igitized by Google Columtria illnitiffsit i' in tfir Cit? ol fltbj »ork LIBKARV Methodus Differentialis : S I V E TR ACTATUS D E SUM M ATIONE E T INTE RPOLATIONE Serierum Infinitarum. Auctore JACOBO STIRLING, R.S.S. LONDINI : Typis Gul. Bowyer. Impenfis G. Stkaham ad Infigne Globi aurati c regionc Excambii Rtgalis. Mdccxxx. Digitized by Google S/7. '■ SV S / Digitized by Google PRiEFATIO. UM fepijfime eveniat //; Series adeo lente convergant ad veritatem, ut non magis con- ducant ad finem propofitum quam fi revera ejfent dtvergentes ; exhibui quadam Theore- mata in parte prtore hujus Tratfatus, qui- bus prompte acceditur ad valores earum Serterum qu + B.v-> +C ; v-< + Dx-. 4 &c. & fubfti- uendo eandcm in ^quationc, rclulcabit + /C? +/D^ +/E? /A + /B 11 , . , B '_ , + J C >x-> + j D Sx-« + &c. =o. -i+iAj + rB ^ +rC ^ Atoue iam ad detcrminandos Coefficiences, habcmus tfquationrs ,A — i=o, /B + jA=o> tum rA + jB+/C = o, »*B + /C + ,D = o r C + jD + : E = o, & ita dcinceps in rellquis. Ubi patet eafdem prodirc rclacumts ac in compuco fuperiore, fumptis tamcn Co- rmcienclbusinordine inverfo. Et quantitates r.1, U qu* .ndicant rela- tiooem Terminorum, escdem tunt qux m Dcnom.natorc fraftmn s. Digitized by Google JNTRODUCTIO. 3 Hanc autcm harum Serierum Proprietatem, utcunque obvia fit, primus omniutn in ufus adhibuit D. Moivraus in folutione Problematum ctrca Series infinitas, quae alias forent intricatiffima. In plurimis aucem Seriebus relatio Terminorum non eft conftans uc in iis ex Divifione prodcuncibus j variatur tamen faepiffime fecundum notam Iegem oculi intuicu patcntem ; cujus rei Exempla funt Series quae pro Quadraturis vulgo proferuntur, aliaque innumera. Ut in hac 1- J-y* 4" tt *' -|—f' *' ~l"T-r" x * 4" Tcrmini continuantur in in- fimtum per mulliplicationem continuam harum fractionum -J, 4 , ■% &c. Et in hac 1 * + x> -S-tIt*' +-!-{-- * 4j r P cr mu '" tiplicationem harum i^l, VLl t i2Tn 1 *'» & c - UDI rclationes Tcrminorum funt B = Ax\ C = Bx ', D = C*', 2X3 4X5 &X7 &c. ^Equatio ad candcm erit T — 2Z 1 X * 2 ' T v', rrl T = 4- z 4*-jj2l T x', ubi valorcs fucccflivi indctcrminatse z funt 422-J-iz 1» 2, 3, 4, &c. Igitur in JEquatione definiente Sericm, Abfcifla z poteft cfle unius, duarum, vcl plurium dimcnfionum. Series quarum Tcrmini funt aflignabiles, definiri poflunt jEquationi- bus Tcrminos aflignantibus. Sic Scrics 1 — ' s x ~\- y x ' — 7 x 1 ~\- T x* x" — *&c. dcfinitur^quadoneT = -—--, ut conftabit fubftituendo o, 1, =, 3, Digitized by Google t INTRODUCTIO. 5 2» 3» & c. pro 2. Atque ad eundem modum Series * 4 * 4 + ,\ *' + &c - dcnotatur per hanc T= _ Tales ^quatio- nes reduci fempcr poflunt ad eas alterius generis : nam ubi Termini func afilgnabiles, relationes eorum erunt etiam aflignabiles. Et duTerentia intcr has & illas raro tanta erit quin cuiquc tuto proccdere licucrit prooc fibivifum fuerit. Ex haftenus diclis conftac rclationes Terminorum confequentium de- rivari ex iis anteccdentium, fcribcndo pro 2 cjus valorcm fucccfllvum *+ 1 in ^quatione Differentiali. Proponatur ^quatio T= T j 2 fcribe 2+1 pro 2, T pro T, & T" pro T ; atque orieoK T= 2 ~HH~' T', qua: eft relatio intcr Terminos T' & T*. In hac ulti- 2+1 ma fcribe valores variabilium confequentes 2 + 1, T\ & T\ pro an- tecedcntibus 2, T & T", & obtincbis T* = z +*+ 2 T rclati- 2+2 onem utique inter T" & T'. Sed & contraria operatione regredi licet ad relationem Termino- rum antecedentium cx data ea confequentium. Sic £quatio T= J+^ z » + 3 z+ z T '» & m eadem fcribe T P r0 T ' T P ro T "> & z — 1 pro 2; atque habebis T=~~j~ T. Hoc modo regredi- endo & progrediendo, poflunt Series continuari hinc inde in infinitum ubi earum natura tulerit: atque etiamfl ignoretur quinam Termini de- notcntur per T, T', T\ &c. inftituerc licec fuper iis computum, Can- quam efient prorfus cogniti. Aiquationes de quibus ha&enus egimus, involvunc duos tancum Termmos Seriei ; poflunt vero involverc plures, & tam Termini quam indeterminau z efle plurium dimenflonum. Ceterum in hoc fpccimine fimpliciores tantuin attingo. De Forma 6*f ReduBtone Serterum, Poftquam perduximus Series ad^quationes DuTerentiales, monftran» dum eu qua ratione esedem fint refolvendae in numeris. Nam A- nalyftse munus eft quanticaces quocunque modo determinatas eruere accurate vel quam proxime. Radices autem iEquacionum Differentia- lium commodiffime refolvuncur in Serics formarum iequentium C A+ 6 INTRODUCTIO. A-f-Bz+Cz.z — i -|-Dz.z— i.z — 2+Ez.z — i . z — 2. z — 3 -f- &c. . 1 B ■ C 1 D 1 E ■ ^ *~z z.z-\- 1 ""z. z-j-i.z+z Z.Z+1.Z-J-2.Z4-3 Quippe ubi z eft quantitas parva, prior forma erit adhibenda ; & po- ftcrior ubi magna. Et has Series quae componuntur cx Factoribus in progrcflione Arithmetica, longe magis idonese funt huic negotio quam vulgares qua: conflantur ex dignitatibus indeterminatse afcendentibus vcl defcendentibus. Infuper forma pofterior hoc habet commodi, quod in eadem poteft eflc z quantumvis fere magna, id quod cfficit Scricm celerrime convergcntem. Sin vero harum Scrierum formre per quaflibct operationes mutentur, debent revocari ad eafdem quarum prius erant, ut Termini reddantur homologi eorumque collatio inftitui poflit prout res cxigit. Ut fi ha- beatur /Equatio fequens ; T= A+Bz Cz. zZTi -f- Dz.z~. z^*2+ E 2.2— 1 ■ z — 2. zZT$ -\- & c. Eadcm ducta in z priftinam formam amittct, atquc novam induet, provcniente fcilicet Tz= Az-fBz 1 -f Cz T .2 — 1 + Dz\z— .1 ."24- Ez ' .zITi 1z~ZZ JZI^ 4. (&c. Uade conftat Terminos ejus comparari non pofle cum correfpondcn- tibus in Serie priore. Itaque ut debita forma reftituatur, flc operor A* ------- sAt, B** ..... - = B*-|-B* t-i, C* 1 . * — 1 iC**_ i-J-C**— 1.*— 1, Dt' t-i. t -i - - = * * 3Di i.x— r-f D* t— '3 E*».*— 1 * — » * — 3= * * --- - * - - - 4E*x^i~i.IZ" 3 ^ &c. Adeoque colligendo Terminos homologos in unum, Series ad prifti- nam formam redufta erit Nimirum cum Tcrminorum ifMKoyl» ncutiquam pendeat ex Coeffici- entibus A, B, C, D, &c. fed omnino ex indeterminata z, Tcrminus i b} z P rimus in hac Scrie comparari poteft cum Bz fccundo io altera, itcm fecundus in hac cum tertio in illa, & fic in reliquis. Similiter fi in -fliquatione priore T= A + Bz-j-Cz.nTT-J-Dz. *— '•*— 1 + &c - fcribantur variabilium valores fuccedentcs pro prje- fentibus, hoccftT' pro T, & z + i pro z, eniergec T'= Digitized by Google INTRODUCTIO. 7 T'=A+Br7T-l-C*"qp7.z-}-D£Tfl .z.~ x 4-Er+I.z,£I_7.Z-ri 4. &c. Eft vcro A = A, BZ+T =B+Bz, cr+7.2 ... - =* 2C24-CZ.*— 1, DI+T.z.r^i - - =*--*-- 3 Dz. t -i-|-Dz. 4 -i. t -» E*^7.2.Z-T7.*___=*--* • - - * 4E2.r^7.I^x+&c; Ec inde _i_A-j- B) -f- C? 4- D) .+ EV =4-B4.2cr4-3D r- fc -'4-4E i ^*-*- 1 4-5F »+^ Quae eft forma defiderata. Jiem vero harum Operationumfutidamentum. Quantitas reducenda, per multiplicationem reducatur ad Poteftat es Ind etcr minata ; z: d ein o- perare ad modum Exempli fcquentis. Sit * - 3X2X*+jX«T4 qu»n- titas reducenda 1 finge *— i X-X *hP"i X £ -r-H=32.* — 1 .* — 1.* — 3 4- bz^ — i cz.t,— i-f- ^2. Ubi maximus numerus Fa&orum in quantitate refoluta atqualis eft numero eorundem in quantitate refolvenda. Reducatur utraque quan- titas ad Poteftates Indetermuutae, fa&a multiplicatione, & habebitur- f>,i\ 4~ ,lfl 7 1 „ u 2*4-22«— IIZ'_122 = *2«~ Jj-Z» — ^*'>2*"^J 4-<0 Atque comparando Terminos homologos, obtinebimus a = i,i — 6_ = 2, r — 3 b-\-na = — 1 1, — c 4-2^—6- = —. 