nvve RELANENMIERAANENSUNEE EE ESRI EN 5% KES EL MS US € BUS NOT TO BE SUED OÙT : OF. THE LIBRARY. ÉS%ZS% ra ORRERYENEC NT LUE 00052094  CULTN, Digitized with financial assistance from Shri Brihad Bhartiya Samai on 20 February, 2020 MECANIQUE ANALYTIQUE. On trouve chez M veuve COURCIER, , Jmprimeur-Libraire, aie des Augustins ; Les Ouvrages suivans du méme Auteur. Lecows sur le Calcul des fonctions, nouvelle édition , revue, corrigée et augmentée par l’Auteur ; un vol. in-80, 1806. Prix, 6 fr. Soc. Traité de la résolution des Équations numériques de-tous les degrés, ave des nos sur plusieurs points de la théorie des Équations algébriques ; roues édit, reyue et augmentée par l’Auteur, un vol. in-4° , 808. Prix, - 1afr. Théorie des Fonctions analytiques, contenant les principes du Calcul différentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d’évanouissans, de limites ou de fluxions, et réduits à l'Analyse algébrique Ges quautités finies, in-4° (au 5 de la République). Prix, 6 fr. MÉCANIQUE ANALYTIQUE, Par J. L. LAacrANGE, de PInstitut des Sciences, Lettres et Arts, du Bureau des Longitudes ; Membre due Sénat Conservateur, Grand-Officier de la Légion d'Honneur , et Comte de l'Empire. ni577 NOUVELLE ÉDITION, REVUE ET AUGMENTÉE PAR L'AUTEUR. TOME PREMIER. 5209 g ! A PARIS, M** V® COURCIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE POUR LES MATHÉMATIQUES. 1811, ne AVERTISSEMENT. Dr a déjà, plusieurs Traités de Mécanique, mais le plan de celui-ci est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science, et l’art ‘de résoudre les problèmes qui s’y rapportent, à des formules géné- -rales, dont le simple développement : donne toutes les équations nécessaires pour Ja solution de chaque problè me. Cet Ouvrage aura d’ailleursune autre utilité; il réunira et présentera sous un même point de vue, Le différens principes trouvés jusqu'ici pour faciliter solution des questions de Mécanique, en montrera la liaison et la dés pendance mutuelle, et mettra à portée de j juger de leur justesse et de leur étendue. Je le divise en deux Parties; la Statique ou la Théorie de l’Équilibre, et la Dynamique ou la Théorie du Mou- .vement; et dans chacune de ces Parties, je traite sépa- : rément des Corps éolides et des Fluides. * On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demähdent ni construc- tions, ni raisonnemens géométriques ou mécahiques, mais seulement des opérations algébriques. , assujéties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l’Analyse, verront avec plaisir la Mécgique en devenirunenouvelle branche, et me one gré d’en ‘avoir ‘étendu ainsi le domaine. Si mA ITonl 3 ° Tel est le plan que j'avais tâché de remplir: dans la Mc. anal. Tome I. b i AVÉRTISSEMENT: première édition de ce Traité, publiée en 1788. Celle-ci est à plusieurs égards un Ouvrage nouveau sur le même plan, mais plus ample. On a donné plus de développe- ment aux principes et aux formules générales, et plus d’étendue aux applications, dans lesquelles on trouvera la solution des principaux problèmes qui sont du ressort de la Mécanique. On a conservé la notation ordinaire du Calcul différen- tiel parce qu’elle répond au système des infiniment petits, adopté dans çe Traité. Lorsqu’on a bien conçu l'esprit de ce'systèmé, et qu’ons’est convaincu de l'exactitude deses résultats par la méthode géométrique des premières et dernières raisons, ou par la méthode analytique des fonc- tions, érivées, ‘on peut. emploÿer les infiniment petits comme un ihstrument sûr et commode pour abréger et simplifier les démonstrations. C’est aïnsi qu’on abrège les démonstrations des Anciens, par la méthode des indivisibles. | Nousallons indiquer les principales augmentations qui distinguent cette édition de la précédente, La première Section de la première Partie contient une analyse plus complète des trois principes de la Statique, avec des remarques: nouvelles sur-la nature et la. liaison de ces principes ; ‘elle est terminée par une. démonstration directe du principe des vitesses virtuelles, et tout-à-fait imdépendante des deux, a: autres principes, Dans la seconde Section, on démontre d’une manière plus rigoureuse que le principe dès vitesses virtuelles pour un nombre AVERTISSEMENT. iii quelçonque de forces en équilibre, peut se déduire du cas où il n’y a que deux forces, ce qui ramène direc- tement ce principe à celui du levier; on réduit à une forme plus générale les équations qui résultent de ce principe, et l’on donne les conditions nécessaires pour qu’un système de forces soit équivalent à un autre $ys- tème de forces, et puisse le remplacer. Dans la troisième Section, on établit d’une manière plus directe les for- mules des mouvemens instantanés de rotation, et de la composition de ces mouvemens, et on en déduit la théorie des momens et de leur composition ; on y expose une propriété peu connue du centre de gravité ,'et on donne une nouvelle démonstration des maxima et minima qui ont lieu dans l’état d’équilibre. La quatrième Section contient des formules plus générales et plus simples pour la solution des problèmes qui dépendent de la méthode des variations; et par la comparaison de ces formules avec celles de l’équilibre des corps de figure variable, on y montre comment les questions relatives à leur équilibre rentrent dans la classe de celles qui sont connues sous le nom de problème général des isopérimètres, et se ré- solvent de la même manière. La cinquième Section offre quelques problèmes nouveaux et des remarques impor- tantes sur quelques-unes des solutions déjà données dans la première édition. Dans lg Sixième Section, on a ajouté quelques détails à l’analyse historique des principes de l’'Hydrostatique. On a donné, dans la septième Section, plus de rigueur et de généralité au calcul des varia- tions des molécules d’un fluide, et on a rendu beau ir AVERTISSEMENT. coup plus simple l'analyse des termes qui se rapportent aux limites de la masse ‘fluide; on a déduit de ces termes la théorie de l’action des fluides sur les solides qu’ils' recouvrént, ou sur les parois des vases qui les renferment, et on en a tiré une démonstration directe de ce théorème que, dans l'équilibre d’un solide avec un fluide, les forces qui agissent sur le solide sont les mêmes que si le fluide ne formait qu’une seule masse avec le solide. On a ajouté aussi, tant dans cette Sectiori que dans la suivante qui traite de l’équilibre des fluides élastiques, quelques applications des formules générales de l'équilibre des fluides, | La deuxième Partie, qui contient la Dynamique, offre un plus grand nombre d’augmentations. Dans la première Section on a rendu plus complète et plus exacte dans quelques points l'analyse historique des prin- cipes de la Dynamique. Il y a dans la seconde Section uné addition importante, où l’on montre dans quels cas la for- mule générale de la Dyramique, et par conséquent aussi les équätions qui en résultent pour le mouvement d’un système de corps ,; sont indépendantes de la position des axes des coordonnées dans l’espace , ce qui donne le moyen de conipléter une solution où l’on aurait sup- posées ‘nulles quelques constantes , par l'introduction de trois nouvelles constantes arbitraires. Dans la troisième Section on a donné plus d'extension aux propriétés rela- tives au mouvement du centre de gravité et aux aires décrites par un système'de corps; on y a ajouté la théorie des axes principaux ou de rotation uniforme, déduite de AVERTISSEMENT. v la considération des mouvemens instantanés de rotation, par une analyse différefte de celle qu’on y avait em- ployée jusqu'ici; et on y démontre quelques théorèmes nouveaux sur la rotation d’un corps solide ou d’un sys- tème de corps, lorsqu'elle dépend d’une impulsion pri- mitive. La quatrième Section est à peu de chose près la même que dans la première édition; mais la cinquième Section est entièrement nouvelle ; elle reutetie la théorie de la variation des constantes arbitraires, qui a fait l’objet de trois Mémoires imprimés parmi ceux de la première Classe de l’Institut, pour l’année 1808, mais présentée d’une manière plus simple et comme une méthode géné- rale d’approximation pour tous les problèmes de méca- nique, où il y a des forces perturbatrices peu considé- rables par rapport aux forces RE Nous observerons ici, pour donner à cette théorie toute l'étendue dont elle est susceptible, que la fonc- tion J”, qui dépend des forces principales, ne peut être qu'une fonction exacte des seules variables indépen- dantes£, 4, e, etc., et du tempst, mais qu’il n’est pas né- cessaire que la fonction désignée par @, et qui dépend des forces perturbatrices, soit aussi de la même nature. Quelles que soient ces forces, si on les décompose, pour chaque corps m du systèmp, en trois X, Y, Z, suivant les coordonnées x, y, 4, et fendantes à les augmenter, il n’y aura qu’à réduire ces coordonnées en fonctions des variables indépendantes £, 4, ®, etc., et on pourra substituer à la place des différences partielles EL D etc. vi AVERTISSEMENT. les sommes respectives Sm(xE+YÉ+ZT, SXT+Y + ZT), etc. et par oi à la place de À.Q, la quantité Sm(XAx + Y£y + ZaAs), où la caractéristique A se rapporte aux constantes arbi- : da traires; de sorte qu’on pourra changer -— en Sn(XE +YŸ +ZS et ainsi des autres différences ne de Q. De cette manière , la méthode sera applicable à des forces per- turbatrices représentées par des variables quelconques. Enfin la sixième Section, qui est la dernière de ce volume, et qui répond au paragraphe premier de la cinquième Section de l'édition précédente , est aug- mentée de différentes remarques, et surtout de la so- lution de quelques problèmes sur les oscillations très- petites des corps; elle est terminée par la théorie des cordes vibrantes, que j’avais donnée dans le premier volume des Mémoires de Turin, et qui est présentée ici d’une manière plus simple et à l’abri des objections que d’Alembert avait faites contre cette théorie, dans le premier volume de ses Opuscules. TABLE. TABLE DES MATIÈRES CONTENUES DANS CE VOLUME. PREMIÉRE PARTIE DE LA MÉCANIQUE, ou LA STATIQUE. SECTION I. Sur les différens principes de la Statique. Page 1 SECT. IL Formule gériérale de la Statique pour l'équilibre d’un système quelconque de forces ; avec la manière de. faire usage de cette formule. 27 SEcT. IL. Propriétés générales de l'équilibre d’un système de corps, déduites de la formule précédente. 44 . 9° $ I. Propriétés de l'équilibre d’un système libre, relatives au mouvement de translation. 45 $ IT. Propriétés de l'équilibre, relatives au mouvement de rotation. 48 $ III. De la composition des mouvemens de rotation autour de différens axes, et des momens relatifs à ces axes. 57 $ IV. Propriétés de l'équilibre, relatives au centre de gravité. 62 $ V. Propriétés de l'équilibre, relatives aux maxima et minima. 66 SECT. IV. Manière plus simple et plus générale de faire usage de la formule de Yéquilibre , donnée dans la se- conde section. .74 $ I. Méthode des multiplicateurs. Ibid. $ II. Application de la même méthode à la formulé de l'équilibre des corps continus dont tous les peints sont tirés par des forces quelconques. 76 viij TABLE DES MATIÈRES. $ III. Analdgie des problèmes de ce genre avec ceux de marimis et minimis. Page 88 SECT. V. Solution de différens problèmes de Slatique. 105 Cuap. I. De l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un même point, £Y de la composition et décomposition des forces. Ibid. $ I De l'équilibre d'un corps ou point tiré par plusieurs forces. 106 $ II. De la composition et décomposition des forces. 110 Cuap. II. De l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un système de corps considérés comme des points, et liés entre eux par des fils ou par des verges. 116 $ I. De l’équilibre ‘de trois ou de plusieurs corps attachés à un fil inex- tensible, ou extensible et susceptible de contraction. 117 $ I. De l'équilibre de trois on de plusieurs corps attachés à une verge inflexible et roide. gd 127 $ If. De l'équilibre de trois ou de plusieurs corps attachés à une verge à ressort. 134 Caar. INT. De l'équilibre d'un fil dont tous les points sont tirés par des forces quelconques, et qui est supposé flexible ou inflexible, ou élastique , et en même temps extensible ou non. 136 S TL De l'équilibre d'un fil flexible et inextensible. 137 $ 11. De l'équilibre d’un fil ou d'une surface flexible et en même temps extensible et contractible. 147 $ III. De l'équilibre d’un fl ou lame élastique. 151 $ IV. De l'équilibre d’un fil roide et de figure donnée. 159 Car. IV. De l'équilibre d’un corps solide de grandeur sensible et de figure quelconque, dont tous les points sont tirés par des forces quel- conques. 168 SEecT.- VI. Sur les principes de PHyärostatique. 174 SecT. VIL De léquilibre des fluides incompressibles. 182 $ I. De l'équilibre d’un fluide dans un tuyau très-étroit. Ibid. $ II, Où l'on déduit les lois générales de l'équilibre des fluides incompres- sibles, de ja nature des particulec qui les composent. 188 TABLE DES MATIÈRES. î£ $:IIT. De l'équilibre d'une masse fluide libre avec un solide qu'elle recouvre, Page 204 $ 1V. De l'équilibre des fluides incompressibles contenus dans des vases. 212 Secrt. VIII. De Péquilibre des fluides compressibles et élas- tiques. 215 SECONDE PARTIE DE LA MÉCANIQUE, OU LA DYNAMIQUE. SECTION IL. Sur les différens principes de la Dynamique. 221 SECT. II. Formule générale de la Dynamique, pour le mouve- ment d’un système de corps animés par des forces quelconques. 247 SECT. IL Propriétés générales du mouvement, déduites de la formule précédente. 257 $ I. Propriétés relatives au centre de gravité. Ibid. $ IT. Propriétés relatives aux aires. 262 III. Propriétés relatives aux rotations produites par des forces d'im- pulsion. * 271 $ IV. Propriétés des axes fixes de rotation d'un corps libre, de figure quel- conque. 278 $ V. Propriétés relatives aux forces vives. 289 $ VI. Propriétés relatives à la moindre action. 296 SECT. IV. Équations différentielles pour la solution de tous les problèmes de Dyvamique. 304 SECcT. V. Méthode générale d'approximation pour les problèmes de Dynamique, fondée sur læ® variation des cons- tantes arbitraiges. . 325 TABLE DES MATIÈRES. $ I, Où l’on déduit des équations données dans la section précédente, une relation générale entre les variations des constantes arbitraires. P. 324 $ IT, Où l'on donne les équations différentielles les plus simples pour dé- terminer Îles variations des constantes arbitraires, dues à des forces perturbatrices. 329 $ III, Où l'on démontre une propriété importante de la quantité qui ex- prime la force vive dans un système troublé par des forces per- turbatrices. : 54a SECT. VI. Sur les oscillations très-petites d’un système quelconque de corps. 547 $ I. Solution générale du problème des oscillations très-petites d’un sys- tème de corps, autour de leurs points d'équilibre. Ibid. $ IT. Des oscillations d'un système linéaire de corps. 367 $ III, Où l'on applique les formules précédentes aux vibrations d'une corde tendue et chargée de plusieurs corps, et aux oscillations d'un fl inextensible , chargé d’un nombre quelconque de poids, et suspendu par ses deux bouts ou par un seulement. 38a $ IV. Sur les vibrations des cordes sonores, regardées comme des cordes tendues, chargées d'une infinité de petits poids infiniment proches l'un de J'autre ; et sur la discontinuité des fonctions arbitraires, 398 FIN DE LA TABLE DU PREMIER YOLUME. MECANIQUE ANALYTIQUE. PREMIÈRE PARTIE. LA STATIQUE. CLCLLRORVIOSVLLRLES SECTION PREMIÈRE. Sur les différens Principes de la Statique. L, Statique est la science de l'équilibre des forces. On entend en général par force où puissance la cause, quelle qu’elle soit, qui imprime ou tend à imprimer du mouvement au corps auquel on la suppose appliquée; et c’est aussi par la quantité du mouvement imprimé, ou prêt à imprimer, que la force ou puissance doit s’es- timer. Dans l’état d'équilibre la force n’a pas d'exercice actuel; elle ne produit qu'une simple tendance au mouvement; mais on doit toujours la mesurer par l'effet qu’elle produirait si elle n’était pas arrêtée. En prenant une force queltonque, ou son effèt pour unité, l'expression de toute autre force n’est plus qu’un rapport, une quantité mathématique qui peut être représentée par des nombres ou des lignes; c’est sous ce point de vue que l'on doit’ considérer les forces dans la Mécanique. Méc. anal. Tome I. x 2 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. L'équilibre résulte de la destruction de plusieurs forces qui se combattent et qui anéantissent réciproquement l'action qu’elles exercent les unes sur les autres; et le but de la Statique ‘est de donner les lois suivant lesquelles cette destruction s’opère. Ces lois sont fondées sur des principes généraux qu’on peut réduire à troisgs celui du Zevier, celui de la composition des forces, et Celui des vi- tesses virtuelles. 1. Archimède, le seul parmi les Anciens qui nous. ait laissé une théorie, de l'équilibre, dans ses deux Livres de Æquiponderan- tibus, où de Planorum œquilibriis, est l’auteur du principe du le- vier , lequel consisté, comme le savent tous les mécaniciens, en ce que si un levier droit est chargé de deux poids quelconques placés : de part et d’autre du point d'appui, à des distances de ce point ré- ciproquement proportionnelles aux mêmes poids, ce levier sera en équilibre, et son appui sera chargé de la somme des deux poids. Archimède prend ce principe, dans le cas des poids égaux placés à des distances égales du point d'appui, pour un axiome de Méca- nique évident de soi-même, ou du moins pour un principe d’expé- rience; et il rainène à ce cas simple et primitif celui des poids inégaux, en imaginant ces poids lorsqu'ils sont commensurables , divisés en. plusieurs parties toutes égales entre elles, et en suppo- sant que les parties de chaque poids soient séparées et transportées de part et d’autre sur le même levier, à des distances égales, en- sorte que le levier se trouve chargé de plusieurs petits poids égaux et placés à distances égales autour du point d'appui. Ensuite il dé- montre la vérité du même theorème pour les poids incommensurables, à l'aide de la méthode d'exhaustion, en faisant voir qu'il ne saurait y avoir équilibre entre ces poids, à moins qu'ils ne soient en rai- son inverse de leurs distances au point d'appui. Quelques auteurs modernes, comme Stevyin, dans sa Stalique, et: Galilée dans ses Dialogues sur le mouvement, ont rendu la démons- tration d’Archimède plus simple, en supposant que les poids atta-. PREMIÈRE PARTIE, SECTION I. c chés au levier soient deux parallélépipèdes horizontaux pendus par leur mélieu, et dont les largeurs et les hauteurs soient égales, mais dont les longueurs soient doubles des bras de leviér qui leur épondent .inversement. Car de cette manière les deux paral: épipédes sont en raison inverse de leurs bras de levier, et en même temps ils se trouvent placés bout-à-bout, ensorte qu'ils n’en forment plus qu'un seul dont le point du milieu répond pré- cisément au point d'appui du levier. Archimède avait déjà employé une considération semblable pour déterminer le centre de gravité d’une grandeur composée de deux surfaces paraboliques, dans la premiére proposition du second Livre de l'Équilibre des plans. D’autres auteurs, au contraire, ont cru trouver des défauts dans la démonstration d’Archimède, et ils l’ont tournée de différentes façons, pour la rendre plus rigoureuse; mais il faut convenir qu’en altérant la simplicité de cette démonstration, ils n’y ont presque rien ajouté du côté de l'exactitude. Cependant parmi ceux qui ont cherché à suppléer à la démons- tration d’Archimède, sur l'équilibre du levier, on doit distiñguer Huyghens, dont on a un petit écrit intitulé Démonstratio æquili- brii bilancis, et imprimé en 1693, dans le Recueil des anciens Mémoires de Académie des Sciences. Huyghens observe qu’Archimède suppose tacitement que si plu- sieurs poids égaux sont appliqués à un levier horizontal, à distances égales les uns des autres, ils exercent la même force pour incliner le levier, soit qu'ils se trouvent tous du même côté du point d'appui; soit qu’ils soient les uns d’un côté et les autres de l'autre côté du point d'appui; et pour éviter cette supposition précaire, au lieu de distribuer, comme Archimède les parties aliquotes des deux poids commensurables sur le même levier, de part et d'autre des points où les poids entiers sont censés appliqués , il les distribue de la même manière, mais sur deux autres leviers horizontaux et placés per- pendiculairement aux extrémités du levier principal, en forme de T; de cette manière, of a un plan horizontal chargé de plu- 4 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. sieurs poids égaux, et qui est évidemment en équilibre sur la ligne du premier levier, parce que les poids se trouvent distribués éu- lement et symétriquement des deux côtés de cette ligne; mais Huyghens démontre que ce plan est aussi en équilibre kur une droite inclinée à celleà, et passant par le point qui divise À levier primitif en parties réciproquement proportionnelles aux poids dout il est supposé chargé, parce qu’il fait voir que les petits poids se trouvent aussi placés à distances égales de part et d'autr de la même droite : d’où il conclut que le plan, et par conséquent le levier proposé. doit être en équilibre sur le même point. Cette démonstration est ingénieuse, mais elle ne supplée pas-en- tiérement à ce qu’on peut en effet desirer dans celle d'Archiméde. 2. L'équilibre d’un levier droit et horizontal, dont les extrémités sont chargées de poids égaux, et dont le point d'appui est au mi- lieu du levier, est une vérité évidente par elle-même, parce qu'il n’y à pas de raison pour que Pun des poids emporte sur l’autre , tout étant égal de part et d'autre du point d'appui. Il n’en est pas: de même de la supposition que la charge de l'appui soit égale à la somme des deux poids. Il paraît que tous les mécaniciens l'ont prise comme un résultat de l'expérience journalière, qui apprend que le poids d’un corps ne dépend que de sa masse totale, et nullement de sa figure (*). On peut néanmoins déduire cette vérité de la première, en considérant, comme Huyghens, l'équilibre d'un plan sur une ligne. Pour cela, il y a qu’à imaginer un plan triangulaire chargé de deux poids égaux aux deux extrémités de sa base, et d’un poids. € (*) D’Alembert est, je crois, le premier qui ait cherché à démontrer cette proposition; mais la démonstrhtion qu'il en a donnée dans les Mémoires de l’Acadé- mie des Sciences de 1769, n’est pas entièrement satisfaisante. Celle que M. Fourier a donnée depuis dans le cinquième cahier du Journal de l'École Polytechnique, est rigoureuse et très-ingénieuse; mais elle n’est pas tirée de la nature du levier, PREMIÈRE PARTIE, SECTION I. 5 double à son sommet, Ce plan sera évidemment en équilibre, étant appuy&sur une ligne droite ou axe fixe, qui passe par le milieu des deux côtés du triangle; car on peut regarder chacun de ces côtés comme un levier chargé dans ses deux extrémités* de deux poids égaux, et qui a son point d'appui sur l’axe qui passe par son milieu. Maintenant on peut envisager cet équilibre d’une autre ma- nière, en regardant la base même du triangle comme un levier dont les extrémités sont chargées de deux poids égaux; et en imaginant un levier transversal qui joigne le sommet du triangle et le milieu de sa base en forme de T, et dont une des extrémités, soit chargée du poids double placé au sommet, et l’autre serve de point d'appui au levier qui forme la base. Il est évident que ce dernier levier sera en équilibre sur le levier transversal qui le soutient dans son milieu, et que celui-ci sera par conséquent en équilibre sur l'axe sur lequel le plan est déjà en équilibre. Or comme l'axe passe par le milieu des deux côtés du triangle, il passera aussi nécessai- rement par le milieu de la droite menée du sommet du triangle au milieu de sa base; donc le levier transversal aura son point d'appui dans le point de milieu, et devra par conséquent être chargé également aux deux bouts. Donc la charge que supporte le point d'appui du levier qui fait la base du triangle, et qui est chargé à ses deux extrémités de poids égaux, sera égale au poids double du sommet, et par conséquent égale à la somme des deux poids. Si, au lieu d’un triangle, on considérait un trapèze chargé à ses quatre angles de quatre poids égaux, on trouverait de la même manière, que les deux leviers de longueurs inégales, formant les côtés parallèles du trapèze, exercent sur ‘leurs points d'appui des forces égales. 3. Cette proposition une fois établie, il est clair qu’on peut , ainsi qu'Archimède le fait, substituer à un poids en équilibre sur ua levier, deux poids égaux chacun à la moitié de ce poids, et placés sur le mème levier, à distance$ égales de part et d'autre du poiut 6 MÉCANIQUE ANALYTIQUE-: où le poids est attaché. Car l’action de ce poids est la même que celle d’un levier suspendu par son milieu au même point, etschargr: à ses deux bouts, de deux poids égaux chacun à la moitié du même poids, et°il est évident que rien n’empèche d'approcher ce dernier levier du premier, de manière qu'il en fasse partie; ou bien, ce qui est peut-être plus rigoureux, il n’y a qu’à regarder ce dernier levier comme étant tenu en équilibre par une force appliquée à son point de milieu, dirigée de bas en haut et égale au poids dont les deux moitiés sont censées appliquées à ses extrémités; alors en appliquant ce levier en équilibre, sur le premier levier qui est sup. posé en équilibre sur son point d'appui, l'équilibre total subsistera toujours, et si l'application se fait de manière que le milieu du se- cond levier coïncide avec l'extrémité d’un des bras du premier levier, la force qui soutient le second levier pourra être censée appliquée au poids même dont ce bras est chargé, et qui, étant soutenu, n’aura plus d’action sur le levier, mais se trouvera ainsi remplacé par deux poids égaux chacun à sa moitié et placé de part et d'autre de ce poids sur le premier levier prolongé. Cette superposition d’équilibres est en Mécanique yn principe aussi fécond que l'est en Géométrie la superposition des figures. 4. On peut donc regarder l'équilibre d’un levier droit et hori- zontal chargé de deux poids en raison inverse de leurs distances au point d’appui du levier, comme une vérité rigoureusement démon- trée; et par le principe de la superposition, il est facile de l’étendre à un levier angulaire quelconque, dont le point d'appui serait dans l'angle, et dont les bras seraient tirés en sens contraire par des forces perpendiculaires à leurs ‘directions. En effet, il est évident qu'un levier angulaire à bras égaux, et mobile autour du sommet de l'angle, sera tenu eh équilibre par deux forces égales appliquées perpendiculairement aux extrémites des deux bras, et tendantes à les faire tourner en sens contraire. Si donc on a un levier droit en équilibre, dont l’un des bras soit égal à ceux du levier angulaire, PREMIÈRE PARTIE, SECTION 1. 7 et soit chañgé à son extrémité d’un poids équivalent à chacune des puissances appliquées au levier ‘angulaire , l’autre bras étant chargé du poiâs nécessaire pour l'équilibre; et qu’on superpose ces leviers de manière que le sommet de langle de l’un tombe sur le point dappui de l'autre, et que les bras égaux de Fun et de l'autre coïn- cident et n’en forment plus qu’un : la puissance appliquée au bras du levier angulaire soutiendra le poids suspendu au bras égal du levier droit, de manière qu’on pourra faire abstraction de l’un et «le l'autre, et supposer le bras formé de la réunion de ces deux-ci anéanti. L'équilibre subsistera donc encore entre les deux autres bras for- mant un levier angulaire tiré à ses extrémités par des forces per- pendiculaires, et en raison inverse de la longueur des bras comme dans le levier droit. . , Or une force peut être censée appliquée à tel point que lon veut de sa direction. Donc deux forces , appliquées à des points quel- conques d’un plan retenu par un point fixe, et dirigées comme on voudra dans ce plan, sont en équilibre lorsqu'elles sont entre elles en raison inverse des perpendiculaires abaissées de ce point sur leurs directions ; car on peut regarder ces perpendiculaires comme formant un levier angulaire dont le point d'appui est le point fixe du plan : c’est ce qu’on appelle maintenant le principe des momens, en entendant par moment le produit d’une fôrce par le bras du levier par lequel elle agit. Ce principe général suffit pour résoudre tous les problèmes de la Statique. La considération du treuil l'avait fait apercevoir dès les premiers pas que l’on a faits après Archimède, dans Lx théorie des machines simples, comme on le voit par l’ouvrage du Guide Ubaldi, intitulé Aecanicorum liber, qui a paru à Pesaro, en 1577; mais cet auteur n’a pas'su l'appliquer au plan incliné, ni aux autres machines qui en dépendent, comme le coin et la vis dont il n’a donné qu’une théorie peu exacte. 5. Le rapport de la puissance au poids sur un plan incliné a été 8 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: long-temps un problème parmi les Mécaniciens modernes. Stevin Ya résolu le premier ; mais sa solution est fondée sur une çonsi- dération indirecte et indépendante de la théorie du levier. ” Stevin* considère un triangle solide posé sur sa base horizontale, ensorte que ses deux côtés forment deux plans inclinés ; et il ima4iv.u qu'un chapelet formé de plusieurs poids égaux, enfilés à des dis- tances égales, ou plutôt une chaine d’égale grosseur soit placée sur les deux côtés de ce triangle, de manière que toute la partie supé- rieure se trouve appliquée aux deux côtés du triangle, et que la partie inférieure pende librement au-dessous de la base, comme si elle était attachée ‘aux deux: extrémités de cette base. Or Stevin remarque qu’en supposant que la chaine puisse glisser librement sur le triangle, elle doit cependant: demeurer en repos ; car si elle commençait à glisser d'elle-même dans un sens, elle devrait continuer à glisser toujours, puisque la même cause de mouvement subsisterait, la chaîne se trouvant, à cause de l’uniformité de ses parties, placée toujours de la même manière sur le triangle, d’où résulterait un mouvement perpétuel, ce qui est absurde. Il y a donc nécessairement équilibre entre toutes les parties de la chaîne; or on peut regarder la portion qui pend au-dessous de la base, comme étant déjà en équilibre d’elle-mème ; donc il faut que Peffort de tous les poids appuyés sur lun des côtés, contrebalance l'effort des poids appuyés sur l'autre côté; mais la somme des uns est à la somme des autres, dans le même rapport que les longueurs des’ côtés sur lesquels ils sont appuyés. Donc il faudra toujours la même puissance pour soutenir un ou plusieurs poids placés sur un plan incliné, lorsque le poids total sera proportionnel à la longueur du plan, en supposant la hauteur la même; mais quand le plan est vertical, la puissance est égale au poids; donc, dans tout plan in- cliné , la puissance est au poids comme la hauteur du plan à sa longueur. Jai rapporté cette démonstration de Stevin, parce qu’elle est très-ingénieuse, et qu’elle est d'ailleurs peu connue. Au reste, Stevin déduit PREMIÈRE PARTIE, SECTION I. 9 déduit de cette théorie celle de équilibre entre trois puissances qui agissenf sur un même point, et il trouve que cet équilibre a lieu lorsque les puissances sont parallèles et proportionnelles aux trois côtés d’un triangle rectiligne quelconque. Voyez les Elémens de Batique et les Additions à la Statique de cet auteur, dans les Hypomnemata Mathematica , imprimés à Leyde, en 1605, et dans les Œuvres de Stevin, traduites en français, et imprimées en 1634, par les Elzevirs. Mais on doit observer que ce théorème fondamental de la Statique, quoiqu’il soit communément attribué à Stevin, n’a cependant été démontré par cet auteur, que dans le ‘cas où les directions de deux des puissances font entre elles’ un angle droit. . . ; Stevin remarque avec raison qu’un poids appuyé sur un plan incliné et retenu par une puissance parallèle au plan, est dans le: même cas que s’il était soutenu par deux fils, un perpendiculaire et l’autre parallèle au plan; et par sa théorie du plan incliné, il trouve que le rapport du poids à la puissance paralltle au plan, est comme l’hypoténuse à la base d’un triangle rectangle formé sur Je plan par deux droites, l’une verticale et l'autre perpendiculaire au plan. Stevin se contente ensuite d’étendre cette proportion au cas où le fil qui retient le poids sur le plan incliné serait anssi incliné à ce plan, en construisant un triangle analogue avec les mêmes lignes, l’une verticale, l’autre perpendiculaire au plan, et en prenant la base dans la direction du fil; mais il faudrait pour cela qu'il eût démontré que la même proportion a lieu dans léquilibre d’un poids soutenu sur un plan incliné par une puissance oblique au plan, ce qui ne peut pas se déduire de la considération de la chaîne imaginée par Stevin. 6. Dans les Mécaniques de Galilée, publiées d’abord en français par le père Mersenne en 1634, l'équilibre sur un plan incliné est réduit à celui d’un levier angulaire à deux bras égaux, dont lun est supposé perpendiculaire àu plan, et chargé du poids appuyé Méc. anal. Tome I. 2 10 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. | sur Je plan, et dont l’autre est horizontal et chargé d’un poids équi- valant à la puissance nécessaire pour retenir le poids sur le plan ; cet équilibre est ensuite réduit à celui d’un levier droit et horizon- tal, en regardant le poids attaché au bras incliné, comme suspendu à un bras horizontal formant un levier droit avec le bras horizontal du levier angulaire. Ainsi le poids est à la puissance qui le soutient sur le plan incliné, en raison inverse dè ces deux bras du leviem.… droit, et il est facile de prouver que ces bras sont entre eux comme la hauteur du plan à sa longueur. ù On peut dire que c’est là la première démonstration directe qu'on ait eue de ‘l'équilibre sur un plan incliné. Galilée s’en est servi de- puis pour démontrer rigoureusement Pégalité des vitesses acquises par les corps pesans, en descendant d’une même hauteur sur des plans ‘diversement'inclinés, égalité qu’il s'était contenté de supposer dans la‘première édition de ses Dialogues. IL eût été facile à Galilée de résoudre aussi le cas où la puis- sance qui retient le poids a une direction oblique au plan; mais ce nouveau pas n’a été fait que quelque temps après, par Roberval, dans un Traité de Mécanique imprimé en 1656, dans l’ZZarmonie universelle de Mersenne. ‘ * 7. Roberval regarde aussi le poids appuyé sur le plan incliné comme attaché au bras d’un levier perpendiculaire au plan, et il considère la puissance comme une force appliquée au même bras, suivant une direction donnée; il a aïnsi un levier à un seul bras, dont une extrémité est fixe, et dont l’autre extrémité est tirée par deux forces, celle du poids et celle de la puissance qui le retient; il substitue ensuite à ce levier ur levier angulaire à deux bras per- pendiculaires aux directions des deux forces et ayant le même point fixe pour point d'appui, et il suppose les deux forces appliquées aux bras de ce levier suivant leurs propres directions, ce qui lui donne pour l'équilibre le rapport du poids à la puissance, en raison inverse des deux bras du levier angulaire, c’est-à-dire des perpendiculaires PREMIÈRE PARTIE, SECTION 1. 11 menées M point fixe sur les directions du poids et de la puissance. De là Roberval déduit l'équilibre d’un poids soutenu par deux cordes qui font entre elles un angle quelconque, en substituant au levicr perpendiculaire au plan une corde attachée au point d'appui du levier, et à la puissance une autre corde tirée par une force dans la direction de cette puissance; et par différentes constructions et analogies un peu compliquées, il parvient à cette conclusion, que si de quelque point pris dans la verticale du poids, on mène une parallèle à l’une des cordes, jusqu’à la rencontre de l'autre corde, le triangle formé ainsi aura ses côtés proportionnels au poids et aux puissances qui agissent dans la direction des mêmes côtés, ce qui est, comme lon voit, le théorème donné par Stevin. J'ai cru devoir faire mention de cette démonstration de Roberval, non-seulement parce que c’est la première démonstration rigou- reuse qu’on ait eue du théorème de Stevin, mais encore parce qu’elle est restée dans l'oubli dans un Traité d'Harmonie assez rare aujour- d’hui, où personne ne s’avise de la chercher. Au reste, je ne suis entré dans ce détail sur ce qui regarde la théorie du levier, que pour faire plaisir à ceux qui aiment à suivre la marche de l'esprit dans les sciences, et à connaître les routes que les inventeurs ont tenues, et les routes plus directes qu'ils auraient pu tenir. 8. Les Traités de Statique qui ont paru après celui de Roberval, jusqu’à l'époque de la découverte de la composition des forces, n’ont rien ajouté à cette partie de la Mécanique; on n’y trouve que les propriétés déjà connues du levier et du plan incliné et leur ap- plication aux autres machines simples ; encore, y en a-t-il quelques-uns qui renferment des théories peu.exactes, comme celui de Lami sur l'équilibre des solides, où il donne une proportion fausse du poids à la puissance qui le retient sur un plan incliné. Je ne parle pas ici de Descartes, de Torricelli et de Wallis, parce qu’ils ont adopté pour l'équilibre un principe qui se rapporte à celui des vitesses vir- tuelles, et dont ils n’avaient pas la démonstration. 12 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: 9. Le second principe fondamental de la Statique est celui de I composition des forces. Il est fondé sur cette supposition, que si deux forces agissent à la fois sur un corps suivant diflérentes di- . rections, ces forces équivalent alors à une force unique, capable d'imprimer au corps le même mouvement que lui donneraient les” deux forces agissant séparément. Or un corps qu’on fait mouvoir uniformément suivant deux directions différentes à la fois, parcourt nécessairement la diagonale du parallélogramme dont ileüt parcouru séparément les côtés en vertu de chacun des deux mouvemens. P’ou l'on conclut que deux puissances quelconques qui agissent ensemble sur un mème corps, sont équivalentes à une seule représentée dans sa quantité et sa direction, par la diagonale du parallélogramme dont les côtés représentent en particulier les quantités et les direc- tions des deux puissances données. C’est en quoi consiste le prin- cipe qu’on nomme {a composition des forces. Ce principe suffit seul pour déterminer les lois de l'équilibre dans tous les cas ; car en composant ainsi successivement toutes les forces deux à deux, on doit parvenir à une force unique qui sera équi- valente à toutes ces forces, et qui par conséquent devra être nulle dans le cas d'équilibre , s’il n’y à dans le systéme aucun point fixe; mais sil y en a un, il faudra que la direction de cette force unique passe par le point fixe. C’est ce qu’on peut voir dans tous les livres de Statique, et particuliérement dans la nouvelle Mécanique de Varignon, où la théorie des machines est déduite uniquement du principe dont nous venons de parler. Il est évident que le théorème de Stevin sur Péquilibre de trois forces parallèles et proportionnelles aux trois côtés, d’un triangle quelconque, est une conséquence immédiate et nécessaire du prin- cipe de la composition des forces, ou plutôt qu'il nest que ce même principe présenté sous une autre forme. Mais celui-ci a l'avantage d’être fondé sur des notions simples et naturelles, au lieu que le théorème de Stevin ne Fest que sur des considérations indirectes. PREMIÈRE PARTIE, SECTION L 15 16. Les uciens ont connu la composition des mouvenkens, comme. on le voit par quelques passages d’Aristote, dans ses Questions mé- caniques; les\géomètres surtout l'ont employée pour la description des courbes, comme Archimède pour le spirale, Nicomède pour la concoïde, etc.; et parmi les modernes, Roberval en a déduit une méthode ingénieuse de tirer les tangentes aux courbes qui peuvent être censées décrites par deux mouvemens dont la loi est donnée ; mais Galilée est le premier qui ait employé la considération du mouvement composé dans la Mécanique, pour déterminer la courbe décrite par un corps pesant, en va de l’action de la gravité et de la force de projection. Dans la seconde proposition de la quatrième Journée de ses Dia- logues , Galilée démontre qu’un corps mu avec deux vitesses uni- formes, l’une horizontale, Pautre verticale, doit prendre une vitesse représentée par l’hypoténuse du triangle dont les côtés représentent ces deux vitesses; mais il paraît en même temps que Galilée n’a pas connu toute l'importance de ce théorème dans la théorie de léqui- libre ; car dans le Dialogue troisième, où il traite du mouvement des corps pesans sur des plans inclinés , au lieu d'employer le Principe de la composition du mouvement pour déterminer directemént la gravité relative d’un corps sur un plan incliné, il déduit plutôt cette détermination de la théorie de l’équilibre sur les plans inclinés, d’après ce qu’il avait établi auparavant dans son Traité della Scienza Mecanica, dans lequel il rappelle le plan incliné au levier. : On trouve ensuite la théorie des mouvemens composés dans les écrits de Descartes, de Roberval, de Mersenne , de Wallis, etc. : mais jusqu’à l’année 1687, dans laquelle ont paru les Principes mathématiques de Newton , et le Projet de la nouvelle Mécanique de Varignon, on n’avait point peñsé à substituer dans la composi- tion des mouvemens, les forces aux mouvemens qu’elles peuvent produire, et à déterminer la force composée résultante de deux forces données, comme on détermine le mouvement composé de deux mouvemens rectilignes et uniformes donnés. 14 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. * Dans le becond corollaire de la troisième loi du mbuvement ; Newton montre en peu de mots comment les lois de Réquilibre se déduisent facilement de la composition et décompositiôn des forces, en prenant la diagonale d’un parallélogramme pour la force compo- sée de deux forces représentées par ses côtés; mais cet objet est traité plus en détail dans louvrage de Varignon:; et la Nouvelle Méca- nique qui a paru après sa mort, en 1725, renferme une théorie com- plète sur l'équilibre des forces dans les différentes machines, déduite de la seule considération de la composition ou décomposition des forces. 11. Le principe de la composition des forces donne tout de suite les conditions de l'équilibre entre trois puissances qui agissent sur un point, qu’on n’avait pu déduire de l'équilibre du levier que par une suite de raisonnemens. Mais d’un autre côté, lorsqu'on veut, par ce principe, trouver les conditions de l'équilibre entre deux puissances parallèles appliquées aux extrémités d’un levier droit, on est obligé d'employér des considérations indirectes, en substituant un levier angulaire au levier droit, comme Newton et d'Alembert Jont fait, ou en ajoutant deux forces étrangères qui se détruisent mutuellement, mais qui étant composées avec les ‘puissances don- nées, rendent leurs directions concurrentes , ou enfin en imaginant que les directions des puissances prolongées concourent à l'infini, et en prouvant que la puissance composée doit passer par le point d'appui; c’est la manière dont s’y est pris Varignon dans sa Mé- canique. Ainsi, quoique à la rigueur les deux principes du levier et de la composition des forces conduisent toujours aux mêmes résultats , il est remarquable que le cas le plus simple pour l’un de ces principes , devient le plus compliqué pour Fautre. ‘ 12. Mais on peut établir une liaison immédiate entre ces deux principes , par le théorème que Varignon a donné dans sa nouvelle Mécanique ( section 1**, lemme XVI.), et qui consiste en ce que si, d’yn point quelconque pris dans le pan d’un parallélogramme, on PREMIÈRE PARTIE, SECTION I. 15 abaisse des perpendiculaires sur la diagonale et sur 1& deux côtés, -qui en cette diagonale , le produit de la diagonale par sa _perpendiculaik est égal à la somme des produits des deux côtés par leurs perpendicylaires respeclives, si le point tombe hors du paral- Iélogramme, ou à leur diflérence, s’il tombe dans le parallélogramme. Varignon fait voir, par une construction très-simple, qu’en formant des triangles qui aient la diagonale et les deux côtés pour bases, et le point donné pour sommet commun, le triangle formé sur la dia- gonale est, dans le premier cas, égal à la somme, et dans le se- cond cas, à la différence des deux triangles formés sur les côtés; ce qui est en soi-même un beau théorème de Géométrie, indépendam- ment de son application à la Mécanique. Ce théorème aurait lieu également et la démonstration serait la même, si sur le prolongement de la diagonale et des côtés on prenait partout où l’on voudrait des parties égales à ces lignes ; de sorte que comme toute puissance peut être supposée appliquée à un point quelconque de sa direction, on peut conclure en général que deux puissances représentées en quantité et en direction par deux droites placées dans un plan , ont une composée ou résultante représentée en quantité et en direction par une droite placée dans le même plan, qui étant prolongée passe par le point de concours des deux droites et qui soit telle, qu'ayant pris dans ce plan un point quelconque, et abaissé de ce point des perpendiculaires sur ces trois droites prolongées, s’il est nécessaire, le produit de la résul- tante par sa perpendiculaire soit égal à la somme ou à la différence des produits respectifs des deux puissances composantes par leurs perpendiculaires, selon que le point d’où partent les trois perpen- diculaires, sera pris au dehors ou° au dedans des droites qui repré- sentent les puissances composantes. Lorsque ce point est supposé tomber sur la direction de la ré- sultante, cette puissance n'entre plus dans J’équation, et l'on a l'égalité entre les deux proiuits des composantes par leurs perpen- dicuküres ; c’est le cas de tout levier droit et angulaire, dont le point 16 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. d'appui est 1f même que le point dont il s’agit, parce qu'alors Paction “de la résultante est détruite par la résistance de l'appri. Ce théorème, dû à Varignon, est le fondement de » fesque toutes les Statiques modernes, où il constitue le principe général apnié des momens. Son grand avantage consiste en ce que la comsosition et la résolution des forces y sont réduites à des additions et des soustractions ; de sorte que , quel que soit le nombre des puissances à composer, on trouve facilement la puissance résultante, laquelle doit être nulle dans le cas d’équilibre,] : 13. J'ai rapporté l’époque de la découverte de Varignon à celle de la publication de son projet , quoique dans l'Avertissement qui est à la tête de la Nouvelle Mécanique, on ait avancé qu’il avait donné deux ans auparavant’, dans l’Æistoire de la République des Lettres , un Mémoire sur les poulies à moufles, dans lequel ilse servait des mouvemens composés pour déterminer tout ce qui regarde cette machine ; mais je dois observer que cet article manque d’exactitude, Le Mémoire dont il s’agit sur les pqulies, ne se trouve que dans les Nouvelles de la République des Lettres du mois de mai 1687, sous le titre de Nouvelle Démonstration générale de l’usage des Poulies à moufle. L'auteur y considère l'équilibre d’un poids sou- tenu par une corde qui passe sur une poulie, et dont les deux parties ne sont pas parallèles. IL n’y fait point usage ni même mention du principe de la composition des forcés, mais il emploie les théorèmes déja connus sur les poids soutenus par des cordes , et il cite les Statiques de Pardis et de Dechales. Dans une seconde démonstration, il réduit la question au levier , en regardant la droite qui joint les deux points où la corde abandenne la poulie, comme un levier chargé du poids appliqué à la poulie, et dont les extrémités sont tirées par les deux portions de la corde qui soutient la poulie. Pour ne rien omettre de ce qui regarde l’histoire de la découverte de la composition des forces, je dois dire un mot d’un petit écrit publié par Lamij en 1687, sous le titre de Nouvelle manière de dé- montrer PREMIÈRE PARTIE, SECTION 1. 17 montrer le, principaux Théorèmes des élémens des Wfécaniques. L’autear ob®rve que si un corps est poussé par deux forces suivant deux directiohe différentes , il suivra nécessairement une direction enne , de soÿte que si le chemin suivant cette direction lui était fermé NLdemeurerait en repos, et les deux forces se feraient équi- libre. Or il détermine la direction moyenne par la composition des deux mouvemens que le corps prendrait dans le premier instant en vertu de chacune des deux forces, si elles agissaient séparément ; ce qui lui donne la diagonale du parallélogramme dont les deux côtés seraient les espaces parcourus en même temps par l'action des deux forces, et par conséquent proportionnels aux forces. De là il tire tout de suite le théorème que les deux forces sont entre elles en raison réciproque des sinus des angles que leurs directions font avec la direction moyenne que le corps prendrait s’il n’était pas arrêté ; et il en fait l'application au plan incliné, et au levier lorsque ses extrémités sont tirées par des puissances dont les directions font un angle; mais pour le cas où ces directions sont parallèles, il em- ploie un raisonnement vague et peu concluant. La conformité du principe employé par Lami avec celui de Varignon , avait fait dire à l’auteur de l’Æistoire des Ouvrages des Savans (avril 1688), qu’il y avait apparence que le premier devait au dernier la découverte de son principe. Lami s’est justifié de cette imputation, dans une Lettre publiée dans le Journal des Sa vans , du 13 septembre 1688, à laquelle le journaliste a répondu, au mois de décembre de la même année; mais cette contestation à ” laquelle Varignon n’a point pris part, n’a pas été plus loin, et l'écrit de Lami paraît être tombé dans loubli. Au reste, la simplicité du printjpe de la composition des forces, et la facilité de l'appliquer à tous les problèmes sur l’équilibre, l'ont fait adopter des mécaniciens aussitôt après sa découverte, et on peut dire qu’il sert de base à presque tous les Traités de Statique qui ont paru depuis. ÎMéc. anal, Tome I. 3 MÉCANIQUE ANALYT eperidant s'empêcher de Î l'avantage d’être fondé lui-même, et comme u urs il y a une difiére es puissances qui se font principes ; de sorte que si lon n’était pas p résultats, on aurait pu douter avec raison si tuer au principe fondamental du levier, êonsidération étrangère des mouvemens co En effet, dans l'équilibre du levier , les puissances sont des poids ou pouvent être regardés comme tels, et une puissance n’est censée double ou triple d’une autre, qu’autant qu’elle est formée par la réu- nion de deux ou trois puissances égales chacune à l'autre puis- sance ; mais la tendance à se mouvoir est supposée la même dans chaque puissance, quelle que soit son intensité ; au lieu que dans le principe de la composition des forces, on estime la valeur des forces par le degré de vitesse qu’elles communiqueraient au corps auquel elles sont appliquées, si chacune était libre d’agir séparément ; et c’est peut-être cette différence dans la manière de concevoir les forces, qui a empêché long-temps les mécaniciens d'employer les lois connues de la composition des mouvemens dans la théorie de l'équilibre, dont le cas le plus simple est celui de l'équilibre des corps pesans. a 15. On a cherché depuis à rendre le principe de la composition, des forces indépendant de la considération du mouvement, et à l'établir uniquement sur des vérités évidentes par elles-mêmes. Daniel Bernoulli a donné le premier, dans les Commentaires de l'Académie de Pétersbourg , tome 1, une démonstration trés-ingé- nieuse du parallélogramme des forces , mais longue et compliquée, que d’Alembert a encuite rendue un peu plus simple dans le pre- mier volume de ses Opuscules. ‘ PREMIÈRE PARTIE, SECTION I. 9 Cette A ebatos est fondée sur ces deux princiges : 1°. Qüe A deux forces agissent sur un même poiK dans des directions diKgentes , elles ont pour résultante une fogce unique \ divise en dux également langle compris entre aie a forces sont égales, et qui est égale à leur somme lorsque cet angle est nul, ou à leur différence, lorsque l'angle est de deux droits ; 2° que des équi-multiples des mêmes forces , ou des forces quelconques qui leur soient proportionnelles ont une résultante équi-multiple de leur résultante ou-proportionnelle à cette résultante, les angles demeurant les mêmes. Ce second principe est évident en regardant les. forces comme des quantités qui peuvent s’ajouter et se soustraire. À l'égard du premier , on le démontre en considérant le mouve- ment qu’un corps poussé par deux forces qui ne se font pas équi- libre , doit prendre, et qui étant nécessairement unique, peut être attribué à une force unique agissant sur lui dans la direction de son mouvement. Ainsi on peut dire que ce principe n’est pas tout à fait exempt de la considération du mouvement. Quant à la direction de la résultante dans le cas de légalité des deux forces , il est clair qu’il n’y a pas plus de raison pour qu’elle soit plus inclinée à lune qu’à l’autre de ces deux forces, et que par conséquent elle doit couper l'angle de leurs directions en deux parties égales. On a ensuite traduit en analyse le fond de cette démonstration, et on lui a donné différentes formes plus ou moins simples , en con- sidérant”la résultante comme fonction des forces composantes et de angle compris entre leurs directions. Voyez le second tome des Mélanges de la Société de Turin , les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1769, le sixième volume des Opuscules de d’Alem- bert, etc. Mais il faut avouer qu’en séparant ainsi le principe de la composition des forces de celui de la composition des mouvemens, on lui fait perdre ses principaux avantages , l'évidence et la simpli- cité, et on le réduit à n'être qu'un résultat’ de constructions géo- métriques ou d'analyse. ° , CANIQUE ANALYTI au troisième principe , ndre par vitesse virtuell à recevoir, en cas que ] ,la vitesse que ce corp ant de son mouvement; que des puissances s elles sont en raison inverse de leurs vites suivant les directions de ces puissances. Pour peu qu’on examine les conditions de I et dans les autres machines, il est facile de reconnaitre cette loi, que le poids et la puissance sont toujours en raison inverse des espaces que l’un et Pautre peuvent parcourir en même temps; ce- pendant il ne paraît pas que les Anciens en aient eu connaissance. Guido Ubaldi est peut-être le premier qui l'ait aperçue dans le levier et dans les poulies mobiles ou moufles. Galilée l’a reconnue ensuite dans les plans inclinés et dans les machines qui en dépendent, et il Va regardée comme une propriété générale de l'équilibre des ma- -chines. Voyez son Traité de Mécanique et le scholie de la seconde Proposition du troisième Dialogue, dans l'édition de Boulogne de 1655. Galilée entend par moment d’un poids ou d’une puissance appli- quée à une machine, l'effort, l'action, l'énergie, limpetus de cette puissance pour mouvoir la machine , de manière qu’il y ait équilibre entre deux puissances , lorsque leurs momens pour mouvoir la ma- chine en sens contraires sont égaux; et il fait voir que le moment est toujours proportionnel à la puissance multipliée par la vitesse virtuelle, dépendante de la manière dont la puissance agit. Cette notion des momens a aussi été adoptée par Wallis, dans sa Mécanique publiée en 1669.L’auteur y pose le principe de l'éga- lité des momens pour fondement de la Statique, et il en déduit au long la théorie de l'équilibre dans les principales machines. Aujourd’hui on n'entend plus communément par moment, que le produit d’une puissance par la distance de sa direction à un point, ou à une ligne, ou à un plan, c’est-à-dire par le bras de L4 PREMIÈRE, PARTIE, SECTION I. or levier pañlequel elle agit; mais il me semble que la Sotion du mo- ment fonn par Galilée et par Wallis, est bien plus naîgrelle et plus générale, et ne vois pas pourquoi on la abandonn& pour y en stituer une futre qui exprime seulement la valeur du nipment dans certa s, Comme dans le levier, etc. Descartes a réduit pareillement toute la Statique à un principe unique qui revient, pour le fond, à celui de Galilée, maïs qui est pré- senté d’une manière moins générale. Ce principe est, qu’il ne faut ni plus ni moins de force pour élever un poids à une certaine hauteur , qu'il en faudrait pour élever un poids plus pesant à une hauteur d'autant moindre, ou un poids moindre à une hauteur d'autant plus grande. { Voyez la Lettre 73 du tome I, publié en 1657, etle Traité de Mécanique imprimé dans les Ouvrages posthumes.) D'où il résulte qu’il y aura équilibre entre deux poids, lorsqu'ils seront disposés de manière que les chemins perpendiculaires qu’ils peuvent parcourir ensemble, soient en raison réciproque des poids. Mais dans l'applica- tion de ce principe aux différentes machines, ilne faut considérer que les espaces parcourus dans le premier instant du mouvement , et qui sont proportionnels aux vitesses virtuelles; autrement on n'aurait pas les véritables lois de l'équilibre. Au reste, soit qu’on regarde le principe’ des vitesses virtuelles comme une propriété générale de équilibre, ainsi que l’a fait Galilée; soit qu’on veuille le prendre avec Descartes et Wallis pour la vraie cause de l'équilibre, il faut avouer qu'il a toute la simplicité qu’on peut desirer dans un principe fondamental ; et nous verrons plus bas combien ce principe est encore recommandable par sa généra- lité. Torricelli, fameux disciple de Galilée, est l’auteur d’un autre prin- cipe, qui dépend aussi de celui des vitesses virtuelles; c’est que, lorsque deux poids sont liés ensemble et placés de manière que leur centre de gravité ne puisse pas descendre, ils sont en équilibre dans cette situation. Torricelli ne l'applique qu’au plan incliné, mais il est facile de se convaincre qu'fl n’a pas moins lieu dans les autres ma- MÉCANIQUE ANALYTI . , etc., ne peuvent être exprimées que par des équations différentielles et par conséquent linéaires entre ces quantités; de sorte qu’il y en aura né- cessairement une ou plusieurs d’entre elles qui resteront indétermi- nées et qui pourront être prises en plus ou en moins; par consé- quent les valeurs de toutes ces qüantités seront toujours telles, qu’elles pourront changer de signe à la fois. D'où il s’ensuit que si, dans un certain déplacement du système, la valeur de la quantité Pa + QB + Ry + etc. est négative, elle deviendra positive en prenant les quantités #, &, y, etc. avec des signes contraires; ainsi Méc. anal. Tome I. 4 MÉCANIQUE ANALYTIQ® a lieu pour tous les déplacemens possibles i tème, il sera nécessairement en équilibre ;. c immobile dans ces déplacemens, les puissan système restent dans le même état, et il n’y a pas plus de raison pour qu’elles produisent lun plutôt que l’autre des deux déplace- mens dans lesquels les quantités &, B, >, etc. ont des signes con- traires. C’est le cas de la balance qui demeure en équilibre, parce qu’il n’y a pas plus de raison pour qu’elle s'incline d’un côté plutôt que de l'autre. Le principe des vitesses virtuelles étant ainsi démontré pour des puissances commensurables entre elles, le sera aussi pour des puis- sances quelconques incommensurables, puisqu'on sait que toute proposition qu’on démontre pour des quantités commensurables , peut se démontrer également par la réduction & l'absurde, lorsque ces quantités sont incommensurables, PREMIÈRE PARTIE, SECTION II 27 ECONDE SECTION. Formule #énérale de la Statique pour l'équilibre d'un système quelconque de forces; avec la manière de faire usage de cette formule. 1. La boi générale de l'équilibre dans les machines, est que les forces ou puissances soient entre elles réciproquement comme les vitesses des points où elles sont appliquées, estimées suivant la di- rection de ces puissances. Ù C’est dans cette loi que consiste ce qu’on appelle communément le principe des vitesses virtuelles, principe reconnu depuis long-temps pour le principe fondamental de l'équilibre, ainsi que nous l'avons montré dans la section précédente, et qu’on peut par conséquent re- garder comme une espèce d’axiome de Mécanique. Pour réduire ce principe en formule, supposons que des puis- sances P, Q, R, etc. dirigées suivant des lignes données , se fassent équilibre. Concevons que des points où ces puissances sont appli- quées, on mène des lignes droites égales à p, qg, r, etc, et placées das les directions de ces puissances; et désignons en général , par dp, dq, dr, etc., les variations, ou différences de ces lignes, en tant qu’elles peuvent résulter d’un ciangement quelconque infiniment pe- tit dans la position des différens corps ou points du système. Il est clair que ces différences exprimeront les espaces parcourus dans un-même instant par les puissances P, Q, R, etc., suivant leurs propres directions, en supposant que ces puissances tendent à augmenter les lignes respectives p, qg, r, etc. Les différences dp, dg, dr, etc. seront ainsi proportionnelles aux vitesses virtuelles des puissances P, Q, R, etc., et pourront, pour plus de simplicité, être prises pour ces vitesses. ° CANIQUE ANALY nsidérons d’abord que loi de l'équilibre entre d et Q soient entre elles mais il est aisé de conc e deux puissances, à lière que quand l’une d’el propre direction, l’autre ne soit contrainte sens contraire à la sienne ; d’où il s’ensuit rences dp et dg doivent être de signes contraires; donc les valeurs des forces P et Q étant supposées toutes deux positives, on aura =, ou bien Pdp+ Qdq=0; c’est la pour l'équilibre à formule générale de l'équilibre de deux puissances. . Considérons maintenant léquilibre de trois puissances P, Q, Æ dont les vitesses virtuelles soient représentées par les différentielles dp, dq, dr. Faisons Q = Q + Q", et supposons, ce qui est permis, que la partie Q' de la force Q soit telle qu’on ait Pdp+Q'dg=0; elle fera alors équilibre à la force P; et il faudra pour l'équilibre entier que l'autre partie Q” de la même force Q, fasse seule équilibre à la troisième force R; ce qui donnera léquation Q'dg + Rdr= 0, laquelle étant jointe à l'équation précédente, on aura, à cause de Q+Q=0Q, celle-ci: À Pdp + Qdg + Rdr= 0. S'il y a une quatrième puissance S dont la vitesse virtuelle soit représentée par la différentielle ds, on fera Q—Q+0Q" et Pdp+ Q'dg=e, ensuite R—R+R" et Q'dg—+R'dr=0; alors la partie Q/ de la force Q fera seule équilibre à la force P; la partie À’ de la force R fera de même équilibre à l’autre partie Q° de la même force Q, et pour Péquilibre total des quatre forces P, Q, R, S, il faudra que la partie restante R” de la force R, fasse équilibre à la dernitre force S, et que par conséquent on ait R'dr+ Sds = 0. Cts trois équations étant jointes ensemble, donneront PREMIÈRE PARTIE, SECTION IL. 29 Pdp + Qdg + Rdr + Sds = 0. Ainsi de sue, quel que soit le nombre des puisances en équilibre. 2. On a donc en général pour l'équilibre d’un nombre quelconque de puissances P, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes p, q, r, etc. et appliquées à un système quelconque de corps ou points disposés entre eux d’une manière quelconque, une équation de cette forme: Pdp + Qdq + Rdr + etc. = o. C’est la formule générale de la Statique pour léquilibre d’un sys- téme quelconque de puissances. Nous nommerons chaque terme de cette formule, tel que Pdp, le moment de la force P, en prenant le mot de moment dans le sens que Galilée lui a donné, c’est-à-dire , pour le produit de la force par sa vitesse virtuelle. De sorte que la formule générale de la Statique consistera dans l'égalité à zéro, de la somme des momens de toutes les forces. - Pour faire usage de cette formule, la difficulté sé réduira à dé- terminer, conformément à la nature du système donné, les valeurs des différentielles dp, dg, dr, etc. On considérera donc le système dans deux positions différentes et infiniment voisines , et on cherchera les expressions les plus géné- rales des différences dont il s’agit, en introduisant dans ces expres- sions autant de quantités indéterminées , qu'il y aura d’élémens arbitraires dans la variation de position du système. On substituera ensuite ces expressions de dp, dg, dr, etc., dans l'équation propo- sée, et il faudra que cette équatioh ait lieu, indépendamment de toutes les indéterminées, afin que l'équilibre du système subsiste en général et dans tous les sens. On égalera donc séparément à zéro, la somme des termes affectés de chacune des mêmes indéterminées ; et l'on aura, par ce moyen, autant d'équations particulières qu'il LA CANIQUE ANALYTI terminées ; or il n’est pas di Idit toujours être égal à c sition du système; donc Mations qu'il en faudra p me. ont usé tous les auteurs vitesses virtuelles à la de Statique; ette manière d'employer vent des constructions et des considératio rendent les solutions aussi longues que si on les déduisait des prin- cipes ordinaires de la Statique; c’est peut-être la raison qui a empêché qu'on W’ait fait de ce principe tout Le cas et l'usage qu'il semble qu’on en aurait dû faire, vu sa simplicité et sa généralité. 3. L'objet de cet Ouvrage étant de réduire la Mécanique à des opérations purement analytiques, la formule que nous venons de trouver est très-propre à le remplir. Il ne s’agit que d’exprimer analytiquement, et de la manière la plus générale, les valeurs des lignes p, g, r, etc., prises dans les directions des forces P,Q, R, etc., et l’on aura, par la simple différentiation , les valeurs des vitesses virtuelles dp, dg, dr, etc. Il faudra seulement faire attention que dans le calcul différen- tiel, lorsque plusieurs quantités varient ensemble, on suppose qu’elles augmentent toutes en même temps de leurs différentielles ; et si, par la nature de la question, quelques-unes d’entre elles doivent diminuer ; tandis que les autres augmentent, on donne alors le signe moins aux différentielles de celles qui doivent diminuer. Les différentielles dp, dg, dr,etc. qui représentent les vitesses virtuelles des forces P, Q, R, etc., devront donc être prises posili- vement ou négativement, selon que ces forces tendront à augmenter ou à diminuer les lignes p, g, r, etc. qui déterminent leur direc- tion. Mais comme la formule générale de l'équilibre ne change pas en changeant les signes de tous ses termes, il sera permis de re- PREMIÈRE PARTIE, SECTION Bt garder indifgremment comme positives les différentiel s lignes qui augmentent ou diminuent ensemble, et comme nêgütives les différentielles de celles qui varient en sens contraire. Ainsen regar- dat les forces cdmme positives, leurs momens Pdp, QdgY etc. se- ront positifs ou #gatifs, selon que les vitesses virtuelles Gp, dg, etc. seront positives et négatives; et lorsqu'on voudra faire agir les forces en sens contraire, il n’y aura qu’à doriner le signe moins aux quan- tités qui représentent ces forces, ou changer les signes de leurs m10mnens. _ Ïl résulte de là cette propriété générale de l'équilibre, qu'un système quelconque de forces en équilibre y demeure encore si chacune des forces vient à agir en sens contraire, pourvu que la constitution du système ne souffre aucun changement, par un chan- gement de direction de toutes les forces. 4. Quelles que soient les forces qui agissent sur un système donné de corps ou de points, on peut toujours les regarder comme ten- dantes vers des points placés dans les lignes de leur direction. Nous nommerons ces points les centres des forces ; et on pourra prendre pour les lignes p, q, r, etc. les distances respectives de ces centres aux points du système auquel les forces P, Q, R, etc. sont appliquées. Dans ce cas, il est clair que ces forces tendront à diminuer les lignes p, g, r, etc.; il faudrait par conséquent donner k signe moins à leurs différentielles ; maïs en changeant tous les signes, la formule générale sera également Pdp + Qdq + Rdr + etc. = 0. Or les centres des forces peuvent être hors du système, ou bien dans le système et en faire partie? ce qui distingue les forces en extérieures et intérieures. | Dans le premier cas, il est visible que les différences dp, dg, dr, etc., expriment les variations entières des-lignes p, g, r, etc., dues au changement de situation du système; elles sont par consé- MÉCANIQUE ANALYTIQUE. entielles complètes des quantités-p ne variables toutes les quantités ème , et comme constantes cellès s différens centres des forces. nd cas, quelques-uns des corps | centres des forces qui agissent.s dla même système, et à cause de l'égalité entre l'action ces derniers corps seront en même temps les centres des forces qui agissent sur les premiers. Considérons donc deux eorps qui agissent l’un sur l'autre avec une force quelconque P, soit que cette force vienne de l'attraction ou de la répulsion de ces corps, ou d’un ressort placé entre eux, ou d’une autre manière quelconque. Soit p la distance entre ces deux corps, et dp’ la variation de cette distance, en tant qu’elle dépend du changement de situation de l'un des corps; il est clair qu’on aura, relativement à ce corps, Pdp’ pour le moment vir- tuel de la force P; de même si on désigne par dp” la variation de la même distance p, résultante du changement de situation de l’autre corps, on aura, relativement à ce second corps , le moment Pdp” de la même force P ; donc le moment total dà à cette force, sera repré- senté par P(dp' + dp'); mais il est visible que dp'+ dp" est la différentielle complète de p, que nous désignerons par dp, puisque la distance p ne peut varier que par le déplacement des deux corps; donc le moment dont il s’agit sera exprimé simplement par Pdp. On peut étendre ce raisonnement à tant de corps qu’on voudra. 5. Il suit de là que pour avoir la somme des momens de toutes ” forces d’un système donné, soit que ces forces soient extérieures ou intérieures, il n’y aura qu'à considérer en particulier chacune des forces qui agissent sur les différens corps ou points du système, et prendre la somme des produits de ces différentes forces multi- pliées chacune par la différentielle de la distance respective entre les deux termes de chaque force, g'est-à-dire entre le point syr lequel PREMIÈRE PARTIE, SECTION 1. 33 lequel agit due force et celui où elle tend, en regardagt, dans ces différentielles , comme variables toutes les quantités qui « épendent dé la situation du système, et comme constantes celles qui se rap- portent aux points ou centres extérieurs, c’est-à-dire en considérant ces points ve fixes, tandis qu'on fait varier la situation du système. Cette somme étant égalée à à zéro donnera la formule générale de ja Statique. 6. Pour donner à expression analytique de cette formule toute Ja généralité ainsi que la simplicité dont elle est susceptible, on rap- portera la position de tous les corps ou points du système donné, ainsi que celle des centres à des coordonnées rectangles et parallèles à trois axes fixes dans l’espace. Nous noïñnmerons en général x, y, z, les coordonnées des points auxquels les forces sont appliquées, et nous les distinguerons en- suite par un ou plusieurs traits, relativement aux diflérens points du système. Nous désignerons de même par a, b,c, les coordonnées pour les centres des forces. , Il est visible que les distances p, q, r, etc. entre les points d’applica- tion etles centres des forces, seront exprimées en général par la formule VG—a) + (y +G—c}, dans laquelle les quantités a, b, e seront constantes ou du moins devront être regardées comme telles, pendant que x, y, z varient, dans le cas où elles se rapportent à des points placés hors du sys- tème, et où les forces sont extérieures; mais dans le cas où les bre ROnE intérieures æ pneus quelques-uns des corps du système même, ces quantités a, b, c deviendront x”, y'ee., get. et seront par conséquent variables. Ayant ainsi les expressions des quantités finies P» Gr retc., en fonctions connues des coordonnées des différens corps du système, il n'y aura plus qu’à difiérentier à l'ordinaire, en regardant ces Méc. anal. Tom. I. 5 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: ; mme seules variables, pour avoir les vhe ences dp, dg, dr, etc., qui entrent dans e l'équilibre. 7. Mais quoiqu’on puisse toujours regarder les fortes ?, Q, comme tendantes à des centres donnés; cependant comme la con- sidération de ces centres est étrangère à la question, dans laquelle on ne considère ordinairement comme données, que la quantité et la direction de chaque force; voici des manières plus générales d'exprimer les différences dp, dg, dr, etc. Et d’abord en supposant, ce qui est toujours permis, que la force P tende à un centre fixe, on a p= VG—-a) +(y—tY +(G—c),, et de là, en différentiant sans que a, b, ce varient, si la force P est extérieure, a l'a. n? V dp = : dx + 5 dy + ; dz. —* ; un ; ss sont les cosinus des angles que Ja ligne p fait avec les lignes x—a, y—6, z—c. Donc en général si on nomme æ#, B, y les angles que la di- rection de la force P fait avec les axes des x, y, z, ou avec des pa- Or il est facile de voir que L * —b S rallèles à ces axes, on aura = cos a, T-= 0058, = 006 V5 par conséquent dp = cos adx +- cos Bdy + cos ydz; ct ainsi des autres différences dg, dr, etc. Mais si la même force P étant intérieure agit sur les deux points qui répondent aux coordonnées x, y, z et x", y’, z’ pour les rap- procher ou éloigner l'un de l'autre, on aura alors dans l'expression dep, a=x", b=y;c=2, et par conséquent dp = cos a(dxdx") 4 cos B(dÿ—dy") + cos y(dz—d2"). PREMIÈRE PARTIE, SECTION II. .35 On que par rapport aux angles &, 8, >, prenfiérement, que côsa* + cos B° + cosy" —1, ce quiest évident par les for- mules précédentes; en second lieu, que si on nomme e l'angle que la projection d£ la ligne p sur le plan des x et y fait avec l'axe e x—a y—b des x, on aura ——==cose, “—— ==sine, en supposant... LA F R=V{x—a) + (y—b); donc mettant pour x—a, y—b, leurs valeurs pcosæ, pcosB, on aura aussi æ=p ÿ/(cos «* + cos B*) =py(1—0co83*) = p siny; z—a : —b : ‘ £ donc == siny cose, Le = siny sine; et par conséquent, CoSæ — siny cose, cos 8 — siny eine 8. Je considère ensuite que puisque dp représente le petit espace que le corps ou point auquel est appliquée la force P, peut parcourir suivant la direction de cette force, si on fait dp —0, ce point ne pourra plus se mouvoir que dans des directions perpendiculaires à celle de la même force. Donc dp=— 0 sera l'équation différentielle d’une surface à laquelle Ja direction de la force P sera perpendi- culaire. Cette surface sera une sphère si les quantités a, b, c sont cons- tantes; mais elle pourra être une surface quelconque en supposant ces quantités variables. Supposons maintenant en général que la force P agisse perpendi- culairement à une surface représentée par l'équation. Adx + Bdy + Cdz = 0. Pour faire coïncider cette équation avec l'équation (x— a) dx + (y—b) dy +(z—c) d=0 qui résulte de la supposition dp = 0, il ny a qu'à faire À SRE A 36 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. ce qui d'me, A B i—a= (z—c), J—b=(z—c), res 4 | substituant cês valeurs dans l'expression de dp, on aura Adx + Bdy + Cdz VCA+B+C) Ainsi ayant l'équation différentielle de la surface à laquelle la force P est perpendiculaire, on aura l'expression de sa vitesse vir- tuelle dp. | On peut supposer Adx + Bdy + Cdz = du, dp = a étant une fonction de x,y, z; car on sait qu’une équation différen- tielle du premier ordre à trois variables ne peut représenter une sur- face, à moins qu’elle ne soit intégrable ou ne le devienne par un mul- tiplicateur. On aura ainsi par l'algorithme des différences partielles et l'expression de dp deviendra du VLC) +) + (2) | Donc le moment d’une force P perpendiculaire à une surface donnée- par Féquation du = o sera dp = Pdu 7 Fu, [du [du VE rG CG) ® ; 4 On déterminera de la même mûnière les valeurs des autres diffé- rences dg, dr, etc., d’après les équations différentielles des surfaces auxquelles les directiohs des forces Q, R, etc., sont perpendi- culaires. © 9. Mais sans considérer la surface à laquelle une force est perpen- PREMIÈRE PARTIE, SECTION I. 37 diculaire, domme on peut représenter une quantité quelconque pat une ligne, on pourra regarder p comme une fonction quelconque des coordonnées , et la force P comme tendante à faire varier la va- leur de p. Alors Pdp sera également le moment virtuel de la force P; et de mêmÉ Qdg, Rdr, etc. seront les momens des forces Q, R, etc. en les regardant comme tendantes à faire varier les valeurs des quantités g, r, etc. supposées des fonctions quelconques des” mêmes coordonnées. Cette manière d’envisager les momens, donne à la formule générale de l’équilibre-une étendue beaucoup plus grande et la rend susceptible d’un plus grand nombre d’applications. 10. Les valeurs des différences dp, dg, dr, etc. étant connues en fonctions difKrentielles des coordonnées des différens corps du système , il n’y aura qu’à les substituer dans la formule générale Pdp + Qdq + Rdr+etc.=0, et vérifier ensuite .cette équation d’une manière indépendante des différentielles qu'elle renfermera. : Donc si le système est entièrement libre, ensorte qu'il n’y ait aucune relation donnée entre les coordonnées des differens corps, ni paf conséquent entre leurs différentielles, il faudra satisfaire à Péquation précédente, indépendamment de ces différentielles, et pour cet effet, égaler séparément à zéro la somme de tous les termes qui se trouveront multipliés par chacune d’elles; ce qui donnera au- tant d'équations qu’il y aura de coordonnées variables, ct par con- séquent autant qu’il en faudra pour déterminer toutes ces variables, et connaître par leur moyen la position de tout le système dans l'état d'équilibre. Mais si la nature du systéme est telle, que les corps soient assujétis dans leurs mouvemens à des conditions particuliéres, il faudra com- mencer par exprimer ces conditions par des équations analytiques . que nous nommerons équations de condition; ce qui est Loujours 38 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. facile. Par exemple, si quelques-uns des corps étaient dsujétis à se mouvoir sur des lignes ou des surfaces données, on aurait entre les coordonnées de ces corps, les équations mêmes des lignes ou des sur- faces données ; si deux corps étaient tellement joints ensemble, qu’ils dussent toujours se trouver à une même distance & l’fh de l’autre, on aurait évidemment léquation Ba) + (y J'Y + (x), et ainsi du reste. Ayant trouvé les équations de condition, il faudra par leur moyen éliminer autant de différentielles qu’on pourra, dans les expressions de dp, dg, dr, etc., ensorte que les différentielles res- tantes soient absolument indépendantes les unes des autres, et n’ex- priment plus que ce qu'il y a d’arbitraire dans le changement de situation du système. Alors comme la formule génerale de la Sta- tique doit avoir lieu, quel que puisse être ce changement, il faudra y égaler séparément à zéro, la somme de tous les termes qui se trouveront affectés de chacune des différentielles indéterminées ; d’où il viendra,autant d'équations particulières qu’il y aura de ces mêmes différentielles; et ces équations étant jointes aux équations de condition données, renfermeront toutes les conditions nécessaires par la détermination de l'état d'équilibre du système; car il est aisé de concevoir que toutes ces équations ensemble seront toujours en même nombre que les différentes variables qui servent de coordon- nées à tous les corps du système, et sufliront par conséquent tou- jours pour déterminer chacune de ces variables. 11. Au reste sj nous avons toujours déterminé les lieux des corps : par des coordonnées rectangles, c’est que cette manitre a l'avantage de la simplicité et de Id facilité du calcul; mais ce n’est pas qu'on ne puisse en employer d’autres dans lusage de la méthode précé- dente; car il est clair que rien n’oblige dans cette méthode à ‘se servir de coordonnées rectangles, plutôt que d’autres lignes ou quan- PREMIÈRE PARTIE, SECTION Il. 89 tités, relatives aux lieux des corps. Ainsi au lieu des deux coor- données x, y, on pourra employer, lorsque les circonstances pa- raitront lexiger, un rayon vecteur p= Vax*+7*, et un angle 9 dont Ja tangenfe soit ? , ce qui donnera x—p cos, y=—=psin, en laissant subsister la troisième coordonnée z; ou bien on em- ploiera un rayon vecteur p = Vx*#+- + avec deux angles @ et +, tels que tangp—, tang L= —— EE ST ce qui donnera æ==pcos+ cos?, y—=pcos4{ sinp, z—psin4 ; ou d’autres angles ou lignes quelconques. Remarquons encore que comme il n’y a proprement que la con- sidération des différences dx, dy, dz qui entre dans la méthode dont il s’agit, il est permis de placer l'origine des coordonnées où on voudra; ce qui peut servir à simplifier l'expression de ces dif férences. Ainsi, en substituant p cos et psin®, au lieu de x et y, on aura en général dx = dpcos® — psinpd?, dy = dp sin @ + p cos®d?; mais en faisant @—o, ce qui revient à placer l’origine de l'angle ® dans le rayon p, on aura plus simplement dx=d4p, et dy =fdf. Et ainsi des autres cas semblables. 12. En général, quel que soit le système de puissances dont on cherche l'équilibre, et de quelque manière que les points où elles sont appliquées soient liés entre eux, on peut toujours réduire les variables qui déterminent la position de ces points dans l’espace, à un petit nombre de variables indépendantes, en éliminant, au moyen des équations de condition données par la nature du système, au- tant de variables qu’il y a de conditions, c’est-à-dire en exprimant toutes les variables, qui sont au nombre de trois pour chaque point, par un petit nombre d’entre les, ou par d’autres variables quel- 40 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. conques, qui, n'étant plus assujéties à aucune conditjon, seront indépendantes et indéterminées. Il faudra alors que l'équilibre ait lieu par rapport à chacune de ces variables indépendantes’ parce qu’elles donhent lieu à autant de changemens différens dans la position du système, 13. En effet si on dénote par £, Ad, ®, etc. ces variables indé- pendantes, en regardant les valeurs de p, q, r, etc. comme fonctions de ces variables, on aura PRE HAN TE d® + etcd =Ÿ 2 dE +7 à + À dp + etes dr =T LÉ+HTA +T do + etc: etc. et l'équation de l'équilibre Pdp + Qdg + Rdr + etc. = 0 deviendra (24 +QT+ER ï + ete.) dé +(PÈ +Q ; + RG +a) à = 0 +(PrÈ+0% i+RG a + etc.) p etc. dans laquelle les valeurs de d£, d\, d?, etc. devant demeurer ih- déterminées, il faudra que l’on ait séparément Jes équations P+0% HR D + ete, == 0 RH: A+ RÉ a = 0 D+Q% lHRT+etc.=o, etc. dont PREMIÈRE PARTIE , SECTION Il. &: dont le nonbre sera égal à celui des variables £, À, @, ete., et qui servirdht par conséquent à déterminer toutes ces variables. Chacune de ces équations représente, comme l’on voit, un équi- libre particulier dans lequel les vitesses virtuelles ont entre elles des rapports déterminés; et c’est de la réunion de tous ces équilibres par- tiels que se forme l'équilibre général du système. On peut même remarquer que c’est proprement à ces équilibres partiels et déterminés que s’applique sans exception le raisonnement de l’article 1 de cette section; et comme dans le cas de deux puis- sances on peut toujours réduire leur équilibre à celui d’un levier droit dont les bras soient en raison des vitesses virtuelles, on peut par ce moyen faire dépendre le principe général des vitesses vir- tuelles du seul principe du levier. 14. Lorsque la quantité Pdp + Qdq + Rdr+etc. ne sera pas nulle par rapport à toutes les variables indépendantes, les forces, P, Q,R, etc. ne se feront pas équilibre, et les corps sollicités par ces forces, prendront des mouvemens dépendans des mêmés forces et de leur action mutuelle. ° : ne | Supposons que d’autres forces représentées par P’, Q’, R', etc. ct dirigées suivant les lignes p’, q', r’, etc. agissant sur les corps du même système, leur impriment aussi les mêmes mouvemens ; ces forces seront équivalentes aux premières, et pourront dans tous les cas être substituées à leur place, puisque leur effet est supposé exac- tement le même. Or si ces mêmes forces P”, Q, À’, etc., en conser- ant leurs valeurs, changeaient leurs directions et en prenaient de directement opposées, il est clair qu’elles imprimeraient aussi aux mêmes corps des mouvemens étaux, mais directement contraires. Par conséquent, si dans ce nouvel état elles agissaient sur les corps du même système, en même temps que les forces P, Q, R, etc., ces corps demeureraient en repos; les mouvemens imprimés dans un sens étant détruits par des mouvemens égaux et contraires. Il y aurait Me. anal, Tome I. 6 41 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: donc nécessairement équilibre entre toutes ces forces; ce qui donnc- rait l'équation (art. 2). Pdp+ Qdg+ Rdr+ etc. = P'dp Q'dg — R'ar etc. =0; d’où l'on tire Pdp + Qdg + Rdr + etc. = P'dp'+ Q'ag + R'dr + etc. C’est la condition nécessaire pour que les forces P”, Q', R', etc., agissant suivant les lignes p', g',r', etc., soient équivalentes aux forces P,Q, R, etc., agissant suivant leslignes p, g, r, etc.; et comme deux systèmes de forces ne peuvent être entièrement équivalens que d’une seule manière, puisque le mouvement d’un corps est toujours . unique et déterminé, il s’ensuit que si deux systèmes de forces P, Q,R, etc., P,Q, R, etc. sont tels, que l’on ait généralement et par rapport à toutes les variables indépendantes, l'équation Pdp + Qdg + Rdr + etc. = P'dp + Q'dg' + R'dr' + etc. ces deux systèmes seront équivalens, et pourront dans tous les cas être substitués l’un à l’autre. 15. Il résulte ‘de là ce théorème important de Statique, que deux systèmes de forces sont équivalens et peuvent être substitués Fun à l'autre dans un même système de corps liés entre eux d’une ma- nière quelconque, lorsque les sommes des momens des forces sont toujours égales dans les deux systèmes; et réciproquement la somme des momens des forces d’un système est toujours la somme des momens des forces d’un autre système, c systèmes de forces sont équivalens, et peuvent être substitué l’autre dans le même système de çorps. Si on fait dépendre les lignes p, g, r, etc. des lignes £, 4, @, etc. ‘la formule Pdp.+ Qdg + Rar+ etc. se transforme comme dans. Particle 15, en celle-ci EME + Yd + Ddp + etc. dans laquelle PREMIÈRE SECTION IL. 45 = =PE+0R ni sé = PT h + 07 + RG ee œ—P? HORH+RT T + etc, etc. On a donc généralement Pdp + Qdg + Rdr+etc.= E dé + YdN + bd? + etc. Ainsi le système des forces P, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes p, g,r, etc., est équivalent au système des forces €, #, ®, etc. agissant suivant les lignes £, 4, ®, etc., et peut être changé en celui-ci, dans le même système de corps tirés par ces forces. 4% MÉCANIQUE ANALYTIQUE-. É T CSQ f TROISIÈME SECTION. Propriétés générales de l'équilibre d'un système de corps , déduites de la formule précédente. 1. Coxsméroxs un systéme ou assemblage quelconque de corps ou points, qui étant tirés par des puissances quelconques, se fassent mutucllement équilibre. Si dans un instant l’action de ces puissances cessait d’être détruite, le système commencerait à se mouvoir, et quel que püt être son mouvement, on pourrait toujours le concevoir comme composé, 1°. d’un mouvement de translation commun à tous les corps; 2°. d’un mouvement de rotation autour d’un point quel- conque; 3°. des mouvemens relatifs des corps entre eux, par les- quels ils changeraient leur position et leurs distances mutuelles. IL faut donc pour l'équilibre, que les corps ne puissent prendre aucun de ces différens mouvemens. Or il est clair que les mouvemens re- ltifs dépendent de la manière dont les corps sont disposés les uns par rapport aux autres; par conséquent les condilions nécessaires pour empêcher ces mouvemens, doivent être particuliéres à chaque système. Mais les mouvemens de translation et de rotation peuvent être indépendans de la forme du systéme, et s’exécuter sans que M disposition et la liaison mutuelle des corps en soit dérangée. Ainsi la considération de ces deux espèces de mouvemens dut fournir des conditions ou propriétés générales de l'équilibre. C’est ce que nous allons examiner. PREMIÈRE PARTIE, SECTION II. 45 $I Propriétés de l'équilibre d'un système libre, relatives au mouvement P 7 à 4 de translation. 2. Soient un nombre quelconque de corps regardés comme des points, et disposés ou liés entre eux comme l’on voudra, les- quels soient tirés par les puissances P, P', P", etc., suivant les directions des lignes p, p', p', etc. On aura (Sect. précéd.) pour * l'équilibre de ces corps, la formule générale Pdp + P'dp' + P'dp' + etc. = 0. En rapportant à des coordonnées rectangles les différens points tirés par les forces P, P’, etc., ainsi que les centres de ces forces, comme dans l'article 6 de la section précédente, on aura pour les forces extérieures, = ae CARS as ad Co CS etc. Mais si les corps qui répondent, par exemple, aux coordonnées x, Y,2, et aux x, y, z, agissent l’un sur l’autre par une force mutuelle que nous désignerons par P, en nommant p la distance rectiligne de ces deux corps, on aurait P= Vs) + (75) + G—2), ct il faudrait ajouter à la formule générale le terme Pap, prove- nant de la force intérieure P, et ainsi de suite, si plusieurs forces . 2 agissent sur les mêmes corps. 3. Faisons, ce qui est permis, = x + £, SI; Z=z+é, x'= x £, S'y + get, etc. 46 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. x =x+é, J =, zæ=r+T, etc. | et supposons qu'on ait substitué ces valeurs dans Ja formule précédente, Puisque x, y, z sont les coordonnées absolues du corps tiré par la force P, il est clair que £, n, &, £", »”, L’, etc., ne seront autre chose que les coordonnées relatives des autres corps par rapport à celui-ci, pris pour leur origine commune ; de sorte que la posi- tion mutuelle des corps ne dépendra que de ces dernières coot- données, et nullement des premières, Donc si on suppose le système entièrement libre, c’est-à-dire, les corps simplement liés entre eux d’une manière quelconque, mais sans qu’ils soient retenus ou em péchés par des appuis fixes, ou des obstacles extérieurs quelconques, il est aisé de concevoir que les conditions résultantes de la nature du système, ne pourront regarder que les quantités £, n, &, E’, »', €’, etc., et nullement les quantités x, y, £, dont les différen- tielles demeureront pat conséquent indépendantes et indéterminées, Ainsi après les substitutions dont il s’agit, il faudra égaler séparé- ment à Zéro, Chacun des membres aflectés de dx, dy, dz, ce qui donnera ces trois équations (art. 2.) , dp" | = dp PE+P A+ P'TE «+ etc. +PE 4 etc. = _ PAPE + etc. HP + etc. =0, DEP LP E + etc. HP E + etc. = 0 On voit d’abord que les variables x, y, z n’entreront point dans dp dp dp l'expression de P; ainsi on aura de =» dy 0 = 0) etc , ce qui fera pare les termes qui contiendront des forces in- térieures P, P,, etc. : dr dp dpt dp" dp' On voit ensuite que les valeurs de FA > dj? d° dj dj? PREMIÈRE PARTIE, . NT. 47 dp' dp' dp” dp" dp' Te) etc, seront les mêmes que celles de , D » 2j di? de? 7 à de co Or si on nopme e, B, y les angles que la ligne p fait dec les axes des x, y, z, ou avec des parallèles à ces axes, 4’, 8, y les angles que la ligne p’ fait avec les mêmes axes , etc., on a, comme on la vu plus haut (art. 7 sect. précéd.), 2 —=COS a, R= cos 8, d p" ( p' L= = cosy, et de même, ; == COS &”, = B, P cosy, etc. Donc les trois équations ci-dessus deviendront P cos a + P’ cos «’ + P” cosæ" + etc. — 0; P cos B+ P' cos £' + P” cos B’ + etc. — 0, P cos y+ P’ cos y + P’ cosy” + etc. = 0; lesquelles devront nécessairement avoir lieu dans l'équilibre d’un système libre. Ce sont les équations nécessaires pour empècher le mouvement de translation. 4. Siles puissances P, P’, P’, etc., étaient parallèles, on aurait am aa etc, B—/8—L" etc, y—7—7'etc., et les trois équations précédentes se réduiraient à celle-ci, : P+P' + P'+etic. —0, laquelle montre que la somme des forces parallèles doit être nulle. En général il est facile de concevoir que P représentant lac- tion totale de la puissance P suivant sa propre direction, P cos. « représentera son action relative, estimée suivant la direction de Jaxe des x, lequel fait l'angle « avéc la direction de Ja force P ; de même Pcos.B et Pcos.y, seront les actions relatives de Ja même force, estimées suivant les directions des axes des y et z; et ainsi des autres forces P', P’, etc. De h résulte ce théorème ge Statique, que Zz somme des puis- sances estimées suivant la direction de trois axes perpendiculaires 48 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. entre eux, doit être nulle par rapport à chacun de ces axes, dans l'équilibre d’un système libre. $ IT. Propriétés de l'équilibre, relatives au mouvement de rotation. 5. Prenons maintenant, ce qui est permis, à la place des coor- données x, y, x,y, x", y", etc. x, y, etc. les rayons vecteurs p, p, petc., p, etc. avec les angles @, @’, &”, etc., @, etc. que ces rayons font avec l’axe des x; on aura, comme l’on sait, x=—p cos. 9, ns sin. 7 et de même x =p cos.g’, y'—=p sin. g’, etc. x—pcos?, —=psin?, etc, ses ces substitutions dans la’ formule générale de l'article 2, et supposons ®'—p+0, gps" etc., p—p+e, etc., ilest vi- sible que v, o’, etc., o, etc., seront les angles que les rayons p p’, etc. p, etc., forment avec le rayon p; par conséquent les distances des corps, tant entre eux que par rapport au plan des x, y, et au point qui est ptis pour l’origine des coordonnées, dépendront unique- ment des quantités p, p', p', etc., p, etc., &, 0’, etc. 05 etc,, z, #, z”, etc., z, etc. Donc si le système a la liberté de tourner autour de ce point pa- rallèlement au plan des x,y, c’est-à-dire autour de l'axe des z qui est perpendiculaire à ce plan, l'angle @ sera indépendant des conditions du système, et sa différence dp demeurera par conste quent arbitraire. D'où il suit que les termes affèctés de dp Quus l'équation générale de l'équilibre élevront être ensemble égaux à zéro. Il est facile de voir que tous ces termes seront représentés par Nd9, en faisant ! N=P? % EP + PT +etc.+P + et. de sorle que lon aura pour + l'équation N==0, En PREMIÈRE PARTIE, SECTION HI. 49 En substituant les valeurs de x, y, x, y, etc., x, 2 etc. dans les expfessions de p, p,etc., p, etc. (art. 2),et faisant de plus a=R cos 4, b=R sin 4, a'=R' cos 4’, b=R'sin 7, etc., on aura p =h/ p—2pR coS(p—A4) +R +(z—c}), p= VP°—2pR cos(p—4) + R4 (i— dc), etc. p = Vp— aff cos (p —@) +-p" + (2—2), etc, où il faudra encore mettre @—o, @— 0", etc., @-5, etc. à la place de 9, 9", etc., ® etc. Par ces dernières substitutions on voit d’abord que les quanti- tés p, etc. ne contiendront plus langle ç; ainsi on aura a d , A — : D = o, etc.; par conséquent les forces intérieures P, etc. dis- paraîtront de l'équation, et il n’y restera que les forces exté. rieures P, P’, etc. Ensuite on aura dp_pRsin(s— A4) dp'__p'R'sin (@— 4°) RS Cm 0 FA = he A n pa = p etc. , et la quantité N deviendra l . es D’'R!',' : À is Là FE IC se A + = A1 + etc. Comme on peut prendre les centres des forces P, P’, etc. par- tout où l’on veut dans la direction de ces forces, on peut supposer que ces forces soient représentées” par les lignes mêmes p, p', etc. qui sont les distances rectilignes de leurs points d'application aux centres respectifs. De cette manière on aura plus simplement N= Rpsin (p—4)+ R'p'sin (9 —.4#) + etc. Dans cette formule, les rayons 2 et p, qui partent de l'origine Méc. anal. Tome I. 7 jo MÉCANIQUE ANALYTIQUE. des coordonnées et qui renferment l'angle 9— 4, sont les côtés dun triangle qui a pour base la projection de la ligne » sux le plau des »,y; par conséquent la quantité Rp sin. (g— 4 } exprime le double de l'aire de ce triangle, et ainsi des autres quantités sein- blables. Or ayant nommé ci-dessus (art. 3) y, y’, etc. les angles que les directions des forces P, P'’, etc. font avec l'axe des z ou avec des parallèles à cet axe, il est clair que les complémens de ces angles seront les inclinaisons des lignes p, p' etc. au plan des x, y; donc psny, p siny, etc. seront les projections de ces lignes; et si de Forigine des coordonnées on abaisse sur ces projections des perpendi- culaires que nous nommerons I, IF, etc., on aura Rpsin(g—4)=NUpsiny, Rpsin(g—.4)=Up'siny, etc., et la quantité N se réduira à la forme N = UP sin} + {lP'sioy + HP" sin?” + etc., en remettant P, P’, P”, etc. à la place de p, p', p', etc. 6. L'équation N—a donnera ainsi le théorème suivant : Dans l'équilibre d’un système qui a la liberté de tourner autour d'un axe, et qui est composé de corps qui agissent les uns sun les autres d’une manière quelconque et sont en méme temps tirés par des forces extérieures , la somme de ces forces, estimées parallete- ment & un plan perpendiculaire à l'axe, et multipliées chacune par la perpendiculaire menée de l’axe à la direction de la force Projctée eur le méme plan, doit être nulle, en donnant-des signes contraires aux Jorces dont les directions tendent à faire tourner le système dans des sens contraires, On énonce ordinairement ce théoréme d’une maniére plus simple, en disant que les momens des forces, par rapport & un axe, doivent se détruire pour qu’il y ait équilibre autour de cet axe. Car on en- tend aujourd’hui en Mécanique, par moment d’une force ou puis- PREMIÈRE PARTIE, SECTION lit. St sance par rapport à une ligne, le produit de cette force estimée parallélêment à un plan perpendiculaire à cette ligne, et multipliée par son bras de levier, qui est la perpendiculaire menée de cette ligne sur la direction de la puissancé rapportée a même plan. En effet, c’est uniquement de ce moment que dépend l’action de la force pour faire tourner le système autour de l'axe ; puisque si on la décom- pose en deux, l’une parallèle à Faxé, l’autre dans un plan perpendi- culaire à l'axe, il r’y aura évidemment que cette dernière qui puisse produire une rotation. Nous donnerons en conséquence à ce moment le nom particulier de moment relatif à un axe de rotation. . 7. Le coefficient N du terme Ndp? (art. 5) exprime, comme one voit, la somme des momens de toutes les forces du système, relati- vement à l’axe de la rotation instantanée d@; ainsi pour trouver la somme de ces momens relatifs à un axe quelconque, il n’y aura qu'à transformer la formule générale Pdp + P'dp + P'dp' + etc., qui exprime la somme des momens virtuels de toutes les forces, en y introduisant, pour une des variables indépendantes, l'angle de ro- tation autour de l'axe donné; le coefficient de la giférentielle de cet angle sera la somme de tous les momens relatifs à cet axe; ce qui peut être utile dans plusieurs occasions. 8. Lorsque le système peut tourner en tout sens autour du point que nous prenons pour lorigine des coordonnées, il faut considérer à la fois les rotations instantanées autour des trois axes des x, y, -z; et lon aura, par rapport à chacun de ces axes ; une équation semblable à eelle que nous venons de trouver, et qui renfèrme la propriété des momens; mais il ng sera pas inutile de résoudre le même problème par une analyse plus simple et plus générale. Pour cela soit, comme dans Particle 5, x=poos?, y—=psing, x =/pcos?, y'=p sin, etc.; en faisant varier simplement les angles @, g'; Cic. de Ja même dif- férence d?, on aura ÿa MÉCANIQUE ANALYTIQUE. dx=—yd?, dy=sxdg, di =yyd?, dy =xdg, etc. Ce sont les variations de x, y, x’, y’, etc. dues à la rotaflon élé- mentaire dg du système autour de l'axe des z. On aura de même les variations de y, z, y’, z', etc. dues à une rotation élémentaire d{ autour de l'axe des x, en Changeant sim-" plement dans les formules précédentes x, y, x’, y’, etc. en y, z, v, z, etc., et d? en d, ce qui donnera dy=—1dN, d=ydd, dj =—1dN, d/=yd, ec. En changeant dans ces dernières formules y, z, y’, z', etc. res pectivement en z, x,+', x’, etc., et d\ en dw, on aura les varia- tions provenant de la rotation élémentaire do autour de l'axe des y, lesquelles seront dz=—xdo, dx=zdo, dl =—xdu, dx =z'dw, etc. Si donc on suppose que les trois rotations aient lieu à la fois, les variations totales des coordonnées x, y, z, x’, y, z', etc. seront, d’après les principes du calcul différentiel, égales aux sommes des variations partielles dues à chacune de ces rotations, de sorte qu’on aura alors ces expressions complètes , dx = do —ydp, dy = xd?—:d\, dz = yd\ — xdw, dx =2do —yd?, dyj'=xdp—z1dd, d'=yd) — xde, etc. En substituant ces valeurs dans la formule générale de l’équilibre (art. 2), on aura les termes dus seulement aux rotations d?, dw, d\À autour des trois axes des z, y, x, lesquels devront être sépaz rément égaux à zéro lorsque le système a Ja liberté de tourner en‘ tout sens autour du point qui fait d’origine des coordonnées. Or on a, par la différentiation, : (x—a)dx + (y —b) dy +(z— c)dz Tr 3 e dp = P P dy C0 de + ON + cd ta + ; | PREMIÈRE PARTIE, SECTION Il. 53: D = ED Ge D + =) + GENE) Lunel _ ? P etc. On aura donc, par les substitutions dont il s’agit, 4 == (ay — bx)dg+ (bz— cy)d {+ (ex — az)du PP He CNE | dp (ay — b'a")de + (b'z'— y )di + (x 02 )de : P etc. Et l'on trouvera dp —0, dp —0, etc., en mettant pour &x, dy, dz , etc. les valeurs analogues zdo — yd?, xd? — zdN ; ydd—xde, etc.; d’où l'on peut tout de suite conclure que les termes Pap, P'dp, etc. de la même équation, qui résulteraient des forces intérieures du système, disparaïîtront par ces substitutions. On aura aussi dp=o, si on fait a—0, b=0o, c—0, c’est-à- dire, si le centre des forces P tombe dans l’origine des coordon- nées; ce qui fera aussi disparaitre cette force. 9. Faisant donc abstraction des forces intérieures, s’il y en a, ainsi que de toute force qui serait dirigée vers le centre des coor- données, on aura en général pour toutes les forces P, P', etc., dirigées suivant Jes lignes p, p', etc., l'équation LdN + Mdow + Nd? = 0, en faisant — PGz— y) | POz—cy) . + F + etc. ’ M =Pe az) + EE + etc., N= Es bx) +2 + etc., et l'on aura, pour tout système libre de tourner en tout sens au- tour de lorigine des coordonnées, les trois ‘équations L=0, M=0o, N=o, lesquelles rébondent à celle de l’article 5, rap- portée aux trois axes des coordonnées, 54 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Car en employant, à la place des cooxlonnées a, b,c, &, etc. des centres de forces, les angles «&, 8, y, a’, etc., que les diretionstde ces forces font avec les trois axes des coordonnées ; et faisant par conséquent comme dans l'article 7 de la section précédente » a==x—peose, b=y—pcosfË, c—=z—pcosy, et ainsi des autres quantités semblables, on a L = P(ycos y — z cos B) + P(y'cosy — z' cos 8°) + etc., M = P(z cos a— xcosy) + P(z cosæ — x'cos y’) + etc., N = P(xcos B— y cos a) + P'(x cos B— y cosa’) + etc.s Or Pcosæ, P cos B, P cosy étant les valeurs de la force P, esti- mée suivant les directions des trois axes des x, y, z, on voit tout de suite que xP cos 8 — y P cos x sont les momens relatifs à l’axe desz, le terme yP vosa ayant le signe négatif à cause que la force P cosæ tend à faire tourner le système en sens contraire de la force Pcos B. De même zPcosa—xP cosy seront les momens relatifs à l'axe des Y & yPcosy—zP cosB, les momens relatifs à laxe des x; et ainsi des autre expressions semblables. De sorte que les trois équa- tions L—0o, H—=0o, N—0o expriment que la somme de ces mo- mens est nulle par rapport à chacun des trois axes. ‘On voit aussi que les coefficiens ZL, M, N des rotations instan- tanées 4}, do, dg ne sont autre chose que les momens relatifs aux axes des rotations instantanées &f, de, dp (art. 7). 10. On pourrait douter si les rotations autour des trois axes des coordonnées suffisent pour représenter tous lesspetits mouvemens qu'un système de points peut hvoir autour d’un point fixe, sans que leur disposition mutuelle en soit altérée. Pour lever ce doute, nous allons chercher tous ces mouvemens d’une manière plus directe. Par le point donné, qui sert d’origine aux coordonnées x, y, z, et par un autre point du système,.imaginons une ligne droite, et par cette ligne et par un troisième point du système, un plan; rap- PREMIÈRE PARTIE, SECTION lt. . 85 portons à cette ligne et à çe plan les autres points du système, par de pouvelles coordonnées rectangles x, y’, z’ ayant la même origine que les premières x, y, z; il est clair que ces nouvelles eoordonnées ne dépendront que de la situation mutuelle des points du système, æf seront par conséquent constantes lorsque le sys- tème change de place, tandis que les premières varient seules par ce changement. La théorie connue de la transformation des coordonnées donne d'abord ces relations entre les trois premières et les trois dernières, am ax + Ej + y, J= SX + By + yz, z = ax" y" + 72" Les neuf coefficiens «, B, y, «', etc. ne dépendent que de la position respective des axes des deux systèmes de coordonnées, et doivent être tels que les coordonnées x, y, z se rapportent aux mêmes points que les coordonnées +’, y’, z’, et qe par conséquent les deux ex- pressions x*+-y* + z° et x°+47*—+47% soient identiques , ce qui donne ces six équations de condition, mate), BHB* +R =r, + + =, afHaB+xl 0, ay+iy+ey =0, By+8Y+8Y=0, de sorte que parmi les neuf quantités «, 8,7, «’, etc., il en res- tera trois d’indéterminées. Lorsque les axes des x’, y’ z’ coïncident avec ceux des x, y, z, on a xx, y—y,z==27, et par conséquent a=1, B—o, 7=0,æ& —0, B—1, L'—=0,% —0, y—=0, y'—1. Ainsi en différentiant les formules précédentes, et y faisant ensuite ces substi- tutions, on aura le résultat d’un déplacement quelconque infiniment petit du système dans l’espace autour du point donné. On aura d’abord, en diffrentiant les expressions de x, y, z dans. Fhypothèse de x, y, z' constantes, et substituant, après la dif- 56 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. férentiation, x, ÿ, z à la place de ces quantités, dx = xda + yd8 + dy, dy = xde + ydf8 + :dy', dz = xda'+ yd8"+ zdy". Mais les six équations de condition étant différentiées donnent, par la substitution des valeurs a 1, B=—0o, 7 —o, etc. trou- vées ci-dessus, da=0, df=0o, dy"=—0, df+-de 0, dy+-deæ"—o , dy +df"=0o, d'où du =— dB, du" —=—@y, d£ê"—=— dy. Ces valeurs étant substituées dans les expressions de dx, dy; dz, on aura celles-ci; dx ——ydu + dy, dy=xde —:d8", dz=—xdy +ydl", qui coïncident avec celle de Particle 8, en faisant da’ =—d®, dy=dw, d£"= d\,. Ces formules des variations de x, y, z ont donc toute la géné« ralité que l’état de la question peut comporter ; et les trois équa- tions L=o, M—o, N—=o, qui résultent de lévanouissement des termes affectés de 44, do, d@ dans l'équation générale de Péqui- libre, sont par conséquent les seules nécessaires pour maintenir le système en équilibre autour du point donné, abstraction faite de ce qui dépend de la disposition mutuelle des points entre eux. De sorte que lorsque cette disposition est invariable, l'équilibre du système ne dépendra que des trois équations dont il s’agit. D’Alembert est le premier qui ait trouvé les lois de l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un système de points de forme inva- riable, dans ses Recherches sur la Précession des équinoxes. 1] y est parvenu d’une manière très-compliquée par la composition et la décomposition des forces. Depuis elles ont été démontrées plus sim- plement par différens auteurs; mais nos formules ont l'avantage dy conduire directement. $ IX, PREMIÈRE PARTIE, SECTION HL.° 57 $ III. e , . , De la Yomposition des mouvernens de rotation autour de différens axes , et des momens relatifs à ces axes. 13. Si on prend dans le système un point pour lequel les coor- données x, y, z soient proportionnelles à d44, dow, dp, les difié- rentielles correspondantes dx, dy, dz seront nulles, comme on le voit par les formules de l’article 8. Ce point, et tous ceux qui au- ront la même propriété, seront donc immobiles pendant l'instant que le système décrit les trois angles d\À, dw, d, en tournant à la fois autour des axes des x, y, z. Et il est facile de voir que tous ces points seront dans une ligne droite passant par Porigine des coor- données et faisant avec les axes des x, y, z des angles À, ue, », tels que | CosA == nn — COS = ee pete V(d{£"+de+dp)? d VAL +de + dp , V(d£ + de"+d?) Cette droite sera l'axe instantané de la rotation composée. En employant les angles À, &, », et faisant, pour abréger, dB = V(d\" + du? + dg°), on aura dd=dfcosh, do dcosu, dp— dû cosy, ct les expressions générales de dx, dy, dz (art. 8) deviendront dx == (zcosu — y cos») dB, dy = (xcosr — z cos À) d, dz = (ycosA — x cosu) di. Le carré du petit espace parcouru par un point quelconque étant dx* + dy* + dz', il sera exprimé par ((z cosu — y cosr) + (x cosy —zcos NH (y cos À — x cosu)") di = (y rt — (xcosA + y cosu + z cos »)*) dé”, À cause de cosA* + cosp® cos» = 1. Méc. anal. Tome I. cs) 58 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: Or il est facile de prouver que x cu: À + y COSu + z cos = © est l'équation d’un plan passant par l'origine des coordonrées ,ct perpendiculaire à la droite qui fait les angles À, m, » avec L's axes des x, y, z; donc le petit espace décrit par un point quekonque de ce plan sera dd VC + +2), et comme l'axe instantané de rotation est perpendiculaire à ce même plan, il s’ensuit que dû sera l'angle de la rotation autour de cet axe, composée des trois rotations partielles dÀ, dæ, d? autour des trois axes des coordonnées. 12. 