam  dc  21;  sed 
euitabis  ex  lils  exibunt  .soldi  j-j— 9,  ut  in  questione  ostenditur.  Meminlscaris  (5/c) 
itaque  .semper  superiiotarc  quuiilatcm  omnium  iiumcronun,  qui  proponuntur  in  similibus 
questioiiibas,  etiam  et  in  omnibus  questionibus  iiegutiulionum,  secundum  petitionem 
querenti.s;  hoc  est  qiiod  su{>cr  denarios  pone  denarias,  et  super  soldas  pone  soldos,  ct 
su]>er  libras  pone  libius,  ct  super  cantaria  pone  caiitaria,  ct  super  Rotulus  [Kme  Rotulos, 
et  super  iiucias  pone  uncias,  et  super  denarios  de  canlera  pone  denarios , et  super 
carrubbas  pone  carrubbas,  ut  possit  cognoscere,  cuius  qualitatis  sit  summa  factura:  etiam 
ct  scias  scriljore  similes  .sub  similibus,  ut  in  hac  alia  questione,  in  qua  queritur,  quot 
impcrmlc.s  quis  pro  libris  7 iiiiiuinoruni  Imbuerit  : ei^o  quia  queritur  dc  libris,  oraoe.s 
numeri  sunt  libre:  qtiarc  talis  est  questio,  quod  libre  12  imperialium  ualent  libras  3l 
pisaninurum;  ct  libre  12  iaiiuinorum  ualent  libnts  22  pisiiriinorum  : describes  questio- 
nem, et  notabis  super  unumquemque  numerum  qualitatem  ipsius,  scilicet  libras;  et  jmne 
libras  7 lanuinurum  super  libras  12  eiusdem  monete,  ut  bic  ostenditur;  ct  multiplicabis 
7 )}cr  22;  quem  pro  12  imperialium;  ct  diuides  per  31,  et  ])cr  12  Iaiiuinorum,  exibunt 
lilrc-  4. 

De  eodem. 

Irem  soldus  imperialium  uniet  pisaniims  \ 32,  ct  soldus  lanuinonim  ualet  pisaniiiixs 
I 22;  quot  soldos  laiiuiiumim  ergo  ualent  soldi  9,  et  denarii  5,  hoc  est  soldi  ~ 9 impe- 
rialium : describes  ijucstioncm,  ut  hic  ostenditur;  et  descripta  ca,  talis  est  questio,  quod 
soldi  12  imperialium  ualent  soldos  { 32  plsaiiorum,  ct  soldi  12  iaiiuinorum  ualent  soldus 
I 22  pisanurum:  quare  supeniotcntur  .soldi  super  unumquemque  numerum,  ut  in  que- 
stione ostenditur;  et  multiplica  9 per  ^ 32;  que  per  12  Ianuinos  , ct  dinidc.s  summam 
per  j 22,  et  per  12  imperialium.  Sed  relinquet  multiplicationem  dc  12  lanuiiils,  ut  re- 
linquas diuisioneni  dc  12  imperialium;  ct  multiplica  tantum  ^9  per  ^32,  et  diuide 


Digitized  by  Google 


m 

|»er  J *a,  cjiiwl  sic  fit:  multiplica  31  per  4,  el  adde  i,  eruut  iWj  que  pone  super  j 3*. 
Item  multiplica  la  per  suam  uir^ulam,  eruut  4S,  que  pone  super  ~ aa;  et  multipUca  0 
per  suam  uii-gulum,  erunt  clciiarii  113  : deinde  multiplica  lis  ]>er  lad;  que  per  s,  que 
sunt  sub  uir^ula  post  aa,  et  diuide  summam  eorum  per  regiam  de  4$,  que  est 
et  per  ruptus,  qui  suul  post  3t;  et  post  0,  scilicet  per  4,  et  per  la;  qui  si  insimul 
coaptati  fuerint  in  una  uirgula  , ita  ut  sit  in  capite  uirgule  propter  denarios,  in 
Iraiisimilabuiilur.  Viidc  de  dicta  raullipliratione  jwtes  relinquere  mulliplicatio- 
iiera  de  a supradirtLs;  et  relinques  quod  non  diuides  per  a,  que  sunt  sub  uirgula : ergo 
multiplicabis  113  per  las,  et  diuides  per  habebis  summam:  uel  si  uis  de  ptc> 

dictis,  potes  adhuc  euitare,  uidclicet  ut  accipias  tertiam  dc  lao,  scilicet  43i  in  quibus 
multiplica  tl3,  erunt  4850;  que  diuide  | per  j exibunt  soldi  | *- 13  lanuinoruin,  ut 

in  questione  ostenditur. 

De  eodem. 

Uvi'sum  soldus  imperialium  ualet  pUaniiios  | 33,  et  soldus  lanuinorum  ualet  pisaninus 
\ aa  : qucsierls  quot  impenalcs  baburris  pro  libris  13  lanuinorum  : dcscTibes  ^ t3 
super  libras  12  lanuinonim,  ut  hic  ostenditur;  et  multiplicabis  ~ 13  per  J ai;  que  per  im- 
|K*riales  la  , et  diuide  summam  eorum  per  | 33,  et  per  lanuimts  la  , boc  est  , quod 
multiplicabis  aco  ]ht  c5,  et  per  imperiales  la,  et  per  4,  que  sunt  sub  uirgula  post  33, 
el  diuide  summam  eorum  per  regulam  dc  135,  que  est cl  per  la  gerouinos  , et 
per  ruptos  aliorum  duorum  numerorum  , uidclicet  jier  3,  que  sunt  sub  uirgula  post 
ai,  et  per  20,  que  sunt  sub  uirgula  }>ost  13:  dc  quibus  si  euilationcm  obseruauens, 
reperies  quod  non  u])ortuerit  tc  multiplicare  aoo,  nisi  tantum  per  quintam  de  65,  hoc 
est  per  13;  que  per  tertiam  de  la,  boc  est  per  4;  que  per  4,  que  sunt  sub  uirgula  post 
33,  ut  prediximus.  Ouoiiim  omnium  summa  est  ssosa  ; quam  iiou  oportuerit  te  diuidcra 
propter  preilictam  euilalioiiem,  nisi  tantum  per  quintam  de  13S,  boc  est  per  et  per 
IT-n-  P"  «■•'unt  liLre  Jf-.VH  *• 

De  imperidldnis  ad  Cterouinas. 

Ireruiu  soldus  impermiium  ucndilur  pro  plsaiiinis  31,  et  soldus  lenuinorum  ualet 
plsaninos  fl9;  et  queratur  quot  libras  lenuinorum  habuerit  quidam  pro  libris  17,  et 
soldis  11,  el  denariis  5,  hoc  est  pro  libris  t?  ipsius:  describes  questionem,  ut  liic 
ostenditur,  cl  multiplicabis  P®**  P^'’  **  genminos,  et  diuides  summam 

eorum  per  \ 19,  et  per  la  imperiales  ; ct  eiiitabis  hoc  quo<!  inde  euitare  poteris  sc- 
runduni  supi-ascriplum  modum,  exibunt  Hbi-e  lenuinorum,  ut  in  questione 

ostenditur. 

De  imperialibus  ad  Gerotiinos. 

iTein  imperiales  ^11  ualent  pisaninos  | 31  , et  lenuini  t 13  ualenl  plsaninos  | as  : 
queratur  quot  lanuinos  habueris  pro  imperialibus  ^ 8 : descrilies  questionem,  ut  hic 
ostenditur:  et  quia  questio  est  dc  denariis,  supenmtcnlur  denarii  super  quemquem  (sic) 
numciiim,  cl  imiltiplicabis  ^ 8 per  J 3l;  que  per  \ I3,  el  diuides  summam  conini  per  | ii, 
et  per  \ 23,  quod  sic  fit:  multiplica  li  per  suam  uirgulam,  erunt  23,  que  pone  super 
{11;  ct  sic  facies  dc  omnibus  aliis  numeris,  et  habebis  127  super  ’ 3i,  et  40  super  | 13, 
et  118  super  { a3,  et  49  super  |s.  Vnde  multiplicabis  49  per  127;  que  per  40;  que  per 
ruptos  aliorum  duorum  numeronim,  scilicet  per  5,  ct  per  a;  et  diuides  totam  summam 


M 


51  m-tB. 


el  fer  iMalani  ....  fiHLilM<n«iH  • 
(fui.  $1  Iin.  5'IU,  lUK-  1:12. 

b*.  17-tS|. 


B1  r^flB  , Ii*,  lt-16  ] 123  . 

li*. 


* iTrn  nulBtTM  > ((al>  M tr- 
ru,  lia.  l7.«Si  r>3-  ISS.  I.ii,  36 
— 124,  ba.  Iu 


Digitized  by  Google 


•i  (|ii«  tuat  nibant  * St 
rrft»,  tia.  S3-S9  } |><g.  t:t4,  iJu. 
IS-Stl. 


6.  pit.  <"•#»• 


m t.  /.  23  /. 


I<il.  SI 


57  int|>f«uliiiin  IS  «t  p«f  • 
iM.  5t  ffrM.  lin-  4-lU;  paj|.  ISI. 
Jn.  S8-27J. 


rme.  !»>>• 


I.  pfp-  62  /. 


hae  e*t 

liUi.  i 57 

• tU.  51 

lia> 

H-20 , r««- 

1X4  lia. 

**  — t*l- 

1X5.  U.  7 

ptt. 

tmp. 

t me.  / 

63/. 

/. 

I >■  11®* 

1 

12 

/"  \ 

/ / 

231 

\ !J9 

lOO 

*; " 

f-~2 

114 

eorum  per  13,  cl  per  regulam  de  iis,  que  est  et  per  ruptos,  qui  sunt  sub  altis 
tribus  numeiis,  uidelicet  per  6,  et  per  4,  et  per  3,  que  sunt  sub  uirgulis  illorum;  qui 
omnes  si  insimul  coaptati  fuerint  in  **  habebis  laiiuiiios,  qui  coiiliiigcrit 

de  presciiptis  imperialibus  | s:  nam  si  euilare  cupis  liec,  que  inde  cuitarc  jk)  tu  eris,  re- 
linquet quod  non  multiplices  per  l,  que  sunt  sub  uirgiila  (>ust  It,  ut  non  dluidas  per 
2,  que  sunt  sub  fine  uirgulc  diuisionis.  Item  relinques  multiplicare  per  4u  ; sed  diuides 
ea  per  8,  exibunt  5;  per  que  s multiplicabis,  ct  relinques  quod  non  diuides  per  8,  que 
sunt  in  uii^ila  diuisionis:  ei^o  multiplicabis  4a  per  ii7;  que  per  5,  scilicet  per  octanam 
dc  4o;  quam  summam  multiplicabis  per  s,  que  sunt  sub  uii^ula  post  13,  erunt  ISSSTS; 
que  diuide  per  cxilmiil  denarii  * ||  tl.  • 

De  ienuinis  ad  imperiales. 

Rvrsum  si  ccotUra  quesieris,  quot  imperiales  liabnerit  pro  libris  J 8 lanuinis;  de- 
scribes questionem,  ut  bic  ostenditur:  ct  multiplicabis  Js  per  -*  23;  que  per  J il , el 
diuides  per  j I3,  et  per  { 31,  hoc  est  quod  multiplicabis  60  per  iis;  que  per  23;  que 
per  4,  que  sunt  sub  uirgula  post  3i;  que  |>er  3,  que  sunt  sub  uirgula  {lost  u;eldi- 
uidc  summam  eorum  per  regulam  de  40,  que  est  , ct  per  127,  ct  per  ruptos  alio- 
rum trium  numerorum , uidelicet  per  7,  ct  jicr  S,  el  j>er  2,  scilicet  per 
et  ideo  posuimus  in  capite  uirgule,  quia  ibi  debemus  habere  ; ideo  quia 

questio  est  de  libris  : unde  si:imus  quia  minuit  nobis  3 , ut  iiabeamus 
pones  3 su|>er  1 13,  ne  tradatur  obliuioni  cum  acceperis  peasam;  ct  multiplicabis  per 
ipsa  3 lotam  summam;  quam  diuide  per  { ? !■,  % ct  cuitnbls,  scilicet  multiplica 

118  |)cr  (piinlam  dc  00,  hoc  est  per  12;  que  per  23,  erunt  3iSfis;  que  per  3;quepor4, 
que  sunt  sui)  uirgulis,  erunt  3aOKi6;  que  multiplicabis  per  3,  que  posita  sunt  super  { 13, 
el  diuides  summam  per  exibunt  j libre 

De  inifierialibus  ad  piperem. 

IWrsum  soldus  imperialium  uulel  plsaniiios  -J  3t,  el  centum  plpciis  ualct  libras  11  , 
el  liabueiis  libras  JsT  imperialium,  de  quibus  uolucrls  liaberc  pi^xTem.  Oucritur  quantum 
habueris  dc  ipso  pipere  pro  iliis  libris  | S7  imperialium  : dcscribt^s  ipicstionem,  ut  hic 
ostenditur:  el  quia  pretium  piperis,  scilicet  ~ 11,  est  dc  genere  librarum;  et  libre  J 57, 
de  ({uibus  uoluimis  pijx*rcm  emere,  sunt  cx  eodem  genere,  necessarium  est,  ut  numeri  qui 
sunt  in  su|)crjori  linea,  uidelicet  12  cl  | 3l  , hant  similiter  libre:  vnde  supcrriotabis 
libras  super  unumquemque  i|kS4irum,  ut  liat  talis  questio, quod  libre  12  imperialium  ualcant 
libras  *3l  plsunorum;  et  sic  habebis  libras  imperialium,  scilicet  | 57  sub  libris  12,  ct  libras 
pisatiorum  sub  libris  plsaniiils,  uidelicet  ^^11  sub  | 31  : deinde,  boc;  facto,  muldplica 
j 57  per  I 31,  que  sunt  cx  aduerso;  que  per  100,  que  elsiiem  ^ 3l  siml  cx  aduerso;  cl 
summa  diuidatur  per  alios  duos  numeras,  qui  remanent  in  questione,  scilicet  per  12, 
et  per  ^ ii,  exibunt  libre  piperis  1301,  ut  in  questione  ostenditur,  hoc  est  ccn> 
temiria  13,  et  libra  1,  et  uncic  ~ 1. 

De  eodem. 

Naoi  si  prcscrijila  ratione  qucrcivs,  quot  piperis  haberes  pro  soldis  { 57,  tunc  in  hac 
questione  scias  licrzi  { 57  aliter  esse  describenda,  uidelicet  ut  de  soldis  -J  S7  facias  li- 
bras; erimlque  libre  2,  cl  soldi  J 17,  hoc  est  libre  J-fs  *J  pone  sub  imperialibus  12 
in  questione,  et  superiiotabis  libras  sii{ict  11  ut  similiter  sujicr  notes,  ucl  super  pretium 


Digitized  by  Google 


12S 

prcscriptonim  it,  snlicet  super  J 31,  que  punemla  sutU  in  questione  super  pretium  ren- 
tenarii  piperis,  uitlelicet  super  libras  ti;  et  enint  ibidem  lilire  pisanorum  sub  Ubiis 
pUannrum,  scilicet  lihrc  ^ !l  sub  libris  | 3i,  et  libras  imperialium  erunt  similiter  sub 
libris  imperialium,  lioc  est  iibre  s sub  libris  12,  ut  in  har  questione  ostenditur:  quare 
multiplicabis  f-ji  * que  per  loo,  ct  diuides  summam  per  ^ H,  ct  per  12,  et 

per  J,  exibunt  Iibre  piperis  ,^7*^  6^  ut  iii  quevStioiie  ustcmlitur,  que  suut  uigesima  pars 
dc  libris  1301,  sicuti  soldi  {57  sunt  ^ dc  libris  J S7. 

P(»ssumus  enim  liam:  camlom  f{ucslioiiem  aliter  describere,  uidcUcct  ut  ponamus  soldos 
[ 57  im}K.‘rialium  sub  imperialibus  12  ; ct  notentur  soldi  super  eos  : et  quia  sunt  soldi 
imperiales  {57,  necessarium  est  ut  ti  , que  super  eos  sunt,  liant  similiter  soldi:  ergo 
et  1 31  cmnt  similiter  suidi  ; quare  notabis  soldos  super  | 31  , ct  sujier  12  : et  quia 
pretium  centenarii  pipeiis,  scilicet  Iibre  — 11,  ponendum  est  sub  pretio  imperialium, 
uideliret  sub  | 31  ; ergo  necessarium  est  ut,  sicuti  ijxsi  ^ 31  sunt  soldi  , iu  de  libris 
^ 11  faciamus  soldos,  cruut({uc  soldi  231  : (jucm  numenim  describes  iii  questiniie  sub 
^ 31  ; et  nutabis  soldos  su]m.t  eum,  ut  in  bac  alia  cernitur  descripliuue;  iii  qua  talis 
e.st  questio,  quod  soldi  12  imperialium  ualciit  soldos  J 31  pisaniiiorum;  ct  centenarium 
piperis  ualet  soldus  231j  el  queritur  quantum  pipeiis  quis  bahuerit  pro  soldis  J 57.  Mul- 
tiplicabis itaque  liD,  que  sunt  super  ~ 57,  per  63,  que  sunt  super  | 3i;  que  per  rente- 
narium  piperis,  ct  diuides  summam  eorum  per  regulam  de  231,  que  est  J-y™ » 

ct  j>er  -J,  que  sunt  sub  uirgula  piMSt  31,  et  per  4,  que  suut  sub  uirgula  past  57, 
hoc  est  per  et  cuitabis  inde  Imk*  quml  cuitarc  poles,  exilmiit  similiter  li- 

bre  i /t  4*t  65,  ut  iti  prccedeiiti  questione  («tenditur. 

De  eodem. 

Rvrsum  si  eadem  ratione  quesieris  quantum  piperis  habueris  pro  imperialibus  \ 57; 
scias  quod  habueris  inde  tot  uncias,  quot  babuisli  libras  dc  soldis  | 57,  Ikm;  est  uncias 
S~u"iV  quia,  sicut  dicitur  J .57  sunt  ^ de  soldis  y 57 , ita  ct  unrie  |-f\— ^ 63 

sunt  ^ de  libris  6S  : ct  qiiamuis  lux:  sil,  qualiter  per  artem  ijisc  uueie  repo- 

liantur indicabimas  : possumus  enim  hanc  questionem  duplici  modo  describere  : pri- 
mum quidem,  ut  sicuti  pretium  cciilcuarit  piperis,  scilicet  ^ 11,  sunt  Iibre,  ita  pretium 
imperialium,  uidciicet  | 31,  sint  similiter  Iibre;  que  aliter  esse  Iibre  iioii  possunt,  nisi 
imperiales  12  fuerint  similiter  Iibre.  Vnde  notabis  libras  super  12,  et  sujier^si:  deinde, 
quia  oportet  describere  imperiales  y 57  sub  dictis  libris  12  imperialium,  necessarium  csl 
ut  dc  ipsis  imperialilius  y 57  facies  {Kirles  unius  Iibre,  | ut  siut  iibre  sub  lil)rls,  erunt- 
que  unias  Iibre;  quam  uirgiitam  |xmes  sub  12,  ut  hic  in  «questione  ostenditur. 

Et  ost  talis  questio,  quod  Iibre  12  ituperiuiium  uuleiil  libras  | 31  plsanonini,  et  cente- 
narium piperis  ualet  libras  iy  11  pisanorum;  el  queritur  quantum  pipciis  quis  habuerit 
pro  y unius  Iibre:  multiplicabis  4,  que  sunt  super  20  per  12,  et  addes  0,  que 
sunt  super  12;  que  per  4,  el  addes  i,  erunt  220;  que  multiplicabis  pei  63,  et  per  100; 
<|iic  per  20,  que  sunt  sub  uirgula  p(«t  11;  ct  diuideit  summam  eorum  per  regulam  de 
231,  que  «»l  ♦ ol  per  12,  et  per  alios  rupt«5,  uidciicet  per  2,  ct  per  {-^"2*  ♦ 

est  per  -*—*-}  u-*-»ViV*  cuitabis  hoc  (|uod  cuitarc  potes,  exibunt  Iibre  5, 

ut  iu  questione  ostenditur;  quod  tantum  est  (piaiituin  uncic  * J,  ^*.05,  ut  prodiximus. 
Irem  alius  modus  scribendi  hanc  questionem  est:  ut  jMmas  dictos  imperiales  J S7  sub 


«iliMV  .»•  lir  2SI  ifu»  m » 
M ....rM,  Im.  24  29]  |>H 
12S.  Ite.  lU-19). 


— S7  I'!*'*  * ( 1^«^««, 
14  »1  m,  Ua-  2<S]| 


r..i 


42  mto. 


Digitized  by  Google 


Il<*n>  ■■  «II  • |f»l- 

M f.t*.  liu.  9-I&  « 16.  |WH-  lt&, 
lia.  41  — |a|.  |C6,  liB.  6). 


i:t  • |M.  it  ifrt". 

Imi.  IT-tti  |>««.  126.  Ii».  I0  I7j. 


• ■nciK  ....  rmU  > i2  r^/>i . 

■•n.  »-39;  |U]1.  126.  Iin.  SV-3M|. 


12C* 

impcnalibus  l*j  cl  cniut  denarii  { s:,  et  i*,  et  Jai.  Quare  nolenlur  denarii  super 
unumquemque  ipsomm  numerorum;  et  quia  pretium  centenarii  pipem,  uidciicet  lihre 
'JJ  M,scrihendum  est  sui»  denariis  | 3i,  necessarium  est,  ut  de  ipsis  libris  -J;  h facies 
denarios,  qui  suiit  S77l;  et  pones  eos  sub  \ 3i,  ut  sint  denarii  sub  denariis,  ut  in  hac 
alia  questione  ostenditur;  et  multiplicabis  Si9  per  fl3;  que  per  lOO,  quorum  .summam 
diuides  j»er  reculam  de  S77i,  que  est  | » et  per  imperiales  tj,  et  per  ruptas  , 
.scilicet  per  J et  per  { ; et  euitabis  hoc  quod  euitarc  jHiles,  exibunt  similiter  libre  pi- 
|>eris  atilccedciui  questione  inuenimus. 

Jt)e  fnftere  ad  imperudes. 

Et  s»  ct'ontra  quesierls,  quot  imperiales  quis  supra»'ripta  mlioiic  de  libiis  J 57  j>ipcrls 
liabuerit ; describes  siquidem  libras  | s?  super  centcmirium  piperis  , ut  in  hac  alia 
( eiTiitur  descriptione. 

Kt  multiplicabis  -57  per  It;  que  per  imperiales  I2,  et  diuides  summam  per  lOO  et 
j)erj3l:  qtnxi  .sil  smindum  quod  .stipcriu.s  in  simililtus  demonstrauimus;  et  euitabis  | ^ 
que  sunt  in  re^uitu  de  63,  propter  que  sunt  in  re^la  de  S3t;  et  aptabis  uir^lam 
diuisioiiLS  sic,  ut  sub  capite  ijvsius  sil  : ideo  quia  summa  debet  jwmi  sub  libris 

la  imperialium,  exibunt  libre  iV  A i\"‘!c  * piatio  dictarum  libianim  | S7  piperis. 

De  eodem. 

Irem  si  queratur,  qunl  imperiales  pro  unciis  J 57  habueris:  aut  dc  unciis  J 57  facies 
libras,  que  sunt  libre  ^-^4;  et  pone.s  eas  super  centenarium  piperis;  aut  dc  centenario 
facies  uncias,  qiiud  est  unde  lioo;  super  quas  |>ones  uncias  | 57.  Et  nola  quod  pulrrius 
esi  facere  uncias  de  libiis,  in  hac  et  in  similibus  questionihas,  quam  dc  unciis  facere 
libras:  idts»  quia  cum  dc  unciis  facies  libni.s,  iiugeliuritur  qiiando(]ue  rupti  in  questione. 
\ ndc  questio  uidettir  esse  impeditior.  Propter  (}uud,  cum  soldus  uel  denari<»s,  sub  libris 
uel  super  libras  denariorum,  iii  aliqua  alia  questione  ponere  oportuerit;  puicrius  est 
faceiT  soldas,  et  denarios  de  libris,  quam  dc  soldis  et  denariis  facere  libras,  uel  |>artcs 
ijisius;  et  puicrius  est  facere  grana  de  tarenls  , quam  de  granis  facere  tarenns.  iloe 
idem  intelligatur  de  bizantils,  ct  de  omnibus  monetis;  «piamuis  aliter  in  quibusdam 
questionibus  imius  antecedentis  capituli  .superius  deinonstrauerimus:  descriptis  itaque 
unciis  ~ 57  .super  uncius  1200,  fac  .soldos  dc  pretio  centenarii  piperis,  scilicet  de  libris 
' * 11,  erunt  soldi  231;  qm.KS  pones  sub  | 31:  ct  erit  tunc  talis  questio,  quod  soldi  12 
imperialium  ualcnt  soldos  | 3i;  cl  uncie  1200  pi{>eris  iialciit  soldas  231,  ut  in  bac  alia 
questione  demonstratur.  Et  .scias  quia  ideo  fecimus  soldus  de  libris  ^ H,  ut  centum 
soldi  ipsi  cum  imperialibus  it,  sub  quibus  ]>oucfida  est  summa,  scilicet  pretium  de 
unciis  I 57;  (pimi  pretium  cum  non  surgat  iit  magna  quantitate,  liquidius  detnunslni- 
bitur,  cum  questio  fuerit  ad  soldos,  quam  cum  fuerit  ad  libras:  et  multiplicabis  229 
]»er  23i;  que  per  12;  que  per  s,  que  sunt  sub  uirgula;  et  dluiJ(‘s  summam  per  63,  et 
per  1200,  ct  per  4;  cl  euitajbis  boc  quod  euitarc  poteris,  et  oiTiinabls  ~ in  capite  uir- 
gule  propter  denaritxs,  exibunt  pro  pretio  illarum  unciarum  .soldi  4:  uel  aliter 

.sint  100  in  loco  dc  1200;  et  cnint  i|»sa  100  uncie  pmpter  uncias  { 57,  ct  que  sunt  super 
ea,  ct  reliqui  numeri  erunt  denarii,  scilicet  23t,  cl  {31  et  12;  ct  operaberis  ut  .supra. 

De  baractis  monetarum  cum  plures  monete  inter  simiies. 

laperiales  12  ualcnt  pisaniuus  31,  cl  soldus  laiiuinoium  ualct  pisaiiinos  23.  et  soldu.s 


Digitized  by  Googie 


117 

turncniiium  ualet  lanuinus  n,  et  suidus  Barcelloncusium  uatct  tiirnensc$  ii ; (jucriuir 
dc  itnpcriiilibus  is  quot  harccllonemics  ualeant.  Sccumliim  quidem  uulgarein  modum 
roii.<iidenitur  primum  de  imperialibus  ts  quot  pisaninus  ualeant;  ualent  enim  pisanitios 
^ as  : ex  quibus  ronsideiatur  quot  laiiuiiios  ualcaill;  ualent  enim  lanuinus  ^ so  : cx 
quilms  consideratur  quot  turnenses  ualeant;  ualent  enim  turricriscs  ~ ||  18,  scilicet  parum 
minus  de  turnensibus  ^ I8;  ci  quibas  etiam  consideratur  iterum  quot  barcellonensc-s  ua- 
leaiil;  ualent  enim  |»arum  amplius  de  barcellotiensibus  | so,  qui  sunt  pretium  de  im- 
perialibus is  prcscnj)tis.  Sed  secundum  artem  pones  omnes  prescriptas  monelas  in  dua- 
bus Uncis  per  ordinem,  scilicet  iii  superiori  linea  imperiales  is;  et  pisaniiios  31,  retro 
scribeiido,  et  in  infeiiori  lanuim»  12,  et  pisaninos  u ; ita  ut  sint  pisanini  sub  pisu- 
ninis  , et  in  su]>eriori  linea  tunieiLSCS  12,  et  laiiuini  n ; ita  ut  sint  lanuini  13  super 
lunuinos  12  : deinde  sub  turnensibus  12  pones  turnciiscs  li  ; et  retm  in  eadem  linea 
jHiucs  iMircellonenscs  12  ; ct  sic  IihIk*^  ia  sujKriori  linea  impciiales  12,  et  pisaninos  31, 
et  lanuinos  13,  et  tunienses  12:  iti  inferiori  pisaninos  23,  ct  laiuiinos  12,  el  turnensos  fi, 
et  bartrellonenses  12:  et  quando  imbet  imperiales  ad  cambiandum,  scilicet  is,  pones  ijtsas 
sub  imperialibus  12,  ut  liic  ostenditur;  ct  multiplicabis  ipsos  is  per  pisaninos  31,  cum  sint 
ex  aduerso;  quorum  summam  multiplicabis  per  iunuinos  12,  qui  sunt  ex  aduerso  eualem 
31;  cuius  multiplicationis  summam  multiplicabis  iterum  per  turnenses  12;  cuui  sint  ex  ad- 
uerso dictis  latiuinis  I2i  quoium  multiplicationis  summam  multiplicabis  iteium  per  bar- 
cetlonenses  12;  cum  sint  similiter  ex  adticnu)  dictis  lunieiisibas  12;  quam  totam  summam 
diuides  (>er  imperiales  is,  ct  per  pisaninos  23,  et  per  ianuinos  13,  et  per  lumenses  11; 
et  euitabis  quwl  euitarc  puteris,  exibunt  barccllonenscs  20  pro  pretio  de  iinpe- 

rialibas  15,  scilicet  parum  plus  de  barcelloncnsibus  \ 20,  ut  preiliximtis. 

Nadi  si  habiiciis  barcelloncnscs  15  ad  cambiandum  cum  imperialibus,  pones  luircello- 
iienses  is  super  Iwircellonenses  12,  ut  iii  liac  alia  questione  ostendetur;  et  tunc  multi- 
plicabis barcelloneiuscs  is  per  turnciises  11,  quonim  summam  |K?r  Ianuinos  13:  deinde  j)cr 
pisaninos  23,  et  per  imperiales  11;  et  dicte  multiplicationis  summam  diuide  per  barcello- 
iicnses  12,  et  per  tunieases  12,  et  per  lanuinos  12,  et  per  pisiininos  31;  ct  habebis  im- 
periales **  dictis  baiTclluncnsibus  15  : ct  sic  secundum  hunc  modum  de  plu- 

ribus monetis  poteris  operari.  Lst  enim  proportio  imperialium  ad  barcetloncnses  composita 
ex  im”'  proportionibus  sub  stipniscriptis,  scilicet  ex  ea  quam  habet  nunicncs  imperia- 
lium ad  eorum  pretium,  scilicet  12  ad  31;  ct  ex  cu  quam  babet  23  ad  immemm  sii<»nuu 
lunuinorum,  scilicet  ad  12;  ct  ex  ea  quam  habet  numerus  lamiirionim  ad  suos  lumenses, 
scilicet  13  ad  12;  et  cx  ea  quam  babet  numerus  turnensium  ad  numeros  suas  barcelb»- 
ncnsiitm,  scilicet  11  ad  12,  Iuk  est  cx  pnqHirtioribus  antecedentium  ad  consequentes; 
et  hinc  procedit  modus  supradictas  multiplicanda  et  diuidondi. 

Incipit  pars  secumta  noni  capituli  de  entione  (sic)  bolsututUe  secundum  moilum. 

Ille  siquidem  monete  bulsonallc  appellantur,  que  non  emuntur  nisi  quantum  ualet 
argentum,  quo<l  est  in  ipsis;  ut  dissolutis  i|>sls  in  unse  super  ignem,  alte  monete  inde 
infonnentur.  ^^hiarc  ims,  qualiter  inueniri  debeat  pretium  illarum  ud  mmlum  baracte,  siiir 
sil  ad  pondus  libre,  siuc  ud  numerum,  ustendcmiis. 

De  emptione  cuiusdam  holsonalie  ad  pondus  libre.  | 

Ovidam  habet  libras  11  cuiasdam  bulsunalie,  que  est  nd  uncias  2 aigcnti,  lax' est  (pital 


....  12  » 
jr«l.  At  rrr*o  , Im).  14  • lA-tt  : 
rn,  m,  u».  lo  . ii-to;. 


13  M 


tuH  . 

12  23  15’ 


li  I AX 


Digitized  by  Google 


* f«va>ninirt  ....  it^niiam  Mfwluat  • 

,M.  13  rrri«.  lt«.  3 « '■ 

m.  Im.  t-V|. 


mr/tenli  M. 

I.  1'nr.  J. 


I IS  2 I 


tiaraH#  ....  /V  filrm  • i fi>|.  13 
rrftit,  til.  V*ll<  I**f.  liQ-  9 
-l«|. 


/ S-HC. 


I.  rmc. 

f n M 


• IT^M  ....  atsci-  X S . S3 
rfrt-*,  Iwi.  14-39;  ItK  , l<n. 
n — |ug.  tt9.  lia.  (t). 


/ite-  a«ir.  M. 

9 

i i*  * 

14»  id 

I l-  r 

' A -j  «•  = « 


rmc.trg.  W. 

\ i.r-  9 rn., 

I UQ  J J IS 

/ \ ss 

h'  ;* 


118 

rontilicntur  uiicic  3 argriiti  in  lihra  i|>sius.  Fl  lihra  argenti  ualct  pisis  libi-as  T pisa* 
liorum.  Et  quiratiir  quut  pisaninas  de  ip-sis  iihri.*«  il  habere  dcbca.8.  I’one.s  itaque  in 
capite  tabuic  i pro  libra  una  iKdsoiiulic.  Et  ai^entum  quixl  est  in  ipsa  libra,  scili> 
«'et  uncias  s,  pmias  rctru  in  eadem  linea;  et  sub  i|>sus  s ]>oncs  is,  scilicet  uncia.s  uni' 
as  lihrc  argenti;  in  quorum  linea  retro  ponc-s  pretium  ipsias  libre,  scilicet  libras  7 pi- 
.sanniiim  ; et  sub  unu  {tosito  plus  buls^malic  pones  libras  ll  predicte  iKilsonalic»  ut  sit 
lioLsonalia  sub  holsonalia,  sicuti  est  argentum  sub  argciitOf  scilicet  uncie  12  sub  unciU  2, 
ut  in  hac  questione  de.scnbitur  ? et  multiplicabi.s  ipsos  tres  numcnjs;  quia  ad  iiiuicem 
positi  sunt  ex  aduersn,  .semiiidiun  nuMlum  liarartCthoc  est  11  per  2;  quorum  summa  per 
7,  erunt  I5l;  qiic  dtuidc»  per  reliquos  duas  numeros,  scilicet  per  IfCl  per  12,  exibunt 
libre  | 12,  Ikm:  est  libre  12,  et  soldi  10,  et  denarii  s pro  pretio  dictarum  librarum  11 
lailsonalic.  Aliter  hoc  idem  per  modum  negotiationis  o|>eralur,  uidciicct  ut  uidea.s  quan- 
tum argentum  e.st  in  iills  lihris  11  Itol-sonalie,  cum  iu  libra  una  sint  uncie  i argenti;  et 
inuenies  esse  uncius  22  in  i[)sis  libris  s bolsoiialie;  quarum  pretium  qiieras,  cum  libra 
argenti  ualel  libras  7;  cuius  rei  descriptio  hec  est. 

IJe  eoflem. 

Item  si  queratur  quot  plsaniiios  dc  unciis  11  dicte  l>olsoimlic  supra.srripta  ratione 
haliueris:  cum  in  hac  questione  queratur  pretium  unciarum  holsorinlic  ^ dcln^  )>oncre 
uncias  12  pro  lihru  lx>I.surialic,  ut  sint  uncie  ii  sub  unciis  12,  ut  iii  hac  alia  descriptione 
ostenditur:  cl  multiplicabis  tt  per  2;  que  per  7,  cnmt  1S4;  que  diuide  per  12,  et  per  ll, 
lioc  est  f-f7V  Sed  quia  locus,  in  quo  ponenda  est  summa  diuLsionis,  est  su]>cr  libra.s, 
.scilicet  super  7,  oportet  nos  multiplicare  154  [>er  5;  et  jHJtie  5 sub  uirgula  diulsionls, 
et  apta  ea  nini  4,  que  sunt  sub  ijKSa  uirgula,  facies  ex  eis  exibunt  libre  i 

pro  pretio  illaium  unciamiii  <1. 

Item  si  queratur  quantum  ualeaiit  denarii  ii  de  caiitera  ipsias  bolsoiialie;  descril>e 
pondas  dcnariortim  unius  libre,  scilicet  jon  .super  denarios  11,  ut  sint  denarii  dc  cuntera 
sub  denariis  de  cantem,  ut  in  bac  alia  jwitet  descriptione;  et  multiplicabis  11  per  2; 
que  per  7,  erunt  2Sl;  que  diuide  jier  12,  cl  per  300,  Imk:  est  per  j— exibunt 
a denarii  J-i  10  pro  pretio  illorum  denariorum  it  de  canlcni. 

Rvrsum  quidam  linliel  libras  J s cuiasdam  liolsonalie,  que  est  ad  uncias  J 2 argenti; 
et  libra  argenti  ualet  libras  i 7 plsiminonim;  cl  queratur  quot  plsaninos  habuerit  pro 
ip.sis  libris  | 8 Ixilsonalie  : de.scribe  questionem  ul  Iiic  cwtcndilur;  et  multiplicabis  | s 
per  I 8,  quia  sunt  ex  aduerso;  ct  eorum  summam  multiplicabis  per  ~ 7,  cum  sint  | 2 cx 
aduersu;  et  diuidrs  summam  per  reliquos  duos  numeros,  scilicet  per  I,  ct  per  12;  et 
euitahis  hoc  quod  euitare  poteris,  exibunt  libre  12  pro  pretio  illarum  librarum  |8. 

Nari  si  suprasrrijitas  libras  ^8  diclc  bolsonalie  uncias  esse  prop<»suerls  ; describes 
uncias  unius  libre  bolsonalie,  scilicet  12,  super  uncias  * 8,  ul  in  que.slionc  ostenditur; 
et  multiplicabis  20»  que  sunt  super  fs  per  9,  que  sunt  super  {2;  que  per  U9  uige- 
simas;  et  diuides  summam  per  12,  et  ]>cr  12,  cl  j>er  omnes  ruptos,  scilicet  j>cr  3,  et 
per  4,  cl  per  20;  ct  cuitabis  bon  quod  cuitarc  pileris , exibunt  libre  * i , Ihh* 

est  soldi  20,  ct  denarii  J 2 pru  pretio  iiianim  unciarum  l 8 bolsonalie. 

De  ettdem. 

Rvrsu-s  si  prcscriplas  uncias  |b  douarios  de  |Hmdcre  cantere  esse  pmposucris;  de- 


Digitized  by  Coogie 


09 

scribe  denarius  canlarc  unius  Ubre,  scilicet  300,  super  deiiorios  | 8,  ut  in  hac  questione 
«wtenditur^  ct  imilliplicabis  se  per  o;  que  per  149,  et  diuides  per  300,  et  |>er  is,  ct  {ter 
omues  niptus;  et  cuitabis  lioc  quod  cuitarc  poteris,  exibunt  5~,’r^VlV«»  denarii 

■*  8,  puitim  uidclicct  amplius  dc  donariis  J 9. 

De  eoihm. 

Irem  quidam  habet  libras  ll,  ct  uncias  7,  et  denarios  ponderis  de  canlera  13,  hoc  est 
libras  II  cuiusdam  boisunalic,  in  cuius  libra  sunt  uncie  5,  et  denarii  ponderU 

de  caiitera  7,  huc  est  uncie  ^ 9;  | ct  libra  argenti  ualct  libres  7 pisaninorum;  fac 

itaque  uncias  dc  libris  \ 1*  ii,  erunt  uncie  1-||  l39j  quas  describe  sub  unciis  Ubre 
iMiIsonalie,  scilicet  sub  ii,  ut  sint  uncie  sub  unciis,  ut  in  descriptione  ostenditur:  et 
multiplicabis  uncias  no  bulsonnlic  per  suum  uirgulam,  hoc  est  per  ss,  et  adde  13;  que 
per  *,  ct  adde  i,  erunt  6977}  super  que  pone  pensam  ipsaioini,  que  est  5,  per  septena- 
rium } deinde  multiplica  uncias  s argenti  per  suam  uirgulam,  hoc  est  per  ss,  et  adde  7, 
crunl  139,  que  |>orie  super  — 5}  ct  desujKir  jmuic  pensam,  que  est  6:  similiter  facira  de 
libris  ~j  ij  7}  et  habebis  super  ipsa  1817,  quorum  pensa  est  4:  deinde  multiplica  6977 
per  139}  quonim  summam  multiplica  per  I817,  et  diuides  lotam  summam  per  19  bol- 
sonalie,  et  per  19  argenti,  ct  per  omnes  numeros,  qui  sunt  sub  uirguUs}  et  cuitabis 
Ikx*  quod  cuitare  puteris,  ct  aptabis  ruptos,  et  probabis  multiplicationes  et  diuisiones, 
se('undum  quod  suj>erias  demniistrauimus  } ct  habebis  libras  ^ t t*  t\' 
pretio  suprascriptnrum  uuciarum  139;  et  est  pensa  summe  suprascripti  pretii  3 per 
septenarium  ]MXSt  euitationem. 

De  holsonaUa  atm  iienilitur  ad  numerum. 

f)vidam  habet  libras  I3,  ct  ^Idos  7 cuiusdam  bolsonalie,  dc  qua  intrant  in  libra  seddi 
31  } ct  in  libra  ipsius  contincutur  uiictc  J 3}  ct  libra  argenti  ualet  librem  ^ 7 pisa- 
iiorum}  cpicritur  quot  pLsaninos  de  suprascripta  bolsonalia  habueritrfacies  soldos  dc  libris 
^ 13,  eniut  soldi  967}  quos  pones  sub  soldis  3i,  ut  sint  soldi  sub  soldis,  ut  in  hac  que- 
stione ostenditur  : et  multiplicabis  267  per  niimei-um  dc  | 3,  scilicet  per  15}  que  per 
numerum  de  7,  hoc  est  per  153}  et  diuides  summam  per  31,  ct  j>er  12,  cl  per  omnes 
iiiptos,  uidclicct  per  4,  ct  per  20,  exibunt  librc  [ **  20  pisanorum  pro  pretio  de 

Ubiis  ,13,  ct  soldis  7 predicte  bolsonalie.  Kt  si  uis  scii-e  quot  pisaninus  ualcat  soldus  1 
dicte  bolsonalic,  describe  1 pro  ipso  soldo  sub  soldis  31,  ut  hic  ostenditur,  et  multi- 
plicabis ipsum  1 per  J 3}  que  per  ||  7,  ct  diuides  per  12  ct  per  3i,  hoc  est  multiplicabis 
dictum  1 per  15}  que  per  153,  enint  2295}  que  diuides  per  f-n-7^5»  exibunt  * 
hoc  est  denarii  IB,  qui  sunt  denarii  \ is,  ct  amplius  ^ unius  denarii.  Ergo  habitu 
pretio  unius  .soldi  predicte  bolsonalic,  possumus  per  eum  reperire  pretium  quarumlibet 
librarum,  uei  soldorum,  uei  denariorum,  secundum  quod  .superius  in  antecedenti  capi- 
tulo dcmoiistrBuimus. 

IM  eodem. 

Et  si  de  supra.scripln  bolsonalia  habueris  tantum  denarios  9 ad  cambiandum;  aut  dc 
soldis  31  facies  denarios,  qui  sunt  372}  et  pones  eos  super  denarius  0 suprascriptw»,  ut 
in  hac  dc.srriptionc  ostenditur»  Aut  dc  denariis  9 facies  partes  unius  soldi,  scilicet  J, 
et  pones  cos  sub  3t,ut  inferiiLs  in  alia  descriptione  ostenditur.  Nam  in  superiori  de- 
scriptione multiplicabis  denarius  9 ]>ei  I5;  que  per  153}  et  diuides  per  regulam  de  37i, 

17 


fui-  SJ 


n lil.r«  ....  12  l..4»uMl,r  , <f.J. 

lin.  1-7;  ng-  129.  Itn- 
S 16  « 17|. 


Iilin  ....  fkr  • | fwl-  XI 

lie.  12-21;  Mff.  m.  hn. 


Digitized  by  Coogie 


t 971  »*  .•••  rm«  • 93 

hm.  19-31  t rs-  • i«-  1»  — 
139.  Ii«.  |1>.  


15 

4.  M. 

1.  p.  t'ne. 

372 

153  / 

'J  ’ 

9 

IS 

t.  M. 

t'me.  4v/ . 

^ i. 

31 

153  / ^ 

1;  ’ '* 

i 

penum  ....  ruiUliit 

, <M-  33  vfr- 

«i>Jm.3S  S9i|u(.13n.  U.  H-t7l 

#Hf.  *r. 

$.  M. 

1.  41 

67  1 5 

1 51 

3233 

1 8 12 

,^!69 

fui  14  r«fto. 


F.t  ...>  iwnn  »|M. 

14  rr*tuf  Ii*.  1-11',  p*{-  i30,liii- 
17•34^ 


que  esi  fxTT  > P®*'  **»  est  per  | ^ * »VtV«V»  i 

15,  hoc  est  quod  multiplicabis  0 per  tertiam  partem  de  15,  scilicet  per  5;  que  per  <53, 
erunt  6U»5;  que  diuides  per  H %i  it"tZ  > <?^‘hit  Tj~rnrrH‘  descriptione 

muliiplicabLs  3,  que  sunt  super  4 per  15;  que  per  153,  erunt  similiter  6SRS;  que  diuides 
j>cr  31,  et  per  12,  et  per  omnes  ruptos,  hoc  est  per  4-t~V'U  A*  c^^ihunt  * | hor 

est  denarii  J-J-JJ  <3. 

De  eodem. 

Irem  sint  libre  <5  cuiusdam  bolsonalic,  que  sit  ad  uncias  { s argenti;  et  in  libra 
ipsius  sint  soldi  31,  et  denarii  3,  hoc  est  soldi  } 3i;  et  libra  ai^enti  ualeat  libras  6,  et 
soldos  7,  et  denarios  6,  hoc  est  libras  J 8:  fac  soldos  de  libris  13,  erunt  soldi  ■—  269; 
quos  pones  sub  soldis  \ 31,  ut  hic  ostenditur;  et  multiplicabis  269  per  suarnuirgolam, 
erunt  3233;  que  pone  super  ^ 269,  et  super  ipsa  pone  pensam  ipsorum,  que  est  lO,  per 
11  : similiter  facies  de  ^ 5,  et  habebis  4i  super  ipsa,  quorum  pensa  est  8:  lioc  idem  fa- 
cies  de  \ 8,  et  habebis  67;  et  pro  pensa  1,  et  super  \ 3i  habebis  125:  deinde  multiplicabis 
3233  per  41,  et  per  67,  et  per  4,  que  sunt  super  uirgula  de  3<;  et  diuides  summam  per 
regulam  de  125,  que  est  **»  ruptos  trium  rcliquonim  numerorum, 

scilicet  per  12,  et  per  8,  et  per  8,  et  aptabis  ruptas,  et  euitabis,  | et  probabis,  semper 
exibunt  libre  iViVt?  P^  pretio  dictarum  librarum  <3,  et  soldi  9,  et  denarii  5. 

De  eodem. 

Et  si  pretium  unius  soldi  eiusdem  bolsonalic  reperire  uolueris  , describes  1 sub  J 
3t,ct  multiplicabis  ipsum  1 per  4i,  erunt  4i;quc  multiplicabis  per  67,  erunt  2747;  que 
relinques  imilliplicare  per  4,  que  sunt  sub  uirgula  post  31,  et  non  diuides  per  4,  que 
sunt  in  regula  de  8,  que  sunt  sub  4i:  ergo  diuides  2747  per  its,  et  per  12,  et  per  2,  que 
rerouueiit  de  8,  que  sunt  sub  uirgula  sub  41,  et  per  s,  que  sunt  sub  uirgiila  sub  67; 
et  aptabis  ruptas,  exibunt  iV~Tb  m z**  descriptione  ostenditur;  hoc  est  parum 

minus  de  denariis  \ 27,  uidclicct  | unius  denarii,  minus  per  unamquamque  libram;  et 
hoc  cognoscitur  ita:  quod  pretium  soldi  est  denariorum-—^  27,  hoc  est  denarii  27; 
a quibus  usque  in  denariis  ^ 27  desunt  ^ unius  denarii  : ergo  si  unicuique  soldi  de- 
fuerint ^ unius  denarii  et  libre,  scilicet  soldi  20,  deerunt  hoc  est  { unius  denarii, 
ut  prediximus. 

De  eodem. 

Irem  si  queratur  pretium  de  denariis  | 8 eiusdem  bolsonalie;  aut  de  soldis  J 31  fa> 
cies  denarias,  qui  sunt  37S;  et  j>ones  sub  eis  dictos  denarios  j s;  uel  de  ipsis  denariis 
-^facies  partes  unius  soldi,  scilicet  ; et  pones  ipsas  sub  soldis  31,  ut  sint  soldi 
sub  soldis,  ut  in  hac  descriptione  ostenditur  ; et  multiplicabis  denarios  8 per  suam 
uirgularo,  erunt  <7;  que  multiplicabis  per  4i;  que  per  67;  que  per  4 , que  sunt  sub 
uirgula  post  3i;  et  diuides  per  125,  et  per  <2,  et  per  ruptos,  scilicet  {>cr  — , et  per 
8,  et  per  8;  et  euitabis,  et  coaptabis,  et  exibunt  * * hoc  est  denarii 

Ireni  quidam  habet  soldus  11,  et  denarios  7,  lioc  est  soldos  ll  cuiusdam  boUonabe, 
que  est  ad  uncias  { 3;  et  iutninl  in  libra  ipsius  bolsonalic  soldi  28,  et  denarii  ^ S,  hoc 
est  soldi  1— t 2g*  et  libra  argenti  ualet  libras  ^8;  describes  questionem,  ut  liic  osten- 
ditur, et  multiplica  ta  per  suam  uii^lam,  eruiil  683  : similiter  multiplica  omnes  nu- 
merus per  suas  uirgulas;  et  haljebis  I3  super  \ 3,  et  167  super  ^ 8,  et  <39  super  — 11. 


Digitized  by  Coogie 


I3t 

El  lunc  multiplicabis  139  per  qnc  jx*r  167;  que  per  ruptos,  qui  sunt  cura  w,  scilicet 
per  s,  et  per  ii;  et  diuides  summam  per  6S3,  ct  per  is,  ct  per  ruptos  trium  numerorum 
raulti])licatonim,  scilicet  per  il,et  per  4,  ct  per  lo;  et  cuilahLs,  et  coaptabis;  ct  sic  ha- 
pretio  de  soldis  ^ ll  dicte  ]>olsonalie.  Et  sic  poteris  quarumlibet 
bolsonaliartim  jnetia  jkt  demonstratum  modum  sexte  proportionis  reperire;  que  pro- 
portio est  composita  cx  duabus  datis  prujK)rtionilHis.  Et  cum  proportio  ali(]ua  est  com- 
posita ex  quotcumque  projiortionibus;  tunc  proj>ortio  proportionum  ijisa  appellatur:  que 
<x>mpositio  qualiter  liat,  lucidius  demonstralio.  Sit  summa  aliqua,  de  qua  eflicitur  summa 
secunda  per  datam  duorum  numerorum  proportionem;  et  de  secunda  summa  fit  tertia  per 
proportionem  duorum  quorumlil>ct  mimeroriim;  ct  dc  tertia  eodem  modo  eflicitur  quarta, 
ct  sic  deinceps;  tunc  prime  summe  proportio  ad  ultimam  dicitur  esse  composita  ex 
oOmibiis  datis  proportionibus,  scilicet  que  pniportio  est  facti  numeri  ex  omnibus  an- 
tecedentibus ad  facium  numerum  ex  conscqueulibus,radem  est  prime  summe  ad  ultimam. 
Verbi  gratia  : quidam  habuit  liizaiitios  loo,  dc  quibus  in  primo  foro  dc  duobus  fecit 
tria;  in  secunda  dc  quattuor  quinque;  in  tertio  cx  sex  fecit  septem  : ]»one  has  pro- 
portiones in  una  uii^a  sic  |-7^>  ct  sunt  omnes  antecedentes  super  uirga,  ct  consequentes 
sub  ipsU;  et  quia  in  primo  foro  dc  duobus  fecit  tria  , prima  summa  ad  s<xnmdam 
ast  sicut  i ad  3:  quare  prima  summa  est  | sccuiidc;  dc  qua  cum  dc  4 fecit  d,cst  pioportio 
secunde  summe  ad  teitiaro,  sicut  4 est  ad  5:  quare  secunda  summa  est  ^ tertie  summe; 
et  sic  prima  summa  est  | dc  tertie  | summe;  de  tpia  tertia  summa  cum  de  6 fuerit  7, 
est  tertia  summa  | quarte  summe.  Quare  piima  summa  c.st  | dc  ^ cx  ultima  quesite 
summe;  quarum  duarum  summarum  proportio  est  sicut  farti  numeri  ex  antecedentibus 
ad  factum  cx  consequentibus.  Et  est  fartum  ex  antecellentibus  4s,  ijuc  est  similiter  ]>rimc 
summe,  qui  procreatur  ex  multiplieatiuuc  aiitecedeiilium  in  se,  scilicet  de  s in  4;  que 
in  0:  factum  | quidem  cx  consequentibus  est  los;  quia  ter  quinque  ductis  in  7 faciunt 
19S;  et  asimilHiitiir  ultime  .summe.  Ei^o  si  a principio  pro  prima  summa  liubeantur  4S; 
pro  quarta  habebuntur  los;  quia  si  dc  103  acceperis  ueiiiunt  90  pro  tertia  summa;  dc 
quibus  si  occepTis  uenient  73  pro  secunda  summa;  dc  quibus  st  acceperis  uenieiit 
4K  pro  prima  summa.  Vel  aliter:  si  dc  4S  dc  2 feceris  tiia,  ucniunt  7s;  de  quibus  si 
de  4 feceris  5,  ueiiiunt  90  ; dc  quibus  etiam  si  dc  6 fleut  7 , hoc  est  quod  -*•  dc  90 
multiplices  per  7,  ueiiiunt  lOS.  Ergo  proportio  de  4s  ad  los  est  composita  cx  tribus 
datis  proportionibus,  scilicet  ex  ea,  quam  2 habent  ad  3;  ct  cx  ea,  quam  4 habent  ad 
s;  ct  cx  ea,  quam  6 lia)»ent  ad  7.  Et  quia  est  sicut  4S  ad  tos,  ita  prima  est  ad  que- 
silam  summam.  Quare  si  prima  summa  fuerit  loo,  multiplicanda  sunt  per  I05,  et  di- 
uidenda  per  48.  Vel  si  hoc,  secundum  modum  liaracti,  ojicrari  uU,  pone  primam  pro- 
jKirtionem  iit  una  linea,  scilicet  2 et  3;  et  sub  3 pone  antcredeiitcm  secunde  propor- 
tionis, scilicet  4;  post  quam  pone  5,  el  super  5 in  superiori  linea  pone  antecedentem 
tertie  proportionis,  scilicet  6;  postquam  pone  7,  et  loo  pone  sub  s;  quibus  multiplicatis 
per  3;  quibus  per  5;  quibus  per  7,  reddent  suramam  multiplicationis  facti  ex  consequentibus 
in  100;  quam  diuides  per  antecedentes,  scilicet  per  hoc  est  per  exibunt  f 218 
pro  ultima  summa.  Et  si  pnqionatur,  quod  ultima  summa  fuerit  loo;  et  iiis  inuenire 
primam,  pones  loo  sub  7,  ut  in  hac  alia  patet  descriptione;  et  multiplica  loo  per  fa- 
ctum ex  antecedentibus,  hoc  est  per  e;  que  per  4;  que  per  2,  et  diuides  per  conse- 


■|>,4af  •...  pr.pinlin  » I*.*!. 

clo.  liH.  1H-X4.  i-jg.  UU.  Ln.  40 
— 131,  liB. 


r**  4*  — niiM  pn>parti««e  • (fui. 
S4  , lin.  D-<t  « S3  l |kta. 
131.  Ii«.  13  }>of.  133  , Ii».  9 

f 1U^ 


Digitized  by  Googie 


Ift  nv<flMU  • (Fiil. 

»4  I.>t.  tHU  c S9;  p«|. 

1»,  Un.  l»-ai). 


nt 

quontcs,  scilicet  per  , eiibunt  | 45  pro  prinui  .summa:  ex  lioc  quidem  manifestum 
cstt  qiKKl  composita  proportio  ex  datis  quantlscumqiic  proportionibus,  numerus  factus 
cx  omnibus  antecedentibus  ad  numerum  factum  ex  conscfjuentibus.  Nam  si  proportionem 
de  proportione  cxtmbere  ui$,  multiplica  antecedentem  illius  proportionis,  de  qua  aliam 
extrahere  uls,  per  consequentem  alterius;  cl  habebis  antecodciilcm  residue  proportionis; 
et  ex  multiplicatione  duorum  residuorum  numerorum  habebis  consequentem.  Verbi  gra- 
tia ; pro]H)rtiunom  de  3 ad  4 uulumus  extnilicrc  ex  proportione  de  2 ad  i:  pro  prima 
proportione  j>one  | , et  pro  secunda  pone  | ; et  multiplica  2 per  4,  erunt  8;  et  3 per 
5,  erunt  <S;  que  punc  sub  8,  et  habebis  residuam  proportionem:  quam  si  addideris  cum 
proportione,  quam  3 liabcnt  ad  4,  nimirum  pro{x>rtio,  quam  24  habent  ad  60,  scilicet 
quam  2 habent  ad  5,  proueniet. 

Erplicit  pars  secunda  noni  capituli. 

Incipit  tertia  tle  equis  qui  comedunt  ordeum  in  profiositis  diebus. 
f^viiiqtie  equi  comedunt  sexUiria  6 ordei  in  dielnis  9;  queritur  in  quot  dies  eadem 
nilioiie  dcccm  Cffui  comedent  sextaria  I6  : pone  inferiori  linea  5 pn)  equis,  et  6 pro 
ordeo,  el  9 pn»  diebus,  retro  uidclicet  scribendo;  et  sub  5 pones  to  equos,  et  16  sex- 
taria (K>nc  sub  6;  ct  multiplica  i per  le;  que  per  9,  erunt  7So;  que  diuidc  per  6,  et 
per  10,  exibunt  dies  12:  ucl  aliter  quia  equi  s comedunt  sextaria  6 in  diebits  9;  ergo 
decem  equi  comedent  duplum  de  sextariis  6 in  totidem  diebus,  cum  10  equi  sint  dti- 
]>Ium  equorum  s.  Rursus  quia  10  equi  comedunt  sextaria  12  in  diebas  9 ; ergo  ip.si 
comedent  sextaria  16  in  diebus  12,  qui  proueiiiunt  ex  multiplicatione  de  16  in  9 diuisa 
per  12.  Possumus  enim  in  hac  questione  I8  cumbinationes  proportionum  ostendere,  qiias 
in  sex  lineis  in  figura  cliata  prima  monstrantur.  Sit  itaque  numerus  .e.  linea  prima, 
cl  sil  sceuiida,  et  .d.  sil  tertia,  ct  .a.  sit  quarta,  el  .b.  quinta,  numenis  quoque 
.c.  sil  linea  sexta;  et  sit  numerus  .a.  e.  c.  quedaro  cuuiunctio,  que  uocetur  prima:  nu- 
meri ucro  .d.  b.  f.  sil  coniunctio  secunda.  Proportio  quidem  utiiiiscuiu.sque  numeri  prime 
coiiiiiiictionis  ad  unumquemque  numerum  secunde  est  composita  cx  quattuor  reliquis 
luimeiis;  cl  sunt  duo  illorum  antecedentes,  et  duo  consequentes.  Ow«rc  uiiaqueque  pro- 
portio illarum  compasitarura  pioporlioiium,  que  sunt  9,  componitur  secundum  unam 
combinationem  proportionum: quia  cum  proportio  aliqua  componiturex  priraoanteccdeiile, 
et  primo  consequente,  et  ex  secundo  antecedente,  cl  secundo  consetjucnte,  componetur 
etiam  pennutalim  cadera  proportio,  quam  lialict  | primum  antccctlens  ad  secundum  con- 
sequcn.s;  et  ex  proportione,  quam  habet  seciitidum  antecedens  ad  primum  consequens. 
Noii  enim  mutantur  facti  ex  anlecedeiilibus,  neque  cx  con.sequcnlibus;  cum  ip.si  facti 
numeri  faciant  compositam  proportionem,  que  componitur  cx  duobus  antecedentibus  , 
el  ex  duobus  consequentibus  pi'cdictis.  Similiter  pro|>orlio  uniuscuiusque  numeri  se- 
cunde cuniunctiotiis  ad  unumquemque  numerum  prime  est  composita  ex  quattuor  re- 
liquis numeris,  quorum  duo  sunt  antecedentes,  ct  duo  consequentes.  Vnde  fiunt  alie 
9 combinatioiies.  Kt  nos  ostendamus  compositionem  proportionis  primi  numeri  .e.  ad 
sccmulum  ./.  esse  compositam  ex  quattuor  reliquis  numeris;  cx  quibus  numeri  .d.  h. 
sunt  antecedentes;  reliqui  ucro  .a.  c.  sunt  consequentes;  quod  prol>abitur  iU:  quia  ex 
multiplicatione  numeri  .e.  in  facium  cx  numeris  .a.  c, , scilicet  de  I6  uicibti.H  9,  ui- 
cibus  s,  diuisa  per  factum  ex  numeris  .d,  b.f  proueiiit  numerus  Ergo  si  multiplicatur 


Digitized  by  Google 


U3 

faclus  ex  niimcris  .fi.  b.  per  crjiialnlur  mulliplicationi  .e.  in  factum  ex  numeris  .a. 
C.  : quare  pruportioiialiter  est  sicut  factus  ex  numeris  .d.  b.  a<l  factum  ex  numeris  .a. 
c.f  ita  <*.  ad  ci-go  numeri  .d.  b.^ul  dixi,  sunt  antecedentes,  et  .a.  c.  sunt  coii' 
si*quente.s.  Componitur  eip)  proportio  .e.  ad  .f.  ex  proportione  .d.  aiilecedenlls  ad  .a. 
<*uas(‘qucntem,  et  cx  pn>portione  ,b,  similiter  antecedentis  ad  .c.  consequentem;  iiel 
proportio  .e.  ud  componitur  ex  permutatis  proportionibus,  scilicet  ex  ea,  quam  habet 
numerus  .d.  ad  numerum  .c.,  ct  ex  ea  quam  habet  .b.  ad  .a.',  quo<l  etiam  demuu.stral»o 
in  numeris  alio  modo.  <>uoniam  est  sicut  to  a<i  5,  boc  est,  sicut  numerus  .d.  ad  nu- 
merum .a.,  ita  factus  ex  numeris  ,b.  d,  ad  factum  ex  numeris  .b,  (t.\  boc  est  sicut 
equi  10  sunt  ad  (H|uos  5,  ita  e<{ui  00  sunt  ad  30;  et  sicut  equi  60  sunt  ad  equos 

30,  ita  sextaria  GO  sunt  ad  sextaria  30.  Rursus  sicut  o sextaria  sunt  ad  9 dies,  boc  est, 
sicut  .b.  est  ad  .c.,  ita  factus  ex  numeris  .a.  b.  ud  fartum  ex  numeris  .n.  c.\  bot' 
est  sicut  0 sextaria  sunt  ad  dies  9,  ita  sextaria  30  sunt  ad  dies  4S  : ergo  est  sicut  .d. 
ad  /i.,  ita  sextaria  eo  ad  sextaria  30;  ct  sicut  .b.  est  ad  .c.,  ita  .sextaria  30  ad  dies 
45  : ergo  proportio  ordei  ad  dies  est  sicut  co  ad  43;  que  proportio  itstcnsa  est  esse 
conipasita  ex  ea,  quum  hal>ct  .d.  ad  .n.,  et  ,b.  ad  .c.:  ergo  est  sicut  AO  sextaria  ad  dies 
4S,  ita  sextaria  fc  sunt  ad  qucsilos  dies,  scilicet  numerus  .e.  ad  numerum  ./•;  et  sic 
proportio  x.  ad  .f.  ostensa  est  esse  compasita  cx  .d.  ad  .n.,  et  ex  .b.  ad  c.,  ut  opor- 
tet.  Similiter  ostenderem  .e.  ad  .f.  comfvasitum  esse  cx  .a.  ad  .c.,  et  cx  .b.  ad  .a.; 
et  sic  habemus  unam  combinationem.  Similiter  potest  ostendi, ipiod  .c.  ad  ./.compo- 
nitur ex  reliquis  i[uattuor  numeris.  Ex  quibus  rursus  numeri  .d.  b.  sunt  antecedentes, 
reliqui  autem  .e.  a.  sunt  consequentes;  et  est  multiplicatio  faett  ex  numeris  .a.  e.  in 
numerum  c,  scilicet  7i0  equalls  miillijdicalioiii  facti  cx  numeris  .d.  b.  antecedentibus 
in  numerum  ct  sic  habetur  combluatio  secunda.  Eodemque  modo  ostendetur  .a., 
qui  restat  cx  prima  cuniunctiunc,  com[)oni  ad  ./.  ex  ({uattuor  reliquis  numeris;  qiionim 
iterum  numeri  .d.  b.  sunt  antecedentes,  ct  reliqui,  scilicet  .c.  c.,  sunt  consipientes; 
et  sic  halwlur  corabiiiatio  tertia.  Et  sic  ostensum  est,  ipmd  proportio  uniuscuiusque 
trium  numerorum  prime  couiuiiclionls  ad  numerum  , qui  est  unus  cx  Iribus  nu- 
meris secunde  cuniuuetionis,  componitur  cx  duabus  proportionibus  reliquorum  quattuor 
numerorum.  Rursus  supradicta  ratione  queratur,  quot  equi  comedant  sextaria  te  in 
diebus  tx:  describe  in  questimic  ordeum  sub  onleo,  et  dies  sub  diebus;  et  diiiides  nu- 
merum facturo  ex  tribus  numeris  prime  compositionis,  .scilicet  7X0,  per  reliquos  dmts 
numeros,  scilicet  per  ix,  ct  |ier  6,  exibunt  to  pro  quesitls  equis.  In  bac  autem  que- 
stione supradicto  modo  potest  ostendi,  quml  pixipurtiu  <piam  babet  uniiS4(nlsfpie  mime- 
ronim  prime  coniunctiuiiis  ad  10,  qui  est  alius  numems  secunde,  componitur  cx  duabus 
proportionibus  reliquorum  quattuor  numerorum,  qiiornm  antecedentes  sunt  ix  ad  c , 
scilicet  uumeri  .f.  b.;  ct  sic  habentur  tres  alie  combinationes  in  bac  (piestiom'. 

Et  si  proponatur,  quod  equi  to  comedant  sextaria  ic  in  diebus  tx;  ct  queratur  quot 
sextaria  | comedent  equi  3 in  diebus  9;  modo  in  hac  questione  delicit  tertius  numerus 
secunde  coniunctionis;  quare  reliqui  duo  numeri  eiusdem  coniunctionls,  scilicet  10  et 
tx,  erunt  diuisores;  in  quibus  diuides  7S0,  qui  procreantur  cx  5 ulcibus  iO,  cxiluint  sex- 
taria ordei  6,  ut  in  bac  tertia  descriptione  ostenditur;  iu  qua  certissime  p>tcst  cugn^- 
sci,quod  proportio  uniuscuiusque  uumeri  prime  coniunctionis  ad  6,  qui  est  tertius  ex 


«*.  «4y.  ■■■■  pi'.|>Mr|lt..«iliiti  • 

SX  n>.  tv.hn.  24-31  » It;  i..«-  lS3. 
I.II.  U.29i. 


dirt  «n/z-UM 

9 6 5 

1 •'/  / 

/.  / / 


' I / 


la 


Digitized  by  Coogie 


.A«nr«lrHl  .t.f  • (C»l- 

¥rr*a,  liii-  " iU;  pH- 

liH.  19  -»  f»f  lU.  1M'  7|- 


rfirJ  »rd^m  »fni 


I 4tO!  OTlir-MH* 

I IS  15  10 


....  » (fut< 

M>  .-Pr.».  I.n.  15-0  4 Ut  p«g 
114.  U.  tt-Uf. 


trttrum  rtfm 

0 tt  s 


ir»  fs  <0 


..  /'«atpitfwMi  t ffni-  !i& 

>‘pPM.  )in.  tS  39  1 f<«.  131,  Ii». 
13  •—  |ug,  |3S,  Iw. 


numeris  secunde,  est  composita  ex  duabus  proportionibus  quattuor  reliquorum  nume- 
rorum, ex  quibus  antecedentes  sunt  10  et  is;  reliqui  duo  sunt  cousequentes;  et  sic  ha- 
bentur nouein  combinationes.  Reliquas  ucro  0 combinationes  iiiucnics  cx  com|M)sitiunc 
proportionis  uniuscuiusque  trium  numerorum  secunde  coniunctionis  ad  unumquemque 
trium  nuraemrum  prime  ; que  compositiones  fiunt  cx  duabus  proportionibus  , que 
fiunt  a reliipiis  quattuor  numeris,  cx  quibus  semper  in  unaquaque  combinatione  erunt 
antccedciUes  duu  cx  numeris  piime  coniunctionis.  Kt  notandum,  quod  nullus  ex  pre- 
dictLs  sex  numeris  lialient  proportionem  compositam  ad  aliquem  numerum  sue  coniun- 
ctionis ex  duabus  pro]K)rtiuiiibus  reliquuniin;  ct  siml  ille  proportiones  duodecim. 

Et  si  in  questionibus  supnnlictis  ponerentur  dies  in  medio  equorum,  ct  ordei,  ut 
in  bac  alia  questione  ceniituri  tunc  numeri  prime  cuiiiiinclionis  erunt  $,  et  9,  ct  is; 
reliqui  essent  mimcri  coniunctionis  secunde;  quod  cogii(»res  ita:  ponatur  ut  sit  ignotus 
tiuracnis  inferioris  linee  ; ct  quia  equi  5 comedunt  aliquam  datam  men-suram  ordei  , 
.scilicet  sextaria  C in  datis  diebus,  scilicet  in  9;  ergo  ei|iii  iO  totidem  ordeiira  comedent 
in  diebus  | 4,  qui  proueiiiuiit  cx  multiplicatione  s in  9,  diulsa  per  10.  Rursus  ruro  hi 
diebus  * 4 equi  lo  comedent  scxtaiia  6;  queritur  quot  sextaria  comedent  in  diebus  IS; 
est  ergo  sicut  \ 4 sunt  ud  6,  ita  is  ad  qucsitiim  numerum  ordei.  Quare  multiplicanda 
sunt  12  )>er  6,  ct  diuideiida  per  ^ 4;  et  quia  est  sicut  numerus  ad  numerum,  ita  de- 
cuplus unius  ud  decuplum  alterius.  Si  mulliplicaucriraus  ergo  per  lo  multiplicatiunctn 
de  12  in  G,  boc  csl  quod  multiplicemus  lo  uicibus  12,  uicibus  G;  ct  summam,  que  est  T2U, 
diuiscrinius  per  decuplum  de  * 4,  scilicet  |>ci  S et  9,  que  sunt  in  superiori  linea,  ue- 
niutil  GO  pm  numero  ignoto  ordei  : quare  si  muUipticaucrimus  5 per  9 uicibus  16  , 
cquabitiir  mullipiicatioiu  tle  lo  uicibus  12,  uicibus  G;  et  sic  s ct  9 ct  16  faciunt  primam 
couiunctioiiem.  Reliqui  uero,  scilicet  to  ct  12  ct  0,  faciunt  .secundam.  Viidc  cum  aliquis 
cx  prcdictls  sex  numeris  fuent  ignotus,  (|ucm  uolucris  inuenirct  uidc  ex  ipso  numero 
quali  fuerit  conium-tiouc;  quia  in  reliquis  duobus  numeris  sue  coniunctionis  diuides 
factum  cx  tribus  numeris  relique  cotiiuncliunis;  ct  inuciiies  quesitum  numerum. 

^ De  hominibus  qui  plantant  arbores  in  posiUs  diebus. 

l.x  quadam  planitie  quidam  rex  misit  homines  00  ut  ]>lantarcut  arbores  in  ea,  qui 
planlauerunt  ihi  arbores  ukm)  in  diebus  9;  ct  queratur  de  hominibus  3G  iu  quot  diebus 
plantaucrunt  arbores  4400  : descriptis  si(|utdem  buniinibus  06  sub  liominibii.s  00,  ct  ar- 
Imribus  4400  sub  arlxirilius  tooo,  ut  in  hac  descriptione  cernitur;  mutliplicabig  homines 
30  pro  arliores  4400,  ct  eorum  summam  per  dies  9,  et  diuides  totam  summam  per  ho- 
mines 36,  ct  per  arbores  1000,  exibunt  33;  ct  in  tot  diebus  ipsi  homines  plantabunt 
arbores  4400. 

Dc  eodem. 

Rvrsus  .si  econtra  queratur  de  hominibus  OG  quot  arbores  suprascripta  ratione  plan- 
taueruiil  in  diebus  03;  descripta  questione,  ut  hic  ostenditur,  multiplicabis  homines  36, 
ct  arbores  1000,  ct  die.s  33  in  unum,  ct  diuides  per  homines  36,  et  per  dies  9,  exibunt 
arboix-s  4400. 

Irem  si  queratur,  quot  homines  plantaucrunt  suprascripta  ratione  arbores  4400  in 
diebus  33;  describes  questionem  ut  hic  ostenditur,  ct  multiplicabis  homines  30,  ct  ar- 
bores 4400,  et  dies  9 in  unum,  ct  diuides  summam  per  1100  et  per  oo,  exibunt  homines 
36,  ut  oportet.  [ 


Digitized  by  Coogie 


135 

De  hominibus  qui  comedunt  frumentum. 

Homiiic5  5 comedunt  modia  4 frumenti  in  uno  mi'nse,  scilicet  in  dichus  30.  Vnde 
alii  bomines  7 f|nenint  scire*  quot  modia  stifTinent  cis  eadem  ratione  in  eisdem  diebus 
30:  describes  siquidem  questionem  ut  hic  ostenditur;  et  multiplicabis  homines  7 piT 
modia  4,  et  per  dies  30«  qui  sunt  in  inferiori  linea*  et  diuides  summam  per  homines 
5*  et  i>cr  dies  30,  qui  suiit  in  siipcnon  linea.  Vade  relinquet  quoti  non  niulliplicahis 
per  30*  ncc  dinides  per  30  : ergo  multiplicabis  tantum  7 per  4*  et  diuides  per  5*  eslbunt 
modia  | 5.  Et  scias  quia  ideo  |Misuimiis  hanc  qiiesliuiiem;  quia  inde  eliiim,  et  dc  uino 
<pKtd  bibitur  sepe  inter  mercatores  oritur  qm^slio;  quare  eam  teuaci  memorie  commenda, 
ut  scias  iu  similibus  questionibus  (qtcrari. 

Incipit  capitutum  decimum  de  .wcietatibus  factis  inter  consocios. 

Cvm  autem  prc{KJsitum  fuerit  de  quibusdam  consociis  qui  insimul  societatem  fece- 
runt* quorum  uiuLsqulsquc  inequaliUr  suam  |>ortionera  in  ijisu  societate  Imbuerit*  et 
cum  ipsa  societate  aliquam  quautitulem  lucrati  fuerint;  quam  quantitatem  inter  se  se« 
eundum  {vorlioncs  eorum  diuidere  noluerint.  Et  iioinerit  scire  ipiut  unicuique  dc  ijKSo 
lucro  continget;  |hmic  portionem  primi  socii  in  capite  tabiilc  in  dextera  parte;  deinde 
ia  eadem  linea  uersus  siiiLstram  portiones  alionim  jier  ordinem  |K)tierc  studeas;  et  lu- 
crum quod  fecerint*  in  alio  capite  tabule  in  eadem  linea  depingas*  in  sinistra  uidclicet 
parte.  Tunc  aggregabis  portionws  omnium  so<'iorum  iii  unum,  et  aggregatam  summam 
seruabis.  In  qua  singulariter  diuides  multiplicationes  portionis  uniuscuiusque  socii  in 
lotum  lucrum;  et  sic  baliebis  boc  (|uo<l  unicuique  dc  ipso  lucro  contigerit.  Et  ut  lioc 
aperlias  declaretur*  primum  iu  societate  duorum  hominum  in  prima  |)arte;  et  tiium  in 
secunda;  ct  quattuor  iu  tertia  cum  uariis  |K>sitionum  portionibus  demonstrabimus:  deinde 
in  quinta  parte  diulsioncs  quorumdam  numerorum  in  portionibus  ruptorum  ad  modum 
societatum  termina  bimus. 

De  societate  duorum  hominum. 

Si  proponatur  dc  duobus  liomiiiibiis,  qui  societatem  insimul  fecerunt,  quorum  uuus 
misit  in  prescripla  societate  libras  is  alicuius  monete;  et  alter  misit  in  eadem  libras  25; 
et  lucrati  fuerunt  inde  libras  7;  ct  queratur  quot  unicuique  dc  ipis  libris  7 contingent, 
sic  facies:  describes  portionem  primi  socii,  In>c  csl  libras  is,  iu  capite  tabule  in  dextera 
parte  ; dciiidc  uersus  sinistram  in  eadem  linea  libras  25,  describe  lucrum,  idest  libras  7; 
iterum  ucrsu.s  sinistram  separatim  ah  ipsis  ad  libitum  jumr*  ut  hic  inferius  ostenditur. 
Et  iunge  insimul  ]»ortiorics  utriusque  socii*  idest  is  cum  25  * erunt  43  ; qtic  pone  in 
questiouc  sub  ib*  ct  protrahe  uiigulam  suj>er  ipsa  43,  et  alia  43  cum  uirgula  pone  sub 
25,  ut  in  questione  ostenditur.  Deinde  multiplica  portionem  primi  socii*  scilicet  I8*  per 
lucrum,  uidelicet  per  7*  erunt  126;  que  diuide  per  43*  que  posita  sunt  sub  18,  exibunt 
libre  ^ 2;  et  tantum  coutiiigit  primo  socio  de  ipso  lucro  * boc  est  libre  2 * ct  soldi 
18,  et  denarii  it.  Residuum  uero  lucri  contingit  alteri  : tamen  ut  secundum  hanc 
artem  operetur*  multiplica  portionem  alterius  socii  per  lucrum,  scilicet  ts  per  7,  erunt 
17S;  que  diuide  per  43*  que  posita  sunt  sub  25*  exibunt  libre  ^ 4;  ct  tantum  contingit 
secundo,  scilicet  libre  4,  et  denarii  ^ 16  ; cum  quibus  si  iunxeris  libras  2,  et  soldos 
18,  et  denarios  ||7*  que  contingunt  primo,  in  clsdeni  libris  7 detienies. 


fu).  rrr/o. 

«ftliVUIlt  ....  > -l*|.  ■‘>4 

rtei»,  lin.  2.4;  |«H.  X-ll). 


Xi  twrua  » * M- 

^ lia,  22'IS;  iM(.  14&,  )in 

2T-X6I. 


16S0  (i)  (7)1 

S40  ^ I 

lufr,  7 tfc.  29  /htn.  /tn.  ixl 

Qp  (|) 

f>«V  11  ^ ^ — ^ 


•(•‘«ttil»  • 7 > (M  tt- 

rt»,  liD-  f«|-  1S9,  l>a.  11 

~ |M(.  124,  lia.  o). 


( tucr. 

t. 

1 ift. 

29  ftrt,  pr*  IS 

p«a>a  «a  pM  It 

tt.  $.  t. 

J.  *.  l. 

1»  » ‘ « , 

U 1 <«. 

♦ « . 

«1  is  1«^ 

Digitized  by  Googie 


>>tfn  tnUit  ...  «nslin^it  •]«  «ifnl. 
&K  Ii».  17-Sil  ( fki||.  116. 

Illi.  11  — pw)|.  117,  lia.  I>. 


*r 


136 

I)t  eodem. 

.\li(er  hoc  luium  facere  ]>o^uumu.s,  uideUcet  ut  soldos  et  denarios,  qui  contiiigiuit 
imicuique  in  proportione  sui  lucri,  halicas  in  una  multiplicatione,  et  in  una  diulsione, 
.sicuti  in  jirccedentihus  negoliulionihiLs  facere  docuimus;  et  est  hoc,  quod  cum  delies 
multiplicare  lucrum  per  portionem  unitisciiiusque,  et  diuiderc  per  43;  multiplica  primum 
lucrum,  scilicet  7 per  ii;  que  per  so,  iioc  est  per  S40;  ideo  ipiia  7 j sunt  lihrc  denariorum; 
et  sic  facimus  inde  denarios,  erunt  denarii  16S0;  quos  ]Miiie  super  7 , ut  in  hac  alia 
« emitur  descriptione.  Et  multiplica  ipsos  denarias,  scilicet  tsso  per  18,  et  diiiidc  summam 
« tji-ura  per  cxilmnl  pro  portione  primi  hominis  Hhre  *»  quas  pone  in 

«juestionc  siih  is,  ut  ibidem  ostenditur  : deinde  multiplici}  icso  per  iS,  et  diuidc  summam 
lier  , exibunt  lihrc  4 ; cl  taiUiira  contingunt  secundo  , quas  pone  iii 

«|uestimie  suh  js:  et  ut  hoc  uerum  sit,  duplici  modo  c»»gnascilur.  Quorum  primus  mo- 
dus est  illud  id<‘m  , quod  in  procedentibus  negotiationibus  denionslrauimus:  uidclicct 
ut  accipies  pen.sam  illius  multiplicationis,  «|ue  multiplicatur  in  primo  socio,  ct  scruahLs 
i-am;  et  cognosces  p(*r  eam,  si  portio  lucri  ipsius  steterit;  et  illud  idem  facies  dc  alio 
«ousocio.  Moilus  alius  est,  ut  iiingas  |>ortiuncm  lucri  uniuscuiusque  in  unum;  que  .si 
fecerint  tutum  lucrum,  rcctc  in  utroque  processisse  cc^nosi:es.  Nam  qualiter  in  unum 
iungi  dclx‘anl,  per  optimam  ct  .subtilem  regulam  addisce  : iiidelicet  ut  protrahas  sub 
lucro  in  questionem  unam  uirgulam,  sub  qua  pone  ruptus,  qui  sub  aliis  sint 
deinde  accipe  11 , «{ue  sunt  super  43  de  uirgula  primi  socii,  ct  adde  cum  cum  3S  , 
«]uc  sunt  sujKT  43  sectiridi  socii,  erunt  43;  que  diuidc  ]H‘r  43,  exibit  I,  ct  remanet  ze- 
phynim  : poiie  itaque  zephyrum  super  43,  que  sunt  in  uirgula  pi^ita  sub  lucro  , ct 
retineas  in  manu  l;  quod  adde  cum  7,  que  sunt  super  is  de  uirgula  primi,  et  cum  4, 

(juc  sunt  superis  de  uirgula  secundi,  erunt  denarii  ll;  quos  diuide  per  is  , exibit  soldus 

t,  ct  remanet  O:  pones  0 super  12,  ct  retineas  in  manu  1;  quod  adde  cum  soldis  is, 
i|ui  sunt  siiptT  30  dc  uirgula  primi,  et  cum  t,  quod  est  super  20  de  uirgula  secundi, 
erunt  soldi  20;  qiins  diuidc  per  20,  exibit  libra  1,  et  rt‘manet  o:  pone  0 super  20,  ct 

in  manu  retineas  1;  quod  adde  cum  libris  2,  que  sunt  ante  uirgulam  primi,  et  cum  4, 

<{uc  sunt  ante  uirgulam  secundi,  eiunt  lihrc  7;  quas  jione  desuper  uirgulam  lucri;  e| 
huc  uolunuis  ut  lialKamus  libras  7,  ct  nihil  super  uirgulam  rrraaneat. 

Pe  eodem. 

Irem  duo  homines  societatem  fecerunt,  quorum  unus  misit  libras  1S,  et  sol«ios  7 , 
hoc  est  lilmts  ^ is;  et  alter  misit  libras  19;  et  lucrati  fuerunt  insimul  libras  14,  et  soldos 
14,  ct  denarios  »,  hoc  est  libra.s  Queritur  quantum  unicuique  de  prcscriplo  lucro 

ojutingit  : descril>c  questionem  ut  hic  ostenditur,  et  multiplica  is  per  20,  que  sunt  suh 
ui^iila,  ct  adde  7,  que  sunt  super  20,  ci-uril  soldi  307,  quos  pone  super  ^ 15  in  que- 
stione. llcm  multiplica  lihi-as  19  ulterius  .socii  per  to;  ideo  ut  de  ipsis  libris  19  facias 
soldos,  sicuti  fecisti  de  libris  •—  IS,  erunt  soldi  3B0,  quos  )>onc  superis  in  questione. 
Tunc  apparebit,  quod  primus  misit  .soldos  307  in  pirdicta  societate;  et  alter  misit  si- 
militer soldos  3S0.  Vnde  addes  307  cum  380,  enint  CB7.  Item  multiplica  libras  11,  scilicet 
lurniin  per  eorum  uirgulam,  erunt  denarii  3S33  ; quas  pone  sii|>cr  ipsum  lucrum  , ct 
multiplica  307  per  3533,  et  diuide  summam  per  regulam  de  687,  que  est 
niplos,  qui  sunt  sub  uirgula  lucri,  scilicet  per  exibunt  lihrc  | i\\  ,*  j*  6 , pro 


Digitized  by  Google 


137 

hoc  qu(xl  coulingit  dc  lucro  primo  socio,  que  pone  in  questione  sub  eodem.  Item  mul> 
tiplicii  180  per  1533,  et  diuidc  summam  rorum  per  <^*ibiint  pro  portione  lucri 

allcrius  secundi  libre  i b>  qnn*  pone  sub  eodem  sot  iu. 

De  eodem. 

Iretn  duo  homines  societatem  fecerunt,  quorum  unus  misit  libras  i4,  et  soldos  it, 
ct  deuari(»s  n,  hoc  est  libras  4;  et  altor  misit  libras  41,  et  soldos  o,  hoc  est  libras 
~ 41;  ct  lucrati  fuerunt  libras  | 31;  queritur  quantum  utiiciiiqiie  dc  suprascripto  lucro 
contingit  : describe  questionem,  ut  hic  ostenditur,  et  multiplica  S4  per  suam  uirgulam, 
erunt  denarii  5»oo,  quus  pone  super  *4.  Item  fac  denarius  dc  libris  ^ 41  sic:  mul- 

tijdiai  41  per  suam  uirgulam,  huc  est  per  su,  et  adde  9,  erunt  soldi  829;  dc  quibus 
fac  denarius,  Ium;  est  multiplic-a  eos  per  12,  que  sunt  sub  uirgiila  alterius  socii.  Am- 
plius quam  in  sua  iiirgula  erunt  denarii  9948,  quos  pone  | in  questione  super  ^^41: 
unde  apparebit,  quod  primus  misit  denarias  S9uo,  ct  alter  misit  denarias  0948;  et  sic 
studeas  semper  portiuiiem  sot'inrum  reducere  ad  similia:  deinde  iiuilliplica  31  per  8,  ct 
adde  3,  erunt  ssi;  que  pone  super  ^ 31,  et  adde  5ooo  cum  9948,  erunt  15848:  quibus  repe- 
rias  regulam,  qtic  est  --*  , cum  qua  comlscc  ruptum  , qui  est  in  luor»),  scilic'Ct 

J,  facient  J*,  ; quam  uirgulam  studeas  aptare,  ul  hal>eas  in  capite  ipsius  ) 

ideo  quia  in  lucro  ponuntur  libre,  in  quo  si  puncrtuilur  soldi,  dclicremus  habere  tantum 
^ in  capite:  et  si  ponerentur  bizaiitii  lj>crperi,  uel  samcenati,  delx.*reraus  habere 
si  tareni  ^ ; ct  si  in  eodem  lucro  ponerentur  bizantii  Garbi,  dolaremus  lialMTC  ~ in 
<^pite  uirgiile,  ut  .se{>e  in  negotiationibus  pn‘duimus.  Viidc  cum  non  hal>eas  in  pre- 
scripta  uii^ula  de  nisi  lautum  y de  ipsa  ^ , et  alia  }■  de  quas  duas  quartas 

accepimus  de  duobus  octauis,  qui  sunt  .sub  uii^ula,  ct  remanet  nobis  cx  eis  alia  > in 
uirgula;  ct  sic  minuit  nobis  { de  ^ , ct  dc  ^ , hoc  est  \ inter  utrumque.  Vnde 
pone  is  super  S5i,  et  multiplica  S5i  peris,  erunt  37r»5;  que  pone  super  »l,  et  deiiice|^ 
Iial>ebis  in  aptatione  uirgule  diuisionis  rr»iT"n^5  * deinde  multiplica  3705  per  5900,  et 
diuid<*  summam  per  et  haliebis  portionem  lucri  primi  .socii.  Ilcm  multiplica 

3705  per  9918,  et  diuidc  |>er  eandem  uirgulam,  et  lialM^bis  portionem  lucri  alterius  socii, 
ut  superius  in  questione  ostenditur. 

De  etuiem. 

Rrrsum  duo  homines  societatem  fecerunt,  in  qua  primus  misit  libras  > iit,  ct  alter 
libras  1 137;  et  lucnili  fuerunt  lil>ras  { | 328:  queritur  quantum  unicuique  de  prescriplo 
lucro  contingat:  describe  questionem  ut  hic  ostenditur;  deinde  multiplica  iii  per  i,  et 
adde  1,  erunt  SS5  mo<iia;  que  multiplica  per  s,  que  sunt  sub  uifgula  alterias  socii,  erunt 
decime  ilis;  et  hec  est  ars,  quam  in  adictionibus  numerorum  ctim  ruptis  docuimus:  pone 
ergo  1123  super  |m.  Itero  fac  decimas  de  alio  socio  sic,  quod  inulliplioibis  137  per  $, 
et  addes  i,  quod  e.st  super  s,  erunt  quinte  Ii86;  quas  multiplica  [>er'3,  que  sunt  sub  uirgula 
primi  socii,  eruut  similiter  decime  1372,  quod  pone  super  } 537:  ergo  unus  misit  decimas 
1115  unius  rei  , scilicet  libre  ; ct  alter  misit  decimas  1378  eiusdem  rei.  Postea  mul- 
tiplica lucrum  , scilicet  318  per  .sua.s  uirgulas  , erunt  uige^iroe  quarte  7891  : deinde 
iungi  1115  cum  I37i,  cnint  3497;  in  quorum  regula,  que  est  , et  in  ruptis  qui 

.sunt  in  lucro  , scilicet  per  , diuides  multiplicationem  dc  7B9i  in  im,  ct  babobU 
portionem  lucri,  que  contingit  primo  socio:  inde  coapta  partes  uirgulam  diuisionis,  ut 

18 


SJ  rrff*. 


•n  ....  MihIi,  . 

fW,  31  /vrfo,  1-11)  (•*» 
U7.  l.n.  It  34«. 


Digitized  by  Google 


tnnlti|<l>n  j*rr  S ....  6070  jtrt  « 
17  n*rf«  . Ii«.  IK-ll  t 

l»K.  137.  iw.  34  — 13S. 

ti«.  li. 


fui,  37  rrrta. 


UtMilut  ■«  3f  •...  tn  «|nr«lir»* 
M>  • .17  iMTui.  7-T!i} 

]Mf.  I3K.  Ita.  34•tt^ 


f3S 

habeas  in  capite  ipsius  sed  cum  ibi  non  habeas  ex  ipsLs  tantum  « 

hoc  est  scimus  cpiod  minuit  nobis  inde  quare  multiplicabis  7801  per  10,  erunt 

7S0I0;  que  multiplicabis,  ut  diximii.s,  per  ms  , ct  diuides  per  yr^i~rrj9  > 
quam  multiplices,  putes  cuitarc  ^ in  multiplicatione  ct  diuisionc  ; ideo  quia  78910  in' 
tegraliter  possunt  diuidi  per  137  unde  si  ditiLscrimu.s  78910  per  13,  exibunt  6070;  que 
6070  si  mulliplicauerimus  per  iiss,  et  diuiscrimus  per  eandem  quantitatem 

perueiierimust  quare  multiplicaliLs  itenim  6070  per  S37S,  ct  diuides  |>er 
bebis  portionem  lucri  alterius  socii,  que  est  7V?~n^  questione  ostenditur. 

Probatio  eiusdem. 

Nxm  si  per  iunctionem  jKirtiones  lucri  utriu.sque  cogncuiicci^c  uolucrimus,  utrum  re- 
ctum sit  quod  fecimus  an  non  ; uide  de  ^ unias  libre  quot  denarii  sint : sunt  enim 
soldi  15,  et  denarii  lo;  quas  redige  in  partibus  unius  libre,  erunt  quosserua: 

deinde  protrahe  uirgulara  siih  lucro,  suh  qua  powc  ylf VtTo*  collige  i«5,  que  sunt 

super  260;  de  uirgula  primi  $0('u;  cum  84,  que  sunt  super  269  de  utrgula  secundi  socii, 
erunt  269  que  diuidc  per  269  , exiltit  1,  et  remanet  0:  pone  o su{>er  260,  que  sunt  suh 
uiqpila  pasita  sub  lucro,  ct  rctinea.s  i;  quod  adde  cum  denariis  6,  qui  sunt  stiper  12 
dc  uirgula  | primi  cum  denariis  4,  qui  sunt  superit  de  uirgula  .secundi,  erunt  denarii 
10;  quos  pone  super  ii;  et  adde  soldas  15  , qui  sunt  super  20  de  uirgula  primi  cum 
0,  quod  est  super  20  dc  uirgula  secundi,  erunt  .soldi  ts,  quas  pone  super  20,  qui  sunt 
in  capite  uirgule  posite  suh  uirgula  lucri  : deinde  adde  libras  las  cum  libris  213,  erunt 
libre  328;  qua.s  pone  ante  uirgiilum  sub  lucro  , et  sic  habebis  pro  eorum  collectione 
libras  328,  hoc  est  libras  { } 328,  ut  in  eonim  Jo«to  prcjiositum  fuit. 

Irem  duo  homines  societatem  fecerunt,  quonim  unus  misit  hizantios  - 23,  alter  ucn» 
misit  hizaiitius  ~ 31;  et  lucrati  fuerunt  bizmitius  47,  et  karatas  11  , hoc  est  bizantios 
II  47;  <|uerilur  quantum  unicuique  dc  prcscriplo  lucn»  contingat  : descrilic  questionem 
ut  hic  extenditur,  ct  nuiltiplica  hizniiticx  23  per  suam  uii'giilam,  erunt  quarte  93;  quos 
deberes  multiplicare  per  niptum  uirgule  alterius  socii,  scilicet  per  8;  sed  quia  uterque 
ruptus  utriusque  sm^ii  reperitur  in  octo,  non  oportet  multiplicare  93,  nisi  tantum  per 
ipiartam  de  octo,  scilicet  per  2,  erunt  octaue  unias  bizantii  I80,  quas  pone  in  questione 
super  I 23.  item  niuitiplira  31  per  suam  itirgulain,  erunt  octaue  tS3  , .similiter  unius 
bizantii:  que  cum  sint  octaue,  siciiti  I86  alterius  socii,  non  oportet  ea.s  multiplicare  |K‘r 
ruptum  primi  socii,  uel  per  alir|uam  partem  ipsius.  Viidc  pone  253  super  | 31;  ct  erit 
tunc  talis  qiie.stio,  quod  unus  illunim  misit  I86  , et  alter  misit  253  : jiassuraus  enim 
aliter  reperire  I86  et  253,  uidclicet  ut  uidea.s  dc  | et  de  | in  quali  minuri  numero  re- 
{Moriantur,  .scilicet  in  octo;  in  quibas  multiplica  | 23,  erunt,  ut  prediximus,  186.  Item 
multiplica  | 3i  per  8,  erunt  ut  diximus  253:  quare  addes  I8G  cum  253,  cruiit  439;  in 
quibus  cum  careant  regula,  diuides  multiplicationem  de  I86  in  loto  lucro,  et  habebis 
portionem  lucri  primi  socii,  quod  sic  Ht:  multiplica  bizantios  lucri,  scilicet  47  persnani 
uirgulam,  hoc  est  per  24,  ct  adde  11,  cnint  karatl  1139;  quos  multiplica  per  186,  erunt 
211854;  que  diuide  per  439,  et  jier  24,  hoc  est  per  exibunt  J5*~m  in  que- 

stione ostenditur.  Item  eodem  modo  multiplica  I53  per  1139, ct  diuide  summam  conim  per 
t ct  hal>ebis  portionetn  lucri  alterius  .socii,  ut  in  questione  sub  eodem  asterxdilur. 


Digitized  by  Coogie 


13D 

De  eodem. 

liem  fueruut  duo  bominesy  quorum  unus  misit  tarenos  j 8S,  et  alter  misit  tarcnuK 
j I 97;  et  lucrati  fuerunt  tarenos  ^ iis  : doscril>c  questionem,  ut  hic  ostenditur;  ct 
multiplicabis  lucrum,  scilicet  iii,  ]>er  suas  uirgulas,  erunt  4063;  que  pone  super  ipsum 
lucrum  : deinde  multiplica  portionem  primi  socii  per  suas  uirgulas  , erunt  quattuor 
decime  tfS7;  quas  multiplica  per  niptos,  qui  sunt  siih  iiirgulis  alterius  socii,  hoc  est 
per  3,  ct  per  s,  uel  per  i5,  erunt  ducentesime  decime  173&S.  Eademque  uia  multiplica 
portionem  secundi  socii,  scilicet  97  per  suas  uirgulas  , erunt  quindecime  1467  ; i(uns 
multiplica  per  ruptos,  qui  sunt  suh  uirgulls  primi  socii,  hoc  est  per  s,  et  per  7,  uel 
per  <4,  erunt  similiter  ducentesime  decime  sossi,  quas  pone  stiper  { | 97:  et  scias  (|uia 
ideo  fecimus  ducentesimas  decinuis  de  portionibus  arlioriim  ; quia  in  sto  reperiuntur 
omnes  rupti  eurum;  et  mm  possunt  iniicniri  in  aliquo  minori  numero,  quia  rupti  non 
halKifit  ad  iiiuicem  aliquam  comuncra  i*egulam.  Ergo  primus  misit  1735S,  et  alter  misit 
S05SS.  Quare  addis  I73S5  cum  sosss,  erunt  37907;  in  quo  numem,  et  in  ruptis,  qui  sunt 
in  lucro,  delK^s  diuidere;  qui  omnes  si  ponantur  in  una  uirgula,  facient  firn??* 
quia  cum  lucro  csl  ex  conditione  tarcnoruin,  necessarium  est,  ut  halabas  ^ in  capite 
uirgulc  diulsionis.  Quare  cum  habere  totam  de  ipsa  utrgula  non  possis;  quia  iu  ea  non 
habes  ex  ea,  nisi  tantum  multiplicabis  numerum  lucri,  scilicet  4063  per  5,  erunt  203I5; 
que  pone  super  40C3,  ct  addes  \ in  uirgula  diuisionis,  et  facies  ~ de  cis,  | et  de 
que  est  in  uirgula.  Et  pone  ipsam  ~ in  capite  uirgulc;  et  sic  habebis  in  ijisa  uirgula 
j quam  uii^ulam  pone  sub  primo  socio,  et  aliam  similiter  sub  secundo:  deinde 
multiplicabis  20315  per  17355,  ct  diuides  per  regulam  j»o«itam  sub  primo ; et  haliebls 
jMjrtioneiu  lucri  primi  socii.  Item  multiplicabis  eadem  20315  per  numerum  secundi  socii, 
scilicet  |>er  20552,  ct  diuide  per  regulam  positam  sub  eodem  portionem  lucri  illius,  ut 
in  questione  ostenditur. 

De  societate  trium  hominum. 

Taes  homines  societatem  fecerunt,  quorum  primus  misit  libras  17,  secundus  libras 
J9,  tertius  libras  42;  et  lucrati  fuerunt  libras  loo:  primum  describes  questionem,  ut  hic 
(«tenditur  : deinde  adde  portiones  illorum  in  unum,  scilicet  libras  17  cum  29,  ct  cum 
libris  42,  erunt  libre  ss;  quibus  88  rejierics  regulam  , que  est  ; et  multiplicabis 
jiortionem  illius  cuiusque  socii  iu  lucro  , et  diuides  per  , ct  habebis  |>orlionem 
lucri  contingentem  unicuique.  Nam  si  libras,  et  soldos,  et  denarios  unicuique  de  lucro 
contingentes  in  una  multiplicatione,  et  in  uiia  diulsione  repciirc  uoluerls,  iniiciiics  illud 
quod  tibi  minuit  de  in  uirgula  diulsionis  predicte,  scilicet  in  : in  qua  cura 
non  liaheas  nisi  tantum  J de  proscriptis  minuit  libi  inter  utrumqiic.  Vel  quia 

est  regula  denariorum  unius  libre,  scilicet  dc  S40,  diuide  240  per  8,  exibunt  30, 
(juod  est  pro  Iliis,  qui  minuunt  libi  de  ut  prediximus:  que  si  commiseriiiius  cum 

habebimus  multiplicabis  lucrum,  scilicet  100  per  30,  ut  siculi  au- 

gentur 30  in  diuisione,  ila  augeantur  in  multiplicatione,  erunt  3ooo;  quem  pone  supei 
100  in  questione,  et  multiplicabis  libras  17  primi  socii  per  3000,  ct  diuides  per 
exibunt  libre  19.  Item  multiplica  libras  29  secundi  socii  per  3000  , et  diuide 

per  ”,  , exibunt  libre  ‘j  32 ; quas  pone  in  questione  sub  secundo,  scilicet 

sub  29  : deinde  multiplica  42,  scilicet  portionem  tertii  socii  per  3000,  erunt  it«ooo;  que 


« MulUlitaxU»  - . ^ iW  ‘ 
(f-l.  61  «‘^ran,  lin.  |>*g. 

1S9,  Ii».  4-19). 


U 


SR 


rt  ia  an»  • .'fnl. 

MI  rrri».  Ita.  11  lOj  13<'. 
lin.  33  • |xj|i  140,  liu.  14|. 


Digitized  by  Google 


f»l,  rm*. 


• lun  lilMTi*  «...  rum  mMi*  7 » 
lliil.  5M  efrtttf  liit.  I 20;  |m| 
I4U.  lia.  2&  1 4|,Ua. 


uo 

diuidc  per  exibunt  libre  lA  47,  quas  pone  in  questione  sub  4t,  scilicet 

sub  tertio  socio.  Nam  si  portionem  lucri  uniuscuiusque  in  unum  per  regulam  colligere 
uolueris  , facies  secundum  quod  superius  dcinoii.strauinius  in  societatibus  duorum  so- 
ciorum, uidelicet,  ut  jxjiias  \ sub  loo,  scilicet  sub  lucro:  deinde  collige  6,  que 
.sunt  super  ii,  in  uirgula  lucri  tertii  socii  cum  uno,  quod  est  super  tl,  in  uirgula  lucri 
secuudi,  et  cum  4,  que  sunt  sujier  ti,in  uirgula  lucri  primi,  erunt  ii;  que  diuidc  per 
II,  que  sunt  sub  uirgula  posita  sub  loo,  exibit  inde  I,  et  rcmauct  0:  pone  o super 
II,  et  1 serua  in  manu;  cum  quo  iunge  6,  et  i,  et  4,  que  sunt  super  I2  umiiiura  trium 
uirgularum,  facient  denarios  it;  quc«  diuide  per  12,  que  sunt  sub  uirgula  posita  sub 
100,  exibit  .soldus  1,  et  remanet  o : pone  o super  I2,  ct  retineas  in  manu  soldum  l ; 
cum  quo  iunge  soldos  4,  ct  lo,  cl  6,  «jui  suiil  super  20  carumdem  trium  uirgularum, 
erunt  4o;  cpic  diuide  per  20,  exibunt  libre  2,  et  rcroanrl  o:  pone  0 super  iO,  et  libras 
2 reliitcas  in  manu;  cum  (juibus  iunges  liliras  47,  et  libras  32,  et  libras  10,  que  sunt 
ante  prescriptas  tres  uirgulas,  erunt  libre  kk),  ut  oportet. 

J)e  eodem. 

Itera  sunt  tre.s  homines,  quorum  unus  misit  liliras  ^ 89,  et  alter  misit  libras  jj  83, 
tertius  cjuocjuc  mi.sil  libras  9t;  ct  Uicniti  fuerunt  libras  112  : descrilic  questionem  ut 
Irir  ostenditur,  ct  tunc  facies  soldos  de  portione  uniuscuiusque  socii  sic:  multiplices  09, 
scilicet  portionem  primi  sticii  per  suam  uirgiilam,  lioc  est  per  10,  ct  super  addes  7, 
erunt  .soldi  1387  , quos  pone.s  .super  libnis  C9.  Quod  idem  si  feceris  de  |>ortione  se- 
cundi habebis  super  ip.sam  soldos  1C7I.  Similiter  raiilliplica  libras  91  per  20,  ut  facias 
soldos  ex  eis,  erunt  .soldi  ib20,  quos  |K)iies  super  libras  91.  Kt  nota,  quod  si  in  por- 
tionibu.s  capilali.s  ipsorum,  uel  etiam  in  aliqua  ipsarum  ponerentur  denarii,  cum  i|»sis 
libris  oporten't  facere  denarios  ex  portione  uniuscuiusque  socii,  siculi  ia  liac  quod  fe- 
cimus soldos  ex  una  quaque  portione,  preter  .soldos,  qui  sunt  j cum  libris  ip.sorum.  Ergo 
unus  misit  soldus  1387,  alter  soldus  1871,  tertius  soldus  1820.  Quare  addes  prescriptos 
soldos  in  unum,  erunt  soldi  4878;  cuius  numeri  regula  bcc  csl  Nam  cum  opor- 
teat habere  irt  capite  uirgule  diuisiiiiiis  i eis  non  habeamus  in  ipsa  uii^ula 

nisi  tantum  |,  scimus  quia  minuit  nobis  boc  est  40,  ex  ipsis  : pones  ergo 
40  super  lucrum;  ct  miiltiplicubis  40  per  ipsum  lucrum,  scilicet  per  lix,  erunt  448u; 
que  pone  super  40,  et  coaptabis  in  uirgula  diulsionls  sic 

gulam  ponc.s  sub  iutor{uo<|ue  coiisiKrio,  et  multiplicabis  4480  per  1387  , et  diuides  per 
exibunt  pro  [Hirlionc  lucri  primi  socii  libre  -*  [*  **  31.  Item  multiplica 

4480  per  1681,  et  diuidc  per  exibunt  libre  -J— portione  lucri 

seaiiidi  socii.  .Similiter  si  mulliplicaueris  4480  per  1820,  et  diiilseiis  per , ha- 
bebis portionem  lucri  tertii  .S4>cii.  Po.ssnmus  enim  aliter  portionem  lucri  tertii  hominis 
ex  repertis  |K)rtiouibus  reliquorum  reiM>rire,  uidelicet,  ut  addas  1,  quod  est  su|>cr  3,  in 
uii^ila  primi  socii  cum  0,  quod  est  siij>er  3 dc  uirgula  secundi  socii,  erit  1 ; a quo 
usque  in  3,  que  sunt  sub  uii^ila  tertii,  desunt  2,  que  pone  suj>er  ipsum  3 , et  pro 
expicto  semel  ternario,  retinetis  in  manu  i,quod  i est  /p  unius  libre:  ergo  ad- 

des ipsum  I cum  0,  quod  est  super  27i  in  uirgula  primi  socii,  ct  cum  203,  que  sunt 
super  271  in  uirgula  secundi,  cmiit  264;  a quibus  usque  in  271  desunt  ?,  que  pone  su- 
per 271  de  uirgula  tertii  socii:  et  quia  semel  cipleuisti  271,  retinebis  semel  unitatem 


Digitized  by  Coogie 


141 

in  manu;  que  unitas  est  unius  libre  i;  que  adde  cum  denariis  ti>  qui  sunt  8U> 
per  II  de  uir^ula  primi  socii^  et  cum  denariis  3,  qui  sunt  super  il  sccuiidif  erunt  de* 
naiii  is;  a qtiilms  us<{uc  iti  duplum  ii,  scilicet  in  S4,  desunt  daiarti  9;  quos  )H)ne  super 
II  dc  uirgnia  tertii  socii;  ct  )>ro  expleto  duplo  de  ii,  retinebis  in  manu  i,  que  sunt 
~ unius  libro,  hoc  est  soldi  t;  cum  quibus  adde  soldus  16,  qui  sunt  super  lo,  de  uir- 
gula  primi  socii,  ct  cum  soldis  7»  qui  sunt  super  lo  de  uirgula  senindi,  erunt  soldi 
15;  a quibus  usque  in  soldos  40,  scilicet  in  duplum  dc  lo,  desunt  soldi  15.  bl  nola, 
quia  ideo  dicimus  a ts  usque  iu  40,  quia  25  sunt  plus  so  : unde  si  essent  plus  quam 
40,  quereremus  dilferentiam,  que  esset  ab  ipsis  us^pic  in  triplum  dc  20;  ct  sic  intelligas 
dc  omnibus  altis  similibus.  Pones  ergo  soldos  iS  super  20  de  uiqvula  tertii  socii ; et 
pro  expleto  duplo  dc  20  relinebU  in  manu  libras  2;  cum  quibus  addes  libras  3i  primi 
so(*ii,  ct  libras  38  secundi,  erunt  libre  71;  a quibus  us<]ue  in  summam  lucri,  scilicet  in 
libras  112,  desunt  libre  4i;  ipias  pone  ante  uirgulam  tertii  socii,  ct  habebis  in  por- 
tionem lucri  ipsius  libras  41,  .«i  in  questione  astendilur.  Nam  si  suprascripla 

omnia  pttihare  nolueris,  probabis  ca  per  modum  prioris  |)Ciise  ; quia  eum  portionem 
lucri  ultimi  socii  per  portiones  lucri  relii|iiorum  luuencris , nequaquam  per  reliquum 
motluni  similes  t|ucsliones  probare  poteris.  Kst  enim  pensa  lucri  primi  socii  3 per  ti« 
secundi  s,  tertii  4,  ut  super  ij^is  portionibus  iu  questione  re|>eritur. 

De  eodem. 

Et  si  proponatur,  quod  primus  illorum  misisset  libras  |69,  secundus  libras  { S3  , 
tertias  libras  i 91;  et  lucrati  essent  libras  ^ 127;  descripta  questione,  ut  bic  ostenditur, 
potes  duobus  mialis  procedere.  Per  primum  quidem  rcj>erialur  numerus,  in  quo  sitit 
rupti,  qui  positi  sunt  in  portionibus  capitalis  ipsorum,  scilicet  \ p qoi  numeriis  est 
co,  per  quem  nuiltiplica  unamquamque  portionem,  scilicet  f 69  , et  habebis  super  ea 
4fcu;  et  I 83  balicbis  super  ea  4995;  et  ^ 9i,  et  babebis  super  ea  .5472.  Vel  (kt  alium 
modum;  multiplica  69  {ler  suam  uirgulnm,  Itoc  est  per  3,  et  adde  1,  erunt  2oa;  que 
multiplica  per  4;  que  per  5,  quo  sunt  sub  uiqriilis,  erunt  similiter  4too.  Item  multi- 
plica 83  per  4,  et  adde  1,  erunt  333;  que  multiplica  {>cr  s,  que  sunt  sub  uirgula  tertii 
.socii,  erunt  1845;  que  multiplica  per  3,  que  sunt  .sub  uirgula  primi,  erunt  similiter  | 4995. 
Kursum  multiplica  9i  per  3,  et  adde  1,  erunt  456  ; que  mulliplica  per  4;  que  j>er  3, 
que  sunt  .sub  relicpils  uirgulis,  erunt  similiter  S472;  que  addes  cum  4995,  et  cnm  4tco, 
erunt  14627.  In  quibus  diuides  multiplicationem  lucri  in  prcscriptls  tribas  numeris,  quou 
sic  fit:  multiplicabis  libras  iit  per  conim  uirgulam,  erunt  soldi  2347;  quos  pones  .super 
libras  ^20,  et  multiplicabis  eos  per  12,  ut  liabeas  i]>sam  sub  uirgulis  ditiisionum  post 
20,  que  sunt  sub  uirgula  lucri,  erunt  30564;  que  mulliplirabis  per  41G0,  ct  diuides  per 
itig"  i*8  * <^*ihunt  , iV» ; «V  /0  portione  lucri  piirai  socii.  Itera  multiplicabis 

30564  per  499$  , Ct  diuidcs  similiter  per  , exibunt  libre  -neVnVTT  ^ P”’ 

portione  lucri  secundi  socii.  Item  si  miiltiplicaucris  30564  per  5172  , ct  diiiiscris  |>cr 
13  t» » l^abebls  portionem  tertii  socii.  Nam  si  ex  repertis  portionibus  lucri  reli- 
quorum sociorum  i|isam  jxirtionem  inucnire  desideras,  adde  8356,  que  sunt  su|K;r  14627 
de  uirgula  primi  socii  cum  5isi,  que  suut  .super  14627  .secunde  uiiguic,  erunt  13537;  a 
quibus  usque  iu  14627,  desunt  1090,  que  pone  super  14027  in  uirgula  tertii  socii;  ct  pro 
semel  expletis  14627,  retinebis  i;  mm  quo  addes  4,  que  sunt  super  12  prime  uiiguic,  ct 


. _ ilts:  t;  •• 

.'9  liw.  I-W; 

UI.Uh.  29  — r»'.  IKJ.k  «•. 


Digitized  by  Google 


N<  <UIU'nU4  -■>.  MMnmiH  • 

tin.  21*34]  |<4(|- 
142.  I.n.  4-34^ 


^^2 


c^sl'5  n 


»1-  ^ 


Oi  i.  ; 

T - 


o 


'S'2  j' 

S-^S  3 


O = 


I • s 

e C 


f»i 


U2 

Oy  rjue  sunt  super  is  secunde,  erunt  denarii  14;  a quibus  usque  in  dupli)  is,  scilicet  in 
24,  desunt  denarii  io,  quos  pone  super  is  de  uii^ula  tertii  socii  ; et  pro  eipleUs  de- 
nariis S4  retinebis  in  manu  soldos  s;  cum  quibus  addes  soldos  4,  qui  sunt  super  aa  prime 
iiirgulct  et  soldus  0 secunde,  erunt  soldi  I5;  a quibus  usque  in  soldLs  27,  lux!  est  ut 
ciplcatur  una  libra  cum  ipsis  soldis  7 , qui  sunt  super  uirgulam  lucri  , desunt  s<ddi 
12;  quos  pones  super  iO  iii  uirgula  U*rtn  socii,  et  retineliis  i pro  ipsa  expleta  libra, 
(^um  quu  addes  libras  3S  primi  socii,  ct  libras  43  secundi,  erunt  libre  80;  a quibus 
usque  iu  libris  127,  scilicet  in  Iikto,  desunt  tibre  47.  Oiias  pone  ante  uii^ulam  tertii 
socii,  ct  habebis  pro  portione  lucri  ijwius  libras  Ti»Vri» '!?  superius  in  «picstione 

ostenditur. 

De  societate  inter  iiti*’’  homines. 

^vattiior  immines  feccnint  societatem,  ex  quibus  priniu.s  misit  libras  ~ 31,  secuudus 
libras  ^ 43,  tertius  libras  ^ 56,  quartus  lilmis  1 86;  ct  lucrati  l^uenint  libras  i2C  : 
descripta  questione,  ut  hic  ostenditur,  midtiplk'a  lucrum  per  suam  uirgulam,  erunt  de- 
narii 303.55,  quos  p4>nc  supcr  liicnim  : deinde  ut  iiiueniaiitiir  iiumeit  soeionim  , quos 
muUij)Iicarc  debes  in  prcscriplls  denariis  30355,  p«)tes  dupliciter  procctlei-e.  Primum  quidem 
ut  iiiuoiiias  numci-um,  in  quo  reperiantur  rupti,  qui  .sunt  in  {>ortionibus  ipsorum;  quem 
numerum,  sci!undum  modum  euilutiouLs,  go  esse  reperies.  Ourm  muiliplica  per  imam- 
(piainquc  ]H)rtionem  ipsorum;  et  habebis  super  primum  soriiiin  i8so  , super  secundum 
2625,  super  ti^rtium  34us,  super  quartum  5210.  Vel  aliter,  secundum  Imius  artis  magi- 
•sterium,  multiplica  3!  per  suam  uirgulam,  erunt  94;  que  multiplica  per  4;  que  |>er  s, 
que  sunt  sub  uii^ilis  .secundi  et  tertii  .socii,  erunt  sexagesime  I88O,  ut  superius  sti{»er 
priniiini  socium  ]>er  alium  niodiim  inuenimus;  quem  numerum  non  oportet  muitipli«tre 
)>cr  6 , que  sunt  .sub  tiirgula  quarti  socii  propter  , que  sunt  sub  uirgulls  primi 
et  secundi,  in  ijutbus  totam  6 esse  cognoscimus.  Item  multiplica  43  secundi  socii  per 
suam  uirgulam,  erunt  quarte  175;  quas  multiplica  per  5;  que  per  3,  que  sunt  sub  uir- 
gulis  tertii,  ct  primi  socii,  erunt  similiter  .sexagesime  252.1,  ut  super  secundum  sm  ium 
inuenimus;  qiias  non  oportet  multiplicare  per  G de  uirgiila  quarti  socii  siiprascripta  ra- 
tione. Item  ut  habeas  nunuTum  tertii  liomiiiis,  multiplica  5G  per  suam  uirgulam,  erunt 
quinte  281;  quas  multiplica  per  6,  que  sunt  sub  uirgula  quarti  socii,  erunt  trigesime 
1704;  quas  multiplica  |)cr  2,  que  siiiil  in  ragula  de  4,  (|uc  sunt  sub  uii^ula  senmdi , 
erunt  sexagesime  340S;  quas  non  oportet  multiplicare,  cum  sint  sexagesime  per  2,  que 
remanent  in  regula  dc  els^lrm  4,  neque  per  3*  que  sunt  sub  uirgula  primi  socii.  Rursum, 
ut  habeas  mime.um  | quarti  socii,  multiplica  hg  per  d,  et  adde  5,  erunt  .sexte  52i;  quas 
multiplica  ]>er  5,  ct  per  2 .supra.scripU  demonslratiunc,  erunt  sexagesime  52to,  ut  per 
alium  imMlmii  iv|>ertum  fuit  : deinde  adde  quattuor  repertos  numeros  in  unum,  et  o{>e- 
raberis  secundum  quod  superius  docuimus;  ct  sic  balicbis  purtiunes  que  cuntingunt  cis 
de  lucro,  ut  in  (juestione  ostenditur. 

De  eoilem. 

Qvattuor  bumities  fuerunt,  cx  quibus  primus  misit  ~ unius  integri, alter  misit  J- , tertias 

quartus  uoro  misit  ^ ; ct  liabiuruiil  insimul  soldus  co;  queritur  quot  unicuique  ex  eis 
contingerit.  Kadem  uero  questio  est,  cum  dicitur  dc  quattuor  hominibus,  qui  emerunt 
porcum  pro  soldis  eo;  ex  quibus  primus  uoluit  habere  tertium  illius  porci,  .sn  uadus 


Digitized  by  Coogie 


m 

quartTiiUy  tertius  quintam,  quartus  sextam.  Viide  quidam  imperiti  cum  primus  pro  tertia 
parte  porri  prrsiduat  soldas  iO,  et  secundus  pro  (ptarta  ]>nrte  $o!d<»s  15,  et  tertius  pm 
quinta  {Nirtc  soldos  12,  et  quartus  pro  sexta  parte  soldos  <0;  et  omnes  insimul  iuncti 
non  faciunt  iilsi  soldos  57,  mirantur  quomodo  remanent  ad  persolueiidiim  soldos  3 ex 
ipsis  soldis  50;  et  qucruiit  quis  eurum  ipsos  soldos  3 soluere  deheat.  Non  enim  consi> 
deraul.qitod  ipsi  quattuor  homines  non  emerunt  totum  porcum;  cum  J J J J- unius  in- 
tegri non  faciant  unum  integrum,  inimu  remanet  ex  eo  (luare  de  soldis  eo  remanet 
similiter  uigesimn  o<»nim  ]>ars,  scilicet  soldi  3.  Vnde  si  essent  tres  homities,  ex  quibus 
primus  emeret  dimidium  illius  ]K>rci,  et  ]>rrsoluen^t  soldos  3o;  et  ulter  emeret  tertiam, 
et  persoluun^t  soldos  20;  et  tertius  emeret  quartam,  et  persolucrel  soldus  15;  et  sic  lia- 
InuTiitur  in  summa  soldi  6S,  hoc  est  soldi  5 magis  de  soldis  oo  ; <(ui  .soldi  5 sunt 
duodecima  pars  de  soldis  so.  Et  hic  contingit  quia  J -J  5 faciunt  magis  integro.  Vnde 
non  perstdtiutur  phes  uel  minus  de  soldis  co,  oportet  ut  emptores  quanlicumquc  fuerint, 
emant  talts  {K)rlioncs  que,  cum  iu  unum  reducte  fuerint,  faciant  umim  integrum.  Verbi 
gratia:  61  emptores  fuerint  duo,  uiins  emat  dimidium,  et  alius  aliud  dimidium;  uel 
unus  I alius  \ , ct  sic  deinre|^.  El  si  fuerint  tR'S  , unusquisque  emat  tertiam  |»aT* 
tein  , ucl  primus  emat  secundus  tertius  Et  si  fuerint  quattuor  , emat  iiniLS- 

qulsj|uc  quartam  |>artim;  ucl  primus  eorum  emat  }-,  secundus  tertius  J,  quartus^; 
et  sic  potes  intelligere  de  pluribus.  Nam  tit  presi-ripti  soldi  co  diuidantur  inter  quattuor 
supra.<K'riptus  homines,  ita  ut  nichil  iiide  remaneat;  desrril>c  questionem,  ut  hic  inten- 
ditur; et  nide  de  g-  J i ; in  qtiuli  numero  re|H‘riatitur.  Repcriiintur  enim  iti  «o,  quorum 
J , (}ue  est  f.o  , ]>one  sujicr  j iu  questione;  ct  quartam,  scilicet  is,  pone  .super  et 
quintam,  scdicct  12,  pone  super  J ; et  sextam,  scilicet  fO,  ]>rme  .super  Vnde  dicc.s, 
quod  primus  misit  20,  secundus  is,  tertius  12,  quartus  <0.  Vnde  adde  eos  in  unum, 
erunt  57  ; in  quibus  diuide  muUiplicationem  uniuscuiusi|ue  .suprascriptorum  quattuor 
numerorum  iu  .soldis  60)  et  sic  habebis  pnj  portione  primi  liominis  soldos  SN  hoc  est 
soldos  21  ct  IJ  unius  denarii;  et  pro  secundi  portione  soldos  [J  15,  hoc  est  soldos  is,  el 
denarios  9;  et  pro  tertii  portione  soldus  12,  hoc  est  soldos  »2,  ct  denarios  J|  7.  Simi- 
liter ct  pro  quarti  portione  habebis  soldos  lo,  ut  sii)>erius  in  que.stione  ostenditur, 
qui  sunt  soldi  to  , ct  denarii  6 . Quibus  quattuor  portionibus  nqtertis  , .si  eas  iti 
unum  coniuiixeris,  in  .snprd.scriptos  .soldas  6«  deuenies. 

Incipit  cafHtulum  ufulecinutm  de  conmlamint  munetarum . 

Moneta  quidem  dicitur  qucliliet  denarionim  quantitas;  ct  cflicitur  ex  qtiauis  argenti, 
et  eris  commixtione.  Maior  autem  moneta  dicitur,  in  cuius  libra  fuerit  plus  argenti, 
quam  in  ea,  que  fieri  desideratur.  Minor  ucn>,  in  qua  minus.  Moneta  consolari  dicitur, 
ipiando  ponitur  in  libra  ijisins  aliqua  data  argenti  quantitas.  Et  cum  dicimii.s:  habeo 
monelam  ad  uncias  quantaslibct  , ut  dicajmus  ad  2,  intelligimu.s  quod  in  libra  ipsius 
monete  Imbeanltir  uncie  2 argenti.  Consolatur  enim  moneta  tribus  mmlis.  Primus  modus 
est,  quando  consulatur  ex  dula  quantitate  argenti  ucl  eris.  Serundiis  cum  consolatur 
cx  quibuslibet  datis  monelis  cum  algenti , ucl  eris  , ucl  utriiisque  additione  tertius  : 
(piando  tantum  ex  datis  monetis  consolatur;  que  omnia,  ut  in  boc  capitulo  perfecte  con- 
tineantur, ipsum  in  diilcreritiis  septem  diuidimtis;  quarum  prima  erit  dc  cuiLsoIamine 
muiicte  ex  data  argenti,  uel  eris  quantitate:  secunda  erit  dc  consolamine,  in  quo  mu- 


V»H«  <|<ltil.ni  ....  rl  frf,..|ufrrl  * 

ir..l.  lui.  «.1»  e 1«;  n.« 

III.  ha.  I V 


IU  12  ii  20 


t.  t.  t.  s.\ 

'flO  1^10  IJis  A*'! 


f.ri 


<tA 


Digitized  by  Google 


141 


l.tiM  10  . ..  * <M. 

AO  rrrr-t.  t>a.  <19  Hnl-  6^1 
. Ii*.  1 : 114,  liu 

t4Mi 


nctc  ponuntur  quantitaliiic,  cx  quilui<:  alia  moneta  infonnatui,  in  ciiiu.s 'Ihra  miuu5  ar> 
petiti  ha)>caliir,  quam  in  prepositis  monetis.  Quod  eonsolamrn  sine  ad* Liuiie  mpri  esso 
non  potest.  Tertia  cum  monete  similiter  ponuntur  qunntitatiiie;  ct  uolucns  ex  eis  facere 
monetam;  in  cuius  libra  sit  plus  arcenti,  quara  in  que  sine  aditione  argenti  esse 

non  potest.  Quarta  cum  monete  ponuntur  sine  quantitate  « ex  quibii.s  nolueris  facere 
aliquam  positam  quantitatem  cutiisliliet  minoris  monete  cum  additione  eris.  Qiiintu  cum 
monete  ponuntur  similiter  sine  quantitate,  ex  quibus  uolucrs  facere  aliquam  |Kisitam 
quantitatem  cuiusliliet  maioris  monete  cum  additione  .irgeuti.  Sexta  quidem  difl'e'^enlia 
e.st  de  ipsis  monetis,  que  sunt  minores  et  maiores  illa  moneta,  (piain  uolueris  fa  *crc; 
tpiod  cutisolomen  sit  sine  eris,  iiel  argenti  additi*  ne.  Septima  uero  diirerentia  erit  de 
ivgulls  ad  consolamen  pcrtineiitilni.s.  ^ 

I/ifferentia  prima. 

Qvidam  habet  libras  7 argenti,  ex  quibus  uult  farcre  monctim  ad  uncias  s argenti 
iii  libra;  et  uult  scire  quantitatem  totius  consolaminis,  nec  non  ct  eris  iunrtioncm.  Kx 
libris  quidem  7 argenti  fac  uncia.s,  erunt  uiiric  M ; quas  diuidc  per  u>*cias  s supra- 
scriptas,  exibunt  4t;  ct  tot  libre  monet*?  erunt  in  sumtmi  pn*.scnpti  c^insulamiiils.  Verbi 
gratia:  cum  in  «{ualiliet  libra  monete  oporUat  uncias  2 esse  ai^enti,  quotiens  uncie  t 
lueiint  in  unciis  hi,  totiens  libra  una  mont  'c  potest  consolari  cx  illis  unciis  S4  argenti. 
Sui.t  enim  iiuiic.x  in  illis  unciis  h4  quadragies  bis.  Viidc  summa  consolaminis  est  libre 
42,  iit  jircdixitniis.  Kx  quibus,  extractis  prescriptls  libris  7 ai^enli,  n^nianent  pro  iuu- 
ctioiie  copri  libra  35.  .VIilcr  quia  in  qualibet  libra  debent  esse  uncie  2 ai^enti,  resi- 
duum qiK.d  csl  ab  illis  unciis  I2  uscpic  in  libra,  scilicet  uncic  to,  erit  tn  'adern  libra 
dc  cupre,  lioc  e.st  dc  rame.  Viidc  pro  qiiibuuslibet  unciis  2 argenti,  quas  bnbel,  u|>ortcl 
pemera  in  consolamine  uncias  10  eris;  propter  quod  et  io  libris  2 argenti  pones  libras 
10  ramis.  Vnde  redigitur  Iicc  questio  ud  modum  negotiationum,  uidelicet  ut  ponas  libras 
2 argenti,  et  libras  la  ramis  in  una  linea;  ct  libras  7 argenti*  quas  i|i^c  habet,  pones 
su)>  libris  2 argenti,  iit  sil  argentum  sub  argento,  ut  bic  ostenditur:  et  multiplicabis 
7 per  10,  qiie  sunt  cx  aduerso,  ct  diiiidc  per  2,  exibunt  libre  35  eris;  cum  quibu.s  adde 
libros  7 argenti,  reddunt  libras  42  pro  summa  tutiu-s  consolaminis,  isum  si  suprascrijilc 
lilirc  7 essent  de  rarae,  poneres  ipsas  libra.s  7 sub  libris  lo,  scilicet  rarae  sub  rame, 
ut  in  hac  atia  patet  descriptione;  ct  multiplicares  7 per  2,  ct  diuides  per  lo,  et  exiret 
libra  argenti;  cum  qua,  additis  libris  7 ramis,  redderent  pro  summa  tutius  consula- 
mini . libra  • i.  Aliter  quia  in  qualibet  libra  dmra  monete  sunt  uncic  io  ramis,  quotiens 
uncic  to  f icrunt  in  libris  7,  scilicet  in  unciis  S4,  totiens  libra  una  exict  in  summa  ip.siuus 
consolamiuis;  quare  diuides  84  per  lO  , exibunt  libre  8,  ut  prcdixlmus ; cx  quibus 
extractis  libris  7 ramist  rcjmancl  atgenti  libra  1 1. 

De  eodem. 

Irem  si  proponatur,  quod  quidam  habeat  libras  8,  ct  uncias  7 argenti,  ex  quibus 
unlc  facere  monetam  ad  uncia.s  js  in  libra;  ct  queritur  summa  consolaminis,  nec  nun 
ct  eris  adiunctio,  fac  siiprascripta  ratione  uncias  dc  libris  8,  et  uncias  J 7,  erunt  uncic 
J-  103;  quas  diuidc  per  uncias  } 2,  hoc  est  multiplica  | 103  per  12;  quia  in  12  repcriuntur 
{ I , erunt  1230:  et  multiplicabis  iterum  ^2  per  42,  erunt  28;  in  quibus  diuidc  1239, 
exibunt  libre  \ 44,  scilicet  libre  44,  et  uncie  3 pre  suromn  dicti  consolaminis;  ex  qnibits 


Digitized  by  Googie 


U5 

extraliv  liLnus  8^  ct  uncias  J 7 argenti,  rcniancbnnt  ex  ere  Hbre  35,  ct  uncte  J 7.  Aiitcr: 
extrahe  uncias  \ 3 argenti  cx  unciis  unius  lihre,  ik‘ilicet  t)c  ix,  remanebunt  uncic  | o:  ct 

dcMu-ibes  qiioil  in  unciis  [ s argenti  sunt  uiicie  J u crlsj  ct  sub  unciis  J 2 jmne  uncias 

J 103,  vscilicet  ai^enti  sub  argento;  ct  muitipIicabU  | o per  | 103,  et  (Uiiiiics  per  - 2, 
exibunt  unrie  eiis  { 427,  <pic  sunt  libre  35,  et  uncie  { 7 , ut  [)cr  alium  niotlum  in- 
iteitiiuus:  cum  <ptibits  adde  libras  8,  et  uncias  j 7 argenti,  erunt  in  suinrna  lotius  coii- 
solamiiiis  libre  44,  ct  uncie  3. 

/)e  eoflvm. 

Naoi  si  prescnj»lc  libre  8,  et  uncic  -J  7 fuerint  cx  ere;  et  uolueiis  scire  summam 
consolaminis,  et  argenti  iunctionem  , multiplicabis  | tos  per  * 2,  et  diuides  per  j9, 
exibunt  argenti  uncie  {-jJ  24;  cum  rpiibus  adde  uncias  j 403  eris,  erunt  uncie  ^ I28, 

lioc  est  libre  lO,  ct  uncie  s,  ipic  sunt  summa  totius  consolaminis.  Vcl  aliter:  dinidc 

j 103  per  f 0,  exibunt  libre  lo;  de  fpiibus  si  uncias  facere  uis,  multiplica  49 
]>er  4,  et  adde  3,  enint  79;  rpic  tmiitiplica  per  3,  ct  diiiidc  per  29,  exibunt  uncie  ^ 8; 
et  sic  lial»cbimn.«  pro  summa  dicti  consolaminis  libras  40,  et  uncias  a,  ut  predixirmis. 

Incipii  (liljerentia  secunda. 

Qvidani  )iai»et  libras  7 monete,  que  est  ad  uncias,  ex  quibus  uuU  facere  monelam 
ad  uncias  2;  et  quare  consolaminis  summa,  et  eris  adiuuetio.  Scribes  quidem  sub  libris 
7 uncias  5 argenti,  que  sunt  ia  unaquaque  libra;  et  inucnies  uncias  argenti,  que  sunt 
in  illis  libris  7:  scilicet  multiplicabis  5 per  7,  erunt  uncic  35;  et  tantum  argentum 
est  in  proscriptis  libris  7:  quas  uncias  33  pones  suj)er  libras  7;  cx  quibus  uero  uncie 
35  argenti  possunt  consulari,  totiens  libra  1 monete  ad  uncias  2,  quoties  uncic  2 sunt 
in  unciis  35:  qnarc  diuklc  35  per  2,  exibunt  libre  | 17  pro  summa  dicti  consolaminis; 
ex  quibus  extrahe  libnis  7 suprasi‘riplas,  remanebunt  libre  | 40  pro  cupri  iunctione. 

De  eadem  differentia. 

Item  si  liabneris  libras  7 ad  uncias  5 unius  monete,  ct  libnis  9 ad  uncias  4 alterius; 
et  uolucris  ex  cis  monetam  ad  uncias  3,  cuprum  addendo,  conformare;  et  ({uesieris  iun- 
ctionem cupri,  nec  non  ct  totius  coiisolamiriLs  quantitatem,  sic  facies:  ordina  questionem 
dictatu  in  lnmc  modum;  et  multiplica  libras  7 per  5 , erunt  35  ; ct  libras  9 |>er  4 , 
erunt  36;  que  adde  cum  ss,  erunt  7i;  et  hec  est  summa  uncie  aigenti,  que  est  in  libris 
dictis  utriusque  monete;  qua  diuisa  per  uncias  3 ipsius  monete,  quam  uis  facere,  exibunt 
libre  ^ 23,  que  sunt  summa  tutius  consolaminis;  de  quibus  extrahes  libris  7,  et  9 su- 
prascriptls  remanent  libre  | 7,  que  sunt  .summa  iuuclionis  cupri. 

De  eoiiem  regula  uniuersalis. 

Si  ucro  in  consimili  consolamine  tres,  uel  quattuor,  ucl  plurcs  diuer.se  monete  pn>- 
jionantur,  argenti  uncias,  qitc  fuerint  in  omnibus  prej>usilis  monetis,  addiscas;  quibus 
diuisis  per  uncias  aigenti,  <pic  sunt  in  libra  ipsius  monete,  quam  uls  facere,  summam 
totius  consolaminis,  tantum  iutienies.  De  qua  summa  extractis  libris  monete  , que  in 
consolamine  proponuntur,  cupri  adiunctio  relinquitur.  Verbi  gratia  : habeantur  in  con- 
solamine quattuor  monete,  cx  una  quarum  sint  libre  8 aduucias-|  7;  et  ci  altera  libre 
G ad  ancias  ^ 6;  K.x  tertia  uero  libra  5 ad  uncias  | 5;  Kx  quarjla  uero  sint  libre  ^ tt 
ad  uncias  | 4 ;*  r t uuluciis  ex  cis  facere  monetas  ad  uncias  } 3 ; ct  quesierls  totius 
consolaminis  sumniain,  ucc  non  et  cupri  imiclioiiem;  scribe  questionem,  ut  supra  docui- 

49 


j 7-  Alih^  — «IU»»  » 6'* 

•vri«.  iin.  V ili  p»e.  |4S,  liii, 

I 11^ 


l|IMrv  <0HwiLiImII1<  ....  llliri,  • 
|f«l.  6-0  1'rrvn.  Ita.  71.3X; 

14»,  1,D.  IB.X2t. 


fwl  61  rwfta 


Digitized  by  Coogie 


34200  297.10  IJ2TCO 


ri  q«»r|U  • 

<ful.  «I  hn.  19.  r»i.  61 
rrct»  , lia.  1*16  i 1^4. 
lia.  41  — p«f.  146]  liu.  tlj. 


itaifMt  ^ 3 ••••  p«>M|LMuai  • 

19-n  « 

U,  |Mc.  liO.  lia.  Xl-41). 


146 

mas,  et  multiplica  libras  uaiasciuus«|uc  muiictc  per  uncias  argenti,  que  puiuinlur  in  libra 
ipsius  muiietc)  que  multiplicatio  sic  At:  scilicet  ut  multiplices  libras  s per  uncias  1 7, 
erunt  iiiicic  co.  Item  multiplica  libras  6 alteiius  monete  per  uiicia.H  • 6,  erunt  unrie 
38.  Item  multiplica  libras  | 5 tertie  monete  per  uncias  * 5,  cnint  unrie  38.  Item  mul- 
tiplicm  uncias  \ 11  per  \ 4,  erunt  J 47:  addes  igitur  prescriptas  multiplicationes,  scilicet  60, 
et  38,  et  28,  et  f 47,  eruiit  { 173;  que  sunt  summa  uncie  argenti,  que  est  in  dictis  quattuor 
monetis:  quas  uncias  diuidc  per  uncias  { 3 ipsius  monete,  quam  uis  consolare,  eiibiml 
libre  f-fj  34,  i}uc  sunt  summa  totius  consolaminis:  de  qua  summa  extrahe  iunctiunem 
|>ositarum  librarum,  scilicet  8,  et  6,  et  J- 5,  et  ^ll,  que  sunt  libre  ^ remanebunt 
pro  cupri  quantitate  libre  s<>  laic  csl  libre  24,  et  uncie  Et  si  de  dicto con* 
solamine  libras  60  facere  uls,  multiplica  eo  per  J 3,  erunt  uncie  argenti  I90,  que  de- 
bent esse  in  prescriptis  libris  co  fieiidc  monete:  de  <|iiibus  extrabe  uncias  argenti  J I73, 
que  sunt  in  prescriptis  quattuor  monetis,  remanent  uncie  j 16  urgenti,  quas  addes  in 
proscripto  consolamine;  quibus  additis  cum  summa  j>rcscriptarum  monetarum,  scilicet 
cum  libris  ^ 30,  erunt  libiv  32,  minas  quarta  unius  uncie.  Residuum  quorpie,  qu(wl  est 
uscjiie  iii  libris  go,  scilicet  libras  29,  ct  quartam  unius  uncie  addes  de  ere.  Et  liic  est 
nHHius,  quo  utuntur  magis  monetarii. 

Irem  aliud  consolamen  eiusdem  manierei  proponatur,  quod  ostenditur  cum  demostra- 
liuiie  artis  figurarum,  ut  apertius  que  dicta  suril  intclligantiir:  ut  si  habeantur  libre 
^7  unius  monete,  que  sunt  ud  uncias  <>5;  et  libre  j8  altenus,  que  sint  ad  uncias  J 4. 
ct  libre  J 0 alterius  , que  sint  ad  uncias  | 3;  cl  uutiieris  cx  cis  monetam  ad  uncias 
~ 2,  cupnim  addendo,  conformare,  scribe  questionem  in  bunc  modum.  Et  inucnia.s  nu- 
inciuin,iii  quo  rejwriatur  ^ ; 2>  que  sunt  cum  libiis  trium  monetarum,  critque  6.  In 
quibas  multiplica  libius  J- 7,  cl  i 8,  et  { 9,  erunt  sexte  45  super  | 7,  cl  50  super  Js, 
et  55  stq>er  - 0.  Tost  bcc  redige  ad  similia  similiter  uncias  argenti  prodictarum  trium 
monetarum,  scilicet  multiplica  uncias  5 i>cr  suam  uirgiilum,  cruut  26;  que  per  4;  que 
per  7,  que  sunt  sub  aliis  duabas  uirgls,  erunt  centesime  quadragesime  728;  quas  pone 
siij>er  uncias  | 5.  Item  multiplica  uncias  4 per  suum  uirgam,  erunt  I7;  que  per  7;  qac 
per  5,  que  sunt  sub  aliis  uirgis,  enint  595,  que  pone  super  i 4.  Similiter  multiplica 
uncias  3 per  eunim  uii^am,  eniiil  22;  que  jier  4;  que  per  s,  erunt  440,  que  pone  super 
{ 3.  Et  multiplica  728  |M?r  45,  et  595  per  so,  ct  440  per  55,  eniiil  ocligciitcsimc  qua- 
dragesime 32760,  cl  29750,  et  24200;  quas  addc  iasimul,  erunt  octigrsime  qiiadragcntesime 
86710,  que  debes  diuiderc  per  J f,  et  per  fractiones  unciarum,  ct  j>er  c.  Iu  quibus  mul- 
tiplicasti libras  prodictarum  moiielaruni,  boc  e.st,  multiplicabis  uncias  2 per  suam  uirgam. 
.scilicet  per  8,  et  addes  i,  erunt  I7.  In  quibas  17,  ct  in  { * ^ * diuides  octujdum  de 
8C710:  sed  ut  halicas  uncias,  et  denarios  ponderis,  que  cadunt  in  presciipla  diuisione, 
apta  in  ct  adde  ~ in  uirga,  et  habebis  in  aplationc  cius  } ? \ \ 

diuides  multiplicationem  iH'tupli  de  86710  in  s,  propter  que  addita  fuit  in  uiiga  ^ 
lumen  cuitabls  inde  scilicet  multiplica  dimidium  de  5 uicibus  8,  scilicet  20  per  S67(6, 
erunt  1734200;  quml  diuidc  per  f-V  * ViV  exibunt  libre  49  pro  .summa  lotius 

consolaminis;  de  quibus  extrahe  libras  omnium  trium  nionetaiiim  positarum  , scilicet 
5 7,  ct  J 8,  et  J 0,  lioc  est  libras  25,  remanent  pro  cupri  iunclionc  libre  ,Vt  » i i*« 

Et  si  cum  prescriptis  tibiis  es.sent  alie  fractiones  , que  de  facili  extrahi  nun  [Hissent, 


Digilized  by  Google 


147 

cx  dicla  siimma  coiisolarainis,  lunc  ac.  ijie  sextas  45  et  55,  «itias  superius  iuuenimiis,  erunt 
sexte  150:  cpic  ut  redigantur  ad  similia  cum  uii*ga  fractionum  summe  predicte,  mul- 
tiplica  iro  per  s,  erunt  duodecime  300j  ipias  j multiplica  jier  rclii]iios  numeros,  ipii  sunt 
xul)  uirga,  scilicet  jier  5;  que  i>er  5;  que  jier  17;  que  per  7,  erunt  8M500;  que  eitralie 
de  1734S00,  remanent  841700;  que  diiiide  per  n";*;  * , ,V»  exibunt  pro  cupri  iunclione 
|il,re  « 13,  ut  supra.  Verum  si  de  predicto  consolamine  libras  eo  cura  addi- 

tione argenti,  et  eris  consolare  uolueris.  Multiplica  60  |>er  s,  ut  habeas  argentum, 
quod  erit  necessarium  in  ijisis  libns  eo,  enint  octaue  ipsius  uncie  loso;  quas  multi- 
plica per  iKlauam  de  840,  scilicet  jier  105  , erunt  octigentesime  quadragesime  I07ioo; 
de  quibus  extrahe  octigentesiraas  quadragesimas  ex  unciis  807io,  que  sunt  argenti  in 
prescriptis,  scilicet  predictarum  monetarum,  leraancut  argenti  octigentesime  quadrage- 
sime cx  unciis  S0300,  que  deberent  diuidi  jier  840,  ut  rciutegrenlur.  Sed  ut  habeas  dc- 
iiaiios  ponderis,  que  sunt  in  exs,  multiplica  107100  per  5,  cixint  101050;  que  diuidc  per 
840,  cl  ]ier  5,  hoc  est  per  f-H-f-J:  '1“®  fpihns,  ut  liant 

libre,  addes  u sub  uiiga,  exibunt  libre  | ^ l,  hoc  est  libre  1,  et  denarius  i 

IKindcris,  et  rarrulic  5,  et  | unius  grani;  et  tantum  debet  addi  de  argento;  que  adde 
cum  prescrii.tis  monetis,  erunt  libre  ] \ \ ‘ \ »7;  residuum  quo.1  est  usque  in  60  addes 

de  cupro;  quod  residuum  inuenies  esse  f-rTrl-",  =>*  l'*'''  modum  demonstratum  in  so- 
cietatibus; cum  per  portionem  lucri  unius  socii  portio  alterius  inucnitur. 

Iitci/Hl  Ji/ferenlia  tertia. 

gvidam  lialuTt  libras  o monete,  que  est  ad  uncias  i,  ex  quibus  uult  facere  monetam 
ad  uncias  5:  et  ipiarc  summa  consolaminis,  et  argenti  adiunctio.  In  hac  autem  diffe- 
rentia rame,  quod  est  in  moneta  posita,  est  coiisiderandura:  quare  extrahe  uncias  i de 
libris,  remanebunt  uncie  to;  et  tot  uncie  eris  sunt  iii  qualila-t  libra  dicte  monete  : 
quare  pones  lo  sub  libris  0,  et  multiplicabis  lo  per  0,  erunt  oo:  et  tot  uncie  eris  sunt 
in  illis  libris  9;  quas  uncias  diuide  per  uncias  cupri,  que  sunt  in  libris  monete,  quam 
consolare  uls,  scilicet  per  7;  quia  quotiens  iiiiclc  7 sunt  in  unciis  90,  totiens  una  libra 
ex  ipsis  unciis  oo  consolari  potest,  exibunt  libre  | u pro  summa  totius  consolaminis; 
ex  quibus  extrahes  libras  0,  remanent  i 3 pro  argenti  iunctione. 

De  evJem. 

Irem  si  habueris  libras  8 alicuius  monete,  que  sit  ad  uncias  e,  et  libras  9 alterius, 
que  sit  ad  uncias  7;  et  uolueris  cx  eis  consolare  monetam  ad  uncias  s argenti  addendo; 
et  rjucsicris  totius  cousolaminis  summam , nec  non  et  argenti  addiscere  iunctionem  , 
accipe  uncias  cupri,  que  sunt  in  unaipiaqne  moneta,  et  eas  insimul  iunge;  quorum 
summa  per  uncias  cupri  fiende  monete  diuidc;  et  quod  cx  diuisionc  pcnienerit,  erit 
summa  totius  consolaminis;  que  sic  facienda  sunt.  Vide  ab  unciis  o argenti,  i|ue  con- 
tinentur iii  libra  prioris  posite  monete,  usque  in  unciis  IS,  scilicet  in  libris,  quot  de- 
sint: desunt  enim  uncie  6;  et  tot  uncie  cupri  continentur  in  libra  ipsius  dicte  monete; 
quas  multiplica  per  libras  8,  erunt  uncie  48;  et  tot  uncias  Cupri  in  pre.scriptLs  libris 
8 esse  cognoscas.  Item  illud  idem  fac  de  alia  moneta;  et  reperies  esse  in  ea  uncias 
45  cupri:  que  si  iuncte  cum  unciis  48  fuerint,  erunt  uncie  93;  quas  diuide  per  uncias 
4 cupri,  que  sunt  in  moneta,  quam  tu  uis  facere,  exibunt  libre  j S3,  que  sunt  summa 
totius  consolaminis;  de  qua  summa  extractis  libris  s et  9,  scilicet  t7  pro  argenti  iun- 
ctione, libre  ;6  remanebunt. 


iB  60  ....  «OtiMlantlllts  • llul. 
61  fcr**.  Im.  1S'X1,  pa||.  117, 
liii. 


ianctiA  •rf. 

rmt.  rr. 

90 

ronaal. 

‘ 

9 

tr. 

>'«r.  nt. 

7 

iO 

■tacMl  7 ....  <|it*  «tuti  i»  » 
(fui.  61  vert»,  lt«.  84-K:  fwn. 
147.  Ita.  t8-4Si. 


/'•f.  »r. 

t'nc- 

ftte.  r». 

V ® 

45 

«.  M«|4*1. 

J. 

J. 

i 03 

9 

H 

fmv. 

Vmt. 

1'h. 

4 

5 

6 

Digitized  by  Googie 


fui.  (11 

IT<«I  kilir*  ~ 47  llfHi  I 
iful.  41  »^ru>,  infr- 

fH«g.  14H,  Ihi.  l-i). 


1 iaiii  li»  «rj-rwfi* 


5-i  7 

H * * 

^47  i 43 

./. 

./.  J. 

u*  * 
r»v 

i’ 

io  is 

t N(*. 

!'nf.  /‘nr. 

i « 

i7  J8 

t«ni  lilirt*  8 • 

{si>.  6i 

.«...#11 

lin.  b « l.lt, 

HH.  14H 

. Im. 

U2lj. 

l.  t. 

/.  /. 

13  10 

8 7 

,w.  I-,.. 

6 

3 2 

5 

■■I  (ii«ii  10  ....  • [fui. 

41  tvrin.  tilt.  1&-H;  f-ig.  141( 
h«.  14.  Sl;. 


liO 

30 

r»e. 

lar. 

2 

S 

J.  erit 

t.  mm. 

IH 

12 

It  H iMl  ....VimI*'  Min  t{r»l. 
61  tYrf,  li|.  19-lV;  |Mg.  |4ll. 
Imi.  S9-41J. 


4»  n,r. 

t'me. 

It  ’-3 

7i^ 

In#-.  tue. 

1 ue. 

4 b 

7 

1 i*nrl|.>««V« 

4 

1 '1- 

US 

De  eodem. 

Irem  habes  libras  | 5 unius  numete,  que  esi  ad  uncias  j 3 argenti , et  libras  i o 
ad  uncias  | 4»  et  libras  | 7,  que  est  ad  uncias  j S;  et  uU  facere  es  cis  monelam  ad 
iincias|  8,  argentum  addendo,  conformare;  uidc  cuprum,  quod  est  in  libra  uiiiuscuiu.sque 
monete:  in  libra  namque  jirinie  monete  sunt  uncie  ^ 8 ; secunde  uero  uncie  > 7 , et 
tertie  | 6.  Multiplica  itaque  libras  \ 5 per  uveias  \ 8,  erunt  | 45.  Item  multiplica  libras 
j 0 secunde  monete  per  uncias  j 7,  erunt  47.  Item  | multiplica  libra.s  | 7 tertie  monete 
per  uncia.s  ' 6,  erunt  uncie  | 49;  et  «adde  tres  prcscriptas  multiplicationes  insimul,  erunt 
UQcic  I 141;  quQS  diuidc  (>cr  uncias  cupii,  (}ue  sunt  in  libris  i|isius  monete,  quamuis 
facere,  scilicet  per  | 3,  exibunt  pro  .summa  tutius  consolaminis  libre  ^ * 16.  A quibus 
extractis  libris  i 5,  et  | 6,  et  { 7,  remanebunt  pro  argenti  iunctionc  libre  {-|  7. 

Cof^niiio  utrum  arf^entum  nel  rnme  iungi  debeat  in  quouis  consolamine. 

Irem  .si  trium  ucl  plurium  quantitates  libre,  ucl  uncie  aliquarum  monetarum,  in  cod- 
solamine  pn>[>unaiitnr,  in  ({utbus  sunt  maiores  et  minores  ex  ea  monela,  quam  unliicris 
facere;  et  utrum  argentum,  ucl  es  addere  debea.s,  scire  uolucrls,  argenti  uncias  cqq- 
ctarum  monetarum  accipe  , cl  diuidc  cas  (>or  uncias  argenti  unius  libre  ipsius  mo- 
nete , quam  uls  coasolarc:  et  si  sumina,  <}ue  exierit,  maior  libris  omnium  monetarum 
erit,  cuprum  u|>ortct  adiungi;  ct  si  minor  erit,  addendum  est  argentum;  et  si  niiimr, 
nec  maior  fuerit,  ncc  cuprum,  iicc  aigentum  debet  adiungi.  Verbi  gratia:  liabcu  libras 
7 monete  ad  uncias  2,  ct  libras  8 ud  uticia.s  3,  et  libras  10  ad  uncias  6,  cl  libras  13,  que 
.sunt  ad  uncias  9;  ct  uolo  ex  eis  facere  monetam  ad  uncias  s.  fn  istis  namcjuc  quat- 
tuor monetis  sunt  uncie  argenti  its  ; quas  diuide  per  uncia.s  5,  que  sunt  in  libra 
ip.sins  monete,  «piam  tu  uolucrls  consolare,  exibunt  lil>rc  43:  iunge  itatpic  libras  7 eum 
libris  8,  ct  cum  10,  ct  cum  13,  erunt  38,  qitc  sunt  minus  de  43:  qiiaix;  iu  dicto  eoo- 
.solamine  addes  cuprum;  cl  si  plus  fuissent,  addendum  es.set  itaque  argentum  ; et  .si  39 
c(|uarcatur  ad  43,  tunc  nec  cuprum,  nec  aigentum  esset  addendum,  ut  supra  diximu<. 

Differentia  quarta. 

81  habueris  monetam  ad  uncias  s,  ci  qua  nolueris  facere  libras  30  monete  ad  un- 
cias 1,  cuprum  uidclicct  addendo;  ct  uolueris  scire  qnantnm  mittes  dc  ipsa  moneta, 
ct  quantum  dc  cupro  , Vides  (piantum  argentum  debet  esse  in  illis  libri.s  30  (lende 
monete,  scilicet  uncie  60:  cpiia  in  unaquaque  libra  debent  esse  uncie  2 argenti,  et  bis 
triginta  faciunt  co;  que  uncie  co  argenti  sunt  in  libre  (i^ic)  12  illius  monete,  quaro 
habes  ad  uncias  5;  quia  dluUls  00  per  5,  reddunt  12;  el  tot  mittes  ex  dicta  inoneU- 
Uesiduum  uero,  quod  est  usque  in  libris  30,  mittes  de  cupro,  scilicet  18. 

De  eodem. 

Et  si  babueri.s  duas  monelas  maiorc.s,  ex  ea  quam  facere  iiis,  quarum  una  sit  ad 
uncias  7,  ct  alia  ad  uncias  6,  cx  quibus  iiis  facere  unam  libram  monete,  in  qua  sint 
uiicic  4 argenti;  et  uolucrls  scire  quot  uncias  cx  unaquaque  miseris,  ncc  non  et  cas 
ndiunctioiiem.  Hec  uulcm  el  scffucnliura  dilTerenliarum  consolamina  tripliciter  prepora 
possunt.  Trimus  quidem  est,  ut  initiatur  cqualilcr  cx  unaquaque  positarum  monelarum. 
Secundus  incqualiter.  Tertius  proporlionaliler.  V ndc  si  in  prescriplo  consolamine  equa- 
litcr  mittere  uls  ; ex  unaquatjue  positarum  monete  addes  uncias  argenti  , que  sunl 
in  ulraque  monela,  scilicet  7 cum  6,  erunt'  I3;  ct  multipUea  argentum  ipsius  mincte, 


I 


Digitized  by  Coogie 


uo 

i|uara  uis  per  uncias  12,  sciliccl  |»er  libram  unam,  quam  uis  consolare,  erunt  uncic  4»; 
quas  diuidc  [ler  dicta  i3,  exibunt  uncic  ~ 3;  et  tantum  puues  de  unaquaque  moneta. 
Hasiduum  uero,  quod  est  uwjuc  in  unciis  12,  scilicet  in  libra,  mittes  de  rarae,  scilicet 
uncias  ~ 4. 

De  eodem  mittendo  inequaliter  de  unaquaque. 

Nim  si  equalilcr  de  unaquatjuc  monela  iii  consolamine  prc.scriplo  mittere  uLs,  pone 
ut  habeas  ad  libitum  unam  libram  ex  ij)sa  moneta,  que  est  ad  6 uncias,  et  libras  2 ex 
alia,  <iue  est  ad  uncias  7;  et  describe  iii  questione  unum  super  6,  et  2 sujvcr  7,  se- 
cundum modum  secunde  dillercntie  ; et  multiplicabis  1 per  6,  erunt  6 ; et  2 et  7 , 
eruut  14}  et  poiics  s super  l,  et  14  .super  2;  et  adde  ea  instroul , erunt  20  : deinde 

multiplica  4 }>cr  12  , .scilicet  uncias  argenti  , quas  ponere  uis  iii  libra,  per  unciam 

quam  I consolare  uis,  erunt  46  ; que  per  \ , quod  positum  est  su{>er  6,  multiplica  , 
erunt  4»;  <|ue  diuide  per  20  supinscripta  , exibunt  uncic  | 2 ; et  tot  mittes  de  mo- 
neta, que  est  ad  uncias  0.  Item  multiplica  48  per  2,  que  sunt  super  7,  et  diuide  per 
20,  exibunt  uncic  | 4;  et  tot  mittes  ex  ea,  que  est  ad  7 : quibus  addes  cum  unciis 
f 2 suprascriptis,  eruut  iincie  { 7;  a quibus  us([ue  in  uucils  12,  scilicet  in  libram,  quam 
uis  consolare,  sunt  uncie  \ 4,  quas  mittes.  Et  si  suprascriptum  coiisolamcn  projmrliona- 
litcr  facere  uis,  scilicet  ut  sicut  quilibet  datus  numerus  est  ad  alium  datum  numerum, 
itu  hoc  quod  mittes  ex  una  moneta  sit  ad  hoc  quod  mittes  ex  alia:  ut  dicamus:  sicut 
3 est  ad  4,  ita  boc  quod  mittes  ex  monela,  que  est  ad  0,  sit  ad  hoc  quod  mittes  ex 
moneta,  que  est  ad  7:  et  ponamus,  quod  uLs  inde  consulare  libras  23,  ad  uncias  5. 
l'one  igitur  3 super  6,  et  4 super  7,  qui  sunt  numeri  date  jiro|mrtionis;  et  multipli- 
cabis 3 i>er  0,  erunt  is;  cl  4 per  7,  erunt  2Sj  pones  I8  super  3,  et  28  su|>cr  4j  et 

addes  cos  insimul,  erunt  40:  et  multiplica  s per  23,  erunt  iis;  que  multiplica  per  3, 
que  sunt  super  o,  et  diuide  per  46,  exibunt  libre  | ? de  moneta,  que  est  ad  6:  similiter 
multiplica  il5  per  4,  et  diuides  per  46,  exibunt  libre  io  de  moneta  , que  est  ad  7; 
quibus  libris  ^ 7,  et  libris  10,  scilicet  libris  \ I7  extractis  de  summa  cotisolamiuis,  sci- 
licet de  libris  23,  rcmaiicut  libre  pro  eris  iunclione. 

De  tribus  monetis  cum  mittatur  equaliter  de  unaquaque. 

Et  si  babucris  tres  monetas,  quarum  una  sit  ad  uncias  | 3,  alia  ad  uncias  \ 4,  alia 
ad  uncias  et  uoluerls  ex  unaquaque  equaliter  mittere,  et  consolare  libras  10  mo- 
netarum ad  uncias  \ 2,  adde  argentum,  (piod  est  in  unaquaque  moneta,  eruiU  uncic  -Jz  13; 
ot  multiplica  argentum  qxsius  monete,  quam  uLs  facere,  scilicet  uncias  ^ 2 per  libras  ib, 
erunt  22;  que  diuide  per  ~ 13,  exibit  t;  et  tantum  mittes  de  unaquaque  moneta. 
Residuum  uero,  (juod  est  usque  iii  libris  10,  mittes  de  cupro,  quod  est  libre  S. 

De  eodem  cum  mittatur  inequaliter  ticl  proportionaiiter  de  ututquaque. 

Naui  si  inequaliter,  et  proportionaiiter  ex  unaquaque  moneta  mittere  uis,  ut  dica- 
mus: sicut  est  ad  3,  ita  boc  quod  mittes  ex  monela,  que  est  ad  | 3,  sit  ad  hoc,  quod 
mittes  de  ea,  que  est  ad  uncias  | 4 ; et  sicut  4 est  ad  5 , ita  boc  , quu<l  mittes  ex 
eadem  \ 4,  sit  ad  hoc,  quod  mittes  ex  ea  de  ^5.  Inuenies  quidem  tres  numeros,  quorum 
primus  ad  secundum  sit  sicut  2 ad  3;  Et  secundus  ad  tertium  sicut  4 ad  s ; quorum 
inueniendi  modus  est,  ut  ponas  in  una  linea  2,  et  3:  pone  4 super  3;  et  post  3 po- 
ne 5;  et  multiplica  4 per  2,  que  est  ex  aduerso,  erunt  s pro  primo  numero;  Et  4 per 


• ^ihI  r«t  ....  wn-i.>r»  >]'•<«*  • 
Ii«.  li-XV;|'  t- 
IIS.  liu.  311  « I2i. 


48  tl  G 

«mf.  J.  J. 

(2  2 I 

Hme.  wAi-. 

4 7« 


-mt.  ert*  muf.  ««<-.  If. 


r»j. 


•If  ....  • 

(l.il.  Ii*.  II  p 12-44; 

fug.  119.  lia.  U-44<. 


t 


Digitized  by  Googie 


34.1  SOS  iit 


Vrl  >ltUr  ....  in  «<m  • iTnl. 
6t  rM-«*.lin.  t7.10i  |u|t.  IS9» 
IM.  S-7t. 


l,rf. 

15 

ta 

8 

5 

4 

1 

3 

2 

....  iuMCMtj*  • ir.il, 

Ii«.  SI  S9i  I-H-  i40. 
Ii..  7-lNi. 


fvi.  63  r*e  f«. 


<|ih>4  in  ....  fimilf  » 63 

rtett,  lin.  1-6)  ^n.  13U,  li«. 
1V-3S;. 


ftti  une.  rn»  unr.  «tm 

Is»  8 


war.  mrg.  utir.  M.  utt.  M. 


« r*c*r<- ....  <i«  > { r.8i. 

63  mttr,  liH.  IS-tlii  l.Sil, 
Illi.  33  ~ |M«.  131,  l>n.  «j. 


150 

3,  erunt  is  pro  secundo;  Et  3 per  5,  que  sunt  ex  aduerso,  erunt  15  pro  tertio  nuracr". 
Vei  aliter  quia  t de  3 erunt  et  4 de  5 sunt  | , uides  in  quali  numero  reperiun- 
tur  1 1,  scilicet  in  is,  que  lial>caiitur  pru  tentuuu»  quorum  \y  .scilicet  it,  lial)eautur  pro 
.secundo,  quorum  , scilicet  8,  haheantur  pro  primo.  Sunt  enim  8 ad  is,  sicut  s ad 
3;  et  12  ad  is,  .sicut  4 ad  5:  deinde  pones  s super  -J  3,  et  11  .suj>cr  | 4,  et  15  super 
f 5,  ut  in  questione  ostenditur:  et  uidc  si  ruptus,  qui  est  in  unaquaque  moneta,  re- 
perialur  in  suo  superpi^ito  iiuincm.  Nnm  | repentur  in  8 « et  | in  is ; sed  | doq 
rcpcrilur  in  15,  neque  alia  |>ars  ipsius.  Viidc  ut  habeas  sanius  lioc  quod  uis,  oportet, 
ut  multipliccUir  uiiusquLsfjuc  superpositorum  numerorum  per  4,  erunt  3X  , et  48,  et 
co;  et  muUiplicaLLs  ^3  per  3t,  erunt  tis,  que  pone  suj)er  as.  Kt  ~ 4 per  48,  erunt  sor, 
que  pone  .suj>er  48;  et  } 5 per  60,  erunt  34s;  que  pone  siiiTcr  oo  ; et  addes  itt  cum 
208,  cl  cum  345,  erunt  685.  Et  multiplica  libras  10,  quas  uis  consolare,  per  uncias  i, 
erunt  as;  que  multiplica  per  3S,  ct  diuides  per  665,  exibunt  Iibrc  l de  muncta, 
que  est  ad  | 3.  Item  imilliplicahis  aa  per  49,  ct  diuides  per  605  , exibit  dc  monela, 
que  est  ad  4,  libra  ^4«**  multiplicabis  eadem  aa  per  co,  et  diuides  per  665, 

exibunt  de  ca,  que  est  ad  |s,  libre  7-7«'*  Hesiduum  uero  mittes  dc  cupro,  quod  est 
residuo  reperire  j>cr  modum  iuucnicudi  portionem  lucri  ultimi  socii  jxr 
imieutas  | portiones  reliquorum.  Nam  ex  supra.scriptis  fractionibus  uncias,  et  partc.s  un- 
ciarum facere  poteris  secundum  <piod  in  negolialioiiibus  dcmonstrauimu.s. 

Di/j'i*rctt/t'a  quinta. 

Si  autem  monete  minorc.s  pruposucri.s,  ut  monete  ad  4,  ct  monete  ad  3 argenti  ia 
libra;  et  nolueris  ex  ipsis  monetis  libram  1 ad  uncias  7 , argentum  addendo,  confor- 
mare ; et  quesiciis  uuiusci>iiis(ptc  , nec  non  cl  argenti  addi.scere  quantitatem,  lii  Ikic 
autem  consoianiiiie,  ct  in  similibus  o|)era)icris  cum  cupro,  quod  est  in  |>osi  (.is  monetis, 
sicut  operatus  es  in  prccctleiiti  din'ercntia  cum  ai^cato.  Verbi  gratia:  adde  iasiniul 
8 uncias  cupri,  que  suiil  in  unaquaque  moneta.  Nam  in  moneta,  que  est  ad  4,  sunt 
cupri  uricic  s,  que  sunt  ad  4 in  la;  ct  in  moneta,  que  est  ad  3,  sunt  cupri  uncc  9, 
erunt  17.  Et  multiplica  uncias  cupri  liendc  monete,  .scilicet  s,  per  summam  consolaminis, 
scilicet  jM  i-  uncias  la,  erunt  60;  que  diuidc  per  I7,  exibunt  uncic  3 ; et  tot  mittes 
de  unaquaque  moneta.  Residuum  quod  est  umjuc  in  la  uncias,  mittes  dc  argento,  quod 
e.st  uiicie  -J*  4. 

Si  autem  dc  ]>rcdicto  comsolamlnc  libras  7 facere  uolueris;  rame  quod  est  in  libra 
moiicle  quam  uU  facere,  scilicet  s,  multiplica  3 per  libras  7,  erunt  libre  3S;  quas  di* 
uide  per  n,  exibunt  libre  a;  et  tot  mittes  dc  unaquaque  muncta.  Residuum  uero 
quod  est  ti.-aiue  in  libris,  pones  dc  argento,  quod  esi  libre  77-2.  Si  probare  uoliicns 
omnia  predteta,  .si  bene  recte<|ue  constiterint,  uidca.s  uncias  de  rame,  ucl  dc  argento, 
que  in  quuliiict  dicU»riim  consolaminum  fuerint;  et  diuidc  eas  |>er  .summam  totius  coti* 
solaminis:  .si  enim  cx  diutsionc  uncic  eris,  aci  argenti,  que  in  libra  illius  consoIaminU 
esse  projHiiiuntur,  inueneri.s,  recte  processisse  absque  omni  dubitatione  cognoscas. 

De  eodem. 

Itciu  si  proponatur  moneta  ad  uncia.s  J a,  et  moneta  ad  uncias  | a,  et  moiieU  ad 
tincia.s  I 4,  et  moneta  aduncius  { s;  et  uolueris  cx  eis  libra.s  19  ad  uncias  ^6,  argentum 
addendo,  consolare.  Extrahe  de  unciis  libras,  scilicet  dc  12,  uncias  predirtas  argenti, 


I 

i 


Digitized  by  Googie 


151 

rcmanelnint  pro  cupro  lihre  | o,  et  J et  j 7,  H | o:  quibus  insimul  iunctlSf  faciunt 

jJ  3j)  in  quibus  diuuic  multiplicatiuncm  eris  fiemle  monete  in  summa  consolaminis  , 
scilicet  (Ic  J 6 in  19,  exilniiil  libre  3;  et  tot  mittes  de  unaquaque  monela.  Ile- 

siduum  nero,  quod  est  usque  in  libiis  I9,  mittes  de  argento,  quod  csl,  scilirct  libre 
} 6.  Si  autem  scire  uulueris  dc  ^ que  partes  sint  uiiiiis  libre.  Multiplica  J59 

per  IS,  scilicet  per  uncias  unius  libre,  erunt  3io»;  que  diuide  per  , exibunt  uncie 
j-f-J-y  I.  Et  si  scire  nolueris  dc  } | ) },  qiic  jKirtes  sint  unius  uncie,  multiplica  I83i 
l>cr  15,  scilicet  per  siiminain  p>ndcn8  denarii  unius  uncie,  enint  30775;  que  diiiidc  per 
exibunt  denarii  rr  *^‘**”'  idem,  quod  dc  ,*-*-•  fecisti,  jKUes  facere  dc 

sed  hoc  aliter  expeditius  fieri  potest:  multiplica  84i  persuo,  scilicet  per  summam 
|M)nderis  denarii  unius  libre,  erunt  252300;  que  diuide  jier  1877,  exibunt  denarii 
que  sunt  uncie  5,  cl  denarii  - — 9.  I‘olcs  ciiiin  de  prescriplo  consolamine  inequaliter 
etiam,  ct  proportionaliter  mittere  ex  prcscriptis  monetis,  si  feceris  sixutuluni  qno<l  in 
preccdcfiti  didVrentia  fecimus. 

Dijferentia  sexta  jr/""  capituli. 

Si  quis  habuerit  duas  monetas,  quarum  una  sit  maior,  cl  altera  minor  de  moneta, 
quam  facere  uult,  poterit  illud  farcio  sine  eris,  ucl  argculi  adictione:  si  ex  ijxsis  duabus 
monelis  posuerit  ]>eniiutalim  secundum  mimenim  difrerentiarmu  , que  sunt  ad  uncias 
argenti  liendc  monete  in  unecis  argenti  ijisanim  duarum  monelarum.  Verbi  gratia  : 
habeat  monetam  ad  uncias  2,  et  monetam  ad  uncias  9,  dc  quibus  milt  facere  monetam  ad 
uncias  5.  Pone  itaque  2 ct  9 in  unam  lineam,  ct  sub  ipsis  inter  utrumque  5 describe, 
ut  in  margine  cernitur:  deinde  differentiam,  que  csl  ad  2 in  s,  scilicet  3 super  9 |>onc; 
cl  ccontra  differculiam,  que  est  ad  5 in  9,  scilicet  4 super  2 mitte;  ct  habebis  pro- 
^K)situm,  hoc  est  quod  de  minori  moneta  mittes  partes  4,  et  dc  maiori  3.  Quia  quantum 
hahundal  de  argento  in  libris  3 maioris  monete,  tantum  deficit  ex  ipso  in  libris  4 mi- 
noris. Verbi  gratia:  si  habundant  quidem  in  unaquaipic  | libra  maioris  monete  uncie 
4 , scilicet  differentia,  que  est  ad  5 in  9;  quare  in  libris  3 .supcrlialmndat  de  argento 
triplum  de  unccis  4,  scilicet  uncie  12;  que  t2  proueniunt  ex  3 positis  super  9 ductis 
in  4 {KistlLs  su;)cr  1 ; Et  in  libra  quidem  minoris  monete  deficiunt  uncie  3 argenti, 
scilicet  differentia,  que  est  ad  2 in  5:  Quare  in  libris  4 minoris  deficit  dc  argento  qua- 
druplum unciarum  trium,  scilicet  I2,  que  etiam  proueniunt  ex  ductis  4,  que  sunt  sujier 
2 io  3,  que  sunt  super  9.  Ei^o  quotiens  miseris  libras  4 de  minori  moneta,  totiens  libras  3 
<lc  maiori  mittes.  Similiter  quam  partem,  uel  partes  miseris  cx  libris  4 minoris  monete, 
eandem  partem,  uel  partes  librarum  trium  mittes  dc  maiori.  I^ropnrtionaliter  quidem  est 
sicut  4 ad  3,  ita  id,  quod  mittitur  cx  minori  monela,  erit  ad  id,  quod  erit  mittendum 
de  maiori.  Vnde  si  ex  ipso  consolamine  tantum  uncius  12  consulare  nolueris  , addes 
insimul  numeros  pnqmrtionls,  scilicet  4 cum  3,  erunt  7;  in  quibus  diuide  multiplica- 
tionem do  4 iii  42  , ct  <le  3 in  12  , exibunt  de  minori  moneta  micic  | 0,  ct  de  mi- 
nori uncie  | 5.  Rursus  si  dc  minori  moneta  habueris  libras  10,  multiplica  eas  per  3, 
que  sunt  supra  9 , et  diuide  per  4,  que  sunt  super  2 , exibunt  lihre  ^ 7 dc  maiori 
moneta:  uel  si  de  maiori  habueris  libras  49,  multiplica  eas  per  4 posita  super  2,  et  di- 
uide (>er  3 {H>sita  super  9 , exibunt  dc  minori  moneta  libre  y 43.  Et  si  in  consimili 
consolamine  fractiones  cum  unccis  fuerint,  rediges  omnia  ad  integra;  ct  cum  ijisis  inte- 


«itiM  ....  • 

«3  ivrr-,  IIm.  XV- 19.  |m||. 
151.  ha.  14-XKl. 


M- 


43 


Digitized  by  Google 


•3S  <4i-  (I  H>n*ll  :ii»  * 

<(.•].  f|3  liU-  |wg- 

t-V^  u.  I-»,. 


....  • iM. 

61  rrrto.  Iw.  S3  S!>.  v^«-  W, 
U.  M-SI). 


21)  31) 


3U  45 


M.  61  rrft». 


152 

gris  hoc  eodem  nrdiiic  opcnirc.  Vl  si  habes  monelam  ad  4«  el  ad  | 6 , de  quibus 
uis  facere  monetam  ad  - S;  miiUiplica  licc  omnia  per  8,  ut  reintegreiitur»  et  haliebis 
monetam  ad  36  et  ad  so,  dc  quibus  uis  facere  monetam  ad  4i.  Descripta  quidem  que- 
stione» ut  cernitur,  cxtralte  36  de  4i,  remanent  s,  que  pone  super  so;  quia  tot  libre 
|K)iiende  sunt  de  maiori  monela.  F.odemquc  Modo  diirci^entiani,  que  csl  ad  4i  usque 
in  50,  ])onc  super  3C,  scilicet  o;  quia  tot  libre  mittende  sunt  dc  minori  : quibm  li- 
bris 9 additU  cum  libris  5 iauciitis,  reddunt  libras  14  pro  summa  totius  consolami- 
nis. Cuius  rei  probatio  est,  ut  multiplices  9 per  ^ 4 , et  5 per  | a ; et  babebU  pro 
argento,  quod  est  in  ipsis  libiis  9,  uncias  ^ 4o;  et  pro  eo,  quod  est  in  libris  s maioris 
monete,  baliebls  uncias  3i : quibus  unccis  iasimul  additis , reddunt  uncia.s  1 71  pro 
argento,  quod  est  iu  illis  libris  14:  quare  si  diuidantur  - 7i  per  14,  eiibunt  uncie^s, 
ut  op|H>rtet.  Fl  si  de  rnnsolamine  uis  facere  libras  lo  tantum,  multiplicabis  lo  per  9,  et 
10  per  5}  et  diuides  i|isas  miilliplicalioiies  per  14,  et  liabcbis  dc  minori  moneta  libras 
I C,  ct  de  maiori,  libras  | 3.  Et  si  Iiabticris  de  minori  moneta  libras  lo,  multiplica  eas 
]>cr  5,  et  <liuidc  per  9,  exibunt  dc  maiori  libra  ^ s.  Vel  si  habueris  de  maiori  libias  I9, 
iuultipiira  eas  per  9,  ct  diuidc  ]K;r  s;  quia  est  sicut  s ad  o,  iU  ii>  ad  quesitam,  eib 
biint  libre  is  , ut  in  que.sliotic  ostenditur.  Ex  liac  enim  regula  procedit  quoddam  do- 
cumentum ualdc  ct  se|)e  utile  monetariis  in  biinc  modum.  Moneta  enim,  quam  faciunt, 
quai)d<x|uc  exit  cis  aliquantulum  larga,  quamlo<|Uc  aliquantulum  scarsa,  idest  quod 
qiiandor|ue  su|)er  liabundat  in  ipsa  aliquantulum  argenti,  quandocjuc  delicit;  quod  ac- 
cidit uel  [iro])lcr  ignorantiam  consolidandi,  ut  est  pro  nimia,  ucl  pauca  eris  ebulitioac. 
Vnde  ante  quam  dignentur,  hoc  est  .signentur,  oportet  ut  date  quantitati  unius  addalui 
tantum  ex  alia,  ut  redigantur  ad  debitum  modum;  ct  ex  boc  talem  proponima.s  que- 
.stioiicm. 

De  equiparamla  scharsa  nwneta  cum  larga. 

Ovidam  habet  libras  30  monete,  in  cuius  aliqua  quantitate,  ut  dicamu-S  lo  uncia  I, 
deficit  argenti  granum  ^ i;  ct  alius  liubct  monelam,  in  cuius  uncia  superhabundaul  ar- 
genti gnma  | S;  queritur  quantum  ex  hac  larga  cum  illis  libris  30  de  scarsa  commi- 
sceri oporteat,  ut  redigantur  ad  debitum  modum.  Pone  ^ i super  ^ t in  una  linea , 
ct  su])cr  largitatem  scrilic  scarsitatem,  et  ccumierso  : quia  ideo  scarsa  est  minor  mo- 
neta, que  ponitur  iu  consolamine,  et  larga  est  maior.  Vnde  scarsitas,  | scilicet  ^9,  est 
diirercnlia,  que  est  a minori  moneta  usque  in  monetam,  quam  uult  facere:  que  diffcrcfilia 
jNMienda  est,  ut  sujicrius  ostendimus,  super  maiorem  inonetam;  cl  largitas,  .scilicet 
est  diflereritia,  que  est  a minori  usque  in  monetam,  quam  uult  facere;  que  diircrcntia 
jioiiciida  est  .super  minorem  monetam.  Et  tunc  erit  sicut  | i ad  | x , ita  qiiam  uuluerri 
qiiaiilitatcm  laigiorls  monete  ad  quantitatem  scarsioris,  et  ecor\tra.  Quare  {loiies  libras 
30  sub  I 2,  .scilicet  scarsitatem  sub  scarsitate,  ut  hic  ostenditur;  ct  multiplica  30  per 
J 1,  et  diuides  per  -J  s,  exibunt  libre  20;  ct  tantum  commisceas  dc  larga  cum  illis  libris 
scarse.  Si  autem  prodicte  libre  30  erunt  dc  larga,  pones  i})sa.s  sub  j i,  scilicet  largi- 
tatem sub  largitate;  et  multiplica  30  per  | t,  ct  diuides  per  ^ i , exibunt  de  scarsa 
libre  45. 

De  cotisolamine  trium  monetarum  inter  se. 

Si  nutem  tres  monete  proponantur,  quarum  duc  sint  minores,  ct  altera  maior;  uel 


I 


Digitized  by  Google 


I&3 

due  sint  maiores,  et  altera  minor  de  moneta  fienda,  fac  ex  i|v>U  dualnis  monetis  unam; 
et  sic  habebis  duas  monetas  ad  curisotandura,  quarum  una  erit  maior,  et  altera  minor 
de  moneta  flenda.  Nam  de  duabus  monetis  fit  una  tribus  modis  : scilicet  commi- 
scendo eas  equaliler , ucl  inequaliter,  seu  prrq>ortionulitcr,  secundum  aliquam  datam 
proportionem  : que  omnia  , qualiter  fiant , indicabimus  in  hoc  consolamine  , iu  quo 
pro[>oiiitur  <[uidam  habere  monetam  ad  uncias  3 , aliam  ad  4,  aliam  ad  ex  qui- 
bus uuU  facere  «iionctam  ad  S.  Describe  itaque  tres  prcdictus  monetas  in  una  linea: 
deinde  , ut  ex  duabus  minoribus  faciamus  unam  monetam  , adde  3 cum  4 , erunt  7; 
et  tot  uucie  argenti  sunt  m libris  s predicte  commixtionis.  Quare  diuide  7 per  2, 
et  hal>ebis  uncias  pi^o  argento,  quod  est  in  libra  illius  commistiuuis.  Quare  dices: 
habeo  monetam  ad  ^ 3,  et  ad  6;  et  uulo  facere  monetam  ad  i.  Vel  integris  dicas  : habeo 
monetam  ad  7 et  ad  12,  ex  quibus  uolu  facere  monetam  ad  lo*  Quare  diflerentiam,  que 
r«l  ad  7 in  10,  scilicet  3,  mittes  de  maiori  moneta;  et  dillcreiUiam,  que  est  ad  lo  iu 
12,  scilicet  2,  mittes  de  minoribus;  que  2 diuide  in  duo  equa,  cum  equaliter  iunxisii 
eas  ad  faciendum  ex  eis  unam  monetam,  exibit  libra  1 super  unamquamque  ipsarum 
monetarum;  et  sic  erunt  in  summa  libre  5 consolare  ex  ipsis  tribus  monetis,  in  quibus 
sunt  uncie  25  argenti,  ut  ojmrtet.  Et  si  ex  ipsis  duabus  monetis  unam  facere  uis,  commi- 
scendo eas  inequaliter,  uel  secundum  aliquam  datam  proportionem,  ut  dicamus:  sicut  2 
sunt  ad  s,  ita  id  quod  mittitur  de  monela,  que  est  ad  3,  sit  ad  illud,  quod  mittitur  de 
moneta,  que  est  ad  4.  Commisceas  itaque  libras  2 de  moneta,  que  est  ad  3 cum  libris 
5 de  moneta,  que  est  ad  4,  et  uncias  ai^cnti,  que  sunt  in  ipsis,  scilicet  26,  diuide  per 
summam  ipsarum  libranini,  scilicet  per  7,  exibunt  uncie  | 3;  et  tot  argentum  erit  in  libris 
illius  commistionis.  Quare  dices:  habeo  monetam  ad  -|3.  et  ad  6;  et  uulo  facere  monetam 
ad  s,  hoc  est:  habeo  monelam  ad  26,  et  ad  42;  et  uoln  facere  monelam  ad  35:  |>oue  itaque 
0 su{)cr  6,  scilicet  differentiam,  que  est  ad  26  in  3S;  et  differentiam,  que  est  ad  35  in  42, 
scilicet  7, diuide  inter  alias  duas  monetas,  secundum  proportionem  librarum  commixtarum 
ex  ipsis,  hoc  est:  ex  ipsis  7 mittes  ]>artes  s de  moneta,  que  est  ad  4;  et  partes  s mittes  de 

moneta,  que  est  ad  3,  hoc  est  | ex  prediclis  7f  scilicet  libras  5 mittes  de  moneta,  que  est 

ad  4,  et  7 eorundem,  scilicet  libras  2,  mittes  de  moneta,  que  est  ad  3.  Quare  pones 
5 super  4,  et  2 super  3 in  questione;  et  erunt  in  summa  huius  consolaminis  libre  16  ex 
ipsis  tribus  monetis,  in  quibus  sunt  uncie  argenti  so;  ex  quibus  contingunt  unicuique 
libre  uncie  s,  ut  oportet.  Et  si  ex  hoc  consolamine  libras  20  facere  uolueris,  rediges 
hanc  questionem  ad  modum  societatis,  in  qua  primus  misit  2,  secundus  5,  tertius  9; 
et  lucrati  .sunt  libras  20.  Multiplicabis  ergo  20  |>er  2,  et  20  per  s,  et  diuides  unam- 
quamque multiplicationem  per  10;  et  sic  inuenies  te  mittere  debere  de  moneta,  que 
est  3,  libras  [ 2,  et  libras  |6  de  monela,  que  est  ad  4.  Residuum  quod  est  usque  in 

20,  scilicet  libras  i ii,  mittes  de  monela,  que  est  ad  6;  que  etiam  habebis,  si  multi- 

plicaueris  20  per  9,  et  diuiseris  per  10.  Et  si  habueris  libras  10  de  moneta,  que  est  ad 
3;  et  uis  scire  |,  quot  de  reliquis  monelis  cum  ipsis  commiscere  deheas,  ut  facias  monetam 
ad  5,  ut  diximus;  multiplicabis  ij>sa  to  per  s,  que  posita  sunt  super  4,  et  per  9,  que 
|K)sila  sunt  super  e;  et  diuides  utramque  multiplicationem  per  2 jKXsita  super  3.  Vel 
quia  10  sunt  quincuplum  de  2,  accipe  quincuplum  de  libris  5,  et  de  9,  et  habebis  li- 
bras 25  de  monela,  que  est  ad  4;  et  libras  45  de  moneta,  que  est  ad  e,  ut  io  questione 

20 


« H allfT4  . 

rrrf*>  li«- 
li».  1 Mi 

lU  «9  1 

fuj-  tss . 

3 

1 

1 

e 

1 

4 

3 

! 

1 

5 

iu 

7 

1 ’ 

5 

2 1 

1 

1 6 

1 

4 

3 

1 

35 

26 

Digitized  by  Google 


r<«i>n«»t  * (M. 
r«r*«.  lia.  1(1  • 2«-S9  i 

l«K.  ISA.  La. 


101 

102 

311  1 

1 , 

t * 

i * 

V 

M 

s 

- 

; 

- 

t 

- 

u 

- 

_ 

•• 

•• 

— 

•* 

10 

“ 1 

SIS 

300  1 

1 

504 

1 

r«i.  ss  rtti*. 


U4 

uslciiditur.  Est  eaim  alius  modus  coiisolundi,  ([ucm  in  libro  minoris  guise  docuimus, 
])Cr  <]ucm  sanius  possumus  habere  summas  quaslii>cl  coiisulaniitium  in  cuiisolaminc  trium, 
ucl  plurium  monetarum  liuius  maneriei.  Vt  si  dc  prediclu  consolamine  tiolueris  facere 
libras  20,  fac  raorirtius  ad  & ex  ea,  que  est  ad  3;  et  cx  ea,  que  est  ad  6,  exibunt  libre 
3,  in  quibus  sunt  libre  2 dc  moneta,  que  est  ad  6;  cl  Ubra  t de  moneta,  que  est  ad  3. 
Item  de  moneta,  que  est  ad  4,  et  de  ea,  qiic  est  ad  6,  far  aliam  consola tiunein  ad  5; 
ut  erunt  in  summa  libre  2,  scilicet  Ubra  1 cx  ca,  que  est  ad  4;  et  libra  1 ex  ea,  que 
est  ad  6 : deinde  ad  faciendum  libras  20,  pones  in  cis  ]>rimani  consolationem  semel,  aut 
bis,  aut  pluries,  donec  cx  i|>sis  2u  remaneat  numerus,  <jui  integraliter,  si  po^ibilc  fuerit, 
diuidatur  per  summam  secunde  consolationis;  et  quotiens  1 es  ipsa  diulsiunc  |>eructicrit, 
totiens  mittes  ipsum  secundam  consolationem  ; et  lin)>cliis  pro|>ositum.  Verbi  gratia  : 
miltumiis  {iriinum  consolationem  bis,  in  quibus  erunt  libre  2 ex  moneta,  que  est  ad 
3;  ct  librc  4 ex  ea,  que  est  ad  6;  quibus  extractis  dc  S3,  remanent  14;  quibus  diuisis 
summam  secunde  consolationis,  scilicet  per  2,  ueniuiil  t.  Cenare  mittes  secimdain  con- 
solationem septies,  in  quibus  erunt  libre  7 dc  moneta,  que  est  ad  4;  et  libre  7 dc  moneta, 
que  est  ad  6;  et  sic  dc  presciiptis  libris  su  erunt  libre  2 do  moneta,  que  est  ad  3;  et 
libre  7 dc  monela,  qiic  est  ad  4;  et  libre  ll  de  moneta,  que  est  ad  s;  in  quibus  libris 
20  sunt  argenti  uncic  100,  ut  oportet;  cl  udatur  iste  modus  consolationum. 

Di!  ctmsoUmine  trium  monetarum  cum  minutis, 

Qvidain  liabct  monetam  ad  * 2,  ct  ad  | 6,  el  ad  j 7,  de  quibus  uult  facere  monetam 
ad  } 4;  multiplica  primum  prescriptcKi  quattuor  numeros  per  60;  cum  in  ipsis  reperian- 
tur  prescriplc  fractiones,  et  bal>cbis  pro  ]>rima  moneta  isO;  pro  secunda  380;  pro  ter- 
tia 435;  et  pro  moneta  fieiida  252:  deinde  adde  duas  minores  monetas  in  unum,  sci- 
licet 3S0  ct  435,  erunt  sis,  que  deberos  diuidere  j>er  2,  ut  in  duabus  monelis  faceres 
unam:  sed  quia  dia  diuisio  esset  fractu,  duplica  numerum  minoris  monete,  et  nume- 
rum ficnde,  scilicet  150  et  2S2;  et  sic  lial>ebis  monetam  ad  300,  ct  ad  815,  dc  quibus 
uult  facere  monetam  nd  504  per  unitas  ditrcreiUias  ; et  balndus  de  minori  moneta 
partes  311,  ct  dc  maioribus  partes  201  , scilicet  partes  102  cx  una([iiar]uc  ; quas  ])one 
super  ipsas  monelas,  ut  in  questione  ostenditur.  £t  si  de  ipso  consolamine  libras  lO, 
ct  uncias  5,  cl  denarios  9 dc  cantera,  lioc  csl  libras  ^ 16,  uis  consolare,  facies  ut 
in  .S(xdetalibus  docuimus,  uidcliccl  addes  311  cum  102,  cl  cum  102,  erunt  5is;  et  mul- 
tiplica 16  per  suam  uirgam,  erunt  deimrii  {mmleris  4934;  que  multiplicabis  per  3ii,  ct 
per  102,  cl  diuides  ipsas  multiplicationes  j>er  5IS,  ct  per  exibunt  dc  moneta,  que 
est  ad  j 2,  libre  ■*  9 ; ct  de  unaquaque  rolifjuarum  libre  \ 3 : pos- 

sumus etiam  per  inucnlioncin  portionis  prime  monete  inuenirc  portionem  rcliquunim 
iu  hunc  modum:  extrahe  4,  que  sunt  stiper  s de  5,  rcmanrt  1;  (piotl  cum  sit  indiui- 
sibile  per  2,  extrahe  ipsa  4 de  duplicatu  quinario,  remanent  6;  quorum  dimidium,  sci- 
licet 3,  pone  super  5 alterius  uirge,  sub  qua  sint  ^ duplicato  quina- 

nario  serua  2;  que  adde  cum  57,  que  suiil  super  103,  erunt  59;  que  extrahe  dc  103,  re- 
manent 44;  quorum  dimidium,  scilicet  22,  pone  suju^r  103,  cl  serua  1;  cum  semel  exple- 
atur 103.  Ex  additis  59  cum  44,  quod  1 adde  cum  4,  que  sunt  super  25,  cruiit  dcmirii 
|K)uderis  5;  quos  extrahe  de  denariis,  qui  sunt  in  summa  dicti  consolaminis,  remanent 
4;  quorum  dimidium,  scilicet  2,  jHme  sujwr  25;  cl  extrahe  11,  que  sunt  super  it  dc  12, 
remanet  | ; quod  adde  cum  unceis  s,  ipic  sunt  in  summa  consolaminis,  erunt  c;  quorum 


Digilized  by  Googie 


t 

I 


i» 

dimidium}  .scilicet  3>  |>one  super  is,  ct  scrtia  i;  quod  adde  cum  libris  o t que  suiit 
extra  tiirgam}  cniiit  <0;  qua.s  citralie  dc  libris  le,  remanent  iibre  o;  quorum  dimidium, 
scilicet  libras  3,  |X>nc  autc  iiirgam,  et  habebis  similiter  \ Et  nota,  quia  rum 

ita  fecimus,  tunc  accepimus  dimidium  di0creiUie,  que  est  a libris  v-rJr"fV^®  usijuc  iti 
.summa  consolaminis , scilicet  iii  libris  -n-Tf  etiam  secundum  supra.scriptum 

modum  mitlere  dc  duabus  maioribus  monetis  iiicqualiCcr,  et  proportionalitcr  in  qua- 
cumque uuliieris  proportione. 

JJe  quattuor  monetis  per  nuulum  consohtionum. 

Itciii  balieo  monetam  ad  uncta.s  2 , et  ad  3 , ct  ad  6 , et  ad  7,  ex  quibus  uolo 
facere  monetam  ad  4 : secundum  quulem  priorem  modum  fac  dc  duabus  minoribu.s  mo- 
netis unam,  et  dc  duabus  maioribus  aliam,  addendo  cas  eqiialiter,  iicl  proportionaliter; 
et  operare  postea  ordine  suprascripto.  Kt  .si  |>er  modum  con.s<jtalioiium  facere  uis,  fac 
ex  una  dc  minoribu.s,  et  ex  alia  dc  maioribiLs  unam  consolationem,  ct  de  reliquis  duabus 
fac  aliam  : faciamus  ei*go  de  ea,  que  est  ad  2,  et  de  ca,  que  e.st  ad  7,  unam  consola- 
tionem; et  erunt  in  summa  ij»siu.s  libre  5 , scilicet  librc  3 dc  ca,  que  est  ad  2 ; ct 
libre  2 cx  ea,  que  est  ad  7.  Similiter  de  reliquis  fac  cousolationem  aliam;  et  erunt  in 
summa  ipsius  libre  3,  scilicet  libre  2 ct  ex  ea,  que  est  ad  3;  et  una  ex  ea,  qnc  est  nd 
6;  et  .sic  sunt  con.solate  libre  8 ad  uncias  4:  quam  .summam  .si  uis  in  aliam  reducere, 
ut  dicaniu.s  in  19  , multiplica  lo  per  unumquemque  dc  prodictis  numeris,  ct  diuidc 
unamquamque  multiplicationem  |>er  8,  exibunt  de  moneta,  qnc  est  ad  2,  libre  J 7;  et 
dc  ca,  que  est  ad  3,  libre  j 4;  et  de  ca,  que  est  ad  6,  libre  \ 2;  ct  de  ea,  que  est  ad 
7,  libre  • 4.  Sed  si  hoc  sine  fractione  librarum  lial>cre  uls,  mittes  primam  con.solatioiiem 
his,  ct  secundam  ter;  ct  habebis  dc  monela,  que  est  ad  2,  libra.s  «;  et  de  ca,  que  est 
ad  7,  libras  4;  ct  dc  ea,  que  est  ad  3,  libras  o;  ct  dc  ca,  que  est  ad  6,  libras  3;  ct  sic 
erunt  consolate  libre  19.  Nam  .si  tmitiim  libras  12  con.sohirc  uis  .sine  aliqua  fractione  ; 
cum  j)cr  has  run.sulationcs  hoc  non  facere  possis,  mula  consolationes;  .scilicet  de  mo- 
neta, que  est  ad  2,  ct  dc  ca,  que  est  ad  8,  fac  tertiam  consolationem;  ct  erunt  in 
summa  libre  f,  scilicet  libra  1 de  qualiWt  i|isanim;  et  dc  reliquis  duabus  far  quar- 
tam; et  erunt  in  .summa  ipsius  libre  4,  scilicet  libre  3;  ct  ex  ea,  que  est  ad  3;  et  libra 
I ex  ca,  que  csl  ad  7 : deinde  in  prescriplis  libris  12  cadent  semel  prima  consolatio, 
et  secunda,  et  quarta;  et  sic  erunt  de  moneta,  que  est  ad  2,  libre  3;  et  dc  ea,  que 
est  ad  3 libre  5;  ct  dc  ea,  que  est  ad  s libra  1;  et  dc  ea  , que  est  ad  7 libre  3;  iicI 
in  ipsis  libris  (2  pones  bis  tertiam  con.solatiuncm,  et  quartam;  et  sic  erunt  libre  16 
de  ca,  que  est  ad  3,  ct  libre  2 de  unaquaque  reliquarum  ; et  sic  per  hunc  modum 
passumiis  diuersas  summas  librarum  integralitcr  consolare. 

De  quattuor  monetis  quando  minores  tres  sunty  et  altera  maior  de  moneta  fiendn. 

Et  si  ex  quattuor  monetis  tres  essent  ab  una  parte  a)n.solaminis,  scilicet  quod  sint 
maiores,  uel  minores  dc  moneta  Henda:  ut  si  dicatur  : liaboo  monetam  ad  uncias  3,  et 
ad  4,  ct  ad  s,  ct  ad  7;  ex  quibus  uolo  facere  monetam  ad  6:  si  per  modum  cons4iIationum 
procedere  uis,  fac  ex  unaquaque  trium  minorum  monetanim  cum  maiore,  .scilicet  cum 
ea,  que  est  ad  7,  unam  consolationem;  et  erunt  in  summa  prime  consolationis  libre  4,  sci- 
licet libra  1 cx  ca,  que  est  ad  3;  et  libre  3 ex  ea,  que  est  ad  7.  Item  in  summa  se- 
cunde coiisoiationis  erunt  libre  3,  scilicet  libra  1 ex  ea,  qne  est  ad  4;  et  libre  2 cx 


«fVaililMN  ....  «Ir  (U.  • ' 

(foi.  Si  rrrf«.  Ii*.  8-X4;  lun. 
ISa.  lia. 


« *d  7 ....  ,ii>l  ia  » ( r..l.  «-S 

rrcio  . )in.  K4-S9  i loii.  liS. 
lia.  SS  — |v»|;.  1&6,  bn. 


7 

1 « 

111 

543 

; {inaM  2 

1 

7 

3 

6 

■«uadd  3 

I 

7 

4 

8 

Irrtij  1 

1 

7 

5 

0 

Digitized  by  Google 


•ndiim  «nKluaiine  » f fu|. 

M .«-r»,  \m.  U ti.  ps-  I3C. 
Un.  U — |ug.  U7.  lii.  X). 


8763 

4 

321  1 

1 

i 

876$ 

321  j 

4 

1 

l 

4 

5 

13 

8 

1 

156 

ea,  que  est  ad  7.  Simililer  in  summa  tertie  consolationis  erunt  libre  t,  scilicet  libra 
1 ex  ea,  que  est  ad  s;  et  libra  i cx  ea,  que  est  ad  7.  Adde  ergo  has  tres  summas 
tiium  cunsolaliunum,  erunt  9 in  summa  totius  consolaminis^  cx  quibus  libre  6 sunt  de 
moneta,  que  csl  ad  7;  et  libra  l est  de  unaquaque  reliquarum  trium  monelarum.  Et 
si  dc  unaquaque  minorum  monetanim  inequaliter  mittere  uis,  mittes  primam  conso* 
lationem  semel,  et  secundam  bis,  et  tertiam  ter;  et  habebis  in  summa  prcscripti  con< 
solaminis  lil)ram  i dc  moneta,  que  est  ad  3;  et  libras  s dc  ca>  que  est  ad  4;  ct  libras  3 

de  ea,  que  est  ad  5;  et  libras  10  ex  ea,  que  est  ad  7.  Rursus  si  uls  quod  multiplicatio 

eius,  quod  miseris  ex  ca,  r^uc  est  ad  3,  in  uucils,  qiioil  miseris  ex  ca,  que  est  ad  5, 
fiat  €<juali  mullipUculioiii  eius,  quod  miseris  cx  ea,  que  est  ad  4 in  se;  ct  sunt  in  | 
summa  tutius  cuusolamiuis  libre  to:  {hmics  primam  consolationem  semel,  et  secundam 
bis,  et  tertiam  quater;  et  habebis  proportionem  rei  quesite;  in  cuius  proportionis  sunt 
libre  is;  cx  quibus  libre  11  sunt  ex  ea,  que  est  ad  7;  et  libre  4 ex  ea,  que  est  ads; 
et  libre  i ex  ea,  que  est  ad  4 iti  libra  1 ex  ca,  que  est  ad  3;  et  sunt  libre  prcdicic 
trium  minorum  luunctariim  in  prxq>ortionc  continua;  quia  sicut  4 sunt  ad  s , ita  1 ad 
1;  uel  sicut  1 ad  2 , ita  2 ad  4.  Quare  multiplicatio  de  1 in  4 cqiiatur  multiplicationi 

dc  2 in  se.  Vnde  ut  summa  huius  consolaminis  redigatur  in  libris  20;  in  hac  eadem 

projMjrtionc  multiplica  2u  ad  modum  societatum  per  1,  ct  per  2,  ct  j>er  4,  et  per  li; 
et  unamquamque  inulliplicationcm  diuidc  jier  18  , exibunt  de  moneta,  que  est  ad  >, 
libre  | t;  dc  ca,  que  est  ad  4,  libre  J 2;  et  dc  ca,  que  est  ud  5,  libn:  J 4;  ct  de  ea, 
que  est  ad  7,  libre  | 12. 

Ve  consoitimtne  septem  monetarum. 

Et  si  in  aliquo  consolamine  ponantur  septem  monete,  quarum  tres  sint  minores,  et 
quattuor  maiores  de  moneta  lienda;  ut  moneta  ad  t,  et  ad  2,  ct  ad  3;  ct  monela  ad 
5,  et  ad  6,  et  ad  7,  et  ad  8;  ct  uis  cx  ipsis  facere  monetam  ad  4;  ct  cupis  per  modum 
consolationum  procedere,  facies  cx  cis  quattuor  consolationes.  Cum  monete,  que  plures 
sunt  ab  una  parte,  sint  quattuor;  tres  enim  ex  ipsis  consolationibus  facies  ad  libitum 
ex  tribus  maioribus,  ct  ex  tribas  minoribus;  quartam  ucm  facies  ex  maiori  moneta  super* 
habundante  cum  una  dc  minoribus  qualem  uolueris;  ct  summas  quattuor  consolationum 
in  unum  redige,  ct  liabcbis  summam  totias  ronsulaminis  : dcLiidc  poteris  procedere  se* 
eundum  quod  dictum  est  sii|>crius  in  his, que  proponi  possunt  in  consolamine  monetarum. 
Sed  ut  modus  primus  melius  inlelligutur,  qualiter  secundum  ipsum  operari  debeas,  indi- 
cabo. Accipe  quidem  libram  1 ex  unai}uaqiic  minorum  monetarum,  ct  commisce  eas  insi- 
mul, erunt  libre  3;  de  quibas  fac  monetam  unam,  scilicet  diiiide  uiiccas  argenti,  que 
sunt  in  i(>si$  per  3,  iicnict  moiicla  ad  uncias  2:  scrua  ea,  et  fac  ex  quattuor  monetis  ma- 
ioribus monetam  aliam,  commiscendo  eas  equaliter,  siculi  fecisti  minores,  exibit  moneta 
ad  uncias  \ 6,  que  proucniunt  cx  summa  de  5,  et  o,  ct  7,  ct  8 diuisa  per  4,  scilicet 
per  numerum  multitudinis  maiorum  moiieturum.  Ergo  dicas:  habeo  monelam  ad  i,  et 
ad  I 6;  et  uolo  facere  monetam  ad  4,  hoc  est  habeo  monelam  ad  4,  ct  ad  I3;  et  uolo 
facere  ad  8:  extrahe  quidem  4 dc  8,  remanent  4;  et  tot  mittes  dc  maioribus  monetis: 
extrahe  8 de  13,  remanent  s;  ct  tol  mittes  de  minoribus,  scilicet  tertiam  partem  eartim 
de  unaquaque.  Sed  quia  S non  diuiduiitur  integraliter  per  3 , mittes  libras  s ex  una- 
quaque miliorum  monelarum,  scilicet  triplum  tertie  partis  de  5;  et  triplicabis  4,  <pie 


Digitized  by  Googie 


»57 

debebant  mitti  et  maioribus^  erunt  »i;  quorum  quartam  (Mirtcm,  scilicet  3 mittes  de 
unaquaque  maiorum  monetarum,  ut  in  questione  asteiiditur;  et  erunt  in  summa  dicti 
consolaminis  libre  17.  Si  ucro  et  eis  lil)ns  aliquantas  munetas  consulare  nolueris,  fa- 
cies ul  superius  in  celeris  secundum  regulam,  quam  in  societate  ostendimus. 

Aliter  cum  ponatur  inequalUer  uel  prof>ortionaliter  de  monetis. 

Item  si  predictanira  raoneUnim  consolamen  aliter  facere  uulueris,  ut  de  nulla  ipsa- 
rum aliqua  ponatur  cqualitas,  sic  facies:  scribe  questionem,  ul  bic  ostenditur.  Post  Iuk! 
scribe  siqter  unamquamque  monetam  numeros  ud  libitum  quales  uolueris  iuec^uales  ; 
tamen  tales  numei-os  supra  minores  monetas  adseribas,  ut  cum  insimul  iuncti  fuerint, 
reddant  aliquem  sanum,  et  com|>ositiim  iiumerum,  ut  ]>er  cum  id,  quo/l  partiri  dcbueri.s, 
leuius  diuidas.  Poiic  igitur  super  eas  ii  in  tres  iiietjualcs  jwrtes  diuisas,  ut  jH>te  in  3, 
et  4 , ct  s,  ut  superius  in  (jueslioiie  posita  ccmis>  quia  dmKleiiarius  numerus  is  in 
monetarum  consolamine  necessarius,  alquc  integer  reperilur  propter  libram,  que  est 
uncic  »1.  Vnde  cura  aliquis  librarum  numeris  iu  ii  diuiditur;  que  super  ii  remanserint, 
erunt  uncie.  Illud  uero  idem,  quod  de  minoribus  monelis  docuimus,  fac  dc  maioribus. 
Pones  etiam  super  prefatas  tin.**  maiores  monetas  \t  in  quattuor  | incijuales  jKirte.s  di- 
uisa,  scilicet  in  i,  et  s,  et  3,  ct  s,  ut  .super  ea  in  questione  posita  sunt.  Post  bet: 
multiplica  numerum  super  minorem  monetam  positum  {>er  ipsam  minorem  monetam, 
scilicet  3 }>cr  i,  erunt  3,  que  serua.  Item  multiplica  sequentem  positum  numerum  |>er 
.sequentem  munctum,  scilicet  4 per  i,  erunt  s,  que  serua.  Item  multiplica  tertium  [>osilum 
numerum  per  tertiam  minorem  monetam,  .scilicet  s per  3,  erunt  is;  que  adde  cum  8,  et 
cum  3 su}>erius  scruatis,  eruiit  uncie  argenti  16.  .Adde  ita<[ue  tres  super  j>ositos  numeros, 
uidelicet  3,  ct  4,  et  5,  erunt  ll;  io  quibus  diuidc  is,  exibunt  uncie  1 1,  quas  babebU 
ab  una  |)arte  consolaminis.  Item  positum  uumenim  su|>er  minorem  numerum  maiorum 
monelarum  multiplica  per  ipsam  monetam,  scilicet  l per  5,  enint  5,  que  serua.  Item 
multiplica  sequentem  jHXsitum  ntimenim  per  sc<pieiitem  monelam  , scilicet  1 per  6 , 
erunt  12,  que  .serua.  Item  multiplica  3 per  7 , erunt  21,  que  serua.  Item  multiplica 
|HKteriorem  positum  numerum,  scilicet  o,  per  j>osteriorem  maiorem  monelam,  scilicet 
per  8,  erunt  48;  que  adde  cum  5,  ct  cum  I2,  ct  cum  2i,  erunt  88  ; que  diuide  per 
junctionem  super  positorum  numerorum,  qui  sunt  super  maiores  monelas,  scilicet  j>er 
»2,  exibunt  uncic  ^ 7,  quas  habebis  ab  alia  parte  consolaminis.  Post  liet!  redige  dictarum 
omnium  7 monetarum  consolamen.  Ad  consolamen  duarum  muuctanim,  uidelicet  ut  si 
dicas:  lml)eo  monelam  ad  uncias  ^2,  et  monetam  a<l  unceus  | T,  ct  uolo  inde  facere 
monetam  ad  uncias  4 a minori:  itaque  moneta  usque  in  monetam,  quam  uis  faccre, 
scilicet  a { 2 usque  in  4 desunt  | i;  ct  tantum  mittes  de  maioribus  monetis  iiuMpia- 
litcr,  secundum  pro|H>rtioiicm  numeronim  |K).sitorum  super  ij>sas;  scilicet  dc  moneta, 
que  est  ad  5,  mittes  uiiam  partem  cx  ipsis  ^ »;  et  de  ca  que  est  ad  6,  mittes  duas 
partes.  F.t  dc  ca,  que  est  ad  7,  mittes  Ires  partes;  et  dc  ea,  que  est  ad  8,  mittes  .sex 
partes  : ergo  addes  ad  modum  societatum  l,  ct  2,  ct  3,  et  0,  erunt  12.  Et  multiplicabis 
I 1 per  I,  et  diuides  per  12,  exibunt  j|;  quas  pone  super  ipsam  monetam,  que  est  ad 
uncias  5;  quia  talis  portio  de  ipsa  monela  erit  ponenda  in  consolamine.  Similiter  mul- 
tiplicabis singulariter  2,  et  3,  et  6 per  | i;  et  diuides  singulariter  per  12,  exibunt 
ct  ct  quas  pone  per  ordinem  super  reliquas  tres  monetas,  ut  superius  in  que- 


I ....  m <|ai«l«nr  • 

64  In.  SM9i  |u||.  »47. 
Ii*,  t-16). 


r«l.  64  rrci*. 


• n mmIm  ...■  «raal  12  > l(<  i. 
66  r^etn , I4T. 

tn.  16-3«j. 


» |f— !■ 

66  rrrf4.  lin.  2U  # 11  27  « 2K. 

~,t.  147. Ii...  4«  — |M|.  I4H. 
l*n-  4>. 


Digitized  by  Googie 


m 

stioDe  ostemlitur.  Rursum  accipe  dinercntiam,  que  est  atl  4,  usque  in  ^ 7«  que  est  { 
cl  habeat  eam  pro|K>rtioncm)  que  puuenda  erit  de  tribus  minoribus  monetis  in  prcscripto 
consolamine;  et  diuides  ijxsa  | 3 in  xii*'*  partes,  dando  tres  partes  minori  monete,  et 
Illi.*'  partes  alie,  et  v |>artcs  tertie:  et  ut  hoc  facias,  multiplica  3,  que  posita  sunt  super 
minorem  monetam,  per  ^ 3;  ct  diuidc  j>er  is,  exibunt  quas  pone  super  minorem  mo> 
netam;  quia  talis  porlio  erit  ponenda  in  consolamine  de  ipsa  minori  moneta.  Similiter 
mulliplica  4,  que  posita  sunt  super  monetam,  que  est  ad  uncias  i,  per  | 3 ; et  diuide  per 
12,  exibunt  ^ , quas  |)onc  super  ipsam  monetam,  itemm  multiplica  s,  que  posita  sunt 
super  monelam,  que  csl  ad  3,  per  ^ exibunt  qnas  pone  su|>cr  ipsam  monetam, 
ut  in  questione  mtenditur  su]ienus. 

Et  nuta:  quia  ideo  fecimus  sc])tuagesimas  secundas  de  .vii.  portionibus,  que  ponende 
sunt  ex  prcdictis  7 monelis;  ut  cum  ipse  j>orlioues  sint  cx  cis<lcm  ruptis,  scilicet  ex 
septuagesimis  secundis,  possunt  esse  integre  libre  in  eisdem  numeris  , hoc  est  quod 
de  niiiioii  moneta  mittes  libras  57;  cum  de  ea  mittere  debeamus  et  eadem  ratione 
de  moneta,  qiic  est  ad  uncias  3,  mittes  libras  76;  ct  dc  ca,  que  est  ud  uncias  3,  mittes 
libras  g$;  et  dc  monela,  que  est  ad  uncias  5,  mittes  libras  11;  et  de  ea,  que  est  ad 
uncias  6,  mittes  libras  2S;  ct  dc  ca,  que  est  ad  uncias  7,  mittes  libras  33;  ct  dc  ma< 
iori  moneta  mittas  Hlims  66;  cl  sic  babcbls  propositum.  Mam  si  dc  prenominato  con* 
solamine  tantum  libras  30  consolare  nolueris,  adde  prcscriptas  libras,  (juas  dc  prescri* 
ptis  monetis  mittere  debes,  scilicet  $7,  et  76,  et  9S,  et  ll,  et  S3,  ct  33,  et  CA,  erunt  libre 
r.t.  360;  in  quibus  diuidc  multipliea|tioncm  dc  30,  quas  consolare  affectas  in  prcnominalU 

libris  57,  ct  in  76,  et  in  9S,  et  in  H,  ct  in  S2,  el  in  33,  ct  in  C6;  et  inucnlcs,  quod  de 
minori  moneta  mittes  libras  4,  ct  uncias  9;  cl  de  ipsa,  que  est  ad  uncias  duas,  mittes 
libras  6,  ct  uncias  4;  ct  dc  ipsa,  que  est  ad  uncias  3,  mittes  libras  7,  et  uncias  il; 
et  dc  moneta,  que  est  ad  uncias  5,  mittes  uncias  11;  cl  dc  moneta,  qiic  est  ad  uncias 
6,  mittes  libram  I,  ct  uncias  10;  et  ex  en,  que  est  ad  7,  libras  t,  et  uncias  9;  et  ex 
ea,  que  est  ad  8,  libras  S,  ct  uncias  e. 

Qvidam  habuit  monelas  ducentas  quadraginta,  quarum  prima  erat  ad  ^ unius  uncie 
argenti  in  libra;  secunda  ad  ^ , scilicet  ad  — ; tertia  ad  ~ ; Quarta  ad  ^ , scilicet 
a«l  -j  ; et  sic  in  reliquis  per  ordinem  seraper  erat  ^ jdus  , u.squc  quod  ultima  mo- 
neta erat  ad  ~ , .scilicet  uncie  12  argenti;  lioc  est  quod  tota  i)isa  monela  erat  ar- 
genti; ex  quibus  uoluit  faccre  monetam  ad  uncias  ^ 3:  queritur,  quantum  mittet  cx  una- 
quaque inuncta:  quamuis  sujicrius  dictum  sit,  quod  minores  monete  in  unam  partem  poni 
debeant,  et  maiores  in  aliam;  tamen  qualiter  aliter  quandoque  fieri  doceat,  indicabimus: 
4piia  in  hoc  consolamine  multe  monete  posite  sunt,  sumraatur  cx  eis  ad  libitum  per 
ordinem  a mitiori,  usrpic  quod  cx  summa  carum  egrediatur  moneta,  que  non  sit  minor 
de  unciis  j 2.  Summanturque  octuaginta  monete  ex  eis,  in  ultima  quarum  sunt  unius 
uueie  argenti;  ct  colligatur  argentum,  quod  est  in  illis  so  monetis  per  ordinem,  scilicet 
iungemus  uigesima  i prime  monete,  ct  uigesimas  2 .secunde,  ct  3 tertie  , et  4,  et  s; 
et  deinceps  per  ordinem  usque  in  80:  rpianim  uigesimarum  summa  repentur  ex  mul- 
tiplicatione dc  40  in  81,  ut  in  prima  parte  duodecimi  capituli  demonstrabitur:  multi- 
plicatio enim  dc  uigesimis  40  in  8I,  scilicet  dc  unciis  2 in  si,  faciunt  uncie  IC2;  et 
tantum  argentum  est  in  ipsis  libris  80:  quare  diuisis  unciis  163  in  monelis  80,  ucriiunt 


Digitized  by  Google 


uncic  t argenti  ]>cr  unanujuamtjnc  libram  ipsnnim  80  monelarum:  qiia^  uncias  ^ t 
]>onc  ab  una  parte  consolaminis;  et  iiideas  quantum  argentum  est  in  reliquis  centum 
sexaginta  mitnetis:  quod  titdes  cum  mullipln'aueris  i plus  de  uigesiinis  240»  scilicet  S4i 
]>cr  medietatem  de  iio,  scilicet  per  12Q;  et  ex  muUiplicatieme  extnthes  uncias  I62iiiucn> 
tis,  que  sunt  in  monetis  80  minorilms  : miiUiplicatio  de  iiigcsimis  120,  scilicet  de  unciis 
0 in  241,  faciunt  uncias  U4c;  et  tot  uueie  argenti  sunt  in  moneta  240  {Hxsills:  ex  quibus 
unciis  extrahe  102,  remanent  uncie  1284;  et  tantum  argentum  est  in  Ulnis  loo  maioribus  : 
quare  diuisis  11S4  j>cr  I6O,  reddunt  uncias^  8;  ct  tantum  argentum  ueuit  in  libra  unius- 
cuiusfpic  maiorum  monetarum.  Quare  pones  ~ s ab  aUa  parte  consolamiiiis;  el  j 2 jmnos 
inter  ^ margine  ostenditur.  Et  pone  super  ^ s diflerentiam,  que  est 

a ^2,  usipic  in  scilicet  Et-  super  2 pone  dilfcrcntiam,  que  est  ab  sin  | 2, 
scilicet  5;  <juc  cum  sint  quadragesime  221,  ]K>ne  221  su{kt  ^ 2 : ergo  de  minoribus 
monetis  mittes  221,  lioc  est  ^ cx  unaquaque,  cum  ipse  moiictc  sint  80;  ct  dc  maun 
ribus  monetis  mittes  lO,  hoc  est  ^ ex  unaquaque,  cum  ipse  monete  sini  I60  : deinde 
ut  halK-as  hoc,  quod  de  unarpiaquc  mitti  deltet,  in  integrum  retiige  ct  in  eisdem 
}>artibu.s:  dupplicalis  cpiidcm  221,  faciunt  442;  quibus  jmsitls  $u(>er  diipplicata  80 , fa- 
ciunt — : ergo  de  una«piaque  minorum  monelarum  mittes  442;  ct  dc  unaquaque  mi- 
norum mittes  19. 

Incipit  differentia  septima  de  regulis  a consolamine  pertinentibus. 

Qsidam  minuit  petia  duo  auri,  quarum  pondus  enil  libra  una  ; ex  quibus  uendit 
unum  polium  nd  rationem  librc  de  bizantils  67  ; aliud  uero  ad  rationem  dc  bizaiitils 
50:babuit  autem  ipsam  cx  ulro^juc  ]>elio  bizantios  S6;qucritur, quantum  fuit  pondus  unius- 
cuiu.s(|uc  petii.  Cuius  regula  ad  monetanim  doctrinam  rctligimiis.  Vt  si  diceretur:  habeo 
moiictum  ad  uncias  67,  ct  ad  so;  ct  uoto  cx  eis  libris  monete  ad  56;  10  cpia  regula  sic 
fleri  demonstratum  est:  | uidcHcet  ut  difTcrentia,  que  est  a so  usque  in  5C,  lioc  esi  6, 
ponatur  super  67;  et  dilferenlia,  que  est  a 56  us<jue  in  67,  scilicet  il,  ponatur  supr 
so;  ct  addantur  6 cum  11,  enmt  17;  ct  multiplicentur  6,  et  11  per  12,  scilicet  per 
quantitatem  iinccarura  utriusque  jiclii;  et  diuidanlur  ulrcijuc  multiplicationes  per  17, 
exibunt  pm  rpiantitate  {>ondcrls  carioris  jKJlii  uncie  ~ 4;  et  pro  (piantitatc  uilioris  pelii 
uncie  1. 

Item  de  homine  qui  inuenemnt  (.sic)  duo  petin  auri. 

Si  autem  diceretur,  quod  illa  duo  petia  ponderarent  uncias  11;  el  ueudcrcnlur  simi- 
liter pro  bizantiU  56,  sic  erit  faciendum:  uidciioet,  ul  dicatur:  cum  11  uncie  ualcatil 
bizantios  56  ; quantum  ualent  ergo  uncie  12,  scilicet  libra:  multiplicentur  12  per  56, 
erunt  672;  (pic  diuidantur  per  ll^  exibunt  bizantii  ^ 61.  Modo  dicatur.  Habeo  monetam 
ad  uncias  67,  ct  ad  so;  ct  uls  facere  monetam  ad  /;  6l;  ot  operetur  postea  secundum 
dicUim  doctrinam. 

Irem  si  petia  illa  ponderarent  uncias  13;  multiplicentur  similiter  12  per  50,  ct  di- 
uidaiitur  |)cr  13,  exibunt  ^ si;  ct  dicetur  tunc:  ba]>eo  monetam  ad  so,  et  ad  67;  et 
uulo  faccic  munctum  ad  uncias  51;  et  sic  dc  iribus,  uc!  pluribus  |>ctiis  facere  (H>te.s. 
Tamen  semper  prouideas,  ut  pretium  omnium  |>cliorum  rctiigatur  ad  eiusdem  ueiuli- 
tionU  quantitatem,  sicuti  in  {irecedcntibus  pctils  fecimus.  Videlicet  cum  {>osuimus, 
quod  illa  duo  petia  e.sscnt  uueie  ii,  ucl  t3;  et  redigamus  eam  ad  quantitatem  pretii 
unius  libre;  quia  dc  libra  dictum  fuit,  quod  ua1cl>at  bizantios  60  ct  67. 


aiiTmvtiain  ...  etg-  » (M, 

lin.  1^9  ‘ 

Ii».  10-I1I 


19  221 


pi  .... 

eil  • (M.  66  .‘rm . li».  46' 
SS;  14».  lia.  t0-2>). 


6 

11 

A. 

A. 

67 

A. 

.50 

56 

nainlittCr  ....  67  rt  «J  • 
d?  rvri»,  lin.  4. 6'.  |aK- 
li«.  29-l6>. 


(M. 

149. 


■ 11 

!- » 

1 1 

< 1 

A. 

A. 

87 

.50 

1 

1 1 

61 

f>w  14  ruLuat  — .40  H 67  t 
iTnl.  67 rarf*.  lia-  11-13;  |a||. 
14».  Ua.  49-44). 


A.  A. 

67  50 


Digitized  by  Coogie 


7 •fwi-iiiiir  ....  ^ luitut  • K**!. 
K7  rr.l.>.  Im.  lSi4.  p*g.  I<D. 
i>»  » r 4 Iti. 


I ....  «•iiu*!  (««wrin  k 
47  t.«.  3t-3T;  p-R. 

tCO.  U».  S«-2li|. 


R i9  f 

i » f <■  I 


J 


M.  61 


cot  i>Kin«im  » iM.  47 

inrrMn.  h«.  4-f:  luf.  I6(la  Imi. 
aa-4«i 


ICO 

De  homine  qui  emit  libras  7 trium  carnium  per  denarios  T. 

Qvidam  emil  libram  camis  porcine  pro  denaiiis  3«  et  uaccine  pro  denariis  2;  yrciae 
liero  pro  denario  [ ; et  cx  illis  tiibus  carnibus  habuit  libras  7 pro  denariis  7;  que> 
ritur,  quantum  de  unaquaque  halmit  : curo  pro  denariis  7 babuit  libras  7 carnium  \ 
ergo  libni  ualuit  denarium  1 : ergo  baI>eo  monetam  ad  3,  et  ad  2t  et  ad  et  uoio 
facere  monelam  ad  t:  quod  fiat  secundum  supradictaro  doctrinam,  uidelicet  ut  addas 
3 cum  3,  erunt  5 : pone  dilTerentiam,  qiie  e.st  ab  uno  u.Kpic  in  dimidium  de  ijisis  5 
su{>er  \\  ct  diirerenliatn,  que  est  a ^ usque  in  1,  .scilicet  diuide  per  2,  exibunt 
quam  ]>oiic  super  2j  et  aliam  | |>one  super  3,  et  adde  ipsas  duas  quarta.s  cum  1 1 
suprasciipta,  erunt  2:  et  roulti|dica  7 per  | 1,  erunt  | to;  que  diuide  per  2,  exibunt 
~ s;  cl  tot  libras  emit  de  ynuna  came.  Item  que  est  posita  super  i,  uel  ipsa,  que 
|K)sita  est  sujier  3,  multiplica  per  7,  et  diuide  ]>er  2,  exibunt  | unius  libre  ct  tot 

emit  ex  unaquaque  reli<|uarum  camiiini.  Nam  si  iiicqualiter  dc  unaquaque  came  in 

prescripta  compera  lialxire  uolucris,  pone  ut  emeret  ad  libitum  dc  porcina  came  libram 
I pro  denariis  3,  i-cmaneiit  libre  0 dc  rclic|uis  duabus  carnibus  pro  denariis  4;  quarum 
unaqueque  ualct  | unius  denarii.  Quare  dicas:  habeo  monetam  ad  2 et  ad  ^ ; et  uulu 
facere  libras  6 monete  ad  quam  si  per  prcmlssum  magisterium  facere  sciueris,  io* 
uenies,  quinl  de  liouina  came  emit  | unius  libre  pro  denariis  \ <;  ct  de  yrcina  libras 
I s ]iro  denariis  | 2>  et  sic  babet  libras  7 carnium  pro  denariis  7,  ut  quesitum  est. 

De  muliere  mercatrice  que  emit  mala  et  pira. 

Irem  mulier  mercalris  emit  mala  7 pro  denario  1;  ct  uendidit  6 pro  denario  l;  et 
emit  pira  8 pm  denario  i;  et  uendidit  9 , et  imiestiuit  denarios  10  ; et  lucrata  fuit 
denarium  1;  queritur  quot  inucsliuit  in  malis,  et  quot  in  piris:  sic  faciendum  est,  ut 

ponatur,  ut  illa  iiiucstiret  in  malis  illos  denarios  10,  scilicet  ut  multiplica  7 per  te, 

cniut  mala  70;  quos  cum  uciideret  sex  pro  i denario,  diuide  ea  per  6,  exibunt  denarii  | it: 
similiter  facies  de  piris,  quod  pones  ut  iiiuestiret  in  cis  denarios  to;  et  uidehis  quot  inde 
habueris  de  pira  : inultiplicubis  igitur  8 per  10,  et  diuide  per  9,  exibunt  denarii  | 8 ; et 
dicas:  habeo  monetam  ad  | it,  ct  ad  J 8;  et  uolucris  facere  ad  ti,  boc  est  adiunctiiMiem 
lucri,  et  cajiitalis,  poiic  super  ^ 11,  secundum  suprascriptam  doctrinam,  difTerentiam,  que 
est  a * 8 tu  11,  scilicet  nonas  t9.  Et  ecoutra  {vonc  super  ~8  diircrentiam,  (pic  est  inier  il,et 
iii  I tl,  scilicet  I j 6,  ct  adde  6 cum  I9,  erunt  25;  ct  multiplica  10  per  19,  ct  diuide  jier 
iit  exibiiiil  denarii  \ 7;  et  tot  imiestiuit  in  piris. 

De  laboratore  laborante  in  quodam  opere. 

Qvidam  erat  recepturus  in  mense  causa  .sui  laboris  l>izantios  7;  ct  si  alirjuo  tem|H>re 
a Jaljorc  ces.saret,  erat  redditurus  ad  rationem  mensis  bizanlios  4:  stetit  per  mciiscra. 
ex  quo  quamlotjue  laborauil,  quandoi|ue  non;  sic  quod  babuit  de  eo,  quod  laborauit, 
bizantium  1,  di.«M'omputato  co,  quod  non  laborauil.  Queritur  quantum  labomuit,  et  quan- 
tum iioii  ex  ipso  mcitsc:  sic  facies.  Addes  dies  men.sis,  qiu  sunt  30,  cum  bizantiis  ;, 
quos  lucrabatur,  erunt  37;  ct  dc  ipsis  30  tolle  4,  quos  erat  redditurus,  si  noii  lalniraret, 
remanent  £6.  Item  cum  30  adde  lucrum  quod  fecit,  scilicet  I,  erunt  3i;  ct  dicas:  habeo 
moiieUm  ad  26  et  ad  37;  et  uulo  facere  ex  eis  libius  30,  scilicet  pro  diebus  raeusis, 
qui  sunt  30  ad  31:  quod  faciendum  est  per  supradictam  doctrinam,  uidelicet  ut  dif- 
ferentia, que  c$t  a 37  usque  in  31,  scilicet  6,  {>oncs  super  20;  ct  differentia,  que  est  a 


Digitized  by  Google 


m 

26  us({ue  in  31»  scilicet  5»  ponas  super  37:  ergo  cuidentcr  apparet,  quod  quinque  partes 
illius  mensU  laborauit,  ct  sex  partes  a labore  cessauit.  Vnde  diuidendi  sunt  dies  mensis» 
scilicet  30»  in  his  partibus  seriimliim  modum  societatum»  hoc  est  ut  addes  s cum  6» 
erunt  it;  in  quibus  diuides  multiplicalioiirm  de  s in  30,  exibunt  dies  i 
diebus  ltt)x>rauit  homo  ille:  similiter  multiplicabis  6 per  30,  ct  diuides  )>cr  li»  exibunt 
dies  ^ 16»  in  quibus  non  lal)orauil  memoratus  homo. 

DuiLsi  20  in  duas  |>artes»  et  accepi  | unius,  ct  j alterius»  et  addidi  super  20 ) et 
de  concreta  summa  extraxi  quinta  » ei  remanserunt  20  ; quia  dc  f|uacumque  sumina 
extrahitur  { eius,  remanent  > eiusdem  : ergo  | concrete  summe  sunt  20  : et  quia  ^ 
cuiusuis  summe  est  quarta  de  ^ eiusdem;  ergo  ^ concrete  summe  est  ^ de  > : que  > 
fuit  ^ prime  partis  » ct  J secunde  : hoc  itaque  inicllccto»  pone  20  esse  diuisa  in  20 
et  in  0;  quare  si  acceperis  J-  prime  ]>aitis»  ct  J secunde,  ueaict  utique  } de  20  tan- 
tummodo. Rursus  si  acceperis  \ secunde  ]>artis»  scilicet  de  0,  et  { prime»  ueniet  dc 
20:  sed  cum  accc]>ens  | unius  ex  quesilis  duabas  partibus»  ct  ^ alterius»  proiicnit  } dc 
20  : ergo  habeo  monetam  ad  | de  20»  et  ad  J de  26;  ct  uolo  facere  monetam  ad  \ de 
20;  que  cum  sint  partes  unius»  et  eiasdem  numeri,  scilicet  dc  20»  indiircrenlcr  |Missumas 
dicere:  habeo  monetam  ud  i,  ct  ad  ct  uolo  facere  monetam  ad  |»  hoc  csl:  hal>co  mone- 
tam ad  8»  et  ad  3;  ct  uolo  facere  libras  20  ad  6 per  mutata  dilTereiitias  ct  inuenies 
primam  partem  esse  \ de  20,  scilicet  12;  secundam  scilicet  8.  Et  si  jirojKniatur  remanere 
10;  cum  dc  concreta  summa  extrahitur  adde  siqier  10  quartam  rorum,  enint  ^ 23,  que 
sunt  summa  concreta:  dc  quibus  extrabe  20»  remanent  ^ 3;  ipie  denomina  a 20,  scilicet 
diuLde  ea  per  20»  cxilmiil  ^ ; et  sic  habes  monelam  ad  et  ad  ct  uis  facere  libras 
20  ad  ^»  hoc  est:  habeo  monetam  ad  16»  ct  ad  6;  et  uolo  facere  libras  20  ad  o:  per- 
mutatis quidem  diflerentiis»  inuenies  primam  jiartcm  esse  ~ de  20,  scilicet  e;  secun- 
dam ^ » 8('i]icct  14. 

Irem  diuisi  20  in  tres  partes,  ct  super  ca  addidi  | prime  |Kirtis,  et  -}-  secunde,  et 
\ tertie;  et  dc  concreta  summa  extraxi  sextam  cius»  ct  remanserunt  20:  supradictis  itaejue 
demonstrationibus  inuenit  r,  quo<l  { concrete  summe  est  \ dc  | eiusdem,  scilicet  de 
20  : ergo  habeo  monetam  ad  ct  ad  y,  ct  ad  y;  ct  uis  facere  monetam  ad  | : posita 
questione»  poteris  per  prcdictam  doctrinam  tnucnirc  prcscriptas  jiartes;  et  erit  secunda 
pars  cum  tertia  in  quacumque  uotucris  pnq>ortione. 

De  homine  qui  emit  moitia  00  quinque  hladarum. 

Qvidam  emit  constuntinopolim  mo<lia  00  inter  frumentum»  ct  milium,  et  fabas,  cl 
ordeum,  et  lenticulas  pro  bizaiitiis  {21.  Ea  uidcltccl  ratione»  quod  modia  centum  fru- 
menti uendehantur  pro  bizantiis  29;  ordei  nero  pro  bizaiitiis  35;  Milii  autem  pro  bizantiis 
22 ; fabarum  namque  bizantiis  18.  Et  lenticulas  bizantiis  ic.  Quciitiir  quantum  emit 
de  unaquaque  blada;  sic  facies.  Vide  quantum  ualeant  modia  100  commixtarum  | bla- 
durum  cum  modiis  00  ex  cis:  ualeant  bizantios  |2l.  Vt  lioc  scias  ; multiplica  modia 
109  per  bizantios  | 21»  ct  diuidc  |>cr  00,  exibunt  bizantii  23  pro  pretio  centum  mo- 
diorum. Vude  ut  redigatur  ^ec  questio  ad  monetarum  consolHmen,  dicendum  est:  habeo 
monetam  ud  uncias  29»  ct  ad  25»  ct  ad  22,  et  ad  I8»  ct  ad  I6;  ct  ex  eis  uolo  facere 
monetam  ad  uncias  23,  ct  consolare  cx  eis  libras  00:  quarC  describe  questionem  in 
hunc  modum,  et  adde  iiisimul  j)rctium  de  carioribus  Idadis,  scilicet  bizantios  29  cum 

2( 


cuiicrcte  ....  dirrfc  * (fui.  67 
lia.  16-83;  m>.  161  . 

Ilo.  « I7l. 


3 

9 

9 

Ktlirrt  H > (M.  67 

*vrM,  lik 

94  S9  \ HK  <61 

li«.  17.23). 

2 

3 

3 

S 

0 

1 

1 

1 1 

7 i 

i 

Digitized  by  Google 


M4iliniw  •••• 

68  rrrlrn,  lin.  I-8O1  |••g.  lAI, 
l.a.  s:  . 38  — P^.  1«.  lia. 
XU>. 


Au  ij  r.>tii..(a»Hiiai  . . . la 

* AA  rpv/i», 

hn.«S-33i  Ii»  2«  U). 


22  20 


IC2 

bizaiitiis  2S,  cruiU  54:  cl  quia  duas  blada.s  insimul  iunxisti,  diuidc  54  per  i,  exibunt 
27;  dc  quibus  extralic  bizantios  ~ 23,  rcinanciil  bizantii  ^ 3 ; qui  numerus  e-sl  pro- 
portio trium  milium  bladanim:  quare  diuides  ^ 3 per  ipsas  tres  bladus,  exibit  ^ i ; 
que  pone  super  bizanlios  21,  et  su|>er  18,  ct  super  ifi,  ut  io  descriptione  ostenditur; 
et  adde  insimul  pretium  alianim  trium  bladaimm,  scilicet  is,  et  18,  et  le,  erunt  m ; 
que  diuidc  per  3,  exibunt  | ts  : a quibus  us^pic  in  ~ 13  desunt  ^ 4,  qui  sunt  pro- 
portio catiorum  bladarum  ; quare  diuidc  i per  2 , exibunt  jji;  que  {xme  super 
29,  et  super  25:  quibus  ita  desctipti.s,  redi^tur  bec  questio  ad  societatum  questiones; 
uidclicct  tjuod  unus  misit  2,  cl  alter  totidem,  ct  tertius  ^ l,  et  quartus,  cl  quintus 
totidem;  et  lucrati  sunt  modia  dO.  Vnde  o|>urtet,  ut  facias  de  unoquoque  numero  een- 
tesinias  octauas;  quia  iu  los  reperiunttir  predicti  rupti:  et  dcscnl>c  iiiiuniquemque  ipso- 
rum super  suum  mimerum;  el  sic  haltcbis  2C7  super  29,  et  siqier  25,  et  i2i  super  a , 
et  su]>er  is,  et  super  I6:  quibus  insimul  additis,  scilicet  267,  ct  267,  et  I22,  et  22,  et 
122,  erunt  900;  in  (juorum  regula  diuidc  multiplicationem  de  mialiis  90  in  uiiumrjuemque 
]»rcscn])torum  numerorum.  Vel  quia  oo  sunt  ~ dc  900,  accij>c  ^ dc  suprasrriptis  nu- 
meris, exibunt  de  frumento  moilia  ^ 26  pro  bizanliis  7 j el  dc  ordeo  nuMlia 

~ 26  pro  bizanliis  i-i-i  5;  ct  de  milio  modia  12  pro  bizanliis  ; el  tle 

fabis  modia  12  pro  bizanliis  tVfo  ~t*o  * i de  lenticulis  modia  ^ 12  pro  bizanliis 

10  1«  IH  '* 

Aliter  de  emptione  bladarum. 

Ccniin  st  incqualiter  dc  unaquaque  prcdirtnrum  bladamm  se  Imbuisse  p^O}HlSu^ 
ris;  aliter  ({uam  su|>erius  in  iner}ualitatc  monetarum  diximus,  huc  dicere  uolumns:  ut 
tripliciter  similes  questiones  .soluere  ualens,  pone  ut  emisset  cx  una  ipsanim  quantum 
uis.  Nam  ut  magis  ueaiat  expeditum,  punc  ut  emisset  ex  ea,  qtic  ualet  bizantios  2S, 
modia  5:  ideo  quia  ipsa  modia  5 ualent  bizantios  i;  que  modia  5 extrahe  dc  90,  rcina' 
nent  modia  85;  et  ~ i extrahe  de  | 21 , remanent  bizantii  20.  Modo  restant  o)DSo!are 
nobis  modia  8S  pm  bizanliis  20  inter  reliquas  quattuor  bladus.  Vmlc  ad  llbitaro  po- 
nes, ut  cx  ca,  (|ue  ualent  bizanlios  ic,  crais.set  imnlia  15  , que  ualent  bizanlios  4j  re- 
manet modia  r>0  ad  con.snlandum  pro  bizanliis  16  cum  reliquis  tribus  bladis.  Ilrroni 
sumnies  ad  libitum,  ut  emis.sel  niiKlia  to  de  cn,  que  ualct  centenarium  bizantios  it; 
que  niixlia  lO  ualent  bizanlios  J 1 : unde  dlscomputatis  modiis  10  de  60,  ct  bizantib 
j 1 de  16,  reinancnl  modia  50  ad  consolandum  pro  bizanliis  i 14  inter  ipsam ; cniu-s 
centenarium  ualet  bizantios  22,  ct  eam,  (|uc  ualct  bizantios  29:  quare  dicendum  est:  si 
modia  56  duarum  conimixlarum  bladarum  ualent  bizantios  \ 14;  quantum  ualent  im> 
dia  100.  Multiplicabis  siquidem  loo  )>cr  ^14,  ct  diuides  per  50,  boc  est  duplicabis  ea, 
exibunt  bizantii  | 28  ; dices  itaque:  liabco  monetam  ad  29,  et  ad  22;  ct  uulo  cx  ei> 
focerc  libras  50  monete  ad  | 28  : descripto  siquidem  prcscripto  consolamine  , ut  {SQ* 
perius  edocetur  , accipe  diflerentiam  , que  est  a 22  u«jue  in  -28,  scilicet  J 6 ; el 
scrilw?  ca  super  29;  ct  a | 28  usque  in  29  de.sunt  {,  ipias  |H)nc  sm>er  22,  ct  fac  socie- 
tatem de  I 6,  et  de  qui  faciunt  7:  in  quibas  diuidc  multiplicationem  de  | 6 io  se, 
exiimnt  modia  ’ 45;  et  tuiitiim  emit  de  illa  dc  29:  et  iterum  diuides  in  eadem  7 mui* 
tipliculionem  de  \ iit  50,  exibunt  modia  | 4;  ct  tantum  emit  de  illa,  qiic  ualent  bizan- 
lios 22. 


I 


1 


Digitized  by  Googie 


1G3 

yiliter  de  eisdem  hrndis.  (sic)  | 

Ucrum  si  proposuerit,  se  emisse  cx  illa  <ic  S9  tantum  quantum  emit;  ct  de  illa  dc 
S5  quartam  partem  i[>siu.s;  et  de  illa  dc  13  tantum  quantum  emit;  et  dc  ipsa  dc  19  quar- 
tam partem  ex  eadem  ta  ; ct  dc  illa  dc  is  quantum  ex  ipsa  de  is ; et  sic  habuit, 
prcscriptis  conditionibus,  ex  ipsis  quinque  hiadis  mixlia  90  pro  bizautiis  \ si;  sic  est 
faciendum:  ut  describatur  questio,  sicut  inferius  cernitur:  ct  quia  de  ipsa  de  ii  emit 
({uartam  partem  dc  ipsa  dc  19;  ergo  quater  tantum  emit  de  ipsa  dc  19,  <)uam  ex  ip$4i 
de  15.  Viide  ]>oneiida  sunt  4 super  19,  ct  1 super  is;  et  multiplicanda  4 per  10,  erunt 
116;  ct  I per  15,  erunt  15;  que  iunge  cum  ti6,  emnt  14<;  que  diuide  per  iunclioncm 
dc  4 cum  1,  scilicet  }>cr  5,  exibunt  bizantii  | 18;  et  tantum  ualuit  centum  nunliurum 
illarum  prcdictanim  bladanim  ita  uidciicct  commixtarum.  Item  eadem  ralionem  (.r/c)  quiu 
cum  de  i|jsa  dc  n emerit  quantum  emit;  ct  cx  ipsa  dc  I8  quartam  |>artem  ipsius;  et 
cx  ij)sa  de  16  quintam,  quam  ex  ipsa  de  18;  querendum  est  dc  | -t,  in  quali  reperian- 
tur  numero:  scilicet  in  10,  que  describantur  super  22;  ct  accipias  quartam  |»artrm  ijkso- 
1'um,  que  est  5;  ct  describas  ca  super  18;  et  iterum  accipias  | ipsorum,  que  est  i;  ct 
(K)nas  eum  super  I6:  et  multiplica  10  per  is,  erunt  44o;  et  s per  18,  erunt  90;  et  unum 
per  16,  erunt  I6;  que  adde  curo  90,  et  cum  440,  erunt  546;  <|ue  diuide  per  iunclioncm 
de  20  cum  s,  et  cum  1,  scilicet  per  20,  exibunt  21;  ct  tantum  ualet  centum  illarum 
trium  reliquarum  bladarum  in  dicta  pro|>urlioiic  commixtarum.  Q)uapropter  ut  rediga- 
tur licc  questio  ad  monetarum  consolamen  dices  : habeo  monelam  ad  •}  28,  cl  ad  21; 
ct  uolo  inde  facere  libras  90  monete  ad  uncias  ||  23  : quod  consolamen,  si  magistra- 
liter  secundum  artem  facere  cupis;  descripto  ipso  consoluraioc,  multiplica  28  per  5,  et 
addes  i,  erunt  I4t;quc  multiplica  |ht  g,  et  per  2,  que  sunt  sub  uirgula  dc  23,  erunt 
2538,  que  pdne  super  28.  Item  multiplica  21  per  1,  et  per  9 de  uirgula  dc  23,  et  per 
3 de  uirgula  dc  28,  erunt  1890,  que  pone  super  21.  liem  multiplica  23  pero,  cl  adde 
5;  que  per  2,  et  adde  1,  erunt  423;  cjuc  per  5,  que  sunt  sub  uirgula  , <jue  est  cum 
28,  erunt  2123,  que  jKine  super  ^23;  ct  iterum  dices:  habeo  monetam  ad  2538,  et  ad 
1890;  ct  uolo  faocre  inde  libras  90  ad  uncias  2125:  unde  diBcrenlia,  que  est  a 1890  us<{uc 
in  2123,  scilicet  233,  pmerida  est  .su|>er  et  dinerentia  , que  est  a 2125  as<jue  in 
2538,  scilicet  413,  ponenda  est  super  21,  ut  est  inferius.  Iunge  siquidem  413  cum  235, 
eiimt  648;  in  quorum  regula,  <{uc  est  que  diuidenda  esset  multiplicatio  de  mo- 
diis 90  supradiclis  in  235;  cl  sumina  que  exiret  esset  summa  duarum  illarum  modio- 
rum bladarum  superius  coniunctaruni  , scilicet  de  29  , ct  2s  : sed  ut  diuidatur  pars 
unius  ab  altera,  multiplica  prescriplam  multiplicationem,  scilicet  de  235  in  90,  |)cr  4,  que 
suut  super  29  in  descriptione;  et  diuide  per  cuniuuetionem  eiusdem  4 cum  1,  quod  po- 
situm est  sujicr  23,  idcsl  j»er  s,  cl  prcscriptam  uirgulam,  scilicet  per  \-j  Nam  curo 
euidentissime  uitlctur,  regulam  de  00  in  prescripU  uirgula  esse  idem  ~ , noii  u|M>rtet 
inultiplicai^e  235  {)cr  so;  sed  relinques  laborem  multiplicationis,  ut  iterum  relinquas  la- 
l>orein  diiiUionis  eorundem  9u;  et  remanebunt  tantum  235  per  4 multiplicanda.  Et  per 

diuidenda:  de  quibus  etiam,  si  euitaucris  remambunt  235  diuidenda  per  9,  exi- 
bunt modia  ^ 20;  ct  tantum  emit  dc  ipsa  dc  29.  Item  eodem  modo  et  ordine  multi- 
plica 233  per  1,  quoil  est  super  25,  erunt  235  ; que  diuide  similiter  per  ^ , exibunt 
6;  et  tantum  emit  de  ipsa  de  25.  Hursiim  ut  haberetur  quatililas  rclupianim  trium 


>n  4h|U  ....  «Ii  • [lui 

Im.  l],  H » i 
1«S.  Iin.  19.34.S 

I i»HV«nli« 

difvivntM 

i 413 

235 

IHUU 

2.S3S 

21 

-> 

2)25 

Digitized  by  Google 


I 


fvl'  €9»»rt*. 

411  mmt  ....  Mi»it  ■ {fel. 
49  nm*,  iw.  i>lSk  l«g.  144, 
Ii*.  K-t4). 


iiBni|<iiiiiB«  ....  Jrmartif  30  • 

(M.  69  rfrio  , Im.  44.«9  i 
|u|[.  164,  lin.  34  — |«g.  163, 
liu.  I). 