12 j ex quibus eruitur = 1, A=8 r = 2, = — 20; hinc fit quantius propoGra z«4" 2Z J — 1 i2 l — 1 2Z=2.t— ..I-TT.t— 3-j-82.i_T.^_rr4-2z.i,— 1— -2or. Et ad eundem prorfus modum procedere licet in aliis caGbus. Drc- vitatis autem gratia, accipe regulam fcqucniem. Uivide unitatem per Terminos hujus progreffionis continue, n — 1, n — 2,, »—3, » — 4, &c. hoc eft, divide unitatem per » — 1, & Quotum prodeuntem pern— .2, & noviflimum Quotum per »—-3, & fic porro. Tum Quotosomnes fic prodeuntes diTpone regulariter in Tabula ut vides, rejeclis Dignita- tibus ipfius n, & retentis folummodo Cc 2.2+1 '2. Z-f I .Z + 2T~Z.Z + I .2-|-2.2 + 3 ' Dein fi occafio poftulet inquirere valorem ipfius Tfuccefilvum, fcribe 2+ i pro 2, & emergct vafor fucceffiviu T A B C D — Z+ 1 * r 2+i.z+2.z+3~r z-fi. 2+2.2+3.2+4 + &c, Et ut haec Serics reducatur ad formam prioris, operor ad modum fequentem, A _A _A *+7 — 2 — 2.2-fl* i , i B B 2B Z+I.Z+Z • • . • - • 2^f 1—2724-1.2-^2» C _ # # C aC 2+1.2+2.2^*3 ' ' ~ ' ' • • 2.2+1 .Z+2"~Z.Z+1 .Z+2.Z+3 , D # # # D , z + 1 . z + 2A + 3 . a + 4 - 2.2-f I.2-f2.2-f:3+ &C^ _ , , A B — A C— 2B , D — 3C Et habeoT = +2^2^ + 2.24-1.24-2.24-3 + &c - Ubi nunc Denominatores iidem funt atque in valore ipfius T i eaque de caufa, inftituere licet comparationem Terminorurri prout occa- fio poftulac Hujufmodl auiem Oponuione* fi c deinonftrantur. Ponc — t— == ~ — r~r~iT7» exiftentc a quantitate ftatim invenienda; tum ducendo in Denominatorem z.x+i, proveniet 2 = 2+ 1 — a% fi^e delendo utrobique 2, 0= 1 — a, & a = 1 quare fubftituendo unitatem prO habebitur ^ = j - ~p Similiter fingo = T-p— z z +* 2+2 ' &duccn4 + ^ 0, I 1 1 , u ~** + i.*+»"*"*-*-t-i^-fi.*-t-3 +*.*-4- i.* + x*-fjJC+4 + * c ' 1 l , . 6 , 35 , rif , T* =*.*+i*+».*+3 18 1 + i^+*+ 4 .*4-s+*-4-4*-+s*-4-6 + * C ' Et ita porro in reliquis. Adeout habita Serie ex dignitatibus com- pofita, ea femper reduci poffit in aliam formae defidcratac, ope hujus Tabulae. A B C E Vel propofita SeHe — +— -f — + & c . fume Cocffici- entes ex columnis tranfverfis, & ponantur « = A, b = A + B, f=2A+ 3 B4-C, Undccft A=c , B =r, C=-8, D=4-49, E = — 372,^=4-144', G=_ 7448, &c. Et exinde prodcunc 0=0, b=i, e=si— 5, B — > c = — ;rp; B ^, & fic dcinceps. Proponatur jam inventio Arcus cx dato Sinu rc&o *, vel quod pcrindc eft, Quadratura Curvse cujus Ordinata cft 1 ^ : Vl — xx hsc ad debitam formam redufta fit jf'x' — **' r ' quas comparata CJm Ordinata generali dat (—\,f— — i, »j = 2, 8 — i=o, k — t =— . i; adcoque 6=i, *=■-: ct cxindc r=^, *=i ; quibus valoribus in Theoremace fubftitutis, oritur pro Arcu Series W~-f| Ax' +? Bx* -KC*« Dx» + f r Ex' + &c. At fi Ordinata propofita prius refolvatur in Seriem pcr Theorcma toni pro cvolvcndo Binomio, dein capiatur Fluens cujufque Termini, prodibit pro eodem Arcu Serics ^2X3 ~4X5 ~6X7 ~&X9 ~'iuxu , r Unde patet priorcm longc fimpliciorem efle & proindc facilius cominuari in infinitum. Exempli gratia, fi Arcus quxfitus fit oftava pirs totius Circum- Digitized by Google Summdtid Serierum. 1 7 Circumferentiae, ejus Sinus x erit aequalis \/J, quo fubftituto, evadet Scries Prior f-f I A4-iB+JC+*D + T vE-f-&c. Pofterior Vi + A A + 4 V B +4.5 C + T y, D -{- S V. E+ &c. Quo in cafu prior duplici de ciufa eft pracferenda, tum quoniam per Fa&ores fimpliclores producitur, tum quia libcra eft a numero furdo qui reperitur in pofteriore. Attamcn ubi x eft quantitas rationalis, & fimul x*Jx—xx irrationalis, Scrics pofterior eligenda eft, modo fic x magnicudinis ufque adeo contemnendx quse efficiat Seriem celerrime convcrgentem ■, hac enim racione evitacur extra&io Radicis quadraca*. Infuper fi fic x = i, necefle hab cmus recurrcre ad fccundam, quoniarn in illo cafu evanefcit quantitas Vi — **, in quam prima mukiplicatur. De Seriebus qtue celerius convergunt. Ubi quantitas indeterminata, crefccnte ei quse defideratur, cito evadit praegrandis, & tandem infinite magna ; Termini Seriei ex illa compofitae erunt alternatim negativi & affirmativi, & approximabunt lcntius quam ubi indeterminata ultra datam raagnitudinem crefcere ne- quit. Ut fi qujeratur Area veJ Arcus circularis, melius eft adhibere Si- num reftum qui ncquit efle major Radio, quam Tangcntera quse cito excrefcit in immenfam Iongitudinem ; ut olim obfervavit Newtonus. Et e contra praeferends funt Tangentes in Hyperbola, utpote quaj da- tam Tnagnitudinem fuperare nequeunt, fed continentur intra determi- natos limites, eofque latis arftos. Sed quae hic diximus, non impedi- unt quo minus Area vel Arcus, magnitudinis mediocris vel contem- nendse, pofilt exquiri prout cuique vifum fuerit : nam diffcrentia tan- tum eft notabilis in iis cafibus in quibus quantitates quzfitx funt ma- gnx. Atque Series quarum Termini funt per vices ftegativi & affirma- tivi funt magis tradtabiles quam alterse, ubi de Summatione agitur. Quae autem hic didta funt dc Curvis binomialibus, obtinent quoque in iis fuperiorum nominum. Verum quidem eft Series celeriter convergentes multifariam inveniri pofle, adhibita Methodo differentiali Nnvtoniana. Sed quo magis con- vergunt eo magtsfolent efle compofitx: quaproptcr prafero fimplicio- res etiamfi lentius convergentcs. F ' 2> 1 8 Summatio Scrierum. De Summh fuccejfivh. Pcr Summam fucccffivam intelligoquanticacem quas fuccedit Summx omnium Tcrminorum, quando Termini fubfequentes deveniunc in loca antccedentium. Ut fi Summa fit T+T'+T"+ r"+T"+T* + &c. fcribe Terminos pofteriorcs pro prioribus, & habebislSummam fuccef- fivam T'4-T"-f T^ + T 1 » T» &c. in qua denuo fi fubftituantur Ter- mini confequcntes pro anreccdentibus, provenier Summa T"+T*" + T lr +T*+T Ti + &c. qu«fuccedicnoviflimae; & fic deinceps. Hinc fi S, S', S", S w , &c. dcnotcnt Summas fucccflivas, erunt S = T + T'+T" + r*' + T i *+&c. S' = - - T'+T" + T'* + T" + &c. S J = T"+T w +T'* + &c. S*_ : T~+T ir + &c. Hoc eft, fi a Serie quavis infinita fubducatur primus Terminus, & a refidua fubducatur etiam primus Terminus, dein ab ea quse rclinqui- tur rurfus fubducatur primus Terminus, & fic ad libitum ; Series hoc modogradatim mul&atae primis Tcrminis, erunc Summae fuccefiwxi hoc eft, S' = S — T, S"=S' — T', S"'= S" — T", &c. VelS' =S_T, S" =S — T — T', S"'=S_T_T'_T", S iv = S — T — T' — T " = T", &c. Hic Iocuci fumu%de Summis Terminorum omnium in infinicum, quae incipiunc ad datum qucmvis Tcrminum •, nam quicunque Terminus fic T, S eric Sumnu ejus & omnium fequcntium, item S' erit Summa ip- fius T' & omnium reliquorum. Haec quidem obtincnc ubi agitur de Summa Terminorum numero infinitorum : Attamen ubi agitur de Sum- ma Terminorum quorum numerus eft finicus, S eric Summa Termino- rum omnium abinitio ad datum qucmvis Tcrminum T, & S' crit Sum- ma eorundem Tcrminorum dcmpto T, atque S" erit Summa eorun- dem dcmptis duobus T, T', & fic in reliquis. Hinc in Summatione Terminorum a dato quovis Termino ad infi- nitum, fi z fic longicudo Abfcifix quat correlpondit SummasS; tum z+i, 2+2, z+3, &c. erunc longicudines ejufdem refpeclive cor- relpondenccs Summis fuccclfivis S', S", S", &c. Ec e concra in Sum- matione t)igitized by Google Summatio Serierum. 