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'    MÉLANGES 

MATHÉMATIQUES 


Eugène    CAXALAPW, 


Ancien  élève  de  l'Ecole  Polytechnique , 

Docteur  ès-Scienees,   Professeur  d'Analyse  à   l'Université   de  Liège, 

Associé  de  l'Académie  de  Belgique, 

Membre  de  la  Société  Phllomathique  de  Paris  et  de  la  Société  des  Sciences  de  llége, 

Correspondant  de  l'Académie  de  Toulouse,  de  la  Société  des  Sciences  Oe  Lille  et  de  la  Société 

d'Agriculture  de  la  Marne. 


(Extrait  des  Mémoires  de  la  Société  Royale  des  Sciences  de  Liège) 


LIÈGE 

IMPRIMERIE   DE   J.    DESOER,    LIRRAIRE 

1868 


flOV  2      1-179  I  ^-^ 


^^^S/TV  OF  T0^?$;^ 


V.    \ 


MÉLANGES 


MATHÉMATIQUES  ; 


PAR 


EUGÈNE  CATALAN, 

PROFESSEUR  I)'anAL\SE  A  L'UNIVERSITÉ  DE  LIÈGE. 


I.  —  SUR  LES   C0MB1NAIS0>'S  AVEC   RÉPÉTITION  (1838)  (*). 

Le  terme  général  du  développement  de 
{a  +  b  +  c  -\~  .  .  .  +  ty 
est,  comme  l'on  sait, 

1.2.3 axl.2.3...(3x....xl.l2.3...Q  ^      ^    '"^    ^^'' 

les  exposants  ^-,  (3,  y,  .  .  . ,  ^  satisfaisant  à  la  condition 

a  +  |3  +  y  +  .  .  .  +  G  =  m  (2). 

Le  nombre  des  termes  de  ce  développement  est  celui  des 
solutions,  en  nombres  entiers  non  négatifs  (**),  de  l'équa- 
tion (2),  qui  renferme  n  inconnues,  n  étant  le  nombre  des 


(*)  Cette  Note,  qui  a  paru  dans  le  Journal  de  LiouviUe  (tome  III),  a  été  écrite 
à  l'occasiou  d'un  Mémoire  de  M.  Brianchon  (  Journal  de  l'École  looly technique , 
25'=  cahier). 

('*)  C'est  afin  d'éviter  toute  ambiguité  que  j'emploie  cette  locution  :  nombres 
non  négatifs  ,  bien  qu'elle  me  paraisse  constituer  un  véritable  pléonasme  ; 
WH  nonibre ,  c'est-à-dire  le  rapport  de  deux  grandeurs  de  même  espèce ,  est 
essentiellement  positif. 

l 


_  /l  _ 

h  csL  la  distance  des  deux  plans  limites ,  ou  la  hauteur  de 
la  zone  liypcrboloïdiquc. 

II.  Si  nous  posons  ,  pour  abréger  : 

-  =  .^.    I=».      1    +'^  =  «'.     t+'^    =C%   !7=C'      (5), 
a  p  a"  p  / 

les  relations  préeédenles  deviennent 

a;'  -h  7/^  ^  1        (7),  x'  +  ?/-  ^  1  +  c'.  (8). 

III.  Afin  de  réduire  l'intégrale  double  (6)  à  une  intégrale 
simple,  j'emploie  la  méthode  exposée  dans  mon  Mémoire 
sur  la  Réduction  cVune  classe  d'intégrales  multiples,  c'est-à- 
dire  que  je  suppose ,  simultanément  : 

F  {V)  =  fpi^  f(y  y ^^' ^'  +  ^' y'  —  ^  (^)' 

x^  +  if-\={),        x^  +  7/-_l=ii^  (10); 


alors  la  formule  (C)  devient 


.py 


.'  d.V  {V) 


A  =  .4ae/       •     ^    '  (11); 


et  le  problème  est  réduit  à  trouver  l'intégrale  (9),  ou  seule- 
ment sa  dérivée  relative  à  v. 

IV.  A  cet  effet,  soient 

X  =  u  cos  s,        y  =  i(  sin  o  ; 
d'où 

,t  1/  1  -+-  c' 

r2      r 


et ,   par  conséquent, 


■^  '^  •  ^  ^^'^    -     I    ~  ^^  '^\/  ^"  cos^  Ci  +  If  siiT  (d)  (1  +  V'-)  —  1  (12). 

V    dv      "  J       '  y 

0 

An  moyen  de  cette  valeur,  la  formule  (il)  devient 

fl     r    . . 

A-45;(5    /       drj^     I    (/-l'W  (/<^cos'i  +  /v^sin'9)(l+ y»)— 1  (1.3). 

O  0 

V.   En  général  , 


dv  \/pv^  +  Q 


2/  Kp  |/Q 


donc 

y  f/iJ  K  {a-  cos-  (p  -f-  /^-  sin-  q>)  (  l  +  ?'')  —  1  = 

n 

[\      y ,     rt'cos--cp +/;=sin-cp  — 1        ) 

;5  i  c  K  {(''-  *^os-  cp  +  /r  sin-  9)  (  1  +  c-)  —  1  +  .  /       '  ,  - 1  <I>  >  ; 

en  posant ,  pour  abréger  , 

^^_c  V (i- cos- cp  +  1)^ sin-  (p  + 1./ (a-  cos- cp  +  //' sin' cp ) (1  +  c-)  —1 
[/  rc-  cos-  o  -f-  ^-  sin-  a  —  1 
La  substitution  dans  la  formule  (13)  donne 

A  =  '■2c  c/.ft)    I    "  r/ç |/(a^  cos-  (p 4-  />* sin'  <p )  (  1  +  c- )  —  1 


y  2        ft-  cos=  ©  -+ 
''  '^  ,/ —- 
Y  a»  cos- 


,     ,-,      r.        /    2    .      ft-C0S=  9  4-  /^^  Siil=  ©  _  1 

cp  +  ^«  sin*  (p 


—  G  - 
d'où  enfin,  à  cause  des  valeurs  (5)  : 

0  II     /    2  / 

A  =  '^    I       d^y  Ir  zC-  j'5*  +  [le-  +  '/-  )  '/-  (,5*  cos'  cp  +  a-  sin-  cp) 


.,/ 


2  ,  6'  cos*  û  +  a=  si  11=  (p 

d(û  '  ^  ^       —  1  (j)      (i|\ 

[/  a'  fi'-  +  '/^  0'^'  co^'  (p  +  c.  sin'  '^)       '    ^     '  ' 


([),  représentant  la  quantité 

Il  V^a'j3-+'/(|3-COs'(p+a'silV-cp)+  y  /ra-|3-+y-(/i-+y-)(,'3-C0S-(p4-a'sill'tp) 
y'  J/  |5*  cos-  cp  +  cr  sin-  cp 

Addition.  —  {Août  i8G5). 

VI.  Les  trajôctoires  orthogonales  des  sections  parallèles 
au  plan  des  x  y  sont  caractérisées  par  l'équation 

a-  y'  d  x^  —  (3*  .r'  dif  —  o  (  15  ). 

Soient  f/s  l'élément  d'une   section  parallèle,  d<s  l'élément 
d'une  trajectoire  :  f/  A  =  dsd'^. 

Premièrement,  si  l'on  différencie  l'équation  (i)  en  y  sup- 
posant ^'  constante,  et  que  l'on  fasse,  pour  plus  de  symétrie, 

'^  =  ^1/'^'^  4- /cos  9,     ^=ij/7TT^sinO, 

on  trouve 

ds  =  y^\  "^'^"  i/i3^  cos°-  0  +  a-  sin*  0  r/  0  (16). 

En  second  lieu,  l'équation  (1),  différenciée  par  rapport 
aux  trois  variables,  donne 

,6'  .r'  d  ,r'  +  «*  ?/'  r/  ?/'  -  ^IZ  ^,'  ^/  j'  ; 
7' 


„-  7  - 
d'où ,  à  cause  de  la  relation  (15)  : 

OU,  ce  qui  est  équivalent  : 

a  6-      :;'  d  z'  cos  0 


dx'  = 


y    ^'^/i  _,_  yi  a-  sin'  0  +  |3'  cos'  0  ' 


,    ,       a-  B      z'  d  z'  sin  0 

r/7/'  =  — L 


Il  résulte,  de  ces  valeurs, 

Par  suite, 

dX  =  —  dOdz'  %/  |a-;3-+'/(a'sin'0+(3-cos-G)].:.''+yXa'siii-G+|3-cos6)  ; 
ou  plutôt 


A  =  1-    1    -  f/G    I    ^r.'R,  (18), 


avec 


R  =  \/[^-'  ^'+'/  i^-'  sin-  G+  i-S'  cos-  0)]  z"+'/'  hr  siir  0  +  Ci'  cos'  G) . 

A  cause  des  notations  (5),  la  relation  (18)  ne  diffère  pas 
de  la  formule  (13). 

VII.  Ce  rapprochement  donne  lieu  à  la  remarque  suivante: 
la  méthode  dont  j'ai  fait  usage ,  en  1839  ,  pour  ramener  aux 
quadratures  l'aire  de  l'ellipsoïde,  équivaut  à  la  décomposi- 
tion de  la  surface  en  rectangles  curvilignes.  Cette  décompo- 
sition, très-laborieuse  quand  les  rectangles  sont  déterminés 
par  les  lignes  de  courbure  (*),  devient  incomparablement 


(*)   Voyez  Legen'DRE;  Théorie  des  fonctions  eUiptiqvcs,  tome  I,  p.  354, 


plus  simple  lorsque  ces  éléments  résultent  de  sections  para- 
llèles à  l'un  (les  plans  principaux,  et  do  leurs  trajectoires 
orthogonales. 


'G 


m.  —  SUR  I.  INTKOr.ALF.  /   /  (( X  (I  y  \/    7— H ; • 

Au  lieu  de  prendre,  pour  conditions  aux  limites, 

.r-  +  }f  Z  i .       -r-  +  ir  ^  i  -\-  c- , 

comme  dans  la  Note  I,  supposons  que  l'intégrale  doive  êlre 
étendue  à  toutes  les  valeurs  de  x  et  de  y  satisfaisant  aux 
relations 

X'-  +  y  ^  -1 ,         (f'  —  a')x*  -f-  (C  —  b')  if  ^  r»  —  1  ; 

et  supposons ,  en  outre , 

o  u>  b>  \. 
Soit 

j      a-  X-  4-  b-  y-  —  1 


X-  +  ?y-  —  1 


(S) 


l'intégrale,  que  je  désignerai  par  V,  représente  le  volume 
compris  entre  le  plan  des  xy ,  la  surface  (S)  et  les  cylindres 
dont  les  équations  seraient 

X*  +  y-  =  \,        (c-  —  (r)  X-  -h  (  c-  —  b-)  y-  =  c^  —  i . ^ 

Conséquemment  (*) 

00 

en  supposant 

(*)  Mémoire  sur  la  réduction,  etc.  {Journal  de  Liouville) ,  tome  IV,  p.  325. 


On  trouve  ensuite,  par  un  calcul  facile, 

V  =  t:  (ft'  -  1)  / — 

puis,  en  prenant 

q;*  _  ft^  =  (z' - b'-)  sin» 9,  b  =  ea,  sin  /  =^7  |;,~^^,^,   '■ 

V  —  ^  (^^'~  ^)     /  ^  f/tp  \/ 1  —  e-  sin-  (p 
~   rt(l  —  f^')    /  sin'  ^^ 

■r:(ft«e'  —  1)     Il 


-V; TT"    /        rfcpl/ 1  —  e*  sin' c&  ; 

a  {\  —  e-)      I  ^*  ' 


OU  encore 


V  =  ^(^^'~^)  A f/Q  T.(a'-e'—i)  r/^  _ 

"      •;     tW&|/i_(?^sin^O  «       *<;      ^i_(3^sin*G)' ' 

pourvu  que  l'on  suppose 


sin  0  =  —  ,    sni  u  =  — . 

z  '         c 


IV.  —  DÉMONSTRATION    d'uNE   FORMULE   DE   DIRICHLET. 

Cette  formule,   célèbre  autant  que  remarquable,   est  la 
suivante  : 

/^  a  —  lb  —  lc  —  l 

I    X  y         z        .  ,  .  dxdij  dz  .  .  . 


par i^  I.     a     1^      c  \ 

p     q      r  ) 


-   10  - 

On  suppose  les  n  variables  x ,y ,%,  .  .  .,  positives  et  satis- 
faisant à  la  condition 


(ir-d 


dans  laquelle  les  constantes  a,  (3,  y,  .  .  .p,  q,i\  .  .  .  sont 
positives. 

Pour  établir  la  relation  (A),  je  commence,  comme  le  fait 
M.  Liouville  (*),  par  la  réduire  à  celle-ci  : 


A  = 


1      -  -  1 


,  .  .  X  y 


^(f)^(7)^lF)- 
r  (  1  -i — I — I — h 

P       (]       r 


dans  laquelle 


X  -{-  y  +  z  + 


< 


Soit  maintenant 


D  = 


la  condition  aux  limites  étant 


y  +  Z  + 


< 


1; 


.  .dx  d  y  d 


.ff ...,/-' J-\.. 


y  ({' 


(B), 


et  soit  V  ce  que  devient  la  même  intégrale  B  ,  lorsque 
la  condition  aux  limites  est 


y  +  z-  + 


1  —  X. 


(")  Journal  de  Mathèmo tiques ,  tome  IV,  p.  225. 


~  II  - 
Il  est  visible  que 

b       ,        c 
n— 1  H 1  H 1  +  .  . 

OU 

&       c 

-  H h.  . 

V  =  (l_rrf      '■  B. 

D'ailleurs 

ji     «         ^  b        c 

A  =  B     /     x^'  (1— .-ïf      "^  clx; 


OU  ,  d'après  une  formule  connue , 

\  V       q        r  I 

Cette  relation  (C),  qui  réduit  le  cas  de  7i  variables  à  celui  de 
n  —  1  variables,  équivaut  au  théorème  proposé;  car,  dans 
le  cas  d'une  seule  variable  u ,  l'on  a 


/ 


■r-,  .  ■•(-;'' 


M        d  u  =  -o  — 


i    Mi-i'c) 


'    ^-(-i 


V.  —  RÉDUCTION  d'uî^E  INTÉGRALE  MULTIPLE  (*). 

Soit 

A    =  /  dx  dij  dz-  .  .  .\/ ,   ,     .   ,     ,   , , 

n     J  -^  V     1  +  (•■ï  +  y-  +  z-  +  .  .  .) 

les   71  variables  ,    supposées  positives  ,    satisfaisant   à   la 
condition 

a"  +  y-  -h  z-  +  .  ,  .  Z^  \, 

(*)  Cette  Note  est  extraite  .  en  partie,  du  Journrtl  de  LiouviUe  (  tome  IV). 


—  12  - 
Je  pose,  à  r<trdinairc  (*), 

I  —  '  ■•?•'  +  y-  -f-  .:.«  +  .  .  .) 
1  +  (  ■'■■■'  +  ir  -+-  y^  +  .  .  .  j 
d'où  résullo 


i    —  V'- 

X-  +  y-  +  z'  +  ,  .  ^ 


i  +  V'  ■ 

les  limites  de  v  sont  1  et  0.  Si  donc  je  représente  par  F  (v) 
l'inlégraie 

pl.rdydz:  .... 
la  condition  aux  limites  étant 


1:=-?^  j-^it/ LnJH  )  +  ■••< i , 


y    1  +  vJ      \y    i  4-  V3 
J'aurai 

0 

A    =  /v(i .  F(î'). 
Par  la  formule  de  Dirichlet, 

m" 


vl!i  +  ,\  l.  +  .-i 


donc 


V§+i\    I  U  +  .' 


ou 


Linf 


---  1 


A     ^  2„       >    2  /  /      /l  -  v'V  vulv 


(*)  Mémoire  sur  la  Réduction,  etc. 


13  - 


Soit 


d'où 


t,  =  tg^tp; 


l  —  V*  1  —  cos  G?  d  V  1 


,  1'      (!  +  .')'-    J^^^'i?'^? 


2  cos'  -  o 


la  formule  ci-dessus  devient 


â      .7-1 

COS  -       9  i  1  —  cos  (p)  rf  tp , 


ou 


A., - 


COS"         o  d  cp 


On  a ,  par  des  formules  connues  : 

1 


cos~ 


?  '^  ?  ^  - 


--1         ^  1 


,  /  u 


;2  „J»  +  2\' 


r'     1         .-2  tI'L±1\ 


donc 


A    = 


1/7:^"+' 


r(^ 


tI^ 


,  /  ».  +  2  ' 


•i      / 


r  ^  +  1 


-   14  — 
Lorsque  n  —  1 , 

0 

Mais 


ï 

(3^ 

^ 

■  1  ] 

['il 

ï 


-1/2 


donc 


r' .):  [/' 


1  +  rr-    "     4. 


7TI/2T 


^^     ['-(4) 

Si  l'un  pose  X  •■=  cos  '^s  riiilcgrale  se  transluruic  en 


V    siu'^  o  </ 


i^^i 


■  COS"  © 


^/^ 


buror/^ 


I  —  -  siii"  cp 


=  i/'2 


■-'  [1  — l  +  -si!i'a|f/^^ 


8/        1 
K  1  — ^shr 


-V^\V'M)-L'(\A)\. 


Ainsi  ,   l'inlégralc   culcricnnc 


et  les  fondions  cUipliqucs   complètes   E'  (i/î),  l*"'  (\/'i)» 
satisfont  à  la  rclalion 


-  15  - 

VI.  —  AUTRE  INTÉGRALE  MLLTIPLE, 

Soii 

^    ^   r    dxilijdi^.  ■  . 
»     J  mi(x+y-\-z  +  ...)  ' 

les  n  variables  x,  ij,  z- ,  ...  étant  positives  et  salisfaisaiii 
à  la  condition 


x-h  y  +  zi- 


•   <2  • 


Si  l'on  pose 


on  aura 


pourvu   que 


X  -h  IJ  +  Z  -+-...  ~  V, 


!  siii  V 


F{v)=J dxdy  dz  .  .  .  , 


Cl  que,  dans  cette  intégrale  multiple,  les  variables  vérilient 


l'inégalité 


X  +  y  +  z  +  . , .      ^    i\ 
Or,  par  la  Formule  de  Diriclilet  (Note  IV), 

I'  [V)  =  rrr-, —rr  » 

'        1    (?t  +  l) 

donc 


ï  (n)  I  sin  V 


—  16  — 

AddUiou.  —  (Septembre  1865J. 
Si  u=  '[ ,   l'intégrale  est  infinie. 

Si  «  =  2,      B,  =    /    2  -r;^  =  _     /    2  1  tg  ±  (v)  rf  i,  ; 


/-r  V  d  V  i  -T 


OU ,  en  supposant  tg  |  î;  =  w 

B,  =  — 2     /    -r-î-^   f/;i  =  2G  (*] 


0  r.i!L 


Dans  le  cas  général ,  la  détermination  de  l'intégrale  simple 
dont  dépend  B^^  paraît  exiger  l'emploi  de  séries  compli- 
quées (**). 

vu.  —  SUR    LA   PARTITION   DES   NOMBRES. 

PROBLÈME.  —  Trouver    le    nombre   N  des  solutions   entières 
positives  de  Véquation 

X,  +  a\  +  n\  +  . . .  +  A',i  -  s , 

dans  laquelle  s  est  un  nombre  entier  donné. 

La  solution  résulte  immédiatement  de  ce  que  l'on  a  vu  dans 
la  Note  I.  Kn  eiïct,  l'équation  ci-dessus  peut  être  écrite  ainsi: 

{X,  —  1)  +  {/x,~\)  +  .  .  .  +  {Xn  —  \)-^s—  n; 


(*)  Mémoire  sur  la  Tro.ns[ormalion  des  séries  et  sur  quelques  intégrales  déft- 
nics.  (Académie  de  Belgique,  ,Sava7its  étrangers ,iomeXXXlU.)LsL  constante  G, 

égale  à  la  somme  de  la  série  1  —  i  +'nr  —  4V"^8T — ^  ^'^^^  ^^' 

leur  0,015  965  594  177  21  .  .  v 

(*•)  Bierens  de  llaan  ,  T.  '239. 


-   17  - 

Donc  le  nombre  N  des  décompositions  de  la  somme  s —  n  en 
11  parties  positives ,  est  égal  au  nombre  des  décompositions  de 
s  —  n  en  n  parties  milles  ou  positives  (*).  Donc  aussi,  d'après 
la  formule  de  la  page  3, 

\  =  r                   ^  (.^  ~  i)is  ~  2)  .  .  .  (s  —  n  -i-  i) 
s~i,n~.i  1.2.3 :         (n-i)     ' 

Addition.  —  { Septembre  \8&^). 

Dans  le  développement  de 

{a  -h  b  -^  c  +  .  .  .  +  ky  , 

le  nombre  des  termes  contenant  une  seule  lettre  est,  d'après 
la  formule  précédente, 

C  x^ 

.^  —  1,0  1 

n  désignant  le  nombre  des  lettres  a,  b ,  c,  .  .  .  k. 
De  même,  les  termes  conienani  deux  lettres  sont  en  nombre 

n  {n  —  1) 

et  ainsi  de  suite. 

Enfin,  parmi  les  termes  du  développement  considéré,  le 
nombre  de  ceux  qui  contiennent  les  n  lettres  est 

C  xi. 

s  — .  1 ,  n  —  1 

D'ailleurs ,  le  nombre  total  des  termes  est ,  comme  on  l'a 
vu  dans  la  Note  I, 

G 

n  +  s  —  i,  s. 


C)  Il  est  bien  entendu  qu'il  ne  s'agit  pas  ici  des  décompositions  essentieUement 
différentes  :  3  -{-  2  et  2  -f-  3  sont  considérées  comme  de^^x  décompositions  du 
nombre  5. 

2 


-   18  — 

On  a  donc  la  relation  suivante,  qui  peut  être  démontrée 
directement  : 
r      X  G        +  C      X  C        -t- . .  +  G  X  G        ==  C    , 

Par  exemple ,  si  p  =  l'2  et  n  =  5  : 

0      li>      .s.  4      12.11      5.1      12.11.10      5      12. 11.  10.0 

17.16.10.H 
1  .  2  .  3  .  i  ' 

OU 

.s  +  12  .  10  H-  m  .  10  -4-  220  .  0  +  i[>o  =  2  380: 

ce  qui  est  exact. 

VIII.    —    ^lI\    LA    DECOMPOSITION    d'L'.N    PRODLIT   EN    FACTEIT.S. 

Problème.  —  De  combien  de  manières  le  produit  ab  c  d  .  .  /'' 
=  N  ,  composé  de  n  fadeurs  premiers,  inéfjaux,  peut-il  être 
décomposé  en  p  facteurs? 

Soit  a?       ce  nombre  inconnu. 

)l  y     Jf 

Si  nous  introduisons  un  nouveau  facteur  premier  /,  dif- 
férent de  a,  h,  c,  .  .  .  ,  k,  nous  pourrons  décomposer  le 
produit  N  /  en  p  facteurs  ,  soit  en  multipliant  par  /  un  quel- 
conque des  p  facteurs  dont  le  produit  est  N  ,  soit  en  multi- 
pliant par  /  le  nombre  N  décomposé  en  p  —  1  facteurs. 

Par  conséquent 

X  -  px       -4-  .r  , 

n  4-  I,  p  n  ,p  n.  p —  I 

ou 

X  r:=    PX  -\-    X  (1)4 

On  conclut  aisément  de  cette  équation,  à  cause  de  '^^^,^,=1* 

X      =  X  -¥px  -^p'x      ,        .  +  ••• 

n.p  n-~\,p  —  ï       '^     n  —  2,p~\  a  —  î,p-^l 

n —  1) —  1  n  — p  ,-. 


-  19  - 

Cette  nouvelle  équation  aux  ditïérences  finies  est  moins 
simple  que  la  précédente  :  néanmoins ,  nous  allons  pouvoir 
en  conclure,  par  induction,  l'intégrale  de  celle-ci. 

1°  Soit  d'abord  p  =  'i  :  l'équation  (2)  devient 

n  —  3  n  —  2 

X       -^  X  +  2 .  .r  +2'..r  +..+2        x     -f-2 

n,  2  n  — 1,1  H — 2,1  71—3,1  2,1 


Mais .  évidemment , 
donc 


X  =  X  =  ,  ,  ,  =^  X       =1; 

n  — 1,1  n  —  î ,  1  2,  1 


n  —  1 
X        -  2  -  1  (3). 

2oSoit]j=  3: 
^^^  3  =  (2'""  '-l)  +3{2"~'-i)  +  3-  (2'' "*-!)  +  ... 

+  3  (2*  -ij  +  3  l2-  ij 

^  /   n  —  3  n  —  i  n  —  5  n  —  4  n  —  3  \ 

=  2  (,2  -+-3.2  +  3'  .  2  +  .  .  -H-  3  .2+3  ) 

-(l  +  3  +  ..  +3"~') 


n  —  z 
/    n  —  2  «  —  2  \         3  —  i        1  /   n  —  1  n  —  i         N 

-2(3        -2        ) =:,U        -2.2        +ij 


3°  Soit  encore];  —  4  :  l'équation  (2)  se  réduit  à 

1/n  —  2  n  —  2  \  {  f  n — 3  n  —  3         \ 

X  --::V3  -2.2  +\)+i.-[3  -2.2  -hlj 

+  4'  3  i  3  -2.2  +  i  ;  +  .  .  +  4  ^  (13'  -2.2'   +l) 

+    4"  ~ '3(3= -2.2'  +l) 

=  38^3        +4.3         +..+  4       ;-2l2         +4.2         +..+4         ) 


+  •^(1  +  4  +  4'  +.. +  4"     ') 


—  50  - 

^  1.  g.  (.,"-'-  3"  -  ')  -  »  (4"  -  '  -  -y  -  ')  +.^3(4"  -  "-  0 

=  _J_(4"-'_3.s"-'+3.-2"-'-l)  (5). 

La  loi  des  résultais  est  mainlenant  évidente;  et  l'on  a,  en 
généi'al  , 

1  r  n~i     p  —  i       ,  n—ï  1 

ou ,  plus  simplemenl 

A  il  )  (A). 


1  .  2  .  3  ..(/)  —  1  ) 
A ddit'wn .  —  ( Septembre  1 865 ) . 

I.  La  valeur  (A),  substituée  dans  l'équation  (1),  conduit 
à  la  relation 

a''-'(i"-')=/^a"-'(i"-')4-(„-))A"--(i"~'). 
que  l'on  peut  écrire  ainsi  : 

^■'{i"^')^iP  +  ^)^■'{^")^„^-~'(,")     -b,. 

Celle-ci  ne  diffère  pas  de  celle  que  j'ai  employée  dans  ma 
Note  sur  les  différences  de  P^  et  sur  le  calcul  des  Nombres  de 
Bernoulli  (*).  La  concordance  de  ces  relations  est  une  vérifi- 
cation nouvelle  de  la  formule  (A). 

IL   Les  valeurs  de  x^^      sont  précisément  celles  que  j'ai 

désignées  par  A    B     C^  dans  une  Note  sur  la  somme 

des  puissances  semblables  des  nombres  naturels  {**).  De  là 
résulte  un  rapprochement  assez  inattendu  entre  deux  pro- 
blèmes dont  les  énoncés  sont  bien  différents. 


(*)  Annali  dl  Matemcdca  pura  ad  applicata ,  tome  II. 

(**■)  Nouvelles  Annraes  de  Mathématiqves  ,  tome  XV,  p.  210. 


-  21   - 

111.  Si  l'on  veut  savoir  de  combien  de  manières  le  nombre  N 
est  décomposable  en  facteurs,  il  suffît  de  calculer 


X  +    X  -h    .    .    .    '{-     X 

n  ,    i  il ,  i  n,   n. 


Soit,  par  exemple  n  ~  Q  :  la  table  contenue  dans  la  Note 
dont  il  vient  d'être  question  donne 

X      =  1,  a:   ^  31,  X       =  90,  X       =-  65,  x       =  45,  .t;   =  1  ; 

6,  l        6,2         «5,3  t;.4         6.5         C,û 


donc 


S  =  203, 


iX.  —  ANALYSE  INDÉTERMINÉE  DU  PREMIER  DEGRÉ. 

Si  les  coefficients  a,  h  sont  entiers  et  premiers  entre  eux, 
et  que  c  soit  entier,  les  solutions  entières  de  l'équation 

ax  -h  by  =  c  (1) 

sont,  comme  l'on  sait,  données  par  les  deux  formules  : 

x^y.-hO,      y^^ii  +  a^  (2), 

dans  lesquelles  «,  ,6  représentent  un  système  de  valeurs  en- 
tières de  x ,  Il  :  0  est  un  entier  quelconque,  positif  ou  négatif. 
Supposons  a,  b,  c  positif.  Alors  les  solutions  positives, 
nécessairement  en  nomi)re  limilé,  sont  déterminées  par  les 
inégalités 

0  <j,   0>  ~  ?  (3). 

b  u 


A  caust^  da 

iix  "f-  bfi  ts  Q  , 

,  a 

|3    _(lii  —  C 

ab 


—  22  — 
donc  les  inégalités  (3)  équivalent  à  celles-ci  : 

e    <  -1  ,      C/  >    ; (4). 

Q 

La  différence  entre  les  deux  limites  de  0  est  -y-    Consé- 

ao 

quemment,  la  "partie  entière  de  -y  ,  ou  cette  partie  entière  aug- 
mentée d'une  unité,  indique  le  nombre  des  valeurs  que  Ton  peut 
attribuer  à  0.  En  d'autres  termes  :  le  nombre  des  solutions 
positives  de  Véquation  (1)  est  égal  à  l'un  des  deux  quotients 
entiers  de  c  par  i\h  {*). 

Addition. —{Septembre  18G5).    ^ 

Considérons  d'abord  le  cas  où  c  serait  un  multiple  de 
ab  :  c  ==  ahq.  On  peut  prendre  i^  =  o,  y  =  bq  ;  et  il  est 
clair,  par  les  formules  (2),  que  0  peut  recevoir  tes  q  +  1 
valeurs  0,   1,  2,  .  .   .  q  {*'). 

En  second  lieu,  supposons  c  =  ahq  4-  C ,  c'  étant  positif 
et  moindre  que  ah-,  puis,  prenons  simultanément  les  deux 
équations 

ax  +  by  =  abq  +  c'  (  A  ) , 

fl.T'  -f-  bif  =  c'  (B), 

qui  donnent  celle-ci  : 

a{x~x')-\-b{y-])')  =  abq  (C). 


(•)  Ce  petit  théorème,  que  je  trouve  dans  mes  notes  de  1839,  e.st  souvent 
attribué  à  M.  Hermite.  J'ignore  si  ce  profond  géomètre ,  ^[\\e  je  m'iionore  d'avoir 
eu  pour  élève,  l'a  publié  quelque  part. 

(*')  A  vrai  dire,  les  solutions  x  =  o ,  y  =  aq;  :c  r=  hq,  u  =^  o  ne  sont  pas 
essentieUement  positives;  néanmoins  on  peut  les  compter,  parce  qu'elles  sont  non 
négatives. 


-  23  - 

Si  l'équation  (B),  qui  ne  peut  avoir  plus  d'une  solution 
positive,  en  a  réellement  une,  nous  aurons,  en  désignant 
par  a' ,  ^',  ces  valeurs  positives  de  x'  ,y'  : 

y  —  fi'  =  aO  ,      X  —  a'  =  bq  —  b9  ; 

ou 

y  =  (^'+a<),    X  =  x'+  b(q  -0)  (D). 

A  cause  de  c'  <  aï?,  on  a 

r^'  <  a ,  c^'  <  /;  : 

donc  les  deux  dernières  formules  donneront  des  valeurs 
positives  si  l'on  fait  0  =  0,    1 ,  2 ,  .   .   .  (/. 

Ainsi,  quand V équation  (B)  admet  un  systèma  de  valeurs 
positives,  r équation  (A)  en  admet  q  +  1. 

Si  l'équation  (B)  n'a  aucune  solution  positive,  on  peut 
supposer,  dans  les  formules  (D) , 

0  <fi'  <(i ,     o>  ffJ  >  —  b: 

ceci  résulte  des  préliminaires  de  la  théorie.  Par  suite,  les 
seules  valeurs  admissibles  pour  0  sont  0,  1,  2,  r>,  . .  .  q  —  i. 
Donc,  lorsque  Véquation  (B)  n  admet  aucune  solution  positive, 
l'équation  (A)  en  admet  seulement  q. 
En  résumé  :  4°  Si  c  =  q  a  b  ,   Véquation 

ax  -i-  by  =  c 

admet  q  -+-  1  solutions  non-négatives  ;  2°  iS/  c  =  qab  +  c,  cette 
même  équation  admet  q  +  1  ou  q  solutions  positives,  suivant 
que  l'équation  auxiliaire 

ax'  +  bij'  =  c' 

a  ou  na  pas  de  solution  positive. 


—  24  - 


/  CÛS  a  j; 

J  ÔTIt"* 


X. —  SUR  l'intégrale 


I.  D'après  une  remarque  générale  faite  par  Poisson  (**), 
si  l'on  appelle  i\^^  cette  intégrale  définie,  on  trouve  aisénnent 
l'équation  linéaire  d'ordre  %\  : 


dans  laquelle  «  y^  représente  l'intégrale    /  cos  xxdx, 

0 

»  Cette  intégrale  est,  en  général,  indéterminée;  mais  ici 
»  on  peut  la  supposer  nulle;  car,  en  adoptant  cette  valeur, 

»  on  est  conduit  à  ^/^  =  '-^e ,  valeur  exacte  {***).  » 

II.  A  cause  de  y    —  o,   l'équation  (1)  est  vérifiée  par 
y^^   z=i  e\  t  représentant  une  racine  quelconque  de 

1  \  .  z 


{' )  Le  texte  Je  cette  Note,  lel  qu'il  a  paiu  dans  le  Jouvnal  de  LiouviUe  , 
(tome  V),  renferme  quelques  fautes  do  calcul   et   d'impression. 
(•*)  Journal  de  l'École  polytechnique ,  (16«  cahier,  \i.  222). 
(•**)  M.  Serreta  critiqué,  avec  raison  {Journal  de  LiouviUe,  tome  VIII,  p.  191) 

cos  ucc  dx,  à  l'exerapie  de 

Poisson.  J'avais  prévu  l'objection  qui  pouvait  être  faite  ;  car  la  phrase  guiliemetéé, 
que  je  n'ai  pas  reproduite  dans  le  Journal  de  LiouviUe ,  esc  tirée  de  ma  rédaction 
primitive  (13  février  1840).  Du  reste,  je  dcmue  cette  démonstration  pour  ce 
qu'elle  vaut. 


—  25  - 


OU  de 

i\-tT=o  (2). 

Cette  équation  (â)  a  n  racines  égales  à  4-  1 ,  et?^  racines 
égales  à  —  1.  D'ailleurs  l'intégrale  proposée  ne  peut  croître 
indéfiniment  avec  a;  par  conséquent  la  valeur  de  cette  inté- 
grale doit  être  donnée  par  la  formule 


Vn  =  <'" 


Al 


A, 


2 

j    2 


Ag  +  —  a  +  -r^  a*  +  .  .  .  4-  ' 


-^,«'-'1(3), 


A^,  A  ,  .  .  A^j_i  étant  des  constantes  qu'il  s'agit  de  déter- 
miner, 

îlî.  Pour  cela,  je  représente  par  P  le  polynôme  entre  pa^ 
renthèses  ,  et  je  prends  les  n  —  1  premières  dérivées  des 
deux  membres  de  l'égalité  (3),  ce  qui  donne  généralement 


=  (-i) 


J—  « 


p      irfP    ^  i^i~i)d*V_  ^ 


f£P 


U), 


et 


Id^.        1.2     dx 
Faisant;^  =  o  dans  les  équations  (3)  et  (4),  j'obtiens 

(?/n)  =  Ao, 


/'y/i')  et  (  —  J  représentent  les  valeurs  de  ?/.,  et — -rt-pon- 

dant  à  5«  =^  0. 

La  nature  des  équations  (S)  permet  de  les  résoudre  facile- 
ment :  on  trouve 


i{<iîln\   ^  i^i-i/d^y^, 


A<-H-^l7^^-^^^(7?;-- 


\^Ua:^   J  \  dx'^ 


^'yn\ 


i        16). 


--  26  — 
IV.  J'observe  actuellement  que 


co&cxdx 
Vu  ^     ' 


d'où 


(i  +.r)^r 


^y»  _  /      sin  ax  .  xdx 


""'■^/»  _  /      cos  v.x  .x^dx 

du'    '    ~J         (l+,r)" 


"  _          /      sin  a. T.  ;ï»f/a: 
0 


.-=    + 


d^."  '  J         (l  +  .T-) 


0 


{^-^-x^Y 


f 
[do 


—  27 


m-- 


(l  +  J^Y  ' 


Pour  évaluer  ces  diverses  intégrales  définies,  je  considère 
généralement 


l'exposant  2/;  étant  moindre  que  n  (*). 
Si  l'on  pose 

9 


a  formule  (7)  devient 


"f 


K  =i/    ^jp-Ui-ey"^~*d^  (8), 


ou 


Par  conséquent,  à  cause  de  l'égalité  (6) , 


(')  L'intégrale  B„  ne  devient  infinie  que  pour  2p  —  2n;  mais,  dans  la  for- 
mule (  G  I,  i  est  inférieur  à  )i  ;  et  le  nombr.?  pair  '2p  reruidace  t. 


—  28  — 

Lorsque!  est  pair,  le  dernier  terme  deja  quantité  entre  pa- 
renthèses est 

ri  +  1\  „  /         ï  +  1 


et,  quand  /  est  impair,  ce  dernier  lerme 


=  ±/r  (4-)  i^n  — -^1. 


V.  La  valeur 

de  A.  peut  être  écrite  au 

trement 

Si  l'on  fait 

on  trouve 

;t'  =  tg  ^  , 

h 

û 

"■*'©ds 

(li). 


par  suite 


0 

La  quantité  entre  parenthèses  est  la  partie  réelle  du  déve- 
loppement de  cos'^"  ~'  ~  '"^  9  fcos  ç>  -\-  y'  —  1  sin  <r  /;  donc, 
par  le  Théorème  de  Moivre , 

A ,  =      /     ros?"  -  '  -  *  <i  cos'  o  c^  9  (12). 

0 

VI.  On  a  identiquement 

cos  /  'j,  -  côs  (p  cos(/  —  1)  s  —  sIn  ç9lti(/  —  1)  çi 
dune 


--    29  --• 
ou  ,  en  intégrant  par  parties  et  observant  que  le  terme 

: :  COS-"      •  ~  '  (p  sin  (î  —  i  )  i:; 

-2n  —  i  —  \  '  ' 

s'annule  aux  deux  limites  , 
D'ailleurs 


'"  =y  '-'•'-' 


^'^?  =  27T;r)^'^^^'^"'~^^' 


ou  ,  par  une  t'ormule  de  Legendrc, 


A,=  — ^    '''-"--'  ru); 

donc,  après  quelques  réductions, 

A    =    . i  (IM. 

La  comparaison  des  valeurs  (10),  (12)  et  (15)  donne 

ram,-i,-i^r(j)r(„-j)4-"'-/;^-^^i;-%)n„-j>-. 
TT         r  f  2  «  —  ?:  —  1 


ou 


ne) , 


f 


cos'''-'-'(pcosiod(p= Lil!î l-J)  n  (17). 


{ *  1  Cette  formule ,  qui  subsiste  pour  toutes  les  valeurs  positives  de  n  et  de 
n  —  i  —  1  ,  paraît  due  à  Cauchy  {Journal  de  Liouville,  tome  VÎII,  p.  2)  (sep- 
tembre 1865). 


30  — 


VU.  Ucvciiaiil  à  riiitégrale  proposée,  je  subsLitue  les  va- 
leurs (15)  dans  la  formule  (3) ,  cl  j'obtiens 


y 


oos  XX  dr 


2«'^-i[r(»)]-L  1  -J 

Si,  dans  cette  formule  (18),  on  remplace  les  symboles  T 
par  les  intégrales  culériennes  qu'ils  représentent,  on  pourra 
l'écrire  ainsi  : 


ou 


ou  enfin ,  en  représenlanl  y.  +  "^Ix-  \rdv  xi 

IX\->1  1  /T 


ycosxxdx  _  ''  v2J / 


i\). 


—  31  - 
XI.  —  PROBLÈME  DE  MINIMUM  (1811). 

Mener  un  plan  tangent  à  un  ellipsoïde  donné ,  de  manière 
que  Je  triangle  formé  par  les  intersections  de  ee  plan  avec  les 
plans  principaux ,  ait  une  aire  minimum  {''). 

I.  L'ellipsoïde  étant  rapporté  à  ses  axes,  et  x,  ?/,  %  dési- 
gnant les  coordonnées  du  point  de  contact ,  on  a 

a'         b^         r 

Le  plan  tangent  coupe  les  axes  en  des  points  dont  les  dis- 
lances au  centre  sont 

(i'        If        c- 
.r    '    y    '     2   " 

Les  faces  du  tétraèdre  tri-rectangle  déterminé  par  les 
quatre  plans  ont  donc  pour  aires,  respcetivenient  ; 

,    h'  (-:'       ,  (■'  a'      ,  a-  h^  ^ 
?/-•   '    '    vX   '    ■'    rij 

Par  suite,  l'aire  cherchée  est 


^V^ 


c'a'-]'       la'  [>•  .• 


ou 


en  supposant 


.a'b*c'- 


-r  =  A  +  -rr  +  -T  (3) 

p*  a*         l)'  c'  ^  ' 


(')  Note  rédigée  à  l'occasion  d'une  Eolution  inexacte ,  publiée  dans  le  tome  lit 
du  Journal  de  Math.émati(iv4i> 


-  32  - 
on  sait  que  ];  est  la  distance  du  centre  au  plan  tangent. 
II.  Soient 

x\  _         JT ,     JL  —  Il  (iV 

alors  les  équations  (i),  (2)  peuvent  èlre  remplacées  par 

u  +  V  -\-  w  —  i  (5)» 


iivw  \  a-       0-       c 


(6; 


La  condition  ch^  —  o  équivaut  à 

u         V        w\ldu       dv       dw\      [du       dv      dw 

OU ,  plus  simplement,  à 

b'^       Ci  J  u       \  c2       fl-    1  V        \a-'       b'-  J  w 

D'ailleurs 

du  -\-  dv  +  dw  =  0  (8). 

Si  l'on  retranche  membre  à  membre  ces  deux  équations , 
après  avoir  divisé  la  seconde  par  une  indéterminée  /%  et  que 
l'on  égale  ensuite  à  zéro  les  coeflicients  des  différentielles 
du,  dv,  dw,  on  aura 

u  V  W  u  V  W  II  V  w 

d'où  l'on  tire  aisément 

2^"  +  {a'-  +  b^  +  C2)  h  —  a2/?3c2  =  o  (10). 

Cette  équation  peut  être  mise  sous  la  forme 
i  i  1  1 


-  33  — 
OU  encore  sous  celle-ci  : 


^  +  ■  ,    ,    ."  =  2  (12). 


«2  +  }:       b-  +  1-       c2  4-  X- 

D'uiî  autre  côté,  si  l'on  combine  deux  à  deux  les  équa- 
tions (9),  on  trouve 

'"  =}  (13); 


c- 


a^  +  l'  I         [b^+l^  j  \c'-  +  l' 

à  cause  des  relations  (1  )  et  (12).  Par  suite 

(''''  ^'  C'"'  ,AZS 


|/2(a^  +  1')      '        |/2  {b'-  +  A-^)  t/2  (c"-  +  X*) 

c'est-à-dire,  en  vertu  de  l'équation  (42)  : 

p  =  1  y¥  (15). 

Enfin,  le  minimum  cherché  a  pour  valeur 


^  =  _  |/(};^  +  a')  (X^  +  b')  (X^  +  C)  (16). 

Addition.  — {Octobre  1865). 

lîl.  On  peut  reconnaître,  de  diverses  manières,  que  les 
équations  (10),  (11)  ou  (12)  donnent  pour  X^  une  valeur 
positive  et  deux  valeurs  négatives.  D'après  les  équations  (9) 
ou  (15) ,  la  valeur  positive  satisfait  seule  à  la  question.  Pour 
simplifier  l'équation  (10),  on  peut  faire 

;.-  =  ^''  (17), 

d'où  l'on  conclut 

t'  —  (a*  +  b*  +  c'-)t  —  2  abc  =  0  (18). 


—  3'i  — 

Celte  nouvelle  équation,  qui  est  bien  connue,  se  rapporte 
au  problème  suivant  :  Déterminer  Je  diamètre  t  (ïun  demi- 
cercle  auquel  on  puisse  inscrire  trois  cordes  consécutives,  égales 
à  des  droites  données  a,  h,  c.  On  voit  que  si  ce  demi-cercle 
était  tracé,  il  serait  facile  de  construire  les  diverses  lignes 
au  moyen  desquelles  on  peut  déterminer  le  plan  tangent  qui 
détermine  le  triangle  minimum.  Ce  rapprochement  entre 
deux  problèmes  d'apparences  bien  différentes  paraîtra  peut- 
être  assez  curieux. 

XI 1.  —  PROBLÈME  DE  GÉOMÉTRIE.  (1844.) 

Déterminer  h  rayon  du  cercle  circonscrit  à  un  triangle  , 
connaissant  les  distances  des  côtés  au  centre  du  cercle. 

ABC  étant  le  triangle  cherché  (*),  soient/?,  q,  r  les  dis- 
lances des  côtés  BC,  CA,  AB  au  centre  0.  Désignons  par  x 
le  rayon  inconnu  et  par^,  y  les  angles  OAB  ,  OAC.  On  a 

sin|3  =  i     siny  =  J,  cos(|3+y)  =  ^  (*'). 

D'un  autre  côté  , 

sin=(3  +  sin'y  +  2  sin  (3  siuy  cos  (6  -f-y)  +  cos*  ((3  +  y)  =  1  : 

donc  ,  par  l'élimination  des  angles  , 

x"-  —  {))■  +  ff-  +  ■/'')  —  2/)r/r  =  0. 

D'après  cette  équation,  le  rayon  x  est  le  diamètre  d'un 
demi-cercle  auquel  seraient  inscrites  trois  cordes  consécutives, 
égales  aux  distances  p,  q,  r  (***).  Des  considérations  géo- 
métriques conduisent  à  la  môme  conclusion. 


(  *  )  Le  lecteur  est  prié  de  faire  la  figure. 
(")  En  effet ,  ^^  =  A  =  (^  +  y). 
(***)  Voir  la  question  précédente. 


XIII.  —  THÉORÈME  DE  GÉOMÉTRIE  (1840)  (*). 

De  toutes  les  injramides  ayant  même  hauteur  et  même  angle 
polyèdre  au  sommet,  la  plus  petite  en  volume  a  pour  centre 
de  gravité  de  la  hase,  le  pied  de  la  hauteur. 

La  base  est  déterminée  par  un  plan  tangent  à  une  sphère 
ayant  pour  centre  le  sommet  de  la  pyramide ,  et  pour  rayon 
la  hauteur,  que  nous  adoptons  comme  unité.  Le  sommet  étant 
pris  pour  origine  des  coordonnées  rectangulaires,  soient 
«,  2/ ,  ^  les  coordonnées  du  point  où  le  plan  de  la  base  touche 
la  sphère  :  nous  aurons 

X-  +  y^  -^  z""  =  \  (  1  ). 

Soient  «  ,  Ç>^ ,  y,  les  angles  que  forme,  avec  les  axes ,  une 
première  arête,  et^, ,  t/,,  ^,  les  coordonnées  du  point  où  elle 
perce  le  plan  tangent.  Nous  aurons  encore 

XX,  +  yy,  +  zz,  =  i  (2), 

^'  y^     -     "'     =^.  (3); 


cosa         coslS,       cosy, 

en  représentant  par  /,  la  longueur  de  l'arête  considérée. 
D'après  ces  équations, 

j~  =  X  cosa.-h  y  cos^.+zcosy,  (4). 

Projetons,  sur  le  plan  des  xy,  la  base  de  la  pyramide. 
C  étant  Faire  de  cette  projection,  la  formule  de  Stainville 
donne 

2G-  l{x,y,-x,y,)  (5). 

Soient  d  ,  o, ,  .  .  .  les  rayons  vecteurs  menés,  de  l'origine 
des  coordonnées,  aux  sommets  du  polygone  situé  sur  le  plan 


(*)  Publié  dans  les  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques ,  tome  VI.  Cette  pre- 
mière i^édaction  présente  quelques  inexactitudes. 


-  36  — 

des  xy  ;  soient  0, ,  o, ,  •  .  .  les  angles  formés  par  ces  droites 
avec  la  partie  positive  de  l'axe  des  x  : 

.T,  =  (î,  cos  0, ,    a-.  =  (?î  cos  Qj , 

y,  =  0^  sin  G,,    y,  =  d,  siii  G^; 


donc 
et  comme 


.r,  y,  —  X,  y,  =  o,  o,  sin  (G,  —  G.), 


§,  =  /,  sin  y, ,     Oi  =  /o  sin  y, , 
la  formule  (5)  devient 

^G  =  Il,L,  sin  y,  sin  y,  sin  (G,  —  0.)  (6). 

L'angle  formé  par  la  base  de  la  pyramide  avec  le  plan  xy 
a  pour  cosinus  z;  donc,  P  étant  l'aire  de  la  base, 

2P  =  ^  2  /,  4  sin  y,  sin  y,  sin  (0.  -  G,)  (7  ). 

Dans  cette  équation  (7)  l,,  h,  h,  .  .  .  sont  des  fonctions 
de  X,  y,  %;  les  autres  quantités  sont  indépendantes  de  ces 
variables.  D'ailleurs,  le  minimum  du  volume  répond  au  mi- 
nimum de  P;  donc  la  question  est  ramenée  à  un  simple  pro- 
blème de  Calcul  différentiel. 

Posons 

2  t,  U  sin  y,  sin  y.  sin  (G,  —  G,  )  =  ¥  {x ,  y  ,  z)  : 

en  égalant  à  zéro  la  différentielle  de  i  F  {x ,  y,  z),   nous 
avons 

De  plus,  à  cause  de  l'équation  (1), 

xdx  +  ydy  +  zdz  -  0  (0). 

On  conclut  aisément,  de  ces  deux  relations , 
(/ 1'  d  F 


-   37  — 

Pour  interpréter  ce  résultat,  observons  que,  d'après  la 
1 
valeur  de  .-  (4)  : 

d(liU)       ,  dli       ,  dU 

-4, — ■  =  li  -, — h  /i  -T-  =  —  ^2  l'i^  cos  a.  —  /,  /.-  cos  a, 
dx  dx  dx  ' 


OU 


=  —  l^k{l^  COS  a,   +  k  COS  «s ), 

=  —  /,/,  {x^  4-  .r,). 


Le  premier  membre  de  l'équation  (10)  équivaut  donc  à 

— ?/2/../iSin7,siir/jSin(93— 9,)(a;,  4-rc)  =  —  ylài^^?,m{B.  ~Q,){Xi  +  x^), 

§,  d^  sin  (9^  —  9,)  représente  le  double  du  triangle  déterminé 
par  les  rayons  vecteurs  d, ,  d.  ;  ^,  +  ^,  est  le  double  de 
l'abscisse  du  milieu  de  la  base  correspondante.  Désig-nant 
donc  par  t>  l'aire  de  ce  triangle  ,  et  rar  g^  l'abscisse  de  son 
centre  de  gravité,  nous  avons 

Irld,  Sin  (9,  -  9,)  {x,  4-  X,)  =  elt,g,; 
ou  encore 

2^/1  sin  (9,  —  (j,)(cc,  +  ir,)  =  6CX, 

X  étant  l'abscisse  du  centre  de  gravité  du  polygone  G. 
On  aurait,  sembiablement , 

2r).^X  siiî(9. -9,)(y.  +?/0  6CY. 
L'équation  (10)  devient  donc 

X  ^  Y 

X       y' 

Ainsi  ,  les  coordonnées  du  point  de  contact  cherché  sont 
proportionnelles  aux  coordonnées  du  centre  de  gravité  de  la 
base;  ce  qui  démontre  le  théorème. 


-  38  - 
XIV.  —  PROBLÊME  d' ANALYSE  INDÉTERMINÉE  (  1842.  ) 

Trouver  un  triangle  dont  les  trois  côtés  et  la  surface  soient 
représentés  yar  des  nombres  entiers. 

I.  D'après  la  formule 

T-==v{P-a){p-l>){p-c)  (1), 

le  périmètre  'îlp  doit  être  un  nombre  ];«/>•;  donc  les  nombres 
entiers  a,  b  ,c  doivent  èire  pairs  ;  ou  bien  l'un  doit  être  pair, 
les  deux  autres  étant  impairs. 
Soient 

c  =  '2n,p  —  a  =  a,p  —b  =  ^  ( 2 )  ; 

d'où 

a  +  (3  =  în    (3) ,        T  =  /)a(3  {p  —  2»  )  (4). 

La  dernière  équation  donne 


p^n  +  y    )r  +  j  (5), 

en  supposant 

a|3  =  y  (6); 

ainsi  ?i^  +  —  est  un  carré.  D'ailleurs  ,  en  vertu  des  équa- 
tions (3)  et  (6),  71-  —  y  doit  aussi  être  un  carré.  La  question 
est  donc  ramenée  à  la  résolution,  en  nombres  entiers,  des 
deux  équations 

T' 

n=--y  =  a;'    (7),        ?i»  h —  =  y-  (8). 

7 

Si  l'on  prend  arbitrairement  n  et  x,  l'équation  (7)  donnera 
pour  y  une  valeur  entière  ,  après  quoi  l'on  trouvera  T  et  ?/  au 
moyen  de  l'équation  (8),  si  toutefois  cette  équation  admet  des 
solutions  entières. 


~  39  — 

IL  Si  y  contient  un  facteur  carré  1^,  T  doit  être  divisible 
par  A,  et  l'équation  (8)  se  simplifie  immédiatement,  sans 
changer  de  forme.  Supposons  donc  que  y  ne  renferme  aucun 
facteur  carré;  alors  ï  doit  être  divisible  par  y;  ainsi 

T=y^  (9); 

puis 

if  —  yz'  =  7i--  (10). 

III.  Si  cette  équation  (10)  admet  un  système  de  valeurs 
entières , 

y  =  B,    ^.  =  G  (11), 

on  aura 


T  =  Cy  ,    rc  =  |/n'  — y  =  A,    iî;  =  M+B,    a  =  »+A,    (3=w  — A, 

et  enfin 

«=B  — A,    b  =  n  +  A  (12). 

lY.  Prenons,  par  exemple , 

n  =  \7,  X  =  A  =  4. 

Il  résulte ,  de  ces  valeurs  ,  y  =  273;  en  sorte  que  l'équa- 
tion (dO)  devient 

1/  — 273^^-289  (13). 

En  supposant 

y  =  17y',    z  =  17;^', 

on  réduit  l'équation  (13)  à 

y"~  273  v'-^  -  1. 

Au  moyen  des  Tables  de  Legendre  (*),  on  trouve  que  cette 
dernière  relation  est  vérifiée  pour 

yt  =  727,   v'  =  44  ; 
(*)  Théorie  des  Nombres,  tome  I ,  table  X. 


-   .'lO  - 

donc 

y  =  B  =  12  359,    X  =  C  -  748; 
puis 

T  =  7i8  .  273  =  20i  204 ,    a  =  12  355 ,    b  =  12.363,    C  =  34. 

XV.  —  QUELQUES  THÉORÈMES  EMPIRIQUES.  (1842-43.) 

En  étudiant  la  série 

1111  1 

^  3  .  4       7  .  8       8  .  9       15  .  16       24  .  25 

dont  le  terme  général  a  la  forme  -  ^_^.^ ,  j)  étant  une  puis^ 

sance  (*) ,  je  fus  conduit,  par   induction,   au   théorème 
suivant  : 

Deux  nombres  entiers  consécutifs,  autres  que  8  et  d,  ne 
peuvent  être  des  puissances  exactes  (**).  Après  avoir  perdu 
près  d'une  année  à  la  recherche  d'une  démonstration  qui 
fuyait  toujours,  j'abandonnai  celte  recherche  fatigante.  Néan- 
moins ,  elle  ne  fut  pas  complètement  inutile  ,  parce  qu'elle 
me  conduisit  à  quelques  propositions  sur  la  Théorie  des 
Nombres,  dont  je  donne  aujourd'hui  les  énoncés.  On  voudra 
bien  regarder  ces  propositions  comme  de  simples  théorèmes 
empiriques,  attendu  que,  depuis  longtemps,  les  démonstra- 
tions ,  ou  plutôt  les  tentatives  de  démonstration  de  la  plupart 
d'entre  elles  ,  sont  égarées.  Vrais  ou  faux  ,  ces  théorèmes 
empiriques  pourront  peut-être  provoquer  d'utiles  travaux. 

I.  a  étant  un  nombre  entier  et  n  un  nombre  premier  impair, 

ji» \ 

le   seul  diviseur  commun  des  nombres  a  —  \  et , 

a—  1. 

est  4  ou  n. 


(*)  Joio'nal  de  Liouvilla  ,  tome  YII ,  p.  9. 

('*)  On  en  trouvera  ci-après  une  démonstration  due  à  M.  Housel,  qui  a  bien 
voulu  m'autoriser  k  la  faire  paraître  dans  ces  Mélanges.  Elle  n'avait  pas  encorfl 
été  publiée. 


—  41   - 

II.  De  même,  le  seul  diviseur  commuai  des  nombres  a  +  1 

,  a"  +  1  ,  , 

et  r-,  est  1  ou  n. 

a  4-  i 

III.  En  outre,  si  a  =  n  q=  i,  a"  i  1  est  divisible  par  n-,  et 
non  divisible  par  n^. 

IV.  Véquation  (x  +  1)^  —  x^"  —  1  est  impossible  en  nombres 
entiers,  excepté  pour  k  =  o ,  x  =  1,  x  =  2. 

V.  L'équation  x"'  —  2"  =  1  est  impossible  en  nombres  en- 
tiers, excepté  pour  x  =  3. 

VI.  x^'  —  y^  =  1  est  impossible  en  nombres  entiers,  excepté 
pourx  =  3,y  =  ^C)' 

VII.  Véquation  xP  —  i  =  P,  dans  laquelle  p  £>/  P  sont  pre- 
miers, n'est  vérifiée  que  pour  x  =  2,p=3,P  =  7. 

VIII.  x"  —  1  =  P  est  impossible,  sauf  lorsque  x  =  2. 

IX.  x"  —  i  =  p2  est  impossible. 

X.  Véquation  x^  —  1  =  p™  nest  vérifiée  que  pour  x  =  3  , 
p  =  2 ,  m  =  3  ;  ozf  X  =  2  ,  p  =  3 ,  m  =  I . 

XI.  Véquation  mP  -  q°  =  1 ,  dans  laquelle  p  et  q  sont  pre- 
miers,  est  impossible,  excepté  lorsque  m  =  3,  p  =  2,  q  =  2, 
11  =  3. 

XI I.  x^  +  y"^  =  p-  est  impossible ,  sauf  le  cas  de  x  — -  2, 
y  =  1 ,  p  =  3. 

XIII.  Véquation 


X     = 


on 


est  impossible  en  nombres  entiers,  excepté  dans  le  cas  de  n  ~  3, 
X  =1. 


(*)  On  ne  compte  pas  la  solution  insignifiante  :  a'  —  1,  ?/  =  o.  La  même  res- 
triction subsiste  pour  quelques-uns  des  énoncés  suivants. 


-  42  - 

DIÎM0N5TRAT10N  d'UN  THÉORÈME  RELATIF  A  LA  THÉORIE  DES  NOMBRES. 
(PAR  M.  ilOUSEL.) 


Deux  nomhres  entiers  consécutifs ,  autres  que  ^  et  'd  ,  ne 
peuvent  être  des  jmissances  exactes. 

I.  Cette  proposition,  énoncée  depuis  longtemps  par  M.  Ca- 
talan ,  consiste  en  ce  que  l'équation 

fl"  =  b"'  -  1  (1), 

vérifiée  pour  a  =  2,  /;  =  3,  ?î  =  3,  w  =  2,  ne  peut  l'être 
pour  aucun  autre  système  de  valeurs  entières  et  positives.  Il 
est  bien  entendu  que  l'on  exclut  les  cas  où  un  de  ces  quatre 
nombres  serait  égal  à  zéro  ou  à  l'unité. 

Pour  démontrer  ce  théorème  ,  nous  devons  chercher 
quelles  relations  peuvent  s'établir  entre  ces  nombres  a,  b, 
m,  n  d'après  la  nécessité  à  laquelle  ils  sont  soumis  d'ôlre  en- 
tiers et  positifs,  condition  qu'il  faut  joindre  à  l'équation  (  1). 
En  appliquant  cette  condition,  l'on  sera  conduit  à  une  égalité 
qui  remplacera  cette  équation  (i),  autant  que  cela  sera  néces- 
saire ,  puisqu'elle  en  admettra  toutes  les  solutions  entières 
et  positives  :  elle  devra  donc  ,  en  particulier  ,  être  vérifiée 
par  les  quatre  nombres  indiqués.  S'il  en  arrive  autrement 
pour  une  égalité  à  laquelle  nous  aurons  été  conduits,  il  fau- 
dra par  conséquent  la  rejeter  comme  ne  pouvant  représenter 
l'équation  (1);  c'est  que  nous  aurons  été  entraînés  hors  de  la 
question  par  une  hypothèse  faite  provisoirement  et  qu'il  fau- 
dra dès  lors  abandonner. 

Enfin  nous  pourrons  toujours  supposer  que  m  et  n  sont 
premiers.  Si  l'on  avait,  par  exemple,  m  =  m' ni",  on  poserait 

et  l'on  prendrait  /?'  =  b"^'  pour  point  de  départ,  au  lieu  de  h. 


-  43  - 
IL  Soit 

^  =  1  +  B, 

l'équation  (i)  devient 

a^^  =  m^  +  ^n{m^-'^)  b.  +  .  . .  +  î»B'"-''  +  B"^  (2). 

Soit  a  le  plus  grand  commun  diviseur  qui  existe  nécessaire- 
ment entre  a  et  B ,  nous  poserons 

a  =  art',     B  =  aB', 

de  sorte  que  a^  et  B'  sont  premiers  entre  eux.  Nous  aurons  , 
en  divisant  par  « , 

a"-  1  .  a''^  -  mB'  +  "'^"'~^^  aB'^  .  .  .   +  a"*"^  B'»^        (3). 

2 

Comme  le  terme  wB'  doit  être  divisible  par  a. ,  ainsi  que 
tous  les  autres  termes  de  cette  équation,  il  arrivera  de  deux 
choses  l'une  :  le  nombre  m  ,  que  nous  avons  supposé  être 
premier  (n°  1),  sera  égal  à  ^- (hypothèse  que  nous  écarte- 
rons pour  le  moment) ,  ou  bien  sera  premier  avec  «;  dans  ce 
cas,  B'  sera  divisible  para.  Nous  poserons 

B'  =  a^P, 

le  nombre  P  n'étant  plus  divisible  par  a. 

D'après  cela  ,  si  nous  remplaçons  B  par  a  "^  \  p  dans 
l'équation  (2)  où  (i^  =  a"  .  «'",  et  si  nous  divisons  de  part  et 
d'autre  par  ^  "^  \  il  en  résulte 

ÎII.  Observons  d'abord  qu'il  est  impossibled'avoir/i<G  +  l. 
S'il  en  était  ainsi,  il  faudrait,  pour  empêcher  que  le  second 
membre,  qui  est  entier,  fut  égalé  à  un  premier  membre  frac- 
tionnaire, que  a'*  fît  disparaître  «  en  dénominateur  ;  mais  il 


—    1 1   — 


n'en  serait  pas  moins  évident  que  le  premier  membre  n'au- 
rait d'autres  facteurs  premiers  que  ceux  de  a'.  Donc  ce 
premier  membre  ne  pourrait  être,  comme  l'est  le  second, 
divisible  par  P,  puisque  a'  est  premier  avec  B'  et  par  suite 
avec  P. 

Il  est  important  de  remarquer  que  ce  résultat  subsiste, 
même  si  l'on  admet  P  =  1.  En  effet,  puisque  B',  qui  devient 

alors  égal  à  «^  est  premier  avec  a',  on  voit  que  a'^  ne  peut 
faire  disparaître  a  en  dénominateur. 

IV.  Si  l'on  admet  n  =  5  +  i,  le  premier  membie  de  l'équa- 
tion (4)  se  réduisant  à  a"  et  devant  être  ,  comme  le  second  , 
divisible  par  P  qui  est  premier  avec  a',  on  aura 

P=  1. 

Alors 

et  l'on  trouve,  à  la  place  de  l'équation  (1),  la  nouvelle  forme 
d'égalité 

a'\  r/'^  =  (l  +  a")'"  -  1  (5). 

Mais  ce  n'est  pas  la  forme  cherchée.  En  effet,  si  l'on  lâche 
d'identifier  (n"  I)  le  second  membre  de  cette  équation  (5)  avec 
la  quantité  3'  —  1,  on  obtient 

(l  -1-  a't"  =  3^; 

or,  dans  cette  égalité  ,  comme  3  est  évidemment  le  seul  fac- 
teur premier  de  chaque  terme,  on  a  a"  =  2,  ce  qui  exige  que 
l'on  ait  ?i  =  1.  Ainsi  l'on  tombe  sur  un  des  cas  d'exclusion 
déjà  indiqués  (n"  I),  c'est-à-dire  que  l'équation  (5)  ne  peut 
remplacer  l'équation  (1). 

V.  Il  nous  reste  à  supposer  ?^  >  0  +  1.  Alors  le  premier 
membre  de  l'équation  (4)  étant  encore  divisible  par  a,  il 
faudra  qu'il  en  soit  de  même  pour  wP ,  comme  pour  tous  les 
autres  termes  du  second  membre.  Mais  si  l'on  continuait  à 
admettre  que  vi  ne  fût  pas  égal  à  a  ,  il  faudrait  que  a  divisât 


'  —  45  - 

P,  ce  qui  est  contre  l'hypothèse  (n°  II).  On  est  donc  conduit 
à  poser  «  =  m,  et  l'équation  (4)  devient,  après  qu'on  Ta 
encore  divisée  par  c  =  m, 

Seulement  il  faut,  en  général,  s'arrêter  là,  c'est-à-dire  poser 

)2  =  G  +  2. 

En  effet,  si  le  nombre  m  divisait  encore  le  premier  membre, 
il  devrait  aussi  diviser  P,  puisqu'il  divise  déjà  tous  les  autres 
termes  du  second  membre  ,  dont  les  puissances  croissent  à 
partir  de  m'^\  or,  cela  est  contre  l'hypothèse,  puisque  &.  =  m 
ne  divise  jamais  P  (n"  II).  (Cependant  ce  raisonnement  serait 
en  défaut  si  l'on  avait  0  =  0). 

Du  reste,  cette  valeur  n  —  (}  +  ^  réduisant  à  «''*  le  premier 
membre  de  l'équation  (6),  on  voit  que  le  facteur  P  qui  divise 
le  second  membre  et  qui  est  premier  avec  w  ne  pourrait 
diviser  le  premier  membre.  On  est  donc  obligé  de  poser 
P  =  i  ,  et  il  reste 

,'n^.l+!^i(i^»,'.^...  (7). 

VI.  Nous  avons  été  ramenés  à  l'hypothèse  ^  =  m  que  nous 
avions  laissée  de  côté  (n"  II).  Pour  ne  rien  négliger ,  nous 
allons  l'introduire  directement  dans  l'équation  (3),  qui  de- 
viendra, en  divisant  par  m. 

En  répétant  les  raisonnements  que  nous  avons  déjà  faits 
(n"'  III  et  IV) ,  BOUS  verrons  qu'il  est  impossible  de  supposer 
îî  <  2,  et  que  w  =  2  donne  B'  =  i,  puisque  B'  devrait  alors 
diviser  a''K  Par  conséquent ,  B  est  alors  égal  à  m ,  et  l'on  a 

m^-a'  =  {i  +  my"'  —  i.  (9). 


—  46  — 

Si  l'on  essaye  sur  celte  égaillé  le  syslème  connu  2'=3^~1, 
on  pourra  bien  identifier  les  seconds  membres  en  posant?«=2, 
mais  la  comparaison  des  premiers  membres  donnerait  ft"  =  2; 
donc  l'équation  (9)  ne  peut  pas  non  plus  représenter  Téqua- 
tion  (1). 

Quant  à  la  supposition  n  >  2,  elle  laisse  le  premier  membre 
de  l'équation  (8)  divisible  par  m;  il  en  est  évidemment  de 
môme  pour  le  troisième  terme  du  second  membre  et  pour 
tous  les  termes  suivants.  Je  dis  que  le  deuxième  terme 

— -— rV"  est  aussi  divisible  par  m ,  car  ce  nombre  w , 

étant  premier,  est  impair  (à  moins  qu'on  n'ait  m  ~  2).  Alors 
il  faudra  que  le  premier  terme  du  second  membre,  B',  soit 
divisible  par  m  ;  on  posera  donc 

ce  qui  ramène  l'équation  (8)  à  l'équation  (0),  et  par  suite  à 
l'équation  (7)  (sauf  le  cas  où  m  =  2). 

VII.  Or  cette  dernière  forme  (7)  a  été  trouvée  en  posant 

ce  qui  donne 

nû'.a''^  =  (1  +  m''-'  )'"-!.  (10). 

En  chercbant  toujours  à  identifier  l'égalité (10)  avec  2'=3- — 1, 
on  trouve  par  la  comparaison  des  seconds  membres 

d'où 

m  =  2 ,    n  —  2. 

Mais  la  comparaison  des  premiers  membres  donnerait  encore 
ft'2  =  2.  Ainsi  la  forme  (10)  doit  aussi  être  rcjclée. 

VIII.  Il  semble  que  nous  ayons  épuisé  inutilement  toutes 
les  bypotbèscs  possibles.   Cependant  nous  avons  réservé 


-  47  — 

(n*'  V)  le  cas  où  l'on  aurait,  avec  «  —  m,  la  valeur  particulière 
G  =  0.  Dans  cette  supposition  ,  qui  donne 

B»  =  p ,    B  =  ?/iP, 

l'équation  (4)  devient,  après  qu'on  a  encore  divisé  par  y.  =  m, 

m"-' .  a''  =  P  +  'iii^l^ni^  P  +  . . .  +  m"'~'  P^'*       (11). 

C'est  un  cas  particulier  de  l'équation  (8)  quand  on  y  remplace 
B'  par  P. 