K4 

blatlanim  insimul  cnniunctanim,  nuiUiplicaiida  essent  413  in  modia  90»  et  io  ^ diui- 
deiida  : .sed  ut  separentur  ad  iniiieom»  multiplicanda  est  illa  multiplicatio,  scilicet  de 
413  in  90  |>er  so»  que  posita  sunt  su|ier  ss;  ct  diuideiida  per  eandem  re»ulam»  scili' 
cct  {>er  et  per  so,  que  sunt  .summa  eorundem  30  ; et  de  5,  que  sunt  .super  is, 
et  de  1,  quod  est  su|icr  lO,  optime  in  uirgula  omnia  coaptata  sic  * * * * ^*^;  ct  sic  lu- 
bebitur  quantitas  de  ea,  quam  emerit  ad  rationem  de  u:  sed  cum  rursu.s  euidentiS' 
sime  uidetur  de  prcscriptis  oo  enint  ^ sub  uirgula  diuisioiiis,  ^ de  90  acci|>c,  que  est 
10;  ct  multiplica  ea  per  | 413,  erunt  4130;  que  multiplica  iterum  per  medietatem  de  m; 
ideo  quia  }>ote.s  relinquere  -J-,  quod  est  in  uirgula,  erunt  41300:  que  diiiidc  |)cr 
tantum,  esibunt  modia  i tantum  emit  de  illa  de  32.  Iterum  ut  habeas  iltod 

quod  emit  de  is,  multiplica  413  ]>or  5,  .scilicet  per  octauam  decimam  partem  de  oo; 
ideo  quia  |>ossibilc  e.st  relinquere  dc  dicta  diui.sione,  .scilicet  dc  | regulam  de 

18  , que  est  qua  extracta  dc  uirgula  , remanebit  ut  diuidatur  tantum  in 

multiplicatio  413  iii  S,  ct  adhuc  in  alia  5,  que  .sunt  jiosita  super  I8  ; que  toU  mul- 
tiplicatio est  1032S:  que  diuide  per  exibunt  modia  h;  et  tantum  emit  dc 

ipsa  de  18.  Item  ut  habeatur  quantitas  dc  ca,  que  emit  dc  lO:  multiplica  413  {>er  s, 
scilicet  per  octaiuim  decimam  de  oo,  erunt  8005;  qiic  multiplica  per  t,  que  est  per  ii, 
einint  similiter  soes;  que  diuide  per  J exibunt  modia  s;  et  tantum  emit  de 

illa  dc  16,  ut  in  descriptione  o.stcndilur. 

De  Cumpana  ex  quinque  metallis. 

Qvidam  uolens  facere  cainpanam  de  quinque  metallis  , cx  quibas  cantare  ud}us 
ualct  libras  lO;  Alterius  ucru  libras  i8;  Alterius  namque  libras  so;  .Altcrias  uero  librae 
37;  Alterius  libras  siquidem  31  ; fecit  itaque  cx  eis  campanam,  que  ponderat  n>tulu$ 
775,  que  constitit  libris  ~ 103  : queritur  fpiantum  misit  dc  unoquoque  metallo : qur 
omnia  facere  jK>les  per  prcdictam  regulam  bladarum.  Sed  ut  clarius  intelliganiur,  ui- 
deamus  cum  rotuli;  77S  commixtorum  metallorum,  luilerit  libras  { I6t ; quid  ualeaat 
botuli  100,  scilicet  cniilarc;  quod  sic  uidendum  est:  ut  multiplices  { 163  (>er  loo,  emat 
16375;  que  diuide  per  regulam  de  775,  que  est  SJ-5V»  exibunt  21.  Vnde  dicendum  est, 
ut  redigatur  licc  questio  ud  monetamm  cousolamcu:  babeo  monetam  ad  31,  et  ad  i?, 
cl  «d  30,  et  ad  is,  et  ad  16;  ct  uolu  ci  cis  facere  libras  775  monete  ad  libras  si : 
quod  consolamen,  .si  omnium  demonstrationum  .similium  non  immemor  extiteris,  iiiucnics, 
quod  misit  in  prcscripta  campatiu  cx  emlcm  16  roUib»s  187  j»ro  libris  30,  cl  tlcnarinN 
^14;  et  ex  eodem  18  rotulos  f-^  libris  33,  cl  .soldis  «,  et  denariis  ^ 4;  et « 

eodem  30  rotulos  |-^  I87  pro  libris  37,  et  .soldis  2,  ct  denariis  ^6;  ct  ex  cotlem  3' 
botulos  j-~  los  pro  libri.s  ss,  ct  soldis  10,  ct  denariis  ^ 8;  et  cx  eodem  3i  Rotulos 
5-jj  105  pro  libris  32,  ct  S4)ldis  is,  el  denariis  ~t.  Et  si  incqualilcr  in  prcscripta  eam- 
{Miia  dc  uno(|uoque  metallo  mittere  uulucris,  facies  secundum  <}uud  in  emptione 
diorum  90  quinque  bladarum  su}>crius  dcmonslrauimu.s.  Sed  .si  in  integris  boluli.sb« 
omnia  habere  uis,  operare  per  modum  constdationum  ; et  habebis  dc  iiiliuri  metallo 
Rotulos  60;  dc  secundo  155;  de  tertio  400;  dc  quarto  iss;  de  cariori  40;  el  licc  etiam 
pos.sunt  uariari  per  consolationes  cum  diuersis  integris  numeris;  cl  est  pretium  primi 
metalli  libre  «,  et  soldi  13;  secundi  iibre  37;  tertii  libre  80;  quarti  libre  33,  et  soldi 
ts;  rarioris  libre  ts,  ct  soldi  8. 


I 


Digitized  by  Coogie 


I6S 

De  homine  qui  emit  nues  triginta  trium  generum  pro  denariis  M. 

Qvidam  emit  aucs  30  pro  denariis  30.  In  quihiis  fucimit  perdices,  co)uml>c,  et 
seres  j perdices  ucro  emit  denariis  3;  coluniha  denariis  2,  et  piisseres  t pro  denario  1, 
scilicet  passer  1 pro  denariis  ■{,  Queritur  quot  aues  emit  de  unoquoque  genere:  diuidc 
denarius  30  per  aues  30,  exibit  denarius  t.  Dic  ergo:  lial>eu  moiictaiii  ad  et  ad  2, 
et  ad  3;  et  uolo  facere  monelam  ad  i.  In  similibus  enim  questionibus  procedendum 
e.st  per  modum  consolationum,  ut  liabeamus  integras  numeros  auium.  Quare  ut  species 
uiliorum  auium  equetur  spetiebus  cariorum  multitudinem  dicas  : habeo  monetam  ad 
et  ad  ct  ad  2,  ct  ad  3;  et  uolo  facere  monetam  ad  t,  hoc  est:  halieo  monetam 
ad  t,  et  ad  t,  et  ad  4,  et  ad  6;  et  uolo  facere  monetam  ad  2:  fac  ex  passeribus,  et 
perdicibus  primam  consolationem;  ct  erunt  aues  s pro  denariis  s,  scilicet  passeres  4, 
cl  perdix  i;  et  dc  passeribus,  et  columbis  fac  secuiulain;  et  habebis  3 pro  denariis  3, 
scilicet  {>asseres  2,  et  columba  l:  deinde  ut  habeas  aues  30  consolatas,  mittes  primam 
consolatiuficm  ter,  in  quibus  cnint  ]kH.ssercs  12,  ct  |>crdires  3;  et  remanebunt  | aues  15 
consolate;  pro  ({uihus  mittes  secundam  consolationem  qniiKjuies,  ct  habebis  passeres 
10,  ct  columbas  s;  et  sic  in  predictis  auibus  30  erunt  passeres  22  , et  columbe  3,  ct 
perdices  3,  ut  in  questione  ostenditur.  Et  scias  quia  dc  suprascriptis  potes  habere  aues 
sanas  quantas  uolucril  pro  totidem  denariis  ultra  iS;  sed  infra  iS  non  ]>ussuiit  haberi 
aues,  nisi  J3,  et  11,  ct  8.  Nam  in  anibus  13  cadit  prima  consolatio  bis,  ct  secunda 
semel;  et  in  auibus  11  cadit  secunda  consolatio  bis,  et  prima  semel;  et  ia  auibus  8 
cadit  unaqueque  consolatio  semel. 

De  eodem. 

Rvrsus  perdix  ualeat  denarios  2;  et  columbe  2 dentur  pro  denario  1;  ct  passeres  4 
pro  denario  1;  et  uolo  aues  12  pro  donariis  12  : ergo  Iiabcs  monetam  ad  ct  ad  j, 
ct  ad  2;  ct  uolo  facere  monetam  ad  1 : fac  dc  perdicibus  ct  passeribus  consolationem 
primam;  ct  erunt  aues  7 pro  denariis  7,  scilicet  passeres  4,  et  perdices  3:  et  de  per* 
dicibas,  et  columbis  fac  secundam;  et  erunt  aues  3 pro  denariis  3,  scilicet  columbe  2, 
ct  [>erdix  1.  Et  quia  cum  ipsis  duabus  consolationibus  non  possumus  aues  f2  in  inte- 
grum pro  denariis  12  consolare,  consolabimus  cum  cis  aues  24,  scilicet  duplum  de  auibus 
12,  in  quibus  cadit  prima  consolatio  ter,  et  secunda  semel.  Quare  ex  ipsis  auibus  24 
erunt  (>erdices  10,  cl  columbe  2,  et  passeres  12:  qui  numeri,  cum  sint  pares,  ]K)ssuiiit 
integralitcr  dimidiare.  Quare  dimidia  cos,  et  lial>cbls  perdices  5,  et  columbam  1,  et  pas- 
seres 6,  boc  est  aues  12  pro  denariis  12.  Et  si  pru^Mmeretur,  quini  culiiml»  ualeat  tantum 
denarium  f,  tunc  non  indigeres  nisi  primam  consolationem,  in  qua  suut  ]>erdices  3,  et 
passjiies  4 pro  denariis  7.  Residue  aues  5 erunt  columbe;  etsi  ex  ipsis  uis  consolare 
aue.s  lou  pro  denariis  100,  |>ules  mittere  primam  consolationem  quotiens  uuhieris,  donec 
100  excedant  summam  coii.soialioiium;  ct  que  de  100  remanserint,  cnmt  columbe. 

De  eodem  cum  genera  auium  sint  quattuor. 

Irem  |>erdix  ualeat  denarios  3,  columba  2,  turtur  denarium  passer  denarium 
et  uolo  ex  eis  aues  30  pro  denariis  30  : fac  primam  consolationem  cx  ]>erdicibas,  et 
imsscrihus;  et  habebis  aues  li,  scilicet  perdices  3,  et  pisseres  8 : ct  in  secunda  con- 
.solatiuue  enint  turtures  2,  et  coIum)>a  1,  hoc  est  aues  3.  Et  quia  ex  his  duabus  con- 
solationibus non  possunt  aues  30  consolari;  cum  extracta  prima  consolatione  dc  30  scmcl, 


t Qv,d4«  ....  rMajiiHiunt  t (f«1- 
6V  rwrt».  lia.  S0-S9i  1«^. 
Ii*.  S-ll|. 


3 5 2 2 

frrUf-  ra/nnA4.^4,i. 

6 4 i I 

2 

P*rj,r  3 1 

1 4 

6 i 

2 


fui.  49  r#r«0. 

f CAn|MiUti<»  •...  4"«>Uetmum  • 
|tol-49  fvr4«.lin.4<4*49i  |u(- 
14A,  Ita.  21  — !>«■.  |44i  lia- 

IV|. 


Digitized  by  Google 


tn4l/>tt  ....  <t  • {ttA. 

7»  Im.  It-IH,  |>*3  lliiA. 
Uii-  3t<li- 


tcc 

cl  1)U,  non  remaneat  numerus  diuisilnlis  per  StSciliccl  per  summam  secunde  consola lionU. 
Ideo  ojx)rlct  muUre  cou.solaliones:  fiat  itaque  consolatio  tertia  ex  columbis, et  pa.<!seribus; 
et  lialxdjis  aues  7,  scilicet  columbas  3,  et  |)a.s.scres  4:  remanebunt  pro  quarta  conso- 
lutiune  aues  5,  scilicet  turtures  4,  et  perdix  \ : deinde  in  omnibus  similibus  questio- 
nibus delxs  mittere  pnniam  consolationem,  et  secundam  uel  tertiam,  ct  quartum  semel ; 
ct  tunc  studeas  supplere  summam  quesitam,  secundum  quod  fors  ceciderit  cum  aliqua, 
uel  aliipiibus  ex  ipsis.  Verbi  gratia  : ponamus  summam  prime  consolationis,  ct  secunde 
semel,  erunt  aues  m;  quibus  extractis  de  30,  n manent  lO  ad  consolandum,  in  quibus 
cadit  semel  prima  consolatio,  ct  quarta,  seu  ter  secunda  consolatio,  cl  tertia  semel : 
ergo  in  ipsis  30  auibus  cadit  prima  consolatio  bis;  bis  et  secundam,  ct  quartam  semel; 
el  sic  halxbls  jwrdices  7,  ct  columlw  i , ct  turtures  e,  ct  jwsscrcs  lO.  Vel  miliamus 
semel  in  i|)sis  30  auibus  tertiam  ct  quartam  consolationem;  el  erunt  aues  is:  quibas 
extractis  de  30,  remanent  aues  <8,  in  quibus  cadit  semel  prima  consolatio  et  tertia  , 
uel  quarta  consolatio  ter,  cl  secunda  semel;  cl  sic  babebis  perdices  4 , columlias  € , 
turtures  4,  |>asseres  <6  : ct  sic  possunt  consolari  diucrsis  modis;  cum  genei-a  sint  4, 
uel  plura.  L'l  nota,  cum  ex  aliquo  genere  auium  ponatur  auis  i pro  denario  i,  tunc 
leulssiraa  est  questio;  quia  rcUmjucs  ipsum  genus;  cl  de  reliquis  facies  consolationes, 
tpias  mittes  supplendo  summam  quesitam  dc  genere  relicto. 

incifut  Capitulum  chuHiecimum.  | 

CApitulum  itaque  duodecimum  dc  questionibus  ablmci  in  jmrtcs  iioucm  diuidimus. 
Ouarum  prima  est  dc  collectionibus  numerorum,  et  quanindam  aliarum  similium  que- 
stionum 70. 

Secunda  de  proportionibus  numcroinim  71  § per  regulam  quarte  pro|>ortionLs  73. 
Tertia  de  questionibus  arborum,  atque  aliarum  similium,  quarum  solutiones  flunt. 
(Quarta  dc  inuciitiunc  bursarum  89. 

Quinta  de  emptione  ecjuorum  inter  consocios,  secundum  datam  pro|K)rlioneni  96. 
Sexta  dc  uiagiis,  atque  eorum  questionum,  que  lialicut  siniililudineni  uiagiorutn  que- 
stionibus Ito. 

Septima  dc  reliquis  erraticis,  que  ad  iiiuicem  iu  eurum  regulis  uariutitur  ii9. 

Octaua  dc  quibusdam  in  diuinatioiiibus  133. 

Nona  de  Duplicatione  scaclicrii,  ct  quibusdam  aliis  questionibus  136. 

Expliciunt  partes  x//*‘  capituli.  Incifut  pars  prima  de  collectionibus  numerorum. 
Cvm  autem  uis  sujier  aliquem  datum  numerum  colligere  numeros  quotcumque  a.*a:eu- 
dentes  ab  ipso  dato  numero  cqualitcr,  ut  per  ascensionem  unitatis,  uel  binarii  , uel 
ternarii,  uel  alterius  cuiuslibet  numeri,  dimidium  multitudinis  cunctorum  iiumerurum 
in  collectione  |>ositorum  per  coiiiunctum  extremis  multiplica  ; ucl  dimidium  summe 
extremorum  , scilicet  primi  ct  ultimi  numeri,  per  numerum  inuUitudinis  numerorum 
ducas,  et  babebis  jiiopositum.  Verbi  gratia  : uobi  colligere  su{>er  7 numeros,  qui  ascen- 
dunt |>er  ternarium  ab  ipso  septenario  usijuc  in  31,  ut  7,  ct  lo,  ct  13,  ct  deinceps 
usque  in  31.  Multitudo  quidem  numerorum  prcdictorum  est  9,  boc  est  quod  noucm 
numeri  sunt  in  prcdicta  collectione;  ex  quibus  unus  est  septenarius.  Beliqui  autem 
sunt  octo,  qui  habentur  ex  tertia  de  94,  que  remanent  do  3i,  extractis  in  7.  Coniunctum 
itaque  ex  extremis,  scilicet  de  7,  ct  3i,  et  38:  quara  si  multlplicaucris  dimidium  de 


Digitized  by  Coogle 


107 

0 prr  uri  diniiiliiim  de  38  per  9,  reddunt  171  pro  sumina  roiloctionis  noucm  ]>0’ 
sitorum  numerorum?  per  hunc  quidem  regulam  possunt  iniieniri  collectiones  subscripte; 
quas  etiam  denumstmbirous  alio  modo. 

* l)t  eiMiem  alio  modo. 

Si  uis  colligere  alupiot  numeros,  qui  ordinate  ascendunt  aut  per  ascensionem  uni- 
tatis, incipiendo  ub  uno;  uel  per  ascensionem  binarii,  incipiendo  a 2;  aut  ]>er  ascensionem 
alicuius  alterius  numeri,  incipiendo  ab  ipso,  ultimum  numerum  per  primum  diuide,  et 
exeunti  ex  diuisione  iinnm  adde;  et  quod  pruuenerit  scrua  ; ipsiimqtie  per  dimidium 
ultimi  numeri,  uel  ultimum  numerum  per  dimidium  seniati  multiplica.  Verbi  gratia: 
uolo  colligere  omnes  numerus,  qui  sunt  ah  uno  usque  in  60:  diiiidain  ergo  oo  )>or  1 , 
et  exeunti  sujier  addam  t,  erunt  61;  que  multiplicabo  per  dimidium  de  GO;  uel  co  mul- 
tiplicabo per  dimidium  dc  oi,  uenient  1S30  pro  summa  dicte  collectionis.  Similiter  si 
a binario  colligere  uis  numen>s,  qui  ascendunt  per  binarium  usque  in  co,  hoc  est  pares 
numeros,  diuide  GO  per  2,  et  super  adde  1,  erunt  31,  que  multiplica  per  dimidium  de 
00.  Similiter  si  uis  colligere  a 3 usque  in  GO,  ascendendo  per  ternarium,  ut  3,  ct  G, 
et  9,  unum  plus  tertia  |>artc  de  oo,  scilicet  21,  per  dimidium  de  eo  multiplica,  erunt 
G30;  ct  iiitelligas  in  reliquis  similibus. 

Nahi  si  in  jiartes  numeros  tantum,  incipiendo  ab  l us(]uc  in  alium  quemlibet  nu- 
merum colligere  uis,  ]X)tes  per  regulam  priorem  procedere.  Yel  quod  idem  est,  dimi- 
dium summe  exlreraonim  in  se  multiplica,  et  habebis  pmjMisitiim.  Verbi  gratia  : ut 
si  uis  colligere  imj[>arcs  numeros,  qui  sunt  ab  1 us^^pic  in  19;  dimidium  summe  conliin- 
ctiunis  extremorum,  scilicet  lo,iu  se  multiplica,  scilicet  iii  numerum  multitudinis  ijisorum 
immerurtim.  Nam  itq  ures  numeri,  qui  suiit  ab  1 usque  in  19,  siuil  decem;  exibunt 
100  pro  dicta  collectione.  | 

Si  autem  uis  habere  summam  quadratorum  omnium  numerorum  per  ordinem,  qui  r..i. 
sunt  a quadrato  unitatis,  .scilicet  ab  uno  usque  in  quadratum  alicuius  numeri,  tU  di- 
camiLs  iisfjuc  in  (|uadratum  decenarii,  cuius  quadratum  est  lao;  pone  10  cx  jvarte , et 
ante  ea  {kmic  niimerum  sequentem,  scilicet  il;  et  coniunctum  cx  eis,  scilicet  2t,punc 
sub  ipsis;  ct  multiplica  10  per  li;  que  j>er  2i,  et  diuides  summam  per  «,  et  jKr  1 , 
quod  est  diflercntia  inter  10,  ct  11;  et  liul)ebU  2ss  pro  dictu  summa;  et  erit  semper 
jKissibile  eiiitare  irt  bis  0,  iii  quibus  sil  diuisio.  Et  si  summa  quadratorum,  qui  fuiitt 
per  ordinem  ab  imparibus  numeris,  halierc  uis  usque  in  quadratum  nouenarium  ante  0, 

]K)nes  sequentem  in  partem,  hoc  est  is;  et  coniunctum  cx  cis,  scilicet  20,  pone  sub 
eis;  et  bos  tres  numeros  insimul  multiplica  ; et  summam  diuides  per  12,  Itoc  est  per 
6,  et  per  2,  que  sunt  dilTcrentia  inter  9 et  li,  ct  eiiitabls;  scilicet  tertiani  dc  9 mul- 
tiplica per  quartam  de  20,  erunt  I3 ; que  multiplica  per  li  , erunt  ics ; ct  bec  est 
summa.  Et  si  collci’tioncm  quadratorum,  qui  fiunt  a numeris  paribus,  per  ordinem  ha- 
bere uis,  a quadrato  binarii,  qui  est  4,  us<{ue  in  quadratum  decenarii,  qui  est  lou  , 
pone  10;  et  sequentem  parem,  scilicet  12;  ct  coniunctum  ex  eis,  scilicet  22,  cx  [virlc. 

Et  cx  supradicta  ratione  duodecimam  {lartcin  dc  summa  niulliplicationis  eorum  accipe, 
que  cril  summa  quesita:  sed  eiiitabls  1^,  et  habebis  220.  Similiter  jiotes  habere  summam 
omnium  quadratorum,  qui  liunL  a numeris  ascendentibus  ordinate  per  tcniarium,  uel 
quaternarium,  uel  per  alium  qucmlil>et  numerum.  Vt  si  uls  habere  summam  quadra- 


Digitized  by  Google 


1 Irnt  t*  ...jttfrHiifnUto  » 
Vl<rr,*,  Im.  Il-M  • S4.  ft 
(•it.  U.  u 


f.  l 71 


m 

turum,  qui  fiunt  a numeris  ascendcntilxis  |K?r  quaternarium,  incipicmlo  a quadrato  qua- 
ternarii, qui  est  i6,  usque  quadratum  alicuius  numeii,  ut  dicamus  usque  in  quadratum 
de  20,  que  est  400  ; pones  primum  20,  et  eum  ipsum  scribes  sequentem  numerum  per 
quaternarium  ascendentem,  scilicet  24  : sub  ipsis  quidem  pones  44  , scilicet  numerum 
ruiiiimctiim  ex  cis;  et  multipHcalus  20  per  24;  quod  tutum  j>er  44,  et  diuides  summam 
per  0,  et  ]>er  numerum  ascendentem  })cr  4,  hoc  est:  multiplicabis  20  per  quartam  sexte 
de  24,  scilicet  |>cr  i,ct  per  44,  exibunt  sso  pro  eurum  summa;  et  sic  fiet  in  ceteris. 
!’n)liaui  enim  geuractricc,  que  liic  sunt  dicta  de  collectionibus  quadratorum  in  lil)n>, 
quem  de  quadratis  com{>osui. 

De  duobus  utilioribus f (fuorum  unus  inmitatur  alterum 
f>€r  ascentionem  numerorum  per  ordinem. 

Ostensis  quidem  regulis  de  collectionibus  numerorum;  Nunc  uero  que  ad  eas  perti- 
nent ostendantur,  uidclicct  ut  cum  dictum  fuerit.  Sunt  duo  homines,  qui  longum  iter 
agere  pnqiasuerunt,  quorum  unus  ibat  cotidie  milia  20.  Alter  uoro  primo  dic  milia- 
rium I,  in  secundo  2,  in  tertio  3 ; et  sicut  sem]>er  unum  miliarium  cotidie  addeudo 
iter  suum  perficere  conabatur;  Queritur  in  quot  diebus  alter  alterum  consequetur;  (piml 
sic  inucuicndtim  est:  uidclicct  ut  duplicentur  20,  erunt  40;  de  quibus  extrahas  1,  re- 
manent 39;  ct  in  tot  diebus  cum  consecutus  est:  quia  ipse,  qui  cotidie  ibat  miliaria 
20,  pcrcxil  in  illis  39  diebas  20  uices  39  miliaria  , que  fuerunt  in  summa  7»o.  Alter 
ueto  in  eisdem  39  diebus  perexit  tot  miliaria  , quot  sunt  in  summa  numerorum,  qui 
sunt  ab  uno  usque  in  39;  que  summa  rcjioritur  similiter  cx  multiplicatione  de  20  in  39. 

Aliter  de  duobus  uiatoribuSf  fluorum  unus  sequitur  alterum 
fter  i/fsos  numerus  ascendendo. 

Irem  si  propositum  fuerit,  quod  unus  iret  cotidie  miliaria  21;  Alter  ucro  iret  per 
impares  numertis  ordinate,  ab  uno  uidclicct  incipiendo,  donec  cum  esset  consecutus; 
Eritqiic  manifestum,  quod  in  diebas  21  cum  consecutas.  Quia  si  numeri  2i  impares  pci 
ordinem  ampiamus,  erit  collectio  eorum  ab  uno  usque  in  41.  Yndc  collectio  imparium 
iiumcroniin,  qui  sunt  ab  uno  usque  in  41,  ascendit  in  multiplicatione  de  2i  in  se  i|»sa. 

De  duobus  uiatoribuSf  quorum  alter  alterum  fter  imt^es  numeros  inmittatur. 

UErum  si  projwiialur,  quod  unus  cotidie  iret  miliaria  30;  Alter  ucro  per  pares  niimertis 
augendo  iter  suum  faceret,  doricc  eum  esset  consecutus,  sic  faciendum  csl.  Tolle  t dc 
30,  remanent  29  ; ct  iu  tot  diebus  euin  consecutus  est.  Ideo  quia  S9  pares  numeri  a 
binario  usque  in  3S  ascendunt.  Kt  quia  collectionis  summa  parium  numerorum  usr{ue 
iu  58  exiit  ex  multiplicatione  j de  29  in  3o,  ipsum  esse  consecutum  non  dubitatur. 

Aliter  cum  unus  immitatur  alterum  per  ternarii  ascensionem 
uel  alicuius  alii  numeri. 

tErum  si  projiositum  fuerit,  quod  unas  eat  cotidie  miliaria  quelibet  , que  diuidi 
possint  integralitcr  per  ascensionem  cotidianam  miliariorum  alterius,  qui  eat  per  ascen- 
sionem numerorum,  qui  ascendunt  per  ternarium,  uel  qualcmarium  , uel  quinarium  , 
seu  per  ascensionem  alicuius  altcrias  numeri,  donec  cum  consequatur;  Sic  csl  faciendum  : 
numerum  miliariorum,  que  primus  cotidie  uadit,  per  ascensionem  alterius  diiiide;  ct 
quod  inde  exierit  duplica;  ct  de  duplicata  summa  1 abicc  ; residuum  erit  quantitas 
dierum,  iu  quibus  cum  consecutus  erit.  Verbi  gratia:  ponatur,  quod  unas  cat  cotidie 


Digitized  by  Google 


ICO 

miliuna  eo;  alter  ucro  uadat  ascendendo  |>cr  ternarium^  hoc  est  in  primo  3 ; in  se> 
eundo  6;  in  tertio  g i et  deinceps  diuide  60  per  3,  exibunt  iO;  que  duplica,  erunt  40; 
dc  quibus  abtee  unum,  remanent  so;  et  in  tot  diebus  eum  consecutus  erit;  ideo  quia 
39  numeii,  qui  ascendunt  per  ternarium,  ucniunt  usque  in  triplum  dc  30,  hoc  est  in 
117.  Collectio  enim  numerorum,  qui  ascendunt  j)er  ternarium  a susque  in  H7,  ascendit 
in  multiplicatione  de  39  in  co,  ut  per  primam  regulam  inucnitur.  Et  ipse,  qui  cotidie 
ibat  miliaria  eo,  perrexit  similiter  in  illis  30  diebus  per  39  uices  miliaria  60. 

Dt  eodem  per  quuuirii  ascensionem. 

Irem  si  per  ascensionem  quinarii  alter  alterum  imitaretur,  quinta  dc  60  duplicata, 
et  uno  inde  dempto,  S3  pro  numero  dierum  iunctionis  ipsorum  reperies:  et  sic  potest 
facere  |>cr  quamlil>ct  numerorum  aliorum  ascensionem. 

Aliter  cum  numerus  aliorum  miliariorum  illius  qui  cotidie  uadit  equaliter 
per  ascensionem  alterius  integraliter  non  diuidatur. 

Nxm  si  numerus  ipsius,  qui  semper  ci|ualitcr  uadit,  luinimc  {>er  ascensionem  alterius 
numeros  equaliter  diuidt  {>ossit;  Aliter  quam  predictum  sit,  erit  faciendum:  uidclicet 
ut  si  ]>otiatur,  qu<xl  ipse  qui  equaliter  uadit,  cat  cotidie  miliaria  lo;  Alter  ucro  per 
asccusiuiteiii  ternarii  ipsum  imitetur;  Accipias  tertia  dc  10,  <juc  est  ^ 3;  et  duplica  ea, 
erunt  I c;  de  quibus  abice  i,  remanent  | s:  dc  quibus  etiam  abicc  fractiones,  scilicet 
I , remanent  s;  et  in  tot  diebus  cum  fere  consecutus  est.  Sed  ut  ucritalcm  coniun- 
etionem  eorum  adlscas,  uidc  quo.  ipse  qui  equaliter  uadit,  in  diebus  s uadat.  Vadit 
enim  miliaria  so.  Alter  uero  uadit  in  ipsis  diebus  5 quantitatem  ascensionis  numerorum, 
qui  sunt  a 3 us([uc  in  15,  uidclicet  per  ternarium  ascendendo,  unus  hal>etur  in  ipsa 
ascensione  numerus  45;  a quo  usque  iii  50  desunt  s,  que  serua.  Et  f|uia  manifestum 
est,  in  ipsis  s diebus  cum  consecutum  non  esse,  de  itinere  sex  dici  erit  sumendum. 
In  quo  sexto  dic  ipse,  qui  ascendit  per  ternarium,  uadit  miliaria  19  , alter  ucro  mi- 
liaria 10  equaliter  ire  consucuerat;  a quibus  10  us/juc  in  is  desunt  s;  in  quibus  di- 
uide s scniata,  exibunt  | ; quas  iunge  cum  diebus  5 superius  inuentis,  erunt  ^ 5;  et 
in  tot  diebus  cum  consecutus  est. 

Aliter  summa  miliariorum  ipsius  qui  uadit  ascendendo  per  ternarium  in  diebus  5 
prcdictis,  scilicet  45,  diuide  per  s modo  inuenta,  exibunt  similiter  | 9,  ut  prediximus: 
et  sic  de  omnibus  similibus  facere  potest. 

Incipit  pars  secunda  de  proportionibus  numerorum. 

Nvmcrus  ad  numerum  pruportioiicni  habet  ctpialem  , ucl  maiorem  , uel  minorem. 
Fqualem  quando  numeri  sunt  ad  inuicem  ei]uales,  ut  3,  et  3.  Numeri,  qui  ad  inuicem 
in  maiori  projiortione  sunt,  hal)ent  pn>portioncm,  secundum  quod  exiit  cx  diulsioiic  nm- 
ioris  numeri  in  minorem,  ut  8 ad  4,  que  sunt  in  dupla  pmportione;  ideo  quia  9 di- 
uisls  iii  4,  exeunt  1;  uel  quia  8 dupla  sunt  de  4.  {tem  9 ad  3 sunt  in  tripla  pro- 
portione; quia  9 tripla  sunt  de  3.  Et  16  ad  s sunt  in  tripla  pmi^ortionc , et  quinta; 
ideo  quia,  diuisls  16  per  5,  exeunt  | 3.  Et  sic  intclligatur  dc  reliquis  maiorem  haben- 
tibus proportionem.  Numen,  qui  minorem  habent  proportionem,  sunt  in  ea  proportione, 
que  exiit  ex  diuisionc  minoris  in  maiorem,  ut  4 ad  8,  que  sunt  in  dimidia  unius  pi-o- 
portionU:  quia  4 diuisis  in  9 dimidium  reduut  unius;  uel  quia  4 dimidium  sunt  dc  8. 

22 


• All#r  l*r««  — . • (fui. 

II  rtf!*,  lia.  4- IU  r II,  |o||. 
149,  lin.  1-8). 


« 19  diaU«(  ....  al>|otfU(n  • (fuj. 

71  lin. 14-18  « 14-,  ra,|. 
16».  tia.  7.II). 


frMtMBr,  .... 

71  nvO.  liB.  169. 

lia- 


> AlKar  ....  <lr  ]ir»p<Ml«uniku«  • 
fful.  71  rrtt»,  Un.  29-11: 

169.  lia.  29-821. 


Digitized  by  Coogle 


'IHirlli»***  ....  C t«Hl  t iM. 

?l  l e ]{-4j  p»g 

irv,  lin.  i-3i. 


10 


iTrin  ....  * 19  • ( M.  71 
rrr*«,  Itn-  7-8i  fH>-  1*0,  hn- 
911». 


jt<  - iHiil  ....  Mt  » 

(fiil.  71  «vrfK,  liU.  I a|t 
170.  1>».  ^4-»0i. 


•l  ^ 

I I 

4 I 


j L .* 

140  > 


ITO 

Item  3 ad  j sunt  in  tertia  unia^  proportiuiiis;  quia  3 sunt  tertia  de  9,  etSad  i6  sunt 
iii  ^ unius  integre  proportionis;  quia  5 diulsis  in  l6t  nimirum  ^ unius  integri  reddunt. 

Si  queratur  de  o,  ad  quem  numerum  eandem  baheat  pruportioiiem,  quam  3 ad 
sic  facies.  Multiplica  s |>cr  6,  erunt  30;  que  dmide  per  3,  exibunt  lo»  que  sunt  que* 
sitas  numerus;  quia  sicut  3 sunt  ad  s»  ita  o sunt  ad  lo.  Solent  enim  ex  usu  nostri 
uulgaris  hanc  eandem  questionem  aliter  proponere:  uidelicet  ut  si  3 essent  $ ; quid 
nam  es.sent  e:  et  cum  ita  pro|x)mtur,  multiplicantur  similiter  s per  o » et  diuiditur 
summa  per  3. 

Irem  queritur  de  ii  ad  quem  numerum  habeat  eandem  pnq>urtionem,  quam  5 ad  9: 
hoc  e.st  secundum  imxlum  uulgarem^si  5 essent  9,  quantum  es.sent  u.  Multiplicabis 
ergo  9 per  if,  et  diuides  per  5,  exibunt  19  pro  quesilo  numerum  (jic). 

MotJns  alitis  de  proportionibus  sic. 

.Si  propositum  fuerit  tibi»  quixl  .si  7 essent  dimidium  de  ii,  quantum  esset  dimidium 
de  10:  hcc  enim  |msitio  dupplici  Modo  potest  inlclligit  uidelicet  cum  dicitur*  si  7 es- 
.sciit  dimidium  dc  is;  aut  intclligitur  quod  medietas  de  is»  que  est  6»  crescit  in  7 ; 
aut  7 diminuuntur  iu  dimidium  dc  is»  lioc  est  in  6.  Vnde  si  o,  que  sunt  dimidium  de 
12»  crescunt  iii  7;  ergo  et  dimidium  de  lo  crescet:  et  tunc  tali  regula  indigebis:  mul- 
tiplicabis 7 per  10,  et  diuides  |>cr  12,  exibunt  | 5 pro  dimidio  dc  lo;  et  si  inlelligcre 
uoliiinus»  quod  7 minuantur  in  6,  hoc  est  in  medietate  de  I2.  Krgo  cl  medietas  dc  ii 
minuetur;  ct  tunc  multiplicabis  prc.scriptum  6 per  dimidium  dc  lo  , scilicet  pers» 
cruiil  3o;  que  diuides  per  7,  exibunt  | 4;  et  tantum  e.sseiil  tunc  dimidium  de  19.  Et 
sic  similes  questiones,  per  qualem  nolueris  modum,  ex  duobus  prcscriplis  modis  soluere 
p4j|cris.  Tamen  nos  seniper  utimur  per  primum  miMlum  interrogantibus  rc.spondere. 

Si  j esset  quantum  c.ssct  licc  que.siio  talis  est,  qualis  si  diceretur:  j unius  Bo- 
tuli pro  j unius  bizantii ; quantum  ualeiit  j uniii-s  Hotuli.  Quare  scribenda  est  bec 
questio  ad  mo<Ium  negotiationis,  et  o]>ciandum  secundum  quod  in  similibus  in  oetaoo 
capitulo  docuimus. 

Si  queratur  inuenire  quattuor  integros  numeros  projmrtioiialcs,  quorum  primus  »t 
ad  secundum,  sicut  tertius  ad  quartum;  lioc  est  que  pars,  uel  partes  erit  primus  nu- 
merus dc  secundo,  eadem  pars,  uel  partes  sil  tertius  numerus  dc  quarto  : ucl  quam 
multiplex  fuent  primus  dc  secundo,  tam  multiplex  sit  tcrtiu.s  dc  quarto  numero:  pones 
pro  primo  ct  secundo  numero  duas  numems  ad  libitum,  quales  uls.  Sitque  primus  3; 
secundas  7 ; ct  pro  tertio  numero  pone  riumcnim,  qui  possit  diuidi  integraliter  per 
primum  numerum.  Sitque  o;  et  diuidc  6 per  primum  numerum,  scilicet  per  3,  exibunt 
2;  per  que  s multiplica  i|xsum  numerum,  scilicet  7,  erunt  14,  que  est  quartus  numerus. 
Verbi  gratia  : sunt  enim  3 de  7 tres  .septime.  Similiter  ct  0 de  t4  sunt  |:  {Mites  etiam 
14  habere  pro  primo  numero;  t [iro  secundo;  7 pro  tertio;  3 pro  quarto:  quare  quum 
multiplicia  sunt  u de  6,  tam  multiplicia  sunt  7 de  3:  sunt  enim  I4  bi.s  tantum,  et  tertia 
16;  et  tam  multiplicia  .sunt  7 de  3:  ct  notandum  cum  quattuor  numeri  prodicto  Modo 
{iroportionales  nunt,  permulalim  erit  primus  ad  tertium,  sicut  secundus  ad  quartum: 
csl  enim  primus  3 ad  tertium  6,  sicut  secundus  7 ad  quartum  14:  dimidium  est  enim 
uiiastpilsijnc  antecedentis  uniuscuiusque  nnmeras  sui  consequentis:  ct  notandum  iterum. 
qu(Ml  in  quattuor  proportionalibus  numeris  semper  sit  mulliplicatio  primi  numeri  iQ 


Digitized  by  Coogie 


171 

i|uartumi  quanlum  multiplicatio  secundi  in  tertium.  \ t hcc  in  cpia  multiplicatio  de 
3 io  14  facit  quautum  multiplicatio  de  6 in  7. 

Item  sit  sicut  primas  numerus  ad  secundum,  et  tertius  ad  quartum,  ita  quintus  ad 
sextum.  Inuenti.s  primum  quattuor  numeris  proportionalibus,  ut  supra,  pones  quintum 
numerum  ad  libitum,  qui  diuidatur  intcgmlilcr  per  primum  numerum.  Sit  is  , qiio 
diuiso  per  3,  reddunt  5j  per  que  multiplica  secundum  | numerum  7,  erunt  3S,  que  7i 

sunt  sextus  numeras. 

Et  si  proponatur  diuidere  10  in  quattuor  inequales  paries  proportionales,  scilicet  quod 
multiplicata  prima  in  quartam,  faciat  multiplicationem  secunde  in  tertiam;  inucmes 
primum  quattuor  numeros  proportionales;  silque  3,  et  7,  et  e,  et  14;  et  adde  cos  insimul, 
erunt  30  j ex  quibas  lo  sunt  tertia  pars.  Quare  accipies  tertiam  partem  de  qualluor 
|K>sitis  numeris;  el  lialwbis  pro  prima  parte  i ; j)ro  secunda  | ; pro  Icrlia  J ; pn> 

qmtrta  | 4:  et  scias,  qu^xl  talis  proportio  proportionalilas  appellatur.  Est  enim  qncdani 
alia  proftortio,  que  uocatur  continua,  in  qua  omnes  numeri  sunt  in  una,  et  eadem  per 
ortlincm  ad  inuicem  projMjrtione;  uidclicct  sicut  primus  numerus  est  ad  secundum  , 
iU  sccundiu  ad  tertium,  et  tertius  ad  quartum,  et  quartus  ad  quintum;  et  deinceps 
per  ordinem  est  unus(|uisquc  nd  unumquemque. 

Sl  uolueris  inuenirc  numeros  quotcumque  in  continua  pi‘oportione  , pone  primum 
numerum  qualem  uis,  secundum  aliquem  multiplicem  primi,  ut  duplum,  uel  triplum, 
aut  alium  quemuis  multiplicem;  et  pones  tertium  tam  multiplicem  secundi,  quam  mul- 
tiplex fuerint  secundas  ex  primo  numero.  Similiter  quam  multiplex  fuerit  tertius  se- 
cundo, tum  multiplicem  pone  quartum  tertio,  et  quintum  quarto  , et  iimimqiiemquc 
de  unoquo4|ue  suo  antecedente.  Verbi  gratia  : Volumus  quinque  numeras  in  continua 
proportionalitatc  reperire.  Sit  quidem  primus  eorum  i ; secundus  x , scilicet  duplus 
primi;  tertius  du]>lus  secundi,  scilicet  4 ; quartus  dujdus  tertii  , scilicet  8 ; quintas 
duplus  quarti,  scilicet  16:  est  enim  i de  t dimidium;  quod  idem  sunt  i de  4,  et  4 de 
8,  et  8 de  16.  Similiter  sicut  16  sunt  duplum  dc  8,  ita  8 sunt  duplum  de  4;  et  4 de 
2;  et  2 de  i:  ct  sic  poles  ponere  unumquemque  numerorum  triplum,  uel  alium  quem 
uis  miiilipHccm  sui  antccedeulis  iriuenires.  Et  notandum,  quod  cum  tres  numeri  con- 
tinue proportionales  fuerint,  erit  mnltiplicatio  primi  in  tertium,  quantum  mullij 
secundi  in  se  ipsum.  Verbi  gratia  : sint  in  continua  proportione  3,  et  9,  ct  27:  est 
enim  multiplicatio  dc  3 in  27,  quantum  multiplicatio  de  9 in  se  i{isa,  scilicet  8i  : et 
cum  quattuor  numeri  continue  pn>portinnalcs  sunt,  facit  multiplicatio  primi  in  quartum, 
quantum  multiplicatio  secundi  in  tertium;  et  multiplicatio  primi  iu  tertium,  quantum 
multiplicatio  secundi  in  se  ipsum;  et  multiplicatio  secundi  in  quartum,  quantum  mul- 
tiplicatio tertii  in  se  ipsum.  Vt  si  primus  numerus  fuerit  i;  secundus  2 ; tertius  4 ; 
quartus  8,  poteris  cogncsccre  in  ipsis  que  diximus.  Similiter,  cum  plures  numeri  con- 
tinue proportionales  sint,  est  semper  multiplicatio  extremorum  equalis  multiplicationi 
reliquorum  extremomm;  et  Iioc  usque  quod  non  remanserit  numeru-^  in  medio  pro- 
portionalium numerorum.  Verbi  gratia  : Si  noucm  numeri  pru|x>rliuuBlas  fuerint,  erit 
roulliplicatio  primi  numeri  in  nonum,  quantum  multiplicatio  secundi  in  oclauum;  et 
tertii  in  septimum;  ct  quarti  in  sextum;  et  quinti,  <pii  est  in  medio  proportionis  in 
se  ipruim.  Ad  cuius  rei  cuidentiam,  siul  noucm  uumeri  iu  continua  proportione  i,et 


Digitized  by  Google 


i7i 

s,  et  4,  ct  cl  16,  ct  3t,  et  64,  ct  i2s,  ct  tS6:  esl  enim  multiplicatio  de  i in  ss6, 
quantum  multiplicatio  dc  s its  , et  dc  4 in  64,  et  de  8 in  3S,  et  dc  16  in  se.  Ex  hoc 
enim  procedit  materia  multiplicandi  figuias,  (juam  docuimus  in  secundo  capitulo,  ut 
in  eodem  capitulo  continetur. 

Si  queratur  inuciiire  duas  numeros,  quorum  | uuius  sit  J alterius,  multiplicabis  io 
cruce  7 per  3,  et  8 |>er  s,  et  liHl>ebis  pro  primo  numero  si;  pro  secundo  16:  suat  s 
enim  | de  si,  ct  | de  16  : procedit  enim  hec  regula  ex  liis  que  secuntur;  quia  | de 
I cuiuslibet  numeri  sunt  quantum  | dc  | eiusdem  numeri.  Vnde  cum  multiplicamus 
7 ]>er  3,  tunc  accepimus  | dc  36;  que  56  sui^nt  ex  multiplicatione  corumdem  7 io 
8,  que  sunt  sub  uirgulis:  quia  que  proportio  est  dc  3 ad  8,  eadem  proportione  ex  se> 
M.  Ii  piics  3 ad  septies  8;  | ct  quando  multiplicamus  8 per  s,  tunc  accepimus  i dc  eisdem 

56.  Vnde  I de  3i,  scilicet  de  | dc  56,  sunt  quantum  | de  16,  scilicet  dc  ’ de  S6. 

Item  j J unius  numeri  sint  J \ alterius,  redige  | J in  partes  unius  numeri,  erunt 
quod  idem  facies  de  J J,  erunt  Ergo^  primi  numeri  sunt^  secundi.  Idcirco  ordine 
suprascripto  multiplicabis  is  per  9,  ct  so  per  7,  et  habebis  primum  numerum  los;  se* 
eundum  UO  : quos  etiam  possumus  habere  in  minoribus  numeris;  cum  uter(|ue  ipsorum 
numerorum  |>os.sit  diuidi  integraliter  (>er  4.  Quare  si  quartam  partem  uniuscuius<]ue  ac- 
ceperimus, et  habebimus  primum  numerum  i7;  secundum  35:  ucl  aliter  quia  in  unaquaque 
duarum  multiplicationum  suprascriptarum  Multiplicatur  mimerus,  cuius  quarta  pars  est 
integra  , io  prima  quarum  est  12  ; in  secunda  so.  Quare  multiplica  tantum  quartam 
l>artem  dc  is  per  9,  ct  quartam  partem  so  }>cr  7,  et  habebis  similiter  S7  et  35. 

Ryrsum  } j } primi,  sint  J J J secundi;  redige  similiter  j } J in  jiartcs  unius  numeri, 
erunt  Similiter  fac  dc  erunt  ; et  multiplicabis  60,  que  sunt  sub  47  per 

37;  et  60,  que  sunt  .sub  37  per  47:  uel  ut  habeas  minores  numeros;  Multiplicabis  tantum 
sexagesima  de  60  per  numerum  cis  existentem  ex  aduersu,  ct  habebis  primum  uumerum 
37;  secundum  47:  ct  sic  potes  procedere  in  similibus. 

Irerum  sunt  tres  numeri,  quorum  \ primi  sunt  | secundi,  et  ~ tertii:  (>one  partrs 
prescriptas  iu  oi'dinem  sic  ^ f F.t  multiplicabis  unumquemque  numerorum  existeuteio 
sub  uirgula  per  numerum  existentem  super  unam  dc  duabus  uirgulis  reliquis;  et 
summam  multiplicabis  per  alium  numerum,  qui  est  super  aliam  uirgulam,  et  habebis 
quesitus  numeros.  Verbi  gratia  : multiplicatis  5,  que  sunt  sub  prima  uirgula,  per  3, 
que  sunt  super  7;  quibus  ]>er  4,  que  sunt  super  9,  habebimus  primum  numerum  60. 
Item  multiplicabis  ? per  4 ; quibus  per  s,  rcildeiit  pro  secundo  numero  56.  Ruisum 
multiplicatis  9,  que  sunt  sub  tertia  uirgula,  ]>cr  3,  ct  per  8,  reddunt  pro  tertio  nu- 
mero 54. 

Nxm  si,  unde  liec  regula  procedat,  noscere  tiis;coiisidcra  qualiter  J dc  ~ de- cuiuslibet 
numeri  sunt  quantum  j de  ^ de  | ciasdem  numeri  ; ct  quantum  ^ de  | dc  | eius- 
dem numeri:  quibus  consideretis  cognosces,  nos  superius  accepisse  { dc -f  cx  numcn>. 
<piod  ex  multiplicatione  exiit  de  9 in  7 ducta  iu  s,  scilicet  dc  315:  cum  multiplica- 
uimu.':  5 per  3;  que  per  4,  unde  habuimus  60:  similiter  cum  habuimus  56,  accepima:» 
I dc  I de  315:  et  adhuc  cum  habuimus  54,  accepimus  \ dc  ~ dc  313.  Vnde  | dc 
que  sunt  7 dc  | tle  315,  sunt  quantum  7 de  56,  que  sunt  ^ dc  | dc  313;  ct  quantum 
I de  54,  que  suni  * dc  | ex  eisdem  315.  Est  enim  quclibet  prodictarum  sumptionum 


Digitized  by  Google 




173 

»4,  que  proucniunt  ex  muUipUcationc  dc  S iu  i3  ducta  in  4:  possunt  enim  rc|>eriri 
in  minoribus  numerLs,  si  inuenti  tres  numeri,  scilicet  60,  et  S6,  et  S4  diuisrris  per  s, 
que  sunt  coraunls  regula  eorum:  et  erit  primus  numerus  3s;  secundus  is;  tertius  37. 

Et  si  proponatur,  quo<l  { -J,  scilicet  primi  numeri  sint  { scilicet  ^ secundi, 
et  i scilicet  {J  tertii;  pone  in  ordinem  et  multiplicabis  12  per»;  que  per 

u;  et  30  per  n;  que  per  7;  et  W per  o;  que  per  7;  etcuiuhis^cx  unaquaque  mul- 
tiplicatione, et  liahcbis  primum  numerum  694;  secundum  770;  tertium  04S. 

Irem  sunt  tres  numeri,  quorum  ; primi  est  quantum  ; secundi;  et  \ secundi  est 
quantum  \ tertii  numeri:  Inucnias  primum  duos  numeros,  quorum  | unius  sit  \ alte- 
rius: cniiit  3,  et  4:  jK>st  hec  tnucnies  alios  duos  numerus,  ex  quibus  ^ unius  sit  J al- 
terius; eruntque  s,  et  6 : ergo  primus  numerus  est  ad  secundum,  sicut  3 est  ad  3;  et 
secundus  ad  tertium,  sicut  9 est  6:  quare  pones  3,  et  4 in  unam  lineam;  et  9,  et  0 in 
aliam  ; ita  quod  5 sit  super  4,  ut  hic  ostenditur:  ct  multiplicabis  5 per  3,  et  9 per 
4,  et  4 per  6,  et  habebis  primum  numerum  19;  secundum  30;  tertium  S4.  Verbi  gratia: 
sicut  3 est  ad  4,  ita  aliquod  multiplex  de  3 est  ad  idem  multiplex  de  4 : ergo  sicut 
3 sunt  ad  4 , ita  quinquies  3,  scilicct  I5,  sunt  ad  quinquies  4 , scilicet  ad  30.  Item 
sicut  9 sunt  ad  6,  ita  aliquod  multiplex  de  5 est  ad  idem  multiplex  dc  0 : ergo  sicutj 
5 sunt  ad  6 , ita  quadruplum  dc  5,  scilicet  3o,  sunt  ad  quadruplum  de  6,  scilicct  ad 
34:  iaucntus  est  enim  primus  numerus  iS  ad  secundum  30,  sicut  3 est  ad  4;  ct  se- 
cundus 30  ad  tertium  34,  .sicut  9 ad  6,  ut  querebamus. 

Et  si  proponatur,  quod  numeri  sint  quattuor;  et  primus,  et  secundus,  ct  tertius 
illorum  sint  ad  inuicem  in  proportionibus  suprascriptis  ; et  [ tertii  numeri  sint  7 
quarti  numeri;  inucnic.s  primum  tres  numeros  suprascriptos,  scilicet  19,  ct  30,  ct  S4: 
deinde  inuenies  duos  numerus,  quorum  * unius  sint  * alterius;  eruntque  19,  et  14  : 
et  scribes  eos  super  alios  tres  numeros,  ut  bic  ostenditur;  et  multiplicabis  fs  , que 
.sunt  super  34  per  19,  et  per  20,  ct  per  34;  que  per  34:  multiplicabis  14,  et  habebis 
primum  numerum  3S9;  secundum  300;  tertium  3G0;  quartum  336:  et  est  tertius  numerus 
ad  quartum  sicut  19  sunt  ad  14;  cum  | tertii  numeri  sint  7 quarti:  et  sic  ]>otcs  plu- 
rimos numeros  in  quibuslibet  pro]>ortionibus  iuuenirc. 

JncifHt  pars  tertia  de  questionibus  arborum  et  similium  quare  soluctiones  jiunt. 

Est  arbor,  cuius  | j latet  sub  terra;  et  sunt  palmi  3i:  queritur  quanta  sit  arl)ovis 
illius  longitudo:  quia  J J reperiuntur  in  13  , intcllige  ipsam  arborem  esse  in  ]iartes 
13  e<{uales  diuisaro;  quarum  tertia,  et  quarta,  scilicet  ;>.Trtes  7,  sunt  )>almi  21:  quare 
proporlionalitcr  est  sicut  7 ad  si  , ita  partes  it  ad  longitudinem  arboris.  Ft  quia  cum 
quattuor  numeri  suiit  jiroportioiiales,  est  c<jua  multiplicatio  primi  in  quartum  multipli- 
caliuni  secundi  in  tertium:  quare  si  multiplicaueris  secundum  si  per  tertium  12  notos, 
et  diuides  per  primum  numerum  similiter,  scilicct  per  7,  exibunt  36  pro  quarto  ignoto 
numero,  scilicet  pro  illius  arl>oris  longitudine:  uel  quia  31  tripla  sunt  dc  7,  accipe 
triplum  de  is,  et  habebis  similiter  36. 

Est  enim  alius  modus  quo  utimur,  uidclicet  ut  ponas  pro  re  ignota  aliquem  nu- 
merum notum  ad  libitum,  qui  intcgralitcr  diuidatur  per  fractiones,  que  ponuntur  in 
i{)sa  questione:  et  secundum  pasitionem  illius  questionis,  cum  ipso  posito  numero  stu- 
deas iuueuire  proportionem  cudentem  in  solutione  illias  questionis.  Verbi  gratia  : nu- 


ilu*«  •iMicrc,  ....  <l<  3 * ({••I. 

73  nS. 

Uu.  9-lSi. 


19 

30 

34 

S 

G 

3 

4 

r»!.  7S  f*etp. 


Ct  m ....  ^ntbatliW  • ( fui. 

73  11«.  3>3;  «•■.  173  , 

li«.  31-«>. 


Initu» 

v«-«. 

\ 229 

300 

360 

336 

1 

15 

14 

1 

30 

21 

« RM 

uIhit  ... 

(tVit. 

73 

,U«.  lu. 

13  0 16. 

P-l- 

113,  liM. 

IMS). 

7 13 


Digitized  by  Coogle 


rUrv««  • |M. 
71  S111.|Mg.  i74. 

U-.  iO.|7.. 


f^lmt  ^r/t'4 

2t  5 


j SO  12 


4rMun|*ln(i«iD«  ....  fi<'ul  IN  • 
(Cui.  71  ha.  t r !•«  , 

|*«|.  t<4,  lia.  lU*li)- 

Maiaat  fano 

IQ  12 


3H  24 


mcru5  qucsitus  huius  questionis  e.st  longitudo  arboris:  quare  pone  ipsum  esse  it,  cum 
intcgraliter  diuidautur  per  3,  ct  per  4,  que  sunt  sub  uii^s:  ct  quia  dicitur  n«- 
bori.s  sunt  si,  accipe  ^ | de  12  positis,  erunt  7;  que  si  essent  ii  fortuita  utique  Ita- 
bcremus  propasitum,  uidelicet  quod  illa  arbor  esset  palmorum  is.  Sed  quia  7 non  sum 
11;  cadunt  ei^o  proj>ortionalitcr  sicut  7 ad  ii  , ita  posita  arbor  ad  quesitam,  scilicet 
11  ad  36:  quare  cousueuil  dicere:  pro  is,  que  pono,  ueniunt  7;  quid  ponam,  ut  uenianl 
II : et  cum  ita  dicitur,  multiplicandi  sunt  insimul  numeri  extremi,  scilicet  is  perii; 
et  summa  diuidcnda  est  per  reliquum  numerum. 

De  arborCy  de  qua  cum  extrahitur  { J,  remanent  ii. 

Irem  est  arl>or,  cuius  latet  sub  terra.  Residuum  ucro,  quod  est  super  terram,  est 
palmi  Si:  fac  duodecimas  ex  i|tsa  arbore,  erunt  partes  equalcs  is;  ex  quibus  abicej 
I ijtsarum,  scilicet  partes  septem,  remanebunt  partc.s  s,  que  ponuntur  esse  ]>almU  il: 
quare  sicut  partes  a sunt  ad  ii,  ita  partes  ii  eiunt  ad  longitudinem  arboris:  quare 
Diultiplioitioncm  de  is  in  si  diuides  per  5,  exibunt  palmi  ^ so.  Vcl  per  secundum 
modum  }xme  ipsam  arborem  c&sc  pilmoium  is;  de  quibus  eiectis  ^ | carum,  scilicet  7, 
remancbuul  ]»almi  5 super  terram:  quare  dices:  pro  ii,  que  pono,  ueniunt  5;quid  ponam, 
ut  ueiiiaut  si:  multiplica  itaque  extrema,  scilicet  ii  per  ii,  ct  diuide  per  numerum 
medium,  uenient  similiter  | so:  que  si  probare  uis;  quia  extractis  ~ cx  quacumque 
remanent  — ciu-sdem  rei;  quare  accipe  dc  | 50,  quas  dupliciter  accipere  potes;  accipe 
primum  ~ dc  48,  scUiccl  — dc  48,  que  sunt  4;  quincupla,  erunt  *o:  post  licc  extrahe 
48  de  I 50  , remanent  \ 2*.  do  qiiilm.s  fac  quintas,  erunt  quinte  IS;  dc  quibus  adde 
iterum  erunt  quinte  s,  scdiicct  l;  quod  adde  cum  lO  iuuentis,  erunt  it;  ct  hoc  uo> 
lumiis,  ut  extractis  | ; dc  50,  remaneant  li:  uel  aliter:  multiplica  ^ 30  per  5,  que  sunt 
super  12,  erunt  252;  quibus  diuisis  per  12,  ueniunt  2i:  uel  de  | 50  fac  quintas,  erunt 
quinte  252;  dc  quibus  abicc  J ^ eurum,  scilicet  64  ct  03,  remanent  quinte  lOS  unius) 
{Kilmi,  que  sunt  super  terram,  hoc  est  plini  21. 

De  arbore  uel  niimerOf  super  quem  si  additum  fuerit  •;  J,  erum  38. 
licni  si  dixeris,  quod  addiu  { \ ipsiu.s  arboris  .super  arborem,  erunt  38:  pones  etiam 
supradicla  denionslralioric  secunde  regule,  ut  illa  arbor  .sit  12;  dc  quibus  accipe  { J, 
.scilicet  7,  ct  udde  super  12,  cruul  19:  que  cum  uclleiit  esse  38,  dices:  pro  it,  que  punu 
pro  quantitate  arlioris,  ueniunt  in  summa  19;  quid  |Kmam,  ut  uenient  in  eadem  sum- 
ma 33  : multiplicabis  enim  12  per  38,  scilicet  primum  mimmim  per  ultimum,  et  di- 
uidc  per  19,  scilicet  per  secundum:  sed  prius  diuide  33  per  19,  exibunt  2;  que  mul- 
tiplica per  12,  exibunt  24  pro  ipsius  arbores  longitudine.  Verbi  gratia:  -J-  | de  24  .sunt 
14;  quibus  additU  cum  24,  faciunt  38;  et  hoc  uulumus.  Illud  enim  idem  esset,  si  di- 
xeris: est  numerus,  super  quem,  si  addideris  | | ipsius,  fient  38. 

De  arbore  uel  de  numeroy  super  quem  si  addatur  residuum  de  | J ipsius^ 
surgit  in  51. 

Rvrsus  est  arbor,  dc  qua  extracta  | si  residuum  addatur  super  ipsam  arbuicot, 
surgit  in  5i:  queritur  illius  arboris  quantitas:  quare  cum  de  ipsius  queratur  quantitate, 
ponatur  ut  ipsa  sit  12;  ct  extrahatur  indo  > J,  scilicet  7,  remanent  5;  quibu.s  additis  cum 
12,  Guul  17;  que  cum  uellcnt  esse  51,  dices:  pro  12,  que  pono,  ueniunt  17;  quid  ponam, 
ut  ucuiant  51:  multiplica  12  per  51,  ct  diuide  per  n;  uel  diuide  51  per  17 , exibunt 


Digitized  by  Google 


175 

3;  que  multiplica  per  it , reddent  pro  quantitate  ar)>orb  36.  Verbi  gratia  : extracta 
{ J de  36,  que  sunt  ti,  remanent  I5;  quibus  additis  cum  36,  reddunt  5i,  ut  querebatur. 
Illud  enim  idem  est  si  diceres:  est  nuincnis,  super  quem  si  addidoiis  residuum  de  ~ }- 
i))sius,  surget  in  51. 

De  arbore  uel  numero^  cuius  | J sunt  33  plus  arbore  %iel  numero. 

Iierum  est  arbor,  de  quo  acceptis  | J;  ct  de  collecta  quantitate  si  extraxeris  quan- 
titatem illius  arboris,  remanent  33:  queritur  rursum  quanta  sit  illius  arboris  longitudo: 
ct  cum  de  ipsa  queratur  longitudine,  |ionc  ut  ipsa  sit  lo;  ideo  quia  in  to  rc}>eritiritur 
j }'.  dc  quibus  so,  accipe  \ J,  erunt  3i  dc  quibus  extraho  jtositum  numerum  pro  quan- 
titate arboris,  scilicet  SO,  remanent  ii:  que  cum  uelint  esse  33,  dices:  per  so,  que  potio 
in  quantitate  arimris,  ]>erucniiiiit  ll;  quid  ponam  ut  peruciiiunt  33  : multiplicabis  20 
per  33,  ct  diuides  per  ii:  quare  dluide  33  per  ll,  exibunt  3 ; que  multiplica  per  20  , 
exibunt  6o;  et  tot  |>a!morum  est  arbor  illa.  Verbi  gratia  ; | de  60  sunt  45,  et  | de  oo 
sunt  48;  quibus  insimul  iunctls,  faciunt  93;  dc  quibus  si  extraxeris  quantitatem  arlKiris, 
id  est  60,  remanebunt  33,  ut  quesitum  est.  Flst  enim  illud  idem  si  diceret:  est  numenis, 
dc  quo  si  acce|)eris  1 facient  ultra  ipsum  numerum  33;  qui  nunienis  est  similiter  oo. 
Explicatis  quidem  arborum  regulis,  nunc  ucro  ad  carum  consimiles  accedamus. 

De  inuentionc  cuiustiam  nnmerit  de  quo  g J f | ipsius^ 
sit  radi  r eiusdem  numeri. 

Est  numerus,  de  quo  si  acceperis  | J J [-;  et  summam,  que  exierit,  si  in  se  ipsam  mul- 
tiplicaueris,  faciet  eundem  numerum;  lioc  est  quod  erit  radix  illius  numeri : queritur, 
quis  sit  numerus  ille.  Quare  pones  iterum,  ut  sit  co;  de  quibus  accipe  g | g g,  que 
sunt  57;  ct  multiplica  ea  in  scractipsa,  cninl  3249;  qiic  ucllcnt  esse  eo  : dic  ergu:  pro 
co,  que  {H)no  pnt  quantitate  numeri,  tieniuiit  3249;  quid  ponam,  ut  perueniant  taiitum 
60:  multiplicabis  itaque  oo  j>er  60,  facient  3600;  que  diuides  per  regulam  dc  3219,  que 
est  exibunt  t ; ct  tot  est  iiuracnis  ille.  Verbi  gititia  : multiplica  i per 

19,  et  su|>cr  adde  2,  que  sunt  su{)cr  19;  que  multiplica  per  alium  lo,  ct  super  adde  i, 
erunt  400,  que  sunt  trigeiitesiuie  sexagesime  prime:  que  ad  maiorem 

intclligenliam  scribantur  sic  jfJ  : dc  quibus  accipe  g { { J,  que  sunt  hoc  est 
quibus  in  se  ipsis  multiplicatis,  reddunt  eadem  hoc  est  i , ut  querebamns. 
Aliter  quia  | g | g*  scilicet  ipsius  numeri  in  sc  multijilicatis,  faciunt  ipsum  numerum; 
iuuenias  tiuracrum,  quo  multiplicato  j»er  JJ,  faciat  ir  que  inuenies,  si  diuiscris  i per 
*-*,  scilicet  20  jier  19;  cx  qua  dtui|siuiic,  pcrucuiunt  que  sunt  radix  quesiti  numeri, 
ut  diximus:  quibus  iii  sc  multiplicatis,  faciunt  pro  quesito  niimom:  quod  etiam 
demonstrabo  cum  figura  geometrica.  Adiaceat  quidem  linea  .a.  b.  pro  quesito  numero, 
super  quam  constituatur  su|>ciTicics  rectiangula  .a.  r/.,  latitudinem  faciens  lineum  .a.  t.y 
que  sit  .i:  quare  superficies  .a.  d.  est  numerus  quesitus;  quia  ex  ,t.  a.  in  ,a.  b.  pro- 
iieuit  numerus  .a.  b.,  qui  est  numerus  quesitus:  et  summatur  ex  numero  .a.  b.  numerus 
.a.  c.,  qui  sint  numeri  .«.  b.  Et  <[uia  cx  ductu  m.  e.  in  se  proponitur  proucnire  nu- 
merum .a.b.i  Manifestum  est,  quod  numerus  .a.  e.  maior  est  unitate;  cum  maior  sit  nu- 
merus .a.  b.  numero  .a.  e:  quare  maior  est  .a.  c.  unitate  .a.  e.p  et  constituatur  super 
recta  .a.  c.  tetragonum  .e.  z.  Et  quoniam  ex  ductis  numeri  quesili  in  se  prouenit 
numerus  quesitus  ; ergo  ci  ductu  .n.  e.  in  sc  prouenit  numerus  .a.  d.  Sed  ex  ductu 


1 iFvl, 

74  r*rto,  lia,  SO-16;  pa,;.  I7A, 
3249  Otf  I 


r>*i- 


74  «v.  'u 


Digitized  by  Googie 


• MJluT  «al  •..>  «4  t.  » tfa|. 

14  frelu,  ii*.  1>I4;  |i*||.  171, 
ii*-  4(1  — |«g.  176,  Im.  9). 

* 


I/  * 


«I»  9 «it  ilc  ai««*iju> 

74  rrrf»  . Ii*.  2€-«»  c SU  | 
l'*K  179.  Iin.21-Uj. 


nuMrru* 


I 4tm 
I 


■•••H  i*t  • ir*r 
74  rrr/«.  liu-  S6-99i  pg.l76, 
]..■  S4-S«i. 


numtrui 

Ino 

<431 


f»l.  74 


i 76 

.a,  e.  in  se  prouenit  tetragonum  .e.  z. ; ergo  .e.  z.  cqualis  est  numero  .a.  d.  : ergo  oa* 
merus  .e.  z.  est  numerus  quesitus:  communiter  auferatur  numerus  ,a.  /.,  remanebit  na- 
merus  ./.  b,  c((ualis  numero  .t,  k.  Sed  .b.  /.  fit  cx  ductu  .e.  i.  in  ./.  d.',  quia  recti- 
angula est  superficies  ,b.  I.  Et  ex  ductu  quidem  .r.  /.  in  ./.  k.  prouenit  superiidet 
rectiangula  .t,  k,  : projwrlionales  ergo  sunt  numeri  /,  I,  d.  e.  /.  I.  et  est 

.e.  I.  unum;  cum  sil  equalis  unitati  .a.  t.i  et  est  sicut  numerus  .t.  i primus  ad  se- 
cundum ./.  d.y  ita  tertius  .e.  I.  ad  quartum  k:  quare  erit  sicut  /.  ad  4.  d., 
Iioc  est  sicut  .a.  e.  ad  .a.  b.y  ita  unitatis  i.  ad  numerum  x*  k.y  hoc  est  ad  ou- 
menini  .a.  e.  Sed  .a,  e.  ad  .a.  b.  est  sicut  lO  ad  lo.  Quare  et  .e.  /.  ad  x.k.  est 
sicut  10  ad  so:  quare  multiplicanda  est  unitas  .e,  /•  per  to,  et  summa  est  diuideoda 
j>er  19;  cl  uenicut  JJ  pro  numero  .e.  k.y  hoc  est  pro  numero  .e.  a.  , ut  o|>ortcbai 
ostendere. 

mNrnffo/ic  cums  tadLr  est  residiuim  de\  \ \ \ ipsius. 

Est  numcru.s,  de  quo  si  extraxeris  i ^ | J;  ct  residuum  in  se  ipsum  multiplicaoeru, 
faciet  eundem  numerum,  hoc  est  quod  erit  radix  illiu.s  numeri.  Queritur  quantum  sit 
nuincnis  ille  : jionc  ergo  ut  sit  eo.  I<leo  quia  in  60  repcriunlur  i ^ r i deinde  accipe 
j de  GO,  scilicet  20,  et  { dc  eo,  scilicet  is,  et  j dc  eo,  scilicet  is,  ct  \ de  co,  scilicet 
10;  et  adde  ea  insimul,  cninl  57;  que  extrahe  de  GO,  remanent  3;  que  multiplica  io  se, 
faciunt  9,  que  9 ucllcnt  esse  60.  Quare  dices  : pro  eo  y que  pono  , ucniunt  9 ; (|uid 
ponam,  ut  ueniant  00  : nmiliplicabw  ergo  eo  jver  eo,  ct  diuides  per  9,  exibunt  4W  : 
sed  cum  regula  dc  9 sit  j de  diuidc  unum  dc  illis  eo  per  3,  exibunt  10.  Iterum  dh 
uules  alia  fvo  per  alia  3,  que  in  regula  remanent  dc  9,  exibunt  similiter  so:  quibus  insi- 
mul multiplicatu,  reddunt  similiter  400.  Et  tui  csl  numerus  ille.  Verbi  gratia  : citrabc 
-J  m dc  400,  scilicet  3S0,  remanebunt  lO:  que  si  in  se  muItiplicaucrU,  facient  eadem  444, 
ut  ojxirlet.  Aliter  quia  extractis  de  quesito  numero  J J J f eiusdem,  remanet  iioe 
est  radix  i]>sius  numeri.  Quare  ex  ducta  in  sc  perucnit  idem  numerus.  Quare  io* 
ucuias  numerum,  qui  cum  multiplicatus  fuerit  per  ~ unius  integri,  uciiiat  1 1 quem 
iiiuenias,  si  diuUeris  i per  ex  ejua  diuUioiic  proneniunt  so,  que  sunt  radix  predicli 
uunicri:  (piibus  in  .se  multiplicatis  , reddmit  400  pro  toto  numero  : que  ctiuro  moD- 
stranlur  per  figuram  supradictam  geometricam. 

Inucntio  alterius  numeri  y cui  cum  superadditur  | j | 
ipsiuSy  est  radijc  numeri. 

Irem  si  dictum  fuerit:  est  numerus,  super  quem  si  addideris  1 1 t P summam  col- 
lectam in  se  ipsam  multipIicaucrU,  faciet  eundem  mimcnnu.  Hoc  est  quod  erit  radii 
illius.  Pone  ila(|ue,  ut  i}>$c  numerus  sit  Go;  super  que  adde  | J f ipsius,  id  est  57,  erunt 
117;  que  multiplica  in  se,  erunt  13680,  que  uellent  esse  60;  quare  dicas:  pro  60,  que 
iu  quanUtate  numeri,  uciiiunt  13G89;  quid  ponam  ut  ueiiiaiit  GO.  Multiplicabis  60  per 
60,  erunt  36C‘;  que  diuidc  per  regulam  dc  13089,  exibunt  ; et  tot  | erit  numerus  ille; 
cuius  radicem,  que  inuenies,  si  diuiseris  1 per  -JJ  l : umic  proueniciil  J|  pro  radice 
quesili  numeri;  quibus  in  sc  iniiltiplicati-s,  reddunt  ut  supra. 

De  mtmerOi  cum  super  additur  ei  residuum  rfe  J i J 1, 
est  radix  ipsius  numeri. 

Adhuc  si  dictum  fuerit:cst  numerus,  siqier  quem  si  addideris  residuum  dc{  | j | ipsius. 


Digitized  by  Coogie 


177 

et  summam  iii  sc  i|)Sam  muhiplicaueris,  iterum  eundem  faciet  numerum  » lioc  est  quml 
erit  radix  illius  : puiie  ilaquc,  ut  ipse  sit  GO,  cie  ejuo  cxtniiic  ^ ^ reiiiaFicnt  3;  que 
addo  cum  00^  erunt  03}  que  in  sc  multiplica^  erunt  3009,  que  ueliiil  esse  00;  <[uare  multi- 
plica 00  ]>cr  00,  erunt  3000;  que  diuide  per  3069,  exibunt  ct  talis  ent  numerus  ille. 
Vel  addo  ^ su]>er  1,  scilicet  residuum  de  J { { J,  erunt  1;  in  quibus  diuide  1,  uc- 
nient  que  sunt  radix  prcdicti  numeri  quibus  in  se  multiplicatis  , rcddimt  pru 
quesito  numero  similiter 

Uvrsum  csl  numerus,  dc  quo  si  acceperis  U |i  ct  de  collecta  quaiililutc  extraxeris 
i{)sum  mimerum}  residiiumquc  si  iu  se  i|>sum  muittplicaucris,  nimirum  eundem  faciet 
numerum,  hoc  esi  qiicMl  erit  radix  illius  numeri  t pone  ut  ipse  sit  00,  de  quo  accipe 
f,  que  sunt  40,  et  |,  que  sunt  4S,  et  que  sunt  4S,  et  |,  quo  sunt  50}  ct  adde  insimul, 
erunt  tS3;  dc  quibus  extrahe  oo,  remanent  1S3}  que  multiplica  iri  sc,  erunt  ist29.  Quare 
dices:  pro  oo,  que  pono,  ucniimt  isiso;  (piid  famam,  ut  ueniaiit  00.  Multiplicabis  ergo 
60  |ier  00,  et  diuide  {>ci-  regulam  de  isiso,  exibunt  et  tot  erit  numerus  ille. 

De  iuuenis  uita  ref*erienda. 

Qvulam  iuuenis  ui.xil  per  aliquot  tempus;  qui  si  uixisset  quantum  uixit,  el  itenim 
tantum,  et  1 1 ex  eo  quoti  uixernt,  cl  amplius  unum  annum,  100  annos  uixisset.  Que- 
ritur quantum  uixerat.  Hcc  enim  fKxsilio  similis  «'St  regulo  arboris  , super  quam  st 
addideris  bis  longitudinem  eiusdem  arboris,  ct  insufier  -J  ^ et  t,  fient  too  : quml  sic 
faciendum  est:  extrahe  1 dc  100,  scilicet  ipsum,  qui  superadditur  annis,  remanent  69: 
postea  {Hinc,  iuticiiis  uixisset  annos  12;  qui  .si  uixisset  tantum  quantum  nivit,  et  iterum 
tantum,  et  ; |-  tanti,  hahcrcl  annos  43.  Ei^o  dices:  pro  armis  12,  quos  {Kmu  ut  iuuenis 
uixisset,  ucniunt  iii  summa  anni  43:  quid  jKmnin,  ut  uciiiant  in  summa  anni  00  : mul- 
tiplica 12  f>cr  90,  cnint  iiss;  que  diuide  per  43,  exibunt  anni  {^27;  ct  tantum  uixit 
iuuenis  ille.  Illud  idem  est  diuiderc  09  per  ^ | 3. 

De  leone  qui  ernt  in  puteo. 

Qvidam  leo  est  in  quodam  puteo,  cuius  pmfunditas  est  palmis  SO}  ct  ascendit  co- 
tidie I unius  palmi,  et  di^sceiidit  Queritur  in  quot  diebus  exierit  de  puteo.  Pone, 
lU  exiret  extra  puteum  in  diebus  63}  ideo  quia  in  63  inuenitur  ct  | ct  iiidc  quantum 
ascenderit  leo  ille,  si  descendendo  in  illis  6i  diebus,  ascendit  cniin  septimas  63  unius 
palmi,  qne  sunt  |>aimi  9}  ct  descendit  nouenas  63,  que  sunt  |>almi  7:  quos  extrahe  de 
0,  remanent  palmi  2}  cl  tot  ascendit  amplius  quam  descendat  in  diebus  C3.  Yiide  dices: 
pro  diebus  C3,  quos  jiono,  ascendit  palmus  2}  <[uid  ponam,  ut  ascendat  palmos  50:  mul- 
tiplica 63  per  50,  ct  diuide  per  2,  exibunt  dies  1575}  ct  in  tot  diebus  Ico  exiet  de  puteo. 

De  (luobns  serpentibus. 

Irem  est  scrfieiis  in  plano  cuiusdam  turris,  que  est  alta  palmis  loo;  cl  ascendat  co- 
tidie I unius  palmi,  ct  descendit  cotidie  In  summitate  uero  tunis  est  aliud  serpens, 
qui  descendit  cotidie  cl  ascendit  {:  queritur  in  quot  diebus  Infra  tumm  cuniuu- 
gentur:  pouc  ut  coniungaiitur  in  liicbiLS  co.  Ideo  quia  iit  co  rcjieriuntur  uide 

ergo  rjuantum  sc  serpentes  approjiimpiaiit  111  illis  diebus  eo.  Inferior  uero  serpens 
ascendit  in  illis  diebus  eo  magis  qnam  descendit  palmis  s . Superior  uero  descendit 
magis  quam  ascendit  palmis  2.  Krgo  appropinquantur  palmi  7.  Quaiti  dicendum  csl: 
pro  diebus  co,  quos  pono,  appropintpiantur  seiqientcs  palmi  7 | quid  ponam,  ut  appio- 

23 


Xo  ri  »<l.lr  ...  • (6.1.  *4 

Iii*.  (3-15  \ |77  , 

Im.  1M5... 


■tuiirra* 

t < « 

4 < 4 r 


ct  ilvfMl  . 
••rr«n.  lill. 
lia.  21-24; 


u.i*t  14 

21-23;  |u|.  H7. 


!•••  ....  » 
(iu|.  74  , I>|>.  3H  St  ; 

!•>(.  177,  lin.  S2-S5;. 


Dic* 

1575 


fili-  75  rcrfvr. 


Digitized  by  Google 


'I«t4  ••••  «»U  I * 

15  l»a.  1-7;  |>«g.  i7T, 

U.  41  <—  ixff.  lU,  iin.  10). 


itiri  iiMctioai* 

• 857 

infcriorit 


Ovimiiv  knrcriurtt 


• iwtii  illtu*  M * 

,r<i|.  15  rrti»,  Iin.  S-IK;  i<^. 
11«.  lin.  19  U<. 


H «tiMlb|li<4  ..  ■ «“miit  151  • 
iM.  IS  Ii*.  27  25;  |*g. 

i;a.  ].n.  «7. 11;. 


«I  <|iirr»(nr  ...»  Autn^ro  ill«  * 
iM-  7S  Ii*. 22-11;  r*g. 
17$,  Ii*.  17.IUJ. 


Ahicf  ....  fV  Mir*  • (f*1.  71 
rrrta,  lia.  12-14  | |«k.  tIS  , 
)t*  41  ~ t*y.  179,  Ii».  I). 


178 

pinqiiaiilur  pimi  loo  : niultiplira  qo  per  loo,  erunt  eoeo;  que  diuide  pr  7 , eiibuDt 
ilies  I 657;  et  in  tantum  tempori»  coniungcntur  se.  Nam  si  quesicris,  in  qua  parte  tur- 
rU  se  coniungcrint  , sic  facie.s  : multiplica  s,  scilicet  a.sccnsioncm  inferiori.»  serpentU, 
pr  100,  erunt  sou;  que  diuide  pr  7,  exibunt  palmi  * 71;  et  tot  ascendit  inferior  ser- 
pns.  L't  si  descensionem  suprioris  serpentis,  s4'iUcet  s,  per  eundem  100  mulliplicaucris. 
et  summam  per  7 diuiseris,  exibunt  palmi  ^ ss  pro  loco  coiiiunctioiiis  ipontm  a superiori 
prlc. 

Oe  petiis  quatuor  panni. 

Ovidam  emit  panni  ptio.s  4 pro  bizantiLs  81).  i,)uanim  primam  emit  aliquid;  alteram 
emit  I pretii  illius  prime.  Tertiam  ueru  emit  [ pretii  secunde.  Quartam  autem  emit 
* pretii  lerltc.  Queritur  quantum  ualuit  unaqiteque  petia.  Pone,  ut  prima  ualcret  bi* 
zaiilios  GO  ; ideo  quia  in  60  reperiuntur  | | Ei^o  si  prima  ualuit  00;  secunda,  cum 
ualeret  | ipitis,  ualuit  bizanlius  40;  cl  tertia  ualuit  bizantios  30,  hoc  est  J pretii  se* 
cuudc.  Quarta  ucm  ualuit  Inzanlias  24,  cum  sint  \ dc  30.  Postea  adde  60,  ct  40,  et  34. 
ot  24,  scilicet  pasita  pretii  .supi-adictanim  quattuor  peliarum,  erunt  154;  que  rura  ticlim 
cs.se  80,  dic:  pit)  co,  que  pono  pro  pretio  prime  petie,  ucitiiinl  in  summa  emptionis  quat* 
tuor  peliarum  liizaiitii  1S4;  quid  ponam,  ut  ucniaiit  tantum  in  earundero  .summam  80. 
Multiplica  co  per  so,  enint  4ww;  que  diuide  jier  regulam  dc  I54,  que  csl  5~-n»  «i- 
biint  bizantii  7*^7  91«  Kt  tol  ualuit  prima  petia.  Item  ut  habeas  pretium  secunde. 
Multiplica  40  per  80,  et  diuide  ileniin  per  bizantii  f—  20  pro  pretio 

.secunde  pelic.  Item  ut  scias  pretium  tertie,  multiplica  30  per  80,  el  diuide  per  j-f-n* 
exibunt  pro  ipsius  pretio  bizantii  IS:  demuin  iit  scias  pretium  quarte,  raullijdic.1 
24  per  80,  et  diuide  iu  2 exibunt  pro  pretio  ipsius  bizantii  1$:  ct  sciasqiiod 
in  unaquaque  .suprascriptariim  quattuor  multiplicatio  ci  euilmida  est 

yt liter  de  cwlem. 

Aliter  ut  redigatur  liec  questio  ad  regulam  .societatum,  describe  minuta  per  ordinem 
sic  cl  multiplica  per  3;  que  per  4;  qiic  per  5,  que  sunt  sub  uirgis,  erunt  M. 

que  .serua.  Item  multiplica  2,  que  sunt  super  3,  per  4,  que  .sunt  .sub  3,  erunt  8;  q«f 
|>cr  5,  erunt  40,  que  .serua.  Kursus  multiplica  2,  que  sunt  super  3 per  3 , qnc  .suni 
super  4,  ciniiit  c;  que  per  5,  cruiil  30,  que  serua.  Kt  adluic  multiplica  1,  que  suot 
super  3,  per  3,  que  sunt  super  4,  erunt  6;  que  multiplica  per  4,  que  .siiiit  super  5,  emnt 
24  : adde  itaque  quattuor  seruantes  ninncrixs  in.sinnil,  scilicet  co,  ct  40,  el  30,  ct  14< 
erunt  IS4.  El  iiiuenias  regulam  ipsorum,  que  est  y * cl  multiplica  singulariter  unum- 
quemque ])re.sciipl»)rum  quattuor  numerorum;  el  diuide  unamquamque  multiplicationem 
per  cl  habebis  pretium  uniuscuiusque  petie,  Ihk:  est  per  medietatem  de  1S4. 

De  tertia  unias  numeri  ex  quarta^  cuius  numeri  sit  quinta. 

Si  queratur  de  tertio  unius  integri,  de  cuius  numeri  quarta  sit  quinta  pars;  pone 
igitur  ul  iiumenis  ille  sit  fli»;  dc  quibus  summe  J,  qtic  c.st  15;  dc  quibus  acci|)e  5’ 
que  c-st  3;  que  cum  iiellenl  esse  tantum  j,  Multiplica  60  jwir  erunt  20;  qiic  diuide 
]>cr  3,  exibunt  | 6 pro  numero  illo. 

.\lilcr  describe  per  ordinem  : sil  7 J j ; deinde  multiplica  unum,  quod  est  super  3 
per  4;  que  per  5,  erunt  20;  que  diuide  per  multiplicationem  dc  1,  quod  est  super  s 
in  1,  quod  csl  super  4;  que  in  3;  que  multiplicatio  est  3,  exibunt  similiter  | 6- 


Digitized  by  Googl' 


170 

Dc  ouis. 

Qvidam  rmit  oua  7 pm  numero  uno«  ct  uemlnUl  uua  i pi*o  drnaru» ; cl  iucraluA 
fuit  (ienarius  ifi:  (|ucrilur  quot  ipse  in  ouis  inuesliucral : pone  ut  iiiiirsliict  cieiiarios 
5,  pro  quibus  Imbuit  oua  3S,  que  ueiididil  denarius  7 : ergo  lucratus  fuit  deuarios  s 
in  illis  denariis  s:  <}ui  denarii  s ucllcnt  esso  lO  donarii.  Multiplica  lo  ]»or  5«  et  di- 
uide  per  2,  eiilmnt  denarii  1 47;  et  tot  iiiucsiiuit  liomo  ille.  Nam  materiam  iiiueniondi 
Iianr  regulam  est  hc<'.  Vt  discas  a s usque  in  't  desunt  | 2;  in  quibus  diuide  multi- 
plicationem de  s in  I9,  ut  .supra  diximus. 

De  eisdem  ottis. 

liem  si  di\erit>  quod  rmit  oua  7 pn>  donariis  2,  et  iiendidit  oua  lo  pro  denariis  c; 
et  lucratu.s  est  denarii  2i;  queritur  quot  inuestiuit  : seribe  questionem  sic;  et  imdti- 
piica  7 per  6»  erunt  42,  que  pone  su|Kr  7;  ct  imiUiplica  lo  per  2,  erunt  3h,  que  pone 
super  10  : |>osl  liec  exirulic  3S  de  42,  reiiianeiit  4 ; iiudliplica  3h  per  2i,  erunt  7so  ; 
quo  diuide  per  4,  exibunt  denarii  \ loo;  ct  tot  inuestiuit.  Ktsi  proponatur,  quixl  in- 
uestiret  denarios  | iiK),  ct  queratur  lucrum  ipsius;  inuiiiplicabis  i loo  per  4,  et  diuidis 
{>er  38;  et  habebis  pro  lucro  21. 

De  rotu/is  secundum  reptla  ouvrum. 

tEium  si  pmposucrit,  r[uod  pro  denariis  ^ ^ 4 rotulos  il  haberet,  uenderet  rotulos 
i * 17  pro  deuarils  7;  ct  esset  lucratus  denarios  27  : describe  questionem  secundum 
quod  iu  hac  pagina  descriptam  cerneris;  et  multiplica  Rotulixs  ii  per  s dc  sua  iiirgula, 
et  desu|)cr  adde  3,  erunt  9i;  qtic  per  2,  ct  adde  unum,  erunt  183,  que  pone  super 

**  11.  Itom  multiplica  donarios  4,  per  2,  et  adde  i,  erunt  0;  que  per  7 de  altera  sua 

tiirgula,  erunt  63:  super  que  adde  multiplicationem  de  t,  quod  est  super  7 in  2,  erunt 
66,  que  |Hme  su{>er  -7  ? Uiirsas  multiplica  Rutulos  I7  per  9,  et  super  adde  i;  que 
|)er  0,  et  adde  inuUiplicationem  de  2,  que  sunt  super  9 in  s,  erunt  7S4  , que  {hmic 
super  1 1 17*  Iterum  multiplica  denarios  7 per  10,  ct  adde  7,  erunt  77,  que  pone  super 
^ 7:  jKist  hoc  niultiplira  numerum  positum  super  | j I7,  scilicet  784  per  numerum  jm>- 
sitiim  super  \ ~4,  idest  per  95,  cnint  5V96o,  que  pone  super  784.  Item  multiplica  positum 
numerum  suj>er  JJ  11  , scilicet  i«3  per  positum  numerum  super  ^7,  idest  per  77  , 
onint  14091,  que  pone  su|>cr  183  : piM^tea  oportet  multiplicari  509CO  per  minuta,  que 

suiit  sub  uirgulis  de  ii,  el  de  7,  scilicet  per  2,  cl  per  8,  ct  jicr  lo:  ct  adhuc  oportet 

multiplicari  14001  per  minuta,  que  sunt  sub  uirgulU  de  I7,  dc  4,  scilicet  per  s,  et  per 
9,  ct  per  2,  et  per  7;  uiidc  multiplicentur  tantum  soso  per  2,  ct  per  8,  idest  per  I6, 
orunt  815360;  ct  relinquantur  qucxl  non  multiplicentur  per  10;  quia  relinquemus  mul- 
tiplicare 14091  por  5,  el  |>er  3 , in  «piilins  ipsa  multiplicare  o|>ortucrat;  et  multipli- 
cabitur tantum  per  7,  cl  per  9,  idest  per  63,  erunt  877733;  de  <juibus  extrahe  813360, 
remanent  72373;  quibu.s  studeas  reperire  regulam,  que  est  in  qua  diuide  per 

multiplicationem  dc  si53r>o  in  27,  .scilicet  in  lucrum  ; que  multiplicatio  est  22014720  , 
exibunt  denarii  304i;  et  tot  inuestiuit  iu  illis  Rotulis. 

.\litcr  diuide  ^ 11  jier  * * 4,  exibunt  7-^-^  2.  Item  diuide  Ji  17  j)cr  ^7,  exibunt 
2;  que  extrahe  dc  2;  et  in  hoc  remanserit,  diuide  mullipIicalionoR  do  |-j^2 

in  27;  et  bahebis  pro|>ositiim* 

De  cane  et  nutpc. 

liem  si  queratur  do  luilpc,  que  est  ante  canem  pasiis  50,  ct  j>asus  g fugientis  luilpis  , 


<|iir  . 4r,r,«<  • l(ai|  IX 

rrci»,  laB,  4719  | |.J|-  179» 
U.  4-7|. 


lniM»lii4 

i 47 


fi.1 


« 2 i«  ...•  rfgni*  •<««. 

ra.«  iful.  7X  >-trm  . Ia*.  1-7; 
ri:  179.  Ii>.  7 17>. 


38 

42 

G 

3 

19 

7 

^ 19» 

mi»tli]lia4  •••.  Minlt>|'li<arl>* 
<u,  B 7X  , 

i<•a■|U-ll;-.|•aA.|79.l.la.2(l  3:< 


RRST33 

HUISRU 

14091 

50960 

1 183 

784 

1 

. s » “ 

! 6X 

f-ro  4.  n.r 

n s j 

|na  <l-  »4ni*  ; 

..  77  j 

- - 4 

7 s ^ 

_ M 

>vla»]>|il«aa«lia  - H ta.«  aa.ii'- 
•<a»il  B IX  a^r,».  I.n.  20 
r ti  ^21  «2X.r.g.  119.  Ia*. 
21  S!  J- 


Digitized  by  Coogie 


«tlpi  iu  Mfr.iftfijm  * 

rM.  TS  I.II.19.33;  ^1. 

11?, Illi. 44  — p*K  19J, 

Pir» 

100 

DiiltfBtia 

50 


r»l,  16  trfi*. 

•a  «atiMiM  .■.  HuMe  | • (T-tl. 

16  Illi,  i- 7,  ]u^.  ISII  ( 

lia.  13-Xil. 


>i  ....  n|MVil>rtit  • 16 

ri>rfa.  Iia.  911;  lua.  IKU,  )mi. 
t3X6j. 


27 

28 

30 

36 

438. 

44S. 

480. 

.X70 

a 

6 

t 

* 

7 

» 

i 

180 

sunt  pa.ssu.s  0 sequentis  canis;  queritur  in  quantum  ea  ronsequetur.  Hec  enim  questio 
eandem  retinet  regulam  ouoruin:  uidclicel  ut  extrahas  6 de  9,  remanent  3;  in  quibus 
diuidc  multiplicationem  de  6 in  so»  exibunt  |>a.ssu.s  loo;  et  in  tot  dieLus  canis  fuit 
cum  uulpc  in  uno  puncto.  Verum  si  distantiam  eorum  ignoniucri.s;  et  )>re|H>nutur,  quod 
canis  uutpem  adiungat  in  ]>a.ssilms  loo;  multiplicabis  3 per  loo,  et  iHuidc.s  per  prodicta  6. 

/A*  eo  t/fi/  m/s/f  filium  in  yHextulriam. 

Qviduni  misit  filium  suum  iii  alcxuiidriam;  deditqiie  ei  hizntitios  loo,  precipiciLs,  m 
emeret  ex  eis  piper,  atque  berxi.  Cantare  ijnidem  piperis  pro  Lizantiis  50,  et  cantarr 
berzi  pn>  bizaiitiis  3o;  cl  pondus  quod  punderat  piper  esset  J | jwndcris  berzi.  Queritur, 
quot  emit  de  pipere,  et  quantum  de  berzi.  Pone  iit  emeret  de  Ijcrzi  canlaiia  63;  ideo 
quia  iii  03  reperiuntur  | cl  uidc  quantum  ualent  cantaiia  illa  63:  ualent  enim  bizaiiltos 
1890:  quo  facto  acci]K  | y de  C3,  que  sunt  4i;  cl  tot  cantaria  pone,  quod  emisset  ex  pipere, 
que  ualent  bizaiitios  soso;  cum  quibus  adde  bizaiitios  1890,  erunt  bizantii  3940.  ()uare  di- 
ces: pro  caiijlarils  «3,  que  |>osui  ut  emeret  de  l>crzi,  ueniunt  in  summa  bizantii  39W;  ipiid 
ponam  ut  ticniat  in  .summa  bizantii  loo:  multiplica  03  |H:!r  lOO,  et  diuidc  per  394o;quorum 
regula  est  * : multiplicatio  autem  dc  caiitanis  63  in  loosurgitin  cantariis  C3«0, 

que  sunt  Rotuli  630000;  quos  diuidc  per  •*  exibunt  Rotuli  159;  et  tot  croil 

i|xsc  de  berzi.  Item  imiltiplira  cantaria  4i  per  loo,  erunt  Rotuli  410000  ; quos  diuidc 
jKfr  }- » exibunt  Rotuli  ° tViVl  tantum  emit  dc  pipere.  Si  autcra  scire 

uolucris,  (|Uot  bizaiitios  ualeat  piper,  cl  quot  berzi;  nuiltiplica  soso  per  loo,  et  diiiide 
per  a-tV~riT  * habebis  pro  pretio  piperis  bizaiitios  y|y  58.  Item  multiplica  isdo  |>er 
100,  cl  diuidc  per  exibunt  pro  pretio  berzi  — 47. 

Kr  si  suprast!i‘iptus  pater  precepi.sset  filio,  ut  ' ex  pondere  piperis  e<{sct  | ex 
dci*c  berzi;  inucnies  primum  diio.s  numeros,  ex  quibus  | imius  sint  | alterius,  enint  14 
et  87.  Nam  ~ dc  I4  faciunt  qiinntum  | dc  87  : quare  }xmc.s,  ut  ijisc  emeret  de  pifiere 
cantaria  14,  cl  dc  l>crzi  cuinUria  27;  cl  operaiicrls  secandum  <{uod  superius 
et  inucnies  quantitates  iitrius4|uc  mercis. 

Iicm  5 7 ex  |K>nderc  piperis  sit  \ J ex  pondere  l>erzi,  inucnies  (jiiod  duos  numeoH. 
ex  quibus  tuiiu.s  sint  y J allchus,  entiit  27,  et  35.  Nam  -J  \ de  S7  sunt  { et|  d^ 

35:  ipiare  pones,  ut  ipse  emeret  dc  pipere  cantaria  27,  dc  l>crzt  cantaria  3s;  et  open- 

lK'ris  secundum  suprascriplum  modum. 

Rvrsus  si  pro|X)natur,  qiUMl  ipse  emisset  ex  suprascriplis  bizantiis  loo  piper  ad  ra- 
tionem dc  bizanliis  50;  et  lac  ad  raliunein  dc  bizantils  40;  et  dc  berzi  ad  ralionem 
dc  bizantiis  30;  cl  linum  ad  iiilionom  de  bizaiitiis  20.  Kt  | ex  pondere  piperis  esset 

J cx  jKUiderc  laccc.  Kt  | ex  pondere  beni  , cl  J ex  pondere  lini.  Jiiucniendi  suui 

piimum  quattuor  numeri,  ex  quibus  \ primi  numeri  .sint  | scrundi,  et  y tertii,  et  \ 
quarti;  et  haliebis  pn>  primo  numero  36;  pro  secundo  30;  pm  tertio  23 ; pro  qiurto 
27:  quare  pones,  ut  ijise  emeret  ex  pipere  cantaria  36,  que  ualcrct  bizaiitios  isou.  El 
dc  lacca  cantaria  30,  quo  lialciil  bizantios  1200;  ct  dc  Ix^rzi  cantaria  23,  que  ualent 
bizaiitios  840;  ct  de  lino  cantaria  87,  que  ualent  bizantios  540:  quibus  bizaiitiis  (juat- 
tuor  inertium  in  unum  coriiunclis,  faciunt  bizantios  4330,  que  uellent  esse  bizantios  100: 
quare  singulariter  cantaria  36  pi]>cris,  .scilicet  Rotuli  3600.  Ht  cantaria  30  lacca,  scilicet 
Rotuli  3000.  Et  cantaria  28  licrzi,  scilicet  Rotuli  28OO;  et  cantaria  27  liiii,  scilicet  I»<>- 


I 


Digifized  by  Googie 


ISI 

tu)a<;  S700  multiplicabis  per  bizantius  lOO,  et  diuitles  summam  uniuscuiusque  multiplb 
catiunis  |K*r  rc*j>iilain  ilc  4380,  que  est  habebis  pro  pondere  piperis  Rotulos 

JJ  8S;  et  pro  |)ontlcrc  larce  Rotulos  ^ 68j  et  pw  punderre  bcrzi  Rotub^  JfJ  03;  ol  j>ro 
]>uiitJere  lini  Rutilius  ^ 6i;  et  sic  jMJSsenuis  liuiasmiHli  iiarias  projioncrc  questiones  , 
que  Sijiuciitur  suprascripto  ordine. 

De  diuisione  de  !0  in  tribus  fMrtihus  inequales 
secundum  contirmam  proportionem* 

Si  op|>onatur  ut  diuides  to  in  tres  inequales  partes,  quarum  multiplicata  minorem 
in  maiorem,  faciat  quantum  sccumla  multiplicata  iii  sc  ipsam;  .sic  f.iries:  |xme  ut  prima 
pars  sit  aliquis,  luimenis,  ut  i;  deinde  pone,  ut  secunda  pars  sit  alius  qiiisfiiiet  nu- 
merus, ut  dicamus  s;  que  iniiltiplicn  iii  .sc,  faciunt  4 ; que  diuide  per  i,  iietiient  4. 
Modo  lial>es  tii;s  numeros,  scilicet  i,  ct  s,  et  4;  ex  quibus  miiltiplualis  pnino  \>cr 
tertium,  scilicet  i per  4,  fuoil  tantum  quantum  secundus  in  sc  ipsum,  scilicet  s per  8. 
Viide  colligas  i,  ct  2,  ct  4,  faciunt  7;  que  cum  uellcnt  esse  iO,  dices  : pm  f,  quml 
[Mino  pru  prima  illurtim  trium  partium,  pcrucnit  7 in  earum  «nmma:  quid  [lonam  pro 
eadem,  ut  pcruciiiat  iu  summam  lO.  Multiplicabis  itaque  i per  lo;  que  diuides  per  7, 
exiliit  pro  quantitate  prime  partis  f t.  Item  multiplicabis  cademque  nitiuuc  secundam 
[lartem,  scilicet  s [x^r  lo,  erunt  so:  que  diuides  iterum  [ler  7>  exibunt  j s;  et  tantum 
est  scruiidn  pars.  Rursum  multiplicabis  4,  que  sunt  tertia  jmrs,  per  lo,  erunt  4o;  que 
diuides  ]ier  7,  exibunt  pro  tertia  parte  | s.  Multiplicatio  igitur  de  | i iti  ^ 5,  est 
quantum  | Multiplicatio  dc  j2  in  sc;  et  | i,  ct  | s,  ct  ^ S insimul  iuuetis,  faciunt  ia, 
ut  querellatur.  Rot(*st  enim  lO,  sccuudum  prcscriptam  comlitiuncm,  in  irfinitas  tres 
et  iiariis  partes  diuidere:  quare  si  alios  in  principio  iti  continua  pniportiuiic  [Hmeremus 
numerus  preter  quod  i,  ct  2,  et  4 iu  altas  partes  lO,  redderent  diiiisa;  quarum  semper 
prima  multiplicatu  in  tertiam,  faciet  «[uantimi  sccuadu  multiplicata  iu  se. 

De  eodem  in  ////*"  partes. 

iTcni  si  !0  iu  quattuor  [lurtes  diuidere  unlucris,  ita  quod  multiplicata  prima  in  quar- 
tam faciat  quantum  sccuuda  in  tertium.  Et  rursum  multiplicata  prima  in  tertiam  faciat 
quantum  secunda  in  sc  ipsam.  Et  iterum  muUiplirata  secunda  in  quartam  faciat  quau- 
tum  tertia  in  sc  ipsam.  Hanc  ciiim  diuisioiiem  in  inriiiiLus  uariasque  partes  possumus  iii- 
ueiiire.  t^luarc  unam  demonstrationem  pro  muUis  ostendamus:  [Kiiias  ut  prima  pars  sit 
iimim.  SeiMjnda  bLs  lautum,  scilicet  8.  Tertia  bis  tantum  secunde,  scilicet  4.  (^hiarta  bis 
tantum  tertie,  scilicet  8:  Ilii  quattuor  numeri  sunt  in  continua  proportione.  Vnde  coa- 
dunatis bis  quatuor  [Kirlibus,  scilicet  i,  ct  2,  et  4,  ct  8,  faciunt  15,  que  uelleiit  esse 
1«.  Vnde  dices:  pro  i,  ([luxI  pono  prima  parte,  pcrueiiiunt  15  iii  summa  eorum  quattuor 
[lurlium;  quid  [Minam  pro  eadem  [larle,  ut  ucniant  in  10  iu  carum  siimmn.  .Multiplicabis 
enim  unum  per  lu,  ct  diuides  per  I5,  exibunt  | unius  iiitcgi'i  pro  prima  [mrtc.Item  iiiulti- 
plicaiiLs  s.ogulariter  8,  ct  4,  et  8 per  io;  ct  singulariter  diuides  per  I5,  ct  lialiebis  pro  se- 
cunda [lurtc  j l;  pro  tertia  -f  s,  et  pro  quarta  <|5:  ucl  habita  prima  parte,  duplicabis  eam, 
et  habebis  secundam;  qua  duplicaia,  lialiebLs  tertiam;  qua  duplicata,  lialiebis  quartam. 
Vel  quia  lo  sunt  | de  is,  accipe  | prcscriptunim  quattuor  numcmnim,et  habebis  quesitas. 

De  eodem  in  quinque. 

Rvrsuin  si  lo  in  [ilurcs  [lartcs  quam  quattuor, ut  in  5*  secundum  continuam  [iroportio- 


74  rrrta.  isi. 

ua.  n-ti}. 


rKm« 

f I 

T* 

TrrtW 

‘5 


— 'I  bjUrli).  • 

<M-74  !>•$. 

IIM.  i;a.  SQ.lU\ 


SMnatl* 


TrviM 


i s 


Digitized  by  Google 


V<an4<ai  f|i«i  4(iud<’4 

Z 1 • |fwl.  Ili  «vr»»  , lia  IS' 
?{.  p>«.  Kl.  U».  4S  ~ |ug. 
iia.  B). 


|IHni 

in 

5<ietl»H4 


TtrUi  ^ I 
SI  * 
V»«rt*  1 % 2 


< HrtMrwl  ...  afi.im  • ‘Cttl.  *’i 
• lan  Bt'BT  s pi|(.  i^*  * 
i»i.  ili  n. 


h,i 


iS2 

nalilalcm,  diuiderc  uolueri.s^lioc  est,  quod  multiplicata  prima  in  quinta,  faciat  quantum 
.secunda  in  quartam,  et  quantum  tertia  in  sc  ipsam.  Et  iterum  prime  in  quartam  faciat 
quantum  secunda  in  tertiam.  Kt  iteioim  prima  in  tertiam,  quantum  secunda  in  se  ijisani. 
Et  iterum  secunda  in  quintam,  quantum  tertia  in  quartam.  Et  adliuc  tertia  in  quintam, 
quantum  quarta  in  se  ipsam.  P .ics  ita<|uc  secundum  quod  supenus  fecisti  pru  prima 
parte  i;  pru  secunda  s;  pru  tertia  4;  pro  quarta  8;  pro  quinta  16  : adde  ei^o  t,  et  s,  et 
4,  et  8,  et  16,  erunt  si;  que  cum  ucliiit  esse  iO,  Multiplicabis  i per  lO,  et  diuides  |>er 
31,  exibunt  pro  quantitate  prime  ]uirlis  : deinde  multiplicabis  t per  10,  et  diuides  per 

31,  exibunt  pro  secunda  {>arte>  et  sic  facies  de  reliquis  tribus  partibus  pro  tertia  ~ , 

Iioc  est  I.  Et  pro  quarta  lioc  esi  JJ  j;  et  pro  quinta  ^ , hoc  est  5 ; quibus 
insimul  innetis,  faciunt  lo>  ut  qiieiTliatur. 

De  Leone  et  leopardo  et  urso. 

Ovidani  leo  comedabat  unam  miem  in  horis  et  leo|^rdus  iu  horLs  s;  Et  ursus  iii 

horis  o:  queritur,  si  inter  eos  ouis  una  eiecta  fuerit,  in  quantis  horis  eam  deuorauenint. 
Sic  facies:  pro  quattuor  horis,  in  quibus  leo  otiem  comedit.  Pone  J;  et  pro  horis  5 leopardi 
pone  i;  et  pro  horis  e ursi,  pone  J : et  quia  { i | reperiuntur  in  60.  Pone  ut  in  horis  60 
tjksi  deuorarent  oiiem  illam.  Considera  itaque,  «piot  oues  Ico  comederet  in  iliis  horis  60: 
cum  in  quattuor  oris  unam  demiret  ouein,  est  manifestum,  quini  ipse  detioraret  oues  is 
in  illis  60  horis;  et  lco|)urdus  detioraret  oues  is  per  quintum  dc  60,  que  est  I2.  Similiter 
et  iiisiis  detioraret  oues  lo;  cum  lo  sint  { dc  60.  Ergo  in  horis  co  comederent  ipsi 
oues  15,  el  12,  ct  10,  hoc  est  37.  Otiare  dices:  pro  horis  60,  quas  pono,  comedunt  ipsi  oues 
37.  Oiiid  ponam  ut  tanliiiu  comedent  ouem  unam.  Multiplica  itaque  timini  per  60,  et  di< 
nide  37,  exibit  hora  [J  i.  Et  in  tot  ipsi  ipsam  ouem  dciioraucrunt. 

De  duahns  formivis  qiutrum  una  imittatur  aliam. 

Kormicc  2 distabant  in  plano  pissibiis  lOO;  et  tendebant  ad  tiiuim  locum:  prima 
quarum  iliat  cotidie  J passus,  rcucitebal  retro  -J;  alia  ibat  J,  et  miertebalnr  { ; queritur, 
tri  quot  diebus  | erunt  coniiinctc  : jtonc  dies  6o,  in  quibus  prima  iret  tertiis  6o  unius 
passu.s,  scilicet  pissibus  20;  ct  reucrtcrcUir  retro  passibus  ts,  scilicet  { de  60;  cl  sic  in 
diebus  60  iret  jdus  dc  sua  reuersione  passibus  5;  et  aliam  eisdem  diebus  60  iret  ^ de 
60,  scilicet  12;  ct  reucrieretur  retro  J,  scilicet  {uissibits  10;  cl  sic  iret  pas.sibns  2 magis 
de  sua  reuersione:  quibus  extractis  dc  passibus  s,  remanent  pisstis  3;  et  tot  appropin- 
quantur  ipse  in  dies  60:  que  cum  tidttU  esse  loo,  Multiplicabis  |de  60  per  too;  et  habebis 
«lies  2000  pro  eorum  coniunctioiie. 

Dc  duabus  natiibus  se  se  inuicem  coniungentibus. 

Naucs  duc  distabant  ad  inuicem  per  ali(|ti(Kl  .spatium;  quo«l  iter  prima  iiauis  explebat 
in  diebus  5;  alia  in  diebus  7:  queritur  si  ccjicrint  iter  in  eadem  liora,  in  quot  diebus  erunt 
coniuncte.  Multiplica  5 per  7,  mmt  35;  ct  tot  dies  jioiie,  in  «juibii.s  prima  nattis  faciet  iter 
suum  septie.s.  Alia  nero  quinquies:  quare  adde  7 cum  S,  cinint  12;  ct  quia  inter  ulramque 
nauera  debebant  facere  tantum  semel  illud  iter.  Multiplica  1 per  35,  et  diiiide  per  12. 
exibunt  2;  el  in  tot  diebus  erunt  coniiinctc:  cl  si  uis  scire,  in  qua  j»arle;  diuide  7, 
et  5 per  12,  ucnient  jz  totius  itineris  cx  parte  prime  nauis,  ct  --  ex  |»arle  secunde 
Et  si  proponeretur  primam  naucm  ire  septies  ad  locum  alterius  nauis,  et  aliam  redire 
quinquies  in  una  die,  diuide  semel  1 per  12,  exibit  hora  una  pro  earum  coniuiiclione; 
que  coniuoctio  erit  in  parte  prodicta. 


Digitized  by  Google 


IS3 

De  tina  que  fiabet  quatuor  foramina  in  fumh. 

Kst  tina,  que  habet  quattuor  foramina,  per  primum  quorum  cuacuatur  in  die  l;  |>ei' 
secundum  iti  s;  |>er  tertium  in  3;  per  quartum  in  4;  queritur  quot  horis  euacuabitur, 
si  dicta  quattuor  foramina  simul  apciiantur  : {>one  dies  12  pro  ipsius  euaruatione.  In 
qtiilms  per  primum  foramen  tina  euacuaretur  duodecies;  cuin  dies  12  sint  dtiodecupltim 
unius  dici:  similiter  in  illis  jmsitis  12  diebus  |K!r  secundum  foramen  euacuarctiir  tina 
septies;  per  tertium  quater ; per  quartum  ter  ; et  sic  in  diebus  <2  tina  cuacuaretiir 
uigies  quinquies;  boc  est,  quo<l  in  diebus  12  euacuaiUiir  tine  25:  et  queritur,  in  quot 
euacuabitur  tina  i.  Multiplica  et^o  extremos,  scilicet  t2  ]>er  1,  et  diuide  })or  medium, 
exibunt  ||  unius  diei;  de  quibus  si  uls  horas  facere,  Multiplica  12,  que  sunt  super 
uirgam,  per  horas  unius  dici,  scilicet  per  12,  enint  144;  que  diuide  per  25,  exibunt 
hore  J-J  5 pro  tine  euacuatione. 

De  eatiem  tina  cum  super  ipsam  sint  canales  ittj.*'' 

Ilt  si  proponatur,  quod  su|>er  ipsa  tina  erunt  canales  4 euaciianlcs  aquam;  per  pri> 
mum  quorum  tina  impleatur  in  horis  per  secundum  in  0 ; per  tertium  in  24;  |>er 
quartum  in  27;  queritur  si  tina  fuerit  uaciia  , et  per  ipsas  canales  simul  tlual  aqua 
uicina,  et  foramitin  sint  a|»crta;  iii  quot  horis  implebitur  tina:  |>une  etiam,  ut  impleatur 
iii  dies  12,  in  quibus  jM^r  i)>sa  furaminu  cuacuantur  tine  25  : deinde  fac  horas  ex  i|)sis 
diebus  12,  erunt  hore  l4l;  quas  diuide  per  horas  piimi  caualis,  scilicet  per  6,  exibunt 
24;  ct  tot  tine  implentur  per  primum  canalem:  quia  quam  multiplices  sunt  hore  144 

cx  horis  6,  tam  multiplices  sunt  tiiic  24  ex  tina  1:  quare  eadem  ratione  diuides  horas  144 

per  horas  n.>liquonim  caualiuin,  scilicet  9,  et  per  24,  ei  {)cr  27,  exibunt  tine  ic,  et  6,  et 
J 5:  quibas  additis  cum  tiais  24  primi  canalis  tine  | si;  et  tot  tine  implentur  ab  ifisls 
cunalibas  4 in  positis  diebus  12:  a quibus  eieclis  tinis  2S,  que  eiiacuaiiUir  per  fora- 
mina, remanent  tine  ^20,  <(uc  uelleiit  esse  tina  i.  Quarta  multipHca  horas  12  diei,  s<‘i- 

licet  144  ])cr  i;  et  diuide  per  secuiidnm  numerum,  scilicet  (ler  \ 26,  exibunt  hore  s; 

et  in  tot  implebitur  tina  illa. 

Dc  Irnte.  que  hahet  foramina  unnm  stiffcr  aliml. 

Item  buctis  habens  4 foramina  unum  suj>cr  aliud  in  quarto  relcnimerito  buctis  con- 
stituta ; ex  quibas  si  a|K>ricn.s  primum  fonimen  .1.  superius  , cuncuatur  quarta  pars 
huctls  in  I die;  (jiia  cuacnata,  si  aperieris  secundum,  euacuabitur  buctis  a primo  tisf|ue 
ad  secundum  , scilicet  alia  quarta  pars  in  duobus  diebas.  lUiisiim,  euacuatis  duabus 
quartis,  si  aperieris  tertium,  euacuatur  dc  buclc  alia  quarta  |»ars  [ a secundo  foramine  i.i.  77.«.» 
us(|iic  ad  se  in  tribus  diebus.  Iterum  si  a]>ericris  quartum  euacuatur  de  bucte  alia 
quarta  pars  in  diebus  4.  Queritur  si  omnia  quattuor  foramina  pariter  aperta  fuerint  , 
iu  (juantum  tota  buctis  euacuabitur.  Quia  euacuato  aliquo  ipsoniin  nullum  iiiuameti 
aliis  prebere  passe  pre|K)nitur.  Necessarium  est  ul  cuacualionem  uniiisaiius<|uc  fora- 
minis singulariter  reperiamus.  IViinum  quidem  ponamas,  quod  buctis  teneat  hariles  quut- 
libet,  ut  dicamus  4S.  Quarum  quarta  pars  accepta,  que  est  12,  habeatur  pro  teiiimeiito 
uniuscuius<|ue  funmiinis  : deinde  accedamus  ad  cuacualionem  primi,  id  est  sujicriori.s 
foraminis:  |>onamus,  ut  inter  omnia  4 illa  foramina  euacuetur  de  bucte  usque  ad  su- 
perias  foramen  in  una  dic,  scilicet  iu  horis  12  : deinde  uideamus  quot  bariles  in  illis 
12  lioris  per  unumquodque  foramen  cuacuarentur  : per  primum  quidem  euaciiarenlur 


Digifized  by  Googie 


III  fluiit  «tu»  ■ 

(f.J,  T)  «■rrM»,  iiM.  IS-Xti  (•*)!. 
IMI,  1...  X II  « laj. 


kori.'  riMciftjutur 
|n«i* 

H» 

iMTlSMlIi 

h " 

Tertii 

* iu  ; 


CuM«il«  > l"4lU«  l<«l 

I i>  i »_  , 

& ft  : I)  ' 


•!.«>  4 ....  io 

. 14  17^  1*^^ 

Pi-«  7 Cl  li>. 

* ♦ ? > , 1 

« * T il'  1 

! 

io  k .n.  IX 

....  . 

1I..I.  77  rc. 

U».3')-3Vi  M. 

U.  14  31  <. 

M.  1 ; IMI. 

1 

1 

i-rM»!  I 
k«la* 

X 

llMi 

Tertii  ft 

biirr 
QiliHi  12 


f-l  7« 


)>»nlc5  12  in  illis  lioiis  12.  Ideo  fjuia  prrponilur  in  pufiitiono,  quixl  per  i|isum  euarualur 
r|uartn  {xirs  totius  huctis  in  tina  dic.  Et  quia  per  secundum  alia  quarta  |iars  iu  duubiLt 
diebus  cuucuutiir.  Er^u  in  illis  is  horis  euacuareiitur  |x‘r  i|isum  Imriles  6:  eademqiir 
rationem  {>cr  tertium  foramen  cuacunhitur  liariles  4 in  illis  12  horis.  Et  per  quarliua 
cuacuarentur  bariles  3.  lunetis  itaque  baiilihus  12,  et  6,  et  4,  et  3 faciunt  ts;  et  tnl 
bariles  cuacuarentur  {icr  i{isu  (|uatluor  foramina  in  illis  (2  hoiis.  Quare  multiplica  ii 
j)cr  12,  faciunt  ut;  que  diuidc  ]>er  23,  exibunt  hore  s;  et  in  tot  horis  cuaaialn- 
tur  buctls  av|uc  ad  superius  foramen  : deiude  accedamus  ad  euacuatitiiiem  scciiadc, 
quarte  : ct  ]m>iic  itcniin,  ut  euacuelur  ijisn  similiter  in  aliis  li  horis.  In  quibus,  ot 
prediximus  , per  secundum  euaruaiitur  InihIcs  c ; |K*r  tertium  qumjuc  bariles  4 j per 
fjuartum  uero  Itiirilcs  3.  Quar«*.  per  ipsa  tria  foramina  cuacuanlur  bariles  <3;  pro  quibas 
iiiulliplirabis  12  per  if,  et  diuidc  {>er  13,  exibunt  hore  " li  pro  euaciiationc  eiusdciD 
secunde  partis  : deinde  pone,  ut  tertia  quarta  euacuctur  itenim  in  horis  12,  in  quibus 
|KT  tertium  fonimen  ciiacuantur  bariles  4;  per  ({uartum  3,  lioc  est  per  uliumque  cua* 
ruantur  iKirile.s  7.  Quare  imillipliin  12  iterum  }>cr  12,  et  diuides  per  7,  exibunt  burc 
5 20  j»ro  euacuutioiic  tertie  quarte;  j>er  quartum  uero  foramen  €’uar.ualur  reliqua  quarta 
in  quattuor  diebus.  Quare  adde  dies  4,  ct  horas  ■—  s,  et  horas  ^ ii,  nec  non  et  borai 
Y 2»,  erunt  dies  7,  et  horas  * * • j;  ct  in  tantum  cuactiahilur  huctis  illa. 

/tiiier  de  bute. 

Et  si  dixeris,  quod  per  «niim  quodque  foramen  tota  huctis  euacuelur  usque  ad  sc 
i|ksain  in  pre|Misitis  diebus;  pojie  similiter,  ut  huctis  teneat  liariles  48:  deinde  uidein 
quaiiluni  cuncuabitur  budis  usque  ad  primum  foramen.  .Ajicrtis  uidelicet  omnibus  fo- 
raiiiinibus.  I*one  erj»o  ut  eiiacuetur  in  horis  12,  in  *|uibus  per  primum  cuacuanlur  l»* 
rilcs  12:  per  siHundum  uero  totidem  cuacuanlur;  cum  in  duobus  diebus  bariles  tleua- 
ruentur  in  horis  12:  per  tertium  <|imqiic  in  positis  hoiis  12  euacuarentiir  alios  bariles  tJ; 
cum  in  tribus  diebus  per  ijtsam  euaruarenttir  bariles  36:  |K*r  (piartum  autem  iii  illis 
12  horis  alios  liariles  12  cuacuantur:  quilms  iunctls  cum  barilibus  euacuatioiium  trium 
reliquorum  foraminum,  erunt  4»,  que  iicllent  esse  12.  Ei*go  imillijilica  12  per  12,  ct  dl 
uide  per  48,  exibunt  hore  3;  el  in  tot  euactiatur  usque  ad  primum  foramen.  Itcmsi 
posueris  jMo  eiiacuutiune  .scriiiide  quarte  alias  lioras  12,  rc|>erics  quod  per  reliqua  Ina 
foraniiiMi  euacuabuntur  liarilcs  36  : quare  multiplicabis  12  ]»cr  12  , d diuides  j»cr 
exibunt  hore  4;  cl  in  tantum  ciiariiabitur  scnmda  quarta.  Item  si  j>osueiTS  horas  11  pn> 
«■uacualione  tertii  quarte,  quod  rejierics  utnimque  foramen  euacuarmitur  bariles  si.Quarr 
multiplica  (2  per  12,  ct  diuidc  |kt  24,  exibunt  hore  0 pro  tertie  qiiurtc  euacujalinor- 
I>e  quarto  f(»ranHiie  ttii  dicendum  est;  cum  manifestum  sit,  quod  |)cr  ijisum  in  horis  11 
euacuelur  lotura  residuum,  scilicet  bariles  12.  Quare  addas  homs  euacuatioiium  qualiaur 
dictorum  quartarum,  scilicet  3,  cl  4,  de,  ct  12,  erunt  hore  25;  d in  tantum  cusnia- 
liitur  hudis  illa. 

jdliter  de  hnte. 

Et  .si  proponatur,  quixi  a summo  huctis  ii.S(juc  ad  superius  foramen  sil  > totius  le- 
nimenti buctls:  ub  ijtto  foramine  usque  ad  secundum,  sit  J eiusdem  tcnimenli.  El  ab 
ijxso  usque  ad  tertium  sit  .Ab  ijxso  usque  ad  inferius  foramen  sil  residuum  loni- 
niriili  )>uctis;  d per  superius  fi»nimcn  euaciidur  buctls  iiS4jiie  ad  ipsum  in  1 die-  l*er 


I 


Digitized  by  Googie 


1A5 

seruadum  a])  i])M  siij>crion  usrpic  ad  ipsum  secundum  in  %.  Ver  tertium  a secundo 
ustjue  ad  i|>sum  tertium  in  3.  l*cr  inrerius  eiiacnelur  Imetis  a tertio  usque  ad  ipsum 
in  dies  4.  fuiiCf  iil  Imetis  teneat  l>anles  eo;  ((iiarc  usipie  ad  stijicnu.s  foramen  siiiit 
riles  20,  scilicet  tertium  de  eo.  Et  a secmidu  foramine  usque  ad  superius  sunt  luirilcs 
45  , scilicet  quartam  de  go.  Et  a tertio  UMpie  ad  secundum  sunt  luihles  42  , scilicet 
i(uintani  de  so.  (}uiinis  liarililms  ii  et  4Si  et  20  in  unum  coniunctiSf  reddunt  Imriles 
47  pro  teriimciito  Imetis  usque  ad  tertium  foramen:  a quilms  47  usque  in  6o  sunt  lia- 
rilcs  43  ab  inferiori  funiminc  us<|ue  ad  tertium  : deinde  |hiih*  diem  4 in  euaeuatiuiie 
bturlis  usque  nd  supenus  forainctii  iti  quo  posito  dic  per  priiniini  forninen  euacuantur 
iKiriies  20i  j>er  scrmiduni  | 7,  seiliect  | de  15;  j>cr  tertium  4,  scilicet  tertia  de  12;  per 
quartum  { 3,  scilicet  quartam  de  13  : ergo  per  quattuor  foramina  euacuantur  in  i die 
bariles  20,  ct  J 7»  et  4,  et  | 3«  lioc  est  in  siiiiima  liariles  34,  que  uellont  esse  30  , 
scilicet  tciiiiiienlum  sti|)erions  foraminis:  quare  muUijdicabis  diem  l fier  baiiles  20,  ct 
(Uuidos  per  | 34,  e\ibunt  ^ unius  diei  pro  eiiaciiatioiie  su|>crius  foraminis.  Item  pone 
unum  diem  in  euacuationc  barilium  45  secundi  foraminis , in  quo  per  secundum  eua- 
cuantur, ut  prediximus,  Ixirilcs  1 7;  jier  terliiiiu  4;  per  inferius  | 3,  Ime  csl  in  summa 
j 14,  que  uellent  esse  13  : <|uarc  imiUiplicabis  4 per  is  , ct  diuides  per  | 14 , exibit 
dies  ~ I jiro  euacuationc  baniiiiiii  I5.  Uursum  pone  unum  diem  in  euacuationc  l»aniium 
12  tertii  foraminis,  iii  quo  die  |>er  ipsum  foramcti  euacuantur  Ixirilcs  4;  {>er  inferius  } 3, 
lioc  est  per  utrumipie  { 7,  qui  uclletit  esse  12  : quare  multiplica  1 per  12,  et  diiiulc 
JKT  J 7 , exibit  dies  ^ l j»ro  euacuationc  tertii  foraminis.  !‘er  inferius  uero  foramen 
euacuatur  residuum  in  dies  4,  ut  pro|>osUum  est.  Quare  addes  dies  4,  ct  ^1,  et  ^ 1, 
ct  et  baliebis  dies  7,  ct  boras  2 pm  euacuationc  totius  buctis. 

MiMius  alins  de  bucte. 

Et  si  per  unitmquodcpic  funimcn  usipie  ad  ipsum,  totam  imetem  cuacuai*e  pmiHV 
natur  111  prepositis  diclms,  poties  similiter,  ut  buctis  tcueat  bariles  60:  quare  ]>er  primum 
euacuantur  Kiriles  io  in  uno  dio.  Ter  stxiiiidum  20  ct  15,  scilicel  35  in  duobus  diebus. 
Per  tertium  20,  ct  15,  et  12,  .scilicet  47  in  diebus  3.  Per  inferias  euacuantur  bariles  go, 
scilicet  tota  buctis  in  diebus  4.  Quare  pones  in  euacuatkme  barilium  2u  superioris  fo- 
raminis diem  1.  In  quo  t»er  primum  euacuantur  liariles  20;  per  secundum  ^ 17,  scilicet 
dimidium  de  3s;  Per  tertium  f iS,  scilicel  | dc  47.  Per  inferius  15,  scilicet  quartam 
de  60;  ct  sic  sunt  ia  sumina  liarilcs  { 6S,  qui  ucllcut  e.sse  20:  <(Uarc  multiplica  i per  20, 
ct  diuide  per  > cs,  exibunt  |||  unius  dici.  Item  pro  euacuationc  Imriliuui  15  secundi  fo- 
raminis pone  diem  i,  in  quo  per  secundum  euacuantur  bariles  ~ 17;  per  tertium  { 15; 
|>er  quartum  15,  hoc  est  in  summa  bariles  | 4S,  qui  ucllcnt  cs.se  15:  quare  multipli- 
cabis I per  15,  ct  diuide  per  \ 48,  exibunt  unius  diei.  Rui-stim  pro  cuncuatione  iia- 
riliuin  12  tertii  furaniiiiis  poiic  1 diem,  iii  quo  per  ijxsuin  euacuantur  bariles  1 15;  {icr 
ultimum  15,  boc  est  per  utrumque  | 30,  qui  uellcnt  esse  12  : quare  multiplica  1 |>or 
12  , et  diuide  per  | 30  , exibunt  ^ unius  diei.  Item  pone  in  euacuationc  bariles  13 
inferioris  foraminis  diem  I,  in  quo  euacuantur  liarilcs  is,  qui  uellcnt  osse  13:  quare 
multiplica  i per  13,  et  diuide  |>cr  15,  exibunt  ||  unius  dici;  quibus  iunctls  cum  j-, 
et  cum  reddunt  pro  summa  diem  1,  ct  boras  *-j*  }y “i to  pro  euacuationc  to- 
tius buctis. 

24 


« i.n»  tniiiiMwl.i  ....  tir  Irnela  * 
(t»t.  IN  rrria,  liii. 

]M«.  185.  IU.  1-24). 


CviciutM  M|vricirU 

4irt 

«B 

131» 


I E r •«  (-■r  -•••  loti»,  bnrh,  • 
<f<a.  78  lU.  2.V3H; 

fMX.  185.  IU.  25-431. 


EiMCOBti»  |ihm 
»»• 

4*9 


31« 

Tcslii 


I ta  »•  tg  i44_^ 
S Tt  17  3«  4*« 


Digilized  by  Coogie 


Irem  biiclls  liabciis  iiiferiu.s  formniria  lo,  que  per  primum  etiacualur  in  i die; 
M per  scriindum  in  | unius  diei.  | Per  tcrLiiim  in  per  quartum  in  et  sic  deincep 

M.  4..in:u.ju«  . per  ordinem,  usniie  ninxl  i>er  deriimim  foramen  euaciialur  Imctis  in  A unius  dici,  fhje- 

M u.  «-S;  P*R.  ^ * ...  ...  , . ® 

ntur:  si  loraniina  insimul  aperta  luerint,  in  quanta  qici  parte  huctis  tola  ent  cuacuata. 
Pono,  til  buctis  cuacuetur  in  una  die,  in  quo  per  primum  foramen  euacuatur  buclis 
semel;  per  secundum  bis,  cum  in  dimidio  diei  cuacuetur  ipsa:  quare  per  tertium  eoa- 
cuatur  Icr;  per  quartum  quater;  per  quintum  quinquie.s,  hoc  est  bucle.s  5;  per  sertum 
euacuantur  burtes  6;  per  septimum  7;  per  octaiium  8;  per  nonum  d;  per  deciimiro  H: 
ergo  in  dic  i per  omnia  foimmiria  euacuantur  tot  bucte.s,  quot  sunt  in  collectione  uu- 
mcroniin,  qui  sunt  ah  1 us4]ue  in  10,  .<u'ilicct  33  : quare  dices:  pn>  die  {,  qui  pano, 
euacuantur  buctes  85;  quid  ponam,  ut  eiiacuctur  buctis  { : multiplica  1 per  t,  et  di- 
tiidc  per  SS,  exibit  unius  diri  pro  euacuationc  totius  buctis. 

Pe  (juattwr  hominibitx  nmtem  locantibus. 

Ovattuor  Imniincs  iiaulcgiaucruiit  tiaucni  ad  lioneraudiim  dc  frumenlu;  et  unusquis- 
que eorum  quartani  lioncraiiit  : et  primu.s  erat  daturus  domino  nauis  pro  naulo --soi 
friinicnti;  secundus  tertius  [;  Ouartus  J;  a quibus  habuit  dominus  nauis  pro  eorum 
naulo  nuxlia  lOOO:  quare  quantitas  totius  carici  nauis  : pone  ut  caiicum  V*  partis  totius 
tiauis  , .scilicet  portio  uniusr  uiusfjuc  , sil  modia  co ; quare  caricum  totius  nauLs  erit 
mmlia  840.  Kt  quia  primus  dedit  j sui  carici;  et  secundus  J;  tertius  quartui;, 

accijie  { | | ~ dc  60,  erunt  modia  37,  que  uellcnl  esse  1000.  Quare  dices : pro  modiis 
S40,  que  pono  in  caiico  lotius  nauis,  iieiiiunt  jSauclerio  modia  57;  quid  ponam,  ut  ue- 
niaiit  ei  nuxliu  1000:  multiplica  sto  |)Cr  1000,  cl  diuidc  per  57,  exibunt  modia 
pro  carico  totius  iniuis. 

Pe  eof/em. 

Kt  si  proponatur,  quufl  dato  naulo  domino  nauis,  rcmansi.sset  ei  modia  1000.  Extrabr^ 
37  dc  840,  remanent  ci  modia  183,  que  uellent  es.se  1000:  quare  multiplica  I4i)  per  lOMi 
et  diuidc  per  i83,  exibunt  modia  ~ tsn  pm  carico  tutius  nauis. 

Pe  homine  {'etento  in  obsequio. 

Qvidarn  retinuit  quondam  liominein  in  oksequium.  Cui  erat  daturus  in  mense  nu- 
meros tres,  quorum  .secundus  eitit  ilenarii.s  2 maior  primo;  et  terliu.s  dcnarii.s  8 maior 
sccuiidu,  hoc  est  denariis  4 maior  primo.  ICl  instiper  erat  ci  daturus  ilcnarios  10.  Con- 
tingit autem,  quml  i|LS0  lahorauit  dies  6,  pro  quthus  dominus  operis  dedit  ci  medietatem 
primi  numeri.  Kt  tertiam  .secundi.  Et  quartum  tertii  numeri;  et  fuit  |>ersolutus  secuodam 
quod  ci  contingit  pro  hoc,  quod  luboraueiTit.  Queritur  qui  fuerunt  numeri  illi-  Quia 
dies  6,  in  quibus  laborauit,  sunt  quinta  mcn.sis;  scilicet  ex  diebus  30  debuit  ipse  p» 
.suo  labore  recipere  5 omnium  trium  numerorum  dictorum;  cl  dc  denariis  lo,  pro  qua 
J dedit  eius  dominu.s  medietatem  primi  luinieri.  Et  tertiam  secundi.  Kt  quartam  tertii.  Et 
manifestum  est,  quod  si  de  secundo  numero  extrahantur  2,  ct  de  tertio  4,  ulerquc  eo- 
rum erunt  equales  primo  iiumeru.  Vnde  extractis  2 dc  .secundo  , ct  4 de  tertio ; si 
acce])crirous  medietatem  primi,  ct  tertiam  secundi,  cl  (piartam  tertii;  ideo  accepiintb 
J I 5 tantum  dc  primo  iiumcro  : ergo  ut  accipiamus  | dc  denariis  2,  in  quibus  se- 
cundus excedit  jirimum;  cl  J dc  4,  in  quibus  tertius  excedit  priiiiuin,  eniut  * 1 : eq?’ 
dedit  ei  dominus  { \ \ primi  numeri,  cl  insuper  denarium  | i;  et  fuit  tamquam  si 


« 4 .tml*.  ....  ni>Nli4  > 

iM.  7S  frf,».  Im.  U-IVi 
1S6.  1.11.  i6-27i. 


C4rku«i  natm 

« 4J1« 

Cjfitiun  tiaU4,  1 

It'’"  j 

r.«mi4(i«r  Siirli. 


Digitized  by  Googie 


IM 

(lUset  ci  ~ omitium  litum  ntimeroruni,  ct  dc  ir>:  iiam  cxtmelis  ilcrum  s dc  smiiidu 
iiumeroy  cl  4 dc  tcrlio;  ct  accepto  { piiiiii  luinicn,  et  secundi,  et  tertii^  tantum  est 

quantum  .si  acceperimus  tantum  ' dc  primi  numeri  : deinde  remaiiett  ut  uccipiiitur  \ 

de  denariis  i prcscriptls»  qui  extracti  fuerunt  dc  secundo  numero;  ct  dc  4,  qui  extracti 

fuerunt  de  tertio;  et  dc  lo,  hoc  est  de  liSf  erunt  \ 3 : ergo  operarius  erat  receptunis 

5 primi  iiumeii,  ct  insuper  denarios  \ 3;  pro  quibus  recepit  y J j eiusilem  primi  nu- 
meri, et  iiisuiKT  denarium  | i : quare  extralias  | i de  { 3,  remanent  ^ l:  ergo  J J J 
ipsius  numeri  primi  sunt  plus  i dc  J eitisdcm  numeri.  Yude  inuciiicndiim  est  im- 
lucrus,  cuius  J extractis  dc  | ^ eiusdem  numeri,  remaneat  ^ i.  Pone,  ut  mmicius 

ille  sit  GO,  cuius  \ acceptis,  (jiie  sunt  3s;  et  extractis  dc  J [ J dc  co,  scilicet  de  os,  re- 
manent w,  que  uellenl  esse  ^ t : multiplicabis  itaque  | 60  per  i,  cruiil  ti2;  que  di- 
uidc  per  ty,  exibunt  3 pro  quautitate  primi  iiumcri:  qiiilms  additis  3,  habebis  ~ i 
pro  secundo  numero;  quibus  ilcrum  additis  s,  habebis  ~ 7 pro  tertio  numero. 

De  rmmero  ciU  su/ter  arUifur  j ~ et  rs,  et  a quo  ejctrahitur  J | n, 

€t  mi  renmnet. 

£st  numerus,  sujwr  quem  si  addideris  J J et  is;  et  dc  collecta  qiianlitatc  alwtuleris 
i J ct  13,  iiichil  Immanebit.  Queritur  quid  sit  iiiimcriis  ille  ; primum  querendum  est, 
quis  sit  iiimuMUS,  dc  quo  si  extraxeris  J ^ ct  u,  nicliil  remaneat.  Pro  quo  pone  30,  dc 
quibus  extrahe  J scilicet  17,  rcmancot  13.  Que  cum  uelint  cvsc  is  ; MultipUai  li 
per  30,  erunt  36o;  que  diiiide  jier  13,  cxihunl  ^ 37:  pro  quihus  iterum  dices  : est  mi- 
lucrus,  su|»er  quem  .si  addideris  y y cl  13,  facient  ^ 37:  quare  extrahe  is  de  ~ 87,  re- 
manchunt  y,  IS  : deinde  pone,  ul  ipse  numerus  sit  12,  su|>er  quem  adde  yj  ijisius, 
erunt  19;  que  cura  uellenl  esse  ^ is,  Mulliplicahls  itaque  is  per  is,  et  diuides  per 
19,  exibunt  ® mimcnis  ille.  Verbi  gratia:  Accipe  \\  dc  9; 

tpias  sic  accijMrrc  eas  demonstramus:  uideliret  ul  muUipIii*cs  o per  I9,  cl  adde  17;  que 
j)cr  13,  ct  adde  4,  erunt  244»;  super  que  adde  - y i]isoruiu,  que  sunt  142»,  erunt  3870; 
que  diuide  j>cr  —.  Kt  ideo  primus  jkt  19,  quam  j>cr  13;  quia  387«  inlegralitcr  di- 
uidaiitiir  jx?r  19,  exibunt  ^ is  ; super  que  adde  |2,  emnt  37  ; de  quibas  extrahe 

J |,  que  suiil  ^ 15,  remanent  12;  que  non  abieccris,  nicliil  remaiiebil,  ul  prc|»ositum  est. 

De  numero  cui  super  additur  J y ef  50. 

Irem  est  numerus,  super  quem  si  addideris  y |,  ct  denarios  «0;  et  de  collecta  summa 
extraxeris  ; y y»  et  denarios  50,  nicliil  remanebit : inueiiies  numerum,  de  quo  extracta 
y y y,  remaneant  00:  erit  numerus  ille  175;  dc  quibas  extrahe  oo,  remanent  fy  11«; 
pro  quihus  iiiuoiiiendus  est  numerus,  su|K'i  quem  si  addatur  y ',  faciant  yy  iis,  quem 
sic  imienies.  Pune  igitur,  ut  i]xsc  sit  «3;  dc  quihus  accipe  y,  que  sunt  37.  Kt  y,  que  est 
7,  erunt  34;  que  adde  cum  «3,  eriiiil  97,  que  iielleiit  esse  iis.  Viide  multiplicanda 
sunt  63  per  JJ  iis,  et  diuidenda  por  97,  exibunt  -ly-yV**®  pn>  qii«»ili  numeri  quantitate. 

Item  itita  cum  simi/ts. 

Irem  e.st  numems,  super  quem  si  addideris  y 7 y ijisius  numeri,  et  insujier  alios 
duos  numerus  equales  quoscumque  uulucris,  et  | y unias  ipsorum  iiumcniriim;  et  dc 
collecta  quantitate  extraxeris  1 * , ct  tres  numeros  tales,  quales  fuerint  i]>si  duo, 
quos  primum  itinxcrls,  cl  y y unius  ijisorum  numerorum,  nicliil  remanebit:  primum  qui- 
dem irmctiicitdi  sunt,  qui  sunt  uumeri  illi,  qui  debent  addi  in  jirincipiu,  et  extrahi  in 


• 1 ....  ^ Mr#,  ,li.  • 

<rol.7!i  vtfMo.  Im.SMS  wZ9: 

U7, 

in.  10). 


h ’ 

4r>'UfldiM 

-s 

r»  ® 
T.-rliu, 


r.<i. 


?t'  rrr/-, 


i|urmi4«tB*  ni  ....  stUr  y ; * 
fM.  79  Iin.  4-S  i i-v 

1H7.  17-tlj. 


Simrrut 


» ~ 115  ....  !»*•►»• 

cua)'»!*  • (ftil.79  rrrf*.  Ii*.  17 
clS-Xli  iMf.  187.4«.  SMO; 


Digitized  by  Googie 


•ini»  ««Irjilia  ....  kK  nifMH  * 

79  liB.  9H'S1:  ]Mg. 
it».  Ii>.  S.9.'. 


m«>e  * — ariioriim  • 
M.  TsArfik.  I.I.,  37*97.  fu- 
13».  liti.  IM»  . 


f.*f 


79 


• «•fi'  t«l»l<rat 

tr..|.  79  ••••rni,  lia.  4-K 
1*3.  U U t 93*31  >. 

fuNdu. 

12 

ropcrvltam 

0 


....  Mrlirnt  ««<■  • 
ii«l.  79  liD.  9*lli  pag. 

IHS.  Ii«.  tl-31). 


p«*dtli  (U|'i>r 

36 


« rMligrrr  («illkr  * ifol. 

79  r*rt*.  Ii».  15*9ti  lug.  |H», 
Ii».  49  rn-  <39.  lin-  »1* 


finc;  ({Ults  sic  iituciiifs:  ui<icl>i.s  (jitis  sit  mimcru.s,  in  qtiu  rcpcriantur  { ;»  ct  > | : qui 
niinicru.s  est  4S;  cl  tot  pone  pro  numero  illo,  tt  quia  proponitur  in  finom,  quod  extra- 
ctis tribus  iitimcn.s  iiils,  et  ^ | unias  illorum  « multiplicabis  4S  per  3,  erunt  135;  super 
que  atltlc  \ I <lc  43,  scilicct  i4,  erunt  UO:  clcimle  iiiueuias  per  reculam  secundi  arlioTis, 
quU  sit  numerus,  de  quo  extractis  ^ | |»  remanent  140:  que  si  secundum  coii$idria* 
lionem  ipsias  arboris  regulam  inuenire  sciucri.s,  i{k.sum  c.ssc  ot9  iriuenies:  de  quiliofi 
extrahe  duplum  de  45,  et  insuper  } j de  4S,  hoc  est  114,  remanebunt  565:  pni  quibus; 
uidc  per  regulam  tertie  arboris,  qualis  est  iiuincnis,  su|H*r  quem  si  addideris  }||j 
et  fiant  ^ 165  ; eritqitc  numerus  ille  | * S4S  ; ct  sic  omnes  regula.s  huiusniudi 

operaberis. 

Questio  profxisita  a qttotiam  constantinopoiitano  magistro  ; y. 

Svmme  y | unius  numeri,  et  inde  extrahe  ~ y;  ct  quod  remanet  diiiide  in  duas  tales 
paries,  ut  multiplices  unam  partem  per  j ol  aliam  per  ~ y,  ct  liant  cquates.  Sic 
facies:  pone  numerum  talem,  quinl  ilc  y y ipsias  piKSsls  y y integraliter  e.\trahcrej  eritque 
iiumcnis  ille  si:  dc  quo  accipe  y y,  .scilicet  36;  ct  extrahe  inde  y y,  scilicct  le,  renu- 
nebunt  sq;  que  ojMirtct  diiiidere  in  duas  tales  partes,  qiioil  multiplicata  una  illaram 
I i*  faciat  tantum,  quantum  niullipHcata  alia  per  | Quare  ut  in  hac  politione 
regulam  arborum  immitetur,  punc  quod  una  partium  sit  is;  que  muUipUea  per  JJ, 
faciunt  17  : deinde  uideus  per  regulum  primi  arlHiris  qualis  est  iiumerus,  de  qno  iTsit 
y critr|ue  numerus  ille  | 26;  que  adde  cum  I8,  erunt  y 44,  | qui  tiutiieru.s  uellrt  esse 
so.  Multiplicabis  igitur  is  per  so,  et  diuides  }>cr  y 44,  exibunt  ~ s pro  quantitate  unius 
parti-s;  n qitilms  usque  in  so  desunt  ^ 11,  que  sunt  alia  pai-s. 

De  ctipfra  cuius  furu/us  est  tertia  pars  totius  cupjye.  Cupercritum  est  (piarUi. 

Qvendam  ruppa  est,  dc  qua  fundus  |M)iidorat  tertiam  totius  ciippe;  ciipcrclium  ucm 
|M>nderat  quartum;  residuum  uon>  |Hmderat  libra.s  is:  queritur  pondas  totius  cuppe: 
que  positio  .simili.s  est  arboris,  dc  quo  | y latet  sub  terra;  ct  su{>er  terram  est  palmi 
15.  Verbi  gralin  : cum  fundus  cuppe  sit  et  cii|>cidium  .sil  | lotius  cuppe.  Eigo  inter 
fundum,  et  cuperciitiin  sunt  yy  tutius  cup|>c.  Et  lioc  quod  remanet  ]>oiKlcrat  libre  15. 
Qimn*  cum  de  qiumtiUlc  lotius  cupjKJ  queratur  ; ponendum  est,  .secundum  ciusdrtn 
arborU  regulam,  ut  ijisa  |Mmderat  aliquem  numerum  talem,  uidclicct  ut  in  ijtso  repe- 
riantiir  minuta  positionis,  scilicet  y y;qui  numerus  erit  12.  Quare  |)oiie.ut  cupjia  piidemi 
libre  12;  qua  ratione,  fundiLs  cum  sil  terliaii;,  cuppa  {amderat  libre  4;  et  cii}H'rcUum,cam 
.sit  y, ponderat  libre  s.Krgo  inter  fimduni,  ct  cupeitdium  {miidcmt  libre  7:  a quibus  u.s<pe 
in  12  dc  sunt  libre  5 pro  ({uanlitatc  re.sidui  cuppe,  <)ue  uelleiit  c*sse  lilirc  IS:  que  mni 
non  sint.  Multiplicabis  12  per  15,  ct  diuidc.s  |>cr  5;  cl  sic  perueniunt  3C  pro  pondere 
totius  cupjw. 

Aliter  fle  cuppa. 

Nxm  si  dixeris,  quod  fundus  |M)ndorct  y taiUum  medii  ct  cuperclii.  Et  coperclium 
jKindercl  qiiaulum  modii,  ct  fundi;  medium  uero  ponderet  is:  c|unm  ptMiilioncm,.';i  ad  nv 
gulam  eiusdem  arboiis  redigere  nolueris,  sic  facies:  cum  fundus  pomlerct  y medii,  et  co- 
pcrclii.  Et  si  inter  coperclium,  et  medium  ponderat  3,  fundas  pomlerat  1;  ergo  fundus 
e.st  y totius  cuppe.  Eademque  ratione  cum  rojwrclium  est  y medii,  cl  fundi;  si  interme- 
dium, ct  fundum  iKXulcranl  4,  coperclium  ponderat  i : ergo  cojicrclivni  est  \ totius 


Digitized  by  Googie 


«89 

tuppc;  ct  ita  inter  fundum  et  ro{>ci'r)ium  sunt  totius  cuppe  : quare  inucnieudus 
est  numerus»  de  quo  reperiatur  > critque  so»  qui  exiit  ex  multiplicatione  de  4 in 
s : de  quibus  extrabes  j ~ t scilicet  0 , remanent  il.  Quare  multiplica  so  per  <5  , 
iMimt  300  ; que  ditiidc  per  u » exibunt  -*j  17  pro  pondere  totius  cuppe.  Verum  si 
unamquamque  ipsarum  partium  reperire  uolueiis»  cum  fundus  sil  J totius  cuppe»  sume 
j de  20,  quod  est  5;  que  multiplica  per  is,  erunt  75;  que  diuidc  per  ii,  exibunt 
pro  ])onderc  fundi  libre  e.  Item  cum  co]»erclium  sit  { totius  cuppe.  Accipe  | de  so, 
que  est  4;  que  inullijdica  per  t5,  cninl  60;  que  diuidc  jK‘r  fi,  exibunt  j>ro  pondere 
coporclii  libre  5. 

/tem  ile  cuppa. 

Irem  est  ctip|>a,  cuius  fundus  est  | \ ciq>erclii»  et  medii.  Coperclium  ucru  est  ^ J 
medii  et  fundi.  Medianus  cuppe  ponderat  libre  o.  Queritur  j^Kimlu.s  fundi,  et  cn|>crclii; 
<{uiu  fundus  est  ^ ^ residui  : ergo  si  residuum  (amderat  libre  12,  et  fundus  ]>oiiderat 
libre  7 ; ergo  lota  cupj>a  ponderet  libre  19:  <juare  fundus  ponderat  ^ tutius  cuppe; 
projilcr  eamlem  rationem  coperclium  cum  sit  residui  J J,  erit  5|  tutius  cupj»e.  Vnde 
describe  in  ordinem  -J-j  jy;  ct  multiplicabis  7,  que  sunt  su|M;r  I9,  jver  4i,  erunt  287. 
Item  multiplicabis  ii,  que  sunt  super  4i,  |)cr  lo,  erunt  209;  que  adde  cum  SS7,  erunt 
406:  et  mullipllcabis  lO  per  41,  erunt  779;  de  quibus  exlrabe  496,  remanent  2H3:  mul- 
tiplica 779  per  6,  eiunt  4674;  quc  diuidc  per  2M,  exibunt  — 16  pro  quantitate  pon- 
deris totius  cuppe:  et  .si  mulliplicaueris  2«7  per  6,  ct  diulscris  per  2H3,  reperies  & 
pro  quantitate  fundi.  Iterum  si  muUipUcaucris  200  per  6,  et  diuiseris  per  283,  reperies 
libras  ^ 4 pro  pondere  coperdii. 

Oc  iiiT''  hominibus  denarios  habentibus. 

Qvattuor  homines  liabcnl  denarios.  Denarii  nutem  primi  erant  J | denariorum  alio- 
rum trium:  denarii  autem  secundi  erant  | • aliorum  trium;  tertii  autem  erant  alio- 
rum trium.  Denarii  nutem  quarti  erant  27.  Queritur  quot  denarias  unu.s<[uis4^|ue  reli- 
([uorum  habebat:  bec  questio  eandem  retinent  irgulam  cup{>e  sic:  quod  cum  denarii 
primi  liomiuU  sint  j | denariorum  reliquorum  trium  hominum;  ergo  lialict  i|isc  to- 
tius summe  eorum  quattuor.  i’roptcr  e<idem  ct  secundus  lnil>ct  \\  eiusdem  summe. 
Et  cum  tertius  hal>cat  ^ | reliquorum:  | ergo  si  ipsi  tres  bubent  denarios  56,  et  ipse 
habet  2 7 illorum,  buc  est  15  ; ergo  inter  omnes  habent  denarios  71;  de  quibus  ipse 
lialict  fj  : ci^o  assimilatur  licc  questio  arboris,  ucl  numero;  de  quo,  extractis  77  {7 
remanent  27:  quod  sic  facias:  multiplica  7,  que  sunt  super  19,  {K^r  41;  que  ]>er  7l  , 
erunt  20377,  que  j>onc  super  Iterum  multiplica  11,  que  suiil  super  4i,  per  71;  que 
per  19,  erunt  14839,  quo  pone  super  77.  Rursus  multiplica  15,  que  sunt  super  71,  |>er 
4i;  que  per  19,  emnt  iiess,  que  pone  sujicr  77  : adde  itaque  20377  cum  14839,  ct  cum 
11685,  cnint  46901;  que  extrahe  ex  mullipliratioric  de  I9  in  4i , ct  in  71,  scilicet  de 
55309,  ronianebunl  8I08;  quiluis  reperies  regulam  que  est  5-7777.  Et  inulliplica  20377  per 
27,  erunt  550179;  que  diuidc  per  \ Et  multiplica  20377  per  27,  erunt  550179;  que  di- 
uidc per  { exibunt  denarii  -j- es;  ct  tot  habuit  primus  liotno.  Item  multiplica 
14839  jK*r  27,  erunt  4006.13;  que  diuide  per  7-7-, yj,  exibunt  deuarii  7-^  47;  et  lot  habuit 
secundus.  Item  multiplica  11685  j»cr  97,  erunt  315493;  que  diuide  per  77777»  exibunt  de- 
narii l \\  37;  et  tot  habuit  tertius. 


(■•liii.  ....  A.fkftittlmt  > 
,r»l.  79  lin.  S9*3I.  rou. 

IS9.  li«.  tS-S3). 


r»l-  99  mt¥ 


« 21  ....  • 
80  rtita  , Ii».  2 • 2*9i 
!>•«•  199.  U».  1542^ 


frilDM 


*»T 
« toli 


65 


» 


47 


Tertis* 


«11  . 
10)1  * 


Digilized  by  Coogle 


|«niiunlut  ••••  ■'■•tiBi  S (<er  a 
|(vl.  *'i  rrrip.  Un-  I a-2*;  IMjj. 
IVO,  li».  9 « II)  19  « XiiJ 


1 


lialMkil  li.  i.  «tn«  » iM. 

liO  rra-f»,  lia.  SI  ; )VU, 
Um.  K • IC-I7>. 


f J b 


IDO 

De  diiohux  hofiwulfus  qui  Ualwnt  dcnnriosy  ex  quibus  unus  petit  alteri  aliquam 
quantitatem  et  pnqH)nit  excedere  eum  in  aliqua  profmrtionc . 

Dro  hoiiitncs  denarios  hahcnt,  (luumiu  uiuis  di\it  ailcn  : Si  dares  mihi  unum  cx 
tuis  dcnanU,  essem  tibi  equalls.  Alter  Respondit  t ct  si  tu  dares  mihi  timim  ei  tuis 
denariis,  haberem  deeies  tantum,  quam  tu.  t^tucriliir,  quot  uiuisquis<|uc  hal>cliat.  Quod, 
ut  ad  reculam  arboris  redi<:;atur,  sic  uidendiim  est:  quia  primus  , habito  numero  ex 
denariis  alterius,  proponit  sc  ei  vsac  equniem  ergo  medietatem  totiiLs  summe  dena- 
riorum arborum  eum  habere,  habito  ipso  l denario,  non  dubitatur.  Quare  describes  j. 
Item  quia  alter  habito  i ct  denariis  primi,  deeies  tuntum  quam  ipse  se  habere  pn>- 
iiuntial  : ei^o  si  ipse  tunc  habuit  10,  ct  primus  habuit  i : ci^o  inter  ambos  habent 
11;  ex  quibus  cum  secundus  habeat  lO,  iiimiruiii  dc  tuta  summa  utriusc{uc  ipsum  ha- 
bere \\  aninnalur.  Ergo  unus  habet  { lotiu.s  summe,  ct  alter  [J,  habito  uidelicet  que- 
sito  denario.  Quare  dices:  est  arimr,  cuius  et  ~ sujveral  longitudinem  arboris  plrai 
s,  uidelicet  illis  , (juus  i|>si  aditiuiconi  queruiit.  Secundum  illitts  arboiis  regulam  op- 
|)ortet  imiUiplicarc  i,  quod  est  su|>er  2,  per  ii,  erunt  ii;  et  lo,  que  sunt  super  if,  peri, 
erunt  2D:  que  adde  cum  ii,  erunt  3i;  cl  2 {>cr  ii*  faciunt  22;  que  extrahe  de  3i,  re- 
manet Oy  que  uellciit  e.<^ent  2:  quare  multiplica  2,  scilicet  iunclioiieni  utriusque 
denarii,  pi*r  n,  erunt  it;  que  diuidc  per  9,  exibunt  ^ t;  ct  tot  habuit  primus,  accepto 
denario  ab  altero  homine.  Ergo  primas  habet  denarium  \ i.  itenini  multiplica  eadem 
2 per  2D,  erunt  4o;  que  diuidc  |)cr  9,  exibunt  dcuaiii  ^4;  ct  tot  habuit  alter,  habito 
denario  ab  alio  : ergo  habuit  i[)sc  denarius  | 3. 

De  eadem  re. 

.Aliter  secundum  (juoriimdum  iiiuentioiicra.  Cum  secundus,  liabilo  i ex  denariis  primi, 
preponit  sc  liabcrc  decies  lautum  primo  ; extrahe  i de  lo,  remanent  9 : unus  habet 
J I , ct  alter  J 3 : ct  si  diccrcs,  quixl  ipse  haberet  duotlecics  tantum  primi.  Similiter 
extrahes  i dc  12,  rematieiit  li  ; ct  sic  unus  habet  1 , et  alter  ^ 3.  El  sic  posse*- 
facere  dc  qualibet  simili  intcrn^aliunc. 

Questiu  de  eadem  re  nobis  apud  constantinofyoli  a quoilam  magistro  proposita. 

Irem  si  pro|M>iialur  , quod  unus  illorum  petat  alteri  denarios  7 ; ct  habeat  quin- 
cuplum cius.  Et  secundus  jK*tal  primo  .s  denarios;  ct  habeat  septuplum  eius.  Vt  so- 
lutio huius  questionis  redigatur  ad  r<‘^ulaiii  secunde  arboris,  etiam  ct  ad  oculum  cla- 
rius uidcalur;  sil  summa  denariorum  i|»sorum  linea  .a.  b.,  cx  qua  .a.  g.  sit  porlio  primi: 
f[uarc  .g.  b.  erit  |H>rtio  secundi:  ct  signetur  in  .g.  b.  punctus  sitque  .g.  ct 
in  .a.  g.  signetur  punctus  .e.;  sitque  .e.  g.  5.  El  quoniam  primus  |»etit  secundo  scplew, 
scilicet  numerum  .g.  d,\  et  jiorlio  eius  est  numerus  ,a.  gr,  si  addantur  ei  ij)sa  7,  Iw- 
bebit  numerum  ,a.  d.,  qui  proponitur  esse  quincuplum  residui  limariorum  secundi  1m> 
minis,  scilicet  cx  numero  ,d.  b.  : ergo  si  numerus  .a.  d,  diuidalur  in  quinque  partes 
equales,  erit  unaqueque  pars  equulis  mmicru  .d.  b,  : quare  .d.  b.  csl  sexta  pars  totius 
iiumcri  .a,  b.,  scilicet  de  summa  denariorum  utriusque  hominis.  Rursus  si  super  dena- 
rios I secundi  hominis,  scilicet  $uj[>cr  numerum  .b.  g.  addantur  denarii  5 de  denariis 
primi  hominis,  scilicet  numerus  .g.  e.,  habebit  i|»se  secundus  bumo  numerum  .b.  C-;  el 
primo  remanebit  tiumorus  .e.  a.  El  quia  secundus,  habilis  5 dc  denariis  primi,  habet 
Ncpluplvm  cius,  erit  numerus  .b.  e.  septuplum  numeri  .e.  a.:  quare  x.a.  est  j lotius 


Digitized  by  Google 


<01 

miniori  .a.  Ikx  a*iU'iiSiKs  eliam  cl  niinieius  ,b.  d.  y numeri  .a.  h.  : ergo  numeri 
.b.  d.y  et  .e.  a.  sunt  J J totius  numeri  .rt.6.:i|uarc  si  cic  numero  .n.  6.  auferantur 
jyi|ksiusy  scilicet  numeri  .b.  d.  et  .e.  a,,  remanelut  numerus  ,c,  d.,  <|ui  est  <Jj  cum 
.e.  g.  sit  s,  et  .g.  d.  sit  7:  et  quare,  seeuinlum  regulam  ijisius  arlmris,  ]K>nc  pro  nu- 
mero .a.  fl,  quorum  scilicet  4.  erit  pro  numero  M,  </.:  cuius  eliam  J,  scilicet  3, 
erit  pni  numoni  .e.  a.:  quare  si  dc  iitimcru  |Kisito  per  /i.,  scilicet  <le  S4,  aufeninttir 
numeri  Insiti  pru  numeris  .6.  i/.  et  ,e.  a.,  scilicet  4 et  3,  remanebunt  <7  pro  tniinem 
.e.  d.  qui  est  <2:  quare  est  sicut  <7  ad  uL  c.,  scilicet  ad  13,  ita  24  ad  numerum  .a.  b,^ 
et  ita  4 ad  niimenun  .b.d.j  et  3 ad  nninenim  .e.a.i  quare  si  mnlliplicaiicrinuis  2t 
|>er  12,  et  diuiseriimis  per  <7,  habehimus  numcnim  h,x  similiter  si  inultipliratii- 
mus  4 per  <2,  ct  diiiiserimus  per  <7,  iienicnt  2 pro  numero  .b.  d.  : quihus  additis 
7,  S('Lliccl  .d.  g.t  erit  .b.  g.y  scilicet  denarii  secundi  liomiiiU  [-  9.  Item  diulsa  miilli- 
plicatioiie  de  <2  in  3 per  I7,  uenitint  ~2  pro  numero  .<i.  e.:  quihus  additis  5,  scilicet 
.e.  g.f  reddunt  pro  numero  .a.  g.  ^ 7;  ct  tot  liabuil  primius. 

/A*  eodem  secandum  regulam  rectam. 

I.s  soluendis  itaque  questionibus  est  regula  qiiedam,  que  recta  dicitur,  qua  aralias 
utuntur;  et  est  illius  regule  mmlus  ualdc  laiidaliilis,  cum  per  ipsam  iiilinite  questiones 
solui  ualeaat:  quam  regulam,  si  in  hac  questione  imitari  uis  , |Mjne  secundum  hominem 
habere  rem,  et  denarios  7,  quas  petit  ei  primus:  et  intelligc  pn>  re  summam  aliquam 
ignotam,  quam  iniieiiire  uis:  el  quia  primus  habet  quincuplum  cius,  habitis  ipsis  de- 
nariis 7,  .sequitur  itciTSsario,  illum  hal>ere  f^uinque  res  minus  denariis  7:  quia  cum  ipse 
Imbuerit  7 dc  denariis  secundi,  tunc  habebit  qulii(|uc  res  integras;  ct  secundo  rema- 
nebit res  una;  ct  sic  primus  habebit  quincuplum  cius:  quare  si  dc  |H)rlione  primi  lio- 
minis  addantur  5 secundo,  que  petit  ei;  et  habebit  utique  secundus  rem,  et  denarios 
<2;  cl  primo  remanebunt  quinque  res  minus  denariis  12:  et  sic  .secundas  haliel  .septu- 
plum primi,  hoc  est  quod  miu  res,  ct  denarii  <2  sunt  septuplum  quinque  rerum,  et 
de  denariis  12:  quare  multiplicatis  quinque  rebus  minus  denariis  I2  per  7,  uenient  3S 
res  minus  .soldis  7,  que  cquantur  uni  rei,  ct  .soldo  uno:  quare  si  utraque  parti  addantur 
.soldi  7 , erunt  triginta  quinque  res  equales  dc  rc  una  , ct  soldi  h ; quia  si  su|>cr 
equalia  cqualia  addantur,  lota  erunt  Cf|ualia.  Rursus  cum  dc  equaiibiis  equalia  dem- 
pseris, que  remanebunt  equalia  erunt:  si  dc  su]\rascriplis  duarum  partium  tollatur  res 
una,  remanebunt  34  res  c<|uales  de  soldis  8:  quare  si  diuiscris  soldos  8 per  34,  habebis 
^ 2 pro  .summa  uiiiu.sciiiu.s<|uc  rei  : ergo  secundas  babcl  ||  9,  cum  habeat  rem,  et  de- 
narios 7.  Similiter  si  de  quinque  rebus,  si^iliccl  ex  multiplicatione  dc  |y  2 in  5,  au- 
ferantur denarii  7,  remanebunt  denarii  ^7  pro  denariis  secundi  hominis,  ut  su]>crias 
inueiiimus:  per  hunc  tertium  noxium  |H>tcs  .soluere  omnes  sequentes  duorum  bomirmin 
questiones. 

De  eadem  re. 

Irem  si  pro|>onatur,  quod  unas  petat  alteri  6 ; cl  dicat  se  habere  quinquies  tan- 
tum el  quartam,  quam  alter,  cl  alius  |ietat  primo  denarias  4,  ct  habeat  septies  tantum  , 
et  duas  tertias  quum  primus:  quia  primus  pre^ionit  se  habere  quinquies  tantum , ct 
quartam  alterius  ; cr^o  si  ipse  habuerit  ~ 9,  et  alter  habuit  1 ; ergo  iiilcr  utrumque 
dant  y 6;  dc  quibus  habet  unam  partem  ipse  .secundus  habet  : fac  quartas  dc  | c , 


Digitized  by  Googie 


!»3 

muloris  suiniuc  , ct  amplius  clriinnos  ts:  hal>cnl  etiam  et  maiorem  sutimiamr  tjuate  \ * 
minoris  summe  runi  denariis  il  fariuiit  maiorem  summam;  et  ^ { niinoris  summe  cum 
denariis  il  fnciuiit  minorem  summam.  Vnde  extrariis  j { ininon.s  summe  de  eudem  * 
remanebunt  ti.  Quare  ponxs  ijisani  summam  esse  S4 ; de  qtii))us  extractis  '2  i reiiia- 
neiU  IT:  rjtie  cum  iiclint  esse  ii  , multiplicabis  de  st,  scilicet  3 per  it,  et  diuidrs 
per  <7,  exibunt  i pro  * minoris  sttrarne  ; quia  quam  partem  dc  24  multiplica  .S4*i* 

liccl  per  ii,  et  diuides  per  17,  talem  {lartem  minmls  summe  inuenies:  super  que  J*  i 
iunclis  denariis  s,  quos  primus  lial»et  pius  dicte  oetnue,  reddent  6 pro  denariis  primi, 
ut  superius  per  alium  re^ilam  iniieiiiiniis.  Similiter  nmltiplicaliis  3,  scilicet  | di*  S4 
{HT  n,  et  diuides  ])rr  17,  ct  super  addes  7 diuisioiii,  ct  habebis  9,  scilicet  denarios 

.secundi. 

/Je  eof/em. 

trem  aliter  inuentum  e.st  superius,  quml  primus  lialiet  | minoris  sumine,  minu.s  de- 
nariis 6;  ucl  J eiusdem  summe,  et  jilits  denariis  st  unde  | minoris  summo  unius  denarii 
6 sunt  quantum  J-  eiusdem  summe  cum  denariis  5.  Quare  .si  addantur  unicuique  |k>i- 
tioni  denarii  6,  erunt  { roinori.s  summe  quantum  | ciu.s<lem  summe  eum  denariis  ii: 
ergo  extracta  f dc  | minoris  summe,  remanent  ii  : pone.s  itaque,  ut  i[).sa  summa  .sil 
24;  de  cuius  scilicet  de  24,  extrahe  scilicet  3,  remanent  17:  que  cum  uelinl  esse 
II;  aut  imiltiplicabis  \ dc  24,  scilicet  20,  per  11,  et  diuides  per  17,  et  extrahes  0;  uel 
j de  24  multiplicabis  per  ll,  et  diuides  per  it,  ct  addes  S,  et  habebis  denarios  primi 
hominis.  Similiter  quia  secundus  habet  ~ minoris  .summe,  minus  denariis  4;  uel  denarios 
7,  plus4|uam  2 eiusdem  summe;  si  commiiter  utrique  portioni  addantur  4,  erunt  ^ mi- 
noris summe  denarii  11  plus  de  | eiusdem  .summe.  Quare  extracta  \ <le  \ iiiiiioiis 
.sumine,  | remanent  ii  : pone  similiter,  ut  i]isa  .summa  .sit  24;  dc  cuius  scilicet  de  •->  »1 
21,  extracta  J,  scilicet  4,  remanent  17:  que  cum  uclint  e&sc  11,  aut  multiplica  21  pn 
It,  ct  diuides  per  17,  ct  extrahes  inde  4,  que  secundus  halict  mimis;  aut  multiplicabis 
4,  scilicet  I dc  24  per  11,  et  diuides  per  I7,  et  .super  addt^  7,  ct  habebis  denarios 
secundi  hominis  : possunt  enim  ])or  ea  que  diximus  reperiri,  que  cx  similibus  qtie.slio- 
nibas  solubiles  sunt,  et  que  insolubiles  : secundum  prcdictas  mitltipiicilate.s  piH>»smil 
solui,  cum  unicuique  dictorum  hominum  equuliter  .suj>crauerit  super  suam  multiplici- 
tatem ab  uno  prcdicto  denario  asque  in  denarios  11  : ab  undecim  ucro  superius  i|i.sus 
insolubiles  esse  jirobabimus.  A cuius  exemplum  primus  petat  secundo  denarios  7,  ei 
habeat  12  plusquam  quinquiens  tantum  i|^.  Secundus  similiter  qiierat  primo  5,  ct  habeal 
septies  tantum  quam  primus,  ct  plus  denariis  12.  Vt  diximus  su|>criu.s:  denarii  nainqur 
omnes  ipsorum  iiocantur  maior  .summa.  Dundecim  ucro  minus  ea  uocabitur  minor; 
cum  12  super  liabimdet  unicui<|ue.  Ft  quoniam  primus,  habitis  7 a secundo,  habet 
quinquies  tantum  quam  ipse,  et  insuper  denarios  is,  neces.sariiim  est,  ipsum  primum 
habere  \ minoris  summe,  ct  denarios  12  pius;  cx  quibus  12  cum  7 fuit  ex  denariis  .se- 
cundi, remanet  portio  primi  hominis  dc  S plus  dc  | minoris  .summe.  Similiter  iniie- 
iiics  portionem  secundi  esse  denarios  7 plus  de  ^ tiiinoris  summe  : ergo  inter  utrmii- 
que  habent  ^ | mitioris  summe,  el  denarias  it;  habent  etiam  et  ipsi  similiter  dennruM 
12  plus  minoris  summe  : ergo  J | minuris  summe  cum  denariis  12  sunt  cpiantum  maiui 
summa:  et  quoniam  cum  de  cqtialibus  cqualia  tollantur,  que  remanent  eqiialia  siinl. 

25 


Digitized  by  Googie 


i 04 

si  al)  utniquc  portione  tollaitlur  \t  , rcraaiicfmnt  ^ ^ miiiuiis  summe  cquales  eidem 
minori  siminic,  quod  ost  inqmssihilc:  ucl  aliUT,  cum  secundus  dat  7 primo,  et  remanet 
ei  ; minuris  summo  ; ergo  |vjrtiu  eius  est  detiarii  7 plus  quam  ^ minoris  summe,  lii- 
ueiiimus  enim  superius,  {Hirliunem  ijvsius  esse  denarios  7 plus  de  \ iiiinuri.s  summe. 
Otiare  ^ minoris  summe  cum  denariis  7 est  quantum  | eiusdem  summe  cum  denariis  7: 
.sunt  enim  utrique  7 ctjuales  : immanet  ergo  { minoris  summe  e<|ualis  de  { eiiLsdem 
summe;  qtuMl  est  iterum  inpussihile.  In  porliuiic  uulciu  primi  hominis  iuuenies  ^ minoris 
summe  esse  etpiale  de  | eiusdem  summe;  quod  est  iiicoiiuenicns.  Similiter  multum  in- 
«'onuenientius  ostendentur,  noii  pos.se  sti|»erarc  alicui  ipsorum  ultra  denarias  ts. 

Mw/its  tertius  in  (fuesiione  duorum  hominum. 

Kvrstis  primus  qtierat  .secundo  ?,  et  haheut  l plus  quam  quinquies  ij^).  Secundus 
petat  primo  s,  et  liaheat  2 plus  quam  septies  i|>.so.  Iii  liac  questione  tres  summe  con- 
siderande .sunt.  Ouurum  maior  est  quantitas  umiilum  denariorum  ipsorum  duorum  ho- 
minum; media  est  i minus  ea.  Minor  qutHjuc  est  s,  minus  maiori  summe,  uel  i minus 
media.  Kt  quoniam  primus  cum  7 donariis  sctmndi  habet  quinquies  tantum  quam  se* 
culldu^,  et  1 plus  ipsum  ; primum  | mediane  summe  minus  denariis  e;  et  secundum 
liuinincm  { eiusdem  summe,  et  plus  denariis  7 Inthere  iicccsse  est.  Similiter  (juiu  se- 
cundus cum  5 denariis  primi  habet  septies  tantum  quam  primus,  et  2 plus  : extractis 
ijisis  2 de  maiori  summa,  remanet  mitior  .summa;  de  qua  secundus  cum  3 ex  denariis 
primi  haliet  .septies  tantum  quam  primus,  hoc  est  ^ minoris  summe,  mimis  denariis  3: 
(|uare  primus  habet  j eiusdem  nutioris  suiiitne,  et  iiisu{K!r  denarios  $ plus  ipsus,  uklelicet 
quas  dat  .secundo:  cpiibus  omnibus  |>€ractis,  possunt  redigi  portiones  utriusque  in  partes 
miiuscuiu.slibet  trium  dictarum  .summarum:  redigamu.s  ci^o  eas  primum  in  partes  mi- 
nuris Minime.  (,>uoniam  mediana  .summa  est  plus  i minori  | meiliatic  summe  , est  | 
unias  denarii  plus  de  | minoris  summe  : ergo  | minoris  .summe  cum  | unius  deiinrii 
esi  quantum  | mediane  summe;  et  primus  habet  | mediane  sumine  miniLs  denariis  c: 
ergo  halK*t  minoris  .summe,  mlnu.s  denariis  o,  et  plus  | unius  denarii.  Quare  extiurtis 
l unius  denarii  de  6,  remanent  | s : ergo  primus  habet  | minoiis  .summe  niimi.s  de- 
nariis ^3;  de  qua  scimndii.s  habet,  ut  inueiiluiii  est,  J minus  dcnarii.s  3:  quare  inter 
iitnim(|ue  habent  J | eiusdem  minoris  summe  minus  denariis  ^ s. 

ilAbent  etiam  et  ipsi  maiorem  summam,  scilicet  2 plus  minoris  summe.  Vnde  ma- 
nifestum est,  quod  j I minori-s  summe,  minus  denariis  | s,  .sunt  quunluin  minor  summa 
cum  denariis  2.  Quare  extractis  ijisls  2 de  utraque  porlioiic  , remanet  minor  summa 
c<|unlls  de  ^ I i|Miu.s,  iniiius  denariis  { to:  quare  inucnienda  est  .summa,  de  qua  ~ | su- 
j>er  habundent  { iO  i{xs:ini  .summam.  Pones  itaque,  ul  ipsa  summa  sit  24,  cuius  ^ J,| 
scilicet  41,  .su|)cr  babuiulaiit  17  ij^a  24:  que  17  cum  ueliiit  es.se  ^ lo.  Multiplicabis  ^ lo 
per  { de  24,  scilicet  per  2o,  et  diuides  per  I7,  exibunt  ii  pro  | minoris  .summe  : 
de  (juibus  extrahe  { 5,  quas  primus  habet,  mimis  de  J minoris  summe  , remanebunt 

8;  et  tantum  habet  primus.  Item  multiplica  | lo  jicr  | de  21,  scilicet  |)cr2l,  et  di- 
uides per  17;  et  de  exeunte  siimniu  extrahe  3,  que  secundus  habet,  minus  de  | minoiis 
sitninie,  exibunt  9. 

Itciu  si  uls  cos  redigere  in  portione  mediane  summe,  de  qua  primus  habet  | minu.s 
denariis  6;  et  secundus  cum  habeat  J minoris  .summe,  minus  denariis  3,  hubclnt  ex  me- 


Digilized  by  Coogie 


195 

Hiaiui  summa  \ miiius  dcnanis  3«  el  minus  J i]isias  ilonarii;  quia  est  inlcr  medianam  sum> 
imim  et  minorem:  quia  nim  minor  summa  sit  i,  minus  niediann  \ minoris,  sunt  ^ uiiius 
denarii  mimis  de  J mediane  : ergo  cum  primus  lml»cat  ~ mediane  summe  minus  6;  cl 
secundus  j eiusdem  minus  denariis  ^ 3,  inlcr  ulminque  iinl>elmnt  j \ eiusdem  mediane 
summe,  minus  deuariis  ^ o : et  quoniam  ipsi  habent  i plus  mediane  summe,  s<*ilicct 
maiorem  summam  ~ | mediane  summe,  minus  denariis  ~ g,  sunt  quantum  mediana  summa 
cum  denario  1:  quo  denario  extmeto  ex  utnique  portione  , remanet  mediana  summa 
equulis  de  ^ ipsius,  mitius  denariis  ^ lo.  (^hiarc  mulliplirandu  sunt  ^ lo  per  20,  et  di- 
uidenda  per  17;  ct  de  summa  extrahenda  6,  que  primus  habet,  mimis  dc  | mediane 
summe,  et  habebis  denarios  piimi  o.  Similiter  multiplicanda  sunt  ileiiim  | I0[»cr2i, 
et  diuidenda  per  IT,  et  extnibenda  ^ 3,  et  halicbis  denarios  g.  Rvrsum  alitor  rediges 
lienarios  eorum  in  portionem  maioris  sumine:  quia  primus  habet  | mediane  summe  , 
minus  denariis  6,  habebis  utique  * maioris  summe  minus  6 , et  minus  | de  ipso  de- 
nario, «pii  super  est  a mediana  summa  in  maiorem:  ergo  | maioris  summe  sunt  J imius 
denarii,  plus  de  | mediane  summe.  Ouarc  primtLs  babet  | maioris  summe,  minus  de- 
nariis | G.  Similiter  cum  secundus  habeat  | minoris  summe  minus  denariis  3,  ImliebU 
utique  dc  maiori  summa  ~ minus  denariis  3,  et  minus  ^ de  denariis  2;  iii  qnitms  maior 
summa  excedit  minorem:  iiam  ~ dc  2 est  ' t:  ergo  siTundus  liniret  j maioris  summe  minus 
denariis  3,  ct  | 1,  hoc  est  minus  | 4:  habet  enim  priroits,  ut  diximus,  | maioris  summe, 
minus  | 6:  ergo  inter  utrumque  liabent  1 1 maioris  summe,  minus  denariis  | 0,  et  ^ 4,  sci- 
licet minus  habent  enim  et  ipsi  maiorem  summam  tantum.  Quare  | ^ maioris  summe 
sunt  plus  de  i|^i  summa  —ii.  Multiplicabis  ei^o  {lerto,  et  per  2i,  et  diuid(‘S  ulram- 
que  multiplicatiuneni  per  17;  et  de  prima  diuisionc  extrahes  { c;  et  dc  secunda  extrahes 
J 4,  ct  habebis  denarios  ipsorum.  Pnocessimus  enim  superius  triplici  ter;  cum  \ f jiossumus 
iterum  tripliciter  cum  1 1 procedere  sic.  Inuentura  e.st  superius,  quod  primus  habet  > mi- 
noris summe,  et  plus  denarios  5;  et  secundus  habet  { mediane  summe,  ct  plus  7:  unde 
|>otes  redigere  secundum  boc  denarios  i|isorum  in  portione  ruiusliliet  dictarum  trium 
summarum;ct  nos  redigamus  eas  primum  in  portione  minoris  summe, de  qua  primus  habet 
ct  plus  denarias  S:  ct  quoniam  secundas  habet  J mediane  summe,  ct  plus  7,  habebit 
dc  minori  summa  similiter  ct  denarios  7,  et  insuper  ^ ex  ipso  denario,  qui  est  a 
minori  summa  a<u|uc  ad  medianam  : ergo  secundus  habet  denarios  ^ 7 plus  dc  ^ mi- 
noris summe.  Quare  inter  utruni({ue  lialierit  minoris  summe,  ct  denarios  {12:  que 
quantitas,  cum  sit  summa  eorum  tota,  scilicet  maior;  ct  i[tsa  maior  summa  sil  2 plus 
minori  summa;  ergo  J \ minoris  summe  cum  donariis  J 12,  sunt  quantum  mitior  summa 
cum  denariis  t.  Quare  extractis  2 ex  ulraquc  portione,  remanebunt  j | minoris  summe 
cum  denariis  J lo,  quantum  minor  summa.  Quare  extractis  j { de  mim»ri  summa,  re- 
manent j 10:  quam  si  jK^iierinms  esse  24,  et  extraxerimus  inde  J remanebunt  17;  que 
17  cum  uclint  esse  * 10,  Multiplicabis  J dc  24,  scilicet  3,  per  Jio,  et  diuides  per  17, 
exibit  pro  | minoris  sumine  1:  cum  quo  aditis  s,  quos  primus  liabel  [dus  de  ^ mi- 
noris summe,  erunt  6;  et  lut  sti{>ertu.s  inuenlum  est  habere  primum.  Kademcjue  ra- 
tione mulliplicabis  J dc  24,  scilicet  4,  per  J 10,  ol  diuides  per  17,  et  .super  addes  po- 
stea super  numerum,  qui  ex  diuisiom*  exierit,  J 7,  quo  ssocundus  habet,  plus  dc  | mi- 
noris summe;  et  haliebis  ~ 9 pro  denariis  secundi,  ut  supra,  j 


1% 

M aiileni  in  )H»rli«>iic  mediane  summe  denarios  i|>somm  reducere  sriiieris,  inuciiics 

primum  lial>erc  \ ciu.sdem  mediane  summe  , cl  plus  denariis  J 4 : secundum  qmM|ur 
eiusdem  summe  et  plus  denariis  7,  lioc  est,  inter  utrumqiie  habent  { g mediane  summe, 
et  denarios]-  it.  Kt  quoniam  inter  utrumqtie  habent  denarios  < plm  mediana  summa  , 
sirilicct  maiorem  summam  ; si  iitraque  portione  extrahatur  i,  rcmauehimt  ] | mediane 
summe  cum  denariis  j lo  equales  dc  mediana  summa  : operaberis  secundum  quod  in 
minori  summa  fecimus  , et  iiiucuies  denarios  ipsorum.  Similiter  potes  inucnire  denarios 
ipsorum,  si  reduxeris  ipsos  in  portione  maioris  summe;  dc  qua  primus  habet  ],  et  pias 
denariis  * 4;  secundus  et  plus  denarius  | 6.  Ucdactis  quo<|ue  denariis  ipsorum  iti  por> 
tione  alicuius  dictarum  trium  summarum  , possumus  quantitates  ipsorum  aliter  inuo- 
itire:  uidelket  quia  superius  inueiitum  est,  primum  habere  j- minoris  summe,  et  plus 
denariis  5;  uel  { eiusdem  summe,  minus  denariis  \ 5;  er^o  \ minoris  summe  cum  de- 
nariis 5 quantum  \ ciasdem  summe  minus  ] s.  Quare  si  comuniter  addiderimus  | 
erit  2 minoris  summe  cum  denariis  •-  to  quantum  | eiusdem  summe  : unde  si  dc  so, 
que  sunt  | do  24,  extraxeris  ~ eorum,  remanebunt  17.  Multiplicabis  ~ lo  per  3,  ct  di- 
uides  per  t7,  et  addes  s,  quos  primus  habet  plus  de  | minoris  summe.  Aut  multipli* 
cabis  ~ 10  |>cr  20,  ct  diuides  ]ier  17;  ct  extrahes  inde  {s,  quos  idem  primus  habet, 
minus  de  | eiusdem  summe;  et  sic  Imhehis  denarios  primi  hominis.  Similiter  si  secundum 
hoc  coiisideraueris  per  duas  jiortioncs,  quas  habet  primus  in  qualibet  reliquarum  duarum 
stimmuium,  poterit  denarios  primi  reperire:  quod  idem  intelligas  de  denariis  secundi. 
Et  nutandum,  quia  qucxlam  ex  similibus  questionibus  sunt  insolubiles:  ad  quarum  no- 
titiam habendam,  quedam  insolubilis  questio  proponatur. 

Modus  quartus  in  consimilibus  questionibus  duorum  hominum. 

Sint  iterum  duo  homines;  et  primus  petat  secundo  7;  el.  habeat  similiter  quinquies 
tantum  quam  ijise,  ct  unum  plus.  S<?cuudus  quoijuc  petat  S primo;  et  habeat  septies 
taulum  quam  ipse,  et  IS  plus.  In  hac  questione  maior  summa  est  quantitas  duorum 
ipsorum  mediana  i minus.  Minor  is  minas  eiusdem  maioris  summe:  et  quoniam  primas, 
habitis  7 ex  denariis  secundi,  habet  quinquies  tantum  quam  secundus,  et  i plus ; ne- 
cesse  est,  secundum  hominem  habere  ~ mediane  summe,  et  7 plus.  Similiter,  ut  sujira 
diximus,  primus  habet  | minoris  summe,  el  s plus.  Et  quoniam  secundus  hal>ct  ] me- 
diane sumine,  et  7 plus;  necesse  est,  ut  pro  { mediane  summe  habeat  ] minoris,  et 
iasuper  sextam  pariem  dc  denariis  14  , in  quibus  mediana  summa  excedit  minorem  : 
ergo  secundus  halict  j minoris  summe,  ct  sextam  partem  dc  u,  scilicet  {- 1,  et  7 plus: 
est  hoc  J-  9,  plus  dc  \ minoris  summe:  cx  qua  summa,  cum  primus  halieal  | et  5 plus; 
inter  utnimque  habebunt  ^ | minuris  summe,  ct  denariis  i4  : habent  etiam  ct  ipsi 
minorem  .summam,  et  denarius  is,  scilicet  maiorem  summam.  Si  cx  ulraque  portione 
extrahantur  denarii  \ 14,  remanebit  minor  summa  cum  \ unius  denarii  cqualLs  de  ~ ] 
ijxsius  summe;  quod  est  impossibile.  Similiter  si  reduxeris  jMirtiones  eorum  in  portione 
mediane  summe,  iiiuenies,  primum  hahere  | mediane  summe,  minus  octaua  parte  de 
denariis  14,  que  sunt  a minuri  summa  usque  ad  medianam,  el  plus  denariis  $:  cx  quibus 
s,  extracta  J de  14,  scilicet  J 1,  remanent  { 3 : ergo  primus  habet  J mediane  summe,  cl 
• 3 plus:  ergo  inter  utruinque  habent  denarius  ^ lO,  plus  dc  | g mediane  summe  : habent 
enim  ipsi  1 plus  mediane  summe,  scilicet  maiorem  summam:  quo  i extracto  ex  iitniqne 


Digitized  by  Coogie 


I»T 

}M>rtionCt  remanent  ^ J iiiotibuic  summe  cum  denariis  J s cqualos  ijxsiiis  mediane  suiunir. 
t,)uarc  supmdictis  dcmonstnitionilms,  ad  habendum  denarios  primi,  multiplicanda  est  {- 
dc  14,  scilicet  3 |»er  \ 9,  et  diuidenda  est  summa  multiplicationis  per  17;  ct  postea  super 
addendi  sunt  denarii  *•  3t  primus  habet  plus  de  | tiiediatie  summe;  et  hal)cbis  pro 
denariis  primi  4;  quod  est  incoauciiiens;  cum  sint  minus  de  S,  qu')S  petit  secuudtis  ipsi 
primo  homini:  hoc  itlem  inuenies,  si  reduxeris  portiones  eorum  in  portione  maioris  sumine. 
ftem  (le  duobus  hominibus  mmius  quintus. 

Irem  primus  {letat  secundo  7,  et  habeat  quinquies  tantum  quam  ijise,  et  t minus.  Se- 
cundus ))ctat  primo  s,ct  habeat  septies  tantum  quam  ijise,  ct  3 minus.  Ilee  autem  questio- 
nes in  infinitum  tendunt  solubiles;ct  siduuntur  Iiim!  orjdinerquautitas  denariorum  ipsunim  »4  r-.r« 

iiocatur  minor  sumimi;  uno  plus  uoeatur  mediana;  duo  plus  mediana,  scilicet  3 plus  mi- 
nori; que  3 deliciunt  secundo,  uoeatur  maior:  et  quoniam  primus,  habilis  7 ex  denariis 
secundi,  lial><‘t  i mimis  quam  quinquies  tantum  ijxso;  si  i()se  denarius  addatur  super  de- 
narius primi,  et  super  denarios  7,  quos  querit  secundo;  habebit  ipse  primus  { mediane 
summe.  (,)uarc  portio  primi  hominis  est  | mediane  summe  minus  denariis  7,  quas  dat  ei 
secundus;  ct  minus  denario  i,  qui  super  additur  ei,  scilicet  minus  denariis  s:  secundi  uero 
est  i eiusdem  mediane  .summe,  ct  plus  denariis  7 prodictis.  Similiter  inuenies  ex  petitione 
secundi,  primum  liabei-e  J maioris  summe,  ct  denarios  5,  quos  dat  secundo.  Et  secundum  - 
eiusdem  maioris  summe,  minus  ipsis  5,  et  minus  3,  qui  minuunt  ci  ad  habendum  septu- 
plum primi;  quibus  itaque  si  daretis,  |K)tos  reducere  portiones  ipsorum  in  portio- 
nibus cuiu.sli|jet  trium  dictarum  .smnmaruni;  ct  dciuce]»  in  i|)sis  tripliciter  operari,  se- 
cundum qiiiMl  superius  fecimu.s.  Sed  ut  hoc  liquidiu.s  ostendatur,  reducamus  cos  in  por- 
tione mediane  summe,  secundum  unum  modum  ex  tribus  modis:  habet  enim  secundus 
I mediane  summe,  et  plus  denariis  7:  primus  autem  liabct  ^ maioris  summe,  ct  denarios  s. 

Kt  quoniam  maior  summa  est  i plu.s  mediane  summe,  erit  g maioris  summe  * pars  dc 
denariis  s,  scilicet  ~ unius  denarii  plus  dc  mediane  summo.  Quare  | mediane  summe 
cum  f uniiis  denarii  est  quantum  | maioris  summe.  Et  quoniam  primus  habet  ^ maioris 
summe,  et  denarios  s;  habebis  { mediane  summe,  et  denarios  ^ 9 : ergo  inter  utrumque 
liabent  { ^ mediane  summe,  et  denarios  7,  et  5,  ct  {,  scilicet  | is  : habent  etiam  ct  ipsi 
minomn  summam  tantum  ; ergo  mediane  summe  cum  denariis  ~ li  sunt  quantum 
minor  summa.  Quare  .si  ulriquc  portioni  addatur  i,  erunt;}  mediane  summe  cum  de- 
nariis { 13  quantum  ipsa  mediana  summa;  cum  ipsa  sil  i plus  minore.  Ergo  extractis 
} } mediane  summe  ex  ijxsa  summa,  remanent  | 13  : ct  queritur  quantita.s  de  } } eiusdem 
summe:  quare  niultiplicaltis  } dc  24,  scilicet  3,  jier  } 13,  et  diuidc  summam  per  17,  ct  ba- 
labis pro  I mediane  summe  } : cum  quibus  additis  denariis  | s,  reddunt  pro  de- 

nariis primi  hominis  7.  Item  multiplicabis  } de  24,  scilicet  4,  per  } I3,  ct  diuides  per  17, 
exibunt  pro  } mediane  summe  ~ s ; cum  quibus  additis  7,  quos  secundus  habet  plus  de 
* mediane  summe,  reddent  proportione  ipsius  ^ lo. 

Ex  Is  autem  que  dicta  sunt  satis  poles  perpendi  si  proponatur,  ut  utii  ip.sorum  stiper 
suam  multiplicitatem  superet;  ct  alteri  uero  minuat:  tamen  ut  melius  comprehendantur, 
quedaiD  similis  questio  jiroponatiir,  iu  qua  primus,  hahitls  7 ex  donariis  secundi,  hal>cat 
plus  quam  quinquies  ipso;  ct  secundus,  habilis  5 ex  denariis  primi,  habeat  septuplum 
eius,  miuus  denariis  $.  In  hac  autem  questione  minor  summa  est  9,  minus  quantitate 


Digitized  by  Googie 


m 

oinnnini  dcnarionini  i{xsomm;  de  qtia,  si  de  siipradiclis  immcmor  noii  cxliteris,  inuenies 
piimum  iialvcrc  l minus  donario  i;  secuiiduni  ^ eiusdem  summe  plus  denarits  7:  mediana 
i|u»r|ue  summo  est  quantitas  donarionim  ipsorum.  Maior  quoque  est  8 plus  mediano,  de 
f[iia  primus  habet  ct  insu|>er  donarios  5 ; secundus  e%  eadem  maioris  summa  habet 
mimis  ipsis  dictis  s dcnaiiis,  et  minus  adhuc  ipsis  s,  quos  minuunt  ei,  ut  habeat  septu- 
plum primi  huminls:  quibus  cognitis,  reducamus  eos  in  partes  mediane  summe;  qiiamuis 
possunt  redigi  in  portiones  reliquarum  summarum.  £t  hoc  faciamus  secundum  unum 
modum  cx  tribus  modis,  quibas  lioc  lieri  potest.  Quoniam  maior  summa  est  8 plus 
mediana;  octaua  pars  maioris  summe  erit  ^ denariis  8,  s<'ilicct  4 plus  de  octaua 
parte  mediane  summe.  Vnde  cum  primus  habeat  -*  maiuns  summo,  et  denariis  s,  ha- 
bebis similiter  J mediane  summe,  et  denarios  e.  Item  quia  minor  summa  est  8,  minus 
mediana,  erit  { minoris  simmic  scxla  pirs  dc  denariis  c , scilicet  i minas  dc  J me- 
diane summe  : unde  cum  secundus  habeat  J minoris  summe,  et  denarius  7,  habebit  si- 
militer { mediane  summe,  minus  denario  i,  et  jdus  denariis  7,  boc  csl  denarios  8 pias: 
ergo  inter  secundum  et  primum  habent  { ^ mediane  summe;  ct  dc  12  habent  etiam 
et  ipsias  medianam  summam.  Quare  J ^ mediane  summe  cum  denariis  is  est  quantum 
ipsa  mediatia  summa  : ergo  extractis  \ - mediane  summe  ex  ipsa  remanent  12.  Vnde 
ut  habeas  | eiusdem  mediane  summe,  multiplicabis  i dc  24,  scilicet  Z ]»er  12,  cl  di- 
r.i.  iiides  per  47,  exibunt  ^2:  cum  quibus  adde  |c,  qiios  primus  balict,  plus  dc  J mediane 

sumrac,  erunt  8;  cl  tot  habet  primus.  Item  ut  habeat  \ mediane  summe  , mulli» 
plicabis  4 per  12,  ct  duiides  por  I7,  et  mldes  6,  quos  .secundus  liabet,  plus  dc  J me- 
diane summe,  exibunt  [}  8 pro  denariis  secundi  hominis.  Quod  etiam  per  regulam  re- 
ctam {Mites  iniienire,  si  ]H>nas,  .secundum  habere  rem  ct  denarios  7.  Senindiim  quinque 
res  minus  denario  i:  quia  cum  primus  habeat  7 a secundo,  remanebit  secundo  res  una; 
et  {irimiis  habebit  res  quinque,  minus  denario  i:  disromputatis  z denariis,  quos  ha- 
bet, plus  quincuplo  cias  de  illis  denariis  7,  quos  dat  ei  secundus.  Similiter  si  secundus 
habuerit  S a primo,  remanclinnt  ipsi  primo  quinque  res,  minus  denariis  e;  et  secundus 
habebit  rem  unam,  et  denarius  42:  que  cum  denariis  s cqnnntur. septuplo  denariorum 
.secundi,  scilicet  triginta  quinque  rebus,  minus  denariis  42:  quibus  donariis  42  aditis  ab 
iitraque  parte,  erunt  as  res  , que  eqiiaritiir  uni  rei,  ct  denariis  62  : quare  diminuta 
ab  utroque  |>arte,  eiunt  3S  res,  que  equaiitnr  uni  rei  et  denariis  62  : quare  diminuta  ab 
utraque  |>arlc  rcimincbunl  34  res  , que  equaiitur  denariis  02  , boc  est,  47  res  sunt 
denarii  31;  quare  diuidc  3t  per  47,  ueniot  donarios  1 pro  re  una.  Kt  quia  secundus 
babcl  rem  cum  denariis  7 , ergo  babcl  donarii  8 : similiter  quia  secundus  habet 
quinque  res,  minus  denario  i,  mulli jdica  ■—  i per  5 , erunt  •—  0;  dc  quibus  tolle  i, 
remanebunt  denarii  8;  ct  tot  liabuil  primas.  IVr  hunc  itaque  nuulum  |Mis.sunt  s<»lui 
omnes  sii|irascrip(c  duonim  bomitmm  qi]e.stinncs:  sunt  enim  ex  .similibus  questionibus 
infinite,  que  .solui  non  {lossunt;  quas  cognosces  secundum  suprascriptum  modum. 
(^fttesfto  consinuiis  inter  tres  homines. 

Irem  tre.s  homines  habent  denarios,  qiiornm  nnus  dixit  ceteris  duobus;  si  rhirriis 
milii  7 utrorum  denariorum,  haberem  quinquies  tantum  quam  uos.  Secundus  dixit  ('C- 
leris  ; si  daretis  mihi  9 lUronim  denariorum  , halicrrm  septies  laiilnm  quam  uos  : 
tertias  petit  denarios  li;  ct  jirepoiiit  sc  habere  se{>ties  tantum  quam  ipsi:  queritur  quot 
umiv|iiisr|ue  habebat:  bcr  enim  regula  per  regulam  quinti  arlmris  facienda  est  sic: 


Digilized  by  Coogie 


100 

uidcbis  (Ic  uiio<jiio<|ue)  ijuam  jKirlcm  Iiubcbat  totius  smumr  dcimriurum  eomiUt  Imbitis 
ijKsis  ilrnariiv,  rpius  i|>se  petit  cctcris  : quoti  sic  uidciitiuiu  est:  cum  pnmus,  acce{tlis 
7 tieimnis  ab  aliis,  proponit  se  baborc  quinquies  tantum  (]uaiii  ipsi  ; si  tunc  habuit 
t|tiinquc  quaslibet  qiiniililates;  ct  reliqui  tluo  lialK‘hiint  unam  ex  oistlom  quantitatibus: 
quare  primus  h;i]>ot  cunctorum  deimriurum,  minus  ipsis  7 donariis,  quos  erit  cadoin 
ratione;  secundus  habet  -y  tutius  summe  0 donariis  , quos  petit  reliquis.  Similiter 
rt  tertius  habet  ^ tutius  summe  eurum,  iiiiiius  i|t.sis  11  deuariis,  quos  petit  reliquus: 
ei^o  inter  omnes  habent  ^ ^ tutius  summo,  mitius  denariis  7,  et  9|  et  11  ; Itoc  est 

denarius  S7  : ci^o  7 t cunctorum  denariorum  ipsorum  su|H'rhaImndaiit  summe  eorum 
ia  denariis  S7  : unde  assimilutur  licc  questio  arbori:  illi  | supeniut  longitudinem 
arlxtris  |iaimis  S7r  quare  iuueniendus  est  numerus,  in  quo  roporiantiir  J 7 1 1 scilicet 
iti  IGS  : de  qiio  accipe  que  suiit  140;  ct  7«  P que  sunt  147,  ct  addes 

insimul,  erunt  431;  dc  quibus  extrahe  tes,  remaiichiiiit  SC3,  que  uellciit  osse  27:  quare 
miiltiplic4ihis  140  per  37,  et  diuide  per  363,  exibunt  dotiarii  ^ 14;  ct  tot  Imbuit  primus 
homo,  habilis  7 denariis,  quas  petit  reliquis:  quare  cxlraiie  7 dc  ^ 14,  remanebunt 
^ 7;  ct  tot  Imbuit  primus.  Iterum  ut  habeas  denarios  secundi  , multiplica  144  per 
37,  et  diuide  per  363,  exibunt  I4:  dc  quibus  extrabe  denarius  0,  quos  secundus  petit 
reliquis,  remanebunt  denarii  \H  5;  cl  lol  habuit  secundus.  Item  ut  habeas  tertii  ho- 
minis, multiplica  147  per  37,  ct  diuitlc  iterum  per  363,  exibunt  ^ 15:  de  quibus  extrahe 
denarius  11,  quos  tertius  petit,  remanebunt  denarii  ^4;  et  tot  bahuit  tertius,  cum 
aero  {xlat  secundo.  Secundus  tertio,  cl  tertius  primo;  inuenies  modum  solutionis  in 
quarta  |)artc  huius  capituli,  etiam  et  iii  secutida  parte  clchataiu. 

Oe  eodem  secundum  alium  modum. 

Irem  homines  sint  tres;  et  primus,  habitis  7 cx  denariis  aliorum,  iiahcat  quinquies 
luntum  quam  ijtsi,  et  unum  plus.  .Secundus,  habitis  ah  aliis,  haheat  septies  tantum 
quam  ipsi,  et  unum  plu.s  : tertius,  habitis  11  ab  aliis  , habeat  .septies  taulmn  quam 
ij>si,  cl  unum  similiter  plus.  In  bac  autem  duc  summe  considerande  sunt  , quarum 
maior  est  quantitas  illorum  trium;  minor  est  1 minus  maiori.  £t  quoniam  primus  cum 
7 ex  denariis  aliorum  lial>et  quinquies  tantum  quam  ijjsi,  ct  t plus  ; ipsum  | minoris 
summe  minus  denariis  6 habere  nccesse  est:  propter  eadem  ei^o,  secundum  cum  de- 
nariis 9 reliquorum,  ^ ciu.s<lcin  minoris  summe,  minus  denariis  h lia1>ere  inuenies;  cum 
ipse  cum  9 denariis  liabcat  septies  tantum  quam  reliqui,  et  1 plus.  Uursum  cum  tertius, 
habiti.s  11  cx  denariis  aliorum,  haheat  septies  tantum  quam  ipsi,  ct  1 plus  | ipsum  ha- 
hera  j minoris  summe,  minus  denariis  10,  non  dubitatur:  ergo  inter  omnes  habent  j * | 
minoris  summe,  minus  denariis  6y  et  8,  et  10,  scilicet  minus  si:  habent  etiam  et  i|xsi 
maiorem  summam:  ergo  ^ 7 | minoris  summe, minus  denariis  si,  faciunt  maiorem  summam. 
<^)uare  si  extrahatur  inde  1,  iii  quo  maior  sumina  superhabiimiat  mitiorem,  remanebunt 
jyl  minoris  summe,  roiuus  denariis  35  equales  eiusdem  minori.s  summe.  Quare  J f | 
minoris  summe  superhahumlunt  ipsam  siimmain  in  S5:  quare  ut  in  antecedente  que- 
.siione  fecimus,  multiplicabis  104  per  25,  ct  diuides  ]>er  363,  ct  lialiebis  jiro  - minoris 
summe  ^ 13:  dc  quibus  extrahe  6,  quos  primus  habet,  minus  dc  | minoris  summe, 
remanebunt  ^ 7;  ct  tot  lialiuit  primus,  licm  multiplicabis  144  per  35,  et  diuides  per 
363;  et  pro  f minoris  summe  liabcbis  i3:  de  quibus  extrahe  8,  quos  secundus  lia  Itet, 


IptT  ..  rci|.|HI«  I [{•  I 

fri to,  Itit.  13.26,  j.jf,  IW- 

|,u. 


tM. 


Sl 


Digitized  by  Googie 


minus  | minoris  summe,  remanebunt  ^ 5;  et  tot  habet  secundus.  Item  multiplicabis 
147  per  ss,  et  diuides  per  S63  , et  hnl>ebis  pro  minoiis  summe  13  : de  quibus 
extiactis  lo,  quos  tertius  habet,  ininii.s  de  | niinurU  summe,  remanebunt  3}  ct  tol 
habuit  tertius.  Item  primus  petat  reliquis  7;  ct  lial>eal  i plus  quam  quinquies  ipsi;  se- 
cundus petat  9;  ct  habeat  i plus  quam  septies  ipsi.  Tertius  petat  reliquis  ii;  et  habeat 
3 plus  quam  .septie.s  ipsi.  In  hac  autem  quattuor  summe  sunt  considerande,  quarum 
piima,  ct  maior  est  quantitas  denariorum  ijLSorum.  iiecunda  t minus.  Tertia  s minus  pri- 
ma, uel  I minus  secunda.  Quarta  ct  minor,  ct  3 minus  prima,  uel  s minas  .secunda, 
iiel  1 minus  tertia.  Et  quoniam  primus,  habilis  7 ex  denariis  reliquorum  hominum,  liabet 
quinquies  lanium  quam  i}>si,  ct  i plus;  nccc.sse  est  ipsum  habere  l secunde  summe  minus 
dc  6;  quia  t remanet  ci  ex  7 prodictis  , sine  quo  cnioiliir  ipsa  secunda  summa.  Kx 
Ikk*  autem  compi-chcnderc  poteris,  quod  secundus  habet  J tertie  summe  minus  7;  cura 
superhabundent  eis,  cx  9,  qims  jietit  reliquis.  Et  tertius  lial>et  3,  demptis  de  it,  sti- 
licet  H,  minus  de  j minoris  summe:  liis  itaque  intellectis,  poles  redigere  denarios  unius- 
ciiiusfpie  in  portione  cuiaslibet  quattuor  dictarum  summarum:  rediguntur  enim  in  mi- 
iiun  summa  sic.  Quoniam  secunda  summa  est  s plus  rnirturi,  erunt  | .secunde  summe 
^ de  denariis  s , .scilicet  I'  I plus  dc  | minoris  summe.  Viidc  cum  primus  habeat  ^ 
secunde  summe,  minus  c,  balx-bis  | minoris,  minus  i 4:  quia  extractis  \ i dc  o,  rema- 
nent I 4.  Item  quia  tertia  summa  est  I plus  minore,  erunt  " tertie  summe  * ipsius 
denarii,  pius  de  ~ minoris  summe.  Vnde  cum  secundus  habeat  * tertie  summe,  minus  7, 
habebit  | minoris,  minus  denariis  | e : habet  etiam  et  tertius  homo  J minoiis  summe, 
minus  denariis  a : ergo  inter  miines  habent  J | 4 niinons  summe,  minus  denariis  | 4,  et 
} 6,  ct  8,  scilicet  minus  * | ts  : habent  etiam  ct  i{>si  3 plus  minoiis  summe,  scilicet  ma- 
iorem summam.  Quare  extractis  ipi  3 cx  utraque  cquali  j>oiiione,  remanebunt  | * J mi- 
noris summe,  minas  denariis  | J ii  cquales  minori  summa  : quare  secundum  hoc  quod 
superius  diximus,  mulliplicabis  \ dc  ics,  .scilicet  i4o  per  | ^ 21,  et  diuidc  summam  per 
2C3,  et  extrahes  inde  {4;  ct  inuenies,  primum  habere  ^7.  llursum  multiplicabis  - Jxt  per 
144,  que  sunt  y de  1G8,  et  diuidc  summam  ]>er  SC3;  et  extrahes  inde  ~ d,  ct  habebis  de- 
narios secundi  s.  Item  tnultiplicnbis  y y 2)  per  147,  que  sunt  j dc  ics,  et  diuides  per 
*B3;  cl  extrahes  inde  8, et  habebis  denarios  tertii  ^4:  polc.s  enim  cx  prcdiclU  salis  aperte 
comprcheiiden*,  .si  de  multipUcitatilms  ij^somm  aliquid  minuerit,  etiam  et  de  pluribus 
honiinihns  cqHTari;  cum  unas  eorum  petat  reliquis  omnibus. 

MtMiits  alius  inter  tres  homines. 

Sint  iterum  tres  homines,  <{unnim  primus,  et  secundus  petat  tertio  homini  denarius 
7;  et  habeant  quinquies  quam  ipse.  .Secundus  quoque,  et  tertius  {>clat  primo  denarios  0; 
ct  liabcant  .septies  quam  ipse.  Tertius,  ct  primus  j>ctant  seimndo  ii;  et  habeant  septies 
quam  ipse.  Quia  primus,  et  .secundus,  habitis  7 cx  denariis  tertii, habent  quinquic.s  quam 
ipse;  tertium  hoiniiiein  totius  summe,  et  insuper  denarios  7 habere  iiecessc  est.  Simi- 
liter ex  petitionibus  cx  proportionibus  reliquorum  huniimiin  comprehenditur,  primum 
liaberc  | totius  summe,  et  denarios  0;  secundum  y eiu^alem  .summe,  et  donarius  il  : ergn 
inter  omnes  habent  y { et  denarios  27.  Quare  poues,  ut  inter  omnes  halieant  iah;  quo- 
rum ; , .scilicet  XH  et  y , scilicet  24,  et  | , .scilicet  21,  in  unum  coniuncli.s,  faeiiuil  73:  «1 
quibus  usque  in  IG8  sunt  93;  que  93  cum  uclint  cs.se  27,  ut  habeat ; totius  summe  eorum 


Digitized  by  Googie 


itil 

multipliculiis  S7  per  i8,  el  (Uitidc.s  pc*r  93,  ciiibiinl  \[  T ",  i’um  rpiilms  aiUIc  ~ , quos 

teriius  homo  lialiet  plus  dc  J|  toliiis  summe,  erunt  JJ  u;  cl  tot  luilniil  Icrlitis.  Iicm  m 

imiltipiiea  :t?  |>er  34,  et  tliiiide  per  os,  et  sujkt  adde  0 , enml  \\  is  et  tot  hnlmil 
prinuis.  Rursum  mullipliealns  27  per  2t,  et  diuides  |ier  os,  et  su[)cr  addes  ii,  erunt 
*'  te;  et  tot  Imlmit  seriiiidus  : |Hites  enim  seemidtiin  lioe  openiri  de  pluribus  liotiii* 

Ilibus,  eum  reliqui  pelaiit  tiiii  eorum  [k.‘I  ordinem  aliquem  iiiimeruin,  el  evectlaiil  cum 
iii  aliqua  iniihiplicitatc.  Ktinm  si  de  snpradictis  non  imiitemor  extiteris,  poteris  operari 
rtim  superatione,  ucl  flimiiuitiunc  miiltipiieitatum  ipsorum. 

A'  eodem  inter  quattuor  homines  questio  insoluhifis. 

Qs'attuor  bomines  habent  denarios,  ex  quibus  primus  el  soeundtis  petunt  reliquis  t; 
el  proponunt  babere  ter  tantum  quum  ipsi,  iieciiiidus  cl  tertius  petunt  reliquis  h,  ut 
bal>eaiit  quater  tantum  (piam  i|»si.  Tertius  et  quartus  pcluiil  reliquis  o ; et  babeiit 
(piinquies  tantum  ipiain  ipsi.  (^)uartus  et  primus  petunt  il,  et  excedunt  cos  in  ses- 
rupium:  ipierilur  quot  unus<pii.sr|uc  Inihcat.  Ilee  quc.stio  insolubilis  est;  ct  cognoscitur 
sic.  (!um  primus  et  secundus  cum  7 ex  denariis  reliquorum  liubuerit  ter  tantum  quam 
ipsi;  tunc  \ totiu.s  summe  denariorum  eorum  habebunt  ipsi;  et  tertio,  et  quarto  bomini 
remanebit  J eiusdem  summe  : ergo  inter  tertium,  ct  quartum  bonuiicni  baboTil  J to- 
tius summe,  ct  amplius  7,  quos  dant  primo  et  secundo  bomini.  Similiter  cx  petitionibus, 
el  cx  pi*o[KJsitionibus  reliquorum  inuenies,  inter  quartum  et  pniuum  liomineni  babere 
* tutius  summe,  et  denarios  s;  et  inter  primum  cl  sccimdum  J dicte  summe,  et  denarios 
q;  et  inter  secundum  et  tertium  | eiusdem  summe,  ct  iiisiqier  denarios  n.  Ft  quoniam 
inter  primum  ct  secundum  habent  ^ totius  summe,  et  denarios  9;  et  inter  tertium  ct 
qualium  f eiusdem  summe,  ct  donarios  7 ; ergo  inter  omnes  quattuor  habent  J \ dicte 
summe,  et  denarios  t6.  Quare  summa  eorum  est  numerus,  dc  quo  exlraclo  ^ remanent 
46:  quem  numerum  per  regulam  secundi  arboris  inuciiics  esse  ~ 27.  Ilcm  quia  inter 
quartum  et  primum  babeiit  \ tutius  summe  eorum,  et  denarios  s;  ct  tiiler  seimndiitn 
ct  tertium  habent  ct  denarios  n;  ergo  erit  summa  eorumdem  quattuor  bominuin 
quantum  | j eiusdem  summe  cura  denariis  I9.  Quare  summa  eorum  est  numerus,  dc 
quo  extracto  ^ [,  remanent  lO:  quem  numerum  per  regulam  eiusdem  arbons  iuuenies 
esse  82;  i{uod  est  incunucniens,  cum  per  primam  inucsligalionem  iriuenimus,  summam 
c?onim  esse  aliter,  scilicet  } 27  : unde  tiec  questio  insolubilis  est.  iNain  si  eum  solu- 
bilem proponere  iiolumus,  pelant  primus  ct  secundus  reliquis  deiiaritKS  loo;  Secundus  el 
tertius  denarios  I06  ; tertius  et  quartus  14S;  Quartus  ct  primus  ito  ; ct  iniietiics  per 
utramque  inuestigationem,  summam  corimi  esse  420;  dc  qua  inter  primum  cl  secumhiin 
habent  \ ct  143  , scilicet  21$;  inter  secundum  et  tertium  hal>cnl  | de  eodem  420  el 
170,  scilicet  230;  et  inter  tertium  et  (piartiiin  bubent  ~ dc  420  , et  loo  plus  , scilicet 
20$;  ct  inter  qtmrtum  et  primum  Imberit  | dc  4io,  et  denarios  lOll,  hoc  est  I90;  quos 
diuidc  inter  cos  ad  libitum  , Iuk:  est : cum  primus  et  secundus  liabeul  2is  , habeat 
inde  primus  loo,  cl  secundus  ns:  qui  secundas,  cum  habeat  cum  tertio  homine  230, 
extrahe  inde  lis,  quos  Imliet  scruiidus,  remanebunt  tertio  denarii  ii$:  qui  tertius,  runi 
liubcat  cum  quarto  homine  £0$  , extrahe  inde  ii$  , quns  habet  tertius,  remnmdiiiiit 
(piarto  bomini  denarii  oo. 

2« 


Digitized  by  Googie 


i02 

/M  quinque  hominibus  questio  consimitis . 

Irem  liumitic<i  sint  quinque;  el  primus,  et  scrmulus  , et  Icrtius  (>elaiU  qunrtu  ct 
<|iiinlo  lioniim  dcnaiius  7;  cl  liaheant  bis  tantum  quam  ipsi.  Secundus,  et  tertius,  et 
quarius  petant  quinto  ct  primo  denarias  s;  et  babennt  ter  tantum  quam  i|)si.  Tertius, 
et  quartus,  et  quintus  petant  primo  ct  secundo  deuarit^  9;  ct  lial>cant  qiijter  tantum 
quam  ipsi.  (Juartus,  ct  quintus,  ct  primus  petaut  sccuudo  et  tertio  denarios  lo  ; et 
liahcaiit  quinquies  tantum  rpiam  ipsi.  Quintus,  el  primus,  ct  secundus  petant  tertio 
ct  quarto  ii;  et  babeaiit  septies  tantum  quam  ipsi.  Quoniam  primus  ct  secundus,  et 
tertius  cum  7 ex  denariis  quarti  ct  quinti  lial>cant  his  tantum  quam  ipsi  , ncccsse 
est,  ut  primus,  et  seciiiuliis  , et  tertius  liahcunt  | tutius  summe,  miiiiLS  ijtsis  7;  cl 
quartus,  et  quintus  Itabcant  eiusdem  summe,  ct  ij>sis  7 plus.  Similiter  cx  petitio- 
nibus, et  cx  propositionibus  aliomm  cognoscitur,  qiu>d  inter  quintum  ct  primum  habent 
I totius  summe  eorum,  et  denarios  s.  Kt  inter  primum,  ct  secundum  ba)>ont  totius 
summe,  et  denarios  9.  Et  inter  primum,  ct  tertium  habent  ^ totius  summe,  cl  denarios 
10.  Et  inter  tertium,  ct  quartum  habent  { totius  summe,  et  deuarios  n:  unde  inter 
omnes  iiabeiu  dimidium  J | 7 summe,  et  dimidium  dc  denariis  7,  ct  s,  et  9,  ct  10, 
et  11,  lioc  est  denarios  4^;  cum  unusquisque  in  prescriptis  partibus,  et  numeris  bis 
computatus  sit.  Quare  inuenias  numerum,  in  quo  repcrianlur  7 7 1 1 7*  erit  4S0;  que 
diipplica  pro]iter  binam  computationem  eorum,  erunt  840:  ct  accipe  77777  dc  420 , 
et  extnilie  eus  de  N40,  tcmaiient  3Hi,  que  uellciit  esse  45.  Quare  multiplicabis  45  per 
420,  ct  tliuidcs  ]>cr  3Si,  el  habebis  sunimaiu  eorum  ^ 49:  dc  qua  inter  quartum  et 
a.  quintum  | habent  tertiam  partem,  ct  7 plus,  lioc  est  ~ 23.  Et  inter  quintum  et  primum 
4|uarlaiii  partem,  el  8 plus,  .scilicet  20.  Et  iutcr  primum,  et  secundum  habent  quin- 
tam prlem,  ct  9 plus,  scilicet  7^18.  El  inter  secundum,  cl  tertium  babmit  sextam 
|>arteiii,  ct  lo  plus,  scilicet  ^ I8.  Et  inter  tertium,  ct  quartum  eiusdem  summe  ha- 
bent septimani  partem,  ct  11  plus,  scilicet  77715.  Deinde  ut  scitarentur  denarii  unius 
a denariis  aiterius,  adde  denariis  (nc)  primi  ct  secundi,  scilicet  ~ I8,  cum  denariis  tertii, 
ct  quarti,  scilicet  cum  <8,  erunt  7^  37:  residuum  uero,  quod  est  us^pic  iii  summam 
eorum  omnium , scilicet  in  ^ 49 , habet  quintus  liomu  ; quod  residuum  est  ^ 12  : 
quibus  extractis  de  denariis  quinti  et  primi,  remanebunt  primo  ~ 7;  quibus  extractis 
de  denariis  primi  ct  secundi,  remanebunt  secundo  11;  quibus  extractis  dc  denariis 
secuiuli  et  tertii,  remanebunt  tertio  lioinini  7;  quibus  extractis  dc  denariis  tertii 
et  <(uarti  10,  remanebunt  quarto  homini. 

.\Utcr  quoniam  inter  secundum,  et  tertium  , ut  asicnsuin  est  su|>crius  , habent  ~ 
tutius  summe  qiiim|ue  Iioiuitiitm,  ct  denarios  10;  et  inter  quartum  ct  quintum  bal>ent 
j eiusdem  summe,  ct  deuarios  7;  ergo  inter  ijtsos  qtiattuur  imbent  7 et  -J,  .scilicet  7 
summe,  et  denarios  I7.  Quare  primo  remanet  7 eiusdem  summe,  minus  ipsis  I7.  Similiter 
quia  inter  7 ct  j habent  7 summe,  ct  denarios  n;  ct  inter  quintum  cl  primum  haWnt 
7 summe,  et  denarios  s;  cq^o  ipsi  quattuor  liabcnt  77,  scilicet summe,  et  deuarios 
19:  quare  secundo  boniiui  remanet  residuum  summe,  scilicet  ^7  minus  ijisis  f9.  Simi- 
liter si  addideris  |M>rtionem  quarti  et  quinti  cum  portione  primi  et  .secundi,  scilicet 

summe,  et  denarius  7 cum  ct  denarios  9,  erunt  summe,  ct  denarii  to:  quibas 
extractis  de  summa  , remanent  tertio  homini  summe  minus  ipsis  le.  item  addita 


Digitized  by  Googie 


103 

|»urtH)uc  ct  primi  cum  |K>rliotic  Kccimdi  et  tertii»  «uilicct  | Mtniinc,  ct  deuaiiU 

H cum  I summe,  et  dcuarils  lo,  fociutil  ^ summe  » ct  (iciiarius  ts.  Ouarc  remauciit 
«(uarlo  homini  ~ summe,  minus  ipsis  ts.  Rursum  addita  portione  primi  et  secundi 
cum  portione  tertii  ct  quarti,  scilicet  ^ summe,  ct  o cum  j summe,  et  it  faciunt 
I’  summe,  et  denarios  lo;  quare  remanent  quinto  homini  minus  ipsis  lo.  Inueiita 
autem  portione  unitisctiiuMpie  [»cr  ordinem,  potes  per  regulam  primam  trium  homimini 
operari. 

l)e  homine  qui  ad  uendemias  tres  margaritas  constauthwfHdi  pntperauit . 

Ovidam  mercator  duxit  coristantinopolim  tres  margaritas  ad  iicndendimi.  Ouaruni 
ima  ualohul  aliquid.  Sccimda  duplum  prime.  ']'ertia  siquidem  duplum  secunde,  mitius 
tertia  unius  biiantii.  Commerciarius  quippe  constaiiliiiu|K>Iitanus  exlgohat  decimam  predi* 
ctanim  margaiitaniin  pro  curic  dirictum.  Mercator  quidem  ueudidit  prima  niarganta- 
rum,  scilicet  uiliorem;  ct  pcrsoluit  exigenti  decimam  prcdiclariim  margantaniiii  omnium; 
ct  ho4'  quod  superfuit  ei  fuit  { pretii  secunde  margarile,  et  amplius  Idzaiitii  -{'glit- 
Queritur  pretium  uniuscuiusque  margarite:  sic  enim  faciendum  est:  ut  ponamus  numerum 
quemlibet  pro  pretio  prime  margarile  , ut  dicamus  lo;  pru  secunda  quidem  so;  pro 
tertia  quoque  | 39,  liuc  est  duplum  pretii  secunde  margarile,  mimis  J unius  bizantii: 
quibus  insimul  coniuiiciis,  | 69  coadunabunt:  de  quibus  accipe  que  est  - » 6 ; a 
quibus  usc|ue  in  IQ  , scilicet  in  pretium  prime  margarite  , desunt  ^ 3 ; dc  quibus 
extrahe  ^ de  so,  scilicet  pretii  secunde  margarito  , que  est  ^ s , remanent  ; quas 
extrahes  de  remanent  sa,  qnc  sertia.  Rl  talem  questionem  oppone,  ut  prima 

margaritarum  iialeat  aliquid.  Sccniula  bis  tantum.  Tertia  ualeal  quadruplum  prime. 
Et  cxtnicto  cutnniertio  ipsarum  dc  pretio  prime  margarite,  remaneat  ^ ]>relii  secunde, 
et  insuper  hizantii  so.  Deinde  pone  ad  libitum  pro  tertio  prime  margarite  so  ; et 
pn>  secunda  40;  ct  pro  tertia  so:  quibus  insimul  mlditis,  faciunt  Mo;  quorum  scilicet 
14  extrahe  de  so  , s<‘ilicct  de  pretio  prime  margarite,  remanent  o;  dc  quibus  extrahe 
prelii  secunde  margarite  , scilicet  dc  40,  scilicet  5,  remanet  1 : quod  cum  ucllcnt 
esse  • j 80  , multiplica  ^ so  per  so,  ct  diuide  per  i,  exibunt  4IS;  quibus  adde  bizantias 
10,  quos  pixsuimus  pix)  prima  margarita,  erunt  bi/.uiitii  428  pro  pretio  prime  margarite. 
Quaa*  pn*tium  secunde  est  856;  tertie  | !"ii. 

De  eodem  per  rep^uinm  t'cvtnm. 

1'oiic  pro  pretio  margarite  rem.  Quare  pretium  secuimc  erit  duc  res;  lerlie  quat- 
tuor, minus  ~ unius  hizantii;  quibus  insimul  iunctU  sunt  septem  res,  mitius  { unius 
hizantii;  quorum  scilicet  ~ rei,  minus  ^ bizantii,  abice  dc  re  una  , scilicet  dc 
pretio  prime  margarite,  remanebunt  rei,  et  ^ unius  bizantii,  que  c<}uaiitur  \ pretii 
secunde  margarite,  et  bizantii  hoc  e.st  { prime  margarite,  ct  bizantii  ^ |Si. 

(hmiuiiitcr  auferatur  unius  bizantii,  reniaricbuni  ~ rei  , que  cquantur  | j rei  , ct 
bizatiliis  fsi.  Iterum  coiminiter  auferatur  { rei,  mnanchil  ^ eqiialis  de  bizaiiliis 
; SI.  Quare  ia  cuplum  (»c)  de  ~ rei,  scilicet  res,  cquahitur  iiT  cupio  de  bizaiiliis  |si, 
scilicTt  bizaiiliis  4SS;  ergo  pretium  prime  margarite  4S8,  ut  prcdiximiis.  Kst  enim  alius 
modus,  qui  regula  uersa  dicitur;  per  quem  etiam  possiiiil  solui  multe  questiones:  imm 
per  regulam  rectam  lemiinius  de  priricijuo  nd  llnem  questionis;  per  uersum  faciamus 
contrarium;  quod  nolumus  in  hac  questione  demostiare:  in  qua  proponitur  super pretii 


l»t.  rrr.w- 


Digitized  by  Googie 


firi’aii  I*  t(fU*<n  ••••  iitHlIifli* 
itM«e  * (ful>  lin. 

ii  « S4-9U  i |u|  3ut . !•>- 


30  S43 


tl 


I.Sl-iIkcI .. . > «irwl'  83 

i‘ertn  , liu.  tl-38  « 37: 
TUl.ti».  4D~  p*c  8n.lMi  8i. 

Pnmm  f 

8«rMi>li|«  ! 

ril  i 


SOI 

trium  niai|;Hrituiutii  dc  pretio  ])riiuc  margarito  i'ciiiaii»issc  | pretii  scciiiidc)  et  iii-siij>or 
hizuiitios  Jil;a  (piilnis  .sunimamiis  iiiitiiiui:  cpiuriiani  pretium  secunde  margante  est 
«Inpium  pretii  prime,  ergo  -J-  pix'tii  secunde  est  «pmittum  \ pit*tii  prime.  Krgo  de  pretio 
prime  niaigante,  tpios  ]H>nas  esse  rem,  remansit  J i|>suis,  ct  in  sii|)or  liizantii  - st 
|M)st  suliilionem  -,-j  preiiicte;  que  til  siipradirlum  est,  fuit  rei,  mimis  unius 
Juzautii.  Sed  cum  de  re  extraiiitur  | ijisiu.s,  et  luzaulii  ~ 21,  lenianent  | rei,  minus 
luzantiis  | que  cqiuintur  -■  rei,  minus  ^ unius  liizantii.  8i  coniuniUT  addatur 
liizantii  si,  eiiinl  f rei,  que  equantur  eiusdem,  ct  iiizanliis  | 21.  t^uare  si  co- 
muniter  auferantur  rei,  remanebit  --  rei  equalis  dc  bizanliis  | si,  ut  per  regulam 
rectam  imieiiimus. 

yHiier  tle  tribus  marguritis. 

Usleat  quidem  secunda  margarita  (piarta  unius  bizantii,  plus  duplo  pretii  prime. 
Tertia  qiuK]ue  uaieat  duplum  secunde,  mimis  tertia  unius  bizautii.  Cuius  questionis 
solutionem,  si  |icr  n^gulam  rectam  iiiuenire  uis,  pone  primam  ualcrc  rem.  Quare  se- 
cunda iialebit  duas  res,  addita  quarta  liizantii.  Kl  tertia  ualcbit  1111.°^  res,  sexta  bi- 
zanlii  additu:  quibus  insimul  additis,  erunt  septem  res,  et  quarta,  ct  seUa  bizantii; 
quarum  decima,  que  est  rei,  et  unius  bizantii,  extracta  dc  re,  seiliret  de  pretio 
prime,  remanent  ^ rei,  minus  ^ unius  liizantii,  que  equantur  J-  secunde,  et  bizantiis 
,5  -Jxi.  Sed  5 sccundc  equatiir  j prime,  et  ^ bizantii;  ergo  j~  rei,  minus  bizantii, 
equalur  J rei,  et  bizantiis  f **•  comuniler  addatur  bizantii,  erunt  ^ rei, 

que  equantur  { m,  et  bizantiis  ~ \ 21:  comuniler  auferatur  { rei,  remanet  ^rei, 

ijuc  (*<piantur  n *»  **  • rem  luam,  scilicet  multiplica  ^ n «V  r ** 

per  20;  que  lutilliplu  alio  imlgariter  sic  Iit:  multiplirantur  primum  20  per  21,  faciunt  420; 
ct  2u  per  p faciunt  l~  c;  et  20  per  -~t  faciunt  2;  ct  20  per  ~t  faciunt  J;  et  20  per 
tii’  f:  quibus  insimul  iuiictis  faciunt  bizanlios  ^30  pro  pretio  prime.  Quare 

pretium  secunde  est  J 86O;  tertie  | 1720  : sulutliir  quidem  bec  questio,  et  eius  similes, 
]ier  jiriiimm  modum,  diam  ct  jier  regulam  uersnm. 

JJe  tribus  hominibus  qui  inequaUtcr  coHigerunt  bursas. 

Taes  iiomiiies  inueiierunt  bizanlios,  cx  quibus  unusquisque  sumpsit  ineijunlitcr,  sic 
quml  multiplicatio  bizatitnmim  primi  in  tertiam  summe  facit  quantum  multiplicatio 
bizaiuionim  secundi  in  quartam  summe;  ot  quantum  multiplicatio  bizanliorum  tertii 
in  quintam  eiusdem  summe.  Kl  lice  Ires  multiplicationes  cquales  in  unum  redacte 
faciunt  eatidom  summam  bizantioniin,  ipiani  ipsi  tres  bomiues  inuenerant.  Queritur,  que 
fuit  illa  summa;  et  ipuil  unusqiiisrpie  ex  ea  assumpserat.  Pune  itaque,  ut  primus  sumeret 
bizanlios  3;  et  secundus  4;  et  tertius  5:  ideo  quia  Tniilliplicatio  ciiiusiibcl  numeri  in 
leniam  partem  de  3 csl  quantum  imilliplicalio  eiusdem  numeri  in  quartam  partem  de 
4,  iicl  in  quintam  {lartem  de  .s;  ergo  et  mullipUeatio  niiuslilM't  numeri  in  3 est  quantum 
imillijilicalio  quarte  eiusdem  numeri  in  4 , d quantum  multiplicatio  quinte  eiusdem 
riiimrri  iii  5:  ailde  3,  d 4,  et  S,  erunt  it  pro  sumnm  bizaiitionim  iiuientoiiim  ; mul- 
liplica  itaque  3,  scilicet  bizanlios  primi  |ier  tertiam  summo,  siilicct  jier  4,  erunt  12, 
qiie  senia;  d multiplica  bizantios  secundi,  scilicet  4 , per  quartam  pariem  summe  , 
scilicet  per  3,  eniiit  similiter  12,  que  senta;  ct  multiplica  iterum  bizanlios  tertii,  ui> 
delicel  5,  per  quintam  summe,  scilicet  per  J 2,  cnml  similiter  12.  Adde  ergo  lias  tres 


Digitized  by  Googie 


803 

imillt|tliralioi)(^,  mmt  qiic  iiellciit  c&se  I8:  (|uuiv  tlirci»:  prr  3*  «(iie  pono  iii  (|iiuiio 
litalc  hi/.aiiliorimi  ptimi,  iiciiiiiiit  30;  ({oid  |MMUtm  ut  uciiiaiil  (Hiituin  I2:  iiiiiltiplicalns 
ci^o  3 per  18,  et  cliuities  per  36,  exiiiit  luzantius  !;  et  tot  simipsit  ptiiiiiis  homo  c\ 
repertis  hizaiitiis.  Item  eadem  ratione  imiltipiira  4,  sciliret  Idz^iiitios  secundi,  jkt  18,  et 
diuides  (H.*r  36,  exiliil  bizuntins  \ i;  et  l<»t  sumpsit  sorundus  homo  e\  ipsis  liizaiitiis. 
riursum  snpras('npitt  ratione  nuiUiplica  liizantios  5 tertii  lioininis  per  I8  , et  diuides 
itemni  |>er  36,  exibit  bi/antiiis  ^ i pm  ([uanlilale  iiitieiititnie  tertii  bominis. 

Aliter  pm  preseriplLs  { J ^ ]>oiie  3,  et  4,  et  s,  et  adde  eas  insimul,  erunt  is;  (pie 
diiiide  p(T  mimenim  Innninuin,  scilhet  per  3,  exibunt  4;  et  tot  bizantios  reperieiiint 
ipsi;  ex  qnibiis  primus  sumjisit  J,  lioc  est  bizantium  i;  SecHiiidus  boe  est  bizaiitiiim 
2 I.  Tertius  sumpsit  | unius  bizaiitii,  lioe  est  bizantium  | t,  ut  prediximiis. 

De  eoiiem  z/e  hitminihHX.\ 

Irem  fpiinr]tic  bomines  bizatilias  re|H'rierunt,  ex  quibus  iterum  sumpsit  iiiius(pii$(]iic 
inequalitei;  sir  quod  multipbeatiu  bizantionim  piimi  in  tertiam  summe  facit  quantum 
imiltiplicatio  bizautiorum  .secundi  iii  (juartam  sumine;  et  «piunlitm  inultipIi(*alio  bizan- 
tiorum  tertii  in  quinlum  eiusdem  summe;  et  quantum  nmlliplicatiu  bizautiorum  quarti 
bominis  in  sextam  siiinnie.  Ktiam  et  quantum  miiltipli('atio  biiuiiitiomiu  quinti  liuminis 
in  septimam  eiusdem  siminie  : et  bee  qiiimpie  inultiplicatioiies  insimul  iuiirte  faciunt 
eandem  iiuieiitnm  stimtiiam.  Cum  itaque  bec  |Hisitio  per  primam  regulam,  boc  est  |kt 
modum  arborum,  .solui  |H)ssit;  tamen  qualiter  aliter  suluattir,  demonstrare  cupimus.  Fro 
prediciis  et  et  et  ct  r poiie  iii  oi*dinem  3,  et  4,  et  .s,  et  6,  et  7;  et  adde 
eos  insimul,  erunt  SS  ; ct  tot  quinte  rcpcricrunt  ipsi  ; ideo  quia  C(piales  imiltipiira* 
tiuiics  fuerunt  S,  ex  quibus  quintis  primus  sumpsit  | uiii(i.s  bizantii.  Seciindu.s  ter- 
tius hoc  est  bizantium  1.  Oiiartus  lioc  est  ^ i.  Quintus  •,  iiuc  est  bizantium  fi. 

Aliter  de  quinque  hominibus . 

Riri-sus  quinque  homines  bizaiitias  iiiuciieninl,  ex  ipiibus  miiisqitisquc  cidlegil  ine- 
qualiter;  sic  qiUKl  iiiulliplicatio  bizaitUomm  primi  in  tertiam  summe,  lioc  est  multiplicatio 
tutius  summe  in  tertiam  partem  bizantiorum  ipsius  primi,  facit  aliquem  numerum.  Kt 
multiplicatio  quarte  partis  totius  summe  iii  bizaiitils  secundi  bominis,  iiel  econuerso,  facit 
duplum  multiplicationis  predicU'  primi  bominis.  Ct  multiplicatio  bizantionim  tertii  in 
quintam  partem  .summe,  ct  cronuerso,  facit  triplum  multiplicationis  secundi  hominis, 
boc  est  scxuplum  multiplicationis  primi.  Kl  multiplicHlio  bizantiorum  quarti  in  sextani 
jiarteni  summe,  uel  econuorso,  facit  (|uudnipliim  nuiltipHcatiutiis  tertii  lioininls  , boc 
e.st  uictiplum  quadnipbim  mulliplicalioiiis  primi  bominis.  Item  ct  multiplicatiu  bizan- 
tioruin  quinti  liuminis  in  srplimam  parlcin  snniine,  uel  septimam  (nirtem  bizantionim 
ijisiiis  quinti  bominis  iii  lolam  siintinam,  facit  quincuplum  multiplicationis  quarti  bo- 
miiiis,  lioc  est  cciitupliim  iiiciipbim  nuillipiicatiutiis  primi  bominis.  Kt  bee  (piinqiie 
imiltipiiratiuiies  iii  unaiii  coniunrte  laciunt  eandem  re|K‘rtaiii  .summam.  Queiitiir  que 
fuit  illa  summa;  et  quot  unusquisque  e\  ra  collegii.  Quia  preponitur,  ipiod  tniiltipU’ 
catiu  tutius  .summe  iii  lertiam  partem  bizantiorum  primi  facit  aliquem  mimcnini;  |m>- 
uendum  est,  ipiod  primus  homo  cidligerel  aliiiuein  imnierum  bizantioniiii,  rpii  habeat 

Ponatur  ergo,  ut  ipse  colligeret  bizantios  3.  Quarum  tertia  |»ais  est  bizaiUiiis  i;  qiio 
inultiplicato  in  summa  ( unctorum  bizantiorum  facit  aliquem  numerum,  scilicet  ipsam 


KS  rff»».  Illi.  Xli  il:  l.i,;  tlO. 
I.».  7 it>. 


1 

Ti”' 


rwl.  rrrfii. 


Itf«  i!»i»,)«e  ....  friant 
ilmi  ■ (|u|.  rretf  , liii.  1- 
IK.  1.««.  SOS.  liH. 


Digitized  by  Coogie 


M %r,  vt*  .■>. 


io;t»  r^ut  . . i'i  I 

ttrn.  I>n-  iUv.  itn-  S7 — 

fi«f.  t*i“,  li> 


«Ofi 

e;in(lein  suiiiiuadi.  Kt  qiiisi  pr<‘ponitur,  quod  multijilicalio  quarte  parti.s  )>izmiliuruni  .<»c- 
riindi  IiutuinU  in  totam  .smiitiiiun  fucit  du|)lmii  nuiltiplicatiunis  tertie  ]>arli$  bizantiorum 
primi  in  ij»sam  camlcm  summam;  ]Hmendum  est,  quod  secundus  colligeret  talem  nu- 
merum bizantiorum,  quorum  quarta  pars  sit  duplum  tertie  j^artis  l)izantiorum  pnmi; 
rritque  numenrs  ille  n.  Cuius  quarta  pars  est  s,  que  sunt  duplum  tertie  partis  bi- 
zaiitiorum  primi,  scilicet  de  l.  Item  quia  multiplicatio  (piinte  jmrtis  bizantiorum  tertii 
bominis  in  totum  suinniarn  prcpoiiitur  facere  triplum  multiplicatiouis  qiiaile  partis  bi- 
zaiitionim  secundi  in  eandem  summam;  op|>ort<'t  ergo,  ut  tertius  homo  colligeret  tot 
bizanlios,  ex  quibus  quinta  {>ars  sil  triplum  quarte  partis  liizanliorum  secundi  ; ergo 
{Mines,  ut  ipse  colligeret  bizarititis  30,  quorum  quinta  jiars.  scilicet  liiznntii  6,  esi  tn- 
pliiin  quarte  partis  bizantiorum  secundi,  scilicet  de  s.  Adbur  quia  mullijiiiaitiu  scite 
partis  bizantiorum  quaili  bominis  in  suprascripta  summa  prtqionitur  facere  quadruplum 
niulti{»lirationis  quinte  partis  bizantiorum  tertii,  in  ipsa  summa  ponendum  est,  ut  ipse 
quartus  bomo  colligeret  tot  bizanlios,  ei  quibus  sexta  pirs  liat  quadni|ilum  quinte  jiarlis 
bizanlioriim  tertii  bominis;  erunt  bizniitii  i44, quorum  sexta  pars  sunt  biz4intii  S4,  qui  sunt 
qiiadnipliim  quinte  partis  bizantiorum  tertii  bominis,  .scilicet  de  o.  Rursus  quia  muItipU- 
calio  se|)tiine  partis  bizantiorum  quinti  bominis  in  lotam  .summam  preponitur  facere  quin- 
cu|ilum  multiplicationis  sexte  partis  bizantiorum  quarti  bominis  in  ipsam  summam,  oppor- 
trt  quod  {KKiatur.  qiUMl  quinius  homo  colligeret  biznritios  sio.  Ideo  quia  septima  pars 
ipsorum  sunt  bizaiitii  iio,  qui  sunt  quincuplum  de  bizantiis  2i,  sexte  uidelicet  partis  bi- 
zantionim  quarti  bominis.  (juo  factu,  colliges  proscriptas  bizantiorum  positiones  in  unum, 
scilicet  bizantios  3 primi  bominis, et  bizantios  s secundi, et  bizantios  3U  tertii, et  liizanlios 
144  quarti,  et  bizantios  hio  quinti,  erunt  bizanlii  102S,  qui  est  numerus  pisiliis  pm  re|»erta 
summa:  deinde  iiidcas,  in  quot  ascriiderint  quinque  .siqiruscriptas  (.i/c)  imilli))liraliones  in 
i|LSum  summam.  Miilli|dicalio  quidem  tertie  partis  biz.anlionmi  primi  in  ipsa  summa,  sci- 
licet 1 in  1013,  facit  semel  10S3:  quare  seniabis  i ex  parte. Item  multiplicatio  quarte  partis 
bizantiorum  seciiiidi,  .scilicet  S,  iii  totam  summam,  uidelicet  in  | 1023,  facit  bis  102S:  qtiure 
.seniabis  2.  Iterum  quinta  pars  bizatiliorum  tertii  hominis,  scilicet  C,  multiplicata  in  pr^- 
srri|)tis  I02J,  furiet  sexies  1023:  quare  seniabis  iterum  o.  Rursus  .sexta  |>ars  quarti  lin- 
miiiis,  scilicet  21,  niulliplicatu  in  102.X,  facit  iiigies  quater  |U23:  quare  .seniabis  24:  adime 
septima  pars  bizantiorum  quiiili  hominis  , .scilicet  bizantii  120,  iniiltiplirula  in  pre- 
.srriplam  snmimiin,  .scilicet  in  loi.x,  facit  centies  uigies  |023:  quare  seniabis  120;  que 
addes  cum  24,  et  cum  c,  et  cum  2,  et  cum  1 soniatis,  enitii  153  : ei^go  in  proscri- 
ptis quinque  mullipliratimiibii.s  exeunt  centies  qiiinqiingies  ter  1025:  et  cum  ipso  quinque 
imilli|i)icationes  non  debeant  faeere  nisi  tantum  semel  ipsam  siiiuniam,  dices:  pro  3,  que 
|Kmo  in  collectione  bizantiorum,  ueriiet  centies  quinquagies  Inr  ijisa  .summa;  quid  pinam, 
ut  tantum  ipsa  perueniat  semel  : mnttiplicabis  ergo  3 per  l,  et  diiiidcs  ywr  153,  exibunt 
Ullius  bizantii  ; el  lut  reperit  priinus  lioiiio  de  reperta  sumina.  Similiter  si  bor 
feceris  de  positionilni.s  bizaiitionim  reliquorum  quattuor  bominiim,  scilicet  de  bizantiis  s 
secundi  hominis;  et  de  bizantiis  30  tertii  bominis;  et  de  bizaiitii.s  144  quarti ; et  de 
bizantiis  840  quinti  bominis.  Repones,  quod  secundus  homo  collegit  ex  reperta  summa 
unius  bizantii;  et  tertius  homo  colligit  ^ J et  quartus  ; el  quintus  Ji*,  bor 
est  bizantii  ^ 3 : collige  ergo  liec  quinque  collectiones  in  iiiiuiu  faciunt  , hm: 
esi  bizantii  6;  cl  tot  rcpericnint  i{Ksi. 


Digitized  by  Google 


*07 

De  dmtbus  hominibus  qui  inuenerunt  bizantius. 

Dvo  homines  inuciicrimt  hizanlios»  cx  quihus  umi.v(|uisr]ue  colligit  iiieipialiter ; ct 
id,  ({iiod  colligit  piiinus,  fuit  ^ ~ cx  hoc  quini  colligit  .secundus;  et  primus  lucrando 
cum  sua  portione,  dc  hizatuils  li  fecit  hizaiilios  12.  Alter  iici^  de  hizantiis  13  ferit 
14;  el  sic  inter  ulrum(|tie  liahucrunl  hizanlius  loo.  Queritur,  quot  sit  summa  inuenta; 
et  quot  unu.sqiiisquc  cx  ea  collegit.  IViimim  quidem  imienias  numerum,  in  quo  rejte- 
nantur  [,  eiilqtic  39;  et  tot  }>one  secundum  collige  {sic):  de  ({uihus  accipe  scilicet 
10;  ct  tot  hizantios  pone  pro  collectione  primi;  qui  cum  de  11  fecisset  12  , multiplica 
luzanlios  I6  pcv  12,  cl  diiiide  ]>cr  M,  cxihuiit  hizaiilii  ^17,  qur>s  senia  : deinde  quia 
secundus  de  I3  fecit  M,  niiilliplirn  39  per  u,  ct  diiiidc  per  13,  cxihunt  hizantii  42  ; 
quos  adde  cum  I»izuiitiis  17  « cniiit  bizantii  39  » qui  iielleiit  esse  hizantii  loi) : 
quare  multiplicabis  ic  per  too,  el  diuides  per  39,  exibunt  pro  portione  primi  ho- 
minis hizantii  » «Vt  eadem  ratione  multiplica  39  bizantius  per  100,  et  diuide 

|vcr  ^ 30,  exibunt  pro  portione  secundi  hominis  65  bizantii  ; i|uibiis  iunclis  riim 
bizanlils  26  primi  liomiius,  reddunt  pro  tota  summa  bizanlios 

Diuisio  de  ii  in  dtius  fmrtes. 