1 9 matione Terminorum a dato quovis ufque ad initium Seriei, longitu- dines 2— .1, z— 2, 2—3, &c. refpondebunt Summis S', S", S w , &c. dummodo ipG S refpondeat Abfcifla 2. Nam in primo cafu diftantia: Summarum ab initio perpetuo increfcunt incrcmento Abfcifiic, decrcf- cuntque eodem decremento in pofteriore. Sit S S' Curva quaevis cujus Afymptotos eft a b, eique parallela Ab- fcifla AB. Divtdatur Abfcifla in partes innumerasinter fe sequales AB, BC, CD, &c. Et a pun&is divifionum A, B, C, D, &c. erigantur per- pendicula ad Afymptoton, decufiantia Curvam in punftis S, S', S", &c. Afymptoton vero in o, b, c, &c. A punftis S', S", S", &c. ad Ordi« b e d e f g b k l natas proxime antecedentes ducantur S«, S*/3, S m y, S'V, &c. paral. lela; Abfciflae i adeo ut Sa, S% S"y, S m i, &c. fint difFerentise Ordina- tarum tam earum qiuc cxtcnduntur a Curva ad Afymptoton, quam illa- rum qux a Curva ad Abfciflam porriguntur. Igitur Ordinatz inter- ceptse inter Curvam & Afymptoton exponent Summas, & differen- tias pergendo ab iifdem in infinitum exponent Terminos. Hoc eft, fi e S' T dcfignet Summam, fucccdentes erunt /S w , g S vi , bS vii , &c. qua» rum diffcrentia; « S iv , fS T , nS ri , &c. in infinitum funt Termini quo- rum Summa eft e S lv . Et fimiliter fi ES' T , DS", CS", &c. defig- nent Summas fuccefilvas, quarum prima eft E S iT , differentiae ante- cedentes JS", yS", &c. exponent Terminos numcro finitos pergentes ab Ordinata ES ,T ufque ad initium Seriei. Summatio igitur Senerum rcdu- ao Stmmatio Serierutn. reducitur ad inventionem Ordinatarum ex datis earum Differentiis. Sed notandum oportere Summam ultimam efle nihil in utroque cafui quod femper fiet quando Curva rranfit per punftum A in Abfcifla, & fimul habet ab pro Afymptoto. Hsec cautio adhibenda eft ut Summse inveftigands per mcthodos tradendas, fint verse, corrc&ione minime mdigcntes, ut fxpifilme fit in quadratura Curvarum. Propositio L Si Termini a/icujus Seriei formentur fcribendo numeros J > 2 > 3».4> 5> ® c - P ro z > m Qyantitate A -f Bz -\- Cz.z^I + D z.z— i z— x 4-Ez.z— lz— z.z— 3 -\- &c. tum Summa Terminorum ab initio quorum numerm eft z, erit A2-{-£f7 in \ Bs-j-fC^ ZZr+iDz.in.^n-i-; E2.ir7.Z3I.Z3J4- & c . Ubi notandum eft quantitatem 2 + 1 duci in totam Seriem quae eam immediate fequitur. Propofitio autem fic dcmonftratur. Finge Sum- mam S=A2-|-r+7 in i B2-4-J-C2. Z_l-{-^ D 2. Z_7.Z— 7 +&c. five S = Az+ i BI37.2+t c «^- 2 -*— "»+i D ~-\- + &c. Dcin fcribe valorcs variabilium fuccedentcs pro prefentibus i hoc eft, S — T pro Sj & 2— 1 pro 2; atque obtinebis S — T = Ax — 1 + i B2.7 - 7.+-f C2. t — i.*_i-f-4D2.*_T.ft— i.Z_7,+ &c. fubdu- cito nunc hanc JEquationem de priore, & manebit T=A + B2+ Cz.I_" 7+D2.£—7.*_7 + &c. Unde e contra fi detur hic valor Termini ut in Propofitione, Summa erit ea qus affignata cft. Infuper hscc Summa evadit nihil quando eft z nihil : adeoquc conftat Thcore- ma. Q^E. D. EXEMPLUM I. Detur Series numcrorum naturalium 1, 2, 3, 4, 5, 6, &c. hi for- mantur fcribendo 1, 2, 3, &c. pro 2, in ipfa quantitate 2, quam ita- 2ue comparans cum Tcrmino in Thcoremate, crit A=o, B= 1, & ', D, E, & fequentes nihil ; quibus valoribus fubftitutis prodit Sum« ma 1 »n y 2, fivc — ~ pro aggregato tot Terminorum Scriei propo- I Digitized by Google Summatio Serierum. 2 1 propofitae quot funt unicaces in 2. Ut fi fit 2=6, provcniet — =^i pro Summa primorum fcx Terminorum. Exemplu M H Dctur jam Scrics numerorum imparium i, 3, 5, 7, 9, n, &c. hi for* mantur fcrifaendo 1, 2, 3, 4, &c. in Quantitate 22 — 1, ideft, — i-f-22, quae comparata cum valore Termini generali, dat A = — 1, B = 2, C, D, E, &c. nihil; quibus fcriptis in Summa, emergit — 2 -f- r^i in ~, vel 22 pro aggregaco tot Terminorum quot numerat 2. At- que ita quidem fe res habet in cafu praefente, nam Summae fuccefli- vae funt Quadrata numerorum naturalium. ExEMPLUM IIL Summanda fit Series Quadracorum 1, 4, 9., 16, 25, 36, 49, &c. quae formantur cxpreflione- 22. Per ea quae in Introduftione explicancur, quanticas 22 rcdu&a ad formam Thcoremacis, evadit z-^-z.Z^n adeoqueA = o, B=i, C=i, & inde fit Summa r+i + -» hoc eft ^iii^lii- 1 , Exempli caufa, fcribe 7 pro 2, & habcbis 7 . 8 . 1 _2 2-j-*-t-« in|2.*— 1, five — - — . EXEMPLUM V. Si dcntur Cubi 1, 8, 27, 64, 125, zi6, &c. quos aflignat 2 J , rc- ducatur z* ad debitam formam 2 +3 2.*— 1 -|- 2. «. — 1.«. — 1; eritquc A = o, B=i, C=3, D = i, reliquxmie erunt nihil ; & propterea 2 2 Summatio Serierum. eft Sumtm *~ 1 in -iz+z.^7+iz.*~.*T I, quas concinnata evadit — xz+> A '. Et hinc conftat Summas horum Cuborum effe 4 Quadrata numerorum i, 3, 6, 10, 15, &c. (ctlicet Triangularium. SCHOLION. Hujufmodi Series facilius fummantur per Terminorum DifFerentias : defignent enim A, A2, A3, &c. Seriem fum- mandam ; collige Terminorum differentias pri- A A2 A3 A4. A5 mas B, B2, B3, &c. fecundas C, C2, C3, &c. B B2 Bj B4 tcrtias D, D2, &c. & fic porro ufque dum perven- C C2 C3 tum fucrit ad ultimam qua: hic cft E: & Sum- D D2 ma Terminorum cujus numerus eft z, erit E . z , „z z — 1 . z z — 1 z — 2 , ^z z— 1 z— a z — ? . 7+ B T x— + C T x— x— +D T x— x— x— '+ &c. Sed notandum eft quod differentiae fumi debeant auferendo priores de pofterioribus, hoc eft, ponendo B=A2 — A, B2 = A3 — A2, &c. tum C = B2 — B, &c. Hujusautem demonftratio pcndet ex mcthodo differentiali NeutomanA. Proponantur Series 1, — 1, o, 8, 27, 61, 114, 119, &c. & collcctis dif- 1, — 1,0, 8, 27, 61, 114, 190, fercntiis ad modum fupra expofitum, — 2, 1, 8, 19, 34, 53, 76, invenietur A=i, B = — 2, C=3, 3,7, 11, 15, 19, 23, D = 4, reliqua: autem nihil funt, ade- 4, 4, 4, 4, 4, oquc cvadit fumma & z z — 1 z z — i z — 1 2 z — 1 7 — 3 7-:x T x — +3x T x— x— + 4 x 7 x— x— X — • quae in ordincm redadta fit ^ ' . Serics autem forma- tur fcribcndo o, 1, 2, 3, 4, &c. in quantitate 42 "^^7' z ^~ 6 . P R o P 0- Digitized by Google Summatlo Serierum. 2 3 Propositio II. «57 Termirit cujufcunque Seriei formentur fcribendo nnme~ ros quofvis urittate dijferentes in Ghtantttate A B C p Z.Z-f-I ' 2.2-j-l.S-|-2"T"2.2-J-l.2-J-2.24-3 T" 2.2-}-l .2-|-2.2+J.Z-}-4 "T Gfr. Summa omritum Terminorum tn infinitnm f incipi- ens ad datum quemlibet Terminum ertt A B C D 2 2Z.Z-|- I "*32.Z-^-I.z4-2 ' 42,2-|-I .Z + 2.2-J-3 "•" Pone Summam S = A B C D 2*"" 22. Z-j-I^T^i.^-j-l . 2-}- 2 "1~ 4 2.24-I .Z+2.2-J-3 T~ «^* Tum fcribe valores ipforum S & z, confcquentes pro antecedentibus, hoc eft S— T pro S, & z-f i pro z, quoniam jam agitur de Termi- A B * nis numero infinitis : & proveniet S— T= _|_ 3 .2-t-,.z+2^+ 3 + 4.z+..^.z+3.H-4 + &C * Ha!C fuD " duclade fuperiore, relinquit T= —j^ + z 2+ ° g+2 4. C D zTT+i.z-FI^FJ + z.z+x.z+^fJX-H + &c * Undc 6 contra fi dctur hic Terminus, Summa crit ea quae in Propofitione affig- natur. E. D. CoreUarium i. Si Tcrminus fit z ^4.^4.3 „.