Aussi  l'on  reconnaîtra,  comme  au  n"  VI,  que  l'on  doit  avoir 
w  >  2  :  mais  alors  ,  en  reprenant  les  raisonnements  de  ce 
numéro,  on  verra  que  le  premier  terme  P  du  second  membre 
n'étant  pas  divisible  par  «  =  m  (  n"  II  ) ,  le  deuxième  terme 

uï  du 1) 

•  P-  ne  doit  pas  l'être  non  plus;  nous  sommes  donc 


Q 


forcés  d'admettre  que      ~    n'est  pas  entier,  c'est-à-dire  que 
m  est  pair. 

IX.  Comme  m  est  premier,  nous  aurons  m  =  2  ,  circons- 
tance que  nous  avions  laissée  de  côté  (n"  VI).  Pour  n'oublier 
aucune  des  combinaisons  possibles  ,  nous  reprendrons  cette 
hypothèse  ,  qui  consiste  à  poser  îi  >  2  et  a  =  m  =  2,  avec 
toute  la  généralité  dont  elle  est  susceptible  ;  nous  allons  donc 
l'introduire  directement  dans  l'équation  (8),  qui  devient 

2"-2a'«  =.  B' +  b'^  (12). 

Ici  B',  premier  avec  «'"  (  n°  II  )  et  divisant  les  deux 
membres  ,  ne  peut  avoir  d'autre  facteur  premier  que  2;  donc 

B'  =  2^     B-2^-*-^ 
ainsi  l'équation  primitive  se  réduit  à 

2"'.a'"=  (l  +  2^"^^)--l  (13). 


-   iS  - 
Celle  dernière  égalilé  revient  à 

OU  encore  à 

On  a  loujoiirs  n>-0  +  2  ,  car  «',  premier  avec  B'  =  2^,  l'est 
aussi  avec  2. 

En  général ,  le  second  membre  1  +  2^  n'est  pas  divisible 
par  2  (à  moins  qu'on  n'ait  G  =  0);  donc  le  premier  membre 
n'est  pas  non  plus  divisible  par  2;  ce  qui  donne 

n  =-  Q-h'2,    G  =  »  —  2  , 

et  l'équation  (13)  devient 

r.a"=(ï  +  r-'Y-i  (li). 

Pour  voir  si  celle  égalité  peut  enfin  remplacer  l'équa- 
tion (1),  on  cherchera  encore  à  l'identifier  avec  la  relation 
2'  =  3"  —  d  ,  ce  qui  donne  ,  en  comparant  les  seconds 
membres , 

2"~^=2,     w  =  2. 

La  comparaison  des  premiers  membres  donne 

2^«'^=  s,      r/^=2. 

Ainsi  l'idcnlificalion  est  encore  impossible. 

Il  faut  donc  prendre  0  =  0,  ce  qui  nous  ramène  au  n"  VIII. 
Ici  l'équation  (13)  se  réduit  à 


9" 


ft*'=  (l  +  2)'-l  =  8  (15). 


Alors   il  est  enfin  possible  d'identifier  avec  la  relation 
2'  =3^—1;  mais  l'équation  (15)  revient  évidemment  à 

2'^~^ft"  —  1,  ce  qui  exige  que  l'on  ait  )^  =  3  et  ft  =1.  On 
est  donc  conduit  nécessairement  au  système  indiqué,  qui  est 
ainsi  le  seul  possible. 


-  49  — 


\Y1.  —  LIEU  GÉOMÉTRIQUE  (1843). 

PROBLÈME.  ■—  Une  ellipse,  dont  le  plan  est  immobile ,  tourne 
autour  de  son  centime  0  (*).  Dans  chacune  de  ses  positions ,  on 
mène  à  la  courbe  une  tangente  TT',  parallèle  à  une  direction 
donnée.  Quel  est  le  lieu  du  point  de  contact  M? 

Soient  a,  b  les  demi-axes  de  l'ellipse;  OM  =  u  ;  OA  —  a' , 
le  demi-diamètre  parallèle  à  TT';  AOM  =  o). 

On  a ,  par  les  théorèmes  d'Apollonius  : 

a'^  4-  n*  =  a''  +  h'- ,    a'  n  siii  w  =  ab  ; 
OU ,  en  remplaçant  les  coordonnées  polaires  par  des  coor- 
données rectangulaires , 

a'-  +  x^  -h  If  —  a-  +  l)- ,    a' y  =  ab; 
d'où 

..,     («"'-r)(r 


b'- 


if 


(1). 


Addition.  —  [Décembre  i865). 


I.  L'équation  (1)  appartient  au  lieu  décrit  par  le  centre  d'une 
ellipse  donnée,  glissant  et  roulant  sur  tine  droite  fixe  ,  de  ma- 
nière que  le  point  de  contact  soit  immobile  sur  la  droite[{**). 
Cette  propriété  est  générale.  En  effet,  si  la  courbe  AMB 

tourne  autour  du  point  P,  et 
que  TT'  soit  la  tangente  paral- 
lèle à  la  direction  donnée,  les 
coordonnées  du  point  de  contact 
M,  relativement  au  pôle  V  et  à 
l'aœe  PX  (parallèle  à  TT')  sont 
les  mêmes  que  les  coordonnées 
de  P,  relativement  au  pôle  M  et 
à  l'axe  MT. 


(*  )  Le  lecteur  est  prié  de  faire  la  figure. 

(  **)  Maniœl  des  Candidats  à  l'École  polytechnique ,  tome  I,  p.  424.  (Note.) 

4 


—  50  - 

II.  D'après  cela  ,  si  réquation  de  AMB  est 

u  =  f{Q)  (1), 

l'axe  P^  faisant  corps  avec  la  courbe ,  on  aura 

tgM  =  — — -  (2); 

d'où  ,  en  éliminant  G  ,  on  trouvera  l'équation  de  la  courbe 
décrite  par  le  point  P. 

III.  Si  cette  dernière  équation  est  donnée,  l'équation  (2) 
prend  la  forme 

f/9  -  (p  (u)  du  (3); 

en  sorte  que,  par  une  simple  quadrature,  on  retombera  sur 
l'équation  (1  ).  D'après  cela,  une  courbe  quelconque  A'B'  2)eut 
être  décrite  par  un  point  P,  lié  invariablement  à  une  courbe 
AB,  glissant  et  roulant  sur  une  droite  fixe,  ou,  sous  une 
forme  plus  concise  , 

Toute  courbe  plane  est  une  tractoire  (*). 

IV.  On  tire,  de  l'équation  (2), 

u d- u  —  d u-  ,r  , ,. 

d(o  =  T— •  dO  .  cos'  w  (4). 

du^ 

Mais,  si  l'on  désigne  par  dy  l'élément  de  AMB ,  et  par  o  le 
rayon  de  courbure  MC ,  on  a 

rfc*  =  du*  +  u^  f/Q- ,    [j  =  ,^  ,  ,   ^ 7— r—v- 

'       dQ  {dG-  +  du*  —  udHi) 

Au  moyen  de  ces  valeurs ,  et  à  cause  de 

du* 

COS»  0)  =  — -  , 
da^ 


(*)  Ce  théorème  aune  grande  analogie  avec  celui  que  j'ai  donné  en  1855,  dans 
les  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques [iovcie  XV,  p.  103).  Ordinairement,  on 
appelle  tractoire  une  courbe  dont  la  génération  diflfère  de  celle  qui  est  indiquée 
ici  ;  néanmoins  j'ai  conservé  cette  dénomination,  pour  n'avoir  pas  à  créer  un  mot. 


—  51  — 
la  formule  (4)  devient 

d(^  =  dQ——  (5). 

Ainsi  ,  r accroissement  infiniment  petit  de  «  est  égal  à 
l'accroissement  infiniment  petit  de  l'angle  5,  moins  l'angle  de 
contingence  de  la  courbe  AMB.  Ce  résultat  est  évident  par  la 
Géométrie. 

V.  Si  l'on  désigne  par  V  l'angle  MPS  que  fait  la  tangente 
PS  avec  le  rayon  vecteur  w,  on  a 

.   ..      udoi       u  /  ,Q      d(j\  iidi 


P  /  pf/u  ' 


ou 


ou  encore 


tq  V  +  tq(ù 


p  COS  OJ 

sin  (V  +  w)  _  u 
COS  V  p 


(6). 


Le  second  membre  est  égal  à'\   \.^^  ;  donc 

sin(V  +  M)  __  sin MCP 
cosV       ~  sin  MPC" 

Cette  proportion  prouve  que  PS  est  perpendiculaire  à  CP. 
Ainsi  la  droite  PC,  qui  joint  le  centre  de  courbure  de  la  glis- 
sante A^IB  au  point  décrivant  P,  est  normale  à  la  tractoire. 

VI.  Si  la  glissante  est  une  développante  de  cercle,  la  trac- 
toire est  une  perpendiculaire  à  TT';  si  la  glissante  est  une 
spirale  logarithmique,  la  tractoire  est  une  ligne  droite,  etc. 


-  52  - 
XYII.  —  THÉORÈME  Sl'R  LES  SURFACES  DÉVELOPPABLES  (1843)  (*). 

Si  l'on  considère  une  courbe  c  tracée  sur  une  surface  développable, 
ainsi  que  la  transformée  C  de  c  dans  le  développement  de  la  surface; 
le  rayon  du  cercle  osculateur  de  la  courbe  primitive  est  égal  au  rayon 
du  cercle  osculateur  de  la  courbe  transformée,  multiplié  par  le  cosinus 
de  l'angle  que  fait  le  plan  osculateur  de  la  première  courbe,  avec  le 
plan  tangent  à  la  surface. 

Prenons  pour  origine  un  point  de  la  première  courbe,  pour 
axe  des  x  la  tangente  en  ce  point ,  et  pour  plan  des  xg  le  plan 
tangent,  en  ce  môme  point,  à  la  surface  développable.  Par 
suite  de  ces  hypothèses  : 

dy  =  0,  dz  =  0,   p  =  -j^  =  0,  q  =  --  =  o,  d^x  =  o,  d::^  =  dx,  d^z  =  0; 

X  étant  la  variable  indépendante. 

En  appelant  R  le  rayon  de  courbure  de  la  transformée,  on 
a,  pour  le  point  considéré, 

dy 


1       1_^ 
R         dx 

ou 


n, 


d'y 


^-^  ^'^' 


Soit  £  l'angle  de  contingence  :  en  général 


donc,  pour  l'origine, 


dxj      \    '  dx^ 


(*)  Publié  dans  les  Comptes-Rendus ,  tome  XVII. 
{  •*)  Calcul  différentiel  de  Lacroix ,  tome  l^r,  p.  668. 


—  53  — 
OU 

d^  y*  +  d'  X, 


£»  = 


Par  suite,  le  rayon  de  courbure  a  pour  valeur 

dx- 

û  =  — __________ 

\/d-if  +  d'z* 


(2). 


11  est  facile  de  voir  que  le  plan  osculateur  de  la  courbe  a 
pour  équation 

—  Yd'z  +  Zd'-y  =  o; 

donc,  en  appelant  ;.  l'inclinaison  de  ce  plan  sur  le  plan  des  œy, 

cosA  =  _^^"^  (3). 

\/d'f  +  d'z'- 

Cela  posé,  les  relations  (1),  (2),  (3)  donnent 

p  =  R  cos  X  (4). 

Remarques.  —  {Décembre  i8G5). 

I.  Si  la  courbée  est  tracée  sur  une  surface  quelconque  S,  on 
peut  remplacer  celle-ci  par  la  développable  2,  circonscrite  à 
S  suivant  c.  Au  moyen  de  cette  modification,  le  théorème  de- 
vient beaucoup  plus  général  (*). 

II.  L'équation  (4)  étant  mise  sous  la  forme 

1  _  cos  A 

on  voit  que  la  courbure  de  la  transformée  G  ne  diffère  pas 
de  ce  que  l'on  appelle,  depuis  quelques  années,  courbure  géo- 
désique  d'une  courbe  c. 


(*)  Ce  théorème  se  trouve,  sans  citation  d'auteur,  dans  le  Calcul  des  Varia- 
tions de  M.  l'abbé  Moigiio  (1861)  et  dans  le  Calcul  différentiel  de  M.  Bertrand 

(1865). 


54  - 


XVIII.  —  SUR  LE  TÉTRADÉCAGONE  RÉGULIER  (1843). 

I.  La  construction  au  moyen  de  laquelle  on  établit  le  théo- 
rème relatif  au  côté  du  décagone  régulier  s'ap- 
plique, jusqu'à  un  certain  point,  aux  polygones 
réguliers  de  quatorze  côtés,  de  dix-huit  côtés, 
etc.  Considérons ,  par  exemple  ,  le  tétradéca- 
gone  régulier.  Soit  AB  le  côté  de  ce  polygone , 
OA  étant  le  rayon  du  cercle  circonscrit.  En 
désignant  par  a  l'angle  au  centre,  et  en  prenant 

l'angle  droit  pour  unité,  on  a  «  =  ^  ;   donc 


ABO  =  BAO=  -  =  3a.  De  là  résulte  que  si  l'on  fait  l'angle 

OBG  =  a,  on  aura  AGB  =  ABC  =  2a;  en  sorte  que  le 
triangle  ABC  est  isocèle* 
Soient  maintenant 

OC  =  BC  =  rK,    AB  =  AG  =  ?/ ,    AO  =  BO  =  1  : 

les  équations  du  problème  sont 

l  =  îxcosix    {\),      a;  =  2î/ cos  2a    (2),      x -h  y  =  i         (3). 
Par  suite , 


^x^  —x+  \  -  0 


(i). 


IL  Cette  équation  (4)  a  deux  racines  positives  et  une  racine 

négative.  Elle  ne  change  pas  quand  on  y  remplace  x  pari _ . 

Il  s'ensuit  que  si  c,  b,  a  sont  ces  racines,  rangées  par  ordre 
de  grandeur  décroissante,  elles  satisfont  aux  relations  : 

111 

a  =  l— -,  b  =  i  —  ,    c  =  l . 

b  c  a 

En  même  temps  ,  à  cause  de  l'équation  (3) ,  les  valeurs  de 
y  sont  indifféremment  représentées  par 

1—  a,     i  —  b  ,    1— c, 


—   do   — 

OU  par 

1     i     1 

/)'    c'    a  ' 

III.  La  racine  &,  comprise  entre  o  et  1,  est  celle  qui  répond 
au  problème.  Elle  donne,  pour  le  côté  y  du  tétradécagone,  en- 
viron 0,445.  Les  deux  autres  racines  de  l'équation  (4)  corres- 
pondent aux  tétradécagones  réguliers  étoiles,  dont  les  angles 

au  centre  sont  y  et  —  d'angle  droit.  On  trouve  aisément  que 

les  systèmes  d'équations  relatifs  à  ces  deux  polygones  sont, 
pour  l'un  : 

X  —  îy  cos  Cf.,    y  =  2  cos  2j: ,      x  —  y  =  \; 
et ,  pour  l'autre  : 

1  =  —  2a:  cos  2a,    y  =  2  cos  a,    —  x  +  \  —  y. 

Dans  les  deux  cas,  l'élimination  de  2/  et  de  a  fait  retomber 
sur  l'équation  (4). 

XIX.  —  SUR  LA  TOROÏDE  (*). 

On  appelle  toroides  les  parallèles  à  rellipse ,  c'est-à-dire 
les  courbes  qui  ont  mômes  normales  qu'une  ellipse  donnée. 
Cette  dénomination  est  fondée  sur  ce  que  la  projection  du 
contour  apparent  d'un  tore,  -sur  un  plan  quelconque,  est  une 
tordide  (**). 

Pour  trouver  l'équation  de  cette  courbe,  il  faut  éliminer  0 
entre  les  équations 

ÎJ7i  ~  ^'   10  a-  n'-\'.  "^  Cfl  a-    h'-\i  ~  '^    ^       ^• 


(9  +  a-f       (9  +  b'f         '  (9  +  n'-f      (9  +  tf-) 


(*)  Note  extraite  des  Nouvelles  Annales,  tome  III  ,  p.  553. 

(**)  Je  crois  que  cette  remarque  est  due  à  mon  regrettable  camarade  de  l'Ecole 
de  Dessin  et  de  l'Ecole  polytechnique,  Fleur  Saint-Denis,  si  connu  par  les  beaux 
travaux  qu'il  a  exécutés  au  pont  de  Kehl. 

(***)  Cauchy,  Comptes- Rendiis  ,  tome  XIII ,  p.  1062. 


-  56  — 

Cette  élimination  se  fait  assez  simplement  de  la  manière 
suivante. 

Chassant  les  dénominateurs ,  on  a  d'abord  : 

a'  (9  +  b'f  X'  +  l>'  (9  +  ay  if  =  (9  +  a')'-  (9  +  bj  (1), 

G-  (G'  +  Irf  x'-  -h  0'  (G  +  a'-)  if  =  /t'  (9  +  a'f  (9  +  b'f  (2). 

Multipliant  par  0',  par  a';  retranchant  membre  à  membre,  et 
supprimant  le  l'acteur  (9  +  ft')',  j'obtiens 

[a'  —  b')  0'  y-  =  (9  -f-  b"-y-  {a'  k'  —  G^)  (3). 

De  même, 

(ft'  -  b')  9^  X'  -  (9  +  (l'-Y  (9  —  b'  k'}  (4). 

Si  l'on  ajoute  membre  à  membre  les  équations  (3),  (4),  et 
si  l'on  supprime  le  facteur  commun  {a'-  —  b'),  on  trouve 

B'-  ix'-  +  tf)  ^-  0-'  {a'  +  /r  +  29)  +  k'  (9=  —  a'  /r)  (5). 

Multiplions  l'équation  (3)  par  a',    l'équation  (4)  par  b\ 
ajoutons ,  et  supprimons  le  facteur  (rr  —  b')  :  il  vient 

9  {a'-  if  +  b'  X')  =  9  in'  b'  —  0')  +  k'  0  {a'  +  /r)  +  2a^  b'  k'  (6). 
Les  équations  (5),  (6)  peuvent  être  écrites  ainsi  : 

20'  -  (.i'=  +  f  -a'-—b'-  —  A:=)  0'-  —  a'-  b'-  k'  =  0  (5') , 

9'  +  (rt^  If  +  /;-  X'  —  a-  k'  -  b'-  k'  —  a'  /r)  G  —  2^'  /'-  A:'  =  0  (6'). 

J'élimine  tour  à  tour,  entre  ces  deux  dernières  équations, 
le  terme  en  9'  et  le  terme  indépendant  ;  je  trouve  ainsi  : 

AG=  +  2B9  —  3C  =  0    (7) ,        39^  —  2A9  —  B  —  0  (8); 

en  posant,  pour  abréger  : 

A  =  x^  +  11-  —  a-  —  b'  —  k\    B  =  (r  ?/*  +  b'-  x-  —  a'  k-  —  b^  k^  —  «'  b\ 

G  =  a'  b'  k\ 

Les  équations  (7),  (8),  traitées  comme  les  deux  précédentes, 
donnent 

2  (A*  +  3B)  9  +  AB  —  9C  -  0  (9), 

(AB  _  9C)  9  +  2  (B'  +  SAC)  -  0  (10). 


—  57  - 

/^  Enfin ,  l'élimination  de  0 ,  entre  ces  deux  dernières  équa- 

tions, conduit  à 

(AB  -  9Gr  -  4  (A^  +  3B)(B'  +  SAC). 

L'équation  de  la  toroïde  est  donc 

(a;*  +  y  —  le  —  b'  —  k'f  {a'  if  +  b^  x^  —  a*  le  —  b'  k'  —  a'  b^Y 
-+-  ia'b'-k,-'  {x'  +  7f  —a'  —  b'  —  h.y  —  i27  a*  b'k' 
+  18fl'/>* k*{x^+y'-  —  a'  —  b'~k')  (a'y'  +  b'  a;*—  a» A;*  —  b'k'  —  a'b'-) 
+  i{a'y'+b'x'—a'k'—b'h^  —  a'bj  =  0.  (H) 

Addition.  —  [Juin  1866). 

^\a  =  h,  et  que  l'on  fasse  x-  =  if  +  u^ ,  l'équation  (II) 
se  réduit  à 

(«*  —  2a^  -  ky {iC- -a'-  ^kj -hik' (m'  —  2a' ~ ky  +U'{u'  —  2/c'  - aj 
+  18ftVc^(it^  — 2ft*— r)(M'-2/c'  — a')— 27a*/c*  =  0.  (12) 

Pour  simplifier  celle-ci ,  je  pose  m-  —  a"^  —  k^-  =  t^  :  la 

transformée  est 

(r  -  aJ  {t'  -  k°-)'  +  ik'  {t'  —  ay  +  4  «^  (f  —  ky+  18  a^  /c*  [t'  -  a*)  (f*  —  /c*) 
—  27a*r  =  0, 

ou 

f«  +  2  (r-  +  k')  l'  +  {a'—k'Y  t'  —  Sa'-k'  {a'  -h  k'-)  f—ia-k:{a'+k'f  =  0.  (13) 

Lorsque  a  =  h,  l'ellipse  devient  un  cercle  ;  par  conséquent, 
la  toroïde  doit  se  réduire  au  système  de  deux  cercles  concen- 
triques avec  le  premier,  et  dont  les  rayons  sont  u  =  a±  k: 
le  premier  membre  de  l'équation  (13)  est  donc  divisible  par 
(i-  +  2r//î:) {f-  —  ^ak).  Si  l'on  fait  la  division,  on  trouve,  pour 
quotient ,  [t^  +  ft^  +  fc-)-,  c'est-à-dire  u\  Conséquemment, 
l'équation  (12)  est  vérifiée  par  u'^  =  0  ;  ce  qui  prouve  que  l'on 
a,  identiquement , 

[(2fr  +  k°-) {a'-  +  Hk'-)  +9ir  kf-y  =  W (2fr+  kj  +  W {2k'-  +  a'f  +  lOSrt* k'  ; 


ou 

(a*  -+-  7fl.'/c'  +  k'Y  =  /i'  (2a'  +  ky  -f  a'  (2/c*  +  a'f  -+-  27û*/c*  ;       (14) 
OU  encore,  en  faisant  rt'  =  a^  /û^  =  (3'  : 

(a'  +  7a' (5'  +  |37  =  (2a'  |3  -(-  (3*)'  +  (a*  +  2a  |3')'  +  (3a*  P*)'      (15). 

Cette  identité  (15)  donne  une  infinité  de  solutions  entières 
de  l'équation 

X'  +y'  +  z*  =  u'.  (16). 

En  voici  deux  : 

1°     a  =  2,  (3  =  1,    .i;  =  17,    1/ =  20,     2  =  12,        «=121; 
2°     a  =2,  (3  =  5,    rr  =  705,  î/ =  516,  z  =  3000,  w  =  22  689. 

En  effet , 

121*  =  17'  +  20'  4-  12', 

et 

22  689*  =  705*  +  516'  +  3  000'. 

Remarque.  —  L'identité  (15)  ne  fait  pas  connaître  toutes  les 
solutions  de  l'équation  (16).  Par  exemple,  on  n'en  pourrait 
tirer  celle-ci  : 

1'  +  2'  4-  3'  =  6V 
XX.  —  SUR  LA  TOROÏDE. 

D'après  la  définition  (p.  55)  les  trajectoires  orthogonales 
une  suite  de  normales  à  l'ellipse  sont  des  toroïdes. 
Une  de  ces  normales  étant  représentée  par 

y  —  mx  + 


l'équation  différentielle  des  toroïdes  est 


dx  d'ex 

y  r^  -X -  (1). 

^^y       )/  a\ly'  +  b'-dx* 


—  59  — 

D'un  autre  côté,  l'équation  générale  de  ces  courbes  est 

(x--  -+■  if—o/-  —  b^  —  ICf  {a'if  +  b'x'  —  a'k'  —  b-  k'  —  a'by 

+  Aa'  b'  k*  {x*  +  y-  —  a'-  —b'  —  kj  —  27  a'b'k' 

+  18  rt^  b'  k^  {x^  +  y-  —a-'  —  b'  —  k'-)  (ay  +  b'-x"  —  a'k'  —  b'k^  —  a'^b*) 

+  k  {a'if  -+-  b'x'  —  a'k^  —  b't^  —a'b'-f  =  0  (  *)  (2), 

k  représentant  la  distance  arbitraire  prise  sur  la  normale,  à 
partir  de  l'ellipse.  Cette  équation  (2)  est  donc  l'intégrale  gé- 
nérale de  l'équation  (l).  Il  serait  peut-être  difficile  d'arriver 
directement  à  ce  résultat. 

Addition.  —  {Juillet  1866.) 

Généralement,  soit 

/■(a,|3)-0  (1), 

l'équation  d'une  courbe  donnée  C.  Si  l'on  fait 

on  pourra  mettre  sous  la  forme 

y  =  mx  -\-  (^{m)  (3), 

l'équation 

de  la  normale  D  au  point  (a,  (3). 

Cela  posé,  l'équation  différentielle  des  courbes  qui  coupent 
orthogonalement  les  droites  D;  ou,  ce  qui  est  équivalent, 
l'équation  différentielle  des  courbes  parallèles  à  C  est 

dx         /     f/^\ 
Bien  que  cette  équation  différentielle  puisse  échapper  à 

n  p-  57. 


-  60  - 

toutes  les  classifications  connues,  il  est  facile  d'en  trouver 
l'intégrale  générale. 

En  effet,  cette  intégrale  est  l'enveloppe  des  cercles  repré- 
sentés par 

Par  conséquent,  si  l'on  élimine  x,  fi  entre  les  équations  (i), 
(5)  et 

df  df  ^  '' 


da.  rf|3 

l'équation  résultante , 

F(a^,!/,fe)  =  0  (7), 

sera  cette  intégrale  générale. 

^  XXI.  —  SUR  l'intégration  des  équations  simultanées  (1844). 

PROBLÈME.  (*)  —  Intégrer  les  deux  équations 


^-,%..y-^^,  (.. 


ydt 
y  1  +  /* 


du       d'x       .,  dx       ,.  ,  „,  ,  ,  ^ 


Mettons  l'équation  (1)  sous  la  forme 


f^-....|-,. 


(*j  Proposé  au  concours  d'Agrégation  des  Collèges,  en  1844.  —  La  solution 
suivante  a  paru  dans  les  Nouvelles  Annales  (tome  IV,  p.  243). 


-  61  - 

Regardant  le  second  membre  comme  une  fonction  de  t , 
inconnue,  nous  aurons,  par  la  méthode  de  la  variation  des 
constantes  : 


.  =  Ae«/|  =  .-(.:|-4 


La  valeur  de  x  donne 

d-x        „.  / ,  ^  r/A      d'x\ 

dV-  \  dt        dH 

Substituant  ces  valeurs  dans  l'équation  (^),  nous  la  trans- 
formons d'abord  en 


\dt     dr-l    J    YTTT^ 


Mais 

d^ 
dt 


^--"h-'^f-§]^ 


d'où 

dk      dW 


dt       df 


L'équation  (4)  devient  donc 


_,|^..a|_,e,=    /  ^^^  („; 


et  le  calcul  n'offre  plus  de  difficulté  (*). 


(*)  Ce  procédé,  applicable  à  un  grand  nombre  de  cas,  a  quelque  analogie  avec 
celui  que  l'on  peut  employer  dans  V Analyse  indéterminée  du  premier  degré 
{Cours  de  Mathématiques ,  i)ar  Auguste  Blum,  tome  l^^,  Appendice). 


-  62     - 
XXII.  —  SUR  LA  l'AFiTITIOX  DES  NOMBRES  (1848)  {*). 

Soit  {n  ,q)  le  nombre  de  manières  de  former  une  somme 
n,  avec  q  nombres  entiers  positifs,  inégaux;  et  soit  [n,  q] 
le  nombre  de  manières  de  former  cette  même  somme  par 
l'addition  de  q  nombres  entiers ,  positifs ,  égaux  ou  inégaux. 
On  peut  toujours  supposer  que  les  q  nombres  entiers  qui  con- 
courent à  former  la  somme  n  sont  rangés  par  ordre  de  gran- 
deur non  décroissante.  Par  exemple,  s'il  s'agit  de  former  la 
somme  37  par  l'addition  de  3  entiers ,  on  pourra  considérer 
ces  groupes  : 

12,     12,     13; 


5,       8,     24; 


mais  non  ceux-ci  : 


13,     12,     12; 

21,       5,       8. 

Cela  posé,  on  aura  les  théorèmes  suivants  (**)  : 

THÉORÈME  I.    {n,q)  =  {n  —  (},(i  ^\) +  {n—(i,q).  (1). 

Démonstration.  —  Si  l'on  considère  un  groupe  quelconque 
formé  de  q  termes,  et  que  l'on  retranche  une  unité)  de  cha- 
cun d'eux ,  on  obtient  un  nouveau  groupe  dans  lequel  la 
somme  des  termes  est  seulement  «  —  q.  D'ailleurs  ,  ce  nou- 
veau groupe  est  formé  de  ^  —  1  termes  ou  de  q  termes  ,  sui- 
vant que  le  premier  groupe  commençait  par  1  ou  par  un 
nombre  supérieur  à  1.  La  même  remarque  subsiste  pour 
chacun  des  groupes  proposés  ;  donc  ,  etc. 

THÉORÈME  II.  [n^q]  =  [n~  \,q  —  \]^[n~(i,q\         (2). 


(*)  Les  démonstrations  suivantes  ,  que  je  retrouve  dans  une  lettre  adressée  au- 
trefois à  M.  Terquem ,  m'avaient  été  demandées  par  ce  regrettable  savant.  Elles 
n'ont  jamais  été  imprimées. 

(**)  Ils  ont,  je  crois,  été  démontrés  par  Euler. 


—  63  - 

Démonstration.  — Partageons  nos  groupes  en  deux  séries; 
mettons  dans  la  première  ceux  qui  commencent  par  i  ,  et 
dans  la  seconde  ceux  qui  commencent  par  un  nombre  supé- 
rieur à  1.  Supprimons  le  premier  terme  dans  tous  les  groupes 
composant  la  première  série,  et  retranchons  1  de  chacun  des 
termes  formant  les  autres  groupes.  Nous  obtiendrons  ainsi 
deux  espèces  de  sommes  :  les  unes  égales  à  n  —  î ,  et  com- 
posées deq  —  i  termes;  les  autres  égales  h  n  —  q,  et  com- 
posées de  q  termes.  C'est  là  ce  qu'exprime  l'équation  (2). 

THÉORÈME    III.      {H,fl)  =  \)l~  ^^7'       ,  (I  (3). 

Démonstration.  —  Soit  un  groupe  formé  de  q  termes  iné- 
gaux, dont  la  somme  est  n.  Retranchons  0  du  premier  terme, 
1  du  deuxième,  2  du  troisième;  et  ainsi  de  suite.  Il  est  évi- 
dent que  nous  obtiendrons  un  nouveau  groupe  dont  un  terme 
quelconque  sera  égal  ou  inférieur  à  celui  qui  le  suit  (*). 
D'ailleurs  ,  la  somme  des  termes  de  ce  nouveau  groupe  est 

n  —  {{  +^2+^+  .  .  .+  q~^\),  ou  n  —^^\^.  L'équa- 
tion (3)  est  ainsi  démontrée. 

THÉORÈME  IV.    [n  ,  q]  =.  ^^    [n  —  q  ,  i]  (i). 

1  =  1 

Démonstration.  —  Prenons  un  groupe  de  q  termes,  égaux 
ou  inégaux,  dont  la  somme  soit  n,  et  dont  les  q  —  i  premiers 
soient  égaux  à  1.  Si  nous  retranchons  1  de  chaque  terme  , 
nous  formerons  un  nouveau  groupe  de  q  termes  ,  de  somme 
n  —  q,  Qi  dont  les  </  —  i  premiers  termes  seront  des  zéros  ; 


(*)  Réciproquement  :  si,  à  des  termes  rangés  par  ordre  de  grandeur  non  dé- 
croissante, on  ajoute,  respectivement,  0,1,  2,...  unités,  les  nouveaux  termes 
ainsi  formés  seront  inégaux  et  croissants. 


—  Gi 


OU,  ce  qui  est  équivalenl,  un  groupe  composé  de  i  termes, 
égaux  ou  inégaux,  et  de  somme  n  —  q.  Donc,  etc. 


i  —p — 1 

THÉORÈME  V.     ;{«,f/)=     T  {^n  -  iq ,  q  —  l)  (5), 


i  ■=■- 


p  étant  le  quotient  entier  de  ?i  +  1  par  q. 

Démonstration.  —  Considérons  un  groupe  dont  le  premier 
terme  soit  i,  et  retranchons  i  de  chacun  de  ses  termes.  A 
cause  de  i  —  i  =  0,  nous  obtiendrons  ainsi  un  nouveau 
groupe  composé  de  (/  —  1  termes,  et  de  somme  n  —  iq.  Et 
comme  n  —  iq  doit  être  égal  ou  supérieur  k  q  —  d  ,  on  doit 
supposer  i  égal  ou  inférieur  au  quotient  de  n  +  i  par  q,  ce 
quotient  étant  pris  par  défaut. 

Remarque.  —  Les  équations  (1),  (2),  (4),  (5)  supposent 

n  ~  ^q.  Si  n  =  2^,  elles  se  réduisent  à  : 

{"2(1,(1)  =  iq,q-\)r)  (10, 

[îq,q]  =  [^q-i,q-\]  +  i  (2'), 

[2r/,^/]  =  [q,\]  +  Uh2]+...  +  [q,(i]  (4'). 

Applications  et  vérifications.  —  Soient  n  =  15  ,  q  =  3  :\es 
relations  démontrées  ci>dessus  deviennent  : 

(15,  3)  =  (12,  2) +  (12,  3), 
[15,3]  =  [14,  2]  +  |12,  3], 
(15,3)  =  [12,3], 
[15,3]  =  [12,1]  +  [12,2]  +  [12,3], 

(15,3)  =  (12,2)  +  (9,2)  +  (6,2)  +  (3,2). 

D'un  autre  côté,  le  calcul  direct  donne  : 

(15,  3j  =  12,  (12,  2)  =  5,  (12,  3)  =  7,  [15,  3]  =  19,  [11,  2]  =  7, 

[12,  3]  =  12,  [12, 1]  =  1,  [12,  2]  =  G,  (9,  2)  =  4,  (6,  2)  =  2,  (3,  2)  =  1; 

(*)  La  quantité  {q  .  q)  égale  zéro. 


-  65 


donc 

12  =  0  +  7, 
19  =  7  -I-  12, 
12  =  12, 

19  =  1  +  6+  12, 

12  =  0  +  1  +  2  +  1; 

ce  qui  est  exact. 

XXIII.  —  siii  l'héliçoïde  de  raccordement. 

I.  Soit  M  un  point  quelconque  de  l'hélice  BM,  tracée  sur 
un  cylindre  de  révolution  dont  AO  est  l'axe.  Soit  G  le  centre 
de  courbure  relatif  au  point  M.  On  a,  par  une  formule 
connue  , 

CM  =  OM  (1  +  f^=a)  (1), 

^-  ce  étant  l'angle  que  lait  la  tangente 
MS  avec  sa  projection  PS. 
Cette  relation  équivaut  à 


CO  =  OM  tg'a  =  OM 


PS 


Pour  une  autre  hélice  B'M',  tracée 
sur  l'héliçoïde  déterminé  par  AO  et 


BM ,  on  aurait 


donc 


CO  =  OM' 


MP  \2 
P'S' 


Mais 


CO  __  OM    |FS'',2 
C'0~  OM'  Ipsi* 

P^S'  _  AF  _  OM' 
PS   "  AP  ~  (!?.!  ■ 


r  équation  précédente  devient  donc 


CO  _  OU' 
CO  ~  OM  ' 


-  06  — 
ou 

CO  .  OM  =  CX)  .  OM'  =  const.  (2). 

Ainsi,  poiw  toutes  les  hélices  tracées  sui'  un  même  héliçoïde 
à  plan  directeur,  les  distances  d'un  point  et  du  centre  de  cour- 
hure  correspondant ,  à  l'axe  du  cylindre,  forment  un  rectangle 
constant. 

IL  Soit  R  le  rayon  du  cylindre  pour  lequel  a.  =  45°.  Dans 
ce  cas,  C"0  =  OM"  =  R  ;  donc  ,  en  général , 

co.om;=r=  (3). 

III.  Celte  relation  est  symétrique  ;  donc  CM  est  le  rayon 
de  courbure  commun  des  hélices  décrites  par  les  points  C,  M. 

IV.  On  a,  par  l'équation  (1), 

OM  =  CM  cos*  a. 

De  même,  en  désignant  par  i3  l'angle  formé  par  la  tangente 
CT  avec  sa  projection  Qï  : 


oc  =  CM  cos«  [6. 

Mais 

OM  +  OC  =  CM; 

dôric 

cos*  a  +  cos'  (3=1. 

Ainsi ,  les  angles  aigus  S,  T  sont  complémentaires;  d'oii  il 
résulte  que  les  plans  tangents  à  Hiéliçoïde,  aux  points  M,  C, 
sont  perpendiculaires  entre  eux  (*). 

Y.  Le  lieu  des  tangentes  MS  est  évidemment  un  paraboloïdc 
hyperbolique  :  ces  deux  surfaces  ont ,  en  chacun  des  points 
deOM,  même  plan  tangent;  c'est-à-dire  que,  suivant  l'ex- 


{*)  Go  résultat  est  compris  dans  un  théorème  de  M.   Chasles  (Journal  de 
Liouville,  t.  II,  p.  413). 


-  67  - 

pression  consacrée  ,  elles  se  l'accordent  le  long  de  la  généra- 
trice couimiine.  Conséquemment,  on  peut  toujours  déterminer 
un  héliçoïde  de  raccordement  avec  une  surface  gauche  donnée: 
l'axe  de  lliéliçoïde  est  la  commune  perpendiculaire  à  la  géné- 
ratrice donnée  et  à  la  génératrice  infiniment  voisine;  le  ylan 
directeur  est  perpendiculaire  à  l'axe,  etc.  (*). 

XXIV.  —  SUR  l'héliçoïde  a  plan  directeur. 

THÉORÈME.  —  L'héliçoule  à  plan  directeur  est  la  seule  surface 
gauche  à  courbure  moyenne  nulle  {**). 

Soient  G,  G',  G"  trois  génératrices  consécutives  delà  sur- 
face cherchée  S.  Par  un  point  7n  situé  sur  la  première,  faisons 
passer  un  plan  P,  perpendiculaire  à  cette  droite  G;  et  soient 
m',  m''  les  points  où  il  coupe  G',  G".  La  section  normale  pas- 
sant par  G  ayant  une  courbure  nulle,  il  en  doit  être  de  même 
pour  la  section  faite  par  le  plan  P  ;  c'est-à-dire  que  les  points 
m,  m',  m"  sont  en  ligne  droite  (***).  Conséquemment,  la  sur- 
face du  second  degré,  osculatrice  de  S  le  long  de  G  (****),  est 
un  paraboloïde  rectangulaire ,  dont  l'un  des  plans  directeurs 


(*)  Aujourd'hui ,  l'on  dirait  simplement:  l'axe  est  la 'perpendiculaire  an  plaix 
asymiJtotique  ,  passant  par  le  point  central  (mai  1866). 

(**)  Dans  le  Journal  de  Liouville  (t.  VIT,  p.  203)  le  même  théorème  pst  dé- 
montré par  le  calcul.  A  défaut  d'autre  mérite  ,  cette  première  démonstration  a 
celui  de  la  priorité.  Néanmoins ,  on  peut  lire,  dans  le  32"  Cahier  du  Journal  de 
V Ecole- polyteclinique  (1848,  p.  134)  :  "  Meunier  a  le  premier  démontré  Cette  pro- 
position remarquable  dans  son  Mémoire  sur  les  surfaces ,  qui  a  été  inséré  au 
Recueil  des  Savants  étrangers.  »  —  Cette  assertion  si  précise  atteste  un  grand 
effort  d'imagination  :  Meunier  prouve  seulement  que ,  parmi  les  surfaces  engen- 
drées par  une  droite  horizontale,  l'héliçoïde  satisfait  seul  à  la  propriété  énoncée; 
ce  qui  est  bien  ditïérent. 

Pour  coniprendre  le  procédé  que  je  relève  Ici,  on  doit  se  rappeler  les  maximes 
de  Bertrand  et  de  Raton  {Lcc  Fontaine,  livre  IX,  fable  XVII)  ^^  (mai  1866). 

(***)  Autrement  dit,  la  surface  S  est  de  telle  nature,  que  toute  section  plane, 
perpendiculaire  à  une  génératrice,  présente  une  inflexion  wu  point  où  elle  coupe 
cette  génératrice.  Cette  propriété  appartient,  en  effet,  à  l'héliçoïde  (mai  1866). 

(****)  Leroy,  Géométrie  descriptive  ,  p.  360. 


-  68  — 

est  le  plan  P,  et  dont  l'autre  plan  directeur,  Q,  est  perpendi- 
culaire à  P.  Trois  génératrices  consécutives  quelconques 
étant  parallèles  à  un  môme  plan  ,  il  s'ensuit  que  la  surface  S 
admet  un  plan  directeur,  savoir,  le  plan  Q. 

Remarquons  maintenant  que,  parmi  les  génératrices  du 
paraboloïde  osculateur,  il  en  est  une  qui  rencontre  orthogo- 
nalemcnt  G,  G',  G'';  donc  la  surface  S  est  un  conoïde  droit. 

Le  reste  est  évident. 

XXY.  —  SUR  UN  CAS  PARTICULIER  DE  l'hYPERBOLOÏDE  GAUCHE  (1849). 

On  sait  que  si  les  faces  d'un  angle  dièdre  droit  passent 
respectivement  par  deux  droites  AB,  CD  (*),  non  situées  dans 
un  même  plan ,  l'arête  du  dièdre  engendre  un  hyperboloïde 
dont  les  trois  axes  satisfont  à  une  équation  de  condition. 
Cette  surface  jouit  de  quelques  propriétés  qui  n'avaient  peut- 
être  pas  été  remarquées. 

I.  Si  l'on  prend  pour  origine  le  milieu  de  la  plus  courte 
dislance  des  directrices,  AB,  CD  ;  pour  axe  des  %,  une  pa- 
rallèle à  la  droite  AB  ;  pour  axe  des  x ,  la  plus  courte  distance  ; 
et  si  l'on  désigne  par  7  l'angle  des  directrices,  ces  droites 
sont  représentées  par 

X  =  —  a)  X  =  +  a) 

(AB),  (CD); 

et  l'équation  de  l'hyperboloïde  est 

x' +  y- —yzX^y  ==  a''  (1). 

II.  A  l'inspection  de  cette  équation,  on  voit  que  l'hyperbo- 
loïde peut  être  engendré  par  une  circonférence  dont  le  plan 
resterait  perpendiculaire  à  AB ,  et  qui  couperait,  aux  extré- 
mités B,D  d'un  même  diamètre,  les  deux  directrices.  Des 


(*)  Le  lecteur  est  prié  do  faire  la  figure. 


-  60  — 

considérations  de  Géométrie  descriptive  conduisent  au  même 
résultat. 

III.  L'équation  (1  )  est  vérifiée  par  ^  =  ±  a,  y  =^  0;  donc 
les  sections  circulaires  de  lliijperholoïde  rencontrent  deux  géné- 
ratrices,  perpendiculaires  aux  plans  de  ces  sections  (*), 

Puisqu'il  en  est  ainsi ,  les  trajectoires  orthogonales  des 
sections  circulaires  se  projettent,  sur  un  plan  perpendiculaire 
aux  deux  génératrices ,  suivant  des  circonférences  ayant  leurs 
centres  situés  sur  la  droite  qui  joint  les  pieds  des  génératrices. 
Ces  circonférences  sont  déterminées  par  l'équation 

x'  +  y  +  Ix  -f-  a'  =  0  (2), 

/  étant  un  paramètre  variable  (**). 

IV.  Si  les  sections  circulaires  sont  considérées  comme  des 
lignes  de  niveau  de  l'hyperboloïde,  les  projections  des  lignes 
déplus  grande  pente  sont  donc  des  circonférences.  Ce  résultat 
est  d'autant  plus  remarquable  que,  dans  le  cas  général, 
les  trajectoires  orthogonales  des  sections  circulaires  d'un 
hyperboloïde  sont  des  courbes  très-compliquées  (***). 

V.  Remarque.  —  Le  diamètre  BP  du  cercle  générateur  est 
la  normale,  en  B,  à  l'hyperboloïde  (****).  De  là  résulte  que  le 
lieu  décrit  par  ce  diamètre  est  le  paraholoule  normal  suivant 
AB;  etc. 


(*)  Il  s'agit  ici  d'un  des  deux  systèmes  de  sections  circulaires  :  le  second  système 
jouit  d'une  propriété  semblable. 

(**)  Voyez  ,  sur  ce  point ,  le  Journal  de  Liouville  (tome  XIX  ,  p.  132). 

(**')  Journal  de  Liouville  (tome  XII,  p.  483). 

(****)  Il  y  a  un  théorème  plus  général  :  «  Pour  obtenir  la  normale  en  un  point 
••  P  de  la  surface  gauche  engendrée  par  l'arête  d'un  angle  dièdre  droit ,  dont  les 
"  faces  sont  normales  à  une  courbe  donnée,  menez,  par  le  point  P,  un  plan 
»  perpendiculaire  à  l'arête  ;  construisez  les  points  Q ,  R  où  ce  plan  perpendiculaire 
»  est  rencontré  par  les  axes  des  cercles  osculateurs  à  la  courbe  donnée ,  pour  les 
«  points  où  cette  courbe  est  normale  aux  faces  de  l'angle  dièdre  ;  avec  PQ  et  QR 
»  comme  côtés ,  construisez  un  rectangle  PQNR  :  la  diagonale  de  ce  rectangle 
"  sera  la  normale  demandée  »  (Société  Philomathique,  4  novembre  1848). 


70 


XWI. 


PROBLÈME  D  ALGÈBRE. 


Décomposer  un  polynôme,  égal  à  la  somme  de  deux  carrés,  en  une 
autre  somme  de  deux  carrés. 

I.  Si  A,  B  sont  des  polynômes,  et  que  l'on  veuille  rendre 
identique  l'équation 

A'  +  B'  -  A"  +  B'-, 

il  sulfit  de  prendre,  soient 

A'  =  A  cos  ç  +  B  sin  ^ , 
B'  =  A  sin  ip  —  B  cos  cp  ; 

soient 

X'  —  A.  cos,  cp  ~  B  sin  cp , 
B'  =  A  sin  (p  +  B  cos  (p  ; 

9  étant  un  arc  quelconque  :  pour  plus  de  simplicité,  on  peut 
le  choisir  de  manière  que  sin  ©  et  cos  tp  soient  rationnels. 

IL  De  cette  remarque,  il  résulte  d'abord  que 
x'^       y^       z- 

étant  l'équation  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe  ,  les  deux 
systèmes  de  génératrices  rectilignes  peuvent  être  représentés 
par 


/yi                  /v 

-  =  -  cos(p  4-  sin  9  , 

y     z  . 

-^  =  -sm(p-cos9, 

X       z 

-   =  -cos  CP  —  SHlffi  , 

a      C        '             ~ 
f  ^fsincp  +  cosçC). 

(*)  Cette  méthode,  que  j'ai  enseignée  il  y  a  liicu  longtemps  ,  me  parait  préfé- 
rable à  celle  qui  est  géuéraiemeut  suivie  eu  France.  (Juillet  1866.) 


—  71  - 

lîl.  De  plus,  si  A,  B  sont  des  fonctions  de  x,  y,%,  du  pre- 
mier degré ,  l'équation 

A^  +  B-  =  0 , 

qui  représente  en  général  une  ligne  droite,  peut,  de  deux 
infinités  de  manières ,  être  remplacée  par 

A'*  +  C-  =  0. 
Soient ,  par  exemple , 

A  =  .r  -f-  2?/  —  3v  +  1, 
\S  =  1x  —  y  +  z. 

Si  l'on  prend 

3        .  i 

cos  a;  =  -  ,    siiî  î-  =  r  , 

'  0  '0 

on  pourra  substituer  ,  à  l'équation 

{X  +  2î/  —  ?y%  +  1)^  +  (Sj-  —  y  +  %Y  =  0, 
soit 

(lia;  +  '2y  —  b::.  +  3)^  +  {—  2.t-  -h  ily  —  [oz  +  iy  =0, 
soit 

(_  ^x  +  lOy  —  13,5  +  3)'  +  {\0x  +  ny  —  9z  +  i'f  =  0. 

En  effet,  ces  trois  équations  deviennent  respectivement, 
étant  développées: 

6x^  +  5?/'  +  10::.'  —  \iyz  —  îzx  +  2x  +  iy  —  6:  +  1  =  0  , 
i^bx^  +  i  25?/"  +  230::,-  —  3o0î/v  —  50zx  +  5o^  +  lOOy  —  1  oO^  +  23  =  0, 
125a:'  +  125î/'  +  250^."'  —  330?/^  —  SOva:  +  50a;  +  lOOy  —  VoOz  +  23  =  0; 

et  il  est  visible  que  les   deux  dernières   équivalent  à  la 
première. 


72  - 


XXVll.  —  SUR  LE  PROBLt.MK  DES  PARTIS.   (  1853.  ) 

Je  rappelle  l'énoncé  de  ce  problème  : 

A  chaque  cuup ,  l'un  des  deux  joueurs  A,  B  gagne  un  puint.  Pour 
que  la  partie  soit  terminée,  il  manque  a  points  au  joueur  A,  et  il  en 
manque  b  au  joueur  B.  Sachant  que  les  probabilités  de  gagner  un 
point  sont  cr.  puur  A  et  Ç::,  pour  B,  on  demande  quelle  est ,  pou:-'  cha- 
cun des  joueurs ,  la  probabilité  de  gagner  la  partie. 

I.  En  désignaiil  par  ];  la  probabilité  relative  à  A,  on  trouve, 
par  diverses  méthodes  : 

V  -  j.  \\  +-,.  +  -^-y-,i  +•••  +  "  f.2    ...    (^_.i)     f-        p)' 
^^^«+^-1  ^.  ^f±^-l  ^«1.-2  ,3^...^  a+/;-l    j^^^,,^,_,     ^^^^^ 

'^  r(fl)r(//)La      1   a+i"^     1.2     ftf-2    ■     «+è_i^^^^- 

De  môme,  la  probabilité  q  relative  à  B  peut  être  mise  sous 
ces  trois  formes  : 

rh\ ,       b        b  ib  +  l)     ,,  b[b-i- l)  ...lia +b— '2)  a— il 

^/-r^  [1+1^-^-77^^--+--^    1.2    ...    (a-l)     ^       J    ^^'' 

./=|5«+^-^4-^^±^r^«+^-^a+...4-^i±^^  (3), 

'^  r(«A^)U       1  z^  +  i'^      1.2     /^  +  2    •••=^rt+//-ij   ^^'^' 
II.  Si  l'on  fait  «  =  ~-,  [^  =  — -  ,  et  que  l'on  ajoute 


—  73  — 
les  égalités  correspondantes,  on  trouve  : 


(x-rî/)        =x  I (x+y)     -^-^y^^^  +  ii!     '^""^  Y7i —    (b—i)  ^      \i 

(7), 
ftp,         r/   1      ''   ,         rt  2  /'(/'+ I)...(a+^— 2)   «   ,1  \ 

(8), 
^  L  1         ^  1.2  ...  («-!)  J   / 


r(fH-^)    i\\,       .„  1    rt— 1   ?/  ,       ,«  ,       ,    ?y"'^  1 
i(fliI(/0     L/^'  i  /^+1       '^  fl+^— IJ, 

IIÎ.  Soit  y  =■  {m  —  i)  x,  m  étant  entier.  Les  trois  der- 
nières relations  se  réduisent  à  : 

aJ^h—\        b—\      «■        .      h—"  a(ft+l)...(a+/;— 2) .        .  ,,    ,\ 

111''+"    '  =  w'      ^  J  [in  ~-i)  m'    -  +...+  "172  ...  (a_i)  ^^^^-^^ 

•(10), 

((M), 
,       ,,,r,        ,  «_i  ,  ft+ft— 1        ,ri—2  ia-hb-\)..(b+i)l\ 

+  (m-l)^j  (m-l/*      +  — -^ — {m-if    ^+...+'-^ —  uTl)  y 

aA-b—i      l\a+b}r\     ,,_!     b-l    1       2,_2           ,          1      n  \ 

„ja-1-o     ^z:^      \  -/;/^ ; ijf     2    +...rt:    ^ 1 

l{a)r{b)la  1   a-t-1  ff+/^-lJ  j 

l{a)r{b)  Ib  1^+1  a  +  b—ljl 


—  /-t 


IV.   Les  égalités  (10),   (11)  prouvent  que    les  nombres 
entiers 


a+h- 


■-[,„'-^|(».-.)„.>-=^...^"f;^"--^'';^^\,„-.r.]. 

sont  divisibles  par  {m  —  1)    :  les  quotients  sont 

m      '+  -,  m      '  H h— ^^ 

\  1.2     ...     (ft-l) 

et 


1          '  '1.2  (  a  —  \) 

Par  exemple  : 

3'~[.r  +  3.2.3'4-6.2^  .3^  +  10.2'.3  +  15.2«]       ^ 
— =  3-4-0.34-15, 


3'  —  [  1  4-  7  .  2  4-  21  .  2^  4-  3o  .  2'  +  35  .  2*]      ^,      „ 

1 i  =  2'  4-  7 .  2  -f  21 


OU 


2187  —  939      ,,,      2187  —  939      .,, 
=  o9  ,     — —  39  ; 


32  32 

ce  qui  est  exact. 

V.  Les  parties  négatives  des  deux  dividendes  se  sont 
trouvées  égales  entre  elles  :  il  en  est  toujours  ainsi.  En 
effet,  ces  quantités  sont  des  expressions  différentes  de  p, 
multipliées  par  un  même  facteur.  On  a  donc 

j,_i      a  .         ..     (,_o          ,   a  (a  4- 1) .,.  («  4-  /^  —  2)  ,         .  ^_, 
m'    '+;^im~\)m''    -+...+    ^^  ^  ^     ^^_^^   {m- if 

.      a+b—\                         (ft4-/'—l)  ...(«  + 1),         ,  {,_! 
^^^ \ {^n-\)  +...+  '    ^    ^^  (^_^)("^-l^ 

V{ii+b)r\   «.-i_/izL!  _i_    ^-'>  1      ] 

r  {a)  r  {b)  l'a  '"  1      a+\  ^"         ^'"^^  „  +  /;  _  i  |  • 


Gonséqucmment,  le  dernier  nombre  est  entier',  ce  qui 
n'était  pas  évident  a  priori. 

XXVIII.  —  FRACTIONS  CONTINUES  PÉRIODIQUES  (*). 

I.  Une  fraction  continue  périodique  est  celle  dont  les  termes 
se  reproduisent  dans  le  môme  ordre,  à  partir  d'un  certain 
rang.  Elle  est  dlle iJériodiqiie  simple,  lorsque  le  premier  quo- 
tient incomplet  fait  partie  de  la  période.  Dans  le  cas  contraire, 
elle  est  appelée  fraction  périodique  mixte. 

Les  fractions  continues  périodiques  jouissent  d'un  grand 
nombre  de  propriétés  remarquables  ,  reposant  toutes  sur 
la  proposition  suivante. 

II.  Soit  une  fraction  périodique  simple  m,  n,  p,  q,  m,  n,  p, 
q,...  :  la  valeur  y  de  cette  fraction  sera  donnée  par  l'équation 

1 

y  ^  '"  + 7 


v  + 


(/  + 


y 

En  désignant  par  y^  et  y.^^  les  résultats  que  l'on  obtient 
en  prenant  i  périodes  ei  i  +  i  périodes,  on  a  évidemment 

1 


?/._L,  =  m 


n  + 


~y^ 


La  différence  entre  deux  réduites  consécutives  peut  de- 
venir moindre  que  toute  quantité  donnée  ;  il  en  est  de  même 


(*)  Les  Notes  XXVIII  et  XXIX  sont  extraites  d'une  Théorie  des  Fractions  con- 
tinues ,  publiée  dans  les  NouveUes  Annales  (1849).  Si  je  reproduis  un  sujet  aussi 
élémentaire,  c'est  uniquement  h  cause  du  calcul  développé  dans  le  paragraphe  7 
(Note  XXIX)  (septembre  18CG). 


-  76  — 

pour  deux  réduites  distantes  d'un  nombre  déterminé  de 
rangs  :  car  celte  dernière  différence  est  égale  à  la  somme 
des  différences  entre  les  réduites  intermédiaires  et  consécu- 
tives. Donc  j.^  et  y^_^^  ont  la  même  limite,  laquelle  est?/. 

III.  On  peut  calculer,  de  proche  en  proche, //  .  ^.  ,   y.  ,..., 
y^  ,  y.^^  ,  sans  passer  par  les  réduites  intermédiaires.  \a\ 

p        Q 

effet,  représentons  par  p? ,  7y  les  réduites  répondant  aux 
termes];,  q  de  la  première  période  ;  et  soit—  la  réduite  qui 
suit-^,  de  manière  que 

R      Qm  +  P 


R'     Q'm  +  P'" 

Si,   dans  cette  valeur,   nous  remplaçons  m  par  y^  ,  nous 
obtiendrons  y       ;  donc,   en  général, 

.^24-1  ^  Q%  +  P'' 

T 

IV.  Soit    —  la  fraction  irréductible  équivalente  à  ,,   : 

1  Ui 

^  QT  +  PT' 
^,+1  "    Q'T  +  P'T'  ^  '' 

et  je  dis  que  la  fraction  contenue  dans  le  second  membre 
est  irréductible. 
Soient  U ,  U'  les  deux  termes  de  cette  fraction ,  savoir  : 

U  =  QT  +  PT',     l]'=Q'T  +  PT. 

Entre  ces  équations,  éliminons  successivement  T  et  T'  ;  nous 
trouverons 

UQ'  _  U'Q  =  (PQ'  -  P'Q)  T',      UP'  -  U'P  =  -  (PQ'  -  P'Q)  T. 
Mais        ,     y  sont  deux  réduites  consécutives  :  donc 
PU'  -  P'Q  =  =b  1  ; 


—  77  — 
par  suite, 

UQ'  -  U'Q  =  ±  r,    UP'  -  U'P  =  r^  T. 

Ces  équations  prouvent  que  tout  facteur  commun  à  U  et  U' 
devrait  diviser  T  et  T'.  Si  donc,  comme  nous  l'avons  supposé, 

T  .  U 

—  est  irréductible  ,  rrrj  le  sera  pareillement. 

D'ailleurs,  la  fraction  ^  ,  qui  donne  la  valeur  de  la  pre- 
mière période,  est  une  réduite;  donc  toutes  les  fractions 
obtenues  par  l'application  de  la  formule  (i)  sont  des  réduites. 

V.  Soient,  comme  précédemment, 

-  L  _£ 

yi  -  T  '  y^+i  -  U'  ■ 


D'après  une  règle  connue,  si  l'on  réduit  en  fraction  ordinaire 
T 


m  H 7  le  dénominateur  de  cette  fraction  sera  la 


1 

valeur  de  la  fonction  TU' —  T'IJ,  prise  avec  son  signe  ou  avec 
un  signe  contraire.  Or  ce  dénominateur  est  celui  de  y  , 
c'est-à-dire  Q'  ;  donc 

TU'  — T'U  =  ±:Q'{'). 

VI.  Plus  généralement,  5/  dans  une  fraeliou  pcriudique,  simple 
ou  mixte,  on  considère  deux  réduites  distantes  d'autant  de  rangs  que 
l'indique  le  nombre  des  termes  de  la  période;  la  différence  des  pro- 
duits en  croix  des  termes  de  ces  deux  réduites  sera  égale  au  dénomi- 
nateur de  la  fraction  continue  équivalente  à  lapériode,  celle-ci  étant 
comptée  à  partir  de  la  première  des  deux  réduites. 


(*)  Dans  l'application  de  cette  formule,  on  doit  prendre  le  signe  + ,  si  le 
nombre  des  termes  de  la  période  est  îmir.  Et  si  ce  nombre  est  impair,  on  prendra 
le  signe  +  ou  le  signe  — ,  selon  que  i  sera,  pair  ou  impair. 


-  78  - 

[    Ce  théorème,  aussi  bien  que  le  précédent,  est  une  consé- 
quence immédiate  de  la  propriété  qui  vient  d'être  appliquée(*). 
Soit,  comme  exemple,  la  fraction 

x  =  2,3,i,3,2,  1,3,2,1  ...., 
ou  simplement 

X  -  2,  3(1,  3,  2). 

Les  réduites  consécutives  sont 

2      7      9      3i      77      IH       ilO      93_1      _mi      mi 
T'    3  '  1  '  Ï5  '   3Ï  '  l9   '   Ï81  '    ill  '    592  '   2Ï87 

D'un  autre  côté ,  l'on  a 

1,3,2  =|;      3,2,1  =  ^;     2,1,3  =  ^. 

Or, 

1"  7.  34  —  3.  77  =  —  (  77.  Hl  —  3i.  931)  =  ...=  +  7; 
20  0.  49  —  4.111  =  —  (111.  592  —  49.1341)  =...  =  —  3; 
3°  31.181  —  15.il0  =  -  (410.2187  —  181.4954)  =...  =  +  4. 

Vli.  D'après  l'équation  UQ'  —  U'Q  =  ±  T',  nous  voyons 
que,siT' estdivisible  parQ',  U'  sera  parcillementdivisiblepar 
ce  facteur.  Or  le  dénominateur  de  y^  est  précisément  Q'  : 

donc  les  dénominateurs  de  toutes  les  réduites  1I2 ,  y,,...  soit 

divisibles  par  le  dénominateur  de  ?/,  . 


(*)  Vuir,  pour  la  démonstration  ,  les  Nouvelles  Annales. 


-  79 


XXIX.  —  RECHERCHE    DES    VALEURS    DES   FRACTIONS    CONTINUES 
PÉRIODIQUES. 

THÉORÈME  I.  Toute  fractiou  continue  périodique  est  équivalente  a 
Vune  des  racines  d'une  équation  du  second  degré,  à  coefficients  ra- 
tionnels. 

1°  Soit  d'abord  une  fraction  périodique  simple 

y  =  {m.  ,n,p,  q). 
Nous  aurons  (p.  75)  : 

1 


y  =  m 


1 


1 
V+  


P        T) 

d'où,  en  représentant  par  —,  -^  les  réduites  répondant  aux 
termes  p,  ci, 

02/ +  P 


.'/  = 


Q'y  +  P 


Ainsi,  la  valeur  ij  de  la  fraction  continue  périodique  simple 
est  donnée  par  l'équation 

W  +  (P'  -  Q)  y  -  P  =  0  (2), 

laquelle  a  ses  racines  de  signes  contraires.  Il   est  d'ailleurs 

manifeste  que  la  racine  positive  seule  répond  à  la  question. 

2"  Si  la  période  avait  un  seul  terme  w,  l'équation  r|ui 

donne  y  serait  simplement  y  =  in  -\ —  ,  ou 

y.  -  my  -  i  =  0  (3). 

3"  Soit  maintenant  une  fraction  périodique  mixte 
.t  =  a,b,c,  d,e,{m,n,p,q). 


-   80  - 

En  représentant  encore  par  y  la  fraction  périodique  simple 
{m,  ??,];,  q),  nous  aurons 

X  =  a,  />,  c,  d,  e,  y; 

d'où ,  en  appelant  —, ,  —  les  réduites  qui  correspondent  aux 
termes  d,e, 


X  =  ^^  +  P  (4) 

Cette  relation  donne 

-      D'-g  —  D  . 
y  -       E'rc  —  E  ' 

puis ,  par  la  substitution  dans  (4), 

Q'  (D'  X  —  W  —  (P'  —  Q)  (D' x—\))ŒJx-  E) ) 
—  P  (E'  a;  -  E)^  =  0  ) 

Or  cette   équation  est  du    second  degré  ,  à  coeiTicients 
rationnels. 

4"  Si  la  partie  non  périodique  avait  un  seul  terme  a,  on 
aurait^'  =  «  +  -  ;  et  l'équation  (o)  serait  remplacée  par 

P  ix  —  af  —  (P'  —  Q)  ^^  —  «)  —  Q  =  0  (G). 

5"  Si  la  partie  périodique  et  la  partie  non  périodique  n'ont 
chacune  qu'un  seul  terme,  l'équation  (3)  donne 

(X  -  a)-  +  m  (X  —  a)  —  i  =-  0  (7). 

G°  Enfin,  six  =  -,  d'où  y  =  -  ,  les  équations  (2)  ou  (3) 
y  -^ 

donneront  encore  des  équations  du  second  degré  en  x. 

La  proposition  énoncée  est  donc  démontrée  dans  tous  les 
cas.  3îais  nous  pouvons  aller  plus  loin  et  discuter  les  équa- 


-  81   — 

tioiis   (2),  (3),  (4),  etc.  A  cet  effet,  établissons  d'abord 
le  Icmme  suivant. 

II.  Soit  X  une  fraction  continue,  plus  grande  que  Vunité,  et  soit 

D      E 

x'  la  fraction  continue  inverse.  Si  —,  -^  sont  les  deux  dernières  ré- 

E'     E 
duites  de  x,  celles  de  x'  seront  -  ,  — • 

D'     0 

Une  rraction  conlinue  x'  est  dite  inverse  d'une  fraction 
continue  x,  lorsque  les  termes  de  la  première  sont  ceux  de 
la  seconde,  écrits  dans  un  ordre  inverse. 

Cela  posé ,  soit  x  =  a,  b,  c,  d,  e;  d'où  ^x^  =  e,  d,  c,  b,  a. 

De  E  =  D<?  +  C,  l'on  déduit  —  =  ^  +  -  .  Par  la  même  rai- 

C 

x;  et  ainsi  de  suite  lusqua  —  =  &  h 

C  ''     ^         a  a 

B 

e,  d,  C,  b,  a  =^  x'.     On  verrait  de  même  que 


III.  Si  la  fraction  continue  x  est  symétrique,  c'est-à-dire  si 

ses  termes  sont  tels  que  a,  b,  e,  b,  a,  alors  x'  =  x;  donc 

E'         D 

-  =  -  ;  OU,  simplement,  E'  =  D.  Ainsi,  dans  toute  fraction 

continue  symétrique ,  le  dénominateur  de  la  dernière  réduite 
est  égal  an  numérateur  de  l'avant-dernière. 

IV.  Remarque.  On  peut,  de  bien  des  manières,  parvenir  à 
l'équation  qui  donne  la  valeur  d'une  fraction  continue  pério- 
dique. En  effet,  on  ne  changera  pas  cette  valeur  si  l'on  com- 
prend ,  dans  la  partie  non  périodique  ,  plusieurs  ternies 
appartenant  à  la  période ,  ou  si  l'on  prend  plusieurs  fois 
celle-ci,  au  lieu  de  la  prendre  une  seule  fois. 

Soit,  par  exemple,  .r  =  2,  3,  5  (1 ,  4). 
Si  nous  posons  7/  ==  (i ,  4),  nous  aurons 

X  =  -2,3,o,y,    7/  =  1 ,  4 ,  y  ; 


son  , 

c  ^ 

=  d 

Donc 

E 

D  ~ 

=  e, 

E'  _ 
D'  ~ 

e,d, 

c,  b 

d'où 

_  37^/  4-  7  _    5?/  +  1  _ 

^  ~  16?,'  +  3  '     ^  "  Ay  +  1  ' 

puis,  par  l'éliniination  de//, 

'■2SX*  —  131t;  +  137  =  0. 

iMais  si  nous  regardons  comme  appartenant  à  la  partie  non 
périodique,  les  termes  i ,  i,  1  de  la  période,  et  si  nous  po- 
sons y  =  (i ,  i  ,  4,  i) ,  nous  aurons 

x  =  2,  3,o,l,i,  1,1/',     y'  -  4,  l,i,  1,7/'; 

puis 

_^  2o7j/'  +  213         _,  ^  29 f/'  -\-  2-i 
^  ""  llly'  +  92  '       ^'  "    6?/'  +  5  ■ 

L'élimination  de  ?/'  donne  ensuite  l'équalion  trouvée  ci- 
dessus. 

V.  Revenons  maintenant  au  n"  I.  En  discutant  les  différents 
cas  qui  se  peuvent  présenter,  et  en  supposant,  pour  plus  de 
simplicité,  que  la  fraction  périodique  soit  plus  grande  que 
l'unité ,  nous  obtiendrons  les  théorèmes  suivants  : 

i""  L'équation  (2),  à  laquelle  donne  lieu  une  fraetion  périodique 
simple,  a  ses  racines  de  signes  contraires.  Et  si  a  désigne  la 
fraction  continue  inverse  de  la  fraction  proposée,  la  racine  négative 

de  cette  équation  est  —  -  • 

a 

D'abord ,  l'équation  (2)  a  ses  racines  de  signes  contraires, 
puisque  son  dernier  terme  est  négatif.  En  second  lieu ,  d'après 
le  n"  II,  la  fraction  inverse  serait  donnée  par  l'équation 

^  Vif  +  P   ' 

OU 

Py'*  +  (P'  ~  Q)  y'  _  Q'  =  0. 


-  83  — 
Eti!  est  visible  que  celle-ci  se  déduit  de  l'équation  (2)  par  le 
chanû'ement  de  y  en ,- 

2"  Si  la  période  a  un  setil  terme ,  l'équation  résultante  a  ses  racines 
réciproques ,  et  de  signes  contraires. 

En  effet,  dans  l'équation  (3),  le  produit  des  racines  est 
égal  à  —  1 . 

3°  Plus  généralement ,  si  la  période  est  symétrique,  l'équation  du 
second  degré  a  encore  ses  racines  réciprociues ,  et  de  signes  contraires. 

D'après  le  n"  II,  le  dénominateur  Q'  est  égal  au  numéra- 
teur P;  donc  l'équation  (2)  devient 

P'  — o 

^i''  L'équation  (5),  à  laquelle  donne  lieu  une  fraction  périodique 
mille  qui  a  plusieurs  termes  non  périodiques ,  a  ses  racines  positives. 

L'équation  (5)  résulte  de  l'élimination  de  y  entre  les  deux- 
relations 

Q'y^  +  (P'-Q)?/-P  =  o  (2), 

.       E?/  4-  D 


E'î/  +  D' 


(i). 


