^/.' 3 . • / S A o . ynose. Ce).' TRAITÉ DE MÉCANIQUE CÉLESTE. *VfV^ vi'^fV^ \ TRAIT D E MÉCANIQUE CÉLESTE^ PAR P. S. LAPLACE, Membre de l'Institut national de France , et du Bureau des Longitudes. TOME PREMIER. DE L'IMPRIMERIE DE CRAPELET. A PARIS, Chez J. B. M. DUPRAT, Libraire pour les Mathématiques , quai des Augustins. AN VIT. I TABLE DES MATIERES contenues dans la première Partie. i TOME PREMIER. Plan de l'ouvrage page LIVRE I. Des loix générales de l'équilibre et du mouvement 3 CHAP. I. De l'équilibre et de la composition des forces qui agissent sur un point matériel. ibid. Du mouvement, de la force, de la composition et décomposition des forces n°\ 1 et 2 Equation de l'équilibre d'un point sollicité par un nombre quelconque de forces agissantes dans des directions quelconques. Méthode pour déter- miner, lorsque le point n'est pas libre, la pression qu'il exerce sur la surface, ou sur la courbe à laquelle il est assujéti. Théorie des mo- mens n°. 3 CHAP. II. Du mouvement d'un point matériel. i4 De la loi d'inertie, du mouvement uniforme et delà vitesse n°. 4 Recherche de la relation qui existe entre la force et la vitesse: dans la nature , cette relation est la proportionalité. Résultats de cette loi. n°\ 5 et 6 Equations du mouvement (Fun point sollicité par des forces quel- conques n°. 7 Expression générale du quarré de sa vitesse. Il décrit la courbe dans laquelle l'intégrale du produit de sa vitesse, par l'élément de cette courbe, est un minimum na. 8 Méthode pour déterminer la pression qu'un point mû sur une surface ou sur une coux'be, exerce sur elle. De la foixe centrifuge. . . . . n°. 9 vj TABLE DÈS MATIERES Application des principes précédens, au mouvement d'un point libre animé par la pesanteur , dans un milieu résistant. Recherche de la loi de la résistance nécessaire pour que le mobile décrive une courbe donnée. Examen particulier du cas où la résistance est nulle. . n°. 10 Application des mêmes principes, au mouvement d'un corps pesant, dans une surface sphérique. Détermination de la durée des oscillations du mobile. Les oscillations très-petites sont isochrones n°. 11 Recherche de la courbe sur laquelle l'isochronisme a lieu rigoureusement, dans un milieu résistant , et particulièrement, lorsque la résistance est proportionnelle aux deux premières puissances de la vitesse. n°. 12 CHAP. III. De l'équilibre d'un système de corps 56 Conditions de l'équilibre de deux systèmes de points qui se choquent avec des vitesses directement contraires. Ce que l'on entend par la quantité de mouvement d'un corps, et par points matériels sem- blables, . , n°. 1 5 De l'action réciproque des points matériels. La réaction est toujours égale et contraire à l'action. Equation de l'équilibre d'un système de corps, d'où résulte le principe des vitesses virtuelles. Méthode pour déterminer les pressions exercées par les corps, sur les surfaces ou sur les courbes auxquelles ils sont assujétis n°. r4 Application de ces principes, au cas où tous les points du système sont invariablement unis ensemble : conditions de l'équilibre pour un pareil système. Du centre de gravité. Méthode pour déterminer sa position : 1°. par rapport à trois plans fixes et rectangulaires; 2 . par rapport à trois points donnés dans l'espace, .............. 11°. i5 Conditions de l'équilibre d'un corps solide de figure quelconque. . n°. 16 CHAP. IV- De l'équilibre des fluides 47 Equations générales de cet équilibre. Application à l'équilibre d'une masse fluide homogène dont la surface extérieure est libre , et qui recouvre un noyau solide fixe, de figure quelconque n°. 17 CHAP. V. Principes généraux du mouvement d'un système de corps. 5o Equation générale de ce mouvement n°. 18 Développement des principes qu'elle renferme. Du principe des forces v;ves, H ne subsiste que dans le cas où les mouvemens des corps chan- DE LA PREMIERE PARTIE. vij gcnt par des nuances insensibles. Moyen d'évaluer l'altération que la force vire éprouve dans les variations brusques des mouveraens du système . n°. 19 Du principe de la conservation du mouvement du centre de gravité. Il subsiste dans le cas même où les corps du système exercent les uns sur les autres, une action finie dans un instant . n°. 20 Du principe de la consei*vation des aires. Il subsiste comme le précédent, dans le cas d'un changement brusque dans le mouvement du système. Détermination du système de coordonnées , dans lequel la somme des aires décrites par les projections des rayons vecteurs est nulle sur deux des plans rectangulaires formés par les axes de ces coordonnées. Cette somme est un maximum sur le troisième plan rectangulaire; elle est nulle sur tout autre plan perpendiculaire à celui -ci n°. 21 Les principes de la conservation des forces vives et des aires, ont encore lieu , en supposant à l'origine des coordonnées , un mouvement recti- ligne et uniforme. Dans ce cas, le plan passant constamment par ce point, et sur lequel la somme des aires décrites par les projections des rayons est un maximum, reste toujours parallèle à lui-même. Les principes des forces vives et des aires peuvent se réduire à des relations entre les coordonnées des distances mutuelles des corps du système. Les plans passant par chacun des coi'ps du système, parallèlement au plan invariable mené par le centre de gravité , jouissent de propriétés analogues n°. 22 Principe de la moindre action. Combiné avec celui des forces vives , il donne l'équation générale du mouvement 11°, 23 CHÂP. VI. Des loix du mouvement d'un système de corps , dans toutes les relations mathématiquement possibles entre la force et la vitesse 65 Pxùncipes nouveaux qui, dans ce cas général, correspondent à ceux delà conservation des foices vives, des aires, du mouvement du centre de gravité , et de la moindre action. Dans un système qui n'éprouve point d'actions étrangères , i°. la somme des forces finies du système, décom- posées parallèlement à un axe quelconque, est constante; 20. la somme des forces finies pour faire tourner le système autour d'un axe, est constante; 5°. la somme des intégrales des forces finies du système, multipliées respectivement par les élémens de leurs directions , est un minimum : ces trois sommes sont nulles dans l'état d'équilibre, n. "ik viij T'A BLE DES MATIERES CHAP. VII. Des mouvemens d'un corps solide de figure quel- conque , 70 Equations qui déterminent les mouvemens de translation et de rotation du corps nos. 25 et 26 Des axes principaux. En général, un corps n'a qu'un système d'axes principaux. Des momens d'inertie. Le plus grand et le plus petit de ces momens appartiennent aux axes principaux, et le plus petit de tous les momens d'inertie a lieu par i"apport à l'un des trois axes principaux qui passent par le centre de gravité. Cas où le solide a une infinité d'axes principaux n°. 27 Recherche de l'axe instantané de rotation du corps : les quantités qui déterminent sa position par rapport aux axes principaux , donnent en même temps la vitesse de rotation n°. 28 Equations qui déterminent en fonction du temps , cette position , et celle des axes principaux. Application au cas où le mouvement de rota- tion est dû à une impulsion qui ne passe pointpar son centre de gravité. Formule pour déterminer la distance de ce centre , à la direction de l'impulsion primitive. Exemple tiré des planètes, et en particulier, de la terre. ,...,.,.,, 11". 29 Des oscillations d'un corps qui tourne à fort peu près autour d'un des axes principaux. Le mouvement est stable autour des axes principaux dont les momens d'inertie sont le plus grand et le plus petit; il ne l'est pas autour du troisième axe principal , n°. 5o Du mouvement d'un corps solide, autour d'un axe fixe. Détermination du pendule simple qui oscille dans le même temps que ce corps, n°. 3i ÇHAP. VIII. Du mouvement des fluides. . , 91 Equations du mouvement des fluides, condition relative à leur conti- nuité, n°. 52 Transformation de ces équations ; elles sont intégrables, lorsque la den- sité étant une fonction quelconque de ht pression, la somme des vitesses parallèles à trois axes rectangulaires, et multipliées chacune, par l'élément de sa direction, est une variation exacte. On prouve que cette condition sera remplie, à tous les instans,si elle l'est dans un seul.n". 55 Application des principes précédens, au mouvement d'une masse fluide homogène, douée d'un mouvement uniforme de rotation, autour d'un des axes des coordonnées. ,,,..., n°. 54 Détermination DE LA PREMIERE PARTIE. ix Détermination des oscillations très-petites d'une masse fluide homogène, recouvrant un sphéroïde doué d'un mouvement de rotalion. . . n°. 55 Application au mouvement de la mer, en la supposant dérangée de l'état d'équilibre, par l'action de forces très-petites n°. 56 De l'atmosphère terrestre considérée d'abord dans l'état d'équilibre. Des oscillations qu'elle éprouve dans l'état de mouvement, en n'ayant égard qu'aux causes régulières qui l'agitent : des variations que ces mouve- mens produisent dans les hauteurs du baromètre n°. 5j LIVRE II. De la loi de la pesanteur universelle , et du mouvement des centres de gravité des corps célestes 1 1 1 ■CHAP. I. De la loi de la pesanteur universelle , tirée des phéno~ mènes ; . ibid. Les aires décrites par les rayons vecteurs des planètes , dans leur mou- vement autour du soleil, étant proportionnelles aux temps*; la force qui sollicite les planètes, est dirigée vers le centre du soleil ; et récipro- quement. » n°. 1 Les orbes des planètes et des comètes, étant des sections coniques; la force qui les anime , est en raison inverse du quarré de la distance du centre de ces astres à celui du soleil. Réciproquement , si la force suit cette raison, la courbe décrite est une section conique n°. 2 Les quarrés des temps des révolutions des planètes . étant proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites , ou, ce qui revient au même, les aires décrites en temps égal, dans différentes orbites, étant propor- tionnelles aux racines quarrées de leurs paramètres ; la force qui solli- cite les planètes et les comètes, seroit la même pour tous ces corps placés à égale distance du soleil n°. 5 Le mouvement des satellites autour de leurs planètes, présentant à-peu- près les mêmes phénomènes, que celui des planètes autour du soleil; les satellites sont sollicités vers leurs planètes et vers le soleil, par des forces réciproques au quarré des distances. . . n°. 4 Détermination de la parallaxe lunaire , d'après les expériences sur la pesanteur, et dans l'hypothèse de la gravitation en raison inverse du quarré des distances. Le résultat obtenu par cette voie, se trouvant par- Mécan. cél. Tome I. h x TABLÉ DES MATIERES faitement conforme aux observations ; la force attractive de la terre est de la même nature que celle de tous les coi'ps célestes n°. 5 Réflexions générales sur ce qui précède : elles conduisent à ce principe, savoir , que toutes les molécules de la matière s'attirent en raison di- recte des masses , et en raison inverse du quarré des distances. . . n°. 6 CHAP. IL Des équations différentielles du mouvement cV un sys- tème de corps soumis à leur attraction mutuelle 124 Equations différentielles de ce mouvement n°. 7 Développement des intégrales que l'on a pu jusqu'à présent en obtenir, et qui résultent des principes de la conservation du mouvement du centre de gravité , des aires et des forces vives n°. 8 Equations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leur attraction mutuelle, autour de l'un d'eux, considéré comme le centre de leurs mouvemens : développement des intégrales rigoureuses que l'on sait en déduire n°. 9 Le mouvement du centre de gravité du système d'une planète et de ses satellites, autour du soleil, est à très-peu pi'ès le même que si tous les corps de ce système étoient réunis à ce point; et le système agit sur les autres corps , à très-peu près, comme dans cette hypotlièse. . . n°. 10 Recherches sur l'attraction des sphéroïdes: cette attraction est donnée par les différences partielles de la fonction qui exprime la somme des molécules du sphéroïde , divisées par leurs distances au point attiré. Equation fondamentale aux différences partielles, à laquelle cette fonc- tion satisfait. Diverses transformations de cette équation. . . n°. 11 Application au cas où le corps attirant est une couche sphérique : il en résulte qu'un point placé dans l'intérieur de la couche , est également attiré de toutes parts; et qu'un point placé hors de la couche, est attiré par elle, comme si sa masse étoit réunie à son centre. Ce résultat a encore lieu pour les globes formés de couches concentriques d'une den- sité variable du centre à la circonférence. Recherche des loix d'attrac- tion, dans lesquelles ces propriétés subsistent. Dans le nombre infini des loix qui rendent l'attraction très-petite à de grandes distances, celle de la nature est la seule dans laquelle les sphères agissent sur un point extérieur, comme si leurs masses étoient réunies à leurs centres. Cette loi est aussi la seule dans laquelle l'action d'une couche sphé- rique , sur un point placé dans son intérieur, est nulle n°. 12 Application des formules du n°. 11, au cas où le corps attirant est un DE LA PREMIERE PARTIE. xj cylindre dout la base est une courbe rentrante, et dont la longueur est infinie. Lorsque cette courbe est un cercle , l'action du cylindre sur un point extérieur, est réciproque à la distance de ce point , à l'axe du cylindre. Un point placé dans l'intérieur d'une couche cylindrique cir- culaire , d'une épaisseur constante, est également attiré de toutes parts n°. i5 Equation de condition relative au mouvement d'un corps n°. i4 Diverses transformations des équations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leur attraction mutuelle n°. i5 CHAP. III. Première approximation des mouvemens célestes , ou théorie du mouvement elliptique . . . i54 Intégration des équations différentielles qui déterminent le mouvement relatif de deux corps qui s'attirent en raison des masses et réciproque- ment au quarré des distances. La courbe qu'ils décrivent dans ce mou- vement , est une section conique. Expression du temps , en série con- vergente de sinus et de cosinus du mouvement vrai. Si l'on néglige les masses des planètes relativement à celle du soleil , les quarrés des temps des révolutions sont comme les cubes des grands axes des orbites. Cette loi s'étend au mouvement des satellites autour de leur planète. . n°. 1 6 Seconde méthode pour l'intégration des équations différentielles du, nu. précédent n°. 17 Troisième méthode pour l'intégration des mêmes équations ; cette méthode a l'avantage de donner les arbitraires , en fonctions des coordonnées et de leurs premières différences nos. 18 et 19 Equations finies du mouvement elliptique : expressions de l'anomalie moyenne, du rayon vecteur et de l'anomalie vraie, en fonctions de l'anomalie excentrique n°. 20 Méthode générale pour la réduction des fonctions, en séries : théorèmes qui en résultent n°. 21 Application de ces théorèmes , au mouvement elliptique. Expressions de l'anomalie excentrique , de l'anomalie vraie , et du rayon vecteur des planètes , en séries convergentes de sinus et de cosinus de l'anomalie moyenne. Expressions en séries convergentes, de la longitude, de la latitude, et de la projection du rayon vecteur, sur un plan fixe, peu incliné à celui de l'orbite n°. 22 Expressions convergentes du rayon vecteur et du temps , en fonctions de ba xi) TABLE DES MATIERES l'anomalie vraie , dans une orbite fort excentrique. Si l'orbite est para- bolique, l'équation entre le temps et l'anomalie vraie est une équation de troisième degré, que l'on résout, au moyen de la table du mouve- ment des comètes. Correction à faire à l'anomalie vraie calculée dans la parabole, pour avoir l'anomalie vraie, correspondante au même temps , dans une ellipse fort excentrique - n°. 25 Théorie du mouvement hyperbolique n°. 24 Détermination du rapport des masses des planètes accompagnées de satel- lites , à celle du soleil. n°. 25 C H A P. IV. Détermination des élémens du mouvement elliptique- 'D° Formules qui donnent ces élémens , lorsque les circonstances du mouve- ment primitif sont connues. Expression de la vitesse , indépendante de ' l'excentricité de l'orbite. Dans la parabole, la vitesse est réciproque a la racine quarrée du rayon vecteur. . n°. 26 Recherche de la relation qui existe entre le grand axe de l'orbite, la corde de l'arc décrit, le temps employé à le décrire , et la somme des rayons vecteurs extrêmes n°. 27 Moyen le plus propre pour déterminer par les observations, les élémens des orbites des comètes n°. 28 Formules pour avoir d'après un nombre quelconque d'observations voisines ^ la longitude et la latitude géocentriques d'une comète, à un instant donné , ainsi que leurs premières et secondes différences. n°. 29 Méthode générale pour déduire des équations différentiel] es du mouvement d'un système de corps, les élémens des orbites, en supposant connues pour un instant donné, les longitudes et les latitudes apparentes de ces corps, ainsi que les premières et secondes différences de ces quan- tités i": '.' : : n°. 5o Application de cette méthode, au mouvement des comètes, en les suppo- sant animées par la seule attraction du soleil : elle donne par une équa- tion du septième degré, la distance de la comète à la terre. La seule inspection de trois observations consécutives très- voisines, suffit pour reconnoilre si la comète est plus près ou plus loin que la terre , du soleil n°. Si Méthode pour avoir aussi exactement que l'on voudra, en n'employant que trois observations, la longitude et la latitude géocentriques d'une comète , ainsi que leurs premières et secondes différences divisées par DE LA PREMIÈRE PARTIE. xiij les puissances correspondantes de l'élément du temps n°. 5a Détermination des élémens de Torbite de la comète , lorsque l'on connoît pour un instant donné , sa distance à la terre , et la première différen- tielle de cette distance, divisée par l'élément du temps. Moyen simple d'avoir égard à l'excentricité de l'orbe terrestre n°. 53 Dans le cas de l'orbite parabolique, le grand axe devenant infini, cette condition donneune nouvelle équation du sixième degré, pour déter- miner la distance de la comète à la terre n°. 54 De-là résultent diverses méthodes pour calculer les orbites paraboliques. Recherche de celle dont on doit attendre le plus de précision dans les résultats, et le plus de simplicité dans le calcul ncs. 55 et 56 Cette méthode se divise en deux parties : dans la première, on détermine d'une manière approchée , la distance périhélie de la comète , et l'ins- tant de son passage au périhélie: dans la seconde , on donne le moyen de corriger ces deux élémens, par trois observations éloignées entr' elles , et l'on en déduit tous les autres. n°. 5y Détermination rigoureuse de l'orbite, dans le cas où la comète a été observée dans ses deux nœuds n°. 5b' Méthode pour déterminer l'ellipticité de l'orbite, dans le cas d'une ellipse très- exe en trique n°. 09 CHAP. V. Méthodes générales pour déterminer par des approxi- mations successives , les mouvemens des corps célestes. . . . ^55 Recherche des changemens que l'on doit faire subir aux intégrales des équations différentielles, pour avoir celles des mêmes équations aug- mentées de certains termes 11°. 4o On en déduit un moyen simple d'avoir les intégrales rigoureuses des équations différentielles linéaires , lorsque l'on sait intégrer ces mêmes équations privées de leurs derniers termes n°. 4i On en déduit encore un moyen facile pour obtenir des intégrales de. plus en plus approchées , des équations différentielles n°. 42 Méthode pour faire disparoître les arcs de cercle, qui se trouvent dans les intégrales approchées, lorsqu'il ne doit pas s'en trouver dans l'intégrale rigoureuse n°. 43 Méthode d'approximation , fondée sur la variation des constantes arbi- traires n°. 45 xiv TABLE DES MATIÈRES CHÀP. VI. Seconde approximation des mouvemens célestes , on théorie do leurs perturbations 2 54 Formules du mouvemenl en longitude et en latitude, et du rayon vecteur dans l'orbite troublée. Forme très-simple sous laquelle elles se présen- tent, quand on n'a égard qu'à la première puissance des forces pertur- batrices n°. 46 Méthode pour obtenir les perturbations, en séries ordonnées par rapport •aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. n°. 47 Développement en série, de la fonction des dislances mutuelles des corps du système, dont leurs perturbations dépendent. Usage du calcul aux différences finies dans ce développement. Réflexions sur cette série. n°. 48 Formules pour calculer ses différens termes. n°. 4$ Expressions générales des perturbations du mouvement en longitude et en latitude , et du rayon vecteur , en portant la précision jusqu'aux quan- tités de l'ordre des excentricités et des inclinaisons. . . . nos. 5o et 5i Rapprochement de ces divers résultats, et considérations sur les approxi- mations ultérieures. ,..............<..,....,, 11°, 52 CHAP. VII. Des inégalités séculaires des mouvemens célestes. 286 Ces inégalités naissent des termes qui , dans l'expression des perturbations , renferment le temps , hors des signes périodiques. Equations différen- tielles des élémens du mouvement elliptique , qui font disparoître ces termes. ...... nV 55 Si l'on n'a égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice, les moyens mouvemens des planètes sont uniformes, et les grands axes de leurs orbites, sont cqnstans, , . n°. 54 Développement des équations différentielles relatives aux excentricités et à la position des périhélies, dans un système quelconque d'orbites peu excentriques et peu inclinées entr'elles . n°. 55 Intégration de ces équations, et détermination par les observations, des arbitraires de leyirs intégrales. n°. 56 Le système des orbes des planètes et des satellites , est stable relativement aujç excentricités, c'est-à-dire que ces excentricités restent toujours fort petites, et le système ne fait qu'osciller autour d'un état moyen d'ellipticité, dont il s'écarte peu. ..,.,...,....,, n°. 5j DE LA PREMIERE PARTIE. xv Expressions différentielles des variations séculaires de l'excentricité et de la position du périhélie n°. 53 Intégration des équations différentielles relatives aux nœuds et aux incli- naisons des orbites. Dans le mouvement d'un système d'orbites très- peu inclinées entr'elles , leurs inclinaisons mutuelles restent toujours très-petites n°. 5g Expressions différentielles des variations séculaires des noeuds et des incli- naisons des orbites ; i°. par i-apport à un plan fixe ; 2°. par rapport à l'orbite mobile d'un des corps du système n°. 6o Relations générales entre les élémens elliptiques d'un système d'orbites , quelles que soient leurs excentricités , et leurs inclinaisons respec- tives n°. 6i Recherche du plan invariable ou sur lequel la somme des masses des corps du système, multipliées respectivement par les projections des aires décrites par leurs rayons vecteurs , dans un temps donné , est un maximum. Détermination du mouvement de deux orbites inclinées l'une à l'autre, d'un angle quelconque '. . n°. 6a CHAP. VIII. Seconde méthode d' approximation des mouvemens célestes ? 621 Cette méthode est fondée sur les variations que les élémens du mouvement supposé elliptique , éprouvent en vertu des inégalités périodiques et sécu- laires. Méthode générale pour déterminer ces variations. Les équations finies du mouvement elliptique, et leurs premières différentielles, sont les mêmes dans l'ellipse variable, que dans l'ellipse invariable. n°. 63 Expressions des élémens du mouvement elliptique , dans l'orbite troublée , quelles que soient son excentricité et son inclinaison au plan des orbites des masses perturbatrices n°. 65 Développement de ces expressions , dans le cas des orbites peu excen- triques et peu inclinées les unes aux autres. En considérant d'abord les moyens mouvemens et les grands axes ; on prouve que si l'on néglige les quarrés et les produits des forces perturbatrices, ces deux élémens ne sont assujétis qu'à des inégalités périodiques , dépendantes de la configuration des corps du système. Si les moyens mouvemens de deux planètes approchent beaucoup d'être commensurables entr'eux; il peut en résulter dans leur longitude moyenne, deux inégalités très-sen- sibles, affectées de signes contraires, et réciproques aux produits des masses des corps , par les racines quarrées des grands axes de leui's xvj TABLE DES MATIÈRES orbites. C'est à de semblables inégalités que sont dûs l'accélération du mouvement de Jupiter et le ralentissement de celui de Saturne. Expressions de ces inégalités , et de celles que le même rapport des moyens mouvemens, peut rendre sensibles dans les termes dépendant de la seconde puissance des masses perturbatrices n°. 65 Examen du cas où les inégalités les plus sensibles du moyen mouvement, ne se rencontrent que parmi les termes du l'ordre du quarré des masses perturbatrices. Cette circonstance très-remarquable a lieu dans le sys- tème des satellites de Jupiter, et l'on en déduit ces deux théorèmes: La moyen mouvement du premier satellite , moins trois fois celui du second , plus deux fois celui du troisième , est exactement et constamment égal à zéro. La longitude moyenne du premier satellite , moins trois fois celle du second , plus deux fois celle du troisième 3 est constamment égale à deux angles droits. Ces théorèmes subsistent malgré l'altération que les moyens mouvemens des satellites peuvent recevoir, soit par une cause semblable à celle qui altère le moyen mouvement de la lune, soit par la résistance d'un milieu très -rare. Ces théorèmes donnent naissance à une inégalité arbitraire qui ne diffère pour chacun des trois satellites que par son coefficient , et qui par les observations, est insensible. ... . . n°. 66 Equations différentielles qui déterminent les variations des excentricités et des périhélies n°. 67 Développement de ces équations. Les valeurs deces élémens soiitformées de deux parties , l'une dépendante de la configuration mutuelle des corps du système, et qui contient les variations périodiques; l'autre indépendante de cette configuration , et qui renferme les variations séculaires. Cette seconde partie est donnée par les mêmes équations différentielles que l'on a considérées précédemment n°. 68 Moyen très -simple d'obtenir les variations qui résultent du rapport presque commensurable des moyens mouvemens, dans les excentri- cités et les périhélies des orbites : elles sont liées à celles du moyen mouvement, qui y correspondent. Elles peuvent produire clans les expressions séculaires des excentricités et de la longitude des périhé- lies , des termes sensibles dépendans des quarrés et des produits des forces perturbatrices. Détermination de ces termes n°. 69 Des variations des nœuds et des inclinaisons des orbites. Equations qui déterminent leurs valeurs périodiques et séculaires n°. 70 Moyen facile d'obtenir les inégalités qui résultent dans ces élémens , du rapport DE LA PREMIERE PARTIE. xvïj rapport presque commensurable des moyens mouvemens : elles sont liées aux inégalités analogues du moyen mouvement n°. 71 Recherche de la variation qu'éprouve la longitude de Fépoque. C'est de cette variation , que dépend l'équation séculaii'e de la lune. . n°. 72 Réflexions sur les avantages que la méthode précédente fondée sur la variation des paramètres des orbites , présente dans plusieurs circons- tances : moyen d'en conclure les variations de la longitude , de la lati- tude et du rayon vecteur. . . n°. sinus de la latitude, est incompatible avec les observations du pendule» Raison pour laquelle les aberrations de la figure elliptique, sont beau- coup plus sensibles dans les degrés du méridien , que dans les longueurs du pendule. , n°. 55 Les couches du sphéroïde étant supposées elliptiques ; la figure du fluide qui le recouvre , est pareillement elliptique : les variations des rayons ter- restres , des degrés du méridien et de la pesanteur, sont alors proportion- nelles au quarré du sinus de la latitude : la variation totale de la pesan- teur, de l'équateur aux pôles, divisée par la pesanteur, est autaut au- dessus ou au-dessous de j du rapport de la force centrifuge à la j>esan- teur, à l'équateur, que l'ellipticité est au-dessous ou au-dessus de la même quantité. . . . .- . . n°. 54 Expressions de l'attraction des sphéroïdes elliptiques, sur un point exté- rieur. . n°. 55 De la loi de la pesanteur à la surface d'un sphéroïde fluide homogène , l'attraction étant comme une puissance de la distance. ..... n°. 56 Moyen d'avoir égard dans la recherche de la figure des sphéroïdes recou- verts d'un fluide en équilibre, aux termes dépendans du quarré et des puissances supérieures delà force centrifuge. On peut assurer que l'équi- libre du fluide ; est rigoureusement possible ; quoique l'on ne puisse en assigner la figure, que par des approximations successives. . . . n°. 5j C H A P. V. Comparaison de la théorie précédente , avec les obser- vations îog Equations de la courbe- des- méridiens terrestres , et de celle que l'on trace DE LA PREMIERE PARTIE. XXj parles opérations géodésiques. Expressions de la longitude, delà lati- tude et de l'angle azimutlial, correspondais aux extrémités d'une ligne géodésique tracée sur la terre, soit parallèlement, soit perpendiculaire- ment au plan du méridien céleste. Expression générale du rayon oscu- Iateur d'une ligne géodésique. Parmi toutes les lignes géodésiques qui partent d'un même point, il en existe deux perpendiculaires entr'elles, et auxquelles correspondent le plus grand et le plus petit rayon oscula- teur. Ces rayons étant donnés , ainsi que la position de ces lignes ; il est facile d'en conclure le rayon oscillateur d'une ligue géodésique quel- conque, passant par le même point. On peut toujours concevoir un ellipsoïde osculateur, à un point quelconque delà surface de la terre: moyen de le déterminer. n°. 08 Méthodes pour déterminer la figure elliptique dans laquelle le plus grand écart des degrés mesurés, est, abstraction faite du signe, le plus petit qu'il est possible . . n°. 5$ Méthode pour déterminer la figure elliptique dans laquelle i°. la somme des erreurs des arcs mesurés, est nulle; 2°. la somme des erreurs prises toutes positivement , est un minimum n°. 4o Application de ces méthodes , aux degrés des méridiens , mesurés au Pérou , au Cap de Bonne-Espérance, en Pensylvanie, en Italie, en France, en Autriche et en Laponie. Dans l'hypothèse elliptique , on ne peut pas éviter une erreur de 189 mètres , sur quelques-uns de ces degrés : l'ellipticité qui correspond à ce minimum d'erreur, est -£=* La figure elliptique dans laquelle la somme des erreurs des arcs mesurés, est nulle , et la somme des erreurs prises positivement est un minimum , a pour ellipticilé , j\-. Cette figure donne 536 mètres d'erreur, dans le degré mesuré en Pensylvanie. Résultats principaux des opérations faites nouvellement en France , par Delambre et Mechain : il suffit d'altérer de 4",4 les latitudes observées, pour concilier ces mesures avec une figure elliptique. L'ellipticité correspondante à ce minimum d'erreur, est {~^,et le degré du méridien, coupé également par le paral- lèle moyen, es-t de 9998* mdl,es,8. Cet ellipsoïde que l'on peut regarder comme l'ellipsoïde osculateur delà France, satisfait encore à très-peu près aux mesures faites en Angleterre, en Italie et dans l'Autriche.,, et même à celles de Pensylvanie et de Laponie. L'arc mesuré nouvelle- ment en France, comparé à celui du Pérou, donne-^ pour l'ellipticité de la terre: longueur du mètre, conclue de ces mesures. Quelle que soit la figure de la terre, par cela seul que les degrés des méridiens xxij TABLE DES MATIERES diminuent des pôles àl'équateur; les rayons terrestres augmentent, et la terre est applatie à ses pôles n°. 4i Application des méthodes des noS. 5g et 4o, à quinze observations de la longueur du pendule à secondes. On peut concilier toutes" ces observa- tions, avec une figure elliptique, en n'y admettant qu'une erreur de dix-huit cent millièmes de cette longueur : l'ellipticité de la figure cor- respondante à ce minimum d'erreur , est j~. Détermination de la figure elliptique la plus vraisemblable que ces observations donnent à la terre : l'ellipticité de cette figure est ^. Expression générale de la longueur du pendule à secondes n°. 4a De la figure de Jupiter : son applatissement observé est dans les limites que lui assigne la théorie de la pesanteur n°. 45 CHAP. VI. De la figure de l'anneau de Saturne i55 Expression générale de l'attraction des anneaux , quelle que soit leur figure génératrice. Application au cas où cette figure est une ellipse. . . h". 44 Un anneau étant supposé fluide et homogène, l'équilibre peut subsister avec une figure génératrice elliptique: détermination de cette figure. La durée de la rotation de l'anneau est la même que celle de la révolu- tion d'un satellite qui circulèrent autour de la planète , à une dislance égale à celle du centre de la figure génératrice : cette durée est d'environ oi,44 pour l'anneau intérieur de Saturne n°. 45 Pour la stabilité de l'équilibre des anneaux , il est nécessaire qu'ils soient des solides irréguliers dont le centre de gravité ne coïncide point avec leur centre de figure. n°. 46 CHAP. VII. De la figure des atmosphères des corps célestes. 167 Equation générale de cette figure. L'atmosphère solaix-e ne peut pas s'étendre jusqu'à l'orbe de Mercure: elle n'a pas la forme lenticulaire que paroît avoir la lumière zodiacale, et dans le cas de son plus grand applatissement, l'axe du pôle est à celui de l'équateur, dans le rapport de 2 à 5 n°. 47 DE LA PREMIERE PARTIE. xxiij LIVRE IV. Des oscillations de la mer et de l'atmosphère 171 CHAP. I. Théorie du flux et du reflux de la mer ibid. Equations différentielles du mouvement de la mer sollicitée par les forces attractives du soleil et de la lune n°. i Application de ces équations au cas où la terre n'ayant point de mou- vement de rotation , la profondeur de la nier est constante. Expression générale de la hauteur de la mer et de ses mouvemens dans cette hypothèse. L'équilibre de la mer n'est alors stable, qu'en supposant sa densité moindre que la moyenne densité de la terre n°. 2 Application des mêmes équations , au cas où la terre ayant un mouve- ment de rotation , sa profondeur est une fonction quelconque de la latitude. Equation différentielle des oscillations de la mer, dans celle hypothèse : il n'est pas nécessaire de l'intégrer rigoureusement; il suffit d'y satisfaire. L'action du soleil et de la lune donne lieu à trois espèces différentes d'oscillations ; dans la première , la période des oscillations est indépendante du mouvement de rotation de la terre ; dans la seconde , cette période est d'environ , un jour ; et dans la troisième , elle est à peu près d'un demi-jour nos. 5 et 4 Examen des oscillations de la première espèce , en supposant la terre un ellipsoïde de révolution. Détermination de ces oscillations, lorsque la profondeur de la mer est à très-peu pi'ès constante. La partie de ces oscillations, qui dépend du mouvement des noeuds de l'orbe lunaire , peut être très-considérable ; mais ces grandes oscillations sont anéan- ties par les résistances que la mer éprouve dans son mouvement. En vertu de ces résistances , ces oscillations sont à fort peu près , les mêmes que si la mer se mettoit à chaque instant en équilibre sous l'astre qui l'attire nos. 5 et 6 Des oscillations de la seconde espèce. Détermination de ces oscillations, lorsque la profondeur de la mer est à très-peu près constante* . . n°. 7 Expression très-simple des mêmes oscillations , lorsque la terre est un ellipsoïde quelconque de révolution. La différence des deux marées d'un même jour , dépend de ces oscillations. Cette différence est nulle, lorsque la profondeur delà mer est par-tout la même. . ..... n°. 8 Des oscillations de la troisième espèce. Détermination de ces oscillations , krsque la profondeur de la mer est à très-peu-près constante.' • u°« 9 xxiv TABLE DES MATIÈRES Expression numérique de ces oscillations, et du flux et reflux de la mer, dans diverses suppositions sur sa profondeur supposée par -tout la même. En augmentant cette profondeur , les oscillations- de la troisième espèce, approchent très-rapidement d'être les mêmes que si la mer se mettoità chaque instant en équilibre sous l'astre qui l'attire. nos. îoet il Détermination du flux et du reflux de la mer, dans cette dernière Hypo- thèse. Les deux marées d'un même jour , seroient alors très-différentes à Brest , dans les grandes déclinaisons du soleil et de la lune; ce qui étant contraire aux observations, rend l'hypothèse dont il s'agit, inadmis- sible n°. 12 C H A P. II. De la stabilité de l'équilibre des mers 2o4 Premier théorème. L'équilibre de la mer est stable, si sa densité est moindre que la densité moyenne de la terre n°. i3 Deuxième théorème. La terre étant supposée un solide de révolution, l'équilibre de la mer n'est pas stable, si sa densité égale ou surpasse la moyenne densité de la terre n". i4 CHAP. I i I. De la manière d'avoir égard dans la théorie du flux et du reflux de la mer, aux diverses circonstances qui, dans chaque port , influent sur les marées 2.12 Equations de la hauteur et des mouvemens de la mer , quelle que soit la loi de sa profondeur. Les oscillations de la seconde espèce , deviennent nulles , lorsque la profondeur de la mer est constante : elles ne peuvent devenir nulles pour toute la terre , que dans cette hypothèse. Aucune loi de profondeur ne peut rendre nulles pour toute la terre , les oscil- lations de la troisième espèce n°. i5 De la théorie des oscillations de la mer, -en ayant égard à toutes les cir- constances locales qui peuvent les modifier dans chaque port. Cette théorie dépend des deux principes suivans : L'état d'un système de corps, dans lequel les conditions primitives du mouvement ont disparu par les résistances qu'il éprouve , est pério- dique , comme les forces qui l'animent. Le mouvement total d'un système agité par de très-petites forces , est la somme des mouvemens partiels que chaque force lui eut imprimés , . séparément. Expression de la hauteur de la mer , qui en résulte, dans le cas où le soleil et la lune se meuvent uniformément dans le plan de l'équateur. Les circonstances DE LA PREMIERE PARTIE. xxr circonstances locales peuvent rendre nulles clans un port , les oscilla- tions de la troisième espèce : elles peuvent faire encore que les deux flux lunaire et solaire , ne soient pas proportionnels aux forces respec- tives du soleil et de la lune ; enfin , il peut arriver que les plus grandes et les plus petites marées suivent d'un intervalle quelconque, les sysi- gies ou les quadratures. Expression de la hauteur des marées , qui embrasse ces différens cas nos. 16, 17 et 18 Expression des marées , en supposant variables , les mouvemens du soleil et de la lune, et leurs distances à la terre. On peut alors réduire l'action de chacun de ces astres, à celle de plusieurs astres mus uniformément dans le plan de l'équateur. n°. 19 Expression générale des marées , dans le cas de la nature , où le soleil et la lune se meuvent dans des orbites inclinées à l'équateur, ce qui donne lieu aux oscillations de la seconde espèce . . n°. 20 CHAP. IV. Comparaison de la théorie précédente , aux observa- tions 255 Des hauteurs des marées vers les sysigies. La hauteur moyenne absolue de la marée d'un jour , est la demi-somme des hauteurs des marées du matin et du soir. La marée totale est l'excès de cette demi-somme , sur la basse mer intermédiaire. Expression de la hauteur moyenne absolue de la marée d'un jour quelconque voisin de la sysigie. Expression de la marée totale du même jour n°. 21 Développement de ces expressions, vers les équinoxes et vers les sols- tices n°. 23 Table I des hauteurs moyennes absolues et des marées totales observées à Brest pendant les années 1711, 1712, 1714, 1715 et 1716, un jour avant la sysigie, le jour même de la sysigie, et les quatre jours sui- vans, dans vingt-quatre sysigies vers les équinoxes, douze sysigies vers les solstices d'été, et douze sysigies vers les solstices d'hiver. . . n°. 2a Expressions qui résultent de Finlerpolation de ces hauteurs, dans l'en- semble de toutes les sysigies. Détermination de l'intervalle dont l'ins- tant du maximum des marées, suit la sysigie. Cet intervalle à Brest, est de i>ur,5o724 11°. 24 La marée totale qui auroit lieu à Brest, si le soleil et la lune se mou voient uniformément dans le plan de l'équateur , seroit dans son maximum , égale à 6me, 24o,o. L'intervalle de deux marées consécutives du matin ou du soir, vers les sysigies , étant pris pour unité ; la diminution de la MÉCAN. CÉL. Tome I. d xxvj TABLE DES MATIERES. marée totale en parlant du maximum , est par les observations, égale au quarré du temps, multiplié par omc,io64. La théorie de la pesan- teur donne le même coefficient n". 25 Suivant les observations , ce coefficient est omo,i0i9 dans les sysigies des équinoxes , et ome, 0811 dans les sysigies des solstices, le même, à-peu- près, que suivant la théorie. Les marées des solstices sont plus petites que celles des équinoxes , à-peu-près dans le rapport du quarré du cosinus de la déclinaison des astres à l'unité , conformément à la théorie : la petite différence à cet égard peut déterminer l'influence des circonstances locales, sur le rapport des actions du soleil et de la lune. n°. 26 La variation des distances du soleil à la terre , a une petite influence sur les marées; et sur ce point, les observations sont conformes à la théorie n°. 27 L'effet de la variation des distances de la lune, est très sensible sur les marées. Table III des marées totales dans douze sysigies où la lune étoit périgée, et dans douze sysigies où elle étoit apogée. L'excès des marées totales périgées sur les marées totales apogées, est exactement le même par les observations comme par la théorie. Cet excès est très- propre à faire connoître l'influence des circonstances locales sur le rap- port des actions du soleil et de la lune , et il en résulte qu'à Brest, cette influence est insensible. Les inégalités de la seconde espèce sont peu considérables à Brest, et ne s'y élèvent qu'à ome,i83 n°. 28 Expressions des hauteurs moyennes absolues des marées, et des marées totales , vers les quadratures. Développement de ces expressions, dans les quadratures des équinoxes et des solstices n°. 29 Table IV des hauteurs moyennes absolues et des marées totales obser- vées à Brest, pendant les années 1711, 1712, 171e, 1716 et 1716, le jour dé la quadrature, et les trois jours suivans, dans vingt-quatre quadratures vers les équinoxes, et dans vingt-quatre quadratures vers les solstices n°. 5o Expressions qui résultent de l'interpolation de ces hauteurs, dans l'en- semble de ces quadratures. Le minimum des marées totales suit la qua- drature, du même intervalle dont leur maximum suit la sysigie. Si le soleil et la lune se mouvoien-t uniformément dans le plan de Féquateur ; la grandeur de la marée totale dans son minimum seroit de 5me,og9o. La comparaison de cette marée, à celte même marée dans son maxi- ?num , donne l'action de la lune , à très-peu près triple de celle du DE LA PREMIÈRE PARTIE. xxvij soleil, dans les moyennes distances. L'intervalle de deux marées con- sécutives du matin ou du soir vers les quadratures, étant pris pour unité ; l'accroissement de la marée totale près des quadratures , à partir du minimum, est égal au quarré du temps, multiplié par le coefficient ome,2272-, suivant les observations : il est à très-peu près même par la théorie n°. 5i Dans les quadratures des équinoxes, ce coefficient est orae,5i25-, il est ome,\\ï\, dans les quadratures de,s solstices : la théorie donne à fort peu près, les mêmes résultats. L'effet des déclinaisons du soleil et de la lune, est très-sensible dans les marées vers les quadratures; il est conforme à la théorie u"- ^3 Les marées du soir l'emportent à Brest , sur celles du matin , vers les qua- dratures de l'équinoxe du printemps ; le contraire a lieu vers les qua- dratures de l'équinoxe d'automne, conformément à ce qui doit être en vertu des inégalités de la seconde espèce n°. 35 Expression des heures et des intervalles des marées vers lessysigies. n°. oi Table des heures des marées totales de la Table I, le jour même de la sysigie, et dans les trois jours qui la suivent. Expression de ces heures et de leurs retards d'un jour à l'autre, près du maximum. Ce retard est par les observations, égal à o»,o2;7o52. En le comparant à la théorie, il donne l'action de la lune, à fort peu près triple de celle du soleil. Confirmation de ce résultat, par un grand nombre de marées totales observées loin des sysigies n°. 55 Le retard des marées d'un jour à l'autre, est d'un huitième environ plus grand dans les sysigies des solstices que dans celles des équinoxes; ce qui est à-peu-près conforme à la théorie n°. 56 Le retard des marées d'un jour à l'autre, vers les sysigies, varie très-sen- siblement avec les distances de la lune à la terre : une minute de varia- tion dansle demi-diamètre apparent de la lune, donne 25b"' de variation dans ce relard. Ce résultat est entièrement conforme à la théorie. n°. 5j Expression des heures et des intervalles des marées vers les quadra- tures n". 53 Table des heures des marées totales de la Table IV, relatives aux quadra- tures. Expression de ces heures et de leur retard d'un jour à l'autre, près du minimum des marées. Ce retard, suivant les observations, est égal à o', 05267 ; il est à très -peu près le même, par la théorie. Ce retard est plus grand dans les quadratures des équinoxes que dans celles des solstices, dans le rapport de i5 à 9 , suivant la théorie; ce qui est à- peu-près conforme aux observations ' . n°. 5g d2 xxviij TABLE DES MATIERES Suivant la théorie, le retard des marées dans les quadratures varie avec la distance de la lune à la terre, mais trois fois moins que dans les sysi- gies; ce que les observations confirment. . n°. 4o Expression numérique de la hauteur des marées à Brest. Formule pour déterminer les plus grandes marées totales qui doivent avoir lieu dans nos ports 11°. 4i Formule simple et facile à réduire en table, pour déterminer l'heure de la pleine mer n°. 42 Récapitulation des principaux phénomènes des marées, et de leur accord avec la théorie de la pesanteur universelle . . n°. 45 CHAP. IV. Des oscillations de l'atmosphère. .....'.. ag4 Equations générales de ces oscillations. Leur détermination se réduit à celle des oscillations de la mer , dans le cas d'une profondeur constante. Expression numérique dé ces oscillations , dans une hypothèse suffi- samment approchée de la nature , pour donner une idée juste de l'action du soleil et de la lune sur l'atmosphère. Cette action peut se manifester par un grand nombre d'observations très-précises du baro- mètre, entre les tropiques. Elle ne peut pas produire les vents alises. Le signe de la déclinaison des deux astres, ne paroît pas devoir influer sensiblement sur les modifications de l'atmosphère n°. 44 LIVRE V. Des mouvemens des corps célestes , autour de leurs propres centres de gravité 299 CHAP. I. Des mouvemens de la terre , autour de son centre de gravité. . . ibid. Equations différentielles de ces mouvemens . . n°. 1 Recherche des momens d'inertie de la terre , relativement à ses trois axes principaux. La sphère n'est pas le seul solide dans lequel tous les momens d'inertie soient égaux ; équation générale du solide qui jouit de cette propriété n". a Développement en séries, des forces perturbatrices du mouvement de la terre autour de son centre de gravité. Ces séries se réduis.ent à leur premier terme, si la surface de la terre est elliptique j et l'on peut lou- DE LA PREMIERE PARTIE. xxix jours déterminer son mouvement dans cette hypothèse, sans craindre une erreur sensible n". 3 Expressions différentiel] es très-approchées du mouvement des équinoxes et de la mitation de Taxe terrestre , rapportés à un plan fixe. . . n°. 4 Développement et intégration de ces expressions, en ayant égard à la mobilité des orbes du soleil et de la lune n°. 5 Expressions du mouvement des équinoxes et de l'inclinaison de l'axe de la terre, sur l'écliptique vraie. L'action du soleil et de la lune, sur le sphéroïde terrestre , change considérablement les variations de l'obli- quité de l'écliptique et de la longueur de l'année, qui auroient lieu en vertu du seul déplacement de l'orbe solaire, et les réduit à-peu-près, au quart de leur valeur; ces différences ne sont sensibles qu'après deux ou trois siècles, à partir d'une époque donnée n°. 7 Les variations du mouvement de rotation de la terre, sont insensibles, et ce mouvement peut être supposé uniforme u», 8 Les variations du jour moyen, sont par-eillement insensibles , et sa durée peut être supposée constante . n°, (, Examen de l'influence des oscillations de la mer, sur les mouvemens du. sphéroïde terrestre autour de son centre de gravité. L'analyse conduit à ce théorème remarquable : Les phénomènes de la précession et de la nutation , sont exactement les mêmes que si la mer formoit une masse solide avec le sphéroïde quelle recouvre nos. 10 et 11 Ce théorème a lieu, quelles que soient les irrégularités de la profondeur delà mer, et les résistances qu'elle éprouve dans ses oscillations. Les courans de la mer, les fleuves, les tremblemens de terre et les vents n'altèrent point la rotation de la terre 11°. ia Expressions numériques de l'inclinaison de l'axe de la terre , et de la position des équinoxes, sur un plan fixe, et sur l'orbite terrestre : for- mules de la variation des étoiles en ascension droite et en déclinai- son . nn. j" Conséquences qui résultent des phénomènes de la précession et de la nutation , sur la constitution de la terre. Ces phénomènes sont les mêmes que si la terre étoit un ellipsoïde de révolution ; Papplalissernent de cet ellipsoïde est compris dans les limites ^ et -~$, Développement des phénomènes qui tiennent à la figure de la terre, et de leur accord avec la théorie de la pesanteur. . ...... . » . . n°. i4 xsx TABLE DES MATIERES, etc. CHAP. II. Des moupemens de la lune , autour de son centre de gravité 356 Théorie astronomique de la libration réelle de la lune. . .. . . . . n°. i5 Equations différentielles du mouvement de la lune autour de son centre de gravité. Expression finie de sa libration réelle. Le moyen mouve- ment de rotation de la lune est exactement égal à son moyen mou- vement de révolution autour de la terre , et il participe aux mêmes inégalités séculaires , en vertu de l'attraction terrestre sur le sphéroïde lunaire n". 16 Expressions du mouvement des noeuds et de l'inclinaison de l'équateur lunaire, sur l'écliptique vx'aie. Le moyen mouvement de ces noeuds est égal à celui des noeuds de l'orbite lunaire, et le nœud descendant de l'équateur lunaire coïncide toujours avec le noeud ascendant de l'orbite: l'inclinaison moyenne de l'équateur lunaire à l'écliptique vraie, est constante. Les mouvemens séculaires de l'écliptique n'altèrent point ces résultats n". 17 Conséquences qui résultent de la libration réelle de la lune, sur la figure et la constitution du sphéroïde lunaire. La différence entre ses momens d'inertie, relatifs à ses axes principaux, est plus grande que dans le cas de l'homogénéité, et dans celui où elle auroit été primitivement fluide. n°. îb* L'action du soleil sur le sphéroïde lunaire , n'influe pas sensiblement sur les mouvemens de ce sphéroïde autour de son centre de gravité. u°. îq. CHAP. III. Des mouvemens des anneaux de Saturne autour de leurs centres de gravité 670 Equations différentielles de ces mouvemens ; intégration de ces équations. Sans la rotation et l'applatissement de Saturne, les anneaux , en vertu de l'attraction du soleil et du dernier satellite de Saturne, cesseroient d'être dans un même plan : l'action de Saturne les maintient toujours à fort peu près dans le plan de son équateur , ainsi que les orbes des six premiers satellites. Les satellites d'Uranus, circulant dans un même plan ; il en résulte que ce plan est celui de l'équateur de cette planète, et qu'elle tourne rapidement sur elle-même nos. 20, 21 et 22. FIN DELA TABLE DE LA PREMIERE PARTIE. ERRATA DU TOME PREMIER. g Page 26, ligne 4, en remontant, au lieu de £; lisez — . & Page 53 , ligne 10 , en remontant ; changez le signe — en -{-. Page 54, ligne 7 ; changez le dernier — en -J-. Page 5g, ligne 8 , en remontant, au lieu de — z.sin.ô . cos.4 ; lisez — z.sin.ô .cos.?. Pa^e 72 , ligne 4; changez les / en 5. Page 73, ligne 10 , au lieu de l'angle ; lisez le complément de V angle. Page 75, ligne 6, en remontant, au lieu de tang.ifl; lisez \ tang. 2 i. Page 79 , ligne 19 , à la fin ; ajoutez =0. Page 83 , ligne i3 , en remontant , au lieu de cosinus ; lisez sinus. Page 85 , ligne i3 , en remontant , au lieu de } , lisez —r~. Page Pg , ligne i3; changez les f en S. Page ^5 , ligne 8 , multipliez par dt , le premier terme. Page g6 , ligne i4 ; ajoutez au second membre de l'équation. ,. \ fds'\ ,. Ad'v'\ Page io5 , ligne 6 , en remontant, au lieu de l - ) j. usez l — — J. Page 124, ligne g ; changez l'exposant { en {. Page i3o, ligne 3 , au lieu de partiellement ; lisez pareillement. Page i4i , lignes 4 et 8, multipliez par de. Page 147, ligne g , au lieu de cos. 9 ; lisez r.cos. â. Page i5o, ligne dernière, au lieu de +?; lisez -\-s. Page i52, ligne 11., au lieu de ( ~ J.sin. (nt-\-s) ; lisez (7-^ ).$m.(nt-\-e). Page 160, ligne 9, en remontant; mettez {/~[Â devant le radical. Page 182 , ligne g, en remontant , au lieu décos 6.(v — S) ; lisez sin. 6 . (v — S). Page 1 85 , ligne 1 1 , en remontant, au lieu de T ; lisez t. Page ig2 , ligne 3 , au lieu de = ; lisez l ^=. lbid. ligne i4, en remontant, comme les j lisez réciproques aux, et ligne îî, en remontant, au lieu de \/ — ; lisez U. \/ —, dp Page 207 , ligne 3, au lieu de p ; lisez — . Page 20g , ligne 5 , au lieu de — ; lisez • — ■ — -. COj. d cos. 0 Page 21G , ligne g, en remontant, au lieu de Cp* ; lisez Cp. Page 226, ligne 7 , en remontant, géocenirique ,• lisez hé.Hocentrique. Page 2g 1, ligne dernière , au lieu de 2 sin. v; lisez 2 a. sin. v. Page 2g2, ligne 10, en remontant, au lieu de Za; lisez . Page 354, ligne 11 , en remontant, au lieu de m', are; lisez —m'ait. ERRATA DU TOME SECOND. 4t. F 4-r.ft3 Page 10, ligne i4, au lieu de — ^=3 ; lisez \/mn 5. )/ mn Page i5 , ligne i4 , au lieu de ; lisez . m n sxxij ERRATA. "Page 33 , ligne g , en remontant ; observez que la masse M est prise pour unité. Page 35 , ligne 4, en remontant , au lieu de 4a t. Y&j lisez iu.^. Y"W. Page 47 , ligne 2, en remontant, au lieu de2.(i-\-2n-{-i).(i-\-un-{-2). ■ ■ .(21— ï) ; lisez (i-\- 2n-{-\).(i-\- 2n + 3). . . .(ai — l). Page 48 , ligne 5 ; supprimez le facteur . 2. 4 ^T" , 4 5T0 Page 5i , ligne 6 , au lieu de -f- ; lisez — — - ■ . 3 3 Page 107, ligne 17, au lieu de 2Ï + 1 . /isez 2 . ^2 i + 1^}. Page 122 , ligne 4 ; multipliez par s les deux derniers termes. / d u ' \ , ( d u f\ Page 123 , ligne 9 , au lieu de t -, '- J ; lisez l — — '- 1. Page 125, ligne 4 , en remontant , au lieu de sin. 2^ -\-£); lisez cos.2^-f- &)■ Page i36, ligne 16, au lieu de somme ; lisez demi-somme. Page 1 56, ligne 17, au lieu de u étant ; lisez a étant lbid. ligne 21, au lieu de rayon ; substituez ray on , a. ti n t -, 1.1 bvr.zdz ,. i-r.kzdz 1 âge 101 , ligne 18 , au heu de : lisez — Page i64, lig. 11, au lieu de ces mots, sur l'élément rd^a, de l'anneau; lisez sur l'anneau. Page 1 69 , ligne 1 5 , au lieu de a. r3d d ; lisez ar^dO. Page 172, ligne 10, en remontait, au lieu de V ; lisez v , et observez que ce v est différent de celui de l'équation (2). Page 177 , lignes i3 et i4 ; multipliez par l , les deux termes. Page 189 , ligne 6 , en remontant, au lieu de FW> ; lisez PC2/— 2). Page 190, ligne 3 , en remontant , au lieu de //2/— 2; lisez p.*f~l. Page ig4, ligne 2, au lieu de cos. (nt-\- (Q) , équation dans laquelle on peut changer x en y , pourvu que l'on y change semblablement l'angle 9 dans 9 , ir étant la demi- cir- conférence dont le rayon est l'unité. Maintenant, on peut considérer la force x comme ïa résultante de deux forces x' et x" dont la première x' est dirigée suivant la résultante z, et dont la seconde x" est perpendiculaire à cette résul- PREMIERE PARTIE, LIVRÉ I. 5 tante. La force x qui résulte de ces deux nouvelles forces , formant l'angle 9 avec la force x' , et l'angle 9 avec la force a?", on aura x* I if \ xy x' = x.q>(9) = — ,• x" = X.ç[ •(?)= ; z \z ) z on peut donc substituer ces deux forces , à la force x. On peut subs- tituer pareillement à la force y, deux nouvelles forces y' et y" dont y* la première est égale à — et dirigée suivant z , et dont la seconde est égale à — ^ , et perpendiculaire à z ; on aura ainsi , au lieu des deux forces x et y , les quatre suivantes : x2 v2 xy xy T ' t * ~T ' ~7> les deux dernières agissant en sens contraire , se détruisent ; les deux premières agissant dans le même sens , s'ajoutent et forment la résultante z ; on aura donc êè* + y* == z* • d'où il suit que la résultante des deux forces x" et y est représenté© pour la quantité, par la diagonale du rectangle dont les côtés repré- sentent ces forces. Déterminons présentement l'angle 9. Si l'on fait croître la force x, de la différentielle dx , sans faire varier la force y , cet angle dimi- nuera d'une quantité infiniment petite c/9,- or on peut concevoir la force dx , décomposée en deux , l'une dx' dirigée suivant z j et l'autre dx" perpendiculaire à z ; le point M sera donc alors sollicité par les deux forces z + dx'et dx" perpendiculaires entre elles , et la résultante de ces deux forces , que nous nommerons z', fera avec dx" l'angle dd ■ on aura ainsi , par ce qui précède , la fonction p( d& J est par conséquent, infiniment petite, et de la forme — &dô , h étant une constante indépendante de l'angle 9 ; on a donc dx" , „ 6 MÉCANIQUE CELESTE, z' est, à un infiniment petit près, égal k z s de plus, dx" formant avec dx , l'angle 9 , on a dx" = dx.ç(^ — 8 J =y—; partant >/> — ydx k.z* Si l'on fait varier la force y, de dy , en supposant x constant; on aura la variation correspondante de l'angle 9 , en changeant dans l'équation précédente, x eny,y en x, et 9 dans — - 9 ; ce qui donne xdy d,=ri- en faisant donc varier à-la-fois x et y , la variation totale de l'angle 0 aura xdy— ydx = kdô. xdy— ydx sera — +-— —^ — ; et 1 on aura Substituant pour za sa valeur x" +y* , et intégrant , on aura J=tang. (kS+ P), p étant une constante arbitraire. Cette équation combinée avec celle-ci x2 +y* = z2 , donne x = z. cos. (kQ + p). Il ne s'agit plus que de connoître les deux constantes k et p ; or si l'on suppose y nul , on a évidemment z=x , et 9=o ; donc cos. p=i , etx=z.cos.&Q. Si l'on suppose x nul , on a z=y et 8 = ^^; cos. A 9 étant alors égal à zéro , k doit être égal à 2ra+ 1 , n étant un nombre entier , et dans ce cas , x sera nul toutes les fois que 9 sera égal à — ,• mais x étant nul , on a évidemment 9=t tt i donc a/z-J- 1=1, 2 n + i ou 7Z = o , et par conséquent x = z . cos, 9. De-là il suit que la diagonale du rectangle construit sur les droites qui représentent les deux forces x et y, représente non-seulement la quantité , mais encore la direction de leur résultante. Ainsi l'on peut , à une force quelconque , substituer deux autres forces qui PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 9 forment les côtés d'un rectangle dont elle est la diagonale ; et il est facile d'en conclure que l'on peut -décomposer une force, en trois autres qui forment les côtés d'un parallélipipède rectangle dont elle est la diagonale. Soient donc a , b, c les trois coordonnées rectangles de l'extré- mité de la droite qui représente une force quelconque, et dont l'origine est celle des coordonnées ; cette force sera exprimée par la fonction Va' + b2 + c*, et en la décomposant parallèlement aux axes des a , des b et des c , les forces partielles seront exprimées respec- tivement par ces coordonnées. Soient af, b', c les coordonnées d'une seconde force ; a + a, b + b', c + c' seront les coordonnées de la résultante des deux forces , et représenteront les forces partielles dans lesquelles on peut la dé- composer parallèlement aux trois axes ; d'où il est aisé de conclure que cette résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces. En général, a, b, c ; a', b', cr ; a", b", c" ; &c. étant les coor- données d'un nombre quelconque de forces ; a+ a + a" + &c. 5 b -\- b'-\- b"+ &c. ; c + c -\- c"+ &c. , seront les coordonnées de la résultante dont le quarré sera la somme des quarrés de ces der- nières coordonnées 3 on aura donc ainsi la grandeur et la position de cette résultante. 2. D'un point quelconque de la direction d'une force S, point que nous prendrons pour l'origine de cette force , menons au point matériel M , une droite que nous nommerons s ; soient x,y , z les trois coordonnées rectangles qui déterminent lapositiondupoint^i, et a , b , c les coordonnées de l'origine de la force ; on aura S = V (X — a)* + (y— b)* + (z — c)\ Si l'on décompose la force S parallèlement aux axes des x , àesy et des z ; les forces partielles correspondantes seront , par le n°. pré- cédent , [Ss\ f£s\ /£s\ . VÏ — /' \T~/' \~F~I exPrimant suivant la notation reçue, les 8 MECANIQUE CELESTE, coefficiens des variations Sx, Sy, Sz, dans la variation de l'expres- sion précédente de s. Si l'on nomme pareillement s', la distance de 31, à un point quelconque de la direction d'une -axitre force Sf, pris pour l'origine de cette force ; <5".( -r — J sera cette force décomposée parallèle- ment à l'axe des a~, et ainsi de suite j la somme des forces S, 6", S ", &c. décomposées parallèlement à cet axe , sera donc S . S. I - — J ; la caractéristique 2 des intégrales finies , exprimant ici la somme des termes «?•(£), *\fë)i &c' Soit /^la résultante de toutes les forces S, 6", &c. , et u la dis- tance du point M , à un point de la direction de cette résultante , pris pour son origine j ^•\j — ) sera l'expression de cette résul- tante décomposée parallèlement à l'axe des x ; on aura donc, par le 3i°. précédent, On aura pareillement d'où Ion tire , en multipliant respectivement ces trois équations par Sx, S y , Sz, et en les ajoutant ensemble, ^.S"u=X.S.Ss ; (a) Cette dernière équation ayant lieu , quelles que soient les variations £~x, Sy, Sz, elle équivaut aux trois précédentes. Si son second membre est la variation exacte d'une fonction