^ &c , rcjice ul- timum Fadtorem, dein divide reOduum per numerum Fa&orum qui re- linquuntur, atque habebis Summam Terminorum. Sit Tcrminus — j z - z ~T l rejice ultimum Faftorem z-f-i, & manebit — ; quutnque unicus fit Fa- . A „ fior rcfiduus z, ent — • Summa omnium Terminorum. - + ■ Sit 2 4 Summatio Serierum. Sit jam Tcrminus conftans cx tribus Factoribus 2 2 ;_ |__. rcjicc ul- B timum Fa&orem z-}-2, &reftabit . quae divifa per 2, numerum utique Facloruin qui rclinquuntur, exhibet ^z.z-^-i P r0 ^ umma - C Similitcr G ex Termino 2 2 z _|_ 3 « quatuorFaftoribuscon- flato, rejiciatur ultimus 2+3, & refiduum dividatur per 3, obtine- birur Summa 3 z.z4-,.2+2 - Si Terminus flt — , rejice Faclorem z, & quoniam nullus rcflrat, di- vide A pcr Nihil, & habebis pro Summa Quantitatem inflnite mag- nam, uti notum cft. Et hac de re primus quod fciam egit D. 7ayhr in Methodo Incrementorum. Eadem etiam fufius & elegantifilme tra- ditur a D. Nicol in Actis Academix Reg'ue Parifienfis. CoroUarium 2. Per ea quae hac fuper materia habentur in Introdu- y_ clione, conftat Terminum quempiam z .z-\-a.z-\ -T7z^ -c &c. rcfoI " vi' femper poflfe in Tcrminos duos forte aut plures fummabiles & nume- ro finitos, quando a, c % &c. funt numen integri * in illo igitur cafu Scrics fummabitur. Ut fi Terminus fit _T_rpj> l< *em refolvitur in trcs Terminos fummabiles ;^- ^ + '__ + _ + z .zJ\-uzXi^ Un " 11 2 de per Corollarium prjecedens, erit Summa — — _rj_pj -f- 3 _; 2+l 2+ _ » _quas fimul junfla funt 3 ^_j^ 2 l +oz - Et fimiliter fi Tcrminus fit hu- jus forma; 2L J_j_ _ 2 + ^_ + f . 2 .}-_•. &c. Scrics fummabl ' tur > dummo- do 0, c, d % &c. fint integri, & numcrus Fa&orum in Denominatorc, ad minimum binario excedat altifiimum ipflus z dimenflonem in Nu- meratorc. Scd excipio cafus in quibus duo aut plures Fa&ores in Dcnominatore fitji inviccm sequanturj in ilUs Scrics. non funt fumma- biles. EXEMPLVM Digitized by Google Summatio Serierum. _> $ EXEMPLUM I. Proponatur Series fummanda t~~~z + T~~~r n + r~7~ — + ~ 1.4.7 4-7- , o • 7.10.13" T o. 13. 16 + 13. 16. 19 + &c * Tertnini hu J us Serici affignantur quanti- UtC 32.32+3.3H- 6 ' uti P atebit fcribcndo F° ~ fucceffive T , i T , *h 3i» & c - id «*» hac 2 7 . 2 . z -fi.2+2 ; undc fit Sumraa ^^+7- Nam in eadem fcribendo pro 2 valorem fuum primum T , prodibit t ' w pro Summa totius Seriei. Si fcribaturpro 2 valor fuus fecundus t T , pro- dibit xrr P r0 Summa totius Seriei dempto primo Termino. Si pro 2 fcribatur valor fuus terrius 2 T , prodibit pro Summa totius S«- rici demptis primis duobus Terminis. Et fic in infinitum. BXEMPLUM & Proponatur Scries 77;+^ + + ^ + 5 | 8 + &c Termi- ni hujus affignantur quantitate £J3^, in qua oportet fcribi i, 2, 3, 4, &c. fucceffive pro 2. Quantitas autem Zi J|_^ reducitur intresTer- minos fummabiles-nempe ^Jfl^ z ^ + ]^ 2 + ^J^ 2 >z _|_ 3 » Unde erit Summa --^^4- , five 3Z , 2 _|_ I>a _)_ 2 . lam fi vis aggregatum omnium omnino Terminorum, fubftitue in Sum- . ,. 3+6 + 2 ma unitatem pro 2, & obtinebis »d eft if pro valore Se- riei propofitje. ExEMPLU M IH 1 6 Detur jam Serics 1^^+3.4.5.6+4.5.6.7+5.6.7.8 + — i£ J- &c. ubiNuracratoresfuntQuadratanumerorumnaturalium •, H Terminus 26 Simmatio Tcrminus quilibet in gene* aflignabkur. exprcffione _-_:+, 2 _pT_+r 3 » exiftentibus 2, 3, 4> 5, &c. valoribus indcterminatae fucccffivis. Et quantitas ilk refolvitur in tres Terminos fummabiles fciiicet ■ — \ — + 2.2+ I .,+2._+ 3 : & inde Suroma + l6 62' ^2+2 . . 3 2.2+I.2+_> h ° C Clt 6.Z.S+I.2+2» 10 1 U * fi f "bftiCUaS 2 P«> 2, babebis ,* T pro valore Serici. ~ EXEMPLUM IV. Quscratur valor Seriei - — J ^Z-; r — ► _ 343 - 1.2.3.4,5-^2.3.4.5,6^3.4.5.6.7 ^4^67! » &c. ubi Numeratores funt Cubi numerorum imparium r, 3, 5, 7, & c . Pofias jam 1, 2, 3, 4, 5, & c . -valoribu» ipfius 2 fucceffivis, Termini affignabuntur per expreffionem ^i+^+^j^I+V "foJvitur in !_ __ 84 , 386 2-2+1 2.2 + 1 .2+2 +2.2+1 .2 + 2.2 + 3 7 2 9 8 Rj ^+,.2+T^+lX+- 4 - ^ eft Sum ~ 2.- iT^fTi + 729 u,,.n. 9^»+ 7 22'+8o2 ^ 2 . 32.2+1.2+2 42.2+, . 2+2.2+3« ^ 1 2Z.2+ 1 . 2-^ 2+^ * » £ Py™™™^*" ipfiusz, id cft, unitatcm pro 2» inve- nies |ff eflc valorera Senei. r Eiemuum V. Proponatur Series - — I- - — 1 — i— _i _i i . . * 1.2 ^3 4^5.6 + 7 .8 + 9T7o + &c - ^ 0 *" ven.t V.cecomes pro Quadratura Hyperbol^ ; Tcrminusqui- vis in gcnerc affignatur per expreffionem u bi valores ipfius z lem Ivadtc *" 3 " &C * Et qU3ntitas redufta ad formam fummabi- . • * 42.2+1 Digitized by Google Summttio Ssrwruik* 27 JExcurrit quippc in Scriero infinitam propterea quod dilferentia Facto- rum eft numerus fra„us in exprcfilonc affignante Terminos j hoc uti- que indicium eft Sericm non-efle fummabilcm. Regrediendo autcm a Termino ad Summam, habebitur 1 ■ _ 1 1 '-3 1 '-3- 5 1 & . 42"" l6 Z.Z-J-1 '482.2-J-l.24-2"» I28z.2-f-I .2-|-2.2-f3 ' Qax eft Series eo citius conVergens quo major eft Sed ob facili- orem computum pone A =~» A 3B _ /;C - 7P F _ _____ B = 2F-f2' C — 22+4' D — fcetfTfc» IHjls» r — 22-f- 10 » &c. atque erit Summa, A-f . B-ffC + i D-J-|E-f- &c. In qua fi pro 2 fubftituatur primu» ejus ralor J , habebitur valor totius Scriei fummand— : fi pro z fubftituatur ejus vaJor fecundus, proveniet Sum- ma omnium Tcrnrrinorum dempto primo •, fi pro z fubftituatur ejus valor tertius, provertict Summa omnium exceptis primjs duobus , & fic porro. Subftieuo igitur pro 2 valorem luum decimum quartum ut 2 fit fatis rmgna ad efficiendum Seriertl celeriter convergere} & habeo A = T ',, B=.' 7 A, C = TT B, V-ttC E-^D, F = V^E, &c quo m cafu Summa A-j-iB-f-f C-J-,D-f- &c. sequabl- ^a7^+^T1o+3t73i + te - t0 " UliqUC Scrici fummand£C dcmpti* primis tredecim Terminis. Horum igitur Summam qu_- ro per aiditionem, invenioque fore .674285961. Dein ut obtineam Summam reliquorum, calculo eruo A, B, C, D, &c. ad tot decimalium loca quot eft animusj cofque invcntos divido refpedhve pcr 1, 2, 3, 4. 5, &c. ut vides. " A = . 01 85 185 19 .018518519 B = - 638570 3»9 z8 5 C = - - 61797 20599 D= - - - 9363 2341 E= 187! F = - - - 455 G= - - - 12» 18 H= - - - - 41 5 I = 14 ■ .018861219 Eoque 28 Summatio Serierum. Eoquc pafto obtineo .018861219 pro Summa Terminorum omnium poft decimum tertium i hacc denique adjefta aggregato initialium pri- us invento, conficit .693147180 pro valorc Serici fummandae, id eft, pro Logarithmo Hyperbolico binarii. Quo plures Termini fub initio colliguritur, eo citius converget Series quaPdat Summam reliquorum, propter z tanto majorem. Atque hujus methodi praeftantia in eo maxime enitet quod addendo Terminos ag- gregato initialium, z tot unitatibus aogeatur, qua ratione Scries tranf- mutata ad libitum fere converget. Quod autem in praxi impoffibile fit aflequi Summas harum Serie- rum per meram colle&ionem Terminorum, patcbit ex computo fe- quente; ubi habetur Summa ccntum, mille, decies mille, oc fic por- ro ufque ad decies millies centena millia Terminorum. Surama 100 - - - • 1000 - - - IOO0O - - I 00000 — 1000000 - 1 0000000- - I 00000000 ■ j ooobooooo f.690653446 1.692897242 1 .693122181 •693 »47 «55 .693147178 .693147180 Ex hoc calculo conftat centum Terminos dare Summam accuratam ad duas figurasi & gradatim decuplum Tcrminorum numerum colligen- do, lucrari prseterpropter unam tantummodo figuram: adeo ut fi quis veller erucrc valorcm hujus Scriei accuratum ad novem figurarum lo- ca, nulla arte adhibita prxter additionem, requirerentur circiter decies millies centena millia Terminorum. Et haec Series convergit longe celerius quam aliae quamplurimae, quarum valores funt Quantitates finitsc ExiMPtBM VL Summanda fit Serics i4 r i+..