Jl  s'agit  donc  de  faire  voir  que  si  l'on  substitue  dans  la 
formule  (4),  successivement  les  deux  racines  de  l'équation 
(2) ,  les  résuliats  obtenus  seront  positifs  Gela  est  évident 
pour  la  valeur  positive  de  y.  Quant  à  la  valeur  négative , 

P        P 

j'observe  dabord  qu'elle  est  comprise  entre  —  Ty    •    pj    ^^ 

—   jy'--^,  c'est-à-dire  entre  —  ^  et  —  -•  Ces  valeurs, 

mises  à  la  place  de  y  dans  le  second  membre  de  la  formule 
(4),  donnent 

DQ'  —  EP'       DQ  —  EP 


D'Q'  ~  E'P'  '   D'Q  -  E'P" 


Actuellement,  nous  avons 

E  Q 

g<jj<<'+i,    ^/<-^<7  +  l, 

E'  0' 

e<-<+i,     q<f;<(l  +  i. 

D'ailleurs  e  est  différent  de  q,  sans  quoi  e  ferait  partie  de  la 
période.  Soit  e  <q;  alors 

E^O     E^O'    £^0    ii^^A' 
DP'    DP-'    D'      P'    D'      P'" 

Ces  dernières  inégalités  prouvent  d'abord  que  si  y  varie  d'une 

P'  O' 

manière  continue,  entre  — --y  et  —  ■-,,  la  valeur  de  x  varie 
aussi  d'une  manière  continue. 
Ensuite,  ces  mômes  inégalités  donnent 

DQ'  — EP'>0,    DQ— EP>0, 
D'Q'  — E'P'>0,     D'Q  — E'P>0; 

d'où 


D'Q'  —  E'P'  '      D'Q  —  E'P 

Si  nous  avions  supposé  e  ^  q,  nous   serions  arrivés    au 
même  résultat. 
Puis  donc  qu'en  remplaçant,  dans  la  formule  (4),  //  par 

pr  p 

ses  deux  limites  —  -r^  et  —  -r  les  résultats  de  la  substitu- 
tion sont  positifs,  et  que  d'ailleurs  x  varie  d'une  manière  con- 
tinue dans  l'intervalle  considéré,  nous  pouvons  conclure  que 
la  seconde  racine  de  l'équation  (2)  est  positive  et  comprise 
entre 

DQ'-EP'  ^^  ^Q-EP 


D'Q'  —  E'P'        D'Q  —  E'P  * 
t)"  Si  la  partie  non  périodique  a  un  seul  terme  a ,  nous 


—  8b  - 
aurons  x  =  a  +  -  ,  etla  seconde  racine  de  l'équation  (6) 

sera  comprise  entre  a  —  ^  eta  —  p  •  Or,  gj-  et  gsontcom- 

pris  entre  q  et  g  +  1  ;  donc  cette  seconde  racine  est  com- 
prise entre  a — q  et  a  —  q  —  1. 

Si  a  est  moindre  que  q ,  nos  deux  limites  sont  négatives  ; 
donc  la  seconde  racine  sera  négative  et  plus  grande  que  Vunité. 

Si  a  est  plus  grand  que  q,  les  deux  limites  sont  positives; 
donc  la  seconde  racine  sera  positive. 

6-  Enfin,  dans  l'équation  (7),  la  seconde  racine  est  com- 
prise entre  ri^  —  m  et  a  —  m  —  l  :  donc  cette  seconde  racine 
est  négative  ou  positive ,  selon  que  a  est  inférieur  ou  supé- 
rieur à  m . 

VI.  THÉORÈME.  Toutc  vadue  irrationnelle  d'une  équation  du  second 
degré,  à  coefficients  entiers ,  se  développe  en  fraction  continue  pério- 
dique. 

Ce  théorème,  réciproque  de  celui  dont  nous  venons  d'exa- 
miner les  diiférents  cas,  est  dû  à  Lagrange. 
Soit 

a,x-  —  'ihoX  —  «0  =  0  (8) 

l'équation  proposée,  dans  laquelle  rt^  ,  a^,    h^  sont  entiers. 

Supposons  d'abord  que  les  racines  soient  de  signes  contraires, 
auquel  cas  a^^  et  a^  sont  positifs.  La  racine  positive  est 
donnée. par  la  formule 


_i>o  +  ^'''/'o'  H-  a^cti 
a, 

Pour  développer  cette  quantité  en  fraction  continue ,  repré- 
sentons par  q^  la  partie  entière  du  second  membre,  laquelle 

peut  être  nulle ,  et  posons  x  =  q^  +  -,  :  x^   sera  positif  et 
plus  grand  que  i. 


—  86  — 


De ~!  =  (I  +  -  -,  on  tire 


puis 


«,  =  - 


Pour  faire  passer  le  radical  au  numérateur  ,  multiplions  les 

deux  termes  par  \/b,-  -^  a,  a^  —  (bo  —  (h  q,  )  ;  nous  obtien- 
drons 

_  a.  (ft//i  —  bo  -h  \/bo-  +  floa,)  _  fl,<y,  —  bo -h  V b^-  +  a^a^ 
'  ~      bf  +  aoai  —  {b,  ~ao(ii)'     ~      a^  + 'Hbj/,  — aji'-     ' 

en  supprimant  le  facteur  commun  a^  . 
Posons,  pour  abréger, 

nous  aurons,  identiquement, 

V  +  ttofl,  =  b,^  -h  a,CL_; 
et  la  valeur  de  x^  deviendra 

b,  +  Vb,^  +  a.aj 
a* 

Conséquemment,  l'inconnue  œ^  est  racine  de  l'équaiion 

a,x;-  —  2/'..f,  —  a,  =  0  (a). 

Maintenant,  je  dis  que  cette  équation  est  de  même  nature  que 
la  proposée ,  c'est-à-dire  qu'elle  a  ses  deux  racines  désignes 
contraires.  En  effet,  le  coefficient  a  est  ce  que  devient  le  pre- 
mier membre  de  la  proposée  quand,  nprès  en  avoii'  changé 


—  87  - 

tous  les  signes,  on  y  remplace  x  par  q^.  Or  cette  dernière 
quantité  étant,  par  hypothèse,  la  partie  entière  de  ^,  est 
comprise  entre  les  deux  racines  de  l'équation  (8);  donc, 
d'après  les  propriétés  des  trinômes  du  second  degré, 

OU ,  ce  qui  est  la  même  chose,  ii^  >  0.  Donc,  etc. 

L'équation  (a)  ayant  ses  racines  de  signes  contraires,  il 
est  clair,  d'après  ce  qui  précède,  que  l'inconnue  x^  est  la 
racine  positive  de  cette  équation,  et  que,  si  l'on  désigne  par 
q,  la  partie  entière  de  x^  (au  moins  égale  à  1),  on  a 

1 

Xi  =  t\,-\ —  , 

X,  étant  la  racine  positive  de  l'équation 

a^x,^  —  %,x,  —  Cf.,  =  0  {0} , 

laquelle  se  déduit  de  la  précédente  comme  celle-ci  a  été  dé- 
duite de  la  proposée. 

Cette  équation  [h)  a  encore  ses  racines  de  signes  con- 
traires ;  et  ainsi  de  suite. 

Actuellement,  la  série  des  égalités 

bo'  +  flofl,  =  b'-  +  fli«i  =  bt'  +  a.jh  =  .  .  .  =  A , 

dans  lesquelles  «„,  «,,«,,...,  b^\  &,-,  b^-,...,  sont  des7i07nbres 
entiers,  prouve  que  ces  nombres  ne  peuvent  croître  indéfi- 
niment; donc,  api'ès  un  nombre  limité  d'opér^Vions ,  on  arri- 
vera à  une  certaine  équation 

a  ^  a;^-  —  ~b^x^  —  a^^  =  0, 

dont  les  coefficients  seront  ceux  d'une  équation  déjà  obtenue. 
Conséquemment  aussi,  la  valeur  de  x  est  périodique. 

Considérons  à  présent  le  cas  où  l'équation  du  second  degré 
a  ses  racines  de  môme  signe.  Nous  pouvons  les  supposer 


-  8S  — 

positives  :  car  si  elles  étaient  négatives,  il  nous  suffirait  de 
clianger,  dans  la  proposée,  x  en  —  œ. 
Cela  étant,  soit 

a,x'-  —  îb,ûc  +  a,  =j)  (9) 

cette  équation,  dans  laquelle  a^ ,  «-,  /?„  sont  entiers  et  positifs. 
La  plus  grande  racine  est  donnée  par  la  formule 


^0  +  Vb^-  —  a/i, 


X  = —  =  q,  -h  -. 

a,.  X. 


Si  les  deux  valeurs  do  x  n'ont  pas  la  môme  partie  entière, 
l'équation  en  .c,  aura  une  racine  plus  grande  que  1 ,  et   une 

racine  négative  :  car  l'expression  g^  +  -    doit   donner    les 

deux  valeurs  de  x.  Cette  transformée  en  x^  ayant  ses  racines 
de  signes  contraires,  la  racine  positive  se  développera  en 
fraction  continue  périodique;  et  il  en  sera  de  même  pour  la 
plus  grande  racine  de  l'équation  (9). 

Si  les  deux  racines  de  cette  équation  ont  la  môme  partie 
entière  g, ,  la  transformée  en  x^  aura  ses  deux  racines  plus 
grandes  que  l'unité  positive  ;  et  alors  nous  pourrons  raisonner 
sur  cette  équation  comme  nous  avons  raisonné  sur  l'équa- 
tion (9),  c'est-à-dire  que,  si  les  deux  valeurs  de  x,^  n'ont  pas 
la  môme  partie  entière ,  la  transformée  en  x.  aura  ses  racines 
de  signes  contraires ,  etc. 

Remarquons  enfin  que  nous  ne  pourrons  pas  trouver  indé- 
finiment des  transformées  dont  les  deux  racines  aient  môme 
partie  entière  :  car,  s'il  en  était  ainsi,  les  deux  valeurs  de  x 
seraient  égales  et,  conséquemmcnt ,  rationnelles. 

Le  théorème  de  Lagrangc  est  donc  démontré. 

VIL  Reprenons  le  calcul  qui  donne  le  développement  de  la 
plus  grande  racine. 


-  S9   - 

Dans  !e  cas  de  l'cquation  (8),  nous  avons  trouvé 


bf,  -h  \'  th-  +  ((..<(,  1 

Nommons  N  la  racine  carrée  entière  de  A  —  bo'  -\-  aji,  ,  el 
posons 

ho  +  N  --=  (/,,        d,  =  a/i,  +  /',  ; 

nous  aurons  de  môme 

^1  +  N  =  d, ,        d,  =--  fi//,  +  i\ , 
Ih  +  N  =  f/,,        d,.  =  a.jir,  +  /'j, 

Mais 

/;,  =  rt//,  —  /;„  =  /;„  +  N  —  r,  —  /;,  =  N  —  r.  ; 
conséquemment 

f4  =  2N  -  r„ 


La  loi  des  dividendes  est  donc  connue. 
D'un   autre  côté,   la  relation  a,  —  «^  +  2&,g,  — ^^  ^/,'^ 
donne 

fl.  =  a,  +  q,  (!2/',  —  f{//,)  =  flo  +  f/i  i^bo  —  b,  —  /^) 

=  «0  +  f/,  (/)„  —  h,)  =  (u  +  (h  ("'■  —  rfî)  =  «0  -+-  f/i  ('"i  —  '■<). 

De  là  le  tableau  suivant,  qui  donne  la  marche  du  calcul  : 

d,  =  b,  +  N  =  2\  —  /■„ , 
d,  =  a,q,  +  r, ,        f/,  =  2N  —  r, ,        ^^,  =  rt»  +  </i  (?'.  —  )'„), 
t/j  =  «,</,  +  /■, ,        c/j  =  2N  —  r-2,        (h  =  a,  +  r/,  0".  —  r,) , 

S'il  s'agit  de  l'équation  (9),  il  suffit  de  changer  le  signe 
de  a,. 


-  90  - 
VIÎI.  En  appliquant  celte  mélhode  à  l'équation 
3.C*  -  Sx  —  5  =  0, 


on  a 


puis 


«,,  =  3,        0,  =  i,        ao=  5,        A  =  31 ,        N  =  5; 


t/,  =    9 ,  fl,  =  3 , 

9  =  3.3  +  0,  f/,  -  10  ,  «,=3  —  3  =  2, 

10  -  2.  5  +  0,  d,  =  \0,  «3=3, 

10  =  3.3  +  1,  rf,  =    9,  «,=2  +  3  =  0, 

9  =  5.1+4,  f/,  =    G ,  «^  =  3  +  3  =  G  , 

6  =  6.  1  +  0 ,  f/„  =  10 ,  «„  =  0  —  4  =  1  , 

10  =  1.10  +  0,  f/,  =  10,  «,  =  6, 

10  =  6.  1  +  4 ,  f/3  =    8,  «,=  1+4  =  5, 

6  =  5.1  +  1,  cf„  =    9 ,  «,=6  —  3  =  3, 

9  =  3.  3  +  0  ,  (!,,  =  10,  «,,  =  5  —  3  =  2. 


donc 


o;'  =  (3,  5,  3,  1,  1,  10,  1,  1). 
IX.  PoLU'  la  seconde  racine,  prise  positivement,  on  aurait 
«.  =  3 ,        /;o  =  —  4,        «0  =  5,        A  =  31 ,        N  =  5  ; 


puis 


r/.  =    1, 

tt,   =  3, 

1  =  3.  0  +  1 , 

d.  =    9, 

«j  =  0, 

9  =  5.  1  +  4, 

rfs  =    6, 

«,  =3+3  =  6 

6  =  6.  1  +  0 , 

d,  =  10, 

«,  =  5  —  4  =  1 

10  =  1.10  +  0, 

d,  =  10, 

«5  =  6, 

10  =  6.  1  +  4, 

rf«  =    6, 

a„  =1+4  =  5 

6=5.  1  +  1, 

rf,  =    9, 

fl,  =6  —  3  =  3 

9  =  3.3  +  0, 

'/«  =  iO, 

««  =  5-3  =  2 

10  =  2.  5  +  0 , 

^„  =  10, 

fto  =  3, 

10  =  3.  3  +  1 , 

(l.=    9, 

«,0=  2+3  =  5 

9  =  5.  1  +  4 ,  . 

•  •  ) 

—  91  - 

donc 

—.X"-  0,(1,1,10,  1,  1,3,5,3). 

X.  Prenons  encore  l'équation 

62x-  —  400«  +  645  =  0 , 
laquelle  donne 

,  _  2Q0  +  1/1Ô         „  _  200  — \/T0 

^  -  62         '     "^'  62         • 

Pour  la  première  racine 

fl,  =  62 ,        a„  =  —  645  ,        N  =  3 ,        rf,  =  203  ; 

puis 

203  =  62.3  +  17,  rf,  =  — 11,     «,=:  — 645  +  3(203  +  11)  =  —3, 

—  il  =  —  3.3  —  2,  4  =  S,  a,  =  62  — 3. 19  =  5, 

8  =  5.1  +  3 ,  d,  =  3,  fl,  =  —  3  +  5  =  2 , 

3  =  2.1  +  1 ,  f4  =  0 ,  «,,  =  5-2  =  3, 
5  =  3.1  +  2 ,  f/o  =  4 ,  a,  =  2  +  1  =  3 , 

4  =  3.1  +  1 ,  f/,  =  5 ,  «,  =  3  —  1  =  2, 

5  =  2.2  +  1,  rf.  =  5 ,  «,  =  3 , 

5  =  3.1  +  2 ,        rf,  =  4 ,  «,  =  2  +  1  =  3,.... 

A  cause  de  r/,  =  ^/(,  et  de  fô^  =  «^  ,  la  période  est  en  évi- 
dence ;  et 

a;'  =  3,  3,  1,  1,  (1,  1,  2). 

On  trouve ,  semblablement, 

X"  =  3,5,(1,  2,  1)  =  3,  5,  1,(2,  1,  1). 

XL  La  méthode  de  calcul  qui  vient  d'être  appliquée  donne 
une  limite  supérieure  du  nombre  des  transformées  de  l'équa- 
tion proposée.  En  effet,  s'ils'agit  de  l'équation  (8),  les  divi- 
dendes' sont  positifs  et  moindres  que  2  N  +-  i.  En  outre, 
pour  un  dividende  d,  il  y  a  au  plus  d  valeurs  du  diviseur. 
Donc  le  nombre  des  transformées  ne  surpasse  pas 

1  +  2  +  3  +  .  .  .  +  2N  =  N  (2N  +  1). 


-  92  - 

Dans  le  cas  de  lïqualion  (0),  comme  les  dividendes 
peuvent  être  négatifs ,  on  obtiendrait  une  limite  du  nombre 
des  transformées  en  doublant  N  (2  N  +  !)(*). 

XII.  Nous  supposerons  maintenant,  pour  plus  de  simplicité, 
que  Véquation  donnée  a  au  moins  une  racine  plus  grande  que 
r  uni  té  positive  :  si  le  contraire  arrivait,  il  suinrait  de  cbanger 

1  1 

^  en  -  ou  en •  Cette  restriction  étant  admise,   si  l'on 

X  X 

rapproche  le  théorème  de  Lagrange  de  la  discussion  faite 
ci-dessus  (V),  on  arrive  aux  conséquences  suivantes  : 

1"  Soit  une  équatiou  du  second  degré,  dont  /<^s  racines  sont  de  siipie.s 
contraires. 

Si  l'on  développe,  en  fractions  continues,  la  racine  positive  x'  et  la 
racine  négative  —  x"  cliangée  de  signe  : 

Lu  partie  périodique  de  x'  sera  l'inverse  de  la  partie  périodique 
de  x''  ; 

Les  deux  fractions  continues  sont  périodiques  simples,  excepté 
quand  x''  surpasse  1 ,  auquel  cas  x'  a  un  seul  terme  non  périodique. 

2"  Si  l'équation  du  second  degré  a  ses  racines  positives ,  ces  deux 
racines  se  développent  suivant  deux  fractions  périodiques  mixtes, 
dans  lesquelles  les  parties  périodiques  sont  inverses  l'une  de  l'autre. 

Ajoutons,  pour  que  cet  énoncé  ne  puisse  pas  être  en  défaut  : 

1°  Qu'une  fraction  périodique  simple,  plus  petite  que 
l'unité,  a  nécessairement  la  forme 

x"  —  0 ,  {m ,  n,  p,  q  ,  .  .  . ,  s,  t); 

2oQue  pour  avoir,  dans  x'  et  dans  x",  des  périodes  inverses 
l'une  de  l'autre,  il  pourra  être  nécessaire  de  comprendre, 
dans  les  parties  non  périodiques,  plusieurs  termes  pério- 
diques. 


(*  )  On  aurait  une  limite  'teaucoup  plus  basse  que  N  (2  N  +  1),  si  l'un  pouvait 
assigner  le  nombre  des  solutions  entières  et  positives  Je  Ténuatious:-  -|-  ut  —  A. 


-  03  — 
Ainsi ,  dans  l'exemple  du  n"  VIII ,  nous  avons  trouvé 
X'  =  (3,  5,  o,  1,  1,  10,  1,  1) 
et 

ic"  =  0,(1,  1,  10,  1,  1,  3,0,  3). 

Dans  le  n"  X,  les  valeurs  des  deux  racines  étaient 

.T'  =  3  ,  3  ,  1 ,  1 ,  (1 ,  1 ,  i),        x"  -  3 ,  0  (1 ,  2  ,  1), 

et  les  périodes  n'étaient  pas  inverses  ;   mais  elles  le  sont  de- 
venues quand  nous  avons  eu  écrit 

ce"  =  3,  5,  1,(2,  1,1). 

xni.  THÉORÈME.  Xrt  racuie  cavrée  d'un  nombre  rationnel  non  carré 
est  exprimée  par  une  fraction  périodique  mixte  ayant  un  seul  terme  à 
sa  partie  non  périodique. 

Soit  A  le  nombre ,  plus  grand  que  Vunité ,  dont  on  veut  dé- 
velopper la  racine  carrée  en  fraction  continue.  Cette  racine 
est  donnée  par  l'équation  x^  —  A  =  0,  et  le  théorème  est 
compris  dans  celui  qui  précède. 

Soit  x'  =  V'k  ■=  a,  {m,  n,  p,  q,  r) ,  en  supposant,  pour 
fixer  les  idées,  que  la  période  ait  cinq  termes.  Représentons 
par  y  la  fraction  périodique  simple  {m,  n,p,  q,  r),  nous 
aurons ,  d'après  le  n°  V , 

—  x"  =  \/k.  =  a  —  (r ,  q ,  p ,  n  ,  m) , 
ou 

x"  =  —  «  -j-  (?■ ,  q,  p,  n  ,  m). 

Mais  cT''  =  ^'  =  a ,  {m,  n  ,p,  q ,  r);  donc 

—  a  +  r  =  a,    q  =  m,    P  =  n ,    n  =  /;,    m  =  q ,    r  =  r,  etc. 

La  relation  —  a  +  r  =  a  donne  r  =  2  a,  c'est-à-dire  que, 

dans  le  développement  de  V'k,  le  dernier  terme  de  la  période  est 
double  du  terme  non  périodique. 


-  9i  - 

Les  autres  égaillés  nous  apprennent  qu\'n  faisanl  abslracUon  du 
dernier  terme  2  a,  la  période  de  ^/~K  est  symétrique. 
Par  exemple , 

1-^21  -  4.,  (I,  8);     1/73  =  8,(1,  1,  5,5,1,1,  16). 

XIV.  Avant  de  passer  à  d'autres  propriétés ,  cherchons  le 
moyen  de  transformer  une  fraction  continue ,  à  termes  positifs 
et  négatifs ,  en  une  autre  dont  tous  les  termes  soient  positifs. 

Soit,  à  cet  effet,  la  fraction  continue  ^  =  «  — r- , 

b  +  - 

c 

dans  laquelle  a,  b,  c  ne  sont  pas  inférieurs  à  l'unité.  Celte 
fraction  est  comprise  entre  a  —  i  et  a  ;  donc  on  peut  écrire 

X  =  a  —  1  +7*  En  identifiant,  on  trouve 

1 

'  =-1+  ' 


Donc 


h  —  i  +  -  h—  \  -i-  1 

c  c 


*    „-l 


b+  -  1  H ^     ' 

[)~  l  H-  - 
C 


Si  6  =  1  ,  on  a  simplement 

1___    __  i 

1  '"    '  i  -\-  c' 

1  +  - 
c 

XV.  Comme  application,  prenons 

1 


O     i 

1 

i 

3- 

i 
i  1 

5- 

\ 

6  + — 

1 

Nous  obtieudrous,  successivemeni , 
1  1 


x  =  0  + 


1+—^  IH 


i+^-^-  i  +  -^ 


1 

+   - ^1 


!___ 

5  —  ... 

et  enfin 

x  =  (},  1,  1,  2,  1,  3,  i,  i,  5,  6,  1,  7,  8,  1,.... 

XVi.  îlcvenons  à  l'équaiion  (8)  : 

«o.x*  —  2/^0'^'  +  rtj  =  0  ; 

el  supposons  qu'ayant  réduit  l'une  des  racines  en  fraction 
continue,  on  veuille  conclure,  de  ce  développement,  celui  de 
la  seconde  racine. 
Soit  donc,  pour  iixcr  les  idées, 

X'  =  a,  b,  c,d,e,  {)U.,ii,  p,  q). 

Représentons  par   if  la  valeur  de  la  fraction  périodique 
simple  {m  ,  n,  p,  q);  d'où 

x'  =  a,  t>,c,d,i',  y'. 

Il  est  clair,  d'après  le  n"  I,  que  pour  obtenir  la  seconde 
racines'  de  l'équation  (8),  il  suffira  de  remplacer  ?/',  dans 
l'expression  de  x',  par  la  racine  négative  de  l'équation 

y  =  m,  II,  p,  q,  y. 

Or  cette  racine  négative  — ■  ij"  a  pour  développement 
—  [0»  (^»  V^  *^  >  ^'01  i^')'  Gonséquemmeat,  en  posant 
z  —  {q,p,  71,  m) , 

x"  =  a ,  b ,  c  ,  d  ,  e  —  z. 

Il  y  a  maintenant,  à  cause  de  e  différent  de  q,  deux  cas  à 
distinguer. 


—  06  — 
1"  f  >  q.  Alors  la  fraction 

1 


=  e  —  a 


1 

P  +  - 


OU,  par  la  formule  (10), 

e  —  %  =  e.  —  (i  —  1  + 


1  +• 


1 


n  + 


p—  \  -\- 

puis 

a;"  ■•=  a ,  ^^  c ,  f/ ,  ^  —  r/  —  1 ,  1 ,  ;)  —  1 ,  {n  ,  m  ,  q ,  p). 

2"  <3  <  ^.  Dans  ce  cas, 

11  1 


r/  —  c  H 1 


q—e  —  i- 


/'  +  ••  -, 
et,  conséqucmment, 

x''  =  a,  b,c,d  —  i,i,  q  —  e  —  i,(p,q,  n,  m). 

Les  mômes  considérations  s'étendraient  à  l'équation  (9). 
On  trouvera  les  formules  générales,  soit  dans  le  Mémoire  de 
M.  Ramus  {Journal  de  Crelle,  tome  XX) ,  soit  dans  celui  de 
M.  Lebesgue  {Journal  de  Liouyille,  tome  V). 

XVII.  Applications.  Soit  l'équation 

62^°-  —  400ir  +  645  =  0. 
Nous  avons  trouvé  ci-dessus,  pour  la  première  racine, 

X'  ^  3,3,1,1,(1,1,2). 
Le  développement  de  la  seconde  racine  est  donc 

a;'' =  3,  3,0,1,  0  (1,  1  ,  2) 


—  97  — 
Pour  simplifier  ce  développeDieiit ,  observons  qu'une  fraction 

telle  que  a  h ~      z=  a  +  b  -i Par  conséquent 

0  + —r 

b   -\ 

c 

X"  =  3,  3,0,  2,(1,2,1)  =  3,5,(1,2,1); 

ce  qui  est  exact. 

Soit  encore  a;' =  2,  3,  3,  4,  5,  (3,  2,  2,  2).  Nous  au- 
rons, d'après  la  formule  ci-dessus, 

X"  c=2,  3,  3,  4,  2,  1,1,(2,  3,  2,  2). 

En  effet ,  si  l'on  remonte  aux  valeurs  de  ces  deux  fractions 
continues,  on  trouve  qu'elles  sont  racines  de  l'équation 

490  137a;'  —  2  256  768a;  4-  2  597  74i  =  0. 
D'ailleurs,  cette  équation  donne 

_  1128  384  zb  1/528 
^  ~  490  137 

XVIII.  Pour  terminer,  résolvons  les  équations  du  second 
degré  auxquelles  on  est  conduit  lorsqu'on  cherche  la  valeur 
d'une  fraction  continue  périodique. 

D'abord,  l'équation  (2)  : 

Q'y'  -f  (P'  -  Q)  î/  -  P  =  G 

donne 


-(F-Q)  àz  V(P'  -  QY  +  4PQ' 


2Q 
Mais  PQ'  —  P'Q  =  rt  1  ;  donc 


y  = 


-  (P'  -  Q)  =b  l/(P'  4-  Q)«  ^r  4 


9!V 


U' 


—  98  - 
Plus  généralement  ,  soit  l'équation  (o)  : 

Q'  (D'x  ~  D)'  —  (P'  -  Q)  iD'.r  -  D)  (E'.c  —  E)  —  P  (K'.r  -  E)*  ^  G  . 
ou 

[Q'D"  -  iP'  —  Q)  D'E'  —  PE"]  x* 

-  [2  (Q'DD'  -  PEE')  —  (P'  -  Q)  (DE'  -l-  D'E)]  x 

+  Q'D'  -  (P'  —  Q)  DE  —  PE*  =  0. 

Il  en  résulte 

_  2  (Q^DD'  -  PEE')  -  (P'  —  Q)  (DP  4-  D'E)  dr  Vl 
^  "  2  [Q'D"  -  PE"  -  (P'  -  U)  D'E'] 

L  désignant  la  tbnclion 

[2 (Q'DD'  -  PEE)  -  (P'  —  Q)  (DE'  -+-  D'E)1' 
-  A  [Q'D'*  -  PE"  -  (P'  -  Q)  D'E']  [Q'D'  -  PE'  -  (F  -Q.  DE]. 

En  développant  cette  fonction ,  et  ayant  égard  aux  relations 
PQ'  _  p'Q  =:  =h  1,  DE'  —  D'E  ^-  dtz  i,  on  trouve  qu'elle  se 
réduit  à  (P'  —  Q)'  ±  4. 

Il  suit  de  là  que  si  l'on  cherche  la  valeur  d'une  fraction 
continue  périodique,  le  radical  contenu  dans  cette  valeur  a 

la  forme  j/îi^  ±  4,  laquelle,  si  u  est  pair,  se  réduit  à 
2  \/u'^  ±  1.  Par  suite,  d'après  le  théorème  de  Lagrange, 
l'irrationnelle  |/A,  dans  laquelle  A  est  un  nombre  entier, 
ne  doit  différer  de  l'irrationnelle  Vu"  ±  4,  que  par  un  facteur 
commensurable  ^.  En  d'autres  termes,  on  peut  toujours  satis- 
faire à  l'équation 

AX^  =  ù*  ±  4. 

Cette  remarque  est  utile  dans  l'Analyse  indéterminée  du 
second  desré. 


-  99  — 
XXX.  —  ANALYSE  INDÉTERMINÉE.  —  (OCTOBRE  1866.) 

PhOBLÈME.  —  Trouver  plusieurs  cubes  entiers,  consécutifs, 
dont  la  somme  soit  un  carré  (*). 

I.  A  cause  de  la  relation 

1'  4-  2'  +  3'  4-  .  .  .  -f-  n=  =  [^^], 
on  a 
.r'+(.r -+-!)'+  . . .  +{x-hy—iy=  |(2x+î/— l)[4a;'+4(y-~l)x4-2î/(î/— 1)]  ; 

ou,  en  représentant  par  s  la  somme  des  y  cubes,  et  en  posant 

^x-hy  —  l  =  z  {{): 

165  =  2?/:5(?/ +  r— 1)  (2). 

D'après  l'égalité  (1),  y  et  z  sont  âe  parités  différentes.  Par 
suite,  ^yz  et  ij'  +  %^  —  1  sont  divisibles  par  4.  Donc  s  sera 
un  carré ,  si  le  second  membre  de  l'équation  (2)  est  un  carré. 

Soient 

îijz^  =  a,  y  -h s'  — 1  =  |3  ,  7j  +  x,  =  A,  z  —  y  =  {x,s~  t*  (3); 
nous  aurons 

a.(5  ^  l-,      a  +  [3  -f-  1  =  /-S     (3  —  a  +  1  =  /:/«  (4). 


(*)  Cette  question  m'a  été  suggérée  par  la  lecture  d'un  beau  Mémoire  de 
M.  Angelo  Genocchi.  {Note  sur  quelques  sommations  de  cubes.)  Bien  que  ca 
savant  géomètre  y  donne  les  solutions  rationnelles  de  l'équation  générale 

x^  +  {x  +  rf  +  (x;  -I-  2rf  -f-  #    •    .  +  (^  -f-  nr  —  rf  =  ?/* , 

il    m'a  semblé    intéressant    de   chercher   les   solutions   entières  de   l'équation 
payticulière 

:r'  +  (j;  4-  1)'  +   •    •    •  +  (a;  4-  «  —  1)'  =  1/'. 


-   100  - 

Ainsi  la  queslion  se  réduit  à  trouver  deux  multiples  de  4, 
« ,  ^ ,  tels ,  que  ^S,  ^  +  (3  +  1,  (3  —  a+1  soient  des  carrés. 

II.  L'élimination  de  fi,  entre  la  première  et  la  troisième 
des  équations  (4) ,  eonduit  à 

6U'  +  (a'  -  D*  =  (l>a  +  a'  -  1)'  (5). 

Les  solutions  de  cette  équation  sont  données  par  les  deux 
systèmes  de  formules  : 

2a  +  {X*  ~  i  =  il*  +  V* ,      p.*  ~  1  =  u'  —  f* ,     it  =  uv         (6) , 
2a  4-  p.«  _  1  =  u'  4-  11%     u'  —  1  =.2î«.',     8i  =  71'  ~  i'«        ('6'); 

d'où  l'on  tire,  soit 

a  —  v'  ,     fi  =  W-  (7), 

soit 

2a  =  (u  —  t')' ,     2i3  =  (ii  +  vY  (7'). 

Ainsi  a,  fù,  ou  leurs  doubles,  sont  des  carrés. 

III.  Les  équations  (7)  équivalent  à 

2yz  =  V' ,    y*  +  :-•  —  1  =  n'  (8). 

Soil  w  =  -  z^,  -  étant  irréductible.  On  déduit  de  là 

*'  q      '    q 

y  =  py  ,     z  =  qy  (9) , 

y  étant  un  nombre  entier.  De  plus ,  ?/  et  s  étant  de  parités 
différentes,  il  en  est  de  môme  pour  p  et  (/;  en  outre,  y  est 
impair .  Enfin,  à  cause  de  %jz  =  v^ ,  '2.pq  est  un  carré,  ce 
qui  prouve  que,  des  deux  nombres  p ,  q,  Vun  est  un  carré,  et 
Vautre  ,  le  double  d'un  carré. 

Au  moyen  des  valeurs  (9),  la  seconde  équation  (8)  devient 

(;<'  +  q'\  y*  —  z/'  =   1  .  (10). 


—  JOl   - 

Dans  chaque  cas  particulier,  réqualioii  (iO)  fera  connaîire 
les  valeurs  de  y  et  de  u.  On  aura  ensuite 

y  =  /r/,    X  =  '-^ '^ ,    5  -  ^^]K\  L--  (11). 

IV.  Si  l'on  répète,  sur  les  formules  (7'),  des  calculs  ana- 
logues aux  précédents  ,  on  trouve 

kyz  =  (fi  —  v)\    2  (2/*  +  S'  -  1)  =  (w  4-  i')'  =  4u"  (8') , 

2/ = /;y,    V  =  <;fy  (9'), 

(p'  +  </*)  y'  —  2îi'*  =  1  (10') , 

((/--  ;9)  y  4-  1  yV*  ..  ..^ 

1/  =  ;jy,     X  -=  ^ î^ ,      s  ==  pq(-^  (11')  : 

cette  fois,  p  etq  sont  des  carrés,  l'un  pair,  l autre  impair  {*). 

V.  Applications.  \°  p  =  S,  q  =^9.  L'équation  (10)  devient 

145  y*  —  w  =  \. 

Elle  est  vérifiée  par  y  =  1 ,  m  =  1:2  ;  d'où  x  =1.  En  lais- 
sant de  côté  cette  solution  connue,  on  en  trouve  une  infinité 
au  moyen  de  la  relation 

«  +  7l/ÎÏ5  =  (12  +  1/145)'"  +  '. 
Par  exemple  n  =  1  donne 

î^  =  6  948,  y  =  577; 
puis 

7/  =  4  616 ,     X  =  289 ,     s  =  (3  .  577  .  6  948)'. 
Ainsi 


(*)  Il  ne  m'a  pas  été  possible  de    trouver  une  solution   de   l'équation   (10'' 
Pourrait-on  démontrer  qu'elle  n'en  admet  aucune? 


-  102     - 

289'  +  290'  -i-  •    •    •-»-  4  904'  =  (3  .  577  .  (j  948j'. 
2°  p  =  9.,  q  =  T6.  L'équation  (10)  est 
629  y-  —  71*  =  1. 

Les  valeurs  les  plus  simples  sont 

y  =313,     ii  =  7  800  0; 
d'où 

y  =  626 ,    a:  =  3  600,    s  =  (5  .  313  .  3  925/. 
On  a  donc 

3  600'  4-  3  600'  4-  —    •  +  4  225'  =  {5.313.3  925)'. 
3°  Si,  dans  la  relation 

u  +  y  1/629  =  (7  850  +  313  U'mY*''^\ 
on  suppose  n  =  i,  on  trouve 

u  =  7  850'  -+-  3  .  7  850  .  313°"  .  629  =  7  850  (7  850'  +  3  .  313'  .  629), 
y  =  3  .  7850* .  313  4-  313'  .  629  =  313  (3  .  7850'  -+-  313'  .  629). 

Or: 

7  850'  =  61  622  500 ,  313»  =  97  969 ,  3  .  313' .  629  =  184  867  503 , 
313'  .  629  =  61  622  501  ; 

donc 

tt  =  7  850  (61  622  500  +  184  867  503)  «=  7  850  .  246  490  003 
=  1  934  946  523  550, 


*    La  Table  X  de  Legendre  {Théorie  des  Nombres,  tome  I)  renferme  uua 
faute  typographique  :  au  lieu  de  1  850  ,  ou  doit  lire  7  850. 


-  103  - 
y  =.  3i3  (184  867  500  +  61  6i22  501)  =  313  .  246  490  001 

=  77  151370  313. 

Si  ces  valeurs  sont  exactes,  on  doit  avoir 

629  .  77  151  370  313'  —  1  934  946  523  500»  =  1. 

En  eiïet  : 

77  151  370  313'  =  5  952  331  941  173  657  717  969, 
6i>9  .  77  151  370  313'  -  3  7ii  018  048  998  230  704  602  301 , 
1  934  9i6  523  500=  -  3  74i  018  048  998  230  704  602  500; 

Des  valeurs  précédentes  de  y  et  de  u  ^  on  tire 
?/  =  2v  =.  154  302  740  626 ,  x=  'Il^tl  ==  887  240  758  6d0  , 
x  +  y  —  l  =  i  041  543  499  225 , 


{!!1\^  =  (967  473  261  775  .  77  131  370  313)*. 


Ainsi 
887  240  758  600'  +  887  240  758  601'  -H  •  •  •+  1  011  543  499  225' 
=  (967  473  261  775  .  77  151  370  313)'. 


etc. 


—  104  - 

XXXI.  —  RKCTIFICATION  DE  LA  METHODE  DE  NEWTON  {*)  (iSoO). 

I.  Nous  supposerons  ,  dans  ce  qui  va  suivre  ,  que  la 
séparation  des  racines  a  été  opérée;  en  sorte  que  la  racine 
inconnue  a,  dont  on  veut  approcher,  est  comprise  entre 
deux  quantités  données,  «,  |3,  qui  ne  comprennent  aucune 
autre  racine  de  l'équation  f{x)  =  0.  Nous  admettrons,  en 
outre,  que  ces  deux  limites  ne  comprennent  aucune  racine  , 
soit  de  /'  (.r)  =  0,  soit  de  /''(.i')  =  0.  Ces  diverses  iiypothèses 
peuvent  être  énoncées  ainsi  : 

L'arc  AB  (**),  dont  les  extrémités  ont  pour  abscisses  o.  et  (S, 
coxqie  une  seule  fois  l'axe  des  x  ;  de  plus,  il  ne  contient  ni  point 
maximum  ou  minimum  ,  ni  point  d'inflexion. 

Cela  posé  : 

1°  Appliquons  la  correction  de  Newton  à  celui  des  deux 
points  donnés  pour  lequel  la  tangente  Aï  tombe  dans  Vinté- 
ricur  du  triangle  formé  par  la  courbe  AR,  V ordonnée  AA'  et 
l'axe  des  abscisses  :  ce  point  A  est  celui  dont  l'abscisse  et.  rend 
f  (x)  et  f'(x)  de  même  signe.  A  cause  de  OT  =  OA'  -h  A'ï, 
nous  aurons 

/■(^-) 

- = «  -  ;-,  *"■ 

2°  Menons  la  corde  AB ,  qui  laisse  d'un  même  côté  l'arc 
ARB,  puisque  celui-ci  est  convexe.  Le  points,  où  AB  coupe 
l'axe  des  abscisses,  partage  A'B'  en  deux  segments  propor- 
tionnels à  AA',  BB';  donc 

SB'  -  A'B'        ^^'       -  (3  -  .)  -~Ii2L_.. 
'^•^  ~  ^  ^   AA'  4-  BB'  ^"  ■''*       ''^  A3)  -  f  (^) 


(*)  Note  tirée  du  Manuel  des  Candidats  à  t École  Polytechnique. 
(*'")  Le  lecteur  est  prié  de  faire  la  figure. 


-  105  - 
Par  suite,  si  OS  est  désigné  par  |3, , 


,3.  =  (3 -06 -a) 


n^)-n^) 


Les  formules  (2),  (3)  (*)  résolvent  complètement  la  question 
proposée  :  en  effet,  \q  point-racine  R  est  compris  entre  les 
points  T,  S,  et  ceux-ci  le  sont  entre  A'  et  B', 

II.  Limite  de  l'erreur  commise.  La  racine  inconnue  a  étant 
comprise  entre  ^'-i  et  (3>  >  la  différence  (5,  —  a.  est  une  limite 
de  l'erreur  à  laquelle  donne  lieu  la  méthode  de  Newton.  Or, 


OU 


|3,  -  a.  =  -  (,3  -  a) 


n^-) 


f^P)-fky-)\ 


Pour  simplifier  cette  expression  ,  observons  que 

r  (/3)  -  /■  (a)  =  (5  -  y)  r  (a)  +{,3  -  y.Y  Ç^  4-  (,S-^.)'f^ 


donc ,  en  posant 


P-a  =  £,    i3,  -X.  =c.,    (p(5r)^ 


,    r(^) ,  ^n^) 


1  .  2  "^  1  .  2  .  3 


+ 


n  ; 


nous  aurons 


[(y-) 


f{y-) 


'*   fix)       r(a)  +  £9(a)' 


(*)  Elles  sout  connues  depuis  longtemps;  mais  je  crois  qu'il  n'en  est  pas  de 
même  pour  la  relation  (C). 

('*)  Le  développement  est  limité,  car  f  (x)  est  un  polynôme  entier. 


—  106  - 

f  ia\ 

OU  enfin  ,  à  cause  de  /î  =  —  7—  : 

f  (a) 

Ç  (a) 

/'  (a)  +  £Ç  (3:) 

m.  La  formule  (4)  permet  de  résumer,  dans  les  termes 
suivants,  la  marche  à  suivre  pour  approcher  indéfiniment 
d'une  racine  a  de  l'équation  f  [x)  =  0,  après  que  celte  racine 
a  été  séparée  : 

Connaissant  deux  quantités  cf.,  fi  entre  lesquelles  tombe  la  racine 
a,  et  qui  ne  comprennent  aucune  racine,  soit  de  f  (x)  =  0,  soit  de 
f  (x)  =  0,  on  désignera  par  a  celle  de  ces  deux  limites  qui  rend 
f  (x)  et  f  (x)  de  même  signe;  et,  pour  avoir  une  valeur  plus  ap- 
prochée a,,  on  emploiera  les  formules 

fi^-) 

En  désignant  par  •  la  di/férence  positive  ou  négative  ,S  —  a, 
c'est-à-dire  /'approximation  de  a^  et  par  h,  l'approximation  de  a., 
on  aura 

/^' (a) -f-  £  ç  (a) 

Cette  formide,  dans  laquelle  ^  (a)  représente 

1.2        '1.2.3       "1.2.3.4 

indique  aussi  avec  quel  degré  d'approximation  on,  doit  culciiler  h. 

Opérant  sur  a^  comme  on  a  opéré  sur  a,  un  trouvera  une  valeur  x^, 
encore  plus  approchée  de  la  racine  a;  et  ainsi  de  suite. 

IV.  Application.  L'équation  de  Lagrange  : 

x'  —  T.r  -I-  7  =  0 

a  une  racine  comprise  entre  1,35  et  1,36.  D'ailleurs,  quand  .t 
varie  entre  ces  limites ,  f  (x)  =  3a'*  —  7  reste  constamment 


-  107  — 

négative ,  et  f"  {x)  =  Qx  reste  constamment  positive  :  la  mé- 
thode de  Newton  est  donc  applicable.  En  outre  ,  la  première 
limite,  1,35,  rendant  f{x)  et  f"  {x)  de  môme  signe,  nous 
prendrons  «  =  1,35,  d'où 

c  ^  0,01, /"(a)  =0,010  375,  /'(^)  =  -    1,532  5,  (a)  =  4,06. 
Substituant  dans  les  formules  (A)  et(C),  nous  aurons  donc 
0,010  376      1,037  5  1,037  5      4,06 


1,532  5        153,25'      ''       15  325    '1,4919" 

Le  premier  facteur  de  ?,  est  à  peu  près  égal  à  jttt^.  ,  Tautre 

est  moindre  que  3;  donc  £,  <  0,000  2.  Ce  résultat  montre 
qu'il  suffît,  dans  ce  premier  calcul,  de  déterminer  les  trois 
premières  décimales  de  la  valeur  de  h  :  si  l'on  en  calculait 
quatre,  on  ne  serait  pas  si!irde  la  dernière.  Effectuant,  on 
trouve  h  =  0,006;  puis 

a.  =  1,356,     £,  =  0,001. 

Ces  valeurs  donnent 

a.'  =  1,838  736 ,  a,'  =  2,493  326  016  , 
Aa.)  =  0,001  326  016  ,  p  (a,)  =  —  1,483  792  ,  cp  (a,)  =  4,069. 

Par  suite, 

^  U26^6  ^  1,326  016 4,069 ^^^ 

1483,792'  1,483  792  1,483  792—0,004  069 

D'après  ce  nouveau  résultat,  on  doit  évaluer  ht  à  moins  de 
0,000  01  :  /«.  =  0,000  89;  puis 

a.  =  1,356  89,     c-,  =  0,000  01. 

On  trouve,  de  la  même  manière, 

/?,  =  0,000  005  867,  a,  =  1,356  895  867,  s,  =  0,000  000  001; 
fh  =  0,000  000  000  892  209  44,  e,  <  0,000  000  000  000  000  01  ; 
X,  =  1,356  895  867  892  209  44. 


—  lOS 


Cette  valeur  de  la  racine  est  exacte  jusqu'à  la  dix-senliônie 
décimale. 


XXXM.   —  AUTRE  MODIFICATION  A  LA  Mi-THODE  DE  NEWTON  (  185a). 

1.  Si,  dans  l'équation 

h'                                        Il  '" 
fia)  +  hf  (X)  +  7— r/"'!^)  +    ■    •    •  +  -— /■"'  (a)  =  0  , 

on  conserve  les  trois  premiers  termes,  on  obtient 

/•'(a)        ^2       /i(a)' 

puis  ,  en  appliquant  la  méthode  des  approximations  succes- 
sives (*) , 

fia.)        \  [r(«)  ]'/•"(«) 


h  =  — 


f'ix)       2        |/'(a)] 


La  formule  (2)  de  la  page  105  peut  donc  être  remplacée  par 
celle-ci  : 

dans  laquelle  nous  avons  écrit  /',  /',  f  au  lieu  de  f{^) ,  /''  (^•)  , 

f"{a). 

II.  Cette  nouvelle  formule,  qui  donnera  souvent  une  valeur 
fort  approchée  de  la  racine  inconnue  a,  est  susceptible  , 
comme  la  formule  de  Newton,  d'être  interprétée  géométri- 
quement. En  effet,  si  Von  remplace  la  courbe  dont  l'ordonnée 
est  f  (x),  par  une  parabole  osculatrice,  ayant  son  axe  parallèle 
à  l'axe  des  x ,  l'abscisse  du  point  d'intersection  de  ces  deux 
dernières  lignes  sera  précisément  cf.,.  C'est  ce  qu'il  est  aisé  de 
vérifier. 


(*j  Manuel  i-e$  Candidas ,  tome  I,  p.  25. 


-   109  - 

IIÎ.  A2)i)lication.  /'(j)  =  x'  —  1j  +7  =  0. 
Nous  prendrons  a  =  1,357.  Cette  valeur  donne 

/■=  _  0,000  153  707,     /'  -.  —  1.476  653,    f"  =  8,142: 
puis 

,   ,_        0,000  153  707  4,071      /0,000  153  707\' 

a,  =  l,3o7 


1,475  653  1,475  653  \     1,475  653    / 

j      P      ,.        0,000  153  707       ,  .  X      ^      1     '  A  AAAJ    n. 

La  fraction  ■  est  a  peu  près  égale  a  0,0001.  De 

même  ,   .  "*'  .  ^^„  =  3,  en  valeur  approchée.  Par  conséquent, 

1,475  653  '■  ' 

le  dernier  terme  de  «.  diffère  peu  de  0,000  000  03.  Il  sufîît 
donc  de  calculer  chacun  des  deux  derniers  termes  avec  neuf 
décimales  exactes.  A  ce  degré  d'approximation, 

puis 

a,  -  1,357  —  0,000  104  16-2  +  0,000  000  030 , 
OU 

a,  =  1,356  895  868. 
Cette  valeur  est  approchée  à  moins  de  0,000  000  000  11  (*). 


\  *)  Voyez  p.  107. 


-  110  - 

XXXilI.   —  SUR  L.V  SOMME  DES  PUISSANCES  SEMBLABLES    DES   NOMBRES 
NATURELS  (I800)  (*). 

La  plupart  des  Traités  d'Algèbre  donnent  la  relation 
générale 

(„  + ,) ((„  +  ,)'■  _ , , .-  "-±1  s,  +  4-*  f  s,.,  +  .  .  .  +  '^s,, 

dans  laquelle  S^  représente  la  somme  des  puissances  p  des 
n  premiers  nombres  entiers.  Cette  relation  permet  de  cal- 
culer, assez  rapidement,  les  valeurs  de  S,,  S^,  S^,  S,;  mais 
elle  devient  presque  illusoire  dès  que  l'indice  p  surpasse  4. 
II  y  a  dix  ans,  M.  Puiseux,  probablement  frappé  de  cet  incon- 
vénient, donna,  dans  le  Journal  de  M.  Liouville,  la  valeur  de 
S^,  en  fonction  explicite  de  n  et  de;;.  Malheureusement,  la 
méthode  employée  par  ce  savant  Géomètre  est  assez  com- 
pliquée (**);  en  outre,  les  valeurs  qu'il  trouve  pour  les  coeffi- 
cients de  S^,,  très-satisfaisantes  en  théorie,  le  seraient  fort  peu 
s'il  s'agissait  de  passer  aux  applications  numériques  (***). 

La  méthode  suivante,  dont  le  germe  se  trouve  dans  le 
grand  ouvrage  de  Lacroix,  sera  peut-être,  à  cause  de  sa 
simplicité,  capable  d'intéresser  les  Géomètres. 


(*)  Les  quatre  Notes  suivantes  ont  paru  dans  divers  recueils.  Si  je  les  réim- 
prime (avec  quelques  modifications) ,  c'est  parce  qu'elles  me  semblent  pouvoir 
être  regardées  comme  les  prolégomènes  d'une  théorie  des  Nombres  de  BernoulU. 

(**)  Cette  oliservation,  qui  n'est  pas  une  critique,  s'applique  également  au 
Mémoire  de  M.  Pépin,  inséré  dans  les  Nouvelles  Amiales  (janvier  1856).  Du 
reste,  l'auteur,  dont  je  n'ai  connu  le  travail  qu'après  avoir  terminé  le  mien,  dit 
expressément ,  en  j)arlant  de  la  formule  trouvée  i)ar  M.  Puiseux  :  "  l'expression 
V  générale  de  la  fonction  w^  ^  est  fort  mal  appropriée  au  calcul. 

(*'*)  Par  exemple  ,  le  coefficient  350  serait  donné  par  ce  calcul  : 

4»  _  3  .  3"  4-  3  .  2»  —  1       4  096  —  2  1R7  +  192—  1      2  100 

—  3d0. 


1.2.3  6  tj 


m 


I.  On  a,  identiquement 

n*  =  71  {n  —  1)  -f-  n. 
Eu  multipliant  les  deux  membres  par 

n  ^  {n  —  2)  4-  2  =-  (n  —  1)  -+-  1 , 


on  trouve 


ou 


m'  =71  (n  —  i){n—  2)  +  2 


?!  («.  —  1)  -f  ??, 


71»  =  u  (rt  —  1)  {n  —  2)  +  Zn  {n~  1)  -+-  n. 
Multipliant  les  deux  membres  de  cette  nouvelle  égalité  par 
n  =--  {n  -  3)  -(-  3  =  (n  —  2))  +  2  =  lu  —  1)  +  1, 
on  a  encore 


n*  ^  n  (n  —  1)  {n  —  2j  [n  —  3)  -f-  3 

+  3 
OU 


n{n—  ï){n  —  2i+  6 
-+-  1 


n{n  —  1)  4-  », 


71»  =r  >?  (n  —  1)  (»i  —  2)  {n  —  3)  -r  6??  (n  —  1)  (>i.  —  2)  ■+-  lu  (n  —  1)  -t-  77. 

La  loi  des  résultats  est  actuellement  évidente;  de  sorte 
qu'en  désignant  par  An,p  le  nombre  des  arrangements  de  n 
lettres  prises  ;;  à  p,  et  parBp,  C^  ,...  Ip  ,  (/; — 2)  coefficients, 
indépendanis  de  7i ,  on  peut  écrire  : 


«/'   =  A     +  B  A        +  c  A        + 

'hP  y        1. /J-i  p        ri,  y-  I 


+  L„  A„  ,  +  n     (A). 


IL  Pour  démontrer,  par  le  raisonremenl  connu,  la  géné- 
ralité de  cette  relation,  et  pour  trouver  la  loi  des  coefficients, 
supposons 


nP~'  =A         +B  "^  A       ,  +  C      A 

n,p-i  p— 1      n,p  —  3  p-—\      n,p- 


K       A      +  n , 


et  multiplions  les  deux  membres  de  cette  égalité  par 


-   112  - 


nous  aurons 

HP  =  A      +(p— 1) 


A 


(p-:>;B. 


+  0. 


A 


".;'-  J 


=    •     •     .^(n  —  i)  +  i; 

-f--.  +  2K_  lA^  I  '^"; 

4-1  I 


et,  par  conséquent 


B  =B      +  ip—  1), 

C    =  B       +{p  —  2)  B      , 

D   -D,_,  +  (/;-3)C     „         \  (B) 

L   =  1  4-  2K     . 

/'  i'-' 

III.  Ainsi  que  l'a  fait  remarquer  Lacroix  (*),  le  calcul  des 
coefficients  Bp ,  C^ ,  .  .  .  ,  Lp  est  fort  simple.  En  effet,  si  l'on 
suppose  ,  successivement 

p  -  1,  2,  3,  4, , 

on  trouve ,  par  les  formules  (B)  : 


P 

A^ 

B. 

c. 

D, 

E, 

F^ 

G, 

H. 

K, 

w 

1 

2 
3 

1 

3 

1 

4 

6 

7 

1 

5 

1 

10 

25 

15 

1 

6 

15 

65 

00 

31 

1 

7 



21 

140 

350 

301 

63 

1 

8 

28 

26(5 

1  050 

1701 

966 

127 

1 

9 

1 

3G 

462 

2  646 

6  951 

7  770 
42  525 

3  025 

255 

1 

10 

45 

750 

5  880 

22  827 

34  105 

9  330 

511 

1 

(•)  El  aussi  M.  Pe 


pit;. 


—   1)3  — 

Il  résulte,  de  la  formation  de  ce  talDlcau,  que  le  1'""'  terme 
d'une  colonne  verticale  quelconque  est  égal  au  terme  écrit  au- 
dessus,  augmenté  de  l  fois  le  terme  placé  à  la  gauche  de  celui- 
ci  (*).  Par  exemple, 

1701  -  SOI  +  4.350. 

IV.  Si  l'on  écrit  ainsi  les  nombres  contenus  dans  le  tableau 
précédent  : 


i 

1 

1 

1 

1 

1     1 

1 

1 

1     1 

,  1 

3 
G 

2.1 

1.1    31 

63    127 

1 

225 

511 

90 

301 

966 

3  025 

9.330 

!  1 

10 

G.5 

350 

1  701 

7  770 

34  105 

15 

140 

1  050 

6  951 

42  525J 

•21 

2GG 

2  646 

22  827 



28 

4G2 

5  880 

3G 
4.1 

7.10 

1 
1 

1 

1 

!   1 

1   i 

OU  voit  que  les  termes  de  la  première  ligne  horizontale  sont 
tous  égaux  à  l'unité,  et  que  ceux  de  la  deuxième  sont  égaux 
aux  puissances  successives  de  2,  diminuées  de  1.  En  outre, 
un  terme  quelconque  ^r.i,  occupant  le  rang  v  dans  la  i^"'" 
ligne  horiwntale ,  est  égal  à  l  fois  le  terme  écrit  à  gauche , 


,*)  Pour  plus  de  régularité,  on  a  représenté  par  Ap  le  coefficient  de  Ah.;,, 
coefficient  égal  à  l'unité.  Le  Mémoire  de  M.  Pépin  contient  également  le  tableau 
ci-dessus. 

8 


lli 


augmenté  du  terme  éerit  au-dessus.  Il  n'est  pas  bien  difllcilc 
de  conclure  de  là  : 


i.  2.3.  ..   (/-l)  N   ,  r=L"-'''  ~'-J:ii-i)'^'-  ^....±\iC). 


Cette  formule  générale ,  beaucoup  moins  commode  que  la 
règle  précédente,  a  été  trouvée  par  M.  Puiseux. 

V.  Revenant  à  l'équation  (A),  nous  aurons,  en  changeant 
n  en  n  —  i  ,  n  —  t2 ,...  3 ,  2  ,  î ,  et  ajoutant  : 

ou 


s„  = 


/;  +  l 


{n -h  \)  n  [n  ~i)  •    •    ■iji  —  p+i) 


i>\ 


+ 


p—  \ 


{h  4-  1)  »  •   •   •  {n  —  p  +  3) 


(E). 


+  -|-(w  +  i)n{n-  1) 


+  -  (/i  +  1)  n 


Par  exemple , 


S,  =  i  1 1 . 1 0 . 9 .  8  .  7 . 6 . 0  +  -f  1 1 .  1 0  .  9  .  8 .  7  .  6  -f  -  H  .  1 0 .  0 . 8  .  7 
7  6  0 


+  ^11.10.9.8-f  "^   H.  10.  9   +3  H.  10 
4  6  2 


-  410(2  160  +  7  560  +  6  552  +  1  620  +  93)  +  o5  =  1  978  iOo. 


—  115  - 
En  effet , 

1»  4-  2«  +  .    •    •  +  10»  =  1  +  6-i  +  729  +  i  096  -f-  15  625  4-  46  656 
+  H7  649  +  262  144  4-  531  441  +  4  000  000  =  1  978  405  (*). 

XXXIV.  —   SLR  LES  DIFFÉP.E>XES  DE  F  ,   ET  SUR  LE  CALCUL 
DES  NOMBRES  DE  BERNOULLI.  —  (JUILLET  1859.) 

I.  La  formule 


.n  V  n{n  —  i) 

0         "1    "-'  1  , 2       "~- 


donne,  en  supposant  Uq  =■-  f  : 


A"  (1^)  =  (n  +  1)' 


n      p      )2  (n  —  1 


...-i,,p,      p     "—1         , />     (?^— l)(n— 2),       ,„  .  n—i 

A      (r)=/r — --(n— 1/  +  ^  ' 


On  conclut ,  de  ces  deux  équations , 


'-'/ip. 


■j'*-'- 


{n  +  1)  A"  (l")  +  nX"-  (f  )  =  (n  +  1)'^"=  - 
"(/i+1);?.     n' 


fn  +  1 


.]„'- 


L  1.  2. 


■T-fl 


(M-lp  _....np[(«  +  l)»_»(;2_l)12^  ±[(U-f  l)-;;]!** 


1  1.2  1 

Donc 


n  ,.F-+-1 


A"  (f  ^  j  -  (;<  +  1)  A"  {f)+  nA""'  (  !■"  ) 


(A). 


{')  Ou  peut  rapprocher  le  développement  (E)  de  celui  qui  résulte  d'une  re- 
marquable formule  due  à  M.  Prouhet  {Coms  d'Analijse  de  Stunn,  t.  II,  p.  357) 
(octobre  18GG). 


-   116  — 

II.  La  relation  (A)  donne  le  moyen  d'obtenir,  de  proche  en 
proche,  et  par  un  calcul  assez  simple,  les  différences  succes- 
sives de  l-,  i'\  1',  1\  .... 

En  effet ,  si  l'on  prend  les  nombres  naturels  : 

1 ,  i> ,  3 ,  4 .  5 ,  b ,  . . .  . 

dont  les  différences  premières  et  secondes  sont 

J ,    1 ,    1 ,    1 ,    1 ,    1 , .  .  .  . 
0,    0,     0,     0,     0,     0 

on  en  conclut  que  les  quantités 

1',    A(l'),    à'iV) 

ont  pour  valeurs 

1,    1.    0. 

Multipliant  ces  derniers  nombres,  respectivement,  par 

1 ,    -\    3 , 
ce  qui  donne 

1 ,    2,    0, 

on  a ,  par  la  formule  (A) 

A(i')=I  +  2  =  3,     A'(r)  =  2+0=2,     A'(r.i  =  0. 

Ainsi,  la  quantité  1-,  et  ses  différences  successives,  ont  pour 
valeurs 

1 ,    3 ,    2 ,    0. 

En  continuant,  on  forme  le  tableau  suivant  (*)  : 


(*)  Ce  tableau  est  tiré,  en  grande  partie,  d'une  brocliure  intitulée  Table  des 
quarrés  et  des  cubes  ,  par  C.  Séguin  l'aîné  (1801).  L'auteur,  après  avoir  donné, 
■  sou.s  forme  ernjiiri(ine  ,  la  relation  (A) ,  indinue  le  développement  de 

/' 
i    , 

ordonné  suivant  les  puissances  de  n.  Je  dois  la  connaissance  de  ce  curieui  o\)\\i- 
cule,  très-rare  aujourd'hui ,  au  savant  M.  Tei'quem. 


117 


1' 
1» 

1' 

l* 

1» 

1 

1 

11' 
1» 

1 

2 

1 

5 

4 

S 

G 

7 

8 

{)   1 

2 
3 

6 

7 

U 
15 

30 
31 

62 
63 

126 
127 

254 
255 

2 

6 
12 

6 

24 

36 
50 

24 
60 

150 

180 

240 
390 

120 
360 

120 

540 
602 

1  560 

2  100 

1  800 
3  360 

720 
2  520 

720 

1  806 
1  932 

5  796 

6  050 

8  400 
10  206 

16  800 
25  200 

126  000 

166  824 

15  120 

3  1920 

5  040 
20  160 

5  040 

40  824 
46  620 

191  520 
317  520 

141120 
332  640 

40  320 
181  440 

40  320 

111.  Dans  une  Note  sur  la  somme  des  puissances  semblables 
des  nombres  naturels,  insérée  aux  Nouvelles  Annales  de  Ma- 
thématiques (*)  j'ai  démontré  la  formule 


S;, 


(«+  1  \r,  in  —  \\..Jii  —  p  -j-  1) 


B, 


+  — (//  +11,1  u {)!  —  1)...  [n  ~  p  +  "1) 


-\ ~  in  -+■  \.)n  (u  —  \) ...  in  —  /)  +  3)  +  .. 

/;  —  1 

L  1 

+  -TT  ("  +  1)  «  '"  —  1^  +  ;^  *'"  +  1)  "• 
3  /     .        .          2 


\ 


(B) 


(*)  Tome  XV,  p.  230.  —  Celte  Xole  est  celle  qu'on  vient  de  lire  (nov.  1S66). 


118  - 


Les  coefficients  Ap  ,  B^^  ,  Cp  , 
tenues  dans  le  tableau  suivant  : 


.  .  ont  les  valeurs  con- 


p 

A, 

B;. 

c. 

D,. 

E,, 

F. 

G, 

H„ 

K, 

L, 

yi. 

IT 
_ 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

— 

1 

3 



1 

1 

6 

10 

( 

1 

15 



25 

1 

-•- 

15 

65 

90 

31 

1 

1 

21 
28 
36 
45 

140 

350 

301 

63 

1 

266 

1050 

1701 

966 

127 
3  025 

T 

462 

2  646 

6  951 

7  770 

255 

1 

750 

5  880 

22  827 

42  525 

34  105 

9  330 

511 

1 

55 

1155 

25  980 

162  687 

179  687 

246  430 

145  750 

28  501 

1023 

I 

Avec  un  peu  d'attention,  on  reconnaît  que  les  nombres 
placés  en  diagonale ,  dans  ce  second  tableau ,  sont  égaux  à 
ceux  qui  constituent  le  tableau  précédent,  divisés  par  les 
produits  1.  2,  1.  2.  3,  1.  2.  3.  4,  ...  .  Autrement  dit  : 

3  =  A(r),    7  =  A(r),    15  =  A(r), 


6  =  -iA'(l'),     25=|a'(1'),    90  =  ^A'(r),.... 


10  =  ^„A'(n,    65=-^A'(r),    250=  ^l^A'^'),... 


2  .  3 


.  3 


-  119  — 
De  là  résulte  que  l'on  peut  écrire  ainsi  la  formule  (B)  : 

S,  =  ^-{n  +  l)n  +  '^-  {n  4-  1)  n  {n  -  !,)  A( l""  ')  ^ 

1  - 1  f 

+  ^~^(n^\)n(n—[)(n--''l)A\i'"~  )-f...  V(C). 

Om- I) . '2.  3...(/>  —  1) 

Celte  seconde  expression  de  S^,  (trouvée  par  M.  Puiseux)  va 
nous  donner  les  Nombres  de  Bernoulli  sous  une  forme  beau- 
coup plus  commode,  pour  le  calcul  eflectif,  que  toutes  celles 
que  Ton  connaît  jusqu'à  présent. 

Eu  effet,  le  (p  —  4)"  Nombre  de  Bernoulli  est  égal  au  coefficient 
(le  n,  dans  le  développement  de  S^,  ordonné  suivant  les  puissances 
de  a  (*).  Donc,  d'après  réquaîion  (  C)  : 

ou  ,  pour  plus  de  régularité  dans  la  notation  , 

B„  =  5-^^(1') +i4=(l")--    ■■±^j^,AUi\  (D) 

IV.  Cette  relationg  énérale  donne  successivement,  d'après 
le  premier  tableau  : 

^'       ^2      3      ti' 

1  8      2 

2  o      4 

1_7      1^_6_  1_1_1  ^_  j_ 
'""      3'^  i       o~2      3      5~       30' 

1  15      50      60      24      1      1       ,       „ 

2  3        4        0        0       2      2 

etc.  (**). 


(')  Lacroix,  tome  3^,  p.  84. 

("j  Uu  sait  que  Bç  =  0,  si  l'indice  q  est  pair. 


120  - 

V.    Le  Tableau  des  quarrés  et  des  cubes  donne,  sons  forme 
empiriqne,  une  règle  qui  équivaut  à  la  formule 

laquelle  est  un  peu  moins  simple  que  la  nôtre.  Pour  en  véri- 
fier l'accord  ,  il  sulïil  de  prouver  que 

2  0  4 

Or,  la  relation  (A)  peut  être  écrite  sous  cette  forme  : 

à^a'^'j  +  y  '(!'')- (;i  +  i,[A"(i'o  +  A"  'il')], 

puis  sous  celle-ci  : 


A"(l"-"')+ A"    '(!"; 


V"   "'   '  et''  \  . 


n  +  1 
donc  réquation  (F)  équivaut  à 

1  -  (2'  )  +  A  (2'  )-  A'(2''  )  +   •    •    •  qr  A'  (2'  )  =  0. 

Enfin  cette  dernière  relation  est  identique,  si  l'on  a  égard  à 
la  formule  presque  évidente  : 

u,  —  A(/,  +  A'u,  —  •    •     -L  A''  î<,  =  Ug  rb  A''*"'  (/(,). 


-  12t  — 

XXXV,  —  SUR  LES  NOMBRES  DE  BERNOULLI ,  ET  SLR  QUELQUES  FORMULES 
QUI  EN  DÉPENDENT.  —  (mAI    186:2). 

I.  Développement  de  773-7-  — On  peut,  de  bien  des  ma- 
nières, prouver  que,  pour  des  valeurs  réelles  ou  imaginaires 
âex  dont  le  module  soit  suffisamment  petit,  l'on  a 


-^  =  1  -  I  +  A.  J-  +  A.  .ï-  +  A,  .r  4-  .  .  .  (A), 


les  coefficients  A, ,  A^ ,  A^ ,  .  .  .  étant  donnés,  en  fonction 
des  Nombres  de  Bernoulli,  par  les  formules  : 

,        B.  B,       .  B, 

^'T2'^'=^  UUr'^"  "^    1/2.3.4.0.6'-  ••  ^^^• 

II.  Développement  de  x  cot  x.  —  Si,  dans  l'équation  (A), 
on  change .T  en  .r  J/—  1  ,  on  obtient,  comme  l'on  .sait, 

X  cot  ,r  =  1  —  i  A,  ,ï*  +  i'  A,  .r'  —  i'  Aa  x'  -{-...  (B). 

m.  Développement  de  ~^'  -  On  a,  identiquement , 

Mil  ,r  n  » 


.1  i 

cot  --  X  —  cot  .r  ^ 


2  sin.r  ' 

donc ,  à  cause  de  la  formule  (  B  ) , 

^v^^'^^  ^-~  '^^  ^'  «'-2  (2'-  1)  A,.»;*  +;2(r-  1  j  A.i--...(C). 
IV.  Développement  de  tang  x.  —  On  a  aussi 
cot  a:  —  2  cot  2  a;  ^  tang  x  ; 


-   122  ~ 
d'où  l'on  conclut 
tang.r=  -i(4—  1)  A,  a;  — 4'- (i'—  1)  A,x"  +  4^-4' ~  1)  A,  x'...  r}{b). 

\ .  Développement  de  •  —  Parmi   les  différentes  ma- 

nières  d*y  parvenir,  la  plus  simple  (quant  à  présent)  nous 
paraît  consister  à  écrire 

1  ,       P,x'-  P.  a;*  P„x« 

=  1    4- 


cos  o;  -  1  .  iJ        1  .  2  .  3  .  4        1  .  ;2  .  3  .  i .  5  .  tj 

OU 

11  résulte,  de  cette  égalité  : 
l>.-'=0-     l>.-i^P.+  l=0,     P.-«-|p.  +  J_»P,-l=o,  ■    .    .; 
et ,  en  général , 

-"  1.2  -"- -  1.2.3.4  -"-^ 

Conséquemment 

P.  =  i  ,     P*  -  .•>,     P„  =  61,     P,  =  1  385,  ...  ; 

puis 

1,1.             5          ^           01                 i  383 
cosa;  1.2  1.2.3.4  1 t»  1 8 

/«        x\ 
VI.  Développement  de  tancj  \,  +  ^/-  —  L'identité 

tang    -  -4-  --     =  tang.r  h 

°  \4       2/  cosx 


(")  M.   Sclilômilch   s'est   occuiié  de  cette  série  (Archives   inat)t(itnatiques   de 
Grunert,  tome  XVI;. 


—  1-23  — 

donne,  au  moyen  des  formules  (D),  (E),  en  mettant  poul- 
ies coefficients  A  leurs  valeurs  : 


1.2.3.4.5.6'         1.^2.3.  1.3.5.7  1.2...     8 

496 


1.2.3.4  1.3.0.7.9 


X'   4- 


VII.  Développement  de  t.  tangLi  +  ^/  •  -—  Do 


cosj:  \4        2/ 


on  conclut 


,  ,        It:        x\  1         .  5  _  61 


^^^^      a-»  +  . . .  (G). 