Uiuide  11  in  duas  partes,  quarum  una  imiltiplicata  ])cr  g faciat  quantum  alia  mnU 
tiplicata  [ler  10:  accipiendum  est  primum,  quud  midtiplicatio  cuiuslibet  partis  cuius- 
libet  numeri  in  numerum,  ex  quo  ijxsa  pars  ducit  originem,  facit  (piaiitum  iiiuUiplicutio 
alie  cuiuslibet  |Kntis  eiasdem  iiiimeii  in  munem.  Vnde  ipsa  |wir$  deriuatur.  Verbi 
gratia:  muUipUeatio  quidem  tertie  cuiuslibet  numeri  in  3,  cx  quibus  ^ ducit  orrigiiieni, 
facti  quantum  iiiulliplicatio  quarti  eiusdem  numeri  in  4.  A quibus  ^ ducit  orriginem: 
quare  nona  unius  numeri  multiplicata  per  o facit  quantum  eiusdem  numeri  multi- 
plicata  per  10.  Vnde  quam  proportionem  habet  decima  unius  numeri  ad  nonam  eiusdem 
numen  , eandem  pritporlioiiero  habebit  tma  pars  de  ll  ad  aliam.  Vnde  inuenieiidus 
c.st  numerus,  iti  quo  reperiantur  j,  J-,  criique  90,  cuius  J,  et  ™ stiiil  10  et  9:  multi- 
plicatio ergo  de  9,  scilicet  decime  de  90  in  10,  facit  quantum  multiplicatio  dc  10, 
scilicet  j de  90  in  9 : unde  iunge  0 et  10,  erunt  10,  que  uellent  esse  ii:  multiplica 
ergo  10  per  11,  et  diuide  per  19,  exibunt  ~ 3;  ct  tot  eiit  una  pars:  residuum  ucro, 
quod  est  usque  in  11,  scilicet  S,  erit  alia  pars;  qui  numerus  exiit  ex  multiplicatione 
de  9 in  11  diuisa  per  19.  Aliter  quia  multiplicatio  prime  partis  in  9 est  equa  mul- 
tiplicationi secunde  partis  in  10;  proportionalitcr  est  sicut  iO  ad  s csl  prima  pars  ad 
secundam.  Vnde  erit  sicut  9 iunrUim  cx  10,  ct  9,  .scilicet  19  ad  9 iunrlum  cx  |»ai  tibiis, 
scilicet  ad  ti,  ita  lu  ad  primum  partem,  et  9 ad  secundam.  Quare  multiplicanda  sunt 

II  per  10,  ct  per  0;  ct  diuideiida  ulraipie  nuiltiplicatio  per  19.  $i  ucro  per  regulam 
rectam  uls  procedere,  |>onc  pro  piima  parte  reui;  quare  secunda  erit  fl  miiius  rc:  et 
multiplica  rem,  .scilicet  primam  j>artcm,  per  9,  egredientur  noucm  res.  Item  multiplica 

II I minu.s  re,  scilicet  secundam  partem  |>cr  io,erunt  110, mitius  decem  rebu-s,  que  equantur 
iioucm  rebus:  quare  si  comuniter  addantur  deccni  res  , erunt  19  res  , que  equantur 
no:  diuide  itaque  110  per  19  , erunt  pro  prima  j>arte  {-^  3;  quibus  extractis  de  n , 
super  erunt  pro  secunda  parte  ^ 3,  iil  superius  inucniimis. 

Diuisio  de  11  in  tres  partes. 

Irem  si  11  iti  tres  |>artes  diuidere  uolueris,  quarum  prima  multiplicala  |)cr  4 faciet 


l>t<<ni*»i  16  * — .'j»  t 

tf.l.  «i  .■.•ro.,  I.I..  S'i.2r..  1..4. 
2J7.  6-13). 


.f-urli  ria.>liai  . ..  l,r.f 

Ihihi  • KS  reri*.  iw. 

•J61  |s.f.  *.IJ.  |.a. 


11  » iW.  Htitvr»'.,  |i«, 

(.j;.  2U1.  liu.  X3-17  « SH'. 


Digitized  by  Googie 


fllallltt  ••••  tB 

1 1 . ,r..i.  8?  r.-.  rM.  ii«.  lo-lik 

808,  Ita.  8-lA) 


rfaM*  •...  «U«aiil  4 * {r»l. 
87  r*rr«.  I.h.  iU  lS.|x>e.  <08, 
i.u.  it-iiu 


18*  , 
« 1«  IV 


p»t  6 f.iul  ....  • 

(f>J.  87  rrt‘'rt,  l•n■  33-31I-, 

308,  Im.  38«  89  — {«z  3UV. 

U.  3|. 


qtianitim  alia  nuiUipliraia  per  5,  et  (pianlum  alia  nuiUiplirata  per  6:  quia  mtiltiplicalio 
quarlc  tmiiis  numeri  per  4 faril  qiiantuni  imiUlplicatio  quinte  eiusdem  numeri  in  5 , 
et  quantum  multiplicatio  sexte  eiiisileiii  numeri  in  o,  iniienies  numerum,  in  quo  re- 
|)oriantur  J ~ J;  erit<{uc  6o,  cuius  qiiurta  est  I3;  quinta  est  li;  se\ta  est  10:  atIJc  ergo 
IS,  et  IS,  ct  10,  eruiitqiic  37,  qiic  iicllent  esse  ii:  quare  imiitiplicalns  is,  et  is,  et  lo 
siiigiiluriter  }>er  ii,  et  diuides  unanupiamquc  inultiplicaliuriem  |>cr  37;  ct  sic  haheliis 
pro  prima  parte  JJ  4;  pro  secunda  3;  pro  tertia  t;  cl  sic  |)osseinus  diuiderc  ii, 
etiam  ct  ipiemlibet  alium  numerum  iii  piiires  partes. 

DittUh  de  II  in  tln/js  /mrtes  ^ecun(If^m  alium  matlum. 

liem  si  pnq>onatur  diuiderc  n iti  duos  jNirtes,  quarum  una  multiplica  (^/c)  [>cr  9 fa- 
ciet \ 30,  plus  alia  multiplienta  similiter  per  9;  quia  maior  |*ars  muUiplienta  |>cr  9 
facit  J 30,  magis  alia  niulliplnatioiie,  diiiidcs  f 30  pero,  exibunt  ^ 3;  et  in  tot  excedit 
maior  pars  minorem  : ideo  quia  multiplicatis  ~ 3 per  9,  faciunt  | 30 ; ergo  extrahes 
1^3  do  ii,  remanebunt  J|  7,  hoc  est  7;  que  diuidc  in  duo  equa,  exibunt  ^ 3 pro 
qualibet  |>arle;  cl  tot  fuit  minor  pars:  residuum  liero,  quod  rsl  usrpie  in  ii, scilicet  f*7, 
fuit  alia. 

Alilcr  de  eodem. 

Nxm  si  proponatur  diuiderc  n in  duas  partes,  quarum  secunda  multiplicata  per  lo 
faciet  J 30,  plus  multiplicatione  pritne  partis  iii  9;  extrahe  dc  ii  numenini,  qui  cuni 
miiltiplicelur  per  lo,  faciat  ^ 30:  qui  numerus  reperitur,  cum  | 30  diuiduntiir  per  ta; 
crilquc  numerus  ille  ^ s:  quosl  extracto  de  ii,  remanent  ^ 7;  que  diuidc  in  duas  partes 
per  sujimscriptam  regulam;  ita  qinxl  multiplicatio  prime  partis  |>cr  9 faciat  «piantum 
alia  multiplienta  per  10;  critque  prima  jiars  inueiita,  extrahatur  dc  ii; 

qucxl  facies  per  modum,  quem  in  decimo  capitulo  demonstraui:  scilicet  accipe  3,  que 
.sunt  sn{>er  4,  ct  extndic  ea  c\  ipsis  4,  et  remanens  ]>one  super  4 ruiusdam  protracte 
uirge,  sub  (jua  sint  per  ordinem  suprascripti  rupti,  sinlicet  7-75-^»  expretis  (j/c)  4, 

retinet  in  manu  t;  qiic  adde  rum  7,  que  sunt  stijier  to,  eruiil  8;  a quibus  u.M]tie  in 
10  desunt  2,  qiic  [k>iic  .super  iO  ; el  pio  expretis  decem  reline  l;  que  adde  rum  I4, 
qiie  .sunt  super  19,  erunt  is:  a quibus  us<[uc  in  I9  desunt  4,  que  {huic  super  i9  prt>- 
tracte  iilrgulc;  et  pro  expletis  19  retine  1,  quod  adde  cum  3,  que  suat  aiitc  uirgulani 
7;  ct  extrahe  de  11,  remnnehunt  7,  que  p<»nc  ante  protractam  uirgtilam  ; ct  sic  ha> 
IhIus  pro  secunda  parte  [ 7.  Item  si  n in  tres  partes  diuidei‘e  pio|M)natur,  quaimni 

secunda  multiplicata  per  5 faciat  iO  , plu.s  multiplicationi  prirne  in  4 ; ct  mullipli- 
ratio  tertie  per  6 faciat  II,  plus  multiplicatione  .secunde  in  5,  hoc  est  21,  plus  miiU 
tipliratione  prime  |>artis  per  4.  Cum  itaque  ultima  pars  muUiplicuta  per  6 faciat  21, 
plus  quam  prima  pai‘s  mulliplicata  jht  4 ; ergo  $i  ex  ipsa  ultima  |>arte  extrahatur 
numerus,  quo  multiplicato  per  0,  faciet  21,  .scilicet  3 , que  exeunt  ex  diuisioiic  21 
per  c,  remanent  c\  i|*sa  ultima  parte  numerus,  qui,  cum  multiplicatii.s  fuerit  per  6, 
facit  q'(Biituin  prima  pars  mulliplicata  per  4.  Item  <piia  .secunda  jiars  multiplicata  per 
s facit  10,  pliisquam  prima  multiplicata  per  4 ; si  ex  secunda  parte  exlrahaUir  nu- 
mmis, qui  niulliplicntiis  pei  5 faciat  10,  scilicet  2,  remanehit  ex  ipsa  secunda  parte 
numerus  , quo  riuiUipliaito  per  3 , faciet  quantum  prima  multi]>Iica(a  {>er  4 : ergo 
exlndianlur  2,  et  4 3 de  11,  remurirlnml  ^ s;  que  diuide  ]K't  suprascriplam  regulam  iii 


Digitized  by  Googie 


too 

tres  partes,  quaium  secunda  multiplicata  per  s,  ct  tertia  multiplicata  |>er  6 faciunt 
(jiiantum  prima  multiplicata  per  4 ; crilfjuc  prima  pars  Sj  secunda  tertia 

J-jy  I ; adde  ergo  2 cum  secunda  |iai  te,  cntiil  3 : similiter  adde  - 3 cum  tertia  parte, 
erunt  J-Jr  4;  et  sic  potos  facere  de  simililms. 

De  tlnuhus  numeris  refterietuHs  secumlum  datam  tjunndam  prof)arti<mem,\ 

Svnt  duo  numeri,  qiumim  [ unius  est  J alterius;  et  eorum  multiplicatio  est  quantum 
euium  aditio.  Inuciiias  jn  imiim  du<K  numeros,  quot urii  ^ unius  sil  > alterius;  erunlqiie 
i ct  7.  Que  poiic  pro  quesilU  numeris,  cl  adde  5 cum  7,  erunt  12.  Sed  nmltipliratio 
de  S iu  7 facit  35;  qiic  cum  uelint  esse  12,  cl  muttiplica  t2  |K.*r  5,  ct  12  per  7 , et 
diuidos  utruinqiic  nmltipln  ationem  j>er  3S;  ct  liabobis  primum  numeruni  f i;  securidiirn 
l i:  ucl  aliter  suprascripta  12  diuide  per  7,  et  per  5. 

Aiiter. 

si  proponatur  , quod  addita  quinta  parte  unius  cum  septima  alterius  faciat 
quantum  imiltiplicatio  numeroiuin  ad  imiiccm  ; addes  quintam  dc  5,  scilicet  i,  cum 
y dc  7,  erunt  2;  que  niulti[dica  ]>cr  s,  et  per  7,  ct  diui<lc  utramque  iiuiltiplicationem 
por  33;  ucl  ips;i  2 cliuidc  per  7,  ct  per  s;  ct  liabelus  primum  mimeium  secundum  |. 

Aliter. 

Ilvrsum  si  pro(M)natiir,  quod  imiitiplicala  quinta  |»arlc  unius  |H'r  septimam  alterius 
faciat  quantum  aditio  unius  mimeri  luim  alio;  multiplicabis  quintam  dc  5 |>er  * dc 
7,  scilicet  1 ()or  1,  erit  unum  ; ct  adde  s cuin  7,  ut  siipni,  erunt  li;  que  niultipli- 
cabis  per  S,  et  per  7,  et  diuiiles  utranKpie  multiplicationem  per  unum,  quod  fuit  summa 
multiplicalioiiis  de  uno  in  iiiio  snpnidictis;  et  babebis  primum  numerum  co,  quorum 
fjuiiila  est  12;  secundum  est  S4  , «piorum  septima  est  12  similiter,  ut  opporlet:  nam 
multiplicato  12  por  I2  facit  qtiaiUtmi  aditio  dc  60  cum  84. 

Sfoilus  alius  de  duohns  numeris  ref>criendis. 

Irem  quinta  unius  riumcitmini  sit  .septima  alterius  ; et  multiplicata  quinta  parte 
unius  per  .septimam  alterius  facit  quantum  aditu  quinta  |>arle  unius  cum  septima  al> 
teriu.s  : multiplicabis  1 per  1,  ut  supra,  erit  unum;  ct  addes  ipsas  unitates  insimul, 
erunt  2:  per  que  multiplicabis  s ct  7,  ct  diuides  ulraiii(|ue  multiplicationem  per  unum, 
et  habebis  primum  numerum  10;  secundum  I4. 

Questio  alia  de  duobus  numeris. 

AdIiuc  si  proponatur,  quod  imiUiplicato  uno  numero  per  alium  faciat  aliquod  mul- 
tiplex corunidem  adictioni«,  ut  dicamus  duplum  : addes  tunc  s cum  7,  eniut  12;  que 
duplicabi-s,  erunt  2t  : multiplicabis  ergo  24  per  S,  et  24  per  7;  et  diuides  ulramrpie 
multiplicationem  per  multiplicatitnem  de  5 in  7,  .scilicet  {icr  35,  cl  habebis  primum 
mtmenim  ' 3;  secundum  y 4 : et  nota  (juia  in  omnibus  suprasc  riptis,  etiam  ct  in  sc- 
c|uci:tilms,  semper  dumus  diulsioncm  numero,  qui  ex  nuiltiplicationc  duorum  numerorum 
culligiiu!  multiplicatorum. 

Questio  alia  de  duobus  numeris. 

iTtrum  si  pro|H>iiatur,  quod  aditio  numerorum  faciat  aliquam  mulliplicitalem  mul- 
tiplicationis conimdem,  ut  dicamus  triplum:  multiplicabis  12,  que  sunt  aditio  dc  5,  el 
7 ]HT  oo.sdcm  numeros,  enint  GO,  et  ai  ; que  diuide  per  dictam  multiplicitatem  mul- 
tiplicationis de  5 in  7,  scilicet  per  triplum  de  3S,  idest  {ler  los,  ct  babebis  primum 
numeruin  y ; secundiitii  27 


(•■I.  }il  m >ti. 

«In • |lw|. 

U<|.  l-l;  |•g.  liH 

A II  . 


i/ 

12 


I rr  s «I  I py  7 . |4iai«rH  h» 
Ml!  1'*e-  I.ii.  |i-*2r 


1 


12 


ll«r«iM  »1  ....  • \f>  1 

V*  |,n.  tX  27  V rup 

m,  i>*.4u— ]..g  tm.  ti*  ii. 


105  7 5 


12 


Digitized  by  Googie 


....  rtttntriit  • iTai'  K? 

ii«.  sv  33i  r<K-  > 
lt«. 


3:»  T 3 


H 


....  • 

N3  lin.  9I>S(>,  |ay. 

ii'K  I»». 


1^ 


I.».  37  a?;  |.4«.  )>lll, 
Jiw  17-J{us 


2 


lirai  ....  • ( r«|.  Hli 

llB.  a-t»;  IV. J|ll,  J,„. 


Lt  m ■ ••  if-l  «M 

Um.  H-ia,  Hg  n'J,  I..1. 

31  37). 


!I45  33  27 


i i ....  • 

iM.  hS  rrrfa.  Imi  la-IH:  |v>f. 
ail>.  liB.  4U  _ fvig. 

1k 


.fiiter  wcumium  <tiuun  ffnextioncni. 

Hx'i^iim  imihi|iliriilio  nutiicronini  iii  sc  farial  »li(}ii4Ml  muitiplcay  ut  (iicamu.s, 

(|iiadrupiuiti  tulilioiiis  (|tutile  |Kir(i.s  unius  rmiucri  nmi  soptima  parte  allerias:  qiiadru- 
pluin  dc  2,  que  .sunt  aditio  quinto  partis  dc  5,  et  septime  pnrtLs  de  7*  srilicet  h • 
multiplira  per  s et  per  7,  erunt  4u,  ct  sc;  que  diuide  jver  utullipUeationeni  de  S in 
7,  srilicet  per  33,  et  Iiaheliis  primum  numerum  | 1;  seriiiidtim  * t.  Item  aditio  quinte 
jKirtis  unius  rum  sepliiiiu  alterius  faciat  quincuplum  inultipiirationis  unius  numeri 
in  alium:  multiplicahis  3 siiprascripta  |>er  5,  et  {xtr  7,  erunt  iO,  et  fl;  que  diuide  per 
quincuplum  <le  33,  scilicet  ]ier  17S,  et  hatiebls  primiiiii  luimerum  secundum 
//<’/«  qttfstio  aiin  de  dtutbus  numeris. 

AdIiuc  multiplicatio  quinte  partis  imius  in  septimam  alterius  sit  .sexcuplum  aditionis 
raiumdom  |KUlium;  addes  \ de  s cum  7 de  7,  erunt  12;  quorum  sexcuplum,  scilicet  f2, 
multiplica  per  3,  et  (>er  7,  erunt  co,  et  st;  que  diuide  per  multiplicatiouem  quinte 
partis  dc  3 in  .septimani  partem  de  7,  sinlicet  per  unum;  et  lialHrliis  jiriimim  numci-um 
co;  .secundum  n4. 

De  eodem  secundum  aiiam  diuisionem. 

Irorum  aditio  quinte  partis  unius  cum  .septima  parte  ulterius  faciat  septuplum  mul> 
tiplicalionis  earunutem  partium  in  se  : multipliralns  2 per  .1,  et  per  7,  erunt  to,  et 
14;  que  diuides  per  scpltiplum  muUijdicalumis  quinte  partis  de  3 in  septimam  pnrleni 
de  7,  .scilicet  |>cr  7;  et  habebis  primum  numerum  | f 1;  secundum  2:  |>os.sumu.s  enim 
mullas  alias  questiones  uarios  ex  siiprascriptis  pnipoiicrc;  quonini  solutiones  per  supra- 
scriptas  .salis  competenter  reperiri  pivssunt. 

Dinisio  alia  inter  duosnumerin. 

Irem  simt  duo  iiiitiieri,  ex  quibus  [ >-  unius  sunt  ^ J alterius;  et  multiplicatis  in- 
simul faciunt  iunciionem  conimdem  : priimim  tpiidem  suprascriptorum  inucnies  duos 
iiuroeixts,  quorum  ; | uiiiiis  sit  { alterius  ; cruntque  27,  et  33;  et  addes  27  cum  35, 
erunt  C2:  per  que  multiplica  27,  et  35,  et  diuides  utramqiie  multiplicationem  per  .sum- 
mam multiplicationis  dc  27  in  3S;  iicl  diuide  62  per  33,  et  per  27,  ct  habebis  primum 
numerum  fi  t;  .MTuiidura  ,,  2. 

De  ettdem. 

Kt  si  pro|>ositum  fueiit  , quini  multiplicatio  unius  dictorum  numerorum  in  alium 
sit  duplum  aditionis  eorumdem;  duplum  de  C2,  scilicet  t24,  multiplica  }>er  27,  et  per 
33,  et  diuide  utramque  multiplicationem  |kt  summam  multipUeationis  dc  27  in  33;  uct 
»24  diuide  per  35,  et  per  27,  et  babebi.s  primum  numerum  -J|  3;  secundum  j!4. 

De  eodem. 

Ki  si  aditio  sit  duplum  muUiplicationU  eonuiidcm  ; multiplicatio  de  02  in  27  , et 
in  33  diuides  per  duplum  muUiplicationis  de  27  in  35;  uel  diuide  C2  per  duplum  d«* 
35,  cl  dc  27,  cl  linl>e!>i.s  primum  humerum  .secundum  ^ 1. 

De  eodem. 

Irem  | | primi  numeri  .sit  | | secundi;  et  multiplicatio  primi  iit  secundum  faciat 
quantum  aditio  cuiuslibet  partis;  uel  quarumlibet  partium  primi  in  quamlibet  partem, 
uel  |>arles  secundi,  ul  dicamus,  quod  aditione  (sic)  J J unius  cum  J [■  alterius  sit  quantum 
imiUiplicatio  uuius  numeri  in  alium  : accipe  J ; de  27,  que  .sunt  J I5;  cl  adde  ca  cum 


Digitized  by  Google 


2tl 

l J do  ;)3,  soilit  oi  cum  \ iS,  erunt  }-  3i  : multiplicaiiis  J a pci  27,  et  \ 3i  per  35;  el 
diiiides  iitramque  roultiplicatiunem  per  snmniani  multiplicationis  de  27  in  35  : uel  * 3i 
diiiides  per  35,  et  per  27,  el  IuiIxIms  pro  primo  numero  pro  seciitidu  ^ i. 

/)(•  eMh‘m. 

Ki  si  nmltiplicalio  riumeronim  sit  quadruplum  aditionis  de  \ [ iiiiius  cum  J- 4 al- 
terius; qtmdniplum  [st,  s<*ilicet  isc,  multiplica  per  27,  et  per  35;  el  diuide  utninique 
multipliaitioiiem  per  summam  niultiplicalionis  de  27  in  35:  uel  I2G  diuide  |mt  35,  el 
per  27,  et  habebis  pro  prim<i  munero  [ 3;  pro  seeundo  ~ 4.  Kt  si  multiplicatio  dc  | \ 
primi  numeri  in  [-  J secundi  sit  quantum  aditio  primi  numeri  cum  seniiidu:  quia  | [ 
de  27,  et  de  35  iiun  cadunt  in  integrum,  cum  sint  J 15;  0|Mirtet  ut  niultipliceiilur 
27  et  35  per  4,  eitmt  tos,  ct  140:  ct  accipe  [ | dc  las,  quo  sunt  gs;  et  multiplica  ea 
per  03,  que  sunt  [ de  140,  erunt  3969:  ct  adde  IQ8  cum  i40,  criinl  2l5;qiie  multi- 
plica per  108,  et  per  I40;  et  diuide  titramque  multiplicationem  per  regulam  dc  39G9;  et 
euitabis  hoc  qiUKl  cuilarc  poteris,  ct  habebis  priinuiii  numenuii  Hy  6;  secundum  8. 

De  eodem, 

Kt  si  inultiplicatio  dc  | [ primi  iii  ^ secundi  sit  quincuplum  aditionis  minient 
ruiii;  quincuplum  de  its,  scilicet  lito,  mulliplica  [>er  los,  et  |)cr  140;  et  diuides  iitramque 
mulliplicationera  per  regulam  de  396u;  ct  euitabis,  et  habebis  primum  numerum  [Jy  J3; 
secundum  f|f43. 

Rvrsiis  {-  [,  ut  diximus,  primi  numeri  sit  ] [ secundi;  et  multiplicaliu  de  ||  primi 
in  { \ secundi  faciat  aditionem  de  | ^ cum  [ [ secundi  ; adde  C3  cum  C3  , scilicet 
-J  [-  de  niH  cum  [ [ de  140,  erunt  126;  per  que  multiplica  los  et  I40;  ct  diuide  utnimque 
mulliplicatiuncm  per  3969;  et  euitabis,  et  habebis  piimum  numerum  ’ 3;  secundum  [ 4. 

Pe  eodem, 

Kt  si  multiplicatio  dc  | j unius  in  [ ^ alterius  sit  sexcuplum  additionis  de  | y 
iiiiiUsS  [ { alterius;  sexcuplum  de  <26  multiplicabis  |>er  los  , ct  per  HO  ; et  diuides 
utram((ue  multiplicationem  per  3969;  et  euitabis  Iuh'  quod  poteris,  et  habebis  primum 
mimenim  | j 20;  secundum  | 2C. 

Kt  si  aditio  do  | [ unius  cum  j [ alterius  sit  septuplum  multiplicationis  dc  [•  [ unius 
per  I ' alterius;  multiplicationes  de  12G  in  las  , et  in  140  diuide^  per  septuplum  de 
39G9;  et  euitabis,  ct  habebis  pn>  primo  iiunicro  pro  seimndo 

De  duobus  numeris  refieriendisy  qui  sini  ad  innicem  in  data  profHtrtionc. 

Accepi  4 I unius  numeri  extraexi  dc  alterius  sit,  ct  quoi!  remansit  multiplicatu 
per  f 9,  ct  habui  lou;  diuides  itaque  igq  per  | 9,  exibunt  10.  (^iiare  reperiendi  sunt 
duo  numeri,  quorum  | { unius  excedant  ^ [ alteiius  in  yf  10  ; pone  pro  primo  numero 
30,  et  pro  secundo  24:  exlralic  { de  3o,  scilicet  11,  de  } y de  24,  scilicet  de  14,  re- 
manent 3:  que  cum  tiellent  esse  ~ lO,  Multiplicabis  10  per  30,  ct  per  24,  el  diuides 
utramque  multiplicationem  per  3,  exibunt  pn>  primo  numert>  los;  pro  secundo  [y  sg: 
uel  habeas  pro  primo  numero  30;  et  sii|>cr  ~ [ eorum  adde  lo,  erunt  {7  21,  que  sunt 
{ j secundi  numeri.  Ouare  multijdica  12  per  J?  21,  et  diuide  per  7.  Et  si  uis,  sit  se- 
cundus numerus  24;  dc  quorum  \ deme  to,  remanebunt  ~ 3,  que  sunt  [ | primi 
numeri.  Et  si  proponatur,  quod  | primi  sint  \ .secundi ; el  ex  ipis  prouenionl  su- 
pradicta.  Inueiiies  duos  numeros,  (piorum  | unitis  .sint  [ alienus,  erunt  9,  et  10:  quos 


‘ 31  ....  r-  • tf-l  ** 
u.  n a i III  . 

U.  6 II  r it  . 

I 39G9  14M  IUS 

I 


I 2ts 


|.rc  tf  U«|.IM  . * (M 

KK  ri  fi»,  Im.  SI  t S)!-S6;|..K. 
211.  i»t.  tn-H'. 


39G9  140  IUS 


12r. 


•'t  ,,  ....  •imivruin  » tfnl. 


f..l.  M , 


r Rr  M ....  f'l  < 

iM.  M In.  S 4 r .X  ; 

l-f.  211.  Im.  ZV  32i. 


Digitized  by  Googie 


2i2 

multiplica  per  30;  ut  que  necessaria  sunt,  habeantur  in  integra;  erunlquc  pi*o  primo 
numero  870;  pro  secundo  soo  : extrahe  ergo  J { de  270,  scilicet  oo  de  J J de  300,  sci- 
licet de  173,  remanent  "fi;  que  cum  uelint  esse  lO  , multiplicabis  lo  per  270,  et 
per  300,  et  diuides  unamquamque  muUipticationem  per  70,  exibunt  pi*o  primo  numero 
38;  pro  secundo  -{7-77-42.  Et  si  ui.s,  ut  multiplicato  residuo  in  se,  qutKl  est  inter 
21  primi  numeri,  et  { -J  secundi,  faciant  unum  ex  ipsis  duobus  numeris,  qualem  uis, 
ut  dicamus  primum;  pones  pro  ijvso  primo  iiunicit>  mimeixiiu  liabentcm  radicem,  cuius 
J 5 sint  iiilcgrc;  sitque  «w  super  - 1,  quorum  adde  radicem  eorum,  scilicet  30,  erunt 
360:  quare  inticnias  numcnini,  cuius  J J sit  3fi0,  scilicet  inultijdicationem  de  12  in  360 
diuide  per  7,  exibunt  pro  secundo  numero  7 617.  Rursus  si  uis,  ut  raullijdicalio  pre- 
dicti  residui  in  se  faciat  secundum  numerum  ; |Kme  ipsum  secundum  numerum  esse 
111;  de  tjuorum  ~ v>  scilicet  de  &4,  abicc  radicem  eurum,  que  est  f2,  remanebunt  72. 
Inucnics  ergo  numerum,  cuius  7 J sint  72;  critque  ~ I96  pro  secundo  numero.  Item 
muhiplicaui  J { primi  numeri  per  J ~ secundi;  et  fuit  illud  quod  prouenit  too.  Inuc- 
nias  duos  numeros,  qui  insimul  multiplicati  faciant  loo:  sint  5,  et  20:  quare  pro  primo 
numero  habebis  numerum,  cuius  sunt  3;  et  pro  secundo  halxd>is  ipsum  numerum  , 
cuius  7-  et  -7  sunt  20.  Quare  multiplica  30  per  5,  et  diuide  j>er  ii;  et  12  per  20; 
et  diuide  per  7,  et  habebis  primum  numerum  ^ 13;  sccutidum  -?  34.  Aliter  quia  ex 
ductis  10  in  se  pruuciiiunt  too ; iiiuenias  pro  primo  numero  numerum  , cuius  —■  -f 
siiil  10;  critque  ^27:  et  pro  secundo  inuciiios  mitncnim,  ex  quo  10  sint  7- eritque 
!-  47:  et  sic  possumus  infinitas  questiones  per  regulas  arlHimm  soluere. 

Incipit  pars  quarta  duodecbni  Cafutuli  <ie  inuentione  bursarum,  | 

[)vo  liumines,  qui  liabcfNint  denarius,  inuericrunt  bursam  unam  denariorum;  qua  in- 
uenta,  primus  dixit  secundo:  Si  has  denarius  Inirsc  cum  denariis,  quos  habeo,  haberem, 
haberem  utique  ter  tantum  quam  tu.  Cui  econtra  alter  Re.spondit : Etsi  ego  haberem 
<lcnari(ts  bursc  cum  denariis  meis,  haberem  rpiater  tantum  quam  tu.  Queritur  quot  unus> 
qutsfpic  lml>cl»at;  et  quot  ipsi  repericruiil  in  bursa.  Nutandum  est  quidem,  quod  quia  cum 
primus,  luthita  bursa,  habcul  ter  lautum  secundo  ; si  i|>5c  cum  bursa  habet  3,  et  se- 
cundus halx?!  4 ; ergo  inter  utrumqiic  cum  bursa  habent  4;  ex  quibus  primus  cum 
bursa  habet  3:  ct^o  habet  { totius  summe  denariorum  iliorum,  et  bursc.  Propter 
eadem  et  secundus,  cum  habeat  cum  bursa  quater  lautum  primo,  eiusdem  summe  A 
eum  habere  iicccssc  est.  Quare  iiuienias  numerum,  in  quo  if(>eriantur  | critque  20. 
Pone  ergo,  ut  summa  denariorum  illorum  sit  fO;  de  quibus  primus  cum  bursa  Iiabct 
*,  scilicet  15.  Et  secundus  cum  bursa  lialK-l  A,  scilicet  IC:  ergo  inter  ulrumque  cum 
bursa  bis  computata  habent  31  : .Supcrfluuin  ticro,  quod  est  a 20  us^|uc  iii  3i,  scilicet 
M,  est  summa  denariorum  Inirsc.  Ideo  quia  bursa  computata  est  bis,  cum  non  dclicat 
computari  nisi  tantum  semel;  quare  cumpulatio  burse  fuit  semel  magis  quam  debuit. 
Vnde  denarij  superflui,  qui  sunt  n 20  usque  in  31,  uidclicet  ii,suiit  semel  id  quod 
in  bursa  repertum  fuit.  Quare  exiniltcs  11  de  13,  remanent  4;  cl  tot  habuit  primus  : 
deinde  cxtralic  tl  de  10,  remanent  s;  et  tot  habuit  .secundus  : ergo  primus  habet  4, 
et  secundus  5;  quibus  additis  cum  11  de  bursa  faciunt  20,  ut  pro  eorum  summa  po- 
suimus. 

Aliter  quia  primus  cum  bursa  habet  -J  toliiis  summe  dcnaiiorura  ipsorum,  et  bursc; 


Digitized  by  Google 


Si3 

crgij  vcundu.%  Imliel  -J-  lotius  summe.  Et  primus  hnl>et  -j  lotius  summo  ; idoo  quia 
secundus  cum  Inirsa  habet  — summe.  Quare  iicci|M!  -J-  dc  jo,  quo  esi  4;  cl  lut  habuit 
primu.s.  Itera  arripe  J dc  lo,  que  esis;  ol  lol  habuit  secundus  : ergo  inter ulruniquc 
ha)>ent  6;  a quibus  usque  in  lo  remuticul  II  pro  bnrse  qnantitato  , ut  pi\'di\imus. 
liem  aliter.  l'onc  primum  habere  rern;  <|uarc  cura  bursii  habet  rem  et  bui-sam,  que 
suiit  triplum  denai  iunim  secundi  : ergo  secundus  habet  tertiam  nu  ct  bursc.  Quare  si 
habuerit  huisam,  habcltit  bursam  et  tertiam  hiirsO)  ct  insiqier  tertiam  rei,  quo  orpiautur 
IMJ"'  rebus  , scilicet  quadruplo  denariorum  primi ; cum  secundus  cum  bursa  habeat 
quater  tantum  quam  primus.  Extndic  ergo  ab  utraque  parte  tertiam  rei,  remanebunt 
bursa,  et  tertia  Imrse,  que  equautur  mi'*'  rebus,  minus  tertia  rei.  Quare  triplum  unius 
burse,  cl  lercie,  scilicet  bursc  4,  cqualur  triplo  .iiu.*'  rerum,  luiiius  tercia,  scilicet  rclnis 
il:  cl  quia  quater  tl  e4|uautur  undecies  , erit  proportio  denariorum  bursc  ad 
denarios  primi  hominis,  sicut  ll  est  ad  4.  Vnde  si  in  bunui  sunt  denarii  ll,  piimiis 
homo  habet  4,  quorum  onmiuin  tercia,  scilicet  5,  ncccssorio  liabct  .scciiudus;  cum  primus 
<‘uni  bursa  habeat  triplum  eius. 

De  bursa  a tribus  hominibus  reperta. 

Ilciii  tres  bomiiios  denarios  habentes,  (|ui  bursam  deuarioriim  itiueiieniiit;  i|Uoriim 
primus  divit  ceteris.  Si  daretis  mihi  bursam  dcnariunim  cum  denariis,  quos  habeo, 
imberem  bis  lautum  quam  uos.  Secundu.s,  habitis  dciiurijs  burse,  proponit  se  habere 
ter  tantum  reliquis.  Tcrcius,  si  bursam  babuent,  quater  lantum  duobus  reliquis  se  ba* 
berc  aflimiat.  Qucrittir,  quot  uiius4piisf[uc  habebat;  ct  4|iiot  in  bursa  rc|>erieruiit.  Quia 
primus,  habita  bursa,  prc|Mjiiit  bis  tantum  aliis  balicrc;  ergo  si  primus  habet  s cum  bursa, 
aiij  ba1)cut  t ; ergo  inter  omnes  liHliciit  3 : ergo  primus,  habita  bursa,  habet  | totius 
summe  cunctorum  trium  hominum  deuarioriim  et  bursc.  Eademr|uc  ratione  secundus  homo 
eiusdem  summe  habet  |,  et  tcrlius  b.abct  cpiarc  uidciidum  est  de  ^ | in  quo  re- 
ponantur numero,  uidclicct  iu  oo:  accipe  | ergo  J dc  co,  que  sunt  40,  et  J,  que  .sunt 
4$,  ct  qtic  sunt  4s;  ct  adde  insimul,  ernnt  133;  qui  numerus  magis  est  in  integro, 
scilicet  dc  cu:  ct  huc  contigit  pnqUer  denarios  burse  , qui  ter  computantur  iii  pre« 
scripta  summa,  uidclicct  cum  unu<]uoquc  ipsorum.  Et  cum  non  sit  computanda  nisi 
laiitnm  semel;  manireslum  est  , qiu»d  computatur  his  plus  quam  dcl>eat:  ergo  illud 
.superlluum,  quod  est  a co  us<[uc  in  133,  quod  est  73,  est  duplum  denariorum  burse. 
Quare  diuideiida  sunt  73  per  3;  aut  co  per  s multiplicanda.  Sed  meliti.s  est,  ut  mul- 
tipUrctur  co  per  s,  quam  diuiderc  73  per  i.  Ideo  quia  73  non  (M>test  diuidi  per  3 
ubs(|ue  fractione;  ascendit  ctiim  multiplicatio  dc  3 in  60,  iii  120,  que  erunt  summa 
cunctorum  denariorum,  et  bnrse.  Kt  73  cruiit  pn>  quantitate  denariorum  burse.  Et  quia 
primus  | totius  summe  cum  bursa  amplectitur,  scilicet  de  iso,  ipsum  denarios  so  ha- 
bere noii  dubitatur:  dc  quibus  extractis  denarijs  burse,  scilicet  73,  remanent  7 ; ct 
tot  balmil  primus.  Item  accipe  * dc  is»,  cnuit  90;  dc  quibus  extrahe  73,  remanent  17; 
ct  tot  habuit  alter.  Rursus  sume  ^ dc  120  , que  sunt  96,  ct  extrahe  iiidc  73  , rema- 
nent 33;  ct  tot  habuit  lercitis. 

Aliter  quia  primus  cum  bursa  baliot  | totius  summe  ; reliquis  duobus  ^ eiusdem 
summe  remanere  nccessc  est.  Iterum  cum  secundas  cum  bursa  | totius  summe  detineat; 
reliquis  { eiu‘^dcm  summe  remanere  uon  dubitatur.  Ruisus  aim  tertius  homo  habeat 


tlil^  ....  • (f-.l 

IViliM;.  2li. 
lia.  13  — |.tg,  XI3i  ■»<>•  7- 


(rataiK 

4 

5 
11 


(■tf  2 - f.  • ,liil  *!* 

• iiit.  4-11  V Zl-i- 

32-lX;. 


7 

9.*  uniliu 

73 

17 

7J 


Digitized  by  Google 


•■riiA.  Im>  ii  33 


« . <..l,  K!t 

l*«.  . 


jli«irt«  Uriiui.  priaiiM 

' 73  2J  17  7 


t <|ii«  llluJ  • (f»l.  !>0  ri«- 

I*”  2 ti.  |-<c-  211  . i<« 

IDviru  ‘ 

IMI 

4 

frriittHHi 

87 

lOiI 

139 


SM 

rt  irlM|ui  liahciit  y Quare  iiiuoiiierulus  est  numeruSf  in  (]uo  reperiantur  ^ | Hi»c 
esi  C9.  l'oiie  ii^ilurt  ut  summa  denariurum  Irium  liomitium»  et  Imrsc  sit  6o;  quuruin 
p seiliret  so,  habent  inter  seeundum  et  lertium.  Et  -f,  scilicet  ts,  habent  inter  tcrciuni 
et  primum.  Et  ~ eiusdem  summe,  scilicet  ii,  habent  inter  primum  et  secundum;  et 
sic,  unmpiuqtio  bis  computato,  habent  inter  omnes  denarios  47.  Quare  sit  .summa  ipsorum, 
cl  Imrsc  duplum  de  co;  ct  eoimni  summa  erit  47.  Kt  quia  secundus  et  tcitiius  bomo 
habent  ~ c\  ipsis  120,  scilicet  40,  et  inter  omnes  habent  47;  residuum  quod  est  a 40 
in  47,  scilicet  7,  lialwl  primus  liomu.  Similiter.  Si  auferatur  -{-  ct  J-  de  I20  a 47,  re- 
mnnobimt  17  pro  denariis  .secundi,  cl  23  pit»  denariis  tcrcii,  ut  superius  inuenimus. 
Nam  additis  7,  et  17,  ct  23  reddunt  47,  ut  pro  eorum  summa  inuenimus. 

De  bursa  f cutn  in  ipsa  ref feriatur  atiriua  denominata  quantitas^ 

.Nam  si  dixerit,  quod  in  bursa  iiiiieiita  sil  aliqua  quelibet  denariorum  quantitas  , 
ul  dicamus  23;  quia  denarii  biii'se  iiiuenti  .sunt  cs.se  73,  qiKJS  es.se  uis  73  (s/c);  pone  23 
sub  73  , .srili4'el  bursa  sub  bursa  ; ct  post  73  pone  denarios  trium  hominum  , ut  iii 
margine  cernitur;  et  multiplicabis  23,  scilicet  bursam  per  7 de  !mi‘sa,  ct  diuide  per  73; 
et  habebis  denarios  primi.  Item  multiplica  17  per  23,  et  diuide  per  73  ; et  habebis 
denarios  secundi,  bursus  multiplica  23  per  23,  et  diuide  per  73;  et  liabcbls  denarios 
lei-cii  hominis. 

/A’  bursa  a quatuor  hominibus  inuenta. 

Item  si  proponantur  homines  osse  4;  et  primus,  habita  bursa,  prepnnat  habere  ter 
tuntum  reliquis.  Secundus  quater  tantum;  tcrcius  quinquies  lanium.  Kt  quartus,  habita 
uidelieet  bursa,  sex  tantum  reliquis  habere  nilimiet:  per  superiorem  regulum  inucnies; 
quia  piimus  cum  bursa  habet  | totius  .summe,  ct  reli(|uis  remanent  4;  ct  secundus 
babel  et  reli<|uis  remaiiel  j;  et  leicius  habet  et  reliquis  remanet  ;;  ct  ([uartus 
liabct  cum  eadem  bui-su  * , et  aliis  remanet  -J.  \ nde',  scTimdum  priinc  regule  consi- 
derationem, uideiidiim  est  de  -f  -K  in  quo  reperiantur  numero,  scilicet  in  420;  que 
pone  pro  summa  dcnarioruni  ipsorum,  et  | bnrse:  de  tpiibus  accipe  scilicet  31S,  ct 
que  suiit  336,  ct  que  .sunt  3S0,  cl  quc  siiiil  380.  Et  adde  iiisimul  erunt  l36l; 
dc  quibus  exlralic  420,  remanent  941.  Et  quia  homines  sunt  4,  ct  sem|>cr  cum  uno- 
quoque ipsorum  computatur  biii-sa  ; ergo  bursa  computatur  quater  in  preseriplis  13C|; 
cum  non  sil  nisi  semel  computanda  : ergo  conipulatiir  ter  amplius  quam  debeat.  Vnde 
muhipltca  120  per  3,  erunt  1260,  que  sunt  .summa  denarioium  .iiu.”'  borainum,  ct  biirse; 
et  941  erunt  deuarij  bursc  : accipe  ergo  de  1280,  erunt  94.1;  et  tot  babel  primus 
homo  cum  bursa  : de  quo  accipe  -J-,  quc  sunt  945;  cl  extnibe  inde  04i,  reiuauenl  4; 
ct  tantum  habuit  primus.  Item  accipe  de  isco,  quc  sunt  loos;  et  extrahe  inde  941, 
remanent  67;  ct  tot  habuit  alter.  Run<u.s  extrahe  | dc  1200,  <|uc  sunt  loso  ; extrahe 
inde  941,  remanent  log;  et  tot  habuit  tercius.  Et  adhuc  accipe  7-  dc  1260,  que  .sunt 
IO80;  ct  cxlralic  inde  04i,  remanent  139;  ct  tot  habuit  quartus.  Illud  idem  reperies,  si 
feceris  secundum  aliam  regulam,  uidelieet  ut  remanent  tribus  hominibus 

per  ordinem  accipias  dc  429,  erunt  319,  que  .sunt  .summa  denariorum  iiu."'  hominum: 
quam  extrahe  de  12&0  .superius  reperta,  remanent  941,  que  sunt  bursa.  Kt  acci{»e  quar- 
tam de  1280,  quc  est  315;  et  extrahe  dc  319,  remanent  4;  cl  tot  hulmil  primus.  Itcni 
accipe  ~ de  12C0,  que  est  252,  et  extrahe  de  319,  rcniancnl  67;  cl  tot  habuit  secundus. 


Digitized  by  Google 


ttorum  summe  ^ tle  isco,  <|uc  est  sio,  et  extralic  dr  319,  miiiinnit  I09;  ol  lut  haiuul 
imius.  Kursiis  suim*  -J  de  isoo  , et  eitralie  de  319,  rematirnt  UO]  et  tot  halmit 
>|uartus,  ut  superius  per  primam  le^uUiu  inuenisti. 

De  bursa  quinque  hominibus  reperin. 

Item  si  pntpoiiatur,  quod  liumiites  sint  3)  ct  primus,  Iiuhita  hursu,  prop«mul  se  lia- 
iierc  his  tanliiiii,  el  dimidium  relM|uis;  ct  alter,  si  huhuerit  hiirsam,  prc|K>tial  se  )ia- 
i>ere  ter  tantum,  ct  terciam  rclir|uis.  Tercius  quiK]uo  quater  tautum  ct  quartam;  quartus 
ucro  «piinquies  tantum  et  quintam;  quintus  autem  cum  eadem  bursa  se\ics  tantum, 
et  sextam  liahore  ailirmat.  .S<H'undum  suprasrriptum  materiam,  eum  primus  rum  bursa 
lial»eat  his  lautum,  et  dimidium  reliquis;  ergu  si  ipse  cum  hui'sa  liahtieril  ~s;  et 
oitmes  reliqui  habebunt  l : ergo  si  ipse  habuerit  s,  et  reli<|ul  habebunt  s;  ergo  inter 
umiies  habent  ?:  de  quibus  cum  primus  cum  bursa  hnlHiat  5,  nimirum  \ totius  summe 
inter  ipsum,  ct  bursam  habere  demoastnitur.  Quare  reliquis  uu"'  hominibus  J eiusdem 
summe  remanere  non  dubitatur.  Kadem  ituquc  ratione  , si  dc  secundo  homine  pro- 
spexeris, ipsum  cum  bursa  totius  summe  habere;  et  reliquis  ^ remanere  reperirs. 
Qu(ul  idem,  si  dc  Icrcio  cerneris,  ipsum  cum  bursa  totius  summe  habere;  et  reli- 

quis ^ eiusdem  summe  remanere  agnosces.  Kl  si  «Ic  quarto  inspexeris,  ipsum  cum 
bui^i  habere  |J;  ct  reliquis  ^ reinanere  non  dubitatis,  ^am  si  eodem  imaln  de  ({iiiiito 
homine  inspicere  procuraucris,  ipsum  cum  bursa  totius  summe  habere;  et  rerupiis 
nii."'  hominibus  eiusdem  summe  remanere  inueiiics.  Quare  uidendtini  csl  de 
H 14  in  quo  nunici-o  reperiantur.  Quod  si  secundum  nostrum  magisterium,  scilicet 
uustrarum  liguranim  inuenirc  uolueris,  multiplica  7,  que  sunt  sub  $ per  I3,  emiit  oi; 
que  cum  debeas  multiplicare  [ter  tl,  reliii([uc  7 , que  sunt  in  regula  de  2l  propter 
ips;i  7,  que  lumlo  mulliplit  usti  [ter  13;  ct  multiplicabis  91  [ler  3,  que  remanent  in  regula 
dc  21,  erunt  273;  | qiic  per  3i,  et  per  43,  erunt  363009;  de  quibus  accipe  |,  et  -|4,  ct  el 
ct  ‘4*  Quas  si  iterum  maglstraliter  sci  undum  eandem  artem  accipere  uolueris,  describe 
minuta  prescripta  per  ordinem  sic  |313I31  303214 294393 279930 25093SI  ; el  miiitiplica  s,  que 

*2  i *«  1 U I 1 i 

I «»  I st  I SI  1 II  I 1 1 

sunt  su[KT  7 per  <3,  eitint  6S;  que  multiplica  tantum  per  3,  (juc  sunt  in  regula  de  21  ; 
quia  non  oportet  repetere  7 , que  sunt  in  regula  dc  21  pit>[itcr  i[Ksa  7 , que  sunt 
sub  s,  a quibus  incepisti  modo  multiplicare:  et  sic  s per  3 multiplicata  reddunt  lOS; 
que  per  3i,  ct  |»er  43,  erunt  2S9935,  que  sunt  y qxsius  presi'ri]»ti  numeri;  que  [Kinantiir 
su[>er  siculi  superius  cernuntur  e.ssc  descripti.  Iterum  multiplica  10,  que  .sunt  super 
13,  per  21;  que  per  31,  et  per  43,  erunt  279930,  que  relinquuntur,  ut  non  multiplirenlur 
[)cr  7 , que  sunt  sub  3 pro|iter  ipsa  7 , que  sunt  iii  regula  dc  21  ; el  describantur 
279930  super  Rursus  midtiplica  I7,  que  sunt  super  21,  per  31,  et  per  43,  ct  per  13. 
l.t  relinquitur  quml  non  multiplicabuntur  per  7,  quo  sunt  sub  s,  erunt  294S93,  que 
pone  siqier  liem  uiultiplim  26,  que  sunt  super  31,  per  43,  et  per  21,  et  per  13, 
erunt  303214,  que  [»one  super  Adhuc  miiltipliea  37,  que  sunt  super  43,  per  31,  el 
per  21,  ct  per  13,  erunt  313131;  (|uc  [xme  super  J-,  et  adde  23993.1  cum  279930,  ct  cum 
294S93,  ct  rum  301214,  ct  cum  313131,  erunt  1432803;  de  quibus  extrahe  363909,  remaneiil 
I0SK89I,  que  sunt  quantitas  denariorum  bursc.  Kt  quia  homines  sunt  3,  bursa  compU' 
taiur  quater  magis  quam  oportet.  Quare  multiplicanda  sunt  363909  per  4,  cnuit  m$C36, 


fiil.  1 ii  t‘^rr »,  llti-  I *Ji- 

ni.  u.  . 


1 u » S H !>  J 

«(•■Lititni  iftmim  • 

t 0 I 5 4 ! 

hifialK  •nttii  !•  I 

2 <»  H 2 r.  j 

T.rii*  ' 

M !J  1 T S ‘ 

T—.  I 

I :i  M>  fi  2 j 

I**'  " 

I (i  2 r. (» 

I 


I..I  9] 

ir>*  S ..  H i.T  • .'4  • 1 
trri-.  Itii.  It-O,  (Xj.  Slii.  I<ii 

XI  21 

. I 

I « I »1 

S-  , 


•j  • ? • »• 


|«lr*hr  I . . iirliMt  • 

11  Ii 

21(1.  U«.  32-13 


ii 

1» 

ir. 

n 


SIA 

que  stiiil  summa  Imrsc,  et  tlcnanunim  quinque  lionuiiuni:  et  quia  primus  lialiet  | to> 
tius  summe,  acci|>c  | de  t45S63C,  que  sunt  1039740^  et  tot  halient  inter  primum,  et  bursam. 
Sed  f|uia  sitjicrius  magis  iii  bursa  rcjwrluin  est,  quum  id  ijuod  inter  bursam,  et  primum 
lioiniiiem  halHMit:  aut  |H)sitio  huius  que.stiotiis  indissoluliilis  erit ; aut  primus  homo 
dchitiim  lial>e!>it , illud  uideliret  quod  dce.st  a summa  denariorum  ipsius,  et  htirse 
us«|uc  ad  summam  denariorum  bursc,  srilicet  id  quod  est  a 1039740  usijuc  in  io»8894, 
quod  est  401S4.  Item  accipe  14553630,  que  sunt  ili97S0>  et  tot  habuit  inter  sc- 

eundum  hominem,  et  bursam:  de  quibus  extractis  denariis  bursc,  scilicet  1088894,  re 
manent  3UHS6;  et  tot  habuit  secundus.  Iteium  arcipe  de  1455630,  que  sunt  1178371; 
dc  qtiilms  extrahe  denarios  hui^ie,  remanent  s047h;  ct  tot  huhuit  tertius.  Rni-sus  ac> 
cipe  JJ  de  I455C3C,  que  suiil  1120850;  de  cpiibus  extrahe  denarios  burse,  .scilicet  I08sfi94, 
remanent  isiooi;  cl  tot  habuit  quartus.  £t  adhuc  arcipe dc  1455636,  que  sunt  1252524; 
de  quibus  extrahe  108sh94,  remanent  163030;  et  tut  liahuit  quintus. 

Afot/us  alius  at!  iuuentionem  burse  inter  tres  homines. 

Tho.s  homines  denarios  habentes  bursam  denariorum  inuenmint.  Quonini  primus  dixit 
secundo.  Si  haliercm  denarios  burse  , te  in  duplo  excetiercin.  Secundus  dixit  lei-cio: 
quod  si  habuerit  bursam,  excedet  illum  in  triplo.  Ternus  si  haberet  bursam,  pnqKinit 
sc  habere  quater  tantum  primo.  Queritur,  quot  in  bursa  reiKjricrunt ; ct  quot  iinus- 
qui.sf[iie  habeat.  Pro  duplo  dicas  {.  Ideo  quindenarii  secundi  sunt  \ denariorum  primi, 
cl  Inii-se;  cum  primus  cum  bursa  habeat  duplum  eius  , et  de  triplo  | ^ ? et  dc  qua- 
druplo J;  ct  describe  in  ordinem  sic  • | f et  multiplica  2 ]>cr  3,  erunt  6;  quo  ]>er 
4,  erunt  24;  de  quibus  extrahe  multiplicationem  dc  t,  quod  est  super  2,  in  1,  quod 
esi  .sujicr  3 ductam  in  1,  quini  est  .su|>er  4;  quo  miiltiplicalio  tantum  ascendit  in  1, 
iTmanenl  33;  ct  tut  denarii  inuenti  sunt  in  huiTia.  Post  hoc  descende  ^ tii quia  .se- 
cundus haliel  J summe  denariorum  suorum,  ct  primi  , et  burse.  Similiter  eadem  ra- 
tione descende  ^ in  J,  et  \ in  -J;  ct  pone  eas  cx  parte  sic  -J  -fi  niullijdica  3 

(ler  4,  el  per  5,  erunt  OO;  quibus  super  adde  1 , quod  exijl  ex  multiplicatione  dc  l, 
quod  est  super  3,  iii  1,  quod  est  super  4;  quum  in  1,  quod  est  super  5,  erunt  6i  ; 
que  sunt  snmma  denariorum  trium  hominum,  et  bursc.  Post  hec  extrahe  1,  i}uod  est 
super  3,  de  eisdem  3,  remanent  2;  qiic  multiplica  per  4,  erunt  8;  quibus  super  adde 
multiplicationem  de  1,  quod  est  super  3,  in  1,  quml  est  super  4 , enmtqtic  9 : que 
multiplica  per  1,  quod  est  super  .5,  ertint  9;  et  tot  habuit  primus,  item  extrahe  1 , 
quod  est  super  4,  dc  eisdem  4,  remanent  3;  que  multiplica  per  s,  ct  adde  mullipli- 
catiunem  de  1,  quod  est  super  4,  in  uno,  quiai  est  su|>er  s,  erunt  le:  que  multiplica 
(Kir  1,  quod  csl  super  3,  et  erunt  lO;  et  tot  habuit  alter.  Uenini  extrahe  1,  quod  esi 

super 5,  de  S,  remanet  4;  que  multiplica  pcT  3,  erunt  13;  et  multiplica  i,  quod  est 

super  5,  per  1,  quod  est  super  3,  el  adde  cum  12,  erunt  13:  que  multiplica  per  1 , 
qiKKl  est  .super  4,  erunt  similiter  13;  et  tot  habuit  lercius.  Putes  enim  promlius  de- 
narios uniuscuiusque  reperii*c:  |H)nes  I -f  -f  *'*  onliiiem,  ut  supra;  et  de  siiprascriplis 
24  reline  qitarlum,  scilicet  6;  cum  quibus  0 iunge  tcrciuin  ipsorum,  scilicet  1,  erunt 
8 ; vSiqier  quem  8 adde  dimidium  de  1,  que  iniKlu  addisti,  cum  6,  erunt  o;  ct  tot  ha- 
bet primus.  Cum  quibus  9 adde  bursam,  scilicet  13,  erunt  32;  qiionim  dimidium,  scilicet 
10,  liabcl  secundus.  Cum  quibus,  addita  bursn,  erunt  39;  quorum  terciam  partem  haliei 
tcrcius. 


Digitized  by  Google 


2f7 

Dt  bursa  inter  homines  innenta  secundum  istum  modum. 

Kvrsus  si  proponatur,  qiiocl  unus  illurum,  liabita  bursa,  itafrral  bis  tmilum,  et  dimi- 
dium  secundo.  Et  secundus  ter  tantum,  ct  terciam  tendo.  Et  tercius  liabcal  «piater 
tantum,  ct  rpinrtam  primi.  Quia  primus,  habita  lmi'sa,  hnl>ct  his  tantum  et  dimidium 
secundo ; ergo  si  primus  luibot  tunc  i 2;  ct  senindus  Imhcl  \ x oigu  si  primus  habet 
5,  Ct  secundus  iiabct  2 ; ergo  secundus  habet  ’ primi,  ct  bursc;  ct  habet  * sui,  et 
primi,  ct  bursc.  I'one  ergo  * in  unam  ])artem,  ct  * in  alium.  Item  quia  secundus,  ha* 
hita  bursa,  habet  ter  tanliiin,  et  lerciam  Icrcio;  ci^o  si  secundus  tunc  habet  10,  et 
tercius  liaJjet  3 ; ergo  terrius  hal)ct  secundi,  et  burse;  el  liabel  ^ sui,  et  secundi, 
ct  bursc.  I*onc  ~ cum  J .suj>crius  iiiuentis;  ct  ^ |»onc  cum  *.  Item  quia  tercius,  ha- 
bita bursa,  habet  quater  taiiliim,  et  quartam  primo  ; ergo  piiinus  habet  lercij,  et 
burse;  ct  habet  sut,  el  lercij,  et  bursc.  Pone  cum  — ct  ij  cum  *,  sicut 
in  margine  ostenditur;  et  operare  ut  supra. 

Taes  homines  halK^iit  denarios,  et  iiiuenerunt  bursam  denariorum;  quorum  primus 
cum  bursa  excedit  secundum  in  duplo.  .Secundus  tercium  in  triplo;  tcrciu.s  primum  in 
quadruplo.  Queritur  quot  unusquisfjue  habuit,  et  quot  repcrieriinl  in  bursa  : pmdujih» 
pone  jt  scdlicct  partem,  (piam  IihIk'!  seeiiridiis  ex  denarijs  primi,  ct  burse.  Et  pm  triplo 
pone  |,  «piam  partem  Iiab(>t  tercius  homo  cx  denarijs  .secundi,  et  bursc.  Similiter  pro 
quadruplo  pone  { jmst  | | sic  4 | ^"atn  | est  pars,  quam  primus  bomo  habet  ex 
denarijs  tercij  hominis,  ct  Imrse.  Deinde  multiplica  2 ]»cr  3;  que  per  4,  miiit  24;  de 
quibus  tolle  1,  quod  orilur  ex  multiplicatione  de  l,  (pKxl  est  super  2,  in  4,  quod  est 
su|>cr  3 ducta  in  I,  quod  est  super  4,  remanebunt  23  pro  denarijs  burse.  Deinde  ac- 
cipe I dc  24,  que  est  | 6;  cum  ipiibits  adde  tcrciam  eorum,  scilicet  2,  erunt  s;  cum 
quibus  adde  ~ ipsorum,  scilicet  l;  ct  tot  denarios  habet  primas  : «[uos  adde  cum  de- 
narijs bursc,  .scilicet  cum  23,  erunt  32  ; quorum  scilicet  denarios  10,  habet  secun- 
dus; cum  quibus,  addita  bursa,  erunt  39;  (piorum  scilicet  13,  habet  tercius. 

.Aliter,  positis  { J 4"»  n^ulliplica  1,  quod  est  super  4 per  3,  rpic  sunt  sub  uirga;  que 
per  2,  erunt  6;  ct  hoc  est  accipere  quartam  dc  24.  Ilcm  i,  qiiwl  est  super  4,  mul- 
tiplica per  I,  qiKjd  est  super  3;  ipiod  per  2,  (pie  sunt  sub  uirga,  erunt  2;  (pie  sunt 
J,  quam  accepimus  superius  dc  0,  que  fuerunt  J de  24.  Uursus  muUipUea  1,  quod  est 

super  4,  per  1,  cpiod  est  super  3;  (ptod  per  1,  quod  est  super  2,  erit  i;  ct  hoc  est 

acci|)cre  J dc  2,  que  fuerunt  J de  6 : adde  ergo  6,  ct  2,  el  1,  erunt  9,  scilicet  de- 
narij  primi  hominis.  Possumus  etiam  bcc  promlius  inucuiit;;  uidciicct  1,  «pind  est  super 
4,  multiplica  per  3,  ct  superadde  muUipli('alitmem  ciustlcm  i in  t,  quod  est  super 

3,  hoc  est  midtiplica  1,  quod  est  super  4,  per  3,  ct  adde  1,  erunt  4 : (|ue  multiplica 
per  2,  que  sunt  sub  uirga,  erunt  8;  quibus  adde  multiplicationem  dc  1,  (juod  est  super 

4,  in  1,  qu(xl  est  super  3,  ductum  in  1,  qucxl  est  super  2,  erunt  .similiter  9:  deinde, 

ut  secundum  hunc  mcnluu.  inuenius  denarios  aliorum,  redige  | ad  sinistiam  sic:  4 41* 
et  multiplica  1,  quod  est  Mipcr  2,  per  S,  scilicet  per  coniuiictioncm  dc  4 cum  1,  quod 
est  super  ipsa  4,  erunt  s;  que  multiplica  per  3,  enint  ts;  (piibtis  su|)cr  adde  f,  quod 
prouenit  ex  ducto  1,  <|uod  est  super  2,  in  1,  quod  est  super  4;  quod  in  t,  ({uod  est 
super  3,  erunt  <6,  ut  pro  denarijs  secundi  hominis  inuenimus.  Yel  accipe  ; de  24,  et 

• ipsius  medietatis,  ct  | ijisin.s  (piartr;  et  habebis  similiter  I6.  Item  redige  | ab  alio 

28 


— rt  to.i  .ai  • lU-l 
VI  ri*W4i,  I II.  111. 

lia.  X-SJ. 


i-  JL  * 

•ii  * t*  • 5' 


J JL  8 

:i  ' II  ; 


r.i  VI 


Digitized  by  Googie 


fl8 

ciipitc  jitc:  f j fecisti  in  inuentionc  denariorum  reliquorum  liomiiium  ; et 

Imlxdn.s  13  pro  dcnarijs  tertij  hominis. 

Et  si  piimu-s  cum  bursa  cKcxdat  secundum  in  duplo,  et  in  dimidio  eius;  et  secundus 
cum  bursa  excedat  tcn.ium  hominem  iti  triplo  , et  in  tcrcia  eius ; et  tcrcius  homo 
cum  bursa  cxccdat  primum  in  quadruplo,  et  eius  quarta.  Quia  cum  primus  rum  bursa 
cxccdil  secundum  in  duplo  eius,  et  dimidio;  ergo  .si  primus  cum  bursa  bal>ct  | 2; 
secundus  quidem  Imbct  t:  quare  si  primus  cum  bursa  habet  duplum  dc  ; 2,  scilicet 
5;  secundus  habebit  2:  ergo  dciiarij  secundi  sunt  | denariorum  primi,  et  bursc.  Simi- 
liter iiiucnics,  tercium  hominem  habere  denariorum  secundi,  et  bursc.  £t  primum 
hubeie  ~ denariorum  tcrcii  hominis,  et  hursc.  Quare  pones  in  ordinem  jf  ^ et  mul* 
tiplicabis  s per  lO;  que  per  t7,  erunt  uso;  ct  2 per  3;  que  per  4,  erunt  24;  que  extrahes 
de  »3(1,  remanent  8S6  pro  denarijs  bui*sc  : post  Iicc  multiplica  4 per  lO,  ct  per  3,  hoc 
est  per  13,  in  una  multiplicatione,  erunt  S2;  que  multiplh^a  per  5,  et  adde  multipli- 
cationem dc  4 in  3 ductam  in  s,  erunt  28i;  ct  tot  habuit  primus.  Deinde  redige  ; 
post  ^ sict  } ^ Y*»  multiplica  2 per  21,  scilicet  j>cr  coiiiuncta  dc  it  cum  4,  erunt 
42;  que  multiplica  per  10,  ct  adde  24,  scilicet  his  4 ter,  pro  2,  ct  4,  ct  3,  que  sunt 
super  uirgas,  erunt  444;  ct  tot  hahuit  secundus.  Vel  accipe  ^ dc  denarijs  pKmi  , et 
Jmrse  ; deinde  redige  |H)St  | sic:  ^ | n»  ojwrare  ut  supra,  el  liultehis  3Si  pro 
denarijs  tercij  hominis.  Vel  dc  denarijs  secundi,  et  bursc  accipe  ~ . 

Item  homines  sint  .iiij."';  ct  denarij  primi,  et  bur.se  sint  duplum  denariorum  sc- 
iTundi:  denarij  quoc^uc  secundi,  ct  bui'se  sint  triplum  denariorum  tertij  hominis:  de* 
nartj  autem  tertij  hominis,  et  bursc  sint  quadniptum  deiiunortim  quarti  hominis : de- 
narij quidem  quarti  hominis,  ct  bursc  sint  quincuplum  denariomm  primi:  quia  primus 
cum  bursa  excedit  secundum  in  duplo,  cnint  denarij  secundi  hominis  J denariorum 
jiriiiii  ct  Imrse.  Similiter  ex  hijs,  que  posita  sunt,  denarij  terti)  hominis  sunt  | dena- 
riorum secundi  | ct  hui-sc.  Et  denarij  <|uarti  hominis  sunt  | deiiariornm  icrcij  hominis, 
el  bursc.  Nam  ct  denarij  primi  hominis  sunt  | denarioniin  quarti  Iioininhi,  et  hurse. 

Quare  |H)iie  in  ordinem  { -J  j Jj  ct  multiplica  numeros,  qui  sunt  suh  uirgis  in  sc?, 

erunt  120:  dc  «{uilnis  tolle  1,  quod  pnnienit  ex  muUiplicatiune  unitatum,  que  sunt  su- 
per uirgas  i(i  se,  erunt  no  pro  denarijs  hurse.  Post  Iicc  accipe  | dc  I2«,  erunt  24; 
de  quibus  acci|»c  [,  erunt  c;  dc  quibus  accipe  j,  erunt  2;  de  quibus  accipe  j,  erit  1: 
quos  .niJ.*'  numeros  insimul  iunge,  reddent  33  pro  denarijs  primi  hominis.  Vel  mul- 
tiplicia 1,  quod  est  super  5,  per  4;  que  per  3;  que  per  2,  cnint  24  ; quod  idem  est 
accipcrc  quintam  dc  dictis  120.  Item  tnuliipUcahis  1,  quml  cslsujicr  S,  per  1,  quml 
est  suj»er  4;  quod  per  3;  que  per  2,  erunt  6;  <juod  idem  csl  accipcrc  quartam  de  di- 
ctis 24.  Rursus  i,  (juod  est  super  5 , per  1 , quod  c.st  .super  4 ; quod  per  1 , quod 
est  super  3;  ({uod  per  2,  erunt  2 : quod  idem  est  accipcrc  ^ dc  dictis  c.  Kt  adhut' 
1,  quod  csl  su]>cr  5,  per  1,  quod  est  super  4;  quod  per  1,  quod  csl  super  3;  qiitnl  per 
1,  qui>d  csl  super  2 ; ct  erit;  quod  idem  est  accipcrc  \ de  dictis  2 , que  fuerunt  J 

dc  fi.  Adde  24  cum  6,  et  cum  t,  ct  cum  1 , eninl  similiter  33 ; que  potes  promtius 

reperire:  uideliret  multiplica  1, quod  csl  super  &,pcr4,  ct  adde  multiplicationem  eiusdem 
I in  1,  quod  est  super  4.  Et  hoc  csl  sicut  multiplicare  1,  quod  est  super  9,  in  4,  ct  iii 
1,  scilicet  in  s in  una  multiplicatione,  erunt  s ; que  multiplica  per  3;  et  adde  mul- 


Digitized  by  Googie 


119 

tiplicaliuiiom  dc  i , quod  est  super  5,  in  i,  quod  est  super  4;  qut>d  in  i,  quod  est 
super  3 > erunt  ic  : que  multiplica  per  s , et  adde  multiplicatiuncm  iiu.*'  unita- 
tum, que  sunt  super  uirgas  » erunt  similiter  33  : deinde  mlige  in  rapite  linee 
ruptorum  sic  * ^ f i operaberis  cum  ruptis,  incipiendo  a sicuti  superius  fe- 
cisti, incipiendo  a -j  : uidelicet  accipies  J de  iso,  scilicet  c<i ; de  quibus  accipies  [, 
uidelicet  is;  de  quilms  accipe  scilicet  3;  de  quibus  arci]>e  -J,  uidelicet  1,  et  iunge 
insimul,  erunt  70;  et  tot  Imbet  secundus.  Vel  aliter  : denarios  primi,  scilicet  33,  cum 
denarijs  bursc  iunge,  scilicet  cum  |I9,  erunt  iss;  quorum  medietatem,  scilicet  76,  liabet 
sccundiLs.  Rursus  jwme  J in  principio  linee  sic:  J 5 { ci  operal>ci'is  ut  sujira,  incipiendo 
a j de  ISO;  et  lialndiis  63  pro  denarijs  terrij  liomiiiis:  ucl  ex  dcmirijs  secundi  et  bursc,  ac- 
cipe terciam  partem.  Itcnim  pone  in  principio  linee  J sic:  ^ 7 | sJ  et  iiiucnies  denarios 
quarti  Online  suprascripto  esse  48,  qui  smit  quarta  de  denarijs  tercie,  et  bursc:  procedit 
enim  suprascripta  inuentio  denariorum  primi,  et  bui‘se  ex  jiropnrtione,  quam  liahent  ad 
iiiuicem;  i|ue  proportio  inueiiitur  sic.  Ouuniam  primus  cum  bursa  liubel  bis  tantum  ((uam 
secundus;  medietas  primi  et  burse  est  quantum  denarij  secundi.  Secundum  hanc  con- 
similem considerationem  imienies  -f  denariorum  secundi  et  burse  esse  quantum  denarij 
tcrcij  hominis;  et  \ dennrionim  tcrcij  hominis,  et  )>iirsc  esse  quantum  denarij  quarti 
hominis.  Kt  { denariorum  quarti  et  burse  es.se  quantum  denarij  primi  hominis.  Lt 
ijuoniam  medietas  denariorum  primi , et  burse  est  quantum  denarij  secundi.  Tercia 
pars  medietatis  denariomm  primi,  el  burse,  scilicet  ^ eorum,  sunt  ^ denariorum  se- 
cundi. Cumuniter  adiungatur  J bursc,  erit  { denariorum  primi  cum  \ et  scilicet 
cum  I bursc,  quantum  f denariorum  secundi  cum  J denariomm  burse;  que  | dena- 
riorum secundi  cum  ^ denariorum  burse  sunt  (piantum  denarij  tcrcij  Imminis.  Quare 
7 denariorum  primi  cum  | denariomm  bursc  sunt  <}uantum  denarij  tercij  hominis. 
Quare  \ sexte  partis  denariomm  primi,  scilicet  -~y  cum  J medietatis  burse,  uidelicet 
J , sunt  quantum  quartum  denariomm  tercii  hominis.  Comuiiiler  adiungatur  ~ dena- 
riorum burse,  erit  ~ denariomm  primi  cum  J et  scilicet  cuni  | denariomm  burse, 
quantum  j denariomm  tcrcij  cum  ~ denariorum  biiree;  qiic  -J  denariorum  tercij  , et 
burse  sunt  quantum  denarij  quarti  hominis  : ergo  ■—  denariorum  primi  cum  J dena- 
riomm bursc  sunt  quantum  denarij  quarti  hominis.  Quare  y de^,  scilicet  denariorum 
primi  cum  \ de  uidelicet  cum  ^ denariomm  burse,  sunt  quantum  | denariomm 
quarti.  Corouniter  adiungatur  7 denariomm  burse  , erit  7^  denariomm  primi  cum 
“ et  J,  uidelicet  cura  denariorum  | bui-se,  (piantum  { denariomm  quarti,  el  bui*sc: 
que  J denariomm  <|uarti,  et  burse  est  (|uaiitum  denarij  primi  liominis.  Quare  7—  de- 
nariomm priini«cum  burse  sunt  (punitum  denarij  primi  bumiuis.  Comuniter  aufe- 
ratur 7^  denariorum  primi,  remunebunt  denariorum  burse,  quantum  77J  denariomm 
primi.  Quare  reperti  smit  superius  duo  numeri,  scilicet  110  et  33,  ex  quibus  77  de 
M9,  .sunt  ~ dc  33.  Nam  modus  rcjKricndi  duos  numeros,  cx  quibus  ~ unius  sint 
7^  alterius;  lioc  est  innenitnr  numems,  qui  diuidulur  integralitcr  |>er  40,  et  per  ito; 
qui  numerus  est  iso,  de  (|uo  accipitur  ^ , que  sunt  33  » et  , (jue  sunt  ti9  ; et 
sunt  postea  ~ dc  33,  quantum  77  dc  tiO;  quia  77  de  unius  numeri  est  quantum 
7^  de  77  eiusdem  numeri.  Accepimus  enim  superius  {77  de  ito,  cura  ex  multiplica- 
tione mimemnmu  qui  sunt  siib  uirgulis  de  ^777  extraximus  muUipliratiuriem  uni- 


Digitized  by 


221) 

talum,  (juc  sual  sujicr  uirgulas.  Similiter  accepimus  Jc  ito  cuuiunvimus  24  , fjue 
sunt  { ile  ISO  cum  e,  que  smil  ~ eiusdem,  et  cum  t,  que  suut  ^ de  (Wc),  et  cum  1 
quod  est  Nam  rn  « 1 insimul  iunctis  faciunt  Et  si  denarij  primi  ho- 

minis et  hupic  excedant  denarius  secundi  iu  duplo  , et  eorum  dimidio.  Kt  denarij 
secundi  et  biirsc  excedant  denarios  Icrlij  in  triplo,  et  eorum  tercia.  Et  denarij  si- 
militer tcrcij  hominis,  et  hurse  excedant  denarios  quarti  in  quadruplo,  et  quarla.  Et 
denarij  quarti,  et  hurse  excedant  denarios  primi  in  quincuplo,  et  eorum  quinta.  Inue- 
nies  .siquidem  jier  ea,  que  supradlxtmus,  denarius  secundi  esse  | denariorum  primi,  et 
hurse ; et  denarios  tcrcij  hominis  esse  ~ denariorum  secundi,  et  hurse;  et  dciiarioiS 
quarti  liuminis  e.ssc  detiarioruiii  tercij  hominis,  et  hiii-se.  Et  adhuc  rej)crics  denarios 
primi  esse  i denariorum  quarti  hominis,  et  hurse.  0»®*’«  nnn  r ex  parte,  et 

I multiplica  2fi  per  17;  que  per  10;  que  per  5,  que  sunt  sub  uirgis,  erunt  iiiao;  de  fpiihus 

extrahe  iiuiltiplicationcm  de  5 in  4;  quam  in  3;  quam  in  2,  que  sunt  super  uii^as, 
erunt  scilicet  120,  rcimmehunl  2i9S0  pro  dctiarijs  hurse:  post  licc  multiplica  5,  que 
.sunt  su|>cr  2f»  |>er  I7,  et  per  4,  hoc  est  pcr2t,  erunt  lOS:  que  multiplica  per  10;  et  adde 
5 uicihus  4,  uicihus  3,  scilicet  eo,  erunt  1110;  que  multiplica  per  s,  que  suiit  sub  prima 
uirga,  et  super  adde  multiplicationem  de  s,  i{uc  .sunt  super  2C,  in  4;  quam  in  3;  i[uam  in 
2,  scilicet  120,  erunt  denarij  S«70;  et  tut  habuit  primus  homo;  deinde  redige  | post  ^ sic: 
i h Ti»  incipias  a |,  procedeu-s  ordine  suprascriplo;  et  iiiueiiics  denarios  secundi 
lioiiiiiiis  11060  ; postea  redige  ^ post  } sic:  n » A H'  operare  ut  supra;  et  pro  dc- 
narijs  tertij  hominis  habebis  0012  : ad  ultimum  quidem  redige  ^ |K>st  ^ sic:  n ^ | 
et  fac  ut  supra,  scilicet  multiplica  4,  que  sunt  stiper  17,  |ier  13;  que  per  5,  et  adde 
4 uicihas  3,  uicihus  2;  que  omnia  per  2C,  et  adde  129  suprascripla,  erunt  7304;  et  tot 
habuit  (piarlus  homo:  et  sic  secundum  hunc  modum  procedas,  si  homines  fuerint  plurcs 
(|uani  4. 

Item  Illi.**'  homines  luj.**'  inuencrunl  bursas  denariorum.  Ia  secunda  quarum  erant 
denarij  3 plus<|uam  in  prima.  In  tercia  7.  In  quarta  13;  cl  primus  cum  prima  bursa 
hal>ct  bis  tantum  quam  secundus.  Secundus  cum  secunda  ter  tantum  quum  tercius  ; 
tercius  cum  tercia  quater  tiiiUiim  <|uam  quartus;  quartus  cum  qtiarta  quinquies  tan- 
tum quam  primus.  Queritur  quot  umtSi|Ut.S4|ue  habuit;  et  quot  iii  una(|uaquc  bursa 
repertum  fuit;  et  lianl  omnes  numeri  in  integrum:  pones  ratione  suprasrripta  ^ J 
et  su|>er  \ pones  0,  in  quo  prima  hursa  excedit  .seipsam.  Super  | pones  3;  super  y poiie 
7;  super  | jHjnc  U;  in  quibus  relique  hurse  excedunt  primam.  Deinde  super  medie- 
tatem de  0 adde  3,  que  sunt  super  erunt  3;  quorum  terciam  partem  iunge  cum  7, 
que  .sunt  super  y,  erunt  b;  quonim  y iunge  cum  13,  que  sunt  su|>er  enint  is;  quorum 
quinta,  .scilicet  3,  sema  ex  parte;  et  inucnias  iso,  et  lio,  et  3i  siiprascripta,  ut  in  alia 
M rrr'*  antcce]dcnle  questione  fecimus;  cl  diuidc  iio,  et  33  per  120,  exibunt  etj^.  Tunc 
inuenias  duos  numeros,  ex  quibu.s  ~ unius  sint  3 plus  alterius,  scilicet  ipsa  3,  que 
seruata  sunt  superius;  quos  duos  numeros  si  inuencris  iu  integrum,  habebis  in  inlegnmi 
denarios  hominum,  et  hursurum,  que  in  integrum  re|>criuiitur  sic:  pone  ut  primus  nume- 
rus sit  120;  de  quibus  scilicet  de  iio.  extrahe  3,  remanent  iio;  de  quibus  considera , 
st  sint  alicuius  numeri  integri:  que  aim  non  sint  proptei  iic,  que  non  diuiduntur  in- 
tcgraliter  per  ii,  que  sunt  super  40.  Nam  iie  sunt  ^ ex  numem,  qui  exit  ex  multi- 


Digitized  by  Google 


plicatiouc  (Ic  40  iii  116  diuisa  per  ti.  Quare  pone  pro  primo  duplum  de  120,  ticl  triplum 
uei  aliud  qumllibct  multiplex,  ex  quibus  extractis  3 suprascriptis,  remaneat  numenis, 
qui  diuidalur  intcgralitcr  per  it.  Quare  {mne  pro  primo  4S0,  scilicet  quadruplum  de 
120,  quorum  sunt  quadruplum  de  119*  scilicet  4T6:  de  quibus  extractis  3,  rcinaiiciit 

473;  quomm  scilicet  43*  multiplica  ]»er  40,  eniut  iTto,  qui  est  alius  numerus;  ergo 

primus  lialwt  49o;  et  in  prima  bursa  rtqierierunt  i“20-  Quare  in  secunda  fuei-unt  1723. 
J11  tcrcia  1727.  In  quarta  1733*  cum  quibus  bums,  et  cum  deuarijs  primi  inuciiics*  se* 
cuuduin  liomincm  linbcrc  itoa;  trndiim  04t;  quartum  6C7.  Pr(x*edil  enim  licc  regula  ex 
iimentiorie  pn)|>ortiotiis*  tpiuni  habetit  dciiarij  primi  ad  denarios  prime  burse  sic.  Quia 
primus  cum  prima  bursa  habet  bis  tantum  quam  secundus.  Medietas  denarioium  primi* 
et  prime  burse  sunt  quantum  denarij  secundi.  Similiter  iimenies  | denariorum  se- 
cundi, et  secunde  burse  esse  quantum  denarij  tercij  iiomiriis;  et  ^ Icrcij , et  tcrcie 
burse  esse  quantum  denarij  quarti  liumiiii.s;  et  | quarti  hominis*  et  quarte  burse  esse 
quantum  denarij  primi.  Kt  quoniam  \ primi,  et  prime  burse  est  quantum  denarij  se- 
cundi; ‘ medietatis,  scilicet  primi,  et  prime  bui-sc  est  (juanlum  ■}  denariorum  secundi. 
Coinunitcr  addatur  | secunde  burse*  que  est  dcnanu.s  1,  plus  tcrcia  j>arte  pnmc  burse; 
qutKl  i est  illud*  quod  habuimus  .superius,  cum  accepimus  de  39,  que  sunt  super  | 
in  questione;  erit  tunc  ~ denariorum  primi  cum  } et  scilicet  J prime  burse,  et  cuin 
deuario  1,  quantum  est  J secundi,  et  secunde  burse.  Nam  secundi,  et  secunde  burse 
est  (|uantum  sunt  denarij  tercij  hominis.  Quare  | dcoaiioi-um  primi  cum  | prime  burse* 
et  cum  denario  1 siiul  quantum  sunt  denarij  tercij  hominis.  Quare  | de  | , scilicet 
^ denariorum  primi , et  ^ de  , scilicet  J prime  burse  cum  \ unius  denarij,  sunt 
(plautum  \ denariorum  tercij  homiuis.  Comuniter  adiungatur  j tcrcie  burse,  que  est 
denarius  } 1,  plus  quarta  parte  prime  burse;  tunc  ^ primi,  et  },  et  scilicet  \ prime 
]>ursc  cum  ~ unius  denarij,  et  cum  denarij  {sic)  ” I,  scilicet  cum  denarijs  2,  erunt  quan- 
tum est  I tercij  hominis,  et  tcrcie  burse.  Nam  i tercij  hominis*  cl  tcrcie  burse  e.sl  quan* 
tura  sunt  denarij  quarti  hominis  ; ergo  ^ dciiarionim  primi , et  | prime  burse  cum 
denarijs  2 sunt  quantum  denarij  quarti  hominis.  Sunt  quidem  supra.scripti  denarij  2 illi, 
quos  habuimus  superius:  cum  accepimus  4 de  sis*  habuimus  ex  coniunctione  de  1,  quod 
fuit  j de  3 cum  7*  in  quibus  tcrcia  bursa  excedit  primam.  Et  quoniam  ~ primi*  et  J 
prime  buiivC  cum  denarijs  t sunt  (|uantiim  denarij  quarti  hominis,  erit  | de  ^ , sci- 
licet ^ denariorum  primi  cum  } de  { , scilicet  cura  ^ prime  burse  , et  cum  J-  de 
denarijs  2,  scilicet  cum  | unius  denarij,  <puntum  ^ de  denarijs  quarti  hominis.  Co- 
munilcr  addatur  [ quarte  burse,  que  est  J de  denarijs  13,  scilicet  J 2,  plus  de  J prime 
burse  ; tunc  primi*  et  et  J,  scilicet  {i  prime  burse  , cl  | unius  denarij  , cl 
denarij  |2,  erunt  quantum  ^ denariorum  quarti*  et  quarte  burse.  Nam  j denariorum 
quarti  hominis*  et  ([uarte  bui-se  est  (piaritum  denarij  primi  : ergo  denarioruni  primi, 
et  prime  burse  cum  denarijs  3 sunt  quantum  denarij  primi  ImmiiiU.  Comuniter 
extrahatur  denariorum  primi,  remanebunt  prime  burse  cum  denarijs  3,  quauUim 
denariorum  primi.  Vnde  iiiucnimus  superias  duos  numeros,  quorum  primi  sunt 
3 plus  de  alterius.  Et  notandum,  si  in  secunda  bursa  inucnli  essent  denarij  3, 
in  tertia  denarij  7.  Et  in  quarta  denarij  13,  minus  quam  in  prima,  sicut  in  hac  que- 
sltone  iuueiiti  sunt,  plus  de  eisdem  demonstrationibus;  imieuircs  quod  oportet  inuenirc 


ui 

tt  duos  numeros,  cx  quibus  unius  essent  3 | minus  alterius;  ctsic  haberet  primus 

dciiarijs  (jic)  840,  qui  sunt  septies  120;  et  in  prima  bursa  essent  3400.  In  secunda  3037. 
In  tcit  ia  3033.  In  quarta  30t7;  et  secundus  liumo  haberet  1940;  tercius  t059;  quartus  1173: 
hce  ct  similes  questiones  per  cicliataym  solui  non  )>os$unt  in  integrum,  nisi  fortuitu 
accidcrct,  qu(Hl  positiones,  que  ponuntur  in  ipso  cicliataym  essent  numeri,  in  quibus  in 
integrum  caderent.  Et  si  pru[Kinatur,  quod  in  prima  bursa  re|K;rUsciit  denarius  ss.  lii 
secunda  S9.  In  tcrcia  34.  In  quarta  39:  |xmcs  so  super  ct  S9  super  et  34  super 
et  39  super  ;;  ct  adde  | dc  26  cum  20,  eruul  42;  quorum  scilicet  U,  adde  cum  34,  erunt 

4H;  quorum  scilicet  12,  adde  cum  39;  quorum  scilicet  ~ 10,  multiplica  j>cr  120,  et 
diuidc  per  119  superius  inuentos,  exibunt  —*  lo;  ct  tot  habuit  primus:  quibus  iuuetis 
cum  26  prime  hurse,  faciunt  ’ 30:  quorum  scilicet  y 18,  halK't  secundus:  cum  quibus 
iunclis  29  serniidc  bui-sc,  erunt  | 47;  quorum  {,  scilicet  1 1 5,  bal>et  tercius;  cmn  quibus 
iunctis  34  terric  bursc,  faciunt  ^49;  quorum  p scilicet  f 12,  babet  quartus  homo:  pnv 
cedit  enim  her  regula  cx  inuentione  proportionis  denarionmi  bui*se  ad  denarios  primi 
hominis  sic:  manifestum  quidem  est,  quod  medietas  denariorum  piimi  cum  denarijs  13, 
qui  sunt  ^ prime  hurse,  sunt  quantum  denarij  secundi.  Similiter  [ dcnarionim  secundi 
< um  ~ secunde  burse,  scilicet  cum  | 0,  sunt  quantum  denarij  tcrcij.  bursus  { dena* 
rioruni  tcrcij  cum  denarijs  | 8,  scilicet  cum  | tercic  btii^c,  siiiit  (juantum  denarij  quarti 
hominis.  Item  | denariomm  quarti  hominis  cum  denarijs  l 7 , scilicet  cum  [■  <}uartc 
hurse,  sunt  quaiituin  denarij  primi.  Et  quoniam  ^ denariorum  primi  cum  denarijs  13 
sunt  quantum  denarij  secundi;  | dc  scilicet  { denariorum  primi  cum  \ denarijs  13, 
scilicet  cum  { 4,  sunt  i|uanUim  denariorum  secundi.  Comuniter  adiungautur  denarij 
j 0,  erit  I derianoruni  primi  cum  denarijs  J 4,  ct  ~9  , scilicet  cum  14  , quantum  | 
denariorum  secundi  cum  denarijs  j 0.  Verum  \ denariorum  secundi  cum  denarijs  f 9 
sunt  quantum  denarij  tcrcij  hominis  ; ergo  ^ denariorum  primi  cum  denarijs  14  sunt 
quantum  denarij  tercij.  Quare  de  scilicet  ^ denariorum  primi  cum  | dc  denarijs 
14,  scilicet  cum  } 3,  sunt  quantum  denarij  tcrcij.  Comuniter  adiungantur  denarij  { 8, 
erit  ~ donariorum  primi  cum  denarijs  i- 3,  ct  | 8,  scilicet  cum  denarijs  12,  quantum 
\ denariorum  tcrcij  cum  denarijs  | 8.  Verum  { denariorum  tetrij  cum  denarijs  | s 
sunt  quantum  denarij  quarti.  Comuniter  adiungantur  denarij  | 7,  erit  denariorum 
primi  cum  denarijs  | s,  ct  | 7,  scilicet  cum  denarijs  | 10,  (]uuntum  \ dcnarionim  quarti 
cum  denarijs  { 7 . Verum  { dcnarionim  quarti  cum  denarijs  \ 7 sunt  «piantum  denarij 
primi.  Similiter  ct  dciiarioruni  primi  cum  denarijs  { 19  sunt  quantum  denarij  primi. 
Comuniter  aufenilur  ^ dcnarionim  primi  , remanebunt  denariorum  ipsius  primi 
quantum  J 10  denariorum  primi,  remanebunt  ipsius  primi,  quantum  | 10.  Quare  re- 
ponendus est  numerus,  ex  quo  \ lO  sint  qui  rcperitiir  cx  imiUiplicalione  de  j 10 
in  120,  diuisa  per  tl9,  ut  superius  fecimus.  Et  si  proponatur,  quod  denarijs  prime  bursc 
multiplicatis  per  denarios  quarte  bursc,  faciant  multiplicalioiieni  denariorum  secunde 
in  lerciam;  ct  multiplicatis  denarijs  prime  in  denarijs  tercic,  faciant  multiplicationem 
dcnarionim  secunde  in  se  ipsos:  ct  adhuc  multiplicatis  denarijs  sccuiidc  cum  quarte  (sic) 
faciant  muitiplicationcm  denariorum  tcrcic  in  se  ipsis.  ]*io  denarijs  iiij.*'  bursarum 
pone  .im.*'  numeros  in  continua  projiortionalitale;  cx  quibus  |)ro  prima  bursa  sit  e 
pro  secunda  12;  pni  tcrcia  24;  pro  quarta  48,  iil  hic  ostenditur;  et  operaberis  ut  supra, 


Digitized  by  Google 


cl  hahchis  pru  quantitate  primi  bominis  | it:  quos  si  in  integrum  babcrc  uls , mul- 
tiplica cos  per  7,  erunt  78.  Quare  multij»licabis  denarios  prime  biirse,  scilicet  6 per  7, 
erunt  4S.  ^iam  cum  78«  ct  42  diuidantur  integraliter,  diuide  ipsus,  ut  habeas  minores 
tiuiuen^s;  et  habebit  primus  u;  ct  iti  prima  bursa  erunt  denarij  7.  Quare  in  secunda 
erunt  u.  In  tercia  28.  In  quarta  56.  Cum  quibus  inucnies,  secundum  hominem  hal>crr 
denarius  lo;  tercium  h;  quartum  o.  | 

De  duobus  hominibus  (fui  duas  bursas  bizantiorum  irmenerunt. 

Item  duo  homiiie.s  bizanthius  habentes,  qui  duas  bursas  cum  bizautijs  inuencrunt.  In 
secunda  quonim  (jic)  emnt  bizanti|  13  plus  quam  in  prima.  Vnde  primus  dixit  secundo: 
Si  haberem  primam  bursam,  liuhcicm  bis  tantum  quum  tu.  Cui  alter  Respondit:  Et 
si  ego  haberem  .secundam  bursam  , haberem  siquidem  ter  tantum  rpiam  tu.  Queritur, 
que  sit  quantitas  bizantiorum  illorum  , ct  bursarum.  Quia  primus  rum  priipn  bursa 
habet  bis  tantum  <juam  secundus  ; ergo  habet  ipse  | cunctorum  bizantiorum  illorum, 
et  eiusdem  prime  burso:  propter  eandem  ergo  cl  secundus  cum  secunda  bursa  habet 
2 bizantiorum  illorum  duorum  hominum  , et  maioris  hnrsc  : ct  quia  in  prima  hursa 
sunt  bizantij  13,  mimis  quam  in  maiori ; ei^o  summa  bizantiorum  illorum  duorum  lio- 
miiiimi,  ct  mtiiori.s  hiirsc  est  minor  .similiter  hizantlnj  13  summa  hizaiithiorum  eunindeni 
duorum  homimim,  ct  maiuri.s  l>uise.  Quare  reperies  duos  numeros,  qiioniiu  unus  sit 
13  maior  altero.  Et  minor  illorum  diuiclutur  |>cr  3 integraliter.  Et  maior  diuidalur  per 
4 ; siutque  15  , ct  28  : (piare  pone  13  pnj  summa  bizantiorum  illorum  , ct  minoris 
burse:  ct  2S  ]H>ne  pro  eorundem  .summa,  ct  maioris  burse.  Et  quin  primiLs  cum  minori 
hursa  habet  | .summe  illorum  , et  minoris  burso.  Arri|)C  ~ de  ts  , que  .sunt  lo  , et 
extrahe  de  is  , remunent  s;  ct  tot  habuit  secundus.  Eadcniquc  ratione  accipe  { dc2S, 
que  .sunt  21,  ct  extrahe  de  28,  remanent  7;  ct  tui  habuit  primus:  a rpiihus  asipie  in  la 
prescriptis  desunt  3;  et  tot  iimencrutit  iii  minori  bursa:  super  quo  ndde  13,  erunt  IG 
in  maiori  bursa.  Vel  aliter  adde  lo  cum  it  prescriptis,  emnt  3i;  dc  <|uibus  extrahe 
2K  el  15  prescriptis  remanent  3 ct  iC  pro  carundom  hiirsanim  <[uantilate. 

De  tribus  hominibus  et  tribus  bursis  ab  eis  repertis. 

Item  homines  sint  lro.s;  ct  repcricrunl  tres  bursas  bizantiorum.  In  secunda  quaititn 
erant  bizatiihi  la,  magis  quam  iu  prima.  Et  in  tercia  erant  bizanthi  I3,  magus  quam  in 
.secunda,  hoc  est  23,  magis  (juam  in  prima.  Et  primus  illorum  cum  in  minori  hursa 
habeat  bis  tantum  reliquis.  Et  sccundu.s  cum  .secunda  bursa  habeat  ter  tantum  reliquis; 
ct  terciiis  cum  maiori  bursa  habeat  quater  tantum.  Et  queratur  similiter,  quot  unu.s- 
qiils(pie  habuerit;  et  quot  in  iina(]uaquc  bursarum  repericninl:  quia  primius  cum  minori 
bursa  habet  bis  tantum  relitpiis;  ergo  habet  cum  eadem  bursa  | summe  bizanthiorum 
eorum , cl  ciu.sdom  burse  : propter  eandem  ergo  ct  secundus  cum  bursa  habet  | bi> 
zaiitliiorum  illorum,  ct  secunde  burse.  Et  tercius  cum  maiori  bursa  habet  | bizanthiorum 
eorundem  trium  hominum,  cl  maiori.s  burse.  Quara  pune.s  in  oniinem  t I > reperias 
tres  numeros,  quorum  .secundus  sit  lo  maior  primo;  cl  tcri'tii.s  sit  13  maior  .secundo:  ct 
diiiidatur  minor  ijisormii  integraliter  per  3;  ct  secundu.s  per  4;  et  lerciiis  per  5;  eruiit<|ue 
42,  et  32,  ct  65;  ex  quibus  minor,  scilicet  42,  halKalurpro  .summa  bizantiorum  eoiiini, 
ct  minoris  burse.  Alter,  scilicet  52,  pro  eorundem  summa,  et  secunde  Inirsc  habeatur. 
Maior  uero,  scilicet  65,  habeatur  pi*o  eorundem  summa,  et  maioris  burse  : deinde  ac- 


2>4 

cipc  l dc  «,  enml  «fl,  i|«p  suiil  summa  hixaiilliioi-um  primi  hominis,  cl  prime  burse.  Ilcm 
accipe  J dc  ss,  erunt  39,  rjue  sunt  summa  bixanlhionim  secundi  humiiiis,  ct  secunde  burse. 
Uursum  accij>c  | <le  «5,  cnini  ss,  que  sunt  summa  bizanlliionim  tcrcij  linmiriis,  ct  maioris 
bui^e.  Adde  ergo  insimul  bizanthios  ss,  ct  bizaiitios  30,  et  bizantios  ss,  erunt  bizaiilliij 
ilO,  (|uc  sunt  summa  omnium  bizaiitliiorum  illorum,  etiam  ct  trium  bm-sanim.  Vnde  ut 
separantur  ad  iiiuiccm,  adde  iterum  tres  primos  ]K>sitns  numeros,  uidclicet  4S,  et  ss, 
ct  6S,  erunt  ISO,  que  sunt  summa  eorundem  trium  hominum  , et  bursarum,  in  qua 
unu.vjuUquc  ter  rmnpiitatus  existit;  cum  non  debeat  computari  nisi  tantum  semel:  ergo 
C(>mpulatur  umis<|uis(pu>  ip.wnim  bis  magis  | quam  ojmrleat ; ct  ideo  iS9  prescripta 
magis  sunt  dc  1I9.  Vnde  extrahas  iio  dc  1S9,  remanent  40,  que  sunt  duplum  bizan- 
ihiorum  illorum  trium  hominum  propter  binam  su|>crnuam  computationem  illorum:  quare 
diuisis  40  per  s,  exeunt  lo,  que  sunt  sumina  bizaiitliiorum  illorum  trium  hominum. 
Ouibus  extractis  dc  tiO,  remanent  bizanlij  09  pro  summa  trium  bursarum;  dc  (juibus 
extrahe  bizantios  IQ,  et  bizantios  S3,  qui  inuenti  fuerunt  in  secunda,  ct  tcrcia  bursa 
magis  quam  in  prima  , remanent  bizanlij  66;  quos  diuide  per  numerum  bursarum, 
.scilicet  i>cr  3,  exibunt  bizantij  ss  pro  quantitate  minoris  burse.  Quil)us  superadditis 
bizanlijs  iO,  erunt  bizantij  32;  ct  tot  imicnciunt  in  .secunda  bursii.  Cum  quibus  super* 
ndde  bizantios  t3,  quos  in  maiori  bursa  repericrunt  magis  quam  in  .secunda  , cnmt 
Ijizantij  45,  qui  sunt  bizantij  maioris  bui-sc.  Deinde,  ut  habeas  bizantios  uniuscuiusque 
hominis,  extrahe  bizantios  minoris  burse,  scilicet  22,  dc  summa  bizaiitliiorum  primi  lio* 
minis,  ct  prime  burse,  scilicet  dc  28  , remanent  bizanlij  6 ; ct  tot  bizanthios  hahet 
primus.  Iterum  extrahe  secundam  bursam, uidclicet  bizantios  32,  dc  summa  biianthiorum 
secundi  liommis,  et  secunde  burse,  scilicet  dc  bizantijs  39,  remanent  bizantij  7;  ct  tot 
habuit  secundus.  Similiter  extrahe  bizanthios  maioris  burse,  uidclicet  45,  de  summa 
eiusdem  burse,  ct  tcrcij  hurainis,  scilicet  de  52,  remanent  bizanlliij  7;  ct  tot  habuit 
tcrcius.  Per  hanc  enim  regulam  potes  faccre  antecedentem  de  duobus  hominibus,  ct 
de  pluribus  huiusmodi  questionibus. 

Irem  homines  sint  4,  ct  bui-se  sint  4,  quarum  secunda  sit  10  maior  prima;  et  tercia 
.sit  13  maior  secunda ; ct  (juarla  sit  bizantij  19  maior  tertia.  Et  primus  habeat  cum 
minori  bursa  bis  tantum  quam  reliqui.  Et  secundus  ter  tantum  habeat  rum  secunda 
bursa.  Teicius  quoque  rum  tcrcia  bursa  habeat  quater  tantum:  quartus  uero  cum  quarta 
bursa  lial>cat  similiter  quinquies  tantum  quam  i-eliqui.  IlepcrtU  itaque  suprascriptis 
dcmonstratioiiibus  | ^ reperies  deinceps  .nu."'  numeros,  quorum  secundus  sit  to  maior 

primo;  tercius  sit  13  maior  secundo,  hoc  est  23  maior  primo.  Et  quartus  sit  19  maior 
tercio,  hoc  est  42  maior  primo.  Et  hoc  fecimus,  ut  habeamus  bizantios  eorum,  et  bur* 
saruin  in  numeros  integras;  eiuntquc  42,  ct  S2,  ct  65,  ct  84:  quos  numeros  iunge,  enml 
243,  que  scrua;  et  acdj>e  | primi  numeri,  scilicet  de  42,  erunt  29;  et  accijH;  | dc  st, 
erunt  39;  ct  ; de  65,  cnint  52;  ct  accipe  | de  64,  ciiint  70;  ct  adde  insimul,  erunt 
169;  que  extrahe  dc  243  seruatis,  remanent  54.  Qui  numerus  e.st  triplum  omnium  bi* 
znntiomm  eorum;  quia  in  summa  de  2.53  unusquis4|iic  ter  computatur  ultra  quam  dc- 
]>eat.  Quare  diuide  54  per  3,  exibunt  is,  ct  tot  habent  inter  onines:  quibus  extractis 
de  189,  nmianehunt  I7i  pro  summa  bizantiorum  .iiij.*'  bursarum  ; de  quibus  extralie 
bizantios  10,  et  23,  ct  42,  qui  reperti  fuerunt  in  secunda,  ct  tcrcia,  ct  quarta  bursa 


Digitized  by  Googie 


815 

mugi;;  quam  in  prima  , rcmanont  Od  : quos  diuidc  per  miTnertim  Inirsarum  , sclliccl 
per  4,  eiihunt  84,  qui  est  summa  numeri  minoris  Lurse.  Quare  Lizaiitij  scctindc  bui'se 
sunt  34  ; tercie  sunt  47.  Quarte  sunt  Lizantij  fiO,  lioc  est  19  magis  tercia.  Delude 
cxtralie  bizantius  minoris  burse,  scilicet  84,  dc  suprascriplis  89,  remanent  bizaiitij  4; 
ct  tot  habuit  primus.  Item  extrahe  bizantios  secunde  ]>urse,  uideliret  34  de  39,  sci- 
licet dc  bizuntijs  secundi  hominis,  ct  .secunde  burse,  remanent  5;  et  tot  Imbuit  se- 
cundus. Rursus  extrahe  bizantios  tercie  burse,  scilicet  47,  de  .summa  tercij  hominis, 
ct  eiusdem  burse,  scilicet  dc  st,  remanent  bizantlj  9;  et  tot  habuit  terrius  : adhuc 
citrabe  bizantios  minoris  burse,  uidelicct  6C,  de  summa  eiusdem  burse,  ct  quarti  lio- 
miiiis,  scilicet  dc  70,  remanent  bizantlj  4;  ct  tot  habuit  quarius.  Et  .sic  studeas  operari 
in  omnibus  similibus.  Vel  aliter:  de  summa  trium  hominum,  ct  prime  burse,  scilicet 
dc  42,  I extrahe  ' conim,  scilicet  summam  bizantionim  primi,  ct  prime  burse,  remanent  r»i. 
14  pro  bizaiitijs  swnindi,  cl  Icreij,  ct  quarti  hominis.  Similiter  exlrabc  J secunde  summe, 
scilicet  dc  58,  remanent  \ cius,  scilicet  13,  pro  .summa  tercij,  et  quarti,  et  primi  ho- 
minis. Item  dc  tercia  summa,  scilicet  de  65,  extrahe  quos  habet  tennus  homo  cum 
tcrcia  bursa,  remanebit  { eorum,  scilicet  I3,  pro  bizantiis  quarti,  et  primi,  ct  secundi 
hominis.  Rursus  dc  maiori  summa,  scilicet  de  mi,  extrahe  eorum,  remanebit  ^ eo- 
rumdem,  scilicet  14,  pro  bizantijs  primi,  et  secundi,  et  tercij  hominis.  .-Vdde  itaque 
bos  .iiij.*’'  inuentois  numeros,  erunt  54,  in  quibus  unti.S4|uis(}iic  hominum  ter  computatus 
est.  Quare  .summa  eorum  est  ^ de  54,  lurilicct  18,  ut  prediximus:  quibus  extractis  de 
prima  bursa,  scilicet  dc  4S,  remanebunt  24  pro  bizantijs  prime  burse.  Similiter  bizantios 
secundi,  ct  tercij,  et  quarti  hominis,  .scilicet  14,  extrahe  dc  summa  eonim,  scilicet  de 
18,  remanent  4 pro  bizantijs  primi.  Item  bizantios  tercij,  ct  quarti,  ct  primi,  scilicet 
13,  extrahe  de  I8,  n^manent  5 pro  bizantijs  secundi  hominis.  Eu<lemque  modo  de  is 
extrahe  bizantios  quarti,  ct  primi,  ct  secundi,  scilicet  13;  et  bizantius  primi,  et  .secundi, 
et  tercij,  scilicet  14,  remanebunt  pro  bizantijs  tercij  bomiiiLs  5,  ct  pro  bizantijs  quarti  4. 

Df  /fuatuor  Uominthus  et  una  bursa. 

llabeant  cum  bursa  primus  ct  secundus  duplum  denariorum  tercij.  Seciindu.s  quidem 
ct  tcrcius  triplum  qtiarti:  tcrcius  quocpic  et  quartus  quadruplum  primi:  quartus  autem 
et  primus  habeant  similiter  cum  bur^a  quincuplum  denariorum  .secundi.  Unius  enim  que- 
stionis solutionem  inuenies  per  inuentionem  pro}>ortionis  denariorum  burse  ad  denarios 
primi  hominis  sic.  Quoniam  primus,  ct  serundu.s  cum  bursa  habent  duplum  secundi. 
Medietas  <lcnariurum  primi,  et  secundi,  et  Imrsc  est  quantum  denarij  tercij  hominis. 
Similiter  ex  reliquis  propositionibus  habetur  , quod  ^ secundi,  ct  tercij  hominis,  et 
burse  est  quantum  denarij  quarti  hominis;  et  | tercij  liomiriis , et  quarti,  et  burse 
est  quantitas  denariorum  primi;  et  ^ denariorum  quarti,  ct  prime  burse  est  quantita.s 
denariorum  secundi,  tt  quoniam  | primi,  et  secundi,  et  burse,  est  quantitas  tercij; 
tcrcia  par.s  medietatis  primi,  el  secundi,  ct  burse,  scilicet  } eorum,  est  J tercij  ho- 
minis. Comuniter  adiungnnlur  j denariorum  secundi,  et  burse,  erunt  | primi  , et  • 
secundi,  et  burse,  quantum  | secundi,  et  tercij,  ct  burse.  Sed  secundi,  ct  tercij  , 
ct  burse  est  quantitas  quarti ; ergo  J primi  , et  ^ secundi,  et  burse  sunt  quantitas 
denariorum  quarti  liomiiiis.  Quare  { de  J denariorum  primi,  hoc  est  et  J de  i , 
scilicet  I denariorum  secundi,  ct  bui-se,  .sunt  { denariorum  quarti  hominis.  Comuniter 

89 


Digitized  by  Googie 


126 

addalur  ~ tcrcij,  cl  burse,  erit  ~ |>rirai  cum  } secundi,  et  cum  | terrij,  et  cum  \ 
liursc,  qumilum  j dcnarioruro  Icrci),  et  quarti,  et  hursc.  Sed  1 tercij  hominis,  et  quarti, 
et  hursc  est  ({uantitas  jirimi ; ergo  ^ primi,  et  ^ sccuudi  , et  \ tercij , et  ^ hurse 
sunt  quantum  denarij  primi.  Quare  quinta  pars  eorum,  scilicet  primi,  et  ^ se- 
cundi , et  ^ tercij  , et  ^ burse,  sunt  \ denariorum  primi.  Comuniter  adiungatur  | 
quarti  hominis,  et  burse,  erunt  ^ primi,  et  ^ .secundi,  ct  ~ tercij,  et  | quarti,  et 
burse  quantum  | quarti  hominis,  ct  primi,  ct  burse.  Sed  j quarti,  et  ]»rimi  , et 
burse,  est  quantitas  denariorum  secundi;  ergo  ^ primi,  et  ~ secundi  , ct  tercij 
ct  i quarti,  ct  burse  sunt  quantitas  secundi.  Comuniter  auferatur  ^ secundi,  re- 
manebunt primi,  ct  ^ tercij  , cl  | quarti , ct  burse  quantum  denariorum 
secundi.  Sunt  enim  denarij  quarti  bomiuis  ~ denariorum  secundi,  et  tercij,  et  burse. 
Quare  \ (piarti  hominis  csl  ^ secundi,  et  tercij,  ct  burse:  ergo  primi,  cl  ^ .se- 
cundi, ct  1^,  cl  ^ tercij,  scilicet  ^ ipsius,  cl  JJ,  cl  scilicet  ^ burse,  sunt  se- 
cundi. Comuuiter  aufeititur  — secundi,  remanebunt  primi,  cl  ^ tercij,  ct  ^ burse 
quantum  ~.  Quia  si  de  cuiusuis  rei  auferatur  eiusdem,  nimirum  ipsius  re- 
manebunt. Et  quia  denarij  tercij  hominis  sunt  ; denarionini  primi,  et  secundi,  et  burse; 
ergo  ^ tercij  cruiit  primi,  et  secundi,  cl  burse:  erg»  ct  hoc  est  ^ primi, 
ct  ~ secundi,  et  et  7^,  huc  est  J burse,  sunt  denariorum  secundi.  Cornu- 
nilcr  auferantur  ^ secuudi,  rema|nchunt  ^ primi,  ct  | hui'se,  quantum  ^ denariorum 
secundi.  Quia  si  de  auferantur  777,  remanent  — , que  sunt  77,  ut  dictura  csl.  Et 
quia  denarij  secundi  sunt  7 primi,  ct  quarti,  et  burse;  ergo  ~ secundi  sunt  7^  primi, 
et  quarti,  cl  burse.  Quare  ^ primi,  cl  f burse  sunt  ^ primi,  el  quarti,  et  burse. 
Comuniter  auferantur  ^ primi,  ct  burse,  i*emanebunt  primi,  et  /77  quarti  , 
«{uantum  ~ hursc.  Sunt  enim  omnes  dtmurij  quarti  hominis  \ dciiarionim  secundi  , 
et  tercij,  ct  burse.  Quare  ~ quarti  sunt  ^ secundi,  ct  tercij,  ct  burse  : ergo 
primi,  ct  secundi , et  tercij , ct  burse  sunt  ^ burse.  Comuniter  aufemntur  ^ 
burse  , remanebunt  primi , et  ^ secundi  , et  tercij  (juantuni  \\  burse.  Et  quia 
omnes  denarij  tercij  hominis  sunt  \ primi,  et  secundi,  et  burse  ; ergo  7^  tercij  h«> 
minis  sunt  primi,  ct  secundi,  et  bui-se.  Quare  ct  7^7,  scilicet  ^ primi  , et 
scilicet  ™ secundi,  ct  ^ burse,  sunt  quantum  burse.  Comuniter  au- 
ferantur 7^  burse  , remanebunt  ^ primi  cura  ^ secundi , quantum  ^ burse.  Et 
quia  J7  secundi,  ut  inuenlura  csl  supra,  sunt  ^ primi,  cl  | burse  , decima  pars  de 
secundi  , scilicet  ^ ifisius,  erit  777  primi  , et  ^ burse  : ergo  ^ , et  775,  sci- 
licet ^ eiusticm  cum  — burse  sunt  ~ burse.  Comuniter  auferatur  ^ burse,  rema- 
nebunt ^ primi,  quantum  ^ burse.  Quare  reperiendi  sunt  duo  numeri,  quorum  ^ 
primi  sint  ^ secundi,  erunt  C3  et  83.  Quare  si  primus  homo  habet  63,  bursa  est  S3. 
Et  quia  ^ primi,  ct  | burse  sunt  secundi , accipe  ji  de  C3,  et  7 dc  83,  ct  habebis 
I 37  pro  ^ denariurutn  secundi.  Quare  est  sicut  <7  ad  20,  ita  | 37  ad  denarius  secundi: 
multiplica  ergo  | 37  per  20,  ct  diuides  per  17,  exibunt  44;  ct  tot  habuit  secundus:  qui- 
bus additis  cum  deriarijs  secundi,  cl  burse,  scilicet  cum  03,  ct  83,  erunt  f 00;  quorum 
dimidium,  scilicet  05,  habeas  pro  denarijs  tcn'ij,  cum  primus,  ct  secundus,  ct  bursa 
habeant  duplum  tercij  : quibus  95  additis  cura  denarijs  secundi,  cl  burse,  erunt  222; 
ijuorum  tcrcia  pars,  scilicet  74,  est  quantitas  denariorum  quarti  hominis. 


Digitized  by  Google 


is: 

Modus  alius  de  tribus  hominibus  et  una  bursa. 

Sinl  itaf|ue  clcnarij  primi,  ct  seiiindi  cum  Lursa  duplum  denariorum  tmij.  Secundi 
^juoque,  et  tcrcij  triplum  primi;  tci-cij  uero,  el  primi  quaduplum  (jie)  secundi.  Ex  posi- 
lumc  prcdicta  imienies,  dctiarias  lercij  hominis  esse  \ summe  denariorum  trium  homi- 
num ct  hurse;  j»rimi  esse  Jj  secundi  Quare  pone,  ipsam  esse  M,  de  qua  ]>rimus  balxjt 
scilicet  ii;  secundus  scilicet  it;  tercius  scilicet  Mt  quibus  omnibus  eximetis 
de  60,  remanent  U pro  denarijs  burse. 

De  quatuor  hominibus  ct  una  bursa^  cum  duo  illorum  dicant 
reliquis;  questio  insolubilis, 

nenarij  quidem  primi  , et  secundi  cum  bursa  sint  duplum  dcnarionini  tcrcij,  et 
quarti.  Secundi  ueix»,  et  tcrcij  sini  triplum  quarti,  ct  primi:  tercij  autem,  ct  quarti 
sint  qtiaduplum  primi , et  secundi  t quarti  quotjuc,  el  primi  similiter  cum  bursa  .sini 
quincuplum  denariorum  secundi,  et  tcrcij:  bec  questio  esi  insolubilis;  el  cognoscitur 
sic.  Quoniam  primus,  et  secundus  cura  bursa  habent  duplum  el  tercij,  ct  quarti.  Ideo 
denaiij  tercij,  et  quarti  Imminis  .sunt  \ summe  denariorum  .nu.*'  hominum,  ct  bur- 
se. Similiter  ex  prcccdentibus  hal>rtur,  quod  denarij  quarti,  ct  primi  sunt  J eiusdem 
summe;  el  denarij  primi,  et  secundi  sunt  5 eius4lem  summe  ; nec  non  et  denarij  se- 
cundi, ct  terrij  sunt  el  quia  inter  primiini,  el  secundum  habent  quintam  predicte 
summe;  cl  inter  tcrcium,  et  quartum  lial)ent  ten’iani;  ergo  inter  omnes  .iiiJ.*' habent 
I J,  lioc  est  habent  cliain  inter  primum,  et  quartum  quartam;  et  inter  secundum  et 
tcrcium  sextam:  ergo  inter  omnes  .iiij.*Miabcnt  J j,|,sciUcct  U predicte  summe.  Oslcnsiim 
est  enim  , ipsas  habere  j>er  primam  computationem  ^ predicte  summe;  ergo  |j  ipsius 
summe  sunt  eiusdem,  quod  est  ineoriuenien.s;  et  hoc  uolui  demonstrare. 

De  quinque  hominibus  et  una  bursa. 

bainius  quidem,  et  .secundus  habeant  cum  bursa  duplum  trium  reliquorum  hominum. 
Secundus  et  lerciu.s,  triplum;  lerrius  et  quartus  , quaduplum  ; quartus  et  quintus, 
quincuplum.  Quintus,  el  jirimus  hal>cant  .similiter  sexcuplum  trium  reliquorum  homi- 
num. Ex  hac  (piidcm  petitione  oognascilur,  tcrcium,  ct  quartum,  et  quintum  hominem 
hal>erc  | surame  denariorum  quinque  hominum,  et  burse:  quartum  quoque,  et  quintum, 
et  primum  Quintum,  ct  primum,  et  secundum  primum,  ct  secundum,  ct  tcrcium 
secundum,  ct  tcrcium,  el  quartum  j : pone  pro  c<»rum  summa,  cl  bursa  420;  qui 
numerus  diuidilur  integralitcr  per  partes  predictas.  Et  accipe  per  ordinem  7 J ; 1 1 
cx  ip.sis,  ct  habebis  denarios  tercij,  ct  quarti,  et  quinti  hominis,  uo:  denarios  quoque 
quarti,  et  quinti,  et  primi,  iOS;  quinti,  primi,  ct  secundi,  84;  primi,  et  secundi , et 
lercij  70:  similiter  ct  denarios  secundi,  ct  tcn'i),  et  quarti  erunt  60:  quibtis  quin<(ue 
muneris  insimul  iunctis,  reddunt  pro  triplo  denariorum  quinque  hominum  459 ; cum 
unus<)uisquc  ter  computatus  sit  in  prcscriptU  numeris.  Quare  accipe  \ de  459,  cum  cadat 
in  integrum,  exibunt  tS3  prt»  summa  dcnarionim  hominum:  rpia  extracta  de  4i0,  re- 
manent S67  pro  denarijs  Imrse.  !N)St  licc  adde  denarios  primi  , et  .secundi  , et  tercij 
cum  denarijs  quarti,  el  quinti,  ct  primi,  scilicet  <0  cum  los,  erunt  17S;  et  tot  habent 
inter  omnes,  primo  his  computato.  Quare  extrahe  153,  scilicet  summa  eorum  de  175, 
remanent  22;  et  tot  hnl)et  primus  : quos  adde  cum  denarijs  tcirij,  et  quarti,  et  quinti, 
erunt  162  ; ct  tot  habent  mter  primum  , ct  tercium  , et  quartum.  Sed  inter  omnes 


f.-l.  ^6  trrttf 


Digitized  by  Coogie 


rflOI  «•< 

Ti  • (fol  16  lia.  36 

. |u(.  Ua.  i>M.  Xi-26' 


<piinquc  liabcni  tantum  153:  ({uarc  liec  questio  est  insolti?)ilts,  nisi  ponamits,  secundum 
hominem  liaherc  dc-Intum  9,  que  sunt  a I53  in  ict:  adde  itaque  denarios  st  cum  de- 
])itu  secundi,  scilicet  extralie  0 de  st,  remanent  13;  quos  extrahe  de  TO,  remanent  57; 
de  quibus  extrahe  9,  scilicet  debitum  secundi,  remanent  48;  quos  extrahe  de  denarijs 
secundi,  et  tercij,  el  quarti,  scilicet  dc  60,  remanent  it;  et  tot  habet  quartus:  quus 
adde  cum  57,  erunt  6o;  quos  extrahe  dc  140,  remanent  7;  el  tot  baliet  quintus. 
Incipit  pars  quinta  de  emptione  equoriwi  inter  consocios 
secundum  datam  proiyortionem. 

I)vo  homines  bizanthios  habentes  inucncrunt  equum  equum  (x/c)  ad  uendendum;  quem 
cum  i{xsi  emere  uoluissciit,  |)rimus  dixit  secundo.  Si  dares  mihi  j tuorum  bizantbiorum, 
haberem  pretium  cijui.  Cui  alter  petijt  J suorum  bizantionim,  et  equi  similiter  pre- 
tium habere  pro|M>suil.  Queritur  pretium  equi  , et  bizantios  uniuscuiusque:  pone  iii 
ordinem  et  extrahe  l,  quo<l  est  super  3 ex  ipsis  3,  remanent  3;  que  multiplica  per 
4,  erunt  bizaiilij  8;  et  tot  habuit  primus.  Item  i,  quod  est  super  4,  extracto  ex  ipsis  4, 
reinmiciit  3;  que  multiplica  per  3,  reddunt  bizantios  o;  et  tot  habuit  alter,  bursus  mul- 
tiplica 3 |ier  4,  erunt  is;  de  quibus  tolle  t,  quod  cxijt  cx  multiplicatione  de  i,  quod  est 
suj[>cr  3,  iii  1,  quod  est  super  4,  remanent  bizantij  li  pro  pretio  equi:  pmcedit  enim 
hec  regula  cx  regula  proporUoniim , scilicet  cx  inuentionc  proportionis  bizanthiorum 
unius  ad  bizantios  alterius;  que  pi*njH)rtio  iniienitur  sic. 

Inuentio  proportionis  et  bizantionim  unius  ad  bizantios  alterius’, 
ex  qua  profiortione  procedit  maniam  suprascriptam  (sic). 

Quoniam  primus  cum  | bizantliiorum  .secundi  habet  quantum  secundus  cum  { bizari- 
liorum  primi.  Si  comunilcr  auferatur  J bizantiorum  secundi  remancl)il  primus  cqualis 
duobus  tercijs  bizantluorum  seniiidi,  et  | bizanliorum  sui.  Item  si  auferatur  comimiler  { 
bizantiorum  primi, remanebunt  | bizantionim  primi  quantum  | bizanliorum  secundi.  Vnde 
reperiendi  sunt  duo  numeri, [quunim  j unius  sit  | alterius.  Multiplicabis  ergo  4,  que  sunt 
sub  uirgula  dc  J per  z,  rjuc  sunt  super  uii^Iam  dc  |,  cniiU  8;  et  hoc  csl  quod  superius 
mulliplicauimus  t,  scilicet  1,  extracto  dc  a,  per  4;  et  habuimus  pro  bizantijs  primi  homi- 
nis 8.  liem  ut  habeas  alium  numerum,  multiplicanda  sunt  3,  que  sunt  sub  uirgula  dc  |, 
per  3,  que  sunt  sujier  uirgulam  dc  cnint  9;  ct  huc  e-st  tpiod  fecimus  su|>crius  , cum 
extraximus  i dc  4;  ct  residuum,  .scilicet  3,  mtdtiplicauimus  per  3,  et  habuimus  9 pn> 
bizantijs  secundi  horiiiiiis.  Vei  aliter,  ut  possimus  demonstrare  inuentionem  prelij  equi : 
quia  8 cl  0 sunt  numeri,  quorum  \ unius  .suiit  | alterius;  redigantur  ipsa  8,  ct  o in  paries 
idicuius  numeri,  ut  acceptis  ijisis  partibus  ex  numero  illo,  habeamus  bizantios  uniiis- 
cuiu.sipic:  n‘diganlur  enim  in  partes  de  iz,  cum  \ ^ reperiantur  in  ipsis.  Sunt  enim  8 do 
iz  duc  Icrcie,  ct  o tres  quarte.  Yiulc  primus  homo  habet  | cx  qiiouis  numero;  ct  se- 
cundus habebit  f eiusdem  numeri:  sitque  mimciiis  ille  ifi;  dc  quibus  $i  acceperis  1 1, 
habebimus  bizantios  illorum.  Accepimus  enim  superius  | dc  iz  cum  1 dempto  dc  3,  scilicet 
Z,  mullipUrauimus  per  4.  Sunt  enim  t dc  3 duc  terric:  multiplicatis  quidem  S per  ali- 
quem numerum,  numerus  qui  exierit  cx  multiplicatione,  erit  | ex  numera,  (pii  procreaba- 
tur cx  multipliuilioiic  dc  3 in  ipso  numero,  in  rpio  multiplicata  fuerint  z.  Vnde  multipli- 
catio de  z in  4, scilicet  8, est  | multipUcatioiils  de  3 in  4, scilicet  dc  iz. Similiter  accepimus 
• dc  iz,  cum  dempto  de  4,  scilicet  3 uiultiplicauimus  j>cr  3:  dcimlc  quiu  primus  bal»ct 


Digitized  by  Google 


S30 

I alicuius  numeri,  ex  quo  alius  liaLct  et  ad  emendum  equum,  primus  petit  secundo 
^ suonim  liizantliiorum  ; ergo  petit  ; de  | illius  numeri,  de  qiio  secundus  homo  hu)»ct 
J . Nam  \ dc  f ipsius  numeri  est  - eiusdem  numeri  t ergo  primus  petit  secundo  | 
i|>sias  numeri , de  quo  ipse  linl>ct  | : quo  habito,  haliehil  primus  | Ipsius  numeri, 
de  quo  ij»sc  habet  Nam  \ | ipsius  iimneri  csl  eiusdem  numeri.  Kt  quia  cum  primus 
liabcat  j scilicet  ipsius  numeri,  de  quo  ipse  liaJiel  et  babeal  pretium  equi;  ergo 

II  ipsius  numeri  est  pretium  equi:  babet  primus  | de  13,  scilicet  8;  et  secundus  sci> 
licet  o;  ct  pretium  equi  est  dc  is  , scilicet  tl.  Vnde  cum  superius  de  multiplica* 
tione  de  3 in  4 extraxiiiiiis  nuiUiplicatioiicm  de  I iii  I,  tunc  remanserunt  dc  nu- 
mero; ex  quibus  primus  babet  |,  ct  secundus  scilicet  de  I3  : per  banc  enim  pro- 
|x>rtionum  regulam,  mulle  alie  diucrse  questiones  solui  possunt,  ut  in  sequentibus  de- 
monstrabimus. 

Aliter  cum  precium  equi  sit  certa  quantitas. 

Et  si  pro;)onatur,  quod  pretium  equi  sit  bizantij  is.  Inucnies  primum  bizanlios  8 primi 
bominis,  ct  0 secundi,  ct  li  equi;  ct  nuiUiplicabis  singulariler  8 et  o per  is,  ct  ditiidcs 
singulariter  per  ii;  ct  inuenies,  primum  Imrnincm  habere  {J  lo;  secumlum  bizanlios  is. 

De  emptione  equi  inter  tres  /loimVic.r,  cum  unus  fteiat  alteri  tantum 
fter  ordinem. 

Item  homines  sint  tres;  ct  primus  petat  secundo  \ suonim  bizatUbitirum.  Et  sccumliis 
]>elat  tereno  quaiiam  ; et  tcrcius  primo  (piintam.  Et  proponat  uiius<|uis4pie  ipsum 
emere  eipiuni:  positis  petitionibus  ipsonim  sic  : | { |»  exlralic  i dc  3,  remanent  8;  que 
t multiplica  per  4,  que  sunt  sub  alia  uirgula,  erunt  s:  super  que  adde  muiliplicn- 
tionein  dc  l,  qiifal  est  su[>er  3,  in  uno,  quod  est  super  4,  erunt  9;  que  multiplica 
per  s , que  sunt  sub  alia  uirgula  , ciiiiit  bizantij  45  ; et  tot  habuit  primus.  Item 
extrabe  i,  quod  est  super  4,  cx  ipsis  4,  remanent  3;  que  multiplica  per  s,  ct  super- 
adde nuilliplicattoncm  dc  f,  quod  est  super  4,  in  i,  quod  est  super  s,  erunt  18;  que 
multiplica  per  3 dc  prima  uirgula,  erunt  48;  ct  tot  habuit  secundus.  Rursus  extrahe 
1,  quod  est  super  5,  ex  ipsis  9,  remanent  4;  ijuc  multiplica  per  3 prime  uirgule;  et 
superadde  | mullipUrationem  de  i,  quod  est  super  s;  in  l,  quod  est  super  3,  erunt 
13;  que  multiplica  per  4,  erunt  aS  ; ct  tot  bizaritios  habuit  terciu-s.  Item  multiplica 
numeros,  qui  sunt  sub  uirgulis,  scilicet  3 per  4;  que  per  5,  erunt  co:  super  que,  cum 
homines  sint  impares,  aiblc  multiplicat ionem  de  l,  quod  est  su|k.t  3,  in  t,  quod  est 
super  4;  quam  multiplicatam  per  t,  quod  est  super  5;  que  multiplicatio  facit  tantum 
I,  erunt  6i;  et  tot  bizantios  ualult  equus.  Nam,  si  homines  essent  pares  , extraheres 
muUiplic4itioncm  nuiiieroniin,  qui  sunt  super  uirgulas,  ex  multiplicsitiuuc  miincn>rum, 
qui  sunt  sub  uirgulis,  ut  in  antecedente  questione  ferimus:  procedit  enim  liec  cx  pro- 
portionis regula  sic. 

/nuenfio  profyortionis^  quam  habet  primus  ad  secundum, 
ejc  qua  portione  procedit  regula  suprascripta. 

Qvoxixv  primus  cum  J bizanliorum  secundi;  ct  secandus  cum  {•  bizantionim  terci); 
ct  tercius  cum  | bizantionim  primi,  habent  tantum  pretium  e<|ui;  ergo  primus  cum  *- 
bizantionim  secundi,  habuit  ipianlum  secundus  cum  | bizanliorum  terrij;  et  quantum 
tcnrius  cum  \ bizanliorum  primi  : et  quia  primus  cum  | bizantionim  secundi  baliel 


li  • (M.  Ift  , lii..  !?■ 
tii  ti^,  i.M. 


Sa  iw  In, 
9 


f«*r  lian«  rHrm  ....  S «vi,imIi  • 
« 6 l»i.  i-«|. 

«29.  lia.  10  iS). 


ti  U 8 


I I-*; 


( I ....  uirvr  vl.l ' * 

( t^d.  9«  >>.•<■>•  . I.M.  «V-39 
t>  R-  U9,  l.n. 


1 |.r I 

I I 

! S.HMII.lrM 

i 4H  I 

I I 

i f.l  I 


i ‘ * 
» ( « 


M.  fv.f... 


Digilized  by  Coogie 


S20 

(juaiilum  secunHus  cmn  ~ bizanliuruin  tcrcij.  Si  romunitcr  auferatur  ^ hizanlioruro  sc- 
eundi,  habebit  primus  quantum  | bia^antioiiim  secundi,  et  quantum  | biuntiorum  terci). 
Item  quia  secundus  cum  \ bizantiorum  tcrcij  habet  quantum  tercius  cum  •>  bizantiorum 
primi;  si  coniuniler  auferatur  ; bizantiorum  tcrcij,  habebit  secundus  homo  quantum  \ 
bizantiorum  tcrcij;  et  quantum  * bizantiorum  primi.  RursiLs  quia  tercius  homo  cum 
I bizantiorum  primi  habet  quantum  primus  cum  > bizantiorum  secundi;  si  comunilcr 
auferatur  j bizantiorum  primi,  remanet  tercius  homo  equalis  ~ de  bizaiitijs  primi,  et 
de  \ hizaiiliorum  secundi.  Sed  demonstratum  est,  (juod  primus  homo  Inibcl  | de  bi> 
xantijs  secundi,  et  quartam  de  bizantijs  tcrcij.  Nunc  ostendendum  est,  que  pars  sil  bb 
zantij  primi  de  bizantijs  secundi  tantum;  que  ostenduntur  sic:  quoniam  tercius  homo 
haliel  \ de  bizantijs  primi,  el  | de  bizantijs  secundi;  quarta  pars  de  bizantijs  tcrcij 
est  { de  ~ de  bizantijs  piimi,  el  de  J de  bizantijs  secundi.  Quarta  ucro  pars  de  ^ 
bizantiorum  primi  est  | bizantiorum  primi;  et  quarta  pars  de  | bizantiorum  .secundi  est 
^ bizantimum  sccuiidi:  ergo  quarta  pars  bizantiorum  lercij  (sic)  | bizantiorum  piimi, 
el  — liizantionim  secundi : ergo  primus  habet  scilicet  bizantiorum  secundi , 
et  \ bizaiitiomm  suorum;  cum  habeat  | bizantiorum  secundi,  et  | bizantiornm  tcrcij. 
Kt  quia  hizantij  primi  hominis  sunt  J bizantiorum  secundi,  el  ~ bizantiorum  .suorum; 
.si  romuniter  auferatur  | bizantiorum  primi,  remanebunt  ^ bizantiorum  primi,  quantum  | 
bizantiorum  secundi.  Quare  reperiendi  sunt  duo  numeri,  quorum  • unius  sint  | alterius, 
erunt  is,  et  16.  Nam  j de  is  sunt  quantum  \ de  is ; ci^o  in  qua  pi-oportione  est 
15  ad  16  , in  eadem  proportione  sunt  hizantij  primi  hominis  ad  bizantios  secundi. 
Deinde  iiiueiiienda  est  pro|M>rtio  bizantiorum  primi  ad  bizantios  tcrcij;  quam  pro|)ortio> 
nem  inucnies  sic.  Quia  primus,  ut  prediximus,  habet  | bizantiorum  secundi,  et  ^ bizan- 
liorum  tercij.  Videas  de  | bizantiorum  secundi,  que  ;wrs  sil  de  bizantijs  lercij,  et  primi 
hominis.  Omnes  enim  hizantij  .secundi  hominis  sunt  | bizantiorum  tercij,  et  \ hizan- 
liorum  primi.  Quare  | bizantiorum  secundi  sunt  j hizaiiliorum  tercij,  el^  bizantio- 
rum primi.  Quare  ergo  hizantij  primi  hominis  sunt  { scilicet  } bizantiorum  tcrcij, 
el  ~ bizantiorum  .suorum.  Quare  si  comunilcr  auferantur  ^ bizantiorum  primi,  rema- 
nebunt , .scilicet  hizantij  primi  , quantum  ^ bizantiorum  tercij  : ergo  rcpericndi 
sunt  duo  numeri , quorum  ||  unius  sint  ^ alterius;  erunt  45,  et  5t:  ergo  in  qua  pro* 
portione  sunt  45  ad  52,  in  eadem  pro|M>rtionc  sunt  l>izantij  primi  hominis  ad  lizaii- 
tios  tcrcij.  Et  quia  proportio  hizantliiorum  primi  ad  bizantios  secundi  est  sicut  is  ad 
16;  critque  similiter  proptirtio  primi  hoiuinis  ad  secundum,  sicut  est  triplum  de  is  , 
scilicet  45,  ad  triplum  de  i6,  scilicet  ad  4S;  ergo  si  primas  habet  45,  el  secundus  ha- 
l>cl  48,  el  tercius  S2:  el  quia  hizantij  primi  hominis,  scilicet  45,  sunt  { de  eo,  in  quo 
rcperiunlur  petitiones  ipsorum,  scilicet  ||  j.  Ideo  accepimus  su}>crius  | de  eo,  cum  ha- 
buimus bizantio.s  primi  homiiiLs;  quam  acceptionem  accepimus  sic:  extraximus  t de 
3;  et  2 que  remanserunt,  raultipHcauimus  per  4,  et  habuimus  8:  quare  accepimus  tunc 
I de  <2,  que  oriuntur  ex  multiplicatione  de  3 in  4.  Kt  cum  super  8 iuneximus  multi- 
plicationem de  ; in  {;  scilicet  cum  multiplicauimus  i,  quod  est  super  3,  per  i,  quod 
M 91 est  suj»er  4;  | tunc  habuimus  ~ |,  scilicet  f de  I2;  que  J fuerunt  o:  que  & cum  muU 
tiplicauimus  per  5,  habuimus  { de  60,  scilicet  45,  scilicet  ex  numero,  qui  procreatur 
ex  multiplicatione  de  I2  in  5;  ex  quibus  12  fuerunt  0 , ut  diximus  Similiter  ruiii 


Digitized  by  Googie 


*3I 

lialmimus  suporiuf  bizanlliUis  sccumU  liominis,  multiplirauimu.s  i,  cxtmcto  Je  4,  scilicet 
3 |>ei-  s;  et  superaddidiimis  umUiplicationcro  dc  i,  quod  est  super  4,  in  i,  quod  est 
super  5;  et  sic  habuimus  le  pro  ^ de  2o;  que  20  oriuntur  cx  iiuitliplicatiouc  dc  4 in 
5,  que  sunt  sub  uirguiis:  que  to»  cum  muUiplicauimus  per  3,  accepimus  \ ex  numero, 
qui  oritur  ex  so  suprascriptLs  in  3,  scilicet  de  60;  quia  bizaiitij  secundi  hominis  sunt 
\ de  eisdem  6u.  ii!adenique  ratione,  cum  inucniiuus  superius  hizaiitios  tercij  liumiois,  ac> 
cepimus  U dc  Go  , sicut  hizatilij  S2  sunt  ||  dc  eisdem  60.  Et  quia  primus  habet  | 
de  GO;  ct  secundus  habet  > dc  60  ; et  primus  petit  secundo  | suuriiin  bizantioruin  ; 
ergo  petit  ei  ^ de  j de  eo,  scilicet  ^ J dc  co:  qua  petitione,  scilicet  \ addita  cum 
I de  co  primi  homiiiLs,  reddit  pru  pretio  equi  ^ | ; de  60;  qiic  paries  sunt  de  co, 

plus  cx  ipsis  60:  ct  ideo  superius  super  oo,  que  exeunt  ex  multipHcalioiiibiis  nume- 
rorum, qui  sunt  sub  uirguiis,  scilicet  dc  3 in  4;  que  in  3,  addidimus  niultiplicalioiiem 
Dumemrum,  qui  sunt  super  uirgulas,  scilicet  dc  1,  in  1;  quam  in  1;  ex  qua  multipli- 
catione exijt  tantum  1,  scilicet  ^ dc  00;  ct  sic  Imbuimus  pretium  equi,  ut  predUi- 
mus.  Ex  huius  regule  consideratione  quedam  alia  oritur  questio,  uidelicet  de  homine, 
qui  habuit  ziros  3;  quorum  primus  tenet  j secundi,  et  J tercij,  sicut  sujwrius  inue- 
iiimus,  primum  hominem  habere.  Et  secundus  tenet  f tercij  ziri,  ct  ~ primi,  sicut  se- 
cundus humo  habet;  ct  lercius  zirus  tenet  J primi  ziri , et  | secundi , sicut  tcrcius 
humo  liabct.  Viide  julmus  zirus  tenet  media  43;  secundus  48;  tcrcius  32,  ut  pro  bi- 
zantijs  trium  liominum  inuenti  sunt. 

j4Iia  questio  de  tribus  hominibus  secundum  suprascriptum  modum. 

Item  si  primus  petat  secundo  | suorum.  Et  secundus  petat  tercio  homini  | suorum, 
et  tcrcius  (pierat  primo  in  hac  enim  positione  similiter  est  o2)erandum,  scilicet  ut 
describantur  petitiones  eorum  in  ordinem,  sicut  in  margine  cernitur.  Deinde  extrahantur 
2,  que  sunt  super  3,  cx  ipsis  3 , remanet  i ; quod  multiplicetur  per  7 , ct  addatur 
multiplicatio  de  cLsdem  2 per  4,  erunt  15;  que  mtilliplicatUur  pero,  erunt  135;  ct  lot  bi- 
zantios  habuit  primus.  Item  extnihantur  4 dc  7,  i‘emanent  3;  qui  multiplicetur  per  9, 
el  su|>craddalur  multiplicatio  dc  4 in  3,  idest  20,  erunt  47;  que  multiplicentur  per  3, 
ciunt  i4i;  et  tot  hizanthios  habuit  secundus.  Bursum  extrahe  5 dc  9 , remanent  4; 
que  multiplicentur  2>cr  3,  erunt  12;  quibus  superaddatur  multiplicatio  de  3 in  2,  erunt 
22;  que  multiplicentur  per  7,  erunt  134;  ct  tot  bizantios  habuit  tercius.  Et  multipli- 
centur 3 per  7;  que  per  9,  emnt  180;  quibus  superaddantur  40,  que  exeunt  ex  mul- 
tiplicatione numerorum,  qui  sunt  super  uirgulas,  scilicet  de  2 in  4;  que  in  s,  erunt 
229,  cpic  habeantur  pi-o  pretio  equi.  Origo  huius  regule  dicenda  non  est;  cum  materia 
ipsius  satis  aperte  in  antecedente  questione  per  regulam  proportionum  demonstrata  sit. 

De  eodem  cum  (juatuor  hominibus. 

Ucnim  si  homines  .nu.”  extiterint;  et  primus  petat  secundo  terrium  .suonim  bizaii- 
tliiorum;  ct  secundus  tercio  | suorum.  Et  lcrt'ius  petat  quarto  ^ suorum.  Et  quartus 
primo  querat  ct  sic  uiius({uisquc  equum  emere  proposuerit  : describe  in  oixlinem 
i i t s * extrahe  i,  quod  est  super  3 ; ct  dc  eisdem  3 remanent  2;  que  multiplica 

per  4,  erunt  8;  quibus  superadde  multiplicationem  de  1,  quod  est  super  3,  in  1,  quod 
est  super  4,  erunt  9;  que  multiplica  per  5,  ct  tolle  inde  multiplicationem  dc  i,  qun<l  est 
sujter  3,  in  i,  quod  est  su|>cr  4;  quam  in  1,  qiuKl  est  sujfcr  5,  remanent  44;  que  multiplica 


•M  4l  m ...  r»(r4li4ali,r  i ' 

(Uil.  97  vtn»,  Im. 

111.  Uu.  KMTt. 


' 7,  rcnuiictit  ••  • .K-n» 

u m(.  t (M.  97  tvr.-.lin.  iS 
■U.  fUR.  iSl.  Imi.  t7-l&! 


wriiaJ»  l«ninia  ..--tn  I 
..t  * (r«l.  97  rwr-  . >«•  )|. 
37;  1^9.  Z31.  Ii».  37-U  47j 


Digitized  by  Googie 


(.1. 


f J r.'{t  ■ . 


4 wiiii  S6i  ... 

18  m-fa, 

I f.  i-s  ,83<.  1.»  1-S  ♦ 7'. 


3-  •'riiMl  Ifi  ....  |xr  I ^^■>•1 
•-.I  » ( f >t.  '8  . i;».  t 

i-i  7??  I.;.- 

2S> 

2!.rt 

sir» 


|•rv•  Iit»*  I 

3:i0  ! 


• »;* 

per  1 6)  ciunt  2G4;  c(  tot  halmit  primus.  Et  sic  scmpcr  tii  priiicipiu  est  exlrulicudus  iiu- 
merus,  <jui  csl  super  uirgiihnn,  ilc  numcio,  qui  est  sub  uirgula  illius,  qiic  quesita  est 
ab  ipso  homine;  cuius  summa  tunc  inucnimus,  sicuti  nioilo  dc  primo  homine  fecimus: 
deinde  est  multiplicandus  per  numerum,  rpii  est  sub  scipiciiti  uit^ula;  cl  tunc  erit  ad- 
denda multiplicatio  supcriomiu  numerorum;  et  sic  semj>cr  us<|ue  in  finem,  quotcumque 
homines  fuerint, semel  extrahendo,  ct  semel  addendo  gradieris.  In  fiiic  autem  nec  addere, 
nec  extrahere  debes.  Quare  ut  imieiiianlur  bixaritij  secundi  hominis,  extrahatur  l,  quod 
est  super  4,  ex  ipsis  4;  quia  ipse  petit  remanent  3;  que  multiplica  per  5,  erunt  is; 
quibus  .superadde  1,  quod  exijt  ex  muUipIicutionc  dc  t,  quod  est  super  4,  in  i,  quod  est 
super  s,  erunt  ic;  que  multiplica  per  6,  erunt  90:  dc  quibus  extrahe  multiplicationem  dc 
I,  (|Uod  est  super  4,  in  t,  quod  est  super  5;  quam  in  1,  quod  est  super  6:  quo<l  cum  non 
sil  nisi  tantum  i,  remaueiil  95;  que  multiplica  per  3,  erunt  2SS;  ct  lut  halmit  secundus. 
Item  ut  lialKantiir  bizantij  tcrcij  hominis,  extrahe  l,  quod  est  super  s,  de  ipsis  5, 
remanent  4;  que  multiplica  per  6,  erunt  S4;  quibus  superadde  t,  quod  exijt  ex  multi- 
plicatione unius,  quod  est  super  5,  in  i,  quini  est  siipcr  6,  ciuiU  25;  que  multiplica  per 
3,  erunt  75:  dc  quibus  extrahe  multiplicationem  dc  1,  quod  est  super  5,  io  1 , quod  c$t 
super  9;  quam  in  i,  quod  est  super  3,  remanent  74:  que  multiplica  per  4,  erunt  299;  et 
tot  habuit  tcrcius.  Item  extrahe  1 dc  6,  remanent  5;  que  multiplica  per  3,  erunt  15  : 
quibus  su|>cradde  1,  enint  le;  que  multiplica  per  4,  enint  64;  de  quibus  extrahe  1,  quod 
exijt  Cl  multiplicatione  unius,  <{uod  est  super  c,  in  1,  qum)  est  super  3;  quam  in  i,  quml 
est  sujier  4,  remanent  63:  que  multiplica  ^>er  5,  cninl  315;  cl  tot  habuit  (|uartus  humo. 
Et  multiplica  3 per  4;  que  per  5;  que  per  6,  erunt  300.  Item  multiplica  1,  quod  est  super 
3»  {>cr  1,  quini  csl  super  4;  ipiod  (ht  1,  quod  est  super  S;  qumi  per  1,  quod  est  super  6, 
erit  1,  quod  citiahc  de  sso.  Ideo  quia  homines  sunt  pares,  remanent  359,  que  sunt 
pretium  equi. 

(jtialiter  suprascriptrt  repila  procedat  ex  regula  proportionum , 

Materia  huius  iTgulc,  secundum  i-cgulam  pi-oportionum,  hoc  est  ; quia  primus  cum  \ 
biznnthiorum  secundi  habet  pretium  equi,  sicut  secundus  cum  | bizantiorum  tercij  , 
et  sicut  tercius  cum  ^ bizantiorum  quarti,  ct  sicut  quartus  cum  \ bizantiorum  primi; 
ergo  primus  cum  ^ bizantiorum  secundi  habet  quanliim  secundus  cum  \ bizantiorum 
tercij,  et  quantum  tercius  cnin  bizantiorum  quarti,  ct  quantum  quartus  cum  | bi- 
zantiorum primi.  Et  quoniam  primus  cum  > bizantionim  secundi  habet  quantum  se- 
cundus cum  ^ bizantiorum  tercii;  si  roraimiter  auferatur  | bizantiorum  secundi,  inue« 
nics,  primum  lionuncm  liaberc  | bizantiorum  secundi,  ct  j bizantiorum  tcrcij.  Similiter 
cum  secundus  cum  \ liizaiitiuruin  tercij  hal^cat  (|uantuni  tercius  cum  ^ bizantiorum 
quarti.  St  comuniter  auferatur  | bizantionim  tcrcij,  halndut  secundus  | liizantiorum 
Icmj,  et  J bizantionim  quarti.  Similiter  si  supradicto  modo  procedere  .sciueiis,  inucnies, 
ipiod  tercius  homo  habet  ~ bizantiorum  quarti  bominis,  ct  ; bizantionim  primi ; et 
quini  quartus  bomo  habet  ; bizantiorum  primi,  ct  j bizantionim  secundi:  quibus  per 
ordinem  ci^nitis,  inuenienda  est  proportio  primi  hominis  ad  bizantios  secundi;  quam 
inuciiicmus  sic  : quia  primus  lialiet  | bizantiorum  secundi,  ct  ^ bizantiorum  tendj.  Re- 
digemus hanc  I in  |>ai'tcs  Inzantiorum  primi,  ct  secundi;  quod  faccre  non  possumus  , 
nisi  primum  redigatur  ipsa  { in  partes  bizantiorum  quarti  liumiiiis,  ct  primi;  quod  facies 


Digitized  by  Googie 


2J3 

sit'  : (]tiia  bizunlij  Icrci)  lioniiiiii»  sunt  | ilc  bizatUijs  quarti,  et  | tlc  bizaiUijs  primi; 
ergo  5 bizarilionim  lercij  csl  \ «le  bizanlijs  quarti,  ct  de  bizantijs  primi  hominis:  ergo 
bizanlhij  primi  hominis  sunt  J bizantiorum  secundi,  el  \ bizanlioium  quarti,  el  bi- 
zaiitiorum  suomm.  Si  coraunilcr  auferatur  — bizanliorum  primi,  eruut  bizanliorum 
primi  | bizaiitiorum  secundi,  et  bizantiorum  quarti.  Kt  [quoniam  hizanlij  quarti  bo* 
miiiU  sunt  | bizantiorum  primi,  et  ^ bizantionini  secundi;  ergo  j biznutiorum  quarti  bo> 
minis  est  J bizantiorum  primi,  et  bizantiorum  secundi : ergo  ~ bizantiorum  primi 
sunt  ^ scilicet  bizantiorum  secundi,  et  J bizanlionim  suorum.  Comuniter  auferatur 
I bizantiorum  primi,  enml  bizantiorum  primi  \\  bizantiorum  secundi.  Quare  rept'- 
riendi  sunt  duo  numeri,  quorum  unius  sint  alleriits;  emnlque  S64,  el  zk5,  qui  sunt 
bizantij  primi,  et  secundi,  iit  in  suprascriptu  regula  imienimiis.  Itinpie  si  duxerLs  bizau> 
tios  secundi  hominis  in  ]>artcs  bizantiorum  tercij,  sicut  reduximus  bizantios  primi  liu- 
miliis  in  partes  scciiudt,  inuciiics  , <|uod  \\  bizantiorum  secundi  sunt  ^ bizantiorum 
terci).  Quare  inuenies  duos  numei'os,  quorum  unius  sint  alterius;  ci'untqiic  sss, 
et  88S.  Sunt  enim  in  hac  proj>ortione  S56  secundi  ImminLs.  In  alia  iiaicriimus  iss  pro  bi- 
zatilijs  secundi  hominis:  ergo  redigenda  sunt  suprascripta  B33  in  2SS:  est  igitur  sss  tercia 
pars  de  855;  quare  diuides  8ss  per  3,  euenient  296  pro  bizantijs  terci)  hominis.  Rursum 
suprascriplo  ordine  n'duc  bizantios  tcrcij  hominis  in  proportione  bizantiorum  quarti ; 
eruntque  | bizantiorum  terci)  bizantiorum  quarti.  Qiiure  inuenies  duos  numeros  , 
quorum  ~ unius  sint  ^ alterius;  erunlque  2V0,  ct  315,  ut  superius  pn»  bizantijs  tercij, 
el  quarti  hominis  inueiiimus  : bizantij  ueio  primi  bominis,  scilicet  iC4,  sunt  de  300; 
que  360  proueiuuiil  cz  multiplicatione  nmnerorum,  qui  sunt  sub  uirgiills,  scilicet  de  3 
in  4;  quem  in  5;  quem  in  c.  Vnde  cum  superius  in  inuentioue  bizantiorum  primi  bu« 
minis  extraximus  1 de  3,  remanserunt  9;  que  9 sunt  | de  3.  Kt  multiplicatis  ipsis  2 
per  4,  ut  superius  fecimus,  habuimus  8 pro  \ de  12,  que  proucniiuit  ex  multiplicatione 
de  3 iu  4;  super  que  8 cum  addidimus  1,  scilicet  multiplicationem  de  t,  quiul  est  super 
3,  in  t,  qinnl  est  super  4,  habuimus  9,  scilicet  | cx  eisdem  12:  que  9 cum  multiplica- 
uimus  per  s,  habuimus  45  pro  \ de  co,  que  exeunt  ex  multiplicatione  dictorum  19  in  dictis 
5 : ex  quibus  45  cum  extraximus  1,  quod  exijt  ex  multiplicatione  trium  imitatum,  que 
sunt  super  uirgitlis  dc  3,  ct  de  4,  ct  dc  5,  remanserunt  44;  quo  44  suut  \\  dc  GO.  Nam 
extracto  de  remanent  : est  enim  t suprascriptum  dc  00;  quia  cum  multipli> 
catur  1,  quod  est  super  3,  per  1,  quod  est  super  4;  quod  in  1,  quod  est  su(>cr  5,  tunc 
accipitur  ^ dc  J,  dc  hoc  est  Item  cum  multipUcauimiis  44  per  o,  Imbuimus  964  pro 
\\  de  biz:inttjs  360,  ut  prediximus.  Vnde  si  in  rclujuU  tribas  hominibus  hanc  materiam 
inspexeris,  inuctues  in  iimentione  bizantiorum  uniascuius(|ue,  quod  accepimus  ipsorum 
partes  dc  360.  Nain  bizantij  secundi  hominis,  scilicet  285,  sunt  dc  360.  Kt  bizantij 
tercij  hominis,  scilicet  296,  sunt  Kt  bizantij  quarti  hominis,  scilicet  315,  sunt  | 

de  360.  Kt  ita  has  paries  in  suprascripta  regula  nos  accepisse  inuenies.  Et  quia  primus 
habet  J*  dc  30o;  ct  ad  habendum  pretium  equi  petit  secundo  | suorum  bizantiorum; 
ergo  petit  ei  J de  ~ de  3W,  siculi  secuudo  habet;  que  \ est  ~ dc  360:  quibus  i ^ 
additis  cum  |j  faciunt  j4a  miiiu-s  cx  ipso  360:  et  ideo  in  inuentione  bizantiorum 

equi  exttahitur  multiplicatio  numerorum,  qui  sunt  super  uirgulis,  scilicet  1,  ex  roul- 
liplicatiunc  numerorum,  qui  sunt  sub  uirgulis;  et  habentur  pro  pretio  equi  bizantij  359. 

30 


•Ir  X6d.  ...  i ^i»<r 

*m*  • (fut.  i»  Um.  U 

ai»i  r*(!  zx].  u.  4» 

291.  lia  1). 

r S64 

^ 285 

996 
315 


Digitized  by  Googie 


.(•4  *.1*  r.>>-«a,  Imi  1]  | >|. 

^21.  Illi.  3d; 


• ' 1 - 


r«|  tii|vri<ir  - au  1 • 

r..i.  y9/<->4«.  Ii» 

MI.  ti«.  »V»  II  — 1*K-  <3'>. 

Jli»-  l»l. 


Ka-rUll-IlH 

3:i3i3 


I 4I7IS 

' 3S6U 

j 44U57 

i •*l'*“* 

5HV77 


S34 

Egreditur  hinc  questio  ipsiuSt  qui  habet  uasa  4;  quorum  primum  tenet  | secundi, 
et  ; tercij.  Secundum  ’ tercij,  cl  j quarti.  Tcrcium  | quarti,  ct  } primi.  Qiiartiini 
tenet  ; primi,  et  \ .seirundt.  ]'rimum  uas  tenet  metra  IG4;  secundum  tas;  tcrcium  29c; 
quartum  315. 

Innent  io  proportionis  primi  ad  secundum  in  5 hominum  questionum. 

Et  si  homines  (|uinr|iie,  quorum  primus  ad  emendum  equum  )>eterel  secundo  ~ suo- 
rum buaiiliorum.  Secundus  tcrcio  peteret  Tercius  quarto  peteret  |.  Quartus  | quinto 
peteret  J.  Et  quintus  primo  peteret  Et  uis  scire,  in  qua  proportione  sunt  bizan- 
tij  unius  illorum  ad  bizantios  sui  sequentis.  Videas  quidem  suprascripto  modo,  que 
pars  sint  bizantij  uniiiscuius^pic  de  bizaiitijs  duorum  sequentium  per  ordinem.  Bizantij 
iicro  primi  sunt  | liizantiorum  secundi,  el  bizuntiorum  tercij.  Secundi  sunt  ^bizanlio- 
rum  tercij,  ct  { bizantiorum  quarti.  Tercij  .sunt  \ bizatilionim  quarti,  et  \ bizantiorum 
qiiiiili.  Quarti  sunt  | bizantiorum  quinti,  et  } bizantiorum  primi.  Bizantij  autem  quinti 
sunt  I bizantiorum  primi,  et  \ bizantiorum  secundi.  Sunt  enim,  ut  diximus,  bizantij 
primi  hominis  | secundi,  et  | bizatilionim  tercij.  Bizantij  uero  tercij  sunt  { bizantiorum 
quarti,  et  ^ bizaiitioruin  secundi:  quare  ^ bizantionjm  tercij  est  | bizantiorum  quarti, 
et  ^ hizaiitiorum  quinti  : ergo  bizantij  primi  liominls  sunt  | secundi,  et  ^ bizantiorum 
i|uarti , et  ~ bizantiorum  quinti.  Sunt  ciiim  omne.s  bizantij  quarti  hominis  | bizan- 
lionim  quinti,  el  { liizaiiliorum  primi.  Quare  | bizaiitionim  quarti  est  g bizautionini 
quinti,  et  bizantiorum  primi.  Ergo  bizantij  primi  sunt  | bizantiorum  secundi,  et 
^ g,  scilicet  bizantiorum  quinti,  cl  bizantiorum  suorum.  Comimiter  auferatur 
bizantiorum  primi,  erunt  ~ bizantiorum  primi,  -•  bizantiorum  si^cutidt,  el  ~ bi- 
zantiomin  quinti.  Sunt  enim  omnes  bizantij  quinti  hominis  ^ bizantiorum  primi,  ct 
^ bizantiorum  secundi.  Quare  -g  biz^mtionmi  quinti  sunt  .g  bizantiorum  primi,  et 
bizantiorum  secundi;  ergo  bizantiorum  primi  hominis  .sunt  |,  scilicet  bizantioniiii 
secundi,  el  ^ bizantiorum  suorum.  Comuniter  auferantur  Inzaiitiorura  primi.  Eniiit 
bizantiorum  primi;  H bizantiorum  .secundi.  Emiemque  iiia  potes  inucnirc  projiortioncs 
aliorum  per  ordinem,  cum  quibus  poteris  liubere  originem  suprascripto  regule;  qtimii 
legulam  iti  quiiiquc  alijs  lioniiiitbu.s  inferius  recitalnmius  : liabet  enim  primus  supm- 
scriptorum  hoiuiniim  bizatitios  Sinmiidus  bizantios  iiMm.  Tetrias  bizantios  so9t. 

Quarius  iMzaiitiu.s  2t4S.  Qiiiutii.s  bizantios  tnn.  Et  pretium  equi  est  bizaulij  ssit. 

.diia  questio  de  quinque  hominibus. 

Irem  homines  siiit  (piiiiquc  ; ct  primus  petat  .secundo  j .suorum  bizantiorum.  Se'- 
cuiidu.s  itaipie  petat  tcrcio  lercius  uero  petat  quarto  Et  (juartus  petat  quinto 
Quintus  namque  petat  primo  Describantur  minuta  petitionum  ip.sonim  pi'r  or- 
dinem sic  : ~ n j |.  Et  multiplicentur  omnes  numeri  iii.simul,  qui  sunt  .sub  uirguli.s, 

erunt  STiUT.  Quibus,  cum  honiiiie.s  siiit  impares,  .sti|H>raddaUir  tiiulliplicatio  immeronmi , 
qui  sunt  supc‘i-  uirgulis,  idest  de  2 in  4;  que  in  s;  que  in  6 , erunt  5S977,  que  lia- 
heanlur  pro  pretio  equi.  Et  ul  halntuiitur  bizantij  primi  hominis,  extrahendus  est  .su- 
|>erior  numerus  dc  uirgula  sue  petitionis  dc  niiniero  inferiori  eiusdem  uirgule,  idest 
1 dc  3,  remanet  t;  que  per  7 , erunt  7;  cui  superadde  multipHcatiunem  dc  2 iit  4 , 
erunt  15;  que  multiplica  per  11,  erunt  i$s  ; de  quibus  deme  niulliplicationem  tlc  2 
iit  4;  que  in  3,  remaucnt  123  : que  multiplica  per  I3,  erunt  1623  ; quibus  superadde 


Digitized  by  Googie 


tiS 

Tmiili|)licationcm  dc  s in  4;  que  in  s;  que  in  6,  erunt  tses;  que  muliipliccntur  pci 
I9t  erunt  3S435;  et  tot  liahuit  primu<{.  Itera  extrahes  4,  que  sunt  super  7,  dc  ipsis 

7,  remanent  3;  que  roiiltiplua  per  il|  erunt  33  ; cui  superadde  multiplicationem  dc 
4 in  5,  erunt  53;  que  multiplica  per  I3t  erunt  C89;  de  quibus  extrahe  multiplicationem 
de  4 in  5;  que  in  0,  idest  fso  , remanent  560  ; que  multiplica  per  ts  , erunt  loail  : 
quibus  superadde  multiplicationem  de  4 in  5;  que  in  6j  que  in  0,  idesi  sotf  » eruiil 
11771;  que  multiplica  per  3,  erunt  353t3;  et  tot  habuit  secundus.  Item  extrahe  5 dc 
11,  remanent  e;  que  multiplica  per  13,  erunt  78;  quihus  superadde  multiplicationem 
de  5 in  6,  erunt  ioh;  que  multiplica  per  lo,  erunt  soso:  dc  quilms  extrahe  multipli- 
rationem  dc  s in  e ; que  in  8 , | idest  sto,  remaiietit  isis ; que  multiplica  per  3 , 
erunt  5436;  quihus  superadde  multiplicationem  de  s in  G;  que  in  8 ; que  in  2,  idest 
480,  erunt  5916;  que  multiplica  per  7,  erunt  417I2;  el  tot  habuit  tomus.  Kl  si  dc  quarto, 
et  quinio  homine  secundum  datam  et  ostensam  maleiiam  inuenirc  studueris,  reperies, 
quod  quartus  homo  habuit  bizantios  38643,  et  quintus  habuit  44057;  ct  .sic  de  pluribus 
facere  poteris. 

^lia  tfHCxtio  de  tnt.*'  hominibus. 

LVrum  si  homines  fuerint  4;  ct  primus  petat  smiiido  J secundus  Icrcio  } i;  ler- 
cius  <|uurto  I i;  quartus  primo  i dc  J \ facies  dc  facies  ^ i 5 f®^*c**  lo> 

• 5 facies  JJj  ct  operaberis  postea  sccuuduni  quml  supra  docuimus;  et  inuciiies,  primum 
hal)erc  17G274;  secundum  800773;  Terrtum  80jSS0;Ouartum  238S30;et  pretium  cqut  esse  893391. 

De  duobus  hominibus^  et  de  duobus  etjttis  per  regulam  proportionum. 

Dvo  bomiiies  bizanthias  habentes  inucnerunt  duos  equos  ad  uondeiidum;  <|iiorum 
secundus  ualehat  bizantios  s plus  pretio  primi.  Et  primus  homo  cum  stii.s  hizaiitijs 
pro|>onit,  primum  equum  emere,  habita  hizantiorum  secundi.  Secundus  ucro  hahita  ^ 
hizanliorum  primi , pro|>onit  secundum  ef{iium  emere;  et  liant  licc  omnia  cum  integris 
Illimeris.  Queritur  pretium  uniuscuiusque  c(|ui;  et  quot  liizantios  unusquisque  habeat : 
quia  primus  cum  - hizaiilionim  sccuiidi  habet  pretium  primi  equi.  Et  .secundus  cum  { 
hizanliorum  secundi  habet  pretium  secundi  equi;  ergo  primu.s  cum  \ bizantiorum  se- 
f iiiidi  habet  S,  minus  qiiam  .sectindu.s  cum  { bizantiorum  primi.  Vnde  si  auferatur  ex 
iitro({ue  I bi/antiorum  secundi,  habebit  primus  bizantios  s,  mititis  quam  f bizantiorum  se- 
cundi, et  \ bizantiorum  suorum.  Quare  si  adhuc  ex  ulitM{ue  auferatur  ; bizantiorum 
primi,  remamduint  | bizantij  primi  bizanlij  2 , minus  quum  ~ bizautionim  secundi. 
I.hiare  iiiuenias duos  iiitegros  numeros,  quorum  ~ unius  sint  s,  minus  dc  \ altcrim: 
est  enim  modus  repenendi  eos,  ut  accipias  | cuiusuis  numeri,  qui  diuidatiir  integraliter 
per  4;  cui  cum  superaddideris  8,  uenici  numerus,  qui  diuidatiir  integraliter  per  8,  que 
sunt  super  3 de  J : Sitque  numerus  ille  8 super  J,  cuius  .scilicet  super  6 adde  2,  in 
quihus  I hizanliorum  .secundi  excedunt  { bizantiorum  primi,  cnint  8;quc  h sunt  J alicutiis 
integri  numeri;  quem  iiiucnies  cum  nmhiplicauens  dimidium  de  8,  scilicet  4 iu  3:  quare 
iiuuu-rus  ille  r.st  iS:  et  qiua  ^ de  8 .sunt  2,  minus  de  | dc  li;  habet  primus  bomo  bizantios 

8,  ct  secundus  i*;  quorum  J,  scilicet  4,  additis  super  8,  reddit  12  pro  pretio  primi  equi; 
ciini  quibus  additis  8,  reddunt  M pro  pretio  secundi.  Item  quia  \ de  16,  scilicet  18, 
sitiil  2 mimis  de  | dc  2i;  ]>olc.st  primus  liomo  habere  bizantios  16.  ft  .sccmidiis  bi- 
zantios 81.  Et  primus  equus  ualeret  13;  secundus  85.  Et  sic  possemus  intinilos  riimieros 


•I  «atiw.  ri  ..  . ( I h • 
|M.  fin.  i-s 

ZS3.  I».  31  S'  . 


i '*<  r'»'«  1 

Friatui  ha«»  1 

1 16  1 

8 j 

' «.««ni». 

1 21  ; 

18  > 

' l*rtniM< 

friaiiM 

83 

12 

SrruadN) 

ScrvMlut 

25 

>•  1 

. t . . 

rr..|.  99vrr,». 
«33.  lin.  1$  • 
lin.  4]. 

i-.K 

4(j  ^ «3i;. 

fnmut  bu«Bu  «am  »r<in.lii*  ! 

uu«  u*Im(  » H«i 


2U  I 

‘'Ti"  I 

89 

38  I 


Digitized  by  Googie 


t.A 


l'*l  ti-ita. 


{ful.  tog  I»fu  . Illi.  >6-39  . 
!•««  >36.  lan.  4>  «p»  p«|  237. 
i.H.  II). 


s:6 

]ial>crc  pro  bitanlijs  uniuscuiusque;  cum  inliiiiti  sint  numeri,  qui  sunt  in  dicta  propor* 
tiouc»  sciiicct  quod  ~ unius  sint  i minus  de  | alterius.  Et  si  pretium  secundi  cqut 
c.ssct  plus  pretio  primi,  inuenires  duos  numeros,  quorum  } unius  essent  3,  minus  dr 
{ alterius;  qui  numeri  similiter  infiniti  sunt,  ex  quibus  unus  est  *o;  alius  j?  : quare 
primus  haberet  bizatitios  20;  alius  27.  Kt  pretium  primi  equi  cs.set  22;  secundi  32. 

De  tribus  hominibus  et  tribus  equis,  cum  unus  petat  aiii  per  ordinem 
secundum  regulam  proportionum. 

Irem  homines  sint  tres,  ct  equi  similiter  sint  Ires;  quorum  secundus  ualcat  t plus 
primo.  F.t  Icrciiis  ualcat  3 j»lus  quam  secundus,  sciiicct  s plus  quam  primus.  Et  primus 
homo  cum  J bizantiorum  secundi  habeat  pretium  primi  equi.  Secundus  cum  j bizan- 
tioium  tercij  habeat  pretium  .secundi  equi.  Tercius  cum  j bizantiorum  primi  lial>cl 
piTtium  I terci)  equi.  Queruntur  in  integrum  bizantbij  uiitu.scuiusque  hominis,  et  equi: 
quia  primus  cum  j bizantiorum  secundi  bal>ct  pretium  primi  equi.  Et  secundus  cum 
bizantiorum  tercij  baliet  pretium  secundi  equi.  Sunt  ergo  bizantij  primi  hominis  cum  ~ 
bizantiorum  secundi,  bizantij  2 minus  dc  bizantijs  secundi  hominis  cum  {bizantiorum 
terci).  Quare  bizantij  primi  hominis  sunt  2 minus  dc  | bizantiorum  secundi;  et  de  { 
bizanlioniin  tercij.  Item  quia  secundus  cum  | bizantiorum  tercij  habet  pretium  secundi 
ecjui  ; ct  tercius  homo  cum  { bizantioi-um  primi  Iialicat  pretium  tercij  equi  ; ergo 
secundus  cum  { bizantiorum  terci)  liabet  3,  minus  quam  tercius  homo  cum  { hizaiilioi-uni 
primi.  Vnde  bizantij  secundi  hominis  sunt  3 , minus  dc  { bizantiorum  tercij  , et  dc 
I bizantiorum  primi.  Vnde  bizantij  secundi  hominis  suat  3,  minus  de  { bizantioiuini 
tercij,  et  dc  | bizantiorum  primi.  Rursus  quia  tercius  homo  cum  { bizantiorum  primi 
habet  pretium  tercij  equi;  et  primus  cum  { bizantiorum  secundi  habet  prclium  primi 
ei|ui ; ergo  tercius  homo  riim  ~ bizantiorum  primi  habet  5 plus  quam  primus  cum  { 
bizantiorum  secundi.  Ymlc  bizantij  tercij  hominis  sunt  5 plus  quam  de  | bizantioruin 
primi;  ct  dc  { bizaiitionim  secundi:  hijs  itaque  intellectis  studeas  inuenire  proportionem, 
(|uam  habent  bizantij  primi  hominis  ad  bizantios  secundi.  Sunt  enim  bizantij  primi 
2,  niitias  de  | bizantiorum  secundi,  ct  dc  { bizantiorum  tercij  hominis.  Et  quia  bizantij 
tercij  homiuis  sunt  5 plu.s  de  { bizantiorum  primi,  ct  dc  { biziintionim  .secundi,  erit 
{ dc  bizantijs  tercij  hominis  { !,  plus  dc  { bizantiorum  primi,  et  de  bizantiorum 
secundi  : ergo  bizantij  ]>rimi  hominis  sunt  2 , minus  de  | bizantiorum  secundi  , rt 
{ plus  de  { bizantiorum  suorum,  ct  de  bizantiorum  secundi.  Quare  extracto  1 1 dc 
2,  remanebunt  bizantij  primi  homiuis,  minus  { unius  bizantij  dc  |,  ct  S4'cuiidi  ho> 
minis,  ct  dc  { bizantiorum  suorum  : quare  { bizantiorum  primi  hominis  sunt  { unius 
bizantij,  minus  dc  -J  , et  scilicet  de  { bizantiorum  secundi.  Vnde  si  reperianUir 
duo  numeri,  quorum  { unius  siut  { unius  bizantij,  minus  dc  { bizantiorum  alterius, 
hal>ebts  bizantios  primi,  et  secundi  hominis  : quos  numeros  inucnies  sic:  quia  { unius 
bizantij  suprascripli  diuiduntur  ]Kr  3;  ita  quod  non  frangitur  aliqua  cx  ipsis  tribus 
quartis.  Inuenias  numerum,  quorum  { diuidantur  integralitcr  per  3 ; critque  numerus 
ille  is  , cuius  \ sunt  12  : cum  quibus  adde  { unius  bizantij  , erunt  { 12  ; que  t2 
sunt  { alicuius  integri  numeri;  quem  inucnies  esse  17,  cum  muUiplicaueris  | 12  per 
4,  et  diuides  per  3:  ergo  primus  bomo  liabct  bizantios  15,  ct  secundus  17.  Si  <7  b:i- 
lierel  tcrciam  in  integrum,  quam  petit  ei  primus.  Vnde  inucnies  alios  duos  numeros, 


Digitized  by  Googie 


aa: 

quorum  \ uitius  sint  minus  [ unius  bizaiitij  dc  J alterius;  cl  secundus  numerus  di- 
iiiclatur  iiitegruHtcr  |>cr  3;  eruntque  30,  ct  33:  ergu  primus  habet  30  ; secundus  33  , 
quorum  scilicet  addita  sunt  30,  reddit  bizantios  4<  pro  pretio  primi  equi:  cum 
quibus  adde  biauuitins  s,  erunt  bizantij  43  pro  pretio  secundi  equi.  Et  quia  secundus 
homo  cum  ~ biznntioniin  tcrci)  habet  pretium  secundi  equi,  scilicet  43;  ergo  dilferrntia, 
que  est  a 33  usque  in  43,  srilicet  lo,  erit  J bizantiorum  terci)  hominis.  Quare  tercius  homo 
habet  bizantios  40.  cum  quibus  addita  j de  bizantijs  primi  hominis  , scilicet  dc  30, 
reddunt  bizantios  46  pro  prt:tio  tercij  Cf|ui.  Poles  enim  iahititos  numeros  halxue  pn> 
bizaiilijs  illorum,  cum  infiniti  sint  numeri,  ex  quibus  \ unius  sint  | unius  integri, 
minus  de  j alterius.  Et  si  soeundus  e^pius  ualcret  s plus  primo,  ut  diximus;  et  tcreius 
ualcrel  4 plus  secundo,  scilicet  6 plus  primo.  Inuenircs,  suprascriptis  dispositis , quod 
^ bizantiorum  primi  essent  J unius  bizantij,  minus  dc  ~ biuinliorum  alterius:  dc  qua  re 
si  regulam  habere  uU,  cum  tcrcius  equus  ualcut  c plus  primo  ; primus  homo  5;  Se> 
eundus  6;  tcrcius  ia;  primus  e<|mis  7;  Secundus  0,  tercius  13.  Considera  | quid  secundus 
homo  petat  Icrcio  : petit  enira  ei  pro  qua  4 accipe  | dc  8,  in  quibus  pretium  tcrci) 
equi  excedit  pretium  primi,  erit  > i ; que  extrahe  dc  s , in  quibus  pretium  secundi 
equi  excedit  pretium  primi,  remanebit  ipsum  in  quo  | bizantiorum  serundi  excedit 
j bizantiorum  primi.  In  qua  proportione  infinitos  )>otcs  repcrii‘c  integros  numeros,  ex 
quibus  primi  sunt  5 ct  6;  cum  quibus  reperies,  quod  tcrcius  homo  habet  bizanlias 
J8;  ct  pretium  primi  equi  est  7 ; secundi  9;  tcrcij  13.  Et  si  pretium  Icrcij  equi  ex- 
cederet bizantijs  s pretium  primi;  cum  » ipsorum  s,  scilicet  i,  fuerint  extracta  dc  i, 
in  quibus  pretium  secundi  equi  excedit  pretium  primi,  mnanebiint  tunluni  * bizantiorum 
primi  hominis  esse  J bizantiorum  secundi.  Quare  primus  liabcrct  44;  secundus  4s;  et  pn*- 
tium  primi  equi  esset  61;  ct  tercius  homo  hal>eix't  60;  ct  pretium  secundi  equi  cs.sct 
63;  tcrcij  69.  Rursus  si  )>retiuin  c<pii  tcrcij  excederet  bizantijs  iO  pretium  primi;  cum 
I ipsorum,  scilicet  ^2,  siut  \ plus  de  2,  in  quibus  secundus  copius  excedit  primum, 
erunt  | bizantiorum  primi  \ unius  bizantij,  plus  de  | bizantiorum  secundi.  In  qua  pro- 
portione infinitos  poteris  in  integrum  inucnirc  numeros,  ex  quibus  sunt  40,  ct  42:  quare 
primus  Lalwt  4o;  secundus  42;  tercius  56.  Et  primus  equus  ualcret  34;  secundus  56; 
terchis  64.  In  bac  enim  questione  ad  impediendum  ipsum,  quem  interrogaueris,  poteris 
adiiingere,  quod  tcrciu.s  homo  habeat  pretium  .secundi  equi;  et  tunc  in  alij.s  numeris, 
preter  quam  in  suprascriptis,  licc  cpicstio  nullatenus  poterit  solui. 

Ve  qnntuor  hominibuff  et  quatitor  equis  per  eandem  regulam  prtqHtrthnutu. 

Item  homines  sint  4,  et  equi  sint  4;  et  primus  rum  | bizantionim  secundi  emat  priimiiii 
eqimm;  cl  secundus  cum  \ bizantiorum  tcrcij  emat  secundum.  Et  tcrcius  cum  \ bizan- 
lioium  quarti  cmal  tcrcium.  Kt  quartus  cum  { bizantiorum  primi  emat  quartum  er|iiiim; 
et  ualeat  .secundus  equus  bizantios  2,  plus  primo;  Icrcitis  bizantios  3,  jilus  secundo,  sci- 
licet 3,  plus  primo.  Quarius  i>izaiitios  5,  plus  tercio,  scilicet  bizantios  10,  plus  primo. 
Si  .secundum  positiones  pclitioniiro  ipsarum,  cl  secundum  pretia  c piorum  mcnlo  .su- 
pra.scri)>to  comsidei-are  sciueris,  inuenies,  quod  primu-s  habet  bizanlios  2,  minus  de  | 
bizantiorum  .sccuiidi , et  dc  | bizantiorum  tcrcij.  Et  .secundus  habet  ^ bizantiorum 
temj,  et  | bizantiorum  quarti,  minus  bizantijs  3;  et  tcrcius  habet  | bizantiorum  quarti, 
et  J bizantionim  primi,  minus  bizantijs  5.  Et  quartus  babcl  bizantios  10,  plus  de  * 


r»i. 


Iu» 


■ i|tM.I  «iVNIliuf  .1  ^ 

lia-,  • (fui.  1114  •‘rr.ia,  lan.  t 

12.  fs  <37.  Ii«.  11-27:  . 


CitiH  t#frin«  rifaiia,  aila-at  2 
||«a  |>nn,«  HriitiHi  • 

I 

SH 

r.0 

Pnia.it.  ri|MM 

i «I 

I jlfviinilu* 

69 


. «i-ra«Mli.  !•  iliia  . .. 

lana  . iT-l.  I*M  .w.. 

liai.  11  24.  237.  Uii.  27- 

43;. 

<'.iian  ll•^1tt*  r.|iMii  |0  | (w. 

(«ilM» 

frinam  | 

46 

KMaaii  1«, 

42 
.S6 

Piill,il.  ri|«l*. 

•S4 
.sn 

Ttrrri*» 

61 


Digitized  by  Googie 


U9 

primi  hominis,  ct  dc  ; secundi:  cl  quia  primus  habet  t,  minus  de  J secundi,  et  de  * 
bizantiorum  tercij,  redigemus  liaiic  | bizantiorum  tercij  in  portiones  quarti  hominis, 
et  primi.  Sunt  enim  omnes  bizaiitij  tercij  hominis  bizanti)  5,  minus  dc  j bizantiunim 
quarti,  et  dc  \ bizantiunim  primi:  quare  ~ bizantiorum  tercij  sunt  minus  quarta  parte 
bizantiunim,  scilicet  5,  scilicet  1 1,  de  quarta  parte  de  j bizantiorum  quarti,  ct  de  quarta 
]>arte  de  2 bizantiorum  primi  : ergo  bizaiitij  primi  hominis  sniit  bizanlij  i,  minus  de 
I bizantiorum  secundi;  ct  | , mirius  dc  ^ bizantiorum  quarti,  et  dc  bizantiorum 

suorum:  ijuarc  si  comuniter  auferatur^  bizantiorum  primi,  tunc|J  bizatiliorum  primi 
cnirit  bizanti)  minus  dc  | bizantiorum  secundi,  ct  de  j bizantiorum  rpiarti:  quam 
< bizantiorum  quarti  rcdiges  iterum  iii  partes  primi,  ct  secundi.  Sunt  enim  bizantij 
quarti  liomitiis  bizantij  lo,  plus  dc  J bizantionim  primi,  et  de  | bizantiorum  secundi:  qua> 
ic  I bizantiorum  quarti  est  bizantij  2 plus  dc  | bizantionim  primi,  ct  dc  bizantiorum 
secundi  : ergo  bizantiorum  primi  sunt  | 3 minus,  et  bizantij  s plus  dc  scilicet 
de  I'  bizantiorum  secundi,  ei  de  - bizantionim  suorum.  Viidc  cztnictis  Inzaotijs  2, 
qui  sunt  plus  dc  bizaiitijs  ^ 3«  q^d  ^mit  mimis,  et  ~ bizantiorum  primi  de  ||  bizaii- 
lioriim  ipsius  , remanebunt  bizantiorum  primi  quantum  ||  bizantiorum  secundi  , 
minus  bizuntijs  | i.  Quare  iiiueiiies  duos  numeros,  quorum  ^ unius  sint  \ t,  minus 
dc  ull^rius  ; quos  iiiuenies  sic  : primum  inucnies  numerum,  ex  quo  cum  acceperis 
M i«i  r.-.»..-  -1*  I ipsius,  ct  super  ipsum  addideris  Ji,  facient  integrum  numerum,  qui  dinidatur  per 

^ ^ ^^^11  integralitcr  ; crilijuc  numerus  ipse  54,  cuius  ~ sunt  \ 42:  cum  quibus  addito  \ i, 

I*"  * 17;  ]..*  «H,  fiiciuiit  44;  quorum  que  est  4,  multiplica  per  I5,  reddet  pro  alio  numero  oo:  ci^o 
primus  habet  liizaiitios  54,  Secundus  60;  quorum  tercia,  scilicet  iO,  addita  cum  54,  reddit 
bizantios  7 pro  pretio  primi  equi:  per  quonim  inuentiotiem  iiiuenies  bizantios  tercij  lii>' 
minis  esse  C4;  quarti  75;  pretium  secundi  equi  76;  tercij  79;  quarti  84.  Kt  nola  quod  si 
^ de  bizantijs  10,  in  quibus  pretium  quarti  cipii  excedit  pretium  primi,  esset  equulis 
de  bizantijs  J 3 suprascriptis,  remanent  bizantionim  primi  quantum  bizaiiliorum 
secundi:  et  si  esset  phts  dicta  \ dc  2 3»hoc  est  quod  in  luco  decenarij  ex  positione 
alicuius  alie  similis  questionis  caderet  aliquis  inmieriis  maior  de  lO,  cuius  ^ esset  plus 
de  [ 3,  tunc  remanerent  ^ bizantiorum  primi  quantum  ~ bizantiorum  secundi,  ei  plus 
iiiH*  qiioil  esset  l ipsius  iiiimori  magis  de  bizantijs  | 3 pmliclis. 

A’  quinque  hutuinilnts  et  totuiem  equis  secumlum  eandem  re fftlnm. 

Item  homines  .sint  quinque,  et  equi  .similiter.  Et  primus  petat  .secundo  Secundus 
leirio  i;  tcrciiis  (|iiarto  quartus  quinto  Ji  quintus  primo  Et  sic  emat  primus 
primum  equum;  Secundus  secundum  (Hpuini,  qui  iialct  bizantios  2,  plus  primo.  Et  terrius 
tcrciu.s  (j/c)  tcrcium,  qui  ualct  bizantios  3,  pius  pretio  secundi.  Et  quartus  emat  quartum, 
qui  ualet  bizantios  5,  plus  terciu.  Et  quintus  humo  emat  quintum  equum,  qui  ualet 
bizantios  7,  plus  quarto,  scilicet  bizantios  n,  plus  primo.  Imienies  quidem  ortliiie  dc- 
iiioMstralo,  qualiter  bizantij  primi  sunt  bizantij  2,  minus  de  • bizantiorum  secundi, 
et  dc  [ bizantiorum  tercij.  Kt  qualiter  bizantij  secundi  sunt  3 , mimis  dc  \ bizan* 
tiorum  tercij,  et  dc  | bizantionim  quarti:  etiam  ct  qualiter  bizantij  tercij  lioniinis 
sunt  bizantij  5,  minus  ilc  ) bizantiorum  quarti,  el  dc  | bizantiorum  quinti^  etiam  ct 
qualiter  bizantij  quarti  hominis  sunt  bizantij  7,  niiiiu.s  dc  | bizantiorum  quinti,  et 
de  ' bizantinriiin  primi.  Et  qualiter  bizantij  quinti  heminis  sunt  bizantij  it  , plus 


sa 

61 

73 

71 

76 

7« 

81 


Digitized  by  Google 


de  • hizanliorum  primi,  et  de  J liitaiitiorum  secundi  : tunc  studebis  redigere  j bi> 
zantiorum  ten'ij  in  partes  bizantiorum  primi  , ct  secundi.  Sunt  enim  omnes  birantij 
tercij  liominis  s,  miiius  dc  ~ bizantioruin  quarti,  ct  de  ; bizantioriim  quinti.  Quare  ( 
bizuntiuium  tercij  sunt  1 1,  minus  dc  | bizantiorum  quarti,  et  de  ~ bizantiunim  quinti: 
ergo  bizatitiorum(j^)primi  hominis  sunt  s,  minus  de  | bizantituum  secundi,  ct  | i,  minus 
de  ; bizantiorum  quarti,  ct  de  ^ bizantiorum  quinti;  hoc  est  bizanti)  primi  hominis 
muit  ^ 3,  minus  de  | secundi,  et  dc  | quarti,  et  de  quinti.  Sunt  enim  omnes  bi- 
zauti)  quarti  hominis  7,  minus  dc  | bizantiorum  quinti,  et  de  | bizantiorum  primi: 

<{uare  | bizantiomm  quarti  sunt  | I , minus  tle  ; bizantiorum  quinti,  ct  de  ^ bizan- 
tiorum primi  : ergo  bizanlij  primi  hominis  sunt  ^3,  et  | 1,  scilicet  \\  4,  minus  de  | 
bizantiorum  secundi,  ct  dc  , et  | bizantiorum  quinti,  el  dc  bizantioriim  suonim. 

Quare  si  comuniter  auferatur  ^ bizantiorum  primi,  tunc  bizantiorum  eius  erunt  bi- 
zatitij  4,  minus  dc  ~ bizantiorum  secundi,  et  de  bizantiorum  quinti.  Kt  quoniam 
«imncs  bizaiitij  quinti  hominis  sunt  i7,  plus  dc  * bizantiorum  primi,  et  de  ^ bizan- 
tiunun  secundi;  ergo^  bizantiorum  quinti  erunt  de  bizantijs  i7,  scilicet  bizaritij  ^ 3, 
plus  dc  “ dc  * bizantiorum  primi,  ct  de  ^ dc  J-  bizantiorum  secundi.  Nam  ~ d«‘ 

I bizantiorum  primi  sunt  ~ bizantiorum  ipsius,  et  de  [ bizantiorum  secundi  sunt 
ipvsius.  Quare  \\  bizantiorum  primi  sunt  liizanti)  4,  minus  dc  \ biz;mtioriim  se- 
cundi, et  plus  H ® bizantiorum  ipsius,  et  dc  bizanlionim  secundi  : quare 

extractis  liizantiorum  primi  de  J‘  bizantiorum  i|>sius,  remanebunt  ~ eiusdem;  qui 
JU  sunt  JJ  4 I minus,  ct  ^3  plus  de  ^ secundi.  Quare  extractis  JJ  3,  dc  4,  rcran-  m.  i«i 

iicbuiit  i : ergo  JfJ  bizantiorum  primi  sunt  de  t , nittius  de  bizanlionim 
secundi.  Quare  pro  liizanthijs  primi,  et  secundi  hoiiiiitis  reperiendi  sunt  duo  nunicri, 
quorum  Ullius  sint  I,  minus  dc  * J alterius;  cnintque  1580  ct  I7i3;  qui  rcperiuntur 
sic  : quia  unius  sunt  minus  i dc  \\  alterius.  Oportet,  ut  reperiatur  numerus,  de 
quo  acceptis  J-JJ,  el  addito  i super  ipsas,  faciant  mimenira,  qui  diiiidalur  iiile- 
graliter  per  33:  quem  numerum  iiiuenire  non  poteris,  nisi  querendo  per  numeros,  qui 
siinl  integra  pars,  ucl  partes  de  I4u  : ct  quia  .super  oportet  addere  i , inue- 
iiiciidus  est  maior  numerus,  in  quo  iio  ct  120  iiitegralilcr  diuidantiir;  qui  niimems 
est  20.  lii  quo  diuide  140,  exibunt  7;  u quibus  incipies  querere  numen»s  suprascri- 
pios,  scilicet  pones,  quinl  primus  numerus  sit  7;  quorum  sunt  uigesima  de  lii, 
sicut  7 sutil  uigesima  pars  de  lior  uigesima  enim  parsdciil  est  Kx  quibus  fac 
7t5*  quoniam  una  qiuqiic  uigesima  est  ergo  y^  sunt  ^ : deinde  diuide  ^^i, 
scilicet  ^ per  33  , vl  .M'ius  quid  ex  ipsa  diiiisioiie  rcmaiieut  : diuisis  enim  I33  per 
33,  leroaiioiit  27;  a quibus  umjuc  in  53  desunt  2g;  et  tot  oportet  superare  de  ~ illius 
numeri,  quem  in  portione  primi  {msuerls.  Viule  diuidas  jHisitoruin  7 pro  piimo  nu- 
mero, .scilicet  per  53,  uidens  quid  ex  ijwa  diuUione  remaneat,  nemaiictil  enim  ao; 
rpie  30,  cum  non  sint  20,  ut  o|>ortGt,  pones  in  portione  primi  lioinlnis  alia  7 siipei 
priora  7;  ex  <|iiibtis  accipe  , erunt  duplum  dc  ~ ; quibus  diuisis  per  53,  rema- 
nent duplum  de  30,  .scilicet  CO:  quibus  r.g  diuisis  {ler  53,  remanent  7;  que  cum  iam 
siiil  2G,  triplicabis  ipsa  30,  uel  quudriplicabis,  ucl  per  5 multiplicabis,  ucl  per  alium 
numerum  , donec  ex  multiplicatione  per  33  remaneat  20  : ergo  multiplicabis  30  |H*r 
15,  erunt  430;  quibus  diuisis  proueniat  numerus,  qui  cum  diuisus  fuerit  per  S3,  remanent 


Digitized  by  Googie 


**  lU  H 

> ;!••■  I‘i1t  Imi 

I ti  «tu.  Imi.  |ri.«T^ 


r.n«i.  Il•■<l».• 

1', .•{IMI. 

IjSII  1 

21CU 

itn>li*« 

S<ri|;>.|il. 

1713 

2162 

1 TOS 

2161 

<»i«irlM- 

0«,rtii. 

IH1.7 

J 2I7U 

M«i.n|.i. 

t <,»Milll«« 

lo;»« 

1 2IT7 

S40 

ut  opoiict:  quarf  poneii  pro  quantitate  primi  numeri  quindecies  7«  scilicet  103;  de 
quihus  accipe  scilicet  quindecies  - s , hoc  est  f S3  , et  adde  super  ipsa  i , 
erunt  quo  diuido  per  S3»  uetiit  ^ ; per  que  multiplica  71  sic  : multiplicatio 

de  I in  7S  facit  71;  et  multiplicatio  de  in  72  facit  cum  71  sint  y dc  iio  : 
<[uare  multiplicatio  de  in  71  facit  septuaginta  unam  uices  scilicet  quintas  ll3, 
rpic  sunt  integra  |4l:  quibus  additis  cum  7S,  reddent  pro  secundo  numero  ~ <!4  ; 
qui  numerus,  cum  non  sit  integer  , o|M)rtct , ut  super  tos  ponamus  totiens  7 ct  7 , 
donec  liahcaraus  secundum  iiumemm  in  integrum.  Vnde  si  addemus  semel  7 super 
105,  remanebunt  ex  ~ ipsorum  7,  ul  prodiximus cum  diuisc  fuerint  per  53.  Quare 
si  super  I05  prodictis  posuerimus  bis  7,  remanebunt  his  30  cxdiiiisione  dc  ipsorum 
14  per  53.  Quai-c  ex  triplo  septenario  remanebunt  ter  30 ; et  cum  non  oporteat  ali' 
quid  remanere  ex  ipsa  diuisionc,  }>onc  super  ipsa  105  quinquaginta  tres  uices  7,  sci- 
licet 371;  et  sic  habebis  pro  primo  numero  470.  Et  cum  ipsorum  476  fuerint  ad- 
diti cum  4^  i;  I et  multiplicata  ^ ipsomm  per  ri  non  faciant  integrum  numerum, 
oportet  iterum  super  476  addere  37i  semel,  bis;  cl  donec  procreetur  numerus  , cuius 
ilo’  7^*  additis;  et  multiplica  ~ ipsorum  per  71,  faciat  integrum  numerum.  Vnde 
si  super  476  addideris  ter  371,  scilicet  Iit3,  uenient  <559,  quorum  " acceptis  eis,  et 
superaddito  i,  cl  eorum  ~ multiplica  per  72  , procreantur  pro  secundo  iiumen> 
1713  : ergo  primus  homo  habet  1589;  .secundus  1713;  quorum  1713  tercia  parte,  scilicet  S7t 
addita  cum  bixantijs  primi  lioniinis , scilicet  cum  15S9  , ueiiit  ii60  pro  pretio  primi 
€^|ui:  quare  pretium  .secundi  equi  erit  sioi;  pretium  quoque  tercij  si6s;  pretium  quurti 
2170;  pretium  quinti  2177.  Et  tercius  liomo  habebit  179C;  quartus  iB4.i;  quintus  1950. 

\Mus  ftiiuif  cum  unusffuisfjuc  petit  duobus  diorum  per  ordiuem 
in  questione  quatitor  hominum^  et  unius  equi, 

Qvaluor  liumiiies  bizanthios  hul>enlcs  equum  emere  uuiuenint;  ex  quibus  primus 
petit  secundo,  et  lercio  homini  j.  Secundus  Icrcio,  ct  quarto  petii  {.  Teixiu.s  quarto, 
et  primo  qucril  l>uarlus  (juoque  primo,  et  secundo  querit  { suorum  bixaiUionim, 
et  sir  unus<|uist|iic  projionit  ipsum  emere  equum.  Quia  primus  cum  y bizantiorum  $«*- 
eundi,  ct  tercij  iiomiiiis  pru]>oiiil,  ipsum  emero  eqiuiin;  sicut  secuiuliis  cum  [ btzan- 
liuiuin  tercij,  ct  quarti.  Et  sicut  tercius  lionio  cum  | bizaiiliorum  quarti  et  primi.  Et 
sicut  quartus  cum  J iiizantiomm  primi,  ct  secundi  : ergo  primus  cum  J l>izuiitioruiii 
secundi,  el  Icrtij  habet  lautum  quantum  secundus  cum  J bizaiiliorum  Icrcij,  et  <iuarli; 
rt  (juaiilum  tercius  cum  y bizantionim  quarti,  ct  primi;  et  quantum  quartus  cum  j bizan- 
tiorum  primi,  ct  secundi.  Et  quoniam  primus  cum  j bizantionim  secundi  , et  tercij 
lialiei  (|uanlum  secundus  cum  \ Idzanlioruin  tercij,  ct  quarti.  Si  de  secundo  iiufcnitui 
y bizantioium  suorum,  remanebit  priniu.s  cuin  y bizanliurtim  tercij,  eipialis  dc  | bizaii- 
lionim  secundi  cum  } bizantionim  tercij,  et  quarti.  Vnde  si  dc  { bizantionim  tercij 
aufenitur  y bizaiiliorum  terdj,  remanebit  primu.s  cum  bizantionim  terrij,  e<|ualis  dc 
I bizantiorum  tercij  eum  J bizaiiliorum  quarti.  Similiter,  eisdem  dispositis,  inuenic>s 
secundum  hominem  habere  cum  bizantionim  qiuuli  quantum  tercius  cum  ~ bizaii- 
tiorum  primi.  Etiam  inuonies,  tercium  fiominem  cum  ^ bizantionim  primi  habere  quaii- 
lum  (|iiartiis  Inmio  cum  } bizantionim  .secundi.  Item  quia  quaitu.s  cum  J liizantioruiu 


Digitized  by  Googie 


tu 

primi,  cl  sceumU  IiaUcl  qiianium  primus  nim  J luzanlionim  scrmidi,  ct  tcrcij.  Si  dr 
primo  auferatur  I bizantimuni  suorum,  rcimmehit  quartus  eum  J luxantiorum  secundi, 
cipmlis  de  \ bizantiorum  primi  cum  ^ bizaiitiuriim  secundi  et  tcrcij.  Quare  si  de  | bi- 
zantioruin  secundi  auferatur  J bizantiorum  ipsius,  reioanebit  (juartus  homo  cqualis  de  \ 
bizautionim  primi,  eide^  biuuitiorum  secundi,  et  de  -J  bizantiorum  tcrcij.  Uumisquia 
primus  cum  bizantiomm  tcrcij  quantum  | l>izaiitionim  secundi  cum  j bizan- 

tiorum quarti;  hanc  | bizanliorimi  quarti  rediges  in  partes  ]>rimi,  et  secundi  sic:  quia 
omnes  bizanlij  quarti  liuininis  sunt  | bizantiorum  primi,  et  ^ bizantioiiiin  secundi,  et  | 
bizaiiliumin  tcrcij;  ergo  quarta  pais  bir.antiuruin  quarti  est  ~ de  scilicet  bizantio- 
ruift  primi,  et  bizantiorum  secundi,  scilicet cl  \ de  J,  sriliccl  — bizantiorum  tcrcij: 
ergo  Itizaiitij  primi  hominis  eum  ^ bizaiitioriiiu  tennj  sunt  et  bizuitliorum  secundi, 
et  bizantiuruin  tcrcij,  ct  bizantiorum  suorum  : vnde  si  cx  utraque  parte  rclin* 
(|iialur  bizantiorum  tcrcij  , ct  bizantiorum  primi  , remanebunt  bizantiorum 
primi,  equales  dc  scilicet  de  bizantiorum  secundi.  Quare  imieniendi  sunt  duo 
numeri,  qtioium  ~ unius  sint  alteiiiis;  cniutquc  IT,  ct  <9  : quare  blzantij  primi 
bomiiiis  sunt  a bizantius  (.r/c)  sciruiidi  in  ip^^a  pn>portioiic,  in  qua  sunt  <7  ad  I9:  deinde 
ut  inuenies  ]>ro[Hirlioiiein,  quam  primus,  uel  secundus  habet  ad  bizantius  tcrcij.  Con- 
siderabit qualiter  primus  cum  \ bizatiliunini  secundi,  et  tcrcij  hominis  sunt  quantum 
bizantij  tercij  hominis  cum  \ bizantiorum  quarti,  ct  primi,  ut  superius  demtuisira- 
uitmis  : quare  si  auferatur  comuniter  ~ bizantiorum  tcrcij,  et  | bizantiorum  primi , 
remanebunt  | bizantiorum  primi  cum  \ { bizantiorum  .secundi,  c({uale.s  dc  J bizaiitiuniiii 
tercij,  cl  de  \ Itizantiorum  quarti.  Ostensum  est  autem,  <|uo<l  bizantij  quarti  hominis 
sunt  I bizantiunim  primi,  ct  | bizantiorum  secundi,  et  J luzantioriiin  tercij : quare 
I bizantiorum  quarti  csl  *-  de  |,  scilicet  ^ bizantiorum  primi  , et  est  scilicet 
bizauliorum  secundi,  el  j de  scilicet  bizantiorum  tercij.  Kt  quia  | bizantiorum 
tcrcij  cum  J bizantiorum  quarti  est  quantum  J liizantionim  primi  cum  { bizantiorum 
secundi  ; ergo  | bizantiorum  tcrcij  cum  ^ bizantiorum  primi,  ct  cum  bizantiorum 
sccuiidi,  et  cum  ■—  bizantiorum  suorum,  scilicet  tercij,  sunt  quantum  -*  bizanliomm 
primi  cum  \ bizaiitionim  secundi.  Verum  bizantiorum  tcrcij  .sunt  bizaiilioiiitn 
ipsius.  Quare  biz4intiurum  tercij  cum  J bizantiorum  primi,  ct  cum  ^ bizantiorum 
secundi  sunt  quantum  | bizantiorum  primi  cum  ~ bizantiuruin  secundi.  Qtiure  si  de 
\ bizanlioiuni  primi  auferatur  | bizantiorum  ipsius  , remanebunt  Similiter  si  dc 
1 bizaiilioi-um  secundi  auferatur  bizantiorum  ipsius,  remanebunt  j\.  Vade  ]J  l»i- 
zaiilionmi  tcrcij  sunt  bizantiorum  primi,  el  ~ bizantiorum  secundi.  Demonstratum 
est  igilur,  quod  ||  bizantiorum  primi  sunt  bizautionim  secundi.  Kt  (|uia  partes 
ipsorum  sunt  ci  cinlem  numero,  scilicet  dc  94,  erunt  similiter  19  partes  queltbct  bi- 
zantiorum  primi  I7  partes  cx  eisdem  partibus  bizantiorum  secundi.  Quare  jJ  bizan- 
liorum  primi  sunt  bixanlionim  sci  undi:  ct  quia  ||  bizantiorum  tcrcij  sunt  JJ  bi- 
zantiorum primi,  ct  bizantiorum  secundi,  erunt  similiter  ipse  bizantiomm  tercij- 
bizantiomm  secundi,  et  bizauliurunt  secundi.  Verum  el  bizantiorum  se- 
cundi sunt  [•  , scilicet  \\  bizantiorum  ipsius  ; ergo  bizantiorum  secumli  sunt  \\ 
bizantiomm  ten  ij.  Quare  reperiendi  sunt  duo  numeri  , quorum  \\  unius  sint  al 

terius;  eruntqiie  ii  et  13  : ergo  sicut  li  est  ad  u,  ita  bizantij  scnindi  hominis  sunt 

31 


Digitized  by  Google 


„nm,  * lin.SS 

'«4  »6:  p»g.  tii,  ha.  e t|>. 

i friant 
I 187 

; Skim>(u( 
j 209 

Tmi»* 

' 247 

( Qa»Hat 

273 
233 


242 

ad  bizanlius  tercij'.  Sunl  enim  cl  birantij  secundi  Iiomiiiis  ad  bizantius  primi,  ul  lO 
e8t  ad  17.  Quare  repcriciidi  sunt  tres  numeri,  quurum  primus  sil  ad  secundum,  sicut 
17  est  ad  19.  Et  secundus  ad  tercium  sit,  sicut  li  est  ad  13;  quos  inucnies  si  mul> 
tiplicabis  proportionem,  quam  secundus  habet  ad  tercium,  per  numerum  proportionis, 
quam  primus  habet  ad  secundum,  scilicet  ii  per  17,  erunt  187,  qui  est  primus  nu- 
merus : deinde  multipUcabis  numerus  proportionum,  quas  secundus  numerus  habet  ad 
primum,  et  ad  tercium,  scilicet  ifi  per  li,  erunt  209,  qui  est  secundus  numerus.  Rur- 
sus multiplicabis  numeros  proportionis,  quam  secundus  habet  ad  primum,  scilicet  19, 
per  numeros  proportionis,  quam  tercius  habet  ad  secundum  , scilicet  per  13  , erunt 
247  : ergo  primus  homo  habet  187.  Secundus  209.  Tercius  247.  Et  quia  primus  bomo 
petit  secundo  , et  tcrcio  ~ bizantiorum  suorum,  atldc  bizantios  secundi,  et  tercij  in 
unum,  .scilicet  209.  et  247,  erunt  bizantij  450}  quorum  tcrciam  partem,  scilicet  152, 
adde  su{ier  bizantios  primi  homini.s,  scilicet  super  <87,  erunt  bizantij  339}  et  tot  bi- 
zantios ualuit  equus.  Rursus  quia  secundus  cum  ^ bizantiorum  tercij,  et  quarti  lio- 
mini.s  projionit  habere  ipsos  bizantios  339,  scilicet  pretium  equi,  eztrabe  bizantios  se- 
cundi liuiniiiis  de  339,  remanent  130,  qui  sunt  qualium  dc  bizanlijs  tercij,  ct  quarti 
hominis:  quare  quadruplum  dc  130,  scilicet  520,  habent  inter  tercium,  ct  quartum  hu- 
iniiicm;  cx  quibus  520,  cum  tercius  habeat  247,  quartus  humo  habebit  bizantios  273,  i(ui 
sunt  a bizantijs  247  usque  in  S20. 

Modus  alius  de  emptione  equi  inter  tres  /wmineSf 
secundum  regulam  proportionum, 

Trcs  homines  equum  emere  uolentes,  primus,  cl  secundus  petunt  tcrcio  homini 
ft  pro|K)nuiit  ipsum  emere  equum.  Secundus  quo<iuc,  et  tercius  petunt  primo  J.  Ter- 
cius, et  primus  petunt  secundo  |.  Quia  primus,  ct  secundus  cum  | bizantiorum  tercij 
habent  quantum  secundus,  et  tercius  cum  | bizantiorum  primi,  scilicet  pretium  equi. 
Si  comuniter  auferatur  \ bizantiorum  primi,  cl  | bizantiorum  tercij,  remanebunt  } | 
bizaiitionim  primi  cum  bizantijs  secundi  , quantum  bizantij  secundi  cum  | bizaii- 
tionim  tercij.  Quare  si  comuniter  auferantur  bizantij  secundi,  remanebunt  J bizanlic»- 
rum  primi  «pianlum  \ bizantiorum  tcrcij.  Rursus  quia  secundas,  ct  tercius  cum  J bi- 
zantiorum primi  hal>ent  quantum  tercius  , et  primus  cum  | bizantiorum  secundi. 
Si  Comuniter  auferatur  | bizantiorum  primi  , ct  | bizantiorum  secundi , et  tercij 
remanebunt  | bizantiorum  primi,  quantum  | bizantiorum  secundi.  Que  ~ bizantio- 
rum j)rimi  sunt  | bizantiorum  tercij.  Vel  aliter.  Cum  ternus  dat  \ primo,  ct  .secundo, 
rerauiient  ci  <|ue  sunt  residuum,  quml  est  a pretia  equi  usque  in  summam  bizan- 
liunini  trium  hominum  : qiUKl  diam  residuum  remanet  primo,  cum  dat  reliquis  ~ ; 
quod  residuum  csl  j bizantiorum  suorum.  Similiter  cura  secundus  dat  | primo,  ct 
lereio,  reinancnt  J suorum  InzaiUiorum  pro  cmlem  residuo:  ergo  | liizatiliorura  i>rimi 
sunt  quantum  | bizanlioruin  secundi,  cl  quantum  | bizantiorum  tercij,  ut  prediximus. 
Quare  reperies  tres  nuinems,  quoium  | unius  sint  f alterius,  cl  | tercij  numeri,  quos 
inucnies  sic.  Positis  Jt  ct  ct  muUiptinibis  4,  que  sunt  sub  3,  per  4,  que  sunt 
.su^Mir  a;  que  per  2,  que  sunl  sujH?r  3,  erunt  32.  Item  multiplicabis  5 per  3,  que  sunt 
super  4}  que  per  l,  (juc  sunl  siijici  3,  erunt  3u.  Item  multiplicabis  3,  que  sunt  sub 
2,  per  4,  que  sunt  super  a;  que  per  3,  que  sunt  super  4,  erunt  36.  Et  quoniam  32, 


Digitized  by  Googie 


1« 

et  30,  et  36  diuiduntiir  iotegraliter  per  c,  diuiJe  ipsa  per  t,  ut  hal>eas  ca  in  mino- 
rilms  numeris;  et  hnl)el>is  pru  hiuinlijs  primi  I6;  pru  Idz^mlijs  secundi  is;  pro  Lizantijs 
tercij  IS.  Addidis  ergu  | de  Lizantijs  is  , scilicet  G , super  bizantios  primi  , et  se- 
cundi, habebis  bizantios  37  pro  pretio  equi. 

Ve  quatuor  hominibus,  cum  duo  petant  uni  eorum  per  ordinem 
secundum  eandem  reguh^m. 

Item  liumitics  sint  iiu*”';  et  primus,  et  secundus  potant  tcrcio  secundus,  et  tercius 
quarta  Tercius,  et  quartus  primo  quartus,  ct  primus  secundo  petant  Quoniam 
piimus,  et  secundus  cum  | bizantionim  Icrcij  habent  quantum  secundus,  et  tcrcius 
cum  ; bizantionim  quarti  , scilicet  pretium  equi.  Si  cumuniter  auferantur  luzantij 
secundi  hominis,  et  \ bizantionim  tercij,  inuenies  bizantios  primi  esse  | bizantionim 
tercij,  et  j bizantionim  quarti.  Similiter,  si  de  reliquis  Inspcieris,  inuenies  liizantios 
secundi  esse  | bizantionim  «piarti,  et  \ bizantionim  primi ; ct  bizantios  tercij  esse 
I bizantioioim  primi,  et  | bizantiorum  secundi;  et  bizantios  quarti  esse  ~ bizantionim 
secundi,  et  | bizantiuimm  tercij.  Sunt  itaque,  ut  diximus,  bizantij  primi  | bizantio- 
rum tercij,  ct  ~ bizantiorum  quarti.  Hizantijs  {sic)  uero  tercij  sunt  j bizantionim  primi, 
et  2 bizantiorum  secundi.  Quare  | bizantiorum  tercij  sunt  | de  i bizantiorum  primi, 
scilicet  et  sunt  bizantiorum  secundi,  scilicet  ergo  bizantij  primi  hominis  sunt 
eiusdem,  ct  bizantiorum  scniiidi,  et  \ bizaiulurum  quarti.  Quare  si  coinuiiiter  aufe- 
ratur ^ bizantiorum  primi,  remuncbuiit  bizantiorum  primi,  c<[uale.s  de  ^ bizantiorum 
secundi,  et  ; bizantionim  quarti:  el  quoniam  bizantij  secundi  liumiiiis  sunt  | bizan- 
tiorum quarti,  et  \ bizantiorum  primi,  erit  J bizantiorum  secundi  - de  scilicet 
bizantiorum  quarti,  et  ^ de  ^ bizantionim  primi  , scilicet  Quare  ~ bizantiorum 
primi  sunt  \ scilicet  j bizantiorum  quarti,  et  ^ bizantionim  primi.  Vnde  si  co- 
inuniter  auferatur  ^ bizantioium  primi,  remanebunt  bizantiorum  primi  quantum 
j bizantiorum  quarti.  Quare  iiiuciiias  duos  numcn>s,  quorum  scilicet  J unius,  sint 
I alterius;  cnintquc  f3,  et  so:  ergo  primus  habet  15,  ct  quartus  20.  Et  quoniam  primus 
liabet  quantum  | bizantiorum  tercij  cum  J bizantiorum  quarti  ; si  dc  hizantijs  is 
primi  hominis  auferatur  J de  bizantijs  20  quarti  hominis,  remanebunt  lo  pro  ^ bi- 
zantiorum tercij.  Quare  tcrcius  homo  habet  15.  Et  quoniam  secundus  habet  quantum 
~ liizaiitioruin  quarti  , ct  | bizantiorum  primi  , accipe  f de  bizantijs  20  quarti  ho- 
minis, scilicet  15,  et  adde  cum  ^ dc  bizantijs  15  primi,  habebis  is  pru  bizantijs  se- 
cundi : additis  itaque  | hizantijs  is  primi  cum  bizantijs  is  secundi,  eniiit  33;  cum  quibus 
adde  ' liizanlioriim  tercij,  scibeet  5,  habebis  38  pro  pretio  c^|ui. 

Ve  quinque  hominibus,  et  uno  equo,  cum  tres  petant  uni  eorum, 
secundum  regulam  proportionum. 

Uvisus  homines  sint  quinque.  Et  primus  , et  secundus  , ct  tercius  peUint  <|uarto 
liumitii  J.  Secundus  uei-o,  et  tercius,  el  quartus  petant  quinto  j.  Tercius  namque,  el 
<|uarlus,  ct  quintus  petant  primo  Quartus  quidem,  et  «(uinttis^,  et  primus  petant 
■secundo  j.  Quintus  uci-o,  ct  primus,  et  secundus  petant  tcrcio  et  proponunt  ipsum 
et|uum  emere.  Quoniam  primus  cum  secundo,  et  tcrcio,  el  cum  { bizantionim  quarti 
habet  quantum  secundus,  et  tercius,  et  quartus  cum  ^ bizantiorum  quinti.  Si  cumuniter 
auferantur  secundus,  et  tercius,  et  \ bizantionim  quarti,  lemanel.-it  piimiis  e<|iialis de 


■.  -tiLlati.  il4* 

•|>»«  • SI 

-39.  p*g.  Z4I.  1.B  so-si' 

ts  I 

S«ltBdu«  I 

18  I 

Tmia*  I 

IS  I 

I 0«Mrt4i>  ' 

i 41  ' 

{ :h  I 


Digitized  by  Google 


244 

J bizantionim  tjuarti  cum  ~ hizaiilioruni  fjiiinti.  Si  de  reliquis  inspexeris,  inuenies,  se- 
cundum liahcrc  | hizanliorum  quinti,  et  | bizaiitiurum  primi;  et  Icitiiuni  halicrc  • Lizan- 
liurum  primi,  cl  | bizantianmi  secundi.  Et  quartum  * hitaiitiorum  secundi,  et  | hi- 
zauliorum  tercij.  Et  iiuicnies  similiter,  quintum  hominem  liuhei e - hizantiorum  tcrcij, 
et  I hizantiorum  quarti.  Et  quoniam  jtrimus  hahel  | hizantiorum  quarti,  ct  | hizau- 
tiurum  quinti.  Et  quartus  hahel  * hizantiorum  secundi,  et  J hizantiorum  tcrci).  Erunt 
ei^o  I hizanlioimm  quarti  ' dc  * hizanlioruin  secundi,  cl  ",  scilicet  ^ hizantiorum 
tcrci).  Num  | dc  | hizanlioi-um  secundi  sunt  ^ hizantiorum  ipsius;  ergo  primus  hahel 
■—  hizantiorum  secundi,  et  ~ hizantiorum  tercij,  et  [ hizuiitioinim  quinti.  Et  quoniam 
hizantliij  tercij  hominis  siint  | hizantiorum  primi,  et  \ hizantiomm  secundi;  ergo  ~ 
hizauliuruni  tercij  erunt  " de  \ hizaiiliorum  primi,  et  de  | hizantiorum  secundi. 
Nam  ^ dc  I hizantiorum  primi  sunl  ~ hizantiorum  ipsius,  cl  dc  | hizantiorum  secundi 
sunt  jjj  hizantiorum  ipsius  ; ergo  primus  hahel  ct  ~ hizantionim  secundi , et 
" hizanliomm  suorum,  et  | hizantiorum  quiiiti.  Quare  si  corauniter  niiferatur  ~ hi- 
zauliorum  primi,  rcmmichuiil  ||  hizantiorum  primi,  eqiinlcs  dc  cl  ^ hizantiorum 
secundi,  ei  de  | hizautiunjin  quinti.  Sed  et hizantiorum  secundi  sunt  ^ hizantio- 
mm  ipsius:  ergo  ^ hizantiorum  primi  sunt  ||  hizantiorum  seruiuli,  ct  J hizantiorum 
quinti.  Uursus  quia  hizaiitij  secundi  hominis  sunt  | hizantiorum  quinti,  ct  ; hizati- 
tiorum  primi ; ergo  ~ Itizaiilionim  secundi  sunt  \\  de  ~ hizantiorum  quinti , et  d<‘ 

^ hizantiorum  primi.  Nam  H I hizantiorum  quinti  sunl  ~ hizantiorum  ipsius;  ct 
dc  j hizantioium  primi  sunl  hizantiorum  ipsius  ; ergo  hizantionim  primi  sunt 
et  j hizantiorum  quinti,  ct  ^ Id^antiorura  suorum:  quibus  ~ extractis  dc  ||  hi- 
zantiorum primi,  remuiichunt  scilicet  hizantiorum  primi,  equales  dc  ct  de 
scilicet  dc  hizantiorum  quinti.  <^iare  reperies  duos  numeros,  (|iiorum  unius 

sint  ~ alterius:  multiplicabis  ergo  is  per  2s,  ct  4u  per  <3,  ct  euilahis  ^cx  utraque 
nmlliplicatiuiic,  cum  |M)Ssthilc  sit;  et  hahehis  pro  primo  numero  ss,  cl  C5  pro  secundo, 
scilicet  pro  hizuntijs  (piiiiti  hominis.  Sed  quia  primo  homini  petitur  J,  ex  qua  in  5S 
non  reperitur  nisi  J , multiplicabis  utrumque  numerum  per  3,  ct  hahehis  J74  pro  hi* 
zantijs  primi  liotiiinis,  ct  I9S  pro  hizanlijs  quinti.  Et  quoniam  hizanlij  primi  hominis 
’ hiznatioruni  quarti,  et  \ hizantiorum  quinti,  si  ^ hizantiorum  quinti,  scilicet  39,  au- 
feratur dc  hizanlijs  primi,  scilicet  dc  fT4,  remanchunt  |3S  pru  \ hizantiorum  quarti. 

. ^umi.n  1 Qhiarc  multiplicabis  tas  per  4,  et  diuides  per  3,  exibunt  iso  pro  hizautijs  quarti  ho- 

minis.  Item  quia  secundus  hahel  J hizantiorum  quinti,  ct  J hizantiorum  primi,  accipe  J 
dc  195,  scilicet  15C,  el  adde  cum  { dc  174,  scilicet  cum  29  ; ct  lialiehis  1S5  pro  hi- 
*•  zantijs  secundi  hominis.  Uursiisqiiia  tercius  homo  lialiel  | hizantiorum  | primi,  ct  hi- 
zantiorum scciiiidi  , acci])c  ^ de  t74,  que  sunt  t4s  , et  adde  ip.sa  cum  ^ de  ih3  ; ct 
halichis  ~ I7l  pro  hizautijs  tercij  : (|iii  cum  nun  sint  in  integrum  , multiplicabis 
omnes  Dumeros  iiiuenlos  per  7,  el  hahehis  pro  hizanlijs  primi  hominis  ists;  et  pro 
hizanlijs  secundi  1293;  cl  pro  hizuntijs  tercij  1200;  et  pro  hizanlijs  quarti  12C0;  et  pro 
hizanlijs  quinti  13«3.  Deinde,  ut  tialieas  pretium  c<p)i,  adde  hizanlios  primi  cum  bi- 
zantij.s  secundi,  ct  cum  hizuntijs  tercij,  erunt  3713;  cum  quibus  adde  ~ dc  hizaiuijs 
quarti  hominis,  scilicet  313,  erunt  hizanlij  402S,  qui  sunl  pretium  <Hpii. 


Digitized  by  Googie 


2«S 

Mwlus  alius  de  tribus  hominibus  et  uno  equo^  cum  unusquisque 
ftetat  reliquis  /w*r  ordinem. 

Sini  ilcrum  tres  liomiries  bixantios  liahcntcs,  qui  equum  emere  roncupiscant.  Et 
cum  nullus  illorum  ipsum  cincre  |K)SScI,  primus  petat  reliquis  duolms  liominthiis  { 
suorum  Incautiorum.  El  secundus  petat  { hizaiiliorum  reliquorum  duonim  tiomiimm. 
Similiter  et  terciiis  petat  ^ reliquis;  et  sic  proponat  unusfpiisr|ue  ipsum  emere 
equum.  DcscrilKilur  } j { de  positione  prima,  et  extralialur  l,  quod  est  super  3,  dc 
ipsis  3,  remanent  s;  super  que  ponat  ipSum  i cum  iiir|>ula,  iil  faciant  Item  cxti'a- 
liatur  1,  quod  est  super  4,  dc  ip.sis  4,  remanent  3;  super  que  ponatur  ipsum  i cum 
uirgula;  ct  facient  Rursus  cxtralic  i,  qumi  est  super  St  de  ipsis  5,  remanent  4; 
super  que  pone  i cum  uirgula;  et  faciet  J.  Po.sl  licc  pone  iu  ordinem  { \ Jj  ct  uo- 
cciilur  de  positione  secunda.  El  uidc,  in  quo  numero  reperianlur  ipse,  scilicet  in  is; 
que  multiplica  |>cr  3 prime  positionis,  erunt  3<i;  que  diuide  per  3 secunde  positionis, 
c\ilmnt  18,  que  scriia.  Item  multiplica  cadcin  ii  |>cr  4 prime  positionis,  ct  diiiidc 
per  3 secunde  , exibunt  16.  llcm  multiplica  proscripta  li  per  s prime  positionis,  ct 
diuide  per  4 secunde,  cxilnint  is;  que  adde  curii  18,  ct  cum  ic,  erunt  49,  que  sunt 
summa  bizaiitiorum  illonim  trium  Itomttium.  Deinde  extralialur  unus  liumo  de  ipsis 
tribus,  remanent  s;  per  que  multiplica  eadem  li,  erunt  si:  que  extrahe  dc  49  , re- 
manent que  sunt  pretium  ei|ui.  Post  liec  multiplica  prescripta  24  per  i,  <|mKl  est 
super  2 sccumic  positionis,  el  diuide  per  ipsa  2,  exibuul  12;  que  extrahe  dc  2S,  sci- 
licet de  pretio  equi,  remanent  13;  ct  tot  habuit  primus.  Item  multiplica  eadem  2l 
per  1,  quod  est  super  3,  eiusdem  sccumic  positionis;  ct  diuide  i>er  eadem  3,  exibunt 
8;  a quibus  u.<upie  in  dicta  25  desunt  it;  ct  tot  babiiit  secundus : adhuc  multiplica 
24  per  1,  quini  est  sujKir  4,  secunde  |>osiiioni.s;  et  diuide  per  4,  exibunt  6;  a quibus 
us<|uc  iii  23  desunt  lo;  ct  tot  habuit  tercius. 

I)e  eodem  inter  .liu.*''  homines. 

El  si  homines  essent  ct  primus  illonim  peteret  reliquis  tribus  mcdiclalcm 

suoniin  bizaiitiorum,  ct  secundus  pelerel  ten'iam  reliquis,  el  tcrcius  }>ctcrct  quartam 
reliquis,  et  quartus  pctcixrt  quintam  reliquis  ; hanc  enim  positionem  per  suprascriptam 
rcj;ulain  re;»crie.s,  uidclicct  ut  describas  in  oixiineni  ; ^ ct  iioeabis  cas  dc  posi- 
tione prima.  Deinde  extrahas  (iguram,  que  est  super  unamquamque  uirgulam  dc  figura, 
<{ue  est  sub  eadem  uirgula,  faciens  ex  eis  secundam  positionem  sic  : | 1«  Deinde 

iiidcas  dc  { ; 1 in  quo  numero  reperiantur,  scilicet  in  12.  Quare  multiplicabis  12 
per  2 prime  |>ositioiiLs,  erunt  24;  que  diuide  per  1 secunde,  exibunt  24,  que  scrua  : 
el  multiplica  eadem  12  per  3 prime  |>ositionis;  ct  diuide  per  2 secunde,  exibunt  is, 
que  scrua,  multiplicans  12  per  4 prime  posilioni.s,  et  diuidens  per  3 secunde,  exi- 
bunt 10,  que  .scrua:  ct  iterum  muhtpHca  12  per  S prime  positionis  , ct  diuides  per 
4 secunde,  exibunt  13.  Addes  itaque  24,  ct  I8,  ct  lo,  et  is,  erunt  73,  que  sunt  summa 
biziintioruiu  illorimi  | .iitj''''  hominum:  deinde  cxlralic  1 dc  illis  .iiu.*'  hominibus, 
icmancnl  3;  per  que  multiplica  12  prescripta,  erunt  30;  que  extrahe  de  73,  remanent 
37;  ct  tot  iialuit  cijuus.  Deinde  diuide  prescripta  30  per  1 secunde  positionis,  exibant 
3o;  que  cxlralie  dc  37,  remanet  l;  ct  tot  habuit  primus.  Postea  uero  accipe  dimidium 
dc  36  propter  ‘ secunde  positionis,  scilicet  I8,  ct  exlruhc  de  37,  remanent  10;  ct  tot 


.•fTKfy  e<|«iHn  ....  tii  » 

M.  lQ(r,-rro,  lin-  lt-16.  r«||. 
2(4.  lia.  e c 7-tll. 


(ilMU 

I l t 

S T * 

pMwlio  tfc-uaiU 

1*2 
I i 5 


• kiTaniHiraiw  ....  ntt  A«aM. 
«r,  . (Ul.  104  lia.  21 

39s  245.  l,„  I/.24,. 

erinm 

13 

17 

19 

C|>U. 

2S 


mulU|>li«- 

4.1«  ltp«r  104  iin. 

21.24.  2(9.  lia.  2MS  • 

24j. 


{Ki.illa  fttmi 

(iit 
» i a 3 

I r ' I 


Digitized  by  Googie 


111«  h> 

I IM.  ■•'! 

tia 


• |i»l  i,« 

• SV  >-  r^j; 

t 

1 

tfl 

S5 

2s 

37 


S\C 

hahuit  Kcrundiis.  Similiter  acci|>c  | dc  3ft  pro  ipsa  qac  est  in  secunda  positione. 
Et  extralic  dc  37,  remanent  25;  ct  tot  habuit  tcrcius.  Rursus  pro  | , que  C5t  in  se- 
cunda pasitione,  accipe  J dc  36,  scilicet  9,  que  extrahe  dc  37 , remanent  28 ; et  tot 
habuit  quartus.  Nam  si  vnde  hcc  regula  procedat  nusse  uulueris,  considera  igitur,  quia 
cum  primus  homo  {letnt  reliquis  ^ ipsorum  bizantionim,  cum  habeat  ipsam  medietatem, 
non  habet  amplius  quam  pretium  C(|ui;  ergo  remanet  reliquis  tribus,  scilicet  secundo, 
et  tcicio,  ct  quarto  a pretio  <M}ui  usque  in  summa  omnium  biu)iitiorum  illorum 
hominum.  Et  cum  secundus  habeat  ^ bizantiorum  reliquorum  trium  bominum,  et  non 
habeat  tunc  iiLsi  tantum  pretium  equi;  ergo  reliquis  tribus,  scilicet  primo,  et  tercio 
ct  quarto  remanet  hoc  idem,  quod  est  inter  pretium  ecjui,  ct  suuiniam  bizantiorum 
illorum  Similiter  cum  tercius  homo  habuerit  } bizantiorum  reliquorum  trium 

hominum;  et  habuerit  tantum  pretium  equi,  reliquis  tribus,  scilicet  quarto,  et  primo, 
et  secundo  remanet  illud  idem,  quod  est  a pretio  equi  usque  in  summa  bizantiorum 
illorum  Propter  eandem  primo,  ct  scenndo,  ct  tercio  remanet  illud  idem,  rpiod  est 

a pretio  equi  usque  in  summam  proscriptam,  uidelicet  data  quinta  illorum  bizantiorum 
quarto  homini:  ergo  cum  quilibet  illorum  petat  , ct  sua  petitione  ah  ipsis  recepta  , 
remanet  cis  una  , cl  eadem  quantitas , scilicet  una,  que  est  a pretio  equi  usque  in 
summam  omnium  bizantiorum  illomm  .im°'  bominum.  Post  linne  itaque  considerationem 
describe  }>ctitioucs  eorum  in  ordinem  sic:  | dc  quibus  superius  fecimus  primam 
positionem.  Deinde  considera,  quam  partem  quilibet  tres  illorum  tribuant  suo  petitori 
ex  hoc,  quod  cis  remanet;  quod  sic  considerandum  est.  Cuin  secundus,  et  tcrcius,  ct 
quartus  tribuant  suo  petitori,  uidelicet  primo,  medietatem  ipsorum  bizantiorum;  ergo, 
si  ipsi  bal>cnt  duos  bizantios,  dant  ei  l,  et  remanet  cis  alius:  ergo  tantum  dant,  quantum 
remanet  cis.  Quare  sciibitur  superius  in  principio  secunde  positionis  t.  Item  cum 
tcrcius,  ct  quartus,  ct  primus  tribuant  secundo  homini  j .suomm  bizantiuruni,  ut  ipse 
petit  cis;  ergo  si  ipsi  habent  bizantios  3,  dant  ei  1 ex  i|)sjs  tribus  bizantijs,  ct  re- 
manent eis  2:  ergo  dant  medietatem  eius,  quod  remanet  eis.  Quare  describitur  | in  se- 
imnda  positione  sub  { prime  positionis,  ut  in  descriptione  ostenditur.  Item  cum  quartus, 
el  primus,  ct  secundus  tribuant  tercio  homini  { ipsorum  bizantiorum,  sicut  ipse  petit 
cis;  ergo,  si  ipsi  tres  habent  bizantios  4,  dant  ei  1 ex  ipsis  pi*o  quarta  parte,  et  remanent 
eis  bizantij  3 : ergo  dant  terciani  ex  oo,  quod  cis  remanet.  Quare  describitur  ^ in  se- 
cunda positione  sub  J prime  p<»sitionis.  Rursus  cum  primus,  et  serumlns,  ct  tcrcius 
tribuant  quarto  homini  bizantiorum  eorum,  ut  ipse  petit  cis;  ergo  si  ipsi  Ires  hn- 
lM*ant  Inzantios  s,  dant  ei  i ex  ipsis  pro  quinta  parte,  et  remanent  eis  bizantij  4;  ei^o 
dant  j ex  hoc,  quml  remanet  cis.  Et  ideo  describitur  J in  fine  secunde  positionis,  ui 
in  prcscripta  descriptione  demonstratur.  Deinde  quia  nianircstum  est,  residuum  quod 
remanet  quibuslibet  tribus  lioininibiis  illorum  |KLSt  datam  petitionem  quesitam  eorum 
|>clitori  semper  est  idem.  Ponamus  ut  ipsum  residuum  sit  12;  ideo  quia  in  12  repe- 
riuntur  partes  sccundc  positionis,  scilicet  J | ^1.  Et  quia  iterum  manifestum  est,  quod 
secundus,  ct  tcrcius,  et  quartus  homo  | dant  primo  homini  tantum  quantum  eis  remanet; 
ergo  si  remansit  eis  is,  ut  pro  residuo  quorumlibet  illoniro  trium  bominum  posuimus, 
alia  12  ipsos  dedisse  necessc  est  : ergo  ipsi  tres  habuerunt  in  principio  bizantios  24;  ct 
hoc  est  quod  in  procedenti  regula  niultiplicauimus  12  per  2 prime  positionis,  ct  diuisinius 


Digitized  by  Coogle 


per  1 secunde;  et  sic  habuimus  S4.  Item  quia  tcrcius  , et  quartus^  ct  primus  humo 
dant  secutulo  lirmiini  medictutem  hizantioruin,  qui  ei  remanent;  ergo  si  remanent  eis 
bizantij  li,  ut  positum  est;  ct  ci  dederunt  hizantios  6,  scilicet  medietatem  de  12; 
ergo  lialmerunt  ia  principio  ipsi  tres  hizantu»s  is;  et  lioc  est  qiKMl  muitiplicauimus  irr 
suprascripta  regula  it  per  3 prime  positioniSf  et  diuisimiis  per  2 secunde^  et  hahuiroiis 
18.  hiirsus  quia  quartus,  et  ]>rimus  , et  secundus  dant  tercio  liumini  tcrcium  bizan- 
tiorum,  quos  cis  remanet;  ergo  si  remanent  eis  12,  ut  prcdiximus,  ci  dcdcniiil  bizan- 
tios  4,  scilicet  tcrciam  de  12  : ergo  habuerunt  ipsi  tres  bizantios  16,  quas  habuimus 
superius,  cum  muitiplicauimus  12  per  4 prime  positionis,  et  diiiisimus  per  3 secunde: 
adliuc  quia  primus , et  secundus,  ct  Icrcitis  dant  quarto  homitti  quartam  bizantioriim, 
quos  eis  reinanetit;  ergo  si  ixmiansit  eis  bizantij  12  vt  ceteris  quibuslibet  tribus  , et 
ei  dederunt  bizantios  3,  scilicct  | de  12;  ergo  habuerunt  ipsi  tres  bizantios  is  in  prin- 
cipio, quod  superius  inucnimus,  cum  multiplicauinius  I2  per  S prime  positionis,  et 
diuisimus  per  4 secunde:  ergo  cum  a«ldidimus  biz^iiitios  2i,  quos  liabenl  inter  secundum, 
ct  tcrcium,  et  quartum  bomiiicm  cum  bizantijs  18,  quos  bulK-nl  inter  tcrcium,  et  quar- 
tum, ct  primum.  Et  cum  bizantijs  lo,  quos  babeiit  inter  quartum,  ct  primum,  et  se- 
cundum. Et  cum  l>izaiitijs  is,  quos  Labent  inter  primum,  et  SiM  itiidum,  et  lercitim  bo- 
tniiicm,  liubuimus  iu  summa  bizantios  73.  Io  qua  summa,  cum  unusquisque  ijisurum 
ter  computatus  sil  pro  eorum  bizanliururn  summa,  tcrciam  de  bizantijs  73  liabcrc  tieccssv 
est.  Ideo  (pua  73  triplum  est  summe  eorum  propter  triplam  computationem  ipsorum. 

Sed  quia  J de  73  sine  rupto  esse  non  potc.sl,  relinquimus  73  pro  eorum  summa,  ut 
predi\imus;  et  triplicamus  residuum,  scUiccl  ii;  que  triplicatio  csl  38,  secundum  quod 
superius  iiiuenimus,  quando  mullipUeauimus  12  ]>er  3,  scilicet  ]>er  numerum  .iiu.”'  ho- 
minum prescriptorum,  uno  uidciicet  cx  eis  extractu:  ergo  si  summa  eurum  est  73;  et 
residuum,  (|uod  nmiancl  quibuslibet  tribus  eorum,  csl  36.  Et  proscriptum  residuum, 
scilicet  36,  distat  pretium  equi  ad  summam  bizuntiorum  illorum,  uidelicet  a 73,  ut  su- 
perius dcmoaslrauimus:  ergo  quot  distant  36  a 73,  scilicet  37,  tui  ualet  equus.  Vnde 
quia  primus  petit  reliquis  tantum  quantum  cis  remanet;  pro  quo  tanto  In  .secunda  po- 
sitione 1 describitur;  ergo  quesiuit  eis  bizantios  36;  a quibus  usqiic  in  pretium  equi, 
uidciicet  in  37,  deest  l ; ergo  tut  Labuit  primus,  quia  addito  qxso  bizanthio  cum  bi- 
zantijs 36,  quas  qucrit  reliquis,  nimiiaim  in  pretium  scilicet  in  37  ascendit.  Item 
quia  secundo  liomitii  datur  ab  alijs  medietas  prcdicti  residui,  .scilicet  is;  ergo  ojxirtet 
eum  bal>cre  bizantios  19,  uidciicet  dilTereiiliam,  que  est  a ts  us:|uc  in  37.  Et  boc  est 
cum  in  prcccdenli  accepimus  ^ de  36  pro  \ secunde  positionis,  extraximus  ipsam  roe- 
dictalem,  Mrilicel  18  dc  pretio  equi,  uidelicet  de  37;  ct  sic  habuimus  I9  pro  bizantijs 
secundi.  Uursus  quia  a l tcrcium  bominem  reliqui  tres  dant  tcrciam  dc  residuo  eorum, 
uidciicet  de  36 ; ergo  dant  ci  is  ; a quibus  usque  in  37  desunt  bizantij  2s  ; et  tot 
oportet,  ut  lial>eat  ip.se:  et  boc  est  quod  superius  fecimus,  cum  accepimus  | dc  36 , 
scilicet  12,  et  extraximus  de  37.  Et  sic  habuimus  tunc  is  pro  bizantijs  Icrcij  hominis. 

Adhuc  quia  quarto  bomiiit  reliqui  tres  dant  quartam  residui  eurum,  uidciicet  de  36; 
ergo  dant  ei  9;  a quibus  usque  in  bizaiilijs  37  desunt  bizantij  28  ; ct  tut  oportet 
habere  quartum  hominem.  Et  huc  est  cum  sujKTius  accepimus  ~ dc  38,  scilicet  o,  et 
extraviimis  dc  37;  ct  tunc  habuimus  | similiter  3i  pro  bizantijs  quarti  hominis.  Et  .sic  iu*.  loi 


Digitized  by  Googie 


«l>|«  ....  S.  H » if.il. 
IUS 

Ii*.  »13. 


• <|IM  nNmrTH.  rM  ..  . 
ruta  » |I<J. 

i.»  t«-33|  p»8'  !’• 

3«i. 

4.-04 

1774 

2U47 

(•‘KilH 

ilA4 

I S1C4 


l';6  trrt", 


24S 

per  c<indcm  consuicratimiem  poteris  quaslibet  similes  questiones,  siuc  trium,  siue  plu* 
rium  facillime  denodare.  Sed  <juia  nobis  praui.7simum  esi  .sinyula  singulis  dcmoslra- 
tioiiibus  demonstrare,  alias  huiusraudi  questiones  in  sequentibus,  secundum  priorem 
datam  regulam,  te  docebimus  deiunlare. 

Qitesfio  alta  de  .///v.***  hominihus. 

Proponamus  enim  aliam  .imj.”'  hominum  questionem,  ut  que  dicta  sunt  in  suprascripta 
regula  apertius  intelligaiitiir.  Vt  si  dicatur:  sunt  .iiu.**'  liumiiics  equum  emere  unientes, 
bt  |)rimus  petat  alijs  tribu.s  hominibus  | eorum  bizantiurum.  Et  alter  petat  reliquis 
tribus  Et  tcrcius  petat  Quarius  qiicrat  reliquis Descriptis  itaque  per  ordinem 
in  quibus  continetur  prima  positio.  Kt  extrahatur  unusquisque  numerorum, 
qui  sunt  super  uirgulis,  de  numero  ei  cxislenti  suh  uirguta,  idest  ± de  s,  et  3 de 
8,  et  4 de  tl,  et  6 de  ig,  rcmaiichimt  3,  et  5,  et  7,  et  13,  super  quibus  ponantur 
uirgulc,  et  super  3 ponantur  2,  et  super  s ponantur  3,  et  .super  7 ponantur  4 , et 
super  13  ponantur  6;  et  habebuntur  pro  secunda  positione  | 1 ^unt  |>artcs 
per  ordinem,  que  dant  tres  homines  eorum  petitori  de  hijs,  que  remanent  eis,  sicuti 
in  preccdcnti  demonstratione  denionstrauimus.  Et  pone  secundam  positionem  sub  prima, 
ut  iiifcriu.s  ostenditur.  Deinde  uidc,  in  quo  numero  ipsi  rupti  secunde  positionis  rc- 
periantur:  irperiuntur  enim  in  136S  : deinde  miiUiplira  I3«3  per  S,  que  sunt  sub  prima 
uirgula  prime  positionis;  et  diiiide  per  3,  que  sunt  sub  prima  uirgula  secunde  po- 
sitionis, exibunt  2273,  que  senia.  Iterum  multiplica  1363  {kt  8 de  prima  positione;  et  di- 
uidc  per  5,  exibunt  2184.  Rursus  multiplica  1365  per  li  prime  , et  diuidc  per  7 se- 
cunde, exibunt  2143.  .\dhiic  tiudliplica  i363  per  19,  et  diuidc  per  13,  exibunt  I093  ; 
que  adde  cum  2275,  et  cum  2i84,  et  cum  2143,  erunt  8390,  que  sunt  summa  cunctoiitm 
hizaiiliorum  illoniiii.  1’ostea  quia  homines  .sunt  .1111“*;  et  unus  illorum  semper  petit 
reliquis,  extrahatur  1 de  4,  remanent  3,  in  quibus  multiplicetur  1365,  erunt  4005  ; qui 
iiuincrus  est  illud  rc.siduum  , quix)  semper  remanet  quibu.slibct  tribu.»  illorum.  Pt»st 
emptionem  equi , que  extrahantur  de  8399,  remanet  4304  pro  pix^tio  equi.  Deinde  ut 
habeas  bizanthias  primi  hominis,  pro  que  sunt  in  secunda  positione  acci(>e  | de 
4003,  exibunt  273o;  que  extrahe  de  pretio  c<|ui,  S4'ilicct  de  4304,  remanent  1774;  et  tot 
habuit  primus.  Item  ut  habeas  bizaiitios  secundi,  accipe  | de  4095  pro  que  sunt  iii 
smimhi  positione,  erunt  2437;  que  extrahe  de  4504,  remanent  2047;  et  tot  habuit  se- 
cundus. Rursus  pro  ^ secunde  positionis  accipe  ^ de  4093,  que  sunt  2340,  et  extrahe 
ea  de  4301,  remanent  2164;  et  tot  habuit  tcrcius.  Iterum  acci;>c  ^ de  4095,  que  sunt 
1890,  et  extrahe  ea  de  4501,  rcraaitcnl  icii;  et  tot  habuit  (piartus.  Possumus  hoc  idem 
per  aliam  regulam  promtius  operari  , uidelicet  cum  sccuiuUis  homo  , et  tcrcius  , et 
quartus  dant  primo  remanent  eis  J bizaiitiorum  suorum;  que  \ .sunt  residuum,  qiKxl 
e.st  a pretio  equi  in  .simimam  bizanliorum  homimiin.  Item  cum  ix-liqui  dant  .se- 

cundo rciRaiient  eis  | bizanliorum,  que  .sunt  idem  residuum.  Rursus  cura  | reliqui 
claiit  tcrcio  remanent  eis  pro  eodem  rc.siduu,  .Adhuc  cum  reliqui  dant  quarte»  ho- 
mini remanent  cis  pro  residuo  suprascripto  : ergo  J hiianlionim  secundi  , et 
Icrcij,  et  quarti  sunt  quaiilum  J bizanliorum  lercij,  et  quarti,  et  primi  hominis;  et 
quantum  ~ quarti,  et  primi,  et  secundi;  et  quantum  {•  bizatiliuruni  primi,  secundi, 
et  teirij  hominis.  Quare  reperiendi  .sunt  .iiu."  numeri,  quorum  \ primi  sint  quantum 


Digitized  by  Googie 


940 

* scrundi,  et  quantum  tercij  , ct  quantum  J|  quarii  numeii.  Eiunl  9975»  cl  9iM* 
et  9I4S,  ct  1095,  sicut  in  secunda  parte  Imius  capituli  similes  proporliours  docuimus 
iuuenirc.  Ex  quihus  .iiij."’’  immeris  primus  est  summa  bizantiunim  scciiiidi,  ct  tcr> 
cij  , ct  quarti  Iiomiiiis.  Secundus  numerus  tercij,  ct  quarti  , ct  primi  hominis.  Tcr> 
cius  numerus  est  summa  quarii,  ct  primi,  ct  secundi  hominis.  Quartus  numenis  est 
summa  hizanliorum  primi,  cl  secundi,  ct  tercij  hominis.  Quare  ipsi  .mi.®'  numeri 
in  unum  coniuncti  reddunt  RS99;  qui  numenis  est  triplum  summe  hizaiitiorum  ipsorum 
.iiij.®';  cum  quilihel  ipsorum  sit  ter  iii  ipso  computatus.  Quare  summa  ipsonim  .iiu.*' 
est  tcrcia  pars  i|isiu.s  numeii.  Sed  cum  iste  iiumorus  per  ternarium  integre  non  di- 
uidatur,  et  nos  uelimiis  sanos  omnes  Imhcrc  muneras  relinemus  8599  pro  summa  ipst>- 
rum  .iiij,®'.  Quare  tres  iliorum  per  ordinem  liahchunt  triplum  dictorum  miincrorum, 
scilicet  secundus,  ct  tcirius,  et  (piartus  homo  esss;  terrius,  et  quartus,  et  primus  6559. 
Quartus,  et  primus,  ct  secundus  5435;  primus,  et  secundus,  ct  tcrcius  .5985.  Et  quo- 
niam summa  ij)S4)rum  .iiu.®'  est  8soo;  dc  qua  secundus,  et  tcrcius,  cl  quartus  lionu» 
liahent  6825  ; ergo  residuum,  (|uod  est  inter  utruinque,  sinlicet  1774,  hahel  primu-s  ; 
propter  quod  si  extraxerimus  6559  dc  8599  , remanent  pro  bizantijs  secundi  hominis 
2047.  .Similiter  extracto  tercio,  et  quarto  numero  dc  8599,  remanent  tercio  homini  9i64; 
({uarto  2614.  Kt  ut  habeamus  pretium  equi,  multiplica  3,  que  sunt  super  5,  per  5, 
que  .sunt  super  8;  et  hoc  totum  per  7,  que  sunt  superit;  que  per  13,  que  sunt  super 
10,  erunt  nss;  que  triplica,  sicut  alios  numeros  triplicasti,  ertint  4005,  que  est  summa 
prodicti  residui:  quibus  extractis  de  8399,  remanent  pro  pretio  equi  4504,  ut  per  aliam 
regulam  iuueuimus.  Et  nola,  quiKl  jier  liaric  icendam  omnes  illas  poteris  soluere  (jue- 
stiunes,  in  quibus  unus  polit  ah  omnibus  alijs  sibi  suorum  hizanliorum  partem  ali- 
quam, uel  paries  exhiberi.  Et  si  primus  peteret  reliquis  J A,  scilicet  el  secundus 
A {,  scilicet  et  tcrcius  J A^  scilicet  [J;  ct  quartus  A J,  scilicet  . Inucnies  ordine 
stiprascripio,  primum  halicrc  U7C;  semndum  54972;  tercium  76029  ; quartum  8T902;  ct 
pretium  e<|ui  esse  128657. 

(^testio  nobis  proposita  a peritissiino  magistro  musco  consiantinof^toiitano 
in  constantinofwli. 

Item  (piiii(|ue  liomitics  hizaiitios  habentes  nauem  cincre  uolucruiil ; quorum  primus 
petit  A A reliquis  .iiij.®'  ipsorum  hizanliorum.  Secundus  pclit  jA_  A tcrcius  petit  re- 

liquis  } |;  quarius  jielit  7^  y |*  Quintus  petit  reliquis  xTi  ^ I*  questionem 

ita  ad  suprasrriptuiii  regulam  reducere  studui.  Quia  primus  petijt  | A,  ip<^s  duas  uir- 
gulas  in  unam  uirgulam  reduxi  sic  quod  uidt  dc  A in  quo  numen>  reperireutur,  ui- 
delicct  in  15;  cl  accepi  dc  \ de  15,  que  sunt  10,  et  A dc  is,  que  est  3;  et  iuuxi  in- 
simul, et  fuerunt  jA.  Ilein  cademque  ratione  dc  ^A-  J !,  qnc  pelijt  secundus,  feci  aliam 
uirgulam,  que  est  Iterum  de  ^ J feci  aliam  uirgulam,  scilicet  JAA.  | ^ 

A I (|uia  quarti  petitionem  redigi  tn  iinain  uirgulam  , scilicet  in  Aii  , Adhuc  redigi 
minuta  |>ctitionis  quinti  hominis,  scilicet  777  n io  i aliam  uirgiilain  , scilicet  in  AAi, 
cl  posui  |>er  ordinem  JyJ  ^ 17J  TI»  h«hul  cos  pro  prima  positione.  Deinde  extraxi 
13  de  15,  remanserunt  9;  su{>er  que  |Hisui  13  cum  uti^gula  sic:  quumiiis  non  sit 

maior  numerus  super  uirgulam  ponendus.  Item  extraxi  40i  de  480,  remanent  79;  super 
que  jMisiii  401  cum  iiirgula  sic:  Ucni  extraxi  799  dc  957,  remanserunt  I58;  super 

31 


l»6 

■ r!-i  ‘ I ■■■ 

1(16  vtrt»,  l>o.  1-t:  fai.  II?, 
37«IS~.|->g  2Sfl.l.u  1-2) 

|<oiil«a  |iriaia 

»s(S  IU  22*  121  1* 
109  »70  «97  »19  19 

21S  iH  iii  il 

"?*  »»  ili  7»  ; 


Digitized  by  Googie 


rr|fMi|)(/TI»lll  • H t»l  bal>«lil  • 

ir.i|.  10$  r-rM.lill.  <5  « 2«- 

«iU,  |,n.  18  2||. 


r,m,  . tU$  ivr.*,  Im.  f9 

39;  |«4i|.  S3U,  |.n.  8l-3t> 


i«a  ! 
S31  I 

Qaurtwt  I 
34K  ; 


|«tanl  ....  |wiisi«n  t 

'fui.  IU7  r*rlo,  lin.  8-7s  f>C- 

tM,  lia.  81.4UI. 