11 suit de là que des rotations quelconques instantanées d+ ; do, d@ autour de trois axes qui se coupent à angles droits dans un même point, se composent en une seule dd = y/(d{°"+du"+d?"), autour d’un axe passant par le même point d’intersection, et fai- sant avec ceux-là des angles À, B, v, tels que di _d» __ de. COS A =) COSH—= TT) COS = 7; et réciproquement, qu’une rotation quelconque dê autour d’un axe donné, peut se décomposer en trois rotations partielles exprimées par cosAdf, cosudô, cos» autour de trois axes qui se coupent perpendiculairement dans un point de l'axe donné, et qui fassent avec cet axe les angles À, m, »; ce qui fournit un moyen bien simple de composer et de décomposer les mouvemens instantanées ou les vitesses de rotation. Ainsi, si on prend trois autres axes rectangulaires entre eux, qui fassent avec l'axe de la rotation dy les angles à”, À", À”; avec axe de la rotation do les angles x”, p”, m”; et avec l'axe de la ro- tation d les angles »”, »”, »”; la rotation d4 pourra se résoudre en trois rotations cos Add, cos \’d, cos X"d{ autour de ces nouveaux axes; la rotation dwse résoudra de mème en trois rotations cos #’dw , cosu"dw, cosu”de, et la rotation d® en trois rotations cos ?'d4? , PREMIÈRE PARTIE, SECTION all. 59 cos »"d@, cos s”"dp autour ks mêmes axes. De sorte qu’en ajoutant ensemdle les rotations autour d’un même axe, si on nomme &, dé", 4 les rotations totales autour des trois nouveaux axes, au dé = cos\’ d + cosu’ de + coss’ dp, dé" = cosx" di + cosu’dw + cos” dp, dé" = cos?" d£ + cosu”de + cos”dp. 13. Les rotations d{, dw, d? sont donc réduites de cette manière à trois rotations d#', df", d&”, autour de trois autres axes rectangu- laires, lesquelles doivent par conséquent donner, par la composition, la même rotation Æ qui résulte des rotations d\, dw, dg; de sorte qu'on aura (art. 11), ° | dé = dV? + dû + f = A" + du + de" ; et comme cette dernière équation doit être identique, il s’ensuit qu’on aura ces relations : cos À* —- cos À"* -E cos À" — 1, cosu"* + Cosp”* + cosu" — cos »* + cos »"* + cos >? = 1 ; cos À'Cosu’ + cos X’cosu”" + cos À"cosu" —= cos À’cos » = cos À'cos »” cos X°c0s »” = 0, cos cos »’ = cos "cos »” + cos L”Ccos »° = qu'on peut aussi trouver par la Géométrie. Par ces relations on peut avoir tout de suite les valeurs de 44, do, d@ en dÿ, &', dé”, en ajoutant ensemble les valeurs de &/, dé", dd”, multipliées successivement par cos ', COS À", COS À”, cosy’, cosu”, etc., on trouvera de cette manière : di = cos + cos x"@" + cos x", do == cos’ + cosu'd®" + cosu"df", d® = cos vd + cos >" + Cos »"d”. . 14. Si on nomme de plus #”,7", =” les angles que l'axe de Ja Go MÉCANIQUE ANALYTIQUE: rotation composée d8 fait avec les axes des trojs rotations partielles dé, df', df", on aura, comme dans l'aticle 31, A = cos À, dd = cos "8, dd" — cos é \ et si dans les expressions données ci-dessus (art. 12) de «db, uv”, d8”, on met pour d{ , do, d@ leurs valeurs en 48 de l'article 11, cos AB, cosud8, cosvd8, la comparaison de ces différentes expres- sions de d&', df, dé" donnera, en divisant par dÿ, ces nouvelles re- lations . COS 7° — COS À COS À” + COS COS’ + COS p COS”, cos æ” — COS À cos À” + COS COS” + COS y COS »”, Cos 2° = COS À cos À” + Cosp COS” + COSr COS >”, qu'on peut aussi vérifier par la- Géométrie. 15, On voit par là que ces compositions et décompositions des mouvemens de rotation sont entièrement analogues à celles des mou- vemens rectilignes. En effet, si sur les trois axes des rotations 4, dw, dÿ, on prend depuis leur point d’intersection des lignes proportionnelles respecti- vement à di}, ‘dw, d, et qu’on construise sur ces trois lignes un parallélépipède rectangle, il est facile de voir que la diagonale de ce parallélépipède sera l'axe de la rotation composée d8, et sera en même temps proportionnelle à cette rotation di. De là et de ce que les rotations autour d’un même axe s’ajoutent ou se retranchent suivant qu’elles sont dans le même sens ou dans des sens opposés, comme les mouvemens qui ont la même direction ou des directions opposées, on doit conclure en général que la composition et la dé- composition des mouvemens de rotation se fait de la même manière et suit les mêmes lois que la composition ou décomposition des mou- vemens rectilignes, en substituant, aux mouvemens de rotation, des mouvemens rectilignes, süivant la direction des axes de rotation. 16. Maintenant si dans la formule de l'article 9, Lay + Hide + Nd?, PREMIÈRE PARTIE, SECTION HI. . Gt laquelle contient les terme dus aux rotations dÀ, do, do dans la formulg générale Pdp + P'dp + P'dp' + etc., on substitue pour \e ; 4) , 4? , les expressions trouvées dans l'article 13, elle devient ( Lcos\ + HMcosu + Ncosr )ÿ + (ZLcosX + Acosu” + N cos s")d8" + (ZLcos?” + HMcosu” + N cos »”)db”. Donc par larticle 7, les coefficiens des angles élémentaires @, di", dû” exprimeront les sommes des momens relalifs aux axes des rotations db’, d’, dê”. Ainsi des momens égaux à L, M, N et relatifs à trois axes rectangulaires, donnent les momens Lcos \ + Acosuw + Ncosr, L cos x" + Mcosu + Ncos»”, L cos À + Mcosu" + N cos r”, relatifs à trois autres axes rectangulaires qui font respectivement avec ceux-là les angles à, p’, »’; À’, pe’, »°; À°, je”, 7. On trouve une démonstration géométrique de ce théorème, dans le tome VII des Nova acta de l'Académie de PéterSbourg. 17. Si on suppose les rotations dé, dw, d? proportionnelles à Z, M, N\, et qu'on fasse H= VLC +ITEN, on aura par l’article 11, L= IHcosA, M ITtrosm, N—IIcosr, . . S , Û et les trois momens qu’on vient de trouver se réduiront, par les relations de l’article 14, à cette forme simple, Hcosx, Ilcoss”, Hcoss”. Or +’, #", #" sont Jes angles que les axes des rotations ®, &, e La À 4 . . di” font avec l'axe dela, rotation composée 4. Donc si on fait 62 MÉCANIQUE 2 coïncider l'axe de la rotation dé‘ a x =0, et #", #° chacun égal à moment autour de cet axe sera sim momens autour des axes perpend nuls. D'où l’on conclut que des moment tifs à trois axes rectangulaires, se composent en un moment unique ÆZ égal à VL' + M°+ N°, et relatif à un axe qui fait ceux-là les angles À, u, »v, tels que a = 2 COS pm — 7 COS » = _ Ce sont lis théorèmes connus sur la composition des momens; et il est évident que cette composition suit aussi les mêmes règles que celle des mouvemens rectilignes. On aurait pu la déduire immédia- tement de la composition des rotations instantanées, en substituant les momens aux rotations qu’elles produisent, comme Varignon a substitué les forces aux mouvemens rectilignes, $ IV. Propriétés de l'équilibre , relatives au centre de gravité. 18. Si, dans les formules de l'article 9, on suppose que toutes les forces P, P’, P”, etc. agissent dans des directions parallèles entre elles , on aura a—4=«", etc., B—8B—£", etc.,>—=7 =", etc.; par conséquent si on fait, pour abréger, X= Px + P'é + P'x" + ete., YF = Py + Pys+ PY' + ete., Z = Pr + P'Z + P'z + etc., les quantités ZL, M, N deviendront L = Y cosy — M = Z cosa ur N = Xcosf — PREMIÈRE PARTIE, SECTION TI. 65 Et les équations de Le seront L=0o, M—=0, N=0, dont la troisième est ici uné%uite des deux premières. Mais comme on a dilleurs l'équation cos «cos B°+-cos>*=1 (sect. IT, art. 7), n poufra déterminer par ces équations les angles &, 8, y, et l'on, irouvera PR PER VE + F°+Z:) D VC++ 2)? Z Donc la position des corps étant donnée par rapport à trois axes, il faudra, pour que tout mouvement de rotation du système soit dé- truit, que le système soit placé relativement à la direction des forces, de manière que cette direction fasse avec les mêmes axes les angles æ, B, 7 qu'on vient de déterminer. COS à == cos B = COS y = 19. Si les quantités X, Y, Z étaient nulles, les angles «, 8, y demeurcraient indéterminés, et la position du système, relativement à la direction des forces, pourrait être quelconque; d'où résulte ce théorème, que si la somme des produits des forces parallèles, par leurs distances à trois plans perpendiculaires entre eux , est nulle par rapport à chacun. de ces trois plans, l'effet des forces pour faire tourner le système autour du point commun d’intersection des mêmes plans , se trouvera détruit. On sait que la gravité agit verticalement et proportionnellement à la masse; ainsi dans un système de corps pesans, si on cherche un point tel, que la somme des masses multipliées par leurs distances à un plan passant par ce point, soif nulle relativement à trois plans perpeudiculaires , ce point aura la propriété que la gravité ne pourra imprimer au système aucun mouvement de rotation autour du même point. C’est ce point qu’on appelle centre de gravité, et qui est d’un usage si étendu dans toute la Mécanique. Pour le déterminer, il n’y a qu'à chercher sa distance à trois 64 MÉCANIQUES" plans perpendiculaires donnés. des masses par leurs distances à vité est nulle, la somme des prod tances à un autre plan parallèle à ‘au produit de toutes les masses au même plan; de sorte qu’on \ celte diste somme des produits des masses et de leurs distances, par la somme même des masses; et de là résultent les formules connues pour les centres de gravité des lignes , des surfaces et des solides. 20. Mais il y a une propriété du centre de gravité qui est moins connue, et qui peut être utile dans quelques occasions, parce qu’elle est indépendante de la considération étrangère des plans auxquels on rapporte les différens corps du système, et qu’elle sert à déter- miner leur centre de gravité par la simple position respective des corps. Voici en quoi elle consiste. Soit 4 la somme des produits des masses prises deux à deux et multipliées de plus par le carré de leur distance respective, cette somme étant en même temps divisée par le carré de la somme des masses. é Soit B la somme des produits de chaque masse par le carré de sa distance à un point quelconque donné, cette somme étant di- visée par la somme des masses. * On aura VF — 4 pour la distance du centre de gravité de toutes les masses au point donné. Ainsi comme la quantité 4 est indépendante de ce point, si on détermine les valeurs de Z par rapport à trois points différens pris dans le système ou hors du système, à volonté, on aura les distances du centre de gravité à ces trois points, et par conséquent sa position par rapport à ces points, Si les corps étaient tous dans le même plan, il suffirait de consi- dérer deux points, et il n’en faudrait qu’un seul si tous les corps étaient dans une ligne donnée. En prenant les points donnés daris les PREMIÈRE IE, SECTION nl. 65 la position de son cenir ee sera donnée uniquement par les masses et par leurs distdèées respectives. C’est en quoi consiste e princibal avantage de cette maniére de déterminer le centre de la démontrer, je reprends les expressions de X, Y, Z -de l’article 18, et prenant de plus trois quantités arbitraires f, g, h, je forme ces trois équations identiques, faciles à vérifier, (X—(P+P'+P'+ etc.)f} , =(P+P HP" Hete.) (P(af + Pa —f ) HP (af) + etc.) — PP(x—x) — PP(x—x") — P'P'(x'— x") — etc. (YF —(P+P + P"+etc.)g) = (PP + Pete.) (P(y=—8)+P(y—8)+P (y —8) ete.) — PP(y—IY — PP(y—S) — PP{y y") —etc., (Z—(P+P + P + etc.)#) = (P+P+P'+etc.) (P(2—h) + P(2—h) +P"—(7"—h) +etc.) — PP(2—x) — PP(z—:") — P'P(z—7") — etc. Les quantités P, P', P", etc. représentent les poids ou les masses des corps qui leur sont proportionnelles, et les quantités x, y, z, x, VY z, x”, etc. sont les coordonnées rectangles de’ces corps. Or nous avons vu (art. 19) que lorsque l’origine des coordonnées est dans le centre de gravité, les trois quantités X, Y, Z sont nulles. Si donc on fait dans les trois équations précédentes X=0, Y=0, =0, qu’on les ajoute ensemble, et qu’on suppose, pour abréger, f+g+h=r, G—$f) + (yes) +G—2) = (0), G—fY + (rs) +G—-i=(), GT + (res) + A) = (6); etc. (x) + (y—rY + G—z) = (01), (es) + (y) + G— 2) = (0,2), Ca) + (y + (2) (2), etc. . Mc. anal. Tome I. _ 9 66 MÉCANIQUE Mes 7 JE. on aura, après avoir divisé par {? À +ete, == A mg ape : if _PP'(on 3 + PP'(0,2): + P'P'(1,2)° + et: RE Si on prend maintenant les trois quantités f, g, À pour les COOr- données rectangles d’un point donné, il est visible que r sera Ja— distance de ce point au centre de gravité qui est supposé dans origine des coordonnées, que (o), (1), (2), etc. seront les distances des poids P, P’, P”, etc. à ce même point, et que (0,1), (0,2), (1,2), etc. seront les distances entre les corps ou poids P et PF’, P et P", P' et P', etc. Donc l'équation ci-dessus deviendra = BA, doù lon tire r—=V(B— 4). $ Y. Propriétés de l'équilibre, relatives aux maxima et minima. 21. Nous allons considérer maintenant les, maxima et minima qui peuvent avoir lieu dans l'équilibre ; et pour cela nous repren- drons la formule générale Pdp + Qdq + Rdr + etc. = 0 de l'équilibre entre les forces P, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes p, q, r, etc., qui aboutissent aux centres de ces forces (Sect. IL, art. 4). On peut supposer que ces forces soient exprimées de manière que la quantité Pdp + Qdg + Rdr+ etc. soit une différentielle exacte d’une fonction de p, q;,r, A , laquelle soit représentée par I, ensorte que lon ait «° dU — Pdp + Qdg + Rdr + etc. Alors on aura pour l'éfuilibre cette équation. dII1=— 0 , laquelle fait voir que le système «loit être disposé de manière que la fonction 11 ÿ soit, généralement parlant, un masimum ou un minimum. TIE, SECTION Ni. 6r Je dis généralement partnÿ; car on sait que l'égalité d’une diffe- à zéro m'indique “As toujours un m7aximum OU UN mini- a fupposition précédente a lieu en général lorsque les forces P,Q, R, etc. tendent réellement ou à des points fixes, ou à des corps du même système, et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances; ce qui est proprement le cas de la nature. Ainsi dans cette hypothèse de forces, le système.sera en équilibre lorsque la fonction Ii sera un maximum où un minimum ; C’est en quoi consiste le principe que Maupertuis avait proposé sous le nom de Loi de repos. Dans un système de corps pesans en équilibre, les forces P, Q, À, etc. provenant de la gravité, sont, comme l’on sait, pro- portionnelles aux masses des corps, et par conséquent constantes, et les distances p, g, r, etc. concourent au centre de la terre. On aura donc dans ce cas = Pp + Qq + Rr—etc.; par conséquent, puisque les lignes p, g, r, etc. sont censées parallèles , la quantité II + Fe La - La PIOER TA °*Primera la distance du centre de gravité de tout le système au centre de la terre; laquelle sera donc'un minimum ou un maximum , lorsque le système sera en équilibre; elle sera, par exemple, un minimum dans le cas de la chaïînette, et un maximum dans le cas de plusieurs globules qui se soutiendraient en forme de voûte. Ce principe est connu depuis long-temps. 22. Si maintenant on considère le même système en monyement ; et que w', u”, u”, etc. soient les vitesses, et m', m',m", elc. les masses cie des différens corps qui le composent ; le principe si connu de La conservation dès forces vives, dont nous donnerons une démonstration directe et générale dans la seconde partie, four- nira cette équation, mu* + mu + m'u" etc, = Const, — 211. Donc, puisque dans l'état équilibre la quantité I est un mini- ts MÉCANIQUE A4 IQLE mum OU UN maximum, il s'ensuit q quantité m'a m'ufs + m'u"+ etc., qui exprime la force vive de tout le système, srra en même temps un maximum OÙ minimum ; Ce qui donné ct autre principe de Statique,. que de toutes les situations que prend tuccee sivement le système, celle où il a la plus grande ou la plus petite force vive, est aussi celle où il le faudrait placer d'a abord pour qu’il restôt en équilibre. Voyez les Mémoires de PAcadémie des Sciences. de i748 et 1749. 23. On vient de voir que la fonction IT est un méritmum ou um maximum, lorsque la position du système est celle de l'équilibre ; nous allons maintenant démontrer que si cette fonction est un 7ni- nimum , l'équilibre aura de la stabilité ; ensorte que le système étant d’abord supposé dans Pétat d'équilibre, ‘et venant ensuite à être tant soit peu déplacé de cet état, il tendra de lui-même à s’y re- mettre, en faisant des oscillations infiniment petites ; qu'au con- traire , dans le cas où la même fonction sera un maximum, l'équi- libre n’aura pas de stabilité, et qu’étant une fois troublé, le'système pourra faire des oscillations qui ne seront pas très-petites, et qui pourront l’écarter de plus en plus de son premier état. Pour démontrer cette proposition d’une manière générale, je considère que , quelle que puisse être la forme du système, sa po- sition, c’est-à-dire celle des différens corps qui le composent, sera toujôurs déterminée par un certain nombre de variables, et que la quantité I sera une fonction donnée de ces mêmes variables. Suppo- sons que dans la situation d'équilibre les variables dont il s’agit soient égales à a, b, c, etc., et que dans unesituation très-proche de celle-ci, elles soient a +x,b-ky,c-+7, etg., les quantités x, y, z, etc. étant très-petites ; substituant ces dernières valeurs dans la fonction IT, et réduisant en série, suivant les dimensions des quantités très- petites x, y, z, etc., la fonction II deviendra de cette forme, D 4 + Bx + Cy + Dz + etc. a Fa + Gay + Hy° + Kxz + Lys Met etc. TIE, SECTION If. - 69 les quantités 4, B, C, e%. ftant données en a, b, ec, etc. Mais état d'équilibre la v fur de dl doit être nulle, de quelque qu’on fasse varier la position du système; donc il faudra ifférentielle de TI soit nulle en général, lorsque x, y, z, etc. sont—o ; donc B=0o, C=0, D=0, etc. On aura donc pour une situation quelconque très-proche de celle de l'équilibre, cette expression de I, = A+ Fe + Gay te He Ke LyzE Ma ete, dans laquelle, tant que les variables x, y, z, etc. sont très-petites, il suffira de tenir compte des secondes dimensions de ces variables. 24. Maintenant ilest cläir que pour que la quantité IT soit toujours un minimum , lorsque x, y, z, etc. sont nulles, il faut que la fonction Fr + Gxy + Hy° + Kxz + Lyz + Mz* + etc., que je nommerai X, soit constamment positive, quelles que sojent les valeurs des variables x, y, z, etc. Or cette fonction est réductible à la forme X = fE" + gr + Alf + etc., en faisant = z + etc., etc. Donc, pour qu’elle soit toujours positive, il faudra que les coeffi- ciens f, 8» h, etc. soient positifs; et on voit en même temps que 70 MÉCANIQUE AA TIQLE, si ces coefficiens sont positifs, la A 'fTe x sera nécessairement positive, puisque les quantités £, % EZ.4esunt. réelles lor;que 5 variables x, y, z, etc. le sont. Si au contraire la quantité II devait être toujours un mugimrr À lorsque x, y, z, etc. sont nuls, il faudrait que la fonction X fût constamment négative, .et par conséquent que les coefficiens f, g, k, etc. fussent négatifs ; et réciproquement , si ces coefficiens sont nécaufss il s’ensuivra que la valeur de X sera nécessairement négative, 25. On aura donc, en ne tenant compte que des secondes dimen- sions des quantités très-petites x, y, z, etc., = A + fE + gue + hé ete. et l'équation de la conservation des forces vives (art. 22) deviendra W'u°+M'u"+M'u"+etc.—const. Met ice: 2h, etc. Or dans Pétat d'équilibre on a (hyp.) x=0, Y=0, z=0, etc. donc aussi £=—0, n—0o, £—0, etc. (art, 19); donc si on sup- pose qu'on dérange le système de cet état, en imprimant aux corps M, M", M”, etc, les vitesses très-pelites 7”, 7”, 7°, etc., il faudra que lon aitw#= #7", w'—=V",u"=#", etc., lorsque £É—0, n—0,{=—0,etc. On aura donc MF" + M'V"® EM" Hetc. == const, — 2,4; ce qui servira à déterminer la constante arbitraire. Aïnsi l'équation précédente deviendra M'u°+ M'u+ M'u"+etc, = MF LM P®+ M°P"+ etc, — 2fE* — 2g# 2h", etc, d’où il est aisé de tirer ces deux conclusions : 1°. Que dans le cas du rinimum de IT, dans lequel les coefi- ciens f, g, h, etc. sont tous positifs, la quantité toujours positive 2f£° + ogn° + 2h£° + etc. devra nécessairement être moindre, ou du moins ne pourra pas être plus grande que la quantité donnée MP" à MP + MF" + etc., qui est elle-même très-petite ; PREMÉRE RÂRTIE, SECTION ni. par conséquent si on nom 6 bette quantité 7, on aura pour cha- : > Le T r cune des variables £, n, €, etc. ces limites + VZ A - — Var v , etc., entre lesquelles elles seront nécessairement renfer- mées; d’où il suit que dans ce cas le système ne pourra que s’écarter très-peu de son état d'équilibre, et ne pourra faire que des oscilla- tions très-petites et d’une étendue déterminée. 2°. Que dans le cas du maximum de II, dans lequel les coefficiens JF gr h, etc. sont tous négatifs, la quantité toujours positive — 2f£* — agn — 2hf, etc. pourra croître à l'infini, et qu'ainsi le système pourra s’écarter de plus en plus de son état d'équilibre. Du moins l'équation ci-dessus fait voir que dans ce cas rien n’em- pêche que les variables £, n, £, etc. n’aillent toujours en augmen- tant, mais il ne s'ensuit pas encore qu'elles doivent en effet aller en augmentant ; nous démontrerons cette dernière proposition dans la section cinquième de la Dynamique. Si tous les coefficiens f, g, k, etc. étaient nuls, on sait, par les méthodes de maximis et minimis, qu'il faudrait, pour lexistence d’un minimum ou d'en maximum, que les termes de trois dimen- sions disparussent, et que ceux de quatre dimensions fussent cons- tamment positifs ou négatifs ; et c’est aussi de cette manière qu’on pourra juger de la stabilité de l'équilibre donné par l’évanouissement des termes de la première dimension, lorsque ceux de deux dimen- sions s’évanouissent en même temps. 26. Au reste, ces propriétés des maxima et minimæ, qui ont lieu dans l'équilibre d’un système quelconque de forces, ne sont qu’une conséquence immédiate de la démonstration que nous avons donnée du principe des vitesses virtuelles à la fin de la première section. En effèt, soit p la distance entre les deux premières moufles, l'une fixe, l’autre mobile, jointes par P cordons qui produisent une force proportionnelle à P, et qu’on peut représenter simplement par P, en prenant le poids qui tend la corde pour lunité; soit de 72 MÉCANIQUE ANACVTIQU'E. même q la distance entre les deux maille" Œ'u produisent la force Q! r distance entre les moufles qui prod'éént la furce R, etc. Il est évident que Pp sera la longueur de la portion de la corde Œui en- brasse les deux premières moufles; pareillement, Qgq,.Rr, QC: St ront les longueurs dés portions de la corde qui embrasse les aires moufles ; de sorte que la longueur totale de la corde embrassée par- les moufles fixes et mobiles sera Pp + Qg + Rr-+ etc. Ajoutons à cette longueur celle des différentes portions de la corde qui se trouveront entre des poulies fixes pour faire les renvois nécessaires au changement de direction, et que nous désignerons par a; ajoutons-y encore la portion de la corde qui se trouvera entre la dernière poulie de renvoi et le poids attaché à l'extrémité de la corde ;: et que nous désignerons par z; enfin soit Z la lon- guenr totale de la corde, dant la première extrémité est fixement attachée à un point immobile dans Pespace, et dont l’autre extrémité porte le poids; on aura évidemment l'équation l= Pp+Qg+Rr+ etc. au, d’où l’on tire | u=l—a— Pp— Qq— Rr— etc. Or en supposant les forces P, Q, R, etc. constantes, c'est-à-dire indépendantes de p,q, r, etc., ce qui est toujours permis dans l'équilibre où lon ne considère que des déplacemens infiniment pe- tits, il est visible que la quantité Pp+ Qqg + Rr + etc. sera la même que nous avons désignée par II dans Particle 21; ainsi on aura en général u==/—a—Il, où Z ct a sont des quantités constantes, 27. Maintenant il est clair que comme le poids tend à descendre le plus qu'il est possible, l'équilibre n’aura lieu en général que lors- que la valeur de z,‘qui exprime la descente du poids depuis- la poulie fixe, sera un maximum, et que par conséquent celle de I sera PREMÉRE PARTIE, SECTION I. 75” sera UN mninimum; et Fon\ volt en même temps que dans ce cas l'équilibre sera stable , par € qu'un petit changement quelconque: ans la position du système ne pourra que faire remonter le poids, uel fndra à redescendre et à remettre le système dans -Pétat d'équilibre. Mais nous avons vu que pour l'équilibre il suffit que l'on ait d1=0o, et par conséquent du =0; ce qui a lieu aussi lorsque la valeur de x est un minimüm , ‘auquel cas le poids , au | fieu d’être le plus bas, sera au contraire le plus haut. Dans ce cas, il est visible qu’un petit changement dans la position du système ne pourra que: faire descendre le poids, qui alors ne tendra plus à remonter, mais à descendre davantage, et à éloigner de plus en plus le sys-» tème du premier état d'équilibre; d’où il suit que cet équilibre n’aura» point de stabilité, et qu'élant une fois troublé, il ne tendra pas à! sc rétablir, Îéc. anal. Tone I. « En na MÉCANIQUE ANAL YTIQUE: QUATRIÈME SECTION. Mañière te simple et plus générale de faire usage de le férmiu e (le l'équilibre, donnée’ dans la seconde Section. , à, Ge qui jusqu'à’ présent ont écrit sur lé principe deg vitesses virtuelles , se sont plutôt attachés à prouvér la vérité de ce prinéipe par la conformité de ses résultats avec éèux des prins cipes ordinäires dela Statique, qu'à montrer l'usagé qu’on. en peut faire pour résoudre! directement les problèmes de cette Science. Nous nous sommes proposés de remplir ce dernier objet avec toute la gé- néralité dont il est susceptible, et de déduire du principe dont if s’agit, des formules analytiques qui renferment fa solution de tous les problémes sur équilibre des corps, à peu près de la même ma- _nière que les formules des soutangentes, des rayons osculateurs, etc. renferment Ja détermination de ces lignes dans toutes les courbes. La méthode exposée dans la seconde section, peut être employée dans tous les cas, et ne demande, comme on l'a vu, que des opé- rations purement analytiques ; mais comme l'élimination immédiate des variables ou de leurs différences, par le moyen des équations de condition, peut conduire à des calculs trop compliqués, nous allons présenter la même méthode sous une forme plus simple, en réduisant en quelque maniére tous les cas à celui d'un système en- tiérement libre. $ I Méthode des Multiplicateurs. 2. Soient L—o, M—o, N—o, etc. les différentes équations de condition données par la nature du système, les quantités Z, PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. ‘95 21, N, etc. étant des Tüptidps finies des variables #, 7, 7, æ, y, z, etc.; en différentiant ces "équations, on aura celles-ci, dL=0, a —?p, 4N = 0, etc., lesquelles donneront la relation qui doit: avoir lieu entre les différentielles des mêmes variables. En_général, nous représenterons par dL=0, dH—o, dN—o, etc. les équa- tions de condition entre ces différentielles, soit que ces, équations soient elles-mêmes des diffrences exactes ou non, pourvu que les différentielles n’y soient que linéaires. Maintenant, comme ces équations ne doivent servir qu’à élimi- ner un pareil nombre de différentielles dans la formule générale de l'équilibre, après quoi les eoefficiens des différentielles. restantes doivent être égalés chacun à Zéro, il n’est pas difficile de prouver par la théorie de Pélimination des équations linéaires, qu’on aura les mêmes résultats si on ajoute simplement à la formule dont il s'agit, les différentes équations de condition 4dL —0, dH=0o, aN=o, etc., multipliées chacune par un coefficient ‘indétgrminé ; qu’ensuite on égale à zéro la somme de tous les termes .quise trouvent multipliés par une même diflérentielle, ce qui donnera autant d’équa- tions particulières qu’il y a de différentielles; qu’enfin ,on élimine de ces dernières équations les .coefficiens indéterminés pgr lesquels on a multiplié les équations de condition. : 3. De là résulte donc cette règle extrêmement simple pour trou- ver les conditions de l'équilibre d’un système quelconque proposé, On prendra la somme des zromens de toutes les puissances qui doivent être en équilibre (sect. JL, art, 5), et on y ajoutera les diffé- rentes fonctions différentielles qui doivent être nulles par les ‘condi- tions du problème, après avoir multiplié chacune de ces fonctions par un coefficient indéterminé; on égalera le tout à zéro, et l'on aura ainsi une équation différentielle qu’on traitera comme une équation ordinaire de maximis et minimis , et d’où l’on tirera autant d'équa- tions particulières finies qu'il y aura de variables; ces équations étant ensuite déharrassées, Par l'élimination, des coefficiens indé- 76 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: terminés ; donneront toutes les condjtidhs nécessaires pour l’équi- libre. = L’équation différentielle dont il s’agit sera donc de cette forme, Pdp + Qaq + Rdr + etc. + AdL + pa + vaN + etc. = 0, dans laquelle À, x, », etc. sont des quantités indéterminées; nous Ja nommerons dans la suite, équation générale de l'équilibre, Cette équation donnera, relativement à chaque coordonnée, telle que x, de chacun des corps du système, une équation de la forme Fe ‘ + SHARE + a. + ATH UT y ARTS etc. — 0; ensorte que le nombre de ces équations sera égal à celui de toutes les coordonnées des corps. Nous les appellerons équations particu- lières de l'équilibre. Hu, Toute la difficulté consistera donc à éliminer de ces dernières équations, ‘les indéterminées À, B, v, etc.; or c'est ce qu’on pourra toujours exécuter par les moyens connus ; mais il conviendra dans chaque cas de choisir ceux qui pourront édite aux résultatsles plus simples. Les équations finales renfermeront toutes les conditions né- cessaires pour l'équilibre proposé, et comme le nombre de ces équa- tions sera égal à celui de toutes les coordonnées des corps du sys- tème moins celui des indéterminées À, m, v, etc, qu'il a fallu éliminer , que d’ailleurs ces mêmes indéterminées sont en même nombre que les équations de condition finies L—0o, M—o, N=o, etc., il s’ensuit que les équations dont il s’agit, jointes à ces dernières, seront toujours en même nombre que les coordon- nées de tous les corps ; par cor.séquent, elles suffiront pour déter- miner ces coordonnées, et faire connaître la position que chaque corps doit prendre pour être en équilibre. | 5. Je remarque maintenant que les termes AdL, dM, etc. ‘de l'équation générale de l'équilibre, peuvent être aussi regardés comme PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. 17 représentant les momens, de différentes forces appliquées au même système, En effet, supposant 4ZL une fonction diférentielle des variables - x, V, 2, x”, y’, etc. qui servent de coordonnées à différens corps du système, cette fonction sera composée de différentes parties que jé désignerai par dZ’, dL’, etc., ensorte que dL—dL;/ + dL'+etc., dL/ ne renfermant que les termes affectés de dx, dy, dz', dL' ne renfermant que ceux qui contiennent dx”, dy", dz”, et aiusi de suite. De cette manière, le terme AdZ de l'équation générale sera composé des termes A4L/, AdI/, etc. Or si on donne au terme AdL”. la forme suivante : | 2 GET + Gr) + Ge) + TS ETS ENS il est clair, par ce qu’on a dit dans 8 de la seconde sec- tion, que cette quantité peut représenter le moment d’une force SA VCD + = T)+ ) PES a) , appliquée au corps dont les coor- données sont x’, y’, z, et ea perpendiculairement à la surface qui aura pour équation dL'=—0o, en n’y regardant que *, y, z’ comme variables. De même le terme A4L” PO représenter le : y LANCEZ TAN) Li moment d’une force — À VA T7 +( a) + Gr) 2) , appliquée au corps qui a pour coordonnées x", y”, z’, et dirigée perpendiculaire- ment à la surface courbe, dont l'équation sera 4Z”=—0, en n’y re- gardant que x”, y" z" comme variables, et ainsi de suite, Donc en général le terme AdE£, sera ., à l'effet de diffé- d rentes forces exprimées par À CE) + D) + + (5 AC). \*, /dl\s _r : (EE) + ( Gr es) 2 à ( +) , etc., et appliquées respectivement aux corps qui répondent aux,coordonnées x, y’, z’, x", y”, z", etc., suivant des directions perpendiculaires aux différentes surfaces 78 : MÉCANIQUE ANALYTIQUE. courbes représentées par l'équation ZZ==o, en y faisant varier pre< mièrement x’, y, z’, ensuite x”, y”, z" "et ainsi du reste, 6. En général, on pourra regarder le terme A4Z comme le mo- ment d’une force À tendante à faire varier la valeur de la fonction Z, et comme dl; —4L'+dLl'+etc., Je terme A4Z exprimera les mo- mens de plusieurs forces égales à À, et tendantes à faire yarier la fonction Z, en ayant égard séparément à Ja variabilité des diffé- rentes coordonnées x’, y’, z', x”, y", z”, etc. Il en sera de même des termes Ld4M, vaN, etc. (art. 9, sect, IT). Comme dans équation générale de léquilibre {art. 3) les forces P, Q, R, etc. sont supposées dirigées vers des centres auxquels aboutissent les lignes p, g, r, etc., et par conséquent tendantes à diminuer ces lignes, il faudra également regarder les forces À, u, etc, comme tendantes à diminuer les valeurs des fonctions L, AZ, etc, 7. Il résulte de là que chaque équation de condition est équi- valente à une ou plusieurs forces appliquées au système, suivant des directions données, ou en général tendantes à faire varier les valeurs de fonctions données, ensorte que l'état d'équilibre du sys- tème sera le même, soit qu’on emploie la considération de ces forces, ou qu'on ait égard aux équations de condition. Réciproquement ces forces peuvent tenir lieu des équations de condition résultantes de la nature du système donné; de manière qu’en employant ces forces, on pourra regarder les corps comme entièrement libres et sans aucune liaison. Et de là on voit la raison métaphysique, pourquoi l'introduction des termes A4Z--ud Htc. dans l'équation générale de l’éqilibre, fait qu’on peut ensuite traiter cette équation comme si tous les corps du système étaient entiè- rement libres; c’est en quoi consiste l'esprit de la méthode de cette section. À proprement parler, les forces en question tiennent lieu des résistances que les corps devraient'éprouver en vertu de Jeur liai- PREMÈRE PARTIE, SECTION IV. 97 son mutuelle, ou de la part des obstacles qui, par la nature du système, pourraient s’opposer à leur mouvement; ou plutôt ces forces ne sont que les forces mêmes de ces résistances, lesquelles doivent étre égales et directement opposées aux pressions exercées par les corps. Notre méthode donne, comme l’on voit, le moyen de déterminer ces forces et ces résistances ; ce qui n’est pas un des moindres avantages de cette méthode. 8. Dans les cas où les forces P, Q, R, etc. ne sont pas en équilibre, et où l’on demande de les réduire à des forces équivalentes dont les directions soient données, il suffira d'ajouter à la somme des momens des forces P, Q, R, etc. les momens résultans des équations de condition Z=—0o, M=—=o, etc., et l’on aura la somme des mornens des forces équivalentes aux forces P, Q, R, etc. et à l'action que les corps exercent les uns sur les autres, en vertu de ces mêmes équations de condition. En employant ainsi toutes les'équations de condition données par la nature du système proposé, on pourra regarder comme indépen- dantes les coordonnées de chaque corps du système, et l’on aura pour chacune de ces coordonnées, telle que x, une quantité de la forme dp dq dr PET+TOQTT+TRTE + et. ., dL dM aN NE VE a noi qui exprimera la force résultante suivant la direction de la ligne », laquelle devra être nulle dans le cas d'équilibre, comme on l'a vu dans l'article 3. $ II. Application de la méme méthode & la formule de l'équilibre des corps continus, dont tous les points sont tirés par des forces quelconques. 9. Jusqu'ici nous avons coysidéré les corps comme des points ; et nous ayons vu comment on détermine les lois de l'équilibre de 80 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. ces points, eh quelque nombre qu’ils soient, et quelques forces qui agissent sur eux. Or un corps d’un volume ‘et d’une figure quel- conque, n'étant que l'assemblage d’une infinité de parties ou points matériels , il s’ensuit qu’on peut déterminer aussi les lois de l’équi- libre des corps de figure quelconque, par l'application des principes précédens, En, effet, la manière ordinaire de résoudre les questions de Mé- canique qui concernent les corps de masse finie, consiste à ne considérer d’abord qu'un certain nombre de points placés à des distances finies les uns des autres, et à chercher les lois de leur équilibre ou de leur mouvement; à étendre ensuite cette recherche à un nombre indéfini de points; enfin à supposer que le nombre des points devienne infini, et qu'en même temps leurs distances deviennent infiniment pelites , et à faire aux formules trouvées pour un nombre fini de points, les réductions et les modifications que demande le passage du fini à Pinfini. Ce procédé est, comme l’on voit, analogue aux. méthodes géo- métriques et analytiques qui ont précédé le calcul infinitésimal; et si ce calcul a l'avantage de faciliter et de simplifier d’une manière surprenante, les solutions des questions qui ont rapport aux courbes, il ne le doit qu'a ce qu'il considère ces lignes en elles-mêmes, et comme courbes, sans avoir besoin de les regarder, premièrement comme polygones, et ensuite comme courbes. Il y aura donc à peu près le même avantage à traiter les problèmes de Mécanique dont il est question par des voies directes, et en considérant immé- diatement les corps de masses finies comme des assemblages d’une infinité de points ou corpuscules, animés chacun par des forces don- nées. Or rien n’est plus facile qué de modifier et simplifier par cette considération, la méthode générale que nous venons de donner. 10. Mais il est nécessaire de remarquer, avant tout, que dans Yapplication de cette méthode aux corps d’une masse finie, dont tous Jes points sont animés par des fürces quelconques, il se présente naturellement PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. _ êr naturellement deux sortes de différentielles qu’il faut bien distinguer. Les unes se rapportent aux différens points qui composent le corps; les autres sont indépendantes de la position mutuelle de ces points, et représentent seulement les espaces infiniment petits que chaque point peut parcourir, en supposant que la situation du corps varie in- finiment peu. Comme jusqu'ici nous n'avons eu que des diffé- rences de cette dernière espèce à considérer, nous les avons désignées par la caractéristique ordinaire d; mais puisque nous devons main- tenant avoir égard aux deux espèces de différences à la fois, et qu'il est par conséquent nécessaire d'introduire une nouvelle caractéris- tique, il nous paraît à propos d'employer l’ancienne caractéristique d pour désigner les différences de la première espèce qui sont ana- Jogues à celles que l’on considère communément en Géométrie, et de dénoter les différences de la seconde espèce qui sont particulières à la matière que nous traitons, par la caractéristique d', employée dans le Calcul des variations, avec lequel celui dont il s’agit ici a une liaison intime et nécessaire. Nous nommerons même, par cette raison, variations les diffé- rences affectées de d', et nous conserverons le nom de différentielles, à celles qui sont affectées de d. Du reste les mêmes formules qui donnent les différentielles ordinaires , donneront aussi les variations, en substituant d'à la place de 4. 11. Je remarque ensuite qu’au lieu de considérer la masse don- née comme un assemblage d’une infinité de points contigus, il fau- dra, suivant l'esprit du calcul infinitésimal, la considérer plutôt comme composée d’élémens infiniment petits, qui soient du même ordre de dimension que la masseerfière; qu’ainsi pour avoir les forces qui animent chacun de ces élémens, il faudra multiplier par ces mêmes élémens, les forces P, Q, R, etc., qu’on suppose appliquées à chaque point de ces élémens, et qu’on regardera comme ‘des forces accélératrices , analogues à celles qui proviennent de lac- tion de la gravité. Méc. anal. Tom. A st 82 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: Si donc on nomme m la masse totale, et Zm un de ses élémens quelconque, on aura Pdm, Qdm, Räm, etc. pour les forces qui tirent l'élément dm, suivant les directions des lignes p, g, r, etc. Donc multipliant respectivement ces forces par les variations Jp, dy dr, etc., on aura leurs momens, dont la somme, pour chaque élé- ment dm, sera représentée par la formule (Pd'p+-Qdy+Rdr-Helc.)dm; et pour avoir la somme des momens de toutes les forces du système, H n’y aura qu’à prendre Pintégrale de cette formule par rapport à toute la masse donnée. Nous dénoterons ces intégrales totales, c’est-à-dire relatives à Pétendue de toute la masse, par la caractéristique majuscule S, en conservant la caractéristique ordinaire f pour désigner les intégrales partielles ou indéfinies. 12. On aura ainsi pour la somme des momens de toutes les forces du système, la formule intégrale S(Pdp + Qdg + Rdr + etc.)1m; et cette quantité devra être nulle en général dans l'état d'équilibre du système. Comme par la nature du système il y a nécessairement des rapports donnés entre les différentes variations dp, d'g, d'r, etc., relatives à chaque point de la masse, il faudra les réduire à un certain nombre de variations indépendantes et indéterminées; et les termes multipliés par ces dernières variations, étant égalés à zéro, donneront les équations particulitres de équilibre. Mais ces réduc- tions pouvant être embarrassantes, il conviendra de les éviter par le moyen de la méthode des multiplicateurs que nous venons de donner dans le paragraphe précédent. « 13. Pour appliquer cette méthode au cas dont il s’agit ici, nous supposerons que L—0, A—0o, etc. soient les équations de con- dition qui doivent avoir lieu par la nature du problème, par rapport à chaque point de la masse, et nous les nommerons équations de condition indéterminées. PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. 83 Les quantités Z, A7, etc. seront ici des fonctions des coor- données finies x, y, z qui répondent à chaque point de la masse donnée, et de leurs différentielles d’un ordre quelconque. Ces équations étant différentiées suivant d, on aura celle-ci : dL=0, d'M—o, etc. On multipliera les quantités dZ, J'Y, etc. par des quantités indéterminées À, 4, etc.: on en prendra l'inté- grale totale, qui sera par conséquent représentée par la formule S(AS'L + pd AT +-etc.), et ajoutant cette intégrale à celle de l’article précédent , on aura l'équation générale de l'équilibre. On observera qu'il n’est pas nécessaire que d'Z, d'AT, etc. soient les variations exactes de fonctions de x, y, z, dx, dy, etc., mais qu'il suffit que f'ZL=0o, d'A1— 0, etc. soient les équations de con- dition indéterminéee entre les variations de x, y, z, dx, dy, etc. (art. 3). Mais il faut remarquer qu’outre les forces qui agissent en gé- néral sur tous les points de la masse, il peut y en avoir qui n’agissent que sur des points déterminés de cette masse, lesquels points sont ordinairement ceux qui répondent aux extrémités de la masse don- née, c’est-à-dire, au commencement et à la fin de l'intégrale dési- gnée pur $. | De mème il pourra y avoir des équations de condition particu- lières à ces points, et que nous nommerons équations de condition déterminées, pour les distinguer de celles qui ont lieu en général dans toute l'étendue de la masse; nous les représenterons par A0, B—0, Co, es ou plutôt par d4=0, dB=o, JC=0, etc. L* Nous marquerons d’un trait, de deux, de trois, etc. toutes les quantités qui se rapportent à desrpoints déterminés de la masse, et en particulier nous marquerons d’un seul trait celles qui se rapportent au commencement de l'intégrale désignée par S, de deux traits celles qui se rapportent à la fin de cette intégrale, de trois ou davan- tage, celles quise rapportent à des points intermédiaires quelconques, Ainsi il faudra ajouter à l'iftégrale S(Pdp+-Qd'g+-Rd'r-etc.)dm, 84 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. la quantité P'dp” 40 d'g +R dr ete. + P'Ip + Q'd9" + R'dr"+etc.; et à l'intégrale SSL + pS M + etc.), la mes ad A+ PL +) d'C+etc. De sorte que l'équation générale de l’équilibre sera de cette forme S(Pdp + Qdg + Rdr + etc.)dm + S(AÎL + pd AT + etc.) + Pdp + Qdg + R'Ir+ etc. + P'Îp"+Q'dg"' +R'dr"+etc. + ad 4 + BIB + ydC + etc. = 0. 14. Comme les fonctions Z, A, etc. peuvent contenir non-seu- lement les variables finies x, y, z, mais encore leurs différentielles, les variations JL, d'AZ, ete. donneront des termes multipliés par dx, dy, de, d'dx, d'dy, etc.; et l'équation précédente, lorsqu'on y aura substitué les valeurs de d'p, dy, dy, etc., dE, J'AI, etc., en dx, dy, dr, ddx, d'dy, d'dz, étc., ainsi que celles de d'y’, dy”, etc., dy, dg", etc. d'4, dB, etc. en dx’, dx”, etc., dy, dy”, etc., d'dx', etc. déduites des circonstances particulières de chaque problème, aura toujours une forme analogue à celles que le Calcul des variations fournit pour la détermination des maxima el minima des formules intégrales indéfinies ;'ainsi it n’y aura qu'à y “hp les règles con- nues de .cé calcul.' " On conidérera donc qué, cémme les caractéristiques d et d marquent deux espèces de différences entièrement indépendantes entre elles, quärid ces caractéristiques se trouvent ensemble, il doit être indifférent dans quel ordre elles soient placées, parce qu’en . supposant qu’une quantité" varie de deux manières différentes, on & toujours le même résultat, 'quél que soit l'ordre dans lequel se font ces variations. Ainsi d'4x sera la même chose que ddx, et pareillement d'x sera la/même chose que d'dx, et ainsi de suite. On pourra donc toujours changer à volonté l'ordre des caractéris- tiques , sans altérer la valeur des différences; et pour notre objet il sera à propos de transporter la caractéristique d'avant kh d, afin PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. 85 que l'équation proposée ne contienne que les variations des coor- donpées, et les différentielles de ces mêmes variations. ‘ Il en est de même des signes d'intégration fou S, par rapport à la caractéristique des variations d. Ainsi on pourra toujours chan- ger les symboles df ou JS en /d' ou SA. C’est en quoi consiste le premier principe fondamental du Calcul des variations. 15. Or les différentielles dx, dy, dd'z, d'dx, etc. qui se trou, .… sous le signe S, peuvent être éliminées par l'opération connue des intégrations par parties. Car en général /Qddx = Or — /dxdQ, Sd dx = Qdd\x — dO dx + fd'xd'Q, et ainsi des autres, où il faut observer que les quantités hors du signe / se rapportent naturel- lement aux derniers points des intégrales, mais que pour rendre ces intégrales complètes , il faut nécessairement en retrancher les valeurs des mêmes quantités hors du signe, lesquelles répondent aux premiers points des intégrales, afin que tout s’évanouisse dans ces points; ce qui est évident par la théorie des intégrations. Ainsi en marquant par un trait les quantités qui se rapportent au commencement des intégrales totales désignées par S, et par deux traits celles qui se rapportent à la fin de ces intégrales, on aura les réductions suivantes : SOdIx = Q'dx"— Q'dx — Sd\xdQ, SQddx= Q'dd' x" — dQ'"d'x" — Q'ddx" + dQ'fx + SdxdQ , etc. lesquelles serviront à faire disparaître toutes les différentielles des variations qui pourront se trouver sous le signe S. Ces réductions constituent le second principe fondamental du Calcul des variations. 16. De cette manière donc, l'équation générale de l'équilibre se réduira à la forme suivante : S(Eds + Sdy + Ydr)+Amo, 86 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. dans laquelle #, 2, # seront des fonctions de x, y, z, et de leurs différentielles, et A contiendra les termes affectés des variations dx’, dy, dr, dx”, dy”, etc., et de leurs différentielles. Donc pour que cette équation ait lieu, indépendamment des va- riations des différentes coordonnées, il faudra que l’on ait, 1°. =, Ë, #, nuls dans toute l'étendue de l'intégrale S, c’est-à-dire, dans chaque point de la masse; 2°. chaque terme de À aussi égal à zéro. Les équations indéfinies 5=0, £—0o, Ÿ—o, donneront en général la relation qui doit se trouver entre les variables +, y, z; mais il faudra pour cela en éliminer les variables indéterminées À, k, etc., lesquelles sont en même nombre que les équations de con- dition indéterminées Z=o, M=—0, etc. (art, 13). - Or je remarque que ces équations ne sauraient être au-delà de trois; car puisque ce sont des équations indéfinies entre les trois va- riables x, y, z, et leurs différentielles, il est clair que s’il y en avait plus de trois, on aurait plus d'équations que de variables ; ‘ensorte qu'il faudrait que la quatrième füt une suite nécessaire des trois pre. miéres, et ainsi des autres. Donc il n’y aura jamais plus de trois indéterminées À, , », à éliminer; ensorte qu’on pourra toujours trouver les valeurs de ces indéterminées en fonctions de x, y, &, Mais les équations qui disparaîtront par ces éliminations, seront rem- placées par les équations mêmes de condition, de sorte qu’on pourra toujours connaître les valeurs de x, y, z, qui doivent avoir lieu dans l’état d'équilibre de tout le système. Au reste, les équations de condition Z=—o, M=0, etc. pour- raient contenir encore d’autres variables z, », étc., avec leurs dif- férentielles, qui devraient être éliminées par le moyen d’autres équations telles que U—0, Ÿ=0, etc.; dans ce cas on pourrait traiter ces nouvelles équations de condition comme celles qui sont données par la nature du problème, et prenant des coefficiens indéter- minés 6, u, etc.il n’y aurait qu’à ajouter auxtermes AdZ-+ud']-+etc., qui sont sous le signe d’intégration dans l'équation générale de l’ar- ticle 15, les termes of U+ dy + etc.; et après avoir fait dispa- | ‘ PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. 87 raître toutes les différentielles des variations dx, dy, dz, du, dy, etc., l'équation finale de l’article 16 contiendra sous le signe des termes affectés des variations du, dy, etc., qui devront par conséquent être égalés séparément à zéro. On aura ainsi autant de nouvelles équa- tions que d’indéterminées &, », etc., par lesquelles il faudra les éliminer; ensuite on éliminera les nouvelles variables w, , etc. par les équations données U—0o, F7—0, etc. Cette méthode sera sur- tout utile lorsque, dans les fonctions Z, M, etc., il se trouvera des quantités intégrales ; car en substituant à leur place de nouvelles indéterminées, on pourra faire disparaître tous les signes d’intégra- tion, ce qui rendra le calcul plus facile. 17. A l'égard des autres équations résultantes des différens termes de la quantité À qui est hors du signe, ce ne seront que des équa- tions particulières qui ne devront avoir lieu que par rapport à des points déterminés de la masse, et qui serviront principalement à déterminer les constantes arbitraires que les expressions de x, y, z, déduites des équations précédentes, pourront contenir. Pour faire usage de ces équations, on y substituera donc les valeurs déjà trouvées de À, x, etc., ensuite on en éliminera les indéterminées æ, B, etc., et on y joindra les équations de condition 4=0, B=o, etc., qui serviront à remplacer celles que l'élimination dont il s’agit fera disparaître. 18. Quoique les termes Pdp, Qdg, etc., dus aux forces accélé- ratrices P, Q, etc., ne demandent aucune réduction tant que ces forces agissent suivant les lignes p, g, etc., parce que les quantités P;, 9, etc. ne sont fonctions que deë «variables finies x, y, z; il n’en sera pas de même lorsqu'on emploiera des forces dont l’action consis- tera à faire varier une fonction donnée (art. 9, sect. Il); il faudra alors, si cette fonction contient des différentielles, employer pour ces termes les mêmes réductions que pour les termes AdZ, etc., et on parviendra toujours à une équation finale de la même forme. 88 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: Ce cas a lieu lorsqu'on considère des corps élastiques, soit solides ou fluides. $ III. "Analogie des problèmes de ce genre avec ceux de maximis et minimis. 19. Non-seulement le calcul des variations s’applique de la même manière aux problèmes sur l'équilibre des corps continus et aux pro- blèmes de maximis et minimis relatifs aux formules intégrales, mais il fait naître entre ces deux sortes de questions une analogie remare quable que nous allons développer, Nous commencerons par donner une formule générale pour la variation d’une fonction différentielle quelconque à plusieurs va- riables. On sait que dans les fonctions de plusieurs variables et de leurs différentielles des ordres supérieurs au premier, on peut toujours prendre une des différentielles premières pour constante, ce qui sim plifie la fonction sans rien ôter à sa généralité; mais alors dans les différentiations par d', il faut aussi regarder comme constante la va- riable dont la différentielle a été supposée constante; et si on veut attribuer des variations à toutes les variables, il faudra rétablir la variabilité de la différentielle supposée constante, 20. Soit U une fonction de x, y, Ÿ ; ., etc., où dx est Sup- posé constant; si on fait, comme dans la Théorie des fonctions , Ÿ =Y, y EE VIT = =7y", etc., la quantité U deviendra fonction “ de »,y,y,3y", etc., et la variation JU sera, en employant la notation des différentielles partielles, de la forme ; su= LHx+ + 7 Y + 55 D dy" -+ etc, Maintenant en faisant tout varier, on aura sy PREMIÈRE PARTIE , SECTION IV. 89 r ÿ = ddy dy dx _—_ ds y , dix PERL de add ) de d.({y—ydà _. ETES » d.(y—y"s " dy 0-72 sys ds :(Sy — d LA à = SONDE pe, | dy"= EGET Vpn etc. Substituant ces valeurs et faisant, pour abréger, dy—y'dx = du, et par conséquent dy = du + y dx, on aura = CE du s +5 SH + ete. )de ee du dU VAL + 5 du +5 y * dx Fa * dx RO Mais en _. par d la fonction U et subtituant y'dx pour dy, y'dx pour d,ona dU , dU au= (se +7 +3 +" + etc.) de ; d’où l'on tire nr + 9 "het = 7 = X dU, Donc enfin Ra * Ur HT 7 du + Tex Se de Si la Ér U contenait une . Tee z avec ses diffé- dz rentielles da? da etc., en faisant & = £/, =, etc., et opérant Méc. anal, Tome I. 12 00 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. de la même manière, on trouverait les termes suivans : dU div dU d'fv dU DT DS de Ve de tn dans lesquels do = dr — r'dx à ajouter à la valeur précédente de JU, et ainsi de suite. 21. Donc si on a la fonction intégrale /Udx à rendre un maximum ou un rzinimum , par les principes du calcul des variations, on fera dfUdx = fNUdx) = Sd Udx + Uddx) = 0. Substituant la valeur de JU, changeant dux en ddx, et faisant dis- paraître, par des intégrations par parties, les différences de dx, du, dv, il ne restera sous le signe que des termes de la forme (Edx + Tou+ Ydv)dx, dans lesquels ‘__, au 1 dU 1 du T dy Ra Tata 7 À dU 1 au 1 dU FRE Rd Eesti ae Ces termes doivent être nuls, quelles que soient tes variations dx, dy, dz; or en remettant pour du .et dy leurs valeurs dy—y'dx, Jz— dx, les termes dont il s’agit deviennent, à cause de E=0, (TD y HE dz — (Ty + Fz) dx) dx, d’où l'on ne tiresque les deux-équations Ÿ =0;,"#—0o;la troisième, dépendante de dx, étant contenue dans ces deux-ci. On voit par là qu’on peut se ‘dispenser d'attribuer aussi une varia- tion.à la variable x, dont l’élément.est supposé constant dans Ja fonction U, puisque les équations nécessaires à la solution du pro- blème résultent uniquement des variations des autres variables, C’est” PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. gt une remarque qui a été faite dès la naissance du calcul des varia- tions, et qui est une suite nécessaire de ce calcul. : Cependant il peut être utile de considérer toutes les variations à la fois, par rapport aux limites de intégrale, parce qu'il peut ré- sulter de chacune d’elles des conditions particulières dans les points qui répondent à ces limites, comme nous Favons fait voir dans la dernière leçon sur le Calcul des fonctions. 22. La fonction intégrale dont on demande le maximum ou le mi- nimum , peut contenir aussi d’autres intégrales; mais quelle qu’elle soit, on peut toujours la réduire à ne contenir que des variables finies avec leurs différentielles, et à dépendre d’une ou de plusieurs équations de condition entre ces mêmes variables, auxquelles on pourrä toujours satisfaire par la méthode des multiplicateurs. Supposons, par exemple, que U soit une fonction de x, y, z et de leurs différentielles, et qu’en même temps la variable z dépende de l'équation de condition L—0o; cette équation étant différentiée par d' donnera d'Z,—0; il n’y aura donc qu’à multiplier celle-ci par un coefficient indéterminé À, ou par Adx, pour l’homogénéité, lors- . que Z est une fonction finie, ajouter l'équation intégrâle /Ad'Zdx=—0 à l'équation du maximum ou minimum d'.fUdx — 0, et considérer ensuite les variations dx, dy, dz comme indépendantes. Or on a, en regardant Z comme fonction de x, y,y',ÿ", ete., 2, z', 2°, etc., sz=° D ea à +2 dy’ + ete. + d+T 2 92 + dv etc, Donc si -on fait les mêmes E bébtibs que ci-dessus pour d\, dz, dy", etc., on aura aussi JL = 3, dLde D du 7 x Dre + ete. dL dL à, dèv + rt x + etc, et les termés sous le signe, provenant de l’équation’ /(d', dx + AdLdx)== o seront de la forme 92 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. (Edx + Tu + Fdv)dx, dans lesquels on aura AL, dU = (TR + AT Ed. é HAL 5) - 1 Frs HA x) — eu. ÿar, += (T+aT ga(E+aE + Ho. ( + ASE) — etc. Var. Or Z—o étant l'équation de condition, on aura aussi dL = 0 ce qui donnera £—0. Ainsi en égalant à zéro les coefficiens des trois variations dx, dy, dz, on n’aura que les deux équations T—o, Ÿ — 6, dont l’une servira à éliminer lindéterminée À; de sorte qu'il ne restera pour la solution du problème qu’une seule équation en «,y, z, qu'il faudra combiner avec l'équation donnée Z =. d 23. Comme, en supposant dx constant, on a y — 4 ; n" {3 = A etc., z =% ,& =, etc., on voit qu’il suffit de faire varier dans les fonctions V/, Z, etc. les variables y, z, etc. avec leurs différentielles ; on aura ainsi, en employant, avec la caractéristique d, la notation des . Re dU — SY je 3 5 D + d'dy+etc. ++ T dr + L- ddx HI Ùpdr-tetc. ; et sion veut avoir en même temps à la variation de x, il ny aura qu'à ajouter à l'expression de dU le terme _ dUdx, et d dz changer dy en dy dx, de en d— dx, etc. De cette manière, on aura d’abord, après les réductions, d.fUdx = [(Tdy + Ydz + etc.)dx + V'dy + T'ddy + etc. ne V'dz + Y'ads + etc., PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. 95 en faisant = a+ ee ee a 5 — dr +etc., T=— Jr — cle ete, = di ETS Fa aU = da + 0) Fe — etc., etc., et pour avoir égard ni à la de de x, on ajoutera, dans tous les termes, _+ Y Jr à dy, et + = dx à di. 24. Telle est la méthode générale pour les problèmes de maximis et minimis, relatifs aux formules intégrales indéfinies auxquels le calcul des variations a été d’abord destiné; et l’on voit qu’en fai- sant même varier toutes les variables, elle ne donne cependant qu'autant d'équations moins une, qu'il y a de variables; ce qui est d’ailleurs conforme à la nature de la chose, puisque ce n’est pas la valeur individuelle de chacune des variables qu’on cherche, comme dans les questions ordinaires de maximis et minimës, mais des re- lations indéfinies entre ces variables, par lesquelles elles deviennent fonctions les unes des autres, et peuvent être représentées par des courbes à simple ou à double courbure. 25. Appliquons maintenant la même méthode aux problèmes ds la Mécanique, et supposons, pour. plus de simplicité, que la for- mule Pdp+ Qdq + Rdr + etc. soit intégrable, et que son intégrale soit I1, comme dans l'article 21 de la section- III, on aura aussi , ° Pdp + Qdq + Rdr +etc. = AMI, et l'équation générale de l'équilibre (art. 13) deviendra S(dTIdm + \ÎL + HÊM + etc.) =0, en faisant ici abstraction des équations de condition relatives à des points déterminés. ne { 94 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Comme la masse de chaque particule dm du système ne doit pas varier pendant que la position du système varie, il faudra suppo- ser ddm=o, et par conséquent d£—d'dm. Lorsque le système est linéaire, on a-e général dm = Udx, U étant une fonction comme dans Farticle 20; on aura donc JL = d'Udx + Uddx, et la formule SAS'Z, donnera sous le signe les termes (Edx + Tu + Ydv)dx, dans lesquels on aura (art. 22), = (A4U—dAAU) L dU dU ï AE | + 6. Donc s'iln'y a point d'autre condition, l’équation provenant des termes sous le signe S sera dd + (Ed x + Tdu + Ydo)dx = 0, qu’on devra vérifier séparément par rapport à chacune des varia- tions dx, dy, dr. Or Il étant une fonction de x, y, x, on a = D+T D HT; et comme du = dy — Ÿ dx, ddr _ dx, l'équation précé- dente devient d (ZE an HrAds — Tr — Far )fe + 1 in + ra d+ (am + Fdr We =0, laquelle donne ces Loi PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. 05 de dm + Edx —Ydy _—Yd=0 : ee dm+Tée=0, À dm dx = 0, Ainsi on a ici autant d'équations que de variables, ce qui pa- rait mettre une différence entre les problèmes de ce genre relatifs à la Mécanique, et les problèmes de maximis et minimis. 27. Mais j'observe d’ahord qu'a cause de l'indéterminée À, les trois équations se réduisent à deux, par l'élimination de cette indé- terminée; et quoiqu’en général les équations de condition remplacent toujours celles qui disparaissent par l'élimination des indéterminées, la condition introduite ici ddm== 0, c’est-à-dire dm constant, ne peut pas fournir une équation particulière pour la solution du pro- blème, parce que, suivant l'esprit du calcul différentiel, il est toujours permis de prendre un élément quelconque pour constant, puisqu'il n’y a, à proprement parler, que les rapports des différentielles entre elles, et non les différentielles elles-mêmes, qui entrent dans le calcul. Ainsi Jes trois équations seront réduites à deux, et ne ser- viront qu’à déterminer la nature de la courbe, comine dans les pro- blèmes de maximis et minimis. 28. J'observe ensuite qu’on peut aussi rappeler les problèmes de Statique dont il s’agit ici, à de simples problèmes de maximis et minimis. Car si on ajoute ensemble les trois équations trouvées ci-dessus, après avoir multiplié la première par 4x, la seconde par dy et la troisième par d, on-aura, à causg de Dd+ed+e L &= dl, Yéquation dildm-+ Edx*==0; mais on a Edx=AdU—d.AU—=—UdX, et.comme.dm = Udx, où aura, en divisant par dm, dIl—dA=0; d'où lon tire A=H+a,a étänt une constante arbitraire, 96 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ainsi, à cause de d'Z—d'dm, le terme AdZ dans l'équation de Yarticle 25, deviendra Id 4m + addm, et puisque dYidm+-Hd 7m — d'.Idm, cette équation deviendra Sd.Tidm + aSd'am = 0, cC 'est-à-dire $ d'.STIdm + ad. Sdm = 0 ; c’est l'équation nécessaire pour que la formule intégrale STdm de- vienne ün maximum où Un minimum parmi toutes celles où la for- mule Sdm aura une même valeur. De cette manière ôn pourra, comme dans les questions de maxi- mis et minimis , regarder une des variables comme constante, relativement aux variations par d', ce qui simplifie l'analyse; mais da méthode générale a l'avantage de donner la valeur du coefficient à, qui, par la théorie exposée dans la section précédente , exprimera la force avec laquelle l'élément 4m résiste à l’action des forces P, Q, R, etc. qui agissent sur le système, ‘29. Nus avons supposé, pour plus de simplicité , qu’il n’y avait point d'autre équation de condition, mais s’il y avait de pis léqua tion M=0o, M étant une fonction de x, y, z,y’, y", etc. z’, z’,etc., il faudrait ajouter au terme Ad'Z sous le signe, dans l’é équation de l'équilibre, le terme md, ou plutôt, pour l'homogénéité, le terme md'Mdx, ce qui donnerait à ajouter aux valeurs de #, T, Ÿ de l'article 25 les ‘quantités respectives MM, dM 1 dM, 1 dM Co Br + » et LE dM Re Lan Ha dbz ee. Ainsi on aurait trois équations de la même forme que celles de l’ar- ticle 26, lesquelles, par Pélimination des deux indéterminées à et x se réduiraient à une seule, mais en y joignant l'équation de condition M0; on aurait, comme auparavant, denx équations entre les trois variables X,VT Ces PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV: 07 Ces trois équations donnent, comme dans Particle 28, l'équation dTign + Eds =o. Ici l'on à Edx=— UdA + wiM; mais l’équa- tion #0 donne aussi 4H=0 ; donc on aura simplement, comme dans l'article cité, Ædx = UdA, et de là on trouvera le même résultat d.STIdm = 0. 30. Donc en général le problème de Féquilibre d’un système de dm particules animées des forces P, Q, R, etc. qui agissent suivant les directions . des ligues p, g, r, etc., et qu'on suppose telles que l’on ait | Pdp + Qdg + Rar + etc. = dl, se réduit simplement à rendre la formule intégrale STIdm un maxi- mum OU UN minimum, en ayant d'ailleurs égard aux conditions particulières du système ; ce qui, comme Fon voit, fait rentrer tous les problèmes de l'équilibre dans la classe des problèmes de maximis et minimis, Connus sous le nom de problèmes des isopé- rimètres. Dans le cas de la chaïnette, en prenant les ordomnées y verti- cales, on a [=—gy, g étant la force constante de la gravité. Donc il faut que la formule Sydm seit un maximum où un minimum parmi : | x : d toutes celles où la valeur de Sam est la même ; mais De est Ja distance du centre de gravité à l'horizontale; donc puisque la masse entière est supposée donnée, il faudra que cette distance soit la plus grande ou la plus petite; ce qu’en sait d’ailleurs. 51. Jusqu'à présent nous n’avons considéré que des fonctions de variables regardées comme indépendantes; mais si la variable z était censée fonction de x, y, et que l’on eût une fonction U qui contint x, y, z avec les différences partielles de z relatives à x et y, on pourrait demander la variation T7, en ayant égard aux variations simultanées de #, y, z. | Méc. anal, Tome I, 13. 98 MÉCANIQUE ANALYTIQUE- Soit, pour plus de simplicité, de dz dz ___r Tr r Er, « He? dr os Hd Fr er d°z C2 d'z Énores Rs 2 — ete. ts eg? EF de la quantité U sera fonction de x, % 2,2, 2°, 2,, 2,, elc.; et lon aura UT de + E dy + de + ST de 4e HD de + HT de + ctc., et la difficulté se réduira à trouver les valeurs des variations dZz’, dz,, dx”, etc., en faisant varier à la fois les élémens dx, dy, dans les différences partielles. Nous pouvons supposer, pour rendre le calcul plus simple, que la variation dx est une fonction de x indépendante de y, et la variation dy une fonction de ÿ indépendante de x. Nous verrons par la suite que çette supposition a toute la généralité que l’on peut desirer. 32. Cela Se on aura, en différentiant, =d# A ___ ddz _ dx TS de de du * È dd CRE ge, ddx H'est clair que = LT E » ainsi on aur& , __ dis, dPx __ d.(Sz—2$x) : dr! _— dz x AE - M dx, où D1 ; d. Cr roe nn) de = GÉRANTS + a Fi dy. On aura de même _ d.(Cz—zèr— z,3y) d D Ÿ? à dèx dèy __ PREMIÈRE PARTIE, SECTION iv: c6ÿ On aura ensuite dz ddz’ dx/ dix", dé = à, LS Se Me X Te Substituant la valeur de dz’, on aura CHATS CES dx — 2 d\ 0 _ CPAS Eds sd} On aura de même de L 7 dz' diy dx! = = dd F dy on à dy Q ‘dy* Substituant aussi la ee de d}', on aura, à cause de 4, a? = (Oz 23x27) dx drdy. + = ul +#%à Ye. On trouvera PR d.Czz'dm-z dy) d'z, de, = dy* de dx + dy, et ainsi de: suite, 35. Donc si on fait, pour abréger, dz Es dz ïe _dz, dr_d dz" dz et qu'on observe-que 247 Z* d'z __dz! d'z, _& dz 7 Zdÿ — dc? dep — dy? etc., on aura plus simplement ST de de| Der dz = Le Pi dx ++ AZ dJu dZ, = + de +# dY;, , Fe #4 ee dz CRE dt —— dy, x Fri se de, = a ta ds + dY» __ du, ds, dz;} de, = De de + y 0) xa0 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE: Faisant ces substitutions dans l'expression de JU, mettant dut 2 dx Toy à à la place de d'z, et ordonnant les termes par rapport à dx, Y, du, on aura _ (AU, dU. ds , dU. dz dU. dz, dU — (+ x X PR Ca de du dz" , dU dz! + 37 X dar KT + ete.) dr dU,, dU dz , dU _dz' , dU dz, + (% ji ha GT de, * dy au” XF av, Pr +: pu ge 420 % LAS d.du du d'$u PR X a Ua X dy t AC- Désignons par D) (£ 7) les différences partielles de V, re- latives à x et y; en dt z comme fonction de ces deux va- riables, il est clair qu'on aura ‘AU , dU, & dU. dz, Le Fa X BE +R XR +R X Te "1 EC Sr tn du, g ca … dU | dz, Aïnsi . . complète . U se réduira à cette forme simple, = Ge) + ( Do + a Su, Pad dâu + _ Le HE X Tr * rs au. ddu ,«(dU É d’du DRE & * dy + di, * DT etc. 54. Donc si lon a uné .fonction — doub'e SSUdxdy à rendre un maximum Où Un minimum, On aura l'équation dSSUdrdy = SSd), Udidy = 0. PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. 101 Or en faisant tout varier, on a d.Udxdy = d'Udxdy + Ud'.dxdy ; où il faut remarquer que dxdy représentant un rectangle qui est l'élément du plan des x, y, ce rectangle demeurera rectangle après les variations dx, dy des coordonnées x, y, dans la supposition adoptée que dx ne dépende point de y, ni dy de x; de sorte que la variation de dxdy sera simplement dyd\dx +- dxd'dy; donc, comme dèx d. : ddr = dx = dx, ddy = ddy = Fe dy, puisque dx et dy sont censées fonctions de x seul et de y seul, on aura dîx dUdxdy = (AU U x Ge + U x D 2) ddr. Substituant la valeur de JU, et faisant disparaître, par des inté- grations partielles, les différentielles des variations dx, dy, du, il restera sous le double SS les termes (Edx + 2 + Ydu)dxdy, &)-(æ)=0; =Ë 27 = —()— D) +2) eu) + eu + etc. ; dans lesquels eu faisant, pour abréger, , dU dU » __dU V'= cr, Us, Ur et supposant que les différentielles partielles renfermées entre deux crochets représentent les valeurs complètes de ces différences, en y regardant z comme fonction de x, y. 35. Ainsi à cause de du= de —T LT DE les termes sous 109 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. le double signe donneront simplement léquation. Y (der dy)=o, d’où, en égalant séparément à zéro les coefficiens de dz, dx, dy, on. n'aura que l'équation Ÿ —0, comme si on n'avait fait varier que la seule variable z. onu On voit donc que dans les questions de maximis et minimis, relatives à des intégrables doubles, daps. lesquelles une: des-trois variables est fonction des deux autres, il n’y a rigoureusement qu’une seule équation qu’on peut trouver directement, en ne faisant varier par. d'que la seule variable qui est censée fonction des deux autres; et, cette équation est, celle dela surface qui satisfait à la question. C’est ainsi qu’on a trouvé l'équation aux différences partielles de la. moindre surface, en faisant — V{1+(7) +(z,) ); et ce que nous venons de démontrer prouve que cette équation remplit complète- ment les conditions du problème, quelques variations qu’on attribue aux trois coordonnées de là surface. "36. On peut appliquer les formules des variations que nous ve- nons de trouver, à l'équation d’un système superficiel de particules dm tirées par des forces quelconques. En n'ayant égard qu’à la condition de l’invariabilité de dm, on aura d’abord, comme dans l'article 25, l’équation: générale de l'é-- quilibre SS{STIdm + Ad dm) = 0. Ici la valeur de dm sera de, la forme Udxdy., et l'on aura par conséquent (art. 34), PE dèx ddy d'dm ==. (AU + AU TE AU D 7 )drdy. Substituant cette valeur, ainsi que celle de d'T de l'article 33, dans * la formule intégrale SSAd' dm, et faisant disparaître, par des inté- grations par parties, les différences des variations d'x, dy, d'u, il PREMIÈRE PARTIE, SECTION IV. 105 ne restera sous le double signe que kes termes (Edx + Tdy + Ydu)dxdy, dans lesquels s=A(r)- (=), TA (NÉ) = à UT), ve (0) DE) + EE) a) + ele, en conservant les valeurs de VU”, U, U", U}, etc. de l’article 34. Ajoutons à ces termes ceux qui proviennent de l'intégrale SSSIdm, savoir, en substituant les valeurs de II et 4m, (Œ +7 dy + dr) Udrdy ; et remettons pour d'z sa valeur d'z— : dx 5 dy (art. 33), l'équation générale de l'équilibre contiendra sous le double signe SS Les termes suivans, ordonnés par rapport aux variatiôns dx, dy, dr, CAO (Dora ad; +5 +) d'où l’on tire les trois équations © (À )U=rE=o, -(ho-rh ne, La dernière donne F=— U®, et cette valeur étant substituée 104 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: dans les deux autres, on a, après avoir divisé par TV, K da z + a a — dx) 9 ds fdx | D Ta Y— ni ” La première donne A=T1+-fonct.y ; la seconde donne A=T1+-fonct.»; donc on aura ÀA==[-Ha, a étant une constante. Substituant cette valeur dans l'équation générale de Péquilibre , elle deviendra SS(S.Idm + addm) —0o, savoir, d,SStidm + ad'.SSdm = 0, équation du maximum où minimum de la formule intégrale SSTIam parmi toutes celles dans lesquelles la valeur de la formule SSam est la même. Ainsi voilà le problème de Mécanique réduit à une simple ques- tion de maximis et minimis, dont la solution ne dépend que de la variation de la seule coordonnée z, qui est supposée fonction de x,,y (art. 55). On pourra étendre cette théorie aux formules intégrales triples, et en déduire des conclusions semblables, CINQUIÈME PREMIÈRE PARTIE, SECTION V- 105 CINQUIÈME SECTION. Solution de différens Problèmes de Statique. Novs allons présentement montrer usage de nos méthodes dans différens problèmes sur l'équilibre des corps ; on verra par Vuniformité et la rapidité des solutions, combien ces méthodes sont supérieures à celles que l’on avait employées jusqu'ici dans la Statique. CHAPITRE PREMIER. : De l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un méme point ; de la composition , et de la décomposition des forces. a. Soit proposé de trouver les lois de léquilibre d’autant de forces qu’on voudra, P, Q, R, etc., toutes appliquées à un même point, et dirigées vers des points donnés. Nommant p, q, r, etc. les distances rectilignes entre le point commun d'application de ees forces, et leurs points de tendance, on aura la formule Pdp + Qdq + Rdr + etc. pour la somme des momens de toutes les forces, laquelle doit être nulle dans Pétat d'équilibre. Soient x, y, z les trois coordonnées rectangles du point au- quel toutes les forces sont appliquées; et soient de même a, b, c les coordonnées rectangles du point auquel tend la force P; f, g» h, celles du point auquel tend la force Q; 7, m, n, celles du point auquel tend la force R, et ainsi des autres; ces coor{ Déc. anal. Tome T° 14 106 _MÉCANIQUE ANALYTIQUE. données étant toutes rapportées aux mêmes axes fixes dans l'es: pace. On aura évidemment VE a Eye) (eo), qe g=VG-SS + = + GE, = Vs + (7m) + (Gr), etc. Et la quantité Pdp<+ Qdg<+ Rdr-hetc. se transformera en celle-ci : Xdx + Ydy + Zdz, dans. laquelle on aura X= SP + Q+E RH ete, 7 p4IE QE Ro, Z=

, que la ligne p, c’est-à-dire la direction de la force P, fait avec les € , . sont égales aux cosinus des angles axes des x, y, z; que de même 2, IE, — sont les co- sinus des angles que la direction de la force Q fait avec les mêmes axes; et ainsi de suite (sect. IT, art. 7). $ 1. De Véquilibre d’un corps où ‘point tiré par plusieurs forces. 2. Cela posé, supposons en premier lieu que le corps ou point auquel les forces P, Q, R, etc. sont appliquées, soit entiérement libre ; il n’y aura alors aucune équation de condition entre les coor- données x, y, z; et la quantité Xd» + Ydy + Zdz devra être PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. : 107 nulle, indépendamment des valeurs de dx, dy, dz (sect. IT, art. 10); ce qui donnera sur-le-champ ces trois équations particulières, X= 0, Y=o, Z = 0, Ce sont les équations qui renferment les lois de Péquilibre de tant de forces qu’on voudra, concourantes à ‘un même point. 5. Si dans les expressions de X, F, 2 , On fait P=p, Q=9; R=r, etc., ce qui est permis, puisqu'il est indifférent à quels points pris dans les directions des forces, elles soient supposées tendre, on aura ces équations ‘ xmatzmfharl+ etc = 0, Jÿ—b+y-—g+y—-m+ ec. —e, Zg— ct+z—-h+z—- n+ ec = 0; d’où l'on tire, en supposant que le nombre des forces P, ©, R, etc. soit m, — a+f + I +etc. = : ; . b+g+m+ etc. è & ? _ c+h+n+ete. 2 —= pr re et ces expressions de x, y, z font voir que le point auquel sont appliquées les forces, est dans le centre de gravité des points aux- quels ces forces tendent. De là résulte le théorème de Leibnitz, que si tant de puissances qu'on voudra sont en équilibre suz un point, et qu'on tire de ce point des droites qui représentent tant la quantité que la direction de chaque puissance, le point dont il s’agit sera le centre de gra- vité.de tous les points auxquels ces lignes seront terminées. Si donc il n’y a que quatre puissances, et qu’on imagine une pyramide dont lés quatre anglès soient aux extrémités des droites 108 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. qui représentent les puissances; il y aura équilibre entre ces quatre puissances, lorsque le point sur lequel elles agissent, sera dans le centre de gravité de la pyramide; car on sait par la Géométrie, que le centre de gravité de toute la pyramide est le même que ce- lui de quatre corps égaux qui seraient placés aux quatre coins de la pyramide. Ce dernier théorème est dû à Roberval. .4. Supposons en second lieu , que le corps ou point sur lequel agissent les forces P, Q, R, etc. ne soit pas tout-à-fait libre, mais qu'il soit contraint de se mouvoir sur une surface, ou sur une ligne donnée ; on aura alors entre les coordonnées x, y, &-une ou deux équations de condition, qui ne seront autre chose que les équations mêmes de la surface ou de la ligne dont it s’agit. Soit donc Z—o l'équation de la surface sur laquelle le corps ne peut que glisser, on ajoutera à la somme des momens des forces Xdx-+F Ydy + Zdz le terme ÀdL (sect. IV, art. 3), et l'on aura pour l'équation générale de Féquilibre Xdx + FYdy + Zdz-+AdL=0, À étant une quantité indéterminée. Or Z étant une fonction connue de x, y, z, on aura, par l« différentiation, d£L dL dL donc substituant et égalant ensuite séparément à zéro la somme des termes multipliés par chacune des différences dx, dy, dz, on aura ces trois équations particulières de l'équilibre, dL Hide dL ÉD ul PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 109 d'où chassant l'indéterminée A, on aura ces deux-ci : dL dL FE Aer 00 dL dL Z = X TH —=0; lesquelles renferment par conséquent les conditions cherchées de l'équilibre du corps sur la surface proposée. ( 5. Si on applique maintenant ici la théorie donnée dans l’article 5 .de la section quatrième, on en conclura que la surface doit oppo- ser au corps une résistance égale à VOMOMO) êt dirigée suivant la perpendiculaire à la surface qui aurait pour équation dL=—0o, c’est-à-dire, perpendiculairement à {a même sur- face sur laquelle le corps est posé; et comme on a ATX, AY =, AT 2, il s'ensuit que la pression du corps sur la surface (pression qui doit être égale et directement contraire à la résistance de la sur- face) sera exprimée par V{(X* + F* “+ Z°), et agira perpendicu- laiïrement à la même surface; c’est uniquement à cette condition que se réduisent les deux équations trouvées ci-dessus pour l’équi- libre du corps, comme on peut s’en assurer par la méthode de la composition des forces. 6. Au reste, dans le cas d’un seul corps tiré par des puissances données, on peut trouver encores plus simplement les conditions de léquilibre, en substituant immédiatement dans léquation Xdx + Ydy + Zdz = 0, à la place de la différentielle dz, sa va- dL dL DÉC dy . Lé Ld . . LS . æ 5 leur — 3 ——, tirée de l'équation différentielle de Ia sur- > : 110 MÉCANIQUE ANALYTIQU:. face donnée sur laquelle le corps peut glisser, et égalant ensuite séparément à zéro les coefficiens des différentielles dx et dy qui de- meurent indéterminées, suivant la méthode générale de Particle 10 de la seconde section. Ou aura ainsi sur-le-champ les deux équations dL dL£ à à X UT Fr 0 dé dz qui reviennent à celles que l’on a trouvées plus haut. Pareillement, si le corps était assujéti à se mouvoir sur une ligne ‘de figure donnée, et déterminée par les deux équations différen- tielles dy —=pdx, di == gx, il n’y aurait qu’à substituer ces valeurs de dy et dz dans Xgx+ Ydy + Zdz5=0, et l'on aurait, en divi- sant par dx, «X+ Fp+Zq—=o, pour la condition de l'équilibre. Mais dans tous les cas où il y aura plusieurs corps en équilibre, la méthode des coefficiens indéterminés, exposée dans la section précédente, aura toujours l'avantage, tant du côté de la facilité que de celui de la simplicité et de luniformité du calcul. $ IL. De la composition et décomposition des forces. 7. L’équation identique Pdp + Qdg + Rdr + etc. = Xdx + Ydy + Zdz, trouvée dans l’article 3, montre que le systèmie des forces P,Q, R, etc. dirigées suivant les lignes p,g,r, etc., est équivalent au système des trois forces X, Y, Z dirigées suivant les lignes x,%, z (sect. IT, art. 15). Ainsi les quantités X, Y, Z donnent les valeurs des forces P, Q, R, étc.s décomposées suivant les trois PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. ter coordonnées rectangles x, y, z, et fendantes à diminüer ces coor« données , comme les forces P, Q, R, etc. sont supposées tendre à diminuer les lignes p, g, r, etc. 8. En général si des forces quelconques P, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes p, g, r, etc., agissent sur un même point, on peut toujours réduire toutes ces forces à trois autres dirigées sui- vant les lignes £, 4, ®, pourvu que ces trois lignes ne soient pas toutes dans le. même plan. Car comme trois lignes placées dans différens plans suffisent pour déterminer la position d’un point quel- conque dans lespace, on pourra toujours exprimer les valeurs des lignes p, g, r, etc. en fonctions des trois quantités £, 4, , et par le théorème de l’article 15 de la seconde section, les forces P, Q, R, etc. seront équivalentes aux trois forces €, Y, d expri- mées par les formules LE +0 ein US RT + ete, o— PT 2+0% PET et dirigées suivant les lignes £, 4, ®, ou seulement suivant les élémens d£, d4, dp, si quelques-unes de ces lignes étaient cir- culaires. | Ces formules peuvent être d’une grande utilité dans plusieurs occasions, et surtout lorsqu'il s’agit de trouver les résultats d’une infinité de forces qui agissent sur un même point, comme l'attrac- tion d’un corps de figure quelconque? 9. Soit m la masse d’un corps dont chacun des élémens dm soit regardé comme le centre d'une force P proportionnelle à dm et à une fonction fp de la distance p; en faisant /fpdp=—Fp; eL 3 E d.F] l'élément dm donnera, dans l’expression de Æ, le terme TE dm ;, 119 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. dont l'intégrale relative à toutela masse m sera le résultat de l’atirac: tion de cette masse; et comme cette intégration est indépendante de la diférentiation relative à £, on pourra donner à l'intégrale dont d.SFpdm il s’agit la forme ———, de sorte qu’en faisant S.Fpdm = 2, on aura £ — d , == di , D — de , et il ne s’agira plus que de substituer au lieu de p; dans la fonc- tion Fp, sa valeur exprimée en fonctions des coordonnées qui déterminent la position de chaque particule dm dans espace, et des coordonnées £, 4, @ du point attiré, et d'exécuter ensuite séparément l'intégration relative aux premières, et les différentia- tions relatives aux dernières. Dans le cas de la nature on a fp— 5 donc Fp=—; 55 €t par conséquent È —=— se, Soient a, b, cles coordonnées de chaque particule 4m du corps, on aura, en supposant la densité de cette particule exprimée par l fonction de a, b, c, dms=Tdadbde; donc 2=—S ee, Or x,y, z étant les coordonnées du point attiré, on a (art. 1), p= VG—aY + (y + (GC. Donc Tdadbdc 2=— SE, VG—aY ++ G—c 10. Le cas le plus simple esf celui où le corps attirant est une sphère. Dans ce cas, en faisant T1, et supposant le centre de la sphère dans l'origine des, coordonnées x, y, z du point attiré, on a m Z=— 7 — Va+y +2? 47 € n étant la solidité de la sphère, qu'on sait être =% a, en pre- pant PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 113 nant & pour le rayon, et + pour le rapport du diamètre à la cir- conférence. Si la densité T' était variable dans l'intérieur de la sphère, en la supposant fonction de &, on ferait m=— ÉE ST a. a. On peut encore avoir la valeur de Z lorsque le corps attirant est un sphéroïde elliptique, dont la surface est représentée par équation a* b* c* atrta=1) A, B, C étant les demi-axes des trois sections principales, et a, b, cles coordonnées rectangles de la surface, prises sur les trois axes, et ayant leur origine dans l’intersection commune des axes qui est le centre du sphéroïde. Mais l'expression générale de cette valeur dépend d’une formule intégrale assez compliquée, et par laquelle il est impossible d’avoir Z en fonction de x, y, z. Cependant si on suppose que le sphéroïde soit peu différent de la sphère, ou que la distance du point attiré au centre du sphé- roïde soit fort grande par rapport à ses axes, on peut exprimer la valeur générale de Z par une série convergente délivrée de toute intégration. M. Laplace a donné, dans sa Théorie des attractions des sphéroïdes, une très-belle formule par laquelle on peut former successivement tous les termes de la série, et qui montre en même temps que la valeur de ER m étant la solidité du sphéroïde, ne dépend que des quantités B°—4* et C*—4*, qui sont les carrés des excentricités des deux sections qui passent par le même demi- axe À. J'ai trouvé qu’en partant de ce‘résultat et faisant usage du théo- rème que j'ai donné dans les Mémoires de Berlin de 1792—5, on pouvait construire tout d’un coup la série dont il s’agit, par le seul développement du radical L: Méc. anal, Tom. R 19 214 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. suivant les puissances de 2 et c, en ne conservant que les termes qui contiennent des puissances paires de 8 et c, et transformant chacun de ces termes, comme Æ6'"c*", en (1.3.5...9m—1)(1.3.5...on—1) H(B— 4 C—4y x 5.7.9....2m—+ 270 +3 m3 m étant la solidité du sphéroïde qui est exprimée par # 7 ABC. Ainsi pour avoir tout de suite la série ordonnée suivant les puissances de y et z, on fera r=Ve+y" +, et on développera d’abord le radical (r*—2by = 202-840), suivant les puissances de y, z; en ne retenant que les puissances paires, on aura 1 — 5 | b°y°+ cz" _. 27 ; LEP Eten etc. VHS 3 (ep) (+be) 1 : On développera ensuite les radicaux (7*-+- 6*-+c*) *, etc., suivant les puissances de &”, c*, et on transformera ces puissances en puis- sances de B°—4*, C°—4* par la formule donnée ci-dessus. De cette manière, si on fait, pour plus de simplicité , B'— 4° =e, C°— *=i, e et à étant les excentricités des deux ellipses formées par les sec- tions qui passent par les demi-axes 4, B et 4, C, on aura pour Z une expression en série de cette forme : MR + T° + Pr + Xyf + Fyz° + Zat ef etC.), dans laquelle 1 et | g(é+i) + Ge ‘ RE TE CT Bo do es _. ga lget + 3e2i T — 2.5 pu TA Cu etc. ’ 3ë gi + 3e — S.5P — TA 7, me ph etc. , PREMIÈRE PARTIE, SECTION -V. 115 X = “Le + etc., re a etc., FAR ss + etc. ; etc. On n’a poussé l’approximation que jusqu'aux quatrièmes dimensions de e et de ;; maïs il est facile de la porter aussi loin qu’on voudra. Si le sphéroïde était composé de couches elliptiques de différentes densités, alors en faisant varier dans l'expression de Z les quantités 4, B, C,et par conséquent aussi e et à, on aurait ST4Z pour la valeur de Z relative à ce sphéroïde. Ayant ainsi la valeur de X en fonction des coordonnées rectangles *, Y, z du point attiré, on aura immédiatement, par la différen- dé d£ dé dx? dy » ds Pattraction totale du sphéroïde. Et si au licu des courduunécos x, y et z on prend le rayon r avec deux angles x et », tels que l’on ait tiation, les forces suivant ces coordonnées, dues à x=rCoSu, y=rsinpsinr, z=rsinp Cosr, on aura l'attraction du sphéroïde décomposée, dans le sens du rayon r qui joint le point attiré et le centre du sphéroïde, perpendiculai- rement à ce rayon dans le plan qui passe par le demi-axe 4, et perpendiculairement au même rayon dans un plan parallèle à celui qui passe par les demi-axes Z et C, par les trois différentielles partielles as d£ ,.,dS dr? rd4? rsinpdr Ces formules sont surtout utiles dans la théorie de la figure de la terre, 1:16 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: CHAPITRE Il. De l'équilibre de plusieurs Jorces appliquées à un système de. corps, considérés comme des points , et liés entre eux par des Jils ou par des verges. 11. Quelles que soient les forces qui agissent sur chaque corps, nous avons vu ci-dessus (art. 7) comment on peut toujours les ré- duire à trois, X, Y, Z, dirigées suivant les trois coordonnées rec- tangles x, y, z du même corps, et tendantes à diminuer ces coordonnées. Nous supposerons donc, pour plus de simplicité, ici et dans la suite, que toutes les forces extérieures qui agissent sur un même point, soient réduites à ces trois, X, Y, Z. Ainsi la somme des momens de ces forces sera exprimée en général par la formule Xdx + Ydy + Zdz; par conséquent’ la somme totale des momens de toutes les forces du système, sera exprimée par la somme d’au- tant de formules semblables, qu’il y aura de corps ou points mobiles, en marquant par un, deux, trois, etc. traits, les quantités qui se rapportent aux différens corps que nous nommerons premier, se- cond, troisième, etc. De cette manière on aura donc pour la somme des momens des forces qui agissent sun trois ou sur un plus grand nombre de corps, la quantité X'dx + Y'dÿ + Z'di + Xtix" + Y'dy" + Z'dz" + X°dx° + "dy" + Z'dz” + etc. Et il ne s’agira plus que de‘chercher les équations de condition L=0, M=0,N—o, jte , résultantes de la nature du problème. Ayant L, M, N, etc! , OU dent leurs différentielles en fonc- tions de x’, y’, z', x”, etc., et prenant des coefficiens indéterminés À, H », etc., on ajoutera à la quantité précédente les termes A1L + pd + »4N + etc.,-et on égalera ensuite séparément à PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 117 zéro les membres affectés de chacune des différences dx’, dy’, ds’, dx, etc. (sect. précéd., art. 5). $ I. De l'équilibre de trois ou de plusieurs corps attachés à un fil inextensible , ou extensible et sHacephble de contraction. 12. Considérons premièrement trois corps attachés fixement à un fil inextensible ; les conditions du problème sont que les dis- tances entre le premier et le second corps, et entre le second et le troisième, soient invariables; ces distances étant les longueurs des portions de fil interceptées entre les corps. Nommant f la première de ces distances, et g la seconde, on aura df— 0, dg—0 pour les équations de condition; donc dL=—4f, dM = dg, et l'équation générale de Péquilibre des trois corps sera X'dx' + Y'dy + Z'dz + X"dx" + F'dy" + Z'dz' + X°dx" + "dy" + Z'"dz" + Adf + pdg = 0. Or il est visible qu’on aura S= VE FT FE, g = VO) + (y) + 2); donc en différentiant og = = — ar) + (y = y — dd) + — 2)" — de) ÿ = NI EE NE A, dg — Gr 2")dr" de") + Cor") dy" — dy) + G°—z")(d2" — d2°) E | #3 ces valeurs étant substituées, on aura les neuf équations suivantes pour les conditions de l'équilibre du fil, x'—2 F0 C4 À — 0, X'— 2 7 118 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. X" + À = — ph _ = 0, ’ Ds AND en, . ia É 4 f 4 F (2 8 Z° + À z ru ne pe Z X' + & 5; F+HÎT = 0, 0; I | © v ZE = 0, et il n’y aura plus qu'à éliminer de ces équations les deux incon- nues À et; ce qui peut se faire de plusieurs manières, lesquelles fourniront aussi des équations différentes, ou présentées différem- ment pour l’équilibre des trois corps attachés au fil ; nous choisirons celle qui paraîtra la plus simple. On voit d’abord que si on ajoute respectivement les trois pre- mières équations aux trois suivantes et aux trois dernières, on obtient ces trois-ci, délivrées des inconnnes À et x. X'+HX EX = 0, Y'+rY" + r"— oo, Z' HZ HZ 0, lesquelles montrent que la somme de toutes les forces parallèles à chacun des trois axes des coordonnées doit être nulle, et ne sont qu’un cas particulier des équations générales trouvées dans la troisième section ($ I). Il'ne reste donc plus qu'à trouver quatre autres équations; pour cela, faisant abstraction des trois premières, j'ajoute respectivement les trois du milieu aux trois dernières, j'ai celles-ci où'# ne se trouve plus ; X" + x° Éz (x — x) = 0, E'+ ET + 3 (y) = 0; Z' + 2” +? (a —2)= 0; PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 119 et qui, par l'élimination de À, donnent les deux suivantes : + y", —+ (X° + X°) — TARA EEE + (X° + X°) = 0. Enfin considérant séparément les trois dernières équations qui contiennent # seul, et éliminant k, on aura ces deux autres-ci : 7°” = V=r x" —Z2 — ©; ZT L 2 # Z 2 LES 3 X"= 0. Ces sept équations renferment les conditions nécessaires pour l'équilibre des trois corps, et étant jointes aux équations de con- dition f et g égales à des quantités données, suffisent pour déter- miner la position de chacun d’eux dans l’espace. 13. Si le fil, suppusé toujours luextensiblo , était chargé de quatre corps, tirés respectivement par les forces X”, Y”, Z', X", Fr”, Z", X", etc., suivant les directions des trois axes des coordonnées rectangles, on trouverait par des procédés semblables, qu’il me pa- raît inutile de répéter, les neuf équations suivantes peur l'équilibre de ces quatre corps, X + X° + X° + X"—= 0, F'HY'+HY + Y"=o, Z'+ Z'+ P° + PH PU LX, (x + X° AN) 2m 0, ARS A Le es OR + X")= 0, Po pu PX (x° + x") = 0, L"—x" Z" + Z1— PE (4 + X") =, 120 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: == © ? FA Z— 5 X" = 0. Il est facile maintenant d'étendre cette solution à tel nombre de corps qu'on voudra, et même au cas de la funiculaire ou chaïnette; mais nous traiterons ce cas en particulier, par la méthode exposée dans le $ II de la section précédente. 14. On aurait une solution plus simple, à quelques égards, si on introduisait d’abord dans le calcul l'invariabilité des distances F g etc. | Ainsi en se bornant au cas de trois corps, et nommant 4, 4’, les angles que les lignes f, g font avec le plan des x, y, et ®, ® les angles que les projections de ces lignes sur le même plan, font avec laxe des x, on aura x"—x'= f cos pcosd , »"—y/—fsin cos, g'— 7! = f sin à ax" gcosp'cosŸ”, .y"—7"=gsinp cos", 2°— 2" == psin 4". Substituant les valeurs de x”, y”, z’, x”, y”, z" tirées de ces équa- tions dans la formule générale de l'équilibre de trois corps, X'dx + Y'dx' + Z'dz + X'dx" + Y'dy" + Z'dz' + X°dx" + Y°df" + 2"dr" = 0, en faisant varier simplement les quantités x, y’ 7, ®, @', d,4, dont les variations demeurent indéterminées, et égalant séparément à zéro les quantités multipliées par chacune de ces variations, on aura les sept équations : X'+X + Xe 0, Y'+Y'+HF"=o, Z'+Z' + Z"= 0, (X°"+ X°) sing — ("+ F*) cosg =0, X" sing — F"cosg=0, (X'+ PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. «21 (X'HX”)cospsin4+(F"+7"}sinp sind —(2"4+Z")cos 40, X° cos sin” + Y*sing sind’ — Z"cosL'=—0, dont les cinq premières coïncident immédiatement avec celles qu’on a trouvées dans l’article 12, par l’élimination des indéterminées À et w, et dont les deux dernières s’y réduisent facilement, en éli- minant les Y*, Y” par lé moyen de la quatrième et de la cinquiéme. Mais si de cette manière on parvient plus directement aux équa- tions finales, c’est qu’on a employé une transformation préliminaire des variables, laquelle renferme les équations de condition; au lieu qu’en employant immédiatement les équations avec des coefficiens indéterminés, comme dans l'article 12, la solution du problème est réduite à un pur mécanisme de calcul. De plus on a, par ces coefficiens, la valeur des forces que les verges f et g doivent sou- tenir par leur résistance à s’alonger, comme on le verra ci-après. 15. Sion voulait que le premier Corps fût fixe, alors les diffé- rences dx’, dy’, dz' seraient nulles, et les termes affectés de ces différences disparaîtraient d'eux-mêmes dans l'équation générale de léquilibre. Ainsi les trois équations de l'article 12, savoir, X’ —? (x'—x)=0, Y —? (y —Y) =, Z'—}? (z'—z7) = 0, n'auraient point lieu; donc les équations X°+ X”+X"—+ etc.=0, * F+Y"+ Y"+etc. = 0, Z'+Z"+ 7" etc. = 0, n'auraient pas lieu non plus, mais toutes les autres demeureréient les mêmes. Ce cas est, comme l’on voit, celui où le fil serait attaché fixement par une de ses extrémités. Et si le fil était attaché par ses | deux extrémités, alors on aurait non-seulement dx’ = 0, dy =0, dz'=0, mais aussi dx 0, dy"%.=o, dre = o; et les termes affoctés de ces six différences dans l'équation générale de l'équilibre, disparaïtraient, et feraient par conséquent disparaitre aussi les six équations particulières qui en dépendent. Méc. anal. Tome Î. 16 122 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. En général si les deux extrémités du fil n'étaient pas tout-à-fait libres, mais qu’elles fussent attachées à des points mobiles suivant une loi donnée; cette loi exprimée analytiquement, donnerait une ou plusieurs équations entre les différences dx’, dy’, dé qui se rap- portent au premier corps, et les différences dx", dy", gz'ec., qui se rapportent au dernier; et il faudrait ajouter ces équations multipliées chacune par un nouveau coefficient indéterminé, à Féquation générale de l'équilibre trouvée plus haut; ou bien on substi- tuerait dans cette équation générale, la valeur d’une ou de plu- sieurs de ces différences, tirée des équations dont il s’agit, et on égalerait ensuite à zéro le coefficient de chacune de celles qui restent, ainsi qu’on Va’ fait ci-dessus (art. 14). Comme cela n’a au- cune difficulté, nous ne nous y arrêterons pas. . 26. Pour connaître les forces qui proviennent de la réaction du fil sur les différens corps, il n’y aura qu'à faire usage de la méthode donnée pour cet objet dans la section précédente (art. 5). On considérera donc que lou a dans le cas présent, a dpi COQUE DE ON HI HE HE, dM=dg= : - etc. Donc 1°, on aura, par rapport au premier corps dont les coor- données sont x’, y’, z', dL xx dL _,1_y"— dL ____2—7, Tr We Fo? d— F7? donc , V4 HD HE Fun PÉTER = 1. Ainsi le premier corps recevra par l’action des autres une force PREMIÈRE PARTIE , SECTION V: 123 ==, et dont la direction sera perpendiculaire à la surface repré- sentfée par l'équation 4L —df — 0, en y faisant varier simplement x’, y’, x’; or il est visible que cette surface n’est autre chose qu’une sphère dont le rayon est f, et dont le centre répond aux coordon- nées x", y", x”; par conséquent la force À sera dirigée suivant ce même rayon, c’est-à-dire le long du fil qui joint le premier et le second corps. 2°, On aura de même, par rapport au second corps dont les coordonnées sont x", y”, z’, dE Eee 4 dl _ÿ" dZ AE 4 PR RE D El ni VC) HG) HG = ÉGLRED d’où il s’ensuit que le second corps recevra aussi une force À di- rigée perpendiculairement à la surface dont l'équation est 4L=—df=—=0, , et par conséquent an = rat de) +" dy —2 Nr" de), ñ RSS Faisant ces substitutions, et égalant à zéro la somme des termes 128 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. affectés de chacune des différences dx', dy’, etc., on aura ces neuf équations particulières cs Î © I [ . © Z'+h— + =e, d'où il faudra éliminer les trois inconnues indéterminées À, ue, >, ensorte qu'il ne restera que six équations pour les conditions de Péquilibre. 21. D'abord il est clair, par la forme même de ces équations, qu’en ajoutant respectivement les trois premières aux trois suivantes et ensuite aux trois dernières, on obtient sur-le-champ ces trois équations délivrées de À, m, », X + xX"+X"=0, FH FT + YF" = 0, Z' HZ" +Z" = o. Rien n’est plus facile que de trouver encore trois autres équa- tions par l'élimination de À, m, »; mais pour y parvenir de la ma- “nière la plus simple et la plus générale, ie commence par déduire ‘ des PREMIÈRE PARTIE, SECTION Ÿ: 129 des équations de l’article précédent , ces neuf transformées, Kg Pi NÉE ÉÉTT . ==, X'ze— Lx — D — ro EE HA. RE EE X'Y — Fate 7 nes — — T = 0, Pres Zip dre _ A IE = 0, D Pt pe LEE 4 ÉÉS Lo, Xe — Zap __ + 9 AE =: 0, PL pe ÉENE + ÉTLE Do, lesquelles étant, comme l’on voit, analogues aux équations primi- tives, donneront de la même manière, par la simple addition, ces trois-ci : Y — Fa + Xp" — x" À y" —Y"x = 0, X 7 — Lx + Xe — Z'x" + X°2" — Lx" = 0, Ya — Ly +Y'f—-L'y + Y'i —2"y" =o. Les trois équations trouvées ci-dessus montrent que la somme des forces parallèles à chacun des trois axes des coordonnées, doit être nulle; les trois que nous venons de trouver renferment le prin- cipe connu des momens (en entendmt par moment le produit de la puissance par son bras de levier), par lequel il faut que la somme des momens de toutes les forces, pour faire tourner le système au- tour de chacun des trois axes, soit aussi nulle, Ainsi ces six équa- tions ne sont que des cas particuliers des équations générales données dans la troisième section ($ I et II). Méc. anal. Tome I. 17 Fr 130 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: 22. Si le premier corps était fixe, alors les différences dx’, dy’, ‘dz’ seraïent nulles, et les trois premières des neuf équations de r'ar- ticle 20 n’existeraient pas; il ny aurait donc alors que six équa- tions, qui, par l'élimination des trois inconnues À, p,,», se ré- duiraient à trois. Pour arriver à ces trois équations, on peut s’y prendre d'une manière analogue à celle dont on s’est servi pour trouver les trois dernières équations de Particle précédent, pourvu qu'on ait soin de faire ensorte que les transformées ne renferment point les in- déterminées À et » qui entrent dans les trois premières dont il faut maintenant faire, abstraction; or c’est ce que Pon obtiendra par” ces «combinaisons , DCE nn NE) = 259") _ RO RE — XL 0 LU 2) (2) (ax ES Y'(2 —#)-2 (y —) —ù G'—z) ARTE y") ("2 —2") = 0, X"( y" — Ste EPA A de D De 00 o, Ka) 2" (a) G'=2) & _— (Cle. 0 CH + = a ; Fr) LU) en EI = NE) = 0; .B ! et si l’on ajoute maintenant les trois premières de ces transformées- aux trois dernières , on aura sur-le-champ ces trois-ci, X( 99) — PU 8) + KT) = FU) = 0, X"( 2'— 2) re Z"( x — x) + X"( Et z') ne Z” ( Den x) = 0 ; Y"( mn z') ES 7° (y"—9) + Y"(2"— 2) es A (y"—9) = 0 j lesquelles auront toujours lieu, quel que soit l’état du premier corps, puisqu’elles sont indépendantes des équations relatives à ce corps. Ces équations renferment, comme l’on voit, le même prin- eipe des momens, mais par rapport à des axes qui passeraient par le premier corps. PREMIÈRE PARTIE, SÉCTION V. 13 25. Supposons qu’il y ait un quatrième corps attaché à la même *@e inflexible, pour lequel les coordonnées rectangles soient +, y!", 2%, et les forces parallèles à ces coordonnées X°7, F'7, Z:r. Il faudra donc ajouter à la somme des momens des forces, la quantité | X'"dx" + Y'dÿy" + Z'dz"; ensuite, comme les distances entre tous les corps doivent demeurer constantes, on aura par les conditions du problème, non-seulement df=0, dg=0, dh=—0o, comme dans ie cas précédent; mais aussi dl=0, dm=—=0, dn'—=0o, en nommant /,.m, n les distances du quatrième corps aux trois précédens. Ainsi l'équation générale de l'équilibre sera dans ce cas. X'dx' + Y'dy + Z'dz + X'dx' + Y'dy" + Z'dz" + X"dx° HF" + Zi" + XL FA" EE ZT + Adf + pdg + vdh + dl + pdm + cdn = 0. Les valeurs de df, dg, dh sont les mêmes que ci-dessus; quant à celles de d/, dm, dn, il est visible qu’on aura m = VE PE TT, d. EE) 0, l'équation (Xdx + Ydy 7 de) Ÿ dm + K dxdix + és + des + dédie — x, Soit T l'épaisseur du fil, on aura dm = T's, et l'équation pré cédente-étant intésrée, en supposant ds constant, donnera A = [T(Xdx + Ydy + Zdz) dxdx+dydy+dilz dx°+ d'y#4d'es ER Cette valeur de À exprime la teñsion de la lame élastique; c’est- à-dire la résistance avec laquelle elle s’oppose à la force qui tend à l'alonger, comme dans Particle 31. 5o. Le cas le plus simple et le plus ordinaire est celui dans lequel les forces X; Ÿ, Z, qu'on suppose agir sur tous les points 256 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. de la lame élastique, sont nulles, et que la courbure de la Lame vient uniquement des forces appliquées à ses deux extrémités. Dans ce cas, les équations intégrales de Particle 48 donnent, en met- tant pour Z sa valeur F; 7e dx y— dydx K TE = F+ 4y — Bx, f d à — dd K EIRE G+ Br — Cr, dyd'z — dzd’y K 3 = 11+ Bz— Cy; mais l'intégration ultérieure de celles-ci est peut-être impossible en général. Lorsque la courbure de la lame est toute dans un même plan, en prenant pour ce plan celui des x et y, et faisant dy —dssin?, dx —dscos@, la première équation, qui est alors la seule néces- saire, devient æ = F4 A[sinçds — B fcospds, laquelle, étant différentiée, donne = À sing — B COS ; xultipliant par dg et intégrant derechef, . = ACOS® + B sn? + D, d’où l’on tire _ d? x ss V2D +24 co5çe+2Bsn@” et de à LS dx DA r . a d et comme on a par la première équation F+Ay— Bx =", on aura TE = = FI VIDE 2.AC0S @ + 2B sin. e PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 157 Aind tout se réduit à intégrer les valeurs de ds et dx; mais ces intégrations dépendent de la rectification des sections coniques. Jusqu'à présent il ne paraît pas qu’on ait été plus loin dans la so- Jlution générale du problème de la courbe élastique. 51. Considérons maintenant les termes fle l'équation générale qui sont hors du signe S; ces termes sont "dx" ds [1 + (Y Le — d.(l'&y") dy" + l'éy'ady" js ee x" d2" 2 d.(l'ds) JS ee L'dz" dd" — d.('dx) dx + J'dx'adx ‘dx! r , ’ 1 7! , _ (= — a. (Ta) )9x — J'dx'ddx — (SX — day) y — raya — (SE — dr) 9e — rar dde; et il. faudra les faire disparaitre indépendamment des valeurs de dx, d y", CC. Donc, 1°, si le fil est entièrement libre, il faudra que les coeffi- ciens des douze quantités dx”, dy”, 2”, dd'x”, ddy", dd'z", dx’, dy, dz', dd'x, dfy’, ddz soient chacun nul en particulier. . Or d’après les premières équations intégrales de l’article 48, on voit qu’en faisant commencer les intégrations au premier point du fil, les coefficiens de dx’, dy’, dz’ sont égaux à 4, B, C, et ceux de dx”, dy”, dz° deviennent 4+ SXdm, B+SYdm, C+SZdm. Ainsi il faudra que l’on ait, dans le cas dont il s’agit 4=0, Bo, C=o, et SXdm=o, SYdm—=o, SZdm=o. Ensuite il faudra que lon ait aussi Z'dx'=0o, l'dy"=0o, l'&z"=0o, et L'dx =0, l'd'y =o, I'd: =0, pour faire dispa- raître les termes affectés de dd'x", ddy", etc.; et il est clair que les secondes équations intégrales & même article donneront 158 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. F=o, G=o, H=—0o; et S(fXdm.dy — f Ydm.dx) L. S(fXdm.dz — f Zdm.dx) =0, S(fYdm.dz— fZdm.dy) =0. 2°, Si la première extrémité du fil est fixe, alors dx'—0, dy =o, di=—0; par conséquent 4, B, C'ne seront pas nuls; mais la con- dition que les coefficiens de dx", dy”, dz’ soient nuls, donnera. A—=—SXdm, B=—SYdm, C=—SZdm; et si la position de la tangente à cette extrémité était donnée aussi, on aurait de plus ddx'=0, ddy =—0, ddz'=0, par conséquent F, G, H ne seraient pas nuls, mais la nullité des coefficiens de ddx”, dd'y", dd'z" donne- roit F=S((B+$f Ydm)dx — (44 Xdm)dy), G=S((C+fZdm)dx —(4+/[Xdm)dz), H=S(C+S[Zdm)dy — (B + f Ydm)dz). On raisonnera de la même manière par rapport à l’état de la seconde extrémité du fil. 3°. Enfin, si outre les forces qui agissent sur tous les points du fil, il y en avait de particulières X”, Y”, Z’, X", Y”, Z”, appliquées à Vune et à l'autre extrémité, il n’y aurait qu'à ajouter aux termes ci-dessus les suivans : X'dx + F'dy + 7 de + X'dx" + Y'dy" E Z'db", et s’il y avait de plus d’autres conditions relatives à l'état de ces extrémités , on opérerait toujours de la même façon et d’après les mêmes principes, 52. Si on voulait que le fil fut doublement élastique, tant à l'égard de l’extensibilité qu’à l'égard de la flexibilité, alors on aurait dans Péquation générale de l'équilibre, à la place du terme SAdd's, celui-ci SFdds, c’est-à-dire, simplement Fà la place de À, en nommant F la force d’élasticité qui résiste AYextension du fil (art. 42). Mais il faudrait, de plus, dans ce cas, regarder ds comme variable dans l'expression de d'e; par conséquent il faudrait ajouter à li valeur de d'e de l'article 47, ces deux termes, eds deSds DER de RS ds eds* PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 159 On adrait M à es : la valeur de SEde du même article les . Le dernier se réduit d’abord à "2 "ds" | Ed’ = par pre! PTS AIS + Sd EEES ds; donc il faudra ajouter à la valeur de SEde les termes _E'#s" Eds Es s Ee\- ‘eds? eds 7a dés’ + S(a — 7) d'ds, = dd" + Le dernier terme de cette expression étant analogue au terme SFdds, sera susceptible de réductions semblables ; à l'égard des deux autres, il n’y aura qu'à y substituer pour dds sa valeur , sr Por + arèy + Az Edëz en marquant toutes les lettres d’un trait ou de deux. De là il est facile de conclure qu’on aura pour la solution du cas présent, les mêmes formules que dans le cas où de fil élastique est SUPPOSÉ inextensible, en y mettant seulement F+4d. Es Te à la place de à, et ajoutant aux termes hors du signe S les deux. C"d?s PT dd — Era s". Comme dans l'équation de la courbe la quantité À doit être éli- minée , il s’ensuit que l'équation de la lame élastique sera la même, soit qu’on la suppose extensible ou non. Mais la tension du fil qui est exprimée par À ou par F, lorsque le fil n’est pas (art. 45), sera augmentée, par l’élasticité Æ, de la quantité dE PE à à cause termes de e=* (art. 49). $ TV. De l'équilibre d'un fil A et de figure donnée: 53. Venons enfin au cas d'un fil inextensible et inflexible; on aura ici pour la somme des momens des forces la même formule inté- grale que dans le cas de l’art. 28, c'est-à-dire, S(Xdx-+Ydy+Zd2)am; ensuite la condition de l’inextensibilité du fil donnera, comme dans le 160. MÉCANIQUE ANALYTIQUE: même article, dds—0o; et celle de linflexibilité donnera Jet o : puisque l’angle de contingence doit être invariable; mais ces deux conditions ne suffisent pas encore dans le cas où la courbe est à double courbure, comme on vale voir. Pour traiter la question de la manière la plus simple et la plus di< recte, je remarque que tout consiste à faire ensorte que les différens points de la courbe du fil conservent toujours entre eux les mêmes distances : or en considérant plusieurs points successifs, dont les coordonnées soient x; y, z, «dx, y-dy, z-dz, x+2dx+d'x, y—2dy + d'y, z+2dz1-d'z, etc.; il est clair que les carrés des dis- tances entre le premier de ces points et les suivans seront exprimés par les quantités dx°+ dy + dz*, (2adx + dx) + (2dy + dy} + (2de+ dr), (5dx.+ 3x + de} (dy + 5d°y + dy} + (5dz+ 5d'z+ d'z), etc. Supposons, pour abréger, dé + + d'= a, dx+ dy + dr b, Œ+ EP+ Pr y, etc.; les quantités précédentes étant développées, deviendront Lt; ka-poda 4h, SE à re LE à 548 +7; etc. 11 faudra donc que les variations de ces quantités soient nulles dans toute l'étendue de la courbe, ce qui donnera ces équations indéfinies, du=0, 404 + 2dda + = =0; gda + gdda + 508 + 5d da + 5d dB + d'y=0, eic, ; mais PREMIÈRE PARTIE SECTION V. 16r. mais da étant —0, on a aussi ddæ—d'da —0; donc dB—0o; de là on aura de plus d'dx = d'a 0, ddB = d'd8=0; donc dy—0; et ainsi de suite. De sorte que les équations de condition pour l’inex- tensibilité et l’inflexibilité du fil seront da=0, d8=0, dy =o, etc., c'est-à-dire, en différentiant et changeant dZ en dd, dxddx + dyddy + didde 0, Pxddx + dyddy + diddr = 0, Pxddx + dyddy + xdz= 0, etc. Il est clair qu'il suffit de trois de ces équations pour déterminer les trois variations dx, dy, dz; d’où l’on peut d’abord conclure que dès qu’on aura satisfait aux trois premières, toutes les autres qu’on pourrait trouver à l'infini, auront lieu d'elles-mêmes ; c’est aussi de quoi on peut se convaincre par le calcul, même comme on le verra plus bas (art. 6o). 54. On aura donc par notre méthode cette équation générale de équilibre, o = SXdx + Fly + Zdr)din + SA(dxddx + dyddy + dzddi) Su dxd'dx+dyd'dy+dzdde)+S(dxddx4- dy ddy+d'zddr), laguelle, par les transformations enseignées, se réduira à la forme suivante : o = S(Xdm — d.(Adx) + d(ulx) — P(rEx))dr + S(Fdm— d. (dy) + d(udy) — &.(vdy))dy. + S(Zdm — d.(Adz) + (par) — d.(1dz))dz + (a'dx" — d.(u'dx") + (1 Æx"))dx" + (u'dx" — d.(»"Ex"))dd x" + v'd'x" dd»? + (ad — d(u'Ey") + &.(Ey))dy" + (y —d.(6'y)ady" + 'Ey'd' dy" + (N'de — dur) + d.(#dz")jdi + Çu'dz — dr" Bz')}ddz + »'dz'd'dx" ZAféc. anal, Tome I. 21 167 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: — (N'a — dx) + (Ex) — (Ex — d('Ex ))ddx — Ex dx" — (NS — (dE) + LE )Y" — (way —d(Ey) dy — y dy" — (Nd — dur) + &.