1.2.... 9 


VIII.  Relation  nouvelle  entre  les  Nombres  de  Bernoulli. 
On  a,  identiquement, 

X  cot  X.  sinar  =  i;  cosx  ; 

donc,  à  cause  de  la  formule  (B)  et  des  équations  (1  ) , 


i 


1.2...  (2  n)  1.2.3  1 .  2  ...  (2  «  —  2) 

1 B^    __  2// 

"^       1 .  2  ...  (2 «  —  1)  1 .  2    ~~    1 .  2  .  3  .  . .  (2/i  +  i)  ' 


-   IM  - 
OU 

+  4  ^^^44^  B,  = '.„  ,H). 


Celle  relalion  générale  diffère  de  celles  qui  sont  indiquées 
dans  Lacroix  (*). 

Si  l'on  suppose  B  ,^^    ^  =    .,""_  ,  ,   on   remplace   l'équation 

(H)  par 


C.„-,   +^ TS—^-"-^"^ 2.3.4.5 ^-'-^-^ 


^  ^'  B'.  =  -ii-  (H'] 

2  -2n  +  \  ^     ' 


Celle-ci  serait  précisément  la  relation  connue,  si  l'on  sup- 
primait les  accents,  cl  si  l'on  écrivait,  au  lieu  du  second 

.            2  n  -  1 
membre,   — -■ 

2(2// +  1) 

IX.  Détermination  d'une  intégrale  définie.  —  Dans  les 
Mémoires  de  l'Académie  de  Turin  (1810),  M  Plana  démoulre 
la  formule 


/  t-"-'((t 


(*)  Tome  III ,    p.  84  (1810).    Celles  ci  renferment  une  faute  de  signe  :  au  lieu 
lJe|^ — I.   on  lioit  lire  ,  parioiit 


—  125  - 

Il  en  résulte,  à  cause  de  la  relation  générale  dont  il  vient 
d'être  question, 


rit      r2 //  ;.'. -1       iln{'2>i.—  \){''2n  —  2)   ?n- 3 


■\¥ 


\n 


r~'  +  .  .  .rb-,-    l 


e>,  -1  IT  ~  1   .  iî  .  3  ^        '      I 


±     ^^"-* 


4(2«+  i) 
La  quantité  entre   parenthèses  est  égale  à 

Si  l'on   suppose  t  =  cotr^,  on  arrive  à  la  formule 


/ 


9 


,-^2KC0t._|^^i,-,-"  +  -=^  i(2»  +  1) 


(L), 


dans  laquelle  on  doit  prendre  le  signe  +  si  n  est  impair. 
X.   Autres  intégrales.  —  Véquallon  (H),    traitée   de    la 
môme  manière,  donne 


J 


s'mi  II  cdx  n 


De  plus,  la  comparaison  de  cette  seconde  formule  et  de 
la  précédente  conduit  à  ce  résultat  remarquable  : 


/(jTTcotx  ,  —  TTcota\ sin'"-+--a  -i 


-   126  - 

XI.  Si,  dans  la  formule  (L),  un  suppose  72  =  i,2,o,.  ..'2p, 
on  obtient 


rfa 


(^2  7rCOt«_j,gi,j.^ 


in- 


cos!2  n  a    1 


si  II-"  a      4  .^«d.\-iH — 1     ^ 


La   valeur  du  second   membre  est 


ou 


al  3       5  "^7  '  ip  +  i  1  ' 


1  +|3* 


D'un  autre  côté,  à  cause  de  la  formule  connue  : 


.-rsina-i-x"sin2a+...4-a:-''siii2/)a=.r 
on    a 


siiifl — .'C-''sin(2p+l)ft+.r-/**-'sin2/?a 
1  — 2^ccosrt -f  .r'  ' 


sin2//a         1       sin2asiii"'+-a  — sin2  asin(-i;;-f-2)a  +  siii4p« 


sin'-"a     sin^^'c. 


1  —  2  cos  2  asin*  a  +  siii'  ; 


Par   conséquent , 


r/a  siii2asiii'''-^-'a— sin'asin(-i/;  +  2)a+sini^j: 


/g27tcot«_,\  jj^4/.+2^  1  —  2cos2asiii=a  +  sm*a 


2        2     /  1  +  ["j*  ^ 


s(N) 


—  127  — 

On  peut  observer  que,  si  le  noiiibre  culicr  ])  augmente 
indéfiniment  ,  le  second  membre  teiid  vers  -^ — .  Il  en 
est  donc  de  même  du  premier  membre,  bien  que  la  fonction 
contenue  sous   le  signe    /  n'ait  aucune  limite  déterminée. 

XXXVl.  —  SUR  LE  C.VJXl'L  DES  NOMBRES  DE  RERNOULLI.  —  (jUIN  1864.) 

Les  relations  nombreuses  qui  existent  entre  les  Nombres 
de  Bernoulli  donnent  lieu  à  des  calculs  pénibles  ,  parce  qu'il 
s'y  introduit ,  nécessairement ,  des  fractions  de  plus  en  plus 
compliquées.  Dans  la  présente  Note ,  j'établis  les  formules 

.^'  =^273     ^'  ~  "  2715  ^^"'^  "  ^  2(4"- 1)  ' 

2;/(2u— 1)^  2;?(2n— 1)(2m— 2)(2?t-3i         _     ^   2n     _ 

2"    1         2.3" '  -'-'''^  2.3.4.5  ^-''.  -.-•••^  Y   '~    ' 

où  P, ,  P5  .  .  .  ,  Pun-i  , .  • .  ,  sont  des  nombres  entiers  impairs. 
I.   En  partant  du  développement  de  •  /_,.  ,  on  trouve  (*) 

tang.:r  =  4(i-ii  p;  a:-...  +  ...  ±4'(4"-l)p^-|— ^  '^^-""'^F...     (A)- 

Pour  développer  directement  tang  x,  il  suffit  de  prendre 
l'équation 

y  cos  X  =  si  II  .r , 

et  d'employer  ensuite  la  formule  de  Mac-Laurin.  On  obtient 
ainsi 


tang.-r  =y,x  +  y,jJ^^  +  ...  +  y,,^_^  ^__i:"____.+  ...  /b). 


P.  122. 


-   128  — 

.V,  >  !/.  '  Vs'  ■  •  ■  ■>  ^'t^"''  ^^^  nombres  entiers  ,  déterminés  par 
la  relation 

>(C 

(2/1— l)(2n  — 2)(2/i  — 3)(2»— i)  2/j— 1 

!■■       : —  Il ,      .  —  . . .  dr -—  // ,  =  :iz  1 

1.2.3.1  ■  -"-'  1 

II.  La  comparaison  des    formules  (A),  (B),  donne 


2« 

D"iin  autre  côté,  à  cause  des  deux  relations  : 

M-i  in  (in  —  1)  2/?  ^  2;? 


^-".  ■  -^    2.3    ^^'.-3+.--  +  Y^^'- 2'(2;rM)^  ^' 


on  a 


(4.-ljB,._,  +(r   '-..lil^'B.,  ,4-...+  (4_l)|B,=  i; 


d'où,  en  posant 


''--^-^il^  œ, 


2/?.(2n-l) 

■-•'1-1  03         *  :'n  -  .1 


2»  (2/? -1) (2» -2)  (2» -3)  p         _       _^2£p    ^  j        ^ 
2.3.1.5  -"-^       "■  "^  2     '  y 


(•)  P.   124. 


-  1-20  ~ 

III.  Si,  dans   la  dernière    équalion,   on  suppose  «  =  i , 
?i  =  2,  w  ==  3,...,  on  trouve 

P,  =  1,     P,  =   1,     P,  =  3,     P,  =  17,     P,  =  loo,     P„=2  073,...; 

en  sorte  que  les  premières  valeurs  de  P:,.-i  sont  entières.  Pour 
démontrer  que  toutes  le  sont,  je  m'appuie  sur  les  remarques 
suivantes  : 

1°  A  cause  des  formules  (D),  (E)  :  n 

Z/,     ,  =  P,     ,  (G). 

Donc,  si  P::„_i  est  entier ,  ce  nombre  est  divisible  par  tous  les 

diviseurs  impairs  de  n  (*). 

N 
2°  --  étant  la  fraction  irréductible  équivcdente  à 

Ïia  +  O)        ^ç/v*) 


ï{a  +  \)r{b-h]) 


le  dénominateur  D  divise  a  et  h;  d'où  il  résulte  que  C  se  réduit  à 
un  nombre  entier ,  lorsque  Si  et  b  sont  premiers  entre  eux. 

3"  Le  terme  général  de  l'équation  (F)  est,  abstraction  faite 
du  signe, 

ï  {'2p  +  2)  r  {în  —  '!])  +  1)    -"  -"-p  -  '  ^   '' 

Le  dénominateur  de  la  fraction  irréductible  équivalente  au 
coefficient  de  P;„_n^._i  est  un  diviseur  commun  à  2];  +  1  et 
%i  —  2p,  ou  commun  à  2/;  +  1  et  n  — ];  (2°)  ;  si  donc  ^■2n-2p-i 
est  un  nombre  entier,  ce  dénominateur  divise  P2„_o^_i(l°). 

4°  Gonséquemment,  si  P, ,  P.,  P,,  .  .  .  ,  P.„_3  sont  des 
nombres  entiers,  P^,,-!  est  un  nombre  entier. 


(*)  Autrement  dit,  si  n  =  2'')i',  n'  étant  impair ,  P.,^  ^j    est  divisible  par  7i' 
{*')  a  et  6  sont  des  nombres  entiers. 


—  130  — 
IV.  Les  nombres  eiUiers 


r(2«  +  ij p  r(2/j  +  \) 


r(2/j  +  2)  r(2;i  —  2/j  +  1)    -"--/'-'  '  r  {2p  +  l)r{2«  —  2/;  +  Ij 

sont  tous  deux  pairs  ou  tous  deux  impairs  ,  lorsque  Pj„->-i 
est  impair.  Si  donc  P'  ,  P^ ,  P:>„-3  sont  impairs  , 

p        =  '2ii{'i,i-\} 
-""'  1  .  2 

2n(2*/  — l)(2u  — 2j(2/i~3)  2/i  (2/^  —  1;      ^,       ... 

^  1.2.  3.  4  +  ...+  -Y;^--l-l(.nod.2); 

OU,  d'après  la  formule  du  binôme, 

P,„_,  =  2'"  '  — i  =  — i(mod.  2): 

P2„-i  est  impair. 

V.  Remarque.  —  D'après  la  formule  (D),  on  pourrait 
calculer  les  Nombres  de  Bernoulli  au  moyen  des  nombres 
entiers  ?/,,  ij^,  y^,...;  mais  ceux-ci  croissent  beaucoup 
plus  rapidement  que  P, ,  P^ ,  P,... 

Addition  aux  deux  dernières  Notes.  —  (Novembre  1866.) 


1 

I.  Développement  de  tg  ~  x.  —  La  formule(D)  (p.  122)  équi- 
vaut à 


V^.h  — 

■»--v,2-     ' 

'■'       ^il.2.3.r    '  •• 

Soit, 

comme  dans 

la  Note  XXXVI, 

2(4''- 

-1) 

.2r/ 


(1); 


-   131   - 
la  formule  devient 


OU ,  par  le  changement  de  x  en  -  x 


II.  Développement  de  kf  -  .r.  —  A  cause  de  P,  =  1,  on  con- 
clut de  l'équation  (A) ,  en  prenant  les  dérivées  des  deux 
membres  : 


P 


1  1       1.1^,       P,,,,  ,       P,      „,  ,        ,  .,-,  ., 


^       „1         2      2^2'      iÂ'    '2.3.i.6  2.3...(2(/— 2)2(y' 

2  cos"  -X 

ou 

1  p»     »  P.S  .  ^-'î-l  ^î-2 

^"2^-I-^--"3-Û3"-^-^3.i...(2,-2)2^^        "^  -        ^^^- 

IH.  Calcul  des  nombres  P.  —  Le  calcul  de  ces  nombres, 
tel  qu'il  résulte  de  la  relation  (F)  {p.  128),  exige  des  additions 
et  des  soustraclions.  Il  serait  abrégé  si,  pour  déduire  wn  de  ces 
nombres  de  tous  les  précédents,  on  n'avait  à  faire  que  des 
additions.  Une  relation  qui  conduit  à  un  tel  calcul  se  tire  de 
la  comparaison  des  formules  (A),  (B).  On  trouve  en  effet 


^^-Ifn         .  2^=2^-1)  pp        ^  2(/(2r/-l)(2r/-2)(2^/-3) 

.  i        '    -1-'  3.4.5.6      *  ^  ^  'î-^ 


p      ='/±±ip     +":>-'  /  P;p.,  ..+  -^^7    ^'p  y'-'  /-'P.  p,  .+ 


3  .  4         -i~^    ^         -î~'J 
Remarquons  maintenant  que  le  nombre  des  termes  conte- 


-   132   - 

nus  dans  la  parcnibèse  est  égal  cà  q.  Par  conséquent,  si  q  est 
pair  : 

p       _.,+i,rp       +Mizi)pp'     ^...V2r/(2v-l)-(V+3)  \t», 

et ,  si  q  est  impair  ; 

^^ig+i-W' i;|^i;,,i-^     3  .  4    ^   'î-^  3  .  4  ...  (r/-l)  î-^  î+- 


2      3  .  4    ...  ((7+1) 
En  partant  de 

p,  =  1 ,    p,  =  1 ,    p,  =  3 ,    P,  =  17,    Po  =  155 ,    P,.  =  2  073, 
on  trouve,  an  moyen  des  formules  (D)>  (E)  : 

P.3  =  38  227,    P„  =  929  569  ,    P,,  =  28  820  610,  (')....; 
puis,  par  la  relation  (1)  ; 

1  1     p  _  1     p  _       ^     p  -  ^    p    _  _  ^ÎL 

_  "     p     _       iËI     p         '^3  867 


(.)3  =  2*  — 1,    17  =  2*+ 1,    155  =  5(2=^  —  1),    2  073  =  691(2^  —  1), 
38  227  =  5  461  (2'  —  1) ,     929  5G9  =  3  617  (2»  +  1), 
28  820  613  =  3  202  291  (2'  +  1)  ; 

ainsi,  chacun  des  nombres  considérés  admet  un  diviseur  j-)/-e/)i«e>',  delà  l'orme 

2''  dû.  1.  Cette  propriété  est-elle  générale? 


-  us  - 

XXXVI.  —  SUR  LA  THÉORIE  DES  NOMBRES  (1857). 

I.  PROBLÈME  I.  —  De  1  à  n  (inclusivement),  combien  y  a-t-il 
de  nombres  non  divisibles  par  des  nombres  premiers  donnés  , 

a,  fi,  y,  ...  z^ 

Dans  la  suite 

1,2,3,...,    n  (1), 

les  multiples  de  a  sont 

a, 2a, 3a,  ..  .,    (^)a(*)  (2): 

il  y  en  a  [-].  Gonséquemment ,  le  nombre  des  termes  de  la 
suite  (  1  ) ,  non  divisibles  par  a ,  est 

N.  =.  n  -  ii)  (2). 

Supprimons  maintenant  les  multiples  de  (3,  premiers  avec  a. 
D'après  la  formule  (2) ,  appliquée  à  -^  ,  ceux-ci  sont   au 

nombre  de  (0  —  (  W 
Mais  ,  par  un  théorème  relatif  à  la  division  , 


Retranchant  de  N^  la  quantité  G]  —  f-^j ,    nous    trouvons 

{*)  Pour  abréger ,  je  représente  généralement  par  j-j  le  quotient  entier  de  a 
par  6,  ce  quotient  étant  pris  par  défaut.  Cette  notation  équivaut  à  celle-ci  : 
E   (--J ,  adoptée  par  Legeudre. 


-   13'j  — 

donc,  pour  le  nombre  des  termes  de  la  suite  (1),  premiers 
avec  y.  et  avec  ,S  : 

En  continuant ,  on  voit  que  le  nombre  demandé  est 


N  =  /i-^   -    +1\-^\ 


Soient,  par  exemple  : 

n  =  60,     a=  5,     (3  =  7,     7  =  13; 
on  aura 

N  =  60  —  (12  +  8  +  4)  +  1  =  37. 

En  effet,  de  1  à  60,  il  y  a  37  nombres  premiers  avec  5,  7 
et  13,  savoir  : 

I,  2,3,  4,  6,  8,  9,  11,  12,  16,  17,  18,  19,  22,  23,  24,  27  ,  29 ,  31, 
32,  33,  34,  36,  37,  38,  41,  43,  44,  46],  47,  48,  51,  53,  54,57,  58,59. 

II.  REMARQUES.  —  1°  Si  a ,  j3 ,  '/ ,  .  .  .  7:  8oni  tous  les  nombres 
premiers  qui  ne  surpassent  pas  n ,  N  =  1 . 

2°  Si  n  =  a"  (b^  y'  .  .  .  tl^  ,  N  est  le  nombre  des  entiers  infé- 
rieurs et  premiers  à  n  :  on  trouve 

N  -  «"-'  /3''-'  /-' ...  T^-'  (a-  1)  {{6-\)  (y  -1)  (tt-  1)  .  .     (*). 

3"  S/  n  =  1  .  2  .  3  .  .  .  i,  6/  que  tt  soit  le  plus  grand  nombre 
premier  qui  ne  surpasse  pas  ï, 


(*)  Cette  démonstration  d'un  théorème  connu  ne  diffère  pas  de  celle  que  j'ai 
donnée  dans  les  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques  (tome  I^  p.  4G6).  La  Théorie 
des  Nombres  (tome  I,  p.  8)  en  contient  une  autre  ,  peu  satisfaisante. 


—  135  — 

ÎIî.  PROBLÈME  II.  —De  n  +  \  à  n^  (inclusivement),  cofnhien 
y  a-t-il  de  nombres  premiers? 

Soient  a,  (3,  7,  ...  tt  les  nombres  premiers  qui  ne  surpas- 
sent pas  n.  Les  termes  de  la  suite 

1,  2,  3,  4,  .  .  .  «-, 

non  divisibles  par  ces  facteurs  premiers  ,  sont  ceux  que  l'on 
cherche  (l'unité  exceptée).  Donc 

Si,  par  exemple,  n  =  12  : 


-[ 


lin    iiu\  ,  nu\    (iu\    /ui\    (iu\l 


=  143  —  (72  +  48  +  28  -f  20  +  13) 
+  (24  +  14  +  10+6  +  9+  6  +  4  +  4+2  +  1 
—  (4  +  3+2  +  2  +  1+1); 

ou  enfin 

N'  =  29. 


12     4  n—1 

(*)  La  fonction  numérique  —••  ç  •   ■  •  >    lue   nous   représenterons 

par  /"(^J,  a  été  calculée,  par  Legendre,  jusqu'à  .i  =  1229.  M.  Tchébychef  a 
prouvé  que  la  valeur  de  /"(  ^)  est ,  sensiblement , 

C 

lOg.     TI    ' 

C  étant  une  constante  (Journal  de  Lionville ,  tome  17).  Ou  doit  observer,  à  propos 
de  la  Table  de  Legendre,  que  cet  illustre  Géomètre  ayant  fait  abstraction  du  facteur 
premier  2 ,  les  nombres  de  la  Table  sont  égaux  à  2  f (-:'•). 


—  130  — 
En  effet,  de  13  à  144,  il  y  a  29  nombres  premiers;  savoir  : 

13,  17,  19,23,29,  31,  37,. 41,  43,  47,53,  59,61,67,  71,  73,  79, 
83,89,97,  101,  103,  107,  109,  113,  127,  131,  137,  139. 

IV.  Une  question  très-diflîcilc,  résolue  seulement  par 
M.  Tchébychef  (*),  est  celle  qui  consiste  à  déterminer  combien 
il  y  a  de  nombres  yremiers  inférieurs  à  une  limite  donnée.  Si, 
dans  la  formule  (A),  on  remplace  les  entiers 

par  les  valeurs  exactes  : 

n      n        n 

on  a ,  Q,om\\\Q première  approximation  , 

N=»f(7T)  (.V). 

De  même , 

N' =  —  1  -+- H= /*(  tt)  (B'). 

V.  Pour  plus  de  régularité ,  représentons  par  P  {n)  la  quo- 
tité des  nombres  premiers  qui  ne  surpassent  pas  ?;.  Alors  la 
formule  précédente  devient,  en  négligeant  le  terme  ( —  i)  : 

Cette  relation,  beaucoup  moins  approchée  que  la  formule 
empiricjue  de  Legendre  et  que  la  formule  démontrée  de 
M.  Tchébychef,  a  cependant  quelque  utilité,  au  moins  jusqu'à 
une  certaine  limite.  Si  l'on  prend  les  valeurs  de  P  (») 
dans  une  table  de  nombres  premiers ,  elle  conduit  au.\  résul- 
tats suivants  : 


(')  M.  Lebesguo ,  très-compétent  sur  tout  co  qui  tient  à  la  Tiiéorie  dos  Nombres, 
ne  parait  pas  convaincu  de  ce  point  (Exercices  d' Analyse  ntunérique ,  p.  liAj. 


-  i; 


H 

n- 

P(») 

r{r.) 

P{n-)     i 

10 

100 

5 

7 

0,228  571 

27,8 
77,4 

20 

400 

9 

19 

0,171  024 

30 

900 

11 

29 

0,157  947 

153,1 

r 

!  40 

1 

1  600 

13 

37 

0,148  721 
0,138  704 

250,9 
352,7 

50 

2  500 

10 

47 

GO 

3  600 

4  900 
6  400 
8  100 

18 

59 
67 

9,133  780 

499,6 

70 

20 

0,129  623 
0,124  651 

655,1 

80 

23 

79 

819,5 

i  90 

i  100 

1 

25 

89 

0,121  570 

1  009,7 

10  000 

26 

97 

0,120  317 

1  229,1 

j  200 

1 

40  000 

47 

199 

0,103  894 

4  202,8 

'  300 

90  000 

63 

293 

0,097  458 

8  834,2 

500 

250  000 

96 

499 

0,089  610 

22  498,5 

1  1000 

1  000  000 

169 

997 

0,080  965 

81  134 

Comme  termes  de  comparaison,  nous  donnons  ici  les  va- 
leurs de  P  (n-)  qui  résultent  des  Tables,  de  la  l'ormule  de 
Legendre  ou  de  la  formule  de  M.  Tchébychef  (*). 


(*)  La  formule  de  LegetiJre  (Th.  des  Nombres,  tome  II ,  p.  65)  est 

'il 

P{n) 


\ogn—  1,083;;G   ' 


et  la  forunila  de  M.  Tcbébyelief 
P{n) 


loy  H   1 

Il  est  assez   curieux  que  celle-ci  soit  moins  approximative  que  l'autre. 


13S  - 


71- 

Tables 

L 

T 

100 

20 

28 

2>î 

400 

79 

81 

80 

POO 

155 

157 

155 

1  GOO 

252 

254 

250 

2  500 

368 

371 

366 

3  600 

506 

507 

500 

4  900 

G55 
835 

661 

654 

6  400 

833 

824 

8  100 

1  019 

1023 

1000 
1218 

10  000 

1  230 
4  204 

1230 

40  000 

4  205 

4  168 

90  000 

8  713 

8  717 

8  647 

250  000 

22  045 

22  035 

21872 

1  000  000 

78  493 

78  543 

78  030 

YI.  PROBLÈME  III.  —  De  n  -\-  1  à  n  +  i  (incliisivemenl) ,  com- 
hïen  de  nombres  non  divisibles  par  les  nombres  premiers  ^,  f^, 
7,..  .^? 

En  nous  reportant  au  Problème  I ,  représentons  par  N  (n) 
ce  que  nous  avions  simplement  appelé  N  ;  le  nombre  demandé 
sera 

N"  =  N(7i  +  i)  — N(/0- 

VII.  PROBLÈME  IV.  —  "ket  y.  étant  deux  nombres  premiers  con- 
sécutifs, combien  y  a-t-il  de  nombres  premiers  entre  ^lefi  y.1 
(On  suppose  2  /  >  y)  (*). 


(*)  On  sait  qu'entre  a  et  2  a  — 2,  il  y  a  au  moins  un  nombre  premier,  a  étant 
plus  grand  que  3. 


-  139  — 

De  i  à  2  y.,  les  termes  non  divisibles  par  2,  3,  5,  .  .  .  ^,  y- 
sont  premiers  ;  car  tout  nombre  non  premier,  compris  entre 
ces  limites,  admet  un  facteur  compris  lui-môme  entre  2  et  (j-. 
Le  nombre  de  ces  termes  est  N  (2  y-).  Semblablement,  entre 

1  et  2>.,  ily  a  N  (2  >.)  nombres  premiers,  autres  que  2,  3,  5,... 
>.,  p..  La  réponse  à  la  question  est  donc 

X  =  N(2f/)-N(2X), 

les  diviseurs  étant  2,  3,  5, .  .  .  ?. ,  a. 
Soient,  par  exemple  , 

/  =  1  327  ,    ^.  =  1  361,    2  >.  =  2  65i,     2  u.  =  2  722. 

De  4  à  2  654,  les  nombres  non  divisibles  par  2,  3,  5,...l  361 

sont  : 

1,     1  367,     4  373,     1  381,  .  .  .     2  633,     2  647  ; 

en  tout,  166  nombres  premiers.  Ainsi,  N  (2  ?)  =  166.  De 
même,  N  (2  p.)  =  180.  Donc 

X  =  14. 

En  effet,  les  nombres  premiers  compris  entre  2  654  et  2  722 
sont 

2  657,     2  659,     2  663,    2  671,     2  677,    2  683,     2  687,    2  689,    2  693, 

2  699,    2  707,    2  711,    2  713,     2  719. 

Soient  encore 

X  =  3  203,    u  =  3  209,    2  ?.  =  6  406,    2  //  =  6  418. 

On  trouve  N  (2  /)  =.  381,  N  (2  p)  =  381  ;  donc  a?  =  0.  En 
effet,  entre  6  406  et  6  418,  il  n'y  a  aucun  nombre  premier. 

Vin.  PROBLÈME  V.  —  Dans  une  progression  par  différence  donnée, 
trouver  n  termes  consécutifs,  respectivement  divisibles  par  n  nombres 


-  l'iO  — 

premiers  donnés.  (On  suppose  que  le  premier  terme  e(  la  raison 
sont  des  nombres  entiers,  premiers  entre  eux). 
Soient  les  n  lermes  inconnus  : 

fl.  +  (/  +  1)0,    a  +  (/  -+-  i>j  0,    a  +  (/  +  3)  o, .  .  .    a  +  (/  +  n)^j, 

qui  doivent  être  respectivement  divisibles  par  les  n  nombres 
premiers  : 

Pi ,  /'. ,  )h, P'>  . 

Dans  chaque  cas  particulier,  les  n  équations 

a  +  (/  +  1  )')  =  />,  .r, ,    a  +  (i  +  'i)^^  th  a\^, ..,,    a  +  (l  ■{■  ii'yl  =  p,.. x„  (\) 

fiTont  connaître  la  valeur  générale  du  terme  a  -\-  {l  +  1)3, 

ÎX.  REMARQUES.  —  io  Lcs  équatious  (1)  exigent  que  o  soit 
premier  par  rapport  à  tous  les  diviseurs  donnés. 

2°  On  trouve  que  le  premier  terme,  «  +  (/  +  \)o,  doit 
avoir  la  forme 

a  +  M  0  , 

6  étant  un  entier  quelconque,  et  M  désignant  le  plus  petit 
multiple  des  nombres  premiers  donnés  (*). 

3"  Le  nombre  n  est  quelconque  ;  donc,  dans  une  progression 
donnée,  on  peut  trouver  autant  de  termes  consécutifs  qu'on  le  voudra, 
qui  soient  divisibles  par  des  nombres  premiers  donnés. 

A"  Par  suite,  la  différence  entre  deux  nombres  premiers  consécutifs 
peut  dépasser  toute  limite  donnée. 

X.  ApPLicATio:<s.  —  1°  Soient 

a  =  3,    0  =  0,    «  =  4,    /^,  =  2,    Vi-I,    /'»=11.    /^*  ^  19- 


(')  S'ils  sont  tous  inégaux,  M  =  p,  i-»,  .  .  .  Pn. 


—  l'tl  - 

Les  équations  (1)  deviennent 

3+5(i-M)=2.r,,  3+5(/+"2)  =  7.r,,  3-l-o(/+3;  =ii,r,,  3-ro(/+-i)=10Xi. 

Si  l'on  résout  celles-ci,  on  trouve,  successivement  : 

/+  1  =  1+20,,    G, -  —  2  +  70,,    G,  =  6+119,,    G,  =  9  +  199, 
/+!  =  ■!  467  +2.7.11. 199,     a  +  (7  +  1)  o  =  7  338  +  2  .  7  .  11 .  199. 

Les  fermes  cherchés  sont  donc,  par  exemple, 

7  338,     7  343,     7  348,     7  353. 

En  effet ,  ces  quatre  nombres  sont,  respectivement,  divi- 
sibles par  2,  7,  11  et  19. 

2"  rt  =  l,  0  =  1,  n  =  <o,  /^,=  2,  /',=  3,  />,  =  o,  /^=7,  /?»=  M,  Ih^Vè. 

Opérant  comme  dans  l'exemple  précédent,  on  trouve  que 
les  termes  cherchés  sont  égaux  aux  nombres 

GO  848 ,  60  849 ,  60  850  ,  60  851 ,  60  852,  60  853 

augmentés  d'un  multiple  quelconque  de  180  180. 

30  ft=i,  0  =  1,  )?  =  6,  /A  =  13,  ?.',  =  11,  /'5  =  ",  P.  =  ^.  /'5  =  3,  /76=2. 
En  supposant  la  progression  prolongée  indéfiniment  dans 
les  deux  sens  ,  les  termes  cherchés  sont,  d'après  l'exemple 
précédent  : 

—  60  853  +  180  180  G ,    —  60  852  +  180  180  0, , 

ou,  en  rempîa(jant  9  par  G  +  1  : 

119  327  +180  180  0,     119  328  +  180  180  G,     119  329  +  180  180Ô...... 


XI.  REMAROLE.  —  Si  Ic  Problème  Y  a  été  résolu  pour  le  cas 
de  la  suite  naturelle,  il  pourra  l'être,  immédiatement,  pour 
toute  autre  progression.  Soient,  en  effet,  n  nombres  entiers 
consécutifs  ; 

N  +  1 ,    N  f  2  ,  .  .  .  .  ,    N  +  «  (2), 


-  142  - 
respectivement  divisibles  par 

Si  l'on  vciU  déterminer  /  de  manière  que  les  n  termes 

a  +  {1+  V)ô,    ft  +  (/  +  2) ,  .  .  .  .    a  +  {[.  +  II)  0  (3) 

soient  divisibles  par  les  mêmes  nombres  premiers  .  pris  dans 
le  même  ordre,  on  devra  disposer  de  cette  inconnue  de  ma- 
nière que 

a  +  (/  —  N)  d 

soit  divisible  par];,,  p,,...,  p„  .  Désignant  par  M  le  plus  petit    . 
multiple  de  ces  diviseurs,  on  aura  donc  l'équation 

di  ~  Mx  =  NJ  -  «  (i), 

à  laquelle  on  peut  toujours  satisfaire,  puisque  ô  et  M  sont 
premiers  entre  eux  (XI,  1"). 

Soient,  par  exemple,  les  nombres 

i2  638,     2  039,     2  610,     26il, 

respectivement  divisibles  par  2,  7,  !  1 ,  19.  Si  l'on  prends  =  3, 
5  =  3,  l'équation  (4)  devient 

5i  —  2926  ^  =  13  382. 

Elle  est  vérifiée  par  x  =  ^2,  /  =  1466  :  les  nombres  cher- 
chés sont  donc 

7  33S,     7  3i3,     7  3iS,     7  353; 

comme  on  l'a  vu  ci-dessus. 

XII.  l'UOBLËME  VI.  —  5/  ht  .mile  (2)  a  le  nombre  maximum,  de 
termes ,  la  suite  (3)  peut-elle  en  avoir  davantage  ? 

Nous  disons  que  la  suite  (2)  a  lo  nombre  maximum  de 
termes,  lorsque  iN  ni  N  +  ?i  +  f  n'est  divisible  par  aucun 


~  143  — 

des  nombres  premiers];,,  p^,...  p„.  Gela  posé,  admettons  que 
a  +  lo  soit  divisible  par  l'un  de  ces  nombres  premiers,  p, 
sans  que  N  le  soit.  Le  fadeur  p  ne  divisant  pas  o ,  il  ne  divi- 
sera pas  No  ;  donc  a  +  I'^  —  N^ ,  ou  a  +  {l  —  N)o,  ne  serait 
pas  divisible  par  p  ;  et  nous  venons  d'établir  le  contraire. 
Ainsi  les  suites  (2)  et  (3),  prolongées  autant  que  possible,  ont 
toujours  le  même  nombre  de  tenues. 

XIII.  EXEMPLES.  —  1"  Les  nombres  consécutifs 

6:2,     63,     64,     65,     66 

étant  divisibles  par 

2,  7,  2,  5,  3, 

sans  que  Gl  ou  (37  soit  divisible  par  aucun  de  ces  facteurs 
premiers  ;  prenons  a  =  13,  ">  =  11.  L'équation  (3),  qui  devient 

llt—2[0x  =  658, 
donne 

t  =  98  +  210  9. 

La  suite  la  plus  simple,  répondant  à  0  =  0,  est  donc 
1102,     1113,     112  5,     1135,     lliG. 

Ces  nombres  sont  divisibles  par  2,  7,  2,  5;  3;  mais  1  091 
et  1  157  n'admettent  aucun  de  ces  diviseurs. 

2"  Trouver  sept  nombres  impairs  consécutifs,  respectivement  divi- 
sibles par 

3 ,  5 ,  7,  3 ,  1 1 ,  13  ,  o. 
Si  l'on  représente  ces  nombres  par 
x  +  3,    x  +  ^,    x  +  1,    a;  +  9,    a; +11,    ^+13,    x  +  io, 
on  devra  prendre ,  pour  x,  un  multiple  pair  des  nombres  pre- 


-  l'i'l  — 

micrs  donnes.  Les  diUercnlcs  siiiles  qui  salisl'onL  à  la  ques- 
tion sont  donc,  à  cause  de  M  =  3  .  5  .  7  .  11  .  13  =  15  015  : 

3,  5,     7,  9,  11,     13,  15; 

30  033,  30  035,  30  037,  30  039  ,  30  Oil ,  30  043  ,  30  045; 

60  063,  60  065,  60  067,  60  969,  60  071,  60  073,  60  075; 

90  093,  90  095,  90  097,  90  099,  90  101,  90  103,  90105; 

De  plus  ,  chacune  de  ces  suites  a  le  nombre  maximum  de 
termes. 

XIV.  La  solution  précédente,  et  les  exemples  à  l'appui,  sup- 
posent que  les  diviseurs  premiers  donnés  sont  toujours  pris 
dans  l'ordre  où  ils  l'étaient  primitivement.  Si  cet  ordre  est 
arbitraire,  la  conclusion  trouvée  ci-dessus  (XII)  ne  subsiste 
plus.  Par  exemple,  les  nombres  impairs  consécutifs 

3,  5,  7,  9,  M,  13,  15 

sont  divisibles,  chacun,  par  un  des  nombres  premiers 

3,  5,  7,  11,  13, 

tandis  que  1  et  17  ne  le  sont  pas.  Mais,  si  l'on  suppose  ces 
facteurs  premiers  rangés  dans  l'ordre  suivant  : 

3,  7,  5,  3,  11,  13,  3,  5,  7,  3  (*), 

le  nombre  maximum  des  term.es,  au  lieu  d'être  7,  devient  10. 
Les  suites  cherchées  sont  alors,  à  cause  de  ce  changement 
dans  les  conditions  du  problème  : 

9  U\,   9  143,  9  415,  9  U7,   9  449,  9  451,  9  453,  9  455,  9  457,  9  459; 

309  741 ,  309  743,  309  745,  309  747,  309  749  ,  309  751 ,  309  753, 
309  755,  309  757,  309  759; 


(*)  Cet  ordre  est  admissible,  jjarce  que  Jes  multiples  de  3  doivent  revenir  de 
trois  eu  trois  ;  ceux  de  5 ,  de  cinq  en  cinq ,  etc. 


—   I'i5  — 

tilO  041 ,  tilO  0-i;],  (ilU  Oio,  610  047,  iilO  049  ,  610  Ool ,  610  0o3, 
610  Ooo,  630  057,  610  050; 

(*) 

XV.  THÉORÈME  1  (Théorème  de  Jacobi).  —  Toute  progression  par 
différeuce,  dans  laquelle  le  premier  ternie  et  la  raison  sont  premiers 
entre  eux,  contient  une  infinité  de  termes  non  divisibles  par  un 
nombre  premier  donné. 

Cette  proposition  résuite  des  deux  lemmes  suivants,  qu'il 
suffit  d'énoncer  : 

1"  Le  premier  terme  a  et  la  raison  à  étant  premiers  entre 
eux,  deux  termes  consécutifs  quelconques  sont  premiers 
entre  eux  ; 

2'^'  Sur  deux  termes  consécutifs,  il  y  en  a  au  moins  un  non 
divisible  par  le  nombre  premier  /;. 

XVI.  REMARQUES.  —  1°  Si  p  divise  d,  auciui  terme  n'est  divisible 

par  0. 

2"  Si  p  divise  a  ,  les  termes  divisibles  par  p  sont 

(i,    «  4-  /w,    a  +  ip^ ,    a  +  3/;gi,... 

3'  Si  p  ne  divise  ni  «  ni  a ,  un  seul  des  p  premiers  termes 
est  divisible  par  ];.  Soit  a  -h  io  ce  terme.  Alors  tous  les  termes 
divisibles  par  p  sont  compris  dans  la  formule 

X  =  a  +  [i-i-  ))d)  d, 

M  étant  un  entier  quelconque. 

XVII.  LEMME.  —  Soit  une  progression 

a,     rt-f  a,    «4-2;?,    «.  +  30,... 
dans  laquelle  a  est  premier  avec  o  et  moindre  que  o.  Si  l'on  prend. 


(*)  Ces  exemples  sont  tires  d'un  remarqualie  Mém;.'ire  de  M.  Desboves  (A'oit- 
velles  Annales,  toine  XIV). 

10 


—  146  — 

rlans  cetie  pi'ogr('ssi(iii ,  les  Wnni's  divisibles  par  un.  nombre  premier  y>. 
les  quotienls  forment  N)ie  seconde  progression 

a\    a'  +  rj,    a' +  io  ,    a' -\- 3o  ,.. 

dans  laquelle  a'  est  premier  avec  o  et  moindre  que  à. 
D'après  la  dernière  remarque  , 

,       a  +  io 

a'  —  ■ , 

P 

i  étant  inl'érieur  à  p;  donc 

a  +  {p  —  l)o 


a 


<  P 

\!l,  à  plus  forte  raison  , 

a'  <  r). 

D'un  autre  côté,  si  a'  et  d  avaient  un  facteur  commun  ,  ce 
facteur  diviserait  a  ;  etc. 

XVIII,  THÉORÈME  n.  —  Si ,  en  parlant  d'une  progression 
a ,    a  +  0 ,    a  +  id  ,,., 
on  forme ,  comme  il  vient  d'être  dit ,  la  progression 

a',    a'  +  0  ,    a.  -+-  :2o  ,... 
puis,  qu'au  moyen  de  celle-ci,  on  passe  à  une  troisième  progression 

a",    a"  +  o,    «"4-20,... 

et  ainsi  de  suite ,  on  finira  par  retomber  sur  la  progression  piimitive. 
De  plus,  le  nombre  des  progressions  différentes  divise  le  nombre  des 
entiers  inférieurs  et  premiers  à  d. 

i"  On  vient  de  voir  que  les  termes  initiaux  a',  a",  a"',... 
sont,  comme  a ,  inférieurs  et  premiers  à  o  ;  donc  ils  se  repro- 


'  [i         —  i        I  0  =  0  , 


-  147  — 

duisentpcriodiquementjCM  tout  ou  en  partie.  Soit  a'"*^  =  a"\  A 
cause  de 

a      =  ,    a      = , 


on  a 

a       '  +  \i         —  i 
équation  absurde,  à  moins  que 

a         =  a 

Ainsi,  quanddeux  quotients  a^'" ,  a  "  sontégaux,  les  quotients 

a'"'~'\  di""  \  qui  les yrécèdent  respectivement ,  sont  égaux  :  a 
fait  donc  partie  de  la  période  des  quotients. 
2"  Soient 

pa'  =  fl  4-  là,    pa"  =  fl'  +  t'a,...    pa  =  /'"'^  +  i ""'^  a         (1), 

«  étant  le  nombre  des  termes  de  la  période.  On  conclut,  de 
ces  égalités , 

ri-I     .n-1)  ., 

a  _  p       i       '+...+  pi'  4-  i 
-  -      -  . 

"  p  —  \ 

Si  donc,  dans  le  système  de  numération  dont  la  base  est  p, 
on  réduisait  en  décimales  (*)  la  fraction  ^  ,  on  trouverait 


a  „  .n-l)    .fn_2)  .,    .    .'n-1)    .'«-2) 

•^  =    0   ,       t  l  ...    l'  l  l  l  .... 

0 


Or,  on  sait  que  le  nombre  n  des  termes  de  la  période  déci- 


-%^  1 

(*)  C'e^ârdire  en  tractions  de  la  lonue  — - 

P 


—  lis 


maie  est  un  diviseur  de  (p  {d),  (r,{ô)  désignant  le  nombre  des 
entiers  inférieurs  et  premiers  à  ^  {*). 

XIX.  REMARQUES.  —  1°  A  causc  des  égalités  (1) , 


a         ,     a        ,...,  a" ,    a' 


sont  les  restes  de  la  division,  par  o,  de 


pa ,     pa        ,...,  pa'",    pa'' 


les  quotients  correspondants  sont 


é"-'' ,    /-'^ ,...,  i',  /. 


2"  D'après  la  théorie  des  fractions  périodiques ,  la  période 
formée  par  les  progressions  a  un  seul  terme  s'io  z=  jj  —  i  ;  cl, 
s\  d  =  p  ^  1  ^  elle  en  a  deux. 

XX.  APPLICATIONS.  —  1"  a  =  4,  à  =9,  j>  =  II.  Les  progres- 
sions sont 


4,  13,  22,  31,  40,  19,  58,  67,  76,  85,  94, 

2  ,  ïî  ,  20  ,  29  ,  38  ,  47  ,  56  ,  65  ,  74  ,  83  ,  92  ,. 

1  ,  10  ,  19  ,  28  ,  37  ,  46  ,  55  ,  64  ,  73  ,  82  ,  91  ,. 

5  ,  14  ,  23  ,  32  ,  41  ,  50  ,  59  ,  68  ,  77  ,  86  ,  95  ,. 

7  ,  16  ,  25  ,  34  ,  43  ,  52  ,  61  ,  70  ,  79  ,  88  ,  97  ,. 

8  ,  17  ,  26  ,  35  ,  ïi  ,  53  ,  62  ,  71  ,  80  ,  89  ,  98  ,. 
4  ,  13  ,  22  ,  31  ,  40  ,  49  ,  58  ,  67  ,  76  ,  85  ,  94... 


La  période  a  6  termes  ,  et  6  =  9  .^  =  ip  (9). 


(*)  KduveUcs  Aiiiu/lcK  .  lome  I .  p.  16o. 


—   Ii9  - 
"2"  a  —  7,  0  -~  '20,  p  —  3.  On  trouve 

7  .     27  ,     47  ,     G7  ,  87  ,.., 

7,     29,     49,     69,  89,... 

3",     23  ,     43  ,     63  ,  83  ,... 

1  ,     21  ,     41  ,     61  ,  81  ,... 

7,     27,     47,     67,  87,... 


Ainsi,  n  =  4  ,  ^(.))  =  20  4'^ 


3o  rt  =  7  ,  0  =  10,    />  =  1 1.  La  période  doit  avoir  un  seul 
terme  (XIX,  2°).  En  effet,  de 

7,     17,    27,     37,     47,     57,     67,     77,     87,... 

on  tire  la  progression 

7  ,     17  ,     27  ,     37  ,  ... 
4"  a  =  1 ,     d  =.  12,     p  =  1!.  L;i  première  pro^ifression 
étant 

7  ,     19  ,     31  ,     43  ,     55  .     07  ,     79  ,     91  ,... 

on  en  déduit 

0  ,     17  ,     29  ,     41  ,     53  ,     65  ,     77  ,     89  ,... 
après  quoi  l'on  retombe  sur  la  première  progression. 


150 


XWVII.  —  SLR   UNE   APPLICATION  DE  LA   FORMULE   DU   BINOME  AUX 
INTÉGRALES  EULÉRIENNES  (1858)  (*). 

I.  Le  coefficient  de  x' ,  dans  le  produit  des  polynômes. 

1  i  .  2 

V  -1    r (/'  —  !)  -2  -/' 

est,  en  représentant  par  C, ^  le  nombre  des  combinaisons  de 
/  lettres  prises  kkk  : 

/'  /'  il'  —  \) 


D'un  autre  côté ,  ce  coefficient  est  égal  à  celui  de  x  ,  dans 
le  développement  de  (i  +  ^)'*"   x"   ;  donc 


11.  On  a 

'           ^*-^2             (/^  +  1)  (/c  4-  2)         '*       ' 

De  plus, 

C,..= 

T{l  +  i) 

1                                   1 

l\k  +  \)ï{l—li^i)  /  (/-A-)B(/c+ !,/—/(;■), 


^/H-/'/-n    (/  _  /,-)  B  a'  +ft+ 1,  /—/£)■ 


(*)  Un  extrait  de  cette  Note  a  paru  dans  les  Comptes-Rendus  (tome  XLVII). 


—  151   - 
Au  moyen  de  ces  valeurs,  l'équation  (1)  devient 

B{k+\,t—k)    _^      lH  —  kJ'{l'-[)ii-k)[l~k-i) 


Bil'-hk+\,l—k)~        ik+i         l.â      {k+\){k+2} 

ou ,  en  posant 

k  +  i  =  p  ,     l'  +  k  +  i  =  q  ,    l  —  k  =  m  : 

B  (p,  m)  _         m  p  —  ci       m  {m  —  1  )  (p  —  (jj  jp  ^  g  +  \) 
B  (q,  m)  ~         1       p  1  .  "2  p  {p  +  \) 

__  m  {m  —  1)  {m  —  2)  (;;  —  q)  {p  —  q  +  1)  {p  —  (/  +  2) 

i  .2.  3  p{p  +  1)(/)+  2)  "^ 


'(A). 


111.  L'égalité  (A)  a  été  trouvée  en  suj^posant  /,  /'  et  k  en- 
tiers positifs.  Par  conséquent ,  elle  paraît  soumise  à  de  nom- 
breuses restrictions.  Néanmoins  elle  est  générale,  c'est-à-dire 
qu'elle  subsiste  lorsque/?,  q,  m  étant  des  quantités  positives 
quelconques,  le  second  membre  est  un  polynôme  ou  une 
série  (*). 

Pour  démontrer  cette  proposition,  évidente  sip  =  q,  nous 
distinguerons  deux  cas  : 

1"  /;  >  </.  On  a 

P  —  g  _  Ij  ip  —  g  +  1 ,  g')      p  —  q  +  \  _  B  {p  —  q  -h  2,  q) 


B  ip  —  q,  q)     '         p  +  \  B  (/)  ~  q  +  \,  q) 


,  etc.  ; 


(')  Cette  série  est  toujours  convergente.  En  effet,  lorsque  p  surpasse  q,  les 
termes  du  second  membre  sont,  en  valeur  absolue,  respectivement  moindres 
que  ceux  de  la  série 

yn  ',)i  (ni  —  l)  m  (m  —  1)  (ni  — 2) 

^  +  T  +  —TT-  +         1  ■  -2  ■  3        +  •  •  •  '        («) 

laquelle  est  ::onvergente  (Comptes-Rendus,  t.  XLV  ;  et.  .si  q  surpasse  p,  les 
mêmes  termes,  pris  encore  en  valeur  absolue,  sont,  à  partir  de  Van  d'eux,  res- 
pectivement moindres  que  ceux  de  la  série  ia) .  multipliés  par  un  facteur  constant. 


—  152  — 
donc  le  second  menibro  de  la  jormiile  (A)  égale 


B  [p  -q 


'  '    ---'^l_0,^-M_GfrfS 


(3> 


Bip  —  q,  f/i 

__  B(/J  —  ^/,  w  +  v)  _  B(  m  +  q,  p  —  g) 
~        B(p—q,q)        '        \i{q,p  —  q) 

Ainsi,  réqualion(l)  se  réduit  à 

B  {p,  m)  _  B  (m  +  q,p  —  q) 
B  (^,  w)  ~      B  (q,  p  —  q) 

Mais,  en  vertu  d'un  théorème  d'Euler  : 

B  (/;,  m)  _  B  (/;,  m  ■+■  q) 
B  iq,  m)       B  (Y/,  m  +  /;)  ' 

B  un  -f-  (/,  p  —  (/)  _  B  (m  -f-  </,  />) 
B(f/,  P  —  q)      ~  B((/,  w  -f-  /))  ' 


donc  l'équation  (3)  est  identique. 

^^  p  <.q.  L'équation  (A)  étant  démontrée  pour  les  valeurs 
de  q  inférieures  à  ;?,  il  suffit  de  faire  voir  qu'elle  subsiste 
quand  on  y  change  q  en  q  +  1.  A  cet  effet,  appelons 
9  {m,  p,  q)  le  second  membre  :  on  trouve  aisément 


cp  {m,  p,  q)  —  (L  ())i,  p,  q  -h  i)  = -©  (w  —  1,  /j  -+-  \,q-]-\)      U). 

D'autre  part , 

Bip,  m)  Bip,))t)  m  Bip,  m)  m     , 

Bit/, /«)       Bq-hi,m)  q    B\<i,)n)  q^^ 


—  1F>3  - 
Conséqueniment,  il  reste  à  vérifier  que 

p  '^  {m,  p,  q)  ^  q^  I»'  —  ^  /'  -^  1,  '/  -^  1>  ' 

OU  que 

r  „i  p  —  q       m  [m  —  1  )  ifi—cf)  W~(l  +  ^)  _  .    .    .  1 

r        ,„_i,j_^/       ^„^  -  1  )  in,  -  -2)  (p-q){P  -  ^/  + 1'    ..  ...1  ^.^^ 

Le  premier  membre  de  cette  égalité  peut  être  écrit  ainsi  ; 


(p-q){p-q-^^) 


-(p-q) 


p  +  1 


m-l    {p-q){p-(l+[) 
1     "^        /'  4-  1 

{p-q){p   q-,i)[P   (/+-) 


{p-\-\){p  +2) 


;?»— 1)1  ???--!)_ 
1.2 


Or, 


/»—!)>  —  (/)  =  <^f 


{p-q)(p-q  +  l)  _  ,, /LZLi 


ji  -+-  1 


/;  +  ! 


et ,  en  généra! , 

~(/;+l)(/;  +  2)     ...    ^p  +  i)  (/;  +  i)(/-)  +  2)    ...    IP  +  2  +  1) 


""'''     (/?+l)(P  +  '^     '.  [p  +  i  +  1) 


ou 


1  — 


p  ~  q  +  /  +  1     _  </ 

/;  +  i  +  1        '"    /^  +  i  4-  1' 


-    ISi   - 

La  relation  (6)  est  donc  identique. 

IV.  Dans   son  savant  Mémoire  sur  les  intégrales  définies 
eulériennes,  Binet  démontre  une  formule  équivalente  à  : 


^P,m)  ^  ^  _  p—q  _m_  ^ ip-q){p—q-i) w(m  +  l)       _         ^^,, 

B(q,m)  1    m-hq  1.2  (w+</)(w-f-</4-l) 


Par  le  changement  de  p  —  q  en  m ,  de  m  en  y  —  q ,  et  de 
^  en  m  +  </ ,  celle-ci  devient 


li{m+q,p—q)  _     _mp-q    ,    m{m—l)  {p—q){p—q  +  \) 


B(q,p—q)  1      />  l.!2  /^(/^+1) 

d'où,  à  cause  de  la  formule  (A)  : 

C  (w  +  q,p  —  g)  _  D  (/;,  /») 
B(q,p  —  q)  B{//,7n)' 

ce  qui  est  précisément  l'équation  (3).  Ainsi,  le  Théorème 
d'Euler  donne  l'une  des  formules  (A),  (A')  au  moyen  de 
l'autre;  et,  réciproquement,  ce  théorème  est  une  conséquence 
des  deux  formules. 

V.  La  formule  (A)  permet  de  développer,  en  séries  conver- 
gentes ,  l'intégrale  eulérienne  de  première  espèce  et  son 
inverse.  En  effet,  si  l'on  suppose  q  entier, 


_.       ,  1.2.3.  .  .(</-!) 

B  {q,  m)  = 


m  {m-  +  1) .  .  .  (m  +  </  —  1)  ' 

donc,  par  le  changement  de  m  en  q  et  de  q  en  wi  : 

VK(    _s_l-2.3...  (w-l)  r  flP-'>^>    q{q-i}ip-m)(p-m+i)       1 
^^'^'    q{q+i)...{q-hm-\)l      î  p    ^1.2    ^(^+1)     "J 


—    lo3    — 

771  est  un  nombre  entier  arbitraire.  Si,  par  exemple,  ?«=  4  : 

De  môme , 

__l p(p-hi)...{i)-hm-l)r     ym—q  ^  p{p—i){m-q){m-q+])       1 

Bip,q)''i.'2.'d...(m  —  i)l      1    m  1.2        m  (m  +  iï        "j 

et 

1  \,   ,  Pfl-"^  .   P  in  -  i)  [q  - 'i)  [q  -  "2) 


B(p,f/) 


"hî'^-'-T^'^^=nr^'----]"^'- 


VI.  Le  premier  membre  de  la  formule  (A)  égale  TT-p-pj—--r- 

Si  l'on  suppose;?  =  q  +  i,i  étant  un  nombre  entier,  ce  pre- 
mier membre  se  réduit  à 

q  {q+  i)  ..  .  {q  +  i  —  \) 


{m  -hq){m  +q  -\-i) .  .  .  [m  +  q  +  i  —  i) 
Conséquemment , 

q{q  +  i).  .  .(q  +  i-i) ^ 

{m  -h  q)  [m  +  r/  +  1)  . .  .  {m  -\-  q  +  i  —  \) 

.      7n     i  m  {m  —  i)  i  {i  +  I) 


>       (F). 


i  q  +  '/  1  .2         {q  +  i){q  +  i  +  1)  / 

Par  exemple , 

q        ,       m  m{m—i)  m(m  —  \)(m  —  2)  ,,,,,, 

=  1 7  +  r ^:;t^ ^  — ■ — —rn — -^, ■^+---i){^)' 


m+q  q  +  i       (17 +  !)(</ +  2)      {q  +  \){q  + 1)  {q  + 'S) 


(*)   Cette  formule  est  due  à  Stirling. 


—  1J()  — 

YII.  Parmi  les  applications  de  la  formule  (A),  l'une  des 
plus  intéressantes  me  paraît  être  le  développement  de  -  ou 
de  -  ,  en  séries  convergentes.  Pour  obtenir  une  infinité  d'ex- 
pressions de  la  première  transcendante,  il  suffit  de  supposer 

1  ,      1 

(}  entier,    p  ~  q  ^  i  -^  z-,>     '"  +  ^/  =  '   +  q  ' 

/  et  ï  étant  des  nombres  entiers.  On  trouve ,  en  elfet , 
_   1  •  ^2  ■  3  ■  ■  .      U/  -  1)  1.2.3   ■  ■  ■  U+i")  \ 

"=(!,) (3)... r^i±ii^'i  (i)(i)...{^)      1^^^ 


2/  \2    •  •  ■  l         2         /    \2/   \2 


r        mp  —  q      mini  —  i)ip  —  q){p  —  Q  +  ^)  ] 

^L     TT'^     1.2  p{p  +  \)  ■■'J 

Soient,  par  exemple, 

3  1 

r/=  1,     i  =  0,    i'=  1,     /^  -  3,     '"  =ô' 


on  a 

À  ____     . —     ,  T   •  ••    11). 

J  '  û  .o        2  .  i  .  5         2  .  -i  .  ()  .  7         2  .  i .  t)  .  8  .  9 


De  même,  en  prenant 

\, entier,    q  -  p  --  i  +  -  ,    w  +  p  =  i'  +  ^2 


on  trouve 

.    (l)!|)...(!^±|^](^)(|...(^)  ) 

r~4.2.3  ...         '/^  -  1)         ^■^■-    •••    ^' -+-'■')  ((K). 

r        mp  —  q       /»U»^_1)  (7^  —  </)  W>  -  '/  +  ')  ]      \ 


—   157 
Soient 


3  1 

p  =    i,     i  =  0,     /'  =  1,     ^  =-;,     m  =  ~; 


alors 


l=-(5^(ôfW.-¥-a)'-'-  <>-'• 


VIII.  La  formule  (L)  équivaut  à  la  proposition  suivante, 
que  l'on  pourrait  interpréter  géométriquement  :  La  somme 

des  carrés  des  termes  du  développement  de  ^/2  =  (1  +  !)«', 
éaale  -  . 

IX.  Plus  généralement,  puisque  la  formule  (A)  est  la  tra- 
duction de  l'équation  (1),  celle-ci  subsiste  en  même  temps 
que  la  première.  Par  conséquent  :  soit  k  un  nombre  entier, 
positif  ou  nul  ;  soient  l'>  k,l'  '>-  —  1  :  le  coefïicient  de  x\ 
dans  le  produit  des  deux  séries 


,       V           lit-  i)    ,      /(/-1)(7-2i    , 
^  "^  ï  '"^     TT"  ■'"  -^  1.2.3      '  ^ 


est  égal  à 


V(l  +  /'-+-!) 


r  (/'  +  /t  +  nr  (/-/,■  +  i) 


;  *)  Comme  une  cle  ces  séries  est  nécessaii-emem  divergente,  il  est  Ijieii  entendtî 

.  k  .      . 

que  i  expression  ;  coefficient  de  ^    dans  le  produit ,   signitie  :  ia  nomme  des  pro- 
duits des  termes  d^ins  lesquels  la  som/me  des  e.rposan's  égale  k. 


—  158  - 
Par  exemple , 

1 T  ^    1.2      1.2     '  ■  ■  ■  ~  r  (/  +  1)  r  (/'  +  1  )  ^  ^ 

X.  Considérons  les  deux  séries  : 

pour  .jc  =  1,  la  première  se  réduit  au  développement  (L). 
On  trouve  aisément  les  équations  différentielles 


;..(^^)'(.),     a,  =  [.Hi 


(i)), 


dans  lesquelles  les  aecents   indiquent  des  dérivées  (**).  Si 
donc  la  Ibnelion  z-  était  connue,  nous  aurions 


J^J''^ 


y  =  l  +     I    — ;-    /    'JLzdx 


*j  Laplace  avait  remarqué  l'équation 

1  +  l'iV    ■    ^^  <'  ~  ^'^'  ■      ^         r  (2  ?  +  1) 


,1/        \   1.2    /    '  [r(z4-i)r  • 

mais  sa  démonstration  (rapportée  par  Lacroix)  suppose  1  entier  positif. 
(*')  L'intégrale  générale  de  l'équation  (9)  est 

.  =  A     /  ''"■      + 1>.     /  '''        

/      l/'(l  — a^)(l  — a*a.-'-')  /      \/(l —  «")  (1 —a*  +  «'«;«) 

o  o 

(Journal  de  Mathématiques ,  tome  XIX);  mais  cette  formule  n'est  pas  nécessaire 
à  l'objet  que  nous  avons  en  vue. 


On  sait  (*)  que 


"i^  /      V  i  —  x^  sin' 
d'où  résulte 


ou 


-"■^=1/ '-^J' -*"-"' ^'"■^^' 


puis 


?/  =  1  4-  - 


i    I^Jl-    /     i:^/i_l    i--x«sm*9)     (10) 


Posant 


j'obtiens 


sin  0 

lï  ^=^ ~ 

sincp 


^'siniorfO 


y*iL^(.-v/, -,..„.,) =ysi„e.e_y  ^^^^ 


i  ) 


Voir,  par  exemple,  la  Mécaniqut  de  Poisson,  tome  I,  p.  34(5. 


-   100 


ou 


/     -—  (l  —  l^î  —  '^'  sin'  cp)  =  1  —  cosô  +  2I  cos  - 


Par  suite, 


.'/=!  + 


r     /       sin'  (pi  2    J 


et  enfin ,  par  un  calcul  plus  long  que  diftîcile, 


y  =  ~ 


'2   I       nf©\/l— .r-sin'(p— (1— .f^) 


(11: 


Telle  est,  sous  forme  d'intégrale  définie,  la  somme  de  la 

i 

série  (6).  Pour  ^  =  I ,  //  se  réduit  à  -  ;  ce  qui  devait  être. 

XI.  Dans  la  formule  (B),  changeons  p  en  m  et  m  en  q  :  il  en 
résulte 

m  —  p  q       im —p){m  —  p -^  \)  (j  {q  —  ï)  1      \ 


1  H ■-  -  -h 

\      p  1.2  v(p+\) 


m  —  p  q        un  —  p)  (»i  —  /;  +  1)  q  Uj  —  1) 


1      m 


1  .  2 


wim  —  I 


>  (M). 


Si ,  par  exemple , 


1  ,  ^ 


-  loi 


alors 


L  2  '  2       2  .  r  2.1       2.  i.  6  ■  2.1.  6      '■'] 

r  ,      1    1       1 . 1    1  .  1  1 

L'-"2-T^2-T-T73^ J 


=  1, 


ou 


i  ^  "  ï  -  64  -  2r6 )  i  '  +  2  +  24  ^  80  "-  •  • 

XIl.  Écrivons  ainsi  la  formule  (A)  : 

B  {p,  m)  _         m  q  ~  p     m  {m  —  i}  ig  —  p)  (g  —  p  —  1) 
B  (g,  m)  ~     ^  r     p     '^      1.2  p(p+i) 

m  (m  —  -1)  (m  —  2)  (g  —  p)  (g  —p  —  \)  {g  —  p  —  2) 
"^  1.2.3  1.2.3  "^ 


(A). 


En  y  remplaçant  p  par  q  ei  q  par  p ,  puis  en  multipliant 
membre  à  membre,  nous  aurons 

Fi      »'  (}  —  P,  m  {m  —  1)  (<7  —  p)  {g  —  P-i)  1 

l         l      P  1.2  ^(p  +  1)  J 

r        /«  p  -  r/      ffl  (?»  -  1)  {p  -  g)  {p  -g-  \)  1  _ 

L        i      g  1.2  a  n  -h  1 


9  1.2  ^/(^/  +  1) 

Cette  relation  remarquable,  qui  n'est  peut-être  pas  nou- 
velle ,  peut  être  déduite  de  la  formule  (M)  par  un  changement 
de  lettres.  Elle  donne,  par  exemple, 

,       „  i      ^     i.o  -4.5.6  \ /,       „4      ,    4.3      4.3.2 

1  —  3  -  +  3.-r — 7-:  —  ^     .^     ,.        1  +  3-+  3  .-r—T-h 


9^       9.  10       9.10.11/  \  5  ■      "5.6      5.6.' 

XIII.  Soient,  dans  la  formule  {X)  : 


11 


—  162  - 
/  étant  un  nombre  ciilicr.  Le  premier  membre  devient 

^'''^ê)_       J'('  +  iL_  1  •  -^  ■  3  .  .  .  (/ -f-  1)        1 

2/  4-11*- 

1  .  i> .  :; .  .  .  (i  +  1)    1 


"(^-l-rT'I-il  [i-M  ■  ^T 


~  **         fl  .  2  .  3  •  .  .  t2/  +  1)1*  :: 

et  le  seeond  membre  : 


.       /2/  +  li*     t2i  +  i     2i-lr      /2/4-1     2/ -2     2t-3\' 


donc 


ï  -  (r'H4fcf^ï.^(^v-f^  ■  ^-^T->' 


On  a  ainsi  une  infinité  de  développements  de  la  transcen- 
formule  (L)  en  donne  un. 

XXXVlli.  —  THÉORÈME  d'aXALYSE  (18o8). 


dante  -  :  la  formule  (L)  en  donne  un 


Soient 

f{x)  =  a,  cosj;  +  u^  cos  "Ix  i  •   •   •  +  a„  cos  nx  ■\-  •   •   -,     (1) 
<p  {x)  =  b,  cos.r  r  b.,cos2x  +■   •   ■  -4-  /;„  cos  «a;  +  •    •    •         (2) 

deux  séries  convergentes.  Je  dis  que 

■1  r 

a,lh+a.J\+  .    •    •  +  uJ)„-\-       •    -^  z    I      fi-i^)<r^{x)dx  {')       (3). 


(*)  Ce  théorème ,  énoncé  d'une  manière  un  peu  différente,   est  connu  sous  le 
nom  de  Formule  de  Parsei^al.  Mais  la  démonstration  donnée  par  ce  géomètre  est 
inadmissible  ;  car  elle  suppose  l'emploi  des  deux  séries 
a,  +  aj  «  +  a,  Z^  -f-  •    •    •   : 

et,  si  l'une  est  couver|iente ,  l'autre  est  ordinairement  divergenio, 


—  i63  — 
En  effet, 

/'(x)  cp  (x)  =  V   a^^  b^^.  cos  nx  cos  ?i'x  -*-  T^   û„  ^^  cos'  «x  ; 

donc 

/   f{xy^{x)dx^^jib ^^    I    coiirixcom'xdx+y]aJy^    j    cos'nxdz; 

0  Q 

OU,  d'après  les  relations 


COS  nx  cos  M'.r f/a;  =  0  ,      /    c 


ces'  «ce  dx  =  - 


/ 


/■(.<.•)  9  (x;rf.c=  iJl  ^'*^''  • 


Application.  Si  l'on  part  des  deux  formules  connues 


r-^    an 1  I 

2a' L  Z'^-e-""  J 


.  ,      cosx      cos:2x      cos  3  a; 
1    =  r— ,  + 


2aM     '       ^"'^     a-"""  1+ft'       4+fl'      9  +  a* 


"2^        ""■'■  ^a:i  _<.-"''  j      1  +  a"  ~  i  +  a 


±i:        C0S3.C  ^., 


on  a 


i  1  1 


(H-«T       {i+u'f       {9  +  crf 


(*)  Traité  élémentaire  des  séries  ,  p.  115, 


on 


(  1  +  a'f       (4  +  fry    '   (9  +  a'f 
(  e     —e      )  —  a-{e     —e      }  —  a*  ~'[e     +  e      j 


2rt*  [e     —e 


Lorsque  a  =  0 ,  le  second  membre  se  l'éduit  -d—'*; 

donc 

JL_i       i_l  -_L*. 

r        2*  ^   3*        4*  "^  ■  ■  ■  ~  720  ^'   ' 

résultat  connu. 

XXXIX.  —  SLR  LA   SÉRIE  HARMOIQIJE  (1856). 

I.  On  sait  que 

T  +  l  +  i  +  •••+-=  î"-?(")  +  C  (1), 

12       3  n  ^ 

ç(«)  s'annulant  quand  n  devient  infini,  et  C  représentant 
une  constante  dont  la  valeur,  calculée  par  Euler  et  Masche- 
roni,  est 

C  =  0,  577  2i5  664  !»0I  532  800  .... 
En  remplaçant  \n  par 

1 ■.  +  1 ,  +    .-    +  1  --  -+  1  i  , 

n  —  i         n  —  2  1 

on  a 

,(„)  =  C_..(l?-l).-(l|-l).....(l^-^)      ,.. 


Soit 


16! 


.      n  1 

■u    =  1 


)i~\       n  ' 


d'où 


et 


.ce 


dx  I .  a 


(«)=C-1+   /    -^l-^^rzi)^^   "-'     '^  ^^^• 


Cela  posé  ,  en  appliquant  mol  à  mot  la  méthode  employée 
par  M.  Liouville  dans  sa  ISote  sur  ï' évaluation  du  produit 
1  .  2  .  3  ...  cl-,  on  trouve 

,  X  i  vil 

~  2/?        '  i)i        Mn 


et ,  par  conséquent , 


7 -t--r  +  -+••■  +  -<  i«  +--—  -f  C  (A)  , 

12      3  n  2« 


T+ô  +  ïï +  ■■•  +  ->  ^"  + .^ — 77r--  +  ^  "^  • 

12     3  n  "Dt       12/i- 

Les  formules  (A) ,  (B)  donnent  ainsi  deux  limites  entre  les- 
quelles est  comprise  la  somme  S„  des  n  premiers  termes 
de  la  série  harmonique.  Si  l'on  fait  n  =  1000,  on  trouve 

Ce  résultat  est  d'accord  avec  celui  que  donne  Lacroix. 


16G  - 

II.  La  série  dont  le  terme  général  est  n,.  est  conver- 
gente  (*).  D'après  le  §  I ,  elle  a  pour  somme 

1  —  C  =  0,422  78 i  335  098  470  139  ... 

III.  La  série  harmonique  est  très-peu  divergente,  puisque 
la  somme  de  ses  mille  premiers  termes  est  à  peu  près  7,  5; 
mais  la  série  dont  le  terme  général  est  —    diveriïe    encore 

7/J// 

bien  plus  lentement.  En  effet,  si  l'on  suppose 

1         1  1 

2l2     àid  nhi 

et 

on  trouve  facilement 

OU ,  par  ce  qui  précède  , 

Soit 

V  =  1000, 

auquel  cas 


,.1000 

?/  =  2 


(C), 
(D). 


(*)  Comptes-retiOus ,  tome  XLIII,  p.  627. 


—  167  — 

nombre   de   trois  cent  deux  chiffres.  Les  formules  (C),  (D) 
donnent 

S^^_,  >  5,i ,      S,^_,  <  10,8. 

Ainsi,  bien  que  la  série  considérée  soit  divergente,  la 
somme  de  ses  premiers  termes,  jusqu'à  un  rang  marqué  par 
un  nombre  de  302  chiffres,  est  inférieure  à  11.  On  arriverait 
à  des  résultats  encore  plus  curieux  si  l'on  considérait  la  série 
divergente 

11  I 

+  •  •   •  + 


-21^2(112)       al3(ll3)  nh{\h] 

IV.  Ecrivons  ainsi  les  formules  (A),  (P>)  : 

^"  +  T  -  7T-^  +  G  <  S    <  1»  -:    -i  +  C. 