150 

quem  pusui  700  cum  uirgula  Rursus  minui  34i  de  4t0  t remanserunt  79  ; super 
que  posui  341  sic:  .\dliuc  cstraii  316  de  405t  reman.seniiit  79;  super  que  (Hisui  316 

sic:  Postea  }>osui  ex  parte  sub  prima  positione  ^ ^ H»  W T*  babui  ca.s 

pro  secunda  [Ki.sitione,  ut  bic  o.stenditur.  Deinde  inucni  isa  » in  quibus  reperiuutur 
omnes  rupti  secunde  positionis;  et  multiplicam  ipsa  I5S  per  13  prime  pasitionU  , ct 
diuisi  per  i , que  sunt  sub  prima  uirgula  secunde  positionis  , exierunt  1185  : adhuc 
mulliplicaui  158  per  480,  et  diuisi  per  79,  hoc  est  duplicaui  430,  et  habui  OGO.  Itera 
roultiplicaui  prescripta  158  per  957  prime,  ct  diuisi  per  158,  exierunt  inde  957.  Rursus 
multiplicaui  eadem  i5a  per  410,  et  diuisi  per  79,  que  sunt  sub  341,  exienint  840.  Kt 
adhuc  multiplicaui  I53  {ler  405  pnmc  positionis,  et  diuisi  per  79,  que  sunt  sub  316 
secunde,  exierunt  sio  : cum  quihu.s  iunxi  Ii33,  et  960,  et  957,  et  840  modo  inuentis, 
fucnmt  4751;  que  cum  dehui  habere  pro  summa  cunctorum  bizauliorum  illorum  quinque 
hominum,  ct  multiplicare  158  per  iminerum  hominum,  uno  inde  extracto,  scilicet  per 
4,  rclifpii  quod  mm  multiplicaui  158  per  4,  sed  seruaui  ea  pro  residuo,  quod  remanet 
semper  .iiij.'*'  honrnibas.  Tost  emptionem  uauU  , ideo  quia  bixantij  4751  integralilcr 
per  prescripta  4 dinidi  possunt.  Vnde  diuisi  4731  per  4,  exierunt  hizarilij  1188,  quos 
habuimus  pro  summa  illorum  quinque  hominum;  ex  quibus  extraxi  seruatum  residuum, 
scilicet  158,  remanserunt  pm  pretio  nauis  bizaiitij  1030:  deinde  ut  haberem  bizantios 
primi  hominis,  accepi  de  158,  boc  c.st  quod  multijiticaui  153  per  13,  et  diuisi  per 
1,  exierunt  toi7;  que  extraxi  dc  pretio  nauis  , scilicet  dc  1030  , reman-serunt  bizaiitij 
3;  et  tot  habuit  primus.  Deinde  ut  haberem  bizantios  secundi,  multiplicaui  1S3  per 
401,  cpic  sunt  sujicr  79,  ct  diuisi  per  ipsum  79;  ct  boc  est  quod  accepi  dc  iss  , 
que  sunt  802,  <|iic  extraxi  dc  1030,  remanserunt  biznnti)  iis;  ct  tot  habuit  .secundus. 
Item  ut  halH'rcm  bizantios  tcrcij  bomiuis,  accepi  de  1S8,  uidclicct  de  prescripto 
residuo,  fuerunt  itaque  700  ; qiic  extraxi  de  I03U  , remanserunt  bizaiitij  I3i  ; ct  tot 
habuit  tercius.  Iteium  accepi  ^9'  dc  153  sic  quod  diuUi  i58  per  79,  exierunt  t;  que 
mulliplicaui  per  341,  et  habui  OHi;  que  extraxi  dc  1030  prodictis,  rcmaiisenuit  343;  ct 
tot  habuit  quarius.  Similiter  accepi  scilicet  quintam  uirgulam  secunde  positionis 
de  158,  ct  fueruul  652;  que  extraxi  dc  1030,  remanserunt  378;  ct  tot  bubiiil  fjuiiilus. 

Moi/us  alius  de  quiturae  hominibus  in  emptione  unius  equi. 

Item  homines  sint  qiiin((iie,  quorum  primus,  et  .secuiuins  ]>ctunt  reliquis  trilms  \ suo< 
rum  hizanliorum.|  Smimlus  uero,  et  tercius  petunt  reliquis  J.  Tercius  , et  quartus 
petunt  relii{ui.s  J.  Quartus,  et  quintus  petunt  rclifjui.s  Quintus,  ct  primus  (leluiil 
reliquis  ct  sic  pnqiomint  i]»siim  erpium  emere.  Quamuis  duo  illorum  insimul  peUuit,  ta- 
meti  non  dissimilatur  hec  questio  a .siiprascriptis,  in  quibus  unus  petit  omnihu.s  reliquis; 
«plure  [>ones  ia  ordinem  j>etitiones  i|ksorum,  sicut  in  margine  cernitur;  ct  tiorahis  ipsas 
primam  positionem,  suh  qua  de.scril>as  secundam  j>osilioncm;  ct  multiplicabis  singu- 
lariter 00,  in  quibus  rcjieriuiilur  rupti  secunde  |M>sitioiiis  jier  numeros,  qui  sub  uir- 
gulis  sunt  prime,  scilicet  per  t,  et  per  3.  et  per  4,  ct  per  5,  et  ^ler  o ; et  diuides 
primam  niiilliplicationcm  ]>er  1 secunde  positionis;  secundum  per  2 ; terciaui  ]>er  3. 
Quartam  per  4.  Quintam  (>er  5,  ut  superius  fecimus  in  questione  .iiu."'  bomiiium,  ct 
trium;  et  halicbis  m,  ct  oo,  ct  80,  et  75,  ct  7i:  quibus  omnibus  insimul  iuiictis,  fa- 
ciunt 437,  in  quibus  uuus<|uisqiie  ipsorum  ter  computatus  est;  cum  duo  illorum  scniper 


. Digitized  by  Google 


£5! 

|K*r  oidincm  pctanl  reliquis:  quare  cum  437  integraliter  non  diuidalur  per  3,  tripli- 
caids  residuum)  quod  remunet  trihus  illoniro  per  ordinem  jxist  dationem,  <|uani  dant 
suis  pclitoriljus;  <|uod  residuum  est  60:  quihus  triplicatis,  faciunt  ibo;  que  sunt  re- 
siduum, quod  remanet  tribus  illorum  per  ordiiieiii  iK>st  eiiiptioneiii  equi;  cum  summa 
({uinque  hominum  fuerit  437.  Quare  extractu  residuo  siiprascripto  a summa  , scilicet 
180  de  437  , remanent  pro  pretio  equi  bizauti)  3S7.  Et  quia  tercius  , et  quartus,  et 
<|uintus  dant  suis  j>etitoriljus,  scilicet  primo,  et  secundo,  quantum  eis  remanet,  sci- 
licet 180,  extrahes  iso  de  pretio  equi,  remanebunt  77  ; et  tot  bizantios  habent  inter 
primum,  et  secundum  bumineiu.  Item  quia  quartus,  et  quintus,  et  primus  bonio  dant 
secundo,  et  tcrcio  medietatem  dicti  residui,  ut  in  secunda  |M>sitione  cernitur,  extrahes 
dimidium  residui,  scilicet  oo,  de  pretio  equi , remanebunt  pro  bizantijs  secundi  , et 
terci)  107  : eadenu|ue  ratione,  extmein  et  et  | eiusdem  residui,  scilicet  60,  ct  4$, 
et  36,  de  pretio  equi,  remanebunt  pro  bizantijs  tcrcij,  ot  quarti  197;  ct  pro  bizantijs 
quarti,  et  quinti  3is;  ct  pro  bizantijs  quinti,  et  primi  ssi:  et  ul  separentur  bizantij 
uniuscuiusque  ad  inuicem,  adde  77  primi,  et  secundi  cum  bizantijs  i97  tcrcij,  et  quarti, 
ct  cum  921  quinti,  et  primi,  erunt  495;  in  quibus  495  primus  bis  computatus  est.  Est 
enim  summa  ({uinijuc  hominum  437:  ergo  dilTcrctitiam,  que  est  a 437  usque  in  495,  sci- 
licet 5S,  habet  primus  homo:  quihus  5S  extrahens  de  bizantijs  primi,  ct  secundi  ho- 
minis , scilicet  de  77  , remanebunt  .secundo  homini  bizantij  10  : quibus  extractis  de 
bizantijs  secundi,  ct  tercij,  scilicet  de  107,  remanent  148  pro  bizantijs  tcrcij  hominis: 
quibus  extractis  de  bizantijs  tercij,  ct  quarti  hominis  , scilicet  de  107  , remanent  49 
quarto  homini:  quibus  extractis  de  bizantijs  quarti,  et  quinti  bominls,  scilicet  de  212, 
remanebunt  quinto  homini  16S;  quibus  additis  cum  bizantijs  58  primi  hoininis  inuciuis, 
reddunt  221,  ut  pro  bizantijs  quinti,  ct  primi  inuenimus.  Vnde  hec  questio  solubilis 
est:  possemus  ciiiin  ponere  in  similibus  questionibus  , ut  phires  quam  duo  peterent 
rcli<|uis  suas  petitiones,  quas  solucres  ontine  suprascripto  : et  scias,  quia  si  homines 
fuerint  pares;  et  duo,  ucl  plurcs  per  ordinem  petant  reliquis,  erunt  questiones  eorum 
quandoque  solubiles,  quamloque  non;  quare  ponamus  unam  qiieslioiicro  insolubilem,  et 
aliam  suiubileiii  de  .uu.*'  Iiominibus,  ut  habeas  melius  notitiam  cognoscendi  solubiles 
ab  insolubilibus. 

Questio  insotubiUs. 

Sint  ergo  .1111.*'  homines,  quorum  primus,  et  secundus  petant  reliquis  Secundus 
et  tcrcius  reliquis  Tertius,  ct  quartus  quintus  ct  primus  |>etaiit  reliquis  In- 
uenies  per  primam,  ct  secundam  positionem,  quuti  summa  eurum  est  73;  et  residuum, 
quod  reinaiicl  duobus  illorum  per  ordinem,  est  24:  quibus  extractis  de  73,  remanent 
49  pro  pretio  equi:  et  quin  tcrcius,  et  quartus  | dant  primo,  ct  secundo  tantum  quantum 
eis  remanet,  scilicet  24;  cum  quibus  24  primus,  et  secundus  habent  49;  ergo  primus, 
et  secundus  bal>cnl  25:  similiter  quia  primus,  et  quartus  dant  tcrcio,  et  secundo  di- 
midium residui,  scilicet  12.  cxlralie  12  de  49,  remanent  37  pro  bizantijs  secundi , et 
tcrcij.  Item  extixibe  fi,  scilicet  ^ de  24,  de  40,  remanent  4i  pro  bizantijs  tercij,  et 
([uarti;  quod  est  impossibile:  est  enim  summa  eorum  73,  ex  quibus  primus,  ct  secundus 
habent  25;  quare  tercius,  et  quartus  deberent  habere  48,  scilicet  residuum,  quo<l  est 
a 25  usque  in  73  : uri  aliter:  quia  primus,  et  secundus  petunt  tercio,  ct  quarto  \ ; 


f<lr<iint  IHA  ,,  . djnl  * 
(M.  107.  rttU  . l,n.  IX  e M 
-15  I |4g-  XM,  li«.  X-7i. 


257 


Inn,.  «jimr. 

lU.  107  . Um.  tX  XX  « 

fug.  XXI.  1m.  IX-XS:. 


.VS 

19 

tmk«« 

! UH 

' OlMrtM 

; 40  I 

> i 

I 163  I 


Digitized  by  Googie 


isi 

t‘l  tcrcius,  et  quartu-s  |)otunt  primo,  et  secundo  Ideo  inuenias,  (|ue  partes  suiil  prc> 
tium  equi  ex  summa  hominum  .nu.*';  quas  iiiucnies  inuentis  hizantijs  primi  7,  et  se- 
cundi, ct  tercij,  et  quarti,  tamquam  essent  blzaiitij  duomm  hominum,  quod  demoii> 
strauimus  in  regula  duorum  hominum,  scilicet  pmo,  quod  primus,  et  secundus  sint  unus 
homo;  et  lercius,  et  quartus  sint  alius;  et  tunc  petat  primus  secundo  et  secundus 
primo  ^ : quare  primus,  scilicet  inter  primum,  et  secundum  Imheiit  4;  secundus,  sci- 
licet inter  tercium,  et  quartum  6;  et  precium  equi  est  7 : ideo  quia  addito  dimidio 
de  6 super  4,  uel  \ de  6 su|>cr  0,  faciunt  7 ; que  7 de  4 , ct  de  6 insimul  innetis 
sunt  : ergo  precium  equi  est  de  summa  illonim  .iiii.”:  deinde  uideas,  que  partes 
sint  precium  equi  ex  eadem  summa  secundum  petitiones,  quas  petunt  secundus,  ct 
tercius  quarto,  ct  primo;  et  ({uarlus,  et  primus  secundo  et  tcrcio.  Nani  se('undus,  et 
tcrcius  petunt  quarto,  et  primo  J;  ct  quartus,  ct  primus  petunt  secundo,  et  tcrcio  J. 
Viidc  per  regulam  duorum  hominum  predictam  inueiiics,  secundum,  et  tcR-ium  habere 
5;  quartum  ct  primum  e;  pretium  equi  7;  quod  precium,  scilicet  7 , de  5,  et  de  0, 
scilicet  dc  ii,  sunt  ergo  precium  equi  de  summa  .iiu.***' hominum  est  Inuenimus 
enim  primum,  ipsum  pretium  esse  de  eadem  summa,  quod  est  inconucniens;  insolu- 
bilis est  ergo  questio  ista;  quare  ponamus  aliam  questionem  Sfitulnlcm,  in  qua  primas, 
ct  secundas  petunt  reliquis  secundas,  ct  tercius  tercius,  ct  quartus  quartus 
ct  primus  petant  reliquis  : hanc  enim  questionem,  qualitercum>|uc  per  Istos  duos 
modos  considerabis,  inucnies  eam  solubilem  esse.  Vnde  si  processeris  secundum  qiio<l 
ilo(‘lum  est,  donec  hizantios  omnes  duorum  illtaiim  per  onlinem  habueris,  irmenies  quo<l 
primus,  ct  secundus  hubciit  11;  inter  secumliiin,  et  Icrciuin  13;  inter  tercium,  et  quartum 
10;  inter  quartum,  ct  jirimum  U;  ct  precium  equi  est  ig.  Nam  iii  separatione  unitis 
ab  altero  nil  aliud  dicendum  est,  nisi  quod  dc  bizantijs  11,  quos  habent  inter  primum, 
et  secundum,  habeat  primus  humo  quantum  uls,  ut  dicamus  5;  quare  secundus  habet 
6;  tercius  7,  cum  habeat  cum  secundo  13;  et  quartus  9,  cum  habeat  10  cum  tcrcio; 
(|uibus  9 additis  cum  s primi  hominis,  faciunt  H,  ut  pro  summa  quarti,  et  primi  ho- 
minis reperta  erant. 

Questio  solubilisy  cum  homiues  sint  7. 

Kt  si  homines  essent  7;  cl  priinus,  ct  seeundus,  et  leirius  queranl  reliquis  i;  se- 
cundas ucro,  el  tercius,  cl  quartus  petant  rclitjuls  tercias,  et  quartus,  cl  quintus 
petant  J;  quartas,  et  quintas,  ct  sextas  (piintus,  sextus,  septimus  sextas,  septimus, 
primus  Septimus,  primus,  ct  secundus  reliquis  .iiu.*' ^ hizantiorum  suorum;  et  pre- 
|K)iial  emere  ipsum  equum  : posita  positione  prima  suh  secunda,  tunr  Afo.  in  f|uibus 
inucniuiitur  ruptos  secunde  positionis  multiplica  per  2 prime  ; et  diuidc  per  2 se- 
cunde, erunt  S40.  Item  multiplica  420  per  3 prime  positionis,  ct  diuidc  per  2 secundo, 
hoc  est  ; de  420  multiplica  per  3,  erunt  C30.  Similiter  terciam  dc  420  multiplica  per 
4,  cl  «[uarlam  per  s,  el  quintam  per  0,  et  sextam  per  7,  et  septimam  per  8,  cruul 
et  5GQ,  el  323,  et  504,  Cl  490,  el  480;  quibus  iuiictls  cum  030,  et  cum  8I0  , erunt  in 
summa  hizantiorum  ipsorum  4029.  Kt  quin  semper  petitur  quatiior  t]xsQrum.  Viiusquis- 
que  quater  computatur  in  dicta  summa.  Vnde  multiplica  4su  per  4,  erunt  inso  pm 
residuo  illonnn  .iiu.”';  quibas  extractis  de  4029  , remanent  pro  pretio  equi  bizantij 
2349:  deinde  diuidc  16S0  per  1 prijine  positionis,  et  extrahe  dc  2349,  remanent  primo. 


Digitized  by  Googie 


>53 

rl  et  lerdo  G69.  lictu  ctlralic  tlc  »3«  meiliolalom,  et  lerciam,  el  quartam  , 

et  quintam»  et  scUani,  ct  septimam  <lc  lORO,  scilicet  S4o»  ct  5SO»  et  4so,  ct  33S»  ct  2ho» 
et  140»  rcmanclmnt  secundo»  ct  tcrcio  , ct  ({uartu  hizantij  isog.  Tcrcio  , quarto  » ct 
quinto  1789.  Quarto»  quinto,  sexto  1919.  Quinto»  sexto,  septimo  ioi3.  Sexto,  septimo, 
primo  ms.  Septimo,  primo»  secundo  1I09:  deinde  ut  sc]>arcnlur  ah  inuicem,  iuii^c  hi> 
zaiitios  secundi,  tercij,  ct  quarti  cum  bizantijs  quinti,  sexti»  septimi»  1509  cum  l(M3» 
erunt  3523;  quos  extrahe  dc  summa  illorum  omnium,  $i‘ilicet  de  40i9,  remanent  primo 
homini  hizatilij  S07.  Item  addit  hizanlius  ten*ij  , et  quarti , et  quinti  cum  hizantijs 
sexti,  septimi»  primi;  el  extrahe  summum  conim  dc  4029,  remanent  secundo  homini  hi- 
zantij  i7i:  quibus  iuiu  tis  cum  507  primi»  reddunt  pro  bizanlijs  primi,  et  secundi  07s; 
que  sunt  9 plus  de  hizantijs  primi,  ct  secundi»  et  terrij:  quare  tcrcius  homo  habet 

dcbitnin  ipsos  9,  vel  hec  questio  est  insolubilis;  sit  itaque  solubilis  cum  debito  tercij 

hominU;  deinde  ut  habeamus  bizantias  quarti,  extrahe  dehitiim  terrij,  scilicet  9»  de  hi> 
zanlijs  secundi»  scilicet  de  17I,  reraanetU  loi:  ei^o  secundus,  el  tcrcius  liahcnt  102; 
quihus  extractis  de  hizantijs  secundi,  el  tertij»  ct  quarti,  scilicet  dc  1509»  remanent 
quarto  1347;  de  quihus  extractis  g,  uidelicet  debitum  tercij»  habebunt  inter  tercium» 
et  quartum  1338;  quibus  asque  in  hizantijs  tercij»  ct  quarti»  et  quinti»  scilicet  in  nsg, 
sunt  451;  et  tot  habet  rjuiiilas:  quibus  imictU  cum  bizaiitijs  quarti , el  extractis  de 

hizantijs  quarti»  el  quinti,  ct  sexti,  scilicet  de  1929,  remanent  sexto  homini  I3l;  quibus 

etiam  el  bizanlijs  quinti  cxlraclls  de  2013  quinti,  sexti,  et  septimi,  habebit  septimus 
1431.  Sine  debito  enim  alicuitis  illortmi  stduiuir  onlinc  modi  suprascripti,  cum  primi  tres 
petant  reliquis  teicium,  secundi  Tercij  alij  alij  7»  alij  atij  liabcl  enim 
primas  t077;  secundas  717;  tcrcius  480;  quarius  IC37;  quintus  997;  Sextas  657.  Septimus 
1740;  ct  equus  ualct  3U03. 

De  ducibus  hominibus  et  duohtis  equis. 

Item  duo  homines  bizanlias  habentes,  i|ui  duos  equos  emere  uoleimnt,  quomm  se- 
cundus ualelmt  bizaiitios  s magis  primo.  Viide  primus  sic  loquitur  secundo  : Si  dares 
mihi  tcrcium  luonim  bizantiurum,  primum  equum  emerem.  Cui  alter  Respondit:  el  tu 
si  daras  mihi  { tuonim  bizaruiomni,  secundum  equum  emerem,  scilicet  cariorem:  queritur 
([uantiUis  bizanliorum  illorum  , ncc  non  et  pretium  uniasciiiusquc  e<|ui  : liec  enim 
questio  per  supruscriptam  unius  ec{ui  regulam  sr>luitur,  uidelicet,  ut  ponas  priniiiin  pe- 
titiones ipsorum  in  ordinem  sic  : ^ umantur  de  descriptione  prima,  ut  $npnidi> 

xiraus:  deinde  extrahe  i,  quod  est  super  3,  de  i|)sis  3,  i‘emanent  2;  super  qneni  pone 
nirgulam,  ct  1 sic  hoc  est  quod  secundas  humo  dat  primo  dimidium  de  hoc»  quod 
ei  remanet.  Similiter  facies  de  et  habebis  quia  pi imus  dat  scrmndo  de  hoc,  quod 
ei  remanet.  Quare  describes  \ i,  scilicet  secundam  pasilioricm  sub  prima,  ut  hic  osten- 
ditur ; deinde  reperias  duos  iiiimcros,  quorum  secundus  sil  2,  minor  primo,  siruti 
primas  equas  ualct  2,  minus  secundo.  Kt  primus  numerus  illorum  diuidatur  inlegra- 
liter  per  2 secunde  positionis.  Et  alter  diuidutur  per  3 eiasdein  positionis.  Sintque 
numeri  illi  8,  Ct  6;  ct  erunt  8 residuum,  r|iUHl  remanet  serundo  liumiiii  pust  <|uam  dederit 
primo  terciam  ]«rlera  suorum  liizantiortmij  et  6 erit  i-csiduura  primi  liomiiiis;  quare 
multiplicabis  8 prodicta  per  3 prime  posiliouLs,  ct  diuide  per  2 secunde,  exibunt  bi- 
/antij  12;  et  tot  habuit  secundus.  Item  multiplica  residuum  primi  hominis,  scilicet 


2X19  Mcdirt.lrni  ...  {«««•. 

r^.ll.lMl  • |II9  iMd#,  Ixi. 

X 9 e IQt  |sa{|-  tSX,  U.  I ic* 


mtiki  t 

MTilm  • |Q4  n>rfA,  Itu. 

25.30;  fmf.  1X1,  lia.  2M6;  . 


failtin  ptiOT* 
I t 


I < 

i 1 


Digitized  by  Googie 


Fi  la-rnut  «riltrH 

|H  * itiil.  |i|ft  frr*o.  Im  t e 
2 9 r«C  2it.  u.  » 16i 


I 1 t 

» * I 

« i 1 

4 ? ^ 


^\iLuni  - 19  lana-  i 

I9  lan 

2^4.  Ii»  XI  )4| 


S'rtM.1»» 

13 

t«mM< 

13 

rimu.  f-|«i.aj 

17 

19 

Irmui 

2t 


254 

fi,  p€r  4 prime  po^sitionis.  et  diuide  per  3 serunde,  exibunt  bitanlij  8;  cl  tot  Imbuit 
primus.  Nam  ut  liabcas  precium  equorum,  adde  bitantios  illorum,  arilicet  8 cum  is, 
erunt  so;  de  quibus  extrahe  residuum  secundi  hominis,  uidejlicct  8,  remanent  is  pn> 
pretio  primi  equi.  Item  extrahe  de  eis<lcm  20  residuum  primi  lioniirils,  videlicet  fi  rema- 
nent 14  pro  precio  secundi  equi. 

De  tribus  hojmnilmSt  et  totidem  equis. 

Item  homines  sint  3,  et  equi  sint  similiter  3;  et  secundus  equus  ualeat  bizantins 
S,  inagU  primo.  Et  tcrcius  ualeat  bizantiiM  2,  magis  secundo.  Et  primus  homo  petat 
reliquis  diiobits  | suorum  bizantionim^  et  proponat  emere  primum  equum.  Secundus 
itaque  petat  et  secundum  equum  eracre  preponat.  Tertius  ucro  petat  reliquis  et 
tercium  cquuru  emere  preponat  : descriptis  J f J pro  prima  positione,  et  J j 5 pro  se- 
cunda, ut  ostenditur  ; tunc  reperies  tres  numen)s,  quorum  secundius  sit  2,  minor  primo; 
et  tcrcius  .sit  2 , minor  secundo,  propter  diiTcrcnliam  pretiorum  equorum.  Et  maior 
ipsorum,  cum  j>ossibi]e  sil,  diuidntur  iiitegraliter  per  2 prime  ^Kisitionis.  Secundus  uero 
per  3 , minor  ucro  per  4.  Sintque  so  , ct  18  , ct  ifi  ; quorum  primus  , scilicet  to  , 
erit  residuum  .secundi,  et  Icrcij.  Secundus  ucro,  scilicet  I8  , erit  residuum  tercij,  et 
primi.  Minor  itaque,  sciliccl  I6,  erit  residuum,  quod  remanet  primo,  ct  secundo  ho- 
mini. Deinde  multiplica  residuum  secundi,  et  tercij  hominis,  scilicet  20,  per  3 prime 
|K)sitioiils;  ct  diuidc  per  2 secunde,  exibunt  30;  et  tot  habuerunt  inter  secundum,  ct 
tercium  hominem.  Item  multiplica  residuum  tercij,  et  primi  hominis,  scilicet  ib,  per  4 
prime  positionis,  et  diuidc  per  3 secunde,  exibunt  bizautij  24;  et  tot  habuerunt  inter 
tercium,  et  primum  hominem.  Rursas  multiplica  16,  que  sunt  residuum  secundi,  cl  primi 
hominis  per  5 prime  jMxsitionls,  ct  diuidc  per  4 .sccundc,  exibunt  bizantij  20;  ct  tot 
lialmcnint  inter  .secundum,  ct  primum  hominem:  quibus  additis  cum  bizantijs  24,  quos 
habent  inter  tercium,  ct  primum  hominem.  Et  cum  bizarilliijs  30,  qut»s  inter  tercium, 
et  secundum  halmerunt,  erunt  bizanthij  74;  in  quibas  cura  unasquisque  ipsoimm  bis 
computatus  sit  ; ergo  dimidium  ipsorum,  scilicet  37»  erit  summa  bizaiithiorum  illorum 
trium  hominum;  cx  quibus  extractis  idzanthijs  30,  quos  habent  inter  secundum,  ct  tercium 
hominem  , remanent  primo  homini  bizantij  7.  Similiter  extractis  dc  37  bizaiitij.s  24, 
quos  habent  inter  teirium,  et  jirimum  bomiiicm,  remanent  secundo  bizantij  13.  Rursus 
extractis  bizanthijs  20,  quos  lial>ent  inter  sccutiduiu,  ct  primum  liomiriem  ex  illis  bi- 
zanlijs  37»  remanelniut  teixiiu  homini  bizantij  17.  1'osl  Iicc  adde  cum  biuiiitijs  7 primi 
hominis  tcrciara  bizanthiorum  rcliquonim  duorum  hominum,  uidelicet  dc  30,  habebis  pro 
pretio  primi  equi  bizanlios  17.  Quare  pretium  scimiidi  erit  bizantij  I9,  boc  est  bizantij 
2,  magis  pretio  primi.  Et  pretium  tercij  erit  bizantij  21. 

De  quatuor  hominibus  et  totidem  equis^  cum  unusquisque  petat  reliquis. 

Item  homines  sint  4,  et  equi  similiter  sint  4.  Et  secundus  ualeat  bizantios  3,  magis 
primo.  Tercius  ualeat  bizantios  4,  magis  sccimdu.  Quartus  itaque  uuleul  bizatilios  5, 
magis  tercio.  Vnde  primus  botno  petat  reliquis  tribus  temum  bizantliionuii  ij^sonira; 
et  proponat,  ]>rimum  equum  emero.  Secundus  itaque  petat  j reliquis;  et  proponat,  se- 
cundum e<]uum  emere.  Tcrc*ias  quoque  j>clat  | ; et  pnqionat  emere  tercium  cfjuum. 
Quartus  namque  petat  \ reliquis  tribas;  et  proponat  quartum  equum  emere.  Et  ut 
que  dc  equis  dicta  sunt  molias  intelligi  possint,  singula  huius  |Htsitioiiis  singulariter 


Digitized  by  Google 


155 

propoAui  demonstrare.  Quia  primus,  habita  | bizaiilliiurum  rclitjuunim  trium,  habet  pre- 
tium tantum  piiini  equi;  ergo  preeium  primi  equi  cum  residuo  illorum  trium,  scilicet 
secundi,  ct  tercij,  et  quarti  hominis  est  quantitas  omnium  bizanthiorum  illorum 
lioininimi)  quoti  residuum  uucabis  primum.  Propter  caindem  ergo,  cum  secundus  petat  [ 
reliquis,  ct  habeat  tunc  pretium  tantum  secundi  cquii  ergo  pretium  secundi  equi  cum 
residuo  reliquorum  trium,  scilicet  tercij,  et  quarti,  et  primi  hoiuinis  est  eadem  quan- 
titas bizantliiuruin  illorum  .liij.**' hominum;  quod  residuum  uucabis  secundum.  Kt  quia 
secundus  equus  ualct  bizantius  3,  magis  primo;  ergo  secundum  residuum  est  minus 
bizantijs  3 primi  residui.  Item  quia  teicius  liumo  petit  \ reliquis,  cum  qua  tantum  habet 
pretium  tercij  equi;  ergo  pretium  tercij  equi  cum  residuo  | quarti,  et  primi,  et  secundi 
hominis  est  illa  cadem  suprascripta  quantitas  bizantiurum  illorum,  ({uod  uocabis  ter- 
cium.  Et  quia  tercius  equus  ualet  bizantios  4,  magis  secundo;  ergo  tercium  residuum 
est  bizantij  4,  minus  secundo  residuo  : propter  cHiiulcm  ergo  el  quartum  residuum, 
scilicet  primi,  et  secundi,  et  tercij  hominis,  est  bizantij  5,  minus  tercio  i-esiduo.  Ideo 
quiu  pretium  (piarti  ei|ui  est  bizantij  5,  magis  pretio  tercij  : hijs  itaque  intellectis, 
describe  ]>rimam  petitionem,  scilicet  petitiones  eorum  in  ordinem  sic  : J | { i;  deinde 
Studeas  inueiiirc  minuta  secunde  positionis,  hoc  est  j J j et  scribe  ca  sub  minutis 
prime  positionis.  Ideo  «|uia  sunt  partes  per  ordinem  posite,  (juas  tres  illorum  dant 
coi-uni  petitori  de  eorum  residuo.  Verbi  gratia.  Si  primus  habuerit  j bizanliorum  se- 
cundi, ct  tercij,  ct  quarti  hominis;  ct  ipsi  habeant  bizantios  3;  ergo  dederunt  ei  bi- 
zaiuium  i;  ct  ex  ipsis  tribus  remanebunt  eis  bizantij  1 ; ergo  dat  ei  ~ cx  eorum  re- 
siduo. Quare  describitur  in  capite  secunde  positionis;  ct  sic  intelligas  de  | que 
scribuntur  in  eadem  positione.  Post  hec  pro  .1114.*'' iiicqualibus  residuis  ponas  .iiu.*"’ ine- 
qualcs  numeros,  secundum  eorum  incqiialitatcm,  hoc  est  quod  secundus  sit  3,  minor 
primo;  ct  tercius  sit  4,  minus  secundo;  ct  quartus  sit  3,  minor  tertio.  Et  maior  i]>sorum, 
si  possibile  fuerit,  diuidatur  integraliter  per  2.  Secundus  per  3.  Tercius  per  4.  Quartus 
per  s,  secunde  uidelicet  positionis.  Sed  cum  possibile  non  sil,  pones  eos  secundum 
quixl  tibi  melius  uidebitur.  Sitque  primus  illorum  numerorum  27,  qui  minime  per  2 
uilegralilcr  diuiilitur.  Secundus  sit  24,  qui  per  3 integraliter  potest  diuidi.  Tercius  sit 
20,  qui  per  4 integram  recepit  diuisionem.  Quartus  autem,  cum  sil  3 minus  ten:io  , 
scilicet  de  20,  ipsum  15  fore  necessc  est.  Quibus  per  ordinem  sub  secunda  positione 
descriptis,  ut  liic  ostenditur.  Con.siderabit  qualiter  secundus,  ct  tercius,  et  quartus 
humo  dat  primo  homini  [ eurum  residui;  quod  residuum  superius  priiimin  esse  de- 
termiiiauimus;  pro  <(uo  cliam  jiosuimns  27  : ergo  dant  ei  - I3,  quibus  additis  cum  27, 
reddunt  bizantios  | 40  pm  quantitate  bizantiorum  secundi,  ct  tci*ci),  et  quarti  liominis. 
Vel  aliter:  multiplica  ipsa  27  per  3 prime  positionis, ct  diiiiilc  per  2 secunde,  exibunt 
siiuilitc  ntij  { 40  pro  corumdem  quantitate.  Item  quia  tercius  , et  quartus  , ct 
primus  homo  dant  secundo  homini  ^ cotum  residui,  scilicet  secundi,  pro  quo  {Misiiimus 
24,  scilicet  3,  minus  piimi  residui;  ergo  dcdcnmt  ei  bizantios  8;  quibus  additis  cum 
bizantijs  S4,  erunt  bizantij  32  ; qni  suat  quantitas  bizantiorum  tercij,  ct  quarti,  et 
primi  hominis.  Vel  aliter;  multiplica  u per  4 prime  |)Ositionis,  ct  diuidc  per  3 secun- 
de, exibunt  similiter  bizantij  32.  Eiidcmque  ratione  tci^cium  residuum,  uidelicet  quarti, 
ct  primi,  eC  secundi  liominis,  id  est  to  per  s prime  positionis  multiplica;  et  eorum 


u 


109  rrdn. 


i,'taNi  IX  ....  XI  * 

lOfI  rt-rl*  . liM.  DI-X.S  . 
I^g.  iax.  tm.  31-411. 


11*  .'  [ 
X * a s [ 


•<|iurlu>  UrriMt  wTiMMliim  rMtJaaim’ 

i r- 

j 1.5  <0  21  27 


Digitized  by  Googie 


frr  4 «#i  tia4L-  . ..  poa»,  rl  • 
<M.  109  wrfo  . Iik.  tS<3f> ; 
l'>g.  tS6.  liu.  1-1»J. 


Orliitiua  prunt 

s 

«acUMll 

i « 

iso 

|•nlnu•  ri|ii«i 


f..t. 


l<)9 1 fttif. 


■|Hm  ....  miiiiifjK*  • 

iM.  Illi. 

ts«.  liu. 


I T" 

i'» 

0<a«fti 

t »1 


<ti4rlifw*  * i.M.  Itf9*^ri0,l  n. 
ti  14.  IWI.  Iui  St-3t> 

I : 

T«r«ij  Sfrun4i  miJonm 

r-* 

. 7S  80  8«  87 


tiini  ...  H • IM. 

109  . \,m.  « n : 

|M<  ts«.  u.  37-4||. 


mulU()licattonem  per  4 .scrunde  positionis  diuidc,  exibunt  biiaiitij  t5  pro  quantitate 
bizantiurum  quarti,  et  primi,  ct  secundi  bonuiils.  Propter  camdem  etiam  et  quartum 
residuum  primi,  uidclicet  et  secundi,  et  tercij  hominis,  id  est  15,  multiplica  per  c 
prime  {M)siiioitLs,  et  diuidc  per  5 secunde,  exibunt  bizatiti)  18  pro  quantitate  primi, 
et  secundi,  et  tercij  hominis:  quibus  additis  cura  bizantijs  js,  ct  3i,  et  j40,  erunt 
bizantij  j H5  , qui  sunt  triplum  bizanlionim  illorum  .uij."'  hominum.  Ideo  <}uia  iii 
ipsis  uniLsquisquc  ter  computatus  exlslit.  Quare  diuidc  bizantios  \ I15  per  3 , exi- 
bunt bizantij  j 39.  Pro  quantitate  bizanliorum  illonim  .ihj.*' hominum , qui  sunt  minas 
quantitate  bizantioium  secundi,  ct  tercij,  ct  quarti  hominis.  Ynde  hec  questio  cum 
hijs  .iiu.*'  positis  residuis  solui  non  potest,  nisi  priiiuis  homo  haberet  debitum.  Viide 
si  hanc  positionem  deinceps  cura  debito  primi  hominis  soluere  uolucrls,  extrahe  bi- 
zaiitios  ^ 38  de  bizaiithijs  \ 40  , remanent  bizantij  t ; ct  tot  habuit  debitum  primus 
homo.  Deinde  extrahe  bizantios  3S,  scilicet  quantitatem  bizantiurum  tercij,  et  quarti, 
et  primi  hominis  de  quantitate  hizantiorum  illorum  .iiu.*'  hominum,  scilicet  de  J 38  , 
remanent  secundo  homini  bizantij  ^6.  Item  extrahe  hizantic^  quarti,  ct  primi,  et| 
secundi  hominis,  uidclicet  ts  de  suprascriptis  bizantijs  ~ 38,  remanent  tercio  bomitii 
bizantij  ^ 13.  Riiims  extractis  bizanlhtjs  primi,  et  secundi,  et  tercij  hominis,  uidclicet 
18  cx  cisilcm  bizanthijs  ^ 38,  remanent  quarto  homini  hizanthij  ^ so.  Domum  ut  pretium 
primi  equi  addiscas,  accipe  tcrciam  cx  hizantliijs  secundi,  ct  tercij,  et  quarti  hominis, 
uidclicet  de  ^40;  quia  primus  homo  petit  cis,  erunt  hizaiiti)  j 13]  dc  (}uibus  extrahe 
dohitiim  primi  hominis,  uidclicet  s,  remanebunt  bizanthij  ^ ii  pro  pretio  primi  e<|ui. 
Quare  pretium  .secundi  equi,  erit  bizantij  ^14,  boc  est  bizantij  3 , niu^s  pretio 
primi.  Tercij  uero  bizantij  | is.  Quarti  quo(jue  bizantij  * 23,  .scilicet  $,  magis  pretio 
tercij  equi,  ut  prepositum  est.  Nam  si  hanc  raindem  que.slionem  sine  debilo  primi 
hominis  soluere  uolueris  , pro  proscriptis  equalibus  residuis,  pone  alios  .uu.**' 

maiores  numeros  , qiit  sunt  in  eorundem  dlilercntiam.  Sitqiic  primus  illorum  87.  Se- 
cundus 84.  Teirius  80.  Quartas  75.  Deinde  suprascriptis  demon.strationibu.s  multiplica 
primum  residuum,  uidclicet  87  per  3 prime  irosilhmls,  et  diuidc  per  2 secunde,  exi- 
bunt bizantij  \ no  pro  quantitate  bizaiitioruin  secundi,  et  tercij,  ct  quarti  liominls. 
Item  multiplica  secundum  residuum,  uidclicet  8i,  per  4 prime  positionis  , ct  diuidc 
per  3 secunde,  exibunt  bizantij  112  pro  quantitate  hizantiorum  tercij,  et  quarti,  ct 
jirioris  buminis.  Rursus  nmltiplira  tercium  residuum,  uidclicet  80,  per  5 prime  positionis, 
et  diuidc  per  1 sccuiulc  , exibunt  bizantij  100  pro  quantitate  quarti  , ct  primi , et 
secundi  hominis.  .Adhuc  75,  scilicet  quartum  residuum,  multiplica  per  c prime  posi- 
tionis, et  diuidc  per  5 secunde,  exibunt  bizantij  80,  que  sunt  quantitas  hizantiorum 
primi,  ct  secundi,  et  tercij  hominis.  Quibus  additis  cum  bizantijs  loi),  et  cum  112,  ct 
cura  j tsa  modo  inucntls,  erunt  bizantij  ^ 432.  Qui  cum  sint  triplum  summe  bizaii' 
tiorum  illorum,  diuidc.s  eos  per  3,  exibunt  bizantij  ^ 144,  qui  sunt  .summa  bizatitiorum 
illunim  .iiw.*'  boininum:  dc  quibas  cxiralic  bizantios  .secundi,  ct  teirij,  et  quarti  ho- 
minis, scilicet  1 130,  remanebunt  primo  homini  bizantij  | I3.  Item  extrahe  bizantios 
tcn'ij,  et  quarti,  ct  primi  hominis,  uidelicet  112,  dc;  I44,  remanebunt  secundo  homini 
bizantij  j 32.  Rursus  bizantios  ioo,  quos  habent  inter  quartum  , et  primum  , et  .se- 
rimdum  hominem  extrahe  de  prcscriplis  bizantijs  J I4t  , remanent  tercio  homini  bi- 


Digitized  by  Googlc 


i:i7 

zanti)  ^ 44.  Iterum  extractis  hizantiiijs  ptimii  et  secundi^  et  tcrcij  liomiiiis,  iiidelurct 
90,  de  hizanlijs  4*44,  remanent  quarto  homini  hizanltj  4 Kl  quia  demonstratum 
est  superitis,  qiiinl  inter  pretium  primi  equi,  et  primum  residuum  e.st  ((uaiililus  hi- 
zmitioniiu  ill(»rum  .iiu.*' homiiiiim;  ergo  .si  extraxeris  ipsum  primum  residuum,  uidr- 
licct  87  de  eorum  quantitate,  scilicet  de  4*^^*  remanelmiil  pro  pretio  primi  equi  lii- 
zarithij  4^*  Quare  .si  extraxeris  secundum  residuiim,  uidclicet  st,  de  4 144,  remanebunt 
similiter  bizaiitij  4 110  pro  pretio  secundi  equi,  flem  extracti»  tenuo  residuo,  uidclicet 
80  de  eisdem  4*44,  reinaiiebiiril  bizuntij  4 Q4  pro  pretio  tcrcij  ei|ui.  Similiter  extracto 
quarto  residuo,  .scilicet  85,  do  4 144,  remanebunt  bizanti)  4 pro  pretio  quarti  equi. 

IJe  quatitor  homimlm\  et  two  cquo^  cutn  unusquisque  f^etat 
mequaiiter  reliquis, 

Huatuor  bomines  bizaiitios  halicnles  unum  equum  emere  uiduemnti  et  cum  iiiillus 
ipsorum  ipsum  in  solidum  emete  jM^set , primus  ipsorum  dixit  . Si  secundus  homo 
daret  milii  dimidium  suorum  buamion*m,  et  terciu-s  daret  mihi  tenuam,  et  quartus 
daret  milii  quartam  similiter  suorum,  hunc  equum  emere  possem.  Cui  secundas  Re> 
sjM)iiJil.  Kt  si  tercius  homo  daret  mihi  terciam,  et  quartus  daret  milii  quartam,  .sicut 
tu  petis  cis;  et  tu  dares  mihi  quintam  tuorum  bizaiiliontm  , hunc  apium  siniililer 
emerem:  tercius  quuipic  petit  quarto  | homini  quartam  suoiiim  bizantiorum.  Et  primo 
quintam.  Et  secundo  sextani,  et  projiouit  equum  emere.  Quartus  namque  jtelit  primo 
quintam.  Et  secundo  sextam.  Et  tercio  septimam.  Et  proponit  .similiter  ipsum  equum 
emere.  Queritur  qiiaiitiUs  bizantionim  tiiiiuscuiusi|ue,  et  pretium  equi.  OescrilMS  |k:- 
titiolir.s,  quas  petit  primus  homo  secundo,  ct  tercio,  et  quarto  homini  in  ordinem  .sic: 
414,  sub  quibus  pone.s  petitiones  ultimi,  scilicet  quarti  liuminis,  scilicet  | 4 I * ^'1 
in  hac  margine  cernitur.  Et  extrahes  1,  quod  est  super  2,  de  ipsis  2,  remanebit  1. 
Quod  multiplica  per  5,  que  sunt  sub  prima  uirgula  inferioris  linee,  erunt  5,  que  pone 
.super  4 • El  econtra  extrahes  i,  quod  est  .super  .s,  de  ipsis  5,  remanebunt  4;  que  mul* 
tiplira  per  2,  qiic  sunt  .sub  prima  uirgula  superioris  linee,  erunt  8,  que  pone  super 
4.  Item  extrabe.s  1,  quod  est  .super  3,  dc  ipsis  3,  remauebuut  2;  que  multiplica  per  6, 
que  sunt  sub  secunda  uirgula  inferioris  liiicc,  erunt  12,  que  pone  super  |.  Similiter 
extrahes  f,  quod  est  super  6,  de  ipsis  e,  remanent  5;  que  multiplica  per  3,  erunt  is, 
que  pone  super  4>  Rursus  extrahes  1,  quod  e.st  .super  4,  de  ipsis  4,  remanent  3;  que 
multiplica  per  7,  erunt  21,  que  pone  suj>er  J.  Et  extrahes  J,  quod  est  .super  7,  de 
ipsis  7,  remanent  c;  que  multiplica  per  4,  enitil  24,  que  |Mmc  super  Quibus  n«- 
nierls  ita  repertis,  multiplicebis  5 per  is;  que  per  2t,  que  sunt  super  primam  lineam, 
erunt  12G0;  ct  tol  habuit  primus  humo.  Item  multiplicabis  8 , que  sunt  .super  4 de 
.secunda  litica,  per  12;  qiic  per  21  de  superiori  linea,  eruiit  2016;  et  tot  habuit  sccun> 
dus.  herum  multiplicabis  8,  que  sunt  super  4,  (>er  iS,  que  sunt  super  o;  que  per  2t, 
que  sunt  super  4«  <^rtint  2520;  et  tot  habuit  terciu.s.  Rursus  multiplica  supra.srripla  8 
per  15;  que  per  24,  qiic  sunt  super  erunt  2S8o;  et  tot  habuit  quartus.  Sed  ut  ha- 
beas bizantias  uniiiscuiu.sijue  in  minori  summa,  diuidc  unumquemque  imientorum  nu- 
merorum |>cr  12,  cum  integraiiter  Heri  possit,  exibunt  pro  bizaiithijs  primi  hominis 
lOS;  ct  pro  bizanthij.s  secundi  iC8;  ct  pro  Jiizanlbijs  temj  210;  et  pro  quarti  240.  Deinde, 
ut  liubeas  pretium  equi,  accipe  dimidium  de  bizantliijs  i8s,  scilicet  84,  et  tcrciam  de 

33 


<M.  1*^  >rrn>.  liti.  r V) 
X7i  f>4)(  (XH,  l.ii-  41  — |u|| 
2.17.  I.u.  IX  f IHi. 


■ 3J 


OtMrln. 

X^runJii. 

; f.o 

i} 

i 89 


i'»l 


llu  irtt,- 


|M.  Iin  rrti*,  Im.  2 S • 9. 
|<4«  2X7,  Itn-  l»'27v. 


21 

12 

S 1 

t 

1 

i I 

24 

15 

8 ! 

« i 

Ir~i.  *iT<j 

l.!*!  2B  3« 

21  ■ 
11  14  , 

PriMu*  Wocua 

iica 

S..-,w«Uut 

2IJIC 


< raMnun  ....  PituJr  u>  * 
{fwl.  ilA  rrrfM  , Un.  |X  2<l  , 
2X7.  l.n.  IM2  « 4Xi 


2520 

Qiwuriu, 

2880 

3828 


Digilized  by  Googie 


l-nt  liiaanUtt)* 

r«t  > ifol.  110  r^rta,  U*.  80- 

n w i9  i t«R.  til,  hn.  «t 
O ••  l«(|.  8S8,  lia. 

UiS 

SmumIi 

1C8 

lefrli 

SIO 

S4U 

3fB 


ni«lli|jkrtar  X ■■■■  «S|<uJr 

Ut  • IM.  110  rrc/«.  i.n  lO 
r SMSi  rH  898.1.5  a II)- 


Ivi.  110 

ul  «IlCMna*  • . Ar  » 

if.]  110  liii.  l-8i  tM«. 

XS8,  Ii5.  81-84). 


C*|«tal» 


i i 


1S8 

ilo,  scilicet  70;  ct  quartam  de  S40»  scilicet  60,  quia  sunt  petitiones  primi  hominis;  et 
addes  eus  cum  bizanthijs  los  ipsius,  et  habebis  pro  pretio  equi  bizantios  310  ; et  sic 
poteris  de  pluribus  hominibus  operari. 

Incipit  pars  yt.*  de  uia^iorum  proftositiombnSy  atque  eorum  similium. 

Qvidam  pergens  negotiando  lucam,  fecit  ibi  duplum;  et  expendit  inde  denarios  is. 
Qui  egrediens  itide,  perrexit  florentiam;  fecitque  ibi  duplum,  et  expendit  denarios  it. 
Cum  rediret  pisas,  et  ibi  faceret  duplum,  et  expenderet  denarius  is,  nil  ei  proponitur 
i'emansissc.  Qucritur,quot  ipse  in  principio  habuit.  Quia  prepunilur  ipse  semper  duplum 
fecLsse,  manifestum  est,  ijund  de  uno  faciebat  8.  Vnde  uidendum  est  de  i,  que  pars 
sit  dc  2,  scilicet  quod  describatur  ter  propter  tres  uiagifxs,  quos  i|xsc  fecerat,  sic: 
i j ct  multiplicetur  2 per  2,  cl  per  alia  l , que  sunt  sub  uirguli-s  , erunt  8 : de 
quibus  acrijie  scilicet  4;  dc  quibus  accipe  scilicet  2 ; ct  de  ipsis  2 accipe  ^ , 
scilicet  1.  Post  Iiec  adde  4 cum  2 et  cum  i,  erunt  7;  que  multiplica  per  12  denarios, 
quos  ipse  cxpcmlcbat,  erunt  84;  que  diuidc  per  8,  exibunt  denari)  | 10;  et  tot  habuit 
liomo  ille.  Verbi  gratia:  fecit  duplum  de  denarijs  ^ 10,  fuerunt  21;  de  quibus  expendit 
12,  remanserunt  2;  quibus  duplicatis,  faciunt  18;  dc  quibus  expendit  12,  remanserunt 
6:  quibus  iterum  duplicatis,  faciunt  12;  dc  quibus  extracto  expendio,  scilicet  12,  nil 
ei,  ut  propositum  est,  remansisse  comperitur:  ct  sic  de  .mj."*,  ucl  pluribus  uiagijs  po- 
teris operari. 

Si  autem  proponitur,  quod  in  ultimo  prescriptorum  uiagiorum  jKist  expendium  ei 
denari)  quilibet  remansissent,  | ut  dicamus  9,  addantur  9 cum  84  superins  inuentis, 
erunt  denarij  93;  qui  diuidantur  per  8,  ut  predixiraus,  exibunt  \ 11;  et  tot  babulssel 
illo. 

De  eodem. 

Uerum  si  diceretur,  quod  iu  finem  dictorum  trium  uiagiorum  lucratus  esset  pexst 
expeodiu  denarios  9;  aliter  quam  prodictum  sit  erit  faciendum:  uidcUcet  reperiantur, 
quot  denarij  ci  nccessarij  essent,  ut  dc  expensis  semper  .suum  saluaret  capitale.  Quos 
ita  reperiendos  esse  demoustrauimus.  Quia  ipse  facit  duplum,  lucratur  de  unoquoque 
quem  habuit,  denarium  alium;  ergo  dc  12  clenarijs  lucratas  c.sl  denarius  11,  scilicet 
expendium;  qui  12  serueiitur  ex  parte.  Kt  uideatur  quid  ei  necessarium  sit,  ut  lucretur 
denarios  9,  semper  duplum  faciendo;  cl  nil  inde  pro  expendio  extrahendo  : quod  ui- 
dctiduin  est  ])cr  positionem  alicuius  iiunieri,  secundum  quod  iu  arborum  reguli.s,  et 
in  eis  similibus  demunsti-auimus.  Vnde  ponamus,  quod  ipse  haberet  denarium  1 ultra 
denarios  12  ex  parte  positos;  dc  quo  1 facit  in  primo  uiagio  denarios  2;  dc  quibus 
in  .secundo  facit  4;  de  quibus  in  tcrcio  facit  denarios  8:  ergo  iu  illis  iribus  uiagijs 
dc  i denario  facit  denarios  s;  de  quibus  extracto  1,  scilicet  capitale,  remanent  7 : 
ci^o  de  1 denario  lucratur  7.  Quare  dices:  pro  1 denario,  ijucin  potio  pro  illius  capi- 
tali, lucratur  7;  quid  |xMiam,  ut  lucretur  denarios  9:  multiplica  1 per  9,  et  diuidc  per 
7,  cxiJnt  1 1;  quem  adde  cum  denarijs  12,  cum  quibus  lucratur  expendium,  erunt  | u; 
et  tot  esset  illius  capitale.  Et  si  lianc  solutionem  por  regulam  rectam  habere  uis  , 
pone  capitale  ipsius  hominis  fuisse  rem,  (piam  duplicauit  in  primo  uiagio,  et  expendit 
denarios  12;  et  sic  babuit  duas  res,  minas  denarijs  12  , quos  duplicauit  in  secundo 
uiagio;  et  fuerunt  4 res,  minus  denarijs  24;  ex  quibus  expendit  denarios  12  : ergo  re- 


Digitized  by  Googie 


inaiiscmnt  ci  4 res,  minuii  dvuarijs  3«:  quihu<i  itrrum  duplicatis  in  tcrciu  uiagio,  fue- 
runt A res,  minus  dcriarijs  7S,  ci  quibus  erpendit  denarios  i2,  remanserunt  ci  in  line 
trium  uiagiorum  .vuj.  res,  minus  denarijs  S4,  <|ue  cquantur  uni  rei,  el  denarijs  9,  sci- 
licet ca]»itali  cius,  et  lucro.  Quare  adde  denarios  S4  utrique  parti  , prouenient  quod 
8 res  cquantur  uni  rei,  et  denarijs  93.  Tolle  ergo  rem  ab  utraque  parte,  remanebunt  7 
res  equales  de  denarijs  93:  ergo  diuisis  93  per  7,  reddunt  denarios  • 13  pro  quantitate 
uiiiuscuius(|uc  rei.  Et  tot  fuit  capitale  ipsius:  per  hanc  enim  regulam  soluuntur  omnes 
questiones  uiagiorum  similium. 

De  eoiiem. 

Rursus  fecit  tria  uiagiu,  et  porlauit  secum  denarit»  \ 10,  cum  quibus,  ut  prediximus, 
iii  uno  quoque  uiagio  fecit  duplum;  et  in  quolibet  ex|>endit  unam  et  eandem  quantita- 
tem, ct  Ilii  ei  remansit.  Queritur  quantitas  cxpeiidij  illius.  Supradieta  ratione,  pone  | 
et  multiplica  s }>er  1,  que  per  t,  erunt  8,  que  .senia:  et  acci{>e  inde  scilicet  4;  de 
quibu.s  accipe  p scilicet,  de  quibus  accipe  scilicet  I,  et  adde  insimul,  erunt  7,  ut 
.suporiu.s  inucniiims : et  multiplica  s |>er  ipsius  capitale,  uidclicet  per  | lo,  erunt  84; 
que  diuidc  per  7,  exibunt  dcnaiij  is;  ct  tot  fuit  ex]>cndiuiii  illius. 

De  eodem. 

Iterum  capitale  illius  sit  denarij  f li;  ct  peractis  prescriptis  tribas  uiagijs,  reman- 
serunt ei  denarij  9 ; et  quot  in  uno  (juoque  uiagio  cxpendeliat,  igiionilur.  Kc|)cnes 
quidem  suprascri]>ta  8,  ct  7;  ct  multiplicabis  | it  per  8,  mint  93;  cx  quibus  extrahes 
denarios  9,  qui  pro{Hmunlur  ei  remanere,  remanent  denarij  84  ; quos  diuidc  per  7, 
exibunt  iterum  deuarij  it  pro  ip.sius  expendio:  adhuc  capitale  ipsius  sit  | 13;  et  in  linc 
remanserunt  ci  denaiij  9 ultra  suum  capitale;  et  queritur  itenim  ipsius  expendium. 
Addes  itaque  • 13  , scilicet  capitale  ipsius  cum  9 , uidelicct  cum  lucro,  | erunt  | ts; 
quos  extrahe  ex  multiplicatione  de  1 13  in  8,  que  est  | loo,  remanent  84;  que  diuidc 
per  7,  exibunt  denarij  it  pro  ipsius  expendio,  ut  prediximus. 

De  eodem  in  qnatuor  uiagijs. 

Mahi  si  ipsum  .iiij.*'  fecisse  uiagia  proposueris;  in  quibus  suum  semper  triplicaret 
capitale.  Et  inde  expenderet  in  unoquo({uc  uiagiorum  denarios  18;  et  uil  ei  in  Hue 
remanere  predixeris.  Secundum  suprascriptum  modum  scribes  tcrciam  quater  uicibus 
pro  .iiij.'*' uiagijs  sic:  j | Idcu  quia  projiouitur,  quod  de  i faciebat  3.  Yndc  ca- 
pitale est  \ sui,  ct  lucri:  et  multiplica  numeros,  <pii  sunt  sub  uirgulis,  uidclicet  3, 
per  3;  que  per  3;  que  per  3,  erunt  8l;  que  habeas  loco  expendij:  de  quibus  accipe 
lerciam  partem,  que  est  S7,  que  habeas  loco  capitalis  primi  expendij;  quia  semel  tri- 
plicatis, faciunt  81:  de  quibus  iterum  accipe  terciam,  que  est  9,  que  habeas  loco  ca- 
pitalis, ex  quo  fit  secundum  expendium:  quia  triplicatis  9 in  primo  uiagio,  faciunt  27; 
quibus  triplicatis  in  secundo,  faciunt  at,  scilicet  expendium:  ex  quibus  etiam  9,  accipe 

erunt  3 pro  capitali  terci)  ex|>eridij.  Es  quibus  rursus  accipe  \ , proucnict  1 pro 
capitali  ultimi  expendij.  Adde  ergo  27,  et  9,  et  3,  et  1,  eruiit  4o;  que  habeantur  loco 
capitalis  .iiu.”  expciidiorum,  hoc  est  si  expendium  e&sct  81  capitale.  Itaque  eius  esset 
4o;  et  quia  ponitur  expendium  fuisse  I8,  cadit  proporlioualiter,  uidclicet  sicut  si  sunt 
ad  40,  ita  18  sunt  ad  quesilum  capitale.  Quare  multiplicabis  I8  per  40,  ct  diuides  per 
Rt;  et  euitabis  inde  exibunt  deuarij  | s;  et  tot  fuit  capitale  illius  hominis. 


fui.  tll 


Digitized  by  Googie 


U r<|HUlr  • I^mJ.  111 
«rnf«.  Ii*.  I (»1;.  260  , 

U.  6-lt)| 


r.Wul  »•  ....  4f>,  eiiliiiiti  » f«l- 
111  rvrf*  . li*.  ( r*H 

2A0.  Iui.  11  U). 

l““  . 

I 18 


fui 


Ili  r^>«. 


SCO 

De  eodem. 

Niim  si  ilixciiSt  <|uik1  ipse  haberet  in  suo  capitali  iii  priiit  ipio  illorum  .im.**'  uixuiuniui 
(Iciiarios  ~ 8;  ct  qucsicris,  quot  in  unoipioquo  expendebat  uiagio;  cum  in  fine  ci  nil  re- 
mansure ponatur,  ct  expciiiltum  sil  semper  cquale.  Erit  ergo  proportio  de  | 8 ad  ex- 
pendium  quesitum,  sicut  40  ad  81:  multiplicetur  fs  per  8i,  erunt  7So;  que  diiiidc  per 
40,  exibunt  18)  ct  tot  expendit  in  uiio<}uoque  uiagio. 

De  eodem. 

Nam  si  ci  denarij  is  remansisse  in  fine  proposueris;  ct  expeudium  eius  sit  18,  addr 
12  multiplicationi  dc  is  in  40,  sciHcct  cum  720,  cimnt  732;  que  diuide  per  8i,  exibunt 

0;  et  tot  C.S.SCI  ipsius  capitale. 

Quod  si  econtra  dicatur,  quini  suum  capitale  fuit  denari)  ^ 9;  et  ei  in  ftiic  reman- 
serunt denarij  12.  Et  quot  ili  uiiiMjuoquc  uiagio  expendebat,  ignoretur;  multiplica  ^ 9 
per  81,  enint  732;  dc  quibus  extrahe  12,  remanent  7lo;  que  diuide  per  40,  exibunt  18; 
ct  tot  esset  ipsius  expeudium. 

De  eodem. 

Ucrum  si  dixeris  , quod  in  Une  illorum  .iiu.*"  uiagionim  suum  capitale  ei  tantum 
remansisset,  sic  facies.  Quia  fecit  in  umM]uo<|ue  uiagio  de  i tres;  eigo  de  1 quoque 
denario  luci-atur  2.  Quare  multiplicabis  i,  scilicet  capitale,  per  i8ex(>endij.  Et  diuide 
per  2,  scilicet  per  lucrum,  exibunt  9;  ct  tot  esset  illius  capitale. 

De  eoiiern. 

Et  si  proposueris,  quod  in  fine  diclonim  uiagiorum  ultra  suum  capitale  denarii  20 
ei  remansissent,  cum  expeudium  eius  sit  semper  18;  inuenies  pre.scripta  9,  cum  quibus 
lucratur  .suum  expendium;  ct  uide  quantum  ipse  lucretur  de  uno  denario  in  iilU 
uiagijs,  nil  iude  expendendo.  Quia  in  primo  uiagio  facit  de  i denario  tres;  in  secundo 
dc  i])sis  tribus  facit  9.  In  lercio  dc  illis  0 facit  27  , dc  quibus  in  4 uiagio  facit  81: 
ergo  in  illis  .iiu.*'  uiagijs  dc  1 denario  | facit  deuaries  8i;  ergo  de  i denario  ipe  lu- 
cratur 80.  Quare  dices:  pro  i denano,  quod  pono  in  ipsius  capitale,  lurmtur  de- 
narios 80.  Quid  ponam,  ut  tantum  lucretur  denarias  20:  multiplicabis  ita(|ue  1 per  20, 
ei  diuide  jicr  so,  exibit  } iiniu.s  denarij  : qtia  addita  cum  denarijs  0 , erunt  denarij 
^9;  et  tantum  esset  illius  capitale.  Item  capitale  eius  sil  ^ 9;  ct  igiiorvUir  expeudium, 
et  in  fine  lucratus  est  20.  Doceam  quidem  hanc  solutionem  inuenire  per  regulam  re- 
ctam. Pone  pro  ignorato  expendio  rem;  et  triplica  ^9,  erunt  ; 27  ; dc  quibus  tolle 
rem  pro  expendio  primi  uiagij,  remanent  | 27,  minus  re:  quibus  iterum  triplicatis,  fa- 
cient ; 83,  tribus  rebus  diminutis:  dc  quibus  tolle  expendium  sccuudum,  scilicet  rem. 
remanent  { 83,  minus  .iiu.”  rebus;  quibus  triplicatis,  erunt  ^ 249,  minus  12  rebus:  de 
quibus  extracta  re  4,  scilicet  expeudium  tereium,  remanebunt  | 219,  minus  i3  rebus  : 
(juibus  ultimo  triplicatis,  faciunt  \ 749,  minus  39  rebus;  a quibus  diminuta  re,  rema- 
nebunt 1^740,  diminutis  .xl.  rebus;  que  equaniur  denarijs  ~ 9,  ct  20,  scilicet  capitali,  et 
lucro.  Ucstaura  ergo  40  res,  remanebunt  j 749,  que  cquautur  40  rebus,  et  denarijs  | 29. 
Tolle  eigo  denarius  | 29  dc  ; 749,  remanent  denarij  720,  qui  cquautur  40  rebus.  Quare 
diuide  720  per  40,  exibunt  I8  pro  quesito  expendio.  Quod  etiam  rcperiUir  per  regulam 
iiersam  sic  : pone  iterum  rem  pro  expendio,  (|uu  addita  eum  capitali,  et  lucro  eius  , 
enint  res,  et  denarij  J 29,  que  habuit  homo  ille  in  quarto  uiagio  ex  triplo  denariorum, 


Digitized  by  Googie 


iGi 

{{ui  mnanscruiU  illi  post  cxpcndium  tercij  uiagij.  Quare  accipe  J comm,  iienieiit  tcrcic 
reif  ct  (Icmirij  {9;  cum  quibu-s  adde  expendium  tcrcij  uiagij,  scilicet  rem,  erunt 
tcrcie  rei,  ct  denarij  | 9,  que  habuit  in  tercio  uiagio  ex  triplo  denariorum  , qui  rc> 
manserunt  ei  post  expeiidium  secundi  uiagij.  Quare  accipe  terciam  eorum,  scilicet 
rei,  ct  denarij  J 3 ; su{>er  que  adde  rem,  scilicet  expendium  secundi  uiagij,  erunt  ^ 
rei,  ct  denarij  \ 3,  que  liubuit  iu  secunda  uiagio  ex  triplo  denariorum,  qui  remanse- 
runt ei  pikst  expeiidium  pHmi  uiagij.  Quare  accipe  terciam  eoinim,  erunt  ,}  1*^1  , et 
denarij  i;  cum  quibus  udde  rem,  quam  expendit  in  primo  uiagio,  erunt  ^ rei,  cl 
denarij  1,  que  equaiilur  triplo  capitatis  i|xsias,  scilicet  deuarijs  ~ 27.  Tolle  ei^o  de- 
narios 1 ex  deuarijs  \ 27,  et  remanebunt  denarij  | 20,  qui  cijuantur  Quare  esi 
sicut  40  ad  27.  ita  ^ 20  sunt  ad  quesitum  expeiidium.  Multiplicabis  ergo  27  per  | 26, 
erunt  720;  que  diuides  per  40,  ucnient  iS,  ut  oportet. 

Qiiesfh  alia  de  tribus  uiagijs. 

Irem  alia  liulusmodi  proponatur  quc.stio , ut  que  dicta  sunt  melius  intelligantur , 
uidclicct  cx  quodam,  qui  fecit  tria  uiugiu,  qui  in  primo  fecit  dc  duobus  tres.  ]n  se- 
cundo de  .iiu.*'  V.  Et  in  tercio  de  6,  fecit  v,  ct  expendebat  denarias  15  in  uno  quoque 
uiagio:  quia  in  primo  uiagio  de  duobus  fecit  tres;  ergo  proportio  capitalis  ipsius  ad 
capitale,  ct  lucrum  eiusdem  uiagij  est  sictil  2 ad  3:  (juarc  capitale  eius  fuit  | eiusdem 
capitalis,  ct  lucri:  quare  pone  Eademque  ratione  pro  .iiu."*  quiii<)uc  |M]iic  et  pro 
.VI.  vij.  pone  |;  ct  colloca  ih»  sic:  * | Et  multiplica  iiumenis,  qui  .sunt  sub  uirguIU 
iii  seipsos,  uidclicct  3 i>er  s;  que  per  7,  emtil  t05:  dc  quibus  accipe  |,  ([uc  sunt  70; 
de  quibus  sume  | , que  sunt  56  ; de  quibus  sume  | , que  sunt  48  ; que  adile  cum 
56,  et  cum  70,  enint  t?4,  que  serua:  jmssunt  enim  eadem  174  prumtius  inuenirc,  ni" 
delicet  ut  multiplices  2,  que  .sunt  super  3,  per  s;  que  per  7,  que  sunt  sub  uirgulis, 
erunt  70.  Item  multiplica  cadem  2 per  4 , que  sunt  .super  5;  que  |)cr  7,  <;nifit  56. 
Rursus  multiplica  cadem  2 per  eadem  4;  que  per  6,  que  sunt  | super  7,  erunt  48:  quihiLS 
insimul  iunctls,  redeunt  cadem  174;  que  multiplic^'i  per  ex{>cndium,  uidclicct  per  is, 
ct  diuidc  per  105,  exibunt  | 24;  ct  tot  est  ipsius  capitale. 

De  eodem. 

Et  si  pro]>osucrLs,  quod  suum  capitale  sit  denarij  7 24  ; ct  queratur,  quautum  sit 
expendium.  Multiplica  7 24  per  t05,  ct  diuide  per  174,  exibunt  denarij  is  pro  ipsius 
expendio. 

De.  eodem. 

Rvrsus  expendium  sit  denarij  ts;  cl  in  line  ei  denarij  21  reman.sLsso  proponantur. 
.\ddc  multiplicationem  dc  2t  in  4s  superius  imientis  , que  csl  toos  , super  summam 
^multiplicationis  dc  15  iu  I74,  erunt  3618;  (}uc  diuide  per  105,  exibunt  77  34  pro  ipsius 
capitali. 

Kam  si  cconlra  dicatur,  quml  suum  capitale  sit  34  ; ct  in  fine  ei  remansit  de- 
narij 21.  Et  quot  ipso  expendebat  queratur;  multiplica  ~ 34  per  103,  erunt  36iS;  de 
quibus  extrabe  lottt,  que  surgunt  cx  multiplicatione  dc  21  in  48,  remanent  2610;  que 
diuide  per  I74,  exibunt  denarij  15  pro  suo  expendio. 

De  eodem. 

Ucrum  si  dixerit,  quod  in  fine  trium  uiagiorum  suum  ei  remanserit  capitale,  extrahe 


llt  rrd*. 


K<r4iu  (‘T[xitHaMni  — > 

>ful.  llt  lin.  €-t  « y. 
fMg  261>  lin-  84. 14'. 


Et  ,...  /V  . W 

1«.  19.12;. 


Digitized  by  Googie 


r«||4U(t  • |ful 

112  tttt»  , li«.  I&-I1  • It. 
!•>«•  <•«  l-<l 


*»....  Mtlianl  IS  I 
(M.  112  r«rl.  . U.  19-21  ; 
2«2,  Ii».  • 9| 


«•{MmIiMI 

IS 


■ti«^i'>rwai  ....  ahmt  mwtu*  • 
IM.  112  r.-r/«  . lia.  21-2S  . 
262.  li>.  9 • 10  12, 


il^Jrm  — «(ViLe  J * f f“l- 
112  rrfio  . Iin.  29-21  t iw(. 
262.  Im  1M9.. 


:iii  IS  IS  1]  I 

I 

4 I S - 

» 4 » t 

24  30  40  CO 


inuenta  4S  de  io.s  superius  inucntis,  remanent  57.  In  quibus  diuidc  moltiplicatiou^ 
expendij,  uidelirct  ile  is  in  I74  superius  inuentis,  remanent  57.  In  quibus  diuide  mub 
tiplicatioiiem  expendij  , uidelicct  de  is  in  174  superius  inucntis  , ciibunt  pro  ipsius 
capitali  denarij  ||  45. 

De  eodem. 

Rvrsus  si  dixeri.s,  quod  ipsius  capitale  sil  45;  et  in  fine  dictorum  trium  uiagiorum 
ipsum  capitale  ei  remansisse  prujxjsucrit  ; et  quot  in  unoijuoque  expendebat  uiagio, 
quesierit,  reperies  prcscripta  57;  in  <|uihus  multiplica  f^45,  ct  diuide  per  174»  exibunt 
15  pru  ipsius  expendiu.  Iterum  si  pnqHisucrit»  quod  expendiuro  sit  is;  et  in  fine  uia* 
giorum  remansit  ei  denarij  45  ultra  suum  capitale,  multiplica  15  per  174,  erunt  S6io; 
super  que  adde  45  uicihus  48,  scilicet  tieo,  erunt  4770  ; que  diuidc  per  S7 , exibunt 
^ 83  pro  ipsius  capitali. 

De  homine  qui  fecit  .nu.*'  nia^ia\  alius  motlus. 

Iterum  pro|K)nalur,  quod  fecerit  .iiu.*'  iiiagia;  ex  quibus  in  primo  fecit  duplum;  et 
expendit  in  co  denarius  13.  Iu  .secundo  de  duobus  tria;  et  expendit  in  eo  denarius  ic. 
Et  in  tercio  fecit  dc  tribus  .iiij.**';  et  expendit  denarios  JB.  Et  in  quarto  fecit  dc 
•Nii.*'  V.  Et  cum  ibidem  denarios  to  expenderet,  nil  ei  remansit.  Suprascriptis  itaque 
clcmunstrationibiis,  pru  duplo  primi  uiagij  .scribes  Et  pro  duobus  tria  secundi  scribes 
|.  Et  pro  tribus  .iiii."'  Icrcij  scribe  Et  pro  ■iuj.*'  quim|uc  quarti  uiagij  scribe  Et 
positis  ita  per  ordinem  V } I s « multiplica  s |>cr  3;  que  per  4;  (]uc  per  5,  que  sunt 
sub  uirgulls,  erunt  lio;  que  liabcantur  loco  cxpcndij  uniuscuiusr|ue  uiagij.  Quare  ac- 
cipe dimidium  eorum,  cnint  60;  que  habeantur  loco  capitalis  sufUcieutis  primo  expemlio. 
Nam  cum  dc  60  duplum  liant,  uciiiunt  120,  scilicet  cx{>cndium  primum.  Rursus  | de 
60,  scilicet  40,  liabcantur  I(H'o  capitalis  secundi  uiagij.  Nam  duplicatis  ipsis,  faciuut 
80;  de  quibu-s  .si  liant  tres  dc  duobus,  hoc  est  st  .superaddatur  dimidium  de  80  super 
80,  uenient  liO,  scilicet  experidium  .secundum:  de  quibus  etiam  40,  si  accipiantur  uc- 
uietit  30  , que  hal>eantur  loco  capitalis  tcrcij  uiagij.  Quia  duplicatisj  Ipsis  in  primo 
uiagio,  faciunt  CO;  quibus  factis  tribus  dc  duobus,  uenient  90;  dc  quibus  factis  4 de 
3,  scilicet  addita  teicia  parte  earum  super  ea,  faciunt  120,  scilicet  expendium  tcrciuni. 
Deinde  acceptis  \ cx  30,  ucniunt  21,  que  sunt  loi^o  capitalis  ultimi  expendij ; quia  ex 
ip-sis  fiunt  48  it!  primo  uiagio;  dc  quibus  in  secundo  fiunt  72,  scilicet  dc  duobus  tres; 
de  quibus  in  tercio  fiunt  »6  , scilicet  dc  tiibus  .iiij."';  dc  quibus  etiam  fiunt  120  in 
quarto  uiagio,  scilicet  dc  .iiu.**'  quinque,  hoc  est  expendium  quarti  uiagij.  Possunt  etiam 
liij  numeri  aliter  reperiri : positis  in  onliiiem  | J f Multiplica  » , quini  csi  super 

2,  per  3;  que  per  4;  que  per  5,  que  sunt  sub  uirgis,  erunt  60,  scilicet  dimidium  de 
120.  Item  multiplica  idem  t per  2,  que  sunt  .super  3;  que  per  4;  que  per  3,  que  sunt 
sub  uirgls,  erunt  40,  .scilicet  | de  r»o  pred ictis  : deinde  multiplica  I per  2;  qiic  per 

3,  que  -sunt  .super  uirga,  cmnt  60;  que  multiplica  per  5,  erunt  30  ]>ro  J de  40.  .\d 
ultimum  quidem  multiplica  1 per  2;  que  per  3;  que  per  4,  que  sunt  supra  uirgas  , 
erunt  24,  scilicet  | de  30.  Et  quia  expendium  primi  uiagij  fuit  13  ; proportionalitcr 
ergo  est  .sicut  I20  est  ad  60,  ita  13  est  ad  capitale  primi  expendi).  Quare  multiplicabis 
13  per  60,  erunt  780;  que  diuides  per  120,  et  habebis  capitale  primi  uiagij.  Similiter 
quia  expendium  secundum  fuit  16,  proportionalitcr  erit  sicut  120  est  ad  40,  ita  I6  est 


Digitized  by  Gooj^Ie 


ad  capitale  sc<'undi  uiagij.  Quare  multiplicabis  tfi  per  40,  cl  diuides  per  tto;  el  ba- 
hehU  capitale  secundi  expendij:  propter  eadem  crg«j  raultipUcabis  fft  per  30,  et  so  per 
24,  erunt  540,  et  480;  que  diuides  per  120,  ct  liabcbis  capitale  tercij,  cl  i|uarti  expendi). 

Kt  quia  unus({uLsf]ur  imiciitorum  .uu.*'  numerorum,  scilicet  780,  et  640,  ct  S40,  et  480 
diuidendua  est  |>cr  120,  adde  cua  in  unum,  erunt  lUO;  que  diuides  tn  unum  per  fiO, 
exibunt  denari)  ~ 20  pro  ipvsius  capitali. 

Quod  si  hoc  uerso  modo  inuestigare  uis,  quia  in  quarto  uiagio  de  .iiu.*' fecit  ({uinque; 
et  sic  habuit  expendiura  ultimum,  scilicet  su;  ergo  partes  i{tsi>rum  20  fuerunt  ca- 

pitalis; ct  quinta  pars  fuit  lucri.  Quare  si  de  lo  accipiatur  \ rorum,  erunt  f6,  que 
habuit  ipse  post  terciuin  cxpeiidium:  quo  cx|Krmliu  addito  cum  18,  faciunt  34;  et  tot 
denanos  habuit,  cum  de  tribus  fecerat  Quare  accipe  J de  34,  scilicet  multiplica 

3 |>er  34,  et  diuidc  per  4,  erunt  ^ 25;  et  tot  habuit  post  secundum  expendium,  quod 
fuit  denariorum  18:  que  adde  insimul,  erunt  | 4l;  et  tot  habuit  p>sl<|uam  de  duobus 
fecit  tria.  Quare  accipe  | eorum,  erunt  1 27;  et  tot  habuit  |H)st  primum  expendium, 
quod  fuit  denariorum  <3:  quibus  etiam  insimul  iuiictls,  faciunt  J 4t;  ct  tot  habuit  cx 
duplo,  quod  fecit  in  primo  uiagio.  Quare  dimidium  eorum,  scilicet  \ 20,  fuit  capitale 
ipsius,  ut  inueiitum  est  supra. 

F.t  si  proponatur  quod  peractis  uiagijs  , remansissent  ei  denari)  12  ; quia  24 

prescripta  sunt  capitale  quarti  expendi);  ergo  de  24,  que  habuit  a principio,  faceret 
in  floi?  120:  ergo  sicut  120  sunt  ad  24,  ita  12  que  remanere  pnipoiiuntur , erunt  ad 
eorum  capitale.  Quare  multiplicabis  12  |>er  24,  cruiit  2ss  ; que  diuides  per  120  , boc 
accipe  ; de  12,  erunt  |2;  que  adde  cum  inuciito  capitalis  cum  ^ so,  enint  22:  vel 
288  adde  cum  2<40  prodictis,  erunt  S72S;  que  diuidc  per  120  , exibunt  similiter  ~ 22 
pro  i|)siu.s  capitali.  Quod  etiam  inuenires  per  modum  uersum,  si  i|»sum  immutare  .s<*iucris.| 

Et  in  fine  .MU.**  prodicturum  uiagiorum  ei  suum  remanserit  capitale:  iiiuentis  ul  su-  m.  iis,nr... 
pra  12(1,  ct  24,  et  2440,  extrahes  24  de  i2u,  remanent  9«;  in  «piihus  diuide  2440,  exi- 
bunt 25  pro  ipsius  capitali.  Et  boc  facimus;  quia  24  est  numerus,  qui  dc  uiagio  in 
uiagium  per  eorum  lucra  surgit  in  120  in  quarto  uiagio.  Kt  quia  proponitur  ei  in  Hne 
suum  remansisse  capitale;  ideo  extrahenda  .sunt  24  dc  120,  remanent  96;  que  06  ha- 
bentur l(K*o  numeri,  dc  quo  fiunt  cx|»ense;  ct  120  halxTittir  pro  eodem  numero,  t‘t  pro 
capitali  ipsius  , scilicet  loco  eorum.  Et  quia  de  \ 20,  et  de  eorum  lucro  proucniunt 
omnes  expen.se;  quia  cum  capitale  ipsius  sit  j 20,  iiil  ei  remanet  jiost  ex]>cndia;  ideo 
; to  similes  sunt  de  06.  Vnde  est  sicut  06  ad  120,  ita  J 20  est  ad  numerum  seruaritem 
capitale,  ct  ex{>cn$as.  Quare  multiplicanda  .sunt  {20  per  I2i);  que  multiplicatio  est  2440, 
que  diuidenda  sunt  per  96,  ut  .superius  fecimus.  Rursus  si  proponatur,  ipsum  lucratum 
esse  denarios  20:  quia  ut  dictum  est  de  24  lucratur  96  ; ergo  sicut  96  sunt  ad  24,  ita 
20  sunt  ad  eorum  capitale.  Quare  multiplicabis  20  per  24;  cl  diuides  per  96,  hoc  est 
accipies  [ dc  20,  exibunt  5,  <pie  adde  cum  ~ 25,  erunt  ^ 30. 

Adhuc  lucrum  sit  idem  dc  uiagio  iu  uiagium;  ct  capitale  ipsius  sil  \ 20;  el  expen- 
dium secundum  sit  3,  plus  primo.  Expendium  (juoque  tercium  .sit  1 , plus  secundo  ; 
quartum  uero  expendium  sit  2,  plus  tercio.  Et  queratur  expendium  uniuscuiusque  uiagij. 

Iiiuenies  supradicto  modo  ilo,  et  00,  ct  40,  el  30,  et  24.  Post  hec  multiplica  ^ 20  per 
120.  enint  2440,  que  serun;  ct  3,  in  quibus  secundum  cxjieudium  excedit  primum,  nuil- 


Digitized  by  Googie 


SG4 

tiplica  per  40,  que  habentur  loco  capitalis  secundi  eipcndij,  cnintizo;  et  S,  in  quibus 
tercium  cxpciidium  excedit  primum,  muUiplica  per  30,  erunt  tso.  Item  7,  in  quibus 
ultimum  ex|>cndium  excedit  primum,  multiplica  per  24}  cum  ipsa  24  hal)oaulur  loco 
capitalis  eiusdem  expendi],  cruiit  i&s;  que  adde  cum  et  cum  I20  modo  inuentis, 
erunt  438}  que  cxtialie  de  2440,  remanebunt  2002}  que  diuide  per  IS4,  que  proueniuiit 
ex  additione  de  co  cum  40,  et  cum  30,  et  cum  24  , exibunt  i3  pro  primo  expendio. 
Rursus  capitale  ipsius  sit  ||  22;  et  in  fine  post  expendia  prcdicta,  remarcantei  dena- 
rij  42.  Multiplica  42  per  £4,  erunt  288;  que  adde  cum  438,  erunt  626}  que  extrahe  ex 
mulliplicutione  de  ^28  in  420,  scilicet  de  2728,  reinaiiehmU  2002}  que  diuide  per  454  , 
exibunt  similiter  denarij  43  pro  primo  expendio.  Et  si  proponatur,  capitale  fuisse  ~ 15; 
et  in  fine  remansisse  ipsum  capitale}  et  querantur  expendia,  extrahes  24  de  i20,  rcma< 
nebunt  06}  per  que  muUiplica  ■—  25,  erunt  8440}  de  quibus  extrahe  supradicta  438,  rc« 
manent  2002;  que  diuide  per  434,  ucniunt  denarij  13  pro  primo  expendio.  Item  capi> 
tale  sit  /2  30}  et  in  fine  lucretur  denaritMS  20,  multiplica  30  ]>er  06,  erunt  2020,  que 
sciiia:  et  multiplica  20  per  24,  erunt  480;  que  adde  cum  438  supradictis  , erunt  oiR ; 
que  extrahe  2020  scruatis,  remanent  2002;  quibus  diuisis  per  154,  ueniunt  43  pro  primo 
expendio:  quare  secundum  cx|>endium  est  le;  tercium  est  I8;  ({uarlum  est  20. 

Rvrsus  quidam  fecit  in  primo  uiagio  duplum;  in  secundo  dc  duobus  tria.  In  tercio 
dc  tribus  .iiij.*' I Iu  quarto  de  .iiij.”  t.  ; et  expendit  in  primo  uiagio  nescio  quot}  io 
secundo  expendit  3,  plus  quam  in  primo.  In  tercio  2,  plus  quam  iu  set^uiido.  In  quarto 
2,  plus  qunm  in  tercio;  et  in  fine  nil  ei  rerauiisissc  proponitur;  et  fiant  expendia,  et 
eius  capitale  in  numeris  integris.  Ponamus  quidem  per  regulam  rectam,  capitale  fuisse 
.summam,  et  expendium  primum  rem:  quare  in  primo  uiagio  habuit  duas  summas;  rpiia 
fecit  duplum,  de  quibus  expendit  rem  , remau.serunt  ei  due  summe,  minu.s  rc  : ex 
quibus  tn  scruiido  uiagio,  faciendo  dc  duobus  tria,  habuit  tres  summas,  re  et  dimidia 
diminuta;  de  quibus  expendit  rem,  ct  denarios  tres,  remanserunt  tres  summe,  duabus 
rebus  et  dimidia,  et  Iribus  denarijs  diminutis;  dc  quibus,  faciendo  de  tribus  .itij.*' 
in  tercio  uiagio,  habuit  .iiii.**'  summas,  tribus  rebus,  tercia,  ct  .iiu/'  denarijs  diminutis; 
dc  quibus  cx|K*ndit  rem,  ct  denarios  .v.  lii  quibus  .v.  denarijs  lercmm  expendium  ex- 
cedit jirimtiin,  remanebunt  .iiii.*'  summe,  .iiij.*’'  rebus,  ct  tema  , et  .ix.  denarijs  dimi- 
nutis: cum  quibus,  faciendo  de  .iiu."'  v.  in  quarto  uiagio,  habuit  .v.  summas  minus  .v. 
rebus,  ct  quarta,  et  sexta  rei,  ct  minus  denarijs  -j  il:  de  rpiibus  expendita  re,  et  dc- 
iiarijs  7,  scilicet  ex|K;ndium  quartum,  remanserunt  .v.  summe,  minus  rebus  ^ 6 , et  dc- 
iiarijs  I 18,  quo  cquaiitur  0,  quini  remansit  ci  in  ultimo  uiagio  : quare  si  comiiniter 
addantur  res  ~ 6,  et  denarij  \ 48,  erunt  .v.  summe,  que  equantur  .vi.  rebus,  et  ^ rei, 
et  denari)  | I8.  Viidc  rc|>eriendus  est  numerus  pro  una  ex  supradictis  rebus;  quo  mul- 
tiplicato ^ c,  proucmat  numerus,  qui  cum  J 48  faciat  sanum  numerum,  cuius  ^ sit  in- 
legra;  queiu  inucnics  sic:  primum  reperiatur  numerus,  qui  cum  mullijdiciitur  — o,  fa- 
ciat * plus  sano;  entque  9,  qui  multiplicatus  ^C,  facit  ^57;  quibus  additis  cum  ~ 18 
proueniunt  76  , qui  est  integer  , et  eqiiatur  quinque  summis  : quare  ^ eonini  est 
summa  : et  quia  illa  | non  est  integra,  multiplica  ~ e per  42,  ex  qua  multiplicatione 
pmucnit  sanus  numerus  77  : quare  adde  77  su]>er  76  inuentis  totiens,  donec  proueniat 
numerus  habens  ; ergo  addes  bis  77  suj>cr  76  , eninl  230;  qxtorum  ^ , scilicet  46, 


Digitized  by  Coogie 


SC5 

CNt  summa  qucsita  , scilicet  capitale,  quml  ille  habuit  u pviiicipio:  et  quia  ‘super  76 
additum  est  duplum  do  77  , adde  similiter  duplum  dc  is  super  9,  erunt  33  pro  primo 
cx|>endiu : quare  secundum  expendium  est  36;  tcrcium  38;  «juartum  40.  Et  si  huc  in 
alijs  numeris  integris  reperire  uis,  numerum  summarum  , et  numerum  rerum  inucn> 
tarum,  scilicet  5 « et  ^ o,  multiplica  ]>cr  a propter  ii,  que  sunt  sub  uirga,  proue* 
nient  60  , ct  77.  Nam  co  liabenlur  luco  cipcndij,  quorum  capitale  est  77;  cum  exjvcii- 
dium  sit  scinper  idem  in  uiioqu(N|uc  uiagio  : «piare  totiens  uis  adde  oo  su|>er  primum 
expendium,  scilicet  super  33,  cl  totiens  adde  77  super  itiuentum  capitale,  scilicet  super 
46;  et  habebis  quesitum  infinitis  modis.  Et  si  proponantur  is  rcmatisis.se,  per  supradicta 
inuciiies,  quod  .v.  summe,  minus  sex  rebus,  ct  et  denaiij  \ 18  equantur  denarijs  il: 
quare,  facta  restauratione  rerum  diminutarum,  et  denariorum,  prouenient  .v.  summo,  quo 
o«juaiitur  rebus  ^ 6,  et  denarijs  { 30:  quare  pro  primo  expendio,  scilicet  pro  una  ex  .su- 
pnidictis  rebus,  pone  9,  el  .semel  u,  hoc  est  si;  quare  res  j*,  6 erunt  J 134;  quibus  ad- 
ditis ; 30,  erunt  165,  que  equantur  quinque  summis:  quare  summa,  scilicet  capijtalc  ipsius,  r«.i.  ii4  tr,/,. 
est  33;  et  expendium  secundum  est  14;  tcrcium  t6;quarlum  28.  Rursus  si  in  fine  pn)|KUiatur, 
suum  capitale  remanere,  iiiueiiies  modo  supradicto,  quod  quinque  summo,  diminutis  robus 

6,  et  dcriarij  * 18,  equantur  uni  summe:  <]unre  .iiu.*'  summe  equantur  i-ebus  ^ e,  et  de- 
narijs } 18.  Pone  itaque  9 pro  re;  <|uarc  res  ^ 6 cum  denarijs  J 18  sunt  76,  que  cquaii- 
tur  .tiu.”  summis:  ergo  .summa  est  19,  scilicet  capitale  ipsius.  Et  si  proponatur,  i{isum 
lucratum  esse  denarios  is,  inucnies,  quod  .iiu.'*' summe  equantur  rebus  ~ 6,  et  denarijs 
I »).  Pune  itaipic  rem  esse  9;  quare  les  ~ 6 cum  denarijs  | 30  .sunt  88,  tiuomm  scilicet 
ss,  est  capitale. 

Si  uei*o  (>cr  regulam,  uersam  hanc  ultimam  questionem  soluere  uis  ; quia  iii  fuic 
proponitur  remansisse  capitale,  et  denarios  is;  ergo  renian.sit  ei  summa,  ct  18.  Post 
ultimum  exjHMidium,  que  fuerunt;  quod  fuit  res,  et  denarij  7:  quibus  insimul  iunctis, 
erit  .summa,  et  res,  et  denarij  19,  que  babuit,  cum  de  4 fecit  5:  quare  ex  cis  accijio 
~ unius  .summe,  et  \ unius  rei,  ct  denarios  1 15;  ct  tot  babuit  in  finc  tcrcij  uiagij:  cum 
quibus  adde  expendium  i{isiu.s  uiagij,  scilicet  rem,  ct  denarios  s,  erunt  ^ summe,  et 
I rei,  el  denarij  ^20;  ct  tot  habuit,  jmst  quam  de  3 fecerat  4:  quare  acci|)c|  eurum, 
erunt  | .summe,  et  rei,  et  denarij  ~ 15;  ct  tot  habuit  in  fine  secundi  uiagij  : cum 
quibus  adde  expendium  eiusdem  uiagij,  .scilicet  rem,  ct  denarios  3,  erunt  \ summe  , 

^ rei,  et  denarij  ^ I8  ; et  tot  halmit,  cum  dc  s fecerat  3:  quare  acci|>c  | eorum  , 
erunt  | summe,  et  2«  t denarij  s ; et  tot  habuit  in  fine  primi  ui.igij : cum 
(juibus  adde  expendium  ij*sius , scilicet  rem  , erunt  summe  , ct  ^ rei , et  denarij 

18;  et  tot  habuit  ex  duplo  primi  uiagij  : quare  dimidia  ea,  prouenient  | .summe, 
el  ^ rei,  ct  denarij  6,  que  equantur  .summe  , scilicet  capitali  : quare  extracta  -y 
summe,  remanebunt  y summe,  que  equantur  rei,  et  denarijs  ^ 6:  quare  quincuplum 
de  y unius  summe,  »:ilicet  summe  equantur  quincuplo  dc  ^ rei  , ct  denarijs 

^6,  boc  csl  rebus  ^6,  et  denarijs  | 30,  ut  superius  per  regulam  rectam  inucnimus: 
dcinccjks  operaberis  ut  .supra.  Nam  si  secundum  alium  modum  solutiones  harum  .iiu.'"' 
questionum  inucnire  uis,  pone  per  ordinem  ut  supra  f ; | J ; ex  quihus  ut  supra  iii'  ‘ 
nenias  iiv,  et  60,  ct  40,  et  30,  et  84,  et  1S4,  et  438;  addes  cum  438  totiens  154,  donec 
proucniat  mimerus,  qui  integraliter  (>er  I80  diuidatur ; ei  hoc  erit  trigesies  ter;  quia 

3i 


Digitized  by  Googie 


•iiJiautn  ....  Cr«*  • 

114  . !>•.  I5.n  < 

|K:  Uli.  I•n.  i4-S7> 


>|xc  ....  4,  aoiitr  • (M. 
144  4«r«p  , Ua.  Stf-13  I r«g- 
36«.  liB.  40  — {••«  4 

l>«.  I;. 


«G6 

multiplicatis  iS4  per  33  faciunt  S08i;  cum  quibus  additis  438,  proucniunt  5330;  quibus 
diulsls  |x>r  120,  ucniiint  48  pro  capitale;  ct  cxpcndium  primum  erit  33.  Et  .si  uis,  ut 
in  fiiie  uiagiorum  remaneant  denarij  12,  ut  dictum  c.st,  multiplica  ll  per  24  predictas, 
erunt  2S8;  que  adde  cum  438,  erunt  726;  cum  quibus  addes  tulieus  IM,  doiicc  proueniat 
numerus,  qui  inteip-alitcr  diuidatur  per  180;  et  boc  erit  uigesies  semel.  Nam  e\  21  in 
154  proueniunt  3S34;  cum  quibas  additis  <se,  erunt  3980;  quibus  diuisis  per  120,  proue- 
niunl  33  pro  capitale  ; et  espendium  primum  erit  ii,  ut  inuciitum  est  supra.  Rursu.s 
si  uis,  ut  in  iine  uiagiorum  suum  remaneat  capitale,  extrahe  24  dc  110,  scilicet  mul- 
tiplicatio numerorum,  qui  sunt  super  uirgls  ex  multiplicatione  numerorum,  qui  .sunt 
sub  i{i.sls,  rejmanebunt  96:  deinde  adde  .super  43S  totiens  154,  donec  proueniat  immcnis, 
cuius  nonagesima  sexta  pars  sit  integra;  ct  boc  erit  nouies;  quia  ex  multiplicatione 
de  9 in  154  ucniutil  1386;  quibus  additis  cum  438,  cnint  1824;  que  diuidc  per  96,  ue- 
niunt  13  pro  capitale;  et  expemlium  primum  erit  9 , ut  .supra.  Similiter  si  lucratus 
fuerit  denarios  12  in  Hnc,  .super  726  adde.s  totiens  I5l,  donec  proueniat  numerus,  qui 
intcgralitcr  diuidatur  per  9C;  ct  boc  erit  nouies;  quia  ex  ductis  9 in  154,  faciunt  13S6; 
quibus  additis  726,  pi*oueniunt  2712;  que  diuidc  per  96  , ucniunt  St  pro  capitali  ; et 
primum  expendium  csl  9,  ut  superias  inucnimus. 

.^fuiJus  alius  de  uiagiis. 

Item  quidum  liabcbat  bizantius  13  ; et  cum  ipsis  fecit  uiagia  nescio  quot  , et  in 
uno  quoque  faciebat  duplum;  et  expendebat  bizantios  14.  Queritur  quantitas  suorum 
uiagiorum.  Quia  faciei>at  duplum,  duplica  13,  erunt  26;  dc  quibus  extrabe  14,  rema- 
nent 12;  et  habemus  mium  uiagium.  Item  duplica  12,  erunt  24;  de  quibus  extrahe  14, 
remonent  10  ; et  babemu-s  dito  uiagia.  De  quibu.s  proiiidcas  minutionem  sui  capitalis 
dc  uiagio  in  uiagium.  In  primo  ulagio  toman.seriint  ei  12;  ergo  minuit  1 suum  capi- 
tale. lii  secundo  minuit  2.  Ideo  quia  remanserunt  ei  10;  ergo  duplicando  uadil  minu- 
liuncm  dc  uiagio  in  uiagium:  quare  duplica  2,  que  sunt  minutio  secundi  uiagi),  erit 
4;  ct  habemus  minutionem  tercij  uingij;  adde  moilo  tres  minutiones  trium  uiagioniin 
inuentorum,  uidelicet  1,  et  2,  et  4 , erunt  7 : a quibus  usque  in  13  desunt  6 , que 
remanent  in  minutione  quarti  uiagij,  seilicet  4,  erunt  8.  lii  quibus  diuidc  c,  ucniunt 
J unius  uiagij;  ergo  fecit  i|>sc  cum  ijwis  13  hizantijs  uiagia  | 3.  Sed  quia  uidetur  incon- 
gnium  dicere,  aliquem  fecisse  * uniu.s  uiugi);  boc  emendari  sic  docemu-s.  \ ideliccl  cum 
in  uiagio  faciat  duplum;  ei^o  in  1 lucmlur  alium;  ci^o  in  J unius  uiagij  de  ipso  1 
lucratur  | unius  bizantij;  ergo  facit  dc  4 .septem;  ct  erunt  .lili.*'’  uiagia;  ex  quibus  in 
primo,  cl  in  secundo,  ct  ia  icrcio  fecit  duplum,  ct  expendit  14;  cl  in  quarto  fecit  de 
vu.,  ct  expendit  tn's  quartas  dc  14,  scilicet  ~ to. 
lamcii  si  propositum  fuerit  , quod  in  fine  ignotorum  uiagiorum  ei  supersint  bi- 
zantij 4 , sic  erit  faciendum  : scilicet  extrahes  4 dc  superatione  minutiorum  trium 
uiagiorum,  que  ei  remanet  dc  suo  capitali,  uidelicet  dc  6,  qui  superius  per  8 diui- 
dunlur,  remanent  2;  que  diuidc  iterum  per  ondem  8,  .sdliccl  per  minutionem  quarti 
uiagij,  exibit  ^ ; ergo  facit  ipse  uiagia  | 3.  llenim  si  dc  quarta  unius  uiagi)  unum 
uiagium  instruere  uulucris;  cum  in  uno  quoque  uiagio  lucretur  de  1 bizantium  alium; 
ergo  in  { unius  uiagij  de  1 lucratur  quartam  partem  unius  bizantij  ; ci^u  de  1 facit 
\ 1,  bor  est  dc  .Illi.*'  quinque;  et  expendit  in  ijiso  quartam  partem  cie  14,  id  est  | 3. 


Digitized  by  Googl( 


S67 

Si  aulcm  iiumciiis  quesilc  superationis,  id  esi  4,  maior  c&set  diclc  siipcrutiutils  trium 
uiagiomm,  scilicet  de  d,  unde  non  posset  i[rsam  cxtralierc  ab  eadem.  Oporteret  c»m 
extrahere  de  residuo  minutionis  duorum  uia^iurtitn,  (|uod  ei  remanet  de  suo  capitali, 
id  est  dc  10.  Et  si  adhuc  cam  dc  10  extrahere  non  pr^ses,  cxtraheic.s  eam  de  is,  id  est 
de  superatione  minutionis  primi  uiagi).  Et  sic  poteris  iimciiire  )>i‘epositas  cpiasliliet 
Ku]>c  rationes. 

Questio  notabilis  dc  homine  muttuante  libras  .C.  ad  usitrai 
super  quandam  domum^\ 

Qvidam  prc.stauit  libras  lou  ad  asuras  .iiij.*'  denariorum  jhm'  libram  in  iiKii.se  supra 
<|uaiidam  domum,  ex  qua  recolligebat  in  uno  <pioi|uc  anno  nomine  pensionis  libras  30; 
et  in  capite  uniuscuius<{ue  anni  debebat  discmnputarc  ipsas  libras  30  de  capitali,  et 
lucro  dictarum  100  librarum.  Queritur,  rpiut  annis,  et  mensibus,  et  diebus,  et  buris 
domum  tenere  debebat:  quia  lucrabatur  denarius  4 per  libram  in  mense;  ergo  lucratur 
soldos  4 per  libram  in  aiiuo;  qui  soldi  4 sunt  | unius  libre  : ergo  dc  S facit  6.  Et  ipiiu 
dc  capitali,  et  lucro  unius  anni  dlseumputatur  pensio;  a.s.similatiir  licc  questio  tali  uia- 
giorum  questioni;  quod  quidam  liabuit  libras  loo,  cum  quibus  de  5 faciebat  0 iu  uiio- 
qu(X|ue  uiagio;  ct  expendebat  libras  30;  de  quo  queritur,  quot  cx  eis  fecerat  uiagia: 
cuius  regule  si  iniraemor  non  exstiteris,  minutiones  sui  capitalis  dc  anno  in  annum  sub- 
tiliter sunt  inuestigande  sic.  Quia  de  s facit  0,  acci]>e  ^ dc  100,  que  est  SO,  et  adde 
super  100,  erunt  110;  et  tot  habuit  inter  capitale,  et  lucrum  in  primo  umio:  de  quibu.s 
extrahe  pen.sionem,  scilicet  30,  remanent  libra  OO:  a quibus  usque  in  libris  100  desunt 
libre  10,  que  sunt  minutio  primi  anni.  Item  accipe  | dc  libris  90,  que  remanent  in 
capite  primi  anni,  erunt  18;  quas  adde  cura  00,  erunt  los;  de  quibus  extrahe  jicnsio- 
nem  secundi  anni,  remanent  libre  78;  a quibus  ustjue  in  90  desunt  libre  12,  quo  sunt  mi- 
nutio secundi  anni.  In  primo  enim  anno  suum  capitale  minuit  libras  10.  In  secundo 
minuunt  libre  12  ; ergo  minutiones  cadunt  pr(qH>rtionalitcr,  uidelicet  de  10  in  12,  hoc 
est  sicut  10  .sunt  ad  12,  scilicet  sicut  i ad  6,  itn  12,  que  siiiit  minutio  secundi  anni, 
erunt  ad  minutionem  tcrcij  anni.  Quare  multiplicabis  6 per  <2,  et  diuides  per  s,  exi* 
bunt  I 14,  que  sunt  minutio  tercij  anni  : que  multiplica  per  0,  ct  diuidc  per  s,  exi* 
bunt  17,  que  sunt  minutio  quarti  anni:  que  multiplica  itcnim  per  6,  et  diuide  per 
5,  exibunt  -f~rr  minutio  quinti  anni  : que  iterum  multiplica  per  0,  et 

diuide  per  s;  quod  sic  fit:  protrahe  quandaiu  uitgnm,  sub  qua  pone  5 quater;  cum  sint 
ter  sub  uirgula,  quum  uls  multiplicare;  ct  multiplica  0 per  2,  que  sunt  super  s,  erunt 
12;  que  diuidc  per  s propter  5,  que  sunt  in  capite  uirge  protracte  a sinistra  inirlc, 
exibunt  2,  et  remanent  2:  quare  pones  2 super  ipsas  5,  ct  2 resenia  in  manu;  cum 
quibus  adde  multiplicaliunem  de  o in  3,  que  sunt  super  sequentia  erunt  20;  que 
diuide  per  5,  exibunt  4,  et  ramanci  0;  quod  0 pone  super  $e<pienlibus  5,  ct  serua  4; 
su]>er  que  adde  multiplicationem  de  0 in  3,  que  sunt  super  5 in  capite  uirge  a parte 
dextra^  erunt  22;  que  diuide  per  5,  exibunt  4,  et  remanent  2;  que  2 pone  super  ter* 
clura  3;  ct  super  4 adde  multiplicationem  de  c in  20,  erunt  124;  que  diuide  per  ultima 
.s  protracte  uirge,  exibunt  24,  ct  remanent  4:  que  4 pone  super  ipsa  s;  et  ante  iiirgam 
pone  24,  et  iiabebis  24  pro  minutione  sexti  anni.  Addes  quidem  suprascripta  sex 
minutiones  in  hunc  modum:  pones  ex  eU  integra  sub  integris,  et  similes  fractiones 


t..|-  IIA 


Digilized.by  Googie 


M 


IIS 


ifui-  IIS  vrpjd  , ita,  1R-2S  , 
IMg.  m.  Im.  tt  • 


116  rM». 


S68 

Mib  similibus,  scilicet  quintas  sub  quintis,  ct  quintas  quinte  sub  quintis  quinte,  et 
cetera;  et  protrahe  uir^am,  sub  qua  sint  S quater,  scilicet  secundum  numerum  ipsorum 
S,  que  sunt  sub  maiori  uirga  minutionum  predictarum;  et  pro  t,  que  sunt  super  9, 
que  sunt  in  quarto  gradu  uirge  de  ai,  pone  t super  s,  que  sunt  in  eodem  gradu  pro- 
tracte uit^c;  ct  adde  0,  quod  est  super  5 tercij  gradus  uirge  dc  tt  cum  1,  que  sunt 
in  eodem  gradu  uirge  de  so,  erunt  t;  que  jmiics  su|*er  5 tercij  gradus  protracte  uirge; 
ct  adde  t,  que  sunt  super  5 secundi  gradus  uirge  dc  t4  cum  3 , que  sunt  super  5 
secundi  gradus  uirge  dc  20,  ct  cum  2,  | que  sunt  super  5 eiusdem  secundi  gradus  uirgr 
de  17,  erunt  7;  que  diuidc  |H'r  5 secundi  graSus  protracte  uii^c,  exibit  t,  et  remanent 
2:  pone  2 super  ipsa  5,  et  1 scrua  tn  manu;  que  adde  cum  4,  que  sunt  super  s primi 
gradus  uirge  de  24,  et  cum  3,  que  sunt  super  5 eiusdem  gradus  uirge  de  20,  et  cum 
t,  quod  est  in  primo  gradu  dc  17,  et  cum  2,  que  sunt  super  s post  14,  erunt  ll;  que 
diuide  per  5 primi  gradus  protracte  uirge,  exibunt  2,  et  remanet  1 : |>onr  quidem  t 
super  ipsa  9,  et  2 scrua;  que  adde  cum  integris,  erunt  99;  que  pone  ante  protractam 
iiirgam;  et  sic  habebis  '9-'-’-^  99  : que  si  dc  centum  extrahere  uis  , protrahes  aliam 
uirgam,  sub  qua  pone  similiter  5 quater;  ct  acci|)e  1,  que  sunt  super  5 quarti  grados 
uirge  dc  99;  et  extrahe  eam  dc  $,  que  sunt  sub  ipsis  2,  remanent  3;  que  pone  super 
s quarti  gradus  protracte  uirge,  ct  retine  iu  ninnu  l;  quod  adde  cum  2 , que  sunt 
super  5 tercij  gradus,  extrahe  ex  eisdem  5,  remanent  2,  que  pone  super  S tercij  gradum 
protracte  uirge,  el  senia  l;  quod  adde  cum  2,  que  sunt  su|>er  5 secundi  gradus  uirge 
de  99,  enint  3;  que  extrahe  ex  ipsis  5,  remanent  2,  que  pone  super  5 secundi  grados, 
et  scrua  1;  quod  adde  cum  1,  quod  est  su|>er  s,  que  sunt  in  primo  gradu  uirge  dc 
99,  erunt  2:  a quibus  us<|uc  in  s desunt  3,  que  jhkic  su{>cr  9 primi  gradus  uirge  pnv 

tracte;  et  pro  expleto  quinario  scrua  l;  quod  adde  cum  99,  faciunt  100;  que  euralx' 

de  100,  remanet  0 ante  protractam  uirgam,  scilicet  nichil;  et  sic  habes  proqo^ 

sito  residuo  unius  libre,  que  sunt  ex  minutione  septimi  anni.  Quare  inucriicnda  e>t 
minutio  septimi  anni,  si  multiplicabis  * ^ * 24,  qui  est  minutio  sexti  anni  per  6;  el 

diuide  jier  5,  exibunt  libre  | | 29,  in  quibus  diuidenda  essent  -J-|-  -J ; ct  quod  t\ 

diuisionc  exiret,  c^ct  illud,  quod  ipse  tenuit  domum,  ultra  sex  inuentos  anaos.  Sed 

ut  habeamus  inde  dies  ct  horas,  multiplica  438  per  dies  anni,  scilicet  peroso,  ut  lU 
ponantur;  et  erunt  in  unoi|iio<|uo  mense  dies  .xxx.,  uenient  l976so;  que  multiplica  pei 
12,  scilicet  per  horas  diei,  erunt  1892169,  que  scrua.  Et  multiplica  29  per  minuta  sbc 
uirgulc,  hoc  est  j>cr  5,  ct  addes  4;  que  per  s,  ct  addas  1;  que  per  s,  ct  addas  2;  q»*' 
{M>r  5,  et  addas  2;  que  per  5 , et  addas  2 , cnint  93312  : (]uibiis  reperias  regnlan . 
que  est  * * Y'l  . In  qua  etiam,  et  in  regula  de  C23,  que  est  debes  dinidcTr 

multiplicationem  de  1892100  in  S;  quam  in  s;  quam  in  9;  quam  in  9;  quam  in  5 pm* 
pter  quinque  quinarios , qui  sunt  sub  uirga  post  29.  Sed  relinques  multiplicationon 
.iiij.®'  quinariorum  piopter  .iiw.*''  quinarios,  qui  suul  regula  dc  025.  Similiter  cuiulHS 
ea,  que  erunt  cuiUnda;  ct  proucnient  hore  ~ loi,  que  sunt  dies  8,  ct  liure  H ^ 

tantum  tenuit  i{i$c  domum,  ultra  annos  0 inuentos.  Quod  si  pruliarc  uLs,  uide  si 
J -J— J-  unius  libre,  (pic  sunt  soldi  I4;  et  dc  eurum  usuris  dierum  inuentorum  17;;  * 
proucnerit  pensio  ipsorum  dierum;  quod  uidendum  est  per  modum  baracti  in  hun< 
modum:  quia  dc  libra  1 dantur  pro  usuris  | denarij  4;  ergo  pro  soldis  60  datur 


Digilized  by  Googl 


269 

1 in  mense.  Quare  pone  in  una  linea  soldos  60,  et  soldum  ct  dies  ao.  Et  sub  soldis 
60  pone  soldos  ^ 14,  ct  sub  dies  ao  ]>ouc  dies  ^^8;  ct  multiplicabis  ^ 14  per  i, 
quod  est  cis  ex  aduerso;  quod  multiplica  per  8,  ct  summam  diuides  per  reliquos 
duos  numeros,  scilicet  per  co,  ct  per  30  : ergo  multiplica  1752  per  182S;  et  diuides  per 
co,  et  per  30,  et  |>er  fractiones,  que  sunt  sub  utiaquc  uirga;  et  habebis  usuras  soU 
dorum  I4r  que  cum  debeas  insimul  addere,  scilicet  capitale  cum  usuris  ; qualiter 
ca  coniunctim  habeas,  indicabo;  quia  ex  mulliplicaltonc  de  14  in  m additis  2,  prouc- 
niuiit  1752  ; ergo  si  diuiscrls  17S3  per  125,  nimirum  ipsa  ^<4  reddibunt.  Similiter  si 
38SS00,  que  procreantur  cx  60  ductis  iti  30  uicibus  12,  uicibus  0,  uicibus  s , multiplb 
caueris  per  1752,  et  diuiscrls  summam  per  oo,  ct  per  30,  et  |>er  12,  ct  |>cr  9,  ct  per 
2,  et  |)cr  115,  eadem  u reddibunt.  Sed  cx  multiplicatione  de  1752  in  1825  diulsa  per 
eosdem  iiumei-os  prauenit  usura  illorum  soldorum  14;  ergo  si  couiunctum  ex  388800 
cum  1825,  scilicet  590625  muUipIicaucris  per  i7Si,  et  diuiscris  per  eosdem  numeros,  pro- 
ucnient  soldi  ~ 14,  et  eorum  usura;  in  quibus  si  modum  euitandi  seruaiis,  remanebit 
tantum  multiplicatio  de  73  in  115  diuidenda  Vnde  proueniunt  soldi  14, 

qui  sunt  i^ensio  dierum  quia  si  multiplicaueris  * ^ \ 8 ]>er  denarios  20,  qui 

sunt  pensio  uiiius  diei,  nimirum  soldi  {-J-n  *'*  proucnienl. 

yiliter  tle  auletn  domo. 

Rvrsus  si  dictum  fuerit,  quod  ipse,  cuius  domus  erat,  recollegit  ipsam  domum  tali 
tem]>orc,  quod  adhuc  erat  ei  redditurus  libras  20  de  predictls  libris  100.  Et  queratur 
quantum  ipse,  qui  denarius  prestauerat,  domum  tenuit. Sic  facies:  iunges  ex  minutionibus 
suprascriptis,  quas  superius  inuenimus,  donec  non  remaneat  de  ipsis  libris  100  tantum, 
quod  possit  inde  domum  unum  annum  tenere;  extractis  libris  20,  que  ei  debent  rc> 
manere.  Minutio  quidem  primi  anni  est  10;  secundi  12  insimul  iimctls  faciunt  22;  cum 
quibus  addita  tercij  aimi  minutione,  scilicet  | 14,  faciunt  |36;  cum  quibus  adde  f-|  17 
quarti  anni,  erunt  53;  cum  quibus  iterum  adde  minutionem  quinti  anni,  scilicet 
20,  erunt  -J-f-r  74  : a quibus  usque  in  100  desunt  25;  de  quibas  si  extra- 

xeris libras  20,  que  del>cnl  sujwi-arc  , nuii  remanebit  unde  domum  possit  tenere  per 
unum  annum.  Quare  extrahantur  20  cx  ipsis,  remanent  -J-J-f  5 ; que  multiplica  per 
360,  scilicet  per  dies  unius  anni;  que  per  12  horas,  et  diuidc  summam  dicte  multipli- 
cationis per  minutionem  sexti  anni,  uidelicet  per  J * * * 24.  Tamen  cane,  ne  multiplices 
aliquem  dictorum  numerorum,  cum  in  aliquo  ipsorum  debeas  postea  diuidere  , ut  in 
procedenti  regula  demonstrauimus,  exibunt  borc  ^ 969,  que  sunt  dies  80,  ct  liore  | 9; 
et  tot  tenuit  ipse  dumum,  ultra  annos  5. 

Quod  si  uerum  est,  ita  cognoscitur:  usura  de  100  librarum  primi  anni  sunt  libre  20; 
quibus  additis  cum  loo,  cruiil  120;  dc  quibiLS  extracta  pensione,  remanent  libre  90  : 
cum  quibus  additis  usuris  ipsanim,  scilicet  in  secundo  anno,  faciunt  los;  de  quibus 
extracta  | pensione  eiusdem  amit  , remanent  libre  78  : quibus  usuris  tercij  anni  sii- 
peradditU,  faciunt  libras  \ 93;  dc  quibus  extracta  pensione  eiusdem  tercij  anni  , re- 
manent }63;  et  sic  faciendo  de  quarto,  et  quinto  anno  , remanebunt  tantum  libre 
* 25,  de  quibus  ipse  tenuit  domum  diebus  — ^ so,  hoc  est  diebus  so,  et  horis  | 9, 

et  remanserunt  cx  cis  libre  20,  quas  dominus  domus  reddidit  ei.  Deinde  accipias  quanta 
usura  datur  dc  libra  1.  In  illis  diebus  ^—^80;  quod  sic  erit  uidendum.  Multiplica  dc- 


( »1  lamnvam  ....  ci  |«r  Iti  > 
It$  r¥ct«,  lin-  4>ll:  mi. 
269,  li«.  X I |>. 


....  • 

(f«l.  It6  lii.  1^(8  i 

2«9.  Ua. 


•Mt  4*n  Xtin 


iitai  ^ 9«>  • 

Ual.  il6  liB.  31  « IX 

^15,  269.  lia.  t0-33|. 


MB, 

lt«r« 

5 

80 

5« 

r.j. 


Digitized  by  Googie 


20.  r«wM>i  nt  ....  «imI  • 

(M.  iiti  •f-t»  . li«.  IV-ti  ; 
t1«.  h«.  14  « 15  ISi 


U.  IITrr^f*. 

■I  >i»]ir4  ....  ilr  ^HiUlt  •fCnI. 

Ii».  I J.  |ag  270, 
Un.  S»J2  f 30> 


S » I • s 


170 

imrios  4y  scilicet  usurum  unitis  libre  in  mense  per  dies  oo,  et  diuide  per  dies  jo, 
scilicet  per  mensem,  exilnirit  denarij  10;  quus  adde  cum  libra  i,  iioc  erant  soldi 
£0  , et  denarij  * ^ * lo  ; ct  tantum  ascendit  una  libra  inter  capitale  , et  usuram  in 
illis  80  diebus;  que  scilicet  * } * i raulliplira  per  libras  J5,  reddam 
libre  r4~iVru  tuntum  ascendunt  libre  ille  -f-l  \ 25  inter  ca|>italc,  et  pru0cuom 

in  illis  diebus  80:  de  quibus  si  citraxcris  pensionem,  que  eucnit  in  illis  dicbu.i 
80,  que  est  libre  I-tiVt»»  remanebunt  tantum  libre  20  , secundum  quod  propo* 
.silum  fuit. 

De  eadem  domo. 

Kt  si  praponatur,  quod  quidam  prestauit  super  eandem  domum  libras  6 ad  ea.ulefii 
usuras;  ct  queratur,  ({uaiilum  ijisam  dumum  tenere  debeat;  sic  facies:  adde  Ubnus  6 
cum  pensione  unius  anni,  scilicet  cuin  30,  erunt  libre  3C;  quas  multiplica  per  s,  ct 
diuidc  per  6,  exibunt  libre  30;  ct  tantum  oportet,  quod  ipse  baberet,  ut  domum  tc* 
nere  |k>s$cI  amium  i;  et  deinceps  remanerent  prc{>osile  libre  6:  et  extrahe  f dc  30, 
remanent  24;  que  esset  minutio  ciu.Mlcni  anni  : que  multiplica  ]>ei'  e dc  proportiooc 
superius  inuenta,  et  diuide  per  5,  exibunt  ^28;  que  essent  minutio  alterius  atmt,  sev 
licet  illius,  de  quo  ipse  pro  ipsis  o libris  domum  tenere  debet : <|uare  multiplica  « 
per  360  dies,  scilicet  per  annum,  ct  diuide  per  ^ 28,  exibunt  dies  75,  que  sunt  men$cs 
^ t;  et  tantum  tenebit  ipse  domum  ]>ro  pre.scriplis  libris  6;  et  sic  poteris  de  mullU 
alijs  similibus  ojierari. 

De  hominCf  qui  prestauit  ad  usuras  sine  noticia. 

Item  quidam  prestauit  denarios  ad  easdem  usuras  nescio  quot;  et  debebat  dare  per 
annum  pro  pcri.sioiic  cias4lem  domus  libra.s  30.  Tenuit  enim  domum  pro  illis  denarijs 
annis  5,  et  diebus  70.  Queritur  ijuanliU-s  illorum  denariorum:  primum  siquidem  inci- 
piendum est  a diebus  70,  uidelicet  ut  uideus  pro  quot  denarijs,  70  diebus  domum  te- 
nere j)Ossit.  Erilque  ita  uidciiduiii:  quia  usuni  uiiius  anni  est  \ totius  capitalis,  opor- 
tet multiplicare  dies  anni  per  5,  erunt  I8OO  ; su[)er  quos  adde  dies  prescriptos  7i, 
erunt  1870  : ergo  in  illis  diebus  ?o  de  I8OO  facit  1870,  lioc  est  quod  de  I80  facit  18’ : 
quare  j>onc  I8«  .super  1S7  sic:  : deinde  uide,  quanta  sil  |>cnsio  illorum  70  diemm 

.sic:  multiplica  30  |>rr  70,  ct  diuidc  per  360,  proucniunt  pro  )>cn.sionc  illorum  70  dierum 
libre  | $;  qua.s  multiplica  jicr  !80,  et  diuidc  jwr  187,  exibunt  libre  5:  quibus  omoibo' 
explicatis,  ud  regulam  uiagiorum  hanc  poteris  assimilari,  uidelicet  pro  5 armU  dicas 
quinque  uiagiu.  lii  quibus  singulariter  dc  5 facit  S;  ct  expendit  in  unoquojjue  libras 
30,  scilicet  jieiisioiiem;  ct  in  line  uiagiorum  5,  hoc  c.st  S annorum,  remanent  ei  libre 

7775,  cum  quibus  tenebit  domum  diebus  to:  qiiarej  ut  supra  docuimus,  scribenda  sud( 
j quinquies  in  ordine  sic  : 1 1 ||  : deinde  imilliplicabis  o per  6 ; que  (>cr  6 ; quf 
per  (jic);  que  per  0,  scilicet  per  omnes  numeras,  qui  sunt  sub  uirgulis,  cninl  7776;  dc 
quibus  acci}»c  |,  que  sunt  eiso;  dc  quibus  accipe  que  .suiit  540o;  de  quibus  accipe 

que  sunt  4500;  dc  quibus  accipe  {,  que  sunt  3750;  dc  quibus  accipe  J , que  sudI 
3125  : deinde  adde  6480  ciim  5400,  et  cum  45oo,  et  cum  37SO,  ct  cum  3125,  erunt  tssss; 
que  multiplica  j>er  libras  30  jwnsionis,  erunt  697G50.  Item  multiplica  3125  |>er  J||  5;  et 
summam  que  exierit,  adde  cum  697650;  et  coadunatam  summam  diuidc  |)cr  regulam  de 

7776,  que  est  » exibunt  libre  H'  0*  > f»**  quantitas  dciiariorora 


Digitized  by  Google 


27J 

iltoium»quos  ipse  prestaucrat.  Aliter  potes  ad  hanc  eandem  quantitatem  per  regulam 
uersam  deucnire.  Verbi  gratia  : pcasioiicm  quinti  anni,  arilicet  30,  adde  cum  a , 
emnt  J77  35  ; que  multiplica  per  5,  ct  diuide  {>cr  «.  Ideo  quia  de  s facit  G in  uno 
quoque  anno,  cxihunt  iVH"*®*  illud,  quod  remanserat,  cura  iara  domum 

4 annis  tenuerat.  Super  que  adde  ]>ensionera  (|uarti  anni,  erunt  /^-77*  50;  que  multi- 
plica per  8,  et  diuide  j>cr  6,  exibunt  7yHt  tantum  remanserat  ci,  cum  iam  do» 

mum  annis  tiibus  tenuerat.  Que  adde  cmm  30,  scilicet  cum  pensione  tcirij  anni,  erunt 
7^-“  70;  que  multiplica  per  5,  ct  diuide  per  6,  exibunt  -jVlT  tHiiliim  reman- 

serat ei,  postejuam  domum  annis  t tenuerat.  Cum  quibus  adde  30,  scilicet  ]>eiisioncm 
secundi  anni,  erunt  -nnT  multiplica  per  s,  et  diuide  per  6,  exibunt  * *^  80; 

et  tantum  remanserat  ci,  cum  iam  domum  uno  armo  tenuerat.  Que  adde  cum  pen- 
sione primi  anni,  erunt  * 110  ; que  multiplica  per  5 , ct  diuide  per  6 , exibunt 

fj — ;t-77  ot,  que  sunt  libre  Oi,  et  soldi  19,  ei  denarij  { 1;  5;  ct  tantum  prcstaiicrat 
ipse  supra  domum,  ut  .superius  }>er  aliam  i‘egul.'im  inucnimus. 

De  eodem . 

Nam  si  propasitum  fuerit  , qu»Kl  capitale  illius  sil  libre  ■$  9l  ; ct  cum  ipsis 
ad  eandem  usuram  teneret  domum  annis  s,  ct  diebus  70 ; ct  quoreret  anrtualis  pen- 
-sionis  quantitatem.  Sic  faci\s:  pone,  ut  pensio  sit  aliquis  numerus,  ut  dicamus  36. 
Dcitidc  uide,  secundum  prascriptum  ordinem,  dando  pn>  pensione  in  iinoi[uocpic  anno 
libni-s  36,  quantnm  ci  habere  oportuerit,  ut  domum  inde  ualeat  tenere  pre.scriptis  annis 
»,  et  diebus  70:  quod  si  bene  reperirc  reperirc  («c)  sciucris,  rejrcrics,  »ju«>d  cum  tqKrrtuerit 
Jialrerc  libras  i HO:  rjuc  si  essent  **  ji-  91,  utique  iiiueiiisscmus  propositum;  hoc 
est  quod  pensio  annualis  es.set  lihre  36;  rpiod  cum  non  sit,  cadit  regula  proportionaliter; 
lioc  est,  quod  siculi  lihrc  {7*—*  no  sunt  ad  libras  enml  30  ad  que- 

sitam  pensionem.  Multiplicabis  igitur  36  per  |*  91,  et  diuide.s  j>cr  * *,  ito,  exi- 
bunt pro  quesita  pensione  libre  30,  ut  supra  dictum  est. 

De  eadem  domo. 

Item  si  proposueris,  quod  pensio  sit  libre  30;  et  tenuit  ipse  domum  annis  6 , et 
diebus  70;  et  remanserunt  ei  de  hoc,  qun<l  prcstaucrat  supra  domum  , lihre  20;  et 
quesierit  quantitatem  denarionim,  quos  prestauerat;  primum  siquidem  adde  libras  90 
rum  j>cnsioiie,  que  contingit  illis  diebus  TO,  scilicet  cum  libris  | 5,  erunt  lihre  |2j;| 
deinde  uide  quantum  ascendat  usura  in  illis  diebus  70.  In  anno  rjuidem  ascendit  de 
5 in  6;  ergo  in  .5  libris  liicraliir  1 |Kir  armum  : ct  ciun  dies  70  sint  ^ unius  anni ; 
ergo  in  illis  diebus  70  libre  6 ascendunt  iii  libras  ^5,  hoc  est  tso  in  IS7,  ut  su- 
perius diximus.  Quare  descril>c.s  et  multiplica  | 93  per  ISO,  ct  diuide  |>er  I87,  exi- 
bunt lihre  xTii' quibus  adde  libra.s  30,  scilicet  |>ensioiiem  quinti  anni,  erunt 
libre  -^-77  54:  quas  multiplica  per  s,  et  diuide  per  6,  exibunt  45:  cum  (juibus  adde 
30,  scilicet  pcasionem  quarti  anni,  erunt  libre  ^ 43  : quas  multiplica  per  3,  et  diuide 
per  6,  exibunt  libre  4S;  cum  quibus  adde  (>ensionem  tercij  anni,  erunt  libre  93  : 
quas  multiplica  per  3,  ct  diuide  per  6,  exibunt  libre  77  : quibus  sujreradde  pen- 

.sioncro  secundi  anni,  uidelicet  30;  ct  multiplica  summam  per  9,  ct  diuide  |>er  6,  exi- 
bunt Itlira  ili  .so;  quibus  superadde  pensionem  primi  anni,  uidelicet  30;  et  multi- 
plica .siiramara  per  5,  et  diuide  per  6,  exibunt  libre  ! {-j 99;  et  tantum  ipse  pre- 


. «-i„t ....  s . 

(M.  117  r^t0,  li«.  t » 9.12: 
1>I(.  970.  liK.  49-.-  fwtfi  971. 


l4dc  10  ....  rrfabia  • { fuT. 
117  reet».  lia.  90.94:  V»t- 
971,  Un.  9-14). 


tisiJiUr  labr*  |rfrtiii# 

UWc  Milili  4lrn*ri| 


91 


19 


I * f - 
i II  47  * 


(fol.  117  rrrM,  lis.  19  Sa>' 
971.  I>«.  99-99). 


ilQ  * 

s T'4' 


Digitized  by  Googie 


4 6 ....  b»r  4^1  • iM.  117 

vrrftf.  I•ll.  It  1&  i |>{.  171  , 
lia.  41  — |*|.  tit,  l(«.  1). 


f«»l  ilBrrrf*. 

tlrfam  ....  6 • ( r«|. 

IIB  frrf#.  li(i.  I li  Ma.  tlt, 


4uiH  (Mia.  qua  ....  • 

rM.  IK  rr-fa,  li«.  9 • 10- 
It;  |»g.  t;x.  lia.  n.n,. 

liWa  f>«a*blc 

ISO 


l<rr<'iw  ....  rr«q*r|Mla  ■ |'iu|. 
110  rrr#a,  lia.  14-1$  v 17  i 
Vn-  S7S.  40.41  c 41k 


S7S 

■stauil  .Mipia  domum  suprascriptam.  Potes  enim  hoc  idem  aliter  reperiic,  uidclicct  re- 
pertis libris  I*  14  suprascrijilis,  rediges  hanc  questionem  ad  regulam  uiagiorum  dices: 
quod  quidam  fecit  uiagia  5«  hoc  est  quod  tenuit  dumum  annis  5;  et  in  unoquoque 
uiagio  de  s faciebat  o,  hoc  e.st  in  uiio  quo<{ue  anno;  et  inde  eipcndium  faciebat  librarum 
30;  liuc  est  dabat  pensionem  librarum  30.  Et  in  fine  quinque  uiagiorumt  .scilicet  S an- 
norum, remanserunt  ei  libre  |y*4:  quare  describende  sunt  in  ordinem  i i f i |>  «t 
deinceps  operaberis  , sicut  superius  fuisti  operatus ; et  reperies  prescriptas  lihra.s 

* ••  11  it"* 

De  eadem  domo. 

Rvrsum  capitale,  quod  ipse  prestauit  supra  domum,  sit  libre  r~n~ir77  et  tenuii 
cum  ipso  domum  annis  9,  et  dies  70,  et  remanserunt  ei  lihrc  lo;  et  quota  sit  pensio 
ignoniueris;  sic  facies.  Vide  quantum  erit  illa  capitalis  quantitas,  cum  qua  faciendo 
dictum  lucrum  de  anno  in  annum,  itt  fine  dictorum  quinque  annorum,  et  dierum  70 
pruueniat  in  libris  lo,  que  remanere  proponuntur  in  fme  dicti  termini;  quod  sic  erit 
uidendum.  Quia  in  illis  70  diebus  de  iso  facit  I87  , pone  ante  quas  pro  quinque 
annis  pone  quinquies  { in  hunc  modum;  |||i|  et  multiplica  s per  $;  que  per 
5;  que  per  $;  que  per  5;  que  |>er  ibo,  que  sunt  supra  uirgas;  que  per  libras  lo;  et 
summam,  que  cuencrit,  diuide  per  f-J-J-r-rrn  » e**hunt  yvI  A !r  lania  erit 

illa  quantitas.  Quem  numerum  cxtmbc  de  \ I S ;y  il  remanent  { ^ 9i;  et  bcr 

est  illa  quantitas,  cum  qua,  et  cum  eius  usuris  persotuitur  pensio,  et  nicbil  inde  in 
fine  i-emanet  : quo  factu,  pone  ut  pensio  .sit  30  , ut  superius  fecimus ; et  uide  cum 
pensio  fuerit  36;  quantum  erit  capitale,  cum  quo  possit  tenere  domum  prescriptis  annis 
5,  et  diebus  70;  cruntque  *1'*®  ucllcnt  e,sse  -rr-nHr®*»  multiplicabis 

0!  per  36,  et  diuide  per  exibunt  lihrc  30  pro  quesila  pensione, 

ut  in  terria  procedenti  questione  demonstrauimus.  | 

jHiter  de  domo. 

Iterum  pensio  sit  libre  30;  et  quidam  prestauit  super  eandem  domum  ad  easdem 
usuras  tantum  quod  tenuit  domum  annis  s,  et  diebus  70;  et  in  fine  suum  ei  remansit 

capitale  : quia  de  omnibus  s,  quos  ipse  habuit  in  suo  capitali,  faciebat  6 per  singulum 

annum;  ergo  in  omnibus  s lucratur  i;  ergo  in  quinquies  30,  scilicet  in  I50  lucratur 

30,  uidelicot  |)Ciisionem  ; et  tantum  habuit  i|xse.  Verum  si  lucium  uarie  de  anno  in 

annum  proponeret nr,  alia  indigeret  regula,  uidelicet  ut  primum  pro  diebus  70,  in  quibus 
de  ISO  facit  187  , |K>natur  ; deinde  ante  ipsas  ponatur  in  ordinem  quinquies  | , 
sicut  superius  diximus  : deinde  multiplicabis  s per  S;  que  per  S;  que  per  5;  que  per 
9;  que  per  180,  que  sunt  su]>cr  uirgis;  et  .summam,  que  euenerit,  extrahes  ex  multipli- 
catione omnium  numerorum,  que  .sunt  sub  uirgis;  et  summam,  que  remanserit,  diuides 
per  multiplicationem  de  ® ^ \*  gi  in  iiumen^,  qui  exierit  ex  muUiplicationc  omnium 

numerorum  cxlstentium  sub  uii^lis  in  seipsis;  et  similiter  lial)cbls  libras  iSO. 

De  domo. 

Iterum  capitale  sit  iso;  et  lucrum  sit,  ut  supra  ; et  queratur  pensionis  quantitas. 
Cum  itaque  suum  capitale  ei  in  Hne  dictorum  annorum  proj>onatiir  remanere;  et  semper 
; sui  capitalis  ipse  lucretur,  accipe  quintam  do  iso  , que  est  3o ; et  bal>eas  ea  pro 
quesita  pensione. 


Digitized  by  Googie 


173 

j4Uter  de  eadem  domo. 

Uvrsum  lucrum  sil  idem , ct  pensio  sit  eadem  ; ct  in  Une  diclumm  annorum  , cl 
dierum  70,  libras  Sfl,  ultm  suum  capitale,  ci  remansisse  proponimus:  primum  quidem 
inueniende  sutu  suprascriplc  libic  iSO,  cum  quibus  lucratur  pensionem;  quibus  repertis, 
iiidc,  ex  quo  capitali  libras  36  lucrari  jH^ssit:  describantur  iti  ordinem  | | ct 

multiplicentur  omnes  numeri,  qui  sunt  Hii|K'r  uirgulis,  erunt  ; qiic  extrahe  de 

multiplicatione  omnium  numerorum,  qui  siiiit  sub  uirgulU,  uideluTot  de  4S4iis,  rema- 
nent 691612;  in  quorum  regula  diiiide  muUiplicationem  de  si43(J0  in  36,  que  deU  iit  su- 
perare super  suum  <^pilalc  , exibunt  librc  * ^ * 2S  ; quas  adde  cum  iso  , erunt 

* 17*;  cl  tantum  lialiiiil  i|vsc. 

Iterum  ponatur,  quo<l  capitale  ipsius  sit  ^ ^ | } 173,  et  lucnim  sit  idem;  et  in  fine 

lucretur  libras  36  ; et  quota  sil  pensio  ignoretur.  Iteperias  quidem,  secundum  quu<l 
modo  docuimiLs,  ipsum  4-*  S3,  cum  quibus  lucratur  iu  illis  & annis,  et  dielnus  70 

illas  libras  36,  que  in  line  ei  prepoiiutilur  ultra  suum  capitale  remanere;  que  extra- 
hantur dc  * J-*  j-*  172  , remanent  tso  ; de  quibus  accipiatur  quinta  pars  ; ideo  quia 
per  singulum  annum  quintam  sui  capitalis  lucrari  proponitur,  exibunt  30  pro  qiic^ita 
pensione. 

Vc  miiile  recepturo  pro  suo  feudo  bizanii  .ccc. 

(^vidam  miles  erat  recepturus  a quodam  rege  causa  sui  feiidi  in  uno«)uo<}uc  anno 
bizanlias  300;  ct  persolueliaiitur  ci  in  .iiw.*'  pagas;  ct  in  unaquaque  accipiebat  bizaii- 
tios  75  , lioc  est  paga  de  tribus  mensibus.  t^)ui  cnro  necessitate  ct^crctur  , mgauit 
quemdam  diuitom,  ut  commodaret  sibi  tot  bizantios  ad  usuras,  pro  quibus  ipse  diues 
acciperet  illos  bizantios  300,  excomptiluudo  bizantios  76  uniuscuiusque  page,  dc  paga 
uidelicet  ia  pagam,  de  capitali  et  proficuo.  Qui  acquiescens  | uolunlati  ipsius  , pre- 
stauit  ei  ipsas  bizantits  ad  proncutim  duorum  bizaiiliorum  per  centenarium  in  uno 
quo<|uc  mense.  Queritur  , quot  bizantios  ipse  in  prestantiam  accepit.  Prtmum  quidem 
studeas  hanc  questionem  ad  uiagiurnin  regulam  redigere;  que  sic  n^digitur:  quia  in 
uno  quo(|uc  mense  lucrum  100  bizantiornm  est  bizaiUij  2 ; ergo  lucrum  ceiitcnarij  est 
bizauti)  6 in  tribus  mensibus  , scilicet  in  tenniiiu  uniuscuiusque  page  ; cigo  in  una- 
quaque paga  de  bizantijs  100  facit  10«,  hoc  est  de  50  facit  63:  ct  quia  page  sunt 
iiij.**  uiagiorum  simUiludiiicm  gerunt:  et  quia  paga  est  bizanlij  73,  hnlieantur  ipsi  pro 
ex|>cn<lio  unuiscuius«]ue  uiagij.  Deinde  quia  de  50  facit  33,  pone  JJ  quater  pro  .iiu.*' 
pagis  sic  : ^ et  multiplica  30,  que  sunt  super  prima  uirga,  per  33,  que  sunt 

sub  secunda;  que  per  33,  que  sunt  sub  tercia  ; que  per  33  , que  sunt  sub  quarta  , 
eruat  7443850  . Item  multiplica  eandem  50  per  50  secunde  uirge  ; que  per  53  tcrcie ; 
que  per  53  quarte,  enmt  7022500.  Iterum  multiplica  primam  50  per  secundam  ; que 
per  temam,  erunt  125000;  que  per  53,  que  sunt  sub  quarta  uirga,  erunt  6625000.  llur- 
sum  multiplica  50  ]>cr  so;  qiic  \icr  so;  que  per  so,  scilicet  ea,  que  siint  super  uirgulis, 
erunt  6150000:  que  adde  cum  ndiquls  tribus  mmlo  inuciitU  numeris,  erunt  27341350;  que 
multiplica  per  75,  erunt  xosocoisso;  que  dinidc  per  * c*ibiinl 

et  tot  fuerunt  bizanlbij,  quos  accepit  in  prostantia. 

De  illo^  qui  hediffcauit  palaciiim. 

Qvidam  uolcns  construere  palatium,  petijt  magistrum,  cum  quo  fecit  cuuuenlioneiu 

35 


III  i>n  tO  * <1-24  i 

rR  774.  4*» 


Captuii*  pf«a»ia« 


« t ♦ < 4 

? 4 } 4 1 


171 


«Uh  Itl.rM  90 

• (fui.  III  rprf*.  Ii»  XU 
■ti.  r>|  tu.  li»  14-1« 


fui 


itI  wr-M. 


f|»r  p«f  M . . . . |.rn.UBi>i  • 

4 f..|  II»  rrr,.  . U.  14.17  s 
|M(.  273,  lia.  IS*4|| 


Digitized  by  Googie 


il-**  I 

( r..i- 


TTlT^rj 

<14.  U. 


...  /*k)  t 

,«  . Ii.,  li-ii; 


Utaolliii 


*»  «1« 
• I «•* 


s 


M. 


11«  *vr#« 


4 .... 

/«  » (fg|.  119  rrrfo.  Im.  1-li 

|.g.  174,  l.«.  11«6|. 


174 

ilc  sopicm  hizanlijs  in  mense:  cxjileto  quidem  mense  debebat  esse  persolutus.  Predietax 
magi.stcr  erat  pau{>erculus;  supplicaiiit  illi  domino  operis,  ut  mutuaret  sibi  biianlios  u 
pro  suis  ncces.sarijs.  Qui  Ut^spondit.  Libenter.  Sed  tali  ratione,  quod  de  $o  reddas  ei 
in  mense,  secundum  quod  accidet  de  ii  bizantliijs;  et  in  One  mensis  cxtrahc.s  tuum  pre- 
tium, scilicet  bizantios  r;  ct  quod  iTmanscrit,  morabitur  cum  eadem  usura,  donec  lucra* 
l>eris  rcli(|uos.  Magister  ucro  professus  fuit,  quod  dominus  asseniit,  et  labornuit  opn$ 
duobus  mensibus.  Queritur,  quantum  dominus  operis  debebat  superaddere  prefato  ma- 
gistro: liec  regula,  .secundum  regulam  prime  domus,  est  operanda;  uidelicet  ut  super- 
ponantur tisun:  unius  mensis  illorum  M bizantioriim  super  ipsos,  erunt  ^ ft;  de  quibus 
discomputentur  bizantij  7»  scilicet  pretium  ilHus  de  uno  mense,  remanent  bizanlij 
^4;  quibus  extractis  de  ll,  remanent  6,  qui  sunt  minutio  capitalis  primi  mensb: 
quem  multiplica  per  6i,  ct  diuide  per  60;  ideo  quia  de  00  facit  oi,  exibunt  bizantij 

0,  qui  sunt  minutio  secundi  mensis.  In  quibus  studeas  diuidere  muUipUeationem 
de  bizantbijs  in  30,  uidelicet  in  diebus  mensis,  exibunt  dies  ts.  In  quibus, 

ct  in  uno  mense  expleuit  opus,  quod  debebat  magister  ipse  pro  ipsis  bizantijs  11  ope- 
rari: quare  exlralmiitur  ipsi  de  duobus  mensibus,  remanent  dies  H ; de  quibus 

ipse  magister  recepturus  erat  suum  pretium,  quod  illis  diebus  ci  contigit:  quod  si  re- 
perire  uoltieris,  multiplica  ips<«  dies  ti  per  pretium  men.sls,  scilicet  per  7,  et 

diuide  per  30,  scilicet  per  dies  mensis,  exibunt  bizantij  1 i et  tantum  erat  illr 

recepturus  in  itlLs  duobus  mensibus,  ultra  illos  u bizantios,  quos  primum  liabueiat. 

J^e  eodem. 

Si  dicatur,  quod  ipso  magister  lahorauit  super  illis  ii  bizantijs  tantum,  quod  do- 
minus opeiis  erat  ei  daturus  | bizantios  4,  multiplica  4 |)er  dies  30,  erunt  <S0;  que 
diuide  per  7,  exibunt  dies  { w,  quos  adde  cum  mense  1,  et  diebus  *L  ($ , eniiit 
dies  f-Jf-Jo»  tantum  laborauil  ipse. 

De  duobus  hominibus^  qui  habuerunt  societatem  in  constantinopoli. 

Dvo  homines  pariter  in  constantinopoliin  habuerunt  insimul  societatem;  quorum  unus 
perrexit  alexandriam  negotiandi  cau.sa,  et  tulit  secum  de  comuui  hentica  quantum  libuit; 
stctil(|uc  ibi  annis  5,  et  diebus  70,  et  lucral>atur  quintam  sui  capitalis  in  uno  quoqu« 
anno,  et  inde  cxpciidcliat  per  annum  bizantias  25.  Alius  qui  remanserat  constanlLoe- 
polim  lucrabatur  inunoquorpie  anno  sejiliinam  sui  capitalis;  ct  inde  expendebat  bizaa- 
tios  37.  In  fine  autem  dictonim  s annorum,  et  70  dierum,  cum  socijs  {sic)  cius  fuisset 
reuersus,  nil  ci  remansit;  ct  socius  eius  lucratus  fuit  in  supi‘ascripto  termino  quantum 
a principio  socio  suo  rcraauscnit.  Queritur  , quantum  iimi.squlsquc  habuit  de  eorum 
bcnlica  romuni.  Iu  hac  questione  diie  uiagiorum  regule,  uel  domus  competenter  posswit 
inlclligi:  prima  quidem  de  ipso,  qui  consUrilino{>oIim  rcraanscrut,  cum  in  unoquuquo 
anno  septimum  sui  capitalis  lucraretur,  talis  est  ac  si  diceretur,  quod  de  7 faciebat 
8;  pro  s enim  annis,  ct  diebus  70,  uiagij  5,  ct  ~ unius  uiagij  iotelligitur.  Et  expeo 
dium  unius  cuiusque  anni,  quod  facicliat,  scilicet  bizantij  37,  est  tantum,  quantum  si 
diceres,  quod  in  uno  quoque  uiagio  i|»sos  expenderet;  uel  quod  in  uno  quo<{uc  anno  ei* 
computabat  ipsos  pro  pensione  dumus  ; cl  cum  ei  nil  remansis.se  proponatur , ioci* 
piendiim  est,  secundum  regulam  domus,  ab  illis  70  diebus  , uidelicet  ut  iuueniasde 
quanto  capitali  potuit  facere  expendium,  quod  in  illis  70  diebus  fecerat;  quod  se  m- 


Digitized  by  Google 


S75 

iRiiiic  ]>cr  regulam  domus  docuimus:  scilicet  quia  cum  in  aniiu  de  7 facit  Sj  ergo 
in  diebus  70  de  7 facit  ^7  unius  bizantij,  eum  ipsi  70  dies  sint  ^ uuius  anni:  ergo 
dc  S5S  facit  SSO)  hoc  est  quod  dc  36  facit  37.  Quare  describendi  sunt  ||  ; deinde  uideas 
quantum  expendinm  accidit  illis  diebus  70.  Multiplica  enim  cipendium  anni,  scilicet 
37,  per  dies  70;  et  diuide  per  360,  exibunt  bizanti  7;  et  lanium  est  expeiidium  "e 
dierum;  qund  nuilliplica  per  36,  que  sunt  super  37;  ct  diuide  per  i|>su  37,  exibunt 
bizanti  7;  cl  tantum  habuit  ipse  post  inoram  quinque  annorum.  Deinde  ex  anno  in 
annum  usque  quod  ad  caput  primi  anni  detieuies,  sicuti  iii  domus  regula  fecimus,  stu> 
deas  operari;  uidclicct  ut  cum  rtqKTtis  mcxlu  sepU-m  bizanlhijs  addas  expendium  quinti 
anni,  scilicet  37,  criint  44;  que  multiplica  per  7,  et  diuide  per  8;  ideo  quia  dc  7 facit 
8,  exibunt  \ 3s;  ct  tantum  remaaserat  ei,  cum  iam  transierant  anni:  super  c|uos 
adde  expendium  quarti  anni,  scilicet  37,  eniiit  bizantij  ^ 75  ; que  multiplica  per  7 , 
et  diuide  jkt  b,  exibunt  bizanti)  ^ 66;  ct  tantum  remansit  ci  post  triennium:  cum 
quibus  adde  cxpemliuni  tcrcij  anni,  uidclicct  37,  cnint  ^ 103;  qtic  multiplica  per  7, 
et  diuide  per  s , exibunt  liizantij  -i-l  | 90  ; et  tantum  remansit  ei  jnist  biennium  : 
cum  quibus  additis  bizanlijs  37,  quos  expenderat  in  secundo  anno,  erunt  * } | iis  ; 
que  multiplica  per  7,  et  diuide  per  8,  exibunt  bizantij  * * * , m ; et  hoc  est  quod 
remanserat  ei  post  expendium  primi:  cum  ejuibus  additis  bizantijs  37,  scilicet  ipsius 
anni  expendium,  erant  bizantij  ^2~ri  multiplica  per  7,  et  diuide  per  h ; 

que  raultiplicatio  sic  fit:  protrahes  ttirgam,  sub  qua  sint  s,  et  8,  ct  8,  ct  8,  sicuti  sunt 
sub  uirga  numeri,  quem  multiplicare  uis  per  7;  sub  qua  etiam  ex  parte  dextra  pones 
8,  scilicet  diuisorem,  et  multiplicabis  7 per  i,|  quod  est  super  s,  et  erunt  7;  que  di-  m.  it9.-rr.0. 
uides  per  eadem  i,  exibunt  3,  ct  ix^manet  I : pone  remanens  i super  S,  ct  3 scrua 
in  manii;  ct  multiplica  7 ]>cr  o,  quod  est  sii})er  8,  uenicl  o,  quod  adde  cum  3 ser- 
uatis,  erunt  3;  que  diuides  per  8,  qui  itilcr  diuisores  octonarios  est  primus  diuisor, 
exibit  0,  et  rematieiil  3 : pone  3 super  ipsa  8,  et  mulliplica  7 per  s,  que  sunt  suj>er 
secundum  octonarium,  erunt  I4;  quibus  diuisis  per  eadem  8,  cxijt  l,  et  remanente: 
pone  6 super  8,  qui  inter  dinisores  octonarios  est  secundus,  et  rescrua  l;  et  multi- 
plica 7 per  2,  qiic  sunt  super  8 in  ultimo  uirgu,  erunt  14;  cum  quibus  adde  unum 
scruatum,  erunt  15;  que  diuide  per  penultima  s uirge  seruate,  exibit  i,  et  remanent 
7 : pone  7 super  ipsa  8,  et  senia  l;  quod  adde  multiplicationi  dc  7 in  148,  erunt  1037; 
que  diuide  per  9,  que  sunt  ultima  sub  uirga  protracta,  exiJmnt  bizantij  I2d  ; 

et  tantum  habuit  de  comuiii  hculica  ipse,  qui  constatitinopoliin  i-emanserat.  Deinde  ac- 
cedendum est  ad  cum,  qui  alexandriam  perrexerat;  quod  secundum  uiaginrum  uel  do 
mus  regulam  oportet  operari,  scilicet  percaro,  in  qua  pre|)onitur  dc  ipso,  qui  tenuerat 
dumum  annis  5,  ct  diebus  70;  et  super  i|)sius  capitale  lucratus  fuit  in  finem  bizantias 
* * * ^ I 129,  uulelicet  cos,  <|ui  remanserunt  ei,  qui  coiislantiiiO|>olim  permanserat:  que 
sic  superius  esse  operanda  denionslruuiraus,  uidclicct  ut  primum  inueniatur  de  quantis 
bizanthijs  poU^st  tantum  proficuum  baliere,  unde  possit  de  proficuo  facere  expendium; 
et  i|isi  in  finem  non  comminuantur;  qui  sic  iiuienicnUtr.  Accipe  bizanlios  3S,  qui  sunt 
expendium,  ct  mulliplica  eos  per  s.  Ideo  quia  lucrabatur  J sui  capitalis,  erunt  125; 
de  quorum  lucro  potes  facere  cx|>endium;  et  iu  fine  non  comminuentur.  Deinde  quiu 
de  s facit  6,  scribende  sunt  $ quinquies  propter  annos  5 sic  : J | | Rursum  (|uo 


Digitized  by  Googie 


|f*J.  119  r«rM.  lia.  t9  c M- 

i**|.  lia.  1-lOi. 


■al  K«| 
t > 


«iliai  qai  ittt  *4  AleuodiLw 


I 


■ I • X t r 8 7 


i06  i 


U 


1X9 


ti  - hoMtaii,  <|v<iJ  • 
( fol-  1X0  rrfti*  , lin.  ll*14  t 
r*g.  «;<.  lia.  16  loi. 


j faifflaiB  famam 

**Ui  Acaarij 

3S  9 


27« 

iiinm  in  uno  <|uo<]uc  anno  <)e  $ faril  e;  ergo  in  diebus  70  de  5 facit  ^ S,  boc  est« 
f)Uod  de  ifto  facit  ir7:  quare  ponenda  sunt  ISO  super  1S7^  ct  dcscnbenda  in  ordine  cuni 
alijs  S si<^  7 777  j I I { I J deinde  multiplica  omnes  numeros,  qui  sunt  super  uirgulLs 
erunt  562SQ0,  que  baheantur  loco  capitalis;  que  extrahe  ex  roultipUcatione  iiiimerurunit 
qui  .sunt  sui)  uirgulist  que  est  U54H2,  que  lialieritiir  loco  c.apitaliS}  et  lucri,  remanent 
897612  pu)  lucro:  in  quorum  regula  diuide  multiplicationem  dc  5625  in  119,  sci- 
licet in  capitale  ipsius, qui  constantinopolim  remanserat,  exibunt  bizanti  *>Wt 

qui  sunt  biLantij;  cum  quibus  ipse  alisque  expendio  lucratus  fuerit  bizantios,  qui  re- 
roan.serun(,  qui  con.stantinopolim  remanserat:  cum  quibus  adde  125,  cum  quibus  totum 
expendium  lucrabatur,  erunt  bizantij  ! i t x"I~!"Tl  tantum  portauit  de  ri>- 

muni  benlica  ipse,  qui  in  alexandriam  perrexerat. 

Ifwipit  pars  vn*  de  re^iUs  erraticis  de  dtudius  hominibus^ 
qui  detulerunt  lanam  ad  naulum. 

Qvidani  duxit  in  quadam  riaiie  larie  fasces  13  equali  pretio  ad  naulum  ; et  alhu» 
fasces  17  eiusdem  prclij:  cum  uciiissciil  ad  locum,  in  quo  de!)cbat  de.sccnder€  naucle- 
rus, priiuit  eis  naulum  constitutum:  qui  cum  non  haberent  donarios,  unde  naulum 
persol|iierrnty  dixit  ei  primus  : Accipe  unum  dc  meis  fascibus  pro  naulo  meorum  13 
fascium,  et  redde  mihi  supernuum.  Qui  cum  accepis.set,  reddit  soldos  lo  pm  boc,  quod 
fascis  ualeliat,  plus  nauli  eurum  u fascium.  Cum  aut<  m exigeret  naulum  alij  boroini 
de  fa.scibus  I7,  accepit  unum  fa.scium  ab  ijxso,  et  reddidit  ei  soldos  3.  Queritur,  quot 
ualcbat  fascis;  et  quot  pro  unoquof|ue  fasce  naulum  dabatur.  Accipe  diffcrrnliaro,  que 
est  a fascibii.s  13  us(|iic  iu  fasces  17,  que  est  4.  Item  accijKB  illud,  quod  e.st  inter  soldos 
10,  ct  soldos  3,  quod  est  soldi  7:  ergo  pro  fa.scitms  4,  quod  vnus  habuit  amplius  alio  , 
fuit  ei  redditum,  minus  soldi  7:  quare  ciiidrtillssimc  uidetur,  quod  nauclerius  pro  ipsis 
4 fa.scibus  retinuit  soldos  7 : ergo  de  omnibus  .iiu.*'  fascibus  daliantur  naulum  soldi 
7:  ergo  si  soldi  7,  qui  sunt  denari)  84,  diuiderimus  per  fasces  4,  exibunt  denarij  2i 
pro  naulo  uniuscuiusque  fascis;  ergo  de  fascibus  13  erat  datiinis  ille,  qui  cos  duxerat 
pro  naulo  denarios  I3  uicc  21  , qui  sunt  soldi  22,  et  denarij  9 : quibus  superadditis 
soldis  10,  quos  nauclerus  ei  reddidit,  erunt  soldi  32  , et  denarij  9;  et  tantum  ualuil 
unu.squlsquc  fa.scium.  Kt  .si  acceperis  naulum  dc  fascibus  17  alterius  hominis,  quod  e.st 
soldi  29,  et  denarij  9,  quod  cxijt  cx  multiplicatione  denariorum  ai  in  t7;  et  .super  ad- 
dideris .soldos  3,  quos  nauclerius  ei  reddidit,  ad  eosdem  soldos  32,  et  denarius  9 deuenies. 

Oe  mercatore  deferente  lapides  preciosos  ConstantmopuUm, 

Mercator  quidam  deferens  lapides  pretiosos  s equali  pretio  in  constantinopolim  ad 
uendendum,  erat  primo  transiturus  per  commertia  3;  ct  cum  ad  primum  deucniret  com- 
mercium; ex  amicitia  remissum  csl  ei  totum  commertium,  accipiens  cartam,  quod  de  uno 
lapide  commertium  non  exigeretur  in  secundo  , ct  tCRio  commertium  ; qui  cum  nd 
secundum  ueniret  commcrliuro,  commertiurius  al)stulit  ex  4 lapidibus  unum,  restaurans 
ei  bizantios  lOO.Ad  lercium  cum  ueniret  commertium,  commertiarius  abstulit  ei  de  Iribus 
unum  , et  restaurauit  ei  bizantios  iSO.  Queritur,  quot  ualebat  unusquisque  lapis;  et 
quot  daltatur  pro  commerlio  dc  uno  quoque  liipidc:  hoc  quod  dicitur  de  primo  com- 
mertio,  non  dicitur  nisi  pro  deristi,  ut  impediantur  rudes.  Sed  dc  duobus  alijs  com- 
mertijs  csl  sicuti  de  nauclcrio,  qui  erat  recepturus  naulum  de  .uu.**  lapidibus,  et  tribus: 


Digitized  by  Googie 


177 

rjuare  extrahantur  3 de  4,  remanent  t;  in  quo  diiiidcs  M»  qui  «t  diflcrenlio,  que  csl 
a 100  UAqiic  in  150,  exibunt  so  j ct  tot  daiuittir  coromcrtium  dc  uno  quoque  Iapide; 
que  muUiplira  per  lapides  4,  erunt  bizantij  loo;  qui  addantur  cum  bizantijs  lOO,  qui 
redditi  fuerunt  in  secundo  commerlio,  erunt  bizantij  30o;  et  tantum  ualuit  unusquisque 
lapis.  Ft  si  multiplicaucris  eadem  30  per  lapides  3,  et  superaddideiis  bizantios  iso,  ad 
tos4lem  bizantios  30U  perucnies. 

Ex  duobus  bominibus  unus  habuit  pisces  ts,  et  alter  pisces  13;  ct  fuerunt  omnes 
pisces  unius  prelij.  Commertiarius  autem  akslulil  primo  piscem,  ct  denarios  ii  pro  di- 
rictura.  Ft  alio  alislulit  pisces  s,  et  reddidit  ei  denarios  7;  queritur  commertium,  et 
pretium  uniuscuiusque  piscis.  Quia  dc  12  piscibus  dantur  pro  dirictum  piscis  unus,  et 
denarij  ergo  dc  uni>i(U04|uc  pisce  datur  unius  piscis,  el  denarius  1.  Quare  se- 
cundus bomo  pro  tredecim  piscibus  debuit  dare  \\  unius  piscis,  ct  denarios  I3,  pro 
quibus  I dedit  pisces  s,  minus  denarijs  7 ; ergo  ||  unius  piscis,  et  denarij  13  cquantur 
duobus  piscibus,  luinii.s  denarijs  7.  Quare  si  comutiiter  addantur  denarij  7,  erunt  quod 
duo  pisces  cquantur  ^ unius  piscis,  et  denarijs  10:  cs  quibus  si  corouniter  auferantur 

piscis,  remanebunt  \\  unius  piscis,  que  cquantur  denarijs  10,  Iioc  est  quod  piscis 
iialcnt  denarios  tn  : proportionaliter  cigo  est  sicut  li  ad  11,  ita  lo  ad  pretium  piscis. 
Quare  per  ii  diiiides  multiplicationem  de  11  in  so  , exibunt  denarij  ~ si  pro  pretio 
unius  piscis  ; cuius  , scilicet  1 , adde  cum  uno  denario  , erunt  ~ s,  qui  sunt 
commertium  uuiusciiius<|ue  piscis.  Verbi  gratia.  Conimcrlium  piscium  li  csl  denarij 
^33,  qui  procrcaiilur  ex  ductis  iu  13,  qui  cquantur  pretio  unius  piscis,  et  denarijs 
1*.  Similiter  commertium  dc  piscibus  13  est  denarij  ~ 36  , qui  e<[iiantiir  pretio  duo 
piscium  , minus  denarijs  7 , ut  oportet.  Ft  si  projKmulur,  quod  ex  12  piscibus  com- 
mertiarius  tolleret  piscem,  ct  redderet  denarios  12;  et  pro  piscibus  13  tolleret  pisces 
2,  minus  denarijs  7,  esset  bcc  questio  insolubilis.  Inucnies  enim  per  consimilem  inue- 
stigationem,  quod  ^ unius  piscis,  minus  denarijs  13,  cquantur  duobii.s  piscibus,  mi- 
nus denarijs  7:  quare  si  coinunilcr  addantur  deuarij  ts , ucnict  quod  unius  piscis 
cquantur  duobus  piscibus,  et  denarijs  6;  qiKKl  est  iDConucniciis.  Ftsi  pro  12  piscibus 
tolleretur  piscis,  minus  denarijs  7;  cl  pro  13  tollerentur  pisces  2,  minus  denerijs  is  , 
tunc  }J  unius  piscis,  minus  denarijs  -■  7,  cquantur  piscibus  2,  minus  denarijs  12.  Quare 
si  comuniter  addantur  denarij  12,  ct  auferantur  — piscis,  remanebunt  unius  piscis, 
Cf}uales  dc  denarijs  ^ 4.  Quare  multiplica  ^4  per  12,  cl  diuidc  per  ll,  exibunt  ^4 
pro  pretio  uniuscuiusque  piscis.  Ft  quia  sunt  minus  dc  denarijs  7,  quos  reddidit  com- 
mentarius ei,  cui  abstulit  piscem;  uidetur  hec  questio  esse  insolubilis,  cum  commer- 
zarius  reddat  ei  plusqunm  accipiat  ab  co.  SihI  si  proponeretur,  quod  superHuum,  quod 
fuit  redditum  primo  bomini,  esset  ad  siipcrtiiium,  quod  fuit  redditum  secundo,  sicut 
pisces  unius  ad  pisces  alterius,  hoc  est  sicut  12  est  ad  13;  tunc  unusquisque  piscis  ualeret 
inuentos  denarios  ^ 4. 

Qvidam  emit  minuta  S pix>  1 denario,  cl  inuestiuit  ia  ea  denarios  10,  ct  uendidit  alia 
minuta  7 pro  denario  i;  ct  lucratus  fuit  denarios  11  in  illis  10  denarijs;  queritur,  que 
minuta  fueninl  illa,  que  emit;  ct  que  illa  que  uendidit,  sic  facies:  multiplica  S per 
10,  erunt  so  : deinde  pone  S super  so  sic  : et  talia  fuerunt  minuta  illa,  que  emit 

pro  uno  denario  : ergo  pro  10  denarijs  emit  hoc  est  integrum  unum,  quem  uendidit 


fui-  lin 


Digitized  by  Googie 


fl  ) fadinil  ---■  I • 

((ul.  I2t  rrrio  . Ita-  i 
|u(.  210.  Ii.  14-401. 


4 

It  i 

U 


278 

in  talia  minuta.  Vmlc  Iialmit  cx  ij>so  denarius  2it  scilicet  lo»  «|UOs  itiucstiueiali  cl  tt» 
quos  fuit  superlucratus  : quare  multiplica  7 per  2i,  erunt  147;  super  que  punc  7 sic  ; 
et  talia  fiieriiiit  mitiuta  ilia,  que  ueiididit. 

Ve  iilo  qui  infrnuit  in  uiridario  pro  pomis  collidendis, 

Qvidam  intrauit  in  quiMldam  uiridurium,  in  quo  erant  porte  7,  et  accepit  ibi  summam 
quamlibet  pomorum  ; qui  cum  uellct  exire  , oportuit  eum  dare  primo  hastiario  mc- 
dictnlcm  omnium  |Mjmorum,  et  unum  amplius;  secundo  liostiario  medietatem  residuorum 
pomunim,et  unum  amplius.  Qui  cum  ita  daret  reliquis  5 hostiarijs,  compertum  est  ei 
unum  pomum.  Queritur,  quot  fucniiit  poma  illa,  que  de  pomerio  collegerat;  sic  facieS: 
pro  uno  pomo,  quod  ci  remanserat,  tene  1;  super  quod  adde  uiium  pomum,  (]uod  ul> 
tiroo  bostiario  dederat,  erunt  t;  que  duplica,  erunt  4;  et  tantum  babuit,  cum  ad  uU 
limum  deuctiirct  lu)6lia]riiim:  .su{H*r  que  adde  illud  pomum,  quod  dedit  sexto  liostiario, 
erunt  5;  que  duplica,  cniiit  io;  et  tantum  n^maiisit  ci  post  exitum  9 portarum:  su])cr 
que  adde  iiiiiitn  jioraum  quiuti  liostiarij,  erunt  11;  que  duplica,  erunt  22;  super  que  adde 
t pro  illo  pomo,  quod  dedit  (jtiarto  liostiario,  cruiit  23;  que  duplica,  erunt  49:  .super 
que  adde  1 pro  illo  ]>omu,  quod  dederat  tcrclo  hwitiario,  cruiit  47;  que  duplica,  erunt 
Q4:  super  que  adde  1 pro  eo  ]H>mo,  quod  dederat  secundo  liostiario,  erunt  95;  que  duplica, 
cniiit  i90;  cui  superadde  t,  quod  dedit  prime  porte;  et  duplica  summam,  erunt  382; 
et  tot  fuerunt  illa  poma:  et  sic  a‘Ucrtcrido,  secundum  quod  propasituin  fuerit,  in  or- 
dinem retro,  (w^teris  quamlibet  similium  positionum  reperire. 

Aliter  pone  ipsum  collegis.se  u principio  rem  , de  qua  dctlit  prime  porte  -J  , el 
pomum  I.  Remansit  ergo  \ rei,  mliius  !,  dc  quo  sccundc  porte  dedit  medietatem,  et 
pomum  unum  : ergo  remansit  ei  quarta  rei,  minus  pomo  ; t,  de  quo  dedit  tcrcie  porte 
dimidium,  ct  pomum  i.  Quare  remansit  ci  ^ rei,  minus  pomo  ^ 1,  cuius  medietatem 
dedit  quarte  ]>orle,  pomo  1 addito;  el  sic  remaiisil  ci  ^ rei,  miims  pomo  J i:  cuiu.s 
medietatem,  uno  pomo  addito,  cum  denlisset  quinte  porte,  remansit  ci  rei,  minus 
pomo  II  1;  cuius  medietatem  cum  dedisset,  ]>omo  1 additu,  scxle  porte,  remansit  ei 
^ rei,  minus  pomo  i:  ex  quu  etiam,  cum  dedisset  septime  jwrtc  medieutem,  pomo 
I addito,  remansit  ei  ~ rei,  minus  pomo  1,  que  equantur  uni  pomo,  ci  uidclicct, 
qutxl  lemansit  jhisI  exitum  septem  portarum.  Si  comunilcr  addatur  pomum  H i,  ueutei 
quod  jI;  rei  ctjuntur  poiuis  ||  s.  Quare  multiplica  ||  2 }>cr  I2S,  emiil  similiter  poma  382. 

Ve  intedeorum  commistione  cum  minutis. 

Si  propositum  fuerit  commiscere  2 itilegra  cum  minutis  tribus,  ut  dicamus  cum 
ct  liant  s ita  comixta,  hoc  est  2 ct  3 faciunt  s : deiiidc  multiplicentur  9 per  9 , ct 
faciunt  29;  ct  queratur  dc  IslLs  29,  quid  fiaiil.  Sic  facies:  describe  | 2 bis,  tanqiiura  ad 
iiiuicem  ea  debeas  tnuUiplicurc  : deinde  multiplica  t iutegra  per  2 integra,  erunt  in- 
tegra 4,  que  senieiilur.  I’oslea  multiplica  2 integra,  qnc  suut  tu  superiori  linea,  per 
3,  que  sunt  super  5 dc  inferiori,  erunt  |:  et  ceouuerso  multiplica  2 inlegni  inferiora 
per  3,  que  sunt  super  9 de  superiori,  eniiit  similiter  |;  quibus  insimul  additis,  faciunt 
V.  Post  bcc  multiplica  | per  {,  facjuiit  cl  talia  erant  illa  25,  lioc  c.sl  quod 
ipsorum  sunt  iutegra  , et  ts  eorumdem  sunt  quinte  : rtdiqiia  ticro  0 sunt  uigesime 
quinte;  que  si  insimul  coadunaucrls,  faciendo  integra  dc  minutis,  peruciiics  in  sunmiain 
mulliplicalioiils  de  | 2 iu  j 2.  Verbi  gnilia  : si  | 2 per  } 2 multipHcaucrls,  facient  J-J  9; 


Digitized  by  Googie 


tTO 

4't  si  ruadunancris  4 iiilegra  cum  y,  cruiil  |a:  quiluis  si  supcraddideris  facient  ~ 6, 
ut  prrcliximus.  Item  si  clklum  fuerit,  (jtiod  additis  s integris  cum  * J,  faciant  7;  et 
additis  s cum  \ faciant  19;  ct  mulliplicenUir  7 per  19,  (pic  faciunt  133;  et  fjucralur 
de  illis  133,  <|iiid  sint:  describes  itaque  | 3»  et  ^ | S tamquam  ea  ud  inuicem  debeas 
multiplicare;  ct  incipies  multiplicationem  ab  integris,  scilict'!  multiplica  t per  5,  fa* 
ciunl  10,  que  sunt  integra  : deinde  multiplica  t per  erunt  ~,  quas  scrua  ; et  s | * 
integra  multiplica  per  erunt  Rursus  midtiplica  i integra  per  |,  enmt  et  9 
per  eniiit  Yi  1 ?♦  JJ.  1‘osl  hoc  multiplica  \ jht  J,  erunt  ”J;  cl  Jj>cr 

erunt  Kt  adime  | per  J,  cnint  et  talia  sunt  illa  133,  uidelicet  lo  ipsorum 
sunt  integra,  et  12  eotum  sunt  septime,  et  is  snnt  et  deinceps  rclnpia  sunt,  sicuti 
supeiiiis  mialo  iiiuenimus;  que  iminia  insimul  iiiiicta  retiduiil  133  : que  si  naturaliter 
addideris,  reuerteris  in  summam  muilipliculioiils  de  | | 2 in  J yS;  ct  sic  ex  roimn  si- 
milibus studeas  o|K*rari. 

Qvidam  ad  Unem  iieniens,  maiori  (iliorum  precepit  dicens:  Substantiam  mobilie  mee 
inter  uus  sic  diiiklite.  Tu  bizantiuin  unum  accipias,  ct  septimam  reliquorum  ; alteri 
uero  (iliorum  dixit.  Et  tu  bixantuM  2 accipias,  et  septimam  partem  reliquorum.  Alteri 
ucro,  ut  3 bizanticM  arci|>erct,  et  | reliquorum  im{)erauit.  Et  sic  uocauit  omnes  suos 
filios  per  ordinem,  dando  uiiiniiquc  amplius  unum  quam  alteri;  el  deinceps  somper 
y reliquorum;  ultimus  autem  babuit  residuum.  Contingit  autem,  quod  uniisquiv|ue  habuit 
de  sulistantia  patris  eorum  eqiialiter,  predirta  conditione.  Queritur,  quot  fuerunt  (Hij; 
el  quanta  fuit  pecunia  i|>sius.  Ita  enim  facies:  pro  septimo,  quod  dahat  unicuique,  re- 
tineas t;  dc  quibus  extrahe  1,  remanent  o;  et  tot  fuerunt  (ilii  cius:  que  0 in  sc  mul- 
tiplicata facient  36;  ct  tot  fuerunt  Inzaiilij  illius.  Et  si  primus  (iliorum  hal>eret  y .sub- 
stantie  patris  , ct  |>uslea  bixantium  1 ; et  secundus  haberet  | reliqui,  et  bizaiilios  f; 
et  hoc  modo  procederet  in  rcli(pils  (ilijs,  addendo  iitiictiiquc  per  ordinem  hizantium  1; 
tunc  (ilij  essent  similiter  6,  et  hizaiili)  essent  septies  6,  scilicet  42.  Et  si  in  uuaqtiai|uc 
questione  primus  habuisset  hizaiitios  3;  secundus  6,  ct  reliqui  haberent  similiter  suos 
bizantias  per  ascensionem  ternari);  tunc  filij  essent  similiter  6«  ct  summa  bizautiurum 
cs.sct  triplum  dictarum  siimmanim,  scilicet  dc  36,  ct  dc  42. 

Uem  diutsi  tiumenim  in  partes;  ct  pnmc  parti  dedi  unum,  et  ^ residui;  secunde 
quidem  dedi  2,  ct  residui;  ct  sic  addidi  1 unicuique  prti,  dans  similiter  ei  re- 
sidui; et  fuerunt  jwrtes  eqtialcs:  queritur,  quot  fueniiil  partes;  et  que  fuit  summa  : 
diuido  11  per  2,  que  sunt  super  11,  ucnieut  J 5;  ex  quibus  tolle  1,  remanent  ^ 4;  et 
tot  fuerunt  partes;  qiic  insimul  iiuiltiplieata,  erunt  \ 20  pro  numero  diiiis4>.  El  si  prime 
darem  4 cx  numeris,  et  secundes;  ct  reliquis  darem  [>cr  ordinem  numerus  asceudentes 
per  4;  tunc  summa  e.s.set  st,  scilicet  tpiadruplum  de  | io.  Nara  si  prime  parti  darem 
et  de  reliquis  1,  et  cetera  ut  supra,  paries  similiter  essent  { 4 ; el  summa  esset 
f ^4,  que  ucniunt  cx  y 4 in  y s:  et  si  numerus  prime  partis  esset  9;  secunde  10  , et 
cetera  , multiplica  \ 24  per  5 ; el  si  loco  de  ~ |H)iicrcnlur  diuides  11  per  3 ; el 
deinceps  fac  ut  .supra. 

Hvrsus  diuisi  numenim  dragmanim  in  parlc.s;  et  dedi  prime  parti  dragmas  1,  et  ^ 
residui ; secunde  ucro  (>arti  dedi  3 plus,  scilicet  s;  et  de  residuo  dedi  eidem  tcrcie 
quidem  dedi  3 plus,  scilicet  s;  et  deinceps  processi  in  reliquis  partibus  eodem  mmlu 


fcr  2 f«.  laitl  ... . fartriil  • 

H..I  |«|  (v./o  . ).«  111-34  . 
[V.C,  t7S.  Ii*.  40  43.  - (.4« 

210.  hn.  Ii. 


(..I  Itl  , 


Digitized  by  Googie 


M 


| fi  - - frioruMt 
» (fyl.  Ut  lia.  ii 

• t64l>|<«|.  m.  Im.  <9J»‘ 


25 

2 

» • 

1". 

3 1 
t { 

M.  Itt 

Ilnn  «...  (riMtaral  • (fol.  (tt 
lio  9 8;  pvf  t80,  lin. 
t«l.  Ii».  Ii 


sso 

per  ordinem,  dando  unicuique  3,  plus  antecedente  parte  et  amplius  unicuique  de 
residuo;  et  fuerunt  omnes  jKirtus  cquaKs:  queritur,  | quot  fuerunt  partes;  et  qui  fuit 
numerus  diuisus.  Soluam  itaque  hanc  questionem  per  regulam  rectam  hoc  modo:  ponam 
rem  pro  numero  illo,  de  quo  dedi  prime  parti  2,  remansit  res,  minus  dragmU  2;  de 
qua  dedi  eidem  prime  parti  scilicet  ~ rei,  minus  ^ dragme  : quibus  additis  cum 
dragmis  2,  faciunt  ^ rei,  et  dragroam  ^ i ; que  sunt  portio  prime  partis  : quibus 
extractis  ex  re,  remanent  ~ rei,  minus  dragma  ^ l : de  quibus  dedi  secunde  parti  s, 
remansiTunl  jj  rei,  minus  dragmis  6:  de  qiiilms  etiam  dedi  secunde  parti  ^ i|>sorum, 
scilicet  ^ rei,  minus  de  dragmis  o;  quas  sic  accipies:  multiplicabis  6 per  3i  , 
et  addes  I9,  erunt  ^ : de  quibus  accipe  ~y  scilicet  multiplica  o per  205,  et  diuidc 
per  06i,  scilicet  per  VilV»  diagma  JJJ  i : adde  ct^o  rei,  minus  dragma  i 

cum  dragmis  s,  quas  dedi  secunde  parti,  erunt  ~ rei,  et  dragme  |||  3;  et  tot  fuit 
secunda  pars,  que  equanlur  prime  parti,  scilicet  ~ rei,  et  drngrac  ^ t : comuniter 
auferatur  dragma  i,  rcmam  butil  rei,  et  dragme,  que  ivjuanlur  ^ rei.  Co- 
muniter  auferantur  rei,  remanebunt  ^ rei,  que  equantur  dragme,  hoc  est, 
quod  res  30  sunt  dragme  2025.  Quare  diutde  2025  per  30,  exibunt  J 56  pro  quosito  nu- 
mero; de  quo  extrahe  2,  que  dedi  prime  parti,  remanent  \ 54;  quorum  ^ sunt  { lO; 
que  adde  cum  2,  eruiit  | 12;  et  tot  uenit  unicuique  parti;  et  partes  quesite  sunt  * 4, 
que  ucnilint  ex  diuisU  \ 56  per  j 12:  extrahe  quidem  | 12  de  | 56,  rcmaiicnl  \ 43:  de 
quibas  dedi  secunde  parti  5,  remanserunt  J 3s;  quorum  sunt  | 7 : et  sic  secunda 
pan>  fuit  equulis  prime.  Extractis  itaque  | 7 de  ^ 3S,  remanent  J 3i  : de  quibus  dedi 
tcrcic  parti  8,  remanserunt  | 23;  quorum  ^ sunt  \ 4;  et  sic  tercia  pars  fuit  equa  prime, 
et  secunde.  Extractis  rumis  ^ 4 de  ^ 23,  remanent  ; la  ; de  quibus  dedi  quarte  parti 
It,  remanserunt  | 7 ; de  quibas  dedi  /1^  eidem,  scilicet  ^ t ; et  sic  quarta  jKirs  fuit 
cqualis  reliquis  partibus:  ejuo  j 1 extracto  de  ^ 7,  remanent  | 6,  scilicet  porlio,  que  re- 
manet dimidie  parti  residue;  rptia  partes  sunt  \ 4.  Ex  hac  «{uidern  inucsligalionc  talem 
extraxi  regulam:  pi«ui  ex  )>arte,  cl  extraxi  2,  que  dedi  prime  ex  augmento  reliquarum 
partium,  scilicet  de  3,  rcmaiiuseril  i;  quod  mulliplicaui  per  31,  et  supcrnddidi  50,  que 
proueniunt  ex  multiplicatione  predicloniro  2 in  55;  que  23  it^maitenl  de  31,  cum  extrahun- 
tur inde  6,  que  sunt  super  uirgam:  que  si  multipiicaui  per  eadem  25,  fuerunt  2025; 
et  mulliplicaui  6 predicta  in  se,  fucrmit  3S;  in  quibus  diuisi  2025,  ut  supra;  et  habui 
; 50  pro  quesito  numcit).  Item  miiUiplicaui  miginentum  , sci!'cet  3 per  6,  rpic  sunt 
super  31,  fuerunt  18;  in  quibus  diuisi  8i;  et  habui  | 4 pro  numero  parlium.  Rursus 
multipiicaui  augmentum  per  25  inuciita,  cl  diuisi  summam  per  6,  cl  Imbui  \ 12  pro 
numero  cuntigenti  unicuique  parti.  Et  si  primum  darentur  ^ unicuique  parti,  et  jh>- 
slea  darentur  numeri  predicli  ]>er  onlinem;  tunc  predicta  si  multipiicaui  per  3i  ; et 
diuidc  summam  per  36,  ut  supra,  exibunt  09  pro  .summa  niimert  qtie.siti:  et  diuides 
itcrum..8i  per  is,  exibunt  similiter  ^4  pro  quantitate  partium.  Item  | augmentum  , 
scilicet  3,  multiplica  per  31,  et  summam  diuidc  per  0,  que  sunt  super  31,  exibunt  ^ is; 
et  tot  contingunt  unicuique  parti. 

Uem  prime  parti  dedi  3,  et  de  residuo  dedi  eidem  et  cretii  numeros  per  ascen- 
sionem biuarij,  dans  de  residuo  unicuique  parti  pone  ex  parte  cum  augmento, 
et  cum  numero  pnroo  , scilicet  cum  i , et  3.  Kt  quia  3 de  s extrahi  non  possunt  , 


Digitized  by  Googie 


S8I 

.^uljcct  primus  numerus  de  augmento  ; tunc  e&tralics  s de  3»  remanet  i;  <|uod  mul- 
tiplica per  10,  erunt  19,  que  scrua:  et  extrahe  s,  que  sunt  super  de  19,  remanent 
14;  que  multiplica  per  3»  erunt  4S;  de  quilms  extrahe  scruata  lO,  remanent  S3 ; que 
multiplica  per  14,  erunt  312 ; que  diuidc  per  multiplicationem  de  5 in  se  , exibunt 
II  is  pro  numero  diuLso.  Item  multiplica  i,  scilicet  augmentum,  per  9,  exibunt  lo: 
in  quibus  diuidc  13,  ueniunt  ~ t pro  quantitate  partium.  Item  multiplica  atigmcriUim 
per  14,  erunt  ss;  que  diuide  per  9,  exibuut  | 5>  et  tut  contingiint  unicuique  parti. 
Et  si  pnmum  darentur  et  }>ostca  darentur  dictos  numeros  |»cr  ordinem;  tunc  partes 
essent  eedem;  et  multiplicabis  augmentum  per  19,  erunt  38;  que  diuides  per  5,  exibunt 
I 7,  et  tot  contigerent  unicuique  parti.  Et  multiplica  lO  per  23,  et  diuidc  per  15;  et 
lial>cbis  summam  numeri  diuisi,  que  est  ||  17  : coadutiaucris  iiitegni  cum  , erunt  ; 
quilms  si  superaddideris  , facient  , (ne)  ut  prediximns. 

De  tribus  hominibus  denarios  habentibus. 

Svnt  tres  homines  denarias  baWnte.s;  ex  quibus  sl  denarios  primi  per  denari(»s  secun- 
di mullipUcaueris,  facient  aliquem  mimerum.  Item  si  denarios  secundi  ]>er  denarios  tercij 
multiplicaueris,  facient  du))Ium  cius.  Rursum  .si  denarij  tcrci)  per  denant»  primi  multipli- 
caucris,  facient  triplam  miiUiplicatiunis  primi  in  denarie^  secundi.  Queritur,  quot  unus- 
quisque liabuit.  Quia  multiplicatio  denariorum  secundi  in  denarius  tercij  facit  duplum 
multiplicationis  eiusdem  .secundi  in  denarios  primi;  ideo  manifestum  est,  quod  tercius 
homo  lialK't  duplum  primi.  Iterum  quia  multiplicatio  denariorum  tercij  hominis  in 
denarias  primi  facit  triplum  respectu  multiplicationis  eiusdem  primi  in  secundum  , 
oportet,  ipsum  tcrcium  hominem  habere  triplum  secundi  hominis:  quare  reperiatur  nu- 
merus, in  quo  reperiantur  | scilicet  6;  et  Untum  habuit  tercius  homo  ; de  quibus 
accipe  |,  quod  est  3;  et  tantum  habuit  primus;  et  ex  ipso  accipe  |,  quod  est  i;  et 
tantum  habuit  secundus.  Verbi  gratia  : multiplicatio  de  3 in  i facit  o ; et  multipli- 
catio de  2 in  6 facit  ii,  que  sunt  duplum  de  q;  et  multiplicatio  de  6 in  3 facit  18, 
que  sunt  triplum  multiplicationis  primi  in  secundum,  scilicet  de  8. 

De  homine^  ffui  emit  loo  staria  frumenti. 

Qvidam  emit  staria  frumeuti  lOO  pro  biiantijs  loo,  ex  quibus  uendidit  staria  50  ad 
rationem  de  starijs  1 1 pm  bixantio  i;  et  alia  50  uendidit  ad  rationem  de  | unius  starij 
piY»  bizantio  t:  queritur,  quantum  ipse  in  ipsis  loo  starijs  fuit  lucratus.  Quia  uendidit 
staria  50  ad  rationem  de  stario  | l,  fac  quartas  de  { l,  erunt  5;  et  de  starijs  50  fac 
quartas,  erunt  loo;  qiias  diuide  |>er  5,  exibunt  bizantij  40  ; et  tantum  uendidit  ipse 
illa  staria  50.  Item  quia  uendidit  alia  staria  50  ad  nilionem  de  | unius  starij  pro  bi- 
zaritio  1,  facies  quartas  de  iliis  starijs  50,  erunt  loo;  quas  diuidc  per  3,  exibunt  bt- 
zanlij  I 68;  et  tantum  uendidit  alia  50  sextaria:  quibus  additis  cum  bizantijs  40,  sci- 
licet cum  pretio  illorum  so  stariurum,  erunt  bixantij  | 1 106  ; et  tantum  uendidit  totum 
frumentum:  ex  quibus  extractis  bizantijs  loo  capitalis,  remanent  pro  ipsius  lucro  bi- 
xantij  I 6.  .\litcr  quia  uendidit  quartas  3,  et  s pro  bizantio  i,  diuide  loo  per||,  exibunt 
similiter  pro  lucro  bizantij  | 6:  bec  enim  regula  pro  multis  alijs  similibus  tibi  sulTiciat. 

Elst  numerus  qui,  cum  diuiditur  per  i,  ucl  per  3,  ucl  per  4,  aut  per  5,  seu  per  o, 
semper  superat  exeo  i indiuisibilc;  per  7 nero  integralitcr  diuiditur.  Queritur,  qui  sit 
numerus  ille:  quia  prcponiliir,  quod  semper  superat  i,  cum  diuidetur  per  i,  tiel  per 

36 


W-  121  tvrta. 


Digitized  by  Google 


I'vf  liMic  <iim  ....  />t  * 

iM.  m ,rci»,  l.n.  l'M3  ( 
r««-  t*t.  u.  14-iV] 

nsmrru.  * 

So20t 


clMUI«i-.  />  • 

<ful.  m r*rf  . Iin.  » St ; 

282.  ti*.  23-28:. 


I»J.  12)  v,r.^ 

«•MMjntnHonhinit  .... 

<28117411  . IM.  121  <rrM. 
lia.  1 « 2-€>  r«i;  282  , Iin. 
18  _ ru.  l.n^  ll 

I »«m«rini 

s:ii9 

I aiinicnM 

; 4C55xH5IIO!l  I 


3|  uel  per  4,  ucl  per  5*  ucl  per  6 ; ergo  extracto  ipfto  1 de  Dumero,  tliuidelur  resi- 
duum per  unumqueitujue  suprascriplorum  integralitcr:  quare  reperias  numerum,  in  quo 
repcrianlur  j | { i ? ; eritque  numerus  ille  60j  quem  diuidc  per  7,  superant  4 , qui 
ucllcnt  c.we  8.  Ideo  quia  totius  numerus  per  7 diuiditur  ; ergo  numerus  , qui  fuerit 
unum  minus  eo,  cum  |>er  7 diuidalur,  6 inde  superare  ncccsse  est,  hor  est  I,  mimis 
septenario  munero:  quare  duplicetur  eo,  ucl  triplicetur,  ucl  multiplicetur  per  alium 
quemlibet  numerum,  donec  multiplicatio  ascendat  iii  talem  numerum,  qui  cum  diui- 
dalur per  7,  remaneant  inde  fi;  eritque  numerus  ille  5,  in  quo  80  multiplicanda  .sunt; 
ex  ipia  multiplicatione  iieniunt  300  : quibus  .superaddatur  1 , erunt  30i  ; et  talis  est 
numerus  ille.  Similiter  si  420,  que  intcgraliter  diuiduntur  per  omnes  prcdiclos  numeros, 
addideris  cum  30l  .semel,  uel  quotiens  uoluerls,  pnxrrcabitur  numerus  qiicsitus  semper, 
uidelicct  qui  diuidclur  intcgraliter  per  7,  et  per  omnes  reliquos,  cum  diuisus  fuerit, 
remanebit  i. 

l*er  hanc  enim  regulam  iuiieiiimus  alium  numerum,  qui  cum  diuiditur  in  quemlibet 
numerorum,  qui  sunt  a binario  u.si{ue  in  decenarium,  semper  superat  i,  et  per  it  di- 
uiditur intcgraliter;  qui  numerus  est  tTiZOi.  Item  si  09837768I  diuidatur  per  aliquem  nu- 
merorum, qui  sit  n 2 its<|uc  in  23,  .semper  reperies,  quod  remanebit  i;  per  23  uero  di- 
uiditur intcgraliter;  qui  numerus  similiter  per  suprascriptam  regulam  imieriitur. 

De  eodem. 

hem  est  numerus,  qui  cum  diuiditur  per  2,  superat  1 ; )ier  3 superant  2 ; per  4 
suiierarit  3;  per  S superant  4;  per  6 superant  5;  per  7 uero  diuiditur  : rpiarc  inue- 
niendus  est  numerus,  in  quo  reperiautur  i 7 ; ; ^ i eritque  00:  de  quo  tolle  i,  re- 
manent $9.  Qui  rum  non  possit  diuidi  intcgraliter  per  7*  duplicabis  ro,  uel  triplicabis, 
uel  per  aliquem  alium  numerum  multiplicabis  ipsum,  donec  ex  multiplicatione  aliquis 
numerus  eucniat;  qui  cum  diuidatnr  per  7»  rcmaiical  1 : duplicatus  quidem  60,  faciunt 
120;  qui  cum  diuiditur  per  7,  superat  l;  quo  extracto,  remanent  liO  pro  quesiti  numeri 
quantitate. 

De  eodem. 

Item  est  numeru.s,  qui  cum  diuiditur  ]>cr  1,  superat  ij  per  3 superant  2;  per  4 , 
.superant  3 ; et  sic  deinceps  us  jue  quod  per  lO  superant  9 ; per  ll  uero  diuiditur. 
Primum  quidem  reperias  numerum,  in  qiio  inneniantur  quem  sic  re- 

perirc  tibi  dcmoiustraiiimus.  Accipe  primum  60,  in  quo  reponuntur  ex  prodictis  ruptis 

1 i I I s>  raulliplira  ea  per  7,  mml  420;  que  cum  deliras  multiplicare  per  8, 
et  per  9,  relinques  qmnl  non  multiplicabis  ea  per  4,  que  sunt  ex  regula  de  8,  neque 
per  3,  que  sunt  ex  regula  de  9.  Ideo  quia  { rcperiuiitur  in  siiprascripli-s  60;  ergo 
multiplicabis  420  |)cr  2,  remanent  ex  regula  de  8,  enmt  810  ; que  multiplIrabU  per 
3 , remanent  ex  regula  de  9 , cninl  2320 ; qui  est  minor  | numerus  , in  quo  repe- 
riuntnr  omnes  rupti  prc.sciipti  ; et  uocatur  in  geometria  minimus  commensuraturus 
omnium  numenmim  , qui  sunt  sub  decenario  : deinde  extrahe  1 de  2520  , remanent 
2519;  que  cum  diuidatur  inlegraliter  per  ll  , habemus  alisquc  labore  nostrum  pro- 
positum; hoc  est  quod  2519  e.st  qucsitns  mimenis.  Nam  cum  4655851199  diuiditur  per 
aliquem  numerum  , qui  sit  minor  de  23,  semper  remanet  i , minus  ipso  iiumcm  pe  r 


Digitized  by  Googie 


3H3 

quem  cliuiditur  ; ct  per  integralitcr  diuuiitiir.  F.l  de  e9B3T7C8i  «tiuUio  |icr  stipru 
scriptas  usque  in  22  srm|>cr  superat  l;  per  13  ueru  diiiuiitur. 

De  duobus  hominibus  habentibus  punes. 

Ovo  homines  fuerunt,  quorum  primus  habuit  panes  3 nummulos,  et  ulter  paaos  i; 
el  iueriint  s|»atiatura  ad  qtierodum  fontem;  qui  rum  pariter  ibi  uenissent,  sederunt  ut 
commcdoreiit;  cl  traiiseunlc  cpiodam  milite,  inuitauerunt  eum,  qui  desiMMidit,  el  com* 
metlit  pariter  cum  eis:  el  cum  omnes  panes  commedissent,  miles  discessit,  relinquens 
cis  hizantius  5 siic  curialitatis  causa.  Kx  quibus  primus  accepit  bizaiilios  3,  sicuti  tres 
habuerat  panes:  alter  iien)  sumpsit  reliquos  duos  liizantias  pru  suis  <Uiolms  panibus. 
Queritur,  utnim  diuLsio  illa  recta  fitcnl,  uri  non.  Quidam  ueru  imjM^nlt  rectam  fuisse 
a.sscrunt,  cum  utiusquis^pic  unum  habuerit  bizanlium  pro  uncK{uo<|ue  patuq  sed  Iuk' 
falsum  est  ; ideo  quia  ij)si  tres  commederunt  omnes  quinque  panes.  Viidc  contingit 
unicuique  panis  | l:  ergo  miles  panem  | l commedit,  hoc  est  | ex  ]»anibus  illius,  qui 
tits  habuerat  panes.  Ex  panibus  ueru  alterius  iion  commedit  , nisi  tantum  { unius 

|>aiiis.  Quare  contingunt  primo  homini  bizantij  4,  et  alteri  biutiitins  i. 

De  imientione  f)erfeclorum  numerorum. 

Perfectus  numcnis  est,  ex  quo,  acceptis  suis  partibus,  quas  ijise  ia  intogruni  balM't, 
facit  eumdem  numerum,  ut  c,  cuius  partes  sunt  i | ct  alias  partes  preter  bas  non 
lial)et  in  integrum.  Et  accepto  ^ de  6,  scilicet  3,  et  scilicet  2,  el  scilicet  t,  tii* 

mirum  eadem  faciunt  que  6 iiiueniuiitur  sic  : duplica  l,  erunt  i;  que  duplica  2, 

enmt  4:  dc  quibus  tolle  i,  remanent  3}  qui  luiroertis,  cum  sit  primus,  lioc  est,  quod 
non  habeat  regulam,  multiplica  ipsum  per  dimidium  dc  suprascriptis  4;  ct  sic  habebis 
0.  Vnde  si  aliquem  alium  perfectum  numerum  inuenirc  uolucris,  duplicabis  ilernm  4, 
erunt  8;  de  quibus  tolles  i,  remanebunt  7;  qui  numerus,  cum  non  habeat  regulam, 
multiplicabis  cum  per  dimidium  dc  s,  uidelicet  per  4,  erunt  is  ; qui  iterum  perfe- 
ctus est}  quia  suis  collectis  |»artiljus  equiparatur.  Partes  enim  ipsius  sunt  ^ ^ | | J . 
Rursum  duplicatis  8,  faciunt  16}  de  quibus,  cum  cxtraliitur  l,  remanent  iS}  qui  cum 
habeat  regulam,  duplicabis  ilenim  16,  erunt  32}  de  quibus  tolles  i,  remanebunt  31} 
qui  numerus,  rum  sit  sitie  regula,  multiplicabis  eum  per  16,  et  hal»ebis  alium  per- 
fectum numerum,  scilicet  496}  et  sic  semper  faciendo,  poteris  in  infiiiilum  pcrfectots 
numeros  rc]>erirc. 

Quot  paria  conictilorum  in  uno  anno  ex  uno  pario  germinentur. 

Qridam  piMuit  unum  par  cmiiculorum  in  quodam  loco,  qui  erat  undique  pariete 
circundatus,  ut  sciret,  quot  ex  eo  paria  germinarentur  in  uno  anno:  cum  natura  eorum 
sit  per  singulum  mensem  aliud  par  germinai*e}  et  in  secundo  mense  ab  eorum  nali- 
uitate  germinant.  Quia  suprascriptiim  par  in  primo  mense  germinat,  duplicalils  ij)sum, 
erunt  paria  duo  in  uun  rociisc.  Ex  quibus  unum,  scilicet  primum,  in  secundo  mense  | 
geminat;  ct  sic  suut  in  secundo  mense  paria  3 } ex  quibus  in  uno  mense  duo  pre- 
gnantur}  ct  geminantur  in  tcrcio  mense  paria  2 conictilorum;  et  sic  sunt  paria  s in 
ipso  mense;  ex  quibus  in  ipso  pregnantur  paria  3}  et  sunt  in  quarto  mense  paria  8; 
ex  quibus  paria  s geminant  alia  paria  6:  quibus  additis  cum  parijs  8,  faciant  paria 
13  in  quinto  mense;  ex  quibus  paria  5,  que  geminata  fuerunt  in  ipso  mense,  non  con- 
cipiunt in  ipso  menso,  sed  alia  8 paria  pregnantur;  et  sic  sunt  in  sexto  mense  paria  2i; 


iti.  rnU  > . > «llrtt  • (Iwl. 

lZ3  •'mii.  lia.  14-tX  , 

XH3.  I.ii.  10  IS  . 


]'riniti.  t 

4 I 

fr  j 

1 


r«i 


. tti 


Digilized  by  Googie 


iinniiMl  SI  (nr«n'li  • |fM|. 
lS4rvrf>>i  Im.  l-VR;  P*R*  28S| 
li«.  ti  ~ ^|.  ui.  lia.  St;. 


twiwM 

1 

iwtmn* 

2 

t«ra»4a« 

3 

lema* 

5 

I l^uirliM 
s 

Vuiuta* 

13 

st 

trlillfllMI 

: 0« 

I l>(t«ua« 

35 

Tl.fNal 

NU 

DM.«a> 

144 

S33 

PamlieidM» 

377 


....  $1  tcvaMili  » [U. 
114  r^rte , lia.  t»-S€  ; |U(. 
IftI,  U.  14  tl|. 

I r*— * 

i Ii 

ISrraailut 

9 

i “ 

QuafttM 

• Ifl  I 


iMl.eai  SI  ' ' tt»lami  ri  • 
(fvl.  114  •«<>#,  liB.  l-1s  |<a(t. 
1H4.  ]>u.  SS^pig.  tlS.Ua.t;. 
1 M Ut 


cum  quihiLs  additU  paiij.s  13,  que  geminantur  in  septimo  • enint  in  i|>so  paria  34  ; 
cum  quihus  additis  parijs  ti,  «|uc  geminantur  in  octauo  mense,  erunt  in  i]xso  paria 
S5;  cum  quibus  additi-s  parjU  34,  que  geminantur  in  nono  mense,  erunt  in  i|>so  paria 
89;  cum  quibus  additis  rursum  parijs  33,  que  geminantur  in  decimo,  erunt  in  ipso  paria 
144;  cum  quibus  additis  rursum  parijs  89,  que  geminantur  in  undecimo  mense,  erunt 
in  ipso  ]>aria  |33.  Cum  quibus  etiam  additis  {varijs  144  , que  geminantur  in  ultimo 
mense,  erunt  paria  377;  et  tot  paria  pej>crit  suprascriptum  par  in  prefato  loco  in  ca- 
pite unius  anni.  Poles  enim  uidere  in  hac  marpne,  qualiter  hoc  operati  fuimus,  .scilicet 
quod  iuniimus  primum  numerum  cum  secundo,  uidclicet  i cum  s;  ct  secundum  cum 
tcrcio;  et  tert  ium  cum  quarto;  et  quartum  cum  ((uinto,  et  sic  deinceps,  donec  iunximus 
decimum  cum  undecimo,  uidclicet  i44  cum  S33;  ct  habuimus  suprascripturum  cunicu- 
lorum summam,  uidclicet  377  ; et  sic  [kisscs  facere  per  ordinem  de  inllnitis  numeris 
mensibus. 

Qvatuor  Immines  sunt,  quorum  primus,  et  secundus,  et  tcrcius  balbent  denarios  87. 
Secundus  itaque,  et  tercius,  et  quartus  habent  denarios  31;  tcrcius  , et  quartus  , ct 
primus  habent  denarios  34.  Quartus  uero,  et  primus,  et  .secundus  habent  denarios  37. 
Queritur,  quot  unu.s({ulsquc  habeat.  Adde  bos  .iiu.*'  numeros  iii  uiium,  emnt  1S9;  qui 
numerus  est  triplum  totius  summo  denariorum  illorum  .iiu.**^  hominum.  Ideo  quia  in 
ijxsam  summam  unu.squisque  eorum  ter  computatus  est;  quare  diuisn  ipso  per  3,  red- 
dunt 43  pro  eorum  summa;  cx  qua  si  extraxeris  denarios  primi,  et  secundi,  et  tercij 
hominis,  scilicet  87,  remanebit  quarto  homini  denarij  I8.  Item  st  cx  i|isls  denarijs  43 
extraxeri.s  denarios  31  secundi,  et  tercij,  et  quarti  hominis  rcmanelnint  primo  homini 
denarij  is.  Rui‘sum  si  de  denarijs  43  extraxeris  34,  scilicet  denarius  tercij,  et  quarti,  et 
primi  hominis,  remanebunt  secundo  denarij  9.  Et  ndbuc,  si  de  denarijs  43  extraxeris 
denarios  37  quarti,  et  primi,  ct  secundi  hominis,  rematirbunt  tercio  denarij  6.  Con- 
iunctls  itaque  denarijs  it  primi  hominis  cum  9 secundi,  ct  cum  6 tercij,  et  cum  16 
quarti  , nimirum  suprascripta  reddunt  43. 

Item  si  propositum  fuerit,  quod  inter  primum,  et  secundum  hominem  habeant 
denarius  87.  Kt  inter  secundum,  et  lerciiim  habent  denarias  31.  Kt  inter  terciura,  et 
quartum  34;  inter  quartum,  ct  primum  37,  consimiles  huius  posiliotiis  qitando<|ue  solui 
}Mkssuiit,  quandoque  non.  Vnde  ut  i|^',  que  solui  possunt  ab  hijs,  qui  solui  non  jxis- 
■sunt,  cngnosc4Uilur,  talem  tibi  tradimus  euideiitiani;  uidclicet  ut  addas  numerum  primi, 
et  secundi  cum  numero  tercij,  ct  quarti  ; et  st  eorum  siimmu  equulis  fuerit  numero 
secundi,  et  tercij,  et  quarti,  et  primi;  tunc  solubilis  erit  questio : si  autem  inequalis 
fuerit,  tunc  eam  non  {lossct  solui  cognoscas,  ut  in  hac  questione,  in  qua  primus,  et 
secundas  habent  87;  et  tcrcius,  el  quartus  habent  34:  ergo  inter  omnes  .iiii.*'^  habent 
denarios  6I.  ?iam  secundus,  ct  tcrctu.s  | lialiciil  31;  ct  quartus,  et  primus  habent  37: 
ergo  inter  omnes  .iiu.**' habent  31,  cl  37,  hoc  est  denarias  68;  quod  est  impossibile  , 
cum  per  aliam  computationem  inucnimas,  eos  habere  6i:  ergo  questio  ista  est  insolu- 
bilis: sed  ut  eam  proponamus  solulnicm,  habeant  inter  quartum,  et  primum  hominem 
30;  reliqui  ucro  hu beant  per  ordinem,  sicut  superius  diximas.  Viide  cum  primus,  et 
.secundus  habent  17;  et  tcrcius,  et  quartus  habent  34;  inter  omnes  ergo  habent  61: 
et  cum  secundus,  et  tcrcius  haljcnt  3i;  ct  quartus,  ct  primus  lialienl  30  ; ergo  inter 


Digitized  by  Googie 


omnes  habent  similiter  Gi  : quare  questio  solubilis  est;  et  soluitursic  : quod  primus 
hal»cal  ad  libitum  quantum  uolueris  ex  i|wis  donarijs  S7  , quos  habet  cum  secundo. 
Pone  ergOy  ut  halxat  lO;  quare  secundus  habebit  reliquos»  uidelicet  17:  et  <|uia  inter 
secundum»  et  tercium  hominem  habent  31»  ex  quibus  secundus  hal>ct  17;  reliquus  ueru, 
scilicet  U»  habet  tercius;  qui  cum  habeat  cum  quarto  homine  34;  ergo  quartus  habet 
denarios  ao. 

Item  sunt  quinque  homines»  quorum  .iitj.*'pcr  ordinem  halicnt  sine  quinto  27;  ali) 
uero  sine  primo  3i;  ali)  uero  sine  secundo  34;  ali)  sine  tcrcio  37;  alij  sine  quarto  so ; 
et  queratur,  quot  unus<|uisque  habeluit.  .Adde  ipsos  quinque  numeros  in  unum»  erunt 
16H;  qui  numerus  est  quadruplum  summe  denariorum  illorum  «piinque  ; ideo  quia  in 
pre.scriptis  iC8  unumquemque  ipsorum,  si  bene  consideraueris,  quater  esse  computa- 
tum cognosces  : quare  diuidc  ics  per  4 , exibunt  pro  eurum  sumtna  denarij  42.  Ex 
quibus  si  extraxeris  denarius  27,  quos  .iiu.*''  homines  habent  per  ordinem,  remanebunt 
quinto  denarij  13:  propter  eandem  ci^o,  si  ex  ipsis  42  extraxeris  3i,  et  34,  et  37,  et 
39,  remanebunt  primo  homini  denarij  ii;  secundo  denarij  s;  tcrcio  denarij  s;  quarto 
denarij  3. 

Et  si  propositum  fuerit,  quod  primus,  et  secundus»  et  tercius  hal)cnt  dcnario.s  27. 
Secundus  uero  cum  tcrcio,  et  cum  cpiarto  denarius  31.  Et  Icrciu.s,  et  quartus,  et  quinius 
denarios  34.  Quartus  quoque  cum  quinto,  et  primo  deriariiK;  37.  Quintus  autem  cum 
primo,  et  secundo  habent  denahos  30  : additis  hijs  numeris  in  unum»  faciunt  I68,  ut 
superius  inueiiimus;  quem  numerum  diuide  per  3.  Ideo  quia  unusquisijuc  in  ipso  nu- 
mero ter  computatus  est,  exibunt  pro  summa  illorum  denarij  36  : et  ut  habeamus  de- 
narios uniuscuiusque,  dupliciter  facere  demonstramus.  Primum  quidem,  ut  addas  (}uan- 
titatem  primi,  et  secundi,  et  tcrcij  hominis  , scilicet  27  , cum  quantitate  denariorum 
quarti,  et  quinti,  cl  primi,  scilicet  cum  37,  erunt  64;  in  quo  numero  primus  bU  com- 
putatus est:  quaix*  necessario  sequitur,  quot  superliabundantia,  que  est  a summa  ipsorum 
5 hominum  usfpic  iii  64,  scilicet  8,  sil  qmintitas  denariorum  primi  hominis:  quo  in- 
uento  , adde  denarios  secundi,  et  tercij,  et  quarti  hominis,  scilicet  31,  cum  denarijs 
quinti,  et  secundi,  et  primi  hominis,  scilicet  cum  39,  erunt  70;  in  qua  summa  scrniidus 
homo  bis  computatus  est:  quare  extrahe  56  de  70,  remanent  secundo  homini  denarij 
14.  Quibus  additis  cum  denarijs  primi  hominis,  scilicet  cum  s,  erunt  22;  quos  extrahe 
ex  denarijs  27,  quos  habent  inter  primum,  et  secundum,  et  tcrcium  hominem»  remanent 
ipsi  tcrcio  detiari)  S:  quos  adde  cum  dcnanjs  14  secundi  hominis;  et  extrahe  summam 
de  quantitate  denariorum  secundi»  et  tcrcij,  cl  quarti  hominis,  scilicet  de  3i,  rema- 
nebunt quarto  denarij  12;  quos  adde  cum  donarijs  tcrcij  hominis,  scilicet  cum  5;  cl 
extrahe  summam  de  denarijs  34,  quos  hahent  inter  terciura,  et  quartum,  cl  quintum, 
remanebunt  quinto  denarij  17.  Vel  aliter:  de  summa  ipsorum  omnium  , uidelicet  de 
denarijs  36,  extrahe  siiprascriplos  numeros»  quos  3 illorum  habent  per  ordinem,  scilicet 
27,  et  31,  et  34,  et  37,  Cl  39;  ct  sic  remanebunt  quarto»  et  quinto  homini  denarij  29; 
quinto,  I et  primo  denarij  23.  Primo  » ct  secundo  denarij  11.  Secundo , et  tercio  dc- 
narij  19.  Tercio,  ct  quarto  denarij  47  : adde  ergo  denarios  primi,  ct  .secundi  hominis, 
scilicet  22,  cum  denarijs  tcrcij,  ct  quarti,  uidelicet  cum  17,  cl  cum  donarijs  quinti» 
ct  primi  hominis,  scilicet  cum  23,  erunt  denarij  64;  in  qua  summa  primus  his  com> 


Sl;  . - liciun,  S * | l-l 
124  . !.•.  12  I»;  f«.|: 

tM.  Im-  S-K:- 


primiH  I 

ii  i 

fvnwla*  ' 


i OuftrtMi 

i 3 


ImI. 


12S  <■•<«•> 


Digitized  by  Googie 


t*tl0  , lin.  4>l)  t |l  1 
|MC.  Sm!S,  |i«.  43  — l>«g.  11(6, 
i>i..  It: 


I 

8 

$<nisdai  I 

fi  ’ 

Tcrrtlil  i 

5 

IS 

IJmivImi* 

!7 


IIJkM  1 CIMI  1 » |rul.|13 

r»rtt,  lia-  17-13  2 Mig.  116  , 
Imi.  it  II}. 


r^i. 


111  rc»  •!> 


2S8 

putatus  rst)  ct  omnes  alij  semel.  Vndc  (]uot  lialiot  56,  scilicet  a summa  eorum  usque 
iii  64,  scilicet  8,  tot  liabct  primus:  quibus  iuuciitis,  omnes  alios  leuissime  inuenire  po- 
tes,  uidelirct  ut  exlralias  ipsos  denarias  b primi  hominis  ex  denaiijs  S7  primi,  et  se- 
cundi, scilicet  de  a,  rcmaiichunt  secundo  hoiuiiii  deiiarij  14.  Ouilius  extractis  dc  dc- 
nanjs  19  .secundi,  ct  terci)  hominis,  remanebunt  tcrcio  homini  denarij:  quibus  extractis 
de  deuarijs  tercij,  ct  quarti,  scilicet  de  denarijs  17,  remanebunt  quarto  homini  denarij  11: 
quilms  extractis  dc  deuarijs  quarti,  et  quinti  hominis,  uidelicet  de  denarijs  iS,  rema- 
nebunt quinto  homini  denarij  n,  ut  per  alium  modum  inuenimii.s.  Ycl  aliter:  adde 
denarios  secundi,  ct  tercij  homini.s  cura  denarijs  quarti,  ct  quinti,  scilicet  lO  cum 
29,  erunt  4s;  a quibus  u.sque  in  summa  ipsunim,  scilicet  in  57  , de:;unt  8 ; et  tan- 
tum hal)et  primus,  ut  prodiximus.  Tutes  enim  de  pluribus  hominibus  ex  hijs  , que 
dicta  sunt,  doctrinam  habere,  cum  duo  illorum,  uol  tres,  uel  plure.s  innumeris  posi- 
tionis adiuncti  fuerunt.  Et  nola,  quiu  si  homines  pares  fuerint,  possunt  quaiido<]ue 
insolubiliter  propotiij  quoixim  noticiam  in  regula  4 hominum  superius  demoiLstrauimus. 

Qvidam  habebat  ua.sa  3,  quorum  primum  tenebat  octauani  decimam  partem  secundi, 
ct  teniam  j>urtcin  tercij.  Secundum  tenebat  t|uanlum  tercitim  , rainu.s  quinta  parte 
primi:  tercium  qucMpie  tencl)at  quantitatem  secundi,  ct  quintam  partem  ]>riroi.  Queritur, 
quot  unum(|uodque  tenebat:  quia  secundum  tenet  quantitatem  tercij , minus  quinta 
parte  primi.  Kt  primum  tenet  ^ secundi,  et  | tercij  ; ergo  quinta  pars  ejusdem  primi 
tenet  eiusdem  secundi,  scilicet—,  et  quintam  partem  Icrcic  partis  tercij,  uidelicet 
u * secundum  tenet  quantitatem  tercij,  minus  ^ secundi,  et  ^ tercij:  ergo  se- 

cundum tenet  tercij,  mimis  ^ ex  se  i|xso:  quare  ^ tercij  uasis  tcncrcl  quantitatem 
secuudi,  et  amplius  ~ eiusdem  secundi,  scilicet  Aliter  tercium  uas  tenet  quanti- 
tatem secundi,  et  quintani  primi,  que  { est,  ut  prodiximus,  ^ secundi,  ct  ^ tercij; 
ergo  tercium  tenet  quantitatem  secundi,  ct  ^ eiusdem,  ct  tercij  : comuniter  au- 
feratur quindccimum  tercij  uasis,  erunt  ^ tercij  uasis  secundi  , ut  superius  per 
iiiucstigationcra  secundi  ua.sis  inuetiimus.  Viidc  cognoscimus,  hanc  qnestioncni  solubilem 
esse,  ct  soluitur  sic.  Inucnias  duos  numeros,  quorum  ||  unius  siut  alterius:  mul- 
tiplicabis ergo  01,  que  sunt  super  90,  per  is,  que  sunt  sub  14,  erunt  1365  ; qui  est 
maior  numerus.  Item  multiplicabis  i4  per  9o,  erunt  iico,  qui  est  alius  numerus:  qui 
duo  numeri  cum  liabeaiit  curamntatem  in  eurum  regulis  , possumus  cas  in  minores 
numeros  reducere,  si  diuiscrimus  eos  per  35,  scilicet  j>er  , que  sunt  in  eorum  co- 
muni  regula,  exibunt  pro  tenimento  secundi  uasis  36;  ct  pro  teiiimcnto  tercij  30:  quibus 
inuentis,  adde  dc  36,  scilicet  1 cum  J dc  39,  .scilicet  cum  13,  erunt  15;  et  tantum 
tenet  primum  uas. 

Et  si  uasa  fuerint  4,  quorum  primum  teneat  ^ secundi,  ct  j tercij,  ct  {quarti  ; 
ct  secundum  teneat  | tercit,  ct  { ipiarti,  et  { primi;  tercium  quoque  teneat  | quarti, 
I primi,  et  { secundi.  Quartum  uero  teneat  ad  libitum  quantum  uis.  Quia  primum, 
ct  secundum  uas  tenent  eandem  quantitatem  tercij,  ct  quarti  ua.sis,  oportet  ut  redigas 
totum  teniroentum  primi,  ct  secundi  uasis  in  partes  tantum  tercij,  ct  quarti  uasis,  ut 
inucnias  proportionem,  quam  liabent  ad  inuicem  primum,  et  secundum  uas:  quod  sic 
(it.  Quia  I primum  uas  tenet  { tercij,  et  { quarti,  ct  tcrciam  secundi,  cuius  secundi 
totum  tenimentum  est  quartam  tercij,  ct  quintam  quarti,  et  .sextam  primi.  Quare  tcrcia 


Digitized  by  Coogle 


H7 

|Mus  i|>.sius  est  tcrcia  pars  quarte  partis  tcrcij,  hoc  est  et  ^ quinte  partis,  scilicet 
~ quarti.  Et  est  terria  pars  seilc  partis  primi,  scilicet  ^ ; ergo  primum  uns  lerict 
/j  uid^licct  j tcrcij  uasis,  cl  [ quarti,  scilicet  ct  - ex  scipso:  qua  •—  extracta 
cx  cinlcm  primo,  remanent  eiusdem  ; ergo  primi  uasis  tenet  \ tcrcij  uasis,  el 
•—  quarti:  quare  ut  habeas  |Nirtcs,  quas  totum  primum  uas  tenet  cx  partibus  tcrcij, 
et  quarti  uasis,  multiplica  •;  quam  ||  primi  uasis  tenet  cx  partibus  tercij  uasis  per  18, 
qui  est  siib  uirgula  de  , erunt  6 ; que  diuidc  ]>er  f7  , que  sunt  super  uirgula  , 
exibunt  ct  tot  |>arles  tenet  primum  uas  de  partibus  tercij  uasis.  Similiter  multi- 
plica per  18,  cl  diuidc  per  17,  exibunt  ct  tot  {Nirtes  tcrici  prinimn  uas  ex  par- 
tibus quarti  : ergo  totum  primum  tenet  ^ tercij,  ct  quarti.  Item  secundum  uas 
tenet  I tcrcij,  et  | quarti,  et  sextam  primi.  Quod  totum,  scilicet  primum,  tenet  '* 
tcrcij,  cl  ~ quarti.  Quare  sexta  |)«rs  ipsius  primi  tenet  sextam  de  “ tcrcij,  srilicet 
ct  sextam  dc  fj  quarti,  scilicet  j-.  Vnde  tutum  secundum  tenet  J,  ct  ~ tercij,  boc 
est  JJ,  cl  ct  ^ quarti,  hoc  est  ■■;.  Inueiiinius  enim,  quod  primum  uas  tenet  — len:ij 
uasis,  scilicet  ct  secundum  uas  tenet  JJ  eiiiS4lcm  tcrcij  uasis  : ergo  in  qua  pro- 

|>ortionc  sunt  ad  boc  est  iii  qua  prujwrlione  sunt  ll  ad  2i,  in  eadem  propor- 

tione erit  primum  uas  ad  secundum:  quare  extrahe  ii  dc  S4,  remanent  3;  que  3 sunt 
t de  i4:  ergo  primum  uas  tenet  oi  taiiam  partem  sui,  pliisfpiam  secundum;  quam  pro- 
|K>rtioncm  similiter  poles  inuenirc  in  quarto  uasc  , cum  primum  teneat  cx  ipso 
quarto  uase;  ct  secundum  teneat  -*{-  : deinde  ut  inucnias,  in  qua  pro(K>rtioiie  sint  ad 
inuicem  secundum,  ct  tercium  uas,  o|>ortcl  ut  redigas  totum  lenimentum  ipsorum  ad 
partes  quarti,  et  primi  uasU;  quod  opcralwris  secundum  quod  fecimus  dc  primo,  et  ' i 


secundo  uase;  cl  inueiiics,  quod  secundum  uas  tenet  magis  tercio:  ct  quia  inuc-  ’ 
nimus,  quod  primum  tenet  octauum,  plus  quam  secundum.  Pone  ul  primum  uas  teneat  r er.Ma«  | 

aliquem  numerum,  cx  quo,  cum  extraxeris  octauam  partem  ipsius,  remaneat  numerus, qui  I 

totcgralitcr  diuidatur  |>er  3S  : teneat  ergo  primum  iso  ; de  quibus  extrahe  octauam  lus  ^ 

partem,  scilicet  13,  remanent  pro  tenimento  secundi  uasis  lOA:  cx  quibus  los  extrahe  Tcni»« 

”,  scilicet  9,  remanent  pro  tenimento  tercij  uasis  96  : deinde  ut  habeas  tcnimorilum  ' 

quarti  uasis,  accipe  Iciciam  partem  tcnimenli  secundi  uasis,  uidelicet  m;  ct  quintam  [ 3Q5 i 


]>artcm  primi,  scilicet  24.  ct  adde  insimul,  erunt  59;  que  extrahe  dc  tenimento  primi 
uasis,  iiidelicct  de  ISO,  remanent  6t  pro  quinta  }>arte  quarti  uasis  : quare  multiplica 
61  per  5,  erunt  30s;  ct  tot  tenet  quartum  uas.  Nara  si  proponatur,  quod  quartum  uas 
teneat  aliquem  certum  numerum,  ut  dicamus  loo  , multiplicabis  singulariter  loo  per 
numeros  primi,  et  secundi,  ct  lenij  uasis,  scilicet  [>er  120,  el  j>er  los,  el  per  96;  ct 
diuidc  singulariter  per  305,  ct  habebis  pro  primo  uasc  |j  39;  pro  secundo  ||  34;  pro 
tercio  JJ  31. 

Qvatuor  homines  habent  denarios  ; cx  quibus  primus  dat  secundo  quantum  ipse 
secundus  habet,  ct  dimidium  cius.  Secundus  dat  tercio  quantum  ipse  tercius  habet, 
et  insuper  tcrciam  eius;  tcrcius  dat  quarto  homini  quantum  ipse  quartus  liabct,  ct 
quartam  eius.  Quartus  quidam  liomo  dat  primo  quantum  ipsi  remansit  | post  dationem,  r«!.  1:6  fvit-i- 
quam  fecit  .secundo  homini,  et  iiisu{>er  quintam  cius;  ct  habuerunt  omnes  cqualiter. 

Quoniam  primus  dat  secundo  quantum  ipse  secundus  habet,  et  dimidium  eius;  ergo 
si  secundus  habet  t,  primus  dat  ei  3;  et  sic  habet  5.  Quare  boc  quod  secundus  habuit 


Digilized  by  Googie 


Q«iriui 


* foat  . . . cufim 

tmo  • (M.  ISA  Ii*. 

1 <t;  M7.  I.Q.  40~  r*i;. 

2M.  bn.  21  e tli 


"i: 


-K 

-i: 


f-i. 


(2A  • i*r  jo. 


2S8 

antea  fuit  | ex  lioCf  quod  habuit  postea.  Similiter  secundum  baiic  inuestigationem  ter- 
cius  homo  habuit  primum  | ex  hoc  , quod  liabuit  |)05tca.  Et  quartus  homo  habet 
ct  primo  remanserunt  ^ ex  boc,  quod  habuit  jK>stca,  post  dationem  uidelicct  quam 
fecerat  secundo  homini  ; pones  ergo  in  ordinem  ct  et  ct  ipsas 

]>one  Ideo  quia  unus<(uis4|uC}  post  facias  dationes  inter  se,  hahuit  quartam  partem 
totius  summe  denariorum  ipsorum  hominum  ; ^ j f | ! deinde  extrahe  s de  tl, 

que  sunt  sub  ipsis  s,  ramaiient  6;  que  multiplica  per  i,  quod  est  super  4,  erunt  6; 
que  adde  cum  multiplicatione  do  t,  quod  est  sii|>cr  4,  in  ti,  erunt  17;  que  multiplica 
]>er  4,  que  sunt  super  o,  erunt  fts;  que  per?;  quod  totum  per  $,  que  sunt  sub  uirgis, 
erunt  S3S0;  et  tot  habuit  quarius  liomu.  Rursus  accipe  et  extrahe  4 dc  9,  remanent 
s;  per  que  multiplica  17  iiiucnta,  erunt  ss;  super  que  adde  multiplicationem  dc  i , 
quod  est  sujtcr  4,  in  it,  ductam  in  O,  scilicet  99,  erunt  IS4 ; que  multiplica  per  3 , 
que  sunt  sujier  7j  quod  totum  ]>er  s prime  uirge,  erunt  2760;  et  tot  habuit  tercius 
honu».  Rursus  accipe  et  extraho  3 dc  7 , remanent  4;  per  que  multiplica  184  in* 

uentu,  erunt  736;  suj>er  que  adde  multiplicationem  de  i,  quod  est  suj>cr  4,  in  ii  ui- 
cihus  9,  uicibus  7,  huc  est  eoj,  erunt  1429;  que  multiplica  |)or  2,  que  sunt  super  S 
prime  uirge,  erunt  2&S8;  et  tot  habuit  secundus  homo.  Rui'sus  accipe  |,  et  extrahe  2 
dc  s,  remanent  3;  que  multiplica  1429  iiiucnta,  erunt  42$7;  super  que  adde  multipli- 
cationem dc  I,  quod  est  super  4,  in  S,  que  sunt  super  ii  uicibus  9,  uicibus  7,  ui- 
cibus 5,  que  sunt  sub  uirgis,  scilicet  1575,  erunt  5862;  ct  tot  hahuit  primus  homo  : 
additis  ergo  inuentis  quantitatibus  hominum  , reddent  pro  tota  summa  eorum 

I3H60;  que  summa  inuemtur  ex  multiplicatione  etiam  omnium  numerorum  , qui  sunt 
suh  uirgis,  uidcliccl  de  4 in  ii  uicibus  9,  uicibus  7,  uicibus  s.  Redige  itaque  inuentos 
numeros  in  libris,  ct  soldis,  erit  summa  eorum  lihre  57,  ct  soldi  15.  Et  denarij  primi 
hominis  sunt  lihre  24  , ct  soldi  s , ct  denarij  6.  DcMari)  <|uidcm  secundi  hominis 
sunt  lihre  tl,  soldi  18,  ct  denarij  6.  Denarij  siquidem  tercij  hominis  sunt  lihre  11  , 
soldi  10.  Denarij  quoipic  quarti  hominis  sunt  Ubre  9 , soldi  18,  et  denarij  4.  Et  si 
pro|Ninatur,  }>ost  dationes  prcdictas  illis. tiij.**'  hominibus  inequaliter  remanere  secundum 
aliquam  datam  proportionem,  ut  dicamus  illud,  quod  remansit  secundo  fuit  tantum, 
et  tenia  ex  hoc,  quod  remansit  tcrcio  homini.  Item  illud  , quod  remansit  lercio  ho- 
mini fuit  tantum,  ct  dimidium  ex  eo  quod  remansit  quarto  homini.  Inuenias  quidem 
numeros  .uu.*',  qui  .sunt  in  dicta  projK>riione,  erunt  5,  ct  4,  ct  3,  et  2.  Nam  s est 
quantum  4,  ct  quartam  eius;  ct  4 quantum  3,  cl  tcixiium  cius;  ct  3 quantum  2,  et 
dimidium  cius.  .\ddc  itaque  hos  .iiu.'**  numeros  in  unum,  erunt  m:  a quilms  deno- 
mina suprascriptos  numeros,  exibunt  et  et  ct  que  sunt  jrartes,  que  cx 
tota  summa  ipsi  .iiij.*'  habuerunt  post  donationes  suprudictas,  uidelicct  primus  liabuit 
ex  tota  summa  secundus  ct  celera.  Tone  itaque  has  .iiu.***  fractiones  jiost  alias 
superius  iiiuentas,  scilicet  post  | f |>  hijs  itaque  per  ordinem  jiositis,  incipies  a 
extrahes  s dc  ii,  remanent  6;  que  multiplica  per  5,  que  sunt  suj>cr  14,  faciunt  30;  que 
adde  cum  multiplicatione  de  2,  que  sunt  super  14,  in  ii,  erunt  .sx;  que  |>one  sub 
ct  multiplica  ca  per  4,  que  sunt  super  9 uicibus  7,  uicibus  5;  que  7,  et  5 sunt  suh 
uirgis,  erunt  | 7280;  ct  tot  habuit  quartus  homo  : deinde  accedes  ad  J;  extrahes  4 de  9, 
remanent  5;  per  que  multiplica  inuenta  52,  erunt  260;  quibus  adde  mnltiplicalionem 


Digitized  by  Googie 


S89 

di*  3»  que  sunl  super  u in  li  ilicibus  9,  erunt  SS7;  qiic  |k>iic  sub  * , cl  muitipticii 
per  3,  que  sunt  su]>cr  t uicibus  Sy  que  sunt  sub  prima  uirgu,  erunt  S3S3;  et  tot  Imbuit 
tercius  bonio.  Modo  accedas  ad  exlrabcs  3 dc  7,  remanebunt  4}  per  que  multiplica 
557  inuenta,  et  superadde  multiplicationem  dc  4,  que  sunt  super  Uy  in  ii  uicibus  9« 
uicibus  7,  erunt  sooo;  que  pone  sub  ct  multiplica  ca  per  *,  que  sunt  super  5 prime 
uirge,  erunt  louou;  et  tot  habuit  secundus  homo:  deinde  accedas  ad  extrahes  2 de 
Sy  remanent  3;  que  multiplica  per  seoo,  ct  adde  multiplicationem  de  St  que  sunt  su|>cr 
14,  in  5,  que  sunt  super  u uicibus  o,  uicibus  7,  uicibus  s,  erunt  ssst);  ct  tot  habuit 
primus  lioino.  Item  multiplica  u per  <i  uicibus  9,  uicibus  7,  uicibus  9;  et  lml>cbis 
summam  eorum.  Kl  quoniam  unusquisque  inuentorum  numerorum  per  S iulegraliler  di- 
uidi  potest , accipiatur  quinta  pars  uniuscuiusipiCy  ul  habeamus  in  minoribus  numeris 
denarios  eorum;  cruutquc  deiiari)  primi  hominis  4575,  que  sunt  libre  i9,  ct  soldus  i, 
ct  deoarij  3.  Secundi  tuoo,  qui  sunt  libre  8,  et  soldi  0,  et  denarij  8.  Tercij  1671,  qui 
sunt  libre  6 , et  soldi  id  , et  denari)  3.  Quarti  quidem  hominis  denarij  erunt  1456  , 
scilicet  libre  c,  ct  soldus  i,  denarij  4.  Summa  eorum  libre  40,  ct  soldi  8,  et  denanj  6. 
Nam  si,  unde  hcc  regula  procedat,  noscere  desideras,  considera  partem,  quam  habuit 
primus  lumio  dc  tota  summa  eorum,  finitis  dationibus  inter  cos:  pru]>usitum  quidem 
est,  ipsum  habuisse  ~ totius  summe.  Considera  ergo,  unde  habuit  i]isos  dederat 

enim  secundo  homini  suam  dationem,  ct  remansit  ei  aliquid,  et  accepit  a quarto  homine 
quantum  eidem  primo  remanserat,  et  insu{)er  quintam  cius.  Quare  si  primus  post  da- 
tionem, quam  fecit  secundo  homini,  habuit  5;  et  quartus  humo  dedit  ei  6,  scilicet  5, 
et  quintam  eorum;  et  stc  habuit  ll;  que  ii  fuerunt  ^ totius  summe  : ergo  ex  ipsis 
fuerunt  ex  dcnahjs  primi,  ct  ex  denarijs  quarti  hominis.  Nam  ■—  ex  ",  qui 
sic  scribuntur:  Y~ti  summa  ^ eiu.sdem  summe,  ct  ex  ^ totius  summe, 

4|uc  quartus  homo  dedit  primo  homini,  sunt  boc  est  quod  proportio  denariorum,  quos 
quartus  homo  dedit  primo,  ad  totam  summam  est  sicuti  30  ad  isi;  ct  buc  e.st,  quod  $u|n;- 
rius  muhiplicauimus  5,  que  sunt  .sujicr  u |>er  o,  que  remaristTunt  ex  ii,  extractis  inde  5, 
que  sunt  super  ii,  cum  habuimus  propositum  item  est,  quarto  homini  remansisse 
~ ex  tota  summa:  fuit  ergo  pro|>ortlo  ex  hoc,  quod  remansit  ei,  ad  totam  summam, 
sicut  2 est  ad  14.  Nam  sicut  2 est  ad  u,  ita  ii  uicibus  t erit  ad  il  uicibus  14,  hoc 
est  12  ad  154;  ct  hoc  est,  quod  multiplicauimus  i,  que  sunt  .super  14,  per  n,  ct  ha- 
buimus 22  : addita  ei^o  projMirtioiic,  f|uam  fpiartus  dedit  primo  homini,  cum  propor- 
tione, quam  ci  remansit,  erit  tutum  hoc,  quod  quartus  homo  habuit  cum  datione,  quam 
ei  fecit  tercius  liomo,  ad  totam  summam,  sicut  52  est  ad  1 54,  scilicet  ad  numerum,  qui 
egreditur  ex  nuiUiplicatioiie  de  14  uicibus  ii;  et  hoc  fecimus  superius,  cum  addimus 
30  cum  22.  Nam  in  hac  proportione  fuerunt  cx  denarijs  tercij  hominis  et  reliqui 
j fuerunt  ex  denarijs  quarti  hominis  , quam  tercius  homo  dedit  quarto,  quantum 
quartus  lial>e1iat,  et  quaijtam  partem  cius.  Vnde  st  ex  dicta  proportione,  scilicet  de 
accipiemu.s  habebimus  denarios  quarti  hominis.  Nam  ? ex  ^ accipiuntur  sic: 
multiplicantur  4 ]>cr  S2,  faciunt  20S;  que  dcnuininanda  sunt  a numero,  qui  egreditur 
ex  mullijdicalionc  dc  154  in  9,  hoc  est  u numero,  <[ui  egreditur  ex  14  uicibus  ii  , 
uicibus  9,  scilicet  a 1386:  ergo  proportio  denariorum  quarti  hominis  ad  totam  sum- 

37 


r«v  ir,  rr.r«. 


Digitized  by  Googie 


t90 

luam  cAl  , sicut  £0S  ad  I38fi  : et  ideo  superius  muUipiicauimus  St  per  4 « que  sunt 
super  0.  Et  quoniam  denarij  quarti  hominis  ad  totam  summam  sunt,  sicut  t08  ad  1386. 
Erunt  ergo  denarij  quarti  hominis  ad  toUm  summam,  sicut  quinquies  septuplum  de 
208  ad  quinquies  septuplum  de  1386.  Nam  quinquies  septuplum  de  tos  est  illud,  quod 
superius  fecimus,  quando  multiplicauimus  S2  |>cr  4,  que  sunt  super  o,  scilicet  fos  ui- 
cihus  7,  uicibus  s;  et  habuimus  «280  pro  denarijs  quarti  hominis.  Similiter  quinquies 
septuplum  de  1380  est  illud,  quiKl  egreditur  ex  mullipiioatione  de  I4  uicibus  il,  uicibus  9, 
uicibus?;  et  hoc  est  quod  fecimus,  cum  lialniimus  totam  summam,  scilicet  tssio.  Etquo- 
Iliam  est  sicut  728  ud  isaio,  ita  denarij  quarti  hominis  ad  tutam  summam.  Ideo  si  summa 
est  48S10;  et  quartus  homo  habebat  7280,  ut  inucntiim  est  supra.  Nunc  ucro  accedamus 
ad  inuentionem  denariorum  tcrcij  hominis.  Iniieiiimus  enim  superius,  ipsum  habere 
in  suprascriplis  ~.  Quare  multiplicauimus  .su|>crius  s per  52,  scilicet  jicr  9,  extractis 
inde  4,  que  su|>cr  9;  fuit  ergo  proportio  denariorum,  quos  tercins  homo  dedit  quarto 
homini,  sicut  foo  est  ad  numerum,  qui  egreditur  ex  muUiplicatiuiic  de  l&4  in  9,  scilicet 
ad  eum,  qui  egreditur  ex  multiplicatione  de  u in  ll  uicibus  9:  el  quia  idem  terciu 
homini  reinanscniiit  |HM»t  hanc  dationem  ^ lotius  summe  , fuit  pnqwrlio  ipsius  re- 
mansionis ad  totam  summam,  sicut  3 ad  14.  Nam  sicut  3 ad  14,  itn  multi|dicatio  de 
3 in  11  uicibus  9,  c.st  ad  multipUeatiunem  de  14  in  ii  uicibus  9:  multiplicatio  quidem 
dc  3 in  11  uicibus  9 facit  297  : ergo  proportio  denariorum  , qui  remanserunt  tcrcio 
homini  |hisI  dationem,  quum  fecit  ipiarto  homini,  ad  totam  summam  est,  sicut  297  ad 
numerum,  qui  egreditur  ex  multiplicatione  dc  14  iti  it  uicibus  9:  quaix'  pro|iorlio  her 
cum  projiortionc  dationis,  quum  dedit  quarto  homini,  est  ud  totam  summam,  sicut  297 
ad  nunienini,  qtu  egreditur  ex  multiplicatione  dc  14  in  ii  uicibus  9:  ct  hoc  fecimus 
.superius,  cum  addimus  297  cum  2CO,  ct  (lusuimus  suimiiam  eorum,  scilicet  &57,  sub 
lii  hac  enim  pruporlione,  scilicet  in  qua  557  sunt  ad  numerum,  qui  egreditur  ex  mul- 
tiplicatione de  14  in  ii  uicibus  9,  est  illud,  quod  habuit  tcrcius  homo,  quando  recepit 
dationem,  quam  ei  fecit  secundus  homo;  fuit  datio,  quam  secundus  fecit  tcrcio,  quantum 
tcrcius  habebat,  ct  tcrciam  eius  : ergo  si  tcrcius  homo  habcliat  3;  secundus  dedit  ei 
4.  Quare  ex  preJicta  pro|>ortione  \ fuerunt  ex  denarijs  .secundi,  ct  | ex  denarijs  tercij. 
Et  ideo  accipiende  .sunt  | cx  dicta  proportione,  scilicet  multiplicanda  sunt  557  per  3, 
erunt  I67i;  ct  numerus,  qui  egreditur  ex  multiplicatione  dc  i4  in  ii  uicibus  9,  muU 
tiplicaiidus  est  per  7 ; ct  halichilur  projiorliu  denarioiiim  tcrcij  hominis  ad  totam 
summam,  sicut  1671  sunt  ad  numerum,  qui  egreditur  cx  multiplicatione  dc  14  in  ii 
uicibus  9,  uicibus  7,  uicibus  5.  ideo  multiplicationem  de  l67i  multiplicauimus  per  5, 
et  habuimus  pro  denarijs  tcrcij  hominis  8355.  Nunc  uero  accedamus  ad  inuentionem 
denariorum  secundi  homiiiis.  Iiiuentum  est  quidem,  i|>suin  habere  \ cx  pro|>ortionc, 
quam  habet  557  ad  numerum,  qui  egreditur  cx  14  uicibus  ii,  uicibus  o,  propter  da- 
lioiicm,  quam  fci^it  tercio  homini:  ergo  prn{)ortm  ipsius  dationis  est  ad  tutam  summam, 
sicut  quater  557  ad  numerum,  qui  egreditur  cx  14  uicibus  ii,  uicihas  9,  uicibus  7: 
et  ideo  multiplicnuimus  superius  557  per  4,  que  remanent  dc  7,  extractis  inde  3,  que 
.sunt  su]>er  7;  et  hahuimus  2228:  ergo  datio,  quam  .secundus  fecit  terciu,  est  ad  totam 
ij;  summam,  sicut  2228  sunt  ad  numerum,  qui  egreditur  ex  I4  uicibus  | I4,  uicibus  ti, 


Digitized  by  Google 


uicibus  0,  uioibus  7.  Et  quuiiiam  post  hanc  dalioiiein  secmtclo  rcmaiLseruut  fiilt 
illa  remansio  nd  tutam  summam,  sicut  4 sunt  ad  14.  Nam  sicut  4 simt  ad  u,  ita  4 
Ilicibus  11,  uicibus  g,  uicibus  7,  scilicet  stts,  sunt  ad  M uicibits  ii,  uicihus  9,  uiribiis 
7:  ergo  pmjiortto  denariorum,  qui  remanserunt  secundo  Immtnl  cum  eis,  quas  dedit 
tcrcio,  est  ad  tutam  summam,  sicut  Sl2s,  et  S77S,  hoc  est  sooo,  ad  iiimienim,  qui  egre- 
ditur ex  14  uicibus  il,  uicibus  g,  uicibus  7:  et  ideo  posuimus  superius  sooo  sub 
habuit  enim  secundus  banc  proportionem  cum  datione,  qiiniii  ei  dederat  primus;  que 
datio  fuit  quantum  ipse  secundus  balK-liat,  et  dimidium  eius.  Quare  ex  dicta  pnqM>r- 
tione  -j  fuerunt  ex  denarijs  pniiii  bnminis,  ct  | cx  denanjs  secundi:  ergo  arcipieude 
sunt  I cx  dictu  proportione,  boc  est  multiplicanda  sunt  sooo  per  s,  que  sunt  .super 
5,  erunt  ioooo  : erunt  itaque  denarij  secundi  hominis  ad  totam  summam,  sicut  loooo 
sunt  ad  numerum,  <pii  egmlitur  e.x  14  «iribus  ii,  uicibus  »,  uicibus  7,  iiicibu.s  s: 
nam  numerus,  qui  egreditur  ex  hijs  summa:  quare  et  touo  enint  denarij  secundi  ho- 
minis. Et  quoniam  , ut  dictum  est  , primus  habuit  \ iii  proportione  , quam  sooo 
b.ilHTit  ad  14  uicibas  H,  uicibus  9,  uicibus  7 prtqiter  datiuiiem  quam  ferit  .secundo 
homini  j ergo  multiplicanda  .sunt  sooo  per  3 , erunt  isooo  j ergo  datio,  quam  primus 
fecit  sc4-undo,  est  ad  tutam  summam,  sicut  fsooo  sunt  ad  numerum,  qui  egreditur  ex  u 
uicibus  11,  uicibus  9,  uicibus  7,  uicibus  s.  Quare  hoc,  quod  dedit  primus  secundo, 
fuit  isooo;  que  addenda  sunt  cum  liijs,  que  eidem  primo  remanserunt  |H>st  ipsam  do- 
naliurieiiu  Quam  remansionem  inucnimus  esse  superius  n totius  summe  ; hoc 

est  sicut  quinquies  quinque  sunt  ad  14  uicibus  ii  , ita  illa  rcnian.sio  est  ati  totam 
summam.  Nam  sicut  quinquies  rpiinque  sunt  ad  14  uicibus  ii,  ita  quinquies  quinque 
uicibus  g,  uicibus  7,  uicibus  s .sunt  ad  14  uicibus  ii,  uicibus  o.  uicibus  7,  uicibus 
S,  S4ulicet  ad  totam  summam:  et  ideo  multipIirauiiDus  superius  s,  que  .sunt  super  I4, 
per  5,  que  sunt  super  ii  uicibus  9,  uicibus  7,  uicibus  s;  et  habuimus  7S75  pix>  eu, 
(juod  remansit  primo  pml  datioricni,  quam  fecit  secundo:  quibus  additis  cum  iMOi)  , 
que  dedit  secundo,  reddunt  2S875  pro  denarijs  primi  buminis.  Hursus  si  proponatur, 
<|Uod  umisquLS(}UC  illorum  .nii.*'  Iiuininum  suam  dationem  reliquis  tribus  |>cr  ordinem 
fecisset,  et  in  fine  illarum  .iiij.*"  dationum  equaliter  bahuis.sent;  quoniam  primus  re- 
liquis tribus  deilit  quantum  ipsi  habebant,  et  dimidium  cius;  eigo  si  ipsi  tres  ha- 
bebant s,  primu.s  dedit  eis  a;  et  sic  illud,  quod  liabucnint  antea,  fuit  j ex  hoc,  quml 
habuerunt  postea.  Quare  scruabis  |,  et  inucnies  eodem  modo  ct  J,  ct  et  pones 
cura  J propter  quartam  prutem,  quam  in  line  habuisse  unusquisque  proponitur,  { ^ 

^ ct  incipies  a ,|,  extrahens  5 de  it,  remanent  e;  que  multiplica  jicr  4,  que  suiit 

sub  uirga,  et  addes  multiplicationem  dc  i,  quod  est  super  ipsa  4,  in  s,  que  sunt 
super  11,  erunt  29  : multiplica  ergo  19  per  4,  que  .sunt  su]>cr  g;  que  per  3,  que  sunt 

super  7;  que  (>er  s,  que  sunt  super  S,  erunt  60S;  et  tot  habuit  quartus  bomo.  Item 

extrahe  4 de  9,  remanent  9,  que  senia:  ct  multiplica  4,  que  .sunt  sub  uirga,  per  ii; 
que  per  s scruata,  erunt  ssu:  quibus  superadde  multiplicationem  dc  i,  quod  e.st  super 
4,  ia  9,  que  sunt  super  ii;  que  per  4,  que  sunt  super  o , erunt  S40  ; que  per  3 , 
que  per  s,  que  sunt  super  rcliqui-s  fractionibus,  erunt  1440  ; ct  tot  habuit  tercius. 
Rursus  incipias  a 4,  que  sunt  in  capite  uirge,  multiplicans  ipsa  per  il  uicibus  9,  uicibus  | 


f..| 


ri  IU  . r*  i t 

iful.  121)  rtef,  liH.  7«lf;  |u( 
X92.  It*.  7 XI). 


•■•I 


|2!(  I rrtu. 


292 

4 per  ipsii  uidclicct  4,  que  remanent  de  7,  extractis  tiide  3«  que  .sunt  super  7,  erunt 
1S84;  quilnis  adde  multiplicalioncm  de  1 in  5 uirihas  4,  uiribus  3»  que  sunt  super 
uirgis,  erunt  icu;  que  multiplica  per  2«  que  sunt  super  5,  erunt  32ss;  et  tot  habuit 
secundus.  Adhuc  incipias  a 4 uiribus  fi,  uicibus  9,  uictbtis  7;  que  per  3,  que  restant 
ex  3,  extractis  inde  2,  erunt  S316;  quibus  superadde  I20  , que  egrediuntur  ex  multi- 
plicatione omnium  numerorum»  qui  sunt  super  uir^,  erunt  8436»  et  tot  habuit  primus 
homo.  Et  si  in  fine  dationum  suprascriptarum  primo  remanserit  ^ totius  summe  ; 
secundo  ~ ; tcrcio  quarto  , scribe  questionem  in  huiic  modum.  Post  hec  extrahes 
$ de  11,  remanent  6;  que  imiUiplica  )>er  i4,  et  adde  muUiplicationem  de  s,  que  sunt 
super  14  in  S,  que  sunt  super  ii,  erunt  94;  que  multiplica  per  4,  que  sunt  super  9; 
que  per  3;  que  per  2»  que  sunt  super  uirgas,  eruiit  22.^;  et  tot  habuit  quartus  homo. 
Rursus  incipe  a ^«multiplicans  I4  per  11  uicihu.s  5;  que  5 restant  de  9,  extractis  de 
ipsis  4,  que  sunt  su|>or  9,  erunt  7?o;  su|>cr  que  adde  muUiplicationem  de  3,  que  .sunt 
super  14,  in  s smit  super  11  uicibus  4,  que  sunt  super  9,  erunt  aso;  que  multiplica 
per  3,  que  sunt  super  7;  que  per  2 , que  sunt  sii]>er  5 , erunt  4980  ; et  tot  habuit 
lerrius  homo.  Nunc  incipias  a multiplicans  14  per  ii  uicibus  9,  uicibus  4;  que 
4 remanent  de  7,  extractis  inde  3,  que  .sunt  super  7,  erunt  3344  ; super  que  adde 
multiplicationem  de  4,  que  sunt  super  14,  in  3,  que  sunt  super  11,  in  4,  que  sunt 
suj>er  9,  et  in  3,  que  sunt  .super  7,  scilicet  240,  erunt  5Tfl4:  que  multiplica  per  2,  que 
.sunt  super  5,  erunt  11368;  et  tot  habuit  secundus  : deinde  incipias  a multiplican.s 
14  per  11  uicibus  9,  uicibus  7,  uicibus  3;  que  3 remanent  ex  3,  extractis  inde  1,  erunt 
29IU6  : quibus  siqicradde  5,  que  .sunt  super  14  uicibus  5,  que  sunt  su{ier  11  uicibus 
4,  que  sunt  super  9 ilicibus  3,  que  sunt  su})er  7 uicibus  2,  que  sunt  super  s,  erunt 
29826;  et  tot  habuit  primus  homo. 