/.JV ; équation dans laquelle on égalera séparément à zéro, les coefficiens de chacune des variations £x, ty , S~z ; on aura ainsi trois équa- tions au moyen desquelles on déterminera les valeurs de a et B 2 12 MÉCANIQUE CÉLESTE, de h' , qui donneront les réactions R et R' des deux surfaces ; et eii les composant, on aura la réaction h du canal sur le point 31, et par conséquent, la pression que ce point exerce contre le canal. Cette réaction décomposée parallèlement à l'axe des x , est égale à R' (ë) + ir-(è)' OU^- (^)+^'(^) 5 ^s équations de condition u = o, u'=o, auxquelles le mouvement du point 31 est assujetti, expriment donc , au moyen des différences partielles des fonctions qui sont nulles en vertu de ces équations , les résis- tances que le mobile éprouve, en vertu des conditions de son mou- vement. On voit , par ce qui précède, que l'équation ( b ) de l'équilibre ., a généralement lieu, pourvu que l'on assujettisse les variations frx., S'y , Sz , aux conditions de l'équilibre. Cette équation peut se traduire dans le principe suivant. « Si l'on fait varier infiniment peu la position du point 31 , en » sorte qu'il reste toujours sur la surface ou sur la courbe qu'il » doit suivre, s'il n'est pas entièrement libre; la somme des forces y> qui le sollicitent, multipliées chacune par l'espace que le point y> parcourt suivant sa direction , est égale à zéro , dans le cas de » l'équilibre ». Les variations frx , fry , frz étant supposées arbitraires et indé- pendantes, on peut dans l'équation (a) substituer aux coordonnées x , y , z , trois autres quantités qui en soient fonctions , et égaler les coefficiens des variations de ces quantités à zéro. Nommons ainsi p le rayon mené de l'origine des coordonnées, à la projection du point M , sur le plan des x et des y , et « — . f — — J est l'expression de la force /^décomposée suivant l'élé- ment p. JV. Soit JÇ1 cette force décomposée parallèlement au plan PREMIERE PARTIE, LIVRE I. i5 des x et des y , et p la perpendiculaire abaissée de l'axe des z sur la direction de y\ parallèlement au même plan ; sera une P seconde expression de la force y décomposée suivant l'élément f i~ -s- ; on aura donc Si Ton conçoit la force y appliquée à l'extrémité de la perpendi- culaire p , elle tendra à la faire tourner autour de l'axe des z ; le produit de cette force , par la perpendiculaire , est ce que l'on nomme moment de la force y^>ax rapport à l'axe des z; ce moment est donc égal à y. ( - — j ; et il résulte de l'équation ( (f) divisée par df. La vitesse relative de M suivant l'axe des a , deviendra ainsi , a'. mais dans ce nouvel instant , les vitesses dont le mobile est animé dx dx parallèlement aux coordonnées x:y,z, sont évidemment-^— + d. -r ; dy dy dz _, dz , , dx „ , , dy ^ + d.^i — + d.-—;\esîoïces—d.-T- + P.dt,—d.-ir+Q.dt, dt dt dt dt dt dt et — d. — + P-dt, doivent donc être détruites, en sorte que le mobile M , en vertu de ces forces seules , seroit en équilibre. Ainsi en désignant par fx, S'y , S~z , les variations quelconques des trois coordonnées x , y , z, variations qu'il ne faut pas confondre avec les différences dx , dy , dz , qui expriment les espaces que le mo- PREMIERE PARTIE, LIVRE I. si bile décrit parallèlement aux coordonnées durant l'instant dt; l'équation (b) du n°. 5 deviendra { dt J y { dt x j (_ dt J Si le point Jf est libre, on égalera séparément à zéro, les coefEciens de Sx , S y et Sz , et l'on aura , en supposant l'élément dt du temps , constant, les trois équations différentielles , ddx _ rfJy , Jrfz _ -— = P ; _^=Q; __ = .&. Si le point Jf n'est pas libre , en sorte qu'il soit assujetti à se mouvoir sur une surface ou sur une ligne courbe ; on éliminera de l'équation (f) , au moyen des équations à la surface ou à la courbe, autant de variations Sx, Sy, Sz, qu'il y aura d'équations, et l'on égalera séparément à zéro , les coefficiens des variations res- tantes. 8. On peut supposer dans l'équation (f) les -variations Sx, Sy , S- z égales aux différentielles dx, dy, dz, puisque ces différen- tielles sont nécessairement assujetties aux conditions du mouve- ment du mobile M. En faisant cette supposition, et en intégrant ensuite l'équation (/), on aura : dx* + dy* + dz,* dt- = c + 2.f(P.dx+Q.dy+P.dz); dx* + dy*+dz,* . ,'■,'', c étant une constante arbitraire. -~ est le quarre de la vitesse de 31, vitesse que nous désignerons par v ; en supposant donc que P d x + Q dy + Rd z soit la différence exacte d'une fonc- tion ç , on aura *>' = C + 2 z. d.-- ds.ïv ; (h) dt dt dt en diffé rendant par rapport à «f , l'expression de ds , on a ds dx dy dz — . S ,ds= — . £.dx-\ — ~. f.dy+rr. ï.dz. dt dt dt J ' dt PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 23 Les caractéristiques d et S étant indépendantes , on peut les placer à volonté l'une avant l'autre; l'équation précédente peut ainsi pren- dre cette forme : d.{dx.ïx+dyJy+dzJz} dx dy dz pMs= _ ^.^_r_^.^_^.c?._.. en retranchant du premier membre de cette équation , le second membre de l'équation (h) ; on aura d.(dx.Sx + dy.fy + dz.Sz) . S. (vds}= . Cette dernière équation intégrée par rapport à la caractéristique d, donne / dx.^x+dy.Sf+ dz.Sz S- .Jv ds — constante -\ : . Si l'on étend l'intégrale, à la courbe entière décrite par le mobile , et si l'on suppose les points extrêmes de cette courbe, invariables, on aura S.Jv ds = o ; c'est-à-dire, que de toutes les courbes sui- vant lesquelles le mobile assujetti aux forces P, Q, 7? peut parve- nir d'an point donné à un autre point donné, il décrira celle dans laquelle la variation de l'intégralfe-Jpt/^ est nulle, et dans laquelle, par conséquent, cette intégraient ' un minimum. Si le point se meut dans une surface courbe, sans être sollicité par aucune force; sa vitesse est alors constante, et l'intégrale Jvd s devient vj ds; ainsi, la courbe décrite par le mobile est , dans ce cas , la plus courte que l'on puisse tracer sur la surface, du point de départ au point d'arrivée. Q. Déterminons la pression qu'un point mû dans une surface, exerce contre elle. Au lieu d'éliminer de l'équation (f) du n°. 7 une des variations Sx, Sy , Sz, au moyen de l'équation à la surface, on peut par le n°. 5 ajouter à cette équation, l'équation différen- tielle de la surface, multipliée par une indéterminée — \ d t, eh considérer ensuite les trois variations Sx, Sy } Sz, comme indé- pendantes. Soit donc u = o, l'équation de la surface; on ajoutera à l'équation (/) le terme — * . Su. dt, et la pression que le point exerce contre la surface, sera par le n°. 5 égale à ■K\3ï)+\55r) du s4 MÉCANIQUE CELESTE-, Supposons d'abord que le point ne soit sollicité par aucune force, sa vitesse v sera constante : si l'on observe ensuite que v dt—ds ; l'élément d t du temps étant supposé constant , l'élément ds de la courbe décrite , le sera pareillement , et l'équation (f), augmentée du terme — h.S'u.dt, donnera les trois suivantes : ddx fdu\ „ ddy /du\ ddz /du\ ds* \dxj ds2- \dyj ds* \dzj d'où l'on tire n du \^ /du\* /du y v2.V (ddx)*+(ddy)*+(ddz)\ dx J \d)'J \dz/ ds* mais ds étant constant , le rayon osculateur de la courbe décrite par le mobile , est égal à V(ddx)2 + (ddyJJ- + (ddz)"- ' en nommant donc r ce rayon , on aura -vrm+x%h du\ c'est - à - dire que la pressiorf*exercée par le point contre la sur- face , est égale au q uarré de sa vitesse , divisé par le rayon osculateur de la courbe qu'il décrit. Si le point se meut dans une surface sphérique , il décrira la cir- conférence du grand cercle de la sphère, qui passe par la direction primitive de son mouvement ; puisqu'il n'y a pas de raison pour qu'il s'écarte plutôt à droite qu'à gauche du plan de ce cercle : sa pression contre la surface, ou, ce qui revient au même, contre la circonférence qu'il décrit, est donc égale au quarré de sa vitesse, divisé par le rayon de cette circonférence. Concevons le point attaché à l'extrémité d'un fil supposé sans masse, et dont l'autre extrémité soit fixe au centre de la surface; il est visible que la pression exercée par ce point contre la circon- férence , est égale à la tension qu'éprouveroit le fil , si le point n'étoit retenu que par lui. L'effort que ce point feroit pour tendre le fil et pour s'éloigner du centre de la circonférence , est ce que l'on nomme force centrifuge; ainsi, la force centrifuge est égale au quarré de la vitesse, divisé par le rayon, Dans PREMIERE PARTIE, LIVRE ï. — ^'~t~ j on aura donc par le n°. 7. ds ds ■ ds „ ^_ dx dy ■ dz P=-G.— ; Q= — C,-f--,- R=—6.--+gi ds as ds et l'équation (f) devient o = ^x.\d.-^+G.~.dt} + tyAd.Q + e.Q.dA + fzAd.^ + e.-ï-.dt— gdt\. { dt ds j J \ dt ds j { dt ds ) Si le corps est entièrement libre , on aura les trois équations 7 dx dx ' , dy dy , _ dz dz \ o = d.— — \-G. — .dt; o = d.-f + €.-f-.dt; o = d. — + G. — .dt — gdt. dt ds dû ds dt ds Les deux premiers donnent dy dx dx dy —-. d.~ —. d. -p- = o : dt dt dt dt d'où l'on tire en intégrant, dx—fdy , pétant une constante arbi- traire. Cette équation est celle d'une droite horizontale ; ainsi , le corps se meu L dans un plan vertical. En prenant ce plan pour celui des x et des z , on aura y = o; les deux équations , dx dx , , dz dz o = d.-- — \-G.-—-.dt ; o = tf.— — \-G.—~.dt — gdt; dt ds dt as donneront , en faisant dx constant , ds . ddt ddz dz.ddt _ dz _ T G= — — ,- o=— : : \-G.-—-.dt—gdt. dt3 * dt dt* ds ° D'où l'on tire gdtf ' = ddz ; et en différentiant 2gdt.ddt=d3z; en Sdt3 ddz substituant pour ddt , sa valeur —7— , et pour df sa valeur , on aura ds . ds z C = . a.(ddzf Cette équation donne la loi de la résistance G, nécessaire pour faire décrire au projectile , une courbe déterminée. Si la résistance est proportionnelle au quarré de la vitesse , G est PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 27 ds* égala h.——, h étant constant 'dans le cas où la densité du milieu 0 de- ' est uniforme. On a alors S h .ds* h . ds* g ' gdt* ddz ' d3z partan t h . d s = , ce qui donne en intégrant , ddz *hs — — = za.c , dxz ' a étant une constante arbitraire , et c étant le nombre dont le loga- rithme hyperbolique est l'unité. Si l'on suppose nulle, la résistance du milieu ,ouà = o; on aura en intégrant, l'équation à la parabole, z = ai' -f- b x-\- e; b , e étant des constantes arbitraires. 2 et L'équation différentielle ddz = gdf, donnera df = — .. dx' ; d'où l'on tire t=x. J/^ \-f. Supposons que x , z et t, com- mencent ensemble , on aura e = o,/=o, et par conséquent, i y aa t — x.ys — ; z = ax +bx ; ce qui donne z=^+bt.l/T. Ces trois équations renferment toute la théorie des projectiles dans le vide; il en résulte que la vitesse est uniforme dans le sens horizontal, et que dans le sens vertical, elle est la même que si le corps tomboit suivant la verticale. Si le mobile part de l'état du repos, b sera nul , et l'on aura % = **■* ' = ±8*: la vitesse acquise croît donc comme le temps , et l'espace croît comme le quarré du temps. Il est facile, au moyen de ces formules, de comparer la force cen- trifuge à la pesanteur. On a vu précédemment que v étant la vitesse d'un corps mû dans une circonférence dont le rayon est r, la force centrifuge est — . Soit h la hauteur dont il devroit tomber pour J} 2 28 MÉCANIQUE CÉLESTE, acquérir la vitesse p; on aura , par ce qui précède, v* — 2g h ; d'où l'on tire — = g. — . Si h = { r, la force centrifuge devient égale à la pesanteur g ; ainsi un corps pesant attaché à l'extrémité d'un fil fixe par son autre extrémité , sur un plan horizontal , tendra ce fil avec la même force , que s'il étoit suspendu verticalement , pourvu qu'il se meuve sur ce plan , avec la vitesse qu'il acquerroit en tombant d'une hauteur égale cà la moitié de la longueur du fil. 1 1. Considérons le mouvement d'un corps pesant , dans une surface sphérique. En nommant /-son rayon, et fixant à son centre, l'origine des coordonnées x , y , z ; on aura ra — x* — y* — z* = o ; cette équation comparée à celle-ci u = o, donne u = r* — x" — y" — z%- • en ajoutant donc à l'équation (f) du n°. 7 , la fonction Su , mul- tipliée par l'indéterminée — ^dt, on aura o=^Sx. \ d.— -\-2hx.dt\-\-Sy. ] d.-j- + 2*-y.dt \+Sz. j d.-^- + 2hz.dt — gdtl ; équation dans laquelle on pourra égaler séparément à zéro , les coefficiens de chacune des variations Sx , Sy , Sz , ce qui donne les trois équations suivantes : dx o — d.— r-+2hx.dt ; dt 0 = d.-£-\-2hy.dt; }. {A) dz O = d.-r--i-2\Z.dt—ffdt dt ■ ' ■■■ b L'indéterminée k fait connoitre la pression que le mobile exerce contre la surface. Cette pression est , par le n°. g , égale à a.|/ {~j~) +("J") + ("J~) * e^e est Par conséquent égale à 2 . a r $ or on a par le n°. 8 ? dx*+ dy>+dz* C+ 2gz = , c étant une constante arbitraire : en ajoutant cette équation, aux équations ( ^4 ) divisées par dt , et multipliées respectivement par x , y , z ; en observant ensuite que l'équation différentielle delà surface, étant o — xdx+ydy + zdz, on a o = x ddx -\-y ddy -irzddz + dx* + dy* -\-dzâj PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 29 on trouvera 2.*r = — . r Si l'on multiplie la première des équations (^) par — y, et qu'on l'ajoute à la seconde multipliée par x ; on aura , en intégrant leur somme , xdy — ydx _ , dt ~° ' c étant une nouvelle arbitraire. Le mouvement du point est ainsi ramené aux trois équations différentielles du premier ordre , xdx+ydy = — zdz ; xdy — ydx = c'dt; dx%-\-dy°--\- dz* 1? = ' + *«■*• En élevant chaque membre des deux premières , au quarré , et en les ajoutant , on aura (x*+y*).(dx*+.df) = c'*df + z*dz*; si l'on substitue , au lieu de x*+y*, sa valeur ra — s2, et au lieu de dx* + d y* dz* — , sa valeur c+ agz — — / on aura , en supposant que le corps s'éloigne de la verticale , — ?• dz dt — . V (r*— z*).(c-\-2gz) — c,!l La fonction sous le radical , peut être mise sous la forme (a — z). (z — b).(2gz-\-f) ; a, b,f, étant déterminés par les équations _*g.(f + ab) /•',"" a + b J" 2 g.(i°-— n2— ab — b*) a+b c,2=sg.^-û*;/(V— &*; a+b On peut ainsi substituer aux arbitraires c et c', les nouvelles arbi- traires a et b , dont la première est la plus grande valeur de z , et dont la seconde est la plus petite valeur. En faisant ensuite , sin. 0 = \/ ■b ' oo MECANIQUE CÉLESTE, l'équation différentielle précédente deviendra dt = rV,.(a + b) a" — b2, y étant égal a — -. r to (a + b)*+r*— b* L'angle ô donne la coordonnée z , au moyen de l'équation , z = a. cos.2 ô + è.sin.1 9, et la coordonnée z divisée par r, exprime le cosinus de l'angle que le rayon ;■ fait avec la verticale. Soit '* — ~2» sin. ^ ; ce qui donne x dy — y dx = (V — z% ) . d & • l'équation xdy — ydx = c'dt, donnera ainsi : _ c'dt d \ ^\aJ y T\^4j ' ^\z.4.sj r T J Concevons le point suspendu à l'extrémité d'un fil sans masse, et fixe par son autre extrémité ; si la longueur du fil est r , le mo- bile sera mû exactement comme dans l'intérieur d'une surface sphé- rique ; il formera avec le fil, un pendule dont le cosinus du plus grand écart de la verticale sera -. Si l'on suppose que dans cet état, la vitesse du mobile soit nulle j il oscillera dans un plan vertical PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 5i T—b _ . T — b et l'on aura dans ce cas , a = 7'; >2= . La fraction est le quarré du sinus de la moitié du plus grand angle que le fil forme avec la verticale ; la durée entière T de l'oscillation du pendule sera donc Si l'oscillation est très-petite , est une très -petite fraction que l'on peut négliger, et alors on a ê" les oscillations fort petites sont donc isochrones , ou de même durée, quelle que soit leur étendue; et l'on peut facilement , au moyen de cette durée et de la longueur correspondante du pendule , détermi- ner les variations de l'intensité de la pesanteur, dans les divers lieux de la terre. Soit z la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps , pen- dant le temps T ; on aura, parle n°. 10, 2z=gT', et par consé- quent, ,z = ^t2. r ; on aura donc ainsi , avec une grande précision, au moyen de la longueur du pendule à secondes, l'espace que la pesanteur fait parcourir aux corps , dans la première seconde de leur chute. Des expériences très - exactes ayant fait voir que la longueur du pendille à secondes est la même , quelles que soient les substances que l'on fait osciller ; il en résulte que la pesanteur agit également sur tous les corps, et qu'elle tend, dans le même lieu, à leur imprimer dans le même temps , la même vitesse. 12. L'isochronisme des oscillations du pendule , n'étant qu'ap- proché ; il est intéressant de connoître la courbe sur laquelle un corps pesant doit se mouvoir , pour arriver dans le même temps , au point où son mouvement cesse, quel que soit l'arc qu'il aura décrit depuis le point le plus bas. Mais pour embrasser ce problême dans toute sa généralité , nous supposerons , conformément à ce qui a lieu dans la nature , que le mobile se meut dans un milieu résistant. Soit s l'arc décrit depuis le point le plus bas de la courbe^ z l'abscisse verticale comptée de ce point ; dt l'élément du temps , d ds dz 5-i MECANIQUE CELESTE, et g la pesanteur. La force retardatrice le long de l'arc de la courbe sera i°. la pesanteur décomposée suivant l'arc ds , et qui devient dz ainsi égale h g. — ; 2°. la résistance du milieu , que nous exprime- /ds\ /ds\ ,._"", , ,■':, /ds\' rons par

en désignant Cl t y Ct t Cl t par A-' (s) la différence de 4 (s), divisée par ds'; et par -\" (s ') celle ' de 4' (s), divisée par ds ; on aura ds ds' dl=-J7-4(s) dt* df K df et l'équation ( i) deviendra dds'' ds' ds'* (r(s')+n.{4'(s')}°-\ , g-dz fn °=lfï + m-Tt+inF'{ T7Ô rds{^'(s')Y; W ds'2 on fera disparoître le terme multiplié par -7—, au moyen de l'équation d'où l'on tire en intégrant , ■\(s') =log. lh.(s' + q)^=s, h et q étant des arbitraires. Si l'on fait commencer s' avec s , on aura h q « = 1 , et si l'on fait pour plus de simplicité , h = 1 , on aura s = c — 1 ; c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité l'équation différentielle (/) devient alors dds ds' dz . ■ °=-dï+m'in+riZ'd7'Cl+s) En mt C C PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 53 En supposant s très - petit , nous pourrons développer le der- nier terme de cette équation , dans une suite ascendante par rapport aux puissances de s' , et qui sera de cette forme , ks'+ls'i+ &c. , i étant plus grand que l'unité ; ce qui donne dds ds' , , , , . B o= —— + m.-T~ + &s+lsi-{- &C. dt* dt Cette équation multipliée par c^ . (cos. yt+ V — i . sin. yt] , et eu- suite intégrée , devient , y étant supposé égal à \s h — -, . {cos.>£+ V — \.sm,yt} . \ — + ( y. \/"Z~[)'s' \ m t = — l.fs'ldt.c~. {cos.yt+V — i. sin. yt} — &c. En comparant séparément les parties réelles et les parties imagi- naires , on aura deux équations au moyen desquelles on pourra ds' éliminer — - ; mais il nous suffira ici de considérer la suivante : dt " ds . 2* , fi». . 1 -,,-.- là: . 1 .— .sin.>f+c2.s..| — .svn.yt — y.cos.yt} = — l.Jsldt.c* .sm.yt — dt ^2 J les intégrales du second membre étant supposées commencer avecf. ds Nommons T\a. valeur de t, à la fin du mouvement où ■— est nul : ' dt ' on aura , à cet instant, m T ( m "l mt c * .s'.l—.sin.yT — ycos.yT\— — l.fs'ldt.c* .s'm.yt — &c. Dans le cas de s' infiniment petit , le second membre de cette équa- tion se réduit à zéro , par rapport au premier , et l'on a o = — . sin, y T — y. cos. y T; d'où l'on tire r*, zy m et comme le temps T'est , par la supposition , indépendant de l'arc parcouru , cette valeur de tang. y T a lieu pour un arc quelconque , ce qui donne , quel que soit s', mt o = l.fs'Kdt.c. a . sm.yt + &c. l'intégrale étant prise depuis t=o, jusqu'à t— T. En supposant sf Mécan. cél. Tome I. E &G. 54 MECANIQUE CELESTE, très-petit, cette équation se réduit à son premier terme , et elle ne mt peut être satisfaite qu'en faisant l=o ; car le facteur ca.sin. yt étant constamment positif depuis t=o jusqu'à t=T, l'intégrale précédente est nécessairement positive dans cet intervalle. II ne peut donc y avoir de tautochronisme que dans la supposition de ce qui donne pour l'équation de la courbe tautoclirone , kds , gdz = —.(i—c-»'). Dans le vide , et lorsque la résistance est proportionnelle à la simple vitesse , n est nul , et cette équation devient gdz = kds ; équation à la cycloïde. Il est remarquable que le coefficient n de la partie de la résis- tance , proportionnelle au quarré de la vitesse , n'entre point dans l'expression du temps T; et il est visible, par l'analyse précédente, que cette expression seroit la même, si l'on ajoutoit à la loi précé- -,-,,■ , ds3 ds* 0 dente de la résistance , les termes 0.-7--+ q--, — h etc. dts dt* Soit en général , R la force retardatrice le long de la courbe • on aura dds _ s est une fonction du temps t et de l'arc total parcouru qui par conséquent, est fonction de t et de s. En dilférentiant cette dernière fonction, on aura une équation différentielle de cette forme , dt~~ > V étant une fonction de t et de s qui doit être nulle par la condi- tion du problême , lorsque t a une valeur déterminée , et indépen- dante de l'arc total parcouru. Supposons , par exemple, V=S.T^ S étant fonction de s seul, et T étant fonction de t seul ; on aura dds _ dS ds dT dS ds* „dT . -~t h s = \-s • d? ' ds ' dt ' dt Sds' dt* ' dt ' . ,, , . ds • ., dT mais ! équation — = ST, donne t, et par conséquent — égal a une Ct t Ct £ PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 35 ' i ds r • i , • ds* . / ds\ ionction de——, fonction que nous désignerons par- .41 TT.jl on aura donc dd dt ■ - S. de '\ds + ^\sdt) }- *■ Telle est l'expression de la résistance qui convient à l'équation ds différentielle — = STj et il est facile de voir qu'elle embrasse le cas de la résistance proportionnelle aux deux premières puissances de la vitesse , multipliées respectivement par des coefîiciens cons- tans. D'autres équations différentielles donneroient d'autres loix de résistance, / E 2 56 MECANIQUE CELESTE, CHAPITRE III. De V équilibre d'un système de corps, 10. JLe cas le plus simple de l'équilibre de plusieurs corps, est celui de deux points matériels qui se choquent avec des vitesses égales et directement contraires ; leur impénétrabilité mutuelle anéantit évidemment leur vitesse , et les réduit à l'état du repos. Concevons présentement un nombre m de points matériels con- tigus , disposés en ligne droite , et animés de la vitesse u , dans la direction de cette droite. Concevons pareillement un nombre m! de points contigus disposés sur la même droite , et animés de la vitesse u' directement contraire à u , en sorte que les deux sys- tèmes viennent à se choquer. Il doit exister , pour leur équilibre à l'instant du choc , un rapport entre u et u', qu'il s'agit de déter- miner. Pour cela , nous observerons que le système m , animé de la vitesse u , feroit équilibre à un seul point matériel animé de la vitesse mu, dirigée en sens contraire 3 car chaque point du système détruiroit dans ce dernier point , une vitesse égale à u , et par con- séquent, ses m points détruiroient la vitesse entière m u$ on peut donc substituer à ce système, un seul point animé de la vitesse mu. On peut semblablement substituer a\i système m', un seul point animé de la vitesse m'u' ; or les deux systèmes étant supposés se faire équi- libre , les deux points qui en tiennent lieu , doivent pareillement se faire équilibre , ce qui exige que leurs vitesses soient égales ; on a donc pour la condition de l'équilibre des deux systèmes, m u = m u . La masse d'un corps est le nombre de ses points matériels , et l'on nomme quantité de mouvement } le produit de la masse par la vitesse ; c'est aussi ce que l'on entend par la force d'un corps en mouvement. Pour l'équilibre de deux corps ou de deux systèmes PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 57 de points qui viennent à se choquer en sens contraire ; les quan- tités de mouvement, ouïes forces opposées doivent être égales, et par conséquent, les vitesses doivent être réciproques aux masses. La densité des corps dépend du nombre des points matériels qu'ils renferment sous un volume donné. Pour avoir leur densité absolue , il faudroit pouvoir comparer leurs masses , à celle d'une substance qui n'auroit point de pores ; mais on n'en connoît point de semblables ; on ne peut donc avoir que la densité relative des corps, c'est-à-dire, le rapport de leur densité, à celle d'une subs- tance donnée. Il est visible que la masse est en raison du volume et de la densité ; en nommant donc M , la masse d'un corps , Uson volume et D sa densité , on a généralement M= D U; équation dans laquelle on doit observer que les quantités M, DeiU expri- ment des rapports à des unités de leur espèce. Ce que nous venons de dire, suppose que les corps sont composés de points matériels semblables, et qu'ils ne différent que, par la position respective de ces points. Mais la nature des corps étant inconnue , cette hypothèse est au moins précaire , et il est possible qu'il y ait des différences essentielles entre leurs molécules inté- grantes. Heureusement, la vérité de cette hypothèse est indifférente à la mécanique , et l'on peut , sans craindre aucune erreur , en faire usage , pourvu que par points matériels semblables , on en- tende des points qui se choquant avec des vitesses égales et con- traires , se font mutuellement équilibre, quelle que soit leur nature. l4. Deux points matériels dont les masses sont m et m', ne peuvent agir l'un sur l'autre, que suivant la droite qui les joint. A la vérité, si les deux points sont liés par un fil qui passe sur "une poulie fixe ; leur action réciproque peut n'être point dirigée suivant cette droite, Mais on peut considérer la poulie fixe, comme ayant à son centre , une masse d'une densité infinie , qui réagit sur les deux corps m et m', dont l'action l'un sur l'autre n'est plus qu'indirecte. Nommons p l'action que m exerce sur m' au moyen d'une droite inflexible et sans masse , qui est supposée unir ces deux points. En concevant cette droite animée de deux forces égales et contraires p et — p ; la force — p détruira dans le corps m , une force égale à p, et la force p de la droite se communiquera toute entière au 33 MECANIQUE CÉLESTE, corps m'. Cette perte de force dans m, occasionnée par son action sur m', est ce que l'on nomme réaction de m' ,• ainsi, dans la com- munication des mouvemens, la réaction est toujours égale et con- traire à l'action. L'observation fait voir que ce principe a lieu dans toutes les actions de la nature. Imaginons deux corps pesans m et m' attachés aux extrémités d'une droite horizontale, inflexible et sans masse, qui puisse tour- ner librement autour d'un de ses points. Pour concevoir l'action de ces corps l'un sur l'autre , lorsqu'ils se font équilibre ; il faut supposer la droite infiniment peu rompue à son point fixe , et for- mée de deux droites faisant à ce point, un angle qui ne diffère de deux angles droits, que d'une quantité infiniment petite u>. Soient/* et f les distances de m et m' au point fixe : en décomposant la pesanteur de m, en deux forces, l'une agissant sur le point fixe, l'autre dirigée vers m'; cette dernière force sera — , g étant la pesanteur. L'action de mr sur m, sera pareillement ; en égalant donc ces deux forces , en vertu de l'équilibre, on aura mf—m'f; ce qui donne laloi connue de l'équilibre du levier, et fait en même temps , concevoir l'action réciproque des forces parallèles. Considérons présentement, l'équilibre d'un système de points m, m', m", &c. sollicités par des forces quelconques , et réagissans les uns sur les autres. Soit f, la distance de m à m'; f la distance de m à m"; f" la distance de m' à m" , &c. j soit encore p , l'action réciproque de /rcsur m! ;p' celle de m sur m"; p 'celle de/re'sur m", &c. Enfin , soient m S, m1 S', m" S'1 , &c. les forces qui sollicitent m, m'} m"; Sac; et s, s', s", &c. les droites prises depuis leurs origines, jusqu'aux corps m , m', m", &c. ; cela posé , le point m peut être considéré comme étant parfaitement libre , et en équilibre en veriu de la force m S, et des forces que lui communiquent les corps m!, m", &c. : mais s'il étoit assujetti à se mouvoir sur une surface ou sur une courbe , il faudroit ajouter à ces forces , la réaction de la surface ou de la courbe. Soit donc 4o MECANIQUE CELESTE; faire aux équations des surfaces sur lesquelles les corps sont forcés de se mouvoir ; l'équation ( h ) devient ainsi o = Z.mS.<î's ; (/) d'où il suit que dans le cas de l'équilibre , la somme des variations des produits des foixes , par les élémens de leurs directions , est nulle, de quelque manière que l'on fasse varier la position du sys- tème, pourvu que les conditions de la liaison de ses parties soient observées. Ce théorème auquel nous sommes parvenus dans la supposition particulière d'un système de corps liés entr'eux d'une manière inva- riable , est général , quelles que soient les conditions de la liaison des parties du système. Pour le démontrer , il suffit de faire voir qu'en assujettissant les variations des coordonnées, à ces conditions, on a dans l'équation (£), o = s.p.=T/+2._Z?JV; or il est clair que JV, JV, &c. , sont nuls en vertu de ces condi- tions ; il ne s'agit donc que de prouver que l'on a o = S .p . S~ft en assujettissant aux mêmes conditions , les variations des coor- données. Concevons le système animé des seules forces p , p', p", &c. , et supposons que les corps soient forcés de se mouvoir sur des cour- bes qu'ils puissent décrire en vertu des mêmes conditions. Alors , ces forces se décomposeront en d'autres , les unes q , q', q", &c. , dirigées suivant les droites f, f, f", &c. , et qui se détruiront mu- tuellement sans produire d'action sur les courbes décrites ; les autres T, T', T", &c. perpendiculaires aux courbes décrites; les autres enfin , tangentielles à ces courbes , et en vertu desquelles le système sera mû. Mais il est aisé de voir que ces dernières forces doivent être nulles ; car le système étant supposé leur obéir libre- ment, elles ne peuvent produire ni pression sur les courbes dé- crites , ni réaction des corps les uns sur les autres ; elles ne peu-* vent donc pas faire équilibre aux forces — p, — p\ — p", &c; q, q', q", &c; T, T' , &c. ; il faut donc qu'elles soient nulles, et que le système soit en équilibre en vertu des seules forces — p, —p', —p", &c. ; q, q', q", &c. ; T, T', &c. Soient £i , «Tf, &c. , les variations PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 4i variations des directions des forces T, T", &c. ; on aura , en vertu de l'équation (£) , 0 = ?.(q-p).*f+'z'.T.H; mais le systênie étant supposé en équilibre en vertu des seules forces q , q', &c, sans qu'il en résulte aucune action sur les courbes décrites, l'équation (£) donne encore o = '2l.q.£'fj partant o = Z.p. cette variation ; on aura S,p=p.S,7 — m.d.—r--{-mJr.dt: — m.d.-^-4-mO.dt ; — m.d.——4-mH.dt: dt ' dt ^ dt seront détruites. En marquant dans ces expressions , successivement d'un trait, de deux traits, &c. , les lettres m, x,j} z,P, Q,R, PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. $i on aura les forces détruites dans les corps m', m", &c. Cela posé , si l'on multiplie respectivement ces forces , par les variations ^ * > J> » **, »!*/, &c. de leurs directions ; le principe des vitesses virtuelles exposé dans le n°. i4, donnera, en supposante cons- tant , l'équation suivante : ^.^\^-p]+m,¥^-Q^m,u,^-R)V {P) &c. \ on éliminera de cette équation , au moyen des conditions particu- lières du système, autant de variations qu'il y a de ces conditions ; en égalant ensuite séparément à zéro , les coefficiens des variations restantes , on aura toutes les équations nécessaires pour détermi- ner le mouvement des différens corps du système. lu. L'équation (P) renferme plusieurs prirrcrg^ ^«^««^ s:± mouvement , que nous allons développer. On assujettira évidem- ment, les variations Sx, Sy , Sz, Sx', &c, à toutes les conditions de la liaison des parties du système , en les supposant égales aux différences dx , dy, dz , dx', &c. Cette supposition est donc per-- mise , et alors l'équation (P ) donne en l'intégrant , Z.m.(dx*+jy*+dzV = c + 2.Z.fm(P.dx+Q.dy + R.dz) ; (Q) c étant une constante arbitraire introduite par l'intégration. Si les forces P, Q, R, sont le résultat de forces attractives , dirigées vers des points fixes , et des forces attractives des corps les uns vers les autres ; la fonction "Z.fm. (Pdx+ Qdy + Mdz) est une intégrale exacte. En effet , les parties de cette fonction , rela- tives aux forces attractives dirigées vers des points fixes , sont par le n°. 8 , des intégrales exactes. Cela est également vrai par rap- port aux parties qui dépendent des attractions mutuelles des corps du système ; car si l'on nomme/, la distance de m à ?n', m'F , l'at- traction de m' sur m ; la partie de m.(P dx+ Qdy + Rdz), rela- tive à l'attraction de m' sur m , sera par le n°. cité , égale à — mm'. Pdf , la différence df étant prise en ne faisant varier que les coordonnées #, y , z. Mais la réaction étant égale et contraire k G a 52 MÉCANIQUE CÉLESTE, l'action, la partie de m'.(P'.dx'+ Q'dy' + R'dz') relative à l'attrac- tion de m sur m1, est égale à — ?nm'Fdf, en ne faisant varier dans/, que les coordonnées x',y\z; la partie de la fonction X.m(Pdx+Qdy + Mdz) relative à l'attraction réciproque de m et de m', est donc — mm.Fdf, tout étant supposé varier dans f. Cette quantité est une différence exacte , lorsque F est une fonc- tion de/, ou lorsque l'attraction est comme une fonction de la distance , ainsi que nous le supposerons toujours ; la fonction Z.m.(Pdx+Qdy±Rdz) est donc une différence exacte , toutes les fois que les forces qui agissent sur les corps du système , sont le résultat de leur attraction mutuelle, ou de forces attractives dirigées vers des points fixes. Soit alors dç , cette différence, et nommons v , la vitesse de m , v celle de m', &c. ; on aura %.?nv* = c + 2$. (i?) „ ,, , ,• „. „^„i,,~~~ i i7i_„-u»« (ft ) du h". 8, elle est la Cette enuation e°| anoi~ / _ > traduction analytique du principe de la conservation des forces vives. On nomme force vive d'un corps , le produit de sa masse par le quarré de sa vitesse. Le principe dont il s'agit, consiste en ce que la somme des forces vives , ou la force vive totale du système , est constante , si le système n'est sollicité par aucunes forces ; et si les corps sont sollicités par des forces quelconques , la somme des accroissemens de la force vive totale , est la même , quelles que soient les courbes décrites par chacun de ces corps , pourvu que leurs points de départ et d'arrivée soient les mêmes. Ce principe n'a lieu que dans les cas où les mouvemens des corps changent par des nuances insensibles. Si ces mouvemens éprou- vent des changemens brusques , la force vive est diminuée d'une quantité que l'on déterminera de cette manière. L'analyse qui nous a conduits à l'équation (P) du n°. précédent, donne alors , au lieu de cette équation , la suivante : o — S . m (ïx dx }y dv ty> ^z, satisfont aux conditions de' la liaison des parties du système ; on aura ainsi { ( dx dx\ dx /dy dy\ dy /dz dz\ dz~\ — Z.m.{P.(dx + A.dx) + Q.(dy+A.dy) + P.(dz + A.dz) }. Cette équation doit être intégrée comme une équation aux diffé- rences finies relative au temps t dont les variations sont infiniment petites, ainsi que les variations de x , y , z , x', &c. Désignons par 2, les intégrales finies résultantes de cette intégration , pour les dis- tinguer des intégrales finico ^inîc^Jonloi) y xclcviliroc à l'ensemble des corps du système. L'intégrale de mP.(dx-^-A.dx) est visiblement la même que jm P. dx ; on aura donc Kdx\ / dy\* ( i A-Jt) +{A'd-t) +[A'TtJ J — 2'2.f.m.(P.dx+Q.dy + Pi..dz); en désignant donc par p, v\ v", &c. , les vitesses de m , m', m", &c. on aura ( / dx\- f rZyY / dz\ \ S.^==constante-S/.Sv»z.|^.-j + (*.£) +^.-j J ■ — a^.f.m.(P.dx+Q.dy + P.dz). La quantité renfermée sous le signe 2,, étant nécessairement posi- tive, on voit que la force vive du système diminue par l'action mutuelle des corps , toutes les fois que durant le mouvement , dcc d v quelques-unes des variations A.—r- ; A.— p-, &c, sont finies. L'é- ]* u dt ' dt' quation précédente offre de plus, un moyen fort simple d'avoir cette diminution. A chaque variation brusque du mouvement du système , on peut concevoir la vitesse de m , décomposée en deux autres , l'une v qui subsiste dans l'instant suivant ; l'autre V, détruite par l'action (dx*+dy*+dz>) (/ dx\* f dy\* f dz\) constante = 2. m.- ^/— -+2,.2.to. ' ' A — » -1-' A -1-1-'» - 54 MÉCANIQUE CÉLESTE, V dx*+dy*+dz? des autres corps ; or la vitesse de m étant avant cette décomposition, et se changeant après, dans V (dx-\-A.dx)~*+(dy +A.dy)*+(dz + A.dT)i dt il est facile de voir que l'on a l'équation précédente peut donc être mise sous cette forme : 2 . mv" = constante — 2, . 2 . mï>T* — 2S.f.m.(Pdx+Qdy + R dz). 2 0. Si dans l'équation (P) dun°. 18, on suppose ix' =sx+sxx' ; jy =jy+jy/ ,• jv=j\s+jv ; Sx" = Sx + Sxt" ; Sy"=Sy + Sy," • Sz" = Sz + SZ[" ; en substitua"* ^°" *>»nrârtic»iin , «laaio loo cxpi-essiofla des variations Sf, Sf'} Sf", &c. , des distances mutuelles des corps du système, dont on a donné les valeurs dans le n°. i5 ; on voit que les va- riations h, Sy, Sz s disparaissent de ces expressions. Si le sys- tème est libre , c'est-à-dire , si aucune de ses parties n'a de liaison avec les corps étrangers ; les conditions relatives à la liaison mu- tuelle des corps , ne dépendant que de leurs distances mutuelles, les variations Sx , Sy s Sz , seront indépendantes de ces conditions; d'où il suit qu'en substituant , au lieu de Sx' , Sy' , Sz, Sx", &c. , leurs valeurs précédentes dans l'équation (P) , on doit égaler séparé- ment à zéro , les coefficiens des variations Sx, Sy , Sz j ce qui donne les trois équations °=*>m-(jr-'p); °=^m'^kr-Q); 0=s-w-(S-4 Supposons que X, Y, Z soient les trois coordonnées du centre de gravité du système ; on aura par le n°. 1 5 , 2-771X 2.771V 2.7712 -X=— ; r=— ; Z-— s 2 . m 2 . 77i 2 . m partant ddX 2.mP ddY 2.mO ddZ Z.mR dt 2.7)i J dt* 2. m ' dt2 S,. m PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 55 ]e centre de gravité du système se meut donc , comme si tous les corps m , m', &c. , étant réunis à ce centre , on lui appliquoit toutes les forces qui sollicitent le système. Si le système n'est soumis qu'à l'action mutuelle des corps qui le composent , et à leurs attractions réciproques ; on aura o = 2 . m P i o = 2 . m Q ; o = 2 . m R ; car en exprimant par p , l'action réciproque de m et de m' , quelle que soit sa nature, et désignant par/", la distance mutuelle de ces deux corps ; on aura , en vertu de cette action seule , m'P>=p-(X'7X) ; m'Q'^p-(y'~y) mR p.(z-z') f ' m'R' p.(z'-z) f ' o = mR + m'Rf, f ' * f ' d'où l'on tire o = mP + m'P' ; o = mQ + m'Q' / et il est clair que ces équations ont lieu dans le cas même où les corps exerceroient les uns sur les autres, une action finie dans un instant. Leur action réciproque disparoît donc des intégrales 2.mP, X.mQ, 'Z.mR, qui par conséquent , sont nulles , lorsque le système n'est point sollicité par des forces étrangères. Dans ce cas, on a ddX ddY ddZ O = — ,' O = — ; ,• O = ■ dr ' de ' dt> ' et en intégrant , X=a + bû ; Y;=.a'.+ b't ; Z=a" + b"t ; a, b, a', b', a", b", étant des constantes arbitraires. En éliminant le temps t , on aura une équation du premier ordre , soit entre X et Y, soit entre X et Z ; d'où il suit que le mouvement du centre de gravité , est rectiligne. De plus , sa vitesse étant égale à l^(^+(^)a + (^)a' °U k •*' + *" + *"', elle est cons- tante, et le mouvement est uniforme, Il est clair , d'après l'analyse précédente , que cette inaltérabi- 56 MECANIQUE CELESTE, lité du mouvement du centre de gravité d'un système de corps , quelle que soit leur action mutuelle, subsiste dans le cas même où quelques - uns de ces corps perdent dans un instant , par cette action, une quantité finie de mouvement. 2 1 . Si l'on fait y y y y y la variation Sx disparoît encore des expressions de Sf, Sf, S-f, &c. ; en supposant donc le système libre, les conditions rela- tives à la liaison des parties du système , n'influant que sur les variations Sf, Sf, &c. , la variation Sx en est indépendante, et elle est arbitraire ; ainsi , en substituant dans l'équation ( P ) du n°. 18, au lieu de Sx', Sx", &c. , Sy, S'y', Sy", &c. , leurs valeurs précédentes , on doit égaler séparément à zéro , le coefficient de Sx , ce qui donne o = -S.mJ Z-SL L+z.m.(Py—Qx)i d'où l'on tire , en intégrant par rapport au temps t , c = S.ro. y~~y - +-S.f.m.(Py—Qx).dt ; c étant une constante arbitraire. On peut , dans cette intégrale , changer les coordonnées^ y', &c. , dans z , z' , &c. , pourvu que l'on y substitue , au lieu des forces Q , Q', &c. , parallèles à l'axe desy , les forces R, R', &c, pa- rallèles à l'axe des z , ce qui donne , , (xdz — zdx) „ ,_ „ , , c'=2./re.— — — -+X.f.m.(Pz—Rx).dt,' c' étant une nouvelle arbitraire, On aura de la même manière (xdz — z d\ ) c" = Z.m.- ^ + Z.f.m.(Qz—Ry).dt; c" étant une troisième arbitraire. Supposons que les corps du système ne soient soumis qu'à leur action mutuelle , et à une force dirigée vers l'origine des coor- données. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 57 données. Si l'on nomme, comme ci-dessus, p l'action réciproque de m et de m', on aura , en vertu de cette action seule , o = m. (Py— Qx) + m'. (P'y>—Q'x<) • ainsi l'action mutuelle des corps disparoît de l'intégrale finie "2,.m.(Py — Qx). Soit 6*, la force qui sollicite m vers l'origine des coordonnées ; on aura, en "vertu de cette force seule, P= ZÎlt-s Q= ~Sy la force i? disparoît donc de l'expression de Py — Qx ; ainsi, dans le cas où les différens corps du système ne sont sollicités que par leur action et leur attraction mutuelle , et par des forces dirigées vers l'origine des coordonnées , on a „ (xdy — ydx) , (xdz — zdx) „ (ydz—zdy) dt dt dt Si l'on projette le corps m , sur le plan des x et des y, la diffé— j£ d y — Vflr renlielle , sera l'aire que trace , durant l'instant dt , le rayon vecteur mené de l'origine des coordonnées , à la projection de m; la somme de ces aires multipliées respectivement par les masses de ces corps , est donc proportionnelle à l'élément du temps ; d'où il suit que dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires. Le plan fixe des x et des y étant arbitraire, ce principe a lieu pour un plan quelconque , et si la force S est nulle , c'est-à-dire , si les corps ne sont assujétis qu'à leur action et à leur attraction mutuelle , l'origine des coordonnées est arbitraire , et l'on peut placer à volonté, le point fixe. Enfin, il est facile de voir, par ce qui précède, que ce principe subsiste dans le cas même où , par l'action mutuelle des corps du système , il survient des change- mens brusques dans leurs mouvemens. Il existe un plan par rapport auquel c' et c" sont nuls , et qu'il est , par cette raison , intéressant de connoître ; car il est visible que l'égalité de c' et de c",k zéro, doit apporter de grandes simpli- MicAN. cél. Tome I. H 58 MÉCANIQUE CELESTE, fications clans la recherche du mouvement d'un système de corps. Pour déterminer ce plan, il est nécessaire de rapporter les coor- données x , y , z , à trois autres axes ayant la même origine que les précédens. Soit donc 9 l'inclinaison du plan cherché formé par deux de ces nouveaux axes , au plan des x et des y ; et 4 l'angle que forme l'axe des x , avec l'intersection de ces deux plans , en sorte que 0 soit l'inclinaison du troisième axe nouveau , sur le plan des x et des y , et que — — -4 soit l'angle que sa projection sur le même plan , fait avec l'axe des x , t étant la demi-circon- férence. Pour fixer les idées , imaginons que l'origine des coordonnées soit au centre de la terre ; que le plan des x et des y soit celui de l'écliptique , et que l'axe des z soit la ligne menée du centre de la terre , au pôle boréal de l'écliptique ; concevons de plus , que lé plan cherché soit celui de l'équateur , et que le troisième axe nou- veau soit l'axe de rotation de la terre , dirigé vers le pôle boréal ; 0 sera l'obliquité de l'écliptique , et 4 sera la longitude de l'axe fixe des x , relativement à l'équinoxe mobile du printemps. Les deux premiers axes nouveaux seront dans le plan de l'équateur , et en nommant ç, la distance angulaire du premier de ces axes à cet équinoxe ,

} + z//y . sin. 9 . sin. 4 / y = xul. {cos. 9. cos. 4« sin.ip — sin. 4 • cos.