-2u        1-2  n-  "  '■2)i 

Nous  aurons,  en  changeant  Ji  en  i2,'/  : 
et,  par  conséquent  : 

^--ù-ià-"-  "■■'-  "■■■  <  '-  -  è  +  îs;- 

Ainsi,  la  somme  des  n  termes  qui,  dans  la  série  harmo- 
nique, suivent  les  n  premiers,  est  comprise  entre 

12 et    l2 H  . — . 

■in       iSu'-  in       12;/' 

De  là  résulte 

lunl +  . 4-  •    •    .-!-—-=  12(  ). 

,11  +  1       //  -I-  2  2/?  ; 


{' )  Voyez,  sur  ce  point ,  le  tome  XV  des  Xot'veUes  Annales  de  Mathématiques 
et  le  Traité  élémentaire  des  Séries. 


—  168  — 

\L.  —  SIK  UNE  FONCTION  UOMOGÈNF:  KNTIÈRE  (1858)  ("). 

Plusieurs  géomètres  ,  parmi  lesquels  il  sulliL  de  citer 
MM.  Gauchy ,  Bertrand  et  Serret ,  ont  indiqué  divers  procédés 
qui  permettent  d'évaluer  la  fonction 

a  0  l 


+ 


/■'  (rt)       r  ib)  r  il) 

au  moyen  des  coefficients  de  l'équation  f  {x)  =  0,  dont  a,  /^ 
c,  .  .  .  ,  /;:,  /  sont  les  7i  racines  (supposées  inégales);  mais 
personne,  que  je  sache,  n'a  fait  attention  à  lidentité  de  cette 
fonction  symétrique  fractionnaire  avec  la  fonction  homogène 
entière,  du  degré  p  : 


II      =  Va''  b^  c' 


l\ 


Cette  identité  résulte  de  la  proposition  suivante  : 

THÉORÈME.  —  Soient  a ,  b,  c  ,  .  .  .  .  ,  k  ,  1  des  quantités  quel- 
conques, inégales  ;  et  soit ,  pour  ahrérjcr  , 

f{x)  -  {x  —  a)  {x—b}...  {X  —  k) (x  —  l). 

La  fonction,  entière  et  homogène^  des  n  lettres  a,  b,  c,  . . .  k,  1, 
dont  p  est  le  degré,  est  égale  à  la  somme  des  valeurs  que  prend 

la  fraction  "  ,  ,     -  quand  on  y  remplace  x  par  a,  b,  c,  .  .  .  ,  k,  I. 
En  d^ autres  termes , 


a-  l/'   c'   -   l'-    =  Vt-  +  -^^7777^  +  -  +  Vr-    d^' 
fia)  /'(/>)  /'(/i      ^ 


(*)  Cette  Note  a  paru  dans  les  Comptes-Iinidiis 


—  169  -- 

les  exposants  y.,  5,  y, .  .  .  ,  /.,  entiers  et  non  négatifs,  étant  dé- 
terminés par  l'équation 

cK-h^-{-y...+l  =  p  (2). 

Pour  démontrer  l'équation  (1),  qui  devient  identique  si  n 
égale  i  ou  2,  il  suffit  de  faire  attention  que 

n,p  H— l,jj  n — 1,^—1  « — l.p — i  n  —  1,  0  f 

et  d'avoir  égard  aux  relations  connues  : 


„       _  a b^ J 


a ^ _l _ 

r  (a)  '^  f'ih)'^  '  ■  "^  f  (/)  ~  • 

COROLLAIRE. —  SiVoumultipHe  la  fonction  H  ,  qui  renferme 
C       .      ,  termes ,  par 

I -+-n  —  1,  n-  1  * 

P  —  {a~  b)  ia  —  c) . .  .[a—  l.)X ip  - odi  -</;...  i>  —  /)  x  ...  x  [k.  —  /), 

le  produit  contiendra  seulement  n  termes. 
Par  exemple , 

u/'  +  ir'  -t-  c^  -+-  a-b  +  n'r  +  h'a  +  //c  4-  rV/  -f-  c'b  +  r;/>t'; 
X  ia  —  /m  («  —  Cl  ip  —  t?)  =  cr  (7'  —  C)  -H  /)'  ((•  —  ^0  -i-  C'  \a  —  b). 

Remarques.  —  I.  Le  dernier  énoncé  suppose  que  l'on  ne 
développe  pas  les  produits  qui  multiplient  a"^'"^  ,  h'"^''^  , 
c"^'''    ,  .  .  .  ,  /'^'     .  Dans  le  cas  contraire,  la  fonction  11^     p 


prend  ia  forme 

IL' 


^  b  "c 


-    170- 

d'après  un  théorème  de  Vandermonde  ;  et  alors  elle  contient 
un  nombre  de  termes  égal  à  1  .  2  .  3  .  .  .  ?i. 

II  (*).  Si  l'on  divise  œ"^'"^  par  fia"),  et  que  l'on  désigne 
par  9  (x)  le  reste,  on  a 

donc  le  premier  terme  de  ce  reste  est 

a  .     b  ^  H 


XLI.  —  SIR  LKS  SUP.FACKS  CYCLOTOMIQUES  (1859)  (***). 

I.  DÉFINITION.  —  La  surface  cijclotomique  est  engendrée  par 
une  circonférence  de  rayon  variable ,  dont  le  centre  0  est  fixe, 
et  dont  le  plan  passe  par  une  droite  fixe  Oz  (****). 

II.  Équation  delà  surface.  —  Ox,  Oij  étant  deux  axes  per- 
pendiculaires à  0:^,  soit  M  un  point  quelconque  de  la  surface, 
situé  sur  le  méridien  GMH  (*****).  Posons 

OM  =  u ,     MOG  =  0,     fxOa:  -  ro. 
11  est  clair  que  w  est  une  fonction  de  m  ;  donc  nous  pouvons 


(*)  Cette  remarque  cjate  de  1858  ;  mais  elle  est  inédite. 

('*)  En  général  ,  le  reste  de  la  division  de  F  (.r)  par  f  (x)  est 

['*')  Cette  dénomination,  très-bien  choisie,  m'a  été  proposée  par  M.  de  Saint- 
Venant. 

(****)  Le  lecteur  est  prié  de  faire  les  figures. 

(*****)  Le  point  G  est  supposé  dans  le  ]iian  tOi/  .  et  le  point  H,  sur  Oc  :  GMH 
est  donc  un  quadrans  du  cercle  générateur. 


-   171   - 
prendre,  pour  équation  de  la  surface,  soit 

u^-f(w  (1), 


soit 


^'  +  ?/'  +  ^-' =  ?(!)■  (2). 


lïl.  Normale.  —  Il  est  visible  que  la  droite  MN,  normale  en 
M  à  la  surface,  rencontre  Vaa'e  01  du  méridien  GMIï  :  cet  axe 
est  d'ailleurs  la  perpendiculaire  à  OG ,  située  dans  le  plan  xOy. 

IV.  Trajectoires  orthogonales  des  sections  méridiennes.  — 
Considérons  le  cône  de  révolution  engendré  par  OM  tournant 
autour  de  0^,  et  projetons  la  figure  sur  le  plan  méridien  GMII. 
La  tangente  MT,  à  cette  section,  est  normale  au  cône.  D'un 
autre  côté,  la  normale  à  la  cyclotomique  est  projetée  suivant 
MO  (IV).  D'après  un  théorème  connu  ,  ces  deux  droites  sont 
perpendiculaires  entre  elles  ;  donc  le  cône  coupe  orthogonale- 
ment  la  surface.  La  tangente  à  l'intersection  PMQ  est  perpen- 
diculaire à  MT,  ou  normale  à  GMH;  donc /es  trajectoires 
orthogonales  des  sections  méridiennes  sont  les  sections  de  la 
cyclotomique  par  des  cônes  de  révolution  autour  de  Ox  (*). 

V.  Équation  des  trajectoires.  —  L'équation  {!),  qui  repré- 
sente la  surface,  représente  aussi  la  directrice ,  supposée  si- 
tuée dans  le  plan  xy.  Si  nous  appelons  /■  la  projection  de  OM 
sur  ce  même  plan ,  nous  aurons 

r  —  V  cos  9 , 
ou 

/■  =  cos  9 /■(«■)  (3). 

Par  conséquent,  les  trajectoires  orthogonales  des  sections 


(*)  Déjuonslraiion  nouvelle  (lévrier  1867). 


méridiennes  se  projettent ,  sur  le  plan  de  la  directrice ,  suivant 
des  courbes  semblables  à  celle-ci. 

VI.  Relations  entre  les  cooidonnées  d'un  poinl.  — On  a 

.T  =  H  cosO  coso) ,    y  ■=  a  cosO  siiiw,    z  -  u  sinO  (4). 

On  déduit,  de  ces  formules 

dx  .    ,,  cllj  .    ^    .  dx, 

—.  =  —  u&ni  Qoos  c) ,  —  =  —  (/  sin  h  sin  m,  —  =  u  cos  9  (5) , 


dx  Jdu  .      \     dy  ^  du  . 

rfco  \rfco  ]       dffi  //O)  i'  / 

.  (6). 
-—  =  -—  Sin  9 


VII.  Elément  delà  génératrice.  —  Il  a  pour  valeur 

du  =  »f/G  (7). 

VIII.  Élément  de  la  trajectoire.  —  Eu  désiguaut  par  o-  la  lougueui' 
de  l'arc  PM,  comptée  à  partir  d'une  certaine  orii^-ine,  ou  a, 
par  les  relations  (6)  : 

d7  =  \/du'  +  /rcos-  Gflfw*  (')  (8). 

IX.  .!/////<'  du  rayon  vecteur  arec  la  tangente  à  la  Irajecloire.  — 
Soient  3:,  ,6,  7  les  angles  formés  par  cette  tangente  avec  les 
trois  axes  ;  soit  À  son  inclinaison  sur  le  rayon  OM.  Ou  a 


cos 


X  y       r      i- 

t,  —  -  CO.S  a  +  -  cos  p  +  -  cos  7. 


I  *)  Cettt!  Ibnaule  devient  évidente,  sans  ciilinil,  si  l'on  considère  le  dévelopj)^ 
iiifnt  du  c'ùne  de  réviilntion. 


—  173  - 
Mais 


il  X     d  T  ,       </  Il      dç  dx,     di 

cos  y.  =  -—:__,     (jos  p  =  -^  :  — - ,     oos  y  -  -r  :  -7-  ; 


donc ,  à  cause  des  valeurs  (4)  et  (6)  : 

_^  _  d  u      d  a 
f/o)  '  (/m  ' 

OU,  avec  la  notation  de  Lagrange, 


C'OsX  =  —  (9)  ; 


et,  par  conséquent, 


.    .        u  cos G  .... 

sin/.  =   ; —  (10). 


X.  Distance  de  V origine  au  plan  tangent.  —  Il  est  visible 
qu'elle  ne  diffère  pas  de  la  distance  h  comprise  entre  l'origine 
et  la  tangente  à  la  trajectoire  ;  donc 

h  —  u  sin  1 , 
OU 

h  =  iq^  (11). 

XI.  Aire  de  la  surface.  —  On  peut  prendre ,  pour  élément  de 
la  surface ,  le  rectangle  infiniment  petit  déterminé  par  deux 
sections  méridiennes  et  deux  trajectoires.  Ainsi 

dk  =  ds  da , 
OU 


dk  =  udJjd'A  V  "'■'  +  ?/'■  cos'&  (12). 


-   17Ï  — 
L'aire  tolalc  est  donc  cxpriniée  par  la  formule 


J 


A  =  ll       r/G    /        u(k.i  Y'u"-  +  ir  cos'^  9  (13). 


XII.  Voliune.  —  Ke  corps  liinilé  par  la  surface  cyclotomique 
se  compose  de  pyramides  infiniment  petites,  ayant  chacune 
pour  base  un  élément  de  la  surface,  et  pour  hauteur,  la 
perpendiculaire  h.  Par  conséquent, 

1 

d\  =  -  u^  cosô  dO  doi  , 

0 


V  =--  -     /      eus  Cv/0    /        ;/  rfy 


ou ,  plus^simplement , 


j  " 


V  =  I     /        'i''/«  (11). 


XIII.  Remarque.  — D'après  la  dernière  formule,  Yonglet 
compris  entre  deux  demi-méridiens  consécutifs  a  pour  volume 

9 

r  li  f/(o.  Cette  expression  représente  aussi  le  volume  de  l'on- 
glet appartenant  à  la  sphère  dont  le  rayon  serait  «.  En  effet , 
la  différence  entre  ces  deux  éléments  est  infiniment  petite  par 
rapport  à  l'un  et  à  l'autre. 

XIV.  Application.  —  Supposons  que  la  directrice  soit  une 
circonférence  de  diamètre  a,  située  dans  le  plan  des  a;?/,  et 
passant  par  l'origine.  L'équation  (1)  devient 

u  =  a  cosoj  (15) , 


-  175  — 
et  l'équaliou  (2)  : 

{x^-  +  if-  +  z'-)  {X'  -f  )f)  =  a\r  (16). 

Dans  ce  cas,  la  siirlacc  cyclotomique  est  donc  du  qua- 
trième degré.  Elle  se  compose  de  deux  nappes  fermées,  symé- 
triques par  rapport  à  la  droite  Oz,  ligne  de  contact  mutuel  (*). 

Le  volume  de  cette  cyclotomique  circulaire  est,  par  la  for- 
mule (14)  : 


.=i,.y  c 


COS'rof/M, 


ou  plutôt 


et  enfin,  par  un  calcul  très-simple, 


V  =  -  a'  (17). 


Ainsi,  chacun  û.qs  doubles-cornes  dont  se  compose  le  corps 

S 
9 


g 

dont  il  s'agit,  est  les  -  du  cube  ayant  a  pour  arête. 


(/)  Jugeant  qu'il  ne  serait  pas  facile,  au  moyen  d'une  rigure,  de  représenter 
rouvenablement  cette  singulière  surlace,  M.  de  Saint-'\'enant  a  eu  l'oblig-eance 
de  m'en  l'aire  exécuter  un  modèle. 

{"')  La  trace  de  la  surface,  sur  le  plan  ,ry,  a  pour  équation 

u  ^^  :iz  a  cos  w  ; 

mais ,  si  l'on  adoptait  la  double  valeur  de  u ,  on  trouverait  V  =  0.  ()n  doit  donc 
chercher  le  volume  limité  par  l'un  des  nappes,  et  doubler  le  résultat. 


—  176 
XV.  La  formule  (13)  devient 


J  V  "' 


\  —  Sa*     I     (^^    I     cosw(/o)J/sin*w4- cos*«cos*8, 


ou 


A-  Ha*     I     (Cj   I     (;osw</w[/cos*  6  +  sin-0sinVo        (18j. 

Pour  réduire  celle-ei  aux  quadratures,  il  suilit  de  poser 
sinco  =  cotG  tgcp  ; 


d'où 


J        sin  0    /      cos'  çp 


En  eftet, 


donc 


/     cos'tp        2Lcos'9         ^^U        2/J' 


ou 


A  =,.„,-...  /^^,6l..B (M)  (m 


-  177  — 
Si  l'on  fait  tg  ^  6  =  ^  on  trouve 


OU  encore,  en  remplaçant  - — -  par  (3  : 

1     "T~    t 


lire "^''«(-4 +  2)= -y    a  +  g-)-(i-(5-)'P- 


La  substitution  dans  la  formule  (19)  donne  enfin 


—  32a'    / 


i  =  2™=-32«.    /      ^-^_||-^^lp  (20). 


Addition.  —  (Février  1867). 
XVI.  Déter7nination  d'une  intégrale  définie.  —  Soient 


(1  +  o:-^)*  (1  -  a;')  ^'  y 


x*dx 


(1  +  a;^)'  (1  -  a;')  ' 
et,  par  conséquent, 


P  =  iQirrl'  -     /     Q  f  (21). 


12 


-  178  - 
On  a  identiquement 


X*  lit         1  II  11 


{i+x'Y{\—x')       8  l+.r        8  1  — .r        i\  +  x'       2(1+.'C=)* 
donc 


^      1  ,  l  +  rr        1        ,  I      /        dx 


puis,  comme  on  peut  le  vérifier  , 


o==ll  '+^^      '     ■" 


8      \—x       i    \+x^ 
Par  conséquent, 

Ql^  =  ^hKl  +  ^)-   ^l^IC»--^)-  ^7^1-^         (22), 


/ 


dx  _i    j     dx  A-hx     1     /        dx  _  1     y     (/.r    l+.r     tt 
^~x~8  I     'x^\-x~~^l      \-hx'~s/      X  ^  i-x     IG" 


En   développant  1  •  _    ,  on  trouve  aisément 


ainsi 


/  dx  ,    \+X  __  7T* 

/  X        \—x  4     ' 

o 

/       ^  X       32  16 


(23). 


—  179  - 

Il  reste  à  déterminer  la  différence  des  valeurs  que  prend  la 
fonction  Qlx  pour  ^  =  1  et  pour  x  =  0. 

Les  termes  Ixl  (\  +  x)  ei  :  Ix ,  nuls  lorsque  x  —  \  , 

s'annulent  encore  avec  x  :  en  effet,  xlx  =  0  pour  a:  =  0. 
Quant  au  terme  Ixl  {\  —  x),  je  dis  qu'il  est  nul  aussi  aux 
deux  limites  :  comme  il  est  symétrique  par  rapport  à  a?  et 
1  —x^  il  suffit  de  vérifier  qu'il  s'annule  avec  x. 
Or,  si  Ton  fait  x  =  e~\  on  a 

\x\[\+x)  =  -z\{i-e'')  =  z\l\+ \ 


e—\ 


6  étant  compris  entre  0  et  1.  Lorsque  %  augmente  indéfini- 
ment ,  la  fraction  tend  vers  zéro ,  etc. 
En  résumé ,  la  formule  (21)  se  réduit  à 


P  = 


/o|. 


ou 


X*dX  1  71  TU» 

••^  =  T5  —  ?^  (24)  ; 


{\  +  x'-y  {\  —  x^)  16       32 

et,  en  conséquence, 

A  =  Tr»a=  (25). 

XVn.  Autre  intégrale. —  D'agir es  les  formules  (19)  et  (25)  : 


^  cos' 


£ff.el..(|.|)  =  ^(|-.)n       (.6,. 


(*  )  Cette  valeur  résulte  aussi  de  deux  intégrales  rapportées  dans  les  Tables  de 
M.  Bierens  de  Haan. 


-  180  - 
XVIIl.  Remarque.  —  Si  nous  écrivons  ainsi  la  formule  (18): 

fi      n  

A  =  8a*    /       coswrfft)    /       rf9[/l— cos'wsin'G  , 


et  si  nous  employons  la  notation  de  Legendre,  nous  aurons 
ce  résultat  curieux  : 


9 

E*  (cos  w)  cos  w  rfw  =  -  (27). 


XIX.  Cydotomique  à  directrice  rectiligne.  —  Si  la  surface 
coupe  le  plan  des  xy  suivant  une  ligne  droite,  les  trajectoires 
orthogonales  des  sections  méridiennes  se  projettent,  sur  le 
même  plan,  suivant  des  parallèles  à  cette  droite  (§  V).  Gon- 
séquemment ,  ces  trajectoires  sont  des  hyperboles. 

XX.  Remarque.  —  Les  deux  surfaces  que  nous  venons  de 
prendre  comme  exemples  sont  réciproques  l'une  de  l'autre. 
En  effet,  leurs  équations  sont 


a 

u  =  ,    u,  =  a  cos  Cl). 

cos  to 


—  181   - 


LXIl.  —  SUR  LA  THÉORIE  DES  ROULETTES  (1858)  (*). 


I.  Soit  une  courbe  DCM , 
roulant  sur  une  droite  fixe 
EF.  Pendant  le  mouvement , 
un  point  quelconque  A ,  inva- 
riablement lié  à  la  courbe  rou- 
lante, décrit  une  roulette  AA'B.  On  sait  que,  pour  tracer 
celle  courbe  par  poinls,  il  suffît  de  construire  la  tangente 
MT  en  un  point  quelconque  M  de  DG ,  et  de  prendre 


K'    F 


CM'  -  arc  CM,     FM'A'  =  TMA,     M'A' 


MA 


A' est  la  nouvelle  position  du  point  A.  De  plus,  M'A'  est  la 
normale  ,  en  A',  à  la  roulette. 

Cela  posé ,  au  point  d'inflexion  I  de  celte  courbe ,  l'angle 
A'M'F  devient  maximum  ou  minimum;  donc  il  en  est  de  môme 
pour  son  égal  AMT.  Ainsi  : 

Pour  trouver  le  point  d'inflexion  I  de  la  roidette  décrite  par  le 
point  A,  cherchez,  sur  la  courbe  roulante  DCM,  le  point  K  pour 
lequel  AMF  est  maximum  ou  minimum  :  I  correspond  à  K. 

lî.  Dans  le  cas  où  la 
courbe  roulante  est  une  cir- 
conférence 0,  le  point  K, 
comme  on  le  voit  aisément, 
est  situé  sur  la  parallèle  à 
EF,  menée  par  le  point  A. 

Par  suite,  la  tangente  en  I  est  la  nouvelle  position  D'O'  du 

rayon  DO. 

III.  Si  le  point  A  se  déplace  sur  OD  ,  le  point  d'inflexion  I 
se   déplace  aussi   :   le  lieu   de  ce  point  est    l'enveloppe  du 


(*)  Cette  Note  peut  être  considérée  comme  faisant  suite  à  celle  qui  a  paru  dans 
les  NouveUes  Annales  de  Mathématiques  (tome  XV,  p.  102). 


—  18-2  — 

diamètre  CD,  c  est-à-dire  la  cycîoïde  décrite  par  le  point  C,  con- 
sidéré comme  appartenant  au  cercle  dont  CO  serait  le  dia- 
mètre (*).  Cette  courbe  enveloppe  les  cycloïdes  engendrées  par 
tous  les  points  de  CD. 

IV.  Soient 

AM  =  u,    CAM  =  (ù,     arc  CM  =  S,    arc  AA'  --  a,    AMT  =  V. 

Représentons  encore  par  p  le  rayon  de  courbure  de  AB,  au 
point  A'.  On  a  (**) 

dscos\=du,  fissinV  =  udw  =fl  +  -]da,  tgV=  — ,  —  =  dY. 

\        P'  du       p 

De  là  résulte 

da  —  u  {d(ù  —  dY). 


Or, 


donc 


puis 


V  =  arc  Ig  -  ; 


u'*—uu" 


dy  =  — T du  (i) . 


u  +  u" 
de  -  w'  — — — -  doi  (2) , 


W*  4-  W'» 


.    U  +  u" 


p  =  w-  -5— — -  (3). 

'  u*  -h  u'*  ^  ' 


V.  Soit  A  l'aire  de  la  figure  CAA'M'.  A  cause  de 
A'M'  =  AM  =  u ,    A'M'F  =  AMT  =  V , 


(*)  Géométrie  descriptive  de  Leroy,  p.  391. 
[")  Voir  la  Note  citée. 


183  — 


011  a 


dA  =  -[(p  +  n)'-pM, 


ou ,  par  les  formules  (1) ,  (3)  : 


dk  =  -u 


2  î«'  +  m'- 


f/O). 


(4) 


La  fracLion  contenue  dans  le  second  membre  égale 


donc 


u'^  —  un'' 


dk  =  u*  d(ù  —  -  u'  rfV. 


Par  conséquent ,  si  l'on  fait 


if  if 

2    /    u'd(ù  =  B  ,     2    / 


wV/V  -  G , 


(5) 


(6) 


on  a 


A  =  2B  —  C 


(7) 

B  est  l'aire  du  secteur  ACM.  Quant  à  l'intégrale  G ,  elle  re- 
présente l'aire  de  la  courbe  obtenue  en  menant,  par  A,  des 
droites  égales  et  parallèles  aux  normales  A'M'  (*). 

VI.  Considérons  le  cas  géné- 
ral d'une  courbe  ACB  roulant 
sur  une  courbe  DCE  et  entraî- 
nant une  ligne  FPG.  Soient  PC, 
MN,  M'N'  des  normales  à  FPG; 
soient  mn,  m'n'  les  nouvelles 
^  positions  de  ces  droites. 
La  ligne  7nn ,  normale  à  la  trajectoire  du  point  M  (§  I),  est 


(*)  Il  semble ,  d'après  la  formule  (7) ,  que  A  ne  peut  surpasser  2B  ;  et  le  con-  ' 
traire  a  lieu  sur  la  figure.  Mais ,  comme  l'angle  V  augmente  ou  diminue  avec  u, 
les  éléments  de  l'intégrale  C  peuvent  être  négatifs  aussi  bien  que  positifs  :  dans  le 
cas  actuel,  ils  sont  négatifs  ;  et  la  soustraction  indiquée  devient  une  addition. 


-  184  — 

normale  encore  à  la  nouvelle  position  de  FPG.  Donc  celte 
ligne  FPG,  quand  elle  est  entraînée  par  AGB,  touche  succes- 
sivement, en?,?»,  m',...  les  trajectoires  de  ses  différents 
points  P,  M  ,  M ,...  Ainsi ,  non-seulement  la  courbe  Y^mm'  est 
l'enveloppe  de  FPG  (théorème  connu),  mais  encore  cette 
courbe  Pmm'  est  l'enveloppe  des  trajectoires  de  tous  les  points 
appartenant  à  FPG.  Autrement  dit  :  Quand  une  courbe  AGB 
roule  sur  une  courbe  DGE,  en  entraînant  une  ligne  FPG,  Ven- 
veloppe  de  celle-ci  coïncide  avec  l'enveloppe  des  trajectoires  de 
tous  ses  points. 

VII.  Si,  rendant  la  courbe  ACB  immobile  ,  on  fait  rouler 
DGE  sur  AGB  ,  FPG  deviendra  l'enveloppe  de  Vmm'  et  des 
trajectoires  des  points  P,  m,  m',...  En  particulier,  lorsque 
la  ligne  FPG  se  réduit  à  un  point  P,  la  ligne  P?wW,  dans 
toutes  ses  positions,  passe  par  ce  point  P. 

XLIII.  —  LIEU  GÉOMÉTRIQUE  (1859). 

PROBLÈME.  —  Quel  est  le  lieu  des  sommets  des  paraboles  tangentes 
aux  côtés  d'un  triangle  rectangle  isoscèle  ACB  (*)  ? 

D'après  le  Théorème  de  Simpson,  si  l'on  décrit,  sur  l'hypo- 
ténuse AB  comme  diamètre ,  une  circonférence  AGBD  ;  que 
l'on  prenne  un  point  quelconque  F  de  cette  circonférence  ; 
que  l'on  mène  FP  perpendiculaire  à  GA,  FQ  perpendiculaire 
à  GB;  que  l'on  trace  la  droite  PQ;  enfin,  que  l'on  abaisse  FS 
perpendiculaire  à  PQ  :  S  est  le  sommet  d'une  des  paraboles 
tangentes  aux  côtes  du  triangle  donné. 

Prenons  GA,  GB  pour  axes;  désignons  par  a,  P  les  coor- 
données du  foyer  F,  par  x,  y  les  coordonnées  de  S;  et  soit 
a  la  longueur  commune  des  côtés  GA  ,  GB.  Les  équations  du 
problème  sont 

î+|  =  i  (1), 


(*)  Le  lecteur  est  prié  de  faire  la  figure. 


-  185  — 

î/  —  (3        X  —  a 


(2), 


a  (3 

a^  +  ^^  —  a  (a  +  /3)  -  0  (3). 

Afin  de  les  simplifier,  posons 

c/.  —  À  cos  0,    (3  =  /.  sin  B  : 
l'équation  (3)  donne,  immédiatement 
1  =  a  (cos  6  4-  sin  G). 
Par  suite,  les  équations  (1),  (2)  deviennent 

X  sin  0  +  y  cos  G  =  a  sin  9  cos  G  (cos  9  +  sin  9) , 
xcosB  —  y  sin  G  =  a  (cos'  G  —  sin'  0)  (cos  G  +  sin  G). 

On  tire  ,  de  ces  dernières  , 

X  —  a  (cos  G  +  sin  G)  cos^  G  , 
y  =  a  (cos  G  -+-  sin  9)  sin'  6  ; 
puis 

1  i  1  4  2  ï  2  J. 

x''  +  y''  =  a"(cos9 -H  sin  9)"'  ,    x''  +  y'  =  a'' (cos  G  +  sin  bf' 

et  enfin 

(a;'  +  y')  =  «  (a'"  +  yl  (A). 

Telle  est  l'équation  du  lieu.  L'emploi  des  coordonnées  po- 
laires la  transforme  en 


cos"  0)  +  sm"  w 
w  =  a  — (B). 

(cos"'oj  +  sin^oo) 


186  - 
XLIV.  —  SUR  UiN  PRODUIT  CONVERGENT  (1859). 

I.  Pour  établir  établir  la  convergence  du  produit 

p  =  (1  +  ^)  (1+  (n  (1  +  (n  (1  +  (n ...  (i  +  ^'O  -       (i), 

composé  d'un  nombre  indéfini  de  facteurs,  il  suffit  cie  prouver 
que  la  série 

1  (i  +  r/)  +  1  (1  +  7*)  +  ...  4- 1  (I  +  q")  +  ...  (2), 

est  convergente  (*). 
Or ,  la  somme  S^  des  n  premiers  termes  est  comprise  entre 

a  (1  —  (1") 

q+q*  +  +q    =  -^ — 

\  —  q 

et 

(,  -i,-)-(,-i ,  y...  .(,■  -1,,"")  ^^^-^^ . 

donc  la  série (2)  est  convergente.  De  plus,  S  étant  la  limite 
de  S„,  on  a 

S<-1-,     s>-l._^^  (3;. 

\—q  \  —q       -1  \  —  q'  ' 

II.  A  cause  de 

l(l  +  g)=  ^/    -^  </     +-q     ~-q     +  , 

1      ^"=^2.  1      V-»=^       In  1 


I 


(*)  On  suppose  q  compris  entre  0  et  +  1.  Lorsque  q  est  négatil",  le  développe- 
ment de  P  suivant  les  puissances  de  q  forme  une  série  très-remarquable,  étudiée 
par  Euler,  Jacobi  et  d'autres  géomètres. 


ou 


s  - 


187 


1      </-  1      r/=  1      </• 


•1  —  f/       2  1  —  f/^       3\—fr       -il—  f/' 


ii)- 


On  reconnaît  encore  que  la  somme  S  est  comprise  entre  les 
limites  indiquées  ci-dessus. 

III.  Si  on  développe  chacun  des  termes  de  la  série  (4),  on 
trouve 


s  = 

^  +  1 

q'-  +  1 

cr  + 1 

q'  +  1 

1 

2 

1 

1 

2 

1 

l 

1 

0 

</'  +  1 
_  1 

2 

1 

^3 

1 

6 


Il  est  visible  que  le  coefficient  de  q  est  égal  à  la  somme  des  in- 
verses des  diviseurs  impairs  de  N ,  diminuée  de  la  somme  des  inverses 
de  ses  diviseurs  pairs  (*). 


(*)  1"  Si  N  est  impair,  le  coefficient  de  q     a  pour  valeur 


/ 


'■  '  "/■•• 


N  désignant ,  suivant  la  notation  de  M.  Liouville ,  la  somme  des  divisours 

deN. 
2°  Soit  N  =  2^^  N' ,  N'  étant  impair.  On  trouve  aisément 

,a-t-l 


«,.= 


ti'-zi  A-'- 


Dans  les  deux  cas,  G     est  positif.  —  (Mars  1867.  ) 


—  188  — 

\LV.  —  REMARQUES  SUR  UN  MÉMOIRE  DE  POISSON  (1859). 

I.  Dans  le  18'  Cahier  du  Journal  de  VÈcoJe  Polytechnique , 
Poisson  donne  l'imporlante  formule 


mais  il  y  parvient  au  moyen  des  deux  intégrales  indéterminées 

;          j        e     +  e  . 

SI  11  px  clx  ,     I       —^ —^^  sin  px  clx  : 


Poisson  les  suppose,  respectivement,  égales  à-  et  à-  — -. 

Il  y  u  plus  :  ce  grand  géomètre  obtient  la  première  val.  ur  en 
faisant  /^  ==  0  dans  une  formule  qui  suppose  t  >  0,  et  la 
seconde,  en  faisant  9  =  -  dans  une  intégrale  qui  exclut  cette 
valeur-limite.  La  formule  (A)  n'est  donc  pas  rigoureusement 
démontrée.  Mais  il  est  facile  de  rectifier  la  méthode  em- 
ployée par  Poisson . 
En  effet ,  à  cause  de 


e     —  1 


-■in  ;iJ 

e 


on  a  d'abord 


/ 


ainpxdx  _    x:^-^     I       ,.-2«,Tx^. /^_'V^          P 


V        /       e' '"^^  s'm  px dx  =   y , 

^  ,      /  Âd,   p*  4-.in»7T»' 


—  189  - 
ou 

ysin  px  dx        p    ^'^  1 

.^--i^-î^l^,  ZT7' 

Mais,  d'après  une  formule  connue  (*), 


donc 


sin  px  dx  _   i   \  p  e-  +  e    ^  _       j 


ce  qui  est  précisément  ia  relation  (A). 

II.  Cette  formule  (A)  peut  être  considérée  comme  un  cas- 
limite  d'une  formule  plus  générale,  à  laquelle  on  parvient  aisé- 
ment en  partant  de  l'équation 


»00 

e'    —  e  '  ^    i        c  '  +  e~  '  .         ,  ,.. 

smpxdx  (1), 


e^  +  i2  cos  G 


-^  "'"  ^  V 


démontrée  par  Poisson  (**). 
En  effet,  le  second  membre  est  la  même  chose  que 


(*)  Traité  élémentaire  des  Séries ,  p.  115. 

(**)  Journal  de  l'École  PoW technique ,  ISeCaliiei',  p.  297. 


-  190  — 
2    /       ^-^rr--T7:  e~-'''^'  sinpxdx 


e    -e 

o 

e  '  smpxdx  +  2    I       z r —  siii /).•: 


Lorsque  0  est  inférieur  à  r.,  chacune  de  ces  intégrales  est 

finie  et  déterminée  :  la  première  a  pour  valeur  (*) f- — ^r-  ; 

^  ^  ^   ^  /r  +  (ir  ~  G)'    ' 

donc 


OU 


/ 


J-n-Q)x   ^    ^_(7t-û)x  ^  f,  — ^ 


r, sin  pxdx  = -. '. — -  (B). 


III.  Si,  dans  cette  relation  générale  ,  on  suppose  succes- 
sivement 


=  0,     e  =  J,    G  =  7r, 
2  ' 


(•)  Jovrnal  de  l'École  Polytechnique ,  lô*  Cahier,  p.  219. 


-  191  — 
on  trouve 


,         i    e^  —  1  p 

sm  px  dx  =  -  -^^ -;    ,    _,        (G)  , 


J 
f 


sin  pxdx  1    e''  —  1 


(,,"_,)    -^'+'    z-'  +  r 


sin  /jx  dx       le''—!        1 


(D), 


I       ^  e^'  +  i       'P' 


La  dernière  formule  ne  diffère  pas  de  (A).  Elle  est,  comme 
nous  l'avons  annoncé,  comprise  dans  la  relation  (B)(*); 
mais,  à  cause  de  l'hypothèse  G  <  -,  d'où  l'on  est  parti,  une 
démonstration  directe  était  nécessaire. 

IV.  Multiplions  les  deux  membres  de  l'équation  (B)  par  dO , 
et  intégrons  à  partir  de  0  =  0.  A  cause  des  formules 


-9-  ,        ^  -^' 
e       dx  =  — -— 


dô 

(j''  +  2  cos  9  +  e"'' 


o 

e  —  e  l^e-  -h  e   -  J 


f/9  1        ,  /?9 


p«  +  (-  -  9)^        /;        °  p*  +  77  (-  —  9)  ' 


;*)  Celle-ci  est  due  aussi  à  Poisson  (Mars  1S67). 


—  192  ^ 
que  l'on  vérifie  aisément ,  nous  aurons 


/ 


"^ z — "-^ 

e  '  — 1  ^ 


ave  tff 


"  ;;*  +  TT  (tt  —  G)  ' 


OU 


\e-   —e   -    jl_g^     -'    4-e   ^     -  'Jsin 


px 


dx 


,    /  /-l       1  A  ^;9 


(E). 


V.  Soit,  comme  cas  particulier,  G  =  ^  :  la  dernière  for- 
mule devient,  après  quelques  simplifications. 


/ 


■ZX  n-  X 


e'  —e-   +1           sinwa;  ,           ,  /    e~\  \  pu 

-•^* — '—dx=arcm  j— r/rclg 


Le  premier  membre  se  décompose  en 


X  J        ,-+1      a: 


dx. 


D'ailleurs  (*), 


/ 


e        smpx   ,  .    V 
—  dx  =  arc  tg  -  ; 

X  T. 


f  )  Journal  de  l'École  Polytechnique,  16<^  Cahier,  p.  220. 


—  19; 
doue 


/ 


"\.      ■  — :—  f^'^  =  «^^  'g  —  -  «''C  tg  (  -r-    )       (F)- 
e    +1       't-  '• 


VI.  Si  l'on  prend  les  dérivées  des  deux  membres,  par  rap- 
port au  paramètre  j?,  on  a  encore 


cos  px  dx  271  e^ 


e-     [e    +[] 
et ,  en  supposant  p  =  0  : 


(G); 


/ 


formule  presque  évidente 


XLVI.  —  SUR  LA  SOMMATION  DE  CERTAINS  COEFFICIENTS  BINOMIAUX 
(1861)  (*). 

I.  Problème.  —  Dans  le  développement  de  (1  -}-  z)"' ,  on  prend  les 
ternies  de  p  en  p.  Quelle  est  la  somme  de  leurs  coefficients?  (VexT^O- 
sant  m  est  supposé  entier  positif)  (**). 

Représentons  par  S„ ,  S,,...,  S^_i  les  sommes  dont  les 

,  ,  ,     m  m  (»i  —  1)  ....  (m  —  w  +  2) 

premiers  termes  sont  1 ,  —  ,... ,  — ^ — -—^ -j-, . 

^  1  d  .  2 .  . .  (/J—  t) 


(*)  Extrait  des  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques ,  tome  XX. 

("')  Un  jeune  géomètre,  M.  Haton  de  la  Goupillière,  a  résolu  la  même  question 
pour  le  cas  d'une  fonction  quelconque.  Néanmoins,  à  cause  de  la  simplicité  du 
résultat  exprimé  par  la  formule  (  C)  ,  j'ai  cru  pouvoir  le  faire  connaître. 


—  194  — 
Soit  0  une  racine  primiliue  de  i'équalion 

G''  -  1  -  0.  (1  ). 

En  remplaçant  %,  successivement,  par  0,  0%  .  .  .  ,  ô',  nous 
aurons,  en  vertu  de  cette  équation  , 

(1  +  G)'"       =  S„  +  S,  0       +  •   •   •  +  S^_,  G''^',  N^ 

^    Ci). 

(l-f-l)'"       =S„  +  S,  +•   •   •  +s_,. 

II.  Pour  tirer,  des  équations  (!2),  la  valeur  de  St,  il  suffit 
de  les  ajouter  membre  à  membre,  après  avoir  multiplié  par 
0-^  les  deux  membres  de  la  première,  par  G--*  les  deux 
membres  de  la  deuxième,  etc.  En  effet,  le  coefficient  de  S/.', 
dans  l'équation  résultante,  est 

attendu  que  k'  gI  k,  étant  inégaux  et  inférieurs  à  p,  G''"'"  est 
une  racine  primitive  de  l'équation  (  1  ). 
Par  suite , 

;,S,  -  (1  +  Gf  0 -'■  +  (1  -f-  G'Y"  0-''  +  •   •   •   +  a  +  6')'"  0'''     (3;. 

III.  Soit  maintenant 


d'où 


9  =  COS9  4-  [/— 4  siiicp  (A); 


1  4-6*  =  2  cos-  tp  .  e-^^ 


P      <....„/^_    f.?V~ 


1+  G'  =  2  cos  ~  9  .  e-  ' 


— 

195  - 

La 

formule  (3)  devient 

P^  = 

[     «1       (t- 
Icos  ^(f.e^- 

-i)?l/- 

+  COS      -  Ç3  , 

+  COS  Jcp, 

,/{^ 
,/(?- 

-0 

■0^ 

Par  conséquent 

ICOS      .y^COS^-; feJ©+COS    ^  cp  COS  2  ^-  -  % 

[  4-  •   "  •  +  COS  -  (p  COS  /;  ^-  —  fcj  9 

et 


0-cos   -çsin^--/:  (p  +  cos   -(psm2^--/i;j© 
+  •   •   •  +COS    ^(psiiip^^  — ^J?' 


(B). 


IV.  Très-souvent  l'évaluation  de  la  quantité  entre  paren- 
thèses, dans  la  formule  (A),  est  plus  compliquée  que  la 
détermination  f//rec/(3  de  S/..  Mais,  par  cela  même,  l'équation 
(A)  peut  être  regardée  comme  donnant  la  sommation  de  cette 
quantité.  Pour  plus  de  simplicité,  posons 

m  —  'i  k  =  q , 
et  rappelons-nous  que 

nous  aurons 


-  cosfl-  +COS  —  cos2(/     +  ••■  +  COS   ^—cospq  -  —  - 
P         P  P  P  p       '^^  p     'i" 


-   196  — 
Par  exemple , 

COS  -  COS  —  4-  COS'  —  COS  •— H  COS'  77  cos  o-  =  --•  (7  4-  35  H-  1  ). 

V.  Si  A;  +  /)  surpasse  m  +  i  ,  la  somme  S^  est  composée 
d'un  seul  terme ,  éqal  à  G     ;  donc  alors 


(D). 


m  TZ  T.  r,i  iÎT:  ^     r.  m  /)~  -.' \ 

COS     -  COS  9  -  4-  COS     —  COS  1(1  -  +    ■    ■    •   -h  COS     —  .  COS  ijq  -    i 

P  P  P  P  V  '  '  pi 

__  p_  771  {m— i) .  .  ■  (m  —  k-i-i) 

~  cT  '1  .  2  .  .  .  /c  j 

Soient ,  pour  fixer  les  idées , 


m  =  13 ,    p  =  il,    k  =  3,    (1  =  1: 

.,  r.         Ir.  ,.  "iT.        Ut.  ,.  3~        21;: 

COS"  --  COS   -r  +  cos'-  —  COS  — —  -I-  COS'"  —  COS  -7--  + 

II         11  il  11  II  M 

11 

-h  COS"  7:  COS  7::  =  -—  .  286. 
910 


XLVII.  —  SUR  LE  THÉORÈME  DE  FERMAT  (1861). 

I.  A  la  page  4  du  Mémoire  de  Legendre  {Académie  des 
Sciences,  1863),  on  lit  : 

«  p  est  divisible  par  x  +  y.  Par  une  semblable  raison  p"  est 
»  divisible  par  y  +  ^  et  par  %  -\-  x.  Donc  n  étant  un  nombre 
«  impair  quelconque,  j?"  sera  divisible  par  le  produit 

^^{x  +  y){y +  %){%  +  x){*).  » 

Dans  sa  démonstration,  Legendre  a  égard  à  l'équaLion 


"  ■     "  .    t 


x+y+z=  0  (1), 


(  *  )  Le  Mémoire  roule  sur  l'équation  .r  -f  v"  4-  ^"  =  0  ;  ^3  représente  x  -{■  y  +  z. 


—    197  — 

dont  il  s'agit  de  prouver  l'impossibililé ,  x,  y,  z  étant  des 
entiers,  positifs  ou  négatifs;  donc  ii  ne  peut  être  question 
que  de  divisibilité  numérique.  Or,  rien  ne  prouve  que  les 
nombres  x-\-y,  y-h%.  z  +  x  soient  premiers  entre  eux, 
deux  à  deux;  et,  par  conséquent,  la  démonstration  laisse  à 
désirer.  On  peut  la  compléter  comme  il  suit  : 

p"  —  r"  —  y"  —  Z-"  =  P 

est  divisible,  algébriquement,  par  les  binômes  x  +  y,  y  +  z, 
z+x.Donc,  ceux-ci  étant  des  quantités  premières,?  est  divi- 
sible, algébriquement  aussi,  par  le  produit  {x+y){y+%){z+x). 
Si  l'on  remplace  x,  y,  z  par  des  nombres  entiers  quelconques, 
le  quotient  Q  deviendra  un  nombre  entier  ;  et,  si  Véquation  (1) 
est  vérifiée  par  les  valeurs  attribuées  à  x,  y,  z,  p"  sera  divisible, 
numériquement,  par  {x  +  y)  {y  +  z)  {z  +  x).  D'après  le  Théo- 
rème de  Fermât,  non  encore  démontré,  l'équation  (1)  est  im- 
possible en  nombres  entiers  ;  donc  a ,  b ,  c  étant  des  nombres 
entiers,  {si  + h  +  cY  n  est  peut-être  jamais  divisible  par 

{b+'c){c  +  a){a}^+b). 

II.  On  peut  se  proposer  de  connaître  le  quotient  de  P  par 

{x  +  y){y  +  z){z  +  x){*). 
Soient 

P  -  (.r  +  y)  Q,    Q^  (ij  +  z)  Q',    Q'  =  (z  +  x)  Q". 
//'  —  x"  —  if  —  z"       p"  —  z"        x"  +  y" 


1°  O  = 


x-ty 


OU 


P         +  zp  -i-Z   P  +    ■     •     ■    +    Z  1 

/      n-1  a-2  2.     >i-3  n-I\  ( 

[X     —yx      +y'x     —•••+?/     )      ] 


(2). 


(*)  Dans  tout  ce  qui  va  suivre,  nous  supposerous  n  v/njjair  et  plus  grand  que  3. 


—  198  — 

2"  La  première  ligne,  divisée  par  y  +  7^  =  p  —  œ ,  donne 
pour  quotient 

7)      -{-{x  +  z)p      -h\x  +ZX+Z  ]p      H htr      +ZX      H h::-      ), 

et,  pour  reste, 

n— 1  •!— 2  2      n — 3  n — 1 

X  -hZX  +  Z    X  +■■■■{-  X 

Par  conséquent ,  si  nous  représentons  par  H,  [x,  %)  la  fonc- 
tion homogène 

1  7—1  2    '7—2  .        q 

X    +  ZX        +Z  X        -h   •    •    ■  +  z  , 

nous  aurons 

Q'  =  p"--  +  H,  (.T,  z)  ;/"'  +  H,  {X,  z)  v~'+-   -   ■  -\-  H^^-r,  z) 

.        '^     { f      ,      \    "-2       /    2  2     7,-3        ,    3  ,       3,      n-4  ,    «-1         «-k1 

OU 

n-2 /'î/ ^Wn-3       ,    2  2.     n-4        ,3  2      ,         2  3.     n- 5  WQ\ 


,    n— 2  n  — 3  2     n  — 4  3     «-à  n  — 2.  ' 

—  {y    —-y     +-  ?/     — -  ?/     -\-  •  ■  ■  —z    )  j 

3"  Le  quotient  de  la  première  ligne ,  par  œ  +  z  =  p  ~y,  est 

P      +n^p       +n,p       +  •    ■    ■  +H,_3(   ); 

et  le  reste  : 


y    -  +  n^{x,z)V       +nAx,z)ii       +•    •    •  +ll„_,,(a:,:0 


{* )  Ici ,  U,  —  X  +  1/  +  z ,     Hj  =  X-  +  2/'  +  s*  +  î/î"  +  -i»'  -f-  i>"2/,  etc.  Voyez, 
sur  ce  point,  la  Note  XL,  p.  160. 


-  199 
Donc 


n— *>  fi  — S  '  2       n  — 4 

+  ,r    "  —  (?/  — 2:),r      +(//  —  ?/:r.  +  ^- ) •'î'       —  .... 


■{y       —zy       +z  y       —  .   .   .  ~z     )J. 


Les  fonctions 

E,  {x,z)  —  X  +  z,    H,  (x ,  .:•)  =  a^"  +  zx-  -r-  z^ x  +  z' , 
Hs  (a: ,  :i)  —  rr'  +  zx*  +  t-'rr'-  +  ;.'  .r*  +  z'  x  +  z\  . . , 

sont  divisibles  par  .x  +  z  :  les  quotients 

1 ,    .-r*  +  2.- ,    .r*  +  .-c'  ;:.*  -<-  ~.* ,  .  .  . 

sont  des  fonctions  homogènes  de  œ-,  z-;  par  conséquent 

Q"  =/)"-'  +  H,  />""'  +  H,  ?r"'  +  •  •  •  4- 11^.^ 

+  ?/"""  +  H,  (,'C-,  -')  ?/"'■'  +  H.Cr' ,  z-)y"~^  -f-  •  •  •    +  H„_3(./,0 

j-!-:  r?/"~'  +  H,  {X,  z)  y"~ V  H^  ix,z)y'~'^  +  •  • .  +  H„_3 (--c,  s)  y 
+  x"~'  —  {y  —  z)  x"~'''  +  (?/■  —  yz  +  z')  x'""*  —  .... 

,     n  —  1  n — ?,  5       n~4  n— 2.      | 

—  (1/        — -.?/        +z    y       —.,..— z      )  j. 


-  -200  - 


La  première  ligne  entre  parenthèses,  ordonnée  par  rapport 
aux  puissances  décroissantes  de  x,  devient 


yx     +yzx     +(?/:.  +y  )x     +(ijz  +y  z)x      +(î/s  +y  z  +y  )x      +■■• 

n— 3  3     n— 5  n— 4       2  n— 2 

+  yz      +y  z      +  •  '   ■  +y      z  +y 


donc  la  quantité  entre  parenthèses  égale 

n— 2  n-S         ,    2  2,     »-4         ,     2      ,      3.      a— 5       ,4  2     2  ■4^    « - 

a;      -f- :îa;      +  (?/  +  :v  )a;       +{y  z+z)x     -h{y  +  y  z  -hzjx 

,    i  2     3  5,      n—l  n— 3  n-T»     3  n-4 

■i-iy  Z  +  y  Z   -hz)x      +  ...  -\-y     z  +  y      z  +  .-.  +  z 
c'est-à-dire 


a:;      +zx      -hUAy  ,z)x      -+■  H  (y  ,  :5  )  zx      ■+-  H.,  (y  ,  x  ).'r 


+  nAy~,z')zx"   ' -h  •   •   ■     +  z\l^_^{y',z}. 
De  là  résulte 


4-f  ^+l\.{x,z-)y'  '  4- H  Jo;',:;.')  ?/""'+...+ H    .(.r",:;')    f 

(i); 


•>    «_[-■ 


+  .r"   ■  t-  Hj  (//",  s") .t"  "^ -f  H., (?/",  ::.'  )x'   'h +  H  _.,(?/", î-') 

OU,  plus  simplenient 

Q"  =  jy"~VH,;/'""V  H,//'~''+ •    •    •  +  n„_.,_  +  2H„_3(.x",?/",2;")  (5). 

En  effet,  chacune  des  deux  dernières  lignes  de  la  formule  (4) 
représente  la  fonction  homogène  de  x"^,  y-,  z^,  du  degré  n  —  3. 


—  201   - 

III.  Comme  application  ,  prenons  n  =  7;  nous  aurons 

{x+y+zy—x''—y''—%' 

{y  +  z){z  +  x){x  +  y)  =^  (■^•  +  ^  -^-)-  +  i^- +  V +  ^}(.i' +  V  ^zf 

■+  (x-  +  if  +  z^  +  yz  +  zx  +  xy){x  -i-  y  +  zY 

+  {x'  +  y'  +  z^+y'z^  yz'+z'x+zx'+xHj+xy^+xyz)  (x  ■hy-{.z)\{6). 

+  X*  -hy*  +  z'  +  y'^z  +  ijz^  +  z^x  +  zx^  +  x^'y  -\-  xif 

+  x^yz  +  ifzx  +  z'xy  +  y-z-  -+-  z'x-  +  x-i/- 

+  2  («*  +  ?/*  4-  2*  +  îfz-  +  z^ic-  +  x^y^) 

IV.  Divisons  par  y  +  ^  le  polynôme  entier  Q"  ;  représen- 
tons par  A  le  quotient  et  par  a  le  reste,  de  manière  que 

{x  +  y+  z)"  —  X  —  y"  —  z" 

iy  +  z)iz+xHx-i-yr  ^  ^  ^^^  "^  ^^  "^  "' 

La  règle  ordinaire  donne 

n — 1  n  —  1 

X      —  z 
a  —  n . 

a;*  —  z^ 

Conséquemment 

Q"  {x-  —  z')  -  A  {y  +  z)  {X-  -  z)  +  n  (.t"""  —  z"')  ■ 

et,  par  une  permentation  tournante, 

Q"  (if  —  x')  =  B  (>  +  x)  iy'—x')  +  »(?/""'  —  a""')  , 

Q"  (3;-  _  x")  =  Cix+  y)  {z-  -  /)  +  n  (z"-'  -  y"-\ 

Ajoutant  ces  trois  égalités ,  nous  trouvons 

A{y  +  z)  {x'  -  z'}  +  B  {z  +  X)  {f  —  x'-)  +  G  (.x  +  y)  (2,«  -  if)  -  o. 

Les  deux  derniers  termes  sont  divisibles  par  x  +  y;  donc 
A  est  également  divisible  par  ce  binôme.  Autrement  dit  : 


-  202    - 

Le  polynôme  Q'  n'est  généralement  pas  divisible  par  y  H-  z; 
mais,  A  désignant  le  quotient  entier  de  Q"  par  y  +  z,  A  est 
divisible  par  y  +  x.  De  môme,  le  quotient  de  Q"  par  z  +  y  est 
divisible  par  x-  +  .r;  le  quotient  de  Q"  par  z-  -+-  x  est  divisible 
par  %  +  y;  etc. 

V.  Si  X,  y,  z  sont  remplacés  par  des  nombres  entiers,  In 
propriété  précédente  peut  être  formulée  ainsi  : 

{x-\-7j  +  z)"  —  x"  —  y"  —  z  a^~  —  z"~ 

(y  -+-  z)  {z  +  .t)  (x  +  y)  x'  —  :•- 

=  gUL  •  (?/  +  -)  (y  +  ^)  ^  (Mo  ^y  +  -•)  ^^'  +  •'''-'         (")• 

Par  exemple , 

9^  _  3»  _  4^-  _  2^  3»  _  r       59  049  —  i>i3  —  40^2  i  —  32      .. ,,,     , 

!>  .  ~ ;)(9  +  4 

0.5.7  .r  —  2^  210 

=  210  =  oi3..i2=^Gi^.30. 
De  môme ,  quand  x  =  z  =  i,  eiy  =  3  : 

-10-  80-  cilib.  Iti 


5»  —  3^'  —  2       5  .  .4       3  125  —  243  —  2       , ,.       ^,.         lîl 


2 .  4'  2  32 

xLvin.  —  SUR  l'équation  du  troisième  degré  (1861)  (*). 

I.  En  désignant  par  A^^  la  somme  des  puissances  n'"'""'  de 
l'équation 

x:-  +  px  +  q  =--  {)  (11, 

on  a  ,  comme  l'on  sait, 

■'V,  "=— ^^.-2-'/'V,_:{' 


(*)  Comptes-Rendus ,  tomae  LIV,  p.  659. 


-  203  - 
à  partir  de  n  =  3.  En  môme  temps , 

A„  =  3,    A.  =  0,    A.  =  —  2^. 

II.  Si  l'on  forme  successivement  les  valeurs  de  A. ,  A^ , 
A^ ,  .  .  .  ,  on  trouve  bientôt  qu'elles  sont  comprises  dans  les 
deux  formules 

(A-,-3)(fc-4)(/r,-5)(/r--6)   /,_7  r.  . 

+  — ^ — ;      —^      1      ^      —  V      (1  }{à}, 

(fe-4)(/i;  — 5)(/(;— 6)(A;— 7)(A;  — 8)(/c-9)   ,,._io  i 

•V       (I   - 


A      .5.6.7 


il:  -  i)  {k  -  5)  {k  -  6)  (fc  -  7)  (fc  -  8)  .-9  0  _          1 
2.3.4.5.6'        '        *■••   J     J 

dont  la  vérification  est  facile  (*). 

III.  Le  cas  particulier  de  /?  =  1  ,  q  =  —  i  conduit  à  un 
résultat  curieux. 
On  trouve ,  en  effet ,  à  cause  de 

K  =  -  A._2  +  K-%  (S)  '■ 

A,  =  — 2,    A,-3,     A,  =  2,    A.  =  — 5,    A«  ==  1 ,    A,=  7,    A«  =  6, 
A„--6,    A,„  =  13,    A,, -0,     A,.  =  —  19,... 

Ainsi,  au  moins  jusqu'à  une  certaine  valeur  de  n,  le  nomhre 
entier  A„  est  ou  n'est  pas  divisible  par  n ,  suivant  que  n  est  ou 
n  est  pas  premier.  Au  moyen  de  la  formule  (3),  on  démontre 
aisément  la  première  partie  de  cette  proposition. 


(')  On  floit  prendre  les  signes  supérieurs  si  h  est  pair. 


-  50i  - 

Si  la  seconde  partie  était  également  démontrée,  on  aurait 
un  critérium  analogue  au  Théorème  de  Wilson  (mais  incom- 
parablement plus  simple  (*)),  pour  reconnaître  si  un  nombre 
est  premier  ou  non  premier. 

IV.  Si  Ion  suppose p  =  —  i,  q  =  ~  l,  on  trouve  des  ré- 
sultats analogues  à  ceux  qui  viennent  d'être  indiqués  : 

A,  =  i ,    \,  -  3 ,     A,  =  2 ,     A,  =  5 ,    A«  =  5 ,     A,  =  7,    A,  =  10 , 
Ab-12,    a, ,-22  =  h.  2,     A„-2^,    A„  =  39  =  13  .  3 

Addition.  —  {Juillet  1866). 

V.  Quelque  temps  après  la  publication  de  la  Note  précé- 
dente, M.Eisenlohr  {**)  démontra  l'inexactitude  de  la  proposi- 
tion que  j'avais  énoncée  sous  forme  dubitative.  Malheureuse- 
ment, M.  Eisenlohr  prend,  pour  point  de  départ ,  l'équaliou 

A"  A 

0  =  A  -  A      A        +1     ""   ^    '"'  I  A    ,    -  A 


qui  n'est  nullement  évidente  :  la  démonstration  proposée  est 
donc  incomplète  (***). 

Les  choses  étant  ainsi,  j'ai  cru  nécessaire  de  continuer, 
beaucoup  plus  loin  que  je  ne  l'avais  fait,  le  calcul  des  sommes 
désignées  par  A„ .  On  verra,  par  le  tableau  suivant,  que  Ai2i 
est  divisible  par  121  ;  donc  A„  peut  être  divisible  par  n ,  sans 
que  n  soit  premier. 


(*)  Les  valeurs  de  A„  ci'oissent  très-lentement   :  A,,  —  3,  A„  —   — 26  924. 
(**)  Comptes-Rendus ,  tome  IX,  [>.  04. 
(*")  .le  n':i(ïîrme  point  qu'elle  soit  fausse. 


205  - 


Sommes  des  puissances  n' ""'  des  racines  de  l'équation 


X'  -{-  X  —  1  =  0. 


! 

A,^ 

)l 

A^^ 

n 

A 

u 

A,^ 
" 

|T 

0 

31 

31  .  13 

61 

61  .  3  751 

91 

54  392  631 

2 

2 

32 

—  870 

62 

—  117  647 

92 

35  359  466 

3 

3 

33 

3 

63 

—  255  065 

93 

—  103  843  022 

4 

•> 

34 

1273 

6i 

346  458 

94 

19  033  165 

5 

—  5 

35 

—  873 

65 

137  418 

95 

139  202  488 

6 

1 

36 

—  1  270 

60 

—  601  523 

96 

—  122  876  187 

7 

7 

37 

37.  58 

(57 

67  .  3  120 

97 

—  97  .  1  238  859 

8 

—  5 

38 

398 

68 

738  941 

98 

262  078  675 

9 

—  6 

39 

—  3  416 

69 

—  810  563 

99 

—  2  706  864 

10 

13 

40 

1749 

70 

—  529  901 

100 

—  382  247  998 

11 

0 

41 

41  .  93 

71 

71  .  21  284 

101 

101  .  2  621  639 

12 

—  19 

42 

—  5  165 

72 

—  280  662 

102 

379  541  134 

13 

13 

43 

—  43  .  48 

73 

—  73  .  28  485 

103 

—  103  .  6  281  879 

14 

19 

44 

8  978 

74 

1  830  166 

104 

—  114  755  595 

15 

—  32 

45 

—  3  101 

75 

1  798  743 

105 

1  026  574  671 

16 

—  6 

46 

—  11  042 

76 

—  3  909  571 

106 

—  532  277  942 

17 

17.3 

47 

47  .  257 

77 

31423 

107 

—  107  .  10  666  638 

18 

—  26 

48 

7  941 

78 

5  708  314 

108 

1  558  852  613 

19 

—  19.  3 

49 

—  23  121 

79 

—  79  .  49  886 

109 

109  .  5  587  636 

20 

77 

50 

4  138 

80 

—  5  676  891 

110 

—  2  700  182  879 

21 

31 

51 

31  062 

81 

9  649  308 

111 

949  800  289 

22 

—  134 

52 

—  27  259 

82 

1  735  897 

112 

3  309  235  203 

23 

46 

53 

—  53  .  508 

83 

-  83  .  184  653 

113 

—  113.32  300  736 

24 

165 

54 

58  321 

84 

7  913  411 

114 

—  2  359  434  914 

25 

—  180 

55 

—  335 

85 

17  062  096 

115 

6  959  218  371 

1 
26 

—  119 

56 

—  85  245 

86 

—  23  239  610 

116 

—  1  290  548  254 

27 

345 

57 

58  656 

87 

—  9  148  685 

117 

—  9  318  653  285 

28 

—  61 

58 

84  910 

88 

40  301  706 

118 

8  249  766  625 

1 
29 

1 

—  29  .  16 

59 

—  59  .  2  439 

89 

—  89  .  158  325 

119 

8  028  105  031 

30 

406 

60 

—  26  254 

90 

—  49  450  391 

120 

—  17  568  419  910 

'SSâ 

121 

121  .  1  831  914 

-  206  — 

XLIX.  —  RAYON    DE   LA    SI'HÈUE   CIRCONSCRITE   A   IN    POLYÈDRE 
SEMI-RÉGULIER.    (mARS    4862)  (*). 

Le  centre  0  de  la  sphère,  les  centres  C,  C  de  deux  laces 
adjacentes,  et  le  milieu  P  de  l'arête  c  commune  à  ces  deux 
faces,  sont  les  sommets  d'un  quadrilatère  OCPC,  dans 
lequel  les  angles  C,  C  sont  droits  :  ce  quadrilatère  est  donc 
inscrit  à  la  circonférence  décrite  sur  OP  comme  diamètre. 

Représentons  par  p ,  q  les  diagonales  OP,  CC;  par  a 
l'angle  GPC;  par  a,  «' les  apothèmes  CP,  G' P  des  faces 
dont  C,  C  sont  les  centres.  Soient,  en  outre,  n,  n'  les 
nombres  de  côtés  de  ces  faces ,  et  w"  le  nombre  des  côtés  de 
la  face  qui,  avec  les  deux  premières,  constitue  un  angle 
trièdre  du  polyèdre  (**). 

La  diagonale  OV  =  p  est  perpendiculaire  au  milieu  de  c\ 
donc,  R  étant  le  rayon  de  la  sphère  circonscrite, 

"■  =  "■  ^  -  (1). 

La  corde  G  G'  sous-tendantun  arc  capable  de  l'angle  «,  dans 
une  circonférence  dont  le  diamètre  est  p , 

De  plus, 

r/*  =  a-  -h  d'"  —  "2  au'  eus  a  (3). 

La  formule  fondamentale  de  trigonométrie  sphérique  donne 
ensuite ,  comme  on  le  voit  aisément , 


C)  Question  résolue  à  l'occasion  de  mon  Mémoire  sur  la  Théorie  des  Pol y èdrei 
(Journal  de  l'Ecole  Polytechnique ,  41«  cahier;. 

(**)  Voir  le  Mémoire  cité.  Voir  aussi  la  brochure  intitulée  ;  Histoire  d'an 
Concours. 


Enliii  (* 


-  207  — 


-Ir.  Il-        ^r 

eus  — rr  H-  COS  COS  

n" n  n' 

co.  a  = .    27:     .     27t ^^^- 

sin  —  sm  — 7- 


-^  col  —       (o),        fi'  =  ^col  4-  (6)- 


Il  s'agit  donc  d'éliminer  p,  q,  :^-,  a,  a'  entre  ces  six  équa- 
tions. 
Pour  simplifier  l'écriture ,  posons 


et  nous  aurons  d'abord  ,  en  éliminant  a,  a'  : 


c 
ij^  =  —  (col'  X  +  cor  y.  — "2  cot  À  col  (J.  COS  a  )  (8), 

•i 


COS  :2  V  +  COS  2  À  cos  "2  'j.  ,., 

sm  2  ?.  sm  2  u 


On  conclut,  de  la  dernière  formule, 


,  C0S(/4-,v.4->)C0S(a-f-V — /.)COS(v  +  /. —  7.)C0S(/+/jl — >)  • 

sm-  a  =  —  i i '-—. — -Y^ — - — - — '— ^ — ! '.  , 

(sm  2  Asm  2  y.)* 


col'  A  +  col-  ,u.  —  2  cot  A  cot  y.  cos  a  — 


,  sin  A  sin  u.  j  ' 
donc 

_  c        cos  V 
~  2    sin  A  sin  « 


(*)  Voir  le  Mémoire. 


—  208 
et 

eus'  /  cos-  u.  cos-  V 


V-  =  —c' 


cos  (  /+ rjr.+  >)  COS  (y.+  V— /)  cos  (>  +/  —  u)  COS  (/.+  U  —  v)  ' 

La  substitution  dans  (1)  donne  ensuite 

Tj,  _  ^\a__, cos"  1  cos'  [j.  cos-  y 1 

4L  cos(>+,v.+v)cos(fjc+v— /)cos(v+/— f;.)cos(/+^7.— v)J^  ^' 

OU,  par  un  calcul  que  nous  omettons  (*) , 

_      c*  (cosA-|-cos,«+cosv)( — cosA4-cosy.4-cosv)(cos/ — cos/^+cosvj(cos>-f-cos// — cosv) 
4  cos{A  +  //4-y)cos(//.  +  v — A)cos(v  +  / — ,</.)  cos{A4-/ji — v) 

L.  —  SUR   UNE   FRACTION  RATIONNELLE   (DÉCEMBRE   1862). 

I.  Soit 


y  =  — -' — 4 i  (*)• 

i+x+x-i-----hx' 
A  cause  de 


i  +  ;c  +  x"  +  •    •    ■  -h  x"      1  —  x"'^        1  —  x'  \  -{-  X 


1+X  +X  +■    ■    ■   +X  ^        ^        l  —  X  i-\-x 


(1  +X  +  X'  +  •    ■    ■    +X)(i+  X) 
J  *~  »n-i 


1  +X 
OU 


,    ,   ,.x  +  ^'  +  ■    ■    ■  +  X 
î/  -  1  +  2 —, (2). 

\  +  X 


")  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques  (1863).  p.  275  et  456. 


—  209  — 
II.  Quand  x  est  compris  +  1  et  —  1,  on  a 
1 


1  +  X 


'.-+1 


=  \~  X        -\-x 


1  2n  +  2  3„  +  3 


donc 


y  =  1  + 


-'  +  0;^"^' 


y    n+I   +" 


(3). 


Par  exemple, 

{{  +  x  +  x*  +  xy 

1  +  a;*  +  ic*  +  a;» 

ou 

(l4-a;)»(l+5:;-,) 


l4-2 


'      (-1)"     . 

p=o  L 


^Vh-.   ^  _^4,^2  _^  ^.,.-3 


]• 


=  1+2 


i  +  x* 
ce  qui  est  exact. 


x  +  x'-i-  x"—  X'— ic'—  a;'+  a;''+a;'°+a; 


"-] 


(4); 


III.  Si,  après  avoir  multiplié  par  f/^  les  deux   membres 
de  l'équation  (3),  on  intègre  entre  0  et  I  ,  on  trouve 


/ 


^(/.r=:t+2y(-ir|..„,V,.+-     ^ 


p('i+l)+2    /;(«.+  l)+3  (;;+!)( 


K^)]^^^ 


D'un  autre  côté,  l'égalité  (2)  peut  être  écrite  ainsi 


,,,_,!  -hx-hx"-^  ...-hx  ^       x 


i  +x 


"H-l 


\  +  x  l +  x 


donc 


<■»! 


?/  f/a:  ==  1 + 2    I    ; dx-i ;  I  •  2—  2 


dx 


l+x 


14 


10  — 


En  vertu  de  la  formule 


/ 


X     +x 

1  +  X 


(IX- 


a    .   b      » 

sin-  r. 

a 


due  à  Euler,  on  a 


c    /    \+x-\-x'  -*-■••+.«""") r.    [       1  1_ 

*/  ^^'*'  i_^m 7    sin — 


H ) 


On  a  aussi 


I\ 


dx 


u-\-\  n+i 


sin- 


?î+l 


Par  conséquent, 


^                   ??  4-  1      .       t:           .2;:                  .      htt 
sin :      sin ;  sin r 


(6). 


n+  1 


(-1)" 


1 


/,-0 


Pin  +  Ij  +  l 


Égalant  les  valeurs  (5)  et  (6),  nous  trouvons 


(-1)' 


f— ^ 


1  I 

4 H 


)+l       ;;(//+!) -+-2'        ip+i){ 


t:       r       1  1  1         T 

.^ ^...^ +_ 

(«+1)     .       t:           .      '2n               .      ni:     \      Il 
^        ^  sm sin ;  sin 7 


"  +  l)J] 


(7). 