("Er))d7 — (ur — d (Er) ddr — » Pr ddr. 55. Egalant d'abord à zéro les coefficiens de dx, dy, dz sous le signe S, on aura ces trois équations indéfinies , ° Xdm — d.(Adx) + d'(uEx) = D(Ex) = 0, Pin — d.(A\dy) + d(udy) — E. (dy) = 0, Zam — d.(ds) + dur) — P(dz) = 0, lesquelles renfermant trois variables indéterminées À, a, », ne serviront qu’à déterminer ces trois quantités; ensorte qu'il n’y aura aucune équation‘indéfinie entre les différentes forees X, Y, Z qu'on: suppose appliquées à tous les points de la verge; et les conditions de léquilibre dépendront uniquement des termes qui sont hors du signe S. Mais comme ces termes contiennent les inconnues à, 4, »» il faudra commencer par déterminer ces inconnues. Pour cela il faut intégrer les équations précédentes, ce qui est facile, et lon. aura ces trois-ci : JXdm — Adx + d.(pdx) — d.(»Ex) = À’, SYdn — Ady + d(udy) — (dy) = B, [Zn — nde + dur) = ddr) = Cy A, B, C étant trois constantes arbitraires. Ces équations donnent, par l'élimination de À, ces trois autres-ci: dyf Xdim — dxf Yüm + dyd.(udx) — dxd.(udy) DE (x) + die (dy) = Ady — Bd, dzf Xdm — drf Zdm+-drd.(udx) — drd.(pd°:) — dd .(d°x) + dæ. GEz)= Adi — Car; PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 163 def Ydm — dyf Zdm+ dzd.(u dy) — dyd.(pd°z) — dE (Ëy + dy dE (vEz) = Bdz — Cdy, lesquelles sont aussi intégrables, et dont les intégrales sont YfXdm — xf Ydm — [(Xy — Yx)dm + u(dy dx — dxd'y) — dyd.(»Ex) + dxd.(y) + NPyEx—-PxËy) = Ay—B3+E, zf Xdm — xfZdm — fXz — Zx)dm + u(dzd'x — dxd°z) — dzd.(»dx) + dxd.(:d'z) + (zx — d'xdz) = Az— Cx+G, zfYdm— yfZdm—fYz— Zy)dm + wdz®y — dydr) — did. (Sy) + dyd.(v&2) + (dzdy— dy 2) = Bz— Cy + H, F, G, IH étant de nouvelles constantes arbitraires. Ces trois dernières équations serviront à déterminer les trois quantités pe, » et dr ; et les trois premières équations intégrales don- ueront les valeurs de À, du, d'. Ainsi on aura toutes les incon- nues qui entrent dans les termes qui sont hors du signe S ; ïl suffira pour cela de marquer dans les six équations qu’on vient de trouver, toutes les lettres d’un trait, ou de deux, à lexcep- tion des constantes arbitraires, de supposer nulles dans le pre- mier cas les quantités affectées du signe /', lesquelles sont censées commencer au premier point du fil, et de changer dans le second cas, f en S dans les mêmes quantités, pour les rapporter au dernier point du fil 56. Cela posé, voyons maintenant les conditions qui peuvent ré- sulter de l’anéantissement des ternîes hors du signe S dans léqua- tion générale de l'équilibre (art. 54). Et d’abord si on suppose la verge entièrement libre, les varia- tions dx’, dy’, de’, dx’, ddy, dd, d'dx, d'dy, d'dz', et dx”, dj”, dx”, ddx", etc., seront toutes indéterminées ; par conséquent il fau- dra égaler à zéro chacun de leurs coefficiens; et il est visible qu'il x64 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: faudra pour cela que les quantités 4, n’, », du’, dy’, d'y, ainsi que A, mr", du”, dy’, dy" soient nulles. Donc les trois premières équations intégrales de Particle précé- dent, étant rapportées au premier et au dernier point du fil, don- ‘ neront ces six conditions , o=A4, 0=B, o=C, SXdm—4, SYdm=B, SZdm=C. Et les trois dernières intégrales donneront de mêmeles six suivantes : 0 y —Bi +, o= Az Cr + G, o0= Br Cÿ + IT, S'SX dm — 2"SY dm — S(Xy — Yr)dm = y" Bi LF, g'SXdm — x"SZ dm — S(Xz — Zr)dm= 427" = Cr + G, 2'SFdm —y"SZdm — S(Yz— Zy)dm= Br — Cy" + H. Ponc 40, B=o, C=0, F=0o, G=o, H=0o; et par con+ séquent SXdm=o, SYdm—o, SZdm=æo, S(Xy—Yx)dm=o, S(Xz—-Zx)dm=o, S{(Y:—-Zy)dm= o. Ces six conditions sont donc les seules qui soient nécessaires pour l'équilibre d’une verge inflexible lorsqu'il n’y a pas de point fixe; c’est ce qui s'accorde avec ce que nous avons remarqué plus haut (art. 25), et c’est aussi ce qu’on aurait pu déduire immédiatément de la théorie donnée dans la section troisième, ainsi que nous l'avons observé dans l'article cité. 57. Supposons maintenant qu’il y ait dans la verge un point fixe, et que ce point soit la première extrémité de la verge; dans ce cas on aura dx’ =0, dy =b, d;'=0; ensorte que les termes affectés de ces variations disparaïtront d'eux-mêmes; il suffira donc d’égaler à zéro les coefficiens de dx’, dy”, dd’, d'dx', d'dy', d'dx, ainsi que les coefficiens de dx”, dy”, de”, ‘dés, dy”, etc. PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. - 163. Or il est aisé de voir que pour cela il suffira que l’on ait w—0; > =0, d'=0, et ensuite A0, m'=0, »"=0, du"=0, d'—=0, d'y"—0o, comme dans le cas précédent ; et l’on trouvera les même conditions que dans l’article précédent, à l'exception de ce que 4, B, .C ne seront pas nulles. ‘ On aura donc 4=SXdm, B—SYdm, C=SZdm, ensuite. F=Bx — A4y,G=Cx — A7, H=Cy —Bz; et les trois autres équations se réduiront à celles-ci : — S(Xy — Yx)dm = Bx'— Ay, — S(Xz — Zx)dm = Cx’ — A7, — S(Yz— Zy)dm = Cy — Bz; c'est-à-dire, à SXy — Yx)dm f x'SY dm — y SXdMm—=0, S(Xz — Zx)dm + x SZdm — ; SXdm= 0, S(Yz— Zy)dm +7 SZdm—ZzSYdm=0; ou, ce qui est la mème chose, à SX( y — y) — Y{(x— x))dm = 0, SX z—z)— Z(x—x))dm=o;, SY(z — 2) — Z(y—7))dm= 0. Cé sont les seules conditions nécessaires pour léquilibre, et il est clair qu’elles répondent à celles que l’on a trouvées dans l’article 24. 58. Si la verge était fixement attachée par sa premitre extrémité, ensorte que non-seulement le premier poiñt de la courbe füt fixe, mais aussi la tangente à ce premier” point, alors on aurait non-seu- lement dx'=0o, dy=o, dz=0, mais aussi dx=ddx = 0, d'y = ddy = 0, d'dz = ddr —0; par conséquent tous les termes : affectés de ces quantités disparaîtraient d'eux-mêmes, et il ne res- terait qu’à faire évanouir les termes aflèctés de d'dx, dy, dd, et de dx”, dy", d'z”, ddx", ddy”, etc. “ , 166 MÉCANIQUE ANALYTIQUE- On n’aura donc dans ce cas que ces conditions : »=0, \'=0, p'=0, »=0, du'=0, d'=0, do. Éonc les constantes 4, B, C auront encore les valeurs A= SXdm, B=SYdm, = SZdm ; ensuite les trois dernières intégrales de l'art. 55 étant appliquées au dernier point de la verge, donneront F—=SFrx—Xy)dm, G=S(Zx—Xz)dm, H=S(Zy—ŸYz)dm. Et si on applique ces mêmes équations au premier point, on aura (dy ddx' —dx ddy) — d'(dy Bx—di Ày) = Ayÿ—Bi+F, m(dz'ddx —dx ddr) — dv'(dz' dx —dx' dr) = Az —Cx' +6, md: ddy —dy das) — d'(dr' By dy 8x) = Bi —Cÿ +iIl, d'où éliminant # et &', résulte l'équation A(y dé — dy) + B(z'dx — x' ds) + C{x' dy —y'dx) + Fdz — Gdy + Hdx = 0. Cette équation est nécessaire pour empêcher que la verge ne tourne autour de sa première tangente, qui est supposée fixe, et il est facile de voir que son premier membre devient nul lorsque la verge est une ligne droite, 59. On pourrait regarder comme un défaut de notre méthode la longueur de cette solution, qui est en effet plus longue que celle de l'équilibre d’un fil flexible, tandis que par les méthodes ordi- naires, ce dernier problème est beaucoup plus difficile que celui de Téquilibre d’une verge roide tirée par des puissances quelconques, parce qu'il faut déterminer pareia composition des forces la courbe que le fil doit prendre pour être en équilibre, au lieu que dans le cas de la verge cette courbe est donnée, et que l'équilibre ne demande que la destruction des momens des forces. Mais lorsqu’on veut suivre pour tous ces problèmes une marche uniforme, et passer de lun à J'autre graduellement, à mesure qu’on y ajoute de nouvelles con- PREMIÈRE PARTIE, SECTION V.. 167 ditions, il est évident que le cas d’un fil inflexible est moins simple que celui d’un fil flexible, parce que l’inflexibilité exprimée analy-] tiquement, consiste dans l’invariabilité des distances mutuelles de points du fil. Et si dans ce cas, la courbe étant donnée, elle ne do; plus être un résultat du calcul, comme dans le cas d’un fil flexible, c’est une circonstance que l'analyse doit indiquer, et qu’elle indique en effet par les trois indéterminées À} w, » qui restent dans les trois équations indéfinies entre x, y, # de l’article 55, et qui font que ces équations peuvent s’adapier à une courbe quelconque don- née. Ainsi on ne doit pas regarder ces équations comme une su- perfluité inutile; outre qu’elles servent à déterminer les trois incon- nues À, x, », d'où dépendent les conditions de l'équilibre, et qui expriment en même temps les forces qui s’opposent à ce que les valeurs des trois fonctions æ, 8, y varient par l'effet des forces qui agissent sur le fil. IL est vrai que les trois indéterminées À, p, » doivent être rem— placées par les trois équations de condition qui consistent en ce que cs fonctions différentielles «, 8, y doivent être censées données. Mais comme par la nature du calcul différentiel, la valeur absolue des différentielles reste indéterminée, et qu'il n’y a que leur rapport qui puisse être donné, ces trois conditions ne peuvent équivaloir qu’à deux, qui renferment les rapports des trois quantités &, B, y; et ces deux rapports suffisent pour déterminer la courbe, En effet, par ce qu’on a démontré plus haut (art. 46), on voit que angle de contingence formé par deux côtés successifs de Ja courbe A se trouve exprimé par — , €n conservant les valeurs de æ, B, y de l'article 53; de sorte que le rayon osculateur sera ex- ss Ce rayon étant donc supposé donné, la courbe. sera donnée si elle est à simple courbure, et pour les courbes à double courbure, il ne sera pas difficile de prouver que la seconde- courbure provenant de l'angle de contingence formé par les primé par 168 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: plans qui passent successivement par deux élémens contigus de la courbe, dépendra du rapport des trois quantités &, 8, 7. insj les trois conditions dont il s’agit, rapportées à la courbe, se “duisent à ce qu’elle soit donnée, comme le problème le suppose, On pourrait étendre l'analyse de ce problème au cas d’une sur- face ou d’un solide dont tous les points seraient tirés par des forces quelconques; mais nous allons faire voir comment on peut la sim- plifier en partant des mêmes équations de condition, et en détermi- nant, d'avance par ces équations la forme des variations des coor- données. { CHAPITRE IV. De l'équilibre d’un corps solide de grandeur sensible et de figure . quelconque, dont tous les points sont tirés par des forces quelconques. 60. Puisque la condition de la solidité du corps consiste en ce que tous ses pones conservent constamment entre eux la même position et les mêmes distances, on aura entre les variations dx, dy, de, les mêmes équations de condition qu’on a trouvées dans l'article 53 ; car il est visible qu’en imaginant dans l’intérieur du corps une courbe quelconque, il suffira que tous ses points gardent les mêmes distances entre eux, quelque mouvement que le corps reçoive; ainsi on pourra, par leur moyen, déterminer immédiate- ment les valeurs de ces variations. Pour cela je remarque que comme en passant aux différences secondes, il est toujours permis de prendre une des différences pre- mières pour constante, on peut supposer dx constante, et par con- séquent d'x—0, dx—0o, etc.; moyennant quoi ‘la seconde et la troisième équation de l’article cité, deviendront dydd'y+ dzddz=0o, et dyd'dy + PrPdz = 0. La première de ces équations donne d’abord dy —— ;dde, et * différentiant Bat a, — __dz (ir À 2 ddy = dy dc — y 2) des; cetie PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 169- éette valeur étant substituée dans la seconde équation, elle se trou Œyd’z d? vera toute divisible par d'z— : 3. ." : r ddz — & dJ'z=0; d'où l'on tire, en intégrant, d'z = d'Ld' , ©t on aura après la divisio dZ étant une constante. Ayant d‘dz on trouvera d'dy=—d'Ld'z; donc intégrant de nouveau, et ajoutant, les constantes — d'Ydx , JNdx, on aura ddz = d'Ldy — d'Mdx, dfy=—d'Ldz + Ndx ; et ces valeurs étant ensuite substituées dans la première équation de condition, savoir dxdd'x+ dydd'y + dzdd'z =0, il viendra dx = J'Ndy + d'Idz. Enfin on aura par une troisième intégration, et par l'addition des nouvelles constantes J'7, din, di, dx = d — ON + cd, d'y = dm + xÛN — rOL, dz = d'n — xd M + ydL. Et il est facile de se convaincre que ces expressions ne satisfont pas seulement aux trois premières équations de condition de l'art. 53, aussi à toutes les autres qu'on pourrait trouver à Pinfini, et qui sont toutes renfermées dans cette équation générale d'xd'dx +- d'yd'dy + d'ed'dz = 0. Telles sont donc les valeurs de J'x, dy, d'z pour un système quelconque de points unis ensemble, de manière qu’ils conservent toujours entre eux les mêmes distances; ainsi ces valeurs serviront non-seulement pour le cas d’une courbe quelconque mobile et inva- riable dans sa figure, mais aussi pour le cas d’un corps solide de figure quelconque. Euler a trouvé le premier ces formules simples et élégantes pour exprimer les variations des coordonnées de tous les points d’un corps solide mobile dans l’espace. Il y est parvenu par des consi- dérations tirées du Calcul différentiel, mais différentes de celles qui nous y ont conduit, et, ce me semble, moins rigoureuses. Voyez Méc. anal, T'ome L,' 23 “170 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: ans le volume de l'Académie de Berlin, pour 1760, le Mémoire Yi Découverte d’un nouveau principe de Mécanique. 61, Puis donc que les valeurs précédentes de x, dy, d'z satis: RME déjà aux équations de condition du problème, il est clair qu’il suflira de les substituer dans la formule S(Xd'x+-Yd\y-+Zd'z)dm , et faire ensorte qu’elle devienne nulle, indépendamment des quan- tités M, dm, dn, d'L, d'A, d'N, qui sont les seules indétermi- nées qui restent. Or comme ces quantités sont les mêmes pour tous les points du corps, il faudra dans la substitution les faire sortir hors du signeS; et l’on aura conséquemment cette équation générale de équilibre d’un corps solide de figure quelconque , d'ISXdm + d'nSYdm + J'nSZdm + DNS(Fx — Xy)dm + d'HMS(Xz— Zx)dox + d'LS(Zy — Yrjdm = 0, d'où l’on tirera les équations particulières de l'équilibre, en ayant égard aux différentes circonstances du problème. 62. Et d’abord si le corps est supposé entiérement libre, les six variations d'Z, dm, dn, d'L, d'Ar, d'N seront toutes indétermi- nées, et il faudra égaler séparémént à zéro les quantités par lesquelles elles se trouvent multipliées; ce qui donnera ces six équations déjà connues , SXdm= 0, SYdm = 0, SZdm=o, SYx—Xy)dm=0o, S(Xz—/Zr)dm=o, S(Zy— Y:)jim= 0. Eu second lieu, s’il y a dans le corps un point fixe autour du- quel il ait simplement la liberté de pouvoir pirouetter en tous sens, et qu'on nomme «, b, c les valeurs des coordonnées x, y, z pour ce point; il faudra que lon ait da=0o, db=o, dez=0; donc Li DILIN HI M0, mad N—cJL=o, dual MH L=; PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 171 d'où l'on tire A = LAN — d'A, dm = cd'L — aÎN, d'u = ad I — bd'L. On substituera ces valeurs dans l'équation générale de l'article précédent, et mettant sous le signe S les quantités a, Bb, c qui sont constantes par rapport aux différens points du corps, on aura cette transformée, S'NS(Y( x—a) — X(y—b))dm + d'MS(X( z—c) — Z(x—a))dm + d'LS(Z(y—b) — Y(z—c))dm=0, laquelle ne fournira donc plus que trois équations, savoir, S(Y( x—a) — X(y—b))dm = 0, SX z— c) — Z(x—a))dm = 0, SZ y—b) — Y(z—c))dm = o. En troisième lieu, s’il y a dans le corps deux points fixes, et que > & h soient les valeurs de x.y, z pour le second de ces points, on aura de plus M = gN — hd'W, Îm= RIL — JIN, dn= SIM — gdL ; donc, comparant ces valeurs de d'/, J'm, din avec les précédentes, on aura (g—b)N — (k—0c)S M = 0, (f—0)8N — (A=0)ŸL = 0, (f—a)d'H — (g—b)iL = 0. Les deux premières de ces équations donnent LIN, ME IN, h—0c à72 MÉCANIQUE ANALY'TIQUÉ! £t comme ces valeurs satisfont aussi à la troisième équation, il s’eusuit que la variation J'N demeure indéterminée. Faisant donc ces’ substitutions dans la transformée trouvée ci-dessus, on aura AN[(A-c)S(P( x—0a) = X( y—b))dm "+ (g—b)S(X\ :—c) — Z(x—a))dm + (f—a)S(Z( 7 —b) — Y{x—c))dm] = 0; ainsi les conditions de l'équilibre seront renfermées dans celte seule équation, (Ac )S(E (aa) — X(y—0)}am + (g—b)S(X( z—€) — Z(x—a))dm + (J—a)S(Z (y —b) — Y(2—0c))dm] = 0: 65. Ces différentes équations répondent à celles que nous avons données dans Ja troisième section, pour léquilibre d’un système de points isolés de forme invariable; et nous aurions pu appliquer immédiatement les conditions de cet équilibre à celui d’un corps so- lide de figure quelconque, dont tous les points sont tirés par des forces données. Mais nous avons cru qu'il n’était pas inutile, pour montrer la fécondité de nos méthodes, de traiter cette dernière ques- tion en particulier et sans rien emprunter des problèmes déjà résolus. | Au reste, si les deux points du corps que nous venons de sup- poser fixes, étaient mobiles sur des lignes ou des surfaces données, ou même joints entre eux d’une manière quelconque, on aurait alors une ou plusieurs équations différentielles entre les variations des coordonnées a, b, c, f, g, h qtà répondent à ces points; et substi- tuant à la place de ces variations leurs valeurs en #7, Jim, dn, JL, d'M, d'N, d'après/les formules générales de Particle 58, on aurait autant d'équations entre ces dernières variations, au moyen desquelles on déterminerait quelques-unes de ces variations par les autres ; on substiturait ensuite ces valeurs dans l'équation générale, PREMIÈRE PARTIE, SECTION V. 173 et on égalerait à zéro chacun des coefficiens des variations restantes; ce qui fournirait toutes les équations nécessaires pour Péquilibre. } La marche du calcul est, comme lon voit, toujours la même; et c’est ce qu’on doit regarder comme un des principaux avantages de cette méthode. 64. Les expressions trouvées plus haut (art. 58), pour les varia- tions dx, d'y, d'z font voir que ces variations ne sont que les résultats des mouvemens de translation et de rotation, que nous avons considérés en particulier dans la section troisième. En effet, il est visible que les termes d'A, du, dy qui sont com- muns à tous les points du corps, représentent les petits espaces parcourus par le corps, suivant les directions des coordonnées x, y; z, en vertu d’un mouvement quelconque de translation; et on voit par les formules de Particle 8 de la même section, que les termes zÎM—y8N, xSN—1d'L, yd'L—xd\M représentent les peurs espaces parcourus par chaque point du corps, suivant les mêmes directions, en vertu de trois mouvemens de rotation d'Z, d'M, d'N autour des trois axes des x, y, z; ces quantités d'L, J'AI, d'N répondant aux quantités dé, do, d? de l'article cité. Ainsi on aurait pu déduire immédiatement les expressions dont il s’agit de la seule considération de ces mouvemens, ce qui aurait été plus simple, mais non pas si direct. L'analyse précédente conduit na- turellement à ces expressions, et prouve par là d’une manière en- core plus directe et plus générale que celle de l'article 10 de la section troisième, que lorsque les différens points d’un système con- servent leur position respective, le système ne peut avoir à chaque instant que des mouyemens de translation dans l’espace, et de ro— tation autour de trois axes perpendiculaires entre eux. 174 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. | SIXIÈME SECTION. Sur les principes de l’Hydrostatique. Qvorqur nous isnorions la constitution intérieure des fluides, nows ne pouvons douter que les particules qui les composent ne soient matérielles, et que par cette raison les lois générales de l'équilibre ne leur conviennent comme aux corps solides. En effet, la propriété principale des fluides et la seule qui les distingue des “corps solides, consiste en ce que toutes leurs parties cèdent à la moindre force, et peuvent se mouvoir entre elles avec toute la fà- cilité possible , quelle que soit d’ailleurs la liaison et l’action mutuelle de ees parties. Or cette propriété pouvant aisément être traduite en calcul, il s’ensuit que les lois de l'équilibre des fluides ne de- gmandent pas une théorie particulière , mais qu’elles ne doivent être qu'un eas particulier de la théorie générale de la Statique, C’est sous ce point de vue que nous allons les considérer; mais nous croyons devoir commencer par exposer les diférens principes qui ont été employés jusqu'ici dans cette partie de la Statique, qu'on nomme communément Hydrostatique, pour compléter l'analyse des prin- cipes de la statique que nous avons donnée dans la première section. 1. C’est encore à Archimède que nous devons les premiers prin- cipes de l'équilibre des fluides. Sen Traité de Insidentibus humido, ne nous est pas parvenu en grec; il y en avait seulement une tra- duction latine assez défettueuse, donnée par Tartalea, lorsque Commendin entreprit de le restituer et de l’éclaircir par des notes; il parut par les soins de ce savant commentateur en 1565, "sous le titre de is quæ vehuntur in agud, PREMIÈRE PARTIE, SECTION VI. 175 Cet Ouvrage, qu’on peut regarder comme un des plus précieux restes de l'antiquité, est divisé en deux livres. Dans le premier, Archimède pose ces deux principes, qu’il regarde comme des prin- cipes d'expérience, et sur lesquels il fonde toute sa théorie. 1°. Qùe la nature des fluides est telle, que les parties moins pressées sont chassées par celles qui le sont davantage, et que chaque partie est toujours pressée par tout le poids de la colonne qui lui répond verticalement. 2°. Que tout ce qui est poussé en haut par un’fluide, est toujours poussé suivant la perpendiculaire qui passe par son centre de gravité. Du premier principe, Archimède conclut d’abord que fa surface d’un fluide dont toutes les parlies sont supposées peser vers le centre de la terre, doit être sphérique pour que le fluide soit en équilibre. Ensuite il démontre qu’un corps aussi pesant qu’un égal volume du fluide doit s’y enfoncer tout-à-fait, parce qu’en con- sidérant deux pyramides égales du fluide supposé en équilibre au- tour du centre de la terre, celle où le corps ne serait plongé qu’en partie, exercerait une plus grande pression que Pautre, sur le centre ‘de la terre, ou en général sur üne surface sphérique quelconque qu’on imaginerait autour de ce centre. Il prouve de la même ma- nitre, que les corps plus légers qu'un égal volume du fluide ne peuvent s’y enfoncer que jusqu’à ce que la partie submergée oc- cupe la place d’un volume de fluide aussi pesant quele corps en- tier;, d’où il déduit ces deux théorèmes Hydrostatiques, que les corps plus légers que des volumes égaux d’un fluide ÿ étant plon- gés, en sont repoussés de bas en haut avecune force égale à l'excès du poids du fluide déplacé sur celui du corps plongé, et que les corps plus pesans y perdent une partie de leur poids égale à celui du fluide déplacé. Archimède se sert ensuite de son second principe pour établir les lois de l'équilibre des corps qui flottent sur un fluide; il dé- montre que toute section de sphére plus légère qu’un volume égal du fluide, y étant plongée, doit nécessairement se disposer de manière 176 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. t horizontale; et sa démonstration consiste à base était inclinée, le poids total du corps con- ntré dans son centre de gravité, et la poussée considérée aussi comme concentrée dans le la partie submergée, tendraient toujours à faire squ’à ce que sa base füt redevenue horizontale, ts du premier livre. Dans le second, Archimède mêmes principes, les lois de l'équilibre de dif- és par la révolution des sections coniques, et uides plus pesans que ces corps; il examine ïdes peuvent y demeurer inclinés, ceux où ils ebout, et ceux où ils doivent culbuter ou se redresser. livre est un des plus beaux monumens du génie d’Archimède, et renferme une théorie de la stabilité des corps flot- tans, à laquelle les modernes ont peu ajouté, 2. Quoique d’après ce qu'Archimède avait démontré, il ne füt pas difficile de déterminer la pression d’un fluide sur le fond ou sur les parois du vase dans lequel il est renfermé, Stevin est néan- moins le premier- qui ait entrepris cette recherche, et qui ait dé- couvert le paradoxe Hydrostatique, qu'un fluide peut exercer une pression beaucoup plus grande que son propre poids. C’est dans le tome troisième des Æ/ypomnemata Mathematica, traduits de l'hollandais par Snellius, et publiés à Leyde en 1608, que se trouve la théorie Hydrostatique de Stevin. Après avoir prouvé qu’un corps solide de figure quelconque, et de même gravité que l’eau, peut y rester dans une situation quelconque, par la raison qu'il occupe la même place, et pèse autant * que si c'était de l'eau, Stevin ima- gine un vase rectangulaire rempli d’eau, et il fait voir aisément que son fond doit suppoñter tout le poids de l’eau qui remplit le vase. Il suppose ensuite qu’on plonge dans ce wase un solide de figure quelconque, et de mème gravité que l’eau; il est clair que la pression restera la même; de sorte que si on donne au solide plongé une PREMIÈRE PARTIE, SECTION VI. C7 tne figure telle qu’il ne reste plus qu’un canal de fluide d’une figure quelconque, la pression 1 du canal sur la base sera encore la même, et par conséquent égale au poids d’une colonne verticale d’eau qui aurait cette même base. Or Stevin observe qu’en supposant ce solide fixement arrêté à sa place, il n’en peut résulter aucun changement dans l’action de l’eau sur le fond du vase; donc la pression surce fond sera toujours égale au poids de la mème colonne d’eau quelle que soit la figure du vase. : Stevin passe de là à déterminer la pression de l’eau sur les jarois verticales ou inclinées ; il divise leur surface en plusieurs parties par des lignes horizontales, et il fait voir que chaque partie est plus pressée que si elle était horizontale et à la hauteur de son bord supérieur, mais qu’en même temps elle est moins pressée: que si elle était placée horizontalement à la hauteur de son bord inférieur. D’où en diminuant la largeur des parties, et augmentant leur nombre à l'infini, il prouve par la méthode des limites, que la pression sur une paroi plane inclinée, est égale au poids d’une colonne dont cette paroi serait la base, et dont la hauteur serait la moitié de la hauteur du vase. Il détermine ensuite la pression sur une partie quelconque d’une paroi plane inclinée, et il la trouve égale au poids d’une colonne d’eau qui serait formée en appliquant perpendiculairement à chaque point de cette partie des droites égales à la profondeur de ce point sous l’eau. Ce théorème étant ainsi démontré pour des surfaces planes situées comme l’on voudra, il est facile de l'étendre à des surfaces courbes, et d’en conclure que la pression exercée par un fluide pesant contre une surface quelconque, a pour mesure le poids d’une colonne de ce même fluide, laquelle aurait pour base : cette même surface, convertie en une surface plane, s’il est néces- saire, et dont les hauteurs répondantes aux diflérens points de ‘la base, seraient les mêmes que les distances des points correspon- dans de la surface à la ligne de niveau du fluide , ou, ce qui revient au même, cette pression seramesurée par le poids d’une colonne Méc. anal. Fome I, 23 : MÉCANIQUE ANALYTIQUE: se la surface pressée, et pour hauteur la dis< centre de gravité de cette même surface, à e du fluide. précédentes de l'équilibre et de la pression des e l’on voit, entièrement indépendantes des prin- a Statique, n’étant fondées que sur des principes uliers aux fluides ; et cette manière de démon- ydrostatique, en déduisant de la connaissance uelques-unes de ces lois, celle de toutes les ée par la plupart des auteurs modernes, et a fait une science tout-à-fait différente et indépendante Cependant il était naturel de chercher à lier ces deux sciences ensemble, et à les faire dépendre d’un. seul. et même principe. Or parmi les différens principes qui peuvent servir de base à la Sta- tique, et dont nous avons donné une exposition, succincte dans la première section, il est visible qu’il n’y a, que celui des vitesses virtuelles qui s’applique naturellement à équilibre des fluides. Aussi Galilée, auteur de ce principe, s’en est servi également pour dé- montrer les principaux théorèmes de Statique et d'Hydrostatique. , Dans son Discours intorno alle cose che stanno sù l’acqua, à che in quella si muovono, il déduit immédiatement de ce principe l'équilibre de l'eau dans un syphon, en faisant. voir que si on sup- pose le fluide à la même hauteur dans les deux branches, il ne sau- rait descendre dans lune, et monter dans autre, sans que les. momens ne soient égaux dans la partie du fluide qui descend, et dans celle qui monte. Galilée démontre d’une manière semblable l'équilibre des fluides avec les solides qui y sont plongés; il est vrai. qué ses démonstrations. ne sont pas bien rigoureuses, et quoiqu’on ait cherché à y suppléer dans les notes ajoutées à l'édition de Florence de 1728, on peut dire qu’elles laissent encore beaucoup à desirer. Descartes et Pascal ont également employé le principe des PREMIÈRE PARTIE, SECTION VI. 179 vitesses virtuelles dans l'Hydrostatique ; ce dernier surtout en a fait un grand usage dans son Traité de l'équilibre des liqueurs, et s’en est servi pour démontrer la propriété principale des fluides, qu’une pression quelconque appliquée à un point de leur surface, se ré- pand également dans tous les autres points, 4. Mais ces applications du principe des vitesses virtuellesgétaient encore trop hypothétiques, et pour ainsi dire trop lâches pokr pou- voir servir à établir uhe théorie rigoureuse sur léquilibfe des fluides. Aussi ce principe a<-il été abandonné depuis par à part des auteurs qui ont traité de l'Hydrostatique, et surtout par ceux qui ont entrepris de reculer les Jimites de cette science, en cherchant les lois de l'équilibre des fluides hétérogènes, dont toutes les parties sont animées par des forces quelconques ; recherche très-importante par le rapport qu’elle a avec la fameuse question de la figure de la terre. Huyghens a pris dans cette recherche, pour principe d'équilibre, la perpendicularité de la pesanteur à la surface. Newton est parti du principe de légalité des poids des colonnes centrales. Bouguer a remarqué ensuite que souvent ces deux principes re donnaient pas le même résultat, et en a conclu que pour qu'il y eût équi- libre dans une masse fluide, il fallait que les deux principes y eussent lieu à la fois, «et s’accordassent à donner la même figure à la sur- face du fluide. Mais Clairaut a démontré de plus qu'il peut y avoir des cas où cet accord ait lieu, et où cependant il n’y aurait point d'équilibre. Maclaurin a généralisé le principe de Newton, en éta- blissant que dans une masse fluide en équilibre, chaque particule doit être comprimée également par toutes les colonnes rectilignes du fluide, lesquelles appuient sur cette particule, et se terminent à la surface; et Clairaut l’a rendu plus général encore, en faisant voir que l'équilibre d’une masse fluide demande que les efforts de toutes les parties du fluide, renfermées dans un canal quelconque, aboutissant à la surface, ou ‘rentrant en lui-même, se détruisent 180 MÉCANIQUE ANALYTIQUE! mutuellement. Enfin il a déduit le premier, de ce principe, les vraies lois fondamentales de équilibre dune masse fluide dont toutes les parties sont animées par des forces quelconques , et il a trouvé les” frences partielles, par lesquelles on peut exprimer rte qui a changé la face de l'Hydrostatique, et em science nouvelle. de Clairaut n’est qu’une conséquence naturelle dut € de pression en tous sèns, et on peut déduire e celui-ci les mêmes équations qui résultent de aux. Car en considérant la pression comme une forte qui agit sur chaque particule, et qui peut s'exprimer par une fonction des coordonnées qui déterminent le lieu de la particule dans la masse fluide, la différence des pressions qu’elle souffre sur deux faces opposées et parallèles, donne la force,qui tend à la mouvoir perpendiculairement à ces faces, et qui doit être détruite par les forces accélératrices dont cette particule est animée; de sorte qu’en rapportant toutes ces forces aux directions des trois coordonnées rectangles, et supposant la masse fluide partagée en petits paral- Iélogrammes rectangles, ayant pour côtés les élémens de ces coor- données, on a directement trois équations aux différences partielles entre la pression et les forces accélératrices données, lesquelles servent à déterminer la valeur même de la pression, et la relation qui doit avoir lieu entre ces forces. Ce moyen simple de trouver les lois générales de lHydrostatique est dû à Euler (Mém. de Berlin de 1755.), et il est maintenant adopté dans presque tous les Traités de cette science. 6. Le principe de légalité de pression en tout sens est donc jus- qu'ici le fondement de là théorie de l'équilibre des fluides, et ïl faut avouer que ce principe renferme en effet la propriété la plus simple et la plus générale que l'expérience ait fait découvrir dans les fluides en équilibre. Mais la connaissance de cette propriété est- PREMIÈRE PARTIE, SECTION VI: 181 elle indispensable dans la recherche des lois de léquilibre des fluides? Et ne peut-on pas dériver ces lois directement de la na- ture même des fluides considérés comme des amas de molécules trés-déliées, indépendantes les unes des autres, et parfaitement mobiles en tout sens? C’est ce que je vais tâcher de faire dans L sections suivantes, en n’employant que le principe général de F libre dont j'ai fait usage jusqu'ici pour Îles corps solides; partie de mon travail fournira non-seulement une des plu applications du principe dont il s’agit, mais servira aussi à fier à quelques égards la théorie même de l’'Hydrostatique. On sait que les fluides en général se divisent en deux espèces; en fluides incompressibles dont les parties peuvent changer de figure, mais sans changer de volume; et en fluides compressibles et élas- tiques dont les parties peuvent changer à-la-fois de figure et de volume, et tendent toujours à se dilater avec une force connue qu'on suppose ordinairement proportionnelle à une fonction de la densité. L'eau, le mercure, etc., appartiennent à la première espèce ; et l'air, la vapeur de l'eau bouillante , etc., appartiennent à la seconde. Nous traiterons d’abord de l'équilibre des fluides incompressibles ; et ensuite de celui des fluides compressibles et élastiques. 182 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. EPTIÈME SECTION. uilibre des fluides incompressibles. sse fluide m, dont tous les points soient animés s ou forces quelconques P , Q, R, etc., dirigées Pr 9 r, etc, on aura, suivant les dénomina- 12 de la section IV, pour la somme des momens es, la formule intégrale, SKPdp + Qdg + Rdretc.)dm, laquelle devra être nulle en général, pour qu'il y ait équilibre dans ‘le fluide, $ I. De l’équilibre d'un fluide dans un tuyau très-étroit. 2. Supposons d’abord le fluide renfermé dans un canal ou tuyau infiniment étroit, et de figure donnée; et imaginons ce fluide divisé en tranches ou portions infiniment petites, dont la hauteur soit ds, et la largeur w, on pourra prendre dm=wds, à cause que la largeur « du tuyau est supposée infiniment petite, ds étant lélé- ment de la courbe du tuyau. Or en imaginant que le fluide reçoive un petit mouvement, et change infiniment peu de place dans le tuyau, soit d's le petit espace que la tranche ou particule dm par- court dans le tuyau; il est clair que wd's sera la quantité du fluide qui passera en même tefnps par chacune des sections « du canal. Donc à cause de l’incompressibilité du fluide, il faudra que cette quantité soit partout la même; de sorte que faisant wds —«, la quantité « sera constante par rapport à la courbe du tuyau. On Le « PREMIÈRE PARTIE, SECTION du 185 aura ainsi © — F , et par conséquent dm; de sorte que la formule qui exprime la somme des momens es deviendra en faisant sortir hors du signe xD S la quantité constante % aS(PSp + Qdg + Rd'r + etc. © Maintenant il est visible que puisque dp, d'y, d'r, etc. so variations des Jignes P: 9,» r, etc., résultantes de la varigion ds, ces variations doivent avoir entre elles les mêmes rappo les différentielles dp, dg, dr, etc., ds, à cause de la figure Bt nd Hu, nos DT réduira la formule précédente à cette forme, aS(Pdp + Qdg + Rdr + etc.), où les différentielles dp, dg, dr, etc., se rapportent à la courbe du canal, et le signe S indique une intégrale prise par toute l'étendue du canal. Faisant donc cette quantité —0, on aura l’équation S(Pdp+ Qdq + Rdr+ etc.) =0, laquelle contient la loi générale de l'équilibre d’un fluide renfermé dans un canal de figure quelconque. | donnée ; ainsi on aura 3. Si outre les forces. P, Q, R, etc., qui animent chaque point du fluide, il y avait de plus à l’une des extrémités du canal une force extérieure I’ qui agit par le moyen d’un piston sur la surface- du fluide, et’ perpendiculairement aux parois du canal; alors déno- tant par ds le petit espace parcouru par la tranche du fluide qu'on suppose pressée par la force IF, tandis que les autres tranches par- courent les différens espaces d's, il faudra ajouter à la somme des momens des forces P, Q, R, etc., le moment de la force IF’, le- quel sera représenté par IH'’ds’. Or si on nomme «’ la section du canal à l'endroit où agit la force Il’, on aura w’d's’ pour la quantité MÉCANIQUE ANALYTIQUE- se par la section «', tandis que par une autre sec* ©, il passe la quantité de fluide wd's. essibilité du fluide demande que ces quantités soient es; donc ayant déjà supposé wd's = «, on aura par conséquent ds = =. Donc la somme totale forces qui agissent sur le fluide, sera représentée (4 + S(Pdp + Qdq + Rär + etc.)) ; ation de l'équilibre sera D ++ S(Pdp + Qdg + Rdr + etc-)= 0: 4. Il est évident que dans l'état d'équilibre, la force Il’ doit être çontrebalancée par la pression du fluide sur le piston dont la lar- geur est w’; d’où il s’ensuit que cette pression sera égale à —I}", et par conséqnent, = &'S(Pdp + Qdg + Rdr + etc.). Donc en général la pression du fluide sur chaque point du piston, sera exprimée par la formule intégrale S(Pdp + Qdg + Rär + etc.), en prenant cette intégrale par toute la longueur du canal. Et cette pression sera aussi la même, si au lieu d’un piston mobile on sup- pose un fond immobile qui ferme le canal d’un côté, 5. Si à l’autre extrémité du canal il y avait une autre force T° agissante de même par le moyen d’un piston, on trouverait pareil- lement, en nommant w° la section du canal dans cet endroit, l'équation | Es +7 + S(Pdp + Qdg + Rdr- etc.) =0, pour léquilibre du fluide, PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII: 185 6. Donc si le fluide n’est pressé que par les deux forces exté- rieures Il et Il” appliquées aux surfaces w’ et +”, il faudra, pour- l'équilibre, que lon ait us + Po; d’où l'on voit que les deux forces I’ et 11” doivent ‘être de directions contraires , et en mê temps réciproquement proportionnelles aux surfaces +’, w" sur Fa quelles ces forces agissent. Proposition qu’on regarde co ment comme un principe d'expérience, ou du moins comige une suite du principe de légalité de pression en tout .sens, dans/equel la plupart des auteurs d’Hydrostatique font consister la nat fluides. | - 7. La connaissance des lois de l'équilibre d’un fluide renfermé dans un canal très-étroit et de figure quelconque, peut conduire à celle des lois de l'équilibre d’une masse quelconque de fluide ren- fermée dans un vase ou non. Car il est évident que si une masse fluide est en équilibre, et qu'on imagine un canal quelconque qui la traverse, le fluide contenu dans ce canal sera aussi en équilibre de lui-même, c’est-à-dire, in- dépendamment de tout le reste du fluide. On aura donc pour léqui- ‘libre de ce canal, en faisant abstraction des forces extérieures (art. 2), S(Pdp + Qdg + Rdr+ etc.) = 0, Et comme la figure du canal doit être indéterminée, l'équation précédente devra être indépendante de cette figure ; d’où l’on pour- rait conclure tout de suite, comme Clairaut l’a fait dans sa TAéorie de la figure de la Terre, que la quantité Pdp—+Qdg+-Rdr +-etc. - doit être une différentielle exacte. Mais on peut arriver à cette con- clusion par l'analyse même , et trouver en même temps les relations qui doivent avoir lieu entre les quantités P,Q,R, etc. Pour cela il n’y a qu'à faire varier l'intégrale S(Pdp + Qdg + Rdr + etc.), par la méthode des variations , et supposer Sa variation nulle 8. Dénotons en général par # la valeur de Fintégral féc. anal, Tome I. 24 x6&. MÉCANIQUE ANALYTIQUE: S(Pap + Qdq + Rdr+-etc.) prise par toute la longueur du ca= al, il faudra que l'on ait J'Y — 0. “Or on.a, par la différentiation, dy-Rär-pete.) = SS(Pap--Qdg-Rär-tetc.) d'dy-RSdr-tete.+d Pdp--d Qdg-td Rdr-etc.). en dd’, et faisant ensuite disparaitre le double signe grations par parties, on aura Qd'q + Rd'r + etc. Jp + d'Qdg — dQdg+ d'Rdr— dRIr+etc.), i sont hors du signe S se rapportent aux extré- mités de l'intégrale représentée par ce signe, et répondent par conséquent aux bouts du canal ; de sorte qu’en supposant ces bouts? fixes, les variations dip, d'g, dr, etc., qui y répondent, seront: nulles, et les termes dont il s’agit s’évanouiront d'eux-mêmes. Maintenant comme les quantités P, Q, R, ete., qui représentent les forces, sont ou peuvent toujours être supposées des fonctions de p, g;, r, etc., il est clair que la partie de J'Y qui est añectée du signe S, «n’est plus susceptible de réduction; donc pour que: lon ait en général SF —0, il faudra que cette partie soit nulle d'elle... même, et que par conséquent on ait pour chaque point de la masse fluide, l'équation identique d'Pdp —dPSp + d'Qdg — dQd q + d'Rdr — dRdr + etc. = 0. En regardant les expressions des forces P, Q, R, etc. comme des fonctions quelconques de p, qg, r, etc., on aura, suivant la nota- tion reçue, P es . . P sn LAS dqg + 7 dr“ etc. ; de même dP dP dP JP=T Ze de gr d'r + etc., et ainsi des autres différences; substifuant ces valeurs dans l'équa- PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. 187 tion précédente, et ordonnant les termes, elle deviendra de cette forme : + o=(T— =) (dqdp — dpd'q). dP d | + CG —7) (d'rdp — drdp) | d dR +7 (Ardg Ly drdgq), etc. et devra avolr lieu indépendamment des différences dp, dg, deg dp, dg, dr, etc. Donc s’il n’y a aucune relation donnée entre les variables p, g, r,.etc., il faudra faire séparément dP _ 4 dq _ dp ? dP dl dr 3 dr 7 dd — ? etc. Ce sont les équations de condition connues pour l'intégrabilité de la formule Pdp + Qdg + Rdr + etc. 9. Lorsque les lignes p, g, r, etc. se rapportent à un point dans l’espace, comme dans le cas présent, elles ne peuvent dé- pendre que des trois coordonnées de ce point, et les forces P, Q, R, etc. peuvent toujours se réduire à trois, suivant ces coordon- nées (sect. V, art. 7). Ainsi en prenant p, g, r pour ces coordon- nées, soit rectangles ou non, et P, Q, R, etc. pour les forces qui agissent sur chaque particule du fluide, dans la direction des mêmes coordonnées, il faudra que les quantités P,Q, R, regardées comme des fonctions de p, g,r satisfassent à ces trois équations L 2 188 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ce sont les conditions nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces P, Q, R, qui agissent sur tous ses points. Au reste, on a fait abstraction jusqu'ici de la densité du fluide, ou plutôt on l'a regardée comme constante et égale à lfnité; mais si onwyoulait la supposer variable, alors en nommant T la densité d'une particule quelconques dm, on aurait (art. 2) dm=—Faods; et le£ quantités P, Q, R, etc. se trouveraient toutes multipliées Aiu$i lon aura pour l'équilibre des fluides de densité va- riuble, les mêmes lois que pour léqüilibre des fluides de densité uniforme, gn multipliant seulement les différentes forces par la den- sité du point sur lequel elles agissent; c’est-à-dire, en écrivant simplement TP, TQ, TR, etc., à la place de P,Q, R, etc. $ IT, Où l’on déduit les lois générales de l'équilibre des fluides incom- pressibles, de la nature des particules qui les composent. 10. Nous allons maintenant chercher les lois de l'équilibre des fluides incompressibles, directement par notre formule générale, en regardant ces sortes de fluides comme formés d’un amas de par- ticules mobiles en tout sens, et qui peuvent changer de figure, ‘mais sans changer de volume. Supposons, pour plus de simplicité, que toutes les forces qui agissent sur les particules du fluide soient réduites à trois, repré- ‘sentées par X, Ÿ,Z, et dirigées suivant les coordonnées rectangles x, Y z, C'est-à-dire, tendantes à diminuer ces coordonnées. Nous avons donné, dans le chapitre I de la section cinquième, les for- mules générales de cette réduction. Nommant dm la masse d’une particu'e quelconque, on aura pour la somme des momens des forces X, Y, Z, la formule intégrale PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. +89 SXd'x + Ydy + Zd'z)dm; or le volume de la particule dm peut être représenté par dxdydz; ainsi en exprimant par T la densité, il est clair qu'on. aura dm = Tdxdydz:; et le signe d'intégration S appartiendra à la fois aux trois variables x, y, z I faudra, de plus, avoir 77 à l'équation de condition résul- tante de l'incompressibilité du fluide, laquelle étant supposée re- présentée par L=0o, donnera, en différentiant selon S', mutipliant par un coefficient indéterminé À, et intégrant, la formule SZ à ajouter à la précédente. S'il n’y a point de forces extérieures qui agissent sur la surface. du fluide, ni de conditions particulières à cette surface, on aura simplement pour léquation générale de l’équilibre (sect. IV, art. 13), S(XS'x «+ Fd\y ++ Zd'z)dm + SAdL= 0, dans laquelle il faudra prendre les intégrales relativement à toute la masse du fluide. 11. La condition de l’incompressibilité consiste en ce que le vo: lume de chaque particule soit invariable; ainsi, ayant exprimé ce volume par dxdydz, on aura dxdydz == const. pour l’equation de condition; par conséquent Z sera =dxdydz—const.; et dL= d.(dxdydz). Pour avoir la variation d'.(dxdydz), il be qu'il n’y aurait qu'à différentier simplement dxdygz selon d'; mais il y a ici une considération particulière à faire, et sans laquelle le calcul ne se- fait pas rigoureux. La quantité dxdydz n’exprime le volume d’une particule qu’autant qu’on suppose là figure de cette particule un parallélépipède rectangulaire dont les côtés sont parallèles aux axes des x, y, z; cette supposition est très-permise, puisqu'on peut imaginer le fluide partagé en élémens infiniment petits d’une figure quelconque. Or d'.(dxdydz) doit exprimer la variation que souffre ce volume lorsque la particule change infiniment peu de situation, 1190 © MÉCANIQUE ANALYTIQUE. ses coordonnées x, y, z devenant x+dx, y+dy, z+di; et il est clair que si dans ce changement la particule conservait la figure d’un parallélépipède rectangle, on aurait d.(dxdydz) = dydzd'dx + dxdzd dy ++ dxdyd az. Par les principes du calcul des variations, on peut changer les dax, d'dy, d'dz en ddx, ddy, ddr; mais il est nécessaire de remar- quer que les variations dx, dy, dz pouvant ëtre regardées comme “es fonctions indéterminées et infiniment petites de x, y, z, pour que dd\x représente la variation du côté dx de la particule réttan- gulaire dxdydz, lequel est formé par l'accroissement dx que la coor- donnée + reçoit, tandis que les deux autres y et z ne varient pas, il faut que dans la difffrentiation de dx, la seule + soit censée variable; ainsi, suivant la notation des différences partielles, au lieu d'écrire simplement ddy, il faudra 2. Rs de même et par ce ' un raisonnement semblable, on écrira 4 Je À dy et = de au lieu de ddy, ddz. De cette manière, dans D cibss _. la particule dxdydz demeure rectangulaire après la variation, on aura d'.(dxdydz) = dard (a dE = + D D + Il en serait encore de même si on Ra que la particule dxdydz devint par la variation un parallélépipède dont les angles différassent infiniment peu de langle droit.!Car on sait, par la Géomé- trie, que si a, b, e sont les trois côtés d’un parallélépipède qui forment un angle solide, et +, 8, 7 les trois angles que ces côtés forment entre eux, la solidité, ou le contenu du parallélépipède est exprimée par la formule | abc V{i—cosa" — cos Ê* — cosy" acosacosb cos), 14 La Ad Or les côtés deviennent, par la variation, PREMIÈRE PARTIC, SECTION VII. 194. dx ( ++, dy +), dz (G + # : . et les cosinus de #, 8, > deviennent infiniment petits; ainsi en substituant ces valeurs au lieu de a, b, ce, et négligeant les infi- niment petits des ordres supérieurs au premier, on aura, pour la variation de dxdydz, la même expression qu'on vient de trouver. Mais quoique cette dernière hypothèse soit légitime, nous ne voulons pas l'adopter sans démonstration, pour ne rien laisser à desirer sur l'exactitude de nos formules. Nous allons donc chercher d’une manière rigoureuse la variation de dxdydz, en ayant égard à-la-fois au changement de position et de longueur de chacun des côtés d’un parallélépipède rectangulaire, et en supposant seulement, ce qui est exact dans linfiniment petit. que ces côtés demeurent rectilignes. 12. Pour simplifier cette recherche, nous commencerons par ne considérer qu’une des faces du parallélépipède dxdydz; par exemple, la face dxdy, dont les quatre angles répondent à ces quatre sys- tèmes de coordonnées Gx,y,z, (2)xtdx,,z, (S)x,y7+dy,e, (4) xtdx, y+dy, 2. : Supposons que les coordonnées x», y, z du premier système de- viennent æ+-d'x, y+dy, z+di, et regardons les variations dx, dy, dz comme des fonctions infiniment petites de.x, y, z;en fai- sant eroître successivement les x, y, de leurs: différentielles dx, dy, on trouvera ce que doivent devenir simultanément Îes coor-} données des trois autres systèmes. Ainsi: en marquant: par les mêmes numéros les systemes variés, on aura 3 G) xd, +, z+dz, (2) adrt-d'at Pr, y+d + ar, tdz + dr, 192 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. (5) a+ de Rd, Hdi Hd, etdect Eds x œf dx DEES dx + EL (4) sg ++ 24% dy, ddz sde Te de HT dy. Comme ces quatre systèmes de coordonnées répondent aux quatre angles du nouveau quadrilatère dans lequel s’est changé le rectangle dxdy , il est clair qu'on aura les côtés de ce quadrilatère en prenant la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordon- nées pour les deux angles adjacens à chaque côté. Aïnsi en mar- quant la droite qui joint deux angles par la réunion des deux numé- ros qui répondent à ces angles, on aura a=e/G+ +0 +, CEE EC) Ge /G+ ++, (2,4) = dy \ ) ne +2 C5 ; d’où l’on voit que les côtés opposés ( ca) (3,4) sont égaux entre eux, ainsi que les côtés opposés (1,3), (2,4); et que par consé- quent le quadrilatère est un parallélogramme dont les deux côtés contigus (1,2), (1,3) seront, en négligeant sous le signe les quan- tités du second ordre vis-à-vis de celles du premier, G) =æ (+); 65) = d (1+5 Fe). 13. À l'égard de l'angle compris par ces deux côtés, on le trou- vera par le moyen de la diagonale (2,3), laquelle, en prenant de même la racine carrée de la sommg des carrés des différences des coordonnees respectives des systemes (2) et (5), devient (2,5) PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. 195 ,5= dx SE dr) à + dy —Ras) ee Ed): Or en nommant æ l'angle dont il s’agit, le triangle formé par les trois côtés (1,2), (1,3), (2,5) donne G;2) + (1,3) — (8,3) BE ha) x 2) Substituant dans cette expression les valeurs trouvées de (1,2); (1,3), (2,5), effaçant les termes qui se détruisent, et négligeant les infiniment petits du second ordre et des ordres supérièurs; on aura dx ddy cosa = y + JE où l’on voit que l'angle « ne ja d’un angle droit que par des quantités infiniment petites, puisque son cosinus est infiniment petit. 14. Si on applique la même analyse aux deux autres faces dxdr, dydz du rectangle dxdydz, on trouvera que ces faces se changent aussi en parallélogrammes; de sorte que les trois faces opposées seront aussi des parallélogrammes, comme on peut le démontrer facilement par la Géométrie. Par conséquent le nouveau solide sera un parallélépipède dont les côtés, qui forment un angle solide, seront dix ds dIN d(i+T), (à +), a+), et nommant æ, B, y jes angles compris entre ces côtés, on aura COS & = —— + cos = + D'où l'on peut conclure que la variation du parallélépipède restan- AMéc. aral. Tome I, 25 +94 .. MÉCANIQUE ANALYTIQUE. gulaire dxdydz est rigoureusement exprimée par la formule donnée plus haut (art. 11). 15. 'On voit aussi par là que si les variations dx, d'y, dz n'étaient fonctions respectivement que de x, y,z, on aurait rigoureusement cos a = 0, cosB = 0, cosy == ©; de sorte que le parallélépi- pède rectangle dxdydz demeurerait rectangle après la variation. Or comme ke changement de forme de ce parallélépipède n’est qu'infiniment petit et n’influe point dans la valeur de sa solidité, il s'ensuit que sans rien ôter à la généralité du résultat, on peut supposer que les variations dx, dy, d'z soient simplement fonctions de x, de y et de z, comme nous l’ayons fait dans Particle 31 de la section IV. | 16. Ayant ainsila vraie valeur de d'.(dxdydz), on la prendra pour celle de Z, et l'on aura d'£.= - dxdyde (SE —— Le ® + =). On substitucra donc cette valeur dans es générale de Par- ticle 10, et mettant en même temps pour dm sa valeur Taxdydz on aura l'équation L(Xd\x + Fly + _. PENCR D+s) dxdydz = ©, et il ne s’agira plus que d'y faire disparaître les doubles signes dé -par la méthode exposée dans le $ II de la quatrième section. 17. Considérons d’abord la quantité sa © — TE dxdydz, où le signe S dénote une triple intégrale relative à x, y, z; r est clair que comme ha différence de dx n’est relative qu’à la variation de x, il ne fau- dra aussi pour Ja faire disparaitre qu'avoir égard à l'intégration PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. 195 relative à x; c’est pourquoi on donnera d’abord à cette quantité la forme SydzSA = dx; ensuite on transformera l'intégrale Simple SA PE de en N'd'x"— N'a — 5 À dxdr; les quantités marquées d’un trait se rapportent au commencement de l'intégration, et celles qui en ont deux se rapportent äux poihts où elle finit, suivant la notation adoptée dans lendroit cité. ' Ainsi la-quantité: dont il s'agit se trouvera changée:en celle-ci, Say dun" dx" — N' dx") == SdydzS a dxdx, pu, ce qui est la même chose, SX DEN Sa) dy de — CEA Jxdrdydz. De la même manière et par un raisonnement semblable, on changera les quantités SA F dxdydz, et SA ÊE dxdydz, en celles-ci, SC Iy" — X dy jdxdz SF dydrdydz, et É SANS 2 — Nr )dxdy —S a d'zdxdydz. Faisant ces substitutions, on aura donc pour l'équilibre de Ja masse fluide, cette équation générale : à da dx Û . dx ST(rx FR) de + (rr— 7) dy + (12) de | dxdyde + SN dx" — dx" )dy de + S(N' dy" N'dy)dxdz + Sd" N' dr )dxdy = 0, dans laquelle il n’y aura plus qu'à égaler séparément à zéro les coefficiens des variations indéterminées dx, dy, dz (art. 16, sect, IV). 18. On aura donc d’abord ces trois équations 196 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. lesquelles doivent avoir lieu pour tous, lès points de la masse fluide. Ensuite si le fluide est libre de tous côtés, les variations dx’, dy,:d7, dx”, dy”, dz" qui se rapportent aux points de la surface du fluide seront aussi indéterminées, et par conséquent il faudra encore égaler, séparément à zéro leurs coefficiens, ce qui donnera A'=0d, l'=9, c’est-atdire; en général A0 pour tous les points de la surface du fluide; et cette équation servira à déterminer la figure de cette surface. Il en sera de même lorsque le fluide est renfermé dans un vase pour la partie de la surface où le vase est ouvert; mais à l'égard de la partie qui est appuyée contre les parois, les variations dx’, d'y, d'z dx’, dy", d'z’ doivent avoir entre elles des rapports don- nés par la figure de ces parois, puisque le fluide ne peut que couler le long des parois; et nous démontrerons plus bas, que quelle que puisse être leur figure, les termes qui renferment les varia- tions en question seront toujours nuls d’eux-mêmes;. de sorte qu’il n’y aura aucune condition relativement à cette partie de la sur- face du fluide. 19. Les trois équations qu'on: vient de trouver pour les condi- tions de l'équilibre du fluide, donnent da. d\ dx __ . T=TX; D FF) 7 =1IZ; donc puisque dA = dx + dy + D de, on aura A E=T(Xdx + Ydy + Zdz) ; par conséquent il faudra que la quantité T(Xds + Ydy + Zde) soit une différentielle complète en x, y, z; et cette condition ren- ferme seule Jes lois de l'équilibre des fluides. PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII 197 Si on élimine la quantité À des mêmes équations, on aura les suivantes : .d.TX __ d.rY dy dx ? d.TX d.TZ dz dx ? d.TY _ d.rZ an équations qui s'accordent avec celles de l'article g. Ces conditions sont donc nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces X, Y, Z. Lorsqu'’elles ont lieu par la nature de ces forces, on est assuré que l'équilibre est possible; et il ne reste plus qu’à trouver la figure que la masse fluide doit prendre pour être en équilibre, c’est-à-dire, l'équation de la surface extérieure du fluide. Nous avons vu dans l'article précédent, qu’on doit avoir dans chaque point de cette surface A—o. Donc puisque d\=T(Xdx + Ydy + Zdz), on aura en intégrant, A = [T(Xdx + Ydy + Zdz) Æ const. ; par conséquent l'équation de la surface extérieure sera STKdx + Ydy +Zd)=K, ‘Æ étant une constante quelconque; et cette équation sera foujours en termes finis, puisque la quantité T (Xdx-+ Ydy Æ Zdz) est supposée une différentielle exacte. s0. La quantité Xdx + Ydy + ZUz est toujours d'elle-même une différentielle exacte, lorsque les forces X, Y, Z sont le résultat d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, puisqu'on a en général par l'article 1 de la section V, Xdx + Fdy + &dz = Pdp + Qdg + Rdr + etc. 198 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Nommant cette quantité dIT, on aura alors d\ = Tall; donc pour que dA soit une différentielle complète, il faudra que F soit une fonction de Il. Par conséquent A—/Tdil sera aussi nécessaire- ment une fonction de II. On aura donc dans ce cas, qui est celui de la nature, pour la figure de la surface l'équation, fonct. I — K; savoir N=— à une constante, de même que si la densité du fluide était uniforme. De plus, puisque IT est constante à la surface, et que T est fonction de N1, il s'ensuit que la densité T doit être la même dans tous les points de la surface extérieure d'une masse fluide en équilibre. Dans l’intérieur du fluide la densité peut varier d'une manière quelconque, pourvu qu’elle-soit toujours une fonction de IT; elle devra donc étre constante partout où la valeur de II sera constante; de sorte que I1= z sera en général équation des couches de même densité, Æ étant une constante. Donc différentiant, on aura dil=0, ou Xdx+Ydy +2Z der=0 pour. l'équation générale de ces couches; et ilest visible que cette équation est celle des surfaces auxquelles la résultante des forces X, Y, Z est perpendiculaire, et que Clairaut appelle surfaces de niveau. D'où il s'ensuit que la densité doit être uniforme dans chaque couche de niveau formée par deux surfaces de niveau infiniment voisines, Cette loi doit donc avoir lieu dans- la Terre et dans les Planètes, supposé que ces corps aient été originairement fluides, et qu'ils aient conservé, en se durcissant, la forme qu’ils avaient prise en vertü de l’attraction de leurs parties, combinée avec la force cen- trifuge. 21. A l'égard de la quantité ‘à dont nous venons de déterminer la valeur, il est bon de remarquer que le terme SAJZ de l'équa- tion générale de l'article 10 représente la somme des momens d’au- tant de forces À qui tendent à diminuer la valeur dela fonction Z (sect. IV, art. 7); de sorte que comrae on a fait d'L—d'.dxdydz (art. 11), on peut dire que la force à tend -comprimer chaque par PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. 109 ticule dxdydz du fluide; par conséquent cette force n’est autre chose que la pression que cette particule du fluide souffre également de tous côtés, et à laquelle elle résiste par son incompressibilité. On a donc en général pour la pression dans chaque point de la masse fluide, l'expression ST (Pdx + Qdy + Rde); et comme la quantité sous le signe doit toujours être intégrable pour que le fluide soit en équilibre, il s'ensuit que la pression pourra tou- jours être exprimée par une fonction finie des coordonnées relatives à la particule qui éprouve cette pression; proposition fondamentale de la ‘théorie des fluides, donnée par Euler (sect. VI, art. 6). 22. Pour donner une application de l'équation H—à une constante, que nous avons trouvée pour représenter la surface d’une masse fluide en équilibre (art. 20), nous-allons considérer l'équilibre de la mer, en supposant qu’elle recouvre la terre regardée comme un so- lide de figure elliptique et peu différent de la sphère, et que chacune de ses particules soit attirée à la fois par toutes les particules de la terre et de la mer, et soit animée en même temps de la force cen- trifuge provenant de la rotation uniforme de la terre autour de son axe. C’est ici le lieu d'employer les formules que nous avons données dans l’article 10 de la'section V. Nous avons désigné par Z la va- leur de la fonction 11, lorsque les forces sont le résultat des attrac- tions de toutes les particules d’un corps de figure donnée, et nous avons donné lexpression de £ pour le cas où lattraction est en raison inverse du carré des distagçes, et où le corps attirant est un sphéroïde elliptique peu différent de la sphère. En conservant les dénominations employées dans cet article, et en s’arrêtant aux termes qui contiennent les secondes dimensions des excentricités e et i, on a trouvé _ 71 *e+i x ey"+ 2 2=—m(— CAP a.5r }: 200 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. où x, y, z sont les coordonnées rectangles du point attiré, r= Ve + y" +2" est la distance de ce point au centre du sphé- roïde, et m est la masse du sphéroïde= id ABC, A,B,C étantles demi-axes du sphéroïde. Si on dénote par T la densité du sphéroïde supposé homogène, il faudra multiplier cette expression de Z par T'; et si on suppose que le sphéroïde ait un autre sphéroïde pour noyau, dont la den- sité soit différente, il n’y aura qu’à y ajouter la valeur de Z rela- tive à ce nouveau sphéroïde, multipliée par la différence des densités. Ainsi en marquant par un trait les quantités relatives au sphé- roïde intérieur, et supposant que sa densité soit T'+-[”, on aura pour la valeur totale de Z, — _,tmæbrm Fm(e+i) + T'm'(e#4+i) Ê=— + + ee CE #7 Tme*-r’m'e* Tmi+r'meis , rs er n o — . 23. Supposons que le point attiré par le sphéroïde soit en même temps sollicité par trois forces représentées par fx, gy et Az diri- gées suivant les coordonnées x, y et z, et tendantes à les augmenter, on aura —fxdx", —gydy et — hzdz pour leurs momens, et il en résultera les termes — Es _— La — = à ajouter à la quantité Z pour avoir la valeur de I1, due à toutes les forces qui agissent sur le même poipt. Ainsi l'équation de l'équilibre sera x 2H hs >> —f Hate const. 24. Pour appliquer maïintenänt ces formules à la question dont il s’agit, on supposera que le sphéroïde extérieur est la mer, dont la densité est T, et que! le noyau intérieur est la terre, ayant la densité T + I”, et on placera le point attiré à la surface de la mer, en faisant coïncider les coordonnées x, y, z de ce point avec les coordonnées a, b, e de la surface du sphéroïde extérieur. On aura alors PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. 201 alors, pour que cette surface soit en équilibre, l'équation Tmæ+T'm Fm(e+i)+4T'n(e+i) : fr ST CR Dee Ma Tme + Te r'n'e* +E£ ( 7 2.58 +£)y : Fmé + rm ,lh + (GR +) + == à une constante. Cette équation, dans laquelle r = Vax*+y*+#2*, donne la figure de la surface; mais nous avons supposé dans les formules de l’ar- ticle 10 de la section V, que cette surface est représentée par l'équation a La 2 ste) en prenant ici x, y, z au lieu de a, 6, c; donc il faudra que ces deux équations coincident. Tirons de celle-ci la valeur de renyetz, et pour cela substi- tuons dans r* = 2 y + 2°, pour x* sa valeur .4° — Puee on aura, en mettant pour Z* et C* les valeurs Æ4°+e, 4° Hi (article cité), A 1274 = À + +: d’où l'on tire, en rejetant les puissances de e et £ supérieures à e* et #*, auxquelles nous n’avons point égard ici, _ _ ti pe r— 27 LA , 1 ee On substituera donc cette valeur de =) ainsi que celle de +*, dans la première équation, et rejetant toujours Ics termes qui contien- draient ef, if, e*, à, etc., on aura Méc. anal. Tome I. 26 202 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Fm+T'm Tm(e+i)+T/m(e4i) f4 ga. A 2.545 Tme’+T'm/e? g _$f# 47 nn) : a 5 (5 2.545 2 ab 2 4 ŸY Te + I'm hk _J# (Tm<+T'm)A , Pa hace sa) = «a une constante. Cette équation devant être identique, il faudra que les coefficiens des quantités variables y* et z* soient nuls, ce qui donnera les deux équations 3T'm'e”*, Crm+sr" m'}e* F g _ fA° AIDANT OCR [Ua ge 3 F'm’?* (eTm+-51/m°) # “ h :_ fA! 2 32.54 2.5 45 a 2€ 2 qui serviront à déterminer les deux excentricités e et : de la sur- face elliptique de la mer. 25. On sait que la force centrifuge est proportionnelle à sa distance de l'axe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation. Donc si on prend l'axe 2,4, qui est aussi l'axe des coordonnées x, pour l'axe de rotation, et que f soit la force centrifuge à la distance 4 £ : ‘ de l'axe, on aura 1 pour la force centrifuge d’un point quelconque du sphéroïde, en faisant 4 — Vy*<+ 2°; cette force étant dirigée suivant la ligne x et tendant à augmenter, donnera le moment ne £u° ë F(y°-E 2° À , dont l'intégrale — —, savoir — Ce) » devra être ue à la quantité Z, pour avoir égard à l'effet de la force cer: trifuge. Ainsi on aura les conditions de l'équilibre de la mer, en vertu de l'attraction réciproque de toutes les particules de la mer et de la terre, et de la force centrifuge due à la rotation de la terre, ss en faisant dans les deux équations précédentes fo, g== £, f h = =. PREMIÈRE PARTIE, SECTION VIL 205 Puisque les deux constantes g et 4 sont égales, on voit par ces équations que si les excentricités €’ et Z’ de la terre sont égales, on aura aussi les deux excentricités e et.z de la figure de la mer égales entre «elles ; de sorte que si la terre est un sphéroïde de révolution, la mer en sera un aussi. Mais si la terre n’est pas un sphéroïde de révolution, la mer nele sera pas non plus, et les deux équations dont il s’agit donneront les valeurs de ses deux excentricités e, à,. qui seront différentes des excentricités e’ et z’ de la terre. 26. Au reste, cette solution n’est exacte qu'aux quantités e*, 5°. ‘e*, i* près; et si on voulait avoir égard, dans les valeurs de Z et de r, aux termes qui contiendraient des puissances supérieures de ces quantités, il ne serait plus possible de vérifier en général l'équation Z — IQPEE == d une constante, 24 pour la surface d'équilibre; d’où il faudrait conclure que cette sur- face n’a point rigoureusement la figure d’un sphéroïde elliptique. Je dis en général, parce que dans le cas où le sphéroide est homogène et sans noyau intérieur d’une densité différente, on a trouvé que les attractions sur un point quelconque de la surface, suivant les trois ordonnées x, y, z, sont représentées exacte- ment par les formules ‘ mZx , my, mA, où Z, M, N sont des fonctions de 4, B, C données par des in- tégrales définies ; d’où l’on déduit pour 2 cette expression rigoureuse LA] 2 X (La + My + Ne). Ainsi l'équation de l'équilibre 2 — on) == const. étant de Ja même forme que l'équation du sphéroïde Ed + = = 1, On peut, à cause de la constante arbitraire, les rendre identiques par 204 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: ces deux conditions, mM—f A mN— fi A 7 mL TB? TmL TG? lesquelles donnent B—C, parce que les. quantités 77 et N sont des fonctions semblables de 2, C et de C, B; elles se réduisent ainsi à une seule qui sert à déterminer le rapport de 4 à B. Ce cas est jusqu’à présent le seul pour lequel on ait trouvé une solution rigoureuse qu’on doit à Maclaurin; de sorte que le problème de la figure de la terre, envisagé physiquement, n’est résolu exacte- ment qu’en supposant le sphéroïde fluide et homogène. Dans ce cas, les deux équations approchées, trouvées plus haut (art. 24), donnent, 2me 5.44 Si on compare Îa force centrifuge à la La prise pour l'unité, : _ £ . A en faisant T=1, 10, g—h —= jz°te=i, celle-ci: — fo. laquelle est, aux quantités « près, © ns > i n’y aura qu'à a ; d'où Fon tire 2/45 + — m° = 1, et l'on aura ns Eee 1 B se Or on a f=— -35; donc == = à très-peu près, comme on le sait depuis long-temps. $ III. De l'équilibre d’une masse fluide libre avec un solide qu’elle recouvre. 27. Les lois particulières de l'équilibre d’un fluide avec un solide qui y est plongé, ou dans lequel il est renfermé, lorsque tous les points du fluide et du solide sont sollicités par des forces quel- conques, dépendent des termes.de l'équation générale (art. 17) qui se rapportent aux limites, et qui ne contiennent que des intégrations doubles. ! Ces termes donnent cette équation aux limites , SX(dx"dydz + dy"dxde + dz'dxdy) SX (dx dydz + d'ydxds + dédxdy) = 0, PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. 205 laquelle doit se vérifier dans tous les points où le fluide est contigu au solide. 7 28. Considérons d’abord le cas d’une masse fluide dont la surface extérieure est libre, et qui environne un noyau solide fixe de figure quelconque. En prenant l’origine des coordonnées dans un point de l'intérieur du noyau, les quantités marquées d’un trait se rapporteront à la . surface du noyau, et les quantités marquées de deux traits se rap- porteront à la surface extérieure du fluide. Ainsi on aura d’abord, pour tous les points de cette surface, l'équation X°= 0, laquelle donne, comme on on la déjà vu plus haut (art. 19), ST (Xdx + Ydy + Zd)=K, pour la figure de cette surface. Il ne restera donc à vérifier que l'équation SX(dx'dÿdz + dy'dxdz + dr'dxdy) = 0, dont tous les termes se rapportent à la surface du noyau. 29. Comme Fintégration de ces termes est relative aux coordon- nées dont les différentielles entrent dans l'expression des élémens superficiels dxdy , dxdz, dydz, il faut commencer par réduire ces élémens à une même forme; ce qu’on peut obtenir en les rappor- tant à l'élément de la surface auquel ils répondent. Désignons par ds’ l'élément de la surface qui répond à l'élément dxdy du plan des x, y; et nommons y’ l'angle que le plan tangent fait avec le même plan des x, y; op aura, par la propriété conntie des plans, dxdy = ds cosy, et l'intégrale Sa'dz'dxdy deviendra SA’ cos y'd'zds*, laquelle devra s'étendre à tous les points de la sur- face du fluide. De même si do* est l'élément de la surface qui répond à l'élément dxdz du plan des x, z, et qu’on’nomme £ l'angle que le plan tangent fait avec ce même-plan dos x, #, on aura dxdz==de" cos £’, et l'inté- 206 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. grale S\'dy'dxdz deviendra SA’ cos 8'dy'ds*, laquelle devra s’étendre également par toute la surface du fluide. 30. Je remarque maintenant que quoique les deux élémens ds* et do* de la surface puissent n'être pas égaux entre eux , néanmoins comme les deux intégrales qui renferment ces élémens se rapportent à la même surface, rien n’empêche d'employer le même élément dans ces deux intégrales, puisque, par la nature du calcul différentiel, la valeur absolue des élémens est arbitraire et n’influe point sur celle de l'intégrale. Ainsi on pourra sr l'intégrale SK’ cos 8'dy‘do* en SN cos B'dy'ds*. * Par le même raisonnement, l'intégrale S\'dx’dydz pourra se mettre sous la forme SA’ cosæ'dx'ds*, en nommant «’ l'angle que le plan tangent fait avec le plan des x, y. D'ailleurs il est évident qu’on peut toujours prendre les élémens dx, dy, dz tels qu'ils satisfassent aux conditions dxdy =cosy'ds, dxdz=cosfds, dydz:= cos ads’, lesquelles donnent cosË/cosy\ UE coSæ' cosy MES cosæ 2e) dre ds \/ (ET ), dd (T2 > dd (LE ne ) Par ces transformations, l'équation aux limites deviendra enfin SX (cos &'d'x’ + cos B'dy’ + cosy’dz’)ds® = 0, l'intégration devant s'étendre sur toute la surface du fluide contigu au noyau. 31. Supposons que la figure de cette surface soit représentée par Féquation différentielle Adx + Bdy + Cdi = 0. En nommant «', &’, y les angles que de plan tangent fait avec PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. 207 les plans des x, y, des x, z et des y, z, on a par la théorie des surfaces, A VC+E TC) PRES eue VC++ 0)? ee V (Æ+B7+ 0C) Donc l'équation de l’article précédent, relative à la surface, deviendra s Œ AS! + Bdy + Cèz! #) es VCæ+r+0) Comme cette surface est donnée de figure et de position, les va- riations dx’, dy’, dz’ des coordonnées des particules qui y sont con- tiguëés doivent avoir entre elles une relation dépendante de l'équation de la même surface; ainsi ayant supposé cette équation 4dx'+Bdy. + Cdz'—0, on aura aussi nécessairement 4d'x+284dy + CdS' 0} ce qui satisfait à l'équation aux limites de l’article précédent, sans qu'il en résulte aucune nouvelle équation. cos a’ == e €os £ = cos y == 32. Soit p’ une ligne perpendiculaire à la surface dans le point auquel répondent les variations dx’, dy’, dz’, et terminée à un point fixe. Puisque «’ est l'angle que le plan tangent fait avec le plan des 2, ce sera aussi l'angle que la perpendiculaire p° à ce plan fait avec l'axe des x, qui est perpendiculaire au même plan des y, z De même £’ sera l'angle de cette perpendiculaire avec l'axe des y; et y’ sera l'angle de la même perpendiculaire avec laxe des z. Donc quelles que soient les variations dx, dy, d'z’, on aura en général par l’article 7 de la seconde section, en changeant d en d', dp'= cosa'dx + cos B'dy/ + cos y'd7'; et l'équation de l’article 30, relative à la ne du fluide, pourra se mettre sous la forme SX d'p'ds* es Oo, 208 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. où lon voit que chaque élément ’ds*d'p’ de cette intégrale représente 4 le moment d’une force \'ds* appliquée à l'élément ds* de la sur- face, et dirigée suivant la perpendiculaire p’ à cette surface. De sorte que l'intégrale S\'d\p'ds* représentera la somme des momens de toutes les forces X’ appliquées à chaque point de la surface et agissant per- pendiculairement à cette surface. Cette force égale à À’ est évidemment la pression exercée par le fluide sur la surface du noyau, et qui est détruite par la résistance" du noyau. Mais on peut en général réduire à la forme SAdpds* tous les termes de l'équation aux limites qui se rapportent. à la surface du fluide, soit que cette surface soit libre ou non; ct il est évident que la pression À doit être nulle dans tous les points où la surface est libre ; ce que nous avons déjà trouvé d’une autre manière (art, 18). 33. Si lenoyau recouvert parle fluide était mobile, alors il faudrait augmenter les variations dx, dy, dx des variations dépendantes du changement de position du noyau. Pour distinguer ces différentes variations, nous désigperons par d'x, d'y, d'z les variations dues simplement au déplacement des par- ticules du fluide, relativement au noyau regardé comme fixe, et nous dénoterons par d£, du, dY les variations qui dépendent du déplacement du noyau. Celles-ci sont exprimées par les formules suivantes, que nous avons trouvées dans l’article Go de la section V, dE = NM '+ 2 M — ON, din = dm 2dL + adN, NM = fn + YdL — xd M, Ainsi dans l'équation générale de l'article 17, il faudra mettre JxHJE, dytdn, did à la place de dr, dy, dr; et ensuite égaler à zéro les jermes affectés des variations dx, J'y, d\z, ainsi que ceux qui se trouveront affectés des nouvelles variations dl, dm, d'in, d'L, d'M, d'N, après les avoir fait sortir hors des signes S, puisque ces variations sont les mêmes pour toutes les particules du fluide, On PREMIÈRE PARTIE, SECTION VIL 209 On voit d’abord que l'introduction des variations d'£, d'n, dé n'apporte aucun changement aux équations qui doivent avoir lieu pour tous les points du fluide, et qui résultent des termes affectés d’une triple intégration, parce qu’en égalant à zéro les coefficiens de dx, d\y, d'z, dans ces termes, les variations J'£, d'n, dé dis- paraissent en même temps. D'où il suit que les lois générales de l'équilibre contenues dans les formules de l’article 19, sont indépen- dantes de l'état comme de la figure du noyau. 34. 11 n’y a donc à considérer que léquation aux limites que nous avons réduite, dans l'article 30, à la forme SX (cos ad'x’ + cos Bd\y” + cosyd'z") ds* == 0. En y substituant pour dx’, d'y’, d'z les valeurs d'x'+J£", dy +dw, DZ + JÉ' marquées d’un trait, pour les rapporter à la surface du fluide contiguë au noyau, elle devient SX(cos ad\x’ + cos Bd\y’ + cosy d\7')ds* - SA (cosad'£" + cos Bd'n + cos ydE")ds* = 0. La partie qui contient les. variations d\x’, d'y’, d'z’ est nulle d’elle- même, comme nous l'avons démontré dans l'article 31. L'autre partie du premier membre de l'équation devra donc aussi être nulle. On y substituera les valeurs de JE”, dx, dé’, et on égalera ensuite séparément à zéro les quantités multipliées par Ji, 'Îm, dh, ÊL, JM, JAN; on aura ces six équations, S\'cosads = 0, SA'cosBds —=0, SN'cosyds = 0, SX(y'cosy — z'cos Bds" = 0, SX z'eosaæ — x COS yjds" = SN x'cos B — y'cosa)ds* = 0, qui seront nécessaires pour équilibre complet du fluide et du solide. " Ces équations"répondent à celles de l'article 62 de la section Y, Méc. anal. Tome I. 37 210 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. en substituant ds* pour dm, et A’cosz, X'cos B, X'cosy pour X, F, Z. Ën effet, À’ étant la force de pression qui agit perpen- diculairement sur la surface du noyau solide, A'cosa, A'cosB, X'cosy seront les forces qui en résultent, suivant les directions des coordonnées x, y, z, et il faudra que le solide soit en équi- libre, chacun des points de sa surface étant sollicité par ces mêmes forces. 35. Mais lorsqu'un fluide est supporté par un solide de figure donnée, et que l’un et l’autre sont sollicités par des forces quel- conques , il est plus simple de tirer directement la solution du pro- blème de l'équation fondamentale de Particle 16, en y substituant immédiatement pour dx, dy, dz,leurs valeurs complètes dx+d£, dy+dn, rt dé (art. 53). Les variations dx, d'y, dz étant indépendantes des autres va- riations d'7, dm, etc., donneront une équation semblable à celle de Particle 17, et fourniront lés mêmes résultats pour l'équilibre du fluide, que dans le cas où le solide est supposé fixe. À l'égard des autres variations d'£, dn, dé, il est d’abord aisé de voir qu’elles ne donnent rien dans les valeurs des’ différences dêx dèy d'z dx”? à 7 di d'M, d'N sont censées indépendantes de +, y, z Ainsi il suffira de substituer d'£, d'n, dé à la place de dx, dy, Jz dans la formule S(Xdx + Fdy +Z d'z) Du , partielles , puisque les variations 97, J'm, fn, JL, et d'égaler séparément à zéro les quantités multipliées par cha- cune des six variations! 47, dm, dn, d'L, dM, ÂN, aprés les avoir fait sortir hors du signe S. Il est visible qu’on aura de cette manière les mêmes équations qu’on a trouvées dans la sec- tion cinquième (chap. IV), pour Péquilibre d’un corps solide dont PREMIÈRE PARTIE, SECTION VII. ait chaque particule dm, qui est ici T'éxdydz est animée par des forces quelconques X, Y, Z; de sorte que l’on a pour léquilibre d’un fluide sur un noyau mobile, les mêmes équations que si le fluide devenait solide, 36. Il résulte de ces deux manières d'envisager les variations , que la pression du fluide sur la ‘surface du noyau équivaut à l’action de toutes les forces qui sollicitent chaque particule du fluide, en supposant que le fluide soit considéré comme solide, et que le noyau sôit augmenté de toute la masse du fluide devenu solide. . Comme ce théorème. de’ Statique est important, nous croyons devoir montrer d’une manière plus directe comment il se déduit de nos formules, Tout se réduit à démontrer que l'équation S(XSE + dut Zdé)Tdxdyd = 0, donne les mêmes résultats que l’équation aux limites SX(SE'dydz + d'Wdxdz + dE dxdy) = 0. Par les conditions de l'équilibre du fluide on a (art, 19), _ da Re. __ da TX=T ) FEES | IZ= Et comme les valeurs de dE, du, d£ (art. 33) sont respective- ment indépendantes de x, y,7, On aura aussi DRE RUE, TMS, TZR, ainsi la première équation deviendfa LS SE + É Le + —) dxdy de = 0. Le premier terme sous le signe est intégrable par rapport à x, le second par rapport à y, le troisième par rapport à z; donc sion. 212 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: exécute ces intégrations partielles , comme on l’a fait dans l’article 17; il en résulte l'équation aux limites SN(S'E"dydz + d'i'dxdz + dE"dxdy) — SN (JE dy dz ++ d'n'dxdz + d'l'dxdy) = 0. . Mais on a À’=0o (art. 23) à cause que la surface extérieure du fluide est supposée libre; done il ne restcra que l'équation SN(LE' dydz + d'idxdz + d'dxdy) = 0. Ainsi les deux équations reviennent exactement au même. 37. Puisque, relativément aux variations dépendantes du déplas cement du noyau, on peut regarder Je fluide qui le recouvre, comme s'il ne faisait qu'une masse solide avec lui; lorsque tous les points du noyau seront aussi sollicités par des forces quelconques, il n’y aura qu'à tenir compte de ces forces, comme de celles qui solli- citent les particules du fluide, et appliquer à l'équilibre de la masse composée du fluide et du solide, comme si elle ne formait qu'un solide continu, les solutions données dans le chapitre IV de la cinquième section. $ I V. ‘De l'équilibre des fluides incompressibles contenus dans des vases. 38. L’équation générale aux limites de Particle 27 doit se vérifier pour tous les points des parois du vase dans lequel le fluide est renfermé. Mettons cette équation sous Id forme Sd" — NS x )dyde + S'y" — N'y )dxdz + SAS" — Nr )dxdy = 0, et considérons d’abord les termes S(A'd'z" = \'d\z )dxdy, dans les- PREMIÈRE PARTIE SECTION VII. 213 quels dz" et {z’ sont les variations de l’ordonnée z, én tant qu’elle se rapporté aux deux points de Ja surface du fluide qui répondent aux mêmes coordonnées x et y. _ : Il est évident que les variations Az” tendent à faire sortir les particules de la surface hors de la masse fluide, et que les varia- tions d\£’, en les supposant toutes deux positives, tendent à: faire rentrer dans cetté miasse: les; particules de la ‘surface opposée; de sorte qu’en donnant à celle-ci le signe négatif, les variations .d'z! et —d'z’ tendront également à faire sortir hors de la masse fluide les particules de la surface; ‘et la double intégrale AXE NX IE Jady représentera la somme de toutes''les quantités Adz:drdy qui ré: pondent à tous Jes points de la surface du fluide, et dans lesquelles les variations d'z seront censées avoir la même tendance du dedans de la masse fluide au dehors; ainsi, avec cette condition nous pou- vons donner à cette intégra!e cette forme plus simple SAdzdxdy. De la même manière et avec les mêmes conditions, on pourra ramener les deux autres intégrales doubles S(x'"d\y"—1'd\y")dxdz et SX I x" — N'd\x)dydz, à la forme SAd\ydxdz, SAd\'xdy dz. Ainsi Féquation aux limites dont il s’agit pourra se mettre sous cette forme SAd'zdxdy + SAd\'ydxdz + Sid'edyde, qu'on peut encore réduire , par analyse de l’article 35, à celle-ci : SA(cosad'x + cos Bly + cosyd'z)ds® = 0, dans laquelle &«, 8, + sont les angfes que le plan tangent à la sur- face, dans le point qui répond aux coordonnées x, y, z, fait avec les trois plans des y, z, des x, z et des x, y. L'intégration de cette équation devra s'étendre à toute la surface du fluide; et les variations dx, dy, dz serant censées toutes dirigées du dedans de Ja masse fluidé au dehors. 814 MÉCANIQUÉ ANALYTIQUE. - 39. Dans les points où la surface est libre, les variations dx; d'yj'dz ,demeurant'indéterminées, on ne peut satisfaire à l'équation qu'en faisant A—0,ce qui donnera la figure de cette surface, comme nous l'avons vu dans l'article 18. - Pour tous Jes autres points de la surface où le fluide est contigu aux parois du vase, si on marque d’un trait les quéntités qui s’y rapportent, 'on aura, felativément à ces parois, la même équation qu'on a trouvée par rapport à la surface du noyau recouvert-d'un fluide (art. 30). Ainsi toutes les conclusions qu’on a tirées de vité, et qui tendent à imprimer à chaque instant une vitessé infi- niment petite et égale à toutes les particules de matière. Quand ces forces agissent librement et uniformément, elles pro+ duisent nécessairement des vitesses quiaugmentent comme les temps; et on peut regarder les vitesses ainsi engendrées dans un temps donné, comme les effets les plus simples de ces sortes de forces, et par conséquent comme les plus propres à leur servir de mesure. Il faut, dans la Mécanique, prendre les effëts simples des forces pour connus; et l'art de cette science consiste uniquement à en déduire les effets composés qui doivent résulter de l'action combinée et mo- difiée des mêmes forces. | 2. Nous supposerons donc que l’on connaisse pour chaque force accélératrice la vifesse qu’elle est capable d'imprimer à un mobile, 248 _ MÉCANIQUE ANALYTIQUE: en agissant toujours de la même manière, pendant un certain temps que nous prendrons pour l'unité des temps, et nous mesurerons la force accélératrice par cette même vitesse qui doit s’estimer par l'espace que le mobile parcourrait dans le même temps, si elle était continuée uniformément ; or on sait par les théorèmes de Galilée, que cet espace est toujours double de celui que le corps a parcouru réellement par l’action constante de la force accélératrice. On peut d'ailleurs prendre une force accélératrice connue pour l'unité, et y rapporter toutes les autres. Alors il faudra prendre pour unité des espaces, le double de l’espace que la même force continuée également ferait parcourir dans le temps qu’on veut prendre pour l'unité des tempo, et la vitesse acquise dans ce temps par l’action continue de la même forcé, sera P unité des vitesses. De cette ma- nière les forces , les espaces, les temps et les vitesses ne seront que des simples rapports , des quantités mathématiques ordinaires. Par exemple, si on prend la gravité sous Ja latitude de Paris pour l'unité des forces accélératrices, et qu'on compte le temps par se- condes, on devra prendre alors 30,196 pieds de Paris pour l'unité des espaces parcourus, parce que 15,098 pieds est la hauteur d’où un côrps abandonné à lui-même tombe, dans une seconde , sous cette latitude; et l’unité des vitesses sera celle qu'un a COrps pesant de ur en tombant de cette hauteur. ‘8. Ces notions préliminaires supposées, considérons un système de corps disposés les uns par rapport aux autres, comme on vou- dra, et animés par des forces aocélératrices quelconques. } Soit m la masse de l’un quélcenque de ces corps, regardé comme un point; rapportons, pour la plus grande simplicité, à trois* coor- données rectangles x, y, la position absolue du même corps au bout d’un temps quelconque £. Ces coordonnées sont supposées tou- jours parallèles à trois axes fixes dans Jespace, et qui se coupent perpendiculairement dans un point nommé origine des coordonnées ; elles SECONDE PARTIE, SECTION IL. 249 elles expriment par conséquent les distances rectilignes du corps, à trois plans passant par les mêmes axes. Ainsi, à cause de la perpendicularité de ces plans, les coordonnées x, y, z représentent les espaces par lesquels le corps en mouvement , . A » dx d dz , s'éloigne des mêmes plans; par conséquent 2, D x représen- teront les vitesses que ce corps a dans un, instant quelconque pour s’éloigner de chacun de ces plans là, et se mouvoir suivant le pro- longement des coordonnées x, y, z; et ces vitesses, si le corps ‘était ensuite abandonné à lui-même, demeureraient constantes dans les instans suivans, par les principes PRCEMERNE de la théorie du mouvement. Mais par la liaison des corps et par l’action des forces accélé- ratrices qui les nn ces . prennent, pendant l'instant d£, les accroissemens d.% T ; a+ , 4e, qu'il s’agit de déterminer. On peut regarder ces accroissemens comme de nouvelles vitesses im- primées à chaque carps, et en les divisant par dé, on aura la mesure des forces accélératrices employées immédiatement à les produire; car quelque variable que puisse être l’action d’une force, on peut tou- jours, par lanature du calcul différentiel, la regarder comme constante pendant un temps infiniment petit, et la vitésse engendrée par cette force est alors proportionnelle à la force multipliée par le temps; par conséquent la force elle-même sera exprimée par la vitesse di- visée par le temps. En prenant l’élément dé du temps pour constant, les forces ac- dx dy dz célératrices dont il s’agit seront Fo PAT ro gr gro t en multipliant ces forces par la moe m du corps sur lequel elles dx d'y agissent, on aura M, M5, m = Te pour les forces employées immédiatement à mouvoir le corps m pendant le temps df, parallè- lement aux axes des coordonnées x, y, z. On regardera donc chaque” corps m du système comme poussé par de pareilles forces; par déc. anal. Tome I. 32 250 MÉCANIQUE ANALYTIQUE, conséquent toutes ces forces devront être équivalentes à celles dont on suppose que le système est sollicité, et dont l’action est modifiée par la nature même du système; et il faudra que la somme de leurs momens Soit toujours égale à la somme des momens de celles-ci, par le théorème donné dans l’article 15 de la seconde section de la pre- mière Partie. 4 Nous emploirons dans la suite la caractéristique ordinaire d pour représenter les différentielles relatives au temps, et nous dé-, noterons les variations qui expriment les vitesses virtuelles par la caractéristique d, comme nous l'avons déjà fait dans quelques pro- -blèmes de Ia première Partie. 15 dx d'y d'z Ainsi on aura ma dx, mi dy,m- dz pour les momens des dx d' d'z n . . forces m TE mr, m7; qui agissent suivant les coordonnées x,.7, z, et tendent à les augmenter; la somme de leurs momens pourra donc être représentée par la formule dx d'y d'z | SC dx + dy + Tdz)m, en supposant que le signe d'intégration 8 s’étende à tous les corps du système. 5. Soient maintenant P, Q, R, etc. les forces accélératrices données, qui sollicitent chaque corps m du système, vers les centres auxquels ces forces sont supposées tendre; et soient p, q, r, etc. les distances rectilignes de chacun de ces corps aux mêmes centres. ‘Les diffé- rentielles Âp, dg, d'r, etc. repré$enteront les variations des lignes P, gr, etc. provenantes des variations dx, d'y, d'z des coordon- nées x,.7, z du Corps m; maïs comme les forces P,Q, R, etc. sont censées tendre à diminuer ces lignes, leurs vitesses virtuelles doivent être représentées par —d'p, —dq, — dir, etc. (art. 3, sect. II, part. 1); donc les momens des forces mP, mQ, mR, etc. serent exprimés par SECONDE PARTIE, SECTION II. 251 me MPdp, —mQdy, —mAdr, etc., ét la somme des momens de toutes ces forces sera représentée par — S(Pdp + Qd'g “+ Rd'r + etc.)m. Égalant donc cette somme à celle de l’article précédent, on aura e Fe +7 dy + dr m = S + Qdg L Rdr + etc.) m, et transposant le second membre, a F de d +5 de a de is + . + Qd'g + Rdrb+ etc.)m= 0. Cest la formule générale de la Dynamique pour-le mouvement d'un système quelconque de corps. 6. 11 est vivible que cetto formule nc diffère de la formule géné- rale de la Statique, donnée dans la seconde section de la première Partie, que par les termes dus aux forces CR ne : ee > qui produisent l'accélération du corps m suivant les prolongemens des trois coordonnées x, y, z. En effet, nous avons vu dans la section précédente (art. 11), que ces forces étant prises en sens contraire, c’est-à-dire, étant regardées comme tendantes à diminuer les lignes *,Y z, doivent faire équilibre aux forces actuelles P, Q, R, etc., qui sont supposées agir pour diminuer les lignes p, g, r, etc.; de sorte qu'il n’y a qu’à ajouter aux momens de ces dernicres forces, ceux des forces me ; moX ; mot passer tout d’un coup, des conditions de l'équilibre aux propriétés du mouvement (art. 4, sect. Il, part. I). pour chacun des corps m, pour 7. Les mêmes règles que nous avons données dans la seconde 252 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: section de la première Partie, pour le développement de la formule générale de la Statique, s’appliqueront donc aussi à la formule gé- nérale de la Dynamique. __ 1 faudra seulement observer ; 1°. que les différences que nous avions marquées par la caractéristique ordinaire d, pour représen- ter les variations, seront toujours marquées dorénavant par la ca- ractéristique A 2°. Que la caractéristique d sera. toujours relative au temps #, ainsi que la caractéristique correspondante / pour les intégrations, excepté dans les différences partielles, où il est indifférent quelle ca- ractéristique on y emploie. 3°. Que pour représenter les élémens d’une courbe ou d’une sur- face, ou en général d’un système composé d’une infinité de particules, on emploira la caractéristique D, qui répond à la caractéristique intégrale S. Ainsi lorsqu'on voudra étendre au mouvement les for- mules que nous avons données pour l'équilibre, dans les chapitres TL et IV de la cinquième section de la premitre Partie, il faudra changer partout la caractéristique 4 en 2, pour avoir l’expression de la somme des momens de toutes les forces. 8. Lorsque le mouvement se fait dans un milieu résistant, on peut regarder la résistance du milieu comme une force qui agit en sens contraire de la direction du corps, et qui peut par conséquent être supposée tendante à un: point de la tangente. Supposons que la résistance soit À; pour avoir son momeït —Rdr, il n’y a qu’à considérer qu'on a en général 7 VE EG=n FE l, m, n étant les coordonnées du centre de la force R; donc l dr = ET Se HIT dy + I de. Prenons le centre de la force À dans la tangente de la courbe décrite par le corps et très-près de lui; on fera pour cela a—Z=ux, | SECONDE PARTIE, SECTION IL: 25 ÿ—m=dy, 2—n—dz, ce qui donnera, en prenant ds pour “. = dx dem dy z—n __dz lPélément de la courbe, Ro re go etpar conséquent dr = D x + D dy + d'z. Sile milieu résistant était en mouvement, il faudrait composer ce mouvement avec celui du corps, pour avoir la direction de la force. de résistance. Nommons de, dB, dy les petits espaces que le milieu parcourt parallèlement aux axes des coordonnées x,y, 7; pendant que le corps décrit l'espace ds, il n’y aura qu’à retrancher ces quantités de dx, dy, dz pour avoir les mouvemens relatifs; et comme ds = V{(dx+-dy"- dz°), si on fait 6 = Va de) + — dj +), on aura dans ce cas, re ps dx ES pre, 7 Er dz. A l'égard de la résistance R, elle est ordinairement une fonc- . d. : % at tion de la vitesse T5 mais dans le cas où le milieu est en mou- vement, elle sera fonction de la vitesse relative Ÿ. De cette manière, on pourra appliquer nos formules générales aux mouvemens qui se font dans des milieux résistans, sans avoir besoin d'aucune considération particulière à ces sortes de mou- vemens. 9. Il est important de remarquer que l'expression d'xdx-+-dydy + d'zdz, par laquelle la formule gthérale de la Dynamique diffère de celle de la Statique (art. 5), est indépendante de la position des axes des coordonnées x, Vo 2 Car supposons qu'à la place de ces coordonnées, on substitue d’autres coordonnées rectangles x, ÿ', z’ qui aient la même origine, mais qui serapporient à d’autres axes. Par les formules de la transfor- 254 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. mation des coordonnées, données dans l’article 10 de la section IIE de la première Partie, on a x = ax + By +77, J — ax EE By + ea Ÿ%s Zz = ax" + B'y s +97, Différentions ces expressions de x, y, z, en y regardant tous les coefficiens &, B, y, «’, etc. comme constans , et les nouvelles coor- données x, y’, z comme seules variables, on aura dx = adx + PEy + yd'z!, dy = «dx + Rdy + y'dr, dr = "Ex + L'dy + y'dz!. On aura de même, dx = ax + Bdy + yd'r!, dy = œ'dx + BIS + yz, dz = «dx + L'Iy + y'dz’. Substituant ces valeurs et ayant égard aux équations de condition données dans l'article cité, entre les coefficiens &,:8B, y, æ’, etc., on aura Pxdx + dydy + drdz == d'xd'x + d'YIVY + did'r. Si on fait les mêmes substitutions dans l'expression des distances rectilignes entre les différens corps du système, représentées par P, q, etc., il est facile de voir que les quantités æ, B, >, «’, etc. disparaîtront également, et que les transformées conserveront la même forme. En effet on a ‘‘ p= Vs) + C5) + G—1), *,.Y, z étant les coordonnées d’un corps m, et x, y, Z celles d’un autre corps m rapportées aux mêmes axes. Par le change- ment des axes, les premières deviennent x’, y’, z!, et si on désigne SECONDE PARTIE, SECTION II. 255 par x’, y, z’ ce que les dernières deviennent, on aura aussi x= ax + 8j + 77, y= ex + BY + 7, z = ax’ + B's + V'Z. Substituant et ayant égard aux mêmes équations de condition, on aura p= V(x—x} + (y y} + (2), et ainsi des quantités analogues q, r, etc. 10. Il s'ensuit de là que si le système n’est animé que par des forces intérieures P, Q, etc., proportionnelles à des fonctions quel- conques des distances p, q, etc. entre les corps, ef que les con- ditions du système ne dépendent que de la disposition mutuelle des corps, de manière que les équations de condition ne soient qu'entre les différentes lignes p,q, etc., la formule générale de la Dyna- mique (art. 5), sera Ja mème pou les coordonnées transformées x’, #', z, que pour les coordonnées primitives x, y, z. Donc après avoir trouvé, par l'intégration des différentes équations, déduites de cette formule , les valeurs des coordonnées x, y, z de chaque corps m, exprimées en temps, si on prend ces valeurs pour x, y, z, on aura pour les coordonnées x, y, z, ces valeurs plus générales, x= ax + By +yr, = dit By + VE z= dx + EY + YVES dans lesquelles les neuf coefficiens*#, B, y, etc. renferment trois quantités indéterminées, puisqu'il n’y a entre elles que six équa- tions de condition. Si les valeurs de x’, y’, #’ renferment toutes [es constantes ar- bitraires nécessaires pour compléter les différentes intégrales, les trois indéterminées dont il s’agit se fondront dans ces mêmes 256 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. constantes arbitraires; mais elles pourront suppléer celles qui man: queraient, et dont le défaut rendrait la solution incomplète. Ainsi au moyen de ces trois nouvelles arbitraires qu’on peut introduire à la fin du calcul, on sera libre de supposer nulles ou égales à des quantités déterminées, autant d’autres constantes arbitraires, ce qui servira souvent à faciliter et simplifier le calcul. 11. Quoiqu’on puisse toujours calculer les effets de l'impulsion et de la percussion comme ceux des forces accélératrices, cepen- dant, lorsqu'on ne demande que la vitesse totale imprimée, on peut se dispenser de considérer ses accroissemens successifs ; et on peut tout de suite regarder les forces d’impulsion comme équivalentes aux mouvemens imprimés. | Soient donc P, Q, R, etc. les forces d’impulsion appliquées à un corps quelconque m du système, suivant les lignes p, g, r, etc.; supposons que la vitesse imprimée à ce corps soit décomposée en trois vitesses représentées par +, y, z, suivantles directions des axes des coordonnées x, y, z, on aura comme dans lartiolc 5, en Chan- geant les forces accélératrices Ée, ce. ) e dans les vitesses x,y, z, l'équation générale S(cdx + yd'y + zdr) m +S(Pdp + Qdg + Rdr + etc.) = 0. Cette équation donnera autant d'équations particuliéres qu'il y res- tera de variations indépendantes après avoir réduit toutes les va- riations marquées par d'au plus petit nombre possible, d’après les conditions du système. TROISIÈME SECONDE PARTIE, SECTION IL. 257 PE TROISIÈME SECTION. Propriétés générales du mouvement, déduites de la formule précédente. 1. Coxsméroxs un système de corps disposés les uns par rapport aux autres et liés ensemble, comme l’on voudra, mais sans qu'il y ait aucun point ou obstacle fixe qui gêne leur mouvement; il est évident que dans ce cas les conditions du système ne peuvent dé- pendre que de la position respective des corps entre eux; par con- séquent les équations de condition ne pourront contenir d’autres fonctions des coordonnées que les expressions des distances mu- tuelles des corps. Cette considération fournit pour le mouvement d’un système des équations générales indépendantes de la nature du système et analogues à celles que nous avons trouvées pour l'équilibre, dans le $ I de la section troisième de la première Partie, $ L Propriétés relatives au centre de gravité: 2. Soient x’, y’, z les coordonnées d’un corps quelconque dé- terminé du système, tandis que #, y, z représentent en général les coordonnées d’un autre corps quelconque. Faisons, ce qui est toujours permis , | xx HE, y=y +n, 2=2+Èê); il est visible que les quantités x, y’, z' n'entreront point dans les Méc. anal, Tome I, 33 258 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. expressions des distances mutuelles des corps, mais que ces disz tances ne dépendront que des différentes quantités £, #, €, qui expriment proprement les coordonnées des différens corps, rappor- tés à celui qui répond à x’, y, z'; par conséquent les équations de condition du système seront entre les seules variables £, n, 6, et ne renfermeront point x’, y’, z’. Donc si dans la formule générale de la Dynamique (art. 5, sec- tion précéd.) on réduit toutes les variations à dx, dy, dz, et qu'on substitue pour dx, dy, dz leurs valeurs dx'+d£, dy + du, du + dt les variations d'x', dy’, d'z’ seront indépendantes de toutes les autres, et arbitraires en elles-mêmes ; ainsi il faudra égaler sé- parément à zéro la totalité des termes affectés de chacune de ces varialions; ce qui donnera trois équations générales et indépen- dantes de la constitution particulière du système. Les forces intérieures par lesquelles les corps pourraient agir les uns sur les autres, et que nous dénotons par P, Q, etc., comme dans Part. 2 de la section TIT de la première Partie, n’entreront point dans ces équations, parce que les distances mutuelles p, g, etc. étant indépendantes de x, y’, z’, les variations dp, d'g, etc., re- latives à ces variations, seront nulles. À l'égard des forces extérieures P, Q, R, etc., si on les réduit aux trois forces X, F,Z, dirigées, suivant les coordonnées x, y, z, et tendantes à les diminuer, d’après les formules données dans le Chapitre I de la section V de la première Partie, on a Pdp + Qdg RS et la formule générale devient ee EX) md +s(% JT 7 )may+8(à PE Z) mdr, laquelle, en n’ayant égard qu'aux variations dx, dy’, d'z', qui sont indépendantes de toutes les autres, donnera (TE + X)m + dyS($ + 0 +6 (DE+Z)me=o, d’où lon tire sur-le-champ ces trois équations , € e SECONDE PARTIE, SECTION 1. 259 SE + X) m = 0, s( +Y)m s(F +Z)m lesquelles auront toujours lieu dans le mouvement d’un système quelconque de corps, lorsque le système est entièrement libre. >; I (eZ 3. Supposons maintenant que le corps auquel répondent les coor- données x’, y, z’ soit placé dans le centre de gravité de tout les système. On aura, par les propriétés connues de ce centre ( Part.I, sect. IIX, $ IV), les équations Sém = 0, Snm = 0, Sim = 0, lesquelles, en différentiant par rapport à #, donneront celles-ci : ‘ | ARE dr E.. — dx . x’ _— d'x , . Donc on aura S-m—S-m——Sm, parce que x’ayant la même valeur pour pis les Fo est a eu au signe S; on aura pareillement 55 DA m= + Le Ÿ sm, et s de im= . ŸE 5m. Ainsi les trois équations de Particle précédent prendront cette forme plus simple, dx ra dy . a Sn + SYm=o, d’z! Te Sm + SZm = 0. Sm - SXm eo, Ces équations serviront à déterminer le mouvement du centre de gravité de tous les corps, idépendamment du mouvement par- ticulier de chacuñ d’euxy et comme les valeurs de SXm, SYm, 260 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. SZm ne renferment point les forces intérieures du, système, le mouvement de ce centre ne dépendra point de l'action mutuelle que les corps peuvent exercer les uns sur les autres, mais seule- lement des forces accélératrices qui sollicitent chaque corps. C’est en quoi consiste le principe général de la Conservation du mouve- ment du centre. de gravité. Ce principe subsiste aussi dans le cas où les corps, dans leurs mouvemens, viendraient à se choquer; car de quelque nature que soient les corps, on peut toujours imaginer que leur action dans le ehoc se fasse par le moyen d’un ressort interposé entre les corps, et qui, après la compression, tende à se rétablir, ou non, suivant que les corps seront élastiques ou non. De cette manière, leffet du choc sera le produit de forces de la nature de celles que nous avons désignées par P, Q, etc., et qui disparaissent dans la for- mule générale (art. 2). 4. On voit au reste que les équatians dn manvement du centre de gravité sont les mêmes que celles du mouvement d’un seul corps qui serait animé à-la-fois par toutes les forces accélératrices qui agissent sur Îles différens corps du système. En effet, si on conçoit que tous ces corps soient réunis en un point qui réponde aux coordonnées x, y’, z'; on a alors dans la formule générale x= x, Y=J,1=7, et égalant à zéro la totalité des termes affectés de chacune des trois variations dx’, dy’, d'z’, on aura les mêmes équa- tions que ci-dessus. De là résulte ce théorème général, que Ze mouvement du centre de gravité d'un système libre de corps disposés les uns par rap- port aux autres, comme l’on voudra , est toujours le même que si les corps étaient tous réunis dans un seul point, et qu'en méme temps chacun d'eux füt animé des mêmes forces accélératrices que . dans leur état naturel. B. Ce théorème a encore lieu lorsque Les corps qui composent SECONDE PARTIE, SECTION II: 261 un système libre ne reçoivent que des impulsions quelconques. Car en substituant dans l'équation de Particle 11 de la section pré- cédente, dx’ + dE, dy + du, di + Y à la place de dx, dy, dr, et réduisant les forces P, Q, ZÀ, etc. aux forces X, Y, Z, on prouvera, comme dans l'article 2, que les variations dx’, dy/, dx’ doivent demeurer arbitraires, ce qui donnera les trois équations Smx+ X)—0, Smy+Y)=o, Sm+Z)=0o. Or si on rapporte les coordonnées x, y’, z’ au centre de gravité du système, on a, par les propriétés de ce centre, x'Sm=—$Sxm, ySm= Sym, z'Sm=— Szm. | Donc aussi, en difiérentiant relativement à #, et faisant dx xd, dy =ydt, di=zdt, di =xdt, dy =ydt, d'=71dt, xSm= Sxm, ySm=Sym, zSm=— S:m, el pur coneéquont x'Sm+ SX—0, ySm+SY=o, zSm+SZ =0o, ce qui fait voir que les vitesses x, y, z imprimées au centre de gravité, sont les mêmes que si tous les corps, étant réunis dans ce centre, recevaient à-la-fois ‘les impulsions X, F, Z. 6. La formule générale (art. 2), après la substitution de x + dE, dy dn, dr'+ dé à la place de dx, dy, dz, et l'éva- nouissement des termes affectés de dx’, dy’, dz’ se réduira à a a, [re 2d\ SERRES + XSE + FO ZI) m = o. Substituant + £, y/+4n, z'+£ pour x, y, z dans les difié- rentielles dx, d'y, d°z, et faisant sortir hors du signe S les diflé- rentielles dx’, d'y, d’z', les termes affectés de ces différentielles seront Le a SJ ErQ pe Pr AS he 6 # sm. 262 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Mais en rapportant au centre de gravité les coordonnées +, y’, z’, on a (art.3), Sém—o, Sm=o, Sém=o; donc aussi, en différentiant por , on aura . SYm=o, Sdm=o, Sm=o, ce qui fait évanouir les termes dont il s’agit. Ainsi la formule générale se réduira à S(ÉPEREREE xE + FA + ZE) m0, qui est tout-à-fait semblable à la première formule, les coordon- nées x, y, z, dont l’origine est fixe dans l’espace, étant changées en £,°n, €, dont l’origine est au centre de gravité. On peut conclure de là en général, que dans un système libre, on aura par rapport au centre de gravité, les mêmes équations et les mêmes propriétés que par rapport à un point fixe. hors du système. $ II. Propriétés relatives aux aires. 7. Considérons maintenant le mouvement du système autour d’un point fixe, et supposons qu'il soit entièrement libre de tourner en tout sens autour de ce point. En faisant abstraction des mouvemens respectifs des corps du système les uns à l'égard des autres, la ro- tation autour de chacun des trois axes des x, y, z fvurnira, comme on l'a vu dans Particle 8 de lâ-troisième section de la première Partie, les expressions suivantes des variations dx, d'y, dz, u=zdo—ydp, dyadps, di yd\ — xd0, dans lesquelles d'@, dw, 4 sont les rotations élémentaires par rapport aux trois axes des 7,7%, et qui doivent demeurer arbi- traires. SECONDE PARTIE, SECTION II. 263 Ces expressions sont générales pour les variations des coordon- nées de tous les corps du système, et il ne s’agira que de les substi- tuer dans Ja formule de l’article 5 de la section précédente, après avoir réduit toutes les variations à dx, d'y, d'z, et d'égaler ensuite à zéro séparément les quantités affèctées des trois indéterminées dp, do, d\. On trouvera d’abord, comme dans l’article cité de la première Par- tie, que la variation d'p devient nulle, et qu’ainsi les termes dus aux forces intérieures P du système ne renfermant point les variations d'@ , d'w, d} ne donneront rien dans les équations dont il s’agit. On trouve aussi, comme on l’a vu dans le même article, que la variation dp est nulle lorsque la force P tend vers l’origine des coordonnées, et qu’ainsi cette force n’entrera point dans les mêmes équations. En faisant donc simplement pour dx, dy, dz, les substitutions indiquées, après avoir changé les forces P, Q, R, etc. en X, F, Z, comme ci-dessus (art. 2), on aura, relativement aux variations dy, dw, d'À, l'équation d'y — yd CLR + 7x — xy jo S + LEE + Xe —_ Zx )do m= Oo; HER + 27 — Ye JON et comme les variations d, d'}, d'w sont les mêmes pour tous les corps du système, elles n’entreront pas sous le signe d’inté- gration S; de sorte qu’on aura les trois équativns relatives à cha- cune de ces variations, dy d'x CE te rie S(2 Ex in nn ST — 2 1% HA RON 264 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ces équations auront lieu à-la-fois lorsque le système aura la liberté de tourner autour de chacun des trois axes, c’est-à-dire ; toutes les fois que le système sera disposé de manière à pouvoir pirouetter librement en tout sens autour du point fixe qui est l’ori- gine des coordonnées. Et il est bon de remarquer que ces équations ont toujours lieu indépendamment de l'action mutuelle des corps, de quelque manière que cette action puisse s’exercer, même par le choc mutuel des corps du système, comme dans l’article 3, et par la même raison; elles sont, de plus, indépendantes des forces qui tendraient vers le point fixe où est l'origine des coordonnées. 