Iiiuestigntur  hcc  regula  sic:  quoniam  <|uartus  homo,  qui  ultimam  fecit  daliunem,  dedit 
reliquis  tribus  quantum  ipsi  hahchatit,  et  quintam  cius»  et  ei  remansit  ^ tutius  summe, 
ut  propfjsitum  est;  ci^o  ex  .scilicet  ex  hoc,  quod  ijxsi  tres  liominc.s  habuerunt,  ipse 
quartus  homo  dedit  sed  ~ ex  totius  summe  sunt  sicut  is  uicibus  6 ad  numerum, 
qui  egreditur  ex  14  uicibus  11.  El  totius  summe,  que  remanent  quarto  homini  jmst  da- 
tionem suam,  .sunt  ad  tutam  summam,  sicut  est  multiplicatio  de  2 in  11  ad  multiplicatio- 
nem de  14  in  il:  ergo  Ikk:,  quod  quartus  homo  hal>el>at,  quando  .suam  dationem  reliquis 
fecit,  fuit  ad  tutam  summam,  sicut  12  uicibus  6,  et  2 uicibus  11  sunt  ad  14  uicibu.s  11. 
Sed  2 uicibus  11  .sunt  quantum  2 uicibus  6 cum  2 uicibus  5.  Et  12  uicibu.s  6 cum  2 uicibus 
6 sunt  quantum  M uicibus  6;  ergo  illud  quod  habuit  quartus  homo,  quando  suam  da- 
tionem fecit,  fuit  ad  totam  summam,  .sicut  I4  uicibus  6,  et  2 uicibus  5 sunt  ad  I4  uicibus 
11 : et  hoc  fecimus  superius,  quando  multiplicauimus  I4  uicibus  6,  et  addidimus  multi- 
plicationem de  2,  que  sunt  super  14,  in  3,  que  sunt  .super  il;  et  sic  habuimus  04:  ergu 
illud,  quod  habuit  quartus  homo  quando  fecit  dationem  .suam,  fuit  ad  totam  summam, 
sicut  94  est  ad  numerum,  qui  egreditur  ex  I4  uicibus  11.  Sed  hoc  habuit  i|>se,  cum  iam 
rece|>crat  tres  dationes  ah  alijs.  Vnde  incipiamus  ah  ultima  datione, quam  fecit  sibi  tercius 
homo,  qui  dedit  ei  quantum  ipse  habebat,  et  quartam  cius;  Ikh;  est  si  quartus  humo 
habuit  tunc  4,  et  ille  tercius  dedit  ei  s ; ergo  quartus  homo  hahclNil  \ ex  dicta  pro- 
portione, scilicet  ex  ea,  quam  hahet  94  | ad  14  uicibus  ii,  quando  accepit  dationem  a 


Digitized  by  Googie 


S93 

tercio  homine.  Nam  proportio  de  * dicte  proportionis  est  ad  totam  snmmumi  sicut  94 
uicibus  4 sunt  ad  I4  uicihus  ii,  uicihus  o;  et  hoc  est  quod  superius  fecimus,  quando 
multiplicauimus  94  per  4,  et  liahuiinus  376:  ergo  proportio  denariorum,  (|uus  hal>chal 
quartus  homo  antequam  reciperet  dationem  secundi  hominis,  sunt  ad  tot4im  summam, 
sicut  376  sunt  ad  I4  uicihus  it,  uicibus  0:  ex  qua  pr(i[M>rtiuiic  fuerunt  secundi  hominis 
* ; quia  dederat  eidem  quarto  homini  quantum  i{KSc  hahehat,  et  terciam  eius  : ergo 
relique  | fuerunt  quarti  hominis,  quas  habuit  cum  datione,  ((uam  fecit  ei  primus  homo; 
que  datio  fuit  \ ex  ipsis  : ergo  relique  } ex  tribus  septimis  ex  dicta  proportione, 
scilicet  cx  ea,  quam  hahet  376  ad  I4  uicibus  tt,  uicibus  9,  fuerunt  dciiarij  quarti  lio- 
minis.  Nam  J cx  ’ de  376  sunt  ad  totam  summam,  sicut  numerus,  qui  egit^ditur  de 
376  uicibus  3,  uicilms  s,  ad  numerum,  <|ui  egreditur  ex  i4  uicibus  li,  uicibus  9,  ui* 
cibus  7,  uicibus  6.  Sed  (jtiia  summum  uolo  esse  numerum,  qui  egreditur  ex  14  uicibus  ti, 
uicibus  9,  uicibus  7,  uicibus  5.  Ideo  uumei*us  quarti  hominis  erit  32sc,  qui  egreditur 
cx  multiplicatiouc  dc  94  uicihus  4,  uicihus  3,  uicibus  s,  scilicet  de  376  uicibus  3, 
uicilms  s,  ut  superius  fecimus.  Simili  quo<{ue  minio  |k)ssuuI  inuestigari  denarij  reli* 
quorum  trium  hominum,  etiam  et  omnes  consimiles  questiones. 

Trcs  homines  haliel>ant  libras  nescio  quot  stcrlingoruin,  quarum  medietas  erat  primi; 
tercia  emt  secundi;  sexta  erat  terrij  : quas  cum  uellent  in  loco  tutiori  hal>ere,  qui- 
libet eorum  accepit  cx  ipsis  steriinguis  alhjuam  quantitatem;  et  ex  quantitate,  i|uain 
cepit  primus,  posuit  in  comiini  medietatem;  et  ex  ea,  quam  cepit  secundus,  [losuit  ter- 
ciam  partem;  et  ex  ea  quam  cepit  tcrcius,  j>usuit  sextam  partem;  et  ex  buc,  quod  po- 
.sucrunt  in  comuni,  recepit  quilibet  terciam  partem;  et  sic  unusqui.si|ue  suum  habuit 
portionem.  Quoniam  primus  |KK»uit  in  comiine  \ ex  huc,  quod  cepit;  de  qno  ^ rcliabuit 
terciam  {mrtem,  scilicet  j totius,  quod  accepit:  ci^o  remansit  ei  ex  boc,  quod  cepit  ~ 

*,  scilicet  et  cx  hoc  quod  posuit  secundus,  habuit  primus  cum  secundus  [Mmierit 

terciam  cius,  quod  sumpsit  partem:  et  cx  ipsji  | habuit  jirimus  * , scilicet  et  cx 
Ikk,  <|uud  posuit  tercius,  habuit  terciam  .sexte  partis,  quam  ipse  tenuus  pi»siul,  scilicet 
; ergo  medietas  summe  omnium  stcrlirigorum,  scilicet  portio  primi  hominis,  fuit  | 
ex  hoc,  quod  cepit  primus,  et  \ ex  hoc,  quod  cepit  secundus,  et  hoc,  quod  ccpil 

tcrcius.  Item  cum  secundus  posuit  in  comunc  \ cx  hoc,  quod  cepit,  rcmniiseriiiit  ei 

\;  cl  ex  ipsa  \ rehabiiit  scilicet  ^ totius,  quod  accepit : etgo  in  ]>ortionc  sua  ha- 
buit ex  hoc,  quod  cepit  i|)se  J J,  scilicet  J;  cx  hoc,  quod  ccpil  primus,  habuit  sextam 
partem,  scilicet  J medietatis,  quam  primus  posuit  in  comuni;  et  ex  Iuk:,  <juod  cepit 
tcrcius , habuit  , .sicut  liabuit  primus  homo.  Quare  ^ sumptionis  secundi  hominis 
cum  j sumptionis  primi  , et  ciim  sumptionis  tercij  fuerunt  tercia  pars  summe  ; 
ergo  5 et  , scilicet  suniplionU  secundi , cl  -JJ  , scilicet  { sumptionis  primi  , 
cl  , scilicet  ^ sumptionis  terrij,  fuerunt  tercia  j>ars  summe,  et  medietas  lercic, 
hoc  est  medietas  lotius  summe,  fnucnimiis  superius  , quod  | sumptionis  primi  ctim 
^ sumptionis  secundi  , el  cum  sumptiums  tercij  sunt  similiter  medietas  eiusdem 
summe  : ergo  \ primi  uumeri,  scilicet  sumptionis  primi  cum  J secuudi  numeri  , et 
cum  ~ tercij  sunt  quantum  J-  primi  uumeri,  ct  secundi,  cl  tercij:  quare  si 
de  ulraque  portione  tollatur  { primi  numeri,  et  ^ secundi,  et  tercij,  remanebunt 
^ primi  nnmcri  esse  quantum  \\  secundi,  cl  i tercij  numeri.  Kursus  iiuiesligemus 


Digitized  by  Googie 


* . . . . nirtx  rrmit  • 

r«i.  U9  U.  S9  € ij 
■ty.  r*«-  t\n.  in.  »9  — 1»|. 
rss.  I..  11. 

I 

3«  7*  108  • 

friitM 

< < I • 

e i 5 i 

■ I I I 

* # * ' 

1»r*r»i  •'•Ul»4*  |nm* 

’i  7«  7i 

( 

IfTTM 

l t t 

» » J 


m 

stirnptioaem  tcrcij  hominis  cum  sumptione  primi  hominis  : quoniam  tercius  cx  hoc  , 
quod  sumpsit,  posuit  in  comtinc  remanscniiU  ei  ct  ex  ipso  \ rehabuit  terciam 
]Nirtcm,  scilicet  ergo  in  portione  sua,  scilicet  pro  ^ totius  summe,  habuit  | ct 
~ sumptionis  siic,  scilicet  et  ^ sumptionis  secundi,  ct ; sumptionis  primi:  ergo  tri- 
plum dc  ( sumptionis  tercij,  scilicet  y,  et  triplum  de  | scilicet  | sumptionis  secundi, 
ct  triplum  dc  scilicet  j sumptionis  primi,  faciunt  j,  scilicet  J totius  summe.  Inuenimus 
enim  sii|>oriu.s,  quod  ^ primi  numeri  cum  ^secundi,  et  tcrcij  sunt  medietas  totius  sum- 
me: ct  modo  inuenimus,  quod  | primi  numeri,  ct  | secundi,  ct  ~ tercij  sunt  eadem 
medietas.  Quare  si  comuntlcr  cx  ulraque  proportione  tollatur  ^ primi  numeri , ct  g 
secundi,  et  ^ tercij,  remanebit  \ primi  numeri,  scilicet  cqualis  de  | secundi  nu- 
meri cum  ^ tcrcij.  Quare  inucstigaiulum  c.st  )>cr  regulam  quarte  proportionis  ; cum 
primi  numeri  sint  g secundi,  et  [J  tercij,  quantnm  erunt  ^ primi  cx  hijs  , que 
habent  reliqui  duo:  cruut  itaque  | secundi  numeri,  ct  ^ tcrcij.  Inuenimus  superius, 
quod  yg  primi  sunt  ||  secundi,  et  ^ tercij:  ct  modo  inuenimii.s,  easdem  ^ primi 
esse  I secundi,  et  ^ tcrcij.  Et  quoniam,  que  ad  idem  eandem  proportionem  habent, 
.sibi  iiiuicem  c«|ualia  sunt;  ci^o  — secundi  numeri  cum  yg  tercij  sunt  quantum  | se- 
cundi, el  ” tercij.  Vnde  si  comuniter  tollantur  cx  utraque  parte  | secundi  nume- 
ri , ct  ^ tcrcij  , remanebit  \ secundi  numeri  es.se  ^ tcrcij  , scilicet  scxuplum  , ct 
dimidium  eius  : ergo  medietas  sumptioni.s  secundi  hominis  fuit  sexies  , et  dimidia 
.sumptionis  tercij  : quare  tota  sumptio  secundi  homiuLs  est  ter  decuplum  sumptionis 
tcrcij  hominis;  hoc  est  si  tercius  sumpsit  i,  secundus  sumpsit  I3.  Nam  ut  habeamus 
sumplionem  primi  hominis.  Accipe  .sexies  | secundi  numeri,  scilicet  dc  u,  et  sexies 
terrij,  scilicet  dc  i:  cum  superius  imsentum  sit,  g primi  numeri  cs.se  | secundi, 
et  gg  tcrcij;  ct  redige  cos  in  unum,  ct  halK-his  33  pni  sumptione  primi  hominis;  ex 
4}uibu.s  reperies,  .summam  esse  47.  rassiinius  aliter  sumptionem  primi  aliter  inuenire: 
uidciicct  cum  iiiuentum  sit,  quod  g tercij  numeri,  et  \ secundi,  et  g primi  sunt  g 
lotius  summe.  Quare  duplum  ijxsarum  partium,  scilicet  ~ tercij  numeri,  ct  g secun- 
di, et  g primi  facit  duplum  de  g totius  .summe,  scilicet  g.  Inuenimus  enim  superius, 
qiuxl  g secundi  numeri  rum  \ primi  , ct  cum  ^ tcrcij  .sunt  similiter  tcrcia  pars 
summe  : ergo  -J  primi  numeri  cum  g secundi,  cl  cum  ^ tcrcij  sunt  ~ primi  numeri  , 
ct  J secundi,  cl  y tercij.  Comuniter  auferatur  | primi  numeri;  cl  | secundi,  cl  ~ 
tercij,  remanebunt  g secundi,  cquales  de  J primi,  ct  de  -JJ  tercij,  Inuenimus  etiam  su- 
|)crius,  tutum  secundum  numerum  c.ssc  Icr  decuplum  tercij  numeri.  Quare  J secundi 
erunt  y tercij:  sunt  enim  ct  | secundi,  ut  ostensum  est,  g primi  numeri,  et  ~ tercij. 
Quare  si  comuniter  auferantur  — tcrcij,  remanebunt  y tcrcij  numeri  quantum  g primi 
numeri.  Quare  totus  primus  numerus  erit  triguplum  triplum  tercij  numeri.  Vnde  cum 
tercius  numerus  sit  unum,  primus  cril  33 , ut  dictum  est.  El  si  cx  boc,  quod  posuerunt 
in  comune,  primus  sumeret  raedietatem;  secundus  terciam;  tercius  sextam;  cl  unusquis- 
que baberct  portionem  sibi  contingentem  cx  prodictorum  sierliiigonim ; tunc  summa 
ipsius  pecunie  esset  5i:  de  qua  inucnies  |>er  inucsligationem  proportionum  ipsorum, 
ncc  non  ct  per  sequentem  regulam,  primum  sumpsis.se  30;  secundum  is  ; tercium  e. 
I*rojK>nalur  itenim,  primum  p)suis.sc  in  comuni  - cx  Ik»c,  qiuxl  cepit  ; secundum  J 


Digilized  by  Googie 


Urcium  | ; el  sir  primus  habeat  • totius  summe;  secundus  tcrcius  hm*  c.st  unus< 
quisque  habuit  - , quod  suum  erat.  Pone  itaque  portiones,  quas  ipsi  tres  homines  ha* 
bent  de  prc;.criptii  ])crutiia  in  ordinem,  scilicet  J ; -J;  uocabisque  ea  ex  positione  prima. 
Kt  quia  primus  p{>suit  in  comuuc  ^ ex  hijs  que  cepit;  remanserunt  ergo  ei  quare 
^«quara  posuit,  fuit  J ex  hijs,  que  remauserurit  ci:similitcr  id,  quod  posuit  secundus,  fuit 
j sui  residui;  et  id,  quod  posuit  lercius,  fuit  ; ex  hoc,  quod  remansit  ei.  Quare  pone 
sub  positione  prima  ; j ; per  ordinem,  ut  iii  margine  cernitur  ; que  paries  erunt  | 
po.silionis  secunde  : sub  quihus  etiam  pones  J ter  propter  J,  qnam  rchahuit  uiuis- 
quUque  ex  hoc,  quod  positum  fuit  iu  comunc,  que  eriuit  depositione  tCR-ia;  deinde 
multiplica  e,  iii  quibus  n*]>eritiulur  rupti  prime  jKisitioiiis  per  12;  in  quihu.s  etiam 
repcriuiitur  rupti  jHisitioiiis  secunde,  erunt  72:  que  etiam  multiplica  per  3;  cum  in  3 
reponantur  rupti  positionis  tcrcic,  erunt  216;  et  tot  }K>nc  pro  .summa  totius  pcctinie; 
quorum  ^ jmne  super  ~ prime  {Hisitionis,  scilicet  los,  et  tcrciam,  scilicet  T2,  super 
et  sextam  .super  J,  que  est  36.  Post  hcc  accipe  ex  prediclis  numeris  per  ordinem  partes 
secunde  positionis,  scilicet  | dc  los,  ct  | de  72,  et  { dc  36,  eniiit  54,  ct  24,  et  0 , 
scHicet  87;  ct  tot  |H>sucrunt  iu  comuni.  Deinde  diutde  prodicta  216  |>er  partes  tcrcic 
jK)sitionis,  exihuiit  72  suj>er  unaquaque  }.  Extrahe  quidem  priora  72  de  nw,  remanent 
36;  quorum  { accij>e  pro  j,  quod  est  de  secunda  positione,  erunt  is  addita,  que  senia 
iu  manu  ; et  extrahe  secunda  72  dc  72  , que  sunt  .super  | , i-emauct  o;  cuius  | ac- 
cipe pro  |,  que  est  in  secunda  positione,  erit  0;  quod  adde  cum  I8  scrualis,  erunt 
18.  Et  quia  72,  que  sunt  iu  tcrcio  loco,  scilicet  .sii|>er  | tercie  positionis,  non  ]K)ssunt 
extrahi  dc  36,  extrahe  36  de  ipsis  72,  icmaiiebuiit  30  diminuta;  dc  quibus  accipe  J pm 
5,  que  est  in  .secunda  p»isilionc,  erunt  diminuta  9;  que  ahicc  de  is  serii«ti.s  , rema- 
nent 9 addita.  Quare  cum  .sint  addita,  debes  ea  extnihere  de  2te.  Et  .si  essent  dimi- 
nuta, adderes  ea,  rematichuiit  207,  que  sunt  summa,  que  remansit  eis  post  jiosita  87  in 
comuiie  : quare  addes  ea  insimul,  erunt  294  pro  summa  totius  pecunie  ipsorum;  dc 
quorum  medieUte  , scilicet  dc  147  , extrahe  tcrciam  de  87  , quam  ndialniit  primus  , 
scilicet  20,  rciiiaiiciit  118;  quibus  .su|>eradde  \ conim  pro  \ secunde  p(»sitioiiis,  erunt 
177;  et  tot  habuit  primus  dc  proscripta  perutiia.  bursus  dc  portione  .secundi  hominis, 
scilicet  dc  J dc  294  , abice  29  , que  reliabuit  ipse  ex  prediclis  87  , remanebunt  69  ; 
super  que  pone  ^ eorum  pnqitcr  } seciimle  po.silionis  , erunt  92  ; ct  tot  hahuit  se- 
cundus: adhuc  de  49,  que  sunt  ^ de  294,  scilicet  dc  portione  Icrcij  hominis,  extrahe 
29,  j*cmancbuiit  20  : quibus  adde  | eorum  pro  { secunde  positionis,  erunt  23;  ct  tot 
hahuit  tercius  homo.  Et  si  proponeretur,  primum  rehabuisse  | ex  hoc,  qiiiNl  |M>.sne' 
runl  iu  comuuc;  secundum  tcrcium  -j,  operaberis  ut  supra,  donec  habeas  87:  deinde 
sub  secunda  positione  pone  in  tercia  ; | scilicet  ]iartes,  qiic  rchabucrunt  ex  po- 
sito in  comune:  quas  partes  accipe  de  216,  et  habebis  los  super  | , et  72  super  | , 
et  36  super  |,  ul  iu  hac  alia  cernitur  desi'riptiouo.  Et  quia,  extractis  ij)sis  numeris 
per  ordinem  dc  numeris,  qui  sunt  super  primam  positionem,  uicliil  remanet.  Ideo  niehil 
del>emus  addere,  ucl  extrahere  a 216.  Quare  216  erunt  residuum  , quod  remanet  eis, 
posita  87  in  comuuc.  Quare  adde  87,  et  2I6  , erunt  303  pro  summa  totius  ]>ecunie  ; 
quam  diuides  inter  eos  ordine,  quu  diuisisti  294;  ct  tuuenies,  primum  habuisse  162; 
secundum  96;  lercium  45.  Rursus  diuidatur  id,  quo<l  |K>sucnitit  in  comunc;  ita  quod 


IK  III  f|iiu  . . ft  »1 
n-r.’liir  r (fwl.  129  'ict. 

I3-7X  « f(»  I (>*g.  I9X  . Ita. 
XI  31S 


36 

72 

IQS 

D 

» 

■X 

i 

1 

1 

i 

1 

36 

72 

198 

5! 

• 

r 

'I 

Digitized  by  Googie 


ri  2».  •!>•«  ....  <i«  ss$  > iM. 
Uu  liH.  S-Uvr«R.  Vili, 

hm.  i lK  . 


(6D 

336 

507 

120 

210 

360 

t 

1 

i 

1 

3 

t 

i 

i 

72 

3.S6 

360 

« 

z 

1 

19 

a' 

? 

2T 

IIG 

145 

••>■1  i«tM  iiiatn  ....  t|uii>m  1 
4 T^fta  , Itn.  W-li  ( 

m.  iin  V6-V9 


ir..i- 


30  t20 


150 


«•  i * **'"* 

( 4 i iwvnd* 

100  100  lOO  trr<»* 


M 


Ito 


iM 

primus  relmbcat  inde  sccundiLs  | ; tercius  ^ : positis  quidem  partibus  trium  po- 
.ritioniim,  ul  liic  cernitur»  multiplica  6 |)cr  is;  que  per  lO,  in  quibu«  ^eperiuntur  fra- 
etiunes  trium  )M>.sitiuiium»  erunt  Tio;  que  jk>uc  diuiso  ]>cr  partes  prime  positionis,  el 
tcrcic,  el  halKibi.s  3G0  super  et  S40  super  J;  et  lio  super  et  super  partes  tcrcie 
positionis  habebis  360,  el  288,  et  72  : deinde  accipe  per  ordinem  j de  360,  | et  ~ de 
240,  et  ^ de  120,  scilicet  partes  secunde  positionis,  erunt  190,  et  80,  et  30,  que  sunt 
in  summa  200)  et  tot  |K>sucrunt  in  comune  : deinde  de  360  prime  positionis  extrahe 
360  tcrcie,  remanet  o;  cuius  dimidium,  cum  sit  o,  relinque,  et  de  288  extrahe  240,  re- 
manent 48  diminuta:  ct  h(»c  dico,  cum  288  non  possunt  extrahi  de  240:  dc  quibus  46 
accipe  \ pro  \ secunde  |HXsitioni.s,  erunt  16  diminuta  , que  serua  : et  extrahe  72  dc 
12Q,  remunent  46  addita  ; pro  quibus  habentur  12  similiter  addita.  Op|Kmc  itaque 
addita  cum  diminutis  , scilicet  13  cum  le  , remanebunt  4 diminuta  ; que  adde  cum 
720,  erunt  724;  et  tot  remanserunt  eis  positis  200  prcscriptis  ; qiiibu.s  insimul  additis, 
reddunt  toi4  pro  summa  totius  pcctinie  eorum  : deinde  diuidc  200  per  partes  tercic 
|)0.sitiunts;  ct  hal>cbi.s  14S  sub  |,  et  H6  sub  et  29  sub  ct  10I4  diuide  per  partes 
prime  positionis,  uenient  507,  ct  338,  cl  I60.  Deinde  de  S07  extrahe  45,  remanent  362; 
quibus  adde  | eorum  propter  quod  est  in  secunda  {Misitionc,  erunt  543;  et  tot  sum- 
psit primus  dc  comuni  pecunia.  Similiter  dc  338  extrahe  <16,  remanent  222  ; quibus 
superadde  tcrciam  eorum  , erunt  296  ; ct  tot  sumjisit  secundus.  Item  extrahe  29  dc 
1G9,  remanent  J4o:  quibu.s  adde  quartam  eorum,  erunt  I7s;  et  tot  sumpsit  tercius  de 
prccHcta  pecunia.  Et  si  diceretur,  summa  totius  pccunic  fui.sse  loo;  multiplica  543,  el 
296,  ct  173  jver  100,  ct  diuidc.s  unamquamque  multiplicationem  |>er  ioi4. 

Item  tres  homines  balieant  pecuniam  coiminem  , de  qua  | sit  primi ; secundi  | ; 
tcrci)  ^ : quam  cum  sumerent  inter  sc  fortuitu,  primus  ex  hoc,  quod  cepit,  posuit 
^ in  corounc;  secundus  {;  tercius  ex  quibus  jiusitioiiibus  unusquisque  cepit  terciam; 
et  sic  quilibet  eorum  suam  babnit  portionem  : pro  prima  quidem  po.sitionc  pones  ^ 
I j*,  et  pro  tcrcia  in  J ; pro  secunda  quwpie  0|K»rlebit  |)onere  J J 1 ; cum  id,  quod 
jKxsuit  primus  in  comune,  fuerit  quantum  illud,  quod  rcman.sit  ci;  et  id,  quod  posuit 
secundus,  fuerit  | eiu.s,  quod  remansit ; cl  positio  tcrcij  fuerit  \ sui  rc.sidui  : pone 
itaque  ipsas  pi^iiioncs  in  ordine;  et  multiplica  10  per  10  ; que  per  3 , et  habebis 
300  , iit  quibus  rcj»criunlur  fractiones  trium  positionum  : quare  pone  300  in  partes 
prime,  ct  tercic  positionis,  diuLsa  super  ipsas  positiones;  ct  balirbi.s  .super  primam  po- 
sitionem 150,  ct  120,  ct  30  ; ct  .super  tcrciam  habebis  loo  ter  : deinde  accipe  partes 
secunde  positionis  de  numeris  superioribus,  uenient  150,  ct  60,  et  6;  boc  est  in  summa 
216,  que  habeantur  pro  eis,  que  posuerunt  in  comune.  Item  extrahe  100  de  iso,  re- 
manent 50;  que  diuide  per  t secunde  positionis  , exibunt  50  addita  r adhuc  extrahe 
100  dc  120,  remanent  20;  quorum  medietas  sunt  10  addita:  que  adde  cum  50  additis, 
erunt  00  addita.  Item  extractis  30  de  100,  remanent  70  diminuta,  quarum  quinta  sunt 
14  diminuta:  quibu.s  extractis  dc  60  additis,  remanent  46  addita;  que  extrahe  de  300, 
remanent  254,  que  sunt  re.siduum.  Quare  adde  ca  cum  xio,  erunt  470  pro  summa  pe- 
cunic  eorum:  quam  cum  diuiseris  ordiue  demonstrato,  inucnies,  primum  sumpsis.se  326; 
secundum  I74;  que  cum  in.siniul  iunguntur,  faciunt  plus  dc  470.  Quare  hec  questio  non 
potest  I solui,  nisi  soluatur  curo  aliqua  propria  pecunia  lercij  hominis;  ct  tunc  erit 


Digitized  by  Coogie 


407 

talis  questio,  quod  pecuniam,  quam  ipsi  tres  habebant  corminem,  ncc  non  et  pecuniau; 
propriam  tercij  liominis,  sumpserunt  fortuitu  inter  primum,  et  secundum  liomincin. 
Tost  hcc  pnmus  posuit  in  comunc  ^ ex  lioc,  quod  ceperat.  Secundus  ex  (|uilms  po> 
.sitiunibus  tercius  humo  cepit  ^ dc  ipsa  pecunia  propria,  quam  socij  liabucrurit.  Post 
hcc,  dc  residuo  unusqiiisf|ue  sumpsit  tcrciam  partem;  et  sic  habuit  quilibet  i|)sorum 
id,  quod  suum  erat  ; et  tunc  , ut  diximus,  primus  sumeret  326  ; secundus  174  ; ct 
pecunia  propria  tercij  liominis  fuit  30:  quam  si  20  esse  uis,  erit  sic  30  ad  20,  ita  320 
ad  id,  quod  sumpsit  primus;  el  sic  174  ad  id,  quod  sumpserit  secundus.  Quare  multi- 
plicabis 326,  ct  174  per  20;  ct  diuides  [>ci‘  30  , scilicet  acci|)c  | eorumdem  , exibunt 
I 217,  ct  116  pn>  suni|0>onibus  cnnim:  de  quuriim  summa  extrahe  20  predicla,  rema- 
nebunt \ 313  pro  summa  corounis  peciinie.  Nam  si  uis,  ut  comuuis  pecunia  .sit  100;  et 
«jucras  quantitatem  proprie  pecunie  tercij  liominis,  nec  non  el  ((uantum  cepit  iititis- 
quisi{uc  reliquorum,  erit  tunc  .sicut  470  ad  lao,  .scilicet  sicut  tnueiila  summa  ad  que- 
sitam,  ita  30  ad  pecuniam  tercij  hominis.  Quare  multiplicabis  10  |M?r  30,  ct  diuides 
l>cr  47,  exibunt  jy  0 pro  |>ecuuia  propria  tercij  hominis  ; que  adde  cum  loo  , erunt 
^ too;  que  multiplica  per  326,  et  per  174;  et  diuidc  unamquamque  multiplicationem 
per  coniunctum  ex  cis,  scilicet  per  300. 

De  e(Hlem  inter  homines. 

Rvrsus  .Illi.*'  Iiomiiics  halieant  pecuniam  cumuiiem,  cuius  tcrcia  sit  primi,  ct  ^ sit 
.secundi,  ct  \ sit  tercij,  et  \ sh  quarti;  quam  totam  ^iccuniam,  cum  iiitcr  se  fortuitu 
diuiderent,  primus  ex  bijs,  que  ceperat,  po.suit  dimidium  in  comunc  ; secundus  J; 
tercius  quaiiiis  J : de  quihus  .iiu.*'  positioriibu.s,  cum  uiius<|uis(pie  caperet  qui- 
libet ip.surum  habuit  suam  |K>rtionem  : pones  itaque  in  prima  {Hisitione  | j |;  et 
iii  secunda  ; | ^ t;  «t  in  tercia  jmnes  { quater,  ct  operaberis  ut  supra;  ct  inuenies, 
summam  pecunie  esse  2100;  dc  quibus  primus  sumpsit  <034;  secundus  ooo;  tcrciu.s  300; 
quarius  190. 

De  ,uu/'  pesonibuSf  quorum  pondus  erat  librarum  quadraginta, 

Qvidam  baliebat  pesoiies  .iiij.*',  cum  quibus  poiulciTibal  integras  libras  suarum 
mercium  a libra  una  usque  in  libris  40  ; queritur  pondus  uniusciiius<]ue  pesonis  ; 
jKiudus  quidem  primi  ojHirtuit  esse  unius  libre;  ut  cum  ipso  ponderaretur  libra  una. 
Secandi  duplum  ciu.s,  t addita,  scilicet  3,  uel  triplum  i|>sius  primi;  cum  quibus  duobus 
pcsoiiibus  possunt  |>ondciari  a libra  una  usque  in  4 : pondus  autem  tercij  est  1 , 
plus  duplo  amborum,  hoc  est  triplum  secundi,  scilicet  9:  pondus  autem  quarti  est  1, 
plus  jKiodcris  reliquorum  trium,  hoc  est  triplum  teicij,  scilicet  27;  quorum  ponderibus 
insimul  iunctis  faciunt  4o.  Vridc  si  uis  scire,  qualiter  ponderari  possunt  cum  bijs  pe- 
sunibus  a libra  1 usque  in  libris  40  quelilx:t  libra,  ut  dicamas  14,  ponitur  quartus 
peso  in  una  lancea,  et  reliqui  ponuntur  in  alia;  et  cum  ponitur  idem  quartus  pesu  cum 
primo,  cl  ab  alia  ponuulur  reliqui,  .scilicet  9,  et  3 , tunc  ponderari  possunt  libre  I6: 
et  cum  ponuntur  quartus,  et  .secundus,  cl  primus  ab  uiia  parte,  scilicet  27,  et  3,  ct 
I,  quorum  pondus  est  3i;  ct  ab  alia  ponitur  tercius,  scilicet  9,  tunc  possunt  ponde- 
rari libre  22,  que  sunt  a 9 usque  in  3i  ; et  sic  intelligas  in  reliquis.  £t  si  adderes 
quintum  pe.spnem, cuius  pondus  e.sset  triplum  quarti,  scilicet  ai, ponderari  cum  bijs  quin- 
que pesonibus  quullibet  libre,  a libia  una  usque  in  libras  l2i;  et  sic  eodem  ordine  pos- 
sunt addi  pesones  in  infinitum.  38 


iMTki  hiitNiai.  rrmt 

rum  l)U.<r«>*.lM..  IX 

XI.  HI.  xlii.  Ii».  ia-x;j. 


1 240. 

1 

2HH.  432. 

4HoT^ 

i 

1 t 

1 X 

£ 

« 

> i* 
1 i 

1 

1 1 

360. 

t 1 

360.  360. 

• I 

360.  ' 

1 

\ 

( 4 

i 4 

1 

t 

! 

Digilized  by  Googie 


tw 

De  homine  » qui  habebat  sispfios  quinque  argenti.  | 

I..I.  ni  ,cr*0.  Qvidam  dabat  cuidam  pro  suo  opere  cotidie  mardiam  t argenti,  quam  pereoluebat 
cum  ciphis  quinque,  quos  habebat,  ita  quod  non  fningelxitur  aliquis  eorum;  et  hoc 
fveit  diebus  30:  pondus  primi  ciplii  fuit  1,  cuius  duplum,  scilicet  marclie  2,  fuit  pondus 
secundi;  pondus  quidem  tercij  fuit  4,  scilicet  duplum  secundi.  Pondus  autem  quarti 
fuit  duplum  terci),  scilicet  8;quorum  |K>ndcribus  .iiu.*'  ciphorum  insimul  iuriclis,faciunl 
roarchas  15;  quibus  extractis  ex  marcis  30,  remaneut  marclie  is  pro  ]H>ndere  quinti  ciphi. 
lu  primo  quidem  dic  dedit  ei  primum  uas.  In  secundo  recepit  ab  eo  i])sum  primum, 
et  dedit  ci  secundum,  lii  tcrcio  reddidit  dominus  operario  ipsum  primum.  In  quarto 
die  recepit  dominus  ab  operario  primum,  et  secundum,  et  dedit  ci  tenium;  et  sic 
predicto  ordine  pereoluit  cum  cotidie,  usque  in  diebus  30. 

Dc  duobux  hominibuSi  qui  habuerunt  poma. 

£x  duobus  hominibus  unus  habuit  puma  iO,  uliiis  30;  ct  cum  essent  ambo  iu  uno 
foro,  unusquisque  uciididit  cx  suis  pomis  nescio  quot.  Sed  pretium  eorum  fuit  idem: 
et  cum  uenissent  tn  alio  foro,  uendiderunt  reliqua  similiter  cquali  pretio;  ct  fuit  illud, 
quod  habuit  primus  cx  suis  lo  pomis,  quantum  illud,  quod  habuit  secundus:  queritur 
pretium  pomi  in  unuqiUKpie  foro,  nec  11011  et  quot  fuerunt  puma  uniuscuiusque  uen- 
dita  in  quolibet  foro.  Numerum  quidem  pomorum  primi  hominis,  scilicet  io,  diuidc 
iii  duas  partes,  ita  quod,  extracta  prima  parte  cx  numero  pomorum  alterius,  scilicet 
dc  3«,  remaneat  iiumcms,  qui  intcgraliler  diuidutur  per  secundam  pariem;  et  quod  ex 
diulsiune  peiucncril  , erit  pretium  uniuscuiusque  pomi  uenditi  in  secundo  foro.  Et 
quia  de  semel  30  extrahitur  semel  prima  pars,  erit  semel  denarius  < pretium  unius- 
cuiustjuc  poiui  uenditi  in  primo  furo.  Verbi  gratia  : sint  10  diulsa  in  o , et  4 ; ct 

extraliaiitur  6 de  30,  remanent  24;  que  diuide  per  secundam  partem,  scilicet  per  4, 

ucniunl  6 pro  pretio  ^K»nii  uenditi  iu  secuudo  foro;  et  sic  habes,  quod  pretium  po- 
morum phmi  fmi  fuit  denanus  1,  et  secundi  fori  fuit  denarij  0.  Sed  ut  habeas  poma 
utriusque  fori  , accipe  ergo  alibilum  cx  prcdictls  6 partem,  qualem  uis,  pro  }K)mU 
primi  hominis  ucnditls  iti  primo  furo;  ct  aliam  partem,  silicei  residuum,  extrahe  dc 
3o;  ct  quot  rcmaucbuiit,  erunt  puma  primi  hominis  uendita  in  primo  foro.  Vt  si  uis, 
r|Uod  )>ritims  humo  uendiderit  pomum  unum  in  primo  foro,  extrahe  ipsum  dc  6,  re- 
manent 5;  ct  tot  {K>ma  uciididit  secundus  homo  in  secundo  foro:  quibus  extractis  dc 
30  , remanent  £S  pru  pomis  uciiditis  in  primo  foni  ab  ipso  secundo  liominc;  et  sic 
umis(|iiis(pic  habuit  denarios  $5.  Et  si  ponas,  ut  puma  S uendat  primus  homo  in  primo 
foio,  extralic  ea  dc  6 supradictis,  remanet  1 ]iro  id,  quod  sccuudus  uendidit  in  se- 
cundo furo;  reliqua,  scilicet  so,  uendidit  in  primo;  el  sic  habuit  unusquisque  denarios 
35:  ct  si  uis,  ut  unus4jtiis4pie  halicat  denarios  45,  extrahe  3S  de  3S,  remanent  so;  que 
diuidc  per  4,  que  suiit  a pomo  uno  primi  hominis  usque  iu  5 eiusdem,  ucuiunl  s; 
et  tot  denarij  minuentur  de  3S,  si  addideris  unum  |H>mum  super  i]isum,  quod  posuimus, 
primum  hominem  ucudidisse  in  primo  foro.  Quare  in  i|isis  ]>omis  5 diuidc  diiTercntiam 
pomorum,  que  e.st  a 45  in  55,  exibunt  2;  quibus  additis  cum  i predicto,  quod  extra- 
ximus dc  6,  reddunt  3;  ct  lot  poma  ucudit  primus  iu  primo  foro  , de  quibus  habuit 

denarios  3:  reliqua,  scilicet  7,  ueiidil  in  secundo  foro,  cx  quibus  habuit  denarios  42; 
ct  sic  habuit  denarius  4S.  Extrahe  quidem  ipsa  3 dc  0 , remanent  3 ; et  tot  poma 


Digilized  by  Goot^Ie 


«H» 

ucmlil  scrundti-s  in  sccuiulo  foro  , dc  quilms  liabiiil  denarios  is  : reliqua,  scilicet  27, 
uendidit  in  pnmo  pro  deiianjs  27;  et  Imbuit  similiter  4$.  { 

Et  st  ponatur,  quod  summa  denariorum  imiuscuiusfjue  sit  minor  numero  pomorum  f-i  ui 
secundi,  tunc  duplicabis  ipsum,  ucl  |>er  aliquem  numerum  multiplicabis,  donec  pro> 
ueniat  numerus,  qui  sit  maior  tiumem  pomorum  secundi,  et  minor  summe  difliiiitioiiis 
maioris.  Nam  dlllinitiunem  inuiurem  dicimus,  quando  primus  bomo  ucndil  unum  tantum 
pomum  in  uiliori  foro.  In  qua  summu  superius  babniimis  denarios  55;  et  tunc  secundum 
ea  que  di\iiiius,  consolabis  uciiditionem  eorum  in  ipso  numero:  quo  facto,  «liuides  pretia 
utrius<|uc  furi  per  numerum,  iii  quo  muUipHcaueris  summam  qiicsitam  ; ct  hal>cl>is 
propositum.  Verbi  gratia  : pone  unumquemque  habuisse  ex  suis  ]>omis  denarius  20  ; 
quibus  duplicatis  faciunt  40:  ergo  uolo  consolare  poma  suprascripla,  ita  ut  unus«{uis* 
t{uc  habeat  denarios  40  ex  suis  |>omis.  Diuides  ergo  differcritiam,  qtic  est  a 40  in  55, 
scilicet  15  , ]>cr  dUrerentiam,  que  est  a pretio  pomi  primi  furi  in  pretium  secundi , 
scilicet  per  5,  exibunt  3:  quibus  additis  super  pomum  maioris  diOinitionis , scilicet 
su|>er  I,  faciunt  4;  ct  tot  |M>ma  uendidit  primus  in  primo  furo  : quibus  extractis  de 
prima  parte  diuisi  decenarij,  scilicet  C,  remanent  2;  ct  tot  poma  uendidit  .secundus 
iti  secundo  foro.  Kt  quia  duplicasti  20,  diuides  pretia  unius  pomi  utriiisquc  fori  j>ei' 

2,  scilicet  t,  ct  0,  exibunt  pn»  pretio  primi  fori  | unius  denarij;  ct  pro  pretio  secundi 
denarij  3.  Et  si  uls  summam  denariorum  ipsorum  ascendere  su|>cr  maiorem  dillinitionem, 
scilicet  super  55  , duplicabis  ipsam  diflinitioiiem,  ucl  triplicabis,  uel  per  aliquem  nu- 
merum multiplicabis,  donec  prouciiiat  numerus  maior  quesila  summa;  et  tunc  super- 
liabundaiitiam,  que  est  inter  ea,  diuide  |>cr  differentiam,  que  est  inter  pretia;  ct  qu(xl 
proueiicrit,  diuide  per  numerum,  in  quem  nuiltiplicaucris  dictum  dilTiniiiuncin;  ct  lia- 
l>cbis  illud,  qiiml  dcl>es  addere  su|)cr  numerum  pomorum  primi  boniinis  in  primo  foro; 
ct  niultiplicabis  ]>ietia  utriusfiue  fori  per  eundem  mimerum,  in  quo  imilliplicasti  inu- 
iorein  dininitumein.  Verbi  gratia:  poiiaiims,  ut  utenjuc  ipsorum  liu1>eat  ex  suis  pomis 
denarios  too.  Quare  multiplicabis  55  per  2,  criiiit  lio;dc  quibus  extrabe  lOO,  remanent 
10;  qtic  diuide  per  differcntumi  pictiorum,  scilicet  {ter  s,  exibunt  2;  que  diuide  per 
2,  in  quibus  nuiltiplicasti  ss,  exibit  l;  quod  adde  super  pomum  unum,  quod  primus 
uendidit  in  primo  foro,  erunt  poma  t uendila  in  ipso  foro.  Hcliqua  8 erunt  uendita  in 
secundo  foru.  Et  quia  multiplicasti  S5  per  2,  multiplica  pretium  tilriusquc  fori  per  2; 
ct  habebis  denarios  2 pro  pretio  pnmi  fori,  el  denarios  12  pro  pretio  secundi.  Verbi 
gratia  : ex  duobus  pomis  habuit  primus  homo  in  primo  denarias  4,  et  dc  reliquis  a 
in  secundo  habuit  denarios  96;  ct  sic  habuit  denarios  100  ex  decem  pomis.  Deinde,  ut 
habeas  diuisionem  pomorum  secundi  utrius(|ue  fori,  abice  poma  2 primi  hominis  ex 
pomis  6,  scilicet  ex  prima  parte,  quam  superius  dc  10  fecimus.  Nam  ijxsa  pars  est  summa 
pomorum  uendita  a primo  homine  iii  primo  foro , et  a secundo  homine  in  secundo 
remanebunt  |)oma  4 ; dc  quibus  habuit  secundus  in  secundo  foro  denarios  48;  et  de 
reliquis  pomis  26  habuit  in  primo  fun>  denarios  52  ; et  sic  habuit  denarios  100  ex 
omnibus  suis  pomis. 

Potes  etiam  alio  modo  ad  habendam  quamlibet  summam  denariorum  procedere,  cum 
solidata  cninl  poma  utriusi|uc  in  aliquo  denariorum  numero;  quia  erit  sicut  numerus 
ilic  ad  summam  quesitam,  ita  pretium  iiiuentum  uiiiuscuiusijuc  fori  ad  pretium  que- 


Digitized  by  Google 


300 

situiu  eiusdem.  Verhi  gratia:  ponamus^  unumquemque  liajluiisse  denarios  70  ex  .suis 
quia  superius  in  minori  diOinitionc  habui  denarios  35,  et  poma  primi  liomini.s 
fuerunt  diulsa  in  5,  et  9>  secundi  in  29,  et  i;  erit  itaque  sicut  35  ad  70,  ita  i,  sciUcet 
inuentum  pretium  primi  fori,  ad  pretium  quesitum  eiusdem;  et  sicut  35  ad  70,  ita  6, 
.scilicet  iiiuenluni  pretium  secundi  fori,  ad  quesitum  pretium  eiu-sdem:  quare  multi- 
plicabis 70  per  inueata  pretia,  scilicet  per  i,  et  (>cr  6,  et  diuides  utramque  multi- 
plicationem per  35)  et  hal>ebis  pro  pretio  primi  fori  denarios  2,  et  pro  pretio  secundi 
denarios  <2;  et  diuisio  |>omorum  erit  eadem.  Nam  primii.s  in  primo  foro  ex  ]>omis  5 
habuit  denarios  lo,  et  cx  aliis  s Imbuit  in  secundo  denarius  60;  et  sic  habuit  denarios 
70  ex  suis  pomis,  ut  querebatur:  totidem  etiam  habuit  secundus  cx  pomis  20  ueiiditis 
in  primo  foro,  ct  cx  pomo  t uctidilo  in  secundo.  Et  ut  liec,  que  dicta  sunt,  melius  chicc- 
scant,  habral  primus  boniu  poma  12,  secundus  32;  et  habeant,  ut  dictum  est,  ef^ualitcr 
)Mist  uenditionem  jmmorum  in  utroque  foro  : et  uoio  iterum,  ut  pretium  primi  tori 
sit  denarius  i : diuides  12  in  duas  ut  lilmt  partes  ; et  habeas  primam  pro  .summa 
pomorum,  que  primus  uendidit  in  primo  foro,  ct  secundus  in  secundo:  ct  abire  eam 
de  numero  pomorum  secundi  hominis,  scilicet  de  32;  residuum,  quod  remansit,  diuide 
per  secundam  j>arlcm;  ct  quo<l  pruueneril  erit  pretium  uniu.s  pomi  uenditi  tn  secundo 
foro.  Deinde  accipe  rpjotuis  poma  cx  prodicta  prima  parte,  ct  habeas  oa  pro  pomis 
ucriditis  a primo  homine  in  primo  foro;  ct  que  cx  ipsa  jmrte  rcmaii.serint,  lial»ca.s  pm 

pomis  uenditis  a secundo  in  secundo  foro.  Verbi  gratia:  sit  prima  pars  s,  .secunda  4; 

et  auferantur  s de  3S,  remanent  2i;  quibus  diuLsis  ]>er  secundam  partem,  ucnient  de- 
uari)  s pn>  pretio  secundi  fori  : deinde  diuide  8 in  duas  qitalcsiiis  partes,  ut  di- 
camus in  5,  et  3;  et  habeas  poma  5 pro  eis,  que  piimu.s  uendidit  in  primo  foro:  re- 
liqua 3 uendidit  .secundus  in  secundo  foro  : <juihus  extitictls  ex  pomis  eurum,  rema- 
nent (K>ma  7 pro  eis,  que  [)rimus  uendidit  in  secundo  foro;  et  2i>  pn>  eis,  que  ucii- 
didit  secundus  in  primo;  et  sic  primus  Imbuit  denario.s  5 ex  jKimLs  S,  et  denarius  42 
ex  pomis  ?;  ct  sic  habuit  in  sumina  denarios  47;  et  totidem  habuit  secundus  ex  pomis 
28,  ct  ex  pomis  3:  ucl  diuidantiir  12  in  7,  ct  5,  ct  auferantur  7 dc  31;  et  reliqua  25 

diuide  per  5,  et  habebis  denarios  8 pru  pretio  primi  fori:  et  diuide  7 iii  quales  uls 

partes;  et  habeas  unam  partem  proportionis  primi  liumiiiis  primi  fori,  ct  aliam  pro 
|K>mis  .secundi  fori  secundi  hominis:  ct  .si  uis,  quixl  pretium  primi  fori  sit  alius  nu- 
merus denariorum  <{ualem  uis,  erit  diuisio  jMimorum  eadem.  Sed  pretium  secundi  fori 
cadet  proporlioiialiter,  uidelicet  sicut  1 est  ad  numerum  illum,  ita  pretium  inuentum 
.secundi  fori  ad  pretium  que.situm  ciii.sdcm  fori.  Verbi  gratia:  ut  si  uis  ualcrc  ])oinuin 
denarios  3 in  primo  foro;  quia  3 triplum  sunt  de  1.  Ideo  triplica  pretium  secundi  fori, 
et  sic  liabebis  in  prima  ditiiniliune  denarij  ir  pro  pretio  secundi  fori,  et  denarios  is 
in  secunda  diOiniliouc.  Fl  si  proponatur,  primum  liahuls.se  ex  jmmls  12  aliquod  mul- 
tiplex denariorum  secundi,  ut  dicamus  duplum,  inuenias  summam,  quam  uolueris,  cqiia- 
lem,quam  habeat  umis<|tiis(|ue  ex  suis  j>oinis,  secundum  modum  prcdictiim;  ita  ut  {)oiua 
secundi  furi  excedant  duplum  [lomornm  secundi  fori  secundi  hominis;  ct  tunc  dc  pomis 
. 13«  secundi  fori  primi  hominis  aliice  duplum  pomorum  .secundi  fori  .secundi  habca.s  {sic)i  | ct 

quod  residuum  fuerit,  serua;  ct  pro  prcdicto  duplo  duplica  predictam  .summam:  de 
qua  duplicatione  abice  ipsam  summam,  hoc  csl  multiplica  ijisam  summam  per  1,  scilicet 


Digitized  by  Googie 


aoi 

unum,  minus  dc  t propter  duplum  predictum  ; et  quu<l  proucnerit,  diuidc  per 
serualum  residuum;  et  tpiod  ex  diuisione  pcruencril,  adde  sujier  pretium  socutidt  foii, 
ct  habebis  propositum.  Verbi  gnitia.  SiiU  )>nma  8 primi  Iiomiuis  in  primo  foro  , et 
reliqua  6 in  secundo;  ct  pn^tium  primi  sit  1,  secundi  5;  cl  sic  habebit  ipse  denaiios 
36  in  summa  , quam  habc]>it  seciimliis  ex  pomis  3l  iu  primo  foro,  et  ex  pomo  i in 
secundo  : abice  ergo  duplum  ipsius  pomi  de  pomis  secundi  fori  jirimi  hominis,  sinlicet 
de  6,  remanent  4:  in  quibus  diuide  multiplirationem  do  l in  36,  exibunt  0;  que  adde 
super  pretium  secundi  fori,  eninl  I4;  cl  tot  uendiderunt  pomum  iii  seeuudo  foro;  et 
sic  habuit  primus  denarios  oo;  secundus  45.  Et  si  uis,  primum*habcre  triplum  denariorum 
secundi  , abice  cx  prcdictU  6 iripluui  tutius  |>omi,  (juod  secundus  uondidit  in  secundo 
foro,  remanent  3;  in  ‘quibus  (jiuide  multiplicationem  de  s iii  36;  quia,  extracto  i dc 
3 propior  triplum,  remanent  s,  exibunt  S4:  quibus  additis  sujkf  5,  scilicet  super  pretium 
secundi  fori,  erunt  20;  et  tot  ualuit  pomum  iii  secundo  foro;  et  sic  primus  habuit 
denarios  6 ex  pomis  6,  et  denarios  174  ex  reliquis,  hoc  est  ia  siiiiima  denarios  iso; 
tercia  pars  quorum  habuit  secundus  ex  |>omis  31  )>rimi  fori,  ct  cx  pomo  uno  secundi. 
Kt  si  uls  pretium  secundi  excedere  pretium  primi  in  aliqua  multiplicitate,  ut  dicamus 
in  quadruplo,  inucnias  ordine  eodem  summam  ipsorum  cqualcro,  secundum  aliquam  di- 
ulsionem  pomorum  i]isorum  ; el  tunc  pro  quadruplo  accipe  J cx  numero  pomonim 
secundi  fori  secundi  hominis;  quam  extrahe  cx  numero  ]>otuoruiu  eiusdem  fori  primi 
hominis,  et  residuum  serua;  in  ([iio  diuidc  summam  denariorum  ipsorum,  quarta  cius 
inde  extracta;  hoc  est  per  dictum  residuum  diuidc  f ipsius  summe;  ct,  quod  ex  diuisione 
peruenerit,  ahicc  cx  pretio  i auen tu  secundi  fori;  et  quod  residuum  fuerit,  erit  quesituni 
pretium  eiusdem  furi.  Verbi  gratia.  Sint  0 poma  primi  fori,  ct  6 secundi  ex  pomis 
primi  hominis  ; ct  pretium  unius  pomi  in  primo  foro  sit  1 ; in  secundo  11.  Quare 
poma  .secundi  hominis  primi  fori  sint  ss;  .secundi  4;  ct  summa  denariorum  uniuscuius- 
que , esi  73.  Accipe  ergo  * de  4,  scilicet  t,  et  extrahe  eam  de  pomis  e secundi  fori 
primi  hominis,  reinanchuat  5:  in  quihiis  diuidc  | de  72,  scilicet  54,  exibunt  \ 10;  que 
extrahe  cx  il  , scilicet  cx  pretio  secundi  fori,  remanet  ^ ; el  (ut  ualuit  |M>mum  in 
sccuudo  foro,  cum  pretium  primi  fori  sit  1.  Quare,  ut  habeas  hcc  in  integrum,  multi- 
plica utrumqiie  pretium  per  5,  ct  habebis  5 pro  pretio  primi,  ct  1 pro  pretio  secundi; 
ct  sic  habuit  primus  ex  suis  pomis  soldos  3;  secundus  soldos  12,  scilicet  qiiaduplum  (.fic) 
denariorum  primi,  ut  querebatur. 

Muilns  nlitts  in  questione  pomorum. 

bvrsus  Iiabet  unusi{ulsque  cqiialitcr  |h>sI  uciiditionem  {mmomm  utriusf|uc  furi;  el  .sit 
pretium  uniuscuiusque  f<iri  iioiniiiatum,  uel  iu  aliqua  data  pn>portione;  tunc  cognoscas, 
si  <|ucstio  poterit  solui:  multiplica  minus  pretium  |)cr  maiorem  multitudinem  pomorum, 
cl  maius  pretium  per  minorem  multitudinem.  Et  si  ultima  muUipItcatiu  fuerit  maior 
uiio,  tunc  solubilis  erit  questio;  ct  tunc  extrahes  minorem  mulliplicatioiieni  de  maiori; 
ct  de  residuo  extrahe  dilferentiam,  que  esi  inter  pretia  utriusijuc  fori  semel,  uel  bis, 
uel  quotiens  uolueris,  donec  inde  ali(|uid  remaneat;  quod  residuum  diuide  (>er  prodictam 
di^crentiam;  ct  quod  pruuencrit,  habeas  pro  pomis  secundi  fori  uctiditU  S .secundo  ho- 
mine, ct  quotiens  dictam  diiTercnliani  extraxeris  de  prediclo  residuo,  toticus  pomum 
unum  ucudidit  primus  homo  iu  primo  foro.  Verbi  gratia.  Sint  iterum  jmma  | primi 


M.  11} 


Digitized  by  Googie 


30S 

Iiominis  is  , secundi  33>  cl  pichiim  secundi  fori  sit  quadruplum  pretio  primi  : uel 
pretium  primi  sit  1,  secundi  4:  quia  ex  quater  is,  scilicet  de  4B,  possunt  extrahi  semel 
33,  scimus  hanc  questionem  solubilem  esse.  Quare  extractis  as  dc  4h,  remanent  IS  : 
de  quibus  extracta  diOereutia,  que  est  inter  pretia,  scilicet  3 bis,  remanebunt  9;  quibus 
diuisis  per  3,  scilicet  per  eamdem  dillerentiam  , exibunt  3 ; et  tot  poma  ucndidil 
primus  in  primo  foro,  quia  extraxisti  bU  prediclam  diirerenliam  de  ts;  et  sic  habuit 
unusc]iiis<|ue  denarios  42.  .Aliter  ucndut  primus  homo  ]>oina  3 in  ]>rimo  foro  , ct  in 
secundo,  de  quibus  halicbit  denarios  3,  et  36,  hoc  est  39:  dc  quibus  extrahe  multi- 
plicationem dc  f in  33,  remanebunt  6;  que  diuidc  per  3,  exibunt  2;  ct  tot  |>oma  uciidii 
secundus  in  secundo  foro. 

notrthiUs  de  5 numeris  ingnotis  ivpfnemiis. 

Primus  quidem  cum  .secundo,  ct  tercio  contineat  quartum  semel,  et  dimidiam  eius; 
et  cum  tertio,  et  quarto  coulineat  quintum  bis,  et  quartam  eius.  Cum  quarto  quidem, 
et  quinto  conlincat  secundum  ter,  et  quintam  eius.  Cum  quinio  quoque,  ct  secundo 
contineat  tercium  qtiater,  ct  sextam  cius.  Quia  primus  cum  secundo,  et  tercio  continet 
quartum  .semel,  et  dimidium.  Si  ipsi  tres  numeri  in  summa  .sini  \ 1,  quartus  erit  i. 

I Quare  si  summa  dictorum  fuerit  3,  quarius  erit  2;  et  sic  quartus  ex  summa  primi, 
cl  sccuudi,  cl  teiTij  est  Similiter  cx  adiacentibus  inuenies,  qiiiutiini  esse  j ex  summa 
primi,  et  tcrcij,  cl  quarti.  Secundum  ^ cx  summa  primi,  ct  quarti,  et  quinti.  Tcr- 
ciura  ^ primi,  ct  quinti,  ct  secundi.  Quare  poiic  * { , cl  adde  3 cum  2 , que 

sunt  super  i{>sa  3 prescripte  uirge,  erunt  5;  que  multiplica  per  4 , cl  adde  ter  9 , 
erunt  47;  que  multiplica  per  5,  que  sunt  super  I6,  et  adde  ter  itouies  sexdccim,  erunt 
667;  que  multiplica  ]>cr  e,  que  suut  super  23,  erunt  4003.  Vel  aliter:  multiplica  6 per 
16,  et  adde  quinquies  6;  qtic  omnia  per  0,  et  adde  4 uicibus  5,  uicibus  e;  quod  totum 
per  3,  addens  2 uicibu.s  4,  uicibus  s,  uicibus  6,  scilicet  240,  erunt  similiter  4002:  deinde 
multiplica  3 per  16,  que  sunt  sub  uirga;  que  per  4;  que  ]>er  6,  erunt  1132.  Item  mul- 
tiplica 4 per  16,  ct  3 |>cr  9,  erunt  lOu;  que  ]>er  2;  que  per  6,  que  sunt  super  uirga, 
cruot  1308;  que  adde  cum  iiS2,  et  4002,  erunt  6402,  que  serua;  ct  adde  240  iiiucnta 
cum  1308,  erunt  1548,  que  scrua;  et  multiplica  3 per  9;  que  per  ic;  que  }>cr  23,  erunt 
losoo  : dc  quibu.s  extrahe  inuenta  ii32,  et  1308  , ct  2f0,  nec  non  et  mulliplicatiouem 
de  3,  que  sunt  sub  uirga  in  4 ductam  in  s;  quam  in  6 , que  sunt  .su|>cr  uirgam  , 
scilicet  360,  remanebunt  7740,  qiic  .sema:  cl  quia  unusquisque  scruatorum  numerorum, 
.scilicet  6462,  ct  134S,  et  7740  diuidilur  integralitcr  per  is,  accipe  ~ c\  unoquoque,  ct 
habebis  359,  et  86,  et  430,  que  scrua  circa  ct  crcscc  uiigulam  ticrsus  dextram,  rei- 
terans in  ca  ct  |,  et  ut  liic  ostenditur.  Nam  ^ reiterande  non  sunt,  cum  sint 
peiiultimc  a parte  dextra:  et  incipias  ab  86,  multiplicans  ca  per  35  addita  in  uii^a, 
uenient  iiso  ; que  extrahe  ex  430  ductis  in  6 » que  sunt  .super  ipsa  25  , scilicet  ex 
2380,  remanent  430;  que  multiplica  per  g addita,  erunt  3870;  que  etiam  per  3 similiter 
addita  in  uirga,  erunt  11610;  su|>er  que  adde  multiplicationem  dc  2380  inuenta  4,  que 
sunt  super  9;  quam  in  2,  que  sunt  .super  3,  scilicet  20640,  cnint  32250;  super  que  adde 
multiplicationem  de  86  prctliclis  in  6,  que  sunt  super  is;  quam  in  4;  quam  in  3,  scilicet 
coniuiictum  de  3,  que  sunt  sub  uirga  a parte  dextra  cum  2,  que  .sunt  super  ea;  que 
multiplicatio  e.st  I0320,  erunt  42570;  que  sunt  primus  numerus  : deinde  multiplica  339 


Digitized  by  Googie 


M m 


303 

pusita  super  | per  cailcm  S5,  cruiU  8075;  | <lc  quihus  extrahe  nuilciplicationem  de  430 
serualis  sub  | in  0»  que  sunt  super  S5,  scilicet  S550t  remanent  6395;  que  multiplica 
per  0}  erunt  57555  : dc  quibus  cxtnilie  multlplicatiunein  de  05S0  in  4,  que  sunt  super 
V,  scilicet  i03S0t  remanent  47S35:  que  multiplica  per  3f  enmt  I4t70s  : de  quibus  extrahe 
multiplicaliuncin  dc  f03so  in  s,  que  simt  sii|H?r  3y  scilicet  90640,  remanent  liioos:  de 
quibus  etiam  extrahe  multiplicationem  dc  350  in  6,  que  sunt  super  95;  quam  in  4, 
que  sunt  siqier  9;  (piam  in  5,  scilicet  coniuncliim  de  3 et  9;  quonim  multiplicationum 
summa  est  4308O,  remanent  77085,  (pie  suul  secundus  numerus.  Sed  ut  habeas  ipsum,  et 
primum  numerum  in  miuuribus  tuimcris,  diiiidc  utrumcpie  per  0,  et  habebis  primum  nu- 
merum 4730.  Secundum  8665:  deinde,  ut  iiiucniariius  tercium  numerum,  mulliplica  primum 
numerum,  scilicet  4730,  per  3S0,  et  secundum  per  86;  et  coniuuetum  ex  liijs  duabus 
multiplicaliouibiis  diuide  per  430,  exibunt  5C8s:  cx  quomm  trium  nuiiiororuin  summa 
accipe  et  habebis  pro  quarto  numero  1X718 ; quo  addito  cum  tcit:io  iiumcru  , et 
cum  pnmo,  et  dc  eorum  summa  acceptis  reddent  pro  ipiinto  numei-o  10980. 

IncifHt  f}ar$  8*  decimi  capitali  dc  quibusdam  ditiinathnUtus. 

Cvin  autem  quis  numerum  aliquem  pasuerit  in  corde  suo,  et  uoluerit,  ut  illum  in- 
ucnins:  prccipe,  ut  ponat  dimidium  ipsius  numeri  supra  i|>sum  numerum;  et  si  ali<|ua 
rupta  medietas  concun^etit,  prccipc  ut  faciat  lude  integrum.  Cuius  totius  numeri  medie- 
tatem ponat  iterum  supra  ipsum  numerum:  et  si  aliqua  medietas  concurrerit,  iterum 
in  integrum  restituat.  Deinde  interroga  eum,  si  cx  summa,  <(uam  lialict,  (Kilcst  tibi  dare 
0 ; et  iterum  9 , et  etiam  quoiicnscuiii(|uc  (ibi  {mtest  dure  0.  Kt  tu  piv  quolibet  0 
retineas  tacite  in  corde  tiiu  4;  et  considera,  st  in  prima  pasilione,  cum  {losuit  dimi- 
dium numeri  super  numerum,  fuerit  fracta  medietas,  et  retine  in  manu  1.  Si  iii  se- 
('unda,  retine  9.  Et  si  in  utraque  fractum  fuerit,  retine  3.  Et  summam,  quam  cx  qua- 
tcniarijs  collegeris,  adde  cum  dicta  unitate,  uel  cum  binario,  uel  ternario;  et  liubebis 
propositum  nunieimm.  \ erbi  gratia:  ponatur,  quod  posuerit  in  corde  suo  1 ; su|)cr  quo 
si  {Kisuerit  dimidium  ipsias,  erit  unum,  et  dimidium;  ex  quo  dimidio,  si  fecerit  1,  eruiil 
9.  Et  tu  pro  i|)so  dimidio  retine  in  imuiu  l.  Uursum  si  posuerit  dimidium  ipsorum  9 
su|>cr  ipsa  s,  erunt  3.  In  quibus,  cum  uun  concurrat  fracta  medietas,  ct  (juiu  non 
iiidc  potest  libi  dare  9,  cognoscitur,  quod  ipse  tantum  posuit  in  corde  suo  unum.  Vnde 
si  in  utraijuc  positione  ruptum  uenirct,  et  9 iiidc  tibi  dare  non  posset;  cogium:eres, 
quod  i|isc  in  corde  3 posuisset. 

Oc  eodem. 

Item  |Minatur,  quod  posuisset  iii  corde  suo  10;  super  que  si  {msuerit  dimidium  ipsorum 
(|uu<l  est  5,  fiunt  15.  In  quo  numero,  cum  iion  sit  medium  fractum,  si  su|>eraddidcns 
dimidium  ipsius,  id  est  | 7,  erunt  ;99;  cx  quo  ~ si  feceris  1,  erunt  93.  Et  tu  pro 
cum  sit  tu  secunda  uicc,  retiuc  9.  Et  quia  dc  X3  non  potest  tibi  dare  nouenarium, 
nisi  bis.  Rcliiic  bis  4 pro  ipsis  duobus  9;  et  sic  scies,  quod  10  posuit  in  corde  suo.  ' 'IS ii  t*  * 
Item  ])onatur,  quod  in  utrar[uc  positione  fractio  numeri  sil;  pro  i;uibus  fractionibus  J®*»  ~ i"«  *•" 

seruabis  3:  ct  |>oiiatur,  quod  cx  summa,  quam  in  fine  habuit,  possit  tibi  dare  quater  9; 
pro  quibus  retinebis  quater  4 id  est  te;  et  tunc  cognosces,  quoti  posuit  in  corde  suo  19. 

Item  alia  re^ila  de  eodem . 

MvUiplicet  numerum,  quem  ipse  in  suo  corde  posuit  per  3;  ct  summam  diuidal 


Digitized  by  Googie 


304 

per  S;  et  si  in  ipsa  diuLsione  lupta  medietas  fuerit^  eiciat  eam*  ct  residuum  triplicet 
M iurr</».  iterum;  et  summam  per  s diuidat.  Et  si  fracta  medietas  fueiit  ibi,  eiciat  cam  ; | et 
(juoticiis  tibi  dare  |K>tcrit  9,  pro  quolibet  d retine  4;  ct  si  tantum  in  prima  diuisioiic 
fueiit  rupM  medietas,  retine  in  manu  3;  ct  si  in  secunda  s;  si  in  ulraquc  i,  el  liu- 
bellis  numerum  excogitatum. 

De  eodem,  cum  numerus  excogitatus  non  sit  ultra  i05. 

Diuidat  excogitatum  numerum  j>er  3,  ct  per  5,  et  per  v,  et  semper  interroga,  quot 
ex  unaquaque  diuLsiunc  superfuerit.  Tu  uero  ex  unaquaque  unitate,  que  ex  diuisione 
ternarij  superfuerit,  retine  to;  ct  ]>ro  unaquaque  unitate  , que  ex  diuisione  quinarii 
superfuerit,  retine  si;  ct  pro  unaquaque  unitate,  que  c\  diuisione  septenarij  supei‘fuerit, 
retine  15.  Kt  quotiens  numerus  su|}cr  exercuerit  tibi  ultra  105,  eteias  inde  «os;  et  quod 
libi  remanserit,  erit  excogitatus  numerus.  Verbi  gratia:  ponatur,  quod  ex  diuisione  ter- 
tiari) remaneant  s;  pro  quibus  retineas  bis  sqituaginta,  id  e.st  i4o;  de  quibus  tolle  103, 
15  . remanent  libi  35.  Et  ex  diuisione  quinarii  roniaiient  3;  pro  quibus  reline  ter  31 , id 

KM.  iw.  est  63,  quo  adde  cum  prcdictis  35,  erunt  os.  hl  ex  diuistone  septenun)  remaneant  4 ; 

pro  quibus  quater  15  retinebis,  id  est  co;  que  adde  cum  98  predictls,  erunt  15S;  ex 
quibus  cice  tos,  remanebunt  tibi  S3;  que  erant  excogitatus  numerus. 

pBocedit  enim  ex  hac  regula  pulcrior  diainalio,  uidclicet  ut  si  quis  tecum  noucrit 
lianc  regulam;  et  aliquis  ci  prinalim  dixerit  aliquem  numerum,  tunc  ille  tuus  conso- 
cius, non  interrogatus,  tacite  diuidat  numerum  sibi  dictum  |>er  3,  ct  per  5,  et  per 
7,  predicta  ratione;  ct  quod  cx  qualiliet  diuisione  remanserit  , ]>er  ordinem  tibi  dicat; 
el  sic  ]H)teris  scire  nutnenini  sibi  priualim  dictura. 

Miter.  De  eodem,  cum  numerus  non  ascendat  ultra  3I3. 

Paccijie  ut  numerum,  quem  in  corde  suo  posuerit,  diuidat  per  5,  et  per  7,  et  per 
9 ad  modum  antecedentis  regule;  ct  singulariter  interroga,  quid  cx  unaquaque  diuisione 
remaneat;  et  pro  unaquaque  unitate,  que  ex  diuisione  quinarij  reroaiLserit,  reline  1S6; 
et  pro  qualibet  unitate,  ex  septenario  remanente,  SS5;  el  pro  qualibet  cx  noucnariu, 
28o;  et  semper  cum  summa  exercuerit,  ita  ut  possit  inde  extrahere  3ts,  eice  ea  inde 
quotienscumque  jioteris;  et  quod  tihi  in  flue  reroansent,  erit  quesitus  numerus. 

j^liter  de  eodem. 

Precipe,  ut  duplicet  numerum  excogitatum;  el  duplicato  addat  5;  quod  totum  mul- 
tiplicet per  S;  et  multiplicate  summe  addat  lo:  quo  addito,  multiplicet  totum,  quod 
habuerit,  per  lo;  ct  interroga  eum,  quot  habet;  et  ex  lioc,  quod  ipse  habuerit,  tacite 
iii  corde  tuo,  extrahe  330;  ct  quot  centenaria  libi  superfuerint,  tot  unitates  in  corde 
.suo  projKxsuit:  et  si  aliquis  numeras  libi  superfuerit,  qui  sit  minor  loo,  considera  cx 
co,  que  pars  sil  unius  centenarij;  quia  talis  pai*s  unias  integri,  super  ipsa  integra, 
i(uc  ex  centenarijs  collegeris,  pro|Kisuit  i{>sc  in  corde  suo;  ct  cum  ad  huc  plurcs  ]h»s- 
.semus  dare  doctrinas,  istas  {sic)  ad  presens  sulficiant. 

De  ponetis  trium  taxillorum  inuenicrulis. 

Cvro  autem  quislibet  tres  taxillos  pruieceril;  ct  uolucris,  ut  dicas  puncta,  que  in 
quolibet  taxillo  continentur,  precipe  ci,  ut  duplicet  puncta  unias  taxilli;  et  duplicate 
i|uaiililati  superaddat  5;  quod  totum  multiplicet  per  5,  cui  superaddat  lO,  nec  non 
ct  puncta  alterius  taxilli;  quod  totum  multiplicet  per  lO;  et  multiplicationi  puncta 


Digitized  by  Googie 


;h)5 

ulterius  taxilli  superaddat,  et  tunc  dicat  tihi  quot  habeat:  quod  cum  sciueris,  extrahe 
inde  3S0  ; et  quot  rentenaria  tibi  remanebunt  , tot  puncta  in  primo  taxillo  rorili> 
nentur;  et  quot  decene,  tot  puncta  erunt  in  alio  taxillo;  et  quot  unitates,  tot  iii 
alio. 

De  anulo  ref>erienih.\ 

Cvm  autem  quutu<s  homines  congregati  sint ; et  ali»juis  eorum  occultatum  habuerit  m is4 
anulum  in  aliquo  digito  manuum,  ucl  in  aliquo  nodo;  et  nolueris  scire,  quis  eorum 
iiabuerit;  per  dictam  regulam  taxillorum  tibi  demonstro  boc  inueiiire.  Primum  quidem 
iul>c,  ut  .sedeant  omnes  in  ordinem;  ct  uni  eurum,  qui  plu.s  sciat  de  numen>,  dic  ut 
numeret  a se  usque  ad  eum,  qui  habet  anulum;  ipiem  numerum  duplicare  facito,  et 
.superaddere  $ , et  multiplicare  per  S : deinde  superaddat  iiuraeniin  digitorum  , hnc 
est,  ai  Imbuerit  eum  in  auriculari  digito  sinistre  manus,  addat  i;  si  in  anulati  t;  si  in 
medio  3;  si  in  indice  4;  si  in  pollice  eiusdem  manu.s  5;  si  in  auriculari  dextre  manus 
fi;  si  in  anulari  7;  si  in  medio  8;  si  in  indice  9;  si  in  pollice  10;  quam  stimniam  tutam 
multiplicet  per  10;  et  multiplicationi  superaddat  numerum  luxIorum,  hoc  est,  si  ha- 
buerit cum  inter  primum  nodum,  et  .secundum,  addat  i.  Si  inter  secundum,  et  tercium, 
s;  si  inter  tercium,  ct  extremitatem  ungule,  3.  Et  tunc  dicat  tibi  totam  summam,  ex 
qua  cum  extraxeris  3S0  centenaria,  que  remanebunt,  dabunt  tibi  numerum  hominum, 
qui  sunt  ab  i|>su,  qui  multiplicat  usque  ad  ipsum,  qui  habet  anulum,  computato  ui- 
dclicel  utroque:  decene  uero,  que  super  fuerint,  dabunt  tibi  numerum  digitorum,  com- 
putando uidelicct  ab  auriculari  digito  sinistre  manus,  ut  supra  dictum  est.  Vnitates 
uero  dabunt  tibi  numerum  nodorum  digiti,  in  quo  fuerit  anulus. 

Naro  si  in  aliqua  parte  cor|K>ri.s  i|»sum  anulum  occultare  uolucrit;  ct  uol neris  scire, 
quis  eorum  habeat,  et  in  qua  parte  sui  corporis;  oportet  primum  distinguere  hominem 
in  100  partes,  ex  quibus  decem  paries  sunt  digiti  manuum,  ut  superius  determinaui- 
mus  : digiti  uero  |>cdum  cimIciu  modo  sunt  alie  10;  ct  sic  sunt  so.  Pars  uero  uigesitna 
prima  csl  superior  pars  pedis  sinistri  iuxta  digitos.  Planta  eiusdem  est  pars  uigesima 
secunda.  Superior  pars  pc<lis  dextri  circa  digitos,  uigesima  tercia;  planta  eiusdem,  ui- 
gesiroa  quarta.  Supra  pedem  sinistrum,  ubi  pes  cotiiungitur  cruri,  uigesima  quinta.  Sub 
calcaneo  eiusdem  pedLs,  uigesima  sexta.  Supra  pedem  dextrum,  ubi  pes  coniungitur 
cruri,  uigesima  septima.  Sub  dextro  calcaneo,  uigesima  octaua.  Exterior  nodiLS  sinistri 
pedis,  uigesima  nona.  Interior,  trigesima;  exterior  nodus  pars  dextri  pedis,  trigesima  pri- 
ma. Interior,  trigesima  secunda;  exterior  |>ars  sinistri  cruris,  trigesimi  tercia.  Interior,  tri- 
gesimi quarta.  Exterior  pars  dextri  crurU  33.  Interior  36.  Exterior  pars  sinistri  geniculi 
37.  Interior  38.  Exterior  dextri  39.  Interior  40.  Exterior  pars  coxie  sinistre  4i.  Interior 
43.  Exterior  pars  dextre  43.  Interior  44.  In  anclia  sinistra  .sub  brachario  , uel  supra 
45;  supra  pectinem  46.  In  ancha  dextra  circa  braebarium  47.  In  renibus  circa  .braebarium 
48.  Ciitra  posteriorem  circulum  49.  Circa  uirilia  £0.  In  Haiico  sinistro  sub  cingulo,  ucl 
circa  cingulum  31.  Vmlwllicus  st;  dexter  flancu.s  subtus,  ucl  circa  cingulum  S3.  In  re- 
nibu.s  circa  cingulum  34.  Sub  ascella  .sinistra  3S;  |>ectus  56;  ascella  dextra  57.  Inter  spa- 
tulas 38.  Inter  collum,  et  humerum  sinistrum,  uel  circa  collum  in  sinistra  parte  S9; 
furcula  pectoris  suh  guture  60.  In  dextra  parte  circa  collum,  ucl  humerum  ei.  Retro 
circa  colli  nudum  ct.  Inter  cubitum,  et  humerum  exterior  sinistri  brachij  63.  Intcrlie  64. 

39 


Digitized  by  Googie 


30« 

Kxtciior  dcttri  6S.  [ntcrior  66.  Exterior  pars  culiiti  sitiUtri  67.  Interior  60.  Exterior 
dextri  60.  Interior  70.  Inter  euhitum,  et  manum  siiiUtram  exterior  pars  7i.  Interior  7i;| 
M us  r.*rf*.  cxtcrior  dextri  73.  Interior  74.  Exterior  iurictura  manus  sinistre  75.  Interior  "O.  Exterior 

dextre  77.  Interior  78.  In  dorso  manus  sinistre  ?g.  In  manu  eadem  80.  In  dorso  dextre 

manus  8i.  In  eadem  manu  82.  In  ore  83.  Naris  sinistra  84;  dextra  85.  Auris  sinistra 
86;  dextra  87.  Post  aurem  sinistram  ss.  Post  aurem  dextram  89.  Super  frontem  iuxta 
pilos  90.  Concauitas  colli  oi  ; summitas  capitis  92.  Uelru  talum  situstrum  03.  Retro 

dextrum  94;  sii[)er  ^critim  sinistrum  95.  Subtus  96;  super  dextrum  07.  Subtus  98.  Sub 

nare  sinistra  V9;  sub  dextra  100;  hiis  quidem  partibus  cognitU,  fac  ut  omnes  sedeant 
in  ordinem,  et  uni  eorum  qui  magis  de  abliaco  sciuerit,  et  qui  sciat  signa  predicta, 
dic,  ut  numeret  a se  ustjue  ad  cum,  qui  habet  anulum,  computando  se,  et  illum  in 
ipso  numero:  quibus  numeratis,  dic  ci  ut  duplicet  ipsum  nurnerum;  et  ut  duplicato 
quantitati  addat  to,  ct  multiplicet  totam  .summam  per  lO,  et  addat  9 ; quod  totum 
multiplicet  per  5.  Postea  addat  numerum  loci,  iii  quo  anulus  est  occuUalus,  secundum 
quod  superius  ostendimus;  ct  totam  summam  multiplicet  per  lO;  ex  qua  .summa,  cum 
eam  ab  eo  .^iuei'i.s,  extrahe  5250  ; et  quot  miliaria  remanserint,  tot  est  numerus  ho- 
minum; et  quot  tibi  remanserint,  diuidc  per  lo;  et  quot  ex  diuisione  eiieiierint,  erit  nu- 
merus loci,  in  quo  anulus  e.st  occultatus.  Possemus  enim  per  hanc  regulam  inuenire, 
quis  colligeret  ari<{uain  rem  ex  loo  robus,  et  quam  rem  colligeret,  si  poneret  cis  no- 
mina dc  numero  jier  ordinem  ab  unitate  u.sque  ad  loo. 

De  diuisione  cuiusUOet  et  numeri  in  dtms  fmrtes. 

Cvm  aliquis  diuiserit  aliquem  incertum  numeriini  in  dtia.s  partes,  quas  tu  inuenire 
cupis  , prccipe  ut  duplicet  unam  illarum  partium  , ct  aliam  multiplicet  per  totum 
numerum,  quem  io  corde  ]>ostierit;  et  tunc  interroga  eum,  quota  distantia  sit  a nu- 
mero .summe,  quam  habet,  u.s<|iic  in  numerum,  quem  tu  collegcri.s  in  corde  tuo  ex 
multiplicatione  diuisi  numeri  in  uno  plus  eo;  quam  distantiam  diiride  per  unum,  minus 
numero  diuiso;  ct  qu'xl  ex  diuisione  exierit,  erit  pars,  quam  ipse  duplicasti.  Quo<l 
uero  ex  diuisione  remanserit,  erit  alia  pars.  Verbi  gratia  : Sint  to  diuisa  in  3,  ct  in 
7;  ct  sint  3 dupliaila,  et  7 multiplicata  |)or  iO;  que  omnia  surgunt  in  76  : a quibus 
u-sque  in  tio,  que  exeunt  ex  multiplicatione  de  to  in  ti  , desunt  34:  que  .si  {>er  i . 
minus  de  lo  diui.scri$,  .scilicet  per  o,  exibunt  3,  et  remanebunt  7,  ut  proscripta  io  di- 
tiisa  fuerunt. 

Aliter  de  eo<iem. 

pRiinaiti  partem  duplicet,  ucl  triplicet,  ucl  |>cr  qnalcmeunique  numerum  minorem 
diuiso  numero  uoluerit,multiplicet;aliam  uero  ]>artcm  ]>er  alium  numerum, quem  uolueril, 
<[tii  sit  maior  numero  diuiso,  multiplicet;  qmxl  totum  in  unum  coniungat,  ct  dicat  tibi 
distantiam, que  est  a numero, quem  habuit  usque  in  iuinicruin,quem  in  corde  tuo  collegeris 
cx  multiplicatione  diuisi  numeri  in  numerum, i|ui  sU  uno  maior  nnmero,  in  quo  i^xse  mul- 
tiplicauil  secundam  partem:  quum  distnnliam,  si  duplicaueril  primam  partem,  diuidc  pci 
uno  minus  numero, in  quo  multiplicauil  .secundam  partem.  Et  .si  triplicauerit,  diuidc  per 
2 minus;  ct  si  multipHcaucril  ijisam  partem  ]Kt4,  diuide  per  3,mintLs  numero,  in  quo  ipse 
mulliplicauerit  secundani  partem;et  sic  intellige  dc  reliquis  numeris  in  quibus  tu  fecerbs 
eum  multiplicare  primam  partem;  et  poteris  ex  hoc  colligci-e,  cuiii  quidam  Imbuerit  in 


Digitized  by  Googie 


307 

manu  dextra  aliquot  denarios,  ex  quibus  posuerit  ad  libitum  in  manu  sinistra  quot 
denarios  de  dextra  in  sinistra  posuerit. 

Dc  tliuisione  alicuius  numeri  in  tres  partes.  \ 

Si  quis  diuiscrit  ali<|uem  numerum  in  tres  partes;  et  uuIuerLs  ijvsas  partes  inuenire,  m 
addisce  diuisum  miiuerum  ab  eo>  et  fac  ut  miillipliccl  per  i unam  qiiulcni  uoluent 
partem  : alium  ueru  multiplicet  per  l,  minus  numero  diuiso.  Aliam  autem  multiplicet 
per  ijxsum  numerum  diuisum,  et  addat  ipsas  multiplicationes  in  unum,  interim  tacite 
multiplica  numerum  diuisuni  in  se  ijksiim;  qiin  multiplicato  .superadde  ct  ({uatem  uo^^ 
lueris  numerum;  et  ex  .summa,  quam  lialnicris,  dic,  ut  extrahat  summam  suam,  et  dicat 
tibi  residuum;  ex  quo  residuo  tacite  extrahe  numerum,  quem  multiplicationi  lue  adiuii- 
xUti  : reliquum  uero  diuide  per  s,  minus  numero  diuiso;  et  quod  ex  diui.sionc  eue- 
ncrit,  erit  prima  |tars;  quod  uera  remanserit,  erit  alia  : «piibus  duabus  partibus  in 
unum  collectis,  si  eas  cx  numero  diuiso  extraxeris,  terriam  tibi  parte.n  dcmonstnilmnt. 

Aliter  multiplicet  unam  partem,  ut  prodiximus,  per  s;  aliam  uero  multiplicet  per 
qualem  uolueris  numerum,  qui  .sit  maior  numero  diuiso;  (erciain  uero  partem  multi- 
plicet per  i,  plus  numero,  per  quem  mulliplicauil  secundam  partem:  ex  liijs  tribus  mul- 
tiplicationibus faciat  unam  summam;  quam  dic,  ul  extrahat  ex  numero,  quem  tu  col- 
liges ex  numero  diuiso,  multiplicato  in  numerum,  per  quem  i[)se  multiplicauit  terciam 
partem:  rc-siduum  uero,  cura  dixerit  tibi,  diuide  secrete  pers,  minus  numero,  per  quem 
multiplicare  feceris  terciam  |mrlrni;  et  hoc  fit,  quia  prima  pai-s  multiplicata  fuit  per 
s.  Viidc  si  multiplicaretur  per  3,  diuideres  ipsum  residuum  pera,  minus  numero  su- 
pra.scripto;  ct  hoc  intelUgas,  si  multiplicaretur  per  aliquem  alium  numerum;  et  quod 
ex  diuUione  exierit,  erit  prima  ]>ars;  ct  quod  ex  diulsione  remanserit , erit  secunda  : 
terciam  uero  partem  quilibet  potest  inuenire.  Potes  enim  per  has  duas  regulas  puncta 
trium  taxillorum  inuenire,  si  scieris  summam  cunctorum  punctorum. 

Et  si  aliquis  diulserit  aliquem  numerum  in  .iiii.”'  partes;  quas  partes  tu  inuenire 
desideras,  addiscas  primum  ipsum  numerum  ab  eo,  et  precijK,  ut  stiramam  prime  partis, 
et  secunde,  ct  tercie  adrlat  cuin  summa  secunde,  et  tercie,  ct  quarte,  ct  cura  summa 
tercie,  et  quarte,  ct  prime  |>artis;  ct  dicat  tibi  summam  , quam  secrete  extrahe  ex 
multiplicatione  diulsi  numeri  in  3;  et  quod  remanebit  , extrahe  dc  diuiso  numero: 
residuum  uero  erit  una  pars,  .scilicet  tercia.  Qua  inuenta  , reliquas  tres  partes  per 
suprascriptas  regulas  studeas  inuenire. 

Item  si  in  quinque  partes  quis  aliquem  numerum  diuiserit,  precipe,  ut  addat  nu- 
merum .mj.*'  partium  jier  ordinem,  uidclicet  prime,  et  .secunde,  et  tercie,  et  quarte 
cum  numero  secunde,  et  tercie,  et  quarte,  ct  quinte;  ct  cum  numero  tercie,  ct  quarte, 
et  quinte,  Ct  prime;  et  cum  numero  quarte,  et  quinte,  et  prime,  et  secunde;  et  dicat 
tibi  summam,  quam  extrahe  secrete  cx  quadrupHcatione  diuisi  numeri:  residuum  uero 
extrahe  dc  diuiso  ruiinero,  et  haliebis  unam  partium,  scilicet  quartam.  Reliquas  uen> 
.Itu.*'  partes  per  siipruscriptam  regulam  studeas  inuenire:  sic  cniru  poles  de  pluribus 
|tarlibus  operari. 

Si  tres  homines  fuerint,  quortim  unus  habeat  aurum,  alius  argentum,  alius  stagnum; 
et  uolueris  scire,  quot  eorum  habeat  aliquod  eonim.  Sit  aliquis  alius,  uel  unus  eurum, 
qui  faciat  secundum  quod  dixeris  ei  ; et  tunc  da  uni  illorum  trium  1,  et  alio  s,  et 


Digitized  by  Google 


308 

alio  3}  et  prccipc,  ut  duplirol  numerum»  quem  dedisti  illi,  qui  habet  aurum;  et  nu< 
merum,  quem  dedisti  illi,  qui  Imhct  ai^entum,  multiplicet  per  9:  reliquum  ucro  nu* 
merum  multiplicet  per  lo  , ct  addat  eas  duas  multiplicationes  cum  duplicatione  sii' 
prascripla;  et  dic,  ut  extrahat  summam  dc  60;  et  quicquid  superruent  dicat  tibi;  et  | 
1)6  rrff.  tu  diuide  ij»um  superfluum  per  8;  et  cui  dedisti  numerum,  qui  ex  diuisione  exierit, 
ille  habet  aurum;  et  cui  dedisti  hoc,  quod  ex  diuisione  remanserit,  ille  habet  ai^entum; 
reliquus  ucro  habet  stagnum. 

Aliter  da  uni  eorum  duo;  alij  tria;  ali)  4:  prccipe,  ut  numeoLS  illius,  qui  habet  aurum, 
duplicetur;  numerus  quocpic  ipsias,  qui  hahet  argentum,  multiplicetur  per  9;  numerus 
illius,  qui  habet  stagnum,  multiplicetur  per  lo;  et  interroga,  quid  habet  a summa 
usr)uc  in  00:  quod  cum  scieris,  diuide  illud  per  8;  ct  cui  dedisti  numerum,  qui  ex 
diuisione  exierit,  ille  habet  aurum;  et  cui  dedisti  numerum,  qui  ex  diuisione  reman- 
serit, ille  habet  argentum.  Reliquus  ucro  hahet  stagnum,  bt  scias,  quia  in  hac  que- 
stione ideo  distantia  queritur  , que  est  a siimiiia  usque  in  90  , quia  additis  tribus 
numeris,  quos  cl  dare  fecimus,  scilicet  2,  ct  3,  ct  4,  faciunt  o;  que  cum  muhiplicaucris 
per  10,  per  ipsa  uidclicet,  in  quibus  miiUipHcauit  numerum  ip.sius,  qui  hahet  stagnum, 
faciunt  90  : propter  eadem  ucro  in  antecedente  questione  queritur  distantia,  que  est  a 
sumina  us<|ue  in  60;  quia  septies  lo  faciunt  co  ; que  60  colliguntur  ex  coadunatione 
trium  datorum  numerorum,  scilicet  ex  uno,  et  2,  et  3.  Vnde  et  alios  numeros,  preter 
hos,  ipsis  tribus  hominibus  dare  )>olerU,  si  supradictanim  regularum  doctrinam  retinere 
sciueris.  Et  nola,  quod  unumquemque  numerorum  datoruraoporlctes.se  minus  quam 
8,  cum  in  8 diuiderc  oporteat. 

Aliter  ille,  qui  tecum  hoc  fecerit,  dei  ad  libitum  uni  eorum  quicquid  uoluerit;  alij 
det  Hliqnanlulum  plus;  teteio  det  plus  secundo,  ct  addat  hos  tres  numeros  insimul; 
et  dicat  tibi  .summam,  quam  nota;  ct  prccipe,  ut  numes-uin,  qiicm  dederit  ei,  qui  habet 
aurum,  duplicet;  numerum  uero  illius^  qui  habet  ai*gentum,  multiplicet  j>cr  l,  minus 
summa  trium  datorum  numeronim  ; quem  numerum  debes  ci  denominare  , ut  noii 
comprehendat  quare  hoc  facias.  Et  numerum,  ijucm  dederit  illi,  qui  Iiahct  stagnum, 
multiplicet  )}cr  ipsam  summam;  <)uam  summam  debes  ei  similiter  denominare.  Intcrim 
multiplica  ipsam  summam  in  .seipsam;  ct  .super  numerum,  qui  ex  multiplicatione  pro- 
creabitur, adde  aliquem  numerum  ad  libitum;  et  interroga  cum,  quot  babeut  a summa 
sua  u.sf[uc  ad  tuam;  et  cx  huc  quod  tibi  dixerit,  extrahe  numerum,  quem  ad  libitum 
adiuiulsti.  Residuum  uero  diuide  per  2,  minus  numero,  qui  ex  tribus  datis  numeris 
procreatur;  cl  quot  ci  diuisione  exierit,  erit  nurocnis  illiu-s,  qui  hal>cl  aurum;  et  quot 
ex  diuisione  su|>crfuorit,  erit  numerus  illius,  qui  liai>ct  argentum:  quibus  duobus  nu- 
meris inuentis,  adde  cos  insimul,  et  extrahe  summam  eorum  de  summa  trium  datorum 
.supradictorum  numerorum;  et  quod  icmaascrit,  erit  numerus  illius,  qui  halicl  stagnum: 
quibus  tribus  numeris  repertis,  cuitsidcra,  cui  eorum  trium  hominum  dedisti  maiorem, 
et  cui  mediocrem,  ct  cui  minorem;  ct  secundum  illud  |K>tciis  .scire,  quis  eurum  habeat 
aurtim,  cl  quis  argentum,  et  quis  stagnum:  cuius  regule  .si  memoriam  habueris  , et 
dc  inueiUtone  4,  et  5 partium  numerorum  non  immemor  extiteris,  |K>lerU  de  4,  et  dc 
S rebus  noticiam  habere. 

Si  aliquis  )>osuerit  in  corde  suo  aliquem  numerum,  facies  ei  duplicare  semel,  et  his, 


Digitized  by  Google 


349 

ct  ter,  cl  quotienscumque  uolueris,  uel  etiam  triplicare  , vcl  per  aliquem  numerum 
multiplicare,  cum  quibus<lam  alijs  cxtractionilms,  et  additationihus,  .sectiniUim  quod  in- 
ferius dcmonstrHhimiis;  et  uolucri.s  inuenirc  summam,  in  qua  ipse  ascenderit;  retine  tu  iu 
inntiu  I,  ct  quic(|uid  prccipics  ei,  | fac  dc  ipsa  unitate,  ut  si  preceperis  ei,  quod  du-  «..i  isk 
plicet,  ucl  triplicet,  tu  duplica,  uel  triplica  ipsam  unitatem;  ct  cum  hoc  aiiquutiens 
ambo  feceritis,  |>aritcr  precipe,  ut  ipse  aildat  summe,  uel  extrahat  a summa  numerum, 
quem  ipse  in  corde  suo  posui  semel,  uel  his,  uel  quotienscumque  uolueris;  et  tu  fac 
similiter  dc  unitate  tua;  ct  tunc  precipias  ci,  ut  diuidat  totam  summam,  quam  habuerit 
per  numerum,  quem  in  corde  suo  jmsuit;  et  tunc  scias,  quod  ipse  habet  tantum  quantum 
tu  habes  in  manu  Ina.  Verbi  gratia  : ponatur,  quod  ipse  cogitet  6;  quem  si  dupli- 
caucris,  erunt  il;  el  tu  ex  duplicata  unitate  habebis  s.  Vnde  si  ipse  i2  bis  dupli- 
cauerit,  habebit  44;  ct  tu  st  binarium,  <{ucm  halies  ci  duplicato  i,  his  duplicaucris,  ha- 
bebis S;  et  si  ipse  suum  48  Iripliainent,  haliebit  m;  et  ,si  tu  triplicaucris  8,  Imlicbis 
24;  et  sic  possemus  procedere  in  influito,  duplicando,  ucl  triplicando,  ucl  quadrupli- 
cando: sii(>cr  que  144,  si  addiderit  ter  numerum,  quetn  ipse  in  corde  suo  posuit,  scilicet 
ter  6,  habebit  162;  et  si  tu  super  ll  addideris  ter  ijisain  unitatem,  habebis  37;  ct  tunc 
si  ipse  diuLserit  summam,  uidelicet  I6t,  per  numerum,  quem  in  corde  suo  |>usiiit,  scilicet 
per  6,  habebit  27,  sicut  tu  habes.  Vnde  si  dixeris  ci,  quod  habeat  £7,  uidebetis  aliqiuMl 
dixisse  miraculum. 

E\  hac  itaque  regula  aliqua  quodam  procedit,  que  non  minus  miranda  est.  Videlicet 
cum  uolueris,  ut  aliquis  inucniat  numerum,  quem  tu  in  corde  tuo  |N>sueris  siiic  aliqua 
intcrmgationc,  debes  ei  dicere, ut  accipiat  a quocumque  uclit  Immine  aliquem  numerum; 
ct  tu  tene  in  manu  tua  1;  et  precipias  ci,  ut  duplicet  numerum,  quem  accepit,  ucl 
triplicet,  ucl  per  alium  riumenirii  multiplicet;  uel  etiam  diuidat;  et  super  summam 
addat,  ucl  cxti*ahat  numerum,  quem  ab  ipso  acceperit;  ct  tu  semper  fac  de  unitate 
tua  illud  idem,  quod  sibi  preceperis;  et  lioc  flat,  donec  ex  i[)Sa  unitate  procrcaueris 
numerum,  quem  in  corde  posuisti;  ct  tunc  diras  ei,  ut  diuidat  numerum,  quem  habet 
per  numerum,  quem  accepit;  ct  quo<l  cx  diuisione  peruenent,  erit  numerus,  quem  in 
corde  posuisti. 

Ificipit  pars  »*  de  duplicatione  scacherHy  et  quorundam  aliarum  regularum. 

Dvplicalio  quidem  scaclierij  duplici  modo  proponitur;  quorum  unus  est  cum  sequens 
punctum  sui  antecedentis  duplum  sit;  alias,  cum  se<{uens  punctum  omnium  antecedea- 
tiuni  puiicloriim  duplum  esse  proponatur.  Vnde  qualiter  utrum  duplicatio  fleri  debeat, 
ad  presens  ostendere  procuramus.  Prima  namque  duplicatio  duplici  modo  fleri  potest,  ui- 
deiiccl  si  dc  puncto  in  punctum  duplicando  usque  ad  ultimum  punctum  egrediendo  o|>e- 
rabimurraiius  modus  est,  ut  duplices  tantum  primum  punctum,  ct  halx^bls  dno;  que  duo 
multiplica  in  se,  erunt  4;  que  4 sunt  t,  magis  numero  duplicationis  duorum  punctorum. 

Verbi  gratia.  In  primo  puncto  pone  1.  In  secundo  2;  quibas  iuuctls,  faciunt  3;  quibus 
tribas  suprascripla  4 suut  1 pias;  quibus  4 in  se  multiplicatis,  faciunt  16;  qui  numerus 
est  uno  magis  duplicatione  dupli  duorum  punctorum,  uidelicet  dc  punctis  4.  Verbi  gra- 
tia: in  primo  est  i.  In  .secundo  s.  In  j tercio  4.  In  quarto  s;  quibus  insimul  iuuctls,  f«i.  ut 
faciunt  1$;  que  sunt  1,  minus  de  I6.  Item  16  in  se  multiplica,  faciunt  236;  qne  sunt 
1 y^plus  numero  dupUcaliouis  dupli  .iiw.”*  punctorum  suprascnptorum  , scilicet  de 


Digitized  by  Googie 


4««lm  lUSJfi;  ri  • 

117  rrrt<f  , Itii.  1D19  i 
|.4(.  lin.  U.  lK-2:>: 

• MliU<r«  ] 

6533C  1 

CS53f» 

SS536 
G5336 


t..i 


137. 


3(0 

punctis  8;  que  primam  sracUerij  optincnt  lineam.  Verbi  gratia.  ]n  primo  est  i.  In 
secundo  I.  In  tercio  4.  In  quarto  8.  In  quinto  (C.  In  sexto  3S.  In  septimo  04.  In 
octauo  1Z8 ; quibus  insimul  iunctis,  faciunt  s$s;  quorum  255  suprascripla  250  sunt,  i 
plus,  ut  prediximus:  quare  multiplicatis  250  in  se,  faciunt  05530,  que  sunt  i , magis 
duplicatione  dupli  unius  linee,  mlicct  de  punctis  lo:  propter  eamdem  ergo  multiplica 
05536  in  se  , faciunt  4294907296  ; que  .similiter  sunt  uiiu  magis  inimcru  diiplicalionis 
dupli  duarum  linearum,  uidelicet  de  punctis  32,  que  dimidium  optincnt  scaclierij.  Vnde 
multiplica  429490729C  in  se,  reddunt  I044r>7440737095sioi0i  que  .sunt  i,  magis  duplicatione 
(oliiLH  scaclierij;  qiiu  mimcn>  in  .se  ipso  multiplicatu,  reddunt  t,  magis  duplicatione 
duonim  scacbcrioium  , scilicet  3(028236C92O93S403483374CU743l  70821(456  ; et  sic  mulli- 
plicaiidn  possemus  procedere  iii  iniiiiitum.  Sed  cum  numerus  duplicationis  .scaclierij 
|H>sl  multitudinem  iiitelligi  nequeat;  qualiter  apertius  intelligi  passit,  ostendere  procu> 
ramu.s.  Sumantur  bizantij  65530,  qui  colliguntur  cx  dupltcatioiic  duarum  linearum  , 
scilicet  (6  punctorum;  et  impleatur  ex  Iiijs  arca  una;  et  cas  cum  i|»$a  arca  duplicando 
jier  ordinem;  et  sic  habebimus  in  septimo  decimo  puncto,  uidelicet  in  pnmo  puncto 
tcrcic  linee,  antlias  dua.s;  secundo  ciustlern  linee  arcas  4.  Iu  tercio  8.  In  quarto  (C.  Ia 
quinto  32.  In  sexto  64.  In  septimo  iiS.  Iu  ultimo  eiusdem  linee  25«.  In  piimo  quarte 
liuce  512.  In  secundo  1024.  In  tercio  2048.  In  quarto  4090.  In  quinto  8(92.  Iu  sexto  («384. 
1(1  septimo  32768.  Iu  ultimo  hal>cbi.s  arcas  65536:  ex  quibus, si  unam  impleuerimus  domum, 
habebimus  in  primo  puncto  quinte  linee  domos  2.  In  secundo  4.  lu  tercio  8;  et  sic 
duplicando  per  ortliticm,  huliebimus  in  ultimo  puncto  sexte  linee  domos  65536.  Ex  quibus, 
.si  unam  fecerimus  ciuitatem,  cl  per  reliqua  puncta  iueiimus  duplicando,  habebimus 
iii  ultimo  puncto  scaclierij  ciuitutes  65530  : ergo  .summa  totius  scaclierij  ascendit  in 
ciuitates  c.5536;  ex  quilms  unaquaque  habet  dumns  65536;  ct  iii  unaquaque  domo  sunt 
urre  05530;  et  iti  unaquaque  arca  sunt  bizaiitij  65536:  propter  <|uod  in  uiia  arca  cartiin 
oportet  Iiabcre  bizantiiini  (,  minus  .supnidicta  demonstratione.  Kt  si  cum  granis  frumenti 
ipsum  .scacherium  duplicare  uoluerb;  et  ex  bijs  quot  naues  onerate  exeant;  quarum 
una<}ua<|ue  baberet  niinlia  500  pisaiius;  quoium  quudiibet  est  scxtaiia  24;  quorum  quod- 
lihet  ponderat  libras  i4o;  quarum  unaqueque  ponderat  uncias  (2;  cl  tn  unaquaque 
uncia  |Kuiderat  dcnario.s  25  de  canlera;  quorum  unu.v|uis({ue  ponderat  carrubias  o;  qua- 
inim  unatjuaque  ponderat  grana  frumenti  4,  dis|>onantur  hcc  omnes  sub  quadam  uirgula 
.sic  |jcr  ordinem;  numerum  srachcrij,  scilicet  is4A6744ot37095510I5, 

diuides  per  siipniscriptas  |iartes,  que  sunt  sub  uirgula;  et  quicquid  su|>er  4,  que  sunt 
in  capite  uirge  remanserit,  erunt  granaj;  et  quicquid  snpm  6 mnauscrit,  erunt  carrube; 
et  quicquid  supra  23,  erunt  denarij  dc  caniora;  et  quicquid  supia  12,  erunt  uncic  ; 
et  quicquid  supra  (40,  erunt  libre;  et  quicquid  supra  24,  erunt  sextaria;  et  quicquid 
supra  500  remanserit,  erunt  modia:  numerus  uero,  qui  cx  diuisionc  .siqierauerit,  erit  nu- 
merus iiauium  oneratarum,  ut  hic  aslenditiir  nauium 

numerus,  quam  innnitus  , ct  iiinumerabilLs  sit  , salis  liquido  liic  deprehenditur.  F.t 
nota,  quod  modio  soo  utiiuscuiusqiie  naiiis  .sunt  modia  thalatia,  scilicet  de  rumania 
(cooo;  uel  modia  sorie  sooo;  ucl  salmc  sicilie  40oo. 

Secunda  uero  duplicatio  .scaclierij  , scilicet  curo  quislibet  sequentium  punctorum 
omnium  anteredentium  duplus  esse  proponitur,  dupliciter  inueniri  potest:  primum  qui- 


Digitized  by  Googie 


311 

dem,  ut  de  puncto  in  punctum  usque  ad  finem  numerando  eas.  Secundus  ucro  modus 
est,  ut  accipias  i,  quod  proponitur  in  primo  puncto,  et  addas  eum  cum  i,  que  |>oiiuritur 
in  secundo,  erunt  3;  que  3 muilipUea  ia  se,  erunt  9;  que  o sunt  numerus  duplica- 
tionis primi  puncti,  etimn  et  dupli  secundi  puncti,  scilicet  dc  punctis  trilnis.  Verin 
gratia:  si  in  pnmu  ponatur  i.  In  secundo  diiu.  lii  tercio  6,  scilicet  duplum  duorum 
antecedentium  puncturum,  smiimn  eurum  erit  9,  ut  prodiximus:  que  9,  si  in  sc  mul- 
tiplicentur, faciet  si;  qui  mimcrus  est  duplicatio  primi  puncti,  etiam  et  dupli  duorum 
sequentium  punctorum,  scilicet  dc  punctis  s.  Verhi  gratia  : si  in  primo  punctu  po- 
nitur t.  In  secundo  s.  fn  tercio  6.  In  quarto  is.  tii  quinto  31,  nimirum  iii  st  ascen- 
dunt; que  81,  si  in  se  muUiplicaucris,  facient  65Ci;  qui  numerus  est  <luplicatio  priroi 
puncti  , etiam  et  dupli  .iiij.**'  punctorum  scquenlium  , scilicet  dc  punctis  9.  Verbi 
gratia.  Numerus  primi  puncti  est  i;  secundi  3;  tercij  G;  quarti  is;  quinti  34;  sexti  ict; 
septimi  4ss;  ot*taui  M5S;  noni  4374:  quibus  omnibus  iunctis,  faciunt  fisot;  que  63«l  in 
se  multiplica,  fuciuiit  43046721;  <|ui  numerus,  suprascriptis  dispositis,  est  duplicatio  primi 
puncti,  etiam  et  dupli  octo  sei|uenlium  puncturum,  scilicet  de  punctis  it.  Vnde  .si 
multiplicaueris  43040721  iti  se,  reddunt  iS5302oisss3ia4i  pm  duplicatione  primi  puncti, 
ct  dupli  16  puncturum,  uidelicct  pro  duplicatione  punctorum  33:  quo  mimero  in  se 
multiplicato,  reddit  3433G83S30292Si24840378490892St  pro  Juplicationc  tutius 
scacherij,  etiam  ct  unius  puncti  amplius;  qui  punctus  duplum  lotius  scaciterij  est: 
quare  oportet,  ut  tcrcia  pars  numeri  suprascripti  sit  numerus  diipncationis  totius  sca- 
rberij  : quare  diiiiso  ipso  numero  per  3 , reddit  pro  duplicatione  lolias  scacherij 
1 144  3«  1 273  430  837  494  883  9 4 0 6964  27 . 

Qvidam  dedit  unum  denarium  ad  usuram,  tla  (|Uod  in  quinque  annis  debebat  du- 
plum ipsius  denarij  recipere;  et  in  alijs  quinque  debebat  duplum  babere  diiuriiin  il- 
lorum denariorum;  et  sic  semper  dc  5 in  5 aiiiiis  diiplicahatur  capitale  ipsius,  et  usura: 
queritur,  quot  denarios  ex  ipso  denario  bal>ere  delieat  in  100  annis:  diuidc  ipsosaiinos 
100  per  5,  exibunt  20:  ergo  uigiesies  duplicatur  denarius  ille.  Viidc  so  punctorum 
scaeberi)  gerit  similitudinem:  quare  si  dupltcaucrimus  ipsum  denarium  uigesies,  ha- 
bebimus suiiimaiD,  in  qua  ipse  denarius  ascenderit  in  loo  anuis  : iiel  aliter  duplica 
ipsum  denarium,  erunt  s;  iu  quo  numero  ipse  denarius  ascendit  in  primo  quinquennio  : 
que  2 itenim  multiplica  in  se  , erunt  4 ; in  quo  numero  ipse  denarius  ascendit  in 
secundo  quinquennio:  que  4 iterum  multiplica  in  se,  erunt  16  ; { qui  numerus  est 
summa,  in  (|ua  ascendit  ille  denarius  in  quarto  quinquennio;  que  I6  duplica,  erunt 
32  pro  summa  quinti  t[uinquciinij  : que  32  in  sc  multiplica  , erunt  1024  pro  summa 
decimi  quinqueiiiiij : que  1024  in  sc  multiplica,  reddunt  denarios  1048576  pro  summa 
uigesimi  qiiiuqueniiij,  scilicet  amioruni  ipsorum  100,  qui  sunt  libre  4369,  et  denarij  16. 
Kadem  regula  est  de  homine,  qui  ucudidit  20  paria  pellium;  cx  primo  quorum  debebat 
habere  1 denarium;  cx  secundo  2;  ex  tercio  4 ; et  sic  semper  duplicando  usque  ad 
ultimum  par;  quorum  suiiiinu  est  denarius  1,  miiius  dc  predicla  sumina. 

LSoptem  uctule  uadunt  romam;  quarum  quelibcl  habet  burdones  7;  ct  in  quolibet 
burdone  sunl  saruli  7;  ct  in  quoIil>cl  saculo  panes  7 ; et  quilibet  panis  habet  cul- 
tellos 7;  et  quilibet  cultellus  liabct  iiaginas  7.  Queritur  summa  omnium  prcdictonim. 
iVimiim  quidem  multiplica  numerum  uetularum,  scilicet  7,  per  numerum  burdonorum, 


Vp4r«i  ....  ««(rv-iatlar  » -fia- 
iXtI  l,a.  4-17  r IS  , 

lUR.  XII,  Ii*.  40  ~ 312  . 

7). 

I IITijS I 

I 7 I 

49  I 

I 7*7  I 

.1401 

I io8o;  > 

I H7S49  I 


Digilized  by  Coogie 


, cmnl  » (fui. 

Ilfl  «rrit.  Itii.lftf  l9-Sl;t*S' 
St«,  I.a  « lis 


f37Sai!  t 


pi  fH  IkIm-Io»  — ^wtriuia  * 

(M.  t»  rttt»  . Ii«.  33-3«  I 
r«(t  }1S.  S3-27:. 


S«inni« 

10(1  l(NI  IVO  l(NH) 


M- 


lli  i-4>r«u. 


23  ^ne  SSSl  . ( M.  I3« 
. I«n,  lO-U:  (ug.  312, 
l.a.  42  — 311.  lia.  4). 


3lt 

«cilicct  per  7,  erunt  burdones  49;  quos  multiplica  per  numerum  tascarum,  scilicet  per 
7,  erunt  tasche  343;  quas  multiplica  per  numerum  panum  unius  tasclie,  scilicet  per 
7,  erunt  panes  t40i;  quos  multiplica  per  numerum  cultellorum  unius  panLs,  scilicet  per 
7)  erunt  cultelli  I6807;  quos  inuIlipUca  |>cr  numerum  uaginarum  unius  cultelli,  scilicet 
per  7,  erunt  uagine  117649;  quibus  iuiictis  cum  cultellis  leaoT,  et  cum  panibus  i40i, 
et  cum  saciilis  343,  et  cum  burdonibus  49,  et  cum  iictulis  7,  erunt  io  summa  I37i$6, 
ut  in  descriptione  ostenditur.  Aliter  quot  suul  genera  rerum  uniuscuiusque  uelule  , 
tot  septimos  pone  in  quadam  uirga,  cum  genera  rerum  ascendant  per  septenarium;  et 
ante  ipsam  uirgam  pone  i pro  una  uetularum,  ct  retro  uirgam  pone  7,  scilicet  nu- 
merum uctulanim  ; ct  multiplica  1 per  prima  7 , et  7 }■}  }-{  } 1 , et  adde  unum  , 
quod  est  super  ipsa,  ct  erunt  k;  que  per  aliam  erunt  S7;  que  multiplica  per  tc'*- 
ciam  que  per  rclbjuas  septimas,  ct  habe  pro  numero  iterum  unius  uetule  I960S;  que 
multiplica  per  7,  que  posita  sunt  post  uirgulam,  erunt  137256,  nt  per  alium  modum 
inuenimus. 

Fst  arl>or,  que  lialiet  ramos  loo,  et  in  quolibet  ramo  sunt  nidi  loo;  ct  in  qualibet 
nido  sunt  oua  loo;  ct  in  quolibet  ouo  .sunt  aucs  loo.  Summani  enim  rerum  potes  in- 
uenire  )>er  siiprascriptas  regulas  uctulanim;  sed  qualiter  aliter  fieri  delicat,  hic  osten- 
daniu.s  : primum  describe  ramos  loo , ante  quas  |)one  duo  zephira  propter  lOO  nidos, 
ijui  sunt  in  quolibet  ramo^  erunt  loooo;  ante  que  etiam  pone  duo  alia  oo  propter  oua 
100,  que  suiil  in  quolibet  nido,  erunt  loooooo  ; ante  que  etiam  adde  oo  duo  pro  lOO 
anibus,  que  sunt  in  quolibet  ouo,  erunt  joooooooo  : deinde  dele  zepliiras  (jic),  qui  sunt 
in  primo  gradu,  et  in  tercio,  ct  in  quinto,  et  in  septimo  illius  uumeii;  et  pone  in 
eiusdem  gradibus  i;  et  sic  habebis  loioioioo  pro  questta  summa.  Nam  si  supraschptas 
s|>ccics  ramornm,  S4:ilicet  et  nidorum,  ouurum,  et  auium  per  mille  numerum  accrescerent, 
poneres  in  primo  ramo;  looo , ante  que  poneres  tria  zephira  pro  nidU,  et  tria  alia 
pro  ouis,  ct  tria  alia  pro  uuibu.s  sic:  loooooooooooo;  de  quo  numero  debes  demere  pri- 
mum, ct  quartum  ab  eodem,  scilicet  quartum,  ct  septimum  , et  decimum;  ct  [>one 
unitates  in  eiusdem  gradibus  , et  habebis  summam  ipsorum , ut  hic  ostenditur 
iootooiootouo:  ct  sic  intelliga.s,  si  species  suprascripte  ascenderent  per  decem  mille,  ucl 
{>er  centum  mille,  ucl  per  quemlibet  alium  numerum  unitatem  habentem  in  ultimt» 
gradu,  ct  zephira  in  reliquis.  | 

Qvidam  hahiiit  libras  ioo;  ex  quibu.s  quoliliet  anno  de  4 facieliat  5 tam  de  lucro, 
«ptnm  dc  capitali;  queritur  quot  ex  ei.s  in  decem,  et  octo  annis  habuerit  pi*o  is  annis: 
scrilie  sub  quadam  uirgula  terminante  in  circulo  a sinistra  decem  et  octo  uicibus  4; 
et  super  quclibel  4 pone  3,  ut  hic  ostenditur:  loo  * ! ! ! ! ! ! * V*  l l * ! l'  !■ 
hoc  facimus,  quia  in  primo  anno  facit  | ipsarum  librarum  lOO,  ct  in  secundo  facit  | 
dc  j caruradein,  et  in  tercio  facit  ipsarum  loo;  que  etiam  inlclligas  de  reliquis 

]H>sitis  annis;  ct  ideo  ucl  too  ponende  sunt  retro  post  uirgam,  ut  [lartes  ipsius  uirge 
denotent  partes  earum:  deinde  multiplica  omnes  numeros,  qui  sunt  super  uirga,  in 
sc;  quam  .summam  totam  multiplica  per  libras  loo,  et  diuides  per  omnia  4,  que  sunt 
sub  uirga;  que  omnia  sic  iiunt  leuius,  uidelicet  ut  multiplices  priora  s per  sequentia, 
erunt  23;  que  multiplica  iit  se,  erunt  62S,  qui  est  summa  multiplicationis  .iiij.**' qui- 
nariorum; que  625  multiplica  in  se,  erunt  390625,  que  sunt  summa  multiplicationis  octo 


Digitized  by  Googie 


313 

4|uliiniiuruin } (juc  multiplioa  per  St  ciiml  t93)i25;  quem  mimerum  miilliplica  in  se, 
iccliiuiit  pro  .^umma  omnium  qitiitariorum  3SI4697263«2S;  que  niuUiplica  per  lOUt  et  di* 
uide  postea  summam  per  omnia  4 , que  sunt  sui)  uirga  cqilimc  ctmetaU  « cxiLiiiit 
i‘  1 I t » *'  I ! I a t I quesita  summa. 

Ovidam  liaiitiit  lazantios  loo  , et  Iransiuit  per  .xu.  cinitates;  et  o|K»rtehatt  ut  in 
utiaqiiutptc  iKariiin  riiiitatmn  claret  clerimam  suorum  bizaiitioruiiit  quos  defercimt  secum; 
([ucrittir»  quot  rcinanseiiiit  ei  pexst  exitum  .xu/*"*  ciuitatum:  quia  dal^l  decimum  in 
unaquaque  c'iuitato,  scquelmtur  iiece.ssarit),  quod  siln  iTmaiiereiU  o'*"'"  decime  omnium 
Inzantiomm,  quos  i|)sct  dcltileml  in  i{)sa  c'iuitale:  quare  (Hiiies  duudecnes  per  ordinem 
iii  niiadaiu  uirjpi  tciiuiiiaiile  iii circulo  a sinUlra.sic:  loo  “iViV 7 ~.V’g  li  ■«  *o  ■*.  A iV 
cl  multiplica  in  uiiuni  omniu  9»  <|ue  sunt  super  uiiga,  scilicet  9,  per  9;  que  per  0, 
eruiil  729;  cpie  multiplica  in  se  , erunt  531441  , qne  sunt  snmmu  sex  nmienarioriini  ; 
cpuim  summam  multiplica  iii  se  ijisaiu,  reddunt  2S2t3953548i  pix»  summa  omnium  no> 
ueuarioniiii;  que  niiiilipiicii  per  lOO»  et  diuide  jmr  omnia  10,  que  sunt  $ul>  uitgula  , 
exibunt  bizanlij  /q  29  pro  eo,  qiitnl  ci  rcmaiLsit  in  fine.  Vnde 

si  uolucris  cognoscere,  qnut  bizaniios  inter  omnes  cinitates  dedit;  dc  bizantiis  quidem 
centum  extrahes  m cum  suis  fractionibus;  residiiumque  erit  quesitum.  Quod  iiiuenics 
sic:  protrahe  aliam  uirgtdain,  sub  quu  sint  decies  to  in  ordinem  pm  decem  decimis, 
que  sunt  sub  utrgula  suprascripli  residui;  et  acci|>c  1,  quod  est  super  prima  lo  in 
sinistra  parte,  et  extrahe  eiim  de  lO,  el  remanent  0;  qnc  pone  super  priora  10  uii^e 
protracte,  et  reline  in  miiiiu  1:  ideo  quia  cx  ijiso  i,qui  est  super  10,  et  ex  ipso  nuuenariu 
semel  perficitur  decennrius  mimenis;  cum  quo  1 .seruato  in  manu  adde  s,  que  sniit  super 
sequentia  lO,  erunt  9;  qtic  extrahe  dc  10,  remanet  i;  quod  {lunc  super  lO  noni  gradus 
protracte  uirge,  et  retine  1 in  manu;  cum  quo  adde  4,  <|uc  sunt  super  10  oclaui  gradus, 
erunt  5;  que  extrahe  de  10,  remanent  5;  que  jmiiic  super  10  ocUiui  grailus,  et  reline  in 
manui;  cum  quo  adde  6,  qm  sunt  super  lO  septimi  gradus,  erunt  7;  qne  extrahe  de 
<0,  remanent  3;  que  3 pone  super  10  septimi  gradus,  et  reline  l,  qiKal  adde  cum  3,  que 
stint  super  10  .sexti  grudiis  uirge,  cnint  4;  que  extrahe  dc  10,  remanent  6;  que  pone 
super  10  sexti  gradus,  ct  letiue  t;  quod  adde  cum  5,  que  sunt  sujier  10  quinti  gradus, 
el  extrahe  dc  10,  remuueut  4 super  10  quinti  gradus;  ct  retineas  in  manu  1,  quod 
adde  | cum  9,  que  suat  super  10  quarti  gradus,  et  extrahe  de  iO , rcimiiiet  0 stipet 
10  ijuarli  gradus,  et  rctiuc  in  manu  1;  quod  adde  cum  2,  que  sunt  super  10  tcrcij 
gradius,  ct  extrahe  de  to,  rcmaueril  7 super  octauum  10  tcrcij  gradus,  et  retine  t ; 
quod  adde  cum  4,  que  sunt  suj>cr  10  secundi  gradus  , ct  extrahe  dc  10  , remanet  5 
super  10  secundi  gradus,  et  retineas  1;  cum  ejuo  adde  2 , que  suiit  super  10  piiiiii 
gradus  , ct  extrahe  de  10,  reniaiient  7 siqier  10  primi  gradus  protracte  , ct  retineas 
i;  quod  adde  cum  bizaiuijs  os,  cxtndic  de  bizaiitijs  tao,  reiiiaiient  bizaiitij  71  ante 
ij)sam  uirgam,  ul  hic  ostenditur  A i\  u A A i*»  i'«  » U hm^quod  dedit  inter 

omnes  illas  ciuilalcs.  Nani  si  iioe,  quod  dederit,  iiel  quiMi  ei  remanserit  dc  ciuitate 
in  ciuitate,  scire  uoluerU,  extrahe  decimam  cx  illLs  uyy  hizantijs,  quos  dedit  in  prima 
ciuitate,  'scilicet  bizanlios  10,  remanent  ei  90  bizanlij;  dc  quibus  bizantijs  90  extrahe 
decimam,  scilicet  bizanlios  9,  quas  dedit  in  secunda  ciuitate,  remanent  ci  bizanlij  8i;  de 
qriibus  bizantijs  si  extmbc  decimam,  scilicet  bizanlios  s,  quos  dedit  iu  Icrcia  ciuitate, 

40 


«tliMIM.  ...  fr|* 

<iJ«i  k { f.il  IIS  Imi. 

Zl  III.  l.k.  11 


I rr.t<tu«m 

I »***«<^g**jn 

|to  <•  i*  (•  ig  !•  10  IU  ig  It*” 


{jroln.i  fl  . . . . 

119  m-ro,  ifii,  K-£.  fMc  III, 
Im  It  ll^ 


I SlMBIIM  «tllU, 

I 9 I » 1 _«  » _a_  T 9 I - , 

10  lo''ft  16  it*li  10  'la  to  1«  ' V 


Digitized  by  Googie 


314 

temunent  bizanti)  ^ it;  dc  quilms  accijse  decimain,  (}uam  dedit  io  <|uar(a  ciuitate  ; 
rjuc  duplici  modo  accipitur:  primus  modus  e$t>  ut  multiplices  7S  per  suam  uir^ulani, 
scilicet  per  lO,  ct  adde  Q,  erunt  7So;  que  diuide  per  io«  exibunt  ^ decima 

parte  de  ^ 7S.  Vel  aliter.  Pune  duus  derima.s  sub  (piudam  uirgiila;  et  super  primani 
{K>iie  0,  que  sunt  super  lo  de  uirgula  dc  Ta;  ct  super  alia  iO  pone  a*  qiie  sunt  in 
primo  gradu  dc  7t}  ct  remanentia  7 pone  ante  ipsam  uii*gulam,  et  lialjcbU  siinililci 
’iV~iV  cxlndie  ~ ?a«  que  duplici  in*jdo  cxlrabnntur:  cumuiiU  omnium  modus  est, 

ut  multiplices  7 per  suam  uirgulamt  erunt  centesime  7io;  deinde  multiplica  7a  pci 
suam  uirguinm»  erunt  decime  7a9>  quas  multiplica  jkt  10,  ut  sint  centesime,  sicut  sunt 
itle,  que  deliinc  debes  extrahere,  erunt  centesime  iiw,  ex  quibus  extrahe  centesimas 
789,  remanent  centesime  quas  diuide  per  100,  scilicet  ]kt  exibunt  bizan* 

lij  P^^  su]>rascHptu  residuo.  Vel  aliter:  protrahe  rctru  uiigulam  , <pie  esi 

}Kist  78,  et  ]H)ne  sub  eadem  fO,  et  super  ipsum  10  pone  0,  ut  sint  decime  due  sub  ijisa 
uirgula,  siculi  sunt  sub  ea,  (|ue  est  post  7,  ut  liic  ostenditur  , de  deinde 

acci|>c  9,  que  sunt  super  lo  in  uii-gula  7;  ct  exlralie  ea  de  0,  quod  est  super 

10,  de  uirgula  dc  7a:  quod  cum  noii  sil  possibile,  adde  to  super  ij»sum  0,  scilicet 

iiumeimm,  qui  est  sub  uirgula,  sub  ipso  0,  erunt  lo;  de  quibus,  cura  possibile  sit, 
exti-alie  9,  remanet  i;  quod  ]>uii€  super  priora  to  cuiusdam  uirgule,  sub  qua  sint  si- 
militer dccimc  duc,  et  pro  addito  deceiiario  retine  ia  manu  1;  quod  adde  cum  a, 
que  sunt  super  ultima  !0  de  uirgula  dc  7,  erunt  3 ; que  exlralie  dc  9 , cum 

[msstbilc  sit,  que  sunt  super  ultima  10  de  uiigula  de  78,  remanebunt  A ; que 

pone  super  ultima  10  protracte  linee,  ct  cxtralic  7 de  bizantijs  78,  remanent  bizantij 
A5;  quos  ]>one  ante  protractam  uirgulam,  et  habebis  similiter  pro  suprascripto  residuo 
bizantios  quibus  acci|>e  decimam,  i{uam  dedit  in  quinta  ciuitate:  que  du* 

plicitcr  per  suprascriptos  modus  potest  accipi;  scilicet  multiplica  cs  per  suam  uiigulam, 
scilicet  per  10,  et  adde  6;  que  per  10,  et  adde  t,  hoc  est  quod  ante  6S  pones  a et  i,  que 
sunt  super  uirga;  et  sic  habebis  suprascriplas  centesimas  esei;  quas  diuide  j>er  I0, 
el  j>er  ruptos,  qui  sunt  sub  ipsa  uirgula,  scilicet  per  exibunt  7*  6 pr«> 

decima  parte  eontm.  Vel  aliter:  pmtnilie  quandam  uirgulam,  sub  qua  pones  tres  dc- 
('imas;  et  super  primam  jionc  j,  c|uod  est  super  prima  10  in  uirgula  de  ct  su|>er 
alia  pone  0,  que  sunt  sujier  alia  lo;  ct  super  tertiam  jHme  figuram  primi  gradus  de 
us  ..-r.»  fi5,  scilicet  5;  cl  remanentia  6 ante  ipsam  uirgulam;  ct  sic  | habebis  ^ 6 

pro  decima  parte  dc  suprascriptis  bizantijs  ^ 05:  quare  extrahe  i|^s  ab  ipsis,  qui 

dupliciter  per  suprascriptos  numeros  extrahuntur;  quos  nuntos  hic  reiterabimus,  ut  in 
reliquis  ciuitatibus  melius  scias  procedere:  multijdica  bizantios  0 per  eorum  uirgulam, 
et  lialiebis  millenas  650i.  Similiter  multiplica  os  per  suam  uirgulam;  titd  |Hme  ante 
ipsam  figuras,  que  suiil  super  uirgulam  retro,  similiter  jier  ordinem  procedendo,  erunt 
centesime  S56i;  quas  multiplica  per  10,  ut  sint  miltene,  sicut  sunt  alie,  quas  debes  liirir 
extrahere,  erunt  millene  Gseto;  de  quibus  extrahe  millenas  csci,  remanent  S904o;  <|uas 
diuide  per  looo,  hoc  est  per  fj»  exibunt  ^ S9  pro  quesito  residuo.  Vel  aliter: 
protndic  retro  uirgulam  dc  65,  et  pones  sub  ipsa  decem,  et  super  ijisa  decem  pone 
0,  ul  hic  ostenditur  -n-rrn  • deinde  i,  quis!  est  super  10  dc  uirgula  de 
extrabe  de  0,  quod  est  super  10  de  uirgula  de  6S;  quod  cum  (Hi.ssibilc  non  sit,  ndde 


Digitized  by  Googie 


cum  0 numerum  ciUtcntem  suh  ipsi)»  sciliccl  lO,  erunt  lo ; de  quibus  cUraiic 
suprascripliim  i,  remanent  dj  que  pone  super  primam  lo  cuiusdam  proliaclc 
sub  qua  sint  tres  decime;  et  pru  nddilu  deeexiario  retine  in  manu  i;  quod  adde  cum 
«,  que  sunt  sujxer  lo  uirgute  de  ^ ^ fi,  erunt  7;  que  eitrahe  de  i,  quod  est  super 
secundum  lo,  de  uirgula  de  ia  ^]uod  cum  |Mi$sibilc  non  sit,  adde  cum  i|isn 
1 numerum  exisleiitcm  sub  i{>so,  scilicet  lO,  erunt  ii;  cx  quibus  cxtralic  suprascripU 
7,  remanent  4,  que  ])oite  super  stHuinda  io  prolnicte  uirgule;  et  pro  to,  que  iunxisti 
cum  I,  reline  in  manu  i;  quod  adde  cum  5 , que  sunt  super  ultima  i»  uirgiile  de 
U I*  1*0  erunt  6;  qtie  cilralic  de  fi,  xjue  sunt  sujier  ultima  lo  uirguic  de  ;V7Vl*o 
1‘cmanct  o;  <(Uod  |ionc  super  ultima  lo  protracte  uirguic:  deinde  cxlraiie  bizaiitios  r> 
de  bizantijs  fiS,  remanebunt  bizantij  59;  quos  pone  ante  protractam  uitgulum,  el  ha- 
bebis similiter  bizanlius  «juesito  residuo;  de  quibus  extrahe  decimam, 

per  qualem  uolueris  modum  ex  suprascriptis  duobus  modis,  que  est  bizantij  iVtoTTTI®* 
quos  dedit  iii  sexta  ciuttate  , remanebunt  bizantij  i\  /o  dc  quibus  extrahe 

decimam,  qnam  dedit  in  septima  ciuitale,  que  est  bizantij  iV“»Wo'i*a  remane- 
bunt bizantij  i\  i*  A ^7;  dc  quibus  extrahe  decimam,  ipiam  dedit  in  octaua  cim- 
tate,  scilicet  Liianlias  .*,  .*  .*.  ,*  ,*  4,  remanebunt  biiatUij  .*„  'l“‘- 

bus  extrahe  decimaro,  quam  dedit  in  nona  ciuttate,  scilicet  bizanlios  ,V  tViV  >V"»»  t\** 


remanebunt  bizantij  ,v>  ,o  lo  t*  A < a 38  ; dc  quibus  extrahe  decimam  , quam  dedit 
itt  decima  ciuitate  , scilicet  biziinlias  ,*  3 , remanebunt  bizantij 

‘t*  /o  1*0  t*  Jo  i*  10  quibus  extrahe  decimam,  quam  dedit  in  undecima  ciuitate; 

scilicetbiiantius.-^  .«  .*  ,♦  .V», remanebunt  bizantij  .»,31; 

de  quibus  extrahe  decimam  , que  dedit  in  uUtma  ciuitate  , scilicet  bizanlios 


‘3,  remanebunt  bizantij 


<0  10  1«  10  10  (0  10 


tu  tO  10  10  I*  lO  10  4»  10  10 

per  aliam  regulum  superius  inucniraus:  et  ut  hoc,  quod  dictum  est,  melius  ad  oculum 
dt‘prchendatur,  hic  inferius  bizanlios,  quos  in  una<[uaque  ciuitate  dedit,  in  una  parte, 
ct  in  alia  bizantios,  qui  remanserunt,  per  ordinem  describimus. 

hij  sunt  bizantij,  quos  dedit,  lo 


10  10  10  10 


10  10  10  10  10  10  1« 


IO  IV  1«  10  IV  1«  : 


1«  10  tv  IU  10  1«  10 


14 

-h-  ’ 

s 

io”o‘~io'~io“io  ® 

• 0 t 0 1 . 

io'  10  10  10  10  10  * 

1 » » 0 * 0 > , 

10  10  10  10  1«  10  10  ^ 

»14 0 t 4 _7 0 . 

10  10  10  10  10  10  10  10  * 


10  10  1«  10  10  10  10  IO  10 


in  10  10  10  10  10  If  10  10  14 


10  14  10  to  10 


1«  10  10  10  II 


% 


Digitized  by  Googie 


M I4'> 


....  «nMIBa  lllxM  • 

:W-  II'*  Ii»-  5 r 6-^*. 

f»K  116.  1m<-  7-11 1- 


lor» 


21R 

Kaclem  questio  esi  tle  bucte,  in  qua  sunt  barlle.s  too  itiiii,  cx  quibus  ])cr  singulos 
menses  extraliitur  (Icriniiim  residui;  ct  queritur,  quot  bariles  iti  fine  anni  reman.se- 
runl,  scilicet  |K>st  is  menses.  !Sam  si  crontra  propositum  esset,  quo<t  quidam  lialiciis 
bizantios  perrexit  per  is  ciuitate.s,  ct  dedit  in  unaquaque  ciiiitnte  decimam  rt*sidui 
suorum  biianlionim,  ct  reman.scnint  ei  bizanlij  >8;  et  que- 

ratur, quota  sit  .summa  bizantiorum  ipsius:  describe  in  ordine  duodecies  ^ sub  quadam 
iiirgula,  .suprascripta  ratione,  ul  liic  ostenditur  ^ iVA~7*  i*  \ *♦  > ** 

imiltiplicn  bizanlios  sa  cum  suis  fractionibus  per  umiiia  lo,  que  .siiiit  sub  duu4tecim 
iiuuenarijs  proscripte  uirgule;  et  ditiidc  summum  ipsiu.s  niuUiplicationLs  per  illos  duo- 
decim iiouenarios,  cum  positi  fuerint  sub  quadam  uirgula  ; ct  sic  liabcl>is  bizantios 
100  pro  summa  illius. 

Ovidam  iiai>cjis  bizantios  uuliiit  exire  de  quadam  ciiiitatc  balxTiitc  portas  lo;  ct 
oportuit  eum  dai^c  prime  jmrtc  [ suorum  bizantiorum,  ct  iii.supcr  | unius  bizantij  ; 
secunde  dimidium  bizantiorum,  qnos  ibi  attulit,  ct  insuper  J unius  bizantij.  Tercic  Icr- 
riiiro,  et  \ unius  bizantij.  Quarte  qiiaitam,  et  ^ unius  bizantij;  et  ita  per  ordinem, 
usque  qiUMl  in  decima  porta  dedit  decimam  bizantiorum,  quiKS  ibi  attulit,  et  ^ unius 
bizantij,  ct  icnian.sit  ci  bizantius  t;  queritur,  quot  bizanlios  habuit  ille.  Potest  itaque 
bec  questio  dupliciter  .solui:  piinumi  quidem,  ut  de  porta  in  portam,  ab  ultima  in- 
cipiendo, egrediaris  sic.  Nam  in  finc  remansit  ei  bizantius  t,  ct  dedit  ultime  porte 
decimam  unius  bizantij:  ergo  cum  ipse  dedit  ipsam  decimam,  habebat  bizantium  ^ i; 
et  quia  tunc  dcdei-at  decimam  bizantiorum,  quos  ibi  attulit,  et  remansit  ei  bizantius  ^i; 
iiiuenieiidus  est  numerus;  cx  quo,  extracta  remaneat  bizantiu.s  1:  quem  numerum 
|umc  ul  sit  10,  secundum  regulas  arborum;  de  quo,  extracto  remanent  9;  <|iic  9 
iiellent  c.ssc  ^ - i : quare  mulliplira  io  per  i » et  diuides  per  9 , exibunt  bizantij 
I i;  ct  tantum  rcniaiisit  ci  piKst  mmam  portam;  cum  quo  adde  | unius  bizantij,  quem 
dedit  none  [vorte,  erit  bizantius  *-  t.  Quare  iiiucnies  numerum;  de  quo,  extracta  J ipsiits, 
remaneat  bizantius  |i.  Pones  ctgu,  quod  numerus  ille  sit  9;  dc  quo,  extracto  re- 
niaiient  8;  que  uellcnt  esse  ^ i : quare  multiplica  | t |>cr  9,  et  diuides  |icr  s,  exibit 
liizantius  ^ i ; ct  tantum  rcmaixsit  ci  pc^t  octauam  portam  : cum  quo  adde  | Unias 
bizantij,  quoil  dedit  iii  ipsa  porta  , erit  bizantius  1 1 ; quem,  demonstrata  ratione  , 
multiplica  per  8,  ct  diuidc  per  7,  exibit  bizantius  *i  : cum  quo  adde  | unius  bi- 
zanlij,  (piml  dedit  septime  |Kn  to,  emnt  bizantij  8;  quos  multiplica  per  7,  ct  diuidc 
per  G,  exibunt  bizantij  fz;  cum  quibus  adde  J imius  bizantij,  quem  dedit  sexte 
porte,  erunt  bizantij  | z;  quos  multiplica  per  o , et  diuidc  per  s , exibunt  bizantij 
3;  cum  quibus  adde  | unias  liizaiitij,  quem  dedit  qiiinlc  porte,  cnml  bizantij  ^3; 
qmw  multiplica  per  s,  et  diuide  per  4,  exibunt  bizantij  4;  cum  quibus  adde  { unius 
bizantij,  quem  dedit  quarte  porte,  erunt  bizantij  - 4 ; tpios  multiplica  per  4,  ct  di* 
iiide  per  3 , exibunt  bizantij  | S ; cnni  quibus  adde  | unius  bizantij  , quam  dedit 
tercic  jKirle,  eniiit  bizantij  o ; quos  multiplica  jier  3,  el  diuidc  per  Z , exibunt  bi- 
zanlij  9 ; el  lol  rcmaii.sertinl  ci  post  secmidarii  portam  : cum  quibas  adde  \ unius 
bizantij,  quod  dedit  in  secunda  )M)rla  , erunt  bizantij  | 9 ; pro  quibas  inuenies  nu* 
niemm,  ex  quo,  extracto  dimidio  ijMtiiis,  remaneant  liizanlij  j 9;  pm  <pio  numero  pones 
z,  ex  quo,  extracto  dimidio,  remanet  i;  quini  uellcl  esse  i 9:  quare  multiplica  ^9  per 


Digitized  by  Googie 


sn 

<‘t  (liuUlr.s  per  i,  exibunt  )>iznnlij  to;  et  tot  remanserunt  ei  post  primam  ]>oi-tam  ; 
riim  (|uibti.s  adde  | tuiius  liizantij,  quas  dedit  in  prima  porta»  cnmt  bizantij  | fo  ; 
pt'<>  quibus  I iimeniendus  c^t  numerus;  de  quibus»  extractis  J i|»sius  , remaneant  bi<  m iiu 
numerus  illo  sit  3 
ucilct  esse  1 19:  quare  mulliplira  | 19  [>cr  3» 
iirhoris  regulus»  exibunt  bi/aiitij  59;  et  tot  linbnil  ille. 

Alilcr.  Inueniamus  primum  suTtimain  bizanliormn»  dc  qua  potuit  dare  paries  supra- 
scriptas  iu  10  jiorlas  siiic  fraclioitilms  unius  biziiutij»  que  adduntur  iii  eisdem  ]K)rtis; 

({tiud  iiiuenics  sic:  quia  cx  ipsa  summa  dedit  prime  porle  | ; ergo  ex  eadem  remansit 
ei  Icrcin  pai-s  : de  qua  tcrcia  dedit  dimidium  in  secunda  jiorta  ; et  sic  remansit  et 
dimidium  tercie  }>artis  eiiisclcm  summe;  dc  quo  dedit  in  Icrcia  porta  terciam  jvai  lem; 
et  sic  rcmanseniiil  ei  duc  Icicie  medietatis  Icrcic  partis  eiusdem  summe:  t|uo  modo, 
et  ordine»  si  dc  jmrta  in  |>orlam  processeris»  inueriies  ei  remansisse  in  line  .x.  por- 
tarum predicla  summa;  quod  residuum  ponitur  fuisse  bizantium  1. 

tjuarc  que  portio  ba1>et  denominans  ipsius  uirge  ad  denominatum»  camdem  proportionem 
lial  '*t  I ad  predictam  summam.  Quare  multiplicabis  summam  multiplicationis  omnium 
numerorum»  qui  sunt  siib  uirga»  per  1»  ct  diuides  }>er  omnes  numeros,  qui  .sunt  super 
iiirga,  inter  quos  est  cuilatiu  maxima;  ita  quod  non  ojiortet  multiplicare  nisi  3 per 
10»  scilicet  numeros  extremos»  et  diiiidere  per  i»  ct  habebis  30;  quos  oportuit  eum 
liabcrc,  ut  pei^oliierct  suprascriplas  partes  in  prescriptis  partis  {«c),  et  remaneat  ei  bi- 
zantius  i.  Vnde,  ut  habeamus  luzanlias,  dc  quibas  ijtse  persoluit  fractiones  unius  bi- 
zaiilij  iu  singulis  portis  , multiplica  j unius  lazantij,  quas  dedit  in  prima  {M)i-ta,  per 

3,  que  primo  |Mxsita  sunt  sub  uirgula;  ct  diuide  per  1,  quod  est  sujicr  ipsa  3»  erunt 
bizantij  S;  quos  adde  cum  30  iniicntis  , erunt  bizantij  33.  Nam  ipsi  bizantij  3 .sunt 
illi,  de  quibus  dedit  duas  partes,  et  remanserunt  inde  ^ unius  bizantij,  quas  de<tit 
in  prima  porta.  Item  multiplica  ^ unius  bizantij»  quod  dedit  in  secunda  porta»  per  3» 
et  per  2,  que  .sunt  .sub  uirgula;  et  diuide  per  1»  quod  est  super  3,  ct  per  i,quod 
est  super  2,  erunt  bizantij  3;  de  quibus  dedit  in  prima  j)orta  | i]tsonim,  ct  iti  se- 
cunda dimidium  rcH((ui,  ct  insuper  dimidium  unias  biz:inlij,  quod  dedit  in  secunda 
porta;  quibus  bizaiitijs  3 additis  cum  bizantijs  32  iiiucnlis»  erunt  35.  Item  multiplica 
\ unius  bizantij,  quam  dedit  iu  tercia  {xata,  per  numerus  trium  portarum»  qui  sunt 
positi  sub  uii^ula»  scilicet  ]>er  3;  que  per  3;  que  {>er  3;  et  diuides  per  numeros»  qui 
positi  .sunt  super  ipsos  tres  numeros»  scilicet  t»  quod  est  su]>cr  3»  et  per  i»  quod 
est  .super  2,  et  per  2»  que  sunt  super  alia  3»  erunt  similiter  bizantij  3 ; quos  opur- 
luit  etnn  habere  iu  tereia  porta»  ul  persoluerentur  cx  eis  antecedentes  partes,  ct  iii* 
super  I unius  bizantij  eidem  porle;  quibus  additis  rum  bizantijs  35  inucnlis»  erunt 
Jnzanlij  38.  nursum  multiplica  { unius  bizantij  per  numeros  .iiij.”'  |>ortai'iim  , qui 
sunt  sub  uirgula»  scilicet  per  4;  que  per  3;  que  per  t;  que  per  3 ; et  diuides  per 
mimeros  eariimdem  portarum»  qui  sunt  super  uii^ilam»  scilicet  per  3,  que  sunt  super 

4,  ct  )»er  2,  que  sunt  su|>cr  3,  cl  per  1»  quod  est  9U|»cr  3,  cl  per  1,  quod  est  super 
3;  et  cuitabis  hoc»  quod  poteris,  exibunt  similiter  bizantij  3;  quod  idem  si  fecerimus 
de  reliquis  portis  , lial  cbimus  similiter  ia  unaquaque  bizantios  3 : quibus  omnibus 
lernarijs,  uidciicct  .vij.  portarum»  que  remanent»  insimul  junctis»  faciunt  bizantias  21; 


» ex  quo»  cxtnictls  | , remanet  1 ; (piml 
ct  diuides  per  1,  secundum  suprnscripti 


zanti)  I 10  : |>one  quod 


Digilized  by  Googie 


(»1 


ut 


1.4  . (r.i|.  III  r^rt;  » llH.  19 
. tu  ~ £4  • 8fi  i M.  Iltl  . 
im.  ti  c 


M 


m .4-/M 


3(8 

r|uil>us  additis  cum  blzaalijs  3S  tnuciUis,  reddunt  similiter  hizanlios  59  pro  summa  in* 
zuiitiurum  illius.  | 

Incipit  capitulum  13  de  regulis  elchaiajn^  qualiter  per  ipsam  fere 
omnes  questiones  abaci  sohutntur. 

Elchataicyrn  quidem  arahicci  latinc  duarum  falsarum  posicionum  regula  interpretatur, 
per  quas  fere  omnium  questionum  sulutiu  iuuenitur;  cx  quibus  una  est  illa  , per 
quam  in  teixiia  parte  duodecimi  capituli  regulas  arborum,  ct  similium  soluere  docui- 
mus. Iii  quibus  tutum  elchataicyrn,  scilicet  duas  {K>sitioiics,  (>ouerc  non  opportet,  cum 
per  unam  carum  ipse  questiones  solui  possint:  et  tamen  qualiter  ipse,  ct  mulle  alie 
questiones  per  elcltalaicym  solui  debeaut,  uolumus  demonstrare.  Ponuntur  enim  ipse 
duc  false  jjosiciimes  furtuitu.  Vnde  occuirunt  quandoque  ambe  minores  ueritate,  quan- 
do(}ue  maiures,  quandoi{Uc  una  maior,  et  altera  mitior:  ct  inuenitur  solutionum  ue- 
rilas  secundum  projrorcionem  difTereritie  unius  p<»sitionis  ad  aliam,  hoc  est  quod  cadit 
in  regula  quarte  pnijiortionis,  in  qua  tres  numeri  sunt  noti;  per  quos  quartus  ignotus, 
scilicet  sululiunis  ueriUs,  rc|>critur;  quorum  primus  numerus  est  dilTcrcncia  numeri 
unius  false  posiciunis  ad  aliam.  Secundus  est  adpropin<[uacio,  (pic  fit  ueritati  per  ipsam 
differetteiam.  Terrius  est  residuum,  quod  est  ad  adpropinqiiaiidum  ueritati.  Que,  qua- 
liter fiant,  primum  iii  regula  canUrii  demonstrare  uolumus,  ut  ipsis  tribus  dilPerentiis 
subtiliter  in  cantario  demonstratis  , aliarum  questionum  solutiones  }>cr  elchataieym 
subtiliter  ualeas  intelligere. 

Usieat  enim  cantare,  scilicet  Rotuli  loo,  libras  u;  et  queratur  quantum  ualeat  Ro 
tulus  1:  ponimus  fortuitu,  (}Uod  Rotulus  i ualeal  soldum  i;  ergo  Rutuli  loo,  scilicet 
cantare,  ualcbit  ca  ratione  .soldos  loo,  scilicet  liber  (.ric)  5:  sci  quia  precium  catitari| 
est  libro  13,  ideo  licc  prima  |K)sido  falsa  est;  et  distat  ad  ucriUite  librc  8,  scilicet 
dilTcreiitia  , que  est  a liber  5 iLsque  ad  liber  u.  Vmlc  pro  precio  ipsius  Rotuli  po- 
namu-s  soldos  s,  scilicet  soldum  1,  plus  prima  |x>$icionc,  quam  racionc  c.antarc  ualcbit 
soldus  iai),  scilicet  libras  10;  ct  hoc  similiter  posicio  falsa  est,  ct  longe  a ucrilalc  libre 
3,  scilicet  diflfereticia,  que  est  a libris  to  usque  in  libris  <3.  Nam  in  prima  posicione 
fuimus  longe  a ueritate  librc  8.  In  secunda  libre  3.  Ergo  per  dilTerciicia  , que  est 
a prima  {K>sicione  in  secunda,  scilicet  per  sitldum  t,  appn>pitiqiiauimus  ucriuti  libris 
5,  scilicet  differentia,  que  est  a libris  8 usque  in  libris  3 ; ct  desunt  adhuc  adpro- 
pinquandum  librc  3:  quare  dices : per  denarios  is,  quos  addidi  precio  Rutuli  unius, 
appropiiiquaui  precio  caiiUrii  libris  5;  <|uid  su[>eraddam  ergo  precio  eiusilcm  Rotuli, 
ut  adpro{)iti(|ucm  libris  3,  que  desunt  supra  secundam  posicionem  a ]>reciu  eiusdem 
cantarij:  multiplica  ergo  extremos  numeros,  ct  diuides  per  medium,  secundum  <{uod 
in  regulis  arborum  et  .similium  deinonsirauimus,  uidelicet  13  per  3 ; et  diuides  ]>er 
s,  qui  csl  medius  numerus,  exibunt  dctiarij  | 7;  quibus  additis  su|>er  soldos  t,  qui 
|>ositi  fuerunt  in  secunda  positione,  habebis  pro  precio  unius  RotuU  soldus  8,  et  de- 
narios j 7:  fuerunt  enim  isto  due  (Hxsicioiics  minores  ueriutc.  Nunc  ergo  prcj>onamus, 
que  sint  ambe  maiores:  jKinalur  ergo  fortuitu,  qu<Kl  Rotulus  t ualeat  soldos  4^  qua 
racioiie  totum  cantare  ualenl  libras  so  , scilicet  libras  7 , plus  quam  debeat  : ergo 
hec  |K>sicio  falsa  est  : ponatur  ergo  in  secunda  posicione  soldi  3 pm  pi^cio  i|>.sius  | 
Rotuli,  scilicet  denarij  it,  minus  quam  in  pritoa  posicioue;  qua  ratione  totum  cantate 


Digitized  by  Coogie 


319 

iialcrcnl  libras  is,  sciHceI  libras  magis  quam  debeat.  Yncle  ct  hcc  similiter  falsa  est. 
Nam  pro  clenniijs  a,  quos  minuimus  in  .secunda  p<xsicioiic  de  precio  unius  Rutuli,  ad> 
prupifiqiiaiiimus  libris  5,  scilicet  differentia,  que  est  a libris  7 usque  in  3,  remanent 
i|>se  due  libre  adhuc  adpro|)inquandum.  Vude  dices:  pro  denarijs  iS,  quos  minui  de 
precio  Rutuli,  adpropimpiaui  ueritali  libris  9;  quid  minuam  dc  secunda  posictone,  ut 
adpropinquem  libris  1:  multiplica  ergo  extremos,  scilicet  is  , j>er  s , ct  diuides  |>cr 
medium,  scilicet  per  9,  exibunt  dctinrij  \ rpiibus  extractis  de  soldis  3 secunde  posicio> 
nls,  remanebunt  similiter  pro  precio  illius  Rotuli  soldi  9,  et  denari)  { 7.  Item  ut  una 
posicio  sit  maior,  et  altera  minor,  |mnamu.s  pro  precio  illius  Rotuli  soldos  3 ; qua 
rntioiie  cantare  ualeret  libras  19,  scilicet  libras  s,  magis  quam  debeat:  ct  |M>namus  in 
secunda  |>osicionc  pro  precio  Rotuli  soldos  2;  «pia  ratione  cantare  ualcrcl  libras  10,  quod 
est  3,  minus  quam  debeat:  ergo  pro  denarijs  i2,  quos  minuimus  in  secunda  |H>sicione, 
minuimus  libras  t,  que  in  prima  pasitione  superant;  ct  libre  3,  que  in  secunda  )M>sicioiie 
minuunt:  ergo  pro  ipsis  denarijs  12  minuimus  libras  5 a prima  posicione  in  .secunda, 
cum  non  restarent  ad  minuendum  nisi  libre  2;  uel  creiiimus  libras  5 a secunda  pt^ 
sicionc  in  primam,  cum  non  restarent  ad  crescendum  nisi  tantum  libre  3;  quare  hoc 
dupliciter  discere  {Mjtcs;  primum  quidem  dic:  per  denarios  13,  quos  minuimus  de  prima 
|H)sicionc,  minuimus  libras  9;  quid  minuemus  ex  eadem,  ut  minuamus  tantum  libras  2: 
multiplica  12  per  2,  et  diuides  per  9,  exibunt  denarij  \ 4;  quibus  extractis  de  soldis 
3 prime  posicionis  , remanent  soldj  2 , ct  denarij  | 7 pro  precio  illius  Rotuli.  Vcl 
dic:  pro  denarijs  12,  quos  creui  a secunda  posicione  in  prima,  creui  libras  5;  quid  ad* 
crescam  super  ipsam  secundam  pt^icionem,  ut  adcre.scalur  libre  3 : nudtiplica  ergo 
12  per  3,  ct  diuide.s  per  5,  exibunt  denarij  {7;  quibus  additis  cum  soldis  2 secunde 
jMisicionis,  habebis  similiter  pro  precio  illius  Rotuli  soldos  2,  ct  denarios  ~ 7. 

Ksl  enim  alius  modus  cichataym;  qui  regula  augmenti,  ct  dimimicionis  appellatur, 
in  quo  ponuntur  errores  sub  posicionibus  suis;  ct  multiplicatur  error  primus  ]>er 
sitionem  secundam;  et  error  secundus  per  |xi.silioncm  primam.  Kt  si  erores  fuerint 
nmbo  diminuti,  uel  amlm  additi,  extmittir  minor  summ:«  prodictarum  muUipUeationum 
de  maiori;  et  residuum  diuiditur  per  diOTcrentiam  errorum;  et  sic  inucnitur  solucio 
questionum:  et  si  uiui.s  fuerit  error  additus,  ct  alter  diminutus,  tunc  adduntur  insimul 
aml>c  muUipiicnciunes,  et  summa  diuiditur  |H*r  errorum  cumiunclionem.  V^erbi  gratia: 
{KKSuimus  vsuperius  proporcio  (^/c)  unius  Rutuli  soldum  1,  cum  quo  errauimus  in  libris  s 
diminutis;  quare  |Hmes  s sub  i;  et  notabis  mimis  super  s,  cum  sint  diminuta:  deinde 
(]uia  in  secunda  |K)sicionc  posuimus  soldos  9 pro  precio  eiusdem  Rotuli,  el  errauimus 
udliuc  in  libris  3 diminutis,  pones  soldus  2 ante  primam  posicionem  ; et  sub  i}>sis 
pone  errorem  eonim,  .scilicet  libras  3;  super  quas  notabis  iterum  minus,  cum  .sint  iternm 
defieieiUcs;  et  multiplicabis  .soldos  i per  numerum  primi  erroris,  cninl  .soldi  i$  ; et 
soldus  1 per  mimenim  erroris  secundi,  erunt  soldi  3.  Et  quia  amlx}  errores  fuerunt 
diniiiiuli,  extrahe  minorem  multiplicationem  dc  maiori,  scilicet  3,  dc  I6,  remanent  | 
soldi  13;  quihus  diuisis  per  dilferenciam  errorum,  scilicet  per  5 , ucniunt  .sohli  \ 2, 
ut  .superius  imieniinu.s.  Rursus  cum  superius  fecimus  ucuire  errores  amho  addentes, 
posuimus  ifi  prima  {uissiciune  soldos  4,  et  errauimus  cum  lihrLs  7 additis;  et  in  se- 
cunda {Kisicione  jiusuimus  soldos  3,  et  errauimtis  iterum  cum  libris  2 additis,  ut  in 


«■>Mi  1]  ..|rr  .-l.li  i|l4irtui  • 

r'»i.  148  . i>.-  i-is  ' 

24;  SI9,  U.  4U  _ 

Sil»,  li«.  tiii 


II  • Mi 

3 ti; 

*"Mi  «.t  i> 


Digifized  by  Googie 


r..|  llt  ••rrM. 


« wrii  . • > <f^.  I4t 

ve¥t»,  Un,  6 )1;  pii  3tU,  Ua- 
4%  _ f>r  231.  lia.  1|. 

^ t.  e f 


f - ' * 


aso 

liur  uiia  |uiUi  <li*!u:n|iliuiic.  i}v4vc  muUiplicabis  poskiuiicin  secundam  per  iminerum 
eiTorU  primi»  scilicot  per  3,  cruiit  soldi  Ji;  ct  * per  4,  cnmt  soldi  8:  et  f|uia  amlMi  I 

ermres  fueruiit  siijKrr  haltiiiulaittcs»  diiiide  dilTercNtiam  niultiplicacionum  per  differen- 
» iam  cnoiiini,  scilicet  13  jM?r  3,  ct  habebis  .similiter  .Siddos  ~ t.  Rursus  cum  fecimus 
primum  eurum  dciPiccrc»  ct  alium  su|>cr  babutidai*c»  posuimus  precio  uitiu.s  Rotuli  in 
prima  |X)siciuiic  suldns  i,  et  in  secunda  soldos  3;  ct  primus  error  fuit  3 dimiiiuU, 
et  secundas  s addita»  ut  iii  iiae  alia  cernitur  desi^riptume.  Quare  multiplicabis  3 jht 
3,  ct  t per  iy  erunt  soldi  u»  et  soldi  4»  (pios  luldc  insimul»  eunt  unus  ex  erroribus 
sit  diminutus,  ct  alter  additas»  emiit  soldi  la  ; quos  diuidc  per  riimiunctum  ex  er* 
ruribus»  buc  est  per  5»  exibunt  similiter  soldi  r 2 » et  hoc  est  soldi  2,  ct  deuarii  * 

J 7 » ut  superius  iuiieiiimus.  Nam  ut  unde  bcc  pruueniant  demonstrentur:  Adiaccal  i 

ignotus  numerus  .a.  silicet  tiera  suluciu  alicuius  questionis,  que  solui  possint  per 
ilcbalaicyiuj  ex  quo  iiumcn»  sumatur  mmimis  .«.g,  notus  pro  prima  jtosicioiie,  cuius 
error  sil  numerus  .e  z.  dcficiciis  } ct  pro  secunda  posiciouc  sumatur  iterum  ex  lui- 

incru  a b numerus  tl  similiter  nutus  . cuius  error  sit  numerus  .1  z simUllcr  deli- 

. • I 

ciens;  ct  est  nolas  unasquisijue  niimcriirum  e z l z.  Quare  diflerencia,  que  est  itiler 
tilrunque  errorem,  scilicet  numerus  e f est  notus:  simUilcr  g r/ numerus»  qui  est  in- 
ter utramque  ]>osicioncm  cst  notus,  cum  numeri  porcionum,  scilicet  .n.^.  ct  .u.</.»  sint 
noti:  sed  numerus  .b.  d.  restat  ignotas»  cum  totas  .n.  b.  sit  ignotus;  op|M)i*tet  itaque,  si 
questio  fuerit  solubilis  j>er  etcliataicym,  ul  sit  sicut  ,e  / notas  ud  [ z notum  , ita  gd 

notus  ad  a b ignotus.  Quare  secundum  primum  modum  • k 

inultiplicauiiDus  / z per  g d ^ ct  diuidimus  per  e / , i - 

silicet  muUiplicauimus  errorem  .secundum  {K*r  diffcreuciam  eorum,  cl  habemus  iioUiiii 
iiunicruiii  .d.  b.,  quem  addimus  .super  secundam  positionem»  scilicet  super  dr,  ct  sic 
babcnuis  noUmi  munerum  .ti.  £>.,  scilicet  solucionem  posite  questionis.  Sed  sccuiidiim 
alium  modum  muUiplicamus  errorem  primum  per  posicionem  secundam,  scilicet  .c.z.  per 
.n.r/.;cl  extraximas  inultiplicacioiicm  erioiis  secundi  in  {msicbmcm  primam»  scilicet  nu- 
meri ./.  z.  in  numerum  -ft.  g.‘,  et  diuidimas  residuum  per  numerum  .e.  /.»  c*l  habemus 
totum  numerum  ,a.  b.',  ct  Iuh:  pruucnit»  (juia  cum  multiplicatur  numerus  ,e.  z,  in  tiutnc- 
ixiiu  Ul.  d.y  tunc  iinilliplicaiilur  numeri  .e.  f.  f.z.  in  numemm  .a.  d.:  .sed  cum  multipli* 
calur  numerus  ./.  z.  iii  iiummiin  .a.  </.,  tunc  multiplicatur  nuinei*us  ./.  z.  iii  numeros 
.u.  ct  d.i  ergo  multiplicatur  numerus  .e.z.  in  numerum  .n.r/.;  tunc  muUiplicalur 
tiumerus  .e.  L in  numerum  .a.  d.y  ct  numerus  .f.z.  in  iiiiraeru.s  ui.  g.,  ct  .g.  d.: 
set  mulliplicacio  /.  z.  in  .g.  d.  est  sicut  multiplicacio  .e.  f.  in  .d.  b.y  cum  sit  sicut 
.e.  ad  .f.z. i ita  ,g.  ad  ,d.b.  Quare  cum  multiplicatur  .e.z.  in  .a.  d.,  tunc  muUi- 
plicalur .€.  f.  in  iiumcn>s  .n.  d.  et  .d.b.^  Iioc  est  in  totum  mtmcntm  .a.b.y  ct  nu- 
merus .f.z.  in  numerum  .(i.  g.  Vnde  si  ex  muUiplicaliunc  numen  j.c.s.  in  .a.d.y 
.silicet  erroris  primi  in  jKxsicionem  secundam  , auferatur  iniiltiplicalioiiiim  ./.  z.  iii 
numerum  .ft.  g.y  silicet  entiris  secundi  in  pasiliuncm  primum»  remanet  multiplicatio 
numeri  .e.  /•  in  numerum  .a.  b.,  que  mulliplicatiu  si  dinidalur  per  eundem  .e.  /■» 
silicet  )>er  dilTerentiam  errorum»  nimirum  numerum  .a.  b.  prouciiire  iieccs.He  est;  quml 
op|)orU‘l»at  ostendere.  Rursus  sit  iiumcnis  ut.  b.  ignotus  ucra  solutio  alicuius  questionis, 
que  solui  possit  per  cicbataicym,  cl  sit  numerus  .o.  f.  jiositio  prima,  cl  numerus  .a.  c. 


Digilized  by  Googie 


391 

verunda;  cl  sunt  am)>o  pusilioncs  maiores  numeri  .a.b.  : quare  errores  carum  eniril 
addentes;  et  sit  numerus  .g.I.  error  pnme  ]>o5itionis,  et  .g.k.  secunde.  Oportet  itaque, 
ut  sit  sicut  ./.A',  ad  ita  .c.f,  notus  ad  ,c.b.  ignotum,  t^hiarc  superius  in  prim<» 

modo  muiliplicamus  .A.g’.,  silicet  ciTorcm  secundum,  per  .e./'.,  silicct  per  diirereiitiam 
]M>sitioiuim,  et  diuidinuis  summam  per  numerum  ./.A*.,  silicet  \>er  dilTcreiUiam  errorum, 
i‘t  liabenuis  numerum  .b.c.;  quem  c\lra\imus  ex  .a.c.t  silicei  cx  pitsitione  secunda, 
et  remanet  numerus  M.b.  : set  secundum  alium  modum  multiplicamus  iiiimenim  .g./. 
j»cr  riuinenim  .a.c.,  silicet  errorem  primum  per  |K>sitionctn  secundam:  et  extrahimus  inde 
multiplicationem  numeri  .k.g.  in  numenim  .a.f.,  silicet  erroris  secundi  iii  posilionem 
primam;  el  quini  remanet  diuidinuis  |>cr  numerum  ./.A*.,  silicei  |K*r  dilTerctitiam  er- 
rorum, et  habemus  similiter  notum  numerum  .n.b.,  qui  erat  ignotus;  et  lioc  fuit, 
quia  cum  multiplicatur  numerus  .g.I.  in  numerum  .a.c.t  silicet  error  primus  in  po- 
sitionem secundam,  tunc  mulliplicanlur  numeri  .g.A*.,  et  .A*./,  in  numerum  set 
cum  multiplicatur  mimcrus  .A*./,  in  numerum  .a.c.  , tunc  multiplicatur  numerus  .k.i. 
in  numeros  .n.b.^  ct./i.c.  Nam  miiUipUcatio  .k.  f.  iii  .b.c.  equalur  multiplicationi 
.g.k,  in  .e./.;  cum  sit  sicut  .J.k.  ad.A'.g.,ita  ./.c.  ad  .c.b.  : ei^o  cum  rnulliplicatur 
muncrus  .g.f.  in  numerum  .n.c.  , tunc  multiplicatur  numerus  .g.k.  in  numeros  .n.c., 
et  .c./.,  Iioc  est  iii  totum  numerum  .n.f.’,  et  numerus  .A'./,  in  numerum  .a.b.  Ouarc 
si  cx  ductu  .g.f.  in  .«.c.,  silicet  primi  em»ris  in  positionem  secundam,  auferatur  mul- 
tiplicatio .g.k.  in  silicet  erroris  secundi  in  jMisilioncm  primam,  remanebit  mul- 

tiplicatio luimcri  .A*./,  in  numerum  .a.b.;  que  mullipliratio  cum  diuidilur  per  .A*./., 
silicet  |M?r  diirereiitiam  errorem  («c),  prouenit  numerus  .a.b. , silicet  .solucio  questionem  ; 
et  liOC  uolui  demonstrare.  Iterum  adiuccal  mimcrus  .a.b.  ignotus,  qui  .sit  solutio  ali- 
cuius questionis,  que  solui  possit  per  cichalaieym;  el  cx  i|>so  accipiatur  numenis  ,a.g. 
notus  pro  portione  prima,  cuius  error  sit  numerus  .e.z.  defitien.s;  et  pro  portione  scnmda 
habeatur  numerus  .a.d.  notus,  qui  est  maior  numerus  .a.b.^  cuius  error  .sit  numerus 
.z.I.  Oportet  itaque,  ut  si  questio  solui  poterii  |K:r  cichalaieym  , ut  sit  sicut  .g.d. 
ad  .b.g.f  ita  .e.f.  ad  .e.5.,  lux?  est  quod  sil  sicut  difTerentia,  que  est  inter  pixsitiones 
ad  diOerentiam,  que  est  a prima  positione  in  numerum  quesitum,  ita  cuniunclitm  cx 
erroribas  ad  errorem  primum.  El  quia  ita  fuit  superiu.s,  cura  pro  primum  modum  (j/c) 
(iperali  fuimus,  multiplicauimus  errorem  primum  per  diflerentiam  positionum,  .silicet  .e.z. 
per  .g.d.f  et  ditiissimus  summam  ]>er  riiniunctum  ex  erroribii.s,  scilicet  per  numerum 
.g.b.t  quem  addidimus  per  |K)siliouem  primam,  .silicet  super  .a.g. ; et  fuit  notus  nu- 
merus .a.b.  , qui  fuerat  ignotus.  Ycl  quia  fuit  sicut  .g.  d.  ad  .b.  d. , ita  .e.f.  ad 
.z.I.  Ideo  multiplicauimus  .z.I.  per  .g  f/.,  silicei  ad  errorem  secundum  per  difleren- 
tiam I {Kxsitionum,  et  diuidimus  summam  per  numerum  .e.f.%  silicet  per  cuniunctum 
ex  erroribus,  et  habuimus  .b.d,;  quem  extraximus  cx  numero  .a.d.  , scilicet  ex  ]k>- 
sitionc  secunda,  et  reiuunsit  numerus  .n.Z*.,  scilicet  solutio:  per  secundum  uero  modum 
multiplicauimus  errorem  primum  ]>er  positionem  secundam , scilicet  .e.z.  per  .a.r/.,  et 
errorem  .secundum  |»er  |»usiiioiietn  primam,  scilicet  .z./.  |>cr  .a.g.;  quos  (^le)  muUipli- 
calioncs  romcicgauimiis,  et  eorum  suminam  diuissimus  |>cr  coniunclum  ex  erroribus, sci- 
licet per  .e.f.;  et  habuimus  solutionem  quesitani,  scilicet  iiunierum  .a.b.;  et  hoc  fuit; 
quia  cum  niultipiicatiir  numenis  .e.z.  per  numerum  .a.d.f  tunc  multiplicatur  .e.z.  in 

41 


IIMIM.  1.,«  ...  r.l  . 

<l>a.  Ili  ....r...  . I.n.  Si  u . 
!.•(.  Stt.  I.M.  SS  n . 


M n: 


Digilized  by  Googie 


M. 

jHki*'  r»i«i  ....  n>-|nUtl  • (fol- 

14S  •rrr»*.  Imi.  1-S  « 6;  |wR- 
ttt.  Ii*  >S-4U' 


1»«M-  UUri 


3SS 

numeros  .«-g-»  et  quibus  inulliplicatioiiibus,  cura  adJilur  multiplicatio  .s./.  in 

.«z.g.,  lunr  hal>clur  snmraa  nmiliplicalioniim  iiumcrorura  .e<z.z.  /.in  numerum  •«.  g. 

El  muhiplicalioiiLs  .e.z.  in  .g  ti.i  sed  multiplicationes  .e-z.  in  »<i.g.t  et  .z-I-  in  .«.g. 
oquatur  multiplicationi  lolias  .e.f.  iti  numerum  .a.g.  j ergo  cum  rauUiplicalur  .C.5. 
in  .n.d,,  ct  ia  .a.g.,  tunc  mullipliciilur  .e./,  in  .«.g.,  ct  ^.z.  in  -g.d.  Sed  mul- 
tiplicatio .e.z.  in  .g.</.  est  sicut  multiplicatio  .e.I.  in  quia  est  sicut  ./.e.  ad 

ita  -d.g.  ad  .b.g.  Vnde  cum  multiplicatur  .e.z.  in  .a.tl.f  ct  .z.f,  in  .a.g.,  tunc 
inulliplicalur  .e.I.  in  numeros  .u.g.,  ct  .g.b.t  lioc  est  in  lotum  numerum  .aM.i  ergo 
cum  nuihiplicalur  .e.z.  in  .a.d.f  hoc  csl  error  primus  iti  positionem  secundam;  ct 
.z.i.  in  hoc  csl  errf>r  secundus  in  pusitionem  primam  tantum,  tunc  coniunclum  ex 

i|isis  mnlliplicaliouibus  qualuur  multiplicationi  numeri  .e.i.  in  numerum  .a.b.x  quare 
cum  eorum  sumina  diuiditui*  per  .e./.,  qui  est  comunctum  cx  erroribus,  proucuit  iiume- 
lus  .aM.}  quod  upportcbal  ostendere:  bis  itaque  demonstratis,  restat  ostendere,  qualiter 
jMisitioiiCS  poni  debeant;  cl  eorum  errores  inucnirc,  secundum  diuersilatoin  questionum: 
et  ut  bcc  apertius  demonstrenlur  , hunc  capitulum  in  duas  partes  diutsi.  lii  prima 
quarum  ostendam  soluere  quasdam  ex  questionibus,  que  solute  sunt  per  primas  regulas 
in  prcccdcntibus  capitulis.  In  secunda  tractabitur  suj>er  solutionem  quaruiidam  ali- 
quarum questionum,  dc  quibus  luilla  fuit  mentio  In  lioc  libro. 

Incipit  pars  prirtta. 

tjvidam  habuit  monelam,  que  erat  ad  uncias  tres  3;  et  aliam  monetam,  que  erat 
ad  uncias  o ; et  uulult  ex  cis  facere  libram  t5  monete,  que  essent  ad  uncias  5;  et 
queritur,  quantum  de  una  quaque  moneta  in  prcdicto  consolamine  mittere  debuit.  Qvta 
in  libni  monete,  quam  uoluit  facere,  opportuit  liabcre  uncias  5 argenti;  ergo  in  libris 
15  opportuit  lialn^ix!  quindecies,  quam  in  uiia  libra,  scilicet  uncias  75:  quibus  ex  parte 
scruatis,  potic  ad  libitum  de  minori  monela,  ut  sint  in  ipso  consolamine  libre  3,  in 
quibus  suiit  uncie  argenti  9.  Kelujuas  uero  libras  11,  que  sunt  ab  ipsis  tribus  libris 
usque  in  15,  pone  ut  cs.sciU  dc  maiori  moneta,  in  quibus  sunt,  uncie  72  argenti.  Qvibus 
additis  cum  unciis  0 inuentLs,  reddunt  uncias  Si  ai^eiiti  in  summa  illius  consolaminis, 
ex  quibiLs  su|>erauit  uncias  c;  cum  non  dcbcuiil  esse,  nisi  tantum  76;  ct  sic  errauimus 
in  unciis  0 additis:  quare  pones  in  secunda  positione  libras  4 minoris  monete,  scilicet 
libram  1,  plus  quam  in  prima  jKxsicicmc;  in  quibus  libris  4 sunt  uncie  12.  lii  reliquis 
ucro  libris  11,  que  sunt  ub  ipsis  libris  4 uS4]uc  in  16,  sunt  uncie  argenti  co:  <|uibu.s 
additis  cum  unciis  11  argenti,  que  sunt  in  4 libris  minoris  monete,  faciunt  uncia.s  79 
pru  attento  totius  consolaminis.  In  quibus  supersunt  uncie  3;  cum  noii  dcl>caiit  esse 
nisi  tantum  76;  et  sic  criauimus  | adhuc  cum  unciis  3 additis.  In  prima  enim  posi- 
tione sujierfuerunl  uncie  6;  in  secunda  3 : ergo  per  1 libram,  quam  accrcuimus  de 
minuri  moneta  in  secunda  posicionc,  adpropinquauimus  ueritati  uncias  3,  scilicet  dif- 
ferentiam, que  est  ab  ijisis  e unciis  usque  in  ipsis  unciis  3 , rjtic  sujK^rsunt  de  .se- 
cunda pofiicione  : ergo  dices  : .secundum  jirimum  mmluin  libra  iina,  qu.im  creui  iti 
secunda  positione  , adpropiiit{uaui  ueritati  uncias  3 urgenti  ; tpiiil  adcrcscam  super 
ipsam  .secundam  positionem,  ut  adpropinquem  alias  3 uncias,  que  desunt  adpropin- 
quandum:  multiplica  ergo  1 {jcr  3,  ct  diuides  per  3,  exibit  libra  i;  <pi:i  addita  cum 
libris  4 secunde  positionis  , faciunt  libre  $ ; et  tantum  opportuit  eum  mittere  dc* 


Digilized  by  Googie 


iii 

minori  moneta.  Rcliijuas  ucru  , scilicet  libras  lO,  de  maiuri,  in  quibus  sunt  argenti 
uiicie  75  inter  utramque  monelam,  ut  opportcl. 

De  einlem. 

nrrsum  quidam  liabet  moiiLtam,  in  cuius  libm  sunt  uueie  8 argenti;  cl  monetam, 
in  cuius  libra  sunt  uncie  3;  et  monetam,  in  cuius  libra  sunt  uncie  5;  et  monelam,  in 
cuius  libra  sunt  uncie  7 ai^enli ; et  uult  ex  ijksis  quattuor  monetis  consolare  libras 
»)  ad  uncias  J 4:  multqdica  primum  libras  so  per  uncias  | 4,  et  habebis  uncias  90  , 
que  debeut  css'  in  illis  libris  so  : deinde  mittes  de  minori  moneta  in  proscripto 
consuiamiuc  quantum  uis,  ut  ]>oiiamus  libras  4,  iii  quibus  sunt  uncie  argenti  s ; et 
extrahe  ipsos  libras  4 de  ijisis  libris  iO,  cl  ipsas  uncias  8 de  suprascnptis  unciis  00, 
remanebunt  libre  to  nd  consolandum  de  relhpiis  tribus  monetis.  In  quibus  debent  esso 
uncie  88  argenti,  scilicet  8,  minus  de  unciis  »0:  post  hec  pones  in  emieni  consul.iniine 
ad  libitum  de  maiori  moneta,  ut  dicamus  librum  l,  in  qua  sunt  uncie  7 argenti,  re> 
manent  libras  (.ric)  IS  de  duabus  reliquis  monetis  ad  consolandum  ad  uncias  7S  argenti 
iiilcr  utramque,  hoc  est  ad  uncius  5 argenti  |>cr  libram  ; que  coiisolacio  |icr  cicha- 
taieym  in  antecedenti  que.stionc  consistit : quam  consolationem  etiam  per  secundum 
modum  inueiiies,  si  multiplicaueris  errorem  primum  per  positionem  secundam,  sclli* 
cet  6 per  libras  4;  et  cx  ipsa  multiplicatione,  que  esi  84,  extraxens  multiplicalUmein 
secunde  {sic)  erroris  in  positionem  primam,  scilicet  O;  et  residuum,  scilicet  is,  dtuiscris  per 
dilTerentiam  ct^ixirum  , que  est  3 , exibunt  similiter  libre  s minoris  monete,  helique 
libre  lO  mittentur  de  maiori,  ut  prediximus. 

De  iabvratoret  questio  notabilis. 

Qvidain  liborator  (jie)  erat  recepturus  bizantios  7 in  mense  si  laboniret;  et  si  mm, 
debebat  reddere  bizanlius  4 domino  operis  ad  rationem  unius  mensis:  qui  qiiandiMjuc 
laborauit  tjuandoque  non;  ita  quod,  expleto  mense,  debuit  rcci|>erc  a domino  o{)cris 
bixaiitiuiu  l;  queritur,  (|Uot  diebus  cx  ipso  mense  lalM>rarmiil.  l'one  quidem,  ut  i^xse  labo- 
ret diebus  80;  ct  quod  iii  reliquis  diebus  lo  non  lalMuni-ct.  Viidc  pro  ipsis  so  diebus 
debuit  habere  duas  tercias  de  bizanlijs  7,  scilicet  bizarilius  1 4.  Cum  dies  so  sint  | tocius 
mensis;  ct  pro  illis  diebus  10,  in  quibus  non  laborauit,  debuit  reddere  domino  oj)cris 
bizanlium  \ 1,  scilicet  tertiam  |>arlcm  de  bizanlijs  4;  quo  bizantio  J 1 extracto  dc  bi- 
zanlijs |4  lucri,  remanent  proluero  bizantij  ^3;  qui  uellent  tantum  esse  bizantium  1, 
uidcUcet  i|isuin,  quem  lucratus  fuit.  Vnde  ex  hac  prima  |»asilionc  errauimus  in  bi- 
zaiitijs  I 8 I additis.  Quare  mutabis  «iliam  positionem,  in  qua  pones  ad  libitum,  quod 
lalKtniret  diebus  15,  scilicet  s,  minus  quar<  in  prima  positione  ; et  remanebunt  alii 
dies  15,  in  quibus  non  laborauerit.  Vnde  pro  i|isis  is  diebus,  in  quibus  laliurault  , 
deliuit  habere  bizantios  i 3,  scilicet  dimidium  de  bizanlij.s  7.  Cum  ifvsi  dies  is  sint 
dimidium  mensis;  et  pix)  reliquis  diebus  15,  quibus  non  lal>orauit,  debuit  reddere  bi- 
zantius  8:  cpiare  debuit  recipere  tantum  bizantium  | i:  ergo  in  hac  secunda  positione 
super  nobis  {sic)  bizantij  et  in  prima  .supcraucrat  bizanti  | 8.  Quare  si  per  secundum 
nioflum  operari  uis,  multiplica  errorem  primum  per  {xnsitioiicm  .secundam,  scilicet  | a 
per  15,  erunt  dies  35.  Similiter  multiplica  errorem  secundum  per  positionem  primam, 
scilicet  { per  ao,  erunt  dies  tu;  quos  extrahe  de  35,  remanent  dies  as;  quns  diuule 
per  1 1,  scilicet  per  differentiam  errorum  , que  est  a ~ usque  in  ^ 1 , exibunt  dies 


.... 

144  i rrfw,  ItB.  i * I 

tit.  t>0.  {••Ii.lt].  lia.ll 


5 


(irr 

Ihi.  ioc  ti  n.  I.». 

Itl.  Zim. 


r«l.  144  rtrri». 


....  rrfMMm  » (ChI. 
144  S-IU-.  IK3 

lin.  I7>4|>. 


Digifized  by  Googie 


I tr  f.l  >lr  »n»Mtl>wt  f [f«l. 

I (i  , hu<  1 1 - IT  t (‘•jt- 
3:1.1».  41  — 1^8.  314,  Im.S). 


lil 


3*1 

13,  in  quibus  lalnu-auit,  quos  extrahe  de  diebus  30,  scilicet  de  mense  , remanent 
dies  — te,  in  quibus  non  laborauit.  Et  sic  potes  (>er  clchataieym  om.ics  questiones 
undecimi  capituli  soluere. 

De  arhvre. 

Est  arbor,  cuius  { ^ latet  sub  terra;  et  super  terram  sunt  ex  i|«sa  ulne  2».  Pone 
quidem  , ul  longitudo  qisius  arboris  sil  aliqua  numeri  quantitas;  quem  numerum  , 
quaiuuLS  ad  libitum  ponere  possis  , tamen  considerare  debes  , ut  ponas  eum  talem  , 
in  quo  re|>crias  | t . )ioc  idem  intclliga.s  de  omnibus  positionibus  aliarum  que- 
.slionum,  ut  sem|>cr  ponas  eorum  tiumcn^  ita,  ul  in  ipsis  inuciiiantur  rupti,  qui  ne- 
cessarii sunt  in  qualibet  questione.  Quod  nos  in  sequentibus  questionibus,  jKUicndo 
i|isus  numeros,  demonstrabimus.  Pune  ergo,  ut  illa  arbor  sit  longitudine  duodecim 
ulmarum;  ex  quibus  cum  J J sit  sub  terra,  scilicet  ulme  7,  remanent  super  temiiii 
ulne  s;  que  uclleiit  esse  20  : quare  ]>er  hanc  ^K»silioucm  dcuiamu.s  a uciitale  ulnas 
13:  quare  in  secunda  ]M)sitionc  pones  pro  longitudine  ipsius  arboris  ulnas  21,  scilicet 
ulnas  12,  plus  quam  iii  prima  jM^sitiuiic.  Ex  quibus,  extracta  i{xsarum,  scilicet  u, 
que  sunt  sub  terra,  remanent  super  terram  huliic  fo;  que  cum  uclleiit  esse  20,  sumus 
longe  a uerilatc  ulnis  lo.  Iii  pnma  enim  {Hisicionc  fuimus  longe  a uentate  ulnis  i$. 
In  secunda  lo:  ergo  per  uliia.s  12,  quas  creuimus  in  secunda  positione,  adpropinqua- 
uiiuus  ulnas  s;  ct  remanent  ad  adpropinquandum  ulne  lo:  quare  multiplicabis  lo  pei 
12,  et  diuides  per  $,  exibunt  ulne  24 ; quas  adde  cum  ulnis  24  secunde  positionis  , 
reddent  48  pro  longitudine  lotius  ariMiris.  Potes  enim  proportiones  similium  qucslio- 
lium  scribere,  socumluni  modum  iiegociacioiiuro,  quem  in  octauo  huius  libri  capitulo 
dcmoitstrauimus,  ut  cognoscas  meliii.s,  quos  iiuinci-us  mulliplicare,  et  per  quem  diuidere 
debes  : uerbi  gratia  : ]M>nc  in  unam  lineam  ulnas  ii,  quas  in  secunda  positione  su{>ci 
longitudinem  arboris  creuimus;  et  vilnas  3,  quas  per  ipms  ulnas  12  adpropinquauimus 
ucrilali;  et  ulnas  lo,  que  restant  ad  adpropinquandum,  pones  sub  ulnis  3,  scilicet  ad 
adpropinquaiida  sub  apropinquatida,  ul  sil  similis  res  sub  simile  re  , ul  bic  astcii- 
dilur.  Vnde  cognoscitur,  quod  debes  mulliplicare  12  per  lo,  quia  suiil  cx  aduerso;  et 
dclics  diuidere  ;>cr  3,  ut  prediiimus:  cl  nos  scinper  in  sequentibus  {mneinus  pnq>oi- 
tiories  in  J hunc  tiuKltini,  ut  ad  tramite  ueritatis  po.s.sis  nullatenus  deuiare. 

De  homine  retento  in  oltsequio. 

Qvidam  retinuit  quemdum  in  obsei(uiuiu,  cui  dcltebat  dare  in  mense  tres  numcnks, 
quilni-s  c&sct  }>cr  ordinem  unus  maior  alio  2;  et  insuper  denarios  10  pro  beiiedicione  : 
qui  cum  laborossct  diebus  6,  dedit  illi  dominus  operis  dimidium  primi  numeii  , et 
icrciain  secundi,  et  quartam  tertij;  ct  sic  recte  persolutus  fuit.  Qvcrilur,  quid  numrii 
fuerunt  illi:  slmleas  quidem  {Kmcre  tirs  numeros  per  ordinem,  quorum  unus  sit  maior 
alio  2;  ct  pnmus  |Hxssit  diuidi  iiitegralitcr  per  2;  secundus  per  3;  tereius  per  4,  .secundum 
hoc,  quml  dominus  (K^isoluil  eum.  Sint4|uc  <6,  et  18,  et  20;  ct  accipe  dimidium  primi 
numeri,  scilicet  8;  et  terciiiin  secundi,  scilicet  6;  et  quartam  tercij,  scilicet  S;  cl  adde 
insimul,  erunt  dciiarij  I9;  ct  tot  rcccpUscl  ille,  .si  te,  ct  is,  ct  20  es.scnt  illi  numeri, 
quas  dominus  ei  dare  promiserat:  quare  uides,  quot  denarij  accidemnt  illi  de  ipsis 
tribus  numeris,  ct  denarijs  to  in  illis  e diebus;  quod  sic  uideiidum  est:  quia  dies  e 
sunt  quinta  |mrs  mensis.  Accipe  quintam  de  <u,  que  siml  summa  illorum  mi- 


Digilized  by  Googie 


zii 

meroruiiit  cnilmat  } iS,  pro  quibus  habuimus  denarius  id;  et  sic  cum  prima  {>o.silionc 
errauimus  cum  { 6 additis»  hoc  est  cum  quititis  Zi:  r^uarc  secunda  pusilio  minor  po- 
nenda est»  iii  qua  tres  altos  numems  ad  hoc  aptos»  quorum  unus  sit  maior  alio  2» 
poneit?  studeas;  cruiitquc  4,  et  o»  et  s:  deinde  acci|>o  dimidium  primi  numeri»  scilicet 
2;  et  teixdum  secundi»  scilicet  2;  et  quartam  tercij,  scilicet  2;  et  erunt  g;  et  tut  re- 
cepisset ille  pro  quinta  |>arle  de  2S»  que  sunt  summa  de  4»  et  de  8,  et  de  s»  et  de 
10;  que  quinta  pars  sunt  | 5 : a quibas  usque  in  G remanent  \ addite  pro  secundi» 
errore.  Ouarc  multiplica  31»  scilicet  primum  eriorem,  }>cr  4»  silicct  per  primum  nu- 
merum secunde  positionis»  eruiit  124;  et  multiplica  2 pro  errore  secundo  |H^r  I6»  si- 
licei per  primum  numerum  prime  posicionis.  erunt  32;  et  que  extrahende  124,  rema- 
net 92;  et  que  diuide  j>er  difFcrentiam  errorum»  scilicet  per  20,  <{ue  sunt  atl  2 tusipic 
in  31»  et  habebis  ^3  pro  piirao  numero.  Quare  sci'undus  est  ^5;  tertius  jj7. 

De  duobus  hominibus  habentibus  denarios. 

Dvo  homines  liabchant  denarius;  quorum  primus  qiieril  secundo  7,  et  proponit  se 
habere  quiriques  tantum  (piam  i|»se.  Et  secundus  qucril  primo  9»  et  proponit  se  ha- 
liorc  septies  tanliini  quam  i{»se.  Queritur  quantita.s  denarioram  uniusciiiusipie  : pone 
4|uidem,  ut  primas  linbeat  h,  cum  quibas  additis  7»  quos  qiierit  secundo»  faciunt  is;  que 
13  deberent  esse  (piinciiplum  de  denariis»  (}ui  remuiieiit  secundo:  quare  sccuiido  rema- 
nent 3»  datis  illis  7 dcMiarijs  primo:  ergo  opportet»  (piml  i|isc  habeat  10;  <[ui  cum  ac- 
ce|)onl  s ex  denarijs  primi»  qui  habent  8,  habebit  sccimdiis  13;  et  primo  remanebunt 
3;  que  13  deirerent  esse  21,  scilicet  septujduni  de  denarijs  3,  qui  remanent  piimu  ho- 
mini : ei^o  in  hac  pi^icionc  secundus  homo  habet  denarius  0,  minus  quam  dclieat: 
quare  pones  in  secunda  |K>sitionc  alium  talem  iiuiiiermn;  cum  quo»  cum  additi  fuerint 
denarij  7,  faciant  numerum,  qui  diuidatur  per  3 iutcgralitcr;  sititque  13,  que  sunt  s, 
plus  prime  pusilionis:  cum  quibus  additis  denariis  7»  (juus  petii  secundo»  erunt  20; 
quinta  quorum  jtars»  scilicet  4»  opportet,  quod  remaneat  secundo;  cum  quibus  additis 
denariis  7,  quos  dedit  primo»  rcdduul  ii  pro  denariis  secundi  hominis;  cum  quibus 
additis  denariis  5»  quos  ]»ctit  primo,  qui  habet  13»  et  primo  remanelmiit  8;  et  sccimdus| 
habebit  16;  que  ic  debent  esse  56  » scilicet  septuplum  de  denarijs  s » «[ui  remanent 
pnrao  homini.  Vnde  iu  hac  secunda  {lositiouc  secundas  haliet  4o  , mimis  quam  dc- 
l>eal  : et  quia  prima  jiosilio  fuit  propius  ucritati  quam  secunda  , facies  de  secunda 
^lositioiic  ]>rimam,  et  de  prima  secundam»  ut  semjier  sit  .secunda  [lositio  propior  uc- 
ritati ; et  tunc  in  prima  positione  secundus  habebit  40,  minus  quam  debeat;  et  iii 
secunda  0:  ergo  per  5»  quos  minui  in  secunda  positione»  adpropi(i<|uaui  ucritati  34»  et 
restant  adpropiiiquanduin  6:  quui%  multiplica  6 ]>er  5»  et  diuides  per  34»  hoc  est  se- 
cundum cuitalionis  modum  3 per  s;  et  diuides  ]>cr  17,  exibunt  extrahe  de 

denarijs  8 secunde  positionis»  remanent  ? pro  denarijs  primi  hominis  : deinde,  ut 
habeas  denarius  seruiidi,  adde  7,  quos  primus  petit  secundo»  super  ^ 7,  erunt  demirij 
14,  et  et  tunc  super  quintam  partem  eorum,  quod  est  2,  adde  ipsos  denarius  7, 
erunt  denarij  o;  et  tot  liabuit  secundus.  Nain  .si  iugnoraueris»  qualiter  quintam  de 
denarijs  ^ 14  prescriptis  accipere  debeas,  diipliciitcr  ttbi  facere  doceo:  primum  quidem, 
iit  facias  septimas  decimas  de  denarijs  ^ 14,  boc  est  multiplica  14  per  suam  uirgiiiain» 
scilicet  per  n,  et  addas  2»  erunt  septime  decime  210;  de  quibus  accipe  ({uiutam,  erunt 


0>Mrc  ....  7 iino'  • 

l »1.  lU  . hm.  21  29  I 

r>9.  W,  lii. 


V» 


prioi  •iMneriH 


(«I.  tCk  # < 


* ( (»1. 

|t.>  Itu.  S-W;  p*|.  ]2*>. 

Ii..  SI  191. 


Digitized  by  Googie 


>•«  M rafiloii  » |fu|-MS 
Ji*.  IM9(  !»(.  m. 
iiw.  — |uy.  1^4,  Ii».  4). 


frim 

.1’ 

S«antli 


4.>Til<«iir  ....  accumlo  i { f»l. 

1 1.\  it^tu  , lia.  i |U||. 

m.  !■•».  6-11. 


'•liairlH  ....  tjti>L««  ailMaU  • 
ll-l.  14S  r^ti»  , Imi.  24-M  r 
|siK  324,  Imi.  II  e lt-93> 


i 119 

I l-riBH 

I 33 

1 

I 

! A5 

I ^«irli 

! 4C 


fwl. 


Aoptimc  (Iccimc  4s;  ex  quilm.<>  46  fac  integra,  erunt  ~ t.  Vel  aliter:  acci{>c  quintam 
clc  1«  , erunt  i;  cl  de  4,  que  remanent,  fac  septimas  decimas,  erunt  70;  quorum 

quinta  pare  est  u;  et  sic  liaiiebis  t pro  quinta  parte  de  ^ 14:  et  sic  potes  supra- 
scTipto  modo  soluere  questiones,  que  sunt  in  tercia  (uirte  duodecimi  capituli. 

De  (juatuor  iiomhiibus^  qui  hmeuerunt  bursam. 

Qvatuor  homines  denarios  habentes  inuenerunt  bursam  denariorum  ; ex  quibus 
primus  dixit,  quod  si  haberet  denarios  bursc,  haberet  bis  tantum  .secundo.  Secundus, 
si  haberet  bursam,  IkiIktcI  ter  tantum  tcrcio;  et  tertius,  si  cani  haberet,  lialierct  quater 
tantu(x/c7)  quarto.  Quartus  quinquies  tantum  primo:  queritur  quot  denarios  habent  unus- 
quisque. Pone  quidem,  quod  piitnu.s  habeat  denarios  9;  et  in  bursa  .sint  deiiaiij  si  : 
ergo  si  primu.s  habuit  biiream  , habebit  30.  Vnde  cum  habet  duplum  secundo  , op- 
porlct,  quod  secundus  habeat  dimidium  ipsius,  scilicet  IS*,  cum  quibus  addilU  denarijs 
bursc,  .scilicet  Si,  faciunt  36;  quorum  lerciam  partem,  scilicet  if,  habebit  tcrcius;  cum 
.secundus  cum  bursa  habeat  triplum  ipsius,  cum  quibus  ix,  addita  bursa,  faciuut  33; 
quorum  quartam  partem,  .scilicet  \ 8,  liabct  quartus;  cum  quibus,  habita  bursa,  scilicet 
XI,  faciunt  denarios  X9;  qui  dclicnt  esse  45,  scilicet  quincuplum  deiiarionim  primi 
hominis  : ergo  quarto  homini  minuit  - is,  scilicet  ditllerentia,  que  c.st  a | S9  u.squc  in 
45:  quare  in  .secunda  positione  aiigehis  denarius  bursc,  aut  minues  dcnaritxs  primi  ho- 
minis: uugeamu.s  itaque  denarios  hursc;  et  jKinamu.s,  qiuKl  iimenti  sunt  in  ea  denarij 
.scilicet  6,  plus  quam  in  prima  |K)siUone:  quibu.s  additis  cum  denarijs  primi  ho- 
minis, scilicet  cum  9,  faciunt  36;  qumum  medium,  scilicet  I8,  lialict  secundus:  cum 
quibus  addita  buisa,  faciunt  45;  quorum  terciam  partem,  scilicet  I3,  habet  tcrcius; 
cum  quibu.s  addita  bursa,  faciunt  4X;  quorum  quartam  portem  habet  quartus,  scilicet 
I !0;  cum  quibus  addita  bursa,  ciuiit  denarij  | 37;  quid  debent  esse  4S,  scilicet  quin- 
nqduni  primi  hominis.  Vnde  in  hac  .secunda  positione  minuit  quarto  ^ 7 , scilicet 
din'crcnlia,  que  est  a | 37  msijuc  in  45:  in  prima  ucru  positione  minuunt  } 15;  ergo 
per  sex,  quos  creuimus  in  secunda  {lositioiie  | bursc  , adpropiiiquauimus  ucritati  j s , 
scilicet  dincrciitiam,  que  c.st  a 1 15  asque  in  \ 7;  et  i'eslant  ad  adj»ropiiiquandiim  ipsi 
denarias  * 7:  quare  multiplica  | 7 per  6,  et  diuides  per  ^ 6,  ut  in  dc.scriplione  asten- 
dilur,  exigunt  denarij  ^ S ; quibus  additis  cum  denarijs  i7,  scilicet  sunt  .secundam 
}K»silionciii  (sic),  enint  ^ 3S;  ct  tot  sunt  reperti  in  bursa,  si  primus  habeat  9:  nam  lU 
lialicamu.s  in  integrum  denarios  buree  ct  bominum,  multiplica  per  it  denarios  burec, 
et  primi  hominis;  ct  baliebis  pro  denarijs  burec  357;  cl  pro  denarijs  primi  hominis 
habebis  99;  qui  357,  ct  99,  cum  habeant  ad  inuicem  enniunem  regulam,  scilicet  ter- 
cium,  diuidatur  unasquisque  eonmi  per  3,  ut  habeas  in  minoribu.s  numeris  numerum 
eorum ; quod  senpcr  in  omuibus  similibus  facere  studere  del>cs ; ct  sic  habebis  pro 
denarijs  bursc  119;  et  pro  denarijs  primi  bomiiils  33:  quibus  insimul  iunctis,  faciunt 
I5S;  quorum  medium,  scilicet  76,  est  quaiitita.s  denariorum  .snmndi  liomiiiis  : ({uibiis 
additis  cum  denariis  bursc,  scilicet  cum  ll9,  faciunt  195;  quorum  tertia  pare  e.st  quantitas 
denariorum  Icrcij  , scilicet  os ; cum  quibus  additis  iterum  denarijs  bursc  , facient 
184;  quorum  quarta  }>ars,  scilicet  4C  sunt  quantila.s  quarti  hominis:  cum  quibus  additis 
denarijs  buree,  faciunt  155,  qui  est  quincuplum  denariorum  ]nimi  liuminU,  nt  op|xjrtcl. 
Nam  si  per  minutionem  denariorum  primi  lit>minis  hoc  idem  reperirc  desideras,  pone  ut 


Digitized  by  Google 


317 

ili  secunda  positione  in  btiisa  reperiti  sunt  denarii  21, ut  in  prima  positione  positione  {sic) 
jHMuUti;  et  {huic,  quod  primus  homo  hahet  denarios  7|  scilicet  denarios  i,  minus  quam  tn 
prima  jMisitione;  quibus  additis  cum  denarijs  burso,  scilicet  cum  11,  faciunt  is;  dimi> 
dium  qiionim,  scilicet  14,  habet  secundus:  quibus  additis  cum  si  burse,  scilicet  bursc, 
fuciuiit  35;  quorum  tcrciam,  scilicet  | 11,  halict  terdus:  cum  quibus  additis  si>  eruut 
I 3s;  quorum  quartam,  scilicet  | s,  Imbet  quartus;  qui  iuiicti  cum  si,  faciunt  \ S9  ; 
qui  delieiit  esse  35,  scilicet  quincuplum  detiariurum  7 primi  hominis.  Vtide  quartus  homo 
bal>ct,  minus  (]uam  debeat,  denarios  | 5,  scilicet  diflereiitiam,  que  est  a { S9  usque  ia 
35;  et  in  prima  jHwitioiic  Imbuit  ijise  quartus  borao  minus,  denarius  j I5:  ergo  per  s, 
quos  minuimus  <lc  denariis  primi,  adprupinqiiauimus  ucritati  s,  scilicet  dillercntiam, 
que  est  a ^ 15  usi{ue  in  \ s;  ct  restant  adpnquuquaiulum  ipsi  | s : quare  multiplum 
|s  per  S,  et  diuides  per  ~ 9,  exibit  denarius  ~ 1;  quo  extracto  de  denarijs  7,  re- 
manebunt denarij  f J S ; ct  tot  habuit  prtnm.s.  Vel  si  j>cr  secundum  modum  ojiorari 
uts,  reddite  errores  ad  similia,  scilicet  \ 15,  ct  1 5,  scilicet  multiplica  eos  per  ts;  cum 
iii  ipso  numero  reperiautur  fractiones  eorum,  et  habebis  pro  pnroo  errore  tao  dimi- 
nutu; ct  pro  .secundo  70  similiter  diminuta.  Quare  mulliplicationcm  dc  70  in  9,  scilicet 
secundi  ermris  in  positionem  primam,  extrahe  ex  nmlliplicalione  primi  erroris  in  po- 
sitionem secundam,  scilicet  de  IS9  in  7.  Et  quod  residuum  fuerit,  diutdc  |ior  dilFe- 
1'enliam  errorum,  scilicet  per  119,  exibunt  similiter  pro  denarijs  primi  hominis S. 
Kl  si  in  iiilegruiii  denarios  primi  hominis  reducere  uolucris,  multiplica  J-J  5 |Kjr  ru- 
ptum sue  uirguic,  scilicet  per  17,  erunt  99;  et  multiplica  denarius  21,  scilicet  bursc, 
per  eundem  17,  erunt  357,  ut  superius  irmenimus  : quibus  scilicet  99  , ct  357  diuisis 
|>cr  3 , suprascripta  ratione  reddunt  similiter  pro  denariis  primi  hominis  33;  et  pro 
denariis  bursc  119. 

Oe  (fuinque  hoinimhust  qui  inuenerunt  equum. 

Qv^inque  liumines  bizanlios  balsMites  cipium  emere  uolucrunt;  ex  quibus  primis  (sic) 
}K'tit  secundo  dimidium  suorum  bizantiorum;  cl  secundus  petit  tercio  terciam;  ct  tcrcius 
petit  quarto  quartam;  et  quarius  petit  quinto  | quintam;  et  quintus  similiter  petit 
primo  sextam  suorum  bizantiurum.  Et  sic  unus  ({uistpic  proponit  ipsum  ei|uum  cmcrc. 
Queritur,  quot  bizanlios  unus  que  uisque  (sic)  haliuit;  ct  qiKKl  fuit  pretium  equi:  |K>ne 
quidem,  ut  primus  habeat  bizantios  13;  et  equus  ualeat  bizantios  20.  Quare  secundus 
lial>ebit  14,  scilicet  duplum  dilTerentic,  que  est  a 13  in  2o;  quia  si  cx  ipsis  I4  primus 
haberet  dimidium,  scilicet  7,  sicuti  petit  secundo,  cum  suis  bizantijs  13  haberet  pretium 
equi  , silicet  bizantios  20  : pniptcr  eadem  ergo  tcrcius  habebit  lA  , scilicet  triplum 
diflerentie,  que  est  a u usque  iii  20;  ct  quartus  habebit  8,  scilicet  quadupluiu  dilTe- 
rcutic,  que  est  a is  us4jue  in  20;  et  quintus  habebit  co  , .scilicet  quincuplum  di(Te> 
renlic,  que  est  ab  8 usrjue  in  20:  cum  quibus  bizantijs  00,  si  addideris  sextam  partem 
bizantiurum  primi  liominis,  scilicet  dc  13,  habebis  bizantios  J C2;  qui  deberent  esse  20, 
scilicet  precium  equi.  Quare  in  liac  prima  |>o$ilione  superat  quinto  homini  hizaiUij 
t 42.  Vnde  op(>ortet  in  secunda  [msitione  aut  muUirc  pretium  equi,  aut  bizantios  primi 
liominis.  Mutemus  primum  pretium  equi;  ct  ponamus  ipsum  2t,  scilicet  bizantium  1, 
plus  quam  in  prima  {xisitione.  Vnde  cum  primus  habet  liizantios  13;  secundus  habebit 
IG.  Quare  et  tcrcius  habebit  I5;  cl  quartus  habebit  21,  scilicet  3,  plus  pretio  equi. 


•|>Uiii«t>Jam  ....  t|>«»  BUMirr»  • 
4M.  Its  , Ii»,  ti  t»  ) 

pe.  117.  I<n.  713). 


M.  114 


rutr. 


Digilized  by  Googie 


• {l»l  IU! 

i*rrn,  Im  !*•  . |«n.  , 

i.>  11  x:. 

I 

4.>5 
510 
573 
5S0 

<ju>nl«t 

G43 


("I'  I Ifr  •■et  **. 


<l»|.  IUS. ba  7 IS;  |«K. 
iU,  l.n.  34  4ti. 


?S8 

Onarf  opportct,  ut  quintus  homo  habeat  debituro,  ex  quo  quartus  horoo  potit  quintum, 
hoc  C5t  tjuod  {H)tcrit  emere  equum,  ct  reddere  quinto  homini  bizautios  3 pro  quinta 
jiarte  sui  debiti:  ergo  quintus  habet  debitum  bizaiitiorum  t5;  de  quibus  extractis  bizan- 
tijs  ^ 3,  scilicet  sexta  parte  bizantionim  primi  hominis,  remanebit  eidem  quarto  homini 
debitum  bizaiitiorum  ^ li:  ergo,  ut  ipse  habet  pretium  equi,  minuunt  ei  bizantij  \ IS,  et 
insuper  pretium  equi,  qui  sunt  in  summa  bizantij  ^33.  Im  {sic)  prima  ergo  positione 
snperauenint  quinto  homini  bizantij  {4S.  In  secunda  minuunt  ci  bizantij  | 33.  Vnde 
cognoscitur,  quod  uertim  pretium  cipii  est  inter  ulramque  positionem,  scilicet  inter 
20,  ct  21.  Quare  dices:  pro  t,  quem  rreiii  super  pretium  equi,  minui  quinto  liomini 
bizantias  { 42,  qui  stiperaticruiit  ci  in  prima  positione;  ct  bizautios  J 33,  <}ui  superauc- 
runt  ei  in  secunda,  boc  est  iii  summa  bizautios  76;  quid  sujieraddam  prime  }K>silioin, 
ut  tantum  minuantur  bizantij  | 42.  Vel  quid  extraham  de  secunda  {Hisitione,  ut  au* 
geantur  ipsi  quinto  homini  bizantij  | 33,  qui  minuunt  ei  iii  secunda  positione. 

Qvnrc  si  nmlliplicaueris  \ \2  per  i,  ct  diuides  per  76,  opporlcbit,  ul  Ium*,  quod  inde 
colligeris,  addas  .su|>or  bizantios  2u  prime  positionis;  etsi  nmiliplicaueris  bizautios  J 33, 
|>er  eundem  l,  ct  diuides  per  76,  opportebit  , ut  boc  quod  inde  exierit,  extrahatur 
dc  bizantijs  2i  secunde  |io$itionis.  Vel  multiplica  errorem  primum  per  2i  jxisitionem 
'iccundani,  scilicet  * 42;  ct  errorem  scrumlum  per  )>ositionem  primi,  S(*ilicet  { 33  per  20; 
ct  adde  has  niultiplicatiuiics  in  iiniim,  erunt  | IST2;  que  diuide  per  coniunctum  ex 
erroribus,  scilicet  per  76;  ct  sic  lialicbis  pretium  equi  per  qualem  uolucris  modum; 
quod  pretium  csl  bizantij  20:  qiin<|  pretium,  si  integrum  haliorc  uoiueris,  multi- 
plica 20  per  .suam  uirgularn,  scilicet  per  76,  et  adde  42;  que  per  e,  et  adde  i,  entnt 
0373;  et  tantum  unlcrct  equus  : ergo  si  multiplicabis  bizautios  I3  primi  hominis  per 
eandem  uirgulam,  scilicet  per  76,  ct  per  6,  habchis  bizautios  primi  hominis.  Sed  cum 
0373  inlegraiitcr  per  13  diuidutur,  diuide  ijisa  per  I3,  exibunt  pro  pretio  equi  bizan* 
tij  72t;  et  multiplica  tantum  ter  decimam  partem  ex  ipsLs  bizantijs  <3  , scilicet  i , 
j>er  suprascriptas  76,  cl  per  6;  | cl  Iiabcbis  456  pro  bizantijs  primi  lunninis.  Vmlc  se- 
cundus habet  530  ; tercius  S73  ; quartus  520  ; quintus  645.  Nam  si  |)cr  mutationem 
primi  Imminis  lioc  idem  rejierirc  uoiueris  , scrua  * 42  , qui  sujienmt  quinto  ho- 
mini in  prima  positione;  ct  (>ono,  quod  primus  habeat  bizanlios  12,  .scilicet  l,  minus 
4|iiam  in  prima  |iositioiie;  a quibus  usque  in  pretium  equi , scilicet  20  , desunt  s ; 
quurnni  duplum  liabct  secundus,  silicet  16:  quare  tertius  habet  12,  ct  quartus  habet 
32;  qui  cum  habeat  12,  plus  pretio  equi,  o{q>ortet,  ut  ipsi  bizantij  13  sint  quintam 
debiti  quinti  hominis:  ergoquinlu.s  homo  habet  debitum  bizantionim  60;  de  quibus  extra- 
ctis ])izantijs  2,  .scilicet  sexta  parte  bizantionim  primi  hominis,  quos  querit,  remanet  ci 
dohituni  bizaiitiorum  58:  ergo  in  hac  .secunda  positione  minmint  quinto  homini  ipsi 
bizantij  58,  ct  insuper  pretium  equi  , scilicet  in  summa  bizantij  78:  ergo  pro  uno, 
quod  minuimus  in  .sccun<|a  positione  primo  homini,  niinueniiU  quinto  homini  bizantij 
•J  42,  qui  superant  ei  in  prima  ]K>sitione,  et  insuper  bizantij  78,  qui  minuunt  ci  in 
secunda,  boc  est  in  summa  bizantij  J 120:  quare  dices:  pro  uno,  rjiioil  minui  in  se- 
cunda positione  primo  homini,  minuitur  quinto  homini  { 120;  quid  minuam  ex  oadcni 
prima  jiositionc,  ut  tantum  minuantur  quinto  homini  «42:  multiplica  J 42  per  1,  et 
diuides  per  J 120;  cl  hoc  quod  exierit,  extrahes  de  bizantijs  I3  prime  jKisitionis  : rc- 


Digitized  by 


Googie 


3tO 

.«iduum  nero  erit  qumititas  bizantionim  primi  hominis:  ucl  dices:  pro  iiiio,  (|iiocl  emu 
in  secunda  positione,  crcucrunt  c|uinto  homini  Idzanlij  { 120;  cpiid  acrc.«cani  sn{K?r  se> 
eundam  [msitionem,  ut  tantum  augeantur  quinto  homini  Idzaulij  7S  , quid  minuunt 
ei  in  secunda  |KJsitionc:  multiplica  ergo  7s  per  1,  cl  diuides  per  J iio*  cxilmnt  “ ; 
quibus  additis  cum  bizanttjs  i2  secunde  |Miisitiunis,  reddunt  bizantios  ^ 12  pm  (|tinn- 
titate  biiantiorum  primi  homiuU,  cum  pretium  equi  fuerit  bizaiitij  20.  Nmn  lU  redi- 
gamus CMK  in  integrum,  multiplica  bizaiitios  primi  hominis  per  7tl  ; et  sic  habehis 
pro  quantitate  primi  hominis  bizantios  olio,  qui  exeunt  ex  multipHratiunc  de  12  in 
721  cum  additatione  de  4<ks,  r|uc  sunt  super  uirgiilaiii;  et  pm  pretio  equi  habeliis  bi- 
zanlius  14420;  qui  numeri,  scilicet  0120,  et  i44so,  cum  lial>cant  nd  iniiiceni  uintrsimam, 
diuidatur  uleit|uc  mimenis  per  20;  et  sic  habebis  pro  quantitate  primi  lioniinU  bizantios 
4SC;  et  pro  pretio  equi  bizantios  72if  ut  superius  inuentum  est. 

De  homine^  qm  iuit  ne^^itiaruh  ineam. 

Ox'idam  iuit  negotiando  lucam,  deinde  Horentiam  , et  reuersus  est  pisas ; et  fecit 
in  unaquaque  ciuiUte  duplum,  et  in  unaquaque  expendidit  denarios  is;  et  in  fine  riil 
remansit  ei.  Queritur,  quot  in  principio  habuit.  Pone  quidem,  ut  ijisc  habet  denanos 
12,  cum  quibus  in  primo  uiagio  fecit  duplum;  et  sic  habuit  denarios  24,  ex  quibus 
expendidit  denarios  12,  et  rcmansenint  ei  alii  denarij  12;  cum  quibus,  cum  faceret 
duplum  in  reliquis  duobus  uiagils,  et  expenderet  in  unoquu<pic  denarios  12,  reman- 
serunt ei  in  fine  denarij  12.  Quare  in  hac  jmsiuone  errasti  in  12  additis:  ergo  pones, 
({uod  ipse  haberet  denarios  11;  cum  ((uibus,  cum  faceret  duplum  in  ii>sis  tribus  uiagils, 
et  expenderet  in  unocjiiu<|ue  denarios  12  , remanent  ei  in  bne  denarij  4 , scilicet  s , 
minus  quam  in  prima  positione.  Quare  et  hec  pr^ilio  maior  est.  Vnde  dices:  per  i, 
quod  minui  de  capitale  ipsius,  adpropiiiquaui  8;  quid  minuam  iterum,  ut  adpropinquem 
4;  multiplica  ergo  4 per  1,  et  diuides  jier  8,  exihit  | unius  denarij:  quo  de  11  denarijs 
extracto,  remanent  pro  capitale  i }isius  denarij  j 10.  Vel  ex  multiplicatione  erroris  primi 
in  |)ositioncm  secundam,  scilicet  de  132  extrahe  | 48,  que  proueniunt  ex  errore  secundo 
in  positionem  primam,  remanet  84;  quibus  diuisls  per  dilferentiam  errorum,  ueniunt 
\ 10.  Nam  si  proponatur,  quod  ipse  haheat  denarios  12,  riini  quibus  tria  fecit  uiagia; 
et  queratur,  quot  in  umx(uo(|ue  expenderet,  cum  in  /ine  ei  nichil  remanserit.  Pone, 
(juod  expendium  sit  denarij  10;  et  duplica  ter  12  suprascripta,  cxtraciulo  semper  de- 
narios 10;  et  sic  remanebunt  denarij  2C:  quare  hec  {xisitio  minor  est  ucrilatc  2C.  Vnde 
pro  expendio  i|>sius  pones  11  in  secunda  positione;  et  cum  operaberis  ut  decet,  in- 
uenies  , quod  remanebunt  ei  denarij  19,  scilicet  7,  minus  quam  in  prima  positione. 
Vnde  dices:  pro  1,  quod  creui  in  expendio  ipsius,  adropiiiquaui  ucritati  7.  Quid  rursum 
udcrcscam,  ut  adpropiiiqucni  ijisos  denarius  19,  qui  restant  ad  adpcopiiiquandum  in  se- 
cunda positione.  Multiplica  ergo  1 per  19,  el  diuides  per  7,  exibunt  denarij  | 2;  quibus 
additis  cum  denarijs  11  secunde  positionis,  reddent  denarios  | 13  pro  expendio  ipsius: 
uel  ex  ductis  26  in  11  extrahe  ductum  ex  19  in  to,  remanent  Po;  que  diuidc  ]>er  dif- 
ferentiam errorum  1 exibunt  similiter  denarij  f 13. 

De  homine^  qui  dabat  pensionem. 

Qvidam  dabat  pensionem  in  anno  libras  30,  hoc  est  soldos  50  in  mense,  qui  pre- 
stauit  domino  demus  libras  e super  ipsam  ]>en.sionem  ad  usuras  4 denariorum  per 

42 


146  Um.  16--4I  . 

tt9.  Ii».  1-7^ 


rt  «|uili«l 

146  rerto 
122.  Iin. 


ainllt,  |.«4  • ,f«|. 
. Im.  31-S7  i ,s>|. 

IT«/ 


r»i 


U7 


<l«(Ji!r4  ....  19,  1 fii|. 

147  rvrt*.  Ii*-  4 « S-2:  mu 
729.  Ub.  21-Ml. 


emti 

7 I 


Digitized  by  Googie 


•l'*»  l«■ll•■rct  I«1-rik  * I r»»l. 

H7  , Kh  t7-;<l  t i*'^. 

S39.  I.a-  <-7]. 


1«  ...•  14,  a^»  • ( (•il. 
147  Ytrso,  liu.  4 9;  m*.  730. 
1.>.  IMS). 


■■ului  ftirit 

t 

|Xri4«in  faicii 

3fi 


330 

libram  iti  mciisc.  Quciitur,  quul  mensibus  i|tsc  debuit  tenere  domum  pro  i|)sis  libris  6,  et 
ouruin  usuris:  potiOf  ut  ipse  teneret  ipsiim  domum  mcnsil»ti.s  A‘,  in  quibus  expedierul  eum 
dure  ]>ru  pensione  libitis  io;et  usura  illarum  C librarum  in  illis  4 mensibus  est  soldi  8. Ergo 
debuit  rcrijiere  libnis  c»  ct  M»ldos  8 iii  illis  4 mensibus;  ct  debuit  dare  pro  pensione 
libras  lo,  Milicet  soldos  72,  plus  quam  reripere  debuit:  quare  |iones,  ut  ipse  tenet  du- 
mum in  sceunda  jHisilionc  mensibus  3,  in  quibus  debuit  recipere  libram  6,  et  soldos 
6 inter  cajiitale,  et  iisurain;  ct  debuit  dare  pro  pensione  libras^?,  scilicet  soldus  24, 
plus  (piam  lioc,  (}uim1  debuit  recipere.  Nam  in  prima  positione  fueruiil  plus  soldi  T2. 
ttuare  pm  uno  mense,  quem  minuimus,  ndpmpimpinuiimis  soldos  48,  scilicet  diircrentiam, 
«pie  est  a soldis  72  usque  iti  soldis  si  ; ct  restant  nobis  ad  adpiopinquamlum  ijisi 
soldi  24.  Ollare  multiplica  i per  2f,  et  diuides  per  48  , exibit  j unius  mensis  : quo 
extracto  de  mensibus  3 secunde  |M>sitionis  , remanent  menses  ^ 2 ; ct  tantum  debuit 
ipse  tenere  domum  pro  ipsis  libris  o.  Verbi  gratia  : usura  de  libris  6 in  illis  mensibus 
J s sunt  siddi  S;  cuin  quibus  iuiictls  illis  libris  6,  faciunt  libnis  8,  et  soldos  s,  scilicet 
(|uaiititatcni  pensionis  ex  illis  mensibus  | 2;  ct  ln»c  uoluniits. 

Qvidam  duxi  in  quadam  naui  ad  naulum  fasces  11  equali  pretio;  cx  <|iiibu.s  dedit 
itatideiiu  fascium  1 pro  iiLStituto  naulo;  et  nauclerins  reddidit  ei  soldos  i4  pro  Ikk\ 
(juod  fascis  iialeimt  plus  uaulo.  Quidam  uero,  qui  duxerat  in  eadem  nant  fasces  li 
eiusdem  preti),  dedit  similiter  nauclerio  pro  suo  naulo  fascium  1;  et  iiauclenus  red- 
didit ei  soldos  0.  Queritur  pretium  unius<'uiiisrpie  fasi^is;  et  quid  de  iinoqmxpie  fascio 
daretur  iiauhim.  Pone  ergo  , quod  naulus  unius  fascis  csscl  soldj  0.  Qiinrc  primus 
homo  debuit  dare  naulum  de  suis  11  fas4'ibtis  soldos  C6  ; cum  quibus  additis  soldis 
14,  <{Uos  Iiauclenus  reddit  ei,  reddunt  soldos  sa  pro  pretio  uniusruiusipie  fascis.  Se- 
cundus uero  dcljiiit  dare  naulum  ex  suis  is  fasciis  soldos  90  suprascri[Ua  mtionc  ; 
quibus  additis  cum  .S4ddls  0,  ([uas  iiauelerius  ei  reddidit,  reddunt  soldos  oo  pro  pretio 
uriiusciiitisipie  suorum  fascium,  <pii  sunt  soldi  16  , plus  pretio  fascis  prirni  liominis. 
Quare  minuatur  niiuium  in  secunda  p>sitione;  ] et  ponatur,  qu<Ml  .sit  soldi  4;  qua  ra- 
tione naulum  dc  U fascibus  primi  liominls  est  soldi  4i;  cum  quibus  additis  soldis  14 
suprasrriptis  , reddunt  pro  pretio  fascis  soldos  S8.  Naulum  uem  de  fusciis  se- 
cundi hominis  est  soldi  ; curn  quibus  additis  soldis  6,  qutks  nauclerins  reddidit  ei, 
reddunt  pro  pretio  sui  fascis  soldos  cc,  Si  ilicct  soldos  r,  plus  pretio  fascii  ])Hmi  ho- 
minis : ergo  iti  secunda  |>osiliuiic  pro  illis  suldls  2,  quos  minuimus  de  naulo  cuius- 
libet fascis  , adpropinipiauimiis  dinercritiaiii  , que  est  a soldis  I6  usque  iii  soldis  8 ; 
<|uc  dilTerciitia  est  soldi  8;  ct  restant  nobis  ad  adpropioquandum  alii  soldi  $.  Quare 
multipiicaliis  suprascriptos  soldos  2 per  soldos  8,  qui  restant  ad  adpropinquandum ; 
ct  diuides  ]^>er  .soldos  8 adpropimpiatos  , exibunt  alii  soldi  t : quibus  exlixiclis  dc 
soldis  4 secunde  ]>ositiuuU  , rcnianciU  soldi  2 pro  naulo  unitisouiusijuc  fa.scis  ; quos 
muUiplica  |kt  fa.sces  ti  primi,  et  supciaddc  multiplicationem  dc  soldis  14,  (]uos  nau- 
clcrius  reddidit  ei,  reddunt  soldus  36  pro  pretio  cuiuslibet  fascii.  Verbi  gratia:  naulum 
dc  15  fasciU  secundi  hominis  est  soldi  3o;  cum  quibus  additis  .soldis  6 ei  a nauclerio 
redditis  , reddunt  similiter  soldos  36  pro  pretio  uniuscuiusque  suorum  fascium  , ut 
ojipurlet. 

Sex  liomifics  habebant  denarios;  ci  quibus  quixiquc  per  ordinem  sine  primo  habebant 


Digitized  by  Google 


Ui 

tiriiaiius  75}  &iiic  sccuiulo  denarias  70}  sine  teicio  deiiariiiS  07}  sine  quarto  denarios  m; 
sine  quinto  denarius  S4;  sine  ultimo  denarius  SO;  qucriliir,  quot  tmusf[uis(|uc  liHliuit: 
pone,  ut  ipsi  liu])canl  denarius  8o;  ex  (jiiibus  cxlrairtis  sex  numeris  per  ordinem  pre- 
srripliSf  remanent  primo  Iiumini  dcnaiii  5}  secundo  io;  tercio  ta;  quarto  10}  (piiuto 
tO}  sexto  30}  quihus  insimul  iunrlLs  , faciunt  deiiarijs  loo,  siilicet  deuarios  so  , plus 
posita  summa.  Vnde  cognoscimus,  ipsam  summam  esse  nimis  magnam:  quare  ]>uriamiis 
(‘ani  in  secunda  positione  t minus,  scilicet  79}  ex  cpiihiis  extractis  sex  numeris  pre- 
scriptis,  scilicet  75,  et  70,  et  icli(|uis,  reinaiielmiit  primo  itomini  4}  secuudu  9}  tercio 
13}  quarto  15}  quinto  93}  sexto  tO}  quihus  insimul  iunctls,  cum  faciant  94,  scilicet  15, 
plus  |M>sita  summa  in  secunda  pmitionc,  cognoscimus  iterum,  summum  adhuc 

maiorem  e.sse  iierilatc.  Iu  prima  positione  fuimus  longe  2U}  io  secunda  is:  ergo  per 
unum  denarium,  (jucni  minuimus,  adropinqunuimu.s  ucritati  denarios  5}  qua  ratione  uo- 
liimiLS  adpropim|uarc  ipsos  denarios  I5,  qiii  restant  ad  adpropinqiiandtim.  Vnde  mul- 
tiplica 1 per  15,  et  diuides  }>er  5,  cxihuut  denarii  3 } quihus  diminutis  de  denarijs 
70  secunde  positionis,  remanent  juo  sumina  denariorum  illorum  5 hominum  75}  de  qua 
extractis  per  ordinem  sex  numeris  supiascriptis  , remanet  primo  homini  denarius  t } 
secundo  6}  tercio  9}  quarto  12}  quinto  22}  sexto  2c;  quihus  insimul  iunctis,  reddunt 
ipsam,  ct  eandem  summam  76,  ut  oppurlet. 

/>t?  duabus  tmibus, 

Dve  aues  eraut  super  allitudinctn  duarum  iuirtum}  «pianim  una  erat  alta  passibus 
40,  altera  30}  ct  distabant  in  solo  passibus  50}  et  uiio  ictu  descenderunt  pari  uohilu 
ad  ccntnim  cuiusdam  fontis}  ct  pariter  uno  momento  ad  i|isum  deueneruut,  qui  trat 
inter  utraniquc  (tirrini.  t^hiod  uno  momento  mouciuiit,  ct  uno  momento  innxeriint  : 
nichil  aliud  est,  nisi  quini  rcctc  linee,  que  descendunt  a summitatibus  turrium  usque 
centrum  fontis,  sunt  ad  iiiuicem  cqtiales:  quare,  sicut  in  geometria  aperte  monstratur, 
multiplicatio  longitudinis  cuiiisliliet  illarum  turrium  in  se  i|isa  addita  cum  multipli- 
catione spatii  soli,  quod  (‘st  ab  ipsa  turri  usipie  ad  centrum  fontis,  iu  se  ipsum,  faciunt 
quantum  multiplicatio  iTctc  liiicc  tu  se  ipsa,  que  ascendit  a centro  fontis  | usque  ad 
altitudinem  ipsius  turris:  his  itaque  cogo  tis,  pone,  ut  centrum  fontis  distet  a iiuitori 
turri  passibus  quilibet,  ut  dicamus  lO}  et  imiltiplica  to  in  sc,  erunt  loo  } que  adde 
cuni  multiplicatione  altitudinis  maioris  turris  in  sc  ipsa,  scilicet  cum  tcoo,  erunt  uoo, 
que  srrua}  ct  imiltiplica  residuum  s|Kitii,  scilicet  40  in  sc  ipsa,  cum  sint  dilFcrcntia 
centri  illitis  a minori  turri,  erunt  ICOO}  que  adde  cum  nmitiplicationc  minuris  turris 
iu  $c,  scilicet  cum  900,  facit  2500,  quam  debent  esse  1700,  .sicut  fuerunt  alie  duc  mul- 
tipUcatium*s:  ergo  in  hac  |Kxsitionc  sumus  longe  a ueritate  soo,  .scilicet  distautia,  que 
c.st  a 1700  usque  in  XoOO  : quare  elongabis  renti-um  fontis  u maiori  turri : elongetur 
(juideiii  passibus  5 ultra  priuium  positionem,  scilicet  passibus  ts  longe  ab  ipsa  maiori 
turri}  ct  multiplica  15  in  se,  erunt  225}  que  adde  cum  iniilliplicalione  maioris  turris, 
scilicet  cum  icoo,  erunt  tsis.  Similiter  niiiUiptica  35  per  Se,  que  sunt  distantia  centri 
fontis  a minuri  turri,  faciunt  it«5}  quibus  additis  cum  900,  scilicet  cum  iiuilliplicn- 
tionc  altitudinis  maioris  turris,  faciunt  2(25,  que  deberent  esse  ik23  suprascripla  ra- 
tione. Quare  in  bac  secunda  pasitioiic  sumus  longe  a ueritate  300}  in  prima  enim  fuimus 
longo  800:  ergo  dices:  pro  quitupte  passibus,  quos  elongauimus  centrum  fontis  a maiori 


....  • 

(I..I.  (47  rrr.a  . Ii«.  |7  I>I  ; 
|«g.  XSI.  U.  4 If). 


i 

miaiil  1 

! s 

1 

i 

i 

15 

3 1 

I 

I 6 

; trrtii 

t 0 

12 

1 5>iinli 

I 

fp«U 


FriMitui  I 

iUl.  I4S  li».  la.lS  I 
p«|;.  ISI,  li«.  41  p*g.  IS2. 

Un.  2^ 


Digitized  by  Googie 




I IN  r*eto  , Im. 
Sit,  Im.  < V). 


• (Cui- 
I9  S* » r-g- 


It) 

3S 


•I 


liS 


MI  . r«di|lMl  flfO  • 

((<■1.  N8  ffrtti  , lin,  I4>lf  I 

!%«(.  Stt,  lan-  41  — jM{|.  Stt, 


332 

turri»  adprupmquauimus  600  ucriUli;  quantum  ciiim  elongabimus  i|ksum  centrum  ah 
eadem  maiori  turri»  ut  adpropiuquemus  300  restant  ad  adpropinquandum;  multiplica 
3 ])cr  300,  et  diuides  {ler  500,  cxihuiit  passi  3;  quibus  additis  cum  passibus  u,  red- 
dunt |Ki.s.sus  is;  et  tantum  distat  fons  a maiori  turri.  Ucsiduuni  ucro  spatij,  scilicet 
3S,  distat  a minuri  tuiri.  Verbi  gratia  : multiplicatio  de  in  se  i|)sa  , addita  rum 
multiplicatione  de  40  in  se  ipsum,  faciuut  quantum  multiplicatio  de  3i  in  se  t}»sa  , 
addita  cum  multiplicatione  de  30  in  se  ipsum,  ut  opportet. 

De  tribus,  hominibus  habentibus  denarios. 

Tues  homines  hulicnl  denarios;  quorum  primus  dixit  reliquis:  si  duri!S  mihi  7 ex  ue- 
stris  denarijs,  haberem  utique  quater  tantum  quam  uos  : secundus  petit  reliquis  »; 
et  proponit  se  haheix'  quinquies  tuntuin  quam  i^isi  : lercius  ucro  querit  reliquis  ii; 
et  proponit  se  habere  seties  tantum  quam  ijisi.  Queritur,  quantum  uiiusi]uLsque  habeat: 
|H)nc  quidem,  ut  primus  habeat  denarios  u;  cum  quibus  adde  denarios  7,  quos  petit 
reliquis,  faciunt  20;  quorum  quarta  pars,  scilicet  s,  remanent  inter  secundum,  et  ter- 
ciuiii  hominem,  datis  illis  denarijs  7 primo:  ei^o  inter  utrumque  habent  denarios  11; 
quibus  additis  cum  13  primi  Itominis,  reddunt  denarios  is  pro  summa  illorum  trium 
hominum:  ex  quihus  op|H>rtet,  ut  secundus  habeat  |»  habilis  o denarijs,  quos  petit 
reliquis;  cl  alia  sexta  remaneat  rcHquLs;  et  sic  habebit  quinquies  tantum  quam 
ijisi.  Quare  accipe  \ de  denarijs  13,  erunt  \ lo.  Hesiduum  ucro,  scilicet  J 4,  remanet 
primo,  et  Icrcio  hoiuiui;  cum  quibus  adde  o,  rpios  daut  secundo  homini,  reddunt  ; <3 
pro  summa  Icrlij,  et  primi  hotiiiiiis  : ex  (juihus  cum  primus  habeat  13,  remanet  terciu 
boitiiiii  tantum  ^ unius  deuarij  : ergo  reliqui  duo  habent  | S4,  scilicet  residuum,  quod 
est  a sexto  usque  iu  25.  Ex  quibus,  si  dederint  tertio  homini  li,  remanebunt  cis  de- 
iiarij  I 13:  et  lercius  homini  habebit  ii,  qui  debent  esse  S3,  scilicet  scxtuplum  de 
denarijs  1 13,  (]ui  remanent  primo,  et  secundo  homini:  <(uarc  in  hac  prima  jxisitionc 
minuit  tercio  liomiui  | 71,  S4:iiicet  dilFercutia  , que  est  ab  J 11  | usque  in  93.  Quare 
{H)iic  in  secunda  jiositiunc,  ut  primus  homo  liabcat  denarios  9,  scilicet  4,  minus  quam 
in  prima  |Kisitioue;  cum  quilius  additis  denarijs  7,  ijuos  petit  reliquis,  faciunt  IC;  'pii 
cum  habeat  tuiic  quater  tantum  quam  reliqui,  opportet,  ut  quartam  eorum  partem, 
scilicet  4,  habeant  i|xsi;  cum  quibus  additis  dcnarij.s  7,  quos  dant  primo,  faciunt  de- 
narios ti;  et  tot  habent  inter  secundum  , el  tcrcium  hominem  : quibus  additis  cum 
deuarijs  u primi  hominis  , reddunt  denarios  20  pro  summa  illorum  trium  hominum  : 
ex  quique  quinque  sextas,  sculicet  | iC,  op{>orlct  ut  secundus  haheat , habitis  9 de- 
narijs,  quos  petit  reliquis  : reliqua  ucro  j»ar$,  scilicet  sexta,  remanet  tercio,  et  primo 
homini,  que  est  { 3)  cum  quilms  additis  9,  quos  dant  secundo,  reddunt  pro  summa 
eorum  denarii»  J 12  : ex  quibus  cum  primus  habeat  0 , remanent  tercio  dciiahj  f 3; 
a quibus  us(|uc  iu  20,  remanent  | ic  secundo,  et  primo  homini;  ex  quibus  extractis  ii, 
quos  dant  tercio,  remanet  eis  \ s\  cl  lercius  homo  habet,  habitis  j(>sis  11  denarijs,  ^ 14; 
qui  deberent  esse  deuarij  34,  scilicet  scxtuplum  de  dciianjs  | 5,  qui  remanet  piimo,  et 
secundo  homini.  Quare  iu  hac  secunda  positione  minuunt  tercio  homini  deuarij  f 19, 
scilicet  dilFerenlia  , que  est  ab  > 14  usijuc  ia  34  : in  prima  enim  positione  minuunt 
ei  detiarij  | 71  : eq*o  jicr  denarios  4 , quos  minuimus  primo  homini  in  secunda  po- 
sitione, ad])ropinquauimus  i 52,  scilicet  din'ercntiam,  que  est  a | ?i  usque  in  j 19,  ei 


Digitized  by  Googie 


m 

rcslant  ad  a|)pm{miquaadum  ipsi  deuari)  | 19:  quare  multiplica  | I9  (>er  4,  cl  diutdes 
per  [•  sSf  esiliit  i;  quo  extracto  dc  denarijs  9 sccuudc  positionis,  remanent  primo 
homini  detiarij  quibus  adde  7,  quos  petit  reliquis,  erunt  14.  Quorum 

quarta  pars,  scilicet  3,  remanet  rcliquisj;  quibus  additis  cum  i|>sis  detiarijs  7,  quos 
fiant  primo  liomini,  redduiit  pm  eorum  summa  denarios  lo  : quibus  additis  cum 
dcnaiijs  jlj  7 primi  Imraiins,  reddunt  pro  summa  tot  illorum  trium  liominum  denarios 
^ iS.  Ex  f[uibus  cum  secundus  Imbeat  quinque  sextas,  liabitis  9 denarijs,  quos  petit  re> 
liquis,  accijK^  \ dc  denarijs  is,  qui  sunt  denarij  ^ i$;  et  extralic  inde  denarios 
9,  quos  secundus  petit  ndiquis,  remanebunt  secundo  boniiui  denarij  6.  Quos  adde 
fum  denarijs  7,  quas  babcl  primus,  erunt  denarij  U:  a quibus  us<(ue  in  sumina 
trium  liominum,  scilicet  ^ desunt  4;  et  tot  habet  tertius  homo. 

De  quatuor  hominibus,  qui  inuenerunt  bursam. 

Qtvattuor  lioraincs  denarios  babciitcs  inuenerunt  unam  bursam  denariorum;  ci  quibus 
piiniiis  dixit  ceteris;  quod  si  liubercl  ipsam  bursam,  haberet  cum  suis  denarijs  ter 
tantum  <|uam  reliqui  ; secundus  quater  tantum  ; tertius  quinquies  tantum.  Quartus 
qtiofjuc  sexies  taiilum  quam  reliqui,  se  habitu  buisa  habere  anirmal.  Queritur,  quot 
denarios  unusquisque  Imbuit;  et  quot  in  bursa  repcricrunt.  Considera  quidem  primum, 
quas  partes  unusquisque  habeat  cum  bursa  cx  summa  denariorum  quattuor  liominum, 
et  bursc.  Nam  cum  primus  lml>cal  cum  bursa  ter  tantum  quam  reliqui;  opportet,  ut 
si  primus  cum  bursa  habuerit  3,  quod  reliqui  tres  liabent  <;  ergo  inter  omnes  cum  bursa 
liabcnt  4;  cx  quibus  primus  cum  bursa  babcl  3,  scilicet  ' totius  summe  suprascripte  t 
propter  eadem  ergo  secundus  eiusdem  summe  cum  bursa  iiabet  | ; tercius  quoque  cum 
Imrsa  | ; quartus  ucro  cum  bui^a  * eiusdem  summe,  scilicet  4 liominum  , et  burse 
lialiere  ncccssc  est:  ([uc  summa  sit  42<),  cum  in  ipso  reperiantur  siipra-scriptc  partes;  quas 
accipe  per  ordinem  7,  et  inucnies,  quod  primus  cum  bursa  habet  denarios  3l5j  secundus 
cum  bursa  33C;  tercius  330;  quartus  cum  bursa  300,  scilicet  y de  420  : bU  ita<[uc  pe- 
ractis, pone  ut  ia  bursa  reperti  | sint  deimrij  too;  quos  extrahe  per  oixlitiem  cx  su- 
prascriplis  numeris,  rcmaiiebura  pro  denurijs  primi  hominis  S!$;  pro  denarijs  secundi 
»36;  pro  denarijs  tercij  25o;  pro  denarijs  quarti  26o;  quorum  quatuor  numerorum  sum- 
mam adde  cum  denarijs  bursc,  scilicet  cum  lOO  , erunt  loci,  qui  deberent  esse  4so: 
quare  iii  tiuc  prima  petitione  superat  distantia,  que  est  a 420  usque  in  looi,  scilicet 
621  : quare  |>ones  in  secunda  positione  , ut  reperti  sint  in  ipsa  denarij  2oo , scilicet 
<00,  plus  quam  in  prima  {M>sitionc;  ({uos  denarios  300  extrahe  cx  suprascriplis  313,  ct 
33«,  ct  de  350  I ct  de  360,  remanent  primo  denarij  115;  secundo  136  ; tcrcio  iso  , et 
quarto  i«o;  <(ui  insimul  iuncti  cum  denarijs  200  burse,  faciunt  761)  qui  debent  esse 
420.  Quare  in  huc  secunda  |H>$itionc  siq>erant  adhuc  341;  in  prima  supcraucruiit  641: 
ergo  pro  i|»sis  100  denarijs,  quos  creuimus  bursc,  ai!propin(|uauinius  denarias  300;  et 
restant  nobis  ad  adpiopinquitudum  denarij  34i  : quare  multiplica  loo  per  341,  ctdi- 
uides  per  309,  exibunt  | 1I3;  quibus  additis  cum  denarijs  200  bursc,  reddunt  pro  sumrna 
burse  denariorum  | 313;  quibus  extractis  per  ordinem  cx  suprascriptis  .iiu.'*'  numeris 
per  ordinem,  remuuet  primo  homini  denarius  1 1;  secundo  | 22;  tcrcio  i 36;  quarto  | 46; 
<|Uos  numeros  si  in  integrum  liaberc  uolueris,  multiplica  unumquemque  ijisorum  per 
3,  et  habebis  pro  denarijs  bursc  94i;  cl  primus  habebit  4;  secundus  «7;  tcrcius  109; 
quartus  239,  ut  in  <(uarta  parte  duodecimi  capituli  propriam  regulam  iiiucninius. 


• >r«m  ...  h.lr^rfc 

«(••Mii  » (fif.  IUI  vrrt»  , !••. 
20-27i  MS.li*  4 11). 


|«imui 
1 Si  _ 


f-jl.  14S  rwtto, 

• M luc  ptimi  ■«  |>fiini  , 

ITmI.  119  Im  1<S|  . 

»3.  Iin.  11-36.. 


(.-rem 


30  loo 


341 


( Inl.  119  nrf»  . Un.  9-16  l 
331.  u.  36  — |ua  331. 

Imi.  I). 


Digitized  by  Googie 


334 

De  ifiuiiitor  hominibus  equum  emere  nolentibus^ 

Qvuluur  liomincs  bizautias;  habentes  equum  emere  uoIucruiU  ; ex  quibus  primus 
petii  reliquis  ^ suorum  bi^aiitiomm,  et  cum  suis  bizantijs  quos  habet,  proponit  sc 
ipsum  equum  cincre  : secundus  petit  reliquis  J;  tercius  }.  Ouartus  similiter  jictit  re- 
liquis stionim  bizantiuruin,  et  poterit  ipsum  equum  emere,  t^hieiitur,  (jiiut  denarios 
mius<piis<|ue  Imbuit;  et  cpiot  equus  uendebatiir.  Pone  quidem,  ut  primus  habeat  bizaii- 
titts  <t;  et  equus  ualeat  hizanlitMi  30;  et  sic  upporlebit,  ut  reliqui  tres  halKmnt  bizaii- 
tios  48:  ideo  quia  primus  |>ctit  reliquis  \ suorum  bizaiitiurum,  siiicet  24;  cum  quibus, 
cum  ipse  habeat  bizaiilios  o , hal>cbit  pretium  equi,  .«ilieet  30  : ergo  summa  bizaii- 
tioruni  quattuor  hominum  erit  S4;  cx  qua  opportet  tantum  dari  sermido,  ut  cum  iju»e 
habuerit  teiriam  residui,  habeat  30.  Quod  per  |H)situmcm  alterius  eicbalaieym  iiiueiiiri 
]H>test.  Vnde  in  hac  questione  etiam  et  in  similibus  plures  elclmtaievm  necessarii 
sunt,  in  quibus  non  modicum  rnnsiderandum  crsl.  Iu  hac  enim,  et  similibus  questio- 
nibus in  ipsa  prima  positione  primam  uniiiervSalem  apjiellabis.  Secunda  uero,  cum  «pia 
questio  sohietur,  secunda  iiniucrsalis  appellabitur:  positiones  ucio  reliquorum  elcha- 
tiiieym  , |M*r  (jiias  positiones  bizaiilij  uniuscuiusque  hotiiiiiis  re|>ericiilur,  particulares 
nuticujimiliir  : deinde  ]Hme,  ut  secundus  ex  ijusis  bizantijs  S4  habeat  bizantltis  il  iii 
huc  priiiui  particulari  ]H)sitioiie  , el  remanent  reliquis  Irilius  hizaiitij  42;  cx  quibus, 
cum  i]>se  |>etat  cis  Icrciam  partem,  scilicet  14,  cum  suis  bizantijs  12  habebit  bizan- 
tios  2C,  qui  ueltenl  esse  bizantij  30  , scilicet  pretium  equi  : ergo  in  hac  prima  par- 
ticulari positione  minuunt  secundo  homini  bizantij  4 ; quare  in  secunda  partinilati 
|Nk$iiionc  pone,  ut  secundus  habeat  bizantios  15  cx  suprascriptLs  bizantijs  54,  scilicet 
bizaiitius  3,  plus  quam  in  prima  particulari  positione  ; cum  quibus  adde  lerciam 
|>artem  residuorum,  scilicet  de  bizantijs  30,  faciunt  bizantios  28,  ({ui  debent  esso  30; 
([uarc  iii  hac  secunda  |M}iliculuri  pmitionc  minuerint  eidem  secundo  homini  bizantij 
3;  in  priiuu  |>osiliune  enim  minuerant  ei  bizantij  4:  ergo  per  3,  quas  creuimus  ei, 
adpropinquauit  iiciitati  2,  et  restant  ad  ndpropinquandum  alii  bizantij  2:  quare  mul- 
tiplicabis 2 jKT  3,  ct  diuides  per  2,  exibunt  alii  bizantij  3;  quos  adde  cum  bizantijs  i$  | 
(pi.  14*  sujirascriptis,  erimt  18;  et  tot  hal>el  secundus:  aliter  sine  elcimtaieym  bizantios  secundi 

liominis  rojierire  (M»tes:  summa  enim  4 liomimim  est  bizantij  54;  cx  quibus  secundus 
lialjct  bizantios  30,  habita  tcrcia  parte  dc  biziuitijs  trium  reliquorum  hominum:  ergu 
1'cmanet  cis  tribus  residuum,  qumi  est  a hizantijs  30  usque  iu  bizantijs  54,  scilicet 
bizantij  2i;  qui  bizantij  21  due  tercic  suinmc  eurum  trium  hominum  esse  uecesse  est, cum 
ipsi  tres  homines  dederint  secundo  aliam  tereiam  partem  : qnure  intictiicRdus  est  nu- 
merus, cx  quo  24  siut  •*;  qui  numerus  sic  inuenitiir.  Multiplica  3 per  24,  et  diuides 
per  2,  exibunt  bizantij  36  pro  qiiesito  miniero  : ergo  tot  haiterilipsi  Ires  : residuum 
ueru,  quod  est  ab  ipsis  bizantijs  30  u<u|iic  in  hizantijs  S4,  scilicet  bizantios  ih,  habet 
secundus,  ut  per  elcliauicym  mento  iuuenirous  ; deinde  accedes  ad  tcrciiim  hominem, 
cui  cx  suprascriptis  bizantijs  54  tot  opportet  dare,  ut  cum  supra  suos  bizantios  habuerit 
quartam  |>artem  reliquorum,  habeat  et  i}isc  similiter  bizantios  30,  scilicet  pnrtium  equi; 
quod  per  elclialaieym,  uel  per  alium  nu>dum,  per  qnem  bizantios  secundi  hominis  modo 
iimeninms,  reperire  jmtes.  Vnde  qimlitercumquc  hoc  feceris,  inuenies  , quod  tercius 
homo  habebit  bizantios  22  ex  ipsis  bizantijs  S4;  quibus  bizantijs  2i  additis  cum  hi- 


Digitized  by  Googie 


33:* 

zaiitijs  18  secundi  liominls,  et  cum  6 primi  , faciunt  Inzantios  ; a quilms  us^jtie  in 
bizantijs  si  desunt  1‘izatilij  8;  et  tut  liahot  quartus  lioino:  cum  qiiilms  8 si  addideris 
quintam  partem  dc  bizanlijs  48,  quos  babcMil  reliqui  tres  homines,  faciunt  bizantios  J it, 
qni  mdlenl  esse  bizanlij  30:  quare  prima  uriiiiersalis  positio  falsa  est,  in  qua  quarto 
homini  miiiuiint  bizantij  | 13,  qui  desunt  ab  ipsis  bizanlijs  \ n usque  in  30:  quare  iu 
secunda  uniucrsali  |Kisitioiic  augebis  pretium  equi,  uel  minues  bizaiitio^s  piimi  liominls: 
augeatur  quidem  pretium  equi;  sitque  bizantij  36,  c\  quibus  primits  babet  bizaiitios  e: 
quare  desunt  ei  bizantij  30,  ut  babeal  ipsum  pi-etium  equi;  qui  bizantij  3o  dimidium  de 
luzantijs  reliquorum  trium  bnminum  esse  neressc  est.  Quare  reliqui  tres  homines  habent 
diiplmn  ex  ipsis  bizaulijs  30,  scilicet  CO:  quibas  additis  cum  bizantijs  o primi  lioiuinis, 
reddunt  bizaiitios  r>6  pro  summa  illutum  .iiij."'  hominum  ; c\  qim  op|H>rtet  , ut  se- 
cundus habeat  st,  et  tercius  36,  ut  unusqnisrpic  illorum  suum  possit  adimplere  pro- 
po>iituni ; qiionim  iinus(|uisqiie  reperitur  per  clclialaieym,  uel  per  alium  modum  su> 
periiis  demonstratum  ; per  quem  leuius  , f[uam  per  cicliataieym  , ipsos  posse  repe- 
riri  cogmisius  : i[uibus  numeris  iiiuentis  , adde  eos  cum  bizantijs  primi  Ituminis  , 
erunt  bizantij  33 ; ct  tot  habent  inter  primum,  et  tertium,  et  sccuiidiim ; a quibus 
)>izanlijs  33  usque  in  liizanlios  CG  , scilicet  ia  summa  Itoniitium,  sunt  Inzanlij 

13;  ct  tot  babet  quartus  homo  ; cum  quibus  adde  quintam  partem  dc  bizantijs  33  , 
erunt  bizantij  | 23,  qui  del>ent  esse  36,  scilicet  pretium  equi : ergo  in  hac  secunda 
uiiiucrsili  {msitione  minuunt  quarto  homini  bizantij  | 12  , qui  suiit  quinte  6S.  Ia 
prima  uero  uuiiicrsait  positione  minuerant  ei  bizanlij  j 12  , scilicet  quinte  64  : ergo 
pru  bizantijs  c,  quas  cieuiinus  pretio  ei{ui,  adpi'opinquauimus  ucritali  quintas  2;  ct 
r(‘Stant  ad  adpropiiiquandum  quiutc  62:  quare  mnltiplicubis  6 per  62,  ct  diuides  per 
2,  huc  est  3,  |>er  62,  et  diuides  [>cr  i,  ciihunt  bizantij  186;  quos  adde^  cum  bizantijs 
36,  scilicet  cum  pretio  ei|ui  secunde  positiones,  erunt  bizanlij  S22.  Vel  secundum  re- 
gulam augmenti  et  diiniiiutionis,  multiplica  64  per  36;  extrahe  iiulc  62  tiicibus  30;  ct 
que  superfuerint  diuidc  per  diffcTenliam  errorum,  sciiicet  per  i,  exibunt  similiter  bi- 
zanlij 222,  i[ui  suiit  pretium  equi:  qui  bizanlij  222,  cum  habeant  comuiicin  regulam 
cum  bizantijs  6 primi  hominis,  scilicet  iliuide  unuinquemque  i|isurum  j iiumeninim 
per  6;  et  sic  liabchis  t prti  bizantijs  primi  hominis,  et  3?  pro  precio  equi;  cum  quibus, 
si  sciucris  iniicnire  bizaiitios  reliquorum  Iriiim  hominum  per  elchataym,  uel  [ht  alium 
modum,  |H?r  quem  siipcrias  ipsos  iuuenire  demonstrauimus,  itiuentes,  qiiml  secundus 
habet  bizaiitios  19  ; tercius  bizancios  2S.  Quartus  bizaiitios  a ; ut  in  quinta  jiarte 
duodecimi  capituli  per  primam  regulam  demunslrauiinus. 