+  1 


—  211  — 
Par  exemple , 
,,11111111       1       1       1 

2       3       4       5       6       7       8       9       10       11        12 

TTr   1  1  1  -1     1 1  ^ 

[_sm-      sin-      sin-J 


ou 


1      1      1      1      1      1      1  ~  ,^  l /-      .^      ll^ 

' -^r 3^4-8-6— 7-r-  =  8<'>^^-*-*>+ïi^    <*)• 

IV.  Si ,  après  avoir  mis  la  fonction  îj  sous  la  forme 


V  1-^  )  i-x'"-^'      i+x 


—  X        i  -hx        i+X  —  X        —  X 


\—X+X        —X 

on  prend  la  dérivée ,  on  trouve 

,        {\+x){i  +  x^  +  X+'  »  '  +  x'*  —  {n  +  1)  a;"] 
(1  -•  X)  (1  +  x^^) 

Le  polynôme  entre  parenthèses  est  divisible  par  1  —  x\ 
donc ,  Q  représentant  le  quotient , 

,^,a±£)^  (9>, 

1  +  X 

Ecrivant  ainsi  le  polynôme  dividende  : 

{n  +  1)  (1  —  /)  _  (1  -  x")  ~  (1  _  a;')-  •   •   •  -  (1  ~  x") , 
on  a,  immédiatement, 

Q  =  («  +  1) {\+x  +  X  -+-•••+  /"V(l  -'■  x)—{{+x+x^-^ x^) 

—  {{  +  X  +  X'  -<r  X^  +  X^  +  x") —  {\+X^  X-\-.,,+  X''^''  )        (10), 


—   212  — 
OU 

Q=(l+x)+2(.'C-+a:V3(.x'^/)+--.-2(a:-'"'W""'V(a;'''"~'^a;'""')n(ll). 

V.  Malgré  la  complication  du  polynôme  Q,  on  s'assure 
aisément  qu'il  ne  peut  admettre,  comme  diviseurs  réels,  que 
1  —  a;  et  1  +  ^  (**). 

En  eifet ,  de 

{\—x)Q=l+  X'  +x'  +  ...  +  x'"  —  {n  4-  1) a;"  , 
résulte 

(1  -  X)  (1  —  X*)  Q  =  1  -  X-"   '  —  ui  +  i)  x'  +  {n  +  1) x"^'  ; 

et  l'équation 

9  {x)  =  x'"'^-  —  (».  +  1)  .i'"'*''  +  (n  +  1)  x"  -1  =  0  (t^i 

n'a  pas  plus  de  quatre  ou  de  six  racines  réelles,  suivant  que 
w  est  impair  ou  iiair.  Or,  dans  le  premier  cas,  cp  {oc)  est 
divisible  par  (l  —  x)'  (1  +  x);  et-,  dans  le  second,  cp  {x)  est 
divisible  par  (1  —  xf  (1  +  xf\  etc. 

VI.  D'après  cette  discussion  sommaire,  la  fonction  y  a  un 
seul  maximum,  répondant  à  .r  =  1,  et  dont  la  valeur  est 
n  +  \\  elle  a  aussi  un  seul  minimum,  répondant  à  a^  =  —  1, 

minimum  dont  la  valeur  est  0  ou  r  ,   suivant  que  n  est 

impair  ou  pair. 


(*)   Suivant  que  n  est  imx)air  ou  pair,  la  partie  centrale  du  polynôme  est 

rL±lL"-'_^"j     ou    ^|^,"--'+.V'~'j-||^"+^"-^'j.    Dans  ce  dernier 

cas,  le  polynôme  est  divisible  par  1  -\-  x. 

('*)  D'après  la  l'ormule  (10)  :  1°  Q  est  toujovrs  divisible  par  1  —  x;  2°  Q  est 
divisible  par  1  4-  x  quand  n  est  pair. 


2!3 


Ll.  —  SL'R   LES   NORMALES   A    UNE   SURFACE   (JANVIER    Î863). 

I.  Dans  le  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique  (38''  Cahier), 
M.  Abel  Transon  démontre  ce  remarquable  théorème,  du  à 
Stiirm  (*)  : 

«  Soit  AN  la  normale  d'ane  surface  au  point  A;  toutes  les  nor- 
»  maies,  relatives  aux  points  voisins  {**)  de  X,  rencontrent  les  deux 
»  droites  élevées  perpendiculairement  à  AN  dons  les  plans  des  deux 
»  sections  principales  et  par  les  centres  de  courhure  de  ces  deux 
»  sections  respectivement.  » 

Si  l'on  remplace  la  surface  S  par  l'ellipsoïde  osculaleur 
en  A,  et  si  l'on  considère  la  section  s  de  cet  ellipsoïde  par 
un  plan  parallèle  au  plan  tangent  en  A ,  et  infiniment  voisin 
de  celui-ci  (***),  les  normales  en  tous  les  points  de  «  ren- 
contrent les  droites  dont  il  vient  d'être  question.  On  peut 
se  demander  si ,  la  section  s  étant  située  à  une  distance  finie 
de  A,  la  même  propriété  subsisterait.  Et  comme  on  peut 
substituer,  à  l'ellipsoïde,  le  cône  droit  circonscrit  sui- 
vant s  {****),   la  question  revient  à  celle-ci  : 

Les  normales  à  un  cône  droit,  ù  base  elliptique,  menées  en  tous 
les  points  de  cette  base,   rencontrent-elles  deux  droites  fixes? 

II.  Prenons,  pour  plan  ho- 
rizontal de  projection,  le  plan 
même  de  la  base  du  cône;  et, 
T~J  pour  plan  vertical ,  celui  de 
la  section  principale  as'b.  Les 
traces  du  plan  tangent  en  un 
point  quelconque  {m,  m')  de  la  base  sont  la  tangente  mt  et  la 


{')  Comptes-Rendus,  tome  XX,    p.  1241. 
{**)  Lisez  :  infiniment  voisins. 

(***)  La  courbe  s  est  l'indicatrice  de  S  ,  pour  le  point  A. 

(*■")  La  courbe  s  est  dans  un  plan  parallèle  au  plan  d'une  section  principaUi 
"le  l'ellipsoïde. 


21  i  - 


droite  ^s'.  Par  suite,  la  projection  verticale  de  la  normale  est 
m'iV  perpendiculaire  à  ts'. 
Les  triangles  sm'r\  ss't,  sont  semblables;  donc 

m's       r's 
s  s'    ~  sî  ' 

OU 

ms  .  st  =  ss'  .  r's. 
Mais ,  par  une  propriété  de  l'ellipse , 

m's  .  st  =  as'  —  a  î 
donc 

r's  =  — r   , 


ou 


r's  =  -î^,  (1) 

h  étant  la  hauteur  du  cône. 

La  distance  r's  étant  constante  ,  il  s'ensuit  que  les  nor- 
males rencontrent  une  droite  fixe,  projetée  en  r'.  Si  l'on 
avait  projeté  sur  le  plan  de  profil  s'sr',  on  serait  arrivé  à 
une  conclusion  semblable.  Ainsi  : 

THÉORÈME  I.  —  Les  uonuales  à  un  cône  droit,  à  base  elliptique, 
menées  en  tous  les  points  de  cette  base,  rencontrent  deux  droites 
fixes  A,  B,  perpendicidaires  à  l'axe  du  cône,  et  respectivement  situées 
dans  les  deux  plans  principaux. 

IIL  D'après  ce  précède  (§  I),  cette  proposition  peut  ôlre 
généralisée  en  ces  termes  : 

THÉORÈME  n.  —  Les  normales  à  une  surface  du  second  degré,  en 
tous  les  points  d'une  section  parallèle  à  l'un  des  plans  principaux , 
rencontrent  deux  droites  fixes ,  perpendiculaires  à  l'axe  principal 
correspondant,  et  respectivement  situées  dans  les  deux  autres  plans 
principaux. 


215  — 


IV.  Revenons  au  cas  du  cône;  appelons  «,  (3  les  distances 
des  droites  A,  B  au  plan  de  la  base.  Nous  avons,  d'après 
l'équation  (1)  : 


Il  ^       h 

Si  a  est  pris  arbitrairement,  il  en  résulte 

h  =  —  ,     ^  ^  —  a  ; 

et ,  par  conséquent  : 

THÉORÈME  ni.  —  Si  les  normales  à  une  ellipse  rencontrent  une 
droite  fixe  A,  parallèle  à  l'un  des  aies,  et  située  dans  le  plan  pas- 
sant par  cet  axe,  perpendiculairement  au  plan  de  la  courbe,  elles 
rencontrent  aussi  une  droite  fixe  B,  parallèle  au  second  axe,  et  située 
dans  le  plan  passant  par  cet  axe,  perpendiculairement  au  plan  de  la 
courbe. 

V.  L'équation  du  lieu  des  normales  à  la  base  du  cône  est 

4-  •' 


{a'  —  hzY       (b'  —  hzy- 

Cette  surface  gauche,  qui  admet  deux  directrices  recti- 
licjnes ,  admet  aussi  deux  sections  circulaires,  déterminées 

ab 
par  ^  =  --  -y- 

Addition, — {Avril  1867). 

VI.  La  dernière  remarque  démontre  les  propriétés  sui- 
vantes : 

TFiÉORÈME  IV.  —  Les  normales  à  un  cône  droit,  à  base  elliptique, 
menées  en  tous  les  points  de  cette  base,  rencontrent  deux  circonfé- 
rences fixes,  ayant  pour  axe  commun  l'axe  du  cône. 

THÉORÈME  V.  —  Lcs  uormaks  à  une  surface  du  second  degré,  en 
tous  les  points  d'une  section  parallèle  à  l'un  des  plans  principaux , 


—  21G  - 

rencontrent  deux  circonférences  fixes,  ayant  pour  axe  commun  celui 
qui  correspond  au  plan  principal  considéré  (*). 

LU.  —  LIEU  GÉOMÉTRIQUE  (mARS  1863). 

En  un  point  quelconque  M  d'une  ellipse  donnée ,  on  mène  la  tan- 
gente TMT',  la  normale  U^,puis  les  cordes  MP,  MQ,  bissectrices  des 
angles  NMT,  N>IT';  puis  encore  les  tangentes  PS,  QS  en  P,  Q. 

Quel  est  le  lien  du  point  S? 

I.  Supposons,  pour  un  instant,  que  le  point  M  soit  fixe; 
prenons  !MT  pour  axe  des  abscisses ,  MN  pour  axe  des  ordon- 
nées :  l'équation  de  l'ellipse  sera 

Ay-  -h  Bxij  +  ./■*  +  D(/  =  0  (1). 

Le  système  des  droites  MP ,  MQ  est  représenté  par 

y^-  ~x*  =  0  (2). 

Ajoutant,  et  supprimant  le  facteur  y ,  on  trouve  l'équation 
de  la  corde  PQ  : 

(A+ l)y  +  Bj;-D  =  0(")  (3). 

Soit  R  le  point  où  PQ  rencontre  >!N  :  d'après  l'équation  (3) 

D 


MR  = 


A-f  -1" 


(*)  Ce  dernier  énoncé,  p-ris  à  la  lettre,  est  eu  défaut  dans  certains  cas,  dont 
le  lecteur  fera  aisément  la  discussion.  Par  exemple ,  les  normales  à  un  parabo- 
loïde,  en  tous  les  points  d'une  section  parallèle  à  l'une  des  paraboles  principales  , 
rencontrent  une  droite  fixe. 

(")  C'est  ainsi  que  Terqueni  démontrait  le  théorème  de  Frégier  :  Si  un  triangle 
rectangle  PMQ  est  inscrit  à  une  conique ,  et  que  le  sommet  M  de  l'angle  droit  soit 
fixe,  l'hypoténuse  PQ  passe  par  un  point  fixe  B ,  situé  sur  la  normale  en  M 
{Nouvelles  Annales,  tome  II,  p.  186). 


-  217  — 

TI.  Pour  trouver  les  équations  des  tangentes  PS,  QS ,  il 
suffit  de  combiner  successivement  l'équation  (i)  avec 

{y  —  xY  =  0  ,    (y  +  x)'-  =  0. 
On  obtient  ainsi 

(A-l)2/-+-(B  +  2)a:-D  =  0  (i),     (A  -  1) // +  (B  -  2),c  ~  D  =0  (5). 

Ces  deux  équations  sont  vérifiées  par  ^'  =  0,     y  =  r —  ; 

donc /es  tangentes  PS ,  QS  se  coupent  sur  la  normale  MN. 
De  plus, 


Â-1  ' 

et  eonséquemnient , 

_l_      J ^ 

MR  ^  MS   ~  MN" 

Cette  relation  prouve  que  les  points  R,  S  divisent  harmoni- 
quement  la  corde  MN.  En  effet,  PQ  est  la  polaire  de  S. 

III.  Rapportons  l'ellipse  à  son  centre  et  à  ses  axes;  puis 
cherciions  le  lieu  du  point  R.  Il  est  facile  de  voir,  par  le 
théorème  deFrégier,  que  ce  point  est  situé  sur  le  diamètre 
M'.\I"  conjugué  de  OM.  On  a  donc ,  simultanément , 


aV -f- /^'x' =  a«^'    (6),     L=-|    (7), 


a^x'rj  ~  b*xy'  =  c*xy  (8). 

D'après  l'équation  Ci)  Je  lieu  du  point  R  est  une  ellipse  sem- 


—  218  — 
b/able  à  l'ellipse  donnée.  Éliminant  x  et  // ,  on  trouve 

a'  '^  b'    ~  W^+  b'I  ^^'■ 

IV.  Le  point  S  étant  l'intersection  de  la  normale  en  M  avec 
la  polaire  de  R,  il  faut ,  pour  trouver  l'équation  du  lieu  cher- 
ché, éliminer  x,  y,  x' ,  y'  entre  les  équations  (G),  (8),  (9) 
jointes  à 

ivay  —  b^(ix  =  c^xy  (10), 

«'î/'(3  +  b*x'a  =  rtV;'  (M)  : 

dans  celles-ci,  «,  |3  représentent  les  coordonnées  de  S. 
On  satisfait  aux  équations  (6),  (8),  (9)  en  prenant 

cic*  bc* 

x  =  aco&(p,    y  =  bsu\(p,    x' =  — r- coso,     )/' = siiics. 

^       "  ^  '  a-  -h  b'        '       ■'  rt-  -+-  b''  '      ' 

Ces  valeurs,  substituées  dans  les  équations  (10),  (11), 
les  transforment  en 

aoL  sin  ^  —  /j|3  cos  cp  =  r-  sin  ©  cos  o  (K)'), 

i/acos  cp  —  a\ù  sin  q?  = , (H'i; 

I  T  (.s 

et  il  ne  reste  plus  qu'à  éliminer  9. 

V.  Soient,  généralement,  les  équations 

A  sii)(^  -+-  B  cos©  =  C  sin  cp  coscp  (12) , 

A'  sinip  -I-  B'  cos©  =  C  (  13). 

On  peut  les  remplacer  par 

C  —  B'  cos  cjp  _       B  cos  cp  C  —  A'  sin  cp  _      A  sin  cp 

A'  "  C  cos©  —  A  '  B'  C  sin  ©  —  B  ' 


—  219  - 
OU 

CB'  cos^  <p  4-  (BA'  ~  AB'  -  CC)  cos  ©  +  AC  =  0  , 

CA'  sin»  9  +  (AB'  —  BA'  —  CC)  sin  (p  +  BC  =  0. 
On  conclut,  de  ces  deux-ci , 
-B'{AB'-BA'-CG')siii(p+A'(AB'_BA'+CC')cos(p=(AA'+BB')C'+CA'B'; 
ou ,  pour  abréger , 

P  sincp  +  Qcoscp  =  R  (14). 

Les  équations  (13),  (14)  donnent  immédiatement 
(B'R  -C'Q)*  +  (G'P  —  A'R)^  =  (A'Q  -  B'P)*  ; 
c'est-à-dire ,  après  quelques  réductions  , 

(A'*  +  B'')r(A'  +  B-^)  G'^  —  (AB'~  BA'j^l  \ 

+  û  CG'  TaB'  (B'*  —  G'^)  +  B A'  (A'»  —  G")  1  ^>         ^  ^  5) 

4-  G'  (A'*  —  G'')  (B"  —  C")  =  0  ) 

VI.  Dans  la  question  proposée  , 

A  =  aa,    l\  =  -  bfi,    G  =-c', 

en  sorte  que  l'équation  du  lieu  décrit  par  le  point  S  est  : 


2:o 


2  {(t'  +  b')  je*  {a°-  (3*  +  /r  a*)  -  a-  b'-  (a*  +  /?^;'  {y}  h-  fi*)]  ,^    (16). 


[c'fi 


*  — ^»(«'  +  /^-)' 


C'  a-  —  «*  (rt*  +  /**)-      =  U 


■] 


y 


VII.  Si  l'on  veiil  couslruire  la  courbe  pnr  points ,  ou  en  faire 
la  discussion,  il  est  plus  simple  de  résoudre  les  (équations 
(10'),  (11')  par  rapport  à  «,  \^.  On  trouve  ainsi 

a  cos^  («*  +  b"")  b-  —  c'  sui*tp 


r        b'^  cos*  o  —  fl*  sin-  'p    ' 

lin tp  {a-  +  /'')  «'  —  t*  cos'  tp 
r*         /;'cos*cp  «'  sin'  --^ 


LUI.  —  QUELQUES  INTÉGRALES  DÉFINIES  (MAI  1865). 

I.  a  étant  une  variable   dont   le  module  est  inférieur  à 
l'unité,  soit 

•     ■   =  r.{a)  (1); 


1  -a'       ^'  —  a*       3*  —  fl'       4*  -  W 
ou,  ce  qui  est  équivalent, 
/    1  1    \     1/1  1    \     1^    1 

Soient  ensuite 


^1    ^      ^.  J_U...^2#'^.^V 


2,  + ai 


;(fî)'2) 


y  = 


a;  la;  \    x 


\—a       2  2  —  a       3  3  —  fl 


a:;  1    .^  1   x 


1  +  rt        2  2  +  ft      3  3  +  rt 


-  221 
d'où 


^^^X  1(1+..),      ^^==X       i(l+,x); 


dx 
et,  par  conséquent , 


9  («■)  =  ^     /    ^^" 


^x-lliX  +x)-  (3). 

a; 


On  a  d'ailleurs,  par  une  formule  connue  (*), 


donc 


/ 


'  2rr  \sin  air         ' 


(x"-fOl(l  +  a:)lË  =  -L[-.Î^I! l)  (A). 

X  ft    Ism  ftTT  ' 


li.  Miiliiplions  par  ada  les  deux  membres  de  l'cquation  (A), 
et  intégrons  à  partir  de  a  :=  0.  A  caiise  de 

u 

]x[  I       (l.rr^  I 

et  de 


(*)  Traité  éîèrnentaire  des  Séries,  p.  115. 


-  222  - 

nous  aurons 

/a[x\x'  —  x~''  )  —  {x" -hx'"  —  y  ]  ^^       ^  dx        ,  ^sV 


1  ,,      .  (^-^       1  ^St 


III.  Si,  dans  les  relations  générales  (A),  (B),  on  suppose 
a  =  -,  on  trouve,  en  changeant  x  en  x'  : 


/      (l+  |jl(l+a;')^^  =  ;r-2 


(C), 


/ 


(1  —  X)  [(0:4-  1)1x4- (1  -X)] 

L  ^  1  (1  +  .1-^  dx=2\j         (D). 

(x  1  xY  4 


IV.  Ces  mômes  relations  deviennent ,  si  l'on  y  remplace  a 
par  a  \/—  1  : 


o 

—, sin  \-\x    1(1  +  .t)  — 


(E), 


.  (F). 


i   T      c"  — e 


"2 1^  +^ 


-  223  — 
Donc,  en  particulier, 


'Jsin  -  — ixcos  -        1                  ^        .        •'          4 
-7-r, Sin  -  1   I  +  :i')—  =  z;i — = =-    ^• 

TT  /  4  4^ 

*(^  -""    ) 

V.  Enfin,  la  combinaison  des  formules  (D),  (G)  conduit 
aisément  à  celle-ci  : 


x'cos  -^  Isin—  -+-(1— ic)  {x+l)lx+i—x 

H{\+x')dx 


{xlxY 


(H). 


n  TT 


= 

4                4 

e     -{■  e 

VI.  L'équation 

1             1 

(-  -. +  - 

'   + .  .  . 

1           e     +  e  ,1 

=  — I  an ■  —  1  I 

1  +  a'      i  -ha'      9  +  a'  2  «-M        ^"^  _  g-"^ 

donnerait  des  résultats  analogues  aux  précédents. 

LIV.  —  SUR  UNE  TRANSFORMATION  DE  SÉRIE  (jUIN  186i). 

I.  Dans  un  Mémoire  sur  les  Séries  des  nombres  aux  jouis- 
sances harmoniques  {1) ,  imprimé  à  Kasan ,  en  1832,  M.  Simo- 
noff  se  propose  la  question  suivante  : 

Connaissant 

tp  {x)  =  Ao  +  ka  +  A,a;'  +  •  •   .  (1) 


-  224  — 
trouver 

P=  A,  sina' +  A,  siu  2  a;  +  •  •  •  (2) 

et 

Q  =  Ao  -+-  A,  cos.r  H-  AjCOS  '2  x  -\-   •   •   •  (3). 

L'emploi  des  exponentielles  imaginaires  le  conduit  aux  for- 
mules : 


(A), 
(B). 


U9(^^^'") 

2 

1  -  ?  {e-'~~) 

2  J/—  1 
Prenant  9  (^)  =  1  (i  +  .t^) ,  ce  qui  lui  donne 


Q  =  ](2cosl.rj, 


1       ,1+  1/-1  t 


f      '      V 


|/zrï     1  _  5/  _  1  tg  t  a; 


l'auteur  arrive  enfin  aux  relations  connues  : 


1  111 

z:  X  ~  smx  —  -  sin2«  -f-  sin  3  a;  —  -7  sin  i  a;  -f  •  •  •    (4)  (*), 

2  2  3  4  \  /  \  /' 


/  1    \  1  1  1 

1  (2  cos-  x\  -  cosx  —  -  cos  2a;  +  -cos3a;--  jcos  io:  +  . .  (5)(**). 


(*)  Celle-ci  0  été  donnée  pîir  V our'iev  {Tliéoric  de  la  Chaleur,  p.  238). 
(**)  Rapportée  dans  mon  Traité  élémentaire  des  Séries. 


-   225  - 

11.  De  ce  développement,  M.  Simoiiofï  en  veut  déduire  un 
autre,  ordonné  suivant  les  puissances  de  x  ;  mais  la  méthode 
qu'il  emploie  est  inadmissible  (  pour  ne  rien  dire  de  plus)  ;  en 
effet ,  il  s'énonce  ainsi  : 

«  La  dernière  série  nous  donnera 

1  ^   ^' 

log  cos  -a;  =  —  (1  —  2  +  3  —  4  +  etc)  7— r- 

+  (1  —  2' +  3'— 4'+...) 


1.2.3.4 


/yil) 

^1      -  +0       4  -t-      ;  1.2.3.4.5.6 

+  etc  »  (*). 

II  est  facile  de  trouver,  rigoureusement,  la  série  demandée. 
En  effet ,  de 

2/  =  1 12  cos  ^  a;j ,  (6) 

on  tire 

Ay  __!.    1 


{*)  Le  Mémoire  est  plein  de  résultats  de  ce  genre.  Dans  son  préambule  ,  l'au- 
teur ,  après  avoir  dit  que  l'équation 

1-2  +  4  —  8-1 =  - 

a  (apparence  d'un  paradoxe,  ajoute  «  Tous  les  analystes  cependant  ne  con- 
viennent point  de  ce  paradoxe  ;  «  c'est-à-dire,  probablement  :  Tous  les  anali/stcs 
n'admettent  pas  les  Séries  divergentes.  Il  ne  faut  pas  oublier  que  M.  Simonoff 
écrivait  en  1832  :  à  cette  époque,  un  célèbre  Géomètre  allemand  (cité  par  M.  Si- 
monoff) cherchait  les  sommes  des  Séries 

1  _  2"   4-  3"  —  4"  -4-  .  .  . 
1  _  3"    +  5"  —  7"  -h  ...  ! 

15 


—  220  - 
Or(*) 

tga;  =  4(4— l)A*a;  — 4=(4^— l)A.y +  4M4'— UA.x'--   •   •    , 

et,  par  conséquent , 

y  =  C-(4-1)A,|  +  (4^-i)  A,|^-(4^~l)A.|"+  .   .   . 
D'après  l'équation  (6),  C  =  1  2  ;  donc 

-l(cos^a;)  =  (4-l)A,|'-(4^-l)A.|+(4'-l)Aa|'-  .    •    -(7), 

pour  des  valeurs  de  x  suffisumment  petites. 

III.  Si  l'on  combine  l'équation  (5)  avec  celle-ci  : 

2       3        i 

et  que  l'on  change  ensuite  x  m'^  x ,  on  trouve  cet  autre  dé- 
veloppement : 

Il  111 

—  ^l{cosx)  =  shVx  —  -&m-'-2x+ -sm^'6x—ys\nHx  +  '   •   •  .(8). 

IV.  La  série  (5)  peut  être  rattachée  à  l'intégrale  définie 
J         1  +  aj'  /       1  -+-  a;'  1     \  +  x* 


(*)  Comptes-rendus,  tome  LIV ,  p.  1031.   Les  coefficients  AjjA,,  A^,  sont 
égaux  aux  Nombres  de  Bernoulli,  B, ,  B, ,  Bj  .  .  .  ,  divisés  par  2,  24,  720... 


—  227 
OU 


ou  encore 


^J^O  (9)> 


C  =  ^l2  +  G  (10), 


2 
en  supposant 


G  =  l  —  ^+4---*=  ^'915  693  594 


En  efiet ,  si  l'on  remplace  x  par  tg  (p ,  on  a 


-/ 


G  =  ~    /     l(tg?)rf(p  (H). 


Mais 

](tg(?)=  l(^^)+l(p-lcos(p  (12). 

Pour  développer  1  f^^j ,  représentons  par  %  cette  fonc' 
tion  ;  nous  aurons 

dz  _  ç  cotip  —  1 
OU ,  à  cause  de  (**) 


(*)  Mémoire  sur  la  transformation  des  Séries  (Académie  de  Belgique,  tome 
XXXIII,  p.  32).  Les  formules  rapportées  ci-dessus  datent  de  1859. 
(")  Comptes- RendA'.s ,  t.  LIV.  ^.  1031. 


—  2i>8  - 
e  cut;p  ~  1  =  —  i  Ai  'J  4-  -i'  A,  'i*  —  -4'  Au  tp"  +  •    •    •  : 

cp  2  4b 

Et  comme 

\  à  \ 

1  (costp)  =  —  l2  4-  cos  2(p  —  ^cosicp  +  r-cosetp—r  COS8©+--'(5), 
l'équation  (12)  devient 

l(tg^)  =  -4A.|+4=A,£^~4'A.|+  .   .   .    +1(2?) 

1  1  1 

—  cos2<p  +  -cos  4  ©  —  -  cos6(p  +  -cosS?  —  . . . 


Multipliant  par  rf-f  les  deux  membres,  et  intégrant,   nous 
trouvons 


/-\'      4' AW7:\^       4' A,  \t.\     ,  r.  ,  {-\       r. 


4Aj  /-\'      4' Aw7:r       4' A,  ^7r\ 


111  1 

—  -  +  ^r—::—  ^ — t:^  + 


2       3,6       5  .  10       7  .  14 


La  dernière  ligne  a  pour  valeur  —  -  ;  donc 


_G  _  _A^  7^ ^  £  +  _f^  !L  _  A_  £  4. 

2~2.3  4'       4.3  4'       6.7  4*       8.9  4'  \ 

V.  On  a 


^'~T72'       *~  1.2.3.4'       "      1.2.3.4.5.6' 


(14). 


—  229  - 

et,  d'un  autre  côté,  si  l'on  représente  par  S^ ,  S^ ,  S^ ,  .  .  .  les 
sommes  des  puissances  2"^^"""%  4'^"'^%  gé,.»»^  _  jgg  jj^yerses 
des  nombres  naturels  : 


-  Lii  Ëî      B  -  —  LAiLiË.*     B  =  ^  •  - •  ^ •  ^ •  ^  •  <^  s. 


donc 

~'  2?:='         ~       2'7T*'  "  2'-'''         ~        2'7:'''  "  "  " 

Au  moyen  de  ces  valeurs,  l'équation  (14)  devient 

Addition.  —  {Mai  1867). 

YI.  Dans  mon  Mémoire  sw  la  Transformation  des  Séries  et 
sur  quelques  intégrales  définies ,  j'ai  donné  diverses  expres- 
sions de  la  constante  G.  En  partant  de  la  formule  (12),  on  peut 
exprimer  cette  constante  par  de  nouvelles  intégrales  définies, 
assez  remarquables. 

A  cet  effet ,  j'observe  d'abord  que ,  de  la  relation  connue 


lax     ,       —2a.x 

th.  (  ) , 


COSiC 


résulte 


e  '^"'  dx 


(')  Poisson,  Jiiirrual  de  VÈcole  Pohjtechniqi'e,  18«  Cahier,  p.  29S. 


—  230 
OU 

4Kry_-  )  _4a,f_ÎL) 

1  .  e        '*     —  e  ''     da. 


D'ailleurs  : 


4      ,  *    /«  „— ■ta  , 


4  T    1 

-4a(?—  )  I 


.   rfT=-j^(l-."); 


donc,  à  cause  de  la  formule  (11)  ; 


-=/ 


e_j-e__j-2  d^ 


OU,  par  le  changement  de  7ra  en  a  : 


■'f 


G  =  -      I       ^"  +  ^    ^-^  -If  (16). 


a  — « 


VII.,Si  l'on  intègre  par  parties,  la  fonction  — ^j; 


—  a 


—  231  -- 
s'annulle  aux  deux  limites  ;  donc 


(e«  +  e-«f  «  ^^^^" 


VIII.  La  constante  G  étant  connue,  il  en  est  de  même  des 
intégrales  (16)  et  (17),  ainsi  que  de  toutes  celles  qu'on  peut 
déduire  de  ces  deux-ci.  Il  paraît  difficile  d'en  tirer  des  déve- 
loppements en  séries,  plus  convergents  que  ceux  auxquels  je 
suis  parvenu  dans  le  Mémoire  cité. 

LV.  —  SUR   UN    PROBLÈME   d'aLGÈBRE   LÉGALE   ET   SUR   UNE 
TRANSFORMATION    DE    SÉRIE   (*)   (mARS    d8Ç2). 

I.  D'après  le  Code  civil  (art.  757),  le  droit  de  l'enfant  na- 
turel est  d'un  tiers  de  la  portion  héréditaire  qu'il  aurait  eue, 
s'il  eût  été  légitime  (**). 

Soient  :  /  le  nombre  des  enfants  légitimes;  n  le  nombre  des 
enfants  naturels;  x^^^  la  part  d'un  enfant  légitime;  y^^  la  part 
d'un  enfant  naturel. 

On  a  d'abord,  en  prenant  pour  unité  la  somme  à  partager 
entre  les  /  +  n  enfants  , 


ix 


Lu 


''y>.  =  ^  (1). 


D'un  autre  côté,  conformément  à  la  prescription  ci-dessus, 

y,n    =-^^,^,,n_,  (2). 


(  *)  Note  extraite  des  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques. 

(  **)  Cette  partie  de  l'article  757  se  rapporte  au  cas  du  partage  entre  enfants 
légitimes  et  enfants  naturels.  Lorsque  des  enfants  naturels  concourent  avec  des 
ascendants  ou  des  collatéraux  ,  la  loi  a  des  conséquences  bizarres  et  même 
absurdes,  dont  je  ne  parlerai  pas  ici.  (  Voyez  une  brochure  intitulée  :  l'Article  757 
—  Application  de  l'Algèbre  au  Code  civil.  ) 


—  232  - 

De  ces  deux  relations,  on  conclut  aisément  la  formule  sui- 
vante, connue  depuis  longtemps  (*), 


1  n  n{n—  i)  ,  n{n—i)  ...  3-2.1     ,,, 

''"       i       U{l  +  \)     2>H{l+\){l^î)  3"/(/+lJ...U+//)    ^'' 


II.  La  complication  de  cette  formule  est  peut-être  ce  qui 
empêche  les  jurisconsultes  d'obéir,  sinon  à  l'esprit,  du  moins 
au  texte  de  la  loi ,  quand  il  s'agit  pour  eux  d'effectuer  un  par- 
tage entre  enfants  légitimes  et  enfants  naturels.  Mais  on  peut 
la  remplacer  par  une  autre  expression  beaucoup  plus  commode. 

On  a  en  effet 


l[l  +  \){L  +  'i)...{(-{.p)       1-2.  3... />   /     (1-0/'^'   '^5; 
donc 


+  0)'dQ; 


d'où  enfin 


(  *)  Ello  il  été  donnée  d'a'iorii  par  M.  Coiirnot  (Bnllfthi  de  Féfrifisac,  t.  XVI,  p.  3.) 


-  233 

Il  est  visible  que ,  pour  former  la  quantité  entre  parenthèses, 
il  suffit  de  développer  (2  +  1)"  et  de  diviser  par /,  /  +  1 , 
Z  +  2 ,...,/  +  ?i  les  termes  du  développement.  Du  reste , 
il  est  facile  de  vérifier,  par  un  procédé  purement  algébrique , 
l'équivalence  des  deux  expressions  de  x^^. 

III.  Cette  équivalence  étant  démontrée ,  il  en  résulte  que 
l'on  a 

1  n  n  {n  -  1)     ,«        »  (»  —  1)  (n  —  2)     ^ 

i       /(/+!)''       Ui  +  1)(/  + 2)"      /(^  +  l)(/  +  2)(/+3)" 

'(5), 

même  quand  les  deux  membres,  au  lieu  d'être  composés  d'un 
nombre  fini  de  termes ,  deviennent  des  séries  convergentes. 
Par  exemple ,  en  supposant 


/=!,    n=— 1,    z  =  -, 


on  trouve 


,   ,   1  /1\      1  /lu     i  liV  „/,       11       1 


ce  qui  est  exact. 
IV.  Si  l'on  pose 

d'où  résulte 
l'équation  (5)  devient 


4  — 


-t, 


1  —  V 


1  _  2     1      .     n  {n  —  1)     1 

/        1  /  -M  1  .  2     /  +  2 


(1-0       7  + 


"Ti  n  t  n{ti  —  i      t     t    \'         il 

b  ^  /(/  +  !)  1—  i^  /(/4-l)(/  +  2)ll  — J^'"J/ 


-  234  — 
ou  plutôt,  par  le  changement  de  t  en  i  : 

\       n     \  n  [n  —  1)     1 


s^  — 


\ 


I       1  /  +  1  1.2       /  +  2 

W6). 

""^       ^Hr^  H/. +  l)l-s  ^/a+l)a  +  2)U^2;/       ■■■/ 

Cette  seconde  transformation  est,  pour  ainsi  dire,  conjuguée 
de  la  première.  On  peut  les  renfermer  dans  la  double  formule  : 


4       n     \  n  in  —  \)      \ 


l       1/^1  1.2^+2 

{\-z)    = 


\  71  z  n  (n  —  1) 

7   +  .  V  / 


fe) 


;  (7). 

1  n  w  («  —  1)         j 

/"  ~  /~/"+T)  ^  ^  /  (/  +  1)  (/  +  2)  ^  "^ 
\        n     \        z         7i{n—i)     1     /    z 


f)'-/ 


^  1    f-frl     1—2  1.2  /    +   2\1—  2 

Celle-ci  a  d'assez  nombreuses  conséquences ,  sur  lesquelles 
je  pourrai  revenir  dans  une  autre  occasion. 

LVI.  —  UNE  PROPRIÉTÉ  DES  DÉTERMINANTS  (OCTOBRE  1863). 

I.  Soient  les  équations 

A,a;,  4-  B,.Tj  -f-  C.t,  =0,     \ 

AiX,  +  BiXi  +  CjT,  =  0,     >  (1) 

kzX,  ■+■  Bj-T,  +  C.-r,  ==  A  ,    ; 

dans  lesquelles 

A,  =  fr.c,  —  cj>, ,  B,  =  d.c,  —  c,a, ,  C,  -=  aj),  —  0,a, , 
A.  =  l\ c,  —  c,b,,  B,  ^  fl,c,  —  c.fl, ,  C,  r=  rt., /^,  —  b,a, , 
A,  ==  ^c,  —  c,/?, ,  B,  =  fl.f,  — c,fl,,  C^=  cij),^  0,n,, 
A  =  ûf.,^,C5  —  rt.cJA  +c,ai(h  —  0,0.6,  +  l>,Cta^  —ch^a,. 


-  235  • 
On  y  satisfait  en  prenant 

.ï,  =  (l,  ,         a^î  =  —  y, ,         ^3  ^^  Cj. 

Mais ,  par  l'application  des  formules  de  Cramer ,  on  trouve 

N.  N.  N, 

•        '  ~   D  '        "^^  ~   D  '        ^'  ~   D  ' 

en  supposant 

D  =  A.BA  -  A.C,B,  +  C.AA  -  B.AX,  +  B.CA  —  C.B.A, , 
N.  =  (BA-C.B,)A,    N,  =  -(AA-C.A,)A,    N,  =  (A.B,-BA>)A; 

donc 

B.g  -  C,B,  _  A,C,  —  C>A,  _  A,B,  -  B.A.  _  D  _ 

â.  b.  Z  ~  À  ~  ^         ^^^• 

Ainsi  :  1"  les  déterminants  de  déterminants , 

B.C. -C.Be,    A.C, -C,A,,    A,B. -B,A,, 
A.B,C,  -  A,C,B.  +  C.A^B,  -  B.AA  +  B,G,A,  -  C.B.A, 

sont  proportionnels  aux  quantités 

«3,  th,  C,, 

De  plus ,  comme  le  calcul  (lirect  donne 


B^Ca  —  CiBj 

/  =  =  A  : 


2°  le  déterminant  de  déterminant ,  D,  est  égal  au  carre  du 
déterminant  A. 


(3). 


-  236  — 
II.  Soient  maintenant  les  équations 

A,x,  -f-  B„r,  +  Q„x,  -f-  D.a-,  =  0  , 
A,;r,  +  Ba-Tj  +  Ca-,  +  Da^  =  0 , 
A,x,  +  B,û(,  +  C,,T,  +  î),x,  =  0 , 
A,x,  +  r>.,r„  +  C„r,  +  D,x,  =  A  , 
dans  lesquelles  : 

A*  ^^^Af/.,  B,  -  \a,c,d,,  C,  =  y  a  Ad.,  D,  =  "VaAc,, 
A,  =  ^  b,c..d, ,  B,  =  y  a.c.rf, ,  C,  =  V  a^ùjl,  '  ^'  "  S  "'''^^'^  ' 
A.  =  y/;c//„     B,  =  Ya,c,d,,    G,-  y^.M,,    D,  =  ^aj/s,, 

^  Jèasà  ^  Amai 

A  =    y  aAcd, , 

suivant  la  notation  de  Caucliy  (*). 

On  reconnaît  facilement  que  les  équations  (3)  sont  vérifiées 
par 

a;,  =  —  rtj    ;r,  =  +  f},,    x^  =  —  c.    Xi  =  +  dt, 
d'où  l'on  conclut,  comme  dans  le  premier  cas, 


yB.aO.      ^Afi.li.       2^A.B.D,       Va.] 

â,         ~         bi         "         c,  ^'         I,         ^  A  ^  *'    ^'^^  • 


.BA 

D 


(*)  Dans  chacun  de  ces  déterminants  ,  un  terme  a  le  signe  +  ou  le  signe  — 
suivant  qu'il  contient  un  nombre  pair  ou  un  nombre  impair  li'inversions  alphabé- 

tiqtu's. 


-     237  ~ 
celte  lois , 

D  =  y  A.BXîD.. 
m.  l''  Considérons,  par  exemple,  l'égalité 


2  B.CA  = 


b. 


Le  premier  membre  est  entier  ;  b,  est  premier  avec  a^  ;  donc 
b,  divise  V  A,C,D,.  Autrement  dit,  le  rapport  commun  l  est 

un  polynôme  entier. 

2"  Le  déterminant  A  contient  les  lettres  6,  c,  d  et  les  in- 
dices2,  3,  4.  De  môme,  B  est  composé  des  lettres  a,  c,d, 
affectées  des  indices  1,  3,  4.  Enfin,  C,  renferme  les  lettres 
a,  b,  d  et  les  indices  i ,  2,  4.  De  là  résulte  que  chaque  terme 
de  ^  (abstraction  faite  du  coefficient  numérique)  a  la  forme 


I  n\  v\   ol 


p,  q,  r,  s,  et  p',  q',  r',  s',  tenant  lieu  des  lettres  a,  b,  c,  d. 

3"  D'après  le  mode  de  formation  des  quantités  A^,  B.,,  C^, 

chacun  des  facteurs /^j^.r^s^,  p\q'j\s'^  a  le  signe  +  ou  le 

—  1 ,  suivant  qu'il  renferme  un  nombre  pair  ou  un  nombre 
impair  d'inversions  alphabétiques;  conséquemment,  ce  fac- 
teur est  un  terme  du  détenninant  A. 
4°  Ces  remarques  tendent  à  faire  croire  que  >*•  =  A^  (*). 


(*)  C'est  là  une  simple  induction,  qui  aurait  grand  besoin  d'être  justifiée,  au 
cas  qu'elle  le  puisse  être.  Si  je  me  décide  à  faire  paraître  cette  ébauche  de  démons- 
tration ,  c'est  afin  de  provoquer  des  recherches  sur  une  question  intéressante 
(mai  1867). 


—  238  - 
IV.  Dans  le  cas  de  cinq  équations  à  cinq  inconnues  , 

>.  ^— . 

e 

Celle  fonction,  du  quinùème  degré,  serait  probablement 


V  a.Kcd^e,  )  ■  Et  ainsi  de  suite. 


LVII.  —  DÉMONSTRATION  DE  LA  FORMULE  DE  STIRLING  (NOVEMBRE 
1866)  (*). 


I.  Si  l'on  suppose 


on  trouve 


-^-l  +  |  =  F(^)  (1), 


F(0)  =  0,     F'(0)  =  0,    F"(0)  =  ^, 


puis 

Cette  relation  générale  ne  diffère  pas  de  celle  qui  existe 
entre  les  Nombres  de  Bernoulli  (  **  )  ;  donc ,  à  cause  de 

F"(0)  =  ~  =  B., 


on  a 

F'''(0)  =  B 


/-.  (3); 


(*)  Cette  démonstration  a  quelque  analogie  avec  celle  «jni  a  été  donnét;  par 
M.  Serret  i Calcul  clifTércntiel  i/.r  Lacroix  ,  6"  édition).  Cependant ,  si  je  ne  me 
trompe  ,  elle  est  plus  simple  et  plus  directe  que  celle-ci  (mai  1867). 

(")  Voyez  Note  XXXVI ,  p.  128. 


—  239  - 

et ,  pour  des  valeurs  réelles  ou  imaginaires  de  x ,  dont  le  mo- 
dule soit  suffisamment  petit  : 

F  (^)  =  j-^  ^^  +  rVri  ^^  -^  ••'  -^  i.2.t!.2»  ^"  ^  -  ^*>  ^^^- 

II.  De  l'identité 

_      \  -2n7ta 

on  tire 


1-^.  ^ 


e         sm  ax  c^iz 


OU ,  par  une  formule  connue  (**) , 

sni  ax     ,    _    ;c    ^  1 


/ 


•471- 


D'un  autre  côté , 


I      X-         ,         aï* 


573; -;r  *• 


ou 


I      X'  ,        X- 

471* 


F  (^)  (6). 


La  fonction  F  (x)  est  paire  ;  donc  F"        (0)  =  B.,     ^  =  0. 


(*')  Sturm,  Cours  d'Analyse,  tome  II,  p.  15. 
{*'")  Traité  élémentaire  des  Séries,  p.  115. 


Gonséquemmciit 


I        sin  ax 


l'{x)=''lx    /       -T- ch.O  (7). 


III.  ax  étant  un  arc  positif,  de  grandeur  quelconque,  et  G 
désignant  un  nombre  compris  entre  0  et  +  1 ,  on  a 


3    :i  1n-\      2n-l  2n-\-\     2.i-t-l 

ax  a.  X  ,  c        X  f.      a        X 

1        ^--^  1.2.3...2n— I      1.2.3...2?? +1 


La  formule  (7)  équivaut  donc  a 


2     w      ^     f        g-'^^—i       1.2.3    /         g2'"==_ 


a       da  X  I     ,  a       cL 

e"'"'— 1     1.2.3...  ^~n  +  \J        e'^"'— 


(8). 
1 


Chacun  des  éléments  de  la  dernière  intégrale  est  moindre 

2n-t-1    , 

que  -^7^^^ —  ;  donc 
e     —  1 


(•)   iVofeXLV,  p.  189. 

(**)  Quand  on  développe  sin  a.x  par  la  formule  de  Mac-Laurin,  on  vérifie 
seulement  que  6  est  compris  entre  —  1  et  +  1  (  Sturm  ,  Cours  d'Analyse,  tome  I, 
p.  98).  Mais  ,  par  des  considérations  très-simples  ,  on  prouve  les  inégalités 

iin  y.x  <i  ^or. ,     sin  ax  >  «a;  —  Y^  ,     sin  a-x  <ici.x  —  —g-  +  19345'   ^^'^-  '^ 

d'où  résulte 

0<9<1. 


-  241 


±- 


0  0  1 

)  (9); 

a        rfa     .  a: /     c« rfa 

/"''— 1       'l.2.3...2«+l   /      /""— 1 


1.2.3...2«— 1 


0,  désignant,  comme  G ,  un  nombre  compris  entre  0  et  1. 

IV.  Si  l'on  compare  les  développements  (4)  et  (9),  on  trouve 
d'abord  la  formule  de  Plana  : 


'In-l 


/       a       ace 
in    I       -r 

J  '        -1 


B.,„  ,  =  ûzin    /         ,„„     •  (10); 


puis  l'équation 


T>  T>  r»  T) 

^        1.2        1.2.3.4  1.2.3...2/«  1.2.3.. .2/1+2 

due  à  Gauchy,  et  qui  subsiste  pour  des  valeurs  quelconques 
àcx,  réelles  ou  imaginaires. 


V.  A  cause  de 


J 


—  ce  ~CCX 

\x^    I        ^'     ~^     doc  (12) , 


on  a,  comme  l'on  sait,  pour  toute  valeur  entière  et  positive 
dex, 


(1 


,2.3....:)=     f    ^il      .-"^-i-Z^inn      (13). 


(*)  Journal  de  Mathéinatiquea,  tome  IV,  p.  318. 

16 


-  242  - 


Si  donc,  comme  la  lail  M.  Liouville,  on  représente  par  u  la 
fonctîori  de  x  contenue  dans  ie  second  membre,  on  àufa 

du  /       (h.\      -a  a 

s=y   »|_«  -—,'■  J        (»'• 

La  fraction 


a 


ainsi 


l-"  +  i''(-); 


du 
dx 


/]    e   "  —  <?''■'       1    _aj.     F  (a)    _âx  I   , 


OU,  à  cause  de  la  formule (12) 


i=i-è-/  ^--        "^)- 


Le  n"  terme  de  F  (a)  étant  rrrr^ — r^  ^■'"  ,  l'intégrale  définie 
correspondante  devient 


)J  2«     /'. 


r(2«+  1) 
Quant  à  l'intégrale 

r 


/ 


r(2/i+2)      ,^    , 
elle  se  réduit  à  0,  — â^rr  »  0,  titant  compris  entre  0  et  1, 


-  243  — 
Par  suite , 

et  enfin ,  par  un  calcul  facile  et  très-connu , 


0 


{17). 


(1n—\)^n.x''  '  (2 n 4-1) (2 7? +  2)3:;'"^' 


Telle  est  la  formule  de  Stirling.  Le  facteur  9 ,  qui  entre  dans 
l'expression  du  reste ,  est ,  bien  entendu ,  compris  entre  0  et  1 . 

LVllI.  —  SUR  LES  LIGNES    DE   COURBURE  DE  l'eLLIPSOÏDE  (mAI  1867). 

I.  On  sait  que,  /,  y-,  -j  étant  les  angles  formés  avec  les 
axes  de  coordonnées  par  la  normale  MN  à  une  surface  quel- 
conque S ,  les  lignes  de  courbure  de  cette  surface  peuvent 
être  ainsi  représentées  : 

dx  du  dz 

■^       -  (1). 


rf  .  cos  X      d  .  cos  p.      d  .  cos  v 

Introduisons,  comme  nouvelles  variables ,  le  rayon  vecteur 
u  et  la  distance  v  de  l'origine  au  plan  tangent  en  M  ;  de  ma- 
nière que 

u^  =  x'  +  1/  +  z'-  ^), 

V  =  X  cos  l  -h  y  cos  [X  +  z  cos  V  (3), 

La  normale  étant  perpendiculaire  à  l'élément  MM'  de  la 
ligne  de  courbure , 


—  21  i  — 
cos  /  .  (U  +  eus  a  .  dij  +  eus  >  .  (/.;•  =  0  ; 

et ,  par  conséquent , 

dv  =  xd  (cos  1)  +  yd  (cos  (j.)  +  zd  (cos  v)  (4). 

La  valeur  commune  des  rapports  (1)  est  donc 

xdx  +  ydy  +  zdz udn  _ 

rcrf  (cos  1)  +  yd  (cos  a)  +  zd  (cos  v)  ""   dv  ' 

et  l'on  peut  prendre,  comme  équations  des  lignes  de  courbure, 

dx  dy  dz       _  îidw 


(5). 


rf  .  cos  X      d  .  cos  ij.      d  .  cos  v       riv 
II.  Dans  le  cas  de  l'ellipsoïde  : 


x"       y*      z-       ,  ,,.  x^      y*      z*      i  ,_, 


De  ces  équations ,  jointes  à  la  relation  (:2),  on  lire 


(a*  —  ^  )(fl'  —  c) 


De  plus, 


l'cC       ,  ,       . ,       vdx  +  xdv 
cos  A  =  —  ,    d  (cos  /.)  = 


a*  '       '        '  a" 

donc 

a'rf^r       _  udu 
vdx  +  a;rfu       rfi'  ' 

OU 

(a^lv  —  i'ur/w)  xdx  =  me*  dudv. 


Si  l'on  remplace  x-  et  xdx  par  leurs  valeurs,  on  trouve, 
après  quelques  réductions, 

u^v'du-  —  ?w'  (fl-  +  /^*  +  fi-  —  w)  dudv  +  a'b^c*dv^  =  0  (9). 

Telle  est  l'équation  différentielle  des  lignes  de  eourbure  de 
V ellipsoïde,  rapportées  aux  variables  ?/,  v. 

III.  Pour  la  simplifier ,  posons 

H»  =  U  +  a'  +  b'  +  c\       V  =  ^J^  (10)  : 

il  vient 

YdlV  -  UrfUrfV  +  dX'  -  0  , 
OU 

Cette  équation ,  qui  rentre  dans  la  classe  considérée  par 
Clairault,  a  pour  intégrale  : 

U  =  m\  4-  -  , 
m 

m  étant  une  constante  arbitraire. 

Par  suite,  l'intégrale  de  l'équation  (9)  est 


-      ,,      ,        a'b'c'      1 
u^  —  a-~b-—c-  =  m  ■ — - — f-  -  ; 
V         m 


ou  ,  si  l'on  remplace  m  par  -7- 


abc  -f  (ir-  -n'-  —  /r  —  c')  /  +  '-^  f  -  0  (42). 


—  2'i6  - 
A  cause  des  valeurs  de  ir ,  v'-,  celte  équation  équivaut  à, 

Ibcl       .\  'cal      . \    ,       labl      .\  ,        ,       ,  abc 

[j-  +  ')  ■'■  + 1^  -"  ^  )  ■"  "  (^  -^  ') ■-  =  «  +  '■•  +  <^'  -—  ''^'- 

IV.  Les  surfaces  représentées  par  l'équation  (13)  sont 
des  ellipsoïdes  ou  des  hyperboloïdes,  ayant  mêmes  plans 
principaux  que  l'ellipsoïde  donné,  et  dont  les  intersections 
avec  celui-ci  sont  les  lignes  de  courbure  de  cette  surface. 

Lorsque  /  =  -; — rj — ;? ,  l'équation  (13)  représente  l'origine. 

De  môme  si  /  =  ±  oo  ,  etc. 

Si  l'on  élimine  le  paramètre  /  entre  l'équation  (12)  et  sa  dé- 
rivée relative  à  / ,  on  trouve 

»      Lt       .\.      ^a'b'c- 

{u-  —  a'  —  b^  —  c')-  = r-  (U). 

v 

Cette  relation  est  une  conséquence  de  : 

?/»  =  «-  +  b-  -f-  C'  4-  kr  ,     7—   ^  k'  ; 


donc  la  surface  (14) ,  enveloppe  des  ellipsoïdes  (13) ,  peut  être 
engendrée  par  les  intersections  d'une  série  d'ellipsoïdes  sem- 
blables et  de  sphères. 
En  outre,  la  combinaison  des  équations  (12),  (14)  conduit  à 

2  abc  +  (?r  —  a'-  —  b'  —  c'-)  1  =  0  (15)  ; 

donc  chacun  des  ellipsoïdes  enveloppés  touche,  suivant  iine 
courbe  sphérique ,  la  surface  enveloppe. 

V.  Ajoutons  membre  à  membre  les  équations  (G),  (H), 
après  avoir  multiplié  par  >'  les  deux  membres  de  la  première  ; 
le  résultat  peut  être  écrit  sous  la  forme  abrégée  : 

7    (/  +  -^  +  -  1  .r'  =  /;•  -f-  ia'  +  b'-  +  c°-)'k—  abc  (lU). 


—  247  — 

Pour  une  valeur  donnée  de  /,  cette  relation  appartient  à 
toutes  les  surfaces  du  second  degré  qui  passent  par  la  ligne 
de  courbure  correspondante  :  on  doit  donc  pouvoir  déter- 
miner A  de  manière  que  l'équation  (16)  représente  les  hyper- 
boloïdes  homofo.caux  avec  l'ellipsoïde  donné.  Cette  condition 
conduit  à 

A'  +  {g-  -j-  l>-  +  C-)  L  —  abc      /'  +  (a'  +  b'  +  c')  l  —  abc  _    .  _  /  » . 
lùF+lër+Ud'  bl^  A-  bH  +  cal-  ~ 

équation  d'où  l'on  tire 

Il  _  /'     ^*^*  "^  ^^^'  +  ^'^^ 
abc 

Par  suite,  l'équation  (16)  devient 

V^  r ,      bel'      /'       b'c-  +  c-f(*  -+-  a'b-  ,,  1 
^mi  L         fl         a  a:bc  J 

=  /,' ■ /'  -f-  (a"-  +  b-  +c-)l  —  abc  ; 

abc 

ou ,  plus  simplement , 

X('-T)('-7l-'-  =  ('-F)('~ï)('-f). 
OU  enfin 


-\ 7-   =    1  (1/). 


abc       ,,       abc        ,       abc 

"-'-    "--r    '■■•-T 


-  248  — 

LIX.  —  RECTIFICATION  ET  ADDITION  A  LA  NOTE   WX.  (JANVIER  1867) (*). 

M.  Lebesgue  m'a  fait  observer  que  les  formules  (6)  et  (G') 
ne  sont  pas  assez  générales  :  en  les  écrivant,  j'ai  supposé, 
tacitement,  les  valeurs  de  ^,  ^}  —  1  et 2 a  +  u.- —  1 ,  pre- 
mières entre  elles  deux  à  deux.  Le  môme  manque  de  géné- 
ralité se  remarque  sur  les  formules  (11)  et  (M').  Néanmoins, 
les  résultats  indiqués  dans  le  Paragraphe  V  sont  exacts, 
comme  tous  ceux  que  l'on  déduirait  des  formules  citées. 

En  cherchant  à  corriger  la  faute  dont  je  viens  de  parler, 
je  me  suis  aperçu  que  le  Problème  en  question  se  ramène 
très-simplement  à  la  résolution ,  en  nombres  entiers,  d'une 
équation  de  la  forme 

Ax*  — B2/*=  1. 

Cette  nouvelle  solution  du  Problème  est  l'objet  de  la  présente 
Note. 

I.  Reprenons  les  équations 

2x  +  y  —  i  =  z    (a),       2yz  =  a     {b),        y'  +  s'  —  1  =  jS  (c), 

«(3  =  m'  (rf),      s  -  P       (e). 

D'après  (a),  y  etz  sont  de  'parités différentes  ;  donc  y-,  |5  sont  des 
multiples  c?e  4.  Soient 

0, 6'  ne  contenant  aucun  facteur  carré  ;  autrement  dit  : 
e  =  abcde  .  .  . ,      G'  =  a'h'c'd'e' .  . .  , 


(  *)  Ces  deux  Notes  ont  paru  dans  les  Att.i  delV  Accademia  Pontiflcio  de'  Ni'ovi 
Lin  cet. 


—  249  — 

rt,  &,c,rf,f,...,  d'une  part,  et  ft',  b\  C,  d',e',...,  de  l'autre, 
étant  des  facteurs  premiers  inégaux.  A  cause  de  l'équation  {d), 
6S'  doit  être  un  carré;  donc 

a'  =  a  ,      b'  =  b  ,      C  =  c  ,  .  .  , 

ou 

6'  =:  8  ; 

et,  par  conséquent, 

Soient 

y  =  py,      z  =  qy         (y) , 

^,  q  étant  deux  nombres  donnés,  l'un  pair,  l'autre  impair , 
premiers  entre  eux.  Les  équations  (/?),  (c)  deviennent  ,  à  cause 
des  valeurs  {f)  : 

pqy'-  -  2Gu*    (/() ,      0'*  +  '/*)  '/'—!  =  4Gy*    (A"). 

Éliminante,  on  trouve 

M* 

(/r  +  q')  îr  —  2/?</y*  =  —  ; 

donc  u  est  divisible  par  y  : 

Il  =  yu'  (/)  ; 

et  la  relation  (h)  devient 

pq  =  SBtt'*  (A). 

-,  pq 

II.  Dans  chaque  cas  particulier,  on  décomposera  donc  ^ 

en  deux  facteurs  u'-,  e ,  dont  l'un  soit  un  carré,  l'autre  n'ad- 
mettant aucun  facteur  carré  ;  après  quoi  l'on  cherchera  les 
solutions  entières  de  l'équation 

(p'  -4-  q')  y'-  —  i^V-  =  1  (B). 


-  250  - 
Si  elle  en  admet,  on  emploiera  les  formules 

m.  Applications.  —  1"  ^  =  3,  ^  =  4.  L'équation  (A)  donne 

0  =  6,     2i<  =  \; 

en  sorte  que  (B)  devient  : 

(ny)*-6(2i^)'  -  1  (1). 

L^  sqlutiop  la  plug  sin:iplp  est 

y  =  1 ,        V  ■-  i; 

d'où  l'on  déduit,  par  exemple, 

7  =  97,        1^  =  99; 
puis 

a;  =  49,        x  +  y—  l  =  339,        6-  =  (6.97.99)-. 

Conséquemment 

49'  +  50'  +  Sr  +  •    -   .  +  339'  =  (6.97.99)'  ; 

ce  qui  est  exact. 
^"  p  =  5,  q  —  8.  On  trouve  0=5,  u'  —  2,  puis 

89  y'  —  5  (2  Vf  =  1  (2). 

Le  développement  de  \/^  _  ^'^''^^^  ^  ^  en  fraction  pon- 

▼    5  5  5 

tinue  donne,  comme  fractions  complètes  : 


^^   251  ~ 

R  R  +  20  R  +  Ui  R  -f-  5  R  +  15  R  +  18  R  +  13 
Y' ~~1)   '   31  '   20  '   11  '   11  '   20   ' 

R  +  5  R  +  16  R  4-  20  R  +  20  R  +  10 


21  '   9   '   5   '   9   '   21 


,  etc. 


Par  conséquent  (*),  l'équation  (2)  n'admet  aucune  solution 
entière. 

3"];  =  5,  ry  =  l!2.  On  a  w  =  1 ,  9  =  30  ;  donc 

(13  yf  —  120  if  -  1  (3). 

Cette  équation  est  vérifiée  par 

13  y  =  H,    V  =  i; 

mais ,  comme  la  valeur  de  y  est  fractionnaire ,  on  doit  recourir 
à  la  relation 

(il  +  I/T2Ô)"  =  13y  +  V  Vm, 

en  disposant  convenablement  de  n.  Après  quelques  essais , 
l'on  trouve  que  n  =  9  donne 

7=45     575     339     4.47,        t' -  54    085     723     209. 

On  conclut,  de  ces  valeurs  : 

169'/ =  351  031  854  604  867  350  921  721, 

120 1'- =  351  031  854  604  867  350  921  720, 

.T  =  159  513  698  065, 

x  +  y—  \  =-  387  390  395  299 , 

.s  =  (30.  45  575  339  447.  54  085  723  209)^ 

(*)  Théorie  des  Nombres  ,  tome  I ,  p.  108. 


-  252  — 

lx.  —  sur  le  1>lus  grand  commun  diviseur  algébrique 
(septembre  1865). 

I.  THÉORÈME.  Soient  F^,  F,  deux  polynômes  à  coefficients  entiers, 
dont  les  degrés  sont  m ,  \\\  —  i.  Soit  F  le  reste  de  la  division  de 
B„'  F^^  par  F^  ,  B^  étant  le  coefficient  du  premier  terme  de  F.  Soit, 
semhlahlement ,  F  le  reste  de  la  division  de  C  'f  par  F  ,  G  étant  le 
coefficient  du  premier  terme  de  \\.  Si  les  deiirés  des  restes  F^,  F. 
so)if ,  comme  cela  arrive  ordinairement ,  \\\  —  i2,  m  —  3,  le  deuxième 
reste,  F,,  est  divisible  par  B<,  {*). 

En  supposant 

0  =  Ao,x'    +  A,.x"       +  AjX        -!-...+  A„.  (1), 

F,  =  B„r"'-'  +  D,.t"*-^  +  B,,!."'-'  4-  ...  -  B._..  (2), 

Bo^F„  =  F.Q. +  F,  (3), 

F.  =  C„:c"'-'  +  C..'c'"-'  +  ...  +C„,.^,  (4), 

C;F,  =  F,CI, +F,  (5). 

F,  =  DoO;'""'  +  D.x"'"'*  +  .  .  .  +  D„.-  :j  (6), 

on  voit  d'abord  que  Q    est  le  quotient  entier  de 

B/  (Ao.^,  +  A,  ^'  +  A,) 
par  B  X  +  B  . 


(*)  Ce  théorème  est  dû,  en  partie,  à  M.  Labatie  [Méthode  d'élimination  par  le 
plus  gra?id  commun  diviseur ,  2«  édition  ,  p.  S).  Mais  la  démonstration  de  l'au- 
teur exige  que  les  coefficients  «le  F^ ,  F,  soient  des  polynômes  ,  ce  qui  n'est  pas 
nécessaire. 


—  25d  — 
Ainsi 

Q,  =  A„B„:c  + A.Bo-A„B, , 
ou 

Q,  =  Bo{A„.T4-A.)-A,B.  (7). 

De  môme, 

Q,  =  B„  C„  a:  +  B,  C,  -  B„  C, , 
OU 

Q,  =  Bo{C,x~~C,)  +  B,C,  (8). 

En  outre,  d'après  l'égalité  (3),  C„ est  le  coefficient  de  a;""" 
dans 

Bo'  .  A,  x""-  -  (  B,  x"-  +  T>,  x"'^')  [A.BoX  +  A,  B,- AoBJ  ; 

c'est-à-dire  que 

C„  =  (A,Bo-  A„  B,)  B„  +  (A„  B,  -  A,  B»)  B.  (9) 

Pour  la  même  raison,  C,  est  le  coefficient  de  x'"'"  dans 

Bo'  AsX'""  '  '  -  (B, x"^'  +  B,  .:c"'~^)  [A,  Bo  x  +  A,  B„  -  A»  B,]  ; 

donc 

C,  =  (A3  B„  -  A„  B,,)  B„  +  (A,  B.  -  A„  B.)  B,  (  lOi. 

Maintenant,  l'élimination  de  F,,  entre  les  égalités  (3),  (o), 
conduit  à 

F.  =  (Co'-  +  Q,  Q.)  F.  -  B„^  Q.  Fa  (1 1  j. 

La  seconde  partie  du  second  membre  est  divisible  par  B,  : 
il  suliit  donc,  pour  démontrer  le  théorème  énoncé,  de  faire 
voir  que  la  première  partie  l'est  également. 


-  254  - 

Or,  d'après  les  formules  (7),  (8),  (9)  et  (10),  on  a,  relative- 
ment au  module  B/  : 

Q,  Q,  =  +  BoB.  (A.C„  + A„C,)-A„B.=  Co, 

A,Co+A„C,  =  -  (2A„A,B.+A,'B,-f-A„%)B„  +  AoB,(A,B.4-AoB,), 

Q.Q,  =  +  A„B„B,'(A.B,+A„B.)-A„B,'(A„Br-A„B„B -A.B„B,) 

^+  2AoBoB,'(A.  B,  +  A„B,)  — A„B,', 

Co  =  — (AoB, +  A,B,)B„  +  AoB,% 

C„=  =-2AoB.*(AoB.  +  A.B.)B.  +  Ao'B.*; 

donc  enfin 

C,=  +  Q,  Q.  =  cMd  .  b:. 
II.  Application. 

F„  =  X'  4-  x''  +  2.r=  +  x-h  i,        F,  =  Ix^  +  ix'  +  x+  \. 

On  trouve  ,  en  multipliant,  F  par  7   : 

F,  =  79a;'  -f-  39  a;  -f-  40  ; 

puis,  en  multipliant  F,  par  79  : 

F,  =  —  ^  g74a;  +  4  263  =  7'  (  —  426^-  -h  87); 

Ainsi  le  deuxième  reslo  est  divisible  par  7'. 

Si  maintenant  on  prend  -i^G'F,  pour  dividende,  et  4:20  ;f  —  87 

pour  diviseur,  le  reste  R  égale 


-  255  — 

79  .  87--  +  39  .  87  .  426  +  4b  .  126' 
79  .  87^  +  426  (3  393  +  19  596) 
79  [87'- -f- 426.  2911, 


OU  enfin 


R  =  79-^  .  1  665. 
LXI.  —  SLR  l'équation  DU  QUATRIÈME  DEGRÉ  (1863). 

I.  Pour  résoudre  l'équation 

X'  +  Aa;=  +  Bx  +  C  =  0  (1), 

à  eoeftîcients  réels,  posons 

X'  +  Xx-  +  Ba;  +  C  =  (a;'  +  px  +  q)  {x°  —  px  -t-  q')  : 

nous  devons  trouver,  pour  l'es  inconnues  ]; ,  q,  q' ,  an  moins 
an  système  de  valeurs  réelles. 

En  égalant  les  coefficients  des  mêmes  puissances  de  x , 
dans  les  deux  membres  ,  on  obtient 

P 

q'  +  q  =  \  +  p--,     q'  —  '/--,     W'  =  C  ; 

puis ,  en  éliminant  q  et  q' , 

(A  +  pj  -  5:  =  4  c  (2). 

p- 

Soit 

A  +  p^  =  q'  +  q^z  (3); 

l'équation  (2)  devient 

%^  —  A;:,'  —  iCz  —  (B'  —  4AC)  =  0  (4). 

Telle  est  la  réduite  de  l'équation  (1). 

II.  D'après  la  relation  (3) ,  Véquation  (4)  a  au  moins  une 
racine  plus  grande  que  A  (*).  Si  l'on  désigne  par  y  cette  ra- 
cine, on  trouve 


(*)  On  reconnaît  aisément  qu'elle  en  a  un  nombre  impair. 


—  25G  — 
1  I  B 


\/y-k'  )  (5) 

1  /  B      \ 


etc. 

III.  L'équation 

X'  +  X-  +  8a:  —  15  =  U 
a  pour  réduite 

::,'  —  2.'  +  t)Os  —  124  =  0. 

Celle-ci  donne  7  =  2.  Donc 

/>  =  !,     f/'  =  ^,    </=— 3; 
et  enfin 

X'  +  x^  +  Sx  —  15  =  {x^  +x—  '6)  {x-  —  X  +  5). 

IV.  Remarque.  — Lorsque  la  réduite  (4)  a  trois  racines 
réelles,  plus  grandes  que  A,  la  proposée  (1)  a  toutes  ses  ra- 
cines réelles.  Mais  alors  les  formules  de  Cardan  (*)  deviennent 
illusoires,  et  les  valeurs  de^,  q,q'  ne  peuvent  être  exprimées, 
sous  forme  réelle,  en  fonction  des  coefiicients  A,  B,  C.  Il  en 
est  de  même  si  la  réduite  a  ses  racines  réelles  ,  mais  non 
supérieures  ,  toutes  trois,  à  A.  C'est  donc  seulement  quand 
l'équation  (4)  a  une  seule  racine  réelle  que  les  formules  de 
Cardan  peuvent  être  appliquées  utilement  à  la  résolution  de 
l'équation  (1)  (**).  Ce  cas  est  celui  où  les  coelllcients  A,  B,  C 
satisfont  à  la  condition 

—  16  (A*  -  iCy  c  +  4AB'  (A-^  —  3(iC)  +  278'  >  (l. 


i*j  Ou  plutôt  de  Tartaglia.  Voi/ez  la  savante  Notice  insérée,  par  Terquem,  au 
tome  XV  des  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques. 

(**)  Je  mets  de  côté,  bien  entendu  ,  le  cas  où  ré(juatiou  (1)  aurait  des  racines 
égales. 


—  257  — 
LXil.  —  SUR  LES  COORDONNÉES  CURVILIGNES  (*). 

I.  Soit  un  ellipsoïde  donné,  ayant  pour  équation 

-  -+-  TT  +  —  =  1  1  • 

a-        h-        c* 

Les  hyperboloïdes  homoibcaux  avec  celte  surface  peuvent 
commodément  être  représentés  par 

«■^  v  ^"-  ^  /g^^ 


cf'^  —  u-        II-  —  u-        c'  —  u* 


œ*  y-  ^'  ,  /o\ 


a^  —  V-        b-  —  v^        c-  —  V 

Nous  supposons 

a>u>b>v>c  (4)  ; 

de  manière  que  l'équation  (2)  représente  des  hijperboloïdes  à 
deux  nappes  ,  et  l'équation  (3),  des  hijperboloïdes  à  une  nappe. 

II.  On  tire,  des  équations  (1),  (2),  (3)  : 
puis,  de  celles-ci  : 


dx  =  — 


(a'  —  ti=)  udu  +  {a^  —  îL^)vdv         \ 


V  {a'  —  ^-l  («'  —  c')        i^  {a-  —  w)  {a^  —  V) 


b                {b'  —  v^)  îidu  +  {b-  —  ?i=)  vdv 
dy  = ,  ■ .  y  .         >     (6) 

c  (c-  —  v^)  udu  +  (c*  —  îi')  vdv  _ 


(*)  Résumé  de  quelques  leçons  faites  à  l'Université  de  Liège,  en  juin  1866. 