8. Pour se former une idée plus nette de ces équations, on remarquera, 1°. que les quantités xd'y—yd"x, 2dx—xdz, Jd'z—zd'y sont les différentielles de celles-ci, xdy—ydx, zdx—xdz, ydz—zdy, esquelles représentent le double des secteurs élémen- taires décrits par le corps m sur le plan des », y, des w, x ct des Y, z, C'est-à-dire, sur les plans perpendiculaires aux axes des z, des y et des x. En effet, si dans xdy— ydx on substitue pour x et y les valeurs pcos®, psin®, on a p*dp double de l'aire comprise entre le rayon vecteur p et le rayon consécutif qui fait avec lui l'angle dg. 2°. Que les quantités X, Y, Z représentent les forces qui solli- citent chaque corps m, suivant les coordonnées x, y, z, et vers leur origine, et qui résultent de toutes les forces P, Q, R, etc. agissantes sur ce corps, suivant des directions quelconques (art. 5, sect. Il), et qu'ainsi les quantités yX—xY, xZ —2X, :Ÿ—yZ expriment les momens des forces qui tendent à faire touruer les corps autour de chacun des trois axes des ‘coordonnées z, y, x, en prenant le mot moment dans le sens ordinaire , .pour le produit de la force, et de la perpendiculaire ménée sur sa direction. 9. Si le système n’était animé par aucune force extérieure, ou s’il l'était seulement par des. forces tendantes au point que nous avons: SECONDE PARTIE , SECTION fl. 265 avons pris pour l'origine des coordonnées, les trois équations pré- cédentes .se réduiraient à celles-ci : ET ICEN m - s (TR TE = 0; zd'x—xdz | s( Ta <)m = 0; S( 2) mo} lesquelles étant intégrées par rapport à la variable #, donneront, en prenant trois constantes arbitraires 4, B, C, (RE nm = 0C, s( Eee Jn = 2, (HE n = À. Ces dernières équations renferment évidemment le principe des aires , dont nous avons parlé dans la première section. 10. Il est à propos de remarquer que ces équations sont dans le cas de l’article 10 de la section précédente; de sorte qu’on y peut introduire trois nouvelles constantes arbitraires, par le changement des axes des coordonnées. | Soient x, y’, z' les nouvelles coordonnées; on aura également S(ÉLRE Nm = €, SE 7) = = s (2 _— ‘dy ÿn =4, îles quantités 4”, B', C’ étant aussi des constantes arbitraires, mais différentes de 4, B, C. Substituons maintenant dans l'expression xdy—ydx les valeurs Méc. anal. Tome L 34 266 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. de x,#,en x’, y’, x données dans l’articke cité de Ja même sec- tion, On aura dy —ydx = (8 — Ba)(é dy ds") : + Qu—ay) (dix dr) + (67-28) (y'a 2 dy). On trouvera de même, 2dx—xdz = (Ba"— af") (x dy y dx) + (ya) (di dé) +Q6—8)) (y dira), y di zdy = (a R—[f'a) (x' dy — ax) + (ja y) (did di) +Q6—BY (y dés à) Si on affecte tous les térmes de ces équations du signe S, apres les avoir multipliées par m et divisées par df, et qu’on y substitue à la place des intégrales affectées de S, leurs valeurs 4, B, C, A', B', C’, on aura CE — Ba)C + Ga — ay) + (BY — x8)4, B= (Ba — a8)C" + (ay — 798 + GE" — 67)4’, A = (6 — Ba) + (ya — dy )8 + (8 — BYVA. On peut réduire ces formules à une expression plus simple, en ob- servant que lon a identiquement (aB — Br ÿ + (Bz"— a") + (a'R'—R'a") = (at-+aan) (BB RS) — (Bab ae), quantité qui se réduit à l'unité, en vertu des équations de condi- tion de Particle 10 de la section troisième de la première Partie. On a de plus ces équations identiques, au 8" — Bla) + «(Ba — taf) + «(af — Ba) = 0, BB" — Bla’) + BB" — af”) + B'(aË — Ba) = 0. Si donc on compare res équations avec Les trois équations de condition + 21, eyey tar zo, By48 y +8 y =o, s e e SECONDE PARTIE, SECTION NI. 267 il est facile de conclure de cette comparaison, qu’on aura v'B—Bax =7, Ba'—as =, af Ba = 7". Les quantités >, y’, y” pourraient avoir également le signe —; mais comme, dans la coïncidence des axes des x’, y’, z’ avec ceux des *, y, z, on doit avoir a=1, B=o, 7—=0, «=0, B=1, 7=0, &"=0, B'=0, y'=1 (art. 11, sect. III, part. 1), cette condition ne peut avoir lieu qu’en prenant }* positivement, et par conséquent aussi y’ et >. On trouvera de la même manière Va uy =, ay —yx = 8, y# — ay =/8, YB—-By=a, 38—By a, By—38=a"; de sorte que l'on aura A=cA" + BE + 70, B = «A+ PF + yC, C= A+ EB+ ÿC", d'oùl'ontire, parles équations de condition de l'article 10 (sect, IIT.. part. I), nor A = Aa + Ba + Cx, = AB+ BB + CP, C= Ay + BY + Cy, AHBHCEZ= A" TH BH C. Il résulte de cette dernière équation qu’on a en général ‘ dy — yde\ N°, fade — xde\ \° _ . RAA EE das dé (sn) HS ED) + (8 d'où lon Le conclure que la fonction (Ca) + (5 In) (5 n) a toujours une valeur indépendante du plan de projection et de la position des axes des coordonnées +, y» z dans l'espace, pourvu que ces coordonnées soient rectangulaires entre elles, et 268 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. a1. Ces expressions de 4, B, C, en 4’, B', C’ qu’on vient dé trouver, sont semblables à celles de x, y, z en +, ÿ, À de l'ar- ticle g de Ja section précédente; par conséquent si on prend x = AÀ',y = PB, 2 = C,onaura A=x, B=y, C=z, et réciproquement x=4, y=B, z=C donnera d'=x, B=7y, C'=7, c'est-à-dire que 4, B, C et 4, B', C' seront deux systèmes de coordonnées qui répondent à un même point, le pre- mier étant relatif aux axes des x, y, z, et le second aux axes des d, J'y 2 On voit tout de suite par là qu’on peut faire 4'=0, B=0, en faisant passer l'axe des C’ ou 7 par le point auquel répondent kes coordonnées 4, B, ë, et qu’alors la coordonnée C’ aura sa plus grande valeur = V/{4*+ B*+C*). On aura dans ce cas, da 30, B= 70, C= 7", et il est facile de voir que ‘les coefficiens >, 7’, 7” ne seront autre chose que les cosinus des angles que la ligne C’ fait avec les axes des 4, B, C. Ainsi la résolution des équations SÉLE )m = Ë Er Le SES — 0, Ï © donnera celle des équations S ( Er x _ . = y, s ( rent yC", dz — 4dy Dre, ? ë ee k ut C4 les quantités y, y, 7” étant trois constantes telles que +2" +31, et dont deux sont arbitraires, SECONDE PARTIE, SECTION III. 269 Le plan “perpendiculaire à l'axe des C’, lorsque C” devient ‘un maximum, est celui que M. Laplace nomme plan invariable, et dont il a le premier démontré lexistence et la position. Cette position est facile à déterminer par les équations 4=YC!, B=yC, C=7t, ue car puisque les quantités 7, >’, >” sont les cosinus des angles que l’axe des C’ ou z’, qui est perpendiculaire au plan invariable, fait avec les axes des x, y, z du système, en nommant ces angles l, m,n, On aura, à cause de C'=V(A + +C), A B C COS = ——— COMME =, COS —, VAE FO) PCTV FEFC) TVA FO) 2. Si le système est libre, c’est-à-dire qu'il n’y ait aucun des points du système qui doive être fixe, .on peut prendre l’origine, supposée fixe, des coordonnées x, y, z partout où l’on voudra; par conséquent les propriétés des aires et des momens que nous venons de démontrer auront lieu par rapport à un is fixe quel- conque pris à volonté dans l’espace. Mais par ce que nous avons démontré dans l'article 6, ces mèmes propriétés auront lieu également par rapport au centre de gravité de tout le système soit que ce centre: soit fixe ou non. En effet, si dans les trois équations de Particle 7, on substitue pour +, y, z les quantités x'+Ë, y-bn, z°+€, en rapportant, comme dans l'article 3, les coordonnées x, y’, z° au centre de gra- vité du système, et qu'on alt égard aux trois équations de ce der- nier article, on aura ces transfornxes, S 21 VE + EF —1X) m =6;, GE" + {X—E2)m=o, dt—td" SE +12 —tF)m= 0, 276 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. qui sont, comme l’on voit, semblables à celles de l'article 7, et: dont toute la différence consiste en ce qu’à la place des coordonnées x, > z partant d’un point fixe, il y à les coordonnées £, n, €, dont l’originé est dans le centre de gravité du système. Ainsi lorsque les forces accélératrices sont nulles, on aura les intégrales | S res) =C, JE E = 3, (l te * sur lesquelles on pourra faire des remarques analogues à celles ‘que nous avons faites sur les équations de l’article 9. 15. Quand un des corps du système est retenu fixemént par un obstacle quelconque, en plaçant dans ce corps l’origine des coor- données, on a le cas de Particle 7. Mais si deux corps du sys- tème sont supposés fixes, on regardera la ligne qui passe par ces deux corps, comme un axe fixe autour duquel le système peut tourner librement, et prenant cet axe pour celui des coordonnées z, on aura simplement, par le même article, dx —yd?, dy = xd®, .9® étant la rotation élémentaire autour de cet axe, liquelle doit demeurer indéterminée. On n’aura ainsi qu’une seule équation re- lative à cette variation d®, laquelle sera d d S(e rm +eT—yX)ne= 0; et lorsque le moment xŸ—7X des forces extérieures par rapport à lJaxe de rotation est nul, on aura par l'intégration, comme dans Particle 9, Fr S( Ja =c, . SECONDE PARTIE, SECTION Mt. 271 équation qui donne le principe des aires par rapport au plan des æ,,y perpendiculaire à l'axe de rotation, et sur lequel les aires dé- crites par les corps doivent être projetées. | Si trois corps du système étaient supposés fixes, alors la posi- tion de chacun des autres corps dans Pespace serait déterminée par ses distances à ces trois corps, et il n’y aurait plus de va- riations indépendantes de la nature du, système et de la disposition respective des corps entre eux, d’où lon püt déduire des équations générales pour le mouvement d’un: système quelconque. $ III. Propriétés relatives aux rotations produites par des forces d’impulsion. 14, Quand un système libre de tourner en tout sens autour d'un point fixe reçoit des impulsions quelconques, on peut aussi em- floyer dans l'équation de l'article 11 de la section précédente les expressions de fx, Ay, A‘? de l'article 7, après avoir réduit à X, Y, Z les forces d'impulsion P, Q, R,-etc.; et en égalant sé- parément à zéro les termes multipliés par les variations dy, do, SN, on aura les trois équations S{m(xy — yx) + 27 — JX} == 0; S{m(zx — xz) + zX — xZ} = 0, S{m(ys— 2y) + yZ —:Y}=0, por Je premier instant du mouvement produit par les impul- sions X, Y, Z. | Dans les systèmes qui sont tout-à-fait libres, on peut prendre le point fixe partout où lon veut dans l’espace, et les équations précédentes auront toujours lieu par rapport à ce point. 15. Dans ces systèmes, on peut aussi rapporter leurs rotations à trois axes qui passent par le centre de gravité. Car en fai- 272 MÉCANIQUE ANALYTIQUE- sant, comme dans Particle 5, dx = dx’ DE, d'y = dy" + di, de dé +, les variations dx, dy, d2? donneront d’abord les trois. équations relatives au mouvement du centre de gravité, trouvées dans ce même article. Il restera ensuite l'équation | S(Gnx + X)SE + (my + P)dn + (mz +Z)df) 0. Or en rapportant les rotations d'4, dw, dp aux axes des coor- données £,n, €,etn ayant égard qu'à ces rotations, on a, comme’ dans l'article 7, Edo np, dfn—=£dp— Ed, nd — Edo; et les trois variations indéterminées J'Y, dw, d'@ donneront les trois équations S{M(Ey — 1x) HET —1X} m0, S{m(x — EE) HEX —E7}= 0 S{m(nz — y) +nZ — EF} = 0. Mais x=%Ë, y==y +, 276; donc sapettuane ces valeurs, faisant sortir hors du signe $ les quantités , V, z, qui ne se rapportent qu'au centre de gravité, et observant que par les propriétés de ce centre on a . SmËë = 0, ses = 0, "SN nv; ks trois ne réside deviendront S{m Gr — 1Ë) REY —1X} = 0, S{m(LË — Eù) + CNE £Z} = 0, S{mé — Gr) HZ —{F}= 0, qui SECONDE PARTIE, SECTION HI. 273 qui sont tout-à-fait semblables à celles de l’article précédent, et dans lesquelles les coordonnées £, 1, € ont leur origine au centre de gravité, et les vitesses Ë, », € sont relatives à ce centre. Ainsi les équations relatives à un point fixe, subsistent aussi lorsque le système est libre, par rapport à son centre de gravité. 16. Les équations que nous venons de trouver pour l'effet des impulsions dans le premier instant, ont lieu aussi dans les instans suivans, s’il n’y a point de forces accélératrices, en regardant comme constans les termes qui dépendent des impulsions X, Y, Z. Car x, y, z étant les vitesses parallèlement aux axes des x, y, , ona dx=xdi, dy=ydt, dr==2dt, et les équations de l'article 9 deviennent Sm(xy —ys)= 0, Sm(zx — x) = B, SMm(yz— 2) = À, lesquelles, étant comparées à celles de l’article 14, donnent C= S(yX — xF7), B= S(xZ == :X), Az S(2zY — yZ). Ainsi on a les valeurs des constantes 4, B, C exprimées par les impulsions primitives données à chaque corps; et lon voit que ces valeurs ne sont autre chose que les sommes des momens de ces impulsions, par rapport aux axes des x, des y et des . Il en sera de même des équations relatives au centre de gra- vité, en comparant les équations de Particle 12 avec celles de l'article 15. 17. Si on ne considère que Îgs mouvemens de rotation par rap- . L4 3 La port aux trois axeg des coordonnées x, y, z, et qu’on désigne par Méc. anal. Tome I. 35 274 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: ds o, ® les vitesses de ces rotations, les variations dx, dy, dé seront proportionnelles aux vitesses x; Y» 2, et les variations d4, dw, dg seront en même temps proportionnelles aux vitesses KR œ, ®; les formules de l'article 7 donneront ainsi R = 20 — 79, Y= ag — 24, z = y4 — x. Ces valeurs de x, y, z ne sont que les parties qui dépendent des trois rotations; pour avoir les valeurs complètes des vraies vitesses 3, ÿ, 2, il faut y ajouter les parties qui dépendent du changement de situation des cofps du système entre eux, et qui sont indépen- dantes des rotations. Mais lorsque le système est invariable, ce qui a lieu dans tous les corps solides d’une figure quelconque, ces parties des vitesses sont nulles, et les valeurs de x, y, z se réduisent simplement à celles que nous venons de donner. On pourra donc substituer ces valeurs dans les équations précédentes, et faisant sortir hors du signe S les quantités 4, w, @, on aura pour un solide de figure quelconque, en mettant l'élément Dm à la place de m (art. 7, sect. précéd.), les équations ps (x°+7*)Dm — ASx:Dm — oSyzDm = C, ©S(x+2")Dmn — JSxy Dm — pSyzDm = B, JS(y"+-2*)Dm — 0Sxy Dm — @SxzDm = À, par lesquelles on pourra déterminer les vitesses des rotations ini- tiales £, æ, @, produites par îcs impulsions X, Y, Z appliquées a des points RS VE du corps , et dont les momens, par rap- port aux axes des x, y, z, sont 4, B, C. Comme les vitesses de rotation sont proportionnelles aux angles infiniment petits, décrits en même temps par les rotations res- pectives, il s'ensuit de ce qu’on a démontré dans la troisième sec- SECONDE PARTIE, SECTION II. 275 tion de la première Partie (art. 11), que les trois vitesses 4, w, ® se composent en une seule vitesse À telle que DV + à + 6), avec laquelle le corps tournera réellement autour d’un axe ins- tantané, faisant avec les axes des x, y, z des angles À, g, », tels que COSA =, Cou", Cosr = ô œlée œ Ainsi les trois équations précédentes donneront la position de l'axé autour duquel Île corps tournera dans le premier instant, et la vitesse de rotation autour de cet axe. C’est celui qu’on appelle axe spontané de rotation. 18. Dans les instans suivans, le corps continuera à tourner par sa force d'iuertie, ct leo truis équations qu’on vient de trouver au- ront encore lieu, en regardant comme constans les termes qui con- tiennent les forces d’impulsion X, Ÿ, Z, comme on la vu dans l'article 16; mais les quantités S(x°+-y*)Dm, Sxy Dm, etc. devien- dront variables à raison de la variation des coordonnées x, y, z pendant la rotation. | Mais une conséquence remarquable qu’on tire de ces équations, c'est que dans un instant quelconque, le corps a le même mour- vement de rotation qu'il recevrait dans cet instant par l'impulsion des mêmes forces qui l'ont mis d’abord en mouvement, si ces forces lui étaient appliquées de manière à produire les mêmes mo- mens autour des axes des *, y,'Z. Et comme ces équations ne sont que les équations snéniés de Particle 16, pour un système quelconque de corps, appliquées à un corps solide de figure quelconque, il s’ensuit que si le système qui a reçu des impulsions primitives, devient, par l’action mutuelle et successive des.corps, un système invariable ou un solide quel- 376 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. conque, les mêmes équations auront encore lieu ; de sorte que le solide aura à chaque instant le même mouvement de rotation qu'il recevrait par les mêmes impulsions primitives, si elles lui étaient ap- pliquées immédiatement de manière à produire les mêmes momens. Donc aussi une masse fluide agitée primitivement par des forces quelconques, abandonnée ensuite à elle-même et devenue solide par l'attraction mutuelle de ses parties, aura à chaque instant le même mouvement de rotation que les forces primitives lui impri- meraient si elles agissaient de la même manière sur la masse solide. 19. Les trois équations de l’article 17 donneront les valeurs des momens 4, B, C de toutes les forces primitives, en connaissant la position instantanée du corps et ses trois vitesses de rotation 4, ®, @, par rapport aux axes fixes des x, y, z, ou la vitesse composée à autour de l'axe instantané, avec les angles À, pe, r, de cet axe avec les axes fixes des x,y, z; et réciproquement ayant ées momens, on pourra en déduire les valeurs des vitesses de rotation. ‘ On voit aussi par ces équations, que les momens seront nuls si les vitesses sont nulles ; mais les momens étant supposés nuls , il ne s’ensuit pas évidemment que les vitesses de rola- lion doivent étre nulles. Car, en faisant 4—=0, B=0, C=0, on a trois équations linéaires enlre 4, ©, @; et il faudrait prou- ver que ces trois équations ne peuvent päs subsister ensemble , à moins de supposer d=0, 00, g=0o. . En éliminant deux de ces incouuues vu à uue équation qui donne Ja troisième inconnue nulle ou‘arbitraire, mais avec la condition S(x°+y*)Dm X S{x°+z)Dm x S(y°+ 2°) Dm = S(x°+y*)Dm x (SxyDm}) + S(x°+z*)Dm x (SxzDm) + Sy°+z)Dm x (SyzDm) + 28xy Dm X SxzDm X SyzDm; et il faudrait prouver que cette condition est impossible à remplir, SECONDE PARTIE, SECTION JL. d77 ce qui parait très-difficile. Mais nous démontrerons plus ‘bas (art. 31) que lorsque les momens sont nuls, toute rotation s’'évanouit aussi. D'où nous pouvons d’abord conclure qu'il est impossible qu’un | système de points isolés, ou une masse fluide quelconque, puisse former un corps solide qui ait un mouvement de rotation , à moins _que les impulsions primitives n’aient été telles, qu'il en soit résulté un moment par rapport à l’axe de cette rotation. | 20. Par les transformations exposées dans l'article 10, on peut changer les trois équations de Particle 17 en des équations semblables dans lesquelles les quantités x, y, z, 4, B, C soient remplacées parles quantités analogues x’, y’, z', 4’, B', C7. Désignons par 4, ’, g’ les vitesses de rotation par rapport aux nouveaux axes des #,7', z', On aura aussi, dt =ddt= (so — yo), d'=jd= (x — rV')&, dl = vdi == (y — x'0)dt, et les trois premières équations de Particle 10 deviendront par ces substitutions, en changeant m en Dm, gs x*+y")Dm ad d’ xz Dm — w'Sy'z Dm = c’, o'S( x.y") Dm = N'Sx'y Dm Es ®'Sy'z Dm — B', Sy "+2")Dm — à’ Sxy Dm — Sr Dm = 4’, dans lesquelles on aura par le même article À = Au et Ba + Ce, B' = AB + BE + C£", C= Ay+ By + Cr. Ces équations ont l'avantage que la position des axes de rotation y est entièrement arbitraire, puisqu’elle ne dépend que des quantités 278 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. a, B, y, #, etc.; et comme elles ne sont que du premier ordre, rien n'empêche de donner à ces axes une position différente d’un instant à l’autre, et de les prendre de manicre qu'ils soient fixes dans l’intérieur du corps, et par conséquent mobiles avec lui dans l'espace. Alors les quantités S(x*+-7*) Dm, Sx'y Dm, etc. devien- dront constantes, mais les quantités 4”, B', C’ seront variables, à cause de la variabilité des quantités «, 8, y, «’, etc. Nous don- nerons dans la suite des moyens directs de parvenir à ces équations qui sont d’une grande utilité dans le problème de la rotation des Corps. 21. On vu dans l'article 16, que les constantes #, 2, C ex- priment les sommes des momens des impulsions primitives don- nées aux corps, relativement aux axes des x, y, z. Or il est fa- cile de prouver que les quantités «, &', æ° représentent les cosinus des angles que l'axe des +” fait avec les axes des x, y, z; que les quantités 8, B', B’ représentent les cosmus des angles que l'axe des y’ fait avec les mêmes axes des x,y,z, et que les quantités y, y, 7 représentent les cosinus des angles que l'axe des z” fait avec ces mêmes axes. Donc par ce qu’on a démontré dans la premitre partie sur la composition des momens ( sect. IIE, art. 16), les trois quantités 4’, B’, C’ seront les momens des mêmes impulsions rapportés aux axes des x’, y’, z’, c'est-à-dire aux axes de rotation fises dans le corps et mobiles dans l'espace. Ainsi on pourra ap- pliquer à ces axes les mêmes conclusions qu’on a trouvées dans l'article 29. ÿ 1. Propriétés des axes fixes de rotation d’un corps libre de figure quelconque. 22. Nous réservons pour un chapitre particulier la solution com- plète du problème général de la rotation d’un corps solide de figure quelconque; nous allons seulement examiner ici le cas où l'axe SECONDE PARTIE, SECTION Il. 279 instantané de rotation demeure immobile dans l’espace, où au moins toujours parallèle à lui-même lorsque le corps a un mouvement progressif, parce que ce cas se résout facilement par les formules du paragraphe précédent, et qu’il conduit aux belles propriétés des axes qu’on nomme principaux, OU axes naturels de rotation. Reprenons les équations fondamentales de l'article 17; faisons, pour abréger, 1= Sx* Dm, m = Sy Dm, n = S"Dm, f= SyzDm, g—=SxzDm, = SxyDm, et substituons pour À, © ©, @ leurs valeurs Bcos À, Bcosx, Bcosr, 8 étant la vitesse de rotation autour de l'axe instantané qui fait Jes angles A, u, » avec les axes fixes des x, y, z; ces équations deviendront ainsi, en les divisant par 8, (mn) COS À — HCOSU = gCoSr = (ZæHn)cosp = HCOSA — fcosr = (1 mm) cos » —"gcos À — feosu = 410 sx UN 23. Les six quantités 7, m, n, f, g, h sont variables; en les différentiant, substituant pour dx, dy, dz les quantités xdt, ydt, zdt, et ensuite pour x, ÿ, z leurs valeurs (art. cité), on aura dl = a(gcosu — h cos» Mat, dm = 2{Acosy — fços x), dn = X fcosA — gcosu Jde, df = (me — n) COSÀ = gCOS ? — hcosw}dt, = (Can cos + AcosA — cos» Jde, = (( U —m) Cos » + fCOSU = g COS x fat. 286 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ces six équations, jointes aux trois de l'article précédent, ren: ferment la solution générale; mais nous ne considérons ici que le cas où les angles À, #, » demeurent invariables; et il s’agit de voir sous quelles conditions ces quantités peuvent être constantes. 24. Pour cela, il n’y a qu’à différentier les trois premières équä- tions dans cette supposition, et y substituer les valeurs des différen- tielles d/, dm , etc., on aura après avoir divisé par de ces trois-ci : F{cosr°— cosu*) — g coSA cospe + À COS cos r dÿ + (mr 1) COS COS y == == + Lx & Fcos À cos “+ (COS À" = COS 3°) = À COS cosr d “ (n—1) 006 À 008 » = — EX —f COS À COS y == g COS COS » ee A (cosu* — COS À') + (I— m) cos cosu ==, 4 xs. & Si on ajoute ces trois équations ensemble, après avoir multi- plié la première par cosA, la seconde par cosx, la troisième par cosr, on a l'équation des BETTER ETERE NC 7 laquelle donne d = 0 , ou bien A COSA + BCOSH vf CCOSr = où Nous verrons plus bas (art. 38) que laquantité pe , | AL + Bo + Cf, qui est la même chose que LU {A cosA + Boosu + Çcosr)?, exprime SECONDÉ PARTIE, SECTION Ni. 281 exprime la force vive du Corps, laquelle ne peut jamäis être nulle _tant que le corps est en mpuvement. A faut donc supposer en général di=0,-et par conséquent la vitesse de rotation à constante. Alors les trois équations ci- dessus se réduisent à deux, qui donnent les rapports. des cos À, cos, cosr; et comme on à cosA° + cosu° + cosy = 1, ces rapports sufliront pour déterminer les trois cosinus. 25. Supposons cosu cos? = — u = cos À ? cos À ? les trois équations précédentes deviendront, à cause de d=0, fus) — gs + hu + (m—n}su = CE gain) — hou + fs + (n—lhu = o, R(s— 3) + gsu — fu +(l—-m}s =o. La dernire donne h(#—1) +U—m}s 7 f—&s ? cette valeur étant substituée dans la première ou dans la seconde, ou plutôt dans la somme de ces deux, après avoir multiplié l'une par g et l'autre par f, pour en chasser l'z*, on a Ch nn) + f(g —#))s + (eU— m(m—n) + fh(n—caltm) + gg" + 1 — 2f*))s* + ( SC m\m—n) + gh(n—oemtt) ff + Le — 2g*))s + fACIn) + (PR) = 0, Cette équation étant du troisième degré, aura nécessairement une racine réelle; äinsi on aura une valeur de s, et une valeur correspondante de x, par le moyen desquelles on pourra déter- miner la position d’un axe invariable et de rotation uniforme. Mais comme cette détermination dépend des quantités I,m,n, f)&rh; Mic, anal. Tome I. 36 uU == 282 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. qui varient avec le temps £, il faut «encore prouver que la varias bilité de ces quantités n'influe point sur la valeur des deux quan- tités s et w. 26. Pour y parvenir, nommons P,Q, R les premiers membres des trois équations de l'article 22; les premiers membres des équa- dP ao dR bdt”-üdt” êdt dm, etc. leurs valeurs. Or il est facile de voir qu'on a, par la substitution de ces mêmes valeurs, dP =(R cosu — Q cosr)ldt, dQ = (P cos » — RcosA)hdt, dR= (Q cos À — P cosu)lat. tions de l'article 24 seront 2 —, en y mettant pour d?, D’après ces équations, dans lesquelles À, u, » et ÿ sont des quantités constantes, il est facile de voir que si les valeurs de FT Ro % Te: sont nulles lorsque #=0, où = à une quantité &P dd: &R 3p quelconque FA celles de +, se , > de D : ue ie : et ainsi de suite à l'infini, seront aussi nulles pour la même va- leur de z. . on sait par le théorème de Taylor, que la valeur d’une fonc- tion £ 2 de t, lorsque t devient t+-t, devient en méme temps Der a +R F + St + am © + etc. . dP : cs dP Donc si ——0o lorsque #—o3on aura toujours === 0, quel dé que soit #. Et la même chose aura lieu pour les valeurs de 4Q , dR | m'a et dt: II s'ensuit de là que si les équotions de Farticle 25, qui ne sont- dQ dP dR que les transformées des équations = 0, = g = 000 SECONDE PARTIE, SECTION NT. ” 283 lieu dans un instant quelconque, elles auront lieu, quel que soit le temps +, dans l'hypothèse, des quantités s et z constantes. Par conséquent les valeurs de ces quantités seront indépendantes de la variabilité des quantités Z,m, n, λ &) h; de sorte qu'il suffira de déterminer les valeurs de ces dernières quantités pour une po- sition quelconque du corps à l'égard des axes fixes des x, y, 7, pour avoir celles des quantités s et z qui déterminent la position de l'axe de rotation, lequel doit &emeurer immobile dans Pespace, ou du moins toujours paralléle à lui-même, si le corps a un mouvement progressif. ‘ | ù Et comme cet axe, par sa nature, est fixe dans l’intérieur du corps pendant un instant, puisque le corps est censé tourner au- tour de lui, il s’ensuit qu'il y doit toujours demeurer fixe; car il est évident que si, dans ‘Tinstant suivant, il changeait de place dans le corps, il changerait nécessairement de place dans l’espace; ce qui est contre lhypothèse. 27. Ayant trouvé la position de cet axe dans l'espace, rien . wempêche de supposer qu'il coïncide avec l'axe des x dont la po- \Sition est arbitraire. On pourra ainsi supposer A=0, et par conséquent cosA=1, ce qui donnera s=—0. et u=—o. De là on trouve, par les équa- tions de l'article 25, g—0o, A—0o. Ainsi cet axe a la propriété, qu'en le prenant pour l'axe des x, les valeurs des deux intégrales SxyDm, SxzDin (art. 22) deviennent nulles. Supposons maintenant dahs nos formules g==0, 40, et dé- signons par f’, , m’, n°, ce que. deviennent les quantités f, 7, m, n dans ce cas. Cette suppositjen donne d’abord s=—0 et u=0, c'est le cas précédent ; ensuite elle donne aussi s et z infnis, ‘et par conBéquent cosA=0, À ==90°; cette valeur répond aux deux autres racines de léquation en s du troisième desré, et par con- séquent à la position des deux autres axes. Or la première des ‘équations en s et u (art. 25Ÿ devient, lorsque g et # sont nuls, . 284 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ju? — 5°) se {m—nsu=0o, et substituant pour s et 4 leurs valeurs, F'(cos À —cosp*) + (mn) cosp COS? = 0 ; mais en faisant cosA 0 dans cosA'<} cosu*-+ cosy = 1, on a cosy =V{(i—cosx) = sin; et l'équation précédente se ré- duit à celle-ci : * e ange, laquelle donne pour l'angle x deux valeurs dont lune surpasse autre de go°. | Ainsi ayant pris l'axe des x dans le premier axe de rotation; les deux autres axes de rotation uniforme scront dans le plan des 7 et z, et feront avec l'axe des y les angles &m et + go, de manière que les trois axes de rotation seront rectangulaires entre eux, comme ceux des coordonnées. On pourra donc prendre aussi ces deux derniers axes ponr ceux des y et z; l'on aura alors u=0, et par conséquent f’=—0o; de sorte que la valeur de l'intégrale SyzDm sera aussi nulle. 28. Il existe donc pour chaque corps solide, quelle que soit sa figure et sa constitution, et par rapport à un point quelconque du corps, trois axes rectangulaires qui se coupent dans ce point, autour desquels le corps peut tourner librement et uniformément ; et ces trois axes sont déterminés par les conditions suivantes: SxyDm=o, Sx:Dm=o, Sy:Dm—=—o, en prenant ces axes pour ceux des coordonnées x, y, 7. Lorsque ces axes passent par Ÿe centre de gravité, on les nomme axes principaux , d’après Euler, à qui on en doit la connaÿssance ; on les nomme aussi axes haturels dé rotation, ou en général, axes principaux , soit qu'ils passent par le centre de gravité ou non. 2 LE 29. En faisant f=0, g=0, 4=o, ce qui a lieu par rapport SECONDE PARTIE, SECTION MI. 285 aux trois axes principaux, on a aussi par les équations de T'ar- ticle 23, © : 9; 0, Po, ce qui fait voir que les quan- tités 1, m, n sont alors les plus grandes ou les plus petites. Pour pouveir. distinguer Îles maxima et les minima , il ny aura qu'à dI dm d'n ; : chercher les valeurs de ds? dr? de? et lon trouvera, à cause de 8 constante, D 2((n—l)cosu — re y}, De ani ((1=-m)cos:* D Ca ccs OU DE a((m=n)cosN"— (n— cosu}e. ° : 5 dl ° L Q Donc si 2>m, m>n, la valeur de T sera toujours négative, celle de : toujours positive, et celle de pu pourra être positive ou négative; par conséquent 1 sera toujours un maximum, nr Un minimum, et m ne sera ni l'un ni lautre. On voit aussi que di+dm d‘m+dn dn di de jours une valeur positive; de sorte que la quantité Z+m sera toujours un maximum, et mn Un minimum. Les quantités Zm, l4n, mn, qui expriment les sommes des produits de chaque molécule du corps par le carré de sa dis- tance aux trois axes des z, Y» *, se nomment, d'après Euler, momens d'inertie du corps relativement à ces axes ; ils sont pour le mouvement de rotation ce que les simples masses sont pour le mouvement progressif, puisquo c'est par ces momens qu’il faut diviser les momens des fvrces d’immpulsion, pour avoir les vitesses de rotation autour des mêmes axes. | Cest par la considération des plus grands et des plus petits momens d'inertie, qu'Euler a trouvé les axes principaux; main tenant on les détermine ordinairement par les trois cuuditiuns SxyDmeæo,. SxDm=o, S;:Dmæo, aura toujours une valeur négative, ct aura tou- SECONDE PARTIE, SECTION Ÿ. 323 a CINQUIÈME SECTION.. Méthode générale d’approximation , pour les probiemes ae Dynamique, fondée’ sur la variation des constantes arbitraires. L ES équations générales que nous avons données dans la section précédente étant du second ordre, demandent encore des intégra- tions, qui surpassent souvent les forces de l'analyse connue; on est obligé alors d’avoir recours aux approximations, et nos for- mules fournissent aussi les moyens les plus propres à remplir cet objet. 1. Toute approximation suppose la solution exacte d’un cas de la question proposée, dans lequel on a négligé des élémens ou des quantités qu’on regarde comme très-petites. Cette solution forme le premier degré d’approximation, et on la corrige ensuite en te- nant compte successivement des quantités négligées. Dans les problèmes de Mécanique qu’on ne peut résoudre que par approximation, on trouve ordinairement la première solution en mayant égard qu'aux forces principales qui agissent sur les corps; et pour étendre cette solution aux autres forces qu'on peut appeler perturbatrices, ce qu'il y a de plus simple, c’est de con- server la forme de le ‘première solätion, mais en rendant variables les constantes arbitraires qu'elle renferme; car si les quantités qu'on avait négligées; ct dont on veut tenir compte, sont très-" petites, les nouvelles variables seront à peu près constantes, et on “pourra y appliquer les méthodes ordinaires d’approximation. Ainsi h difficulté se réduit # trouver les équations entre ces variables. 324 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. On connaît la méthode géné de faire varier les constantes arbitraires des intégrales des équations différentielles, pour que ces intégrales conviennent aussi aux mêmes équations augmentées de certains termes; mais la forme que nous avons donnée, dans la section précédente (art. 10), aux équations générales de la Dyna- mique, a l'avantage de fournir nne relation entre les variations des constantes arbitraires que l'intégration doit y introduire , laquelle simplifie singulièrement les formules de ces variations , dans les pro- blèmes où elles expriment l'effet des forces perturbatrices. Nous allons d’abord démontrer cette relationg nous donnerons ensuite les équations les plus simples pour déterminer les variations dgs constantes arbitraires dans les problèmes dont il s’agit. $ TI, Où l’on déduit des équations données dans la section précédente ; une relation générale entre les variations des constantes arbitraires. 2. Soit un système quelconque de corps m, animés par des forces accélératrices P, Q, R, etc. qui tendent à des centres quel- ‘conques fixes ou non, et qui soient proportionnelles à des fonc- tions quelconques de leurs distances p, g, r, etc. à ces centres. Supposons qu’en ayant ésard aux équations de condition du sys- tème , on ait exprimé les coordonnées x, y, z de chacun des corps, en fonctions d’autres variables £, 4, @, etc., qui soient tout-à-fait indépendantes entre elles, et qui suffisent pour déterminer la po- sition du système à chaque instant. On aura, pour le mouvement de tout le système, les équations de Particle 10 de la sectibn précédente, et il est facile de voir que ces éqnations seront du second ordre, par rapport aux variables £, 4, ®, etc.; de sorte que les valeurs complètes de ces‘variables, qu'on trouvera par l'intégration, et qui seront exprimées en fone- ” SECONDE PARTIE, SECTION V. 325 tions du temps #, contiendror# deux fois autant de constantes + arbitraires qu’il y a de variables. Comme ces constantes doivent demeurer arbitraires, on peut les faire varier à volonté; ainsi on pourra différentier les équations dont il s’agit relativement à ces constantes, qui sont supposées contenués dans les expressions des variables £, 4, ®, ete. 5. Faisons, pour plus de simplicité, d£=£"dt, d} = \'dt, dp = q'dt, etc., la quantité 7' deviendra une fonction de £, +, ®, etc. et de Z’, 4”, ?, etc.; et si les forces tendent à des centres fixes, ou à des corps du même système, la quantité 7 sera une simple fonction de £, 4, @, etc. Dans ce cas, en faisant Z=7T—#F, on aura VND: Ze AT 9Z OT _ SZ TE — FE JE FF 3% — jy dr etc. , où l’on pourra changer la caractéristique Jen d, puisqu'elle ne sert qu'à représenter: des différences partielles. Ainsi les équations différentielles du mouvement du système (art. 10, sect. précéd.) étant multipliées par dt, se réduiront à cette forme plus simple, dZ dE 7 = O0, dZ : dr — H4=0; dZ dzZ Tr de À = 0; etc. 4. Différentions ces équations par rapport à la caractéris- tique d\, que nous regarderons comme relative uniquement aux variations des constantes arbitraires qui sont censées conte- nues dans les expressions des variables £, 4, ®, etc., dont Z est fonction; et comme la caragtéristique 4 qui affècte les termes dZ dz * | ÿ does s er dar dTp) etc. n'est relative qu'à la variable # qui représente 326 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: le temps, ‘on pourra, par les prifcipes du calcul des” variations, changer là double caractéristique d4 en dd'; de sorte qu'on aura les équations dZ dZ WT — — d, A0, dZz dZ a —d,.— FAN dt —= O;, a — SE dt=0, De mème, si pour représenter des variations différentes des mêmes constantes arbitraires, on emploie la caractéristique A, on aura dz dZ dA dE SD 0) dZ dZz dA.7 7 — à. TS di = O, dz dzZ dh Tr — ar dt = 0; etc. 5. Multiplions maintenant les premitres équations respective- ment par AËë, AW, A9, etc., et retranchons de leur somme celle® des dernières équations multipliées respectivement par dé, F0 d'?, etc., _on aura LEA TE me NP EU LADA _ + etc. au Stan _— PH — de = + etc. = CAE - NE A 2 + ao À A o + etc. ) dE + 2 + Hi = den. #+ + etc. +. )a=0 SECONDE PARTIE, SECTION V. 327 A'dt, à cause de d£ —£’dt (byp.); donc AËdS _ = d; (AE. ) ne AFS 7e g dt. On aura ae dSan TE I —d. (a. 5) — Jia. LE et ainsi des autres formules semblables. * Par le moyen de ces transformations, l'équation précé®nte déviendra de cette forme dZz dZ dZ : AËd Tr + Ad + Ad. # + etc. #: . Y'A e— NP “TV — pA de Er. elc. az az £ LA - RE de “TAC F _ EST ee ASE _ as. + etc. dZ d2 dZ SEAT + SYA TE + . +) +IEA TE + da. - + dga ZE + etc. 6. Or si on développe les expressions à “# ; dE etc., ainsi dz que es expressions semblables A. “JE” a % , etc. en regardant Z comme fonctin de £, 4, ®, etc. et de £’, 4, ®, etc., il est fa- cile de voir que les termes mullipliés par dt dans l'équation pré- cédente, se détruisent Des En et, on a az à. = - EEE Ia + dE + ; dj -R etc. SZ A dZ : ER Et ete JE + d' + ete. . 328 sc on dZ dZ d. PRE TE d'J +de etc., ce qui donne, en ordonnant les termes par rapport aux diffé- rences partielles de Z, ce développement IE Æ + Du + etc. + ÀA£'d\. 4 +AŸÿd.7 dE pete n: 2 AE + à En on + AJdt)+ T2 T À AJ + etc. + ie (AESE + ag'9e) + ÈZ ae (AËdN/ + AVE) + etc. + à FE FA (AVE + ALI) + LT Hs Z_ (ALI + ANT) + etc. HD APE ag (EVA) PA AY + ete. etc. En changeant les caractéristiques d', A l’une dans l’autre, on aura le ne de l'expression semblable JEa.°2 Æ + NAT + etc. + dF'a.S HE +dWa. 7 Te + ete. Mais on voit que ce p’en _. aucun dans le dé- veloppement précédent ; d’où il suit que les deux expressions sont identiques; de sorte que, comme elles se trouvent dans l'équation ci-dessus avec des signes différens, elles doivent si détruire, 7. Ainsi on aura na l'équation . F2E Es LE + AS ee + ags 2 æ +etc) 2 = 0; — Jta. — S4a EE, — son LE — cu. “dans laquelle on peut changer Z en T', puisque Z = T— PV, et que 7 ne doit point contenir les variables £’, A’, 9’, etc. (art. 3). On SECONDE PARTIE, SECTION V, 329 On voit par cette équation, que la quantité ne + Ad. TT _ AG dy “+ ete. _— d'EA © — SLA: — da D — etc. RE ns est @ujours nécessairement constante relativement au temps {, au- quel se rapportent les différentielles marquées par la caractéris- . tique d; que par conséquent .si on y substitue les valeurs des variables £, À, ®, etc. exprimées .en fonctions de #et des cons- tantes arbitraires, déduites des équations d’un problème quelconque de Mécanique, la variable + s’'évanouira d'elle-même, quelles que soient les variations qu’on fera subir à ces constantes, dans les quantités affectées des caractéristiques d'et A; ce qui est une nou- velle propriété très-remarquable de la fonction 7, qui représente la force vive de tout le système, et ce qui peut fournir un critère ‘général pour juger de l'exactitude d’une solution trouvée par quelque méthode que ce soit. Mais l'usage principal de cette formule est pour la variation des constantes arbitraires dans les questions de Mécanique, comme nous allons le montrer. $ II, Où l’on donne les équations différentielles les plus simples pour déterminer les variations des constantes arbitraires, dues à des . La forces perturbatrices. 8. Supposons maintenant qu'après avoir résolu le problème con- tenu dans les équations différentielles de l’article 3, par l'intégration complète de ces équations, il s’agisse de résoudre le même pro- blème, mais avec l'addition de nouvelles forces appliquées au faème système, tendantes à des centres fixes où mobiles d’une manière quelconque, et proportionnelles à des fonctions des distances aux centres. Ces nouvelles. forces, qu'on peut regarder commedes Jéc. anal, Tome I. 43 330 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. . forécs perturbatrices du:mouvement du système, étant d'une nature semblable aux forces P, Q, R, etc., d’où dépend la fonction F, ajouteront à cette fonction une fonction analoeu® que nous désigne- rons par —Q. De sorte qu'il n’y a qu'à mettre F'—4@Q à la place de 7’, dans les équations de l'article 10 (sect. précéd.), et par con- séquent Z—Q à la place de Z ; dans les termes de celles dogar- ticle 3, qui contiennent les différences partielles de Z relatives à | £, À, ®, etc., pour avoir les équations du nouveau problème, lesquelles seront, ainsi dz dZ da a — 4 — dé dt, . «4 _ 2 _ me "4 7 dj CA) dZ d. dZ Q etc. g. Si on suppose connues les expressions des variables £, 4, ?, etc. en tet en constantes arbitraires, dans le cas où les se conds membres de ces équations sont nuls, on peut, en conser- “vant ces mêmes expressions, mais en rendant variables leurs constantes arbitraires, faire ensorte qu’elles satisfassent aussi à la toialité de ces équations; et l'objet de l'analyse que nous allons exposer est de donner les formules les plus simples pour la dé- termination de ces constantes devenues variables. Nous remarquerons d’abord que puisque ces constantes soit en nombre double de celui des variables £, +, ®, etc., comme nous l'avons déjà observé (art. 2), et par conséquent en nombre double de celui des équatians auxquelles il faut satisfaire, on pourra en- . core les assujétir à un nombre de conditions arbitraires égal à celuiede ces variables. ! Les conditions les plus simples et en même temps les plus ap- CHA + : d d. d propriées à la chose, sont que les faleurs de de ? = ) dec. con- SECONDE PARTIE, SECTION V: 331 servent aussi la même forme que si les constantes n’y variaient point. De cette manière, non-seulement les espaces parcourus par les corps, mais encore leurs vitesses seront déterminées par des for: mules semblables, soit que les constantes afbitraires demeurent inyariables, comme lorsqu'il n’y a point de forces perturbatrices, soit qu’elles deviennent variables par l'effet de ces forces. Ces conditions auront de plus l'avantage de réduire au premier ordre les équations différentielles entre les nouvelles variables; de sorte qu’èn aura un nombre double d'équations, mais du premier ordre seulement. 10. En employant, comme dans l'article 4, la caractéristique À ” pour désigner les différentielles dues uniquement à la variation des constantes arbitraires, tandis que la caractéristique 4 ne se rap- poïte qu'aux différentielles relatives au temps 4, les conditions dont* nous venons de parler seront exprimées par les équations É=o, dY—=o, dp—=o, etc., dans lesquelles il faut remarquer que toutes les constantes Æbi- traires doivent devenir variables à la fois, de sorte que la carac- téristique d' indiquera dans la suite la variation simultanée de toutes les constantes arbitraires, au lieu que dans les formules de l'article 4 et suivans, la même caractéristique dénotait en général les différentielles relatives à la variation de toutes les constantes, ou seulement de quelques-unes d'entre elles à Volonté, ainsi que Vautre caractéristique A. , Donc en faisant tout varier, les différentielles de £, À, ®, etc. seront simplement d?, dJ, dy, etc., ou bien £'dt, J'dt, g'ät, etc., comme si le temps seul variait. Ainsi dans les équations de | Hi 8 la fonction Z sera Îa même, soit que les constantes ar traires soient censées variables ou bon; mais en regardant ces constantes comme variables, les 352 Eee ANALYTIQUE: 7e dZ dz ñ ! différences d. s dr . dr , Ctc. devront ëtre augmentées d d,2z nee dZ d'.< dZ d 5 see es termes Æ> Ga AV” Te? etc., dus à la variation des constantes. D'un autre côté, comme par l’hypothèse les fonctions de # et des constantes qui représentent les valeurs de #, À, @, etc. sa- tisfont identiquement aux mêmes équations, sans leurs seconds membres, dans le cas où ces constantes ne varient pas , quelles que soient d’ailleurs leurs valeurs, il est clair que les termes az dZz dZ dZ d.- ET dd da — gd, di — de L) etc. se détruiront d'eux-mêmes, et pourront par conséquent être effacés. On aura donc simplement, pour La variation des constantes Brbitraires, les équations * ET, Ra, St dt, ete., qu'udra combiner avec les équations données ‘ci-dessus, dé=0, M=0, dp=o, etc. Ces équations étant en nombre double de celui des variables £, À, ®, etc., ct par conséquent en même nombre que les cons- tantes arbitraires (art. 2), serviront à déterminer toutes ces cons- tantes devenues variables 11. Les équations qu'on vient de trouver étant multipliées res- pectivement par AË£, A4, A9, etc., et ensuite ajoutées ensemble, donnent” Ed. SZ “Æ + A4. UE açd 5 + etc. _ ŒÉ+T A4 Jap + cie) Ici AË, A4, A9, etc. indiquent, comme dans l'amicle 4, des dif- SECONDE PARTIE, SECTION Ÿ. 335 férentiellgs des fonctions #, 4, @, etc., prises en faisant varier seulement les conetantes arbitraires d’une manière quelconque, soit qu’elles varient toutes en même temps, ou quelques-unes seulement à volonté. Or en regardant Q comme une fonction de £, 4, @, etc., on aura, en différentiant par Mpport à A, A0 = PA + RAY + 5 4? + etc. Donc on aura A.Qdt = NE AE NP ZE Agd.5Z 2 + etc. Retranchons du second membre de celte la quantité dz CFA dZ JéA + Na.7y + dyA T + etc., qui est nulle en vertu des équations de condition d£—0, dJ=0, d@=0o, etc., on aura cette formule ol ; A.Qdt = MENT 5 + NES + 99,37 de + etc. — d£A ua — Ja 57 — don SE — ete. I Ed TE e + [NAS . Agd.$ 2 + etc. aT — PR — A: — den. Te — elc. en changeant Z en 7', comme dans l’article 7 ° CHA + 17, On voit que le second membre de l'équation précédente est la même fonction que nous avons vu devoir être indépendante du temps £ (art. 7). D'où il suit qu'après y avoir substitué les va- leurs de #, À, ®, etc. en fonctions de # et des constantes arbi- traires , on pourra y faire # nul ou égal à une valeur quelconque. 12. Donc si on suppose, ce qui est toujours permis, que ces fonc- à je : ; T tions, ainsi que celles qui représentent les valeurs de ss 7 ge 534 MÉCANIQUE ANALYTIQUE- D etc., soient développées en séries de puissances asqgpdantes de 7, de cette manière En a + at + a + af + ete, 4 B+ Bi RE + RE + etc, e=y+yt+ ve A ye + ete, etc., Œ = AH AH NE + NE + etc, Pire + WE + etc., L mr Lvt Hyé HE HR etc, etc L 2 et qu’on substitue ces valeurs dans le second membre de. Péqua- tion de l’article précédent, on pourra y faire #—0, ce qui les ré- duira aux seuls premiers termes «, 8, y, etc., À, pm, », etc. Cette équation se réduira ainsi à la forme A.Ndt = Aadn + Afdu + Aydy + etc. — And — AudB — Ardy — etc. 13. Les quantités «, @, y, etc., À, pe, », etc. ne peuvent être que fonctions des constantes arbitraires que la double intégration introduit dans les expressions finies des variables £, 4, ®, etc., : et l’on peut aussi les prendre pour ces mêmes constantes. En effet, les constantes arbitrgires qui donnent à la solution d’un problème de Mécanique toute l'étendue qu'elle peut avoir, sont les - valeurs initiales des variables, ainsi que celles de leurs diffé- rences premières ; c’est-à-dire, les valeurs de £, 4,'®, etc. et de ë, & D etc., lorsque #=d; ces valeurs sont donc, dans s SECONDE PARTIE, SECTION V: .. 535 les expressions de £, 4, @, cte., que nous avons adoptées, «, B,7, etc, æ, B', y, etc. Or T . une pes donnée de £, 4,9, etc. et de = AA =+, =? , etc., il est clair ; .. dT dT dT qu’en faisant 4 0 dans les fonctions > d » TE? d? elc., ce qui les réduit à -A, #, v, elc., ces constantes À, p, », etc. seront les mêmes fonctions des constantes «, B, 7, etc., æ, 8, y’, etc.; dT d : que les fonctions Œ ? Fe ; D etc. le sont des variables £, 4, ?, etc:, &’, W, ®’, etc. Par conséquent au lieu de prendre immé- ditement a’, 8,7, etc. pour constantes arbitraires, on peut prendre La A, H;, », etc., qui en dépendent. Ainsi on aura «, B, y, *etc., ÀA,°m, », etc. pour les constantes arbitraires des ex- pressions de £, À, ®, etc.» et l'on voit que le nombre de ces cons- tantes sera précisément double de celui des variables £, 4, ®, etc. De cette manitre, la différentielle A.Q, dans laquelle la ca- ractéristique A ne doit affecter que les constantes arbitraires çon- tenues dans ©, à raison des valeurs de £, 4, ®, etc. qui renferment ces consiantes, deviendra 1.0 = À Aa + À D 08 + RAY + etc. dd En la substituant dans le premier membre de l'équation de Par- ticle précédent » @t ordonnant les termes par rapport aux diffé- rences marquées par A, on aura _ dé dx)Aa + dt— snjag +(Hat—d Ay-+etc. + us dt + d'a )AA + dt + d'é)au +(a+sy)ar etc.=0. Comme on peut donner aux différences Aa, AB, etc., marquées par la caractéristique A, une valeur quelconque, il faudra que l'équa- 336 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: tion soit vérifiée indépendamment de ves différences, ce qui don nera autant d'équations particulières, telles que + do dy Pdt= à, | D d= du, dt= dy, etc., da da da x ü=- da, züt=—d8, Tdü—=—- dy, etc. 14. Les différences marquées par la caractéristique -S' sont pro- prement les différentielles des constantes arbitraires devenues va- riables (art. 10); ainsi comme ces différentielles peuvent maintenant être rapportées également au temps £#, il est permis et mêmé con- venable de changet le J'en d, et l'on aura pour la détermination des nouvelles variables «, B, y, etc., À, m, », etc., les équatäong da __ d9 d&____da à da D D de ue dar (NV da _ da du __d0 dr __ da ER Hd Hd ss qui sont, comme lon voit, sous une forme très-simple, et qui fournissent ainsi la solution la plus simple du problème de la va- riation des constantes arbitraires. 15. Comme la fonction Q renferme les quantités #, B, 7, etc., À, A, v, etc., il faudra les regarder aussi comme variables dans les différences partielles de cette fonction; mais lorsque la valeur de Q, qui dépend des forces perturbatrices, est supposée fort pe- tite, il est clair que les variations de ces quantités seront aussi fort petites, et qu’on pourra, dans la premiére approximation, les regarder comme constantes dæs les diflérences partielles de €?, et m'avoir égard à leur variabilité que dans les approximations suivantes. ! Dénotons par a, b, c, etc., 7, m, n, etc. les parties consfantes dea,fB,7y,etc., À, pm, », etc., etipar a’, G', y',etc., À’, p, »,etc., leurs parties variables, qui, étant de l'ordre de la quantité Q, seront SECONDE PARTIE, SECTION V. 357 seront nécessairement très-petites , et soit O la valeur de ©, en y changeant «, 8,7, etc, À AE etc., en a, b, c,etc., l,m, n, etc. On aura ainsi = c++, étc., IH, k=m+#, »=n+vr, cetc., et où aura par « le nn a=œa+ a, B=b4+£, y À = a! n=0+% DE + + D ÿ + ete. : +89x + 20 9 W + Tr + ete. + etc., Les équations différentielles de l’article précédent donneront da! = me D dt, ns dt, =-À dt, etc., =D, W=ÿd, dd, cd; car il est évident que les différences partielles relatives à. &, 8, 7, etc., À, me, », etc. peuvent être rapportées aux quantités apa- logues a, b, c, etc., 7, m, n, etc. : Pour la première approximation, on aura Q = 0, O étant une simple fonction de #; donc on aura par l'intégration ’ dO é dO dO = [Tr à, B=—/fr dt, Y=— r dt, etc. , \N = dt, = fa, A = fa, etc. *En substituant ces valeurs dans l'expression de Q, on aura "pour la seconde Fo >, o—0+" affa fra + a [dt 5 End … etc., et ainsi de suite, Méc. anal, Tome I. 43 558 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 16. Il y a ici une remarque imporlaute à faire. Si la fonction Co) ne contient le temps que sous les signes de sinus et cosinus, il est clair que la valeur de 9 ne contiendra, dans la première ap- proximation, que les mêmes sinus et cosinus. Mais on pourrait douter si, dans Papproximation suivante, elle ne contiendrait pas des termes où le temps # serait hors des signes de sinus et de Cosinus, et qui, croissant continuellement, augmenteraient à lin- fini la valeur de Q, et rendraicnt par conséquent Papproximation fautive. Pour lever ce doute, nous remarquerons que de pareils termes ne pourraient venir que d’une partie constante de @, c'est-à-dire, dégagée de tout sinus ou cosinus renfermant le #. Soit donc 4 cette partie qui sera fonction des constantes arbi traires «, B, y, etc., À, m,», etc. Ainsi O contiendra une pa- ‘reille fonction de a, b, c, etc, Z,m, n, etc., que nous dénoterons encore par 4. En substituant Z au lieu de © dans l'expression de Q de lar- tide précédent, on aura la partie de @, due à.la constante 4, dans la seconde approximatiof, et cette partie sera dA dA dA. dA ATX YA dA. dA dA. dA nt &* dm! etc. ? où l'on voit que les termes affectés de se détruisent mutuellement. Ainsi on est assuré que la seconde approximation ne donne dags aucun terme qui croisse avec, le temps #; mais il resterait à voir sil en pourrait naître dans lès approximations suivantes. Au reste, le mëre terme constant À pourrait donner encore dans Q des termes multipliés par #, étant combiné avec des termes non constans de la mème fonction Q ; 3 mais alors le # qui se trou- verait dégagé des sinus et cosinus, serait en même temps multi- plié par des sinus ou cosinus d’angles proportionnéls au temps. La SECONDE PAR'WE , SECTION V. - 339 ‘même chose auraît lieu si le coefficient de + sous les signes de sinus et cosinus était fonction des constantes arbitraires «, 8, >,etc., parce qu’alors les différentiations partielles de A relatives à ces cons- tantes , feront sortir le‘ hors des sinus ou cosinus. Mais on peut re- marquer en général que lorsque. les approximations successives font paraitre des termes de la forme dont il s’agit, dans lesquels des sinus ou cosinus se trouvent muitipliés par langle qui est sous ‘ces sinus ou cosinus, ces sortes de termes sont presque toujours le résultat du développement d’autres sinus ou cosinus, et on peut les éviter en intégrant directement les équations différentielles entre les constantes arbitraires devenues variables. 17. Quoique les constantes arbitraires que nous avons employées soient celles qui se présentent le plus naturellement, et qui donnent les résultats les plus simples, il arrive souvent que les différentes intégrations introduisent à leur place d’autres constantes, mais qui ne peuvent être que des fonctions de celles-là. Nous désignerons en général les constantes arbitraires qui sont censées entrer dans les expressions des variables £, 4, @, etc., par a, b, c, f, g, etc., dont le nombre doit être également double de celui des variables; et pour avoir les relations entre ces nouvelles constantes et les premières, il suflira de supposer #0 dans les dT dT dT : valeurs des fonctions £, 4, ?, etc., Œ? dV° dd? etc., et d'éga- ler les résultats aux quantités «a, B, 7, etc., À, me, », etc. De ‘cette manière on aura autant d'équations entre ces différentes cons- tantes , par lesquelles on pourra déterminer les valeurs de «&, 6, c;f, g, etc. en fonctions de “, "B, Y, etc, À, Be », etc. Nous supposerons donc ces fonctions connues, ct la différen- tiation nous donnera tont de suite d de da = Tede +8 + D dy + etc. 0 das d + + du + Eu + ete. 340 - MÉCANIQUE#ANALYTIQUE. Donc substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 14) de da, dB, etc., et divisant par df, on aura de _ do dt da de 40 de 48 10 60 + cio da da da da. da Fan du Sd Todd re Ilen est de même des valeurs de … ei etc., pour lesquelles il n’y aura qu’à changer dans l'équation précédente a en 6, en c, etc. 18. Mais ces formulès contiennent encore les différences par- tielles de Q relatives aux constantes æ, B, y, etc., et il s’agit de les changer en différences partielles relatives à a, b, c, etc., ce qui est facile par les opérations connues. : L En effet comme © est censée maintenant fonction de &, b, c, etc., et que ces quantités sont elles-mêmes fonctions de &, B,7, etc., À, B, », etc., on a tout de suite, par l'algorithme des différences partielles , db + Ex + EE a, da dQ . db dQ., dc KR + 26 di FX + EC et il n’y aura plus qu'a substituer ces valeurs dans celles de de, db œ ete. de l'article précédent. En faisant ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux différences partielles de 5 on voit d'abord que le coefficient de Se est nul dans la valeur de Ps que celui de : est nul dans la valeur de 2, etc. Ensuite si, pour représenter la valeur de a » On emploie Ia formule l | SECONDE PARTIE ; SECTION V.. BA da da De) ‘ da a = Qb)x 7% + (ac) xT + @PIX A + ete. on aura | da. db , de. db , da. db (a,b) = IX + a.” dé + a “dy + etc. da, db _ dd, db da db — dur dé du — dy dv — eic., da. de da. de da de {a,c) = TXT + da dé + TXT + etc. da. dc da. dc da. dc — FrAYA — Be dd — etc., etc. Et pour avoir la valeur de 5, il n’y aura qu'à changer dans ces formules a en & etben a , € remarquant que l'on à (b,a)=—{(a,b); on aura ainsi = — (a,b) e + Ge) À + CHE +etc., etc., db. de : db. de , db, de (b,c) = 4 de + EXRT FAT + etc. db, de db, de db, de —_ de Bd dy dr — etc., etc. En général si £ représente une quelconque des constantes arbi- traires a, b, c, f, etc., et qu’on observe que la valeur des sym- boles représentés par deux crochets, devient nulle lorsque les deux lettres renfermées endlle les crochets sont identiques, et qu’elle change simplement de signe lorsqu'on change l'ordre de ces lettres, on aura ces formules générales, du da da da a = Ga) + (6) 37 + (Ec) x rec, dk. da , dk. da | dk, da (ka) = FR Ÿ PUS T8 + aXE + etc. dk da dk. da dk, da — da dx — R*d — ET — etc. ; etc. 342 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 19. Le principal usage de ces formules est dans la théorie des planètes, pour calculer leffet de leurs perturbations, en le rédui- sant à la variation des constantes arbitraires qui sont les élémens du mouvement primitif. Elles sont surtout utiles pour déterminer les variations qué les astronomes appellent séculaires , parce qu’elles ont des périodes très-longues et indépendantes de celles qui ont lieu dans les variables primitives. Comme les équations de l'article 18 ne contiennent d’autres fonctions du temps, que les différences partielles de la fonction Q, . si on cherche par la résolution en séries, ou autrement, la par- tie Æ de la fonction @, qui est indépendante du temps #, et ne contient que les constantes arbitraires a, b, c, etc., il suffira de substituer, dans ces équations, Z au lieu de Q, et Jon aura directément les équations entre les quantités a, b, c, etc. deve- ‘nues variables, et le temps #, lesquelles serviront à déterminer: leurs variations séculaires, parce qu'elles sont débarrassées de tout sinus ou cosinus. $ III, Où l’on démontre une propriété importante de la quantité qui exprime la force vive dans un système troublé par des forces perturbatrices. 20. Les constantes arbitraires dont nous venons de donner les variations, dépendent de la nature de chaque problème, et ne peuvent être déterminées que dans les caslparticuliers. Il y en a cependant une qui a lieu en général pour tous les problèmes où # n’est fonction que de £, 4, w, etc., c’est celle que l'intégration doit ajouter à #; car comme les équations différentielles ne renferment alors que l'élément de, il est clair que dans les expressions finies des variables en fonctions de t, on peut toujours mettre # plus une cons- tante arbitraire à la place de £. Désignons cette constante par X, et rapportons-y. les différences marquées par la caractéristique A dans la formule. générale de lar-. + vt SECONDE PARTIE, SECTION V. 542 ticle 21. On aura ainsi da dé PR! Mais ee £,4À, ®, etc. sont fonctions de 54%, il est clair : dE _ d{ di , d? ET qu'on aura = D —= ,etdemème ==), =P=p, etc. Donc AË = EÊ'AK, A = W'AK, Ap=®AK, etc. Par la même raison on aura dZ dZ d.—— dZ d.— 7 TT Mais les équations différentielles de l’article 3 donnent dZ dZ d ae __ az TE té Æ , Th = , Û Donc on aura dZ.__ dZ dZ = = = etc. Ainsi la formule générale de l'article 11 deviendra par ces substi- tutions, et après la division par AK, da S 19 dZ , fe RA= Re met — RER 2 4 — F9 — etc. Or on a LD + VI + 092 + ee 12 HR) PARA A —— “CIC. ; LA et comme Z ést censé fuction de. : do, etc., et de &', 4’, 344. MÉCANIQUE ANALYTIQUE. LE elc., on aura 22 = IE + TR O4 + PE Je + etc. + Lo g + EN +0 + etc: Donc l'équation précédente deviendra d , dZ , dZ RA= SET +4 De + de + etc. — 2), dont le second membre doit être une fonction des constantes ar: bitraires, indépendante de # ‘21. En effet, si on change Z en T— et £, d”, ®, etc. en &, “, ®, etc. Aa Ds il est facile de voir que la quantité ,dZ LT + NÉ + Pas + oc. — Z sera la même chose que : quantité GE + jt + Gap de + etc. = T+ F, que nous avons vu être toujours égale à une constante et qui se: réduit à T+ 7° (sect. précéd., art. 14), d'où résulte l'équation T+V = H, laquelle exprime la conservation des forces vives du système. Ainsi en prenant 77 pour une des constantes arbitraires, on aura pour sa variation due aux forces perturbatrices contenues dans la fonction Q, cette formule très-simple, dH= a dt. % 22. On pourrait aussi arriver à cette formule par un chemin plus court. En effet, si on reprend les équations de Particle 8, qu'on les ajoute ensemble apres les avoir multipliées respective- ment par dé, dd, dp, etc., et qu'on ‘intègre en employant les 7 mêmes SECONDE PARTIE, SECTION V. 345 mêmes réductions que nous avons pratiquées dans l'article 14 de la section précédente, on parviendra directement à l'équation T+PEH+Y( Rae + Rat + Ra + cc), dans laquelle la quantité qui est sous le signe intégral n’est pas intégrable en général, parce que la fonction &, à cause de la mobilité qu'on peut supposer aux centres des forces perturbatrices, est censée contenir, outre les variables £, 4, ®, etc., encore d’autres variables indépendantes de celles-là, | Dans le cas où il ny à point de forces perturbatrices, on a simplement T+ =. Or il est évident qu’on peut conserver cette forme à l'intégrale qu’on vient de trouver, en rendant va- riable la constante ZZ, et en faisant all = À Œ = dE + TA + ad + elc.; mais il est visible que la quantité TE d + Fa + 7 de + etc. - west autre chose que la différentielle de Q, cn ne faisant varier que les quantités £, À, ®, etc., qui dépendent des équations dif- férenticlles primitives , et qui sont supposées connues en fonctions de &+ À, en nommant Æ, comme dans l'article 20, la constante qui peut toujours s'ajouter à la variable #. Ainsi, comme les va- riables £, 4, ®, etc. ne varient qu'avec le temps £, il est facile de voir que la quantité dont il s’agit sera la même chose que a dt ; , ” +, . dH à do par conséquent on aura, comme plus haut, l'équation =. 23. Cette équation peut donc aussi se mettre sous la forme di, dE — fasse varier le # d'autant qu'il est contenu dans les expressions Héc. anal, Tome I. 44 =(7) , pourvu que danse la différence partielle de @ on ne 346 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: des variables £, 4, ®, etc.; et il résulte de cette formule, que si “la fonction @ ne contient le temps # que sous les signes de sinus efcosinus, comme cela a lieu dans la théorie des Planètes , lex- pression de (% R yne pourra contenir que des termes périodiques, parce que tout terme constant de Q s’en ira par la différentiation relative à £. Ainsi, dans la première approximation, où l’on regarde comme absolument constantes , les constantes arbitraires qui entrent dans la fonction Q, litégrale de (? r )dt, c’est-à-dire la “valeur de 4, ; ne pourra pas ‘contenir des termes tels que Nt qui croissent avec le temps . Nous avons vu plus haut (art. 16), que la seconde approximation ne peut donner à { aucun terme qui ne soit périodique; donc la même conclusion relative à la va- leur de 7, aura lieu encore dans la seconde approximation. 24. La quantité 7’ exprime la force vive du système, et elle est égale à H— F. Lorsque le système n’est troublé par aucune force perturbatrice, la quantité Æ est constante, et la force vive ne dé- pend que des forces accélératrices contenues dans l'expression de F, comme on l'a vu dans Particle 54 de la troisième section. Cette : quaniité devient variable quand il y a des forces perturbatrices, par conséquent la force vive sera altérée par l’action de ces forces ; mais par ce que nous venons de démontrer, on voit que ses altérations ne pourront être que périodiques, si l'expression des forces perturbatrices est périodique, du moins dans les deux premières approximations. Ce résultat est d'une grande importance dans le calcul des perturbations. SECONDE PARTIE, SECTION VI. 347 SIXIÈME SECTION. Sur les oscillations très-petites d'un système quelconque . de corps. Les équations différentielles du mouvement d’un système quel- conque de corps, sont toujours intégrables dans le cas où les corps . ne s’écartent que très-peu de leurs points d'équilibre; et lon peut alors déterminer les lois des oscillations de toutle système. L’ana- lyse générale de ce cas, qui est très-étendu, et la solution de quelques-uns des principaux problèmes qui s’y rapportent, sont l'objet de cette section. $ I ‘Solution générale du problème des oscillations très-petites d'un _ système de corps autour de leurs points d'équilibre. 1. Soient 4, b, c les valeurs des coordonnées rectangles x, y, z de chaque corps m du système proposé dans le lieu de son équilibre, Comme on suppose que le système, dans son mouve- ment, s’éloigne très-peu de sa situation d'équilibre, on aura en général | x=ate, y=bH8, z2=c+7, ls variables &, 8, > étant toujours très-petites; il suffira par conséquent d’avoir égard à la première dimension de ces qüan- tités dans les équations différentielles du mbuvement. La même chose aura lieu pour.les autres quantités analogues, qu'on distin- gucra par un, deux, etc. traits, relativement aux différens corps À Li m', m', etc. du mème systéme. 348 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: Considérons d’abord les équationo de condition qui doivent avoir lieu par la naturé du système, et qu'on peut représenter par Z=o, M=o, etc., L, M, étc. étant des fonctions algébriques données des coordonnées x, y, z, «, y’, etc. Comme la position d'équi- libre est une de celles que le système peut avoir, il s’ensuit que les mêmes équations Z=0o, H=o, etc. devront subsister, en supposant que x, y, z, x, cic. deviennent a, b, c, a’, etc., d’où il est facile de conclure que ces équations ne sauraient renfcrmer le temps £. Soient 4, B, etc. ce que deviennent Z, A7, etc. lorsque x, Y 7, x, etc. deviennent «a, b,c, a, etc.; il est clair qu’en substituant pour x, y, z, x, cte. leurs va'eurs a+a, b+B, cHy, a'+a, elc., on aura, à cause de la petitesse de «, 8, y, a, etc., | dA dA dA d4 , L=A+ Det GR rte te, l dB dB dB dB , M= + ra BB + Er +ise + elc., et ainsi de suite. Donc 1°. on aura 4=0, B=0, etc., relativement à l’'équi- libre; 2°. on aura les équations dA dA dA dA , … Fr nr" Le + cc. = 0, dB dB dB dB, , RePUPTEYT RE PEE=); etc. , lesquelles donneront la relation qui doit subsister entre les va- riables «, B, y, à’, etc. " | En nésligeant d’abord les quantités très-petites du second ordre et des ordres supérieurs, on aura des équations linéaires par les- quelles on déterminera les valeurs de quelques-unes de ces variables par les autres; ensuite par ces prémières valeurs on en trouvera de plus exactes, en tenant compte des‘secondes puissances, et SECONDE PARTIE, SECTION VI. 849 des puissances plns bantes, comme on voudra. On aura ‘ainsi les valeurs de quelques-unes des variables &, B, y, «’, elc., exprimées par des fonctions en série des autres varidbles; et ces variables restantes seront alors absolument indépendantes entre elles. On pourra aussi, dans la plupart des cas, en ayant égard aux conditions du problème, réduire les coordonnées, immédiatement par des substitutions, en fonctions ralionnelles et entières d'autres variables indépeudantes entre celles, et très-petites, dont la valeur soit nulle dans l'état d'équilibre. Nous supposcrons donc en général que l'on ait x = a + Qa1Ë + a2d + a5g + etc. + a’1Ë£° + eic., D + b1Ë + bed + 05e + etc. +. d'i5" + etc., g = c++ c1Ë + cod + 059 + etc. + c'1Ë° + etc., et ainsi des autres coordonnées x’, y’, etc., les quantités «, b, CA ai, b1, etc. sont constantes, et les quantités £, 4, ®, etc. sont ‘variables, trés-petites, et nulles dans l'équilibre. 2. {1 ne s'agira que de faire ces substitutions dans les valeurs de T'et F de l'article 10 de la section IV; et il suffira de tenir compte des secondes dimensions, pour avoir des équations diflé- rentielles linéaires. Et d’abord il est clair que la valeur de T' sera de cette forme : — QE + ()d{ + (Bde + etc. T= adt* (1,9)dEd4 + (1,3)dËde + (2,3) de + ete. + . : en supposant, pour abréger, (1) = S(a1° + b1° + c')m, (2) = S{a2* + b2° + c2°)m, (3) = S(as" + 05 + c5)m, etc. 350 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. (1,2) — S{aia2 + b1b2 + c1c2)m, (2,5) = S(a1a3 + b103 +- c1c5)m, (2,5}k == S(a2a5 + b2b5 + c2c5)m, etc., où le signe S dénote des intégrations ou sommations relatives à tous les différens corps m du système, et en même temps indé- pendantes des variables £, 4, @, etc., ainsi que du temps £. * Ensuite si on dénote par F la fonction algébrique IT, en y met- tant a, b, c, à la place de x, y, z, il est clair que la valeur générale de IT sera représentée ainsi, F+ F (a1£ + a24 + a59 + etc.) + (AE + bad + 85e + etc.) HE (LE + co +059 + etc.) A5 Te (a1Ë + aa + a3® + etc.)* + LT (a1Ë-art-añe-hete.) (1Ë+ Ba4 +03p+etc.) + DE LË + bad + 639 + etc, etc. où il suffit d’avoir égard aux secondes dimensions de £, 4, ?, etc. Multipliant donc cette fonction par m, et intégrant avec le signe S, on aura en général V= IT + Hi£g + Hal + H59 + etc. + CE +0 + + etc. 2 +214 + (1,516 + [2,5]4P, etc. + etc. etc. H = SFm, D = a + Eh + Fo) H32 = SE «2 + D ba + D e2 m, H5 = SE a5 + PE 05 + L'e5)m, etc. SECONDE PARTIE, SECTION VI. = SE ‘ai HS ar Ti + 2 ea (SU ce DS + sa ob +9 2 pes +2 7 rhia)m, Fe = S “ F ao A + F co + 2 db = ns + 2: 7 4202 +2 -— SP jala) m, . = S arbre Ëf c3* + 2 Th 363 +2; LE a3c5 + 2 Le. F p3c3 etc., {1,2] = (É a1a2 + D biba + . c1c2 . (B1024-b3c1)) m, : 3] = S _ PE 1a3 ee EL F p183 Le + F c3 + Le ne + EX (a ie + de ra plu ar (a1c3-a5c1) + 4 __. (b1c5+-b5c1 ) m, . 3] = S es Feu +2 É Fpab3+T D 0365 + ces % (a2b5-a5b3) + pes P (aac3-a5c2) + (b2c35+-B3c2 ) m ; eic. 3. Ayant ainsi les valeurs de T' et 7 exprimées en fonctions des variables £, 4, ®, etc. indépendantes entre elles, on n'aura plus aucune équation de condition à employer, et comme la quantité T ne contient que les différentielles des variables, on aura sur-le-champ, Ron le mouvement du système, leg équations suivantes : 352 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. dont le nombre sera, commo lon vuit, égal à celui des variables. Ces équations doivent avoir lieu aussi dans l’état d'équilibre, puisque le système y étant une fois, y resterait toujours de lui- même; or dans l'équilibre on a c@stamment x=a, y=6, z=c,x=a", etc. par l'hypothèse; donc £=0, J=0, p=—0, etc., ‘ Ne d é ainsi que & =0, a o, etc., et dE =o, clic. Donc les termes OT y °T : 77 477 F7 dE) di: etc. seront nuls, et les termes TE D 7 etc. se réduiront à Æ71, 112, 115, etc. Par conséquent on aura Hi=0, H2=o, .H5=0o, etc.; ce sont les conditions nécessaires pour que a, b, c, «’, etc. soient les valeurs de x, 3, =, «x, etc. pour l'état d'équilibre, comme on le suppose. En eflèt, il est visible que dV = S(Pdp+ Qdq + Rdr + etc.)m exprime la somme des momens de toutes les forces Pm, Qm, Ru, etc., appliquées à tous les corps m du système, et qui doivent se détruire mutuellement dans l’état d'équilibre ; donc par la formule générale donnée dans la seconde section de la premiére Partie, il faudra que l'on ait dF = 0, par rapport à chacune des variables indépendantes; par conséquent FLe Le Le F6 T0? 7j — 0» % =: ctc., seront les conditions de l'équitbre, lequel étant supposé répondre à £—o0, J—0, 9—0, etc., on aura A1=0, H2—0, 115=0, etc. De sorte que les preinières dimensions des variables £, 4, ®, etc., dans l'expression de F7, disparaitront toujours. Substituant donc dans les équations générales les valeurs de T et de F7, ct faisant A1, Zl2, AS, cie.) nuls, on aura pour le ' mouyement SECONDE PARTIE, SECTION VL 558 ! mouvement du ” Se o= (1) 5 _ E + (19) n. + (5) se £ + efc. + GE + G2ÿ + [,5]6 + etc., 0 = (2) a + (2,2) TE É (2,5) ce + etc. + A : (1,27 si _. + tts., o= (5) 2 + (5) SE E 4 (2,5) ss + etc. + [517 + B:5È + (54 + etc., etc, équations qui, ‘étant sous une forme linéaire avec des coefficiens , Constans , peuvent être intégrées rigoureusement et généralement ‘par les méthodes connues. 4. On peut supposer d'abord que les variables, dans ces sortes d'équations, aient entre elles des rapports constans; c'est-à-dire, que l'on ait JL = fé, p=gé, etc.; par ces substitutions, elles deviendront (Ga) +5) SE (+ bai DSi X=, (@f-H2)}H(23)g-ete.) LE (fa) Fr C,9]+ L2,5lg tete je, ((De-H2,5-H2,5)fetc.) TE He -+L31+ 1451) —0; etc., lesquelles donnent Ÿ LE + ® o, en faisant == La + C1, HE C1,3]g + etc. se Q GT (5) + etc. = EU + [9] + [2,95 + etc. G)f + + (2,5)g + etc. + La, + etc. = fe + fox) + QT, + ac. Le nombre de ces équations est, comme l'on voi, égal à celui des inconnues f; æ, etc. &; par conséquent elles déterminent caacte- Méc. anal. Tume I. . 45 SLCONDE PARTIE, SECTION VI: 361 possible que les variables £, , etc. restent fort petites, quand même parmi les quantités y/k’, yk", etc., il y en aurait d'imagi- naires ou d’égales; car il suffit pour cela que les quantités corres-, pondantes E”, E", etc. soient nulles, ce qui fera disparaitre les termes qui croîtraient avec le temps £. Alors la solution, sans être exacte en général, le sera néanmoins dans le cas particulier où A condition précédente aura lieu. 8. On a des méthodes pour reconnaître si une équation donnée, de quelque degré qu'elle soit, a toutes ses racines réelles ou non, et pour juger, dans le cas de la réalité, de leur signe et de leur inégalité; mais l’application de ces méthodes étant toujours un peu pénible, voici quelques caractères simples et généraux qui serviront à juger de la forme des racines dont il s’agit, dans un grand nombre de cas. En prenant léquation XÆ —o, ou 4t—B—o (article 6), on a =? ; or il est facile de se convaincre que la quantité 4 a tou- jours nécessairement une valeur positive, tant que f, g, etc. sont des quantités réelles; car la fonction T, d’où elle résulte, en changeant + %, ®, etc. en 1, f, g, etc. (art. cité), est composée de la somme : de plusieurs carrés multipliés par des coefficiens nécessairement po- sitifs. Donc si la quantité Z est aussi toujours positive, ce qui a lieu lorsque la partie de la fonction 7, où les variables £, 4, @, etc. forment ensemble deux dimensions, est réductible à la même forme que la fonction T, parce que la quantité B résulte aussi de cette partie de 7, en changeant £, 4,9, etc. en 1, f, g, etc., on est assuré que les valeurs de #, c’est-à-dire, les racines de l'équation en X, seront toujours positives toutes les fois qu’elles seront réelles. Au contraire, si la quantité Z est toujours négative, ce qui ar- rivera quand elle sera somposée de plusieurs carrés multipliés par Aléc. anal, Tome I. 46 362 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. des coefficiens négatifs, les valeurs réelles de 4 seront toutes né- gatives. Dans ce dernier cas, la solution ne pourra pas être bonne, parce que les racines de l'équation en # ne pouvant être qu’ima- ginaires ou réelles négatives, les expressions des variables £, 4, etc. contiendront nécessairement le temps # hors des signes de sinus et cosinus. Dans le premier cas où Z est positive, on voit seulement que si les racines sont réelles, elles sont nécessairement positives; et il serait peut-être difficile de démontrer directement qu’elles doivent être toutes réelles; mais on peut se convaincre, d’une autre ma- nière, que cela doit être ainsi. , Car le principe de la conservation des forces vives, que nous avons démontré dans le $ V de la section IIT, donne léquation T+ V= const. (art. 14, sect. précéd.), laquelle a toujours lieu puisque T'et 7 sont fonctions sans # (art. 2). Or si on désigne par 77’ la partie de 77 qui contient les termes de deux dimensions, ensorte que 7—H+F", à cause de I11—0, IH2—0, H3=0, etc. (art. 3), on aura T+ H+ V'=const. =(T)+H+(F7), en dénotant par (7) et (7) les valeurs de 7 et 7” au premier ‘instant; donc T+F'=(T)+(7"). Donc, puisque 7' est par sa forme une quantité toujours posi- tive, si 77” l'est aussi on aura nécessairement 7”>0o et (7) + (7); de sorte que la valeur de 7, et conséquemment aussi celles des variables £, 4, @, etc. seront renfermées dans des li- mites données et dépendantes uniquement de l’état initial. Ces variables ne pourront donc pas &ontenir le temps £ hors des signes de sinus et cosinus, parce qu’alors elles pourraient aller en crois- sant à l'infini. Or lorsque là valeur de Z est constamment positive, celle de 7” l'est aussi, par conséquent les racines de Péquation en k seront nécessairement toutes ‘réelles, positives et inégales (art. 7), et la solution sera toujours bonnes . SECONDE PARTIE , SECTION VI. 563 Dans ce cas, l’état d'équilibre d’où le système a été déplacé sera stable, puisque le système y reviendra, ou tendra toujours à y revenir par des oscillations très-petites; du moins il ne pourra jamais s’en écarter que très-peu. 9. C’est de cette manière que nous avons démontré, à la fin de la troisième section de la Statique (art. 23 et suiv.), que lorsque la fonction I est un minimum dans l'état d'équilibre, cet état est stable; car il est facile de voir que la fonction nommée I dans Particle 21 de la section citée, est la même que nous représentons ici par 7, puisque l’une et l’autre est l'intégrale de la totalité des momens des forces agissantes sur les diflérens corps du système, totalité qui doit être nulle dans l’équilibre. Or comme lon a V— H+ V", et que 7” ne contient les variables £, À, @, etc. qu’à la seconde dimension, il s'ensuit que 77 sera un minimum ou un maximum , Selou que la valeur de 7” sera positive ou négative en donnant à ces variables des valeurs quelconques. Donc léqui- libre sera nécessairement stable dans le cas du minimum de F (art. précéd.). Au contraire, dans le cas du maximum de F, la quantité 7” étant toujours négative, la quantité Z le sera aussi, puisqu’en fai- sant J=f£, p—$8#, etc., la valeur de 7” devient £*Z (art. 6); et par ce que nous avons démontré dans l'article précédent, les expressions des variables contiendront nécessairement des termes où + sera hors des signes de sinus et cosinus; l'équilibre ne pourra donc pas être stable, car le système en étant tant soit peu déplacé, s’en éloignera toujours davantage. Cette seconde partie du théorème énoncé dans l'endroit cité de la Statique, n'avait pu y être démon- trée faute des principes nécessaires; nous en avions remis la démons- tration à la Dynamique, et celle que nous venons de donner ne laisse plus rien à desirer. 564 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 10. Au reste, entre ces deux états de otabilité et de non-stabi- lité absolue, dans lesquels l'équilibre étant tant soit peu dérangé d'une manière quelconque, tend à se rétablir de lui-même, ou à se déranger de plus en plus, il peut y avoir des états de stabilité conditionnelle et relative, dans lesquels le rétablissement de l’équi- libre dépendra du déplacement initial du système. Car si quelques- nes des valeurs de yÆ sont imaginaires, les termes correspondans dans les valeurs des variables contiendront des arcs de cercle, et l'équilibre ne sera pas stable en général; mais si les coefficiens de ces termes deviennent nuls, ce qui dépend de létat initial du système, les arcs de cercle disparaîtront, et l'équilibre pourra en- core être regardé comme stable, du moins par rapport à cet état particulier. 11. Lorsque toutes les valeurs de ÿ/4 sont réelles et inégales, et que par conséquent l'équilibre est stable, les expressions de toutes les variables seront composées d'autant de termes de la forme E sin(ty/k + €) qu'il y a de variables. Or ce terme représente les oscillations trés-petites et isochrones d'un pendule simple dont la longueur est £) en prenant g pour la force de la gravité. Donc les oscillations des différens corps du système pourront être regardées comme composées d'oscilla- tions simples analogues à celles des pendules dont les longueurs seraient ë, &, etc. Mais les coefficiens £’, (£", etc. étant arbitraires et dépendant uniquement de l'état initial du système, on peut toujours supposer cet état tel, que tous ces coefficiens, hors un quelconque, soient nuls; alors tous les corps du système feront des oscillations simples, analogues à celles d’un même pendule; et l'on Yoit qu’un même SECONDE PARTIE, SECTION VI. 365 système est snsreptible d'autant de différentes oscillations simples, qu'il y a de corps mobiles. Donc en général les oscillations quel- conques d’un système ne seront composées que de toutes les os- cillations simples qui pourront y avoir lieu par la nature du système. Daniel Bernoulli avait remarqué cette composition d’oscillations simples et isochrones, dans le mouvement d’une corde vibrante chargée de plusieurs petits poids, et il l'avait regardée comme une loi générale de tous les petits mouvemens réciproques qui peuvent avoir lieu dans un système quelconque de corps. Un seul cas, comme celui des cordes vibrantes, ne suffisait pas pour établir une telle loi; mais l'analyse que nous venons de donner établit cette loi d’une manière certaine et générale, et fait voir que quelque irré- gulières que puissent paraître les petites oscillations qui s’observent dans la nature, elles peuvent toujours se réduire à des oscillations simples, dont le nombre sera égal à celui des corps oscillans dans le même système. C’est une suite de la nature des équations linéaires, auxquelles se réduisent les mouvemens des corps qui composent un système quelconque, lorsque ces mouvemens sont très-petits. 19. Si les valeurs des quantités V#, VA, VF, etc. sont in< commensurables , il est clair que les temps de ces oscillations seront aussi incommensurables, et que par conséquent le système ne pourra jamais reprendre sa première position. Mais si ces quantités sont entre elles commé nombre à nombre, et que leur plus grande commune mesure soit w, on verra facile- ment que le système reviendra toujours à la même position, au bout d’un temps 8— =, + étant l'angle de 180 degrés. Ainsi 8 LU sera le temps de l’oscillation composée de tout le système. L 13. La solution que nous venons de donner demande que les r . ÿ , , . re coordonnées puissent être exprimées par des fonctions en série de 866 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: variables très-petites, et qui soient nulles dans l’état d'équilibre, ainsi que nous l'avons supposé dans Particle 3. Or c’est ce qui est toujours possible, comme nous l'avons vu, lorsque les équations de condition réduites en série, contiennent les premières puissances des variables supposées très-petites , parce que ces termes donnent d’abord des équations résolubles ration- nellement, et qu’ensuite on peut toujours, par la méthode des séries , avoir des solutions rationnelles de plus en plus exactes. Il peut néanmoins arriver que les termes de la première di- mension manquent dans une ou plusieurs des équations de con- dition, ce qui aura lieu, par exemple, si dans l'équation L=o, les valeurs des coordonnées pour l’équilibre sont telles, qu'elles rendent non-seulement Z nulle, mais aussi chacune de ces diffé- . l dA ___ dA _ rences premieres ; car on aura alors +=0,-7==0, etc., et équation Z —o ne contiendra que les secondes puissances et les puissances ultérieures de &, B, y, «',etc. (art. 1). Dans ce cas, si on réduit les coordonnées en fonctions de variables indépen- dantes, ces fonctions ne pourront plus être rationnelles, et les équations différentielles ne seront ni linéaires, ni même rationnelles. Ainsi la supposition des mouvemens très-petits du système ne servira pas alors à simplifier la solution du problème, ou du moins ne la rendra pas susceptible de la méthode générale que nous avons exposée. Pour résoudre ces sortes de questions de la manière la plus simple, on fera d’abord abstraction des équations de condition, où les premières dimensions des variables ne se trouveraient pas; on parviendra ainsi à des expréssions de T'et de 7 de la forme de celles de Particle 2. Ensuite on ajoutera à cette valeur de les premiers membres des équations de condition auxquelles on n'aura pas encore eu égard, multipliés chacun par un coefficient indéterminé, et qu’on supposera constant dans les différentiations par d\, et il suffira dans ces termes dus aux’ équations de condition, SECONDE PARTIE, SECTION VI. 367 de tenir compte des plus.basses dimensions des variables très- petites. De là on trouvera les équations différentielles à lordinaire, et il s’agira d’en éliminer les coefliciens indéterminés. Si les équations de condition étaient du second degré, et que les cocfficiens indéterminés pussent être supposés constans , la valeur de F scrait encore de la même forme que dans la solution générale ; par conséquent on pourrait l'appliquer aussi à ce cas; on déterminerait ensuite les coefficiens, ensorte que les équations de condition fussent satisfaites. On pourra donc toujours com- mencer par adopter cette supposition, on verra ensuite si les va- leurs qui en résultent pour les variables, peuvent satisfaire aux équations de condition , auquel eas la supposition sera légitime, et la solution exacte, sinon il faudra chercher à intégrer les équa- tions différentielles par des méthodes particulières. " $ IL. Des oscillations d’un système linéaire de corps. 14. Lorsque les corps qui composent le système proposé sont disposés, les uns par rapport aux autres , d’une manière uniforme et régulière , on peut simplifier le calcul et parvenir à des formules générales et symétriques, en employant la notation et l'algorithme des différences finies. Nous allons en donner un exemple, en exa- minant le cas où un nombre quelconque de corps rangés sur une ligne droite ou courbe, oscillent, en vertu de forces quelconques combinées avec leur action réciproque. Soient x, y, z les coordonnées rectangles d’un quelconque des corps du système, que nous dénoterons par Dm, en employant la lottre majuscule D pour dénoter les différences finies (art 17, sect. IV). On aura d’abord ° TT == stay +dr Dm edf : 368 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. la caractéristique S représentant les sommes relatives à tout le système. | La fonction 7 doit contenir la somme SIIDm provenant des fonctions accélératrices P, Q, R, etc. qu’on suppose telles que lon ait = /(Pdp + Qdq + Rdr + etc.) Cette fonction doit contenir aussi la somme S/&dDs, en sup posant que ® soit la force avec laquelle deux corps: voisins qui sont à la distance Ds lun de l’autre, s’attirent, et que cette force soit une fonction de la, mêmedistance Ds, ensorte que /bdDs soit une quantité intégrable dont la différentielle par d' suit ®J\De. Cette force ®, que nous supposons fonction de Ds, pourra varier d’un corps à l’autre, et sera par conséquent aussi fonction du nombre ou de la quantité qui représente la place de chaque corps dans la série de tous les corps, et à laquelle se rapporte le signe som- matoire 5. Si les corps, au lieu de s’attirer, se repoussaient, il fau- drait prendre ® négativement. On aura ainsi 7 — STIDm + S/$dDs, et par conséquent dF = SdTIDm + Sd Ds. Et il est bon de remarquer que cette expression de J'Y serait la même, si les corps étaient liés entre eux de manière que leurs distances mutuelles fussent invariables ; car on aurait dans ce cas l'équation de condition d'Ds — 0, laquelle donnerait dans lex- pression de d'F le terme SAd'Ds (art. cité). 15. En exprimant l'élément Ds par les différences finies de x, Yz,ilest clair qu'on aura D =V Ds + Dy°+ Ds'; donc différentiant par d, JDs = DzrdDzx + 70 a Pare Substituant SECONDE PARTIE, SECTION VI. 56ÿ Substituant cette valeur, et faisant, pour abréger, _. = Ÿ fonction de Ds, on aura SF= SATIDm + SF (Dxd Dx + rs + D: De). Comme les caractéristiques D et d' sont indépendantes entre elles, on peut changer d'D en Dd\, et lon aura JF = SATIDm + SY (DxDdx+- Dr Ddy + DzDd'r). ! . On peut aussi faire disparaître le D avant le d', par l'intégration par parties appliquée aux différences finies. 16. En effet, on a en général D.xy = xDy + y Dx + DxDy ={x+ Dx) Dy +yDr= x, Dy +yDx, en dénotant par x, le terme qui suit x dans la série des termes consécutifs x, x+ Dx, etc. Donc, en passant des différences aux sommes, On aura SYDx — ay —= Sx, Dy. On trouverait de Ja même manière U SyD'x = yDx — x, Dy + Sx, D'y, et ainsi de suite, x, x, x,, etc. étant les termes qui se > suivent dans la même série. Pour compléter ces sommations , il faudra rapporter les termes hors du signe $, au dernier point de l'intégrale finie Sy Dx, et en retrancher les mêmes termes rapportés au premier point. Ainsi, en marquant par un zéro et par un z placés au bas des lettres les termes qui se rapportent au premier et au dernier point, on aura ces sommations complètes. SyDx = Xi ÿa — XoYo — Sx, Dy, SyD'x = yiDx; — xi4 Di — JD + 5, Dye + 85, Dy, etc, Déc. anal. Tom. I. 47 354 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: Lorsque la caractéristique S indique des sommes totales d’un nombre de termes donné, il est clair qu’on peut, à la place des termes x Dy, x,Dy sous le signe 8, prendre les termes précé- dens, que nous dénoterons par xD,y, xD, y, etc., en marquant d'un trait, de deux, etc., placés à gauche, les termes ,y, ,y qui précèdent y dans la série indéfinie etc., ,ÿ3 ,Y 3 Yr Jos Vas ELC- , 17. Cela posé, mettons dans les formules précédentes dx à la place de x, et YDx à la place de y, on aura ces transformations SYDxDdx = (FDadx), — (FDadi), — Sd'xD (YDx) ; et de même SYDyDdy = (YDydyh — (Dydy). — SdyD{YDy), SEFD:Ddz = (FDzd'e), — (FWDid' zh, - — SJz:D(YD:), et l’on fera ces substitutions dans l'expression de d'F. Si le premier corps et le dernier sont supposés fixes, les varia- tions dx, d\yey d'z, €t d'xi, d'yn d', qui S'y rapportent, se- ront nulles. Nous adopterons d'abord cette hypothèse qui simplifie les formules, et nous aurons en conséquence d'F = SStDm — SfxD(YDx) — SfyD(YDy) — Sdz:D(YD:). En général, comme il faut que les variations disparaissent tou- jours, si le premier ou le dernier corps, ou tous les deux, n'étaient pas fixes, il faudrait supposer la valeur de # nulle au commen- 1 . où ” oo : cement, ou à la fin. On aurait ainsi , à cause de F=— D la condi- tion à remplir $&, —o, ou &, —0o, si le premier ou le dernier corps est supposé mobile, et si tous les deux étaient mobiles on aurait les deux conditions $#, =0o et D;=0o. SECONDE PARTIE, SECTION VI. 371 18. La variation dY étant réduite à cette forme simple, les équations générales de la quatrième section (art. 10) étant rap- portées aux variables x, y, z de chacun des corps du système, donneront pour ces variables les trois équations suivantes; dans lesquelles je remets ® au lieu de YDs, dx à 6Dx x Dm #+ 5 Dm — D, D = :0; d° TI &Dy Ge Dn+iDn— D (Si) =, d'z rl Dz x Dn+ Dm D) = 0. Ces équations sont rigoureuses, quel que soit le mouvement des corps; mais lorsque ces mouvemens sont très-petits, les équa- tions se simplifient et deviennent linéaires, comme nous l'avons vu plus haut ($ I). 19. Supposons que dans l'état d'équilibre du système, les coor- dannées x,y, z deviennent a, b, c, et qu'elles, soient dans le mou- vement a+£, b+n, cH£, les quantités £, n, Ÿ étant très- petites. La fonction Il deviendra n+ Te HT NET Ainsi en regardant dorénavant II comme une simple fonction de a, 6, ce vo + TI ÀI II En c, les trois différences partielles =, : FH? % pourront s’expri- mer ainsi: ani dt dH -, di mt Etat ant)» drl dun Care TI D + (Gt 5 a + &), dl ærl rl dr 2e ts £ F dd" + Ext) Par les mêmes substitutions de a-+£ À bn, c++, au lieu de x, y, z, les différences Dx, Dy, Dz deviendront Da + DE, DE+ Dr, Dc+ DK. A l'égard de la quantité ®, qui est supposée fonction de Des; 372 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. ‘si on fuit, pour abréger, = VDa'+ Di + Dc*; on aura ‘d’abord D Db D Ds = Df+ T DE + 57 Dn + Dj DE; ensuite si on nomme Æ ce que devient la Res ® lorsqu'on y change Ds en Df; et qu’on Re z _ TI 7 on aura par le dé- veloppement, = F Fe F' (rx D CE 2 ie x ; F* D > 5 Df* Df et par, conséquent , ® _F F'— SD De. D’ DT D FF G* mn X Det Dex Dj) 20. On fera ces substitutions dans les trois équations trouvées ci-dessus, ‘et comrhe dans l'état d’é quilibre les variables £, n, € sonit supposées nulles , il faudra que cès équations se vérifient dans cette hypothèse. Ainsi les termes constans devront se détruire , ce qui donnera d’abord les trois équations de condition à Da — D, () = == es FDb . D) FDc Ée Ces équations donneront les valeurs que les coordonnées #, 6, ce doivent avoir dans la situation de l'équilibre; et il est facile de voir qu’elles représentent d’une manière générale celles que nous avons trouvées dans la section V de la premitre Partie, pour Féquilibre de plusieurs corps liés par un fil extensible ou non. 21. On aura ensuite, entre les variables, £, », £ et #, les trois SECONDE PARTIE, SECTION VI: : 375 équations suivantes, dans lesquelles je fais, pour abréger, G=F— F, Da y = Lb _ De bn Fe ne, FA De Dm m + ( ë + LT LA” "HIT TR 219 Dm = D LR 60 (+8 +) Jo, % Dm m + (2 E+T "+ Tnt) Du =D É — GOT + Tr + + D )]=0, ge Ë Dm m + (2 EE ne +) Dm +) CS — 6e ( DE + + D )]=o. Ce sont ‘ces équations qui serviront à déterminer les oscillations -du système supposées très-petites; elles sont du genre de celles qu'on nomme à différences finies et infiniment petites , ct comme elles sont à coefliciens constans, elles sont susceptibles de la mé- thode générale exposée dans le paragraphe précédent. 22. Les équations de l’article 20 qui renferment les conditions de l'équilibre donnent, en passant des différences aux sommes, FDa dl Df — S da = Dm + 7; FD FDc Fe 4, B, C étant trois constantes arbitraires ; d’où l'on tire tout de suite F= VE Dm +4) #5 3 Du + 2) Dm D Du +c). 874 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Lorsque la quantité F' est une fonction donnée de Df, ce qui a lieu quand on suppose que les corps s’attirent ou se repoussent par une force & fonction de leurs distances Ds, la valeur précé- dente de F' donnera la valeur de Df qui doit avoir lieu dans Pétat d'équilibre. Mais lorsque les distances Ds sont supposées données et inva- riables, alors la quantité ® qui tient lieu du multiplicateur À (art. 14) est inconnue et doit se déterminer par la formule précédente; mais dans ce cas on a Ds= Df, et par conséquent (art. 19) D DE +5 Dn+ 5 Dt= o, ce qui simplifie les équations de l'article précédent. 23. L'esprit de la méthode de Particle 4 consiste à supposer que chaque variable soit exprimée par une même fonction de #, multi- pliée par une quantité différente pour chaque variable. Si on désigne par 8 cette fonction, on fera £==0X, n—=07, = 06Z, et après avoir substitué ces valeurs dans les équations de Particle 91, on verra aisément que pour vérifier ces équations, il est nécessaire que la variable 8 soit déterminée par une équation de la forme d'8 BC + 78 = O0; car alors en mettant pour + He 3; sa valeur — À, et divisant tous les termes par 8, on aura ces trois équations aux différences finies, EXD == (TE XL + Se Z) Dm FDX d'DX , b'DY c'DZ Dora (+ ui + )} LED = (in X + + 9x Z) Dm DCR + SET SECONDE PARTIE, SECTION VI. 375 KZ Dm = (PT X + Y + 5 Z)Dm -D[T- Gc! + D + re pe) 24, L'équation en À s'intègre facilement; elle donne 0 — Esin(ty/kbe), £ et € étant deux constantes arbitraires. À Pégard des équations en X, Y, Z, elles ne sont en général intégrables en termes finis, par les méthodes connues, que lors- qu’elles sont à coefficiens constans; mais si on développe les diffé- rences finies marquées par D, elles deviennent de la forme (art. 16) AX, + BY, + CZ, + A'X + BY + CZ + AX + B'Y+ CZ = 0; les coefficiens 4, B, C, 4’, B’, etc. sont constans ou variables, mais indépendans de #, et la quantité & n'entre que dans les va- leurs de 4”, B', C’, et seulement à la première dimension. Si maintenant on désigne par X., X,, X,, X3, etc. les valeurs consécutives de X°, cn commençant par la première , qui répond au premier corps du système, et de même par F., Ÿ,, F,, Ps, etc., Z., Z,, Z,, Zs, etc. les valeurs consécutives correspondantes de Y et Z, et qu'on substitue successivement ces valeurs dans les trois équa- tions réduites à la forme précédente, il est aisé de voir que les trois premières donneront les valeurs de X,, Y,, Z, en fonctions linéaires de X., Y., Z., X,, Y,, Z,; que les trois suivantes donneront X,, F3, Z, en fonctions linéaires de X,, Y,, Z,, X,, Y,, Z,, lesquelles, par la substitution des valeurs de X,, F,, Z,, deviendront aussi des fonctions linéaires de X,, F., Z., X,, Y,,Z,,et ainsi de suite. Donc en général les valeurs de Xsss, Posrs Zur Seront de la forme AX, + BY, be CZ, + A'X, + BF + CZ, 376 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: et il est facile de s'assurer, par le calcul, que les quantités À, B, C seront des fonctions rationnelles et entières ce # de la di- mension z—2, et que les quantités A”, B’, C’ sont de pareilles fonctions de la dimension 7 —1. Nous avons supposé (art. 17) que le premier et le dernier corps du système étaient fixes ; le premier corps appartient à l'indice o, et si on désigne par 7 le nombre des corps mobiles, le dernier corps, qui doit être fixe, appartiendra à l'indice z +1. Il faudra donc que lon ait X=0, Y.=o, Z.=0, X,,==0, F,,,=0, Z,,:=0, ce qui donnera sue X,, Yr, Z, trois équations linéaires de la forme A’X, + BY, + CZ, —o, dans lesquelles les coefliciens A’, B', C’ seront des fonctions rationnelles et entières de & de la dimension x. En éliminant les quantités X,, Y,, Z,, on aura une équation en & du degré 32, nombre des inconnues X, F, Z, et qui aura par conséquent 37 racines. Les mêmes équations donneront les rapports entre les trois quan- tités X;, P:, Z;; de sorte qu’on pourra prendre à volonté la va- leur d’une de ces quantités. Comme ces rapports se trouveront exprimés par des fonctions rationnelles de 4, on pourra exprimer les valeurs des trois quantités X,, Y,4 Z, par des fonctions ra- tionnelles et entières de £, et par ce moyen les inconnues X, Y, Z seront aussi exprimées en général par des fonctions connues, Fationnelles et entières de #, 25. Nous dénoterons par #’,.#", 4°, etc., AG les différentes ra- cines de l'équation en k, dont la résolution doit être supposée connue; et nous dénotérons pareillement par X’, X°, X", etc., Y', Y', F",etc., Z’, Z", Z°, etc. les valeurs correspondantes des quantités X, Y, Z, qui résultent de la substitution de ces différentes racines à la place de &, Donc SECONDE PARTIE, SECTION VI. 377 Donc puisqu'on a trouvé (art. 23, 24) £ = XEsin(tyk+e), n = YEsin(tyk+e), {= ZEsn(tyk#+e), en substituant successivement les différentes valeurs de k et en prenant différentes constantes arbitraires £ et €, on aura autant de valèurs particulières de £, n, &, dont la somme donnera les valeurs complètes de ces variables, par la nature des équations linéaires, Ces valeurs particulières de £, n, € sont analogues à celles qui représentent les petites oscillations d’un pendule dont la longueur serait Ê (art. 11), pourvu que # soit une quantité réelle et positive ; etle mouvement de chaque corps sera composé d'autant de pareilles oscillations qu'il y aura de valeurs différentes de Æ; de sorte que si toutes ces valeurs sont incommensurables entre elles, il sera im- possible que le système reprenne jamais sa première position, à moins que les valeurs de £, n, £ ne se réduisent aux valeurs particulières qui répondent à une seule des racines 4. Dans ce cas, en faisant {0 dans les formules précédentes, on aura XEsine, YEsine, ZEsine pour les valeurs de £, n, €, et XEcose, ; d£ dn dk ur ; YE cose, ZE cose pour celles de >, 7, 22. Ainsi pour que ce cas puisse avoir lieu, il faudra que les déplacemens primitifs £, . An A _ d, dn dé . . r, &, ainsi que les vitesses initiales a, > d S0ient proportion- nelles à X, Y, Z; et il y aura autant de manières de satisfaire à ces conditions, qu'il y a de valeurs différentes de-k. LA 26. Si on désigne, par des traité supérieurs , des constantes arbi- traires différentes, on aura £= X'E'sin(ty/K+é)+ X'"E'sin(sy/ Ke) + X"E"sin(sy/K"+)-+ete., n—Y'E'sin(tyK+e)+Y"E"sin(ty/ ke) + Y°E"sin(sy/k"+<")etc., £=Z'E'sin(tyk+é)42"E"sio(ty/K'+6") + Z"E"sin(ey/#"+-<)etc., Déc, anal. Tome I. ° 48 378 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. pour les valeurs complètes des variables £, », €, qui représentent les oscillations de chacun des corps du système donné, quel que soit leur état initial. On peut représenter ces valeurs d’une manière plus simple, en employant le signe Æ pour exprimer la somme de toutes les va- leurs correspondantes aux différentes valeurs de k; on aura ainsi £ = Z.(XE sin(ty/#+ 0), n —= E.(FE sin(sy#+e)), {= =.(ZEsin(t/k+e), et l’on aura les expressions particulières des variables £,, 1, &,Ë,s M La etc. pour chacun des corps du système, en changeant, dans les précédentes, X, Y, Zen X,, Y,,Z,,X,, Y,, Z,, cte., ct prenant pour Æ et € différentes constantes arbitraires Æ,, E,, etc., €,, «,, etc. qui dépendent de l’état initial du système. 27. Pour déterminer ces constantes de la manière la plus simple, je reprends les équations en £, n, & de Particle 21, et je les ajoute ensemble, après avoir multiplié la première par X, la seconde par et la troisième par Z; je prends ensuite la somme de toutes ces équations ainisi composées, relativement à tous les corps du système, et je dénote cette somme par la caractéristique S; si on fait atten- tion que cette caractéristique est indépendante de la caractéristique d des différentielles relatives à #, on aura l'équation de. SCXE+ Fn + ZE) Dm NS He SCT XL Pi 2) ED + SC db X+T PF Tic 2) 2e + S (ae TX Te FE 2) t con SECONDE PARTIE, SECTION VI. 379 Nes C6 C++ po] — SD [GR + Tr +9 )] — S2D [TER + D + Ge) ] = 0: Dans cette équation, les termes qui contiennent des différences marquées par D sous le signe sommatoire $ sont susceptibles de réductions analogues à celles des intégrations par parties, et dont nous avons donné le type dans l'article 16. Pour cela, consi- dérons en général un terme quelconque de la forme SXD(F DE), nous aurons, par les réductiops de Particle cité, en faisant atten- tion que les quantités X et £ sont nulles au commencement et à la fin des intégrations marquées par D (art. 24), SXD{(PDE) = — SPDEDX = SE D(VDX). Or S£,D(FDX) cest la même chose que S£D(F DX), en prenant à la place du terme £ D(F DX) celui qui le précède. Donc en général on aura SXD(PDE) = SED{(FDX), et il en sera de même des termes semblables, Ainsi l'équation pré- gédente deviendra de la forme d'.S(XE + Yn+ Zt)Dm de + S(CDE + (Pret (ZX) = 0, dans laquelle les quantités désignées par (X), (F), (Z) contien. dront les mêmes termes qui composent les seconds membres des équations de Particle 23, de manière que ces équations donneront (X) = AXDmn, (7) =" Y Dm, {Z) = 4ZDn, 380 __ MÉCANIQUE ANALYTIQUE. d'où il suit que l'équation ci-dessus deviendra : dSCXE + Yn+ Zt)Dm dt + AS(XÉ + Fn+ ZQ Dm = 0, laquelle donne tout de suite par l'intégration S(XE + Yn+ZË)Dm = Lsin(ty/k+à), Z et À étant deux constantes arbitraires. 28. Il est facile de voir, par la nature du calcul, que si om substitue dans cette équation pour # une des racines de l’équation en À, que nous avons. dénotées par, #’, #, A etc. (art. 25), on devra avoir un résultat identique avec les expressions de £, n, € de l'article 26, de sorte qu’en substituant ces mêmes expres- sions dans l'équation précédente , elle devra devenir absolument identique pour toutes les valeurs de 4. On aura donc ainsi l'équation identique XE(XE sin (4ÿ/4 + à) S + YE(FEsin(ty k + 6) Dm = Zsin(ty/Æ+xÿ, + ZE(ZE sin(ty/k + 6) pour chacune des valeurs #, #°, &°, etc. de k; et comme - cette identité doit avoir lieu indépendamment de la valeur de #, il ne sera pas difficile de se convaincre que tous les termes qui con- tiendront le même arc'1y/X devront être identiques dans le pre- mier , et dans le second membre de l'équation; d’où il suit d’abord qu'on aura nécessairement A=€ pour toutes les valeurs de À et de €. Eusuite, si on fait attention à la valeur des signes sommatoires Set *, dont le premier, 8, représente la somme des quantités sous le signe qui appartiennent à tous les corps du système, et que nous avons dénotées par des ‘nombres placés en forme d'in- dices au bas des lettres (art. 24), et dont Je secord, ?, représente SECONDE PARTIE, SECTION VI: Sêr la somme des quantités semblables qui répondent à toutes les racines K, k°, K°, etc. AG”, et que nous dénotons par des traits supérieurs (art. 25), on trouvera par la comparaison des termes affectés des mêmes sinus, l'équation ES(X +7'+7*)Dm = L. Donc on aura en général, : ; Lsin (VAR E sin(tyk+ €) = DS LC et par conséquent, par l'article 27, £ __ SCXE+Yn+ 2") Dm Esin(ty/k + €) = SAFF+FZ)Dn ; équation qui aura lieu pour toutes les valeurs de 4. 29. Soient maintenant, lorsque 1=0, £a, n=8, &=—7, dn et LE — a, =, = 7 ces six quantités seront données par Vétat initial du système; si donc on les introduit dans l'équation précédente et dans sa différentielle relative à t,en y faisant 40, on aura les valeurs suivantes des- constantes arbitraires S(Xe + YB + 77) Dm SX + F°+27))Dm ? S(Xà + Y6 + Zÿ)Dm VA SCA +7 +2)Dm Donc enfin, si on substitue ces valeurs dans les expressions de £, n, € de l'article 26, on aura E sine = Æ çcose — re XS(X2 + ) Dm £—Z SCX° + F° 92*)Dm cost/#) are + TOR EF +00 sint#), FE(Xa + F8 + Zy) Dm Nn = RE SR+P+EZ F7 Da cos#/# } P (HET +2) Dm sin/#) , 382: MÉCANIQUE ANALYTIQUE: LS /ZS(Xe + YE+ Zy)Dm ÉTE PSC ZIDa cos/k ) ZS(Xa + Y£ + YB + Zy)Dm ERIC + 2) Dm sineA ), Ces formules , remarquables par leur généralité autant que par leur simplicité, renferment la solution de plusieurs problèmes dont l'analyse serait fort difficile par d’autres méthodes. Nous allons en faire l'application à deux problèmes déjà résolus dans différens ou- vrages, mais d’une manière plus ou moins incomplète, $ III, Où l'on applique les formules précédentes aux vibrations d'une corde tendue et chargée de plusieurs corps , et aux oscillations d’un. fil inextensible, chargé d’un nombre quelconque de poids, et suspendu par ses deux bouts ou par un seulement, 30, Les expressions des variables £, n, € que nous venons de trouver, se simplifient beaucoup lorsque, dans les équations diffé- rentielles de l'article 21, les variables dont il s’agit se trouvent séparées. Alors les variables X, Y, Z se trouvent aussi séparées dans les équations aux différences finies de l'article 23; et chacune de ces équations donne, par le procédé de l'article 24, une équation particulière en # du degré "1. Si on dénote par #, 41, ka les valeurs des k qui répondent aux quantités X, Y, Z données par ces trois équations, et qu'on conserve les dénominations de l’article précé- dent, les expressions de £#, n, € se réduiront, dans le cas présent, à celles-ci ; XSXeDm XSXa4Dm Es (Spone cost) + 5 (one VE sinyk), YSYEDm YSYËDm n = (5e cost) * > (Grre- in DE Siné), ZSZyDm £SZ7Dn_ Y—Z A Dar C0 142) + = Gr va sinty/A2), SECONDE PARTIE, SECTION VL: 383 ® 31. Ce cas a lieu premièrement lorsque les corps sont supposés placés en ligne droite dans l’état d'équilibre ; car si on prend cette ligne pour l'axe des x», les ordonnées & et c deviennent nulles, ainsi que leurs différences DB, De, et les équations de condition de dan Particle 20 exigent que l'on ait -—0, TH =0, c'est-à-dire, que db Îes. de perpendiculaires à l'axe soient nulles. On aura ‘donc d'r1 7 …. . aussi = 03 =, etc., et les équations de l'article 21 de- viendront, à cause de a =1, b=9@, co, et de G=F—F", dE F'DE ds Dm +T Le — D GC «ln FDn du Dm —D, me d > D TDm— D, (FF )=0, Par conséquent les équations de l’article 23 se réduiront à celles-ci: (E—57) xpm +2 (57 = 0, kYDm + D, (Sr) = = 0, Dm + D (%r)=0, dans lesquelles on voit que les variables sont séparées, de ma- nière qu’on peut les déterminer chacune en particulier. La constante indéterminée # pourra donc être différente dans ces trois équations, et chacune d’elles donnera une équation du n*"“ degré pour la détermination de cette constante, On aura ainsi les for- mules de l'article précédent. 32. Puisqu’on a dans le cas dont il s’agit Db=o, De—o, on aura Df— Da (art. 19), et les équations de léquilibre fart. 22) donneront F = ST Dn + 4. Mais pour avoir.la valtur de la quantité Æ” (art. 19), il faudra 384 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. connaître la valeur de Fen fonction de Df ou Da; et l'on en dé- duira, par la différentiation, la valeur de F” en fonction de F. Si, par exemple, on suppose = X(Ds)", on aura F=X(Df)}", et de à F=mK(Df) = mr. Dans le cas où l’on ferait abstraction de toute force étrangère, + + AI . , on aurait 0, ce qui donne F—.4 , et par conséquent F constante pour tous les corps. Mais la valeur de F” pourra varier d’un corps à l'autre, à moins que l'intervalle Da entre les corps consécutifs ne -soit aussi le ‘même pour tous les corps. Dans ce dernier cas, les quantités ZÆ' et Æ"” seront deux constantes qu’on pourra déterminer à posteriori, sans connaître Ja loi de la fonc- tion ®. Ce cas est celui d’un fil ou corde tendue, dont les deux extré- mités sont fixes, et qui est chargée d’un nombre quelconque de corps placés à distances égales entre eux; la quantité F exprime alors la tension de la corde ou le poids qui peut la produire; mais pour la quantité F", on ne peut la déduire de Æ sans connaitre la loi de l’élasticité de la corde. Ce problème, qui est connu sous le nom de problème des cordes vibrantes, mérite un examen particulier, tant parce qu'il est sus- ceptible d’une solution générale, que parce qu’il est intimement lié avec le fameux problème des vibrations des cordes sonores. 33. Nous supposerons que tous les corps Dm dont le fil est chargé, soient égaux entre eux et sans pesanteur, et que les inter- valles Df ou Da qui les séparent dans l’état d'équilibre soient aussi tous égaux. | . Comme » est le nombre des corps mobiles, si on désigne par M la masse entière ou la somme de toutes les masses Dm, en ÿ comprenant la dernière, qui est ‘supposée fixe, et par Z la lon- gueur de Ja corde dans l'état d'équilibre, dl est clair qu’on | aura SECONDE PARTIE, SECTION VI. 585 ; l Me L£ . aura Dn= , ©t Df—Da— n-E15 et les trois équations en X, Ÿ, Z de l'article 31 deviendront 1M IDF LMk GE M SF + DZ mo, lesquelles étant semblables entre elles, il suffira de résoudre la première, et il n’y aura plus qu’à changer F” en F pour avoir aussi la résolution des deux autres, —— 5 X + D'X = 0, FF +DY =, 34. Soit r l’exposant ou l'indice du rang qu’un terme quelconque X tient dans la série des X; nous désignerons en général ce terme par X,, etle terme précédent ,X sera X.,; ainsi la première équation sera L mrorX + D'Xn = 0, Supposons, pour résoudre cette équation, X, = Hsin(rp+e), JT ete étant deux constantes arbitraires; on aura par les for mules connues de la multiplication des angles, D'X.