Tres  boniiiics  habebant  libras  nescio  quot  stcrlinguorumiquarum  mediclas  erat  piimi; 
lercia  erat  secundi;  sexta  erat  tercii  ; quis  cum  uelletii  iu  loco  tuciori  lialnTe,  qui- 
libet eorum  sumpsit  forUluitu(j/c)  ex  eis;  et  cum  ad  liiUmi  deucnisscnl  locum,  primus  po- 
suit tn  romunc  ^ ex  bis  que  siim|^enit;  secundus  teirias  |;  ex  quorum  trium  po- 
sitionum summa  , cum  umisi|uisijue  caperet  (ci-ciam  partem  , quilibet  ipsorum  suam 
portionem  habuisse  projionitur  : |Kme  itaque  summam  sterlingorum  tutam  fuisse  ti; 
ct  quod  ex  his  posuerint  in  comuiic  3;  dc  quibus  pro  tcrcia  parte  unusquisque  ha- 
buit t;  cum  quo  i,  cum  primus  habuisset  | totius  summe,  scilicet  6;  ergo  habebat 
ipse  tunc  s;  que  5 remanserant  ci,  cum  jjosucral  \ in  cumunc  ex  his,  que  suiiiiiscrat  a 


«alntc-  42  |<«  • 

C fil.  119  •«■>-«•  . I>n-  S2-97  s 


'faiate  litiaitbi 

2 C 


62 


r«i. 


|:>6  erit*. 


Digitized  by  Google 


|l<> 


(fol.  I&Q  vtrto  , Itu.  IX-tOi 
Vt6i  ba-  18  -~  |■>||-  it'. 
Iin  6i. 


II 

3 

»»»»i 

4 

r.  » 

n'» 

3SC 

principio.  Quare  a principio  .Mim|  seral  le;  quorum  dimicliuro,  cum  poneret  in  commune, 
remansenmt  ci  5.  SiroUi  quo({ue  modo  secundus  cum  ipso  i,  quod  cuenit  ei  ex  3 |>0' 
sitis  in  commune,  liabuit  tcrciam  .summe,  scilicet  4;  de  quibus,  extracto  i|>so  I,  remanent 
3;  et  tot  habuit  secundus , postquam  posuit  \ cx  his  , que  sumjiserat  a principio  : 
ergo  3 fuerunt  ^ sumptionis  secundi.  Quare  totum  id,  quod  cepit,  fuit  4,  que  prouc- 
niunt  ex  addita  medietate  de  3 super  3 , ucl  ex  multiplicatione  de  3 in  3 , diuisa 
{>er  2.  Rursus  dc  ^ <3*  scilicet  dc  s,  extrahe  i,quod  tcrcius  habuit  cx  predictLs  3, 

remanet  i;  pro  quo  inuctiias  numerum,  dc  quo  extracta  remaneat  J;  critque  } i,  que 
adde  cum  { 4,  et  cum  lo  iniieiUa,  erunt  ^ <5,  que  deberent  es.se  is;  ct  sic  errauimus 
in  ^ 3 additis,  scilicel  in  decimi.s  37:  pone  ergo  37  addita  sub  is,  scilicet  sub  prima 
positione.  £t  pone  6 pro  summa  omnium  sterlitiquorum  in  secunda  pasitione;  dc  quibus 
cuntingunt  primo  3;  et  .secundo  2}  cl  Icrcio  l : ergo  i,  quod  primus  habuit  ex  sut 
pradictis  3 ]H»itis  in  commune,  extrahende  3,  scilicet  de  portione  ipsius  primi,  rema- 
nent  2;  que  duplica,  erunt  4.  Similiter  extracto  t de  portione  secundi,  remanet  t;  cui 
adde  dimidium  eius,  erit  | t;  que  adde  cum  4,  erunt  ->5.  Post  hec  extrahe  t de  por> 
tionc  tcrcii  hominis,  remanet  o;  super  quod  adde  quintam,  ueniet  o;  quod  adde  cum 
-£  S,  erunt  ~ S;  que  cum  deberent  esse  6,  scimus  in  hac  .secunda  positione  errasse  cum 
~ diminutis.  Quare  {Kmes  s diminuta  sub  secunda  |Kisjtionc,  scilicet  sub  6,  et  mul- 
tiplica errorem  primum  j«*r  positionem  secundam,  scilicet  37  per  6,  ct  errorem  secundum 
per  |>ositiuncm  primam,  scilicet  s per  is,  ct  diuidc  summam  per  coniunctum  ex  em>- 
ribus,  scilicet  j>cr  42.  Et  ut  cuites,  multiplica  37  per^  dc  e,  ct  5 per  | dc  12,  eruut 
47;  que  diuide  |»cr  | dc  42,  scilicet  per  7,  exibunt  |o  pro  .summa  omnium  sterlin- 
gorum.  Set  ul  licr  habeas  in  integra,  multiplica  j 6 et  3,  que  posuerunt  in  comuni 
per  7,  et  habebis  pro  summa  omnium  stcrlingurum  marcas  47,  et  marras  2l  pro  his, 
que  {>osucrunt  in  comuni:  quarum  tcrcia  pars,  scilicet  7,  extrahe  de  medietate  summe, 
scilicet  dc  {■  23,  remanent  | I6;  quibus  duplicatis,  reddunt  33  pro  his,  que  | sumpsit 
primus  homo.  Itera  extrahe  7 ex  lercia  parte  sumpme,  scilicet  dc  | is,  remanent  | 8 pro 
I .sumptionis  s<x;undi ; quibus  superaddita  dimidia  eorum , reddent  marcas  i3  pro 
sumptione  secundi;  quibus  additis  cum  marcis  33,  faciunt  4C;  quibus  extractis  de  tota 
summa,  scilicet  de  47,  remanet  marca  una,  quam  sumpsit  primus  liomc».  Vel  extrahe 
7 dc  ; dc  47,  remanent  | ; quibus  adde  quinta  eorum,  ueniet  i pro  sumptione  tcrcii 
hominis,  ut  predlximus:  potuimus  itaque  3,  que  posuimus,  posiik.se  in  commune  ha- 
lure  pro  positione  prima,  ct  mutare  ea,  tenendo  <2  pro  summa  in  utraque  jM.Lsitione. 

Incipit  pars  secunde  solutione  quarumdam  questionum  per  ekhatajm 
proprias  regulas  in  hoc  libro  demonstrate  non  sunt,  (sic) 

Dvo  bumiDes  habebant  denarios;  quorum  primus  dixit  secundo  : si  darc.s  mihi  ter- 
ciam  tuorum  denariorum,  haberem  denarios  <4.  Secundus  Respondit  ei,  et  dixit:  Et 
si  tu  dares  mihi  quartam  tuorum  denariorum  , haberem  denarios  17.  Queritur,  quot 
unus<}uisquc  habuit.  Pone,  quod  primus  habeat  denarios  4.  Quare  secundus  habebit  de- 
narios 30,  ut  ex  tercia  parte  ipsorum,  scilicet  ex  denarijs  lo,  ct  ex  denarijs  4,  quos 
primus  habet,  habeat  ipse  primus  denarius  i4,  ut  propositum  est.  Verum  addita  quarta 
]>arte  de  deuarijs  4 primi  hominis  cum  denarijs  30  secundi,  habebit  secundus  denarios 


Digilized  by  Googie 


337 

31»  scilicet  14,  plus  quam  tlelioat.  Quare  in  secunda  jwsilionc  pone»  quo<l  primus  liomo 
lialieat  denarius  8.  Quare  secundus  liahelut  denarios  18»  cum  quibus  addita  quarta  parte 
de  deuarijs  8 primi  hominis,  habebit  i[»c  secundus  humo  denarios  so»  scilicet  3,  plus 
quam  debeat.  Im  prima  cuini  positione  supenitit  secundo  homini  14;  in  secunda  3:  ergo 
pro  4 deuarijs,  quos  arcreuimus  primo,  adpropinquauit  secundus  ueritati  ii;  et  restat 
ad  adj»ropiiiqiiaudum  3.  Quare  multiplicabis  3 |>er  4,  et  diuide.s  per  ii,  exibit  dena> 
lius  uddito  cum  denarijs  8,  faciuiit  denarios  ^0:  a quibus  usque  in  14  de> 

sunt  denaiij  4,  qui  sunt  tertia  |uirs  de  denarijs  secundi  hominis»;  i|uarc  luuiliplica 
eos,  scilicet  fj  4 per  3,  reddent  j-  14,  pn>  denarijs  secundi  hominis. 

Aliter  per  regulam  pro[M)rtioniim.  Quoniam  deiianj  primi  cum  ^ denariorum  .se- 
cundi suiit  14 ; ergo  ~ denariorum  primi  cum  77  de  J dcnaiioruin  secundi  est  de- 
narius 1.  Quare  denarioiuni  primi  cum  de  J denariorum  .secundi  sunt  denarij 
3:  ergo  denarij  piinii  hominis  cum  ijwonim,  et  cum  • denariorum  secundi,  cl  cum 
“ de  I denariorum  .secundi  sunt  denarij  17  , sicut  sunt  omnes  denarij  secundi  ln>- 
iniiiis  cum  J denariorum  primi.  Denarij  autem  primi  hominis  cum  ~ ipsorum  sunt 
eiHiimdeni;  tcrcia  quoque  denariorum  .siTundi  cum  ~ ipsius  tercii  suul  J’  denorlorum 
i])sius  secundi  ? ergo  [•  denariorum  primi  cum  [|  denariorum  secundi  sunt  quantum 
denarij  secundi  hominis  curo  y denariorum  primi.  Viidc  si  dc  denarijs  secundi  ho- 
minis auferatur  i|>sorum,  remanebunt  si(|ii!dem  ||  eonimdem  : ergo  denariorum 
primi  .sunt  secundi , et  | denariorum  suorum.  Vnde  si  de  denariorum  primi 
auircralur  ~ denariorum  ij>sius,  remanebunt  ~ denariorum  ipsius,  oquales  de  dc- 
iiariurum  .secundi : quare  imieiiiendi  .sunt  duo  numeri,  quorum  |>  unius,  sint  al- 
terius; qui  inueiiiiinliir  sic  : multiplicaliir  ss  per  s.s,  et  4s  per  37  ; .sed  quia  ss  rt  42 
diuiduntur  integralitcr  |)er  7,  multiplica  tantum  J de  s8,  scilicet  4perss,  et  | de  4S, 

.scilicet  6 |>cr  27,  erunt  lou,  ct  t<i2:  adde  quidem  super  luo  petitionem,  quam  primus 
petit  secundo,  scilicet  J de  fC2,  que  est  S4,  erunt  IS4,  qui  cum  debeant  esse  I4;  di- 
uides  1S4  per  I4,  erunt  ll;  in  quo  diuide  100  ct  iSi,  exibunt  pro  deiiurii.s  primi  ho- 
minis ^ D;  et  pro  donariis  secundi  ^ I4,  ut  per  | clchalaicym  inuoninius.  Item  aliter  m.  im  rr>t>. 
pone  14  super  J,  ct  n .super  {,  ct  multiplica  3 per  4,  ct  extrahe  inde  semel  unum, 
que  sunt  super  uii^ulis;  ct  cum  homines  sint  pares,  .secundum  quod  diximus  in  re- 
gula emptionis  equi;  remanent  11,' quem  serua;  ct  extrahe  1,  quod  est  super  3,  ex  i|ksis 
3,  remanent  2;  quem  multiplica  |>er  I4,  faciunt  28;  de  quibus  tolle  3,  que  sunt  a 14 
usque  17  multiplicata  |>er  unum,  quod  est  super  3 , cum  17  sit  plus(|iiam  14 ; ct  .si 
esset  minas,  adderes,  leraaneut  23;  quem  iiinitiplica  }>cr  4,  que  sunt  siih  uirga,  erunt 
loo;  qiic  diuide  |>cr  ti,  exibunt  ^9  pro  denarijs  primi.  Uursiiin  extrahe  t,  quod  est 
super  4 de  4,  remanent  d;  que  multiplica  per  17,  ct  adde  3 multiplicata  per  t,  quod 
super  4 propter  3,  qiic  .sunt  a 14  usque  in  17,  erunt  51;  que  tniiUipIica  per  3,  erunt 
162;  que  diuide  per  it  , exibunt  ^ 14  pr<»  denarijs  secundi  hominis.  Aliter  proptius: 

{Mme  secundum  habere  rem.  Quai*c  primus  habet  14,  minus  tercia  rei,  (|uam  querit 
secundo;  dc  quibus  socundus  petit  primo  quartam,  scilicet  denarios  1 3,  minu.s  (|URrla 
lercie  rei;  et  sic  liabebit  rem,  minus  ct  denarias  ^3,  que  equanUtr  17.  Quare 
extrahe  | 3 de  17,  rcmaneiit  ~ 13;  que  equantur  \\  unius  rei.  Quare  multiplica  li  per 

43 


Digitized  by  Googie 


bk>min«(  ....  t7;  t 
,M.  151  rrrto  , U.  19-fl  | 
[•«V  3U.  U.  M3;. 


....  12  * 

tr>l  rrrr.^.  |t«.  X7-31  ] 
| 33H.  I.u. 


3 4 

/ 

3 


fol.  I5l4-«rja, 


338 

5 i3  , ct  cliuidc  jK*r  l!  , ul  rcitil4»grclur  res,  exibunt  — ll;  et  tot  habet  secunduiv; 
([uonim  tercia,  scilicet  4 extiaheiiUe  cic  14,  remanent  —0  pro  dciiarijs  primi. 

De  tribus  hominibus  denarios  habentibus. 

Trcs  homines  habent  similiter  denarias;  et  primus  querit  secundo  \ , cl  proponit 
se  habere  denarios  14;  secundus  |^tit  tercio  \ suorum  denariorum  , et  pro}Hmit  ha* 
Jhtc  denarias  I7  : terciiis  quidem  querit  primo  | .suorum  denariorum,  et  juuponit  lia- 
here  denarios  19.  Queritur,  quot  unnsquis<{uc  habet:  pone,  ut  primus  habeat  denarios 
10;  quare  secundus  haladut  I2;  et  tercias  so:  cum  quibus  additu  quiiilu  parte  de  dc- 
iiatijs  10  primi  bumlnis,  liabebit  Icrcius  iioino  denarios  22,  scilicet  3,  plus  quam  debeat. 
Quare  iii  .secunda  posilioiie  pono,  ut  pnmus  habeat  driiari(t$  g,  .scilicet  1,  minus  quam 
in  jirinia;  et  .sic  oppuiebit,  ut  secundus  habent  15,  scilicet  triplum  dilTerentie,  que 
est  a 9 piedicli.s  usque  in  14;  ct  tercius  habebit  B,  scilicet  quadruplum  iliirercntie , 
que  est  ti  15  .suprascriplis  us^pie  in  17:  cum  quibus  8 addita  quinta  parte  dc  denarijs 
0 primi  hominis,  scilicet  | 1,  faciunt  J 9,  qui  deberent  esse  I9:  quare  in  liac  secunda 
pasitioiic  mimiunl  tercio  homini  | 0,  et  in  prima  .superant  ci  3:  f{uare  addes  ipsas  dif- 
ferentias in  tiimm,  .scilicet  \ 9 cum  3,  cinint  i 12;  ct  dices:  pro  1,  qutxl  minui  in  se- 
cunda |HLsitioiie  primo  homini,  mitiuunt  tercio  \ 12;  quid  minuam  ex  prima  positione, 
ut  minuet  tantum  eidem  tercio  homini  3,  qui  .su[)erant  ei  in  prima  |>osiliotic.  Multi- 
plicabis ergo  1 per  3,  cl  diuidc.s  per  - 12,  exibunt  ^ ; quibus  extractis  dc  deuarijs 
10  prime  jmsitinni.s,  remanctii  ^ 0 pro  denarijs  primi;  quai^c  secundus  Imimbit  ^ 12,  et 
tcrcius  17;  ct  sic  possemus  facere  dc  pluribus  liomiiiihus,  cum  unus{]uisque  petat 
alio  per  oixlincm.  Item  primus  petat  reliquis  duobu.s  et  pru|Hmat,  ct  habeat  I4;  et 
secundus  qiierat  { reliquis,  et  liubeat  17;  ct  tercius  petat  reliquis  [- , et  habeat  I9  : 
pone,  qiUMl  primus  habeat  s;  quare  reliqui  babebuiil  19  : ojqKjrlct  diuidere  inter 
utrumque  per  cicliataieyin,  ita  ut  secundus  cum  suis  denarijs  , et  cum  quarta  jKirtc 
dc  denarijs  tcirij,  ct  primi  liomini.s,  habeat  17.  Quare  op|K»rtct,  ut  supixiscripta  prima 
positio  habeatur  pro  uniucisali;  et  aliam  primam  particubrem  positionem  jHinamus, 
in  qua  |Hmatiir,  qutul  secundus  habeat  o;  quare  c\  ipsis  I8,  n^manebiinl  tercio  | homini 
12;  quibus  additis  cum  8 primi  boniinis,  faciunt  2o  ; quorum  quarta  parte  , scilicet 
S,  addita  super  denarios  0 secundi,  faciunt  tl  , qui  ucllcnt  esse  17  : quare  mitiuuul 
secundo  homini  c in  hac  prima  (rarlirubri  positione.  Vnde  ]>mie  in  secunda  parti- 
culari positione,  quod  secundus  habeat  10,  scilicet  4,  plus  quam  iii  prima  )>asitionc; 
quare  remanebunt  tercio  homini  s;  quibus  additis  cum  8 primi,  faciunt  lo;  quorum 
quarta  parte,  scilicet  4,  .'iddita  cum  10  secuudi,  faciunt  14,  .scilicet  3,  minus  quam 
debeat.  In  prima  enim  particulari  ])ositiune  minuunt  secundo  6.  In  secunda  3 : eigo 
per  4,  (pie  crcitimus  secundo,  adpmpimpiaiiiinus  ueritati  3;  et  restant  ad  adpropin- 
qiiandiiin  3.  Multiplirabi.s  ergo  3 ]ver  4,  ct  diuides  per  3,  exibunt  4;  quibus  addili.*^ 
cum  10  , erunt  14  ; ct  tot  habet  secundus  homo  : quare  remanebit  tercio  boinini  4 
ex  suprascriplis  I8  ; cum  quibus,  addita  quinta  parte  dc  denarijs  s primi  liominis, 
ct  dc  dcnarij.s  14  .secundi,  eniiit  | 8;  <|uc  iiellent  e.sse  19  ; ergo  in  prima  uniiicrsali 
piisitionc  minuunt  tercio  homini  | 10.  Quare  pones  in  .secunda  tiniuersuli  jKisilione  , 
quod  primus  liabeat  denarios  fi,  scilicet  2,  minus  quam  in  prima  uniuersuli  jH)silioiic; 
c|unrc  opporlet,  ut  inter  secundum,  ct  tertium  habeant  24,  que  opportcl,  ul  diuidas 


Digitized  by  Googie 


m 

infer  eos  jier  elchatRyTn,  secundum  quod  superius  ferimus  is;  cl  inucnles,  quod  se- 
cundus lialndiil  -J  12  cx  ipsis  24:  ejuare  leinanclmiil  Icrcio  Immini  \ u ; cum  quilms 
adde  quintam  partem  de  c primi  iiomiriis,  ct  de  \ 12  secundi ; <|uc  quinta  pars  est 
5^  3,  erunt  iS»  qui  deberent  esse  ts:  ergo  in  liac  secunda  uiiiucisali  pusilioiic  mi- 

nuunt tcrcio  liomini  \\  3,  que  sunt  quinte  decime  59;  ct  in  prima  initimitit  ei  \ lO, 
que  sunt  qiiintc  decime  isO:  ergo  per  2,  que  minuimus  primo  in  secunda  positione» 
appropiiiqiiauimus  ueritati  quintas  decimas  loa  ; ct  restant  ad  adprt>piiiquaiiduni  59 
quiiilc  decime  : ergo  multiplica  59  per  2,  ct  diuides  per  iw»  exibit  ^ i;  qnc  exlra- 
bciide  6 sccuiidc  jKisitionis  , remanent  ~ 4 ; et  tot  habeat  primus  homo  : a quilms 
tis(]ue  in  denariis  I4,  qu<»s  i|)se  projioiiit  se  habere,  habita  tercia  parte  reliquorum, 
desunt  ~^9f  quorum  triphim,  scilicet  7^27,  habent  inter  s(‘cuiidum,  ct  terciuin;  quos 
diuide  inter  cos  per  rlcliataieym,  secundum  <{Uod  superius  fecimus;  ct  inuenies,  quod 
secundus  homo  habebit  ll,  tertius  ts. 

Kt  si  secundum  imiestigationcm  proportionis  ipsorum  bec  imienirc  desidera*^,  pone 
secundum,  et  tercium  hominem  habere  rem.  Ouarc  primus  habet  14,  minus  tertia  rei: 
deinde  |>onc,  ut  tercius  homo  habeat  ji^irtem  rei.  Quare  secundus  habet  rem,  minus 
j»rte;  cui  si  addatur  quarta  p.arlis,  ct  quarta  denariorum  primi,  quem  se<'uijdus  petit 
reliquis  , babeiiit  17.  Sed  quarta  denariorum  primi  sunt  denari)  J 3 , minus  rei  : 
ergo  res  minus  parte,  scilicet  |K>rtio  secundi  cum  <[uarta  partis,  et  cum  denarijs  ^ 3 
diminuta  duodecima  rei,  sunt  17  ; dc  quibus  si  auferantur  denarij  j 3,  remanebunt 
~ rei,  diminutis  | partis,  equates  dc  denarijs  j 13.  Iliirsns  quia  tercius  petit  primo  ct 
secundo  quintam,  ct  habet  19;  ct  i|)se  habet  jiartcm;  ergo  pars  cum  quinta  denariorum 
14,  scilicet  cum  \ 2,  diminuta  quinta  tcrcic  rei,  scilicet  ct  ciini  quinta  rei,  niimis 
quinta  partis,  sunt  I9:  sct  si  dc  quinta  rei  auferatur  ^ rei,  remanebunt  ici:  si- 
militer si  de  19  auferantur  ^2,  remanebunt  J 16.  llursus  si  dc  parte  auferatur  ^ cius, 
remanebunt  -J  : ergo  j partis  cum  rei,  sunt  denarij  \ 16.  Qnarc  «J*  |»artis,  scilicet 
I eiusdem,  cum  rei,  scilicet  cum  | rei  sunt  denarij  | ~ 13,  scilicet  | de  denarijs 
{ 16.  Inucriitmis  enim  rei,  minus  ~ partis  esse  similiter  \ I3.  Quare  rei,  minus 
\ partis  equantur  duabus  tertiis  jmrtis,  et  ^ rei;  coimnimticr  addantur  { partis,  et  aufe- 
ratur i rei,  eiiiiil  ll  rei,  equales  dc  ~j  partis.  Quare  rejMiricndi  sunt  duo  numeri,  qii<»- 
rtim  II  unius  sint  ||,  hoc  est  -|  alterius,  erunt  si,  ct  29:  ci-go  pro{>ortio  i*ci  ad  partem 
est  sicut  st  ad  29.  Quare  extractis  29  dcsi,  remanet  pro{mrtio  denariorum  secundi  ad 

denarios  tertii,  sicut  22  ad  29.  Et  quia  ||  rei,  minus  | |>arlis  sunt  denarij  | 13  sc  (.r/c)  de 

51,  scilicet  de  proportione  rei,  accipiantur  scilicet  *46,  et  auferantur  inde  | dc 

29,  scilicet  dc  pruporliunc  |iartis,  remanebunt  25.  Quare  est  sicut  25  ad  ^ 13,  boc  est 
sicut  36  ad  27,  ita  22  ad  denarios  secundi,  ct  ita  29  ad  denarius  tcrcii.  Quare  multi- 
plicabis 27  per  22,  ct  27  per  29;  et  diuides  iitramque  multiplicationem  per  so,  et  in- 

ucnies,  secundum  lialaTc  ||  11;  len  ium  JJ-  15;  quorum  Icit^iam,  scilicet  3,  extracta 
dc  14,  renianebiint  ||  4 pro  denarijs  primi. 

yf/iter  per  regulam  propartionurn, 

OvosiAi  denarij  primi  hominis  cum  | denariorum  secundi  sunt  14;  ergo  dena- 
lioruni  primi  cum  ^ tcrcic  parlU  dciiarionim  secundi  sunt  denarij  s.  Vnde  denarij 
primi  cum  | denariorum  secundi,  et  cum  ipsius  primi,  ct  cum  Icrcie  partis  de- 


M.  114  r»fU. 

• I 13  KillM*  ••  • - 

ttum.  * 112  tvrt*,  ll».  1 

•IS;  r-s.  SI9,  lin.  27  H>|. 


^oinaMimni 

1(N)  2 


Digitized  by  Googie 


310 

naiiortim  sccumlit  scilicci  cum  ^ ilcnariorum  sccumli,  simt  deiiarij  19:  addUis  autem 
denariorum  primi  super  denarius  ipsius,  faciunt  ^ : similiter  additis  ^ denarijs 
secundi  cum  J de  denarijs  scruiidi  facit  denariorum  secundi:  ergo  ~ denariorum  primi 
cum  H donariorum  secundi  sunt  deiiari)  lu  , sicut  sunt  denarij  Icrcij  hominis  cum 
j denariorum  primi.  Item  <|uia  denarij  secundi  humiuls  cum  j donariorum  tenuj  sunt 
denarij  17;  ergo  ~ dciiariuiiim  secundi  curo  <|uartc  partis  denariorum,  scilicet  cum 
^ deiuirionim  lercii,  sunt  denarij  %.  Viidc  denarij  secundi  hominis  cum  — ipsorum, 
scilicet  — coniradem  cum  \ , el  , silicet  cum  ^ denariorum  lcn?ij,  siml  denarij 
10,  sicut  sutit  denarij  tcrcii  hominis  cum  \ denariorum  primi:  et  quoniam  ~ dena- 
riorum primi  cum  deiiariorum  secundi  sunt  quantum  [*  denariorum  scciiiuli  cuni 
denariorum  lercii,  scilicet  19;  ergo  si  dc  ~ dcuarionim  secundi  auferatur  de- 
nariorum i[isius  secundi,  reiminchiiiit  siquidem  ipsius,  et  ~ : additis  ergo  ^ , et 
in  unum,  faciunt  m : ergo  |*  denariorum  primi  sunt  «piantum  denariorum  se- 
cundi cmn  J'  denariorum  tercii  ; que  denariorum  tcrcii  redigende  siiul  in  jiarlcs 
primi  et  secundi  sic  : quia  denarij  tercij  hominis  cum  ~ denariorum  primi  sunt  19, 
sicut  sunt  ^ denariorum  primi  cum  denariorum  sccuiidi  ; ergo  si  dc  denario- 
rum primi  auferatur  j denariorum  primi  , remanebunt  j denariorum  primi  cum 
denariorum  secundi , equales  denarijs  tercii  hominis.  Sunt  enim  | deiiarimaim 
primi  denariorum  ipsius  ; ergo  denarij  lcr«'ij  hominis  sunt  quantum  dcnarionitn 
primi  cum  ~ denariorum  secundi  : quare  denariorum  tercii  sunt  fj  de  dena- 
riorum primi,  ct  sunt  adhuc  4*  de  ~ denarijs  secundi.  Verum  dc  ‘4  denariorum 
primi  sunt  |4|J  denariorum  primi,  que  cscunt  c\  muiliplicnlionc  de  iS  in  si  diuis^t 
[»er  6S,  et  per  70.  Item  J|  de  denariorum  secundi  sunt  dciiaiiornin  secundi; 
ergo  “ denariorum  primi  sunt  cl  denariorum  secundi,  ct  denariorum  suo- 
rum: quare  si  dc  denurionim  primi  auferatur  denariorum  ipsius,  remanebunt 
JJJ  denariorum  primi,  c^piales  dc  yj^»  cl  de  denariorum  secundi,  scilicet  dc  f-*}: 
quare  rcjHTiciidi  sunt  duo  minieri,  quorum  " unius  sint  alterius;  qui  reperiuntm 
cx  multiplicatione  de  eso  in  2201,  ct  de  2836  iti  703.  Vel  quia  C80,  ct  283G  diuidiintur 
iiilegraliter  j>cr  130,  multiplicabis  de  oso,  scilicet  5 per  2201,  et  dc  2830,  sci- 
M.i&j  licet  21  per  703;  sed  quia  2201,  el  703  diuiduntiir  | iiilegralitor  per  19,  inultiplicahis 

s per  ly*"***  partem  de  226I,  scilicet  |>cr  ii»;  ct  21  multiplicabis  per  ^ dc  703  , sci- 
licet ]»cr  37;  et  habebis  39S  pro  primo  numero ; ct  777  pro  secundo  , huc  est  quod 
proportio  denariorum  primi  ad  denarios  secundi  est  sicut  595  ad  777:  ct  (jiiia  primus 
homo  |H!lit  secutidu  \ denariorum  suorum,  adde  | de  777,  .scilicet  259  super  595,  erunt 
S54}  quem  cum  debeant  esse  i4  , diuide  ipso  Soi  per  U , exibunt  6t  ; in  quibus  6l 
diuidc  593,  cl  7T7  iniieiUa,  et  liabebis  9 pni  denarijs  primi;  et  JJ  I2  pro  denarijs 
secundi,  ut  per  cichalaicym  superius  iuueiiimus:  dcnuiios  ucro  tcrcii  hominis  reperies 
ordine  suprascripto. 

Oe  fjuinqne  homiuibus. 

Irem  homines  sint  S;  el  primus  habeat  14,  habita  4 de  denarijs  secundi,  ct  tcrcii 
hominis;  secundus  uero  habeat  17,  habita  { de  denarijs  tcrcii  quarto  hominis;  tcrcius 
quorpic  habeat  19,  habita  \ de  denarijs  quarti , et  quinti  hominis.  Ouarlus  iiamquc 
babeat  21,  habita  | dc  denarijs  quinti,  ct  primi  Iiomiuis.  Quintus  itaque  habeat  23 


Digitized  by  Googie 


3ii 

t:um  ' dc  doiittrtjs  primi,  ct  ^cimdi  lioininis.  nueriliir  , quot  dcuarto*:  unusquis<|uc 
Imheal : puiic,  ut  ptinm.s  habeat  denarios  8.  nesidiiuni  ucro,  quod  est  ab  i|tsis  ticuanj.<i 
s usque  tti  M,  scilirct  0,  opporlot  ut  sit  ten  ia  dc  denarijs  scctimli,  et  lercii  hominis, 
thiare  inter  scniiidiim,  ct  tercium  hominem  habent  denarios  is,  seilicet  triplum  dc  c 
suprascriptU.  Oiios  dfiiniius  is  opjiortet  ila  diuidere  per  paitioularem  eldiHtuieym 
inter  secundum,  et  terciiim  hominem,  ut  seriiiidus  cum  petitione,  quam  petit  tercio, 
et  quarto  homini  , habeat  suos  denarios  I7  ; ct  ten'ius  cum  petitione  , quam  petit 
quarto,  ct  quinio,  habeat  suos  denarios  19;  et  quartus  cum  sua  |H.*tilioiie,  quam  ]>elit 
i[uiiito,  et  primo  humiiii,  habeat  suos  denarios  si.  Vnde  {Huiamus  in  prima  ]>arti<‘U- 
lari  jHisitioiie,  quod  primus  haheat  9 ei  siiprascriptis  ih;  a <[uihns  usque  in  17  desunt 
8,  qui  sunt  j de  denanjs  tcrcij,  ct  quarti  humiiiis  : ergo  inter  teiriiiiii,  et  quartum 
hoiuiiiem  liaheiit  3S;  de  quibus  evtrahc  9,  qiic  remanent  tercio  homini  cx  supruscri* 
piis  dcriaiijs  18,  remanet  quarto  homini  denarij  23:  deinde  extrahe  9,  quiLS  haheat 
tercius  de  denatijs  10  , quas  ipse  pro|Hinit  se  habere  , remaneut  lo  , qui  stiiit  { de 
denarijs  quarti,  et  quinti  liomiiiis  : ergo  inter  quartum,  et  quiiilimt  huminem  baberit 
50;  cx  quibas  quartus  habeat  i3:  quare  rctiianciil  quinio  homini  S7i  (piibiis  additis  cum 
denarijs  8 primi  hominis,  faciunt  35  ; quorum  sexta  pars,  scilicet  | s addita  cum  de* 
narijs  23  quarti  homiuis  , faciunt  denarios  | 28  , qui  deberent  esse  si  : cpiarc  iu  hac 
prima  particulari  positione  sujM?raut  quarto  homini  denarij  ~ 7.  Vnde  |k>iic  in  secunda 
particulari  iMisilione,  quod  secundus  habeat  10  ex  pn*dictis  denarijs  ih,  scilicet  i , 
plus  quam  in  prima  particulari  {x»siliunc  ; a quibus  10  usf|uc  in  n desunt  7 , que 
sunt  quarta  de  denarijs  tercii,  et  quarti  hominis:  ergo  inter  terciiini,  et  quartum  ho- 
minem liahenl  denarios  sh;  de  quibus  cvtralie  k,  <pie  reinarieut  tercio  homini  ex  su* 
pmscriptis  denarijs  18,  remanent  quarto  liotnitii  denarij  20  : deinde  extrahe  8,  quos 
hahcl  tercius  de  denarijs  19,  quos  ipse  proponit  se  habere,  remanent  ll;  qtii  sunt  | 
dc  denarijs  quarti,  et  quinti  hominis:  ergo  inter  quartum,  et  quintum  hominem  ha- 
hent  53J  cx  quiliiis  quartus  habet  29.  (^luare  remanent  quinto  linmiiii  35;  quibus  additis 
cum  denarijs  6 primi  Iioiniiiis  faciunt  43;  quorum  sexta  pars,  scilicet  | 7 additarum 
denarijs  2U  quarti  homiuis,  faciunt  denarios  | 27;  qui  delH*rent  esse  21:  quare  iii  hac 
secunda  particulari  |)ositiorie  .sii|>eraiit  quarto  homini  ^ 0,  qui  sunt  sexte  37,  scilicet  10 
sexte,  minus  quam  iu  prima  particulari  positione,  scilicet  de  sextis  47.  (luare  pro  t, 
quam  crciiimus  sctmndo  homini,  udpnqiinquauimus  sextas  19,  et  restant  ad  adpropiti- 
quaiidiim  scxlc  37:  quare  miiltipUca  1 per  37,  et  diiiides  | per  10  , exibunt  denarij  f-i.  uj 
M secundi  particularis  positionis,  retldinit  pro  dctiarijs  secundi 

hominis  13.  Itcliquos  nero,  qiii  siint  usque  iu  I8,  scilicet  ^ 4,  hahcl  secundus:  qtiiiuis 
inueiUis,  extrahe  ~ 13  secundi  hominis  dc  suprascriptU  17,  remanent  ■—  3 , qui  sunt 
quarta  dc  denarijs  tercij,  et  tpiarli  hoiuiiiis  : ergo  inter  tercium,  et  quartum  hoiiiiiiem 
haheiit  denarius  \ 13;  de  quibus  extrahe  — 4 tcrcij  hominis,  remanent  (piarlo  homini 
denarij  ~ 8 : deinde  extrahe  4,  quos  hab<‘t  lercius  de  denarijs  19,  quos  ipse  pro* 
ponit  se  hahere,  remanent  4,  qui  sunt  } de  denarijs  quarti  , et  quinti  hominis  : 
ergo  inter  «piartum,  ct  quintum  hominem  halmiit  denarias  J 73 ; ex  quibus  quartus 
habet  ~ 8.  Quare  remanent  quinto  homini  J 64;  quibus  additis  cum  denarijs  8 primi 
hominis,  faduul  ^ 72  ; quoniin  sexta  pars,  scilicet  ^ 12  addita  cum  denarijs  8 , 


Digitized  by  Googie 


■ n W ....  «|t4M  > 

• 1&3  i*fi*  , hn.  IK-SI  t 

(•R.  Un.  iO.U). 


r..i. 


15}  •trM' 


34S 

reddit  denarios  21,  ut  0|>]>orlct  : nam  addiU  | de  dciianjs  primi,  et  secundi  lioniinis, 
scilicet  " 3,  sunt  denarij  | g4  (piiiiti  iiuminis,  faciunt  ^ 67;  qui  debent  esse  23.  Quare 
extrahe  13  de  deiiarijs  67,  remanent  44;  et  tot  superant  quinto  homini  in  hac 
prima  iiniuersali  jHfsitionc.  Quare  in  secunda  iiniuersali  |M)sitione  pone, ut  pnmus  liaheat 
7.  Quare  inter  .secundum,  et  tercium  Iiahehunt  21;  quilui-s  per  tdchataieym,  secundum 
suprascriptum  onliitcm  diuisLs,  imicnics  , qiuKl  secundus  habet  * to  ex  ip.sis  21  , et 
tcrcio  remanet  | to  : cum  quibus  duabus  portionibus  inueiiics  similiter,  quod  quartus 
bomo  habet  ^<5;  et  quintus  [ 27;  super  que  si  addideris  septimam  de  denarijs  7 
primi  liomiiiis,  et  de  denarijs  \ 17  secundi;  quonim  | est  ^ 2,  et  eniril  J-J  30  , que 
del>ercnt  esse  23:  quare  in  hac  seciiuda  uniuci'sa!i  |Mxsitionc  superant  quinto  homini  -l-l  7, 
scilicet  differentia,  que  est  a 23  usque  in  \\  30.  In  prima  enim  uniuersali  positione 
superauerunt  ei  7^*  44  : ei*go  jver  5,  quem  minuimus  primo  homini  in  secunda  uniiiersjili 
]Kisitione,  adpropiiiquauit  quintus  bomo  ueiitati  37,  scilicet  differentia,  que  C-St  a 
■—  44  usque  iii  ~ 7;  et  restant  ad  adpropinquandum  ipsi  denarij  ||  7.  Multiplica  ergo 

7 per  1,  cl  diuides  per  f;  37,  exibunt  quas  extrahe  de  denarijs  7 secunde  uni- 

ucrsalis  positionis,  remanent  6;  et  tol  liabet  primus  Iiomo  ; a qiiibii.s  u.scpic  iti  14 
desunt  ^^7,  qui  .siiiil  tenua  de  denarijs  secundi,  et  tercij  liomini.SMptare  multiplica 
cos  per  3,  erunt  H77  el  tol  habent  inter  secundum,  et  teiTium:  quos  si  studueris 
diuidci'c  inter  eos,  secundum  ipiod  superius  fecimus  is,  inuciiics  qiUHl  secundus  bomo 
liabet  1^9,  et  lercius  ti;  cum  quibus  inuenies,  quod  quartus  homo  liabct  tc, 
ct  quintus  jjJi  20. 

Ve  eodem. 

Item  honiiiie.s  sint  5;  et  primu.s  eorum  petit  .secundo,  ct  tcrcio,  ct  quarto  torriam  dena- 
riorum ipsorum,  et  pro]>otiit  se  habere  14;  .secuudu.s  petit  | tcrcio,  ct  quarto,  et  quirito 
homini,  et  habebit  17;  tercius  quor|ue  petit  | rpiarto,  ct  quinto,  et  piimo  homini,  et 
hahebit  19.  Quartus  namque  petit  \ quinto,  primo,  el  .secundo  homini,  et  habebit  21- 
Quartus  ucro  petit  | primo,  et  secundo,  ct  tcrcio  homini,  el  ha)>ebit  23.  Quciitur  , 
quot  umi.sr|ui.si|ue  habeat  : |>onc  ul  primus  habeat  8;  quare  iiitcr  secundum,  et  tercium, 
et  quartum  habebunt  18,  .scilicet  triplum  diffcrcntic,  que  est  ab  8 usque  in  14;  que 
18  opporlet  rliuiderc  per  clclialaicvm  inter  cos  tres  : {Mines  ad  libitum,  ut  secundus 
balieat  6 ex  ipsis  I8;  quare  rcmaiicl  tcrcio,  ct  quarto  12:  opjKirlet  iterum  per  cicha- 
taicym  diuidere  inter  u(rum(|ue:  et  quia  pusicioiies  primi  , ct  secundi  hominis  fal.se 
sunt , ct  op{iortel  altam  falsam  positionem  tcrcio  bumiiii  ponere.  Ideo  {lositionem 
{irimi  hominis  primam  primi  ciclialaieym  appellabis.  Positionem  uero  secundi  , pri- 
rnain  .secundi  clchataieyin  nominabis  : deinde,  quia  in  prima  | {Hisitiunc  secundi  eU 
rbataieym  posuimus,  ut  secundus  babeut  6,  op{K>rlct  ut  inter  tercium,  ct  quartum, 
et  quintum  hominem  habeant  44,  .scilicet  quadni{ilum  differentie,  que  est  ab  ipsis  6 
iisi|uc  in  17:  cx  quibus  44,  cum  tercius  et  quartu.s  habeant  <2  , ergo  qniiitus  liabet 
32  : deinde  opportet,  ut  per  tertium  clchataieym  diuidas  12  suprascriptum,  inter  tercium 
cl  quartum  hominem;  ita  ut  teiriiis  cum  petitione,  quam  petit  quarto,  cl  quinto,  el 
primo  homini,  jiossit  suum  Iialicre  pnqio.siliim,  .scilicet  19;  que  diuisio  dupliciter  Ut: 
primum  quidem,  ut  ex  12,  que  habent  inter  tercium,  el  quartum  ponas,  ut  lcrciu.s 
bomo  habeat  aliquam  quantitatem;  consolabis  i{i.sam  per  ciclialaieym,  secundum  quml 


Digilized  by  Googie 


343 

SU|)€riti.*»  nmltipiiratione!^  (Icmonstraliim  est.  Vel  aliter:  adde  44,  que  habetil  iiUer  tci- 
cium,  et  quartum,  et  quintum  lioniinem  cum  » primi  liominis,  ciiint  ss;  ex  quibus 
opporlct,  tui  dare  temo  bumiiii,  ut  cum  habuerit  quintam  residui,  habeat  <o  supni' 
scrapta:  quare  |Miiie  in  liae  prima  positione  Icrcii  elcliatnieym,  ut  terrius  humo  habeat 
s ex  ipsis  ss;  ergo  remanet  SO  quarto,  et  quinto,  ct  primo  humiiti;  ({uoriim  (juiiitu 
]>arte,  scilicet  iO,  addita  cum  2 tcrcii  hominis,  faciunt  fi;  que  dcl>cnl  esse  19:  quare 
minuunt  tcrciu  homini  7.  Vnde  pone  in  secunda  positione  terrii  elchataieym,  iit  tercius 
Imheat  7 cx  siiproscriptis  52^  ergo  iTinaiient  reliquis  tribus  45;  quorum  quinta  parte, 
scilicet  9,  addita  cum  7 tercii,  faciunt  to;  que  debent  osse  19:  ergo  in  hac  secunda 
positione  mimiuiit  trrcio  s;  ct  in  prima  minuerant  ei  7 : ergo  pro  5 , que  creuimus 
eidem  tcrciu,  appropiui|uniiit  ipse  ueritati  4;  ct  restant  ad  appropinquandum  3.  (,>uare 
multiplicabis  3 per  5,  et  diuides  |Kr  4,  exibunt  ~3;  quibus  additis  cum  7 secunde 
)K>sitioiiis,  faciunt  ^ lo;  et  tot  liabcl  tercius  liomu:  uei  aliter:  quia  tercius  bomo  19, 
babila  quinta  parte  denariorum  quarti,  ct  quinti,  et  primi  hominis;  ct  ipsi  quatuor 
babcaiil  ia  summa  S2,  scilicet  si  auferantur  I9  de  st,  remanent  33  (|uarto,  et  quinto, 
et  primo  homini  post  datione  quinte  denariorum  ipsorum  , quam  dcdcnint  lercio 
homini:  ergo  illa  quinta  (tars  fuit  J residui  ipsorum,  .scilicet  dc  33:  «[tiare  { dc  33,  que 
est  { s,  est  illud,  quod  dederunt  i|tsi  tcrciu  homini:  quibus  Js  additis  cum  33,  reddunt 
|4i,pro  demirijs  quarti,  ct  quinti,  et  primi  bominU;  quibus  extractis  de  53  supi^a* 
dictis  i,  rtuiaiieitl  Jio  terrio  homini,  ut  per  ctehatayin  imicntum  est.  Residuum  ucix>, 
quod  est  usque  ili  12,  scilicet  Jt,  habet  «[uartiis,  cum  inter  ulrumque  habeant  12; 
super  que  Ji  adde  | 7,  scilicet  sextam  partem  dc  32  quinti  hominis,  et  dc  8 primi, 
ct  dc  6 secundi,  faciunt  8;  qui  debettl  esse  21  : ergo  iu  prima  positione  secundi 
clcliataieym  minuunt  quarto  homini  ~ 12.  Quare  |Mmes  in  secunda  positione  eiusdem 
secundi  elcbataieym,  ut  secuudus  bomo  babeut  5 cx  suprascriptis  is;  que  ipsi  habeant 
cum  lercio,  et  quarto  homine;  ct  sic  remanebunt  lereio,  et  quarto  I3,  quos  opporlct 
ut  babeunt  cum  quinto  liominc  48,  scilicet  quadruplum  dilTeientie,  que  est  a s ustjuc 
in  17:  ergo  quintus  bal>el  3S:  deinde  diuides  13  tcrcii,  et  quarti  bominis  intercos; 
ita  ut  tercius  cum  sua  j>ctilioiic  habeat  19  : quam  diuisionem  facies  per  duas  alias 
positiones,  scilicet  |>er  quartum  elcbataieym,  uel  per  alium  suprascriptiim  modum,  qui 
est  pulcrior;  ct  inucriics  cx  ipsis  13,  qiio<l  tercius  liabct  J 9,  ct  quartus  \ 3 ; siqwr 
que  “3  adde  8,  scilicet  sextam  de  35  ijiiiiiti  hominis,  et  dc  s primi,  et  dc  5 secundi, 
erunt  J u,  <jui  deberent  esse  91:  quare  in  secunda  [jositioiie  secundi  elcbataieym  mi- 
nuunt quarto  lioraini  J 9.  Iu  prima  enim  minuerant  ci  *» 

nuimus  secundo,  adpi-opinquauit  quarius  ueritati  | ~ 2,  scilicet  difleicntiam , que  est 
a ~ 12  Msrjuc  iii  J 9;  ct  restant  adpropinquadtim  i|»sa  J 9:  qimre  multiplica  1 j>cr  J 9, 
et  diuides  per  \ 2,  exibunt  4;  que  cxtnihe  de  5 sccundc  positionis,  remanent 
et  tot  habet  secuiidiw,  cum  primus  habeat  8 : deinde  studeas  iniienire  per  quintum 
clchulaieym  , uel  per  alium  suprascriptum  modum  quautitatc-s  tcrcii  , et  quarti  , et 
quinti  liominis;  et  inuenies,  quod  tercius  bal>et  ~ 5,  cl  quartus  11,  ct  quintus  47; 
super  tpios  adde  | de  denarijs  h primi,  et  de  secundi,  ct  de  J 5 tcrcii  ; quorum 
septima  est  2,  erunt  ||  49,  qui  deberent  esse  23  : ergo  in  prima  positione  primi 
elclialaieym  su|>eiant  quinto  homini  26  : quare  {»oae  iu  secunda  positione  primi 


p«UiH>ne  . ' f |M- 

141  |MK 

»13.  U.  S?  »4|. 


; i 1 
/ 


f«l.  U4  r-rlo. 


Digitized  by  Googie 


t igiiu  »t  ^ J ....  30,u.|]i- 

«»l  • (fiil.  IM  trrtt,  Iili<  IA' 
31.  |ug.  344.  U.  1-36)- 


1 


16 


qiuniii 
fla 
:•  I 


4.  qur  •■M(  .•••  kwmint  » 
tfvl.  144  rct(«  . Iin.  33-S3  t 
|x<g.  344,  Ub.  87  c 83.33). 


i 14  3 

/ 


fvl.  154  fttt*. 

Iu  f«i«»  mrMB«4>aa(  • (foK 
194  rrcl0.  Iin.  37  39)  |»(. 
314,  Imi.  3t-3&). 


344 

elcliataieyni,  ul  primus  haheat  7,  scilirct  uno  minus  quam  in  prima  ; ot  sic  oppor* 
tcbiti  ut  inter  .sceundum,  et  lercium  , ct  quartum  Iiumincm  habeant  2i;  que  studeas 
diuidere  ]>er  elcliataicym  ita:  uiuisqui.S4|ue  cum  suu  j>clitioiic  ]ia)>cat  .suum  pniposilum 
numerum,  scilicet,  quod  secundus  liabeal  17,  et  terciiis  luibeat  lo,  et  quartus  2i;  et 
inueiiies,  quod  secundus  ex  ipsis  8i  babet  * i,  tercius  ’ 6,  quartus  ^ 12;  ex  quarum 
inuentionc  iiiiienies,  quod  quintus  habet  ^41;  cum  quibirs  * 4t  adde  septimum  de  7 
primi,  ct  dc  \ 1 .secundi,  ct  dc  5 6 tcreij , «|ue  est  {\  2 , erunt  ^ 44  , quem  debent 
esse  83:  quare  in  liac  secunda  positione  primi  clrbaUieym  superant  quinto  homini 
^ £1,  et  in  prima  superaiienml  et  £G:  vnde  [ter  1,  quod  miituimu.s  primo  homini, 
appropinqiiauit  ipse  -JJ  5,  scilicet  diOerenliara,  que  est  ae  u.sqiie  iii  — 8i;  ct  restant 
ad  a|i|iropinquiiiidum  ip«a  ^ 21  : quare  multiplica  1 [ter  ^ 21  , et  diuides  per  ^ * 
exibunt  lyx  3;  <|uas  exlralic  de  7 seiutule  positionis,  remanet  3;  cl  tot  ucniciler  habet 
primus:  quibus  iiiueiiitis  (.r/c)  slude:i.s  denarios  reliquorum  per  elcbataieyra,  .smindiim 
siiprascriptum  modum  inuenire;  et  iiiuenies,  quod  .secundus  liabct  5,  tercius  ^ ii, 
qiiurtiKs  ~ io,  quintas  ^ so;  ct  sic  studeas  operari  in  similibus  qiiestioid'  que 
omnes  per  elchataieym  mirabiliter  .suluunlur. 

Ve  trilms  fioininihnst  f/tti  habebant  {fenarios. 

Tres  homines  habcltant  denarios;  ct  primus  petit  secundo  7,  ct  proponit  se  habere  ter 
tantum  quam  ipse:  secundus  iicro  |>ctil  tercius  (m')  liomini  0,  et  habebit  quater  tantum 
quam  ipse  : terrius  [>elit  pi-imo  liomini  n,  ct  habebit  quinquies  tantum  quam  ipse, 
l^oiie  quidem,  ut  primus  habeat  17;  cum  quibus  adde  7,  que  petii  secundo,  cnint  24; 
quorum  tcrcia  ]ian»,  .scilicet  8,  est  residuum,  quod  remanet  secundo  homini,  cum  de- 
derit priiiio  7:  ep^o  ip.se  babet  I5 ; cum  quibus  adde  a,  que  petit  tcrcio  boinini , 
erunt  SI;  quoium  \ [Mirs,  .scilicet  G,  e.sl  rejiidiium,  quod  remanet  Icirio,  datis  9 se- 
cundo homini:  quare  ipse  habet  similiter  I9;  cum  quibus  adde  11,  qiic  potit  primo, 
cruiit  20.  bt  primo  remanent  6;  que  tc  deberent  esse  30,  scilicet  quintuplum  dc  o, 
que  nmiaiieiil  primo  : ergo  in  Ime  prima  prsilionc  minuunt  tercio  liumiiit  4 , ipic 
sunt  a 2G  u.vjiic  iti  30:  quare  [muc  in  secunda  positione,  ut  primirs  habeat  14,  scilicet 
3,  minus  quam  in  prima,  (.hiare  .secundus  babet  14,  ct  tercius  ^ 14;  cum  quibus  adde 
tl,  que  petit  primo,  remanebunt  primos;  ct  tercius  habebit  2.s;  que  85  deberent 
es.se  13,  scilicet  quintuplum  dc  3,  que  remanent  primo  : ergo  in  Imr  secunda  posi- 
tione superant  temo  homini  J lu.  In  prima  enim  minueraiil  ei  4.  Quare  adde  ^ to 
runi  4,  erunt  1 14  : ergo  |4cr  3,  rpic  minuiiiitis,  [lerueiicrunt  ^ I4;  quid  ergo  minuemus, 
ut  pcruciiiant  4 : multiplica  ergo  4 per  3,  et  diuides  per  | 14,  exibunt  extrahe  de 
17  prime  posltionLs,  remanebunt  | ^ lO;  tot  Imbuit  primus;  cum  quibus  adde  7,  que 
petit  secundo,  erunt  23;  quorum  teiTiam  partem  adde  cum  eisdem  7,  einint  u; 
et  tot  habuit  secundus  ; cum  quibus  aildc  0 , quo.s  petit  tcrcio  , crunl  ~ 83  super 
quartam  partem;  quorum  adde  ipsa  9,  erunt  14;  ct  tot  habuit  tercius:  ex  bac  enim 
maiieric  niiillac  ct  iiaric  questiones  pitqmiii  possunt. 

yf/iter. 

Extractis  quidem  cx  deiiarijs  primi  ii,  quos  tercius  pclit  ei;  ct  ex  denanjs  secundi  7, 
(|uo.s  primus  petit  ei;  et  cx  dcnaiijs  Icrcii  9,  quos  ei  petit  secundus,  lioc  quod  iTmaiiebtl 
unicuique  uocctur  residuum  ipsius  : deinde  (}uia  primus  cum  7 de  denanjs  secundi 


Digitized  by  Googie 


343 

liabcl  IripUim  rcMilui  i]»sius  secundi;  ergo  residuum  jn  imi  cum  denariis  ii  stiprnsm- 
ptis,  ct  cum  ijwis  7,  scilicet  cura  I8,  est  Iriphim  similiter  residui  secundi  hominis: 
similiter  iiiuenies,  (jutxl  residuum  secundi  huniinis  cum  denaiijs  7,  ct  cum  denarijs  » 
suprascriplis,  scilicet  cum  t6,  est  <|uadniplum  residui  lercii  hominis.  F.l  residuum  tcrcii 
hominis  cum  denarijs  9,  ct  cura  denarijs  ii,  scilicet  cum  denarijs  so,  est  quintupliini 
residui  primi  hominis,  tl  quoniam  residuum  primi  tum  denarijs  I8  est  triplum  re- 
sidui secundi  ; tcrcia  j>ars  residui  primi  cum  j de  denaiijs  I8  , scilicet  cum  6 , est 
quantum  residuum  secundi.  Itera  quia  residuum  secundi  cum  denarijs  lO  est  quadru- 
plum residui  tcrcii;  quarta  pars  residui  secundi  cum  J dc  18,  scilicet  cum  4 , est 
((uantum  residuum  tcrcii.  Hursum  quia  residuum  tercii  cum  denarijs  so  est  quintu- 
pium  residui  primi  hominis  ; quinta  jiars  residui  tercii  cum  j dc  so,  scilicet  cum  4, 
est  quantum  residuum  primi.  Ft  quantum  ^ residui  primi  cum  denarijs  6 est  quantum 
residuum  secundi;  ct  J residui  secundi  cum  denarijs  4 est  quantum  residuum  tcrcii 
hominis  : si  dc  residuo  secundi  hominis  auferatur  \ ipsorum,  et  denarij  4,  remanebit 
J residui  primi  hominis  tum  denarijs  6,  c<|ua)is  dc  J residui  secundi,  minus  denarijs 
4 , et  dc  residuo  tercii  hominis.  Quare  si  in  utraque  portione  addantur  denarij  4 , 
erit  \ residui  primi  cura  dcmirijs  lo  cpianlum  J residui  secundi  cum  residuo  tercii. 
Similiter  quia  j lesidui  secundi  cum  denarijs  4 est  quantum  residuum  tercii  hominis; 
cl  5 residui  tercii  cura  denarijs  4 est  quantum  residuum  primi  hominis;  si  de  ulraque 
portione  auferatur  J residui  tercii  , et  denarij  4 , remanebit  \ residui  secundi  cum 
denarijs  4 quantum  \ residui  tcrcii , minus  denarijs  4 tum  residuo  primi  hominis. 

V'^nde  si  in  utraque  jmrticme  addantur  denarij  4,  erit  { residui  secundi  cum  denarijs 
H quantum  | residui  tercii  cura  residuo  primi.  Bursum  quia  •;  residui  tercii  cuni  de- 
narijs 4 est  quantum  residuum  primi  hominis;  ct  } residui  primi  cum  denarijs  6 est 
quantum  residuum  secundi  ; si  cx  utraque  portione  auferatur  | residui  primi,  et  de- 
narij 6,  lemanehil  \ residui  primi  quantum  | residui  secundi,  minus  denarijs  6 cum 
residuo  secundi;  vnde  si  super  utraniquc  {mrtionem  addantur  denarij  6,  erit  \ residui 
tercii  cum  denarijs  lo  quantum  | residui  primi  cum  residuo  secundi.  Et  quoniam 
I residui  primi  cum  denarijs  lo  est  ([uanluni  | residui  senuidi  aiin  leslsiduo  (ric)  tercii; 
si  super  utramque  portionem  addantur  so,  erit  { residui  primi  rum  denarijs  3o  quan* 
tum  j residui  .secundi  cura  residuo  tcrcii,  et  aim  denarijs  20.  Ostensum  est  autem, 
quod  residuum  tcrcii  cum  denarijs  20  sunt  quinquies  tantum  fjiiia  {sic)  residuum  primi 
hominis  ; ergo  residuum  primi  cum  denarijs  30  simt  | residui  secundi  cum  quinquies 
residuum  primi,  scilicet  cum  ipsius.  Vnde  si  cx  ulraque  portione  auferatur  } re- 
sidui primi,  denarij  30  erunt  J residui  secundi , ct  ~ residui  primi.  Rursum  quia  J 

residui  secundi  cum  denarijs  8 sunt  \ residui  tcrcii  cum  denarijs  primi  ; si  super 
utramque  portionem  adduntur  denarij  !8,  erit  { residui  secundi  cum  denarijs  8 , et 
18,  scilicet  cum  ic,  quanUim  | ~ residui  tercii  cum  residuo  primi  , et  cum  denarijs  r-»i  i»s 

18.  Ostensum  est  autem,  quod  residuum  primi  cum  denarijs  18  sunt  triplum  de  re- 

siduo secundi;  quare  } residui  secundi  cum  denarijs  20  sunt  } residui  tcrcii,  et  triplum, 
scilicet  ^ residui  sui:  quare  si  ex  utrajjuc  portione  auferatur  J residui  secundi,  re- 
manebunt ~ residui  tercii  cum  ^ residui  secundi , denarij  w.  Aduc  quia  \ residui 
tercii  cum  denarijs  10  est  quantum  | residui  primi  cum  residuo  secundi  ; si  super 

44 


Digitized  by  Googie 


346 

ulramque  |K)itioncni  addantur  denarij  ic  , erit  J residui  tercij  cum  dcnarijs  to  , ct 
eum  ie  , scilicet  cum  26  « quantum  | residuo  primi  cum  residuo  secundi  , et  cum 
detiarijs  ic:  est  enim  residuum  secundi  cum  denarijs  10  ((iiadniplum  de  residuo  tcrcii: 
quare  | residui  tcrcii  cum  denarijs  26  sunt  | residui  primi»  ct  quaduplum  » scilicet 
^ residui  sui.  Ouare  si  ex  utraque  portione  auferatur  j residui  tcrcii » remanebunt 
I residui  primi  cum  residui  tcrcii  esse  denarios  26  : ct  quoaiaiii  ^ residui  primi 
cum  \ residui  secundi  .sunt  denarij  30  ; et  residui  secundi  cum  } residui  tcrcii 
sunt  denarij  26  ; et  ^ residui  tercii  cum  | residui  primi  sunt  similiter  denarij  2G  ; 
oportet»  ut  habeas  equas  pro(H»rlioiics  in  otuaibus,  ut  redigantur  partes  primi,  ct  se- 
cundi, ita  ut  sint  20  sicut  sunt  atie;  quod  facies  sic:  4,  in  qua  30  excedit  26»  diuide 
|>cr  30,  exibunt  et  quoniam  r^ridui  primi  cum  | residui  secundi  sunt  denarij 
30  i ergo  ^ de  residui  primi,  scilicet  J"»  el  de  | residui  secundi,  scilicet  lo, 
erunt  dc  denarijs  30,  scilicet  dc  denarijs  4:  quare  si  de  ^ residui  primi  auferatur 
residui  i|Kiu.s^  ct  de  \ residui  secundi  auferatur  ~ residui  ipsius  — , residui  primi 
cum  U residui  secundi,  remanebunt  denarij  2C  : ergo  ^ residui  primi  cum  ^ re- 
sidui secundi  suul  quantum  -*■  residui  secundi  cum  \ residui  tercij.  Quare  si  dc  ~ 
residui  secundi  auferatur  ii  residui  ipsius  , remanebunt  ^ residui  primi  quantum 
JJ  residui  secundi  cum  J residui  tercii.  L'x  ^ residui  secundi  cxtrabunlur  jJ  sic:  ex 
fiant  uigc-simi,  ct  sunt  }J;  ex  quibus,  extractis  ij,  remaiicut  j| , .scilicet  fi.  Itera 
quia  residui  sccuudi  cum  | residui  tcrcii  sunt  quantum  residui  tercii  cum  j re- 
sidui secundi,  scilicet  26.  Si  dc  ^ residui  tercii  auferatur  | residui  ipius,  ^ residui 
.secundi,  quantum  triplum  residui  tcrcii  cum  | residui  primi:  qua  ratioue  iimcniciidum 
est  dc  I*  residui  secundi,  que  (Kirtcs  sint  de  residuo  tercii  primi.  Sunt  enim,  ut  di- 
ximus, ^ residui  secundi  quantum  triplum  residui  tercii  cum  f rc.sidui  primi.  Quare 
If  residui  secundi,  scilicet  cum  .sint  H V secundi,  scilicet  ex  f|,  erunt 

dc  triplo  residui  tercii,  et  de  ••  residui  tcrcii  dc  triplo  residui  tercii  sunt 
et  ~ dc  - residui  primi  sunt  |*  residui  ipsius  : et  quoniam  ^ residui  primi  sunt 
quantum  residui  .secundi  cum  j residui  tercii,  cruiil  similiter  •— residui  primi  cpiau- 
tum  ^ residui  tercii  cum  cura  (.r/c)  f-f  residui  sui,  et  cum  f residui  tcrcii.  ^am 
el  { rcsidui  tcrcii  .sunt  residui  tercii  cum  |J  residui  .sui.  Quare  si  dc  ^ auferatur 
H , remanebunt  ^ rc.sidui  primi  quantum  ~ residui  tcrcii.  Quare  repcriciidi  .sunt 
duo  numeri,  quorum  ~ unius  sint  f|  altcriu.s;  quos  iuuenies  sic:  ipiia  oo  ct  tl,qui 
sunt  sub  uitgulis,  diuiduiitur  integralitcr  )>cr  n;  multiplica  ^ dc  oo,  scilicet  9 per  34, 
ct  ^ de  ii,  scilicet  i,  per  3S0,  et  habebis  pro  primo  numero  306;  ct  pro  secundo,  scilicet 
pix)  numero  residui  tcrcii  liominis,  330.  Et  quoniam  residuum  tcrcii  cum  denarijs  io 
est  quincuplum  dc  rc.siduo  primi,  multiplica  306  per  s,  erunt  iS30;  de  quibus  cxtralic 
. is4.#r,«.  3S0,  rcmHiieril  iiis;  quos  diuide  | per  denarios  20  suprascriptus,  exibunt  SQ  ; in  quo 

59  diuide  306,  ct  350.  exibunt  pro  residuo  pritut  liuminis  denarij  ^ s;  cum  quibus 
adde  denarios  11,  quos  primus  dut  tercio  , erunt  iO  ; el  tunc  bubet  pro  residuo 
tercii  5;  cum  quibu.s  adde  denarios  9,  quas  ipse  dat  .secundo,  erunt  u;  et  tot 
habet  tercius:  et  quoniam  primus  cum  denarijs  7 secundi  Iiabet  ter  tantum  quam  se- 
cundus ; udde  7 super  16,  erunt  f • 23  super  tertiam  partem  quorum,  scilicet  super 
7,  si  addideris  ipsos  7,  habebis  ||  14  pro  denarijs  secundi.  Eadem  enim  questio  est 


Digitized  by  Googie 


347 

<l€  tribus  omnibus  (jw)  qui  tres  bursas  ilenariurum  repcricrunl.  In  prima  quarum  erant 
denarij  I8j  in  secunda  denarij  ifi;  in  tcrcia  deiiarij  20;  et  primus  cum  prima  bursa 
haberet  ter  tantum  quam  secundus.  Sccuiulus  cum  secunda  quater  tantum  quam  ler- 
cius  j tercius  cum  tercia  quinquies  tantum  quam  primus.  Primus  liabet,  ut  prediximus, 

5;  secundus  ~ 7;  tcrcius  U 5:  aliter  pnmjplius:  (|uoniam  ostensura  est  superius,  quo<l 
I residui  primi  cum  denarijs  6 est  quantum  residuum  secundi.  Quarta  pare  Icrcie 
partis  residui  primi,  scilicet  ^ residui  primi  cum  J de  denarijs  6,  scilicet  cnm  ^ i, 
est  quantum  quarta  |>are  residui  secundi.  Vnde,  si  ulri(|iic  portionis  (j/c)  addantur  denarij 
4,  erit  ~ residui  primi  cum  denarijs  \ 5 quantum  ' residui  .secundi  cum  denarij.s  4. 

Verum  J re.sidui  secundi  rum  denarijs  4 ostensa  est,  equalcm  c&se  de  residun  tercii 
hominis.  Quare  ji  residui  primi  cum  denarijs  { 5 est  quantum  residui  tercii.  Quare 
J dc  scilicet  residui  primi  cum  \ de  denarijs  J 5,  scilicet  cum  ^ t,  est  quantum 

5 residui  tercii:  quare  si  addantur  utrique  portioni  denarij  4 , erit  residui  primi 
cum  denarijs  ~ s quantum  \ re.su1ui  tercii  cum  denarijs  4.  Venirc  ~ residui  tercii 
cura  deuarijs  4 est  quantum  residuum  primi  hominis.  Quare  ^ residui  primi  cum  de- 
narijs 3 est  quantum  residuum  eiusdem  primi.  Quare  si  comuniter  auferatur  ^ re- 
sidui primi,  remanebunt  H residui  primi  quantum  denarij  ^ s.  Quare  inucnies  nu- 
merum, cuius  fj  sint  ^ 5.  Multiplicabis  ergo  eo  per  ^ 5,  et  diuides  per  59,  exibunt 
" 3 pnr  residuo  primi  hominis.  Et  nota,  cura  tres  homines  inueniunt  tres  bursas,  in 
prima  quarum  suul  is  , et  in  secunda  te  , et  in  tcrcia  20  ; ct  primus  cum  primo 
haheat  triplum  secundi;  secundus  cum  secunda  quadruplum  tercii;  tcrciu.s  cura  tercia 
quintuplum  primi ; tunc  primum  residuum  quantitas  deiiariorutn  primi ; secundum 
secundi;  tercium  tercii  hominis.  Cuius  mancriei  ci  (j/c)  solutiones  in  quarta  parte 
duodecimi  capituli  proprias  regulas  demostratas  inuenies. 

De  tribus  hominibus. 

Tres  homines  e<|uum  emere  uolehanl;  et  primus  petit  secundo  ct  tercio  { suorum 
bizantiorura  ; et  proposuit  ipsum  equum  emere.  Secundus  petiit  tcrcio  ^ , ct  primo 
J:  tcrcius  namque  peliit  primo  et  secundo  pone  quidem,  quod  primus  habeat 
30,  in  quibus  reperiunlur  quam  peliit  sibi  secundus,  ct  J,  quam  peliit  sibi  tercius; 
quia  positionem  firmam  scnper  habere  necessc  csl  ; deinde  pone  in  prima  ]H>.sitione, 
quod  secundus  liabcat  70,  cum  in  ipsis  rcjH'riatur  j,  quod  j>ctiit  ei  primus,  ct  J petiit 
ei  tcrcius  : deinde  rumsidera,  quid  primus,  ct  secundus  petant  tercio.  Nam  primus 
petit  ei  et  secundus  { : ergo  primus  petit  ei  ^ plus  quam  secundus,  scilicet  su- 
perhabundantiam,  que  est  a \ usque  in  quo  intellecto  adde  pctiliunom  super  30, 

(]uia  (sic)  petit  primus  secundo,  .scilicet  | dc  70.  Et  adde  super  ?o  petitionem  , quia 
secundus  petit  primo,  scilicet  J,  erunt  70;  sunt  <1  magis  quia  {sic)  63;  que  H sunt  ~ de 
birantijs  tercii  hominis:  ergo  tercius  homo  habet  ducnlccies  it,  scilicet  | i32;  et  sic  r«>i  iss 
primus,  ct  secundus  passunt  equum  emere  , boc  est  cum  eorum  petitionibus  habe- 
bunt unum  , et  eundem  numerum.  V'crbi  gratia:  ergo  primus,  qui  habet  30  cum  -* 
de  70  secundi,  et  cum  | de  132  tercii,  lia)>cl  109.  Secundus  uero,  qui  habet  70  cum 
I de  132  tercii,  et  cum  ; de  30  primi , habet  similiter  i09  , quo  ponantur  esse  pre- 
tium e<|ui  : deinde  adde  super  132  tercii  ^ de  bizantijs  30  primi , ct  | dc  bizantijs 
70  secundi  , erunt  I47  , scilicet  38,  plus  pretio  equi  : ergo  in  hac  piiroa  positione 


Digitized  by  Googie 


34S 

superant  tercio  homini  08  : quare  pones  in  secunda  positione,  ut  secundus  habeat  56 r 
scilicet  14,  minus  quia  (x/c)  in  prima;  et  inuenisse  suprascripta  ratione,  quod  tcrcius 
habebit  48,  et  pretium  equi  est  74 , et  minuunt  ei  la  in  secunda  pasitioner  ergo  per 
U,  que  minus  (x/c)  tercio  homini,  minuunt  eidem  38,  que  superant  ei  in  prima  positione, 
et  13,  que  minuunt  ei  in  secunda,  hoc  est  51:  quare  multiplicabis  14  per  38,  ct  di- 
uides  per  5i,  cl  c&tralic  illud  qinnl  exierit  dc  ro  prime  positionis;  uel  multiplica  14 
per  13,  ct  diuides  per  si;  et  quod  exierit  addes  super  se  secunde  positionis,  quod  est 
pulcrius,  erunt  ||  59;  ct  tot  liabet  secundus;  per  quam  inuentiunein  inuenisse  (xic)  supra- 
scripta ratione,  epuMl  temus  habet  {jCS;  et  pretium  equi  est  ^88;  quos  numeros, 
si  in  integrum  habere  uulueris,  multiplica  unumquemque  eorum  per  5i;  ct  habet  primus 
1530;  secundus  3038;  tercius  3540;  equus  42X9. 

j4Uter  per  regulam  proportionum, 

Qo.siam  (xic)  primiLs  cum  | bizantiorum  secundi,  et  cum  | bizantiorum  tcrcii  habet 
quantum  secnndus  cum  J bizantii,  ct  cum  |-  bizantiorum  primi,  scilicet  pretium  equi; 
si  ex  utraque  parte  auferatur  ^ bizantiorum  secundi,  remanebit  primus  cum  j bizantio- 
rum tercii,  equalis  dimidio  bizantiorum  secundi  cum  \ bizantiorum  tercij,  et  cum  | bizan- 
tiurum  primi.  Item  si  ab  ulraque  prte  auferatur  -J  bizantiorum  primi,  remanebunt  \ bi- 
zaiilionim  primi  cura  ^ bizantiorum  tercii  quartum  (xic)  \ bizantiorum  secundi  cum  j bi- 
zantionifu  tcrcii.  Ytide  si  ab  utra(}uc  parte  auferatur  | bizantionim  tercii,  temancbuiit  ^ 
bizantiorum  primi  cum  ^ bizanUorum  tcrcii  quantum  j bizantiorum  secundi.  Rursum 
quia  tercins  homo  cum  { bizantiorum  primi,  et  cum  I bizantionim  secundi  halK't  quan- 
tum ]irimus  cnm  | bizantiorum  secundi  cum  f bizantiorum  tcrcii;  vnde  si  comunilcr 
auferatur  [ bizantiorum  tcrcii  roranticbuiit  | bizantiorum  tcraii  horaiiiU  cum  ^ bizan- 
ttoium  primi,  ct  cum  | bizantiorum  secundi,  cquales  de  bizantijs  primi  cum  ^ bizantio- 
rum secundi.  Vnde  si  conuinitcr  auferatur  \ bizantiorum  primi  , ct  | bizantiorum 
secundi  , remanebunt  | bizantiorum  tcrcii  quantum  | bizantiorum  primi  cum  ^ bi- 
zaiitiorum  secundi.  Nam  extracta  | de  remanet  Et  quoniam  j bizantiorum  tcrcii 
sunt  I bizantiorum  primi,  et  ^ bizautiorum  secundi;  ergo  ~ de  .scilicet  ~ bizantiorum 
tenui,  erit  ; de  f bizaiitiunim  primi , scilicet  ^ , ct  } dc  ^ bizantiorum  secundi  , 
scilicet  Ostensum  est  enim,  quod  * bizantiorum  primi  cum  ^ bizanlionim  tercii 
sunt  quantum  ^ bizantiorum  secundi;  .sed  bizantiorum  tercii  est  ^ bizantiorum 
primi,  et  bizantiorum  secundi.  Quare  |,  ct  ^ bizantiorum  primi,  scilicet  cum 
2^  bizantiorum  secundi,  sunt  quantum  ^ bizantiorum  secundi.  Quare  extractis  7^  bi- 
zantioruin  secundi  dc  | bizantiorum  ipsius,  remanebunt  I77  bizantiorum  primi  quantum 
~ bizantiorum  secundi.  Quare  pro  bizantijs  primi  et  .secundi  rc|icriendi  sunt  duo 
numeri,  quorum  ^ unius  sint  ^ bizantiorum  ipsiu.s;  quos  iiiucnie.s  sic  : quia  S40, 
el  Iit,  que  sunt  sub  uirgulis,  diuiduntur  integralilcr  per  8;  multiplica  | dc  240,  sci* 
licet  30  per  5t,  ct  ^ de  lif,  scilicet  I4  per  217,  ct  habebis  1530,  et  3038.  Rursum  quia 
demonstratum  est,  quod  { bizantionim  secundi  est  | bizantiorum  primi,  et  ^ bizan- 
tionim tercii;  ergo  ^ bizantiorum  secundi,  cum  sint  | medietatis  bizantiorum  secundi, 
erunt  7 de  I bizantiorum  primi,  et  | de  ^ bizantiorum  tcrcii, hoc  est  | bizantionim  primi, 
ct  ^ bizantiorum  tercii:  set  bizantionim  temi  | bizantiorum  primi,  et  ^ bizantiorum 
r«i  secundi,  que  ^ bizantiorum  | secundi,  cum  sint  7 bizantiorum  primi,  ct  ~ bizautiorum 


Digilized  by  Google 


teirii,  erunt  | bizantionira  tcrcii  ~ { hizantiorum  primi,  scilicet  et  hizaritiuruni 
suorum.  Quare  si  de  | bizantioruin  tercii  aureratiir  bizantiurum  ipsius,  remanebunt 
II  bizantionim  primi,  bizaiuiorum  tercii:  quare  pm  bizaatijs  primi,  ct  tcrcii  reperiendi 
sunt  duo  nameri,  quorum  ||  unius  sint  alterius.  Quare  multiplicabis  ^ dc  43,  scilicet 
3 per  17,  et  ^ de  iS,  scilicet  s per  SO;  ct  habebis  pnj  primo  numero  ii;  ct  pio  iiu< 
mero  tcrcii  hominis  iis:  et  quia  su]>eriu.s  pro  numero  primi  hominis  inueninius  I530; 
et  est  sicut  si  ad  iis,  ita  IS30,  silicei  primi,  ad  bizautios  tercii.  Quare,  ut  halicas 
bizantios  tercii,  multiplicabis  iis  per  1530,  ct  diuides  |>er  Si,  scilicet  ^ dc  1530,  sci- 
licet 30,  multiplica  per  its,  et  habebis  pro  bizaatijs  tercii  hominis  3540.  Vel  si  bizantios 
sectitidi  hominis,  scilicet  3039,  uis  redigere  in  |>orlionem  inuentam,  quam  primus  habeat 
ad  tcrcium,  scilicet  cum  primus  habet  5t,  et  tercius  habet  iis,  multiplica  si  ))cr  303s, 
et  diuidc  per  IS30,  hoc  est  3039  diuides  per  ~ dc  1530,  .scilicet  |ier  30,  exibunt  pm 
bizaitlijs  secundi  buiuiiils  lOl:  que  cum  non  .sint  in  integra,  habeantur  1530  pro  bi- 
zantijs  primi  hominis,  et  3038  pro  bizantijs  .secundi,  et  3.540  pro  bizantijs  tcrcii:  deinde 
ut  inueiiias  pretium  equi  super  bizantias  primi  homiuLs,  scilicet  super  IS30,  adde  | de 
bizantijs  secundi,  scilicet  1319,  ct  { de  bizantijs  tcrcii,  scilicet  nso;  et  habebis  pro  precio 
e<|ui  bizantios  4320,  ut  per  clchataym  inuenimus.  liiuentis  quidem  bizantijs  1330  primi 
hominis,  3038  ct  secundi,  possumus  bizantios  tercii  aliter  rcjierire,  scilicet  cum  | bizan- 
tionun  primi,  et  cum  bizuntiorum  tcrcii  sint  J bizantionim  secundi;  si  de  J bizaiitiorum 
secundi,  scilicet  dc  1319,  auferantur  \ bizantionim  primi,  .scilicet  1S34,  remanet  20S  pro  ■— 
bizantionim  tercii:  quare  multiplicatis  105  jM*r  12,  reddunt  bizantios  3540,  ut  pro  bizantijs 
tcrcii  inuentuin  est.  Satis  ]>er  huc  quod  dictum  est  dc  clchataym,  et  dc  roguln  augmenti 
et  diminutioiiis,  atque  pm{)ositioni(ric)materiam  sulucndi  omnes  questiones  haberi  potest. 
Yiidc  positionis  (5<c)  quarumdam  questionum  solutas  deiiiccjis  {uuicre  disjKisuimus. 

JJe  tfuatuor  fiominibus. 

Si  homines  fuerint  4;  et  primus  petat  secundo  tercio  et  quarto  ct  posuit 

e<]uum  emere,  stxundu-s  petit  tercio  j,  et  quarto  -j,  et  primo  tercius  namque  quarto 

J,  primo  ~f  secundo  J.  Quartus  qmx|uc  petit  primo  secundo  tercio  lO:  primus  luibct 
&56984S:  SCCUnduS  21741336;  tcrciuS  1C955O60.  Q)uartus  S9C5T460;  equus  35839901. 

Ex  quibus  liomiuibus  equum  cracic  uolcnlibus  primus  ct  secundus  petunt  tercio,  et 
quarto  { bizantioruni  ijisonim;  et  proponunt  ipsum  emere.  Secundus  uero,  et  tercius 
jietunt  quarto,  ct  quinto  | : tercius  quoi]ue,  et  quartus  petunt  quinto,  et  primo  J. 
Quartus  nami|ue,  et  quintus  pctiyit  primo,  ct  secundo  J.  Quintus  autem,  et  primus 
pcluiil  secundo,  ct  tercio  y : primus  habet  oso;  .secundus  830;  tercius  iH7  ; quarius 
956;  quintus  ISGO;  precium  ci|ui  csl  bizantij  252i. 

Quinque  homines  denarias  habentes  inuenerunt  bursam  denariorum  ; cx  quibus 
primus  miin  buisa  baliet  duplum  secundi  ct  tercii;  secundus  triplum  tercii,  ct  quarti; 
tercius  quadruplum  quarti,  ct  quinti;  quartms  quincuplum  quinti,  et  primi.  Quintus 
scxcuplutn  primi  secundi  : primus  habet  i;  secundus  56l  ; tercius  821.  Quartus  287. 
Quintu.s  609;  liursa  2763. 

De  /fuatuor  hominibus  et  una  bursa. 

Item  homines  sint  qualuor;  et  primus  cum  bursa  liabcat  duplum  .secundi,  et  tcrcii; 
secundus  triplum  tercii,  et  quarti;  tercius  quaduplum  quarti,  et  piiini.  Quartus  si- 


4 8<  tomaiaiiittv  ' " { ^ * 

I fi>l.  157  . Ii«.  15-21  j 

|U||.  150.  Ii*.  1N-«5|. 


fvimi  >|Ua(1< 


K<l4r«t  • . . . . ««ritwlt  liMninH  • 

ir*l.  157  r*H0  . Imi.  22  S&  t 
r«ff-  S»fl.  lia.  U-SO/. 


ir<»a>ltl*  ImiIiH  5lirtc  f<.aii  »rb 
I * » 

t a X 

i 


rrtii«iirtl'*>al  ---  i 

U«l-  157  n<t0.  Ii».  II  • 11-1«; 
I&O,  l<n.  16-40). 


3S0 

militer  cum  bursn  liabct  quincuplum  piimi,  ct  iiecundi:  liec  quciitio  in.oolubi1is  est, 
ni.<(i  concedatur,  primum  hominem  habere  dcbiliim,  et  sic  in  minoribus  numeris  secundus 
habet  4,  temus  i,  quartus  4,  bursa  11;  ot  debitum  primi  hominis  est  t,  et  sic  primus 
rum  liursa  haliet  10,  scilicet  | duplum  secundi,  et  temi:  secundas  quoque  cum  bursa 
habet  i5:  scilicet  triplum  terrii,  ct  quarti  ; et  tercias  cum  bursa  habet  quaduplum 
quarti,  ct  primi  : quia  si  de  4,  que  habet  quartus,  auferatur  debitum  primi,  rema- 
nebunt 3;  et  tot  dicuntur  habere  inter  quartum,  ct  primum  hominem.  (Juartus  autem 
cum  bursa  babet  4S,  que  sunt  quincuplum  primi,  et  secundi,  ut  op|K>rtct.  Et  si  uis 
congnoscere  hanc  questionem  sine  debito  primi  hominis  insolubilem  esse,  hoc  scire  po- 
teris per  inuestigalionem  pro|>c»nrionmn  ij«onim  , quera  habent  ad  iniiicem  inter  se. 
Nam  quia  prinuis  cum  Jiursa  habet  duplum  secundi,  et  tercii;  medietas  primi,  et  bursae 
est  quantita.s  secundi,  ct  tcrcii.  Similiter  habetur  ex  adiacentibiis,  quod  tcrcla  secundi, 
et  bursc  est  quantitas  tercii,  et  quarti.  Adhuc  et  quarta  tercii,  et  biirse  est  «piaiititas 
quarti  ct  primi;  nec  non  est  quinta  quarti,  et  burse  est  quantitas  primi  et  .secundi. 
Et  quoniam  medietas  primi,  et  bursc  est  quantitas  secundi,  el  lcix'ii.  Si  communiter 
adiungatur  quantitas  quarti,  et  primi,  erit  quantitas  denarionim  quatuor  bominura  , 
cqiialis  dc  j denariorum  primi,  ct  de  | bursc,  et  ex  dcnnrijs  quarti  hominis.  nur.sn5 
quia  ^ secundi,  ct  bursc  est  quantitas  tercii,  et  quarti.  Si  communiter  adiunganlur  de- 
narij  secundi  et  primi,  erunt  denarij  illorum  quatuor  cquales  dc  ^ denariorum  se- 
cundi, ct  dc  ^ burse,  et  de  denarijs  primi.  Nam  denarii  illorum  quatuor  inuenti 
sunt  esse  | primi  > ct  > burse  , ct  quantum  denarii  quarti  hominis.  Ergo  \ burse  , 
ct  I primi  cum  denarijs  quarti  sunt  quantum  | secundi,  el  | bursc,  ct  | primi.  Si 
communiter  nufferatur  } burse,  ct  f primi,  .scilicet  denarij  eius,  remanebunt  | dena- 
riorum .secundi  eipiales  dc  J bursc,  ct  dc  J primi,  ct  dc  denariis  quarti.  i 
j denariorum  secundi,  scilicet  denarij  ipsius,  .sunt  J dc  |,  scilicet  J-  bursc,  et  J de 
l,  .scilicet  I primi,  ct  f denariorum  quarti:  .scrua  hec  demum,  ut  inuenias  proportionem 
denariorum  tcrcii  ad  denarios  bursc,  et  primi  ct  quarti  homiuisj  accipe  \ dciiarioruin 
tercii  hominis,  el  bui-sc,  qui  eqiiantur  denarijs  quarti  et  primi;  ct  adde  utrhjuc  prti 
dciiario.s  secundi,  ct  tcrcii,  et  erunt  omnes  denarij  quattuor  hominum  cquales  dc  \ 
denariorum  tcrcii,  ct  de  \ burse,  et  de  dcnarij.s  secundi  hominis.  Sed  denarii  secumii 
hominis  siipcr  | bursc,  et  J primi,  el  \ denariorum  quarti.  Ergo  | denariorum  tcrcii 
cum  I bui^e,  et  cum  | primi,  et  cum  \ denariorum  quarti,  sunt  sunt  (jt/c)  quantum 
summam  denariorum  quattuor  hominum.  Quam  summam  inueiiimus  esse  quantum  ^ 
denariorum  primi  cum  ~ burse,  et  cum  denarijs  quarti  hominU:  ergo  | tcrcii,  ~ primi  et 
burse  cum  | denariorum  quarti  sunt  quantum  \ primi,  ct  5 bursc  cum  denarijs  quarti. 
Quare  .si  communiter  auffcrantur|  burse,  ct  primi,  cl  j denariorum  quarti,  remanebunt 
I denariorum  tertii  equalcs  roniuncto  cx  ~ burse,  et  ex  j primi,  et  ex  ^ denariorum. 
Quare  ^ de  ; denariorum  tercii,  scilicet  denarij  eius,  .sunt  { ex  ^ burse;  ct  ex  * primi, 
el  cx  I denariorum  quarti,  hoc  est,  quod  denarij  tercii  hominis  sunt  bursc  , el 
'h  ct  j denariorum  quarti:  serua  hec,  cl  acrede  ad  inuentionem  proportionis 

quarti  , ruias  \ et  bur.se  est  quantitas  primi,  ct  secundi  : si  communiter  addantur 
denarii  tercii  ct  quarti  , erunt  \ denariorum  quarti  cum  ^ burse  , ct  cum  denariis 
tercii  quantum  est  summa  denariorum  quattuor  hominum,  hoc  est  quantum  sunt  \ 


Digitized  by  Googie 


r..i. 


351 

primi,  et  < Iiursc  cum  | denariis  quarti.  Auferatur  itaque  communiter  \ hurse,  cl  de> 
narij  quarti , remanebit  denariorum  quarti  cum  denarijs  tcrcii  quantum  * primi  , 
et  ^ bursc.  Sed  denarii  tcrcii  sunt  primi,  ct  ^ bursc,  et  \ quarti  liuminis  ; ergo 
I quarti  huminU  cum  ^ primi,  et  cum  *■  bursc  sunt  quantum  ^ primi,  et  bursc. 
Communiter  auferantur  primi , ct  ^ bursc  , remanebunt  \ primi  cum  J bursc 
quantum  I deiiiiriorum  quarti.  Quare  | dc  ’ denariorum  quarti,  scilicet  deiiarij  ipsius, 
sunt  \ de  \ denariorum  primi,  .scilicet  ~ denariorum  ij^ius;  ct  suut  ^ dc  scilicet 
^ denariorum  bur.se.  ^rgo  dciiarij  quarti  hominis  sunt  | denariorum  primi  , et  , 
burse.  Communiter  adiuiigaiitur  dcuurii  quarti,  cruiit  | denariorum  primi  cum  \ burse, 
et  cum  denarijs  quarti  (|uanlum  est  duplum  denariorum  quarti.  Set  \ primi  cum  J 
burse  cum  denarijs  quarti  sunt  quantum  est  summa  denariorum  quattuor  hominum. 

Quurc  duplum  denariorum  quarti  sunt  quantum  eadem  •sninma  ; <^rgo  denarij  quarti 
liomiiiis  sunt  dimidium  ijisias  summe.  Ostendam  rursus  , secundum  hominem  liabcrc 
aliam  medietatem  eiusdem  summe  sic;  sunt  enim  omnes  denarij  secundi  ^ bursc,  ct 
^ primi » ct  I deuarionim  quarti.  Nam  omnes  denarii  quarti  hominis  sunt  | dena- 
riorum primi,  ct  ~ burse.  Quare  ~ denariorum  quarti  sunt  dc  |,  scilicet  | prtrai, 
ct  ' de  I , scilicet  \ bursc:  ergo  omnes  denarij  secundi  sunt  et  J , .scilicet  \ 
primi,  ct  \ scilicet  ^ bursc,  sicuti  sunt  denarij  quarti  bomiiiis.  Quare  denarij  se- 
cundi , et  ({uarti  sunt  summa  dcnarioimm  ipsorum  quattuor  hominum^  quod  c.st  in- 
cooucnicns,  nisi  habeat  unus  ex  reliquis,  scilicet  primus,  uel  lercius,  debitum,  quod  erit 
cquali  capitali  alterius;  quia  addito  ipso  capitali  cum  denarijs  secundi,  ct  quarti;  et 
cx  summa  extracto  debito  alterius,  nimirum  remanebit  summa  denariorum  .secundi,  et 
quarti,  que  est  summa  denariorum  quattuor  hominum.  Et  quoniam  uidclur,  secundum 
lia)>erc  maiorem  proportionem  ad  idem  quam  secundus,  et  tcrcius,  cougnoscitui  iterum 
bec  questio  esse  insolubilis  sine  debito  alicuius  eorum.  Nam  denarij  secundi  hominis 
super  I primi,  ct  \ bursc:  sed  denarij  secundi  , cl  tercij  sunt  tantum  | primi  , ct 
burse;  quod  uidclur  incongruuiu,  ut  predixi.  Sed  hoc  salualiilur  ita  : si  dc  | bursc 
extrahunt  f cx  debito  primi,  remanebunt  denarij  .secundi.  Item  si  de  | burse  extra- 
hatur • tantum  primi,  remanebunt  deuarij  secundi,  et  tercii  hominU.  Nam  cum  | primi 
sint  semel  denarij  i^xsius,  plus  de  | denariorum  eiusdem,  congnoscilur,  tcrcium  hominem 
liabcrc  quantitatem  debili  primi  hominis.  Set,  ut  inuenias  huius  questionis  solitio- 
nem  (ric),  adde  [ burse,  et  | primi,  et  J quarti  cum  ^ bursc,  et  cum  ~ primi,  cl  cum 
J quarti  hominis,  scilicet  denarios  secundi,  et  tcrcii , erunt  ^ buRjc,  ct  ^ primi,  et 
quarti,  pro  denarijs  secundi,  ct  tcrcii.  Set  denarij  secundi,  et  tcrcii  sunt  | primi , 
ct  bursa  ; ergo  ^ burse,  et  ~ primi,  cum  ^ (juarti  sunt  ; primi,  cl  bur5c  . Et 

quoniam  denarij  quarti  hominis  sunt  | primi,  et  \ bursc;  cnint  ergo  ~ denariorum 

quarti,  equales  dc  de  { denariorum  primi,  et  dc  dc  | denariorum  primi,  et  dc 
j|  de  5 deimrioruiu  burse  : ergo  et  JJ  de  scilicet  burse,  cum  |J,  et  jJ  de 

scilicet  cum  primi,  sunt  quantum  J primi,  et  bursc;  quod  etiam  uidclur  | in-  r«i.  is« 
congruum,  cum  ^ burse  sint  plus  de^  eiusdem;  ct  ~ primi  sint  similiter  plus  | i|)sius. 

Set  quia  uolu,  primum  hominem  habere  debitum,  erit  id  quod  nunancl  ex  ^ bursc, 

extractis  inde  cx  debito  primi,  cqualc  ci  quod  remanet  ex  | bursc,  extractu  inde 

I ex  debitu  primi.  Quare  si  cx  debili  primi  hominis  auJeratur  \ eiusdem,  ct  ex 


Digitized  by  Googie 


hursc  aulTeratur  | eiustlcm,  romanchunt  debili  primi  liomiiii.s  ct^ualc.'^  J denarionim 
hurse.  Quate  repenendi  sunt  diiu  numeri,  quurum  ^ unius  sint  ; alterius;  cruntque 
H pro  debito  primii  et  M pro  denariis  bursc,  ut  predixi.  Quare  si  addatur  debitum 
primi  cum  bursa,  erunt  lO;  quorum  dimidium,  scilicet  S,  habent  inter  secundum,  et 
tercium;  ex  quibus  torcius  babcl  i,  cum  biilicat  quantitatem  ex  debito  primi.  Quare 
secundus  liabct  4,  et  quartus  habet  totidem,  cum  denarij  .sui  equentur  denarijs  tercii, 
ut  superius  inucnimus. 

Incipit  capitulum  quartum  decimum. 

In  ref)€riendis  radicibus  quadratis  et  cuhiciSy  et  de  multi  plicat  ione, 
et  diuisionct  seu  extractione  earum  inter  scy  et  de  tractatu 
binomiorum  et  recisorumyet  eorum  radicum. 

Liceat  ailii  in  boc  de  radicum  capitulo  quedam  necessaria  , que  claues  dicuntur, 
inserere;  que  cum  siut  in  secundo  cudidis  apertis  demon.strationibu.s  demonstrata,  suf^ 
ficit  super  didlnitiones  earum  boc  tantum  .secundum  numerum  procedere.  Prima  <(uanini 
e.st,  cuni  numerus  diuiditur  in  quaslibet  partes,  erunt  roulliplicationes  ipsarum  jrar> 
liiim  in  totum  numerum  diuisum,  insimul  coniuncte,  equales  quadrato  numeri  diuisi, 
scilicet  nniUiplicatioiii  eiusdem  numeri  in  se.  Verbi  gratia:  sint  lo  diuisa  in  2,  et  3, 
et  s.  Dico,  quod  multiplicationes  binarii,  et  ternani,  et  quinarii  in  lo,  scilicet  lo,  et 
30,  ct  50,  cquantur  multiplicationi  de  lo  in  se,  hoc  est  lOO.  Item  si  numerus  aliquis 
diuidatur  in  ]>artcs;  et  muUiplicctur  unaqueque  pars  per  aliquem  alium  numerum,  et 
multiplicaciones  omnes  insimul  iuiigantur,  equabuntur  multiplicationi  diuisi  numeri 
iti  alium  mimcrtim:  ut  si  lo  diuidmitur  in  supra  dictas  partes,  ct  multipliccrilur  ipse 
jmrtes  in  nlium  quemlibet  numerum,  ut  dicamus  in  12;  ct  ipse  multipliaitiones  con- 
iungantur,  scilicet  24,  ct  36,  et  60,  nimirum  120,  scilicet  multiplicationi  cie  lo  in  li, 
erpiabuntur.  Item  si  numerus  diuidatur  in  dua.s  qua.slibct  partes  , erit  multiplicatio 
uniuscuiusque  partis  in  se  cum  duplo  multiplicationis  unius  partis  in  aliam,  equalis 
quadrato  totius  numeri:  ut  si  diuidatur  12  in  5,  et  in  7,  erit  multiplicatio  de  5 ia 
se  25,  et  de  7 in  se  49;  et  duplum  de  5 in  7 .sunt  70:  quihu.s  in.similibu.s  (sic)  iunclls, 
faciunt  144,  scilicet  miiltiplicationem  totius  numeri  in  sc.  Rursus  si  numerus  diuidatur 
in  duas  partes,  cril  duplum  multiplicationis  unius  partis  in  totum  numerum  cum  qna> 
drato  alterius  partis,  equalc  multiplicationi  eiusdem  prime  partis  in  se,  et  quadrato 
totius  numeri.  Vt  si  12  diuidantur  in  4,  et  8,  duplum  miilliplicatiouis  de  4 in  12 
cum  occies  octo,  scilicet  M,  et  64,  qui  faciunt  I6O,  cquantur  mullijdicationi  de  4 iii 
se,  que  est  le,  et  de  12  in  se,  que  est  I44.  Adhuc  si  numeru.s  diuidatur  in  duas  ]>artes 
equales,  et  in  totidem  inequales,  erit  multiplicatio  minoris  partis  per  maiorem  cum  qua- 
drato numeri,  qui  est  a minori  parte  usque  ad  medietatem  totius  numeri  diuisi,  equalis 
qiiudrato  dicte  medietatis.  Vt  si  iS  | diuidatur  in  2,  et  Jo,  ct  in  6,  ct  6,  cHt  multi- 
plicatio de  2 in  to  cum  quadrato  quaternarii,  (|ui  est  a 2 usque  in  6,  scilicet  20  cum 
16  cquatur  muUiplicationi  de  6 in  .sc,  boc  est  36.  Item  si  numerus  diuidatur  in  duas 
partes  equales,  et  adiungutur  ci  aliquis  numerus,  erit  multiplicatio  numeri  adiuncti 
in  numerum  diuisum,  et  in  adiunrtiim  cum  quadrato,  qui  fit  a medietate  numeri  diuisi, 
equalis  quadrato,  qui  Ht  a medietate  numeri  diuisi,  ct  ab  aiuncto,  tamquam  ab  uno 
numero.  Verbi  gratia:  siut  10  diuisa  in  5,  el  5,  et  addantur  eis  duo;  multiplicatio  quidem 


Digitized  by  Googie 


Z6i 

ilc  2 in  fo,  cl  in  i,  lioc  est  iu  li,  scilirel  S4  cum  quiulraio  tlc  s»  scilicet  cum  u,  c^ju.i* 
tur  ({uailratu  <le  5 el  s,  lioc  est  de  7;  r|ui  qiuuiralus  est  49.  Ad  lins  t|iudeiu  ultimas  duas 
diirmitioncs  mlticuiilur  omnes  qucstiuneslioiies  (iVe)»  que  sunt  ia  aliclira  atmuchabala, 
scilicet  ia  libro  cuntemplionis,  ct  solidationis:  denique»  bis  Icnniaatis»  boc  rapiluluin 
iti  quinque  partes  diuidatur.  Quanim  prima  sit  dc  inuentione  radicum  ; secunda  dc 
multi plicacionc  earum  inter  .sc»  cl  bino  miiiortim  {stc).  Tercia  de  additione  eorumdem. 
Quarta  dc  ipsorum  exlrartioiic  ad  iiiuicem.  Quinta  de  diuistone  radicum»  et  Liiiomiuiuni. 

Incipit  f>ars  /wvVrm  (ptarti  decimi  capituli. 

Cvm  itaque  dc  iniicntiotic  radicum  tniclaic  op|mrteat»  dicendum  est  primum»  quid 
sit  nidix.  Iladix  quidem  cuiuslibet  numeri  est  numerus  qui»  cum  iii  se  imillipircalur, 
facit  ipsum  iiumeruni,  ut  3»  que  sunt  radix  de  !>•  Kt  6 de  3C;  quia  ter  tria  faciunt  9» 
et  sexcies  fi  faciunt  3fi.  Nani  4piidein  iiiimevi  haliciit  radices,  ct  iiocutur  (jr/c)  quadrati; 
et  quidam  non;  (pu>nim  radices»  (|uc  surde  dicuntur»  cum  iiipossibilc  sit  eas  iu  numeris 
inueiiirc,  qualiter  in  quantum  plus  possumus  ferre  » ad  ijisas  radices  ucnirc  deinuii* 
slrauimus:pona(iir»qu(Hl  uolumus  iiiucitirc  radicem  dc  fO.  Inuenias  quidem  integrum  (.f/c) 
maiorem  radicem  iu  lo»  que  iimeniri  potest;  critque  3»  <)ue  sunt  radix  de  o;  que  u 
cxiralie  de  10»  remanet  i;  quod  i diiiide  }>cr  duplicatam  radicem  inucniaiii»  scilicet 
per  fi»  exibit  |;  quam  adde  eunt  3 iiiueiilis»  erunt  -j3»  que  sunt  parum  amjdius  radice 
dc  lo;quia  multiplicata  ^ 3 in  se  ipsa»  faciunt  plus  dccenario  uumero.  Vade  si  pru> 
pius  ad  radicem  de  lo  ucnirc  uolucris»  diiiide  ijisam  ^ per  «luplmii  dc  \ 3»  ucniet 
quam  abicciide  (4/c) ;3,  ct  habebis  propositum.  Et  iiotauduin»  (piml  radix  numerorum 
uiiius  figurc  » uel  duurum  est  numerus  unius  figure.  Trium  uero , ct  qualuor  Hgii- 
rarutu  radix  est  numeri  duarum  ligurunim.  Quinque  ucro»  cl  sex  figururuiii  radix  est 
ntiroerus  trium  ligurariim;  et  sic»  addendo  unam  (iguram,  iicl  duas  numeris»  additur 
figura  una  in  eorum  radicibus.  Secundum  ucro  geometriam,  non  numero»  sed  mensura» 
radix  cuiuslibet  numeri  inuenitur;  et  est  iste  iiiucniciidi  tiiudus.  Iiiucniantur  duo  numeri, 
qui  insimul  niuitiplicati  faciant.  Nutnoium  (j/c),  cui  radicem  itmenire  uis»  ut  dicamus 
10;  enint  illi  duo  numeri  s»  ct  5;  quos  adde  insimul,  erunt  7;  cx  quorum  mensura 
ordinabis  lineam  ; sitqiie  .a.h,c. » uidelicct  n.b.  duarum  ulnarum  » et  .h.c.  quinque 
ulnarum;  critque  tota  Unca  ,a.c.  7 ulnurum;  quam  Uncam  diuides  in  duo  cqualta  » 
secundum  punctum  .r/.;  iu  punctis  .a.c.  scini  circulum  circinabis  .a.e.c.\  ct  a puiiclo 
.b.f  secundum  rectum  angulum»  Unca  prolraatnr  us(]ue  aperti  feriam  (^<c);  silque  .6 .e.» 
que  est  radix  de  10»  ut  in  geometria  aperte  monstratur.  | 

Nam  si,  secundum  abaci  mHteriam»radiceni  dc  743  reperire  uolucris»  iuuenias  maiorem 
radicem,  quam  743  liabent  iii  integrum;  que  scciindiiin  baiic  artem  sic  inuenitur:  scilicet 
cum  713  sit  iiumerus  trium  ligurarum»  simus  {.r/c),  quod  radix  ipsius  csl  iiumcnis  duarum 
figurarum.  Viidc  ultimus  gradus  radicis  ipsis  incipiendus  est  sub  secundo  gradu, 
scilicet  sub  4;  sub  quibus  4 pones  bis  maiorem  radicem,  quam  7 lni!K'at  in  integrum, 
scilicet  ultima  figura  de  743»  erit  illa  ligura  s;  qua  posita  his  sub  4»  multiplicabis 
umiin  binarium  per  alium,  erunt  4;  que  cxtralic  de  7,  remanent  3;  que  3 pone  super 
7»  ut  ia  hac  prima  descriptione  osteuditur;  et  copulabis  ipsa  3 cum  antecedente  fl- 
gitni»  scilicet  cum  4,  facient  34;  pro  quibus  pones  bis  talem  figuram  ante  positos»  scilicet 
sub  primo  gradu  dc  743;  rjuc  cum  mulliplicala  fuerit  per  duplum  hinarij,  cl  de  u 

45 


-■  ictiu  rirculiini» 

lUA.  lin.  ~ 

S7  fVti  pg  SXa,  lia.  Ifi  Sl 


M. 


1X9 


< Nam  fti  ....  • 

1.^9  rrif».  lia.  |>7  • 8j 
3X1,  li».  11  41^ 

3 

743 

2 


(..I. 


Digitized  by  Coogle 


rret»  , lalli  1 1 16  | 
l»Ci  s^i>  i ?)• 


3 0 14 
T 4 3 

S “ 
2 7 


<*l  ni«lt<||<lira(M<> 

liy  Ii..  ;;7- 

* 26.  fuR.  3M.  Ii*.  IH  36i. 


G 11 

I0.S 

H 7 5 

4 

U 

3 

9 

3 

Ul 


139  * er$o. 


wltimiiniM  . I q«t  > |M. 
|39  vtrt».  tiUi  l>9i  f«||.  134. 
Ii*.  32 


2 2 24 
1 3 3 4 5 I 

1 t ( • 

1 

III' 


3S4 

supraAri'ipti5  ipsa  mullipUcatio  extracta  fuerit,  remaneat  imlc  numerus,  qui  cum  co* 
pulatus  fuerit  cura  prima  figura  de  743,  scilicet  cum  3,  possis  inde  extrahere  mulli- 
plicatinnem  |>ositc  figurc  suh  primo  gradu  in  se  ipsa;  et  non  remanent  inde  numerus, 
qui  excedat  idupluro  (nc)  tocius  radicis  iimente;  eritque  illa  figura  7;  (pic  7 his  jxisius 
suh  3,  multiplica  superiora  7 per  inferiorem  hinarium,  et  inferiora  7 per  superiorem 
hiriariuin;  sic  hahehis  2H:  quihus  extractis  de  34,  remanent  S;  que  punc  super  4 dc  34; 
et  ropulahis  ea  cum  antecedente  figura,  scilicet  cum  3,  erunt  03;  dc  quihus  extrahe 
muUiplicationem  de  7 in  7,  scilicet  49,  remanent  I4;  ct  sic  habebis  27  pro  radice  dc 
743,  remanent  M,  ut  iu  hac  ultima  descriptione  ostenditur:  que  14  diuide  per  duplum 
dc  2?;  uel  dimidium  de  I4,  scilicet  7,  diuide  per  27,  cxilmut^:  quas  adde  cum  27 
inueiita,  cnint  ^ 27  pro  radice  de  743  : ad  quam  radicem  , si  amplius  apropinquare 
nolueris,  facies  secundum  quod  superius  demonstmuimus. 

Inuentio  Hadicis  de  8754. 

Item  si  radicem  dc  8754  iiiuenirc  nolueris,  que  cum  sint  iiuraenis  quattuor  figurarum, 
simus  (i/c)  simiUlcr,  quod  radix  illoniin  est  numerus  duarum  figurarum:  quare  pone 
suh  secundo  gradu  ipsius  iiumcri,  scilicet  suh  5,  maiorem  radicem,  quam  87  haheat, 
scilicet  numerus  duarum  ultimarum  figurarum  de  8754;  eiit<pic  o,  que  pone  his  suh 
s;  et  multiplica  s per  9,  ct  extrahe  dc  87,  remauciU  e super  7;  quihus  copulatis  cum 
antecedente  figura,  scilicet  cum  5,  faciunt  ss  ; pro  quihus  pone  ante  positos  nmie- 
nurios  his  talem  figuram;  qua  muUipUenta  per  duplum  dc  9,  ct  extracta  ipsa  mul- 
tiplicatione dc  cs,  remaneat  numerus,  qui  cum  copulatus  fuerit  cum  figura  primi  gradus, 
scilicet  ciim  4,  possis  inde  extrahere  multiplicationem  posite  fig;urc  suh  primo  gradu 
in  sc  ipsa;  ct  non  remaneat  inde  plus  duplo  totius  i-adicis  inueiitc  ; eritrpic  figura 
illa  3;  qua  {lasila  his  sub  4 ante  positos  nuuenarias,  multiplicabis  in  cruce  3 per  9, 
et  3 per  9,  cnint  51;  que  cxlralic  dc  65,  remanent  li,  <|uc  punc  super  63;  et  copulabis 
It  cum  4,  que  sunt  in  primo  gradu,  erunt  1I4;  de  qiiilnis  extrahe  multiplicationem 
de  3 in  3,  scilicet  9,  remanebunt  los:  ergo  radix  dc  8754  est  in  integrum  93,  ct  rema- 
nent inde  105;  que  diuide  per  duplum  dc  93,  exibunt  ^ ; quas  adde  cum  inuentis, 
enmt  93  pro  radice  dc  8754. 

fnuentio  radicis  12345. [ 

flvrsus  .si  radicem  cuiusliWt  numeri  quinque  figurarum  uls  inucnirc,  ut  dicamus 
de  12345,  inuenies  quidem  supra  scripto  ordine  radicem  numeri  trium  ultimarum  figu- 
rarum, scilicet  de  I23  ; eritque  li,  ct  icmauent  2:  pone  ergo  ii  hi.s  .suh  terrio,  et 
secundo  gradu,  ct  remanent  2,  i(ue  poiic  super  3;  ct  copulabis  ea  cum  nntedente  (4<c) 
figuni,  scilicet  cura  4,  erunt  24;  pro  quibus  pones  in  primo  gi'adii  radicis  , .scilicet 
ante  posita  ii,  his  talem  figuram,  qua  in  crucc  multiplicata  per  ii,  ct  extracta  summa 
mullijilicationis  dc  24,  remaneat  numcnis,  qui  copulatus  comfueril  com  (Wc)  figura  primi 
gradus,  scilicet  cum  5,  ualeas  inde  extrahere  multiplicationem  illius  figurc  in  sc  ipsa; 
et  non  remaneat  plus  duplo  inuente  radicis;  eritque  i : qua  posita  ante  utraque  ii, 
multiplicabis  eum  in  cruce  per  ii,  erunt  22;  que  extrahe  de  24,  remanent  3 super  4; 
quihus  copulatis  cum  5 primi  gradus,  faciunt  25;  de  quihus  extrahe  imiltiplicaliunem 
de  i su|>eriori  et  i inferiori,  remanent  24;  et  sic  hahehis  numerum  trium  figurarum, 
scilicet  III  pro  radice  de  12345,  ut  oppurtet;  ct  remaneant  supra  ipsam  radicem  24; 


Digilizod  by  Googie 


3&S 

quorum  dimidium,  scilicet  ts,  diuidc  per  m,  exibunt  — ; quilms  additis  cum  tit  , 
reddunt  iil  pit>  radice  de  12345. 

huuvUh  radicis  de  927435. 

Rvnius  si  radicem  cuiuslibet  numeri  sex  fi^irarum  unde  9S7435  inucnirc  uis,  qiioinim 
radix  upperlet  {sic)  similiter  esse  numerum  iriutii  fi^ramm,  unde  ultimus  eius  gradus 
jmnendus  est  .sub  figura  tcrcli  gradus,  scilicet  sub  4;  inucuies  itaijiic  radicem  numen 
quattuor  ultimarum  ligurarum,  scilicet  de  9274;  et  hoc  facies  scciiiufum  quod  superius 
in  inuentionc  quattuor  ftgunuum  demoustnmimus;  critque  radix  illius  muneri  06,  et 
remanent  ss:  pones  ergo  90  bis  sub  tcrcio,  et  .secundo  gradu;  et  ss  |M>ncs  suj>er  7i 
de  9274;  et  copulabis  5S  cum  antecedente  figura,  scilicet  cum  3,  que  sunt  in  secundo 
gradu,  eiiint  SS3;  pro  quibus  pones  in  primo  gradu  radicis,  sriiicct  ante  9s,  bis  talem 
liguram,  quia  in  crure  multiplicata  per  90,  et  extracta  .summa  mulliplicalioias  cic  ^3, 
remaneat  numerus,  qui  compuIutu.s  (j/c)  cum  fuerit  cum  figura  primi  gradu.s,  scilicet 
cum  3,  ualcas  inde  cxlnilicrc  multiplicationem  ipsius  figure  in  se  ipsa,  et  non  remaneat 
inde  plus  duplo  nidicis  inuciitc;  critque  3;  qua  posita  ante  utraque  98,  multiplica  3 
|)cr  9«  io  cruce,  erunt  576;  que  extrabe  de  583,  remanent  7 super  3;  quibus  copulatis 
cum  5 primi  gradus,  faciunt  75;  de  quibus  extracta  multiplicatione  de  3 in  3,  scilicet 
9,  i‘emaiieiit  66;  quorum  dimidium,  silicet  33,  diuidc  per  963,  exibunt  et  sic  habebis 
^ 963  pro  qucsila  radice;  qua  multiplicata  in  se  ip.sa,  reddunt  plus  quesito  numen» 
quaiiliiatem  multiplicationis  ruptoniin  in  se  ipis,  silicet  de  Quare  si  propius  ud 
radicem  de  927436  accedere  uis  , multiplica  ^ in  se;  et  quod  jironeneril  diuidc  jht 
duplum  de  ^ 963;  et  quod  cxcrit  (w)  minue  de  prescrij»ti.s:  quod  idem  irilelligas  de 
prccedeiitibus,  et  de  omnibus  aliis  similibus,  bst  enim  alius  modus,  per  quem  possumu.s 
satis  pnqie  ad  radices  numerorum  iioti  quadratorum  pcrucnire,  utdciicet  ut  multipli- 
cemus I cos  per  aliquem  quadratum  numerum,  et  summe  radicem  inucriias;  quam  per 
radicem  quadrati  diuidas,  et  habebis  pro|K)silum. 

UoLO  inuenirc  radicem  de  7234  : multiplicabo  quidem  ea  per  loooo  , quorum  radix 
est  100;  quia  quanto  per  maiorem  quadratum  multiplico,  tanto  proprius  ad  radicem 
numeri  quesiti  deuciiio  : et  cum  aliquem  numerum  per  loooo  multiplico  , quatuor 
tanlum  zcpbira  ante  ipsum  addo  , ut  oportet.  Et  sic  pro  prcdicta  muUipIicatioDe 
7234001)0  iiabcu:  quibus  {ler  alium  modum  radicem  iimciiire  docebo:  quia,  ut  dictum 
est,  radix  numeri  octo  figurarum  est  mimenis  ({iialuor  figurarum.  Quare  pone  8 sub  0 
(juarti  gradus,  cum  sint  radix  impixiprior  quam  72,  scilicet  numerus  duarum  ulitia- 
rum  (f/c)  figurarum  habeant  in  integrum;  et  multiplica  ipsa  8 in  se,  cruiil  84;  a quibus 
usque  in  72,  remanent  s;  que  ]K)ne  super  2;  et  intellige  copulationem  earum,  que  est 
83;  et  duplica  s posita  sub  o,  erunt  16;  ex  quibus  pone  o sub  8,  et  i post  ipsa,  in- 
uenias  figuram,  quo  multiplicata  per  16,  faciant  ferre  83;  sct  remaneat  inde  numerus,  qui 
copulatus  cum  fuerit  cum  4 sequentis  gradus  , possit  ox  ipsa  copulatione  extrahere 
quadratum  illius  figurc,  scilicet  nmltiplicationcm  cius  in  se;  et  non  mnuiieut  tamen 
plus  duplo  radicis  iuueate;  erilquc  illa  figura  s;  quu  posita  suh  o tcrcii  gradus  ante 
H,  multiplica  5 per  i,  scilicet  per  ultimum  gradum  de  lo^  erunt  5;  que  extrahe  de 
8,  que  sunt  super  2,  remanent  3 super  8;  quibus  copulatis  cum  3 sequentibus,  faciunt 
33;  de  quibus  tolle  multiplicationem  de  5 iti  sex,  remanebunt  3,  scilicet  ea,  <(ue  sunt 


159  r.*riia  , liit-  24  r 27  3^  1 
135,  Ita.  11-XI;. 

I 5 8 7 
9 2 7 4 3 5 
9 8 3 
08  3 


M. 


140  rrete. 


t .fiuliMt  ....  3,  i|t>e  • U»l.  14.» 
rtfiOf  lia.  8*16;  [4|;.  855.  Kii 
82-41>. 


3 

4 

8 3 

9 5 

7 2 3 

10  0 0 

0 

8 5 0 

5 

frmu 

1 6 

17  0 0 

17  0 1 

0 

1 6 

Digitized  by  Googie 


««  ....  it 

1'i'i  rrcto  . Im.  SS-td  i | *^. 
2A«.  »-U>. 


.3  4 4 

,8  9 S 0 7 5 

72340000 
' K S » 5 

I 17  0 0 


:.Ott0  ....  7MI.  EI  • 

.'..I.  AI»  Ji».  *l  W.  P*6- 

S-%4.  1«.  I3-20). 


3 4t 
H 05973 
7S340000 
8.i0j 
17010 


336 

in  .<»cxto  gradu  : qiiihus  copulatis  cum  4 .sctjucntilius  , facitiiil  34  ; dc  qitilms  aLicc 
quadratum  quinarii,  .Si‘ilicrt  23,  remanent  o super  4:  rl  duplica  etiam  ip.sa  3,  erunt 
10;  de  quibus  ]m>iic  o .sub  ipsis  5,  el  i adde  cum  6,  que  sunt  sub  8;  et  sic  babebis 
170  pro  duplo  de  83;  deinde  punrmlum  e.st  o sub  o secundi  gradus  ante  jnisita  83; 
quia  nuiltiplicalio  secundi  gradus  in  quintum,  scilicet  in  1,  facit  sextum  gradum;  quod 
locum  non  babet,  cnm  ultima  liguni  remanentis  numeri,  scilicet  9,  sit  tantum  in  quinto 
gnidti:  quo  o positu,  duplica  ipsum,  faciet  o,  quod  pone  sub  ipso,  scilicet  ante  nO, 
et  babebis  ^1700  pro  duplo  radicis  inuente,  in  qiiilnis  multiplicanda  est  ponenda  Hgura. 
Quare  pone  s sub  o primi  gradus,  et  multipii(*a  ea  |)er  i,  et  extrabe  de  9,  remanent 
4 super  ipsa;  et  s per  7,  et  extrahe  de  40,  i‘emanenl  5 super  0 quarti  gradus;  el  s 
j»er  0,  quod  est  sub  s,  el  exlralic  de  30,  remanent  30;  el  s |>cr  o , quixl  est  sub  o 
iii  mimeru  de  noo,  el  exlralic  de  300  , remanent  soo  terminanliu  super  secundum 
gradum;  et  multiplica  s in  se-,  el  extrahe  de  souu,  rcroanent  4075  super  30oo;  et  dti* 
plica  3,  eam  uidelicet,  que  sunt  in  primo  gradu  radicis  inuente,  erunt  iO;  de  quibus 
pone  0 sub  ipsis  3,  el  t pone  post  ip.stim,  delens  o,  quod  est  iii  ponendo  loco;  et 
sic  balH'bi.s  17010  pro  duplo  radicis  inuente,  ut  in  tercia  palet  descriptione;  et  radix 
e.st  SoO.s,  et  remanent  4973.  Que  si  ]»rol>arc  uulueris;  pensam  de  72340000  senia,  <{iie  est 
5,  per  seplonariiim;  et  pensande  Q/r)  8.:05,  que  est  o,  in  se  muitipUra,  ]>r<»ucniat  o;  quod 
ifdde  cum  jiein^^u  de  4975,  que  e.st  3,  faciunt  s,  ut  pro  {)cnsa  seruasti;  quibus  per  ordiiioni 
gestis,  diuide  4973  |K*r  I70i»,  ueiiiel  circa  quartam;  et  .sic  pro  radice  de  72340000  habes 
{ 8303;  que  diuide  per  loo,  exibunt  ^ radice  de  7J34.  Et  | nola,  cum  mul- 

titudo (igurarum  alicuius  numeri  est  inpar,  tunc  incipies  iiiueiiliunein  radicis  ipsius 
a radice  ultime  llgurc  Innfum;  el  in  reliquis  pmcedes,  ut  dictum  est. 

Incipit  pnrs  secumln  fpinrtUlecimi  capiudi 
• f/e  multiplicatione  radiatum^  et  de  binomionun  (sic). 

Ostensa  siquidem  doctrina  in  reperiendls  radicibus  numerorum,  ut  <|ue  sccuntur  in  hoc 
capitulo  latius  secundum  numerum  demonstrentur,  dilTinitiunes  duarum  lineanitn  rationli- 
iia(arum{sie),  super  quas  decimus  eiiclidis  liber  geometrie  tractat,  a.ssignare  diss|Mtsui(s/c). 
Pnnia  quidem  linea  dicitur  riti,  boc  est  rntitKinata  longitudine,  et  potentia;  per  quam 
intelliguniiir  numcii  ratiocinati,  ut  1,  el  2,  el  3,  el  celeri.  Qni  quando  sunt  radices, 
est  eorum  potentias  (jr/c)  similiter  mtk»cinata;  quia  ex  mtiUiplicationc  cuiuslibcl  numeri  in 
se,  numerum  proiicnirc  iiecessc  est.  Secunda  ucro  dicitur  riti  potentia  solum;  per  quam 
intclligitur  radis  numeri  non  quadrati;  i|ue  radix  dicitur  surda,  cuni  iiutnerari  lum  possit; 
sed  eius  potentia  mimeratur.  Ex  tredcncim  (s/c)  autem  lineis  inratiocinatis  prima  est  .sin- 
plex,  que  uociitur  media,  cuius  potentia  est  inralioeinata,  que  uocatur  .supcriicics  media. 
Ideo  quia  media  in  ptxiportionc  inter  duas  .superficies  potentia  S4»lum  conimcnsurnbilcs; 
per  hanc  quidem  lineam  intclligitur  radix  radicis  numeri, cuius  potentia  e.st  radix  numeri 
tantum<non  quadrati:  sunt  et  omnes  radices  nunien»rum  non  quadratorum  medie  inter 
duos  numeros  dissimiles,  hoc  est  qui  non  liahent  proportionem  inter  se,  sicut  quadratus 
numerus  ad  quadratum  mimerum:  ut  .si  unus  numerorum  fuerit  10,  et  alter  is,  medius 
inter  cos  cadit  radix  de  fso  ; quia  sicut  10  est  ad  radicem  de  129,  ita  radix  de  120 
est  ad  Ii;  cum  ex  multiplicatione  primi  in  tcrcium  suigat  raullipUcatio  secundi  in  se. 
Kx  reliquis  diunlcinm  lineis  sex  sunt  radicc.s  mimerorum  compositonim  ex  duobus 


Digitized  by  Googie 


357 

iioininiluis.  Ex  sex  relitjtic  sunt  radices  deroni])ositonin)  eorumdem  nominum.  Nimuiri 
antcni,  qui  sunt  ex  duolnts  nomiiiilniSt  diuicluntur  in  sex  partes,  ex  quibus.  Eiimuni  i 
bimmiiiim  est  rumuiictinn  ex  numero,  et  radice;  et  |>otcnlia  numeri  superliabundat 
potentiam  radicis,  secundum  (ptanlitntcm  aliniius  (juadrati  miineri;  ut  si  pnnmm  noracn 
fuerit  4;  seriindiim  radix  de  7:  sunt  enim  ic  potentia  de  4 , que  addunt  9 super  7. 

Secundum  quoque  binomiiini  conquisitum  cx  radice,  et  numero;  et  est  potentia  radicis  2 
addens  tiiimeruni  sibi  simileni  super  ]>otenti:i  minuris  nnniinis,  scilicet  super  potentiam 
numeri.  Vl  si  maius  nomen  fuerit  radix  de  tis,  et  minus  nomen  fuerit  7:  nam  radix 
dc  tfs  potest  03  super  49;  qui  numerus  C3  est  similis  dc  ns,  cum  eorum  proportio 
sit  sicut  quadratus  numerus  10  ad  <|iiadratuni  numerum  9 : tcrcium  nutem  binomium  a 
est  enniuiictum  cx  duabus  radicibus  putentia  solum  coinmensunibilibiis,  boc  est,  quod 
quadrati  i]isarum  non  liui>ent  prnjmrtioiiem  inter  sc,  sicut  quadratus  iiumcnis  ad  qua- 
dratum nimieruni.  Et  maius  nomen  potest  plus  mitiore,  secundum  quantitatem  numeri 
consimilis  ipsius  nominis  potciilia:  ut  si  maius  nnmcn  fuerit  radix  dc  iis,  minus  ex 
c\  quibus  duobus  nominibus  nt  addunt  28  super  84;  quorum  proportio,  scilicet 
dc  112  ad  28,  csl  sicut  quadratus  numerus  ad  quadratum  numerum.  Quartum  quidem  4 

binomium  est  ex  iioininibiis  primi;  sed  maius  iionieti,  sriiicct  nuinenis,  non  potest  nu-  , 

merum  qiiudraUnn  super  mimis  uonien,  ut  4,  et  radix  dc  10.  Nam  ic,  s<'ilicot  qua- 
dratus de  4,  addet  G.  scilicet  mimenim  non  quadratum  super  iO:  quintum  sirpiidem  s 
binomium  est  compositum  cx  nominibus  binomii  secundi;  sed  quadratus  radicis  addit 
numerum  sibi  dissiinileni  super  quadratum  numeri.  Vt  si  primum  nomen  [ fuerit  radix  m.  isi 
dc  20;  secundum  sit  3.  Nam  stqicr  20  habiindant  ii  quadratum  ternarii;  et  proportio 
20  ad  M non  est  sicut  quadratus  numerus  ud  quadratum  nunigrum-  Sextum  quidem 
]>inoniium  est  cx  nominibus  terrii.  Sed  cpiadratum  maioris  numeros  {sic)  potest  numerum 
sibi  dissimilem  super  quadratum  maioris.  Vt  radix  dc  20  et  radix  de  b.  Nam  20  adfliint 
12  .<U|»er  8;  et  proporciu  dc  20  ad  12  non  est  sicut  quadratus  numerus  nd  quadratum 
numerum. 

Paiini  quidem  btriomiiim  (sic)  radix  est  unum  cx  supra  scriptis  sex  binomiis;  quia 
quando  aliquod  binomium  nmltiplicaUir  in  se,  singil  binomium  primum.  Secundi  quippe 
binomii  radix  est  iiiica  coni|)usita  cx  duabus  medialibus -lineis,  |H)tctilia  solum  cummen- 
.stirabilibiis,  hoc  est  compositum  ex  duabus  radicibus  radicis  in  eorum  potentia  solum 
communicantes.  Ex  quibus  otium,  cum  una  imiltiplicatur  in  aliam,  prouenit  numerus  ra- 
lioiiatus.  Vt  radix  radicis  trium,  et  radix  radicis  de  27.  Tcrcli  quoque  binomii  radix  csl 
linea,  que  dicitur  bimedialis,  siuecx  duobus  mediis  secunda;  perquam  intclligiliir  con» 
iuiictum  cx  duabus  radicibus  radiciis  (.»'c)  in  carum  potentiis  tantum  comuiiicaiitibus;  cx 
quibus,  cum  una  multiplicatur  iti  aliam,  prouenit  medium,  scilicet  radix  numeri  non 
quadrati.  Quarti  quippe  binomimium  (sic)  radix  est  linea,  que  dicitur  maior,  hoc  csl  eura- 
positum  cx  duobus  minieris  inrationatis  {lotcntia  incoiumensarabilibus;  quorum  quadrati 
insimul  iimguntiir,  faciunt  numerum  ratiociiiatiim.  F.t  ex  multiplicatione  liuniiis  (.r/c)  in 
alium  sui^it  radix  numeri  ratiocinati.  Vt  si  priinu  fuerit  radix  dc  4,  et  cx  radice  de  13; 
et  alia  fuerit  radix  de  4,  minus  radice  dc  I3.  Quinti  autem  binomii  radix  est  linea,  que 
dicitur.riton,  et  medium  projHitcns,  siuc  jiolciis  ratiocinatum,  et  inratiocinalum 

numerum,  que  componitur  ex  duabus  lineis,  potentia  iticommensurabilibuK;  quarum  qua- 


Digitized  by  Googie 


M Ifttivrjp. 


Mukif4K»lUakji  ....  «t  .g.  is 
■t/.  • I r»t.  t€l  r#rM  , L». 
II  » IMI  i f»«.  158  . I>A. 
ll-W). 


10 

20 

h 

ir 

d 

358 

«Irati  insimul  iuacti  faciunt  radicem  numeri;  et  ex  multiplicatione  unius  in  aliam  pro* 
uenit  iiumcrus  ratiiK'inatus.  Vt  si  prima  fuerit  radix  radicis  de  so,  ct  cx  i;  et  alia 
fuerit  radix  dc  iO,  minus  2- Sexti  autem  binomii  nidix  est  linea,  que  dicitur  duo  media 
potens,  siue  potens  super  duas  inraliocinatos  numeros,  «|uc  comjH)iiitur  cx  duahus  lineis 
potentia  incommensurabilibus;  quarum  quadrati  insimul  itincti  faciunt  radicem  numeri; 
ct  cx  multiplicatione  unius  in  aliam  .surgit  similiter  radix  numeri  non  quadrati:  ut 
si  prima  fuerit  radU  (.r/c)  radicis  dc  24,  ct  dc  radice  de  ?;  alia  Hat  radix  radicis  dc  24, 
minus  radice  de  7.  Numeri  autem,  qui  smil  decomposili  cx  prcdiclls  nominibus  sei 
binumiorum,  ui>cantur  recisi,  scu  apotiiaroi;  et  sunt  illud  per  ordinem,  quod  est  inter 
iilrumquc  nomen  priniioloiiim  sex  biiiomionmi,  ut  4,  minus  nidice  de  7,  que  sunt 
primum  recisum;  et  i-adix  de  112,  minus  7,  que  sunt  ex  .secundo  reciso;  ct  radix  dc 
112,  minus  radice  de  34,  qui  sunt  ex  tercio  reciso;  ctsic  iiitclilge  de  quarto,  et  «piinto, 
ex  sexto  recisu.  Nam  radix  primi  recisi  est  unum  cx  sex  recisis  .supradictLs.  Radix  uero 
secundi  est  recisum  bimediutis  prime,  buc  est  radix  radicis,  minus  nidice  radicis;  ex 
quarum  multiplicatione  pniiicnil  miiticrus  ratiocinatus:  tercii  autem  radis  est  recisum 
bimcdialis  .secundi,  lioc  est  nulis  radici.s,  minti.s  radice  radicis;  cx  (piarum  multipli- 
catione prouciiit  numerus  inraliiK:inatu.s.  Quarti  <|uo({ue  recisi  radix  est,  que  constat  ex 
residuo,  quod  est  inter  duas  lineas,  (juc  sunt  {Hitenlla  incommeiisurabile.s;  ex  quibus 
coin|iontlur  linea  maior.  | Quinti  ita<|ue  recisi  radix  est,  ({uc  emestat  cx  residuo,  quod  est 
inter  nuas  {sic)  lineas  potentia  in({uomcnsaFabilcs  (.r/c),  ex  «piibus  com{Kinitur  linea 
putentes  super  ratiocinatum  cum  et  inratiociiiatum.  Sexti  nanque  recisi  radis  csl,  que 
constat  ex  residuo,  quod  est  inter  duas  lineas  ]>otentia  incommensurabiles;  ex  quibas 
cumjxmitur  Unca  potens  super  inratiucinatum,  et  in  ratiocinatum:  bis  itaque  per  ordinem 
terminatis,  qualiter  licc  multiplicari  inter  se,  addi,  ucl  extrahi,  seu  diuidi  debeant,  or- 
dinare dcmuiislrato  (x/c). 

Pars  securuia  de  multipricatione  radicum  in  radicibus  et  numeris, 

Si  uis  multiplicare  radicem  .simiam,  ucl  ratiocinatam  alicuius  numeri  |>cr  radicem 
surdam  alterias,  multiplica  unum  ex  ipsis  numeris  per  alium;  et  quot  proiicncrit,  erit 
(|uudruliis  .summe  multiplicationis  ipsarum  radicum.  Verbi  gratia:  uis  mu  Itiplicare  ra- 
dicem de  10  ]>er  radicem  dc  to,  multiplica  lo  per  20,  erunt  200  ; (piorum  radix  est 
summa  multiplicationis  quesite.  Verbi  gratia:  sit  .a.  radix  dc  10,  et  .6.  dc  20  ; et 
adiaceat  .g.  cipialis  .u.,  ct  .d,  equalis  .b.\  ergo  .g.  est  radix  dc  10,  ct  de  so:  ergu 
cum  muUiplico  .g.  in  .u.,  hoc  est  .a.  tn  se,  ueiiiuiit  10;  ct  cum  multiplico  .d.  iii 
.h.  , hoc  est  M.  iu  sc,  faciunt  20  : ergo  cum  multiplico  to  per  so,  tunc  mtiUipHcu 
factum  cx  .g.u.  in  faclunrcx  .d.b.  ergo  multiplicatio  facti  cx  .g.u.  in  factum  ex 
.d.b.  est  2(H).  Sed  muUipiicatiuiii  facti  ex  .g.u.  in  facium  cx  .d.b.  equatur  multipli- 
catio facti  ex  M.b.  ia  factum  cx  .g.d. : ergo  multiplicatio  facti  cx  .a.b.  in  factum 
cx  .g’d,  est  200.  Sed  factus  ex  .a.  in  .b.  c({uatur  facto  cx  .g.  in  .d.  ; ergo  multi- 
plicatio facti  ex  ,a.  iii  .b.  per  factum  cx  .g.  In  .d.  equatur  inultiplic.alioni  facti  cx  .a. 
b.  in  se  : ergo  muUiplicaliu  facti  cx  .a.  in  .b.  in  se,  facit  2<h>.  Quare  factus  ex  a. 
in  .6.,  silicet  cx  radice  de  10  in  radice  20,  est  radis  ducentorum ; quod  op{K>rtebat 
ustcnderc. 

Irem  si  uis  multiplicare  radicem  de  30  {icr  radicem  de  40,  multiplica  30  per  40  , 


Digitized  by  Google 


Zi9 

ei  tmt  1200;  quorum  ra<)ix,  que  e?«l  sunia,  Iuk  est  inrattocinata,  e.st  ^uinma  quc-sitc  roiil- 
tiplirationis.  Ei  nota,  cum  mmcri  (sic),  quorum  radices  mu!ti|dicas,  sunt  consimiles, 
huc  est  qiKxl  liaUeiil  propoitimiem  inter  sc,  sicut  quadratus  iiumrms  ud  quadratum 
iiummimj  tunc  cx  eorum  miihi}dicationc  |»ruueiiit  numerus  ratiocinatus.  Verbi  gratia: 
uis  nitiUiplinirc  radicem  de  40  per  radicem  de  90,  multiplica  40  per  oo,  erunt  3C(io  ; 
quorum  i‘adix  est  60,  in  quibus  multijdiratio  ascendit,  proscripta  sunt  60  media  in 
pro|Mjrtionc  inter  40,  et  ejuia  (.r/c)  90;  (piia  sicut  40  simt  nd  60,  ita  oo  ad  oo;  cl  cotiuerso 
sicut  90  ad  60,  ita  oo  ad  40;  et  h<K;  est  quod  cuclides  ostendit,  cum  dixit:  inter  duos 
numerus  similes  unum  intercidere  numerum.  Et  si  uis  habere  notitiam  cognoscendi 
numeros  consimiles,  diuide  iitrumqiie  ipsonim  per  maiorem  communitatem, quam  habent; 
ex  ([iia  diuisione,  si  proucncrint  numeri  quadrati,  tiinc  similes  erunt.  Vcl  cum  diuidetur 
unus  per  alium  similem,  cx  ipsa  diuissinne  pruuenit  semper  riumertis  quadratus:  sunt 
enim  lo  cf>munis  meubuja,  et  maxima  de  40,  ct  90;  que  si  diuidaiitur  |>er  40,  ueniunt 
4,  ct  o;  qui  numeri  sunt  quadrati.  Vel  si  ditiiscrimus  4o  per  90,  ueniunt  \ s;  qui  nu- 
merus est  quadratus,  cuius  radix  est  ^ i;  que  repentur  sic:  fac  quartns  ^ 9,  erunt 
ex  quibus  arri|>c  radices,  ct  habebis  3,  et  9;  que  3 diuisls  per  2,  reddunt  \ (.Simi- 
liter, si  diuLseris  40  per  oo,  uciiieiit  que  cliani  quadnite  stinl;  et  est  eorum  radis 

j propter  2,  que  sunt  radix  de  4,  et  pnqiter  3,  que  sunt  radix  de  9.  Et  si  uis  mul- 
tiplicare tres  I radices  de  lO  in  ({uattuor  radices  dc  2o,  1‘cdigcs  hcc  ad  muUiplic.alionem 
radicis  limiius  (5fV)  numeri  in  radice  alterius,  boc  mudo;qm>  tribus  radicibus  dc  to‘  miil- 
tiplini  quadratum  ternarii,  scilicet  9,  per  lO,  cnint  9o;  (piorum  radix  expiatur  trilnis  ra- 
dicibus de  10.  Kodcnqtic  motio,  multiplicato  quadratu  dc  4,  scilicet  iC,  in  20,  reddet 
radiccmie  (^fc)  320  pro  (piartuor  (j/c)  radicibus  dc  lo.  Quare  si  cx  multiplicatione  dc  i»o  in 
320  radicem  acceperis,  scilicet  dc  28800,  habebis  utique  multiplicationem  trium  radicum 
dc  100  in  quatuor  radices  de  20.  Nam  si  ad  oculum  deprehendere  uis,  quomodo  (piatuor 
radices  de  20  sunt  nidix  de  320,  adiaceat  quadii  latorum  recti  angulum,  et  equilaterum 
cuius  urca  sil  ulnarum  20.  Quare  quodiibel  latus  ipsius  est  radix  dc  20;  que 
radix,  cum  sit  plm»  qualeniario,  accipiatur  in  rectam  Jf.g.  punctus  .e.;  ct  sil  recta 
qiiatuor  ulnarum,  cui  e({ualis  sit  recta  .a.c.;  ct  copuletur  recta  .e.c.  Superficies 
ergo  M.b.ec.  constat  cx  quatuor  radicibus  de  20  ; cuius  superficiei  arca  colligi  cx 
ductu  .a.b.:  est  enim  .a.h.  radix  de  20,  ct  est  radix  dc  10:  (|uare  arra  super- 
ficiei .rt.ir.e.c.  colligitur  ex  ducta  radice  dc  20  in  nuliccni  dc  (C;  cx  t(ua  multiplicatione 
proucnit  radix  dc  320,  ut  predixi.  Ex  huc  cnira  poteris  habere  doctrinam  reducendi 
plurcs  radices  unius  numeri  ad  radicem  unam.  Vt  si  uis  redigere  sex  radices  de  20 
ad  radicem  unam,  multiplica  quadratum  de  6,  scilicet  36,  in  20,  perucnient  720,  qiionini 
1'adix  est  id  quod  queritur.  Et  si  uis  multiplicare  aliquem  numerum  per  radicem  ali- 
cuius numeri;  quod  unitates  cnint  in  ipso  numero,  tot  radices  rqtiales  eidem  radici, 
in  quem  numerum  multiplicare  uis,  cx  ipsa  multiplicatione  pruuenient.  Verbi  gratia: 
si  uis  multiplicare  6 in  radicem  de  20,  nimirum  sex  radices  de  20  prouenient,  que  sunt 
mdix  dc  720,  ut  predixi.  Ergo  ex  muUiplicacioiie  de  G in  radicem  de  2U  surgit  rndix 
de  720  ; et  sic  studeas  faccre  in  similibus. 

De  multiplientUme  radicis  in  radicem  radicis. 

Si  x'is  multiplicare  radicem  radicis  aliaiius  numeri  per  radicem  radicis  alterius  , 


M-  itt  rr*!»- 


<.|a,ldlcr«m  ....  ^«fr«  • il»l- 
162  rrcfv,  la». 

K*.  26-]<|. 


4 


Digitized  by  Googie 


• altfliuM  .i>.  • 

(U.  I.h  .1416:  t«<- 

S60,  iMt.  9<>  S1|. 

1«  141  so:3« 

MtlMrCM*  Jilui  <1  f 

46  216 

«li«H  4/  <• 


360 

muhipliiia  unum  cx  ipsis  numciis  in  altum;  cl  eius  ipjod  prouencriit  radicem  radicis 
acci^tCf  et  habebis  summam  quesite  raulliplicatioiiU.  Kt  nata;  quia  quandu  multiplicatur 
radis  radicis  numeri  per  radicem  radicis,  tmic  ex  ipsa  muUiplicachme  proucnil  iiu- 
meius,  aut  radix  numeri,  siuc  radix  radicis  numeri.  Verbi  gratia;  multiplicas  radit  em 
radicis  trium  per  radicem  radicis  de  27,  proucnil  rutiix  radu'is  de  8i  , que  surgunl 
ex  ductU  3 in  S7.  Nam  radix  8i  est  0;  quorum  radix,  scilicet  3,  est  summa  quessite 
muUiplicutioiiis.  Similiter  si  multiplicas  radices  radicis  de  90  jier  radicem  radicis  de 
2ifi,  pruueiiit  numerus  ratiocinatus;  quia  cx  ductis  96  in  216  surgunt  20730  , qiiuruni 
radix  est  144;  quorum  radix,  scilicet  de  I4i,  est  12,  que  sunt  siimnui  quesite  multipli- 
cationis. bx  multiplicatione  quidem  radicis  radicis  duonim  in  radicem  radicis  de  is 
prouenit  radix  numeri;  quia  ex  ductis  2 in  ts  proueniunt  36;  quorum  radix,  que  est 
G,  carens  radice:  ci^o  ex  dicta  muUiplicalione  surgil  radix  de  0.  Similiter  ex-  multi- 
plicata niilicc  radicis  s in  radicem  radicis  de  is  pranciiit  radix  tle  12;  quia  cx  ductis 
H iii  IS  pioiieriil  H4,  qui  numerus  est  quadratus,  cuius  radix  est  12;  quorum  radix, 
qiic  est  surda,  est  | . summa  quesila,  ut  predixi.  Item  si  multiplicas  radicem  radicis  io 
per  radicem  radicis  12,  prouctiit  ipsa  multiplicatione  radix  radicis  numeri  non  <pia- 
drati,  siuiicet  de  t2i).  Similiter  ex  multiplicaliuiic  radicis  radicis  20  in  radicem  radicU 
30  .surgil  radix  radicis  dc  GOO. 

JJe  i/uu‘’ntione  diiantm  Hatlicum  ratUvistque  in  simul  multipliatie  fuciunt  riion  datum. 

Si  uls  inuenirc  duas  radices  radicis  numeri  non  quadrati,  numerum  datum  conti* 
nentes  , boi!  est  quod  cx  carum  muUiplicalione  ud  iiiuiccm  proneniat  aliquid  datus 
numerus.  Sil  numerus  datus  .a.,  quo  iu  se  luulliplicato,  faciat  iiiimcnini  .b.\  quo  etiam 
in  se  ducto,  faciat  numerum  .g.  Quare  numerus  .a.  est  radix  radicis  numeri  .g.i  e.st 
alius  numerus  mm  quadratus  qnislibet  .d. ; ct  diuidatur  .q.  per  .r/.  , cl  proucniat 
nunuTiis  .e.  Quoniam  diuls-siis  est  numerus  .g.  j>er  mmicitim  .r/. , ct  ex  diuissione  pro- 
iicnil  numerus  .e.;  si  multiplicetur  ul.  [>er  .e.,  ntmi^mm  proiieniet  .g.,  cuius  radix  ra- 
dicis est  iiuiiUTus  .a.i  sed  cx  i^icc  radicis  numeri  .d.  |)er  multipUcala  per  radicem 
rmiicis  numeri  .e.  prouenit  radix  radicis  facti  cx  .d.  iri  .e.  Sed  factus  ex  .d.  in  .e. 
est  numerus  .g.,  cuius  radix  radicis  est  niimcius  .a.  Krgo  iiiiicnle  sunt  due  radices 
radicum  iiumermum  non  <|uadratonim,  que  contineiil  numerum  datum  Non  est  (xic) 
numerus  .e.  est  quadratus,  cum  numerus  .</.  non  sit  quadratus;  et  cx  .d.e.  iii  .e. 
proueiiiat  numeinis  iprailratus  .g,  \ iide  pmportio  .g.  ad  .e.  noti  est  sicut  proportio 
quadrati  numen  ad  quadratum  numerum.  Kt  ut  boc  in  numeris  ostendatur,  numerus  .a. 
sil  ii.  t^kiare  numerus  .b.  erit  I4i , ct  numerus  .g.  erit  20730;  ct  numerus  .d.  sil  oc; 
cl  diuidaiitur  20730  per  86,  pruueuict  2ic  pro  numero  .e.  Kx  radice  ci’go  nulicis  de  9c 
ducta  in  radicem  radicis  de  21C  prouenit  numerus  .n.  datus. 

Kt  si  uis  reperira  duas  radices  radicis  duorum  numerorum  non  tpiadratorum  , ex 
quarum  multiplicatimic  proueniat  radix  alicuius  numeri  imn  quadrati,  ut  radix  de  10, 
mulliplica  10  in  se,  erunt  loo;  et  udiaceat  numerus  aliquis  noti  (piadnilus;  stiquc  5, 
in  quibus  diuidatur  lou  , iicnieiit  20  . Quare  cx  ductis  s in  2u  faciunt  100  , .scilicet 
quudraturii  dc  lo:  ergo  si  multiplicas  radiciun  de  s in  radicem  de  20,  faciunt  radicem 
dc  100  , scilicet  10.  Kodctiquc  modo  si  multiplicas  radicem  radicis  dc  s in  radicem 
radicis  dc  20,  proucnicl  radix  radios  100,  lioc  i;st  radix  de  10;  cl  hoc  qucrcbamus. 


Digitized  by  Coogle 


a&i 

De  multiplicatione  radicis  radici  in  radicem  numeri. 

Item  M uis  multiplicare  radicem  radicU  cic  20  in  radiccra  de  lo  , multiplica  qua- 
dratura de  10,  scilicet  lOO  per  20,  cninl  2000,  quonim  radix  radicis  csl  summa  dicte 

multiplicationis.  Quia  radix  dc  10  csl  radis  radicis  de  100.  Kl  si  uis  multiplicare  ra- 
dicem radicis  alicuius  numeri  per  aliquem  mimerura,  ut  radicem  radicU  dc  t2  per  7, 

multiplica  quadratum  quadrati  dc  7,  scilicet  240i  per  12,  erunt  28S12,  quorum  radit 

radicis  est  id  quml  queritur. 

Ejrplidt  pars  secunda.  Incipit  iercia  de  acdictione  et  extractione  radicum 
inter  se,  et  reliquorum  duorum  simplicium  numerorum. 

Si  vis  addere  niimenim  cum  radice  sunla,  scilicet  cum  radice  numeri  non  quadrati, 
uel  radicem  cum  numero,  ex  lioc  aliud  prcler  lutiomium  euenirc  non  posse  demon- 
slralxu  sit  itaque  numerus  linea  ,a.b.,  et  ,h.c  sit  radix;  quare  lota  ,a,c.  est  summa 
junctionis  eurum.  Rl  quia  liiica  .a.c.  diuisa  est  in  duo  in  punctum  ,h.  Erunt  duo 
quadrati  linearum  ,a,b.  et  b.c.  cum  duplo  multiplicationis  .n.t.  in  equales  qua- 
drato tocius  linee  est  enim  numerus  ii(cn|ue  quadratorum  liiieanini  ,a.b,  et  .b.c. 

Quare  ex  eorum  adictionc  proueuit  numerus;  sed  ex  ductu  dupli  ,a.b.  iii  .bx,  pro- 
ueiiiunt  ra|diccs  eqiiales  radici  .b.c.,  secundum  unitates,  que  sunt  in  duplo.  Nu- 
meri ,a.b.  Quare  ipse  radices  cniut  una  radix  tantum  alicuius  numeri  non  quadrati. 
Quia  proporcio  quadrati  linee  .a.b.  ad  quadratum  linee  .b.c.  non  est  sicut  quadratus 
numerus  ad  quadratum  numerum.  Ergo  ex  multiplicatione  linee  ,a.C.  prmicnit  bino* 
mium;  quod  etiam  demonstrabo  in  se<|ueoti}ms  esAe  biuomium  primum.  Quare  linea 
.<7.C.  csl  radix  alicuius  binomii.  Coslanlis  ex  numero  et  radice.  Et  ut  bcc  apertius  de- 
monstrentur, .n. i!’.  sit  4,  et  .b.c.  sit  radix  dc  7;  el  addantur  quadrati  linearum  .a.b. 
et  .b.c.,  scilicet  le  cum  7,  erunt  23;  et  accipiatur  duplum  multiplicatioms  .a.b.  in 
.b.c.,  prouciiienl  octo  radices  dc  7,  que  sunt  una  radix  dc  448  , que  proucniunt  ex 
quadrato  octoiiarij  ducto  iu  7.  Ergo  si  ducatur  coniunctum  dc  4,  ct  radice  de  7 in 
se,  ucniunt  23,  ct  radix  dc  448.  Quare  radix  eurum  est  4,  ct  radix  dc  7.  Yiide  4,  el 
radix  dc  7 non  potest  aliter  agregari  , nisi  ut  accipiatur  radix  de  448  quam  jiropius 
potest,  cl  addatur  cum  23;  el  eius  quod  proiiencrit  accipiatur  radix;  uel  accipiatur 
radix  de  7,  et  addatur  cum  4,  et  bubebis  id,  quod  in  numeris  cx  ipsia  {sic)  coniunctionc 
liabcri  |K>tesl.  Verbi  gratia  : radix  de  448  est  j>anim  minus  de  { 21 ; quibus  additis 
cum  23,  faciunt  fere  J- 44;  quorum  radix  csl  parum  minus  dc  | 6:  uel  quia  radix  dc 
7 est  parum  minus  de  | 2,  si  addantur  cum  4,  ueiiicnt  similiter  )>arum  minus  dc  | 6 
pro  addictione  4 cum  radice  de  7.  Lt  nota;  cum  uis  multiplicare  aliquod  binomium, 
cuius  nomina  siut  ex  numero  ct  radice,  tunc  facies  sicut  fecimus  modo  cx  4,  et  ra- 
dice de  7;  que  multiplicata  in  se,  faciunt  23,  et  radicem  dc  44k.  Nec  etiam  possunt 
agregari  simul  radices  numerorum  non  babentium  proportionem,  ut  quadratus  nu- 
merus ad  quadratum  numcnim.  Exempli  causa  : sil  uiia  ex  radicibus,  quas  agregarc 
uis  linee  .d.e.,  ct  alia  sit  ,e.z.,  quarum  quadrati  non  sint  proporcionales  , ut  qua- 
dratus numerus  ad  (piadralum  numerum.  Quare  tota  .d.z.  erit  cx  duobus  nominibus 
tcrcia,  uel  sexta.  Et  quia  liuca  .d.z.  diuisa  est  in  duo  super  .e.,  duo  quadrati  linearum 
.d.€.  ct  .e.z.  cum  duplo  .d.e.  in  .e.z.  equatur  quadrato  tocius  linee  .d.z.  Nara  cx 
coniuncto  quadratorum  lineorum  (jie)  .d.e.t  ct  .e.z.  proueuit  numerus.  Sed  cx  duplo  .d.e. 

4S 


«.X.  H .t-r-  » 

( r..|.  I«2  l>«.  ii  • M; 

341,  14  • 13|- 

& c 


r.i. 


143  «r,i- 


n«i4r«li  ■ » ( fol. 

143  rrr/«i  Im>.  29;  |<<|.  341, 
liM.  41  K,. 


Digifized  by  Googie 


(>4 


■t  

1iwn<l<t  • ifiit.  I6S  verM,  Im. 
« X c9;  1«.  !••.  11-80I 

0 A / 


‘t  i t 


36S 

in  .e.z.  prouenit  radix  numeri.  Er{*o  cx  ductu  .</.2.  iii  sc  proucnU  numerum,  et  radix 
numeri.  Quare  coniunclum  cx  radicibus  et  .e.z.t  silicet  .r/.s.,  est  radix  numeri, 

et  radicis.  Et  ut  bcc  in  numeris  demonstmitur.  Sit  .d.e.  radix  de  is,  et  .e.s.  sit  ladii 
de  10;  quorum  quadrati  insimul  iuiicti  faciunt  ii;  ct  cx  duplo  multiplicationis  radicis 
de  12  in  radice  dc  lO  proucniunt  due  radices  dc  lio,  lioc  est  una  mdix  de  4so:  ergo 
cx  multiplicaliunc  radicum  dc  ii,  ct  de  lo  proueiiiunt  ii,  ct  ladix  de  4S0,  cuius  Innomii 
radix  est  cuniuiictum  ip-sarum  radicum.  Yndc  pulcrius  sonat  dicere  radice  dc  ti,  et 
radicem  dc  lo,  quam  radicem  de  ii,  ct  cx  radice  dc  480. 

DEnionstrabo  itaque  quo  modo  ex  quolibet  binomio  ducto  iit  se  proticniat  biiiomium 
primum:  sit  quuduis  binomium  linea  .a.b. ; cuius  maius  nomen  sit  .a.g.  Cuius  qua- 
dralus  sit  numerus  .r/.z. ; ct  quodnitus  quod  est  ex  .g.b.  sit  numerus  .z.e,  ; ct  ex 
duplo  .a.g.  in  .g.b.  proueniat  radix  .a./.;  dico  quod  lota  .</./.  est  binomium  primum. 
Quoniam  | cx  duplo  .a.g.  in  M.g.  prouenit  .e./.  ; ergo  cx  .a.g.  in  .b.g.  prouenit  me- 
dietas cx  .e./.;  que  medietas  sit  ct  diuidatur  numcni.s  .d.e.  induo  ec[ua  super 

piiiictum  .k.  , qui  punctus  cadit  inter  .d.z.  cum  .sit  quadratus  maioris  nominis  binomii 
.a.g.b.  : dcnionstrandum  itaque  est  primum,  quod  dimidium  quadratonim  quantitatum 
.a.g.  et  .g.b.  supcrliabundant  luultiplicatioui  ex  .a.g.  in  ^b.g.:  quoniam  magis  est 
quantitati  .g.b,  ; adiaceat  quantitas  equalis  quantitati,  in  qua  .a.g.  super  liabundat 
.gM.;  erunt  ergo  .g.b.^  ct  cqualc.s  numero  .a.g.i  ex  duclu  quidem  ‘ft-g-  in  sc  pro- 
ucnit  id,  quod  cx  ductu  .a.g.  in  .g.b. i.  Quare  quadratus  numeri  .a.G.  super  liabundat 
multiplicationem  cx  .a.G.  in  .b.g.  in  muUiplicationc  cx  .a.O.  in  d.g.t  boc  est  in  .g.b.l. 
Se<l  quadratus  qui  fit  cx  .b.g.  super  babundatur  a sujicrficie,  que  fit  cx  .g-b.  in  .g.a.^ 
Imc  est  in  ^g.b.i.t  secundum  id,  quod  fit  cx  ductu  .g.b.  in  .1,:  plus  ergo  super  ha* 
buiidat  quadratus,  qui  fit  ex  .a.g.  .su|>crficiein,  que  c.st  cx  .a.g.  in  .g.b.,  quam  ip.sa 
superficies  super  babundet  quadratum,  qui  fit  cx  .g.b.  Quare  duo  quadrati  linearum 
.a.g.f  et  .g.b.j  silicet  numerus  .d.e.  supcrliabundant  duplum  siipcrnciei  .fi,g,  in  .g  b.» 
silicet  quantitatem  ,e.i.  Quare  medietas  numeri  silicet  .r/  A.,  stqicr  liabundat  di* 
luidiura  cx  .e./.,  silicet  quaiilitalem  .e.t.}  quod  oportclml  demonstrare.  Et  quia  ex  duclu 
.a.g.  in  -bg-  prouenit  •e  /*  Ergo  ex  duclu  quadrati,  qui  fit  ab  a g-f  iu  quadratum  qui 
fit  ab  .gb-i  silicet  cx  numero  -d  z‘  in  c e-,  prouciiil  similiter  quadratus,  qui  lil  a ra- 
dice ‘e  t'  Et  quoniam  numcru.s  ratiocinatus  ‘d’e-  diuisus  est  iu  duo  equalia  super  pun- 
ctum k‘ , et  in  totidem  iticqualia  su|)cr  punctum  c-,  erit  roultipUcalio  numeri  ‘d  z 
in  numerum  c e-  cum  quadrato  numeri  rationali  X‘C-,  equalis  quadrato  numeri  dk- 
Est  enim  numerus  d-h  medicias  numeri  : qitarc  quudmplum  multiplicationis -r/z* 
in  ‘Z‘€‘s  silicet  quadruplum  quadrati,  qui  fit  a radice  e i-  cum  quadruplo  quadrati, 
qui  fit  a numero  -k-z-t  cqualur  quadruplo  multiplicationis  -d-k-  in  se:  sed  quadruplum 
muUiplicatiunis  d-k-  in  se  eqiialur  multiplicationi  numeri  de-  in  sc.  Similiter  et 
quadruplum  quadrati,  qui  fit  ab  -e-t*,  cquntur  quadrato  , qui  fil  a tota  radice  -e  / 
Ergo  <|uudnitus  qui  fit  ab  -e-I-  cum  quadruplo  quadrati,  qui  fil  a numero  -k-z-t  ci|ua- 
tur  quadratu,  qui  fit  a numero  d-e-  Krgu  quadratus,  qui  fit  a numen»  -d-e-t  addit 
super  quadratum,  qui  fit  ab  e-J-,  quadruplum  quadrati  qui  fit  a numci-o  -Ac- Sed  qua- 
druplum quadrati,  qui  fit  a Ac-,  cquatur  quadrato,  qui  fit  a duplo  numeri  -k-z-i  est 
enim  numerus  k-z-  ratiocinatus;  quia  cum  cx  dz-  ratiociuato  aufertur  -dk-  ratiocinatus, 


Digilized  by  Googie 


363 

scilicet  dimulium  de-  raliocinati«  remanet  ‘hz'  ratiocinatus-  Quare  et  duplum  cius  est 
ratiocinatus-  £rgo  quadratus  numen  -</e-  supcrliabuiidat  quadriituin  radicis  '€•1^  sccun> 
dum  quantitatem  numeri  quadrati-  Quare  tuta  d L est  binumiuni  pnmum,  quod  o]Mjr- 
tehat  ostendere- 

De  extratione  Hadicuum  (sic). 

Si  uis  extrahere  radicem  surdam  de  numero  ratiocinato,  uel  numerum  de  radice  surda, 
aut  radicem  de  radice,  ejuc  sint  ]>otcntia  solum  commensurabiles,  hoc  est  ([iiod  proporcio 
quadratarum  (jfic)  ipsanim  non  sit  ut  quadratus  numerus  ad  qundi-alum  numerum;  hoc 
facere  non  poteris, | ut  inde  remaneat  numerus  ratiocinatus-  £st  enim  quadratus  residui 
harum  extractionum  recisum  primum:  que  si  in  numeris  haherc  uis,  habeatur  de  (jui- 
bus  si  extraas  radicem  de  7,  remanebunt  4,  iniiuis  radice  de  7,  que  sunt  recisum 
Quod  si  iu  se  niuUiplicare  uis  , adde  quadratum  de  4 cum  quadrato  radicis  de  7 , 
eiiint  S3;  de  quibus  extmhc  duplum  multiplicationis  de  4 in  radice  de  7,  remanebunt 
t3,  minus  i'adice  de  44s:  exempli  causa:  linea  -a-b-  sit  4,  et  sit  radix  de  7;  qua 

extracta  de  4,  scilicet  ex  remanet  recisum  'g-a-\  quod  uolunius  in  se  multipli- 
care- Quoniam  linea  -ab’  diuisa  est  in  duo  super  punctum  'g-  , erunt  duo  quadrati 

lincnnim  ab'  , et  bg-  ; et  duplo  multiplicationis  bg-  in  ab'  , ct|uales  quadrato 

linee  ga-  Quare  si  de  quadratis  lineanim  ‘ab-  et  gb‘  , boc  est  de  « , auferatur 
duplum  supcificici,  que  fuerit  ex  gb‘  in  a h .,  hoc  est  radix  de  44»,  remaiichunt  23, 
minus  radice  449,  pro  quadrato  rciisi  -g-a-,  fjiie  sunt  recisum  primum,  cum  23  (H^ssunt 
81  , qui  est  quadratus  numerus  super  448-  Similiter  si  uis  extrahere  7 ex  radice  de 
iis,  remanebit  tunc  radix  de  112,  minus  7 pro  quesito  residuo:  quod  si  in  se  multiplicare 
uis,  adde  insimul  quadratos  prediclorum  nominimi,  scilicet  iis  et  49,  erunt  lOi  ; de 
quibus  extrahe  multiplicationem  duplam  de  7 in  radice  de  112,  retnanchunt  tsi,  minus 
radice  de  sidss-  Item  si  uis  extrahere  radicem  de  10  ex  radice  de  20  , adde  10  cum 
20,  erunt  30;  de  quibus  extrahe  duplum  multiplicationis  radicis  de  to  in  radice  de  20, 
icmuiiebunt  30,  mimis  radice  ocligenlorura;  de  quibus  accipe  radicem,  et  habebis  que- 
situm-  Vel  pro  quesitu  residuo  hnlH’lur  radix  de  20,  minus  radice  de  lO- 

Si  autem  uis  addere  radices  cum  radicibus  sibi  inuicem  commensurahilibus- Ve!  una 
de  alia  extrahere,  hoc  fleri  poterit;  et  egredietur  inde  setiper  radix  ntimcri  ratiocinati- 
Vt  si  uis  adde  (4^)  radicem  de  is  cum  radice  de  32,  ejuorum  numerorum  proportio  est 
sicut  quadratus  mimenis  9 ad  quadratum  numerum  iS;  hoc  enim  facies  per  premissam 
doctrinam,  scilicet  addes  is  cum  32,  erunt  so;  et  multiplica  radicem  de  iS  per  radicem 
de  32,  uenient  24;  quorum  duplum  adde  cum  so,  ci-uiit  99;  quorum  radix  est  simmia 
quesilc  additionis:  aliter  radices  illorum  quadratorum  numerorum,  qu(»nmi  proportionem 
habent  18,  et  32,  scilicet  de  9,  et  de  lo,  insimul  adderuiit  7;  que  tmilliplica  in  se, 
erunt  49;  que  multiplica  per  2,  que  pruueniunt  ex  ih  diuLsis  in  D,  uel  ex  32  diuisis 
in  16,  erunt  9s;  qumiim  radix  est  summa  coniunctiunis  prcdicte-  Et  nota,  quia  radix 
duorum  prcscriptorum  sunt  comunis  mensura  radicis  de  18,  et  de  32-  Est  enim  radix 
binarii  ter  in  radice  de  I8,  et  t}uater  iu  radice  de  32-  Ergo  ponuntur  in  hac  addicione 
tres  radices,  et  (juatur  {sic)  binarii,  que  sunt  in  summa  septem  radices  de  2,  hoc  est 
tiiia  radix  de  08-  Quare  si  radicem  de  18  de  radice  32  extrahere  uis,  extrahere  (rtc)  tres 
biliari)  radices  ex  quatuor  radicibus  eiusdem,  remanebit  tantum  mia  radix  binarii  pro 


r»i.  tfii  reti». 


r>w«n«(  ilitiijM  t I f»l. 
|i$t  n-r<«  . I»u.  1 « 8 I (Mj;. 
X4X.  I»  • t(|. 

f * 


Digitized  by  Googie 


ki(  r<J>l  '•  • Qiiarr  ita»  • (f<H. 
161  ••crm,  lin.  |1;  |^|(.  S6t  , 

l.n.  11  • 19) 


• «4  lil  * 

I61  «vr«o,  lia-  Mf  p*(|- 
aSl.lin  40  c 41). 

* • / 


fo).  16S 


3(U 

residuo  prediclc  c%traccionis- Vel  inuenta  48  cUi-alicndc  («e)  so,  remanebunt  J,  quorum 
radix  est  residuum  quesitum- 

Item  si  uLs  addere  radicem  de  48  cum  radice  de  los,  <{uomm  nuiuci-orum  proporcio 
sicut  <8  ad  36  ; et  est  unusr|u).v{ue  antecedens  triplus  sui  consequentis  ; quia  sicut 
48 1 tripla  sunt  de  16,  ita  lOK  sunt  tripla  de  36:  addes  ci^o  radicem  de  16  cum  radi- 
cem (.ric)  36,  scilicet  4,  et  6,  erunt  40;  quorum  quadraturo  multiplica  per  3,  propter 
triplicitates  pi*edictas,  erunt  3oo;  quorum  radix  est  summa  prodicte  iunclionU.  Vel  adde 
108  cum  48,  erunt  156;  quibus  adde  muUiplicatiuiics  radicis  de  48  in  radice  de  1008, 
scilicet  144,  erunt  300;  quorum  radix  est  (|ucsitum‘  Et  si  iiis  radicem  de  48  citrabcrc 
ex  radice  de  los,  cxlrabcrc  (x/c)  radicem  de  I6  ex  radice  de  36,  remanebunt  i;  quorum 
quadratu  multiplicato  jier  3,  propter  triplicilales  predirtas,  faidunt  ts;  quorum  radix 
est  residunm  quesite  extractionis  : uel  inuentu  U4  extrabende  (.»c)  1S6  , remanebunt 
similiter  ts;  quorum  ludix  est  residuum  proscripte  extractionis,  ut  predixi* 

Et  si  uis  agregiirc  4 cum  radice  radicis  de  10  secundum  uulgarem  modum,  acci j>c 
radicem  radicU  de  fo,  que  est  parum  mimis  de  j i,  et  adde  eam  cum  4,  ciunt  parum 
minus  de  { 3:  et  si  -j  i extraxeris  de  4,  habebis  residuum,  quod  est  inter  4,  et  radicem 
radicis  de  10*  Que  si  magistraliter  facere  uis,  multiplica  4,  et  radicem  radicis  de  lo 
in  se;  quexi  sic  fieri  in  linea  deimmsti-atur:  sit  ab-Ay  et  -bc-  sh  i‘adix  radicis  de  lo 
Erit  ergo  linea  •a-C'  diuisa  in  duo-  Quare  duo  quadrati  |>ortionum  a b'  et  ‘b  c'  cum 
duplo  -a  b-  in  b^c-  faciunt  summam  quesitam,  scilicet  qiuidnituin  com]M)siii  .a^.  Est 
enim  quadratus  |>orriums  M.b.  ic,  el  jmreionis  .b.c.  est  radis  de  lo,  et  duplum  su- 
pcrlicici  M.b,  in  .b.c.  est  octo  radices  radicis  de  lo;  que  reddiguntur  in  una  radice 
radicis  de  . . . sic;  ducuntur  octo  in  se,  fiunt  64;  quibus  in  se  ductis,  faciunt  4096;  quilius 
ductis  per  10,  faciunt  40oco;  quorum  radix  radicis  eijuatur  octo  radicibus  radicis  de 
10;  et  sic  pro  quesita  mulliplicalioiic  Iiabeiitur  16,  et  nulix  de  lo,  el  radix  radicis  de 
40960.  Quare  radix  eorum  trium  nominum  est  additio  de  4,  el  radix  ratlicis  de  10  : 
quam  nulicem  secundum  propinquitatem  habebis,  si  addideris  16  ciim  radice  de  lo  , 
que  est  J 3 fere,  el  cum  nidice  radicis  de  400co,  (|uc  est  circa  J 14,  erunt  33  et  amplius; 
quorum  radix  est  circa  * 5,  ut  superius  iniienimus.  El  si  uls  cxlrabcrc  radicem  radicis 
de  10  de  4.  Extrahe  radicem  radicis  de  40060  de  16,  el  de  radice  lo,  icmancbuut  16, 
et  radix  de  lo,  minus  radice  radicis  de  4O9C0,  pro  summa  multiplicatiuiiU  residui  dicte 
extractionis  in  so.  Quare  radix  eorum  est  residuum  quesituin;  quam  radicem  accipies 
sic  : adde  16  cum  radice  de  lo,  ciuiil  parum  minus  de  l 19;  de  quibus  extrahere  (f<c) 
radicem  radicis  de  40060,  rcmnii«‘bunt  | 4;  quorum  radix,  (pie  est  circa  \ i,  est  residuum 
quesituni,  ut  per  uulgarem  modum  inueninius. 

Item  si  uis  addere  radicem  de  ii  cum  radice  radicis  de  lo  per  modum  uulgaram, 
scilicet  secundum  propinquitatem,  radicem  de  ts,  queesteiraa  3,  cum  radice  radicis 
de  10,  qnc  est  circa  ~ l adde  , et  habclns  sumninm  dicte  iunclioriis.  Et  si  extraxeris 
j I de  ^3,  quod  remanebit,  erit  residuum,  in  quo  radix  de  12  excedit  radicem  radicU 
de  10.  Kt  si  hoc  secundum  artem  habere  uis,  sit  .t/.e.  radix  de  12,  et  ,e./*  sit  radix 
radicis  de  fO.  Et  accipiuntur  quadrati  porcioiium  .</.e.  et  erunt  12  , et  radix  de 
10.  Kt  accipiatur  duplum  superficiei  .e/.c.  in  | .e./.,  que  est  radix  radicis  de  23040,  et 
habebis  pro  quadrato  dicte  iuiicciouis  (x/c)i2,  et  radicem  de  10,  el  radicem  radicis  de  13040; 


Digitized  by  Googie 


3G$ 

qiiurum  trium  nominum  ia<iix  est  addictio  quesita.  Et  si  uis  radicem  radicis  de  to 
extrahere  ex  radice  de  13,  extrahe  radicem  radicis  de  i3o40  ex  is,  et  do  radico  de  lo^ 
et  hahehis  pro  «{uadrato  (juesiti  residui  13«  et  radicem  de  io«  minus  radice  radicis  do 
33040.  Vcrlii  gratia:  si  (r/c)  linea  J.t.  radix  de  13«  et  .t.k.  sit  radix  radicis  de  10.  Queritur 
ergo  notitia  .k.I.  residui.  Quoniam  linea  .i.t.  diuisa  iti  duo  su|)cr  .k.  sici  cnint  duo 
quadrati  linearum  .i.t.  et  .t.k.  cquales  quadratu  residui  .k.I.  « et  duplo  superficiei 
.t.k.  iii  .t.J.  Quare  si  de  quadratis  i|uanlitatum  et  silicei  ex  I3«  et  ex  radice 

de  fo  auOeratur  duplum  superficiei  ./.X:.  in  .I.t.y  silicet  radix  radicis  de  33040  , re- 
maiichuiit  is«  et  radix  10,  minus  radice  radicis  de  3304o,  pro  quadrato  residui  .k.i.-,  quod 
ojK>rtchat  ostendere. 

Ex  addicione  quidem  radicum  radicis  cura  radicibus  radicum  quand(K{uc  proucuiunt 
radices  trium  nominum^  quamhNr|ue  dut>rum  secuudi«  ucl  tcrcii  hiiiomii:  quando  mi- 
mcii  mediales  suat  iiicummciisuntbiles  potentia,  tunc  ex  eorum  addittioiic  penieiiit  radix 
trium  noniinuiu,  ut  in  prccedentilms  contingit.  Et  quando  compositum  ex  cis  facit  bt- 
mcdiiiie  primum,  tunc  ex  mulliplicationc  earum  in  se  prouenit  radix,  et  numerus, 
scilicet  hitiomium  secundum.  Et  quando  compositum  ex  eis  facit  bimcdiuic  secundum, 
tunc  quadratus  earum  est  biuoniiiim  lentium,  quod  est  comp<isitum  c\  duabus  radi- 
cibus diucrsisj  et  ex  recisis  prc<iictaiiiiii  proucuiunt  quadrati  eorumdrm  numinum.  Et 
ut  bec  aj>crte  dcmoiistrcntur,  radicem  radicis  de  13  addamus  cum  radice  radicis  de  10, 
quorum  quadrati  sunt  radix  de  13,  et  radix  de  10;  et  ex  duplo  multiplicationis  unius 
in  aliam  prouenit  radix  radicis  de  1030;  quorum  trium  nominum  radix  est  additio  que- 
.sita.  Kt  si  radix  radicis  de  10  auircratur  de  radice  radicis  de  is,  rciiianebniU  itaque 
pro  quadratu  ipsius  residui  radix  de  13,  et  radix  de  10,  minus  radice  radicis  de  1930. 
Item  si  uU  addere  radicem  radicis  de  0 cum  radice  radicis  duorum  eorum,  quadrati 
ipsarum  radix  de  8,  et  radix  de  2 ; (|uc  radices  cum  sint  cotisiiniles,  agregantur  in 
radice  de  is;  et  ex  duplo  nmllipUcationis  radicis  radicis  8 in  radicem  radicis  2 pn>- 
ucniunt  4;  et  sic  habemus  radicem  de  I8,  et  4,  (juc  sunt  biiiomium  secundum  [tro 
((uadrato  quesite  addicionis.  Et  .si  radicem  radicis  duorum  ex  radice  radicis  de  s extra- 
xeris, remanebit  radix  de  I8,  minus  4 pro  quadrato  quesiti  residui:  fjuarc  radix  eorum 
erit  residuum.  Ruraus  uis  addere  radicem  radicis  de  32  cum  radice  radicis  de  I8,  mul- 
tiplica radicem  radicis  de  3s  in  se,  prouenit  radix  de  32;  et  ex  radice  radicis  de  I8 
ducta  iu  se  prouenit  radix  de  is;  quorum  quadrati  insimilis  (x/c)  iuncti  faciunt  radicem 

de  08;  et  ex  duplo  nmltiplicationis  radicis  radicis  de  32  in  radice  radicis  de  ts  ucnit 

radix  de  9C;  et  sic  habetur  pro  quadrato  buiiis  additionis  radix  de  os  , et  radix  de 

90.  Kt  si  auferatur  radix  radicis  de  18  ex  radice  radicis  de  32  , remanebit  radix  de 

08,  minus  radice  de  oc,  pro  quadrato  quesiti  residui.  Et  uota,  cum  multe  radices  radicis 
unius  numeri  pro|>onanlur,  reduc  eas  ad  unam  radicem  radicis,  ut  superius  feci  ex  octo 
radicibus  de  lO.  | 

Incipit  pars  ifuavta  de  diuisione  th  diuisione  (sic)  trium  sinpUcium 
mtmvronim  inter  se. 

Cvm  autem  uolucris  diuidtM‘c  tiumeniin  per  radicem,  uel  radicem  per  numerum,  seu 
rudicem  per  radicem,  diuide  quadratum  diuidendi  per  quadratum  diuisuris,  et  habebis 
quesita.  Verbi  gratia:  uis  diuldcrc  30  per  radicem  de  10,  quadratum  diuideudi,  scilicet 


h«|WLu....  * |M.  |li& 

rtti*.  lia.  4,  5 * S;  ,«>.145. 
lia.  1). 


fol. 


(44  « rr.» 


Digitized  by  Google 


36ii 

dc  ooo  ditiidc  |>cr  lO»  |U'ou(.*iiiiint  9o;  quorurn  radix  est  id  (juoJ  cxiid  (j/c)  ex  diria  diui* 
sione.  Et  si  uis  diuidere  radicem  de  to  ]>cr  30,  diuidc  lo  per  ooo,  exihit  ~ unius  in* 
Icgri;  cuius  radix  est  id  quod  queris.  Item  si  uis  diuidere  radicem  de  ho  per  radicem 
de  20,  proueniet  ex  lioc  iiumcnis  ratiocinatus;  cum  20  ad  so  Itabctil  proportionem  sicut 
quadratus  numerus  ad  quadratum  numerum.  Nnm  ex  diulssione  de  so  in  20  ueniunt 
4;  quorum  radix,  scilicet  s est  id  qund  exiit  ex  diuissionc:  quare  ex  ductis  2 in  ra- 
dice de  20,  radicem  de  80  .surgere  iiccesse  est.  Kt  si  uis  diuidere  decem  radicem  de  2i» 
per  quatuor  radices  de  li  , redice  ipsas  radices  ad  radu'cm  unius  numeri  , scilicet 
quadratum  de  lO,  scilicet  iOO  multiplica  per  2o;  et  quadratum  de  4,  scilicet  I6,  nmU 
tiplica  per  H;  et  sic  ueniet  radix  de  2ooo  ad  diuidendam  per  radicem  de  I76;  ex  qua 
diuisionc  proucriit  radix  de  " n.  Kt  si  .iiti.*'  radices  ii  uis  diuidere  per  decem  radices 
20,  diuidc  I7C  |)cr  2000,  et  immictare  (m*)  modum  cuitatioiiis  iii  lioc,  scilicet  de  i~6,  sci- 
licet 11,  diuidc  per  ^ de  21100,  scilicet  per  123,  exibunt  quarum  radix  est  id  quod 
queris. 

De  (litiisume  numemnim  et  radicum  per  radices  radicum^  et  camtra. 

Si  uis  diuidere  luimeium,  ucl  radicem  radicis  per  radicem  radicis,  quadratum  qua- 
drati rerum  diuidendarum  per  quadratum  quadrati  dhiisorum  diuidc;  et  radix  radicis 
cius  quod  ptoticrierit,  erit  quesitiini.  Verbi  {'ralia  : uis  diuidere  s per  radicem  radicis 
de  10,  quadratum  quadrati  de  s,  scilicet  023,  diuidc  per  quadratum  ijuaclrati  radicis 
radicis  de  10,  scilicet  per  <0,  exibunt  \ 02;  quorum  radix  radicis  est  id  <|uod  queiis. 
Kt  si  diuiseris  10  per  62.3,  exibunt  quorum  radis  radicis  proiicnit  ex  diuisionc  ra- 
dicis radicis  de  10  in  S.  Item  si  uis  diuidere  radicem  de  20  per  radicem  radicis  s , 
multiplica  radicem  de  20  in  .se,  pn>iicnieiit  20;  que  cliam  multiplica  in  se,  erunt  400; 
quorum  radix  nidicis  njuatur  radici  de  2^).  Ergo  uis  diuidere  radicem  radicis  de  400 
per  radicem  radicis  de  a:  quare  diuldc.s  400  per  8,  exibunt  50;  quorum  radix  radicis 
pnmenil  ex  diuisionc  qucsila.  Kt  si  uis  diuidere  radicem  radicis  des  per  radicem  de 
20,  diuidc  8 per  400,  exibunt  cuius  radix  radicis  est  id  quod  pixmenit  ex  ipsa  dl 
uisionc.  Similiter,  st  uis  diuidere  radicem  radicis  de  90  per  radicem  radicis  de  to,  di- 
uide  90  per  10,  exibunt  9;  quorum  radix  radicis,  scilicet  radix  trium  proueuit  ex  ipsa 
dinisioiie.  Item  si  uis  diuidere  radicem  radicis  10  ]>er  ra<licom  radicis  de  90  , diuidc 
to  per  tio,  exibunt  cuius  radix  radicis,  scilicet  radicis  de  \ est  lioc  <|uod  queris. 
Adbtic  si  uis  diuidere  radicem  radicis  de  243  {ler  radicem  radicis  tnuni,  diuidc  243  per 
3,  proucniunt  Rt;  quunim  radix  radicis,  id  est  3,  est  illud  quod  proueiiil  ex  diuisiune. 
rect«.  Kl  si  radix  radicis  trium  diuidatur  ]icr  radicem  radicis  de  | 243  , diuide  3 per  243  , 
exibit  cuius  radix  est  citius  radix  est  ~ ; et  tot  pixiuciiit  ex  dicta  diuissionc. 
Kt  si  decem  radices  radicis  dr  20  uis  diuidere  per  radices  radicis  do  11,  rediges 

has  ad  unam  radicem  radicis,  scilicet  multiplica  lu  in  se,  faciunt  100;  que  in  se  miib 
tiplicata  faciunt  10000  ; (pie  multiplicaU  [ter  20  , faciunt  200000  , quorum  radix  ra- 
dicis cquatur  decem  radicibus  radicis  de  20.  Similiter  pro  .mi.*'  radicibus  radicis  de 
11  multiplica  quadratum  quadrati  de  4,  scilicet  2S6,  per  it,  uciiicnt  radix  radicis  de 
2816;  in  quo  numero  diuides  200000,  et  prouenientls  numeri  radix  radicis  erit  quesitum. 
Kt  si  (piatuor  radices  radicis  de  li  uis  diuidere  per  decem  radices  radicis  de  20,  di- 
tiidc  2816  per  200000;  et  radix  radicis  eius,  quod  prouencrit,  erit  quesitum.  Explicatis 


Digitized  by  Googie 


acT 

iUf[uc  niultiplicatioriihuSf  et  addicioiiihus,  ct  citractiunibus  ntquc  diuLslonibus  iiumc* 
rurum  ftinplicium  , uidcliccl  coitim  » qui  per  lineas  sinpliccs  denotantur  , etiam  et 
ostensis  miiltipHcatiunibus  radicum  trium  bitiomionim  in  se  ; nunc  qualiter  quarti,  ct 
<|uintt,  et  seili  binomii  muUiplican  debeant,  ostendantur. 

RAdii  quidem  quarti  binomii  est  composita  ex  duabus  lineis,  quarum  una  est  radix 
i|uarti  binomii,  ct  alia  est  radix  recisi  eiusdem  binomii  habentis  eadem  numina.  Quo* 
rum  linearum  prima  dicitur  maior,  secunda  mitiur;  ct  cuiiiunctum  cx  cis,  scilicet 
radix  binomii  quarti,  est  .siiiiiliter  maior;  et  dicitur  maior,  quia  maius  nomen,  <|u<h1  potest 
esse  numerus.  Nam  nidix  quarti  binomii  ]>utc5t  similiter  super  numerum,  et  radicem; 
sed  minus  numen  eorum  numerus  est;  unde  ipsa  UfMratur  riton,  ct  medium  potens,  ut 
dictum  est  sii|rcriiis;  ct  corajHmitur  cx  radice  quinti  binomii,  uel  .sexti  ex  radice  ipsorum 
recisorum.  Radix  ((uoque  sexti  binomii  eadem  modo  (jic)  cmnponitur  ex  radice  sexti  biiio- 
mii,  ct  quinti  cx  recisorum  conim.  Vnde  cum  uis  aliquem  ipsorum  binumiorum  radicem 
multiplicare  in  se,  adde  quadratus  (»c)  sectionum  ipsius  cum  duplo  miiUiplicatioiiis  unius 
scelionis  in  aliam:  ut  si  uLs  multiplicare  radicem  dc  4,'  ct  radicLs  de  6 , ct  radicem 
dc  4,  minus  radice  dc  c in  se,  liec  demonstrentur  in  linea.  Sit  itaque  linea  .a.b.  radix 
dc  4,  ct  radices  de  6;  ct  M.g.  sit  radis  de  4,  iniiius  radice  de  o;  et  multiplicetur 
in  se,  cixuil  4;  ct  nidix  dc  6,  que  sit  .tLe.z,,  silicet  .r/.e.,  sit  4;  ct  .e.z.  sit  radix 
de  G;  et  multiplicetur  adliuc  M.g.  in  se,  ueiiient  4,  minus  radice  dc  G:  sit  01*^0  .e.I. 
4.  Quare  .s./.  est  4.  Kt  quia  oppurtet  nos  multiplicare  ignotum  .a.b.  j>er  ignotum 
.b.g.y  multiplicabimus  quadratum  linee  .a.b.  in  quadratum  linee  .b.g.  , .silicet  .d.z. 
in  .z.I.  Est  enim  tota  .d.I.  8 , que  diuisa  est  in  dno  cqualia  su{>er  punctum  .e., 
ta  in  duo  iocqualia  sujier  punctum  5.:  quare  multiplicatio  .d,z.  in  .s./.  cum  quadrato 
linee  .e.z.  cquatur  ei,  qui  lil  a dimediu  («c)  linee  scilicet  quadrato  linee  .r/.c., 

que  est  4:  quai-c  quadratus  cius  est  I6.  Ergo  ex  ducto  .l.z.  in  .z.d.  cum  quadrato 
Unce  .z.e.  ueniunt  le.  Sed  quadratus  linee  .e.z.  csl  6.  Quare  cx  ductu  .l.z.  in  .z.d. 
ueuiurit  10.  Ex  hoc  quidem  manifestum  est,  quod  quando  aliquid  binuroium  multiplicatur 
in  suum  recisum,  | cx  ipsa  multiplicatione  prouenit  illud  residuum  , quod  est  inter 
quadratum  maioris  nominis.  Et  quadratum  minoris  nominis  alicuius  binomii.  Vt  modo, 
quod  cx  ductis  4,  ct  radice  dc  6 in  4,  minus  radice  de  0,  ueniunt  iO,  que  sunt  dif* 
ferentia,  que  est  a 16  in  e:  ct  quoniam  cx  ductu  quadrati  linee  .a.b,  in  quadratum 
liuee  .b.g.  proucniuiit  lo ; ergo  cx  ductu  .a.b.  in  .b.g.  prouenit  radfx  de  10.  Quare 
ex  duplo  .a.b,  in  .b.g.  prouenit  radix  dc  40  ; et  sic  pro  quadrato  locius  linee  .a.g. 
habentur  8,  ct  radix  de  40,  que  sunt  binoraium  quartum;  cum  differentia,  que  est  a 40 
in  64,  non  sit  cx  c|uadratis  iiuincris.  Eixlempie  modo  operaberis  in  radicibus  binomii 
quinti  se.\ti.  Vl  si  uuiucris  iu  sc  multiplicare  radicem  coro|K)siti  cx  radice  de  40  , et 
ex  0,  ct  radicem  decmnjHXsiti  ex  radice  de  40,  minus  0 , quadratus  sectionum  in  si- 
milis adde,  erunt  duc  radices  dc  40,  hoc  est  uua  nidix  de  i&o;  (juam  adde  cum  duplo 
multiplicationis  unius  quadrati  in  alium,  ex  qua  multiplicatione  prouciiiunt  la;  quorum 
radix,  scilicet  4,  est  id  quod  uoluisli;  et  sic  habebis  radicem  ico  et  4.  Item  si  uis  in 
se  multiplicare  radicem  comjwsili  cx  radice  dc  40  cx  radice  dc  I5,  ct  radicem  residui, 
quod  est  inter  radicem  dc  40,  ct  radicem  dc  is,  multiplica  unamquamque  sciiliouum  (r/c) 
iii  se;  et  prouenicut  radix  de  40  cum  radice  de  15.  Kt  radix  dc  40,  minus  radice  dc 


< '>/./•  , wIIkkI  ■■■’  Ci 
I fu|.  164  r^ta  % Ii»  S6-XS 
|W«.  361.  44.t1i. 

t A r 


Tui  . 


Digitized  by  Googie 


<MM  . 4J4>Uc^<>  • 

l^l>  rrrta  , lin.  21^14  j 
1&4.  Im  9-18|- 

t li 


i 


t 


M. 


K1  rfttOt 


.i>ir|-lir<  ■ . ■ • et  r«ilii  • 
1«1  rtetm  . lifl.  IS-Sl  ] 
U».  Ii»  19  • 40  — f»n 
lia.  I). 


4 7 


9 tO 


368 

15}  que  insimul  ailde,  ucnict  nnlix  de  160}  ct  multiplica  radices  dc  40  « cl  dc  is  iii 
radicem  dc  40,  ntiiiiis  radice  IS|  pruueniet  15,  que  sunt  a is  in  40;  quorum  radicem, 
que  est  S,  duplica,  uenirnt  tO;  que  adde  nim  radice  dc  160,  proucnict  radix  dc  I60, 
ct  10}  que  itomina  fnciuut  hinomiuni  quintum. 

Rursus  si  uis  multiplicare  radicem  compositi  ex  radice  dc  40,  ct  cx  s,  ct  radicem 
de  compositi  conimdem  nominum,  scilicet  dc  40  minus  s,  multiplica  similiter  unam- 
qnantqiic  scccioncm  in  sc,  ucnict  radix  dc  40  et  9,  et  radix  de  40  minus  s;  quihns  in 
unum  cum  innetis  facitiut  radi(*e  (jic)  dc  loo;  et  cx  multiplicatione  quadrati  unius  scctiouis 
in  alia,  proueniunt  I5;  quonim  radix  duplicata  faciet  radicem  dc  oo;  ct  sic  habebis  no- 
mina hinomii  sexti,  que  sunt  radix  dc  ico,  ct  radix  de  60.  Similiter,  si  ponamus  radicem 
compositi  cx  radice  dc  40,  et  cx  radice  de  is,  ct  radicem  dc  compositi  cx  radice  de  40, 
minus  radice  de  is,  pixmeiiienl  ex  eoiiim  multiplicatione  in  sc  nomina  hinomii  sexti, 
quorum  maius  nomen  est  radix  quadrupli  dc  40  , scilicet  ICO;  ct  minus  nomen  est 
radix  quadrupli  residui,  quod  est  inter  is,  et  40,  scilicet  cx  hk;  et  ita  contingit  ex 
omnihus  radicibus  quinti  ct  sexti  hinomii.  Et  notandum,  quod  coiiiurictum  cx  radi- 
cibus primi  liiiiomii,  et  eius  uvisi  est  radix  mimcri  tantum  : ut  .si  componamus  radicem 
dc  4,  cl  radice  dc  7 cum  radice  dc  4,  minus  radice  dc  7,  prouonient  quidem  octo  cx 
additione  quadratorum  sectionum;  et  cx  duplo  inulliplicationis  imius  quadrati  in  alium 
proueniuiil  6,  scilicet  radix  quadrupli  quadrati  residui,  quod  c.st  a quadratum  (jic)  de  4 
in  7.  Ouarc  coniunrtum  ex  radicilnis  preilicti  hinomii,  ct  sui  rccisi  est  radix  de  I4: 
qiic  etiam  ostendantur  in  figura:  ut  que  dc  reliquis  binomiis  diximus,  clarius  innote- 
scant , s|>acium  qiiadrilatcri  equi  anguli,  et  cquialtcri  {sic)  M.k.  sit  4;  cl  radix  de  7, 
et  tetragonum  .zJ.  sit  4,  iiiiniis  radice  dc  7;  ct  educatur  recta  | .a.e.  in  punctum  .b.', 
cl  sil  rccla  .e.h.  equulis  recte  .k.t.:  similiter  cl  recta  .a.f.  producatur  usque  in  .rf.; 
ct  sit  recta  ./.ri.  c<|uaHs  rcclc  .3.X.;  ct  copulentur  .b.t.j  cl  ,z.d.  : ergo  tetragonum 
est  quadrilalerum  .(i.h.g.d.;  cl  est  eius  latus,  scilicet  radix  ipsius,  linea  que  est 

coniuncio  linearum  .b.t.t  ct  .t.g.  Sed  .b.t.  est  radix  tetragoni  .n.k.t  cum  sil  equalU 
linee  .e.k.  El  .t.g.  est  radix  tetragoni  .zJ.;  ct  cx  ductu  ,k.t.t  boc  est  .g.t.  in  J.b.t 
proiienit  siijierlicicm  (x/c)  M.k.',  el  ex  ductu  .A*.:,  in  .A./.,  hoc  est  .g.t.  in  .t.b.,  prouenit 
8U{>crncics  .k.fi.',  ergo  cx  quadratis  linearum  .b.t.  et  -t.g.y  cl  cx  duplo  .g.t.  in  ,t.b. 
prouenit  tetragonum  .a.b.g.d.  : sunt  enim  .spacia  Iclragonorura  .a.k.  ct  .k.g.  h , ex 
quuiilicl  spatiorum  .b.k.  el  .k.d.  est  3.  Quare  spaciuin  tetragoni  .b.d.  est  I4;  quorum 
radix  est  liiien  .b.g.^  que  est  composita  ex  radice  hinomii  primi,  sinlicct  ex  .b.t.  el 
.t.g.f  ct  cx  radice  recisi  ipsius,  que  est  .t.g.^  quod  o|>ortchat  ostendere.  Similiter  eodem 
mudu  ostendetur,  coniunctiim  cx  radicibus  hinomii  sctnindi  cl  Icrcii,  ct  ex  eorum  re- 
cisis esse  .seinpcr  radicem  radicis  numeri:  bis  itaque  explicatis,  ostendamus  multiplicare 
composita  ex  numeris,  cl  radicibus,  et  radicibus  radicum  in  eisdem. 

Si  uis  mullipliciirc  4,  ct  radicem  dc  7 per  5,  ct  nidicem  dc  lO,  pone  numerum  sub 
numero,  ct  radicis  quadratum  sub  quadrato  radicis,  ut  in  margine  cernitur;  ct  mul- 
tiplica 4 per  5,  scilicet  numcnim  per  immcmm,  el  radicem  per  radicem  , .scilicet  7 
per  10,  exibunt  so,  et  radix  de  140;  et  multiplica  cx  aduerso  4 per  radicem  dc  lo,  ct 
s per  radicem  de  7,  exibunt  quatuur  radices  de  so,  ct  quinque  radices  dc  7,  ho('  est 
radix  de  310,  ct  radii  de  I7S;  et  sic  1ial>entur  pro  quesita  multiplicatiunc  lo,  ct  radix 


Digilized  by  Googie 


3C9 

(Ir  320,  ot  radix  do  I75,  ct  radix  de  uo.  Et  quia  non  romunicantur  quadrati  radicum 
Ktipra  srriptantm  in  propOKionc  quadratorum,  non  possunt  reildigi  in  {lauciorlhus  no- 
minibus, sicuti  faciemus  in  line  alia  multiplicatione,  in  qua  uulunms  inultipiicai*e  5,  ct 
radicem  de  8 iit  6,  et  radicem  de  32;  quia  8,  ct  32  sunt  inter  sc  sicut  quadratus  nu- 
merus ad  quadratum  numerum:  id  cin*o  diiiide  32  {kt  8,  ucnient  4,  quonim  radis  est 
2;  ct  tot  radices  de  8 est  una  nidix  <le  32.  Er^o  uis  multiplicare  5,  ct  unam  radicem 
de  8 per  6,  ct  duas  radices  do  8;  njiiltiplicabis  ergo  s per  6,  et  unam  radicem  per 
duas,  eixint  30,  et  duo  quadrati  radicis  de  8,  scilicet  I6;  que  eciam  Imbelns,  cum  muU 
tiplicaueris  « per  32,  et  ex  summa  aa^eperis  radicem  : adde  ergo  30  cum  lo  , minl 
48;  ct  nuiUipUca  s per  duas  radices  dc  8,  ct  o per  uiiain  nidicen  dc  8,  egredientur  cx 
his  duabus  multiplicationibus  sexdecim  radices  dc  8;  quibus  additis  cum  46,  erunt  46, 
et  uiia  radix  de  i048  pro  summa  qtK^site  niuUiplicaltonis. 

Irem  si  uls  multiplicare  7,  et  radicem  radicis  de  lo  per  s,  et  radicem  radicis  dc 
12;  multiplicatis  siquidem  7 |»er  8,  ct  radicem  radicis  dc  lo  per  radicem  radicis  12,  ct 
7 per  radicem  radicis  dc  il,  et  8 per  radicem  radicis  de  lo,  uenienl  integra  36,  et 
(K’lo  radices  radicis  dc  lo,  et  vi),  radices  dc  I2,  et  unn  radix  radicis  de  120:  et  iion 
possunt  dici  in  pautioribus  nominibus,  cum  proportio  de  lo  ad  12  iiun  sit  sicut  quadratus 
luimcrus  ad  (juadratuin  numerum  : nec  eciam  sint  medie  numerum  contijnentes.  Vnde 
si  uis  nitiUiplicarc  8,  et  radicem  radicis  trium  per  9,  et  radicem  radicis  dc  27,  miil 
tiplirn  8 per  9,  ct  per  radicem  radicis  dc  27,  ct  imiUiplica  per  radicem  raJici.s  trium; 
ct  radicem  radki.s  trium  multiplica  per  radicem  radicis  dc  27,  ucnient  72,  et  8 radices 
radicis  de  27,  ct  noiiem  radices  radicis  dc  3,  ct  una  radix  radicis  dc  8i,  scilicet  3: 
quibus  3 additis  cum  72,  faciunt  7S;  que  habentur  cum  radice  radicis  de  19083,  cum 
radice  radicis  de  ii0392  pro  summa  quesito  multiplicationU.  Sunt  enim  noiicm  nidices 
radirix  (j/c)  trium  una  radix  radicis  de  I90S3.  Et  CKrlo  radices  radicis  de  27  sunt  una 
radix  radicis  de  tio.'»92;quc  duc  radices  radicis  non  (xissunt  agregari  , nisi  tu  radice 
una  binomii  secundi.  Ouia  ex  addictione  (|uudratorum  ipsarum  (xic)  (irouenit  radix 
dc  223.387;  et  ex  duplo  nuilliplicatimiis  unius  in  aliam  proiicniuul  432,  cuius  binomii 
radix  est  additio  prescriptonim;  et  sic  habentur  pro  quesita  multiplicatione  integra 
75,  et  una  radix  ex  radice  de  223587,  et  dc  432. 

Item  si  uis  multiplicare  radicem  de  S,  et  radicent  radicis  de  lo  per  radicem  dc  6, 
ct  radicem  radicis  12,  muitiplica  specks  ordine  suprascripto,  ct  habebis  radicem  dc 
30,  ct  radicem  radicis  de  360,  et  radicem  radicis  dc  300,  et  radicem  radicis  dc  120. 

Rursus  si  uis  mulli|dicare  3,  minus  radice  5,  per  6 minus  nidicc  dc  20,  multiplica 
3 per  c,  erunt  is;  dc  quibus  tolle  multiplicationem  dc  3 in  radicem  dc  20,  ct  dc  6 
iti  radicem  de  S , remanebunt  18  , minus  duabus  radicibus  de  18U  : super  que  adde 
multiplicationem  radicis  de  5,  ct  radicem  de  20,  erunt  28,  minus  radice  de  720,  pro 
quesita  multiplicatione.  Et  noiuiidum,  quia  cum  multiplicantur  aliqua  diminuta  per 
diminuta,  tunc  illa  multiplicatio  cresit  {sic)}  ct  cum  multiplicatur  addita  inter.se,  tunc 
etiam  ct  ipsa  eorum  multiplicatio  est  augmentanda;  sed  cum  multiplicatur  addita  per 
diminuta  , tunc  eorum  multiplicacio  est  minuenda,  ut  in  sequentibus  ostendetur.  Et 
quia  ei  hac  multiplicatione  proucnit  numerus  tantum,  minus  radice,  scitur,  quod  no- 
mina suprascriptorum  recisorum  sunt  ad  inuicem  pro]>nrtimia}ia.  Verbi  gratia;  sunt  enim 

47 


f|iti4rwl«iu  X |.r  • (|.«K 

147  . tm.  2S  r . 

I»(.  369,  Uit.  S-IU,. 


.5  8 


6 32 


el  aiAn  .... 

167  lia.  as  e %9.  « UA 
167  . Ita.  li  36'*, 

Ku.  16  tfli. 


7 

tu 

8 

12 

U.  161vrr/o. 

• r«nU|aFiilt>,  — 9 • { lui 
167  rrfto.  Illi.  19  • 167  v^r- 
Iin.  1}  |Ni||-  iS9.  Ua-  tS  • 
193. 

8 3 

9 27 


« ll««n  ....  <le  3(1  rl  . (6*1.  16T 
fFrfo.  tm.  M e 15;  369. 

lia.  II.  12  * 133. 

5 10 

G 12 


pn>  i{u<,iU  ....  'I  ■!>««  t (fu|. 
167  veru,  lia.  21  « ti-.  {xy 
169,  lia.  37  , 18-40. 

3 S 
6 2U 


Digitized  by  Google 


l*»C  P«l  • 

1$7  iia-  V X4- 

97;  {>14.  94'*,  |i«.  13  — {<4|. 
970,  li«.  13). 

U Ut 


f? ? 


y * 

t<4.  149  nm*. 


H |•l«»  ....  * (<'■1- 

ISH  ttfto,  lii».  4-9i  {•«f;-  370) 
lM>.  I7-3I)- 

4 # «i 


Il4«n  -•  » I f«l-  IC9 

r^rt»,  7**l'  il  * pi^.  I7V. 

liM.  97>. 

4 


« «|ll•'.ill>ar  ....  4u»rum  » ( fuJ. 

1(1  rreto,  liM.  17  t 19  • 19i 
370.  99-3I>. 


9 

iS 


itiMiliicr  ...-  n^xitim  • ( f»). 
1(9  r*c/Oi  liB.  99  < 95i  p»f. 
37U.  Iin.  M «'  3«!. 


to 

30 


370 

6 dupla  de  3.  Eodem  modo  radii  dc  10  esi  dupla  nidice  dc  s.  Vel  sicut  3 sunl  ad 
radicem  dc  5»  ita  ft  sunt  ad  radicem  dc  20;  quorum  proportio  notiGcatur  cum  qua> 
dratis  ipsorum  iiominuni,  Imc  est  sicut  quadratas  dc  3 c.sl  ad  s,  ita  quadratas  de  a 
csl  ad  20.  Et  ut  ostendatur  quod  multiplicatio  rerum  diminutarum  evesenda  (jie)  sil, 
adiaceat  quadrilatcrum  .a.bx.d.  recti  ungulum;  et  atifemtur  que  uis  pars  ex  .a.d. , 
cl  cx  .a.b.',  .sintque  .d.e.  , et  ./y./.;  ct  per  puiiclum  ,e.  prutralmtur  linea  .e.g.  equi 
distans  utrique  linearum  .a.b,  et  .d.c.  Similiter  per  punctum  protrahatur  tinca  .f.h. 
equi  distans  liucis  M,d.y  et  .b.c.  Kx  ductu  quidem  .d.a.  in  .a.b.  prouenit  siiper0ties 
Jf.d.^  cl  ex  ductu  ./<./.  in  ./.g.,  Iioc  est  .d,e,  in  prouenit  superficies  .g./i.  Ex 
quibus  duabus  superficibus  si  auferatur  duc  supcrfirie.s  , que  sunt  .b.h,  , ct  .^.d. , 
quarum  una  pityuenil  cx  .f.b.  in  .b.c.^  boc  esC  cx  ,d.a.  in  .f.b.^  ct  alia  prouenit  ei 
M.g.  in  x,d,t  lioc  est  cx  ,a.b.  in  .e.r/.,  remanebit  superficies  ./.e.,  que  prouenit  ex 
.CM.  in  .a.f.t  quod  opporlebat  ostendere.  Et  ut  hcc  in  numeris  liabcanlur,  sit  linea 
.a.d.  6;  dc  qua  aujleratur  .r/.e.,  que  sit  radix  dc  20,  ct  .a.b.  sit  3,  et  .b.f.  sit  radii 
de  3;  et  uolu  multiplicare  6,  minus  radice  de  20,  per  3 miiius  radice  de  s,  hoc  est 
.e.a.  in  .a.f.j  de  qua  prouenit  superficies  .f.e.  z multiplicabo  itaque  .d.a.  m .a.b.  f 
ci-uiit  ts  pro  stipei-jicie  .a.b.c.d.  ; (juibiis  addam  multiplicationem  radicis  dc  20  in 
radicem  de  S,  scilicet  ex  .d.e.  diminuta  in  .b.f.  diminutum,  liuc  est  .h.a.  iii.i.^.;de 
qua  proueiiit  su(H'rtities  .g.b.  , erunt  28  pro  quantitate  supcrficicrum  .b.d.  ct  .gJi. ; 
de  quibus  auferam  multiplicationem  ex  .d.a.  in  ./.b.,  buc  est  ex  .h.f.  in  .f.b.,  scilicet 
supralilic  {sic)  .b.h.,  que  prouenit  ex  c ductis  in  nidice  de  5,  remanebunt  28,  minus 
8CX  radicibas  5,  pro  duabas  superliciebus  .g.d.,  et  .f.e.',  de  c|uibus  si  auferatur  mul- 
tiplicatio de  3 in  radice  2u,  scilicet  .g.e.  in  .e.d.  ; dc  qua  multipliratiunc  prouenit 
superficies  .g.d.,  remanebunt  28,  minas  ({uatuor  radicibus  dc  S,  et  tribus  radicibus 
de  20  pro  superlicic  .f.e.,  ut  superius  iiiucnimus.  Nam  sex  radices  de  s,  ct  tres  ra- 
dices dc  20  sunt  una  radix  dc  720. 

Item  si  uis  multiplicare  4,  minus  radice  radicis  duorum,  per  5,  minus  radice  radicis 
de  8,  multiplicabis  siquidem  4 per  S,  ct  radicem  radicis  binarii  per  radicem  radicis 
de  8,  eimil  22  addita  ; dc  quibus  tolle  ea,  que  proueniunt  cx  ductis  4 in  radice  ra- 
dicis 8,  et  cx  S iti  radicem  radicis  2,  remanebunt  22,  minus  quatuor  radicibus  radicis 
dc  8,  cl  quiiKjue  radicibus  radicis  2 pro  quesita  multiplicatione. 

Adhuc  si  uis  multiplicare  radicem  dc  8,  niiiius  radice  radicis  duorum,  per  radicem 
de  18,  minus  radice  radicis  de  lis.  E\  ducta  <[uidem  radice  de  8 in  railicem  dc  18 
pruueniunt  12  addita;  ct  ex  ducta  radice  radicis  duorum  in  radice  radicis  de  128  pro- 
ueniunt  .mi.*"  addita;  ct  cx  ducta  radice  de  8 in  radicem  railicis  dc  128  proueoiunt 
una  radix  radicis  diminuta  de  8I0;  ct  cx  ducta  radice  dc  18  addita  in  radicem  radicis 
diminutam  dc  2 pruueniunt  una  radix  radicis  diminuta  dc  648;  ct  sic  babentur  pro 
quesita  multiplicatione  16,  minus  radice  radicis  8(9,  cl  radice  radicis  dc  C4S. 

Similiter  si  uis  multiplicare  radicem  radicis  de  20,  minus  radice  radicU  dc  10,  per 
radicem  radicem  (sic)  nidicis  dc  30,  mimi.s  radice  raiiicis  dc  ts;  secumUim  modum  su* 
prascripttim  inuciiics,  summam  ipsius  multiplic^itionis  esse  radicem  radicis  dc  COO,  cl 
radicem  radicis  dc  130  , diminutis  duabus  radicibus  radicis  dc  3oa.  Et  quia  radice<: 
radicum  de  600,  ct  de  iso  sunt  potentia  tantum  comunicantes;  ideo  pussuul  congregari 


Digilized  by  Googie 


37i 

iii  ladiccm  binum  ii  tcrrii;  ct  (f/c)<juaiun)  congregatione  prc.ueiut  tadii  ex  radice  ile  i33(i, 
rt  ex  radice  de  isoo:  his  omnibus  exjdicatis,  duceanuis  multiplicare  luuomialos  nu- 
meros per  recisos. 

Cum  uolueris  multiplicare  ali<|uud  binomium  per  suum  rccisuiHt  extrahe  quadratum 
minoris  nominis  de  quadrato  maioris;  et  quod  remanserit,  erit  summa  qiiesitc  multi- 
plicationis: ad  cuius  rei  euidentia,  adiarcat  binomium  M.b.g.^  vmius  maius  nomen  sit 
.a.b,)a  quo  auferatur  eqiiale  nominis  .6.g.;sitque  .b.tl.  Ilecisum  ergo  est  .r/.rr.,|  quod 
nolo  muUiplicaie  per  binomium  .a.g,  (Ct  quia  linea  .ti.g,  diuissa  est  in  duo  eipialia 
super  punctum  .6.,  cl  ei  indirecto  adiiiiicta  est  linea  erit  multiplicatio  .auf. 

iii  .a.g.  cum  quadratu  linee  M.b.  iH|ualis  quadrato  linee  .n.b.  Quare  si  a quadrato 
nominis  .a.b.  auferatur  quadratus  nominis  .b.d.  , hoc  est  nominis  .b.g.  , remanebit 
summa  multiplicationis  ex  ,a.d.  in  .a.g,’,  quod  opportelrat  ostendere.  Kt  ut  hec  iii 
numeris  ostendantur,  sit  .a.b.  4,  et  .b.g.  sit  radix  de  7;  que  uolo  multiplicare  per 
4,  minus  radice  de  7,  lioi'  est  per  .a.d:  auferam  itaque  quadratum  linee  .r/.^.,  silicet 
7,  ex  quadrata  linee  .a.b»,  silicet  ex  I6  , remanebunt  9 pro  summa  nuiltiplicalionis 
.a.g.  iit  Vel,  si  secumlum  numerum  hoc  facere  uis,  pone  4,  et  radicem  de  7, 

ct  4,  minus  radice  dc  7,  ut  in  margine  cernitur;  et  multiplica  4,  que  sunt  in  recisu 
per  ulrumquc  numen  hinomii,  scilicet  per  4,  et  per  radicem  de  7,  eniiit  10;  et  qiialuor 
radices  de  7 addita;  et  multiplica  radicem  de  7 diminuta  |H*r  eadem  nomina  biiioniii, 
prouciiient  7 diminuta,  et  quatuor  radices  de  7 similiter  diminutas:  quibus  extractis 
rx  16,  et  ex  quattuor  radicibus  dc  7,  scilicet  ex  additis,  ramaucbit  9 pro  summa  que- 
site  inuUiplicatiunis. 

Item  si  uis  multiplicare  teirium  binomium,  uel  sextum  in  suum  reiasuin,  similiter  cx 
eorum  multiplicatione  pioueiiit  numerus  racionatus:  ut  si  uolueris  multiplicare  radicem 
de  40,  et  radicem  dc  30  per  radicem  dc  40,  minus  radice  dc  30,  extrahes  quadratum  mi- 
noris nominis  de  quadraluiii  (sic)  maioris,  scilicet  30  de  40,  remanent  10  pro  summa 
quesite  multiplicationis;  et  .sic  o|>erandum  est  in  multiplicatione  secundi,  et  quinti  birio- 
mii  in  eodem  recisis.  Kt  notandum  , quod  iptaiidu  cx  mulliplicaciimc  alicuius  recisi 
in  aIi<|uod  binomium  prouenit  numerus  tantum,  tunc  nomina  recisi  sunt  priqiurcionalia 
cum  numinibus  binomii;  et  Iialnml  ad  iuuicem  eundem  ordinem:  ut  si  uis  multiplicare 
6,  ct  radicem  dc  10  ]}cr  18,  minus  radice  de  90 ; quia  numina  recisi  sunt  tripla  ex 
nominibus  binomii,  accipe  triplum  dilFereiitie,  que  est  inter  quadratum  maioris  nominis 
binomii,  ct  quadratum  minoris;  ct  quod  proucuerit,  esse  quesiluiii:  uerbi  gratia:  extractis 
10  dc  36,  remunciil  t6;  quibus  triplicatis,  reddunt  78  pro  quesita  multiplicationem  (s<c): 
quoil  etiam  haberes,  si  operalieris  secundum  modum  numeri;  quia  multiplicatis  is  iii 
6,  ct  in  radice  de  10,  pruucuiuiit  los,  et  decem  octo  radices  dc  10;  de  quibus  si  au- 
feratur mulliplicatiu  radicis  dc  00  in  6 ^ et  in  radice  de  10,  remanebunt  78,  ut  pro- 
diximus : eudemque  modo  procedendum  est  in  multiplicatione  binomiorum,  et  recisorum 
diuersurum.  Vt  si  uolueris  imiltipiicare  5,  ct  radicem  de  10  per  7,  minus  radice  dc 
30.  Multiplicatis  siquidem  7 per  s,  ct  radicem  dc  10,  ueniiint  35,  ct  radix  de  400;  dc 
quibus  si  auferatur  multiplicatio  radicis  de  30  in  s,  et  in  radicem  dc  10,  remanebunt 
35  , ct  radix  dc  490,  diminuta  radice  dc  750,  ct  de  30  : et  aliter  non  potest  dici  in 
surdis,  cum  radices  predicte  non  inter  sc  comunicantes.  Etsi  uis  multiplicare  radicem 


liitc  rtt  .... 

16’!  •■rrta,  Ua.  &;  fuR-  lil  , 
lia.  II  t IS). 

•t  t , 


« ....  H • |f«l. 

140  Itii  } e 4 13;  |iw||. 

tu.  lin.  l^Stii 


I5S  »»r,0,  1m.  St  • t4.|7  d 
34;  |Mg.  S71.  Ii*.  33  tis||. 
37S,  liH.  i 1 1). 


0 

10 

90 

18 

5 

10 

3U 

7 

40 

s 

Tdllil 

6 

50 

Digitized  by  GoogLe 


f..|  14*  rr.-fg. 


r»datM  d'  10  ....  rjtlu  r«di| 
cM  • (fuJ.  169  r^cta.  li«.  tit 
pig.  m.uu. 

KiiIm  n^irif  I 

4 10 

12  i 

}l«dti  ndKji  I 

Ii  S j 


(«I.  I09  t’fraa. 


371 

de  4u,  additis  s,  per  radicem  dc  50,  diminutis  6,  multiplicata  quidem  radice  de  so  iu 
radice  dc  40,  ct  in  s,  prouenit  radix  de  2000,  et  radix  de  1250  : de  quibus  $i  aufe* 
ratur  multiplicatio  de  o in  radice  de  40,  et  in  s,  remanebit  radix  de  looo,  et  radix 
de  1250,  minus  30,  et  radice  dc  U40.  | 

Si  uis  multiplicare  aliquem  numerum,  ct  radicem  radicis  per  suum  recisum,  opera- 
beris ut  diximus  tu  multiplicatione  bitiomii  in  suum  recisum.  Vt  si  uis  multiplicare 
4,  et  radkcm  radicis  lo  per  4,  minus  radice  i'adicis  dc  lo,  exlnihc  quadratum  nomintH 
minoris,  scilicet  radicem  dc  lO,  de  quadrato  maioris,  scilicet  dc  lo,  remanebunt  I6, 
minus  radice  dc  lo,  pro  quesita  multiplicatione.  Et  si  multiplicarentur  4,  ct  radix  radieb 
de  10  in  duplum  sui  recisi,  scilicet  in  r,  minus  radice  radicis  de  too,  proueniet  utitpie 
duplum  suprascnpte  multiplicationis,  scilicet  32,  minus  radice  de  40. 

Rursus  si  uis  multiplicare  radicem  de  io,  et  radicem  radicis  de  to  |>cr  suum  recisum, 
scilicet  per  radicem  de  20,  minus  radice  radicis  de  lO,  extrahere  {sic)  similiter  quadratum 
minoris  nominis  dc  quadratu  maioris,  remanebunt  to,  minus  radice  de  lo.  Similiter 
si  uis  multiplicare  radicem  radicis  de  60,  ct  radicem  radiels  dc  15  per  suum  recisum, 
scilicet  per  radicem  radicis  de  oo  , minus  radice  radicis  de  I5,  extrahe  quadratum 
minoris  numinis  de  quadrato  maioris,  scilicet  radicem  dc  15  ex  radice  de  60,  remanebit 
tantum  ladix  dc  15  pm  quesita  multiplicacione.  Et  si  uis  imiltiplicai^c  4,  et  radicem 
radicis  de  lU  in  5,  minus  radice  radicis  de  I2,  scribes  eu  ut  hic  cernutiir  (.r/c).  Et  multi- 
plica ordine  suprascripto  maius  nomen  recisi  [>cr  utrunique  numen  binomii,  scilicet  5 per 
4,  per  (x/c),  ct  per  radicem  nidicis  dc  lo,  enitil  20,  ct  <}uiii([ue  radices  radicis  de  lO; 
de  quibus  extrahe  mulliplicatiuncm  diminute  radicis  radicis  de  12  in  4,  et  in  radicem 
radicis  radicis  de  10,  remanebunt  so,  ei  quinque  radices  radicis  de  10,  diminutis  quattuor 
radicibus  radicis  de  is,  et  una  radice  radicis  dc  120;  et  sic  studeas  facerain  similibus: 
et  cum  occurcrifiC  nomina  comunicaiiUa  in  diminutis  ct  additU,  reddiges  ea  in  |>au- 
tiuribns  numinibus.  Vt  si  uis  multiplicare  4,  ct  radicem  radicis  dc  27  [ler  5,  minus 
radice  radicis  dc  3,  prouenient  siquidem  ex  eorum  multiplicatione  20  , ct  quittque  radices 
radicis  dc  27,  diminutis  quattuor  radicibus  radicis  trium,  et  radice  radicis  dc  si;  que 
radix  radicis  est  ratiocinatu,  ct  est  3;  quibus  diminutis  a 20,  remanent  17;  ct  sic  ha- 
bentur pro  quesita  multiplicatione  I7,  et  quinque  radices  radicis  27,  diminutisquatu  or 
radicibus  radicis  trium. 

Incipit  pars  quarta  dc  dUtUione  hjnomiurum  recisorum  per  numeros 
raciocinatos  el  inraciocinatos  et  cco«/r<i. 

Cvro  autem  uolueris  diuidere  albjuud  binumium,  ucl  recisum  , ucl  etiam  aliquem 
numerum  [durium  nominum  per  aliquem  datum  numerum  , uel  per  radicem  radicis 
alicuius  numeri  ratiocinati,  diuide  uiium  quoque  (x/o)  numen  per  diuissorem;  ct  nomina 
que  pixmeiicrint,  siuc  addita  fuerint,  uel  diminuta,  erunt  id  qumi  ex  diuisione  proue- 
ncrit.  Vt  si  uolueris  diuidere  20,  et  radicem  de  oc  |>cr  4,  diuides  primum  20  per  4, 
exibunt  5;  diuide  radicem  de  oo,  per  4,  huc  est  diuides  06  per  to,  exibit  una  radix 
dc  6;  et  sic  [>ru  quesita  diiiissionc  habentur  5,  ct  radix  dc  o.  Similiter  diuisis  20,  mi- 
nus radice  de  M,  per  4,  cxibiinl  cmlcm  ordine  s,  minus  radice  dc  o.  Itera  | diuidere 
20  ct  radicem  dc  M per  radiucin  dc  8 , diuiso  utroque  nomine  singulariter  per  ra- 
dicem de  8,  prouenit  radix  de  50,  et  radix  de  12.  Similiter  diuisis  20,  minus  radice 


Digitized  by  Googie 


lU 

tle  flfi,  |>cr  radicem  de  «»  pi*oucnit  radix  de  50,  minus  radice  dc  if.  Et  si  cadera  nomina 
diuidere  uolucns  per  radicem  radicis  de  10,  multiplicabis  to  in  se,  pnmcuicnt  400  ; 
quibus  in  sc  imilliplicatis,  faciunt  tooooo;  quibus  diuisis  per  iO,  faciunt  loooo;  quuruni 
radix  radicis  est  unum  ex  nominibus  ucnieiUibus  ex  diuisiotie.  Quare  $i  eodem  modo 
diuiseris  radicem  de  OQ  per  radicem  radicis  de  to,  scilicet  quadratum  de  06  per  10  , 
exibit  radix  radicis  de  ^ 021  pro  rclnpio  ijomioe  uenieute  ex  diuUione:  similiter  diuisis 
10,  minus  radice  dc  00,  per  radicem  radicis  de  10,  prouenit  radix  de  I6000,  minus  ra> 
dicc  radicis  J wt.  Itera  st  uis  diuidere  radicem  dc  80,  cl  radicem  de  48  per  4,  diulso 
utroque  nomine  per  4,  scilicet  80,  ct  48  per  ic  , prouenit  radix  dc  s,  et  radix  dc  ]: 
et  si  radix  de  80,  minus  radice  4»  , diuidatur  per  4 , ueriict  radix  s , minus  radice 
trium  . nui'sus  si  radicem  dc  80  , et  radicem  dc  48  diuidere  uis  per  radit  em  dc  s , 
prouenit  radix  de  lo,  cl  nidii  de  e.  Et  sit  {sic)  radicem  dc  80,  minus  radice  dc  4S,  ]>ci 
radicem  dc  8 diuiseris,  ueniet  utique  radix  de  to,  minus  radice  dc  c.  Similiter  si  a 
qua  {sic)  numina  diuidere  uis  ]>er  radicem  radicis  alicuius  numeri,  secundum  ea  que 
dicta  sunt,  studeas  ojierari. 

De  liiuisione  numerorum^  uel  radicum^  sine  radicum  radicis 
per  binomin  uel  recisa, 

Cvm  uis  diuidei*c  aliquem  numerum,  ucl  radicem  numeri,  scu  radicem  radicis  numeri 
per  aIi(|uod  binomiuiii,  multiplica  ipsum  binomium  in  suum  recisum;  el  quod  proue- 
nerit,  erit  numerus,  ut  ostensum  est:  in  quu  diuidc  muUiplicacioiicm  diuideridi  numeri 
in  recisum  diuidenlis  binoroii;  ct  habebis  quesitum.  Verbi  gratia:  sit  ,a,  numerus,  ucl 
radix  numeri,  scu  radix  radicis  numeri,  quod  diuidere  uis  per  binomium  .b,g.d.',  <|iiurum 
nominum  sit  maius  .b.g,,  et  pruueniul  ex  ipsa  diuisionc  quantitas  .s.:  et  iaceat  .e.g.  * 

equale  nominis  ,g.d.  Uecisum  ergo  est  quo  multiplicato  per  binomium  pro-  Tw -?jis  1«.. 

ucniat  numerus  .^.,qui  est  ratioacinalus  (s/V),  cum  ex  .h.e.  in  .b.d.  proucniat  residuum, 
quod  est  inter  quadratura  nominis  et  quadratum  nominis  ,b.g.^  ut  superius  de- 

monstratum est.  Ergo  siuidatur  {sic)  iiumcrus  )>er  binomium  .b.d,.,  pruuenict  utique 
recisum  .b.e.  Quare  si  diuidatur  quodnis  multiplex,  ucl  quclibct  pars  numeri  .f.  per 
binomium  .b.d.p  proueniet  utique  ex  diuisione  idem  multiplex,  uel  eadem  pars  recisi 
,b.e.:  si  ergo  ecjualis  est  uumerus  .a,  numero  ci{ualis  c-Sl  quantitas  .3.  reciso  si 
maior,  maior,  et  si  minor,  minor:  pmpurtionalitcr  ergo  est  sicut  primus  ad  ,n.  secun- 
dum, ita  .b.e.  tercius  ar/  .s.  quartum.  Quare  nuilliplicatiu  secundi  in  lercium,  sciit-  t.  , g ,t 
cet  .a.  in  .b.e.^  equatur  multiplicationi  primi  in  <|uartum.  El  sic  ditiisa  muItipUca- 

liunc  ex  .a.  in  M.e.  per  numerum  pnmenit  .3.  , silicei  illud  <|uod  prouenit  cx  

.a.  diulso  in  binomium  .b.d.f  ([uod  opporlcbat  ostendere.  Eodem  mrajo  si  .n.  diuidere 

uis  per  rmsum  inucnies,  quod  cx  multiplicatione  .a.  in  binomium  diulsu 

per  numerum  pruueiiit  quesitum;  quia  si  diuidatur  numerus  per  recisum 

prouenit  utique  binomium  .b.d.-f  et  erit  sicut  ad  .n.,  ita  biuumiuin  .b.d.  ad  id,  u 1:0 

quod  prouenit  ex  .a.  diuisio  (sic)  in  recisam  M.e.  Et  ut  lioc  in  numeris  habeatur,  sit  .a. 

100,  que  diuidere  uls  per  binomium  .b.d.}  cuius  maius  uomeu,  siiicet  .b.g.,  sit  4;  minus 
autem  , siiicet  .g.i/.,  sit  radix  de  7.  Quare  recisum  ,b.e.  est  4 , minus  radice  dc  7; 
quo  multiplicato  per  4,  et  per  radicem  7,  scilicet  per  binomium  proueniunt  0 

pro  numero  Ergo  si  diuidatur  9 per  4,  et  radice  (sic)  dc  7,  proueuicnl  ex  '* 


|M-r  noiiHrtMM 
■4  fi44*<vin.  H 
|M*r  aiuai^ritni 
u«i«<  cwIkii 


Digitized  by  Google 


u-  no  vfft* 

■ tl <4.e.  Ii«ri  i 

ir«'l-  ItU  tai.  t* 

114,  I.H  31  tOr 


3T4 

iiisiuiic  4f  minus  mclia*  de  7,  sciliect  recisum  .h.e,:  est  ei*go  sicut  9 ad  too,  ita  4, 
niiiius  radice  dc  7,  ad  rjiicsitum.  Quare  multiplicanda  sunt  loo  per  4,  minus  radice 
de  7}  et  diuidciida  per  9;  ex  qua  enim  multiplicatione  proueniunt  400«  niiuus  centum 
raditnbtis  dc  7:  quibus  diuisis  per  9*  ueiiiuiU  * 44,  minus  radicibus,  et  nona 

de  7.  Kt  si  100  diuiseiis  per  4,  minus  radice  dr  7»  ueuient,  eisdem  dispositis,  | 44,  et 
insuper  radices  .xi.,  et  nona  dc  7 pro  quesita  diuisiune;  et  sunt  nomina  exeuntis  summo 
pmporlionalia  nominiims  diuisoris  : quia  sicut  4 sunt  ad  unam  radicem  de  7,  ita  \ u 
sunt  ad  undecim  radices,  et  nonam  dc  7. 

Item  si  radicem  dc  80  diuideiT  iiis  per  radicem  de  8,  ct  radicem  de  c,  multiplica 
radicem  de  8,  et  radicem  dc  6 per  siiiim  recisum,  scilicet  ]>er  ladicem  de  8,  roimis 
radice  cie  6,  exibunt  9.  Iu  quibus  cliuidc  muUiplicationem  radicis  dc  80  in  radicem  de 
8,  mimis  radice  dc  fij  uel  medietatem  radicis  dc  80,  scilicet  radicem  de  £0,  multiplica 
in  radice  dc  s , minas  radice  de  c , exibit  radix  de  ico,  iniiuis  radice  dc  120.  bt  si 
radicem  dc  so  diuiseris  per  radicem  de  8,  minus  indice  dc  c,  proueiiit  uti<{uc  radix 
dc  ICO,  et  radix  dc  120. 

Uuisus  si  radicem  radicis  ducentorum  uis  diuidere  per  alitjuod  biriomium,  ut  per 
3,  et  radicem  duonim,  multiplica  3,  et  radicem  dc  2 per  3,  minus  radico  dc  2,  priK 
uenict  7.  Quare  si  diuidantur  7 per  3,  et  radiceiidc  (x/c)  2,  prouenient  utique  3,  minus 
radice  duonim;  in  quo  reciso,  supradictis  dispositis,  multiplica  radicem  radicis  du- 
centorum, prouciiiet  radix  radicis  de  I6200,  minus  radice  radicis  octifjenlorum:  quilms 
diuisis  per  7,  uciiieiit  radix  radicis  dc  0,  minus  radice  radicis  Et  si  diuidatur 
radix  radicis  diicetitaiiim  per  3,  niiiius  radice  duorum  , multiplicabitur  tunc  i[>sa  radis 
radicis  ])cr  3,  ct  radicem  dc  2;  et  ea  que  prmienerit  diiiides  per  7,  exibit  radix  radicis 
dc  6,  cl  radix  radicis  dc  ct  sic  studeas  facei-c  iii  similibus. 

Oc  dinisiune  //«/«<*ror/4iw  ct  radtcumt  uel  radicum  per  Compositos 
ex  numero  et  radice  radicis^  uel  ex  radice  et  Itadice  HadkiSy 
seu  ex  duabus  radicibus  Itadicibus  Itadiaim  diuersis. 

Si  uis  diuidere  10  per  2,  et  radicem  radicis  trium,  s<'ia$  primum,  quia  cum  roulti* 
plicatur  iiiimems,  ct  radix  radicis  in  suum  recisum,  tunc  pruueiiit  ex  ipsa  mullipli- 
catioiic  id  quod  est  ititer  quadratum  minoris  nominis,  el  quadratum  maioris  ; quod 
residuum  est  aut  mmierus  minus  radice,  aut  radix  minus  mimero:  quod  idem  pro- 
uetiil  ex  multiplicatione  radicis,  ct  radicis  radicis  tn  suum  residuum.  Sed  ruiii  mul- 
tiplicantur duc  radices  | radicis  diiiersc  per  suum  recisum,  tunc  radicem  minus  radice, 
uel  rmlicem  tmilum  proiieiiire  demoustrabo.  Sit  itaque  .a,c,  conijHisitum  ex  numero, 
et  radice  radicis;  ct  sit  maius  nomen  .a.b.;  cl  iaccal  .b.d.  equale  nomini  .b.c.i  el  quia 
.d.c.  linea  diiiisa  est  in  duo  cqtialia  super  punctum  el  ei  adiimcta  est  linea  .a.d.t 

erit  multiplicatio  .a,d,  in  .u.c.  (*iim  quadrato  linee  cqualis  quadrato  liiiec  .a.b.i 

quare  si  aiircraliir  quadratum  linee  .b.d.  cx  quadrato  linee  . a. , remanebit  multipli- 
catio cx  .a.d.  in  Sit  cr;(o  primum  .a.b.  numerus,  cl  Iioc  est  .b.d.  sil  radii 

radicis  numeri;  remanebit  ergo  ,n,d.  drromposita  cx  numero  ,a,b.y  mitius  radice  radicis 
,b.d.  Kt  quia  nuillipiirato  .a.d.  iii  ./r.c.  prauenit  quadratus  numerus  .0.^.,  minus  qua- 
drato radicis  radicis  .b.d.  ; ct  est  quadratus  mimerj  .a.  h.  numerus  ; et  quadratum 
radicis  radicis  .b.d.  est  radix  numeri ; ergo  ex  ductu  .a,c.  in  .a.d.  praueiiit  numei  us 


Digitized  by  Coogie 


375 

<le  (5tc)  iaimi5  ratlice.  Et  si  maius  nomen  .a.b.  sil  radii  radicis  numeri;  ct  minus,  si> 
liret  .6.C.  , sil  numerus  , j»rouct>icl  ex  .tt.b.  in  sc  radix  numeri.  Et  ex  M.d.  in  se 
jirouciiit  numems:  ergu  ex  .a.c,  in  maI.  |mme  radix  numeri,  mitius  numero,  ut 
predixi.  Similiter  oslomlelur,  idem  prouenirc,  si  unum  ex  noniiiiilms  .a.b,^  et  .b,c.  sil 
radix  numeri,  et  altorum  sit  radix  radices(x/c).  Sct  si  utrum»jue  nomen  fuerit  radix  radicis 
numeri,  tunc  cx  .a.h.  in  se  prouenit  radix  numeri,  et  e.x  .ti.b.  similiter.  Quare  id 
(|iiml  prouenit  cx  .a.c.  in  siliret  cx  dnalms  mdicilms  nidicis  diuersis  in  sunm 

recisum,  prouenit  radix  numeri,  niinns  radice:  c|uc  si  fuerint  comunicuntes,  |H>s.stint 
reddigi  ad  radicem  unam,  ut  predixi.  Kt  quia  uis  diuidere  lo  in  s,  ct  radicem  radicis 
trium,  multiplica  ea  in  suum  recisum,  scilicet  in  2,  minus  radice  radicis  trium,  pro* 
ucniet  5,  minus  nidice  trium:  que  si  diuidantur  per  s,  ct  radicem  radicis  Iriiitn,  red* 
dibit  utique  suum  rctrisum,  scilicet  s , minus  radice  radicis  tiium  : prupurtiooaliter 
ergo  sicut  4,  minus  radice  trium,  suiit  ad  to,  ita  x,  minus  radice  radicis  trium,  sunt  ad 
ipicsilum.  Quare' multiplicamla  sunt  lO  per  x,  minas  radice  radicis  trium,  et  diuidenda 
|K‘r  4,  minus  radice  trium;  uel  diuideiida  sunt  lo  {ler  4,  minus  radice  trium;  ct  que 
primeneril  multiplicanda  pers,  minus  radice  radicis  Iriimi.  Nam  qualiter  lo  diuidan- 
tur per  4,  miiuis  radice  trium,  ostensum  est  superius:  ct  sunt  que  proucniunt  cx  ipsa 
diuisionc  et  radix  de  que  multiplicata  |»cr  x,  minus  radice  radice  radicis  trium, 
reddunt  ea,  que  pruueniunt  cx  lo  cliulsls  in  x,  et  radicem  radicis  trium.  Et  si  to  per 
2,  minus  radice  radicis  trium  tUiiiderc  uis,  multiplicabis  prescriplas  *J,  et  radicem  de 
^ per  X,  ct  radice  radicis  trium,  et  haiiebis  quesitum.  Item  si  uis  diuiderc  lo  per  ra- 
dicem de  0,  ct  radicem  radicis  duorum,  multiplica  radicem  de  6,  ct  radicem  radicis 
duorum  per  radicem  dc  6,  minus  radice  radicis  duorum,  c prouciiicnt,  minus  radice  duo- 
loim:  in  ({uibiis  dinidc  to;  et  quwl  pruueucrit  multiplica  per  radicem  de  fi,  minus  ra- 
dice radicis  duonim,  et  bal>ebis  propositum.  Et  $i  uolueris  diuiderc  to  per  radicem  de 
0,  minus  radice  radicis  duorum,  id  (ju<k1  pinucnil  ex  to  diuisis  in  o,  minus  radice 
duoiiim,  multiplica  [>cr  radicem  dc  6,  et  | per  radicem  radicis  duorum,  ct  habebis  m ri 

pro|xisilum. 

Rursus  61  uls  diuidere  radicem  dc  I20  per  radicem  radicis  dc  ts,  et  radicem  radicis 
8 per  radicem  radicis  de  ts  , minus  radice  radicis  de  8 ; et  proueniet  rationale  in 
imtentia,  quod  est  radix  duorum;  in  qua  diuidc  radicem  de  txo,  pniuenict  radix  dc 
00;  <piam  multiplien  per  radicem  radicis  dc  t8,  minus  radice  i^adicis  dc  8,  et  habebis 
pro|Misitum.  Et  si  radicem  dc  120  per  radicem  radicis  de  I8,  minus  radice  radicis  dc 
8,  diuidere  uls,  inulliplicubis  radicem  dc  loo  sujierius  inuetiLa  per  radicem  radicis  18, 
el  radicem  radicem  radicis  de  8. 

Adhuc  st  uls  diuidci^e  radicem  radicis  dc  sooo  in  radicem  radicis  de  40,  ct  radicem 
radicis  dc  20,  muUijilica  hoc  hinoitiium  in  suum  recisum,  scilicet  ia  radicem  radicis 
dc  40,  minus  radice  railicis  de  xo,  pmucniet  radix  de  40,  minas  radice  de  30;  in  qua 
diuidc  radicem  radicis  dc  fiooo,  hoc  est,  multiplica  radicem  dc  40,  minus  radice  de  20, 
in  suum  hinoniiiim,  scilicet  in  radicem  de  40,  et  in  radicem  de  xo,  pmucnict  xo.  In 
quibus  diuidc  radicem  radicis  dc  sooo,  pmiicuicut  radix  radicis  de  quam  multiplica 
per  radicem  dc  40,  ct  per  radicem  dc  xo;  ct  quod  proucnciit  multiplica  per  radicem 
radicis  dc  40,  minas  radice  radicis  dc  xo,  et  habebis  propositum. 


Digitized  by  Google 


376 

F.t  -si  uulucris  diuirlcrc  aliqunci  «iinplei,  ucl  hiiiumiumt  rccUum  por  aliquod 
trinomium,  e&traliC  unum  ex  trilms  nominibus  ex  reliquis  duobus;  ct  quod  remanserit, 
))cr  ipsum  irinomium  multiplica;  et  in  id  quod  proucnent,  diuides  multiplicationem 
diuidendnmm  nominum  in  residuum  Irinumium;  et  ba)>ebis  quod  queris.  Nam  cum 
extraliitur  ex  tribus  nominibus  utiiiin  nomen,  et  residuum  multiplicatur  iii  ipsum  tri- 
nomium; quod  cx  ipsa  proneiiit  multiplicatione,  erit  aut  rccUum,  ucl  binomium,  siuc 
radix  numeri  rationali;  quod  demonstrabo  in  linea.  Sit  itaque  linea  .aM.  trinomium 
alicuius,  nomina  sint  M.h.  b.c.  c.d.f  et  auferatur  ex  .a.c.  binomio  recta  .c^.  equalis 
recte  x.d.  Ft  quoniam  recta  .e.d.  diutsa  est  in  duo  equa  su]>er  punctum  .c.;  et  ei 
indirecto  adiuncta  est  linea  .e./r.,  erit  multiplicatio  .a.e.  in  .a.d.  cum  quadrato  Hnee 
.ex.  erjualis  quadrati»  linee  .n.c.  Quare  cum  uU  multiplicare  residuum  .a.e.  in  tri- 
nomium .a.d.y  multiplicandum  est  binomium  .a.e.  in  se;  ct  cx  ipsa  multiplicatione 
extrabendus  est  quadratus  nominis  .e.c.,  hoc  est  nominis  x.d.,  ct  remanebit  id  quod 
fil  cx  ductu  .a.d.  in  .a.e.  Scimus  autem,  quoniam  ex  ductu  .a.e.  binomio  in  se  prouenit 
primum  binomium,  ut  ostensum  est.  Fx  omne  enim  binomium  {sic) , cum  multiplicatur 
in  se,  prouenit  piimum  binomium;  primum  autem  binomium  numerus  csi,  et  radix 
nunicri.  Scimus  etiam,  quos  (j/c)  cx  ductu  .e.c.  in  sc  prouenit  numerus.  Minue  igitur 
de  primo  binomio  mimrrtim,  qui  est  numerus,  et  radix  numeri.  $i  autem  numerus, 
qut  minuendus  est  minor  niimem,  qui  est  in  binomio  primo,  tnne  id  quod  remanet, 
est  niimeru-s,  ct  radix  minieri,  (|uoii  est  binomium.  Si  uero  iiumertis,  qui  csl  minuendus, 
fuerit  maior  numero,  qui  est  in  primo  binomio  , tunc  id  quod  remanet , erit  radix 
numeri  , minus  numero,  quod  est  recisum.  Si  autem  equalis  fuerit,  tunc  remanebit 
i-adix  numeri,  ut  prodixi.  Vnde,  si  iiis  diiiidere  io  per  S,  ct  per  radicem  dc  3,  et  per 
rajdicem  dc  s,  multiplicandus  (ric)  s,  ct  radicem  dc  3 iu  se,  pruuenient  7,  cl  radix  dc 
4S;  dc  quibus  extrahe  scilicet  quadratum  tcrcii  nominis  diuisoris,  remanebunt  3, 
ct  radix  dc  48;  in  quo  binomio  diuidc  multiplicationem  dc  io  in  2,  et  in  radice  de 
3,  minus  radice  dc  5,  per  modum  superius  dcmostralum  : et  si  uis  diuidere  lo  per 
3,  et  radice  de  3,  minus  radice  dc  3,  multiplica  lO  ))er  2,  et  per  radicem  de  3,  ct 
per  radicem  dc  5;  et  que  proiicneririt  diiiidc  pei  2,  et  radicem  de  48:  similiter  si  uo- 
lueris  diuidere  radicem  dc  lo  per  radicem  dc  6,  et  radicem  de  ?,  ct  radice  8,  miil- 
liplicabis  radicem  de  6,  et  radicem  de  7,  cl  de  8,  in  radicem  dc  6,  el  radice  de  7,  minus 
radice  de  8,  ct  prouenieiU  5,  et  radix  de  tes,  quod  est  binomium;  in  quo  diuide  multipli- 
catioiirm  radicis  dc  lo  in  radicem  de  6,  et  in  radicem  dc  7,  minus  radice  de  8.  Et  si  ms 
diuidere  radicem  radi(*is  de  2on  per  radicem  de  6,  et  radicem  de  7,  minus  radice  8,  mul- 
tijdicabis  radicem  de  200  per  radicem  de  6,  ct  [»er  radicem  dc  7,  el  per  radicem  de  8; 
et  que  prouencrint  diuidc  per  5,  et  radicem  de  ics;  et  sic  studeas  facere  in  similibiLS. 

Incipit  f>ars  de  inuentione  radicum^  binomiorum  et  recisorum. 

Si  uis  inuenire  radicem  alicuius  binomii,  studeas  diuidere  maius  nomen  in  duas 
partes,  quarum  una  multiplicata  per  aliam  faciat  quartam  partem  quadrati  minori-S  nomi- 
mtni.s;quarnm  duarum  partium  radices  in  similis  (j/c)iuncte,  erunt  radix  quesiti  binomii. 
Nam,  qualiter  ipse  partes  inueniri  dclicant,  in  linea  ostendamus  : adiaceat  binomium 
quodlibet  .ii.g., cuius  maius  nomen  sil  .u.&.,quod  passit  super  numerum  .b.g.  equale  nu- 
mero .«f.;  et  diuidatur  .a.6.  ]>er  medium  suj>er  punctum  .e.,  et  addatur  radix  quarte 


Digitized  by  Googie 


377 

jiarlis  numeri  .fi,  linee  .o.e.,  sit<|ue  ,e./.;  diro  linea  .n.b.  diuUam  esse  in  duas  paries»  rjnc 
simt  .<!./.»  et  quatiim  min  iiiuUiplicatn  in  iiliani,  equatur  quarte  parti  quadrati  linee 
.^.g.Oiioniam  linea  .n.b.  |Mitcst  nummirn  et  quadnilum  nominis  .b.g,i  medietas  ergo 
nominis  .a.b.t  silicet  .a,e.t  poterit  (piartam  pariem  numeri  .d,,  et  quadrati  nominis  ,b.g. 

Kt  ({uoniam  linea  .a.b.  diuisa  est  in  duo  eqiinlia  super  ,e.,  et  in  duo  iuequalia  super 
erit  multiplicatio  .b,f,  iii  .f.tt.  cum  qi.adruto  liiicc  .e.f.  cqualis  quadrato  linee  .n.e.j 
ergo  id  quod  fit  ex  ductu  .b.f.  iii  ,/.n.  rum  qumliato  linee  .e.f.  cqualur  quarte  parti 
nomiui  (xiV)  .d.^  et  quadiati  nominis  .b.g.:  sed  quadratus  Itncc  .e.f.  est  quarta  pars  nu- 
meri .d.'f  quare  id  qu(xl  fit  c\  ductu  .b.f.  in  y n.  cqualur  quadrato»  (pii  fit  a dimidio 
linie  (j/c)  » lioc  est  quarte  )mrtt  qiuidrati  totius  nominis  et  hoc  uoicbamiis. 

Kt  notandum,  quini  si  .a.g.  fuerit  hiuumium  primum»  tunc  .e.f.  erit  numerus:  quare 
tota  .a.f.  erit  similiter  niiincnis,  cum  .a.e.  sil  nninenis;  est  enim  lota  .n.h.  numerus, 
scilicet  maius  iionien  hiiioniti  primi.  Vnde  ,f.b.  erit  numerus;  quia  extracto  numero 
.a.f.  ex  numero  .a.b.t  remanet  .f.b.  similiter  nunicnis  ratiocinatus,  Kt  si  hinoinium 
‘ft.g.  fuerit  secundum  uel  tcrcium»  tunc  linea  .a.e.  erit  radix  numeri  commiicans  linee 
.e.f.  Ouare  linee  .a.f.  et  .f.b.  erunt  radices  dnonini  diucrsonim  iiiinicrorum.  Kt  si 
hiiiomium  .a.g.  fncrit  aliquml  ex  tribus  binomiis  reliquis»  erit  linea  .a.f.  hinomium, 
et  linea  .f.b.  rerisuni,  ut  in  decimo  cuditis  (j/c)  habentur.  Restant  Ilaquc  ostendende 
radices  partium  .n./.  | et  .f.b.  insimul  cmiiuiictc  e.sse  radicem  tutius  binomii  ,a.g.:  r.a. 

sit  que  radix  puiciuiiis  .a.f.  liiica  .I.z.t  cl  portionis  .f.b.  sit  dico  quod  .i.t.  est 

radix  hiuomii  .a.g.  Quoniam  .i.t.  diuisa  est  in  duo  super  .z.  » erunt  duo  quadrati 
portionum  .i.z.  z.t.  cum  duplo  .i.z.  in  eqtiales  quadrato  totius  linee  sunt 

enim  quadrat)  portionum  .i.z.  z.t.  numeri  .a.f,  f.b.  » hoc  est  numeros  .a.b.t  sed  cx 
ducta  .i.z.  in  .z.t.  prmieuit  radix  cius»  qumi  fit  ex  .a.f.  in  cum  .a.f.  ct  .f.b. 
sint  quadrati  portionum  .i.z.  z.t.  Scil  cx  ductu  .a.f.  iii  .f.b.  pruuenit  quadratus  di- 
midii nominis  .b.g.  Quare  ex  .a. I.z.  iii  .z.t.  pruuenit  dimidium  nominis  .b.g.  : ergo 
ex  duplo  .i.z.  iu  .z.t.  proueiiit  namen  .g.b.t  ergo  cx  ductu  ,i.t.  in  se  pmucnit  hino- 
mium .a.g.  , oportebat  ostendere  : et  ut  hcc  halK‘antur  in  numeris  » sit  hinomium 
.a.g.  primum,  cuius  maius  nomen  .a.b.  sit  33 ; ct  minus  .b.g.  sit  radix  de  448.  £t 
extrahatur  quadratus  minoris  nominis  ex  quadratu  maiuris,  scilicet  44s  de  539,  remanent 
81;  ct  diuidatur  .a.b.  per  medium,  ucnict  .a.e,  \ li;  quihiis  addatur  radis  quarte  partis 
de  8i»  scilicet  4»  que  sunt  dimidium  radicis  de  si,  erit  .a.f.  tota  lo;  rpiihiis  extractis 
de  23,  reriiaiicnt  7 pro  numero  .f.b.  Nam  multiplicatis  7 per  16,  silicet  ./>./.  per  ./.a., 
niniinim  ti2»  scilicet  quarta  pars  quadrati  nummis  .b.g.  proucnient,  ut  nolebamus  . 
acceptis  itaque  radicibus  numerorum  •//./. /.i.,  ucnient  4»  ct  radix  dc  7 pro  radice 
23,  et  radicis  de  448  insimul  coniuuctunim.  Kt  si  radix  dc  23,  minus  radice  dc  448, 
tialicre  desideras,  ipsam  esse  4»  minus  radice  de  7»  eisdem  demunstniiiunibus  poteris 
inucnire. 