-  258  - 

Nous  allons  calculer  ,  au    moyen    de    ces    valeurs ,    les 
quantités 

1-'  1^-  1'-'  Z^'  2«'-. 

dont  nous  aurons  besoin  plus  tard. 
III.  l''  En  posant 

{a*  —  b')  {b'  —  c')  (c*  —  fl'  )  =  P  , 

on  a  d'abord 

>   oî'  =  —  -  2  ft«  (6»  —  c')  (ft'  —  u«)  (a'  —  V) 

=  —  -ïla'{b'—c')-{u*-\-v^)la\b'—c*)+ïi*v*la^b*-c*)ï 

Or: 

la'ib  —c')=  —"P  (a'  +  b'-  +  c') , 

1  fl*  {b'  —  c«)  =  -~  P  , 

2  a*  (b*  —  c)  =  0  ; 
donc 

V  ic*  =  a*  -h  b*  +  c*~  u*  —  v*  ; 

OU 

X»  +  y'  +  ^'  =  a'  4-  ^'  4-  c'  —  w»  —  i;«  (*)  (7). 


(*)  Cette  relation,  très-connue,  est  comprise  dans  un  théorème  général,  que 
j'ai  démontré  autrefois  {Mémoire  sitr  la  transformation  des  variables ,  etc.  — 
Académie  de  Bruxelles.  —  1840.) 


-  259  — 
2"  De  même , 


x^ 
"ô*" 


aWPL 

OU 

X*    _    y    _    z^         u^v- 

a*    '    6*    '    c*   ~  a'b'-c'- 

(8). 

3"  Des  formules  (6),  on  déduit 

=  -^  n — r;m — ^-^  I  t — ^u*du^+'imdudv+  -- — rrfy*   ; 
(«*—&*)(«.'— C-)  I  a*— ît*  «*— f*         ' 

ou,  en  supprimant  une  somme  nulle, 

dx'=  - ^  u'du*  1  a\b' -c') ^J^l  -^^'^^'  ^  «'(^'— c')^J^]      (9). 


Or 


De  plus,  à  cause  de 

(a  —  î;^)(^^— 7i2)(c.2  — M') 


-  260  — 
la'  (b'  -  c'){a"-  —  v'){b''  —  u'){c*  —u') 

=  a'l>-c'  I  a'{b*  ^c')-u'l  a'{b*-c*) 

+  îi*  1  ff  '  {b'  -  c^)  -  a'  b^  c-  V'  1  {b*  -  c*) 

+  u^v*  la-{b'  —  c')  —  u'v-  la^b*~c') 

=  u'la'  {b^  —  C-)  +  li*  V'  1  a*  (b'  -  c*) 

=  —  Vii^îi^  —  v'^). 
La  relation  (9)  devient  donc ,  simplement , 

dx'+dy'+dz'={u''—v'')  \\]'  u^  du'  —  y'v'dv''~\ 

dans  celle-ci ,  on  suppose,  pour  abréger , 

îi*  ,,.  v^ 


(10) 


4"  On  trouve,  avec  la  même  facilité, 


i-,  (*)• 


u^-i)^)ru^rfu'— V^rfvO  (11). 


5"  La  quantité  V  a^^dx-  se  décompose  en 

P  a'  —  m' 

—  2  — - —  la'{b^—c^) 

fr-  la*ib'-c')-r—j. 


a'—v 


(*)  Eu  vertu  des  inégalités  (4),  les  fonctions  tJ%  V*  sont  positives. 


—  261      ■ 
Or: 

la'ib'-C')  =  —V, 

De  plus,  en  négligeant  deux  termes  nuls  : 

la'{b-—c-){a-  —  v-){0''—u-)ic-  —  u-) 

=  _  Pa^ô^c'— w*  2fl«(**— c*)  +  u'  la'  {b-  —  c-)  ■+■  PwV 
=  —  pfa-bH''—{b^c^  +  c^a^+a^b'')u^  +  {a'  +  b'  +c^)u*  —  u*v-\ 

=  —V\{a''—u^){b-  —  u*){c''-u')+u'{u'  —  v*)\. 
La  somme  cherchée  est  donc 

et ,  par  conséquent , 

a^dx^ 


=  (iidu  +  vdvf  +  (7r  —  v"-){V>''u^du^  —  \^v*dv^)  (12). 

IV.  Soient  /,  p  les  dislances  du  centre  0  à  un  point  quel- 
conque M  et  au  plan  tangent  en  M  (*)  ;  soient,  en  outre,  ds,  ds' 
les  éléments  MM',  mm'  d'une  courbe  et  de  sa  transformée 
sphérique,  déterminée  par  les  formules 

X  =  ax' ,    y  —  by' ,    z  =^  cz'  : 


(*)  Le  lecteur  est  prié  de  faire  la  figure. 


-  262  - 
les  équations  (7),  (8),  (10),  (11)  deviennent  : 

/'  =  a^  +  b'-  -f-  c'  —  u'  —  v'  (7') , 

puv  =  abc  (8'), 

f/s2  =  (m9_  v^~)    U^u-idu'  —  V^  v^dv^  I  (10') , 

ds''  =  (îi^— i^«)fu2rfu2  — V^rfv^l  (11'). 

V.  Considérons  sur  l'ellipsoïde  deux  espèces  de  courbes  : 
les  unes,  intersections  de  cette  surface  par  des  sphères  con- 
centriques avec  l'ellipsoïde;  les  autres,  lieux  des  points  de 
contact  des  plans  tangents  dont  la  distance  au  centre  est 
constante.  D'après  les  relations  (T'),  (8'),  les  équations  de 
ces  courbes  sont,  respectivement, 

u-  +  V-  =  const  (*),     uv  =  const. 

Ces  mômes  relations  (7'),  (8')  expriment  d'ailleurs  que  les 
parai! élipipèdes  ayant  pour  arêtes  1,  u,  v  oî*  p,  u,  v,  o??^  les 
diagonales  constantes  ou  un  volume  constant. 

VI.  Soient  R,  ,  R,  les  rayons  principaux  en  un  point  quel- 
conque de  l'ellipsoïde.  On  sait  que 


(*)  Il  est  assez  remarquable  que,  dans  ce  système  de  coordonnées,  YelUpse 
sphérique  soit,  pour  ainsi  dire,  représentée  par  Yéq^iation  du  cercle. 

(**)  DuPiN,  Développements  de  Géométrie,  p.  212.  Il  résulte,  de  la  dernière 
relation  ,  que  si  im  plan  roule  de  manière  à  toucher  constamment  un  ellipsoïde 
et  une  sphère  concentriques ,  le  lieu  de  ses  points  de  contact  avec  l'ellipsoïde  est 
une  ligne  de  courbure  co7istante.  On  peut  consulter  aussi  le  Mémoire  intitulé  : 
Recherches  sur  les  surfaces  gauches.  —  Académie  de  Belgique ,  186(i. 


-   263  — 

Au  moyen  des  équations  (7'),  (8'),  on  transforme  ces  for- 
mules en  celles-ci  : 


R.  +  R.„     '"'+,'")''".      R,R.-     «'"■ 


abc         '       '     *       a-b-c^  ' 
d'où  l'on  conclut,  en  supposant  R,  >  R^  : 

valeurs  remarquables  par  la  simplicité. 

Il  en  résulte,  en  particulier,  que  les  équations  des  ombilics 
sont 

u  =  V  =^  b; 
OU 


flî  ^2 

Xi  =  a^  — ; ^  ,       î/  =  0  ,        x^  =  c*  -^ 


a-  —  c-  fl-  —  c- 


VII.  Dans  un  beau  Mémoire  de  Joachimstal  (*),  l'équation 
générale  des  lignes  géodésiques  est  mise  sous  la  forme 


IdXd-x      -SXriX      1  dxd-x  _ 

IdXdx  '^    IX'    ~    Idx'     "     '  ^    ^ 


X,  Y,  Z  étant  les  dérivées  partielles  de  la  fonction  F  (x,y,z) 
qui  forme  le  premier  membre  de  l'équation  de  la  surface 
donnée.  Dans  le  cas  actuel, 


a-  b^  c' 


[*)  Journal  de  Crelle,  tome  XXVI. 


—  204   - 
Par  suite,  une  intégrale  première  de   l'équation  (14)  est 

a'  //         C        (f  dx^       dy^       dz'  ^    '' 

a-    "^  "F"  "*"  ~ 

g  représentant  une  longueur  arbitraire. 

Au  moyen  des  formules  du  paragraphe  III,  on  transforme 
cette  intégrale  ,  soit  en  la  relation 


M' 


■pd)^  (16) , 

•'     / 

soit  en  celle-ci  : 

{\]'du^  —  \Hv^)  îi*v'  =  h'  {IVn'du'  —  V'v'dv')  (17)  , 


dans  laquelle 


VIII.  On  tire,  de  l'équation  (17), 


{]udu  _^      Vvdv 

±  --: (18). 


Par  conséquent,  l'inlégralo  seconde  de  rr^qualion  (14),  ou 
l'équation  des  lignes  géodésiques,  est 


u-du 


y  {a'^—n-){b'-—u-){c'-—u-){ti-—h-) 


\'  (a'—v-)(p'  —  v''){c'--v-){v-—h'') 


^  coiist.      (19). 


—  265  — 
Elle  équivaut  à 

F  {u)  ^  F  (v)  =  const.  (!20) , 

F  (a)  représentant,  en  général,  l'intégrale  abélienne 


x-ch. 


IX.  La  combinaison  des  équations  (10)'  et  (18)  donne 

u^  —  li- 
ou 

{u-  —  v^)  Hiidu 
ds  =  — .  /.  =       • 

[/■u'  —  h' 

Le  second  membre  est  la  même  chose  que 

{jirdu  Uuv-du 

donc,  en  vertu  de  l'équation  (18), 

Vhi^du  \v^dv 


ds  =  ■ 


«  Ici,  «  dit  M.  Liouville ,  «les  variables  sont  séparées  comme 


(*)  Voir,  sur  ce  point,  une  Note  de  M.  Liouville  [Journal  de  Mathématiques , 
tome  IX).  La  plupart  des  résultats  auxquels  nous  venons  de  parvenir  ont  été  dé- 
montrés déjà  parce  savant  Géomètre  ;  mais  il  les  a  trouvés  en  considérant  la  ligne 
géodésique  comme  la  trajectoire  d'un  point  qui  ne  serait  sollicité  par  aucune 
force  accélératrice  :  nos  méthodes  sont  donc  essentiellement  différentes. 


—  266  - 

dans  l'équation  même  de  la  courbe  ;  on  a  donc  cette  formule 
très-remarquable  »  : 

s  = 

I  {a'—u'){b'—ir)[c'—ir){ie—li')     J     \/{a'—v-'){b'—v'j{c'—v'){v'—h'') 

+  const  (21). 

II  en  résulte  que  l'arc  de  la  ligne  géodésique  s'exprime 
par  la  somme  ou  la  différence  de  deux  intégrales  abéliennes. 

X.  D'après  une  remarque  de  Joaohimsial,  le  rayon  de  cour- 
bure d'une  ligne  géodésique  est  donné  par  la  formule 

m* 

dans  laquelle  m  est  une  constante.  A  cause  de  p'  =  ^^-^  , 
cette  formule  équivaut  à 

(R,  Ky 


0* 


=  const.  {^2-2} 


Si  la  ligne  géodésique  est  une  section  principale,  p  =  R_ ,  et 

R  ' 

-r^  =  const. 
R. 

a* 
Au  sommet  C  de  la  section  principale   AOG,  R,  =  -^  , 

b-  b" 

R,  =  —  :  la  valeur  de  la  constante  est  donc  —-r  ;     et ,     par 

conséquent, 

JlL-   ^   _1_  (23) 

R,    aV*  ^  ^ 


-  267  — 

XI.  Pour  chaque  valeur  attribuée  à  la  constante^,  l'équa- 
tion (15)  représente  une  série  de  lignes  géodésiques.  Cher- 
chons les  trajectoires  orthogonales  de  ces  courbes  (*). 

En  représentant ,  pour  un  instant ,  par  dx,  Sy,  §z  les  diffé- 
rentielles relatives  à  la  trajectoire,  on  a 

dxdx  +  dy§y  +  dz§z  =  0,    —  dx  +  rr dij  -\-  -- dz  —  ^  ; 
j   V  a-  b-  c^ 

d'où 

dx  dy  dz 


Idz-^rhj       %§x--^§z       ±dy-ldx 
h-  c-    ^        c-  a^  a-    -^       b- 

Substituant  dans  (15),  et  rétablissant  dx,  dy ,  d%  au  lieu 
de  dx,  dy,  dz,  on  trouve 


l\TTd,z—~  dy 


p'        y  1  /y^.     ^ 


4(>-?4 


(24), 


équation  différentielle  des  trajectoires  cherchées. 
La  somme  placée  en  numérateur  est  égale  à 


^^i^^T-h'-'^^'v"' 


_  ds^       ixdx      ydy      zdz'^_  ds^ 
p-        \  (i^         b-         c^  I       p'^ 


(*)I1  est  bon  d'observer  que,  d'après  une  remarque  de  M.  Michael  Roberts, 
toutes  ces  lignes  géodésiques  sont  tangentes  à  une  même  ligne  de  courbure. 
{Journal  de  Liouville  ,  tome  X).  Couséquemment ,  les  trajectoires  orthogonales 
cherchées  sont,  pour  ainsi  dire,  des  développantes  de  la  ligne  de  courbure. 


-  268   - 
De  même, 

V.    <i^'  1 

=     ^  1  a^dx'  —  {xdx  4-  ijdij  +  zdzY  . 

L'équation  (i24)  devient  donc,  par  celte  première  réduction, 
1  aHx^  —  {xdx  -+-  ydij  +  zdzf  =  h^ds*  (25). 

Nous  avons  trouvé  : 

V  a'dx'  =  {udu  +  vdv)'  +  (w'  —  t^*)  [li'u'du'—X'v'dv'] , 

De  plus,  à  cause  de  la  relation  (7), 

xdx  +  ydy  +  zdz  =  —  (udu  +  vdv). 
Par  suite,  l'équation  (25)  devient 

\]-u'dîr-  —  y-v'dv^  =  h^  \\V-n-du^  —  V*î^V/v^l , 
ou  ,  ce  qui  est  équivalent , 


\]u  y  n-  —  //■-  du  =:  ±:Vv  y  v^  —  h-  dv  (2G). 

L'intégrale  de  celle-ci,  c'est-à-dire  l'équation  des  trajec- 
toires ,  est  donc 


»  ,     »  /  u'—k- 


(a-  —  u-)(f)-  —u-'){c''  —  n"") 


yl  v^  —  II' 


V  («'  -  '^^W  -  v-W  —  V') 


-  269  - 

(ADDIT10>-.  —  AOUT  iSGl). 

Xlî.  Le  dernier  caleul  peut  être  simplifié  et  généralisé.  A 
cause  de 

[a-  —  V)  udii  +  (ft-  —  u^)  vdv 
dx  =  —  a 


dx  —  —  a 


\/{a^—  b-)  {a'  —  C-)  {u^  —  m=)  [a^ — v')  ' 
(a'  —  v^)  mu  +  («^  —  u^)  vdv 


\/(a2—  ^')(ft-^  —  c'){a'-  —  u'-)ia-  —  v')  ' 
la  condition 

dx  §x  +  dy  dy  +  dz,  oz  =  0 
équivaut  à 

\a^b'-C'-)\^Ç^U^dudu+UVidudv  +  dvdu)+  ^IH^  i-^^î;^)yl  =  0 

ou,  par  les  transformations  employées  ci-dessus  (III,  3"),  à 

\j-u^dudu  =  V-vUlvdv  (28). 

Il  est  facile  de  comprendre  l'usage  et  l'utilité  de  cette  rela- 
tion générale  :  si  l'on  se  donne  l'équation  différentielle 

Udu  =  Ndv  (29) 

d'une  série  de  courbes  G,  on  en  conclut  immédiatement,  pour 
leurs  trajectoires  orthogonales  G, , 

-w'^'^^-r'"  (30). 

XIII.  1°  Si  les  courbes  G  sont  les  lignes  géodésiques  con- 
sidérées dans  le  paragraphe  VIII , 

Uu  Yv 

M  =     ^  ,    N  =  ± 


[/u'—k-  Vv'  —  h'' 


-   -270  — 
et  l'équation  (30)  devient 

Vu\^u'-—ir-§u  =  ±  VvVh^-v-  ov  : 

celle-ci  ne  diffère  pas  de  la  relation  (26). 

2"  Si  les  courbes  C  sont  définies  par  w-  +  v-  —  const,  ou 
par  uv  =  const.  (V) ,  on  a ,  dans  le  premier  cas , 

M  =  w  ,    ^=  —  v; 

et ,  dans  le  second  , 

M  =  y,    N=  — i/. 

L'équation  différentielle  des  trajectoires  Ci  est  donc,  soit 

\]'u§H  +  \H'dv=0  (31), 

soit 

UHi'du  -f  Y'v'^èv  =  0  (32). 

Dans  chacune  de  celles-ci,  les  variables  sont  séparées,  et 
l'intégration  est  facile. 

3"  Supposons  que  les  courbes  C  constituent  un  système  de 
sections  circulaires  de  l'ellipsoïde.  L'équation  dilTérentielle  de 
ces  courbes  est,  comme  l'on  sait. 


(l_c.    /  a'  -  b'- 


le  radical  pouvant  être  pris  avec  un  signe  quelconque.  Mais , 
par  les  formules  (6), 


c  *    a-—b^  {c2~i")udu-h{c^-  —  m)vdv  ^  /{g- —u')ia- —v^) 


dx     a^  b'^  —  c'  {a''~-v^)udii  +  {(i°'—u^')vdv  V  {c- —  u-){c-—v-)' 

conséquemment ,  l'équation  différentielle  des  sections  circu- 
laires ,  rapportées  aux  coordonnées  m  ,  v ,  est 

{c^  —  v'')udn  +  {c-  —u-)vdv  __  [a"  —  v")  ndu  -+-  (a"  —  u^)  vdv 


—  271  — 
ou,  plus  simplement, 

ic  d  H  V  d  V 


(33), 


1/  ia'  —  II')  {c'  —  II-)     V  {a'  —  V)  (c-  -  V') 

Par  suite,  l'équation  (30)  devient  : 

M'  eu  V'  âv 

(/r  -  II')  V  {a-  -  u')  {n'  —  r)  ~  "  {If  ~  o')  \/ {a*  —  v')  {v*  —  c*)   ^^^^' 

XIV.  Pour  intégrer ,  on  peut  prendre  : 

,  _  a'  //  +  c'        .  _  a'  q-  +  c' 
''' ~     l+/r    '     "'  ~     \+q'    ■' 

on  trouve  ainsi  : 

a'  p-  +  c'  d  p     _  a-  q-  +  c'  d  q 


{a'  —  ir)  p'-  —  {If  —  c'-)  1  +  f      {a'  —  b')  q'~{b'-  r)  1  +  q' 

D'ailleurs 

a-p-  -^c'-  1 


{ir—b')p'-{b'  —  c')  1  +// 
b' 


r  ' '       1 

[j)  y  a-  —  b'  —  Vb'  —  c'     p  Va-  —  If  +  Vb'  —  c'J 


2  \/b'  -  c'  [  p  Viv  ~  b''  -  Vb'  -c'     p  Va-  -  If  +  Vb'  -  c' 

1 

1   +    p- 

Conséquemment,  l'intégrale  de  l'équation  (34)  est 

^'  l  pV^^-VF^^  arc  tg  p 

2  V{a"-—  b')  {b'- — c')     p  V  a'~b'  +  Vb'  —  c* 

b'-  ,  q Va-—b'  —  Vif~^' 

-i ■  1  — ,  .  +  arc  tgr/  =  co«sf 

2  \  UC-  —  b')  {b'  —  c')     q  Va'  -  b' +  Vb'-  —  c' 


—  272  - 
OU ,  si  l'on  fait 

b*  I  sin((5  — v)sin('G  — y) 

c\/7~i — htth ?:  1    ■   ,  '   ,    .    ■    ,n — -T  +  cp  +  G  =  const.  (*)  (35) 

XV.  REMARQUE.  Vintégvale  de  réqualion  (33),  ou  l'équation 
des  sections  circulaires,  rapportées  aux  coordonnées  9  et  ô , 
est 

'p  —  G  =  fo«s^  (36) 

Pour  interpréter  ce  résultat,  considérons  les  deux  hyper- 
boloïdes  passant  par  un  point  quelconque  M  de  la  section 
circulaire  G,  puis  les  cônes  asymptotiques  correspondants. 
Soient  OG,  OH  les  traces  de  ces  cônes  sur  le  plan  %x ,  de 
manière  que  OG  soit  l'asymptote  de  l'hyperbole  représentée 
par 

X-  %"■ 

7  +  — r=  U 

ft  — u-        C" — II- 

et  que  OH  soit  l'asymptote  de  l'hyperbole  dont  l'équation 
est 


1. 


(r  —  v        c'—v 
On  a 

cp  =  GOo;,  G  =  GOIi; 

et,  par  conséquent  : 

Les  génératrices  jmncipales  (situées  dans  le  plan  :;-,i')  des 
cônes  asymptotiques  aux  hyperholoïdcs  passant  en  un  point 
quelconque  d'une  section  circulaire  de  V ellipsoïde,  font  entre 
elles  un  angle  constant. 


(*)0n  trouvera,   dons  la   Note  LXV,   une  autre  solution  du  ])robléme  des 
trajectoires  orthogonales  des  sections  circulaires  de  l'ellipsoïde. 


—  273  - 

LXIII.  —  AIUE  d'une  surface  DU  QUATRIÈME  DEGRÉ. 

I.  Cette  surface ,  bien  connue ,  est  engendrée  par  une  droite 
D,  de  longueur  donnée,  dont  les  extrémités  glissent  sur  deux 
droites  fixes  A,  B ,  non  situées  dans  un  même  plan ,  et,  pour 
plus  de  simplicité,  supposées  perpendiculaires  entre  elles. 

En  appelant  2c  la  longueur  de  la  commune  perpendiculaire 
aux  directrices ,  et  7  l'angle  constant  formé  par  les  directions 
de  cette  droite  et  de  la  génératrice,  on  trouve  aisément  que 
l'équation  de  la  surface  est  réductible  à  la  forme 


{c  +  zf     {c-zy 
Quant  à  la  génératrice ,  elle  peut  être  représentée  par 

a;  =  (c  +  :r)  tgycoso,    ?/ =  (c— 5)tgy  sinç,  (2) 

9  étant  l'angle  de  A  avec  la  projection  de  D  sur  le  plan  xij. 
Les  angles  « ,  /3 ,  que  fait  D  avec  les  axes  des  x  et  des  y ,  sont 
déterminés  par  les  formules 

cosa  =  sinycosç,    cos [3  =  — siny  sin  tp.  (3) 

II.  Lorsque  la  génératrice  se  déplace,  un  point  M  de  cette 
ligne  décrit  nn  petit  arc  d'ellipse  :  la  longueur  et  les  projec- 
tions de  cet  arc  vérifient  les  relations 


(4) 


ds*  =  dx*  +  dif , 
dx=—(c-i-z)\g  y  sintp  rfcp,  rfy=(c  —  z)tgy  cosç  rf<p. 

V  étant  l'angle  de  ds  avec  D ,  on  a 

-,       dx  dii        -3  sin'y    .    .     rfo 

cos V  =  -7-  cos a  4-  T^ cos iS  =  —  c  — -  sin ^(o-r-  (5) 

ds  ds  cos  y         ^  ds 

Si  l'on  prend  sur  D ,  à  partir  du  point  M  ,  une  distance  infi- 
niment petite  MRî'  =  do  —  ~7>   le  parallélogramme  qui  a 


-  27i  — 

pour  côtés  ds  et  da  peut  être  considéré  comme  l'élément  de  la 
surface.  L'aire  de  ce  parallélogramme  est 

rfA  =  rfsrfasinV. 
Mais,  par  les  formules  (3),  (4),  (5)  : 

donc 

siny   ,    ,    ,  ,, — 

dA  --=  — ^dfdz  ^'(î;— ccos2(p)'+c*cos'ysin*29  » 

puis 

^  f/'f     /     dz  l/(s  — ccos2cp)*4-c-cos*7sin=2cpn.  (6) 


cos'v 


III.  En  général , 

/    du \^ïF+âF "=  ^u  VW  +  rt'  +  ^  a*  1  (if  +  '/2{*  +  tt*)  -I-  const  ; 
donc ,  R  étant  le  radical  qui  entre  dans  la  formule  (6) , 
/    Rrfz=  -(z— ccos2(p)R+-c'cos*ysin'2!pl  r— ccos2p+R  +co?i.$/; 


(*)  On  ne  considère  ici  que  la  partie  de  la  surface  limitée  par  le  plan  zr ,  le 
plan  31J  et  les  directrices. 


-  275 


r-  ^ 

/    Rrfî=!2c-  siiP(pt/l— sin*ycos*94-cos'!pj/l— sin'ysin*© 

1   ,      ...    i(sincp  +  |'^l  —  siir  7C0S^©)sincp 
+  --  c-  cos-  y  siii^  2  cp  1  î^ i '    — ^ '- 

(— cûstp+î/l— sin'ysin^cp)cos<p 
Au  moyen  de  cette  valeur  et  de  l'identité 


(7) 


sin(p+  J/i  — siu'ycos^cp 
— cos!p+  [/ 1—  siiry  sin'cp 

_  (sinŒ)4-  j/j—  sin^  y  cos'  (p  )  (cosy  +  V  1— siiï-  y  siu'y  ) 
sin°  cp  COS"  y 


la  formule  (6)  devient 


c^siny 


çdîp\/l— sin'ycos-cp+    I     cos'tprf^  l^  1— sin*y  sin^cp 


0 

-cos' y!      I      sin'Sçd^ 


9  1  (sin  9  4-  l-"  1  —  siir  y  cos'  tp  )  ^ 


2  

sin*  2  ycfo  ]  (cos  tp  -+-  i^l  —  sin*  y  sin*  ç) 


—  2    #      sin' 2  tp.rf(p  i  (sin^))  — 21  (cosy)      |       sin-2(pc^(p  j" 


-  276  - 


IV.    Les  quatre  premières  intégrales  sont  égales  deux    à 
deux  (*)  ;  donc  : 


c'smy  / 


cos'^rfipi/  1  —  sin'ysin*© 


/    I        sin 


+  cos*  y    /        sin*2cpd(pl(cosa3-f-Kl— sin'ysin*!}/) 


—  cos*y     /        sin*29d!pl(sin9)— cos*  y  l(cosy)    /       sin*2(pd^; 


OU 


A=  -^^^^r^M  +  Ncos'yl  — c'sinyrP  +  Ql(cosy)l;  (9) 

en  supposant  : 


(*)  Il  est  visible  que  la  bissectrice  de  l'angle  xOij  est  un  axe  de  symétrie  de  la 
surface.  Nous  aurions  donc  pu  ,  au  lieu  de  la  formule  (6),  en  prendre  une  autre, 

dans  laquelle  les  limites  seraient  0  et  -,  0  et  c.  Mais  cette  simplification  est  plus 

4 

apparente  que  réelle. 


M  =      /        cos'(pû!(p  1^1  —  siri-ysiii'cp  , 


N  =     /     "  sia*  "2  cprf^p  1  (  oos  cp  +  i/ 1  —  sin*  y  siiP  cp) 

(10) 
P=      I        sin*2(pû!!pl(sin'p) , 


y  S... 


= y*%.. 


2(prf(p 


/ 


La  question  proposée  se  réduit  donc  à  la  détermination  de 
ces  quatre  intégrales. 

V.  1« 


i/K- 


Q  =  i   /    '  (l-cosi9)rfcp=  ^.  (11) 


2"  Pour  calculer  M ,  posons 


u 
sm  cp  = 


siny 
il  résulte  ,  de  cette  transformation , 


du  .         i  « 

COS  Çrf©  =  -. — -    ,        COS-  ©  =  1 — ;— 

T   T       smy  '  sia*y 


—  278  — 
puis 

du\/\—u' A-     I   n'duy'l—u*. 

SI  11' y      I 


Or: 

r 

I  A  I 

I    du  \/\—u*=-u  y \  —  u- +-avc&imi, 

o 

u*du\/ i—u^  =  —  7(1  —  «*)' w  +-    /    du  yi—u' 

=  —  -  (1  — w')"ît +-.M  I/l  —  M*4--  arc  sinw; 


donc 


/ 


./ 1 

duV  \  —  u-  =  -  (siny  cos  y  +  y), 


duV\—u-—  iT    (  1  ~2ros*y)siny  cosy  +y  1; 


et,  après  quelques  réductions, 


3°. 


M  =  ■         ^^  f(2  — CO.s!2y)sin2y  +  2y  (1— 2cos2y)  .         (12) 


P"-     /    ~I(sine.)f/'v  — -      /    ~  cos-i  (j:.  1  (sinG/)rf^. 


-  279 
On  sait  que 


/ 


l(sin(p)rf^=:  -^12  0. 


De  plus ,  à  cause  de  xlx  =  0  pour  x  —  0, 


f 


cos4©  i(sm  (jojflo  =  —  -     I        siii4^-T — ^  «<p  , 


sin 


OU 


cos4(pl(sinri>)rf(p=— -  2    /    ~cos2©ûf(p  +  -^+     /    "cosiçf^^ 


Par  suite , 


P  =  ^(l-4l2)  (13). 


VI.  La  détermination  de  l'intégrale 


N  =      /       sin*2(prfcpl(cos<p  +  j/l  — sin'ysiii'ip) 
présente  d'assez  grandes  difficultés.  Pour  essayer  de  les 

(*j  Bierens  de  Hnan,T.  330.  —  L'entête   de   cette  table  contient  une  faute 
typographique;    an  lieu  de  :  Li/n.  0  et  - ,   on   doit  lire  :  Lini.  0  et-. 


-  280  — 
lever,  je  considère  d'abord  les  cas  particuliers  de  7  =  0  et 

de  7  =  •^  ;   savoir 


No  =      1       sin*2 

o 

N.  =     I       sin» 


(prf©l(l  +  COS(p)  , 


in*  2<prf9l(2cos(p) 


N.  =  vl     I       sin*2cpd(p+    /       sm*2a 


od^p  1  (cos  cp). 


La  première  intégrale  égale  Q  =  —  \  la  seconde  ne  change 

pas  quand  on  y  remplace  ?  par  -^  —  (f  ;   c'est-à-dire  qu'elle 
est  égale  à  P.  Conséquemraent  , 

2°  La  comparaison  des  intégrales  N,  et  P  conduit  à 


N„-P 


/2  il, 

sni-  2  ^p  1 .  tg  —  ^ao 


Remplaçant  sin^  Sç  par ^^-^,  puis  intégrant  par  par- 
lies,  on  trouve  aisément,  au  lieu  du  second  membre  , 


_.i_  d(û 
sniç     ' 


V 


La  première  intégrale  a  pour  valeur  le  double  de  la  eons- 
tante  G  (*);  l'autre  est  égale  ù-  .  Conséquemment, 


b 


OU 


No-=  ^(i-4i2)  +  G-l.  n 


(13) 


Vil.  Remarquons  maintenant  que  la  dérivée  de  N ,  rela- 
tive au  paramètre  y ,  est 


—, —  =  —  siii  y  cos  y 
dy  '         ' 


sin^S^  sin^cfrff 


ostp  +  l    1— sin^ysin-cp)  y  \ — sin'ysin^ç 


.     -   —  coscû +j/l— sin-7Siii'9     .     ^    , 
—  tgy    /         ' .  '        ^—  sin*  2  (prfg/  . 

y  \  —  sin-ysin^cp 


OU 


d-^    '^y 


2   sin'2cpcos(prf9 
l/l— siii-y  sin*(p 


(16) 


Pour  calculer  l'intégrale 


2    sin»  2çi  costp  d(^ 
1^1  — sin-ysin=(p 


(17) 


(*)  Bierens  de  Haan,  T.  239.  Voyez  aussi  la  Note  LIV. 

(**)  Un  calcul  direct,  beaucoup  plus  long  que  celui-ci ,  conduit  au  ménie  résultat. 


—  282  — 
je  pose,  comme  ci-dessus, 

u 

smcp  =-: — 
siny 

Cette  transformation  donne 


sin'y    / 


ny 

(si  n'y—  7i^)u*dîi 


V\  —u* 


OU 


/sin-/ 
du 


■  n-/ 

4cos*y     /  du  icos-y     .'     ^  , /-.       , 

SI  n'y     /       \/i__n,t       SI  n'y 


u\ 


+  -^-—      /      U*dU  l/l— M'; 


OU  ,  d'après  ce  qui  précède, 

S=^r-?V-0--iCOS*y)  +  -^?^(4-+-2cos'y).  (18) 

2sm'y  '       2sin*y  ' 

Substituant  dans  la  formule  (16),  on  trouve 

f/N  y  in 

-r-  =  ^    ■   / (1  ~  4cos*y  4-  •     ■   ,    (1  +  2  COS'  -A  -  -  tg  y  ; 

rfy     2sin*ycosy  '        2sin'y  '        4-*''' 

et ,  par  conséquent , 


N  =  N.  +  :     /  "Vi£2£yht^S(Lti^',,  +  |l  (,.os,,. ,«, 


-  283  - 
L'intégrale  indéfinie  se  décompose  en 


On  peut  vérifier  que 


/ 


dy        _  \  1,  1  +  siny 1_ 

siii*'/cosy  3sin''/       2     1  —  siny      siiiy 


D'ailleurs 

cosydy  _  1 


/ 


sin^y  Ssin'y 

On  a  donc ,  en  intégrant  par  parties , 


^'^)=s7^,-i-/'(i^)-i^-/^-i/'-/iîêi:i-'(4 


ou,  à  cause  de 


siify       2    \^2'/       Ssin^y 


F(y)  =  _Z_  +  lyl(l±!illZ.U_2: £osy_l    j       J\  +  sïny 


ou 


Y  (v)  =  "'sy(ycosy-sinyi  ^     /     ydri^ 
'  sur  y  /      rosy 


28  i  — 


La  fraction  en  dehors  du  signe    /  se  réduit  à  —  -^  pour 
•/=  0  ;  conséquemment 


/y(l— {cos'y)4-sitr/co?;y(l+!2cos'-/)     1     0087(7005'/— sin-/)        / 
.siii'7cos7  ^3"^  si 0=7  "^    / 


puis,  parla  substitution  dans  la  formule  (19), 

,,       „        1       COS7(7COsy  —  siny)       r, 

N  =  No  +  ^  + '^\    .\ (1  +  -  1  (cosv) 

6  2snP7  4  '' 


ydy 


cos  7 


+ 


1  r    ydy_ 

2  /       COS7  ' 


ou  encore,  en  réunissant  les  deux  ternies  qui  deviennent  in- 
finis pour  7  =  1^  : 


6  2  sin' 7 


1    I     l^sine-ejrfû 

^— ^^iô •  ^^^) 

VIII.  Si  l'on  fait 


9  =  ?--, 


on  change  la  dernière  intégrale  en 


—  285 


2  ^L^cosv-^+v 
sinv 


2  sin  -  v 


dv=-- 


COS-  V 


■  dv 


vdv 
sin  V 


2'' 


>~y 


D'ailleurs 


3    ■    1 
2   sin  ~  V 


cos-  i 


P"— ^iHf)-^>[-(M)] 


=  2l(cos|+ sin|j; 
donc  la  formule  (20)  devient 

■1      cos7(vcosv  — siny)      ;:,/      y       .    y\      1 
N  =  No  +  -4-  — r^^    / £i+     1  cosi.-^sm^--- 
b                2  sin'  y  2   12  2/2 


vdv 
sinw' 


OU  plus  simplement,  et  à  cause  de  la  valeur  de  No  : 

^  ,.       ,  1  ^^       COS  y  (y  COS  V— siny)      -  i  /       '/  .    ■    y\ 
N  =  -  (1  -  i  1  2)  +       ^^,^,,^.  ^  +  j  1  (cos  |  +  5,n  l] 


+  1 


n-y 


sini' 


ou  enfin 


_7^      t:  1  M  +siny\       cosy  (ycosy— siny)      ^ 
'   "  16       4      \       2       /  2sin'y  i 


K-y 


(21) 


vdv 
sin  ?.' 


—  28G  - 

On  voit  ainsi  que  la  fonction  désignée  par  N  se  compose 
d'une  somme  de  quantités  données,  augmentée  de  la  moitié 
d'une  intégrale  de  forme  très-simple,  mais  dont  la  valeur  n'est 
pas  connue  généralement.  Le  problème  que  nous  nous  étions 
proposé  de  résoudre  se  réduit  donc,  en  dernière  analyse,  à  la 
recherche  de  cette  même  intégrale. 

IX.  Reprenons  les  formules  (9),  (11),  (l!2),  (13)  et  (21)  : 
'^  "  7^  [^  ^^  '^  '^^^''  y]  "  ^*  ^"'  y  [P  +  C»  1  (cos  y)]  , 

M=  j^rip-[(2-cos2'/)sin!2y  +  !2y(l-!2cos25/)J, 

7r_       7T  T  [\  +siiiy\       cosy(ycosy— siny) 
16  ■*"  4     \       2       j  "^  2lïïF^; 


suif 


P  =  ii-(t-il2).    Q=^. 


La  substitution  des  valeurs  de  M  et  de  N  donne  d'abord,  au 
moyen  de  quelques  réductions  , 


3  y 

4M  +  N  cos' y  =  -  cos  y  +  -~4 —  (3  sin'  v  +  2  cos'  v) 
'       2        '        2  sni  y  ' 


^      ...........  ,1  +siny 


ïcos'v[t+,a 


sni  V 


-  287  — 
De  plus  , 

P  +  ûl(cosy)  ^^-^\IJ- 
16       4     \cosy 

Conséqiierament 

A        3  y        ,       .^       r:    .      1  l\  +  sin -A 


1  .         /  -2      vdv 

+  -Sllly      /  -: . 

2  /  siii  V 


(22) 


X.  Si  l'on   compare  cette  valeur  à  celle  qui  résulte  de 
l'équation  (6),  et  que  l'on  prenne  c  pour  unité  ,  on  trouve 


d'D    I         (/5i/(:r  —  cosScp)*  +  cos*y  sin*29 


=  -  cos  y  +  -  -A—  (3  sin'  y  4-  2  cos'  y)  +  -  cos'  yl  /  ^  '  ^    ' 

2  2?iny^  4  \    cosv    / 


1        .        /    2     \tclv  I 

+  -cos-y    /  -. — . 


(*)  Cette  formule  semble  en  défaut  lorsque  y  —  -.  Mais  dans  ce  cas,  l'inté- 
grale relative  à  z  doit  être  décomposée  ainsi  : 

(cos  2 y  —  z]  dz -{-        I         iz  —  CQs2  9)dz; 
parce  que ,  dans  le  premier  membre  de  (23)  ,  le  radical  est  supposé  positif. 


—  288  — 


LXIV. — TRAJECTOIRES   ORTHOGONALES  DES  SECTIONS  CIRCULAIRES  d'uN 
ELLIPSOÏDE  (novembre  1865)  (*). 

I.  Soit  un  ellipsoïde  OABG  (**)  ayant  pour  centre  le  point  0, 
et  dans  lequel  les  demi-axes  ,  rangés  par  ordre  de  grandeur 
décroissante,  soient  OA  =  a,  OB  =  b,  OC  =  c.  Si,  dans 
le  plan  de  la  section  principale  GA,  nous  prenons  un  rayon 
vecteur  OE  =  OB  =  &,  le  plan  BOE  coupera  l'ellipsoïde  sui- 
vant un  cercle  ;  et  il  en  sera  de  même  pour  tous  les  plans  pa- 
rallèles à  celui-là.  Les  limites  de  ces  cercles,  c'est-à-dire  les 
points  I,  r  où  l'ellipsoïde  est  touché  par  deux  plans  parallèles 
à  BOE,  sont  des  ombilics  de  la  surface. 

Cela  posé ,  si  nous  rapportons  l'ellipsoïde  aux  droites  OE, 
OB  et  à  une  perpendiculaire  0^  au  plan  BOE,  la  projection  P 
du  contour  apparent  de  la  surface  pourra  être  représentée  par 


-.  +  -  =  1.  D  (1) 


II.  Les  sections  circulaires  parallèles  à  BOE,  ou  les  lignes 
rfe  w/î;eflw  de  l'ellipsoïde ,  se  projettent,  en  vraie  grandeur, 
suivant  des  circonférences  doublement  tangentes  à  l'ellipse  P, 
et  dont  les  centres  sont  situés  sur  Ox. 


(*)  Rédaction  nouvelle  d'une  Note  publiée  dans  le  Journal  de  Mathématiques 
(tome  XII). 

(**)  Le  lecteur  est  prié  de  faire  les  figures. 

(*'  *  )  Il  est  évident  que  ç  —  b.  De  plus ,  un  calcul  fort  simple  donne 


a'b'  +  b-c-  —  c^a- 

;,■' ■ . 


—  289  — 

On  trouve  aisément  que  l'équation  de  ces  circonférences 
est 


n-,  (2) 


{X  -  cf.Y  +  if  --=  ff-  ï\  -  ^, 

en  supposant 

r'-  =  f  -  (f. 

Par  conséquent ,  les  trajectoires  orthogonales  des  sections 
circulaires  de  VeUipsoide,  ou  les  lignes  de  plus  grande  pente  de 
cette  surface,  ont  pour  projections,  sur  le  plan  xQy,  les  tra- 
jectoires orthogonales  des  circonférences  dont  il  s'agit. 

IIÎ.  Le  calcul  ordinaire  conduit  à 

{p'-ydx  —  q'-xdyy  =  r-  {}f-q'  —  ff  ~  ifxr)  dy'- ,  (3) 

équation  différentielle  des  trajectoires  (**). 

(*)  La  discussion  de  l'équation  (2\  donne  lieu  aux  remarques  suivantes  : 

r- 
1"  Si  X  est  compris  entre  0  et  -  ,  la  circonférence  touche  en  effet  l'ellipse    en 
P 
deux  points  symétriquement  placés  relativement  à  Taxe  des  abscisses  ; 

2°  Lorsque  a  =  —  ,  la  circonférence  devient  osculatrice  à  l'ellipse  :  son  rayon 
P 

'         P 

3°  Si  K  est  compris  entre  —  et  r.  la   circonférence  est    intérieure  à  l'ellipse  ; 
P 
mais,  au  point  de  vue  algébriqi'e ,  ces  deux  courbes  sont  doublem.ent  tangentes 
l'une  à  l'autre  ; 

4'^  Enfin,  lorsque  a  =  rt  r  ,  l'équation  (2)  représente  les  foyers  de  l'ellipse  : 
ces  points  sont  les  projections  des  ombilics  V ,  I  {Journal  de  Mathématiques. 
tome  XII  ,  p.  486). 

(**)  Elle  ne  diffère,  que  par  la  notation,  de  celle  qui  se  trouve  dans  la  Note  citée 
(Joi'.rnal  de  Mathéniatiaves  .  tome  XII .  p.  484,  éq.  (2)). 

19 


^  290  — 

Avant  (le  chercher  à  l'intégrer,  on  peut  reconnaître,  soit 
par  le  calcul,  soit  graphiquement,  que  chacune  des  courbes 
représentée  par  cette  équation  (3)  : 

1°  Passe  par  les  deux  foyers  ;  ^2°  présente  un  rebroussement 
au  point  où  elle  coupe  V ellipse. 

Conséquemment  :  4°  les  trajectoires  orthogonales  des  sections 
circulaires  de  Vellipsoide ,  parallèles  au  plan  BOE  ,  passent 
toutes  par  les  ombilics  I,  T;  2"  au  point  d'intersection  P  d\ine 
de  ces  courbes  avec  le  contour  apparent  de  l'ellipsoïde ,  relatif 
au  plan  BOE  ,  la  tangente  PS  est  perpendiculaire  à  ce  même 
plan  (*). 

IV.  La  variable  a  étant  moindre  que  r,  on  peut  supposer 

Cf.  =  r  sin  (p. 

Déplus,  on  satisfait  à  l'équation  (2)  en  prenant 

X  =  r  sin  (p  +  </  cos  cp  cos  G ,    y  =  q  cos  (p  siii  G  {**).  (i) 

On  conclut,  de  ces  valeurs  , 

p'^*— /;'y"-— r/\x'=(//'+7'')</'— (^/'4-/'')r/'cos°-(psin'G— f/'(rsincp+r/cosa;COsG)' 
=  ^*  siir  (p  —2c/'  r  sin  ©  cos  ©  cos  G  +  q^r  cos'  cp  cos'  G 
=  cf  (c/  si  n  (p  —  r  cos  (p  cos  G)"  ; 


(*)  De  là  résulte,  suivant  une  remarque  de  M.  Chasles  (Journal  de  Mathéma- 
tiques,  tome  II,  p.  293)  ,  que  le  plan  oscillateur  en  P,  à  la  trajectoire  ortlwgo- 
nale  considérée ,  est  normal,  tont  le  long  de  l'arête  PS,  au  cylindre  qui  projette 
l'ellipsoïde  sur  le  plan  BOE. 

(**)  Si  c  est  le  centre  d'une  circonférence  doublement  tangente  à  l'ellipse  P  , 
et  que  m  soit  le  point  où  cette  ligne  est  coupée  par  la  trajectoire  correspou" 
dante,  «  est  l'abscisse  de  c,  et  ô  est  l'angle  formé  par  le  rayon  me  avec  Ox. 


—  %9l   - 
puis ,  au  lieu  de  l'équaLion  (3) , 
»*cos(psinGdx=U(rsino  +  f/cos6cos9)rfcr(^sin(p--  rcostpcose)  rfj/; 

c'est-à-dire,  en  séparant  les  deux  valeurs  de  ^: 

dx       ^  dx      Iqr  sin  a^+iq-  —  r)  cos  cp  cos  9  ^  ' 

V.  D'après  les  formules  (4), 

dij  cos^cosQrfQ  — sinipsiiîGrfQ 

dx~      r  cos  (fd(f  —  q  sin  ©  cos  6  rftp  —  (/  cos  (p  sin  G  fi^  ' 

en  sorte  que  l'équation  (5)  devient ,  après  quelques   réduc- 
tions , 

^9  =  --^-..  (7) 

'       r  sin  9 

L'intégrale  de  celle-ci  est 

?  =  ^latgi9);  (8) 

A  étant  la  constante  arbitraire  (*). 

VI.  Le  point  m ,  considéré  tout-à-l'heure ,  est  l'intersection 
de  Ja  circonférence  c?n  avec  une  circonférence  c'm ,  double- 
ment tangente  à  l'ellipse  E.  En  appelant  9',  G'  les  quantités 
analogues  à  9  et  6,  relatives  à  cette  seconde  circonférence, 
on  aurait 

X  =  r  sin  9'  +  q  cos  9'  cos  G'  ,    y  =  q  cos  9'  sin  9'; 


(*)  On  peut  comparer  cette  équation  des  trajectoires  orthogonales  avec  celle 
que  nous  avons  trouvée  ci-dessus  (p.  272. 


—  292  - 
donc,  pour  le  point  m  : 

Costp'sinG'  =coscpsinG,    7'sin^^'  +  //cos^'cosG'=  rsiiis+ r/cos(pcos0. 

On  tire  de  ces  équations,  par  un  calcul  que  nous  suppri- 
mons , 


tgG'  =  tsG      l-G'  -  fcos^^niB (ç,. 


De  ces  deux  formules,  la  première  équivaut  à  '^'  =  ^;  la  se- 
conde, comparée  à  l'équation  (6),  donne 


dx 

dx       ^ 


OU 


'        r  smQ' 


et,  par  suite, 


(P'  =  i  1  (À'  tg }  G': 


Cette  intégrale  ne  différant  de  l'équation  (8)  que  par  la  no- 
tation, il  en  résulte  que  le  système  des  formules  (4)  et  (8)  peut 
être  regardé  comme  étant  V intégrale  générale  de  V équation  (3), 
Autrement  dit,  cette  équation  (3),  du  premier  ordre  et  du  se- 
cond degré,  représente  seulement  les  trajectoires  orthogo- 
nales qu'il  s'agissait  de  trouver. 


-    ^293  - 
LXV.   —   SUR    LES   SURFACES   A   COURBURE   MOYENNE   NULLE 

(MAT  1867)r). 

I.  On  sait  qu'en  représentant  par  «,  è  les  cosinus  des 
angles  formés  par  la  normale  avec  les  axes  des  x  et  des  y , 
on  peut  mettre  l'équalion  des  lignes  de  courbure  sous  ia 
forme 

da  :  dx  —  db  :  dy , 
OU  plutôt  sous  celle-ci  ; 

fda    .       da    ,  \   .        l  db  ,       db  ,  \  .  ,., 

D'un  autre  côté ,  dans  un  Mémoire  (**)  sur  les  surfaces  dont 
il  s'agit,  j'ai  prouvé  que  leur  équation  est,  si  l'on  veut. 


da       db  _ 
dx       dy        ' 

Il  résulte ,  de  celle-ci , 

rfffl  ,  d(L 

dy  dx 

a,  étant  une  certaine  fonction  de  x  et  de  y.  Soit  z^  cette  fonc- 
tion; soient  p^  ,  q^  ,  r^  ,  5,  ,  t^  les  dérivées  parlielles  de  z^  : 
d'après  les  formules  (3)  : 

da  da  dh  db 

dx  dy  dx  dy 


(*)  La  présente  Note  est ,  en  grande  partie ,  rédigée  depuis  plus  d'un  an  ;  j'en 
ai  indiqué  les  résultats  diuis  mon  cours  à  l'Université  de  Liège. 

["'}  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique ,  37«  caiiier,  p.  130. 


—  29'i  — 
puis,  au  lieu  de  l'équation  (1), 

r,  dx-  -h  2  s,  dx  dy  ■+- 1,  dif  =  0.  (4) 

Soient  S  la  surface  à  courbure  moyenne  nulle,  S^  la  sur- 
face qui  a  pour  équation  z^  =  (^  {x,  y).  En  observant  que 
l'équation  (4),  transformée  de  (i),  appartient  aux  lignes 
asij?nptotiques  de  S, ,  on  a  ce  théorème: 

Les  lignes  de  courbure  de  la  surface  S ,  et  les  lignes  asijmp- 
totiques  de  la  surface  S^,  ont  mêmes  projections  sur  le  plan 
des  xy. 

II.  Si  la  surface  S  est  connue,  et  qu'elle  ait  pour  équation 
%  =  f{x,'ij),  on  aura 

dZi  =  p^dx  -h  q4y  =  —  M-x  4-  ady  , 
OU 

dz,  =  ^     ^dx-  ^  #(*),  (5) 

puis 

dx-Y.  (6) 


-/> 


Pour  déterminer  Y,  on  a  la  relation 


\y\+p'  +  g'      dY 


(*)  11  est  plus  simple  de  prendre 

z^  —  —  I  Mx  +    /  arhj  +    /  d)/   1  —  d.i 


-  295  — 
D'ailleurs 


\/îTWT^u-r     'P'^'" 


\^l+ir+q-  yi-\-p-  +  ci-     {\+p-)t—pqs 


dy 

1  +  ;r  +  q- 

donc 

d\ 

P          ^      j  {\+f)t-vqs 

dy 

V\+V"  +  q'-     J      {\  +  p°-+q')^ 

A  cause  de 

(1  -hp*)t  —  'ipqs  +  (1  +  q'-)  r  =  0,  ' 

;i+;r  +  f/*)t  ' 


dy.  (7) 


(8) 

on  vérifie  aisément  que  le  second  membre  de  l'équation  (7)  est 
indépendant  de  a^  ;  ce  qui  doit  être. 

III.  Soit,  par  exemple, 

3  =  1  cos  y  —  1 COS  X  ; 
d'où 

1  1 

p^tgx  ,  q-=—\gy,  r=  — —  ,  s  =  0,  t  = 


cos-x  cos^y 

L'équation  (7)  devient 


rfY  /  cosrccosy  ,  siiKTCosw 

rf7  =  ~/ — : : ^^-^^ 

/     (cos- y -{-cos-x  sut  yY 


cos^y  +  cos-^siir?/ 
ou ,  si  l'on  fait  sin  ^  =  x 

dM  /  dl  Icosy 


——  =  —  cos  y 
dy  ^ 


r dl 

/     (1  —  /r&hryy- 


1  —  À'sin-;/ 


-  29G 
L'iiUégralc  a  pour  valeur 


donc 

-—  =  0  ,       \  =  const. 
dy 

Si,  pour  plus  de  simplicité,  on  suppose  celte  constante 
nulle ,  on  trouve,  par  l'équation  (6) , 

siu  5,  =  —  sin  X  sin  y.  (9) 

Telle  est  l'équation  de  la  surface  S,  ,  en  supposant  que  la 
surface  S  soit  représentée  par 

s  =  Icosy  —  1  cosa;. 

IV.  L'équation  des  lignes  de  courbure  de  la  surface  S.  est, 
en  général, 

dx  +  p^dz,        dy-\-(}^dz, 


dp,  dq,         ' 

ou 

dx  —  b  {ady  —  bdx)        dy  +  a  (cidy  —  bdx)   _ 

Tb  ^  "^         là  ' 

ou 


[■ 


i+b')dx—abdy 


d.  — — ^— _-+    (  1  +a-)dy -a bdx  U-  ^         =0. 

.     \/\+p-+(r     L  J     y^+p'-bq- 


Si  l'on  effectue  les  différentiations  indiquées,  et  que  l'on 
remplace  a,  b  par  leurs  valeurs,  on  trouve,  au  lieu  de  cette 
équation , 


^-    297  — 

j  (i  +  -2  (f  )r  —  -1  pqs   dx' 

+  2  [(1  +  /^'  +  ^'j  s  —  pq  ir  +  t}\  dvdy 

-f    Ui  +  ^2f)t~^pqs]dif  =  0n.  (10) 

L'équation  des  lignes  asymptotiques  de  la  surface  S  étant 

rdx-  +  2  sdxdy  +  idif  =^  0,  (11) 

ces  courbes  auront  mêmes  projections  que  les  lignes  de  cour- 
bure de  S, ,  si  l'on  a 

qips-qr)  ^  p  {ps  -  qr)  +  q{qs  —  pt)  ^  p  {qs  —  pt)  ^  À      /.^x 
r  —2s  t  i'    ^    ' 

Il  résulte,  de  ces  proportions , 

pqs  pqs  psA  qsA         ,^,-. 

r  =    ;      .  '     t  =    :      ^  '     ps—qr=^~^ — r'    qs—pt=-i — r-;     (18) 

q-  +  /  p-  +  /  .7-+  /  '        p-  +  /.       ^    ' 

et,  en  supposant  5  différent  de  zéro  (**): 

^'T  +  7r^  +  -  =  0;  (U) 


q-  +  A       p-  -h  A 


(  *  i  On  arrive  plus  siraplemeul  à  cetîe  équation  en  partant  de  celle-ci 

Ida,  da,      \  (db,  db,      \ 

—    don  H i  dy  ]di/=\—^  dx  H '  dv\dx, 

\dx  dy       j  \d.x  dij       \ 


et  en  observant  que 


(**j  Je  laisse  de  côté  le  cas  où  l'on  aurait ,  simultanémeni  : 
qv  =  -ps  ,      pi  =  qs  : 
la  surface  S  est  alors  un  cylindre. 


-  298  - 
Les  racines  de  cette  équation  sont 


V.  l^  La  première  valeur  donne 

V  <l 

c'est-à-dire 

dp       dq     ^        dp        du 
dx       dx  dij        dij 

d'où 

p'+q*  =  k\  (16) 

Cette  équation  exprime  que  toutes  les  normales  à  la  sur- 
face S  sont  également  inclinées  sur  Taxe  des  z.  Cette  même 
équation  a  la  forme  F  (/j ,  ^)  =  0;  donc  la  surface  S  est  déve- 
loppable.  En  combinant  ces  deux  propriétés ,  on  conclut  que 
la  surface  S  est  V enveloppe  d'un  plan  qui  fait  un  angle  cons- 
tant avec  le  plan  des  xy;  elle  ne  diffère  donc  pas  de  la 
surface  à  pente  constante  (*). 

D'après  un  théorème  dont  j'ai  donné  autrefois  la  démons- 
tration (**),  cette  surface  réglée  ne  saurait  être  à  courbure 
moyenne  nulle.  Par  conséquent,  la  première  racine  de  l'équa- 
tion (14)  ne  répond  pas  au  problème.  Dans  le  paragraphe  XII, 
je  reviendrai  sur  cette  circonstance. 

2°  Si  l'on  prend  ).=  >=  —  -  {p"  +  q^) ,  on  trouve 


1*1  Monge,  Application  de  l'Analyse  à  la  Géométrie,  §  VIII;  La  Gournerie  , 
Traité  de  Géométrie  descriptive. 

{'*)  Journal  de  Mathématiques,  tome  VII. 


—  299  — 
La  prem  ière  équation  équivaut  à 

..dp       ,      dq 
^ '  dx  dx 

Pour  intégrer,  je  suppose p  =  a(]f  :  il  vient 


et,  conséquemment. 


dp 

dx 

2a. — 
dx 

=  0; 

V 

a'+l 

P 

Y 

~1  ' 

V' 

+  (}'  = 

pY, 

OU 


Y  étant  une  fonction  de  y. 
La  seconde  équation  (17)  donnerait,  pareillement , 

jf-  +  q'-  =  q\  ; 

donc 

Si  l'on  a  égard  à  la  condition 

dp  _  dq 

dy  ~  dx' 

et  si  l'on  opère  un  déplacement  d'origine,  on  trouve  enfin, 
pour  l'équation  de  la  surface  S , 

Z  X 

-  =  arctg-,  (19) 

0  y 

g  étant  une  constante  arbitraire  :  la  surface  S  est  donc  un 
héliçoïde  à  plan  directeur.  Cherchons  la  surface  S,  corres- 
pondante. 


—  300  - 
VI.  On  a 


q\\  fix 


X-  +  y  X'  +  î/- 

de  sorte  que  l'équation  (o)  devient 

xdx  4-  ydy 

X-  -+-  y-  du 

~dz,  =  g  —  •    -  =  g 


1^      r  i^u'  +  g'' 


(20) 


X-  +  y- 

en  supposant 

u*  =  X-  +  y*. 

Intégrant ,  et  déterminant  la  constante  de  manière  que 
z^  =  0  pour  M  =  0,  on  trouve 


l{e^-e-') 


''  =  i{^   —^    )  (21) 

Cette  équation  appartient  à  une  surface  de  révolutions,  : 
la  section  méridienne,  représentée  par 


i 


-|(^"-^^^). 


a  une  liaison  remarquable  avec  la  chaînette  dont  l'équation 
serait 


x  =  l\e'  -re''\- 


ces  deux  coui'bcs  ont  pour  diamètre  asymptolique   la  !oga- 
rillnnique  représenléc  par 


0   y 

X^  rC 


301 


Vli.  La  surface  de  révolution  S,  est  donc  telle,  que  ses 
lignes  de  courbure  se  projettent,  sur  le  plan  xy ,  suivant  des 
circonférences  et  des  rayons,  projections  des  lignes  asymplo- 
tiques  de  l'héliçoïde  S.  Cette  propriété  subsisterait  pour  toute 
autre  surface  de  révolution  autour  de  0^^.  Mais  il  y  a  plus  : 
les  lignes  asymptotiques  de  S,  ,  et  les  lignes  de  courbure  de  S , 
ont  mêmes proiections  sur  le  ylan  des  xy;  en  sorte  que  les 
surfaces  S,  S,  sont  conjuguées. 

Pour  vérifier  directement  ce  dernier  point,  j'observe  qu'en 
vertu  de  l'équation  (i20)  : 


'■"        ,,  =  -    » 


puis 


M  V  u-  -i-  g'  a  V  u-  +  g^ 

_      jr{u-+gi~x'{^u-+g'-) 
i ,~~  g , 

u^{u--hgy 
,  _         (^u°-+g-]xy 

.Si  g  _     ^ 

u-iu'+g')^ 

_        u\ir+g°-)—2fi±r-^g') 
li g . 

n'{ir-hgy 
L'équation  des  lignes  asymptotiques  de  S,  est  donc 

{li'—'iiex'+g'y"-) iix'—^2{'2ir+g^}xg dxdij+{u'  —  2iry'--\-g'x')dy'-=  0.  (22) 
On  peut  l'écrire  ainsi  : 

u^{dx--i-  dy-]  —  2u'  [xdx  +  ydyf  -\-  g-  [ydx—  xdyf  =  0. 

Mais,  si  l'on  prend  des  coordonnées  polaires,  on  a 

dx'  +  dy-  —  dit-  -r  U'dfjy  ,  xdx  ->-  ydy  =  uda  ,  ydx  —  xdy  =  —  irdoi  ; 


—  3U2   - 

d'où  l'on  conclut, 

rfco=±— ^?^-  (23) 

Vg-  +  w*- 

Or,  cette  équation  (23)  appartient  aux  lignes  de  courbure  de 
rhéliçoïde(*). 

VIII.  Le  résultat  auquel  nous  venons  de  parvenir  nous  paraît 
d'autant  plus  remarquable  que,  par  une  autre  voie,  on  peut 
trouver  une  seconde  surface  conjuguée  de  Vhéiiçoïde  ;  savoir  , 
le  caténoïde  représenté  par 


u=l[e'  +e~^\ 


(24) 


IX.  On  peut  se  demander  dans  quel  cas  la  surface  S,  est- 
elle,  comme  la  surface  S,  à  courbure  moyenne  nulle?  Pour  qu'il 
en  soit  ainsi ,  s,  =  ©  (a;,  ?/)  doit  être  une  intégrale  de 


dx       dij         ' 


OU  de 


d.      " 


\/\  +  ^2  f  +  2  ^^ç  V/l  +  2  f  +  2  q- 


dx  dy 

En  développant,  on  trouve 

p  _  pr  +  qs^ 
q      ps  +  qt 

Ainsi,  la  surface  S ,  qui  satisfait  à  l'équation 

(1  +  //)  t  —  2  pqs  +  (1  +  q')  /'  -  0 , 

(  *)  Journal  de  l'École  pobjtcchnique  ,  29e  Cahier  ,  p.  113. 


(25) 


—  303  — 

doit  salislaire  encore  à  réqualioii  (25).  L'intégrale  première 
de  celle-ci  est 


z  =  6(p'+(n,  (26) 

^  étant  une  fonction  arbitraire.  Cette  équation  (26)  exprime 
que ,  pour  tous  les  points  appartenant  à  une  ligne  de  niveau , 
rinclinaison  de  la  normale  à  la  surface,  sur  le  plan  de  cette 
ligne,  est  constante.  De  là  résulte  que  toutes  ces  courbes  sont 
équidistantes  et  qu'elles  se  projettent,  sur  le  plan  des  œy ,  sui- 
vant des,  courbes  parallèles  à  une  première  ligne  donnée. 

La  surface  ^  ,  représentée  par  l'équation  (26) ,  peut  être 
engendrée  par  une  ligne  plane  G ,  dont  un  point  M  décrit  une 
ligne  plane  Ti ,  pendant  que  les  deux  plans  restent  perpendi- 
culaires entre  eux.  Si  la  directrice  D  est  une  ellipse,  les  lignes 
de  niveau  sont  des  toroïdes,  etc. 

X.  soit  (3  =  F  (a)  l'équation  de  la  directrice  D,  que  nous 
supposerons  située  dans  le  plan  des  xy.  Une  parallèle  à 
cette  courbe  a  pour  équation  : 

a;  -  a  +  (y  -  (3)  (3'  =  0  ,    {x-  a)^  +  {y  -  (3)^  =  o\ 

Dans  le  cas  actuel ,  le  rayon  p  est  une  fonction  de  %  ;  donc 
l'intégrale  seconde  de  l'équation  (25) ,  ou  l'intégrale  première 
de  l'équation  (26),  est  représentée  par  le  système  des  deux 
équations 

x-a  +  (y-F)F  =  0,      (a;-a)^  +  (y-F)^=  ({%)  (27), 

dans  laquelle  /'  et  F  sont  des  fonctions  arbitraires.  Dans 
chaque  exemple  particulier,  l'élimination  de  ='•  donnera  l'équa- 
tion du  ne  surface  1  à  lignes  de  niveau  équidistantes,  et  ayant 
une  directrice  donnée. 


—  30i  - 

XL  La  surface  "  jouit  des  propriétés  suivantes  :  1°  Les 
lignes  de  plus  (jrande  pente ,  toutes  égales  entre  elles  ,  sont  si- 
tuées dans  des  plans  verticaux  ;  2"  ce  sont  des  lignes  de 
courbure;  3°  les  courbes  de  niveau  sont  des  lignes  de  cour- 
bure (*);  4"  si  Von  considère  la  courbe  G  suivant  laquelle  la 
surface  touche  le  cylindre  vertical ,  enveloppe  des  plans  qui 
contiennent  les  lignes  de  plus  grande  pente ,  cette  courbe  G 
est  une  développée  de  la  surface  ^.  G'est-à-dire  que  si  le  cy- 
lindre se  déroule,  G  engendre  1,  etc. 

XÎL  La  surface  li  dont  nous  venons  de  nous  occuper 
n'est  pas,  en  général,  à  courbure  moyenne  nulle  :pour  qu'elle 
le  soit,  la  directrice  D  et  la  génératrice  doivent  satisfaire  à 
certaines  conditions. 

Afin  de  les  découvrir,  remarquons  d'abord  que ,  le  plan  de 
la  ligne  de  courbure  G  contenant  la  normale  à  la  surface, 
cette  ligne  G  est  une  section  principale.  De  plus ,  en  tous  les 
points  d'une  même  ligne  de  niveau  ,  le  rayon  R,  de  cette 
première  section  principale  a  une  valeur  constante.  A  cause 
de 

R.       R, 

le  rayon  R^  de  la  seconde  section  principale  doit  aussi  être 
constant.  D'après  le  Théorème  de  Mcusnier ,  joint  à  la 
définition  de  la  surface,  R,  est  égal  au  rayon  p  de  la  ligne 
de  niveau  ,  divisé  par  le  cosinus  d'un  angle  constant.  Donc 
p  =  const.  :  les  lignes  de  niveau  sont  des  circonférences.  De 
plus,  elles  doivent  être  équidistantes  (IX);  et  cette  pro- 
priété caractérise  une  surface  de  révolution.  En  résumé,  la 
surface  S  est  un  catcnoïde. 


{*)  Eu  effet,  ces  courbes  sont  des  irujerUMres  orthogonales  lies  lignes  de  plus 
;rande  pente. 


—  305  — 
LXVI.  ~  SLR  LA  PARTITION  DES  NOMBRES  (OCTOBRE  1867)  (*). 

PROBLÈME.  —  De  combien  de  manières  peut-on  former  une 
somme  n,  avec  q  nombres  entiers ,  égaux  ou  inégaux? 

I.  Désignons  par  N^  (**)  le  nombre  cherché,  et  considérons 
l'équation 

x^-h  x.^+  x^+  •    •   '  +x   ==  n.  (1) 

En  supposant  que  les  valeurs  des  inconnues  soient  ran- 
gées par  ordre  de  grandeur  non  décroissante ,  nous  pourrons 
attribuer  à  x^  ,  successivement,  les  a  valeurs  entières  : 

1 ,         2 ,         3,  ...  a  , 

a  représentant  le  plus  grand  nombre  entier  contenu  dans  —  ; 
de  sorte  que 

^•  =  ('^)r)-  (2) 

Soit,  en  particulier,  x^  =  a  :  les  valeurs  dex,,x,,  .  ..x  ne 
pouvant  être  inférieures  à  a,  nous  ferons 

x.,  =  y.,-hu  —  l,    x^  =  y^  +  a—  i,  .  .  .  X   =  y   -i-  a—  l; 
et  nous  aurons  ainsi ,  au  lieu  de  (1) ,  a  équations  de  la  forme 

y.  +  v^+  '  ■  •  +y^  =«-i-(a-i)^/,  (3) 


(  *)  Cette  Note  peut  être  considérée  comme  faisant  suite  à  celle  de  la  page  62. 
(**)  Dans  la  Note  citée,  N^     était  remplacé  par  [n,  q]. 

(***)  Comme  nous  l'avons  déjà  dit ,  la  notation  (-]  équivaut  à  celle-ci  :  E  (-]  , 
adoptée  par  Legendre. 

20 


—  306   - 

dans  lesquelles  les  q  —  1  inconnues  pourront  recevoir  les  va- 
leurs 1,  2,  3 Le  nombre  des  solutions  de  l'équation  (3) 

étant  N    ,  ,    „      ,  ,  il  s'ensuit 

n— 1  — (a— Ijî,  7— I 

a=:y. 

ou 

N     =N    ,     ,  +  N     ,         ,  +  N     ,   „      ,  +  -+N     ,   ,     „       ,.0(5) 

n,(]  n— 1,7— 1  n— I  — 77— 1  „—l—lq.q—\  71  — 1  — (a  — 1)7, 7  — 1    V  /  \"/ 

IL  Le  nombre  des  termes  du  second  membre,  dans  l'équa- 
tion (5) ,  est  a.  Si  ^  =  2 ,  chacun  de  ces  termes  se  réduit  à  i  ; 
donc  N^^ ,  =  a ,  ou 

relation  évidente. 
IIL  Si  ^  =  3,  l'équation  (5)  devient 

^^H,3         -^  n-1,2  ^  ^   n-4,2  ^  ^  n-7,2  ^  ^  ^\-f-2-3a,2  '  ^  '  ' 

OU,  d'après  la  formule  (6) , 


Par  exemple , 

v  =  (VV(f)-(v)-(|-(|-(l) 


^     9     4-7     -h(3-+-    4+3+1 
=  30; 


à  cause  de  a  =  ^j  =  6- 


(*)  Cette  relation  générale  résulte,  immédiatement,  de  celle  qui  constitue  le 
Théorème  II  (p.  62). 


—  307 


En  ,  effet ,  les  décompositions  du  nombre  19  sont  : 

6+5+9,  6+6+7. 

5+6+8, 

5+7+7, 


1  +  1  +  17, 

2+2+15  , 

3+3+13, 

4+4+11 

1+2+16, 

2+3  +  14, 

3+4+12, 

4+5+10 

1+3+15, 

2+4+13, 

3+5+11  , 

4+6+  9 

1+4+li, 

3+5+12, 

3+6+10, 

4+7+  8 

1+5+13, 

3+6+11, 

3+7+  9  , 

1+6+12, 

3+7+10, 

3+8+  8, 

1+7+11  , 

3+8+  9  , 

1+8+10, 

1+9+  9, 

IV.  Pour  obtenir  le  second  membre  de  l'équation  (8),  on 
doit  considérer  les  diverses  formes  du  nombre  n,  relatives 
au  diviseur  6.  On  trouve  ainsi,  sans  difficulté  : 


Pour  n  =  6»', 

n  =  6»'  +  1 , 
71  =  6n'  +  2 , 
w  =  6n'  +  3 , 
n  =  6n'  +  4 , 
n  —  6/i'  +  5 , 


n,3 


N„ ,  =  N  =  3n''  ; 

N  =  n'  {3n'  +  1); 
N  =  n'  {3)1'  +  2)  ; 
N  =  {n'  +  1)'  —  n"  ; 
N  =  {n'  +  1)(3m'  +  1); 
N  =  {n'  +  1)  {3n'  +  2). 