} +y. (cos. 9. cos. 4 -sin.

=-c.Sin.9.sin.,. dt En égalant ces deux fonctions à zéro , on aura, sin. 9=o ; c'est-* à-dire que le plan des x0i et des yul coincide alors , avec celui des x et desj/. La valeur de 2 . m . i X'" ' dy"' ~y'" ' dx"' ^ , étant égale à dt V^c2-!- c'a + c"% quel que soit le plan des x et desj; il en résulte que la quantité ca+ c'^ + c 2, est la même , quel que soit ce plan , et que le plan des xui et des yul déterminé par ce qui précède , est celui PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 6* relativement auquel la fonction s. m. — — "' " — est la plus grande; le plan dont il s'agit, jouit donc de ces propriétés remarquables, savoir, i°. que la somme des aires tracées parles projections des rayons vecteurs des corps, et multipliées respec- tivement par leurs masses , y est la plus grande possible; 2°. que la même somme , relativement à un plan quelconque qui lui est perpendiculaire , est nulle , puisque l'angle

xi» &c- seront les coordonnées de m, m, &c, relati- vement à l'origine mobile. On aura par l'hj^pothèse , ddX = o / dd Y = o ; ddZ = o ; mais on a par la nature du centre de gravité , lorsque le système est libre, o = s.77î. {ddx + ddxx} — 'z.m.P.dt* ; o = •s.m. {ddy + ddyt} — s. m. Q.dt* ; o = 2. m. {ddz + ddz,} — x.m.lt.dt* ; l'équation (P) du n°. 18 deviendra ainsi, en y substituant S~X+ Jx, , SY-\-Syl} &c. , au lieu de Sx, Sy y &c. ; (ddxt „") B (ddy, 1 (ddz, ") o = s.m.^/Jl7F-PJ + S.m.^/Jl-^-Q|+2.m.(rz/.|-^-i?j; équation exactement de la même forme que l'équation (P) , si les êi MÉCANIQUE CÉLESTE, forces P, Q, M, ne dépendent que des coordonnées xnyf} z,, x/, &c. En lui appliquant donc l'analyse précédente , on en tirera les principes de la conservation des forces vives et des aires , par rapport à l'origine mobile des coordonnées. Si le système n'éprouve point l'action de forces étrangères , son > centre de gravité aura un mouvement rectiligne et uniforme dans l'espace, comme on l'a vu dans le n°. 20 ; en fixant donc à ce centre, l'origine des coordonnées x, y, z, ces principes subsis- teront toujours. X, Y, Z , étant alors les coordonnées du centre de gravité 5 on aura par la nature de ce point , o = s.ra,x, ; o = s.«z.y, ; o = s./7z.,zI i ce qui donne (xdy—ydx) (XdY-YdX) (x^y. — y.dx,) 2. /72. ~ = .z.m + s.m. —~r- ~S dt dt dt (dx*+dy*+dz*) (dX2+dY2+dZ*) (dx*+dyt*+dz*) S. 771. ; = ; . 2.777,4-2.7/Z. ? i dt1 dt* dt* '. ainsi les quantités résultantes des principes précédens , se compo- sent , i°. des quantités qui auroient lieu , si tous les corps du sys- tème étoient réunis à leur centre commun de gravité ; 20. des quantités relatives au centre de gravité supposé immobile ; et comme les premières de ces quantités sont constantes , on voit la raison pour laquelle les principes dont il s'agit , ont lieu par rapport au centre de gravité. En fixant donc à ce point , l'origine des coordonnées x,y, z, x', &c. , des équations (Z) dun°. pré- cédent , elles subsisteront toujours ; d'où il résulte que le plan passant constamment par ce centre, et relativement auquel la fonc- (xdy — ydx) . . , tion 2.777-. — est un maximum } reste toujours parallèle a lui-même , pendant le mouvement du système , et que la même fonction relative à tout autre plan qui lui est perpendiculaire , est nulle. Les principes de la conservation des aires et des forces vives, peuvent se réduire à des relations entre les coordonnées des dis- tances mutuelles des corps du système, En effet , l'origine des x , des y , et des z , étant toujoui-s supposée au centre de gravité ; les équations (Z) du n°. précédent , peuvent être mises sous la forme PREMIERE PARTIE, LIVRE ï. 65 , f (*'- x) . (dy'~ dy) - (y' -y) . (d x'- dx) ) c .2. m = s.?nm . { - T-=— — > ; l àt \> , , ((x'—x).(dz' — dz) — (z'—z).(dx' — dx)) c .s. m === ~z.mm . I - > ,- C .2.772 = 2.77Z772. . < ; : >. I dt S On peut observer que les seconds membres de ces équations mul- tipliées par dt, expriment la somme des projections des aires élémentaires tracées par chaque droite qui joint deux corps du système , dont l'un est supposé se mouvoir autour de l'autre con- sidéré comme immobile , chaque aire étant multipliée par le pro- duit des deux masses que joint la droite. Si l'on applique aux équations précédentes , l'analyse du n°. 21, on verra que le plan passant constamment par l'un quelconque des corps du système , et relativement auquel la fonction , f (x'-x).(dy'-dy)-(y'-y).(dx'-dx)} 2. mm . { } est un maximum, l dt S reste toujours parallèle à lui-même , dans le mouvement du sys- tème , et que ce plan est parallèle au plan passant par le centre de , . , , P (xdy — ydx) gravite , et relativement auquel la fonction 2 . m . -■ est dt un maximum. On verra encore que les seconds membres des équa- tions précédentes sont nuls relativement à tout plan passant par le même corps , et perpendiculaire au plan dont il s'agit. L'équation Q du n°. 19 , peut être mise sous la forme 2. mm , ( (dx'— dx)* + (dy'— dy)* + (dz — dz)*) '.|- dt> -}=const.— 2S.m,z.fmm' (p) étant une fonc- tion quelconque de v : désignons par + »■ {'(v) = constante + a; ( T") équation analogue à l'équation ( H ) du n°. 19 , et qui se change en elle , dans le cas de la nature où (v) dy 9 (v) constante = x.7?z.-—. ,• constante = 2 . m . — . - — - ; dt v dt v dz ? (v) constante = 2 . m . — . . dt v dx (v) . ds ; on aura S".z.fm.(p(p).ds = ~z.fm.qi (v).£ds-]-~z.fm.<£'v.).d8~x. — . 1-j- .J-x + -f ïy+- fz \ v l dt dt dt ) + s .fm . JV . J s^*y+**yydm==SmQdm. (ddz 4- ddz'\ , „ _ . j-n \.dm — S. Rdm ; la lettre S étant ici , un signe intégral , relatif à la molécule dm , et qui doit s'étendre à la masse entière du corps. Les variables x,jr, z , sont les mêmes pour toutes les molécules ; on peut donc les faire sortir hors du signe S; ainsi en désignant par m la masse du corps , on aura ddx ddx _ ddy 5 ddy ddz ddz s'!ï-dm==m-d? >' s-!ï-dm=m-dT>> s-dï-dm = m-dT- On a de plus , par la nature du centre de gravité , S.x'.dm = o ; S.y'.dm=o ; S.z'.dm = o ; partant n ddx' . _ ddy' ddz S. .dm^=o : o.— ; — .dm = o ; o.— — .dm — o ; dt% de- d? on aura donc àdx m.— — = o.Jrdm ; dv- ' dtï ddz m. ~S. Rdm. dV- ces trois équations déterminent le mouvement du centre de gravité du corps ; elles répondent aux équations du n°. 20, relatives au mouvement du centre de gravité d'un système de corps. On a vu dans le n°. i5 , que pour l'équilibre d'un corps solide , la somme des forces parallèles à l'axe des x , multipliées respecti- vement par leurs distances à l'axe des z , moins la somme des forces parallèles à l'axe des y, multipliées par leurs distances à l'axe des z , est égale à zéro ; on aura ainsi : o C ,, /ddy + ddy'\ '■ fs /ddx + ddx'\) . = S.{(x+x')Q—(y-\-/).P}.dm; (.1) 7s MÉCANIQUE CÉLESTE, or on a S.(x.d dy — y ddx).dm = m . (x ddy — y ddx) ; on a pareillement S.(Qx — Py) . dm = x.fQ dm — y./Pdm ; enfin on a S. { x'ddy -f xddy' — y' ddx — y ddx } . dm = ddy . S. x'dm — ddx . Sy'dm + x.S.ddy' .dm — y. S. ddx'. dm ; et par la nature du centre de gravité , chacun des termes du second membre de cette équation , est nui; l'équation (1) deviendra donc, en vertu des équations ( \A ) , S, (*d^ddfl • dm =S.(Q x'- F y') ..dm; en intégrant celte équation par rapport au temps t , on aura S.(xdy~Jy X\ dm = S.f(Qx'—Py').dt.dm ; le signe intégral / se rapportant au temps t. De-là il est facile de conclure que si l'on fait , S.f(Qx' — Py').dt.dm = N ; S.f(Rx' — Pz').dt.dni=N'; S.fÇRy' — Q z').dt.dm = N".; on aura les trois équations suivantes : /x'dy'—y'dx'\ , S.^dz'-Z'dxydm = N'}?; (B) ces trois équations renferment le px-incipe de la conservation des aires ; elles suffisent pour déterminer le mouvement de rotation du corps , autour de son centre de gravité; réunies aux équations (^/) , elles déterminent complètement les mouvemens de translation et de rotation du corps. Si le corps est assujéti à tourner autour d'un poiiitfixe ; il résulte du PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 73 du n°. i5, que les équations (B) suffisent pour cet objet; mais alors , il faut fixer à ce point, l'origine des coordonnées x',y\ z. 1 6. Considérons particulièrement ces équations , en supposant cette origine fixe à un point quelconque différent ou non, du centre de gravité. Rapportons la position de chaque molécule, à trois axes perpendiculaires entre eux, fixes dans le corps, mais mobiles dansl'espace. Soit 9 l'inclinaison du plan formé par les deux premiers axes , sur le plan des x et des y y soit

q'r. dt= dN. cos. 9 — dN'. sin. 9 ; f/y' + (^.).7y.^==_^iV.sinJ + JiVr'.cos.O;.sin.pf + dN". cos. q> ; i-n'n'.dt—— AC {D) dr' + (—— -.p'q . dt — — (dN. sin. 9 + dN'. cos. 6) . cos. ? ' — on trouvera , après toutes les réductions , l'équation suivante du troisième degré ; o — (gu + h). (h u —gT + {(a>-b>).u+f.(i— u*)} . {(hd>— ha*+fg).u+gb*— gc*— hf). K 2 76 MÉCANIQUE CÉLESTE, Cette équation ayant au moins une racine réelle , on voit qu'il est toujours possible de rendre nulles à-la-fois , les deux quantités cos. p. S. x"z" . dm — sin. .cos.ô.sm., et la troisième, par — sin. 9.cos. 0 ; on aura en les ajoutant , o =p/ — qz". Si l'on multiplie la première des mêmes équations , par cos. 0 ; la seconde, par cos. 9. sin. 0 , et la troisième, par — sin. 9. sin. 0 ; on aura , en les ajoutant ; o=py"—rz". Enfin , si l'on multiplie la seconde des mêmes équations , par sin. 9 , et la troisième , par cos. 9 ,• on aura, en les ajoutant, o = qy — rx. Cette dernière équation résulte évidemment des deux précédentes ; ainsi les trois équations dx'= o , dy'— o , dz'—o, se réduisent à ces deux équations qui sont à une ligne droite formant avec les axes des x", des y" et des z" des angles dont les cosinus sont 9 r P VpH-'^fr2 ' [/pT+ q*+ rz ' Vp'+q'+r*' 8o MECANIQUE CÉLESTE, Cette droite est donc en repos , et forme l'axe réel de rotation du corps. Pour avoir la vitesse de rotation du corps ; considérons le point de l'axe des z", éloigné de l'origine des coordonnées, d'une distance égale à l'unité. On aura ses vitesses parallèlement aux axes des x\ des y' et des z', en faisant x" = o , y" = o, z" = 1 , dans les expres- sions précédentes de dx\ dy', dz\ et en les divisant par dt, ce qui donne pour ces vitesses partielles , d4 . dd —di . ^— .sin.9 5 -7-. cos. 0 : -r-.smJ ; dt dt ' dt la vitesse entière du point dont il s agit, est donc -j ou i/y,+ r*. En divisant cette vitesse , par la distance du point , à l'axe instantané de rotation , on aura la vitesse angulaire de rota- tion du corps ; or cette distance est évidemment égale au sinus de l'angle que Taxe réel de rotation fait avec l'axe des z", angle dont le cosinus est .^= ; on aura donc V pa + <7" + r% pour la vî- t/p?+(?*+r*> f tï "r vi- tesse angulaire de rotation. On voit par-là , que quel que soit le mouvement de rotation d'un corps, autour d'un point fixe, ou considéré comme tel ; ce mouvement ne peut être qu'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe pendant un instant , mais qui peut varier d'un instant à l'autre. La position de cet axe , par rapport aux trois axes princi- paux , et la vitesse angulaire de rotation dépendent des variables p , q , r , dont la détermination est très-iinportante dans ces re- clierclies , et qui exprimant des quantités indépendantes de la situation du plan des x et des j/, sont elles-mêmes indépendantes de cette situation, 20. Déterminons ces variables, en fonctions d*f temps t , dans le cas où le corps n'est sollicité par aucunes forces extérieures. Pour cela, reprenons les équations (D) du n°. 26, entre les varia- TrfeSvj/, q\ r' qui sont aux précédentes , dans un rapport constant. Les différentielles dN, dN' et dN" , sont alors nulles , et ces équations PREMIERE PARTIE, LIVRE! 81 équations donnent , en les ajoutant ensemble, après les avoir mul- tipliées respectivement par p', q et ?•', o =p dp' + q' dq -\-r dr ; et en intégrant , -,'e i 'a i 'a Z.2 p -vq +r — k , h étant une constante arbitraire. Les équations {D) multipliées respectivement par ^4B .p, BC.q et AC.r\ et ensuite ajoutées , donnent en intégrant leur somme, ^B.p'* + BC.q'* + ^C.r* = E:*; H étant une constante arbitraire : cette équation renferme le prin- cipe de la conservation des forces vives. On tirera de ces deux intégrales , ,^_AC.k*—H*+A.(B — C).p'* q ~~ C.(A-B) "'" „ H°- — BC.le — B.(A — C).P'* C.(A-B) ainsi, l'on comioîtra q' et r en fonctions du temps t, lorsque p' sera déterminé ; or la première des équations {D) donne AB.dp' (A-B).q'r' > partant ABC. dp dt: t dt—- V {AC.k*—H*+A.(B—C).p'*} . {H*—BC.le—B.(A-C).p'*'} équation qui n'est intégrable que dans l'un des trois cas suivans , B = A, B=C, ^ = C. La détermination des trois quantités p', q', r renferme trois ar- bitraires H*, fc% et celle qu'introduit l'intégration de l'équation différentielle précédente. Mais ces quantités ne donnent que la po- sition de l'axe instantané de rotation du corps , sur sa surface , ou relativement aux trois axes principaux , et sa vitesse angulaire de rotation. Pour avoir le mouvement réel du corps , autour du point fixe , il faut connoître encore la position des axes principaux dans l'espace ; ce qui doit introduire trois nouvelles arbitraires rela- tives à la position primitive de ces axes , et ce qui exige trois nou- velles intégrales qui , jointes aux précédentes , donnent la solu- MicAN. ckl. Tome L L 8a MÉCANIQUE CÉLESTE, tion complète du problême. Les équations ( C) du n°. 26 , ren- ferment trois arbitraires JV, N', N" ; mais elles ne sont pas entiè- rement distinctes des arbitraires H et k. En effet , si l'on ajoute ensemble les quarrés des premiers membres des équations (C) , on a p ' + g'" + r* = N* + N '2 + Nn* ; ce qui donne ¥ = N* + N'* + N"\ Les constantes N", N', N", répondent aux constantes c, c', c" du n°. 21 ; et la fonction \.t.\ -p1* ■\-g'*-\-r'J- exprime la somme des aires décrites pendant le temps t, par les projections de chaque molécule du corps , sur le plan relativement auquel cette somme est un maximum. N' et N " sont nuls relativement à ce plan ; en égalant donc à zéro , leurs valeurs trouvées dans le n°. 26 , on aura o = -Z?7\sin. ? — ^g.cos.p ; 0= ^4 g. cos. ô.sin. ' S Bg"'+A r'> == -~- S PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 83 on aura donc cH - ~ ABC.(le-p^) ' Si l'on. substitue au lieu de dt , sa valeur trouvée ci- dessus ; on aura la valeur de 4 en fonction de p ' ; les trois angles S ,

rq = o; —^—.rp = o; ~^-.pq=û. Dans le cas général où A, B, C sont inégaux, deux des trois quantités p, q, r sont nulles en vertu de ces équations, ce qui suppose que l'axe réel de rotation coincide avec l'un des axes prin- cipaux. Si deux des trois quantités A, B, C sont égales, par exemple, si l'on a^ = l?; les trois équations précédentes se réduisent à celles-ci , rp = o , pq = o ; et l'on peut y satisfaire , par la suppo- sition seule de p égal à zéro. L'axe de rotation est alors dans un PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 87 plan perpendiculaire au troisième axe principal ; mais on a vu (n°. 27 ) , que tous les axes situés clans ce plan , sont des axes prin- cipaux. Enfin, si l'on a à-la- fois .^— Z?= C, les trois équations pré- cédentes seront satisfaites , quels que soient p, q, r; mais alors , par le n°. 27 , tous les axes du corps , sont des axes principaux. Il suit de-là, que les seuls axes principaux ont la propriété d'être des axes invariables de rotation; mais ils n'en jouissent pas tous de la même manière. Le mouvement de rotation autour de celui dont le moment d'inertie est entre les momens d'inertie des deux autres axes , peut être troublé d'une manière sensible par la cause la plus légère ; en sorte qu'il n'y a point de stabilité dans ce mou- vement. On nomme état stable d'un système de corps , un état tel que le système , lorsqu'il en est infiniment peu dérangé , ne puisse s'en écarter qu'infiniment peu, en faisant des oscillations continuelles autour de cet état. Concevons , cela posé, que l'axe réel de rotation s'éloigne infiniment peu du troisième axe principal ; dans ce cas , les constantes M et M.' sont infiniment petites ; et si n est une quan- tité réelle , les valeurs de q et de r resteront toujours infiniment petites , et l'axe réel de rotation, ne fera jamais que des excursions du même ordre, autour du troisième axe principal. Mais si n étoit imaginaire, sin. (nt-\-y),et cos. (nt-\-y) se changeroient en exponen- tielles 5 les expressions de q et de r pourraient donc alors augmen- ter indéfiniment , et cesser enfin d'être infiniment petites ; il n'y auroit donc point de stabilité dans le mouvement de rotation du corps, autour du troisième axe principal. La valeur de n est réelle, si C est la plus grande ou la plus petite des trois quantités A , B, C; car alors le produit (C — A).(C — E) est positif; mais ce produit est négatif, si Cest entre ^4 et B ; et dans ce cas, n est imaginaire; ainsi, le mouvement de rotation est stable autour des deux axes principaux dont les momens d'inertie sont le plus grand et le plus petit ; il ne l'est pas autour de l'autre axe principal. Maintenant, pour déterminer la position des axes principaux dans l'espace , nous supposerons le troisième axe principal , à fort peu près perpendiculaire au plan des x' et des y' , en sorte que 9 88 MECANIQUE CELESTE, soit une quantité très-petite dont nous négligerons le quarré. Nous aurons par le n°. 26, dj ; BM' u = £. cos. (pt+h) — .cos. (nt+y) ; Cp S et k étant deux nouvelles arbitraires : le problème est ainsi com- plètement résolu , puisque les valeurs de s et de u donnent les angles 9 et p en fonction du temps , et que 4 est déterminé en fonction de p et de t. Si C est nul, le plan des x' et des y', devient le plan invariable auquel nous avons rapporté dans le n°. précédent , les angles 9 , ? et 4. 6 1 . Si le solide est libre ; l'analyse des nos. précédens donnera son mouvement autour de son centre de gravité : si le solide est forcé de se mouvoir autour d'un point fixe, elle fera connoître son mouvement autour de ce point. Il nous reste à considérer le mouvement d'un solide assujéti à se mouvoir autour d'un axe fixe. Concevons que x' soit cet axe que nous supposerons horizonta 1: dans ce cas , la dernière des équations (2? ) du n°. 25 , suffira pour déterminer le mouvement du corps. Supposons de plus que l'axe des y soit horizontal , et qu'ainsi l'axe des z' soit vertical et dirigé vers le centre de la terre ; supposons enfin , que le plan qui passe par les axes des y' et des z', passe par le centre de gravité du corps , et imaginons un axe passant constamment par ce centre et par l'origine des coordonnées. Soit 9 l'angle que ce nouvel axe fait avec celui PREMIERE PARTIE, LIVRE I. 89 celui des z' ; si l'on nomme y" et z" les coordonnées rapportées à ce nouvel axe , on aura y=y.cos. 9 + z".sin. 9 ; s' — a".cos.9— /'.sin. 9 y d'où l'on tire , *• (^~~ir^~) ■"rf* ^ ~^ %' s- clm - &"- + z"^- S.dm.(y"*-\-z"-) est le moment d'inertie du corps relativement à l'axe des a:' : soit C ce moment. La dernière des équations (B) du n°. 2 5, donnera ddS __dN" "■""" *-* • — ^ — — — ï — • dï2 dt Supposons que le corps ne soit sollicité que par l'action de la pesan- teur ; les valeurs de P et de Q du n°. a5, seront nulles , et R sera constant , ce qui donne dN" — — - = S. Ry' .dm = R. cos. 9 .f.y". dm + R. sin. 9 ./. z" .dm. L'axe des z" passant par le centre de gravité du corps _, on a S.y.dm = o; déplus, si l'on nomme h la distance du centre de gravité du corps, à l'axe de x'j on aura S .z".dm — m/i,t m. étant la masse entière du corps ; on aura donc dN" . n ——- = mh.R. sm. 9 , ■ • dt et par conséquent, ddê — m -h. Pi. sin. 9 dt* - C Considérons présentement , un second corps dont toutes les parties- soient réunies dans un seul point éloigné de la distance l, de l'axe des x' ; on aura, relativement à ce corps, C=m'l2, m' étant sa masse ; de plus , h sera égal kl) partant ddê — iî . — ; — = — — - • sin. 9. dt* l Ces deux corps auront donc exactement le même mouvement d'oscillation , si leur vitesse initiale angulaire , lorsque leui's cen- tres de gravité sont dans la verticale, est la même, et si l'on a C l = —r. Le second corps dont nous venons de parler, est le pendule Mécan. cél. Tome I. M 9o MÉCANIQUE CÉLESTE, simple dont on a considéré les oscillations dans le n°. 1 1 ; on peut donc toujours assigner, parcetteformule , lalongueur/, du pendule simple dont les oscillations sont isochrones à celles du solide que nous considérons ici , et qui forme un pendule composé. C'est ainsi que l'on a déterminé la longueur du pendule simple qui bat les secondes , par des observations faites sur les pendules composés. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 9i CHAPITRE VIII. i Du mouvement des fluides. 01m JN ous ferons dépendre les loix du mouvement des fluides , de celles de leur équilibre ; de même que, dans le Chapitre V, nous avons déduit les loix du mouvement d'un système de corps, de celles de l'équilibre de ce système. Reprenons donc l'équation générale de l'équilibre des fluides , donnée dans le n°. 1 7 , £p=?. {P.ïx+Q.ïy + R.fz} ; la caractéristique J% ne se rapportant qu'aux coordonnées x, y, z de la molécule , et n'étant point relative au temps t. Lorsque le fluide est en mouvement , les forces en vertu desquelles ses mo- lécules seroient en équilibre, sont , par le n°. 18 , en supposant dt constant, ?-(?)' e-(-)/ *-(^> il faut donc substituer ces forces, au lieu de P, Q, M, dans l'équa- tion précédente de l'équilibre. En désignant par i'Pr. la variation J?.Fx+Q.ty+-R-«+(!>d-' d'où l'on tire (S)-ds+(? .*')■■ «Hfé)-fê)-fê)-(£)}"»* -i) / dz c'est l'expression de la hauteur du parallélogramme (k). Sa base est égale à la section de ce pai-allélogramme , par un plan parallèle à l'axe des x ; cette section est formée des molécules du paralléli- pipède (^dt), par rapport auxquelles z et y sont constans • sa lon- gueur est donc égale à la différentielle de x, prise en supposant z7 y et t constans ; ce qui donne les trois équations , d^(g).da + (^).d^ + (^).dC; 0 = (l)^(I)-d6+(I)-d- 6 = (l)-d«+(|)^ + (î)-^ Soit pour abréger , = (df\ /dy\ f^\_(dx\ (dy\ (dz\ (dx\ fdy\ / d,\ \daj'\dbj\dcj \daj\dcj'\db)'i'\db)\dcj\d'aj -\ (&\ (é\u (c^\ (di\ (d±\ (dx\ f^\ fdz\ db)\da)\dc) r\dc)\da)\db) \dv)\db)\d~a); g4 MÉCANIQUE CÉLESTE, on aura ë.âa dx = \db)'\dc) \dc)'\db) c'est l'expression de la base du parallélogramme (h) ; la surface de ce Z-àa.db _ . , parallélogramme sera donc , , N • Cette quantité exprime encore la surface du parallélogramme (t)j en la multipliant par f — j.dc, on aura €. da. d b. de pour le volume des parallélipipèdes (C) et (B). Soit p la densité du parallélipipède (^4) après le temps t; on aura pf.da.d5.de pour sa masse 5 en l'égalant à sa masse primitive (p). da.db.de, on aura PC=0) ; (G) pour l'équation relative à la continuité du fluide. Ô 6 . On peut donner aux équations (F) et (G), une autre forme d'un usage plus commode dans quelques circonstances. Soient u, v et v, les vitesses d'une molécule fluide, parallèlement aux axes des x , des y et des z $ on aura {$=".' (^) = P' (Ê) = V- Différentions ces équations , en regardant u , v et v , comme fonc- tions des coordonnées x, y, z de la molécule, et du temps t j nous aurons (ddx\ f du\ f du\ / du\ / du\ m- du\ / dv\ f dv\ (£W*U..(£W(£\+.T.(i\ \dr- J \dt ) \dx ) \dy } \dzf L'équation (i^) du n°. précédent deviendra ainsi, + M(jMf)W§Mf)]'w + ^-((5!1) + "-(s)+ •(|)+Y-(s)} PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 95 Pour avoir l'équation relative à la continuité du fluide ; concevons que dans la valeur de £, du n°. précédent, a, b , c, soient égaux kx,y, z, et que x,j , z 'soient égaux à x + u dt, y + vdt, z \-vdt , ce qui revient à prendre les coordonnées primitives a, b, c, infi- niment près de x,j, z; on aura — Kt) Kl) +(£)}>• l'équation (G) devient , Si l'on considère p comme fonction de x , y , z , et de £ ; on a W = p-^.(J)-^.(^)-.^.(|)-v^.(^ l'équation précédente se change ainsi dans la suivante : c'est l'équation relative à la continuité du fluide , et il est aisé de voir qu'elle est la différentielle de l'équation (G) du n°. précédent , prise par rapport au temps t. L'équation {H) est susceptible d'intégration, dans un cas fort étendu , savoir , lorsque u \ °-[-d^) + {-dy) + [^)- On peut observer que la fonction u.fx + p.fy + v.J'z est une variation exacte de x , y , z à tous les instans , si elle l'est à un seul instant. Supposons , en effet , qu'à un instant quelconque , el]e soit égale à £

* ~*W*®M$}\ le premier membre de cette équation est par conséquent , une va- riation exacte en x, y, z ; ainsi la fonction u.^x+p. Jy + v.^.s est une variation exacte dans l'instant suivant , si elle l'est dans un instant ; elle est donc alors une variation exacte à tous les instans. Lorsque les mouvemens sont très-petits ; on peut négliger les,, quarrés et les produits de u , p ctv ; l'équation {-H) devient alors ainsi , dans ce cas , u. fx + p. S- y + v. fz est une variation exacte , si comme nous le supposons , p est fonction de p j en nommant donc encore ePp cette différence, on aura *--/? = (*)' et si le fluide est liomogène , l'équation de continuité deviendra 'dd et ns l'angle que le plan qui passe par l'axe des x et par ce rayon , forme avec le plan des x et des y. Supposons qu'après le temps tt le rayon r se change dans r + a.s, que l'angle fl se change dans 6-\-a.u, et que l'angle parce que le rapport ' — de la force centrifuge à l'équateur, à la pesanteur, est une très-petite fraction égale à ^. Enfin, le rayon r est à fort peu près constant à la surface de la mer , parce qu'elle diffère très- peu d'une surface sphérique; on peut donc y supposer Sr nulle. L'équa-r tion ( L ) devient ainsi , à la surface de la mer t ^^•{(^)-2"-sinJ-COS-9-(^)} + rV..[sin^.(^) + ^.sinJ.cosJ.(^) + 2ra.sin.=.9.(^)} les variations S'y et SV' étant relatives aux deux variables 9 et <&. Considérons présentement , l'équation relative à la continuité du fluide. Pour cela, concevons à l'origine du mouvement, un parallélipipède rectangle dont la hauteur soit d r , dont la largeur soit rdw.sin. 9, et dont la longueur soit rd9. Nommons r, 9' et -sr' N2 îoo MÉCANIQUE CELESTE, ce que deviennent r, 9 et ^ , après le temps t. En suivant le raison- nement du n°. 52, on trouvera qu'après ce temps , le volume de la molécule fluide est égal à un parallélipipède rectangle dont la hau- teur est f — J . d r ; dont la largeur est en éliminant dr , au moyen de l'équation ° = (dV)'d^+(^)'dr' enfin, dont la longueur est/. \ ( — J.dr + (-7r)'dô +( -j— J-d^ \ ; en éliminant dr et d-sr , au moyen des équations En supposant donc ,_1/d?\ fdè'\ /d*'\ fdr'\ /dè'\ fdn'\ fdr'\ fdi'\ (d*'\ c - \~d7J ■ \dJJ ' \ïï) ~~ {~d7j ' \d^) ' \dTJ +\dTJ' \Jï) ' \d7J /dr'\ /dè'\ /du'\ fdr'\ /dt>'\ /dv'\ (dr'\ /â&'\ /d*'\ ~~ \dl) ' \d7J " \d^J + \I^j ' \dr) ' \dJJ~ \d^J ' \dï) ' \d7)'3 le volume de la molécule aprèsle temps t, sera, 6'.r's.sin.9. dr.f/â.d^,- ainsi en nommant (p) , la densité primitive de cette molécule , et p sa densité correspondante à t; on aura, en égalant l'expression primitive de sa masse , à son expression après le temps 1 1 p . C'r'* . sin. ô' = (p) . r2 . sin. 3 ; c'est l'équation de la continuité du fluide. Dans le cas présent , r = r-\-a.s ; Q' =ô-{-a.U ,- clans tout l'intérieur de la masse fluide , depuis la surface du sphéroïde que la mer recouvre , jusqu'à la surface du niveau de la mer, p'=pgyj ainsi un point quelconque de la surface du sphéroïde recouvert par la mer , est plus pressé que dans l'état d'équilibre , de tout le poids de la petite colonne d'eau , comprise entre la surface de la mer et la surface du niveau. Cet excès de pression devient négatif, dans les points où la surface de la mer s'abaisse au-dessous de la surface du niveau^ Il suit de ce que nous venons de Voir , que si l'on n'a égard qu'aux variations de 9 et de -w; l'équation (L) se change dans l'équation ( M ) , pour toutes les molécules intérieures de la masse fluide. Les valeurs de u et de v relatives à toutes les molécules de la mer , situées sur le même rayon terrestre, sont donc détermi^ nées par les mêmes équations différentielles ; ainsi, en supposant, comme nous le ferons dans la théorie du flux et du reflux de la mer, qu'à l'origine du mouvement, les valeurs de u , ( — J , v, ( — ] ont été les mêmes pour toutes les molécules situées sur le même rayon ; ces molécules resteront encore sur le même rayon, durant les oscillations du fluide. Les valeurs de r, u et v peuvent donc être supposées les mêmes à très-peu près , sur la petite partie du rayon terrestre , comprise entre le solide que la mer recouvre , et la surface de la mer ; ainsi , en intégrant , par rapport à r j l'équation /d.r*s\ (/du\ /dv\ ù.cos.ôl °= {-J7)+r ' (U) + (j-,) + lïïû- j > on aura . „ , - ( / du\ ( dv\ u.cos.â"! (rs) étant la valeur de r*s , à la surface du sphéroïde recouvert loi MÉCANIQUE CÉLESTE, par la mer. La fonction 7-3s — (ifis) est égale à très -peu près à /** . { s — (s) } -+■ 2 r y (s) , (s) étant ce que devient s , à la surface du sphéroïde ; on peut négliger le terme % ry. (s) , vu la petitesse de y et de (s) ,• on aura ainsi , Maintenant, la profondeur de la mer, correspondante aux angles 6 + *«, et nt+^ + ap , est y + *. {s — (s)} : si l'on fixe l'origine des angles 9 et nt+vr, à un point et à un méridien fixes sur la surface de la terre , ce qui est peimris , comme on le verra bientôt ; cette même profondeur sera y-^-au.( — )+*?■( ~r~ ) plus l'éléva- tion ay de la molécule fluide de la surface de la mer, au-dessus de sa surface de niveau ; on aura donc L'équation relative à la continuité du fluide, deviendra par consé- quent, /d.-)u\ /d.yv\ nz/.cos, 9 , „TV On peut observer que dans cette équation, les angles 9 et nt-^-^ sont comptés relativement à un point et à un méridien fixes sur la terre , .et que dans l'équation ( M), ces mêmes angles sont comptés relativement à l'axe des x , et à un plan qui , passant par cet axe , auroit autour de lui, un mouvement de rotation , égal à n ; or cet - axe et ce plan ne sont pas fixes à la surface de la terre , parce que l'attraction et la pression du fluide qui la recouvre, doivent altérer un peu leur position sur cette surface , ainsi que le mouvement de rotation du sphéroïde. Mais jl est aisé de voir que ces altérations sont aux valeurs de au et de a.v , dans le rapport de la masse de la mer , à celle du sphéroïde terrestre ; ainsi , pour rapporter les angles 9 et nt-\-tr , à un point et à un méridien invariables à la surface de ce sphéroïde, dans les deux équations (Jf) et (iV); il y u y v suffit d'altérer u et v , de quantités de Tordre — — et — , quantités que nous nous sommes permis de négliger ; on peut donc sup- poser dans ces équations , que au et «f sont les mouvemens du fluide, en latitude et en longitude. On PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. io5 On peut observer encore, que le centre de gravité du sphéroïde étant supposé immobile , il faut transporter en sens contraire,- aux molécules fluides , les forces dont il est animé par la réaction de la mer ; mais le centre commun de gravité du sphéroïde et de la mer, ne changeant point , en vertu de cette réaction ; il est clair que le rapport de ces forces à celles dont les molécules sont animées par l'action du sphéroïde , est du même ordre que le rapport de la y masse fluide à celle du sphéroïde, et par conséquent , de l'ordre — ; on peut donc les négliger dans le calcul de S~V. ÔJ. Considérons de la même manière , les mouvemens de l'at- mosphère. Nous ferons dans cette recherche, abstraction de la variation de la chaleur , à différentes latitudes et à diverses hau- teurs , ainsi que de toutes les causes irrégulières qui l'agitent , et nous n'aurons égard qu'aux causes régulières qui agissent sur elle , comme sur l'océan. Nous supposerons conséquemment , la mer recouverte d'un fluide élastique d'une température uniforme; nous supposerons encore, conformément à l'expérience , la densité de ce fluide , proportionnelle à sa pression. Cette supposition donne à l'atmosphère , une hauteur infinie ; mais il est facile de s'assurer qu'à une très-petite hauteur , sa densité est si petite , qu'on peut la regarder comme nulle. Cela posé , nommons s', u et p, pour les molécules de l'atmo- sphère , ce que nous avons nommé s , u et v, pour les molécules de la mer; l'équation (L) du n°. 35, donnera f /dds'\ M' M n* + *JV.H — \—2nr.sm.sa.( — J =— .«T. {(V+«s'j.sin.(0-[W;}* P Considérons d'abord l'atmosphère dans l'état d'équilibre, dans lequel s', u' et v sont nuls. L'équation précédente donne alors , en l'intégrant , — .r\ sin.a 9 + V — f~ = constante. MicAN. cél. Tome I. O io6 MECANIQUE CELESTE, La pression p étant supposée proportionnelle à la densité ; nous ferons p = Lg.p, g étant la pesanteur dans un lieu déterminé , que nous supposerons être l'équateur, et /étant une quantité constante qui exprime la hauteur de l'atmosphère supposée par-tout de la même densité , qu'à la surface de la mer : cette hauteur est très- petite par rapport au rayon du sphéroïde terrestre , dont elle n'est pas la 720iéme partie. L'intégraley — est égale à Ig.log.p ; l'équation précédente de l'équilibre de l'atmosphère devient par conséquent , n2 Ig. log. p = constante + V-\ . r% . sin.' 9. A la surface de la mer , la valeur de y est la même pour une molécule d'air , que pour la molécule d'eau qui lui est contiguë , parce que les forces qui sollicitent l'une et l'autre molécule , sont les mêmes ; mais la condition de l'équilibre des mers , exige que l'on ait V-\ — . r2 . sin.a S = constante ; on a donc , à cette surface , p constant , c'est-à-dire que la densité de la couche d'air , contiguë à la mer , est par-tout la même , dans l'état d'équilibre. Si l'on nomme i?, la partie du rayon r, comprise entre le centre du sphéroïde , et la surface de la mer, et r' la partie comprise entre cette surface et une molécule d'air élevée au-dessus ; r' sera aux (-■')' quantités près de l'ordre -S&- — <- , la hauteur de cette molécule au-dessus de la surface de la mer : nous négligerons les quantités de cet ordre. L'équation entre p et r donnera f.dV\ r'2 /ddV\ n% /g-.log.P = constante + ^+r'.^J+T.^J+7iîi.8in.»9 les valeurs de y. ( -r- ) et [ — — ) étant relatives à la svirface de la mer où l'on a , constante = V-\ — .R1. sin-* 8 s a PREMIÈRE PARTIE, LIVRE I. 107 la quantité — \~t~) — «2iî.sin.29 , est la pesanteur à cette même (ddV\ surface ; nous la désignerons par g . La fonction f — — J étant mul- tipliée par la quantité très-petite r% nous pouvons la déterminer dans la supposition de la terre sphérique , et négliger la densité de l'atmosphère relativement à celle de la terre ; nous aurons ainsi, à fort peu près , (ddV\ 2 m 2 g' m étant la masse de la terre; partant \-tt )= ;«" — 5~> on aura donc lg.log. p = constante — r'g — -jr-g > d'où l'on tire - ; -f-K). p=n.c c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité , et n étant une constante visiblement égale à la densité de l'air à la surface de la mer. Nommons h et h' les longueurs du pendule à seconde , à la surface de la mer , sous l'équateur , et à la latitude de se Ji la molécule aérienne que nous considérons: on aura — = — -, et g h par conséquent, r'h' f Y \ p =U.c Cette expression de la densité de l'air , fait voir que les couches de même densité , sont par-tout également élevées au-dessus de la • '"' • ( h' — h ) . , , , t , 3ner , a la quantité près ; mais dans le calcul exact des hauteurs des montagnes , par les observations du baromètre , cette quantité ne doit point être négligée. Considérons présentement , l'atmosphère dans l'état de mouve- ment; et déterminons les oscillations d'une couche de niveau, ov de même densité dans l'état d'équilibre. Soit a

; on aura ainsi, £V— ($-j^)— «g-.JNp+aJ^""',- 108 MECANIQUE CELESTE, (£F^) étant la valeur de S'F^, qui dans l'état d'équilibre , corres- pond à la couche de niveau, et aux angles Q + *u, et jit+'v+a.v ; et S'f' étant la partie de ■> *P tg.f(p) , + ag.Sy ; P if) or on a dans l'état d'équilibre , o=-.f.{(r+*s).sm.(S + *u)}* + (fD— ^p-^ } 2 (p) l'équation générale du mouvement de l'atmosphère, deviendra donc relativement aux couches de niveau , par rapport auxquelles S'r est nul à très-peu près , + ^.^.{sn,=9.(_) + 2re.sn,ô.cos.ô.(-57)-I-^— .(-)} ~^V — g.£; si l'on fait ensuite ' étant les mêmes pour toutes les molécules situées primitivement sur le même rayon , la valeur de y' sera la même pour toutes ces molécules. De plus , il est visible par ce que nous venons de dire, que les quantités 2 nr . «Tw. sin.2 ô . ( — — ) , et 7zV.sin.2 9.^. {s' — (s')} , peuvent être négligées dans l'équation précédente du mouvement de l'atmosphère , qui peut alors être satisfaite , en supposant que u' et v' sont les mêmes pour toutes les molécules de l'air, situées primitivement sur le même rayon ; la supposition que toutes ces molécules restent constamment sur un même rayon , durant les oscillations du fluide , peut donc subsister avec les équations du mouvement et de la continuité du fluide atmosphérique. Dans ce cas , les oscillations des diverses couches no MÉCANIQUE CÉLESTE. de niveau sont les mêmes , et se déterminent au moyen des équa- tions , r\fS.\(— — ) — 2 re.sinJ.cos.fi. [ — + /*./«. J sin.2fi.f -4j + 2re.sin.9. cos.9. (£) \=.S-V'—g.ty—g£y} , (du\ fdv'\ u'.cosJ ) y-- -*• -JT +'--u- dtJ^yd-srP sin.fl y Ces oscillations de l'atmosphère doivent produire des oscillations analogues , dans les hauteurs du baromètre. Pour déterminer celles-ci au moyen des premières , considérons un baromètre fixe à'une hauteur quelconque au-dessus de la surface de la mer. La hauteur du mercure est proportionnelle à la pression qu'éprouve sa surface exposée à l'action de l'air ; elle peut donc être repré- sentée par Ig.p ; mais cette surface est successivement exposée à l'action de diverses couches de niveau , qui s'élèvent et s'abaissent comme la surface de la mer ; ainsi la valeur de p à la surface du mercure , varie, i°. parce qu'elle appartient à une couche de ni- veau , qui dans l'état d'équilibre , étoit moins élevée , de la quan- tité &y j 2°. parce que la densité d'une couche augmente dans l'état ctfp ) . y de mouvement, de«p' ou de - — j-=—. En vertu de la première cause, (dj> \ a(p).y' — J , ou — - — ,• la variation totale de la densité p, à la surface du mercure, est donc <*■(?). — — -, Il suit de-là, que si l'on nomme k la hauteur du mercure, dans le baro- mètre , relative à l'état d'équilibre ; ses oscillations , dans l'état de r r uk.(y-\-y' ) mouvement , seront exprimées par la fonction ■ — — ; elles sont donc semblables, à toutes les hauteurs au-dessus de la mer , et proportionnelles aux hauteurs du baromètre. Une s'agit plus maintenant, pour déterminer les oscillations delà mer et de l'atmosphère , que de connoître les forces qui agitent ces deux masses fluides , et d'intégrer les équations différentielles précédentes ; c'est ce que nous ferons dans la suite de cet ouvragé. LIVRE II. DE LA LOI DE LA PESANTEUR UNIVERS ELLE , ET DU MOUVEMENT DES CENTRES DE GRAVITÉ DES CORPS CÉLESTES. CHAPITRE PREMIER. De la loi de la pesanteur universelle , tirée des phénomènes. «* PB 1 . Afr.es avoir développé les loix du mouvement ; nous allons en partant de ces loix , et de celles des mouvemens célestes , pré- sentées avec détail dans l'ouvrage intitulé : Exposition du système du monde , nous élever à la loi générale de ces mouvemens. Celui de tous les phénomènes , qui semble le plus propre à la faire décou- vrir , est le mouvement elliptique des planètes et des comètes au- tour du soleil; voyons ce qu'il donne sur cet objet. Pour cela, nommons x et y , les coordonnées rectangles d'une planète , dans le plan de son orbite , et fixons leur origine , au centre du soleil ; nommons de plus , P et Q les forces dont cette plané ; est animée dans son mouvement relatif autour du soleil, parallèlement aux axes des x et desj/j et supposons que ces forces tendent vers l'ori- gine des coordonnées ; enfin , soit dt l'élément du temps que nous regarderons comme constant; on aura, par le Chapitre II du premier Livre ) ddx ._ , . dtu ddy dt" Q. (a) 112 MECANIQUE CELESTE, Si l'on ajoute la première de ces équations, multipliée par ■ — y, à la seconde multipliée par x ; on aura d.f'xdy — vdx) _ _ Il est aisé de voir que xdy — ydx est le double de Faire que le rayon vecteur de la planète décrit autour du soleil, dans l'ins- tant dt; cette aire est proportionnelle à l'élément du temps, sui- vant la première loi de Kepler, en sorte que l'on a x dy — -y dx = cdt } c étant une constante ; la différentielle du premier membre de cette équation est donc nulle ; ce qui donne x.Q— y.P = o. H suit de-là que les forces P et Q sont entre elles dans le rapport de x ky ; et qu'ainsi leur résultante passe par l'origine des coor- données , c'est-à-dire par le centre du soleil. D'ailleurs , la courbe décrite par la planète étant concave vers le soleil, il est visible que la force qui la fait décrire , tend vers cet astre. La loi des aires proportionnelles aux temps employés à les dé- crire, nous conduit donc à ce premier résultat remarquable, savoir que la force qui sollicite les planètes et les comètes, est dirigée vers le centre du soleil, 2 . Déterminons maintenant, la loi suivant laquelle cette force agit à différentes distances de cet astre. Il est clair que les planètes et les comètes s'approchant et s'éloignant alternativement du soleil, à chaque révolution ; la nature du mouvement elliptique doit nous conduire à cette loi. Reprenons dans cette vue, les équations diffé- rentielles (1) et (2) du n°. précédent. Si l'on ajoute la première multipliée par dx, à la seconde multipliée par dy , on aura dx.d dx -j- dy .d dy °= 5f et en intégrant , dx* + dy2 + Pdx+Qdy; ±2.f(Pdx+Qdy), dtz la constante arbitraire étant indiquée par le signe intégral. En subs- PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL n5 tituant , au lieu de dt, sa valeur — - — - — , donnée par la loi de la proportionnalité des aires aux temps , on aura o = p^±^ + 2.f(Pdx+Qdy). (xdy—ydx)* Transformons , pour plus de simplicité, les coordonnées x et y, en rayon vecteur, et en angle traversé , conformément aux usages astronomiques. Soit r le rayon mené du centre du soleil à celui de la planète , ou son rayon vecteur; soit v l'angle qu'il forme avec l'axe des x ; on aura x = r. cos. v ; y = r. sin. v ; r= Vx^+y* ; d'où l'on tire , dx* + dy* = r*di>* + dr* ; xdy—ydx—r'dv. Si l'on désigne ensuite par

c* f 'dit ") r3 2 [ r* dv* \ v ' df Les orbes des planètes sont des ellipses dont le centre du soleil occupe un des foyers ; or si dans l'ellipse , on nomme «• l'angle que le grand axe fait avec l'axe des x $ si , de plus , on fixe au foyer, Mjïcan. cél. Tome I. P 7 t4 M E C A N I Q U.E CELESTE, l'origine des x, et que l'on désigne par a, le demi-grand axe, el par e , le rapport de l'excentricité au demi-grand axe ; on aura a.(i —e0-) r = i -f- e . cos. (v — 11) équation qui devient celle d'une parabole , lorsque e—1, et a est infini • et qui appartient à l'hyperbole , lorsque e surpasse l'unité, et a est négatif. Cette équation donne T^dv% ar.(i — e) T% a*.(i — e*) ' et par conséquent , Ca 1 e = . — ' a.(i—e%) r- ainsi les orbites des planètes et des comètes étant des sections coni- ques ; la force p est réciproque au quarré de la distance du centre de ces astres à celui du soleil. On voit de plus , que si la force