-, = Apr 2X, un Xe = ZE — kH sin (rP—+e) x (sn£y et ces valeurs étant substituées dans l'équation précédente, elle deviendra, après la division par X,, LR . EN GDF 4 Fe ==.6, laquelle donne CyR ? Vk = ofn+1) Ti x sin © Or on a (art. 24) les deux conditions à remplir X,=0, et X,+:=—0 ; la première donne eo; la seconde donne sin(n-1)f=0; d'où Jon tire (n—1)p=pr, # étant l'angle de 180°, et p mn Méc. anal. Tome I. 49 386 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: sombre quelconque entier. Donc on aura =; par consés quent en faisant, ce qui est 0 H=1, on aura en général Et l’on aura la même expression pour}, et pour Z,, qu’on substi- tuera à la place de X, Y, Z, dans les expressions de £, , & de l’article 30. La. même valeur de ®. étant substituée dans l'expression de 4 frouvée ci-dessus, donne vk an +3) 4/5 x ein rs où l’on peut mettre pour p tous les nombres entiers depuis o jus- qu'à z inclusivement ; car px donne .X, Y,Z nuls, et au-dessus’ de 2-1, les sinus de NCEES reviennent les mêmes. Ainsi on aura autant de valeurs différentes de k qu’il y a de corps mobiles ; ce seront les racines de l'équation en 4. En changeant F’ en F, on aura les valeurs des racines l1 et ka des deux autres équations en 4. On fera donc ces substitutions dans les formules générales de Tarticle 30, et l’on observera que la caractéristique sommatoire $ doit se rapporter uniquement aux exposans ou indices de rang r, depuis r==1 jusqu'à r=—7, et que da caractéristique -sonmma- toire Z doit se rapporter aux indices p des différentes racines depuis p=—1 jusqu'à p== 7 À l'ésard de la valeur de SX°Dm — DmSX*, on aura, à cause de ? = ÊT 4? la sommation suivante : SX* = sing" + sin29* + sin 39° + etc. + sinzp* = ?n — 1(cos2p + cos 4p+- cosGp etc. + cos 27) cos np =— CO08 2 (n + 1)? NN "+1 A ( e (1 — 60529) —?) er On aura de même SF7* = 52° = 1 su — I SECONDE PARTIE, SECTION VI. 387 35. Comme les valeurs de Æ sont incommensürables entre elles, la corde ne pourra jamais reprendre sa première position, à moins que les expressions de £, », € ne se réduisent à un seul terme (art. 25). Dans ce cas, en mettant dans les formules de Particle cité, pour X, Y, Z et k, les valeurs qu’on vient de trouver, et faisant, pour abréger, | F LL 7F F=ÿ/5 k = VATÈ on aura ces Ge dans lesquelles j'ai conservé l'angle ® à la place de sa valeur -— ne | £ = Esinrg xsin (4 sin? + e) : 4 = Esinr®xsin ( ht sin £ + e) " = E sinrg xsin ( A4 sin? +e) ; mais il faudra que les valeurs initiales &, 8, >, æ, , Ê, >; qui ré- pondent à #—0, soient proportionnelles à sinrp. C’est la solution connue, dans laquelle on suppose que les corps ne font que des oscillations simples et isochrones. 36. Pour avoir des expressions générales applicables à un état initial quelconque, il faut employer les formules de l'article 30, en y substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 34). Nous ap- pliquerons, pour plus de clarté, aux variables £, 1, € l'exposant ou-indice.r placé au bas de ces lettres, pour marquer le rang du corps auquel elles se rapportent, et à l'égard des quantités «, B, y, a, B, 7 et X, Ÿ, Z, qui sont sous le signe sommatoire S, nous emploierons exposant s au lieu de r, parce que cet exposant est, uniquement relatif au signe S, lequel indique qu'il faut prendre la somme de tous les ROUES qui répondent aux valeurs de S, depuis o jusqu’à 7. i 388 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: On aura ainsi cette formule générale Sa,sin sg . sin{ a(n<+ih'tsein ; É Fe + no a(n+1)# sin ? ét pour avoir les expressions de », et &,, il n’y aura qu’à changer h en A et «, a en B, B et en >, 7- Les variables £, représentent les excursions longitudinales des corps dans Ja ligne droite ou axe qui passe par les deux extrémi- tés fixes de la corde, et les variables n,, €, représentent leurs ex- cursions transversales ou latérales dans la direction perpendiculaire à l'axe, les seules qu’on ait considérées jusqu'ici, dans la solution du problème des cordes vibrantes. À l'égard du signe Z, on se souviendra qu’il exprime la somme de toutes les quantités, sous ce signe, qui répondent à p—1, 2, 3, etc., n; d'où l’on voit que les excursions de chaque corps, tant longitudinales que transversales, seront composées en général d'autant d’excursions particulières analogues à celles de différens pendules dont les longueurs seraient —©—— AG + 49H (ia L e Ÿe $ =) qu'il y a de corps mobiles, g étant Ja force de AGa+:1yhs (sn£) la gravité. Pour que les valeurs de À et ’ soient réelles, il faut que les quantités F et F” soient positivés (art. 36); donc suivant l’hypo- thèse de l’article 32, il faudra que l’exposant m soit positif. Si les corps se repoussaient, F serait une quantité négative, et il faudrait alors que lexposant 77 füt aussi négatif, et que, de plus, on eût B=o, B=o, 7—0, 7=0, pour rendre nulles les excursions e transversales n et &. SECONDË PARTIE, SECTION VI. 389 57. Il y a une remarque importante à faire sur l'expression gé- nérale de £, que nous venons de trouver. Quoique nous ayons supposé que le nombre 7 des corps mobiles est donné, et que la corde, dont la longueur est aussi donnée, est fixe par ses deux bouts, le calcul n’est pas arrêté par ces suppositions, et lexpres- sion dont il s’agit donne la valeur de £, pour tout corps placé sur la même ligne droite dont le rang serait exprimé par un nombre quelconque r entier positif, ou négatif. En effet, puisque ce nombre 7 n'entre que dans le sin, il est visible qu'on peut lui donner telle valeur que l'on veut, et on voit A SIP , en même temps que, comme P—;7> Cesinus ne changera pas de valeur si on y met 2A(n—+1)+r à la place de r, et deviendra simplement négatif si on y change r en 2A(7<+1) —r, À étant un nombre quelconque entier positif ou négatif. D'où il s’ensuit qu’en imaginant, suivant l'esprit du calcul, que la corde s’étende indé- finiment de part et d'autre, et qu’elle soit chargée, dans toute sa longueur, de corps égaux et placés à distances égales entre eux, les mouvemens de ces corps seront tels, qu’on aura toujours ANCERET = 6. Or il est facile de voir que la formule 2A(7+ 1)=r peut repré- senter tous les nombres entiers positifs ou négatifs, en supposant r compris entre o Ct +1; car ayant un nombre entier quel- conque, si on le divise par 2{#+-1) jusqu’à ce que le reste, positif ou négatif, soit moindre que n—+1, ce qui est toujours possible, et qu'on prenne À pour le quotient et 7 pour le reste, ce nombre sera représenté par 2Â(#—1)=7t Ainsi la valeur de £, relative à un corps quelconque placé sur la même ligne, à teile distance qu'on voudra de l'origine de l'axe Z, se réduira toujours à la valeur de £ pour un des corps placés sur cet axe. Comme la relation que nous venons de trouver entre les diffé- rentes valeurs dè £ est générale, quel que soit le nombre r, si on 500 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. y met A(7—+1)-+r à la place de r, et qu’on prenne Les signes jn- férieurs, elle devient Extn+ dr = Exit. D'ou il est facile de conclure que si l’on imagine toute la longueur indéfinie de la corde divisée en parties égales à l'axe Z de la corde donnée, les valeurs de £, dans chacune de ces parties, seront les mêmes, à égale distance des points de division, mais de signes différens dans les parties contiguës. Si donc on représente les ya- leurs de £ pour tous les corps placés sur l'axe Z, par les ordonnées des angles d’un polygone décrit sur cet axe, il n’y aura qu’à transpor- ter ce polygone alternativement et symétriquement au-dessous et au- dessus de l'axe prolongé des deux côtés à l'infini, de manière que les côtés qui aboutissent aux points de division soient les mêmes, inais placés en sens contraire et dans la même direction; on aura ainsi à chaque instant les valeurs de £ pour tous les corps qu’on suppo- sera distribués sur la même ligne droite prolongée à linfini, par les ordonnées des angles de ce polygone composé d’une infinité de branches. Ces valeurs seront nulles dans chaque point de division, de sorte que les corps placés dans ces points seront d'eux-mêmes immobiles ; et c’est ainsi que le calcul satisfait à la condition, que les deux bouts de la corde donnée soient fixes. Ce que nous venons de démontrer par rapport aux variables £, a lieu également pour les différentielles dE ; Car en différentiant l'expression de £, par rapport à #, on a une expression de < à laquelle on peut appliquer les mêmes raisonnemens. : Donc les valeurs de « et de z,° qui représentent celles de £ et de d£ de bee ee d au premier instant, et qui sont arbitraires pour tous les corps placés sur l'axe Z, seront représentés par une pareille construction dans l'étendue de li corde de longueur indéfinie. Comme les expressions des deux autres variables net & ne SECONDE PARTIE, SECTION VI. 591 . À différent de celle de £ que par les valeurs initiales 8, B et y, 7, qui sont à la place de «, 4,les mêmes résultats auront lieu aussi par rapport à ces-autres yariables. 38. On vconclura donc en général, que si une corde tendue, d’une longueur quelconque, est chargée de corps égaux et placés à distances égales entre eux, et qu'ayant divisé éette corde en plusieurs parties, égales,: comprises chacune. entre deux corps, tous les corps, à l'exception de ceux qui sont dans les points de division, soîent ébranlés à-la-fois, de manière que l’ébranlement soit le. même, .mlais dans un sens opposé, pour ceux qui sont à distances égales de part et d’autre de chaque point de division, les corps placés dans ces points de division demeureront immo- biles d'eux - mêmes, et chaque. partie de la corde aura le même mouvement que si elle était isolée, et que ses deux extr émités fassent absolument ‘fixes. | Il résulte de là qu'une corde tendue, de la longueur 2, fixe par ses deux extrémités, et chargée d’un nombre # de corps, étant divisée en » parties égales, » étant un divistür de 71, si l’état initial est tel, que les corps placés dans Jes points de di- vision n'aient reçu aucun ébranlement, et que ceux qui sont en- deçà et en-delà d’un-point de division à distances ègales, aient reçu des ébranlemens égaux, mais en sens contraire, la corde oscillera comme si les points de division étaient fixes et que la corde n’eùût que la longueur À 5 a 39. La séparation des variables ‘dans les équations en £, n, €, peut encore avoir licu:sañs supposer que les corps soient disposés en ligne droite dans l’état d'équilibre, mais en supposant que Jeurs distances mutuelles re varient nas dans le mouvement. Nous ayons remarqué das l'article 14, que ce” cas dépend des mêmes formules générales, en y dant la quantité D, et par conséquent aussi 392 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. la quantité F, comme indéterminées; et nous avons vu dans Far- ticle 22, que l’on a alors l'équation de condition Dÿ DE + D Dr +TD=o, laquelle fait disparaître, dans les équations générales de l'article a, tous les termes multipliés par G. En n'ayant égard qu’à la pesanteur des corps, et prenant l'axe : des abscisses x et a, vertical et dirigé de bas en haut, on aura ss égale à la force ARTS de la gravité, que nous désigne- rons par g, et de ds, 2 = 0; L —0o; et les équations de l'article cité deviendront d'£ FDA m Dm — D, Df) = 0; d'a FDa S Dm — D CG LES de = 0, Dm — D, DES où les variables sont séparées. La valeur de F' sera (art. 22) F= VOD TA FE FC. Les équations en X, Y, Z deviéndront donc (art. 25) kXDm + D(S5) =, AY Dm + (y) = = 0, KZ Dm + D ) = 0, qui sont, comme l’on voit, tout-à-fait semblables entre elles; de sorte qu’on pourra supposer X=—= 4 7, parce que les constantes arbitraires par lesquelles ces quantités peuÿent différer, devant être déterminées SECONDE PARTIE, SECTION VI. 393 déterminées par les mêmes conditions, deviendront aussi les mêmes. Ainsi les valeurs de £, n, £ données par les formules générales de l'article 30, ne seront différentes que par les valeurs initiales &, B;y,4,/B, >, qui peuvent être quelconques. Toute la difficulté se réduit donc à trouver l’expression générale sde X; mais c’est à quoi on ne saurait parvenir par les méthodes /connues. Ce cas est celui d’un fil inextensible chargé de plusieurs poids et fixement arrêté dans ses deux extrémités. 4o. Lorsque le fil n’est arrêté que par une de ses extrémités, que nous prendrons pour l'extrémité supérieure, le corps le plus bas devant être libre, il faudra; par l’article 17, que la valeur de ® ou de F' soit nulle à l'extrémité inférieure. Or en prenant cette extrémité pour l'origine des abscisses, que nous supposons dirigées de bas en haut, et y faisant commencer la somme SDm, la valeur de F' y sera nulle, pourvu qu'on ait 4=0, B=0o, C=0o. On. aura ainsi F—gSDm, Comme on a dans ce cas LES = o ie les équa de 65 D T6 que” tions de l'article 22 donneront Da=Df, Db=0, Dc=o, c'est-à-. dire que les ordonnées 4, c seront constantes; de sorte qu’on aura, pour l’état d'équilibre, une ligne droite parallèle à l'axe vertical des abscisses a. Ainsi on peut faire b=0, c=0o, en prenant pour laxe des a la verticale qui passe par le point de suspension du fil Ce cas, qui est celui des oscillations très-petites d’un fil suspendu à un point fixe, et chargé d’un nombre quelconque de poids, est aussi susceptible d’une solution générale lorsque les poids sont tous égaux entre eux, et placés à distances égales les uns des autres. » &1. Dans ce dernier cas, en nommant »# le nombre des corps, ; : AM la somme de‘leurs masses Dm, et Z la longueur du fil, on a Déc, anal. Tome I. 5e 304 Fu ANALYTIQUE. Dm=%#, Df= Da =}; et si on nomme, de plus, r le nombre des on , à commencer du plus bas jusqu’à celui auquel répondent les variables £, #, €, on aura SDm=(r—1) Dm= ED g(—1)M n 4 ; € de là on aura F— L’équation en X de l'article 39 étant multipliée par =77 7 devien-.” dra, en mettant X, au lieu de X, et observant que X die Xs et X devient X,,,, mx, HD((r—1)DX=) = 0; savoir, en exécutant les diffrentiations indiquées par la caracté- re D, suivant la formule de Tarticle 16, Ke che (came Ke) ch (rm 2) Xe XX) 0: + Cette équation, à cause du coefficient variable 7, ne peut pas être traitée comme celles qui donnent les suites récurrentes ordinaires; mais on peut en déduire successivement les valeurs de X,, X3, eft. Pour cela, il ny a qu'a la mettre Sous cette forme, où __R und gn , j ; | or—h—1 T1 Zum XX T De là, en faisant successivement r—1, 2, 3, etc., on aura Às = G—7)X, * Xe=ix! —. ‘ — h X= x — à X=(1—5% + )X x = (1 1 = 4} + Lan SECONDE PARTIE, SECTION VI. 395 et ainsi de suite; de sorte qu’on aura en général, s.ahee =( — rh + T2 LR — CC x se etc.) Xe L’extrémité supérieure du fil devant être fixe, on peut supposer qu’elle réponde àu corps dont le rang serait 7<+-1; ainsi il faudra que lon ait X,,,= 0, ce qui donne léquation suivante, en remet- tant pour # sa valeur _ ; gn À Ge — etc. = 0, laquelle sera, par rapport à #, du degré », et donnera par. con- séquent les 7 valeurs de #, que nous désignerons en général par kP, 42. 11 n’y aura donc qu’à substituer dans les formules de l'art. 30, l'expression précédente de X, à la place de X, de Y et de Z, et celle de A9? à la place de k, et ensuite exécuter les sommations indiquées par les signes S et Z. Mais il faut observer que dans le cas présent, où lon suppose Db—0, Dc=0o (art. 40), Péquation de condition de l'article 39 donne D£ =0o, et par conséquent £ —= à une constante pour tous les corps, mais qui peut. être une fonction de #; donc on aura pour le commencement du mouve- ment, æ et æ égales à des constantes; or le premier corps étant supposé fixe, les valeurs initiales & et « sont nulles pour ce corps; donc elles seront aussi nulles pour tous les autres. Par conséquent l'expression générale de la variable £ deviendra nulle. Cela a lieu en négligeant, comme nous l’a avoys fait, les carrés et les puissances supérieures des variables £, ,° € supposées très-petites. En effet, l'équation Ds — Df de Particle 19 donne, à cause de Ds" = Dx* +Dy"+Dr et de Db=o, De=0, Da=(Da+-D£)ÿ+Dr+Dé, ‘d'où Fon tire Dr + pr 306 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. de sorte que les variables £ seront du second ordre par rapport à n et 6. Désignons maintenant par ®r celte fonction de r 3 ee G—1)(r—0),, [RP ns le) NN OS | ER x () + etc. 1—(r—1) X — et mettons dans l'expression générale de la variable n de l'article 30 a, à limitation de ce que nous avons fait dans l’article 36, », au lieu de n, et Dr au lieu de Y dans les termes qui sont hors du signe S; mais dans ceux qui sont sous ce signe, nous changerons ren s, et nous mettrons B,, B, au lieu de Bet B. On aura ainsi, pour un corps quelconque dont le rang est 7 en montant, 1, = Z re) cost 7212) dr S(asX a) (e) Z (——— "4 siut VEÆ 7. Ses)". A 6 ) d où le signe S exprime la somme des termes qui répondent à s—1, 2, 3, etc., n, et le signe Z représente la somme des termes qui répondent à p—1, 2, 3, etc., z, en supposant que #0, &%), 49, etc., &® soient les racines de l'équation en M ), représentée par d(n+1)=0. On aura une expression tout-àa-fait semblable pour la variable &,, en changeant simplement B,, B, en ?,, Jr _ Le problème des oscillations infiniment petites d’un fil chargé d’un nombre quelconque de poidé égaux, est donc complètement résolu ; il ne reste qu’à déterminer les racines de l'équation en 0), ce da ne paraît pa possible en général. 43. Au reste, quoiqu’on ne puisse ‘pas déterminer ces racines, on peut néanmoins être assuré qu’elles doivent être toutes réelles, SECONDE PARTIE, SECTION VI: 307 positives et inégales; autrement les valeurs de. £, #, £ contien- draient des termes qui iraient en augmentant avec le. temps, ce qui ne peut être, puisqu'il est évident, par la nature du problème, que les oscillations du fil doivent toujours être de peu d’étendue, si les valeurs initiales de £, », £ sont très-petites. Le contraire aurait lieu si on supposait la quantité g, qui ex- rime la gravité, négative, c'est-à-dire, agissant en sens opposé ; ar ce serait le cas où le point de suspension du fil vertical étant placé à son extrémité inférieure, le fil culbuterait, pour peu qu'il füt déplacé de la situation verticale. En effet, en faisant g négative dans l'équation en #, tous ses termes deviennent positifs, de sorte qu’elle ne peut avoir que des racines imaginaires ou réelles négatives. On peut aussi trouver ces résultats & priori, par les principes établis dans l’article 8, ce qui peut servir à montrer la justesse de ces principes. En effet, si on a égard à la condition de l'inexten- sibilité du fil, laquelle donne (art. précéd.), en prenant les sommes comptées du corps le plus bas, D'+D Ets, ka valeur de 7” sera simplement STI1Dm, et l’on aura [—gx—g9a-5£. Mais puisque le corps le plus haut qui répond à 7-H1 est sup- posé fixe, la valeur de £ y devra être nulle; ainsi on aura Dr + DE £: #5 (si — 2Da en supposant que la somme renfermée entre deux crochets soit la somme totale. Donc on aura - , Di+ DE EmSs Ts -? où le signe S’ dénote les sommes prises à rebours, à commencer par le corps le plus haut, et qui sont les différences de la somme totale, et des sommes partielles dénotées par S, lesquelles doivent commencer au corps le plus bas, où est l’origine des abscisses. 598 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: On aura donc ainsi = gSaDm + gSDms' 2€, où lon voit que la partie de # qui contient les secondes dimen- sions des variables n et £, qui sont maintenant indépendantes , est nécessairement toujours positive, et que par conséquent les racines”de l'équation en Æ seront toutes réelles, positives et inégales Ce serait le contraire si on donnait à g une valeur négative. * $ IV. Sur les vibrations des cordes sonores , regardées comme des cordes tendues ; chargées d'une infinité de petits poids infiniment proches l’un de Pautre ; et sur la discontinuité des fonctions arbitraires. 44, La solution générale que nous avons donnée du problème des cordes vibrantes a lieu quel que soit le nombre z des corps mobiles, et quel que soit aussi leur état initial; par conséquent elle doit s'appliquer aussi au cas où le nombre 7 deviendrait infiniment grand, et les intervalles entre les corps diminueraient à l'infini, de manière que la longueur de la corde restät la mème; alors le mou- vement de chaque corps se trouvera représenté par une série infinie de termes dont la somme sera équivalente à une fonction finie, différente de celle de chacun de ses termes. Ce cas est celui d’une corde sonore uniformément épaisse; et on a coutume de le résoudre directement par le calcul différentiel; cependant il peut être inté- ressant pour l'analyse de faire voir comment on peut le déduire de la solution générale, surtout parce que de cette manière on sera assuré d’avoir une solution applicable à quelque figure que la corde puisse avoir au commencement de son mouvement. 45. Nous remarquerons d’abord qu’en supposant z infini, la va- leur de 4/4 (art. 34) devient 74 EX pr ,"parcé que la dernière SECONDE PARTIE, SECTION VL: 309 limite de 2{7-1) sin AE est pr; de sorte que les racines de J'é- quation en # qui étaient toutes incommensurables entre ‘ elles, tant que le nombre 7 des corps mobiles était fini, deviennent toutes commensurables lorsque 7 est infini, ayant pour commune Fr us sta Fr mesure # (/;,, dans les excursions longitudinales &, et 1/55 Mans les excursions transversales n et £; d’où il suit que la corde reptendra toujours sa première figure par rapport à l’axe, au bout d'un temps =—2 _, quel que puisse être son état initial. Il est vrai que le nombre p pouvant aussi devenir infini, il y aurait des cas où l’on ne pourrait plus supposer 2(7--1 )sin D ; mais comme cela ne peut avoir lieu qu'après un nombre infini de termes dans les séries infinies marquées par *, il s’ensuit de la théorie connue de ces séries, que ces cas particuliers ne sont point une exception au résultat général. On peut d’ailleurs s’en convaincre directement ; car dans le cas de n infini, les différences finies marquées par D deviennent in- finiment petites; ainsi l'équation en X de l'article 33 devient, en changeant D en d, et mettant pour 7-1 sa valeur _ ; MR Fe X + D 0) laquelle étant intégrée donne se Hsin (a Va + ë). Il faut que X soit nul lorsque Pen et lorsque a= l, parce que les deux extrémités de la corde sont fixes; la première condition donne 6— 0, et la seconde donne 1 mm = Pr, do où l’on tire = fr VA » comme plus haut. On n’a donc pas besoin, dans ce cas, pour que la corde revienne 400 : MÉCANIQUE ANALYTIQUE: : toujours à son premier état, de supposer qu’elle ne fasse que des oscillations simples et semblables à celles d’un pendule, comme dans l'article 35; car quel que soit son état initial, on est assuré que ses vibrations seront toujours isochrones entre elles, et sinchrones à celles d'un pendule simple de longueur =$; mais la loi de cesr vibrations sera différente de celle des vibrations des ne à «4 dépendra de l'état initial de la corde. Pour connaître cette loi, il faut voir ce que deviennent le. ex- pressions générales de £, n, € dans le cas de z infini; c’est ce“ que nous allons examiner, LS 46. nt dans la formule générale a l’article 36 les substi- tutions de -F. à la place de g et de AC LS place de sin © £, en HT a + a(n+1) supposant 7 infini; et au lieu des exposans ou ‘indices r et s qui dénotent le rang des corps auxquels appartiennent les variables £ et æ, employons, ce qui est plus simple, les parties mêmes de l'axe ou les abscisses qui répondent à ces corps, en dénotant par x l'abscisse relative à £, et par a l’abscisse relative à æ et à à. Comme la longueur totale de la corde est supposée égale à Z, on = D = pau =, n+1 jet la formule dont il s’agit donnera cette expression générale des excursions longitudinales £, aura E = 22sin —- Ê UE ( 4°) cos(pr#'t) + POËL LG), en. faisant AP = S Sn x 2e), pra _ aDa AO = 8 sin x = ). Le signe * dénote ici une suite infinie de termes qui répondent è p—1, 3, 9, etc. à l'infini; et le signe S dénote d’autres suites infinies SECONDE PARTIE, SECTION VI. 4ot infinies de termes qui répondent à toutes les valeurs de a, Da, 2Da, 5Da, etc. à l'infini, à cause de Da infiniment petit. On aura de pareilles expressions pour les excursions transver- sales » et £, en changeant #’ en 4 ete, « en B, B,eten?, 7. 47. Daniel Bernoulli, en généralisant la solution du problème es cordes vibrantes, donnée par Tayior, était parvenu à une for- mule semblable à la précédente, mais dans laquelle les coefficiens 140) étaient nuls, et les coefficiens AP dénotaient simplement des constantes arbitraires dépendantes de Ja figure initiale de la corde (Mém. de Berlin, 1753); et il avait cru pouvoir expliquer, par les différens termes de sa formule, les sons harmoniques qu’une corde sonore fait entendre, avec le son principal. Notre formule dans Jaquelle ces coefficiens sont exprimés par les valeurs initiales &, «, nous met en état d'apprécier cette explication, qui a été adop- tée par plusieurs autres auteuro après lui. En effet, il est facile de voir que le son principal de la corde, sera donné par le premier ou les deux premiers termes de la sé- rie qui répondent à p=1, et que les sons harmoniques successifs, c’est-à-dire, l’octave, la douzième, la double octave, la dix-sep- - tième, etc., seront données par les termes suivans qui répondent à p—2, 5, 4, 5, etc. Donc pour que le son principal domine parmi tous les autres, et qu’il n’y ait que les premiers des harmo- niques qui se fassent entendre en même temps, il faut supposer que les coefficiens 4t”, .4t soient beaucoup plus grands que tous les autres pris ensemble, et que les coefficiens suivans : e A, AS, A, etc., 4%, 4%, 49, etc., . forment des séries extrémement convergentes. Mais par la manière dont ces coefficiens dépendent des valeurs initiales « et æ, on voit que cette supposision est inadmissible, en regardant l’état initial de la Méc. anal, Tome I. 51 402 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. corde comme arbitraire ; on voit même que dans la plupart des cas, ces coefficiens formeront des séries divergentes, ce qui n’empèchera pas que la corde ne fasse des vibrations isochrones ou d’égale durée , seule condition nécessaire pour la formation d’un ton. 48. Quoique les formules de Yarticle 46 donnent rigoureusemen le mouvement de la corde au bout d’un temps quelconque k, les, séries infinies qui entrent dans ces formules empêchent néanmoin! qu’elles ne représentent ce mouvement d’une manière nette gt sen- sible; mais en envisageant sous un autre point de vue la formule générale de l'article 86, on peut en tirer une construction!simple et uniforme pour déterminer l'état de la corde à chaque instant, quel que puisse être son état initial. Reprenons cette formule, et mettons-la sous la forme suivante, ce qui est permis à cause de l'indépendance des signes somma- toires Set Z, E, = S21,Z 20 ins? X cos (at-)#'tsin 9] n+i sin a(n-+1)Wtsin? + Sa, Sn ain SDK ——————<* C ae Ga+i1}# sin? Nous tirerons d’abord de cette formule une conséquence qui nous sera fort utile. Comme on a supposé que « est la valeur ini- tiale de £ (art. 29), il faut qu’en faisant £—0 dans l'expression pré- cédente de £, elle se réduise à «,, et qu’on ait par conséquent cette équation identique, 2sinrg RH: Il est évident que le secohd membre de cette équation ne peut se réduire à «,, à moins que lon n'ait en général sin s@ = 0, a, = Sa,E «—-— sins®. 2 sinr@ ts SECONDE PARTIE, SECTION VI. 403 tant que s est différent de r; et que, lorsque s=7r, on ait > _ sinr® = ® étant =-— . , et le signe Z étant rapporté aux valeurs succes- ives 1, 2, 3, etc. » de p; ce qui ere une série formée des roduits de sinus d’angles multiples de 7 ut et SE , dont Ja somme devra être toujours nulle dans le premier cas, et égale à 1 dans le second. C’est aussi ce qu’on peut démontrer directement par les formules connues, pour la sommation de ces sortes de suites. Dans ces formules, 7 et s sont Supposés des nombres quel- conques entiers compris entre a et 2-1; mais à cause de = en , P étant aussi un nombre entier, si on met 2A(7+-1)=r à la place de r, À étant un nombre quelconque entier positif où négatif, on aura sin(2A(n+1)= rjp==Æsinrg; par conséquent on aura en général > (TRE RUES = L ET sins9) =æH1 OU =—0, selon que s sera —7 ou non. La formule 2A (7<+1)=È7 peut représenter tous les nombres entiers positifs ou négatifs, comme nous l'avons vu dans l'art. 37; ainsi ayant un nombre quelconque entier N, on peut faire N=32A(n+1)Ær,ce qui donnera r = Æ CN —2A(r + 1)) , © Yon aura en général, quel que soit N, s sin Ng X sin sg Se + PE + U=0, selon que s sera EE 2 Os — 2À(n + 1)) ou non, s etant un nombre entier entre o et 741. 49. Cela posé,»comnte l'expression de £, est composée de deux 404 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. parties, dont la première contient les valeurs initiales æ de la va® riable £, et pi la seconde contient les valeurs initales « des différentielles % T , nous considérerons ces deux parties . : et nous désignerons la première par £’, et la seconde par £* manière que lon ait £,—£", + £*. En supposant x infini, l'angle @ — _—. - devient infinimen Ne 4 tit, et sin Ÿ se réduit à = © (art. 46). a cette substitution duns expression de £’,, on aura (art. 48) = Sa,2— = sin r® sin s® cos CEA et développant le a. sinr? x cos(r—+1)#4p, RES sin(r+(n+1}} 1e …. &, = Sa, (CEE Oe sin se ), : sin(r—(n+i1)"5)e + Sa,z (= DE sin s® ) Comme 7 est supposé un nombre infiniment grand, on pourra toujours regarder comme un nombre entier le nombre (7+1)##, quel que puisse être le nombre exprimé par #4. Ainsi en faisant dans la dernière formule de l’article précédent , N=r+ (n+1)#t, on aura Sa,> (ee sin se) = "He, | où s=—+E r+(n+i)#t— 2(n+i)); et faisant N=r—n#t, on aura eo 5 Ga 5759 où ss E he. — 20 (7 + 2)); À et ’ étant des nombres entiers quelconques, ou zéro. Donc réunissant ces deux valeurs, on aura simpiement SECONDE PARTIE, SECTION VI: 4oÿ £, = i(Ha,Hta,), où les signes ambigus de &, et de a, HRRONOenE à ceux des va- leurs de s et de s’. où 5o. Mais à la place des exposans ou indices r et s qui dé- fnotent le rang des corps auxquels appartiennent les variables £ et , il est plus commode d'employer les parties mêmes de la corde comprises entre la première extrémité fixe et ces mêmes corps. Désignons, comme dans l’article 46, par x la partie de l'axe où l'abscisse qui répond à £, et par a celle qui répond à æ; la lon- , r x 7. de la corde étant Z, on aura =; UE = 7; et de s’ =T , ce qui donne ni is ee, a te, ds (ne : 2 as et à la place de £”,, &,, æ;, on pourra écrire simplement £”; d,, de. Substituant ces valeurs de 7, s, # dans les valeurs de s et s’ de Particle précédent , multipliant par 2, et divisant 7-21, on aura a = E (x+lht— an), a = ÆE (x—lht— ox D), Ee= 3 (Hata,), les signes ambigus de «a, et &; répondant à ceux de a et de a’; et on déterminera ces signes, ainsi que les valeurs de a et de a’, par la condition que ces valeurs soient positives et moindres que Z. 51. Représentons par 4 et 4’-les valeurs de Ha, et Ha, en L 1 sorte que l’on ait en général, Le = Donc 1°. si x-+-/h't est etre o et Z, on prendra a=x+ 6 € A=+a.s , +£, 406 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 2°. Si x+1}'t est entre Z et 24, on prendra a=—(x+1}"t—al) et A0, 3°. Si x+-lh't est entre 27 et 57, on prendra a=stiht 0 et 4A—=+a, Et ainsi de suite. De mème, 1°. si x—/## est entre À et o, on prendra a'=x— lt et L'—=a. | 2°. Si x— ht est entre o et —Z, on prendra a'=— (x, et A ——4,. : : S. Si x—Ih't est entre —I et —21, on prendra a =x— 0427" et Z'— a, Et ainsi de suite. On voit que ces différens cas se réduisent à déterminer les abs- cisses a ou a”, en ajoutant ou en retranchant de Pabscisse x la ligne #4, de manière que lorsquelle passera Pune ou l'autre ex- trémité de l’àxe Z, elle soit repliée en arrière et comme réfléchie par des obstacles placés à ces deux extrémités, et à prendre l’or- donnée correspondante «a, ou «, positive, si le nombre des ré- flexions est pair, ou négative, si ce nombre est impair. 52. Mais il est encore plus simple de continuer la courbe des « sur le même axe / prolongé des deux côtés, de manière qu’on ait directement les ordonnées «, et «; qui répondent aux abscisses x+ lt et x— le. Pour cela, ayant décrit sur l'axe 7 le polygone d’une infinité de eôtés, ou la courbe dont les coordonnées sont #,, pour une abs- cisse quelconque x, et qui sera donnée par les valeurs initiales des excursions £, de tous les points d£ la corde; il n’y aura qu’à trans- porter cette même courbe alternativement au-dessous et au-dessus du même axe prolongé indéfiniment des deux côtés, de manière qu’il en résulte une courbe continue formée de branches égales s - tuées symétriquement autour de l'axe et se joignant par les mêmes extrémités, dans laquelle les ordonnées prises à distances égales SECONDE PARTIE, SECTION VI: ‘407 . de part et d’autre de chacune des deux extrémités de l'axe /; soient toujours égales entre elles et: de signe contraire. En prenant dans cette courbe les ndthées qui répondent aux .abscisses x+-7%'t et x—1ht, on aura les valeurs de 4 et de 4°, et la variable £”’, sera représentée, au bout d’un temps quelconque f, par la formule Ê"> — A(@e+n + y 1). On aurait pu déduire tout de suite cette continuation de la courbe qui représente les valeurs de «, de ce que nous avons démontré en général dans l'article 37, en supposant que la corde, ‘au lieu d’être terminée aux deux points fixes, s’étende de part et d'autre à l'infini; le polygone que nous avons imaginé dans cet article deviendra ici une courbe continue, laquelle étant appliquée au premier instant du mouvement, sera la courbe des valeurs de æ prolongée à l'infini. 53. Considérons maintenant la seconde partie de £,, que nous désignons par £”,, et qui est représentée par la formule (art. 46) | Il faut commencer par la délivrer du dénominateur sin 2 pour sin( a(n-r)Wtsin 2) £", = Sa, CE sins® x a(n+1)#'sin Ÿ ° la rendre semblable à celle de £’, et susceptible des mêmes ré- ductions. Pour cela, je prends la différence D.£",, et comme lexposant r n'entre que dans sinr®, il suffira ’affécter ce sinus de la carac- téristique D. Or, par les théorèmes connus, on a - 0] D.sin r? = sin(r+1)® —sinr® = 2sin ? cos(r+i) e * 408 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE Substituant Fou celte valeur dans FÉRpE-sion de D£°,, on aura DE, = G GIP Sa,Ë pate De sin s® sin C7 sin?) } Faisant, pour Je cas de 7 infini, sin? — =, et développant le produit cos (r+3 Re 19, on aura ep Sù az MC+HGHIIHS 0. DE, = QD FE sin s® sin(r—(n+i)htÆl)e . Er Sz È DE s®. Cette expressiori de D£”, est composée de deux parties semblables à celles de £’, (art. 49); on peut donc y appliquer les mêmes rai- sonnemens, et la ramener à une construction semblable. Ayant donc tracé sur l'axe Z le polygone d’une infinité de côtés, ou la courbe dont les ordonnées pour chaque abscisse x soient a, et qui sera donnée par les vitesses initiales &,on la trans- portera alternativement au-dessous et au-dessus du même axe pro- longé indéfiniment des deux côtés, de manière que l'on ait une courbe continue semblable à celle de l’article précédent. Alors en L l * Lé e mettant ;= ou ;;= à la place de x +1, et négligeant comme nul le terme 1 . + 0 s. Gp vis-à-vis de x, on trouvera Dx ,° : D: z = ah (CAT ni de); et passant des différences aux sommes, 2 — 7 S(@s+nr _— tu) Dx. 54. Ces sommes ou ces intègrales représentent, comme l’on voit, des aires de la courbe dont les ordonnées sont &; et il faut que ces aires ne commencent qu'aux points où x—0, et où les abscisses sont 74’ et —/h't; imais il est plus commode de les faire commencer a l'origine commune descabscisses, qui est l’ex- trémité SECONDE PARTIE, SECTION VI. 409 trémité antérieure de l'axe Z. Pour cela il faudra retrancher de l'aire qui commence à ce point, et qui répond à l’abscisse x + /%'t, l'aire qui répond à l'abscisse /k't, pour que l'aire restante ne commence qu’au point où x==0; et quant à l'aire qui répondra à l’abscisse — 1}t, il faudra y ajouter laire relative à — /#'t, pour en rap- orter le commencement au même point de l’origine des abscisses. Dénotons en général par (fadx), toute aire qui commence à cette origine et qui répond à une abscisse quelconque x; d’après ce que nous venons de dire, on aura, dans l'expression de£”,, SauDx = (Jadr}seur — (Jédr}ar, Saw Dx = (Jadx).ur + (fadx)_ur. On substituera donc ces valeurs, et on remarquera qu’on a en général (fadr)ur + (Jadx)=n = 0, puisque par la nature de la courbe des æ, les ordonnées qui ré- pondent à des abscisses égales, mais de signe différent, sont aussi égales et de signe différent; de sorte qu'on a constamment Lie HF Sur = O. Donc on aura simplement (art. précéd.) LE, = pp (Uadi)esur — (fadx):_wr). 55. Donc enfin réunissant les valeurs de £”’, et de £",, on aura cette expression générale de £., au, bout d’un temps quelconque #, 1 LEE Es — 3 (eu + Lei) 1 e ; 0 + ah ((J: 2dx)2 ne me (OL a dx). uv). On aura des expressions semblables pour les variables #,, £:, en Méc. anal. Tom. I. 52 410 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: changeant seulement # en 4 et #, « en B, B et >, +, et en supposant qu’on ait tracé de la même manière les courbes corres- pondantes aux valeurs initiales 8, 8 et y, * Ayant ainsi les excursions longitudinales £, et les excurÿions la-/ térales n,, £, de chaque point de la corde qui répond à labscisse é prise dans l’axe, on connaîtra l'état de la corde au bout d’un temp quelconque + écoulé depuis le commencement du mouvement, ) £ comme les valeurs initiales &«, B, 7, ainsi que a, 8, 7, sont ab- solument arbitraires, on voit que rien ne pourra limiter cette so- lution, tant que les courbes formées d’après ces valeurs auront une courbure continue et ne formeront point d’angles finis, ce qui produirait des sauts dans les expressions des vitesses et des forces accélératrices. On a supposé (art. 35) 4= V4 ee k = ve 1 étant la lon- gueur de la corde, et A7 la masse de tons les poide dont clle est chargée (art. 53) ; ainsi A7 sera la masse ou le poids de toute la corde qui est supposée uniformément épaisse ; de sorte que si on nomme P sa pesanteur spécifique qui dépend de la densité et de Ja grosseur, on aura #:= 1P ; par conséquent on aura EE À l’écard des quantités F'et 7”, nous avons vu que ce sont deux constantes, dont l’une, F', exprime la tension de la corde , et est par conséquent proportionnelle au poids qui la tend; mais Æ” dé- pend de Ja loi de cette tension, relativement à l'extension de la corde (art. 32). 56. Pour peu qu’on examine la nature des courbes qui repré- sentent les valeurs de « et &, ilcest facile de voir que les or- données éloignées entre elles de Fintervalle 27, seront toujours SECONDE PARTIE, SECTION VI. [AR égales et de même signe, et que les aires qui se termineront à ces ordonnées seront aussi égales entre elles, parce que toute aire qui répond à un intervalle 27, pris dans un endroit quelconque de l'axe prolongé à l'infini, est toujours nulle, étant composée de deux ri égales entre elles, mais de signe contraire. Il suit de là que la valeur de Z. demeurera la même si on aug- iente le temps # de la quantité _ ou d’un multiple quelconque de cette quantité; donc les excursions longitudinales de la corde re- viendront les mêmes au bout d’un intervalle de temps égal à 2 P Re . | unie 7» OÙ 2] V4 3 Cest la durée des vibrations longitudinales. Il en sera de même des valeurs de », et de £,, en changeant # en X, c’est-à-dire F” en F; ainsi la durée des vibrations transver- P sales sera 27 v F Tous les Autcurs qui ont traité jusqu’à présent des vibrations des cordes sonores, n’ont considéré que les vibrations transver- sales, et ils ont trouvé pour leur durée la même formule que nous venons de donner. À l'égard des vibrations longitudinales, M. Chladni est le seul, que je sache, qui en ait fait mention dans son intéressant Traité d’Acoustique, ($ 43.); il donne le moyen de les produire sur une corde de violon, et il remarque que le ton qu’elles rendent n’est pas le même que celui des oscillations transversales, d’où il suit que 7” est différent de F; par conséquent, dans l'hypothèse très- vraisemblable que la force élastique par laquelle chaque élément de la corde résiste à être alongée, ou ‘tend à se raccourcir, soit pro- portionnelle à la puissance 71 de cet élément, c’est-à-dire qu’on ait ®— X(Ds)" (art. 14), il faudra que m soit différent de l'unité (art. 32); et si, comme M. Chladni paraît l'insinuer, le ton longitu- dinal est toujours plus élevé que le transversal, il faudra que F>F, et par conséquent m>>1. 413 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: 57. Nous avons vu (art. 36) qu’une corde tendue, de la lon- gueur Z et chargée de x corps, peut se mouvoir comme si elle n'avait qu'une longueur £ , » étant un diviseur de 7-1. Lors- que # est un nombre infini, » peut être un nombre entier quel- conque ; ainsi une corde sonore de la longueur Z pourra oscille comme une corde dont la longueur serait 2 c’est-à-dire , ung RUE A So panel partie aliquote de Z, et la durée de ses oscillations se réduira glops , ol P ASVF oscillations transyerbales. pour les oscillations longitudinales, et à / = pour les En effet, si les valeurs initiales et arbitraires « et « sont telles, que les courbes ou les lieux de ces valeurs sur l'axe 7, coupent cet axe en deux ou en » parties égales, et que les branches qui répondent à ces parties soient les mêmes, mais situées alternati- vement au-dessus et au-dessous de l’axe, de manière qu’à distances égales de part et d'autre de chacun de ces points d’intersection, les ordonnées soient égales et de signe contraire; ces courbes étant ensuite prolongées à l'infini, suivant la construction de l'article 49, auront la même forme que si elles provenaient d’une corde dont Ja longueur ne serait que ! , et l'expression générale de £, (art. 52) fait voir que les valeurs de £ qui répondent aux points d’intersection sont toujours nulles, de sorte que la corde, dans ses oscillations longitudinales , se partagera d’elle-même en autant de parties égales, qui oscilleront comme si leurs extrémités étaient fixes. Il en sera de mème par rapport aux oseillations transversales représentées par les variables # et £. 58. Comme le ton que donne une corde sonore ne dépend que de la durée de ses oscillations isochrones, laquelle, pour une même corde tendue, est proportionnelle “à sa longueur, il s'ensuit qu’une corde, en se partageant ainsi d’elle-mênie en‘ parties aliquotes, SECONDE PARTIE, SECTION VI: 413 rendra des tons qui seront au ton principal, dans lequel Poscillation est entière, comme les fractions qui expriment ces parties sont à Vunité. Ainsi, si la corde se partage en deux, trois, quatre, etc. parties égales, ces tons seront exprimés par les fractions +, 3, #, 4, etc., et seront par conséquent à l’octave, à la douzième, à la double octave, à la dix-septième, etc. du ton fondamental. On appelle ces tons qu'une même dorde peut donner d'elle-même ; tons harmoniques, et on sait qu’on peut les produire à volonté, en touchant légérement la corde pendant sa vibration, dans un des points de division qu’on nomme nœuds de vibration, d'après Sauveur, qui a expliqué le premier, par ces nœuds, les sons har- moniques de la trompette marine et des autres instrumens, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1701. Wallis les avait déjà observés dans les cordes qui sont à l’octave, à la douzième, à la double octave, etc., au-dessous d’une autre corde qu’on fait résonner, et qui frémissent en se divisant naturellement en deux, trois, quatre, etc. parties égales, dont chacune donnerait le même ton que la corde qu’on fait résonner. Voyez le chapitre 107 de son Algébre. 59. La théorie et l’expérience sont bien d’accord sur la produc- tion des sons harmoniques; mais il n’est pas aussi facile de rendre raison de ce qu’on appelle, d’après Rameau qui en a fait la base de son système, la résonnance du corps sonore, et qui consiste dans la réunion des sons harmoniques avec le son principal de toute corde qu’on fait résonner d’une manière quelconque. Si ces sons harmoniques sont en effet produits par la même corde, en même temps que le son prinçipal, il faut supposer que la corde fait a-la-fois des vibrations entiéres et des vibrations partielles, et que ses vibrations effectives sont composées de ces différentes vibrations, comme tout mouvement peut étre composé ou regardé comme composé de plusieurs autres mouvemens. Nous avons déja va plus haut (art. 47) qu’on ne peut expliquer 414 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.: d’une manière plausible la coexistence des sons harmoniques, par la formule de Daniel Bernoulli; on peut ajouter que les séries qui pourraient donner ces différens sons disparaissent de la formule, lorsqu'on suppose le nombre des corps infini, et qu’il en résulte pour chaque point de-la corde, une loi d’isochronisme simple et uniforme, qui dépend immédiatement et simplement de l’état ini- tial, comme nous venons de le démontrer, Au reste, si on voulait à toute force expliquer la résonnance mul- tiple des cordes par les vibrations composées, il faudrait regarder la figure initiale, par exemple, comme formée de différentes courbes superposées lune à Pautre, de manière que l’une serve d’axe à la suivante, et dont la première ne forme qu’une branche dans toute l'étendue de la corde; la seconde forme deux branches égales et placées symétriquement , qui divisent l'axe en deux parties égales; la troisième forme trois branches égales qui divisent l'axe en trois parties égales, et ainsi de suite. Alors les vibrations de la corde pourront être regardées comme composées de vibrations entières dans toute la longueur de la corde, et de vibrations qui ne répondent qu’à la moitié de la corde, au tiers, au qüart, etc. Mais cette composition de courbes et de vibrations n’étant qu'hypothétique, les conséquences qu’on pourrait en dé: duire, relativement à la coexistence des sons harmoniques, seraient tout-à-fait précaires, Go. Revenons à la formule générale trouvée dans Particle 55. Cômme les quantités &,4w et æ._w, sont les coordonnées d’une courbe donnée, qui répondent aix abscisses x-}/h't et x—l#t, on peut les représenter par des fonctions de ces abscisses, de la même forme. Ainsi en désibnant par la caractéristique F une fonc- tion indéterminée, on aura as+ur = F(x+ Ki), den = F(x- lt). SECONDE PARTIE, SECTION VI. 415 Pareillement, en prenant une autre fonction désignée par la carac- téristique f, on pourra faire (fadx), + = f(x + th't ; (Jadx). vw — f(x — Ut). ‘Ainsi l'expression de £; (art. 55) pourra se mettre sous cette forme Fa + ht) ÆF(x —1ht) Ee = 5 f(x +0) = x — LD + alk dans lesquelles les fonctions marquées par les caractéristiques F et f sont arbitraires, puisqu'elles dépendent de l’état initial de la corde. On peut même réduire cette expression à une forme plus simple, en observant que Hésnl 2) ————# + eo — 2 ne représente proprement qu’une fonction de 2 qu’on peut marquer par la caractéris- : —1lh 4 , . tique ®, et que FC? 470 ne représente aussi qu’une seule fonction de x—7/#%'t, mais différente de la précédente, et qu'on peut marquer par une autre caractéristique #. De cette manière, l’expression générale de £ deviendra sim- plement E = D(x HN) HE (x — N'à). 61. On peut parvenir directement à cette expression par l’'équa- tion différentielle qui détermine la variable £ (art. 31). Cette équa- tion, en faisant “E —o et 7” constant, comme dans l'article 32, et changeant la caractéristique D des différences finies dans la ca- ractéristique d des différences infiniment petites, devient dm — ra(S 2) = = 0. 216 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: Si maintenant on fait ddr, dme= . et 4 = Va cette équation devient d'E 7,’ d'E ur . d a pA A a de = © , laquelle est aux différences partielles du second ordre, entre les trois variables £, x et t, et qui a pour intégrale complète E = O(xHini) + Fc), les signes ® et ‘Y dénotant deux fonctions arbitraires comme ci- dessus. Ces fonctions doivent être déterminées par l'état initial de la cordé, et par les conditions que ses deux bouts soient fixes. Si on les décompose en deux autres fonctions marquées par les signes F f F f S F et fet telles que == + et Y= ner 0 de manière que lon ait F(x+lh't) + F(x—iht) £ a — — LCR 0) — f(r—lhe) ee a 10 comme nous l’avons déduit de notre construction; la première con- dition donnera, en faisant 1=0, £=Fr=a et Ê— x= 4; d'où l'on tire fx= fadx; ainsi on a tout de suite les valeurs des fonctions Fx et fx dans toute l'étendue Z de la corde , par le moyen des valeurs initiales æ et a. Les conditions de limmobilité*des extrémités de la corde donnent £=—o lorsque x=0:et lorsque x==7, quelle que soit la valeur de t. En assujétissant séparément, ce qui est permis, à ces deux conditions, les deux fonctions F et f, on a pour la premiére FU) = FD), (HR = (Int), ct SECONDE PARTIÉ, SECTION VI. LT et pour Ja seconde f(— 00 = SE), (HN) = (RE), ce qui donne par la différentiation — PUR) PUR), PHIRD = — (IE), où lon voit que les conditions de la fonction f’ sont les mêmes que “celles de la fonction F. Ces conditions déterminent les valeurs des fonctions Fx, fx pour les abscisses-x négatives ou plus grandes que Z, d’après les valeurs de ces fonctions pour les abscisses comprises entre o et /; et il est facile de voir qu'il en résulte les constructions données dans les articles 5a et 53. Si au lieu des excursions longitudinales £, on considère les excur- sions transversales » ou £#, on a la même équation différentielle, et par conséquent aussi la même intégrale et les mêmes cons- tructions, en changeant seulement Z’ en A, et «, «. en 8, B ou en y, 7: } Ces constructions sont semblables à celle qu’Euler avait donnée pour déterminer la figure de la corde dans un instant quelconque, d’après sa figure initiale, en faisant abstraction des vitesses impri-. mées au commencement du mouvement. Mais il faut remarquer que comme elles ne sont fondées ici que sur les fonctions qui repré- sentent les intégrales des équations aux différences partielles, elles ne peuvent avoir plus d’éteadue que ne comporte la nature des fonctions, soit algébriques ou transcendantes. Or l'équation diffé- rentielle étant la même pour tous les points de la corde et pour tous les instans de son mouvement, k relation qu’elle représente doit régner constamment et uniformément entre les variables, quelque étendue qu’on leur donne; par conséquent, quoique les fonctions arbitraires soient en elles-mêmes d’une forme indéterminée, néan- moins lorsque cette forme est donnée dans une certaine étendue par l’état initial de la corde, il est naturel d’en conclure qu’elle doit JJéc. anal. Tome I. 33 418 MÉCANIQUE ANALYTIQUE- demeurer la même dans toute l'étendue de la fonction, et qu'il n'est pas permis de la changer pour la plier aux conditions qui dépendent de l'immobilité supposée des extrémités de la corde. Aussi d'Alembert, à qui on doit la découverte de cette inté- grale en.fonctions arbitraires, a toujours soutenu que la construc- tion qui en résulte n’est légitime que lorsque la courbe initiale est telle, qu’elle ait par sa nature, des branches alternatives égales et semblables, toutes renfermées dans une même équation, pour que la même fonction puisse représenter cette courbe avec toutes ses branches à l'infini. Euler, au contraire, en adoptant la solution analytique de d’Alembert, a cru qu'il suffisait de transporter la courbe initiale alternativement au-dessus ou au-dessous de l'axe à l'infini, pour en former une courbe continue, sans s’embarrasser si ses différentes branches pouvaient être liées par ufie même équa- tion, et assujéties à la loi de continuité des fonctions analytiques. Voyez les Mémoires de Berlin de 1747, 1748, et les tomes L et IV des Opuscules de d'Alembert. 62. Comme les formules qui donnent le mouvement d’une corde tendue et chargée d’un nombre indéfini de corps égaux, ne sont sujettes à aucune difficulté, parce que le mouvement de chaque corps est déterminé par une équation particulière , il est évident que si on peut appliquer ces mêmes formules au mouvement d’une corde uniformément épaisse, en supposant le nombre des corps infini, et leurs distances mutuelles infiniment petites, la loi qui en résultera pour les vibrations de la corde, sera entièrement indépendante de son état initial; et si cette loi se trouve la même que celle qui se dé- duit de la considération des fonetions arbitraires, il sera prouvé que ces fonctions peuvent être d’une forme quelconque, continue ou discontinue, pourvu qu'elles représentent l’état initial de la corde. C’est ainsi que je démontrai, dans le premier volume des Mémoires de Turin, la construction d’Euler, qui n'était encore fondée que sur des preuves insuffisantes. L'analyse ‘que jy employai SECONDE PARTIE, SECTION VI. 419 est, à quelques simplifications près que j’ÿ ai apportées depuis, la même que je viens de donner, ét j'ai cru qu’elle ne serait pas déplacée dans ce Traité, parce qu’elle conduit directement à la solution rigoureuse d’une des questions les plus intéressantes de la. Mécanique. La généralité des fonctions arbitraires et leur indépendance de là loi de continuité, étant démontrées pour l'intégrale de l’équa- tion relative aux vibrations des cordes sonores, on est fondé à admettre ces fonctions, de la même manière, dans les intégrales des autres équations aux différences partielles; j’ai même fait voir, dans le second volume des Mémoires cités, comment on pouvait intégrer plusieurs de ces équations, sans la considération des fonc- tions arbitraires, et parvenir aux mêmes solutions que l’on trou- verait par le moyen de ces fonctions, envisagées dans toute leur étendue. Maintenant le priucipe de la discontinuité des fonctions est reçu généralement pour les intégrales de toutes les équations aux diffé rences partielles ; et les constructions que M. Monge a données d'un grand nombre de ces équations, jointes à sa théorie de la génération des surfaces par les fonctions arbitraires, ne laissent plus aucune incertitude sur l'emploi des fonctions discontinues dans les problèmes qui dépendent des équations de ce genre. 63. C’est une chose digne de remarque, que la même formule . E == Dre tt) + Fc ki), qui satisfait à l'équation en différences partielles, des uee de dx TT 9 satisfait aussi à la même équation en différences finies, qu’on peut représenter par D°E Des Die tDe = 0 420 MÉCANIQUE ANALYTIQUE:. pourvu qu’on y suppose Dx == ÆD!, et Dt constant. En effèt on a, en ne faisant varier que l'x, D°,D(xH 6) = D(x + Da eh 6) — 20 (x + Hi) + Dame Da kt), et en ne faisant varier que let, D°,D(x+ 65) = De Hi ED) — 20 (x Et) + Oct Et ED) ,» expressions qui deviennent égales en faisant Dx:== &Dt; et on trouvera la même chose pour la fonction “F(x— ki). Dans l'infiniment petit, la condition dx= dt disparaît, et l'in: tégrale a toujours lieu; la raison en est qu’alors lexpression we, qui paraît représenter la différence seconde de £, divisée par le carré de la différence de +, n’est plus qu’un symbole qui exprime une fonction simple de # dérivée de la fonction primitive £ et diffé- rente de cette fonction, laquelle est tout-à-fait indépendante de la 2 x - sd valeur de dt. Il en est de mème de lexpression PE, par rapport à x; c'est dans ce changement de fonctions que consiste réellement le passage du fini à l'infiniment petit et l'essence du calcul diffé- rentiel. ” \ 64. J’ajouterai encore ici une remarque qui peut étre utile dans ‘plusieurs occasions; elle a pour objet une nouvelle méthode d’in- terpolation qui résulte des formules de Particle 48. Nous avons vu que la formule . >> sin( AT) S sin (x a) devient égale à a, lorsque r=—1, 2, 5, etc., 7. Donc si on a une suite de quantités «,, &,, «,, etc., «;, dont le nombre soit n, on pourra représenter par la formule précédente un terme quelconque intermédiaire dont le rang serait marqué par un nombre quel- conque 7 entier ou fractionnaire , puisqu'en faisant successi- SCCONDE PARTIE, SECTION V1. 421 vement r = 1, 2, 3, etc., », la formule donne #,, a, ds, CIC. , de. Le signe S indique la somme de tous les termes qui répondent à s=—=1, 2, 3, etc. », et le. signe Z la somme de tous les termes qui répondent à p=1, 2, 5, etc., #, la quantité æ étant l'angle de deux droits. * Supposons qu’il n’y ait qu'un terme «, donné, on fera n=1, s=1,p=—1,et l’on aura pour l'expression générale de «,, ne °._ Tr a = di Sin — Soit 2=—=2, et les deux termes donnés «,, «,, on fera s=—1, 2, p=1, 2, et l’on aura 2r a, = 3(d'snr +de : en supposant » LA . 2æ A = a,sin 3 “+ 2sin % Lu A" = a, sin Z rte sin £ Soit 23, et les termes ne dy sy Ms, ON fera s=—1, 2, 5, et p=—1, 2, 35, on aura , = 2(4'sin Z + 4'sin 27 + 4 sin T7 a = 2 (A'sinT + d'sin + 4"sin z où les coefficiens 4’, 4°, 4", sont déterminés par ces formules 2 3x A = a sin — + à, sin ; LE je 0 » = 4, sin + a, sin & = + assin © 7 : D — mn ME + aRE, et ainsi de suite. ® | 3 . x . Dans la méthode ordinaire d’interpolation, on suppose qu’om 422 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: fasse passer par les extrémités des ordonnées qui représentent les termes donnés , une courbe parabolique de la forme y = a + Dx et ox + pa + etc. Dans la méthode précédente, au lieu d’une courbe parabolique, on suppose une courbe de la forme = A’sin (5 + d'sin _ + 4° sin C) + etc., et il y a bien’ des cas où cette supposition peut être préférable, comme plus conforine à la nature de la question. FIN DU TOME PREMIER. ERRAT A. Page 971, lig. 15, au lieu de cinquième, lisez sixième. 5, au lieu de à .Sridm = o, lisez d.StIdm + ad. Sdm —e _—— 27, — —— 102, — 4, à compter d'en bas, au lieu de AU, lisez U —— 148,— 10, au lieu de antérieures, lisez extérieures —— 173, — 6, au.lieu de art. 58, lisez art. 60 ——]bid., — 10, au lieu de dx, du, dy, lisez dl, dm, dn —— 368, — 4, au lieu de fonctions, lisez forces — 403,— 6, au lieu de 1, lisez n+1 2 — 405, — 15, au lieu de dans les valeurs de s', s’, lisez dans les formules MECANIQUE ANALYTIQUE. DE L’IMPRIMERIE DE M“ V* COURCIER. MECANIQUE ANALYTIQUE, Par J. L. LAGRANGE, de l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, du Bureau des Longitudes ; Grand- Officier de la Légion - d’Honngur , etc., etc., etc. NOUVELLE ÉDITION, REVUE ET AUGMENTÉE PAR L'AUTEUR. TOME SECOND. PARIS. Mu VE COURCIER , IMPRIMEUR-LIBRAIRE POUR LES MATHÉMATIQUES, L] 1815. ET | AVERTISSEMENT. L: publication de ce deuxième volume de la Mécanique analytique a éprouvé un retard dont nous allons exposer les pringpaux motifs. M. Lagrange en avait déjà fait imprimer les premières feuilles ‘lorsque la mort l’enleva aux sciences. M. Prony se chargea de suivre l'édition de ce volume, et fR aidé dans la revision des épreuves par M. Garnier, Professeur à l’École Royale Militaire. Le manuscrit des VIT: et VIII Sections se trouva fort en ordre; mais étant arrivé. à Ja IXe Section, on reconnut que cette partie ‘était incom- plète, et que le premier paragraphe seul en était achevé. M. Binet (J.) fut invité à faire avec MM. Prony et Lacroix, les recherches nécessaires dans les papiers de M. Lagrange, pour compléter , s’il était possible , les matières qui devaient entrer dans cette Section. Leurs recherches fournirent la con- viction que notre illustre Auteur n’avait fait que préparer cette partie, et que rien d’entièrement ‘achevé n’avait été égaré. De nombreuses occupations ayant détourné M. Prony des soins de l’impression , qui dans la Section IX en particulier , exigeait une grande attention , pour coordonner les matières et les notations de l’ancienne édition , avec ce qui était im- primé de la nouvelle, M. Binet ( J.) a bien voulu se charger de ce travail, souvent pénible. On a profité de toutes les notes marginales rencontrées sur exemplaire deM.Lagrange, v) AVERTISSEMENT. et écrites de sa main. N’ayant pu renfermer dans le texte quelques matières relatives au mouvement de rotation » trop peu cofhplètes pour former un paragraphe, on les a réunies dans une note à la fin du volume. Une autre note a été formée d’une remarque également trouvée parmi les manuscrits; elle se rapporte au problème de la détermination de l'orbite des Comètes, prob ème traité dans le paragraphe III de la section VII. 0000 TABLE DES MATIÈRES CONTENUES DANS CE VOLUME, SECONDE PARTIE DE LA MÉCANIQUE,; OÙ LA DYNAMIQUE. SECTION VIL Sur le mouvement d’un système de corps Gbres, regardés comrne des points, et animés par des forces d'attraction , | page 1 CHAPITRE I. Du mouvement d’un corps regardé comme un point et attiré vers ua centre fixe, par des forces pro- portionnelles à une fonction de la distance, et en particulier du mouvement des planètes et des cornètes autour du soleil , & Ier, Du mouvement des planètes et des comètes autour du soleil supposé fixe, 16 II. Détermination des élémens elliptique ou parabolique, 35 $ ET. Sur la détermination des orbites des comètes, 42 CHaAP. IL Sur la variation des élémens des orbites ‘elliptiques, pro- duite par une force d’impulsion, ou par des forces accélératrices, .…. 66 $ Ier, Du changement produit dans les élémeus de l'orbite d’une planète, lors- qu'elle est pee recevoir une impulsion quelconque , 67 $ IL. Variations des élémens des planètes, produites par des forces perturba- _ trices, 76 CHap. JL. Sur le mouvement d’un corps attiré vers deux centres fixes, par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances, 108 CHAp. IV. Du mouvement de deux ow plusieurs corps libres qui s’attirent mutuellemeñt, et en particulier du mou- vernent des planètes autour du soleil; et des varia- tions séculaires de leurs élémens , 121 Ÿ Ler, Équations générales pour le mouvement relatif des corps qui s'attirent mutuellement , 193 $ IT. Formules générales pour les variations séculaires des élémens .des orbites des planètes ‘autour *du soleil, 130 vii TABLE DES MATIÈRES. $ III. Sur les équations séculaires des élémens des planètes, produitg par la résistance d’un milieu très-rare, e :65 $ IV. Du mouvement autour du centre commun de gravité de plusieurs corps qui s’attirent mutuellement, 170, SECT.' VIII. Du mouvement des corps non libres, et qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque, 177 CHAP I“, Formules générales pour la variation des constantes ar- bitraires, dans le mouvement d’un système qg#e'çonque de corps , produite par des impulsions finies et ins- tanlanées, ou par des impulsions infiniment petites et continuelles , ; 181 CHAP. IL Du mouvement d’un corps sur une surface ou ligne donnée, 189 I, Des oscillations d’un pendule simple de longueur donnée, 194 $ II. Du mouvement d'un corps pesant sur une surface quelconque de révo- : lution, 210 SECT, IX. Sur le mouvement de rotation, 211 Sur la rotation d’un système quelconque de corps, 212 $ I. Formules générales relatives au mouvement de rotation, ibid. $ II. Équations pour le mouvement de rotation d'un corps solide , animé par des forces quelconques, 230 $ UT. Détermination du mouvement d'un corps grave de figure quelconque, 243 SECT. X. Sur les principes de l'Hydrodynamique , 277 SECT. XI Du mouvement des fluides incompressibles , 286 Ir, Équations générales pour le mouvement des fluides incompressibles, ibid. $ IT. Du mouvement des fluides pesans et homogènes dans des vases ou ca- naux de figure quelconque, 317 Applications de ces formules au mouvement d’un fluide qui coule dans un vase étroit et presque vertical, 7" 323 “Application des mémes formules au mouvement d’un fluide con- tenu dans un canal peu profond et presqu’horizontal, et en par- ticulier au mouvement des ondes , " 532 SECT..XIT. Du mouvement des fluides compressibles etélastiques, 337 NOTE I. Sur la détermination des orbites des comètes, 3555 NOTE IL Sur ld mouvement de rotation , 357 Liste des Ouvrages de M. Lagrange, 372 FIN DE LA TABLE DU SECOND VOLUME, MÉCANIQUE ANALYTIQUE. SECONDE PARTIE LA DYNAMIQUE. nef D DT De A Me Se CP SLR LPS SEPTIÈME SECTION. Sur le mouvement d’un système de corps libres, regardés comme : des points, et animés par des forces d'attraction. Os peut ranger en trois classes tous les systèmes de corps qui agissent les uns sur les autres, et dont on peut déterminer le mouvement par les lois de la Mécanique ; car leur action mutuelle ne peut s’exercer que de trois manières différentes qui nous soient connues, ou par des forces d'attraction, lorsque les corps sont isolés, ou par des liens qui les unissent, ou enfin par la collision immédiate. Notre système planétaire appartient à la première classe, et par cette raison les problèmes qui s’y rapportent doivent tenir le premier rang parmi tous les problèmes de la Dynamique. Nous allons en faire L'objet de cette Section. Méo. anal, Tom. II. £ 2 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Quoique dans les systèmes de cette classe, où les corps sont supposés se mouvoir librement, il soit très-facile de trouver les équations de leur mouvement, puisqu'il ne s’agit que de’ réduire toutes les forces à trois directions perpendiculaires entre elles, et d’égaler, par le principe des forces accélératrices, la force suivant chacune de ces directions, à l'élément de la vitesse relative à la même direction, divisé par l'élément du temps; néanmoins l’usage des formules données dans la quatrième Section est toujours pré- férable, parce qu’elles fournissent directement, et sans aucune décomposition préalable de forces, les équations différentielles les plus simples, quelles que soient les coordonnées qu’on emploie pour déterminer la position des corps, même lorsque les corps, au lieu d’être tout-à-fait libres, sont contraints de se mouvoir sur des surfaces ou des lignes données. Nous commencerons par rappeler les formules dont nous ferons usage. 1. Soient m, m', m”, etc. les masses’ des différens corps regar- dés comme des points, x, y, z les coordonnées rectangles du corps m, x’, y’, z' celles du corps m!, et ainsi de suite; ces coor-. données étant toutes rapportées aux mêmes axes fixes dans l’espace. On fera | 2 a a a rs dz' T=m HQE HS me +2 EILE = + etc. Etsi à la place des coordonnées rectangles x, y, z on veut em ployer d’autres coordonnées quelconques £, », €, il n’y aura qu’à substituer les valeurs de x, 7, z eu &; n, € dans la formule dx° + dy® + dz*; de même on substituera dans dx'* + dy'* + dz"* les valeurs de x!, y, z' en £’, », &', si on veut transformer les coordonnées rectangles x’, y’, z' en £’, »’, &', et ainsi de suite. De cette manière la quantité T deviendra une fonction des variables E, n, &, &', nl, €; etc., et de leurs différences premières, SECONDE PARTIE, SECT:ON VII. 3 Soient maintenant R, Q, P, etc.les forces avec lesquelles chaque point de la masse m tend vers des centres fixes ou non, dont les distances soient r, q, p, etc., lesquelles étant données en x, #3 z, deviendront aussi des fonctions de £, », €; on fera M= Rdr + Qdg+ Pdp + etc., 8oit que d'1'soit une différentielle complète ou non; et dénotant par les mêmes lettres marquées d’un trait, de deux traits, etc., les quantités analogues relatives aux corps m’, m", etc.; on fera de plus | PE mA ke md + m'AI" + etc. Si, outre ces forces dirigées vers des centres donnés, il y avait des forces d’attraction mutuelle entre toutes les molécules des corps m et m’, en nommant r la distance de ces corps regardés comme des points, et R la force d'attraction dépendante de la distance ou non, il faudrait ajouter à d77 le terme mm'Rdr, et ainsi pour tous les autres corps qui s’attireraient mutuellement. Or les corps étant supposés libres, les coordonnées qui déter- minent leur position dans l’espace sont indépendantes, et chacune d'elles, comme £, donnera une équation de la forme ER 2, Lorsque les quantités df1, SIT, etc. sont des différentielles complètes, ce qui a toujours lieu dans le cas où les forces sont proportionnelles à des fonctions quelconques de leurs distances aux centres d'attraction, lequel es est celui de la nature, il sera plus simple de preudre d'abord les ‘intégrales N, !', etc., lesquelles seront I = fRdr + fQdq + SPdp + etc., N'= fR'dr'+ jQ'dg'+ S'P'dp'+ etc., ete SECONDE PARTIE, SECTION VII. 5 auxquelles on pourra joindre l'équation du premier ordre T+ V =H, qui tiendra lieu de lune d’entre elles. Si le mouvement se faisait dans un milieu résistant, en désignant la résistance par R, il n’y aurait qu’à ajouter à la valeur de S 77 . lès termes (art. 8, Sect. IL). dx dy à dz R Dx+ Sy +R dr); mais l'équation TejŸ”7 — H n'aurait plus lieu. 4. Supposons que le corps m soit attiré vers un centre fixe par une force À fonction de la distance r du corps au centre, on aura simplement = f Rdr. Prenons la distance r pour l’une des coordonnées du corps, et prenons, pour les deux autres, l'angle 4 que le rayon vecteur r fait avec le plan des x et y, et l'angle ® que la projection de r sur ce plan fait avec l’axe des x; en plaçant l’origine des coordonnées rectangles x, y, z dans le centre des rayons 7, de manière que l'on ait r= Vx° + y* +7, on trouve facilement x=—=rcos+cos®, y==rcos4dsing, z—rsin4, et de là T = Los de" + 4) + dr » F7 =fRdr. On aura donc ces trois équations différentielles relatives à 7, 4, #, e àT OT , SF PET R TR d TT Cr 4 di Hi _ AD do À de 0) SECONDE PARTIE, SECTION VII. ? laquelle ne peut avoir lieu qu’en faisant Vo et N= 0. La supposition dont il s’agit revient à faire ensorte que le corps se meuve dans ‘un instant dans le plan des x et y, ce qui est doujoürs possible, puisque la position de ce plan est arbitraire; alors le corps continuera de se mouvoir dans le même plan, et décrira nécessairement une orbite plane, c’est-à-dire une ligne à simple courbure. C’est ce qu’on peut aussi démontrer directement par l'intégration de même équation. Car en y substituant pour d£ sa valeur tirée de la _ première intégrale, elle devient _Cdÿ. . cos Ÿ1 def ag En = E. : d : Soit, lorsque J=0, o = tang:, on aura E*= C*° + C‘tangi = sr? et la dernière équation se changera en HO ne a nn . ; conptdp cosit cos pi tang 2° — tang À ? d'où l’on tire = dy CR : cos V/tangi® — tang équation séparée dont l'intégrale est . . t g — h== angle (sinus = RE | ou bien tang = tangi x sin(o—}), h étant la valeur de ® lorsque dd =0o. Cette équation fait Voir que g—A et N sont les deux côtés: SECONDE PARTIE, SECTION VIL. 9 En intégrant cette équation on aura l'expression de £ en r, ét réciproquement celle de r en £. 7. On aura ensuite @ par l'équation D cosidt. Fox pr? or, comme le plan des angles @ est arbitraire, si on le fait coïn- cider avec le plan de Forbite, en faisant 2=0, on aura aussi Jo (art. 5), par conséquent de = 2, et dans ce cas, l’angle dg sera celui quEté rayon r décrit dans le plan de orbite. Donc de = si on désigne en général cet angle par d®, on aura dt = 2, et substituant la valeur de dé en dr, D Ddr = La \/24—2[Rdr— F ? équation dont l'intégrale donnera la valeur de & en r, et récipro- quement celle de r en ®%. Ensuite on aura @ en ® par l’équation laquelle, en substituant pour cos sa valeur tirée de Péquation tang À = tang c X sin (9 — A) trouvée plus haut, devient d? de = cos & [1<+ tangi* sin (e—#)"] cosid, tang(o — h) cosi® + tang (e — h)" ? d'où l'on tire par l'intégration —h d+kz= angl(tang = Ge. 7 ) ; Méc. anal. Toi. IT.” SECONDE PARTIE, SECTION VIL ti équations différentielles dx +RE=0o, dy = R+Rl=o, de m+R;=o, et l'équation intégrale MHYCRE + [Rdr = H. En chassant R°SS trois- équations différentielles, on a immé- diatement trois équations intégrables et dont les intégrales sont CŸ B, A étant des constantes arbitraires dont la première est la même que celle de l'équation Cortes = Cde Particle 5, parét qu’en effet celle-ci n’est qu’une transformée de l'équation té _— dc par la substitution des valeurs de x, y, z de l'article &. Ces trois intégrales répondent à celles que nous avons données pour un système de corps, dans l'article g de la Section IE, d'où nous aurions pu les emprunter. 10. En ajoutant ensemble les carrés des trois dernières équa- tions, et employant cette réduction connue, (cdy —ydx) + (zdx — xdz) + (ydz — zdy) = (x + y 2) (dxtat dy + dr) —(xdx+ydy +zd2), SECONDE PARTIE, SECTION VII. 13 Ces valeurs étant substituées dans les mêmes équations, donne- ront celles-ci : Edn — nd: —g— COS = C, nd _ M ini cosh = B, EM UE in 5 sin 4 = A. Ajoutant leurs carrés ensemble, et extrayant ensuite la racine, on a = ve Edn — ñ s s p ] Nr Sin = VA + B'+C C = = D (art. 6); de sorte que les valeurs des constantes 7, B, C seront C= Dcosi, = — Dsinicosh, 4 = Dsinésinh. Or désignant par ® + £, comme dans Particle 7, l'angle que le- rayon 7 fait avec la ligne d’intersection du plan de l'orbite et du plan fixe des x, y, ilest clair qu’on aura £ = rcos(D+E), n = rsin(® +E£), et la dernière des équations précédentes deviendra r'd® = Ddt, laquelle donne le théorème connu des secteurs /r*d® proportion- uels aux temps £. Substituant la valeur de df, on aura Es Fa? F\/2H— far — # comme dans l'article cité. Ainsi le problème est de nouveau réduit à l'intégration des deux SECONDE PARTIE, SECTION VI. 15 et faisons pour abréger, a = coskcosh — sinksinh cosz, B = — sinkcosh — cosksinh cosz, a, = cos ksinh + sin cosh cosz, B,= — snksink + coskcoshcosz, e,== Siné sinz, B,= cosksinz, on aura er x = ak H BY = r(acos® + Bsin®), y = aX+ BY= r(acos® + Bsin®), z= aX+ BY r(acos® + Bsin®),- expressions qui ont cet avantage, que les quantités dépendantes du mouvement dans l’orbite sont séparées des quantités qui dépendent uniquement de la position de l'orbite, relativement au plan fixe des x, y. Ces expressions de x, y, z sont conformes à la théorie géné- ralc exposée dans la seconde Section (art. 10), et on aurait pu -les.en déduire immédiatement. En effet, en considérant tout de suite le mouvement dans lor- bite, on a les coordonnées X, Y, la troisième Z étant nulle, lesquelles ne renfermant que trois constantes arbitraires, peuvent être regardées comme des valeurs particulières des coordonnées générales x, Y, Z; ensuite on aura celles-ci, par le moyen des coefficiens &, #, «,,etc., qui renferment les trois autres constantes. 14. Si, au lieu de considérer le mouvement dans l'orbite propre . , * du corps, on rapportait ce mouvement à un plan quelconque, par SECONDE PARTIE, SECTION VII. 17 attractive d’une planète vers le soleil, à la distance —1, ce qui donnera fRdr= — 8. Substituant cette valeur dans léquation entre ® et r (art. 11), on voit que la quantité sous le signe devient a H+ 87 , la- quelle peut se mettre sous la forme 2H + E—(2—S '; alors le second membre de Péquation exprimera la différentielle de l'angle ayant pour gosipus la quantité de sorte qu'intégrant, ajoutant à ® la constante arbitraire K, et passant des arcs à leurs cosinus, on aura D — —$ = V3A+ Ex cos (® + K). On voit que la plus petite valeur de 7 aura licu lorsque l'angle © + K est nul; de sorte que, comme nous avons supposé (art. 12) que l'angle ® commence au point qui répond au minimum de r, on aura K =0. Donc, en faisant pour abréger, D° 2 HD* b = — e = V4 1 8 Ù + g ’ r = on aura 1 60050 ? “quation polaire d’une section conique dont b est le paramètre, l'ex- centricité, c’est-à-dire, le rapport de la distance des foyers au grand axe, r le rayon vecteur partant d'un des foyers, et ® l'angle qu'il fait avec la partie du grand axe qui répond au sommet le plus proche de ce foyer. Mec. anal. Tom. IL. 3 SECONDE PARTIE, SECTION VIL. 55 on aura 3 dt = VTx (1 — e cos8) d8, et intégrant avec une constante arbitraire c, t—c—= VE x (@—esin8). Cette équation donnera 8 en t, et comme on a r en 8, on aura par la substitution, r en &. Si on fait la même substitution dans l'équation entre & et r de Part. 12, on aura sekci: < J& = diy/1—e 1-— € cos ? dont l'intégrale est 8Vi—e 1—ecos8 D — ang(sin= Te À + const. Mais on peut avoir la valeur de & en 8 sans une nouvelle inté- gration, par la simple comparaison des valeurs de Ts laquelle donne l'équation b ITecne = a(1i—ecos8), d'où lon tire, à cause de b=— a(1—e), . cosû-—e : sin Ô a En TL RP nie et de là d __ ie 8 lang = VC) x tang à On voit par ces formules, que, lorsque l'angle 8 ést augmenté de 360° le rayon r revient le mêmt, et que l'angle ® est aussi aug- mehté de 360°. Ainsi la planète revient au même point, après avoir fait une révolution entière. Or l'angle 8 augmentant de 360’, le temps £ se trouve augmenté de ve — X 360°; c'est le temps que la planète emploie pour revenir au même point de son or- SECONDE PARTIE , SECTION VIE u donne, en substituant X pour rcos® (art. 13), % br aGme)r e € Substituant pour r sa valeur en 8, a(1—ecos8), an aura X = a(cosû —e), et comme Y = V7°— X", on trouvera YF = aVi—e x sin, expressions fort simnlcs qu’on pourra substituer dan$ les ex- pressions générales de x, y, z du même article. Ainsi il ne s’agira plus que: de substituer la valeur de 8 en'#, tirée de l'équation donnée dans l'article 16, pour avoir les trois coordonnées en fonctions du temps. 49- L’angle 8 que nous venons d'introduire à la place de £, est ce qu’on appelle en Astronomie anomalie excentrique, et qui répond à l’anomalie moyenne (t—c) V & , et à l’'anomalie . vraie ®; mais les astronomes ont coutume de compter ces angles depuis le sommet de l’ellipse le plus éloigné du foyer où le soleil est supposé placé, et qu’on nomme aphélie ou apside supérieure, au lieu que dans les formules précédentes, ils sont supposés comptés depuis le sommet le plus proche du même foyer, qu'on nomme périhélie ou apside inférieure. Pour les rapporter à laphélie, il n’y aurait qu'à y ajouter lPangle de 180°, ou, ce qui revient au même , changer le signe de la quantité e; mais en prenant Vori- gine des anomalies au périhélie, on a l'avantage d’avoir des formules également applicables aux planètes, dont l'excentricité est assez petite, et aux comtes, dont l’excentricité est presqu’égale à unité, leur grand axe étant très-grand, tandis que le paramètre conserve une valeur finie. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 25 maïs pour avoir des expressions plus simples, il conviendra de développer auparavant les puissances des sinus en sinus et cosinus d'angles multiples de z. ‘ On aura de même . sin8 — sinu +esinu cosu + er CRE 00) d?.(sin uÿ cos u) He 2.8du* + etc., : : d.sin u cos Œ COSU — ESINU* — €* cel d'.sin uf 8 + e 2-34 no etc., Te RL sin u AT ei cos u* cos u* "odu e? __cosu? re ‘e.8du® + etc. On aura ainsi, par les formules des articles 16 et 17, . è ñ s 0 G—ecosu +esinu* +6 ÉTÉ 4 sin ut Fée — cc, Pie Ce —e cosu)" + ne* sinu* (1—e cos 4): + Lsnut(i— e cosu)" 7! 2du 5 etc. |, e D uS X=a Ceosu—e(i+sinu)— d.sinu adu — ei dsinut 2.3du etc. |, —— e * é = 4 Vi—e x Cr er 2: Ginu*cosu} 2du et &.(sin us cosu + ES ete. ), ng? — Vote sinu® 3 VHS) x x (ang M É en 1 cou - sinus A AUS + en _1 Has u E EXT u adu re Ru it ec ). SECONDE PARTIE, SECTION VII. 25 réduisant les logarithmes du second membre en série, et substi- tuant, ensuite, à la place des exponentielles imaginaires, les sinus réels qui y répondent, on aura enfin la série (*) d — 8 2Esin8 + 2€ sin aô + 2 sin 38 + etc. Il ge s'agira donc plus que de substituer pour 8 sa valeur en u. fi donc on fait, pour abréger, U = cosu-+ E cos ou + E*cos3ù “+ etc.» on aura D—uH+2Esinu + sin 24 + . sin 3u +- etc. ; .r d-(Usinu’) 3nd.(Usinu) etc. oeeEUsinu + 2e E ns H06E TE + On peut réduire la valeur de U à une forme finie, et l'on trouve U — cosu— E" _ __(1+Vi—é)cosu—e 1—3É cosu FE TT af —ecosu) Ces formules ont l'avantage de donner la loi des séries, qui n'était pas connue auparavant. 23. Puisqu’en prenant le plan des x, y pour celui de l'écliptique supposée fixe, et supposant l'axe des x dirigé vers le premier point d_#ries, l'angle ® est ce qu’on appelle la longitude de la planète, l'angle L est la longitude du nœud, l'angle 4 est la latitude, il est clair que l'angle &+k, dont ?—A est la projection sur Péclip- tique, sera la longitude dans l'orbite comptée du nœud, ou ce qu’on appelle l'argument de la latitude, et l'équation (art. 7) tang (p— À) = cosix tang (® +). “qui donne l'angle @ par ®, pourra, lorsque l'inclinaison est assez petite, se résoudre en série par la méthode des exponentielles ima- 6”) Voyez dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, de 1776, plusieurs applications de cette méthode. Méc. anal. Tome IL. 4 SECONDE PARTIE, SECTION VIL, 27 enfin, en développant les. puissances des exponentielles imaginaires ct y substituant les sinus qui y répondent, on aurait À = tangi x sin (g — x) +R [s in 3(p—x) — 3sin (p —h)] _ s [sin 5(p—h) — 5sin 3(p —h) +: 10 sin(p—#)], Les séries que nous venons de donner ne sont convergentes qu’à raison de la petitesse de lexcentricité e ou de l'inclinaison à, et ne sont par conséquent applicables qu'aux orbites elliptiques peu différentes du cercle et peu inclinces, telles que celles des planètes etde leurs satellites ; iln’y aurait d'exception que poêr Pallas, une des quatre nouvelles petites planètes, dont l'inclinaison sur s ; Pécliptique est d'environ 34°, ce qui donne pour (tang =) une frac- tion encore assez petite ; de sorte que la série de la valeur de ® en ® sera très-convergente, mais la série de 4 en ® le sera beaucoup moins. ‘24, Aprés le cas où l’excentricité e est trés-petite, le problème de Képler est encore résoluble analytiquement, dans le cas où l’excentricité est peu différente de l'unité, et qui est celui des orbites presque paraboliques, comme celles des comètes. Dans ce cas, le demi-grand axe à@ devient très-grand, et l'équation de Particle 15, 2 + + 1 1 © dans laquelle B est le demi paramètre, donne b b® = = De si AS etc. SECONDE PARTIE, SECTION VIr. à laquelle: donne T= V B(—c) Ve + Vote +E + V3(t—c) Ve — Voat—che+b; et si on fait CET 67 Ts "3 "3.4.5 T'= 4 T5 S > + on aura © = T+T + etc., et de là ; Bb bT* Ti r= SL (HT)HI(E—- TS + TT), o_T “:1/TVb, T° T' ang + 208 — V3) X = Ib P)RUE RES TT'), F= TVE+ IT —T'yb) Mais l'irrationnalité de expression de T'empêchera toujours que -ces formules ne soient d’un grand usage dans le calcul analytique des orbites paraboliques ou presque paraboliques. 25. Il est bon de remarquer, relativement au mouvement para. bolique, qu’on peut déterminer le temps employé à parcourir un aré quelconque de la parabole, par une formule assez simple, qui ne renferme que la somme des rayons vecteurs qui répondent aux deux extrémités de Farc, etla corde qui soutend cet arc. En faisant a infini et© = r\/b les formules précédentes donnent. G(—c)VB= bp KGT+T), vestang”, er=b(itr), 2X=bfi—r), Y=br.. Marquons par un trait les mêmes quantités rapportées à un autre point de la parabole; la différence #’—t, ou le temps employé à: 30 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. parcourir un arc de parabole contenu entre deux points donnés sera exprimé par la formule 6 — DV = by b (54H Tr re) (nr), Or on a X=b—7r, Y—V2br —b", et si on nomme v lx corde qui joint les deux extrémités des rayons ret 7’, on aura = (XX) + (TT) = (tr) + (Var EE — Vabr — FY. Soit, pour abréger, * U» — 1° — (r— a U = Vobr— 1 —\/2br —F, équation d’où il s’agit de tirer la valeur de &. Faisant disparaitre les radicaux et ordonnant les termes par rapport à b,on a DFE + U*] — bU*(r +9+7=0, d’où l’on tire on aura = CCt+r+ Var U: r— U*) o[G—r) + UT ? ou bien en multipliant le haut et le bas par r+r— 14/2770, Den or érr—U) : — V'abr =}, Maintenant on : T= AE donc # U ne RS SE donc | at Dyg= T7 [65 (+7) — UT, SECONDE PARTIE, SECTION VII. Ge substituant la valeur de b, cette quantité devient La(r + 7) + Var 0] Vlr + r) — 2V/arr UT]. Donc enfin, en remettant pour U* sa valeur, et faisant r+r'=s, on aura ° sr Gs+HVs— vv'(as 9/8 — v°) ; expression qui peut se mettre sous la forme suivante, plus simple, comme on peut s’en assurer en prenant les carrés. 26. Cette formule élégante a été donnée d’abord par Euler, dans le septième volume des Miscellanea Berolinensis. On pourrait la déduire du lemme X du troisième livre des Principes mathé- matiques, en traduisant en analyse Ia construction par laquelle Newton détermine la vitesse qui ferait parcourir uniformément la corde d’un arc de parabole, dans le même temps que Parc serait parcouru par une comète, et en observant que dans la parabole Ia demi-somme des rayons vecteurs qui aboutissent aux extrémités d'un arc quelconque, est toujours égale au rayon vec- teur qui aboutit au sommet du diamètre mené par le milieu de la corde parallèlement à l'axe, plus à la partie de ce diamètre interceptée entre l'arc etla corde; doù et du lemme IX on tire la valeur de ce dernier rayon, exprimée, par la corde et par la somme des rayons vecteurs qu? répondent à ses deux extré- mités. | On verra plus bas comment on peut étendre la même formule au mouvement elliptique ou byperbolique, 27. Enfin l'équation entre &et # cst toujours résoluble par ap- 32 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. proximation, lorsqu'on suppose le temps £ très-petit; on a alors pour 6, et par conséquent pour toutes les variables qui en dé- pendent, des séries ordonnées suivant les puissances de #, et qui seront d'autant plus convergentes que la valeur de t sera plus petite. Mais dans ce cas il est plus simple d’en tirer Ja solu- tion directement des équations différentielles en x, y, et t de l'art. 9, en y faisant R=£. . * En regardant les variables x, Y, z comme des fonctions de P, et supposant qu’elles deviennent x+-x', y+7', z—+z', lorsque # devient &+6#’,'on a en ad de le théorème connu, r __ dx es | Med + Te * LE HTEX 3.3 “+ etc., d: y 13 ne HT Ke, dz Bz y — da 1? d'=RUHTEX +R X tete, et il ne s'agira que d'y ne les valeurs des différentielles de XL, Ps 25 déduites des trois dou . 2 Ex ge HE =O0, + 0; JE 0 auxquelles on pourra joindre, pour simplifier le calcul, l'équation en r de l'article 10, 2Hr + as = D’, laquelle étant différentiée et divisée par 2rdr, donne d'ou, en différentiant de ngüveau et faisant, pour abréger, À rd | les S= en on a celle-ci : ds s CTR ++ É = Oo» laquelle est tout-à-fait semblable aux préttdentes. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 33 On aura ainsi, pie des différentiations et des substitutions suc- cessives, dx __ gr Mer tr x __ 3gs & dx , TR NTI: dix ‘38 ds 3.5 g R=(rxa re t)s 2.3gs dx + TR dt”? dx _ 33.58. sds 3.5.7 3.5g's mx BR T = )s 3. 5.3 Le ds 3.3.5gs : g°\dzx HR X TE +$) et ainsi de suite. On aura de pareilles expressions pour les différentielles de y et z, en changeant seulement x en y et z. 28. On fera donc ces substitutions, et comme les quantités x . 7, z et leurs différentielles se rapportent, dans ces formules, au commencement du temps #, si on y change #’ en #, etqu’on dé- signe par x, ÿ, Z,r, s les valeurs de x, y, z, r, s qui répondent à t=0, et qu'on suppose, pour abréger, 3%, . _3: Se + x + (Ex mtÉ 54 3.3. 53e sds 3.5.78s _ 5. 5 2 x tt pis Ro 2 * 234 3.38 3.5.5 À + (de LE entre, on aura ces expressions : Bgs?t Tæ=i-ix HE x x=xT4 7e I=IT+É PF, z=IT+EP. Mic. anal. Tom. II. 5 32 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. A l'égard des constantes s et = que renferment ces expressions, il est bon de remarquer qu’elles se réduisent immédiatement aux constantes D et H, d’où dépendent les élémens a, b, c de l’or- bite elliptique, comme nous lavons vu dans l’article 8. Car en rapportant au commencement du temps £ les deux équations en #* de l'article précédent, on a (rdr})* - &. à rdr 8 __ gen ne — D, ds —?=2H, savoir : t : ds ‘ . : s'=og+oH—D, SæoH+ÉË, et substituant pour Æf et D* leurs valeurs — £., et gb (art. 15), 2a ? on aurà ds : 1 1 r* a=8(:—i), s=g(ar—-T—b); d’où l'on tire 1 1 ds RE == sh, bot mue €, a "rt gdt > a 8 . On voit par là que les quantités T'et 77 ne dépendent que de la figure de Porbite, et nullement de la position de son plan. 29. Comme la quantité Fe, ou s est déterminée par une équa- tion différentielle semblable à celles qui déterminent x, on aura aussi pour cette quantité une expression semblable, en changeant ‘ d d, Pre seulement x et TR en s et Te On aura ainsi De là, en intégrant et ajoutant la constante r°, art TA fP/dt,« SECONDE PARTIE, SECTION VIL. 35 où les intégrales doivent être prises de manière qu’elles soient nulles lorsque é—0. On aura ainsi, en substituant les valeurs de T'et 7’, et ordonnant les termes par rapport aux puissances de £, LI + —$ * MX  s sds __ 158 E) 5 TEXTE Tw)5.28 etc. | Cette expression do r* doit être identique avec celle que don- ‘ meraient les väleurs de x, J Zz; car puisque = xt y, on aura aussi = (x + y +2) Ta tro tee TI dx° + dy° + dz° PA ns de Or x°+ y +z=r", 2H yO te LE De, et dx® + dy° + dr° 2g Sr Jai = = 24 + (art. 9) d.rd = + E (art 27) = & +6, de sorte qu’on aura À D = ITS + ST + (%+5) 2 valeur qui coïncide avec la précédente. $ LL. Détermination des élémens du mouvement elliptique, ou parabolique: 30. Dans Ja théorie des plaïètes, on nomme é/émens les six quantités constantes qui servent à déterminer la figure de lorbite, 36 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. ‘ sa position par rapport à un plan fixe qu’on prend pour “celui de Pécliptique , et Pépoque ou le moment du passage par l'aphélie ou par le périhélie. ; Soit, comme dañs le paragraphe précédent, a le demi-grand axe ou la distance moyenne, et b le demi-paramètre:; ces deut élé- mens déterminent la figure de lorbite, et si on nomme fPexcen- tricité,. ou plutôt le rapport de la distance des deux Lyme grand axe, on a b=—a{(1—e*), et par conséquent Soit, de plus, c le temps qui répond au passage de la planète par le périhélie ; cet élément, avec les deux précédens, servira à détérminer le mouvement elliptique , indépendamment de la posi- tion de Porbite dans lespace. | Pour déterminer cette position, soit # la longitude du périhélie ‘ comptée depuis la ligne des nœuds, c’est-à-dire, l'angle que la par- tie du grand axe qui répond au périhélie fait avec la ligne d’inter- section du plan de l'orbite, avec un plan fixe; cet élément déter- mine la position de l’ellipse sur le plan de Porbite. Soit enfin z l’inclinaison de ce plan sur le plan fixe auquel on le rapporte, et qu’en Astronomie on prend ordinairement pour l'éclip- tique; nous le prenons dans nos formules pour celui des coordon- nées x, y, et soit À la longitude du nœud, c’est-à-dire, l'angle que l'intersection des deux plans fait avec une ligne fixe, que les astro- nomes supposent dirigée vers le premier point d’A#ries, et que nous prenons pour l'axe des x. | Ces six quantités a, b,c, h, 1, k sont les élémens qu'il s’agit de déterminer, d'après quelques circonstances du mouvement ellip- tique donné. . € 4 "+ 31. Le casde plus simple de ce problème est celui où on connaît la position du mobile, sa vitesse et sa dérecticn dans un instant SECONDE PARTIE, SECTION VII. 57 quelconque donné. Dans ce cas, les données sont les valeurs dé dx d ‘ A , jee X3 Vo Zr , T pour un instant donné, valeurs que nous dési- dx dy dz . . gnerons par les lettres romaines x; Yo Zr D mo mo À il s’agira d'exprimer par ces six quantités les six élémens a, b,c,k, h, 1. 7. 9 donne d’abord, en mettant —# à la place de /Rdr, t dx dy dz dx dy dz changeant X; LE Z; r, di? æ, dt en X; Y; Z; TH? , dd”? - y À: dz L] dx dz Barr dz PRONONCE: et les articles 11 et 15 donnent A = Dsinisinh, B—= Dsinicosh, C= D cosi, D = (gb), = £. On aura ainsi immédiatement, par ces formules, les valeurs du demi-axe si du demi-paramètre b, d'ou l'on tire l’excentricité e—= Va 1 —{, et les angles A et z; et il ne restera qu’à connaître les quantités c et À. 32. Il est bon de remarquer que la valeur de aæ et celle de b peuvent se réduire à une forme plus simple. En effet, il est chair que x" y—+7% est le carré dé la vitesse initiale, laquelle étant nommée u, OR aura d'où Pon voit que le grand axe de la section conique, et par 38 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: conséquent aussi le temps périodique (art. 16) ne dépendent que de la distance primitive du corps au foyer attractif, et de la vi- tesse de projection. : À l'égard du Hentai 2b, on a réduit, dans Tarticle 11, la quan- tité D à la forme —- Ée , où dE est l'angle décrit par je rayon Tr [ . dans l'instant dt; de sorte que rd® est le petit arc dé rit pa, même Yayon, par conséquent ee est la vitesse perpe udiculairÀ à ce rayon, et que le corps a pour tourner autour du foyer, Si on désignait cette vitesse de rotation par v, on aurait r'd® n =IV= V8gb, et par conséquent RÉ LE + Ainsi le paramètre 2h ne dépend que du rayon r et de la par- tie de la vitesse w, par laquelle le corps tend à tourner autour du foyer vers lequel il est attiré. 33. Pour trouver la valeur de l'élément c, qui détermine le temps du passage par le périhélie, on remarquera que cette cons- tante n’est entrée dans le calcul que par l'intégration qui a donné la valeur de r en £ (art. 16). Donc si on dénote par S la valeur de 8 qui répond àt= 0, on aura par les formules de l'article cité, en y faisant £=0o, ce qui change ren ret Ben 5, —C= V£ x(S—esmS), r=a(i—ecosS). Ainsi on aura par l'élimination de 3 la valeur de c en r, puisque a et e sont déjà connues. | Enfin pour déterminer le dernie élément k, qui est aussi entré ‘par l'intégration de léquation entre 7 et @ (art 15), on remar- SECONDE PARTIE, SECTION VIL 59 .quera d’abord que lon a (art. #), en changeant x, y en x, y, et rapportant l'angle ç au commencement de #, T = tango. Ensuite Particle 7 donne tang(o —}) cos i tang® — De sorte que À et à étant déjà connus, on aura par l'angle inter- médiaire ®, angle ® en x et y; et de là on aura & par l’équa- tion de l'article 15 rapportée à l'instant où 4=0, cos(p—4)=% (72). 34. Si on connaissait deux lieux du mobile dans son orbite, avec le temps écoulé entre les instans où il a occupé ces deux . lieux, on aurait aussi six données par les coordonnées qui ré- pondent aux deux points donnés de lorbite, et les six élémens seraient aussi déterminés par les valeurs de ces coordonnées ; mais l’expression transcendante du temps empêcherait de donner une solution générale et algébrique du problème. On pourra seu- lement le résoudre par approximation, si l'intervalle de ‘temps- entre les deux lieux est assez petite, en faisant usage des formules de l’article 19. Soient x, y, z les trois coordonnées du premier lieu dans lor- bite, et x', y', z’ celles du second lieu; en prenant # pour le temps écoulé entre les passages du mobil® par ces deux lieux, on aura gn général (art. 28) d d d X'=xT+T F, s'=YT+% Æ 2'=THE NP. “Supposons qu'on ne veuille porter la précision que jusqu'aux troi- 40 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. sièmes puissances de Z, on aura T=i—$x: + + Pat—5x n Comme l'expression de T renferme la constante $== e rd = Lun bd LA on commencera par la déterminer en #j t ensemble les trois équations précédentes, après avoir ruuitipli la première par x, la seconde par y et la troisième par z:-0p aura ainsi l'équation xx'+yy/ +2 = rT+s Fr, d'où l’on tirera la valeur de s qu’on substituera ensuite dans l’ex- pression de T: Les valeurs de T'et de 77 étant connues, les mêmes équations dx dy dz donneronf les valeurs des différentielles Hd? blème sera réduit au cas précédent. ainsi le pro- 55. Enfin si on ne connaissait que trois rayons vecteurs r, r, 7”, avec les temps # et £’ écoulés entre les passages par r et r’ et par r et r’; on pourrait encore déterminer l'orbite par les formules de Particle 29, en supposant les temps f'et £’ assez petits. Car en faisant £—0o pour la valeur de r, et ne poussant les séries pour les valeurs de 7* et 7° que jusqu'aux & et £°, on aura rar, ær tk t—E)s+r, er. at Este équation d’où l’on tirera les ue r,S et = Ces deux derss uières SECONDE PARTIE, SECTION VII. 4 nières donnent tout de suite, par les formules de Farticle 19, 1 1 ds 2 À = + sd? b—=2r—-—— 87 + ensuite on aura l’angle I compris le rayon r et celui du périhélie, par la formule (art. 15) | b—r CosIT = ; re e étant — 6 — c) Si l'orbite était une parabole, on aurait a=%, et par consé- L] d è : : quent . =—$; alors il suffirait de connaître deux distances r et r';la première donnerait la valeur de r et la seconde la va- leur de s, par l'équation 36. Les élémens des planètes sont assez connus; c’est par des observations de longitudes et de latitudes qu'on les a détermi- nés; et la petitesse de leurs excentricités et de leurs inclinai- sons sur le plan de lécliptique, a beaucoup contribué à faciliter ces déterminations. . En prenant ce plan pour celui des x et y, les angles @ et 4 (art. 4) représentent, lun la longitude du corps, et l’autre sa la- titude; et nous avons donné dans les articles 22 et 23, pour les valeurs de @ et en £, des séries qui sont d'autant plus con- vergentes , que lexcentricité e et l’inclinaison z sont plus petites ; en prenant six observations, trois de longitude et trois de lati- tude correspondante, ou en géméral de longitude ou de latitude, à des instans donnés, on eu à six équations par lesquelles on pourra déterminer les six éléihens, du moins pour le soleil et la lune qui tournent immédiatement autour de la terre. Méc. anal. Tom. II. ( 42 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: Pour les autres planètes qui tournent autour du soleil, le cal- cul est un peu plus compliqué, parce que l'observation ne donne immédiatement que les longitudes et latitudes vues de k terre, qu’on nomme géocentriques ; mais en supposant le mouvement du soleil connu, on peut toujours déduire de chaque okserva- tion une équation; de sorte que six observations suffiront, à la rigueur, pour la détermination des six élémens. Ce problème est surtout impoñtant pour les comètes dont les élémens, lorsqu'elles paraissent, sont tout-à-fait inconnus; assi depuis Newton, qui a le premier tenté de, le résoudre, il y a peu de géomètres et d’astronomes qui ne s’en soient occupés. Ne pou- vant établir l’approximation sur la petitesse de lexcentricité et de linclinaison, comme pour les planètes, ils ont tous supposé que les intervalles de temps entre les observations sont très - petits, et ils ont donné des méthodes plus ou moins approchées pour déduire les élémens des comètes de trois longitudes et d’autant de latitudes observées. Comme celle que j'ai proposée dans les Mé- moiïres de Berlin, pour 1783, me paraît offrir la solution la plus directe et la plus générale du problème des comètes , je crois pou- voir la donner ici, mais un peu simplifiée et accompagnée de re- marques nouvelles; elle fournira une application importante des principales formules que nous avons développées dans le paragraphe précédent. $ TILL Sur la détermination des orbites des comètes. 37. Soit, dans un instant quelconque, R la distance de la co- mète à la terre, et Z, m, n leskcosinus des angles que la ligne ou le rayon visuel R fait avec trois axes perpendiculaires entr'eux et supposés fixes dans l’espace ; bn aura R/, Rm, Rn pour les” trois coordonnées rectangles de la comète, parallèles à ces axes SECONDE PARTIE, SECTION VII. 43 et ayant leur origine dans le centre de la terre. La quantité R sera Finconnue, mais les trois quantités Z, m, n seront connues par l'observation de la comète, et devront être telles que l’on ait la condition Bb+m+En =, pagge que par l'hypothèse on doit avoir FR = (RI} + (Rm} + (Rn). Spient de même p, À, m, » les quantités correspondantes rela- tivement au soleil, ensorte que pA, pm, pr soient les coordonnées rectangles du lieu du soleil par rapport à la terre, et parallèles aux mêmes axes; ces quantités doivent. être censées connues par le calcul du lieu du soleil dans le même instant de Pobservation de la comète, et l’on aura aussi la condition X Hu Hi = 1 Enfin soient x, y, z les coordonnées rectangles du lieu de k comète par rapport au soleil, parallèles aux mêmes axes, et r le rayon vecteur de son orbite autour du soleil; il est visible qu'on aura ces trois équations : x = RI— pà, y=Rm—pu, 2z2=Rn—pr; et comme r°=x° + 7° +2", On aura = R' + p—2Ro (+ mu + nr). Or on sait que l'expression ZA + mu + nr est celle de l'angle formé entre les deux rayons R etp, partant du centre commun de la terre et dirigés, lun à la comète, l’autre au soleil; de sorte que si on désigne cet angle pare. on aura = R°— Rp cose + p°. Si donc on a trois ebservations de la même comète, faites à 44 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. des intervalles de temps connus, on aura trois systèmes pareils d'équations qui contiendront chacun une nouvelle inconnue p, et les propriétés de la parabole donneront trois autres équitions. 38. Ce qui se présente de plus simple pour cet objet, est d’em- ployer la formule donnée dans Particle 25, par laquelle on a le temps que la comète emploie à décrire un arc quelconque exprimé par la corde de Parc, et par la somme des rayons vecteurs qui aboutissent à ses deux extrémités, et dégagée de tous les élémens de l'orbite ; car les trois intervalles de temps entre les trois obser- vations, prises deux à deux, donneront les trois équations de- mandées. Nous marquerons par un trait les lettres qui désignent les quan- tités analogues dans la seconde observation; nous aurons ainsi T'=R"—2Rp'coso +p, et s=r+r". Pour la corde w de Parc parcouru par la comète, dans l'intervalle des deux observations, il est clair qu’on aura D (X— x) + (y) + (2) = TS HOT en XX HV +27). En substituant pour x, y, z et pour x', y’, z' leurs valeurs, on aura xx" + yy + 22 = RR'(U'+ mm'+ nn!) TIC C RTE ROES CERTES) — RR(ZA + mu + nr) Or, par les théorèmes connus, expression Z"+ mm'+ nn' doit représenter le cosinus de l'anglà compris entre les deux rayons R et R' partant du centre de la tèrre et dirigés aux deux lieux de la comète dans les deux observañlons, de même Aà' + pue! + vv! sera le cosinus de l'angle formé au centrede lasterre par les deux SECONDE PARTIE, SECTION VII. 45. rayons p, p' dirigés aux deux lieux du soleil, et ainsi des autres expressions semblables. Donc si, pour plus de clarté, on imagine que les deux lieux apparens de la comète soient marqués sur la surface de la sphère par les lettres C, C', et de même les lieux apparens du solcil par les lettres S, S’, et qu’on joigne par des arcs de grands cercles les quatre points C, C’, 8, S', il est évident que les arcs CS, C'S" représenteront les angles que nous avons dénotés par & et o'; que les arcs CC’ et SS’ représenteront les angles dont les cosinus sont // +mm Han et AN + uu+ »w, et qu'enfin les arcs CS’ ct C'S représenteront les angles dont les cosinus sont IX + mu+n et l'A+ m'u+ nr. Ainsi en considérant le qua- drilatère sphérique CC'SS’ qui est censé donné par les deux ob- servations de la comète et par les deux lieux calculés du soleil, on aura r° = R° — 2Rpcos(CS) +.p", r®=— R'*— 2R'p'cos(C'S") + p’, = r°H7—93RR'cos(CC') —2pr/cos (85) © — 2Rp'cos(CS")— 2Rp cos (C'S); donc, comme la différence £’— £ des temps £ et £’ qui répondent aux deux observations, c’est-à-dire leur intervalle en temps, est censé donnée, on aura, par la formule de Particle cité, équation = CH Gr CV | ‘ dans laquelle il n’y aura d’inconnues que les deux distances Ret R!. . Sion a une troisième obsergation , pour laquelle les quantités analogues soient désignées par” les mêmes lettres marquées de deux traits, on aura, par la #omparaison de la première obser- vation avec cellesci, une seconde équation tout-à-fait semblable, t— 46 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. dans laquelle les lettres marquées d’un trait dans l'équation pré- cédente, le seront par deux traits, et qui.ne contiendra que les deux inconnues R et Æ". | ‘On aura de même une troisième équation semblable, par la comparaison de la seconde observation avec la troisième, en ne faisant que marquer d’un trait, dans la première équation, toutes les lettres qui n’ont point de trait, et de deux traits toutes cêlles qui en ont un; ainsi cette troisième équation ne contiendra que les mêmes inconnues R’ et R’; de sorte que les trois équations ne contiendront que les trois inconnues R, R', R”, et suffiront pour les déterminer; mais quoique ces équations se présentent sous une forme assez simple, leur résolution offre des difficuliés presqu’insurmontables, parce que les inconnues y sont mêlées entr’clles et renfermées dans différens radicaux. 39. Au reste, si on pouvait parvenir d’une manière quelconque à trouver les valeurs des rayons R, R', on aurait tout de suite le demi-paramètre b, qui, dans la parabole, est égal au double de la distance périhélie , par la formule (art. 25) D = ne A mi EE oLrbr=V (+ T)—u] d et comme on a en général (art. 10) Péquation Cz—4x—By=0, dans laquelle £= sinh tang ë, = cos Atang s (art. 11), on aura ces deux-ci: z — (xsinh + ycosh)tangs = 0, z'— (x'sin 4 + g'cos hjungi = 0, d'où l'on tirera facilement les Le de tangs et tangh, ce qui donnera la position du plan de là parabole, relativement au plan qu’on aura choisi pour les axes Mes x et 7. On peut même remarquer que par le moyen de ces équations, SECONDE PARTIE, SECTION VIL. 47 qui dépendent de ce que l'orbite de la comète est supposée dans un plan passant par le soleil, on peut d’abord réduire les trois ie ; Ld 4 inconnues à deux seulement. En effit, si on fait, pour abréger, = tangisinh, M =— tangicosh, onæura, en substituant les valeurs de x, y, z, l'équation | Rn—p = L(RI—pà) + M(Rm—fu), : d’où l’on tire — »—2L— uM REP n— 1L—mM? et l’on aura de même les expressions de R’ et de R”, en mar- quant d’un trait et de deux traits les lettres, à l'exception dé Z et M, qui sont les mêmes pour toutes les observations. De cette manière, les trois inconnues R, R’, R" seront réduites aux deux Z et M, de sorte qu'il ne faudra employer que deux équations pour leur détermination, ce qui simplifie un peu la so- lution du problème. 4o. Pour la simplifier davantage, il ne paraît pas qu'il y ait d'autre moyen que de supposer les intervalles de temps entre les observations, assez petits pour qu’on puisse négliger plusieurs termes comme insensibles, ce qui ne donnera d’abord qu’une so- lution approchée, qu’on pourra rendre plus exacte ensuite, par de nouvelles corrections. C’est aussi ce qu’on a fait jusqu'ici dans toutes les solutions qu’on a données de ce problème. En appliquant cette hypothèse à Læ solution précédente, la corde u deviendra très-petite, et en ne tenant que les deux premiers termes des radicaux qui entrent dns l'expression du temps #'—#.. écoulé entre les deux premières gbservations, on aura uVr+r 2Vg d el't= 48 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. ce qui donne . w(r+br) = 4g(t—t}, et il n’y aura plus d’autres radicaux dans cette équation, que ceux qui entrent dans les: expressions de r et 7’; mais les équations entre les trois inconnues R, R', R", ou entre les deux L, M, seront encore trop compliquées pour qu'on puisse les employer avec succès. On peut conclure de là que ces inconnues ne sont pas velles dont Pemploi est le plus avantageux dans la question présente 5 et lorsqu'on ne demande d’abord qu’une, solution approchée, il est beaucoup plus simple de faire usage des formules que nous avons données dans Farticle 28, pour le cas où l'on suppose le. temps £ très-petit. 41. Potr appliquer ces formules à la détermination de l'orbite des comètes, il n’y aura qu’à y substituer à la place x, y, z les expressions données dans l’article 57, on aura ainsi en général RI —h=xT+ T7, Em m=yT+Tr, | Rn — p =1T+ÈP, Le: 7 d d dz L4 où les quantités x, y, 2, > > 7 répondent au commence- constantes, et où Z , et des constantes r, ment du temps £ ct et 77 sont des fonct dt dr d? dé A Comme le commen fixer au moment de la on ar=iet O=0o arbitraire, on peut le ; or, en faisant {—0; la première observa- tion SECONDE PARTIE , SECTION VIL: 49 tion ce premier système d’équations RIT — pa = x, Rm— fu = 7, Rn — pr = 7. Pouf la seconde observation, distante, de la première, du ternps £, : on AU en marquant d’un trait les lettres R, 7, m,n,p, À; m,', ce second système d'équations RT —pN =xT+ Ep, Rm— pu = TH È PF, Rn — pr = 2T+Sr. On aura des équations pareilles pour la troisième observation , distante, de la première, du temps #, en marquant de deux traits les lettres marquées d’un trait dans les dernières équations, et d’un trait les lettres T'et 77, pour indiquer que le £ dont elles sont fonctions doit être changé en #’; on aura ainsi ce troisième système d'équations [4 UE d RIT! — N=xT+HT I", l £'m'— pu yT' + 5 w 7, FR — p = iT + Ep On peut éliminer des premières équations de chacun des trois LL systèmes, les deux constantes x et ë; et faisant, pour abréger, TF! r = 7", on aura (RI—ph)7"— (RI—PN)F7" H (RL PN)P = 0. Mec, anal. Tom. Il. 7 50 : MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Élirninant de même les deux constantes y, Ÿ des secondes équa- tions des mêmes syslèmes, on aura CRm pp)" — (Rm— pu) + (RAP = 0. Et l'élimination des constantes z, des dernières équations de ces systèmes donnera parcillement (Rn S pr)77" ni R'n' ee pr')77 + (R"'n" —p#")7 = 0. De ces trois équations on tire gs PP" PT PR RT ns: ' ART 2 CAES 21 2 YA R'=— SE : début R'= M — LPC où À TA — GF » en supposant, pour abréger, G= mr" + mnl+nlm" — nm" min" nm, et en dénotant par T, I’, T” ce que devient G lorsqu'on y change 1, m, n respectivement en À, x, », en À',u',» et en À”,p", »"; en dénotant de même par F,, T',T°, et par T,, F,, TV, ce que G devient en faisant subir les mêmes changemens aux quantités 7, m', n’, ainsi qu'aux quantités analogues 7", m2", n”". Maintenant les trois observations donnent aussi (art. 37, 38) les équations ER: RE —= La 5 R"— = r, R'— = pl, Donc, si on y subs entes de R, R', R", on aura trois équations dront que des quantités connues, avec les tr, r, r', qui sont. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 5t données en fonctions du temps et des trois constantes r,5, SL; d’où dépendent les élémens de Porbite (art. 28, 29); de sorte qu'on pourra déterminer ces trois constantes. 42 ! En ne poussant lapproximation que jusqu'aux quatrièmes anse de t,ona, w 14 F=t—ggs tes 7 + cc, et de même, Pate + gs Fe etc; , 6r$ 4 2 et comme 7" = TP = J . on trouvera Patte Ge Lg C=VEHE) + etc. En faisant ces sbettitione dans les valeurs de R, R', R'", et supposant t'= mt, le coefficient m2 étant donné par le rapport des deux intervalles entre les trois observations , il est clair que la quatrième dimension de t disparaitra par la division, ét qu’ainsi il suffira d’avoir égard à la troisième dans les valeurs de r’ et 7”. Or on a en général, aux £{ près, = r* + ast + Ÿ — L — Ë 5 + etc; mais nous avons supposé que la première observation répond à t— 0, et que les deux suivantes répondent aux temps t et t'=mt ; ainsi on aura ù ræ=r, Far rar + Su à m © Dé — mes be. On fera donc ces substitutiéns dans les trois dernières équations de Particle précédent, ct rejctant les termes qui contiendraient * 52 "MÉCANIQUE ANALYTIQUE. des puissances de £ supérieures à la troisième, on aura trois équa- : j se. à d, . tions entre les trois inconnues r, s et D dont les deux dernières n’y paraîtront que sous la forme linéaire, de sorte qu'il sera très- facile de les éliminer et de réduire le problème à une seule équa- tion en r. C’est en quoi consiste le principal avantage de à mé- thode que nous proposons. Si on voulait pousser lapproximation plus loin et avoir égard à un plus grand nombre de termes dans les valeurs de 7, F”, : , ° s ï d: PV", r", r, on aurait des équations où les inconnues s et _ ne seraient plus linéaires, mais monteraient successivement à des di- mensions plus hautes, ce qui rendrait leur élimination plus difficile et l'équation finale encore plus compliquée. 