£-f. T I . r 4- x , T 4 , 'Ti-+&c. u bi Denomi- natorcs funt Quadrata numerorum 1, 2, 3,4, &c. & Terminus in ge- nere eft — : hk redudtus in formam fummabjlem, evadit *.*4-i f *+t "*"**+! *+i*+J "T*jL+t .*+*.«+ j.«+4 + Kc " Ergo Summa = z" t "2.z.z+-i"r3z.z+.i.z+2"t"4Z.z+»i.z+.2.z-f-3 "T &c - Quae Digitized by Google Summatio Scricritm. Qj* ponen J» A = — , B = -^— , C = -p- , D = —f- , ^n"' cvidit A-f-^B-f^C-f^ D-|-&c. Jnm fi pro = iub.ftitiuf.ur cjus valor deciinus rmius i ;;, lY.btbitur Sumrru ojjinium Tci minoiuii) in Stne lummand.i poil dcximum fccundum ; quo inofucrit A=y y R = -i A , Cs-B. D = ^C, E =*~ D, &c. J_> A-]--- B-J-ic+^D-f- &c. crit Sumnn Tcrminorum J_ , J_ i i iuj ' + ^ -]- 77^ H~ &c. Computus auccm fic fc habet A = B - .07692^077 .076923077 - ;-;-4".: 2747.-52 C = D — - - 7.,» 2601 244 -00 - • 1 4 ?..><"> .4 I — - - - j-'.,'2i 64O4 J - G = fcy-H i 4y 6 - - - 2X15 H= - - - - 992 J2 4 I = ^ 4 2 K=: - - - - 155 |6 L = ■ - - - 07 6 M=r. V N = - - - - , 5 1 .070957427 L'ndc prodir .0700 "7-J-' , -7 pro Snmim Tcrmmortim -L -L4. 169 ' Kjb ' I ~ -{-&c. quxadjecta aggregato duotkcim initialium, five 1 .564976638, conficic 1.644934065 pro valore rotius Seriei 1 -f- ~-f - J_ - 4. & c . 4 9 i o Cnnvergit autem hxc Scrics mjnus ceJeriter ca Bmmhn in Excmplo pnore. 3 o Summatio Serierum. Propositio III. Si Termini cujufvis Seriei formentur fcribendo numeros quofltbet tmitaie dtfferentes pro z in Quantitate a b c d erit Summa aqttalis x^" in a , l—Ax c — ^B y J — 3C.V l—X.Z ' 1— I \%2.2-|-I.2-J-: | A.2.2-f I .2-j-2.'C-f-J Quantitates A, B, C, D, &c. defignant Co*flicientcs Terminorum prxcedcntcs eos in quibus rcpcriuntur ; fcilicct cft A = ^ ^ B= 7—^» c= THv~' &c- & fic P° rro - Exc, P io autcm carum > R quo eft x sequalis unitati : ubi hoc accidir, Scrics fummabitur pcr Pro- pojitionem fupcriorem. Hem vcro dcmonilratioucm. Fingc Sum- t+» . A B C D s = x m - + z . + , + r-jp. 2+ - H--qrrr-f zqp" 3 + &c - deinde fcribe valorcs variab lium fuccedmtes S — T & z-\-i pro an- tccedentibus S & 2 refpcctivc, atquc habcbis S— T=x^"+' m A B C D , 2-f-I *+I.2+- i "•" 2-j-l^+/.i-|-j ~> 2^-I.24-2.S-|-3-4-4 ' °' Hoc eft, S = X*+" in Ax Bx Cx D.v 2 -f-i * z+i.z-j-l ' 2+7.2-f T2+3 "T 2-J-1.3-J-2.2-l-3.z-P4 + &c * que reda&a ad Formam ipfius S, cvadit S— T=x*+" i n Ax By— Ax Cx«— ?Bx Dy— .^Cr 2 Z.2-}-I "T Z.S-J-I^-J-Z ' 2.2+1. 2-}-2.Z-f-3 Subdu- Digitized by Google Summatw Sericrum. 3 1 Subdiicito nunc valorcm ipfius S — T a valore ipfius S, & relinquc- tur Tcrminus T=**+"in A~* BTT+ A* C7~^+zBy , D~+3Cy T~ ' 2.2+1 T 2.2+7.2+1 T 2.Z+I.2+2.2+3 Hic denique valor ipfius T collatus cum illo in Propofitione, dat A"i x = a, B 7_~x + A x =r b, C~~~ + 2B» =f, & ita porro. Qtiae /Equationes exhibent valores Cocfficicntium ut fupra. Quare valor Summse recte aflignatur. Q^E. D. EXEMPIOM I. III I Summanda fit Scrics i -{ — / + -/' + — /' — /* +&c. iEqua- 3 5/9 tio ad candem eft T = /*""•* in nam fcribendo -, i -, 2 -, 3 -, 2 2 2 2 2 &c. fucceffivc pro z, provenicnt Termini Seriei. Comparando autem hunc Terminum cum illo in Thcoreraate ; erit x = /,» = _-, 2 _-_ , <2 + , , 3 «C. Ponamus Exempli gratia efie / = — . i ; & Serics fummanda crit 1 — r+T — T+~" — &c - at q ue evadct Summa c_ l • 1 A 2B ?C . , 10 4 -T _--+7T 2^2+1.2+2+ 22 .2+, . *+; .,-+_- + &c - . • 1 1 A , 2B , 3C , 4D , „ Vel S=± 1 m - +--— +^-- + -| F +-±--+ &c . Ubi A, B, C, D, &c. jam defignant totos Tcrminos more Newtomane, & non amplius Coefficiente-. Et unka« cum figno ambiguo in quam tota Scries multiplicatur, crit affirmativa ubi 2 — l - eft numerus par, & negativa ubi eft inrtpar. Collige jam duodecem Terminos initialcs, vel quod perinde eft, fex-in hac Scrie ~+-^ + -i-- + & c . • conjun&U 32 Stonmatio Sericriwr. conjunclis binis quibufque in priore : eorumquc Summam repcriej .7646006915. Dein fcribe pro z ejus valorem decimumtcrtium iz~ t cV obtinebis 5 = -+-A + -B + - C-)--D-f^ E-U&c. quaj eft Scries fimplex & celcriter convergens: dccem • 0200000 o ctenim Termini dant S = .0207974719 ut ex computo 7 *° 7 t°l appofito liquet: & eadcm adjecla aggregato initialium, 5 ,ob 5° provenit .7853981634 pro valorc Seriei lummandx: ad 4943° quem tamen nunquam pervenire liceret per additionem Tcrminorum. Atque colligcndo plurcs initialcs, valor 5 ipfius S longc celerius approximabir. Hujus itaque Pro- l W pofuionis ope, Circumferentia circuli produci poteft mi- 2 5 nimo labore ad figuras quamplurimas , pcr Seriem 5 hancce utcunquc lente convergentem j id quod olim mul- * lum dcfidcrabat Leibnitius. S = o2o~Q7_7io Perifcria circuli obtinebitur quoquc accuratiffime /9747 9 per Seriem Nra-toui fcquentem 1 -4-~ — . - — .-J-I J,I _L ^ 3 5 7 ^9^u~i3~" ~ + &c. ubi Tcrmini quiquc bini funt altcrnatim negativi & affirma- tivi. Idem etiam efficitur per hancce 1 + — __ - — 1 1 1 1 11 7o" —77 + &c - - q u » Denomioatores conftituunt progrefiionem nu- merorum naturalium, dempto quoque terno. Prior a-quatur quartas 6 pofterior tertia: totius circumferentia: parti, cx fuppofitionc q_6d horum Arcuum Chordae fint unitatcs. Priufquam tamcn tractcntur pcr hanc Propofitionem, difperticnda; func utrajque in duas i prior in 1 , i_ j_ , i_ r 1 — J +9 — 13 +7} — 7i + 3 7"t"ii 15 • i9~"23 + &c - Fofterior in hafcc 1 — -4-— — — -4> — — -L. & c l_ __ ,j_ _i _i 1 * 5 14"" T7 + &c " Dein Digitized by Google Summatio Serierum. 33 Dein harum quatuor unaquaeque feorfim confideranda eft, & ope- ratio inftitucnda uc in Exemplo. fuperiore. EXEMPLUM IL SiSerie, fit £ +£+ ll+^ + ^l + &c . JEquatio crit T=x % in ^J^, , qua: refoluta in Seriem evadit T=*' in 4*-z+i "^" 82.2+1 .2+2 + 1 62.2+1 .2+2.2+3 "^" 3 l **+ ' *+S^+3.«+4 + &C. Unde comparaodo membra, crit »=o, 6C * 4 1 — x u + |f i6 i^x.* •-j.|.*^i-r 3 i. 1 _xx«+ I .*4. l .^.3 + Cujus Seriei progrefllo cuivis patet. Et ubi datur valor ipfius x in cafu quovis particulari, dabitur Summa pro libicu accurattj primo fcilicet addendo numerura fufBcicntem Terminorum initialium, eo fine ut 2 fit fatis magnaad efficiendum valorem ipfiusS ccleriterconvergere Et hifce prasmiffis de Seriebus quarum Termini funt affignabiles, pcr- gcndum eft ad cas qua; determinantur per relationem Terminorum. Propositio IV. Data relatione inter Summas fuccejfivas, hwenire eam qua efi inter Termims. In .flsquatione dcfiniente relationem inter Summas, fubftitue pro S' S% S",&c. fuos valores proprios S— T, S — T— T', S T T_,T'! &c. & fic habcbis .rEquationem involventem Summam unicam S i in qua fcribc valores variabjiium confequcntes pro antccedcntibus, & ha- bebis JEquationem novam involventem Summam illam S: opc harum denique .rEquationom eliminctur S, & ea quae rcfultat monftrabit rc- lationcm Tcrminorum. Q^E. I. K Exemplum 34 Summatio Serierum. ExEMPLUM I. Sit ^quatio ad Summas, r^» S = r^"i S' •, pro S' fubftitue fuum valorcmS — T, ac evadet ^quatio »— iS = T ; in quafcribe va- lores variabilium fuccedentes pro antecedentibus, id eft, S T pro S, T' pro T, & z-f- i pro zj atque prodibit iTr7S=„"ir;T-|-zT'i hanc de priore » — , S = 7~7, T fubducito, & manebit Z~~l T = sT': quas eft JEquatio ad Terminos Scriei. ExEMPLUM II. Proponatur iEquatio ad Summas S x i*T-±Td^ -f- 3 S'x W— j ; fubftirue S— T pro S', ac invenics S = ^ Tx ^^p"^ : dcin jux- ta methodum differentialem fcribe S — T pro S, T' pro T, &z-L-r pro z, ac provenictS_T=lTx 8 -f^q^ 9 iopeharumiEqua- tionum extcrmina S, & habebitur 1+7 T +3 T'z = o, quar cft iEqua- tio exhibens relationem Tcrminorura. Atquc eadem methodo exterminantur trcs, plurefve Summx fuccef- fiva:. Propositio V. Inventre Sertes quotvh fnmmabtles. /Equattoad Summas dabitSummam Terminorum, ea vero ad Ter- minos dabit Seriem ; prjor pro libitu afiumitur, & cx ea deducitur pofterior per Froporuionem fuperiorem : habentur ergo Tcrmini, eo- rumque Summa. Q.E. I. ExEMPLUM I. Sit iEquatio ad Summas Z~~ S=I^Z7S', ut in Exemplo primo Fro- pofitionis praecedentisi invcnies eam ad Tcrminos efle ~~T„T=zT ,"Equatio autem ad Summas, fubftituendo S— Tpro S', dabit Sum- z— J mam S== ^Z7 T ' Defi gncnt jam A, B, C, D, &c. Tcrminos hujus Seriei, &in^quationc adcofdcm fcribe, m, w-j-2, w-L. 3 , &c. fuccef- 5 Digitized by Google Summatio Serierum. 