et ç' sont réciproques aux quarrés des distances a et a . 5. La terre n'ayant qu'un satellite , l'ellipticité de l'orbe lunaire est le seul phénomène céleste qui puisse nous faire connaître la loi de sa force attractive ; mais le mouvement elliptique de la lune est très-sensiblement troublé par les forces perturbatrices , et cela peut laisser quelques doutes sur la loi de la diminution de la force attractive de la terre, en raison du quarré des distances à son centre. A la vérité , l'analogie qui existe entre cette force et les forces attractives du Soleil , de Jupiter , de Saturne et d'Uranus , nous porte à croire qu'elle suit la même loi de diminution ; mais les expériences terrestres sur la pesanteur, offrent un moyen direct de constater cette loi. Pour cela , nous allons déterminer la parallaxe lunaire ,. d'après les expériences sur la longueur du pendule à secondes , et la com- parer aux observations célestes. Sur le parallèle dont le quarré du sinus de la latitude est \ , l'espace que la pesanteur fait décrire dans une seconde , est, d'après les observations de la longueur du pendule, égale à 5raétl'es, 65548, comme on le verra dans le troisième livre : nous choisissons ce parallèle , parce que l'attraction de la terre sur les points correspondans de sa surface, est à très-peu près , comme à la distance de la lune , égale à la masse de la terre , divisée par le quarré de sa distance à son centre de gravité. Sur ce parallèle , la pesanteur est plus petite que l'attraction de la terre, des deux tiers de la force centrifuge due au mouvement de rota-^ tion à l'équateur ; cette force est ^ de la pesanteur ; il faut donc augmenter l'espace précédent, de sa 452idme partie , pour avoir l'es- pace entier dû à l'action de la terre , qui sur ce parallèle , est égale à sa masse divisée par le quarré du rayon terrestre : on aura ainsi , 5me, 663g4, pour cet espace. A la distance de la lune, il doit être diminué dans le rapport du quarré du rayon du sphéroïde ter- restre , au quarré de la distance de cet astre , et il est visible qu'il suffit pour cela , de le multiplier par le quarré du sinus de la parai- PREMIÈRE PARTIE, LIVRÉ IL u9 laxe lunaire; en désignant donc par x, ce sinus sous le parallèle que nous considérons; on aura #2.3m% 665o4 , pour la hauteur dont la lune doit tomber dans une seconde , par l'attraction de la terre. Mais nous verrons dans la théorie de la lune , que l'action du soleil diminue sa pesanteur vers la terre , d'une quantité dont la partie constante est j~^ de cette pesanteur; de plus , la lune, dans son mouvement relatif autour de la terre , est sollicitée par une force égale à la somme des masses de la terre et de la lune, divisée par le quarré de leur distance mutuelle ; il faut donc diminuer l'espace pré- cédent , de jYt * e* l'augmenter dans le l'apport de la somme des masses de la terre et de la lune , à la masse de la terre ; or on verra dans le quatrième livre, que les phénomènes clu flux et du reflux de la mer, donnent la masse de la lune égale à — — de celle de la 58,7 357 5q 7 terre; on a donc 7—.—^—.x'i.ome, 665q4 , pour l'espace dont la lune descend vers la terre, dans l'intervalle d'une seconde. Maintenant , si l'on nomme a le rayon moyen de l'orbe lunaire , et T, la durée de la révolution sydérale de la lune, exprimée en secondes; sera, comme on l'a vu, le sinus verse de l'arc qu'elle décrit pendant une seconde , et il exprime la quantité dont la lune descend vers la terre , dans cet intervalle. La valeur de a est égale au rayon terrestre sous le parallèle que nous considérons , divisé par le sinus de x; ce rayon est égal à 636g5i4me; on a donc 63695i4me a— ; x mais pour avoir une valeur de a indépendante des inégalités àxx. mouvement de la lune , il faut prendre pour sa parallaxe moyenne dont le sinus est x , la partie de cette parallaxe qui est indépen- dante de ces inégalités , et que l'on nomme pour cela , constante de la parallaxe. Ainsi , en prenant pour tt , le rapport de 355 à 1 1 5, et en observant que 7=2702166'''; l'espace moyen dont la lune descend vers la terre , sera (1 \?>y . x. ('2702166/ i2o MECANIQUE CELESTE, En égalant les deux expressions que nous venons de trouver pour cet espace ,- on aura 3_ 2. f555J*. 558 .5^7.65695 14 X ~~ (rn5;2.357.59;7.3,|5G394.('2732i66/ ' d'où l'on tire io536",2, pour la constante de la parallaxe lunaire sous le parallèle dont il s'agit. Cette valeur est très -peu différente de la constante io54o,7 que Triesneckeraconclueparla comparaison d'un grand nombre d'observations d'éclipsés et d'occultations d'étoilespar la lune; il est donc certain que la force principale qui retient la lune dans son orbite, est la gravité terrestre affoiblie en raison du quarré de la distance ; ainsi, la loi de diminution de la pesanteur , qui, pour les planètes accompagnées de plusieurs satellites, est prouvée par la comparaison des temps de leurs révolutions , et de leurs distances , est démontrée pour la lune , par la comparaison de son mouve- ment avec celui des projectiles à la surface de la terre. Il en résulte que c'est au centre de gravité des corps célestes , que l'on doit fixer l'origine des distances, dans le calcul de leurs forces attractives sur les corps placés à leur surface , ou au-delà ; puisque cela est prouvé pour la terre dont la force attractive est, comme on vient de le voir, de la même nature que celle de tous les corps célestes, 6. Le soleil et les planètes qui ont des satellites , sont par con- séquent, doués d'une force attractive qui en décroissant à l'infini, réciproquement au quarré des distances , embrasse dans sa sphère d'activité , tous les corps. L'analogie nous porte à penser qu'une pareille force réside généralement dans toutes les planètes et dans les comètes ; mais on peut s'en assurer directement de cette ma- nière. C'est une loi constante de la nature , qu'un corps ne peut agir sur ûri autre, sans en éprouver une réaction égale et con- traire ; ainsi les planètes et les comètes étant attirées vers le soleil , elles doivent attirer cet astre suivant la même loi. Les satellites attirent, par la même raison, leurs planètes; cette propriété attrac- tive est donc commune aux planètes, aux comètes et aux satellites, et par conséquent , on peut regarder la gravitation des corps célestes , les uns vers les autres , comme une propriété générale de cet univers, Nous venons de voir qu'elle suit la raison inyerse du quarré des distances; PREMIERE PARTIE, LIVRE IL 121 distances 5 à la vérité , cette raison est donnée par les loix du mouvement elliptique , auxquelles les rnouvemens célestes ne sont pas rigoureusement assujétis ; mais on doit considérer que les loix les plus simples devant toujours être préférées , jusqu'à ce que les observations nous forcent de les abandonner; il est naturel de supposer d'abord que la loi de la gravitation est réciproque à une puissance de la distance, et l'on trouve , parle calcul, que la plus légère différence entre cette puissance et le quarré , deviendroit extrêmement sensible dans la position des périhélies des orbes planétaires, dans lesquels l'observation n'a fait appercevoir que des rnouvemens presque insensibles dont nous développerons la cause. En général , on verra dans le cours de cet ouvrage , que la loi de la gravitation réciproque au quarré des distances , repré- sente avec une extrême précision , toutes les inégalités observées des rnouvemens célestes : cet accord, joint à la simplicité de cette loi , nous autorise à penser qu'elle est rigoureusement celle de la nature. La gravitation est proportionnelle aux masses ; car il résulte du n°. 5 , que les planètes et les comètes étant supposées à la même distance du soleil , et abandonnées à leur gravité vers cet astre , elles tomberaient en temps égal , d'une égale hauteur ; en sorte que leur pesanteur seroit proportionnelle à leur masse. Les mou vemenâ presque circulaires des satellites autour de leurs planètes , nous prouvent qu'ils pèsent comme ces planètes , vers le soleil , en rai- son de leurs masses ; la plus légère différence à cet égard , seroit sensible dans le mouvement des satellites, et les observations n'ont fait découvrir aucune inégalité dépendante de cette cause. On voit donc que les comètes, les planètes, et leurs satellites, placés à la même distance du soleil , pèseroient vers cet astre , en raison de leurs masses ; d'où il suit , en vertu de l'égalité de l'action à la réaction , qu'ils attireraient dans la même raison , le soleil , et qu'ainsi leur action sur cet astre , est proportionnelle à leurs masses divisées par le quarré de leurs distances à son centre. La même loi s'observe sur la terre ; on s'est assuré par des ex- périences très-précises faites au moyen du pendule, que sans la résistance de l'air, tous les corps se précipiteroient vers son centre, Mécan. cêl. Tome L O 122 MÉCANIQUE CELESTE, avec une égale vitesse ; les corps terrestres pèsent donc sur la terre, en raison de leurs masses , ainsi que les planètes pèsent vers le soleil , et les satellites vers leurs planètes. Cette conformité de la nature avec elle-même, sur la terre et dans l'immensité des cieux, nous montre de la manière la plus frappante , que la pesanteur observée ici-bas , n'est qu'un cas particulier d'une loi générale répandue dans l'univers. La propriété attractive des corps célestes ne leur appartient pas seulement en masse ; mais elle est propre à chacune de leurs molé- cules. Si le soleil n'agissoit que sur le centre de la terre , sans attirer particulièrement chacune de ses parties ; il en résulteroit dans l'océan, des oscillations incomparablement plus grandes et très-différentes de celles que l'on y observe 5 la pesanteur de la terre vers le soleil, est donc le résultat des pesanteurs de toutes ses molécules qui par conséquent attirent le soleil , en raison de leurs masses respectives. D'ailleurs , chaque corps sur la terre pèse vers son centre , proportionnellement à sa masse ; il réagit donc sur elle , et l'attire suivant le même rapport. Si cela n'étoit pas , et si une partie quelconque de la terre , quelque petite qu'on la sup- pose , n'attiroit pas l'autre partie , comme elle en est attirée ; le centre de gravité de la terre seroit mu dans l'espace, en vertu de la pesanteur , ce qui est impossible. Les phénomènes célestes, comparés aux lois du mouvement, nous conduisent donc à ce grand principe de la nature , savoir que toutes lçs molécules de la matière s'attirent mutuellement en raison des masses , et réciproquement au quarré des distances. Déjà l'on entrevoit dans cette gravitation universelle , la cause des pertur- bations que les corps célestes éprouvent ; car les planètes et les comètes étant soumises à leur action réciproque, elles doivent s'écarter un peu des loix du mouvement elliptique , qu'elles sui- vroient exactement , si elles n'obéissoient qu'à l'action du soleil. Les satellites troublés dans leurs mouvemens autour de leurs planètes , par leur attraction mutuelle et par celle du soleil, s'écar- tent pareillement de ces loix. On voit encore que les molécules de chaque corps céleste, réunies par leur attraction, doivent former une masse à-peu-près sphérique , et que la résultante de leur ac- PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 125 tion à la surface du corps , doit y produire tous les phénomènes de la pesanteur. On voit pareillement que le mouvement de rota- tion des corps célestes , doit altérer un peu la sphéricité de leur figure , et l'applatir aux pôles , et qu'alors , la résultante de leurs actions mutuelles , ne passant point exactement par leurs centres de gravité ; elle doit produire dans leurs axes de rotation , des mouvemens semblables à ceux que l'observation y fait appercevoir. Enfin , on entrevoit que les molécules de l'océan , inégalement atti- rées par le soleil et la lune , doivent avoir un mouvement d'oscil- lation pareil au flux et au reflux de la mer. Mais le développe- ment de ces divers effets de la pesanteur universelle , exige une profonde analyse. Pour les embrasser avec la plus grande généra- lité , nous allons donner les équations différentielles du mouve- ment d'un système de corps soumis à leur attraction mutuelle . et rechercher les intégrales rigoureuses que l'on peut en obtenir. Nous profiterons ensuite des facilités que les rapports des masses et des distances des corps célestes nous présentent , pour avoir des intégrales de plus en plus approchées , et pour déterminer ainsi les phénomènes célestes , avec toute l'exactitude que les observations comportent Q 2 is4 MÉCANIQUE CÉLESTE. CHAPITRE II. Des équations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leur attraction mutuelle. H . Soient to, m', m", &c. , les masses des différens corps du système, considérés comme autant de points; soient x, y, z, les coordonnées rectangles du corps m ; x', y\ z\ celles du corps m', et ainsi du reste. La distance de m! à m, étant V (x'-x)*+(S—yy+(z'—zr , son action sur m sera, par la loi de la pesanteur universelle, égale à m' (*' -*)* + (y' —y? + (*' - *;a Si l'on décompose cette action , parallèlement aux axes des x , àësy et des z j la force parallèle à l'axe des x , et dirigée en sens contraire de leur origine , sera m . (x — x) { (x' - xf + (y' -y f + (z' -*;»}£* on i \d. V(x'—xr-\- (y'—yy+(z-*rr de On aura pareillement , \d. — . <^ )/(x"-xy + (y"-yT + (z" -*y pour l'action de m" sur m , décomposée parallèlement à l'axe des st, et ainsi du reste. Soit donc , + \/(x'~xr+ (y'-yy+ (z'-zy )/■&'— aiy+W-yTW-*? m' . m" V(x"-x'f + (y"-y')> + C*"^*')' PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. ia5 a étant ainsi la somme des produits deux à deux , des masses m, m', i /d\\ m", &c< , divisées par leu rs distances respectives ; — . I — 1 exprimera la somme des actions des corps m , m", &c, sur m, décomposées parallèlement à l'axe des x , en sens contraire de l'origine des coordonnées. En désignant donc par d t , l'élément du temps sup- posé constant ; on aura par les principes de dynamique, exposés clans le livre précédent , ddx f dx\ On aura pareillement ddy /d\\ o = m. — — - y d d z ô — m, -m- dt Si l'on considère de la même manière, l'action des corps m, m", &c. ^ sur m'j celle des corps m, m', &c, sur m!'r et ainsi du reste j on aura les équations , ddx' { dh\ . ddy' f d\\ ddz f dh\ dt" \dx '}' df \dy ) dt* \dz ) ,. ddx" fdh\ ddy" /dh\ ddz" /d?,\ 0=m -inr-\d7j> °=m -dT-\df); °=m -dF-{d7<) &c. La détermination des" mouvemens de m , m', m", &c. , dépend de l'intégration de ces équations différentielles ; mais il n'a été possible jusqu'ici, de les intégrer complètement , que dans le seul cas où le système n'est composé que de deux corps. Dans les autres cas , on n'a pu obtenir qu'un petit nombre d'intégrales rigoureuses que nous allons développer, O. Pour cela, considérons d'abord les équations différentielles enx, x', x", &c. ; en les ajoutant ensemble, et en observant que par la nature de la fonction a, on a ° = (ê) + (ê) + (ë) + &( ddx i ddy on aura, o = s.wz. -j-p On aura pareillement, o=s.7?z. — —. 126 MECANIQUE CELESTE, o = s. m. . Soient X, Y , Z, les trois coordonnées du c dt* de gravité du système ; on aura par la propriété de ce centre . X= on aura donc , ■S-.-m.x „ 2-m.v „ 2. m. a A=— ; ^^"i *" ^— -^ 2, ,jn z . m i, ,771 ddX ddY ddZ o — — — ,• o = — — ,• o = -t — ,' <£i* rff1 Jia ' d'où l'on tire , en intégrant X = a + ô t ; Y= o'+ i'f ; Z = a' ' .+ b"t ; a, b, a', b', a", b", étant des constantes arbitraires. On voit par-là , que le mouvement du centre de gravité du système , est rectiligne et uniforme , et qu'ainsi , il n'est point altéré par l'action récipro- que des corps du système ; ce qui est conforme à ce que nous avons vu dans le chapitre V du premier livre. Reprenons les équations différentielles du mouvement de ces corps. Si l'on multiplie les équations différentielles en y, y', y", &c, respectivement par x , x', x", &c. , et qu'on les ajoute aux équations différentielles en x, x', x", &c. , multipliées respectivement par __y } —.y, — y "•> &c. ; on aura xddy — yddx\ , ix'ddy — y'ddx'\ (xddy — yddx\ IF ) + 771 .-i — i- + &C, dt / dh\ . /fdh\ + _ / dh\ mais la nature de la fonction a , donne on aura donc , en intégrant l'équation précédente ? / xdy — y dx\ «=*•"•(; -V" > PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 12,7 Ou trouvera semblablement , , ( xdz — zdx \ c=2-/H — di— )' ydz — z dy s. m., dt c , c, c", &c. étant des constantes arbitraires. Ces trois intégrales renferment le principe des aires, que nous avons exposé dans le Chapitre V du premier Livre. Enfin , si l'onmultiplie les équations différentielles en x , x', x", &c. , respectivement par dx , dx', dx", &c. ; celles en y , y', &c. , res- pectivement par dy , dy', &c. ; celles en z , z, &c. , respective- ment par dz, dz', &c. , et qu'on les ajoute ensemble ; on aura ■f dx.ddx -\- dy.ddy -f- dz.ddz\ o = s . m . — : - dh , dt* ' et en intégrant /dx* + dy* + dz*\ h='z.?n.[ r ) — 2A: V d? ) h étant une nouvelle arbitraire. Cette intégrale renferme le prin- cipe de la conservation des forces vives, exposé dans le Chapitre V du premier Livre. Les sept intégrales précédentes sont les seules intégrales rigou- reuses que l'on a pu obtenir jusqu'à présent : dans le cas où le sys- tème n'est composé que de deux corps , elles réduisent la détermi- nation de leurs mouvemens , à des équations différentielles du pre- mier ordre , que l'on peut intégrer , comme on le verra dans la suite : mais lorsque le système est formé de trois ou d'un plus grand nombre de corps ; il faut nécessairement recourir aux méthodes d'approximation. g. Comme on ne peut observer que des mouvemens relatifs ; on rapporte les mouvemens des planètes et des comètes , au centre du soleil , et les mouvemens des satellites, au centre de leurs pla- nètes. Ainsi , pour comparer la théorie aux observations ; il faut déterminer le mouvement relatif d'un système de corps, autour d'un corps considéré comme le centre de leurs mouvemens. Soit M. ce dernier corps , m, m', m", &c. , étant les autres corps 128 MÉCANIQUE CÉLESTE, dont "on cherche le mouvement relatif autour de M; soient , les coordonnées rectangles de M; Ç+x, n+fi ? + -s» celles de m ; w Je? y M y mv i / d.K\ , v 0 = Mz mz 1 / d\\ ^+x-jrr-»-Ur>' (D) Si l'on change successivement dans les équations (1), (2), (5), les quantités m, x,j, z, dans celles-ci, m', x',y\ z ; m", x",y'\ z", &c, et réciproquement ; on aura les équations du mouvement des corps m', m", &c. , autour de Mr Si l'on multiplie l'équation différentielle en f ,par JH+. 2 . m; celle en x, par m ,• celle en x', par wz',- et ainsi du reste ; en les ajoutant ensemble, et en observant que par la nature de la fonction a, on a °K^) + (£')+&c-; on aura ,T.r -, dd£ ddx' d'où l'on tire en intégrant £5 et £ étant deux constantes arbitraires. On aura pareillement S.my n = a'+ô'£* > = aff+^- M+ 2.771 J a', £>', a', b", étant des constantes arbitraires : on aura ainsi le mou^ vement absolu de M. dans l'espace , lorsque les mouvemens relatifs de7?z, m, &c. , autour de lui, seront connus. Si l'on multiplie l'équation différentielle en x , par 2-7ny JMécan. cél. Tome I, li. ijo MÉCANIQUE CELESTE et l'équation différentielle en y , par X.mx mx—m si l'on multiplie partiellement l'équation différentielle en x'} par 2.;ny et l'équation différentielle en y', par , , , 2. ma? 7K x — m . — — ; M+Z.m' et ainsi du reste ; si l'on ajoute ensuite toutes ces équations , en observant que la nature de la fonction a, donne on aura /dh\ /dh\ {xddy — yddx\ y.mx ddy 2.my ddx i = s.m.s J-zr^- — — .S./?z.~+ — — .2. m.—— / dt* M+2.771 dP M+S.m dt* équation dont l'intégrale est (xdy — ydx) S.mx dy S. m y dx const. = s. m. , ; .S.m.-f + — ^— .s.m.— — c?i M + 2. m rff M+2.m dt OU (xdy—ydx) , ((x'—x).(dy'—dy)-(y'—y).(dx'—dx)) ,,s dt [ dt y c étant une constante arbitraire. On parviendra de la même ma- nière , aux deux intégrales suivantes : f tu (xdz—zdx) , ((x— x).(dz'— dz) — (z'-z).(dx'— dx)) dt [ dt ) dt l dt J v c', c" étant deux nouvelles arbitraires. Si l'on multiplie l'équation différentielle en x , par 2771 . dx 2 m dx — im. — ,• M+2.777.' l'équation différentielle en y , par S.mdy amdy — sm." ; ' M -J- i • 771 , PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL i5i l'équation différentielle en z , par S . m dz 'imdz — 2 m. M+Z.m' si l'on multiplie pareillement l'équation différentielle en x\ par 11, , "S.mdx amax — 2 m . .* M+2.m l'équation différentielle en y\ par , S . m d y 2 in'dy' — 2 m' elle en z', par 2 m'dz — im .■ l'équation différentielle en z', par 'S.mdz 'M+X.m' et ainsi du reste ; si l'on ajoute ensuite ces diverses équations, eu observant que /dh\ /d\\ /d?,\ °=*\7ï)> °=*-m' °=2-uj; on aura (dx.ddx 4- dv.ddv -\-dz.ddz) z.S.mdx m-ddx 0=2. 2. TTC. ■ — i ±— ■ - .2. — ; — - dp M+Z.m dt% z.'S.mdy m.ddy a.S.mJî m.ddz __ mdr . — HT-, -»2. 7 —Z7T-, .2. — ■ +2H.2. 2.rfAï M+^.m dF M+'S.m d? r* * ce qui donne en intégrant (dx*+dy*+dz*) — (Z.mdx)* — (Z.mdy)* — (S.mdz)1 constante = 2 . m . dp (M+Z.mJ.dt.* 2J2.2. 2A, OU (d#+dy*+dz?) , Kdx'-dxy+tdy'-dyy+W-dz)*} de- ^ \ d? j Ta — {%M.%.— + 2*}.(M+zm) ; (7) T h étant une constante arbitraire. Nous sommes déjà parvenus à ces diverses intégrales, dans le Chapitre V du premier Livre, relati- vement à un système de corps qui réagissent les uns sur les autres, d'une manière quelconque ; mais vu leur utilité dans la théorie du système du monde , nous avons cru devoir les démontrer ici de nouveau, R * 102 MÉCANIQUE CÉLESTE, 10. Ces intégrales étant les seules que l'on ait obtenues dans1 l'état actuel de l'analyse ; on est forcé de recourir aux méthodes d'approximation , et de profiter des facilités qu'offre pour cet objet , la constitution du système du monde. Une des principales tient à ce que le système solaire est partagé en systèmes partiels , formés par les planètes et par leurs satellites : ces systèmes sont tels , que les distances des satellites à leur planète , sont considérablement plus petites que la distance de la planète au soleil: il en résulte que l'action du soleil étant à-peu-près la même sur la planète et sur ses satellites , ceux-ci se meuvent à-peu-près, comme s'ils n'obéis- soient qu'à l'action de la planète. Il en résulte encore cette propriété remarquable , savoir que le mouvement du centre de gravité d'une planète et de ses satellites , est à fort peu près le même que si tous ces corps étoient réunis à ce centre. Pour le démontrer, supposons que les distances mutuelles des corps m, m', ju'\ &c, soient très-petites par rapport à la distance de leur centre commun de gravité , au corps M. Soit x = X+x, ; y=Y+y/ ; z=Z + zf ; x'=x+x; ; y=r+y; s z'=z- + y* + z* > cos- 9~"7= tang.« = -; on pourra ainsi avoir les différences partielles de r , 9 et «■ , relatif veinent aux variables x , y , z ,■ et l'on en conclura les valeurs de / -j^r J , ( -z—z ) ? ( 77 ) ? en différences partielles de V, relatives aux variables r, 9 et -ar. Comme nous ferons souvent usage de ces transformations des différences partielles ; il est utile d'en rappeler ici le principe. En considérant f comme fonction des variables x , y, z, et ensuite, des variables r, 9 et \~r~ h "■ ne faut faire varier que x , dans les expressions précédentes de r, cos. 9 , et tang. -s- ; en différentiant donc ces expressions , on aura / dr\ „ /d5\ sin. 9 /(ZsA ce qui donne Mècan. cél. jTcwîé? /. S 138 M É C A N I Q UJE CÉLESTE, On aura donc ainsi, la différence partielle \-j—), en différences partielles de la fonction V ^ prises par rapport aux variables r, 9 et -sr. En différentiant de nouveau, cette valeur de f -j—y, on aura la différence partielle [ — — ) , en différences partielles de f, prises par rapport aux variables r ., 9 et ™. On aura , par le même pro- cédé , les valeurs de ( — — ] , et ( — — ). On transformera de cette manière , l'équation Ç<4), dans la suivante : 'ddV\ cos.fl 0=(-r-) + (ddV\ dl>) ' smJ'\dêJ + -^jr+ \ dt* )} K } et si l'on fait cos. 9 == p.», cette dernière équation deviendra 1 1 . Supposons maintenant que le sphéroïde soit une couche sphérique dont l'origine des coordonnées soit au centre • il est clair que P' ne dépendra que de r, et qu'il ne renfermera ni y- ni <&; l'équation ( C) donnera donc d'où l'on tire en intégrant , r ^ et B étant deux constantes arbitraires. On a donc _/£F\_ B ~\drj" r*' fdV\ . . — ( -j— 1 exprime , par ce qui précède , l'action de la couche sphé- rique sur le point m, décomposée suivant le rayon r, et dirigée vers le centre de la couche ; or il est clair que l'action totale de la couche doit être dirigée suivant ce rayon; — ("T-) exPrime donc l'action totale de la couche sphérique sur le point m. PREMIERE PARTIE, LIVRE IL x39 Supposons d'abord ce point placé au-declans de la couche. S'il étoit au centre même , l'action de la couche seroit nulle ; on a donc fdv\ B — ( "-77J = o> ou — = 0, lorsque r=o , ce qui donne B = o, /dV\ et par conséquent — ( — 1 = o , qiiel que soit 77 d'où il suit qu'un point placé dans l'intérieur de la couche , n'en éprouve aucune action, ou, ce qui revient au même, il est également attiré de toutes parts. Si le point m est situé au-dehors de la couche sphérique ; il est visible qu'en le supposant infiniment éloigné de son centre, l'ac- tion de la couche sur ce point , sera la même que si toute la masse de la couche étoit réunie à ce centre ; en nommant donc M la masse ( dV\ B . M de cette couche; — ( — - J ou — deviendra dans ce cas , égal à — , ce qui donne B = M; on a donc généralement , par rapport aux points extérieurs , (dV\_ M c'est-à-dire que la couche sphérique les attire , comme si toute sa masse étoit réunie à son centre. Une sphère étant une couche sphérique dont le rayon de la sur- face intérieure est nul; on voitque son attraction sur un point placé à sa surface ou au-delà , est la même que si sa masse étoit réunie à son centre. Ce résultat a encore lieu pour les globes formés de couches con- centriques d'une densité variable du centre à la circonférence, suivant une loi quelconque ; puisqu'il est vrai pour chacune de ces couches : ainsi , le soleil , les planètes et les satellites pouvant être considérés à très-peu près , comme des globes de cette nature, ils attirent à fort peu près les corps extérieurs , comme si l'on suppo- soit leurs masses réunies à leurs centres de gravité ; ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé par les observations , dans le n°. 5. A la vérité , la figure des corps célestes s'écarte un peu de la sphère ; mais la différence est très-petite , et l'erreur qui en résulte sur la supposition précédente , est du même ordre que cette diffé- rence ., relativement aux points voisins de leur surface ; et relati- S 2 i4o MÉCANIQUE CÉLESTE, vement aux points éloignés , l'erreur est du même ordre que le produit de cette différence, parle quarré du rapport des rayons des corps attirans , à leurs distances aux points attirés ; car on a vu , dans le n°. io,que la considération seule de l'éloignement des points attirés , rend l'erreur de la supposition précédente , du même ordre que le quarré de ce rapport. Les corps célestes s'attirent donc à très-peu près , comme si leurs masses étoient réunies à leurs cen- tres de gravité , non-seulement parce qu'ils sont fort éloignés les uns des autres , relativement à leurs dimensions respectives ; mais encore parce que leurs figures diffèrent très-peu de la sphère. La propriété dont les sphères jouissent dans la loi de la nature , d'attirer comme si leurs masses étoiént réunies à leurs centres , est très-remarquable , et l'on peut être curieux de savoir si elle a lieu dans d'autres loix d'attraction. Pour cela , nous observerons que si la loi de la pesanteur est telle qu'une sphère homogène attire un point placé an-dehors , comme si toute sa masse étoit réunie à son centre ; le même résultat doit avoir lieu pour une couche sphéri- que d'une épaisseur constante ; car si l'on enlève à une sphère , une couche sphérique d'une épaisseur constante , on formera une nou- velle sphère d'un plus petit rayon , mais qui aura , ainsi que la pre- mière, la propriété d'attirer, comme si toute sa masse étoit réunie à son centre ; or il est évident que ces deux sphères ne peuvent avoir cette propriété commune, qu'autant qu'elle l'est encore à la couche sphérique qui forme leur différence. Le problême se réduit donc à déterminer les loix d'attraction suivant lesquelles une cou- che sphérique d'une épaisseur infiniment petite et constante , attire un point extérieur, comme si toute sa masse étoit réunie à son centre. Soit r la distance du point attiré au centre de la couche sphéri- que ; u le rayon de cette couche , et du son épaisseur. Soit 8 l'angle que le rayon u fait avec la droite r ; & l'angle que le plan qui passe par les deux droites r et u fait avec un plan fixe passant par la droite r ; l'élément de la couche sphérique sera ifclu.d'x. d9 . sin. S. Si l'on nomme ensuite /"la distance de cet élément au point attiré , on aura f1 = r1 — ■» 2 r u . cos. 9 -f u'. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. i4i Représentons par = — - — • ( 4 (r + m; — 4 (r — «; } . Le coefficient de dr , dans la différentielle du second membre de cette équation , prise par rapport à r, donnera l'attraction de la couche sphérique, sur le point attiré j et il est facile d'en conclure que dans la nature où p (f) — — , cette attraction est égale à i4a MÉCANIQUE CELESTE, ; c est-a-dire , qu elle est la même que si toute la masse de la couche sphérique étoit réunie à son centre ; ce qui fournit une nouvelle démonstration de la propriété que nous avons établie précédemment sur l'attraction des sphères. Déterminons maintenant ==à7r.uau. (r) + r U , U étant une fonction de u et de constantes , ajoutée à l'intégrale zit.fdr.