(9) 


V.  Remarque.  —  Au  lieu  de  ce  système  de  formules ,  on 
peut  prendre  celui-ci  : 


^^       12  ' 


n  =  6«' , 

n  =  6«'  +  1 ,  N  = 

n  =  6n'  +  2 ,  N  = 

n  =  6»'  +  3 ,  N  = 

n  =  6n'  +  4 ,  N  - 

n  =  6/i'  +  5 ,  N  == 


n» 

—  1 

12   ' 

tv 

—  4 

12   ' 

n 

=  +3 

12  ' 

n' 

—  4 

12  ' 

n 

—  1 

(10) 


42 


—  308  — 

il  en  résulte  ce  théorème  curieux  ,  proposé  par  M.  Va- 
chette!*) : 

Parmi  les  quatre  nombres  ii-,  n^  —  1 ,  n-  —  4,  n'  +  3,  il  en 
est  un  divisible  par  ï^  :  le  quotient  égale  le  nombre  des  manières 
différentes  de  partager  n  en  trois  parties  entières  ,  positives , 
égales  ou  inégales. 

VI.  Quand  q  surpasse  3 ,  il  paraît  difficile  d'exprimer  le 
nombre  des  solutions  de  l'équation  (1),  au  moyen  d'une  for- 
mule qui  ne  soit  pas  illusoire,  et  l'on  est  réduit  à  faire  usage, 
une  ou  plusieurs  fois,  de  la  relation  (5).  Soit,  par  exemple, 
îi  =  39 ,  ^  =  4  ;  d'où  ^  =  9.  Cette  relation  devient 

N      =N      +N      4-N      4-N       4- N      +N       +N      -f-N       +N    . 
Mais ,  par  les  formules  (10)  : 

^30,3  =12"^^^' 

2(3-  __  4 
N,, ,  =  — — —  ==  56 , 

Jb,3  12 

22'  —  4 

^22,3=  -12-  =40, 

N      =  —  =  27 
iV.      12  ' 

Nn,3=^-Î2~^^^' 


10.3  J2 

6^ 

1 2 


^6,3   -     TÔ   -    3  ' 


(*)  Nouvelles  Annales  de  Mathématiques,  octobre  1867. 


—  309  ~ 
donc 

N., ,  -  120  +  96  +  75  +  36  +  40  +  27  4-  16  +  8  +  3  ^  Ul  , 

,.9,4 

résultat  conforme  à  celui  que  donne  Euler  (*). 

Viî.  Si,  comme  l'a  fait  ce  grand  Géomètre,  on  veut  cons- 
truire une  table  des  valeurs  de  la  fonction  N    ,  on  peut,  au 

lieu  de  la  relation  (5),  appliquer  avec  avantage  le  Théorème  II 
de  la  Note  XXII,  lequel  équivaut  à  l'équation 

N     =N     ,      ,+N         ,  (H) 

ou  à  celle-ci  : 

N         =  N        ,      ,    +  N      .  (12) 

Au  moyen  de  cette  relation,  et  des  valeurs  initiales  : 
N=l,     N     ,,=4,    N      =1, 

on  forme  aisément  la  table  suivante,  qui  contient  les  valeurs 
deN 


(*)  Introdtiction  à  l'Analyse  ivfiiiitésimale ,  tome  I,  p.  2.^2. 


-   310 


=                                     1 

^  aleurs  de  /;.                    ] 

2 

3 

4 

5  j  G 

7 

S 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

Valeurs  de  q. 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 
1 

2 

2 

3 

3 

4 

4 

..|r, 

6 

6 

7 

7 

8 

8 

9  j 

2 

3 

4 

5 

7  i  S 

10 

12 

14 

16 

19 

21 

24 

27 

30 

2 

3 

5 

G 

9 

11 

15 

18 

23 

27 

34 

39  47 

54  64  1 

2 

3 

5 

7 

10  j  13 

18 

23  30 

37 

47 

57 

70 

84  101 

i 

2 

3 

5 

7 

11  14 

20 

2G 

35 

44 

58 

71 

90  110  136 

2 

3 

5 

7 

11 

15 

21 

28 

38 

49 

65 

82 

105 

131 

164' 

1 

2 

3 

5 

7 

11 

15 

22 

29 

40 

52  1  70 

89 

IIG  146  18g' 

1 

■^ 

o 

5 

7 

11  15 

22 

30 

41 

54 

73 

94 

123  157 

201 

2 

3 

5 

7   11 

15  j  22 

30 

42 

55 

75 

97 

128  164  212! 

2 

3 

5 

( 

11 

15 

22 

30 

42 

56 

76 

99 

131 

169 I 2 19 

2 

P' 

5 

7 

11 

\n 

22  30 

42 

56 

77|l00'l33Jl72J224 

2 

3 

5 

7 

11 

15 

22  30 

42 

56 

77 

101 

134  174 

227j 

2 

1  ^ 

5 

7 

11 

15 

22 

30 

42 

56 

77 

191 

135 1 175 

229 

D'après  la  formule  (12)  : 

Un  terme  quelconque  de  la  troisième  ligne  horizontale  est  égal 
à  celui  qui  le  précède  de  trois  rangs,  augmenté  de  celui  qui  est 
écrit  au-dessus  ; 

Un  terme  quelconque  de  la  quatrième  ligne  horizontale  est  égal  à 
celui  qui  le  précède  de  quatre  rangs,  augmenté  de  celui  qui  est  écrit 
au-dessus  ; 

Etc. 


-   311   — 

VIII.  De  la  relation  (11),  on  peut  déduire  très-facilement 
la  fonction  génératrice  de  N     .  En  effet ,   soient 

F(.'r,  </-!)=«'"'   +  N  x''  +  ...+N     ,      ,/-'+.., 

^  '  '  q,  q — 1  n — 1,9—1 

Multipliant  la  première  égalité  par  i  ~  x\  la  seconde  par 
X,  on  trouve  deux  développements  qui  doivent  être  iden- 
tiques ;  donc 

F{x,q)= iL^F{.i',^/-1). 

1  —  X 

Et  comme 

F  {x,  [)  =  X  +  X*  +  X'  +  .  .  . 


i—x  ' 
la  fonction  srénératrice  cherchée  est 


&' 


F  (X,  q)  ^ ^ (*).  (13) 

{\—x){\-x'){\-x^).  .  .  {i—x'} 

IX.  Le  second  membre  de  la  dernière  équation  est  égal  au 
produit  des  séries 

X  -h  x'  +  x'  +  X*  +  x^  -f-  .  .  .  , 
X  +  x""  +  x"  +  x''  -h  x"  +  .  .  . 
x  +  X*  +  x'  +  x'"  +  a:"  +  .  .  . 
x  +  x^  -h  x"  -{-  x'^  +  X"  -+-... 


n+l  2iJ  +  l  So+l    _i_    7.40+1 

X  +  X        +  X         +  X  -1-^^      -h... 


(')  Ce   théorème  est  dû  à  Euler  ,  aussi  bien  que  tous  ceux  que  nous  avons 
donnés  dans  la  Note  XXII. 


—  312  — 

L'exposant  de  x  ,  dans  ce  produit ,  étant  la  somme  des 
exposants  de  x  dans  les  facteurs  de  chacun  des  produits  par- 
tiels ,  on  a  ce  théorème  remarquable  (*)  : 

//  y  autant  de  manières  de  décomposer  un  nombre  n  en  q  parties 
entières,  égales  ouinégales,  qu'il  y  en  a  de  décomposer  ce  même  nombre 
en  q  parties  appartenant,  respectivement,  aux  progressions 

1,  2,  3,     i,    5,     6,... 

1,  3,  5,     7,     9,  11,.  .  . 

1,  4,  7,  10,  13,  1G,.  .  . 

1,  5,  9,  13,  17,  21,.  .  . 


1,(^  +  1),     (2v+1),     (3r/  +  1),     (.ir/  +  1),.  .  . 

Par  exemple,  nous  avons  trouvé  que  le  nombre  19  admet 
30  décompositions  en  3  parties.  Or  ce  nombre  19  admet  aussi 
les  décompositions  suivantes  : 

14-  1+17,  A+   1  +  1-4,  7+  1  +  11,  10+1+8,  13+1+5,  1(3+1+2; 

1+  3+15,  -4+  3+12,  7+  3+  9,  10  +  3+6,  13+3+3, 

1+  5+13,  i+  5+10,  7+  5+  7,  10+5+4,  13+5+1, 

1+  7  +  11,  i+  7+  8,  7+  7+  5,  10  +  7+2, 

1+  9+  9,  4+  9+  6,  7+9+  3, 

1+11+  7,  4+11+  4,  7  +  11+  1, 

1+13+  5,  4+13+  2, 

1  +  15+  3, 

1+17+  1, 

et  celles-ci  sont  également  au  nombre  de  30. 


(*)  Il  a  été  donné  ,  sous  une  antre  forme,  par  Enler  {IntrodKction  à  f  Analyse, 
1.  I,  p.  244.) 


O  I  -1 


LXVII.  —  sur.  LES  NOMBRES  DE  BERNOULLl  ET  d'eULER  (MARS  1867)  (*). 

I.  Dans  une  Note  sur  le  calcul  des  Nombres  de  Bernoulli  {**), 
j'ai  démontré  : 

1°  Que  si  l'on  suppose 

V.  =  ±-%^,  (1) 

on   a 


p  2<7(2</-i)  2^(2</-l)(2(/-2)(!2(/-3) 


rt:  1^  P,  =  ±  1  C")  ;  (2) 


2"  Que /es  wo??^&/•^s  P|,  P.j,  P,,  .  .  .  ,  dont  dépendent  les 
Nombres  de  Bernoulli  B^,  B  ,  sont  entiers  impairs  (****). 

D'ailleurs  (*****) 

tgx  =  A{A-\)-^  x~  V  {r-i)j--f^^x^  +  .  .  . 

±  i" (V  -  1  )    ^     ^  ^^-'      ^    .r'-V-  i  ^  .  .  •  ;  (3) 

1  .  2  .  3  .  .  .  .  2^ 


(')  Ce  travail ,  qui  vient  de  paraître  dans  les  Mémoires  de  l'Académie  de  Bel- 
gique, complète  mes  précédentes  recherches  sur  les  Nombres  de  Bernoulli  (p.  110 
et  suiv.). 

nip.  127). 

('**)  On  doit  prendre  les  signes  supérieurs  lorsque  q  est  impair. 
("**)  Postérieurement  à   la    puliHcation    de    celte    Note   XXXVI ,  j'ai    appris 
qu'Euler  s'est  occupé  des  nombres  P. 
("*")  ip.  127). 


-  314  — 
donc 

1  P.  P,  ^l'î-l  o        , 


ou 


1.2.3.4  1 . 2  .  3  .  . .  2</ 


^-1 


^^2     "  ^,  r(2r/  +  i) 

II.  A  cause  de  P,  =  I  ,  on  trouve,  en  prenant  les  dérivées 
des  deux  membres  : 

2       j^,    r  (2^/4-1)     •' 

Par  conséquent  , 


\i:-T 


ou 


Dans  le  second  membre ,  le  coefficient  de  x'   '  est 


P.V,      _^.    P^V3       .  ,      ViP' 


1(3)1(2^  +  1)    r(5)r(2</-i)  '  •  ■  '  '^  r(2</-+-i)r(3)' 
donc 

p ^^r_£12^±!L_p  p     4--i^i^^^±^L_pp    ^ 

29+1     2(2(/+i)Lr(3)'r(2(/+i)  '  =ï->    r(5)r(2</-i)  '  -'«-^ 

r(2<7  +  3) 


+■ 


r(2</+i)r(3)  2? 


-,p,]: 


-   3lb 
OU  ,  plus  simplement , 


+ 


p    =.i±irp    +ii(!iiiiipp  ] 

:!)p.P,  .^...■,^"f7"p.,  ,,P.  +  P„    l| 

27-0  3  ^  4        Jî-..  -'î-ij  y 


3.4.5.6 


ill.  Le  nombre  des  termes  contenus  clans  la  parenthèse 
est  égal  à  q.  Si  q  est  pair,  on  peut  écrire,  au  lieu  de  la 
formule  (7)  : 

p.,.,  =  ('/+<)  [P..,_,  -  ^^^XÇ^P    P.,-3  +  •  •  • 

■    2,  (2,-1),..  (,+3)  1_  ^3j^ 


■} 


3.4 q  î-i     i+\ 

Si  q  est  impair ,  il  y  a  un  terme  du  milieu ,  ayant  pour 
expression 


P   P    ; 

3.4      ...(</ -M)    î    î  ' 


donc ,  dans  ce  cas , 


V.  =  ('^  +  ^^[Vi  + 


2r/(2f/-l) 


3.4  ^    2î-3 

2</(2^— 1)  .  .  .  (^  +  4) 


^      3.4         .  .  .(</_!)  ^î-2^-H-2  >    (9) 

127(2r/-l)...(^+2)  1  \ 

2       3.4        ...(</  +  !)  ^   î'  J  / 

Le  calcul  des  nombres  P ,  par  les  formules  (7) ,  (8) ,  (9) ,  est 
plus  simple  que  par  la  relation  (2)  (*). 


(  *)  On  trouve  : 

P,  =  1,  P,  ==  1,  P„  =  3,  P,  =  17,  P,  =  155,  P,,  =  2  073,  P,,  =  38  227,... 

En  général,  siq  =  2"  q',  q'  étant  impair,  P,  _    est  divisible  par  q'. 


-   3!G    - 
IV.  D'après  la  d<^fmition  (  !  ) ,  jointe  à  une  formule  de  Plana, 


V,_i--«'/('i'-ii 


'iTlt  , 

('  —1 


(iO) 


Au  moyen  de  cette  valeur,  l'équation  (5)  devient 


OU 


On  a,  identiquement, 
donc,  à  cause  de 


e  -\-e 


z 


l  {"2(1  +  1) 


7)  (''•     ^-  e      )  —  1  ; 


_^    r(2</+i) 
et,  par  conséquent , 


-(^:^-'■  -])r''-^'x''<     ,,,  .„     .  2,.     ,,     1  ,,,  .  . -,. 


r  (2</H-  i) 


i>l  {e-^-^  e  -   -î)-~  {e'  +e'^  -  2) , 


—  317 
OU 


ii'-^' -  i)  f''^' x^       1 


ti  tx  \- 


=  ^t\e^--e    ■']  {ie'  +  -  +  ie     ).      (1^2) 


I 
La  subsliUUion  dans  l'équation  (11)  donne 


y 


-5  y: 

tdt  [     1^  _  ^V    ,    .     ,^  _  .       -,r  1       ,     ,    1 


e      — 


-le  -  —  e    -  j  {ic    +1  -\-U     )  ^  7^tff-^  x; 


ou ,  pai'  le  changement  de  x  en  "ix  : 

/      — ; (e    —e     I  {ie     +l+ie      )  =  y  t(j- x.  (A) 

/        <r"    -  1  * 


Cette  intégrale  définie,  que  je  ne  trouve  pas  dans  les  Tables 
dues  à  M.  Bierens  deHaan,  peut  en  donner  beaucoup  d'autres, 
dont  quelques-unes  sont  connues. 

V.  Soit,  par  exemple  x  =  '^  :  la  formule  (A)  devient 


/ 


e'^'-i 


et,  si  l'on  pose 


T     1 

e  ^  =  - 


y 


(l^.)(l-H.-)(l-f^')  fad.  =  -  «; l'  -  2 1. 2).        (13) 


—  3!8  - 
La  fraction 

z"  (1  —  z)  (i  +  7::.  +  iz') 
{[+z){\  +r)(l  -hz') 

est  décomposable  en 

1  7z  l—z'-         3z' 

i—iz -— --(- 


+ 


2  (1  +  z)      2  (1  +  z')      2(1  +s*)     1  +  z'' 
Par  conséquent , 

/Izdz  —  il      zlzdz  —  -    /      .  "^  •^- 
J  V     ^+^ 

o  o  a 

7     /    £terf£_l     /    {i-,j)lzdz  I     ^lzdz_     rr*        ^^- 


1+:; 

7r» 
~      12' 

/" 

zHzdz 

OU ,  à  cause  des  valeurs  connues  : 

I     lzdz  =  —i,   I     zlzdz  =  —  —  ,   j 

o  o  0 

/  zlzdz _     T.'-     j     {\-z')lzdz  ^^-^V'^     /     zHzdz 7^ 
l-hz         iH'J          1+2*      ~~     "^^J       l+2.*~    19! 


T.-        In-      --V'i       t:'  r'  ,  .— 


ce  qui  est  identique.  On  a  ainsi  une  vérification  de  (A). 

VI.  En  passant,  nous  signalerons  une  sommation  de  série, 
probablement  connue. 


-  319  — 
Il  est  visible  que 


/Izdz   _   Yi«     (-1)"      _    /    zHzdz-  ^-«rj*     (- 1)"   . 
D'ailleurs , 


/(l  —  ;s«)  Lzdz 71*  1/2 
1  4-  2'       ~         16 


^^~  0; 


46 

o 

donc 

V^"  «  2n  -f-  1  TT»  1/2 

\      (— if 1-^- =  - —,  (14) 

Z^    ^        '  [{An+l){in+S)Y  128  ^    ' 

0 

VII.  Dans  la  relation  (A),  supposons 


■Ht  , 

r.       -         i 


elle  devient 


/ 


•^=3'"=i7r 


-^ 7^-^ z tzdz= . 

l  +  Z+  z'  3 


La  fraction 


(1  ~z){i  +  lz-i-Az')  2^4-1 

=  1  —  Az+  à 


l  +  z+  z^  i+z+z* 


(15) 


(*)  Cette  intégrale  remarquable  a  été  déterminée  par  Euler  (Bierens  de  Haan 
t.  152).  On  voit  qu'elle  résulte  de  la  formule  (A). 


-  320  — 
Par  suite  ,  la  formule  (15)  se  réduit  à 

I.)-,  j.-   I  7-1 


ce  qui  est  exact  (*). 

VIII.  Plus  cfénéralement,  soit  .i;  =  -,  n  étant  un  nombre 
entier.  Si  l'on  fait 


-        i 


on  transforme  la  relation  (A)  en  celle-ci 


il 

n— 3 


La  fraction 

=  1 — 4:5+- 


de  plus 
donc 

s,  ,.    n— 2       „     »i— 3       _,    n— 4       „    >i  — 5  „  ,  , 

''      +"      +^'      +^'      +..+S^-^  ,^,,^  ^_ J^ ,^,£^       (j,^ 

1_l   ^    1   ^î_l_       J   ^"~'  11'        Il 


*)  Bierens ,  t,  153. 


—  ■■vn 


Cette  formule ,  qui  en  donne  une  intinitc  d'autres ,  n'est 

encore  qu'un  cas  particulier  :  en  remplaçant,  dans  (A),e" 

1 
parr7=r,  on  trouve  la  relation  générale 


^ i::-(L  =  —  X-  l(j-x.  (D) 


1  — ;;' 


Celle-ci  subsiste  pour  toutes  les  valeurs  de  x  comprises 
entre  0  et  ^.  On  en  trouverait  d'autres,  aussi  générales, 
en   différenciant  ou  en  intégrant  par  rapport  à  x.    Enfin, 


l'égalité 


"  ''{\-z){.ï-¥l%-^W) 


=  %"U\--zf{\+lz+\:^)^ 


conduit  à  un  développement  de  {jjol)'  >  assez    remarquable. 
Je  laisse  de  côté  ces  détails ,  afin  de  passer  à  un  autre  sujet. 
IX.  Si  l'on  suppose 

E, 


1 


COS  X 

on  trouve 


li.TW^/"'  <'« 


E,  =  1 ,  E.  =  1  ,  E»  =  5 ,  E,  =  61 ,  E,  =  1  385 ,  . 

puis  (*) 

2n(2»— 1)  2n(2n  — 1)(2»— 2)(2ji— 3) 

-"  T72         ^'-  -  "^  1.2.3.4  - 


±i!li*i=llE.^E.  =  0.  (,7) 


n(P.    122). 

21 


—  322  — 

Les  nombres  entiers  E  sont  appelés,  par  M.  Sylvester, 
Nombres  cVEuler  (*).  De  la  relation  (17)  ,  on  conclut  qu'ils 
sont  impairs  (**).  On  peut  rcprcsenlcr  E2,,  par  une  intégrale 
définie. 

A  cet  effet,  j'observe  que  la  formule  connue 


JL_  =  l+2    /      (^'     — ''      )  (^     -\-e       —  I ) 


sin  a;        x  j  .:-« 


devient,  par  le  cbangemenl  de  x  en  ~  —  x 
1         ^        I 

COS  X   ~  T,  2,x 


d7. 


t  n  1'.  r 


Si  l'on  suppose  le  second  membre  ordonné  suivant  les 
puissances  croissantes  de  ^,  îe  coefficient  de  x'"  est 


r(2/H-i) 


('  )  Comptes-rendus  des  séances  de  l'Académie  des  Sciences ,  t.  LU  ,  p.  loi. 

(")  La  démonstration  est  plus  simple  que  pour  les  noinbi'es  P,(p.  129).  On 
vérifie  aisénaent  que  les  Nombres  d'Euler  ont  la  forme  4ft  +  I.  Cette  propriélé  a 
été  sigualae  par  M.  Sylvester. 


—  323  — 
L'intégrale  se  décompose  en 


/ 


=  -iïïTr-r(2«  +  r 


2, /      g      ^f  du 


donc 


Et  comme 


C,  =  ^ 


2-    r  (2k  + 1)  ' 

on  a 


E:,.=  2y        r(2M  +  1)-2y  /     -^r— •       (i!^) 


e     +  \ 


Pour  simplifier  celte   expression ,  je  remplace  F  (2w  +  1) 
par/    e""ît^"û!;i  :  j'obtiens 


^2n    ~   '-^  \7î/ 


7+7=^  '  e«) 


OU  ,  en  posant  u  =  nt  : 


ô-n  — 


formule  analogue  à  celle  de  Plana  : 


B ,     ,  =  =fc  4« 

-n—  I 


X.  Dans  le  second  membre  de  l'équation  (18),  le  coefficient 
de  a;-""'  est 

Il  doit  être  nul,  car  est  une  fonction  paire;  donc 

cos^ 

On  reconnaît  facilement  que  cette  relation  est  une  identité. 
XL  On  peut  déterminer  les  Nombres  de  Bernoulli  au  moyen 
des  Nombres  d'Euler;  et  réciproquement. 
1"  Écrivons  ainsi  la  formule  (4)  : 

®  ^a^  0   r  (5»  +  3) 

puis  prenons  les  dérivées  des  deux  membres  ;  nous  aurons 


cos*a;      Ld^      I  (2 


2'     rr"  . 


.^  (2».  +  3) 


Ainsi,  le  coefficient  de  a;""  ,  dans  le  développement  de 


est 

r(2u  +  3) 


D'après  l'équation  (16),  ce  coefficient  a  pour  valeur 


E  E,  E,  E,    .,  E     E 


+  -r7?rr7^ 


r(i)r(2»  +  i)   r(3)rc2/i  —  1)   "'^ r(2«.+  î)r(i) ' 

donc  * 

n-\-\  r      E  E,  E,  E.     .,  E,   E       -1 

2«+i    4,.    V-'    ir(ijrr2«+i)  r(3)r(2»-i)        r(2w-fi)r(i)J' 

ou ,  avec  la  notation  des  combinaisons  : 

P.„^,  =-^Îe^E,,  +G.,„  ,  E,  E.„_.+  C„,  ,E,E.,_,^  +...+  E.„.  eJ.O  (F) 
4L'  '  -> 

2"  On  tire  de  l'équation  (16),  en  prenant  les  dérivées  des 
deux  membres  : 


COS  X 


£{'2)1) 


Le  premier  membre  égale  (1  +  tg-x)  sin  x.  Par  conséquent, 
si  l'on  multiplie  les  deux  séries 

P.        3P,         oP-,  {2//-l)P.,„_,  ._,  ,„_, 

r(2)~'r(4)    ^r(6)~-   '^rîs;^'^"-  =sm.x, 

E  " 

le  coetFicient  de  ;r""'  ,  dans  le  produit,  sera  -r^.    De  là'  ré- 

i(2) 

suite  la  formule 


(  *)  D'apt'ès  la  relation  (F),  si  ii  est  pair  -.  1°  le  nombre  entre  parenthèses  est  divi- 
sih/epari".  et  li^  quotient  est  icnnombre  impair  ;  2'^  P,,         est  divisible  par  n  -r-  1 


—  32S  - 


2"      ^  ïi^ilcill+l)   -"-'  '  l{.i:J(2«— 1)   2'>-3 


r(2;/)r(3)  '  ' 


que  l'on  peut  écrire  ainsi  : 

,.U„-.  Pa].  (G) 


Par  exemple, 

E,  =  -r^  [7  .  4^  9 .  17  -  5 .  r  .  84 . 3  +  3  . 4 .  126 .  1  -  36 . 1]  ; 
4 .  y 


ou,  en  effectuant , 

E,  =  1  385. 

XII.  Les  relations  (F),  (G)  ne  sont  pas  les  seules  qui  existent 
entre  les  Nombres  d'Euler  et  les  Nombres  de  Bernoulli  :  1°  A 
cause  de 


sina;        tax 


cos-rr      cos.T 


=    7    -tT^TT-^       '  (22) 

.ùd    1  ("211)  ^ 


on  a,  par  les  formules  (16)  et  (21) 


donc 


E.,„  P..„_,ï*l  .„_.,         P..„_sl^..        .,„_,  P,E.,„   .. 


1(2/;)   r(2;?+iuvi)'       i'(2?/-i)r(3r  r(3)r(2«-i)" 


—  327  — 
ou 

E    ^  lU""' P,       ïi  +4"^'G,   .P.,     ,E,+  4"""^C.,    ,  P..     .E,  +  -- 


-n,  i       _n  — u       -i 


+  G,„.,P.E,„_3].  (H) 

2°  L'équation  (22)  donne  aussi 

rr2»  +  i)^-''^     -"2-^  r(2»)  Z<oi^(2«-M)  ' 

et,  par  conséquent, 

P.,     ,  =  T-7fE.  -G,     ,,E,     ,+C,     ,,E,     ,-..zbG,     ,,E,Î..(K) 

XIII.  Dans  les  relations  (G),  (K),  qui  sont,  pour  ainsi  dire, 
conjuguées  l'une  de  l'autre,  substituons,  aux  nombres  P,  E,  les 
intégrales  dont  ils  représentent  les  valeurs.  En  commençant 
par  l'équation  (K),  nous  trouvons 


-P.„-.=  2    /    _^J^[(20"''  -G,„_,^,(2î)"-V..,±G_,,_^,,2^]. 


La  quantité  entre  parenthèses  égaie 
Gonséquemment, 


4     -p  i  tdl 

"  '      e    +e 


[^(2^+i/=-i.)-'"  V{2ï-«/=:îy'— 1.(2^ 


-  328 
Soit  ^t  =  col'j>>  ;  d'oii 


1  cos'jj  j     i  ,^     ,  ^, — nî»-i    /-..    \  ' — r-«  -1  _  ,-,cos  5rj— la 


l'équation  (:23)  devient 


5m-*-'6j 


/ 


— cotM       — <-otsi     sm      û) 


XIV.  La  formule  (G),  traitée  de  la  même  manière  ,  devient 
d'abord 


«*i-i,r,„=    /    -  ./'"     T. 


T  représentant  le  polynôme 

+(2»— 4XiM-D)4"  V— 1)C,_,  f^"^--  • .  =:Î.1.4  4-1  C^^^,  ^_,^ 
Pour  simplifier  celte  quantité,  je  suppose 

il  est  visible  que 


(  ' }  D'après  la  oote  «le  ia  page  325  ,  d  étant  impair^  cette  intégrate  définie  est 
égale  à  un  notnbre  CAtier  pair ,  excepté  quand  n  =  I. 


-  320  — 
Mais 


?(0  = 


-2  y-^i 


2.1-1 


donc 


ù^+i/" 

-1)- 

»-i 

U^- 

-'y' 

-ir' 

^2K 

-1 

(2^4- 

V- 

ri)-" 

-'- 

it- 

V- 

-if"-' 

<!/"(?)  =  27t{2;!+1)  __ 


et ,  par  conséquent , 


E.  -2 


/tdt 


ou 


tdt    (u+  V~t"'  -  {u~V-\Y' 

E     =  4     ■ 


/-^'-i  !/■=! 


O        I  — : — ; ■  (>-4) 


v~ 


-  330    - 

Si,  dans  la  première   intégrale,  on  fait  ^  — -j  col  oj ,   el , 
dans  la  seconde ,  ^  =  7  eot  o) ,  on  change  cette  équation  en 


E.. 


,      /  '  sin  (!2»— 1)  M  cos  fjid(o         i 

"  ~  T    /       /  7  -=01  «       \      ,,     .,  / 

"  J       \e        -ljsin-"^-&)     J 


-  &m{'in  —  l)MCOS(oc(a) 
(e         — Dsiii       W 


Le  second  membre  est  réductible  à 

\     I  -   sin  (2/?  —1)  ''î  cos  cor/ro 
t/  \e         +l/sin"     'co 

donc  enfin 


/ 


-sin  (2/?  —  1)0)  cos  wrfM  _  q^      /.^  /j^^ 


sin       w 


XV.  Dans  la  Note  citée  au  commencement  de  ce  Mémoire, 
j'ai  démontré  la  formule  remarquable 


/ 


sin  2«&)f/o)  _    ,_  j_  /*..  - 


,     71  col  W  — TwCO'iW,       .      -114-2  / 

{e  —e  )sin        w  ^ 


que  l'on  peut  regarder  comme  une  conséquence  des  rela- 
tions (2)  et  (10).  De  môme,  la  combinaison  des  équations  (17) 
et  (E)  donne  d'abord 


(*)  Cette  formule  est  en  défaut  dans  le  cas  de  n  =  o.  Cela  devait  nécessairement 
arriver,  attendu  qu'elle  n'est  qu'une  transformation  de  (G). 
(**).0n  doit  firendro  le  sitrne  -f-  si  u  est  impair. 


-  331  - 
puis,  par  la  transformation  employée  plusieurs  fois, 


==  0  (P). 


e~        +e   '         siii  '    "w 


XVI.  Cette  intégrale  étant  nulle  (excepté  lorsque  ?2  =  0), 
il  s'ensuit  que  la  formule  (L)  peut  être  remplacée  par  celle-ci  : 


/ 


—  Su— 3 

"  sincosin(2»  — 1)63         dco  _  _2 


d'où  l'on  conclut  aisément 


Cette  relation,  différente  de  (K),  peut  être  déduite  de 
celle-ci,  jointe  à  l'équation  (17). 

Addition.  —  {Mai  1867). 

XVII.  On  peut  substituer  ,  aux  équations  (2)  et  (17) ,  une 
relation  unique ,  donnant  à  la  fois  les  Nombres  de  Bernoulli 
et  les  Nombres  d'Euler.  Pour  la  découvrir,  reprenons  les 
égalités 

^^^~  Ja   r(iV/  +  l)  ^       '         COS X  ~  Zi  r(2w-i-l)  ^    ' 


et  poson 


y  = ^Ig-'ï',    P.     ,  ^-  — ^,  G,     .  ,     E,  =  G,    ; 


—  332 


nous  aurons 

"=X.''t(<  +  i, 

'-r«4' 

(25) 


Mais 

,  _dy  _  1  4-  sinx  _       1 
'    ~  dx         cos'jî    ~1  — sin.r' 


donc 

De  là  résulte 

G.  =  1,     G,  — G,  =  0,    G,-i?G.  =  0,,...; 
et,  en  général, 

G.-C,_,,,.G_,+a_,3.G._3-a_.,G._,+  ...  =  0.  (S) 

Les  valeurs  des  nombres  G  sont,  d'après  cette  équation  aux 
différences  : 

G,=  l,  G,-1,  0,  =  2,  G,  =  5,  G,-1G,  G,- 61,  G.  =  272,  G^  -  1  385, 
G„  =  7  930,  G,„  =  50  521,... 

Par  conséquent, 

E^  =  1,  K.  =  5,  Ee  =  61,  E,  =  1  385,  E.»  =  50  521,... 

et 

p.  =  G,  -  1,  P.  -f  G,  =  1,  P,  =%  .  G,  =  3,  P,  =  ^  G,  -  17, 


P,  =-^,.G,  -  155,....; 


comme  pi'écédemmenl 


XYIH.  Dans  le  dix-huilicme  Cahier  du  Journal  de  l'Ecole 
PoUj technique,  Poisson  a  démontré  les  formules 


iU.T  ~t-yT 

^z=-'l    ! dx, =i    I      ■ dy.. 

('        —  ('  tUh.<-  /  f,         _^  ^ 


îl  en  résulte  immédiatement,  à  cause  des  égalités  (4)  et  (16) 


/ 


De  ces  deux  relations,  la  seconde  a  été  trouvée  ci-dessus  ; 
et  la  première,  comme  on  le  vérifie  aisément ,  ne  diffère  pas, 
au  fond,  de  la  formule  : 


P,,^_,  =  8^(-4^-l)    /       -^—  .  (10) 


Du  reste,  en  partant  de  l'équation  (2o) ,  et  en  y  remplaçant 


osa;  / 


^(:r^2ra_^-(-i-2r;a 


\gx-{ —if  v-x        -«Tto.        da , 

cosa;  /  e      — e  ' 


on  trouve 


J  e      —e 


doc;  0-) 


et,  suivant  que  i  est  hnpair  ou  pair,  cette  formule  reproduit 

(T)  ou  (U). 


-     33 'j  — 
XIX.  La  formule 


y 


e'     —  1 


nous  a  donné 


/ 


(e    —  e     )  (4e      +<+4(3       )  =  -tg*^.        (A) 


e      —  1 


En  adoptant  la  nouvelle  valeur  de  P,    j,  on  trouve,  absolu- 
ment de  la  même  manière  que  ci-dessus  , 


/ 


IX  — tz\ 


tdt{er  -e-"}  1     , 


e    —  e 


LXVIIl.   — DE  QUELQUES  PROPOSITIONS  INEXACTES,  RELATIVES  AUX 

SÉRIES  (novembre  1867). 

î.  Dans  une  Note  intitulée  :  Addition  à  la  première  partie 
des  Recherches  sur  la  nature  et  la  propagation  dit  Sou{*), 
Lagrangc  répond  ainsi  à  de  très-justes  critiques  : 

«  ...  3"  M.  d'Alcmbcrt  attaque  aussi  les  calculs  que  j'ai  fait 
»  dans  le  Ghap.  Vî  pour  trouver  d'une  manière  directe  et 
»  générale  la  somme  d'une  suite  infinie,  telle  que 
«  sin  cp  X  siu  G  +  sin  i2  ©  x  sin  2  G  +  etc.  » 

Cette  série  est,  sinon  divergente,  du  moins  indéterminée. 
En  effet,  la  somme  des  n  premiers  termes  a  pour  valeur 


cos -^—^  sin  -V^'        cos -^ — ■  sin  -^- — ■' 


S  = 


2sin^  2sin^ 


(*)  Miscellanca  taurinensia ,  ("1760-01). 


—  335  — 

et,  lorsque  u  croit  indéliniment,  cette  quantité  ne  tend  vers 
aucune  limite  fixe.  Néanmoins,  à  l'endroit  cité,  Lagrange 
cherche  à  prouver  que  la  somme  de  la  série  égale  zéro.  On  va 
voir  comment  l'illustre  Géomètre  arrive  à  un  pareil  résultat. 

»  La  méthode  que  j'ai  emploïée  dans  cette  recherche  est 
»  très-simple  ;  après  avoir  transformé  la  suite  proposée  en 
»  deux  autres  composées  de  simples  cosinus,  j'ai  mis  à  la 
»  place  de  chacun  de  ces  cosinus  son  expression  exponentielle 
»  imaginaire,  &  j'ai  cherché  la  somme  de  suites  résultantes, 
))  par  la  méthode  ordinaire  de  la  sommation  des  séries  géo- 
»  métriques ,  en  supposant  le  dernier  terme  nul  comme  on 
»  le  fait  communément  lorsque  la  série  va  à  l'infini. 

»  M.  d'Alembert  m'objecte  que  cette  supposition  n'est  point 

»  exacte,  parce  que  dans  la  suite  e''^"^  -+  e-'^~^  etc.  le  der- 

»  nier  terme  est  e*  ~'  quantité  qui  est  infinie  au  lieu  d'être 
»  zéro.  » 

Non-seulement  Lagrange  n'admet  pas  l'objection;  mais 
encore  il  ne  la  comprend  pas;  il  y  a  plus  :  il  s'étonne  que 
d'Alembert  conteste  ime.  proposition  complètement  absurde! 
Le  Géomètre  de  Turin  continue  en  effet  ainsi  sa  polémique 
avec  le  Philosophe  de  Paris  : 

«  Or  je  demande  si  toutes  les  fois  que  dans  une  formule 
»  algébrique,  il  se  trouvera  par  exemple  une  série  géomé- 
»  trique  infinie ,  telle  que  \  +  .%  +  x^-  +  x'  -f  etc.  on  ne  sera 

»  pas  en  droit  d'y  substituer  r^-,  quoique  cette  quantité 

«  ne  soit  réellement  égale  à  la  somme  de  la  série  proposée 
«  qu'en  supposant  le  dernier  terme  a;"  nul.  Il  me  semble  qu'on 
3)  ne  sauroit  contester  l'exactitude  d'une  telle  substitution  sans 
»  renverser  les  Principes  les  plus  communs  de  l'Analise,  « 

Ainsi,  ce  serait  renverser  les  principes  que  de  contester 
Vexactitude  de  la  substitution  d'une  quantité  A  à  une  quantité 
B,  lorsque  B  diffère  de  A!  On  croit  rêver  quand  on  lit  de 
pareilles  choses  ,  signées  d'un  si  grand  nom!  Mais  ce  n'est 
pas  tout  : 


—   33G  — 

«  y].  d'Alemberl  apporte  encore  un  ari^uiiienl  parliculicr 
»  pour  prouver  que  la  somme  de  la  suite 

»  cosrc  +  COS  2.C  +  coso.f  +  etc.,  à  ri)iluii 

«  ne  peut  pas  être  —  ^  comme  je  l'ai  trouvée  par  mon 
»  calcul.  11  suppose  œ  =  45" ,  *^  il  trouve  que  cette  suite 
»  devient  ^,0,-p!=,  -  1,-^,0,-^^,  +  1,  etc. 

»  après  quoi  elle  recommence  :  or  (dit-il)  la  somme  de  cette 

1  1 

))  suite  finie  est,  ou  —-=,  ouO,  ou  —  J  ,  ou  —  1 -=  selon 

»  quon  y  prendra  plus  ou  moins  de  termes.  Donc  la  somme  de 

i 
)•>  la  suite  entière  est  aussi  ou  —7=,  ou  0,  ou  —  1  ,  ou 

V/2 

))  —  1 — ,  selon  le  nombre  des  termes  qii  on  y  prendra,  quel 

«  que  soit  d'ailleurs  ce  nombre  de  termes  fini  ou  infini ,  <&  cette 
»  somme  ne  sera  point  =  0,  à  moins  que  m  x  45°  ne  soit  =  à 
»  une  infinité  de  fois  la  circonférence ,  ou  ISS**  H-  une  infinité 
»  de  fois  la  circonférence.  » 

Sauf  peut-être  les  mots  somme  de  la  suite  entière,  il  n'y  a 
rien  à  objecter  au  raisonnement  de  d'Alembert  :  aujourd'hui , 
on  ne  s'y  prendrait  ni  autrement  ni  mieux  que  lui  pour  établir 
Y  indétermination  de  la  série 

cosx-i- cosSa;  +  cosSa; +  •   •   • 

Au  lieu  de  se  rendre  à  des  arguments  si  clairs ,  présentés 
en  si  bons  termes ,  le  futur  comte  de  VEmpire  le  prend  de  très- 
haut  avec  Jean-le-Rond  : 

«  Je  répons  qu'avec  un  pareil  raisonnement  on  soutien- 

»  droit  aussi  que  j n'est  point  l'expression  générale  de  la 

»  somme  de  la  suite  infinie  1  —  x  +  x'  —  x'^  +  etc.  parce 
»  qu'en  faisant  .r  =  l  on  a  4  — i  +  1 — 1  +etc.  ce  qui  est  ou  0, 
»  ou  1 ,  selon  que  le  nombre  des  termes  qu'on  prend  est  pair, 

»  ou  impair,  tandis  que  la  valeur  de- est  -  •    Or,  je   ne 

•a  crois  pas  qu'aucun  Géomètre  voulût  admettre  cette  conclusion.  » 


-  337   - 

Depuis  longtemps  tous  les  Géomètres  sont  d'accord  sur  cette 
proposition  : 

l'équation 

1 

=  \—X  +  JC^  —x^  -\-    ■    •     • 

1  -^x 
est  absurde  si  x  égale  ou  surpasse  l'unité  ; 

et  tous  les  étudiants  en  mathématiques  sont  en  c(at  de  la 
démontrer.  D'Alembcrt  avait  donc  raison;  et  il  ne  reste  rien, 
absolument  rien,  de  la  réfulation  de  Lagrangc  (*). 

II.  Un  Mémoire  sur  la  convergence  des  séries,  dû  à  l'un  des 
plus  éminents  Géomètres  de  ce  siècle,  commence  ainsi  (**)  : 
«  Soient 

u„,     il, ,     II.,    «3,  ...    etc.  (1) 

»  les  différents  termes  d'une  série  réelle  ou  imaginaire;  et 

»  la  somme  des  u  premiers  termes,  n  désignant  un  nombre 
»  entier  quelconque.  Si,  pour  des  valeurs  de  n  toujours  crois- 
»  santés ,  la  somme  5_  s'approche  indériniment  d'une  certaine 
»  limite  s ,  la  série  sera  dite  convergente ,  et  la  limite  en  ques- 
»  tion  sera  ce  qu'on  appelle  la  somme  de  la  série.  Au  con- 
»  traire,  si,  tandis  que  n  croît  indéfiniment,  la  somme  6-^ 
»  ne  s'approche  d'aucune  limite  fixe,  la  série  sera  divergente 
»  et  n'aura  plus  de  somme  (***). 

(*)  Comment  le  uouvel  éditeur  des  œuvres  de  ce  grand  Géomètre  a-t-il  laissé 
passer  ,  sans  les  signaler  aux  lecteurs  ,  des  théories  aussi  fausses  ?  M.  Bertrand  , 
dans  sa  belle  édition  de  la  Mécanique  analijtiqve ,  avait  donné  un  exemple  bon 
à  suivre. 

(*')  Exercices  de  Mathématiques ,  tome  II,  p.  221  (1827). 

(***)  On  voit  que  Caucby  n'admet  que  deux  espèces  de  séries.  Cette  classifica- 
tion, acceptée  par  la  plupart  des  auteurs  ,  ne  me  semble  pas  rationnelle.  Dire  que 

-Hl  —  1  +  1  —  l  +  l—  •   •    •    • 
est  une  série  divergente,  c'est  attribuer  au  mot  divergent  une  acception  contraire 
à  son  sens  habituel. 

2ii 


—  338  — 

»  D'après  ces  principes,  pour  que  la  série  (  1  )  soit  convcr- 
»  génie,  il  est  nécessaire,  et  il  suffît  que  les  valeurs  des 
»  sommes 


»  correspondantes  à  de  très-grandes  valeurs  de  n ,  diffèrent 
«très-peu  les  unes  des  autres,  en  d'autres  termes,  il  est 
»  nécessaire,  et  //  suljit  que  la  dijfén'ncc 


(3) 


»  devienne  infiniment  petite,  quand  on  attribue  au  nombre  n  une 
»  valeur  infiniment  (jrande,  quel  que  soit  d'ailleurs  le  nombre  entier 
»  représenté  par  m...  » 

J'ai  déjà  fait  remarquer  {Traité  élémentaire  des  séries,  p.  4.) 
que  la  phrase  imprimée  en  italiques  énonce  (si  je  l'ai  bien 
comprise)  une  proposition  fausse;  car  le  sens  le  plus  naturel 
qu'on  lui  puisse  attribuer  est  celui-ci  : 

Une  série  est  convergente  si  la  somme  d'un  nombre  quelconque 
(mais  déterminé)  de  termes  consécutifs  tend  vers  zéro,  lorsque  le 
ranfj  du  premier  d'entre  eux  croit  indéfiniment;  et  il  est  évident 
que  la  série  harmonique  satisfait  à  cette  condition. 

On  peut,  il  est  vrai ,  supposer  que  par  l'expression  quel  que 
soit  le  nombre  entier  m,  Cauchy  a  voulu  entendre  que  m 
peut  être  infini,  ou  plutôt  indéfiniment  grand.  Mais  alors 
le  théorème  énoncé  (et  non  démontré)  se  réduirait  à  celte 
proposition  aussi  insignifiante  qu'incontestable  :  une  série  est 
convergente quand  elle  est  convergente  ! 

En  eiïet ,  pour  que  la  quantité  s„  ^  ,„  —  s„  tende  vers  zéro  quand 
on  y  fait  croître  indéfiniment  et  successivement,  d'abord  m, 
ensuite  n ,  il  faut  et  il  suffit  que  cette  quantité  tende  vers  une 
limite  finie  et  déterminée  quand  on  y  fait  d'abord  croître 
indéfiniment  m  ;  c'est-à-dire ,  il  faut  et  il  suffit  que  la  série  soit 
convergente  ;  ce  qui  n'apprend  rien. 


—  339  - 

IJI.  Cette  proposition  fausse  ou  insignifiante,  que  l'on  est 
étonné  de  rencontrer  chez  i'iliustre  Géomètre  à  qui  l'on  doit 
les  vrais  principes  sur  la  convergence  des  séries  ;  cette  pro- 
position, dis-je,  a  été  reproduite,  avec  aggravation,  dans 
un  grand  nombre  d'ouvrages  didactiques  ,  la  plupart  très- 
recommandables.  Voici  quelques  citations  : 

1°  «  Réciproquement,  lorsque  toutes  ces  conditions  (*)  sont 
»  remplies ,  la  série  est  convergente  ;  car  les  sommes  s  , 
»  s  ,  s  , ,  s  _  ,  etc.,  pouvant  devenir  aussi  peu  différentes 
»  les  unes  des  autres  qu'on  le  veut,  ces  sommes  convergent 

»  nécessairement  vers  une  limite »  (Algèbre  de  Choquet  et 

Mayer,\x  584,  1849). 

Ici  ,  l'erreur  est  manifeste  :  la  différence  s  —  s  peut 
tendre  vers  zéro,  pendant  que  5^  ^•^^,,^-1  croissent  indéfiniment. 

2°  «  Réciproquement  si  la  somme  :(**)  tend  vers  zéro, 
»  quel  que  soit  7n,  quand  n  augmente  indéfiniment,  toutes 
»  les  sommes  désignées  par  s  _    _ ,  différant  très-peu  les  unes 

»  des  autres  ,  quand  n  est  très-grand  ,  tendent  évidemment 
»  vers  une  limite  commune ,  et  la  série  est  convergente.  » 
(Briot,  Leçons  d'Algèbre ,  seconde  partie,  p.  31.  —  1853.) 
Évidemment,  les  sommes  désignées  par   s^^^^  peuvent 

croître  au-delà  de  toute  limite ,  tout  en  différant  très-peu  les 
unes  des  autres. 

3°  «  Pour  qu'une  série  soit  convergente ,  la  condition  néces- 
»  saire  et  suffisante  consiste  en  ce  que  la  somme  d'un  nombre  quel- 

)y  conque  de  termes  au-delà  du  n"'"'\  u  ,   soit  aitssi  petite  que  l'on 

»  voudra,  si  n  est  suffisamment  grand.  Cette  condition est 

»  suffisante,  car  si 


(*)  Celles  dont  il  vient  d'être  question. 
(**)  î  désigne  s        —  s  . 

^  "  n-i-m  n 


-   3'tO  — 

»  est  compris  entre  —  e  et  -h  z ,  S^^    sera  comprise  entre 
,,5  —  £  et  5  +  ' ,  limites  qui  se  rapprocheront  de  plus  en 
»  plus  à  mesure  que  n  augmentera...  »  (Sturm,  Cours  cV Ana- 
lyse, tome  1 ,  p.  34 —  1S57). 
Sis    croît  indéfiniment  avec  n,  il  en  est  de  môme  pour 

n 

S     ;  donc  la  proposition  et  la  démonstration  sont  inexactes  (*). 

n-*-i 

IV.  Une  théorie  des  séries ,  très-rigoureuse  et  très-com- 
plète, se  trouve  dans  le  Traité  de  Calcul  différentiel  et  de 
Calcul  intégral,  do  M.  Bertrand.  Comment  se  fait-il  que  ce 
Géomètre,  dont  personne  ne  conteste  l'érudition  et  la  saga- 
cité, ait  imprimé  la  formule  suivante,  laquelle  eèl  toujours 
ahsurde  ? 

7:  _  sinj/        1  sin2y        i  sin3?/ 
2  ~  cosy        2  cos'?/         3  cos'y 

Il  est  bien  vrai  que,  quelques  lignes  plus  bas,  l'auteur 
ajoute  :  «  Nous  retrouverons  la  plupart  d'entre  elles  {la  pln- 
»  part  de  ces  séries)  par  d'autres  procédés  qui  nous  permet- 
»  tront  de  décider  dans  quels  cas  elles  sont  applicables.  » 
M.  Bertrand  s'est-il  réservé  le  plaisir  d'apprendre  plus  tard  , 
à  ses  lecteurs ,  qu'il  a  voulu  leur  tendre  un  piège  mathéma- 
tique? Ce  serait  là  une  étrange  espièglerie  (***). 


(*)  Le  Cours  de  Sturm  a  été  publié,  après  la  mort  de  l'auteur,  par  Prouhet, 
l'un  de  ses  meilleurs  élèves ,  dont  la  fin  prématurée  est  bien  regrettable.  Il  est 
donc  possible  que  la  faute  signalée  ne  soit  pas  le  fait  du  profond  Géomètre  qui  sut 
toujours  ,  dans  ses  démonstrations ,  allier  la  rigueur  à  la  simplicité. 

(  **  )  Tome  I ,  p.  304.  —  Ce  volume  ,  publié  en  1864 ,  est  le  seul  qui  ait  paru. 

("*)  Le  grand  Traité  de  M.  Bertrand  ,  beaucoup  plus  complet,  beaucoup  plus 
exact  que  celui  de  Lacroix ,  ne  remplacera  pas  cette  œuvre  remarquable  :  il  y 
manque  (je  parle  du  Traité  nouveau)  l'ordre  et  le  style.  Puis,  contrairement  à 
son  respectable  devancier,  qui  cherchait  à  rendre  justice  à  tous,  M.  Bertrand  ne 
cite  presque  personne ,  sauf  ses  amis,  bien  entendu.  Croirait-on  que,  dans  la 
Table  des  matières,  M.  Liouville  est  signalé,  nnu[U6mcai ,  pour  avoir  inventé 
une  dénomination  î 


V.  Dans  un  Cours  de  Calcul  différentiel  et  intégral  (sic) ,  que 
fait  paraître  M.  Serrât,  ou  lit  : 
«  Réciproquement ,  la  série 

te,,    u. ,    u,,    u   ,  ,  .  .  . 

t.i  '  1  '  s  '  n- 1   ' 

»  est  convergente  lorsque  la  somme 

u  -{-  u    ,  -h  •   •  -f  u 

»  tend  vers  zéro,  quel  que  soit  p,  quand  n  augmenle  indcfininieni. 

«En  effet,  désignons  par  t  une  quantité  positive  aussi 
»  petite  que  l'on  voudra,  et  par  S_  la  somme  des  n  premiers 

»  termes  de  la  série.  Gomme  la  différence 

S     '    —  S     =  «    -+-  M       ,  +    •     •    4-  2t 

n-r-p  n  ,.  „  +  !  t+p-t 

»  tend  vers  zéro,  quel  que  soit  p,  par  hypothèse,  quand  n 
^)  tend  vers  l'infini,  on  peut  donner  à  n  une  valeur  déterminée 
»  assez  grande  pour  que  la  différence  dont  il  s'agit  soit  com- 
»  prise,  quel  que  soit/?,  entre  —  s  et  +  e.  On  aura  donc 

S^  — £  <S^_^^,  <S^  4-î. 

»  Gela  posé,  le  nombre  n  restant  invariable,  faisons  tendre jy 
'  vers  l'infini...  » 

On  voit  que  le  théorème  de  M.  Serret  est  la  proposition  de 
Gauchy,  accompagnée  d'une  démonstration  très-peu  claire  : 
l'auteur  en  convient.  On  voit  aussi,  par  les  derniers  mots 
cités,  que,  suivant  M.  Serret,  le  nombre  p  doit  être  supposé 
indéfiniment  grand.  Nous  avons  déjà  démontré  (§  II)  que  la 
proposition  de  Gauchy ,  entendue  ainsi,  équivaut  à  ce  théo- 
rème inattaquable  :  Une  série  est  convergente  quand  elle  est 
convergente;  mais,  afin  d'élucider  entièrement  une  théorie 
sur  laquelle  tant  de  Géomètres  se  sont  trompés,  croyons- 
nous,  nous  allons,  à  propos  du  théorème  de  M.  Serret, 
reprendre  et  compléter  notre  démonstration. 


—  342 
Soit 


-s   -r(//,;;). 


Si,  laissant  n  constant,  on  fait  croître  j^  indétlniment,  il 
peut  arriver  deux  choses  :  ou  Y  {n,  j?)  tend  vers  une  limite 
finie  et  déterminée  X  =  F  (»,  oo)  =  <p  (n),  ou  le  contraire 
a  lieu.  D'après  l'énoncé  de  M.  Serret ,  la  seconde  hypo- 
thèse doit  être  rejetée  :  car  dire  qiiune  quantité  infinie 
tend  vers  %éro  quand  on  fait  croître  une  variable  n  qui  ni/ 
mtre  pas,  ou  quune  fonction  de  n ,  périodique,  a  pour  limite 
iéro,  c'est  proférer  deux  non-sens.  Reste  donc  le  cas  où 
P  {71 ,  co  )  =  o  [n)  =  l.  Mais  alors  la  somme  des  n  +  p 
premiers  termes  de  la  série  tend  vers  S^  +  9  {n)  lorsque  , 
71  restant  invariable,  71  -{-  p  croît  indéfiniment;  ainsi,  la  série 
est  convergente,  et  elle  a  pour  somme  la  quantité  constante 

S„  +  9(»)-S(*). 

Ajouter,  comme  le  fait  M.  Serret,  la  condition 

lim.  (p  («)  =  0 , 

c'est  demander  que,  dans  une  série  convergente ,  la  différence 
entre  la  somme  des  n  premiers  termes  et  la  limite  de  cette 
somme  tende  vers  zéro  ;  c'est-à-dire ,  c'est  demander  que  ce 
qui  est,  ait  lieu.  Le  théorème  de  M.  Serret  se  réduit  donc, 
comme  nous  l'avons  annoncé ,  à  cette  naïveté  :  Une  série  est 
convergente ,  quand  elle  est  convergente. 


(*  )  Je  dis  que  S^  -h  y  («)  =  constante.  En  effet , 
S      ,  =  S    -+-  w      , , 


et 


—  343  — 

VI.  Le  Traité  élémentaire  des  séries  renferme  à  la  page  ilO, 
les  relations 

I  1       .    .  TT 

siii'9 — -siir  3  :p  4-  —  sur  o(p  —  •    ■=-.-,  (1) 

II  ÎT 

cos-  ®  —  -  cos"'  3  2.  +  —  cos'  5  9  —  •   •       =  — ,  (2) 

que  j'ai  tirées  d'un  Mémoire  de  Lobatto  (*). 

Si  on  les  ajoute  membre  à  membre,  on  trouve  ce  résultat 
inexact 

111  _  t: 

3        5        7  2 

Pour  découvrir  où  gît  l'erreur,  posons 

1  1 

sin'ct — -  sin*  3(p  +  —  sin'09—    •   •   •       =A,  (3) 

1  1 

COS*  9 — -cos' 3(p  +  —  cos'oi—    •    •    •       =B;  (4) 

ou ,  ce  qui  est  équivalent  : 

-  —    cos  2  ©  —  —  cos  6  9  +  —  cos  10  ©  —  ■    •     =  2  A, 
4L  '3  '  p  J 

il  4-1  cos  2  'p ^  cos  6  (p  +  -:rCOS  10  9  —  •    -=28. 

Or,  lorsque  l'arc  x  est  compris  entre  — -et  +  ■^(exclusi- 
vement) ,  on  a  (  **  ) 

cosrc — T-cos3.r4- —  cos  oa:  —   •   •   =— ; 

3  h  4 


(*)  M.  Lobatto,  Professeur  d'Analyse  à  l'Université  de  Delft,  et  auteur  d'un 
grand   nombre  de  travaux    intéressants ,   est   mort  l'année  dernière. 
(**)  Traité  élémentaire..., ,  p.  106. 


—  ?,n  — 
donc,  29  élanl  compris  entre  les  mêmes  limites,  on  a  aussi 


En  résumé,  les  formules  (l),  (^2)  doivenl  être  remplacées 
par  celles-ci  : 

I  1 

si!i*ç) 5-sin*39  +  —  sin'oç—  •    •    •    =0,  (!') 

II  — 

cos* (p  —  —  cos' 3 0/ +  —  cos' 5 cp  —  .   .   .     ^  - -^  ,.2'i 

00  4 

auxquelles  un  doit  joindre  la  double  inégalité 


4       ^-^       4 

Si  l'on  supposait 

on  trouverait 

1  - 

1 

3 

1 

0 

■     =  0; 

1  — 

1 

3 

1 

+  — —    •     •     • 
0 

T  ^ 

relations  fausses  et  contradictoires. 

VII.  Nous  terminerons  par  deux  remarques  importantes  , 
déjà  publiées  (*)  : 

î"  Une  série  dans  laquelle  la  somme  d'un  nombre  indéfini- 
ment grand  de  termes  consécutifs  a  pour  limite  zéro,  peut  être 
divercienie. 


{')  Traité  élé,nentaii'e  des  Séries,  p.  C  et  29. 


Soit  par  exemple,  la  série  divergente 


1         1  1 


2^2      3/3  {n  +  i}t{u  +  i) 

Prenons  n  termes  à  partir  du  n  '"'  :  la  somme 
1  1 


S     — S    = 


"      (n  -h  2)  /  («  +^2)  (2/:-.  ^-  î  )  /  (2;^  +  1) 


est  inférieure  à  •—  ;  donc 

in 


lim  (S,    —  S  )  =  0. 

2°  Une  série  à  termes  alternativement  positifs  et  négatifs , 
dans  laquelle  le  terme  général  a  pour  limite  zéro  ,  peut  être 
divergente. 

La  série 


y 2  —  i        l^  2  +  i       l'  3  —  1        1/3+1       \^-i  -  1        l  4  +  1 

satisfait  aux  deux  conditions  énoncées.  Mais,   si  on  l'écrit 
ainsi 

\V/2— 1       l/2  +  l)       \i''3— 1       v'^J+i/       li/4— 1      l'î+ij'^'" 
on  voit  que 


'111  1^ 

S.,  =  2  (1  +  1  +  -,+  ..+  Al 

\1        2       3  ni 


donc  la  série  est  divergente. 


—  340  - 
LXIX.     -  DÉMONSTRATION  d'L?sK  l'ORML LE  DE  POISSON'  (ll'vnil'.U   18G7). 

Pour  établir  la  relation 

a     -+-  — •    a         p  +    ■    •    '  +  Lm.p  ^-         t 


=  *  +  f)c      ,P-'    I     ^^^,  W 


i./j-. 


f 


(|3  -H  0)'"" 


Poisson   commence  (*)   par   démontrer  que   le    premier 
membre  équivaut  à 

Ce  lemme  préliminaire,  qui  pourrait  être  vérifié  directe- 
ment ,  est  inutile. 
En  effet*,  de  l'identité 


m-p  m-p-l  m-p 

(1+0  (1  +  /)^  (1  +  0    '^ 


on  conclut 


r"^       ,  .     /      f"~''''dt  t        r  'dt 


■/ 


=  {m-p)  /    - — —,-p  /    — ^;(3)r) 


(i+Zf)'  /      (1+0  /      (1+0 


(*)  Recherches  sur  la  probabilité  des  jugements ,  p.  189.  Dans  les  équations(I) 
et  suivantes ,  «  +  ^  =  1  ,  is  +  q  =  ?» . 

("*)  On  a  ainsi  une  relation  simple  entre  deux  intégrales  définies  très-com- 
plexes :  chacune  d'elles  serait  exprimée  par  un  polynôme  ou  par  une  s^rie. 


—  347  — 
puis  ,  en  multipliant  les  deux  membres  par 


m       m  —  1  m  —  p  +  1  _ 


m  -  p 

C 


k 


(l4-/i) 


\r  /       m.v-i-.       I  ,.    .    .,«1-1-1        '       m.p       I  ,,  .^m-f-l 


rj      l 


(1+0'^         ,...   .      ^j^^^ 


Maintenant ,  si  l'on  change  penp  —  i  ,  p  —  2  .  .  .  2 ,  l ,  0, 
et  que  l'on  ajoute  membre  à  membre  les  p  +  i  équations 
ainsi  formées  ,  on  trouve 


1  "•■p  I      t  dt 


(?'+1)C, 


(l+A-)'"  '-'^'J       (l  +  f)'""' 

et  cette  équation  ne  diffère  pas ,  au  fond ,  de  l'équation  (  1  ). 


—  348  — 

Extrait  d'une  lettre  de  M.  Honsel. 

« après  avoir  posé  l'équation  (3)  (*),  je 

dis  :  «  le  nomhre  m ,  que  nous  avons  supposé  être  premier  , 
sera  égal  à  «,  ou  bien  sera  premier  avec  «.  » 

Cette  alternative  est  trop  absolue  :  m  peut  être  facteur ,  à  la 
fois,  dans  a  et  dans  B'. 

Soient  donc 

D  et  D' étant  premiers  avec  m.  Il  est  facile  de  voir  que  D  et  D' 
ont  les  mêmes  facteurs;  car,  d'après  l'équation  (3),  a  divise 
m  B'  =  ?w^'-'  D',  et  B'  divise  «"-'  =  ?»"'-''  D'"'. 

L'équation  (3)  devient 

a    m  D       ■=  ni        D'  h ^— ^ ■  m  D  D"  -t-  •    •   •  ; 

d'où 

fl"'m"^'-'^-'''-'D"-'  =  D'  +^^^^^m'^^^'  ■'  DD"  +  •    •   •     (3') 

Comme  m  est  facteur  dans  tous  les  termes  du  second 
membre,  excepté  le  premier,  m  ne  doit  pas  diviser  le  pre- 
mier membre  ;  donc 

p.  {n  —  ])  ^  u'  +  1 , 
ou 

u'  =  u  (M  —  1)  —  1. 

D  et  D'  ayant  les  mêmes   facteurs  premiers  ,    supposons 
D  -  ri'    ^'  ■   ■   ■  ,    D'  =  (l^'d/>  •   •   •  , 

et  divisons  par  D'  les  deu.r  membres  de  l'égalité  (3')  :  le  pre- 
mier terme  du  second  membre  sera  l'unité  ,  tous  les  autres 

[')  Voyez  p.  43. 


—  349  — 

termes   seront  encore  divisibles   par   D'  ;   donc  ie  premier 
membre  ne  pourra  plus  être  divisible  par  D'. 
De  là  résulte  (attendu  que  a^  est  premier  avec  D'), 

à'  ={n—  [)rj,    0/  =  {n  -1)0,,  .  .; 

et ,  par  conséquent, 


[)'--=  D"  '. 


L'égalité  (3')  devient 


a    =  1  + m         D   -f 


De  plus  , 


B'  =  m    D'  =  w  D       =-^ —  = ; 

m  7n 

donc 

m 
L'équation  (1)  devient,  à  cause  de  y  —  [  +-  B  , 

a  étant  divisible  par  m.  Mais  ridentification  avec 

2'  =  (1  +  2)*  —  1 
donnerait 

a' 

ou 

a'  =  .4  ; 

ce  qui  est  impossible » 


—  350  — 
ERRATA. 


Pages    17,    ligue     1.       Au   lieu   de     s  —  n,         lisez         n. 

5(3—1)  '/('Z— 1) 


<JO             1>J 

1 

2 

— 

89                19 

r,->-, 

''.-''o 

— 

98                14 

P'  — Q 

P'  +  Q 

— 

128  ligne  dernière 

— 

— 

=  1 

— 

=  it  1. 

— 

130        —      8 

— 

— 

o'^'-i 

— 

2"-'. 

— 

131        —       2 

— 

— 

P. 

— 

P. 

—      150        —     10 


_    /*'(j(i_9/-^-'f75_  rV  (i_gy-*-'d5. 




192—4           — 

-KM 



«(-l- 

— 

203—6           — 

-      ^^2A^. 

— 

±  -S.., 



229  avant- dernière    — 

dx 



dy. 

—      252        —      18  —         —     A,.r,  —  A„,r* 


TABLE  DES  MATIÈRES. 


Tâge». 

I.  Sur  les  combinaisons  avec  répétition 1 

II.  Aire  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe 3 

lîl.  Sur  l'intégrale    y  y  d.rrf^/ Y -^rqr^nrr ^ 

IV.  Dén-ionstration  d'une  formule  de  Diriclilet 9 

V.  Réduction  d'une  intégrale  multiple H 

VI.  Autre  intégrale  multiple 15 

VII.  Sur  la  Partition  des  nombres 16 

VIII.  Sur  la  décomposition  d'un  produit  en  facteurs 18 

IX.  Analyse  indéterminée  du  premier  degré 21 

,r    r,      ,.•            ,     r"   cos  ace  oi 

A.  Sur  1  intégrale  / '■ —  dx ■'4 

i      {l+x')" 

XI.  Problème  de  minimum 31 

XII.  Problème  de  Géométrie 34 

XIII.  Théorème  de  Géométrie 35 

XIV.  Problème  d'Analyse  indéterminée 38 

XV.  Quelques  théorèmes  empiriques 40 

Démonstration  d'un  théorème  relatif  à  la  Théorie  des  nombres 

(par  M.  Housel) 42 

XVI.  Lieu  géométrique 49 

XVII.  Théorèmes  sur  les  surfaces  développables 52 

XVIII.  Sur  le  tétradécagone  régulier 54 

XIX.  Sur  la  toroïde 55 

XX.  Sur  la  toroïde 58 

XXI.  Sur  l'intégration  des  équations  simultanées 60 

XXII.  Sur  la  Partition  des  nombres 62 

■  XXIII.  Sur  l'héliçoide  de  raccordement 65 

XXIV.  Sur  l'héliçoide  à  plan  directeur 67 

XXV.  Sur  un  cas  particulier  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe  ....  68 

XXVI.  Problème  d'Algèbre 70 

XXVII.  Sur  le  Problème  des  partis 72 

XXVIII.  Fractions  continues  périodiques 75 

XXIX.  Recherche  des  valeurs  des  fractions  continues  périodiques  .     .  79 

XXX.  Analyse  indéterminée 99 

XXXI.  Rectitication  de  la  méthode  de  Newton 104 

XXXII.  Autre  modification  à  la  méthode  de  Newton 108 

XXXIII,  Sur  la  somme  des  puissances  semblables  des  nombres  naturels,  110 


Pap,o« . 

XXXIV.  Sur   les   difi'érences  de   1'"  ,  et  sur  le  calcul  des  Nombres   de 

Bernoulli 115 

XXXV.  Sur  les  Nombres  de  Bernoulli ,   et  sur  quelques  formules  qui  en 

dépendent 121 

XXXVI.  Sur  le  calcul  des  Nombres  de  Bernoulli 127 

XXXVI(*).  Sur  la  Théorie  des  nombres 133 

XXXVII.  Sur  une  application  de  la  formule  du  binôme  aux  intégrales 

eulériennes 150 

XXXVIII.  Théorème  d'Analyse 162 

XXXIX.  Sur  la  série  harmonique 164 

XL.  Sur  une  fonction  homogène  eutiùre 168 

XLI.  Sur  les  surfaces  cyclotomiques 170 

XLII.  Sur  la  théorie  des  roulettes 181 

XLIII.  Lieu  géométrique.     . 1S4 

XLIV.  Sur  un  produit  convergent 186 

XLV.  Remarques  sur  un  Mémoire  de  Poisson 188 

XLVI.  Sur  la  sommation  de  certains  coefficients  binomiaux    ....  193 

XLVII.  Sur  le  théorème  de  Fermât 196 

XLVIIl.  Sur  l'équation  du  troisième  degré 202 

XLIX.  Rayon  de  la  sphère  circonscrite  à  un  polyèdre  sémi-régulier.     .  206 

L.  Sur  une  fraction  rationnelle 208 

LI.  Sur  les  normales  à  une  surface 213 

LII.  Lieu  géométrique 216 

LUI.  Quelques  intégrales  définies 220 

LIV.  Sur  une  transformation  de  série 223 

LV.  Sur  un  problème  d'Algèbre  légale ,  et  sur  une  transformation  de 

série 231 

LVI.  Une  propriété  des  déterminants 234 

LVII.  Démonstration  de  la  formule  de  Stirling 238 

LVIII.  Sur  les  lignes  de  courbure  de  l'ellipsoïde 243 

LIX.  Rectification  et  addition  à  la  Note  XXX 248 

LX.  Sur  le  plus  grand  commun  diviseur  algébrique 252 

LXl.  Sur  l'équation  du  quatrième  degré 255 

LXII.  Sur  les  coordonnées  curvilignes 257 

LXIII.  Aire  d'une  surface  du  quatrième  degré 273 

LXIV.  Trajectoires  orthogonales  des  sections  circulaires  d'un  ellipsoïde.  :^8S 

LXV.  Sur  les  surfaces  à  courbure  moyenne  nulle 292 

LXVI.  Sur  la  Partition  des  nombres 305 

LXVII.  Sur  les  Nombres  de  Bernoulli  et  d'Euler 313 

LXVIII.  De  quelques  propositions  inexactes,  relatives  aux  Séries.     .     .  334 

liXIX,  Démonstration  d'une  formule  de  Poisson 345 

Extrait  d'une  lettre  de  M.  liousel 348 


*  CninKoln  Jovriiil  porler  le  il"  XXXVII. 


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Catalan,    iilugène  Charles 
Mélanges  mathématiques 


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