3 5 fucceflive pro 2, exiftente m numero quocunque integro vel fraclo, negativo vel affirmativo ; atque prodibunt rclationes Terminorum, B = ^=_" A> C=--" + -B, D=^:±ic, E=^=# 3 D , m > i»+i »+2 ' »1 + 3 &c. Tum in JEquatione S = T, fcribe primum Terminum Se- riei, id eft, A pro T, & primum valorem ipfius 2, id cft, m pro 2 v atque invtnies S = A = A4 AH r- 1 — B-4 1-7- C4-&c. Ubi fubftituere licet quofvis numeros pro m & n. Sit Exempli gra* tia « = 5, » = 2, A=^, &proveniet - = - + f A+iB + |c + ^D + &c. id eft, ^- = — + -,+ rs + A + «r« + 3 3-4 1 4-5 1 5-o 1 b-7 n 7-8 1 Ubi patet Terminos efle aflignabiles •, id quod femper evenict quando > « eft numerus integer: tot vero erunt factores in Dcnominatoribus, quot funt unitates in n. Sic in praefente Exemplo, eft ;j = 2, & prop- ter id funt duo factorcs in Dcnominatoribus Terminorum. _ • Sit jam »1 = 2, » = 7, A = 1, & prodibit S = 2 = ,+l A + |-B+ 5 r C4-f o D+lE + &c hoc eft, S = 2« . + + j + £-f-^ 4- £ + &c Nunc autern conftat Terminos non cfle aflignabiles, quoniam n eft nu- merus fraclos. Notandum Seriem abrumpere & efle numero Termi- nomm fitiitam quotiefcunque eft m — « nihil vel integer & negativus. Atque fi n — 1 fit nihil vel numerus negativus valor Seriei crit infinitc m- m^gnus : ut conftat cx valorc Summx, nempe A. EXEMPLUM 3 6 Summatio Serlerum ExEMPLUM II. Sit i^Equatio ad Summas S x S«-t-ic*+<) + 3 S' x 8«*-H*— ; , utin Ex- emplo noviflimo Propofitionis fuperioris, ubi inventa eft j 822^-42— j S = — T x — | — -, & relatio Terminorum erat T+3zT'=r o. Et fi ufurpetur unitas pro Termino primo, & primus valor ipfius z ponatur ctiam unitasj obtinebitur S -b+- l - S + 9 - 2 7 + 8-i-243 + &C - Ubi Denominatores funt dignitatcs ternarii, Numeratprcs vero numeri triangulares. In hifcc Exemplis non expati.itus fum in deducendis Seriebus ex ./Equationibus quse definiunt relationes Tcrminorum, quo- niam hoc ex Jntrodudtione haftenus notum fuppono. $CHOLION. Summatio Serierum in Mcthodo difFerentiali, refpondet Quadraturae Curvarum in Methodo Fluxionunv, & eapropter in utraque oriri fo- lent difficultatcs confimiles, qu.T hic funt cnodandae. Diximus Se- ries hinc inde continuari pofle in infinitum: exempli gratia Serics i+x+x*+x' + &c. retrorfum continuata eft j4"~i+~ } + &c Et hac duae fimul jun&se conftituunt unicam ex utraque parte excur- rcntem in infinitum, fcilicet &c. +^ 4 + + 7 + 1 +*+*• +*• + *< +&C. N»m hi Termrni funt in progrcfllone Geometrica continua, antecedcn- tes ad confequentes ut unitas ad x. In Summatione hujus Seriei invenic- mus ~7£= i+x+*' + x J + &c. quod quidem vcrum eft ubi te eft minor unitate j attamen fi fit major unitate, hsec Serics erit infinite magna, atque Summa — , non amplius erk Summa horum Termi-. norum •, fcd mutato figno, aequabitur Seriei ad alteras partes excur- renti; hoc eft, crit vel = *-+ p + £ + &c. Quod fi Digitized by Google Summatio Serierum. 3 7 fi x fit unitas, Summa erit ~^[> & inde utraque pars Seriei erit in- finite magna, utpote aequalis unitati infinities fumptas. Ad eundem modum fi TEquatio ad Seriem fit — * T = z T', & Se- rics continuetur cx utraque parte in infinitum; una pars converget & altera diverget prxterquam ubi eft n = i ; & Summa — | T fem- per sequabitur parti Seriei convergcnti. Haud fecus in Quadraturis, fi z — fit Ordinata Curvse Hyperbolicse, fluens ■^^2 , ~"exprimct partem Areac ad has aut ilJas Ordinatae par- tcs jacenrcm prout » eft minor aut major unitate : ubi tamen n efl: unitas, Area ex utraque parte Ordinata erit infinite magna, ut in Hy- perbola Apollomi. Series quidem, etiamfi quantitates qua; per eas quxruntur fint finitae magnitudinis, faepifllme folent divergendo evadere infinite magnae, in ulis autem cafibus concinuatx in alteras partes nonnunquam conver- gunt & asquantur -Radicibus quaeficis, vel ab iifdem diflerunt quanti- tate determinata. Nonnunquam etiam utrinque continuatae divergunt : facpius etiam ad utrafque partes nequeunt excurrere in infinitum proptcr Tcrminos impoflibiles vel infinite parvos. Infuper ficut Areae Curvarum nunc augcndae nunc minucndae funt datis quantitatibus, ut evadant veras ; ita ctiam Summa* pcr hanc Propofitionem invcntae nonnunquam difterunt a veris, quo tn cafu cor- rigendas funt additione vel ablatione quanticatis datae. Scilicet ubi JE- quatio ad Summas talis eft qualis efficit earum ultimam eflc quanti- tatcm magnicudinis finitac vel infinite magnae, femper opus eft corre- c~Hone: monftrabo igicur in fcquentc Propofitione, qua ratione affu- menda fit .flLquatio quas femper efficict ultimam efle nihil ; eoque patto fumma inventa erit vcra, ncc augenda neque minucnda, ut hactcnus monftratum cft. Propositio VI. Si Mquatio ad Summas fit Sxz» + az*-*+bz>-i+&c. ~mS'y. z*+cz>- 1 +dz i — l +&c. ultima Summarum e- rit finit* magmtudmis in eo cafu folo, ubi efi m — i, & fimul a=c. Ad hanc Propofitionem demonftrandam, fciendum eft Summam S inveftigari poflc cx JEquatione definiente rclationem inter eam ejufque L valorem 3 8 Sttmtiiatio Serierum. valorem fucceffivum S', codem ferc modo ac quancitas Fluxionalis ex fua JEquatione. Illum in fincm affumenda eft pro S Series hujus formx, z" . A , B C D ->n A + -+-+ r ,4-&c. ubi »,/, A, B, C, D, &c funt quantitatcs invariabiles. In cafu autem praefente ubi Summa quxfica eft omnium ultima, adeoquc ad diftantiam infinitam remota -, erit z etiam infinite magna, utpote quse vel sequa- lis eft illi diftantuc vel ab eadem differt quantitate finita : hac de caufa Termini Seriei pofteriores funt infinite minores prioribus. Igitur ad abbreviandum computum, rejicio omnes poft primum, utpote qu£ in Az" hac demonftratione funt inutiles : fic habco S = ~~r"» »n °i ua fcriben- do S* pro S, & £+7 pro z; obtinco S' = ^E^. Hofcc valorcs fubftitue pro S & S' in /Equatione ad Summas, vcl quod eodem redit, in hac Sx*+< = «jSx*+7, mcmbris rcliquis ob rationcs fupra expo- Az" ibA \" fitas neglcclis ; & refultabit -pr x*+^= — ^jrp X t-r <• Vcl duccn- do in />*"*"\ ÷ndo pcr A, pz"x~~~i = mx~~^ "xT~~t. Cae- terum pcr Theorema N—vtoni pro evolvcndo Binomio, cft C~~i" — ~*-\-nz m — *, idqae accurate proptcr z infinice magnam. Hunc valo- rem fubftituc, & evadet ^quatio />z"xr+7 = «X2"+» a" -1 X*+7» quaedivifa per z» — fit pzx~»=~ «Xt+»Xi-i-f, vel pzz-\-paz=- mzz-\-~~~xmz-\-mnc ; in qua confcrendo mcmbra homologa, eric p=m & pa=-7~~xm, unde n = a — c: & proindc ultima Summa A2" Az* — ' S, quae antea erat — , jam evadit — — — , ubi notandum eft Coeffi- cicntem A non determinari. Fingatur nunc wr = i, & fimul az-c\ Az° ' &Summafiet -p-: eft vero z'=i, & i" = i, etiamfi z Gt infinite magna ; atque adco ultima Summarum eft finita, quippe sequalis quan- titati A ubi cft »1=1, & fimul a=r: alius autem non datur cafus Az'— ' in quo — --— cft quantitas finitt ubi z cft infinite magna. Conftat igi- cur Piopoficio. COROL- Digitized by Google Summatio Serierum. 