, puisqu'il est le même pour tons les points relativement auxquels ces deux variai blés sont les mêmes ; il ne renferme donc y- , qu'autant que / est fonction de cette variable ; ce qui donne fddV\_ iV /ddV\ r /dV\ l'équation (C) devient ainsi, , fddV\ /ddV\ , (dV\ d'où PREMIERE PARTIE, LIVRE II i45 cPoù l'on tire en intégrant , f=q> [r. cos. •sr-f r'. V — î.sin.w} +4{r'.cos.'a— r' . V — î.sin.'s-}; P (r) et A-(r') étant des fonctions arbitraires de ?•', que l'on pourra déterminer , en cherchant l'attraction du cylindre , lorsque w est nul , et lorsqu'il est égal à un angle droit. Si la base du cylindre est un cercle, /^sera évidemment une fonction de r, indépendante de ts ; l'équation précédente aux diffé- rences partielles deviendra ainsi , ce qui donne en intégrant, (dV\_ H_ -\J7'J- r' » /Tétant une constante. Pour la déterminer, nous supposerons r' extrêmement grand par rapport au rayon de la base du cylindre, ce qui permet de considérer le cylindre comme une ligne droite infinie. Soit ^4. cette base , et z la distance d'un point quelconque de l'axe du cylindre , au point où cet axe est rencontré par r'/ l'action du cylindre considéré comme concentré sur son axe , sera parallèlement à /-', égale à Âr'.dz +**' l'intégrale étant prise depuis z = — oo , jusqu'à z — oo ,• ce qui ré- duit cette intégrale à — j~i c'est l'expression de — ( — ) , lorsque r' est très-considérable. En la comparant àlaprécédente, onaiï== 2^/, et l'on voit que quel que soit /, l'action du cylindre sur un point *A extérieur , est — -, r Si le point attiré est au-dedans d'une couche cylindrique circu- laire, d'une épaisseur constante, et d'une longueur infinie 5 on a fdV\ H encore — ( — — J = — ,• et comme l'attraction est nulle , lorsque le point attiré est sur l'axe même de la couche , on a Ji~=o , et par conséquent, un point placé dans l'intérieur de la couche , est éga- lement attiré de toutes parts. Mécan. cél. Tome I. T i46 MÉCANIQUE CELESTE, l4. On peut étendre au mouvement d'un corps, les équa-" lions {^4), (B) et (C) du n°. 11 , et en tirer une équation de condition très-utile, soit pour vérifier les calculs de la théorie, soit pour vérifier la théorie même de la pesanteur universelle. Les équations différentielles (1) , (2), (3) du n°. g, qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M , peuvent être mises sous cette forme ; ddx_/dQ\ ddy_/dQ\ ddz__/dQ\ ~dF~\n) * ~dF'~\dj)' ~d?~\d^) ' '*' Q, , , M-\-m m' .(xx'-\-yy'-\-zz) à ., „ „ . étant égal a > 2 . -— 1- — .• et il est facile de r r3 m voir que l'on a si les variables x', y', z', x", &c. , que Q renferme , sont indépen- dantes des Xj y et z. Transformons les variables x, y, z , en d'autres plus commodes pour les usages astronomiques, r étant le rayon mené du centre de M à celui de m , nous nommerons v l'angle que la projection de ce rayon sur le plan des x et des y , fait avec l'axe des x; et 9, l'inclinaison de r sur le même plan ; on aura x = r. cos. 9 . cos. v ; y = r. cos. 9 . sin. v ; z = r. sin. 9. L'équation (E) rapportée à ces nouvelles variables, sera par le n°. 11, /ddQS si l'on multiplie la première des équations (i) , par cos. 9.cos.*>; la seconde, par cos. 9 «sin. Vj la troisième, par sin. 9 ; et si pour abréger, on fait ddr r.dv'1 „ r.db* M' = — ; — . cos.29- dt* dt1 uidf on aura, en les ajoutant , PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 147 Pareillement, si l'on multiplie la première des équations {i), par — r.cosJ.sin.v ; la seconde, par r.cos.9.cos.t>, et qu'ensuite on les ajoute , et que l'on suppose dt on aura 'M. Enfin , si l'on multiplie la première des équations (i) , par — r. sin. 9 . cos. v ; la seconde , par — r. sin. 9 . sin. v ; qu'on les ajoute à la troisième , multipliée par cos. 9 , et que l'on fasse _, ddd dv* . „ „ srdrdB P'=r\-- \-r\-r-. sin. 9. cos. 9+ ,- dt* dt* dt* ' on aura Les râleurs de r, v et 9 , renferment six arbitraires introduites par les intégrations. Considérons trois quelconques de ces arbitraires que nous désignerons par a, 6, cj l'équation M' — ("T- ) don- nera les trois suivantes : /ddO\ /dr\ /ddQ\ /dv\ /ddQ\ /dù\_/dM'\; \d~FJ' \d^)+\d7dv)'\d^)+\d7d~s)' \da)~\~da~) /ddQ\ /dr\ /ddQ\ /dv\ /ddQ\ Zd6\_/dM\ \~dVj' \d^)+\d7I^)\db)+\dJI&)' \db)~~\dT)' /d dQ\ /dr\ /ddQ\ /dv\ /ddQ\ /dè\__/ dM'\ \dV)\Tc)+\dTIv)' \Tc)+\d7d~ù)'\d'c)~~\dVJi On tirera de ces équations , la valeur de (-7-7-) » et si l'on fait -\7b)'\Tc)~\d~c)'\db); _fdv\ /dê\ /dv\ /di\ ~\d~c)' \da)~ \âa)' \dc/; /dv\ /dè\ /dv\ /d&\ \d~a ) ' \Tb )~~\db ) ' \da ) ' T2 m n i48 MÉCANIQUE CÉLESTE, _/dr\ fdv\ /d$\ /dr\ / dv\ / d&\ C-\d~a)' \db )' \7c)~~\da)' \Tc)' \db) /dr\ /du\ /dê\ /dr\ (4v\ /'«MA + \Tb)' \d~c)'\fa)~\db)' \d~a)'\d~c) /dr\ /dv\ /d$\ /dr\ /dv\ /dt\ + \Jc)' \d~aj' \Tb)~\Tc)'\Tb)'\Ta)' on aura M /ddQ\ /dM'\ /dM'\ /dM'\ Si l'on fait pareillement , fdf\ /dù\ /dr\ fdb\ m={Tc)-{db)-{db)'{7c)> ,__/dr\ /dè\ /dr\ /dè\ " -\da)'{Tc)~\Tc)'\da)t ,_(dr\ /dê\ /dr\ fdè\ P ~\Jb)'\Ta)~\da)'\dbJ' l'équation JV= ( -7— j , donnera Enfin , si l'on fait , /<*r\ fdv\__fdr\ (dv\ ~\db)'\d~c) \Tc)'\db)' t~\dc)'\da) \da)'\dc)' P/' = {d~aJ'\7b)~\Tb)'{d~a)> ^équation P'= [-rf), donnera L'équation (F) deviendra ainsi , m"- n PREMIERE PARTIE, LIVRÉ II i49 o ==m.^cos.28. f— J + ttr4. cos.2 fl.f —— J+p.ra.coS.a9.f — — J + ^.cos^.Q WW9.Q+^cos.*8.(^) + £. {2 rM'. cos/8 — P'.sin. 8. cos. §}. Dans la théorie de 1a lune , on néglige les perturbations que sou action pi'oduit dans le mouvement relatif du soleil autour de la terre , ce qui revient à regarder sa masse comme infiniment petite. Alors les variables x', y', z', relatives au soleil , sont indépendantes de x , y , z , et l'équation (G) a lieu dans cette théorie ; il faut donc que les valeurs trouvées pour r, v et 8 , y satisfassent, ce qui donne un moyen de vérifier ces valeurs. Si les inégalités observées dans le mouvement de la lune, sont le résultat de l'attraction. mu- tuelle de ces trois corps , le soleil, la terre et la lune, il faut que les valeurs de r , v & 8 , tirées des observations , satisfassent à l'équa- tion (G), ce qui donne un moyen de vérifier la théorie de la pesanteur universelle ; car les longitudes moyennes de la lune , de son périgée , et de son nœud ascendant , entrent dans ces valeurs , et l'on peut prendre pour « , b, c , ces longitudes. Pareillement , si dans la théorie des planètes , on néglige le quarré des forces perturbatrices , ce qui est presque toujours per- mis ; alors , dans la théorie de la planète dont les coordonnées sont x, y , z , on peut supposer que les coordonnées x', y', z', x", &a des autres planètes , sont relatives à leur mouvement elliptique , et par conséquent, indépendantes de x,y, s; l'équation (G) a donc encore lieu dans cette théorie. 1 5 . Les équations différentielles du n°. précédent , ddr r.dv" . dî .cos dt* dV- dH* /dQ\ •"8-r-^=(l7)-- 7 f dv \ o. r2— . cos.sS ) dt ddb . dv* . , . zrdr.dQ dt* + r\ — .sm. 8. cos. 9-1 ; - = [-—). de r dt* \dû ) .i5o MECANIQUE CELESTE, ne sont qu'une combinaison des équations différentielles (i) du même n°. , mais elles sont plus commodes , et plus adaptées aux usages astronomiques. On peut leur donner d'autres formes qui peuvent être utiles dans diverses circonstances. Au lieu des variables r et 9 , considérons celles-ci u et s, u étant égal à , ou à l'unité divisée par la projection du rayon vec- teur , sur le plan des x et des y ,• et s étant égal à tang. 9 , ou à la tangente de la latitude de m au-dessus du même plan. Si l'on mul- tiplie la seconde des équations ( H) par r*d v . cos.2 9 , et qu'ensuite , on l'intègre ; on aura / dv \* , r(d Q\ dv h étant une constante arbitraire ; on a donc dv Si l'on ajoute la première des équations (H) multipliée par — cos,9 , , . ., . ,. sin.fl a la troisième multipliée par — — , on aura dv1 d'où l'on tire u i dv* 7dQ\ /dQ\) dV u dV \duj ' X,dsJ) * \u?dtj u dt \\duj u \dsj En substituant pour dt, sa valeur précédente, et regardant du comme constant , on aura ddu O = -r- + U + /dQ\ du /dQ\ s /dQ\ dv* ' "~ ' \dvj°u*dv \du) u'\ds) ~ r/dQ\ d~v ' La troisième des équations (JE?) deviendra de la même manière, en y traitant dv comme constant, dds ds d v* dv PREMIERE PARTIE, LIVRE II. i5i. On aura donc, an lieu des trois équations différentielles (H), les suivantes : dv di = u"'\/ A2 + 2 dQ\ dv dv _ddu /dQ\ du fdQ\ s fdQ\ ~ dv* \dv)'uc'dv \duj u'\dsj ■m dds as dv* dv Si l'on veut éviter les fractions et les radicaux ; on pourra donner à ces équations , la forme suivante : ddt s du dt ° — ~yr+ — tt + u dv* udv. /dQ\ dts \d~v~) ' dv^ ' •=(£+»Mi+M£)-£} ! UdQ\ du fdQ\ s_ fd_Q\} + h~* * \\dv~J' u*dv~~\du)~ u' \ds) J > K > i Cas /dQ\ /dQ\ /dQ\) h*.u* [dv \dvj \duj K \ds ) ) En employant d'autres coordonnées , on formeroit de nouveaux systèmes d'équations différentielles : supposons , par exemple, que l'on change les coordonnées x et y, des équations (/') du n°. i4, en d'autres relatives à deux axes mobiles situés sur le plan de ces coordonnées , et dont le premier indique la longitude moyenne du corps m, tandis que le second lui-est perpendiculaire. Soient x/ etyt les coordonnées de m , relativement à ces axes , et désignons par i5a MÉCANIQUE CÉLESTE, 7i t+i, la. longitude moyenne de m, ou l'angle que l'axe mobile des xt fait avec l'axe des x ; on aura x — xrcos.(nt-{-i) — JVsin. (nt+t) ; y — xrsm.(nt+t) +y/.cos.(nt-\-i) ; d'où l'on tire , en supposant dt constant, ddx . cos. (nt + *) + ddy . sin. (nt + 1) = ddx/ — n'x/ . dt1 — 3 'ndy, . dt ; ddy. cos, (nt+ 1) — ddx. sin. (nt+ 1) = ddy y — nyrdf + 2 ndxrdt. En substituant dans Q, au lieu de x et de j/, leurs valeurs précé- dentes ; on aura (■^)=(^)-sin^^+s;+(jf)-c°s-r^+5^- Cela posé, les équations différentielles (i) donneront les trois sui- vantes : 0= — n x de- 0 = c^f2 d' 3 /d 0\ 0 ~ 17 "~ v^ry » Après avoir donné les équations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leur attraction mutuelle, et après en avoir déterminé les seules intégrales exactes que l'on ait pu obtenir jusqu'à présent; il nous reste à intégrer ces équations , par des approximations successives. Dans le système solaire , les corps célestes se meuvent à-peu-près , comme s'ils n'obéissoient qu'à la force principale qui les anime, et les forces perturbatrices sont peu considérables ; on peut donc , dans une première approxima- tion, ne considérer que l'action mutuelle de deux corps, savoir, celle d'une planète ou d'une comète et du soleil , dans la tliéorie des planètes et des comètes ; et l'action mutuelle d'un satellite et de sa planète , dans la théorie des satellites. Nous commencerons ainsi par PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. i53 par donner une détermination rigoureuse du mouvement de deux corps qui s'attirent : cette première approximation nous conduira à une seconde dans laquelle nous aurons égard à la première puissance des forces perturbatrices ; ensuite , nous considérerons les quarrés et les produits de ces forces; en continuant ainsi , nous déterminerons les niouvemens célestes avec toute la précision que les observations comportent Micm cél. Tome 1. i54 MÉCANIQUE CÉLESTE, CHAPITRE III. Première approximation desinouvemens célestes , ou théorie du mouvement elliptique. lu. JN ods avons déjà fait voir dans le premier Chapitre, qu'un corps attiré vers un point fixe , par une force réciproque au quarré de la distance , décrit une section conique ; or dans le mouvement relatif du corps m autour de M, ce dernier corps étant considéré comme en repos , il faut transporter en sens contraire à m , l'ac- tion que m exerce sur M. ; ainsi, dans ce mouvement relatif, m est sollicité vers M , par une force égale à la somme des masses M. et m , divisée par le quarré de leur distance ; le corps m décrit donc une section conique autour de M.. Mais l'importance de cet objet dans la théorie du système du monde , exige que nous le reprenions sous de nouveaux points de vue. Pour cela, considérons les équations (X) du n°. i5. Si l'on fait M + m— j" , il est visible , par le n°. i4 , qu'en n'ayant égard qu'à l'action réciproque de M. et de m, Q est égal à -, ou à * \/ifss3 les équations (K) deviennent ainsi, dv dt = h.u- ddu o= — \ru — dds i > dv* L'aire décrite pendant l'élément de temps dt , par la projection du dv rayon vecteur, étant égale à \-~ ; la première de ces équations nous apprend que cette aire est proportionnelle à cet élément , et PREMIERE PARTIE, LIVRE IL i55 qu'ainsi, dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps, La dernière équation donne en l'intégrant , s = y . sin. (p — 9) , y et 9 étant deux arbitraires. Enfin, la seconde donne par son intégration ^ ri/ — \ ■ /• m V^i+ss v=hI(l+ry{V.i+ss + ecos. (*—*)} = ; e.et tf étant deux nouvelles arbitraires. En substituant dans cette expression de u , au lieu de s , sa valeur en v , et substituant en- dv suite cette expression , dans l'équation dt= - — - ; l'intégrale de cette équation donnera t en fonction de v > on aura donc ainsi v, u et « , en fonctions du temps» On peut simplifier considérablement ce calcul , en observant que la valeur de s indique que l'oi'bite est toute dans un plan dont y est la tangente d'inclinaison sur le plan fixe , et dont 9 est la longi- tude du nœud, comptée de l'origine de l'angle v. En rapportant donc à ce plan, le mouvement de m ; on aura 5=0 et > = o, ce qui donne u=-= — . {i4-e.cos.(V — **)}* Cette équation est à une ellipse dans laquelle l'origine des r est au h1 foyer : est le demi-grand axe que nous désignerons par as (A.(i — e*) e est le rapport de l'excentricité au demi-grand axe ; enfin, m est la dv . . . longitude du périhélie. L'équation dt= - — -, devient ainsi , i L a1 .(1 — &)■>■ .dv dt- \Z~y-. {i+e.cos.(V — '&)}* Développons le second membre de cette équation , dans une série de cosinus de l'angle v — -w, et de ses multiples. Pour cela, nous commencerons par développer — ■ , clans une série •■■ * i+e.cos.(u — — v)-\-E^\cos.2(v— <*)+EW.cos.o(p— v)+&c.}; on aura , quel que soit i , (l + ^ ! _ è*J' ' le signe + ayant lieu , si i est pair , et le signe — ayant lieu , si i est _i impair; en supposant donc n = a * . j//*, on aura ndt-=dv.{i + E^.cos.(p~^) + E^.cos.2(v—^) + E^.cos.5(v—^)+ &c.}/ et en intégrant, nt + % — v + &'>.Bm.(i>— <*) + 1, EW. sin. 2(>— •; + i. £<3>. sin. 5(V— •; + &c. PREMIERE PARTIE, LIVRE IL i57 « étant une arbitraire. Cette expression de nt+z est fort conver- gente , lorsque les orbites sont peu excentriques , telles que les orbites des planètes et des satellites ; et l'on peut , par le retour des suites , en conclure la valeur de v en t : nous nous occuperons de cet objet , dans les nos. suivans. Lorsque la planète revient au même point de son orbite , v est augmenté de la circonférence que nous représenterons toujours par &w ,• en nommant donc T le temps d'une révolution , on aura 2 „ 27T QT.a* n \/~Jj. Cette expression de T" peut être immédiatement déduite de l'ex- pression différentielle de d t, sans recourir aux séries. Reprenons en effet, l'équation dt = - — -, ou dt = — r— . Elle donne T~—t—; -*■ h.u* h h Jr*dv est le double de la surface de l'ellipse , et par conséquent $ il est égal à înr.cf. \/ 1 — e%- de plus , h? est égal à pa.(i — é*)j on aura ainsi la même expression de T que ci-dessus* Si l'on néglige les masses des planètes , relativement à celle du soleil, on a v/f* = '\Z~M; la "valeur de j/T* est alors la même pour 2 toutes, les planètes ; T est donc proportionnel alors à a% et par conséquent , les quarrés des temps des révolutions , sont comme les cubes des grands axes des orbites. On voit que la même loi a lieu dans le mouvement des satellites, autour de leur planète i en négligeant leurs masses relativement à celle de la planète. 1 H . On peut encore intégrer de cette manière , les équations du mouvement de deux corps M et m , qui s'attirent en raison réciproque du quarré des distances. Reprenons les équations (i), (2) et (5) du n°. 9; elles deviennent, en ne considérant que l'ac- tion des deux corps Met m, et faisant M + m = y. , ddx [j. . x ddy /j. . y dt* r° (0) ddz (J. . 2 i58 MÉCANIQUE CÉLESTE, Les intégrales de ces'équations donneront, en fonctions du temps ti les trois coordonnées x,y,z, du corps m, rapportées au centre de M : on aura ensuite , par le n°. 9 , les coordonnées (* , n et y du corps M, rapportées à Un point fixe , au moyen des équations 5 M+m M-\-m M-J-rra Enfin , on aura les coordonnées de m , par rapport au même point fixe , en ajoutant x à r2 fi a' p. cette équation donnera r en fonction de t ; et comme x,y, z sont donnés par ce qui précède , en fonctions de r; on aura les coor- données de rp, , en fonctions du temps. lo. On peut parvenir à ees diverses équations , par la méthode suivante qui a l'avantage de donner les arbitraires , en fonctions des coordonnées at, y , z , et de leurs premières différences ; ce qui nous sera très-utile dans la suite. Supposons que V~— constante , soit une intégrale du premier ordre PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 161 dx ordre des équations ( O ) , T^ étant fonction de x , y , z , -—- , — , — : nommons x', y' , z' ces trois dernières quantités. L'équa- G Z Q- Z lion f^= constante , donnera par sa diflerentiation , fdV\ dx fdV\ dy /dV\ dz fdV\ dx fdV\ dy' fdV\ dz' Ht _A-(^)} MécAN. cél. Tome I. X x &c. •i(^) i6-2 MECANIQUE CELESTE, L'intégrale de la première de ces équations est , comme l'on sait parla théorie des équations à différences partielles, U' — £onct.{xy' — yx' , xz' — zx' , yz' — zy' , x,y,z). La valeur de V devant être linéaire en x\ y', z' ; nous la suppose rons de cette forme ; U' = ^.{xy'—yx'}+B.(xz'—zx') + C.(yz'—zy); jâ , B , C étant des constantes arbitraires. Arrêtons ensuite la valeur de V au terme U", en sorte que U'", Uir, &e. soient nuls ; îa troisième des équations (2') deviendra , /dv'\ , fdu'\ > (dv'\ La valeur précédente de U' satisfait encore à cette équation. La qua- trième des équations (/') devient , fdU"\ , fdU"\ , (AU"\ équation dont l'intégrale est U" = fonct. { xy' — y x' , xz'— zx' , y z1 — zy , x',y' z } . Cette fonction doit satisfaire à la seconde des équations (I1), et le premier membre de cette équation multipliée par dt , est évidem- ment égal à dU; le second membre doit clone être la différentielle exacte d'une fonction de x>y, z. Or il est facile de voir que l'on satisfait à-la-fois , à cette condition , à la nature de la fonction U", et. à la supposition que cette fonction doit être du second ordre en x', y', z' $ en faisant U"= (D y— JE. *'; . (xy'—y x') + (D z'— Fx') . (x z'— z x') + (Ez'—Fy).(yz'-zy) + G.(x'3+y> + z"); D, E, F, G étant des constantes arbitraires ■ et alors r étant égal à V xù+?* + z*, on a U= — -.{Dx + Ey + Fz + 2G); on aura donc ainsi les valeurs de U, U\ U"; et l'équation V= cons- tante , deviendra PREMIERE PARTIE, LIVRE IL i63 eonst. = — -.{Dx-\-Ey + Fz + 2G}+(^4+ Dy'—Ex) . (xy'—yx1) + (B + Dz'—Fx) . (xz'—zx') + (C+ Ez'—Fy') . (yz'—zy) + G.(x'*+y> + z"), Cette équation satisfait à l'équation ( I) , et par conséquent aux équations différentielles ( O ) , quelles que soient les arbitraires ^£, B , C, D, E, F, G. En les supposant toutes nulles, i°. à l'exception de A; 2°. à l'exception de B; 5°. à l'exception de C, &c. , dx dy dz > et restituant — , — , — , au lieu de x',y , z'; on aura les intégrales xdy — y dx f xdz — zdx . ydz — zdy °~ Tt '.'" c== Tt > c= — Tt — ' 0 = f+xV±_ (&+**X\ , yày-dx '*fc.â»:. U V dt* )) df d? ' Q — f±.v (^ /dx"-+dz>\] xdx.dy zdz.dy \ _ (p o =F+z. f - — (dx*+df\\ ■ xdx-dz ,ydy-dz dV- dtx u s « dx*4- dy*+ dz* 0= ■ — [ f a r dtx c , c, c", f, f , f", et a étant des constantes arbitraires. Les équations différentielles ( O) ne peuvent avoir que six inté- grales distinctes du premier ordre, au moyen desquelles, si l'on éli- mine les différences dx, ày, dz , on aura les trois variables x , y, z , en fonctions du temps t ; il faut donc qu'au moins, l'une des sept intégrales précédentes rentre dans les six autres. On voit même à priori , que deux de ces intégrales doivent rentrer dans les cinq autres. En effet , puisque l'élément seul du temps entre dans ces intégrales ; elles ne peuvent pas donner les variables x „ y , z , en fonctions du temps , et par conséquent , elles sont insuffisantes pour- déterminer complètement le mouvement de m autour de M. Examinons comment ces intégrales n'équivalent qu'à cinq inté- grales distinctes, zdy- — ydz Si l'on multiplie la quatrième des équations (F) par — , 1-64 MÉCANIQUE CÉLESTE, et qu'on l'ajoute à la cinquième multipliée par — ,; on aura (xiy — ydx\ ( xdx . dz ydy . dz ") Jt )' { de + dr y _, . xdy — ydx xdz — zdx ydz — zdy En suostituant au lieu de — , — , ; , , leurs dt dt dt valeurs données par les trois premières des équations (P); on aura jj'c'—fc" ( f* /dx*-\- dy*\} xdx.dz ydy.dz O: c (y. /cte2+dyi\") xdx.dz ydy.< +z-\7-\—dF-)] + -dF-+-dT* Cette équation rentre dans la sixième des intégrales (P) , en y fai- f'c'—fc" sant/,//=; — . j ou, o=fc" — f'c +f"c. Ainsi la sixième des intégrales ( P ) résulte des cinq premières , et les six arbitraires c, c', c", f, f, f", sont liées entre elles par l'équation précédente. Si l'on prend les quarrés des valeurs de y, f',f", données par les équations (P) , qu'ensuite on les ajoute ensemble, et que pour abréger , on fasse f" -\-f'i +f"1 = l*j on aura l~ — fr : f / dx*+ dy*+ dz* \ /rdr\* j j" dx*+ dy*+ dz* sft 1 Y\ d? )~\dlj)' l d? TjJ' mais si l'on carre les valeurs de c , c\ c", données par les mêmes équations, qu'ensuite on les ajoutent que l'on fasse c1 -f- c'3 + c"s=A%- on aura 'dx'+tiyi-f't T . dt l'équation précédente devient ainsi , -)_(-)• = ,, daf-\- dy*-\-dz* 2(A /*» — l* dt* r h* En comparant cette équation , à la dernière des équations (P); on aura l'équation de condition , l*? — P p. A1 a' La dernière des équations (P) rentre conséquemment dans les six PREMIERE PARTIE, LIVRE II i65 premières qui n'équivalent elles-mêmes qu'à cinq intégrales dis- tinctes , les sept arbitraires c , c', c", f, f\ f", et a étant liées par les deux équations de condition , précédentes. De-là il résulte que l'on aura l'expression la plus générale de p^, qui satisfasse à l'équa- tion (I) , en prenant pour cette expression , une fonction arbitraire des valeurs de c , c', c",f, etf, données par les cinq premières des équations (P). lu. Quoique ces intégrales soient insuffisantes pour détermi- ner x , y , z, en fonctions du temps ; elles déterminent cependant la nature de la courbe décrite par m , autour de M. En effet, si l'on multiplie la première des équations (P) pars, la seconde par — y, et la troisième par se ; on aura , en les ajoutant , o — cz — c'y + c"x , équation à un plan dont la position dépend des constantes c, c', c". Si l'on multiplie la quatrième des équations (P_) par x ; la cin- quième par y , et la sixième par z , on aura mais on a par le n°. précédent , /dx*+dy*+dz*\ f.'dr* r*\ dî> ) ~~ ~dF~ = h^ partant, o = nr—h*+fx+fy+f"z, Cette équation combinée avec celles - ci , o = c"x — c'y + cz ; r2 =xi+yî+z:'; donne l'équation aux sections coniques, l'origins des t étant au foyer. Les planètes et les comètes décrivent donc à très-peu près autour du soleil, des sections coniques dont cet astre occupe un des foyers , et ces astres s'y meuvent de manière que les aires décrites par les rayons vecteurs , croissent comme les temps. En effet , si l'on nomme dv , l'angle infiniment petit, inter- cepté par les rayons r et r+dr , on aura dx* + dy* + dz' = r*dv" + dr* / l'équation /dx*+dy*+dz*\ r^.dï* r\—^ ) dïr = h^ i66 MÉCANIQUE CÉLESTE, deviendra ainsi, r^dv'1 = fcdf; partant , hdt aç = — . Y1 On voit par-Ià , que l'aire élémentaire jj^dv, décrite par le rayon vecteur r , est proportionnelle à l'élément de temps dt; l'aire dé- crite pendant un temps fini, est donc proportionnelle à ce temps. On voit encore , que le mouvement angulaire de m autour de M, est, à chaque point de l'orbite, réciproque au quarré du rayon vec- teur 5 et comme on peut , sans erreur sensible , prendre des inter- valles de temps très-courts , pour des instans infiniment petits ; on aura, au moyen de l'équation précédente, les mouvemens horaires des planètes et des comètes , dans les divers points de leurs orbites. Les élémens de la section conique décrite par m , sont les cons- tantes arbitraires de son mouvement ; ils sont par conséquent fonctions des arbitraires précédentes c , c, s. 9 — x. sin. 9, On a d'ailleurs z=y'. tang. ce qui détermine la position du grand axe de ïa section conique. „• 1 „, • /dx*+dy>+dz*\ r*dr* ■ - , Si de lequation . r . I — j ^7— = A3 , on élimine -^ , au moyen de la dernière des équations (Jr ) 5 on aura 2> r- — — — - = h* ; a dt* mais dr est nul aux extrémités du grand axe -} on a donc à ces points , a. h1 o — r* — 2sr+- La somme des deux valeurs de r dans cette équation , est le grand axe de la section conique , et leur différence est le double de l'ex- centricité ; ainsi , a est le demi-grand axe de l'orbite , Ou la dis- tance moyenne de m à M ■> et |/ 1- est le rapport de l'ex- centricité au demi grand axe. Soit é>, ce rapport- on a, par le n°. pré- cédent, 1 ~~F~ * 168 MECANIQUE CÉLESTE, on aura donc (■<■ e — l. On connoîtra ainsi , tous les élémens qui déterminent la nature de la section conique , et sa position dans l'espace. lOa Les trois équations finies trouvées dans le n°. précédent , entre x , y , z et r, donnent x , y , z en fonctions de r ; ainsi , pour avoir ces coordonnées en fonctions du temps , il suffit d'avoir le rayon vecteur r, dans une fonction semblable, ce qui exige une nouvelle intégration. Pour cela, reprenons l'équation fj.r2 r*fdr* on a , par le n°. précédent, h* == —, (>s— /M = op. (i — e*) ; M- on aura donc rdr \fî^, \s 2 7- a.(i— e"~) Pour intégrer cette équation, soit ?- — a.(i — e.cos.u) ; on aura l a* .du dt= — ■=-,(! — e l'angle que le rayon vecteur r fait arec le grand axe; en partant du périhélie ; l'équation à l'ellipse sera a:(i — è*) r = 1 + e.cos.v L'équation r=a.(i — e.cos.u), du n°. précédent, indique que u est nul au périhélie , en sorte que ce point est l'origine des deux angles u et v ; et il est facile de s'assurer que l'angle u est formé par le grand axe de l'orbite , et parle rayon mené de son centre, au point où la circonférence décrite sur le grand axe comme dia- mètre , est rencontrée par l'ordonnée menée du corps m , per- pendiculairement sur le grand axe. Cet angle est ce que l'on nomme anomalie excentrique , et l'angle v est Y anomalie vraie. En com- parant les deux expressions de r , on a 1 — e.cos.w = - 1 -f- e . cos.v ' d'où l'on tire tang. Ip= Vf - — -. tang. \ u. Si l'on fixe l'origine du temps t , à l'instant même du passage du corps m, par le périhélie , T"sera nul ; et en faisant pour abréger l/7* — j-= n, on aura , nt=u — e. sin. u. En rassemblant ces équations a* du mouvement de m , autour de M >■ on aura nt= u — e.sin.w r = a. (1 — e. cos. u) tang.^= |/ i-Atang.f (f) u l'angle n t étant ce que l'on nomme anomalie moyenne. La pre- mière de ces équations donne u en fonction du temps t , et les deux autres donneront r et v, lorsque u sera .déterminé. L'équation entre u et t est transcendante , et ne peut être résolue que par approximation. Heureusement, les circonstances desroouvemens célestes donnent lieu à des approximations rapides. En effet, les Mécan, cél. Tome 1. Y i7o MÉCANIQUE CÉLESTE, orbes des corps célestes sont ou presque circulaires , ou fort excen^ triques , et dans ces deux cas , on peut déterminer uen t, par des formules très-convergentes que nous allons développer. Pour cela, nous donnerons sur la réduction des fonctions en séries , quelques théorèmes généraux qui nous seront utiles dans la suite. 1 1 . Soit u une fonction quelconque de a. , que l'on propose de développer par rapport aux puissances de u . En représentant ainsi cette suite , u=w-\-a..ql + cL\q:l-\-a?.qTi + a\qn + a.u+l .qn+l + &c. u , qz , q„ , &c. , étant des quantités indépendantes de a. ; il est clair que u est ce que devient u , lorsqu'on y suppose a = o, et que l'on a quel que soit n , /d"u\ /d"u\ la différence ( — ) étant prise en faisant varier tout ce qui dans u doit varier avec «. Partant, si l'on suppose après les différentiations , * — o , dans l'expression de ( — - — J ; on aura /d"u\ \&) ** 1.2.3..-.»' Si u est fonction des deux quantités a et a', et que l'on propose de le développer par rapport aux puissances et aux produits de * et de a! $ en représentant ainsi cette suite , u=u+ct.qlta + a.\qt 0+ &a + ct'.q0,l + a.a.'.qt!l+ &C le coefficient qn t n>> du produit a". «.'"', sera pareillement égal à / d"-i-n'u \ \ dcS.d-x"1' ) i . a 1 3 ■ - - . n i 1.2.3. . . . ri a. et et' étant supposés nuls après les différentiations. En général , si u est fonction de a, a', a!' , &c. , et qu'en le développant dans une suite ordonnée par rapport aux puis- PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. i7i sauces et aux produits de a, «.', a", &c. , ou représente par Àl.a!n' ,ct'n" . &c. qn , „-, re", &c. , le terme de cette suite quia pour facteur, le produit a", a."1' '.a!",n. &c. ; on aura W6t».d*'*'.d*/''n'/.&c7 * 1 .2>3- - ■ ■«< 1 .2.3- ■ ■ -Tl ■ i. 1.2.0 •n - &C. pourvu que l'on suppose a, a', a.", Sec. , nuls après les différentia- tions. Supposons maintenant que u soit fonction de a , a', a", &c. , et des variables {,(', t", &c. ; si par la nature de cette fonction , ou par une équation aux différences partielles qui la représente , on parvient à obtenir \du.".da.'"'.&.c.JP en fonction de u, et de ses différences prises par rapport à t, £', &c. ; en nommante cette fonction, lorsqu'on y change u dans u,u étant ce que devient u , lorsqu'on y suppose a. , a', &c. , égaux à zéro ; il est visible que l'on aura qn , „,' , &c. , en divisant F par le produit 1.2.5. ... re. 1.2.5. .. .n'. &c; on aura donc la loi de la série dans laquelle u est développé. Soit d'abord u égal à une fonction quelconque de 1 4- <* , t' 4- a'r £" + &", &c. , que nous désignerons par ".&_c.) ~~ \dtn.dt'll'.dt""".&^)' En changeant dans le second membre de cette équation,//! en u, c'est-à-dire, en 9(t, t', t", Sac.) ; on aura, par ce qui précède, (&*■"■' ,+*r'-+te. .u,(t, t", t", &c.A __ Y dtn,dt'"'.dt"n".&:c. / q» , *' n", ».. — L2.3....,,, !. 2. 3. ...„'. x.a.3. . . . 7' . &è." Y 2 172 MECANIQUE CELESTE; Si u est seulement fonction de t + & , on aura __ d".*(t) qn~ i.a.3.... n.dv' partant , , d.z(t) o.\ d^z(t) a.3 d3.z(t) Supposons ensuite que u, au lieu d'être donné immédiatement en « et t, comme dans le cas précédent, soit une fonction de x, x étant donné par l'équation aux différences partielles , ( — - J = z . ( — ] , dans laquelle z est une fonction quelconque de x. Pour réduire u dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de a. , il faut (A- u\ déterminer la valeur de (y-;) dans le cas de a.~o; or on a, en vertu de l'équation proposée aux différences partielles, /du\_/du\ /dx\_ /du\ fdx\ \dl) _ \dx) ' \dû) ~ Z ' \d^J ' \dl) ' on aura donc En différentiant cette équation par rapport à a. , on aura (ddu\ /dd.fzdu\ dlKj = \ dxdTJ ' or l'équation (/£) donne en y changeant u en fzdu, (d.fzdu\ /d.fz*du\ du, ) ~ \ dt )' partant /ddu\ /dd.fz*du\ \dUj ~ \~~dF~f En différentiant encore par rapport à a. , on aura /d3u\ _ (d?.z>du\ \d73) ~ ~ \ d-j.dr ) * or l'équation (£) donne en y changeant u enfz'du, / d.; z*du\ / d./z3du\ \~dï~) = V~d7~)i PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. i75 partant /d'u\ /d3Jz3du\ \d73) ~ \ di> )" En. suivant ce procédé , il est aisé d'en conclure généralement, /d"u\ /d".fz"du\ \dl?) ' ' V d~t" ) df~' Supposons maintenant, qu'en faisant a. = o, on ait x = T, Tétant une fonction de t ; on substituera cette valeur de x, dans z et dans u. Soient Z et u , ce que deviennent alors ces quantités ; on aura dans la supposition de « = o, du /d"u\ te/- d,-1.Z\- , dt dt"-' et par conséquent , on aura , par ce qui précède , d-.Z\% dt 9n==i.a.3....n.dr-> ' ce qui donne ■ ". d.(z>.f) 3 *.(Z>.P) _ du &E V dt) a? \ dt) „ u = u+*Z.- + — . — ^ ^+ -. V - + &c.; (p) dt i.2 dt i.2.3 dt" t\rJ Il ne s'agit plus maintenant que de déterminer la fonction de t et de a , que x représente ; en intégrant l'équation aux différences partielles ( — J = z ( — — J. Pour cela , on observera que en substituant au lieu de f — J , sa valeur z. ( — — J , on aura dx=(çr)- {dt+zda}=(^y{d.(t+aZ)-cl(^ydx}r on aura donc (^).d.(t+*z) dx = ï-d +«'. U \ ( \d*dcL'J J \dc<.".dc7^J ' ' V df-'-dt'"'-1 y ' pourvu que l'on fasse a. et <*' nuls après les différentiations , et que de plus , on suppose dans le second membre de cette équation , X = . "En suivant ce raisonnement , il est facile d'en conclure que si l'on a les ?• équations , X = ç(t+a.z) • X'=l(t' + «'z') ; x"=n(t"+*''z"); &c. z , z', z", &c. , étant des fonctions quelconques de x, x', x", &c; si l'on suppose u fonction des mêmes variables ; on aura générale- ment (Jn+=M-n//+&c.->/ ] L ' yda.da.'.dc/'.&c.) 1.2.3... n. 1. 2.3... n'.i.2.3.n".&c.dt"->.dti»'-1.dt'"''/-i.&c^ 176 MÉCANIQUE CÉLESTE, pourvu que dans la différence partielle ( - — -, , , ) , ou change 1 u r \d«..d-j.'. du.". Sec./' ° z en z", z en z'n' , &c. , et qu'ensuite on change, z en Z , 2' en 2', 2" en Z", &c. , & u en u. S'il n'y a qu'une variable #, on aura \d*) \dt)' partant ^" 1.2.3... n. dt"-1 S'il y a deux variables a: et x ' ; on aura (du\ /du\ lû)=z'\dl); en différentiant cette équation par rapport à *', on aura (ddu \ [ dz\ / du\ /ddu \ or on a (3-7) — -'•("rr) > e* en changeant dans cette équation, Keur'ona(È)=z'{5)idonc , /dîN / du\ '\d?)\dtf En supposant dans le second membre de cette équation , « et «.' nuls , et en y changeant a en Z'1, z en .Z' "', et u en u ; on aura la valeur de ( - — r— ), dans les mêmes suppositions : ce qui donne \d*.d«. J ^•■m-m 1.2.3 n- de1—1. 1.2.3 ri. dt'*'-1 En , * ■ , ^ .,, * . eZ d. (■i.'fnt). sin* lit) 1.2 ndt + l^ ; -+ &C, : (g) 1.2.3 n.-'rff 4' r»0 étant égal à — . Pour développer cette formule, nous observerons que c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité , on a -p= ) ; cos.' nt — [ ) ; ay/^-i / V 2 / i étant quelconque. En développant les seconds membres de ces équations, et en substituant ensuite, aulieu decmU)/~' et dec~muy^\ leurs valeurs cos. rnt-\-\/~^—\.s>ïn.rnt, et cos. rnt — \Z~^-i.sin.rnt, r étant quelconque ; on aura les puissances i de sin.zz t, et de cos. n t, développées en sinus et cosinus de l'angle nt et de ses multiples j cela posé , on trouvera sin. nt-\ sin.' nt-\ ..sîa.3 nt-\ .sin.* rc£+ &c. 1 • a 1 .2 . 3 1 .2.3.4 BIécan. cél. Tome I. Z 178 MECANIQUE CELESTE, sm. nt . {cos. 2 nt — 1) {sin. ont — 3. sin. ni} e 1.2.2, 1 .2.3-22 e3 f 4.3) 4 -. < cos. ^nt — 4. cos. 2nt + ~. — > 1.2.3 -4-s J l i-sj H — . { sm.btit — 5. sin. ont-\ .sm.nt > 1.2.3.4.5.24 [ 1.2 J e5 f „ , a . 4 , 6.5 . G. 5-4] . , „ „ r. i COS. D7ZÊ— b.cos.4?zH . COS. 2 7Z£ — -. } 1 .2. 3. 4. 5. 6. 25 [ 1.2 * 1.3.3J — &c Soit P cette fonction ; on la multipliera par <\.'(n t) , et l'on diffé- rentiera chacun de ses termes , par rapport à t, un nombre de fois indiqué par la puissance de e qui le multiplie , dt étant supposé constant; on divisera ces différentielles, par la puissance corres- pondante de ndt. Soit P' la somme de ces différentielles ainsi divi- sées; la formule {q) deviendra 4(u) = 4(nt) + eP\ Il sera facile d'obtenir par cette méthode, les valeurs de l'angle u, et des sinus et cosinus de cet angle et de ses multiples. En suppo- sant, par exemple, 4 (u) — sin. iu ; on aura -^ (nt) == i.cos. int. On multipliera la valeur précédente de P , par i. cos. int, et l'on développera ce produit , en sinus et cosinus de l'angle n t et de ses multiples. Les termes multipliés par les puissances paires de e, seront des sinus , et les termes multipliés par les puissances im- paires ; seront des cosinus. On changera ensuite un terme quel- conque de la forme K.e*r .sin.sn t; dans d=Ke".s*' sin. sn t, le signe + ayant lieu , si r est pair , et le signe — ayant lieu , si r est impair. On changera pareillement un terme quelconque de la forme Ke"+1.cos.snt, dans =p K ei,+1 . s"+1 . sm. snt, le signe - — ayant lieu si r est pair , et le signe + ayant lieu , si r est impair. La somme de tous ces termes sera la valeur de P', et l'on aura sin. iu = sin. int+e P'. Si l'on suppose 4 (u) = u , on aura -\'(nt) = 1 , et l'on trouvera PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL i79 e2 - e3 u=nt + e.sin. ?it-\ . 2.sin.2nH . {52.sin.. ont — 3. sin. ni) 1.2.2 1.2. 3. a2 u J - . {43. sin. fait — 4 . 2:î . sin. 2/2/;} 1.2.3.4^23 H — — - — -. \ 5*.sin.5»£— 5T54.sin.5?îi + — .sin.»2 [ 1.2.0.4.5.2^ [ 1-2 J + &c. Cette série est fort convergente pour les planètes. Ayant ainsi déterminé u, pour un instant quelconque; on en tirera, au moyen des équations (f) du n°. 20, les valeurs correspondantes de r et de u ,- mais on peut avoir directement ces dernières quantités , en séries convergentes , de cette manière. Pour cela , nous observerons que l'on a par le n°. 20, r=a.(i — ecos.u) ; or si dans la formule (ç) , on suppose 4-(u)=i — e. cos. u, on aura 4-' (nt) =^ e *svti.n t , et par conséquent e3 d. sin.3 nt e* d'-.sinAnt 1 — e.cos.u=i — e.cos.nt+e*.sm.*nt+ — -. ; j -.: r- — r Kc 1.2 ndt i.a.3 n*dt* On aura donc , par l'analyse précédente , r e2 e2 - = 1-^ e . cos. nt .COS. 2?lt a 2 2 { 5 . cos. 5 nt — 5 » cos. ni\ . {4\cos.4rt£ — 4.22.eos.2«£} 1.2,3* e* Z.2.3.23 »5 e5 f ,_ 5.i ") . \ 53.cos.5nt — 5. 53. cos. 3 tz£ + — .cos. nt } 1.2.34.2* (^ 1.2 J . | 64.cos.6n£ — 6.44.cos.4nH — — .24. cos. 277/ [ 1.2.3.4.5.25 — &c. Considérons présentement, la troisième des équations (f) du n°. 20; elle donne sin.lv | S \-{-e sin.|u cos-xi/ " 1 — e cos.^u* Z2 180 MÉCANIQUE CÉLESTE, Eu substituant dans cette équation , au lieu des sinus et des cosinus ;. leurs valeurs en exponentielles imaginaires , on aura vV^-i-Y l ~~ V i_e' \e^:^-\-x) * m supposant donc on aura Ù ~° ' { 1-A.C<- J > et par conséquent , log. (i— K.c-'-.sin.72f+ {-.e .eH .e .sm.2rc£ l 4 96 J U a4 192 J fi3 , 43 ,1 • * fio3 , 45 1 ri • / , 4- — .e .e > .sm. Otz£+ { — -.e* — ■, — S^Kenf — £; et \/ — e en cos. 9; on aura COS.? I . 3 I - : ' COS. ,— * 3 et v — £ , et la série précédente donnera v — Q = p—C— tang.2^ ? . sin. 2 (V — C) -f £, tang. 4 £ e . sin. 4l(v-—C) — y . tang.6 i p . cos. 6 . (V — ê) + &c. Si dans l'équation entre |t> et -^m, on change \v en *>-"-£, ^w E s x ~i~ e * en v.—? v , et SX en ,• on aura ' r i — e cos.? * = tang.*jp, et f— £=*/,—• 0 + tang.4p.sin.a(V,— ^ + î.tang-47?>-sin.4 (V,— 6) + f , tang.6 i 9 . sin. 6 . (V,— • S) -f &c. On voit ainsi que les deux séries précédentes se changent récipro- quement l'une dans l'autre , en changeant le signe de tang.2 f 9, PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL i83 et en changeant l'un dans l'autre, les angles v, — S , et v — G. On aura v, — 9, en fonction de sinus et de cosinus de nt et de ses multiples , en observant que l'on a , par ce qui précède, v = nt-\-i + e Q , Q étant une fonction des sinus de l'angle n t-\- i — ■«• , et de ses mul- tiples; et que la formule (i) du n°. 21 , donne , quel que soit i, sm.ifp— G)=sm.i(nt+i— G+eQ) = \ 1- — + ^- — &c. } l 1.2 1.2.0.4 J • sin. i(nt-\-i — G) f. ^ i3e3.Q3 £V.05 „ 1 + \ ieQ~ ^H ^ &c. £ ^ ( v 1.2.3 1.2.3.4.5 j ,coa.i(nt-\-i — G). Enfin, s étant la tangente de la latitude de la planète, au-dessus du plan fixe ; on a s ■== tang. , telles que celles des comètes ; et pour cela , reprenons les équa- tions du n°. 20 , a.(i — e?) r = ,• 1 ^f-e.icos. v nt=u — e. sin. u ; tang.^ = |/ — — .tang.î-K. Dans le cas des orbites fort excentriques , e diffère très-peu de l'unité ; nous supposerons ainsi , 1 — e = a , a. étant fort petit. Si l'on nomme D, la distance périhélie de la comète ; on aura D = a. (1 — e) = a. a ; l'expression de r deviendra donc (2 — 0.). D D 2.C0S.2{ V — 54. COS. V COS. ^1 + £;ta"s^r i84 MECANIQUE CELESTE, ce qui donne, en réduisant en série, r -4r-.{i — .tang.^+(— Y.tangif<> — &c.]. Pour avoir le rapport de v au temps t; nous observerons que l'ex- pression de l'arc par la tangente , donne u= 2. tang,jw. (i — y.tang.a^M + |.tang.4^« — &c.} ; or on a on aura donc tang. {u = V/ — — . tang. { v ; y 2 — a. on a ensuite 2. tang. ^u siii.k = -r- = 2.iang.-z^„ { î — tan g.~i« + tang.4 ^« — &c. }; i+tang.'-u P L P ° - J ' d'où l'on tire e.sin.M— 2. Ci— a)'\/ —— -tang.^.] i — .tang.2> + (-^-) . tang.4 {v— &p. }i S' 2 — a. \ 2 — a. \s. — a.j ) En substituant ces valeurs de u et de e.sin. u, dans l'équation p, t = u — e . sin. u i on aura le temps t , en fonction de l'anomalie v , par une suite très - convergente ; mais ayant que de faire cette substitution, nous observerons que l'on a par le n°. 20,rc = #"> j//^ et comme D = aa, on aura 2 n 1 ' On trouvera , cela posé , Si l'orbite est parabolique , a. — o , et par conséquent cos.\ 1/ Le PREMIERE PARTIE, LIVRE II. i85 Le temps t , la distance D , et la somme //■ des niasses du soleil et de la comète , sont des quantités hétérogènes, qui pour être com- parables , doivent être divisées chacune par des unités de leur espèce. Nous supposerons donc que la moyenne distance du soleil à la terre est l'unité de distance, en sorte que D est exprimé en parties de cette distance. Nous observerons ensuite que si l'on nommé T le temps d'une' révolution sydérale de la terre que nous supposerons partir du périhélie ; on aura dans l'équation nt = u — e.sin. u, u = o , au commencement de la révolution, et & = 2?r, à la fin, tt étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité ; on aura donc n T= 2 ttj mais on a , n = a 2 . j/f* = \/l^9 à cause de a = i ; partant La valeur de y. n'est pas exactement la même pour la terre, qu& pour la comète ; puisque dans le pi'emier cas , elle exprime la somme des masses du soleil et de la terre • au lieu que dans le second cas , elle exprime la somme des masses du soleil et de la comète : mais les masses de la terre et de la comète étant beaucoup moindres que celle du soleil; on peut les négliger, et supposer que y- est le même pour tous ces corps , et qu'il exprime la masse du soleil. En substituant donc au lieu de j/7T, sa valeur -=r , dans l'expression précédente de Tj on aura 3 D~ T t==~ 7â * {tang.^ + f.tang.3^}. Cette équation ne renferme plus que des quantités comparables entre elles ; elle donnera facilement t , lorsque v sera connu ; mais pour avoir v , au moyen de t , il faut résoudre une équation da troisième degré , qui n'est susceptible que d'une seule racine réelle. On peut se dispenser de cette résolution , en faisant une table des valeurs de v , correspondantes à celles de t, dans une parabole dont la distance périhélie est l'unité , ou égale à la moyenne distance de la terre au soleil. Cette table donnera le temps correspondant à l'anomalie v , dans une parabole quelconque dont D est la distance Mécan. CEI,. Tome 1. A a 186 _ MÉCANIQUE CÉLESTE, périhélie , en multipliant par D\ le temps qui répond à la même anomalie > dans la table. On aura l'anomalie v, correspondante au 2 temps t, en divisant t par Dz , et en cherchant dans la table f l'anomalie qui répond au quotient de cette division. Supposons maintenant que l'on cherche l'anomalie *>, correspon- dante au temps t , dans une ellipse fort excentrique. Si l'on néglige les quantités de l'ordre a2, et que l'on remette 1 — e , au lieu de *; l'expression précédente de ienc, dans l'ellipse, donnera 3_ t—El^J. /tang.^ + j.tang.3^ | l/£ ' 1-rCi — «O.tang.^. (i~ i.tang.2>— f -tang.4^} J' On cherchera , par la table du mouvement des comètes , l'anomalie qui répond au temps t , dans une parabole dont D seroit la dis- tance périhélie ; soit U cette anomalie, et U-\-x, l'anomalie vraie dans l'ellipse , correspondante au même temps , x étant un très- petit angle. Si l'on substitue dans l'équation précédente, £/"+#, au lieu de v , et que l'on réduise le second membre, en série ordon- née par rapport aux puissances de x; on aura, en négligeant le quarré de x , et le produit de x , par 1 — e , V 4 mais on a par la supposition , 2 f = ~JT^' t tang- ?&*£ tans-3 i u^ > on aura donc , en substituant au lieu du petit arc x , son sinus, sin.a? = -£-fi— e). tang. ±U.{ 4—5. cos.^£7— 6. cos.4iZ7}. Ainsi , en formant une table des logarithmes de la quantité , £ . tang. f U. { 4 — 3 . cos.2 i U—6. cos.4 '- U) ; il suffira de leur ajouter le logarithme de i — e, pour avoir celui de sin. x; on aura par conséquent, la correction à faire à l'anomalie £7, calculée dans la parabole, pour avoir l'anomalie correspondante dans une ellipse fort excentrique. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 187 1 4. Il nous reste à considérer le mouvement dans une orbite hyperbolique. Pour cela , nous observerons que dans l'hyperbole , le demi-grand axe a devient négatif, et l'excentricité e , surpasse l'unité. En faisant donc dans les équations (f) du n°. 20; a = — a, et 11 = — , et en substituant , au lieu des sinus et des cosinus , leurs valeurs en exponentielles imaginaires ; la première de ces équations donnera ^ = î.{cH'_c-*<}_r/„ La seconde deviendra r = a'.Qe.(cu'Jrc-a')— .1} ; enfin , si l'on prend convenablement le signe du radical de la troi- sième équation, pour que v croisse avec t, et par conséquent, avec u -, on aura 1 /e+i f c"'— 1 1 tan&i„=|/— .( — j. Supposons dans ces formules , z/=log.tang. (\tt + 7^ , w étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité , et le logarithme pré- cédent étant hyperbolique ; on aura '— ■— == e . tang. -ar — log. tang. ($ir+*r) ; '■'-= }, a . \ cos. = z ; en sorte que l'inclinaison ? de l'orbite sera connue , lorsque l'on aura déterminé S. Pour cela, nommons *, l'angle supposé connu que fait avec le plan fixe , la direction primitive du mouvement relatif de m ; si l'on considère le triangle formé par cette direction prolon- gée jusqu'à la rencontre de la ligne des nœuds , par cette dernière 192 MECANIQUE CELESTE, ligne, et par le rayon r ; en nommant l, le côté de ce triangle , opposé à l'angle €, on aura 7\sin. S sin. ', + ,)* on a ensuite - = sin. h ,- on aura donc z .sin. e tan s. £ = ■ " r.sin.A — z.cos.s Les élémens de l'orbite de la planète étant déterminés par ces for- mules , en fonctions des coordonnées r et z , de la vitesse de la planète et de la direction de son mouvement; on peut avoir les variations de ces élémens , correspondantes à des variations sup- posées dans la vitesse et dans sa direction ; et il sera facile , par les méthodes que nous donnerons dans la suite, d'en conclure les variations différentielles de ces élémens, dues à l'action de forces perturbatrices. Reprenons i'équatioiï \r a) __ Dans le cercle a—r, et par conséquent V~—U. 1/ -• ainsi, les vitesses des planètes dans des cercles différens , sont comme les racines quarrées de leurs rayons. Dans la parabole ," a == x> , partant /^=|// -• les vitesses dans les différens points de l'orbite , sont dpnc alors réciproques aux racines quarrées des rayons vecteurs , et la vitesse à chaque point, est à celle qu'auroit la planète, si elle décrivoit un cercle d'un rayon égal au rayon vecteur r , comme \/~2, : 1. Une ellipse infiniment applatie, se change en ligne droite, et dans ce cas , P^ exprime la vitesse de m , s'il descendoit en ligne droite vers M. Supposons que m parte de l'état du repos , et que sa distance primitive à M soit r ,• supposons de plus , que parvenu à la distance r, il ait acquis la vitesse V ',• l'expression précédente de la vitesse , donnera les deux équations suivantes : r a (r' a) d'où PREMIERE PARTIE, LITRE II i95 d'où l'on tire Pr'=U. v rr c'est l'expression de la vitesse relative acquise par m , en partant de la distance r, et en tombant vers M, de la hauteur r — r. On déterminera facilement , au moyen de cette formule , de quelle hauteur le corps m, mû dans une section conique , devroit tomber vers M , pour acquérir , en partant de l'extrémité du rayon vec- teur r, une vitesse relative égale à celle qu'il a à cette extrémité ; car tétant cette dernière vitesse , on a r* = U* [r «S' mais le quarré delà vitesse acquise en tombant de la hauteur r — r', est 2 U*. ; — ; en égalant ces deux expressions , on aura donc r.(za-r) r—r—— . 4a — r Dans le cercle a = r, et alors r — r —\r; dans l'ellipse, on a r — r <^r; a étant infini dans la parabole, on a r — r' = {r-} et dans l'hyperbole , où a est négatif, on a r — r'~>\r. 27. L'équation dx*->r dy*-\-dz> = ■ — . r r On a pareillement a.(cos.u — e) . , a- y î — e^.sm.u' cos. v = ; i sm. v = ; / r r on aura donc rr. cos.fV— v')=cf. (e— cos.u). (e— cos.u')+aa ■ (i— e") . sin.w. sin.u; PREMIERE PARTIE, LIVRE IL ig5 et par conséquent , .\ (dlct\_ l fdu\ \d~t)~~l'\d~s) ' \dT)~7*'\d^)é Les observations donnent en logarithmes des tables, log. A.== 4,o5g4622; de plus, log. A2=log.x + log. — , i? étant le rayon du cercle, réduit en secondes ; d'où résulte log. ^ = 2, 275o444; par- tant, si l'on réduit en secondes , les valeurs de f — - J et de (-77)' on aura les logarithmes de ( — J et de ( -jj J , en retranchant des logarithmes de ces valeurs, les logarithmes, 4,o5g462 2, et 2,27 5o444. — J et de ( — J , en re- tranchant respectivement les mêmes logarithmes , des logarithmes de leurs valeurs réduites en secondes. /du.\ /dait\ /di)\ C'est de la précision des valeurs de a , ( — J , f — J , 9 , f -j- J, et — ), que dépend l'exactitude des résultats suivans , et comme leur PREMIERE PARTIE, LIVRE IL 2o3 formation est très-simple , il faut choisir et multiplier les obser- vations , de manière à les obtenir avec le plus de précision qu'il est possible. Déterminons présentement , au moyen de ces valeurs , les élémens de l'orbite de la comète , et pour généraliser ces résul- tats , considérons le mouvement d'un système de corps animés par des forces quelconques. ÔO. Soient x, y , z, les coordonnées rectangles du premier corps ; x', y\ z', celles du second corps , et ainsi de suite. Conce- vons que le premier corps soit sollicité parallèlement aux axes des x, des y et des z, par les forces X, Y et Z , que nous sup- poserons tendre à' diminuer ces variables. Concevons pareillement que le second corps soit sollicité parallèlement aux mêmes axes , par les forces Xr, Y', Z' , et ainsi de suite. Les mouvemens de tous ces corps seront donnés par les équations différentielles du second ordre . ' ? ddx ,, . ddy ddz o = ——+X; o=-y++Y ; o=-— +Z ; d? ' dP ' dt* ddx' „, ddy „, ddz '. o = -j— +X'j o = ^-+Y's o = —~ + Z'. dV- dy* dp &c. Si le nombre de ces corps est n, ces équations seront au nombre 5 n^ et leurs intégrales finies renfermeront §n arbitraires qui seront les élémens des orbites des différens corps. Pour déterminer ces élémens par les observations , nous trans- formerons les coordonnées de chaque corps , en d'autres dont l'origine soit à l'observateur. En supposant donc un plan passant par l'œil de l'observateur, et dont la situation soit toujours paral- lèle à elle-même, tandis que l'observateur se meut sur une courbe donnée ; nous nommerons p , p', p", &c. , les distances de l'obser- vateur aux différens corps, projetées sur ce plan; «, a', *", &c. , les longitudes apparentes de ces -corps, rapportées au même plan , et 9, 9', 6", &c. , leurs latitudes apparentes. Les variables x, y , z5 seront données en fonctions de p , a. , 9 et des coordonnées de l'ob- servateur. Pareillement , x', y', z', seront donnés en fonctions de p', et', 9', et des coordonnées de l'observateur, et ainsi de suite. D'ailleurs , si l'on suppose que les forces X, Y, Z , X\ Y, Z', &c, C C 2 204 MÉCANIQUE CÉLESTE, sont dues à l'action réciproque des corps du système , et à des attractions étrangères; elles seront données en fonctions de p, p', p", &c. ; a, *', a", &c. ; 9, 9', 9", &c. ; et de quantités connues; les équations différentielles précédentes seront ainsi entre ces nou- velles variables , et leurs premières et secondes différences ; or les observations font connoître , pour un instant donné , les valeurs de *' (£)' (£)' 9> (I)' (sf)î !»' (^),&c.; il ne restera donc d'inconnues , que les valeurs de p , p', p", &c. , et leurs pre- mières et secondes différences. Ces inconnues sont au nombre 5n , et comme on a 3?z équations différentielles, on pourra les déter- miner. On aura même cet avantage , que les premières et secondes différences de p , p', p", &c. , ne se présenteront dans ces équations , que sous une forme linéaire. Les quantités a. , 9 , p , a!, 9', p', &c. , et leurs premières diffé- rences divisées par dt, étant connues ; on aura , pour un instant donné, les valeurs de x,y, z, x', y , z' , &c. , et de leurs pre- mières différences divisées par dt. Si l'on substitue ces valeurs dans les 5?i intégrales, finies des équations précédentes , et dans les différences premières de ces intégrales; on aura 6n équations au moyen desquelles on pourra déterminer les 6n arbitraires de ces intégrales , ou les élémens des orbites des différens corps. 6 1 . Appliquons cette méthode au mouvement des comètes. Pour cela, nous observerons que la force principale qui les anime, est l'attraction du soleil ; nous pouvons ainsi , faire abstraction de toute autre force. Cependant , si la comète passoit assez près d'une grosse planète , pour en éprouver un dérangement sensible , la méthode précédente feroit connoître encore sa vitesse et sa distance à la terre ; mais ce cas étant excessivement rare , nous n'aurons égard , dans les recherches suivantes , qu'à l'action du soleil. Si l'on prend pour unité de masse , celle du soleil, et pour unité de distance , sa moyenne distance à la terre ; si de plus , on fixe au centre du soleil, l'origine des coordonnées x, y, z } d'une comète dont nous nommerons r, le rayon vecteur; les équations diffé- rentielles (O) du n". 17, deviendront, en négligeant la masse de la comète vis-à-vis de celle du soleil , PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. 2o5 o = ddx i X dp 1 rV O — ddy dp + y o = ddi dP + 2 (*-) Supposons que le plan des x et des y , soit le plan même de I'éclip- tique ; que l'axe des x soit la ligne menée du centre du soleil , au premier point d'ariès , aune époque donnée ; que l'axe des y soit la ligne menée du centre du soleil au premier point du cancer, à la même époque; enfin, que les z positifs soient du même côté que le pôle boréal de l'écliptique. Nommons ensuite x' et y' les coordonnées de la terre , et H son rayon vecteur ; cela posé , Transformons les coordonnées x, y, z, en d'autres relatives à l'observateur ; et pour cela , nommons a. , la longitude géocentrique de la comète , 8 sa latitude géocentrique , et p sa distance au centre de la terre, projetée sur l'écliptique ; nous aurons x = x' + p.cos.ct j y —y' + p.sin.a, * £ = p.tang.0. Si l'on multiplie la première des équations (i), par sin. et, et que l'on en retranche la seconde multipliée par cos. et , on aura ddx ddy x sin. et — y.cos.et 0 = SM.et. — ; COS. et. •—■ 1 e^ -- dp dP r3 ' d'où l'on tire, en substituant pour x et y, leurs valeurs précédentes , ddx' ddy' x'. sin. et — y'. cos. a 0=SU1. <*.— : — COS. et.— — -\ — - dP dt" r3 ( dp\ (d«.\ /dda\ -*\dt)\Tt)-f\-dF)' La terre étant retenue dans son orbite , comme la comète , par l'at- traction du soleil , on a ddx' x' ddy' y' ce qui donne ddx' ddy' y', cos. « — x. sin. et Sin. et.—; COS. et.-—— = - dP dP R3 ao6 MECANIQUE CELESTE, on aura donc o^r/.cos..-A^sin.^.{^-^}--2.(J).(^)-p.(^} Soit ^4. la longitude de la terre vue du soleil ; on aura x' = R,cos.^4 ; y = H.s'm.^4 ,• partant y. cos. a, — - x'. sin. * = H, sin. (~A— <*■) ; l'équation précédente donnera ainsi , /ddct\ /dP\ __R.sin.(A-a) f i H ^VQ . Wf,/ /d*\ ' IR3 r3 j /rf*\ * W 2,w ?w Cherchons maintenant une seconde expression de ( — J. Pour cela1, nous multiplierons la première des équations (£), par tang. 9 . cos. a ; la seconde, par tang. 9 . sin. a. ; et nous retrancherons la troisième équation , de la somme de ces deux produits ; nous aurons ainsi, f ddx . ddy~] {x. cos. «-(-y. sin. al ddz z 0 = tang. 9. { cos.a.— [-sin.a.— - } +tang. 9.-!= ;— —"T ° [ d? dta J ' ° r3 diz rJ Cette équation deviendra, en y substituant pour x,j, z, leurs valeurs, (iï\ (dA . (fddx'x\ fddy' y'\ . "J 2\dt'\dt) o = tang.9. { — h— »cos.a+ — — + — .snu ^ — ■ ; ■■- 6 \\dt* r'J \dt* r3/ j cos.2ô (/ddè\ /dî\» . „ -j -p. Uf" .L3-UJ'Sin-9,/^V t fl l > or on a = i?.cos.r^— *;.[4f— ^} ,- partant PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 207 /du' fdP\ t )V^VL fd)\ n,\dt, .sin. 9. cos. Sj (?.) S.fl . cos.f^ — a.) ( i î 1 jR.sin — + 7U\ • "T— .« M (2) /-- si l'on retranche cette valeur de p , de la première , et que l'on suppose 'dd-j\ _ /â*\ AZ3Y . . /d*\3 ~dt) , (SKMOQ^^m *w I — J . sin. 9 . cos. 9 . cos. (^ — */+ ( '-r- J • sin. (^ — -a) on aura ^M^"^}* (5) La distance projetée p de la comète à la terre , étant toujours posi- tive ; cette équation fait voir que la distance r de la comète au soleil , est plus petite ou plus grande que la distance R du soleil à la terre , suivant que f*' est positif ou négatif : ces deux distances sont égales , si y.' = o. On peut , par l'inspection seule d'un globe céleste , déterminer le signe de // j et par conséquent, si la comète est plus près ou plus loin que la terre, du soleil. Pour cela , imaginons un grand cercle qui passe par deux positions géocentriques , et infiniment voisines de la comète. Soit y l'inclinaison de ce cercle à l'écliptique , et a, la longitude de son nœud ascendant j on aura tang. y. sin. f * — ■ *) = tang. 9 ,• d'où l'on tire dS. sin. (a — *) = d a. sin. 9. cos. 9. cos. (&—>k) § en différentiant encore , on aura /dj\ ddû, /d6\ /ddrx\ /d«.\ /di\* 0=(7t)'^-(dl)\lîF)+\Tt)'(dl) AmëJ + ( — J .sin. 9. cos. 0 1 ao8 MÉCANIQUE CELESTE, ddb, étant la valeur de ddQ , qui auroit lieu , si le mouve- ment apparent de la comète continuoit dans le grand cercle, La valeur de y! devient ainsi, en y substituant pour c/9, sa valeur da. . sin. 9 . cos. 9 . cos. (a. — h) sin. (a — h) ' (* =■ sin. 0 . cos. 9 . sin. (A — ■ h) An. (a. — k) • _ T , La fonction - — — est constamment positive; la valeur de <* est sin. 9. cos, 9 x * , . . /ddù\ /ddè\ donc positive ou négative , suivant que I -r-j- ] — ( -y— ) est de même signe, ou d'un signe contraire à sin.f^ — k) ; or A — a, est égal à deux angles droits , plus à la distance du soleil , au nœud ascendant du grand cercle ■ d'où il est facile de conclure que y sera positif ou négatif , suivant que dans une troisième position géo- centrique de la comète , infiniment voisine des deux premières, la comète s'écartera du grand cercle, du même côté où se trouve le soleil , ou du côté opposé. Concevons donc que par deux posi- tions géocentriques très-voisines de la comète , on fasse passer un grand cercle de la sphère ; si dans une troisième position géocen- trique consécutive et très-voisine des deux premières , la comète s'écarte de ce grand cercle , du même côté que le soleil , ou du côté opposé , elle sera plus près , ou plus loin du soleil , que la terre; elle en sera également éloignée , si elle continue de paraître dans ce grand cercle ; ainsi les diverses inflexions de sa route apparente , nous éclairent sur les variations de sa distance au soleil. Pour éliminer r, de l'équation ( 5 ) , et pour réduire cette équation à ne renfermer que l'inconnue p ; nous observerons que l'on a r' = *2+y2 + -sî, en substituant au lieu de x, y, z, leurs valeurs en p , a. et 9 j on aur^, r*=x'*+y'*+2p. {x'.cos.a+y.sin.*} -f — : mais on a, x' = R.cos. ^t 3 y' — R, sin. ^4 ; partant P2 ^ + 2R.p.CQS.(^ — *) + %% Si PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. , 209 Si l'on carre les deux membres de l'équation (5) mise sous celle forme , on aura , en substituant au lieu de /•% sa valeur , équation dans laquelle il n'y a que p d'inconnue , et qui monte au septième degré , parce que le terme tout connu du premier mem- bre étant égal ai?8, l'équation entière est divisible par p. Ayant ainsi déterminé p , on aura f — J , au moyen des équations ( 1 ) et (2). En substituant , par exemple, dans l'équation (1) , au lieu de — — — , sa valeur — , donnée par l'équation ( 3 ) ; on aura (£)=-^-{(^)+f/-sin-^-4 ' L'équation (4) est souvent susceptible de plusieurs racines réelle» et positives : en faisant passer son second membre dans le premier, et en la divisant ensuite par p , sou dernier terme sera 2.R5. cos.6 9 . { is.'IV + 5 . cos. (A — z-> leurs valeurs -r' + P-cos. & • y' + p . sin. a. ; et p.tang.9; elles ... /d*P\ /d* au moyen des équations x = R. cos. ^ + p.cos.<* / y = i?.sin.^+p.sin.« y ,s = p.lang.9; et de leurs différentielles divisées par dt} Dd 2 212 MÉCANIQUE CÉLESTE, (ï) = (^)-C0S^-^{^)'5in^+(^,C°S-a~P,(S)'sin-£t/ flyA-(^)-sin^+^{^)-C0S-^+(^)-sin-£t+p'(S-C0S-cl; ) dt , /dé ,tang.9 + / dz\_/do' \dt J \dt Les valeurs de ( — j et de ( — — J , sont données par la théorie du mouvement de la terre : pour en faciliter le calcul ; soit E , l'ex- centricité de l'orbite terrestre, et iïla longitude de son périhélie ; on a par la nature du mouvement elliptique , dA\ \/i—E* i— E2 dt J R2 i + E.cos.(A—H) Ces deux équations donnent /dR\ __ E.sm.(A-H) soit R' le rayon vecteur de la terre, correspondant à la longitude ^1 de cette planète, augmentée d'un angle droit 5 on aura 1 — E2 R' = d'où l'on tire partant E.sm.(A-E-) i-E.sm.(A—H)' R'— 1 + Ê* R [ devant toujours être positif et moindre qu'un angle droit, cette condition détermine le signe de sin./y or la tangente de I, et le signe de son sinus étant déterminés , l'angle I est entièrement déterminé* Cet angle est la longitude du nœud ascendant de L'or- si4 MÉCANIQUE CÉLESTE, bite , si le mouvement est direct ; mais il faut lui ajouter deux angles droits , pour avoir la longitude de ce nœud , si le mou- vement est rétrograde. Il seroit plus simple de ne considérer que des mouvemens directs , en faisant varier l'inclinaison