Item  sil  hinomium  .a.g.  secundam»  cuius  maius  nomen  sit  radix  de  44»;  minus  ,,  . , ... 

ucro  sil  M.  In  quo  hinomio  maius  nomen  potest  252,  plus  minori;  quorum  quarte  jVc  ^ ^ 

partis  radix»  scilicet  de  63»  addatur  quadrato  medietatis  maiuris  nominis,  scilicet  radici  ^ ..  r * « 

quarte  partis  de  448,  erunt  radix  dc  112,  et  radix  de  63;  quibus  insimul  iuiictls»  fa-  — — — 
ciunt  radice  {uc)  dc  343  pro  linea  .a.f.i  et  extracta  quidem  radice  dc  63  ex  radice  dc  1I2, 

48 


Digitized  by  Googie 


..I  M.  ....  to  r M 172 

ii»-  |u(-  S70,  Ii». 

» • |l>J. 


..I  uu  3 m X . fui.  t7t 
• «(‘M.  Im  XI  r XX;  |<<g  3}8 . 
Im  XX.  33  t 31' 

- f i 


37D 

silicei  .e/,  ex  .e.b.  , remanet  pro  linea  .fM.  radix  de  " ; et  sic  pro  radice  de  «s, 
et  de  14  insimul  couiuoctis  liahetur  radix  radicis  de  343)  et  radix  radicis  de  7.  Quare 
pm  radice  radicis  de  448,  minus  14,  Iiabetur  radix  radicis  de  343,  minus  radice  radteU 
de  7.  Kudemque  modo  inueiiies  radicem  tercii  Liiioroii,  et  eius  recisi. 

Nam  si  nidiccni  quarti  biriomii  iiiiietiirc  uis,  adiaceal  iterum  binoinUim  .n.g.,  cuius 
maius  nomen  .a.b.  sit  so;  minus  quo(|ue  .b.g.  sit  radix  de  S40j  ex  quibus  nominibus 
maius  nomen  potest  I60,  plus  minui*e.  Uadi.x  quarte  ]>arlis  quorum,  sUicet  de  4o,  si 
addatur  dimidio  maioris  numinis,  scilicet  linee  .n.e.,  habebuntur  lO,  et  radix  de  4o 
pro  linea  .a.f.  : que  cum  agregari  non  possint , est  tota  linea  .a.f.  bimmiia.  Quarc 
residuum  .f.b.  est  recisum  constans  ex  lo,  minus  radice  de  40:  harum  itaque  duarum 
quaiititatuiii  M.f» , et  .f.b.  radices  in  iitium  coniunclc  sunt  radix  de  xo  , et  radices 
de  240.  Num  radix  residui,  in  quo  .a.f,  super  halmiidal  .f.b,  est  radix  de  20,  minus 
radice  de  240.  Kt  si  .secundum  hunc  | iiunc  (x/c)  modum  in  iuncione  radicum  quinti,  et 
sexti  hiiiomium  (Jic),  et  eorum  recisorum  processeris,  nullatenus  puteris  deuiaiT. 
hlrprkit  tractatus  t!e  quadratis  radicibus. 

Incipit  pars  quinta  de  inuentione  radicttm  cubicarumy  et  de  addictione 
et  multipliaitionCy  et  e.rtractioney  seu  diuisionc  earumdem. 

Cvbiis  quidem  numerus  est,  qui  surgit  ex  roulliplicatiune  trium  C([uu!ium  numerorum, 
uel  ex  aliquo  quadi-alo  numero  in  suam  radicem  ducto,  ut  8,  et  27:  iiam  s suq>unt 
ex  imiitiplicatiunc  de  2 in  2,  ducta  in  2,  uel  ex  miiltiplicatiunc  quaternarii  insuam 
radicem,  .scilicet  in  2;  et  27  sui^unt  ex  tribus  ternariis,  uel  ex  noucnario  ducto  in 
suam  radicem,  que  est  3.  Nam  radix  cubica  octonarii  est  2}  et  radix  cubica  dc  27 
est  3;  et  sic  irilelligas  dc  reliquis  cubis  numeris,  et  eurum  radicibus,  helirpii  autem 
numeri,  qui  cubi  non  sunt,  radices  cubicas  in  numeris  habere  non  possunt.  Viide  ra- 
dices ipsorum  cubicos  {sic)  dicuntur  simie.  Nam,  (pialiter  secundum  propinquitatem 
radix  cubica  cuius  uis  numeri  reperiri  ualeat  demostrabo.  Sed  primum,  uude  modus  rc- 
|>ei'iciuli  has  radices  procedat,  uolo  prcsentialitcr  dcinoiistrare.  Cum  itaque  linea  diuisa 
tu  duas  partes  fuerit,  erunt  cubi  ipsarum  propoi tionuin  cum  tiiplo  mulliplicaliouis 
quadrati  uiutiscnius^iue  sectionis  in  aliam,  equaies  cubo  totius  linee.  Verbi  gmtia:  sil 
linea  .a.b.y  ut  iil>ct  diuisa  super  piitictum  .g. ; dico  cubus  proporcionum  .a.g.  , et 
.g.b.  cum  trijdo  fpiadrati  portionis  .a.g.  in  .g.b.  , et  cum  triplo  quadrati  porlioni.s 
.b.g.  in  .g.a.,  quales  (.r/c)  esse  cubo  tutius  linee  .</.6.;  quod  uideatur  iti  numciis:  sit 
tota  .a.b.  5,  cl  .a.g.  sit  3,  remanebit  .g.b.  s;  quorum  porciunutii  cubi  sunt  27  , ct 
8;  quibus  itisimills  (sfc)  iuuctls,  faciunt  35;  ct  ex  triplo  Spiadrati  dc  3 in  2,  ucniunt  54; 
ct  cx  triplo  rpiadniti  de  2 in  3,  ueniunt  30;  el  sic  liabenliir  in  summa  125,  scilicet 
cubus  quinarii , scilicet  linee  .a.b.  Nam  s est  radix  cubica  dc  125  ; quia  ductis  5 
in  se,  faciunt  25  ; quibus  ductis  in  s , faciunt  123.  ICt  cum  super  banc  diflinitio- 
nem  iliucius  cogitarem,  inueni  hunc  modum  rcperieiidi  radicc.s  , secundum  quod  io- 
ferius  explicalni  : sed  primum  uolo  demonstrare,  quomodo  secundum  hanc  dlfiliiitio- 
nem  deijeat  quilil>ct  numerus  cubicar)  : ut  .si  tiis  ouliiiuire  12,  accipe  cubum  dc  lO, 
et  cubum  de  2;  in  quibus  portionibus  sint  12  diuisa,  erunt  1008 ; super  que  adde 
triplum  quadrati  dc  10  ductum  in  2,  ct  triplum  quadrati  de  2 ductum  in  lO  , sci- 
licet Goo,  cl  120,  erunt  in  summa  i728,  que  sint  cubus  dc  12  ; ct  sic  potes  operari 


Digitized  by  Google 


3T0 

tn  ciibicalione  cuius  uis  nurocri.  Sed  ut  detnonst renuis  nuMhim,  qtialilor  tres  muneri 
equales  uel  diuersi  in  una  imiUipiscatiune  iiuiltiplicaiidi  sint;  per  fptem  nimium  etiam 
omnes  numeri  riibicantur;  adiaeenut  tres  numeri  inequales  , quorum  primus  sit  ii  , 
secumliis  34,  territis  50;  quos  insimul  niultiplirari  <qK)rte:il  ; dcsrnli&ntiir  ij»si  per  oi'- 
(iinem,  ut  in  margine  cernuntur;  et  multipliraulur  3 per  4,  erunt  8;  que  per  6,  erunt 
unitates  4S  : ponantur  s in  loco  unitatum,  et  retineantur  4;  rum  quibus  addes  mul- 
liplicatiuiicni  eorumdem  8 in  s,  erunt  derene  44;  et  muitiplircnlur  s pcr3,  ct4  per 
I,  erunt  lO;  que  per  6,  erunt  d«*cene  co;  qitas  adde  cum  decenis  41  , erunt  decene 
104:  ponas  4 in  loco  decenanim,  ct  retineas  to;  {et  10,  que  multiplicata  fuerunt  per 
6,  imiltiplica  per  s,  et  adde  cum  scruatis  lO,  erunt  centene  60  ; et  t per  3 , erunt 
ccuteiiaria  3;  que  3 imilliplica  per  6,  erunt  centenaria  is;  que  adde  cum  60,  erunt  cen- 
tenaria 76  : poiie  8 in  lucu  centenariorum,  et  retineas  7;  cum  quibus  adde  multipli- 
caliuncm  dc  i in  3,  ductam  in  s,  eiimt  miilenc  si:  pone  3 in  quarto  gradu,  et  retineas 
s,  qne  pone  in  quinto  gradu,  ct  lial>ebis  pro  quesita  multiplicatione  sssts;  cuius  multipli- 
cationis proliatio  est,  nt  proba  (Jic)  de  is  multiplices  per  prolumdc  (xic)  34;  et  prolia 
que  protieiicrit, multiplica  per  probam  de  so;  et  proba  que  pixnieiierit,  erit  proba  de  mts: 
ad  quam  summam  etiam  peruenire  poteris,  si  iimiliplicas  12  |ier  34;  quofi  tutum  per  $6. 

Item  si  Ilis  inulliplicare  in  una  multiplicatione  123  per  4S0;  quod  totum  per  789, 
describe  miinerois,  ut  iii  margine  cernuntur;  et  multiplica  figuras  primi,  et  seaindi 
numeri,  secundum  orflinem  demonstratum  iii  secundo  capitulo;  et  nnilliplicutiones,  que 
proucnerinl,  duces  per  figuras  tendi  immori,  ut  inferius  ostendetur:  primum  quidem 
in  multiplicatione  de  113  in  450,  nuiltiplicautur  3 per  6,  faciunt  18 ; que  inutiiplica 
per  jirirnam  figuram  Icrcii  uumeii,  scilicet  per  0,  erunt  unitates  IC2.  Ouarc  ponas  2 
in  primo  loco,  et  scruabis  decenas  le;  ct  multiplicabis  eadem  is  per  secundam  figuram 
tercii  numeri,  scilicet  per  s,  emnt  dcccnc  t44;  ct  accipies  mullijdicatiuncs  positionis 
secunde  figiire  duorum  su|>erioruni  nuineroniin,  scilicet  3 per  s,  et  o per  2,  erunt  i"; 
que  multiplica  per  primam  figuram  tercii  numeri,  scilicet  per  9,  erunt  decene  243  ; 
quibus  additis  cum  decciiis  16,  ct  cum  dccenis  I44  scruatis,  scilicet  cum  decenis  loo, 
erunt  decene  403  : |Kines  3 in  secundo  loco,  et  scniabls  centenas  4o;  et  accipies  imil- 
liplicatioiics  positionis  tcrcic  figurc  duorum  superiorum  numerorum,  scilicet  3 per  4, 
et  6 per  1,  ct  2 per  5,  cnmt  28;  et  addes  cum  40  seniatis  multiplicationem  positionis 
prime  figurc  supcrionim  nuincmrtini,  sidlicet  dc  18,  in  ultimam  figuram  tercii  numeri, 
scilicet  in  7,  erunt  centene  160;  cum  quibus  adde  raultipliciitionem  inuenlorum  27  iii 
secundam  figuram  tercii  numeri,  scilicet  in  8,  erunt  similiter  centene  382;  cum  quibus 
adde  mulliplicationem  inuenlorum  28  in  primam  figunim  tercii  numeri,  scilicet  iii  9, 
erunt  similiter  decene  634:  pones  4 in  tcrcio  loro,  el  seniabis  millenas  63.  ('um  quibus 
addes  Tmiltiplicalionem  supradictnrum  27  in  7 tendi  numeri,  et  dc  28  in  8 eiusdem  numeri, 
erunt  mitiene  476;  et  accipe  inullipiicaliones  positiones  quarte  figure  in  multiplicatione 
duorum  superiorum,  scilicet  dc  2 in  4,  el  de  s in  l,  erunt  t3;  que  multiplica  per  9 tercii 
numeri,  erunt  miilenc  ht;  quibus  additis  rum  millenis  476,  cnmt  milleiie  S93:  pones  3 in 
quarto  loco,  et  retinens  decem  millenas  59;  cum  <[uibus  addt^s  multiplicationem  suprudi- 
ctorum  28  in  7,  ct  de  13  in  8,  erunt  decem  millene  339;  cum  quibus  odde  mulliplicationem 
dc  1 in  4 ductam  in  9,  erunt  decem  millene  39$:  |>ouas  5 iu  quinto  loco,  et  serua  centum 


r..i  i;) 

■ H 10  .aiiM*  |irviurarnl  • 

173  Anr/a,  IlU.  l*7i 
379.  liu.  ?.16). 

22S48  1 

! 

12 

34  j 

.76 


Ifi  frr  ....  » 

(r..|.  173  . hm.  . 

I<ig.  379,  Ii».  24  311. 

41253438  I 

121 

456 

789  I 


Digitized  by  Googie 


390 

millenas  30;  cum  quilms  adJc  muUiplicalioncni  prcdictuitim  i3  in  7,  ner  nnti  cl  multiplica- 
liuncm  de  i in  4 ductam  in  8,  erunt  centum  millcnc  162:  punes  s in  sestu  lucot  et  retineas 
10,  que  sunt  mille  millene;  cum  (piilms  adde  mulliplicatiuncm  de  i in  4 ductum  in 
7,  scilicet  28,  erunt  mille  millene  44:  puiics  4 iu  septimo  loco,  et  4 in  octauo;  et  sic 
liahchis  pro  rpiesita  iiuiltipliraliunc  44253433;  et  sic  potes  facere  in  similibus,  nec  non 
in  cubicatione  cuiusiiis  numeri  trium  li|{uranim.  Vnde  reuertainus  a<l  inuciiltuncm  ra- 
I..I  dicum  cubicarum  quorumlibet  numerunim.  Sed  primum  sciendum  j est,  qui  sunt  numeri 

cubi,  qui  fuerint  a numeris  primi  gradiLs.  Nam  cubus  unitatis  est  i.  Binarii  8,  tcniarii 
S7.  Quaternarii  01.  Quinarii  ii$.  Sexnaiii  sie.  Septenani  343.  Octonarii  513.  Nouenarit 
729.  El  cubus  itaque  decenarii  est  lOOO:  quibus  per  ordinem  cordclcnus  cngnolis,  sciatis, 
quod  radix  cubica  numerorum  unius  et  duarum,  et  trium  figiinmim  est  una  figura. 
Quatuurucro  figunmini,  et  quinque,  et  sex,  radix  cubica  est  mimcnis  duarum  figurarum; 
septem  autem  figunirum,  et  octo,  et  iioucm,  nidix  est  numerus  tiiiiin  figurarum;  et 
sic  senipcr  deinceps  crescendo,  unam,  uel  duas,  ucl  tres  figuras  numero  iu  eius  radice 
crescet  una  figura  tantum:  liis  itaque  intellectis,  oportet  dmrerr,  qualiter  inueiiiatur 
dlilcrcntia,  que  est  iiitcr  aliquem  cubum  niiuiciiini  , et  suum  sef|uentem  : imiltipU- 
cabis  itaque  radicem  unius  per  radicem  alterius;  et  quod  prouciicrit  triplicabis;  et 
.summe  addes  i , quod  pruuciiit  ex  cubicatione  unitatis  , in  ({ua  railix  maioris  cubi 
super  liabundat  radicem  minoris.  Verbi  giatia:  uolu  scire  quantum  addit  cubus,  i]ui 
iit  a 3 super  cubum  qui  fit  (^/c)  3:  multiplicationem  ita<|uc  de  3 in  3 triplica,  erunt  18; 
fii*3  quibus  adde  1,  erunt  I9  pro  diircreiiciu  qiiesita;  que  lo  si  addaiiliir  super  cubum,  qui  fit 
«•r,..,  u IV',  1^8-  m.  h».  a binario,  scilicet  super  8,  ucniciil  87,  scilicet  cubus,  qui  fit  a ternario:  bis  explicatis, 

. I-  1 I • . » • • 

inuematur  radix  de  4?  secundum  propinquitatem  : pnmum  qimlcm  accipc  maiorem  ra* 

:* t 1 i tliccm,  quam  habent  47  iu  integris,  et  est  3;  quorum  cubum,  scilicet  27,  extrahe  de 

47,  rcmmienl  su:  ergo  radix  cubica  de  47  est  3,  et  remanent  30;  que  3 sit  linea 
el  propurlionubis  20  ad  dineieiiliam,  que  est  inter  cubum,  qui  fit  a 3,  et  cubum,  qui 
fit  a 4:  qiumi  diflcmitiam  itiuciues  ex  triplo  multiplicationis  de  3 iu  4,  uno  addito, 
uel  ex  cxtnicionc  37  de  r»4;  que  differciitiu  est  37,  ex  quibus  30  sunt  plus  medietate. 
Quare  adde  ^ super  lineam  M.h.;  sil<(ue  .b.g.}  et  iuuciiiatnr  cubus  lumieri  qui 

.sic  imienitur:  cubicabo  .secciunes  .a.b.^  et  .b.g.^  erunt  \ 37;  quibus  su{)cr  addam  triplum 
qiiailrati  numeri  .a.b.  iu  •b,g.,  nec  iion  el  triplum  quadrati  numeri  .g.b.  in  .b.tt.  , 
lioc  est  2 j s,  erunt  \ 42;  a quibus  u.<u|ue  in  47  desunt  ~ 4 : ergo  radix  cubica 

de  47  est  I 3,  et  siiperliabundaiil  | 4;  que  etiam  pra]M}rtioiiabis  ad  mimernm,  qui  ucnit 
ex  triplo  .a.g.  in  4,  que  sunt  radix  sequentis  cubi;  qui  numerus  esi  43,  lioccst  ex 
triplo  de  ^ 3 in  4;  ex  quibus  jiredicta  | i sunt  quasi  decima  pars  : (jtiare  udde  nu- 
mero 7;,  que  sit  Cuius  cubus,  qui  est  cura  triplo  quadrati  ,a.g.  ducto 

in  silicet  cum  3 > nec  non  et  cnm  liipio  quadrati  .g.d.  ducto  in  .g.n.  , 

scilicet  cum  cxlralic  de  J 4,  remaacbunl  , que  sunt  ErgfTradix  cubica  de 

47  est  j-  I 3,  scilicet  \ 3,  et  remanet  inde  parum  amplius  de  J unius  integii;  (juam 
terciam  si  proporcioiiaucris  ad  numerum,  qui  proueiiit  ex  triplo  ,a.d.  iu  4,  propius 
iiiiuirum  ad  radicem  de  47  deuenies. 

Item  si  uis  iuuenira  radicem  cubicam  de  000.  lain  scis,  quia  radix  eorum,  quam  IiuIrmiI 
in  iiitegnim,  cum  sint  numerus  tcrcii  gradus,  est  una  figura  lanium;  quam  accipc  , 


Digitized  by  Googie 


081 

ct  est  9,  rpiorum  culms  est  7i0:  «{uibus  extractis  ex  900*  rcmaucnt  i*i ; cl  inucnies 
iliiTcrciiliam,  | que  est  a cu)k>  nuuetiarii  usque  in  cubum  dccciiurii;  que  (lifTerctitia 
est  S71  : pi'0|M)rliuiia  ei*go  resiilua  I7l  cum  £7i,  ucnient  parum  minus  tlc  |.  Quarum 
duarum  terciariim  rubum*  scilicet  -V*  extrabe  de  t7(,  remanebunt  ^ t70:  deinde  mul- 
tiplica triplum  quadrati  9*  scilicet  t\3  per  hoc  est  accipe  ^ de  su*  erunt  162;  que 
extrabe  de  ||  I70*  remanent  ^ 8:  deinde  accipere  (sic*)  (|uadratum  de  |*  erunt  quas 
triplica*  ucitiet  | I;  quem  numemm  multiplica  per  9*  ucnient  IS;  que  cum  iioii  possint 
extrahere  de  ' -b*  extrahes  ^8  de  12*  remanent  3 diminuta.  Krgo  radix  de  900  est 
I 9,  ct  desunt  inde  » o*  huc  est  cubus  de  | 9 est  ~ 9O0:  «piem  inucnies,  si  de  | 9 facies 
tcrcias*  scilicet  29;  cl  cubiraucris  20,  ct  euiimt  culuim  per  27  diutscris , scilicet  (>er 
cubum  ternarii.  Kt  si  propius  ad  radicen  de  ooo  ucnii-e  uis,  multiplica  ^ o per  lo;  ct 
quod  pruucncrit  tiiplica;  uel  triplum  de  | 9 per  lO  multiplica*  exibunt  290.  In  quibus 
diiiidc  ^ 3;  et  quod  prtmencrit  iibicc  de  } 9*  et  Imbebis  jiropositum. 

Rvrsu.s  si  uis  inuenire  radicem  de  231S.  lam  scis,  <piia  radix  eorum*  quam  linboiil 
in  integrum*  est  numerus  duarum  figurarum.  Quare  ultima  figura  ipsius  radicis  po- 
nenda est  sui)  secundo  gradu.  Nam  que  figura  ipsa  esse  del»eat*  indicabo,  ndinque  itaque 
ex  2340  tres  figuras*  (]iie  faciunt  terciimi*  ct  secumlum*  ct  piimum  gradum*  remanent 
2;  ex  quibus  accipe  maiuitMU  radicem*  quam  babeiil  in  integrum,  que  est  i*ct  nmiauct 
i;  quam  ra<licem*  scilicet  i,  pones  sub  4;  et  pro  i quod  remanet,  pone  i super  2; 
et  copulabis  ipsum  cum  343*  eimnl  1345;  cl  sic  pm  radice  de  2345  habentur  lo,  scilicet 
1 in  secundo  gradu*  et  remanent  1345;  pru  quibus  ante  positum  i oportet  ponere  talem 
figuram  sub  5*  rpie  muUiplicala  ipsa  per  ln]>lum  cpiadrali  posite  figuro  sub  4,  nec 
non  ct  multiplicata  eadem  posita  figura  per  triplum  (piadrati  ponende  figuro*  etiam 
cl  cubitata  i[*sa  ponenda  figura;  ct  liec  onmia  extractu  cum  fuerint  de  1345,  non  re- 
maneat inde  ultra  triplum  multiplicationis  tocius  inuente  radicis  in  numerum  sequentem 
in  ordine  numeromm  ; <piam  figunini  inuenire  imii  poteris,  nisi  ex  usitato  arbitrio. 
Erit  enim  ipsa  figura  3;  qna  pasiUi  sub  s*  triplicabis  quadratum  posite  figurc,  erunt 
3*  que  pones  sub  tcrcio  gradu;  quia  cum  multiplicatur  secundus  gradus  in  se*  tercium 
gradum  facit;  ct  multiplicabis  posita  3 sui)  5 per  posita  3 sub  3,  cnint  0;  que  extrahe 
ex  copulatione  de  i posito  super  2 cum  sequentihus  3*  scilicet  de  13*  remanent  4 * 
que  pone  super  3 tercii  gradus;  ct  triplicabis  quadratum  imsitunim  trium  sub  5*  erunt 
27*  que  {Kjucs  sub  secundo*  ct  primo  gradu;  cpiia  cum  primus  gradus  multiplicat  se 
ijxsum,  primum  gradum  fatit  {sic),  uel  terminantem  in  ipso:  et  multiplicabis  ipsa  27  per 
1 |>ositum  sub  4,  ct  extrahes  ipsam  multiplicationem  ex  copulatione  quaternarii  positi 
super  3,  ct  sequentis  rpiateniarii*  scilicet  de  4t*  remanent  17  super  ipsa  44;  que  co- 
pulabis cum  s primi  gradus,  enmt  17S;  de  quibus  extrahe  cultum  ternarii  positi  stiJ) 
5,  scilicet  27*  remanebunt  148;  que  non  excedunt  triplum  multi plicationis  radicis  iu- 
uciite*  scilicet  de  13*  in  ntimmim  sibi  sequentem*  scilicet  in  14  : ergo  raJix  cubica 
de  2345  est  13,  ct  ramumnt  iis:  accipe  ergo  | triplum  multiplicationis  de  13  in  I4*  et 
adde  1*  cninl  547;  ex  quibus  i48  sunt  parum  amplius  (piartc  partis.  Quare  adde  ^ in- 
ucnlc  raddici*  erunt  \ 13;  et  extrahe  ci^o  cuhicatioiicra  de  |*  scilicet  ex  I4S,  remanent 
H 147.  Et  accijtc  triplum  quadrati  de  13,  erunt  597;  que  multiplica  |>cr  {*  uenient  f 120  ; 
<|uc  extrahende  (sic)  I7  147*  remanent  ^ 2i.  Item  accipe  triplum  quadrati  de  |*  scilicet 


cl  »«|| • (^1.  171 

rreit,  Im-  IS-XS  •,  3J1  . 

)•».  14241. 


1 4 8 

1 4 7 

2 3 4 .5 

I 3 
3 2 7 


Digitized  by  Google 


3»t 

et  multiplica  ca5i  per  is,  ueniciU  2j  que  extrahe  de  ^ 2fy  remanent  ^ is^  ct  sic 
pro  radice  de  S34S  liahentiir  ; U)  et  su|H'rhalmmiat  ex  eis  \\  ib.  Quare  multiplica  ~ 13 
]icr  piiraum  sequentem  numerum,  scilicet  per  14,  cniiil  | in  quihus  diuidc  ||  I8, 
exihit  circa  qua  addita  cum  - 13,  reddent  13  pro  quarta  mdicc;  ct  sic  studeas 
facere  in  simiiihus. 

Ut  si  radicem  cubicam  de  3S~89  halierc  desideras,  lam  sis  (x/c),  quia  radix  eorum  est 
numerus  duarum  figurarum.  Quare  dimisis  tribus  prim’s  figuris,  radicem  reliquarum, 
S('ilicct  de  56,  accipe,  eritque  3,  ct  remanent  S9:  pone  igitur  3 sub  secundo  gradu, 
et  S9  super  5G;  ct  triplica  quadratum  positi  ternarii,  erunt  S7,  que  pone  sub  quarto, 
’ 154 i'^'‘iV’s4  * tercio  gradu;  quia  cuin  secunda  figura  miilliplicatur  in  se,  fsiciunt  terdum  gradum  , 

I.H  !i-i!i.  iiel  terminantem  in  ijwo;  ct  studeas  ante  positum  ternarium  jKmcre  talem  liguram,  que 

cum  multiplicata  fuerit  per  S7,  que  sunt  in  quarto,  et  tercio  gradu;  ct  ipsa  multiplica» 
lionc  extracta  dc  897,  scilicet  cx  copulatione  prcdicloium  «9,  ct  si‘<piciilium  7,  remaneat 
inde  numerus,  qui  copulatus  cuin  fuerit  cum  sef|uciiti  figura,  scilicet  ciiin  s,  {lossis  ex 
ipsa  copulatione  extrahere  multiplicationem  trijili  (juadrati  ponende  figurc  iti  3,  scilicet 
iii  positam  figuram  , ct  remaneat  inde  numerus  , qui  cuin  copulatus  fuerit  cum  9 
primi  gradus,  indeas  imic  extrahere  cubum  ij^sius  ponende  figurc;  ct  non  remaneat  iiide 
ultra  triplum  multiplicationis  totius  radicis  iitueiilc  in  iiumcnim  sequentem:  et  hanc 
considerationem  halieus  in  <»miii  ponenda  figura;  eritque  illa  figura  s:  qua  jiosita  sub 
primo  gradu,  multiplicabis  eam  ]>er  *7;  hoc  est  primo  j>er  s,  ct  postea  j>er  7.  Nam  ex 
cluetis  8 in  8 ueniunt  16  ; quihus  extradls  dc  29  , remanent  13  super  ipsis  ; ct  ex 
ductis  8 iii  7,  ueniunt  S6;  quibus  extractis  dc  137,  remanent  8i  super  ijxsis:  post  itee 
multiplica  ft  in  se,  erunt  64  terminantia  in  primo  gradu;  que  triplica,  erunt  m,  si» 
militer  terininanlia  in  primo  gradu.  Quare  pones  ea  su{>er  suos  gradus,  scilicet  sul> 
tcrcio,  et  secundo,  et  primo;  ex  quibus  multiplica  ultimam  figuram  per  3 posita  sub 
secundo  gradu,  facient  3 in  quarto  gradu.  Quare  extrahe  eadem  s,  scilicet  ex  ultima 
Hgura,  dc  si,  remanent  5 sii|>er  s;  ct  multiplica  sequentem  figuram  de  i98,  scilicet  9, 
per  eadem  3,  erunt  S7  terminantia  in  tertio  gradu;  quia  cuin  secundus  gradus  mul- 
tiplicat secundum,  tcrcium  gradum  facit.  Qnai*c  cxlrsdic  87  dc  51,  que  sunt  in  tercio 
gradu,  remanent  in  eisdem  gradibus  2i;  quilms  copulatis  cum  s sequentibus,  cnint  84s; 
cx  quihus  extrahe  mulliplicatiuncm  figurc  primi  gradus  de  192  in  3 prodicta,  remanebunt 
S42;  quibus  copulatis  cum  9 sequentibus  , enint  2429  ; et  ex  quibus  extrahe  cubum 
(ictonarii,  scilicet  5I8,  remaiiebmit  19I7:  uel  aliter:  multiplica  8 in  se,  erunt  64,  que  pone 
.sub  secundo,  et  primo  gradu,  multiplicans  6 per  8,  extrahens  dc  2i2,  remanent  19I  su{>cr 
I..I.  m .^^0.  i|xsis  242;  quilms  copulatis  cum  9 sequcn|tihus,  faciunt  1949;  ex  quihus  extrahe  multipli» 
rationem  prime  figure  de  64  in  s,  scilicet  32,  remanebunt  similiter  1917,  ijuc  non  super 
liabundaiit  triplum  multiplicationis  de  38  in  39.  Ergo  radix  aibica  dc  56780  est  38,  et 
remanent  inde  1937.  fhmd  rcsiilmim  addit  super  prediclc  {sic)  38. 

Rvrsus  si  uis  imienire  radicem  dc  456789,  diuisis  iribus  primis  figuris,  radice  rclin- 
quarum  trium  , scilicet  de  456  , que  ast  7 , pone  sub  secundo  gradu  ; et  residuum  , 
quod  est  113,  pone  super  eis;  ct  triplum  quadrati  dc  7,  scilicet  147,  jwiic  ita  ut  sint 
terminantia  sub  tercio  gradu;  et  studeas  imienire  figuram,  que  ponenda  est  .snb  primo 
gradu  anle  posita  7 per  rao<luni  demonstratum;  eritque  7,  quam  pone  sub  primo  gradu; 


Digitized  by  Google 


383 

cl  muUiplua  cnm  per  i de  ut,  erunt  v,  que  cslralic  ex  ii,  que  sunt  super  45,  re* 
manent  4 super  quinlum  gradum;  que  copula  cum  3 sec^uentibus,  faciunt  43;  de  quibus 
lolic  inultiplic^aliuncm  corumdem  7 in  4 de  M7,  remanent  15  super  43;  quibus  cupu- 
lalis  cum  7,  erunt  I57;  ex  quibus  tolle  multiplicatiuiicm  corumdem  7 primi  gradus  in 
7,  que  suut  in  40,  remanebunt  tos  super  1S7:  deinde  triple  (.«e)  quadnilum  septenarii 
primi  gradus,  erunt  I4T  terminantia  in  tertio  gradu;  que  ordinate  per  suas  diiVerentias 
|)cr  7,  que  suiit  posita  sub  so<'Undo  gradu,  mniiulum  quod  in  diuisionc  numerorum  do* 
ruimus  miilliplica.  Nam  ex  uno  ductu  iit  7 ueniunt  7;  quibus  extrat  tis  de  lo  , re- 
manent 3 super  o;  et  ex  4 ductis  in  7 ueniunt  28  ; quibus  extractis  de  38,  remanent 
10  super  38;  et  ex  ductis  7 in  7 ueniunt  4o ; quibus  extractis  de  los  , remanent  59 
super  tcrciiira,  et  scniiidum  gnidiini;  quibus  copulatis  cum  o primi  gradus  , faciunt 
509;  ex  quibus  extrahe  cubum  septenarii,  scilicet  343,  remanent  256;  et  sic  radix  in- 
uenta  est  77,  et  immanent  256. 

Adime  si  uis  inuenire  radicem  de  9876543;  diulsis  siquidem  tribus  primis  figuris,  re- 
manent 0Hj6;  (]uibus  positis  in  aliam  pariem,  eorum  radicem  inucnias  ordine  demon- 
stratu, erit  que  21  ; et  remanebunt  inde  Gis  : pone  ergo  21  sub  tercio  , et  secundo 
gradu,  cum  radix  septem  figurarum  sit  numerus  figurarum  tiium;  et  remanentia  615 
pone  super  876,  vt  liic  r»stcnditur  ; cl  tiipla  quailratiim  de  21 , erunt  1323;  <pie  po- 
nenda sunt  tcrininaulia  iii  tercio  gradu,  in  quo  terminatur  niultiplicaliu  unitatis  in  se, 
<pie  posita  est  sub  sccuiidu  gradu.  Quibas  ita  positLs,  cadit  ultima  figura  eorum  sub 
sexto  gradu:  deinde  pone  4 ante  21,  que  figura  inueiiitur  ex  magisterio  superius  dc- 
munslrato;  et  multiplicabis  i|isa  4 per  unam  quamque  figuram  ordinate  de  1323;  et  in- 
cipies cxtralicre  a e,  que  sunt  super  sextum  giaduin;  quia  cum  primus  gradus  sextum 
iiuiUipUcat,  sextum  gradum  facit:  ergo  uiultiplicabis  4 per  1 , et  extrahes  de  0 , re- 
manebunt 2 super  6;  et  4 ]>cr  3,  et  extrahes  de  21,  remanebmil  9 su|>cr  l;  et  4 per 

2,  et  extrahes  de  ss,  remanebunt  87  su|>er  quintum,  et  quaiiuni  gradum;  et  4 per  3, 

et  extrahes  de  875,  remanebunt  863  super  quinlum,  et  ([uartiim,  et  tcrlium  gradum: 

deinde  accij>c  triplum  quadrati  de  4,  stniicct  48,  et  pone  sub  sccuiido,  et  jirimo  gradu; 
et  multiplicabis  4 ex  i|>sls  48  per  2 de  21  [Hisilis  in  radice,  erunt  s,  que  extrahenda 
sunt  de  numero  terminante  in  quarto  gradu,  scilicet  de  86;  quia  cum  secundus  gradus 
multiplicat  tercium,  quartum  gradum  facit;  reniaiiebunt  | 78  ex  ipsis  86  super  quinlum, 
et  quartum  gradum;  cl  eadem  4 muUiplicabis  per  i de  21,  erunt  4,  que  extrahenda 
sunt  de  numero  terminante  in  tertio  gradu,  scilicet  de  7S3;  quia  cum  secundus  gradas 
secundum  iiiultiplic»l,  tercium  gradum  facit;  remanebunt  779  super  quintum,  et  quartum, 
et  teixiiuin  gradum  : deinde  nuiltipUcand:i  sunt  8,  que  restant  de  4h  gradatini  per  eadem 
21.  Krgo  multiplicabis  s per  2,  faciunt  ic  ; que  extrahes  de  numero  terminate  in 
tercio  gradu;  quia  cum  primus  gradus  multiplicat  tercium,  temum  gradum  facit;  re- 
manebunt 763  super  quinlum,  et  quartum,  et  tercium  gradum:  et  8 per  1,  faciunt  s; 
que  extrahes  ile  numero  terminale  in  secundo  gradu,  scilicet  de  7634;  quia  cum  primus 
gradus  multiplicat  secundum,  secundum  gradum  faciuut;  remanebunt  inde  7626  super 
quinlum,  et  quartum,  et  tercium,  et  secundum  gradum;  que  copula  niiu  3,  que  sunt  in 
ptimo  gradu,  erunt  76263;  de  quibus  extrahe  cubum  de  4, scilicet  64, remanebunt  76199  super 
radicem  iiiuculam,  <}uc  est  214:  eodemque  modo,  si  radice  (.r^)  alicuius  numeri  octo,  ucl 


• «*l  .... 

ifiit.  17&  rrrf*.  lan.  7-1- 
392.  lia.  40r4l  — IUI 
I».  6| 

I 

3 3 
1 0 5 

4 5 0 S 

1 1 3 8 9 0 

4 3 0 .7  8 9 

7 7 

1 4 7 
I 4 7 

I * » 


•iit>  (mio  ....  a««1<lfiii 

17}  , 1.0.  26  3« 

S83.  lio-  16-28;. 


8 6 3 
2 9 7 9 
6 15  3 6 
9 8 7 6 5 4 3 


13  2 3 

4 8 


Pfi  . 

IHJ. 


. ^f.4. 

t 37  . 


Digitized  by  Coogie 


3SI 

noiicra  figurnnim  rcpcrirc  iiLs,  rcliriU  primis  figuris,  ratticcm  reliquarum  per  ilemou- 
straliim  modum  iniienirc  studeas:  et  dciiidc  copulato  residuo  carum  cum  trihiis  dimissis 
figuris,  facies  semindiim  qucMt  modo  fecimus;  et  iriuenies  quesitum,  $i  deus  uoluerit  : 
cademrjue  uia  cl  ordiue  |)otcris  operari  in  reperiendis  radicibus  cubicis  numerorum 
dreem,  ucl  plurium  ligunmim. 

Evpiicit  (ie  inuentione  radienm  cnhicarnm. 

Incipit  ile  mnltiplicntione  carnmde.m  inter  se. 

Si  Ilis  multiplicare  radicem  cubicam  de  4o  per  radicem  cubicam  dc  co,  mtiUiplira 
40  |>cr  60,  erunt  J400;  quorum  radix  cubica  csl  id  quod  queris:  ct  si  uis  s multiplicare 
per  radicem  nibicam  de  90,  cubica  5,  erunt  12S.  Ergo  uis  multiplicare  radicem  cubicam 
dc  IS5  per  radicem  rtibicain  dc  9).  Ouarc  multiplicabis  <2.1  per  90;  et  eius  quod  pro- 
uciierit  radix  cubica  est  illud  quod  qucrls.  Kt  si  uis  multiplicare  duas  cubicas  radices 
de  so  per  tres  radices  cubicas  dc  40,  rc<blige  eas  ad  rndiixm  cubicam  unius  numeri 
sic:  pro  duabus  radicibus  de  so  cubica  2,  cniiU  s;  que  multiplica  per  20,  erunt  I60; 
quorum  radix  culMca  er|uatur  duabus  radicibus  dc  20.  Similiter  pni  tribus  radicibus 
dc  40  cubica  3,  omni  27;  que  multiplica  per  40,  erunt  loso;  quorum  i-adix  cubica  Ita- 
lK'tur  pro  tribus  radicibus  de  40.  Multipli<‘a  ergo  100  per  toso;  et  eius  qiuxl  proue- 
iierit  radix  cubica,  erit  illud  qiUMl  qiicris.  Item  si  uis  multiplicare  radicem  cubicam 
de  20  pro  aliquid  {sic)f  unde  prouenint  aliquis  numerus  datus,  ut  dicamus  10;  cubica 
!0,  erunt  1000;  que  ditiidc  per  20,  exibunt  5o;  quorum  radix  cubica  est  id  quod  queris. 

Et  si  uis  iiitienire  duas  radices  culiicas  numerorum  non  cubomm,  que  insimul  multi|di' 
cato  (.r/c)  faciant  numerum  mliocinntum.  Culiica  unum  numemm  c|ualem  uis,  ct  inuenias 
duos  numeros,  qui  insimul  multiplicati  faciant  ijtstim  cubum  numerum.  Cubice  autem 
radices  ipstimm  dmirum  numerorum  crunl  qiiesita.  Verbi  gratia:  cubicentur  6,  erunt 
2to;  et  innenias  dtnrs  numeros,  qui  insimul  multiplicati,  faciat  210;  cruntque  9,  et  2); 
quorum  radices  cubice  sunt  qiiesita.  Alitor  | adiaceant  duo  numeri  4|uadrali  quauis  (jie) 
siiitquc  4,  ct  0;  ct  mulliplien  umim  quenque  i|Vsorum  per  radicem  alterius,  exibunt 
12«  ct  18;  quorum  radices  insimilis  (s/c)  mulliplicale  faciunt  radicem  cubi  numeri,  ut 
quercb.itnr. 

Si  uis  dinidere  radicem  cubicam  dc  100  per  radicem  cubicam  de  s*  diuidc  100  (»er 
s,  proiiciiienl  20;  quorum  radix  cubica  est  id  qiiml  tjucris.  Kt  si  diuLseris  s per  IDO, 
prouenil  citius  radix  cubica  csl  id  quod  proucnit  ex  radccc  (sic)  de  S diuisa  in  mdirem 
dc  100.  Et  si  uis  diutdere  s per  radicem  dc  32,  cubum  do  8,  s«'ilicet  312,  diuidc  per 
32,  iicnict  16»  quorum  radix  cubica  est  id  quod  (|uciis.  Et  si  uis  diuidere  tadirem  de 
so  per  2,  diuidc  80  per  cubum  binarii,  uenlent  10;  <pionim  radix  cubica  csl  id  quod 
queris. 

Item  si  uis  dinidci^c  octo  radices  cubicas  de  10  per  tres  radices  cubicas  dc  .5;  red- 
diges  pluralitatem  ipsanim  radicum  ad  nidicem  unam,  et  babebis  3120  pro  octo  ra- 
dicibus dc  10;  et  pro  tribus  radicibus  de  5 baliebilur  nidix  dc  13S. 

Eipticit  de  multiplicatione  radicum  c«^/crtr«wi. 

Incipit  de  diuisione  ennim  inter  se. 

Scias  in  additione,  ct  disgn^g, 'itione  radicum  cubicarum  cuenirc  ea,  que  inter  radices 
eiicniuni  (quadratorum,  uidelicet  quod  quodam  ex  eis  jHissiuit  inter  sc  agregari  , et 


Digitized  by  Googie 


m 

dtsgrcgari,  et  quodam  non.  Cum  itaqnc  culn  radicum  inter  se  pro|inrlioucm  baliucniit, 
ut  «niLus  iiunieriis  ad  numerum,  tunc  inter  sc  agregari  ]>a<;suiit,  et  disgregarl. 

Vude  ca?;  ^ (jtiarum  nibt  linlM^nt  pro|K>rUoriem  , sicut  cubus  minienis  ad  rubum  nu* 
merum,  agregare  uis,  radices  ipsorum  culmnim  insiimil  adde;  et  quml  pruuciieiit  culnen; 
cl  eubicatam  summam  multiplica  per  imilliplicitalcm  , quam  habent  cubi  ipsarum 
radicum  ad  cuIm)s  pnq>oitionis.  Verbi  gratia:  uis  addere  nidiccin  cubicam  de  «c  cum 
radice  cubica  de  M,  quuiiim  inirnemrum  pruportiu  est  sicut  cubus  mimenis  s ad  cubum 
numerutii  27;  ct  unus  quisque  ipsnrum  duplus  sui  cubi:  adde  ergi»  radicem  de  s cum 
radice  de  27,  scilicet  2 cum  3,  erunt  5;  que  culuca,  erunt  12.I;  que  multiplica  per  2 
prupter  16,  ct  M,  que  sunt  duppla  de  s,  et  de  27,  erunt  2u0;  quorum  radix  cubica 
est  additio  quesitar  et  si  ipMts  railices  disgregarc  tiis,  radicem  de  s ex  radice  de  27 
fitrahe,  remanebit  i;  riiiiis  culmm,  scilicet  1,  mullijdica  per  prediclaiu  mullipliritatem, 
scilicet  per  2,  ct  habebis  radnem  de  2 pru  residuo  quesite  extractionis.  Item  si  uis 
addere  radicem  cubicam  de  t cun»  rndire  cubica  de  32,  quorum  inimcronim  propoiiior(.«c) 
est  sieut  1 ad  s;  et  csl  unus  quisijue  eurum  quadiiiptus  sui  cubi.  Quare  radicem  cnbicam 
dc  I adde  cum  radice  de  s,  cruiit  3;  ijuonim  cubum,  scilicet  27,  quadruplica,  erunt  i08; 
quorum  cubictiiii  (r/c),  S4'ilicct  ; qiioiiim  mdix  culuca  est  additio  qiiesita.  Et  si  nulicem 
de  4 extrahere  uis  ex  radice  de  32,  radi('em  dc  1 extrahe  ex  radice  dc  8,  remanet  l; 
cuius  cubum,  scilicet  1,  «piadruplica,  erunt  *;  quorum  radix  cubica  est  n‘siduum  que- 
silc  extractionis.  Alilcr  sit  linea  mM.  i-adix  cubiea  dc  32,  ct  .h.c.  sit  radix  dc  4;  et 
uolo  S('irc  quantitatem  totius  .ft.c.  Quoniam  linea  .a.c.  diiiisa  csl  in  duo  super  ptinclum 
.b.\f  cruiit  duo  eubi  iMirtioiium  M.b.t  ct  .b.c.  cum  tiiplo  quadrati  ,a.b.  in  .b.c.t  iicc  ru. 
noii  ct  cum  trinio  quadrati  .b.c.  in  .a.b.t  equalos  cubo  lotius  liiiec  .a.c.  Quare  ad- 

dantur  cubi  portionum  .a.b.,  el  .6.c.  , siheet  32  cum  4,  crunl  3G  ; et  multiplicetur  ii«  5}|.i|  ss.i . im. 

.a.b.  in  se,  scilicet  radix  cubica  dc  32,  in  radicem  cubicam  dc  32,  ueiiict  i‘adix  cubica 

de  1024;  quam  radicem  triplica,  scilicet  multiplica  102I  per  27,  uenicl  radix  cubica  de 

27648;  quam  radicem  multiplica  iii  .6.C.,  scilicet  iii  radicem  cubicam  de  4,  uenict  radix 
cubica  de  110502,  que  est  48:  iiel  aliter:  ex  quadrato  linee  .a.b.  in  .h.c.  prouciiiet  semper 
cubus  numerus  iii  similibus.  Quare  multiplica  1021  per  4,  erunt  40'jc> ; <]uorum  radix 
est  cubica  ic;  que  multiplica  per  3,  enmt  4s;  que  adde  cum  36,  erunt  84.  Item  qiia> 
dratiim  linee  .b.c.t  silicei  radix  cubica  dc  10,  multiplica  per./i.^.,  silicei  per  radicem 
dc  32,  ueiiiet  radix  cubica  de  S12,  que  est  8;  f[iic  multiplica  per  3 , erunt  24  ; que 
adde  cum  84,  erunt  to8  pro  cubo  totius  linee  .a.c.  : ergo  .a.c.  , silitet  coiiiurn  luin 
ex  radiec  de  32,  ct  ex  radice  dc  4.  est  radix  cubica  dc  los,  ut  per  alium  modum  in- 
ueriinius.  Et  si  radicem  de  4 per  alium  modum  ex  radice  dc  32  cxU'abeix!  uis,  quaiidam 
diflinilioncm  linee  diuise,  quam  Imic  operi  necessariam  iniieni,  oportet  prcdircre.  Vi- 
delicet ut  cum  aliqua  linea  ut  lilK*t  diiiisa  in  duo  fuerit,  cubus  tutius  linee  cum  rm- 
mem  solido,  qui  fit  a quadrato  imius  sectionis,  et  a tota  linea,  cqiialis  «lupio  numeri 

solidi,  qui  fit  a quadrato  totius  linec  , cl  ab  eadem  sectione,  cl  solido,  qui  Iit  a , ^ , i«5  ri  • r 1.1 

quadraUi  relique  sectionis,  et  a tota  linea.  Verbi  gratia:  sil  linea  .a.b,  5 diiiisa  xi;  p*» 

super  .g.;  ct  sit  .o.g.  3j  quare  .g.b.  est  2.  Erit  itaque  cubus  linee  .a.b.  125;  et  st>-  ^ * 

lidus,  qui  fit  a quadrato  linee  .g.b.  in  Uncam  .a.b.y  erit  20;  quibus  additis  cum  125,  — 

erunt  145;  quibus  equatur  duplum  soUdi,  qui  fit  a quadrato  linee  .a.b.  in  Unca  .b.g. 

40 


Digitized  by  Googie 


U . <|-u  • 

124  Imi.  il  « itfl- 

j;.  |.g.  lii.  *-Ul. 


l-il  177  rrrte. 


386 

rum  solido,  (jui  fit  a quadrato  linee  in  iiuea  .a.b.  Quia  e\  ductu  mM.  in  sc 

ueniuiit  «;  quibus  ductis  iii  eruut  80,  quoiiira  duplum  C8t  lOO;  quibus  additis 

cum  multiplicatione  quadrati  liuec  .§•«.  in  .a.b.i  silicot  cum  45,  faciunt  US»  ut  oportet. 

Ilac  itaque  diffinitione  inlcIlccU,  pro  radice  cubica  de  32  adiaceat  linea  .r/.e.;  et  ac- 
cipiatur ex  ea  porlio  .c.z.,  que  sit  radix  cubiat  de  4,  remanet  .z.d.  ignota  , quam 
iiiuenirc  uolumus.  Constituam  igitur  super  Uncam  .r/.e.  quadrilaterura  cquilalcrura  , 
et  cquianguliuii  ,cJ.e.f.  ; el  signabo  punctum  ,b,  in  lineam  ,c./.  , ita  ut  sil 

et|ualis  linee  ^.z.;  el  por  puiictiira  .b.  prolrabam  lineam  .b.a.-,  et  sil  .a.tl.  equalis 
linee  ,h.e.  Item  per  punctum  .z.  prolrabam  lineam  .z.g.;  et  sil  .g.f.  equalis  .z.e.  : 
quibus  explicatis  accipiam  cubum  linee  .rf.c.,  qui  est  32;  et  multiplicabo  .z.e.  in  se, 
pnmcnit  radix  cubica  de  ic  pn»  quadrato  Ji.z.  e.b.  ; quam  superficiem  ductam  in 
uUuin,  secundum  quantitatem  linee  hoc  esi  multiplicabo  superficiem  .z.6.,  tpie 

est  in  plano,  per  cqualcm  Unce  quam  inlelligo  cleualam  in  altura,  scilicet  ra- 

dicem tic  !B  per  radicem  de  32,  proucnicl  radix  cubica  ipsius  numeri,  tjui  prouenil 
ex  16  in  32:  sed  ex  I6  in  32  proucnit  idem  quoti  ex  dimidio  de  lO  in  duplo  de  32, 
scilicet  ex  8 in  64  : sed  ex  duclU  8 in  64  proucnit  numerus  tmbiis  cum  8 ,|  et  64  sint 
cubi.  Cuius  radix  est  illud,  quml  proucnit  ex  radice  de  8 in  radice  de  G4,  scilicet  de 
2 in  4;  sic  habentur  8 pit)  solido,  qui  fit  a quadrato  linee  .e. z.  in  Uncam  .c.r/.:  quibus 
8 additis  cum  32,  siUccl  cum  cubo  Unce  erunt  40;  de  quibus  si  auferatur  duplum 

stdidi,  qui  fit  a sujtcrficic  .aul.e.b.f  el  Unca  .e.c/.,  Iu»c  esi  duo  solidi,  qui  fiunt  a su- 
perficie predicta,  el  a superficie  .z.e.f.g.  cleuatis  in  altum  secundum  lineam  .e.f/.  , 
remanebit  solidus,  qui  fit  cieiiatas  in  uUum,  secundum  t|uuntitalem  Unce  super 
<|uadraluin  linee  .z.tr.  ingnotc,  scilicet  super  quadritum  Nam  solidus,  qui  fit 

a .superficie  .aM.h.  cleuata  in  .d.c.  habetur  ex  multiplicatione  >b,e.  in  ducU 

in  .e.t/.,  huc  est  ex  «piadrato  Unce  .e.d.  in  .e.z,\  ergo  multiplicabis  radicem  de  32  in  sc, 
ucnicl  radix  de  1024;  ([uaui  multiplicabis  per  hoc  est  per  .c.z.,  siUccl  per  radicem 
de  4,  ucnict  radix  illius,  quod  prouenil  ex  duplo  de  4 in  dimidium  de  1024,  .scUicet 
ex  8 iti  512:  sed  radix  cius  tjui  pruuenit  ex  8 in  si2  est  id,  qm>d  proucnit  ex  2 in 
8,  silicet  ex  radice  de  8 in  radicem  de  512  : ergo  solidus,  qui  fit  ex  .d.e.  in  .c.z.  pro- 
ducta iii  ,d,e.t  erunt  16;  quorum  duplum  extrahe  de  40,  remanent  8 pro  solido,  qui  fit 
ex  quadrato  linee  ,z.d.  in  lineam  .d.e.  Quare  .si  duserls  (iic)  8 (>er  Uncam  silicet  | 

(HM'  radicem  cubicam  de  32,  ueiiict  radix  cubica  de  16  pro  quadrato  linee  boc 

est  pro  supcrfidc  quadrata  .n.g.  Quare  radix  quadrata  radicis  cubice  de  I6  , sciUcet 
radix  cubica  de  4 , est  linea  .h.a.  , hoc  est  linea  .z.d.  \ ergo  si  ex  radice  cubica 
de  32  aufleratur  radix  cubica  de  4,  remanet  radix  cubica  de  4,  ut  per  alium  modum 
iiiucnimus.  Et  quia  inuenta  est  linea  .z.d.  equalis  linee  .z.e.,  erit  tota  linea  .d.e.  duplum 
linee  .€.z.  Vnde  ex  lioc  manifestum  est,  quod  cum  uli<juis  numerus  fuerit  octuplum 
alterius,  tunc  radix  cubica  maioris  cubici  erit  duplum  radix  (r/c)  cubice  minoris.  Ynde 
radix  cubica  de  32  soluilur  in  duabus  radicibus  de  4.  Quare  cum  uis  addere  radicem  de  32 
cum  radice  de  4,  tunc  uis  addere  duas  radices  de  4 cum  una  radice  de  4;  ex  qua  coii- 
iuuetione  proucniunt  tres  radices  de  4,  hoc  est  radix  cius,  quod  prouenil  ex  ductis  27 
iii  4.Siraililcr,  cum  uis  extrahere  radicem  de  4 ex  radice  de  32,  tunc  ex  duabus  radicibus 
de  4 extrahe  unam  radicem  de  4,  remanebit  una  radix  de  4,  ut  modo  inucniraus.  El 


Digitized  by  Coo.‘?l<’ 


587 

til  hor  melius  det  laresrat,  addatur  radix  de  <35  cum  radice  dc  iTlS;  quonim  proportio 
est  sicut  cubus  S7  ad  cubum  3«j  et  est  umesquisque  eorum  quincuplus  sui  cubi.  Ouarc 
accipe  radices  ipsorum  ciilmrum,  erunt  a et  7.  Dic  ergo,  te  urilc  addere  tres  radices  de 
5 cum  septem  nidictbus  dc  s.  Kx  tpia  iunctione  prouciiiunt  decem  radices  cubice  dc  5» 
iioc  est  una  radix  dc  sooo.  Kt  si  uis  extrahere  radicem  de  I35  ex  radice  dc  itis,  extrahe 
tres  radices  dc  5 ex  septem  radicibus  dc  5,  remanebunt  qualtimr  radices  de  5,  silicet 
una  radix  de  33<L  Ht  sic  intelligas  in  omnibus  radicibus  cubicis  inter  se  comuiiicanlibus: 
relique  ucru  radu  rs,  que  proportionem  non  habent,  addi  nec  disgregaii  possunt.  Vtule 
si  uis  addere  radicem  citbic'am  de  s cum  radice  cubica  dc  3,  pmueniet  cx  eorum  ad-| 
dictione  nidix  de  s,  et  radix  dc  3.  Et  si  uis  eas  disgregarc,  habebis  radicem  dc  s,  minus 
radice  de  3;  et  aliter  dici  non  possunt  pulcriiis.  Viide  huic  capitulo  finem  im|K)ni!iius. 

Incipit  capitulum  quintum  tlvcimum  ile  rcf^ulix  f^evmetrie  fyertinentibust 
et  ile  quvstUmibus  alivbre  et  almuchabale. 

FxRtcs  liuiu.s  ultima  (j/c)  capituli  sunt  tres;  qiinnun  prima  erit  dc  proportionibus 
trium,  ct  quattuor  qiuinlitatum,  ad  quas  multe  questionum  geometric  pertinentium  so> 
Inliones  rcddigunlur:  secunda  erit  dc  soluliotic  quarumdam  questionum  geomelriculium: 
tertia  erit  super  mixlum  algebrc,  et  atmuclmlmle. 

Incipit  fMrs  prima. 

Sint  primum  tres  numeri  proportionales  .a.b.^  b.c.yC.(L  secundum  proportionem  cnii> 
tinuaiu  , scilicet  vt  .a.b.  ad  .b.c.y  ila  .b.c.  ad  .c.d.\  et  sit  coniiinctum  numerorum 
.a.b.y  et  .b.c,  to;  et  mimerus  .c.d.  sil  9;  et  quenitur  disiuiictio  numeroniin  .a.b,  b.c.: 
((uoriium  est  sicut  M.b.  ad  .b.c.y  ita  .b.c.  ad  .c.d.  ; erit  ergo  sicut  duo  antecedentes 
ad  unum  ipsorum,  ita  ct  reliqui  antecedentes  ad  suniii  consequentem;  buc  est  sicut 
.a.c.  primus  ad  .b.c.  secundum,  ita  .bul.  Icrciiis  est  ad  .c.d.  quartum;  et  sunt  noti 
primus,  ct  quartus;  et  quia  cum  quattuor  mimcri  sunt  proportionales,  multiplicatio 
primi  in  quarlimi  equatur  uiulliplicationi  secundi  in  lercium:  est  enim  primus  .a.c. 
<u,  et  quartus  .c.d.  est  0;  quorum  multiplicatio,  que  est  equatur  uiultiplicalioiii 
.b.c.  secundi  in  .b.d.  ten:iuiii  : diuidalur  itaque  numerus  .c.d.y  silicei  in  duo  equa 
super  punctum  .e.,  erit  una  queque  portio  eorum  ^4.  Et  quia  numerus  diuisiis 
est  in  duo  equa  super  .e.,  et  ei  adiuiictus  est  ruimcnis  .b.c.  , erit  inulliplit^atio 
adiuncti  in  totum  .b.d.  cum  quadrato  numeri  .c.e.  , equalis  quadrato  numeri 

.b.e.:  est  enim  multiplicatio  ex  .b.c.  iii  .b.d.  90;  ct  quadratus  mimcri  .c.e.  est  ~ so; 
quibus  iii  similibus  {sic)  iiiiiclis,  faciunt  \ iio  pro  quadratu  mimcri  .b.e.;  quorum  radix, 
scilicet  { 10,  est  numerus  .b.e.;  dc  quibus  auferatur  numerus  ,c.e.  , silicet  J 4,  rc- 
uiaiiel)it  .b.c.  numerus  6;  quibus  extractis  ex  numero  .u.c.,  silicet  cx  lo,  remanebit 
numerus  .a.b.  4.  Item  sit  sicut  numerus  .aJb.  ad  ita  .bx.  ad  .c.d.;  et  .a.b.  sit 

4,  et  coniiiiu  tum  ex  numeris  .b.c.y  et  .c.d.  sit  ts ; erit  ergo  sicut  .a.b.  primus  ad 
.a.c.  secundum,  iLi  .b.c.  tercius  ad  .b.d.  quartum  : multiplicatis  siquidem  primum 
eorum  in  quartum,  scilicet  4 |>er  15,  enint  eo;  quibus  equatur  multiplicatio  secundi 
.ax.  in  tercium  .b.c.:  quare  addatur  super  oo  niuliiplicatiu  medietatis  numeri  .a.b. 
in  se,  erunt  Cl;  cx  quorum  radice  auferatur  medietas  numeri  .a.b.y  remanebunt  6 pro 
numen»  .b.c.;  quibus  extractis  ex  numero  .b.d.y  remanebunt  s pro  numero  .c.d.  Rursus 
sit  sicut  .a.b.  ad  .h.c.y  ica  .b.c.  ad  .c.d.;  et  .b.c.  sil  e : coitiunclum  itaque  ex  iiu> 


$iiii  ..  . ] • . ii'i 

177  r^<»,  ti«  ^ , 

Imi  t!). 


^rmiailiit  i r.,  ,1 1 . ‘•'■■I. 
i!7  I tl.  4k&,  |.>n  Siti  . 

1...  » «■  sc, 

t r .1 


Digitized  by  Google 


••••  .f.r.  4 f»l. 

r,l  K-r.1.  lia.  S7,  f>(-  %■<*. 
I...  S f 4<. 

A ^ f <(  *■ 


x rf  fi”" 


l.>l. 


IT8 


«Jiiivii-  . ..  r«uii*i' illini  • (fiil. 
IIH  «>/!•  .1.«  Ii  ^1)  c ^1  i 
i<  i aM.  i,n.  14-W*. 


i|iiil'ti<  *.|u«tur  • tull«  —2  * 
ifiil.  i rrrt*  , lifl>  2S-3S  ; 
]>>A.  MS.  Ii*.  S9  }S|. 


I trilifM  n«Mrr«« 

• jCnl.  17S  »vrf4,lia.  S6-39; 
r^R.  IiB-  29  • 40  4Ia 


f«t  6 ICTBBili 

fiil.  I7B  reri4' 


mcm  .a.b.t  ct  ,c.d.  sit  13;  rjuiit  imiitiplicatio  primi  iii  tcrciuin  cqualur  mulliplicalioni 
seruiidi  in  se  in  tribus  numeris  pruportioualibus  : ideo  serundum  numerum  iti  se 
multiplica,  erunt  36;  quibus  cqualnr  multipiiratiu  ci  ,aM,  in  x.d.i  adiaceat  itaque 
nunicru.s  .r/.e.  eqiialis  iiiimcru  .aM.;  quare  totus  .c.e.  est  <3;  qui  dinidatur  in  duu 
tNjua  super  punctum  , erit  una  ipieqiie  portio  canim  J 6 : ct  (pioniam  numerus 
.c.e.  diuLsiis  est  in  duti  cqiialia  super  , ct  in  duo  incqtialia  sujicr  .il.t  erit  | su- 
perneies  recti  aii;*iila  in  equaliuni  portionum,  scilicet  multiplicatio  .e.ti,  in  .d,c.  cum 
quadrato  numeri  equalis  qmidrato  numeri  .e.f.z  quare  muUiplicclur  «e./.,  silicct 

|6  in  se,  erunt  ^ 4s;  dc  quibus  auferatur  multiplicatio  cx  huc  est  cx  .e.il.  in 

.ti,cr,  ()uc  luulliplicatiu  est  36,  remanebunt  | 6 pro  quadrato  numeri  •/.f/.;  quorum 
radix,  scilicet  ~ 2,  est  numerus  .f.d.:  quibus  additis  super  numerum  .c./.,  erit  totus 
.c.ti.%  quibus  extractis  ex  .c.e.,  scilicet  cx  13,  remanebunt  4 pro  numero  Iioc 
est  pro  numero  mM.  Item  rollcrtnm  cx  numeris  .a.b.  b.c.  c,<l.  sit  lu;  ct  queratur 
quantitas  uiiiuscuius  |nc:  Iioc  potest  (icri  infinitis  mudis;cx  quibus  ponam  unum  modum: 
suuuuaiitur  tres  numeri  contimic  proportionales;  siiitque  i,  ct  x,  et  4;  quos  insimul 
iun^e,  eniiil  7;  in  quibus  diuidc  iiuiltiplicationcs  de  i,  ct  s,  ct  4 in  19. 

Uursiis  sil  sicut  .a.  ad  ita  ad  .c.rA;  ct  sit  x numerus  .bx.,  iu  quibus 

numerus  M.i>.  siiperlnibundet  numerum  ./?.  ; nec  non  ct  numerus  xM.  sil  o:  sumatur 
cx  numero  x.d.  numerus  x.f.  equalis  superfluo,  in  <pu>  numei-us  .e.d.  sui^erbabundat 
itumertini  erit  itaque  siciil  numerus  x.d.  primus  ad  M.g.  secundum , itu  x.f. 

tercius  ad  .b.c.  quartum  : multiplicabis  ergo  .e.d.  in  qui  sunt  noti,  erunt  18; 

quibus  cqualur  multiplicatio  .b.g.  in  est  eiiiiu  .f.d.  cqualLs  numero  ergo 

ex  ducto  x.f.  in  .f.d.  proueniiiiil  is;  qui  auferantur  ex  quadratu  rncHlictAtis  numeri 
.e.d.\  que  medietas  sit  .c.:..  remanebunt  | x;  quomtn  nidix  est  | i,  que  suat  quantitas 
numeri  .f.z.',  quibus  extractis  cx  .z.e.t  remanebunt  3 pro  ./.f.;  quibus  3 extractis  cx 
.e.d. i remanebunt  6 pro  .f.d.f  hoc  est  pro  .b.g.;  ex  quibus  extractis  x,  silicct  .b.c., 
remanebit  .c.g.,  lux'  est  .n.  4.  Sed  sicut  ,ti.  ad  .b.g.,  ita  .b.c.  sit  ad  .e./.;  ct  sit  .a. 
4.  Ct  .e.f.  sil  3:  multiplicabis  ergo  primum  iiumeiiini  .n.  nutum  per  quartum  .e./., 
erunt  IX;  quibus  cquatur  multiplicatio  secundi  .b.g.  iti  lcix’iuin  .bx.i  cl  est  notus  x.g., 
cum  sit  equalis  .a.  noti:  quare  dimidium  .c.g.,  silicct  x,  iii  sc  mullipUea,  erunt  4; 
que  adde  cum  12,  t[uc  proiicniuiit  c\  .b.c.  in  .b.g.,  erunt  in;  dc  quorum  radice  tolle 
2,  silicct  dimidium  .c.g.,  reiuanebunt  x pro  .c.b.  numero;  quibus  additis  cum  .c.g., 
erunt  6 pro  numero  .b.g.,  lioc{.wc)  pro  numero  .f.d.;  quibus  addito  numero  .c.f,  habe- 
buntur 9 pro  numero  ,e.d.  Sil  etiam  numerus  .b.g.  notus,  qui  sit  6;  ct  numeri  .a.,  cl 
X.d.  sint  iiignoli ; ct  sil  .e.z.  5,  in  quibus  numerus  x.d.  siiperliabumlat  numerum 
.a.',  quoniam  est  sicut  .a.  ad  .b.g.,  ita  .b.g.  ad  .e wA:  erit  itaque  multiplicatio  cx  .n. 
iii  .e.rA,  equalis  quadrato  numeri  qui  quadratus  est  30  : ergo  ex  ductu  .z.d., 

ipii  est  c(juulis  .a.,  in  .dx.  proucnit  36;  quibus  si  addatur  (|uadratus  medietatis  nu- 
meri .zx.,  silicct  j 6,  erunt  J 42;  dc  quonim  radice,  scilicet  dc  ^ 6,  tolle  |^x,  scilicet 
dimidium  .zx.,  remanebunt  4 pro  .z.d.,  hoc  est  pro  numero  .a.;  quibus  additis  s, 
erunt  9 pro  loto  numero  ,e.d.  Et  si  projwncremus  ditrcrenlias  juediclas  in  quadratis, 
uel  in  cubis  trium  quorumlil)et  numerorum  continue  projKirtiuiiuiium,  euenirct  uliijuc 
omnia,  (juc  diximus  iu  eisdem;  quia  cum  fuerit  sicut  primus  numerus  ad  | secundum. 


Digitized  by  Google 


3sg 

ita  smiiulus  n<t  teiriuiii;  per  cqiialc  erit  sicut  «luadnitiH  |>riiiii  ad  «puuirulum  secumli» 
itu  t|uadratuin  secundi  ad  quadratum  terrii;  nej  lum  si  couiungautiir»  erit  proportio 
summe  (pta<lralonim  priiuif  et  secundi  ad  (piudraturn  secundi,  sicut  proportio  quadra- 
torum secundi,  et  tcrcii  ad  quadratum  tercii  , et  ceonuerso  ; crilque  similiter  sicut 
(|uadralus  primi  ad  quadratum  secundi,  ita  suporlluiim,  quo^l  addit  quadratus  secundi 
super  quadratum  primi,  ad  id,  quod  a Idil  quadratus  tcrcii  super  quadratum  secuudi; 
el  lice  oiuiiia  accident  in  ciiliis. 

Minltis  alius  proportionis  inter  tres  numeros. 

Sunt  tres  numeri,  ex  quibus  primus,  el  terciiis  sunt  noti;  secundus  autem  est  in- 
i;nulus:  sed  piDporliti  superimbuntiaiitie  maioris  su|>er  medium  ad  superliabuiuiantiam 
medii  super  mliioiciu  esi  sicut  maior  numerus  a<i  minorem  : pone  immenis  diuersos, 

quos  tiis  pm  maiori,  ct  minuri  numero.  Sintque  to,  ct  ts;  cl  auferatur  li  dc  20,  re- 

manelmnt  S,  que  sunt  summa  duarum  suprascriptamm  supcriiabundantianim,  (|uc  o(>- 
portet  diuiderc  in  ca  proportione,  quam  20  haliciu  ad  ta  : qiiarc  addes  20  cum  12, 
erunt  32:  erit  ergo  sicut  32  ad  12,  ita  8 ad  superliabundanliam  medii  super  minorem: 

quare  multiplicabis  s jier  I2,  ueniunt  96;  qiiediuidc  per  32,  ueniiiat  3 pro  superha- 

buiidaiiliam  (.v/c)  medii  su|>cr  minonmi:  quare  si  addatur  3 super  12,  erit  medius  numerus 
Io.  Sint  itaque  omnia  que  di\imiis  inter  prediclos  ti*es  numeros;  sed  maior  mimerus 
sil  iiigtiolus,  reli<pii  duo  sunt  noli.  Kt  fpiia  est  sicut  tercius  ingtiotus  ad  primum  notum, 
ita  siiperliabtmdaiilia  tercii  ignoti  ad  siiperalmburiduntiam  secundi  noti:  quare  si  per- 
mulaucrimtis  pnqmrtionem  , erit  sicut  tercius  ad  siiperbabuiidanliam  cius  super  se- 
cundum, ita  primus  ad  supcrliaburidaiiciam  secundi  super  primum:  et  quia  primus, 
cl  secundus  sunt  noti  , erit  ipsa  supcrliabuiulancia  nota  : pone  igitur  pro  secundo, 
ct  primo  numero  numerus  quales  uis;  sintque  18,  ct  12;  et  tercius  numerus  sit  .<3./!^.; 
dc  quo  aullcraUir  numerus  .a.g.  , qui  sit  IS,  silicei  cqualis  secundo  nuuicro  : ergo 
.g.b.  est  superbabundaiitia  numeri  .u.b.  super  secundum  numerum:  demonstrata  est 
prupirtio  numeri  .aM.  ad  .gM.  esse  ca,  quam  liabet  minor  numerus  12  ad  superba- 
bundantimu  sctmndi,  scrilirct  ad  3;  que  pixqiorlio  csl  in  minimis,  sicut  4 ad  i:  ergo 
sicut  4 sunt  ad  t,  ita  .a.b.  ad  .g.b.:  (piarc  proportio  .a.g.  atl  .g.b.  erit  sicut  3 ad 
1 : ergo  multiplicutidus  est  numenis  .a.g.t  silicet  is  per  1;  et  summa  ditiidcnda  est 
per  3,  uenient  5 pro  numem  .g.b.:  «piare  totus  .aJf.y  silicei  iiiaio"  niituerus,  est  20. 
Sit  siquidem  ipsorum  trium  numerorum  minor  iiignolus;  rcli«|iii  duo  sint  noti;  «piorum 
medius  sit  is,  maior  20;  «piare  siipcrliabiindaritia  eius  super  secundum  est  5;  et  «piia 
est  sicut  2u  ad  minorem  numerum  ingiiotum,  ita  5 ail  superhabundantiatu  sccuiuU  su]>er 
primam:  «juan;  perinulatim  erit  sicut  so  ad  5,  lioc  est  sicut  4 ad  1,  ita  primus  ignotus 
ad  su{>crliabuiidantiam  secundi  : sit  itaque  secundus  tiunicnis  .{l.e.t  dc  quo  sumatur 
Duincnis  .(l.z.i  qui  sil  etpmlis  minori  ignoto  numero;  el  quia  est  sicut  4 ad  1 , ita 
primus  ingnolus  ad  siipcibabundaiiliam  secundi  : ergo  sicut  4 est  ad  t,  ita  .tl.z.  ad 
quare  couiunctim  erit  sicut  s ad  4 , ita  .d.e.  ad  .z.e.  i ct  quia  .d.e.  est  is, 
multiplica  ca  ]>er  4;  cl  summa  (xic)  diuide  (>cr  S,  uenicut  12  pro  numero  .d.z.",  «pii  cum 
sit  cqualis  primo,  primus  erit  12. 

Mwltts  alius  proportionis  inter  tres  numeros. 

Sint  iterum  tres  numeri  incquales,  quorum  maior  ct  minor  sint  iioti,  scilicet  dati; 


« >!•«(  uoli  Kiiinnti* 
l7Sri*r‘<0,  liR,  20;  |M|{ 

l.u  22  « 2l>. 


i 


r»li>|ui  ••••  #>«• 
im  li«.  29;  |'d 
Ii*!  S2«32-. 


* :M. 
349  . 


> (M. 

I 349, 


Digitized  by  Google 


•|'l  •Iblli  I 'l«nill  • 

• ImI  lill  r..!*.  lia.  9 » |ii  ; 
I-  s 3*1.  Ii».  » II  - 

*f  if 


<fi  iali4  ....  <|»>* 

i'.l  2 ■ I ■••I.  I7i>  rvft*  , l<B. 
M.  t'  8 3911.  lia  21  r ii  ti' 


...  iMiwiFram  .«.c/.  » 

iiol.  179  Iiu.  34;  tu||. 
atM>,  lin  41  *4tj. 

•t  it  f !• 


300 

medius  autem  sit  iiignoliis;  el  sit  supeiliahundantiii  medii  su]>cr  minorem  ad  .su|)ci*| 
liahundantia  maiori.s  super  medium,  sirut  mainr  numerii.s  est  ad  minorem:  pone  ergo 
pro  minori  ct  maiori  numen>  numeros  quoslibet  datos;  sinlquc  19,  ct  4;  ct  extrahe  4 
de  19,  remanent  n pro  .summa  duorum  residuorum  siipnis<  riptonim:  et  quia  est  sicut 
12  ad  4,  ita  .superiialumdantia  prima  ad  snperhalmndantinm  secundani.  Erit  ergo  sicut 
compositum  ex  12,  et  4 ad  4>  ita  summa  utriasque  .superhalmmlantic,  scilicet  s,  ad 
superhnljundantiam  secundam:  quare  niiiUiplicanda  sunt  4,  silicet  minor  numerus,  per 
8;  et  summa  diuidenda  per  16,  exibunt  2 pm  stiperlialmmlanlia  maioris  numeri  , in 
qua  excedit  secundum:  quare  extractis  2 de  maiori  miracm  , remanent  10  pro  medio 
iiuniem.  Sed  sit  datus  primus  et  secundus  numenis,  quorum  primus  sit  4,  .secundus 
10,  tercius  mitem  .sit  ingiiotiis;  et  ipiia  est  sicut  tcrciiis  ad  primum  , ita  superlluum 
primum  ud  supernuum  secundum  : erit  igitur  multiplicatio  tercii  in  superfluum  se« 
eundum  cqiialis  mulliplicatioiii  primi  iii  supernuum,  scilicet  dc  4 in  .sex;  que  iniiltipli- 
calionc  (r/c)  c.st  24:  sit  itaque  iiuiiicrtts  .nJf.y  de  quo  auferatur  secundus  numerus,  qui 
sit  ‘O.g.,  remanebit  pro  superfluo,  in  quo  numerus  .a.b.  c.xcedit  secundum  nu< 

nienim  : ergo  ex  ductu  .a.b.  in  .b.g.  pmueiiit  24;  et  est  notus  mimoriis  .a.g.y  cuius 
dimidium  sit  .g.t/.y  qui  erit  5;  quorum  quadratum  sic  adderis  (.r/c)  super  24,  erunt  4o;  quo- 
mm  radix,  scilicet  7,  csi  niimems  inii  .si  addatur  numenis  .0.,  erit  totus  .a.b.  12; 
dc  quibus  .si  auferatur  numerus  .a.g.y  remanebunt  2 pro  numero  .t/.g.  Sed  .sint  dati 
.secundus,  ct  tercius  numerus,  quorum  secundus  sit  10,  tertius  12;  et  .sit  primus  nu< 
merus  ingnotus;  et  quia  est  .sicut  12  ad  primum  numerum  ingnotum,  ita  siipcrliabiin- 
dantia  secundi  super  prinuini,  que  csl  ingnola,  ad  .siiperbabiindantiam  tercii  stiper  se- 
cundum, que  est  2:  quare  nuiUiplicatio  de  12  in  2 eqitalur  multiplicationi  primi  nu- 
meri in  supcrliabundaiUinm  primam:  adiaccat  itaque  numerus  .d.e.  , qui  .sit  10,  .scilicet 
quantitas  .secundi  numeri;  et  auferatur  ab  eo  minor  numerus,  qui  .sit  .d.z.y  remanebit 
ergo  .z.e.  pro  sujierhaburidanlia,  quam  balicl  secundus  super  primum  : ergo  diuis:i 
.sunt  ta  in  duas  partes,  quarum  una  muUijdicata  |)cr  aliam,  facit  24;  que  partes  sunt 
.fi.z.y  ct  .z.e.:  diiiidntur  ergo  .d.c.  in  duo  equalia  super  punctum  et  niiilti[>licetur 
.e.i.  in  se,  cruiit  25;  de  quibus  cxlralie  24,  remanet  1;  cuius  radix,  que  est  l,  est  nu- 
menis .i.z.:  quare  .z.e.  esi  fi,  ct  .z.d.y  qiii  est  equulis  primo  numero,  est  4. 

Mtiifas  alius  pnyMtrtionis  in  iribus  numeris. 

Sit  itarjuc  pn>porlio  maioris  lul  iiiiiiorcni,  <}ue  sit  nota,  sicut  superfluum  [trimum,  et 
secundum  ad  secundum;  ct  sit  medius  numerus  ingnotus:  ponamus  pro  maiori,  ct  mi- 
nuri numero  la,  et  6,  qui  .sint  dati;  ct  cxtraliantiir  c dc  12,  remanebunt  6,  que  .sunt 
simitua  anboriim  superfluorum  : ct  quia  est  sicut  i2  ad  o,  scilicet  sicut  maior  numerus 
ad  minorem,  ita  6,  .scilicet  summa  utriusque  superflui  ad  superfluiim  secundum  ; idest 
multiplicabis  6 per  0,  et  diuides  per  12,  exibunt  3 pro  secundo  .superfluo;  quo  extracto 
dc  maiori  numero,  remanent  0 pro  mediato  numero.  Sit  itaque  tercius  numerus  ingnotus; 
ct  secundus  sit  9,  et  primus  6;  ct  adiaccat  numerus  .a.b.  ingnotus  pro  maiori;  et  aufe- 
ratur inde  secundus  numerus,  qui  sit  >a.g.\  ex  quo  etiam  auferatur  minor,  qui  sit  .a.f/. , 
remanebit  .d.b.  equalis  duorum  superfluorum;  ct  .g.b.  est  superfluum  secundum;  et  quia 
e.st  .sirut  numerus  .a.b.  ad  ininicnim  .a.fl.y  ita  .d.h.  ad  .g.b.\  erit  cura  diuisscrimu.s  .sicut 
.b.d.  ad  .d.a.y  ita  .d.g.  ad  .g.b.:  rjuarc  multiplicatio  .bul.  primi  iu  .g.b.  quartum  csl 


Digitized  by  Googie 


39t 

sicut  muUiplicalio  secundi  in  .d.g.  Icrcium:  est  eriun  ,a.d.  6,  cl  .«.g.  csi  9:  quare 
.d.g,  est  3;  quibus  nmUipticalis  in  .d.a,^  faciunt  is,  ({uilnis  cqualur  multiplicatio  ,d.h. 
in  .g./-».:  sed  .d.g.  est  notus,  cui  additus  est  numerus  ergo  ex  .d.h.  in  ,g.b.  cum 
quadrato  dimidii  .d,g.  cJjuaUir  quadrato  cmiiunrti  ex  .gdf.  ex  dimidio  quo<l  di- 

midium esi  I i i;  cuias  quadratus,  scilicet  J s si  addatur  sujkt  19,  erunt  J 2o;  de  «juorum 
radice,  scilicet  dc  \ 4,  si  aureratur  i 1«  scilicet  dimidium  ex  .g.rAt  remanebit  .g.d.  3,  iu 
quibus  maior  M.a*  superliabundat  numerum  mctlium  .n.g.t  qui  est  9;  quibus  additis 
cum  3,  faciunt  is  pro  maiori  numero  .a.b.  Et  si  minor  numerus  .a.d.  fuerit  ingnotus; 
reliqui  iieru  .a,g.t  cl  .a.b.  sint  noti;  quia  est  sicut  .a.b.  primus  ad  .a.d.  secundum, 
ita  summa  duorum  supcrnuumiu,  scilicet  .d.b.^  est  ad  siiperHuum  secundum,  silicet 
ad  ,g.b.  : erit  itaque  muUiplicatii»  .a.b.  primi  m .g.b.  (piartum,  ei|ualis  multiplica- 
tioni .a.d.  in  .d.b.:  et  quia  cx  .aM.  in  .g.b.  ]iroueniunt  30,  qui  sunt  quadratus  me- 
dietatis lotius  .a.b.  ; idcirco  radix  eurum,  scilicet  6,  est  minor  numerus  .a.d.  , qui 
erat  ingnotus. 

Minius  alius  profwrtionis. 

Sit  itaque  .a.b.  nd  .a,d.  sicut  summa  duorum  superfluorum  ad  superfluum  primum, 
scilicet  .b.d.  ad  .g.d.f  ct  sit  ingnotus  numerus  .a.g.\  numeri  ucro  .n.f/.,  cl  .a.b.  sint 
noti;  quorum  .a.b.  sit  25,  ct  .a  sit  I9:  quare  .d.b.  est  15  > et  quia  csl  sicut  .b.a. 

ad  .d.a.i  ita  .b.d.  ad  .g.d.  ; ergo  si  inultlplicaucriinus  .a.d.  secundum  in  .d.b.  tcr- 

ciuiu,  scilicet  lo  per  <5,  et  dtuiscriinus  summam  per  .a.b.  , silicei  per  23,  ueuicrit 
6 pro  superfluo  .g.d.',  quibus  si  addatur  numerus  .d.a.,  erit  numerus  .a,g.  I6,  qui 
erat  ingnotus.  Et  si  minor  numerus  ,a.d.  fuerit  ingnotus,  reliqui  ueru  .«i.g. , et  .a.6. 
sint  noli;  quia  est  sicut  .a.h.  ad  .a.d.,  ita  .d.b.  ud  .g.d.,  erit  cum  diiiiserls,  sicut 
.b.d,  ad  d.a,.  ita  .b.g.  ad  .g.d.i  quare  cum  permutaiieris,  erit  .b.d.  ad  .b.g,  sicut 
.d.a.  ad  .d.g.',  est  enim  .d.a.  lO  , ct  .g.a.  est  I6  ex  positione  : quare  si  ex  .a.g. 
auferatur  .a.d.,  remanebit  .d.g.  6;  ergo  pnq»orlio  .a.d.  ad  .d.g.  est  in  minimis  sicut 
5 ad  j:  ergo  ct  proportio  .b.d.  ad  .g.b,  est  sicut  5 ad  3:  quare  cum  diulscris,  erit  sicut 
2 ad  3,  ita  .d.g.,  scilicet  0,  ad  .g.b.  ingnutum  : ergo  multiplicatio  de  3 in  6 diui- 
denda  est  per  2;  et  si  habebuntur  9 pro  numero  .g.b.,  cui  si  addatur  numeims  .g.a., 
erit  totus  .a.b.  23,  ({ui  erat  iugiiotus.  Sed  si  (3/c)  ingnotus  numerus  .a.d.',  reli(|ui  uero 
.a.b.,  cl  .a.g.  sint  noti;  et  quia  est  sicut  .a.b.  ad  .a.d.,  ita  .d.b.  ad  ji.g.  Et  cum 

|>crmulaucri5,  sicut  .a.b.  ad  .d.b.,  \i^  .d.b.  ad  .g.b.i  ergo  numeri  .a.b.,  ct  .d.b.  con- 

tinui pn»poi  lionales  sunt:  quare  si  cx  ductu  .a.b.  in  .g.b.  radicem  acciperis,  proue- 
nict  utique  numerus  .d.b.  notus:  est  enim  numerus  .a.b.  2S,  ct  .g.b.  est  9,  cum  .a.g. 
sit  16;  quibus  insimul  imiUiplicatis,  faciunt  223;  quorum  radix  , scilicet  is,  est  nu- 
merus .b.d.‘,  qui  si  auferatur  cx  numero  .b.a.,  remanebunt  (r/c)  pro  numero  .d.a. 

JncifMt  dilferentia  tercia  in  proportione  trium  numerorum. 

Et  si  propinatur,  quod  proponno  .h.a.  ad  sil  sicut  supcriiabundantia  maioris  nu- 
meris (r/c)  super  medium  ad  supcriiabundantia  (ric)  medii  super  miriorem,  hoc  est  sicut 
.b.g.  ud  .g.d.',  cl  sit  ingnotus  quilibet  numerorum  .a.b.  a.g.  a.d.',  dico,  quod  numeri  .a.b. 
ad  .a.g.d.  sit  («c)  continue  proportionales;  quinl  prolmbitur  ita:  quoniam  est  sicut  .a.b. 
ud  .a.g.,  ita  .b.g.  ad  .g.d.',  boc  est  sicut  tutus  ad  totum,  ita  pars  ad  partem:  quare 
erit  sicut  pars  ad  partem,  ita  residuum  ad  residuum,  ut  in  quinto  euclidis  oslcndilur : 


>U)i<Tlla«ni  • niicxTtM 

.•.f.  , ^ foi.  179  r<><  M . I«n. 
|l>i  pig.  391)  liu.  16  « I7> 

■I  f/  K 


«uul  h,t.  . . 4>l  h,^.  t 

IM.  179  ha.  17  , p'!! 

191.  Ub.  23c1<). 

* 4 g i- 


4il  .g  4 «J  p«r]<rin  * 

179  frrM.  li*.  33  e 36 1 
391.  U.  43  e ili. 

g 4 e * 


Digitized  by  Google 


ini.  IHil 

. 2 . H . (fnt.  tS9 
I...  8 « 3 ! |.>K.  Sl’2  , 

!•».  iij- 

•<  •/  < jt  A j t 


«.  U .|r  X . IS*) 

17;  j »jt-  35i3.  1,0. 

t>  r iti 

•f  * j:  A 


••(«I  n>iilii(-|i<  iii 

(f»|,  tXl>  jwfu.  liM.  23  I |.ie. 

3!>i.  Ii.  2SI  e 30,-. 

J .<  e A 


«1  . f W, 

lAI»  rrrtt,  lm.  30.  «4..  |tj, 

li«-  33  • 36:. 

* ^ K A 


ergo  erit  sicut  .b.^.  a<l  ila  .«.g.  ad  sed  .«^icul  .h.g.  ad  ita  .ab, 

ad  .a.g.i  quare  est  sinit  -a.h.  ad  ita  .n.g.  ad  ergo  numeri  ./7.6.  a.g. 

coiilinui  proportionales  sunt : unde  si  aliquis  illutum  erit  ignotus  , poteris  cum  re* 
perire  | per  nuMliim  .superius  dcmuiistratum  in  numeris  trilm.s  continue  proportionalibus. 
Sed  sit  sicut  .h.a.  ad  .g.a.^  ita  M.g.  ad  et  sit  primum  ingnotu.s  numerus  .g-rt.; 

reliqui  uero  .a.b.,  et  .d.d.  sint  noti;  ex  quibus  .a.h.  sit  is,  et  .aM.  sit  V,  ct  quia 
est  sicut  ,a.b.  ad  .fl.g.,  ita  ui.g.  ad  erit,  cum  permutaueri.s,  sicut  .a.g.  ad  ,a.b.t 
ita  .b.g.  ad  .g.ti.)  ct  cum  compo.sueris,  erit  coiiiunctu.s  ex  numeris  .a.g,^  et  .a.b.  primus 
ad  .a  h.  secundum  , ita  .b.d.  tei-ciu.s  ad  .g.d.  quartum  : inulliplicacio  cx  .a.b.  se> 
eundi  in  .b.d.  teirinm  est  nuta,  quia  surgit  cx  ts  in  lo,  cuius  multiplicationis  summa 
est  120,  cui  equatiir  multiplicatio  coniuncti  ex  .a.g.^  ct  .a.b.  in  .b.d.i  qimre  si  nu> 
mero  .a.h.  addatur  numerus  .b.e.,  qui  sit  equulis  numero  •a.g.',  et  auferatur  cx  nu- 
mero .b.e.  nummis  .e.:.,  qui  sit  equulis  numero  remanebit  nummis  .s.6.  e<]ualis 

numero  .a.d.,  qui  e.st  2;  quare  totus  'numerus  .a.z.  est  14,  cui  ndditus  est  numerus 
.z.e.  : dinidalur  ergo  numerus  .a.z.  in  duo  equa  super  .i.  , erit  ergo  multiplicatio 
.a.e.  iii  .e.z.t  que  est  49,  cum  quadrato  numeri  .s.i.,  qui  csl  40  , equulis  quadrato 
numeri  .i.e.i  quare  radix  eorum,  que  c.st  13,  est  numerus  ./.e.;  dc  quibus  si  auferatur 
numerus  (pii  est  7,  remanebunt  c pro  numero  .z.e.y  lioc  est  pro  .g.d.‘,  cui  si 

addatur  iiunicriis  .a.d.y  habebis  8 ]iro  numero  .a.g.  Kt  .si  ,a.b.  tantum  fuerit  ingnotu.s; 
({uia  erit  .sicut  .a.b.  ingnolu.s  ad  .g.a.  notum,  itu  .d.g.  notii-s  ad  .g.b.  ingnolum ; 
quia  rmitliplicatio  noti  .a.g.  in  notnm  .d.g.  , silicet  dc  8 in  6 , cquatur  multiplica- 
tioni .a.b.  irigiioti  in  .g.b.  iiignotuni:  diiiidatur  ergo  .a.g.  iii  duo  cipia  super  .c.;  ct 
quia  niimmts  .a.g.  diuisus  est  in  duo  equa;  et  ei  additus  est  numenis  .g.b.  , erit 
multiplicatio  .a.b.  in  .g.b.  cum  quadrato  numeri  .e.g.f  cipialis  quadrato  numeri  .e.b.i  est 
enim  miilltpli('atio  .a.b.  in  .g.b.  48,  ct  quadratus  numeri  .c.g.cst  ic; quibus  iiisimilis  (sfc) 
iunctis,  rcHldiint  64;  quorum  radix,  que  est  8,  csl  mimcius  .e.b.;  (piibiis  si  addatur 
numerus  .c.a.j  erit  tolii-S  numenis  .a.b.  12.  ^il  itaque  miinenis  .a.d.  ingnoias,  reliqui 
uero  a.g.t  et  .a.b.  siiit  noti;  et  quia  est  sicut  .a.b.  ad  .a.g.^  ita  numerus  .d.g.  ad 
.g.b.  erit  mnlliplicatio  .a.b.  in  .g.b.y  silicet  48,  equalis  multiplicationi  .a.g.  noti  in 
,d.g.  iiigiiotum;  quare  diiiidc  48  per  .a.g.f  silicet  per  8,  exibunt  6 pro  numero  .d.g.} 
quibus  extractis  cx  numero  .r/.g.,  remaneliunt  pro  numero  .a.d. 

Abtdux  profyortkmis  in  tribus  numeris. 

Kt  si  fuerit  sicut  .a.b.  ad  .a.g.j  ita  summa  sujieiliabundantiaiunt  eonim,  scilicet 
.d.b.  ad  .g.b.}  ct  .sit  ingiiotiis  numerus  .a.g.y  ct  .a.b.  sit  is,  ct  .a.d.  sit  s;  quare 
.summa  liabundantiarum  predictarum,  scilicet  numenis  .d,b.  est  10;  et  quia  est  sicut 
.a.b.  ad  .a.g.  , ita  .d.g.  ad  .g.b.  ; erit  cum  ]>ermulabitur  , sicut  .a.b.  ad  .d.b.  , 
ita  .a.g.  ad  .g.b.  ; cigo  cum  iiingelur,  erit  sicut  .a.b.  d.b.^  ita  .a.g.  g.b.  , lioc  est 
.a.h.  ad  .g.b.i  ergo  est  sicut  ss  ad  10,  ita  is,  silicet  .a.b.  ad  .g.b.  ingnotum;$cd  is 
ad  10  suiit  sicut  5 ad  2 : «[tiarc  multiplicabis  is  per  2,  et  diuides  per  s;  ucl  (juintam 
de  is  niuUiplica  per  2,  iicnicnt  6 pro  numen>  (piibtu  diminutis  cx  numero  .<1.6., 
remanent  9 pro  numero  .a.g.  Kt  si  tantum  numenis  .a.b.  fuerit  ingnottis  , quia  csl 
sicut  .a.b.  ad  .a.g.^  ita  .d.b.  ad  .g.b.}  erit  etiam  cum  conucrtcrelur,  sicut  .a.g.  ad 
.a.b.f  ita  .a.b.  ad  .g.d.}  nec  non  curo  diuidetur,  erit  sicut  primus  .a.g.  ad  secundum 


Digitized  by  Google 


303 

ita  sccuiuhis  .g.b,  ad  tertium  g>ii.  i quare  numeri  .rt  g.  » g b.  et  ,g.il.  con- 
tinui proportionales  sunt;  erit  {ergo  mulliplicalio  .a.g.  primi  iu  .g.ti.  tcrcium  equalls 
Tiuilliplicntioiii  .g.b.  iu  se:  est  enim  ac  {sic)  .g.  o,  et  .g.d.  est  4,  in  quibus  numerus 
.a.g.  supcrbabunclat  numerum  .n.e/.  Viide  si  multipiientionis  de  o in  4 radicem  acceperis* 
uenient  G pru  mimero  .g.b. ; quibus  additis  cum  >a.g,j  ucnient  I3  pro  numero  .a.b. 
Kt  si  numerus  .a.r/.  fuerit  ingnotus*  reliqui  ueru  .a.g.  et  M.b.  sint  noti;  et  quoniam  est 
sicut  M.b.  nutus  nd  .o.g.  notum*  ila  .(Lb.  ingnotus  ad  .g.b.  notum;  quare  si  multiplica- 
ueris  .a.b.  in  .g./r.,siUcet  IS  iu  6;  et  diiiLseris  summa  (s<c)  per  .a.g.^  silicet  per  9,  ucuicnl 
{Q  pio  numero  .d.b.f  quibus  diminutis  ex  numero  .n.b.^  remanebunt  s pro  numero  .a.d. 
yUxlus  aiius  prtifHyrtiotiibus  (sic)  in  irUnts  numeris. 

El  si  fuerit  sicnit  .a,h.  ad  ita  .d.b.  ad  M.g.\  fuenlqnc  .a,g.  ingnotus,  reliqui 

.a.b.  et  .a.d.  sint  noti;  in  hac  propurlumc  demonstrabo,  tcrcium  numerum  excedere  non 
posse  secundum,  sic:  ({uoniam  est  sicut  .aM.  ad  .rt.g’.»  ila  ad  erit  ergo,  si 

diuiscris,  sicut  -h-g^  ad  .g.a.,  ita  .b.g.  ad  •g-d.y  sed  que  eidem  eadem  propositionem  {sic) 
habent,  sibi  iriuicem  sunt  cqualia;  ei^o  nuiiicri  .g.d.  et  >a.g.  sibi  inuicem  sunt  cquales, 
minor  maiori,  quod  est  im[)OSsibile;  maior  est  enim  .g.a.^  quam  .g.d.  Ynde  non  potest 
saluari,  nisi  numenis  .b.g.  sit  zcpliiruni,  boc  e_sl  nicbil;  et  tunc  erit  sicut  zepbirum,  et 
g.a.  ad  .g.a.f  ita  xepbirum,  et  .g.d.  ad  .g.d.,  boc  est  sicut  .g.a.  ad  .g.a.,  ita  .g.d.  ad 
.//.g.:  est  enim  .g.d.  id,  in  quo  numerus  .a.g.  excedit  numerum  .u.c/.;  quare  numerus 
.a.b.  est  equalis  numero  .a.g.,  cum  superbabundantia  .b.g.  super  .g.a.  sil  nicbil:  ergo 
cum  notus  est  numerus  .a.b.^  notus  est  numerus  .a.b.f  notas  est  numerus  .a.g.  Aliter, 
quia  est  sicut  .aJf.  ad  .a.g.,  ita  .b.d.  ad  .g.,  erit,  cum  conuertetur,  sicut  .a.b.  ad  .d.b.t 
ila  .g.a.  au  .g.d.  : ponamus  .a.b.  cs.se  s,  et  .a.d.  c.sse  2;  quare  .b.d.  este:  quare  est 
sicut  8 ad  6,  ita  .a.g.  ad  .g.d,;  sed  8 ad  e,  sicut  4 ad  3:  ergo  si  extraxerimus  3 de 
4,  remanebit  l;  quare  est  sicut  1 ad  3,  ita  ,a.f/.  ad  .d.g.:  quare  $i  multiplicatio  de 
2 in  3 diuiscris  per  1 , ucnient  G pro  numero  .g.d.’,  cui  si  addatur  .d.a.,  silicet  2, 
erit  numerus  .g.a.  qualis  {sic)  numero  .a.b.,  ut  predixi:  nec  est  enim  necessarium  ponere 
iiignolum  eliquem  numerorum  M.b.  el  .a.d.  ; quia  si  notus  est  numerus  .a.g.,  notus 
et  numerus  .a.b.,  cum  .sit  ei  equalis;  et  si  noti  sunt  numeri  .a.g.  et  .a.b.,  notus  erit 
et  numerus  .a.d.,  cum  possit  esse  qualis  uis  numerum  (S4C)  minor  numero  .a.g. 

Modus  aiiuj  proportionis  in  tribus  numeris. 

Si  uem  proportio  jt.g.  n.d.,  sicut  proportio  .b.g.  ad  .g.d.)  et  sit  ingnotus  primus 
numerus  a.g.;  reliqui  ucro  .a.b...  et  .a.e/.  sini  noti:  quoniam  est  sicut  .6.g.  ad  .g.e/., 
ita  .g«a.  ad  .d.a.,  erit,  cum  permutaucris,  sicut  .b.g.  ad  .g.a.,  ita  .g.d.  ad  .d.a.\  et 
cum  coni|>osucrlSy  ent  sicut  .b.g.  g.a.  ad  .g.a.,  boc  est  .sicut  .b.a.  ad  g.a.,  ita  .g.d. 
d.a* , boc  est  .g.a.  ad  .d.a. ; quare  numeri  .a.b.  a.g.  a.d.  continui  proportionales 
sunt : ergo  cum  ingnotas  sit  numerus  .a.g.,  roiilliplicabitur  .a.d.  in  .a.b.,  cuius  summe 
radix  est  numerus  .a.g.:  el  .si  fuerit  ingnotus  numerus  .a.b.,  diuides  quadratum  numeri 
.a.g.  per  .a.d.;  et  bc  contra  (^<c)  si  ingnotus  fuerit  numerus  .a.d.)  nec  non  et  si  duo 
illorum  fuerint  ingnoti,  poteris  per  relirpium  ipsos  inuenirc:  uerbt  gratia:  sil  numenis 
.a.d.  8:  ponam  .a.g.  12  ad  libitum;  et  multiplicabo  12in.se,  et  .summa  (jie)  diuidam 
per  8,  proucnient  18  pro  numero  .a.b.  Et  si  secundus  fuerit  12,  ponam  ad  libitum  unum 

50 


« ail  Ur«i«ai  ....  rrit  * |r*i.  tlO 
rrrt»,  laa.  19.  {lij.  191.  Itu. 
l » 2|. 

• ^ 

M.  ISO 


* t rtiim  » ( f«l. 

lAU  lifl.  ll|  TM.  Ul. 

U.  ii  t l€j. 

m .4  f i. 


• ilrf  (r'**..  Xm  r»l  . 

|r.*l.  ISO  Ii*.  Stl  |>i|. 

153.  l,m.  li  « 31) 

- >4  g * 


Digitized  by  Googie 


f»!.  |4|  Ttelo. 


• >t  lur«>t  . . H<itNas  • 

i91  «w/»,  liK.  (Ii 
SS4.  l,m.  U e 13«. 

n it  if  ^ 


-tS  -tl-r ktinf,  pfiiwum  » 

.r«|.  |HI  t^rln,  liu.  fug. 
|>4,  l.w.  24  • 2Sj. 

•/  e * 


«<t  lO  ....  nuMunit  • ikt 
r*et»t  Ii*.  Sti  pig.  32i> 

u t is^. 


394 

cx  1‘cliquis,  in  quo  diuitlam  | quadi-atum  iiumcri  et  $i  maior  eorum  fuerit  notus, 
faciam  cx  eo  sicut  feci  de  minori. 

Moilus  alius  proportionis  in  tribus  numeris. 

Po.^iani  etiam,  ut  sil  sicut  .a.g.  ad  .aal.,  ita  .b.d.  ad  .g.d.;  et  sit  notus  uterque 
iiumcrunmi  .a.d  ct  .aM.,  reliquis  (j<c)  ucro  .a.g.  sit  iiiguotusj  ct  quoniam  est  sicut  .a.g. 
priiiius  ad  .a.(i.  secundum,  ita  J/.d.  tcrcius  ad  .g.d.  quartum;  erit  ergo  multiplicatio 
.aul.  in  ul.b.  cquaiis  multiplicationi  .a.g.  in  .g.d, i sit  ergo  8 numerus  .nM.y  ct  numerus 
.a.d.siti',  quare  .</.6.  est  4;  et  sic  ex  in  .d.b.  ueiiiuut  s;  quilms  muUipliratio 
.g.a.  in  .g.d.  cquaiis:  et  quoniam  est  nutus  uumerus  M.d.y  quadratum  ijxsius  medietatis, 
scilicet  I,  adde  cum  .g.,  erunt  9;  de  quorum  radice,  scilicet  de  3,  extrahe  dimidium  .a.d.y 
remanebunt  2 pro  numero  ,g.;  de  quibus  si  addatur  numerus  .d.a.y  habebis  4 pro  nu- 
mei'u  .n.g.  Et  si  fuerit  iiignutus  numerus u2.&.,uiucniutur(.fitf),  cum  nmlliplicationcm  .a.g. 
noti  in  .g.d.  iintuin  diuisens  per  .a.d.  notum;  tunc  procreabitur  inde  immcnis  .gu/., 
qui  est  4;  cui  si  addatur  nuincru.s  .a.d.  , erit  6 imineru.s  .a.b.  Et  si  numcru.s  uiM. 
fuerit  ingtiotus  tantum;  quiu  esi  sicut  .<z.g.  ad  .a.d.y  ita  .b.d.  ad  .g.d.,  erit,  cuoi 
permutabitur,  .sicut  .a.g.  primus  ad  .g.d.,  ita  ul.b.  ad  .g.b.,  qua  in  .g.  notum  ratum  (xic): 
quare  multiplicabis  M.g.  notum,  scilicet  4 per  2,  erunt  $;  quibus  equatur  multiplicatio 
.g.d.  secundi  in  .d.b.  tertium:  quare  si  acciperis  quadratum  dimidii  .g.b.,  qui  est  i, 
ct  addes  eum  cum  s,  erunt  9;  siper  {sic)  radicem  quorum  si  adderis  i,  scilicet  dimidium 
numeri  .g.b.,  bubebis  4 pro  numero  ,d.b.',  (jue  si  auferatur  de  numero  .a.b.,  rema- 

aebunt  2 pro  numero  ,a.d.x  in  hac  autem  pro|>orlionc,  si  unu.s  numerus  fuerit  noturo 

tantum,  poteris  per  ipsum  reliquos  iiiueiiire.  Verbi  gratia  : quia  est  sicut  .a.g.  ad  .aM., 
ita  .b.d.  ad  .g.d.  ; ei^o  erit  sicut  M.d.  ad  .a.g.,  ita  .d.g.  ad  ul.b.:  sed  cum  diuLseris, 
erit  sicut  ui.d.  ad  .d.g.,  ita  .d.g.  ad  .g.b.  ; ergo  numeri  .aul.g.b.  continui  propor- 
tionale» sunt:  primum  quidem  si  numerus  ,a.d.  fuerit  notus,  {tonam  .d.g.ad  libitum, 
cuiu.s  quadratum  diuidam  j)er  .a.d.  notum;  ct  sic  pcrucuicl  numerus  .g.b,:  similiter 
.si  fuerit  nutus  numerus  .g.b.,  ponam  ad  libitum,  ct  niimeruin  .g.d.‘,  ct  multiplicabo 
.g.d.  iu  se,  et  quod  pruueuenL  diuidam  per  .g.b.  , ct  uenict  numerus  ,a.d.  : ct  si 
fuerit  uolus  numerus  .a.g.,  accipiam  ex  eo  ad  li])itum  aliquem  numerum,  qui  sit  nu- 
merus .g.d.:  simititer  et  pro  uuinero  .a.d.  {umam  numerum  qualem  uolucro,  in  quo 

diuidam  quadratum  numeri  .g.d.,  ct  proucnict  numeras  .g.b. 

Modus  alius  prvfxjrtUmis  in  tribus  ruimeris. 

ponam  etiam,  ut  sit  sicut  ui.g.  ad  .a.d.,  ita  .d.g.  ad  et  sit  ingnotus  numen» 

.a.g.,  ex  reliquis  autem  numertis  .a.d.  sit  4,  ct  numerus  .a.b.  sit  10  : quoniam  est 
sicut  .a.g.  ad  .a.d.,  ita  .d.g.  a (jrre)  .g.b.  ; erit  ergo  sicut  compo:itus  uumerus  ex  .a.g. 
et  .a.d.  primus  ad  .a.d.  secundum,  ita  compositus  ex  .d.g.b.  terciusad  .g.b.  «piarluoi: 
quare  id  quod  piouenil  ex  ui.d.  in  .d,b.,  quod  est  24,  c<iuatur.ci,  quod  prouenil  ex 
.a.g.  et  ut.d.  in  .g.b.:  producatur  enim  recta  .b.a.  in  .e.;  et  sit  .a.e,  cquaiis  nu- 
mero .a.d.,  erit  tuta  .e.b.  14,  que  est  iiidiulsa  in  duo  .super  .g.,  ita  quod  multiplicatio 
M.g.  in  .g.b.  est  24:  diuidatur  ergo  linea  .e.b.  in  duo  equa  super  punctum  .f.,\  erit 
.i./.  7;  de  nuorum  quadratu,  si  auferatur  multiplicatio  .b.g.  in  .g.e. , remanebuat  Ji 
pro  ipiadrato  linee  -g.f.i  quare  ,g.f.  est  5;  qui  auferantur  ci  .f.b.,  remanebunt  S pro 
numero  .g.^».;  quibus  extractis  ex  numero  .a.b.,  habebuntur  8 pro  uuinero  .a.g.  tl  | 


Digitized  by  Google 


U.  Hi 


30S 

Si  iiunimis  .a,h.  fuerit  ingnoUisj  uero  .a.d.,  et  .a.g.  .sint  nolij  quia  est  sicut  .a.g. 

notus  ail  M.d.  notum,  ita  .d.g.  nutus  ad  .g.6.  iugiiuturo:  multiplicabis  ergo  .a.d.  in  .d.g.^ 
silicei  4 per  4,  et  diuides  per  .«  ueiiicut  i pro  quibus  additis  cum  .«r.g.,  erit 

lotua  .aJf.  10.  Sed  .sit  ingnutus  numerus  .a.d.  tantum;  et  ejuia  est  sicut  .a.g.  notus  ad 
ita  .d.g.  ad  .g.b.  notum:  multiplicatio  ergo  ex  .a.g.  in  .g.6.,  que  c.st  to,  cqtialur 
muUiplicatiuni  .a.d.  secundi  in  teic'iuro  M gr,  que  multiplicatio,  cum  sit  cqualis  quadrato 
medietatis  numeri  .a.g., .scimus, numerum  .a .^.dimidium  cs.se  numeri  .a.g.;crgo.a.^/.  est  4. 

Aftdtts  iiltirmis  proportionis  in  tribas  nnmrris. 

Sit  itaque  sicut  .a.g.  ad  .a.d.,  ita  ui.b.  ad  g.b.:  in  hanc  autem  proptjsitionem  in- 
nenictur  senper,  quiMl  ntimcnis  est  equaiis  superiluo  tcrcii  numeri  su|>or  secundum; 
quod  demonstrabitur  ita:  .d.b.  ad  .g.b,  erit,  supermutabilur  (x/c)  et  diiiidetiir,  sicut.a.t/. 
.c/.g,  ita  .b.g.  ad  .d.g.-,  f|ue  ergo  eidem  camdem  proportionem  habent,  sibi  inuirem 
equiilia  .sunt  ; equaiis  ergo  est  numerus  .a.d.  numero  .g.b.^  ut  prediii.  Vnde  si  in- 
griotiis  fuerit  mimenis  .a.g.  Uiitum,  extrahes  mimcrum  .a.d,  cx  numero  »6.a.,  et  re- 
manebit notus  miments  .a.g.:  etsi  fuerit  mimenis  .a.b.  ingnotits , adiles  numerum 
.a.d.  super  numerum  .a.g.  , hahebis  numerum  .a.b.  : et  si  fuerit  ignotus  numerus 
.a. r/.,  extrahes  numemm  .a.g.  ex  numero  .a.//.,  residuum  erit  numerus  .a. c/.  Kt  iiotau- 
dum,  cum  oliqiia  predictarum(.ric)  trium  numerorum  omnes  tres  numeri  ponantur  ingnoti, 
et  summa  eorum  {Mmatur  nota,  tunc  iniiciiieiidi  erunt  tres  numeri,  qui  sint  iii  ij>sa, 
quam  ucdueris,  proportione,  et  cos  iiisiinut  iunges;  et  si  id,  quod  proueneril,  fuerit 
eqintle  summe  quesite,  habebis  utique  propositum;  sin  autem  cadet  proportionallter, 
uidelicet  .sicut  iiiuciita  fuerit  ad  quesitam,  ita  iiniisquisi[uc  trium  imicritumm  nume- 
rorum erit  ad  suum  cunisimilem. 

Incipit  de  proffortione  quatuor  numerorum. 

Cum  quattuor  numeri  .a.b.g.d.  proportionales  fuerint  ut  .a.  ad  .b.^  ita  .g.  ud  .r/., 
erit  penmiilatim  sicut  .b.  ad  .a.,  ita  .d.  ad  .g.;  et  .sicut  .g.  ad  .a.,  ita  .d.  ad  .b.\  ct 
multiplicatio  .a.  in  .d.  equatur  muUipUeathmi  ,b.  in  .g.  ; quare  si  fuerit  ingnotus 
numerus  diuides  factum  ex  .b.  in  .g.  per  .a.;  ct  si  fuerit  ingnotus,  dinides  per 
.d.  factum  ex  .h.  in  .g.;  et  si  fuerit  ingnotus  numerus  .b.^  uel  .g.  per  notum  ipsorum, 
diuides  factum  cx  .a.  in  .d.  Sed  si  pn^ponatur,  quod  summa  numerorum  .a.^».  sit  14; 
ct  numerus  .g.  .sit  2s,  et  numerus  .d.  sit  6;  et  uis  scire  quantum  sit  numerus  .a.  , 
uel  numerus  quia  C-st  .sicut  .n.  ad  ita  .g.  ad  .r/.,  erit  ergo  ut  .a.b.  ad  .b., 
ila  .g.d.  ad  quare  multiplicabis  coniunctum  cx  .a.,  ct  .b.y  scilicet  14,  j»er  .r/., 
hoc  e.st  per  c,  erunt  84;  que  diuidc  per  iunctmn  ex  .g.d.,  hoc  est  ;>cr  28,  iienicnt 
3 pro  numero  .b.\  quibas  extractis  cx  n,  i-cmaucut  11  pro  numero  .a.\  similiter  pro- 
cedes, si  numeri  .a.  el  ,b.  , nec  non  el  .summa  iiignotorum  .g.d.  fuerit  nota.  Ucm 
si  fuerit  ingnotas  ttmi.S4|uisquc  numerorum  .a.g.',  sed  .summa  eorum  sit  nota,  et  .sint 
diam  noli  numeri  .b.d.,  erit  sicut  summa  .b.d.  nola  ad  iiulum  .d.,  ita  .a.g.  notum 
ad  .g.  ingnotiim  : quare  multiplicabis  coniunctum  ex  .a.g.  in  .d.  , et  diuides  per 
coniunctum  ex  tiumens  .b.d.;  et  qumi  proueneril  erit  numerus  .g.;  quod  («c)  extracto 
ex  summa  numerorum  .a.g.,  remanebit  numerus  .a.  notus;  similiter  facies,  cum  ingnoti 
fuerint  numeri  .b.d.,  et  conim  summa  sil  nota,  nec  non  ct  unusquisque  | numerorum 
.a.g.  sil  notus. 


• 61  nnnMru*  ....  ct(  «Icut  * (M. 
IKl  vtrto,  lia.  I , («I  X54  . 
Ua.  1). 

« •(_  p * 


....  «»ln|fcp4  I ( M 

HI  lia.  13  « 14;  |U«. 

3^3.  lia.  13  * 14|. 


. ..J 


«■••rarrut  ...  «liaiJ<‘(  • ( l<'l 

I6|  . Jmi.  24-X7  i pi-d- 

3V3.  Jiu.  t«-3Uj. 


I ^ ^ 


<M.  HI  .f»-»  . iia.  Sl-3i  1 
|u(.  SH3,  liB. 


, ! 14.. 


. Digitized  by  Google 


?i  «I  tuaina  ....  6 » ffal. 

lAJt  lia-  4*S;  |M«.  SVVi 

im.  rm. 


^ ./ 


nnainai  ....  «{««rt  • ifol.  I9t 
r^et»,  lia.  lS-81  | fug.  9*6  , 
iia.  16t0.. 


Doliii  naa»«TU«  ...•  «u  ,ft.  » 
[fui.  mt  rrrta  , lia.  10 -It  i 
p>g.  IM,  lia.  M-ltl- 


fal.  llt  rersc- 


radia  ....  njdit  • { fal.  Itt 
•■rraa,  lia.  ^9  • 19;  pag.  196, 
lia.  41  pag.  197,  lia.  4). 


390 

Item  sil  sicut  .a.  ad  M.f  ila  .g.  ad  et  sil  summa  numerorum  .b.g.  nola;  sed 
unusquisijuc  eurum  sit  ingnutu.s:  et  sint  etiam  noti  numeri  .a.dr,  quorum  .a.  sit  s« 
et  .(i,  sit  9;  et  summa  nuincroium  .b.g.  sit  ti:  quia  faclu.s  ex  .n.  in  .siliret  94, 
cquatur  facto  ex  .b.  in  .g.;  o|>ortcl  ut  diuidaiilur  ti  in  duas  partes,  quanim  una  mul- 
tiplicata per  aliam  facient  54:  ergo  ex  quadrato  medietatis  de  si  , silicet  de  ^ {10, 
extrahas  54;  et  radicem  residui,  que  est  i 7,  extrahende  (w)  | lO,  remanent  3 pro  uno 
ex  numeris  .b.g.’,  quibus  extmetis  de  ti,  remanent  fs  pn>  alio  numero:  erit  enim  sicut 
6 ad  3,  ila  ts  ad  9;  ucl  sicut  6 ad  18,  ita  3 ad  9:  eodemque  modo  procedes,  cum  summa 
numerorum  .a.d.  ingnutonim  fuci*it  nuta  cum  numeris  .b^.:  procedit  enim  ex  hoc 
talis  questio,  quod  quidam  emit  rotulos  6 nescio  pro  quot  bizantiis;  sed  pro  bizantiis 
9 habuit  rotulos  nescio  quod  eadem  rationem  (.fic);  sed  .summa  rotulorum  et  blsantio- 
rum  fuerit  35;  de  quibus  extrabeudi  sunt  rotuli  e,  et  blsani  (j/c)  9,  remanent  tl  pro 
summa  duorum  ingnotorum  numerorum,  qui  adsimulantnr  (,r/c)  numeris  .b.g. 

Sit  item  proportio  numeri  .n.b.  ad  luitnenim  .g.  sicut  projwrlio  ,d.e.  ad  numerum  .s.; 
et  sint  ingiioli  numeri  uiM.,  et  .g.’,  numeri  autem  .d.e.z.  sint  noti;  et  sit  notnm  su}>er- 
fluum  numeri  .a.b.  super  .g.,  quod  sit  numerus  .a.c.‘,  et  quia  maior  est  numerus  .a.b., 
quam  .g.,  maior  erit  numerus  .d.e.t  quam  .s.  : sunimantur  itaque  ex  numero  M.e.  nu- 
merus .f.e,  e(|ualis  numero  .z.',  et  quia  esi  sicut  ui.b.  ad  .g.,  ita  .d.e.  ad  ,z,;  erit  itaque 
sicut  .a.b.  m\  ,c.b.,  \lfi  .d.e.  ad  .f.e.:  quare  si  diuiscri.s,  erit  sicut  .a.c.  notus  ad  .c.b. 
iiignotum,  ita  notus  ad  .f.e.  notum:  quare  multiplicabis  ./i.b.  primum  per  .e.f* 
quartum,  et  diuides  per  .d.f.  tcrcium,  et  proucniet  .c.b.i  silicet  .g.  notus;  qiio  addito 
cum  notum,  erit  iiolu-s  totus  numerus  .nir.  Similiter  si  fuerint  noti  numeri  .a.b., 
et  .g.;  et  numeri  .d.e.  et  .z.  sint  ingnoti;  sed  sit  notum  id,  in  quo  numcixis  .d.e.  excedit 
numerum  quod  sit  numerus  .d.f.:  adeipiam  ergo  ex  numero  .a.b.  numerum  .cJf. 
cqualem  numero  .g.,  remanebit  .a.c.  notus;  erit  proportio  noti  .d.f.  ad  ingnotum  /.e., 
sicut  ./i.c.  noli  .ax.b.  notum:  quare  multiplicabis  .d.f.  in  .b.,  et  summa  diuidetur 
per  .a.c.,  el  quod  exierit,  erit  numerus  ./u?.,  lioc  est  mimenis  .z.  ; super  quem  si 
additus  fuerit  numerus  . erit  nutus  numerus  .d.e.  Sct  sint  ingnoti  numeri  .a.b.  et 
.d.e.,  et  uteique  numerorum  .g.z.  sit  noiu.s,  nec  iion  et  su|>ernuum  .a.b,  supra  .d.e., 
quod  sil  .a.c.}  quoniam  est  sicut  .a.b.  ad  .g.,  ita  .d.e.  ad  .z.  : permutatim  ergo  erit 
.sicut  .a.b.  ad  u*.,  ita  .g.  ad  .z.:  sit  itaque  numerus  ,g.  9,  et  numerus  .z.  sit  3,  et  super- 
fluum .a.b.  .super  .<l.e.,  hoc  est  .a.c.,  sit  8:  el  quoniam  est  sicut  .g.  ad  .s.,  ita  .a.b.  ad 
.d.e.}  erit  ergo  .sicnit  superfluum  .g.  .super  .z.,  .scilicet  6,  ad  superfluum  .aM.  super  .d.e., 
silicet  ad  8,  sicut  .5*  ad  numerum  .d.e.:  quare  multiplicabis  numerum  .s.  per  8,  erunt 
14;  ({uc  diuides  per  6,ueniuiit  4 pro  numeriKri.e.;  cui  addito  numerus  (^4c).n.c.,  habebunt 
11  pro  numero  .a.b.:  aliter  erit  sicut  6 ad  s,  ita  numerus  8 ad  numerum  .n.6.;quarc  mul- 
tiplicabis 8 ]Kr  9,  et  diuides  per  6,  uenient  ii;  de  quibus  si  auferatur  numerus  .n.c.  , 
remanebunt  4 pro  numero  .e/.,  | ut  predixi.  Sed  sint  numeri  utM.  el  ,z.  ingnoti*  et 
unusquisque  numerorum  .d.e.  et  .g.  sit  notus,  nec  non  et  superfluum  .a.b.  super 
.z.,  quod  sit  .a^:.}  et  quia  est  sicut  .a.b.  ad  .g.,  itu  .d.e.  ad  .z.,  erit  multiplicatio 
.a.b.  iu  .s.,  lioc  est  ex  .a.b,  in  .c.b.  est  nota,  cum  equalis  muUiplicalioni  notorum 
,d.e.  in  .g.}  cui  mulilplicatioDC  (s^)  si  addatur  quadratus  numeri  .ix.,  silicet  dimidii 
uumeri  M.b.  , proucnit  uotus  quadratus  numeri  .i.b.}  quare  radix  ipsius  est  .iM.  ; 


Digitized  by  Googie 


307 

titi  qua  si  auferatur  A.c.  notus,  rcmaucbit  silicet  .3.,  notus  : si  addatur  .a.c. 

imtus,  erit  etiam  nutus  numerus  que  etiam  dcmoiistreiilur  iu  numeris  : ex  .g. 

quidem  in  silicet  ex  .g.  quidem  ia  silicet  ex  9 in  4;  quibus  si  addatur 

quadratus  medietatis  numeri  .a.c.|  qui  numerus  .a.c.  sit  9,  erunt  J M;  quorum  radix, 
que  est  ^27,  est  numerus  de  quo  si  auferatur  numerus  remanebunt  3 pro 

numero  hoc  est  pro  numero  cum  quibus  si  addantur  9,  idest  numerus 

erunt  is  pro  toto  numero  .a.b,  * 

Item  sil  sicut  .a.  ud  ita  .g.  ad  ,d.  \ et  sit  summa  quadratorum  numerorum 
.a^.  223,  et  numerus  .g.  sit  4,  et  numerus  .</.  sit  3;  addes  quadratum  de  4 cum  qua* 
drato  de  3,  scilicet  lo  cum  9,  erunt  2S:  pro|M)rlio  enim  de  2S  ad  9 est  sicut  proportio 
de  223  ad  quadratum  numeri  .b,t  quare  multiplicabis  9 per  223  , et  diuides  per  2S  , 
exibunt  81  pro  quadrato  numeri  .b.e.  ; quare  numerus  Jt.  est  9:  ex  bis  autem  coi* 
liges,  omnia  eucnirc  in  quadratis  quatuor  numerorum  proportionalium  , que  diximus 
iii  numeris  simplicibus,  etiam  et  eadem  prouenient  in  cubis  ipsorum. 

EjLpticit  pars  prima  vltimi  capituli.  Incipit  secutuia  de  questionibus 
geometrie  pertinentibus. 

i’!sl  asta  iuxta  quandam  turrim  erecta,  liabeiis  in  longitudine  pedes  .xx.;  quentur,  si 
}>es  astc  separetur  a turri  pedidus  123  quot  pedibus  caput  astc  descenderit  : sit  itaque 
turis  linea  .a.b.',  ex  qua  accipiatur  ,b.c.  erjualis  date  aste  ; et  prolrabatur  linea  .b.d. 
in  plano,  que  sit  pedum  12;  et  iuceat  asta  .d.g.  e<|ualis  linee  .6.C.3  et  sic  Iit  trigoni 
recti  angulum  ab  asta  .</.g,  et  a plano  .d.b.,  et  a muro  .6.;  et  est  angulus  rectus 
ipsius,  qui  sub  .g.b.d.  et  quoniam  ut  beuclides  testatur  in  pcnultima  sui  primi 
libri,  quod  in  trigonis  recti  angulis  quadratus  latens  subtendentis  angulum  rectum 
e<piutur  quadratis  du<»bus  lateris  reliquorum  duorum  laterum  angulum  rectum  conti* 
nentium;  quare  <|uadratus  astc  -d-g,,  silicet  400,  c<juatur  duobus  quadratis  linearum 
.d.b.,  et  .b.g.x  sed  quadratus  linee  .d.h.  est  notus,  cum  i|isa  sit  nota;  quare  si  au- 
feratur quadratus  ipsius,  scilicet  I44,  ex  400,  remanebunt  pro  quadrato  linee  .^.g.  2S0; 
quorum  radix,  scilicet  10,  est  linea  .b.g.  ; qua  extracta  ex  linea  x.  , remanebunt  4 
pro  descensu  capitis  astc  .g.c.  £l  si  prutralialur  pes  astc  donec  caput  cius  descenderit 
pedibus  4;  et  queratur  quantum  pes  elongabitur  a turri;  in  bac  ponitur  notum  latus 
.b.g.  ',  quia  extractis  4 ex  bnea  .e.b.,  que  est  longitudo  asle,  remanent  I6  linea  .g.h. ; 
quorum  quadratus  si  aufcnilur  ex  quadrato  astc  .d.g.,  silicet  250  ex  400,  remanebunt 
144  pro  quadrato  linee  .b.d.,  que  est  separatio  pedis  oste  a turri;  et  si  fuerit  nota 
altitudo  .g.b.,  et  planum  .b.d.,  et  igiioraucris  .b.d.,  et  ingnoraucris  longitudinem  uste 
d.g.,  addes  quadratos  linearum  .b.g.  et  .b.  in  unum,  scilicet  xso  et  144,  erunt  40e,  quo* 
rum  radix,  scilicet  20,  est  asta  .d.g.-,  et  liec  memurie  commenda,  cum  sint  multum  utilia. 

|.'i  quodam  pluiio  sunt  erecte  due  astc,  que  dUlant  in  solo  pedibus  12;  et  minor  asta  | 
est  alta  pedibus  35,  maior  quu<jue  pedibus  40;  queritur,  si  maior  asta  ceciderit  super 
minorem,  in  qua  pai*tc  ipsius  erit  cumtactus  eorum:  sit  itaque  minor  asta  linea 
maior  uero  .g.d.,  et  copuletur  recta  .d.a.’,  et  quia  quadratus  maioiis  astc  est  plus 
duobus  quadratis  linearum  ./1.6.  et  scitur,  quod  linea  .d.a.  est  minor,  quam  linea 
.d.g.x  quare  prutrabalur  linea  .d.a.  in  punctum  et  sit  cqualis  recta  .d.e.  recte 
.d.g.',  ergo  si  asta  .</.g.  ceciderit  super  punctum  .a.,  faciet  lineam  .d.e.  : erit  ergo 


9 ....  .A.  rM  9 ft  ^ fwl. 
IHX  , litt.  14.14  ( Ne. 

291,  liM.  10.12!. 

4 A 


t •* 


..  . «r,lK«ltO  • [ChI- 
122  rec49  • l«n.  21  e 22-21  s 
l>*|.  297,  it«.  I9-3S). 


f*l.  122 


Digitized  by  Googie 


ilu  ••••  iuMii  < (U-  IR3 
rrfta,  Irt.  1*14;  fsi|;,  li«. 

i%  — pf(.  r.i.  Ii».  Si- 


1'«'  ItMM  - . . . rfsIriH»  • 
lf»l.  |HJ  r^rta  , liH.  S4  W ( 
|.;|.  3!«.  U VJ  • S0-S6:. 


I..}- 


30R 

tril^onuin  Ji.b.d.  recti  angulum;  r^tiare  quailraliis  linee  .a. cr|tmtur  duobus  quailmlis 
linearum  .nM.  ct  .h.d.  : adde  ergo  in.simul  quadratos  earum,  scilicet  1225  ct  I44,  erunt 
ms;  quorum  radix,  scilicet  37,  est  tinea  qiiilms  extractis  ex  litiea  scilicet  ex 

usta  .e/.g.,  remanebunt  3 pro  linea  .a.e.  Et  si  minor  asta  ceciderit  su}>er  maiorem, 
extrabe  144  de  1225,  remanent  losi;  quorum  redirem  acci)>e  in  ista  .r/.g.,  silque  in 
puncto  ergo  .f.  erit  cumtactus  aslc  minoris:  et  ut  hcc  apertius  uideas,  protnihc  lineam 
ipsa  erit  subtendens  angulum  rcrlum,  qui  est  ud  .d.',  quare  quadratus  linee  .h.f. 
equatur  duobus  quadratis  in  earum  (j/c)  .f.d.  ct  .d.b>\  qui  quadrati,  scilicet  losi  et  !I4, 
insimul  iuncli,  faciunt  1225;  quorum  radix,  scilicet  35,  est  linea  .b.f,^  que  est  equalis 
a.stc  ,b.a.y  ut  oportet. 

l.N  qiKMlnm  plano  sunt  due  turres,  quarum  una  est  alta  passibus  30,  altera  40,  et  di- 
stant in  solo  passibus  50;  infra  quas  est  fons,  ad  cuiii-S  centrum  uolitant  due  aues  pari 
tiulatu,  descendentes  paiiter  cx  altitudine  ipsarum;  queritur  distantia  centri  ab  utraque 
turri  : sil  ila<|uc  maior  turris  linearum  M.b.y  minor  sit  .g-d.;  spatium,  quod  erit  inter 
eas,  est  linea  .b.d.;  ct  copulentur  sumitates  eannn  cum  linea  .a.g.,  que  diuidatur  in  duo 
C(|ua  super  punctum  .c.;  a quo  prulraliatur  linea  .c/.  cfpiidistans  linee  .a.h.  et -g.//.; 
ct  a puncto  .e.  protrahatur  linea  .e.s.  faciens  duos  angulos  rectus  sujier  linea  .n.g.,idcsl 
circa  U‘,:  dico  quod  punctus  .s.  est  centrum  fontis;  quod  pn»babitur  ita:  prolrentur  {sic) 
a puncto  duc  recte,  que  sint  .2./1.  et  .s.g.,  «juc -sunt  uolatus  auium,  quas  ostendam 
esse  cquales:  quia  linea  ,z.a.  est  subtendens  angulum  rectum  in  triangulo  .z.n.e.f  ideo 
quadratus  ipsius  equatur  duobus  quadratis  linearum  ,z.e.e.a.i  similiter  quadratus  linee 
,z.g.  est  equalis  duobus  quadratis  linennitn  .g,e.  et  ,z.e.;  sed  .g.e,  est  equalis  ct 
quadratus  linee  .r.z.  est  romunis  in  ]>redictls  duobus  trigonis;  quare  .g.z.  ct  .n.:.  sunt 
c<|uales,  et  lioc  uolumiis:  sed  si  secundum  numemm  procedere^uis,  adde  passus  utnnsqiic 
turris,  scilicet  40  cum  30,  erunt  70;  quorum  dimidium,  scilicet  35,  est  linea  .e./.:  nam  et  di- 
midium spatii  .b.d, €St  23, quod  est  qiiclibet  liiieanim  ,d.f.  et  .f.b.;  el  accipe  difTerefitiani, 
que  est  a minori  turri  usque  in  35,  que  est  s;  in  quibas  multiplica  35,  erunt  I7S;  que  di- 
uide  per  dimidium  spatii,  -scilicet  per  25,  exibunt  7 pro  linea  .f,z.,c\im  quibus  si  addantur 
25,  silicet  linea  .d.f.y  erit  linea  .d.z.  32:  ct  si  auferetur  7 cx  linea  .f.b.t  remanebunt  I8  pro 
linea  .z.b.;  quorum  quadretus  si  addatur  rum  quadrato  turns  .b.a.^  scilicet  324  cum  I6O0, 
erunt  4924  pro  quadrato  linee  .r.fi.,  cui  otium  equatur  quadratus  linee  .s.g.,  cum  pro- 
ucniat  cx  additione  quadraturum  linearum  ,z.d.  ct  .d.g.^  silicet  de  1024  et  de  w)0;  et  lioc 
uulnnuis.  Et  notandum,  quod  si  quadratus  maioris  turris  esset  equalis  duobus  quadratis, 
qui  ftunt  a spatio  ct  a minori  turri,  tunc  centrum  fontis  esset  pimetus  .b.^  qui 

est  pex  maioris  turris:  ct  si  quadratus  ipsius  maioris  turris  supcrlialmndarct  sujHT 
summam  prcdiclorum  4|uadralorum  , tuncccritnim  erit  | extra  minorem  turrim;  quod 
irnienies  ccMlem  mmlo.  Verbi  gratia:  sil  spitiu  m .6.</.,quod  est  diderentiam  {sic)  turrium, 
I0;ct  turres  sint  ecdem,  ut  bac  alia  cernitur  formula;  et  protrahatur  linea  in  infinituro 
super  punctum  .b.;  ct  a puncto  .e.  protrahatur  linea  .e./.,  iicc  non  et  linea  .e.z.  faciens 
angulos  rectos  super  linea  quare  oslcudcutur  ex  his  que  diximus, linee  ,z.a.  ct  .z.g- 
sibi  inuicem  esse  ei]uales:  nam  si  prcscripta  175  diuiseris  per  spatium  ,d./.t  quo<l  est  5, 
nimirum  35  ueniciit  pro  spatio  ./.z.:  quare  centrum  .z.  distat  a pede  minoris  turris, 
sriUret  a puncto  .f/.,  passibus  40;  ex  quibus  si  cxtrelmlur  sjialium  .dJ/.f  silicet  10,  rema- 


Oigitized  by  Googie 


3?9 

uelmtit  30  pro  spatio  .b.z.^  quu<l  ost  extra  maiorem  tiirnm:  ct  notu  «(uia  est  super  linea 
.dJ.  pmtmlictur  in  plaiK»  linea  ab  utraque  [>ai'tc  in  inllnilum  per  punctum  .2.  * secans 
ipsam  ad  rectos  angulos;  tunc  in  (piacumipic  parte  ipsius  linee  uellcs,  jmsset  esse  centrum 
prcdiclc  fontis.  Et  si  a centro  fontis  due  aues  insimul  dist^esseriiity  et  pan  uolutu  super 
altitudines  duanim  turrium  ab  utnim^pic  (jie)  parlc  fontis  cxisteiitimn  uno  et  eodem  mo> 
mento  deueneiinl;  ct  uis  scire  utiiusquc  tunis  altitudinem;  ct  sit  centrum  prcdictum 
loii^e  a minuri  tum  passibus  32,  a maiori  passibus  is;  sic  facies:  <|uadratum  mitioris 
spatii  de  quadrato  maioris  extrahe,  s<!ilicet  321  dc  102I,  remanebunt  Too,  que  seriiu;  ct 
|>onc  altitudinem  minoris  turris  ad  libitum,  sicque  (.r/c)  30;  super  (piurum  quadnitiim 
adde  700  scriiala,  erunt  icoo;  fpiorum  radix,  scilicet  40,  erit  altitudo  maioris  turris.  Et 
si  projHHiutur,  quod  maior  turris  alterior  minore  passibus  a,  dimidium  dc  a serua,  ct 
adde  insimul  distaiicias  centri  a turribus^  scilicet  is  ct  32,  erunt  so;  quotum  dimidium, 
.scilicet  23,  extrahere  {sic)  dc  32,  rcmaiieut  7;  que  multiplica  per  eadem  25,  erunt  175; 
([uc  diuidc  per  4 seruata,  exibunt  1 43  pro  linea  .e./.;  super  que  adde  4,  erunt  | 47 
pro  altitudine  maioris  turris;  de  quibus  extiuclis  8,  iii  quibus  ipsa  excedit  minorem, 
remanebunt  J 39  pro  minori  turri. 

Oiiidam  habuit  libras  100,  de  quibus  lucratus  est  in  quodam  foro  aliquid;  ex  quibus 
«millibus  lucratus  est  in  alio  furo  proportinnaiiter,  secundum  quod  lucratus  fuerat  in 
primo  furo,  ct  habuit  libras  200  : pone  ,ft.  pro  libris  loa,  ct  M.  pro  eo,  quod  habuit 
inter  capitale  et  lucrum  in  primo  fom  ; ct  .g.  sit  2uo;  quia  est  sicut  m.  ad  .0.^  ita 
,b,  ad  .g.^  erit  mullipticntio  .a.  in  .g.  equalis  «piudrato  numeri  ergo  multiplicabis 
100  per  2U0,  erunt  20000;  quorum  radix,  que  est  circa  libre  141,  ct  soldi  8,  et  denarii 
*•  5,  est  numerus  de  quibus  aufcniiitur  libre  100  capitalis,  remanebunt  libre  41. 

Rursas  c^uidatn  habuit  libras  loo,  cum  rjuibus  fecit  unum  uiadium,  et  lucnitus  est 
nescio  quot;  et  tunc  accepit  ulins  libras  100  in  societate  ; et  cum  his  omnibus  lu- 
(uatus  est  eadem  ratione,  qiui  lucratus  fuerat  in  primo  uia^io;  ct  sic  habuit  libras 
299;  queritur,  ipiut  lucratus  fuit:  sil  ./1.100;  dc  quibus  facit  numerum  ,b.  in  primo 
uiagio;  super  quem  addantur  libre  luo  societatis  , ct  pitiueniat  quantitas  .g.c.d.y  dc 
quu  .gx.  sit  ioo;  ct  ex  quantitate  .gx.d,  facit  in  .secundo  uiagiu  libras  299,  que  sint 
numerus  et  diuidalur  ,gx.  in  duo  equa  super  .5.;  ct  quia  est  sicut  ,a,  ad 
ita  .g^d.  ad  erit  muUiplicatio  cx  .b.  in  .g.d.  cqualis  multiplicationi  .n.  in  .e.: 
sed  multipUeatiu  .a,  in  .e.,  silicei  dc  100  in  299,  est  20900;  | quibus  equalur  imiUipli- 
catiu  ex  .b.  in  >g>d.:  sed  x.d.  est  equalis  .b.;  erit  ergo  multiplicatio  .g.d.  in  x.d. 
29000;  quibus  si  addatur  quadratus  numeri  .s.c.,  scilicet  2300,  erunt  32400 ; quorum 
radix,  scilicet  iso,  est  numerus  .z.d.',  cx  quibus  .si  auferatur  50,  scilicet  .s.c.,  remanebunt 
130  pro  numero  c.d.  : .sed  x.d.  est  equalis  M.  ; ergo  .b.  est  130,  qui  fuit  capitale 
et  lucrum  primi  uiagii:  de  quibus  aulferanlur  libre  loo  capitulis,  remanent  libre  30 
pro  lucro  : ergo  cx  libris  tou  lucratus  fuit  30;  ccnte.siina  prs  quarum,  scilicet  soldos 
0,  lucratus  fuit  per  libram  in  uno  quoque  uiagio.  Item  rpiidam  liabiiit  libras  100  ; 
dc  quibus,  et  de  eorum  proHcuo  lucratus  est  .sein|>cr  equaliler  in  tribus  foris,  et  in 
fine  buimit  libras  200;  queritur,  quot  in  uno  quoque  habuit  foro:  hic  iiitelliguntur 
qualuor  numeri  continui  pro|>orlioualcs;  cx  quibus  primus,  cl  quartus  sunt  noti,  sci- 
licet libre  100  ct  libre  too  ; reliquos  oportet  nos  inuenirc.  Et  quoniam  ut  cuclides 


r ...  lil.rr  41 1 riul. 

1113  Mv*#  , li«.  <4-31  ; j>«R- 
3!>9.  I.H.  13  • |4-<3i 


l 

I 


S 

\ 

I 


't  ....  '*l 

iM.  H3  . Um. 
I«l|.  399.  liN.  2S-3<1. 
lOo 


f'»l.  133  tHTta,  BMrpu» 


r.-l.  tSi  rvr<«. 


....  ]u>f.lii*  t lU.I. 

134  refl».  Im.  S:  |U£.  3V9  . 
Iig.  33  • 3»J. 

299 


Digitized  by  Googie 


400 

dicit  , itilcr  duos  cul>os  numeros  duo  medi  irilerciduiil  numeri  continuati  cum  ij)sU 
in  pmportionc  continua;  ideo  cubioetnr  loo^  ei‘unt  toooooo)  (|uorum  proportio  est  ad 
rubum  denariorum  primi  fori,  sicut  primus  numerus  ad  (piartum,  ut  cuclides  ostendit. 
Kt  quia  quartus  numerus,  scilicet  soo,  est  duplum  primi,  duplica  loooooo,  erunt  loooooo 
pro  cubo  denariorum  primi  fori  ; quibus  etiam  duplicatis  faciunt  4000000  pro  culx) 
denariorum  secundi  fori  ; quibus  duplicatis  faciunt  8OOOOOO,  scilicet  cubum  ducenta- 
rum librarum  , quas  ipse  habuit  in  ultimo  foro  : ergo  reperias  radicem  cubicam 
numerorum  primi  et  secundi  fori,  et  habebis  quesita  secundum  propinquitatem,  cum  ipsi 
numeri  radicem  cubicam  non  habeant:  sed  si  primus  numerus  eorum,  et  ultimus  essent 
cubi,  ucl  habentes  proportionem  inter  se  sicut  aibus  numerus  ad  cubum  numerum; 
tunc  interciderent  inter  eas  duo  numeri  ratiocinati.  Verbi  gratia  : si  primus  niimcnis 
t4,  quarius  uerosit  8i;  quorum  proportio  est  sicut  cubus  s ad  cubum  *7  : unde  si 
uis  inuenirc  numeros  inlerccdeiilcs,  accipe  radices  culwniin,  cruulquc  2 et  3,  in  quorum 
pn>poriione  cadunt  numeri  intercidentes  : quare  triplum  primi  numeri  diuides  per  2; 
uel  dimidium  cius,  quod  est  12,  triplica  , uenient  3fl  pro  secundo  numero ; quorum 
dimidio  iteiiim  triplicato,  uenient  pix)  lercio  numero  54;  quorum  eliuin  dimidio  ite- 
rum triplicato  , proucnit  est  {sic)  quartus  numerus  81,  ut  nolebamus:  et  notandum, 
quod  quando  in  similibus  inter  primum  numerum,  et  ultimum,  .scilicet  inter  capitale, 
et  id  quod  habuit  in  iine  suorum  uiagiorum,  unus  intercidit  numerus,  ut  in  duobus 
foris  , tunc  pn>porlio  ipsorum  trium  numeronim  dicitur  esse  duplicata  in  ea,  quam 
ba)>el  ultimus  numerus  ad  primum  mimerum;  hoc  est  sicut  ultimus  numerus  est  ad 
primum,  ita  quadratus  secundi  mirneri  est  ad  quadratum  primi,  et  quadratus  ultimi 
ad  quadratum  setTimdi:  et  dicitur  duplicata,  quia  quadratas  numenis  surgitex  duobus 
numeris  equalibus:  et  cum  duo  intercidunt  numeri,  tunc  ipsorum  quattuor  numerorum 
proportio  dicitur  esse  triplicata  , Itoc  est,  sicut  ultimus  est  ad  primum  , ita  cubus 
secundi  ad  cubum  primi,  et  cubus  tertii  ad  cubum  secundi,  et  cubus  ultimi  ad  cubum 
tertii:  et  dicitur  triplicata,  quia  omnis  cubus  numerus  surgit  ex  iribus  e<|ualibus  nu- 
lueiis,  ut  8,  qui  surgit  ex  tribus  binariis:  et  cum  tres  interciderent  numeri,  ut  in  que- 
stione (piattuor  uiagionmi,  tunc  proportio  ipsfimm  quinque  numerorum  erit  quadru- 
plicata; boc  est,  sicut  proportio  quinti  ad  primum,  ita  quadratus  quadrati  unius  eu- 
iu.si]ue  sequentis  erit  ad  quadratum  quadrati  sui  antecedentis:  et  dicitur  quadruplicata  ; | 

. iM  quia  omnis  quadratus  quadrati  surgit  ex  quatuor  numerus  equalihet  (j/c),  ut  si,  qui 

surgit  ex  quattuor  ternariis;  et  sic  per  ordinem  ascendit  proportio  ex  aditione  interci- 
dentium numerorum:  nam  quincuplala  proporcio  est  in  cubis  quadratorum,  ucl  in  qua- 
dratis cuborum;  ex  quibus  est  32,  <]ui  surgit  ex  5 binariis,  ucl  ex  multiplicatione  cubi  bi- 
narii in  quadratum  cius:  .scxcuplata  ucro  pro^xirlio  est  in  cubis  cuborum,  qui  numeri 
oriuntur  ex  sex  numeris  equalibus;  ex  f|uibus  si  acce|>eris  radicem  quadratam,  proueniet 
numerus,  cuius  radix  cubica  est  latus  ipsorum  numerorum;  uerbi  gratia:  ut  in  729,  quo- 
rum radix  quadrata  est  27,  qui  nuracnis  est  latus  de  Tto,  secundum  has  multiplicitates.  Ex 
Ilis  autem  habetur,  quod  quando  extremi  numeri,  scilicet  capitale,  et  id  quml  habetnr 
in  fine  duorum  iiiagionim  non  habeant  proportionem  inter  se  sicut  quadratius  numerus 
ad  quadratum  numcnim  , tunc  numerus  intercidens  inter  eos  erit  nidix  numeri  non 
quadrati.  Et  cura  tres  fuerint  uiagii;  et  extremi  noii  liabuerint  proportionem  sicut  cubus 


Digitized  by  Google 


401 

niimcnis  ad  cubum  numerum;  tunc  unus  quisque  duorum  intercidentium  numerorum 
erit  radix  cubica  numeri  non  cubi:  cl  si  fuerint  uiadii;  et  extremi  non  habuerint 

proportionem  inter  se,  sicut  quadratus  numerus  quadrati  ad  quadratum  «quadrati,  tunc 
unus  qiiis(]ue  trium  intercedentium  numerorum  erit  radii  radicis  numeri  non  quadrati; 
et  sic  iiitelligas  in  reliquis. 

Ouidam  hal>eiis  bizantios,  cum  quibus  lucratus  est  in  ([uodam  foro,  ita  quod  inter 
capitale  ct  ])n)ficmim  babuit  bizaritios  so;  de  quibus  lucratus  est  in  alio  furo  eadem 
ratione,  quod  lucratus  fuerat  prius,  ct  Iiubuit  aliquid;  ct  fuerit  propoiiiu  capitalis  ad 
ultimum  numcniin,  sicut  est  pro|K>rtio  quadrati  de  5 ad  quadratum  de  9,  hoc  est  sicut 
ts  csl  ad  81 : multiplicabis  itaque  s per  9,  erunt  4S;  quorum  pro]>ortio  ad  so  ^t  sicut 
95  ad  qiiesitum  capitale;  et  sicut  ki  ad  ultimum  numerum:  quare  multiplicanda  sunt 
25,  et  81  per  so;  ct  diiiidetida  utraqiic  nniltiplicaliu  per  45,  ciibunt  pro  capitali  bi* 
zanlii  * 44,  et  pro  ultimo  numero  Idzantii  144.  Eadem  regula  retinet,  cum  dicitur: 
iniienianlur  duo  numeri,  cx  quibus  | unius  sit  | alterius;  et  simul  multiplicati  faciant 
80;  erit  primus  numerus  | e,  scilicet  radii  de  * 44  prcdictis;  et  alius  mmionis  erit  12, 
scilicet  radix  de  144;  ct  imicniuntur  ha:  quia  | primi  numeri  est  J secundi;  imieniendi 
sunt  duo  numeri,  quorum  | unius  est  ^ altius  (jie);  erunt  i]ue  5,  ct  o : multiplica  ergo 
s per  80,  cl  diuidc  per  9;  ct  9 per  80  dluide  jier  5,  exibunt -J-,  ct  144  integra,  quorum 
radice.s,  scilicet  y,  ct  19  sunt  quesiti  numeri.  Et  si  uls  inuenire  duos  mimertts,  cx  quibus 
I unius  sint  ; alterius,  cl  insimul  muUijdicati  facient  co:  iiiucnies  ergo  duos  numeros, 
ex  quibus  | unius  sint  ^ alterius;  criiiil<|uc  in  mitioribus  numeris  9 et  to:  multiplica 
ergo  secundum  regulam  suprascriptam  lo  per  co,  el  diuide  per  o,  exibunt  ^ oo;  quorum 
radix  est  primus  numerus.  Item  multiplicationem  de  o in  GO  diuidc  per  lO,  erunt  54; 

<}Uorum  radix  est  secutidus  numerus. 

Si  uis  inuenire  duas  radices  in  integris,  quarum  quadrati  In  insimul  couiuncti  fa- 
ciant quadratum  mmicnim,  scilicet  habentem  radicem,  accipe  duos  numerus  quadratus, 
ucl  hal>enlcs  inter  se  proportionem  quadratorum;  cl  sint  hambo  (j/c)  pares,  ucl  impares; 
et  multiplica  unum  in  alium,  et  uenientis  numeri  ratlicem  accipe,  que  erit  una  cx 
radicibus  qiicsitis  : deinde  agrega  numeros  prescriptiM  , et  egmlictur  numerus  par; 
ct  cum  ambo  sint  pares,  iiel  impares,  cuius  numeri  dimidium  accipe;  et  ex  ipsa  me- 
dietate minorem  numerum  extrahe,  residuttinque  erit  alia  radix;  uerhi  gratia:  sint  duo 
quadrati  luiraori  i,  ct  o;  quibus  coniunr|tis  faciunt  lo;  et  cx  muIlipUcalioiie  unius  in  m iss 
alium  .surgilo,  cuius  radix  csl  3,  quam  habcJis  pro  radice;  el  extrahe  miuoi-cra  numerum, 

.scilicet  1,  ex  medietate  decenarii,  remanebunt  4 pro  alia  ladicc. 

Inueniunlur  hec  per  unam  cx  suprascriplis  diflinilionibus,  scilicet  cura  numcnis  di- 
uiditur  in  duas  ef|uales  partes,  ct  in  duas  incquale.s,  erit  multiplicatio  minoris  partis 
per  maiorem  cum  quadrato  numeri,  <jui  csl  a minuri  parte  usque  ad  meilietatem  totius 
numeri  diuisi,  equalis  quadrato  diclc  medietatis,  f^hiarc  ponamus  iterum  pares  numeros 

habentes  proportionem  inter  se,  sicut  quadratus  numeras  ad  quadralum  numerum;  ct  ’ ,n  , lU. 

. . . * ^ J«n.  9j  |U|.  , 

Sint  8 ct  19,  quorum  pro^Mirtio  csl  sicut  4 ad  9,  qui  sunt  numeri  quadrati;  qui  insimul 

iuncli  faciunt  2C,  cuius  dimidium  est  I3t  ergo  20  tliuisus  est  in  duas  paries  itiC(]«alcs,  , j **  n 

scilicet  in  8 el  in  I8;  et  in  duas  c<|uales,  scilicet  in  3 et  13:  esto  ergo  multiplicatio 

de  s in  18  cum  quadrato  quinarii,  qui  est  ab  8 in  n,  equalis  multiplicationi  dc  13 

51 


Digitized  by  Google 


40i 

iii  sc.  Sed  ei  multiplicatione  8 iii  18  surgit  I44,  <{ui  est  quadratus « cuius  radix  c»l 
18;  et  ex  miiUijdicatioiic  quinarii  in  sc,  qui  est  alia  radix,  surgit  23;  et  sic  hahcii’ 
tur  ICO,  cuius  radix  est  13.  Aliter  est  quidem  matiifeslum,  quod  omnes  quadrati  im- 
nicri  componuntur  aggregatione  imparium  mimcrtjrum  {>cr  ordinem.  Vt  si  su|>er  i , 
qui  est  quadratus,  el  est  primus  inpar,  addatur  3,  qui  est  secuudus  impar,  liubchitur 

4,  qui  est  secundus  (|uadnitus;  super  quem  si  addatur  lercius  impar  numerus,  scilicet 

5,  tertius  (|uadralus,  scilicet  o,  procreatur;  et  sic  inlinitum  {sic)  ex  continua  collectione 
iiijiariuiu  quudniti  per  ordinem  oiicntur.  Quare  si  acceperimus  aliquem  qundralrum  {sic) 
numerum  imparem,  ucl  ortum  ex  duobus,  uel  pluribus  iiipuribus  numeris  continuis;  et 
summam  reliiiquunim  impaiium  ab  unitate  acceperimus,  nimirum  duos  quadratos  habe- 
bimus, qui  coniuiicti  aliquem  quadratum  numerum  ivddeiit.  Verbi  gnitiu  : accipimus  49 
pro  uno  quadrato;  el  colligamus  omnes  inqvares,  qui  sunt  liab  (.r/c)  uno  uscjue  in  47, 
scilicet  multiplicemus  24  in  se,  et  habebitur  576  pra  scauido  quadrato,  cuius  radix  est 
84;  et  radix  de  40  est  7,  et  sumina  horum  quadratorum  esi  C25,  quorum  radix  eslu: 
similiter  si  posueris  duos,  ucl  plures  numeros  continuos  impares,  quorum  coniunctiu 
faciat  quadratum  numerum;  radix  quidem  ipsius  erit  uua  ex  quisitis  {sic)  radicibus;summe 
uero  rcliquonim  imparium  radix,  qui  sunt  ab  ipsis  usque  ad  unitatem,  erit  alia. 

JJe  inucniione  duarum  vadicumt  quarum  multipricationes  faciant  85. 

Si  dicatur:  ter  tria  faciunt  0,  et  quater  ({uatuor  faciunt  I6;  quibus  insimul  additis 
faciunt  85  : uolo  ut  inuenias  alias  duas  radices,  quarum  quadrati  iterum  faciant  85: 
quia  85  est  numerus  habens  radicem,  scilicet  5,  reperiende  sunt  alie  duc  radices,  quorum 
«juadrati  insimul  iuiicti  faciant  alium  quemlibet  iiuiuenim  babciitem  radicem,  cruat'pic 
5,  et  18  : nam  5 multiplicata  in  se  faciunt  85,  et  12  in  sc  faciunt  144;  quibus  insimul 
iuiictU  faciunt  iiumcruni  liulieutem  radicem,  uidelicet  ico,  cuius  radix  est  13  : deinde 
multiplica  radicem  de  83,  uidelicet  5,  |^r  13  modo  inuenta,  erunt  60;  que  diuidc  per 
13  , exibunt  4 pro  una  ex  duabus  radicibus  : deinde  multiplica  eadem  5 jier  alia 
inuenta  5,  erunt  25  ; que  similiter  diuidc  per  13  , exibit  1 , que  sunt  alia  radix. 
Verbi  gratia:  nuilliplicutio  de  A in  sc  facit  st;  et  multiplicatio  de  ^ 1 in  se 

facit  quibus  insimul  iuiictis  faciunt  85,  ut  quesitum  est;  et  sic  potes  mulli* 

mode  alias  duas  radices  imienire,  quarum  multiplicationes  iuncte  faciant  85,  ex  quibus 
sunt  ex  quibus  sunt  (S4C)  | 4,  et  | 2,  ucl  licc  H ^ et  ||  1,  et  etiam  ^4  et  |f.  | 

M.  1S5  rrrM.  Dc  iiineittione  dtiaruui  radictan^  quarum  multiplicationes  faciant  A\. 

Item  4 uices  4 faciunt  10,  el  5 uices  5 faciunt  85,  <[uc  insimul  faciunt  ; et  que- 
ritur, ut  inuenias  alias  duas  radices,  quarum  quadrati  faciant  simul  41.  I.iueniantur 
quidem  duo  quilibet  numeri,  quorum  multiplicationes  iunclc  faciunt  qucmliliet  itu- 
. .. . > tf»i.  itii  menim  habentem  radicem;  silquc  3 el  4 , quorum  multiplicationes  iuncte  faciunt 

Ii7*4V—  I)  ’ haboiilcm  radicem,  silicct  85;  cuias  radix,  uidelicet  5,  muUiplicctur  pei*  utrasque  ra- 

dices pro|>asitas,  scilicet  per  4,  et  |>cr  s,  exibunt  20,  el  25:  deinde  multiplica  so  per  20, 
erit  4U0,  et  83  per  S5,  eruut  685  ; qui  insimul  iuncti  faciunt  1015:  ucl  multiplica  25 
per  41,  el  erunt  similiier  1085.  lu  quibus  alias  duas  radici‘S  puteris  reperire  iu  sanis 
preter  80,  et  85,  que  faciunt  1025;  quas  iuueuies  sic:  {Mine  radices,  <pie  fecerunt  85,  unam 
sub  alia;  ante  quas  pones  eas,  que  fecerant  41,  ut  hic  ostenditur;  et  multiplicabis  3 
per  4,  que  suot  ante  i|isa  3,  et  que  fuit  una  ex  radicibus  de  85  ; et  4 per  5 , que 


Digitized  by  Googie 


403 

sunt  ante  ipsa  , et  liabebis  u , et  to  , ijuc  scruabU  es  parte.  Rursus  multiplicabis 
radices  es  opposito,  scilicet  3 per  5,  et  4 per  4,  ei-uiil  I5,  et  16;  <pie  adde  insimul, 
erunt  31;  et  cstialic  is  dc  20,  remanent  8;  et  sic  liabes  pro  <|ucsitis  duabus  radicibus 
31,  et  8;  quorum  niulliplicaliunes  insimul  iuncte,  scilicet  96l,  et  64,  faciunt  102S:  quare 
diuidendum  est  utcrrjuc  nunienis,  uidelicet  31,  et  h per  S,  que  multiplicasti  superius, 
j>er  positas  radices,  uidelicet  per  4,  et  ]>cr  5,  c\ibunt  6,  cl  ct  \ 1;  quorum  multi- 
plicationes, si  insimul  addens,  faciunt  4i.  Sunt  enim  1025  alie  duc  radices,  quarum 
mulliplicatioues  insimul  iuncte  faciunt  iterum  102S,  que  rcperiimtur  ex  prodictis  .1111.” 
iiiucntis  numeris  sic  ; adde  I2  cum  2U,  et  extralic  15  de  i6;  et  egredientur  pro  i|(5is 
radicibus  32,  et  1;  (juibus  per  5 diiiisis,  reddent  | 6,  ot  {;  quomm  quadrati  faciunt 
iterum  4i  : pussumus  cuim  cum  mullipliratiunc  duorum  uliuiiim  luimcrortim  multimode 
ad  cudera  4i  pcnienire,  uidelicet  si  acceperimus  alios  duos  numeros  pi-ctcr  3,  cl  4 ; 
quoiiim  uuiltiplicationes  iuncte  insimul  faciunt  alium  numerum  habentem  radicem,  ut 
s,  et  12,  qui  faciunt  alium  numerum  habentem  radicem,  uidciiret  168;  de  cuius  radice, 
uidelicet  dc  13,  facias  sicut  fecisti  dc  5,  reperies  3,  ct  5;  quorum  multiplicationes 
insimul  iuncte  faciunt  similiter  4i.  Nam  unde  hee  inuentiones  precedunt  (.r/c),  geome- 
trice demonstrala  sunt  in  libello,  quem  dc  quadratis  composui. 

Ve  petia  fxmniy  ex  (pia  quidum  noiuit  facere  (inteamina. 

Quidam  babet  |M  liam  unam  panni,  que  est  longa  liulnis  i(H),  ct  ampla  ulnis  30;  cx 
qua  uult  facere  linlheamina,  quoium  imum  quodque  habeat  in  longitudine  ulnas  18, 
et  in  latitudine  ulnas  5.  Queritur,  quot  liiitheamiiia  inde  facere  potest.  Multiplicabis 
itaque  latitudinem  petie  ][>er  ipsius  loiigitinem  (.rtc),  uidelicet  30  per  tou,  cnmt  300;  que 
diuidc  per  longitudiuem,  ct  latitudinem  linlbeaminum,  uidelicet  per  s,  ct  per  is,  hoc 
est  per  exibunt  lintheamina  50. 

De  archa  prestita  plena  frumento. 

Quidam  recepit  mutuo  quandara  archam  plenam  frumento,  que  babuit  in  singulis 
lateribus,  uidelicet  iii  latitudine,  lugitudinem  (s/c),  et  altitudine  palmos  lO:  accidit  nempe, 
quod  ipsa  archa  fuerit  igne  cobiista  (xfc);  sic  quod  non  posset  | frumentum  cum  ipsa  m- 
archa  reddere;  qui,  cum  cumuciiirclur,  ut  rederet  frumentum  suo  prestatori,  ait:  haheo 
archam,  que  hal>et  ia  singulis  laterihus  palmos  4,  tolle  cum  ea  tuum  finimcntum;  queritur, 
quot  archas  frumenti  ci  reddere  deheat:  nmlliplicahis  itnquc  latitudinem  maioris  arche 
])cr  longitudinem  ipsius,  uidelicet  et  (src)  ic  (>er  16,  erunt  256;  que  multiplica  per  altitu- 
dinem, uidelicet  per  io,  erunt  40U6;  que  diuide  |icr  64,  que  exiit  cx  multiplicatione  laterum 
minoris  arce,  uidelicet  dc  4 in  4;  que  in  4,  exibunt  arce  $4:  ucl  aliter:  diuide  latus 
maioris  arce  per  latus  minoris,  uidelicet  16  per  4,  exibunt  4;  que  cubica,  erunt  si- 
militer arce  64,  ut  predixinius.  Si  autem  ali(|ua  prrscriptarum  nrcharum  ineqiialia  haberet 
latem  [>riori  regule  non  olistaret ; quia  semper  multiplicanda  est  latitudo  per  longi- 
tudinem, ct  altitudinem  maioris  arce;  ct  debes  diuiderc  ipsam  summam  per  latitudinem, 
et  longiludiiictn,  ct  altitndiiirm  minoris. 

De  cisterna  plena  aqua^  in  qua  eicitur  lapis  tetraonis  (sic). 

Est  cisterna  plena  aqua,  que  tenet  barilcs  1000;  et  hal>et  in  latitudinem  pedes  20, 
et  in  longitudinem  pedes  24,  et  in  altitudinem  pedes  20.  Queritur,  si  eiciattir  in  eam 
lapis  quadratus,  habens  in  singulis  lateribus  pedes  6 , quauta  aqua  iiidc  exierit;  mul- 


Digitized  by  Googie 


404 

tiplicabU  itaque  cisterne  latitudinem  per  longikidinenit  sciUcet  so  per  24»  erunt  490} 
que  multiplica  per  altitudinem»  uidelicct  per  30»  erunt  pm  area  totius  chteme  pedes 
quadrati  14400»  quos  scrua;  et  multiplica  in  unum  latitudinem  » et  longitudinem»  et 
altitudinem  lapidi-s»  scilicet  6 ]>er  6;  que  per  6 » erunt  sic  quadrati  pro  archa  (Wc) 
i|»sius  lapidis.  Ouare  projMrtiunaliter  est  sicut  il6  ad  14400,  ita  l>arilcs  euacualiouis  ad 
hariles  luoo.  Quare  multiplica  sic  per  looo,  erunt  stcooo}  que  diuidc  per  14400»  exibunt 
15;  cl  tot  bariles  aque  exibunt  de  cisterna  pro  t|)SO  lapide. 

De  cisterna,  m qua  eicitur  cohimpna. 

Item  si  in  cisterna  suprascri])ta  cicialur  collumpna,  que  sit  longa  pedibus  lo;  et  habeat 
in  circuitu  {ledes  ss»  sic  facies,  luiienies  suprascripta  14400,  que  est  summa  pedum 
tutius  cislcriic;  deinde  iiiueiiies  diametrum  collumpnc,  que  per  geometriam  sic  iiiuenilur: 
uidelicct  quod  diuides  circulum  cnlumpne,  uidelicct  ss  per  | 3,  exibunt  pro  diametro 
|>edcs  7;  quorum  dimidium»  quod  est  ^ 3»  multiplica  per  dimidium  cittnili , uidelicct 
per  11,  erunt  * 38»  que  sunt  area  circuli  columpne;  quam  multiplica  per  longitudinem 
coluropne»  uidelicct  per  lu»  erunt  pro  arca  collumpnc  pedes  quadrati  3S5;  quos  multiplica 
|>cr  luriles  looo»  erunt  asaooo;  quas  diuidc  |>cr  14400»  exibunt  ^ se;  et  tot  baiiles  aque 
exierunt  dc  cLslerua  pro  coluinpua  illa. 

Hursus  si  in  eadem  cisterna  ciciatur  lapis»  qui  babeat  foimam  pinuiiidis  circulans» 
liuc  est,  quod  in  l>asi  sit  ut  j>cs  columpne  rotunde;  et  uadat  ipsius  rotunditas  semper 
minuendo  uersus  altitudinem»  donec  ad  nicliilum  redigatur;  ct  sit  circulus  basis  pedum 
SS;  ei  iii  ipsius  altitudinem  habeat  pedes  ib.  inucnies  siquidem  diametrum  ipsius  ba^; 
boc  est»  quod  diuides  ss  ik*!'  | 3,  et  habebis  7 pro  diametro  ipsius;  cuius  dimidium» 
uidelicct  ;3  » multiplicabis  per  dimidium  circuli»  scilicet  {>cr  tl»  erunt  ^ 38»  que  sunt 
arca  IhisIs  : deinde  inucnies  diametrum  altitudinis  piramidis;  quod  sic  tiiucnilur.  MuU 
fui  184  vtrn.  liplicabis  18  pcT  18,  erunt  3S4;  dc  quibus  extrahe  rauUiplIcationcm  | dimidii  diametri 
circuli»  uidelicct  > 3»  in  se»  que  multiplicatio  est  ^ is»  remanebunt  | 3it;  quorum  radix, 
que  est  |Kiriini  amplius  dc  ^ 17,  erit  ]>er{>cndicutaris»  uidelicct  diametimm  altitudinis 
ipsius.  Culus  tcrciam  partem,  que  est  f;  s,  multiplica  per  \ 38»  erunt  pedes  ^ ss6 ; 
ct  tanta  erit  arclia  lotius  piramilis  (»c);  t{ue  multiplica  per  I)arilcs  looo  » ct  diuidc 
per  arcliam  (j/c)  cisleriic»  uidelicct  |>cr  14400»  exibunt  liariles  ” * * is. 

De  cisterna,  in  qua  eicitur  lapis  ex  utraque  parte  piramidatus. 

Iterum  si  in  eadem  cisterna  eiciatur  lapis,  qui  liabcat  formam  fusi»  cum  quo  filant 
mulieres,  iii  duo  reddit  piramhles  similes  suprascripto  piramidi  ; ct  quod  ponatur  in 
uentre»  scilicet  in  sectione  piramidorum  circumdetur  pedilms  44;  cl  in  longitudine  ha- 
beat exterius  jicdes  26:  intients  itaque  aroara  piramidis  per  .suprascriptam  regulam; 
ct  addes  eas  in  unum,  enmt  pedes  ~lis4;  quos  multiplicabis  {>cr  banlcs  looo,  ct  di- 
uides per  14400»  exibunt  baiiles  J-l-J-  "8. 

De  cisterna,  in  qua  eiciatur  sf>era  rotunda, 

AdIiuc  si  in  suprasciipta  cisterna  eiciatur  forma  rotunda  » in  cuius  circuitu  sint 
j>edcs  44,  iiicnics  (sic)  diamelnim  ipsius;  scilicet  f|uo<l  diuides  44  j>cr  J 3,  exibunt  pro 
diametro  ipsius  pedes  I4;  que  multiplica  per  sexUin  partem  ipsius»  uidclicet  per  ji, 
erunt  ~ ss;  que  multiplica  per  44  , erunt  1437  ; et  tot  pedes  quadrati  continetur  in 
suprascripta  forma;  quos  multiplica  per  barilcs  looo»  et  diuidc  per  14400»  exibunt  ^90; 


Digitized  by  Googie 


403 

ot  tot  barilcf;  exierunt  de  cisteraa  pro  eiectione  illius  foimc:  possumus  est  (Wc)  iu  su- 
prascriptam  cisterna  (5^)  uarias  lapidis  formas  eicerc,ul  pote  triaiigulaUs,  quadratas, 
pcntaj^ulatas,  oliaiu  plurium  laterum  lial)cntcs,  scu  obliquas;  quas  reliiiquiimis  demo- 
jitrarc  his,  qui  geoniatriam  ingiioranl. 

De  trigonali  ciborio  fucto  a tribus  magistris. 

Quidam  costnixit  pahitimn;  et  pro  tcclo  sui  talumi  ciborium  ex  .1111.*' trigonis  con- 
stituit. Quorum  mium  quodque  latus  habebat  in  altitudine  palmos  36;  et  in  conim  Ime 
palmus  30;  iptod  ciUtriuni  tribus  magistris  dedit  ad  pingendum.  Quorum  primus  pinexit 
suam  portionem,  uidelicet  tcrcium  partem,  incipiendo  ad  puncta  illius  ciborii,  rinioiido  ad 
equi  distantem  lineam  circiter  cum  buse  trigonorum;  secunda  («c)  suam  tciciam  partem 
{xjst  primum  circiter  pingere  studuit  ; tertius  ueru  pinxit  residuum.  Queritur  quantum 
uiiasquis4|uc  cx  asccndeiilibas  lineis  trigonorum  pijigcrit , cum  unusquisque  ipsorum 
tantum  terciam  partem  ciliorii  pinxisse  proponatur.  Mensuram  quidem  basis  in  bac 
i|ucslionc  nil  fnccre  scias.  Mensuram  uero  linearum  asrendentium  a base  usque  ad  pun- 
cta ciborii,  uidelicet  36  in  se  ipsa  multiplicata,  erunt  1206;  et  radicem  lercic  partis 
ipsi,  uidelicet  dc  43S  subtiliter  inuenire  studeas.  Nam  ipsa  erit  (>orlio,  quam  primus 
cx  i|)sis  lineis  a puncti  inferius  descendendo  depinxit.  Similiter  si  dc  | de  isoo,  scilicet 
dc  864,  radicem  subtiliter  acceperis,  terminum  secundi  magistri  ab  eadem  puncta  inferius 
descendendo  reperies.  Ilosidiium  uero  pinexit  tcrcius,  ut  iu  .subtecta  figura  (^tenditur. 
Vnde  manifestum  est,  quod  ex  quacumque  parte  dc  suprascriptis  itdc  radicem  acceperis, 
daiiit  puetum  {sic)^  scu  tenninum  tibi  eiusdem  partis  suprascripti  ciborii  a puncta  inci- 
piendo, ct  inferius  uideiido  (s/c),  ut  superius  dcmonstrauimu.s. 

Sunt  tres  numeri;  ex  quibus  medietas  primi  est  tertia  pars  secundi;  et  quarta  pars 
secundi  t^t  quinta  j pars  tcrcii  numeri;  et  multiplicatis  ipsis  iribus  numeris  in  unum, 
scilicet  primum  per  secundum;  quorum  summa  multiplicata  per  tcrcium  faciunt  ad- 
ditionem corumdem.  Inucaias  primum  tres  numeros,  quorum  medietas  primi  sit  tcrcia 
pars  secundi,  ct  quarta  secundi  sit  quinta  tcrcii,  cruulquc  s,  ct  12,  ct  IS:  pone  ergo 
ut  primus  nuiuems  sit  8,  sccuudus  I2,  tercius  is;  ct  multiplica  eos  in  unum,  ct  etiam 
addes  eos,  erit  eorum  multiplicatio  1440;  et  eorum  additio  est  33.  Vide  ergo  que  pars 
sit  additio  dicta  ex  multiplicatione  prodicta  ; (|uia  eadem  pars  erit  tetragonis  unius- 
cuius<{uc  quesitorum  numeromm  ex  tetragono  sui  positi  numeri  in  se.  Ita([uc  33  de 
1440  sunt  quia  telragonus  primi  uumeri  quesiti  est  jJj  cx  tetragono  dc  8,  scilicet 
dc  64.  .Similiter  tetragonus  secundi  quesiti  numeri  est  jjj  ex  tetragono  dc  12,  scilicet 
cx  144.  Item  ct  telragonus  tcrcii  quesiti  numeri  est  cx  tralragoiio  de  13,  scilicet 
dc  225  : undo  inultiplirauda  sunt  7,  que  sunt  7 super  288,  per  64,  ct  per  144,  ct  per 
225;  et  diuideuda  una  quoque  multiplicatio  per  288;  et  liabcbLs  pro  tetragono  primi 
numeri  ^ 1,  cuius  nidit  est  primus  quesitus  numerus;  ct  pro  tetragono  secundi  numeri 
habebis  ^3,  cuius  radix  est  sccuudus  numerus;  ct  pro  tetragono  tcrcii  numeri  habebis 

3.  Et  nutandum,  quia  cum  numeri  fuerint  duo  lanium,  erit  projHirtio  iiiiiusctiiusque 
posilonim  numerorum  ad  suum  consimilem  quesitorum,  sicut  proportio  miiUipiicationis 
(>osilorum  ad  additionem  eonimdem;  que  proportio  dicitur  simplex.  Et  cum  numeri 
fuerint  tres  , erit  sicut  multiplicatio  trium  positorum  numerorum  ad  summum  addic- 
tiouis  eorum , ita  quadratus  unius  cuiusque  ]>o$ltorum  ad  quadratum  sui  coiisimiU.s 


rtiHMrii  ....  4I1  • 

(fol.  IXS  • Im.  X6-S  4 . 
pig.  4Qli,  lia.  9*lti- 


r*i 


Digitized  by  Google 


40G 

cjucsitnnini.  Vt  in  hac,  in  qnn  fuerit  proportio  quaclrnlorum  ilc  s,  et  IS,  c(  is,  scilicet 
positorum  numeronim  ad  quadrato  {sic)  qucsitorura  numcixirum,  sicut  I440  nd  35,  scilicet 
sicut  summa  multiplicationis  ijisorum  ad  summam  addictionis  corumdern:  que  proportio 
dicitur  duplicata,  cum  quadrati  sinuant  ex  mnUiplicationc  duonim  cqualium  numerorum. 
Et  cum  numeri  fuerint  quatiior,  erit  sinit  fartus  cs  muhiplirationc  positorum  ad  factum 
ex  additione  eorutndem,  ita  cubus  uniiiscuiitsipic  jiositorum  ad  cultum  sui  consimilis 
qucsitonim;  qiie  pro|>or(io  dicitur  triplicata,  cum  cubi  surgant  ex  multiplicatione  trium 
equalitim  mimtTonim.  Ft  cum  numeri  fuerint  quinque,  erit  siquidem  proportio  (losb 
tonim  ad  eorum  cotisiroiles  qnesitorum  quadruplicata  iti  liis  ipic  diximus  superius. 
in  sex  numeris  radet  proportio  qtiinniplnln,  et  cetera. 

Nam  si  cogno-sccrc  uis,  utrum  radices  inuentorum  tclragonoi*uni,  sciliccl  dc  ^ i,  ct 
dc  I 3,  cl  de  jj  5 sint  ad  iiiiiicem  in  quesitis  priq>ortiombus,  scilicet  .sinit  t sunt  ad 
3,  ita  radix  dc  sint  ad  radicem  dc  | 3;  et  sicut  4 sunt  ad  5,  ita  radix  dc  | 3 sint 
ad  radicem  dc  5 : mnUipIicabis  ergo  | i,  cl  J 3 per  is,  in  qiiibns  rcperiunlur  j 

et  habebis  2H,  ct  63:  et  quoniam  ss  sunt  ad  03,  sicut  tetragonum  hiiiarii  ad  tetra- 

gonum ternarii,  hoc  est  sicut  4 ad  0;  cogiiascitiir  qiUMl  radix  dc  \ i est  ad  radicem 
de  j 3,  sicut  2 ad  3:  similiter  inueiiics,  radicem  de  ^ 3 esse  ad  radicem  dc  ^ 5,  sicut 

4 sunt  nd  5;  cum  | 3 sini  nd  J-|  5,  sicut  tetragonus  <|uateniarii  ad  tetragonum  quinarii. 

Item  si  uis  cogiiascerc,  utrum  multiplicatio  radicum  trium  inuentorum  tctragoiioram 
siirgat  in  ascensione  aditionum  ipsanim,  multiplica  | i per  J 3;  quam  multiplicationem 
f.i  multiplica  jmt  ^ 5 1 erunt  ^ 29,  cuius  numeri  nidix  est  summa  multiplicationis  radicum 

trium  tetragoiimum  dictorum.  Item  ut  habeas  iunctioricm  ipsarum,  iunge  tres  numeros 
inuentos  superius  in  quesitis  proportionibus,  scilicet  s,  ct  12,  et  is,  cruiit  35;  ct  accipe 
tetragonum  primi  numeri,  scilicet  64,  et  tetragonum  dc  35,  scilicet  itss;  quia  in  qua 
proportione  est  tetragonus  primi  positi  numeri  ad  tetragonum  iurictionis  trinm  posi- 
torum numerorum,  ita  primus  imicntus  tetragonus  est  ad  tetragonum  iunctionis  radicum 
trium  inuentorum  tetragonorum;  hoc  est,  sicut  r,4  sunt  ad  12S5,  ita  ~ i est  ad  tetra- 
gonum summe  iunctionis  trium  radicum  suprascriplnrurii.  Quare  multiplicanda  sunt  1SS5 
per  I 1,  et  diuidetida  multiplicatio  eorum  per  64;  ct  inuenies  similiter  29  pro  te- 
tragono iunctionis  trium  predirtanim  radicum:  possumus  inultas  uarias  questiones  dc 
.similibus  in  tribus  numeris  , tiel  in  pluribus  proponere,  secundum  rpiod  in  duonim 
numerorum  qiiesliuiiihus  superius  fecimus,  quarum  omnium  solutiones  per  ca,  que  dicta 
sunt,  satis  aperte  iiiucnire  ]>ussunt. 

Ificipit  pars  tertia  de  sohitione  quarumdam  qaestiouum  secundum  Afodum 
algehre  et.  almuchabaie^  scilicet  ad  proportionem  et  restaurationem. 

Mauniebt  Au  coraposictioncin  quidem  elgcbre  («c),  et  elmuirliabalc  tres  proprietates,  que  sunt 

in  quolibet  numero,  considerantur,  qiic  sunt  radix,  quadratus,  ct  numerus  simples.  Cum 
itaque  aliquis  numerus  multipliratiir  in  sc,  ct  prmicnit  aliquid.  Tunc  factus  ex  mul- 
tijdicationc  quadratus  est  miiltiplirali  ; et  multiplicatus  sui  quadrati  est  radix.  Vt 
cum  multiplicatur  3 in  so,  ucuiunt  9.  Sunt  enim  3 radix  dc  9;  ct  9 sunt  quadratus 
ternarii.  Et  cum  numerus  non  lialicl  respectura  ad  quadratum  ucl  radicem,  tunc  sin- 
plieiter  numerus  appellatur:  bc  autem  in  solutionibus  questionum  inter  se  equantur 
sex  modis,  ex  (juibus  tics  sunt  simplices,  et  tres  compositi.  Primus  (juidem  modus  est, 


Digilized  by  Googie 


407 

(}uan<iu  qundratuStqui  census  diciturf  equatur  radicibus. Secuiulus  quando  census  equalur 
numero  ; tertius  quando  radix  c<|uatur  numero.  Vade  cum  in  aliqua  questione  inue* 
nientur  census,  ucl  partes  uiiius  census  e juari  radicibus,  uel  numeix),  debent  rcd<ligi  ad 
cquatioacm.  Vtiius  (4/c)  census  per  diuisioiiem  ipsaium  in  numerum  ceiisuuin.  Verbi  gra> 
tia:  cum  duo  census  cquantur  .x.  radicibus,  diuides  radices  per  numerum  census,  scilicet 
10  per  2,  exibunt  radices  .s,  que  cquantur  uni  censui,  hoc  est  radix  census  est  5,  et 
census  est  2S;  quia  quot  radiccii  ei|uaatur  censui,  tot  unitates  sunt  in  radicem  census. 

Item  si  tres  census  cquantur  radicibus  <2,  Ume  leiciu  pars  trium  censiura  (.rrc)  etpiaUir 
tcrcie  iMirli  de  radicibus  a,  lioc  est  unus  census  ei|uatur  quattuor  radicibus.  Quare  radix 
census  est  4,  et  census  est  I6.  Similiter  cum  census  |3  cquantur  radicibus  si,  diuides 
21  per  ; 3;  et  inueiiics,  quod  unus  census  c(|uatur  radicibus  6.  Kt  si  tmius  census 
equatur  5 radicibus,  diuides  s per  hoc  est  multiplicabis  5 per  2 , que  sunt  sub 
uir^a;  et  diuides  per  1,  quod  est  super  uirga,  exibunt  to.  Ergo  unus  census  equatur  10 
radicibus.  Et  si  | unius  census  C(}uantur  8 radicilms,  tunc  census  cqualitcr  (j/c)  radicibus 
12;  (fuia  diuisis  8 per  | ucniunt  is:  bcc  omnia  intcUigaiitur  cum  census  augmentntus, 
ucl  diininuUis  equabitur  alieni  numero.  Sed  ut  bcc  apertius  liabcantur,  ponantur  5 census 
equari  denariU  45:  diuides  ergo  45  per  5,  ucnient  denarii  9,  qui  equantur  censui,  huc 
est  census,  est  0,  et  radix  eius  est  3.  | Similiter  cum  census  ~4  equatur  denariis  26,  m 
diuides  26  |K.*r  ^ 4,  scilicet  78  per  13,  exibunt  6;  quibus  equatur  unus  census.  Quare 
radix  cius  est  surda  , cuin  sit  radix  numeri  non  quadrati.  Et  cum  \ unius  census 
equuiilur  denariis  12,  tunc  census  equabitur  denariis  ic  ; quia  diuisis  ti  per  seb 
licet  4H  |>cr  3,  ueuient  10.  Quare  radix  census  est  4.  Similiter  facies,  cum  radices,  uoi 
partes  unius  radicis  e(|uatur  numero:  his  autem  ostensis,  reliquos  tres  modos  compositos 
demonstremus.  Trimus  enim  modus  est,  quando  census  ct  radices  cquantur  numero. 
Secundus,  quando  radices  ct  numerus  crpiuntur  censui  ; tcrcius  mmlus  est,  quando 
census  ct  numerus  cquantur  radicibus.  Vnde,  cum  in  aliqua  questione  iiiuenielur  census 
augmentatus,  uel  diminutus  cum  compositione  radicum  et  numeri,  tunc  omnia  rodu' 
cenda  sunt  ad  censum  unum.  Verbi  gratia  : duo  census,  ct  decem  radices  e<|iiantur 
denariis  30.  Ergo  unus  census,  ct  5 radices  cquantur  denariis  15:  simili  ({uoqiic  modo, 
si  tres  census  et  18  radices  cquantur  denarirs  30,  diuides  hec  omnia  per  numerum 
censuum,  scilicet  per  3,  pnmenict  unus  census,  et  quatuor  radices,  que  equantur  dc* 
nariis  13.  Item  si  inueniantur  radices  15  ct  donarii  eo  , que  ei|ucnltir  censibus  5 , 
diuides  hec  omnia  per  numerum  censuum,  scilicet  per  5;  et  inuenies,  quod  unus  census 
equatur  tribus  radicibus,  et  denariis  12.  Item  si  | unius  census  et  radices  10  e<|uantur 
denariis  2u,  diuides  hec  omnia  per  scilicet  multiplicabis  radices  10,  et  denarios  2U 
]>cr  5,  exibunt  radices  50,  et  denarii  100;  que  diuides  per  4;  et  sic  inuenies,  quod 
unus  census,  ct  radiccj  ^ 12  equculur  denariis  25;  ct  sic  intcliigas  in  similibus.  Et 
cum  hec  omnia  operari  si  uulueris  {Wc),  et  uoluetis  iuuenire  quantitatem  census,  (|ui 
cum  datis  radicibus  equetur  numero  dato,  sic  facias:  accipe  quadratum  medietatis 
radicum  , ct  adde  eum  super  numerum  datum;  et  eius,  quod  pnmcncrit,  radicem  ac> 
ci{>e;  de  qua  numerum  medietatis  radicum  tolle;  et  <[iiod  remanserit  erit  radix  quesili 
census  . Verbi  gratia  : census  et  decem  radices  equciitur  39  . Dimidium  itaque  ex 
radicibus  csl  5;  quibas  iu  se  multiplicatis  faciunt  25;  quibus  additis  cum  39  faciunt 


Digitized  by  Google 


mI  «■•14  ^«44ji»r  4 A.» 

(M.  18S  rrr/*  . lia.  Sf-19  ■. 
|■4g•  AOS,  lin.  7-lA). 


ImI 


IS**  • « to 


rwm  il4rr»«i  . ...rn  i|<l(Tl(  » 
l«!(  .-rrr«  , |in-  IS  73  • 74  i 

P>K  4n«.  Uti.  ti  SCj. 


40? 

r>4;  de  quorum  radicef  quo  c&t  6,  si  auferatur  mcdielas  radicum,  srilkct  5,  remanebunt 
3 j>ro  radice  qiiesiti  rcnsu.«.  Quare  census  est  9,  et  ipsius  decem  radices  sunt  30;  el 
sic  census,  et  decem  radices  equantur  39.  Nam  unde  bec  regula  procedat,  per  duplicem 
figunun  ostendere  procuraljo:  adiaceat  siquidem  tetragunum  .a.bu:.d.  habens  in  singuli.? 
lateribus  amplius  quam  ulnas  5;  et  accipiatur  .super  latus  punctus  .e.,  et  super 
latus  punctus  ./l,el  .super  latus  .&.c. punctus .g., et  super  latus  .c>d.  punctus  .hr,  et 
sil  una  qu{iquc(sic)  rectarum  .b.e.t  c.g.,  et  .cJi.  el  .r/./.  ulnanim  5;cl  compulenlur  (^/c) 
recte  .e.b.  et  .f.g.  ; ct  quia  tetragonum  e.st  quadiilaterum  mx.  , erit  latus  .d.n. 
cqualis  lateii  .b.a.  ; ct  cum  de  equalibus  cqualia  auferantur  , que  remanent  erunt 
equniia;  quare  si  e\  .d.n.  auferatur  et  ex  .b.a.  auferatur  .b.e.^  quarum  una- 

qiieqnc  est  5,  remanebit  siquidem  ,ex.  e<]ualis  recte  ,f.a.  : sed  rct'lc  ,/t.e.  ctjualis 
csl  recta  , cura  cqualis  sit  recta  .f.g.  i*ecle  M.b. ; csl  enim  recta  .i.g.  tijualis 
recte  .e.b.;  propter  eadem  ergo  el  recta  .e.i.  cqualis  est  rcctc  cura  recta  .e.b. 
sil  eqiialis  rcctc  ol  recta  .iJi.  | recte  ./.r/.:  tetragona  ergo  .sunt  quadrilalcra  .e./, 

el  .gJi.:  ponam  itaque  pro  cen.ssii  (j/c)  quesilo  quadriiaterum  .e.f.,  quod  est  ignotorum 
laterum  , cuius  radix  est  tinar|uequc  rcrUrum  ,f.i.  ct  .i.f.  ; sed  rcctc  .e./.  |adplicata 
est  superlicics  rectiangula  .b.i.f  que  e.st  quinque  radice.s  census  .e.f, , cum  ipsa  su- 
perficies adplicala  .sit  super  radicem  cius,  ct  sit  s tinaqueque  rectarum  .e si- 
militer et  .supeifides  .i.d.  constat  ex  S i-adicibus  census  .e./.,  cum  .sit  applicata  super 
radicem  ipsius,  scilicet  super  latus  .i.f.,  ct  sil  5 unaqueqtic  rectaiiim  .f.d.  et  i.h.} 
sed  quia  census  et  lo  radices  equantur  donariis  39;  erunt  ergo  39  predicte  tres  sii 
perficies,  que  sunt  i./.,  i.d.',  quibu.s  si  addantur  ss,  scilicet  Iclragonum  .g.b., 
cuius  unum  quodque  latus  est  s,  lial>cininltir  r>4  pro  loto  tetragono  quorum 

radix,  scilicet  8,  est  longitudo  uniuscuiusque  latens  eius:  quare  si  auferatur  ex  .b.a. 
recta  .b.e.,  silicet  5 de  8,  rcnianelniril  3 pro  linea  .e.a,  : ergo  nidix  quesiti  census 
e.st  3,  el  census  esi  9j  quo  addito  cum  decem  suis  radicibus,  faciunt  39,  ut  opportet. 
Aliter,  sil  census  quesitus  teln>goiium  («c)  .eu.,  cl  super  latus  .d.e.  applicentur  decem 
radices  cius,  .scilicet  superficies  recti  angula  .r/./i.,  cuius  buiiumquodquc  lallerum  (xic) 
.b.e.,  ct  .i.d.  sit  10  ; et  diuidatiir  recta  .h.e.  in  duo  equa  super  .t.  ; ct  quoniam 
census  cl  eius  to  radices  ul.b.  equantur  denariis  39,  ergo  tota  superficies  recti 

angula  .s./.  est  39;  que  .superficies  cum.stal  cx  .i.z.  in  .h.z.;  recta  quidem  ,zu.  cqualis  est 
reda  {sic)  .z.e.,c\im  sil  tetragonum  quadriiaterum  ergo  ex  ductu  .s.e.  in  .s.A. 

proucniual  30;  quibus  si  addatur  leti-agomim  linee  .e.t.,  quod  est  »,  babebiintur  64 
pro  tetragono  linee  .i.t.:  quare  radix  de  C4,  .scilicet  8,  e.st  recta  .t.z.‘,  de  qua  si  au- 
feratur recta  .t.e.,  que  est  s,  remanebunt  3 pro  lineo  .e.z,:  ergo  radix  census  .e.i. 
e.st  3,  ct  census  est  0,  ut  per  alium  modum  inucniinus.  Kt  cum  reciderit  in  .solutione 
alicuius  questionis,  quod  census  eqiietur  radicibus  et  numero,  tunc  quadradtuin  (ric)  me- 
dietatis radicum  addes  .super  numerum;  cl  super  radicem  cius,  quod  prouencrit,  addes 
numerum  medicetalis  (j/c)  radicum,  et  lialicbis  radicem  quesiti  census.  Verbi  gratia: cen- 
sus equetur  decem  radicibus,  et  denariis  39;  addam  siquidem  quadratum  medietatis 
radicum  , .scilicet  J.s  super  39  , erunt  64  ; qiioinni  radici  , scilicet  s , sujieraddc  s , 
.silicet  medietatem  radicum  , proueiiient  13  pro  radice  quesiti  census  ; quare  census 
est  160.  Nam,  si  unde  hcc  regula  procedit,  scire  uis,  adiaceat  tetragonum  ,a.b.c.d. 


Digitized  by  Googie 


400 

cuim  unum  quo<l<[ue  latus  sit  plus  quam  lo;  cl  protraliatur  in  ipso  liaca  ct 

sit  10  uiia  quer]ue  rprtarum  .e.C.  et  .f.d.\  ct  diuidatur  .c.c.  in  duo  equa  super  .g.\ 
ct  sit  census  quesitus  tetragonum  .hJ.-,  quare  decem  radices  erit  superficies  .e.d.,  cum 
sit  aplicata  super  latus  quod  est  cqualc  radici  ipsius  cciisus,  huc  est  linee 

ct  est  10  uriaquoqiic  linearum  ct  .f.d,  t remanebit  ergo  superficies  30,<pie 

proueniunt  ex  ductu  ,f,e.  in  .e.br,  sed  .f.e.  est  equalis  recte  .h.c.^  ergo  ex  .b.e,  in  ,b,c.  * 
proueiiiunt  30;  quibus  si  addatur  quadratus  linee  .e.g.,  ueniunt  64  peo  quadrato  linee 
■b.g.t  cuius  radici  addatur  Puea  .g.c.,  silicei  3,  uenient  13  p.t)  linea  .6.C.,  que  est  radix 
quesiti  census  ; qtiarc  ct^nsus  est  leo.  Kt  cuni  | occurerit,  qiunl  census  , ct  numerus 
ecjucntur  ladicibus,  scias  hoc  fieri  non  posse,  nisi  numerus  fiat  eqiudis,  uel  minor  qua- 
drato miHlictatis  radicum:  qui  si  cqiialis  fuerit,  hahehiiur  pro  radice  census  numerus  me- 
dietatis radicum:  etsi  numerus,  qui  cum  censu  cquiiLiir  radicibus,  fuerit  minus  <{uadrato 
medietatis  radicum,  cxliahc  ijxsiim  numerum  ex  ipso  quadrato;  et  eius  quod  reman- 
serit radicem  cxtralie  cx  numero  medietatis  radicum;  et  si  id  quod  remanserit  non  erit 
radix  quesiti  census,  tunc  addes  id  quod  exltaxisii  super  numerum,  de  quo  extraxisti, 
et  habebis  radicem  quesiti  census.  Verbi  gratia:  census  et  40  cquanlur  14  radicibus; 
dimidiatis  siquidem  radicibus  , uciiiurit  7;  de  quorum  quadrato,  scilicet  de  40,  extrahe 
40,  rcroatietit  9;  quorum  radicem,  que  est  3,  extrahe  dc  medietate  radicum,  scilicet  de 
7,  remanebunt  4 pro  radice  quesiti  census,  census  c«t  16;  quibus  additis  cum  40,  faciunt 
66,  que  suiil  radices  14  ciujulcm  census,  cum  cx  ducta  radice  dc  lo  in  14  uenient  56; 
uel  radicem  dc  9 addes  siqier  7,  erunt  lo  pro  radice  quesiti  census  ; ct  sic  census 
erit  loo;  quo  addicto  cum  40,  faciunt  140,  que  sunt  radices  14  de  loo,  cum  cx  mul- 
tiplicaliuiic  radicis  de  loo  iti  u prournieiit  MO;  ct  sic  cum  non  soluetur  quenio  cum 
diminutione,  soluetur  sine  dubiu  cum  addilationc.  Et  si  unde  hcc  regula  pmcedat  nossc 
Ilis,  adiaceat  linea  .nJt.,  que  sit  14;  et  diuidam  eam  in  duo  cqualia  super  .g.,  ct  in  duo 
ct  e<|ualia  {j/c)  super  .d.;  et  constituam  super  unam  ex  inqualibus  (x/c)  propurtionibus 
tclragomimrconslilualur  primum  super  minorem  |K)rlioncm,quc  csl.r/.6.,  tetragonum  .r/.z.; 
et  protrahatur  .z.e.  in  directo  ia  punctum  et  sit  recta  .z.f.  cqualis  recte  .n.b.', 
et  copuletur  recta  Jui.  Kt  quia  rccla  ,z.b.  est  radix  census  .d.z.t  ct  recta  .a.b.  est 
14,  erit  tuta  superficies  .a.z.  radices  u ex  censu  ct  quia  census,  ct  40  cquantur 

radicibus  i4,  erit  superficies  .«.<».  4o,  que  proucnit  cx  .e.//,  in  Iioc  csl  cx  .b.d. 

in  .d.a.z  quibus  40  si  addatur  quadratus  sectionis  •d.g.f  habebuntur  40,  scilicet  qua- 
dratuin  linee  .g.b.:  quare  qiiadraluin  linee  .d.g.  est  9;  quorum  radix,  scilicet  3,  csl  linea 
.g.d,;  cui  si  addatur  liaca  .g.rt.,  erit  lO  tota  linea  etsi  auferatur  ex  .g.b.^ 

remanebunt  4 pro  linea  u/.b.y  que  est  radix  census  .d.z.  Et  si  super  lineam  .a.d. 
constituatur  census  .n./.,  ut  in  bac  alia  figura,  rciminebit  supciTicics  .l.b.  40,  que  pro- 
uenit  ex  J.d.  in  .d.b.f  huc  est  ex  .a.d.  iu  .d.b.‘,  que  40  si  extrahantur  cx  quadrato 
linee  .a.g.f  remanebunt  9;  quotum  ladix,  scilicet  3,  est  linea  .g.d.i  quare  .a.d.  est 
10  ; ergo  radix  census  .a.l.  est  10,  ct  census  est  100,  ut  prediximus.  Cum  his  autem 
sex  regulis  possunt  solutiones  infinilaium  questionum  reperiri;  sed  0]M>rtet,  cos  qui 
per  carum  modum  procedere  uolunt,  scire  ea  que  diximus  in  multiplicatione,  et  di- 
uissioue,  et  extractione,  seu  additione  radicum,  cl  biuomiorum  atque  recisorum;  quibus 
perfecte  ci^iilis,  querlam  questiones  super  hcc  proponantur. 

53 


« Smd  ti  ....  «rniiMii  64 

HSr^r.i»,  lin.  |0-S?i[w|  4JH. 
iin.  43  — 4:)y  |«n. 

» f d 


I 


h 0 g 

r«l.  ID9  recto. 


f el  ««folctur  ....  (rflini  #,1  • 
(fol.  IR»  ettf.  I.H.  21  II  ; 
409,  lio.  »-S9|. 


« 100,  tt(  ....  ifl  r«,  nmiMi  » 
(fbl.  1)19  rec*0  , lia.  It  19  ; 
409,  lia.  19  — !«(.  410, 

I.  4]. 

4 t ti% 


I 


i 


t d 4 


Digitized  by  Google 


410 

E.vpUciunt  introdationes  aigebre  et  alnuicfuibale.  Incipiunt  questiones  eiusdem. 

Si  uis  diuidere  to  in  duas  partes,  que  insimul  multiplicate  faciant  quartam  multi- 
plicationis maioris  |»artis  in  se;  pone  pm  maiori  parte  radicem,  quam  appellabis  rem, 

M iKt) . - . . remanebunt  pru  minori  parte  lo,  minus  re;  que  multiplicata  iii  re,  ucnient  | lo  res, 
minus  censu;  ct  ex  multiplicata  re  in  se  proueiiit  census;  quia  com  (s4c)  multiplicatur 
radix  in  se,  proiicnit  quadratus  ipsius  radicis:  ergo  decem  rex  (j/c),  miims  censu,  cquaniur 
quarte  parti  census.  ()uarc  quadruplum  ipsarum  cquabitur  censui  uni:  ergo  multiplica 
tu  res  minus  censu,  per  4,  uenlent  40  radices,  minus  4 censibus,  que  equantur  censui. 
Restaura  ergo  4 census  ab  utra<|ue  parte  , erunt  5 census  , qui  equantur  40  radici- 
bus. Ouarc  diuide  radices  40  ]ht  S,  exibunt  nidiccs  8,  quibus  er|unttir  census:  ergo 
|Mirtio,  per  quam  possulsti  rem,  est  8;  quibus  extractis  de  lo,  remanent  s,  que  sunt 
alia  porlio;  cl  sic  |>erduxinms  Imnc  questionem  ad  unum  e\  sex  regulis,  adeam  ui- 
delicel,  in  qua  census  cquatur  radicibus;  ad  quam  etiam  reducemus  lianc,  in  qua  diiusi 
10  in  duas  (Niites,  ex  «(uibus  multiplicaui  unam  in  aliam;  cl  in  id,  qiUMl  proucnit,  di- 
nisi  r}uadratiim  unius  portionis,  ct  pruuenit  J 1 : pone  iterum  rem  pn>  una  portione, 
lemanebunt  lo,  mimis  re;  cl  multiplica  rem  ia  io,  minus  re,  ueiiicnt  lO  res,  minus 
censu.  Kt  multiplica  rem  in.se,  iicniet  census;  quem  diuide  ()cr  lo  res,  minus  censu; 
rpiud  sic  Iit:  tu  scis,  quia  cx  ip.sa  diuisionc  proucnit  ~ i;  ergo  si  multiplicas  exeuntem  per 
diuisomn,  proucnict  utique  diuisus  numerus,  scilicet  census:  multiplica  ergo  ii)  res, 
minus  censu,  per  |i,  exibunt  is  res,  miuus  censu  ct  dimidio,  que  equantur  censui. 
Restaura  cigo  censum  | i ab  iitraquc  parte,  et  cruut  census  ^ s,  qiii  equantur  radi- 
cibus is.  Quare  diuide  is  radices  per  i s,  exibunt  o radices,  que  equantur  censui: 
quare  census  est  36;  quorum  radix,  scilicet  6,  e.st  una  cx  duabus  {Kirtionibus.  Reliqna 
S autem  erit  4 . Item  diuisl  lo  in  duas  paries  , ct  multiplicaui  unam  earum  in  .se,  e| 
quod  pmiienit  multiplicaui  per  > 3;  et  id  quod  proucnit,  fuit  lOO,  scilicet  quadratus 
dc  io;  sic  facies:  pone  pru  ipsa  pusitnm  rem,  quam  multiplica  in  se,  uenict  census; 
qtjc  multiplica  per  ; 2,  ucnient  census  | 2,  qui  equ.iiitur  loo:  diuide  ergo  looper-s, 
ucnicnl  36;  quibus  cquatur  cciisiis:  quare  radix  conim,  que  est  0,  est  una  cx  duabus  por- 
tionibus; et  sic  perducta  est  Iicc  «piestio  ad  secundam  regulam,  in  qua  census  cquatur 
numero,  lieni  diulsi  lo  in  duas  partes,  ct  diiilsi  maiorem  earum  per  minorem;  cl  id 
quod  pnuieiiii  fuit  \ 2;  sic  fatnes:  pone  rem  pro  una  ex  .snprascn|>tls  portionibus.  <)uate 
alia  erit  lu,  minus  re;  ct  diuide  lo,  minus  re  in  rem,  quia  cx  ipsa  diuisionc  ueniunt  \ i : 
multiplica  diuisorem  per  | 2,  ucnient  res  \ 2,  que  equantur  lo,  minus  rc:  adde  ergo  reni 
utriqiic  parti,  et  erunt  res  J 3,  que  equantur  lo:  diuide  ergo  lo  per  numerum  rerum, 
scilicet  per  y 3,  uciiict  qiiwl  uiia  res  e«|iiabitiir  trilms  dciiariU.  Quare  una  ex  supraseri- 
ptis  porlionibas  est  3;  a quibus  uS4|uc  in  to  sunt  7 pro  alia  portione;  et  sic  reducta 
est  bec  questio  ad  tercium  regulam,  ubi  ratlices  equantur  numero. 

Diuisi  in  duas  partes  12,  cl  multiplicaui  uiium  carum  per  27;  et  quod  proucnit  fuit 
equalc  quadrato  jdtei-ius  partis;  sic  facies  : pone  rera  pro  una  partium,  remanebunt 
12,  minus  rc,  pro  alia;  quibus  multiplicatis  per  27,  faciunt  324,  minus  27  rebus  : et 
multiplica  rem  in  re,  scilicet  primam  partem  in  sc,  proucinct  census,  qui  cquatur  de- 
nariis 324,  minus  27  rebus:  quibus  rebus  additis  utrique  parti,  ueniei  census  ct  27  res, 
que  equautur  denariis  024;  ct  sic  reducta  csl  licc  questio  ad  uuani  cx  tribus  compositis 


Digitized  by  Google 


41t 

regulis,  a<l  cara  uklcHcct,  io  qua  census,  et  ladiccs  cquantur  numero.  Vnde,  ut  procedas 
secundum  ipsam  regulam,  multiplica  \ 13,  scilicet  dimidium  radicum  in  se,  erunt  j 182; 
que  adde  cum  324,  erunt  | S06;  qullms  radicem  iiiucnias  sic:  fac  quartas  ex  cis,  erunt 
202S;  cui  numen)  radicem  iiuicuias,  eritr{ue  45;  que  diuide  | per  radicem  de  4,  que  sunt  )no  «•<#*. 

sui)  uii^a,  scilicet  per  2,  exibunt  \ 22;  de  quibus  extnibc  medietatem  radicum,  rema< 
nebunt  9 per  radicem  rciisus,  que  suiit  una  {Kirs:  a quibus  usque  in  <2  desimt  3 pro 
secunda  parte.  Multipbcaui  1 plus  de  | unius  numeri  per  unum  plus  de  * eiusdem; 
et  pruucncrunt  73  pro  i|xso  numero  rem  (.«/t’):  ergo  uis  multiplicait*  | rei,  uno  addito, 
per  ‘ rei,  plns  uno;  multiplica  ergo  | ici  per  } rei,  pruueuiet  medietas  ccn.sus;  et 
multiplica  umim  per  unum,  faciei  i;  et  unum  in  \ rei,  et  unum  iii rei,  ueuiet  res, 
et  " rei;  et  sic  ex  rurum  multiplicatione  lial>cbitur  medietas  census,  et  res  1,  et  de- 
narius  iimis,  que  cquantur  denaiiis  73:  abire  ergo  denarium  ttimm  ab  utrumque  (5/c) 
parte,  remanebit  medietas  census,  et  i*cs  ^ !,  que  cquantur  denariis  72:  re  integra  itaque 
censum  tuum,  et  liubcbis  censum,  cl  res  | 2,  que  cquantur  144:  quait:  dimidia  radices, 
exibunt  1^;  quas  imiltiplica  in  se,  nenient  2 ; que  adde  cnni  144  , erunt  -—7  <46  ; 
quibus  radicem  imieiiies  ordine  demonstnito,  scilicet  multiplica  lis  per  144,  et  adde 
unum,  erunt  centesime  «juadragrsime  quarte  2I02S;  cuius  numeri  radicem  diuide  per 
<2,  scilicet  per  nidicem  de  144,  que  sunt  sub  uirgn;  et  liabcbis  ^ 12  pro  radice  qucsita; 
de  qua  extrahe  mcdietalcni  radicum,  scilicet  1,  reniaiicbiinl  \ 10  pru  numero  quesito; 
super  I quorum  si  addatur  1 , ueiiictU  \ 8 , etiam  cl  addito  uno  .snper  ipsorum  , 
ueiiieol  0;  cl  ex  8 multiplicatis  in  9,  surgunt  73,  ut  propositum  fuit.  Uiuisi  decem 
in  duas  piirtos,  et  addlili  insimul  quadratus  i|)sorum,  et  prouciierunt  | : poiic  ita* 

que  rem  pro  prima  paVte,  et  multiplica  eam  iii  se  , ueniet  census.  Similiter  multi- 
plica sccniulam  partem  iu  .se,  que  est  10,  minus  re;  quam  multiplicationem  facies  sic:  ex 
10  iit  lu  ucniunt  lOO;  et  ex  re  dimimila  in  rem  diminutam  proucnit  census  additus  ; 
et  ex  10  muUijdicatis  bis  iii  rem  diniinuluin  pniiieniunt  20  res  diminute;  et  sic  pro 
multiplicatione  de  lu,  minus  ix?,  in  se  balicntur  luo,  et  census,  20  rebus  diminutis:  que 
si  addantur  cum  quadrato  prime  partis,  scilicet  cum  censu,  erunt  kh>,  et  duo  census, 
minus  iiiginli  rebus,  que  C4piuntiir  denariis  | ex:  adde  ei^o  uigiriti  res  ulrique  parti, 
erunt  100,  et  duo  census,  que  cquantur  20  rebus , cl  denarijs  \ ax:  abire  igitur  -*  C2  ab 
utraque  parte,  remanebunt  duo  census,  et  dciiani  | 37,  <|uc  cquantur  20  radicibus;  et 
sic  |K'rducta  licc  questio  ad  terciara  regulam  compositarum,  ubi  census  et  numerus  radi- 
cibus cquantur:  quare  ut  ipsa  (s/c)  inmilciis  regulam,  diuide  nuraeruni,  et  radices  per 
iiuinernm  cctismim,  scilicet  per  2,  lioc  est  dimidia  ea;  et  ucniel,  quod  censas,  et  denarii 
l 19  cquantur  radicibus  i«:  dimidia  ergo  railiccs,  iienicnt  5;  que  multiplica  in  se,  erunt  25; 
de  <(uibus  extrahe  * 18,  remaneat  { 6;  «piorum  radicem,  scilicet  ~ 2,  extrahe  de  medietate 
radicum,  scilicet  de  5,  remanebunt  ~ 2,  que  sunt  una  predictarum  parriiim;  a quibus 
usque  in  iu  desunt  \ 7,  que  suiil  secunda  pars.  Et  .si  extracto  quadrato  minoris  partis 
de  ([uadrato  maioris,  remaneant  4J,sic  facies  ; (piadratum  unius  partis,  scilicet  censum, 
de  quadrato  altenus  extrahe,  scilicet  de  100  et  censu,  uiginli  rchus  diminutis,  rema- 
nebunt 100,  diminutis  20  rcbas;  que  cquantur  50:  quare  adde  ulnqiic  parti  20  res;  et 
tolle  de  unaquaque  50,  et  reraancliunt  uiginti  res,  que  cquantur  50  : quare  diuide  50 
per  20,  ueniunt  \ 2 pru  minori  portione.  Mulliplicaui  siquidem  tcrciam  unius  numeri 


Digitized  by  Googie 


41i 


r<.i 


190  t-rrM. 


•uui  . . Iu  iwr  . rfoi.  100 
liR.  4}  |<«g.  4tS  I lia, 
» * ?J. 


• I #r]|o  ti  * | fol. 

190  , lin.  6 e 7 ) i»g> 

4tl.  Ira.  11 

t d 


per  cjuarlam  cius,  ct  proucnit  ex  muIlipHcationc  idem  numerus,  cl  denarii  I4:  pone 
pro  ipso  numero  rem;  ct  multiplica  J*  rei  per  quartam  ciu.s,  ucniet  rcnsiisj  que  etqua' 
tur(j<c)rci,  ct  denariis  24.  Rcintegra  ergo  censum,  scilicet  multiplica  hec  omnia  per 
12,  et  ucniet  census;  qui  cquatur  duodecim  | i‘cbu.s,  ct  denariis  2SS:  multiplica  ergo  6, 
que  sunt  dimidium  radicum  in  sc,  erunt  36;  que  adde  cum  28S,  erunt  324:  super  quorum 
radicem  adde  dimidium  radicum,  erunt  24;  <pic  sunt  radix  census  : cigu  quesitus  nu- 
merus est  24;  ct  sic  reducta  est  hcc  questio  ad  secundam  ex  iiibus  regulis  compositis, 
ubi  census  cquatur  radicibu.s  ex  (r/c)  numero.  Diuisi  to  in  duas  paties;  et  diuisi  illam  per 
istam,  et  istam  per  illam,  et  pniuenenint  { 3.  In  liac  questione  opporlet  (juedam  pre- 
diccre,  etiam  et  demustrationibus  demonstrare  : sit  itaque  prima  illarum  partium  .a., 
et  secunda  .b.',  et  diuidatur  .h.  in  ct  prouciiial  .d.)  cl  .a,  in  et  proucuiat 
coriiuctum  (j/c)  ergo  ex  .g.r/.  est  ^ 3;  et  quia  cum  diuidilur  a.  in  .6.,  pronenil  ergo 
si  multiplicatur  .g.  in  proucnit  .r4.;  quud  st  multiplicclur  in  .a.,  ucnil  quadratus 
numeri  .n.;  ct  cum  diuulctur  ,b.  in  .rr.,  proucnit  .d,x  ci^o  si  multiplicetur  .d.  ia  ui., 
proucnit  M.)  quod  si  multiplicclur  in  pj-oucuit  quadratus  iiumcri  ergo  ex  .a,  in 

.d.  ducta  in  .6.,  ct  ex  .b.  in  .g.  ducta  in  .<7.,  hoc  est  cx  .a.  in  ,b,  ducto  in  con- 
iunctum  ex  numeris  .guLy  silicct  in~  3,  proucnit  sumnui  quadratorum  cx  numeris  .a.b.: 
quibus  demostratis,  sic  {sic)  prima  |>ars  ,a.  res,  remanebit  pro  .b.  io,  minus  re;  et  mulli- 
pHcclur  in  se,  proucnit  census;  ct^.b.  in  se,  pruuenient  loo  et  census,  diininutb 
iiiginti  radicibus:  quibus  omnibus  in  unum  iunctls,  erunt  loo,  ct  duo  census,  minos 
20  radicibus,  pro  duobu^  quadratis  numerorum  M.b.y  que  c<|uanlur  multiplicationi  es 
M.  in  .b.  ducta  in  J3:  quare  muUiplicetiir  .n.  in  .b.,  silicet  res  in  lo,  minus  re, 
erunt  10  res,  minus  censu;  que  multiplica  per  J- 3,  erunt  res  J 33,  minus  cciLsibus^s, 
que  cquaiitur  lOO  denariis  , ct  duobus  censibus,  uigiiiti  rebus  diminutis  : adde  ergo 
utrique  parti  20  res,  ct  census  | 3;  cl  habebis  uio,  ct  census  | s,  que  cquaiUur  rebus 
I 53:  que  omnia  diiiide  per  numerum  censuum,  scilicet  per  ~ 5;  ct  ucniet  census,  et 
denarii  f is,  que  ccpiantur  radicibus  lO  : dimidia  ergo  radices  ; ct  multiplica  eas  in 
se,  erunt  25;  ex  quibus  extrahe  J is,  remanebunt  J C;  quorum  radicem  adde  super  me- 
dietatem radicum,  et  habebis  ^7  pro  maiori  portione;  quare  minor  portio  erit  ^2. 

Rursus  diuisi  lO  in  duas  partes,  ct  multiplicam  unam  carum  per  o;  ct  quod  pro- 
iicnit  diuisi  per  aliam  partem;  ct  teix  iam  cius,  qiiod  proucnit,  addidi  super  summam 
multiplicationis  prime  partis  iu  c;  cl  toUim  id,  quud  concretum  est,  fuit  32  : pone 
siquidem  pro  prima  parte  rcin;  ct  ipsam  multiplica  per  6,  et  pruuenient  6 res;  quas 
debes  diuidere  per  secundam  partem,  scilicet  per  lo,  minus  rc;  et  cius  quud  proucnit 
tcrciam  partem  delies  adilcrc  super  6 res,  ut  liabuciTis  («c)  39:  quare  accipe  terciam 
e rerum,  erit  {sic)  duc  res;  que  diuUc  per  lo,  mimis  re,  ucniet  illud,  quod  debet  addi 
super  6 res,  ut  ucniaiit  39:  ergo  id,  quod  proucuil  ex  diuissione  duarum  rerum  iuiQ, 
minus  re  , est  39  , exceptis  o rebus  : quare  si  multiplicas  diuissorem  per  exeuntem, 
prDueuict  utique  diuisus  numerus,  scilicet  duc  res:  muUipUea  ergo  lo,  minus  rem  (xic), 
in  39,  minus  o rebus;  ct  proucnient  denarii  390,  ct  6 census,  diminutis  02  rebus,  que 
cquantur  duabus  rebus:  adde  ergo  99  res  utrique  parti,  erunt  sex  census,  et  denarii 
390  , que  cquantur  rebus  lot:  dtuide  hcc  omniu  per  numerum  cctisuum,  scilicet  per  6, 
uenict,  quod  census  denarii  os  cquantur  rebus  | lo:  quare  dc  quadmto  medietatis  radicum 


Digitized  by  Googie 


413 

abicc  w;  cl  cius,  (juoj  rcmatiserit,  radicem  accipc,  »jue  erit  ^ f,  fjuam  abicc  dc  nu- 
racn>  mctlietalis  radicum,  scilicet  dc  ^8,  remanebunt  6,  que  sunt  radix  ccasus:  quare 
radix  ijisius  census,  scilicet  6,  est  una  ex  duabus  portionibus:  que  si  per  6 multipli- 
cata fuerit,  ueiiieut  36;  quibus  diuisis  {>cr  secundum  partem,  ucniciit  quorum  Cercia 
st  addatur  super  3S,  nimirum  39  pruuenient,  ut  propositum  fuit. 

Divisi  6U  in  boniines,  et  pruueiiit  unicuique  aliquid;  et  addi  duos  homines  super 
illos;  et  per  omiies  ipsus  diuisi  60;  et  pruucnil  uiiicuic[uc  denarii  ^ S,  minus  ex  eo, 
quini  pruiiencrat  prius:  sit  numerus | primorum  liomiiitim  linea  .a.h.‘,  et  erigatur  super 
ipsam  secundum  rectum  au^'ulum  linea  M-g.%  que  sil  illud,  quod  contingit  unicuique 
illorum  dc  prcscriplLs  denariis  eo;  et  protrahe  lineam  equalem,et  cqtiidislantem  linee 
.6.U.;  et  copuletur  recta  .e/.<i.;  erit  ergo  spatium  qiiadrilaleri  .a.b.gul.  60,  cum  colli- 
gatur ex  in  .b.g.  ; deinde  lineam  .aJ}.  protrahe  in  punctum  et  sit  2, 

silicet  numerus  lioniiiicm  {sic)  addilonim;  et  signetur  iii  Uncam  .b.g.  punctus  et  sit 
.g.f,  I 2,  scilicet  illud,  quml  diminutum  fuit  unicuique  per  additionem  duorum  hominum; 
cl  per  punctum  protrahatur  linea  .h.i.  cqualis,  et  equidistuas  linee  et  cun- 

pulelur  (j/c)  reda  critque  quadrilalcrum  7i.e.n.r.  60,  cum  colligiilur  ex  ./i.e.  in 

.e.h.y  silicet  ex  .a.e.  in  M./.',  que  .b.f,  est  id,  quod  prouenit  unicuique  ex  deuariis  GO  in 
homines  .a.e.x  ergo  superUcies  .e.<.  cquatur  siipcrlicici  .b.d.i  ergo  miilliplicatio  ,g.b. 
iu  .b.a.  cipuilur  muUiplicalioni  .e.a.  in  .f.b.:  quare  q>sc  qiiatuor  linee  proportionales 
sunt:  est  ergo  sicut  .g.b.  prima  ad  .f.b.  secundam,  itu  tercia  ad  .b.a.  quartam: 
quare  si  diuidalur,  erit  sicut  .g.f.  ad  •/.&.,  ita  .e.b.  ad  .b.a.-,  et  cum  pemmlaucrls, 
erit  sicut  .g.f.  ad  .e.b.^  ita  .f.b.  ad  .b.a.:  sed  proportio  .g.f.  ad  .e.b.  est  sicut  s 
ad  4 ; ergo  et  ./.6, ‘ad  .b.a,  est  sicut  s ad  4:  ergo  .f.b.  conliiicl  semel,  et  quartam 
numerum  .b.a.  l*onc  igitur  pro  numero  .a.b.  rem,  erit  ergo  res  ■ i;  et  multiplica 
.a.b.  iu  .b.f.,  et  prouciiiel  ociisus  J 1 pro  suj>crficic  et  multiplica  in  .f.g., 
silicet  .i/,  in  f-g.*  proueniciit  res  j 2 pro  stijwrficie  ./.i/.  : ergo  tota  superficies 
est  census  ~ 1,  Cl  res  5 2;  sed  ipsa  est  co:  ergo  census  J 1,  cl  res  -J  2 cqiiantur  denariis 
60  : diuidc  ergo  hec  omnia  per  numerum  censuum,  scilicet  per  Jt,  iicnicl  census,  et 
radices  2,  que  equantur  denariis  48:  adde  ergo  quadratum  medietatis  radicum,  scilicet  1, 
super  48,  erunt  49;  de  quorum  radice  abicc  medietatum  (4*c)  radicum,  remanebunt  6 pro 
numero  .a.b.:  quare  .b.g.  est  10,  et  .a.e.  est  8.  Aliter  quia  superficies  .g.ri.,  et  .«./r. 
sibi  inuicem  equantur,  cum  quclibet  ipsarum  sit  co;  si  comuniter  auferatur  recti  angula 
su|>crficirs  .a.f.,  remanebit  superficies  .d.f.  eipialis  superficiei  .e.f.',  eqiialcs  ergo  su- 
perficies, cl  cquiaiigulc  circa  equales  angulos  super  mutue  pruporlionis.  Vude  est  sicut 
’S‘f-  ad  .f.h.y  ita  .f.b.  ad  .fu.,  hoc  est  ad  sed  .g.f.  ad  .f.h.  est  sicut  5 ad 

4,  ergo  et  .f.b.  ad  .b.a.  est  sicut  5 ad  4,  ut  superius  iuuentum  est.  Item  diuisi  20 
in  homines,  cl  prouenit  aliquid;  et  additi  (sic)  tres  homines;  et  inter  omnes  diuisi  30;  et 
accidet  unicuique  4,  minus  eo,  quod  cucncral  prius:  sit  itaijuc  linea  mM.  numerus 
primorum  hominum,  et  .b.g.  sit  id  quod  accidit  unicuique  ex  20  ; quare  superficies 
,bui.  recti  anguta  est  20;  cl  protrahatur  .a.b.  iu  .e.,  et  sit  .b.e.  3;  nec  non  et  ex 
linea  .b.g.  extrahatur  .g.f.  , que  sit  4 ; et  per  punctum  ,f.  protrahatur  linea  .i./i, 
cquidlstaus  et  cqualis  linee  .a.e.}  et  copuletur  ./i.e.,  cl  erit  30  superficies  .c.i.  : quare 
superficies  J.e.  addit  10  super  superficiei  (sic)  .b.d.:  quare  aplicelur  linee  u.d.  superficies 


M.  IDt  r*<i». 


t,  «ilxO  . . . tilirrt  .i./.  • 
(fui.  ISt  erH»,  Ita.  («ISi  (wg;. 
4U.  Ii«.  It  e 1I  U|. 


4 


•rriJil  . . . ■ U f-  ia  * 

(lui.  I9t  r*et»  . lia.  S9  99  t 
p...  413,  Uii.  19  — r<«  <1*. 

U.  11. 


I 4 K 


Digitized  by  Googie 


4U 

.d.k.y  quo  sit  10;  ct  prolml^tur  linea  .e.a,  in  .2.;  et  sit  ,a.2.  cqunlis  .i,kj  et  compella- 
tur (sic)  U«ca  ./.2.;  et  quoniam  superficies  M.d.  est  ao,  et  super  («e)  est  10,  cnini 

utique  amhe  superficies  M,d*,  et  dJ.  cqualcs  superficiei  cumuiiitcr  addatur  super- 
ficies erit  lota  superficies  ^.A*.  equalis  tuti  superficiei  .b.l.:  et  quia  superficies  .d.k. 
est  10)  et  est  applicata  linee  .d.i.f  que  est  4»  cum  sit  equalis  linee  .g./.;  si  diuidatur 
10  per  4,  uciiient  pro  Unca  J.k.^  hoc  est  pro  linea  .a.z.:  et  quia  superficies  .2»./. 
r..i  isir-r,#.  prouenit  ex  in  .b.z.;  et  superficies  .e.k.  proucuit  ex  »4.e.  in  .e.z.;  | ergo  cf(ualis 

est  nuiltiplicatio  .g.b.  io  .b.z.  niultiplieationi  Ji.e.f  hoc  est  .f.b.  in  .e.z.:  erit  ergo 
sicut  .g.b.  nd  .fJt.,  itn  ,e,z.  ad  .b.e.',  et  cum  diuiseriS)  erit  sieul  .g.f.  ad  ^f.b.y  ita 
.e.b.  ad  .b,zr,  et  cum  pcrmutaucnS)  eiil  sicut  .g./.  ad  .cJf.y  hoc  est  sicut  4 ad  0,  ita 

.f.b.  ad  Ji.z.:  his  itaque  intelicctisy  pone  numenim  primorum  huminuniy  scilicet  i^.er.y 

esse  rein ; quare  luta  .b.z.  erit  res,  et  denarii  | s:  et  quia  est  sicut  3 ad  4,  itn  .z.b. 
ad  .b.f.:  multiplica  ergo  .b.z.  per  4,  et  dtuides  per  3,  exihuiit  pro  linea  res  ji, 
et  denarii  : quihns  si  addatur  •/•g«»  que  est  4,  erit  tota  liura  .b.g.  res  | t , et 
denarii  | t : et  quia  ex  .a.b.  in  .b.g.  proucniunt  so  , et  ex  .a.b.  in  .b.g.  prouenit 
census  [ 1,  et  res  | 7 ; eigo  censius  * 1,  et  res  ^ 7 equaritiir  denariis  20:  cliuidc  igitur 
licc  omnia  per  numerum  censuum,  scilicet  per  J i;  et  inucnies,  qticKl  census,  et  radices 
\ 5 cqiianlur  denariis  IS:  procede  ergo  secundam  (.r/c)  regulam  cius,  et  inuenles,  radicem 
census,  scilicet  .a.b.,  esse  2:  quare  .b.g.  est  lO:  potest  etiam  proportio  .f.b.  ad  .a.b. 
promptius  imieiiiri:  ponam  iterum  lineam  .a.b.  reni,  cui  est  etpialis  linea  .i.f. ; ergo 
.i.f.  est  res  : mulliplicaho  siquidem  .i.f.  in  •/•g*»  silicct  rem,  in  4,  et  tienient  4 res 
)>ro  superficie  .f.d.',  cui  addam  su|>erficic  (sic)  .e./.,  que  30,  erunt  itaque  due  sujieHicies 
ri.c.,  et  .f.d,  30,  et  4 res;  de  (juihus  auferam  superficiem  .a.d.y  «[uc  est  20.  Ergo  pro 
superficie  .c.f.  ronuinehutU  10,  et  4 res;  ijuc  supei-ficics  fit  ex  .c.b.  iu  h.f.:  (juare  si 
diuidatur  lo,  et  4 res  per  silicei  per  3,  uenient  | 3,  et  res  { i pro  linea 

ut  per  alium  modum  iiitieninuis. 

Item  diuisi  20  in  homines,  et  accidit  unicuique  aliquid;  et  addi  duos  homines,  et 

iii  omnes  diuisi  co;  et  aaddit  unicuique  denarii  s,  plus  eo,  quod  acciderat  i«ntea:  ponatn 

itaque  .a.b.  munerum  primorum  homiimm;  et  .b.e.  sit  id  quod  contingit  unicuique 

eonim  c\  denariis  20;  et  siioeraddam  ei  lineam  .c.r/.,  «lue  siis;  et  linee  .a.b.  uddam 
. ....  I.  ' • » 1 ' 

• (f«l-  Itl  r<r«p,  Iui- 

4li,  I...  . ...  > •.  . 

t-.ii  415.  t)  rectis  .[.g.  g.n.',  et  est  .a.g.  numerus  ouiiiium  homnium;  et  .f.g.  est  id  quod  con- 

tingit unicuique  ex  GO,  cum  sint  e quales  linee  .d.b.x  ergo  superficies  .g.c.  est  60,  et 
superficies  .b.i.  est  20:  ponam  ergo  pro  .a.b.  rem;  erit  ergo  et  ,i.c.  res:  ci  multiplicabo 
.i.C.  per  .c.d.y  ueiiiunt  5 res;  que  addam  super  superficiem  ./1.1*  que  est  2u,  ucniutit 
iii  summa  20,  et  s res  pro  superficie  .b.e. ; que  cxliuam  ex  superficie  ,g.e.  , silicet 
de  co,  remaiiehunt  40,  minus  5 rebus,  pni  siqHuficic  .g.d.\  de  qua  etiam  auferam  $u- 
jierficiem  .h.d.^  que  est  10,  cum  pruneriimit  ex  ,li.c.  in  .c.i/.,  .silicct  ex  2 in  s,  rema- 
nebunt 30,  minus  s rebus,  pro  superficie  .g.c.x  si  diuidatur  per  .g.6.,  silicet  per  2, 
uenient  15,  minus  rebus  | 2 pro  linea  .b.c.i  et  est  id  quod  prouenit  unicuique  ]irimoruin 
bomtiiitm:  quare  multiplica  cos  in  .b.a.^  silicct  rem  iu  s,  minus  rebus  | 2,  uenient 
15  res,  diminutis  censibus  | 2,  que  equantur  20:  restaura  ergo  census  | 2,  erunt  census 
y j 2,  et  20,  que  equantur  is  rebus:  diuide  ergo  hec  omnia  per  luimcnim  censuum,  scilicet 


lineam  .b.g.^  que  2 ; et  explebo  quadrilatcrum  ci|uiangiilum  .e.g.  , que  constat  suh 


Digitized  by  Googie 


415 

per  ^ it  ucnictt  quod  censu.s,  et  denaiii  8 equaiitur  o nrlm^:  quare  ex  quadrato  mcdicUlu» 
radicum,  scilicet  ex  9,  cxtmlic  8,  remanebit  cuius  radicem,  scilicet  i,  extrahe  de  3, 
scilicet  medietatem  radicum;  uel  adde  eam  super  3,  et  habebis  pix)  numero  priorum 
hominum  2 uel  4. 

Item  diuisi  ea  in  homines,  et  unicuique  proucuit  aliquid;  el  addidi  Ires  humiues; 
iiilcr  omnes  diuisi  20;  et  nccidct'  unicuique  se,  minus  quam  nedderat  prius:  sit  itaque 
sa  superficies  ,n.b.c.d,  recti  angula;  et  superficies  .e.f.c.h,  sit  io;  el  sit  2C;  et 
sit  immcriis  additorum  homimim , scilicet  3 ; et  .h.c>  sit  numerus  primorum  : 
quare  h.a,  erit  id  quod  pruuenit  tmicuique  eorum  ex  co;  et  .^.1.,  silicei  .e./.,  est 
id  quod  prouenil  unicuique  hominum  .f.c.  ex  2U  ; et  sit  ,c.h. , silicet  ./<./.  res  ; et 
multiplicabo  7t.<.  in  i.a.,  proueiiiciit  res  2G  pm  superficie  . 1.7.:  cui  addam  20,  scilicet 

superneiem  ./.A.;  et  emiit  due  superficies  ./.A.,  el  ,i.d.  2G  res,  et  denarii  so;  quibus 

duabus  superficiebus  equaiitur  superficies  due,  que  sunt  ./.1.,  et  .6.7.:  ergo  superficies 
./.i.,  et  suiit  res  26,  et  denarii  20;  de  quibus  si  auferatur  superficies  .7.Z>.,que 

est  eo,  remanebunt  res  26,  minus  denariis  40,  pm  superficie  ,f.i.  : que  si  diuidantur 
per  .(.h.  , .silicei  per  3,  iicnicrit  res  * s,  mlinis  denariis  13,  pro  linea  quibus 

si  addatur  linea  silicet  26  , erit  tota  linea  .b.ft.  res  ^ 8 , et  denarii  | ti:  iiiuU 

tiplicabo  ei^o  .c.b.  in  .6.^1.,  hoc  est  rem  in  res  | 8,  et  in  denarios  | 12,  prouenient 
census  | 8,  et  res  | I2  pr<»  superficie  .^.7.;  que  siipcrlides  est  60  : ergo  census  *-s, 
et  res  1 13  equaiitur  deuariis  60:  redige  ergo  hec  omuia  ad  censum  unum,  scilicet  diuide 
ea  per  numerum  censuum,  scilicet  per  | 8,  et  iicnieut  unus  census,  et  res  una,  et  ~ 
rei,  que  equaiitur  denariis  e : accipe  eq»o  dimidium  de  re  jjft  quod  est  ; el 
luulliplica  illud  in  se,  ucnient  quas  adde  cum  ||  6,  erunt  quibas  inucnies 

radicem  sic:  accipe  radicem  de  5t)ii,  que  est  7i,  el  diuide  eam  per  radicem  de  676, 
scilicet  per  26,  exibunt  ^2;  de  quibus  abicc  medietateiir  radicem,  scilicet  remane* 
bunt  2,  que  cquantur  rei:  ergo  homines  ,c.b^  fuerunt  2. 

Item  diuisi  10  in  homines,  et  pnmenit  unicuique  aliquid;  et  addidi  6 homines,  et 
diuisi  in  omnes  40;  el  proucuit  unicuique  illud  idem,  quod  eucnerat  prius:  extrahe  10 
de  40  , remanent  30,  que  .sunt  porlio  6 hominum  addilonim:  quare  diuide  30  per  6, 
ucnient  5 unicuique;  in  quibas  etiam  5 diuidit  lo,  scilicet  portionem  primorum  hoini' 
Itum,  ucnient  x;  et  lot  homines  fuerunt  priores. 

Diuisi  decem  in  duas  partes,  et  inullipiicaui  unam  carum  in  se  , et  prouenit  tri- 
gupiuni  duplum  alterius  partis  : ergo  quadratus  unius  partis  equutur  multiplicationi 
secunde  partis  in  33.  Viidc  non  upportet  super  hanc  questionem  aliquid  dicere,  cum 
superius  super  regulam  iiuic  consimilem  demonstniui:  est  cuim  prima  s,  secunda  2. 

t:!mi  iicsriu  quot  res  pro  denariis  3C;  emi  cariores  silii  iiiuiccm  cqualls  precii,  uideli- 
cct  denanorum  36.  Et  fuit  pretium  unius  cuiasque  carioris  denarii  3,  plus  precio  aliarum; 
et  inter  omnes  res  fuerunt  lO:  sit  itaque  linea  .a.b.  tuimci as  primarum  rerum,  et  .u.^. 
sit  secundarum;  est  ergo  tota  .f*M.  10;  su|>cr  quam,  secundum  rectum  angulum,  erigatur 
linea  .n.c.,  que  sit  cqualis  precio  unius  cuiusque  uiliuin  rerum;  et  addutur  super  lineam 
.a.c.  linea  .c.7.,  que  sit  3;  erit  ergo  tota  .a.cl.  equulis  pretio  uniuscuiusque  cario- 
rum rerum:  et  protrahatur  {icr  punctum  .7.  linea  ,e.f.,  que  sit  equulis,  et  equi  di- 
stans linee  .gJfr,  et  copuletur  recte  .e.g.  /ii.;  et  per  punctum  x.  protrahatur  linea 


i;.!.  19} 


46  r««  ««np»  Ap  • 

(M.  194  lia- 4*1 1;  |*.g. 
414,  l.n.  11  41). 


Digitized  by  Google 


ii>|.  191 

|0....  II  id|illlU«i 

191  .«no.  1-8  c ii 

416.  Iiu.  19-19). 

.1 / 


41G 

.cJt.  ; cl  quia  linea  .a,c,  csl  precium  uniuscuiusque  rei  uilioris  , cril  mtihiplicalin 
x.a.  in  numerum  multitudinis  ipsarum  rorum,  scilicet  in  .a.b.,  36:  sed  ex  .c.n.  in  .a.b.f 
proueiiit  superficies  .aJi.;  ergo  su|>crficics  .n.h.  csl  36:  similiter  et  superficies  M.g. 
est  36,  qiic  pmuenit  cx  ji.a.  in  silicet  ex  pretio  unius  cuius(|ue  carioiis  rei  in 

numerum  multitudinis  ipsarum:  ergo  suj^crficics  .<i.g.t  et  .n.h.  sunt  72,  scilicet  duplum 
dc  36  ; ei^o  tuta  superficies  .g.f  est  72  ; et  superhabuiulct  cx  ca  superficies  .c.f.  : 
quibus  omnibus  intellectis,  potiam  lineam  .a.b.  rem;  ct  multiplicetur  Jt.c»  in  .c.d.9 
scilicet  res,  in  3,  jirouenicnt  3 res  pro  siipei^ficic  ,c./.:  ergo  tota  superficies  .g.f.  csl  72 
additi  (r/c)  tribus  rebus:  et  quia  i|>sa  superficies  prouenit  cx  .b.g.  in  boc  est  cx 
.b.g.  in  .<!.</.;  et  csl  | .b.g.  10.  In  quilms  ergo  si  diuidanlur  72,  et  3 res,  prouement 
'i  n linea  dc  qua  si  auferatur  linea  .r/.c.,  que  est  3,  remanebunt 

pro  linea  .a.c.  | 4,  ct  --  rei:  ct  quia  cx  .b.n.  in  .a.c.  prouenit  36,  multiplica  .b.a. 
in  .a.c.f  silicet  rem,  in  | 4,  ct  in  ^ rei,  proucnient  cx  multiplicatione  res  ^4,  et 
^ census,  que  cqiiattir  denariis  36.  Reintegra  ergo  censum  tuum,  scilicet  multiplica 
omnia  suprascripla  per  10,  ct  diiiidc  ipsas  multiplicationes  j>cr  3,  que  sunt  super  lo, 
ct  prmicnict  census,  ct  radices  u,  que  cquanlur  120;  super  que  adde  quadratum  medie* 
(alis  radicum,  silicei  49,  erunt  169;  de  quorum  radice,  que  est  13,  abicc  7,  remanebunt 
6 pro  radice  tui  census;  que  radix  est  linea  M.a.  : ergo  .b.a,  est  6;  in  qiia  si  diiii- 
scris  36,  ucnient  o pni  linea  .4T.c.;  quibus  si  addatur  .c.J.,  erit  tota  .a.f/.  9;  cl  si  extra- 
hatur .a.b.  cx  10,  remanebunt  4 pro  numero  cariorum  rerum,  qui  iitimcnis  est  linea  .a.g. 

Diuis  (ric)  12  in  duas  partes,  ct  multiplicaui  unam  per  aliam;  et  quod  proueiiit  diuisi 
|HT  diflercnliam  ijisanira  jiarlium , ct  prouenit  1 4 : pone  pro  minori  parte  rem  ; ct 
multiplica  cum  per  aliam,  scilicet  per  12,  minus  rc,  prouenient  12  res,  censo  diminuto; 
que  diuidc  per  dilTercnlinin,  que  est  inter  portiones,  scilicet  inter  rem,  ct  I2,  minus 
rc,  que  est  12,  duabus  rebus  diminutis:  ct  quin  scis,  cx  ipsa  diuissione  eucnire  y 4, 
mullipHca  | 4 in  12,  minus  duabus  rebus,  uenient  54,  diminutis  9 rebus,  que  equantur  12 
rebus,  minus  censu.  Restaura  ergo  in  utiumque  (r/c)  parte  censum,  et  9 res,  ct  ucniet 
CC11SU.S,  ct  54,  qiic  equantur  radicibus  21:  quare  ex  quadrato  medietatis  radicum,  sci- 
licet cx  y 110,  extrahe  si,  remanet  yse;  quorum  radix,  qoe  est  | 7 , extrabonda  est 
cx  medietate  radicum,  scilicet  de  ^ 10,  remanent  3 pro  posita  rc, scilicet  pro  minori  parte: 
quare  maior  jiars  est  9. 

Rursus  diuisi  10  in  duas  paries,  et  diuisi  maiorem  partem  per  minorem;  ct  quod 
prouenit  addidi  super  10;  et  multiplicaui  boc  totum  per  10,  et  prouciiil  1I5:  cx  mulU- 
plicalioiie  quidem  dc  10  in  10  proucniuiil  loo;  quibus  extractis  dc  lis,  remanet  15;  que 
diuidc  per  10,  euenit  1 1,  quod  est  id  qucxl  proiicuit  cx  diuisionc  maioris  partis  per 
minorem:  quo  intellecto,  |>oiie  pro  minori  parte  rem;  ct  diuidc  per  cam  reliquam  partem, 
scilicet  10,  minus  rc;  hoc  est  multiplica  rem  per  | 1,  ct  ucniet  res  y 1,  que  equantur 
10,  minus  re:  restaura  ergo  rem,  et  hebebis  (s/c)  res  | 2,  que  e<|uatur  lO:  diuidc  ergo  lO 
per  y 2,  exibunt  4 pro  minori  parte;  quare  maior  est  6. 

Item  diuisi  10  in  duas  partes,  ct  diuisi  maiorem  per  minorem;  et  quod  prouenit  addidi 
super  10;  ct  postea  diuisi  minorem  per  maiorem;  cl  quod  prouenit  addidi  iterum  super 
10;  ct  multiplicaui  factum  cx  prima  iunctionc  per  factum  ex  secunda,  et  prouenit  1 1x2: 
sil  itaque  .a.b.  10;  quibus  addatur  .b. g.f  silicei  id  quod  prouenit  ex  diuissione  maioris 


Digitized  by  Googie 


partis  por  minorem;  et  sit  iterum  .d.e.  lO,  cui  addatur  .e.z.,  scilicet  id  quod  pmucitit 
ex  diuLsione  minoris  partis  per  maiorem:  et  quia  cx  .n.g.  in  .d.z.  proucniuiit  | iiS  ; 
si  auferatur  cx  Itis  ioo«  que  proiicniunt  cx  .a.b.  iii  //.c.,  remanebunt  | 22  pro  tribus 
multiplicationibiis,  que  sunt  Mrg.  in  et  M.g.  in  .e.z.  , et  .e.z.  in  ,a.h.  : de 

quibus  s\  auferatur  multiplicatio  .b.g.  iii  .c.s.,  qumi  est  1,  remanebunt  ] 21  pro  duabus 
multiplicationibus,  que  sunt  .b.g.  iii  M.e.y  et  .e.z.  iu  .a.b.y  que  equantur  muttipli* 
catiuni  summe  numerorum  .b.g.y  e.z.  in  lO:  quare  diuidc  f 2i  per  10,  exibunt  \ i,  que 
sunt  summa  numerorum  .b.g.y  cl  .e.z.  ; et  sic  reducta  est  bcc  questio  ad  unam  cx 
antecedentibus  (}ucstionibus,  in  qua  dicitur:  diuisi  10  iii  duas  partes,  et  diulsi  istam  per 
illam,  et  illam  per  istam;  et  qne  proueiierunt  ex  diuisionibus  aggregaui;  et  illud  fuit 
\ 2:  operare  ergo  secundum  illam  regulam,  et  inucnies,  illas  partes  esse  4 et  G : et 
scias,  quia  quoti|ens  liabucris  duos  numeros,  el  diuwcris  maiores  (x/c)  j>er  minorem,  et 
minorem  [>er  maiorem;  et  multiplicauens  id  , quod  proucnit  cx  una  diuisione,  in  id 
quod  proucnit  cx  alia,  semper  cx  eorum  multiplicatione  procreabitur  l:  et  ideo  dixi, 
f cticnirc  ex  .b.g.  in  .d.e.  Item  addatur  diuisio  maions  {mrtis  per  minorem  super  10; 
et  diuisio  minoris  partis  per  maiorem  tollatur  de  10;  cl  que  pFouencril  multiplicentur; 
et  cx  ipsa  muUipiicalione  pruueniat  | 107:  sit  itaque  nuinciiis  ,a.b.  id  quo<l  pruuenit 
ex  diuissione  maioris  portionis  super  minorem  ; et  sit  id  quoti  prouenit  ex  di- 

uisionc  minoris  per  maiorem;  et  multiplica  10  per  to,  proucniunt  100;  et  multiplica 
.a.b.  additum  in  .d.b.  diminutum,  proucnict  1 diminutum;  quo  extracto  de  100,  rc> 
manent  90;  quibus  extractis  de  ^ f07,  remanent  ; s,  que  proueiiiimt  ex  mtiUiplicacionc 
.a.b.  in  <0:  cxlnicla  inde  multiplicatione  .d.b.  diminuta  in  fO ; ergo  -Is  proucniunt 
cx  10  multiplicatis  in  su{)orlluum,  quod  est  inter  .b.d.y  el  numerum  .a.b.',  quoti  su- 
]»crfluum  est  .tr.t/.?  diuiduiitur  ei^o  {s  per  10,  proucnicnl  | unius  pro  numero 
diuidatur  ergo  .n.d.  in  duo  equa  super  .e.’,  erit  ei^o  multiplicatio  .d.b.  in  .a.b.  cum 
quadrato  numeri  .e.d.,  equalU  quadrato  numeri  .e.b.:  proucnit  enim  1 cx  .b.d.  in  .a.b,', 
cui  si  addatur  quadratus  numeri  .e.d.,  scilicet  de  erunt  quorum  radix,  scilicet 
est  numerus  .b.e.',  cui  si  addatur  .e.a.,  babehitnr  ~ 1 pro  numero  .a.b.',  et  si  au- 
feratur .e.d.  cx  .e.b.y  silicet  de  ~\y  remanent  | pro  numero  .b.d.  : deinde  pone 
rem  pro  maiori  parte,  et  diuide  eam  per  reliquem  (xic)  partem,  scilicet  per  10,  niiuus  re, 
proucnict  i.  Quare  si  multiplicas  ^ 1 per  10,  minus  re,  haltebis  s,  et  reni  | 1 diminutam, 
que  equantur  rei:  quare  res  ^ 2 equantur  is:  diuidc  ergo  15  per  ^ 2 , jiroucnicnt  G , que 
sunt  maior  |)ars:  aliter,  quia  cx  diuisioiic  maioris  partis  in  minorem  proucnit  1;  ergo 
minor  pars  est  in  maiori  semel  el  semis,  et  est  etiam  illa  minor  pai-s  in  se  semel;  ergo 
est  in  10  bis,  et  seniis:  quare  si  diuLseris  10  per  ^ 2,  proueniciit  4 pro  minori  parte. 

Et  si  proponatur,  quod  super  maiorem  portionem  ponatur  predictus  numerus  .n.A.;  et 
super  minorem  ponatur  prcdictus  numerus  .d.b.',  et  mflllipUccntur  insimul,  et  ucniuut  35: 
multiplicetur  quidem  .a.b.  in  .b.d.,  proucnit  1;  quo  extracto  de  35,  remanent  34;  et 
multiplicetur  .a.b.  in  minorem  partem,  et  proucitiet  maior  pars;  et  multiplicetur  .b.d. 
in  maiorem  pariem,  et  ueniet  pars  minor:  ci^o  cx  bis  duabus  multiplicationibus  pro- 
ueniunt  lo;  quibus  extractis  de  34,  remanet  24  pro  multiplicotione  huius  partis  earum 
in  aliam;  que  extrahes  ex  quadrato  medietatis  de  <0,  remanet  i;  cuius  radix,  scilicet  t, 
tolle  de  5,  cl  adde  super  5,  cl  habebis  4 et  0 pro  qucsitls  prtibus. 

33 


« ail  lUraiM  |0  .... 

<R  .«■<>*  llbl>  IM  liH. 