43. Pour donner là-dessus un essai de calcul, nous nous con- tenterons d’avoir égard, dans les valeurs de 7, 77, 77", aux troisièmes dimensions de £ et de ?', ce qui fera disparaître les termes affectés de l’inconnue s; nous ferons, pour plus de simplicité, 8 = 1, en prenant la distance moyenne de la terre au soleil pour lunité des distances, et représentant les temps par les mouvemens moyens du soleil (art. 23); et supposant {= nt, nous aurons 1 P=t-és, Pen", 5 (m—1}8 "= (m1) En HR Les valeurs de R, R i de la forme R R SECONDE PARTIE, SECTION VII. 55 en supposant, pour abréger, P=(m—3)pl— mpT + PT", : Q—=(m—1} pt — m°p'T! + PT", et dénotant par P,, Q, et P,, Q, ce que P et Q deviennent en y changeant FT, [', l'en T,, T;, let en T,,T;, I. C& valeurs de R, R', R", distances de la comète À la terre dans les trois observations, ne contiennent, comme l’on voit, quela seule inconnue r, rayon vecteur de la comète dans la pre- mitre observation. Si donc on substitue la valeur de RÀ dans l’équa- tion (art. 25) | R°— 2Rpcos(CS) + p° = r°, on aura une équation finale en r, laquelle montera au huitième degré, et le problème sera réduit à la résolution de cette équation. Ayant trouvé la valeur de r, on aura par les formules précé- dentes celles de R’ et R”; de là on aura, par les formules de l'article 42, les valeurs des trois rayons vecteurs r, 7”, r”, ainsi que celles des coordonnées x, y, z, et de leurs différenticlles ee ss &; et on pourra decerminer Porbite par les formules du $ II, ou si lon aime mieux, par les formules trigonométriques connues, d’après les trois distances R, KR’, R' de la comète à la terre. 44. Les expressions des distances R, R', R" peuvent être sim- plifiées par la considération suivante. Comme la terre et la co- mète se meuvent autour du soleÿf, par la même force attractive de cet astre, si on nomme £, ng £ les coordonnées rectangles de la terre autour du soleil ere o, et qu'on désigne par ©, Y ce que deviennent les fonctions T' et 77 lorsqu'on y change les élémens de l'orbite de la comète en ceux de la terre, on aura, 54 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. comme dans l'article 28, les trois équations “ d’ — pA = £O + F Ti dn 1 + TT; RE dé —p ={@+TT, parce qu'ayant dénoté (art. 24) par pA, pm, pr les coordonnées rectangles du lieu du soleil par rapport à la terre, on aura —pa; — px, —pr'pour celles de Ja terre par rapport au soleil. Comme ces équations ne différent de celles de Particle 28 que. parce que x, y, Z, T,.7 sont changées en £, n,£, ©, T'et que R y est nul, il est clair qu’on aura des résultats analogues, en faisant ces mêmes changemens dans ceux que nous venons de trouver dans l’article précédent. Ainsi, puisque les expressions de R, R', KR’, données à la fin de cet article, ne contiennent d’autre quantité dépendante des élémens de l'orbite que le rayon vecteur r, si on y change r en p, rayon vecteur de lorbite de la terre, on aura R=0o, R=0o, R'=0o; d’où l'on tire 6P— , 6P, — Le, 6P, — CE. Ces valeurs étant maintenant susbtituées dans les mêmes expres- sions de R, R', R", et négligeant, dans le dénominateur, le terme trop petit du second ordre (»7—:1)#* vis-à-vis du terme fini 6(m—1)r", on aura ces expressions plus simples : 1 5) 1 5) 1 5) Si donc on substitu Péquation F [°=40, SECONDE PARTIE, SECTION VII. 55 et qu’on fasse, pour abréger, Qs ee 6(m—1)G K; quantité toute connue par les observations, en multipliant par £fr°, Péquafion KA — 65) = 2 KP(rS —p) cos(CS) + péri (p— 1°) = 0, où inconnue r montera au huitième degré, mais qui, étant divi- sibk par r—p, ne sera, après la division, que du septième degré. Cet abaissement de Yéquation en r est dû à ce que nous avons représenté le mouvement de la terre, comme celui de la comète, par des formules approchées où l’on a négligé les puissances de £ supérieures à la troisième; il aurait pas lieu en employant la valeur de R de Particle précédent, dans laquelle les lieux du soleil sont supposés exacts, étant déterminés d’après les tables. 45. On peut ramener l'équation précédente à une construction assez simple. Ayant mené d’un point donné deux droites qui fassent entr'elles un angle égal à l'arc CS, distance apparente de la co- mèête au soleil dans la première observation, et dont la première La # + K Lé * + La soit égale à mo © la seconde égale à p; il s’agira de trouver dans la première un point tel, que la partie comprise entre ce point et extrémité de la même droite, soit à la droite entière comme le cube de la seconde droite est au cube de la droite qui joindra l’ex- trémité de celle-ci et le point cherché; alors cette dernière droite sera égale à r, et la partie de l première interceptée entre le point donné et le point cherchéy sera égale à R. Car par cette construction on aura la proporgon 56. MÉCANIQUE ANALYTIQUE. laquelle donne et ensuite = Vp° — 2pRcos(CS) + R', d’où résulte Féquation ci-dessus en r. Lambert est, je crôis, le premier qui ait réduit le problème des comètes, envisagé d'une manière approchée, maïs exacte, à une équation unique à une seule inconnue. 1l y est parvenu par une considération ingénieuse, fondée sur ce que le lieu apparent de la comète, dans la seconde observation, s'écarte du grand cercle mené par les lieux apparens, dans Ja première et dans la troi- sième observation; et la détermination de cet écartement la con- duit directement à une construction analogue à celle que nous venons de donner, et qui se réduit à une équation en r du septième degré. Voyez les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1771. Connaissant ainsi les valeurs de r et R, on aura R=CR,; R=GR, Q Q et les deux équations (art. 40 et 41) | R°— Rp co(C'S')+p=r'ær+( at — a) +r*, R"°—2R"p'cos(C"S")+p=7r"= 17 + ami + ml ds donneront les vale ”. et de là celles des dt art. 22) de l'article 28, élémens a et b de l'or 2a étant le grand ax ( .46. Si on suppose : ds __ £& qui donne D=—> on aura & infini, ce dernières équations ne r SECONDE PARTIE, SECTION VII. 57 ne contiendront plus qne l'inconnue s, laquelle étant éliminée, on aura une nouvelle équation en r qui devra-avoir une racine commune avec celle qu’on a déjà trouvée, ce qui servira à fact liter la recherche de cette racine. En adoptant d’abord, pour les comètes, hypothèse de la para- bole, il sera préférable de faire dépendre la solution uniquement de cette dernière équation, parce qu’elle a Pavantage d’être exempte de la quantité C, qui est três-petite du troisième ordre, lorsque les intervalles de temps # et ?', ou mt, sont très-petits du premier, comme on le verra plus bas, de sorte que les erreurs des obser- vations d’où cette quantité dépend, peuvent y avoir une influence trés-grande. En faisant, pour abréger, CC = M, mQ,p'cos(C'S") = Qap'cos(C’S") = N, et négligeant les termes affectés de # dans les coefficiens de p, Pélimination de cette quantité donnera l'équation en R MR: — NR mpeg — (mire =m(m—1) = o, qui, étant combinée avec l'équation ÆR°—2Rp cos (CS) + pr =0o, donnera, par l'élimination de R, une équation en r du sixième degré ; et si, dans la combinaison des deux équations, on néglige le carré du terme m(m—1) æ, qui serait du quatrième ordre, l'équation finale ne montera plus qu'au cinquième degré. On pour- rait même, dans la première approximation, négliger ce terme, qui n’est que du second ordre; albrs Péquation finale ne serait plus que du quatrième degré, et poyrrait se résoudre directement par les méthodes connues. Mec. anal. Tom?1Il. 8 58 : MECANIQUE ANALYTIQUE. La valeur de r donnera celles de R, R', R", et de là celles des, par les formules de l’article précédent, et comme on suppose a infini, on aura ’ b = or —s, où le demi-paramètre & devient double de la distance périhélie de la comète. 47. Après avoir-réduit le problème des comètes à des équations finales à une soule inconnue, il reste à examiner les quantités qui doivent étre supposées connues; ces quantités sont : 1°. Les trois rayons p, p', p”, qui représentent les distances du soleil à la terre dans les trois observations, et qui doivent être calculées par les tables du soleil. 2°. Les quantités G, F, I’, LT, TL, Tr, T,, Lo, Te, d’où dé- pendent les valeurs de P, Q, P,, Q,, P,, Q, (art. 41 et 45); celles-ci doivent être déterminées par les trois observations de la comète et par le calcul des lieux du soleil; mais on peut les ramener à des expressions plus simples, qui en rendront la déterminatiuli beaucoup plus facile. | Commençons par la quantité G, dont les autres ne sont que des dérivées; on a (art. 41) | G=Ilmr"+ mnt + nm" —tnm"— ml" nm; le carré de cette expression peut se mettre sous la forme ( J'a + m'" + n"*) an") (2L'+m'm"+nn") ! n'}* n" } n°}, 2 — (Z +m" + (+ m — (P+ om — (+ mm" + (l+ m'" comme on peut s’e éveloppement, Or par la SECONDE PARTIE, SECTION VIL. 59 nature des quantités 7, m,n, Z,m', n', l", m", n" (art. 37), . La P+m+n=i, lpms+nt=s, Es mega, Donc, faisant pour abréger, - LU + mm + nn, L'= I!" + mani + nn, L'= Vl'+ mm"+4 nn", on aura G—1+9LLL LL — Lt], Or nous avons dtjà remarque {art. 58) que la quantité UL'-+mm'+nn est égale au cosinus de l'angle compris entre les deux rayons R et R' dirigés vers la comète dans les deux pre- micres observations, angle que nous avons désigné par le côté CC’ du triangle sphérique CC'C", supposé tracé sur la sphère en joi- gnant par des arcs de grands cercles les trois lieux apparens de la comète dans les trois observations. Ce triangle est entièrement donné par les observations de la comète, de quelque manière qu’elles aient été faites ; et nous pouvons regarder comme connus ses trois côtés CC', CC”, C'C", ainsi que les angles C, C', C", qui sont respectivement opposés aux côtés C’C”, CC" et CC’. On aura donc - L = cos(CC'), et de mêmé Le cos(CC"), L"' = cos(C'C"), ‘et l'expression de la quantité G* deviendra G* = 1+ 2c0s(CC') 4 cos (CC”) x cos(C'C") — cos(CC'} LL. — cos(C'C"). Cette expression de G* peut encore se réduire à une forme plus simple; car, il est, facile de se convaincre, par le dévelop- 60 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. pement des termes, qu’elle est la’ même chose que celle-ci : Los (CO-F C0) — cos (CC) X cos (CU — CT”) — cos (CC), laquelle, par les transformations connues, devient celle-ci : di — han (RES x sin (— — Es) : CC—CC'+c ._ (CC —CC'— 2) ' x sin ETS x sin (ES ; formule très-commode pour le calcul logarithmique. Si lon veut employer les angles du même triangle, on peut avoir encore uhe expression plus simple de la quantité -G; car on a, par les formules connues, cos (C'C")= cos(CC'}xcos{CC") + sin(CC’}xsin(CC”}x cos C; si on fait cette substitution dans la première expression de G*, on aura, après les réductions, G°= sin(CC'} x sin(CC"} x sin C, et par conséquent, en tirant la racine carrée, G = sin (CC’) x sin(CC") x sin C. On peut trouver de la même manière G = sin (C’C") x sin ( C'C) x sin C’ = sin(C"C) x sin(C’C") x sin C”. Il est facile de prouver que la quantité G n’est autre chose que la solidité prise six foi jangulaire qui a le som- met au centre de la sp upposé égal à Punité, et qui s’appuie sur le C", c'est-à-dire, qui a pour base le triangle s cordes des trois arcs CC", CC", C'C". Car des faces triangulaires de cette pyramide, ce pour base la corde de. Y'arc CC’, on aura ts c ce triangle isoscèle. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 6: Ensuite si on considère la face adjacente qui a pour base la corde de l'arc! CC", il est visible que linclinaison mutuelle de ces deux faces sera égale à l'angle C du triangle sphérique; par conséquent la perpendiculaire menée de l'angle C" sur la première face sera égale à sin(CC”) x sin C. Cette perpendiculaire devient la hau- teur de la pyramide, en la supposant couchée sur la première face égale à ! sin(CC'); donc'la solidité de la pyramide sera égale à zsin (CC') xsin(CC”) x sinC, et par conséquent égale à % 48. Nous dénoterons en général par le symbole (CC’C") la fonc- tion des côtés et des angles de tout triangle sphérique CCC", par laquelle nous avons exprimé la quantité G. Ainsi ayant marqué sur un globe les trois lieux apparens de la comète C, C', C”, donnés par les trois observations, et formé le triangle sphérique CC’C", on aura tout de suite G = (CC'C"). Si eusuite on place sur le même globe les trois lieux du soleil S, 8', 8", dans les trois observations, et qu’en joignant ces lieux et ceux de la comète par des arcs de grands cercles, on forme différens triangles sphériques SC'C'; S’C'C", etc., il est facile de voir, par ce que nous avons dit dans Particle 40, relativement aux quantités T, TL’, F", P,, Fi, F?, D, Fi, F,, que les trois pre- mières seront données par des fonctions semblables des triangles SC'C", S'C'C", S"C'C"; que les trois autres seront données par de pareilles fonctions des triangles CSC", CS'C", CS"C", et que les trois dernières le seront par de semblables fonctions des triangles CC'S, CC'S', CC'S". On aura donc ain8i, d’après la même notation, T = (SCC), Tr = {{c'c"), "== (S"C’C"}, T,æ (CSC"), T!=(CS'C"), T! = (CS"Œ), = (CCS), P= (CCS), = (CCS") 62 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ces quantités ne dépendent, comme lun voit, que de la po- sition mutuelle des lieux apjarens de la comète et du soleil, et comme elles sont les seules qui entrent dans les équations qui dé- terminent les élémens absolus de l'orbite, notre analyse a l'avan- tage de séparer la détermination de ces élémens de celle des autres élémens qu’on peut appeler relatifs , parce qu'ils se rapportent à la position de l’orbite dans l’espace: : 49. On peut remarquer encore que les expressions que nous venons de donner ont lieu quelle que soit la position des lieux ap- parens de la comète et du soleil; mais Idrsque, comme nous l'avons supposé, les lieux de la comète sont peu distans entr’eux, les arcs CC", CC" seront trés-petits, et l'angle C’ compris entre ces arcs, sera peu différent de deux droits; il”serait égal à deux droits si la terre et la comète décrivaient, dans l'intervalle de la première à la troisième observation, des lignes droites, parce qu’alors les trois lieux apparens de la comète seraient dans un même grand cercle. Les sinus de CC', C'C" et de C’ seront donc très-petits, et la quantité G=—sin(CC'xsin(C'C"”)xsinC’ sera très-petite du troisième ordre; mais les quantités T = sin($C’) x sin($C” ) x sins, T'= sin($’C") xsin(S'C") x sinS", etc. ne seront que du premier ; et comme d’ailleurs il n'entre dans la valeur de G que des quantités dépendantes des lieux apparens de la comète, au lieu que les quantités F, T’, etc. dépendent en par- tie des lieux du soleil, qni, étant donnés par les tables, peuvent être regardés comme exacts ; il s'égsuit que la valenr de la quantité G sera toujours beaucoup plus sujeîte à erreur, que celles des quan- tités T, T’, etc., et qu’ainsi il convi@ndra, autant qu’il est possible, de l'éviter, gomme nous Pavons môntré dans l'article 46. Bo. Nous remarquerons enfin que comme lobservation d'une SECONDE PARTIE, SECTION VII. 63 comète donne ordinairement son ascension droite et sa déclinai- son, si on veut employer immédiatement ces données dans nos for- mules, il n’y aura qu’à supposer que les trois axes auxquels nous avons rapporté les rayons R, R', R", dirigés vers la comète, et les rayons p,p',p', dirigés vers le soleil, soient dirigés, le premier vers Péquinoxe du printemps, le second à angles droits sur le plan de lé- quateur et suivant l’ordre des signes, et le troisième vers le pôle bo- réal de Péquateur ; alors nommant a l'ascension droite dela comète, d sa déclinaison dans la première observation, et de même æ Pascen- sion droite du soleil, d'sa déclinaison au même instant, il est facile de voir qu’on aura * TI = sina cos d, m = Sinacosd, n = sind, A = sinecosd, ‘uw = sina cos d, y = sind! I De R on aura (art. cité) cos(CS) = ZA + mu + nv == cos(a—a)cosdcosd' + sindsind", ct parcillement cos(C'S') — cos(a'—«')cos d’cosd" + sin d'sin d’, cos (cs) = cos(a"—«")cos d'cosd" + sin d'sind", en marquant, comme nous l'avons fait, par un trait et par deux traits les quantités analogues qui se rapportent à la seconde et à la troisième observation. On aura de la même manière cos(CC’) = cos(a — a')cos dcosd’ + sindsind’, cos(Ss") == Cos(a — a’ ps d'cosd'+ sin d'sind", cos(CS’) = cos(a — «’Jtos d cosd’+ sin d sin d”, et ainsi des autres cosinus. [ Si ensuite on substitue ces mêmes valeurs de 7, r7% n, l, m', 64 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. n', l', m", n" dans l'expression de G, on aura G = cosd cosd' sin d"sin (a — a) — cosd cos d'sind'sin (a"— à) + cos d'cos d'sind sin (a"—4’) = cosdcosd’ cosd"* [sin(a'— &)tang d' — sin (a"— a)tangd' + sin(a"— a’)tangd], et l'on en déduira les valeurs de T, [”, F”, en changeant a et d en æ et d', en # et d’, en æ” et d'’; celles de T,,r{,T*, en füi- sant les mêmes changemens sur a’ et d’, et celles r,, T:, T, en faisant ces mêmes changemens sur a", d'. On aura ainsi T —= cos d'cos d’cosd" [sin (a’— «) tangd" — sin (a"— «) tang d’+ sin (a"—a/) tang 1, F,= cosdcosd'cosd"[sin(x —a) tang d” — sin (a"— a) tang d'+ sin(a"— à) tang d], T,= cosd cosd'cos d"[sin (a'— a) tang d — sin(«—a) tang d'+sin(a— a')tang d], et pour avoir les valeurs de T', T', T,, et de FT", T,,T,, il n’y aura qu'à marquer, dans les expressions de T, T,, r,, leslettres a et d' d’un traitet de deux traits. Il est inutile d'observer que si, au lieu des ascensions droites et des déclinaisons, on avait pour données les longitudes et les la- titudes, il n’y aurait qu’à substituer ces données à la place de celles-là dans les mêmes formules; l'orbite se trouverait alors rapportée à l'écliptique, au lieu de l'être à l'équateur, LL 5o. Après avoir calculé ces leurs, on calculera celles des quantités Q, Q,, Q., par la formule de l'article 42, et si on veut employer la méthode de l’article k, comme la plus courte, on aura tout de suite l'équation finale en r, dont la résolution ne sera SECONDE PARTIE, SECTION VI. G5 sera pas difficile, en la réduisant pour la première approximation au quatrième degré. Si les intervalles entre les observations étaient égaux, on aurait l'= at, et par ‘conséquent m—2, ce qui donnerait Q = p — By ++ PT" — GpT' + AT, I 1 en désignant par la caractéristique A° la différence seconde des quantités pT, pT', p’T”, dans lesquelles il n’y a que les quantités relatives au soleil qui varient. Or comme on suppose les obser- vations peu distanteS entr'elles, les différences de ces quantités seront trés-petites, par conséquent la différence seconde A°.fT sera très-pctite du second ordre et pourra être négligée vis-à-vis de la quantité finie — 6p'T', ce qui réduira la valeur de Q à cette seule quantité; et on pourra faire les mêmes réductions sur les quan- tités analogues Q,, Q,; de sorte qu’on aura simplement Q=— GpT", Q.=—/6pT,, Q.=—06pPT,, ce qui abrégera encore le calcul de la première approximation. À l'égard de la mesure du temps, comme ce temps doit être repré- sente par le mouvement moyen du soleil, si on veut l’exprimer en jours moyens, il suffira de multiplier le nombre des jours et des décimales de jours par angle du mouvement moyen du soleil dans un jour, réduit en parties du rayon. Cet angle est de 5g' 8,5, et donne en parties du rayon le nombre 0,0172021, par lequel il faudra donc multiplier les intervalles de terups é, réduits en jours moyens. | léc. anul. Tom. IT.° 9. 66 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. CHAPITRE IL. Sur la variation des élèmens des orbites elliptiques produite une force d’impulsion , ou par des forces accélératrices. 52. Un des premiers et des plus beaux résultats de la Théoric de Newton, sur le système du monde, consiste en ce que toutes les orbites des corps célestes sont de même nature, et ne différent entr’elles qu’à raison de la force de pivjection que ces corps peuvent être supposés avoir reçue dans origine des choses. Il suit de là que si une planète ou une comète venait à recevoir une impul- -sion étrangère quelconque, son orbite en scrait dérangée; mais il n'y aurait que les élémens, qui sont les constantes arbitraires de équation, qui pourraient changer; c’est ainsi que orbite circu- laire ou elliptique dune planète pourrait devenir parabolique ou même hyperbolique, ce qui transformerait la planète en comite. Il en est de même de tous les problèmes de Mécanique. Comme les constantes arbitraires introduites par les intégrations dépendent de l'état initial du système, qui peut être plucé dans un instant quelconque, si on suppose que les corps viennent à recevoir pen- dant leur mouvement des impulsions quelconques, les vitesses pro- duites par ces impulsions étant composées avec les vitesses déjà acquises par les corps, pourront être regardées comme des vitesses initiales, et ne feront que changer les valeurs dés constantes. Et si au lieu d’impulsions finies, qui n’agissent que dans un ins- tant, on suppose des impulsions infiniment petites, mais dont l’ac- tion soit continuelle, les mêmes constantes deviendront tout-à-fait variables, et serviront à déterminer leffet de ces sortes de forces, qu’il faudra regarder comme des‘ forces perturbatrices. On aura alors le problème dont nous avogs donné une solution générale dans la cinquième Section, et qd nous appliquerons ici aux or- bites des plarrètes. SECONDE PARTIE, SECTION VIL. 67 $ I. Du changement produit dans les élémens de l'orbite d’une planète lorsqu'elle est supposée recevoir une impulsion quelconque. 53. Nous avons vu dans le paragraphe II du chapitre précédent, comment on peut exprimer tous les élémens du mouvement el- liptique d’une planète, par des fonctions des coordonnées x, y, z, et de leurs différentielles &, tesses suivant les directions de es coordonnées. Si donc on sup- pose qu’une planète, pendant qu’elle se meut, reçoive dans un lieu quelconque de son orbite, une impulsion qui lui communique , d. d. UE A Po HD Qui expriment les vi- les vitesses x, y, z suivant les mêmes coordonnées et tendantes à les augmenter , il n’y aura qu'à mettre dans les mêmes fonc- tions EE HE, D+, EH, à la place de &, , #,etlon aura les élémens de la nouvelle orbite que da planète décrira après l'impulsion. Si à la place des coordonnées rectangles x, y, z, on prend, comme dans l’article 5, le rayon vecteur r, avec les angles 4 ct ?®, dont le preïnier, 4, soit l’inclinaison de r sur le plan fixe des x, y, et dont Flautre, ®, soit l'angle de la projection de r sur ce plan avec l'axe fixe des x, les expressions de lorbite de- vicnnent plus simples. En effet, en substituant r'cosfl cos?, rcos-sin® et rsind à la place de x, y, z, on trouvé pour les élémens a, b, h, ë, 1 — FC Ve Hd) +dr ar gai Rue ob — Los Ÿde + dy*) gdi® ? GS MÉCANIQUE ANALYTIQUE. sin pdŸ — sinL/e0s# cos edo cosegd{— sin cos Ÿ sin gd? ? CE VA + sin d° cos L'dp° tang 1= TT cos pd tans } — dr r& a à représentent les vitesses dans la direction du rayon r, dans Dans ces formules, les expressions différentielles rd\ dt une direction perpeudiculaire à ce rayon et parallèle au plan de projection, et dans une direction perpendiculaire à ce même plan. Ba. Prenons, pour plus de simplicité, le plan de projection dans le plan même de Porbite, et supposons que la vitesse reçue par l'impulsion soit décomposée en trois, l'une süivant le rayon r, Yautre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de Forbite, et la troisième perpendiculaire à ce plan. Si on désigne la premiére par 7, la seconde par r@ et la troisième par 74, on aura les élémens de la nouvelle orbite après l'impulsion, en mettant dans les expressions précédentes dr rdt, de +@dt, di + dt à à la place de dr, d@, d\ , et faisant J=0, dJ =0o; alors la posi- tion de la nouvelle orbite se trouvera rapportée au plan de For- bite primitive. Soient Z, B, H, I ce que les élémens à, b, h, z deviennent pour la nouvelle orbite, on aura 1 2 __ rTGe+ di) +Vdr] + Gr+ id A PR T gdt* ? 8 == LEGe + 041) Ar] sa gdt* ; Jdt de+ dt” se — 08 ? tang I = tang H = = tang, SECONDE PARTIE, SECTION VII. Gg donc A—#; en effet, il est clair que le nœud de la nouvelle orbite avec l’orbite primitive doit être dans le lieu où se fait limpulsion. Si on fait aussi 4 =o et Lo dans les expressions des élé- mens primitifs & et b, on a r°de"+ dr* Fu rtdg* Te d? 1° | a Tr et de là on tire | SV Hair Ta Fa _ _Vr — En substituant ces valeurs, on aura les élémens de la nouvelle orbite exprimés par ceux de l'orbite primitive et par les vitesses r, 9, rd produites par Pimpulsion, 55. Supposons maintenant qu’on demande l'impulsion nécessaire pour changer les élémens primitifs &, » en Z et B, et pour rendre la nouvelle orbite inclinée à la première avec l'angle J, il ne s'agira que d’avoir les expressions 9, 4, 7 en Z, B, I et a, b,r. Les formules que nous venons de trouver donnent 1 _ VBBxXsins = — ;, = pres va Maté ir ex Vi Soit z la vitesse imprimée par impulsion, et soient &, B, 7 les angles que la direction de l’impulsion fait avec trois axes dont l'un soit le rayon r prolongé, et à perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l'orbite primitive et dans le sens du mouvement de la planète, et le troisième perpendiculaire au même plan, on aur 70 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. par le principe de la décomposition, zcosa, ucosB, les trois-vitesses suivant ces axes, lesquelles sont au uous avons désignées par 7, r® et r4}. On aura don UCOSa=T, UCOSB—7®, uCosy = d’où l'on tire, à cause de cos a? + cos B° + cosy =1, u = VE + 79 + re. Donc, si on fait pour abréger, on aura cos e — TI Va, Bcos 1 — Vb Enr V4 V£, cosB = cosy = LT E L V£& Mais si on voulait rapporter la direction de l'impulsion à deux autres axes placés dans le plan de lorbite primitive, dont l’un serait perpendiculaire et l’autre tangent à cette orbite, alors en nommant € l’angle que la perpendiculaire à l'orbite fait avec le rayon vecteur r, el dont la fargente est exprimée par D les vitesses imprimées suivant ces Reux axes setunt * Tr COSE — r@ sin € et) rsine+ r® COS, la vitesse suivant le troisième axe perpendiculaige au plan de lor- bite demeurant la même. Si donc on désigne par &’ et par B' les SECONDE PARTIE, SECTION VIL. ya angles que la direction de limpulsion fait avec ces nouveaux axes, on aura ucosæ = FCOSE — rpSine, ucosB = r sine + rpcose; or on a PTE r tang s — de = De ; d'où lon tire, en sæbstituant læ valeur de /, sine —, coss ee 4 1 2 1 y: V3: r a r a . ct de là on aura ® FVb=fyB% cos1 COS qd == ———""— Vb=f vBx. Para V£, r a TE : rFf+4/B56 I ra a 1 ü ur - = — r a où l'on remarquera que V&x V —: est la vitesse dans l’or- bite primitive. À l'égard des signes ambigus des radicaux qui entrent dans ces, formules, on remarquera, 1°. que /’étant la valeur de _ , €X- prime la vitesse suivant le rayon r, dans l'orbite primitive, et qne F exprimera la vitesse suivant ce rayon dans la nouvelle orbite; ainsi il faudra prendre ces quantités positivement ou néga- tivement, suivant que les vitesses qu'elles représentent tendront à augmenter ou à diminuer le rafon r, c’est-à-dire, à éloigner ou à rapprocher le corps du foyer. _ [ 2°, Que a étant = Re représente la vitesse circulatoire au- 72 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. tour du foyer dans l'orbite primitive, et que de mêt sentera la vitesse circulatoire dans la nouvelle orbite sera cette vitesse circulatoire rapportée au plan d mitive. Ainsi en prenant 4/5 positivement, il faudra radical /B positivement ou négativement, suivant que la nouvelle orbite sera, par rapport au plan de l'orbite primitive, dans le même sens que dans cette orbite, ou en sens contraire, c’est-à-dire, | suivant que le mouvement dans la nouvelle orbite sera direct ou rétrograde , relativement au mouvement dan l'orbite primitive. 56. Lorsqu'on voudra appliquer ces formules aux planètes et aux comètes, on fera g=—1, en prenant la distance moyenne de la terre au soleil pour l'unité des distances, et la vitesse moyenne de la terre dans son orbite, pour l'unité des vitesses. Cette vitesse est à. peu près de 7 lieues, de 25 au degré, par seconde, La vitesse d’un boulet de 24, au-sortir du canon, est d'environ 1400 pieds, ou 2553 toises par seconde, laquelle est aussi à peu près celle d'un point ‘de l'équateur dans le mouvement diurne de la terre, celle-ci étant de 238 toises par seconde. Donc si, pour ‘Tendre nos estimations plus sensibles, nous prenons pour unité cette vitesse d’un boulet de 24, laquelle est à peu près d’un dixième de lieue, la vitesse de la terre dans son orbite sera exprimée par le nombre 70; par conséquent il faudra mulliplier par 70 ss. Va- lur x de la vitesse d’impulsion, Voyons quelle peut être la plus grande valeur de . . En nommant e lexcentricité Me l'orbite primitive, et @ l'ano- malie vraie qui répond au rayon r, on a (art.‘15) res = LL «ie. TT 1ecos® — 1 Hecos® ? donc SECONDE PARTIE, SECTION VIT. 53 donc Er lene à a ri +ecos®) , . 1— A Ainsi la plus petite valeur de = sera =, et de même la plus petite valeur de = sera IE, en nommant E l’excentricité de la nouvelle orbite. Donc la plus grande yaleur des termes 4. A à RE te . . . ® . sera ; ot cette expression aura lieu aussi pour les orbites does où E et e surpasseraient lunité. Par les mêmes forneules on a = 1iecos®, dont la plus grande valeur est 14e; la plus grande valeur de £ sera de même 1+E; donc la plus grande valeur de —— RL sera ACT) j FE2 ; Car la différence de leurs carrés est (EE —e)"; donc on aura toujours AL < 8 a r Il faut encore chercher les plus grandes valeurs de f ct F. Or ” , b L aus ‘ les plus petites valeurs de = et de + étant —<, la plus grande valeur de f sera vé et de même la plus grande valeur de F 2E sera V+ ri Donc, puisque dans les expressions de z, V6, VB, f'et F peu- vent avoir les signes + ou —, en prenant positivement les termes qui contiennent ces radicaux , et dqnant aussi à cos J sa plus grande valeur 1, on aura u< VEREEDEAVE EESERIHAVE, Mc. anal, Tom. IL. 10 74 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Cette limite se réduira à ve lorsque lorbite p circulaire ou presque circulaire comme celles des pl la nouvelle sera parabolique comme celles des co 57. Les principales circonstances du mouvement autour du soleil, nous portent à croire qu’elles ont eu une origine connue; c'est le contraire pour les comèëtes; elles n’ont do com- mun entr’elles que fe muuvement dans une parabole, ou, en général, dans une section conique; et elles paraissent avoir été jetées au hasard dans l’espace. Ne peut-on pas supposer que la cause qui a produit nos pla- nètes en a produit en même temps un plus grand nombre d’autres placées au-delà de Saturne, et décrivant des orbites semblables, * comme Uranus, mais dont plusieurs seront devenues ensuite co- mètes, en éclatant par une explosion interne; car une planète étant brisée en deux ou plusieurs morceaux, par la force de l’ex- plosion, chacun de ses morceaux recevra une impulsion qui lui fera décrire une orbite différente de celle de la planète; et pour que cette orbite soit parabolique, il suffira que la vitesse imprimée par lexplosion n'excède pas 70 V£ fois celle d’un boulet de canon Pour Saturne on a r=9, et pour Uranus r=—19 : en supposant r=24, il suffira d’une vitesse moindre que 35 fois celle d’un bou- let qui n’est produite que par une poignée de poudre. L'hypothèse d’une planète brisée par une explosion interne, a déjà été proposée par M. Olbers, pour expliquer la presqu’égalité des élémens des quatre nouvellés planètes, et ce qui pourrait la confirmer, ce sont les variationà de lumière qu'on observe dans ces planètes, et qui, en indiquant un mouvement de rotation, in- diquent, en même temps que leurt figure n’est pas de révolution comme celles des autres planètes ; que par conséquent elles ne SECONDE PARTIE, SECTION VIL , 75 pouvaient pas être fluides, mais qu’elles devaient être déjà durcies lorsqu'elles sont devenues planètes comme elles le sont dans l’état actuel. Si on suppose l'orbite primitive circulaire, et l'orbite changée par lexplosion, elliptique mais peu différente d’un cercle, et peu inclinée au plan de orbite primitive, et qu’on n'ait égard qu'aux premières dimensions de l’excentricité E et du sinus de linclinai- son J,‘on a nee ps V/E{sino@ + !cos®*) + sinf* : Æ E sin © ÆEcos® sinf cos & == = COS BP = = COSYy —= = uVr ? Ë auyr” 7 uV/r° l'angle ® étant celui que le rayon r fait avec le rayon du périhélie | Ainsi, puisque les excentricités et les inclinaisons des planètes he gardent entrelles aucune loi, et n’ont de commun que leur petitesse, on pourrait supposer que les orbites des planètes ont été circulaires dans leur formation, et qu’elles sont devenues en- suite elliptiques et inclinées par leffet de petites explosions in- ‘ ternes. En effet, si un petit morceau m de la masse M d’une planète en avait été détaché et lancé avec une vitesse 77 capable d’en faire une comète, la planète n’aurait reçu en sens contraire qu’une petite vitesse = qui aurait pu changer son orbite cit- culaire en elliptique et inclinée, comme celles de n08 planètes, et la même impulsion aurait pu produire aussi quelque changement sur sa rotation, comme nous le verrons plus bas. 76 _ MÉCANIQUE ANALYTIQUE. $ IL Variations des élémens des planètes produites pa perturbatrices. 58. Supposons maintenant que les impulsions q constantes arbitraires soient infiniment petites et continuelles : ces constantes deviendront variables, et on pnnrra; de cecile manière, réduire l’effet des forces perturbatrices des planètes, aux varia-* tions des élémens de leurs orbites. Soient X, F,'Z les forces perturbatrices décomposées suivant les directions des coordonnées rectangles x, y, z, et tendantes à augmenter ces coordonnées; ces forces engendreront pendant Vinstant dt les petites “ Xdt, Ydt, Zdt, quil faudra ajouter dx d aux vitesses +, 2, » > dans l'expression de chacun des élémens a, b, c, etc., comme dans l’article 52. Mais comme ces vitesses additionnelles sont ici infiniment petites, elles ne produiront dans les élémens que des variations infiniment petites, qu’on pourra déterminer par le calcul différentiel. Faisons, pour abréger, chacun .des élémens sera exprimé par une fonction donnée de x, V3 z, x, y', Z. Soit a un quelconque de ces élémens, on ‘aura sa variation da, en augmentant x’, y’, z' des quantités infiniment petites Xdt, Ydt, Zdt; on + ainsi a=(gx+é YF + F7 à Fr Z) dt, et l'on aura de pareilles équations ‘pour les qutres élémens de lor- bite b,c, h,i, k. SECONDE PARTIE, SECTION VIl. 77 Pour faire usage de ces équations, il faudra substituer à la place des variables x, 7, z, x’, y', z', leurs valeurs en £ et en a, b, c, etc. données par les formules trouvées dans le chapitre pre- mier; on aura ainsi autant d'équations du premier ordre entre le temps £ et les élémens a, b, c, etc., devenus variables, qu'il y a de ces élémens, et il ne s’agira plus que de les intégrer. + Si on voulait introduire directement les forces perturbatrices dans les équations de l'orhite primitive, (art. 4), il n’y aurait qu’à ajouter respectivement les quantités X, Y, Z aux termes RT, dr dr p. : À 0 . . L . R 2 R > de ces équations. Ainsi on peut regarder les équations précédentes entre les nouvelles variables a, b, c, etc., comme des transformées des équations en x,Y, z; mais ces transforma- tions seraient peu utiles pour la solution générale du problème. Leur grande utilité est lorsque la solution rigoureuse est impos- sible, et que les forces perturbatrices sont trés-petites; elles four- nissent alors un moyen d'approximation que nous avons exposé d’une manière générale dans la cinquième Section. bg. Cette approximation, fondée sur la variation des élémens, est surtout applicable aux orbites elliptiques des planètes, autant qu’elles sont dérangées par l'action des autres planètes, et les géomètres l’ont souvent employée dans la théorie des planètes et des comètes; on peut dire que ce sont Îles observations elles- mêmes qui l'ont fait connaître , avant qu'on y eût été conduit par le calcul; elle a Pavantage de conserver la force elliptique des or- bites, et même de supposer l'elliÿse invariable pendant un temps infiniment petit, de manière que non-seulement le lieu de Ja pla- nète, mais aussi sa vitesse et sa direction ne soient point affectées de la variation instantanée des élémens. En effet, ën regardant les coordonnées x, 7, z comme des 78 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. fonctions du temps et des élémens a, b, c, etc., devenueseva- riables, on a par la différentiation M = dt+T E da+ = db+Ÿ de+ etc, et il est facile de prouver que la partie qui contient les varia- tions da, db, etc. devient nulle par la substitution de la valeur de da donnée ci-dessus, et des valeurs nl do ps dc, etc. Car en faisant ces substitutions dans les termes © Er = da ee D = db+etc. ns et ordonnant par rapport aux quantités X? Y, Z, on aura Ex à +2 X 27 + X ax : + etc.) Xdt + de x . XD HEXS +2 ete.) Ydt + (ER HE X HR x Er + ete) Zdt Mais en regardant d’abord x, y, z, x', y', z! comme fonctions de a, b,c,h,i,k, et ensuite g, b, c, etc, comme fonctions de x, y, z,x', etc., on a dx = da+% d+Td c+T dh + ete, dy = Ÿ da+ Ÿ db+ Ÿ de+ Ÿ dh +etc., etc. ; da = dx + ÿ dy + di + ee dx'+etc,, d=$ dx+Ÿ Len de + 5e Z dx! + etc., etc. Substituant dans l'expression de gx, dy, etc, ces valeurs de da, db, etc., on doit avoir des équations identiques ; Par conséquent il SECONDE PARTIE, SECTION VII. 79 faudra que les termes affectés de dx, dy', dz/, dans les expressions de dx, dy, dz, deviennent nuls, ce %ui donnera, par rapport à dx, les équations identiques | da dx db dx dc : : a XX de td dt ac=o, de , dx db dx de _ da Se Ha + etc. = 0e, Oo. On aura donc’simplemènt, am dt, et l'on trouvera de la même manière dy = dt, d = 7 dt, comme si les constantes a, b, c, J h, etc. ne variaient point. Go. Lorsque les forces perturbatrices viennent des attractions d’autres corps fixes au mobiles, et que ces attractions sont pro- portionnelles à des fonctions des distances, alors si on désigne, comme dans Yarticle 8 de la Section V, par —Q@ la somme des intégrales de chaque force multipliée par l'élément de sa distance au centre d'attraction, et qu’on regarde la quantité @ comme fonc- . tion de x, y, z les forces X, F, Z sont de la forme da da dy ? Z= TT; X = A Y= je donne ici le signe + à la quantité Q, parce que j'ai supposé que les forces X, Y, Z tendent à augmenter les distances x, y, z, au lieu que dans les fonctions —Q;°les forces perturbatrices, diri- gées sur des centres , sont supposées tendre à diminuer les dis- tances des corps à ces centres. Dans ce cas, qui est celui deda nature, les variations des élé- mens a, b, c, peuvent s'exprimer d’une manière plus simple, en 80 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. employant, au lieu des différences partielles de & relatives à x,’ Y3 Z, ses différences partielles” relatives à a, b, c, etc., après l« substitution des valeurs de x, y, z entet a, b,c, etc. ; c’est cette considération qui a fait naître Ja nouvelle théorie de la variation des constantes arbitraires, . Si on regarde x, y, z comme fonctions de a, b, c, etc., on aura de de. da , de . db , de . de | da da da da da db de D pre Ge dy + AC da da de , da db da de LATTES et ces valeurs étant substituées dans l’expression de da de Far- ticle 58, à la place de X, Y, Z, elle deviendra, da da , da . da , da . da\ da de =(rx tag Xe * gi) da d da | db , da. db, da. db\ da + xt # + & * Tyds? = da . K 7 ' = x a+ * ete Xe On aura ensuite da du = jou + ads #+ ET cÉA É-- d'a dr = _fpa_ dr da dp Tai * dx T drdy dy 7 dde * Te SECONDE PARTIE, SECTION VII. 85 mais en faisant varier x’ dans Péquation identique da = 0, et ob- servant que la fonction 77 est supposée ne pas contenir les va- riables x’, y', z',ona d'à A da |, dd +$ dx ddr ET w + ne A” ré da dF da dd da , LA X de 7 dry * dd * de 9 donc on aura simplement | d da da "a dx? et l'on trouvera de la même manière da da N'a: dE = — æ . On aura. des on semblables pour les différentielles db db d.& 0 dg dr ne. » d. -? ME en changeant seulement a en b, et ainsi pour les autres quantités semblables. Si maintenant on difiérentie le coefficient de, a dt dans l’ex- pression de da de Particle 60, et qu’on y substitue les valéurs qu’on vient de trouver pour les différentielles de 2: ee | dx’ dy’ dz? , D ; TT , On verra d’abord que les termes qui contièndront de db da db da db les différentielles de 7; T7) a? CA > gr gg Se détruiront mu- tuellement, et que . termes qui contiendront les différentielles ‘da db de Ts CC. étant ordonnés par. xappoit aux différences par- tielles de 77, se détruiront aussi mutuellement dans chacun des coefficiens de ces,différences partielles. 84 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. D'où l’on peut conclure que le coefficient de = dans l'expres- sion de da, sera constant à l'égard du temps £, et ne pourra être qu'une fonction de a, b, c, etc., après la substitution des. valeurs de x, 7,2, x*x,Y,z en a, b, c, etc. et t; de sorte que la va- riable & disparaitra d’elle-même, et qu’il suffira d’y substituer les valeurs de x, y, Z, x, y', z' qui. répondent ou à t—0, ou à une valeur quelconque de é. : On prouvera de Ia même manière que le £ disparaîtra des autres coefficiens des différences partielles de Q, dans la même expres- sion de da. Ainsi la variation de a sera représentée par une formule qui ne contiendra que les différences partielles de Q par rapport à b, c, etc. multipliées chacune par une fonction de a, b, c, etc. sans f. Et la même chose aura lieu à l'égard des variations des autres constantes arbitraires b, c, k, etc.. : Ce résultat important, que nous venons de trouver à posteriori, n’est qu’un cas particulier de la théorie générale de la variation des constantes arbitraires, que nous avons exposée dans le paragraphe second de la Section cinquième; et nous aurions pu le déduire immédiatement de cette théorie; mais nous avons cru qu’il n’était pas inutile de montrer comment on peut y arriver, en partant des formules qui donnent directement les variations des élémens dues aux forces perturbatrices, et surtout comment ces variations acquièrent une forme simple et élégante par la réduction des forces perturbatrices aux différences partielles d’une même fonc- tion, relatives à ces mêmes élémens regardés comme variables. € L 62. Nous avons supposé} dans l'article 60, que les forces X, Y, Z pouvaient s'exprimer. par les difféfences partielles d’une même fonction Q, relatives à x, y, z. Cette hypothèse simplifie le calcul, mais n’est pas. absolument nécessaire pour son exacti- SECONDE PARTIE, SECTION VII. 85 tude, puisque les équations différentielles sont toujours indépen- dantes de la nature des forces accélératrices du mobile ; il s’agit seulement de savoir ce qu’on doit substituer à la place des iffé- rences partielles de @ relatives aux constantes arbitraires &, b, c, etc. Or ces constantes n’entrent dans la fonction Q que parce qu’elles entrent dans les expressions des variables x, y, z, dont {est supposé fonction ; ainsi on aura da _ da dx , da ce R=&*RtE* L+E x ES da da da et remettant X, Y, Z à la place de da dy de? 0 aura da dx d dz R=XT+H+YÈH+H+ZÉ, quelles que . les valeurs de X, Y, Z. Il en sera de même à l'égard de © > D etc., en changeant a en b, c,. etc. En général, si on dénote par la caractéristique d' les variations de € relatives aux constantes arbitraires a, b, c, etc., on aura d'A = Xdx + Ydy + Zdz; et si on suppose que les forces perturbatrices soient R, Q, P, etc., tendantes à des centres dont les distances respectives soient r, ” q, P. etc., ce qui donne — dQ = Rdr + Qdq + Pdp + etc. ; on aurd aussi, relativement aux constantes arbitraires, _—d0 = Rdr + @9q+ Pdp + etc. Je donne ici à dQ le signe —, parce que les forces R, Q, P, etc. sont supposées tendre à diminuer les distances r, q, p, etc., au lieu que les forces X, Y, Z sont supposées tendre à augmenter 86 MÉCANIQUE ANALYŸYTIQUE. les lignes #, Y,Z, comme nous l'avons déjà observé dans l’ar- ticle 6a, 63. Pour appliquer les formules générales de l'article 18 de la Section citée, aux élémens d’une planète, il n’y a qu’à considérer que les coordonnées X J, 2 étant indépendantes, doivent être prises pour les variables £, 4, ; et comme il n’y a qu’un seul corps mobile dont la masse m2 peut être supposée égale à l'unité, on aura simplement, comme dans Particle 5, Fi T = dÉVaP Ed sy hr . odt 2 ’ dont dT Lu Ty dy EE ET LE Ainsi les constantes «, B, > et À, &, », qui représentent les va- leurs de x, y, z et de x’, y’, z' lorsque £=—0 (art. 12, Sect. V), seront ici x, ÿ, Z, x’, y’, Z' (art. 27), et les variations des élémens a, b, c, etc. deviendront de la forme 11 d da = ( (a, b) + (a, c) = + etc. ) dé, db =(—(a, b) a + (6,0) a + etc. ) dt, etc., les coefficiens représentés par les symboles (a, b), (a, c), etc. étant exprimés ainsi ; da db da 5 da de : da de , da .* dc (a, c) a” ne < & T dy x dj + dr X + da de da etc RTE X gt ddr SECONDE PARTIE, SECTION Vif. 87 On voit que ces expressions de da, db, etc. coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus (art. 60), si ce: n’est qu’à la place des lettres x, y, z il y a les lettres x, y, z, qui repré- sentent les valeurs de x, y, z lorsque test égal à zéro, ou à une valeur quelconque, puisque le commencement du temps # est arbitraire, .Ce qui revient au même, parce que les coefficiens (@, b), (&, c), etc. devant être indépendans de #, les quantités a, b,e, etc. doivent être les mêmes fonctions dé #, y, z, x’, y’, z' que de x, Y,Zy a! ue 2! . : > : . 64. Comme les quañtités x, y,-z, x’, y', 2! sont aussi des cons- tantes arbitraires, on peut les prendre à Kk place des six cons tantes @, b,c,h,1, k. Changeant donc & en x, ben x/, cen y; h en y', etc., on âura (x, x')= 31, 5; J)=—1, (G,7)=—1, et tous les autres coefficiens (x, y}, (x, z), (x, y), etc. devien< dront nuls; de sorte que les variations de x, y, z, x”, y', 2’ seront représentées par ces formules très-simples d : dx=—T dt, dy =— da da dy dt, di= —-57 dt, . da da ; da dx = 5 dé, dy'= 3, de, di == dt, lesquelles résultent aussi de celles auxquelles nopns sommes par- venus directement dans Particle r4 de la cinquième Section; aïinst il y aurait toujours de l'avantage à employer ces constantes à la place des autres constantes a, b, c, etc. Mais quelles que soient les constantes a, b, c, etc., elles nc peuvent être que des fonctions dgs constantes x, y,z, x', etc; . donc réciproquement on peut regarder celles-ci comme fonctions 88 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. de celles-là. On aura ainsi da _dn. dx |, da. dy , de. dz Ja D de Tdi da tds da da. dx, da, dy dn. d7. FRX Tr ay* dat di * da) d ; ! L da da TN ie jonc substituant les valeurs de 77, > etc de Particle précé- dent, on aura è de Fe dy + 2 d= dx + dÿ +7 dr dx dy di TT dx a = dy +7 dr. Or x, y, Z, x’, etc. étant fonctions de a, b, c, etc., on a dx dx dx * dx = da+ 5 db dc + etc, dx’ dx’ dx’ ! = —— ee dx! = Te da ++ db + dc + etc., etc, Substituant ces valeurs et ordonnant les termes par rapport aux variations da, db, dc, etc., on aura Pdt= [a, b]db + [a, c]dc + (a, h]dh + etc., où les symboles [a, 6], [a, c], etc, sont exprimés par ces for- mules : 4 dy dy’ dz dz’ Le, eg Xp ta XF X 4 dx! dx dy dy dz' dz ER Re db da 2 db +» 7 4 / Le, Je Xe td de da dx dx dÿ dy dl. d& . EL da * de de de? etc, On SECONDE PARTIE, SECTION VIT. 89 On aura de même, à cause de [b, a] =—[a, b], 8 qe = — (a, blde + (6, cle + (b, ras etc. ; ne dx dx!’ dy Y d2! Bi= TXT + X + X L , ;, he Ext et ainsi de suite, en changeant simplement les quantités à, b, c, .A, 1, k entr’elles, prises deux à deux, et en observant que l'on a en général [b, a] =—[a, b]; de sorte que la valeur des sym- boles ne fait que chanèer de signe par la permutation des deux quantités qu’ils contiennent. Si on compare les valeurs de ces snboles marqués par des crochets carrés, avec celles des symboles analogues marqués par des crochets ronds (art. 65), on y remarque une analogie singu- lière, qui consiste en ce qu’elles sont exprimées de la Va manière en différences partielles de &, b, c, etc., relatives à x, X 1, y,'etc., " ou de x, x’, y, etc. relatives à &, b, c, etc. 65. Ces dernières formules sont celles que j'avais trouvées direc- tement, dans mon premier Mémoire sur la variation des constantes arbitraires (*), et elles résultent aussi immédiatement de la for- mule de Particle 12 de la Section V, laquelle, en faisant les substi- tutions indiquées ci-dessus (art. 61), se réduit à A.Qdt = Axdx + Aydy + Azd'z! — Ax'dx — Ay'dy — Az'dz. Dans cette formule, les différences marquées par d' doivent se . PRE SR rapporter aux variations de toutes les constantes arbitraires @, b, c, etc.; mais les différences marquées par A peuvent se rapporter © ————————— .+ (9 Voyez les Mémpires de la première Classe de l'Institut pour 1808. Méc. Anal, Tom. II. 12 go MÉCANIQUE ANALYTIQUE. à la variation de chacune de ces différences en particulier (art. 10, Sect. citée). Ainsi on aura, en rapportant la caractéristique A suc- cessivement à a, b, c, etc., . dt DO + D 03 + Ed dx’ dv’ 4 — Ts — dy — de, et de même en changeant «a en b, €, etc. Mais on a Se a de + à = db + À de + etc, dx = À da a + _ db + 5 E de + etc., et de même pour d'y, d'y’, d'z, d'z'; en faisant ces substitutions : da da a , ; on a pour +, 75, etc. les mêmes formules trouvées ci-dessus. Maïs une conséquence importante qui résulte de ces formules, c'est que la variation de là fonction Q, en tant qu’elle dépend de celle des élémens a, b, c, etc., est toujours nulle. En ettèt, si dans la différentielle T. da a+ Rdb + À de + etc., de on substitue les valeurs de À _ > Cic- en _ Pete. ontrouve que tous les termes se Pen , Ce qui est un résultat très-re- marquable. « 66. Comme la solution du problème principal dans lequel on n’a point égard aux forces perturbatrices, doit donner les valeurs des variables x, y, z en £, avec les constantes arbitraires a, b, c, etc., il n’y a qu’à faire d'aboifd #=— o dans ces valeurs et dans celles de leurs difftrenticlles relatives à £,ret pr€hidre ensuite leurs SECONDE PARTIE, SECTION VII. gt différences partielles relatives à &, b, c, etc. On a ainsi facilement les coefficiens ‘des différences da, db, etc. dans les valeurs de P dr, Pdt, etc., et il ne s’agit plus que de chercher ces diffé- rences mêmes par des éliminations linéaires, comme je l'ai pra- tiqué dans le Mémoire cité, à l'égard des élémens des planètes. À cet égard, les formules de l'article 62 paraissent avoir de l'avantage, en ce qu’elles donnent directement les mêmes diffé- rences; mais elles demandent d’abord qu’un ait les expressions des constantes arbitrâires a, b, c, etc. par les variables x, y, z et leurs différentielles, ce qui, dans plusieurs cas, ne peut s’ob- tenir que par des éliminations d’un genre supérieur aux linéaires; ensuite , après avoir pris leurs différences partielles relatives à x, V2, X',J', 2’, il faut y remettre les valeurs de ces variables en a, b, c, etc., puisqu'en dernière analyse les coefficiens’ (a, b), (&, c), etc. doivent devenir des fonctions de &, b, c, etc. sans #, ce qui constitue l'essence ct la force de cette analyse. Quoi qu’il en soit, ayant donné, dans le paragraphe I, des ex- pressions fort simples des coordonnées x, y, z en£et a,b,c, h, 1, k, nous y appliquerons les formules du dernier article, pour -en déduire les variations des élémens &, b, c, étc., comme nous avons pratiqué dans le Mémoire cilé, parce que le calcul par ces formules acquiert une simplicité et une élégance qu'il n’auräit pas, à beaucoup près, par les autres formules. 67. Reprenons les expressions de x, y, z données dans lar- ticle 13, + —aX+ BY, y=axX+B,Y, z=axX+f8,2, dans lesquelles (art. 17), + , PER X= a(cosô—e), Y=avVi—e x sing, 92 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. l'angle 8 étant déterminé par l'équation (art. 16) i—c= ve x (8—e sin8). Ces formules ont l'avantage que les trois élémens de l'orbite, &, b, c ne'se trouvent pas dans les quantités variables X, Y, et sont par conséquent séparées des trois autres élémens k, À, #, qui dépendent de la position! de orbite, et dont les cocfliciens «, 8, a', etc. sont fonctions (art. 13). Considérons d’abord la formule ds Le dz! da a + 2 x &: ae X dx’ da EX RHTXDHEXS, et substituons-y les valeurs de x, y, z données ci-dessus; en faisant re rs __dy X = “dt? 4 — À? on aura pour x, y, z les mêmes expressions, où les quantités X, Ÿ seront marquées d’un trait; et comme les constantes a, b n’entrent que dans X et Ÿ, on aura dx dX dy dx’ m=tnTÊE, 4 a+ ha: dx dX dr dr __ x É D=ep+l: = +R; et changeant «, @ en à, B, et.en «,, a, on aura les valeurs de , LR etc. Ces différentes ‘valeurs étant substituées dans la formule précé- dente, et ayant égard aux équations de condition € a* ae a = 1; £° + 6; + 6, =]; aB+a8, + a,8,=0;, SECONDE PARTIE, SECTION VII. 93 qui ont lieu entre les coefficiens &, 8, «,, etc. (art. 14); cette formule se réduira à la forme ax aX dY dY’ dX’. dX dY’ dy a * DT 4 dd bd * D) où lon voit que les quantités «, B, a’, etc., qui dépendent de la position de l'orbite, ont disparu. On aura un pareil résultat par rapport aux différences bartielles relatives à c, et il n’y aura qu'à changer dans la formule précé-- dente a etben c. Si donc on substitue dans X, F, X', Y' leurs valeurs en £, qu’ensuite on fasse £ égal à zéro ou à une quantité quelconque déter- mince, et qu’on désigne par X, Ÿ, X', Ÿ’ ce que X, Y, X, ” deviennent, on aura (art. 64) ax dx" dv, dÿ dx dX AN" dY = TX Ha — da db da X et l'on aura de même les valeurs de [u, c}, [b, c], en changeant. benc ct a en b dans les différences partielles. 68. Orona X = a(cosô—e), F = aVi—e sinl; À d 72 dy donc puisque X° = , Y' = 5, on aura an À RE a X'=—asn0—, Y'=avi—e X cosÿT. Mais l'équation QE (—0VE=8 —esin8 donne, par la différentiation, VE 4 _ Va dt — 1—ecosd ? "94 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. donc on aura tes sin PER ES cosô — VE x NT eco? F = a Part. un Il faut maintenant difiérentier ces formules en faisant varier les trois constantes a, e, c; nous dénoterons par la caractéristique À les variations relatives à ces constantes; ainsi on aura d’abord (t— c)d. VE +anéde 1/5 d4=- 1—ecos8 ’ - ensuite d'X = — asin0J8 + cosôda — d.(ae), dY= aVi—ecos6d8+sinôd.(aV/1—e), cosô—e - X= en Ex (Gi — ecosb} J0 sin8 cos 8 sinô - 5 Ex * Ge cor de Tr de VE, Y'= — Ex EX at So n) 1 —e cosê}? f—— 6? aa VEx rent ts de | cosô ; — On peut faire ici £—0; mais il est plus simple de faire 4—cC, ce qui donne aussi 0 o; ainsi on aura, en changeant X, Y en X, Ÿ, = Ex, dX=— (1—e)da—ade, JY= aie = Ex, SECONDE PARTIE, SECTION VII. 9 dec ee v£ KT à * Gp, sv= Ex Vie x FUEL (Gi —e}y Te = d.(V£x VS a. VE+VEx ve 69. Ici nous avons conservé la quantilé e, qui est la demi-ex- _centricité; mais si, à sa place, on veut employer le demi-para- mètre b= a(1—e*), on aura, par la difiérentiation, FPE (1 —e) da — db 2ae ? et les expressions de J'X et de J'Y’, qui contiennent de, de- viendront | EX = === TEtE, = —<* V4 £ db = VE KL Rat) Vie De là nous aurons les différences partielles X__G—N Lr x, da — 2e ? db 2e? de 7 ? des He, Minis da db ? dc a 16e ? ax’ dx’ 4X_ g 1 HE db 3 de G—e)? C'au Vie dY —/# 1 dY" _ da! Va Ex Toae ? dd — a aa(i—e) Vie” de LÉ et lon trouvera » par [a substitution de ces valeurs dans les ex- 96 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. pressions des symboles Ca, b], [a, c], (b, c] de l’article 67, ee ROSE) [a, bl=o, [a, = — Ets £ bé (—— = __Vi=é 1—e* =) = rl eee 2a°e Q—e} G—eYV 1— 6° On aurait encore les mêmes résultats en changeant b en €; Si on voulait conserver lexcentricité à la place du paramètre. 70. Considérons ensuite la formule dx dr’ dy dy a Bb E x dx’ dx dy" dy dé mir air tr far _ X Comme la quantité À ne se trouve que dans les coefficiens &, 8, a,, etc. qui ne contiennent point a, on aura _ da dx _d« d8 …,, HR +R R=RX TT et changeant &, B en «,, B, et en «,, B,, on aura les valeurs de dy dy" dz d; 4 va : , * hd Mid À Pégard des différences partielles relatives à a, elles scront les mêmes que dans l’article précédent. En faisant ces substitutions, on remarquera qu’en vertu des .mêmes équations de condition différentiées, on aura ade+a,da, + a,da,=0, dB + B,dB, + 8,d8,=0, ad8 + a, dB, + a df, =— fÎde — B,da,— B,de,; de sorte qu’en faisant, pour abréger, Bda + Rda, + Pda, = dy, (emploie l'expression différenticlle dx, quoique la valeur de dx ne SECONDE PARTIE, SECTION VII. 97 ne soit pas une dffférentielle complète), la formule dx dx! dy dy dz dr DS a Pod Pda se réduira à la forme dY _, dX\d ! ÿ' 4 (LT m)d et la formule dx dz! dz RÉR+ERÈTEXE ke à cette forme semblable dy’ dX'\ dx (rR TR )# Donc, en retranchant la seconde de ces quantités de la première, et observant que X'dY7+Y7dX'=—d.X'Y, et Y'dX+XdY;—d.XY", on aura pour la transformée de la formule dont il s’agit, conte- nant les différences partielles relatives à a et h, d. CE XF) da x ? et il en sera de même en changeant à en betc,et kenzet 4. 73. Il nous reste à considérer les formules où il n’y a que des différences partielles relatives à L, £, 4; de sorte que comme ces quantités n’entrent que dans les coefficiens &, 8, a, , etc., il n’y aura aussi que ces coefficiens qui deviendront variables. Les différentielles de ces cocfficiens se réduisent à une forme très-simple, en employant les coctficiens analogues y, y’, 7”, et en ayant égard aux équations de condition entre ces différens coefi- ciens (art. 14). En effet, si on suppose yda + y,da, + Yda, = dr, dB + ndB, + pd8, = de, Méc. anal. Tom. II.” 13 98 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. les trois équations ada + «de, + a,de, = 0, Pda + B,da, + Ride, = dx, Jde + yde, + y,de, = dr étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par &, la seconde par B, et la troisième par y, on a da = Bdy + ydr; | et si onles multiplie par «,, B,, . etpar «, Bu, Ya qu’on les ajoute ensuite, on a pareillement da, == B,dx + V dr, da, = B,dyx + »d7. De méme*les trois équations adB + a,d8, + adf, = — dx, Bd + B,dB, + B.dB, = Oo, yd8 + > dB; + 7.48, = do dé = — adx + yds, di, = — a dx + v.de , dB,== cm a, dx + 74 e donneront Enfin les trois équations ady + dy, + dx = — dr, Bdy + Bidy, + Bdn = — ds, dy + dy + NE 0 Li donneront pareillement dy = — adm — Bd, dy = AE a dr — id ds — ed — Bdr. SECONDE PARTIE, SECTION -VII. 09 72. Par le moyen de ces formules on aura dx R=XG+rTÉ Z(EX—0r)f dh L+y(xT F FF); et affectant les pipi a, B,7 d'un ou de deux traits, on aura dx dy d les valeurs de Ÿ > a; pour avoir celles de, <>, +, iln’y aura qu'à affecter d’un trait les quantités X et Y. 1l en sera de même des différences partielles relatives à £ et #, en ne faisant que changer 4 en i et 4. , En faisant ces substitutions et ayant toujours égard aux mêmes équations de condition, la formule dx’ dy dy NS ie & dr! —S x dz! dz — TX dh — X & se réduira à celle-ci : EE + IT de de de dx de — ! ! pe es =(XY'— IX GE *H-& hi} Il en sera de mème des formules semblables, en changeant % et : en À. Comme les cocfficiens &, B, y, «', etc sont fonctions des trois élémens À, i, # (art. 13 et 14), les trois quantités dx, dr, do, que nous avons introduites dans les formules précédentes, doivent être. aussi forstions, des mêmes élémens ; et si, dans les valeurs 100 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. de ces trois quantités, on substitue les expressions de #, B, etc.; données dans les articles cités, on trouve, après quelques réduc- tions fort simples , dx = dk + cosidh, dr = — cosksinidh + sinkdr,. de = sinksinidh + coskdi. Mais ces quantités ne servent pas seulement à simplifier le cal- cul, elles représentent d’une manière fort simple les variations instantanées de la position de lorbite. En effet, comme le plan des x et y, auquel nous avons rapporté l'inclinaison À et la lon- gitude À du nœud, est arbitraire, on peut le faire coïncider dans ‘un instant avec celui de l'orbite, en faisant : = 0; on aura alors dx = dk + dh, dr = sinkdi, de = cos kdi. Dans ce cas, A+ k sera Pangle que le grand axe de Pellipse fait avec une ligne fixe; par conséquent dh + dk, ou dx, sera la ro- tation élémentaire du grand axe de l'orbite sur son plan. ’angle élémentaire d£ sera Pinclinaison comprise entre deux po- sitions successives du’ plan de orbite devenue mobile, et langle h sera la longitude du nœud formé par ces deux positions, comptée sur le même plan; de sorte qu’en désignant par d et h’ ces deux élémens , on aura di = Vdr + ds et tangh — T; ainsi la variation instantanée de la position de l’orbité est déter- minée par les trois élémens dx, dr; do, d'une manière indépen- dante- de tout plan de projection. 73. Il est maintenant très-facile de trouver les valeurs des autres cocfficiens représentés par les symboles [a, 4], [b,"2], etc.; il n’y SECONDE PARTIE, SECTION VIL . 101 a qu'à substituer pour XY'— YX’, c’est-à-dire pour RTE : sa valeur, qui est = D (art. 11) = V8 (art. 15), et pour dy, dr, do, leurs valeurs en , à, 4 de Particle précédent ; mais à la place de l'élément # nous rétiendrons l'élément x, qui exprime l'angle que le grand axe de l'orbite parcourt en tournant sur son plan mobile; c’est proprement le mouvement de Paphélie ou du périhélie sur le plan même de Porbite. Nous aurons ainsi Xx = k+ fcosidh; donc, k = x — [cos idh ; ensuite dx _ dr _ RE dr _.: r Pate. JT =— Cosksins, 7H =Ssin#, de ‘ St de T = sinksini, x = COS}, et toutes les autres différences partielles seraient nulles, ce qui donne : : dr de F La A . ‘De là on aura [a, Al = 0, [a,i]=o, [a,x]=0, (b,Hæo, [biæo, [,x]=—:(/6, [ce, A =o, [c,il=o, [c,x]=0, Bi] =Vebx—sini, [h,x]=0, KE, x=o. 74. Ces valeurs, jointes à celles que nous avons déjà trouvées (art. 67), donneront enfin 101 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. À dt= — V8 x sinidi, xdt= V8b x sinidh, Ddt=t WE db: d’où résultent ces expressions très-simples des variations des élé- mens elliptiques, RL = avé ne ae 1 . . . dh = V8 X sini XX 5 dt, di = — V&bX simé dh° 75. On aurait des formules un peu moins simples, si à la place du demi-paramètre à on voulait conserver la demi-excentricité'e. Alors, à cause de b=a(1—e), on aurait XY'—YX"=\/ga(1—e"), ce qui donnerait Vea—e) B0=- TS, [L,x= VE. ? et les valeurs de LS PA dt as dt deviendraient de LT da 8 : V'gQ—e) da dt — Sat de — 77 dx, do l — da es da y, _ VE) Ve 7. Fri dt = D 7-20 1 de ; : SECONDE PARTIE, SEGTION VII. 103 d’où lon tire, en substituant pour & sa valeur donnée ci-dessus, — 2 de Cr » de = x pdt + x D de, Tes 7. a(i—e) da de — Va x Te dt— er d dt, ‘n _ Vi=é, da dx = Ve x de dt qu ’on substituera à la place des valeurs de dc, db, dy de lar- ‘ticle précédent, les autres valeurs "demeurant les mêmes. Par ces formules on.peut donc avoir Peffet des forces pérturba- trices sur le mouvement d’une planète, en rendant variables les quantités qui, sans ces forces, seraient constantes; mais quoi- qu'on puisse de cette manière, déterminer toutes les inégalités dues aux perturbations, c’est surtoût pour les inégalités qu’on nomme séculaires , que les formules que nous venons de donner sont utiles, parce que ces inégalités étant indépendantes des pé- riodes relatives aux mouvemeris des planètes, affectent essentiel- lement leurs élémens et y produisent des variations ou croissantes - avec le temps, ou périodiques, mais avec des périodes propres et d’une longue durée. 76. Pour déterminer les variations séculaires, il n’y aura qu’à substituer pour Q la partie non périodique de cette fonction, c’est-à-dire le premier terme du développement de { en série du sinus et du cosinus d’angles dépendans des moyens mouvemens. de la planète troublée et des planètes perturbatrices. Car Q n'étant fonction que des coordonnées eliptiques de ces planètes, lesquelles. peuvent toujours, du moins tant que les excentricités et les in- clinaisons sont peu considérables, se réduire en séries du sinus et cosinus d’angles proportionnels aux anomalies et aux longitudes moyennes; on pourra aussi défelopper la fonction & dans une 104 MÉCANIQUE ANALŸTIQUE. série du même genre, et le premier terme sans sinus et cosinus, sera le seul qui puisse donner des équations séculaires. Désignons par (Q) ce premier terme de ©, lequel sera une simple fonction des élémens a, b, c , €, h, ti de la planète trou- blée, et des élémens semblables des planètes perturbatrices; il est clair que l'élément c qui est joint au temps £ ne s’y trouvera pas; aiusi en substituant X à la place de Q, on aura, pour les varia- tions séculaires , les formules da =0o, dc = ex GO) qe +0 40, Vie 40) _ Vi=é 40) de ET X = Er dt, dx = Va dt, Vas idi ? ti Va sinidh? dh = où b=a(1—e*). 97. L’équation da—o fait voir que le demi-grand axe, ou la distance moyenne a n’est sujette à aucune variation séculaire , ce qui n’est qu'un cas particulier du théorème général que nous avons démontré dans l’article 23 de la Section V; car la quantité H de cet article est la même que la quantité A des articles 3 et suivans de la Section précédente, et on voit par Particle 15, que A — __ E + « A s . Von a H=—*.. Ainsi il faut appliquer à la distance moyenne des planètes les résultats que nous avons trouvés sur la valeur de la force vive d’un système quelconque (Sect. V, $ III ). La variation dc produit ung altération dans le mouvement moyen ; Car u = (t— c) VE 2 étant lanomalie moyenne, c’est-à- dire, l'angle du ae moyen compté depuis le périhélie (art, 19), cette anomalie sera sujette à une variation exprimée par SECONDE PARTIE, SECTION VII. 105 Ve par — dc, à cause de da=o; et si on ajoute la Variation dx du lieu du périhélie dans l'orbite, on aura dx — VE dc pour la ‘variation séculaire de la longitude moyenne, que nous désigne- rons par dA. On aura ainsi dh = dx — WE de = — 1x de Vie 7 e d(Q) ya copie dr e e* à cause de 1—V1—e = ——— 7 ——; - 4 it Vie 78. Lorsque l’excentricité e est fort petite, les valeurs de de et dx ont l’inconvénient d’avoir au dénominateur la quantité très-petite e. Mais il est facile d’y remédier en substituant à la place de e et x les transformées esinx, ecosx. En effet, si on fait m = esinX, n = ECOSX, on aura dm = sinxde +ecosxdx, . dn=cosxde—e sin xdx; donc substituant les valeurs de de et dx, _ d(Q E d(Q) : dm = Le (cosx se — sin%X em )dt, dn — ES —_—— ve Gr D + cos x EE) de Or, en ragardant (Q) comme bicbioi de ee X, et Comme fonc- tion dm,n,ona Aléc. anal. IL. à 106 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.. équation identique qui, par la substitution des valeurs de dm et dn, donne ces deux-ci : D = ECOSX— 42 esinX, dQ) _ 20) 4 de am SX HR CO8X; donc, faisant ces substitutions, on aura les équations Vie 49) = EE x ao) qu’on pourra employer à la place de cellés qui donnent les va- leurs de de et dx (art. 76). ‘On peut faire des transformations analogues sur les dernières équations qui donnent les valeurs de dA et di. Soit pour cela p =sinisinh, q—=sinicoshk; -on trouvera par un procédé analogue, dp= Ye x dt d = — #5 x Pat. 79. Les forces perturbatrices que l’on considère dans la théorie des planètes, viennent de attraction des autres planètes, et nous donnerons plus bas la valeur de Q qui résulte de cette attraction; mais on pourrait aussi regarder comme force perturbatrice la ré- sistance qu’elles éprouveraient de la part dun fluide très-subtil, dans lequel on les supposerait nager. Dans ce cas, en prenant R . pour la résistance, on ferait, comme on l’a vu dans l’article 8 de la seconde Section, dr= TESTEL TE; le fluide résistant étant supposé en repos, SECONDE PARTIE, SECTION VII. 107 Ïl en résultera ainsi, dans la valeurs de d'A, les termes (art. 62) PR EU (ES DRE), On suppose ordinairement la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, laquelle est représentée par ce et à la densité du mi- lieu, que nous désignerons par T; ainsi les termes dus à la résistance, dans l'expression de dQ, seront Tds (dxdx + dydy + dzdz) di de : Pour évaluer la quantité dxd'x + dyd'y + did, il n’y a qu'à employer les formules des articles 67 et 70, en observant que la caractéristiQhe d se rapporte au temps f, qui n'entre que dans les valeurs de X et Y', et que la caractéristique d' doit se rapporter aux constantes arbitraires a, b, etc., qui entrent dans X et et dans les coefficiens «, B, æ,, etc.” On aura ainsi, en changeant d en d dans les expressions de da, dB, etc., dx = adX+ Bd, dy=adX+8,dY, dz=a,dx +8,47, dx = ad X + PSY + X(BIX + dr) + Y(—a SX +36) = a(NX—YIx) + BST + Xdx) +y(Xd7r + Ydo), dy = IX FI 4) + BIT + XX) + y (XI 7 Flo), dr a(IX — Yy) + BIT + Xl x) +. (Xl 7 + Yo). De là, en ayant égard aux équations de condition entre les coeff- ciens «&, B, y, «,, etc. (art. 14}, on aura dxd'x + dyd'y 4- ddr = dXOX + dYIY +(XIY— FIX )d'y, et sion y suktitue pour Xer leurs valeurs rcos®, r sin® 108 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. (art. 13), on aura dXIX + dYdY = drd'r + r'd2d®, XdIY — YdX = r'd®, ds = VdX* +dY* = Vdr + rd®*. Donc les termes à ajouter à d'Q, à raison de la résistance du mi- lieu, seront représentés par TV/dr + rd@(drèr + dodo + rdod y) Re A 0 à où il n’y aura plus qu’à substituer pour r et ® leurs valeurs en £, données par les formules des articles 21, 22, en faisant attention que la caractéristique d se rapporte à la variable £, et la J' aux constantes arbitraires. CHAPITRE III “Sur le mouvement d’un corps attiré vers deux centrés fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances. 80. Quoique ce problème ne puisse avoir aucune application au système du monde, où tous les centres d'attraction sont en mou- vement, il est néanmoins assez intéressant du côté analytique, pour mériter d'être traité en particulier avec quelque détail. Supposons qu’un corps isolé soit attiré à la fois vers deux centres fixes par des forces proportionnelles à des fonctions quelconques des distances. | Soit, comme dans l'article 4, l’un des centres à l’origine des Cocrdonnées, et R la force attractive; et pour l’autre centre, sup- posons que sa position soit déterminée par les coordonnées &, b, c, parallèles aux *X,1Y, z; soit, de plus, Q sa force attractive, et g la distance du corps à ce centre, il est clair qu’on aura = Via) + (70) + (2— 01, SECONDE PARTIE, SECTION VII. 109 c’est-à-dire, en substituant pour x, y, z leurs valeurs en r, +, ? (art. 4), g= V{r—2rf(acos@ + b sing)cos$ + csin4]+ #), en faisant À — y/(a* + b* + c*), distance des deux centres. Il est clair que la valeur de T'sera la même que dans le pro- blème du chapitre I; mais la valeur de 7/‘se trêuvera augmentée du terme fQdgq ; et comme Q est fonction de g, et q fonction de V 4 SL? dp? dr? les termes suivans , savoir, C%; À D? Q 7 qu'il faudra par > ?, À, ce terme donnera, dans les Pere conséquent ajouter respectivement aux premiers membres des équations différentielles de article cité. On aura donc pour le mouvement du corps attiré vers deux centres par les forces R et @, les trois équations suivantes: . d de? + di” d D + R+ QT = 0... (1), d.rd£ r'sinŸ cos Jde dg __ de Tr de + Q 7 —0........(2), d. à RER + QT = Diverses esse (0) Et si le corps était attiré en même temps vers d’autres centres, il n’y aurait qu’à ajouter à ces équations des termes semblables pour chacun de ces centres. L'équation T+ 7° =H donnera cette quatrième équation, qui est une intégrale des précédentes; PC EE + MIE de de + pRar+ Où 29H; et il est visible, en effet, que les trois équations précédentes étant multipliées respegivement par di »dy, dr, et ajoutées ensemble, 110 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. donnent une équation intégrable, et dont l'intégrale est celle que nous venons de présenter. On tire de cette équation r(cos Ÿ'de* + di” CCE + 4 —2f Rdr— 2f Qdq — D valeur qui, étant, substituée dans la première équation multipliée par r, la réduit à ais + Rr+ofRdr+ Qr A+ 2 f Qdq = 4H. Or, puisque = 1° h"— 2r[(acosp+bsinp)cos£ +csin4{], on aura, en faisant varier r? the _ tan . q = r—(acosp+bsinp)cosd—csinf =r— pr 27) donc substituant cette valeur de % D on aura enfin cs + Rr af Rdr + Q EE + 2f Qdq = 4H. Cette équation a l'avantage de ne contenir que les deux va- riables r et g, et elle indique en même temps qu'il doit y avoir une pareille équation entre q et r, en changeant simplement 7 et q, ainsi que R et Q entr’elles; car il est indifférent de rapporter le mouvement du corps à lun ou à l’autre des deux centres fixes, et il est clair qu’en le rapportant au centre des deux forces Q, on trouverait, par une analyse snoAÈls: à la précédente, LE + Qi + 2/Qdq +R LP + 2/Rdr = 4H; ainsi on pourra, par ces deux équations, déterminer directement les deux rayons r et gq. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 11 Je remarque mäintenant qu’on peut, sans rien ôter à la géné- ralité, supposer les deux coordonnées a et b du centre des forces Q, nulles, ,ce qui revient à placer l'axe des coordonnées z dans la ligne qui joint les deux centres. Par cette supposition, on aura ch, et la quantité q deviendra ÿ/(r*—2hrsind +"), laquelle d À ne contenant plus @, on aura donc a 0. Par conséquent la troi- sième équation différentielle se réduira à nec Rs, dont l’in- di cos dd <=B, B étant une constante arbitraire; d’où etégrale est —— tra B ; : + he — Yon tire + = Fcosÿt > Mais on a sin = EFE ; donc: Ve HE 97, cos Ÿ — ; par conséquent en substituant cette valeur, on aura ee 4Bh* Tr + hi — g}? de sorte que Les ret gent, on aura aussi ® en £ Or, puisque sin4 et © è sont déjà données en r et q,ilest clair. qu’on peut réduire la os équation à ne contenir que r et g, et alors elle sera nécessairement, à raison de la constante ar- bitraire B, une intégrale complète des deux équations ci-dessus en r et g. En effet, on aura A C+g —R)dr— orgdg, r d4* — 4kr = ( + h2 — gY 5 ajoutant dr*, et réduisant, il viendra ; LL, PPdr + red — (+ — h°) rgdrdg r'd + dr° st 4 ALT + h2 En gY De plus, on anra r° cos Ÿ’de" _ 4B* de ARE HE y 112 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Donc faisant ces substitutions dans la quatrième équation et ôtant le dénominateur; on aura cette intégrale g'rdr + BAR _ a + q° — h°)rgdrdgq + 2B* + ue YIURdr + JQd— 2H) =0...(a). Et il est facile de voir maintenant, d’après la forme de cette équa- tion, qu’elle résulte des deux équations en r et q, multipliées respec- tivement par 2q°d.r*—(r°+q"—}h°)d.q", ar°d.q—(r"+9"—)d.r, ajoutées ensemble et intégrées ensuite; mais il aurait été assez diffi- cile de découvrir cette intégrale à priori. 81. Pour achever la solution, il faut avoir encore une autre integrale des mêmes équations; mais on ne saurait y parvenir que pour des valeurs particulières de R et Q. Si on suppose, ce qui est le cas de la nature, æ ; 8 R= >, de on trouve alors que ces équations, multipliées l’une par d.g*, et l'autre par d.r‘, donnent une somme intégrable et dont l'inté- grale est drxd.g _aGr+g—h) _ 8Gj +7 —h) ad — T q — 4H(r+q")+ 2C........(b), C étant une nouvelle constante arbitraire. Cette équation étant multipliée par r°+ 9° —h", et ajoutée à l’in- tégrale (a) trouvée précédemment, donne, dans hypothèse pré- sente, une réduite de la forme‘ gd} + r ça.) : , : ACÉUS a VAT LE = D@rCr- + 9° — h°) — 288q(q" + 57° — R)= 2H (rt + gt + Vr°g* — hf) + 2C(r + gt — hr) — 2B"44. ft). Et SECONDE PARTIE, SECTION VII. 113 Et la même équation étant multipliée par 27, et ensuite ajou- tée à celle-ci, ou retranchée, donnera cette double équation, GR a [(r2 9) — hr Q)] — Br) (ghn)]= H(r 9) — M] + CFE} oder disons 2240 (0), De sorte qu'en faisant r+g=5, r—q==u, On aura ces deux-ci : (* _ ne — (a+8)s + h'(a+B)s =H(st hi) CS" — ;] : À um 12 YŸ2d112 ..(e CNE (a Bu HP (ah) Cu" d’où l’on tire d’abord cette équation, où les variables sont séparées, ds VEAHSt EE (e + 8)5 + pe Re + 8)s — Hhe — B* | = HEC rep ensuite, dt = — AVR CHOC RC TF6) HR BE] u*du ..(g ). AVR EG But Che + Bju — Hht — B°] Les mêmes substitutions étant employées dans l'expression de d Ld LA Te. trouvée ci-dessus, on aura de _ 4Bk _ 4Bh* ( 1 2 F); ET Eh FER et substityant la valeur de dé, d ar ; Bh°ds PE PRE CE 0 + CFE HN) Bhdu CR) Ve Fe jui + Cu (a —sju = Mn B5] °° (x JMéc. anal. Tn. II. 15 114 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Si on pouvait intégrer chacune de ces différentielles, on aurait d’abord une équation entre s et 4, ensuite on aurait £ et@ en fonc- tions de s et z; donc on aurait g, et de là #, et @ en fonctions de r; et comme on aurait aussi 4 en r. Mais ces différentielles se rapportant à la rectification des sections coniques, on ne saurait les intégrer que par approximation, et la meilleure méthode pour cela me paraît . celle que j'ai donnée ailleurs (*) pour l'intégration de toutes les ‘différentielles qui renferment un radical carré où la variable monte à la quatrième dimension sous le signe. : 82. Si, outre les deux forces = = ti # qui attirent le corps vers les deux centres fixes, il y avait une Sins force proportion nelle à la distance, qui Paitirât vers le point placé au milieu de Ja ligne qui joint les deux centres, il est visible que cette force pourrait se décomposer en deux tendantes aux mêmes points, et proportionnelles aussi aux distances. Dans ce cas donc on aurait R=xHoym, Q=3+2)9; et l'on trouverait que Tintégrale (b) aurait aussi lieu dans ce Cas; seulement il faudrait ajouter à son premier membre les termes 7579" + 5 (ré gt) — (+ 9); ensuite il y aurait à ajouter au premier membre de l'équation (c) les termes « TO + qf + 2157 gr + 99) = Part 8 + Gr°g")], . (*) Voyez le quatrième volume des anciens Mémoires de Œurin. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 115 ‘et par conséquent au Poe membre de Péquation (d) les termes 2 La 9 2 (reg) De sorte qu'il n’y aura qu’à augmenter les polynomes en s etu sous le signe radical, dans les équations (e), (f), (&), des termes respectifs | — 2 (s°—h'st) et — {ut — hu), ce qui ne rend guères la solution plus compliquée. £ . 83. Quoiqu'il soit impossible d'intégrer en général l'équation trouvée ( f) entre s'et u, et d'avoir par conséquent une relation finie entre ces deux variables, on peut néanmoins en avoir deux intégrales particulières représentées par s—const. et u—const. En effet, si on représente en général cette équation par Le vS — Vo? il est clair qu’elle aura aussi lieu en faisant ds ou du nuls, pourvu que les dénominateurs yS ou y/U soient aussi nuls en même temps, et du même ordre. Pour déterminer les conditions nécessaires dans ce cas, on fera s—/f+o,/f étant une constante, et © une quantité. infiniment petite, et Me par F ce que devient S lorsqu'on change s en f, le membre ne deviendra du pr ———— j VE ++" + ete)” il faudra donc, pour qu’il y ait le même nombre de dimensions de « en haut eten bgs, que l’on ait À = 0, et D = o; alors à cause de 116 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. æ infiniment petit, la différentielle dont il s’agit se réduira à de cs VE > Var va k étant une constante arbitraire. Si donc on fait w—o, et qu'on dont l'intégrale est prenne en même temps aussi £—0, la valeur de /. ; deviendra‘ indéterminée, et Féquation pourra toujours‘ subsister, quelque va- : : du : R leur que puisse avoir l’autre membre ef vo: Or on sait, et il est visible par soi-même que F=0 et T = o sont les conditions qui rendent / une racine double de l'équation F=0o. D'où il suit en général que si le polynome $ a une ou plusieurs racines doubles, chacune de ces racines fournira une valeur partiçulière de s; ilen sera de même pour le polynome U. Maintenant il est clair que l'équation s=/f our+q=/f re- présente une ellipse dont les deux foyers sont aux deux centres des rayons r et q, et dont le grand axe est égal à /: De même l'équation u=g ou r—q=£ représente une hyperbole dont les foyers sont aux mêmes centres, et dont le premier axe est £. Ainsi les solutions particulières dont nous venons de parler, donnent des ellipses ou des hyperboles décrites autour des centres des forces Er = pris pour foyers. Et comme les polynomes S'et 77 contiennent les trois constantes érbitraires Z,'B, C dépendantes de la direction et de la vitesse initiales du corps, il est visible qu’on pourra toujours prendre ces élémeus, sels que le corps dé- crive une ellipse ou une hyperbole donnée autour des foyers don- nés. Ainsi la même section conique qui peut être décrite en vertu. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 117 d'une force tendante à l’un des foyers et agissant en raison inverse: des carrés des distances, ou tendante au centre et agissant en raison directe des distances, peut l'être encore en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre, ce qui est très- remarquable. 84. S'il n’y avait qu'un seul centre vers lequel le corps füt at- tiré par la force 2) on aurait le cas de lorbite clliptique que nous avons résolu dans le chapitre premier. Dans ce cas on au- rait 8=0, y—0o, etles deux polynomes S'et U deviendraient semblables et ne passeraient pas le quatrième degré; les équations (S), (ge), (a) de Particle 8r seraient alors intégrables par les mé- thodes connues, et le mouvement du corps serait déterminé par - des formules en s et u, c’est-à-dire, par les distances aux deux - centres, dont lun, celui dont l'attraction est nulle, pourrait être placé où l’on voudrait; ces formules ne seraient donc que de pure curiosité ; mais il y a un cas où elles se simplifient et donnent un résultat remarquable, c’est celui où le centre d'attraction nulle est placé sur le périmètre de lellipse. Pour obtenir ce cas, on déterminera les constantes B et C de manière que le rayon g étant nul, l’autre rayon 7 soit égal à h, distance entre les deux centres ; par conséquent il faudra que les variables s=r+g et u=r—q deviennent à la fois égales à h. Les équations (e) de Particle 8r sont très-propres à cette détermination. Faisant s=u=—= h, la première de ces équations donne d B? — Ch; ‘ensuite, la différence de eco équations étant divisée par s—#; si on y fait s=œu—h, on a, à cause de B=o, , a Salé ah = 4HRS + 2Ch; 418 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. d’où l’on tire : C= — Œh, = 2Hh:. Par les substitutions de ces valeurs, le polynome Hst + as E Cs* — ah°s — Hhf— B* devient ; H(st— 25h 4h) + ass sh — sh + RS), ce qui se réduit à la forme H(s+Rh} (s—h} + a(s+h)(s—h}; il en sera de méme du polynome en 4. Or, par l'article 15, on a, dans ce cas, ag et H=—£ a étant le demi-grand axe de lellipse ; donc les équations (f°) et (g) deviendront ? ds G—D/e6+h—EGC+N _ du RE) G—h)/ 8 a+) — EG +47 6 a 46/86 +D—E 6 +0 u°du ui ? A D4/ ete + DE Ge + et si de cette dernitre on retranche la première, multipliée par k*, et qu’ensuite on divise les numérateurs et les dénominateurs respectivement par s —h, u—h, on aura Des CMS Le =. D AVExV/s+n— br (u + h)du 4VEXV/u+ Fur SECONDE PARTIE, SECTION VII. 119 expression qui a lavañtage de ne, contenir d’autre élément que le grand axe 24. | | 85. Si on fait Pintégrale étant prise de manitre qu’elle commence lorsque z a une valeur quelconque donnée, ct qu’on remette pour s ct x leurs: valeurs p+q, p—gq, on aura, en intégrant, ag ={h+ p+q)—f(h+p—4), où l’on voit que t—0o lorsque g—0o, de quelque manière que l'intégrale soit prise. Or, puisque p est le rayon vecteur qui part du foyer, g est le rayon qui part de l’autre centre, qui est pris dans un point de lellipse, et dont la distance au foyer est A; il est clair que À et p seront deux rayons vecteurs, et que q sera la corde de Parc intercepté entre ces deux rayons; par conséquent l'expression précédente de £ sera le temps employé par le mobile à décrire cet arc dans l’ellipse, lequel sera donné ainsi par la somme des rayons vecteurs L<+p, par la corde ‘4, et par le grand axe 24. L'intégrale que nous avons désignée par fonction /z dépend des. arcs de cercle, ou des logarithmes, suivant que à est positif ou négatif; mais lorsque l'axe 2a est très-grand, cette fonction se réduit à une série très-convergente; on a alors 7 SU 323 fa = ii + Ba Ÿ Zy.ge + Ce Le premier terme donne l'expression du temps dans la para- bole, et lon a Ve ES+PFD — 1/4 pd), 120 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. laquelle: coïncide ayec celle que nous atons trouvée dans lar- ticle 25. Le reste de la série donne la différence des temps em- ployés à parcourir un arc de parabole, et un arc d’ellipse ou d’hyperbole ayant la même corde zx et la même somme s des rayons vecteurs. Cette belle propriété du mouvement dans les sections coniques, a été trouvée par Lambert, qui en a donné une démonstration ingénieuse dans son Traité intitulé : Insigniores orbitæ cometarum proprietates. Voyez aussi les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1778. Le problème que nous venons de résoudre l'a .été d’abord par Euler, dans le cas où il n’y a que deux centres fixes qui attirent en raison inverse des carrés des distances, et où le corps se meut dans un plan passant par les deux centres (Mémoires de Berlin de 1760.); sa solution est surtout remarquable par l'art avec le- ” quel il a su employer différentes substitutions, pour ramener au premier ordre et aux quadratures, des équations différentielles qui, par leur complication, se refusaient à toutes les méthodes connues. En donnant une autre forme à ces équations , je suis parvenu directement aux mêmes résultats, et j'ai même pu les étendre au cas où la courbe n’est pas dans un même plan, et où il y a, de plus, une force proportionnelle à la distance et tendante à un centre fixe placé au milieu des deux autres centres. 7’oyez le quatrième volume des anciens Mémoires de Turin, d’où l'analyse précé- dente est tirée, et dans lequel on trouvera aussi l'examen du cas où l’un des centres s’éloignant à l'infini, la force tendante à ce centre deviendrait uniforme etagirait suivant des lignes paral- lèles; et il est remarquable que dans ce cas la solution ne se sim- plifie guères ; seulement les radicaux qui forment les dénominateurs des équations séparées, au lieu de contenir les quatrièmes puis- sances des variables, ne contiennent que les troisièmes, ce qui fait SECONDE PARTIE, SECTION VII. [EL fait également dépendre leur intégration de la rectification des sec- tions coniques. CHAPITRE IV. - Du mouvement de deux ou plusieurs corps libres qui s’attirent . mutuellement, et en particulier du mouvement des planètes autour du soleil, et des variations séculaires de leurs élémens. 86. Lorsque plusieurs corps s’attirent réciproquement avec des - forces proportionnelles aux masses et à des fonctions des dis-. tances, on a, pour lettrs mouvemens , les formules générales des ” articles 1 et 2, en prenant les corps mêmes pour les centres d’at- traction. ; Soient m, m'’, m”, etc. les masses des corps, x, >, z, x', y',2!, x", y", 2”, etc. leurs coordonnées rectangles rapportées à des axes fixes dans l’espace; la quantité T' sera, comme dans l'article 1, T= m tte dut + dy + du + m’ TT odt? , dx" + dy" + dz" " + m odt° ? etc. Soient p', p’, p"’, etc. les distances des corps m', m", m/, etc. au corps m, et À’, R", R"”, etc. les fonctions de ces distances auxquelles les attractions entre ces corps sont proportionnelles. Soient aussi p”, p,, etc. les distances des corps m", m””, etc. au corps m'’, et R,, R7, les fonctions de ces distances proportion- nclles aux attractions. Soient de même p”, p,, etc. les distances des corps m’”, m"”’, etc. au corps m”, et R,, R,', etc. les fonctions, de ces distances, pro- portionnelles aûx attractions. Méc. anal. Tom. IT. 16, 123 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Et ainsi de suite, on aura FEVER FOIE, VE FO) FC), etc., PVO PRE, VS T2), etc, etc, ct la quantité 77 (art. 2) sera F'= n (mfR'dp+ m'fR"dp" + m'fR"dp" + etc.) m'(m'SR'dp" + m”/R’dp; + etc.) m(m'"/R;dp, + etc.), etc. ! Or, quelles que soient les coordonnées indépendantes qu’on voudra adopter, on aura toujours, par rapport à chacune d’elles, comme £, une équation de la forme canonique è ÔT , À d JE — K + & = ©. Et comme, dans le système que nous considérons , il n’y a au- cun point fixe, on pourra prendre l’origine des coordonnées par- tout où l’on voudra, et l’on aura toujours, comme on l’a vu dans la troisième Section, les trois intégrales finies relatives au centre de gravité, ainsi que les trois intégrales du premier ordre rela- tives aux aires, et enfin l'intégrale des forces vives T+7=H. On aura de cette manière le mouvement absolu des corps dans _Pespace ; mais comme la solution de ce problème n’est importante qu’à l'égard des planètes, et qu'il n’y a que leurs mouvemens re- latifs, par rapport au soleil regardé comme immobile, qui inté- ressent lActronomie, il nous reste à voir comment pn peut transporter aux mbouVelueus rolatife Péqnatinn générale des mou- vemens absolus des corps du système. e SECONDE PARTIE, SECTION VII. 123 SI. Équations générales pour le mouvement relatif des corps qui s’attirent mutuellement. 87. Supposons qu’on demande les mouvemens relatifs des corps m', m", etc. par rapport au corps m; désignons par £’, »', €’ les coordonnées rectangles du corps m', rapporté au corps m, en prenant ce dernier corps pour origine des coordonnées; soient de même £", »", €" les coordonnées rectangles du corps m par rapport au même corpé m, et ainsi de suite; la question consis- tera-à trouver une formule générale qui ne contienne que ces coordonnées. : Ilest d’abord évident qu’on aura N=x+E, J=ytn T=1HE, x" = X + £", s'= 7 + ”", z" = Z + es etc. ; etc.; etc. ; P=VE MER, p — VER TH ne HE, etc, F = VERTE TT ET, ee VE-ET GP) F QT, etc., ° ps _ VET—ET + (nr ÿ pr RP, etc., et la quantité T deviendra T= (m+m'+ m"+ etc.) HE _ dr(m'dé mn" dé" bete.) dy’ 4m gt ete.) + dz(m'd£" em" dE" etc.) dt a a dy d. 18 dé" + d. “ts + dé” + m HE + D" — + etc. 124 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Comme les variables x, Y, z, après ces substitutions, n’entrent plus dans la quantité 7, et que ces variables n’entrent point dans T'sous la forme finie, on aura, relativement à ces mêmes variables, les équations d oT d.°T - aT = ST ce qui donne. ÔT èT Mt = 7) { € æ, B, y étant des constantes arbitraires. Ainsi on aura les trois équations dx 4 (4 . (m+m'+m'+ etc.) + +m' É +m'= etc. =«, d: dx dr" (m+m'+m'+etc.) À +m T+m'Tbetc.= 8, 1 d 2 (ra + m'-+m'+ etc.) + m' E + m” pete. =, les quantités &, B, y étant des constantes. Si maintenant on substitue .dans lexpression, précédente de T | dx dy du a les valeurs de +; Fa D tirées de ces équations, et qu’on fasse, pour abréger, X = MÉ' E mé" + m’£" + etc., FY = m'y + m'y — mr" + etc., Z = mé —+ m'é + m'£"” + etc., M= 0 + m' + m" + m”+ etc., ‘On aura Hg + dx: 49 | 42 EE ne T 2M 2Mdr É dg’2 42 LL ta “3 “a ant SHARE ANR, re SECONDE PARTIE, SECTION VII. "125 88. Les variables £', w, &’, £", etc. étant indépendantes, et la quantité T'ne contenant point ces variables sous la forme finie, on aura tout de suite, par rapport à chacune d'elles , les équations ! dt —57)+$ " de dx dr” æ ma) * æ né in RÉ ‘77 AL re nu : ! d'y dY dF = mn du" dY de Mdr +7 et 0; m de — de ue e : etc. , ! Ca 4 dZ dr =. " æ£" dZ de Mdr + 3 dé ME Le ? m dé TT Mar ie dé” 6: etc. Son ajoute ensemble les premières équations relatives aux va- riables £', £”, etc., on à Ex dd”, dr” X + + tet.=0o, ce qui donne dx D (SE + PE + etc.) et l'on trouvera de même, par l’addition des secondes équations , et par celle des troisièmes, dy M dr dr mat tete.), dZ M/dF, dr D = x + te), valeurs qu’on pourra substituer dans les équations précédentes. On aura ainsi pour le mouvement’ du corps m’ autour de m, “les trois équations m2 ELA : M > ea ++ # dE + etc. ) — O >» dis! dd es mr + A ae oi m2 m'ÉE+ 7 &, E+E = +7 de A + ote. )= 0 126 - MÉCANIQUE ANALYTIQUE. et lon aura de pareilles équations pour le mouvement des corps m', m”, etc., autour du même corps m, en changeant seulement entr’elles les quantités affectées de deux traits, ou de trois, .etc. Il n’y aura donc qu’à substituer la valeur de F7 et prendre ses différences partielles relatives aux différentes variables; mais cette ‘substitution peut se simplifier par la considération suivante. 89. Dénotons par U la somme de tous les termes de la quan- tité 77 qui contiennent les distances p°, p”, etc., p;, etc., et re- marquons que les expressions de ces distances sont telles qu’elles demeurent les mêmes en augmentant les coordonnées £’, £", £"", etc. qui y entrent, d’une même quantité quelconque ; d’où il suit qu’en faisant varier ces mêmes coordonnées d’une même quantité infiniment petite, la variation de U sera nulle, ce qui donnera l'équation D + D + qu + etc. == 0. On trouvera de la même manière, parce que la même propriété « lieu par rapport aux coordonnées #', »”, »#”, etc., et aux Coor- données £', &”, €’, etc., dU , dU , dU mtmtasTteic.=o, dU , dU , dU a tarte te. = 0. Donc, puisque PF = m(m$R'dp + m'SR'dp" + etc.) + UV, g ne contenant que £’, »', &'; p" ne contenant que £”, »”, &", et ainsi de suite, la première équation deviendra , par ces substi- tutions , en la divisant par m’, ! d dy dy" +(m+m)R + mr" + etc. du e Lande SECONDE PARTIE, SECTION VII 127 Or, dans la quantité. U il n’y a que les termes qui contiennent * pip;, etc., qui dépendent des variables £’, n', €’ (art. 86); ainsi on. peut réduire la valeur de U à = m'(mfR;dp, + m'[R;dp, + etc.) ; substituant la valeur de © E © dans Péquation précédente, elle de- viendra n dp" + m ds” _ Fe + (mm) RE mr LE + m°RT + ete. 10 pi e + m'R" € dE + MR" a + elc. = 0, et l’on aura de la même manière ” L e L ul es (m + m')R' g Hm'R, ++ MR + + etc. + m'R" A + mr" de Le + etc. = 0, DE + (m + RE + m'R L +n"R À me ; + etc. + m’ R'E m + R" Le + etc. = 0. 90. On peut ramener ces équations à la forme générale, qui a l'avantage de s’appliquer également à des coordonnées quelconques. Si on multiplie la première par d£', la seconde par d'w!, la troi- sième par d’, et qu’on les ajoute ensemble, on aura d’abord la partie différentielle dE dr 7 d'£' + ar Ju À -t LE T4 ? laquelle, en transformant les covrdonnées £', »!, €’ en d’autres coordonnées indépendarftes £, 4, ®, donnera pour les termes mul- 128 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. tipliés par d£ la formule (art. 7, Sect. IV) CE ST" VE, dE + dis 4 ae T'= edf en faisant A l'égard des termes qui contiennent les forces R', R", etc., il est facile de voir qu’en changeant la caractéristique J'en d, tous ces termes sont intégrables par rapport aux variables £’, n’, £'é l'intégrale contiendra d’abord les termes | ! (m+ mm’) JR'dp + m'SR,dp, + m”fR’dp" + etc. ; ensuite elle contiendra les termes (m'r"£ CR" ge + m” RE + ete) £! “rh mr" Ts: + etc.) #! (m" RE Fat m/'R" E + etc. ) 2 Or ona dy" _ g" x de _ ” ds” ne £" : Œ p° dy? mL de pr? et comme po = (EE + (in) + (CT, on aura Fe ' » RE de de Ë +" +R un à et de même DE Han HR = CHÈE, et ainsi des autres expressions semblables. Donc nommant 77’ Fin- > totale, on aura = (m<+m")/R'dp + JR;dp, 5 mfR;dp, + etc. RIRE PR ÉTÉ etc Ainsi SECONDE PARTIE , SECTION VIL 129 Ainsi après la transformation des coordonnées, les termes mul- tipliés par d£ se réduiront à JE; et comme on suppose les nou- velles coordonnées £, 4, ® indépendantes, chacune d'elles, comme £, donnera une équation de la forme dT" LA LÀ d ST", nn ——— HTAETET 91. S’il n’y a que deux corps, m et m’, l'expression de 77 devient 27 = (m+ m'YR'd'; ainsi les valeurs de T'’ et de 77” sont les mêmes que pour un corps attiré vers un centre fixe avec-une force (717 + m')R' pro- portionnelle à une fonction de la distance p' (art. 4). Donc le mou- vement relatif du corps m’ autour du corps m, sera le même que si celui-ci était fixe, et que la masse attirante füt la somme des deux masses, ce qui est connu depuis Newton. Lorsque la masse m du corps autour duquel les autres sont censés se mouvoir, est beaucoup plus grande que la somme des masses m', m", etc., ce qui est le cas du soleil par rapport aux planètes, on a à très-peu près P'= (m+m)/R'ap. Le mouvement du corps m’ autour du corps m sera donc, dans ce cas, à très-peu près le même que si celui-ci était fixe, et que la somme des masses mm’ y füt réunie; et en regardant les autres forces mA", m'R, etc. comme des forces perturbatrices, on pourra employer la théorie de’la variation des constantes ar- bitraires pour déterminer l'effet de ces forces; il ne s'agira que de prendre, conformément à Particle 9 de la Section V, — Q égale à la somme de tous les autres termes de la valour de 77” donnée ci-dessus. On fera ainsi, en accentuant la lettre Q pour la rap- Méc. anal. Tom. IL. 17 130 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. porter à la planète m!, Q' = m/f R'dp! — m°{R'dp? — etc. a Ua "2 2e LE Ses Wa m'R"Ë + ae P, m"R"'! . = p, L etc. et l’on aura, par les formules générales de l’article 14 de la même Section, les variations des élémens du mouvement du corps m' autour du corps m regardé comme fixe. $ IL Formules générales pour les variations séculaires des élémens des orbites des planètes autour du soleil. g2. Pour appliquer ces formules au mouvement des planètes autour du soleil, on prendra la masse m pour celle du soleil, la masse m’ pour celle de la planète dont on cherche les perturba- tions, etles masses m", m”’, etc. pour les masses des planètes per- turbatrices, et on fera 1 — 1 If À nm _ À R + 29 R — ps? etc., Æ, pr? etc. + On substituera ensuite dans la.fonction Q', au lieu des coordon- nées £', », &', £",n”, etc. de ces différens corps autour de m, leurs valeurs exprimées en fonctions de #, conformément aux formules que nous avons données dans le chapitre I, pour les ex- pressions des coordonnées x, J; 2,. en y faisant g=m+m', ou simplement g’, pour le rapporter au corps m’, et l’on aura, par les articles 69 et suivans, %es variations dès six élémens de l'orbite de la planète autour du soleil. Nous nous contenterons 101 de cheicher les variations séculaires de ces élémens qui sont. les plus importantes, et qui ne dépendent que du premier terme tout constant du développement de ©. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 13E L'expression de Q' deviendra o'= mit HE FR GC tete) mm À LP RENE + m” PT ge ) + etc. 93. Commençons par développer la quantité pe VEET FT ET; on y mettra d'abord ‘pour £, n, & les expressions de X, Y, z de Particle 13, en marquant par un trait, ou par deux, les quan- tités qui se rapportent aux masses m’, m”. On aura P = p' + p'* — 2p'p"(æ'cos D' + B/'sin ®’) ("cos p" + B''sin ®") — 2pp'(acos®’ + B'sin ®’) (a'cos ®" + B'sind*) — opp'{aicos®' + B'sin D’) («cos ©" + B'sin ®"). Si on fait les multiplications, qu’on développe les produits des sinus et cosinus, et qu’on fasse, pour abréser, A = aa" aa, + aid, B = a'B" + a; B, + a 8", A,= a"8' + a, B; + a, B,; B,= L'R'+ BR, + L.6,, on aura . pe _ p'* + pe — (24 + B.)p'p'cos(D'—®") — C4 — B,)p'p'cos(®'+®") — (4 B }pp'sin (®—2") — (44 B }p'p'sin (4-0). Les quantités a’, B', x, erc. sont fonctions, des élémens k/, Z £' de l'orbite de la planète m', données par les formules de l’article 13, en marquant toutes, les lettres d’un trait, et les quantités a’, 8", 132 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. æ;, etc. sont fonctions semblables des éléméns k", 2”, &" de l'or- bite de la planète m", en marquant les lettres de deux traits; ainsi les quantités /Z, B, Z,, B, sont fonctions de ces mêmes élé- mens ; mais par la considération suivante, on peut voir ce qu’elles expriment. 94. Lès coordonnées primitives rapportées à un plan donné étant x, Y, Z, pour les transformer dans les coordonnées x’, 7’, z' rapportées au plan de l'orbite de m'’, on a, par les formules géné- rales de Particle 14, ! — ax! > B'y' ea LA ax + BJ + 72, ax + BY + y:7', où les coefficiens «!, GB , etc. dépendent des constantes }/, z’, &, qui déterminent la position des nouveaux axes par rapport aux pri- mitifs, Z’ étant l’inclinaison des deux plans. De même, si on voulait transformer les mêmes coordonnées dans les coordonnées x", y", 2" rapportées au plan de l'orbite de m”, on aurait N & X = aœ"x"! + B'y" + 2, = ax" + EY'+ 72", z= ax" + BY" + 72, où les coefficiens «", B", etc. seraient des fonctions semblables des constantes 2", z’, £”, qui déterminent la position de ce nou- veau plan par rapport au même plan primitif, et où 2” serait l'in- clinaison de ces plans. Si on compare maintenant ces expressions, on aura ax! + B'r' + y'z —# col! 30!! l R"'y" + V2", ex + RS +Yr = ax + Riy" + ve, en + ED + = dt + Ep Ro. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 133 Comme les coefficiens æ’, B', y/, æ!, etc. sont assujétis aux mêmes équations de condition que les coefficiens &, B,7,«,, etc. de l'article 14, si on ajoute ensemble les trois équations précédentes, aprés les avoir multipliées respectivement par &’, «,, «,, par &', B,, 8, et par y, 7!,7., on aura, en vertu de ces équations, x! = Ax" + By" + CZ’, J' = Ax"+ By'+ CZ", z'= A,x"-+ B,7"+ C,z', en faisant, pour abréger, A = alu! RE a'æ H aa, B = &'R" + a'fR! + af, C= œy" + ay + as, A,= Ra" + Ra, + Ba, B,= LE'+ EE, + LR, C= 83" + By, + By; A= ya" + ya, + ya, B,= VR8"+ 7,8, + 7:8;, La LA La LA Ge y) + y +yr Il est évident que par ces formules les coordonnées x', y’, z' sont transformées dans les coordonnées x", y”, z'; ainsi les coeffi- ciens À, B, C, À,, B,, etc. seront exprimés d’une manière sem- blable aux coefficiens analogues &’, 8’, y’, æ', B;, etc., et prenant les constantes H, I, K, à la place des }’, 7, #', on aura, par les formules générales de Particle 13, A = cos K cos 77 — sin Xsin Hcos1I, B — — sinKcosH — cosKsin cos], C — sin Hsin]; 154 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. À,= cosK sin + sin X cos cos, B,= — sinKsin A + cos K cos Hcosr, C,= — cos A sinZ: A,= sinKsinZ, B,= cosKsinJ, C,= cos. La constante I représentera l’angle d’inclinaison des deux plans où sont placées les orbites des planètes m’ et m"; et nous la dé- signerons par Î’, pour indiquer qu’elle & rapporte aux orbites de m’et m”; et si, dans l'expression de C, en y’, y", y, etc., on substitue les valeurs de ces coefficiens en #’, #', z', h", k",2" (art. 13), on a cos 1” = cos £’ cos" + cos (k'— }")sinz' sin 2". On voit que les quantités que nous venons de désigner par A,B, A,, B, sont les mêmes fonctions de «/, «", 8’, etc. que celles que nous avons désignées par les mêmes lettres dans Particle 93; ainsi on aura dans les formules de cet article, en y substituant pour ces quantités les valeurs que nous venons de trouver, A+B,= 200S(H+ K) X (cos: 1I'}, A—B,= 2c0S(H— K) x (sint1!}, AB = °sin(H+K) x (cosi1'}, Ac-+tB = ssin(H—kK) x (sn}l}. 95. Donc faisant ces subst#utions dans l’expression de p;* de l'article 93, on aura ë pe == ps + p" , — 2p'p'cos(®'— &"— H — K) x (cos: I’) — 2p'p"cos(D'+ ®— 1 + K) x (sin 77}. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 135 Faisons, pour un moment, À = C05(D'4- D"— Hip K) = COS (D — Due Hi K), on aura 1 Ve +6 —2pp TIC — 1 K) 39" A "A(sinx sin x 1°) 5 1 PE c'est la valeur qu’il faudra substituer dans l'expression de Q de Yarticle 92; et lon aura de la même manière pe + p"* ee Le PR à cos [CA — pp" H— K) p'A Ces L l'y ares Tape “ a ME" ES + — 5°, En marquant de trois traits les lettres qui ne sont marquées que de deux, on aura les termes multipliés par m””’ dans @, et ainsi de suite. Il faudra ensuite substituer pour p', p’, etc. et pour 2’, ®", etc. leurs valeurs exprimées par les anomalies moyennes w', 4", etc., suivant les formules des articles 21 et 22; et dans le développe- ment, nous nous contenterons d’avoir égard aux secondes dimen- sions des excentricités e’, e”, etc., et des inclinaisons mutuelles 7’, T° des orbites de m”,m””, etc. sur celle de m', en regardant ces quan- tités comme trés-petites du même ordre, et en négligeant les termes où elles formeraient des prôduits de plus de deux dimensions. On aura ainsi 1 1 rs — DATES @'—H—K) , DH HLK) — DD" HR . " 2e DÉTESCEER) — cor( 02 FAN) (sin: 7°}. Cr'+ p— 04" p Fcos(®' D H—K)} 96. On sait que les puissançes d’une fonction de la forme psp oppcbsp peuvent se développer en séries de cosinus 136 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. d’angles multiples de ®; ainsi on peut supposer (p' + pl —2p"p" cos eg) + — (p', p") es (p', ph cos? + (p', Ph COS 2P + Le ph cos 5p + etc., (pps — ap p'o0sp) À = [pp] + [p' pl. cos 9 + [p', ph cos2® + [p', p'] cos 39 + etc., où (p', p”), (p', p'},, etc., [p', p'], [p', pl, etc. sont des fonctions de p', p” exprimées en séries ou par des intégrales définies, _dans lesquelles les quantités p' et p’ entrent de la même manière et forment des fonctions homogènes des dimensions —: ou —3. Ainsi en faisant ® = D—D'H—K, on aura 3 = (p,8)+ (p ) cos @ +(p, p'), cos 29 ++ etc. + p'pCp', p"1 + Cp’, #T, cos® + [p', pl cos 2p + etc.) X [cos(p-+ 2®"+2XK)— cos] x (sint 1°}, où il faudra faire (art. 21, 22) a ‘a p = a'(i—e'cosu') += —T cos2w/, 4! 7) 1t 7 e"* e"s " pa a'(i—e'cosu”) + — —— cos2u", . fa : D'— u' + 2e’sinu + 2 sin 2’, d'= y" + 2e"sinu” Le De! sin ou”, et par conséquent P=u- uw" ]+ ae sinu—e"sinu") + + (e*sinau'—e"* sinau"), L étant = H+K. Comme SECONDE PARTIE, SECTION VIL. 137 Comme nous négligeons les quantités au-dessus du second ordre, dans les termes multipliés par sin 7, on pourra mettre tout de suite a’ et a" au lieu de p', p'; w, ‘u! au lieu de ®’, ®”, et u/—u"— au lieu de ?; et en développant les produits des cosinus, on verra facilement qu'il n’y aura de terme indépendant des angles / et u" que celui-ci : — }a'a"{a', a"], x (sinir”}. Considérons mainteñant les fonctions (p’, p"}, (p, p"),, etc.; en y faisant les substitutions précédentes à la place de p’ et de p”, et conservant les secondes dimensions de e’ et de e”, on aura (p’, p") = (a’, a) + LeO(— —a'e/cosu + TT — LE cosau’ NECTePESS ie : d # K/] e"> “ QE ) is a'e'cos up de r* mm cum = cos au") d? 4 4 "Ua + EE x LÉ (1400820) + ÉD ve PE [cos (u'—u") — c08(u'-+u)], et il en sera de même des autres fonctions semblables. On aura pareillement cos ® = cos (u'— u"—L) 2e'sinu’ + À sin au! — sin(u—u"— L) x —2e" sinu"4 3° sin au" e'—e"cos UE e"—e"cos au” eo on développera de la “même manière les cosinus des angles mul Méc. Anal. Tom. II. 18 158. MÉCANIQUE ANALYTIQUE. tiples de g, et on multipliera les expressions de ces cosinus par celles des coefficiens (p', p”), (p, ph, etc. Comme nous ne cherchons que les termes indépendans de toute période, il faudra rejeter tous ceux qui se trouveront multipliés par des cosinus d’angles multiples de w’ et de 4”, qui sont les angles des mouvemens moyens de m’ et de m”. “Ainsi le terme (p',p”}), de l'expression de 7 ne donnera que ceux-c1: (a! a!) + da, da, a) + Toda + d(a’, a”) (a, Ce a Ua Toda— e”* a" a + Le terme (p', p"),cos @ donnera ceux-ci : "l » a da, a) nm rot (CZ a, + d'+ de ga a'a")e'e cos L. Le terme (p', p'},cos2@, et les suivans, ne donneront que‘des termes où &, e”, z', à” formeraient plus de deux dimensions, et que nous négligeons. | d(a, a d(a”, a”); 2dd d(a, a Tadar + Il reste à développer la quantité Ca PRES p'cos? de FA(GinsT) (art. 93 , 94). 43 pe UP 2? ? On fera ici pour p', p” les mêmes substitutions que ci-dessus; on aura d’abord = = (Gi —e'cosu!) +ae"cosu" + = (2 — cos au”) +- = (:-Hhcos2u")+ e'e"[cos(w— u") + cos(u'—u")], mais dans le terme qui contient sin 2, et qui est Ce du second ordre, il suffira de mettre 5; à la placé de” # , et comme SECONDE PARTIE, SECTION VII. 139 A=Cco8(D'+ D'— H+ K)—(D—®"— H— K), il est clair que ce terme ne donnera aucune quantité constante. En multipliant l'expression précédente de £ par celle de cos? de l’article précédent, et ne retenant que les termes constans où e' et e" ne passent pas la seconde dimension, on trouve aisément ceux-ci : D (See + = + ge" )cosL = 0; de sorte que, dans las quantité dont il s’agit, les termes constans se détruisent. 97. La somme de tous les termes que nous venons de trouver ; étant multipliée par m", sera la partie constante de la fonction Q', due à l'action de la planète m”, et l'on aura une expression sem- blable pour la partie due à l’action de la planète m’”, en rappor- tant à celle-ci les quantités relatives à la planète m'. Nous avons désigné par (Q) cette partie non périodique de la fonction Q ; si donc on fait, pour abréger, d(a’ a”) d(a,a"}) , ! " . ((a',a)) = RP” a HSM 7:77 des 2 a; et par conséquent puisque a’ et &" entrent de la même manitre dans la fonction (a', a"), (aan) = 699 qù + EC qe 7 4du” et de plus, , [(a', a} == (a!, a), + EE) ot 4 NE a" d'(a', a”), “de © æ on aura 140 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. en (a) = m” {(a!, a") + ((a', a")) e” ua ((a”, a) e” + {(a', a")}e!e” cosL —" ;a'a"[a', a], x (sini7'}} + etc. Cette valeur est exacte, aux quantités du troisième ordre près, en regardant les excentricités e’ et e” des orbites de m’ et de m” ainsi que leur inclinaison mutuelle 7, comme de tités du premier ordre, quelles que soient d’aill sons de ces orbites sur le plan fixe de projecti 98. On peut simplifier beaucoup les expressions des fonctions ((a’, æ)) et [(a', a], par les propriétés connues des coeficiens des séries en cos®, cos2®, etc. En effet, si on différentie loga- rithmiquement par rapport à ®, et ensuite par rapport à a’, l'é- quation identique (a*—aa'a"cosg+a"*)"? = (a!, a") + (a!, a"),cosg (a, a”),cos2@<+etc., et qu'après avoir multiplié en croix, on compare les termes mul- tipliés par les mêmes cosinus, on aura d’abord 3a! du, a"),=— 24/4" (a', a") + 2(a°+a")(a!, a”), ; ensuite les différentielles relatives à a’ et à a” donneront d(a', a") _2a(a",a"}—a"(a',a"), Sur” Sles Te , d(a', a"), — + (c, a”) ee Es de a'(a"— d(&, ie 2 08 du (el, n!) d (a, a) 7% —9(a°# a" RE a (a” SEGONDE PARTIE, SECTION VII. +41 Substituant ces valeurs, on aura ’a m2( , — i # a+ ta 2 # , (a, a")) = 4a"a"(a", a) RÉ a?)