, et par conséquent , - = o ; l'expression de - du n°. précédent, donnera ainsi , _ 2. (dx*-\- dy*+ dz?) O — — z • r dt* Si l'on substitue ensuite, au lieu, de (-7-), (-f-) et \-~rj leurs valeurs trouvées dans le même n°. ; on aura après toutes les réduc- tions j et en négligeant le quarré de R' — • 1 , ai6 MECANIQUE CELESTE, /^\\ . (.**X . S [-jr Vtang.8+ p.(^-\ V v ' N / L cos.a3 3 +.2.(^y[(s-1).co,(^-.)~±^>} (5) / da\ C , . cos. (A — a.)) 1 2 en substituant dans cette équation , au lieu de ( -r- j sa valeur trouvée dans le n°. 3i ; en faisant ens uite T^tang.8.f— J + ^.tangJ.sm.C^— «> 0 ■ » y cos.20 fda\ f _. . cos.f.4 — «J] on aura et par conséquent v cette équation n'est que du sixième degré , et sous ce rapport , elle est plus simple que l'équation (4) du n°. 5i ; mais elle est parti- culière à la parabole , au lieu que l'équation ( 4 ) s'étend à toute espèce de section conique. Ou. On voit par l'analyse précédente, que la détermination des orbes paraboliques des comètes , conduisant à plus d'équations que PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. 217 que d'inconnues , on peut , en combinant diversement ces équa- tions , former autant de méthodes différentes , pour calculer ces orbes. Examinons celles dont on doit attendre le plus de précision dans les résultats, ou qui participent le moins , aux erreurs des observations. C'est principalement sur les valeurs des différences secondes ( -j-j- ) et ( — - ) , que ces erreurs ont une influence sensible ; en effet, il faut, pour les déterminer , prendre les différences finies des longitudes et des latitudes géocentriques de la comète , obser- vées dans un court intervalle de temps ; or ces différences étant moindres que les différences premières , les erreurs des observa- tions en sont une plus grande partie aliquote ; d'ailleurs , les for- mules du n°. 29 qui déterminent , par la comparaison des observa- lions, les valeurs de «, fl, (£),(*), (1±) et (^j, donnent avec plus de précision , les quatre premières de ces quantités , que les deux dernières ; il y a donc de l'avantage à s'appuyer le moins qu'il est possible, sur les différences secondes de a. et de 9 ; et comme on ne peut pas les rejeter toutes deux à-la-fois , la mé- thode qui n'emploie que la plus grande , doit conduire aux résul- tats les plus précis ; cela posé , Reprenons les équations trouvées dans les nos. 5i et 54. r*= — — +2R.p.cos.(^t — *) + R* ; COS.2 è (t0=-*'- /ddct\ tan g. 9 + ^ — <-- sin.o.cos. R.sinJ .cos. 6 . cos. (A — a) m Mkcajst. céi,. Tome 1. E e àiè MÉCANIQUE C E L E S T E, x ' v ' C cos.2 9 > /rf=«\ f , . COS. M — «)) 1 , /dJA -.1 Si l'on veut rejeter (■— — 1 , on ne considérera que la première, la /dp\ '.'" seconde et la quatrième de ces équations ; en éliminant ( — j , de la dernière , au moyen de la seconde , on formera une équation qui délivrée de fractions , renfermera un terme multiplié par r6p°, et d'autres ternies affectés des puissances paires et impaires de p et de r. Si l'on met dans un membre, tous les termes affectés des puissances paires de ?•, et dans l'autre membre , tous les termes affectés de ses puissances impaires , et que l'on carre chacun de ces membres, pour n'avoir que des puissances paires de r ; le terme multiplié par rspa, en produira un multiplié par r'2 p4/ en substituant donc, au lieu de r", sa valeur donnée par la première des équations (Z>) , on aura une équation finale du seizième degré en p. Mais au lieu de former cette équation , pour la résoudre ensuite ; il sera plus simple de satisfaire par des essais , aux trois équations précé- dentes. Si l'on veut rejeter ( -j-^ J ; il faudra considérer la première , la troisième et la quatrième des équations {L)- Ces trois équations conduisent encore à une équation finale du seizième degré en p j et l'on peut facilement y satisfaire par des essais. Les deux méthodes précédentes me paroissent être les plus exactes que l'on puisse employer dans la détermination des orbes paraboliques des comètes; il est même indispensable d'y recourir , si le mouvement de la comète en longitude ou en latitude , est insensible ou trop petit , pour que les erreurs des observations n'altèx-ent pas sensiblement sa seconde différence : dans ce cas , il faudra rejeter celle des équations (L), qui contient cette différence. Mais quoique dans ces méthodes , on n'emploie que trois de ces PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 219 équations; cependant, la quatrième est utile, pour déterminer parmi toutes les valeurs réelles et positives de p , qui satisfont au système des trois autres équations, celle qui doit .être admise. Ôb. Les élémens de l'orbite d'une comète, déterminés parce qui précède, seroient exacts, si les valeurs de a., 9, et de leurs premières et secondes différences , étoient rigoureuses ; car nous avons eu égard, d'une manière fort simple, à l'excentricité de l'orbe terrestre , au moyen du rayon vecteur R' de la terre , cor- respondant à son anomalie vraie , augmentée d'un angle droit j nous nous sommes permis seulement de négliger le quarré de cette excentricité, comme une trop petite fraction , pour que son omis- sion puisse influer sensiblement sur les résultats. Mais 8 , a. , et leurs différences , sont toujours susceptibles de quelque inexac- titude , soit à cause des erreurs des observations , soit parce que nous n'avons tiré ces différences , des observations , que d'une manière approchée. Il est donc nécessaire de cori'iger les élémens^ au moyen de trois observations éloignées entre elles , ce que l'on peut faire d'une infinité de manières ; car si l'on connoît à-peu- près , deux quantités relatives au mouvement d'une comète , telles que les rayons vecteurs correspondans à deux observations , ou la position du nœud et l'inclinaison de l'orbite; en calculant les obser- vations, d'abord avec ces quantités , et ensuite avec d'autres quan- tités qui en soient très-peu différentes ; la loi des différences entre les résultats , fera aisément connoître les corrections que ces quan- tités doivent subir. Mais parmi les combinaisons deux à deux , des quantités relatives au mouvement des comètes ; il en est une qui doit offrir le calcul le plus simple , et qui par cette raison , mérite d'être recherchée : il importe , en effet , dans un problème aussi compliqué , d'épargner au calculateur , toute opération superflue. Les deux élémens qui m'ont paru présenter cet avantage , sont la distance périhélie , et l'instant du passage de la comète par ce point; non-seulement, ils sont faciles à déduire des valeurs de p et de ( — ] ; mais il est très-aisé de les corriger par les observations , sans être obligé , à chaque variation qu'on leur fait subir , de déterminer les autres élémens correspondans de l'orbite. Ee i ■22o MÉCANIQUE CÉLESTE, Reprenons l'équation trouvée dans le n°. îg, r* r^.dr1 a.(\ — ei) = ar a d? a.(\ — e") est le demi-paramètre de la section conique dont a est le demi-grand axe, et ea l'excentricité ; dans la parabole , où a est infini, et e égal à l'unité , a.(i — e*) est le double de la distance périhélie ; soit D cette distance : l'équation précédente devient relativement à cette courbe fdt -d.Y1 -— est égal à 1—-—; en substituant au lieu de r* , sa valeur dp ° dt* P2 -, /àR\ . /dA' ■ — - — \- 2i?p. cos.f^z — a.) + M2, et au lieu de I — ) et de I — — I, COS. 8 \citj \ Q*X / leurs valeui's trouvées dans le n°. 35 , on aura f =& {(-it) + p-(-5r)-ten8-9 }+*•(!)• cos- (A^ + p.{^-1;.cos.^-.;-^^} + p.i?.(-^\sin.^— cl) + R.(B! — i). Soit P, cette quantité ; si elle est négative, le rayon vecteur r va en diminuant , et par conséquent , la comète tend vers son péri- hélie ; mais elle s'en éloigne, si P est positif. On a ensuite D=t-{.P*; ia distance angulaire v de la comète à son périhélie , se détermi- nera par l'équation polaire de la parabole , D 3 enfin , on aura le temps employé à décrire l'angle t>, par la table du mouvement des comètes. Ce temps, ajouté ou retranché de celui de l'époque , suivant que P est négatif ou positif, donnera l'instant du passage de la comète par le périhélie. PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 221 ÔJ . En rassemblant ces divers résultats , on aura la méthode suivante , pour déterminer les orbes paraboliques des comètes. Méthode générale pour déterminer les orhes des comètes* Cette méthode sera divisée en deux parties ; dans la première ? nous donnerons le moyen d'obtenir à-peu-près la distance périhélie de la comète, et l'instant de son passage au périhélie ; dans la seconde , nous déterminerons exactement , tous les élémens de l'orbite , en supposant ceux-ci à-peu-près connus* Détermination approchée de la distance périhélie de la comète , et de l'instant de son passage au périhélie. On choisira trois, quatre, ou cinq, &c, observations delacomèté^ également éloignées les unes des autres , autant qu'il sera possible; on pourra embrasser avec quatre observations, un intervalle de 5o°; avec cinq observations, un intervalle de 36° ou 4o°; et ainsi du reste; mais il faudra toujours que l'intervalle compris entre les observations, soit d'autant plus considérable, qu'elles sont en plus grand nombre , afin de diminuer l'influence de leurs erreurs ; cela posé , Soient é", £', C", &c. , les longitudes géocentriques successives de la comète; yy y\ y", les latitudes correspondantes, ces latitudes étant supposées positives ou négatives , suivant qu'elles sontboréales ou australes. On divisera la différence S' — Q , par le nombre des jours qui séparent la première, de la seconde observation : on divi- sera pareillement la différence C" — C, par le nombre de jours qui séparent la seconde, de la troisième observation ; on divisera encore la différence C" — C", par le nombre des jours qui séparent la troi- sième, de la quatrième observation ; et ainsi de suite. Soient Jt, S £', cTé"', ces quotiens. On divisera la différence ££' — ^f, par le nombre des jours qui séparent la première observation, de la troisième ; on divisera pa- reillement la différence £€" — G—(i + i' + i") . «r 3c + (ii! + ii" + ii'" + i'i" + i'ï"- + ï'ï") . ^e— Sac}. Les coefficiens de — cTé", +£*€, — f3£, &c. , dans la partie indé- pendante de z, sont i°. le nombre i ; 2°. le produit des deux nom- bres i, et i [j 5°. le produit des trois nombres /, f, i'\ &c. Les coefficieiis de — fë, ~\-S'së, — «r4^, &c. , dans la partie multi- pliée par zy sont i°. la somme des deux nombres i, et ï ; 2°. la somme des produits deux à deux, des trois nombres z, i', i" ; 5°. la somme des produits trois à trois, des quatre nombres i, }'. •n ■/// » l , l , KC, Les coefficiens de — «T'é" , + dans la partie mul- tipliée par z1 , sont i°. la somme des trois nombres i , i', i" ; 2°. la somme des produits deux à deux , des quatre nombres i, i', i", i'"; 5°. la somme des produits trois à trois, des .cinq nombres i, i', i'\ i'", i , &c. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 225 Au" lieu de former ces produits, il est aussi simple de dévelop- per la fonction e+ (z-i) . Jtf + (z-i) . (z -ï) . **€+ (z-i) . (z-î') . (z-i") . J«f+ &c. en rejetant les puissances de z supérieures au quarré , ce qui don- nera la formule précédente. Si l'on opère d'une manière semblable, sur les latitudes géo- centriques observées de la comète; sa latitude géocentrique , après le nombre z de jours comptés depuis l'époque , sera exprimée par la formule (p ) , en y changeant € en y. Nommons ( q ) ce que de- vient cette formule par ce changement ; cela posé , a sera la partie indépendante de z , dans la formule (p) ; S sera la partie indépendante de z, dans la formule (q). En réduisant en secondes, le coefficient de z, dans la formule (p), et en retranchant du logarithme tabulaire de ce nombre de se- condes, le logarithme 4,o5o,462 2 ; on aura le logarithme d'un nom- bre que nous désignerons par a. En réduisant en secondes , le coefficient de 2*, dans la même for- mule , et en retranchant du logarithme de ce nombre de secondes , le logarithme ijg74oi44 5 on aura le logarithme d'un nombre que nous désignerons par b. En réduisant pareillement en secondes , les coefficiens de z et de .z2, dans la formule (q) , et en retranchant respectivement, des logarithmes de ces nombres de secondes , les logarithmes 4;o5g462'2 , et i,g74oi44 ; on aura les logarithmes de deux nombres que nous nommerons h et /. C'est de la précision des valeurs de a, h , h, l, que dépend l'exac- titude de la méthode ; et comme leur formation est très-simple , il faut choisir et. multiplier les observations , de manière à les obtenir avec toute la précision que les observations compor- tent. Il est aisé de voir que ces valeurs ne sont que les fda.\ (d*a\ /da\ /■d*ê\ quantités (-^-J, (— j, (,— j et [^J , que nous avons expri- mées pour plus de simplicité , par les lettres précédentes. Si le nombre des observations est impair , on pourra fixer l'époque à l'instant de l'observation moyenne ; ce qui dispensera 224 MÉCANIQUE CÉLESTE, de calculer les parties indépendantes de z , dans les deux formules précédentes ; car il est visible que ces parties sont alors respec- tivement égales à la longitude et k la latitude de l'observation moyenne. Ayant ainsi déterminé les valeurs de a , a, b , 9 , h et /; on déterminera la longitude du soleil , à l'instant que l'on a choisi pour époque ; soit E cette longitude, R la distance correspondante de la terre au soleil , et R' la distance qui répond à E augmenté d'un angle droit ; on formera les équations suivantes ; zRx.cos (E — *) + & ; (1) R.sin.(E — a.) ( i i | bx y ~~ Va " {? K3 j _ 7a~' ^ f la? .sin.ô .cos. è ~) .y = -*.j/>.tangJ + — + ^— j I (3) R.smJ .cos.S _,_ , f i î ~) ( ' T a/; v y [fi3 r3 j J o =js+aV+(^.tangJ+— j-J -1-2 J-j-^- (iT-O.cos.rE-^ L-(4) f . ,-, COS. (£ «)) 1 2 — flff*,.U#— i;.siil(JS— «;+ — ^ — yj + __? Pour tirer de ces équations , les valeurs des inconnues x , y et r ; on considérera d'abord si, abstraction faite du signe, b est. plus grand ou plus petit que /. Dans le premier cas , on fera usage des équations ( i ) , ( 2 ) et (4). On formera une première hypothèse pour x , en le supposant , par exemple , égal à l'unité ; et l'on en conclura, au moyen des équations (î) et (2), les valeurs de r et dey. On substituera ensuite, ces valeurs dans l'équation (4), et si le reste est nul , ce sera une preuve que la valeur de x a été bien choisie ; mais si ce reste est négatif, on augmentera la valeur de x , et on la diminuera, si le reste est positif. On aura ainsi , au moyen d'un petit nombre d'essais, les valeurs de x,j et r. Mais comme ces inconnues peuvent être susceptibles de plusieurs valeurs réelles et positives ; il faudra choisir celle qui satisfait exactement , ou à-peu-près à l'équation (5). Dans PREMIERE PARTIE, LIVRE IL 223 Dans le second cas, c'est-à-dire, si l'on a />-£, on fera usage des équations (1), (3) et (4), et alors, ce sera l'équation (2) qui servira de vérification. Ayant ainsi les valeurs de x, y et r ; on formera la quantité P = — ^— . {y + h x. tang. 6 } — Ry. cos. (E— a) (s\n.(E — a.) . 1 . + x. i - — (R — îj.cos. (E — a) \ — Rax.sm.(E — a) + R.(R'—i). La distance périhélie D de la comète , sera D=r-^P> ; le cosinus de son anomalie v sera donné par l'équation D r ' et l'on en conclura, par la table du mouvement des comètes, le temps employé à parcourir l'angle p. Pour avoir l'instant du pas- sage au périhélie , il faudra ajouter ce temps , à l'époque , si P est négatif, et l'en soustraire, si P est positif ; parce que, dans le premier cas , la comète s'approche du périhélie , au lieu que dans le second cas, elle s'en éloigne. Ayant ainsi , à-peu-près , la distance périhélie de la comète , et l'instant de son passage au périhélie ■ on pourra les corriger par la méthode suivante , qui a l'avantage d'être indépendante de la connoissance approchée des autres élémens de l'orbite. Détermination exacte des élémens de l'orbite , lorsque l'on connoit à-peu-près la distance périhélie de la comète , et l'instant de son passage au périhélie. On choisira d'abord trois observations éloignées de la comète ; en partant -ensuite , de la distance périhélie de la comète , et de l'instant de son passage au périhélie , déterminés par ce qui pré- cède , on calculera les trois anomalies de la comète , et les rayons vecteurs correspondais aux instans des trois observations. Soient Mïcan. cjïl. Tome I. F f 2.20 MÉCANIQUE CELESTE, v , v ', v" ces anomalies , celles qui précèdent le passage au périhélie, devant être supposées négatives ; soient de plus 7-, r, r", les rayons vecteurs correspondans de la comète ; v — v , v" — v , seront les angles compris entre 7- et ?•', et entre r et r" ; soit U le premier de ces angles , et U' le second. Nommons encore a , a, a", les trois longitudes géocentriques observées de la comète , et rapportées à un équinoxe fixe; 9, 9', Ô", ses trois latitudes géocentriques , les latitudes australes devant être supposées négatives; soient C, C' , C" , ses trois longitudes héliocentriques correspondantes, et &, m', m", ses trois latitudes héliocentriques. Enfin, nommons E, E', E", les trois longiludes correspondantes du soleil ; R, R', R", ses trois distances au centre de la terre. Concevons que la lettre S indique le centre du soleil ; T celai de la terre ; C, le centre de la comète , et C, sa projection sur le plan de l'écliptique. L'angle ST C est la différence des longitudes géo- centriques du soleil et de la comète ; en ajoutant le logarithme du cosinus de cet anele, au logarithme du cosinus de la latitude géocentrique de la comète, on aura le logarithme du cosinus de l'angle STC ; on conuoîtradonc dans le triangle STC , le côté ST, ou Rj le côté SC ou r, et l'angle STC : on aura ainsi, par la trigonométrie, l'angle CST. On aura ensuite la latitude héliocen- trique ™ de la comète, au moyen de l'équation sin. 0 .sin. CS T SU!. "ST : sin. C TS L'angle TSC est le côté d'un triangle sphérique rectangle dont l'hypoténuse est l'angle TSC, et dont un des côtés est l'angle -sr: d'où l'on tirera facilement l'angle TSC, et par conséquent , la longitude géocentrique C de la comète. On aura de la même manière , &' et €' dans -*" et C". Maintenant, si la distance périhélie de la comète, et l'instant du passage de la comète au périhélie , étoient exactement détermi- nés , et si les observations étoient rigoureuses, on auroit r=U ; Pr'=U' } 'mais comme cela n'arrivera presque jamais , on supposera m = U— V ; m' = U'— J^', Nous observerons ici que le calcul du triangle STC, donne pom' l'angle CST, deux valeurs différentes: le plus souvent, la nature du mouvement de la comète , fera connoître celle dont on doit faire usage , sur-tout si ces deux valeurs sont fort différentes ; car alors l'une d'elles placera la comète , plus loin que l'autre , de la terre , et il sera facile de juger , par le mouvement apparent de la comète , à l'instant de l'observation , laquelle doit être préférée. Mais s'il reste de l'incertitude à cet égard, on pourra toujours la lever, en observant de choisir la valeur qui rend A^et V peu différens de U et de U1. On fera ensuite une seconde hypothèse dans laquelle , en conser- vant le même instant du passage par le périhélie, que ci-dessus, on fera varier la distance périhélie, d'une petite quantité, par Ff a sa8 MECANIQUE CÉLESTE, exemple , de la cinquantième partie de sa valeur , et l'on cher- chera dans cette hypothèse, les valeurs de U — V&\ de U' — f^'; soit alors n = U—V; n'=U'—V. Enfin , on formera une troisième hypothèse dans laquelle , en conservant la même distance périhélie , que dans la première , on fera varier d'un demi-jour, ou d'un jour, plus ou moins, l'ins- tant du passage par le périhélie. On cherchera dans cette nouvelle hypothèse, les valeurs de U — J^, et de U' — V . Soit alors p^U—Vi p'r=U'—T'. Cela posé, si l'on nomme u le nombre par lequel on doit mul- tiplier la variation supposée dans la distance périhélie , pour avoir la véritable , et t le nombre par lequel on doit multiplier la variation supposée dans l'instant du passage par le périhélie , pour avoir le véritable instant; on aura les deux équations suivantes : (m — n) . u + (m — p).t= m ; (m! — ri ) . u + (m' — p ' ) . t = m / d'où l'on tirera u et t, et par conséquent, la distance périhélie corrigée, et le véritable instant du passage de la comète au péri- hélie. Les corrections précédentes supposent que les élémens déter- minés par la première approximation , sont assez approchés , pour traiter comme infiniment petites , leurs erreurs. Mais si la seconde approximation ne paroissoit pas encore suffisante , on pourroit recourir à une troisième , en opérant snr les élémens déjà corrigés, comme on l'a fait sur les premiers ; il faudroit seulement avoir l'attention de leur faire subir de plus petites variations. Il suffira même de calculer par ces élémens corrigés , les valeurs de U — V? et de U' — J^' ; en les désignant par M et M', on les substituera pour m et m', dans les seconds membres des deux équations précé- dentes ; on aura ainsi deux nouvelles équations qui donneront les valeurs de u et de t, relatives aux corrections de ces nouveaux élémens. Ayant ainsi la vraie distance périhélie, et le véritable instant PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 229 du passage de la comète au périhélie; on en conclura de cette manière , les autres élémens de l'orbite. Soit y la longitndedu nœud qui seroit ascendant, si le mouvement de la comète étoit direct, et p l'inclinaison de l'orbite; on aura, en comparant la première et la dernière observation, tang.'sr.sin. i" — tang. ^".sin.ê tang./ = jfa* tang.'sr.cos.Ç" — tang.V.cos.S tang.

. celle dont on doit faire usage. dû. Ea supposition du mouvement parabolique des comètes, n'est pas rigoureuse ; elle est même infiniment peu probable, vu le nombre infini des cas qui donnent un mouvement elliptique ou hyperbolique , relativement à ceux qui déterminent le mouve- ment parabolique. D'ailleurs , une comète mue dans un orbe soit parabolique , soit hyperbolique , ne seroit visible qu'une fois ; ainsi , l'on peut supposer avec vraisemblance , que les comètes qui décrivent ces courbes, s'il en existe quelques-unes, ont depuis long- temps disparu ; en sorte que nous n'observons aujourd'hui., que colles qui , mues dans des orbes rejitrans , sont ramenées sans cesse , à des intervalles plus ou moins grands, dans les régions de l'es- pace , voisines du soleil. On pourra par la méthode suivante , déterminer à quelques années près , la durée de leurs révolutions, lorsque l'on aura un grand nombre d'observations très - précises . avant et après le passage au périhélie. Pour cela, supposons que l'on ait quatre ou un plus grand nombre de bonnes observations qui embrassent toute la partie visir ble de l'orbite , et que l'on ait déterminé par la méthode précé- dente, la parabole qui satisfait à-peu- près , à ces observations, Soient p , v', p", p'", &c. , les anomalies correspondantes; ?-, /•', r"t r"f, &c. , les rayons vecteurs correspondais. Soit encore p'— v = U ; v"— v = U' ; ' v'"— p=U" ; hc. ; cela posé , on calculera par la méthode précédente , avec la para- bole déjà trouvée , les valeurs de U, U', U", &c. , ^ V\ V% &c. 3 jsoit m^U^^. m'^U'—P^'i m"=U"—ï">; m'"^U'"—T'"i Jfeft On PREMIERE PARTIE, LIVRE II. a55 On fera ensuite varier d'une très-petite quantité, la distance péri- hélie dans cette parabole j soit dans cette hypothèse , n—U—P~i n'=U'—y'; jin=U"—F'"i n'"= U'"— y"'; &c. On formera une troisième hypothèse dans laquelle , en conser- vant la même distance périhélie , que dans la première , on fera varier d'une très-petite quantité , l'instant du passage par le péri- hélie ; soit alors p=U—r; F'=U'—V; p"=U"—V"; p'"=U'"—y"; &c. Enfin , on calculera avec la distance périhélie ,' et l'instant du passage de la comète au périhélie , de la première hypothèse , l'an- gle v et le rayon vecteur r, en supposant l'orbe elliptique , et la différence 1 — e, de son excentricité, d'avec l'unité , égale à une très-petite quan tité , par exemple , à ~. Pour avoir la valeur de l'angle v , dans cette hypothèse, il suffira, par le n°. 25 , d'ajouter à l'anomalie v , calculée dans la parabole de la première hypothèse t un petit angle dont le sinus est ■—•C1 — e).taûag.jt>. (4 — S.cos.^v — 6.cos.4^}, En substituant ensuite dans l'équation cos." fv . ji — .tang. -v^ au lieu de v , cette anomalie ainsi calculée dans l'ellipse ; on aura le rayon vecteur r , correspondant. On calculera de la même ma- nière , v', r, *>", r", v"', r", &c. ; d'où l'on tirera les valeurs de JJ, U', U% U'", &c. , et par le n°. 07 , celles de V, V'\ V", &c. Soit dans ce cas , - q-U—jr- q'=U'—r'', qn=U"—F~"s c/"=U'"—y"; &C. Nommons enfin, u le nombre par lequel on doit multiplier la variation supposée dans la distance périhélie , pour avoir la véri- table ; t le nombre par lequel on doit multiplier la variation sup- posée dans l'instant du passage par le périhélie , pour avoir ce véritable instant; et s le nombre par lequel on doit multiplier Mécan. cÉii. Tome I. G- g 254 MECANIQUE CELESTE, la valeur supposée pour 1 — e, pour avoir la véritable; on formera les équations , ( m — n) . u + ( m — p ) .t + C m\ — q).s — m j (m' — ri) . u + ( m' — p ) .t-\-(iri — q ) .s =m' / r II H \ i/il O \ j. i / il H \ il (m — n).u+(m — p ) ,t-\-(m — q ).s = m ; y II! fit \ i s lll lit \ , i s lit lit \ Jlt (m — n ).u-\-(m — p ).t+(m — q ).s — m ; &c. On déterminera , au moyen de ces équations, les valeurs de ït,f,s ; d'où l'on tirera la vraie distance périhélie , le véritable instant du passage de la comète au périhélie, et la vraie valeur de 1 — e. Soit-D, la distance périhélie, et a, le demi-grand axe de l'orbite; D on aura a= ; le temps de la révolution sydérale de la comète 2. sera exprimé par un nombre d'années sydérales , égal à a% ou à 2 | ) , la moyenne distance du soleil à la terre étant prise pour unité. On aura ensuite par le n°. 07 , l'inclinaison de l'orbite , et la position du nœud. Quelque précision que l'on apporte dans les observations, elles laisseront toujours de l'incertitude sur la durée de la révolution des comètes. La méthode la plus exacte pour la déterminer, con-* siste à comparer les observations d'une comète , dans deux révo- lutions consécutives ; mais ce moyen n'est praticable , que lorsque la suite des temps ramène la comète vers son périhélie. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL -35 CHAPITRE V. Méthodes générales pour déterminer par des approxima- tions successives , les mouvemens des corps célestes. 4:0. INous n'avons considéré dans la première approximation des mouvemens des corps célestes , que les forces principales qui les animent, et nous en avons déduit les loix du mouvement ellip- tique. Nous aurons égard , dans les recherches suivantes , aux forces perturbatrices de ce mouvement. L'action de ces forces ne- fait qu'ajouter des petits termes , aux équations différentielles du mouvement elliptique , dont nous avons donné précédemment les intégrales finies : il faut maintenant déterminer par des approxi- mations successives , les intégrales des mêmes équations augmen- tées des termes dus à l'action des forces perturbatrices. Voici , pour cet objet , une méthode générale , quels que soient le nombre et le degré des équations différentielles dont on se propose de trouver des intégrales de plus en plus approchées. Supposons que l'on ait entre les n variables j', y', y", &c. , et la variable t dont l'élément û?£est regardé comme constant, les/z équations différentielles &c. P, Q, P', Q', &c. , étant des fonctions de t, y, y', &c. , et de leurs différences jusqu'à l'ordre i — 1 inclusivement, et * étant un très -petit coefficient constant qui, dans la théorie des mouvemens célestes , est de l'ordre des forces perturbatrices. Supposons ensuite que l'on ait les intégrales finies de ces équations, lorsque Q, Q\ &c. Gg s 256 MÉCANIQUE CÉLÉSTK, sont nuls : en les différentiant chacune, i — 1 fois de suite, elles formeront avec leurs différentielles , in équations au moyen desquelles on pourra déterminer , par l'élimination , les arbitraires c, c', c", &c. , en fonctions de t , y , y', y", &c, et de leurs diffé- rences, jusqu'à l'ordre i — i. En désignant donc par ^*, V , V% &c, ces fonctions , on aura c = V ; c'= V ; c" = V" ; &c. Ces équations sont les in intégrales de l'ordre i — i , que les équa- tions différentielles doivent avoir , et qui par l'élimination des différences des variables , donnent leurs intégrales finies. Maintenant , si l'on différentie les intégrales précédentes de l'ordre i — i , on aura o = dV ■ o = dV ; o = d^" ; &c. or il est clair que ces dernières équations étant différentielles de l'ordre i , sans renfermer d'arbitraires ; elles ne peuvent être que les sommes des équationa d'y „ d'y' , „ multipliées chacune par des facteurs convenables , pour que ces sommes soient des différences exactes; en nommant donc Fdt, Fdt, &c. , les facteurs qui doivent multiplier respectivement ces équations, pour former la suivante o= df^; en nommant pareillement Hdt, H'dt, &c. ,les facteurs qui doivent multiplier' respectivement les mêmes équations, pour former celle-ci o=dFr'7 et ainsi du reste; on aura &c. F, F', &c. , H, H', &c. , sont des fonctions de t, y , y', y", &c,? et de leurs différences jusqu'à l'ordre i — i : il est facile de les dçter^ miner, lorsque /^, V'\ &c. , sont connus; car F est évidemment d'y le coefficient de ~ , dans la différentielle de V ; F' est le coeffi- PREMIERE PARTIE, LIVRE IL 2Ù1] d'y' K cient de -— , dans la même différentielle , et ainsi de suite. Pareil- dlv d'vf lement, H, H', &c. , sont les coefficiens de -f- , -f-, &c. , dans dtl ' df ' ' la différentielle de T^' ; ainsi, puisque l'on est supposé connoître les fonctions f, V\ &c. ; en les différentiant uniquement par rap- , d'-'y d'—'y' port a ._i , _i , &c. , on aura les facteurs par lesquels on doit CL L CL h multiplier les équations différentielles , pour avoir des différences exactes ; cela posé , Reprenons les équations différentielles 0 = ^+P + *.Q ; G=À + P' + *.Q',- &c. Si l'on multiplie la première par Fdt, la seconde par F'dt, et ainsi du reste ; on aura en les ajoutant , o = cir+«dt. {FQ + F'Q' + &c.}j on aura de la même manière ^ o = df + *dt.{HQ + H,Q' + &c.} $ &c. d'où l'on tiré, en intégrant , c — *.fdt.{FQ + F'Qf + &c.} = ^,* c' — a.fdt.{HQ + H'Q'+&c.}=P" ; Ac. ; on aura ainsi i n équations différentielles qui seront de la même forme que dans le cas où Q , Q', &c. , sont nuls , avec la seule différence que les arbitraires c , c', c"} &c. , doivent être changées dans c-^*.Jdt.{FQ+F'Q'+&c.};c'—*.fdt.{HQ+H'Q'+kc.};&c, Or si , dans la supposition de Q , Q', &c. ,-égaux à zéro , on élimine des ire intégrales de l'ordre i — i, les différences des variables y , y', &c. ; on aura les re intégrales finies des équations proposées ; on aura donc ces mêmes intégrales, lorsque Q, Q'P &c.; ne sont iî5-8 MÉCANIQUE CÉLESTE, pas nuls, en changeant clans les premières intégrales , c , c', &o. f dans c — *.fdt.{FQ+ &c.}; c'—?ct.Jdt. {HQ+&LC.}; &c. 4 1 . Si les différentielles dt. {FQ + F'Q'+ &c.} , dt.{HQ + HfQ'+&ic.},&Lc., sont exactes ; on aura par la méthode précédente , les intégrales finies des équations différentielles proposées : mais cela n'a lieu que dans quelques cas particuliers , dont le plus étendu et le plus intéressant est celui dans lequel ces équations sont linéaires. Sup- posons ainsi P, P', &c, fonctions linéaires de y, y', &c. , et de leurs différences jusqu'à l'ordre i — 1 , sans aucun terme indépen- dant de ces variables, et considérons d'abord le cas dans lequel Q, Q', &c. , sont nuls. Les équations différentielles étant linéaires , leurs intégrales successives seront pareillement linéaires, en sorte que c= V, c"<== W\ &c, étant les in intégrales de l'ordre i — i, des équations différentielles linéaires d'v d'y' /"•*", J^' , &c. , peuvent être supposés des fonctions linéaires de y, y', &c. , et de leurs différences, jusqu'à l'ordre i — i. Pour le faire voir , supposons dans les expressions dey , y', &c. , la cons- tante arbitraire c égale aune quantité déterminée, plus à l'indéter- minée Se / la constante arbitraire c égale à une quantité détermi- née , plus à l'indéterminée Se', &c. ; en réduisant ces expressions en séries ordonnées par rapport aux puissances et aux produits de Se. Sc'f &c, on aura par les formules du n°. 21 , /d2Y'\ „ + — l .2 &c. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 259 Y, Y', (-T-) ? &c. , étant des fonctions de t , sans arbitraires. En substituant ces valeurs , dans les équations différentielles propo- sées , il est clair que £c , JV, &c. , étant indéterminés , les coeffi- ciens des premières puissances de chacun d'eux, doivent être nuls dans ces diverses équations ; or ces équations étant linéaires , on aura évidemment les termes affectés des premières puissances de &c; il en résulte que l'expression y=X+(t— Q).Y+(t — 6)\Z+ &c\, satisfait encore à l'équation différentielle Quoique cette seconde valeur de y semble renfermer z + i arbi- traires , savoir les ï arbitraires c , c', c", &c. , et l'arbitraire 0 ; cepen- dant , elle ne peut en contenir que le nombre i , qui soient dis- tinctes entre elles. Il est donc nécessaire , que par un changement convenable dans les constantes c , c, c", &c. , l'arbitraire 9 puisse disparoître de cette seconde expression dey, et qu'ainsi , elle coin- cide avec la première. Cette considération va nous fournir le moyen d'en faire disparoître les arcs de cercle, hors des signes périodiques. Donnons à la seconde expression de y , la forme suivante : y = X+(t — û).R. Puisque nous supposons que 9 disparoît de y , on aura ( — — ] = o et par conséquent , En différentiant successivement cette équation , on aura „ fddR\ /d>X\ ' „\ /d'R\ &c- d'où il est facile de conclure , en éliminant R , et ses différentielles, de l'expression précédente de y , ■*■'', «\ fdx\ h—*)* fddX\ (t—ê)3 /d3x\ .Xest fonction de t , et des constantes c , c', c", &c. ; et comme ces constantes sont fonctions de 9 , X est une fonction de t et de 9 , que nous pouvons représenter par q> (t, S). L'expression de y est. , par la formule (z) du n°, 21 , le développement de la fonction ç (t,Q + 1 — 6), suivant les puissances de t — 9 ; on a donc y = 2Z,- o = Z/ + LZ" + Y"—5Si §tc. La PREMIERE PARTIE, LIVRE II. a49 La valeur de yf, donnera pareillement , des équations de cette forme, o=x;+s.x."-rl,- &c. Les valeurs de y", y1'1, &c. , fourniront des équations semblables. On déterminera par ces diverses équations , en choisissant les plus simples et les plus approchées , les valeurs de c , c', c", en fonctions de 9 ; en substituant ces valeurs dans X, X/ , &c. , et en y chan- geant ensuite 9 en t , on aura les valeurs dey, y', &c. , sans arcs de cercle hors des signes périodiques , lorsque cela est possible. •45. Reprenons la méthode que nous avons exposée dans le n°. 4o. Il en résulte que , si au lieu de supposer les paramètres c, c', c", &c. , constans , on les fait varier en sorte que l'on ait dc= — *dt.{FQ + F'Q' + &c.}; dc'= — *dt. {HQ + H'Q' + &c.}; &c. on aura toujours les in intégrales de l'ordre i — i , c = V ; p'= V;'. ■ j ç"= K" ; &c. comme dans le cas de * nul ; d'où il suit que non-seulement les intégrales finies , mais encore toutes les équations dans lesquelles il n'entrera que des différences inférieures à l'ordre i , conserve- ront la même forme , dans le cas de a. nul , et dans celui de a. quelconque ; puisque ces équations peuvent résulter de la compa- raison seule des intégrales précédentes, de l'ordre i — i. On pourra donc également, dans ces deux cas , différentier i — i fois de suite, les intégrales finies , sans faire varier c , c', &c. ; et comme on est libre de faire varier tout , à-la-fois , il en résultera des équations de condition entre les paramètres c, c', &c. , et leurs différences. Dans les deux cas de a nul , et de « quelconque , les valeurs de y, y', &c. , et de leurs différences jusqu'à l'ordre i — i inclusive- ment, sont les mêmes fonctions de t, et des paramètres c, c, c", &c. • soit donc Y, une fonction quelconque des variables y , y\ y", &c. , et de leurs différentielles inférieures à l'ordre i — i, et nommons T, la fonction de t, dans laquelle elle se change , lorsque l'on y subs- Mécan. cél. Tome 1, T i û5ô MÉCANIQUE CÉLESTE, titue , au lieu de ces variables et de leurs différences , leurs valeurs1 en t. Ou pourra différentier l'équation Y=T, en y regardant les paramètres c , c, c", &c. , comme constans ; on pourra même ne prendre que la différence partielle de Y, relativement à une seule ou à plusieurs des variables y, y ', &c. , pourvu que l'on ne fasse varier dans T, que ce qui varie avec elles. Dans toutes ces cliffé-^ rentiations, les paramètres c,c\ c", &c. , peuvent toujours être traités comme constans ; puisqu'en substituant pour y , y', &c. , et leurs différences , leurs valeurs en t, on aura des équations identique- ment nulles , dans les deux cas de a nul , et de a. quelconque^ Lorsque les équations différentielles sont de l'ordre i — 1 , il n'est plus permis , en les différentiant , de traiter les paramètres c i c', c", &c. , comme constans. Pour différentier ces équations , considé-^ rons l'équation ç> = o , q> étant une fonction différentielle de l'ordre i — i , et qui renferme les paramètres c, c', c", &c. : soit , la différence de cette fonction, prise en regardant c, c, &c. , comme constans, ainsi que les, différences dl~ly, dl~'y' , &c. Soit S le d'y coefficient de — — - dans la différence entière de

et ainsi du reste. L'équa-^ tion p = o, différentiée, donnera o =-. J> + ( -^i J . de + (-p\ .dc' + tkàt dt'-> dt' + S.-J^r + S'.-T^7+&c.} eii substituant au lieu de -r-— , sa valeur —dt. {P + *= Q}j au d'y' lieu de — — -, sa valeur — dt. {P'-\-a,. Q'), &C; ; on aura o=^+(^yàc+(^.dc'+^ — dt.{SP-r$,P'+&c.}—cLdt.{$Q + $'Q'+ &c.}; (t) Dans la supposition de a nul, les paramètres c, c', c", &c. , sont constans ; on a ainsi , o = J> — dt, {SP + S'P'+ &c.}, PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. 25i Si l'on substitue dans cette équation , au lieu de c, c', c", &c. , leurs valeurs /^ V, F*", &c. ; on aura une équation différentielle de l'ordre i — 1 , sans arbitraires , ce qui est impossible , à moins que cette équation ne soit identiquement nulle. La fonction fç—dt. {SP + $'Pr+ &c.} devient donc identiquement nulle , en vertu des équations c = P^j c'= V , &c. ; et comme ces équations ont encore lieu , lorsque les paramètres c, c', c", &c. , sont variables , il est visible que dans ce cas , la fonction précédente est encore identiquement nulle j l'équation (t) deviendra donc — *dt. {SQ + S'Q'+ &c.}; (x) On voit ainsi que pour différentier l'équation ? = o , il suffit de faire varier dans

&c., les différences successives de 4» prises en regardant c, c, &c. , comme constans ; on aura par ce qui précède , dans le cas même où. c , c, &c. , sont variables , les équa- tions suivantes : 4 = 05 en 4? f 4 ? <^a4 , &c. ; on aura /d.£4.\ - /d.f4\ , , „ o = ( *\.dc+( , j.c?c'+&c. ^,fQ.(^)+Q'.(^)+&c.}. Ii % aSa MÉCANIQUE CÉLEST E, Ainsi les équations 4 = o , 4' =o , &c. , étant supposées être les n intégrales finies des équations différentielles , on aura les in équations au moyen desquelles- on pourra détermi- ner les paramètres c, c', c", &c. , sans qu'il soit nécessaire de for- mer pour cela les équations c==/^~; c[~J^-r$ &c. ; mais lorsque les intégrales seront sous cette dernière forme , la détermination de c, c', &c. , sera plus simple. 45. Cette méthode de faire varier les paramètres, es-t d'une grande utilité dans l'analyse et dans ses applications. Pour en mon?* trer un nouvel usage , considérons l'équation différentielle dt' P étant fonction de t , y , de ses différences jusqu'à l'ordre i — ï i et des quantités q, q', &c, , qui sont fonctions de t. Supposons que l'on ait l'intégrale finie de cette équation différentielle , dans la supposition de q , q[, &c. \ constans, et représentons par