SI  SS«  S«.  «IT.  Ii«.l  «). 

• * e 


rtil.  t»t  net». 


«tinrtu  ....  • * 

n»l.l92  /M^e,  liu.  8 • 9i|u|(. 
417.  Um.  21  e 22;. 


» « r! 


A 


Digitized  by  Googie 


ri'|atuirl>«iit  ....  rit  MiitsU  • 
IM.  ist  rt-eu.  Illi.  U « li. 
217:  |u(-  lin-  tO-ilj. 


* K •* 


M 


t5>3  rrr«*. 


t(  i>UiU  ■ m 4il«>innl'  • 
|M.  193  v#TMf  lia-  I3*17  • 
IS;  ras-  41S,  lin.  13-33). 

ir  * 


413 

Rursus  diuisi  iO  ia  duas  partes;  et  diuisi  illam  per  istam,  ct  Istam  per  illam;  et 
que  es  diuisiunc  pixiucncnint  addidi  super  lo  ; ct  iii  id  quod  proucnit  multiplicaui 
alteram  partium,  et  prouciicrunt  114:  sit  itaque  .a,  una  ex  prcdictis  parliljus,  quam  pone 
rem;  ct  -^.g.  sit  to;  super  que  addantur  numeri  et  .d.e-  » qui  prouenunt  cs 

diuistone  partium  inter  se;  ct  quia  ex  .<7.  in  .b^.f  proueniunt  114  ; ergo  ex  .a.  in 
et  in  .g.fi.t  ct  in  .d.e.  proucnicnl  in  summa  similiter  I14  : quare  si  auferatur 
inde  id  quud  proucnit  ex  .a.  in  silicet  multiplicatio  rei  iti  <0,  remanebunt  ti4, 

minus  10  rebus,  pro  mulliplicationc  numeri  .a,  in  .g.e.:  de  qua  si  extraxeris  multi- 
plicationem cx  .a.  in  .g.d, , silicet  in  id  quod  proueiiit  cx  diuisiunc  alterius  partis 
per  .a.;  ex  quu  multiplicatione  surgit  pars  diuLsa,  que  est  io,  minus  rc,  remanebunt 
104,  minus  o rebus,  pit>  muUiplicationc  m.  in  .d.e*  : sed  est  .d.e.  id  quud  proucnit 
ex  portione  .a,  diuisn  per  aliam  partem:  ct  quia  manifestum  est,  cum  unus  numerus 
ditiidulur  per  alium;  ct  in  huc  quod  proucnit  cx  diulsionc,  multiplicatur  numerus  di- 
uisus,  id  quod  cx  ij^u  niultijilicalioric  pruueiiit  est  cqiialc  ei,  quod  proucniret,  si  qua- 
dratus diui.si  diuideretur  per  diuisorem:  ergo  multiplicatio  .a.  diuisi  in  .d.e.  equatur 
diuisioni  quadrati  luimcri  m.  in  sccmidam  partem,  scilicet  in  lo,  minus  re.  Quare  mul- 
tiplicetur .a.  in  sc,  I prouenicl  census;  qui  cum  diuiditur  per  to,  minus  re,  pruucniuut 
{04,  minus  o rebus:  qtinrc  si  niultiplicaucris  lO  , minus  re,  in  I04,  minus  9 rebus, 
uenieiit  1040,  ct  g census,  diminutis  I04  rebus,  que  cquaulur  ccnsui;  restauni  ergo  res 
diminutas,  ct  cxlraiic  unum  censum  ab  utraque  parte,  remanelmnt  s census,  et  de- 
narii 1040  , que  cquaulur  rebus  104:  diuidc  ergo  hec  omnia  (>cr  numerum  censuum ; 
ct  ucniet  census,  et  denarii  130  , qui  equantur  rebus  | 24  : procede  ergo  secundum 
suam  regulam,  ct  inuenies,  partes  esse  2,  ct  8. 

Diuisi  10  in  duas  jmrtcs,  ct  diuisi  muiurem  per  minorem;  ct  quod  pixiucnit  multiplicaui 
in  Iioc,  quud  est  inter  utramque  partem,  et  fuit  2t:  jKinam  siquidem  pro  maiori  jiarte 
iinca(r/V;).n.^.,  que  sit  res;  dc  qua  auferantur  .b.g.^  que  sit  equulis  minori  parti;  erit  ergo 
.g.a.  residuum,  quud  csl  inter  utramque  partem;  ct  diuidatur  .a.Z».  in  -g.b.j  ct  proue- 
nial  .e.i  cx  muUiplicationc  ergo  .e.  in  .a.g.  proueniciit  24;  ct  cx  .e.  in  .g.b.  proucnit  di- 
uisus,  scilicet  .a.b.i  ergo  cx  .e.  in  .a.b.  ptoueniunt  2i,  ct  res  una;  sed  id  quod  proucnit 
cx  .e.  in  .a.b.  equatur  ei,  quini  proucnit  cx  quadrato  numeri  .a.b.  diuiso  in  .g.b.’,  ergo 
si  diuidalur  quadratus  numeri  .a.b.  per  mimerum  .g.b.^  proucnient  24,  ct  res  iina:eigo 
si  roultiplicauerimus  .g.b.^  scilicet  lu,  miiins  re,  in  24,  ct  rem  unam,  proucnict  quadratos 
numeri  .a.b.f  silicet  census:  nam  muUiplieatio  dc  24  addita  rei  in  lo,  re  diminuta,  sic 
fit:  ex  10  in  2l  ueniunt  denarii  24o;  ct  cx  lO  in  re  addita  ueiiiurit  decem  res  addite;  et  ex 
24  in  rc  diminuta  ueniunt  24  res  diminute;  a quibus  si  auferantur  lO  res  addite  , re- 
manebunt 14  res  diminute;  ct  ex  rc  addita  in  rem  diminutam  proucnit  census  dimi- 
nutis (f/c);  ct  sic  liaWnmr  pro  dicta  miilti}dicalionc  denarii  240,  censo  diminutis  el  rebus 
14,  que  equantur  censui:  quare  addantur  ulriquc  parti  census,  ct  res  14,  ucnient  duo 
census,  ct  res  u,  que  ci|uantur  deuariis  240:  quare  unus  census,  ct  radices  7 ci]uantur 
denariis  120;  ucl  aliter:  quia  ex  ,e.  in  .a.b.  proueniunt  24,  et  res  una;  ct  cx  .e.  ia 
.g.b.  proucnit  res  una.  Krgo  cx  .e.  in  to  proueniunt  24  , el  duo  res.  Quare  si  di- 
uidantur  24,  ct  duc  res  per  iO,  ucnient  denarii  \ 2,  ct  rei  (ric)  \ pro  numero  .e.;  (]ue 
si  multiplicata  fuerint  per  numerum  .b.g.,  silicet  per  10,  minus  rc,  proucuicut  denarii 


Digitized  by  Goo^le 


410 

Si,  minus  J census,  el  | rei,  que  equantur  rei,  scilicet  numero  .a.b^t  cum  proiiciiiat 
cx  .e.  in  -g-b,:  adde  ergo  utrique  parti  [ census,  et  ^ rei,  ucniet  census  , ct  res 
una,  ct  |,  que  equantur  denariis  24.  Quincupla  ergo  hcc  omnia,  et  erit  similiter  census, 
et  septem  res,  que  equantur  denariis  iso:  dimidia  ei*go  radices,  et  cetera}  ct  iuueuies, 
10  diuisa  fuUsc  in  8,  et  2. 

Diuisa  (.r/c)  io  in  duas  partes,  et  diuisi  istam  per  illam,  ct  illam  per  istam;  et  quod 
pruueiiit,  rouUiplicatii  in  unam  partium,  et  fuit  it:  sit  maior  pars  ./i.,  ct  minor  sit 
et  diuidatnr  .a.  per  .Z>.,  ct  ucniet  .r/.;  ct  .b.  per  .«i.,  ct  ueniet  .g.:  muUiplicaui  ergo  con* 
iunctura  ex  ,g.d.  in  ,/r.,  ct  prouenit  M:  pone  ergo  .a.  rem,  remanebit  ./».  lO,  minu.s  rc; 
el  multiplicatur  .g.  per  .<r.,  et  ueniet  silicet  lO,  mimis  re;  que  cxlraliatiir  de  24, 
remanent  24,  addita  re,  ptt>  multiplicatione  numeri  .d.  in  .a.;  que  multiplicatio  equatur 
diui-sioni  quadrati  ex  numero  in  .b,i  quare  si  multiplicetur  scilicet  iCi,  minus 
rc,  per  24,  re  addita,  ucniciit  omnia,  que  dicta  sunt  in  antecedenti  questione. 

Diuisi  10  in  duas  partes,  ct  diuLsi  Istam  per  illam,  ct  illam  per  istam;  et  diiVerentiam, 
que  prouenit  inter  exeuntes  numeros  ex  diulsionc,  niultiplicaui  per  unam  partem,  ct 
fuerunt  5:  sit  iterum  maior  pars  .n.,  minor  quo<iuc  sit  el  ex  diuisiunc  .a.  in  .b.  pro- 
ucniat  .g.d.\ti  ex  in  .a.  proueniat  .e.t/.:  quare  .g.e.  est  id,  in  quo  multiplicatur 
.a.,  ct  proueniunt  s:  pone  itaque  pro  .a.,  scilicet  pro  maiori  parte,  rem;  erit  ergo 
.b.  10,  minus  re;  et  multiplicetur  .g.e.  in  .n.,  uenient  5;  ct  ,e,d*  multiplicetur  iterum  in 
.a.f  I ueniet  .b.-,  quo  addito  cum  s,  faciunt  is,  minus  rc:  ergo  cx  multiplicatione  .g.d.  in 
.a.  proueniunt  <5,  minus  re;  et  est  .g.d^  id  quod  prouenit  ex  .a.  diuiso  in  .b,’,  que 
multiplicatio  equatur  diuissioni  quadrati  numeri  .ff.  in  ,b.;  ergo  si  diuidatnr  quadratus 
numeri  .a.  per  proueniunt  15,  minus  rc.  Quare  si  multiplicabitur  numerus  .Zr., scilicet 
10,  minus  rc,  per  is,  minus  rc,  reddibit  utique  quadratus  numeri  qui  est  census:  cx 
ductis  quidem  lo,  minus  rem  (i/c),  in  I5,  minus  re,  ueniunt  denarii  iso,  et  census,  dimiriu* 
tis  inde  25  nidicibus,  qiic  e({uantur  censui.  Quare  si  addantur  25  radices  utrique  parti;  et 
auferatur  census  ab  cis,  remanebunt  denarii  150,  que  c<|uantiir  25  radicibus:  diuidc  ergo 
150  per  25,  uenient  6 pro  una  quaque  radice,  scilicet  pro  numero  m.  Quare  .b.  csl  4. 

Diuisi  10  in  dims  partes,  ct  diuisi  unam  per  aliam;  ct  quod  prouenit  addidi  parti, 
per  quam  diuLsi;  ct  fuit  ^5:  pone  pro  prima  parte  rem,  que  sil  .<7.,  et  pro  secunda 
10,  minus  re,  que  sit  >b.g.‘,  ct  diuidatur  .a.  per  >b.g.^  ct  proueniat  ^g^d.i  ergo  .b.d. 
est  ' S;  de  qua  si  auferatur  ^b.g.^  scilicet  lO  minus  re,  manebit  res  , mimis  denariis 
\ 4,  pro  numero  -g-d.x  ct  quia  numerus  .a,  diuisus  csl  per  .b.g.^  et  prouenit  .g.d,; 
si  multiplicaucris  .b.g.  in  -g.d.t  nimirum  ,tt.  prouenit:  ergo  multiplica  to,  minus  re,  per 
rem,  minus  denariis  ^ 4;  que  multiplicatio  sic  iit:  cx  io  in  rem  additam  ueniunt  decem 
res;  ct  ex  re  diminuta  in  diminuta  ueniunt  res  J-  4 adifitc;  et  sic  liabentnr  res  | 14 
addite;  et  ex  10  additis  in  ^ 4 diminuta  ueniunt  45  dragrac  diminute;  ct  cx  et  cx  (jr^) 
re  addita  in  rem  diminutam  prouenit  census  diminutus;  ct  sic  pro  qucsila  multiplica- 
tione habentur  res  ~ i4,  ct  censo  {sic)  diminuti  denariis  45,  que  e(]uantur  rei.  Restaura 
ergo  utrique  parti  diminuta,  ct  etiam  dc  ulraqnc  tolle  rem,  et  ueniet  census,  et  denarii 
45,  qui  equantur  rebus  > 13:  exti'abe  ergo  45  ex  quadrato  medietatis  radicum,  scilicet  dc 
~ 45,  remanebunt  quorum  radix,  que  est  {,  si  de  racdielalc  radicum,  scilicet  dc  Js, 
auferatur  f,  remanebunt  S,  quo  equantur  rei;  quare  reliqua  portio,  scilicet  >b.g.f  est  4. 


• p4rflr*  ....  rr|;n  .4.  1 (fui.  ISI 
•wr/o  , it«.  17  t 2|.io  : 

419,  11«.  C 9). 

I— ^1  I— *— I 


« 4uu<pi«  Mt  ia  .4.  • 

hi  ha.  37.39  i 

419.  lia.  1$  19  « <»]. 


(T 


4 


M.  194  trtt». 


DitUM  ....  4S  4(4|;nie  * { fi»l. 
194  nTr«.lw.  9-lti  Mg.  419. 
Uu.  29-37; 


Digitized  by  Googk 


• 4.&.1  •(  ...  » (fo). 

lia.SVtTi  Mf  4t0. 

ii«.  3-«.’. 


•fUi  a■|•Mll■r  .«•.  otfaoicittfT  » 
if«t.  194  rrcf*  . hn.  I9-36  i 
|>»g  430.  lia.  718). 


lol.  194  vtrt». 


ll«>Qtrfr3  ....  (foat  9 > ( M- 
194  HrrM.  1m>.  3 i r«B- 
li..  86  c 87|. 

e 4 


420 

Diuisi  10  in  duas  partes,  et  diuisi  unam  per  aliam;  et  quod  proucnit  addidi  parti 
diuise;  et  hoc  totum  multipUeaui  per  aliam  partem,  et  fuit  30:  ponam  siquidem  rem  pro 
parte  diuisa,  que  sit  et  pro  alia  parte  ponam  lO,  minus  re  , que  sit  .g.  ; et 

diuidatur  .n.b.  in  .g.^  et  prouciiiat  : ergo  ex  .a.d.  in  .g.  proucniuiit  30;  sed 
ex  ,a,b.  in  .g.  pruiieiiiunt  10  res,  minus  censu;  et  ex  .b,d.  in  .g.  reddiit  res  diuisa; 
et  sic  pro  .a.d.  in  .g.  ueniunt  res  l(,  mimis  ceii.su,  que  cquantur  30:  adde  ergo  censum 
utrique  parti,  cl  habeliis  censum,  et  denarios  30,  qui  c<(uanturU  rebus:  operare  ergo 
per  illud;  et  inucnics,  primam  partem  fuisse  6,  secundam  4. 

Diuisi  10  in  duas  partes,  et  diuisi  unam  |>arlcm  per  aliam;  et  hoc  quiKl  exiit,  mul- 
tiplicaui  per  diuisam  j>artem,  et  fuerunt  0:  sit  itaque  prima  pars  .a.  , que  sit  res; 
secunda  sil  que  est  10,  minus  re;  et  diuidatur  .17.  per  .0.^  et  ueiiiet  .d.:  ergo 
ex  .d.  in  ,n.  ueuiuiit  9;  quod  idem  est,  si  diuidatur  quadratus  numeri  .a.  per  .b.‘,  ergo 
si  multiplicnhis  .A.,  scilicet  10,  minus  re,  in  9,  proucnict  quadratus  numen  .a.,  scilicet 
census;  ergo  denarii  1H),  minus  9 rebus,  que  proueniunl  ex  9 in  10,  minus  le,  equanlur 
censui.  Restauratis  itaque  0 rebus,  ucnict  quod  census,  et  9 res  equantur  denariis  90, 
et  cetera;  critque  prima  pars  e,  secunda  4. 

Esi  census,  de  quu  si  auferantur  7i,  remanebit  radix  cius:  ex  liac  quidem  positione 
cognuscilur , quod  res  , et  denarii  73  cquantur  censui ; quare  quadratum  medietatis 
unius,  scilicet  adde  stiper  72,  erunt  { 72;  stiper  quorum  radicem,  scilicet  suj>er  ^ 8, 

adde  emiit  9,  que  sunt  radix  census;  et  census  quesitus  est  81. 

Sunt  duu  numeri,  quorum  maior  excedit  minorem  in  6;  et  diuisi  minorem  per  maio- 
rcro,{  cl  proucnit  |M)ne  pro  minori  rem;  quare  maior  erit  res,  et  denarii  6:ct  quia  ex  di- 
uUionc  minoris  per  maiorem  proucnit  J;  ergo  si  muUipUeabitur  { per  minorem  numerum, 
pruuenit  numcru.s  diuisus,  scilicet  minor:  ex  muUtplicalionc  quidem  maioris  numeri  per 
I proucnit  tcrcia  rei,  et  denarii  2,  <{uc  cquantur  rei:  abicccrgo|  rei  ab  utraque  parte, 
remanebunt  { rei,  que  cquantur  deuariis  2.  Rcintegra  ergo  rem  tuam,  et  ucnict  rex  (ric), 
que  cquatiir  3 ; ergo  minor  numerus  est  3:  super  quem  adde  0,  erant  g pro  maiori 
numero:  aliter  sit  maior  numerus  .<7. A.,  et  ./7.c.  sit  minor;  ergo  .e. A.  est  6:  et  quia 

diuLso  .n.c.  in  .n.A.  prouemt  ergo  proportio  .a.b.  ad  .ax.  est  sicut  3 ad  t ; cl 

cum  diuiseris,  erit  sicut  2 ad  1,  ita  .A.c.  ad  .c.a,:  ergo  .n.c.  est  dimidium  ex  .c-A.: 
uel  quia  diuisa  .ax.  {>cr  ./i.A.  proueuii  j unius  intcgii  , erit  .ax,  tcrcia  ci  .a.b.  i 
quare  si  duplicetur  .ax.  erunt  tres  res,  que  cquantur  rei,  et  tribus  dragmls,  et  cetera. 

Est  numerus,  de  quu  ciccci  terciam  cius,  et  denarios  4;  et  cius  quoil  remansit,  pro- 
iccci  quartam;  et  quod  remansit  fuit  radix  primi  numeri:  pone  pro  ipso  numero  censum; 
de  quo  abicc  terciam,  rcmanchuiil  duc  tercic  census;  de  quo  etiam  abicc  4,  remanebunt 
I census,  minus  denariis  4;  de  quibus  abicc  quartam,  remanebunt  { duaimm  tertiarum 
census,  minus  | de  denariis  4,  hoc  est  medietas  censu-s,  minus  denariis  3,  que  cquatur 
radici  pasiti  census  : restaura  ergo  3 denarios,  remanebit  medietas  census,  que  cijuatur 
rei,  et  denariis  3:  quare  census  cquatur  duabus  radicibus,  et  denariis  6 : adde  eigo 
super  6 quadratum  medietatis  radicum,  scilicet  l,  erunt  7;  super  quorum  radicem  , 
que  est  surda,  adde  t,  scilicet  medietatem  numeri  radicum,  proucuicl  utique  biiiomium 
pro  radice  quesili  census;  tpiod  biuomium  est  radix  de  7,  et  denarius  1 ; quod  cum 
in  se  mulliplicaueris,  pruucuicut  8,  et  radix  de  28  pro  quesito  censu. 


Digitized  by  Google 


42i 

Est  census,  c)c  quo  proioci  tcrcium;  ct  quod  remansit  muUiplicaiii  per  tres  radices 
ipr*us,  ct  pruueiiit  idem  census:  tu  scis,  quia  cum  multiplicatur  terria  radicis  per  tres 
radices,  tunc  prouenit  inde  itmis  census:  quare  | qnesiti  census  es*  una  • radicis^  quare 
radix  quesili  census  est  quo  in  se  multiplicato  fecit  J pro  quantitate  censas. 

Item  est  census  , dc*  quo  extraxi  3 radices  ipsius  , ct  addidi  eas  cum  4 radicibus 
residui,  ct  fuerunt  20:  pone  pro  i{)su  censu  tetrogoiium  {sic)  .a.b.g.d.^  cu:as  radix  est 
ci  auferatur  cx  linea  »b,g.  recta  que  sil  3,  cui  cqiialis  sit  recta  .</.5.;  ct 

copuletur  .e.z.:  ci^o  superficies  equalur  iribus  radicibus  census  ,b.d.\  que  extracta 
ex  superficie  ,b.d,y  remanet  suj)erficies  .b.z.,  cuius  4 radices  ciun  superficie  sunt 
20:  ergo  si  ex  20  auferantur  tres  radices  census  .b.d,y  rcmuiielmiit  20,  minus  tribus 
i-adicibus,  que  cquantur  4 radicibus  superficiei  ,b.z.',  quare  quarta  pars  ex  20,  minus 
tribus  radicibus,  scilicet  5,  minus  { unius  radicis,  cquatur  uni  radici  superficiei  ,b,z.‘. 
quare  multipUeetur  s,  minus  | radicis,  in  se,  erunt  denarii  25,  ct  ^ census,  minus 
radicibus  { 7,  que  equantur  superficiei  .b.z.y  lioc  est  censui  .b.d.y  minus  tribus  radi- 
cibus .suis,  que  sunt  superficies  .e.d.x  quare  si  curauniter  addantur  res  J 7,  erunt  ^ 
census,  ct  denarii  25,  que  cquuntur  censui  , ct  rebus  4.  Viule  si  comuniter  aufe- 
rantur census,  remanebunt  censas,  ct  res  J 4,  que  cquantur  denariis  25:  reddige 
ergo  liec  omnia  ad  censum  utiiim,  scilicet  multiplica  ea  per  1$,  ct  diuidc  per  7;  et 
erit  census  unus,  ct  res  | 10,  que  cquantur  denariis  | 57  j super  qu(M}  adde  qnadnitum 
medietatis  radicum,  et  cetera;  et  inuenics,  radicem  .b.g.  esse  4,  ct  censum  .b.d.  lo. 

Et  si  proponatur,  quoil  tres  mdices  census  .b.d,  cum  quattuor  radicibus  residui,  scili- 
cet su|)erfiriei  .b.z.y  cquantur  censui  .b.d.y  ct  denariis  4;  extrahe  ergo  ex  censu,  ct 
denariis  4 radices  3,  remanebit  ccasus,  et  denarii  4,  minas  tribus  radicibus,  que  cquantur 
4 radicibus  superficiei  .b.z.}  sed  superficies  .b.z.  ctjuatur  censui  .b.d.t  minus  tribtis 
suis  I radicibus,  ergo  superficies  .b,z.  cum  denariis  4 cquatur  4 radicibus  ipsius:  pone 
ergo  pro  superficie  .b.z.  censum  , quia  cum  denariis  4 cquatur  4 radicibus:  extrahe 
ergo  4 cx  quadrato  medietalls  radicum,  scilicet  de  4,  remunet  zephyrum;  quo  additu, 
ucl  diminuto  a medietate  radicum,  reddent  2 pix)  radice  positi  censas:  quibus  2 in 
se  multiplicatis,  reddunt  4 pro  ipso  censu,  scilicet  pro  siipcificie  .b.z.;  que  etiam  fit 
ex  .b.e.  in  .e.r.,  boc  est  ex  ,b.c.  in  .i&.g.;  ergo  ex  ductu  .b.e.  in  ./».g.  ueiiiunt  4:  di- 
uulatur  ergo  .e.g.  in  duo  equa  super  1,  erit  una  queque  jmrtio  .e.f.,  et  .i.g.  ^ 1;  ct  quia 
cx  .b.e.  in  .b.g.  proueniuiit  4;  si  eis  addatur  quadratas  linee  .1.,  scilicet  | 2,  habcbuiilur 
pro  quadrato  linee  .b.i.  J C:  quare  si  super  eorum  radicem,  scilicet  super  \ 2,  addatur 
linea  ./.g.,  scilicet  [ 1,  habebuntur  4 pro  linea  .b.g.}  quare  censas  .b.g.  est  IG,  cuius 
3 radices,  scilicet  superficies  .e.d.  sunt  12;  i-emanet  « rgo  4 pro  superficie  .b.z. y cuius 
quattuor  radices  sunt  k;  quibus  additis  cum  12,  reddunt  denarius  4 super  censum 
.b.d.y  ut  querebatur. 

Etsi  dicatur:  est  census,  dc  quo  extraxi  8 radices;  ct  addidi  cas  cum  10  radicibus 
residui,  et  prouenit  ccasus,  et  denarii  si:  codemqiie  rau<lo  inuenics  censum,  qui  cum 
21  cquclur  decem  suis  radicibus;  eritque  2,  uel  49  , unus  quorum  habeatur  pro  su- 
perficie »b.z.  : quam  si  ponimus  esse  9 , erit  tetragonum  .b.d.  ratioriatum;  quod  sic 
probatur  : quia  cx  ductu  .b.e.  in  .b.g.  prouenient  0 ; si  addatur  quadratus  numeri 
scilicet  10,  erunt  2S;  quorum  radix,  scilicet  s,  est  linea  ,b.i.;  quibus  si  addatur 


« fifiutar ....  4rii«riM  2%  * 

(f*i.  1^4  r*na  , lia-  20-)}  ( 
pm-  42ii  li«-  S-13J- 


s 'i 


4 « K 

* ^ fO  • '***  *<'^'**  ***'^  * 

(M.  i94  «wi-n.  lifl.  Ih  t9 
|u(.  421.  1.0.  19  « X4.&3> 

* M • 

t t 

fai.  193  r*tt9. 


Digitized  by  Googie 


42t 

J.g.t  silicei  4,  ciil  tota  .b.g.  raciunata,  que  erit  9;  quare  census  .b.d.  est  st:  et  si  ex 
d.b.  auferatur  remaneliii  J.b.  unum:  et  si  ponam  superficiem  .^.2.  49,  erit  radix 

eius  7;  et  est  media  in  proportione  inter  et  >e.z.i  quare  ex  ,b.e.  in  hoc 

est  ex  ,b.e.  iu  >g.b.y  ueniunt  49;  quibus  si  addantur  ts,  scilicet  quadratus  numeri  .e.i., 
proiieiiient  63;  su|>er  quorum  radicem  si  addatur  •i.g,y  erit  luta  .a.g.  binomia  quinta, 
scilicet  radix  de  63,  et  denarii  4;  et  si  auferatur  ,i.e.  ex  .i.b.,  remabit  (fic)  .e.b.  re- 
cisum, quod  est  radix  de  63,  minus  4;  quia  multiplicata  per  .e.2.,  scilicet  per  radicem 
de  65,  et  per  4,  pioucuieiit  49  pro  superficie  .b.z. 

Adhuc  si  dictum  fuerit:  est  census,  cuius  4 radices  raulliplicaui  per  s i-adices  cius; 
et  quod  prouenit  fuit  quattuor  census,  et  denarii  4S  : ex  ductis  quidem  4 radicibus 
in  s radices  proueniuiil  so  census  , qui  cquaiitur  quattuor  censibus,  et  denariis  4S; 
quare  si  coraiitiilcr  auferamur  4 census,  remanebunt  16  census,  qui  cquaiilur  denariis 
48:  quare  diuidc  4S  per  ie,  uenient  3 pro  quantitate  quesiti  census. 

hem  e.Ht  census,  cuius  — c<piatur  } radices  (j/c)  eius.  Heduc  ergo  hec  onmia  ad  censum 
unum,  et  erit  quod  census  equatur  radici  f 1;  ci^o  radix  census  est  | <;  qua  radice 
in  se  multijdicata  reddit 

hem  census,  quem  si  multiplicas  in  quadruplam  ipsius,  ueniunt  so;  erit  eius  re- 
gula, quod  cum  multiplicas  ipsum  in  .se,  proueniuiil  S.  Ipse  namque  est  radix  de  s. 

Item  est  rcastis,  quem  in  Icrciam  sui  multiplicaui,  et  prouenit  10:  erit  eius  con- 
.sideratlo,  quoniam  cum  multiplicas  i])sum  in  se,  proucniunt  30.  Dic  ergo,  quod  census 
est  radix  de  30. 

Item  est  census,  quo  multiplicato  per  quadruplum  ipsius,  prouenit  tcrcia  dragme: 
ci^o  si  multiplicabilur  ille  ccusus  in  duodccuplum  ipsius,  pi'ouenit  unum  ; ergo  ille 
census  est 

Item  est  census,  (juu  multiplicato  in  radicem  ipsius,  prouenit  triplum  census  primi: 
erit  cius  consideratio,  quoniam  cum  multiplicas  radicem  census  in  terciam  ipsius,  pro- 
uenit census;  dico,  qnod  istius  census  tercia  pars  est  radix  cius,  et  ipse  est  9. 

Item  miiltiplicaui  Icrciam  census,  et  denarium  1 in  quartam  cius,  et  duas  denarios, 
et  prouenit  census,  cl  augmentum  13  denariorum:  pone  pro  ipso  censu  rem;  et  multi- 
plica terciam  ei  (xic)  in  f[uarta  eius,  et  pixmeiiit  duodecima  pars  census,  et  terciam  rei 
duos  denarias,  et  quartam  rei  in  dcriurium,  et  denarium  in  duos  denarios;  et  sic  habebis 
duodecimam  ceasus,  et  ^ rei,  et  denarios  S,  que  c<|ucntur  rei,  et  denariis  3:  tolle  ergo 
ab  utraque  parte  rei,  et  duos  denarias,  remanebit  itaque  duMlccima  census ; ipie 

M 195  rtfrio.  equatur  duo-|  decime  rei,  et  denariis  ii:  multiplica  ergo  hec  omnia  per  12,  et  ucnict 
census,  qui  equatur  uni  rei,  et  denariis  132,  et  celera. 

Est  numerus,  de  quo  si  auferatur  \ et  denarii  4,  remanebit  siquidem  radix  cius : 
pone  pro  ipso  numero  rem,  et  extrahe  ex  eo  j et  denarios  4,  ramanebunl  itaque  ~ 
rei,  minus  denariis  4,  que  sunt  radix  )x>sitc  rei:  quare  multiplica  ea  in  se,  et  quod 
prouenerit,  cquabitur  rei;  nam  multiplicatis  ^ rei  in  se,  proucuiunt  census;  et  ex 
duplo  de  ~ rei  in  denariis  4 diminutis,  ueniunt  rc.s  ^ 3 diminute ; et  ex  denariis  4 
in  denarias  4 diminutos,  ueniunt  denarii  ic  additi,  omnia  que  equantur  rei:  adde  ergo 
utrique  parti  res  5 3,  uenient  res  1 4,  que  cH}uantur  ^ census,  et  denariis  ic  : reddite 
ergo  bcc  omuia  ad  censum  unum,  scilicet  multiplica  unum  quemque  i|)soruni  numeroruiu 


Digitized  by  Googie 


AiZ 

per  i-u;  et  dluidc  uiinm  (piamr|iic  mulliplicationcm  per  23,  cl  uenient  radices  ^ S4,  que 
equanlur  censui,  et  denariis  ^92,  et  cetera:  et  inuciiies,  censum  esse  binumium,  sci- 
licet 12,  et  radicem  de  ^63«  Et  si  dictum  fuerit,  quod  multiplicato  prodicto  1*0- 
siduu,  scilicet  ^ rei,  minus  denariis  4,  in  se,  faciat  is  ultra  primum  nunierumj  tunc 
eodem  ordine  erunt  census,  et  denarii  4,  qui  cqiiantur  radicibus  | 4:  et  cum  re- 
digeris ea  ad  censum  unum  , erit  census  , et  denarii  ^ S3  , qui  e:{uantur  radicibus 

24:  operare  ergo  per  ea,  et  intienics,  quesitum  numerum  esse  24. 

MvUiplienui  numerum  per  4 radices  ipsius,  et  proucnit  septuplum  ipsius;  nunquam 
multiplicabitur  numerus  ali<|uid  {sic)  per  aliquid,  ex  qua  multiplicatione  proucnicl  septu- 
plum multiplicati,  uisi  multiplicetur  ijtse  numerus  per  7:  ergo  cum  multiplicatur  quesitus 
numerus  per  4 radices  eius,  tunc  i|>sc  multiplicatur  per  7.  Vnde  manifestum  est,  quod 
radices  4 pradicli  numeri  equeiitur  denariis  7:  ergo  radix  cius  est  { I,  quod  proucnil 
ex  7 diuisis  iti  4;  quia  radice  in  se  inuitiplicala  proiteniiiiit  3 pro  quesito  numero. 

Item  est  numerus,  de  quo  2)ruieci  quartam  ipsius;  residiitimquc  multiplicaui  4 (r/c)  ra- 
dices eius,  el  pruuenit  septuplum  illius;  et  quia  ex  multiplicatione  de  \ quesili  numeri 
in  4 radices  eius  pmucnit  septuplum  cius;  si  multiplicatur  pars  extracta,  .scilicet  jier 
4 radices  prcdiclas,  proucnit  duplum  eiusdem  numeri:  ergo  si  muUipIirabitur  nummis 
quesitus  per  4 radices  cius,  nimirum  prouciiiet  uttuplum  eiusdem  numeri:  ergo  4 radices 
equantiir  denariis  8 ; ergo  nidix  qiicsiti  numeri  est  2;  el  ipse  iiumcrus  est  4. 

Item  numerus  est,  de  quu  proicci  4 radices  ipsius;  el  de  residuo  accipi  (.r/c)  et  fuit 
cquale  radicibus  4:  ergo  cum  \ pars  residui  cquatur  4 radicibus,  totum  ergo  residuum 
equabitur  radicibus  lO  ; quibus  si  addantur  radices  4 , que  fuerunt  proiecte  , totus 
numerus  quesitus  equabitur  2o  radicibus:  quare  radix  cius  est  20,  et  ipse  numerus  est  4(h). 

Item  est  numerus,  de  quo  proiecci  3 radices  ipsius;  et  quod  remansit,  fuit  radix  quadru- 
pli ipsius  numeri:  pro  quadruplo  prcdicto  accipe  radicem  de  4,  que  est  2;  et  adde  eam 
cum  3,  propter  tres  radices,  erunt  3,  que  sunt  radix  numeri  quesili;  et  ipse  numerus  est  23. 

Rursus  est  numerus,  quo  multiplicato  per  * ipius,  prouciiiunt  s:  dic  ergo;  cum 
ex  multiplicatione  prcdtcla  iicnient  5 ; si  multiplicabitur  idem  numerus  per  tcrciam 
ipsius,  pruuenicul  \ 2*.  ergo  si  numerus  multiplicabitur  in  se,  faciet  \ 7;  ergo  ipse  nu- 
merus est  radix  de  J 7:  nam  si  uis  scire,  qualiter  ipse  multiplicetur  per  | qwius,  mul- 
tiplica i])sum  in  se,  cruui  \ 7;  el  multiplica  | ipsias  in  se,  erunt  (pias  jiartcs  ac- 
cipe de  I 7,  erunt  -J  3;  que  multiplica  per  j 7,  uenienl  23;  quorum  radix,  scilicet  3, 
est  summa  ipiesitc  multiplicationis,  ut  oportet. 

Item  est  numerus,  de  quo  extracta  tercia  ipsias,  et  denariis  6,  residuum,  si  in  se  mul-  * 
tipliciibitur, reddet  diipplum  ipsius  mimeriiquamuis  hcc  ad  unam  ex  6 regulis  algebre  pro- 

duci  iialcat,  tamen  qualiter  proportionaliler  fieri  dclK!at,  indicabo  (i):  sit  itaque  mimeru.s  * * * * 

quesitus  linea  ./?./».;  de  quo  auferatur  linea  .A.g.,  que  sit  tercia  numeri  remanebit 

numerus  .a.g.  ^ numeri  .a./».;  de  quo  etiam  | auferatur  linea  .g.fA,  que  sit  6,  remanebit 


(1)  Nel  fflargine  inferiorr  tlclh  c.srtii  193  rerto  dcl  Codice  Magliabecbiano  C.  1.  2CI0  si  (rova  scritto  cib  che 
segur:  « A(!  rei^ubiii  al^Tbre  reducitur  ftic:  pooe  pru  numero  rem:  de  qu4  abicc  (ertia  rri,  et  denarios  G,  rema- 

• notii  I rei.  minus  denariis  9;  quo  multiplica  in  se.  uenienl  ^ census,  el  denarii  30,  minus  rebus  8,  que  equan- 

* fur  duabus  rebus,  scilicet  duplo  i|isius  numeri;  redige  bcc  omnia  ad  unum  censum;  et  haiiehU,  quod  unus 

> census,  et  denarii  81  n|uanlur  rebus  j 22 : procede  ergo  per  regulam,  boc  est  multiplica  hec  omnia  {>er 

> quartam  uoucnari,  quod  est  super  uirgam,  boc  est  per  | 2:  et  inucnies  pro  toto  numero  18,  idest  pro  Unca  a. 3.« 


Digitized  by  Google 


424 

ergo  numcnis  cjtii  esi  radix  ex  duplo  numeri  .a,b,\  quare  reperiendus  est  nu- 

rocruSy  qui  cum  multiplicatus  fuerit  per  numerum  .a.g.t  hoc  esi  per  | totius  linee,  faciat 
duplum  numeri  eritque  3:  ergo  multiplicatio  numeri  .a^.  in  3 equatur  multipli- 
cationi numeri  iii  se:  ergo  est  sicut  -a.g,  ad  ita  .a.(L  ad  3,  maior  est  .n.g. 

quam  maior  ergo  .a.r/.  quam  3:  auferantur  itaque  3 ex  numen)  .nM.  ; $iti|uc 

M.e.}  et  quoniam  est  sicut  .a.g.  ad  .o.t/.,  ita  .a.r/.  ad  .a.e.;  erit  ergo  cum  diuiscris 
sicut  notus  .gM,  ad  .«/.<?.,  ita  .d.e.  <'id  .e.a,  notum:  multiplicabis  ergo  .g.r/.  m tum 
in  ,a.e.  nutum,  scilicet  6 per  3,  erunt  is;  quibus  c<|uatur  multiplicatio  ^.d.  in  .a.d,: 
quai*c  si  superaddatur  quadratus  medietatis  iniroeri  ut.e.  , silicei  { 2 , erunt  \ 20  ; 
super  quorum  radicem,  scilicet  stijM^r  \ 4,  adde  medietatem  numeri  que  est  J 1, 

uciiiunt  e pro  numcio  .a.d.:  cui  addantur  6,  scilicet  numerus  .d.g.y  erit  numerus  .a^g. 
!2,  que  sunt  J numeri  multiplicentur  ergo  12  per  3,  et  diuidantur  per  2j  ucl 

super  IS  addatur  medietas  eorum,  uciiient  19  pro  toto  numero  .0.^.  Kl  si  proponatur, 
quod  ex  ductu  .a.d.  in  se  proueiiiat  numcnis  .a.b.  cum  augmento  denariorum  ts  ; 
iniicnies  nuuierum,  quo  multiplicato  per  numerum  M.g.^  faciat  eqtialc  numeri  M.b.) 
eritqiic  2 I,  qui  sit  linea  .a.e.i  ergo  ex  .a^.  in  .a.g.  proueiiit  numcnis  .a.b.}  ergo 
si  ex  ipsa  iiiiiltiplicatione  auferatur  multiplicatio  ex  .a.e.  in  .d.g.  , silicet  ex  J 1 
in  0,  remanebit  multiplicalio  .rr.e.  in  .o.r/.  C((ualis  numero  .47. /1.,  diniiniilis  inde  9:  sed 
ex  .a.d.  in  se  pi-oueinl  is  ultra  numerum  M.b.‘,  ergo  multiplicatio  .a.d.  in  se  superat 
miiUipIicationem  ex  .a.e.  in  .a.d.  in  27:  sed  multiplicatio  .a.d.  in  se  equatur  duabus 
mulliplicntioiiibus,  que  snnt  ex  .a,e.  in  .a.d.f  et  ex  .e.d.  in  .a.d.  ; ergo  multipli- 
catio .e.d.  in  ,a.d.  est  27;  cui  addatur  <|uadratU9  medietatis  numeri,  scilicet erunt 
27;  stiper  quorum  radicem,  que  est  \ $,  si  addideris  ~ , scilicet  dimidium  uiimeri 
.a.e.f  ucnient  0 pro  numero  .a.d.;  super  quem  si  addideris  numerum  .d.g.t  eruot  ii 
pro  numero  >a.gr,  super  quem  si  addideris  dimidium  cius,  erit  totus  numerus 

Adhuc  est  numerus,  de  quo  proicicci  (sic)  tcrciam  eius  , et  denarius  e ; et  quod 
remansit  multiplicaui  |ier  5;  et  i‘cdiit  idem  numerus  (4):  sit  itaque  linea  .a.b.  numerus 
quesitus,  cuius  lercia  sit  .b.c.\  et  .c.ii.  sit  6;  et  liiicu  ^g.h.  sit  5;  et  aufoititur  ex  .g.h. 
7*16  « numeriLS  .g./.,  qui  sil  \ 1,  in  quo  multiplicatur  nummis  .fl.c.i  hoc  est  facit  numerum 

m.  Itu.  32S3I-  .a.b.’,  et  ,a.d.  in  .g./i.  facit  similiter  numerum  .a.b.,  hoc  est  unum,  idest  totam  lineam: 

! i 1 fi  quare  est  sicut  .c.a.  ad  .d.a.,  ita  .b.g.  ad  -/-g.:  erit  eigo  cum  diuidetur,  sicut  .c.d. 

j ^ primus  nd  .r/.a.  .secundum,  ita  .h.f.  lercius  ad  .f.g.  quartum:  ergo  multiplicatio 
‘ ’ in  .f.g.y  silicet  de  6 in  J 1;  que  multiplicatio  est  »,  equatur  multiplicationi  .d^.  ia- 

gnoli  in  Ji.f*  notum  : quare  si  diuidantur  9 per  .h.f.,  silicet  per  J 3,  ucnient  J 2 pro 
numero  .a.d.  ; cui  si  addatur  numerus  .d.c.  , erit  .a.c.  8 ; super  que  si  addatur 

dimidium  eorum,  silicei  .c.b.,  que  est  ~ |Kirs,  cum  tertia  unius  numeri  sit  medietas 
residui,  ucnient  f 12  pro  toto  numero  .a.b. 


(0  Nel  mai^ino  infprinrrddl)  carU  196iwlo  dctCodiceMaglialiechianoC.I.20l6lromi  scritto  cii>  chev^c 
t '].  Nota,  quod  ad  regulam  algct»re  sic  reducitur  pone  pro  quesitu  numero  reoi;  de  qua  abice  tertiam  rei,  et 
( denarios  6,  remanet  rei,  ttiious  denariis  6;  que  multiplica  per  5,  et  uenicnl  res  -J-  3 , minus  denariis  39  • 

• que  equatur  quesitum  numerum,  uidclicet  rem:  quare  da  unicuique  parti  daiarius30.  Et  habebis,  quod  m 
» (a/c)  3,  et  tertiam  rei  equatur  unam  rem,  et  denarios  3(h  de  quibus  untiique  abice  res  (a4c)  unam.  Et  reini- 

• nebit,  quod  2 res,  et  tertiam  rei  equatur  dfmartis  30:  eigo  rem  {atcl  ualet  denarius  | 12  pro  quesito.  • 

Fra  le  linee  27  e 2S  det  medesimo  reefo  trovasi  : < .1  boc  est  unum,  idest  tota  linea  >. 


Digitized  by  Googie 


AiS 

Ex  (jic)  si  cx  .a.d.  iii  s,  scilicet  iii  prouciiiant  u ultra  numerum  .a.b,\  erit 

tunc  multiplicatio  .g.f.  in  .a.d.  nouem  , minus  multiplicatione  .g.f.  in  .a.c.',  que 
d proucniunt  ex  .g.f.  in  .d.c.  , bt)c  est  ex  I in  6 : ergo  cx  .g.f.  in  .a.d.  proue- 
iiiunt  0 diminuta  de  numero  .a.b.\  que  si  addantur  super  SI,  erunt  33,  que  prmiC’ 
niuut  cx  .f.h.  in  .a.d.  : quare  si  diuidantur  33  per  >3,  scilicet  per  ././i.,  uenienl 
‘ 9 pro  numero  quare  numerus  .a.c.  est  | 15:  quibus  si  addatur  dimidium  eurum, 

scilicet  > 7,  erunt  | S3  pro  luto  numero  .a.b.\ 

Is  quadam  negotiatione  quidam  habuit  libnis  is  capitalis,  cum  quibus  lucratus  est  m 196 
aliquid  in  mensibus  tribus,  siqicr  quud  totum,  scilicet  suj>cr  capitale  cl  lucrum,  quidam 
alius  addidit  Ubtas  ii;  et  cum  bis  nmnibus  lucratus  est  pi-oportiunalitcr,  secundum 
quod  lucratus  rtieiat  piimom  («#  ;),  ci  in  capite  dnodccim  mensium  lucratus  est  aliquid 
aliud;  ct  fo>t  loinm  Incrtim  duodecim  mensium,  ettrinmlibie  9;  queritur,  quot  ex 
ipso  lucro  cadat  umciiiqoc  ipsorum,  ucl  quot  lucrabatur  in  unoquoque  mense  per  li> 
bram.  Ponam  pro  libris  is  lineam  .n,^.,cx  {sic)  pro  lucro  earum  trium  mensium  lineam 
.b.c.\  cl  iaceal  linea  .r.g.  cqualis  linee  .a.c.',  et  auferam  ab  ca  lineam  .f.g.  eijualem 
linee  .b.c.i  remanebit  .e.f.  cfjualis  linee  .n.b.',  ct  addam  linee  .c.g.  lineam  .d.c.,  que 
sit  II;  erit  ergo  lota  .d.f,  J3;  ct  sit  .g.b.  lucrum  numeri  in  uno  anno;  erit  ergo 
couiunctum  cx  .gM.,  ct  ,b,c.  9:  ct  quia  annus  quadruplus  est  trium  mensium,  accipiam 
ex  .gdi.  quartam  eius,  que  sit  -g-i.',  ent  ergo  .g.i.  lucrum  in  tribus  mensibus  totius 
numeri  .d.g.  : quare  proportionaliter  est  sic  .a.b.  nd  .b.c.  , ita  .d.g.  ad  .g.i. ; et 
quia  numerus  .g.b.  quadruplas  est  numeri  .g.i.',  ciil  sicut  .a.b.  ad  itu  quadru- 
plum ex  .d.g.  ad  .g.h. 

Pcrmutalim  er;:o  sicut  quadruplum  cx  .d.g.  ad  .a.b.,  ita  .g.h.  nd  .b.c.  Cumiun- 
ctim  ei^o  sicnl  quadruplum  ex  .d.g.  cum  ,a.b.  ad  .a.b.,  ita  ciimiunclum  ex  .g.h., 
et  .b.c.  ad  .b.c,  < um  enim  cjuatititaics  proportionales  sunt,  erit  multiplicatio 
prime  in  quartam,  sicut  mulliplicaciu  secunde  iu  tcrciam.  Quare  quod  ftl  cx  coniuncto 
quadrupli  .d.g.  cum  .a.b.  in  .b.c.  , csl  sicut  illud  , quod  fit  cx  .n.b.  in  rumiun- 
ctum  ex  .g.h.  cum  .b.c.  Est  enim  .a.b.  is,  et  .g.h.  cum  .b.c.  sunt  9;  quorum  mul* 
tiplicatio  surgit  in  los.  Ergo  niulti|ilicatio  cumiuncli  ex  quadruplo  .d.g.,  cum  .a.b. 
in  .b.c.  surgit  similiter  in  lOS:  dciiidc  ut  reducatur  bec questio  ad  unam  ex  questionibus 
algebre,  ponam  lucrum  .b.c.  rem;  quare  et  .f.g.  erit  similiter  res  : ergo  quadruplum 
totius  .d.g.  csl  9S,  et  .iiit.**'  res;  ciim  quibus  si  addatur  iiumcnts  .n.b.,  qui  est  is, 
erit  cumiunctio  quadrupli  .d.g.  cum  .a.b.  I04,  ct  qnaluor  res.  Que  omnia  multiplicata 
in  .b.c.,  scilicet  in  rem,  faciunt  .iiii.**'  census,  cl  lOi  radices,  que  cquantur  Hbris  108. 

Quare  quarta  pars  eorum,  scilicet  census,  et  radices  20  cquantur  quarte  de  los,  scilicet 
27.  Vnde  si  dimidium  radicum  in  sc  multiplicabitur,  surget  in  I69;  cum  quibus  additis 
27,  faciunt  196;  de  quorum  radice,  scilicet  de  14,  si  aiiforatur  dimidium  radicum  su- 
prascriptanim,  remanebit  1 pro  quantitate  rai:  ergo  .^.c.  cum  sit  res,  est  libra  I;  qua 
diuisa  per  menses  3 , uenict  pro  lucri)  duodecim  librarum  in  uno  mciise  denarii  so ; 
quibus  diuisis  per  libras  li,  ueuient  denarii  | c;  cl  tot  lucrabatur  per  libram  iu  uno 
quoque  meiisc:  deinde  ut  habeatur  contingentis  (j/c)  unicuique,  addam  .b.c.  super  .a.b., 
prouenient  libre  13;  super  quas  addam  luciiim  i[tsariim  duodecim  mensium,  quod  est 
liljraium  4,  cl  soldurnm  6 , et  denariorum  8,  ucnient  in  summa  libre  J-  17  pro  portione 

54 


Digitized  by  Google 


M- 


197  t*ff. 


ivi  iap<>f|(i<iiel  • iful. 

r^7  rfrf.hu.  S M e 9 i i*g- 
US.  It>».  7 19;. 

* g 


,t  ..  , 


«■ni.  «ilITrfl- 

<i««  tt-g.  • I f'*l.  I'*7  rrtto  , 
l.n.  »}2tr«R-  426.  Um.  tt 
•J7J. 

* / g 


•i  fi 


HG 

capitalis,  ct  lucri  primi  liomiui<;  de  quibus  si  auferatur  capitale  ipsius,  sciliccl  libre  ts, 
remanebunt  pro  lucro  ipsiu.s  libre  - 5;  roliipuim,  scilicet  libre  j 3,  remanet  pro  lucro  unias 
anui  conli^cntc  ei,  qui  miserat  li.| 

l.sueniat  quis  numerum,  quo  multiplicato  in  sc,  cl  in  radicem  de  lo,  faciat  nomi- 
pliim  ipsius  numeri:  ponam  pro  ij>so  munero  rem,  qne  sit  linea  .n.b.;  ct  addam  ci  lineam 
.i/.g.t  que  sit  nidix  dc  lo;  ct  urdtnu)>o  super  rectam  .ft.h.  quadratum  .li.h.y  el  per 
punctum  .g.  prolraliam  lineam  .g.z.  equidistantem  utrique  rectarum  .b.e.f  et 
el  ducam  rectam  .tl.e,  in  punctum  .z.  ; ct  erit  tuta  superficies  .d.g.  recti  angula 
nmiiipltim  numen  .h.a.  lioc  modo  : c\  ductu  quidem  .b.a^  in  se  proucnit  tetrago- 
num el  cx  ductu  .e.b.  in  .h.g.y  hoc  est  .b.a.  in  ‘b.g.  , pruticiiit  .stipcrncies 

.€.g,x  ergi»  e\  ductu  .b.a.  in  .se,  cl  in  nidicem  dc  lo  prouenil  superficies  que 

est  iionuplum  numeri  .b.a.y  lioc  est  numeri  .d.a.x  cl  quia  .b.  posumus  {sic)  rem  esse; 
erit  ergo  cl  .tl.a.  res,  scilicet  iiulix;  ct  tota  su|rerficics  .d.g.^  cum  sit  nonuplum  nu- 
meri .r/.ri.,  cqiiabitiir  9 i*adicil)ti.s;  quare  tota  .g.a.  est  9:  dc  quibus  si  auferatur  recta 
.g.b.y  quo  i^si  nidix  dc  lo,  ifmanebit  pro  qiiesito  numero  .b.a.  9,  minus  radice  dc  lo. 

(it  si  dicatur,  quod  c.t  ductu  .a.b.^  scilicet  numeri  duti  iti  sc,  et  in  radicem  dc 
iO,  pmiieniat  nonuplum  quadrati,  quod  fit  a numero  .b.a.\  jTonam  itenim  .b.a.  rem  ; 
ct  cx  ductu  cius  in  se  prouenil  census  ,b.d. ; et  cx  ductu  .b.a.  , boc  est  .b.e.  in 
.b.g.t  que  est  radix  lO,  proucnit  radix  lo  censuum;  quia  multiplica  (»c)  radix  in  sc, 
fccil  censum;  et  radix  lu  in  se,  facit  lo  : multiplica  cigu  to  in  censum,  ct  proucnient 
10  census;  quorum  accipe  radicem,  ct  ent  radix  to  censuum,  que  est  .superficies 
ergo  census,  et  radix  decupli  ipsius  (>51  nonuplum  ipsius  cciisiis,  boc  e.sl  quod  cquaiitur 
9 censibus:  coimiititcr  $i  auferatur  census,  remanebit  radix  to  censuum,  c<[iialis  8 cen- 
.sibus,  boc  e.sl  .superficies  .e.g.  est  octuplum  tetragoni  .b.d.t  ergo  est  sicut  s ad  i, 
itu  superficies  .e.g.  ad  quadratum  sed  sicul  superficies  .g.e.  ad  quadratum  .b  d.^ 

ita  numerus  .g.b.  ad  utimcium  .b.a.  : ergo  est  sicut  8 ad  t , ita  .g.b.  ad  .b.a.  : 
sed  .b.g.  e.st  iiula.ciiiii  sit  radix  dc  lo;  ergo  si  multiplicauerimus  radicem  dc  lo  in 
f,  ct  diulserimus  per  s,  ucnient  utique  radix  de  unius  dragme  pro  numero  : 
quare  qmuIraUun  .b.d.  est  unius  dragme.  Nam  cx  ductu  .e.b.  iu  .b.g.  , scilicet 
ex  radice  de  l*  in  radicem  de  lo,  iieniiiul  radix  que  radix  est  hoc  est  dragme 
j l;  qui  denarius  * i jirociil  diiliio  occiiplum  est  dc  hoc  est  quadrati  .b.d. 

Item  est  numerus,  quo  multiplicato  iu  so,  et  in  radicem  dc  10,  proucuiutit  20:  ergo 
jier  ca,  que  dicta  sunt,  iiiuenimu.s,  si  pro  ipso  numero  |>oniinus  rem;  quare  census  , 
et  radix  to  censuum  eijuutiir  20:  ct  tunc  si  ponamus  suprascriptain  lineam,  iauenies, 
qiiud  ceiisti.s  , et  lol  radices  eius,  quot  unitates  sunt  in  radicibu.s  dc  10,  cquaiitur  so: 
quare  diuidam  rectam  .g.b.  iu  duo  equa  super  punctum  ./.;  ct  erit  recta  .l.b.  radix 
quarte  partis  de  to,  scilicet  dc  J s;  ct  toU  superficies  .d.g.  csl  20,  que  pruueuit  ex 
,d.a.  in  .u.g.,  boc  est  cx  .b.a.  iii  .g.a.x  quibus  20  si  addatur  quadratus  liiice  ././1., 
scilicet  "2,  ucuient  J 22  pro  quadrato  linee  .f.a.  : quare  si  cx  ^ auferatur  radix 
dc  I 2,  .scilicet  cx  ,/m.  tollatur  .I.b.^  remanebit  radix  dc  to  pro  numero  .b.a.*.  ergo 
tota  .g.a.  est  radix  de  40,  que  duabus  radicum  (j^/c)  de  10  cqiialur.  Nam  si  ducatur  .b.a. 
iu  sc,  proueuiunt  to;  ct  cx  ductu  .b.a.  iu  ,b.g.  proueuluiit  alia  to;  cum  una  queque 
ijksaruni  sit  radix  de  10. 


Digitized  by  Googie 


4S7 

MuUiplicaui  orrupliim  radicU  cniuMlam  nmncii  per  Iriplimi  nidicis  ipsius,  et  pro> 
iienieuti  I siininic  addidi  donarios  sa;  et  fuit  totum  illud  oqiiale  quadratu  i[isius:  pone 
siquidem  pro  ipso  numero  rem;  quaiv  pro  occupto  radicis  ijusitis  liabcinmtur  octo  ra- 
dices ipsius;  et  pro  liipto  radicis  eius  liahehtinltir  radices  3 ; et  ex  mutliplicalioiie 
octo  radicum  ipsius  in  tres  cius  ueiiiet  uigtipliim  quadruplum  ipsius  uumeri.  Kt  quia 
possumus  {sic)  ijisiim  tiuiiieiiim  esse  nnii,  uciiict  ex  dictu  imiltiplicatiuiiv;  nidices  s4;([iiilms 
si  addatur  20,  erunt  24  res,  et  denarii  so,  que  eqnaiitur  censui,  scilicet  quadratu  quesiti 
numeri:  quare  dimidia  radices,  eriitil  tx;  quibus  iti  se  ductas  {sic)^  cnint  144;  quibus 
adde  20,  erunt  1C4;  su|H>r  quorum  radice  adde  medietatem  nidicum,  et  habebis  radicem 
de  104,  et  denarios  12  pro  quesito  iiuiiiero;  qui  numerus  est  biiioiiinim  quintum.  Quod 
biiinniiiim  , si  miiUipHcaueiiniiis  per  24  , et  adilideriinus  20,  erpuiiiitur  multiplicatio- 
nis (wc)  ipsius  biiKimii  in  se. 

Et  si  dicatur:  mulliplicaui  radicem  ncciipli  cuiusdam  numeri  in  radicem  tripli  cius; 
et  prmieiiiciiti  summe  addidi  20,  et  ex  boc  toto  pirmenit  quadratum  ipsius  numeri; 
ponam  pro  ipsu  ^mncn>  lineam  cl  describam  super  ipsam  Ictmgontini  (mc) 

el  auferam  ab  eo  superficiem  que  sil  20,  remanebit  superficies  .f.g.  eqiialis  mul- 

tiplicudnni  nidicis  occiipli  numeri  Jt.g.  in  radicent  tripli  eius;  que  muUiplicatio  est 
radix  ui^mpli  quadrupli  quadrati  .b.d.:  ergo  ex  ductu  ./.e.,  boc  est  .h.g.  in 
proiicnit  numenis  inulliplicatimiis  nidicis  occupli  numeri  .A.g.  iii  radicem  tripli  eius. 
Sed  ex  multiplicatione  occupli  uumeri  .b.g,  in  triplum  eius  proueriit  uiguplmn  qua- 
druplum quadrati  ,b.d.i  quo<l  etiam  proueuit  ex  quadrato  Jf.d.  ducto  in  21.  Ouarc  si  inul- 
liplicauerimus  radicem  de  24  pro  radicem  (^<c)  quadrati  .b.d,t  scilicet  pro  numerum  (sic) 
.b,g.j  proucniet  radix  uigupii  quadrupli  quadrati  .b.d.',  quod  idem  pruuenit  ex  .e.g. 
in  .b.g.:  ergo  ^.g.  est  radix  de  24;  que  si  diuidatur  in  duo  e<pta  supra  punctum  ./1., 
erit  utique  .e.h.  radix  quarte  |>artis  de  24,  scilicet  de  o.  Et  quia  ex  ductu  ,h.e.  in 
.e.f.,  lioc  est  ex  .b.e.  in  •b.g.^  proiiciiimit  20;  quibus  si  addiderimus  quadratum  numeri 
.e./i.,  quod  est  e,  habcbielurXG  {sic)  pro  quadrato  linee  ,bJi.i  ci'go  numerus  Jt.h.  est 
radix  de  20.  Cui  si  addatur  numerus  Ji.g.t  habebitur  pro  quesito  numcni  radix  de 
20,  et  radix  de  e;  que  nomina  faciunt  biuumium  sextum;  quod  binomiiiin  in  se  multipli- 
catum faciunt  32,  et  radicem  de  024  pro  quantitate  numeri  .b.d.  i de  quibus  si  auferatur 
superficies  *b./.i  que  est  20,  reraaiieluint  pro  superficie  .f.g.  12,  cl  radicem  de  C24;  que 
etiam  Iiabcbimtur  ex  ductu  radicis  de  24  in  radices  clc  26,  et  de  6.  Nam  ex  ductu  radicis 
de  24  in  radicem  de  0 ucniuut  12  ; et  ex  radice  de  2i  in  radicem  de  20  pruuenit  radix 
de  024,  ut  opportet. 

Rvrsas  mullipiicuui  radicem  soxiipli  cuiusdam  auciis  iti  radicem  quincupli  cius,  et 
addidi  decuplum  i|Ksius  aucris,  et  denarios  i»;  et  fuerunt  licc  omnia  sicut  multipli- 
catio i|)sius  aneris  in  se  : jmnam  jiro  ipsu  aiiere  rem;  et  multiplicabo  radicem  sexupli 
eius  in  radicem  quincujdi  eius,  Iioc  est  radicem  0 rerum  in  radicem  5 rerum  , pro- 
ueniet  radix  30  censuum;  quia  cum  multiplicatur  res  iu  rem  facit  census:  ergo  cum 
multiplicatur  radix  rei  in  radicem  rei  pruuenit  radix  census  : deinde  addam  super 
radicem  30  censuum  decuplum  unius  rei,  et  denarios  20;  et  bal>c]>o  10  res,  et  radicem 
30  censium,  et  denarios  20,  que  cquatur  multiplicationi  rei  in  se  , | hoc  est  census. 
In  bac  cadit  regula  radicum,  et  numeri,  que  cquaulur  censui.  Ad  boc  itaque  demon- 


ISI 

427,  iin. 


I*  1«.  f>  g.  * (fitl. 

' . On.  14  tt  ] M| 
16-Z4}. 


r»i. 


15«  /rrr*. 


■Digitized  by  Googie 


bla»  «*l  ....  «nt»  M ( (ut. 

Ii*.  1-11». 

/ ' 


« o|tl(fl4aai  la  ....  rraiaain, 
•jaa  * (fui.  19S  n>Wa,  lia.  t9 
• 4M.  ba.  lO-Slj. 

•*  tt 


* r • <c 


M.  IM  •■frf. 


428 

strandum , adiaceat  (|uadratum  cijuilalcium  , ct  e<]uianguluin  .a.g.  » cuius  latus  est 
ct  i^nam  .b.g.  rem  ; ergo  quadratum  .a.g,  est  cqualc  radici  30  censuum,  et 
10  radicibus,  ct  20  dragmis:  quare  allidamus  a quadrato  .a.g.  supcrQcicm  rectianregu- 
lain  {sic)  M^e.t  que  sil  radix  30  censium;  cl  extra  («c)  superficie  .f.g,  auferatur  superficies 
/A..  que  sit  equa  lo  radicibu.s  census  .a.g.’,  quare  .eJi.  est  to,  remanebit  cx  toto 
qtiudrato  .a.g.  superficies  .i.g.y  que  ciit  20.  Kl  quoniam  superficies  ui.e.  est  radix  30 
oeibsium;  et  pruuenit  ex  multiplicatione  .a.b.  iu  .b.e,  } et  .a.b.  est  res,  necessario 
sequitur,  .b.e,  radicem  esse  de  30;  quia  ex  multiplicatione  rei  in  radicem  numeri  pro- 
ucait  radix  census  ; ergo  ex  iiuillipiicatione  rei  in  radicem  de  30  prouenil  radix  30 
censuum  : addamus  cigo  .b.e.  cum  .e.h.’,  ct  erit  tota  .b.h,  lo,  et  radix  de  30,  que 
est  biiiumialis  quarta;  ct  diuidamus  eam  in  duo  e<pia  ad  punctum  .c.;  ct  erit  una  quoque 
linearum  .b.e.,  ct  .c.U.  5,  ct  radix  de  \ l.  Et  quia  superficies  .i.g.  est  lo,  que  pro- 
ucnit  ex  ductu  ,iJi.  iu  .h.g.,  hoc  est  cx  .b.g.  in  .h.g.',  si  supci  lo  addamas  mul- 
tiplicationem ex  .c.h.  in  se,  que  est  ~ 32,  ct  radix  dc  750  , habebitur  pro  quadrato 
linee  .c.g.  ; 52,  cl  radix  dc  7»o:  ergo  .c.g.  est  radix  de  f 52,  et  r^icis  dc  730;  cui 
si  addamus  lineam  .c.b.,  habebitur  pro  tota  .b.g.,  scilicet  pro  quesito  aucre,  radix 
dc  I 52,  et  radicis  dc  750,  ct  denarii  5,  et  radix  denariorum  ^7;  que  omnia  sunt 
secundum  prupiiiquitalcm  circa  | 10. 

Diuisi  10  in  dua.'»  partes,  ct  multiplicam  unam  iu  aliam;  et  qno<l  prouonit  diuisi  per 
differentiam,  que  csl  inlcr  ulramquc  purtem;  et  proucuit  radix  6:  pone  po  una  illarum 
duarum  partium  rem,  ct  pro  aiia  10,  diminuta  re;  et  multiplica  unam  in  aliam,  et 
ucnient  10  res,  diminuto  censu;  que  diuidc  per  differentiain,  que  e.st  inlcr  utraroque 
partem,  scilicet  j>cr  10,  diminutis  duabus  rebus,  pruuenit  utique  radix  G.  Sed  quando 
multiplicatur  Id,  quod  proiteriil  ex  aliqua  diiiisiune,  in  diuideiUcm  luimcrum,  prouenit 
iiumcms  diuisus  semper:  ergo  si  mulliplicaucrimus  radicem  de  0 in  10,  minus  duabus 
rebus,  pruuenit  10  res  , diminuto  censu.  Sed  ex  multipUcatioiic  radicis  dc  6 in  lO  , 
minus  duabus  rebus,  piouciiit  radix  dc  coo,  diminuta  radice  21  censuum,  que  cquantur 
to  rebus,  dimiuulo  censu  : adde  ergo  utrique  parti  censum,  ct  radicem  24  censium  , 
ct  ucniet  census,  ct  radix  000,  que  cquantur  to  rcbu.s,  et  nidici  21  censuum:  in  hoc 
cquantur  radices  censui,  ct  numero;  quod  ostcmlum  in  figura:  punam  rectam  .a.b.  rem, 
et  aplicabo  ci  superficiem  rccli  angulam  .a.c.  continentem  censum  predicluro,  ct  ni' 
dicem  Goo  denariorum;  ct  quia  inuenimus,  hcc  cf|uari  10  rebus,  ct  radici  24  censuum , 
Ciit  linea  .b.e.  10,  ct  radix  24;  quia  cuin  multiplicatur  res  in  10,  et  radice  de  24  , 
proueniunt  10  res,  et  radix  24  censuum,  que  cquantur  superficiei  .«.c.,  scilicet  censui, 
ct  radici  sexcentorum  : quare  si  alisidamus  dc  sujierficic  .a.c.  quadratum  Cipiilate- 
nira,  ct  cquiangulum  .a.g.,  qui  erit  census,  remanebit  .superficies  .d.c.  radix  sexcen- 
torum; que  radix  prouenit  ex  .d.g.  in  .g.C.,  boc  est  ex  .b.g.  in  .gx.  Viidc  si  diui- 
serimus  lineam  .b.e.  iu  duo  Cf|ua  ad  punctum  .e.  , erit  multiplicatio  .b.g,  in  .gx. 
cum  quadrato  itncc  .c.g., sicut  quadratus  linee  .b.e.  Vude  si  a quadrato  linee  .b.e. 
auferatur  .superficies,  que  fit  cx  .b.g.  in  ,g.c.,  remanebit  | quadratus  linee  .g .e*:  csl 
enim  .b.e.  5,  ct  radix  6,  scilicet  medietas  10,  ct  radicis  24:  quare  ex  .b.e.  in  sc  pro- 
uencrit  3i,  et  radix  de  quibus  si  auferatur  id  quod  pruuenit  ox  .b.g.  in  .g.c., 
quod  est  radix  eoo,  remanebunt  31  pro  quadrato  linee  .gx.:  ergo  linea  .g.e.  est  radix 


Digitized  by  Googie 


4t9 

31;  que  si  auferatur  ex  .b.e^,  remanebit  .b.g.  s,  et  radix  6,  mimis  nulicc  31,  que  suiU 
res,  scilicet  una  |»arlium  de  10;  que  si  auferatur  ex  lo,  remanebunt  |n*o  alia  |»artc  9, 
et  radix  31,  minus  rudicc  de  o : quibus  duabus  partibus  insimul  multiplicatis  faciunt 
radicem  744,  minus  denariis  \t\  quia  ex  ductis  5 in  5 ueniunt  29;  et  ex  ductu  radicis 
G in  radicem  3i  additis  prouenit  una  radix  de  iso  addita  ; el  ex  ductu  radicis  e di- 
minute in  radicem  31  diminutam  prouenit  alia  radix  addita  de  iso ; et  sic  habemus 
25,  et  duas  radices  de  iss,  hoc  est  25,  et  unam  radicem  de  741:  de  quibus  si  aufe- 
ramus multiplicationem  radicis  o adite  in  radicem  6 diminutam,  et  multiplicationem 
nidicis  31  addite  in  radicem  31  diminutam,  quo  faciunt  37  Integra  , rcmaiiebit  radix 
de  744,  minus  integris  12;  mulliplicalionis  (xo.)  ucio  radicis  6 addite  in  5,  et  radices  3i 
addite  in  $ relinquimus,  opponentes  eas  multiplir^iliunibus  de  S in  radicem  31  dimi- 
nutam, et  radices  g diminute  in  5:  deinde,  si  ex  ('/V)  accc|H:rimus  din'vrcritiam,  que 
inter  utramque  partem,  que  est  2 radices  de  3!  , minus  duabus  radicibus  de  e ; el 
multiplicauenmus  eum  in  radicem  de  e,  nimirum  reddibit  radix  de  744,  diminutis  12 
dragmls;  que  ex  muiiiplioitioiic  rndkLs  de  G in  duabus  radicibus  de  6 diminutis  pro* 
ueniunt  12  diminuta. 

Item  diulsi  lo  in  duas  partes,  et  multiplicam  unam  camm  in  radice  s , et  aliam 
in  se;  el  pioicciil  quod  pmucnil  ex  multiplicatione  unius  partis  in  radicem  de  8 ex 
eo  quod  prouenit  ex  mu'tiplicalioiic  alterius  partis  in  se  ; et  remanseniiit  denarii 
40.  Pone  pro  uim  pareium  rem,  et  pro  alia  lo,  diminuta  re;  et  multiplica  rem  in  ra- 
dicem 8,  et  prouenit  radix  8 censiiira.  Kt  muIlipUca  lo,  minus  re,  in  se,  erunt  loo,  et 
census,  dimimilis  20  rabus:  abice  ergo  ex  luis  radicem  s censium,  remanebunt  40;  ergo 
radix  8 censium,  et  40  cquanUir  censui,  et  loo,  dimimilis  20  rebus:  adde  ergo  20  res 
ulrique  parti,  et  toHc  ab  utraque  parte  denarios  «o,  remanet  ccn.sus,  et  denarii  eo 
equales  20  radicibus,  et  redici  (.wc)  9 censuum:  dimidia  ci^o  radices,  erunt  lo,  et  radix 
de  2;  <}uc  multiplica  in  se,  erunt  U2,  et  radix  sou;  de  quilms  abice  6o,  que  sunt  cum 
censu,  remanebunt  42  radice  (Wc)  de  soo;  quorum  radix  ('/1)  abice  de  medietate  radicum, 
remanebunt  to,  et  radix  de  2,  diminuta  radice  de  42,  et  radicis  de  800  pro  quantitate  rei: 
residium  {sic)  quod  est  us4'ptc  in  10,  silicct  radix  de  42,  radicis  soo,  diminuta  radice  de 
2,  est  alia  pars,  que  muUiplicata  fuit  in  se.  Kt  est  licc  o|>cratio,  que  antecedentem  figu- 
ram (xic):  ucl  aliter,  pone  pro  prima  parte  rem,  el  pro  alia  10,  diminuta  re;  et  multi- 
plica rem  in  se,  el  prouenit  census,  et  lO  diminuta;  ram  multiplica  per  radicem  8,  el 
ucnict  radix  de  800,  diminuta  radice,  et  8 censuum;  super  que  adde  40,  iti  quibus  su- 
bvenit lioc,  et  erit  radix  soo,  et  40,  diminutu  radice  9 censuum,  que  equeutur  censui: 
adde  ergo  radicem  8 censuum  utiique  parti,  et  erit  census,  et  radix  8 censuum,  que 
equaiitur  denariis  40,  et  radici  de,  et  2 sic  80  (wV‘)*  In  hac  census,  et  radices  cquantur 
numero;  quod  per  rigtiram  j geometricam  demonstrare  curaiii.  Ponam  stiperllciem  .a.d. 
cqualem  censui,  et  radici  8 censuum;  et  aiifcratui-  ab  ea  census  remanebunt  su- 
perficies .e.d.  radit  8 censuum,  el  pmueiiit  ex  ductu  .g.e.  iii  ^g.d.y  et  est  res; 
quare  .g.d.  est  radix  8 denariorum:  et  quia  census,  el  radix  8 censuum,  scilicet  su- 
jvcrlicies  .a.d.,  cquantur  40  dragniis,  et  radici  soo;  ergo  superficies  .a.d.  est  40,  el  radix 
de  boo;  et  prouenit  ex  .a.b.  in  .b.d.,  lioc  est  ex  .b.g.  in  .b.d.-.  diuidalur  ergo  recta 
.g.d.  in  duo  equa  ad  punctum  cui  iacet  in  directo  recta  .b.g.\  quare  superficies 


ai*|*im«l  n4»(««  4«  • (lu.l 
IH  lip.  6 e 1-IOi  |M|. 

42».  lim.  |.7). 

tt 


19» 

, ,(ron>rtrtr«M  ....  g.tt-  • 

(fol.  199  tia.  l*Si  MK- 

4M.  lia.  S7-40N 


Digitized  by  Google 


. 199<<rr«i. 


430 

• b.g.  iu  ,b.d,t  scilicet  40,  et  radi\  de  soo,  cura  quadrato  littce  A.g.^  quod  est  s,  cquaiitur 
quadrato  linee  .b.i.i  ergo  quadratum  .b.i.  est  42,  et  radix  soo:  quare  .b.i.  est  radix 
do  42,  et  nidicis  soo;  de  qua  si  aufenitur  recta  que  est  radix  de  2,  remanebunt 

pro  recta  -b.g.^  scilicet  pro  re,  radix  de  42,  et  radicis  aoo,  ininus  radice  de  2 , ut 
))cr  alium  modum  iiiuenimus. 

Item  dittisi  lO  ia  duas  ]>artes,  et  niiiUipliraui  unam  caiiira  in  radicem  de  lo  , et 
aliam  in  se;  et  que  prniicnciunl,  fiiermit  Cfpialia:  ponam  unam  duarum  pailiiim  rem, 
et  aliam  lo,  minus  re;  et  niulliplicabo  rem  in  radicem  de  lo  , et  proueiiit  ladix  1Q 
censuum;  cl  ex  lO,  minus  re  in  se  prouenil  census,  et  denarii  lou,  minus  20  it1>us, 
i|ue  cquanlur  radici  10  rensuum:  quare  adde  utrique  ]>arti  20  res,  erunt  20  res,  et  radix 
10  rensuuni  cqiialcs  censui,  et  denariis  100:  dimidia  ergo  radices,  et  erunt  10,  et  radix  de 
^2;  que  niuUi])iicu  in  se,  erunt  | 102,  et  radix  1000  denariorum;  de  quibus  abicc  100, 
lemaneluml  ^ s,  el  radix  1000  denariorum;  quorum  radicem  abire  ex  10,  et  ex  radice  4 St 
rcninnebimt  pro  prima  {tarte  10,  et  indix  de  * s,  minus  radice  de  et  radix  ra- 
dicis loon  denariorum:  quare  secunda  pars  erit  radix  de  | 2,  et  radicis  1000  denariorum, 
diminuta  radice  denariorum  ^ quum  partem  iiiiieiiicmus  aliter:  uidclicet  nmiliplicalxi 
rem  iii  se,  et  iienict  census;  et  ex  10,  minus  re,  in  radicem  de  10,  ucniet  radix  de  1000, 
diminuta  radice  10  censuum.  Kt  sic  census  cquatur  radici  1000  denariorum,  diminuta 
radice  10  censuum:  abice  utriqiic  parii  indicem  10  censuum,  erit  census,  et  radix  10 
censuum,  equales  radici  unio  denariorum:  diiiiidiu  cigo  radicem  10  denariorum,  et  ueniet 
mdix  de  I 2 ; quam  multiplica  in  se  , et  ucnient  denarii  >2;  quos  adde  cum  radice 
de  1000,  et  abice  ex  eorum  radice  radicem  do  | 2 , remanebit  radis  de  ^ et  radix 
radicis  toao  denariorum,  diminuta  radice  de  4 2,  pro  secunda  parte,  ut  per  alium  modum 
iiiiicnimtis. 

Super  qiuKldam  aucre  addidi  denarios  10;  et  qtiml  prouenit,  muhiplicaui  in  radicem 
de  5;  quorum  accepit  radicem;  et  fuit  sicut  uuere  prcdictum  : ponam  pro  i|Kto  aucre 
rem,  cui  addidi  10;  et  fuit  qiind  prouenit  res,  et  denarii  10;  que  multiplicata  in  radi> 
cem  de  5,  faciunt  radicem  $ censuum,  et  radicem  500  denariorum;  quorum  nidix  e^jualur 
res:  multiplica  ergo  mii  in  se,  et  prouenit  census;  et  muUiplira  radicem  radicis  5 
censuum,  et  radicis  500  denariorum,  que  cquaiitur  censui;  et  sic  census  equatitr  radi- 
cibus, et  numerorum  (wc):  dimidia  ergo  radices, ucniet  radix  de  4 <;  quam  multiplica  iii 
se,  et  ucniet  denarios  {sic)  4 t;  qoc  adde  cum  nidico  de  soo,  erunt  1 1,  et  radix  de  500; 
super  quorum  radice  adde  nidicem  de  1,  et  habebis  pro  quantitate  rei,  scilicet  pro  ijuuii- 
tilate  quesiti  aucrts,  radicem  nidicis  de  500,  et  de  denario  { 1,  et  i-adicem  de  denario  j i . 

luter  duas  ((uantitates,  quarum  viia  est  maior,  altera  est  s ; et  muiliplicaui  ma- 
iorem quanlilalcm  iii  decuplum  eius;  et  cius  quod  prouenit,  accepi  radicem;  et  fuit 
sicut  miiliiplicalio  minoris  quantitatis  in  se:  | pone  pi*o  maiori  quantitate  rem,  et  minor 
quantilas  erit  res,  diminutis  sdragmis;  et  multiplica  rem  in  decuplum  cius,  et  ueiiient 
10  census;  de  quibus  accipe  nidicem,  et  erit  radix  10  cciisuttra;  et  multiplica  icm,  di- 
minutis 5,  in  se,  prouenerunl  census,  et  dmgme  25,  diminutis  10  rebus,  que  crpiuiitur 
radici  10  censuum:  adde  ergo  r(*s  utrique  ]>arti,  et  erunt  census,  et  25  dragme  cqiiales 
10  radicibus,  et  radici  to  censuum;  el  sic  census,  et  numerus  cquantur  radicibus: 
dimidia  ergo  radices,  el  erunt  s,  et  radix  de  4 2;  que  multiplica  in  se,  et  erunt  49, 


Digitized  by  Googie 


431 

cl  radix  dc  250;  dc  rjiiihii*;  abice  25»  que  sunt  cum  sensu  (r/c),  remanebunt  J s , c( 
radix  de  S50  ; super  quorum  radice  adde  medietatem  radicum  5»  et  radix  de  ^ 2,  miiil 
s,  ct  radix  dc  | i,  ct  radix  radicis  dc  2S0»  et  dra^martim  j 2 pio  quantitate  rei»  scilicet 
maioris  quantitatis  ; dc  quibus  si  auferantur  5,  lial>e!utur  minor  quantitas. 

Item  sunt  duo  uumeri,  quorum  unus  excedit  alterum  iii  s;  et  multipliraui  maiorem 
eorum  in  radicem  dc  h»  ct  minorem  in  radicem  dc  lO;  cl  que  proiicnerunt,  fuerunt 
equalia:  pone  pro  minuri  numero  reni»  et  maior  erit  res,  cl  denarii  S:  diic  ergo  rem  iii 
radicem  de  lo,  pruuenit  radis  lo  censuum:  et  multiplica  rem,  ct  denarios  s in  radicem 
dc  s,  ucniet  radix  8 censuum,  el  radix  denariorum  2oo,  que  cquaritur  radici  lo  cen- 
suum. Abicc  ergo  ab  utroque  (f/c)  parte  ladiccin  8 censuum;  ct  erit  «ulix  io  censuum, 
diminuta  radice  8 censuum,  etpialU  radici  2qo  denariorum.  Multiplica  ergo  radicem  200  in 
se,  ucnieiit  denarii  2uo;  et  multiplica  radicem  ta  censuum,  diminuta  radice  8 censuum, 
in  se,  ciunt  1$ census,  dimimila  radice  320  censuum  census.  Verbi  gratia:  sit  quantitas 
,a,b.  radix  10  censuum;  ct  atifenitur  ab  ea  quantitas  .c.Z^.t  que  .sit  radix  8 censuum, 
remanebit  qiiaiilitiis  «piam  tiolumus  multiplicare  in  sc  : el  (|uoniam  quantitas 

M.b.  diiiisa  est  ut  libet  in  duo  ad  punctum  .c.,  erunt  «;*.udrat:i  quantitatum  .a.b., 
et  ,c,b,  C({ualia  duplo  superficiei  x.b.  iu  .a.b.^  ct  «piadralo  quantitatis  mx.x  quare 
.si  ex  «{uadratis  quaiititalum  .a.b.  et  .c.b.  auferatur  diiplrm  supcrllciei  cx  .c.b.  in 
.a.b.t  remanebit  <|uadrulum  quantitatis  m.c-}  proiieuiunt  enim  10  census  ex  .«x.Zr.  iii 
se,  et  cx  .c,b.  iii  se  proiieuiunt  8 census;  et  sic  pro  «piadralis  quantitatum  .a.b.^  ct 
.c.b.  habentur  18  census;  dc  quibus  si  auferamus  duplum  siipeificiei  ex  .c.b.  in  .a.b.  ^ 
quod  est  radix  320  censuum  census,  remanebunt  pro  quadrato  quaiililatis  .a.c.  I8  census, 
diminuta  radice  320  cciisSnum  census,  ut  dictum  est.  Nam  cx  .b.c.  iii  .a.b.^  liuc  est 
cx  radice  8 censuum  ia  radicem  to  censuum,  pnmenit  radix  so  censuum  census;  cuius 
duplum  sunt  duc  radices  bo  censuum  census.  Fx  (5/c)  duc  radices  90  censuum  census  sunt 
una  radix  dc  3X0  ceiisuuiu  census:  ct  «]uia  radix  10  censuum,  diminuta  radice  s cen- 
suum, cquatur  radici  200  denariorum;  ct  eorum  «piudnita  similiter  sibi  ituticem  eqiia- 
liuntur;  quare  IB  ccusus,  ct  radix  320  censuum  ccnsiis  etpiantur  200  denariis,  beduc 
ergo  liec  omnia  ad  censum  unum  ; et  illud  est  , vt  multiplices  ea  |>er  J 4 , ct  per 
radicem  dc  20.  Nam  ex  muUiplicatioiic  de  ^4,  et  radicis  dc  20  in  I8  census,  diminuta 
radice  3xo  censuum  census,  pmiicnit  census,  ut  inferius  d«’monstralH).  Ft  cx  multipH- 
calimic  , 4,  et  ra|dicis  20  in  denarios  200  pmueiiiuiit  900,  et  radix  souooo;  ergo  census 
equatiir  denariis  ouo,  et  radici  8OOOOO;  quorum  radix,  <|ue  est  20,  et  radix  de  500  erit 
res,  hoc  est  iniiior  numci-us;  cui  si  addantur  s,  habebunt  pro  maiori  numero  25,  ct 
radix  500  denariorum. 

Modus  autem  inucniendi  radice  (riic)  dc  !Xio,  ct  radicis  soaooo  c.st  ut  dc  quadrato  me- 
dietatis 900,  quod  est  2020500,  auferas  quartam  dc  8OO000  , remanebunt  *2S00 ; quorum 
radicem,  que  est  50,  adde  su{>cr  450,  scilicet  sii|ter  medietate  de  300  , erunt  500  ; cl 
dc  4500  abicc  400;  ct  accipe  radicem  de  500,  ct  dc  400,  cl  uenient  20,  cl  radix  dc  soo, 
ut  pro  primo  numero  iiuientum  est.  Et  si  uis  scire  modum  redicendi  (s/c)  I8  census, 
el  i-ndircm  320  censuum  census  ad  iiiuim  censum  ; considera  «jiiod  «|uando  aliquod 

Prc&su  ia  ftfoira  cuolcnula  ncl  margine  laterale  estemo  ddla  presente  carta  199  rerao  dei  Codice  .VIaglia- 
becliianu  C.  1.  2G10,  a sinistra  della  linea  d r si  icgge:  < ^ secundi  •. 


I V»rlii  ■ - ■ ■ t 

<«••1.  199  Im.  Xl|  P«|. 

4)1.  kn.  13«  14). 


r«l.  tVV  iTc«#. 


Digitized  by  Googie 


itii|ann<  «nl  « { fn| 

tM  rrtU  , Hn.  i7  t tS-IZ  | 
f»g.  4}2.  Ui. 

« A e 


(i»i.  SOD  rr/-*». 


4ns 

recLsuni  multiplicatur  in  smim  hiiiomium,  uel  quando  multiplicatur  hinomium  aliquod 
in  suum  recisum,  egreditur  inde  numerus  ratiocinatus  : dicimus  enim,  recisum  <8, 
minus  radice  320,  cuius  biuomium  est  is,  et  radix  32i)  j quibus  insimul  multiplicatis 
faciunt  4;  quia  ex  ductu  ta  in  se  ucniunt  324  addita;  et  ex  ducta  radice  320  addita 
iii  radicem  32o  diminulani  ucniunt  320  diminuta;  quibus  cxtraciis  de  324  remanent  4 
addita,  vt  diximus.  Eodemque  modo,  si  muUiplicauinuis  is  census,  minus  radice  320 
censuum  census,  in  suum  biuomium,  scilicet  in  13  census,  el  radicem  320  censium  (s/c) 
census,  cgredicniiir  inde  4 censuum  census.  Vnde  si  diuiscrimus  13  census,  et  radicem 
320  censuum  census  per  4;  et  quod  prouencrit  muhijilicaueiimus  in  is  census,  minus 
radice  320,  proiicnict  unus  census;  et  quod  proucnent.  scilicet  IS,  et  radicem  310  mul- 
tiplicauc*imus  in  is  census,  diminuta  radice  320  censuum  census,  egredientur  inde  4 
census  tantum  quare  si  muUiplicaucriniiis  is  census,  minus  radice  320  censuum  census, 
in  qiiarlam  de  18,  et  radicis  320,  scilicet  in  ~ 4,  et  in  radicem  de  20,  nimirum  unus 
census  proucuici;  et  Iioc  quod  uolui  demonstrare. 

['ossuimis  aliter  ad  soluiioiicm  huius  qursliuuis  uenire.  Sed  sunt  quodam  plus  demon- 
stranda, uidciicei  com  '‘ncriiU  Ci*cs  quantitates  continue  proportionales  in  ea,  quam  habet 
aliqua  alia  data  quantitas  ad  aUara  quantitatem;  ent  raultipUeatio  minoris  quantitatis 
illarum  dttarum  quantitalum  ia  conitinclum  medie,  et  maioris  illarum  trium  quantita- 
tum, sicut  nuiltiplicalio  maioris,  erunt  carumdem  duarum  quantitatum  in  coniunctum 
eiusdem  medie,  et  minoris  illarum  trium  quantitatum.  Verbi  gratia:  sint  tres  quantitates 
,a.h,c.  conliuiic  projwrtionalcs  in  ea  quam  habet  quantitas  .d.  ad  quantitatem  .e.;  et 
sit  M.  minor  quam  .e,\  el  sil  sicut  .d.  ad  .f.,  ila  ,a.  ad  .6.,  et  .b.  ad  .e.:  dico,  quod 
factum  ex  .t/.  in  quantitates  est  sicut  facium  ex  .e.  in  quantitates  qnod  sic 

prolmtur:  quoniam  est  sicut  .a.  ad  ila  ^b.  ad  .e.;  erit  coniunctum  sicut  .a,  el  ,b. 
ad  .b.f  ita  .b.  et  .e.  ad  permutatim  ergo  erit  sicut  quantitates  ,a.b>  ad  quantitates 
.bx.f  Ila  .b.  ad  xr,  sed  .sicut  J).  ad  .e.,  ita  .d.  ad  .e.:  ergo  sicut  d.  ad  .e.,  ita  quanti- 
tates .a.b.  ad  qu.inlilaics  .b  r : quare  multiplicatio  ut.  coniunctimex  quantitatibus  .b.c. 
e (liatur  muUiplicalioni  quantitatis  .e.  ia  coniunctum  quantitatum  .a.b.y  ut  predixi: 
quibus  intellectis,  redinm  ad  questionem  suprascriptam;  et' ponam  .r/.  radix  de  8,  et  .ۥ 
radix  de  10;  et  sit  8,  el  Ji.  sit  10;  et  esto  sicut  ad  ita  .a.  ad  .e.;  et  sit 
X.  quinque  plusqtiam  .n.\  el  |>on.im  inter  numeros  ././/.  numerum  .g.  medium  in  pro- 
portione, et  numerum  ,h.  inter  numeros  ./i.c.t  dico  pro  primum  (r^),  numeros 
pro|)orlionalcs  esse  in  ipsa,  | quam  lialiet  quantitas  ut.  nd  quantitatem  .e.;  quoniam  .d. 
se  ipsam  multiplicans,  nimicrum  .f.  fecit,  et  x.  se  i|)$am  multiplicans,  numerum  di. 
fecit:  et  posita  est  .g.  quantitas  inter  numeros  .f.h.  in  proportione  media;  ejuare  est 
sicut  .d.  ad  .e.,  ita  /-  ad  .g.,  et  .g.  ad  .A.;  el  est  sicut  ad  7t.,  ila  .h.a.  ad 
.e.:  sed  sicut  ,f.  ad  .A.,  ita  quadratum,  quod  est  a numero  ad  quadratum,  quod 
est  a numero  .g.,  siculi  in  geometria  patet;  est  enim  similiter  sicut  .<1.  ad  x.,  hoc 
est  sicut  prima  ad  tcrciara,  ita  quadratum,  quod  est  a prima  .a.,  ad  quadratum,  quod 
est  a secunda  .b.:  ergo  quia  est  sicut  .f.  ad  .A.,  ita  .a.  ad  .e.  erit  sicut  quadratum, 
quod  est  ab  ./1,  ad  quadratum,  quml  est  a numero  .g.,  ita  quadratum,  quod  est  ab  .n.,  ad 
quadratum,  quod  est  «1  numero  .A.:  quare  erit  sicut  .f.  ad  .g.,  ita  x.  ad  .A.;  sed  .f. 
ad  .g.  est  sicut  ut.  ad  .e.;  ergo  est  sicut  .d.  ad  .e.,  ila  .tt.  ad  .A.;  sed  est  sicut  .a. 


Digitized  by  Googie 


433 

a<l  ./p.y  ita  .b.  ad  .c.;  ergo  est  sicut  .tl.  nd  .e.»  itu  .a.  ad  .b.^  ct  .b.  nd  .c.:  (tii- 
nicri  ergo  .a>b.c.  ciimtinui  sunt  ia  pmportione,  quam  lial>et  quantitas  .d.  ad  quan- 
titatem .e.',  quare  multiplicatio  ck  .d.  iu  numeros  .i&.c.  et  (jfc)  sicut  multiplicatio  ,c. 
in  numeros  ,a.b.y  ut  superius  demonstratum  est.  Sed  qualiter  inueniaiitur  numeri  .a.b.^ 
demonstrare  uolo  : quoniam  csl  sicut  ad  .4.,  itu  .a.  nd  ,c.\  et  M.  superat  nu- 
merum in  9;  et  mmirrtis  ,c.  numerum  .a.  in  5 : est  sicut  9 ad  s,  ita  ad 
cl  ita  ,b.  ad  .c.  : qimre  si  mulliplicaiicris  numems  .f.h.  per  5,  scilicet  8,  et  10; 
cl  summas,  que  sunt  to  ct  s«,  diulseiis  per  9,  haludiis  9'i  pnt  numero  .a.^  ct  93  pm 
numero  .c.:  et  quia  numeri  .n.b.c.  continue  proportionales  sunt,  erunt  multiplicatio 
numeri  ,a.  in  immcrnm  .c.,  que  est  SOD,  sicut  imilliplicalio  numeri  .b.  in  sc:  quare 
iiuinenis  .b.  est  radix  dc  30o;  ct  sic  imienimus,  primum  numerum  esse  to,  cl  radix 
de  500>  et  secundus  numerus  addit  5 super  i|isuni,  ct  est  25,  et  radix  de  500,  ut  per 
alium  modum  inucnimus  ; ct  notandum,  quini  si  radices  .r/.e.  sibi  iuuicem  commensu- 
rabiles essent,  ila  quod  proportio  quadrati  radicis  .d.  ad  quadratum  radices  (x/c)  -C.  • iiw 

esset  sicut  proportio  quadrati  numeri  ad  quadratum  numerum;  essent  itaque  numeri  U • n,-  ’ * 

.a.b.  sibi  inuicem  commensurabiles;  et  coniunctum  ex  cis  faceret  mimerum  rationatnm.  ‘ 

Verbi  gratia:  sic  (sic)  .d.  radix  dc  2,  et  .c.  radix  dc  8,  qiii  sunt  quadrati  radicum 
de  .d.e.  : est  enim  proportio  dc  2 ad  8 sicul  proportio  quadrati  numeri  4 a<l  qua- 
dratum numerum  16. 

Et  quia  uolnmiis  inucnire  duos  numeros,  quorum  umis  excedat  alterum  iu  3;  ct  * w *# »ti  * 1'*^' 

sil  niullijilicalio  maioris  coiiim  in  radice  de  t , sicut  multiplicatio  iiiiiioiis  in  radi-  **  * 

cem  dc  8;  iniilliplicabinms  9,  ct  8,  que  sunt  quadrati  radicum  .r/.e.,  per  5 predicla;  — " — — r — 

et  diiiidemus  que  proueiicrint  per  6,  que  sunt  diQerentiam  (vic),  que  csl  inter  8 et  2,  | t 3 | 6 

et  lial>cl>inuis  pio  numero  m.  | 1,  ct  pro  numero  .c.  balicbimus  | c:  quare  numerus 
.b.j  qui  est  medius  inter  utrumque,  est  duplum  dc  | 1,  scilicet  3;  cuius  etiam  tcr- 
cius  numerus,  scilicet  | 0 , duplus  ciislit.  Vmlc  addamus  numeros  .a.b.  in  nnnm  , 
habebimus  3 pro  minori  numero;  et  si  addamus  niimeixis  .b.c.  simul,  scilicet  * 3,  et 
f 6 , facient  10  pro  maiori  numen).  Kl  est  pro]>ortio  coniuuctmiim  .a.b.  ad  cumiun- 
ctos  .b.c.y  hoc  est  ad  ip,  sicut  proportio  .d.  ad  .e. : est  enim  radix  de  2 medietas 
radicis  dc  8;  et  s similiter  sunt  medietas  dc  to;  et  sic  iu  similibus  studeas  operari. 

Mvltiplicaui  quodam  auere  ia  duplum  cius,  ct  radici  uenienlis  summe  addidit  2;  et 
illud  tutum  mulliplicaui  per  uuere  prcdiclum,  et  pruuencniiit  indo  denarii  20:  pone 
pro  ipso  auere  rem;  et  nniUiplica  eam  in  duplum  eius,  et  ucnieiit  duo  ceusus;  quorum 
raddici  adde  S,  et  bal>e])is  radicem  duorum  censuum,  et  denarios  2;  que  multiplica 
per  rem,  ct  pruueniet  radix  diioniiu  ceiisuum  census,  | et  due  res,  que  cquantur  denariis  M.  «m 
30  : redige  ergo  radicem  duutiim  ccasuura  census  ud  censum  vmim  ; ct  hoc  est,  ut 
mulliplkcs  illud  per  radicem  de  Quia  cum  niultiplicutur  radix  duorum  censuum 
census  per  radicem  duorum  censuum  census,  proiieiiiunt  duo  census  censuum.  Viidc 
si  diuiserimus  radicem  duorum  censuum  census  per  censum,  uonict  utique  radix  de 
2:  iu  qua  si  luuUiplicauerimtis  radicem  diclumm  censuum  census,  cgrediciilur  inde  duo 
census  tantum:  quare  si  multiplicaucrimus  radicem  duorum  censuum  census  per  me- 
dietatem radicis  dc  2,  hoc  est  per  radicem  dc  ueiiict  inde  unus  census,  ut  diximus;  ct 
propter  (sfc)  multiplica  similiter  duas  res  per  radicem  dc  veniet  radix  duorum  cen- 

33 


Digitized  by  Googie 


iwr  • ( Ul.  tOi  tteto  . 
33-U.  i>4t.  U4.  ItD.  33  > 
A 


434 

■suuini  ct  sic  liabehis  censum,  et  radicem  duunim  censuum,  <juc  equantur  imillipUca- 
tioni  dc  30  in  radicem  dc  que  muItipUcatto  est  radix  dc  450}  ct  sic  in  )iac  questione 
census, ct  radices  equantur  numeru;  dimidia  ergo  radices,  ucniei  mdix  medietatis  denarii; 
quam  multiplica  iii  se,  ucnict  quam  adde  cum  radice  dc  4M,  et  habebis  pro  quesito 
auere  radicem  dc  430,  ct  medietatem  unius  dcnariorum:dc  quonim  radice  extrabe  radicem 
dc  remanebit  radix  radicis  450,  et  medietatis  denarii,  diminuta  inde  radice  ^ unius 
integri.  Et  uolnitdiim.  ({uia  rpiandu  diuiditur  radix  aliquot  censuum  cettsus  per  censum, 
non  est  aliud  nisi  diiiidcTC  numerum  per  numerum;  ct  cum  diuiditur  radit  numeri 
per  numerum  , tunc  diuidendus  est  nuinenis , cuius  radix  diuiditur  per  quadratum 
mimeri,  tn  quo  radit  diuidetur.  Verbi  gratia:  uolumus  diuidere  radicem  de  32  per  4; 
hic  diuidniida  sunt  32  per  quadratum  dc  4;  ct  radix  cius  qutKl  proucnit,  scilicet  de 
2,  est  id  quod  pruucnil  ct  diuLsionc:  eodemqtie  modo  ct  cum  diuidimus  radicem  duorum 
censuum  census  pt*r  censum,  tunc  diuidimus  duos  census  census  per  censum  census;  el 
mdit  cius,  quixl  prmiciicrit,  scilicet  de  2,  est  illud  quod  proucnit  ex  diuissione,  ut  di- 
ximus. Item  cum  multipliraliir  radit  alicuius  numeri  jier  rem,  aut  per  res,  est  sicut 
multiplicare  radicem  niirncri  per  numerum:  sed  cum  multiplicatur  radit  numeri  per 
iiumeriim,  cum  iiiultiplicatur  «jiiadratiim  radicis  [ler  quadratum  numeri,  et  radit  cius 
quod  proucnit,  est  id  quod  queratur.  Verbi  gratia:  cum  uolumus  multiplicare  radicem 
s per  4,  mulli  plicamus  h per  tc;  ct  rudit  ucriientis  summe,  scilicet  dc  i2s,  est  summa 
quesite  imilliplicutiuiiis:  similiter  cum  multiplicamus  res  |>er  radicem  numeri,  debemus 
ipsas  res  inultiplicara  in  se,  cl  illud  quod  pruueiiit  multiplicare  per  numerum  radicis, 
ct  prouenientis  summe  radicem  accipere;  ct  ideo  cum  mulliplicaulmus  superius  duas  res 
in  radicem  de  iiitellcximus  nmUiplicationLMn  duarum  rerum  in.se,  de  qua  pruueniunt 
4 census:  quibus  ductis  in  1,  ucniutit  duo  census;  radicem  quorum  diximus  pruuenire  cx 
ipsa  imiltiplicalioiie. 

Diuisi  10  in  duas  partes,  ct  diulsi  maiorem  per  minorem,  ct  minorcin  per  maiorem; 
et  agiegaui  ea  , qiic  proucncrunt  cx  diuisione  , et  fuerunt  radit  5 denariorum  : sit 
iiiia  ipsarum  partium  .n.  , reliqua  sit  .b.  ; ct  diuidatur  .b.  per  .n.  , ct  pruueniet 
ct  .a.  per  et  prmiciiit  .f/.r.:  dico  primum,  quod  multiplicatio  .a.  in  .b. 
pirxlucta  in  .g.r.  est  cqualis  duobus  quadratis  numerorum  ui.b,-,  exemplumque:  cum 
diuiditur  .b.  per  .^i.,  pruueiiit  .g.r/.;  si  nuillipricatur  .g.e/.  iii  proucnit  .Z>.;  ergo 
si  multiplicatio  .g.r/.  in  .a.  ducatur  in  .b.,  erit  sicut  >b.  in  sc.  Uursus,  quia  cum 
diuiditur  ,a.  jier  ./i.,  proucnit  .r/.e.;  ergo  si  multiplicatur  .r/.e.  tii  .b.y  prouciiil.n.: 
quare  si  multiplicatio  .d.e.  iii  .b.  ducatur  in  .n.,  prouciiiet  sicut  .a,  ducta  in  se  : 
proptcrca  si  ducitur  .n.  in  .b.y  ct  illud  quod  proueuit,  duccalur  in  -g.e.,  erit  sicut 
cumiunctuin  quadratorum  | iiiimeroitim  .a.b.i  et  quia  ita  est;  pro  .a.  pone  rem,  renia- 
nebiiiil  pro  .6.10,  mitius  re:  et  duc  m.  in  se,  ucnit  census;  ct  to,  minus  re,  in  se, 
ucnil  100,  ct  census,  diminutis  20  itibus;  que  adde  cum  censu  , emnt  2 ce  ustis  , cl 
denarii  loo  , diminutis  20  rebus  : deinde  muUi]ilica  .a.  iit  .h.  , .scilicet  rem  in  lO  , 
minus  rc,  exibunt  lO  res,  diminutu  rcrisu;  qiiixl  totum  raulliplica  |>cr  .g.f.;  quam  quan* 
titatem  pussiiiraus  radicem  esse  s denariorum,  que  ueniel  radit  5oo  censuum,  diminuta 
radice  $ censuum  census,  que  equantur  2 constlms,  et  loo  denariis,  diminutis  lo  rcbu.s. 
Uestaura  ergo  20  res,  ct  radicem  s censuum  census  utrique  parti,  crj.it  radix  s censuum 


Digitized  by  Googie 


435 

ccasus,  cl  8 census,  et  denarii  loo  eqiiales  so  rebus,  et  nidici  soo  censuum:  i^cdigc  Iic>‘ 
omnia  ad  censum  unum,  lioc  est  ut  muUi|)lkes  hec  omnia  per  radicem  de  5,  diminutis 
2 denariis:  nam  cx  multiplicatione  radicis  5 censuum  census,  cl  duorum  censuum  in 
radicem  5,  diminutis  2,  prouenit  census;  quia  cum  multiplicatur  radix  S,  et  denarii  2 
iit  radicem  de  5,  mimis  2,  et  prouenit  i;  ct  cx  miilUpiicatiunc  lao  tii  nidicem  de  S, 
mirius  2,  prouenit  radix  50000,  diminutis  200  denariis:  et  cx  multiplicatione  20  n‘rum, 
ct  radicis  500  ccnsiiuiii  iii  radicem  S,  minus  denariis  2,  ueniuiit  iO  res  tantum;  quia 
ct  ex  miiUipUcalumc  iridicis  s in  radicem  500  censuum  prouenit  radix  25oo  ccnstiiim  , 
scilicet  50  res ; et  cx  multiplicatione  2 diniiiiiiturum  in  20  res  proucniniit  4u  res  di- 
minute ; quibus  extractis  de  50  rebus  minio  imieritis  , remanet  10  res.  Multiplicatio 
i{uidom  20  rerum  in  radimn  de  5,  que  est  addita,  rclitiqiiimiis,  cum  sit  equalis  mul- 
tiplicationi radicis  soo  censuum  iu  2 diminuta:  ct  sic  cx  multiplicatione  20  rerum  , 
et  radicis  500  censuum  in  radicem  s,  mimis  2,  proucniuiit  to  res  tanluui,  que  equaiilur 
uni  censui,  et  mdici  soouo,  minus  20«;  et  sic  radices  cquantur  censui,  ct  numero:  ct 
nos  ponamus  hec  in  figura;  ut  que  dicere  uolumus  clarius  videantur,  sit  superficiei 
recti  angule  latus  .a.b.  cqualc  rei;  ct  .b.c.  sit  lO;  et  sic  su|>crfirics  .n.c.  ctmtincbit 
10  res:  cl  quiu  10  res  cquantur  uni  censui,  ct  radici  50000,  minus  200;  auferamus  a 
superficie  .a.c.  quadratum  .a.e.  , quod  sit  census,  remanebit  ex  sujverficie  .o.c.  su- 
perficies que  est  radix  50000,  mitius  2000,  que  prouenit  cx  .f.e.  in  .e.c.,  idesl 

ex  .b.e>  in  ct  diuidatur  linea  .b.c^  in  duo  eijua  ad  punctum  .r/.,  ct  erit  linea 

.bx.f  que  est  diuisa  in  duo  cqiialia  iu  punctum  .r/.,  ct  in  duo  inctjualia  ad  punctum 
quare  si  cx  tpiadrato  numeri  .b.d.y  quod  est  2S,  auferamus  multiplicationem  ex 
.b.e.  in  que  est  radix  50000,  minus  200,  remanebunt  225,  diminuta  radice  50000,  pro 
quadrato  numeri  .d.e.i  quare  si  radix  cius  auferatur,  que  est  numerus  .d.e.i  ex  .b.d., 
hoc  est  cx  5,  remanebunt  pro  nuineru  .b.e.  5,  minus  radice  difrerentie,  que  est  inter 
225,  et  radicem  soooo;  et  liec  sunt  una  res,  scilicet  una  duarum  partium  de  10:  reliqua 
uero  est  numerus  .e.c. , qui  est  5,  et  radix  dilTerentie,  qiic  est  inter  radicem  dc  50000, 
et  radicem  dc  823. 

tt  si  uis  inucniix:  radicem  de  225  , minus  nidice  de  soooo ; multiplica  22S  iu  se  , 
erunt  50025;  dc  quibus  abire  50000,  remanet  625;  quorum  radix,  que  est  23,  dimidia, 
ueiiiont  { 12;  que  abice  ex  medielate  dc  225,  que  est  * 112,  remanebunt  ioo:  cl  adde  | 12 
super  \ 112,  erunt  125;  de  quibus  duabus  {sic)  numeris  radices  amj)e,  ct  minorem  dc 
maiori  extrahe,  remanebit  radix  ile  125,  minus  10,  pro  radice  dc  225,  diminuta  radice  | 
50000,  que  est  numerus  ,e.d.  : cui  si  addamus  .r/.c.  , scilicet  s , habebitur  pro  tota 
.e.c-  radix  dc  <25,  minus  s,  que  sunt  maior  pars:  et  si  extraxerimus  .e.d.  cx  .b.d., 
scilicet  radix  dc  125,  minus  10  dc  5,  remanebunt  pro  minori  parte,  scilicet  pro  numero 
.b.c.i  fS,  minus  radice  de  125. 

1’ossumus  enim  aliter  soitilionem  eiusdem  questionis  inuenire;  ct  est  ut  ponas  unam 
duarum  partium  rem,  aliam  uero  <o,  mimis  re;  et  cx  diuissione  10,  minus  re  in  rem, 
x*eniat  denarius;  quare  ex  diuissione  rei  in  fO,  minus  re,  ucnit  radix  5,  diminuto  denario: 
ct  quia  cum  diiiiditur  10  minus  re  per  rem  , pmucnit  denarius  ; si  multiplicabitur 
denarius  in  rem,  iienient  utique  10  minus  re;  quia  scnpcr  cum  multiplicatur  numerus 
diuidens  per  exeuntem,  prouenit  ditilsus:  similiter,  quia  eum  diiiiditur  res  per  10,  minus 


lil  et  Hi|KfS- 

ne  • iM.  «tl  erri»  . ti»  21 
ii-,  {..g.  4X8.  liR.  IX  U;. 


0.1.  2tti  rerf-*. 


Digitized  by  Google 


E 4 ....  aMilli|>li|rjl»  » 

>r<il.  m rrrf*.  liH.  31.  $3  e 

M;  r*i-  <<  :»)• 

<1  3 

C • 


r.i. 


202  rtrn. 


4l|utJpBllt.  ...  JlMtlitlUr  -f  ,|p.» 

<02  r#r««,  Ii».  tO,  11. 
t<  t 13;  |WK.  4l6,  li«.  i|  — 
437,  i...  I). 

• 


43C 

rc,  prouciiil  radix  s,  diiuiuulo  denario;  .si  muUiplicaucris  radicem  j,  miniLS  denario, 
in  (0  miriu.s  rCt  pruuenit  inde  rc.s:  .sed  ex  multiplicaliono  radicis  5,  miiuis  deiiario,  in 
10  muius  rc,  proucniuiit  lo,  et  radix  500,  diminuta  radice  5 censuum,  et  re  lO;  que 
multiplicatio  sic  Hl:  multiplicatur  primum  radii  5 per  lO,  et  proucnit  radix  .soo  addita; 
et  nidix  s iti  rc  diminuta  pruuenit  radix  5 censuum  diminuta;  et  denarius  dimiuutu.s 
in  10  addita  prouciiiunt  lo  denarii  diminuti ; et  ex  multiplicatione  denarii  diminuti 
iii  rem  diminutum  prouciiiunt  10  addita,  diminuta  re:  et  sic  pro  multiplicatione  radici-s 
5,  diminuto  denario,  in  lo  minus  re,  proucnit  radix  soo,  et  denarii  lo  minus  re,  et 
radicis  5 censuum,  ct  denarii  lo,  que  eqnuiilur  rei:  adde  ergo  utrique  p,irti  lo  denarios, 
et  tolle  ali  utraqiic  parte  rem,  ct  erunt  lo,  ct  radix  soo,  diminutis  duabins  rebus,  ct 
radice  s coii.suum,  que  equatur  10,  ct  denario:  diuidamus  per  lo,  ct  ucnict !,  ct  radix 
s censuum,  dimiiiiUo  \ rei,  ct  diminuta  radice  ^ ceiisii.s,  que  cijuantur  uni  denario: 
et  quia  cx  ducto  denario  in  rem  pruuenit  lo  minus  rc  ; si  id  quod  est  etjuale  uni 
denario,  scilicet  radix  S,  ct  i,  minus  quinta  rei,  ct  mimis  radice  ^ (j/c)  censas  multipli- 
pliceUir  in  rem,  ucnict  similiter  cx  ipsa  multiplicatione  lO  mitius  rc  : quare  multipli- 
cemus rem  in  nidiccin  5 ct  in  l,  diminutu  quinta  rei,  cL  radicem  ^ censas,  et  ueniciit 
radix  S censuum,  et  res,  diminuta  census,  et  radice  | ccasiis  census,  que  cquantur 
10  minus  re  : adde  ergo  utrique  parti  rem,  et  census,  et  radicem  * census  census  ; 
ct  erunt  radix  | censas  census,  ct  J census,  ct  denarii  lO  cquales  radici  5 censuum, 
et  2 rebus.  Hcduc  ergo  radicem  | census  censas,  et  quintam  census  ad  censum  unum;  et 
esl  ut  nuihiplices  illud  [>cr  radicem  do  soo,  minas  ig  denariis,  et  prnueuiet  census:  deinde 
ut  reducas  denarios  io,  qui  sunt  cum  censu,  ct  radicem  5 censuum,  ct  duas  res,  que 
op]>unuiiUir  censui,  multiplica  cam  per  radicem  soo,  diminutis  20,  ct  ucnieiit  10  res, 
que  cquantur  cen.sui,  ct  radici  souoo,  minus  denariis  200,  ut  superius  inuciiimus:  de- 
inde ojjeraberi-s  ut  supra,  et  luibcbis  propositum. 

Esl  enim  alius  nuxlus  in  .soliicndo  similes  questiones,  quem  demonstrare  nequeo, 
doiicc  quedam  buic  operi  necessaria  demonstrentur:  si  duo  numeri  quales  cumque  fuerint; 
et  diuidatur  secundus  per  primum,  et  primus  per  secundum;  et  que  ex  ulrumqiie  (j/c) 
diuls.siouc  perueueriiil,  si  insimul  multiplicata  fuerint,  nimirum  ucnict  inde  .1.:  ad  cuius 
rei  cuidciitiam,  sint  duo  numeri  .rr.A.;  et  diuidatur  .b.  per  ct  uciiiat  ct 

.43.  per  .b.f  uenial  .d.e.i  dico,  quod  si  .g.r/.  multiplicetur  in  <*i;i'edictur  cx  ipsa 
multiplicatione  .1.;  quod  sic  probatur:  quia  cura  diuiditur|  .b.  per  .a.,  proucnit 
ergo  si  multipUccUir  .g.«/.  per  .43.,  prouciiil  ./1.;  quod  etiam  proucnit,  si  roulliplicettir 
.1.  in  quare  est  sicut  .b.  ad  .43.,  ita  .g.d.  ad  unitatem.  Uuraus  quia  cum  diui- 
dilur  M.  per  proueiiit  *4/.e.;  .si  multiplicetur  .r/.e.  in  .b.f  proucnit  .43.:  sed  si 
.41.  ducatur  in  .1.,  proucnit  similiter  .41.;  quare  est  sicut  uiiilas  nd  .r/.e.,  ita  .b.  ad 
.41.;  sed  sicut  .b.  ad  .41.,  ita  fuerit  .g.4/.  nd  unitatem;  et^o  est  sicut  .g.d.  ad  .1.  , 
ita  unum  est  ad  ,d.e.  Vilitas  ergo  media  est  inter  ,gul.  et  .d.e.:  quara  nuiltiplicalio 
.g.d.  in  .r/.e.  est  sicut  multiplicatio  unitatis  in  se;  sed  cx  ducto  .i*.  in  sc  proucnit  .1.: 
ergo  cx  ducto  .g.d^  iii  ,d^.  proueiiit  4.;cl  lioc  uoliiit  («c)  demonstrare.  Nunc  rcuerlaraur 
ad  qiieslionem;  ct  diuidatur  10  in  duas  partes;  ct  diuisi  istam  per  illam,  et  illam  per 
istam  ; ct  agreguui  iri.simiil  que  cx  ipsis  diuisiouibus  prouciieruiit;  ct  fuit  totum  lioc 
radix  s:  diuideuda  esl  ergo  radix  S in  duas  paries,  quarum  una  multiplicata  ]K.'r  aliam. 


Digitized  by  Google 


437 

factat  i;  smtqtic  prcdiclc  partes  -g  d-y  ct  ,d.e.\  ct  tota  .g.e.  sU  radix  5;  et  diuidatur 
■g.e.  in  duo  c<|ua  ad  punctum  .c.;  el  cnt  iimi  qucipic  {Kirs  .g.c.|  ct  ,c.e.  radix  de 
I t:  ct  mtillipHcelur  .gui.  iii  sc,  proucnict  J et  auferantur  (.wc)  iiidc  niuUipUcatio  cx 
id  .d.f.f  qtic  est  I»  remaneliit  J pru  «juadrato  numeri  .d.c.\  cuius  radix,  <]ue 
csl  J,  est  luimerus  quo  aldato  cx  remanebit  pro  .g.d.  radix  ^ I,  mimis 

incdielutc  denarii;  ct  addita  Mx.  siq>cr  xx.y  erit  totus  .d.e,  radix  de  J-  l , ct  me- 
dietas denarii:  ergo  cum  diuidiltir  maior  pars  dc  to  [>cr  minorem,  proucnit  radix  * i, 
ct  denarii  ct  cum  diuidetiii*  minor  {>ai's  per  minorem,  proucnit  radix  | t , minus 
t denarii.  Possumus  enim  lias  partes  aliter  itaienirc:  pone  pm  una  duarum  partium 
mn;  «lia  erit  radix  s,  minus  re:  et  multiplicetur  res  in  radicem  5,  minus  re,  uenit 
radix  5 censuum,  dimiimlo  ceiisu,  que  ct|u«ntur  uni  denario:  adde  ergo  censum  utriqiic 
parti,  ct  erit  censas,  et  denarius  i,  que  eqiiutiliir  radici  5 ceiisuum  : dimidia  ergo 
radicem  i censuum;  ct  erit  radix  1 1;  de  qua  abtee  i,  f|iii  csl  cum  censu,  remanebit 

Cuius  radicem,  qnc  est  *,  ablcc  c\  radice  de  i,  remanebit  radix  [ t,  mimis  ~y  pro 
una  duarum  partium;  reliqua  uem  erit  radix  J t medietas  denarii,  (iiuenlis  itaque  bis 
jKirtibiis,  pone  per  {sic)  maiori  parte  dc  lO  rem;  minor  iicru  erit  lo,  minus  re;  et  diiiidc 
10  minus  rc  per  rem,  uenit  radix  \ i,  minus  quod  multiplica  per  rem,  uenit  radix 
unius  census,  et  ^ censius,  minus  medietate  rei  , que  ccpianlur  lo,  minus  re.  Adde 
ergo  utrique  parti  medietatem  rei,  erunt  lo,  minus  medietate  rei,  que  ct  equautur  nt- 
iltcem  de  censum  (r/c)  [ i:  «piare  intiUiplica  lo,  mimis  medietate  rei,  iii  se,  erunt  loo,  ct 
-J  census,  diminutis  lo  rebus;  et  iiiullipUca  radicem  census  \ i iii  se,  ct  proueuit  census 
^ 1 : adde  ergo  utrique  parti  lo  res,  ct  tolle  ab  utraqiie  parte  census,  uciiict  census, 

et  10  res,  qnc  equautur  loo  denariis:  operare  deinceps  in  hoc  secundum  alxcbra;  et 
inuenies,  maiorem  partem,  scilicet  rem,  esse  radicem  dc  123,  diminutis  s denariis.  Re- 
liqua uero  pai-s  erit  ts,  diminuta  radice  dc  liS,  ut  superius  imicnimiis.  Et  nota:  cum 
habuistis  su(>cnus  radicem  unius  census  i,  diminuta  medietate  unius  rei,  cquari  to 
denariis,  et  addidimus  utriipic  parti  dimidiam  reni;  tunc  {Kituimus  addere  utrique  parti 
rem;  ct  essent  radix  ceusas  | i,  et  medietas  rei,equales  to  denariis:  ct  si  secundum 
hanc  piticessiunein  ilis  procedeiT,  multiplica  lo  in  sc,  erunt  loo;  et  multiplica  radicem 
cciLSUS  I I,  ct  medietatem  rei  | iii  se,  et  proueiiient  cciisiis  ^ i,  ct  radix  cciisus  census  (mI.  xos 
1;  ct  iiec  equanlur  denariis  loo.  Viidc,  ut  nsliicamiis  liec  ad  unum  censum,  multi- 
plicubis  ea  per  J t,  minus  radice  dc  | t ; ct  erit  census  equulis  denariis  130,  minus 
radice  de  I2300;  «{uortim  radix,  qiic  est  radix  de  12S,  minus  s,  erit  res,  Ikk  est  maior 
pa  rs. 

Et  si  uoliimus  procedere  |>cr  inucntioiiem  minoris  |iartis  , pone  eam  rem  ; minor 
uero  |mrlis,  erit  lo,  minus  rc;  ct  quia  cx  diiiissioiic  lo,  mimis  rc,  in  rem,  proucnit 
radix  dc  t j,  ct  medietas  denarii,  muttiplira  liec  in  rem,  et  uenit  to,  minus  re:  sed  cx 
mtiUiplicaliurie  radicis  dc  j 1,  ct  medietatis  denarii  in  rem,  pruueiiit  radix  census  \ t, 
ct  medietas  rei;  ergo  hec  equautur  iO,  mimis  rei.  Vnde  si  ab  utraque  {varte  abstuleris 
medietatem  rei,  remanebit  radix  census  { i equulis  lOo,  diminuta  rc  J t:  quare  si  multipli- 
rabitnr  (ric)  utramque  jmrlcin  in  se,  erit  census  J i,  cqualls  denariis  too,  ct  censibus 
\ 2 , diminutis  oo  rebus.  Adde  ergo  utrique  parti  30  res;  et  tolle  ab  utrumqiie  (x/c) 
parte  cciisum  ^ l;  ct  uenict  census,  et  denarii  lo,  que  equautur  30  rebus.  Age  in  Ikm' 


Digitized  by  Googie 


niKIK  IP  ....  PfllMt  1 » t r«l- 

t>)3  I>».  39,  |«s  4|]>. 

I.II  U r it  . 


<••1 


S«3  letA*. 


408 

8ccuii<lum  alzcLra;  et  inucnics  rem»  scilicet  minorem  partem,  cs.se  <5,  minus  radice  de 
ilSy  ut  superius  inuenirous.  Et  nota  ilenim:  quando  habuisti  radicem  census  ^ i,  et 
medietatem  rei  equaleni  denariis  fo,  minus  rej  et  extraxisti  ah  ulrumque  {sic)  parte 
medietatem  rei;  tunc  potuisti  addere  uliiquc  jwrti  rem,  et  esset  radix  census  i i,  et  res 
J t,  equales  iO  denariis.  Vnde,  si  muhiplicaiicris  hec  omuia  in  se,  habebimus  census 
* 3,  et  radicem  census  census  jii,  equales  denariis  loc.  Vade,  ut  redigamus  hec  omnia 
ad  proportionem  huius  census,  multiplica  ea^per 3,  minus  radice  { ii,  ctuenit  cen.sus 
eqiialU  denariis  350,  minus  radice  1 12500;  quorum  radix,  que  est  ts,  diminuta  radice 
!25,  erit  res,  hoc  est  miuor  pars:  maior  ucro  ])ars  est  radix  125,  minus  S.  Pussemus 
etiam  in  liis  aliis  aliis  (j/c)  modis  procedere;  sed  ista  que  diximus,  sufiiriant:  ut  scis, 
secundum  hanc  diiilssiunem,  10  diuisa  esse  media  et  extrema  pnqtorlionc;  quia  est  sicut 
10  ad  maiorem  |>aitcm,  ita  maior  pars  ad  minorem  : quare  roultipliratis  10  in  minorem 
partem,  scilicet  in  I5,uiiiuis  radice  I2S,  faciunt  cquale  mulliplicalioni  maioris  partis  in  se. 

In  qua  proportione,  si  10  diuiderc  uls,  pone  maiorem  partem  rem,  minorem  ucro 
10,  diminuta  re;  in  qua  multiplica  10,  erunt  100,  diminutis  lo  rchus;  et  multiplica  rem 
in  se,  ucnit  census«  qui  eqiiattir  loo,  diminutis  10  rebus.  Adde  ergo  utrique  parti  10 
res,  et  erit  census,  et  10  res  equales  denariis  100.  Age  ergo  in  hiis  secundum  aizebra, 
et  celera. 

Dniisi  12  in  duas  partes,  et  diuisi  f[ualil>cl  (jr/c)  illarum  partium  per  aliam;  et  multi- 
plicaui  quucllii;et  exeuntium  in  se,  et  sunt  4 dnigme.  Pone  pro  maioii  parte  rem,  pru 
minori  12,  minus  re;  et  diuidatur  12,  minus  re,  in  rem,  et  ucniat  numerus  .it./a;  et  ex 
re  diuisa  iu  12,  minus  re,  ueiiiat  .b.c.;  et  aggrega  multiplicationes  tx.a.b.  in  se,  et  ex 
M.c.  in  se,  erunt  4:  et  quia  numeims  .a.e-  diuisu.s  est  in  duo,  scilicet  in  .aM.  et  in  .b.c,y 
erit  multiplicatio  dupli  ,aM.  in  cum  quadratis  numerorum  M.b.  et  .b.c.y  cqualis 
quadrato  numeri  .n.c.  ; sed  ex  quadratis  iiiinicrorum  .n.b.  et  ,b,c.  proucniunt  4; 
et  ex  duplo  .a.b.  in  .bx-  ueniunt  2;  quibus  additis  cum  4,  faciunt  6 pm  quadrato 
numeri  .n.c.;  otgo  ,ax»  est  radix  de  6 : diuidc  ergo  eam  in  duas  ]>artes  per  modum 
su]>erius  dcmon.slratuni.  Vt  ex  minore  ducta  in  maiorem  ucniat  1 ; et  erit  minor 
pars  radix  1 , minas  nidice  | ; et  maior  erit  radix  ^ 1,  | et  radix  ergo  cum  di* 
uideret  12,  minus  re,  scilicet  minor  [>ars  in  rem  , prmicmt  radix  ^ t , minus  radice 

imilliplica  radicem  ~i,  minus  radice  in  rem,  et  ueiiit  radix  census  1 , minus 
radice  medietatis  census,  que  equatur  denariis  12,  minus  re  : deinde  miiUiplica  ra- 
dicem unius  census,  et  dimidii,  minus  radice  medietatis  census,  in  se,  uciiicnt  duo 
census,  minus  radice  trium  ceiisium  census,  que  cquaiUur  multiplicationi  fi  , minus 
re  in  se,  hoc  est  denariis  144,  et  uni  censui,  diminutis  24  radicibus:  adde  ergo  utrique 
parti  24  res,  et  tolle  ab  utraque  j>artc  censum,  et  uenil  census  21  res,  diminuta  radice 
trium  censium  census,  que  ef|uantiir  denariis  144:  multiplica  ergo  censum,  minus  radice 
trium  censuum  census  in  smim  biiiomium,  hoc  est  inde  1 radicem  trium,  et  uenicut  duo 
censas  diminuti:  quare  multiplica  unum  ceasiium,  diminuta  radice  trium  censuum  census, 
in  medietate  sui  hinomium  {sic)y  hoc  est  in  j in  radicem  de  J,  ucnict  unus  censas  diminu- 
tas: et  multiplica  24  res  similiter  in  et  in  radice  de  ucnient  12,  et  res,  et  radix  432  cen- 

>>]  nurgine  laterale  esiemo  dclh  earU  2d3  rerto  dcl  Codice  Magliabcchiano  C.  I.  2C16,  a dextra  delU 
llguni  * * ‘ ‘ leggc:  « per  4 seciiodi  ». 


Digitized  by  Googie 


430 

. sic  habetur  ah  tma  parte  12  rc«(,  et  raJit  432  cc;isiiumt  (iimiuuto  censu,  que 
iur  multiplicationi  re  (^/c)  144  iti  et  in  radicem  de  Ime  est  denariis  72,  et  radici 
i:adde  cr»u  rciisum  utrique  parti,  et  erunt  res  24is,  et  radix  432  censuum,  que  cquan> 
liir  censui,  et  denariis  72,  et  radici  de  iss3t;  que  radix  est  a radices  de  les:  dimidia 
Gi^o  radices  12,  et  radicem  432,  eruiit  6 res,  et  radix  de  los;  que  multiplica  in  se,  ue- 
nient  I44,  et  it  radices  de  ios;  de  quihus  abice  numeros,  <|iii  sunt  censu  (r<c),  scilicet  72, 
et  12  radices  de  tos,  remanebunt  72;  quorum  radicem  abice  ex  medietate  radicum,  rema- 
nebunt $,  et  radix  de  los,  diminuta  radice  72  et  pro  quantitate  rei,  scilicet  pro  maiori 
parte:  reliqua  iicro  purs  est  6 radix  de  72  ; quam  etiam  partem  inueuies  , si  ponas 
minorem  partem  itnnj;  tiiaiur  ucro  12,  minus  re;  et  diiiidas  12  , minus  re,  per  rem  , 
ueniet  mdix  ~ 1 radix  medietatis  dragme;  que  multiplicata  in  rem,  iicniuiU  radix  census 
^ 1,  el  nidix  nuxiictalis  census,  que  equamtur  {sic)  12,  minus  re:  multiplica  Iicc  omnia  iii 
se,  erunt  duo  census,  et  radix  trium  censuum,  cqualos  i4t,  et  censui,  diminutis  24  rebus: 
adde  ergo  ulriqiic  parti  24  res,  et  tolle  censum  ab  iitraque  ]>arlc  , remanebit  radix 
trium  censuum,  et  census  24  res  , que  c |uaiUur  t44  dragmis  : redige  lioc  omnia  ad 
censum  unum  ; et  est  ut  niultijdiccs  ea  per  radicem  |,  dimiuuta  medielale  dnigme; 
et  erit  census,  et  radix  432  censuum,  diminutis  12  radicibus,  cqualcs  12  radicibus  de 
108,  mitius  72  dragmis:  luultijdica  ergo  medietatem  radicum,  que  suut  censu  (i/c),  scilicet 
radix  de  los,  diminutis  6 radicibus  iii  se,  erunt  144,  diminutis  12  radicibus  de  los  : 
super  qiic  adde  12  radices  de  los,  diminutis  <2  dragmis,  remanebunt  72;  de  quorum 
radice  abice  radicem  de  108,  mimis  0,  et  habebis  minorem  partem  radicem  de  72,  et 
dragmas  6,  diminuta  radice  de  los.  Yt  superius  inueniinus. 

l)iuLsi  10  in  duas  partes,  et  diuisi  quamlibet  illarum  per  aliam;  et  mnltiplicaui  quod- 
libet  exeuntium  in  se  ipsum,  et  minui  minus  ex  maiori,  et  remanet  2 dragme.  | Pone 
minorem  jmrtcm  rem,  et  maiorem  10,  diminuta  re;  el  diuidem  (r/c)  10,  minus  re,  in  rem, 
et  uenit  .a.;  et  ex  re  diuisa  in  10,  mimis  re,  ucnjet  (r/c)  ./>>:  iam  scis  quia  ex  ducta 
in  .1/.  pruuenit  f ; quare  si  multiplicetur  quadratus  numeri  .a.  in  quadratum  nu- 
meri .b.y  uenit  quadratus  unitatis,  scilicet  1:  quare  ponamus  pro  numero  ,b.  radi- 
cem unius  census;  et  pro  numero  .a.  radicem  unius  census,  et  duarum  dragmaruro; 
et  multiplica  >b.  in  se,  ueniet  census;  et  .a,  in  se,  ueniet  census,  et  s dragme:  di- 
minuto ergo  censu,  scilicet  qnadnilo  numeri  .b.  ex  censu,  et  duabus  dragmis  , hoc 
est  ex  quadrato  numeri  .n.,  remancinmt  iluquc  2 dragme:  multiplica  ergo  quadratum 
numeri  .b.  perquadratum  numeri  .n>,  scilicet  censum  per  censum,  et  duas  dnigmas, 
uenient  census  census,  et  duo  census  , qui  cquautur  uni  dnigme  : deinde  ponamus 
quadratum  .c.e.,  qui  sit  equalis  censui  census;  quare  unum  (piodquc  latus  ipsius  erit 
census:  et  addamus  linee  que  est  census,  linea  (xic)  .e .A.,  que  sit  2;  et  iaceut  .e./i. 
in  directo  linee  >d.e^f  et  compleatur  figura  redi  angiila  que  proueiiit  ex  .g.c. 

in  ^.A.,  hoc  est  ex  ccasu  iii  2:  quare  superficies  .g*A.  est  2 census;  ergo  tota  su- 
|>erricics  .c.A.  est  ccnsiis  census,  et  duo  census,  et  e<[uaniur  uni  dragme;  quia  ex  .e.r/. 
in  .d.h.t  pruuenit  drugma,  scilicet  ex  censu  in  censura,  et  duas  drtigmas:  diuidamus 
.e. A.  in  duo  equalia  in  .f.y  et  erit  .e.f,  i ; et  quia  ex  .c.r/.  ia  .d.h.  proucnit  1;  et 
.d.e,  equalis  est  eliarn  ex  ergo  ex  .d.e>  in  .d.h.  proucnit  1 : cui  si  addamus 

quadratum  unitatis  .e./.,  habebitur  pro  quadrato  numeri  ,d.f.  2:  super  quorum  radicem. 


f«l.  294 

• ntiati*  rr 4.i  mw  • ( 

fi|4rr^(ii,lia.  2;  p«s-  43S>  Ii*- 
ii  • 26l. 

• * 


UMMal  <-1  K-f-  in 
204  rrrf«.  liRt  9*12i  |<«f-  439. 
11«.  34.37  e i*). 


Digitized  by  Coogie 


4S0 

St  addideris  uiiilateni  .A./.,  sciUcel  (»c)  erit  totus  .^7t.  radix  s«  et  una  dra^rua, 
(|uadratus  numeri  .a.;  ruius  radix,  que  esi  nuinenis  .a»,  ducatur  in  ucniiii. 
minus  re:  quare  si  miiUiplicauorimus  quadratum  eius,  scilicet  census,  in  ([uadrali.k. 
numeri  .a.j  scilicet  in  radicem  2 dragmartim,  eC  in  dragraam,  ueiiict  qundiutus  lo  , 
minus  re,  hoc  est  Uh)  dragnie,  et  census,  diminutis  20  rebus:  sed  ex  muhiplicalionc 
census  in  radicem  2t , proiiciiit  duorum  (j/c)  censuum  census,  et  unus  census,  rpie  cquan> 
lur  dragmis  joo,  et  censui,  diminutis  20  rebus:  adde  ergo  20  res  ulriquc  parti,  et  tolle 
ab  ulniquc  parle  cciisum  , remanebunt  radix  duorum  rcii.suiim  census  20  res  , que 
cquaiitur  ioo  dragmis:  sed  ut  redigamus  bcc  omnia  ad  censum  urium,  multiplica  ea 
per  radicem  \ dragme;  (jiiia  cum  multiplicamus  radicem  2 censuum  census  in  radicem 
* dnigme,  prouenit  census;  et  cum  multiplicamus  2o  res  in  radicem  prouenit  radix 
200  censinm;  et  cum  multiplicatur  <00  in  radicem  \t  prouenit  radix  uooo  dragmarum; 
ergo  census,  et  radix  200  censsuum  (xic)  cqualur  radici  de  5000  dragmaruni.  Vtcre,  si 
Ilis,  in  boc  suprast  iipia  figura;  et  pone  quadratum  .c.e.  censum,  et  superficiem  .g./i. 
radicem  200  censuum;  quare  ent  radix  200  dragmartim;  qua  diuisa  in  duo  c^jua 

in  erit  una  quoque  quantitatum  .e.f.  (M.  radix  so  : quare  ex  ductu  quantitatis 
.f/.c.  in  cum  quadrato  quaiitilalis  .<?./.  est  sicut  .7./.  in  se  ; sed  ex  .d.e.  in 

.7./r.,  hoc  est  ex  x.tl.  in  prouenit  radix  r>ooo  dragmarum;  et  ex  ductu  .e./l  io  se 

prt>ueiiiuiil  5o;  ergo  ex  ductu  .d.f.  in  se  pronciiiunt  radix  sooo,  et  50  dragme:  quare 
numerus  .7./.  est  radix  radicis  5000  dragnianmi  de  50;  de  qua  si  auferatur  .7./.,  scilicet 
rodix  de  50,  remanebit  pro  quantitate  .7.e.,  que  est  ras,  radix  radicis  5000  dragmarum,  et 
t<>4  de  so,  di|diminuta  (j/c)  radice  50  dragmartim,  que  sunt  minor  pars:  residuum,  quod  est 

iisrpie  in  10,  scilicet  10,  et  radix  SO, diminuta  radice  radicis  quinque  milium  so  dragmarum, 
est  maior  )»ars;  quam  habebis  si  pulsaucris  enm  rem,  et  minorem  10,  diminuta  re:  quia 
cum  diuiseris  10,  minus  re  in  rem,  ucnict  radix  radicis  diiaiuin  dragmarum,  et  minus 
dragina;  quam  si  multiplicaucrimus  iii  se,  ueiiiot  radix  duaruni  dragmarum  , minus 
dragmn;  quam  etiam  si  multiplicaucrls  in  censum,  scilicet  in  quadratum  rei,  ucnict 
radix  duarum  censuum  census,  diminuto  censu,  que  cqiiatur  100,  et  censui,  diminutis 
20  rebus  : adde  ergo  utrique  parti  20  res,  et  tolle  ab  utnimquc  (x/c)  parte  censum, 
ucnict  20  rex  (x/c),  et  nidix  duorum  censuum  census,  diminutis  duobus  ceiLsibus.  Radi- 
ce (xic)  bec  ud  censuum  unum;  et  est  ut  multiplices  ea  per  I,  et  radicem  | dragme;  que 
cum  multiplicatur  radix  duorum  censuum  census,  minus  2 censibus,  iii  suum  binomiiim, 
iieniunt  inde  duo  census  diminuti:  ergo  cum  imillipliciitieris  rudireni  duorum  censuum 
census,  diminutis  duobus  censibus,  in  medietatem  sui  biuomii,  scilicet  in  1,  et  in  ra- 
dicem £ dragme,  ucnict  umis  census  diminutus:  et  cum  miiUiplicanlur  20  res  in  1, 
et  in  radicem  -J,  ucniurit  so  res,  et  radix,  et  200  censuum;  et  cum  multiplicantur  too 
in  I,  et  in  radicem  uenient  100,  et  radix  quinque  milium.  Kt  sic  20  res,  et  radix 
200  censuum,  diminuto  censu  , cqumitiir  uw  , et  radici  5000  dragmarum:  adde  ergo 
censum  ulriquc  parti,  et  erunt  20  res,  et  radix  200  censuum,  equales  censui,  et  loo 
dragmis,  et  radici  5000  dragmarum:  dimidia  ergo  radices,  et  age  cis  secundum  alzcbra, 
el  inuenies  rem,  scilicet  maiorem  pariem  esse  to,  et  radix  50,  dimiuula  radice  radicis 
:u>oo,  et  dragmarum  so,  ut  siq^erius  diximus. 

Diuisi  10  iii  duas  partes,  et  |>er  unamquamque  ipsarum  diiiisi  10;  el  que  ex  diui- 


Digitized  by  Google 


4il 

sionc  exierunt»  fuerunt  5 di‘agmc.  Nutandum  est  pilmum,  quod  quando  aliquis  nu- 
merus diuidiltir  in  diins  partes,  ct  per  iinamqiinque  {stc)  ipsarum  diuidilitr  ipse  numerus, 
quod  id  , quod  aggregatur  cx  duabus  diuUioiiibus,  est  s plus  eo  quod  aggregatur  cx 
duabus  dttiisioiiilius  iiiiiiusruiusquc  |>ar(is  in  aliam:  exemplum:  diuidatur  numctnis  .n. 
in  partes;  ot  diiiidatur  .c.  per  ct  proueniat  et  .A.  per  .c.  , et  proueiiiat 

.f./.;  dico  quod,  si  diiiidulur  .n.  per  .A.  ct  per  .c.,  egredientur  inde  z,  plus  numero 
M.f.;  quod  sic  probatur:  quia  .A.c.  sunt  equales  numeri  .a.;  est,  cum  diuiditur  .a.  per 
.A.,  sicut  cum  diiiiduntur  numeri  .A.c.  j>er  .A.;  sed  cum  diuiditur  .A.  per  .r/.,  pro- 
ucnit  t;  et  cum  diuiditur  .c.  ]>er  .A.,  prouenit  .d.e.\  ergo  cum  diiiidnntur  numeri 
.A.C.»  boc  est  numerus  ./i.,  per  .A.,  prouenit  unus,  plus  co  quml  {utuienit  ex  .c.  di- 
iiiso  per  .A.  Item,  cum  diuiditur  .a.  per  .c.,  csl  sicut  cum  diuidimtur  numeri  .c.A. 
|)cr  .c.;  sed  cum  diuiditur  .c.  per  .c.  («c),  prouenit  i;  ct  cura  diuidelur  .A.  per  .c.,  pro- 
uenit «c./.;  ergo  cum  diuiduntur  numeri  .c>A.  per  .c.,  proueitil  i,  plus  eo  quini  pro- 
uenit ex  ditiissionc  ex  .A.  in  .c.:  quare  cum  diuiditur  .n.  per  numeros  .A.C.,  ucniuiit 
2 , plus  eo  quod  prouenit  ex  duabus  diuisiuiiibiis  , que  fiunt  cx  .c<  per  .A.,  et  ex 
.A.  per  .c.:  ergo  quia  preponitiir,  io  diuidei-e  in  duas  partes;  cl  per  uimm  quamque 
earum  diuidere  <0;  ct  ipsius  diuisiunibiLS  ucniunt  S;  tolle  2 de  s,  remanent  3. 

Uiuisi  10  in  duas  partes  , ct  diuisi  Istam  per  illum,  ct  illam  per  istam;  et  prouc- 
nerunt  3 dragme:  operare  secundum  | quod  dicta  sunt  superius,  ct  habebis  qnesitum: 
utere  iii  boc  uia  alia,  que  csl  ut  diuidas  to  in  duas  partes,  ct  |K>itas  minorem  partem  s, 
minus  rc,  aliam  uero  s,  ct  rem;  ct  multiplica  unam  in  aliam,  ueiiieiit  25,  diminuto  censu; 
que  duc  in  3,  ueniunt  75,  dimiuutis  tribus  censibus;  ct  multiplica  unam<]uaniquc  par- 
tium in  se,  et  proueiiicnt  50,  et  duo  census,  que  eqnanlur  dragmis  75,  diminutis  tribus 
censibus:  adde  ergo  utrique  |>arU  3 census,  et  tolle  ab  utranupie  (sic)  parte  50,  iienient  5 
census  cqoalcs  25  dragmis  : diuiditur  (xic)  eigo  25  draginas  j>er  5,  ucnienl  5 dragme  pro 
quantitate  census;  quare  nidix  carum  csl  res:  ergo  minor  pars  erit  s,  diminuta  radice  5 
dragmanim;  et  maior  erit  s,  et  radix  dc  5. 

Vcl  aliter  : diuidc  3 prcdicla  ia  duas  partes  , quarum  una  multiplica  per  aliam 
faciat  l;  eiit  minor  pars  | i , miu;is  radice  | i ; et  niuior  erit  ^ i,  ct  radix  de  | i; 
ct  ex  boc  iiiauifesUnu  csl,  quu<l  cum  diuiduntur  lo  in  duas  partes,  et  diuiditur  maior 
carum  per  raiuumn,  tunc  prouenit  * t,  ct  radix  \ i diagme  : quare  mulii|ilica  exeun- 
tem per  diuidenlera,  ct  ucniet  inde  diuisiis  numerus:  ergo  si  multijdicaucris  - i,  et 
radicem  de  J i per  5,  minus  rc  , prouenict  numerus  diuisus  : sed  ex  ductu  J i , ct 
radix  < bi  5,  minus  rc,  ueiiiiiiit  * 7,  ct  radix  dc  3t,  diminuta  re  | t,  cl  radice  ccn&us 
~ 1,  que  cquaiilur  dragmis  5 et  rei:  quare  adde  utib^ue  |Ktrti  rem  ~ t,  ct  radicem  unius 
census,  ct  \ census;  et  tolle  a)>  tilraipic  j>arte  5,  remanebunt  res  | 2,  et  radix  cen- 
sus ' 1 , que  cquanliir  dragmis  ~ 2 , ct  radici  \ 2i  : multiplica  ergo  unam  quamque 
istarum  duanim  partium  in  se,  cl  erunt  census  ^ 7,  et  radis  | ii  census  census,  que 
equantur  dragmis  {37,  et  5 radicibus  dc  { 31  , que  sunt  una  radix  dc  -J  781;  reduc 
ergo  omnia  bcc  ad  unum  censum  ; et  est  ut  multiplices  omnia  que  hal>cs  per  ^ 
dragme,  diminuta  radice  ucniet  census  equalis  dragmis  5:  ergo  res  est  radix  s dragma- 
rum;  qua  addita,  et  diminuta  ad  s,  ucnient  pro  minuri  parte  5,  minus  radice  5 dragma- 
rum;  et  alia  erit  5,  et  radix  s dragmarum  , ut  superius  diximus.  Et  si  uis  scire  , 

56 


« ...  •IHI. 

r>iiwlpt  » (rui.  2QI  It  It 

U SB;  ili,  U.  4-n. 


Digitized  by  Googie 


...  •ilij|«‘il  • I tut. 

r^lo  , Imi.  tS  • 36-39  • 
3^:  l>»S-  <42.  Ut>.  19  19). 

< * c 


•l  r f 


f»t>  20S  ven*- 

t ia  ....  mvhiplicaliii 

4ful.  t03  1-t  | p«(. 

442.  lia.  S0-2t  • t3). 

€ * f 

rf  «■  / 


Ia ««  >]'«*••*  ••••  «Mt  t 

|f»l.  2«S  M-fM  . lia.  19-20  : 
|Mf.  442.  I».  37-41;. 

f * rf 


♦ * “ r 


442 

(ptonioiiu  multiplicalis  ^37,  ei  rtidix  { T8i  per  ^ <ii'agnic,  diminuta  radice^  dragme; 
imillipiica  primum  | 37  per  ucnient  | n addita;  et  multiplica  radicem  de  | ?8i 
pro  (j/c)  radicem  jj,  hoc  est  accipe  ^ de  J 7«i,  ucnict  radix  de  39  dimiiiutaj  que 
radix  est  J e : quibu-i  extractis  de  \ ii  » remanent  i pro  summa  dicte  multiplicatio* 
Ilis.  JNam  multiplicatio  de  ^ in  radicem  de  * 78i  addita  cqiiaUir  multiplicationi  ra* 
dicis  J , diminute  j 

Pussumus  etiam  in  liiLs,  ct  in  similibus  uti  uia  alia;  et  est  uldiuidas  lO  in  duas 
|Knles,  ct  ponas  rainorcm  partem  »,  miiiu.s  rc,  maiorem  uero  quinque,  et  re;  et  diui- 
dantur  lO  per  utraiiquc  partem,  ct  ucnient  5,  ut  dictum  est:  multiplira  .secundum  hunc 
nKKliim  5,  minus  rc,  iti  9 ct  rem,  ucnient  25,  diminuto  ceti.su;  que  multiplica  per  s,  que 
ucnient  cx  duabus  diui.sionibus  predictis  125,  diminutis  5 ceri-sihus,  que  c(|uantur  ioo« 
stulicct  multiplicationi  de  lo  in  se,  ut  interius  demonstrabo:sed  adde  primum  ulriqiie  jKirti 
5 census,  ct  tolle  ah  utruque  parte  loo,  rciuanehunC  S,  ct  census  equales  25  dragmis; 
quare  census  csl  S dragnie,  ut  dictum  e.st.  Age  deinceps  ut  supra,  et  inuenies  propositum. 

Adiaccant  duu  muneri  .u.b.y  el  .b.cr,  cl  diuidatur  ]>cr  .a.b.  , cl  proucniat 

.(Le.;  ct  diuidatur  etiam  .a.c.  per  ,b.c.y  cl  ucnict  .e.f,:  dico  quod  multiplicatio  .a.b. 
in  .b.c.  ducta  iii  .d.f.  est  sicut  multiplicatio  .a.c.  in  se;  quod  sic  probatur:  quoniam 
airo  diuidatur  .ax.  |ier  .a.b.y  prouciiit  .//.e.;  si  multiplicetur  per  .a.b.y  proucnit 
numerus  .a.c.i  comuitis  adiaceat  numerus  erit  multiplicatio  .d.e.  in  ,a.b.  ducta 

in  .b.c.  sicut  nuilliplicaliu  | a.c.  in  numerum  .b.c.x  rursus,  cum  diuiditur  numerus 
.a.c.  per  numerum  .b.c.y  proueiiil  numerus  .e./*.;  ergo  cura  multiplicatur  .e.f,  in  nu- 
merum .b.c.y  proucnit  numerus  .a.c.i  comunis  adiaceat  mimenis  .a.b.y  et  erit  multi- 
plicaliu  .e.f.  in  .b.c.  ducta  tit  .n. /a,  .sicut  multiplicatio  .a,c.  in  .a.b.:  ergo  multiplicatio 
.d.e.  in  .a.b.  ducta  in  .b.c.  multi|dlcationc  .e.f.  in  .a.b.  ducta  iu  .b.c.y  hoc  e.st  in 
.b.c.  ducta  in  .a.b.  est  .sicut  multiplicatio  .a.c.  in  .b.c.  cum  multiplicatione  .a.c. 
in  .a.b..  Sed  imiUiplicationes  .a.c.  in  .b.c. , et  cx  .a.c.  iu  .a.b.  sunt  sicut  multi- 
plicatio ,a.c.  in  se  ; ergo  et  multiplicationes  .d.e.  ct  .e.f.  in  .a.b.  ducte  in  .b.c. 
sunt  sicut  .d.f.  iu  .a.b.  ducta  in  M.c.x  -sed  miiltiplicalio  .r/./.  in  .n.6.  ducta  iu  .bu:. 
est  sicut  muiliplicalio  .aM.  in  .b.c.  ducta  in  •</./•;  ergu  multipUcacio  numeri  .a.b. 
in  .b.c.  ducta  iu  est  sicut  imiltiplicatio  .a.c.  in  se;  et  hoc  csl  quod  uolui  de- 
monstrare- Vnde  si  .a.c.  sit  lu  , et  ipsa  lO  sint  diuisa  in  partes  .a.b.  et  .b.c.;  ct 
ex  diuisioiic  lo  iii  .a.b.y  el  iu  Jf.c.  pruueitiuiil  s:  quesiui  (.rrc)  numcriLS  .e./,  multipli- 
catio .a.b.  y scilicet  5 , minus  re  iii  .b.c.  , hoc  ergo  est  in  s,  ct  rem  ducta  in  s , 
.scilicet  in  , sicut  multiplicatio  .a.c.,  hoc  est  ex  lo  in  se,  sicut  superius  operati 
fuimus. 

Dc  quodam  aucrc  minui  duas  radices  cius,  cl  4 dragmas;  et  niultiplicaui  residuum 
in  sc  ipsum,  et  proucnit  occiiplum  ipsis  (sic)  aueris.  1’oiie  pro  ijiso  auerc  cen.sum,  qui 
sit  quadratum  .a.C.y  cuius  unum  quodijuc  latus  sit  radix  illius  cciisils;  ct  auferatur 
ah  ij>so  superficies  .«.e.,  que  sit  4 dragine;  ct  ex  superficie  .f.c.  auferatur  superficies 
({ue  sit  2 radices  census  .a.c.,  remanebit  superficies  .h.c.  pro  residuo,  f[uod  re- 
manet ex  predicto  censu,  hoc  {sic)  cx  piediclu  uuorc,  ablatis  ah  ipsa  2 radices  cius, 
ct  4 dragiuas,  scilicet  .sujicrricics  .a.g.i  ergo  cum  pro|)onitiir,  quod  ex  muUiplicalionc 
i-esidui  ./<a?.  in  sc  proucniat  occuplum  census,  erit  superficies  ./i.c.,  que  csl  residuum 


Digitized  by  Googie 


443 

predirtum,  radix  de  8 censuum.  Sed  superficies  .h.c.  prouenit  cx  in  .^.c.  ; ct 

.h.g.  c$t  res,  cum  sil  er|ualis  lateri  .a.b,',  quare  numerus  .g.c,  est  nulix  s dragmarum; 
quU  CX  ducta  re  in  radicem  a prouenit  radix  8 censuum,  scilicet  superficies  Ji.c>  : 
et  quia  superficies  .f.g.  est  x radices  census  .n.c.,  et  prouenit  ex  .e.f  iu  -e.g.f  et 
•e./,  est  res,  necessario  sequitur,  numerum  .e.g.  esse  a:  quare  totus  .e.c.  est  s,  et 
rudix  6 dragmanim.  item  quia  siijierficics  .a.e>  est  4,  ct  prtmcnit  ex  .b.e.  in  .b.a.^ 
hoc  est  cx  .b.e.  in  si  diuidatur  .e.c.  iu  duo  cqiiu  ad  punctum  .i.,  erit  mul- 

tiplicatio .b.€.  in  .b.c»  cum  quadrato  numeri  .e./.,  sicut  multiplicatio  .b.i.  iu  sc:  est 
enim  ,e.i*  medietas  de  s,  ct  de  radicis  (r/c)  8,  hoc  est  1,  ct  radix  draroarum  («c)  S;  quo 
hinomiu  in  sc  multiplica  (r/c),  iicniunt  3,  et  radix  8;  quibus  additis  cum  4,  que  pnmcniimt 
ex  .b,e»  in  .Z>.c.,  faciunt  7,  et  radicem  s pn>  quadrato  numeri  .b.i,\  quare  .b.i.  est 
radix  7,  ct  radicis  8 dragmanim:  cui  si  addatur  numerus  .x.c.,  qui  est  l,  et  radix  s 
dragmarum,  erit  tota  .b.c.^  que  est  radix  census  .a.c.,  radix  7 dragmanim,  ct  nidicis 
8,  et  una  dragma,  ct  radix  duarum  dragmanim.  Yiidc  ut  habeaiiuis  quadratum  .u.c., 
multiplica  nunicrum  ,b.c.  in  se,  cum  sit  radix  census  multiplicatio  quidem  .b.c. 
iii  sc  sic  fit:  quia  numerus  .b.c.  diuisus  est  iu  duo,  scilicet  in  ct  iu  .x.c.,  erunt 
quadrati  niiineroruin  .b.i.  et  .i.c.  cum  duplo  multiplicalioiiis  .i.c.  in  .b.i.^  sicut  .b.c. 
iu  se:  sed  quadratus  numeri  .b.i.  est  7,  ct  radix  8 dragmarum;  quibus  insimul  iuuetis, 
faciunt  lo,  et  duas  radices  8,  que  sunt  una  radis  de  3S ; et  cx  multiplicatione  .i.c. 
in  .b.i.y  hoc  est  cx  railicc  trium,  et  (j/c)  radices  s in  radicem  7,  ct  radicis  % prouenit 
radix  so,  ct  radix  radicis  lO  radicum  c;  cuius  radicis  duplum  est  radix  quadrupli  , 
scilicet  ex  no,  et  nidicis  40  radicum  dc  8.  | Nam  4o  radices  s sunt  una  radix  issoo  m soc» 
dragmanim;  ct  sic  processum  (r/c)  .rt.c.,  hoc  est  pro  quesilo  aiicre,  liabcrilur  lo,  ct 
una  radix  3S,  ct  una  radix  de  ilo,  et  radicis  ixtXBUo;  que  omuia  reducta  ad  numerum 
sunt  inter  | 4 , J 40. 

iCst  quoddam  auerc,  cuius  radices,  ct  radix  medietatis  cius,  et  radix  tcrcic  cius  sunt 
cf|uales  censui.  Pune  pro  ipso  auerc  censum  ; et  quia  duc  res  , ct  radix  medietatis 
census  , ct  radix  tercie  census  cf|uantur  censui  , fac  quadratum  suproscriptum  .04:. 
censum,  ct  dtie  radices  ipsius  census,  fuit  su|>orficic.s  .d.g.',  et  radix  medietatis  census 
esto  su{>ci'ficies  .e.h.\  et  radix  lercic  census  sit  superficies  .A./.;  quare  .c.g.  erit  s,  ct 
.e.g.  erit  radix  | dragroe,  et  ,b.e.  erit  radix  tlrugme;  et  sic  tota  .b.c.^  que  est  ros, 
erit  s,  ct  radix  et  radix  multiplica  ergo  hcc  iu  se,  et  uenient  | 4,  ct  radix  8, 
ct  radix  ^ s,  et  radix  unius  dragme  pro  ({uanlitate  census,  hoc  est  quesiti  aucris:  et 
si  uis  scire  quomodo  multiplicantur  t,  ct  radix  et  radix  j in  se,  imiltiplica  primum 
j in  se,  et  radicem  medietutis  dragme,  el  nidicem  tcrcic  dnigine  in  se  , et  uenient 
j ~ 4,  hoc  csl  I 4 : deinde  multiplica  duplum  de  s in  radicem  ‘ , et  ucniet  radix  8;  et 
multiplica  iterum  duplum  de  s in  radicem  et  uciiict  radix  dc  \ 5:  post  liec  multi- 
plica radicem  J in  radicem  j , cl  ucniet  radix  J dragme;  quam  radicem  duplica,  ct 
ucniet  radix  | dragme. 

Est  quoddam  auerc,  cuius  i radices,  et  radix  medietatis  eius,  el  radix  tcrcic  cius 
.sunt  30  dragme.  Pone  pro  ipso  auerc  rciLSum;  ct  dic,  quod  s radices  census,  ct  radix 
I census,  ct  radix  j census  equantur  so  dragmis;  et  tolle  ab  utraque  parte  duas  res, 
et  erunt  so  dragme,  minus  duabus  rebus,  equales  radici  medietatis  census,  ct  radici 


Digitized  by  Googie 


I #iut,  irt  .4..  $06 


f<>l.  206  ifwrt». 
nili  in  .h^.  • (fiil.  204 

liB-  i*4(  fa|-  444,  lia. 


Wnm  |>roaeai(  » (fwl*  206 
Im  11-16  I 1^-  441  • 
U».  Sl.Ul- 


444 

tcrcie  cen.siis:  multiplica  quidem  20,  dimiiiutU  * rebus,  in  sc,  erunt  400,  et  4 census, 
diminutis  80  rebus,  que  equantur  muUiplicatiuni  radicum  medietatis  cciisns,  ct  tcrcie 
census;  que  multiplicatio  surgil  iti  | cciisus,  ct  in  radicem  | census  cciisus:  adde  ergo 
utrique  parte  (jric)  80  res,  et  tolle  ulruquc  parte  | census,  et  radicem  | census  census; 
ct  erunt  400  dragme,  cl  census  y 3,  minus  radice  | census  census,  que  e<{uaiiltir  80  rebus: 
duo  (ric)  ergo  hec  omnia  ad  unum  censum;  et  est  ut  multiplices  ea  j>er  dragrae, 
ct  per  radicem  quibus  niiiUiplicalis  flo  rebus  Veiiiuiit  (sic). 

Kt  si  di&ciis  : de  quoilam  atierc  minui  duas  radices  cius  , et  radicem  medietatis 
cius,  ct  radicem  tcrcie  eius,  et  rcmauscrunl  so  dragme.  Pone  pro  ipso  aucre  censum,  qui 
sit  qiiadialmii  ct  minue  ab  ipso  duas  radices  cius,  ct  radicem  medietatis  cius , 

ct  radicem  Icixtic  eius,  que  sunt  .superficies  ct  .c./.,  et  ./44.,  reraancbil  ci  toto 

quadrato  superficies  que  esi  20:  manirestura  est  enim,  qiioil  numerus  .b.c.  csl 

2,  ct  x.f.e.  radix  et  ./.4.  est  radix  j dragme;  quare  totus  numerus  .b,i»  csl  2, 
et  radix  et  radix  cl  numerus  ./.g.  est  ignotus  : sed  ex  .k.i.  , qui  est  res  , in 
U,g.  proucuiuiiL  20  : sed  .b.g.  eqiialis  est  numero  .j.A’.;  ergo  ex  -b.g.  in  U.g.  ucniunt 
20  : diuidamus  ilaipic  numerum  .b,i.  induo  eqiialia,  que  sint  ct  4/./.;  erit  ergo 

multiplicatio  .b.g.  iii  4.g.  cum  ((iiadrato  numeri  .14A,  cqualis  quadrato  numeri  .gM.} 
ergo  miinerus  .g.ii.  erit  nulus.  Cui  .si  addatur  numerus  ./14/.,  qui  est  notus,  cum  sit 
medietas  dc  2,  ct  radicis  |,  et  radicis  erit  totus  luimerus  .g.Zr.,  qui  est  res,  notus; 
quem  si  multipiicaueriimis  in  se,  erit  quadratum  .a.g.  notum,  scilicet  aucre  qiicsitum. 

Lt  si  dicemus  tibi:  adde  super  qumUim  aucre  4 radices  eius,  et  radicem  medietatis  | 
eius  , et  radtccin  | cius  , cl  cruiit  lO  dragme  , quantus  est  census  ; pone  pro  ipso 
auera  censum,  qui  sit  quadratum  .a.c.  ; et  aiuiigantur  4 nidiee.s  eius  , ct  radix  me* 
dictatis  eius,  que  sint  superlicies  .r/.e.;  quare  numerus  ,c.f.  erit  4 , ct  radix  ct 
radix  j,  .secundum  ea  que  premis.sa  .sunt:  et  quia  tota  .superficies  .a.e.  {Kiiiitiir  esse  iO, 
et  pruueiiiaiit  ex  .n.b.  in  boc  est  cx  .b.c.  in  ./i.e.,  si  addamus  ad  10  quadratum. 

Medietatis  (jrie)  numeri  .c.e.,  erit  totus  numerus  ./»./.  notus;  de  quo  si  auferamus 
numerum  ./.c.,  remanebit  uumcnis  .b.c.  nutus:  ct  quia  .b^.  est  res,  si  ducamus  eam 
iitse,  uciiit  quadratum  4T.c.,  boc  csl  quesitum  aucre  notum. 

Et  si  dicemus  libi:  super  qumlam  auerc  addidi  radicem  eius,  et  radicem  medietatis 
ciu.s;  ct  boc  totum  mulliplicaui  in  se,  et  proiicnit  quiciiplum  ipsius  aucrls:  pone  pro 
ipso  aucre  censum  .nr.g.;  et  aiungatur  ci  .superficies  recti  anguli  .r/.e. , que  sit  una 
radix  cx  quadrato  , ct  radix  medietatis  cius;  ct  erit  numerus  .g.e.  1,  et  radix 

medietatis  dragme  numerus  .g.t/.  sit  res;  nam  cx  nuiltiplicalione  rei  in  1,  ct  in  radicem 
medietatis  dragme,  proueuit  vna  radix  census,  et  radix  medietatis. 

eius  (stc)t  et  quia  proponitur,  quod  cx  multiplicato  iiumeru  .n.p.  in  se  proucnlt  quincu* 
pium  quadrati  .a.g.y  erit  nummis.ix.e.  radix  quinque  censuum;  ct  pruuenit  cx  ducto  .a.b. 
iu  .b-e^i  et  ui.b.  est  res;  (|uare  .b.e.  est  radix  5 dragmarum;  quia  cum  multiplicatur 
res  in  radicem  s dragmarum,  prouenll  radix  5 censuum,  boc  est  numerus  ./z.e.  Viide  si 
cx  .b.e.  auferatur  numerus  .g.e.,  qui  est  1,  ct  radix  medietatis  dragme,  rcmaucbit  pro 
quantitate  rei,  hoc  csl  pro  numero  -b.g.f  radix  $ dragmanim,  diminuta  dragma,  ct  radice 
medietatis  dragme:  que  si  multiplicaucrimus  in  se,  uenicut  dragme  \ 6,  cl  radix  duarum 
dragmarum,  diminuta  radice  20,  et  radicem  40  dragmarum  pro  quantitate  census  -a.g., 
boc  est  pro  quesito  auere. 


Digitized  by  Googie 


445 

Ilcm  .super  r|nodam  aucre  addidi  radicem  eius,  et  radicem  medietatis  eiiiSt  et  lioc 
totum  mulUplicatii  in  se,  et  prouenit  so  dragme.  Intcliige  utrum  ista  (igtira  qiiudraliim 
.a.^.  esse  ceiisuin,  et  superlicies  ul.e.  radicem  census,  et  radicem  medietatis  cius:  ct 
quia  pr(^|H>nitur,  quod  ex  ciimiunclo  predictorum  nmltiplicatu  iti  .se  proiieuiiint  20,  erit 
superlicies  ,a.e^  radix  2»  dragmarum;  et  pr«meiiil  ex  re  .a.b.  ducta  iii  mimcriiiii 
sed  ex  .a,b,  iti  ,b,e*  protienil  census  , el  .superficies  que  est  radix  census, 
ct  radix  medietatis  eius;  et  sil  (m*)  ceustis,  cl  res,  ct  radix  medietatis  census  e<(uaritur 
nidici  20  diagmarurn;  ct  est,  per  ea  qnc  diximus,  numerus  t,  et  nidix  medietatis 
dnigme;  quare  medietas  ipsorum,  que  sil  erit  ct  radix  ^ dragme;  et  quU 

ex  .a.b.  in  .b.e.^  linc  est  ex  .b.g.  tii  .b.e.y  pnnienit  radix  2t)  ; si  addatur  ei  multi- 
jdicalio  ex  .g.f.  iti  se,  que  est  J-,  ct  radix  Y dragtne,  ueuieiit  radix  20,  ct  radix  Y 
dragme,  el  insuper  ~ unius  dragme  pro  quadrato  numeri  .b.f.i  quot  {sic)s\ex  radice 
ipsorum  auferatur  numerus  .b.f.^  qui  est  medietas  dragme,  et  radix  Y dmgme,  re- 
manebit pro  numero  •b.g.^  .scilicet  pro  re,  radix  radicis  20,  et  radicis  Y dragme;  ct 
ex  l dragme,  diminuta  medietate  dmgme,  et  radice  Y dragme  pro  quantitate  rei  -b.g. 
Qvc  est  mdix  numeri  quesiti  aneris.  | 

Item  super  qiiiHlaiu  anere  aiididi  radicem  medietatis  eius;  et  multiplicaiii  agregatum 
in  se,  et  prouenit  quadniptiim  eius:  sil  suprasrripla  figura  quadratum  ,a.g.  censu.s, 
el  su|>crncies  .ti.e.  radix  *-  census:  et  quia  proponitur,  qumi  hec  ia  .se  multiplicata 
faciunt  ()ua«iruplum  ccirsus,  erit  superficies  .a.e.  radix  4 censuum;  ct  prouenit  cx  rc 
.a.b.  in  numerum  .b.e.',  ergo  numerus  .b.e.  est  radix  4 dragmarum;  et  sic  .b.e.  est 
2 ; dc  qiiihu.s  si  tollatur  , qui  est  radix  | dragme,  remanebit  pro  rc  .b.g.  2, 

minus  radice  J-  dmgme;  quibus  iii  se  multiplicatis,  reddunt  \ 4,  minus  radice  8 dra- 
gmarum  proquesilo  auerc. 

MiiltipUcaui  quoddam  aucre,  ct  raflicem  3 per  idem  aucre,  ct  radicem  2 dmgmanim, 
ct  prouenerutil  20  dragme:  pone  pni  ipso  aucre  rem;  et  muUiplicala  (4/c*)  rem,  el  radicem 
3 per  rem,  ct  radicem  2,  ucriict  census  6 dragme,  el  radix  I2  censuum,  ct  radix  s 
censuum,  que  equautur  20  dragmis:  tolle  ab  utraque  parte  sex,  remanebit  cen.sus,  ct 
radix  12  censuum,  cl  radix  8 censuum,  que  equautur  14  dragmis:  multiplica  ergo  me- 
dietatem radicum  in  se,  boc  est  radicem  3,  ct  radicem  3 dragmarum,  ucnient  5 dragme, 
et  radix  24  dragmai-um;  que  adde  cum  i4,  erunt  19,  ct  radix  24  : dc  quorum  radice 
abicc  medietatem  radicum,  scilicet  radicem  3,  ct  radicem  de  2,  remanebit  mdix  de  19, 
et  radicis  21,  diminuta  radice  3,  ct  radice  2 dragmarum  pro  quantitate  rei,  boc  est 
quesiti  aucris. 

Cuidam  aueri  addidi  7 Jragmas;  el  multiplicaui  aggregatum  in  radicem  tripli  ijtsius 
nueris,  prouenit  decuplum  ipsius  : pone  pro  ipso  auerc  rem,  ct  ad<le  ci  7;  ct  mul- 
tiplica aggregatum  per  radicem  trium  rerum,  ct  uciiicnt  to  res,  boc  est  decuplum  rei. 
Multiplica  ergo  10  res  in  se,  ucnient  100  census;  ct  multiplica  radicem  3 rerum  iu 
se,  ucnient  3 res;  et  multiplica  rem  7,  ct  dragiuas  iu  se,  ucnient  t census,  ct  I4  res, 
et  dmgme  49;  cum  que  multiplica  per  3 res,  ucnient  3 cubi,  et  42,  ct  census,  ct  res 
147,  que  equantur  censibus  l(K>:  abicc  ab  utraque  |)arte  42.  et  census,  remanebunt  3 
cubi,  et  147,  ct  res,  que  equantur  censibus  ss:  diuide  bec  omnia  }>er  rem,  et  ucnient 
3 ccn.sus,  el  dragme  147,  que  equantur  ss  rebus  : reduc  ergo  licc  omnia  ad  ccnsuni 


pr«ilklar«n  . . . . , <t  r.ilit  • 
(fiil.  2«)6  ta  li:  IM|. 

445. 1«.  4.7). 


4 


* I » 


JC*iX.  207  net». 

« O prvnniU  ....  4r«gfRaram  » 
Ool.  207  rrrfa.  lia.  2-4;  »•. 
445,  ha.  11  «t|. 

m d 


Digitized  by  Google 


446 

unum;  hoc  est  cliuidc  ea  per  9,  exibit  census,  el  dragme  49  equales  rebus  \ lO:  di- 
midia ergo  radixes  erunt  | 9;  que  multiplica  in  se,  erunt  | 93;  de  quibus  abice 

49,  remanent  ^ 44;  quorum  radicem,  que  est  | 6,  abice  de  medietate  radicum,  remane- 
bunt 3 pro  quantitate  rei,  scilicet  pro  auere  quesito. 

Su|)er  una  quaque  duarum  incqualiimi  quantitatum,  quarum  una  est  tnplum  alterius, 
addidi  radicem  eius,  et  multiplicaui  unum  ex  aggregatis  in  aliud,  et  prouenit  decu- 
plum maioris  quamtitatis  (r/c):  pone  pro  minori  quantitate  rem,  et  pro  maiori  3 res;  et 
adde  iitiicuiqiic  ad  conim  radicem  suam;  et  multiplica  unum  per  alium,  hoc  est  rem, 
et  radicem  rei  in  3 res,  et  radicem  3 rerum,  et  uenient  3 ceiistis,  et  radix  trium  cen- 
suum, et  radix  9 cuborum,  et  radix  3 cuborum;  quia  ex  miilliplicationc  rei  in  3 res 
ucuiuiil  3 census,  et  radicem  rei  in  radicem  3 rerum  jirouenit  radix  3 censuum;  et 
ex  re  in  radicem  trium  rerum  proucriit  radix  3 ciihorum  ; et  muUiplicalionc  trium 
rerum  in  radicem  rei  prouenit  radix  9 culHirum;  et  licc  omnia  c<|uantur  decuplo  ma- 
ioris quantitatis,  boc  est  30  rebus;  tolle  itaque  ab  utraque  parte  3 census,  el  radicem 
3 censuum,  rcniaiicbuiil  30  res,  diminutis  3 censibus,  et  diminuta  nidice  3 censuum, 
cr|ualcs  radici  9 cuborum,  el  radici  3 cuborum:  multiplica  (jiiidrm  30  res,  diminutis 
3 censibus,  el  diminuta  radice  3 censuum  in  se,  et  proueiiicnl  903  census;  et  cum  census 
mi-rriv  census,  et  radix  los  | censuum  census  census,  diminutis  tso  cubis,  et  diminuta  radice 
10H00  censuum  census,  que  equaiitur  multiplicationi  radicum  9 cuborum,  el  3 cuborum 
in  se:  nam  ex  multiplicatione  radicis  o cuboruiu  in  se  ueiiiunt  o cubi ; et  ex  ducta 
radice  3 culxmim  in  se  uentuni  3 cubi;  et  sic  liabentur  12  cubi;  et  ex  duplo  multipli- 
cationis radicis  9 cuborum  in  radicem  3 cultorum  prouenit  radix  los  cuborum  cubi,  que 
mdix  est,  sicut  radix  los  censuum  census  census.  Tulle  ergo  ab  utraque  parte  i^adicem 
ics  censuum  census  census;  et  adde  utriqiie  paili  iso  cultus,  uenient  ttts,  et  cubi,  qui 
cquantur  9 censibus  census,  et  003  censibus,  diminuta  radice  losuo  censuum  census:  di- 
uide  lice  omnia  per  rcnstim,  et  erunt  9 census,  et  itos  dragme,  dimiiuita  radice  lOBOO  drag- 
marum,  que  cquantur  rebus  i9s;  quia  rnm  diuiditur  cubus  per  censum,  prouenit  res:  di- 
uidc  ergo  liec  omnia  per  o,  ut  reducas  ea  ad  unum  censura,  et  erit  census,  et  dra^e 
J ioo,  diminuta  radice  dragnianim  | las,  que  cquantur  rebus  f 2i.  Age  secundum  al- 
xebra  in  boc;  et  est,  ut  multiplices  medietatem  radicum  in  se,  et  erunt  y 1I3;  de  quiltus 
abice  | loo,  dimimita  radice  j 133,  mnancbuiit  ^ I3,  et  radix  dragmarum  { 133;  quoium 
radicem  abice  de  } lo,  remanebunt  ^ lo,  diminuta  radice  dragmarum  | i3,  et  radicis 
j 133  pro  t|uanlilate  rei,  sciltccl  minoris  qualitatis  (ric). 

De  quodam  auere  accepi  radicem,  et  radicem  radicis  cius,  et  mdicem  2,  et  radicum 
cius,  el  radicem  quincupli  cius;  et  bcc  omnia  fiieniiit  10  dragme  : pone  pro  ipso  auere 
censum,  et  accipe  radicem  cius,  et  radicem  radicis  cius,  et  radicem  2 radicum  cius, 
et  radicem  spli  {sic)  cius,  et  erunt  res,  el  radix  rei  , et  radix  2 rerum,  e:  nnlix  s 
censuum,  equales  lo  dragmis:  proicc  ab  ulraquc  parte  rem,  et  radicem  s censuum;  et 
erunt  10,  diminuta  re,  el  diminuta  radice  s censuum,  equales  radici  rei,  et  radici  2 
rerum  : multiplica  ergo  lO,  minus  re,  et  diminuta  radice  5 censuum  in  se,  el  erunt 
100,  el  e census,  et  radix  20  censuum  cciisus,  diminutis  20  rebus,  et  dimimita  radice 
2000  censuum,  equales  radici  rei,  el  radici  2 rerum  ductis  in  se,  que  sunt  3 res,  et  radix 
8 censuum.  Adde  ergo  ulriquc  parti  20  res,  et  radicem,  et  suoo  censuum,  et  erunt 


Digitized  by  Googie 


4 »7 

toa  (Irngmc,  ct  0 ccn^ius,  cl  radix  so  censuum  census,  cqunies  S3  rebus  , ct  radici  8 
censuum,  et  radici  sooo  censuum.  Heduc  ergo  lotum  quod  liabcs  ad  censum,  et  est 
(|uud  duras  ipsum  iu  | dnigme,  diminuta  radice  | ortauc  dragme:  ct  duc  0 census, 
ct  radicem  20  censuum  cctisus  iii  J,  diminuta  radice  1*^  dragme,  et  proucuit  ccusus: 
et  duc  too  dmgmas  iu  J , diminuta  radice  dragme  , ct  proueiiit  | 37  , diminuta 
radice  J 78t  dragnianini:  ct  duc  S3  res  iu  diroimita  radice^,  ct  pnmcnient  8 res, 
I rei,  diminuta  radice  censum  ||4i:  ct  ducamus  mdirem  2aoo  censmim  in  diminiila 
radice  ct  prouenit  radix  ciMiSuum  |2si,  diminutis  ralms  \ i2:  deinde  duc  radi* 
cem  8 cciisiuirn  in  diminuta  radice  ^ , ct  prouenit  radix  cciisus  ~ i , diminuta 
radice  | census:  enmt  igitur  post  licc  omuia  census,  ct  dragme  37,  diminuta  nidicc 
J 781,  cqiiales  radici  censuum  | SHi,  ct  radici  census  \ i,  diminutis  rebus  J- 3,  et  di- 
minuta radice  censuum  4i,  ct  diminuta  radice  | uiiitis  census:  deinde  fac  ut  dictum 
est  superius  , cl  iiuienies  (picsitum. 

Trium  quantitatum  iiu^ptaliiim,  si  multiplicetur  minor  per  maiorem,  erit  sicut  media 
iu  sc;  ct  si  multiplicetur  maior  in  sc,  ticnit  sicut  minor  in  sc,  ct  sicut  media  in  $c  insimul 
iuiiclis;  et  ex  ductu  minoris  in  | medium  proueniuut  lo.  Pone  pro  minori  qu.  ntitatc  rem, 
et  pro  media  lO  diuisa  per  rem;  et  multiplica  lo  diuisa  per  rem  ia  sc,  ct  iicnicnt  loo  di- 
ulsa  per  censum;  que  diuide  |>cr  rem,  ticiiicnl  loo  diuisa  per  rubum;  licc  erit  maior  quan- 
titas: deinde  multiplica  minorem  quantitatem,  scilicet  rem,  in  se,  ct  uenient  census;  et 
multiplica  mediam  in  sc,  scilicet  lo  diuisa  per  rem,  uenient  loo  diuisa  i>cr  censum;  que 
adde  cum  censu,  cruul  census,  ct  ioo  diuisa  per  censum,  que  equantur  muUiplicalioui 
maioris  quantitatis  , scilicet  de  loa  diuisa  |»cr  cubum  in  se;  ex  <{ua  nmltiplicationc  pro- 
ucniuut  luu(H)  diuisa  per  cubum  cubi.  Multiplica  ergo  omnia  que  liabcs  per  cubum  cubi; 
ctcsl  multiplicare  per  cubum  cubi,  sicut  multiplicare  |icr  censum  census  census:  ergo  si 
multiplirumus  laooo  diuisa  per  culmm  cubi,  hoc  est  per  censum  censum  census,  uenient 
loauo:  et  si  mtiUiplicatiimus  censum,  sed  (jie)  quadratum  minoris  (pianlitatis  per  censum 
CCIISUS  census,  habebimus  inde  censum  cciisus  census  ccusus:  ct  si  quadratuta  medie 
quantitatis,  scilicet  iOO  diuisa  per  censum,  multiplicamus  per  censum  censum  census, 
ucnict  too  census  census;  ergo  census  census  census  cen-sus,  et  loo  census  census  equantur 
10000  dragmis.  INniamus  itaque  quadratum  .a.c.  censum  census  census  census,  et  erit 
unum  qiiod<|ue  latus  ipsiiLs  census  censtts;  quia  cum  mullipUeatur  censum  censos  in 
sc,  pruueuit  census  census  census  census:  ct  aiuiigamus  eidem  quadrato  superficiem 
que  sil  100  census  census;  ct  quia  .d.c.  csl  census  census,  erit  .c.e.  loo,  cura 
superficie  .d.e.f  que  est  too  cciisus  ceiLSUs,  sit  ex  .d.c.  iu  .c.e.;  et  quia,  ut  dictum 
est,  quod  census  census  cciisus  cciisus  , ct  too  census  census  equantur  toooo  ; ergo 
tota  superficies  .a*e.  erit  loooo:  quare  ex  ductu  .a.b.  in  .b.e.  , hoc  est  ex  .bx.  in 
.b.e.  proueniunL  toooo  ; quibus  si  addimus  quadratum  medietatis  tjue  sit 

habebantur  pro  qua<lralo  numeri  .b.f.  12300:  quare  .b.f.  csl  radix  de  12500;  de  qua 
si  auferatur  .c./.,  que  est  r>o,  remanebit  pro  quantitate  .b.e.  radix  12500,  diminutis 
50  dragmis:  sed  .b.c.  csl  cciisus  census;  ct  quia  res  est  radix  radicis  census  census; 
et  nos  possuimus  rem  pro  minori  quantitate,  erit  utique  ipsa  minor  quantitas  radix 
radicis  ex  radice  t2500  dragmarum,  diminutis  inde  so  : cl  quia  media  quantitas  fuit 
to  diuisa  per  rem  ; et  cius  quadratus  fuit  too  diuisa  j>er  censum  quadrati  quadrati 


r«i.  Mi 


cenint «ni»!)*  ••••  • 

<fol.  208  net»  ■ lin.  lS-11 1 
|M(.  443,  lia.  SS  SC). 

« 4 


* f / 


Digitized  by  Googie 


44S 

ipsius,  eiit  lOOOO  diiiisa  per  censum  census:  est  enim  superficies  .a.e.  loooo;  ct  colli- 
gitur ex  .a.b.  iii  .h.e>f  ct  .a.b.  est  census  census,  boc  est  <]uadrntus  quadrati:  si  di- 
uidamus  KHMM)  per  censum  census,  ucniet  quantitas  .h.e.  pro  quadrato  quadrati  me- 
diane quantitatis  quesilc:  seti  ,6.e.  est  quantum  .b,f,  ct  sed  .b.f.  ei  (s/c)  radii 

tssoo,  ct  .f.e.  est  so;  ergo  mediana  quantitas  est  radii  radicis,  ct  radice  (j/c)  de  itsoo,  et 
ex  50  dragmis  : maior  uero  quantitas  erit  radix  amborum  quadraturum,  qui  fiunt  a 
minori,  ct  a media  quantitate;  ct  bcc  est  radix  radicis  radicis  12500,  minus  50  dragmis, 
cl  radicis  radix  12300,  ct  50  dragmarum. 

£t  si  dicatur:  diiiisi  10  in  a partes;  ct  fuit  multiplicatio  minoris  |>cr  maiorem  sicut 
multiplicatio  medie  partis  in  se;  ct  multiplicationes  minoris  in  se,  ct  medie  partis  in 
sc  sunt  sicut  muitiplicatio  maioris  partis  in  se:  poiic  primum  pro  minori  parlc  dragmam, 
ct  pro  millia  rem,  ct  pro  maiori  censum;  et  buc  facies,  quia  multiplica  (s/c)  dragma,  que 
est  minor  {>ars,  in  censum,  qui  est  maior  |>ars,  est  sicut  multiplicatio  medie  {lartis,  scili- 
cet rei  in  sc:  deinde  ninlliplica  dragmam  in  se,  ct  uenit  dragma;  ct  multiplica  rem 
in  sc,  uenict  census;  et  multiplica  censum,  hoc  est  maiorem  partem  in  se,  cl  prouenit 
census  census,  qui  cquutur  censui,  qui  prouenit  cx  rc  ducta  in  se,  ct  dragma,  que 
i»i.  20H  prouenit  ex  dragma  ducta  in  sc:  sed  quando  census  census  cqiiatur  censui,  | et  dragme 

est  sicut  quando  cqualur  census  rei,  et  dragme.  Verbi  gratia:  pro  ccnsti  census  esto 
quadratus  .a.g.,  cuius  latus  est  .b.g.‘,  cl  accipiatur  in  .b.g.  recta  .b^.^  que  sil  1 ; 
ct  per  punctum  ,e.  protnibutur  liiiea  .e.c.,  erit  ita  stipcrncics  M.e*  cciisus,  cum  pro- 
uenit cx  ducta  ^n,b.f  que  est  census,  in  que  est  i;  remanebit  ergo  supcrlicies 

.c.g.  1,  ct  pniuciiit  cx  .g.e.  in  .ex.t  boc  est  cx  .g.e.  in  .b.g.  Nunc  diuidamus  .b.e> 
in  duo  equa  ad  punctum  ./.  , et  erit  rauhiplicalio  ,e.g.  in  .b.g.  cum  .e.f.  in  .se, 
sicut  multiplicatio  .g.f.  in  se  : sed  cx  multiplicatione  .e.g.  in  .b.g.  prouenit  1 ; ct 
cx  nuiltiplicaliutie  que  est  medietas  dragme,  prouenit  } ; ct  sic  pro  quadrato 

numeri  .g.f.  luibelur  ^l  : ergo  .gf.  est  radix  de  J i ; cui  si  addatur  f .b.f  que  est 
i dragme,  habebitur  pro  tota  .b.g.  radix  de  ~ 1 dragme;  cl  est  .b.g.  census,  cum  lotus 
quadratus  .a.g.  .sit  census  census:  et  quia  pro  maiori  parlc  posuisti  censum,  erit  itaque 
ipsa  maior  pars  radix  | i,  cl  ^ dragme,  quorum  radix  csl  media  pa*v;  et  minor  pars 
est  1,  .sc'ilicet  dragma:  et  nim  bec  tres  partes  coniuncte  non  cquentur  lo  dragmis;  ct 
nos  ncliiniis  10  in  siiprascriptu  coiidiliotic  diuiderc,  erit  sicut  coniuiicUim  cx  bis  tribus 
partibus  iiiucntis  ad  to,  ita  dragma  ad  id,  quod  prouenit  ex  <0  minori  ]>arti:  quare  po- 
namus, ul  cx  ipsis  10  ueiiiant  minori  )Kirti  rc  (i/c);  erit  .sicut  coniunclum  cx  predictis 
tribus  partibus  inuctitis  ad  10,  ita  dragme  ad  rem:  quare  multiplicatio  rei  in  predictas 
tres  partes  inuentas  erit  cqualis  mulliplicationi  dragme  in  10:  quare  multiplicemus 
rem  ipsas  (j/c)  tres  |>arles;  et  cx  multiplicatione  rei  in  dragmam  ueiiiet  res;  et  cx  mul- 
tiplicatione rei  in  radicem  radicis  l > ct  medietatis  dragme  proueiiit  radix  census 
census  {•  1,  ct  medietatis  census;  ct  iiuiUiplicationc  rei  in  radicem  ^ 1,  cl  in  medie- 
tatem dragme  prouenit  radix  census  J 1 , et  medietas  rei;  que  omnia  cquanlur  10. 
Tolle  ergo  ab  utraque  parte  rem,  el  medietatem  rei  , ct  radicem  census  J 1 , rema- 
nebunt 10,  diminuta  re  | 1,  ct  diminuta  radice  census  J 1,  equalcs  radici  radicis  census 
census  j 1,  et  medietatis  census  : multiplica  ergo  10  minus  re  | l , et  minus  radice 
census  J 1 in  se,  ct  uenieut  100,  et  census  j 3,  et  radix  censuum  census  ^ 11,  dimi- 


Digitized  by  Googie 


4iO 

nutis  30  reIjuSy  et  diminuta  radico  soo  censuum,  qui  cquaiilur  muUijdicationi  radicis 
radicis  cciisus  censns  y l , et  medielalis  census  ; que  multiplicalio  est  radix  census 
census  ~ t,  et  medietas  census  : tolle  ah  ulraque  parte  medietatem  census,  et  adde 
iitriquc  {larti  30  res,  et  mdirem  oAO  censuum,  et  erunt  loo,  et  tres  census,  et  radix 
ceiisimm  census  [ tt,  eqiia)es  30  rcims,  et  radici  soo  censuum,  et  radici  census  census 

1 1 : tolle  iterum  ah  iitraqiie  {>artc  radicem  census  census  | i;  et  lioc  est,  ut  de  ra- 
dice censuum  census  ^ n extrahas  ra«licem  census  census  i ; et  hoc  est  dc  radice 

2 M eitrahcie  radicem  J t:  est  enim  radix  dc  J ii  sicut  3 radices  dc  J i.  Viidc  si  ex 
ipsis  trihus  radicibus  auferamus  unam  radicem  de  \ i,  remanebunt  s radices  de  | t, 
que  sunt  una  radix  i dni^martim:  propter  quo<I  cum  dc  radice  ceiisiiiim  census  f ii 
tollatur  radix  census  ectisns  [ l,  remanet  inde  radix  & censuum  census;  cl  sic  joi),  et  tres 
census  , et  ra<lii  9 censuum  census  cquantur  30  robus  , et  radici  900  censuiini  : et 
reduc  cr^o  3 census,  et  radicem  9 reiisiiiim  census  ad  censuni,  et  est  ut  multiplices 
illud  per  quartam  j>artem  minicri  sui  recisi:  nam  recisus  ipsius  hiiiomii  est  3,  minus 
radice  dc  5;  in  quo  reciso  si  multiplices  3 census^  et  radicem  5 censuum  cetisns,  iieiiicnt 
inde  4 census:  quare  multiplices  3 census,  et  radicem  5 censinim  rcnsiis  per  quartam 

ipsius  recisi,  scilicet  per  -J,  | diminuta  radice  ^ dra}*i!ic,  uenict  census;  et  ideo  miil-  w.  ivnn. 
tiplica  100  per  mimis  radice  ueniciit  7S7,  diminuta  radice  3lS3  , que  siint  cum 
censu;  ct  multiplica  iterum  30  res,  ct  radicem  500  censuum  per  * , diminuta  radice 
uenient  10  res  tantum;  quia  ex  \ in  30  res  uoiiiiiiit  res  \ it  addite;  et  ex  radice 
-g-  diminutu  in  radicem  900  censuum  iieniuiit  res  *•  ii  diminute;  qtiilms  extractis  dc 
radicibus  ~ ss,  remanet  <0  res,  ut  diximus.  Relinquimus  quidem  miiUiplicationein  de 
J in  radicem  soo  censuum  aditum,  cum  sit  cqualis  diminute  miiUipIicationi  radicis 
in  30  res:  i|)sis  his  itaque  intellectis,  extrahe  73,  diminuta  radice  3iss  , dc  quadratu 
medietatis  radicum,  scilicet  dc  ss,  rem  uchit  radix  de  3its,  minus  5 dragniis;  quorum 
radicem  acci|>c,  cl  extrahe  eam  ex  medietate  radicum,  scilicet  dc  5,  remanebunt  s, 
diminuta  radtee  radicis  3129,  minus  50  dragniis;  ct  licc  sunt  minor  pars.  Ft  st  indumiis 
maiorem  )>arteni  inucnire  , |>niics  pix»  ipsa  dragmam  , et  pro  media  radicem  rei  , cl 
pix>  minori  parte  rem;  ct  hoc  facias,  ut  sit  multiplicatio  rei  in  dragmam,  sicut  mul- 
tiplicatio radicis  radicis  rei  iu  se  : et  quia  propcxsittim  est,  ut  imillipitcalio  minoris 
partis  in  sc,  cl  media  in  se  sunt  sicut  multiplicatio  maiori.s  in  se  ; multiplica  ergo 
minorem  in  se,  scilicet  rem,  uenict  census;  ct  multiplica  medinm  iii  se,  scilicet  radicem 
rei,  et  uenict  res;  et  sic  habes  censuni  ct  rem,  que  c:|unntur  imilliplicationi  dragme, 
scilicet  maioris  partis  in  se;  que  imiUipIicalio  est  1 : diuidc  ci^o  hoc  secundum  al- 
gebra;  ct  est,  ut  diiiidas  miiiicnim  rei  in  duo  etpia,  ueiiiet  cuius  quadratum  adde 
dragme,  erit  dragma  j 1;  de  cuius  radice  abice  | , ct  remaiiebil  pro  quantitate  rei 
radix  dc  J i,  subtracta  inde  niediclalc  dragme;  et  lioc  est  pro  minori  parte,  cuius 
radix  est  pro  media  parte,  et  est  radii  radicis  dc  ^ 1,  mirius  ~ dragme;  pru  maiori 
liero  parte  posita  est  dragma:  et  quia  bce  tres  partes  posite  insimul  iuncte  non  sunt 
10  , sit  sicut  1 est  ad  summam  ipsarum  trium  jiairium,  ita  res  aliqua  sil  ad  fO;  et 
erit  multiplicatio  ipsius  rei  in  summam  ipsarum  ttium  jmi  lium  sicut  multiplicatio  de 
I in  10:  quare  miittiplicn  drngmam  |>cr  rem,  ct  uenit  res;  cl  multiplica  to  in  radicem 
radicis  de  * 1,  minus  I,  uenict  radix  radicis  census  census  J 1 , mimis  i census;  et 

97 


Digitized  by  Googie 


450 

multiplica  rem  in  radicem  de  i,  minus  uenit  radii  census  | i,  minus  7 rei;  et 
sic  habes  reiUy  et  nidicern  radicis  census  census  | t,  minus  | census,  et  radicem  census 
I i,  minus  • rei,  que  equatur  10  dragmU  : proice  itaque  ab  utraque  rem,  minus  roc* 
dictate  rei  , et  radicem  census  -j  i , qiic  cquantur  radici  nidicis  census  census  J 1 , 
minus  medietate  census.  Multiplica  ergo  iitnimquc  partem  in  se,  ct  multiplicatione  (rre) 
10,  minus  ~ rei,  ct  minus  nidicc  census  \ 1,  habebuntur  too,  ct  census  ~ 1,  et  radix 
ceiisiis  census  1 1,  diminutis  to  rebus,  et  diminuta  radice  500  censuum,  que  crpiautur 
imiltiplicalioiii  radicis  radicis  cciisus  rciisus  | 1,  minus  medietate  census  • t;  que  muU 
tiplicalio  est  ratlix  census  census  { 1,  minus  | census;  adde  ergo  utri(]ue  jiarti  \ census, 
ct  10  res,  ct  radicem  soa  censuum;  ct  tolle  ab  utraqiic  parte  radicem  census  census 
Jl,  ct  erunt  duo  census,  ct  100  dragme  equales  10  rebus,  ct  radicem  soo  censuum. 
Dimidia  ergo  omnia  que  lialies,  ut  reducas  ca  ad  censum  unum  , et  uenient  census 
so  equales  5 rebus,  ct  radici  123  : dimidia  ergo  radices  et  radicem  12S  censuum,  que 
sunt  J 2,  el  radix  { 31;  ct  multiplica  eas  in  se,  ueniciit  J 37,  et  radix  | 781;  de  quibus 
allice  50,  f|iic  siiiit  cum  cctisu,  iviiiaiicbil  radix  ~ 78i,  diminutis  dnigmis  ^ 12;  quorum 
radicem  abice  ex  medietate  radicum,  scilicet  dc  | s,  et  radice  ^31,  remanebunt  72, 
u ct  radix  | {31,  diminuta  radice  difTerciitic,  que  est  inter  { 12,  ct  radicem  { 78i;  et  liec 

sunt  maior  pai's.  Miuurem  ucro  partem  inueninuis  esse  s,  diminuta  radice  dinereiitie, 
que  est  iiitcr  so,  ct  radicem  3125  dragiuaniin.  Viidc  si  bas  duas  iuueiilas  extraxeris 
de  10,  remanebunt  pro  media  parte  { 2,  ct  radix  dinercnlic,  que  est  inter  so,  et  ra- 
dicem dc  3123;  ct  radix  diflcrcnlic,  que  est  inter  {12,  ct  radicem  | 781,  diminuta  ex 
bis  omnibus  nidice  | 3i.  Kl  nota,  quod  cum  diximus  superius  radicem  radicis  census 
ccn.sus  { 1,  miniis  niodiclalc  census,  tunc  intelleximus  radicem  acceptam  ex  radice  census 
census  { 1,  minus  medietate  ccmisiis.  Viidc,  cum  multiplicatur  iu  se  illa  radix  radicis, 
prouenit  radix  reiisiis  census  7 i,  .sublata  inde  medietate  census. 

Possumus  enim  ad  inuentiunem  medie  partis  cx  tribus  partibus,  que  fiunt  de  10, 
per  banc  aliam  uiam  peruenire:  uidelicet , ut  jKinamus  pro  ipsa  media  parte  duas 
dragtnas,  et  pixi  prima  radicem  rei;  ct  multiplicemus  radicem  rei  in  se,  ct  ueniet  res; 
ct  multiplicemus  duas  dragmas  iii  se,  uenieiU  4 dragme.  Agrega  ea,  et  habebis  re  (r/c), 
ct  4 dragmas,  qnc  cquantur  iniiltijilicalioiii  maioris  partis  in  se;  quare  maior  pars  erit 
radix  rei,  ct  4 dragmariim:  ct  quia  pmpoiiilur,  quini  iiuiltiplicala  minori  parte  in  ma- 
iorem pariem  est  sicut  media  in  se,  multiplicemus  radicem  rei,  scilicet  minorem  partem 
in  radicem  rei,  ct  4 dragmarum,  ueniet  radix  census,  ct  radix  4 rerum,  que  cquantur 
4 dragmis,  .scilicet  multiplicationi  duarum  dragmarum  in  sc;  multiplica  iterum  licc  in 
se,  et  erit  census,  ct  4 res  equales  ic  dragrnis:  dimidia  itaque  res,  erunt  2;  ct  cpie 
multiplica  in  sc,  ct  adde  cum  dragmis  ic,  cniiit  20;  dc  quorum  radice  abire  medie- 
tatem radicum,  remanebit  radix  to,  minus  2 dragmis,  pro  quantitate  rei;  (juorum  nidix 
est  minor  pars,  quia  jMissuiraus  eam  radicem  rei;  |Kirs  ucro  raaiur,  que  est  radix  rei 
el  4 dragmanim,  erit  radix  radicis  20,  ct  2 dragmarum;  ct  media  |>ars  est  2 dragme: 
et  quia  hcc  tres  partes  inuente  non  sunt  10,  erit  proportio  cumiiincti  ipsarum  ad 
10  sicut  pro{Kirtio  2 dragmarum  ad  id  quod  prouenit  mediane  parti , quod  ponamus 
esse  rem  ; et  ideo  niuUiplicatio  rei  ia  ipsas  tres  partes  erit  sicut  multiplicatio  2 in 
10:  ergo  multiplicemus  rem  ia  radicem  20,  minus  2 dragmis,  radice  eorum  inde  accepta. 


Digitized  by  Google 


4S1 

iicilict  ratlix  20  cciisuutn  census  , minus  2 censibus,  radice  inde  accepta:  et  mulli- 
pliceinus  rem  in  2 , uenient  2 res  : et  muUiplicemus  iterum  rem  iu  radicem  20  , et 
duarum  dra^marum,  uenlet  radix  radicis  20  censuum  census,  et  duurum  ceusuum;  que 
umnia  equaiitur  20  dragniis:  abicc  er^o  ab  utraque  parte  2 et  res,  erunt  20,  mitius  2 
rebus,  cqunies  nidici  radicis  20  censuum  census,  minus  2 censibus,  et  radici  radicis 
20  censuum  census  2 censuum  : nmUipiica  icitur  20,  minus  2 rebus,  iu  sc  , uenient 
400,  ct  4 census,  minus  so  rebus;  et  multiplica  radicem  20  ceiisutmi  ccnsiis,  minus  2, 
et  censibus,  acceptu  inde  radice;  et  radicem  20  censuum  census,  ct  2 ceusuum  , ac> 
cepta  similiter  inde  radice,  iu  se,  ct  cniiit  s census,  el  radix  so  census,  que  equanlur 
400  dragmis,  et  4 censibus,  diminutis  so  rebus:  adde  ergo  utrique  |mrli  so  res,  ct  tolle 
ab  utraqiie  |>arte  4 census,  leinancbuiil  80  res,  et  radix  80  cciismim  census,  ct  4 census 
cquales  400  drugmis  ; redige  ergo  radicem  ho  censuum  census,  et  4 census  ad  censum; 
et  est,  iit  multiplires  ea  per  radicem  ^'4,  niiiiiis  ^ drngme:  quare  ninhiplicu  BO  res 
in  radice  ^ , minus  ~ , uenict  radix  125  censuum , minus  s rebus  , que  sunt  cum 
ccnsii;  ct  tiitilliplica  400  per  radice  (rrc)  minus  ueiiiet  radix  312S,  mtims  2S  diagmis, 
que  cquantur  censui,  ct  radici  125  censuum,  | sublatis  inde  5 rebus:  dimidia  ei^o  radicem 
123  censuum,  miiius  5 rebus,  iiciiict  radix  | 31,  minus  J 2:  multiplica  ea  in  sc,  uenient  -J  37, 
minus  radice  4 TSi;  siijicr  que  adde  radicem  3123,  miiiiLs  23 : et  scias  quia  raiiix  de  3123  est 
duplum  radicis  { thi,  uenient  J 12,  et  radix  [tbi;  de  quorum  radice  abire  radicem^  31, 
minus  | 2,  remanebunt  dragnie  | 2,  ct  radix  diaginaium  \ 12,  ct  radicis  | 7Bl,  minus  radice 
“ 31,  pro  quntililalc  rei;  ct  liec  sunt  pai«  media.  Volo  demonstrare  quuniiMlo  accepta  radix 
radicis  20  censuum  census,  minus  2 censibus,  ct  accepta  radix  radicis  20  censuum 
census,  ct  2 censuum  imiltiplicentur  in  sc»  Sit  itaque  linea  .a.b.  radix  acepta  radicis 
20  censuum  census,  minus  2 censibus;  et  sit  radix  accepta  de  radice  20  cciisuum 

census  , ct  2 censuum  ; et  uolumus  scire  qiinmtum  (s/c)  ucniat  cx  -ft.g.  quantitate 
ducta  iu  se  . iam  scis  , qumi  quadrata  quantitatum  .a.b.  ct  .b.g.  cum  duplo  nJ>. 
iu  .b.g.  cqiiaiitui'  quadrato  qtiatililalis  .a.g. : ergo  imillipliccmus  .ri.b.  in  se,  et  ucnit 
radix  20  censuum  census,  minus  2 censibus;  et  ducamus  .b,g.  in  &e,  ueniel  radix  20 
censuum  census,  ct  2 census:  agicga  iicc  insimul,  uenient  2 radices  20  censuum  census, 
que  sunt  utia  radix  no  censuum  census  : ct  multiplica  qiiadruLum  t|uaiititatis  m.  b. 
iu  quadratum  quantitatis  .b.g.^  ct  linbebis  quadraltiiu  multiplicationis  ex  .a,b.  in  >b.g.: 
sed  niultiplicaliu  quadrati  ^.b»  iu  quadratum  .b.g.  ueiiiimt  ic  census  census  Iioc  modo: 
cum  multiplicatur  railix  20  censuum  census  per  radicem  20  censuum  census,  ueiiiunl  20 
census  census;  et  cum  muUiplicantur  20  census  additi  in  duos  census  diniimilos,  uc> 
iiiuut  4 cciisus  rciisiis  diminuti;  quibus  extractis  cx  20  censibus  census,  remanent  io 
census  census;  quorum  radix,  scilicet  4 censiis,  est  Id  quod  proucriit  ex  .a.b.  in  .b.g.; 
quorum  fliiplum,  si  addamus  super  radicem  bo  censuum  census,  habebuntur  utique  8 
census,  ct  radix  fto  ceusuum  census  pro  multiplicatione  quantitatis  .a.g.  in  se;  ct  lioc 
uolui  demonstrare. 

Kt  si  dicemus : diuisi  10  in  duas  partes,  ct  de  maiori  parte  extraxi  duas  radices 
eius;  ct  super  minorem  addidi  duas  radices  cius;  et  que  prouciieniiit  fuerunt  equalia. 

une  pro  minori  parte  3,  minus  re,  ct  pro  maiori  9,  ct  rem;  ct  accipe  2 radices  de 
5,  ct  re,  (|uc  sunt  radix  20,  ct  4 rerum;  ct  abicc  eamdcni  s ct  rc,  remanebunt  5 ct 


f*J-  21 1)  nr<  ti>. 


Digitized  by  Googie 


451 

ics,  diminuta  radice  20  dragmarum,  et  4 n;nim:  deinde  adde  super  s,  mitius  re,  1 radices 
eius,  que  sunt  una  radix  de  so»  minus  4 relms,  et  erunt  s,  minus  re,  et  radix  de  so, 
minus  4 i-ebus,  qnc  eqiiaiUur  5,  et  rei,  miiius  radice  10  diaguiarum,  et  4 rerum.  ToHe  ab 
iitramquc  prtero  {sic)  S,et  adde  iitriquc  parti  rem, et  radicem  20  dragmari]m,ot  4 rerum, et 
erunt  radix  10,  minus  4 rebus,  et  radix  20,  et  4 rerum,  e<|ualcs  1 rebus.  Multiplica  quidem 
utramque  partem  iii  se  , et  ucnient  ex  multiplicatione  2 renim  in  se  4 ceiLsus;  et  ci 
imdliplicatiune  radicis  20,  minus  4 rebus,  ct  radicis  so,  et  4 rerum  in  se,  uctiiuut  40,  ct 
radix  tr>ou  dragmarnm,  minus  g4  censibus;  que  mulliplicaliu  sic  fit:  ducitur  primum 
radix  so,  minus  4 rebus,  iii  se,  ueiiimit  so,  minus  t relms;  ct  ducitur  radix  so,  et  4 
rerum  iu  se,  cl  iieniiiiit  so,  ct  4 res;  congrega  ca,  ct  erunt  40  dragme;  cl  multiplica 
radicem  20,  niiiiiis  4 rebus,  in  nidiecni  :w,  cl  4 rerum,  et  ueiiict  una  radix  400  dragmarum, 
minus  10  censibus:  duplica  eam,  ct  erunt  s radices  400  dragmarum,  minus  10  censibus, 
que  sunt  una  radix  looo  dragmarum,  mimis  64  censibus;  ct  sic  pro  quesita  imilliplica* 
u-  ;uii  .<•/>«.  lioiie,{  ut  dictum  est,  Iiabentiir  40  dragme,  ct  radix  looo,  minus  64  censibus,  que  efjiiantur 
4 censibus:  tolle  ergo  ab  iitiaquc  parte  40,  et  erunt  4 census,  mitms  40  dragmls,  que 
equanlur  radici  icoo  dragmarum,  minus  C4  censibus  : multiplica  ergo  ladiccrii  icoo  , 
mitius  64  censibus,  in  sc,  ueiiient  I600  dragme,  minus  Ci  censibus:  et  multiplica  4 census, 
minus  40,  in  se,  et  ucnient  I6  census  census,  et  I600  dragme,  minus  320  censibus,  que 
eqiiantiir  diagmis  1601),  luiniis  64  censibus.  Adde  ergo  utriqtie  parti  320  census,  et  tolle  ab 
utrarjue  parte  tcoo  dragmas,  remanebunt  16  census  census  equales  256  censibus:  diuidc 
licc  omnia  per  censum,  et  ueniciit  I6  census  equales  256  dragniis:  diuidc  ergo  256  {>cr  I6, 
et  exibunt  ic  pro  quantitate  ceii.sus;  quorum  radix,  que  est  4,  csl  res:  quare  si  ad* 
dantur  4 super  5,  ct  (ollaiUur  4 dc  5,  babebufitiir  9 pro  maiori  parte,  ct  1 pro  minori. 

Aliter  tolle  dc  s,  ct  rc  duas  radices  cius;  ctadde  super  s,  mimis  re,  2 radices  cius, 
eiunl  5 et  res,  diininulis  2 indicilms  5 et  rei,  equales  dragmis  s,  minus  rc,  ct  duabus 
nidiciliiis  dragmarum  S,  minus  rc:  tolle  ei‘go  ab  utniniquc  (j/c)  jiarle  5,  ct  adde  utrique 
parti  rcin,  ct  duas  radices  dingiiiarum  5 ct  rei , ct  erunt  2 res  equales  duabus  la- 
diribus  s cl  rei,  cl  duabus  rudici)m.s  5,  minus  rc:  dimidia  ergo  liec  omiiiu,  et  erunt 
radix  5,  et  rei,  et  nidix  s,  minus  re,  c<|ualcs  rei.  Viide  si  miiUiplicaucrimus  rem  in 
se,  ucnict  census  equales  multipliratiimi  radicis  5 et  rei,  et  radicis  5,  minus  re,  in 
se;  cx  qua  nuiltiplicalioiic  proueninut  10,  el  radix  100  dragmanim,  diminutis  4 censibus: 
tolle  ergo  ab  utniquc  parte  10,  remanebit  census,  diminutis  10  dragmls,  equales  ra- 
dici dc  100  di^agmarum,  minus  4 censibas:  iiuiUiplira  ei^o  census,  minus  10,  in  se,  et 
ucnient  census  census,  cl  100  dragme,  minus  20  censibus:  ct  multiplica  radicem  loo, 
minus  4 censilms,  ia  se,  ucnient  100,  iniiius  4 censibus,  que  equanlur  censui  census, 
ct  100  diagmis,  diminutis  20  censibus.  Tolle  ergo  ab  u^raque  [larlc  100,  ct  adde  utrique 
]>arti  10  ceusus,  remanebit  census  census  equalis  16  censibus;  quare  census  est  I6,  et 
radix  eius  csl  4,  ut  superius  iniiciiimus. 

F.t  scias,  quod  cum  sujicrius  imieiiimus,  radiroin  S,  minus  re,  cum  radice  9 el  rei 
equari  uni  rei,  jiotuimus  aliter  quam  processibus  (»c)  proccdci*e;  uidelicct,  ut  tollatur 
radix  5 rei  ab  utraque  |Mirlc,  ct  erit  tunc  ros,  minus  radice  s,  et  ciit  equalis  radici  5, 
minus  rc:  tunc  si  mnUiplicaucrinms  ulra<[uc  partem  in  se,  que  prouciierint  erunt 
cipialia.  Vnde  multiplicemus  rem,  miiiu.s  radice  5 ct  rei,  ueniciit  census,  ct  s dragme. 


Digitized  by  Googie 


45} 

ct  rcS}  minus  radice  20  rensuura  4 cubimiin.  Verbi  gratia  : duc  rem  in  se»  proucriil 
census  ; et  duc  radicem  5 ct  rei  iii  se , iiciiiimt  dragrne  5 et  res  ; ct  sic  habemus 
cciisum,  ct  5 dragraas,  et  rem  : deinde  duc  dnpbiin  rei  in  diminutam  radicem  <ic5t 
ct  rei;  et  boc  est  tnuUi|dicare  nidicom  4 censuum  {H*r  radicem  5*  et  rei;  de  (}ua  mulluplb 
cutiuiic  immciiit  radix  20  reiisuum  4 cu]H)nim,  diiiiiiiiitu  (.»c)  census,  et  res,  ct  dragme 
5,  diminuta  radice  20  censuum,  el  4 ciiburum,  e(|uatiir  nuilli{dic«ilioni  radicis  5,  minus 
re,  ducta  iii  se,  scilicet  dnigmis  s,  minus  re.  Addamus  ergo  uln(|iic  parti  rem,  ct  ra- 
dicem 20  ceiisiium  4 culiorum;  el  udtainus  ab  utrarpie  parte  5,  rcmiiiiebit  ceusiis,  cl  2 
res  e<pialcs  ra<lici  2i)  censuum,  et  4 riiboruin:  mullipticemus  etiam  utraque  (.r/c)  partem 
in  se,  ct  uenieiit  censas  census  4 cubi,  4 ccasiis  equulos  20  censibus  4 cuborum.  Age 
ergo  in  eis  seciiiidtiin  algebra,  et  iiinetiies,  cctisits  census  equari  10  censibus : quare 
census  est  <o,  el  radix  cius  est  4,  ut  dictum  est. 

Est  eiiiiii  utilis  modus,  <|uem  dcniuslrarc  iicqiiiuimus  donec  inleltigaltir,  quiMt  quando 
duo  numeri  siiiit,  et  tollatur  ab  uno  eorum  una  uel  plures  radices  eius;  ct  super  alium 
addatur  eqiialis  multituilu  nidicum  ipsius,  et  que  pmuciicritil  fuerint  equalia;  tunc  equa- 
bimtur  in  numero  ucniciile  | cx  niultiplicatioiie  radicis  unius  eorum  in  radicem  alterius,  f'i.  2ii 

sicut  modo  ouenil  dc  t,  el  de  u;  quia  extractis  2 radicibus  dc  9,  remaiiscriiiit  3;  quibus  3 
equalur  1 cum  duabus  suis  radicibus;  ct  licc  tria  ucniuiit  cx  multiplicatione  radicis  dc  l, 

({uc  est  I in  radicem  de  9,  que  est  3:  ct  ego  usteudam  Iiec  tn  figura:  ponam  tetragonum 
.a.g.  pro  maiori  iiiinicro,  et  attabo  super  lineam  .gM.  quadratum  aliud  .//.e.,  quod  erit 
cipiale  quadrato  M.g.,  cum  ambo  sint  super  iimim  latus;  ct  anguli,  qui  ad  ,g.  sint  recti; 
et  tollam  cx  quadrato  .n.g.  quantuslibet  radices  cius,  ut  dicamus  3;  ct  siiit  superdeies 
.a.c.:  quare  si  superficies  .n.c.  est  2 radices  quadrati  .a.g.t  eril  recta  .c  </.  2 cx  numeris; 
ct  accipiam  in  rccla  .g.e,  rectam  .e./i.  equalcm  rcclc  .c.r/.;  ct  jwr  punctum  7i.  per- 
tiabani  (j/c)  rectam  .b.i.  cquidistantem  ulrique  rectarum  M.g.  et  .e./.;  ct  pmtraliaiii  li- 
ucam  .A-.c.  in  punctum  et  quoniam  cqualis  est  rccla  .g.e.  recte  cl  est  cqtialis 
recta  .c.7.  recte  .e./i.,  erunt  et  .g.c.,  cl  .g./t.  sibi  iniiicem  ctjualcs.  Equilatcrum  est 
ergo  quadhlatiTum  xJt.  et  ,e.  {sic)  etiam  recti  angulum,  cum  anguli  .gJt.  sint  recti;  ct 
recta  Ji.nt,  equidistet  recte  .g.c.',  quare  ([iiadnttum  est  quadrilaicrum  et  |K>iiaiii 
illum  pro  minori  numero;  el  quia  cqualis  est  recta  .eM.  recte  .r/.c.,  quot  unitates  sunt 
in  numero  tot  unitates  sunt  in  iiumeiv  .e./i.;  quare  quot  radices  in  superficies  .a.c.,  * 

cl  cx  quadrato  .a.g.,  tol  radices  sunt  in  stipcrlicie  .e.m.  quadrato  .c.h.i  et  quia  .b.g. 

«Mpialis  c-st  cx  .g.e.,  cqualis  erit  superficies  .k.g.  superficiei  .c.e.i  sed  superficies  .k.g.  est 
id  quod  reiiianet  cx  quadrato  .a.g.,  curartis  ab  eo  radicibus,  que  sunt  iu  sujierlicic 
.a.c.‘f  ct  siiperOcics  .C.C.  est  id  <|uod  pruuenit  cx  coniuncto  quadrati  .c./i.,  ct  radicum 
ipsius,  qiic  sunt  in  superficie  ergo  emn  cx  .a.g.  quadrato  lolluiititr  tot  radices 

eius,  quot  sunt  unitates  innumero  .d.e.}  el  su|»er  quadratum  x.h.  adduntur  tot  ra- 
dices cius,  quot  unitates  sunt  in  numero  .cJi.;  ct  numerus  .e.h.  cqualis  est  numero 
concordant  sibi  iiiuicem  in  superficie  .k.g.  , uol  in  superficie  .c.e.,  cum  anibc 
ipse  sibi  imiiccin  su|>crficies  sint  equales:  cL  quia  superficies  .k.g.  proueiiit  cx  ductu 
.g.c.  in  .b.g. ’,ct  .g.c.  est  radix  quadrati  .c./i.,  et  .b.g.  est  radix  quadrati  -a.g.;  nu- 
merus .a.g.,  diminutis  ab  eo  radicibus  , que  sunt  in  superficie  .a.c.  , eqnatur  cum 
numero  .c.h.,  cum  adduntur  ei  radices  cius,  qiic  sunt  in  numero  .e.m.  In  numero 


Digitized  by  Coogie 


454 

iiciiictilc  ex  multiplicatione  ratlicis  unius  in  rndicem  alterius ; et  lioc  uului  demon- 
strare. 

£t  |K)Stquam  liec  demonstrata  sunt,  diuidam  lO  in  duas  partes;  et  ponam  minorem 
partem  censum;  maiorem  ucro  lO,  minus  censu;  et  addam  super  minorem  partem  s 
i-adices  eiiis>  et  erit  census,  et  t res  , que  e(|uaiitur  mulliplicatiutu  radicis  minuris 
partis  ifi  radicem  maioris  , hoc  est  in  muilipUcationi  (i/c)  radicis  census  in  radicem  lo, 
minus  censu;  que  multiplicatio  est  radix  lo  censuum,  diminuto  censu  census;  et  licc 
est  radix  diflcrciitic,  que  est  inter  censum  census,  et  to  census:  deinde  multiplicemus 
censum,  et  s res  in  se.  ueniciit  census  census,  4 cubi,  et  4 census;  et  multiplicemus 
indicein  lo  censuum,  mitius  censu  census,  irt  se,  ueiiicnt  inde  lo  ccusus,  minus  censu 
census,  qui  equaiilur  consui  census,  et  4 cubis  el  4 censibus.  Age  itaque  in  cis  secun- 
dum ulgcbra,  et  eniut  i census  census,  et  4 cubi  eqtiales  e censibus:  dimidia  ber  omnia,  et 
erit  census  census,  et  2 cubi  eqiiales  3 censibus:  diuidc  bec  omnia  per  censum,  exibit  cen- 
sus, s res  cquaies  3 «iragmis.  Age  ergo  in  his  secundum  algeltni,  et  inuouies,  rem  esse  i; 
quod  multiplica  iu  se,  ueniet  i pro  quantitate  census:  et  quia  nos  {mssumus  (sic)  minorem 
partem  censum,  et  census  est  i;  ergo  minor  pars  est  1:  reliquum  quod  est  usque  in  lo, 
scilicet  9,  est  maior  pars.  Kt  si  nolumus  uti  figura  suprascripta,  possumus  alio  iikkIo  pro- 
cedere; et  est  ut  |Hmas  quadratum  .<7.g.  maiorem  |»artcin,  et  quadratum  .cJt.  minorem: 
tii  .«*#  abscidatur  a maiori  .a.g.  2 | et  radices  eius,  que  sunt  superficies  .n.c.;  quare  .r/.c.  erit  2: 
et  quia  ./<.c.  eqiialis  est  .c.r/.,  erit  similiter  2;  quare  superficies  .e.m.  continet  2 ra- 
dices quadmii  ergo  cum  adduntur  super  qiiadralum  .c.h.  2 radices  eius,  scilicet  su- 

perficies .//f.e.,proucnit  inde  suj>erficies  .c.e.;et  cum  tolluulur  ex  quadrato  .a.g,  2 nidtees 
eius,  scilicet  superficies  .n.c.,  remanet  superficies  .k.g.,  que  est  ec[ualis  superficiei  .c.e.: 
sunt  enim  suj>er  equas  bases,  et  in  eisdem  cqiiidislantibus;  biis  itaque  intellectis,  faciam 
quadratum  .c./i.  censum,  et  quadratum  .a.g.  lo,  minus  censum  (s/c);  et  adam  (s/c)  su|>ei' 
censum  .cJt.  superficies  ui.m.  et  .m.e.,  que  sunt  4 radices  eius,  cum  uiiaqticfpic  linearum 
,(i.c.  et  .e.h.  sil  2;  super  que  omnia  addam  quadratum  quod  est  4 dragme,  cum 

una  qucfjuc  linearum  .f.m.  et  .w./.  sit  2:  esi  enim  ./.m.  c<iualis  et  .m./.  recte 
Jt.e.:  et  sic  totum  quadratum  .i/.e.  constat  ex  censu  .c./t.,  et  ex  4 radicibus  cius,  et  ex  4 
drogmis;  et  est  quadratum  .(Lc.  ci|ua)is  quadrato  .a.g.^  scilicet  iO  dragmis,  minus  censu  : 
ergo  census,  et  4 its,  et  4 dragme  erpiantur  lo  dragmis,  minus  censu.  Adde  ergo  utrique 
l>arti  censum,  et  tolle  ab  utiimiquc  (s^/c)  parte  4 dragitias,  erunt  2 census,  el  4 res  crjualcs 
6 dragmis;  quare  dimidium  eonim,  scilicet  census  2 radices  efjuantiir  3 dragmis:  est 
enim  superficies  .c.c.  census  2 radices  cius;  ergo  superficies  ,c.e.  est  3 dragme  , el 
proucnit  ex  .c.g.  in  boc  ex  .gJi.  in  .g.e.',  ci^o  ex  .g.h.  in  .g.e.  ueniunt  3; 

quibus  si  addatur  quadratum  numeri  .//./<.,  (|uml  est  i,  liabcijuntur  4 pro  quadratu  nu- 
meri .g.n.',  ergo  .g.n.  est  2:  de  qiiibiLS  si  tollatur  .A.n.,  remanebit  .g./i.l.;  quo  in 
se  multiplicatu,  reddit  i pro  censu  .c./t.,  boc  est  pro  minori  parte;  quo  exliactu  de 
to,  remanent  9 pro  maiori  parte. 

Item  diuisi  lO  in  duas  partes  , el  diuisi  io  per  unamquamque  ipsarum  partium  , 
el  multiplicaui  unum  exeuntium  in  alium,  et  proucncrimt  \ 6:  notandum  est  primum, 
qiKxl  quando  ex  aliquo  numero  fiunt  2 partes;  et  per  unam  qiiara(|uc  ip.sarum  partium 
diuidilur  ille  numerus,  erit  nuiltiplicatio  unius  exeuntium  in  alium,  sicut  aggregatio 


Digitized  by  Googie 


455 

carundcm:  ad  quod  dcnumslraudumy  diuidatiir  aliquis  numcnis  ,a.  in  duas  |>aiics,  que 
sint  et  diuidaliir  per  .6.,  cl  ucniot  .e.;  ct  m.  per  .g.  , ueiiict  .//.  : dico 

quod  niiiltiplicatiu  .(L  in  .e*  est  .sicut  agregaliu  .fi.  nira  .e.;  quod  sic  prol»atiir:  cum 
diuiditur  ut.  per  .b.j  pruueiiit  .e.}  ci^u  cum  miihipliratur  .b.  per  .e.,  pmucnit  .a.: 
similiter,  cum  diuiditur  .a.  per  proueiiit  .r/.;  crg<»  cum  multiplicatur  .g.  per 
proueuit  .a.  : multiplicatio  quidem  cx  .b.  in  .e.  est  sicut  mutliplicatio  .g.  in  .d.  : 
quare  est  sicut  .b.  ad  .g.,  ita  .d.  ud  .e.,  r<miiinctim  ergo  sicut  .b.  et  .g.  ad  .g., 
ita  .d.  ct  e.  ad  .c.:  permutatim  ergo  sicut  .d.  et  .e.  ad  .b.  ct  .g.,  ita  ,c.  ad  .g.: 
sunt  ciiiiii  miniori  .b.g.  <n|uu1cs  numen»  .n.j  ergo  est  .sicut  .d.  et  .e.  ad  .<7.,  ita  ad 
.g.;  sed  .sicut  .e.  ad  .g'.,  ita  ductum  ex  .d.  in  .e.  ad  ductum  ex  .d.  iii  .g.:  sed  cx  ducto 
.d.  in  .g.  prouoiiit  .a.;  ergo  csl  sicut  .e.  ad  .g.,  ita  productum  c\  .d.  in  .4*.  est  ad 
M.:  fuit  etiam  sicut  .e.  ad  .g.,  ita  coiiiunctuni  ex  .d.  ct  ad  .a.;  ergo  coniunctum 
cx  .d.e.  ud  M.  est  sicut  ductum  cx  .d.  in  .e.  ad  .a.  Quare  cqtialis  est  multiplicatio 
.d.  in  .c.  coiiiuiictum  eoriimdciiq  cl  tiuc  iiului  demonstrare.  Possunt  enim  hcc  aliter 
inuestigari,  si  immeniur  iiuii  fueris  de  liiis,  que  sii|>erius  dcm«»strata  .sunt,  uidelicet, 
cum  omnium  duorum  numerorum  iimtsquis<|ue  diuidatiir  per  alium,  ct  multiplicetur 
unum  exeiiutilnis  iii  alium  , quod  inde  scniiH^r  prmienit  1 : etiam  ct  «piando  alnpiis 
numerus  fuerit  diui.siis  in  duas  paries,  et  diuidntur  ipse  numerus  per  unam  illaruin 
duarum  partium,  tpiod  id  <piod  proueuit  ex  diui.ssionc  addit  semper  1 stiper  id  quod 
prouciiil  cx  diuisiunc  ulterius  partis  in  ipsam  partem:  et  quia  hec  ita  sunt.  Ponamus 
aliquem  numerum  .a.  diiiisura  in  ]»arles  .b.c.}  cl  diuidatiir  x.  per  .6.,  ct  ueniet  res; 
ct  diuidatiir  .a.  per  .b.-,  et  ueniet  l plus,  idcsl  res  cl  dragma;  et  diuidatiir  .b.  per  .c.,  ct 
ueiiiet  denarius;  et  .a.  per  ct  ueniet  1 | plus,  idest  dragma,  ct  denarius  i:  ergo  cum  r„i.  *ii 
diuiditur  .tt.  per  proueuit  res,  cl  dragma;  ct  cum  diuiditur  .a.  per  .c.,  proucnit 
dragma,  cl  i:  dico  qiuHl  multiplir.  tio  rei,  et  draginc  per  denarium,  et  dnigmam  c.st 
c<{ualis  congregationi  eoriinulcm.  Ve>l>i  gratia:  ex  agrcgatioiic  quidem  eorum  prouc* 
niunt  2,  ct  res,  ct  denarius;  que  etiam  prouciiiunt  ex  multiplicatione  unliis  ipsarum 
|»artium  in  aliam;  quia  cum  ducitur  dragma  in  dragmam,  proucnit  l;  cl  ex  re  in  di* 
narium  f proucnit  l;  et  sic  liabcs  2:  et  cx  ducto  1,  quod  est  cum  dinario,  in  rem, 
proueuit  res;  similiter  cx  ducto  l,  quod  est  cum  re,  in  denaiium,  pronenil  denarius;  ct 
sic  luibes  i,  ct  rem,  et  dinariuiu  pro  nmlliplicalioiie  rei  ct  draginc  in  dinarium,  ct 
dragmam,  sicuti  liahuisti  pro  agrcgalione  eorum:  et  posl([num  hcc  manife.sta  sunt  ct 
aperta,  dicemus:  diuisi  10  in  duus  partes,  ct  per  unam  quamque  ipsarum  diuisi  10,  et  pro* 
iiencruiit  j 0.  Age  in  hiis  secundum  quod  in  consimili  questione  superius  dicta  sunt, 
ct  iuuoiiics  : ucl  |H>tie  pro  una  partium  2 , minus  re  , ct  pro  alia  8 , cl  rem  ; ct 
multiplica  unam  ipsarum  in  alia  , ct  illud  totum  per  ~ 6;  et  quod  ]>roucncrit,  op* 
pone  cum  100,  que  pruueniiinl  cx  ducto  10  in  se;  ct  ngc  secundum  algchra,  et  in* 
uenios,  rem  esse  uicliil;  quare  una  ipsarum  duarum  parcium  erit  i,  et  alias  (j:ic)  8:  et 
|H)$ucrimu.s  unam  illarum  duarum  partium  2 ct  rem,  alia  B,  minus  rc ; cl  multipli* 
cabiiniis  2 et  rem,  in  8,  minu.s  re;  ct  illud  lutum  ducemus  per  | 6,  quod  pruuenerit, 
erit  cqualc  luO  dragmis.  Vnde  cum  agimus  secundum  algebra  in  liiis  inueiiicmus  , 
rcin  esse  S;  quibus  additis  cum  2,  cl  extractis  de  8,  ucnient  2 pro  una  partium,  et 
8 pro  alia. 


Digitized  by  Googie 


4j6 

Kt  si  (licemus:  fcci  dtins  pailes  de  lOy  ot  per  unam  «piamquc  ipsarum  ditiUi  20,  et 
pmuencrunt  J 13  ; quia  to  sunt  | de  so  , accipe  ^ x > erunt  - 6;  quia  iii  qua 
pro|>urtioiic  sunt  lo  ad  ii),  in  eadem  est  numerus,  qui  proucnit,  qunndu  diuiduntur 
10  in  duas  partes  , et  diuiduntur  lO  per  unam  quamque  ipsaitim  duarum  parlium  ad 
iiumcrum,  qui  proueiiit  ex  diuisione  so  in  easdem  partes,  ut  inferius  demonsti-abo;  quare 
dic;  diuisi  lo  in  duas  partes,  et  diuisi  lo  per  imam  quamque  ipsarum,  et  prouenmint 
I f».  Age  in  Iliis,  ut  siipradictmn  est,  et  inueiiies,  unam  {»artem  de  io  esse  2,  ct  aliam  8: 
et  ut  demostrennis  que  pmmisi  in  hac  questione  . Sint  duo  numeri  .a.b.  ; ct  diui' 
datur  M.  in  duas  parlt\s,  que  sint  ,c.d.'f  et  diuidatiir  .a.  per  .c.,  uoniet  .c.;  cl  di- 
iiidatur  .(i.  per  .r/.,  ticniet  .f.\  ct  diuidatiir  At.  per  ,c.,  uenint  .g.;  ct  diuidatur  .b.  per 
iicniat  dieo  quod  est  si('ut  .a.  ud  At.y  ita  .e.f.  ad  niiinenis  ^gAi.f  quud  sic 
pndiatun  quia  cum  diiiiditur  .n.  per  .c.,  prouenil  .e.  ergo  cx  .c.  iii  .e.  pruueiiit 
.a.  Similiter,  cum  ditiidiuir  M.  per  .c.,  proucnit  .g.;  ergo  ex  .c.  in  .g.  proucnit  .b. 
Sed  ex  .c.  in  .r.  proucnit  .a.}  qiiurc  ost  sinit  ad  ita  .e.  ad  .g.:  similiter  , 
(piia  cum  muneri  .f.b.  niulliplicantur  per  faciunt  numerus  .o.b.\  quare  est  sicut 

.a.  nd  .h.y  ita  ad  .h.i  fuit  enim  siiiit  .n.  ad  ita  .e.  ad  .g.;  ergo  est  sicut 

,a.  ad  .b.y  ita  iiiiineri  .e.f.  ad  numeros  .gJt.  Viulc  si  .a.  ]>rmanuis  to,  et  At.  so;  ct 
diiiidantur  to  in  duas  paries,  et  in  unuimpiamquc  ipsarum  diuidaritur  lo,  ct  ucniant 
iiunieri  .e.f.’,  et  ditiidantiir  so  per  easdem  partes  de  10,  el  ueriiaiit  numeri  .g./;.,  qui 
sint  ^12,  ut  propositum  fuit:  erit  itaque,  ut  demnslnituiii  est,  sicut  .a.  nd  .b.,  ita 
.e.f.  ad  .g./i.,  scilicet  ad  | 12.  Sed  .a.  cx  .b.  est  medietas;  quare  numeri  .e.f.  ex 

iiuiiicris  .g./i.,  scilicet  ex  J 12,  sunt  scilicet  \ 6,  ul  juedixi:  et  si  minienis  .b.  esset 

plus,  ucl  minus  dc  lo,  somper  in  qua  proportione  essent  10  ad  ipsum  miniemm,  in 
eadem  cssciil  numeri  .e.f.  ad  numeros  .g.b.  Vnde  jMiles,  secrutidiini  hunc  modum,  in 
omnibus  similibus  questionilnis  proc  edere.  Sed  si  iiis  sine  inuentionc  numerorum  .e.f., 
m in  inuentionc  duarum  parlium  dc  lo,  aliter  | procedere;  ponamus  iterum  numeros 

et  e\  .n.  liant  2 ex  (Wc*)  partes,  (|iic  sint  .g>r/.;  in  quilms  diuidaintis  numeros  et 
uenient  numeri  .e.f.  et  -gAi.,  ul  supra  dicto  (.v/c),  «piod  nuiltiplicatiu  .g.  in  .d.  producta 
in  summa  numcnini  .g.b.  est  sicut  tmillipru'aliu  .ft.  in  .b.;  quod  sic  prolijitur:  quia, 

(It  dictum  est,  cum  imiltiplicaliir  .c.  in  .g.,  proiieriit  si  addiderimus  imnicmro  .d. 

III  muitiplicatione,  erit  iiiullipln  alio  .c.  iu  .g.,  scilicet  {sic)  hoc  est  .c.  in  .</.  ducta  iti 

.g.  ducta  in  ,d.,  sicut  multiplicatio  .d.  in  .b.  Ilcm,  quia  cum  dinidilur  {>er  .r/., 

proucnit  .b.;  ergo  si  nuiUijdicelur  .d.  (>cr  ./i.,  proucnit  .b.  Vnde,  si  in  comiine  ad* 
didciimu.s  numerum  .c.,  erit  multiplicatio  .d.  in  ./i.  ducta  in  .c.,  hoc  est  nuiUipli('alio 
.c.  in  .d.  ducta  in  sicut  imiltiplicatio  x.  in  .b.;  fuerit  etiam  nnilliplicntiu  .c. 
in  .d.  ducta  in  .g.,  sicut  .d.  in  ergo  nuilliplicatio  .c.  in  .b.  ducta  in  cunittiii* 
dura  cx  numeris  .g./t.  est  sicut  id  qutal  pioueuit  cx  .c.  in  .b.  , et  cx  .d.  in  .b.  : 
sih!  nunieii  .c.d.  sunt  sicut  .a.;  ergo  multiplicatio  .c.  in  .(/.  ducta  in  summa  iiuinc* 
romra  .g./i.  est  sicut  in  .b.;  ct  hoc  uolui  demonstrare.  Vnde  poncuUis  .a.  iO,  ct  At. 
2o;  et  (liuidaiittir  lO  in  duas  partes,  que  sint  .c.d.’,  in  quibus,  cum  diuiduntur  20,  prn- 
(leniunt  J 12,  qui  sint  numeri  .g.b.:  ct  ponamus  numerum  .C.  rem;  quare  numerus 
.d.  erit  10,  diminuta  re;  et  nuillipliccmus  .c.  ]ier  scilicet  rem  in  lo,  minus  re, 
ucnieiit  lO  res,  diminuto  censu;  quibus  ductis  in  ~ i$,  scilicet  in  numeros  .gAi.,  nii 


% 


Digitized  by  Googie 


AS^ 

illud  quod  poucncrit  «quale  200  dragmis,  scilicet  multiplicationi  numeri  .a.  in  nu« 
merum  hoc  est  .rf.  («e)  lo  in  20:  opjKjne  ergo  in  liis,  restaura  secundum  algebra» 
et  inucnies,  unam  partem  esse  s,  et  aliam  8.  Vel  pone  unam  partem  de  10  quinque  et 
rem,  et  aliam  5,  minus  re;  et  multiplica  miam  earum  in  aliam,  erunt  25,  minus  censu; 
que  duc  iii  I 12,  et  halndns  similiter  cqualc  200  dragmis. 

Et  si  dicemus:  de  to  feri  duas  partes;  et  per  uiinm  ipiamquc  (airtium  diuisi  20;  et 
multipiiraui  unum  exeuntium  numerorum  in  alium,  et  proueniimt  25.  Pone  iterum  nu- 
meros .a.b.}  et  ex  .a.  fiant  2 partes,  que  sint  .c.d.}  et  per  unam  quamque  ipsanim 
diuidatur  .a.  et  et  pnmciiicnt  numen  .e.f.  et  lam  scis  per  ea  que  dicta 

sunt  , que  est  sicut  .6.  ad  .a.  , Ita  numeri  .g.  h.  ad  miincrus  ,e.f.  : vnde  si  .b. 
duplus  est  ex  .a.,  dupli  sunt  .gJi.  ex  .f./.;  et  est  etiam  sicut  .a.  ad  .6.,  ita  .e.  ad  .g., 
et  .f.  ad  Ji. ; vnJc  si  dupli  sunt  .g./r.  ex  .e./.,  duplus  est  .g.  ex  .e.,  et  .4.  ex  .f.  t 
multiplicatio  ergo  .g,  in  .4.  erit  quadnipla  multiplicationis  ,e.  in  Et  si  tripli  snnt 
numeri  .g.h.  ex  erit  multiplicatio  .g.  in  .4.  noniipla  multiplicationis  .f.  in 
et  si  numeri  •gJt,  medietas  fuerint  numerorum  .e./l,  erit  multiplicatio  .g.  in  Ji,  quarta 
pars  multiplicationis  .e.  in  et  sic  inteiligas  in  quolibet  casu  : vnde  si  {lonamus 
.b.  20,  et  .a.  10,  erunt  numeri  .g-4.  dupli  numerorum  .e./.;  quare  ex  ,g.  in  .4.  pro- 
uenit  quniliuplum  numeri  uenientis  ex  .e.  in  .f,:  sed  ex  .g.  in  .4.  pro|>osituni  est 
ucnirc  15;  quare  quarta  eorum  pars,  scilicet  | e,  iieniel  ex  .e.  in  demonstratum 
est  enim,  quod  multiplicatio  .e.  in  ./.e.  est  sicut  agregalio  .e.  cum  ergo  numeri 
.e-f.  sunt  \ 6.  Vnde  reuertere  ad  questionem,  et  dic:  ex  IQ  feci  2 partes;  et  per  unam 
quamijue  diuisi  10,  et  prouciicnmt  ~ e.  Age  pist  liec  secundum  qucnl  dictum  est  superitis, 
et  inucnies.  Aliter:  adiaccant  numeri  prc$cri)>ti  ordine  eodem;  et  multiplicetur  .e.  in 
.d.f  et  ueiiiat  .4.;  ex  .g.  in  .4.  ueitiat  .4.:  dico  quod  multiplicatio  ,k.  in  est  sicut 

multiplicatio  .b.  in  se;  et  erit  .4.  medius  in  ]>ortione  (x/c)  inter  .4.  et  quod  sic 

probatur:  quia  cum  .4.  diuiditur  per  .e.,  prouenit  .g.;  et  si  multiplicatur  .e. *in  .g., 
proucnit  .4.:  comuniter  addatur  numcius  erit  multiplicatio  x.  iu  .g.  ducta  in  .d.% 
sicut  I .d.  in  .4.;  sed  miiltipticalio  .e.  in  .g.  ducta  in  .d.  est  sicut  multiplicatio  .e.  r»i.  sii 
in  .d.  ducta  in  .g.  : sed  ex  x*  in  .d.  proucnit  .4.  ; ergo  multiplicatio  x.  in  .d, 
ducta  in  .d.  est  sicut  .4.  in  .g.  ; qimrc  multiplicatio  .4.  in  .g.  est  sicu*  multipli- 
catio .d.  in  .4.  : comuniter  addatur  in  multiplicatione  numerus  .4.  ; cl  erit  multi- 
plicatio .4.  iu  aI.  ducta  in  .4.,  sicut  multiplicatio  .4.  in  .g.  ducta  in  .4.  : sed  ex 
.g.  in  .4.  pruuenit  ergo  ex  .4.  in  J.  proucnit  sicut  .4.  in  .d.  ducta  in  .4.:  sed 

ex  .d.  in  .4.  pruuenit  .4.  ; quia  cum  diuiditur  .4.  per  ,d.  proucnit  .4. ; ergo  ex 

ductu  .4.  in  .d.  , et  productu  in  .4.  est  sicut  .4.  in  se  ; ci^o  ex  .4.  in  ./.  pro- 

ueiiit  sicut  ex  .4.  in  se;  et  hoc  tiolui  deraostrarc.  Nunc  reuertamur  ad  questionem , 
et  dic:  diuisi  10  in  duas  partes,  que  sint  .e.  et  .4.;  et  in  ipsis  diuisi  numerum  .4., 
qui  sit  20,  et  prouenerunt  numeri  .g.4.;  et  multiplicaui  .g.  in  .4.,  et  proucnit  qui  {sic) 

./.est  25:  deinde  {hhic  X.  rem;  quare  .d.  erit  10,  minus  re;  et  multiplica  rem  in  10, 

minus  re;  et  illud  totum  duces  in  scilicet  in  15  ; et  quod  proucnit  erit  equale 

400  drngmls,  scilicet  multiplicationi  ,d.  in  se.  Vel  pone  .e.  5,  minus  re;  et  .d.  erit  s et 
res;  et  multiplica  S,  minus  re,  in  s,  et  rem;  et  illud  tutum  peris,  et  habebis  simili- 
ter (M|ualc  400  dragmis.  Vel  aliter  : quia  multiplicatio  .4.  in  est  sicut  .4.  in  se, 

58 


Digitized  by  Google 


■15» 

numeri  .kM.L  in  coiidiiua  pruportiunc  suiil:  est  euim  sieut  ./.  ad  .6.»  iu  .b.  ad  .k. 
Viide  si  multiplicauerimus  .b.  in  se;  ct  summam,  que  est  400  , diuiserimus  per 
)>cr  ss,  ucnient  46  pro  numero  .k.\  sed  numerus  .k.  proueuil  ex  .c.  in  .d.',  ct  nu- 
meri .c.d,  sunt  10;  ergo  dic:  diuisi  lo  in  duas  ]>artcs,  ct  multiplicaul  unam  earum  per 
aliam  , ct  prouenerunt  16.  Age  in  his  secundum  algebra,  et  inucnies  , unam  illarum 
partium  esse  s,  ct  aliam  8. 

Bui-sus  diuisi  lo  in  duas  partes,  et  per  unam  illarum  diuisi  40,  et  per  aliam  so; 
et  multiplicaui  unum  exeuntium  numerorum  in  alium  , ct  proucncinmt  us  ; quia  40 
quadrupla  sunt  dc  lO,  so  sunt  quincupla:  multiplica  4 ]>er  5,  ucnient  lo;  de  quibus 
diuidc  (25,  ucnient  ; 6,  qui  sunt  id  quod  proucnit  quando  ex  lo  fiunt  duc  partes; 
et  diuidantur  10  per  unam  quamque  i|^rum.  Age  dcincejis,  ut  dictum  c.st:  ucl  pro 
una  duarum  partium  dc  lo  |>onc  s ct  rem,  pi*o  alia  5,  miuus  rc  ; multiplica  unam 
earum  in  aliam,  ucnient  25,  diminuto  ccusu;  que  mulliplica  per  12S,  ct  quod  prouc- 
iicrit  erit  cqualc  2000  draguiis,  scilicet  multipUcalioui  dc  40,  ct  dc  50;  ct  sic  studeas 
operari  in  similibus. 

Et  si  dicemus  tibi:  de  10  fcci  duas  partes,  ct  per  uuamquamque  earum  diuisi  10; 

et  quod  e ulraque  diulsiune  prouenit,  duxi  iu  se,  proucnit  jio:  accipe  radicem  dc 

{ 20,  que  est  \ 4;  et  erit  illud  quod  pmuenit  cx  ipsis  duabus  diuislonibus  suprascriptis; 
operare  dciiiccps  til  supra.  Et  si  discrit  (.ric):  diuisio  {sic)  10  in  duas  partes;  ct  per  unam 
quamque  diuisi  10;  ct  quod  proucnit  multiplicaui  in  .so,  et  prouetierunt  oo  dragme:  pone 
pro  una  duarum  partium  5 rem  {x/c),  et  pro  alia  S,  minus  rc;  et  dic  {sic)  unam  carum 
in  alia,  ct  cnint  25.  diminuto  censu;  que  multiplica  in  sc,  erunt  625,  ct  census  census, 
diminutis  50  censibus;  que  multiplica  per  30,  erunt  18750,  ct  30  census  census,  dimi- 
nutis 1500  censibus,  que  equantur  10000  dragmis  , que  proucniunt  cx  quadrato  dc  10 
multiplicato  in  sc:  adde  ergo  utrique  parti  isoo  census,  et  tolle  ab  utraque  parte  1000, 
remanebunt  30  census  census  87S0  dragme  eqiialcs  isoo  censibus:  reduc  ergo  bcc  omnia 
ad  censum  census;  et  est  ut  dluidas  ea  {>er  30,  et  erit  ccilsus,  et  dragme  ^ soi  cquales 

50  censibus  : dimidia  ergo  census,  et  medietatem  eorum  multiplira  in  sc,  ucnient  625; 

de  quibus  abice  | 201,  remanebunt  {333;  quorum  radicem  abicc  dc  2S  , remanebunt 
23,  dimiiiiila  radice  j 333  pm  quantitate  census  , quorum  radix  erit  res ; quam  rem 
adde  cum  5,  ct  tolle  ea  dc  5,  ct  habebis  quesitum.| 
w.  21J  ,’trM.  Item  diuisi  lO  in  duas  partes,  ct  per  unamquamque  diuisi  40  ; cl  quod  proucnit 
multijdicaui  in  sc,  ct  proucncruut  CiS:  pone  pro  una  parte  5 ct  rem,  ct  pro  alia  5, 
minus  rc;  et  duc  unam  carum  in  aliam,  ct  illud  tutum  per  25,  scilicet  per  radicem 
de  625;  et  quod  pruucnil,  equabitur  40  dragmis,  scilicet  multiplicationi  dc  10  in  40. 
Age  deinceps  ut  supra,  ct  inucnies  unam  ipsarum  |>arlium  2,  aliam  s. 

Diuisi  10  in  duas  partes,  et  per  unam  illarum  diuisi  lo;  ct  quod  proucnit  multi- 
plicam per  aliam  partem,  cl  proucncrutil  ^20.  Pone  uiiam  illarum  duarum  partium, 
ct  rem,  ct  aliam  10,  diminuta  re;  ct  diuide  10  per  rem,  exibunt  10  diuisa  per  rem; 
que  multiplica  per  10,  minus  re,  ucnict  100,  minus  10  rebus,  diuisa  per  rem  , que 
equantur  { 20:  multiplica  ergo  boc  totum  per  rem,  ucnient  100,  minus  10  rebus,  que 
equantur  rebus  | 20.  .\ddc  ergo  utrique  parti  10  res,  erunt  res  ^ 30  equales  100  dra- 
gmis : diuide  ergo  loo  per  J 30,  ucnient  -/pn'  ® quantitate  rei.  Residuum  quod 
est  usque  in  10,  scilicet  -j^lT 


Digitized  by  Googie 


tt  si  (licemus  lilti;  Ijg"  cuiusdam  census  inulli[>licaui  pee  30,  et  i|Uud  |iruueiiit 
fuit  c(|iialc  aditiooi  30  dragmanim,  ct  jj'  eiusdem  census:  pone  pro  i|KO  censu  rem, 
et  multiplica  30  res  per  30,  nenient  ooo  res,  (jue  equautur  30  rebus,  ct  30  dragmis; 
tolle  ab  ulraijue  jsirtc  30  res,  remanebunt  oio  res  eqiialcs  30  dragmis:  diiiidc  ergo 
30  per  S70,  ueniet  i dragme  pro  quantitate  rei. 


Digitized  by  Googie 


IMPRIMATUR 

Fr.  TR-  M-  Urrx»  Ord-  Pned.  C.  P A-  Mif  Sm. 
IMPRIMATUR 

Fr.  A L'gt*Biiiii  Nid.  Coat.  Archirj>.  tcu*.  Vicr-^. 


Digitized  by  Googie 


Digitized  by  Google 


Digitized  by  Googie