(a', a”) : : nl n2 UE : CI + cn 1 nn" : : [{a!, a"}] = a'a"(a® +a En GE a d'a"), a, | Mais on peut avoir des. expressions plus simples de ces fonctions, en employant les coefficiens de la série Ë <@—a'a" cos® + a") * =[a', a] + [a', a"],cos + etc. ; ° car en diffrentiant logarithmiquement, et multipliant ensuite en croix, on trouve d’abord, comme ci-dessus, “a'a"[a!, a", = a(a + a")[a!, a"], —6a'a"[a!, a"; substituant cette valeur de [a/, a"],, et comparant la série multipliée par a'— sa'a"cos® + a"* avec la série (a, «"}+-(a/',a"),cos g—etc., avec laquelle elle doit devenir identique, il est facile de déduire ces relations : k« (a', a") = (a*+a")[a', a"} — a'a"[a/, a], (a', a"), = 4a', a"[a', a" — (a'° + a"*)[a', a", et par la substitution de ces valeurs, on aura celles-ci : ((a', a')) = ga'a"[a’, a], = ((a', a!) ; [Ca a")] = Sa'a"{[a', a"]—1(a+a"){a', a], =—z+a'aTa a], qu'on substituera dans l'expression de (Q') de l'article précédent. À l'égard de la valeur des coefficiens (a', a”), (a', a”),, etc., [a', a"], [a!, a"],, etc., en fonctions de a’, a", où peut les trou- ver par le développement des radicaux, en puissances de côs?, et par le développement de ces puissances en cosinus d’angles multiples de ®, com üler Va fait le premier, dans ses Recherches 142 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. sur Jupiter et Saturne ; mais j'ai trouvé, depuis long-temps, qu’on pouvait les avoir d’une manière plus simple, en décomposant le binome a'°—2a a"cosg + a'* en ses deux facteurs imaginaires (a'—a"eV—) (a! né a"e tv) : et en développant par la formule du binome les puissances —+, — ? de chacun de ces facteurs. Soit, pour abréger, 1 __n(n+i1) d'u SO MUR 0) use a — 2.3 ? on aura en général (a — ae? us ms = db sa qe VI sage V + etc., et si on multiplie ensemble les deux séries qui répondent à ÿ/—1 et à —y/—1,et qu’on repasse des exponcnticlles imaginaires aux cosinus des angles multiples, on aura (a —2a'a"cosg + a")"= 4 + Bcos? + C cos 2@ 4 etc., en faisant À = x [2 + n° x C)+ nox(S)+ n°5 (E)+ ete. ] ; B = _— Cr ©) +nn (E)+ nn" (E)+ etc. | " ‘ Ce Cm (me + cu] Ces séries SONL toujanrs convergentes, lorsque &'>a"; mais si . lon’avait a"> 1, il n’y aurait qu’à changer a’ en a" et a” en &', puisque dans la fonction non dévelop s a' et a” entrent également. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 143 Une conséquence qui résulte de la forme de ces sérics, est que tant que s est un nombre positif, tous les coefliciens Z, B, C, etc. _ont toujours des valeurs positives. Si on fait a}, ces coefficiens deviendront (a', a"), (a, a”), (a!, a"),, etc. , et si on fait a #, ils deviendront [a’, #b [a',a"],, {a!, a"1,, etc. 99. Il nous reste encore à déterminer l'angle Z. Comme nous “négligeons les quantités du troisième ordre, et que dans l’expres- SO EE, cosZ est déjà multiplié par e'e”, on pourra, dans la détermination de Pangle Z, faire abstraction des quantités très- petites du premier ordre, et par conséquent y supposer 7° =0o. Or 1— H+K (art. 94),et faisant I —o dans les formules de l'article 92, on a | A=coS(H+K), A,=—-B=sin(H+K), À,=o; on a aussi, par les formules de cet article, Az aa! + ae + aa = cos. Différentions cette valeur de cosL, faisant varier les quantités a', a", «°, etc., substituant à la place de leurs différentielles les expressions données dans Particle 67, en accentuant les quaftités respectives, et remettons les quantités Z,, Z,, etc. à la place de leurs valeurs en &, æ, B’, etc., on trouvera facilement — sin LdL = AÀ,dy! + À,dr' + Bdyx" + Cdx'; mais A,=sinlL, Æ,=o, *B——sinL, C=o; donc en divisant par sinZL, on aura dL = dx" — dy/, et intégrant L=Xx"—Xx 144 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. où il n’est pas nécessaire d’ajouter des constantes, puisque Pori- gine des angles x/, x” est arbitraire. L’angle x est en général celui que lorbite décrit en tournant dans son plan, et que nous avons substitué à la place de la longitude Æ du périhélie (art. 68). 100. La fonction (Q') est maintenant réduite à la forme la plus simple et la plus propre pour le calcul des variations 4 n’y aura qu’à la substituer dans les formules de Particl quant d’un trait les lettres de ces formules, pour les la planète m', dont on cherche les variations ; et e simplement entr’elles les lettres marquées d’un trait on aura des formules semblables pote les variations de la planète m"”, ct ainsi des autres. On voit que cette fonction est composée de deux fonctions dis- tinctes entr’elles , dont lune ne renferme que les excentricités et ‘ les lieux des aphélies dans les orbites, et dont l’autre ne renferme que les inclinaisons des orbites sur un plan fixe avec les lieux de leurs nœuds. Si on désigne la première par (Q'), et la seconde par (Q'),, ensorte que lon ait (A) =(Q"),+(Q'),, on aura (o), = ; m” { a, æ) + a'a"[a, a], x(e*+e") } 2a'a"[a’, a"}e'e"cos(x'— x") + 3 m’” { KA 0") Fe a" te a], Sa age —24'a"{a', a"}e'e"cos(x' —x) + etc., (Q'), = — + m'a'a"[a’, “ x (1— cos T°) _ 3 m/a "Ka, a”, K e CES l') — etc, où cos I’ = cosz'cosi’ + cos(h' cos I? = cosicos2”+ cos(#" etc., les SECONDE PARTIE, SECTION VII. 145 les angles I’, I”, etc. étant les inclinaisons de l'orbite de la pla- nète m’ sur celles des planètes m”, m”, etc. On substituera ainsi (a”, +(a',, au lieu de (Q/), dans les équations des variations séculaires (art. 71), et on accentuera les lettres, pour les rapporter à la planète m'’ dont on cherche les. variations; on aura, en négligeant les e"* et mettant simplement ‘a! au lieu de b dans les coefficiens des fonctions (QG), et (A), qui sont déjà du second ordre, ht, _! d(a), = dçe'), Se = 775 * édé ? dt vga € PA ? dé 1 V LCI D. 1 LICHE Eyes dard 4 Vge sur" On aura de pareilles équations pour. les variations des élémens de la planète m” dans son orbite autour de m; et il n’y aura pour cela qu’à marquer de deux traits les lettres qui ne sont marquées que d’un trait, et au contraire ne marquer que d’un trait les lettres qui le sont de deux. Ainsi, en observant que les fonctions de a’ et a”, représentées par des parenthèses, ne changent pas en échangeant entr’elles les quantités a', a", on aura ; : 8(a', a") + a'a"a', a], x(e* + e") 9 = int | _ a dl geo — 2) } nc — 2{(a", a")Le'e”"cos(x"— x") (A) = — à m'a'a" [a', a]. x Ga — COS T°) _ : m” a"a"[a", a", x (1 _— cos T°) — etc. , où cos Z° = cos 1”, et cos Z"Eças i’ cos &” + sin (k"— }"")sin s’sin si", . Méc, anal. Tom. IT. 19 146 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. et les équations des variations seront de’ 1 d(e”), : dé ___1 < d.(a”), dt Ven * de ? dE Va e"de” ? di 1 da"), dh __ 7 d.(a, ES VS * nd) Eee * ed? et ainsi de suite pour les variations des élémens des orbites de nm m’//, etc. autour de m. 101. Mais nous remarquerons qu’on peut rédui fonction les différentes fonctions (Q'),, (N"?,, etc. fonctions. (Q'),, (Q"),, etc., ce qui mettra plus d'uuiformité dans les formules des variations. En DEC S D = TE [R(a’, a") + Ca, a], X (e-+e")—afat, ae" cos (x/— °)] ur LÉ Ba, a) Ce’, a}, x (e°-e") — La’, ajue ef cos (x 2) 4 m"a“a” C8(a", a°) +", a]. Xe" pe”*)—2[a", a" }e"e"cos (x" —2")] + ec. ; en faisant toutes les combinaisons, deux à deux, des masses m’, m"”, m”, etc., et des fonctions qui y sont relatives, il est facile de voir que dans les différences partielles de (Q'),, (Q"),, etc., on pourra changer ces fonctions en ®, pourvu qu’on divise par m’ les différences partielles relatives à e’ et x’; par m” les diffé- ” rences partielles relatives à &/”, x”, et ainsi de suite. De sorte que les équations des variations des excentricités et des aphélies deviendront ‘ « 1 ET myes * ed? de” _ 3 de &— m'y/g'a ‘ Ou par des impulsions infiniment petites et continuelles. 5. En nommant £, 4, ®, etc. les variables indépendantes aux- quelles on aura réduit toutes les coordonnées x, y, z des corps du système, par le moyen des équations de condition dépen- dantes de la liaison des corps, on pourra toujours exprimer chaque constante par une fonction donnée de £, 4, ®, etc., et ifférenti dé dy de des différentielles 7, —, 7 ®, etc. ne dépendent que de la position instantanée des corps dans l'espace, et ne peuvent par conséquent subir aucun changement par les impulsions étrangères ; il n’y aura donc que les différen- etc. Or, les variables finies £, 4, tielles 3, &, e , dont les valeurs pourront être changées par ces impulsions. Supposons qu’elles deviennent S + £, + 4; “ +9, etc., les accroissemens £, d, ®, etc. seront dus aux impulsions; ce seront les vitesses, suivant les coordonnées £,4,@, etc., que les impulsions produiraient dans le premier instant, et qu'il s’agit de déterminer.s Soient P, Q, R, etc. les forces d’impulsion appliquées à chaqne 182. MÉCANIQUE ANALYTIQUE. corps m du système, suivant les directions des lignes p, q,r, etc., et tendantes à les diminuer, et soient x, y, z les vitesses initiales qui en résulteraient dans ce corps, suivant les directions de ses coordonnées rectangles x, y, z, et dans le sens où ces coordon- nées augmentent, si tout le système était en repos; on aura, par l'article 11 de la seconde Section, Péquation Sd x + 7d'y +zdz)m — S(Pdp + Qd'q+ Rdr+ etc.) = 0, laquelle doit se vérifier indépendamment des variations d£, J'Y, d'®, etc. de chacune des variables indépendantes. Il n’y aura donc qu’à substituer dans cette équation les valeurs de x, y, z et de P: 9, r,etc., en fonctions de £, 4, ®, etc., en remarquant que les vitesses x, y, Z peuvent s'exprimer, comme toutes les vitesses, PAT > > Par ces substitutions on aura la transformée SXIx + ydy + zd'z)}m = Elf + FIN — Œdp + etc., ct si on fait, comme dans Particle 62 (Sect. précéd.), dQ = — S(Pdp + Qdq + Rdr + etc.), on aura les équations lesquelles seront en même nombre que les variables £, 4, 9, etc. Or ilest facile de voir que les quantités &, #, ®, etc. seront dé dy} de &? ‘à SU D) etc., et que ces différentielles ne seront autre chose que les des fonctions de £, 4, ®, etc. et de leurs différentielles SECONDE PARTIE, SECTION VII. 183 vitesses initiales que nous avons désignées ci-dessus par £, d : ®, etc., et qu’on pourra par conséquent déterminer par les équa- tions précédentes. bass re Te né , dx dy dz Comme les quantités x, y, z sont équivalentes à PTE Fo &? la quantité xd'x + ÿd'y + 2d'z pourra aussi s'exprimer par dxdxc + dydy + didz dt ? . , si. , » et il suit de ce que hons avons démontré ci-dessus (art. 2), que si dans la formule dx* dy® + dz° restptén, on substitue pour x, #, z leurs valeurs en £, 4, ?, etc., et qu’on 5 , d : ‘ y change À en £, yen +, . en ®, eic., on aura, par les dif- férences partielles relatives à £, À, ®, etc., d st, +=, v—"T, etc., dé dy d@ et les équations pour déterminer £, 4, ®, etc. seront — dT _M dT _M dT _Xù AR à 4%? etc., où l’on remarquera que ces inconnues n’y seront qu’au premier degré, puisqu'elles ne peuvent ètre qu’au second degré dans la quantité T. Ainsi l'effet des impulsions instantanées et finies P, Q, R, etc. consistera à augmenter les différentielles = ne A , etc. , des quantités £, k, ®, etc., dans lès expressions des constantes ar- bitraires du problème. 184 __ MÉCANIQUE ANALYTIQUE. . 6. Pour appliquer cette théorie au cas des impulsions très-pe- tites et continuelles, on changera P, Q, R, etc. en Pdt, Qdt, Rdt, etc., ce qui changera d'A en did Q, etles quantités £, 4. ?, etc. deviendront très-petites du premier ordre; les constantes arbitraires deviendront continuellement variables, et les quantités de dj de dt di? dt pressions de ces constantes ; de sorte que a étant une he cons- £,d, 0, etc. seront les variations de , etc. dan$ les ex- tantes devenues variables, on aura, en hjsc4r st! ‘ ai ; Éd = 0;:ti0, da ; da ; da : da= sta Yta? + etc., les variables finies £, À, ®, etc. ne recevant aucun changement; et il n’y aura plus qu’àsubstituer pour £,«4, @, etc. leurs va- leurs tirées des équations données ci-dessus; mais dans le cas pré- sent, ces équations peuvent être mises sous une forme plus simple, par la considération suivante. En regardant les variables Z, L, @, etc., ainsi que les diffé- rentielles £’, A", ®', etc., comme fonctions des constantes arbi- traires a, b, c, etc. et du temps £, et désignant par d' leurs variations résultantes des variations de ces constantes, il est clair qu'on a dé=0, A=o, dp=0, eic., 122 d'A" =, de=?, €c., dT dT et comme les différences partielles ER Fo etc. ne contiennent E d que les premières dimensions de £, 4, ®, etc., il est facile de dT' . A voir qu’elles peuvent se réduire à d'u dy , Ctc., en regar- e dant T comme fonction de £’, 4, ?', etc. Ainsi les équations M * SECONDE PARTIE , SECTION VIE. 185 il s’agit, deviendront ar da aT EH =X% ® dt, d'.— = de, — di, etc., dY " — 7 ) et l'on aura da = D dE + IE r d'® + etc., où il faudra substituer les valeurs de d, ; d®, etc., tirées de ces équations. Si on change ensuite les différences partielles de Q relatives à E, 4,9, etc... Mérences partielles relatives aux constantes a’ b, c; ctc., on parviendra à des formules semblables à celles de ie de la Section précédente, dans lesquelles les coeffi- ciens de Tr . etc. auront la propriété d’être indépendans du temps £; mais la démonstration directe de cette propriété singu- lière devient très-difficile, comme on peut le voir dans le beau Mémoire de M. Poisson sur ce sujet, inséré dans le tome VIIE du Journal de l'École Polytechnique, et on ne sc serait peut-être jamais avisé de la chercher, si on n’avait été assuré d'avance de la vérité de ce théorème. Comme j'ai déjà donné dans la Section cinquième, une théorie complète des variations des constantes arbitraires, je ne m’y ar- rêterai plus ici; j’ajouterai seulement deux remarques sur les for- mules de cette théorie. 7. La première remarque est relative à la formule générale de l'article 11 de la Section citée, laquelle, en faisant, pour simplifier, De =, T = 71" D = 7", cl; se réduit à A. Qdt = = AËIT + ALT" EL AFÎT" + etc. — dEAT — JA AT" — JAT" — etc., Méc, anal. Tom. Il, ° 24 186 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. où la caractéristique d' indique les variations dues à toutes les constantes a, b, c, etc. devenues variables, mais où la caracté- ristique A peut se rapporter indifféremment à chacune de ces constantes. En la rapportant d’abord à une quelconque de ces constantes, comme @, et développant les variations indiquées par d', on a tout de suite la formule À Cdt = [a, bdb + [a, clde dans laquelle aT' dé dT” 4% ER Le «TT de dr" [a, c] = Sa r+$ FM dr 0 Se LEA ER Ext ue, etc., et où les valeurs des coefficiens [a, b], [a, c], etc. deviennent indépendantes de #, après la substitution des valeurs de £, 4, ?,etc. en a, b,c, etc. et £. On a ainsi les formules auxquelles je suis parvenu d’abord dans le Mémoire sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de Mécanique. M. Poisson a trouvé ensuite des for- mules plus directes, qui reviennent au même que celles que j'ai données dans Particle 18 de la Section V; mais quoique celles-ci paraissent plus simples, parce qu’elles donnent immédiatement les valeurs des variations da, db, etc., au lieu qu’il faut les déduire des autres par l'élimination , cet avantage n’est qu’apparent, comme nous l'avons déja remarqué plus haut (art. 6:); on peut même dire que dans plusieurs occasions d'avantage sera entièrement du côté des formules précédentes, parce qu’elles ne demandent aucune SECONDE PARTIE, SECTION VII. 187 réduction préalable et qu’elles peuvent s’appliquer immédiatement, toutes les fois qu’on a l'expression de chaque variable en temps, dans laquelle les constantes arbitraires entrent d’une manière quel- conque; c’est par cette raison que j'ai cru devoir les redonner ici. 8. La seconde remarque porte sur l'étendue qu’on peut donner à ces formules, relaiüvemient à la nature des forces perturbatrices. Nous avons toujours supposé que ces forces étaient telles, qu'é- tant multipliées par les élémens de leur direction, la somme deve- nait intégrable; tiapouvait être exprimée par une fonction des véfiables indépendantes que nous avons désignées par —€Q. Mais nous avons déjà remarqué dans l'article 62 de la Section précédente, que quelles que soient les forces perturbatrices R, Q, P, etc., il suffit de faire — d'A = Rir + Qlq + Pdp+ etc., en rapportant les différences partielles relatives à la caractéris- tique d', aux seules variables r, q, p, etc. En général il n’est pas nécessaire, pour l'exactitude des for- mules des variations, que les forces perturbatrices que nous avons , > oc : de dn da représentées par les différences partielles. = H>H? de etc. soient en effet des différences partielles d’une même quantité. On peut supposer que ces forces soient exprimées par des quantités quel- conques, que nous désignerons par A’, Q", Q”, etc.; alors, au lieu de A.Q, dans les formules de Particle 11 de la Section V, on aura | Q'aË + Nat + Q'a9 + etc., et équation de Particle précédent deviendra (Q'a8 + Q'ak + Q'ap + etc.) dé = AËIT" + a4d TY + ApIT" + etc. — d'ÉéaT' — JaT" — Je3T" — etc; 188 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. d’où, en rapportant la caractéristique à à la constante arbitraire a, on aura également (QÉ + 0" + a" P + etc.) dt [a, bldb + [a, cjde + [a, k]dk + etc., en regardant les variables £, 4, @, etc. comme fonctions de a, b,c,k, etc. La même chose aura lieu pour le 18 de la même Section V, en metta l Q'dE + Q"dN + à la place de dQ, et rapportant aux variables £, 4, ®, etc. les différences partielles de & relatives aux constantes «, 8,7, etc., À, lu, v, etc., ou à,'b, c, k, etc. les 14 et, 9. Enfin on peut faire abstraction des forces perturbatrices et ne considérer la fonction — Q que comme une quantité qui, étant ajoutée à la fonction 77 due aux forces principales, produit les variations des constantes arbitraires dans les mouvemens qui résultent de ces forces. Et comme dans le calcul de ces variations il n'entre que les différences partielles de Q relatives aux variables indépendantes £, 4, @, etc., il n’est pas nécessaire que la diffé- rentielle dQ soit une différentielle exacte, il suffit que les difiéren- ticlles qu’elle contient soient elles-mêmes des différentielles exactes dont on puisse avoir les différences particlles par rapport aux va- riables £, 4, ®, etc. ' Cette extension de nos formules, que nous avions déjà annoncée dans l’Avertissement du tome premier, peut être utile dans plu- sieurs problèmes où les forces perturbatrices ne seraient pas seu- lement fonctions des variables indépendantes £, 4;9, etc., mais SECONDE PARTIE, SECTION VII. 18) dd de dt? dt? dt? exemple, si, après avoir résolu un problème de Mécanique dans le vide, on voulait avoir égard à la résistance d’un milieu, comme nous l'avons fait, à l'égard des planètes, dans la Section précédente. Mais la même extension ne peut pos avoir lieu à l'égard des forces principales qui entrent dans les équations différentielles dont l'intégration introduit les constantes arbitraires. Ces forces, multi- npliées nets de sa direction, doivent toujours former une quant tésrable que nous avons désignée par 77 ef. a, Sect. IV), et qui doit être une fonction des variables indé- pendantes sans leurs différentielles ; autrement la réduction de ces” équations à la forme de l'article 2 de la Section V n'aurait pas licu, et l'analyse du $ I de cette même Section cesserait d’être exacte. Rien n'empêche cependant que les expressions de ces forces ne contiennent le temps #; car comme la quantité 77 disparait dans les différentielles partielles de Z=T—/#, relatives à £', 4, ', etc., le résultat final de Particle 7 aura toujours lieu, parce qu’il se trouve indépendant de 77. Mais il cesserait d’avoir lieu si cette quantité était fonction de £, 4, @, etc., et de £’, 4”, ®', etc. Nous allons maintenant résoudre quelques problèmes particuliers. aussi de leurs différentielles etc., et du temps #& Par CHAPITRE Il. Du mouvement d’un corps sur une surface ou ligne donnée. 10. Quand on ne considère qu'un corps isolé, on peut faire . Li] abstraction de sa masse, ou la supposer égale à 1; et on a, comme dans Particle 5 de la Section précédente, _ dx + d T = odt — æ » = Rdr + Qdg + Pdp+ etc. » L’équation de la surface donnera z en fonction de x et y, on 190 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. aura ainsi | dz = LE dx + 7 3 et les variables x et y étant regardées comme indépendantes, chacune d’elles donnera une équation de la forme Le terme = de T donne sur-le-cham censé fonction de x, y et de dx, dy, d dz ) dx dde. dz as ml LL z est la mê est Le ou a; ; donc les deux termes dont il s’agit se rédui- UN d'2dz . . La . . * ront à 755; ainsi Péquation relative à x sera $ d'z à ) +R x RTE 0» et l'on aura is pour rapport à J: dz |, a HE x RU * Sile corps était contraint de se mouvoir sur une ligne donnée, alors y et z seraient fonction de x; le terme a de T'donnerait a( 7) __ Ad) les termes —— Er Sn lesquels se réduiraient de la même .. * a dy. d: à 3 manière à 25 X 55; de même le terme LE donnerait 5 X 355 et l'on ét, relativement à x, qui est la seule variable, l'équation des dy ads de Ta X js Var X DE +i=o.* SECONDE PARTIE, SECTION VIIL. | gs On voitpar Panalyse RON que tout terme de la quan- tité T'qui sera de la forme k% -, Z étant une fonction donnée de deux autres variables x et LA cr °T ÔT dz | dz dns = X TE) oT 7! 2 d'z dis = TXT) éductions Yoipgggent être utiles dans plusieurs occasions. ’ | ; ; : 12. Si au lieu des coordonnées rectangles x, y, z, on voulait employer, pour la surface, un rayon r avec deux angles @ et +, comme dans Particle 4 de la Section précédente, on aurait T = P(dP + cos f’dg") + dr? 24e À où 7 serait donné en fonction de 4 et ®, par la nature de la surface , et l’on aurait, relativement à 4 et ®, deux équations de la forme oT èT 7 dt = Le terme <= de T donnerait © PIX EE $ D relativement à 4, et — TXT _. s? € æ. relativement à ®, ct l’on aurait ces deux équations dt ,r IS pute * de + pe Le x Rx —=0; r'cosŸdp , dr 74 dr — + de XF +5 Je 95 que les méthodes ordinaires ne donneraient qu’à l'aide de plusieurs réductions. 12. Il est bon de remarquer que l'équation T+7=H, quia 192 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. toujours lieu lorsque le corps n’est animé que par des forces pro- portionnelles à des fonctions de leurs distances aux centres, donne tout de suite la vitesse du corps dans un point quelconque de la courbe décrit, Cor # Car u étent la vitesse et s l’espace décrit, de sorte que 7 étant une fonction fi tesse ne dépendra que de la position Si le corps n’est animé par aucune for et la vitesse devient constante. Dans démontré en général que la formule /z ou un ninimum dans des limites don : ; quantité /ds, ou s, c’est-à-dire, la longueur de la courbe décrite par lé corps, sera elle-même un maximum ou un minimum ; et il est évident qu’elle ne peut être qu'un minimum, parce que le maximum n'a point lieu. D'où résulte le théorème connu, qu’un corps projeté sur une surface quelconque, y décrit toujours la ligne la plus courte entre des points donnés, 13. Mais dans la solution de ces problèmes, il est souvent plus simple de regarder toutes les coordonnées comme des variables indépendantes, et d'employer les équations de la surface ou de la ligne donnée comme des équations de concition qui, étant repré- sentées par L—0o, M—o, denneront simplement pour chaque variable les termes Ad L, nd 1 à ajouter à d'7, les coefliciens À, étant indéterminés et devant être éliminés. Or, de ce que nous avons démontré dans Particle 5 de la qua- trième Section de la première Partie, il s’ensuit qué chaque terme comme SECONDE PARTIE, SECTION VIII. 193 comme AdL, peut représenter le moment d'une force égale à AVC) +7 +) et agissant perpendiculairement à à la surface dont l'équation est dL=0o; par conséquent cette force ne pourra être que celle qui vient de la résistance que la surface oppose au corps, et qui est égale à lApression n que le corps exerce sur la surface. N Ainsi le à t À servira à déterminer la pression du corps À» la surface donnée par l'équation L=0; et si le corps est mu sur une ligne donnée, en la regardant comme produite par Finter- section de deux surfaces représentées par les équations L=o, M=0, les deux coefficiens À et k serviront à déterminer les pres- sions que le corps exerce sur cette ligne, perpendiculairement aux deux surfaces. 14. En général, on peut assimiler le terme Ad Z au terme d'Z7; et comme d' 77 = Rdr + Qdq + etc., R, Q, etc. étant les forces qui agissent suivant les lignes r, g, etc., et qui tendent à les raccourcir ; si L est fonction des coordonnées £, L, @, on aura Ed ss d£L dL dL 0 . Q et les termes A, À 4 À exprimeront les forces qui ré- sultent de la résistance de la surface dont l'équation L=o, sui- vant les directions des coordonnées £, 4, ®, et qui tendent à diminuer ces coordonnées. Si Péquation de la surface était £— a, a étant une constante, ce qu’on peut toujours obtenir par le choix des coordonnées, on . SL SL jL SN eme aurait LÉ —a, A1, 50, = et l'équation relative Méc. anal. Tome II. 35 19,4 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: à £ (art. 5) serait | à à À dE ++, les équations relatives aux deux a aucun changement. Ainsi on aura to corps sur la surface, en faisant , dans 1 = us — d JE £ =a, et dé = oi Comme lapplication de nos formu aucune difficulté, nous nous contente exemples. $ £ Des oscillations d'un pendule simple de longueur donnée. 15. Nous prendrons l'origine des coordonnées dans le point de suspension du pendule, et nous supposerons les ordonnées z ver- ticales et dirigées de haut en bas; mais à la place des coordon- nées rectangles x, Y, Z, nous prendrons un rayon 7 qui sera la longueur du pendule avec deux angles 4 et ®, dont le premier sera l’inclinaison du pendule à la verticale, et le second sera l’angle que le pendule décrit en tournant autour de la verticale. On aura ainsi x — rsinÿcos®, y— rsinbsing, z = rcos4, et la quantité T' deviendra, à cause de r constant, 1 i T = r'(sin Ÿ*de° + d#”) Se adt* " Il est bon d’observer que l'angle + que nous employons ici- SECONDE PARTIE, SECTION VII. . 195 est le complément à go°, de land que nous avons employé jusqu'ici, et qui représentait l’inclinaison du rayon 7 sur le plan hôrizontal, au lieu qu'ici il représente son inclinaison à la ver- ticale. | La force R tendante au centre des rayons 7 sera nulle; la force Q pourra être prise pour la gravité, que noûs désignerons , par 8; et comme elle doit agir parallèlement à ordonnée z, et pour au enter cette ordonnée, au lieu que la force Q est censée Segir pour r la distance g; il faudra faire d=—dz — d.rsin4, en supposant le centre de cette force éloigné à l'infini; ainsi on aura simplement d 7=— gd". rcos\ =grsind d'4. Les équations relatives à L et ® deviendront donc, en les di- visant par 7°, de — d.(sinddp) 7 de dŸ* sind cosŸdg* : ae DIONE LE sn =0, = 0. La seconde de ces équations a pour intégrale sin d'dp _ | d C; et la valeur de do tirée de celle-ci étant substituée dans la pre- mière, elle devient dy C'cos$ |, g … = de og Trop =o, dont l'intégrale, après l'avoir multipliée par 2d4, est dd, C7 & _ de Top 27 00Ÿ=E, Cet E étant ‘deux constantes qui dépendent de l'état initial. 106 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Cette dernière intégrale de tout de suite Fr sin ÿ.dÿ ; | VE +2E 0084) sind — C2 équations séparées, mais don tégrables que par la rectificati L'équation en £ et 4 donne ‘à parcourir verticalement angle 4; et l'équation en ? et nera la courbe décrite par le corps qui forme le pendule, laquelle sera une espèce de spirale sphérique. Si on fait rsin4 =, on aura une équation qui sera celle de la projection de cette spirale sur le plan horizontal, entre le rayon vecteur p et l'angle @ décrit par ce rayon autour de la verticale. 16. Si on égale à zéro la quantité sous le signe, on a l'équation | (E + cos + )sinÿ*— Co, laquelle donnera les plus grandes et les plus petites” valeurs de Fangle d’inclinaison +. Cette équation, à cause de sin4*=—1—cos4?, est du troisième degré, relativement à l’inconnue sin 4; elle aura donc une racine réelle; mais il est facile de voir, par la nature du problème, qu'il ne peut y avoir. un maximum de +, sans qu'il y ait en même temps un minimum, et vice versä ; d'où il suit que les trois racines seront néçessairement réelles, dont deux donneront un maximum et la troisième un minimum. SECONDE PARTIE , SECTION VI. 197 Désignons par & et 8 la plus grande et la plus, petite valeur de 4, on aura les deux équations (E + = 28 cos «) sin «*— C*=0, (E + 2E cos 8 sin f°— C'=0, lesquelles CORRE ascos « sin «4? =— COS 8 sin 8°) r(sin 8° — sin «°) —_ 9g sina° sin 8°(C0S & == COS 8) r(bin £° — sin æ°) 2 2 expressions qui se réduisent à celles-ci, plus simples, L'= Qg(1 — cos a? — cos 8° — cosæ COS 8) dE r(cos « Æ cos 8) He c = sin «° sin &* r(cosæ + cos 8) On substituera ces valeurs dans l'équation en cos+, laquelle, en changeant les signes, est de la forme cos 4° + E cos: — %Æ cosÿ + C°—E=o, et, par la nature des équations, son premier membre deviendra 2g Er — (cosŸ—cosæ)(cosÀ—cos8) (cosy-+cosat-cos8+ cette quantité , prise avec le signe —, sera identique avec la quantité qui est sous le signe dans les deux dernières équations de Particle précédent. Or on a, en réduisant, 1 + cos « COS. cosx + cos 7 + COSa = cos B + = 2 L 198 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. donc la quantité dont il s’agit sera 1 + cose cos )8 À + (C0sY—co8a)(cos|—c0sf) (cost Fes 17. Supposons maintenant cos À — cosa sin o* + il est clair que la valeur 8 de +, qui répondra à s=0, 27, 4x, etc., et Z, plus grande, répondra à s=7, +, = deux droits. On aüra ainsi cos — cosæ — (cos B cos — cosB = (cos « 1 + COS « COS 8 EF ons ___1æ#20cos#C058 + cos sin s* =} COS 8C059* , : ju cosæ + cos 8 ? d'ailleurs on a sind di = — d.cos\ = 2(cos 8 — cos «) sins coss ; donc faisant ces substitutions dans équation différentielle en # ct s de l’article précédent, elle deviendra odr VW cos « + cos £ . 2 V . (1 + acosacos8 + cosæ’sine? +cos8*coss") et faisant, pour abréser, dt = Co8 & -} cos 8 2 + 4 cos « COS 8 + cosx' + cos 8° ? vi +1 (cos B— cosæ) cos 27 ; 2 r :de dt = VE *< ED x = Z I elle se réduira à SECONDE PARTIE, SECTION VIII. 199 Ensuite on aura — Cdt VE sinæ sin 8 dt PE np — M TE my _—_ xV/2sinaæsinge de D ns). en V'cosæ cos \ QG QÆcosŸ)s ESS où il faudra substituer pour cos sa valeur en cos 2v, y = à s (C08æ + cos B) + + (cos B — cos *) cos 26. En intégrant CeSweuations depuis 5 —0 jusqu'à o =" On aura FL e temps et l'angle de rotation compris entre le point le plus bas où l'inclinaison du pendule à la verticale est 8, et le point le plus haut où linclinaison est «; mais ces intégrations dépendent en gé- néral de la rectification des sections coniques. Si la valeur de ® comprise entre ces deux limites de s est commensurable avec 7; la spirale décrite par le pendule reviendra sur elle-même après un certain nombre de spires; mais si elle est incommensurable, la spirale fera une infinité de révolutions différentes. 18. Lorsque le pendule ne fera, en hauteur, que des excursions assez petites, de manière que les angles & et 8 diffèrent peu entr’eux, la différence cos 8— cosa sera, elle-même, assez petite pour que le radical Z puisse se réduire en une série convergente. Supposons 2 _2tansy x (cos 8 — cos) — sin 2y =: Etre la fonction Z deviendra Z = cosy V1<+tangy +2 tangy X cos 25. La fonction irrationnelle 1tang y” + 2tangy X Cos 29 "3 8 200 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. peut se réduire en une série de la forme A + B cos25 + Ccosks + D cos6x + etc., dans laquelle on aura, en faisant dans les dernières formules de l'article 98 de la Section précédente _ — 1:58 n 1.3.5 Fume N'RT n' = 74e? ec. A = 1 + ntangy" + 7° tang B = — s(tangy + nn'tangy C = 2(n'tangy* + nn"tangy ctc. On aura donc en substituant dt = Vi x X (4 + B cosa7 me Coos 4r 2 ete. .)ds, et en intégrant de manière le l'intégrale commence où 6=0, t= V£ X — cosy (AS : B sin 20 + 2 Csin 4o + etc.). En faisanto =", on aura le temps depuis le point le ÿké haut jusqu’au point le plus bas, lequel étant nommé T, on aura 2 ax V° KE Si on dénote par T7, T”, etc. les valeurs de £ qui répondent : 3: EN — >, etc., on aura T'=5T, T'=5T, ete., d’où l'on voit que le pendule renionters toujours à la même hauteur au bout dun temps égal à 27, qui seva par conséquent en temps la durée d’une” oscillation. 19. SECONDE PARTIE, SECTION VIII. 201 19. On peut avoir de la même manière l'angle 9 correspondant; pour cela on fera COS B — COS « 2 + cos « + cos 8 ae COSB— cosæ | _ | QD — COSæ — COSB sr, et on aura iÙ 2 1 col (2H cose + cos 8) cosw(1 + tang n° + 2tangx cos 27) ? 1 2 1— cos Ÿ — (a —"@me — co5£) cosr(1 tang »° — atang » COS 20) Si dans les mêmes formules de Particle 98 (Sect. VII) on fait n=1,onan'=1,n"—1, etc.; donc (1 + tangu® + 2tangu cos 20)" = (.4) + (B) cos 25 | + (C) cos4o + (D) cos6r +- etc., où (4) = 1 + tangu® + tanguf + tanguf + etc. 1 1 — tangye® ? (B) = — 2tangu(1 + tangu* + tanguf + etc.) 2tang a: tang pe ? (C) = 2 tangu* (1 + tangge® + tanguf + etc.) 2tangu* TT 1 — tang ° ? etc. Aïnsi on aura 1 1— tang + 2tangu* cos 47 — 2 tangu* cos 65 + etc.). (1 tangu? + 2 tang ucos2o) — = (1 — atangu cos 27 Si on multiplie cette sério par la suivante ‘A + Bcos2c + Ccosäs + ctc., déc. anal. Tom. IL. 26 202 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. le produit sera de nouveau de la forme A! + B'cos20 + C'cosks + etc., et l’on aura — A— Btangs + Ctangy— D tang p° + etc. Shi 1 — tang ss : On aura ainsi (1 ge cos DE — ( + co x (4'+ On trouvera de même ....... (1 — cosŸ)= ss (2 —cosa— cos£8) cos »° cos y x ("+ B'cos 25 + C’cos4s+ etc.), où l’on aura, en changeant # en —», = À + Btangr + Ctang r» + D tangr + etc, 1—+tangr* Faisant ces substitutions dans la valeur de de de larticle 4, et intégrant de manière que @ soit —0 lorsque + —0o, on aura ry2 sinæsing / 24's + B' cos2r + 1 C’ cos4o + etc. V/cosæ+cos8 (2<+ cose + cos8) cos? cos y 24"s + B'cosae +1 C" cos {e + etc. ) ® = + © îû —— — (2 — cos æ — cos 8) cos r* cosy En faisant o—°, on aura l'angle compris entre les plans qui passent par la verticale et par les points le plus bas et le plus haut de la courbe décrite par‘le nu et cet angle étant nommé ®, on aura s = x AT V/2sin « sin 8 V/cos «+ cos 8 X (a+ cos æ + cos £)cos 4° COS y x AT 4/2 sin « sin 8 5 +y COS & + CO8 8 X*< (2—cosa— cos£) cos r* cos + SECONDE PARTIE, SECTION VIII. 203 Comme tous les points les plus hauts, ou les sommets de la ; : 3x 5 x x courbe, répondent à 57, —, 2, etc., si on dénote par 4%’, 2 2 "®", etc. les valeurs de ® pour s=T, E, etc., on aura ®' —3%, ®"=—5®, etc. Ainsi Pangle compris entre deux sommets consé- cutifs, ef répondant à une oscillation entire du pendule, sera égal à +. 20. En supposaftles angles « et 8 trés-petits du premier ordre, DE’ quantité cos 8 — cosa sera très-petite du second, par consé- quent l’angle y sera aussi très-petit du second ordre; donc en ne négligeant que les quantités très-petites du quatrième ordre, on aura Æ=1, COSy —1; donc ee r cos æ + cos 8 js T=2r Vix 2 + 4 cose cos 8 + cosa? + cos 8? ? et aT sera, aux quantités du quatrième ordre près, le temps de loscillation entière. Si on néglige les quantités du second ordre, celte expression se réduit à æ 74 r ; c’est l'expression connue pour la durée des os- cillations très-petites d’un pendule dont la longueur est 7, et où lon peut faire g=—1; mais l'analyse précédente fait voir que cette durée est la même, quelles que soient les oscillations, soit qu’elles se fassent dans un plan vertical, soit que le pendule ait en même temps un mouvement de rotation autour de la verticale. : En conservant les quantités du second ordre, on peut simpli- fier la formule précédente, en mettant pour cosæ et cos leurs 2 2 , LA LI pe) valeurs approchées, au quatrième ordre près, 1 — = »1— 5 et en négligcanÿ toujours les termes du quatrième ordre, on aura pour la durée des oscillations trés- petites, au quatrième ordre près, 204 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. l'expression r «+ 6 rV° * G Es 16 ) ‘#1. Lorsque l'angle 8, qui répond au point le plus bas, est nul, le pendule reprend toujours la situ tions se font dans le plan vertical; par la formule de l’article 5, que 1 que l’on considère ordinairement, qu'après avoir éloigné le pendule de laisse retomber sahs lui donner auc que le pendule reçoive une impulsi surpasse pas la verticale, il fera des oscillations en forme de mou- vement conique, et Pangle 8 ne sera pas.nul. Dans ce cas, si on suppose aussi que les angles « et B soient très-petits, ct qu’on néglige dans une première approximation les quantités très-petites du second ordre, on aura T=È?,7=0, 2 — A? Æ=1, B=o, C=o, etc, =0, sinar = A2, DRE — 2. ' A = pans = 087; donc aa8 D = FFF , et 24 sera l'angle à la verticale compris entre deux sommets consécutifs de la courbe. Donc si le rapport de 48 à a+ B* est rationnel, l'angle 2® aura un rapport de nombre à nombre à l'angle # de deux droits, et la courbe décrite par le pendule, ne sera formée que d’un certain nombre de spires qui reviendrout les mêmes; dans le cas contraire, la courbe sera une espèce de spi- rale continue ; mais ces conclusions ne sont qu’approchées, et pour avoir des résultats plus exacts, il faudra pousser approximation plus loin, au moyen des series qu2 nous avons données. Ce problème a été résolu anciennement par Çlairaut, dans les SECONDE PARTIE, SECTION VIII. 205 Mémoires de l'Académie des Sciences, de l’année 1755, mais d’une manitre moins complète, et les résultats approchés que nous ve- nons de trouver s'accordent avec les siens, en faisant 8—0 dans Pexpression de T, et B—« dans celle de ®. 22. Les formules précédentes ont lieu tant que l'angle æ difière de langl@ 8 , parce que, quelque petite que soit leur différence, : il y a toujburs un maximum et un minimum dans les excur- sièns verticales du pendule; mais si lon a rigoureusement #=8, il y a plus de maximum ni de minimum, le pendule forme toujours le même angle # avec la verticale, et par conséquent il décrira, dans son mouvement, un cône à base circulaire. ” Cette supposition est possible, parce qu’alors (articles 16 et 17) Ja quantité qui est sous le radical, dans la valeur de dt a deux facteurs égaux cos À — cosæ ; de sorte que par la théorie exposée | dans l'article 81 de la Section précédente, on pourra toujours faire cos — cosa; c’est le cas des oscillations coniques qu'Huyghens a considérées le premier. Dans ce cas, l'équation Cd de = re — 28 dt (art. 4) T COSæ = t\ D PEU ;cosx de sorte que le temps d’une révolution entière du pendule sera exprimé par 27 VE Pour que ce cas ait lieu, il faut donc que le pendule reçoive une Vitesse angulaire de rotation, autour de la verticale, exprimée par . de REX 2g ° &— VE ze laquelle ne dépend que de la hauteur du cône qu'il décrit. donnera 206 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 25. Si le pendule était mu dans un milieu résistant comme le carré de la vitesse, et dont la densité füt exprimée par T, il fau- drait, pour avoir les équations de son mouvement, à d'F7 ajouter les termes (art. 2) Tds sm + “en retenant l'expression de 7' de l'artic constant. Ainsi on aura à ajouter au premie des équations différentielles de cet article, le terme ee À et am. r sin Ÿdsdp de premier membre de la seconde, le terme Par l'addition de ces termes, les équations qui étaient inté- grables cesseront de l’être; mais lorsque la résistance est très- petite à l’egurd de la force de la gravité, ce qui a lieu dans les mouvemens lents des corps dans l'air, on peut résoudre ces équa- tions par approximation, en substituant dans les termes dus à la résistance, les valeurs de 4 et @ en £, qui ont lieu dans le vide, et en cherchant les petites quantités que ces termes tout connus ajouteront à ces mêmes valeurs. Les deux équations dont il s’agit seront d'+ sinŸcosÿdp® g rdsd} __ SRE a ee Dee nn d, (sin Y’do) sind" dsde __ de + de june: sin dg dr» et ensuite intégrée, donne La seconde étant divisée par sinŸdp __ Ts + 6 i étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1. SECONDE PARTIE, SECTION VII. 207 Ensuite, la première étant multipliée par 2d4 et ajoutée à la seconde, multipliée par 24, donne l'intégrale dy” + sin {°dg* __ 28 cos Ÿ Ÿ de g F F iWd=E, à cause de 7° (d4* + sin4*dg*) = ds. Ainsi fn aura les mêmes équations différentielles en £, @ et À Fe: a trouvées Le js eo 11, en y substituant Ci-Ts à la pce de C,et E—$ À ds à la place de EF; de sorte que l'effet a de la résistance se La à faire varier ces constantes dans la solution générale donnée plus haut, art. 15, où nous n’avons point eu égard à la résistance, et où les relations entre les va- riables 4, @ et t, doivent se déduire des équations sinŸ"d@ dd —— =C, tag — 2 Ë cos 4 = E. Si donc on regarde Ja quantité C et E comme variables, on aura dC = TCds, Tr. ds? | dE= — Ex ds = —%(E+"%Ecosf) ds, sin ÿ (/ (&+8 cos) Lorsque le pendule ne fait que des oscillations verticales, on a Co, et par conséquent ds =d} ; léquatien en E devient alors LR S intégrable, étant multipliée par 2", l'intégrale est et ds Ï ar 21 ir =(E)— [ir costd, 208 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. (£) étant - une constante arbitraire qui remplace la constante E, devenue variable. Or on trouvera, par des intégrations par. parties, Ty 2T4 Le sinÿ — © cos) fi F cos JdA — Spa: és 1 + — r* donc on aura 2T$ = (EN rm. 2 labs 2e E = (Eh TER (sin4 = CO c’est la valeur qu’il faudra substituer à la plate d tion différentielle qui donne la valeur de £ en 4; et en supposant* le cocfficient T très-petit, on aura facilement l’altération produite dans la valeur du temps £ par la résistance du milieu. 24. Dans le cas du pendule, en prenant, comme nous venons -de le faire, r, ®, pour les trois coordonnées, on a l'équation r=a@, à étant la longueur donnée du pendule; donc, par l'ar- ticle 14, en changeant £ en r, on aura tout de suite la valeur de À qui exprimera la force avec laquelle le fil qui retient le corps sur la surface sphérique est tendu. Cette force sera donc exprimée par en substituant pour T'et 77 leurs valeurs complètes Ta LOT + pr — grcos, 2dt° et faisant ensuite r constant. On aura ainsi ÔT' 2 : 2492 E) T ._r(d + sin Ÿ’de°) = — 0054; Œ -% de ’ et par conséquent __ r(d® + sin ÿ'dg*) LeT AE geo = ——, . où. SECONDE PARTIE, SECTION VIIL 209 où l’on remarquera que 27 = u* (art. 12); de sorte que la tension du fil qui forme le pendule, sera exprimée par Es + g cos4. Quand le pendule se meut dans le vide, on a, par le même article \° étant la vitesse lorsque 4 =0, = o(H—P) = 0 — 2gr(1—0cosd); et la tendon: désignée par À aura pour valeur c* À = —— g(2—3cos4). 25. Nous avons supposé jusqu'ici la longueur du pendule inva- riable ; mais si cette longueur variait d'un moment à l’autre, sui- vant une loi connue, ensorte que r fût une fonction donnée de #, il faudrait alors supposer r variable dans les équations différen- tielles ; mais on aurait également d'r—0o, comme dans le cas de r constant; ainsi on poserait les équations T = r’(sin 4*dg* aan + 2. : = — grcos, équation relative à r n'aurait pas lieu, mais les deux autres de- viendraient PETER Enfin si le fil qui soutient le corps était élastique et extensible, en nommant Fla force avec laquelle le fil tend à se raccourcir, et qui ne peut être qu’une fonction de r, il n’y aurait qu’à ajouter Fr à d'F’, et l'on aurait, pour l'équation relative à r, on 2d 2 D LÉ CAP) TE ND) Rp g cosŸ =0, les deux autrgs demeurant les fnêmes; et dans ce cas on aurait - toujours lintégrale T+ 7 = H, où F = /f Fdr — gr cos. Méc. anal. Tom. II. 27 210 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. $ IL. Du mouvement d’un corps pesant sur une surface quelconque de révolution. 26. L’axe de révolution étant pris dans lPaxe des z, si on fait X=pcos?, y—psinp, z sera l’abscisse et p Pordone de la courbe, qui, par sa révolution autour de l'axe des abscisses, forme le solide proposé. Ainsi on aura une équation entre z et ps par laquelle z sera une fonction donnée de p: Si maintenant on suppose l’axe des z vertical, et les ordgnnées : z dirigées de haut en bas, on aura — pdg* + dy + dz° Peu à Tres et prenant p et pour les deux variables indépendantes, on aura tout de suite (art. 11), les deux équations relatives à ces variables dy pdt d°z M _ me +8) =o, pt d. de = 0. Si l'axe des z n’était pas vertical, mais incliné à la verticale de Vangle «, la valeur de T' demeurerait la même, mais celle de 7 deviendrait —g(zcosæ — xsinæ); de sorte qu'il n’y aurait qu'à changer dans la première équation g en gcos«, et ajouter à son premier membre le terme gsinæcos®, et ajouter aussi au pre- mier membre de la seconde le terme gsinæsin?. , En général, quelque changement qu’on fasse à la position de la surface ou de la ligne sur laquelle le corps se meut, la valeur de T' d’où naissent les termes différentiels de Péquation ne change pas; il n’y a que celle de 77 qui dépend de la position de la sur- face ou de la ligne. SECONDE PARTIE, SECTION IX. aus oo NEUVIÈME SECTION. Sur le mouvement de rotation. “Lrmronrance et la difficulté de cette question m’engagent à y destiner une Section à part, et à la traiter à fond. Je donnerai d'abord les formules les plus générales, et en même temps les plus simples pour représenter le mouvement de rotation d’un corps ou d’un système de corps autour d’un point. Je déduirai ensuite de ces formules, par les méthodes de la Section quatrième, les ‘équations nécessaires pour déterminer le mouvement de rotation d’un système de corps animés par des forces quelconques. Enfin je donnerai différentes applications de ces équations. Quoique ce sujet ait déjà été traité par plusieurs géomètres, lt théorie que nous allons en donner, n’en sera pas moins utile. D'un côté elle fournira de nouveaux moyens de résoudre le pro- blème célèbre de la rotation des corps de figure quelconque; de Yautre elle servira à rapprocher et réunir sous un même point de vue, les solutions qu’on a déjà données de ce problème, et qui sont toutes fondées sur des principes différens, et présentées sous diverses formes. Ces sortes de rapprochemens sont toujours ins- tructifs, et ne peuvent qu'être très-utiles aux progrès de l'analyse; on peut même dire qu’ils lui sont nécessaires dans l’état où elle est aujourd’hui; car à mesure que cette science s'étend et s’enrichit de nouvelles méthodes, elle devient aussi plus compliquée ; et on ne saurait la simplifier qu’on généralisant et réduisant, tout-à- la-fois, les méthodes qui peuvent être susceptibles de ces avantages. 212 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. CHAPITRE PREMIER, Sur la rotation d’un système quelconque de corps. SI. Formules générales relatives au mouve Les formules différentielles trouvées dans la première Partie? pour exprimer les variations que peuvent recevoir les coordonnées d’un système quelconque de points, dont les distances sont sup- posées invariables, s'appliquent naturellement à la recherche dont il s’agit ici. Car cette supposition ne fait qu’anéantir les termes qui résulteraient des variations des distances entre les différens points; ensorte que les termes restans expriment ce que dans le mouvement du système, il y a de général et de commun à tous les points , abstraction faite de leurs mouvemens relatifs ; or c’est précisément ce mouvement commun et absolu que nous nous pro- posons ici d'examiner. 1. Reprenons les formules de l'article 55 de la cinquième Sec- tion, que nous avons trouvées par une analyse directe fondée uniquement sur la supposition que les points du système con- servent entr’eux les mêmes distances. En y changeant la caracté- ristique d'en d, on aura pour le mouvement absolu du système, ces trois équations dx = dx + £dM — yaN, dy = du + xdN — zdL, dz = dy + ydL — xdM, dans lesquelles x, y,z représentent à l'ordinaire, les coordonnées de chaque point du système par rapport à trois axes fixes et per- SECONDE PARTIE, SECTION IX. 213 pendiculaires entr'eux, et où dA, du, dr, dL, dM, dN sont des quantités indéterminées, les mêmes pour tous les points, et qui ne dépendent que du mouvement du système en général. Soïen£ maintenant x', y’, z', les coordonnées pour un point dé- terminAdu système, on aura donc aussi dx! = dx + 2/dM — y'4N, dy" = du + x'dN — 2'dL, di = dy + y'dL — x'dM1; par conséquent si où retranche ces formules des précédentes, et qu’on fasse, pour plus de simplicité, RœNt+E, y=y+n, 2244, on aura ces équations différentielles dé =(dM—ndN, d=EËédN—{tdL, dé=ndL—£dM, dans lesquelles les variables £, n, €, représenteront les coordon- nées des différens points du système, prises depuis un point dé- terminé du même système, point que nous nommerons doréna- vant le centre du système. Ces équations étant linéaires et du premier ordre seulement, il suit de la théorie connue de ces sortes d'équations , que si on désigne par £', £", £"” trois valeurs particulières de £, et par w, n', n", et &’, €", €” les valeurs correspondantes de n et £, om aura les isa complètes £ == aë' + LE" + C et 4 = an + bn! + cr”, {= a +" + æ" a, b, c étant trois constantes arbitraires. Il est clair que £’, »’, &’ ne sént autre chose que les coordon- nées d’un point quelconque donné du système, et que de même a14 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. £", n, €" et £"”, n°, € sont les coordonnées des deux autres points du système aussi donnés à volonté, ces coordonnées us leur origine commune dans le centre dw système Ainsi, en connaissant les ordonnées pour tr« on aura, par les formules précédentes, les val nées pour tout autre point dépendant des consts il faut chercher les valeurs de ces constantes. 2. Si on suppose, ce qui est permis, que dans l’état initial Jes trois points donnés se trouvent placés dans les trois axes des coordonnées, et à la distance = 1 de lorig gine, il est clair qu’ on aura alors £'= 2, =0, lo; = 0, d'a, l'=o; Fo, "= 0, {"=1 ; ce qui donnera £=a, n=b, = c. Ainsi les quantités a, b, c ne seront autre chose que les coor- données d’un point quelconque du système rapportées aux mêmes axes. Mais par le mouvement du système, les axes de ces coor- données changent de place dans l’espace, en demeurant fixes dans le système, puisque ces coordonnées sont constantes pour un même point, et ne varient que d'un point à l’autre. La position de leurs axes dans un instant quelconque, par rapport eux axes immobiles des £, », £, ne dépendra que des coefficiens £’, £", M, n', x”, etc. En effet, si on fait b=0o, c—0o, ce qui donna £ = ot, =an, (= af, et par conséquent a=y/(£"+ +), il est facile de voir que les coefficiens £’, »’, €’ sont les cosinus des angles que l'axe des à fait avec les axes des £, n, €. On voit de même, en supposant a et c nuls à-la-fois, ensuite a et b nuls en- semble , que les coeffciens £", n”, €” sont les cosinus des angles de l'axe des b, et les cocfficiens £””, »”, €” sont les cosinus des angles de l'axe des c avec les mêmes axes des £, n, €. 3. Comme ces coefliciens représentent en général les coordon- uées de trois points donnés du système qu’on a supposés distans ‘SECONDE PARTIE, SECTION IX. 21$ de l'origine, d’une quantité = 1, et placés au commencement sur les axes des coordonnées rectangles @, b, c, on aura premièrement ces trois équations : g'e 1" a é"= 1, gr + + = 1, gins ns es, Ensuitàà cause que les distances mutuelles de ces points sont les hypôténuses de triangles rectangles dont les côtés sont 1, on aura (£'— £"}* + te #"} + (£— €" = 2; (205 + (nn) _ (C—L"y = 2, (E"—$"> + (n"—n/"} + (E'—L"Y = 2; d’où l’on tire ces trois équations : EE En RE 0, LE n n LC Cl 0, EME = 0. Ainsi l’on a entre les neuf coefficiens £’, £”, £”", n', »", etc., six équations de condition par lesquelles ils se réduisent à trois indé- terminées. 4. Au moyen de ces équations, les expressions générales des coordonnées £, n, & de l’article 1 satisfont à la condition primi- tive que la distance entre deux points quelconques du système demeure invariable. En effet, si Z, n, £ sont les coordonnées d’un de ces points, et £1, 1, €1 les coordonnées d’un autre point, le ‘ carré de leur distance sera exprimé par (£—£1)-H{(n—1) {1}; et si on désigne par @1, b1, c1 les coordonnées relatives aux axes des a, b, c pour le second point, on aura les valeurs de #1, ",@1, en changeant a, b,c en a1, b1, c1 dans celles de £,n, €. Faisant ces substitutions dans l'expression précédente, et ayant égard aux six équations de coudition, elle se réduira à (a—a1} +(b— bi} +(c— ac), et sera par conséquent constante pendant le mouvement D’où lon peut conclure que ces six équations de condition sont les seules nécessaires pour faire ensorte que la po- 216 : ‘ MÉCANIQUE ANALYTIQUE. sition respective des différens points du système ne dé des constantes à, b;, c, et nullement des varia Au reste, il est clair que les coordonnées £ les transformées des coordonnées a, b, c, et de condition sont le résultat de la condition g = a+ b*+c; c'est ce qu'on voit par la com mules avec celles de l’article 15 de la Section Partie, dans lesquelles les coordonnées x, pondent à £, n, €, a, b, c, et les coefliciens «, 8, oi 8,7, a, B", 7" répondent à à £!, £", M n!, ! À w”, ë, æ, gr, 5. Si on ajoute ensemble les expressions de £, n, & de l'ar- ticle 1, après les avoir multipliées respectivement par £', #!, &’, ensuite par £", »”, ”, et enfin par £”, »”, €”, on aura tout de suite, par les équations de condition de Particle 5, ces formules inverses a = EE + mm + b= £E" + n° + 6", C = EE" + nn!" + cer et ces valeurs de a, b, c étant substituées dans l'équation Eté = a+ bc, qui doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de £, », €, donneront par la comparaison des termes, ces nouvelles équations de condition EEE, Non, LEE, En HE" N RE no, ECHEC HEC, CHAE NO EN) lesquelles sont nécessairement une suite de celles de l'article 3, puisque les unes et les autres résultent également de la condi- tion générale £*—E n° EL = q + br Los, 6. Mais si on cherche directetnent les valeurs de a, b, c par la résolution des équations de l’article 1, on aura, d'après les formules SECONDE PARTIE, SECTION IX. 217 formules connues , En" — ne") + n(L'E— ns + AL = Er) a = , Be En En) + Le PE) + EEE) _ EE Den »"C) + n(OE — Le + Er LA _— ?"y #) : as DR Rp a mr het RSR en supposant X = En En n'ENCU ER CE nn E'C'n" + nee CNE. Ces expressions ‘doivent donc être identiques avec celles de l'article précédent; ainsi en comparant les coefficiens des quantités £,n, €, on aura les ie suivantes : y! LL Et , C'EM— Lies kn!, En" — EM'y 1— k&!, É!n (7) - — ln — . : EC EN = kn!, ne — né = k&", n'" ae né! — kg", Ce — C'E' = En! En" — En! = kE". Or si on ajoute ensemble les carrés des trois premières, on a (n'en ny + (LE — per + (En #6") = RE" nés): le premier membre peut se mettre sous cette forme ("+ n'+ &"») (EH "+ gs) ns ( EME nn!" + CCR: donc par les équations de condition de l’article 3, cette équa- tion se réduit à 1 —4?, d’où £ —=Æ1. Pour savoir lequel des deux signes on doit prendre, il n’y a qu’à considérer la valeur de £ dans un cas particulier ; or le casle plus simple est celui où les trois axes des coordonnées à, b, c coïn- cideraieñt avec les trois axes des coordonnées £, », €, auquel cas on aurait £a, 15 b, = c, et par conséquent par les formules de l'article 1, £'=—1, n=—1, {"=i, et toutes les autres quan- tités £", £””", etc. nulles. En faispnt ces substitutions dans l’expres- sion générale’ de #, elle devient — 3. Donc on aura toujours 4=1.. Méc. anal. Tom. II. 28 218 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 7. Comme entre les neuf indéterminées £', £", £"", », n!, w", &!, €", €" il y a essentiellement six équation à peut réduire toutes ces ROSES à trois; réduire les six £', £”,n', n”, €’, €", par le moy tions de condition Enter), EH né), ge" puisque les trois autres £””, »””’, €” sont déjà c de celles-là par les formules précédentes. Mais cette réduction se simplifie beaucoup en employant les si- nus et cosinus d’angles; on peut même y parvenir directement par les transformations connues des coordonnées. En effet, puisque £, », € sont les coordonnées rectangles d’un point quelconque du corps, par rapport à trois axes menés par son centre parallèlement aux axes fixes des coordonnées x, Y,z, et que a, b, c sont les coordonnées rectangles du même point par rapport à trois autres axes passant par le même centre, mais fixes au-dedans du corps, et par conséquent de positions variables à l'égard des axes des £, », €; il s'ensuit que pour avoir les ex- pressions de £, n, £ en a, b, c, il n’y aura qu’à transformer de la manière la plus générale, ces coordonnées, dans les autres. Pour cela nous nommerons « l'angle que le plan des coordon- nées a, b fait avec celui des coordonnées £, »; et 4 l'angle que. l'intersection de ces deux plans fait avec l'axe des £; enfin nous désignerons par 9 l'angle que l'axe des & fait avec la même ligne d’intersection; ces trois quantités ©, 4, @ serviront , comme l’on voit; à déterminer la position des axes des coordonnées a, b, c, relativement aux axes des coordonnées £, », €; et par conséquent on pourra, par leur moyen, exprimer ces dernières en fonction des autres. Si, pour fixer les idées, on imdgine que le corps.proposé soit la terre, que le plan des a,b soit celui de l'équateur, et u SECONDE PARTIE, SECTION IX. 219 l'axe des @ passe par un méridien donné; que de plus le plan des £; n soit celui de Técliptique, et que l'axe des £ soit dirigé vers le premier point d’Aries, il est clair que l’angle w deviendra Pobliqifté de Técliptique; que Pangle À sera la Jongitude de l'équi- noxe d'Automne, ou du nœud ascendänt de l'équateur sur l'éclip- tique, et jue @ sera la distance du méridien donné à cet équinoxe. En général ® sera l'angle que °le cor ps décrit en tournant au- tour de l'axe des éoordonnées c, axe qu’on pourra, à cause de cela, appeler simplement l'axe du corps ; 90° —« sera l'angle d’in- clinaison de cet axe sur le plan fixe des coordonnées £, n; et À — 90° sera l'angle que la projection de ce même axe fait avec Paxe des coordonnées £. Cela posé, supposons d’abord que l’on change les deux coor- données a, b en deux autres a’, b', placées dans le même plan, de telle manière que l'axe des a soit dans l'intersection des deux plans, et que celui des b’ soit perpendiculaire à cette intersection;. on aura a'=a cos? —bsin?, b'=bcosp +asiny. Supposons ensuite que les deux coordonnées b', c soient chan- gées en deux autres b”, c', dont l'une b" soit toujours perpendicu- laire à l’intersection des lits: mais soit placée dans le plan des £, n; et dont l’autre c’ soit perpendiculaire à ce dernier plan; on trouvera parcillement b'=b'cosw — c sine, c'=c cos + b'sin ©. Enfin supposons encore que l’on change les coordonnées a’, b", . pes + ” qui sont déjà dans le plan des £, n, cn deux autres a", b", placées dans ce même plan, mais telles que l'axe des a” coïncide avec l'axe des £; on trouvera de la même manière a"= a; cos} — b'sind, » Bb"=PB"cos4 +a'sind. Et il est visible que les trois coordonnées a", b”, c’ seront la 220 MÉCANIQUÉ ANALYTIQUE. même chose que les coordonnées £, 1, €, puisqu’elles sont rap- portées aux mêmes axes; de sorte qu’en substit ment les valeurs de a’, b", b', on aura les expr € en a, b, c, lesquelles se trouveront de la même de l’article 1, en supposant £' == cos? cos À — sing sin COS w , £"— — sing cos À — cosy sin4 cosw, £"= sin sine, » = cos sin} + sing cost cosw, = — sing sind + cos® cos 4 cosw, n!= — cos 4 sin w, {' = singsinw, | = cos? sine, {"=" cos «. Ces valeurs satisfont aussi aux six équations de condition de Particle 3, ainsi qu'à celles de Particle 5, ct résolvent ces équa- tions dans toute leur étendue, puisqu'elles renferment trois va- riables indéterminées ®, +, «. | En substituant ces valeurs, les expressions des coordonnées £, n, € deviennent plus simples; mais il est utile d’y conserver les cocfficiens £', »!, £', etc., pour maintenir la symétrie dans les formules ct en faciliter les réductions. 8. Comme les quantités £’, n’, £’ sont des valeurs particulières de£ , », €, elles doivent satisfaire aussi aux équations différentielles de l’article 1 entre ces dernières variables; ainsi on aura d£'={dM—nNadN, di =EdN—-CdL, dé =ndL—£# d2f, et l’on aura de même d£"=£C'd1— W'4N, d'=E£E"lN—£"dL, d£"= y"dL— "AM, d£"=€"dM— "AN, dn"=E"4N—£"dL, dé"=n"dL—{€"dM. SECONDE PARTIÉ, SECTION IX. 221 De là on peut tirer facilement les valeurs des quantités dL, dAf, dN, en fonctions de £’, n’, &’, £", etc. En effet, si on ajoute ensemle les valeurs de d{', dt", d£”, après les avoir multipliées par vd »"", on aura, en vertu des équations de condition, dL = n'de! 4e nd" 4e NE, On trouvera de même, en multipliant d£', d£", d£"” par &', &", ce et dn', dy”, dr" par £!, és er, d AT — 'd£' + £'d£" + él EU, dN — £'dn' + £"dn" + Ed". Ayant ainsi les valeurs de dL, dAT, dN en fonctions de £’, 6", &"”, etc., si on y substitue les valeurs de ces dernières quantités en fonctions des angles ®, À, ©; (art. 7), on aura, après les ré- ductions, ces expressions assez simples, dL = sin sinædp + cos {do, dM— — cos sinodp + sin4do, dN = coswdp + dA. : 9. L’axe autour duquel le système peut tourner en décrivant l'angle ?, et dont la position dépend des deux angles 4 et w, est supposé fixe dans le système, et mobile dans l’espace; mais nous avons vu dans la Section III de la première Partie (art. 11, 12), qu'il y a toujours un axe autour duquel le système tourne réel- lement dans chaque instant, et que nous avons nommé axe zns- tantané de rotation. On peut déterminer aussi la position instan- tance de cet axe, ainsi que l'angle élémentaire de la rotation, par des angles analogues aux angles 4, w, ®, et que nous désignerons par KI , ©, ®3 car les expressions de dZ, dM, dN étant générales pour telle position qu’on veut de/l’axe de rotation +, elles auront lieu aussi pour laxe instantané de rotation en y changeant 4, w, gen 222 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. À, ©, ®; mais comme la propriété de ce dernier axe est d'être immobile pendant un instant, il faudra que les d», dues au changement de position de cet ax De sorte qu'on aura pour laxe dont il s’agit sin À sin wd? = dL, cos sin ædp = — dI, cos«d® = dN; d’où l’on tire r de = y{(dL* + dM° + dN:); c’est l'angle de la rotation instantanée que nous avons dénoté par dô dans l'endroit cité de la première Partie. On aura ensuite la position de cet axe par les deux angles w et Ÿ; mais pour le rapporter aux axes fixes des £, », &, il suffit de .considérer qu'ayant pris l'axe des c pour l'axe de rotation, on a pour tous les points de cet axe a—0, b=0o; donc si on dé- signe par £, n, € les coordonnées qui répondent au point. où c=1, et qui sont en même temps les cosinus des angles que laxe de rotation fait avec les trois axes des £, n, €, on a par les formules des articles 1 et 7, En effet, ces valeurs de £ , *, € rendent nulles celles de leurs différentielles, comme on le voit par les formules de l'article 1, ce qui est la propriété de tous les points de laxe instantané de rotation, et par laquelle nous avons délerminé cet axe dans la troisième Section de la première Partie. On voit par là que les quantités dL, dM, dN répondent exac- tement aux angles de rotalion que nous avons dénotés par d4, SECONDE PARTIE, SECTION IX. 223 do, de, dans la Section que nous venons de citer, et que nous avons conservés dans la troisième Section ci-dessus. .10. ï maintenant on substitue ces mêmes valeurs de &, 1, a dans les expressions générales de a, b, c de Particle 5, à la place de 3 », €, on aura les valeurs des coordonnées a,°b, c qui répoudent à laxe instantané de rotation, et que nous désignerons par a, b, c. Ainsi en faisant, pour abréger, dP = £'dL + dl + C'AN, dQ = E"AL + W'dM+ £'AN, dR = £"dL+ »"dM+ LAN, ce qui donne, par les équations de condition de Particle 5, dP» + dQ"+ dR°= dL + dM°+ dN°= d@"; on aura expressions entièrement semblables à celles des £, », &, dans” lesquelles on voit que les quantités dP, dQ, dR répondent aux quantités dL, dM, dN: Et ces valeurs de a, b, c seront pareil- lement les cosinus des angles que l'axe de rotation fait avec les axes des coordonnées a, b, c. 11. Pour avoir les valeurs de dP, dQ, dR exprimées par les variables £”, n, €, £", etc., il ne s'agira que de substituer à la place de dL, dA1, dN les valeurs données dans Particle 8. Mais pour obtenir les formules les plus simples, il conviendra de mettre ces dernières valeurs sous la forme suivante, qui est équivalente à celle de l'article cité en vertu des équations de condition don- nées article 5, 224 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. a dL, — ru df' + »! di" + #//! de" v dn 2 &" dn"— (11) dw”, 2dA1= CAE" dE" HE" Ed — £" 2dN ee E'dn'+£"dn + £"di"— n'd£'— y" On aura ainsi, en substituant et ordonnant 24P — (E'n"— n'E")d£"+ (E'n"— #’ + (CEE) dy. + (£! Li ER £c'")dn" + (nG"— L'n)dE"+ (ne — C'n)d£"”, ce qui se réduit , par les formules de Particle 6, à 2dP — £''d£"— £'d£'"+ nd" da" + £"dE"— £"dE"", et enfin par les trois équations de condition de l'article 5, diffé+ rentiées, à cette expression simple, dP = £"d£" + dr"! —— £"d£"; et lon trouvera de la même manière, dQ es £'d£" us n'dn" Us t'd£", dR = £"d£ + n'dn + C'd£. Et si on substitue pour £’, £”, £”, etc. leurs valeurs en 4, w, de l'article 5, on a, après quelques réductions, dP = sing sinœd4 + cosdw, dQ = cospsinæd} — singdo, . dR = d@ +"cos wd\. 12. Il est facile de se convaincre que ces valeurs de a, b, c rendent également nulles les différentielles des coordonnées £, ", €; car en différentiant et faisant do, dy=0, dj =0 dans les formules de l'article 1; changeant ensuite a, b, c en . Gi SECONDE PARTIE, SECTION IX. 225 a, bac, pour les rapporter à l’axe instantané de rotation, on a les trois équations adt' + bd£" + cd£" = 0, adn + bdn! + cd#" = 0, adf + bd£" + cd£" = 0. En les ajoutant ensemble après les avoir multipliées successi- vement par £', #!, é; par u, #!!, £, ct par £", x”, En, et ayant égard aux équations de condition de l'article 2, on a D(E' dE" + nd +de") + c(E' dé" ndn" +de") == 0, a (E"dE" + nn! + £"de") _e C(E"dE" + nan 4 de") — oO, a (E" dE +n" an 1e" de") + DCE" dE" En" dn" 4e" ds") = O0. En ayant ensuite égard aux trois autres équations de condition - de larticle 5, et supposant les valeurs de dP, dQ, dR données ci-dessus, ces trois équations deviennent cdQ—bdR=0o, adR—cdP=0, bdP—adQ=0, auxquelles satisfont évidemment les valeurs de a, b, c données ci-dessus. 13. De même que les quantités dL, dM, dN servent à expri- mer d’une manière uniforme les différentielles des quantités £’, £", £", etc., comme on l’a vu dans l’article 8, on peut aussi ex- primer ces différentielles par les quantités dP, dQ, dR. En effet, si on prend les trois. équations £'d£’ + n'dn! + L'dÇ' — o, £'d£' + n'dn! + C'd£' — dR, , Ed LE + nd! + L'"'dÿ dé" = 2 dQ, et qu’on les ajoute ensemble après les avoir “nan successi- Méc. anal. Tom. Il. 29 226 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. vement par £!, g", gm, par n, #!, nf, et par é!, ë", £", onmqura tout de suite, par les équations de condition de Particle 5, d£! — £'dR er £"dQ, ds = n'dR — v"dQ, de = &'dR — a dQ. De même les trois équations £'d£" + nd! + c'd£" ne dR, £"dE" + #" #! + td 0, £"dE" + n''dn" + EN == dP, étant multipliées successivement par £/, £", £”, par #», »”, n”, et par &’, &”,€"", et ensuite ajoutées ensemble, donneront, par les mêmes équations de condition, dé" = E"dP — ER, dn' — n"dP — wdR, dé" = £'"dP LEA C'dR. Enfin les équations £ e" + nd»! + C'de" — dQ , £"d£" + #"dn!"! + C"'d£" = — dP ; EE" + n’'dn" + £"dç" = 0 : donneront de la même manière, d£” — £'dQ si £'"dP, dr" = wdQ — »'dP, d£" — L'dQ — E"dP. 14, Par le moyen de ces formules, on peut représenter d’une manière fort simple les variations des coordonnées £, n, £, lors- qu'on veut considérer à-la-fois le éhangement de sityation du sys tème autour de son centre, et le changement des distances mu- SECONDE PARTIE, SECTION- IX. à27 tuelles des points du système. Pour cela, il est clair qu'il faut différentier les expressions de £, n, £, en regardant en même : temps > ON aura JT= % LE + GR — 190) . ns É: TE +1 rSP — pSR) (SE + pdQ — qJP). Quant aux termes relatifs à la variation de 7, puisque 77 dc- . La LA Li Le 4 € LJ ‘ vient une fonction algébrique de £’, £", £", », elc., apres la substi- SECONDE PARTIE, SECTION IX. .239 tution de x'—+a£'+b£"+c£", y'+an+br"+on", z'+al + be" ci", au lieu de x, y, z, le signe intégral S n'ayant rapport qu'aux quan tités a! b, c, il n’y aura qu’à différentier par d', et mettre ensuite pour d£’, d'£", etc., leurs valeurs en d'P, dQ, d'R; ainsi puisque WW _dP PV _dr A , : = JE) je = gr» CLC., On aura dans la même équation les termes suivans provenant de JV : dr (/À (1 : dr” (1) ! ! (71 D (EBR— E"IQ) “+ De (ESP — EDR) QUES Q—E'SP) + D (WIR —31"dQ) + etc. Donc enfin rassemblant tous Ics termes multipliés par chacune des trois quantités JP, d'Q, JR, on aura une équation générale de cette forme : : 0 = (P)JP + (O0 + (RER, dans laquelle: dT P=—E + 7 —7 . e LS dr dF + Er 7 + NULL Te "Te —£" 7 — y" Te ns Lx Fr : a. TT 2 (Q) = I +rT mA dr LA . ie F Pda à ,% + A —{"T— ne —Ù "Te : aT dT aT (R) = La EP ri æ dd on dd” dF +8 _ Le NT 7 + ed Æ RE F | Ta — AE LA Et comme les trois quantités d'P, J'Q, JR sont indépendantes ‘ entr’elles, et en même temps arbitraires, on aura donc ces trois 240 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. équations particulières (P)—0, (Q)=0, (R)=0o, lesquelles étant combinées avec les six équations de condition emfé les neuf variables £', £", etc. (art. 5), serviront à déterminer cha- cune de ces variables. On peut mettre, si lon veut, sous une forme plus simple les termes de ces équations dépendans de la quantité 7. Car puisque F=STiDm, on aura (à cause que le signe $ ne regarde point les variables £', £", etc.), [$ dr dr 4 (71 (1 " _” ° . £ Æ = SE æ Dm » VTT Sn"; Dm, etc. ; et comme II est une fonction algébrique de aë’ + bË" + c£", an + bn + cn”, a£' + bE" + cé", il est aisé de voir qu’en faisant varier en a, b, on aura md Hi min 1 dn "dm __,dn £ + TE dé’ — € + dit a + dé” — CE , et ainsi de ee de sorte qu’on aura de cette ee dr n" dr in à 7 À 1m À {1 £ D à di LA C a dE” ect de” 7] Fr se = SGR— CR) Dm {4 d , à £ A FR Tr . = à pre ds mn A . 1" a LT = C& TT — d — 7) Dm, ! ! LA n , dd dr dr g'° + + 6 AE dé" ” di _—Ÿ! der Mais si cette transformation simplifie les formules, elle ne sim- plifie pas le calcul, parce qu’au lieu de l'intégration unique con- tenue dans 77, on en aura trajs à exéculer. 23. Lorsque les distances des centres des forces au centre du corps ‘SECONDE PARTIE, SECTION IX. s4: corps sont très-grandes vis-à-vis des dimensions de ce corps, on t alors réduire la quantité I en une série fort convergente : cn ns proportionnels aux puissances et aux produits de a, b, c, de sorte que l'intégration STIDm n’aura aucune difficulté : c’est le cas des planètes en tant qu’elles s’attirent mutuellement. Si la force attractive P est simplement proportionnelle à la dis- tance P: ensorte que P— &p, Æ# étant un coefficient constant, le terme f Pdp de la fonction II (art. 18) devient ="®",etcomme p est exprimé en général par 4ÿ/[(x—f}" + (728) + (z—h)], en désignant /, £#, h les coordonnées du centre des forces ; le terme sl c’aoi PL s s s dont il s’agit donnera ceux-ci : = [(x—f)"#+(7 —28)+(z—4}]. Donc substituant pour x, y, z leurs valeurs x'+£, 41,246, multipliant par Dm, et intégrant selon $, on‘aura dans la va- leur de F=STIDm les termes suivans : k ! U s 2 CS) + (3-8) + G—R)ISDm + (x —S)SEDm + AK y —2)SnDm+Az—Rh)S{Dm Le . + 3 SE + nr +6)Dm. Or £—aË"+ bE"+ c£", n= an + bn'+ cn", =af + be ct; donc, S£EDm=£"SaDm+£"SbDm + £"ScDm, et ainsi des autres; et S(É*+r+Eé)Dm=sS (a+ 6" +c)Dm (art. 5), = à une consfante que nous désignerons par E. Mais si on prend pour le centfe arbitraire du corps, son centre même de gravité, on a alors SaDm = 0, SbDm=0o, SDm=o, comme nous l'avons déjà vu ci-dessus (art. 19). Ainsi dans ce cas AMéc. anal. Tom. II. 31 242 MÉCANIQUÉ ANALYTIQUE. la quantité 7” ne contiendra, relativement à la force dont il s’agit, que les termes LS} + C7 + DIE de sorte que toutes les différences partielles A ; D etc. seront nulles. D'où il s’ensuit que l'effet de cette force sera nul par rapport au mouvement de rotation autour du centre de gravité. Et commme lexpression précédente 77, au terme constant _ près, est la mème chose que si tout le corps était concentré dans son centre, auquel cas x = x, y=—=#y", z= 2, on aura pour Île mouvement progressif de ce centre, les mêmes équations que si le corps était réduit à un point; car les différences partielles de 7, relativement aux variables x’, y’, z', seront les mêmes que dans cette hypothèse. | Si on veut considérer le corps comme pesant, en prenant la force accélératrice de la gravité pour Punité, et l'axe des coordon- nées z dirigé verticalement de haut en bas, on aura P =: et p—=h—21; donc fPdp=h—1z=h—7—at—b"—cx"; de sorte que la quantité 77 contiendra, à raison de la pesanteur du corps, les termes (4 —2')SDm — € SaDm — E"SbDm — E"ScDm. Ainsi si le centre du corps est pris dans son centre de gravité, les termes qui contiennent les variables’ £/, £”, etc. disparaîtront, et par conséquent l'effet de la gravité sur la rotation sera nul, comme dans le cas précédent. La valeur de 7, en tant qu’elle est due àla gravité, se réduira alors à. (4—z')SDm, c'est-à-dire, à ce qu'elle serait si le corps était réduit à un point, en’ conservant SECONDE PARTIÉ, SECTION IX. 243 sa masse SDm ; donc aussi le mouvement de translation du corps sèta Je même que dans ce cas. $ III. Détermination du mouvement d’un corps grave de figure quelconque. 24. Ce problème, ’quelque difficile qu’il soit, est néanmoins un des plus simples que présente la Mécanique, quand on con- sidère les choses dans l'état naturel et sans abstraction ; car tous les corps étant essentiellement pesans et étendus, on ne peut les dépouiller de l'une ou de lautre de ces ‘propriétés sans les dé- naturer, et les questions dans lesquelles on ne tiendrait pas compte de toutes les deux à-la-fois, ne seraient par conséquent que de pure curiosité. ‘ Nous commencerons par examiner le mouvement des corps libres, comme le sont les projectiles; nous examinerons ensuite celui des corps retenus par un point fixe, comme le sont les pendules. à Dans le premier cas on prendra le centre du corps dans son centre de gravité, et comme alors l'effet de la gravité est nul sur la rotation , ainsi qu’on vient de le voir, on déterminera les lois de cette rotation par les trois équations suivantes (art. 22) : a. * dp dT dT ” SE 7 aa AT re d.T ° D L LaT L dT dt Tr PT =0 re uee (4), PAL 244 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. en supposant (art. 22) db dQ dR PR Rs 1 ar TT et T'= 2: (4p"+ Bq"+ Cr*) — Fgr — Gpr — Hpq. A légard du centre même du corps, il suivra les lois connues du mouvement des projectiles considérés comme des points; ainsi la détermination de son mouvement n’a aucune difficulté, et nous ne nous y arrêterons point. Dans le second cas, on prendra le point fixe de suspension pour le centre du corps, et supposant les coordonnées z verticales et dirigées de haut en bas, on aura (art. 25) F=(h—2)SDm — L'SaDm—{"SbDm— E"ScDm ; d’où lon tire et toutes les autres différences partielles de 77 seront nulles; de sorte que les équations pour le mouvement de rotation seront (art. 22), ar +0 TT — — £"SbDm + &"S&Dm = 0 dr HE PT — VSDm + {"SaDm = o \....…. (B), Re PET — €"SaDm + ESbDm = 0 les quantités SaDm, SbDm, ScDm devant être regardées comme des constantes données par la figure du COrps , et par le lieu du point de suspension. SECONDE PARTIE, SECTION IX. 245 25. La solution du premier cas, où le corps est supposé entière- mnt Jibre, et où l’on ne considère que la rotation autour du centre de gravité, dépend uniquement de l'intégration des trois équan tions (2). Or il est d’abord facile de trouver deux intégrales de ces équa- tions ; ear 1°. si on Îles multiplie respectivement par — Te "Gr D et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on a den une équa- tion intégrable, et dont l'intégrale sera dT dT \ À Cr) +) +R) f* étant une constante arbitraire. 2°. Sion multiplie les mêmes équations par p, q, r, et qu’on . les ajoute ensemble, on aura celle-ci : pd T n + gd. + ne œ o, laquelle , à cause que T'est ue . de P; q,r uniquement, et que par conséquent dT= T L'an dq + T dr, est aussi intégrable, son intégrale étant PR ++ T=b, h* étant une nouvelle constante arbitraire. En mettant dans ces équations , au lieu de 7, D _. ; , leurs valeurs, on aura deux équations du second degré entre p, g, r, par lesquelles on pourra détegminer les valeurs de deux de ces variables en fonctions de la troisième ; et ces valeurs étant ensuite substituées dans une quelconque des trois équations (2), on aura une équation du premier ordre entre £ et la variable dont il s’agit; ainsi on pougra connaître par te moyen les valeurs de p, q,; r en t. C’est ce que nous allons développer. 246 MÉCANIQUE ANALYTIQUE Je remarque d’abord qu'on peut réduire la seconde des deux : intégrales trouvées, à une forme plus simple, en faisant «atfen- tion que puisque T' est une fonction homogène de deux dimensions de p,gq,r,ona par la ass connue de ces sortes de fonctions, PT dp D + É 4 + ce qui réduit l'équation intégrale dont il s’agit à T=}*, laquelle exprime la conservation des forces vives du mouvement de rotation. Je remarque ensuite que comme la quantité me) +R) + PS) est ss à celle-ci : (p'+g+r)x[ (5 THE) HD +3 a+ 4) laquelle devient f'{p*+- q"+ r*) — 4hf; en vertu des deux inté- grales précédentes, on aura une éduston nn plus “npes T > d— sd T dans les trois équations différentielles (2), Pa qu'on pourra ainsi employer à la place d’une quelconque de celles-ci. en ajoutant ensemble les carrés des valeurs de d De cette manière la détermination des quantités p, g,r ené, dépendra simplement de ces trois équations : _… = À, e)+(% NE LV =f, G£ )+(d. ER IN = LP p+ gr) — 4 jde, dans lesquelles T= À (4p°+ Bg°+ Cr) — Fqr — Gpr— pq. SECONDE PARTIE, SECTION IX. 247 26. Cette détermination est assez facile, lorsque les trois cons- t@htes F, G, H sont nulles; car ona alors simplement T= = (4p° + Bq° + Cr‘); dT dT dT = AP) % = B4; 7 = Cr; donc de sorte que les trois équations à résoudre seront de la forme suivante : Ap° + Bqg° + Cr = ah, A'p°+ B'q + Cr= f, Ædp® + B'dg® + Cd __ ,,,., : ne Ah + PA HO pa(pe te gr) — 46. Si donc on fait p°+g'+r*=u, et qu'on tire les valeurs de P; 9: r, de ces trois équations : pP+g+r zu, Ap° + Bg + Cr = 2}, Ap+ Bg+ Cr=f", à — BCu— oh (B+C) +f* PT A-HA-T ? . — ACu—oW(A+O +" TT G-ÀG-O ABu—2hk(4+8B)+f". 7 CAT) |? on aura a — ces valeurs étant substituées dans Féquation différentielle ci- dessus, le premier membre de cette équation deviendra, après les réductions, A°B°C(4h°— f'u)du* | AB Cu (+0) FFT TA Cu ah (A++ JET A Bu (4+B5+ fr? et le second membre deviendra Fu — 4ht, de sorte qu’en divisant toute Féquation par /'u—4hf, et tirant la racine carrée, on dt= 248 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. aura enfin | ABCdu "aV/—[CBCu—2h(B+OHPTT CCu—aP (AT C)Ef] LABuah( CABu—oh(2 A+B)+f) ; d’où lon tirera par l'intégration # en , et réciproquement. 27. Supposons maintenant que les constantes F, G, H ne soient pas nulles, et voyons comment on peut ramener ce cas au précé- dent, au moyen de quelques substitutions. Pour cela je substitue à la place des variables p, q, r, des fonc- tions d’autres variables x, y, z, qu'il ne faudra pas confondre avec celles que nous avons employées jusqu'ici pour représenter les coordonnées des différens points du corps; et je suppôse d’abord ces fonctions telles, que l’on ait p*+ qg"+r = x"+7"+ 22. Il est évident que pour satisfaire à cette condition, elles ne peuvent être que linéaires, et par conséquent de cette forme : p=px+py+p"e, g=gxt+g"y+g"z, rerx try nr. Les quantités p', p", p", q', etc. seront des constantes arbitraires entre lesquelles, en vertu de lPéquation p*+qg"+r = x"#+y"+#2, il faudra qu’il y ait les six équations de condition que voici : p" + g" + r=— 1 ; p” + g" + r'. =1, pr" 4 g"* + ls) a PPT HT PE, p'p"+q dr", pp" "tri =0 de sorte que comme les quantités dont il s’agit sont au nombre de neuf, après avoir satisfait à ces six équations , il en restera encore truis d’arbitraires. Te substituerai maintenant ces expressions de p, g, r dans la valeur de T, et je ferai ensorte, au moyen des trois arbitraires dunt je viens de parler, que les trois termes qui contiendraient les produits xy, xz, yz disparaissent de la valeur de T, ensortc que cette quantité se réduise à ceîte forme HE, Mais SECONDE PARTIE, SECTION IX. 249 Mais pour rendie le calcul plus simple, je substituerai immédia- temènt dans cette formule les valeurs de x,Y,z en p, q,r, et comparant ensuite le résultat avec l'expression de T, je détermine - rai non-seulement les arbitraires dont il s’agit, mais aussi les in- connues a, 8, y. Or les valeurs: Us de p, q, r étant mul- tipliées respectivement par p', g', r, par p', q", r”, et par p", -g", r”, ensuite ajoutées ensemble, donnent sur-te-champ, en vertu des équations de condition entre les cocfficiens p', p", etc., x=pp+qg+rr, y=pp+q'a+rr, 2=p"'p+q"atr"r; ce +2 la substitution- de ces valeurs dans la quantité , et la comparaison avec-la valeur de T' de l'article 25, Dur ainsi les six équations suivantes : ep° + Rp" + D" = À, aq'* + Bg" + 99" — B, ar' + Br + 77 = C, | ag'r' + Bg"r"+>g"r"= — F, ap'r' + Bp"r “+op"r"= — G, ap'q'+ Ép'q # +)p"q"= es I, qui serviront à la détermination des six inconnues dont il s’agit, Et cette détermination n’a même aucune difficulté; car si on ajoute ensemble la première équation multipliée par p', la sixième multipliée par g', et la cinquième multipliée par 7’, on a, en vertu des équations de condition déjà citées, ap'= Ap!— ÆN'— Gr; en ajoutant la seconde, la quatrième et la sixième, multipliées respectivement par g', 7, p', on aura pareillement ag'— Bq'-—Fr = Hp'; Méc. Anal. Tom. IL. 3 250 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. ajoutant enfin la troisième, la cinquième et la quatrième, multipliées respectivement par 7’, p', g', on aura er = Cr Gp'— Fq'; et ces trois équations étant combinées avec l'équation de condition P" + g"* + r2-— serviront à déterminer les quatre inconnues «, p', g', r°. Les deux premières équations donnent HG + F(A—«) CA a) (Ba) —H J'=FH+O=e)l TT FH+GE—S P? substituant ces valeurs dans la troisième, on aura, après avoir divisé par p', cette équation en æ, («— 4)(a—B)(a—C) — F'(a— 14) — G° (a—B) —H°(a—C)+2FGH=0, laquelle étant du troisième degré, aura nécessairement une racine réelle. Les mêmes valeurs étant substituées dans la quatrième équa- tion, on en tirera celles de p', q', r’ en «, eee en faisant pour abréger, = VA) G SR + HG TE FA) + FH + CE —S) ], seront exprimées ainsi : : p=FA+ GB=+ … HG + F(A—e) 7 = AB) HA" («) (e) @) : Si on fait de nouveau les mêmes combinaisons des équations ci-dessus, mais en prenant pour multiplicateurs les quantités p", g', r”, à la place de p’, g', r'# on en tirera ces équations-ci : fp = Ap"— Hg — Gr’, Bqg" = Bq" — Fr' — Hp", Br = Cr — Gp" — Fq", SECONDE PARTIE, SECTION IX. gui, étant jointes à l'équation de condition p'#+ gp ps — serviront à déterminer les quatre inconnues B, p", g', r'; et comme ces équations ne différent des précédentes qu’en ce que ces inconnues y sont à la place des premières inconnues «, p', g', r’, on en conclura sur-le-champ que l'équation en 8, ainsi que les expressions de p", g", r' en @, seront les mêmes que celles que nous venons de trouver en &. 251 Enfin si on réitère les mêmes opérations, mais en prehant p”, g", r" pour multiplicateurs, on trouvera de même les trois équations >p" Ap" 2 Hq"— Gr”, 79" Bgq" ee F: [LEE Hp", Jr" Cr" == Gp" - Fq", auxquelles on joindra l'équation p”#+ g"+ r' = 1;et comme ces équations sont en tout semblables aux précédentes, on en tirera des conclusions analogues. DU On conclura donc, en général, que l'équation en « trouvée ci- dessus, aura pour racines les valeurs des trois quantités «, B, y, et que ces trois racines étant substituées successivement dans les expressions de p', g', r en #, on aura tout de suite les valeurs de p', g', r', de p",q", r”, et de p"”, g", r''; de sorte que tout sera connu moyennant la résolution de équation dont il s’agit. Au reste, comme cette équation est du troisième degré, elle aura toujours une racine réelle, qui étant prise pour æ, rendra aussi réelles les trois quantités p', q', r'. À légard des deux autres racines B et >, si elles étaient imaginaires, elles seraient, comme lon sait, de la forme b+cy/—1 et b— cy/—1; de sorte que les quantités p”, g", r' qui sont des fonctions rationnelles de 8; se- raient aussi de ces fnrmes, 72+724/—1 S'en! Vs HN Y/ 1; et les quantités p””,g", 7" qui sont de semblables fonctions de >, se- 252 :MÉCANIQUE ANALYTIQUE. raient des formes réciproques 712—nÿ/—1,m'—n'y/—1, m"—n"y 1; donc l’équation de condition p"p"+ g"g"+7"r" = o, deviendrait mn + m"tnstm4tne = 0o, et par conséquent imposs sible tant que mn, n, m', n', m", n" seraient réelles; d’où ïl s’en- suit que 8 et y ne peuvent être imaginaires. Pour se convaincre directement de cette vérité, d'aprés l’équa- tion même dont il s’agit, je mets cette équation sous la forme . n__F(a— A) + G'(a—B)— 9FCH. ETC jy substitue successivement, au lieu de «, les deux autres racines B et y, et je retranche les deux équations résultantes lune de l’autre? j'aurai, après les réductions et la division par B—7, cette transformée [(8—4)(8—B)—H%1[0—4)(—B)—H] + Cr +6G')By— (AFP +BG'+2FGH) (B+7) + (F°+G)H°+ AE" + B°G°+2FGH(4+8B)=0, laquelle est réductible à cette forme [(B—.4X8—B) — H{Q—4)7—B)— H°] +[F(B—A4)—-GH])[F(7—-4)—-6GH] +IG(B—B)—HF](G(>—B)— HF)—o0, qu’on voit être la même chose que l'équation p'p"+-q"q"+7"7"==0;, et qui fournit par conséquent des conclusions semblables. Donc les trois racines «, B, 7 seront nécessairement toutes réelles, et les neuf coefficiens p’, g', r', p", etc., qui sont des fonctions rationnelles de ces racines, seront réels aussi. 28. Nous venons de déterminer les valeurs de ces coefli- ciens , ensorte que l'on aÿ p° + g" + r = x + y" + 7, et 2 ad £ . T= HT; or en usant Varier successivement P, 9; F7 SECONDE PARTIE, SECTION IX. 353 On aura, à cause que x, y, Z sont fonctions de ces variables, dT _:° dx dy - da À àT as at 6 à M: aT TT = 2 + &y Ÿ + T%; mais x=pp+q g+rr, J= PH TT, PPT comme on l’a déjà vu plus haut ; donc = = = p = = g!, E= = r/, d : : .. = = p", 4 =" , etc.; substituant ces LA on aura donc _. = p'ax + p'Ry + p"yz, d D = dax + d'y + g'ye, é = r'ax + r'Ry + ryz De sorte qu’en vertu des'équations de condition entre les coefficiens p', g', r’, p", etc., on aura (GG CE g) = ax + By LAS (a+ (AT) + (QT = ed + Bay + as. Par conséquent les trois équations finales de l'article 24 se ré- duiront à celles-ci : ax + y* + 72° = 2h, ax + By + ver f", SR HAE Le pa (a pe de2s) me 4h, lesquelles sont, comme l’on voit, tout-à-fait semblables à celles de l'article 26, les quantités x, y, z, «, B,7 répondant aux quan- tités p, q; Ty À) B et 254 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. D'où il suit que si on fait, comme dans l’article cité, u= pH HT=X + y +2, on aura entre les variables X, Ys Ls Us À, les mêmes formules que l’on avait trouvées entre p, q, r, u, t, en changeant Seule- ment 4, B, C en a, B, y. Ayant ainsi les valeurs de x, y, zen w ou f, on aura les va- Jeurs complètes de p, g, r par-les formules de l'article 27. 29. Les quantités p, q, r ne suffisent pas pour déterminer toutes les circonstances du mouvement de rotation du corps, ellesne servent qu'à faire connaître sa rotation instantanée. En effet, puisque P dR 4 ; | =T d— ee TT L , il s’ensuit de ce qu’on a vu dans l’ar- ticle 10, que l’axe spontané de rotation, autour duquel le corps tourne à chaque instant, fera avec les axes des coordonnées a, b, c, des angles dont les cosinus seront respectivement...... ro: Pois x CE et que la vitesse an- guluire autour de cet axe sera représentée par y/{(p*+g"+r"). Pour la connaissance complète de la rotation du corps, il faut encore déterminer les valeurs des neuf quantités £’, », &', £", etc. d’où dépendent celles des coordonnées £, », €, lesquelles donnent h position absolue de chaque point du corps dans l’espace, rela- tivement au centre de gravité regardé comme immobile (art 17); c’est ce qui demande encore trois intégrations nouvelles. Pour cet effet, je reprends les formules différentielles de Par- ticle 13, et mettant JA, qdt, rdt, au lieu de dP, dQ, dR, j'ai ces équations : É : dé + (g£"— 78") di de" + (ré — PE”) dt à O » rs (C) d£" + (pE"— q£' ÿ dt 5 ù WU SECONDE PARTIE, SECTION 1X. " 255 et autant d'équations semblables en #!, #', n!”, et en €”, &”, "en changeant seulement # en net en £. ,* . ’ , , : Pen . Ces équations étant comparées avec les équations différentielles (4) de l’article 24, entre les quantités D D CP est visible qu’elles sont entièrement semblables, de sorte que ces quantités répondent aux quantités £', £", £”', comme aussi aux quantités ”, x", x”, et aux quantités €’, &", £", D'où je conclus que ces dernières variables peuvent être re- T gardées comme des valeurs particulières des variables a D aT 3 €t qu'ainsi, puisque les équations entre ces variables sout simplement linéaires, on aura, en prenant trois constantes quel- conques /, m, n, ces trois équations intégrales complètes : aT : né MR PRE | T= EL mn + ne"... (D); ar re = IE" + mn" + n" or en combinant ces trois équations avec les six équations de condition entre les mêmes variables £”, »', etc., il semble qu’on pourrait déterminer ces variables, qui sont en tout au nombre de neuf; mais en considérant de plus près les équations précédentes, il est facile de se convaincre qu’elles ne peuvent réellement tenir lieu que de deux équations; car en ajoutant ensemble leurs carrés, il arrive que toutes les inconnues £’, x’, {’, etc. disparaissent à- ‘Ja-fois, en vertu des mêmes équations de condition (art. 5); de sorte que l’on aura simplement l'équation COCHER 256 __ MÉCANIQUE ANALYTIQUE. laquelle revient, comme l’on voit, à la première des deux inté- grales trouvées plus haut (art. 25); et la comparaison de ces équa- tions donne f*— /* + n° + n°, ensorte que parmi les” quatre conslantes /, /, m, n il n’y en a que trois d’arbitraires. D'où l’on doit conclure que la solution complète demande en- core une nouvelle intégration, à laquelle il faudra employer une quelconque des équations différentielles ci-dessus, qu une combi- naison quelconque de ces mêmes équations. 30. Mais on peut reudre le calcul beaucoup plus général et plus simple, en cherchant directement les valeurs des coordonnées mêmes E > %» &» qui déterminent immédiatement la position abso- lue d’un point quelconque du corps, pour lequel les coordonnées relatives aux axes du corps sont a, b, c. Pour cela, j'ajoute ensemble les trois équations intégrales (D) trouvées ci-dessus, aprés avoir multiplié la première par a, la seconde par b, la troisitme par c, ce qui donne (art. 1) cette équation + mn nt = GE + 0 ÊT F7 ie EC Or on a déjà, par la nature des quantités £,°n, € (art. 5), EH + “—a"+b+oe. Enfin on à aussi (art. 14), en mettant pdt, gdt, rdt au lieu de dP, dQ, dR, et faisant a, b, c constans, dé + dr + dés ÿ à : RE = (eg — br) + (ar— cp} + (bp —agY. Ainsi voilà trois équations d’où Pon pourra tirer les valeurs de £,, €, moyennant une seule intégration. | Ensuite, si on voulait connaitre séparément les valeurs de # #, SECONDE PARTIE, SECTION IX: 25y »', &, £", etc., il n’y aurait qu'à supposer dans les expressions générales de £, #, & les constantes a=1, b=0, c=0, ou a=0,, b=1, c=0, où a—0, b=0o, c=1. Supposons, pour abréger, | È dT L=a a+ LHC, M = © + b + "a N= (eg —br) +(ar— cp} +(bp—ag); “on aura donc à résoudre ces trois équations, + mn+n = 2L, £* + + ÎT, Etre dé = N, dans lesquelles A7 est une constante donnée, ZL, NN sont suppo: sées connues en fonctions de £, et 7, m, n sont des constantes arbitraires. J’observe d’abord que si Z et 77 étaient nulles à-la-fois, la pre- mière équation donnerait £ — 2; et cette valeur étant substituée dans les deux autres, on aurait PTS L dé + d» de Etre Ms, 5 =N— équations très-faciles à intégrer, en faisant £ —p cosô, n==pein8, ce qui les change ett ces deux-ci : n° ? = ndt > r=m-#£ EE EN dL° dont la première donnera la valeur de p, et la seconde donnera l'angle 6 par l'intégration de cette formule dt a? ap d — Va ndt dé Alec. anal. Tom. IT. 33 258 -MÉCANIQUÉ ANALYTIQUE. Supposons maintenant que / et m ne soient pas nulles, et. voyons comment on peut réduire ce cas au précédent. Il est clair que si lon fait Æ+mn=xVP Em, mE—h=yVE Em, on aura également £*—yw=x—+#y et dé +Ldn=dx + dy"; ainsi les équations proposées se réduiront d’abord à cette forme, | xVE—HImn Lné=L, + +e = M, de + D + x. Si on fait ensuite x VE Em +ne = 2VE Em +n, nx=éVE Em =uVEFm TER, on aura encore x*Hé—2u et dx°+ dé = dz" + du’; donc on aura ces transformées , zVP+mEr = L, w+ÿ +2 = M, du + dy + dr __ N de Er e qui sont, comme l’on voit, entièrement semblables à celles que nous venons de résoudre ci-dessus ; ensorte qu’on aura pour 4, 7, x les mêmes expressions que nous avons trouvées pour £, #, #, en y changeant seulement z en VF + m +. Ces valeurs étant connues, on aura les valeurs générales de £, n, € par les formules £ = le + my a mx — ly paire Vrbm "TVrpm ° Vipmn. 31. Telle est, si je ne me trompe, la solution la plus générale, et en même temps là plus ohupte qu'un puisse donner du fameux problème du mouvement de rotation des corps libres ;'elle est ana- SECONDE PARTIE, SECTION IX. 259 logue à celle que j'ai donnée dans Tes Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1773 , mais elle est en même temps plus directe et plus simple à quelques égards. Dans celle-là je suis parti de trois équations intégrales qui répondent’ anx équations (D) de l'article 29 ci-dessus, équations quin'avaientété fournies directement par le principeconnu des aires ct des momens, et auxquelles j'avais joint l'équation des forces vives T=}* (art. 24). Ici j'ai déduit toute la solution ges trois équations différentielles primitives, et je crois avoir mis dans cette solution, toute la clarté, et (si j'ose le dire) toute Pélégance dont elle est susceptible; par cette raison je me flatte qu’on ne me désapprou- yera pas d’avoir traité de nouveau ce problème, quoiqu'il ne soit guère que de pure curiosité, surtout si, comme je n’en doute pas, il peut être de quelqu'utilité à l'avancement de l'Analyse. Ce qu'il ya, ce me semble, de plus remarquable dans la so- lution précédente, c’est l'emploi qu’on y fait des quantités £’, », g', £", etc., sans connaître leurs valeurs, mais seulement les équa- tions de condition auxquelles elles sont soumises, quantités qui dis- paraissent à la fin tout-à-fait du calcul; je ne doute pas que ce genre d'analyse ne puisse aussi être utile dans d’autres occasions. Au reste, si cette solution est un peu longue, on ne doit lim- puter qu’à la grande généralité qu’on y a voulu conserver ; et l’on a pu remarquer deux moyens de la simplifier, l'un en supposant les constantes F, G, H nulles (art. 25), et l'autre en faisant nulles . les constantes Z et 7% (art. 30). La première de ces deux suppositions avait toujours été regar-- dée comme indispensable pour parvenir à une solution complète . du problème, jusqu’à ce que je ‘donnai, dans mon Mémoire de 2773, la manitre de s’en passer ; cette supposition consiste, en effet, à prendre pour les axes des coordonnées &, b, c, des droites telles que les sommes oudvniy, SurZr, SbvD/n Soient nulles (art. 19); et Euler a démontré le premier que cela est toujours pos- 260 MÉCANIQUE ANALYTIQUE: siblé, quelle que soit la figure du corps, et que les axes ainsf déterminés, sont des axes de rotation naturels, c’est-à-dire, tels que le corps peut tourner librement autour de chacun d’eux. Mais quoiqu’on puisse toujours trouver des axes qui aient la propriété dont il s’agit, et que d’ailleurs la position des axes du corps soit arbitraire, il n’est pas indifférent d’avoir une solution tout-à-fait directé £t indépendante de ces considérations particulitres. La seconde des deux suppositions dont il s’agit dépend de la position des axes des coordonnées £, n, €, dans l’espace, position qui, étant pareillement arbitraire, peut toujours être supposée telle que les constantes Z et »2 deviennent nulles, comme on peut sen convaincre directement, d’après les expressions générales de :£,n, Ÿ que nous avons trouvées. : 82. En supposant F, G, H nulles, on a, comme on l’a vu dans l'article 43, et ces valeurs étant substituées dans les trois équations différen- tielles (2), il vient celles-ci : dp+E grdt=0, dg+ prdt=o, dr+ = Æpqdt=o, lesquelles s'accordent avec celles qu'Euler a employées dans la solution qu'il a donnée le premier de ce problème (voyez les Mé- moires de l'Académie de Berlin pour 1758); pour s’en convaincre, il suffira d'observer que les constantes Z, B, C (art. 19) ne sont autre chose que ce qu'Euler nomme les momens d'inertie du corps autour des axes des coordonnées a, b, c, et que les va- riables p,q, r dépendent du mouvement instantané et spontané de rotation, de manière que si on nomme «, 8, y les -angles que l'axe autour duquel 1 vuipe wuue spontanément à chaque instant, fait avec les axes des a, b, c, et pla vitesse‘angulaire de SECONDE PARTIE, SECTION IX: 261 rotation autour de cet axe, on à (art. 29); P=pcosSa, qg=peosf, r—#pcos y. ‘À l'égard des autres équations d’Euler, lesquelles servent à dé- terminer la position des axes du corps dans l'espace , elles se rap- portent à nos équations (C') de Particle 29. En effet, comme les neuf quantités £’, »’, &', £", etc. ne sont autre chose que les coor- données rectangles des trois points du corps, pris dans ses trois axes, à la distance 1 du centre (ce qui suit évidemment de ce que ces quantités résultent des trois £, », €, en y faisant succes- sivement a=1, b=0, c=0o, ensuite a—0, b—1, c=0, et enfin ao, b=o, c=:1), il est clair que si on désigne, avec Eulcr, par 7, m, n les complémens des angles d’inclinaison de ces axes sur le plan fixe des £ et n, et par À, we, » les angles que les projections des mêmes axes font avec l'axe fixe des #, on aura ces trois expressions, ÿ' = cos/, n' = sin / sinÀ, Ê = sin Z cos À, €"= cosm, = sinmsinn, £"= sinmcosu, C'= cosn, n"= sin n sinr, £"=— sin n cosyr; et par le moyen de ces substitutions, on trouvera aisément les équations auxquelles Euler est parvenu par des considérations géométriques et trigonométriques. . 33. Au reste, en adoptant à-la-fois les deux suppositions de F, G, H nulles, et de Z, m nulles aussi, on aura la solution la plus simple par les trois équations (D) de Particle 29, en y substituant les valeurs de Z’, &”, £” et de p, q, r en @, 4, « (art. 7, 20 ); car on aura de cette manière ces tréis équations du premier ordre, ino sin ed cosqde __ : : 4 sing sin ad onee = nsin? sine, B sosie —sin gde _— ILUo YSIME, C La his ot. Homes = ACOS ©; 262 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. lesquelles se réduisent évidemment à celles-ci : Ado ndt — AdN = tango sie? B ndt — Bdk = — Fee ndit — Cd} = €. Or si on élimine df et d4, en ajoutant ensemble ces trois équations, après les avoir multipliées respectivement par C—B, A—C, B— 4, on aura l'équation d — B(4—C) E° + C(B—A) #-=0, — ml A(C—B) _— @ sin w laquelle se réduit à cette forme, cos du _ C(B—Æ4)de A(C—B)"? ‘sine 7 B(4—Otange— ET où les variables sont séparées, Le second membre de cette équation se change en CB—A)sing cos pd? B(4—C) sin g* — A(C—B) cos g° ? er ou encore en C(B—A) sin2od? 2AB — C(A4 + B) + C(B— À) cos 29° donc, en intégrant logarithmiquement, et passant ensuite des lo- garithmes aux nombres, on aura 2AB—C(A+B)+C(B—A4)cos2 =, — cost K étant une constante arbitraire; or tang g — ÿ Cr donc substituant la valeur précédente, on aura 2 AB — COsine — K CIS VRTERE (CA) she FA SECONDE PARTIE, SECTION IX. 263 et mettant cette valeur de tang ® dans les deux premières équa- tions différentielles, on aura . _ Ado 2B(C— A) sine” ins + K ndt— Ad = sine VC 2A(B— Cysine —K ____ Bd» 2A(B— Cjsine —K ndt — Bd} 7 sine VEN équations où les indéterminées sont séparées et qui, étant inté- grées , donneront t et 4 en fonctions de «. Cette solution revient à celle que d'Alembert a donnée dans le tome quatrième de ses Opuscules. 34. Venons au second cas, où l’on suppose le corps grave sus- pendu par un point fixe, autour duquel il peut tourner en tout sens. En prenant ce point pour le centre du corps, c’est-à-dire pour l’origine commune des coordonnées £, #, £ et a, b, c, etsuppo- sant les ordonnées £ verticales et dirigées de haut en bas, on aura pour le mouvement de rotation du corps, les équations (B) de Par- ticle 23. Ces équations sont plus compliquées que celles du cas précédent, à raison des termes multipliés par les quantités Sa Drm, SbDm, SDm, lesquelles ne sont plus nulles lorsque le centre du corps, dont la position est ici donnée, tombe hors de son centre de gravité; on peut néanmoins encore faire évanouir deux de ces quantités, en faisant passer par le centre de gravité lun des axes des coordonnées a, b, c, dont la position dans le corps est arbitraire, ce qui simplifiera un peu les équations dont il s'agit. ‘ Supposons donc que laxe des coordonnées c passe par le centre de gravité du corps; on aura alors, par les propriétés de ce centre, SaDm=0o,SbDm=o, et si on homme # la distance entre le centre du corps, qui est le point de suspension, et son centre de gravité, il est visible qu’on aura aussi S(c— #) Dm=o; donc ScDm = SkDm = KOLIN — Aug où nosmmaut 4 1à masse du corps. | 264 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Faisant ces substitutions et mettant XÆ pour £m, on aura les trois équations suivantes : a T hp aT daT = Tu PI Ta PM = a IT “dq aT dT Fun og disaers (E TH Ty Pr AÆæo (E), aT “dr dT dT Tr Tige dans lesquelles T= À (ap* + Bq° + Cr°) — Fqr — Gpr — Hpq: 35. On peut d’abord trouver deux intégrales de ces équations, en les ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement par p,gq,r ou par &’, £”, &”’; car à cause de d'=(£"r —£"'q)dt, dé"= (Ep —L'rjdt, dé"=(£'q —&"pdt (art. 27), on aura ainsi les deux équations d pd Fe qd 7 + rd, de _— Kd{"= 0, (4 d {l 11) Q (71 d 0 Led TE + LA ÙE 4 DE dE de De de" = 0, dont les intégrales sont dT aT adT PE HIT HT T KeS, ,dT dT JydT é D +é A +" = h, f et h étant deux constantes arbitraires, IL paraît diMcile de trouver dautreo Iuléyl'AleS, et par Consé- quent de résoudre le problème en général. Mais on' y peut parve- nir SECONDE PARTIE, SECTION IX. 265 nir en supposant que la figure du corps soit assujétie à des conditions particulières. . | Ainsi en supposant F=0, G=0o, H=o, et de plus Z —B, on aura _. = Ap, Te = A9, et la troisième des équations (E) deviendra d ss = 0, dont l'intégrale est eu = const. Ce cas est celui où l'axe des ordonnées c, c’est-à-dire la droite qui passe par le point de suspension et par le centre de gravité; est un axe naturel de rotation, et où les r20mens d’inertie au- tour des deux autres axes sont égaux (art, 32), ce qui a lieu en général dans tous les solides de révolution, lorsque le point fixe est pris dans lPaxe de révolution. La solution de ce cas est facile, d’après les trois intégrales qu’on vient de trouver. A(p°+ 9°) 2 En effet, puisque T'— +T, il est visible que ces trois intégrales se réduiront à cette forme : A(p' + q)+ Cr — aKE" = af, AK(Ep+£'9) + C M =, r=n, JS, h, n étant des constantes arbitraites. Donc si on substitue pour £&', €", &", et pour p, qg, r leurs valeurs en fonctions de ?, À, © (art. 7, 20), on aura ces trois équations, : nat + de + Cn° — 2Kc050 = 2/, A Host + CncoSo = h,' d@ + cos odÿ en dt mile: A lesquelles ont, comme l’on voit, l'avantage que les angles finis 4 et ® ne s’ÿ trouvent pas. Méc. anal, Tom. II. 34 266 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. La seconde donne d’abord dY h — Cn cos « mn Œ— Asnw ? et cette valeur étant substituée dans la première, on aura dress A sin wda TT VLAsine (2f— Cr + 2K cos e) — (h— Cn ce) ; ensuite la seconde et la troisième donneront d (h— Cncosa)de Ver nn Ge croen- QG des (An—h cos # + (C— An cos w*)da Pers #V Lédsine*(2f— Cn° + aK cos») — (h— Cncosw)"]” équations où les indéterminécs sont séparées, mais dont l’intégra- tion dépend en général de la rectification des sections coniques. 56. Reprenons les équations (E) et substituons-y les valeurs de ar ar ar dp? dq? dr LAPCPET + (C— B)gr+ F(r°—q") — Gpq + Hpr+Xk "=0o, en p,q,r; elles deviendront Bdq—Fdr— Hd | IT + (4—Chpr + G(p°—r°)— Hgr + Epg — K£'=0, Cdr—Fdqg_—Gd . Te LE + (B—A)pg+H(q°—p')— Epr +Gqr= 0. Dans l'état de repos du corps, les trois quantités p, g, r sont nulles, puisque y/(p*+-q°+ r*) est la vitesse instantanée de ro- tation (art. 39); donc on aura alors {= 0 et &"=—0; ensorte qu'à cause de £+ LHC" 1, et par conséquent de £”=1, l'axe des coordonnées £ coïncidera avec celui des ordonnées c; c’est- à-dire que. ce dernier axe qui passe par le rentro de gravité du corps, et que nous nommerons dorénavant l'axe du corps, sera vertical, ce qui est l'état d'équilibre du corps; et cela se voit en- SECONDE PARTIE, SECTION IX: 267 core mieux par les formules de Particle 7, lesquelles donnent sing sinw== 0, cos sine =—=0, et par conséquent w = 0, & étant l'angle des deux axes des coordonnées c et £. Si donc en supposant le corps en mouvement, on suppose en même temps que son axe s'éloigne trés-peu de la verticale, ensorte que l'angle de déviation « demeure toujours très-petit, alors les quantités £', &" seront très-petites, et l’on aura le cas où le corps ne fait que de très-petites oscillations autour de la verticale, en ayant en même temps.un mouvement quelconque de rotation au- tour de son axe. Ce cas, qui n’a pas encore été résolu, peut lêtre facilement et complètement par nos formules; car en regardant {” et £”” comme très-petites du premier ordre, et négligeant les quantités très-pe- tites du second ordre et des ordres suivans, on trouve, par les équations de condition de Particle 5, &"=1,£"=—£'e—E"", == — n'en ne" et EL R E"s—1, n°4 n=1, En En 0 ; donc £'=sin#, É"=cosm, n—sing, ”’=cosû et cos(r—8) —0; d'où æ = go°+8, et par conséquent £'=cos8, £"=——sin8. Substituant ces valeurs dans les expressions de dP, dQ, dR de l’article 11, on aura dP = &'d0+ dé", dQ = Cd — dj, dR = dû, en négligeant toujours les quantités du second ordre. Ainsi donc on aura __ dP _td+d”" PT dt ‘: dQ __ &'di— dt. BUT AE ST de hs ax dt 7 à” valeurs qui, étant substituées dans les équations différentielles ci-dessus , dunnoront, en néeligeant les pniscances et les pro- duits de £' et &", des équations linéaires pour la détermination de ces variables. 268 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. _ Mais avant de faire ces substitutions, on remarquera qu'en supposant £’ et £” nuls, les équations dont il s’agit donneront d'4 de nd de d:0 —GCr+ Fo, —Fri—G eo; C0. Donc puisque C ne saurait devenir nul, à moins que le corps ne se réduise à une ligne physique, C étant = S(a* + b*)Dm, il s’ensuit qu'on ne peut satisfaire à ces équations qu’en faisant E] d'4 : dé 7 — 0) et ensuite, où = =0o, ou F=0o et G=0. De là il est facile de conclure que lorsque &’ et #” ne sont pas nuls, mais seulement très-petits, il faudra que les valeurs de ou de F'£t G soient aussi très-petites, ce qui fait deux cas qui demandent à être examinés séparément. 35. Supposons premiérement que Es soit une quantité très-pe- tite du même ordre que £’ et ”, on aura, aux quantités du se- .. dé" rs dé cond ordre près, p= 7, Q=—"7- -Par ces substitutions, en négligeant toujours les quantités du second ordre et changeant , pour plus de simplicité, les lettres &C'ens, u, les équations différentielles de l’article précédent de- viendront Adu — Gdt + Hd's de + Ku = 0; — Bds — Fdt — Hd Er —— — K5 = 0, Cd + Fds — Gd'u — dt? = OC. e Gdu— Fd's LR æs La La dernière donne = -—75— ; etcette valeur étant subs- SECONDE PARTIE, SECTION IX. 269 tituée dans les deux premières, on aura ces deux-ci : (AC — G')du + (CH + GF )ds TE + CKu = 0, (BC — F'ds + CHE Gdu L CKs — 0, dont l'intégration est facile par les méthodes connues. Qu'on suppose pour cela s=asin(pt+ 8), u = 7ysin(pt+ 8), æ, B, 7, p étant des constantes indéterminées; on aura, après ces substitutions, ces deux équations de condition, CAC— G}yp+- (CH -+ GF jap — CKy = 0, (BC a F')ap"+ (CH + GFyp —CKa = 0, lesquelles donnent y — __(CH+GF)}p __ _ CK=—(BC—F)f, x CK—(AC— CG) -(CH4+GF)# ? d'où résulte cette équation en p, BCP +AC— CI H+H(BC—P)( 4C—6G)—(CH+GEF) =0, laquelle aura, eomme lon voit, quatre racines égales deux à deux, et de signe contraire. Si donc on désigne en général par p et p’ les racines inégales de cette équation, abstraction faite de leur signe, et qu’on prenne quatre constantes arbitraires «, a’, B, B', on aura en général s => a sin (ft 8) + a'sin (p£+ 8"), et par conséquent | ÇCH + GF) p'e sin (ot À #) . (CH + GF}g'a'sin(st+8) ZL — TT CK — (AC — GC} CK—(4C— GC); SE 270 MÉCANIQUE dans Enfin on aura, en intégrant la valeur de + De sorte que lon connaîtra ainsi toutes les variables en fonc- tions de #, et le problème sera résolu. Au reste, comme cette solution est fondée sur l'hypothèse que dè ” . \ : dur. s,u et — soient de très-petites quantités, il faudra, pour qu’elle soit légitime, -1°. que les constantes æ, a’ et À soient aussi très- petites; +. que les racines p, p’ soient réelles et inégales, afin que l'angle # soit toujours sous le signe des sinus. Or cette se- conde condition exige ces deux-ci, BC—F*+40C—-G >%o, [BC—F* +A4C—G}Y>4{[(BC—F*)(4C—G)—(CH+GF)]; lesquelles dépendent uniquement de la figure ‘du corps, et de la situation du point de suspension. 58. Supposons, en second lieu, que les constantes F et G soient aussi très-petites du même ordre que £” et £”; alors négligeant les quaritités du second ordre, et mettant s, à la place de ?”, £”, les équations différentielles de Particle 56 deviendront A(d.sdi + du) Gd’o _ H(d. ude — ds) te me dt de dt C— By(udo — ds)dé Fde H{(sd0 + du)ds + DER LE PORN Le Ku = 0, B(d.udÿ ds) _ Fd°t _H (d. NS ET Ge à de asie CA — Cy(sds + du) dé Gd# H(uds— ds) dé ni Se da Nous de . Na — 45=0 ? cat SECONDE PARTIE, SECTION IX. 271 La dernière donne = 0, et intégrant, Sn, n'étant une constante arbitraire de grandeur quelconque. Substituant cette valeur de e dans les deux équations, on aura celles-ci : rs d d. ATHHDE+HUA+B-ChT +(C—Bjnu+ Fr + Hs + Ku=0, ds du du +(C— Ajns + Gn° + Hu + Ks = 0, dont l'intégration n’a aucune difficulté. Qu'on les divise par n°, et qu’on y remette, pour plus de sim- plicité, 48 à la place de ndf, en se souvenant que d8 est désor- . Lu . mais constant, -on aura, en ordonnant les termes et faisant K k c L= == (art. 54), (Ca I) +8 GE + (CAD) RE + H(u+ TE) +6G=0, (CB + Djut4 DE —(C— 48) + H(SH TE) + = 0. Pour intégrer ces équations, je commence par faire disparaître les termes tout constans, en supposant s=x+/f,u—=y+h, et déterminant les constantes f', k, ensorte que les termes F'et G disparaissent; ce qui donnera ces deux équations de condition, (C—A4+L) f+Hh+G=0, (€—B+L)h+Hf+F=0; d'où l'on tirera je FH— G(C—B+2Z) ET 21) CH = GH—F(C— A+ L) | (C—=B+L(C—A+L)-H 272 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. et l'on aura en x, y, 0 les mêmes équations qu’en s, 4; 8, avec. cette seule différence que les termes constans G, F n’y seront plus. Je suppose maintenant x = aeï, J = Beï, &, B et i étant des constantes indéterminées, et e le nombre dont le logarithme hy- perbolique est,1. Comme tous les termes des équations à intégrer : contiennent x et y à la première dimension, il s’ensuit qu'ils seront, après les substitutions, tous divisibles par eÿ, et il restera ces deux équations de condition, [C— A+ L+ Bija+[(C—4—Bji+H(+i)8=0, (C—B+LH AB (CA Bi H{ai-pi)e=o, lesquelles donnent 8 _ C—A+L+BE __ (C—A—Bji—H(i+i) e TT CA BEF CB +LE AE * de sorte qu’on aura, en multipliant en croix, cette équation en #, (C—-B+L+AÛTC—-2+LH+BËTHC—-A4-B)È-H (+), -laquelle, en faisant 1+ 2 =p, se réduit à cette forme, (4B—H°)"+ [(C4+BXL—C)H+ C4 L'-2L(4+4B—C)=0. Ayant déterminé p par cette équation, on aura x = ae Ve) = ee AH OV EEE à 4V/—1) +B—C—L—Ap ? et’ la constante « demeurera indéterminée. Or comme l'équation en s a deux racines, et que le radical y/(p—1) peut être pris égale- ment en plus et en moins, on aura ainsi quatre valeurs difi- rentes de x, y, lesquelles étant réunies satisferont également aux équations proposées, puisque les variables x, y n’y sont que sous la forme linéaire. Prenant donc quatre constantes différentes pour æ, On aura de cout amauièse lo valeurs complètes de x.et Y, puisque ces valeurs ne dépendant que de deux équations diffé- rentielles SECONDE PARTIE, SECTION IX. 273 rentielles du second ordre, ne sauraient renfermer au-delà de quatre constantes arbitraires. 