, &c. , les différences successives de } * mm" + -+ &c. ; { (x"-x'TMy"-y'TW-*y } r Si de plus , on suppose M+ m = p; et r= V ' x* -\- y* -j- z* ; r'= \/x'*+y2 + z'* ; &c, on aura ddx (J..X ( dR\ ddy iJ-.y /dR\ . ddz (J..z / dR\ °=~dF + ~+\dl)' La somme de ces trois écmations multipliées respectivement par dx , dy , dz , donne en l'intégrant , dx*+dy* + dz.* Z(* u . 0 = ^ T-+_ + 3/dJR. (Ç) PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II 255 la différentielle di? étant uniquement relative aux coordonnées x,j, z, du corps m, et a étant une constante arbitraire qui, lorsque i?est nul , devient par les n°s. 18 et 19 , le demi-grand axe de l'ellipse décrite par m autour de M. Les équations (P) multipliées respectivement par x,y, z, et ajoutées à l'intégrale (Q) , donneront <*> Maintenant , on peut concevoir les masses perturbatrices m , m", &c. , multipliées par un coefficient a; et alors, la valeur de r sera fonction du temps t et de a. Si l'on développe cette fonction, par rapport aux puissances de «,■ et que l'on fasse a— 1 , après ce développement ; elle sera ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des masses perturbatrices. Désignons par la caracté- ristique «T placée devant une quantité, la différentielle de cette quan- tité, prise par rapport à a, et divisée par du. Lorsque l'on aura déterminé JV , dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de et; on aura le rayon r, en multipliant cette suite par da, en l'intégrant ensuite par rapport à a , et en ajoutant à cette intégrale, une fonction de £ indépendante de * , fonction qui est évidemment la valeur de r dans le cas où les forces perturbatrices sont nulles, et où le corps m décrit une section conique. La détermination de r se réduit donc à former et à intégrer l'équation différentielle qui détermine JV. Pour cela, reprenons l'équation différentielle (li), et faisons , pour plus de simplicité , dR\ fdR\ fdR en la différentiant par rapport à a , on aura dt- a/S.dR + J'.rM'i (S) Nommons dp l'arc infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs r et r-\-drj l'élément de la courbe décrite par m autour 2.56 MÉCANIQUE CELESTE, de .M, sera V dr* -j- r*dp*; on aura ainsi dxa-t-dy*-\-dzsï==(ïr* + radp'tj et l'équation ( Q ) deviendra dt* r a J En éliminant -, de cette équation , au moyen de l'équation (21), on aura i^di/1 r.ddr u. • -3 — = —3 + - + r.H' ; dt* dt* r d'où l'on tire , en différentiant par rapport à a. , àr'dv.d.S'v r.dd.fr — iïr.ddr 3y.rS~r dt* d? {-r.^iT— 2T.JV. Si l'on substitue dans cette équation , au lieu de — ^— sa valeur tirée de l'équation (S) , on aura d.(drJr+zr.d£r) + dt*. {3.f£.àR + zr.fR' + R'.£r\ ,_, d.S~v~ 73 — ■ -/ (1 )- fdv v ■ On pourra , au moyen des équations (S) et (T) , avoir aussi exac- tement que l'on voudra , les valeurs de JV et de JV ; mais on doit observer que dp étant l'angle intercepté entre les rayons r et r+dr , l'intégrale p de ces angles n'est pas dans un même plan. Pour en conclure la valeur de l'angle décrit autour de M, par la projection du rayon vecteur r sur un plan fixe, désignons par pt ce dernier angle , et nommons s la tangente de la latitude de m au-dessus de i ce plan ; r. (î + s s) 2 sera l'expression du rayon vecteur projeté , et le quarré de l'élément de la courbe décrite par m , sera r-.du* , r'd-s2 ■ dr* ■ 1+iS (i+ssj* ' mais le quarré de cet élément est r*dp*-j-drz j on aura donc, en égalant ces deux expressions , dp' = , y i -f- s s On déterminera ainsi dp, , au moyen de dp, lorsque s sera connu. Si PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 257 Si l'on prend pour plan fixe , le plan de l'orbite de m , à une ds époque donnée , s et — seront visiblement de l'ordre des forces perturbatrices ; en négligeant donc les quarrés et les produits de ces forces, on aura p = vr Dans la théorie des planètes et des comètes, on peut négliger ces quarrés et ces produits , à l'excep- tion de quelques termes de cet ordre , que des circonstances par- ticulières rendent sensibles , et qu'il sera facile de déterminer., au moyen des équations (S) et (T). Ces dernières équations prennent une forme plus simple , lorsque l'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices. En effet , on peut alors consi- dérer JV et JV, comme les parties de r et de v dues à ces forces ; et par conséquent r.i?' = r.f — ]. Il est facile de s'assurer parla différentiation,quesii'on néglige le quarré de la force perturbatrice , INiicAN. cél. Tome I. K k 258 MÉCANIQUE CELESTE, l'équation différentielle précédente donnera , en vertu des deux premières des équations {F) , r.^r=- JrdtJ^./dR + r.^y^-y.fxdt.^.fdR + r.^-j^ /xdy—ydx\ V àf ) Dans le second membre de cette équation , les coordonnées peu- .•,-.-■ . . xdy — ydx vent se rapporter au mouvement elliptique , ce qui donne — dt constant et égal parle n°. ig, à V u-.a(\ — e*), ae étant l'excen- tricité de l'orbite de m. Si l'on substitue dans l'expression de rfr, au lieu de x et dey, leurs valeurs r.cos.p, et r.sin. v , et au lieu xdy — ydx . , . de — — — , la quantité y y-a. ( i — e*) ; enfin , si 1 on observe que par le n°. 20 , p = ?z2a3 / on aura v .fn dt.r.s'm.p. \ 2.fdR + r.[ -— ) > fr = — a . sin é v .fndt . r. cos. v « -2 .fdR + r.l —r- ) | l'équation (T) donne en l'intégrant, et en négligeant le quarré des forces perturbatrices , 2r.d.Sr+dr.h- 3a • _ .. _ za . /dR\ -V 1 — .ffndt.dR + — .fndt.rA—-) ahidt y. (a \dr J ,-x^\ jy,=. 77== -> (r) y 1 — e2 Cette expression donnera facilement les perturbations du mouve- ment de m en longitude, lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées. Il nous reste à déterminer les perturbations du mouvement en latitude. Pour cela , nous reprendrons la troisième des équations (P): en l'intégrant comme nous avons intégré l'équation {S) , et faisant z—r) - 8 . r(r*).fQ . rdr: Maintenant, del'équation uï=4(r*), on tire du = 2rdr.-j.'(r*) i PREMIÈRE PARTIE, LIVRÉ It 261 celle-ci i*== donnera la valeur de JV, au moyen de la for- mule (Y) du n°. précédent. Il nous reste à déterminer £s ; or si l'on compare les for- mules (X) et (Z) du n°. précédent, on voit que J1/- se change „• /dR\ /dR\ en fs, en changeant dans son expression , 2 ./d R + 7' . ( — J en ( — 1; d'où il suit que pour avoir Ss , il suffit de faire ce changement , dans l'équation différentielle en +'*'*;* {(^'-^+ry-v;î+ (*'— ?;*}.? Cette fonction est entièrement indépendante de la position du plan des * et des y ; car le radical V (v' — x)* + (y' — y/ + (z' — ZJ% PREMIERE PARTIE, LIVRE II. ^65 exprimant la distance de m à m\ il en est indépendant; la fonction x* + ys + z2 + x'* +y* + z'"- — 2xx' — 2jy' — 2zz' en est donc pareil- lement indépendante; mais les carrés x"+ys+za, et x'*+y*+ z'*, des rayons vecteurs , ne dépendent point de cette position ; la quan- tité xx'+yy'+zzr n'en dépend donc pas, et par conséquent la fonction i? en est indépendante. Supposons dans cette fonction , x = r . cos. v ; y = r . sin. v ; x' = r . cos. v ; y' = r . sin. v' ; on aura m' . {/■/"'• cos. (v' — v) + zz' } m R- (V 2+ z'a;r { r*— 2>t . cos.(v'—v)+j,,i-{-(z'—zJ* } '< Les orbes des planètes étant presque circulaires et peu inclinés les uns axes, autres, on peut choisir le plan des x et des _/ , de ma- nière que z et z' soient très-petits. Dans ce cas , r et r diffèrent très-peu des demi grands axes a et a' des orbes elliptiques ; nous supposerons donc r=a.(i + ul) ; r = a .( î + u/) ; u/ et u' étant des petites quantités. Les angles v et v' différant peu des longitudes moyennes nt-\-t, et n't+i', nous supposerons p = nt+e + v, ; v' = n't+i'+p/j vt et *»/ étant des angles peu considérables. Ainsi , en réduisant R dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux pro- duits de unvn z , u'n v', et z ,■ cette série sera fort convergente, Soit a a T . cos. (ni — nt+ i — i) — { a2 — 2 aa! . cos. (ni — nt + s' — 0 + d* } " * = |.^°) + ^').cos. (ni— nt+i— 0 + ^(2).cos.2 (Vi— nt+.t'— t) + ^3\cos.5(7i't—nt+i'—0+ &c. ; on peut donner à cette série , la forme j. s. ^'K cos.i(n't—?it+i' — i), la caractéristique s des intégrales finies , étant relative au nom- bre i , et devant s'étendre à tous les nombres entiers depuis i = — x> , jusqu'à î = oo; la valeur i = o étant comprise dans ce nombre infini de valeurs : mais alors , il faut observer que ^~l^ = ^l\ Cette forme a l'avantage de servir à exprimer d'une manière fort a64 MÉCANIQUE CÉLESTE, simple , non-seulement la série précédente , mais encore le pro- duit de cette série , par le sinus ou le cosinus d'un angle quel- conque ft+^; car il est facile de voir que ce produit est égal à ^.^).S^-ji(n't-nt+t'-t)+ft+J^. Cette propriété nous fournira des expressions très-commodes des perturbations du mouvement des planètes. Soit pareillement _2 {a* — 2 a a. cos. (n't — nt+t' — t) + d*} ' = ^.^.B^.cos.i(nt—nt + t — t) ; ES'^ étant égal à 2^°. Cela posé , on aura par les théorèmes du 771 2 771 7 R= — .2.14®. cos.i(nrt>— nt+t— t) 2 m fdA^\ . , , , ^ .u.'z.aA — — l.cos. i(n t — nt+t — t) 2 \ da J m . . /dA&\ ., , , H — .u. ."S,. a .1 — — ).cos.z( n t — nt+t — t) 2 \ da J , (V /— yt) • ~s..i^l\sva.i(n't — nt+ 1 — t) „ /ddAW\ .,, , + — -.u'.'s.a .( — ; l.cps. i(n t — nt + t — tj 4 \ d a* J m' , , fddA&\ .;■ , , r) — .uu, .z.aa .( - — — .cos. i(n t — nt + t — t) 2 \dada J m , , (ddA<&\ . , . , + — .b/.S.s1. , , ). cos. i(nt-^nt+t — t) 4 \ da. a J m' , . /dA&\ . ■ , , , f .(*>/ — vl).ul.'Z.ia.\ — — ).sm.i(nt — nt+t — tj m' , , /dA&\ . ., , . *r— — .(t>J—>p/).ul.x.ia .( -77- J.sm. i(n t — nt+t — i) -<-■ — • («"/— v ,) * ' 2 • i2 • ^{i) • cos- i (n't— n t + 1— t) 4 . m'.zz' Zmazï , , ,. -. cos. ( n t — nt+t — t) a'3 au'* 772.' . (z — zf •.•2.B®.cos.i(rit—nt+%'—0 + &C Si PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 1263 Si l'on substitue dans celle expression de i? , au lieu de ut , u' v, , v't , z et z', leurs valeurs relatives au mouvement elliptique , valeurs qui sont fonctions de sinus et de cosinus des angles nt-\-i, nt+i', et de leurs multiples; M sera exprimé par une suite infinie de cosinus de la forme m h . cos. (i 'n't — int+ *d) , i et ï étant des nombres entiers. Il est visible que l'action des corps m", m", &c. sur m , produira dans H, des termes analogues à ceux qui résultent de l'action de m', et que l'on obtiendra , en changeant dans l'expression pré- cédente de H , tout ce qui est relatif à m', dans les mêmes quanti- tés relatives à m", m", &c. Considérons un terme quelconque, m'k.cos. (i'n't — int-\-y£) de l'expression de R. Si les orbites étoient circulaires , et dans un même plan , on auroit i' = i ; donc i' ne peut surpasser i , ou en être surpassé , qu'au moyen des sinus ou des cosinus des expres- sions de unv~n z, u'y v'n z', qui en se combinant avec les sinus et les cosinus de l'angle n't — nt + t — 5, et de ses multiples, produi- sent des sinus et des cosinus d'angles dans lesquels i' est différent c]e i. Si l'on regarde les excentricités et les inclinaisons des orbites ,. comme des quantités très-petites du premier ordre ; il résulte des formules du n°. 22 , que dans les expressions de u; , vt , z ou rs.r s étant la tangente de la latitude de m , le coefficient du sinus ou du cosinus d'un angle tel que f.(nt-\-e), est exprimé par une série dont le premier terme est de l'ordre f; le second terme , de l'ordre y+2; le troisième terme, de l'ordre f+ 4; et ainsi de suite. Il en est de même du coefficient du sinus ou du cosinus de l'angle f . (n't+ i'), dans les expressions de u', v'n z'. Il suit de-là que i et i' étant supposés positifs, et i' plus grand que i ; le coefficient h , dans le terme m! h. cos. (i'n't — int+^4), est de l'ordre i' — i, et que dans la série qui l'exprime , le premier terme est de l'ordre i' — i , le second terme est de l'ordre i — i-{-2 , et ainsi de suite ; en sorte que cette série est fort convergente. Si i étoit plus grand que i\ les termes de la série seroient successivement des ordres i — i\ i — i' + 2, &c. Nommons 'J'), PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 367 H étant un coefficient indépendant des excentricités et des incli- naisons des orbites , et les nombres g, g', g", g" étant tous positifs , et tels que leur somme soit é gale à il — i. Si l'on substitue dans R, a.(i-\-ut) , au lieu de r, on aura \dr/ \da/ Si dans cette même fonction , on substitue , au lieu de u, , v, et z , leurs valeurs données par les formules du n", 22 , on aura /dR\/dR\ pourvu que l'on suppose e — = tz £-f- s -{-*>,, il est clair que l'équation précédente a lieu. On pourra donc obtenir facilement les valeurs de r. ( — J et de ( -j- j , qui entrent dans les équations différentielles des nos. précédens , lorsque l'on aurais valeur de R développée en série de cosinus d'angles croissans pro- portionnellement au temps t. La différentielle àR sera pareillement très-facile à déterminer , en observant de ne faire varier dans R f que l'angle nt, et de supposer l'angle n't constant ; puisque dR est la différence de R , prise en supposant constantes , les coor- données de m', qui sont fonctions de n't. 4û. La difficulté du développement de R en série , se réduit à former les quantités ^{i\ Z?(£), et leurs différences prises , soit rela- tivement à a , soit relativement à a'. Pour cela , considérons géné- ralement la fonction (a"— 2aa'.cos, Q + a")'', et développons-la . a suivant les cosinus de l'angle 9 et de ses multiples. Si l'on fait— =a} elle deviendra a'~is. {1 — 2 * . cos. 9 + ** } ~!. Soit (1 — 2*.cos.9 + *>)-s = i.by> + byKcosJ + bW.cos.2& + £/3>.cos.39 + &c Ll % 2Ô8 MÉCANIQUE CÉLESTE, by\ by\ b^\ &c. , étant des fonctions de <*. et de s. Si l'on prend les différences logarithmiques des deux membres de cette équation , par rapport à la variable 0 , on aura — 2s.a .sinJ — SjCO.sin.fi — zbs^ .ân.Q. S — &c. 1 — 2 a. . cos.S -j-o» l . S;C°) 4- S,C0 . cos. S + SjCO . cos. a S + &c. En multipliant en croix, et comparant les cosinus semblables , on trouve généralement (l S). A on aura ainsi, bf-% bp\ &c. , lorsque l'on connoîtra bj^ et b}'\ Si l'on change s en s+i , dans l'expression précédente de (î — 2 «.. cos. 9 -{-a2,)-5, on aura (o) (0 . M ( 1 — 2 et . COS. 9 + a2 ) ^ = ï.i,.+ J, . COS. 9 + & , . COS. 2 9 1 y ' 5+1 ' 5+1 * 5+1 (3) + ô , .cos. 5 9+ &c. A+i En multipliant les deux membres de cette équation , par i — 2*.cos. 9 -fo.% et en substituant, au lieu de (î — 2a.cos.9 + t*2j~s, sa valeur en série ; on aura .6s(°) + 6s(,).cos.0+£sW.cos.2 9+ &c j'^S — Ci— 2<* cos.9+tts). Ui> , +£ , .cos.9+£ , .cos.29+Z. . .cos.59-f&c. ; d'où l'on tire , en comparant les cosinus semblables, Z> = fi + a.a).6, — a. b, — a-.b , J *> ' ' S+l 5+1 5+ï La formule (o) donne •+1 ».^+**;-*H;-f»+*;-«*Hn è — . • PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. 269 l'expression précédente de &sw, deviendra ainsi, O = : . s 1 — s En changeant i en i + i, dans cette équation, on aura (i+i) 2 s . a. . bs+i— s.(i+a.!L).bs+i b = : / 5 1 — s~\- 1 et si l'on substitue au lieu de b , sa valeur précédente, on aura (;+l) s,(i+s),*.(i+u,*).b~ï +s. {a.(i-*),**-ï,(i+a.±r} '.i^. b = : ■ ** — , s (1 — s).(i — S'\-i).a. Ces deux expressions de b^% et de ô/1+1>, donnent (j) — — .fi'+*V-*. —2- ; • **, 7 i—**;s *+* = ■ ,- ,„ — - i ( * ) en substituant au lieu de £s(l+1), sa valeur tirée de l'équation (a), on aura (;> — — -u +«';**. +■ — j — •*•*. èH-t = ri—*»;1 ; ' c^ expression que l'on peut conclure de la précédente , en y chan- geant l dans — i , et en observant que b{l) = b^~l\. On aura donc, M (l) (-2) au moyen de cette formule, les valeurs de b , : b , J, , &c. , lorsque celles de 6j(o), è/0, bs^\ &c. , seront connues. Nommons pour abréger, k la fonction 1 — 2a.cos 9-f-&2. Si l'on différentie par rapport à a. , l'équation A-' = i.ôî(°) + iï(').cos.fl + ôIc*).cos. 2 9+ &C.J on aura d&;t"0 ift,co j^) — 25. (* — cos.9).* s — t.— ; ]r—, — .cos.S-J — - — .cos.29 + &c; da du. du. mais on a I — tl? — K — a-j-COS. ô = - s« a7o MÉCANIQUE CELESTE on aura donc s./i— a?) S-.X-' , dbp>ï dbS'> . - — -.*-*-' =f.~; — +—J— .cos.H&c, ; a, a. dot. a a. d'où l'on tire généralement , d« et s+i a, (i) En substituant au lieu de b , sa valeur donnée par la formule (5) ; on aura Si l'on différentie cette équation , on aura a2 ~ ' 1 et. (l— u.*) J* dx \ (l— *aja "*^J* * ~~d En différentiant encore , on aura JP.bS-O (i+(i+as).**} ddbp) d«? (i+(i+as).«.*~\ ddbSO (a,(i + fi).(i+,**) i \ dj>& ' \ ct.(i—**) J ' du? \ (\—v?f ~ÔF)'~dT 2.(1— S + l) dd.bp+* I— a» d. .(i — s + i).a, dbp+V 4-(i — s + i).(i + 3**) (i — cSy- da. fi — a.2;3 • " s f On voit ainsi que pour déterminer les valeurs de bfi) et de ses dif- férences successives , il suffit de connoître celles de &s(o) et de bJ-'\ On déterminera ces deux quantités , de la manière suivante. Si l'on nomme c, le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité ; on pourra mettre l'expression de a_s, sous cette forme , a ' = ^1 — a.c Y ) .( 1 — a.c v J . PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 271 En développant le second membre de cette équation , par rapport. e.\/^-i _«.l/^_1 aux puissances de c , et de c ; il est visible que les deux exponentielles c , et c auront le même coef- ficient que nous désignerons par k. La somme des deux termes h.c , et h.c est ih. cos.zâ; ce sera la valeur de è/0 . cos. i S ; on aura donc b^ = 2 k. Maintenant l'expression de a_s est égale au produit des deux séries fl . y/^-i s.(s + i) afl . 1/^-1 I+5U.C "T" j 2 ,*S.C +&C.J l+Sit.c "i ~ .«t'.c +&c,: en multipliant donc ces deux séries l'une par l'autre , on aura dans le cas de i = o , et dans le cas de z'= 1 \ 1.2 1.2 1.2.3 j partant ,w f , , ,,fs.(s+i)Y fs.(s+i).(s+S)X 6,,olA b,M=2. |l+, -* + (k-T 7— J -4+( ^ J .*6+^C,j { 1.2 1.2 1.2.3 j Pour que ces séries soient convergentes , il faut que a. soit moindre que l'unité; c'est ce que l'on peut toujours faire, en prenant pour <*, le rapport de la plus petite des distances a et a' , à la plus grande ; • • , a 1 • 1 ainsi ayant suppose a. — — - , nous supposerons a plus petit que a . Dans la théorie du mouvement des corps m, tji', m", &c. , on a besoin de connoître les valeurs de é/°) et de b^\ lorsque s=f et s — \. Dans ces deux cas, ces valeurs sont peu convergentes, 272 MECANIQUE CÉLESTE, si a. n'est pas une petite fraction. Ces séries convergent avec plus de rapidité, lorsque s= — j-, et l'on a (■> r i.i i 1.1.3 . i.o 1.1.3.5 _ 1.3-5 1. 1.3.5-7 s „ * b , — — a. ) 1 — — .a2 . .a,4 . : . a* . — —.a8 — &C. \. — \ z.4 4 2.4.6 4.6 2.4.6.8 4,6.8 2.4.6.8.10 j Dans la théorie des planètes et des satellites, il suffira de prendre la somme des onze ou douze premiers termes, en négligeant les termes suivans , ou plus exactement , en les sommant comme une progression géométrique dont la raison est 1 — a.2. Lorsque l'on (o) (.) (o) aura ainsi déterminé b , et b ,, on aura b, en faisant z = o, et js = — ^, dans la formule (b), et l'on trouvera (o) Ci) (o) (i + cti).b_1+6u.b_L 7 * *■ Si dans la formule (c), on suppose i = 1 , et 5 = — î> on aura (o) (O (0 za.b_L + 3.(i + a.a).b_x i = (i—csj* ? W Ci) Au moyen de ces valeurs de b± et de b , , on aura par les for- If) .' mules précédentes, les valeurs de Z>, , et de ses différences par- tielles , quel que soit le nombre i ; et l'on en conclura les valeurs (*') . , (°) CO de b„ et de ses différences. Les valeurs de b} et de b, peuvent 2 2 2. être déterminées fort simplement , par les formules suivantes ; (o) (1) .(oj h-L (i) • &_i £3 =z ^-r- S &3 =»r5,- Maintenant , pour avoir les quantités ^°\ A^, &c. , et leurs différences; on observera que par le n°. précédent , la série i.^ + ^.cos.fl + ^W.pos. 29+ &C.j résulte PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 273 résulte du développement de la fonction ccos- ^ / /» \-L — ; Car — 2 aa .cos. 8 + a ) 2, dans une suite de cosinus de l'angle 9 et de ses multiples : en fai- sant — - = « , cette même fonction se réduit a a :. o, +1— r. O, .cos.8 -.6, .COS.29 — &c. ; ce qui donne généralement 1 w lorsque i est zéro , ou plus grand que i, abstraction faite du signe. Dans le cas de i = i , on a a* a i£ On a ensuite , dbr \ ■ /ddA&\ /dU«\ fddAW\ . /iMCOV / j on a donc généralement ; i w ** a d'où l'on tire (i) (ô \~da~)~ a'*' d* * V_^r"y~^"*~rf?~' &C> PREMIERE PARTIE, LIVRE II. a75 De plus, i?W étant une fonction homogène de a et de , sont les mêmes que ci-dessus , à l'ex- d x M ception de ^(1) , qui dans cette théorie devient — 7. bL . Ainsi, CL Ct ~£ le calcul des valeurs de ^4.^, B&, et de leurs différences , sert à-la-fois pour les théories des deux corps m et m'. 00. Après cette digression sur le développement de i? en série , reprenons les équations différentielles (X') , (Y) et (Zr) des n°\ 46 et 47 , et déterminons à leur moyen , les valeurs de JV, JV , et S's , en portant la précision jusqu'aux quantités de l'ordre des excentricités et des inclinaisons des orbites. Si dans les orbes elliptiques , on suppose r^=a.(i-\-ut) ; r — a.(i + u/) ; V = nt-\-z + v, ; v' = 7i't-\-t'+ pf ; on aura par le n°. 22 , ut — — e. cos. (nt+i — ™) ; te/= — e'.cos. (nt+t' — •*')■§ *>, = 2e.(sin.nt-{-i — &) ; v/f = 2e'.sm.(rit+tr — **'); nt-\-i , n!t-\- s', étant les longitudes moyennes de m et de m ; a et a! étant les demi-grands axes de leurs orbites ; e et e' étant les rap- ports des excentricités aux demi-grands axes ; enfin , ^et -sr' étant les longitudes de leurs périhélies. Toutes ces longitudes peuvent être rapportées indifféremment aux plans mêmes des orbites , ou à un plan qui leur est fort peu incliné; puisque l'on néglige les quanti- tés de l'ordre des quarrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. En substituant les valeurs précédentes, dans l'expres- sion de i? du n°. 48 , on aura Mm i 276 MÉCANIQUE CELESTE, 771 • i? = — .s.^W.cos. i.(n't — 7it+i — i) 2 m f fÂAV>\ . ^.,i ■. ,. , , , , , .2. ^ a.f —T— \ + 2i.^4{,> V.e.cos. {?.(»£ — /zZ + s — 0 + "*+« — ^l 771 .S. le signe s des intégrales finies , s'étentlant à toutes les \ valeurs entières positives et négatives de i , en y comprenant la valeur ï=o. De-là on tire , 2.M*+,..(if)= 2m ,ff-i — .a. — — -i — .s. i a.l — — H ;.^dK) .cos.j(7ï f — n/;+5- — t) 2 \ da J 2 ( \ da J n — n ) m' f , /ddA(0\ AMOA /e-™s-b(nt-nt+*-0Jrnt±*-'*}', i.(n — 72. j — n ^ \ da J J le signe intégral s s'étendant, comme dans ce qui suit , à toutes les valeurs entières , positives ou négatives de i, la seule valeur ï = o, étant exceptée, parce que nous avons fait sortir hors de ce signe, les termes dans lesquels i = o: m' g est une constante ajoutée à l'intégrale fàR. En faisant donc , fddA^\ „ /dA<-°A , fddAW da da PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL ^77 {i(n—ri) — on\ { /dA&\ zn '... 1 a. {i.(n — n)~n\ y \ da J n — n J (L-i).n ( fdA&\ .."1 i.(n—n) — n (_ \ da / J • +rfi=!^..{orf.(ip!)_,.fi_lJo^.,|, î.(ra — -ny — ra ^ \ da J J en prenant ensuite pour unité, la somme des masses M + m, et observant que parle n°. 20, j—=n*; l'équation (X') deviendra d*.£u °=~d \-n .Pu — 2n mag . à1 . 1 -- — J t2 a 2, \ da J ■ rim' f fdAW\ an vs") .■ , , . , .2. { or. — ; — H -,.aA^ \ . cos. i(n t—nt+i-~î) 2 (^ \ da J n — n J + n2 m! . C. e . cos . (n t + t — ^ + n'w' .D.e . cos. f/z £ -j- s — w'^ + n2 ot' . s 4 Cw . e . cos. { i (rit —^nt-Y t' — t) +h t+z — « } + rim'. s.Z3('). e'. cos. {z. (Vi — « £+ s'— éj + nt+i — ^'} ; et en intégrant , m' /djw\ hi = 2. m a e--\ . a2 . [ —t — 1 0 -a \ da J f /d.4W\ arc ^,.,1 2 i2.(ra — ri f— n? + m .fr e . cos. ( n t+ 1 — <&) + m' .f't . e' . cos. (n t+ s — tante e-, et l'on trouve Nous aurions pu nous dispenser d'introduire dans la valeur de - r, f jt* , /dA&\ . /ddAOy\\ soit de plus , jfri) ^L_ , ^(0 , (f • ("-*') ■ {n+i.(n-n')} -jg } x{°H^r)+^-^ Bj+irf-(-s?-)' '■-fi-;-.J-^l^'{"+'Y""",;)~5"'^ n — n' * "*" ^.(n — n'J'—n2 f fdA&\ an „..*") an*.-Ë& (. \ da J n — ri J n2— {n — î.(n— ra,)}* Ci — !^« C2i — 1^ • na.jiS1 J) + Ci — ij.rea*.! — - — J G<1> = on aura 7 = T-g -(^r;+T-S- \».C»-n'/-H- ^.COS,.C^-^+e'-0 — m' .fe.cos. (nt+t — &) — m'.f'e'.cos.(nt+i — &') + Im'C. n t.e.sin. (nt+t — v) + -m'.D.n t. e' '. sin-fa/ + sr— «'j 280 MECANIQUE CELESTE, ECO ■f'»\m'.S., lu '-{n-i(n-n)}' , e. cos. {i. (n't—nt+i — i)+nt-\-i—'&) ■f ? — r-T • e'- cos. { i(/it—7it+i—t) +111+$—™' } m * 27Z3- ^=— •*• < " .a.^fi> I j \da J^ n-ri J > . smu . (n t-nt+t'—t) .i.(n-ri)-' ' i(n—ri).{i*.(n — rif — 7r*} ) •i-in'.C.nt.e. cos. (n t~\-i — &) + m'D . n t . e' . cos. (n t + e — ■a-'^ fCO -.e.sin. {i(rit— nt+*r— i) + nt + i — ^} \n — i(n — n ) . e'.sin. {i(n't— nt+s'— e)+nt+i— ■»'} n— i (n — ri ) le signe intégral 2 s'étendant clans ces expressions , à toutes les valeurs entières positives et négatives de i , la seule valeur i= o étant exceptée. On doit observer ici , que dans le cas même où la série représen- tée par ~z. ^l). cos. i(n't — nt+t' — t) est peu convergente, ces expressions de — et de JV, le deviennent par les diviseurs qu'elles acquièrent. Cette remarque est d'autant plus importante , que sans elle , il eût été impossible d'exprimer analytiquement , les pertur- bations réciproques des planètes , dont les rapports des distances au soleil , diffèrent peu de l'unité. Ces expressions peuvent être mises sous la forme suivante qui nous sera utile dans la suite ; soit h — e. sin. «■ y h! = e . sin. w' ; l =e.cos,'ra' ; l' =e' .cos.™' ; on aura .I—t— Ji .2. \ \ da ) n—ri >.COS.l(nt — nt+i — i) ^ ° ' ' l'.fn — ri)*— n2 3 JV m — ==— .a* « 6 1 .(71 — 77 Ja 772 — m', (hf+h'f). cos. fn *+0 — m'. (If +l'f). sin. (nt+t) (ni-\ + — . {/C+/.D} -nt-sm-Cnt+t) — — . {A.C+/V.Z}} .»*. cos, (»*+«; 2 2 PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. 281 Ç^-, ,-i-..sm.{^ (V*— n*+ 1'— 0 + nt+ 3 } / ÏLEtO+l'.Don , , , i ' H — — -, — .- -4-. gos. \i. Cnt — nt+î —i) + nt+t\ J ri* — |rc — i(n—n)$* m ( /dA^\ an ^..A-) {i.(n-ri)' i.(n-ri). {i*.(n—ri)* — )f} ) + 77i. {h.C+h'.D}.7it.sin.(7it+i) + m',{l.C+l'.D}.nt.cos.(nt+0 '(l.F^+l'.G^) — ; — . sin. { i. (n't — 7it + 1 — i) + 7it+ t } n — i.(n — n J + 71. 771. s.< fhFW+h'GW\ r-7— — —-. cos. f i . (nt—nt+i'—i) + 7it+ 5 } ' n — i.(n — n) en réunissant ces expressions de a B<-'~^ . . . , , „,. 2 n2 — {n— i(n — n)}2 * L , Pour avoir la latitude de m , au-dessus d'un plan fixe peu incliné à celui de son orbite primitive ; en nommant ? l'inclinaison de cette orbite sur le plan fixe . et 9 la longitude de son nœud ascen- dant sur le même plan; il suffira d'ajouter à Ss, la quantité tang.p.sin. (v — Q), ou tang. .sin.n=p' — p • y.cos.Tl = q' — q • et par conséquent , si l'on désigne par s , la latitude de m au-dessus du plan fixe , on aura à très-peu près , s = q.sm(nt + è) — p. cos. (nt+s) m'.a^a' f — .(p — p).B{-'Knt.s'm.(nt-i-t) 4 •m! a' a 4 m . n* cù (q' — q).B^Knt.cos.(nt-\-t) . { (q — q) . sin. (n't~\- s) — (p' — p ) . cos. (nt+ s.') } n' — n 2 a '■ v — — ç -. -,-c- . sin. { i (n t — nt-i- e' — s ) + nt-h i } 1?î2— {n— i(n— n)}* L k y J i -.2. a ) —(p—p).BV-^ . f — — 7 ,-r- . cos. { i(n t — nt + s' — s ) -\- nt ■+- s ) n*— {n— i(n— ri)}* L *• y ' 01. Rassemblons présentement, les formules que nous venons de trouver. Nommons (r) et (v), les parties du rayon vecteur et de la longitude v sur l'orbite , qui dépendent du mouvement ellip- tique ; on aura r=(r) + S>r ; v — (v) + lhnt.sm.(nt+0 4 .a*a! .(q — q).E^'Knt. cos.(nt JrOJcm''X > 4 PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 287 S, T, x étant des fonctions périodiques du temps t. Considérons dv d'abord Fexpression de —, et comparons-la à l'expression dey du n°. 45. L'arbitraire n multipliant l'arc t , sous les signes périodi- ques , dans l'expression de — y on doit alors faire usage des équa- tions suivantes , trouvées dans le n°: 43, 0=J'+fl.X"-7; o=Y'+LY"+X"— 2.Z; &c. Voyons ce que deviennent ici, X, X', X", Y, &c. : en comparant d-j l'expression de —, à celle de y du n°. cité , on trouve X=7i + 2nh.sin. (n t+ 1) + 2 n l. cos. (n t +$)-{- m' . T ; Y= m'. n\ {h.C+h'D}. cos. (nt+=-) -m. n\ {l. C+l'. D ) . sin.( nt+ 1% Si l'on néglige le produit des différences partielles des constantes , par les masses perturbatrices , ce qui est permis , puisque ces- diffé- rences sont de l'ordre de ces masses 5 on aura par le n°. 45 , X' =(-^\ {1 + 2/z.sin. (nt-\-î) + 2l.cos,(nt-\-i)} 4-2 n.( — J. {h. cos. (nt+t)- — /.sin. (nl-r s)} } dh\ . /dl\ + 271.I — J.sm.(nt + i) + 2ni — J.cos. (nf+s) } X"=2n.( — V. {h. cos. (nt + e) — l. sin, (nt-\-i)}, l'équation, o = X'+8.X" — Y, deviendra ainsi , fdn\ r • r o = ( y ). { 1 +2/1. sin. (nt+i) + 2l.cos.(n£+i}} /dh\ /dl\ + 2n.{ — ).sm.(nf+î) + 2n.l — J.COS. (nt+i) + 2n.U.(^\ + (J^\\.{h.cos.(nt + i) — t.sm.(nt+i}} -m'.n'{h.C+hf.D}.cos.(nt-Vi)^J7i.7i\{l.C^l'.D},sm.(ni-Vi)' 288 MECANIQUE CELESTE, En égalant séparément, à zéro, les coefficiens des sinus et des cosinus semblables , on aura °=(s)' / dl\ / ds\ m'.tt . _ Si l'on intègre ces équations , et si dans leurs intégrales , on change fl en t; on aura par le n°. 45 , les valeurs des arbitraires , en fonctions de*, et l'on pourra effacer les arcs de cercle, des expres- dy sions de — et de r; mais au lieu de ce changement , on peut tout de suite changer 9 en t , dans ces équations différentielles. La première de ces équations, nous montre que n est constant , et comme l'arbi- traire a, de l'expression de ?-, en dépend, en vertu de l'équation ns== — ; a est pareillement constant. Lés deux autres équations ne suffisent pas pour déterminer h , l , s. On aura une nouvelle équa- dv tion , en observant que l'expression de — , donne en l'intégrant , fndt, pour la valeur de la longitude moyenne de m ; or nous avons supposé cette longitude égale à nt + s ,• on a donc nt-\- s =fndt, ce qui donne dn ds dt dt ' dn de .-. . etcommeona — = o ; on aura pareillement -r—o. Ainsi les deux arbitraires n et s sont constantes ; les arbitraires h et / seront par conséquent déterminées au moyen des équations différentielles, dh m .n , . _ _, ' , ,, rfZ m' .n , _ , '_!•* — .{A.C+#. 2?}; (2) dt niinn rlp l'pTnrpssinii rîp dt du La considération de l'expression de — nous ayant suffi pour dé- terminer PREMIERE PARTIE, LIVRÉ IL aSg terminer les valeurs de n , a , 7*. , / et s ; on voit à priori , que les équations différentielles entre les mêmes quantités , qui résul- tent de l'expression de r , doivent coincider avec les précédentes. C'est ce dont il est facile de s'assurer à posteriori , en appliquant à cette expression , la méthode du n°. 43. Considérons maintenant l'expression de s. En la comparant à celle de y du n°. cité ; on aura X= ç-.sin. (n t + i) — p. cos. (71 1+ e) + ?n' . & m .n l^— — — . ara . B^\ (p — p) . sin. (n t+e) 4 + ^-^.a*a'.B(lK(q—q').cos.(?it+<). n et î étant constans , par ce qui précède ; on aura par le n*. 43, X' = (j?\sm.(nt+0--(jjiycos.(nl+0 X"=o. L'équation o = X' + Q.X" — Y, devient ainsi , O = (^)-sin-r7Z'+°-(^)-C0S,(',^+0 — ~.a*a'.B(,K(p — p').sm. (nt-\-s) 4 m .n ■.aW.B^.(q-q'). cos. (nt+t) ; 4 d'où l'on tire , en comparant les coefficiens des sinus et des cosinus semblables , et en changeant 9 ent, pour avoir directement p et q en fonctions de t , dp dt 4 dq m' .n :a*a.BW.(q — q')s (3) .ara'.BW.(p—p')i (4) Lorsque l'on aura déterminé p et q par ces équations; on les subs- tituera dans l'expression précédente de s , en effaçant les termes qui contiennent des arcs de cercle, et l'on aura s = q. s'm. (nt+t) — p.cos. (nt-\-i) + m' . X' Mécaj*. cil,. Tome 1. Ov S-r- 290 MÉCANIQUE CÊLÈST E, 54. L'équation — ==o, que nous venons de trouver , est d'une grande importance dans la théorie du système du monde, en ce qu'elle nous montre que les moyens mouvemens des corps célestes , et les grands axes de leurs orbites , sont inaltérables ; mais cette équation n'est approchée que jusqu'aux quantités de l'ordre m' .h , inclusivement. Si les quantités de l'ordre m'. h" et des ordres sui- dv vans , produisoient dans — , un terme de la forme 2 ht , k étant une fonction des élémens des orbites de m et de m $ il en résulteroit dans l'expression de v , le terme kt*, qui en altérant la longitude de m , proportionnellement au quarré du temps , deviendroit à la longue , extrêmement sensible. On n'auroit plus alors , — - = o ; mais au lieu de cette équation, on auroit par le n°. précédent, — = ja h ; il est donc très-important de savoir s'il existe dans l'ex- dt pression de v, des termes de la forme h.f. Nous allons démon- trer que si l'on n'a égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices, quelque loin que l'on porte d'ailleurs, les approxi- mations , relativement aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites ; l'expression de v ne renfermera point de termes semblables. Reprenons pour cela , la formule ( X) du n°. 46 , a.cos.v ■fndt.i'sin.v.l 2.fdR-\-r.( — — j j— a.sin.p .fndt.rcos.p.l 2./di?-f r.(— j [ p. \/ 1 — e2 Considérons la partie de dt* dv ndt V\- au m o li- en n'ayant donc égard qu'à la partie des perturbations , qui a pour diviseur *2, la longitude v deviendra (p)Jr(IÇ).î?L.fndt.f<\R ; \ndt / y. (t \ 7 — — ) étant les parties de v et de — — , relatives ndt ) * ndt vernent elliptique. Ainsi , pour avoir égard à cette partie des per- turbations , dans l'expression de la longitude de m , on doit suivre la même règle que nous venons de donner pour y avoir égard dans l'expression du rayon vecteur; c'est-à-dire, qu'il faut aug- menter dans l'expression elliptique de la longitude vraie , la lon- o n gitude moyenne nt+e , de la quantité — .fndt.fdR. y- La partie constante de l'expression de (— -f-), développée en série de cosinus de l'angle nt-\-s et de ses multiples , se réduisant à l'unité, comme on l'a vu dans le n°. 223 il en résulte, dans l'expression de la longitude , le terme — .fndt.fàR. Si àR ren- f* fermoit un terme constant km' .ndt j ce terme produirait dans l'expression de la longitude v , le suivant |. ■ . kn? f\ L'existence de semblables termes dans cette expression , se réduit donc à voir si d R renferme un terme constant. Lorsque les orbites sont peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres ; on a vu, n°. 48 , que R peut toujours se réduire daus une suite infinie de sinus et de cosinus d'angles croissâns proportionnellement au temps t. On peut les représenter géné- ralement, parle terme km' .cos. {i'n't + int+^4} , i et i' étant des nombres entiers positifs ou négatifs , ou zéro. La différentielle de ce terme, prise uniquement par rapport au moyen mouvement a94 MÉCANIQUE CÉLESTE, dem, est — ih .m' .ndt. sin. {i'n'l + int + ^4} • c'est la partie de d R , relative à ce terme : elle ne peut pas être constante , à moins que l'on ait o = i'jt'+in ; ce qui suppose les moyens mou- vemens des corps m et m' yi commensurables entre eux; et comme cela n'a point lieu dans le système solaire , on doit en conclure que la valeur de di? ne renferme point de termes constans , et qu'ainsi , en ne considérant que la première puissance des masses perturbatrices , les moyens mouvemens des corps célestes , sont uniformes , ou ce qui revient au même , — = o. La valeur de a étant liée à celle de n, au moyen de l'équation iv" =- — / il en résulte que si l'on néglige les quantités périodiques , les grands axes des orbites sont constans. Si les moyens mouvemens des corps m et m', sans être exacte- ment commensurables , approchent cependant beaucoup de l'être ; il existera dans la théorie de leurs mouvemens, des inégalités d'une longue période , et qui pourront devenir fort sensibles , à raison de la petitesse du diviseur *2. Nous verrons dans la suite , que ce cas est celui de Jupiter et de Saturne. L'analyse précédente donnera d'une manière fort simple , la partie des perturbations qui dépend de ce diviseur. Il en résulte qu'il suffit alors de faire varier la longitude moyenne nt^-i , ou /ndt, de la quantité — .fndt.fà.R; f ce qui revient à faire croître n, dans l'intégrale fndt , de la quan- tité ,/dR ,• or en considérant l'orbite de m , comme une ellipse variable, on a nL=- — i la variation précédente de n, introduit donc dans le demi-grand axe a de l'orbite , la variation — . Si l'on porte dans la valeur de —,1a précision jusqu'aux quan- tités de l'ordre des quarrés des masses perturbatrices , on trou- vera des termes proportionnels au temps ; mais en considérant avec attention , les équations différentielles du mouvement des corps m } m', &c. , on s'assurera facilement que ces termes sont PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. s95 en même temps , de l'ordre des quarrés et des produits des excen- tricités et des inclinaisons des orbites. Cependant , comme tout ce qui affecte le moyen mouvement , peut à la longue , devenir fort sensible j nous aurons dans la suite, égard à ces termes, et nous verrons qu'ils produisent les équations séculaires observées dans le mouvement de la lune. 55. Reprenons maintenant les équations (1) et (2) du n°. 55, et supposons m .n. C m .n. D (o,\) = — ; [^J = — " — i elles deviendront , dl ■£■ = — (0,1 ;)..h+[ô7î~\.h é Les expressions de (o, 1) et de [ô7~>] , peuvent être déterminées fort simplement , de cette manière. En substituant , au lieu de C et de D , leurs valeurs déterminées dans le n°. 5o , on aura r m'.n C ,„ fdÀ&\ , /ddA<-'ï\) On a par le n°. 4q , *>> ,, (o) db, ddb± .3 l /d#°)\ , , fddAW\ - '" \ da J * \ da* J d, :.* S-i.m'n.Ui+cL^.b ,+-|*.6 , J- 1 — J a.(i — *2;2 * ou om'.arc. {Yaa+û'iJ.(a,a'/-r-'oe\(a)a'j} 6, i | r= — - 1 ; — J a. Ce'2 — a2;» ' on aura donc ainsi des expressions fort simples de (o,]) et de fôTî], (o) et il est facile de se convaincre par les valeurs en séries , de b_ \ 2 et de b_L , données dans le n°. 4g , que ces expressions sont posi- tives , si n est positif, et négatives , si n est négatif. Nommons (o^) et [çTjj ? ce que deviennent ("o, îj et [°7î], lorsque PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 297 lorsque l'on y change a' et m' dans a!1 et m". Nommons pareillement Co,5) et f0»?l , ce que deviennent ces mêmes quantités, lorsque l'on y change a et m, en a" et m'" ; et ainsi de suite. Désignons de plus, par h", l"; h'", l" ; &c. les valeurs de h et de /, relatives aux corps m", m", &c. ; on aura , en vertu des actions réunies des différens corps m', m", m'", &c. , sur m , -={^o;i;-{-('o,2;-Ko,3;+&c.}./— [°n].^— ES'.*"— &c.; ) + &c.}.A+[^_Li].A'+[oJ_2].//'' + Scc. , . dh' dV dh" dl" „ ,,'■.; 11 est clair que -r- , -7— ,• —r- , -r- ,• &c. , seront détermines par ^ dt ' dt dt ' dt L des expressions semblables à celles de — et de — , et qu'il est facile r dt dt' u de conclure de celles-ci, en y changeant successivement, ce qui est relatif à m , dans ce qui a rapport à m', m", &c. , et réciproque- ment. Soient donc (1,0), [T°] ,• (h%), UHI i &c., ce que deviennent (o%i.), [Ô77J ; (0,2), [773] ,- &c. , lorsque l'on y change ce qui est relatif à m , dans ce qui est relatif à m, et réciproquement ; soient encore , (2,0), [^p] ,• (2,1), inn i &c. , ce que deviennent (0,2), [^] s (0,1), Éî] ; &c, lorsque l'on y change ce qui est relatif à m, dans ce qui est relatif à m!', et réciproquement; et ainsi de suite. Les équations différen- tielles précédentes rapportées successivement aux corps m, m , m", &c. , donneront pour déterminera, -/, h'} l', h", l", &c. , le système suivant d'équations , Mécan. c±h. Tome 1. P p 298 MÉCANIQUE CÉLESTE, dh di 77=— {(o,i)+(o,2) + (o,5) + &c.}.h+\~~}.h'+l^].hn+F->~\.h"'+&c. -Jl = { Ci A) + Chà) + ChV + &c.} . /'— [TTo] • I— UH].i"— EU./"— &c. — =— {Ci,o;+ri,2;+ri,3;+&c.}.A'+[r^].A+[r^].^+[ri].r/+&c./' (" — = { f 2,0; + (2, ] ; + (2p) + &c. } . r— rtT] . /— E73 . /'— Ej] . 2' — &c. &c. Les quantités ('0,1^) et (%o,), [ôTTJ et |"r » ° 1 3 ont entre elles des rapports remarquables qui peuvent en faciliter le calcul , et qui nous seront utiles dans la suite. On a par ce qui précède , 3m'.nai.a'.(a,a')' M-, 4.(a"-a-) — Si dans cette expression de (o, 1) , on change m en m, n en n', a en a', et réciproquement 5 on aura l'expression de fijO,), qui sera par conséquent, 3m. n'a'2-, a. (a, a)' mais on a (a,a)' == (a', a)', puisque l'une et l'autre de ces quantités t résulte du développement de la fonction (a" — 2 a a! . cos. fl + a'") 2 dans une séi'ie ordonnée suivant les cosinus de l'angle 8 et de ses multiples ; on aura donc (o, i).m.na'= (1,0). m'. na j or on a , en négligeant les masses m , m', &c. , vis-à-vis de M, M * M o tz* = - ; n'* = -; &c; partant (o, \).m.y/a-=z(\^o).m .y/a' 3 PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 599 équation d'où l'on tirera facilement (i,o) , lorsque (o, 1) sera déter- miné. On trouvera de la même manière , [°Tj] • tn. y/a = ["' »-° I • w'- V^'- Ces deux équations subsisteroient encore dans le cas où /z et rc' auroient des signes contraires ; c'est-à-dire , si les deux corps m et m circuloient en différens sens ; mais alors , il faudroit donner le signe de n, au radical y/~à , et le signe de ri, au radical y/~a'. Desdeux équations précédentes , résultent évidemment celles-ci, (0,2) .m. y/â= (2,0) . m", yTci" ; |"~1 • m. y/a = [* ,°] . m". y/~â"; &c. ( 1,2). m'. y/a' = (2,1). m", y/a" ; \~î] . m'. y/a'= \~i\ . m". y/~a' $ &c. 56. Maintenant , pour intégrer les équations {A) du n". pré- cédent , nous ferons h =iV.sin. (gt+C) ; l =JS/~.cos.(gt+ë) ; h'=N'.sm.(gt+£) ; l' = N' .cos.(gt+S) ,- &c. en substituant ces valeurs dans les équations (^) , on aura N g={(o,i)+(o,-2) + &c.} .N — [ôTT].iV'— [Ô^\.N"— &c.n N'g={(ip)+(i,2) + &c.}.N'—[^.N—[-^[\.N''—&c.( N''g={(2,o)+(2,i) + ^c.}.N''—l^Z].N—\^Z].N'—&icr^ } &c. J Si l'on suppose le nombre des corps m, m', m", &c. , égal à i ; ces équations seront au nombre i , et en éliminant les constantes N, N', &c. , on aura une équation finale en g, du degré i , que l'on obtiendra facilement de cette manière. Nommons ç la fonction N*.m.y/a. {g — fo, ij — (0,2) — &c.} + N'\ m. y/a', {g— (1, o) — (1, 2) — &c.} + &c. + 2N.m.Vra. {[^}.N'+\^]:].N"+ &c.} + 2 N'. m', y/a'. { fTI] . N"+ \JJ\ . N'"+ &c. } + aN".m?.)/a\ f[^7l.iVw+&c.} + &c. Pp 2 3oo MÉCANIQUE CÉLESTE, Les équations (Z?) se réduisent en vertu des relations données dans le n°. précédent , à celles-ci , en considérant donc N, N', N% &c. , comme autant de variables,

(') relativement à N', et l'on substituera dans p(,), au lieu de N', sa valeur tirée de l'équation I -7777- ) = o : on aura une fonction homogène et de la seconde dimension, en N", N"', &c. : soit étant des constantes arbitraires. En changeant dans ces valeurs de h, h', h", &c. , les sinus en cosinus; on aura les valeurs de /, /', l'\ &c. Ces différentes valeurs renferment deux fois autant d'arbitraires , qu'il y a de racines g, gl7 g*, &c. ; car chaque système d'indéterminées renferme une arbitraire, et de plus, il y a i arbitraires €, £",, Ça, &c. ; ces valeurs sont par conséquent, les intégrales complètes des équations (^) du n°. précédent. Il ne s'agit plus 'maintenant, que de déterminer les constantes iV, 2V, , &c. ; N', iV/, &c. ;£,£,, &c. Les observations ne donnent point immédiatement ces constantes ; mais elles font connaître à une époque donnée, les excentricités e, e , &c. , des orbites, et les longitudes -w, &', &c. , de leurs périhélies, et par conséquent, les valeurs de h, h', &c, /, /', &c. : on en tirera ainsi les valeurs des constantes précédentes. Pour cela , nous observerons que si l'on multiplie la première, la troisième, la cinquième, &c. , des équations différentielles (^) du n°. précédent, respectivement pariV.m. \/â,N' .m . \/H',&c; on aura en vertu des équations (B)} et des relations trouvées dans le n°. précédent, entre (o,jJ et ^1,0^, (0,2) et (-2,0), &c, N.-.m. t/a+N'.^-.m'. ïfai' + N".^-.jji\ ^"+ &c. dt dt dt = g.{NJ.m.\/^+N'.r.m'.^' + N',.l".m'.yrïi''+&c.}. Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de h, h'} &c. , /, /', Sec. , 5o2 MÉCANIQUE CÉLESTE, leurs valeurs précédentes ; on aura , en comparant les coefîiciens des mêmes cosinus, o~N.Nt.m. y/H+N'.Nj.m'. [fa.'+M.N/'.m". v/S"+&c. ; &c. Cela posé , si l'on multiplie les valeurs précédentes de h, h', &c. , respectivement par N.m- \/~âj N' -m! • \fâ\ &c. ; on aura en vertu de ces dernières équations , = {N\m. i/a + N't.m' ■ \/a' '+N'"-m" • \/a" + &c.} -sin. (gt+C). On aura pareillement, N.ml. v/â+ N' . m'ï ■ \/af + Nn ■ m"l" ■ y/1? + &c. = {N*-m-y/râ+N'*.m'' v/^' + AT//2.//î//.t/^" + &c.} .cos.(gt+G). En fixant l'origine du temps £, à l'époque pour laquelle les valeurs de h, l, h', /', &c. , sont supposées connues ; les deux équations précédentes donnent N. h m . \Ta + N' . h'm . %/~a-\-N" . h"m" . \fa"-\- &c. °" N.lm.]/H + N'.l'm'.)/~a' + N".l"m".irâ?+8u:. ' Cette expression de tang.£ ne renferme point d'indéterminée • car quoique les constantes N, N', N", &c. , dépendent de l'indéter- minée iV^1-1); cependant, comme leurs rapports à cette indétermi- née sont connus par ce qui précède , elle disparoît de l'expression detang,£. Ayant ainsi déterminé S , on aura i\r('_1), au moyen de l'une des deux équations qui donnent tang. £ j et l'on en conclura le système des indéterminées iV", iV ', iV", &c. , relatif à la racine g. En changeant dans les expressions précédentes , cette racine suc- cessivement en g, , giy g1} , &c, , on aura les valeurs des arbitraires relatives à chacune de ces racines. Si l'on substitue ces valeurs dans les expressions de h, l, h', l', &c, ; on en tirera les valeurs des excentricités e , e', &c. des orbites , PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 5o3 et des longitudes -sr, -s-', &c. , de leurs périhélies, au moyen des équations e* = h* + P ; e'* = h'* + r*j &c. h ■ , h' o tang.'w=-T / tang.^ = — ; &c. on aura ainsi , e1=2Vi+2VTa.+2V/+ &c. + 2 2V2V,. cos. {(>< — §•;.£+£,— £} + 2NN> . cos. { fe,— ^ . t+ C — C} + aiV.iV, . cos. { (&-"&; . t+ £,— f, } + &c. Cette quantité est constamment plus petite que C2V+2VI+2V2-t-&cJ!!, lorsque les racines g, g, , &c. , sont toutes réelles et inégales , en prenant positivement les quantités 2V", 2V\, &c> On aura pareille- ment, N.im.(gt + C) + Nl.sm.(g1t + ?J + N,.s\n.(gJ+^) + &.c. tans1. « — - ■ — - : ° N.cos.(gt + C) + Nt. cos. (gj + S,) + JVa . cos. (gj + ÇJ + &c. ' d'où il est facile de conclure , tans f* st c)^JV--sîn-{fe-g^t+g--g)+^-sîn-{^-g^^+^-g} + &c- B-l éf > iv+^.CoS.{^t_g;.f+fl_e}+jV2.cos.{fe-g;.t+^_e}+&c: Lorsque la somme 2V~I + 2Va + &c, des coefficiens des cosinus de ce dénominateur, pris tous positivement, est moindre que 2V, tang. (m — g£ — S) ne peut jamais devenir infini ; l'angle ? doivent être pris positivement dans l'équation précédente , comme on l'a vu dans le n°. 55 ; tous les termes du premier membre de cette équation sont donc positifs , et par conséquent , chacun d'eux est moindre que la constante du second membre ; or en supposant à une époque quelconque , les excentricités très-petites , cette constante sera fort petite ; chacun des termes de l'équation restera donc toujours fort petit, et ne pourra pas croître indéfiniment; les orbites seront tou- jours à fort peu près circulaires. Le cas que nous venons d'examiner, est celui des planètes et des satellites du système solaire ; puisque tous ces corps circulent dans le même sens , et qu'à l'époque où nous sommes, leurs orbites sont peu excentriques. Pour ne laisser aucun doute eur ce résultat important , nous observerons que si l'équation qui détermine g, renfermoit des racines imaginaires, quelques- uns des sinus et des cosinus des expressions de h , / , h' , l' , &c. , se changeraient en exponentielles; ainsi l'expression de h contiendrait un nombre fini de termes de la forme P.c , c étant le nombre dont, le logarithme hyperbolique est l'unité, et P étant une quantité réelle, puisque h ou e.sin.'sr est une quantité réelle. Soient Q.c , P.c , Q' .c , P" .c , &c, les termes correspondais de l, h', /', h", &c. ; Q,P , Q', P \ &c , étant Mécan. cél. Tome I. Q q 'fi 5o6 MECANIQUE CELESTE, encore des quantités réelles : l'expression de e' renfermera le ternie (P*+ Q*)~c ,• l'expression de e'2 renfermera le terme (P'*+ Q'^.c et ainsi de suite; le premier membre de l'équation (u) renfermera donc le terme { (P* + Ç?) • m . v/^+ (P'° + Q'*) • m'. YS + (P!" + Q"*) . m" .\/%" + &c. }. c fi Si l'on suppose que c soit la plus grande des exponentielles que contiennent h , l, h', ï, &c. 7 c'est-à-dire celle dans laquelle f est le plus considérable ; c sera la plus grande des exponentielles que renfermera le premier membre de l'équation précédente : le terme précédent ne pourra donc être détruit par aucun autre terme de ce premier membre j ainsi pour que ce membre se réduise à une aft constante , il faut que le coefficient de c soit nul , ce qui donne o'==ÇPa + Q*).m. ^+(P'* + Q'*).m'. y/S + (P">+Q"*).m". y/S '+ &c. Lorsque [/~â, y/a', \/~~à" ■> &c. , ont le même signe, ou, ce qui revient au même , lorsque les corps m , m', m", circulent dans le même sens , cette équation est impossible , à moins que l'on ne suppose P=o, Q = o, P' = o , &c. ; d'où il suit que les quan- tités h, l, h\ ï , &c. , ne renferment point d'exponentielles, et qu'ainsi, l'équation en g ne contient point de racines imaginaires. Si cette équation avoit des racines égales ; les expressions de h? /, h', l', &c. , renfermeroient, comme l'on sait , des arcs de cercle, et l'on auroit dans l'expression de h , un nombre fini de termes de la forme P. f . Soient Q. f, P' .f, Q' .£, &c. , les termes corres- pondans de /, h', t', &c. ; P, Q , P', Q', &c. , étant des quantités réelles ; le premier membre de l'équation (zi) renfermera le terme (fPa+ Qp.m. \^+(P2 + Q'*).m'. ^' + (P'*+ Q"*).m". v/a' + &c.} .*»', Si f est la plus haute puissance de t, que contiennent les valeurs Aeh , l , h', l', &c. ; FT sera la plus haute puissance de t, renfermée dans le premier membre de l'équation (11) ; ainsi pour quece membre puisse se réduire à une constante , il faut que l'on ait o = (P>+Q*).m.\/-à+(P'>+Q'>).mr.vrà'+&c., ce qui donne P .= o , Q = o , P' = o , Q' = o ; &c. Les expressions PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. 3o7 tle h, l, h', V , &c. , ne renferment donc ni exponentielles', ni arcs de cercle , et par conséquent, toutes les racines de l'équation en g, sont réelles et inégales. Le système des orbites de m , m', m", &c. , est donc parfaitement stable relativement à leurs excentricités ; ces orbites ne font qu'os- ciller autour d'un état moyen d'ellipticité , dont elles s'écartent peu , en conservant les mêmes grands axes : leurs excentricités sont toujours assujéties à cette condition, savoir que la somme de leurs quarrés multipliés respectivement par les masses des corps, et par les racines quarrées des grands axes , est constamment la même. 58. Lorsque l'on aura déterminé par ce qui précède, les valeurs de e et de «■/ on les substituera dans tous les termes des dv expressions de r , et — , données dans les n°5. précédens , en effa- çant les termes qui renferment le temps t, hors des signes sinus et cosinus. La partie elliptique de ces expressions sera la même que dans le cas de l'orbite non troublée , avec la seule différence que l'excentricité et la position du périhélie , seront variables ; mais les périodes de ces variations étant fort longues, à raison de la petitesse des masses m , m, m", &c. , relativement à M ; on pourra supposer ces variations proportionnelles au temps, pendant un grand intervalle qui, pour les planètes , peut s'étendre à plusieurs siècles , avant et après l'époque où l'on fixe l'origine du temps. Il est utile , pour les usages astronomiques , d'avoir sous cette forme , les variations séculaires des excentricités et des péri- hélies des orbites : on peut facilement les conclure des formules précédentes. En effet , l'équation e2 = If + Z2, donne ede == hdh ■+■ Idl; or en n'ayant égard qu'àil'action de m', on a par le n°. 55, dh di partant Qq 5o3 MECANIQUE CÉLESTE, mais on a h'I — hl' = ee . sin. (vf, — <&) • on aura donc de i — i ' • /- ' i — = |°. ' \.e .sin. ( ■sr — v) ; ainsi, en ayant égard à l'action réciproque des différens corps m , m", &c, on aura je — = f0' '1 • ê' . sin. (•&' — ™) + 1 o, ■>■ | . e" . sin. (™" — v) + &c. -j Je' ~r~ = P~°1 • e • sin . ('■a- — *') + l'iyà'l . e" . sin. (V — •&') + &c. ; Je" — -'= [> , q] . e . sin. (& — ^") + [2. '"l.e'.sin. (V — «'9+ &c- j &c. L'équation tang. « — - , donne en la différentiarit, e*.d<&=-l.dh — â. c?/. En n'ayant égard qu'à Faction -de m', et substituant pour dh et dï ? leurs valeurs , on aura ce qui donne J-sr . e -rr = (o,i) — \o7i]. — .cos. (<&—<*) ,° at e on aura donc , en vertu des actions réciproques des corps m , m', m", &c, ^ = fo,i) + fo,2j + &c.-[3.-.cos,('î''-»/)-0.-.cos.('/-ffj-&c.: dt ' e e y ? -!l = fl,o) + fl.,2) + &C.— r~l.-T.CQS.^ — ^J — r~1-— .COS.fV'— «t'Y— &Ç, — - = (-2,o)+ (-2, \) + &c — [T°]. — . cos. (V— *0— bii] • —• cos- (*?—*") — &e, &c. • t t .de de d.B^.(P-p'), On a par le n°. 4g, on a ensuite par le même n°. c?a'.BW=**.bl (0 (0 3h--- bx =— on aura donc 3 m ■ n . a? b T —.cfa'.B^ — - 4 4-(--«-;a 5io MECANIQUE CELESTE, Le second membre de cette équation est ce que nous avons désigné par (o, 1) dans le n°. 55 ; on aura ainsi , dq f De-là , il est aisé de conclure que les valeurs de q , p , q',p' ', &c. , seront déterminées par le système suivant d'équations différen- tielles , ±L = {(0,l) + (0,2) + &C.}.p-(0,l).p'-(072).p'i-kc. ^= -{(0,l) + (0,2) + &C.}.9+(0,l).q' + (0,2).q" + &C.l dq' dt {(l,0) + (l,2) + &C.}.p'—(l,0).p — (l,2).p"—&C. ^=-{(l,o) + (l,2) + lkc.}.q'+(l,o).q + (l,2).q" + fkc."' (C) (^l = {(2,0) + (2,l)-lkc.}.p"-(2,0).p-(2,l).p'-&iC. ^- = — {-2,0)+(2,l)+hc,}.9"+(2,0).g + (2,l).9'+hc. &c. Ce système d'équations est semblable à celui des équations (~d) du ii°. 55 : il coincideroit entièrement avec lui, si dans les équa- tions {^4) , on changeoit h, l, h', l', &c. , en q , p, q', p', &c. , et si l'on supposoit foTT] = (o, 1 ) ; fi.v.o | = (î, o) , &c. ; ainsi, l'ana- lyse dont nous avons fait usage dans le n°. 56 , pour intégrer les équations (^) , s'applique aux équations (C). On supposera donc q =N .cos.(gt+C) + Nl .coa.CgJ+Cj + N* .cos.(gJ+CJ + &.c} p = N .sin. (gt+C)-\-N, .sm-CgJ+ej + N, .sin. (gtt+ej + &.c} q' = N'.cos.(gt+e) + Nl'.cos.(glt+£J + NJ.cos.(gJ-h£J-ï-&c; p' = N\sta(gt+6)+N;mSin.(glt+ej+N;.âa.(g>t+et)+&c.i &c. PREMIERE PARTIE, LIVRE IL Su et l'on aura par le n°. 56 , Une équation en g du degré i , et dont les diverses racines seront g , g, , g\ , &c. Il est facile de voir qu'une de ces racines est nulle; car il est clair que Ton satisfait aux équations ( C) , en y supposant p , p, p", &g. > égaux et constans , ainsi que gS q' , q" , &c. 5 ce qui exige que l'une des racines de l'équation en g, soit zéro, et ce qui l'abaisse au degré i — 1. Les arbitraires iV", iV, , iv"', &c. £, £;., &c. , se détermineront par la méthode exposée dans le n°. 56. Enfin, on trouvera par l'analyse du n°. 57 , const. = (p* + qi).m.yrâ + (p'2 + q'i).m.vrâ'+ &c. • d'où l'on conclura , comme dans le 11°. cité , que les expressions de P ' 1 iP'-> l'i &c* 1 ne renferment ni ares de cercle, ni exponentielles , lorsque les corps m , m', m", &c; , circulent dans le même sens ; et qu'ainsi , l'équation en g , a toutes ses racines réelles et inégaies. On peut obtenir deux autres intégrales des équations (C). En effet, si l'on multiplie la première de ces équations par m. \/7t, la troisième, par m! . \/ra' , la cinquième, par m". \/râ'\ &c. ; on aura en vertu des relations trouvées dans le n°. 55 , dt v dt y J ce qui donne en intégrant , constante = q.m. \/~a + q'. m'. i/"â'+ &c« (1) On trouvera de la même manière , constante = p. 7?z. \/â -\-p'.m. i/a'+ &c. (2) Nommons

= Vp* + y* ; tang. 9 == - En PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 3i3 En les différentiant, on aura d

\sin.('9'— 9*J+&c; -^=-{ri,o;+ri,2;+&c.}+oJo;.|^.coS.r9,-9> a£ tang. ? + Ci,a;.^^'.cos.CÔ'— 9";+ &c. tang. ? &c. Les Astronomes rapportent les mouvemens célestes , à l'orbite mobile de la terre ; c'est en effet , du plan de cette orbite , que nous les observons ; il importe donc de connoître les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites , relativement à l'éclip-' tique. Supposons ainsi, que l'on veuille déterminer les variations différentielles des nœuds et des inclinaisons des orbites , relati- vement à l'orbite de l'un des corps m , m, m", &c. , par exemple, à l'orbite de m. H est clair que q.sin. (n't+i) — p. cos. (iit-\-i) seroit la latitude de m' au-dessus du plan fixe, s'il étoit en mou- vement sur l'orbite de m. Sa latitude au-dessus du même plan , est q' .sin.(nt+i') — p' . cos. (n't+z') ; or la différence de ces deux latitudes est à très-peu près la latitude de m' au-dessus de l'orbite de m / en nommant donc ' ■* Ces valeurs de xdy — ydx, x'dy' — yrdxr, &c. , peuvent être em- ployées , lorsque l'on fait abstraction des inégalités du mouvement des planètes, pourvu que l'on considère les élémens e, e', &c. , ç> ,

'}— &c. ; et par conséquent , si l'on néglige les quarrés de e, e', ? , &c, on aura/rc. \Z~a-{-m'. \/H '+ &c. constant. On a vu précédemment, que si l'on n'a égard qu'à la première puissance de la force perturba- trice , a, a', &c. sont constans séparément ; l'équation précédente Rra 3i6 MÉCANIQUE CÉLESTE, donnera donc, en négligeant les quantités très-petites de l'ordre e*, ou e2 $' , const.= m. \/â. {V + tang.2?) +m'. \/~â! . {é?'2 + tang.'V} + &c. j Dans la supposition des orbites presque circulaires , et peu incli- nées les unes aux autres , les variations séculaires des excentricités des orbites , sont par le n°. 55 , déterminées au moyen d'équa- tions différentielles indépendantes des inclinaisons, et qui par con- séquent sont les mêmes que si les orbites étoient dans un même plan ; or on a dans cette hypothèse , ç = o, OC Cl V ■■■■■ V Cl OC En multipliant cette quantité par — ~r:^ — ■> ou Par sa valeur x cîz — zdx /" —^—~~~~~~—' *\i j j x et z —— zet X V a.(i — e*) , on aura la valeur de _,- l'équation (5) du n°. g , donnera donc , en négligeant les quantités de l'ordre ?ra2, | /a.(i-e>) , , g X a'. (1-e'-) c —m.q.l/ — ; — \-m .a .1/ — ;+ &c. * Vi i+tang,2? l * i + tang.y. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 3i7 On trouvera pareillement que l'équation (6) du n°. 9, donne c =m.p.\/ hm.p^lX 7+ &c. 1 K 1 + tang.2;? J v î+tang-V Si dans ces deux équations , 011 néglige les quantités de l'ordre e3, oue1.? ; elles deviennent const. = mq . \Z~â+ m'q\ \Ta + &c. const. = mp . \/~à +m'p'.\/~a '+ &c. ; équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans le n°. 5g. Enfin , l'équation (7) du n°. g , donnera, en observant que par le n. 10 , - = — , et en négligeant les quantités de l'ordre m m! , m m' m" , const.= — V — + —+ &c a a a Ces diverses équations subsistent eu égard aux inégalités à très- longues périodes , qui peuvent affecter les élémens des orbites de ml m', &c. Nous avons observé dans le n°. 54 , que le rapport des moyens mouvemens de ces corps, peuvent introduire dans les ex- pressions des grands axes des orbites considérées comme variables, des inégalités dont les argumens proportionnels au temps, croissent avec beaucoup de lenteur , et qui ayant pour diviseurs , les coeffi- ciens du temps t, dans ces argumens , peuvent devenir sensibles. Or il est visible qu'en n'ayant égard qu'aux termes qui ont de semblables diviseurs , et en considérant les orbites comme des ellipses dont les élémens varient à raison de ces termes , les inté- grales (4), (5), (6) et (7) du n°. g, donneront toujours les relations que nous venons de trouver entre ces élémens ; parce que les termes de l'ordre mm' que nous avons négligés dans ces intégrales, pour en conclure ces relations , n'ont point pour divi- seurs, les très-petits coefïiciens dont nous venons de parler, ou du moins , ils ne les renferment , que multipliés par une puis- sance des forces perturbatrices , supérieure à celle que l'on con- sidère. 62. Nous avons observé dans les n09. 21 et 22 du premier livre , que dans le mouvement d'un système de corps , il existé un 5i8 MÉCANIQUE CÉLESTE, plan invariable on conservant toujours une situation parallèle, qu'il est facile de retrouver dans tous les temps , par cette condi- tion , que la somme des masses du système , multipliées respec- tivement par les projections des aires décrite-; par leurs rayons vecteurs , dans un temps donné , est un maximum. C'est principa- lement dans la théorie du système solaire, que la recherche de ce plan est importante , vu les mouvemens propres des étoiles et de l'écliptique , qui rendent très-difficile aux Astronomes, la déter- mination précise des mouvemens célestes. Si l'on nomme y l'incli- naison de ce plan invariable , sur celui des x et des y , et n la lon- gitude de son nœud ascendant ; il résulte de ce que nous avons démontré dans les n°\ ^1 et 22 du premier Livre, que l'on aura c" c tang. y . sin. n = — ,• tang. y . cos. n = — ,• c c et par conséquent , m . \/a . ( 1 — é1) . sin.u» . sin.A-f-m'. \/ d .(i—e*) . sin.ç' . sin.0'-f&c. tang.2/.sm.n= — — — — m. \/ a.(\ — e^.cos.ç-J-m'. \/ a' .(1 — e'2J.cos. ç'+&c. 77t. ya.(i — e- ) .sin.ç .cos. 9 -\-m! . yd.(i — e'^.sin.^'.cos.S'-j- 8tc tang.>-.cos.n= i.[/a.(i— e*) .cos.? +m'. t/V.^i— e'^.cos. \ tels que l'on ait l'équa- tion précédente entre sin.