3$ COROLLARIUM. Si m Gt minor unitate, ultima Summa erit infinite magna; & infi- nite parva ubi m eft major unitate. Et fi m fit unitas, Summa illa crit infinite magna vel parva prout a eft major aut minor c. Igitur in JEquatione ad Summas fi m fit major unitate, vel unitati sequalis & fimul a minor c; ultima Summa fcmper erit nihil & nulla CorrecVi- one opus crit EXEMPLUM. Sit Summa prima A= i, fccunda B = j A, tertia C = ^ B, quar- ta D = C, 4)uinta E = |^D, 8ec. Atquc ^quatio ad cafdcm erit Sx**+*+~* = S'x*t+*i quae collata cum jEquatione generali, dat w = i, tf = i» cszii & indc 0 — r=o; unde per hanc Propofitio- nem ultima Summarum, id cft factum fub omnibus numeris ,X I" X H x p x 83 x i75 x &c * in infinitum > cft ^ ntiBls finita ' In JEquationead Summas fubftkue S — T pro S, & invenies S = — 4Tx*TV«, quae quoniam prodit negativa refpedhi ipfius T, ex- bibct Summam Terminorum non a dato Termino ufque in infinitum, fed a dato Termino ufque ad principium Senei. Quod ut clarius pateat, proponantur dus^quationes Szz = S'x«— i» & Sz = ST+7: utravis harum dabic eandem ^quationem ad Termi. nos, fciIicecTz=TT+I. Ex priore umen dcducitur S = _Tx**-H» & ex pofteriore S = T7+7. In primo cafu S eft Summa Tcrmino- rum ab initio ufquc ad T i & in fecundo S cft Summa lpfius T & omnium fcquentium in infinitum. In /Equacione ad Terminos frriban- tur numeri i, *, 3» 4» fucceffive pro z, & ufurpctur *- pro pri- mo Tcrmino, atque prodibit Series ,-,+ iij+jfi+sh +p + £ + p + &c - Ubi fi quaeratur aggregatum primorum quatuor Terminorum, fcribe 5 pro z in Tx*T=7 Summas S priore, & Terminurn quintum A pro T, atque obtinebis = j = ~ l + ~ ? + 3"++ 4~? 5' quuuor Digitized by Google 40 Summatio Serierum. quatuor utique Terminis initialibus. At fi vis Summam omnium om- Terminorum, pneter illos quatuor, fcribe 5 pro 2, & j-^proT, nino in Tr+"i valore ipfius S poftcriore-, ac habebis ^-=^- = j~ 6 + -i- _l_ -1t + - l- &c. Et hi duo valorcs ipfius S fimul additi, hoc 6.7 1 7.0 1 0.9 eft, Summa numerorum 7- & \ conficit ^-—^ = 1 pro valore omni- 5 5 5 um omnino Tcrminorum ab initio ufque ad infinitum. Propositio VII. St Mquatto ad Seriem fit 2— «T + m— 1 .zT, ertt -+-^ X- + &C. Finge Summam S aequalem efle Termino T du&o in quantitatem y, hoc eft S = T?i dein fcribe valores indeterminatarum pofteriores S — T, T', y pro prioribus S, T, & y refpe&ivc, atque habebitur S — T = T y \ quse ablata de priore S = Tj, relinquit T = Tj? — T y, unde eft T'= Tx^. Sed per iEquationem ad Seriem fci- -T licet ~» T + «TI . 2 T', eft T'= — Adeoque atquando fibi invicem duos ipfius T' valores, erit Tx ^7-^ = — = qu* d >- vi(a per T, & d.u&a in ^Z7./, evaditJ^T.ji — m+i = — /+ — y\ vel . y + y — y — m + 1 =0: quae eft A2quatio DifTcren- tialis ex cujus refolutione dabitur Radix y. lllum in finem aflume )= fl + z" + 2^jrr + 2.2-f-1. 2-f2 + 2.2+ I. 2 + 2. 2+3 + &C ' tum fcribc pro v & 2, valores earum fuccedaneos / & 2+1 refpe- ctive, atque habcbis y'=a 7 Digitized by Google Summatto Serterum. ± i /=«+ Z+l ' 2+1.2+2 + Z-t-l.2-f-Z.2-t-;, + Z-t-l.2-J-2.Z-j-3.Z-f4 + * fc hoc cft, / = * +4 + ± 5r+ -^FV + ■ . + &c. ' ' Z 1 Z.Z-f-I 1 Z.Z-j-I.Z-f 2^ Z.Z+ lJL+ZJ+-^~ Atque prior valor ipfius / multiplicatus pcr — , cvadit 2 Z > ~" Z + Z.t-f l + Z.Z-f I.Z+2+Z.2+ l.Z-|-2.Z+3 ' Hofce valores ad eandem formam jam reduclos fubftitue in .£quatione, & rcfukabit . mb—na . mc — n-\-\ .b , m d— »4-1. c , _ ma - m + l +——+ zz+i + ^^ +^.=0. m— 1 Ubi ponendo membra homologa arqualia nihilo, habebitur a=- i=-a t c = ^t- 1 K d = * = ^t- 3 4 &c Et hifce datis, dabitur valor Radicis y, quae denique dufta in T exhibebit pro S, Se- riem in Propofitione exhibitam. Q^E, D. Corollarium. Si » fit numcrus integer & negativus, vel nihil ; valor ipfius S abrumpet, exiftente Scric fummabili. Et ubi m eft ncgativus, Series erit infimte magna. Hic autem excipio cafum in quoeft m = o; tum enim Serk* fummabitur per Excmplum primum Propofitionis quintae. Exemplum L Proponatur Series fummanda A + j B + j C + |-D+ ^•E+&c^quatioeamdefinicnseft2— | T — 2 z T'=o, ubivalore* fucccfiivi ipfius 2 funt 1 J 3 p 4"-. &c & illa collata cum JEquatione generali dat »=p «— 1=— 2, five «=— 1 ; quibu* oritur 42 Sutnmatio Scricrum- c_ t - 3B 7D oE , 2 1 "~ 22 "" 22^f2~ 22+4*^27^6 "" ~~ ^ In qua (i fubftituatur quilibet Tcrminus pro T, & pro 2 valor fuus correfpondens, crit S Summa ipfius T &Terminoruni omnium fequen- tium ufque in infinitum. Colligo itaque duodeccm Terminos initia- lcs-, eorumque aggregatum emcrgit .78533961813. Dein ut obtineam Summam rcliquorum, fcribo Terminum decimum tenium, id eft, .00003029411 pro T, & pro 2 valorem fuum debitum 13 —-, atque habeo S =.00006058822 — — A_— B — — C— . - D — — E — &c. 27 29 31 33 35 Ubi Termini prodeunt alternatim tiegativi & affirmativi, hofce difpo- no in una columna & illos in altera ut vides .00000224401 3744 j 204. 20 3 r 4- .00006082899 — 00000228373 Tum Summam negativorum .00000228373 auferens ab ea affirmativo- rum .00006082899, habeo S-5.00005854526, qiue adjefta Summx initialium exhibet .78539816339 pro valore Seriei propofiue, id eft, pro Area Circuli cujus Diamiter eft unitas. ExEMFLUM II. Quatratur valorSeriei 1 — — A — — B — |- C — \ D — — E — &e. 2 4 6 0 10 iEquatio definiens relationem Terminorum eft 2 — l - T+zTco, in qua valores Abfciflse 2 funt 1, 2, 3, 4, & c . comparando autcm hanc ^quationem cum illa in Theoremate, erit » = — , m 1 = 1, & »1 = 2: atque exinde S - 2 T + 4*+tt+*¥*+*¥** + 42+T6 + &C " Coilige Digitized by Google Summatio Serierum. 43 Collige nunc decem Terminos initiales Seriei tranfmutandae, eorumque Summam reperies fore .6168670654. Dcinde ut habeatur Summa rc- liquorum ; in valore ipfius S fcribe Terminum decimum primum, id eft, .1761970520 pro T & 11 pro z ; atque prodibit S = .0880985260 + ^ A + L B +1 C +1 D + l E + &c. Et ineundo computum ut in margine, invenie- tur S = .0902397156, qu»2 addita aggregato initi- .0880985260 alium prius invcnto efficit .7071067810 pro va- 20022392 , , r 1251400 lore Seriei, id eft pro >/-. Etenim V- fic fcripta 120327 1 15041 1 + i 1 & evoluta per Theorema Nrwloni, eva- 2250 dit Sertes de qua nunc egimus. 