39. Pour que les expressions de x et y ne contiennent point d’arcs de cercle, il faut que y/(p—1) soit imaginaire, et qu’ainsi p soit une quantité réelle et moindre que Punité. Dénotons par p et « les deux racines de l'équation en p, sup- posées réelles et moindres que lunité, et donnons aux quatre constantes arbitraires cette forme imaginaire, el V—1 PV À'énti yeV—1 ve" V1 21? sy —i ? 2ÿ—1? 2y—1 ? on aura, en faisant ces substitutions et passant des exponentielles aux sinus et cosinus, ces expressions complètes et réelles de xet y, x = a sin[04/(1 —p) + 8] +y sin[ôy(i—0) +4], y = HO D cos [ya — 1) + 8] += sin BG —p + 8] + RES cos[b/(a —5) +] vHe +i=cat=s=5 SVG —s)+ 6], où æ, 8,7, « sont des constantes arbitraires dépendantes de l'état initial du corps. Ayant ainsi x et y, on aura FH+G(B—C—L) SX TT DEC D) EH" - GH+F(A— CL) er ACTE = CT) HR" Donc prertant pour 6 un angle quelconque proportionnel au Méc. anal. Tom. IT. 35 274 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. temps, on aura (art. 36) ces valeurs des neuf variables £”, x, g', &",»", etc., A cosô, = sin8, =S5, £"= — sin6, #— cosb, £'=u, £"= — scosô—+ using, n"—=—ssin0—ucos0, £"—:; ensorte qu’on connaîtra les coordonnées £, », £ de chaque point du corps pour un instant quelconque { art. 1). Si on compare les expressions précédentes de £’, »’, etc., avec celles de l'article 7, on en déduira facilement les valeurs des angles de rotation ®, 4, «; et l’on trouvera g+4=8, sinpsine=s, cos sin w =u; d’où l'on tire, tango = y/(s"+u), tango =°, d —=0—#: Et il est facile de voir, d'aprés les définitions de l'article 7, que « sera l'inclinaison supposée très-petite de l'axe du corps avec la verticale; que 4 sera l'angle que cet axe décrit en ‘tournant autour de la verticale, et que @ sera l'angle que le corps même décrit en tournant autour du même axe, ces deux derniers angles pouvant être de grandeur quelconque. 4o. Mais il faut, pour l'exactitude de cette solution, que les va- riables s et 4 demeurent toujours très-petites. Ainsi, non-seule- ment les constantes # et y, qui dépendent de l’état initial du corps, . devront être très-petites; mais il faudra que les valeurs des cons- tantes F'et G, données par la figure du corps, soient aussi trés- petites, et que de plus les racines p et o soient réelles et posi- tives , afin que l'angle 8 soit toujours renfermé dans des sinus ou cosinus. Si on suppose F—n. G—o. savair, SeDm=0,SacDm=0, «On aura les conditions nécessaires pour que les momens des forces SECONDE PARTIE, SECTION IX. 295 centrifuges autour de l'axe du corps, qui est en même temps celui des coordonnées c , $e détruisent, ensorte que le corps puisse tourner uniformément et librement autour de cet axe. Or on sait qu'il y a dans chaque corps trois axes perpendiculaires entr’eux, et passant par le centre de gravité, lesquels ont cette propriété, ct qu’on nomme communément, d’après Euler, les axes princi- paux du corps. Donc, puisque nous avons supposé que laxe du corps passe en même temps par le centre de gravité et par le point de suspension, il s'ensuit que les quantités F'et G seront pulles, lorsque le corps sera suspendu par un point quelconque: pris dans un de ses axes principaux. Donc, pour que ces quantités, sans être absolument nulles, soient du moins très-petites, il faudra que le point de suspension du corps soit très-près d’un de ses axes principaux; c’est la pre- mière condition nécessaire pour que l'axe du corps ne fasse que : de trés-petites oscillations autour de la verticale, le corps lui- même ayant d’ailleurs un mouvement quelconque de rotation au- tour de cet axe. L'autre condition nécessaire pour que ces oscillations soient toujours très - petites, dépend de l'équation en p et se réduit à celles-ci : [C4+BXL—C)+CT>4(4B—H*)[L'—2L(4+B—C))], AAB — H)+ (A+ B)(L—C)+C AB—H° 795 (A—C—L)(B—C—L)—H = D 0 lesquelles dépendent à-la-fois de la situation du point de suspen- sion et de la figure du corps. A1. La solution yue nouc wannne da donnor cmbrasse la théo- rie des pethes oscillations des pendules, dans toute Ja généralité 276 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. dont elle est susceptible. On sait que Huyghens a donné le pre- mier la théorie des oscillations circulaires; Clairaut y a ajouté ensuite celle des oscillations coniques , qui ont lieu lorsque le pen- dule étant tiré de sa ligne de repos, reçoit une impulsion dont la direction ne passe pas par cette ligne. Mais si le pendule reçoit en même temps un mouvement de rotation autour de son axe, la force centrifuge produite par ce mouvement pourra déranger beaucoup les oscillations, soit circulaires , soit coniques , et la dé- termination de ces nouvelles oscillations est un problème qui n’avait pas encore été résolu complètement, et pour des pendules de figure quelconque. C’est la raison qui m'a déterminé à m'en occuper ici. SECONDE PARTIE, SECTION X. 277 EEE DIXIÈME SECTION. Sur les Principes de l'Hydrodynamique. LA détermination du mouvement des fluides est l'objet de l'Hy- drodynamique ; celui de l'Hydraulique” ordinaire se réduit à Part de conduire les eaux, et de les faire servir au mouvement des ma- chines. Cet art a dû être cultivé de tout temps, pour le besoin qu’on en a toujours eu, et les anciens y ont pèut-être autant ex- cellé que nous, à en juger par ce qu’ils nous ‘ont laissé dans ce genre. Mais l'Hydrodynamique est une science née dans le siècle der- nier. Newton a tenté le premier de calculer, per les principes de la Mécanique, le mouvement des fluides, et d’Alembert est le premier qui ait réduit les vrais lois de leur mouvement à des équa- tions analytiques. Archimède et Galilée (car l'intervalle qui a sé- paré ces deux grands génies disparait dans l’histoire de la Mécanique) ne s'étaient occupés que de l'équilibre des fluides. ° Torricelli commença à examiner le mouvement de l’eau qui sort d’un vase par une ouverture fort petite, et à y chercher une loi. Il trouva qu’en donnant au jet une direction verticale, il atteint toujours à très-peu-près le niveau de l'eau dans le vase; et comme il est à présumer quil l’atteindrait exacternent sans la résistance de l'air et les frottemens, Torricelli en conclut que la vitesse de’ ‘Peau qui s’écoule est la même que celle qu’elle aurait acquise en tom- bant librement de la hauteur du uéreau, ct que veule vitesse est par conséquent proportionnelle à la racine quarrée de Ja même hauteur. 278 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ne pouvant cependant parvenir à une démonstration rigôus reuse de cette proposition, il se contenta de la donner comme un principe d'expérience , à la fin de son Traité de Motu naturaliter "accelerato, imprimé en 1643. Newton entreprit de la démontrer dans le second livre des Principes mathématiques, qui parurent en 1687; mais il faut avouer que c’est l'endroit le moins satis- faisant de ce grand ouvrage. Si on considère une colonne d’eau qui tombe librement dans le vide , il est aisé de se convaincre qu’elle doit prendre la fisure d’un conoïde formé par la r€volution d’une hyperbole du quatrième ordre autour de l’axe vertical; car la vitesse de chaque tranche horizontale est, d’un côté, comme la racine quarrée de la hauteur d'où elle est descenduc, ct de l'autre elle doit être, par la conti- nuité de l’eau, en raison inverse de la largeur de cette tranche, et par conséquent en raison inverse du quarré de son rayon; d’où il résulte que la portion de laxe, ou l’abscisse qui représente la hauteur , est en jaison inverse de la quatrième puissance de lor- donnée de l’hyperbole génératrice. Si donc on se représente un vase qui ait la figure de ce conoïde, et qui soit entretenu toujours plein d’eau, et qu’on suppose le mouvement de l’eau parvenu à un état permanent, il est clair que chaque particule d’eau y descen- dra comme si elle était libre, et qu’elle aura par conséquent, au sortir de lorifice, la vitesse due à la hauteur du vase de laquelle elle est tombée, Or Newton imagine que leau qui remplit un vase cylindrique vertical, percé à son fond d’une ouverture par laquelle elle s'échappe, se partage naturellement en deux parties, dont l’une est seule en mouvement et a la figure du conoïde dont nous venons de parler, c’est ce qu'il nomme la cataracte; Yautre est ën repos, comme si elle était glarée. De cette manite, Il est clair que leau doit s'échapper avec une vitesse égale à celle qu'elle‘aurait acquise SECONDE PARTIE, SECTION *%. 279 en tombant de la hauteur du vase, comme Torricelli l'avait trouvée par l'expérience. Cependant Newton-ayant mesuré la quantité d’eau sortie dans un temps donné, et l'ayant comparée à la grandeur de Forifice, en avait conclu, dans la première édition de ses Principes, que la vitesse, au sortir du vase, n’était due qu’à la moitié de la hauteur de Veau dans le vase. Cette erreur venait de ce qu'il n'avait pas d’abord fait attention à la contraction de la veine; il y eut égard dans la seconde édition, qui parut en 1714, et il reconnut que la section la plus petite de la veine était, à l’ouverture du vase, à peu près comme 1 à #2; de sorte qu’en prenant cette section pour le vrai orifice, la vitesse doit être augmentée dans la même raison de 1 à y’2, et répondre par conséquent à la hauteur entière de l’eau. De cette manière, sa théorie se trouva rapprochée de lexpérience, mais elle n’en devint pas pour cela ‘plus exacte; car la formation de la cataracte ou vase fictif dans lequel l’eau est supposée se mouvoir, tandis que Peau latérale de- meure en repos, est évidemment contraire aux lois connues de l'équilibre des fluides, puisque l'eau qui tomberait dans cette ca- taracte, avec toute la force de sa pesanteur, n’exerçant aucune pression latérale, ne saurait résister à celle du fluide stagnant qui l'environne. ‘ Vingt ans auparavant, Varignon avait donné à l’Académie des Sciences de Paris une explication plus naturelle et plus plausible du phénomène dont il s’agit. Ayant remarqué que quand l’eau s'écoule d’un vase cylindrique par une petite ouverture faite au fond, elle n'a dans le vase qu’un mouvement très-petit et sensi- blement uniforme pour ‘toutes les particules, il en conclut qu'il ne s’y faisait aucune accélération, et que la partie du fluide qui s'échappe à chaque instant, recevait tout son mouvement de Ja pression produite par 1e puido do la coluuuc de fluide dont elle est la base. Ainsi’ ce poids, qui est comme la largeur de l'orifice mul- 280 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. tipliée par la hauteur de l'eau dans le vase, doit être proportion+ nel à læ quantité de mouvement engendrée dans la particule qui sort à chaque instant par le même orifice. Or cette quantité de mouvement est, comme l’on sait, proportionnelle à la vitesse et à la masse, et la masse est ici comme le produit de la largeur de l’orifice par le petit espace que la particule parcourt dans l’ins- tant donné, espace qui est évidemment proportionnel à la vitesse même de cette particule; par conséquent la quantité du mouve- ment dont il s’agit est en raison de la largeur de l'orifice multi- pliée par le quarré de la vitesse. Donc enfin la hauteur de leau dans le vase est proportionnelle au quarré de la vitesse avec la- quelle elle s’échappe, ce qui est le théorème de Torricelli. Ce raisonnement a néanmoins encore quelque chose de vague, car on y suppose tacitement que Ja petite masse qui s’échappe à chaque instant du vase, acquiert brusquement toute sa vitesse par kb pression de la colonne qui répond à Porifice. Or on sait qu'une pression ne peut pas produire tout-à-coup une vitesse finie. Mais en supposant, ce qui est naturel, que le poids de la colonne agisse sur la particule pendant tout le temps qu’elle met à sortir du vase, il est clair que cette particule recevra un mouvement accé- léré, dont la quantité, au bout d’un temps quelconque, sera pro- portionnelle à la pression multipliée par le temps. Donc le produit du poids de la colonne, par le temps de la sortie de la particule, sera égal au produit de la masse de cette particule, par la vitesse qu'elle aura acquise; et comme la masse est le produit de la largeur de l’orifice par le petit espace que la particule décrit en sortant du vase, espace qui, par la nature des mouvemens uniformément _accélérés, est comme le produit de la vitesse par le temps; il s’en- suit que la hauteur de la colonne, sera de nouveau comme le quarré de la vitesse acquise Cette ranclæsinn ect duut TIjourcuse, pourvu qu’on accorde que chaque particule, en sortant du vdse, est pressée par SECONDE PARTIE, SECTION X. 28 par le poids entier de toute la colonne du fluide qui a cette particule pour base; c’est ce qui aurait lieu en effet, si le fluide contenu dans le vase y était stagnant; car alors sa pression sur la partie du fond où est l'ouverture, serait égale au poids: de la co- lonne dont elle est la base; mais cette pression doit être différente lorsque le fluide est en mouvement. Cependant il est clair que plus il approchera de l'état de repos, plus aussi sa pression sur le fond approchera du poids total de la colonne verticale; d’ailleurs Pexpérience fait voir que le"mouvement du fluide dans le vase est d'autant moindre que l'ouverture est plus petite. Ainsi la théorie précédente approchera d’autant plus de la vérité, que les dimen- sions du vase seront plus grandes relativement à l'ouverture par laquelle le fluide s’écoule, et c’est ce que l'expérience confirme. Par une raison contraire, la même théorie devient insuffisante pour déterminer le mouvement des fluides qui coulent dans des tuyaux dont la largeur est assez petite, et varie peu. Il faut alors considérer à-la-fois tous les mouvemens des particules du fluide, et examiner comment ils doivent être changés et altérés par la figure du canal. Or l’expérience apprend que quand le tuyau a une direction peu différente de la verticale, les différentes tranches ho- rizontales du fluide conservent à très-peu prés leur parallélisme, ensorte qu'une tranche prend toujours la place de celle qui la précède ; d’où il suit, à cause de l'incompressibilité du fluide, que la vitesse de chaque tranche horizontale, estimée suivant le sens vertical, doit être en raison inverse de la largeur de cette tranche, largeur qui est donnée par la figure du vase. Il suffit donc de déterminer le mouvement d’une seule tranche, et le problème est en quelque manière analogue à celui du mou- vement d’un pendule composé. Ainsi, comme selon la théorie de Jacques Bernuulli, les mouvemgns acquis et perdus à chaque ins-’ tant par les différens poids qui forment le pendule, se font mutuel- Méc. anal. Tom. IL. 36 282 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. tement équilibre dans -le levier, it doit y avoir équilibre dans le tuyau entre les différentes tranches du fluide animécs chacune de la vitesse acquise ou perdue à chaque instant; et de là par l'ap- plication des principes déjà connus de l'équilibre des fluides, on aurait pu d’abord déterminer le mouvement d'un fluide dans un tuyau, comme on avait déterminé celui d’un pendule composé. Mais ce n’est jamais par les routes lesplus simples etlesplusdirectes, que lesprit humain parvient aux vérités, de quelque genre qu’elles soient, et la matière que nous traitôns en fournit un exemple frappant. Nous avons exposé dans la première Section les différens pas qu'on avait faits pour arriver à la solution du problème du centre d’oscillation; et nous y avons vu que la véritable théorie de ce problème n'avait été découverte par Jacques Bernoulli que long- temps après que Huyghens leut résolu par le principe indirect de la conservation des forces vives. Îl ena été de même du problème du mouvement des fluides dans des vases; et il est surprenant qu'on n’ait pas su d’abord profiter pour celui-ci des lumières que . lon avait déjà acquises par l’autre. Le même principe de la conservation des forces vives fournit encore la premitre solution de ce dernier problème, et servit de base à lHydrodynamique de Daniel Bernoulli, imprimée en 1758, euvrage qui brille d'ailleurs par une Analyse aussi élégante dans sa marche que simple dans ses résultats. Mais linexactitude de ce principe, qui n’avait pas encore été démontré d'une manière gé- nérale, devait en jeter aussi sur les propositions qui en résultent, et faisait desirer une théorie plus sûre et appuyée uniquement sur les lois fondamentales de la Mécanique. Maclaurin et Jean Bernoulli entreprirent de remplir cet objet, Fun dans son Traité des Fluxions, que d'exammor celui que chaque particule doit . » Avoir. 284 MÉCANIQUE ANALYŸTIQUE. Clairaut avait donné dans sa Théorie de la figuré de la Terre, imprimée en 1743, les lois générales de l'équilibre des fluides, ‘dont toutes les particules sont animées par des forces quelconques; il ne s'agissait que de passer de ces lois à celles de leur mouve- ment, pat le moyen du principe auquel d’Alembert avait réduit, à cette même époque, toute la dynamique. Ce dernier fit, quelques années aprés, Ce pas important, à l'occasion du prix que l’Aca- démie de Berlin proposa en 1750, sur la théorie de la résistance des fluides, et il donna le premier, en 1752, dans son Essai d’une nouvelle Théorie sur la résistance des Fluides, les équations ri- goureuses du mouvement des fluides, soit incompressibles , soit compressibles et élastiques, équations qui appartiennent à la classe de celles qu'on nomme à différences partielles, parce qu’elles sont entre les différentes parties des différences relatives à plusieurs variables. Mais ces équations n’avaient pas encore toute la géné- ralité et la simplicité dont elles étaient susceptibles. C’est à Euler qu’on doit les premières formules générales pour le mouvement des fluides, fondées sur les lois de leur équilibre, et présentées avec la notation simple et lumineuse des différences partielles. ‘Voyez le volume de l’Académie de Berlin, pour Pannée 1755. Par cette découverte, toute la Mécanique des fluides fut réduite à un seul point d'analyse; et si les équations qui la renferment étaient intégrables', on pourrait, dans tous les cas, déterminer complète- ment les circonstances du mouvement et de l'action d’un fluide mu par des forces quelconques; malheureusement elles sont si re- belles, qu’on n’a pu jusqu’à présent en venir à bout que dans des cas très-limités. C’est donc dans ces équations et dans leur intégration que con- siste toute la théorie de l’'Hydrodynamique. D’Alembert employa d’abord pour les trouver, nne métkado un peu Compliquée; il en donna ensuite une plus simple ; mais cette méthode'étant fondée SECONDE PARTIE, SECTION X. 285 sur les lois. de l'équilibre particulières aux fluides, fait de PHydro- dynamique une science séparée de la Dynamique des corps solides. La‘réunion que nous avons faite, dans la première partie de cet ouvrage, de toutes les lois de Péquilibre des corps, tant solides que fluides dans une même formule, et Papplication que nous ve- nons de faire de cette formule aux lois du mouvement, nous con- duisent naturellement à réunir de même la Dynamique et lHydro- dynamique comme des branches d’un principe unique, et comme des résultats d’une seule formule générale. C’est l’objet qui reste à remplir pour compléter notre travail sur la Mécanique, et acquitter l'engagement pris dans le titre de cet ouvrage. 286 "MÉCANIQUE ANALYTIQUE. ONZIÈME SECTION. 22 Du mouvement des Fluides incompressibles. + 3, Or pourrait déduire immédiatement les lois du mouvement de ces fluides , de celles de leur équilibre, que nous avons trouvées dans la Section septième de la première partie ; car par le principe général exposé dans la seconde Section, il ne faut qu’ajouter aux forces accélératrices actuelles, les nouvelles forces accélératrices dd Ja, | DT de? Ainsi, comme dans les formules de l’article 10 et suiv. de la Section septième citée, on a supposé toutes les forces accéléra- trices du fluide déjà réduites à trois, X, Y, Z, dans la direction des coordonnées x, y, z;il n’y aura, pour pe ces au dirigées suivant les coordonnées rectangles x, LE: mouvement desfluides, qu’à y substituer X Des Te NT Le _ >» Z Je Ts au lieu de X, Y, Z. Mais nous croyons qu’il est plus conforme à l'objet de cet ouvrage, d'appliquer directement aux fluides les équations générales données dans la Section quatrième, pour le mouvement d’un système quelconque de corps. $ LI Équations générales pour le mouvement des Fluides incompressibles. 2. On peut considérer un fluidc*incopressible comme composé NOR . . . Q ; d’une infinité de particules qui se meuvent librement entr’elles , SECONDE PARTIE, SECTION XI. ‘287 Sans changer de volume; ainsi la question rentre-dans le cas de l'article 27 de la Section citée ci-dessus. Soit donc Dm la masse d’une particule ou élément quelconque du fluide, X, Y, Z les forces accélératrices qui agissent sur cet élément , réduites, pour plus de simplicité, aux directions des coordonnées rectangles x, y,2z, et tendantes à diminuer ces coor- données, L=o lé équation de condition résultante de l'incompres- sibilité où de Pinvariabilité du volume Dm, À une quantité indé- terminée, et S une caractéristique intégrale correspondante à la caractéristique différentielle D et relative à toute la masse du fluide; on aura pour le mouvement du fluide cette équation générale (Sect. IV), DH) dr (+7) dy + (+2) 2 ]Dm+HL=o. Il faut maintenant substituer dans cette équation les valeurs de Dm et de JL, et après avoir fait disparaître les différences des variations, s’il y en a, égaler séparément à zéro les coefficiens des variations indéterminées : dx, dy, d'z. Retenons la caractéristique D pour représenter les différences ‘relatives à la situation instantanée des particules contiguës, tandis que la caractéristique d se rapportcra uniquement au changement de position de la même particule dans l’espace; il est clair qu'on peut représenter le volume de la particule Dr par le parallé- lipipède DxDyDz; ainsi en nommant A la densité de cette parti- cule, on aura Dn=— ADxDyDz. + De plus, il est visible que la condition de lincompressibilité sera contenue dans léquation DxDyDz = const. ; de sorte qu’on aura L—DxDyDz—cnnst., et par conséquent d'i=S.(DxDyDz). Pour détermiaer cette différentielle, il faut employer les mêmes 268 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. _considérations que dans Particle 11 de la Section septième de la première partie; ainsi en changeant seulement d en D dans les formules de cet endroit, on aura S(DxDyDr) = DxDyDz (SE + ee + Ds Cette quantité étant multipliée par À, et intégrée relativement à toute la masse du fluide, on aura la valeur de SASZ, dans la- ‘quelle il faudra faire disparaître les doubles signes Dd' par les mêmes procédés déjà employés dans l'article 17 de la Section ci- tée. On aura ainsi, SIL = — 8 (Dax 55 dy + 7e 2) DxDy De + S(2"dx"— se ) DyDz+ S(2"dy"—\'dy ) DxDz +S(Xx'dz"— 17 ) DxDy. Faisant donc ces substitutions dans le premier membre de l'équation générale, elle contiendra premièrement cette formule intégrale totale , IC D +AX— EE) dx + (a + Ar — D à + (2% a + AZ — 5) dz | DxDyDz.:. …. (a), dans laquelle il faudra faire séparément égaux à zéro les coeffi- ciens des variations dx, dy, d'z, ce qui donnera ces trois équa- tions indéfinies pour tous les points de la masse fluide, Ex __ Da 5 â dé + À D: — © a(SE + F5 = Oo 00... (4). Da e à +2) D —e 11 SECONDÉ PARTIE, SECTION XI. 289 It restera ensuite à faire disparaitre les intégrales partielles, S'(X"dx" — Ndx") DyDz + S (x"dy" — \'dy) DxDz + S(a'dz" — x'dz') DxDy, lesquelles ne se rapportent qu’à la surface extérieure du fluide; et Von en conclura, comme dans Particle 18 de la Seotion septième citée, que la valeur de À devra être nulle pour tous les points de la surface où le fluide est libre; on prouvera de plus, comme. dans l’article 31 de la même Section, que, relativement aux en- droits où le fluide sçra contenu par des parois fixes, les termes des integrales précédentes se détruiront mutuellement , ensorte qu’il n’en résultera aucune équation; et en général on démontrera, par un raisonnement semblable à celui des articles 32,38 , 39, que la quantité A rapportée à la surface du fluide, y exprimera la pres- sion que le fluide y exerce, et qui, lorsqu'elle n’est pas nulle, doft être contrebalancée par la résistance ou l’action des parois. 3. Les équations qu’on vient de trouver renferment donc les lois générales du mouvement des fluides incompressibles ; mais il y faut joindre encore l'équation même qui résulte de la condition de l'in- compressibilité du volume DxDyDz, pendant que le fluide se meut; cette équation sera donc représentée par d.(DxDyDz) =0o, de sorte qu’en changeant J'en d dans l'expression de d'.(DxDyDz) trouvée ci-dessus, et égalant à zéro, on aura DE HE +0. sos (B): Cette équation, combinée avec les trois équations (4) de l'ar- ticle précédent, servira donc à déterminer les quatre inconnues X,Ys ZE A. 4. Pour aŸoir une idée nette de la nature de ces équations, il Méc, anal, Tom. IL. 37 .290 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. faut considérer que les variables x, y, z qui déterminent la po- sition d’une particule dans un instant quelconque, doiveñt appar- tenir à-la-fois à toutes les particules dont la masse fluide est com- posée; elles doivent donc être des fonctions du temps £, et des valeurs que ces mêmes variables ont eues-au commencement du mouvement, ou dans un autre instant donné. Nommant donc a, Bb, c les valeurs de x, y, z, lorsque £—0, il faudra que les valeurs complètes de x, y, z soient des fonctions de a, b, c, t. De cette manière, les différences marquées par la caractéristique D, se rap- ‘porteront uniquement à la variabilité de a, b, c; et les différences marquées par l’autre caractéristique d se rapporteront simplement à la variabilité de z. Mais comme dans les équations trouvées il y a des différences relatives aux variables mêmes x, y, z, il faudra réduire celles-ci aux différences relatives à a, b, c, ce qui est tou- jours possible; car on n’a qu’à concevoir qu'on ait substitué dans les fonctions, avant la différentiation , les valeurs mêmes de x, y,Z en &, b, c. 5. En regardant donc les variables x, y, z comme des fonctions de a, b, c, t, et représentant les différentielles selon la notation ordinaire des différences . , On aura Dx = da + À db + Ed, Lau + à Y db + de, Dy D: = 7 da +Sa+Sa et regardant en même temps la’fonction À comme une fonction de x, y, z, et comme une fonction de à, b, c, on aura DA Dà D? = Dx DXx + 5y Dy Se Fe ? Dz da da = À d+T db+?a SECONDE PARTIE, SECTION XI . 29t ces deux expressions de DA devant être identiques, si on subs- titue dans la première les valeurs de Dx, Dy, Dz en da, db, de, il faudra que les coefliciens de da, db, dc soient les mêmes de art et d'autre, ce qui fournira trois équations qui serviront à dé- > CE q Dx Da: Da du dx dx d l - Dzx° Dy’ Dz da’ db’ D cesera amême chose si on substitue dans la seconde expression de DA les va- leurs de da, db, dc en Dx, Dy, Dz tirées des expressions de ces dernières quantités; alors la comparaison des sien cd terminer les valeurs de = de Dx, Dy, Dz donnera immédiatement les valeurs de 5 D etc. Or, par les règles ordinaires de l'élimination, on a * _ «Dax + e Dy + #"Dz da = ; D Dy "D db 8 e+ +2 + de = *2z+YDy+ YDz TC ? en supposant RÉ En FLE mr Dr VERRE EX = ax Eu Li ENARTANNTETS Er is E, +ExÈxt EE PE RÉ ER + EXEXG— FER Faisant donc ces substitutions dans l'expression _ F da + D dt + ÊX, 292 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. et comparant ensuite avec l'expression identique on aura Dr _« da 8 da y da Da mt TI * DA _« da 8 da Y dh , Dy rate Bed? Dà «” da 8" dx y” da Dy Fr mt Bts *d Ainsi substituant ces valeurs dans les trois équations (7) de l'article 2, elles deviendront de cette forme, aprés avoir mul. tiplié par 4, dx da da " d dx dx dx ou... C OR +r)- TZ RS" NE (C); dz n dx dx es où il n’y a, comme l’on voit, que des différences partielles rela- tives à a, b, c, t. Dans ces équations, la quantité A, qui exprime la densité, est une fonction donnée de a, b, c sans t, puisqu’elle doit demeurer invariable pour chaque particule; et si le fluide est homogène, A sera alors une constante indépendante de a, b, c, t. Quant aux quantités X, Y, Z qui représentent les forces accélératrices , elles seront le plus souvent données en fonctions de x, y, z, £. 6. Mais on peut réduire les équations précédentes à une forme plus simple, en ajoutant ensemble, après les avoir multipliées . . ’ dx dy dz dé d respectivement et successivement par Ts D mr PAT >? Dos d dx dy dz.. , TH et par Te , 3 car d'après ks expressions de 6, &, B,7; SECONDE PARTIE, SECTION Xl. 293 e', B, etc. ee ci-dessus, il est aisé de voir De aura Pa R+ei LH RE FR à + Fra É- +9" — ensuite, CE + ge + Ÿ + 8" € 0, y _ + é n d d d +" Lo, Te TS + a ue, par ces opérations et ces réductions, on aura les transformées , P ; . Q F0; et ainsi de suite. De sorte a FHA)E (T2 +7)2+( a +2 Èe de e. e +2)% HR +P)S D + a Ha) —F= (D). LE HA) +) EH (T2) Fa On aurait pu parvenir directement à ces dernières équations, en introduisant dans les formules de Particle 2, au lieu des va- riations d'x, dy, d'z, celles des coordonnées de l’état initial d'a, db, dc; car en regardant x, y, z comme fonctions de a, b, c, on aura dx = da+T a dy=Ÿ a+? db + Ÿ re dc; dz dz = + da+T 35 + À de On fera ces substitutions dans la formule (a) de Particle 2, et on égalera à zéro les quantités multipliées par d'a, db, dc, en observant que À étant fonction de x, y, z, on a, par rapport à a, b,:c, da Da D Da 2 R De X a D * de Di X de! dan Da x D Dz x à +2 D * + D: * 3 . da _ D: 2 x ; & Ds XE+DX IHRX 17 294 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. On aura tout de suite les équations dont il s’agit, lesquelles, dans le cas où Xdx+ Ydy+Zdz est une diflérentielle complète re- présentée _ dy, se mettre sous cette forme So simple , x Ÿ dy EX +7 - e e a» Es HO TE 0 d'x dF" rs FA x +P D HT X E+T)-E En 7. On transformera, d’une manière semblable, l'équation (B) de l'article 3; et pour cela, comme, d’après la remarque de Particle 4, les différentielles dx, dy, dz ne sont relatives qu’à la variable #; on les réduira “d'abord aux différences partielles dt, œ dt, À * dt; ensorte que l'équation dont il s’agit étant divisée par dé, sera de la forme Or , par les formes trouvées ci - dessus pour valeurs de ns : D etc., on aura pareillement , en substituant € F7 À , etc. à la place de À, D 4e dx dx de _« “dt 8, “dt , y prs De IX da To D Te a? et comme dans le second membre de cette équation, la quantité x est regardée comme une fonction de a, b,c,t,on aura... dx 2 ‘dt d'x de — Jin» Cet ainsi des autres différences partielles de x; de sorte qu’on aura simplement * dx L dE _= du !, p dx y dx De Xi Te D Te * de SECONDE PARTIE, SECTION .XI. 295 On trouvera des expressions semblables pour les valeurs de DŸ D D et, et il n’y aura pour cela qu’à changer, ‘dans la for- mule précédente, x ‘en y et z. Faisant donc ces substitutions dans l'équation ci-dessus, elle deviendra, après y avoir eflacé le FR commun b, dx . he HE +7 . , dy e = de B dbdt pus 2 3 "7 d? Z (71 d?z [7] æ& Z 2 + en + Rn + ' = °: Le premier membre de cette équation n’est autre chose que la valeur de _ comme on peut s’en assurer par la différentia- tion actuelle de lexpression de 8 (art. 5). Ainsi l'équation devient #0, dontl’intégrale est 8— fonct. (a, b, c). : Supposons dans cette équation, 456, et soit Æ ce que devient alors.la quantité 8, on aura K:=— fonct. (a, b, c); par conséquent l'équation sera 0=X. Or nous avons supposé que lorsque t=0, ona x=4a,Y=b, =c; donc on aura a si alors =; LATE CHE des dou Le AURA da 9 db de da? 3 d : Di, ÿ =0, a = 0, =0, = 1. Ces valeurs étant subs- tituées dans l'expression de 8 (art.5), on a Û—1; donc K=1. Donc remettant pour 8 sa valeur dans l'équation dont il s’agit, elle sera de Ia forme de Ds = de xD + à da db de — d > LXEHEXTXE de, ue " à __ dx . de _. A combinée ayec les trois équations (C) ou (D) 296 . MÉCANIQUE ANALYTIQUE. des articles 5, 6, servira donc à déterminer les valeurs de à, *, 7, z en fonctions de &, b,c,t Cette équation peut aussi se trouver d’une manière plus simple, sans passer par l'équation différentielle (B) deg Particle 3. En effet, l'équation (B) exprime seulement que la variation du volume DxDyDz de la particule Dm est nulle, tandis que le temps £ varie; de sorte que la valeur de DxDyDz doit être constante et égale à la valeur primitive dadbdc. Or nous avons donné dans l’article 5 les expressions de Dx, Dy, Dz en da, db, dc; mais il faut remarquer que dans la formule DxDyDz, la différence Dz doit être prise en y regardant x et y comme constantes; que de même la différence Dy doit être prise en regardant x et z comme constantes ; et qu’enfin la différence Dx suppose y et z constantes, ce qui est évident en considérant le parallélipipède rectangle repré- senté par DxDyDz. Supposons donc d’abord x et y constantes, et par conséquent Dx et Dy +. on aura les deux puis ge de + % db + & = dc = 0, 7 + ® db + dde = —_ d’où lon tire dx . dx ” dy di = a * da 7 da de des e dy ÿ dx ? da * dd — da * db ces valeurs, substituées dans es de . donneront dz/dx. dy 7 << dz/dx. dy dx say z2/dx Sa dy, dx __Æ\E de — de” db) + ae” da “de + Rd 2e EC Te Pres at da * db —$ XX db Pour SECONDE PARTIE, SECTION XI. ‘297 Pour avoir de même la ver de Dy on supposera Dx=—o et D: =0, ce qui donne dc = 0 et ‘ e L. da a+ 5 db = 0'; d'où l'on tire dx da = — ® db, et cette valeur, ainsi que celle de dc =o, étant da substituées dans l'expression de Dy, donneront dx se dx « da si 45 * da db. T da Dy — Enfin pour avoir la valeur de Dx on fera Dy =0o, D:=0, 5 r d ce qui donne db—o, dc=0, et par conséquent Dx="T da. Multipliant ensemble ces valeurs de Dx, Dy, Dz, on aurà DxDyDz — É GR Ra) da\ d dz fdx, dy Re dz dx = dy Hard LITE da * db — de x% )} dadbdc. Faisant donc DxDyDz= dadbdc, on aura tout de suite l'équa- tion (E). Il est bon de remarquer que cette valeur de DxDyDz est celle qu’on doit employer dans les intégrales triples relatives à x, Y, z, lorsqu'on y veut substituer, à la place des variables x, y, 7, des fonctions données d’autres variables a, b, c. 8. Comme les équations dont il s’agit sont à différences partielles, l'intégration y introduira nécessdirement différentes fonctions ar- bitraires; et la détermination de ces fonctions devra se déduire: en partie de Pétat initial du fluide ; lequel doit être supposé donné, | et en partie de la considération de la surface extérieure du fluide, qui est aussi donnée si le fluide est renfermé dans un vase, et qui Déc. anal, Tom. IL. 58 298 MÉCANIQUE ANALYŸTIQUE. doit être représentée par l'équation À 0, lorsque le fluide est libre (art. 2). | En effet, dans le premier cas si on représente par -Z—0 l'équa- tion des parois du vase, /Z étant une fonction donnée des coor- données x, y, z de ces parois, et du temps # si les parois sont mobiles, ou d’une forme variable, en y mettant pour ces variables leurs valeurs en a, b,c, t, on aura une équation entre les coor- données initiales a, b, c et le temps #, laquelle représentera par conséquent la surface que formaient dans l'état initial les mêmes particules qui, après le temps £, forment la surface représentée par léquation donnée /Z—0o. Si donc on veut que les mêmes par- ticules qui sont une fois à la surface y demeurent toujours et ne se meuvent que le long de cette surface, condition qui paraît né- cessaire pour que le fluide ne se divise pas, et qui est reçue géné- ralement dans la théorie des fluides, il faudra que l'équation dont il s’agit ne contienne point le temps t; par conséquent la fonc- tion 4 de x, y, z devra être telle que € y disparaisse après la substitution des valeurs de x,7,zena,b,c,t. Par la même raison l'équation A0 de la surface libre ne devra point contenir #; ainsi la valeur de À devra Ôtre une simple fonc- tion de a, b,c sans t. Au reste, il y a des cas dans le mouvement d’un fluide qui $’écoule d’un vase où la condition dont il s’agit ne doit pas avoir lieu; alors les déterminations qui résultent de cette condition ne sont plus nécessaires. 9. Telles sont les équations par lesquelles on peut déterminer directement le mouvement d’un fluide quelconque incompressible. Mais ces équations sont sous une forme un peu compliquée, et il est possible de les réduire à une plus simple, en prenant pour inconnues, à la place des coordonnées x, y, z, les vitesses SECONDE PARTIE, SECTION XL. 299 Æ , De == dans la direction des coordonnées, et en regardant ces Ÿitesses comme des fonctions ‘de x, y, z, t. En effet, d’un côté il est clair que puisque x,7, z sont fonc- ; .. dx dy dz tions de a, b, c, t,les quantités =, +, ea seront aussi fonctions des mêmes variables a, b, c, t; done si on conçoit qu'on subs- titue dans ces fonctions les valeurs de a, b, c en x, y, z tirées de dx dy dz celles de x,Y,z en a, b, c;-on aura dt’ d' dt? fonctions de x, y, z et 4. - D'un autre côté, il‘est clair que pour la connaissance actuelle du mouvement du fluide, il suffit de connaître à chaque instant le mouvement d’une particule quelconque qui occupe un lieu donné dans Pespace, sans qu'il soit nécessaire de savoir les états pré- cédens de cette particule; par conséquent il suffit d’avoir les va- leurs des vitesses cu , À en fonctions de x, y, z, £ exprimces en D'ailleurs ces SAS étant connues, si on les nomme p, 4, r, on aura les équatiens dx = pdt, dy = qdt, d:=rdt, entre x, y, z, t, lesquelles étant ensuite intégrées, de manière que x, y, z deviennent a, b, c, lorsque £=—0, donneront les valeurs mêmes de x,y7,zen à, b,c,t Au reste, si on chasse dt de ces équations différentielles, on aura ces deux-ci pdy —qdx, pdz= rdx, lesquelles éxpriment la nature des différentes courbes dans lesquelles tout *: fluide se meut à chaque instant courbes qui changent de place et de forme d’un instant à l’autre. 10. Reprenons donc les équations fondamentales (4) et (B) des articles 2 et 3, et introduisons-y les variables p=%, g=?, d r=";, regardées comme des functions de x, Y, z, £. . Boo MÉCANIQUE ANALYTIQUE. : Q .r. x dy d°z A , Îl est clair que les quantités a do peuvent être mises dx dy d.— d. ae ‘dt dy d sous la forme —, . A où les quantités æ, Do sont censées des fonctions de a, b,c,t. En les regardant donc comme telles, on aura pour la différence dx dx Le : _ dx ‘dt ‘dt de dd ? x di da+ 5 EE db + — de, et ainsi des autres; mais eu les regardant comme ue de x,Y,2z,t,et 2 désignant par p, q; _ leurs différences complètes seront LE dt+ = dx + de L'AE- ALES et ainsi des autres différences; a si dus ces ess expressions on met pour dx, dy, dz leurs valeurs en a, b, c, t, il faudra qu’elles deviennent iden- tiques avec les PER mar x étant ae comme fonction de a, b, ct, on a dx = dt + £ da +$ db+ “de, où © est évidemment = p, en supposant qu'on mette dans p les valeurs d x,7,z en a,b,c,t Ainsi on aura dx = =pdt+ L = da + etc.; et de même dy = qdt + dat ete., di = rdt + Ÿ = da + etc. .Substituant ces valeurs dans Flexpression de la différence complète dé , les termes affectés de dt seront......... sis ( +E = P A 2 q +$ Er )di, lesquels devant être identiques avecle de terme correspondant — dt, ou DE LE de , On aura d'z __ à LA SECONDE PARTIE, SECTION XI. Soi et l’on trouvera dé la _… manière d? = R+PE+ 15 D &° d'z = T+p +9 ar Te On fera donc ces substitutions Fe les équations (4); e dans ces mêmes équations les termes = DR CDR 2? res comme da q D: Dj? De présentent des différences partielles de À, relativement à x, #, Z, en supposant £ constant, on y pourra changer la caractéristique D en d. On aura ainsi les transformées d) P+pE Etre +X)-S = 0 % dq = vue MERE soso (FT: dr da _ A Hp +aR+ rE+Z)-S = 0 A l'égard de l'équation (B) de l'article 5, dans laquelle les diffé- rences marquées par d sont relatives à #, et celles qui sont mar-+ quées par D sont relatives à x, y, z, il n’y aura qu'à y mettre à la place de dx, dy, dz, leurs valeurs pdt, qdt, rdt, et changeant la caractéristique D en d, puisque la caractéristique est indiffé- rente dans les diflérences partielles, on aura sur-le-champ, à cause de dt constant, On voit que ces équations sont beaucoup plus simples que les équations (C) ou (D) et (E) auxquelles elles répondent, ainsi il convient de les employer de préférence dans la théorie des fluides. Ces quatre équations (F) et ?G) donneront p, 9, rctA en fonc- tions de x, y; z et de #, regardé comme constante dans leur inté- 302 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. gration. Et si on voulait ensuite avoir les valeurs de *x,#,z én fonctions de £ et des coordonnées primitives a, b, c, comme dans. la première solution, il n’y aurait qu’à intégrer les équations dx=pdt, dy=qdt, dz=rat, en y introduisant comme constantes arbitraires les valeurs initiales a, b, c de x, y, z. 11. Dans les fluides homogènes et de densité uniforme, la quan- tité À qui exprime la densité, est tout-à-fait eonstante ; c’est le cas le plus ordinaire, et.le seul que nous examinerons dans la suite, Mais dans les fluides hétérogènes, cette quantité doit être une fonction constante relativement au temps £ pour la même particule, mais variable d’une particule à l’autre, selon une loi donnée. Ainsi en considérant le fluide dans Pétat initial, où les coordonnées x, +, z sont a, b, c, la quantité A sera une fonction donnée et con- nue de a, b, c; donc si on regarde A comme fonction de x, y, zet é, il faudra qu’en y substituant les valeurs de x, y, z en fonc- tions de a, b, cett, la variable £ disparaisse; et par conséquent que la différentielle de A par rapport à £soit nulle. On aura donc, à cause de x, y, 2 fonctions de #, l'équation dA dr dy dA dz THERE +7 NE Par — t où il faudra mettre pour LA Ÿ, + mn - leurs valeurs p, q, r. Aiïosi on aura l'équation RHPR + br... (H), qui servira à déterininer l’inconnne A dans les équations (F), parce que dans ces équations on'duit traiter A comme une fonc- tion de NX) J> 8 . SECONDE PARTIE, SECTION XL. 803 A cet égard, elles sont moins avantageuses que les équations (C) ou (D), dans lesquelles on peut regarder A comme une fonc- tion connue de a, b, c. 12, Ce que nous venons de dire relativement à la fonction A, il faudra l'appliquer aussi à la fonction .Z, en tant que Z—=0 est l'équation des parois du vase, et qu’on suppose que le fluide contigu aux parôis ne peut se mouvoir qu’en coulant le long de ces parois, de manière que les mêmes particules restent toujours à la. surface. Car cette condition demande, comme on l’a vu dans l'article 8, que .Z devienne une fonction de a, b, c sans t; de sorte qu’en regardant cette quantité comme une fonction de x, 2 Z, t, on aura aussi l'équation dA dA dA dA TROUS PAS À PR ET: — O.. s..(T). Pour les parties de la surface où le fluide sera libre, on aura équation A=0 (art: 2); il faudra, par conséquent, pour satisfaire a la même condition , relativement à cette surface, que lon ait aussi d d. d d ta titre TT 41 13. Voilà les formules les plus générales et les plus simples pour la détermination rigoureuse du mouvement des fluides. La difficulté ne consiste plus que dans leur intégration; mais elle est si grande que jusqu’à présent on a été obligé de se contenter, mème dans les problèmes les plus*simples, de méthodes parlicu- lières et fondées sur des hypothèses plus ou moins limitées. Tour diminuer autant qu'il est possible cette difficulté, nous allons exa- miuer comment et dans quels ças ces formules peuvent encgre être simplifiées; nous en fcrous eusuite l'application à quelques 304 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. questions sur le mouvement des fluides dans des vases ou des canaux. | 14. Rien n’est d'abord plus facile que de satisfaire à l'équation (G) da de ie 10; car en faisant p = ms = “, elle devient Z dz d'« drdz + Le Le L —0, laquelle est intégrable oc à Z, & d et donne r=—% — À; il n'est point nécessaire d'ajouter ici une dx dy? fonction arbitraire, à cause des quantités indéterminées a et 8. Ainsi l'équation dont il s'agit sera satisfaite par ces valeurs da de du dg8 CET de? 1=%? TT dx — dy? lesquelles étant ensuite substituées dans les trois équations (F) du même article, il n’y aura plus que trois inconnues, &, Betà; et même il sera très-facile d'éliminer À par des différ chatiohs par- ticlles. De sorte que de cetle manière, si lt densité A est cons- tante, le problème se trouvera réduit à deux équations uniques entre les inconnues « et B, et si la densilé A est variable, il y faudra joindre l'équation (H) de l'article 11. Muis l'intégration de ces équations surpasse les forces de l'analyse connue. | 15. Voyons donc si les équations (F), considérées en elles- mêmes, ,ne sont pas susceplibles de quelque simplification. En ne considérant dans : fonction À que la variabilité de x, 72, on a de Rdx+ D dÿ + de, ldx dx da Donc substituant POU Gr Ty dir leurs valeurs tirées de ces éqyations, on aura SECONDE PARTIE, SECTION XI. 305 a=(P+pe EI tre E+ x) dx + (R+PÉ LH HTE HT) e +(% + Hip +re +2) te Le premier membre de cette équation étant une différentielle complète, il faudra que le second en soit une aussi, relativement à x, y, z; et la valeur de à qu’on en tirera satisfera à la fois aux équations (F). Supposons maintenant que le fluide soit homogène , ensorte que la densité A soit constante ; et faisons-la, pour plus de simplicité, égale à lunité. Supposons, de plus, que les forces accélératrices X, Y, Z soient telles que la quantité Xdx + Ydy+ Zdz soit une différentielle complète. Cette condition est celle qui est nécessaire pour que le fluide puisse être en équilibre par ces mêmes forces, comme on Va vu dans Particle 19 de la Section septième de la première par- tie. Elle a d’ailleurs toujours lieu, lorsque ces forces viennent d’une ou de plusieürs attractions proportionnelles à des fonctions quel- conques des distances aux centres, ce qui est le cas de la nature, puisqu’en nommant les attractions P, Q, R, ctc., et les distances P; 9, r, etc., on a en général Xdx + Ydy + Zdz= Pdp#+ Qdq + Rdr + etc, (Part. I, Sect. V, arts). Faisant donc A1, et Xdx + Ydy + Zdz = Pdp + Qdg + Rdr+ eic.=dF7, équation précédente deviendra . éc. anal. Tom. IT. 39 306 DR ANALYTIQUE. dd" >= P+ Ptag tri +G+ra sig tra) + S+PT+IRHre D. et il faudra que le second membre de cette équation soit une différentielle complète, puisque le premier en est une. Cette équa- tion équivaudra aussi aux équations (Æ) de l'article 10. Or en considérant la différentielle de E+gt+r , prise relative- ment à x, Y, z, il n’est pas difficile de voir qu’on peut donner au second membre de léquation dont il s’agit, cette forme : d.(p° REA a + ou. + mn) (gdx — pdy) + (É PT) {rdx — pdz) + AT) (rdy — qdz); et on voit d’abord que cette quantité sera une différentielle com- plète, toutes les fois que pdx + qgdy + rdz # sera LÉ ; Car alors sa différentielle par rapport à £, savoir, + P dx A dy+T le sera aussi, et de plus, les conditions connues de . dp dr dq dr donneront ce PE LL ——=0 dy dx 7 dz dx 2 dd + D'où il s'ensuit qu’on pourra satisfaire à l’équation (L) par la simple supposition que pdx + qgdy + rdz soit une difiérenticlle complète ; et le calcul du mouvement du fluide sera par là beau- coup simplifié. Mais comme ce n’est qu’une supposition particu- liére, il importe d'examiner , avant tout, dans quels cas elle peur et doit avoir lieu.” SECONDE PARTIE, SECTION XI. 307 16. Soit, pour abréger, nd OP JU nm dd’ 774 dy il ne s’agira que de rendre une différentielle exacte la quantité d d di . dx + T dy + T dz + e (qdx — pdy) + R(rdx — pdz) + y(rdy — qdz). En regardant p, q, r Comme des fonctions de ft, on peut supposer p=p +p't+ p'e + p'E + etc., q — q' + g't + ge + ge + etc., r=r + rt b re HE r'B + etc, les quantités p', P', p', etc.; g', g", g", etc.; 7’, r', r””, etc. étant des fonctions de x, y, z sans £. Ces valeurs étant substituées dans les trois quantités «&, 8,7; ‘elles deviendront a @ + a"é + xt HE @ivEs R elc., B — B' + B"t + Be + R''E + etc., y — VA + y't + 7e + VE + etc., en supposant | 1 pd mn dp" _ dg" « = y dx ? = dj dx ? etc , dp' dr 4 # d PSC OT = CRT ê dz dx? B'= dz dx ? etc. ; dj) dr dg” dr" D ne = 97 É 7 = 7% dy? Fed etc Ainsi la quantité ge dx + a dy + dz + æ (qdx — pdy) + . t B(rdx — pdz) +7 (rdy — yd:) deviendra, après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport aux puis- 508 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. sances de f, ‘p"dx + g'dy, + r'dz a(gdx — p'dy) + Brdx — p'dr) + y{rdy — qd) + é[2 (p"dx + g"'dy + r'"dz) | +a(g'dx — p'dy) + R(r'dx — p'de) + y(r'dy — g'dr) +a"(g'dx — p'dy) + Br dx — p'dz) + y"(r' dy — g'dz)] +4 [5(p'dx+ g''dv + r''dz) + a'(g""dx — p"dy) + B(r"dx — p"dz) + >'(r”dy ES g""dz) + "(gd — p'd) + BC dx — p'd=) + y dy — g'de) +e"(g'dx — p'dy) + B"(r'dx — p'dz) + y"{r'dy — g'd:)] + etc.; ct comme cette quantité doit être une différentielle exacte, indé- pendamment de la valeur de £, il faudra que les quantités qui . multiplient chaque puissance de #, soient chacune en particulier une différentielle exacte. Ccla posé, supposons que p'dx+ q'dy + r'dz soit une différen- ticlle exacte, on aura, par les théorèmes connus, a, Wa, dd, dr ? dz dx? dz dy? donc, &'=— 0, £’—0, y —0o; donc la premicre quantité, qui doit être une différentielle exacte, se réduira à p"dx + qg"dy + r'dz; et Yon aura par conséquent ces équations de condition #"=0, B"=0, y"—=0. Alors la seconde quantité, qui doit être une différentielle exacte, deviendra 2(p'"dx + g""dy + r"'d:); et il résultera de là les nou-. velles équations «= 0, B"—0, y"—o. Desorte que la troisième quantité, qui doit être une différentielle exacte, sera. ...... 5(p''dx + g''dy + r'"dz); d'où l'on tirera pareillement les équa- tions &æ"=—0o, fB"=—o, y"—o, et ainsi de suite. Donc si p'ux<+qdy+rdz est une différentielle exacte, il faudra que SECONDE PARTIE, SECTION XI. 30q P'dx+-q"dy+r'dz, Pp'dx+q"dy+r"dz, p'dx+q"dy-tr''dz, etc. soient aussi chacune en particulier des différentielles exactes. Par conséquent la quantité entière pdx + qdy + rdz sera dans cé cas une différentielle exacte, le temps £ étant supposé fort petit. 17. Il s'ensuit de là que si la quantité pdx + qdy + rdz est une différentielle exacte lorsque £—0, elle devra lêtre aussi lorsque £ aura une valeur quelconque; donc en général, comme l'origine des # est arbitraire, et qu’on peut prendre également # positif ou négatif, il s'ensuit que si la quantité pdx +qdy+rdz est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle de- vra l'être pour tous les autres instans. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l'être pendant tout le mouvement; car si elle Pétait dans un autre instant quelconque, elle devrait l'être’ aussi dans le premier. 18. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors P=0; 9=—=0, r=0, lorsque t—0o; donc pdx+-qdy+rdz sera intégrable pour ce moment, et par conséquent devra l'être tou- jours pendant toute la durée du mouvement. Mais s'il y a des vitesses imprimées au fluide, au commencement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles que pdx + gdy + rdz soit une quantité intégrable ou non; dans le premier cas, la quantité pdx + qdy +-rdz sera toujours intégrable ; dans le second, elle ne le sera jamais. Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion . quelconque sur la surface du flude, comme par l'action d'un pis- ton, on peut démontrer que pdx+-qdy + rd= doit être intégrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses p, g, 7, que chaque point du fluide reçoit en vértu de l'impulsion donnée à Ja surface, soient telles, que si on délruisait ces vilesses, en impri- 310 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. mant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et én sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos ou en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse, en vertu de l'impulsion appliquée à la surface, et des vi- tesses ou forces — p, —q,—r, appliquées à chacun des points de son intérieur ; par conséquent, d’après la loi générale de l’équi- libre des fluides ( Partie première, Section septième, article 19), les quantités p, q, r devront être telles que pdx+-gdy+rdz soit une différentielle exacte. Ainsi dans ce cas la même quantité de- vra toujours être une différentielle exacte dans chaque instant du mouvement, 19. On pourrait peut-être douter sil y a des mouvemens pos- sibles dans un fluide, pour lesquels pe qdy + rdz ne soit pas unc différentielle exacte. Pour lever ce doute par un exemple très-simple, il n’y a qu’à considérer le cas où l’on aurait p=—gy, q=—2gx, r=0,g étant une constante quelconque. On voit d’abord que dans ce cas pdx+qdy+rdz ne sera pas une différentielle complète, puis- qu’elle devient g(7dx— xdy), qui n'est pas intégrable; cependant l'équation (L) de l’article 15 sera intégrable d'elle-même; car on d d s .v° | aura = & D =— £, et toutes les autres différences partielles de p et q seront nulles; de sorte que l'équation dont il s’agit da — d = g"(xdx + ydy), dont l'intégrale donne À1= pt (x*—+.7°) + fonct. £, valeur qui satisfera donc laux trois équations (F) de Particle 10. A l'égard de l'équation (G) du même a elle aura lieu aussi, puisque les valeurs supposées donnent © de day SECONDE PARTIE, SECTION XI. 311 Au reste, il est visible que ‘ces valeurs de p, q, r représentent le mouvement d’un fluide qui tourne autour de l'axe fixe des coor- données z, avec une vitesse angulaire constante et égale à g; et Von sait qu'un pareil mouvement peut toujours avoir lieu dans un fluide. On peut conclure de là que dans le calcul des oscillations de la mer, en vertu de l'attraction du soleil et de la lune, on ne peut pas supposer que la quantité pdx + gdy + rdz soit intégrable, puisqu'elle ne l'est pas lorsque le fluide est en repos par rapport à la terre, et qu’il n’a que le mouvement de rotation qui lui est commun avec elle. 20. Après avoir déterminé les cas dans Jesquels on est assuré que la quantité pdx + qdy +- rdz doit être une différentielle com- plète, voyons comment d’après cette condition, on peut résoudre les équations du mouvement des fluides. : Soit donc pdx + qdy + rdz = d@, @ étant une fonction quelconque de x, y, z et de la variable #, laquelle est regardée comme ur dans la ditférenticlle d, on d d ; aura donc p = ,49= D r=% + et Substituant ces valeurs dans l'équation (L) de Particle 15, elle deviendra dà — dd = + d'? pe d'e +L. de: dx Te . 4 dry dxdz, de, de de + d‘? + Ga, +< x" dxdy + dy * dy "dy + )d y d'@ de dg . d + (+ à ratTR Ta me )d dont l'intégrale, RÉAvements X> D 2, est évidemment +. D 312. MÉCANIQUE ANALYTIQUE. On pourrait y ajouter une fonction arbitraire de £, puisque cette variable est regardée dans l'intégration comme constante; mais j'observe que. cette fonction peut être censée renfermée dans la valeur de @; car en augmentant g d’une fonction quelconque T de t, les valeurs de p, g; r demeurent les mêmes qu'auparavant, et le second membre de l'équation précédente se trouvera aug- menté de la fonction qui est arbitraire. On peut donc, sans dérpger à la généralité de cette équation, se dispenser d’y ajou- ter aucune fonction arbitraire de £. On aura donc par cette équation, a + LC HIGDICE valeur qui satisfera à la fois aux trois équations (F°) de l’article 10; et la détermination de ç dépendra de l'équation (G) du même article, de de laquelle, en substituant pour p, g, r leurs valeurs —, d? & devient Ainsi toute la dilliculté ne consistera plus que dans l’intégra- tion de cette dernière équation. 21. Ïl ÿ a encore un cas très-étendu, dans lequel la quantité pdx + gdy + rdz doit être une différentielle exacte; c’est celui où l'on suppose que les vitesses p, g, r soient très-petites, et qu’on néfglige les quantités très-petites du second ordre et des ordres suivans. Car il est visible que dans cette hypothèse, la même équa- tion {L) se réduira à Det Te Ux +$ 2 dy + dr, La où l'on voit que + P ax +5 2 dy + a dz devant être intégrable re- lativement SECONDE PARTIE, SECTION XI. 313 lativement à x, Y, Z, la quantité pdx + qgdy + rdz devra l'être aussi. On aura ainsi les mêmes formules que dans l’article précé- dent, en supposant @ une fonctiôn très-petite et négligeant les se- condes dimensions de @ et ee ses différentielles. © On pourra de plus, dans te” cas, déterminer les valeurs mêmes de x, Y, z pour un temps quelconque. Car il n’y aura pour cela qu'à intégrer ks équations dx=pdt, dy—qdt, d: =rdt (art. 9), dans lesquelles, puisque p, q, r sont trés-petites, et que par conséquent dx, dy, d: sont aussi très-petites*du même ordre vis-à-vis de df, on pourra regarder x, Y, z comme constantes par rapport à £ De sorte qu’en traitant £ seul comme variable dans les fonctions p,. q, r, et ajoutant les constantes a, b, c, on aura sur-le-chämp x=a+fpdt, y =b+ [qdt, z = c++ frdt. Donc faisant, pour abréger, ® — /pdt, et changeant dans ® les variables x, 7 4 en a, b,c, on aura simplement de do do X=a+ Tr, Y=b+ST, 2wc+—, où la fonction & devra être prise de manière qu'elle Soit nulle no 1=0, afin que a, b, c soient les valeurs initiales de Xy Jo Ce cas a lieu dans la théorie des ondes et dans toutes les pe- tites oscillations. . 22. En général, lorsque la masse du fluide est telle que l’une de ses diménsions soit considérablement plus petite que chacune des deux autres, ensorte qu’on puisse regarder, par exemple, les . coordonnées z comme très-petites vis-à-vis de x et y ; cette circons- .tance servira dans tous les cas à faciliter la résolution des équa- tions générales. Car il est clair qu’on pourrait donner alors aux inconnues p, Déc. anal. Tom. IL. 40 314 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. g, Tr, A la forme suivante : pP=p +pz+p'r + etc., g—=gq + g'z + qg"z* + etc., r=rT + rzt+Qr"z + etc., A= A! + A’z+ A"7 + etc., dans lesquelles p', p", etc.; g', g", etc.; r', r”, etcé A, A", etc. seraient des fonctions de x, Y, & sans z; de sorte qu’en fafsant ces substitutions, on aurait des équations en séries , lesquelles ne contiendraient que des diflérences partielles relatives à x, y, £. Pour donner là-dessus un essai de calcul, supposons de nou- veau qu'il ne #’agisse que d’un fluide homogène, où A1; et commençons par substituer les valeurs précédentes dans l'équa- tion (G) de Particle 10, et ordonnant les termes par rapport à z, on aura De sorte que, comme p’, p", etc.; g', gg", etc. ne doivent point contenir z, on aura ces équations particulitres, etc., par lesquelles on déterminera d’abord les quantités rer”, r'", etc., SECONDE PARTIE, SECTION XI. 315 et les autrés quantités 7°, p', p", etc.; g', g', etc. demeureront encore indéterminées. On fera les mêmes substitutions dans l'équation (L) de Particle 15, laquelle équivaut aux trois équations (Æ") de Particle 10, etilest aisé de voir qu’elle se réduira à la forme suivante : dà — d = adx + Bdy + ydz + 2(a'dx + B'dy + y'd2) + z'(c"dx + L'dy+3"dz) + etc., ‘en faisant, pour abréger, = %+p E+aEt+rp, en + pl + g Etre moto “= Ÿ+r E+PE +gi ee + 9" Det ar pl + r'p" à B=L+pE+p rpg E+e + ang" + r'g" ’ dr° n dr , dr” V=F+PE+rPE+IT a "1 A +9 That + nr, et ainsi de suite. Donc pour que le second membre de cette équation soit inté- grable, il faudra que les quantités adx + Bdy, ydz + 2(adx + B'dy), 7'zdz + 2° (æ"dx + B'dy), etc., ‘ soient chacune intégrable en particulier. Si donc où dénote par æ une fonctiun de x, y, t sans z,on 316 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. aura ces conditions : _ deu 1 dy — 29 Ga ! oY ar: BE %? Je? B = Jr "dy dy a — De B" — TE + etc. Alors l'équation intégrée donnera A= P+o + y sys + etc, et il ne s'agira que de satisfaire aux conditions précédentes, par le moyen des fonctions indéterminées ©, r', p', p',etc.; g',g", etc. Le calcul deviendrait plus facile encore, si les deux variables y tt z étaient trés-petites en même temps, vis-à-vis de x; car, on pourrait supposer alors P=P +Py + pe + p'y + pyr + etc, g=g+gy +9" + gy + 4yz + etc., Tr + r"y + F2 + roy Æ T'Yz + etc, les quantités p', p”, etc.; g', q”, etc.; r', r”, etc. étant de simples fonctions de x. - : Faisant ces substitutions dans l'équation (G), ct égalant sépa- rément à zéro les termes aflectés de y,z et de leurs produits, on aurait à + + + I ds dp : ve ses +29" +r =0o, ctc. Ensuite l'équation (Z} deviendrait de la forme d\—dF = edx + dy + ydz+ y(a'dx + R'dy + y'd2) | —+z(e"dx + B'dy+°7"dz) + etc. SECONDE PARTIE, SECTION XI. 317 en supposant a +p + agp + rp", B= TL p TE + ga + rg", 7 = # 4 pd Dar + ri, “= T+p Î de É + RE agp + gp + np + rp", ee et lon aurait pour l’intégrabilité de cette équation les conditions de dy ; | RES as = + e «=, &"=7, eic., moyennant quoi elle donnerait = + fadx + y + 35 + etc. Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordon- nées %x,Y,z d'autres variables £, n, £, lesquelles soient des fonctions données de celles-dà; et ar la nature de la ques- tion, la variable £, par exemple, les deux variables n et € sont très-petites vis-à-vis de £, on pourra employer des réduc- tions analogues à celles que nous venons d'exposer. $ FI. Du mouvement des fluides pesans et homogènes dans des vases ou canaux de figure quelconque. 23. Pour montrer l’usage des principes et des formules que nous venons de donner, nous allons les appliquer aux fluides aui sc meuvent dans des vases ou des canaux de figure donnée. Nous supposerons que le fluide soit homogène et pesant, et qu'il parte du’ repos, ou qu'il soit mis en mouvement par limpulsion. 318 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. d'un piston appliqué à sa surface; ainsi les vitesses p, g, r de chaque particule, devront être telles que la quantité pdx+-gdy-+rdz soit intégrable (art. 18); par conséquent on pourra employer les formules de l’article 20. Soit donc @ une fonction de x,7, z et{, déterminée par équation ” De + Se + 6 on aura digpord pour les vitesses de ‘chaque particule, suivant les directions des coordonnées x, y, z, ces expressions, _ de _ de __ de PT Rr gr Fe Ensuite on aura = 7444100 +100 quantité qui devra être nulle à la surface extérieure libre du fluide (art. 2). Quant à la valeur de Pi dépend des forces accélératrices du fluide (art. 15), si on exprime par g la force accélératrice de la gravité, et qu'on nomme £, *, © les angles que les axes des coordonnées x, y, z font avec la verticale menée du point d’in- -tersection de ces axes, et dirigée de haut en bas, on aûra..... =—gcosË, Y—=—geosr, Z = — gcosÿ; je donne le signe | — aux valeurs des forces X, Y, Z, parce que ces forces sont sur. posées tendre à diminuer les coordonnées x, y, z. Donc puisque dd” = Xdx + Ydy+ Zdz, on aura en intégrant : ñ4 D 2 L PV = — gx cosË — y cosn — gz cosé. l 24. Soit maintenant Z2= a, ou z:—4æ—0, l'équation d'une des parois du canal, & étant une fonction donnée de x, y sans z ni £. Pour que les mêmes particules du fluide svient toujours contiguts SECONDE PARTIE, SECTION Xf. 319 cette paroi, il faudra remplir l'équation (1) de Particle 12, en y supposant Æ—7— a. On aura donc de dg da dg da du de dx dy dy 0°? équation à laquelle devra satisfaire la valeur z = œ Chaque paroi fournira aussi une équation semblable. De même puisque À == 0 est l’équatioh de la surface extérieure du fluide , pour que les mêmes particüles soient constamment dans cette surface, on aura l’équatiôn dx de da dg... da de da __ RP de de À dy WT D laquelle devra avoir lieu et donner par cohséquent une même va- leur de z que l'équation À—0. Mais cette équation ne sera plus , - 4 ,. . a + , e . nécessaire dès que la condition dont il s’agit cessera d’avoir lieu. 25. Cela posé, il faut commencer par déterminer la fonction 9. Or léquation d’où elle dépend n’étant intégrable en général par aucune méthode connue, nous supposerons que l’une des dimen- sions de la masse fluide soit fort petite vis-à-vis des deux autres, cnsorte que les coordonñées z, par exemple, soient très-petites relativement à x et y. Par le moyen de cette supposition, on pourra représenter la valeur de @ par une série de cette forme : p = 9 + 29" + 29" + 29" + etc., où ?’, ®”, ®”, etc., seront des fonctions de x, y, @ sans z. Yaisant donc cette substitution dans léquaton précédente, elle deviendra 2 [+8 à + 29" +2 . + e + ai 1e” +2(5 1e, + 2 + 3. ) + etc. 320 MÉCANIQUE ANALYTIQUE- De sorte qu’en égalant séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de z, on aura pisse te adx* 2dy*? moe LE CX A 4 2.3dx° 2.5dy°? Su dg* d'e" Po Ed — 3.4 ___d# _% de dig TT 2.5 nt Ag 2.3.4dyt? etc. Ainsi lPexpression de ® deviendra ee pee LEE e=g + EF (TE +) AG + y. . 2t de # + 334 ai + +) + du. dans laquelle les fonctions ®’ et g" sont indéterminées , ce qui fait voir que cette expression est l'intégrale complète de l'équa- tion proposée. Ayant trouvé lexpression de ®, on aura par la différentiation celles de p, q, r, comme il suit : L pa tn ef ee 2 7 de) + L . dr SE Gary | — (Ex +< + etc. , ST PRET = a) En (EE + Re YEN ete. Et SECONDE PARTIE, SECTION XI. Bar” Et substituant ces valeurs dans l'expression de À de l'article 23, elle deviendra de cette forme : Az À + ZA" + ZA HE ZSAIT LL etc., dans laquelle | Ah rai EN +s GY+: g"s, cent # dy un (d® d'? + > L* + x a p dÿ ‘ «1 : d'e HE A re À= PS didyÿ s)+i e _; ET Ta + +) + À + de 7; My d’?’ 2 dy a +) +: dy” ! . TT a ; ? sc dy et ainsi de suite. 26. Maintenant si z2—« est l'équation des parois, æ étant une fonction fort petite de x et y sans z, l'équation de condition pour que les mêmes particules soient toujours contiguës à ces pa- -rois (art. 24) deviendra, par les substitutions précédentes, _ du de. de Po ip vw ue de de LT ere dx FT + Fe TXT dr + mx | MES de _ (ee LIN — 27 F (re deto +R dx dxdy dy dy. 0= @" — + etc.; Méc, anal, Tom. IL. 4x 822 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. laquelle devant avoir lieu, lorsqu'on fait z— «, se réduira à cette forme plus simple, La # l LA | . = se a à F dE . d'e di ss COMEES ra 2. (+) de) 2.34x 2. — + etc. = o, et il faudra que cette équation soit vraie dans toute l'étendue des parois donnécs. 27. Enfin Péquation de la surface extéricure et libre du fluide étant À — 0, sera de la forme NH 20" 4e ZA LE ZSAUT LL ttc. = 0 ; ct l'équation de condition, pour que les mêmes particules demeurent à la surface (art. 24), scra dx , dy dx dg , dx fe Sré . x de dy ren ++ EX ÉHE Le Sn 2 HER E NS Ti C +) * À 1 HD x Se (UE A LE) or d'e" de" 7] nt! si] Le F 2 )* À #09 À = etc. = oO. ’ . # . Chassant z de ces deux équations, on en aura une qui devra subsister d'elle-même, pour tous les points de la surface extérieure. SECONDE PARTIE, SECTION XI. 32% Application de ces formules au mouvement d’un fluide qui coule dans un vase étroit et presque vertical. 28. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vasé étroit et à peu près vertical, et supposons, pour plus de simpli- cité, que les abscisses x soient verticales et dirigées de haut en as. on aura (art. 25), £=o, n= 90°, = 90°; donc in. COS n —= 0, COS — 0. Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, ensorte que des deux ordonnées y et z, les premières y soient nulles, et les secondes z soient fort petites. | Enfin, soient z—«@ ct z—8 les équations des deux parois du vase, æ et B étant des fonctions de x connues et fort petites. On aura, relativement à ces parois, les deux équations (art. 26), , # dat de L dx dx Mu sue + etc. = 0, d se de 1 — en jeté = 0 ? . dx 2dx Mt. lesquelles serviront à déterminer les fonctions @' et ®”. Nous regarderons les quantités z, æ, 8 comme tris-petites du premier ordre, et nous négliscrons, du moins dans la première approximation, les quantités du second ordre et des ordres sui- vans. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci: dE pus 7 KA " dc ® Eu Te — Oo; Li — mers — 0; lesquelles, étant retranchées lune de l'autre, donnent......... 324 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. de d . (a RE À) de > . ue , dy" ; 7; —— = 0, équation dont l'intégrale est (#—8) 5% —8, 8 étant, une fonction arbitraire de #, laquelle doit être trés-petite du pre- mier ordre. Or il visible que «— 8 est la largeur horizontale du vase, que ? ie de ‘ re nous représenterons par 7. Ainsi on aura + =>, et intégrant d t à =0 Le > désignant J e nouveau, par rapport à x, @=0 / +3, en désignant par une nouvelle fonction arbitraire de £. Si on ajoute ensemble les mêmes équations, et qu’on fasse de’ «+8 : nes : =-—HM, On en lirera ÿ == TJ; uen substituant la valeur [2 de œ , g"—=9 -7. D'où l’on voit que puisque y, w, À sont des quantités très petites du premier ordre, g” sera aussi très-petite du même ordre. Donc en nésligeant toujours les quantités du second ordre, om aura, par les formules de Particle 25, la vitesse verticale LE h vitesse horizontale P dx y? d. - dé 7 ‘y 0 [de L dy re Qi gt SRE DE + (ap). Ensuite, à cause de cos £ —0o la quantité À" sera aussi très petite du premier ordre. Par conséquent , la valeur de À se réduira (art. 25) à ; ‘ dé fdx ds 3 RETER DE — = PE) y TT Cette valeur, égalée à zéro, donnera la figure de la surface LU - du fluide ; et comme elle ne renferme point lordonnée z, mais SECONDE PARTIE, SECTION XI. S25 seulement labscisse x et le temps f, il s’ensuit que la surface du fluide devra être à chaque instant plane et horizontale. . . Enfin l'équation de condition, pour que les mêmes particules soient toujours à la surface, se réduira, par la même raison, à . dx dy. dx : +. dA , 0. ,da celle-ci = +x (art. 27), savoir ++ KT = Où laquelle ne contient pas non plus z, mais seulement x et £. .29. Pour distinguer les quantités qui.se rapportent à la surface supérieure du fluide, de celles qui se rapportent à la surface in- férieure, nous marquerons les premières par un trait et les secondes par deux traits. Ainsi x! 7’, etg. seront labscisse, la largeur du vase, etc. pour la surface supérieure ; x", >”, etc. seront de même Pabscisse, la largeur du vase, etc. à la surface intérieure. Donc aussi À, A” dénoteront dans la suite les valeurs de À pour les deux surfaces; de sorte que l’on aura, pour la surface supé- rieure , l'équation dx’ a = spa ++ | 0, -et pour la surface inférieure, l'équation semblable, dé fdx" ds ea (RTS ae [ax ee AE ie Hu D ob aie à Enfin, © T + x ss —— = 0 sera Péquationde condition pour que les mêmes parles ‘e sont une fois à la surface supérieure y restent toujours; et — de FX a : = 0 sera l'équation de con- dition pour que la surface inférieure contienne toujours les mêmes particules du fluide. Cela posé, il faut distinguer quatre cas dans la manière dont un fluide peut couler dans un vage ; et chacun de ces cas demande une solution, particulière. 320 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 50. Le premier cas est celui où une quantité donnée de fluidè coule dans un vase indéfini. Dans ce cas, il est visible que lune et l'autre surface doit toujours contenir les mêmes particules, et qu’ainsi on aura pour ces deux surfaces les équations à = 0, XŸ= 0, et de plus, : dx 0 dx par = 0 dx, 0 dx di FDA quatre équations qui serviront à déterminer les variables x', x”, : l 8,S ent. L'équation N' = d'étant différentiée, donne dx & dx! + À dt==0; donc a = — Ex 3 substituant cette valeur dans l'équation dx 6 . dx N dx Q a + y X ar = 0; et divisant par Es Fo ON AUrA = On trouvera de même, en combinant l'équation A"=0 avec dx" dx" | dx CE 0 L F4 . RAR RER SRE PORTE SE V7 l'équation = TX celle-ci : = Donc on aura 6dt=— dx —7y"'dx", équations séparées; par conséquent on aura en intégrant [r'dx"— [y'dx' = m, : . m étant une constante, laquelle exprime évidemment la.-quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Cette équation donnera ainsi la valeur de x” en x’. Maintenant si on substitue dans l'équation X'=0o, pour d£ sa vds _ ‘dd dx’ ie & vaique ——, elle devient — 9x! + ef 7+ HEAR = 0 laquelle étant multipliée par — dx", donne R red gy'x'dx! —- Ou [+ .. — 03 —" es 0, qu'on voit être intégrable, SECONDE PARTIE, SECTION XI. 327 et dont l'intégrale sera gfyx' ax =? Î ee SRI = const. 2J » VAE ja On trouvera de la même manière, en substituant place de dt dans l'équation à" = o, et multipliant par — "dx", une, nouvelle équation intégrable, et dont l'intégrale sera gfy"dx" — = f “E — f8dS = const. Retranchant ces deux équations l’ane de l'autre, pour en éli- miner le terme f0d3, on aura celle-ci : , 0 , 6 dx" dx’ gré ds" frs de) (ff) = 2, dx Ÿ e (4 dans laquelle les quantités f>"x"d" — fy'x'dx' et [ ss — expriment les intégrales de yxdx ct de de, prises depuis x= x’ jusqu'à x=—x", et où L est une constante. Cette équation donnera donc 8 en x’, puisque x" est déjà connue en x’, par l'équation trouvée plus haut. "Ayant aiusi 8 en x’, on ydx’ 8 est t= f — + H, H étant une constante arbitraire. trouvera aussi £ en x’, par l'équation dt= , dont l'intégrale À l'égard des deux constantes Z et H, on les déterminera par Pétat initial du fluide. Car lorsque £=0, la valeur de x’ sera donnée par la position initiale du fluide dans le vase; ct si on sup- pose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra que lon ait Û—0o, lorsque #—0;" pour que les expressions p, q, r (art. 28) deviennent nulles. Mais si le fluide avait été mis d’abord en mouvement par des impulsiens quelconques, alors les valeurs de À et À” seraient données lorsque = 0, puisque la quantité À 328 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. rapportée à Ja‘surface du fluide exprime la pression que le fluide y exerce, et. qui doit être contre-balancée par la pression exté- rieure (art. 2). Or on a (art. 29) dé dx" dx! “1 1 M 1— — LEE ! er —— — le —( —— om —— }»° À'— 2 gx) + 7 (f : F | k é 2 donc en faisant £—0o, on aura une équation qui servira à dé- terminer la vfleur initiale de 8. Ainsi le problème est résolu, et le mouvement du fluide est entièrement déterminé. 31. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée, et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas on aura, comme dans le cas précédent, pour la surface su- ax dr pour la surface inférieure, on aura simplement l'équation "= 0, puisqu'à cause de l’écoulement du fluide, il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais d’un autre côté, Y'abscisse x" pour cette même surface, sera donnée et constante ;: de sorte qu’il n’y aura que trois inconnues à déterminer, savoir, ‘x, Bet S. Les deux premières équations donnent d’abord, comme dans le cas précédent, celle-ci: dé =, et + , ‘ . dx 4 | périeure, les deux équation£ à'=0 et = +5X 770; mais “ey'x' dx LORD À SERRE EU gy'x'dx" — 048 f 8ds = 0 2y ve ensuite l'équation à"= 0 donnera LA dx” ds &- rm # _—_ ——— — —— = . &x Eu dt Y “ dt Ft ay" 0 P CA dx" où Jon remarquera que x", 7" et | —-,sont des constantes que ë % € nous dénoterons, pour plus de simplicité, par f, À, n. Ainsi gn substituant SECONDE PARTIE, SECTION XI. -329- substituant à dé sa valeur 2; multipliant ensuite par — +'dx!, n on aura léquation £/fy'dx' — n0d8 —0d> — es — = 0. Donc retranchant de celle-ci l'équation précédente, pour en éli- miner les termes 843, on aura gay dut —(n— f'É) 00 (4 — 1) Par = 0, équation qui ne contient que les deux variables x’ et 0, et par laquelle on pourra. donc déterminer une de ces variables en fonc- tion de l’autre. : Ensuite on aura £ exprimé par la même variable, en intégrant # l'équation dt = , ct lon déterminera les constantes par l'état initial du fluide, comme dans le problème précédent. 3a. Le troisième cas a lieu lorsqu'un fluide coule dans un vase indéfini, mais qui est entretenu toujours plein à la même hau- teur, par de nouveau fluide qu’on y verse continuellement. Ce cas est l'inverse du précédent ; car on aura 7 pour la surface infé- da" rieure le deux équations À"=0 et © D + XX 77 = 0; et pour la surface supérieure, on aura ee l'équation A'= 0, à cause du changement continuel des particules de cette surface. Ainsi il n’y aura qu’à changer dans les équations de l’article précédent les quantités x’, y’ en x", >", et prendre pour /, L, n les valeurs données de x, y, L SA Au reste, nous supposons que l'addition du nouveau fluide se fait de manière que chaque couche prend d’abord la vitesse de celle qui la suit immédiatement, et qu’ainsi l'augmentation ou la dimi- nution de vitesse de cette couche, pendant le premier instant, est & déc. anal. Tom. II. 42 330 : MECANIQUE ANALYTIQUE. la même que si le vase n’était pas entretenu plein à la même hau< teur durant cet instant. 33. Enfin le dernier cas est celui où le fluide sort d’un vase de longueur déterminée , et qui est entretenu toujours plein à la même hauteur. Ici les particules des surfaces supérieure et infé- rieure se renouvellent entièrement; par conséquent on aura sim plement pour ces deux surfaces les équations W =0, à"=0; mais en même temps les deux abscisses x’ et x” seront données et constantes, ensorte qu'il n’y aura que les deux inconnues 8 et 4 à déterminer en & Soit donc x'= f, y=h, [S=n, x'=#F, V=H, [F=N; les deux équations 4 =—0, À"=—0o deviendront équation séparée, et qui est intégrable par des arcs de cercle ou des logarithmes. 34. Les solutions précédentes sont conformes à celles que les premiers auteurs auxquels on doit des théories du mouvement des fluides ont trouvées, d’après la supposition queles différentes tranches du fluide conservent exactement leur parallélisme, en«descendant SECONDE PARTIE, SECTION XI. 334 dans le vase. ( 7’oyez l'Hydrodynamique de Daniel Bernoulli, lHy- draulique de Jean Bernoulli, et le Traité des Fluides de d’Alembert.) Notre analyse fait voir que cette supposition n’est exacte que lorsque la largeur du vase est infiniment petite, mais qu’elle peut, dans tous les cas, être employée pour une première approxima- tion, et que les solutions qui en résultent sont exactes, aux quan- tités du second ordre près, en regardant les Jargeurs du vase comme des quantités du premier ordre. Mais le grand avantage de cette analyse, est qu’on peut par son moyen approcher de plus en plus du vrai mouvement des fluides, dans des vases de figure quelconque; car ayant trouvé, ainsi que nous venons de le faire, les premières valeurs des inconnues, en népgligeant les secondes dimensions des largeurs du vase, il sera facile de pousser Papproximation plus loin, en ayant égard succes- sivement aux termes négligés. Ce détail n’a de difficulté que la lon- gueur du calcul, et nous n’y entrerons point quant à présent. Applications des mémes formules au mouvement d’un fluide contenu dans un canal peu profond et presque horizontal, et en parti- culier au mouvement des ondes. 35. Puisqu’on suppose la hauteur du fluide fort petite, il faudra prendre les coordonnées z verticales et dirigées de haut en bas, les abscisses x et les autres ordonnées y deviendront horizontales, et l’on aura (art. 25) cos £ = 0, cosn=0, cos Ë—1. En prenant les axes des x et y dans le plan horizontal formé par la surface supérieure du fluide, dans l'état ‘d'équilibre, soit z—« l'équation du fond du canal, æ étant une fonction dé x et y. Nous regarderons les quantiés z et &æ comme très-petites du premier ordre, et nous négligerons les quantités du second ordre 332 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. et des suivans , c’est-à-dire celles qui contiendront les carrés et les produits de z et «. L'équation de condition relative au fond du canal donnera (art. 26) de € + 1 — = dx + dy ? d’où l’on voit que g” est une quantité du premier ordre. Ensuite la valeur de la quantité à se réduira à A/+"z (art. 25); et il faudra négliger dans lexpression de à’ les quantités du second ordre,. et dans celle de 2" les quantités du premier. Ainsi, à cause de cos£ —0, cosn=0, CosŸ = 1, on aura, par les formules du même article, NT +3 (E)+: @) Du à On aura donc (art. 27), pour la surface supérieure du fluide, l'équation N' —#z— 0, et ensuite l'équation de condition de, d THE PTT XD — — 89" +87 EL , Léquation N—gz=0, donne cièle: champ 2= pour la fi-- gure de la surface supérieure du fluide à chaque He et comme l'équation de condition doit avoir lieu aussi relativement à la même surface, il qudre ‘qu’elle soit vae en y substituant à Z cette même valeur À L- Cette équation ‘deviendra donc par là de cette forme : g" # Ro ee axe Gt de PPS D dy — gg" =0, SECONDE PARTIE, SECTION XI. 333 - et substituant encore pour g" sa valeur trouvéé ci-dessus, elle se réduira à celle-ci : # de ART at ge À dx dx dy F dx + ‘ dy — 9% dans laquelle il aura . qu'a mettre à la place de À’ sa va=” 4 leur, A = 1) ; et l’on aura une équation aux diffé- rences partielles du ni ordre, qui servira à déterminer g’ en fonction de x, y, £ Après quoi on connattra la figure de la surface supérieure du fluide, par Péquation 1 {de SEE de +2) LÉ R): et si on voulait connaître aussi les vitesses horizontales P:9 de ns es du fluide, on les aurait par les formules P = L, q = ge (art. 26). 56. Le calcul intégral des équations aux différences partielles est encore bien éloigné de la perfection nécessaire pour l'intégra= tion d'équations aussi compliquées que celle dont il s’agit, et il ne reste d'autre ressource que de simplifier cette équation par quelque limitation. Le” Nous supposerons pour cela, que le fluide dans son mou- vement, ne s’élève"ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous du piveau, qu'infiniment peu, ensorte que Îles ordonnées z de la sur= face supérieure soient toujours ‘trés- -petites, et qu'outre cela les vitesses horizontales p et q soient aussi infiniment petites. Il fau- de dg ‘ds? dx? et qu'ainsi®la quautité @’ soit elle-même infiniment petite, dra donc que les quantités Re soient infiniment petites, 554 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ainsi négligeant dans l'équation proposée les quantités infini- ment petites du second ordre et des ordres ultérieurs, elle se réduira à cette forme linéaire de’ de’ de d “dx ° “dy dis ë dx é dy 0; et Jon aura à __ dé dé __ de RE dr dy" Cette équation, contient donc la théorie générale des petites agitations d’un fluide peu profond, et par conséquent la vraie théorie des ondes formées par les élévations et les abaissemens successifs et infiniment petits d’une eau stagnante et contenue dans un canal ou bassin peu profond. La théorie des ondes que Newton a donnée dans la proposition quarante-sixième du second Livre, étant fondée sur la supposition précaire et peu naturelle, que les oscillations verticales des ondes soient analogues à celles de l'eau dans un tuyau recourbé, doit être regardée comme ab- solument insuffisante pour expliquer ce problème, 37. Si on suppose que le canal ou bassin ait un fond horizon- tal, alors la quantité « sera constante et égale à la profondeur de l'eau, et l'équation pour le mouvement des ondes deviendra G , d? de d'? Æ TR} Cette équation est entiérement semblable à celle qui détermine les petites agitations dg l'air, das la formation du son, en n’ayant égard qu’au mouvement des particules, parallèlement à l'horizon, comme on le verra dans l'article 9 de la Section suivante. Les élévations z, au-dessus du niveau de l'eau, répondent aux con- densations de Fair, et la profondeur « de Peau dans le canal, SECONDE PARTIE, SECTION Xl. 535 répond à la hauteur de l'atmosphère supposée homogène, ce qui établit: une parfaite analogie entre les ondes formées à la surface d’une éau tranquille, par les élévations et les abaissemens succes- sifs de l’eau, et les ondes formées dans l'air, par les condensations et raréfactions successives de Pair, analogie que plusieurs auteurs avaient déjà supposée, mais que personne jusqu'ici n’avait encoré rigoureusement démontrée. Ainsi comme la vitesse de la propagation du son se trouve égale à celle qu'un corps grave acquerrait en tombant de la moitié de la hauteur de latmosphère supposée homogène, la vitesse de la propagation des ondes sera la même que celle qu’un corps grave acquerrait en descendant d’une hauteur égale à la moitié de la profondeur de l’eau dans le canal. Par conséquent, si cette pro- fondeur est d’un pied, la vitesse des ondes sera de 5,495 pieds par seconde; et si la profondeur de l’eau est plus ou moins grande, la vitesse des ondes varierasen raison soudoublée des profondeurs, pourvu qu’elles ne soient pas trop considérables. Au reste, quelle que puisse être la profondeur de l’eau, et la figure de son fond, on pourra toujours employer la théorie pré- cédente, si on suppose que dans la formation des ondes l’eau n’est ébranlée et remuée qu'à une profondeur très-petite , suppo- sition qui est très-plausible en elle-même, à cause de la ténacité et de l’adhérence mutuelle des particules de l’eau, et que je trouve d’ailleurs confirmée par l'expérience, même à légard des grandes ondes de la mer. De cette manière donc, la vitesse des ondes déterminera elle-même la profondeur & à laquelle l'eau est agitée dans leur formation; car si cette vitesse est de 7x pieds par se- Le : conde, on aura = 3% 546 Pieds. 2 On trouve, dans le tome X des anciens Mémoires de l’Acadé- 536 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. mie des Sciences de Paris, des expériences sur la vitesse des - ondes, faites par M. de la Hire, et qui ont donné un pied et demi par seconde pour cette vitesse, ou plus exactement 1,418 pieds par seconde. Faisant donc 7 —1,412, on aura la profondeur « 66 . . 8 . Q one 4 de - de pied, savoir de - de pouce, ou 10 lignes à peu prés. DOUZIÈME SECONDE PARTIE, SECTION XII. 537 DOUZIÈME SECTION. Du mouvement des Fluides compressibles et élastiques. 1. Pour appliquer à cette sorte de fluides équation générale de l’article 2 de la Section précédente, on observera que le terme SAd'L doit y être effacé, puisque la condition de l’incompressi- bilité à laquelle ce terme est dà n’existe plus dans l’hypothèse présente; mais d’un autre côté, il y faudra tenir compte de Pac- tion de Pélasticité, qui s’oppose à la compression et qui tend à dilater le fluide. Soit donc € élasticité d’une particule quelconque* Dmn du fluide; comme son effet consiste à augmenter le volume DxDyDz de cette particule, et par conséquent à diminuer la quantité —DxDyDz, il en résultera pour cette particule le moment —cd", (DxDyD2) a ajouter au premier membre de la même équation. De sorte qu’on aura pour toutes les particules le terme intégral —S:.(DxDyDz) à substituer à la place du terme SAd'Z. Or, d'L étant égal à d'.(DxDyD2), il est clair que léquation générale demeurera de la même forme, en y changeant simplement À en — €. On par- viendra donc aussi, par les mêmes procédés, à trois équations finales semblables aux équations (4), savoir, a e A(E+X)+5=0 (+ r)+p=ot.......() : dé Dy 2 D: AR +z)+5 0 Méc. anal. Tom, IL. 4 338 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Et il faudra de même que la valeur de € soit nulle à la sur- face du fluide, si le fluide y est libre; mais s’il est contenu par des parois, la valeur de € sera égale à la résistance que les parois exercent pour contenir le fluide, ce qui est évident, puisque « exprime la force d’élasticité de ses particules, 2. Dans les fluides compressibles, la densité A est toujours donnée par une fonction connue de €, x, Y; z, t, dépendante de Ja loi de l’élasticité du fluide, et de celle de la chaleur, qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l'espace, 1 ÿ a donc quatre inconnues, €, x, Y, Z à déterminer en, £, et par : conséquent il faut encore une quatrième équation pour Ja. solution complète du problème. Pour les fluides incompressibles, la condition de l’'invariabilité du volume a donné équation (B) de l'article 5, et celle de l'invariabilité de la densité d’un instant à l'autre a donné léquation (H) de Particle 11. Dans les fluides com- pressibles, aucune de ces deux conditions n’a.lieu en particulier, parce que le volame et la densité varient à-la-fois; mais la masse qui est le produit de ces deux élémens doit demeurer invariable. Ainsi on aura d. Din = o, ou A d.(ADxDyDz) = o. Donc, en | d.(DxDyD:) différentiant logarithmiquement Ÿ + DiDyDe tituant la valeur de d.(DxDyDi), (cette valeur est la même que celle de .(DxDyDz) de l'article 2 de la Section précédente, en y changeant d en . on aura l'équation 0, et subs- Dd + PE 2 RE Re D De Ovsosese(D), laquelle répond à l'équation (B) de Particle 3 de la Section citée, celle-là étant relative à l’invariabilité du volume, et celle-ci à linvariabilité de la masse. 3. Si un regarde les coordonnées x, y, z comme des fonctions SECONDE PARTIE, SECTION XIL 339 des coordonnées primitives a, b, c et du temps # écoulé depuis le conimencentent du mouvement, les équations (a) deviendront, par des procédés semblables à ceux de Particle 5 de la Section précédente, de cette forme : DE +X) Ha +BT + Leo ga a HT) +éà +R +Y = 0... (0), _ (+2) + +R HV 0 ou : ae. , plus simple, | a mx) a + +r Der G 4 Te +2Ÿe Hé 7. dz su ++ D + ae +2à + = © ...(d), d DER + (O7 PE (SE de +2) + = 0 ces transformées étant analogues aux transformées (C) et (D) de l'endroit cité. - u À l'égard de l'équation (b), en y appliquant les transformations de l'article 3 de la Section précédente, elle se réduira à cette forme ee + = o, les différgntielles ZA et d8 étant relatives uni- quement à la variable t. De sorte qu’en intégrant on aura A9=— fonct. (a, b, c). Lorsque t=—=0, nous avons vu dans l’ar- ticle cité que'8 devient =1 ; donc si on suppose que J7 soit alors la valeur de A, on aura H = fonct.(a, b, c), et l'équation de- yiendra a0=H, ou bien = 7 ; c’est-à-dire, en substituant pour 8 sa valeur, : SKY dz a se vu ds FA da XE+T T X TX de du vu Fe t xx ds dr. dy dz XXE + TX A7: FT da/°d ET = A Ferreu(e), transformée analogue à la noise (E) de l'article cité. 340 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Enfin il faudra appliquer aussi à ces équations ce qu’on a dif dans l’article 8 de la même Section, relativement à la surface du fluide. - 4. Mais si l’on veut, ce’ qui est beaucoup plus simple, avoir des équations, entre les vitesses p, g, r des particules, suivant les directions des coordonnées x, y, z, en regardant ces vitesses, ainsi que les quantités A et e, comme des fonctions de x, y, z, t, on emploiera les transformations de l'article 10 de la Section précé- dente, et les équations (a) donneront sur-le-champ ces transfor- mées, analogues aux transformées (æ) de ce dernier article, a(+Pir HT +rP+X)+É = 0 ap qi rt + F)+% =0 )...(/) A Merlin +2) + à 78 Dans l'équation (6), outre la substitution de pdt, qdt, rdt, au lieu de dx, dy, dz, et le changement de D en d, il faudra en- core mettre pour dA sa valeur complète, ‘ © JA = +R re P+5 9 ar r) dé, et l’on aura, en divisant par dt, cette transformée, dA dA da da dp , dq ,; dr _ 2dr ad PF 90 FA as À dy TR = 09 laquelle, étant multipliée par A, se réduit à cette forme plus simple, d. LORIE 209 + LC D = 0... (8). A Pégard de la condition relative au mouvement des particules à la suface, elle sera représentée également par l'équation (7) SECONDE PARTIE, SECTION XIL. 541 de l’article 12 de la Section précédente, savoir ; dA x +P +R +rs am o.....(i), en supposant que Z—0 soit l'équation de la surface. 5. Il est aisé de satisfaire à l'équation (£), en supposant de d8 ÂP= Tr, AqQ== AT = a, B, y étant des fonctions de x, y, z, & Par ces substitutions, équation dont il ne deviendra R aus + FE +0, laquelle est intégrable relativement à #, et dont l'intégrale donnera Li da d8 dy SF Ta à! F' étant une fonction de x, y, z sans £, dépendante de la loi de la densité initiale du fluide. On aura ainsi, da dt nus FLE EX dx dy dz de . a g pas F= da dB dy ? dx dy dy _ dt TELE & dx dy dz Donc substituant ces valeurs dans les équations (/), et met- tant de plus pour € sa valeur en fonction de A, x, y, z, t (art.2), 342 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. on aura trois équations aux différences partielles entre les incan- nues &, B, y et les quatre variables x, y, Z, £, et la solution du problème ne dépendra plus que -de l'intégration de ces équa- tions ; mais celte intégration surpasse les forces de l'analyse connue. | 6. En faisant abstraction de la chaleur et des autres circons- tances qui peuvent faire varier lélasticité indépendamment de la densité, la valeur de lélasticité sera donnée par une fonction de la densité A, de sorte que — & sera une différentielle à une seule variable, et par conséquent intégrable, dont nous supposerons lin- tégrale exprimée par E. Soit, de plus, la quantité Xdx + Ydy + Zdz une différentielle complète, dont l'intégrale soit 77, comme dans l'article 15 de la Section précédente. Les équations (/) de l'article 4 étant multipliées respective- ment par dx, dy, dz, et ensuite ajoutées ensemble, donneront, après la division par A, une équation de la forme — dE dr =(® E+pE +1% +r D dx r* ++ +94 + ra) & + a plat tre dz... (7); dont le premier membre étant intégrable, il faudra que le second le soit aussi. Ainsi on aura de nouveau le cas de l'équation (Z) de l’article 15 de la Section précédente, et on parviendra | par con- séquent à des résultats semblables. | 7. Donc en général, si la quantité pdx + qdy + rdz se trouve dans un instant quelconque une différentielle complète, ce qui a SECONDE PARTIE, SECTION XII. 343 toujours lieu'au commencement du mouvement, lorsque le fluide part du repos, ou qu'il est mis en mouvement par une impulsion appliquée à la surface, alors la même quantité devra être toujours une différentielle complète (art. 17, 18, Sect. préc.). Dans cette hypothèse on fera, comme dans l’article 20 de la Section précédente, pdx + gdy + rdz = d?, ce qui donne de — — % | P = dr? L— dy? T = dz ? et l'équation (7) étant intégrée, après ces substitutions, donnera LI E=—pr—: de 2) —:()......(m), valeur qui satisfera en même temps aux trois équations (/f°) de l'article 4. Or E étant — f & scra une fonction de A, puisque « est une fonction connue de A; donc A sera une fonction de E. Substi- tuant donc la valcur de A tirée de l’équation précédente, ainsi que celles de'p, q, r, dans l'équation (#) de l'article 4, on aura une équation en différences partielles de ?, laquelle ne contenant que cette inconnue suffira pour la déterminer. De sorte que toute la difficulté sera réduite à cette unique intégration. 8. Dans les fluides élastiques connus, l’élasticité est toujours proportionnelle à la densité; de sorte qu’on a pour ces fluides €e—iA,i étant un coefficient constant qu’on déterminera en con- naissant la valeur de lélasticité pour une densité donnée. Ainsi pour Pair, lélasticité est égale au poids de la colonne de mercure dans le baromètres donc si on nomme FÆ la hauteur du baromètre pour une certaine densité de Pair qu’on prendra pour Vanité, n la densité du mercur®, c’est-à-dire le rapport numérique de la densité du mercure à celle de l'air, rapport qui est le même 344 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. que celui des gravités spécifiques, et g la force accélératrice de la gravité, on aura, lorsque A= 1, € gnH; par conséquent i=gnH, où l’on remarque que A est la hauteur de l'atmosphère supposée homogène. De sorte qu’en désignant cette hauteur par on aura plus simplement /=4gh, et de là «=. Donc puisque E = [= —, on aura É— gh.lA. Or l'équation (£) " de l'article 4 peut se mettre sous la forme d.lA Eee la * d./A d.la dp + 4 _ dt Pr “dy 7 g + dz Ft dx +æ +$ HE = E de de de Donc substituant — re ie multipliant par 2h, elle deviendra à la place de 74, p, qg, r, et (+R )+% dE deg , dE de HE XPHTXE HT RE = 0 Il n’y aura donc. plus qu’à substituer pour'E sa valeur trouvée. ci-dessus; et cette substitution donnera léquation finale en?, d@ d'@ d'œ d’e o= gh (TE + dy: ae —T C4 do dr d@ d” de T à Ro d dp ., d'? de ee D NE c…....(n);, LA de — (0) x 7e — (2) * 2% de de de, dg +. d@ de de 3%: dy ‘dxdy Ta, dz' dxdz — à * dz' dydz laquelle contient seule la théorie du mouvement des fluides élas- tiques dans l'hypothèse dont il s’agit. 9- SECONDE PARTIE, SECTION XII. 345 9. Lorsque le mouvêment du fluide est très-petit, et qu’on n’a égard qu’aux quantités très-petites du premier ordre, nous ayons vu dans Particle 21 de la Section précédente, que la quantité pdx + qdy +- rdz est aussi nécessairement une différentielle com- plète. Dans ce cas donc, les formules précédentes auront toujours lieu, de quelque manière que le mouveraent du fluide ait été en- gendré, pourvu qu'il soit toujours très-petit, et que par conséquent la fonction @ soit elle-même trés-petite. Dans la théorie du son, on suppose que le mouvement des par- ticules de l’air est-très-petit; ainsi, regardant dans l'équation (7) la quantité @ comme très-putite, et négligeant les termes où elle monte au-delà.de la premitre dimension, on aura pour cette théorie l'équation . gh (FE HAN Fa de 7 dr” EN Er x?=0 Or en négligeant de même les secondes dimensions de ® dans la valeur de E de l'article 7, on aura simplement E=— pr ghla (art. 8), Of peut supposer que la fonction ? soit nulle dans l’état de repos ou d'équilibre. On aura donc aussi dans cet état ? =0, et $i on différentie Vexpression générale de @ de l’article précédent, et qu’on désigne par F’et f'! les différentielles des de marquées par F'et /, ensorte que F'x — ee fx x =“, On aura = F'(x + ty ga) HS (x — te zh), Fo = Ex + 18h) —f(x — tVgh). Faisant {—0o et changeant p en Pets en S, an aura P=Fx+f%x, SVh = F'x —f"x. 348 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Ainsi comme P et $ sont données pour toutes les abscisses x depuis x = o jusqu'à x=—a, on aura aussi: dans cette étendue les valeurs de F'x et de f'x; par conséquent, on aura les valeurs de p et s pour une abscisse et un temps quelconques, tant que x = ty/gh seront renfermées dans les limites o et a. Mais le temps é croissant toujours, les quantités x+iy/gh et x—ty£gh sortiront bientôt de ces limites, et la détermination des fonctions F'(x+1y/gh), f'(x—ty/gh), dépendra alors des conditions qui doivent avoir lieu aux extrémités de la ligne sonore, s-lon que la flûte sera ouverte ou fermée. 12. Supposons d’abord la flûte ouverte par ses deux bouts, ensorte que la line sonore y communique immédiatement avec l'air extérieur ; il est clair que son élasticité, dans ces deuxpoints, ne pouvant être contrebalancée que par la pression constante de Yatmosphère, là condensation s y devra toujours être nulle. Il faudra donc que l'on ait, dans ce cas, s— 0, lorsque x —0o et lorsque x== @, quelle que soit la valcur de £ , ce qui donne les deux conditions à remplir, FEV 8h) — f—tv 8h) = 0, Fa + ty gl) — f'(a—tV 8h) = 0, + “lesquelles devront subsister toujours, £ ayant une valeur positive quelconque. Donc en général, en prenant pour z une quantité quelconque positive, on aura F'{a+ 2) = f'(a—2) et f'(—2) = Fr. Donc, 1°. tant que z est d'z 3 Ts; SE +i=o, Ta 0 dé LE DCE pond arm ie tr 0) lee US 08 +mR __ ae PR ue d.nR £+nR . de E + n° = 0; savoir : ŒR , 9d!dR dl I fr 2N otre rt) HG) = 0, dR , 2dmdR dm, m 1 1N me ee + Rte) (Gr) = 0, PR dr dR ann TN n Ta TT R + n) +C (5 rs) = 0. t 356 NOTE SUR LA DÉTERMINATION , etc. Multipliant la première par mdrii — ndm, la seconde par.:.. — (/dn — nd), la troisième par Zdm — mdl, et les ajoutant en- semble, on aura, à çause de I(mdn — ndm) — m (/dn — nd?) + n(ldm—mdl) = 0, g Grdr — ndm) d1 — (ldn — nd) dm + (ldm — md!) dn : de + (3 _— =) CE Gndn-ndm) —1(dn-ndl)++< ({dm—madl)] = 0. Ainsi on aurà TC mais = ph 2(/E mn Een R + À; donc Le) FT ÉSLA S rap + 2(/£ + mn + né) 4 (5 =) + (5 ) ; savoir : Gp) ré ou (UE + men + no) (pp (= p) = 0; équation du huitième degré, mais qui est évidemment divisible par Tr —p, ce qui k rabaisse au septième. NOTE SUR LA SECTION IX. 557 Ce NOTE Il, Sur le mouvement de rotation { Voyez page 239 ). Farsons, comme dans l'article 2, sx HE, J=J tn 2=2 HE, £ — a£' + b£" + CE, “= an + bn! + cr”, E= dd + dE" + &". Ces formules représentent naturellement les trois espèces de mouvement dont un système est susceptible, Les variables x’, y’, z' sont les coordonnées d’un point du système qu’on peut regarder comme son centre, et elles déterminent le mouvement commun de tout le système. Les neuf variables £", £", £", »', etc., entre lesquelles il y a six équations de condition (art. 2), déterminent le mouvement de rotation de tout le système autour de son centre. Enfin les quantités a, b, c ne dépendent que des distances mu- tuclles des corps, et servent à déterminer leurs mouvemens réci- proques. En prenant le centre du système dans un point fixe, lors- qu'il y en a un dans le système, ou dans son centre de gravité, lorsque le système est libre, on a la formule générale (art. 6, Sect. III), et S SE ee + XIE + Ydh + Z8Y) m = 0, à laquelle il faudra ajouter les termes AdL+ nd M + »d'N-+ etc. 358 NOTE SUR LE MOUVEMENT dus aux équations de condition L—=o, M=0, N=o, etc., pour avoir l'équation générale du mouvèment du système (Sect. IV, art. 11). Il faut maintenant substituer à la place des variables £, n, &, leurs valeurs en a, b,c, £', £", etc. de l’article précédent. Or si, dans les expressions de d£, dn, dé de Particle 14, on change, ce qui est permis, la caractéristique d en d', on a d'£ — £'d'a' + £"d'b' + £"d'c’, d'un = n'a + nf + n'd'c', dé = C'J'a' + Edo! + ac, les valeurs de d'a’, db", de’ étant da = Ja + cfQ — bSR, db = db + air — cIP, de = de + bd P — adQ; et si l'on fait ces substitutions conjointement à celles de d'£, d'», d'£ de l’article cité, dans l'expression d'£d£ + d'ndh + d'xdY, elle devient, en vertu des équations de condition de l'article 6, d'a"da' + d'b"db' + d'c'dc!. De mème la quantité Xd£ + Yd'n+ ZY se change en celle-ci: Xda' + Y'db' + Z'Jc, en fuisant, pour abréger, X'=EX+N NY + ÈZ, À = EX + Y + €"Z , Z' — EX + n'Y + Ç"'Z. En supposant le système libre de tourner en tout sens autour de son centre, il est facile de voir que les équations de condition L=0o, M1=0, N=o, etc., données par la nature du système, DE ROTATION. 35q ne pourront contenir que les coordonnées @, b, c, qui déterminent la disposition des corps entr’eux. Ainsi les quantités L, M, N\, etc. ne pourront être fonctions que des a, b, c, relatives aux différens corps. Ainsi en égalant séparément à zéro les termes de léquation générale qui se trouveront multipliés par les variations d'P, d'Q, JR, qui sont communes à tous les corps du système, et ceux qui seront multipliés par les variations d'a, db, d'c relatives à cha- cun de ces corps, on aura d’abord, pour tout le système en gé- néral, les trois équations S re + ar! x Lx" m = 0, _ + cX' — aZ') m =0, SE + 02! — cY)m = 0; ensuite on aura pour chacun des E | du système, les équations Le + X')m+AT + Hp D ue ete. = 0, db" z dL d" wc +r)m+2AT + pu PT HrG + ee = 0, - di FE +2)m+AT D TR pre = 0. Et sile système est un corps solide composé d’élémens Din pour lesquels les coordonnées a, b,c sont constantes relativement au temps £, ona daz=æmo,db=0o,dc=0 ; donc . da'= cdQ — bdR, db —adR—cdP, dc'*=bdP —adQ, et de là da" = cd°Q — bd R + bdPdQ + cdPdR — a ( dQ*+dR:), = ad'R— cd P + adPdQ + ciQuR — b (dP*+dR'), dé" = bdyP — ad Q+ adPdQ+ biQAR — c (dP*+dQ). 56a NOTE SUR LE MOUVEMENT . Si on substitue ces valeurs dans les équations précédentes, qu’on prenne pour axes des coordonnées a, b, c lesetrois axes prin- cipaux du corps, ce qui donnera &bDm=o, SacDm=o, SbcDm=o (art. 28, Sect. IT), et qu'on fasse Sa Dm — 7, SbDm=m, S*Dm=—n, on aura, en supposant nulles les forces accélératrices , dPd (tm) += m) TR = 0, G+n) 4e) TE = 0, (m+n) SE + (mn) ST = 0. Ces équations s’accordent avec celles que nous avons trouvées d’une manitre* différente dans la Section troisième , puisque les dP dQ dR > do da Sn les vitesses de rotation autour des trois quantités axes principaux du corps@æqui étaient désignées par À, ©, @ dans les équations de l'acte cité. Elles prouvent en même temps la justesse de celles - ci sur laquelle on pouvait avoir quelques doutes à cause du passage des axes fixes aux axes mobiles ; mais lanalyse précédente, en rendant la formule générale indépendante de la position des axes de rotation, rend ce passage légitime. Dans le même cas d’un corps solide qui n’est animé par aucune force accélératrice, nous avofis vu que les équations des ares sont intégrables (art. 9, Scect. III). Si donc on fait les substi- tutions précédentgs dans les équations intégrales, on aura des équations qui seront les intécrales de celles de Particle précédent. Substituons d’abord les valeurs de £, n, d£ , dn.dans lexpres- sion £dn — »rd£, on aura £dn Dai nd£=( bdc! — cdb' ) ( É"n — n'£" ) + (cda' — adc') (n£"— £a") + (adb'— bda') (Ë"e"— né"), savoir; DE ROTATION. "561 savoir, par les formules de article 6, Edn -— dE — (bdc'=—cdb") + (cda'—adce!) { 4+(adb!— bda'}£". ‘On trouvera de la même matière, GdE — Edé—(bdc'—cdb' }n + (cda—cdc) + (adb'—bda'} »”, ndé — £dn =(bdc'—cdb')£" +(cda—adc')£"+ adb'—bda'}) €", Si on multiplie ces expressions par ge , qu’on les affecte du signe S, ct qu'après avoir substitué les valeurs de da’, db’, dc', on fasse da =0o,db=—0o, dc=—0o, SabDm=o, SacDn = 0 ; obcDm = 0, Sa Dm= 7, Sa Dm = m, S°Dm = n, qu'ensuite on les égale aux constantes C, ZB, al , On aura RE) EH (tn) "+ (Im) D = C; Cnbn) 4 (in) + (tm) ER, , dP © d (mn) TE (In) En) E"= A; d'où l'on tire tout de suite, par les équations: de condition de l'art. 3, | db 1 ! 1 (m+n) = = AE + Br + 7, (G+n)L = AE +.Bn + CE", (tm) À = AE + Br" + CES Ces équations s'accordent avec êelles de Part. 31 de la troisième Section, dans lesquelles 4’, «', 9’ sont la même chose que Le JO Cr dt’ dt? dt? pondent à #', g", £", n!, n”, etc. Aléc. anal. Tom. II. 46 ct où les caefficiens &, B, 7e", B', y',-ctc. ré- 562 NOTE SUR LE MOUVEMENT Si on ajoute ensemble les carrés des trois équations précé- dentes , on a tout de suite une équation entre dP,dQ,dR et dt, en vertu des équations de condition de Particle 5; cette équation est Cm} De + CH) LE (HE) = 4° + + C, ' : : ‘ dP par laquelle on peut déterminer une des trois variables +, d dR &., - bar les deux autres. On Ÿeut dans le même cas d'un corps solide qui n’est animé par aucune force accélératrice , avoir une seconde équation entre ces variables, par léquation des forces vives; car en ajoutant dé dn dé . ; ensemble les carrés des quantités :,, 5°» 7 On a (art. 15), à cause des équations de condition, de + dr + de ns FPS da + db + dé de de donc en affectant -tous les termes du signe S, après les avoir multipliés par Dm, on aura en général pour un système quel- conque, lorsqu'il n’y a point de forces accélératrices ( art. 55, Sect. HIT), da'°+ db’: a+ de?” dc” Es S(—- Dn=F. * Dans le cas d’un corps solide, on a da=0o, dd =0, de=0) donc da" = c'dQ* — 2kcdQdR + b'dR», db'* = a*dR* — 2acdPdR + cdP”, dc" = b*1P* — 2abdPdQ + a dQ:. Donc supposant comime ci-dessus $abDm =0, SacDm = 0; StcDm = 0, et Sa’ Dm = 7, Sb'Dn= m, S°Dh =n, on DE ROTATION, 363 aura De | . dP dQ dR On a ainsi deux des trois variables LR troisième, mais on ne peut avoir la valeur de celle-ci que par l'intégration d’une des trois équations différentielles précédentes. Ensuite pour avoir la valeur finie des coordonnées £, n, £ d’un point quelconque du corps, il faudra encore connaitre les valeurs des quantités £’, £", £", etc.; et lon y parviendra en combinant les six équations de condition entre ces neuf quantités, comme il a été dit art. 29, sect.. IX. exprimées par la 364 NOTE SUR LE MOUVEMENT Fragment sur les équations générales du mouvement de rotation d'un système quelconque. Les expressions que nous avons trouvées , page 227, sont très- propres à représenter les valeurs des sommes S ( d£*+-dn°+-d£*) m, S (Gdn — nd£ )m , etc. relatives à tous les corps m d’un système quelconque ; car il est clair que les signes sommatoires ne doivent affecter que les coordonnées a, b, c, et nullement les quantités £/, », cie. Ainsi on aura , après le développement, S (d£*+ dm + dé )m = dP'S (b°+c°) m + dOS (a*+c*)m + dR'S (a°+-b*) m — 24PdQSabm — 2dP4R Sacm — 24Q4R Sbcm + 2dP S(bdc—cdb)m +24 S(cda—adc) m+24R S (adb—bda)m + SYda* + db* + dc*) m ; S (£dn — nd£) m — £'dr + é"da + "da, S (SdE — Ed) m = »' UT + da + w”dA, S (rd£ — édn)m = ET + £"da + £"dA; en faisant pour abréger , dt = dPS(b*+-c*)m — dQ Sabm —dR Sacm +S (bdc—cdb) m, dA = 4dQS(g*+c)m— dP Sabm — dRBbcm +S (cda—adc) m, dA = 4dRS(a*+b°)m — dP Sacm — d QSbcm + S (adb—bda) m; et il est bon de remarquer que les valeurs desquantités dT , dA, dA sont les différences partielles de la valeur de 1 S(d£*+-dn°+-d&*) m à relatives aux variables dP, dQ, dk. Si on différentie les trois dernitres équations , on aura les valeurs des formules S(Edn—nd'é)m, S(Cd'E—EdE)m, S(nd—tér)m, DE ROTATION. 365 qui entrent dans les équations générales pour le mouvement d’un: système quelconque de corps, autour de son centre de gravité ou d’un centre fixe, que nous avons données dans l’article 7 de la + troisième section. Ces équations deviendront ainsi, en substituant pour les différen- tielles de £’, €”, etc., les valeurs de Particle 15, L (d.dt—dAdR+dAdQ) + C'(d.dA—dAdP+dTdR) + "(d.dA—dTtdQ+dAdP) + S (EY—nX)m = 0, n! (d.dT —dAdR+dAdQ) + #(d.da—dAdP+dTdR) + nf (d.dA—drdQ+dAdP) + S ({X—EZ)m=0o, £' (d.dr—dAdR+dAdQ) + £(d.da—dAdP+ATAR) + EM (d.dA—dTdQ+dAdP) + S (nZ—EY)m= 0. Si on ajoute celles-ci ensemble , après les avoir multipliées res- pectivement par &’, »', £'; par €", n”, £'et par &", n!”, £”, et qu'on fasse pour abréger, X'=CX + Y + CZ, 4 = EX + NY + Un, = Z' — EUX + n"Y + E"Z , on aura, en vertu des formules .des’ articles a et 5, les trois équations suivantes, | d.dTt — dAdR + dAdQ = S(cY' — bZ')m, d.dA — dAdP + dTdR = S(aZ' —cX')m, d.dA — dTdQ + dAdP = S(bX'—ar')m, qui ont toute la généralité et da simplicité dont la question est susceptible.» 366 NOTE SUR LE MOUVEMENT Autre fragment sur la rotation d’un système quelconque. Ainsi on a en général, d£+ dr + dé = (cdQ — bdR + da) + (adR— cdP + db} + (bdP —adQ+ de} (pag. 227). Si les forces accélératrices ne dépendent que de la situation res-" pective des corps, elles ne seront fonctions que de a, b,c. Faisant T= if Ts (40°) m + ES (a+ 0) m+ 7 Sa b)m | a dR dP dR dP dQ _—_ a se F XSacm— = x Sabm Le 8 ee m + 2 PS (ENT ma mm + dR es ESS . dc? + S 2dt? cu On aura, relativement aux variables ZP, dQ,dR, JE 7 SAP +6 ddQ+