Ces intégrales donnant les arbitraires, en fonctions des coordon- nées et de leurs premières différences ; elles sont sous une forme très - commode , pour déterminer les variations de ces arbitraires. Les trois premières intégrales donnent en les dilférentiant , et en ne faisant varier par le n°. précédent , que les paramètres c , c'; c", et les premières différences des coordonnées , x-ddy — y.ddx , x.ddz — z.ddx y.ddz—'Z.ddy de = ; i UC = ,• dû = ; „ dt dt ' dt En substituant , au lieu de ddx, ddy , ddz , les parties de leurs valeurs dues aux forces perturbatrices , et qui en vertu des équa- différentielles (F) , sont — dt . (— J ,— dt* . ( — J ,— df . (-j- \ tions on aura dc-dt-{z-(d^)-x'{in)}>- On a vu dans les n°\ 18 et 19 , que les paramètres c, c', c", déter- minent trois élémens de l'orbite elliptique, savoir, l'inclinaison

+/''+r»'-p'. O ; , a c* + c'* + c''* ces équations ont donc encore lieu dans le cas de l'ellipse variable, pourvu que les paramètres soient déterminés par ce qui précède. On peut d'ailleurs s'en assurer facilement à posteriori. Nous venons de déterminer cinq élémens de l'orbite troublée, savoir , son inclinaison , la position de ses noeuds , son demi-grand axe qui donne son moyen mouvement, son excentricité, et la position du périhélie. Il nous reste à déterminer le sixième élément du mouvement elliptique, celui qui dans l'ellipse non troublée , répond à la position de m , à une époque donnée. Pour cela, re* prenons l'expression de dt du n°. 16, ± dt.\/~~jjL dv.(l — e*)7- {i + e.cos (V — &)}' Cette équation développée en série , nous a donné dans le n°. cité , ndt = dv. {i + E^Kcoa.(v— &)+&*\ cos. 2 (v -?■<*) + &c.}. En intégrant cette équation dans la supposition de e et de v cons- tans , on aura ECO fn dt + g = v + -E(,). sin. (p — *r) -| . sin. 2. (v — w ) + &c. 5 « étant une arbitraire. Cette intégrale est relative à l'ellipse inva- riable : pour l'étendre à l'ellipse troublée , il faut qu' en y faisant tout PREMIERE PARTIE, LIVRE IL 0^9 tout varier jusqu'aux arbitraires 5, e et w qu'elle renferme, sa différentielle coincide avec la précédente ; ce qui donne f/J£0)\ /d£CO\ ") c?e = cfe, j f — r— }.sin.(V — ^j + ^.f -5 — J.sin. 2 (p — -ar>!-&c. > — dv. {J3(,).cos. (V — st^t£(^.cos. 2(V — ■3t9 + ^c-}- f — w est l'anomalie vraie de m , comptée sur l'orbite , et w est la longitude du périhélie , comptée pareillement sur l'orbite. Nous avons déterminé précédemment, la longitude I de la projection du périhélie sur le plan fixe ; or on a par le n°. 22 , en changeant v en "B- , et v t en I dans l'expression de v — £, de ce n°. , * -* e = I— 9 + tang.a. \ ? . sin. 2 (I— S) + &c. En supposant ensuite v et #y nuls dans cette même expression, on a € = 9 + tang.* £ ? . sin. 2 9+ &c, partant ■»•= 2-f tang.'^-ip. {sin. 2 9 + sin. 2 (I — 0)} -h&e. ;, ce qui donne dir = dl. (î + atang.'ip.cos. 2(1— 9J + &c.} f2c?9.tang.a^. {cos.2 9 — cos, 2(fJ— 9; + &c.} rf?.tang.4î> cos. .t? {sin. 2 9 + sin. 2 (I — 9J-j-&c.}, Ainsi, les valeurs de dl, d8 et dtp étant déterminées par ce qui précède ; on aura celle de d™ , d'où l'on tirera la valeur de ds. Il suit de-là que les expressions en séries , du rayon vecteur , de sa projection sur le plan fixe , de la longitude rapportée soit sur le plan fixe , soit sur l'orbite , et de la latitude , que nous avons données dans le n°. 22 , pour le cas de l'ellipse invariable, ont également lieu dans le cas de l'ellipse troublée , pourvu que l'on y change nt , en fndt , et que l'on détermine les élémens de l'ellipse variable , parles formules précédentes. Car , puisque les équations finies entre 7*, *>, s , x , y , z , etfn dt, sont les mêmes dans les deux cas, et que les expressions en séries, du n°. 22 , résultent de ces équations , par des opérations analytiques entièrement indé- pendantes de la constance ou de la variabilité des élémens 3 il est Mkcan. cÉr,. Tome I. T t 55o MECANIQUE CELESTE, clair que ces expressions ont encore lieu clans le cas des élemenâ variables. Lorsque les ellipses sont fort excentriques , telles que les orbites des comètes ; il faut changer un peu l'analyse précédente. L'incli- naison ..(in' — inf v J On voit par-là, que si i'n' — in n'est pas nul, les quantités a et '( Tt j. 552 MÉCANIQUE CÉLESTE, ne renferment que des inégalités périodiques , en n'ayant égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice ; or i et ï étant des nombres entiers, l'équation in! — in = o} ne peut pas avoir lieu , quand les moyens mouvemens de m et de m! sont incommen- surables , ce qui est le cas des planètes, et ce que l'on peut ad- mettre généralement, puisque n et n étant des constantes arbi- traires susceptibles de toutes les valeurs possibles , leur rapport exact de nombre à nombre , est infiniment peu vraisemblable. Nous sommes donc conduits à ce résultat remarquable , savoir , que les grands axes des orbites des planètes et leurs moyens mou- vemens , ne sont assujétis qu'à des inégalités périodiques dépen- dantes de leur configuration entre elles , et qu'ainsi , en négligeant ces quantités , leurs grands axes sont constans , et leurs moyens mouvemens sont uniformes : résultat conforme à celui que nous avons trouvé par une autre méthode, dans le n°. 54. Si les moyens mouvemens nt et n't , sans être exactement com- mensurables , approchent beaucoup d'être dans le rapport de i' à i; le diviseur in — i n , est fort petit , et il peut en résulter dans ( et ç", des inégalités qui croissant avec une grande lenteur, pourront donner lieu aux observateurs, dépenser que les moyens mouve- mens des deux corps m et m! ne sont pas uniformes. Nous verrons dans la théorie de Jupiter et de Saturne , que cela est arrivé rela- tivement à ces deux planètes : leurs moyens mouvemens sont tels que deux fois celui de Jupiter, est à fort peu près égal à cinq fois celui de Saturne ; en sorte que bn' — 211 n'est pas la soixante- quatorzième partie de n. La petitesse de ce diviseur, rend très- sensible , le terme de l'expression de f, dépendant de l'angle 5 n't — 2 n t , quoiqu'il soit de l'ordre i' — i , ou du troisième ordre par rapport aux excentricités et auxinclinaisons des orbites, comme on l'a vu dans len°. 48. L'analyse précédente donne la partie la plus sensible de ces inégalités; car la variation de la longitude moyenne dépend de deux intégrations , tandis que les variations des autres élémens du mouvement elliptique , ne dépendent que d'une seule intégration j il n'y a conséquemment, que les termes de l'expression de la longitude moyenne , qui puissent avoir le quarré (ïri — in)*, pour diviseur; en n'ayant donc égard qu'à ces termes qui, vu la PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 333 petitesse de ce diviseur , doivent être les plus considérables , il suffira , dans les expressions du rayon vecteur , de la longitude et de la latitude , d'accroître de ces termes , la longitude moyenne. Quand on a les inégalités de ce genre, que l'action de m produit dans le moyen mouvement de m ; il est facile d'en conclure les inégalités correspondantes que l'action de m produit dans le moyen mouvement de m'. En effet , si l'on n'a égard qu'à l'action mutuelle des trois corps M , m et m' ; la formule (7) du n°. 9 , donne (dx*+dy*4-dz* ) m . (dx^+dy^ + dz'2) const. = m. ^— - — i+ S — \ J ^ '- de- df- {(mdx+m'dx')*+(mdy+m'dy')%-lr(mdz.-\-m'dz')*} ~~(M-^m + m').de ^a) 2 Mm a M m a m m La dernière des intégrales (p) du n°. précédent, donne en y subs- tituant pour — , l'intégrale 2/di?, dx* "+ dy + dz2 a. (M+ m) rj -, = — — — 2 .Jd'Ii. de ]/:x*-+y*-{-z* Si l'on nomme ensuite R', ce que devient _K, lorsque l'on considère Faction de m sur m', on aura __ m.(xx'+yy'+zz') (x2-\-y2+ z2j * V (x — xf + (y— y Y + (z—z>Y dx'2 + dy'*+ dz'* a. (M + m') de n.fd'Kj v/x'a+ya+ z'a la caractéristique différentielle d' ne se rapportant qu'aux coor- -, 1 1 1 1 / -r, , . -, dx24-dy2-{-dz2 données x,j ,z du corps m . En substituant au lieu de J- de dv^+dv-'+dz* et de — , ces valeurs dans l'équation (a) ; on aura r,-n 1 n< r>r . { (mdx-^m dx' )2-\- (mdy4-m'dy' )24- (mdzA-m dz )-) m.jdR+m ./dit = const.— — s J— ' — - J i- a.(M+m+ m), de m2 m'2 + Vx*-\-y -{-z2 y/x'--\-y'*+z,:i 554 MÉCANIQUE CÉLESTE, Il est visible que le second membre de celte équation ne renferme point de termes de l'ordre des quarrés et des produits des masses m et m, qui aient pour diviseur ïn'-^in; en n'ayant donc égard qu'à ces termes , on aura m.f&R + m'.fà'E!=o; ainsi , en ne considérant que les termes qui ont pour diviseur (i'ri — in)*, on aura 3 • ffan'dt. à'R _ m -(M+ m) . an 3. ffandt. dR M + ?»' ~ ~ m' .(M+m').an° M+m * or on a o.ffandt.àR ?/ Z.ffa'n'dt.à'R' ^= M+m i » == 31+ m' 3 on aura donc m . (31+ m') .an.('+fn. (31+ m) . an . { = o. On a ensuite , _ {/M+m . {/M+m n — ■ _____^^_ - 77 — • l ' n — i j n1 a'* en négligeant donc m et m', vis-à-vis de 31, on aura, m.l/r~â.?+m' ,{/~a' .Ç' ==o ; ou m.\f~a S —-' » / — / 'v m .y a Ainsi, les inégalités de f , qui ont pour diviseur (Yre' — ira^, feront connoître celles de (', qui ont le même diviseur. Ces inégalités sont , comme l'on voit , affectées de signe contraire , si n et n sont de même signe , ou , ce qui revient au même , si les deux corps m et m tournent dans le même sens ; elles sont d'ailleurs dans un rapport constant ; d'où il suit que si elles paraissent accélérer le moyen mouvement de m, elles paraîtront retarder celui de m' suivant la même loi , et l'accélération apparente de m , sera au retardement apparent de m , comme iv!\/~a' est à m . {/~~â. L'accé- lération du moyen mouvement de Jupiter, et le rallentissement de celui de Saturne, que la comparaison des observations modernes PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 555 aux anciennes , avoit fait connoître à Halley , étant à fort peu près dans ce rapport; je conclus du théorème précédent, qu'ils sont dus à l'action mutuelle de ces deux planètes , et puisqu'il est constant que cette action ne peut produire dans les moyens mou- vemens , aucune altération indépendante de la configuration des planètes , je ne balançai point à croire qu'il existe dans la théorie de Jupiter et de Saturne , une grande inégalité périodique , d'une fort longue période. En considérant ensuite que cinq fois le moyen mouvement de Saturne , moins deux fois celui de Jupiter , est à très-peu près égal à zéro; il me parut vraisemblable que le phé- nomène observé par Halley, avoit pour cause, une inégalité dépen- dante de cet argument. La détermination de cette inégalité vérifia cette conjecture. La période de l'argument i'n't — Vit, étant supposée fort longue; les élémens des orbites de m et de m! épi-ouvent dans cet inter- valle, des variations sensibles auxquelles il est essentiel d'avoir égard dans la double intégrale ffakrfdt .sua. (i'n't — int+A). Pour cela , nous donnerons à la fonction /fc.sin. (i'n't — int-\-A), la forme Q . sin. (i'n't — int+i'i' — it) + Q . cos. (i'n't — int+ i's' — i°) , Q et Q' étant fonctions des élémens des orbites ; nous aurons ainsi , ffakn*df .sin. (i'n't — int+A) = n-a.sm.(ïrit—int+i'e'—h) ("-_, z.dQ' o.ddQ 4.d30' ) (i'ri — in)a (in — in).dt (i'n' — in^.dt* (i'n — in)3.dt3 ' J n*a.cos.(i'rit—int-\-ïs'—U) f , z.dQ 5-ddQ' 4-d3Q ~) (i'n'— in)" '{ (iri-in).dt (ïn'—inf.dP (i'n—inf.dt^^^'Y Les ternies de ces deux séries, décroissant très-rapidement, vu la lenteur des variations séculaires des élémens elliptiques ; on peut dans chaque série, s'en tenir aux deux premiers termes. En y substituant ensuite, au lieu des élémens des orbites , leurs valeurs ordonnées par rapport aux puissances du temps , et ne conservant que sa première puissance; la double intégrale précédente pourra être transformée dans un seul terme de la forme (F+ E.t). sin. (i'n't— int+ A + H. l) Relativement à Jupiter et à Saturne , cette expression pourra 536 MÉCANIQUE CÉLESTE, servir pendant plusieurs siècles avant et après l'instant que l'on aura choisi pour époque. Les grandes inégalités dont nous venons de parler, en produisent de sensibles parmi les termes dépendant de la seconde puissance des allasses perturbatrices. En effet, si dans la formule * (--= —.ffak n\dt\sm.(ï?'—i? \ ^4 ) , on substitué pour { et {' leurs valeurs •» 3i-m'an* ,k . ... , . jit — : — ..sjn. Ci n t — int-\- ^4) ,« fj..(in — i n)* . Zi.man* .k \/~a , n t-\ — — r— .— r -.sin.(i« t — int+^4) , y. .{in — i n)x y a il en résultera parmi les termes de l'ordre nî, le suivant : — I ,., , . , • i YTJIr-, — )L-L • sm. 2 (ï'n't —int+ ,4) . S.^.(i'n-in)* m .\Td La valeur de (' renferme le terme correspondant qui est au précé- dent, dans le rapport de tn.\/~a à — ?ri.\/~â', ûia.m'2.aa.7î4.kI r ' — m.\/~a .'..,. -— — : . \ i,m v/a 4-i .ml/ a \ .— -.sin.2.r i n t—int-\-^4). %.V?.(i'ri—in)i •- v J m'*. a' K J 66. Il peut arriver que les inégalités du moyen mouvement , les plus sensibles , ne se rencontrent que parmi les termes de l'ordre des quarrés des masses perturbatrices. Si l'on considère trois corps m, m', m", circulant autour de 31, l'expression de dH relative aux termes de cet ordre, renfermera des inégalités de la forme £.sin. (int — i'nt-ri"n"t-\-^4); or si l'on suppose les moyens mou- veniens nt, rît, n"t , tels que in^—i'n' -\-i"n" soit une fraction extrêmement petite de n , il en résultera une inégalité très-sen- sible dans la valeur de "— p) — m" . (r*— 2 r r" . cos. (V — v) + r"*f \ r/a Si l'on développe cette fonction dans une série ordonnée par rap- port aux cosinus de v — v , de v" — v , et de leurs multiples ; on aura une expression de cette forme , R = ~. (r,r')M + m,.(r,r')l'Kcos.(t>'—r) + m'. (r,r'/*h coî.i(v'-v) m + m' . (r, r'){>\ cos. 5 (V— v) + &c. + ^.(r/')^+?r/\(r/')^cos.(p''-p)+m'\(r,r'')^.cos.2(v,'-p) ■ + ot" . (r, r")^ . cos. 5 (v"— v ) + &c. ; d'où l'on tire /d.(r/>p>\ 0fd.(r/')M\ : ., „ (d.(r,r"py\ , •( J )+OT •( . j.cos.(y— pj+m .( — -= J.cos.2.(V — f>h&c. ; m'. fr/;W. sin.(V— pjl + 2 m!\(rj]fa.am. 2 (V— *0 + &c. ) /7').sin.*).sin.a^"— f; + &c.) Supposons , conformément à ce que les observations indiquent dans le système des trois premiers satellites de Jupiter, que n — in! et n' — 2 7z" soient des fractions très -petites de n , et que leur différence (n — 2n')- — (n' — %n"), ou n — 3n' + 2n", soit incom- parablement plus petite que chacune d'elles. Il résulte des expres- sions de — et de J>, du n". 5o, que l'action de m' produit dans le rayon vecteur et dans la longitude de m, une inégalité très-sensible dépendante de l'argument 2. (rît — nt+t' — 1). Les termes rela- tifs à cette inégalité, ont pour diviseur k.(ri — n)* — n2 , ou (n — 2n').(5?i — 2n')} et ce diviseur est très-petit , à raison de la petitesse du facteur n — u,n'. On voit encore, par la considéra- PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 55g lion des mêmes expressions, que l'action de m produit dans le rayon vecteur, et dans la longitude de rri, une inégalité dépen- dante de l'argument (rit — nt + i — t) , et qui ayant pour divi- seur (ri — n)~ — ri*, ou n>(n — 2 ri), est fort sensible. On voit pa- reillement que l'action de rri' sur m', produit dans les mêmes quantités, une inégalité considérable dépendante de l'argument 2.(ri't — rit + i" — î'). Enfin on voit que l'action de m' produit dans le rayon vecteur et dans la longitude de rri', une inégalité considé- rable dépendante de l'argument ri't — rit+s" — t'. Ces inégalités ont été reconnues d'abord par les observations ; nous les déve- lopperons avec étendue , dans la théorie des satellites de Jupiter : leur grandeur par rapport aux autres inégalités , permet de négli- ger celles-ci , dans la question présente. Nous supposerons donc , jy = m'. E'. cos. 2. (rit — nt+i — i) ; Sv = rri .F1 .sin. 2. (rit — nt-\-z' — t) ; S?-' — m".E".cos.ï.(>i"t—rit+i"—i')±m. G.cos.(rit—nt-\-i—t); ', rit-\-î' + fvr, a" + £r", ri't-\-t' + Sv", et ne conserver que les termes dépendans de l'argument nt — 5rit+2n"t+i — 3/ +2 1" ; or il est facile de voir que la substitution des valeurs de JV, JV , S-r", S~v", , ne peut produire aucun terme semblable. Il n'en est pas ainsi de la substitution des valeurs de JV, et de JV : le terme m'.(r,r )^K dp. sin. (v' — v) de l'expression de di?, produit la quantité suivante , c'est la seule quantité de ce genre , que renferme l'expression de àH. Les expressions de — et de JV, du n°. 5o, appliquées à l'ac- tion de m" sur m', donnent , en ne conservant que les termes qui Vv 2 54o MÉCANIQUE CELESTE ont ri — 2n!', pour diviseur, et en observant que n" est à très- peu près égal à -ri, | „ fd(a',a")^\ an" , } E" n (n — 2.11). (an ■ — 2n ) w zE" on aura donc dH~m'-m"-ndt.E". ra-^g'a^CO (d.(a,a')M\-\ 2 * \ d \ da' / ) Xsin.(nt~râjit+2n"ti-i — 5t+2i")= — ^.—. a- da ddÇ dd\' En substituant cette valeur de — , dans les valeurs de — — , —7— , a* ' dt dt J dd{" et — — , et faisant pour abréger , on aura, à cause de n à très-peu près égal à 2 ri, et de ri à très-peu près égal à 2n", ddl ' ddC dd{" . „ , „ „, - o.— (- 2.— — = £.ras.sin. (tz£ — ont+211 t-\-î — ùi -h2i J: dt* dt* dt* K y ou plus exactement, ~ — 5.^+ 2.^= Cri. sin.(Ç— 5.f+2.f'-H — 5t'+2t")j dt* dt* dt* ^ b b en sorte que si l'on suppose on aura — — = €.n*. sm. /^. tfta Les moyennes distances a, a', «". variant très-peu, ainsi que la quantité n ,- on peut dans cette équation, considérer é'/z4, comme une quantité constante. En l'intégrant, on a . ±dV dt = — — , \/ c — 2 Qn* -cos.V PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 54i c étant une constante arbitraire. Les différentes valeurs dont cette constante est susceptible , donnent lieu aux trois cas suivans. Sic est positif et plus grand que rfcsÊV, l'angle /^croîtra sans cesse, et cela doit arriver , si , à l'origine du mouvement , (n — -"bn! + iri'y est plus grand que =±=2 Sn" . ( 1 =t=cos. J^) , les signes supérieurs ou inférieurs ayant lieu suivant, que S est positif ou négatif. Il est facile de s'assurer, et nous le ferons voir particulièrement dans la théorie des satellites de Jupiter , que S est une quantité positive relativement aux trois premiers satellites de Jupiter ; en sup- posant donc ^:»=!r — V, 7T étant la demi-circonférence , on aura dt-- y c -J- 2 £ ra2 . cos. •ar Dans l'intervalle depuis -s- == o , jusqu'à <#= — ,• le radical V c+2€n*. cos. <& est plus grand que K2fn!, lorsque c est égal ou plus grand que 2 C n? ; on a donc dans cet intervalle , «>72 1. V 2 C • ainsi , le temps t que l'angle & emploie à parvenir de zéro à l'angle droit , est moindre que tr- La valeur de C dépend des masses an. y zQ m, rri , m!' : les inégalités observées dans les mouvemens des trois premiers satellites de Jupiter , et dont nous avons parlé ci-dessus , donnent entre leurs masses , et celle de Jupiter, des rapports d'où il résulte que — est au-dessous de deux années, comme 2,n. y 2b on le verra dans la théorie de ces satellites ; ainsi l'angle lus deux fois celui du troisième , est exactement et constamment égal à zéro. Il n'est pas nécessaire que cette égalité ait eu lieu exactement à" l'origine , ce qui seroit infiniment peu vraisemblable; il suffit qu'elle ait été fort approchée, et que n^'on' + 2n" ait été moindre, abstraction faite du signe, que h.n\/~Ç; et alors, l'attraction mutuelle des trois satellites , a suffi pour rendre cette égalité rigoureuse. , On a ensuite % — 5/-f as" égal à deux angles droits; ainsi, la longitude moyenne du premier satellite , moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est exactement et cons- tamment égale à deux angles droits. En vertu de ce théorème . PREMIÈRE PARTIE, LIVRE II. 543 les valeurs précédentes de 7*= a- — ■■&, et *• très-petit , l'équation différentielle en f^_ deviendra ddûr dd-\, 0= — 4- fi'/Z3 . -ZET-* = . d t* dt* La période de l'angle n t. \/T étant d'un très-petit nombre d'années , tandis que les quantités renfermées dans -j-^- , sont, ou constantes, ou embrassent plusieurs siècles ; on aura à très-peu près , en inté- grant l'équation précédente , d d \, #/' — c?at. | Ci + sa,). cos. f . f — J — 7*5. cos. f . f — - J + 5. sin. £>. ( — j | + ^.{a+^;.sin.^.(^)-,-5.sin.^.(^)-5.cos.^.(^-)] , ,n f /rdR\ sin.v /c?K\ s.cos.v /dR\ï +cdt. {cps^-y— .{-) — — .^)j , „7 f . /^R\ cos.v /rfiï\ s.sin.v /dR\) + o'^.[S1n.,.(_j + --.(-) --(-y)]. Les quantités e', c" dépendent, comme on l'a vu dans le n". 64 > de l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan fixe , en sorte que ces quantités se réduiroient à zéro , si cette inclinaison étoit nulle ; /dR\ d'ailleurs , il est aisé de voir par la nature de i? , que I — j est de l'ordre des inclinaisons des orbites; en négligeant donc les quar- rés et les produits de ces inclinaisons , les expressions précédentes de df et de df deviendront df=~df.ffi-cdt.{sin.p. (^) + -°^.(^)} ? df- dx-Ç£h cdu {pos-*"(^)--r-(§)3 * or on a dx = d.(r. cos. p) ; dy = d. (r. sin. v ) ; cdt = xdy — ydx = rldv ,• on aura donc df = — [d r.sin. v-{- 2 r dp . cos. v] •(-7—) — r*dp.s'm.p.( — J ; df = {dr.cos.p — -2 r dv. sin.v) -\~r~) + r"dp.cos.p.( — \ Mkcan. cet*. Tome I. X x 546 MÉCANIQUE CÉLESTE, Ces équations seixmt plus exactes , si l'on prend pour plan fixe des * et desjy , celui de l'orbite de m, à une époque donnée ; car alors c, c" et s sont de l'ordre des foixes perturbatrices ; ainsi les quantités que l'on néglige , sont de l'ordre des quarrés des forces perturbatrices multipliées par le quarré de l'inclinaison respec- tive des deux orbites de m et de m! . Les valeurs de r, dr , dp, ( -r-), ( -j— ), restent visiblement les mêmes, quelle que soit la position dupoint d'où l'on compte les longitudes ; mais en diminuant v , d'an angle droit , sin. v se cbange dans — cos. p, et cos. p se change dans sin. v j l'expression de df se change par conséquent , dans celle de df ; d'où il suit qu'ayant développé la valeur de df, dans une suite de sinus et de cosinus d'angles croissans proportionnellement au temps , on aura la valeur de df, en diminuant dans la première , les angles e , %', •a-, -ar', 9 et 6', d'un angle droit. Les quantités f et f déterminent la position du périhélie , et l'excentricité de l'orbite ; en effet , on a vu dans le n°. 64 , que tàng.J=ji Jetant la longitude du périhélie, rapportée au plan fixe. Lorsque ce plan est celui de l'orbite primitive de m , on a aux quantités près de l'ordre des quarrés des forces perturbatrices multipliées par le quarré de l'inclinaison respective des orbites, 1=^, & étant la longitude du périhélie sur l'orbite ; on aura donc alors , L f'3 tan g. -ar : ce qui donne f f sin. ts = — .- cos. -a- ■ — On a ensuite , par le n°. 64 , ainsi, c et c" étant dans la supposition précédente, de l'ordre des forces perturbatrices , f" est du même ordre, et en négligeant les PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 547 termes du quarré de ces forces, on aura pe = Vf*+f'\ Si l'on substitue au lieu de Vf*+f", sa valeur pe, dans les expression-? de sin. -s-, et de cos.-s-, on aura l*e.s'm.&=f ; y.e.cos.'&=f; ces deux équations détermineront l'excentricité et la position du. périhélie , et l'on en tirera facilement , lS.ede=fdf+f'df ; ^e\dv=fdf'—f'df. En prenant pour le plan des x et des y , celui de l'orbite de m ; on a par les n°\ ig et 20 , dans le cas des ellipses invariables , a-fi — é*) T r*dv.e.ûn. (v — \ « 'Y partant enJf . . w . r m fdn\ eu™ = — -.sin. r y — — . ( -r— J . d M. V- \dv ) P On peut parvenir fort simplement à cette formule , de la manière .■suivante. On a par le n°. 64 , de /dR\ /dR\ /dR\ dt=^\d^)-x\Ty y^ur;> mais on a par le même n°. , c== V pa(\ — e*) , ce qui donne da.y[J.a(i — e2j ede.y^a de = / sa y/i — e" partant andt. v/i— e2 /^R\ > „., <^c etfe = ,, —l + a.Ci— e2;.— ; (x \dv J aa2 on a ensuite , par le n°. 64 , 2 8' On aura ainsi pour e^e, la même expression que ci-dessus. PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 54$ 68. Nous avons vu dans le n°. 65, que si l'on néglige les quarrés des forces perturbatrices ; les variations du grand axe et du moyen mouvement , ne renferment que des quantités périodi- ques dépendantes de la configuration des corps m , m',. m", &c. , entre eus. E n'en est pas ainsi des variations des excentricités et des inclinaisons : leurs expressions différentielles contiennent des termes indépendans de cette configuration , et qui, s'ils étoient rigoureusement constans , produiroient par l'intégration , des ter- mes proportionnels au temps , qui rendroient à la longue , les orbites fort excentriques , et très-inclinées les unes aux autres ; ainsi, les approximations précédentes, fondées sur le peu d'excen- tricité et d'inclinaison respective des orbites, deviendroient insuffi- santes et même fautives. Mais les termes constans en apparence , qui entrent dans les expressions différentielles des excentricités et des inclinaisons , sont fonctions des élémens des orbites , en sorte qu'ils varient avec une extrême lenteur , à raison des changemens qu'ils y introduisent. On conçoit qu'il doit en résulter dans ces élémens , des inégalités considérables , indépendantes de la confi- guration mutuelle des corps du système, et dont les périodes dépen- dent des rapports des masses m, m, &c. , à la masse M. Ces inéga- lités sont celles que nous avons nommées précédemment, inégalités séculaires , et que nous avons considérées dans le Chapitre VII. Pour les déterminer par cette méthode , reprenons la valeur de df du n°. précédent , andt /clR\ df= . { 2. cos. v+le.cùs.^ + ^e.cos.(2p — ,v) } . ( — ) — d'ndt. Vi — e'.sin.^. (—— j. Nous négligerons dans le développement de cette équation , les quarrés et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites; et parmi les termes dépendans des excentricités et des inclinaisons , nous ne conserverons que ceux qui sont constans : nous supposerons ensuite , comme dans le n°. 48 , r^=a.(l-\-ut) } r'-—a\(i + ui')^ pz^nt+î-l-v, ; v' = 7Ït-+i'-\-pi'. 55o MÉCANIQUE CÉLESTE, Cela posé ; si l'on substitue pour R, sa valeur trouvée dans le n°. 48 ; si l'on considère ensuite , que l'on a par le même n°. , /dR\ a /dR\ , , (dR\ enfin , si l'on substitue , au lieu de u, , u'n v, et pf, leurs valeurs ' — e.cos.(nt+t — ■&), — e'.cos. (n't-\-i — •&'), %e.sm.(nt+s — <&), et 2 e'. sin.( ri t+e' — «'jj, données par le n°. 225 en ne conservant que les termes constans parmi ceux qui dépendent de la première puissance des excentricités des orbites , et en négligeant les quarrés des excentricités et des inclinaisons , on trouvera „ am'ndt . f fdAW\ /ddA^\} ^=— — e'*m-"'{a\-d-r^ \-iTa-)) , , , • / f * ^> fdA^\ f'fdÂW\ , , AM#0\") +a,zW..e^sn^^(^o+,a.^_j+,a^^+^a^^__jj — am'ndt. 2. ] i.^^ + ^.a.l -7— J > .sin.{i.(V* — tzé+e'— 0 + "^+£}> le signe intégrais s'étendant dans cette expression , comme dans la valeur de i? du 11°. 48 , à toutes les valeurs entières positives et négatives de i , en y comprenant même la valeur i = o. On aura par le n°. précédent, la valeur de df, en diminuant dans celle de df, les angles s, *'7 & et &', d'un angle droit ; d'où l'on tire , am'ndt ( fdA^\ /ddAM\) df — — .e.cos^.|a.^_ j+-^_jj , -, , , f >„ , /^w\ , , /44°A , , /ddA^\) -i- am'ndt. s. | i.^(!) + ^a.( — — J > .cos,{z.fra'£ — ;z£+ê' — i) + nt-L-t], Nommons , pour abréger , X la partie de l'expression de c//", renfermée sous le signe s , et J' la partie de l'expression de df, renfermée sons le même signe, Faisons de plus , comme dans le n°. 55, m-.n ( (dAW\ , , fddA^\\ „ m'. n ( „, , /dAW\ , /ddA<-'yy\ PREMIERE PARTIE, LIVRE IL 55i observons ensuite , que le coefficient de e' cl t. sin. &', dans l'expres- sion de df, se réduit à [~~\ , lorsque l'on y substitue, au lieu des différences partielles de ^4^ en a, leurs valeurs en différences par- tielles relatives à a / enfin , supposons comme dans le n°. 5o , e.sin. -s- = /^ ; e'.sin. m = h'; e.cos. & — l ,• e'.cos. <»■'== /' • ce qui donne par le n°. précédent , fz=^.l • f' ==ph • ou simple- ment f= l, f' = h, en prenant pour unité de masse, 31, et négli- geant m } eu égard à M.; nous aurons — = Co, i).l — [ô7T].r -\-am'n.Y ; — = — Ço,i).h+\ô^].h' — am'n.X. De-là, il est aisé de conclure que si l'on nomme (Y) , la somme des termes analogues à am'n. Y, dus à l'action de chacun des corps m, m", &c. , sur m ; si l'on nomme pareillement (X) , la somme des termes analogues à — am'n.X , dus auxmêmes actions; enfin, si l'on marque successivement , d'un trait , de deux traits , &c, ce que deviennent les quantités (X) , (JT) , h et /, relativement aux corps m' , 77z", &c. ; on aura le système suivant d'équations diffé- rentielles , ■^-{ro,i;-Ko,2;+&c.}./-[in]-/'-[^].^-&c.-i-(r)/ 4[=— {fo,i; + fo,2; + &c.} .h +J^T\.:h'.+\o^\,.h''.+ &c. + (X) ; ~={o,o;+ri,2;+&c}.r— [rro]./— [Hî]./''— &c.+(r'),- &c. Pour intégrer ces équations, nous observerons que chacune des quantités ht l, h', l', 8cc. , est formée de deux parties ; l'une dépen- dante de la configuration mutuelle des corps m, m', &c. ; l'autre indépendante de cette configuration , et qui renferme les variations 55a MÉCANIQUE CE LE S T E, séculaires de ces quantités. On aura la première partie , en consi- dérant que si l'on n'a égard qu'à elle seule , h , l, h', /', &c, sont de l'ordre des masses perturbatrices, et par conséquent, (0,1). h, (0,1). I, &c. , sont de l'ordre des quarrés de ces masses • en négli- geant donc les quantités de cet ordre , on aura dh ■'* àl clh cl l partant h=f(Y).dt t l=f(X).dt ; h'—f(Y').dt; &c. Si l'on prend ces intégrales , en n'ayant point égard à la variabilité des élémens des orbites , et que l'on nomme Q , ce que devient alors f(Y).dt; en nommant de l'orbite m , sur ce plan ; tous les termes de l'expression de R dépendans de l'angle i'n't — int, seront compris dans la forme suivante, m'fc.cos. (i'n't— in t+iV- — it — gw — g-V — g"®') ; 1 ■> ï't Si E ■> ë" étant des nombres entiers tels que l'on a, o=z'' — i—g—g'—g". Le coefficient h a pour facteur e".e's'.(iang.^?')3 '\ Si S-> g" étant pris positivement dans ces exposans : de plus, si l'on suppose i et i' positifs , et i' plus grand que ï; on a vu dans le n°. 48 , que les termes de R qui dépendent de l'angle i'n't — int% sont de l'ordre i' — i, ou d'un ordre supérieur de deux, de quatre , &c. , unités ; en n'ayant donc égard qu'aux termes de l'ordre i' — i, k sera de la forme es.e'z' .(tang.^ç)3".Q , Q étant une fonction indépendante des excentricités et de l'inclinaison respective des orbites. Les nombres g , g', g", renfermés sous le signe cos. , sont alors positifs ; car si l'un d'eux, g, par exemple ^ étoit négatif et égal à — f , h seroit de l'ordre f+g'+g" 3 mais l'équation o = i' — i — g — g — g" , donne f+g +g" === i' — i + 2f> ainsi k seroit d'un ordre supérieur à i' — -i, ce qui est contre la . . V, , , -, .,. /dR\ /dR\ supposition. Cela posé , on a par le n°. 4d , ( — J — ( -j—U pour'1 que dans cette dernière différence partielle, on fasse n MÉCAN, CjÉL. Tome I. Y y rvu 554 MÉCANIQUE CÉLESTE, tant ; le terme de ( — — J , correspondant au terme précédent de R, est donc m' . (i+g).&.siï\.(i 'rit — in t+i' e' — U — g™ — g-V — g" Q'). Le terme correspondant de di? est m' . i n le. cit. siti (frit — in t+i V — it — gar — g'ts-' — gnQ') ; en n'ayant donc égard qu'à ces termes , et en négligeant e* vis-à- vis de l'unité, l'expression précédente de ede, donnera ni and t gk ... . n-n. de = .—.sm.(i rit — int+i'î — is — gv — g m — g 'S ) / y. e or on a 8k , , , , ldk\ ^^g.e^.e's'.Ctang.^'y.Q^^); on aura donc en intégrant , m' an ( dk\ , . , , . , .... _ *= pr; — r— .( — ).cos.(ïrit—int+ïi—n—gn—g')g' '; k' est donc d'un ordre supérieur de deux unités, à celui de ( — J; ainsi, en le négligeant vis-à-vis de f — J , on aura m'.andt ( dk\ /■•',. • ., ; , • — , , nui i — l.cos. (int — int-\-i\' — n — g™ — g-V — g S ) , y. \dej pour le terme de ed&, qui correspond au terme nilc . cos. (ïn't— int + ïi'—it—g™ — g' on aura donc ainsi , d'une manière fort simple , les variations de l'excentricité et du périhélie, dépendantes de l'angle i'n't-~int-\-i'i — U, Elles sont liées à la variation £ du moyen mouvement , qui y cor- respond , de manière que la variation de l'excentricité est J_ /dd{\ > 3 i n ' \de dt) ' et la variation de la longitude du périhélie , est (ïri — in) / d{\ 3 in.e \de / La variation correspondante , de l'excentricité de l'orbite de m', due à l'action de m , sera ïri .é \de dt) 3j; et la variation de la longitude de son périhélie , sera (i (ïri— in) fdi'\ 5ïri.e \de' ) nr m -\/~& et comme on a par le n°. o5, (== ; — -—-.?, ces variations seront m.\/~à / dd' \ (ïri — in).m.\/~â / dl\ Zïri.rri.\/~a \dé.dt)'> 5ïri .e' .m .\/~a' \de )' Lorsque la quantité i!n — in, est fort petite , l'inégalité dépendante de l'angle i'n't — int , en produit une sensible dans l'expression du moyen mouvement , parmi les termes dépendans des quarrés des masses perturbatrices ; nous en avons donné l'analyse dans le n°. 65. Cette même inégalité produit dans les expressions de de et de d™ , des termes de l'ordre du quarré de ces masses , et qui n'é tant fonctions que des élémens des orbites , ont une influence sensible sur les variations séculaires de ces élémens. Considérons , en effet, l'expression d« de, dépendante de l'angle i'n't — intr On a, par ce qui précède, m'.an.dt ( /dP\ ,., , . ., % /dP'\ .,.,.. ... "j . < ( — J.cos.(ï7z t~int-\-i i—it) — ( — l.sin.(ï nt—mt+n —U) >. PREMIERE PARTIE, LIVRE II. 357 Par le n°. 65 , le moyen mouvement nt doit être augmenté de T-7 : . {P.COS.(l lit— ltlt+1 i —llJ—P ,Slll.(i II t—lflt+l î — UJ j , (i'n — inJ'-iJi et le moyen mouvement rit , doit être augmenté de om'an-'i m.*/ a . „ ", , , . ,. , . . ,-,, . ^., ,, .,,./» • ^ -i •- : .—^- — ;. {P. cos.(i n t — itit+ii — m) — P .sni.f i n t — int\i i —u)}- (i'n'-in)'.jx. rtî .\Td En vertu de ces accroissemens , la valeur de de , sera augmentée de la fonction 5 m ■ a? ■ in3 . dt A^.^+r.m.V7,].{p.(^yP'.(^)l Zi/.*.\/~d:(ïri — in)*'1-"' ~v Y "" "J [~ ~\de) '\dej'}} et la valeur de d^ sera augmentée de la fonction Zm'd1.i.nz.dt r. , _., ., __. f _ fdP\ _, /dP'\) âlL*.^d.(ïri—in)*:e ^ v { \deJ \de J )' On trouvera pareillement que la valeur de Je' sera augmentée de la fonction Zmtf.\/-a.in*.dt , J. , f /riP'\ /rfPNl et que la valeur de c?^' sera augmentée de la fonction p-^— — r— — ,. {i.m.i/a+i .m.\/a}.{P.[-— +P'.[—7 H. Ces différens termes sont sensibles dans la théorie de Jupiter et de Saturne , et dans celle des satellites de Jupiter. Les variations de e, e\-x et <&', relatives à l'angle ï rit — int, peuvent encore introduire quelques termes constans de l'ordre du quarré des masses pertur- batrices , dans les différentielles de, de', dis et d^' , et dépendans des variations de e , e\ / — = y; c les deux variables p et q détermineront, parle n°. 64, la tangente de l'inclinaison

+ z'*f {(*- *F+ (y -y)2+ (*-*)*}- ' Si l'on substitue pour x , y , #', y', leurs valeurs r. cos. t> , 7-. sin.^ , r'. cos. v , r .sm.v ; on aura Cç—ç') -yy + (p'—p) - x'y = (^r/'r * (cos-^'+^ -cos.(V— ?; ) + (- — -Vr'.{sin.(V+^— sin.(V— ^>}> (p'—p).xx'+(q — q')-xy' = ( J.;r'.{cos.(V+^J)+cos (v'—v)} + (■ \rr. {sin.(v'+v)+s>\n.(v'—v) } . En négligeant les excentricités et les inclinaisons des orbites , on a r = a / p — 7it+i ; r'=a ; p' = n't+t' ; ce qui donne ï T3 (x'2+ya-f z,'sj' {(x— xf-\-(y'— yf\(z — z)*}'- {a'—zaa'.cos^n't-nt+s'-ij + a^}' on a de plus , par le n°. 48 , ±.z.B®.cos.i(/ït— nt+i— 0/ {a2— zaa'.cos.(n't— nt-\-e'— g;+c'a}; le signe intégral 2 s'étendant à toutes les valeurs entières , positives et négatives de ï, en y comprenant la valeur i = o ; on aura ainsi, en négligeant les termes de l'ordre des quarrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites , 56o MÉCANIQUE CÉLESTE, du . (q — (]) m'a , , , y- = J——--—^ • {cas,.(rit+ ?it+ i'+O'— cos.(n't—?ît+ 1'— t) } + ——.~.{sïn.(rit+nt + i' + i) — sïa/n't—nt-{-ç — t)\ 2 C C a + —^.m\aa\^.B^l{sin.l(ii-i).(7il+7it-i'-s)ysin.[(i+i).(?i't-7it+s'-i) + 2nt-\-2q}; 4 c -- = '~^' {cos.(nt-{-nt+î' + i)-\-cos.(n't — nt-\-i — t)} '2C C + — — — ,~. (sin. f/z'j+ni+ê' + O + sin.Cw'f— nt + i— e)) 2 c a 2 4e 1\,}i\aa\^.B^\{sm.[(i+i)Xtit-nt-\-i'-î)^+sin.[(i+i).(7it-jit+/i)+2nt+2q}i 4o dp La valeur z" = — î , donne dans l'expression de — , la quantité constante — -.m .aa.B^~^ ; tous les autres termes de l'es- 4c pression de — , sont périodiques : en désignant par P, leur somme, et observant que Z?(-1) = -5(l), par le n°. 48; on aura dp fa'— <7? i , wro i D — = .m .aa .Bv'-\-r. dt 4e On trouvera par le même procédé , que si l'on désigne par Q , la dq somme de tous les termes périodiques de l'expression de —, on aura dcl (P—P') i r cm , n — = — ; — -.m .aa .B^'j+Q. dt 4c v Si l'on néglige les quarrés des excentricités et des inclinaisons des orbites , on a par le n°. 64 , c = \/ ya ; en supposant ensuite y. = 1 , , • t l -, ■ , m'.aa'.B^ . on a 7i a = i, ce qui donne c = — ; la quantité ; , de^- an *■ 4c vient PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 56i . . m' .cfa'.nBtO . ,-•,-."„"', vient ainsi, , ce qui par le n . 09 est égal a (0,1^; 4 on aura ainsi , ±= (0,1). (q'-q) + P; ■ ^=(0,1). (p-p') + Q. R suit de-là , que si l'on désigne par (P) et (Q) , la somme de toutes les fonctions P et Q , relatives à l'action des différens corps m', m", &c. , sur m; si l'on désigne pareillement par (P'), (Q), (P"), (Q") , &c. , ce que deviennent (P) et (Q) , lorsque l'on y change successivement les quantités relatives à m, dans celles qui sont relatives à m', m", &c. , et réciproquement; on aura pour déterminer les variables p, q , p', q',p", q", &c, le système sui- vant d'équations différentielles , £-=— {(o,l) + (o,2) + &c.}.q + (o,l).q' + (o,z).qn+&c. + (P); ?± = {(o,i) + (o,2) + lkc,}.P-(o,i).p'-(o,2).p"-fkc. + (Q); ^=-{(i,o) + (W2) + &c.}.q'+(ho).q+(l,2).q'' + tkc. + (P); ±L = {(ho) + (h2) + lkc.}.p'-(ho).p-(i,2).p"-&c. + (Q'); &c. L'analyse du n°. 68 , donne pour les parties périodiques de p, q , p', q'} &C , p=f(P).dt 5 q=f(Q).dti p'=f(P').dt; en faisant donc comme précédemment , p =tang. p.sin.fl / q = tang. f . cos. 9 ; on aura, au lieu des deux équations différentielles précédentes, les suivantes , dt /dR\ ^ = __.cos.„.(_J,. dt . /dR\ dP = -T'sm-v\-d7)' or on a s = q. sine. — p. cos. t> , ce qui donne (dR\- l fdR\ fdR\- I fdR\ \dsj sin. v'\dq) ' \ds ) cos.v\dp J ' partant dt fdR\ dt= .7\djp dt /dR\ On a vu dans le n°. 48 , que la fonction R est indépendante de la position du plan fixe des x et des y ; en supposant donc tous les angles de cette fonction , rapportés à l'orbite de m , il est visible que R sera fonction de ces angles , et de l'inclinaison respective des deux orbites , inclinaison que nous désignerons par .sin.gy={^+fr,-'';^1>;^;-f'',-'')^1>?; taag. ,/ . cos. g >; = y-1+V-P>-^)'+W-1-V-P)-W. En n'ayant donc égard qu'au terme précédent de R, on aura ( -J-) — — g- ftang. p/>-1 • m'k . sin. { i'n't — int+^4 — (g—i). 9/ } ; r— }=— g-.Ctang.?»/>°-ï .m'k.cos.{ïrit — int + A—(g—ï)J,'}. Si l'on substitue ces valeurs , dans les expressions précédentes de dp y. et de dq , et si l'on observe que l'on a à très-peu près , c — — ; on aura g. m'k. an . , , , — • ftang. />"-' . cos. { iV*—- « f-^j£—(g-r-i): 5/ } g.m'k.an 1 y., (i'n — izzj En substituant ces valeurs dans l'équation s = q . sin . ^ — p . cos. ^ , on aura — cr.m'k.an . ftang.?)/;"-* .s'm.{ïrit—int—v+ A—(g—\) J !} . Cette expression de s est la variation de la latitude, correspondante au terme précédent de R : il est clair qu'elle est la même, quel que soit le plan fixe auquel on rapporte les mouvemens de m et de m', pourvu qu'il soit peu incliné au plan des orbites \ on aura donc ainsi la partie de l'expression de la latitude , que la petitesse du diviseur i'n — in peut rendre sensible. A la vérité, cette inéga- lité de la latitude, ne renfermant ce diviseur, qu'à la première puissance ; elle est sous ce rapport , moins sensible que l'inégalité correspondante de la longitude moyenne , qui renferme le quarré de ce diviseur; mais d'un autre côté, tang.

cos. 2 (p — ■'&)+ &c.},- en substituant pour £(l), E^'\ &c. , leurs valeurs en séries ordon- nées suivant les puissances de e , séries qu'il est facile de conclure de l'expression générale de -E(0 du n°. 16 j on aura d^ = — 2de.s'm. (p — &) + 2e.d&.cos. (p — &) +ede. {|+^e2+&c. } .sm.a(p-±)-&d*. {f+|e2+&c. } .cos.2(p-v) —e*de. {i+&c.}.sin.5(V — ^) + éi.d^. {i + &c.} .cos.5(V — n) 4- &c. Si l'on substitue pour de et ed^, leurs valeurs données dans le n°. 67 , on trouvera , en ne portant la précision que jusqu'aux quan- tités de l'ordre e2 inclusivement, aKndt x/-—- r_ , , ,.-,'_ ^ fdR\ a .ndt r /, di = . V 1 — e2. {2 — fe.cos. (p — ir)-he*.cos.2(p — &)} .(■ andt , /dR\ .'- — . e. sin. (p — is) . { 1 + \ e. cos. (V — &) } . ( — — ) y..y \ — e2 \"-v J 566 MECANIQUE CELESTE, L'expression générale de dz , contient des termes de la forme m'&.7idt.cos(ïrit — int+^4) , et par conséquent l'expression des ni .k,n , , '. , en contient de la forme — — — —,sin.(int — int-\-^4) ; mais il i n — i n est facile de se convaincre que le coefficient k dans ces termes, est de l'ordre i — i, et qu'ainsi, ces termes sont du même ordre que ceux de la longitude moyenne , qui dépendent du même angle. Ceux-ci ayant pour diviseur , le quarré de in — in ; on voit que l'on peut négliger à leur égard, les termes correspondans de s, lorsque ïn — in est une très-petite quantité. Si dans les termes de l'expression de ds , qui sont uniquement fonctions des élémens des orbites , on substitue au lieu de ces élé- mens , les parties séculaires de leurs valeurs ; il est clair qu'il en résultera des termes constans , et d'autres termes affectés des sinus et des cosinus des angles dont dépendent les variations séculaires des excentricités et des inclinaisons des orbites. Les termes cons- tans produiront dans l'expression de « , des termes proportionnels au temps , et qui se confondront avec le moyen mouvement de m. Quant aux termes affectés de sinus et de cosinus , ils acquerront par l'intégration, dans l'expression de s, de très-petits diviseurs du même ordre que les forces perturbatrices ; en sorte que ces termes étant à-la-fois multipliés et divisés par ces forces , ils pour- ront devenir sensibles , quoique de l'oi'dre des quarrés et des pro- duits des excentricités et des inclinaisons. Nous verrons dans la théorie des planètes , que ces termes y sont insensibles ; mais ils sont très-sensibles dans la théorie de la lune et des satellites de Jupiter , et c'est de ces termes , que dépendent leurs équations sécu- laires. On a vu dans le nc. 65 , que le moyen mouvement dem, a pour 3 expression — .ffandt.àR, et que si l'on n'a égard qu'à la pre- V- mière puissance des masses perturbatrices , dR ne renferme que des quantités périodiques. Mais si l'on considère les quarrés et les produits de ces masses, cette différentielle peut contenir des termes qui sont uniquement fonctions des élémens des orbites. En y substituant au lieu de ces élémens , les parties séculaires de PREMIÈRE PARTIE, LIVRE IL 567 leurs râleurs ; il en résultera des termes affectés des sinus et des cosinus des angles dont dépendent le3 variations séculaires des orbites. Ces termes acquerront par la double intégration, dans l'expression du moyen mouvement , de très-petits diviseurs qui seront de l'ordre des qiâarrés et des produits des masses pertur- batrices; en sorte qu'étant à-la-fois multipliés et divisés par les quarrés etles produits de ces masses, ils pourront devenir sensibles, quoiqu'ils soient de l'ordre des quarrés et des produits des excen- tricités et des inclinaisons des orbites. Nous verrons encore que ces termes sont insensibles dans la théorie des planètes. HÙt Les élémens de l'orbite de m, étant déterminés par ce qui précède; on les substituera dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude , que nous avons données dans le n°. 22 : on aura ainsi les valeurs de ces trois variables au moyen des- quelles les Astronomes déterminent la position des corps célestes. En réduisant ensuite ces valeurs , en séries de sinus et de cosinus; on aura une suite d'inégalités dont on formera des tables, et l'on pourra ainsi calculer avec facilité , la position de m , à un instant quel- conque. Cette méthode fondée sur la variation des paramètres , est très- utile dans la recherche des inégalités qui par les rapports des moyens mouvemens des corps du système, acquièrent de grands diviseurs , et par-là , deviennent fort sensibles. Ce genre d'inéga- lités affecte principalement, les élémens elliptiques des orbites; en déterminant donc les variations qui en résultent dans ces élémens, et en les substituant dans l'expression du mouvement elliptique ; on aura , de la manière la plus simple , toutes les inégalités que ces diviseurs rendent sensibles. La méthode précédente est encore utile dans la théorie des comètes : nous n'appercevons ces astres , que dans une très-petite partie de leur cours , et les observations ne font connoître que la partie de l'ellipse qui se confond avec l'arc de l'orbite qu'elles décrivent pendant leurs apparitions ; ainsi, en déterminant la nature de l'orbite considérée comme une ellipse variable, on aura les changemens que cette ellipse subit dans l'intervalle de deux apparitions consécutives de la même comète; on pourra donc 263 MECANIQUE C E L E S T E, &c. annoncer son retour , et lorsqu'elle reparoît , comparer la théorie aux observations. Après avoir donné les méthodes et les formules pour déterminer par des approximations successives, les mouvemens des centres de gravité des corps célestes ; il nous reste à les appliquer aux différent corps du système solaire : mais l'ellipticité de ces corps influant d'une manière sensible, sur les mouvemens de plusieurs d'entre eux , il convient , avant que d'en venir aux applications numé- riques , de nous occuper de la figure des corps célestes , dont la considération est d'ailleurs aussi intéressante par elle-même, que celle de leurs mouvemenSc FIN OU TOME PRE MIE