3 88 74 SCHOLIOtf. - _ 15 3 Omnis Sefrescujus Termini funt per vjoes nega- $ = .01302207 156 tlvi & affirmativi, fi tranfmutetur per hanc Pro- ' • pofitionem, migrabit in aliam celerius convergentem cujus Termini lunt ejufdem figni. Et c contra omnis Series cujus Termini fJrit ejufdcm figni, abibit in aliam cujus Termini funt alternatim negativi & affirmativi ■, qus umen non converget celerius- priore prxterquam ubi TranfmutatiO inchoatur a Terminis ab initio fatis remotis. Et li Series tranfmutetur, & rurfus tranfmUtetur ea quse ex prima Tranlmu- tatione prodiit, emerget ea prius propofita. Lxempli gratia fi Series 1— j+j— ^+^- — &c. tranfmutetur, prodibit j+ j- A + -B + -C+-D+&C dein fi noviffima tranfmutetur emerget pri- 5 1 7 9 ma 1— --+- -_ — + &c. hoc eft, transfert Seriem de Tangente ad 3 5 7 Sinum, vel de Sinu ad Tangentem. Sed in hifce cafibus debet ope- ratio ordiri ad primum Tcrminura Seriei, nempe ubi agitur de Tranf- Propo- 44- Summatio Serierum. Propositio VIII. x — m 2 — n Si Mquaiio ad Sertem fit T' = — r— x £^+-j ^> ® _ ponaiur A =^"« T, B = n - A, C = B, D = "-=j^c, A . B . C D Etenim fuppone S=Tx mjxy» & P vel j_/+ ~ 7n =0 ' Ex hac vcr0 - ff:( l uatione cruetur Radix y ad modum fequentem. Finge y~m~*m~-\- 1 .2T OT + 2 .2.2+ 1 »1+3.2.2+1.2+2 Erit/ = * I * I f J _! I & c ffi T »1+1.2+1 T ro-f-2.Z-l-l.Z+2 T m-|-3.Z-t-1.2-|-2.2-f.3 ' Et 7—/= m+I.2UE+l"T"«+2.2J2+I.2+2" , 'm+3.2.2+1.2 + 2.2+3 T Atque * /= * W _L . . I m J- » . CT2 ' m+ 1 .2.2+1 T w+2.2.2+1 .2+2 "t"iil4-3 .2.2+1 .Z+2.2+3 i ■ '. Adeoque Digitized by Google Summatio Serierum. 4 5 Adeoque)— /+ ^ 1+ f , 4. . ' , + , i r-4-&r 2 1 2.2+1 ^Z. 2+1. Z + 2~2. 2+1. 2 + 2. 2+3 Eft vcro — ^ — — 2 — « i_ . « , » . » + 1 ».*» + 1 .»+ 2 2 "T*2.2-f I +2.24-1.2+2 + 2.2+1 .2+2.2 + 3 &C " Igitur ,_/+-,_-_ - a — 1 . « r — ».«+ i . undeA = z— "T, B = A 4.6 Summatlo Serierum. ^> C = I^' D = I^4' E= ^T6' &c.atqncS=iA + 2 2 2 2 jB-j-jC+^D-f- - E + &c. Incundo computum repcrio ag- gregatum duodeccm Terminorum efle 1.407397508. Dcin fubftituo Terminum decimum tcrtium, id cft, ^x. 161180258 proT, & pro* valorem fuum correfpondentcm 13, fic prodtt \='X.i6ii8o2 5 8, .166180258 B = ix - 6199241, 2066414 C = Jx- - 664204, w*** D15814 = iX--H070i, K + E = ix 24261 269I F = jx - - - 6410, i 5I G = ix - - - 1959» 45 H=ix - - - 670, '5 I =iX- - - - 250, 5 I K=Jx 102, L = ix - - - - 44, M=|x 20, S=.i6 3 3 9 8820 Ex hoc computo habco S =.163398820, valorem utique Terminorum omnium poft decimum fccundum; qucm itaque adjiciens Summx initialium, 1.407397508, habeo 1.570796328 pro valore Seriei fum- mandai, id eft, pro longitudine Arcus fcmicircularis cuius Diameter eft unitas. Termini initialcs, quando eorum Summa eruitur, facillime reducuntur in fractiones decimales per regulam fequentem, pone «= 1, b = a—-a,c = b— I -b, d=c—^c, e = d— *-d, &c. eruntqucTcr- EZEMPLUM II. Proponatur Serie* Brounkm -± + ji- + -L + -L + && K . quatio Digitized by Google Summatlo Serierum. 47 quatio ad candcm eft T= — — x -r-j T » vcI etiam T'=— — x — * T » z 2— j— T 2 1 fcilicet fumendo initium Abfcifla? z a diverfis pun£tis. In priore va- lores ipfius 2 funt -, -, -, f", &c. »» = 1, » = -, A = z T, B = ^, 0=^^, D = I |^, &c. In pofteriore valorcs ipfius 2 funt 2, 3, 4, 5, «=1» «=7» A = z_Lt, B = ~, C = j^-j, D = &c. & in utroque erit S = A+^- B + j C+ D-f-&c. Dabitur crgo S ad plures figuras fumcndo pro T quemvis e Terminis fat longe diftantibus a principio. Et fimiliter in aliis ca- Gbus inftituere licct computum, idque duobus modis diverfis ubi Ter- mini funt affigrwbiles. Hsec autem Series hunc in modum fcripta i_ -4--_-4-- _ &c. facilius traftabitur per Propofitioncm tertiam aut feptimam. SCHOLION. Hactenus cgimus de Summatione Scricrum quas prodeunt in Qua- dratura Curvarum binomialium, & fimilibus. Caeterum procedcre licet eodem modo in cafibus difficilioribus : nam Summa Seriei deter- minatur & erui poteft ex data rclatione Terminorum v idque refol- vendo jEquationem Diftcrentialem ut in noviflimis duabus Propofiti- onibus. Problema autem eflet laboriofum qujerere Summas indepen- dentcr a Terminis, quando Tcrmini non funr aflignabiles v ideoque qu*fivi quantitatcm quse dufta in Terminum T exhibcc Summam S. Sic etiam Arese Curvarum facilius eruuntur mediantibus Ordinatis, nam Series liac rationc prodeuntcs funt fimpliciflims. Et hifce praemiffis pergo ad mcthodum refolvendi Radices /Equationum pifferentialium in Series magis quidem compofitas, at fimul longe magis convergentes quam fuperioresv quas ea tantum de caufa exhibui, quod eflent fim- pUccs & ufibus vulgaribus fuflkientes. Hucufque Summam quamfibet defignavimus per S, ejufque Termi- nos per T, T', T", &"c. At in fcquentibus etbm defignabimus Series vel Summas, pcr S2, S3, S4, &c. carumquc Tcrminos pcr T2, Ta, T 2, 48 Summatio Serierum. T"2, &c. T3, T3, T"3, &c. &fic porro: adeo ut fit Sz = T2 + T'2 + T"2 + &c. S3=T 3 +T'3+T"3+&c. S4 = T4+T'4 + T"4 + &c. &c. Et ficut in Scric S, Summse fuccefilvae defignantur pcr S', S", &c. ica in Serie S2, denotabuntur pcr S'2, S"2, &c. atque in Serie S3 p«r S'3» S w 3, &c. Et fic in casteris. Hanc autem notationem introducere coa&us fum, propterea quod Summae & Termini diverfarum Serierum fimul confiderands vcniunt in eadem jEquatione. Propositio IX. Data relaitone inter duas Summas in dtverfis Seriebus, 63* JEquattone ad Terminos in alterutra^ invenire AL- quationem ad Terminos in altera. Problema fblvitur progredicndo ex relatione variabilium prjefentc ad fuccedentem, ut cxindc climinentur Summac i id quod Exemplis pa- tcbit. r r ExF.MPLUM I. SintS & S2 dua; Summse in diverfis Sericbus, earumque relatio S = -^T+T T + S2 1 fit vcro T = + | T, rclatio Tcrminorum Scriei S : atque ex hifcc datis opporteat erucre iEquationem ad Tcrminos Swiei Sj. In ^quatione S=~^-j^^ T + S2, ex- hibente rclationem Summarum, fubfticue valorcs variabilium confcqucn tes pro antccedcntibus, hoc cft, S' fivc S — T pto S; S'z five S ' T2_pro S2; T pro T, & 2+1 pro 2i atquc habebis S — f = ""£.'«+! T' + S2— T-2, qua: ablata dc priore relinquit iEquntionem liberatam a Summis, fdiicet T= .— T ^.T T ~,—i w.m + i 1 w.w+i 1 + T2 S unde eft T2=" + '' H l '"''r^ t ~l~i T , w.w + i «i.m + i 1 • m qua fubfti- ■ Digitized by Google Summatio Serierum. 49 fubftitue pro T' valorem proprium — ~"— T, atque ob- 2 2 — 7t | — I W. m — « -4- tincbis Ti = - \ , „ ; — ' „j_ , T. In hoc infuper valore fcribc valo- tn — (- 1 . z . 2 — a — j— 1 4 res indctcrrainatarum fuccedentes T'i, T2: quam de priore auferens habcbis T = ^ffp* T_ ^ X T+T2 » cx qua comperics T2 = ^ x ^1t + ?- x 4~j^6 T '- Caeterum per "iquationem ad Seriem S, eft 3^'= — ^T, quofcripto, prodic T2 =+i T + ^X^" X ^T.dTa^Tx^X^X^ Atque rur- O f us $o Summatio Serierum. fus progredicndo ad valores indcterminatarum fuccedentes, habebitur T'2= — — T'x — "i — X — Xr-T-i vclfubftituendo — — T 4 A 22-|"3 2Z T4 22 T5 z+i pro 3 T', T'i = ^^X^X^X~qT: unde T = 2.I7^.rrti.iT75.i«.+j. T'2; atque per valorem ipfius T2 eft idcm T = — — x tt-t-i Xit-^-iXii+j T2 ; quibus duobus valoribus inter fe 3 aequatis, obtinebitur 22-f x T 2 + 22+72+5 X 3 T'2 = 0. jE- quatio utique ad Terminos Scriei S. Et in aliis cafibus Gmiliter pro- ccdcndum ett. SCHOLION. Pcr hanc Propofitioncm Series infinitae intcr fe comparari poffunr. Nam ^quatio exhibens relationem inter Summas S & S2, dabit unam ex data altcra: & Termini ipfarum S & S2, dabuntur ex fuis ^quati- onibus, quarum una affumitur, altera vero ex ea affumpta eruitur : ut in Exemplis hujus Propofitionis. Ut fi relatio Summarum fit S = ~1 T + S2, & ^quatio ad Seriem S, T = ^*^""^' Tj invc- nies T2 = & T'2 = £~^p7^jp7 T z ^quationcm ad Sericm S2. Sint iim 2, 3, 4, 5, &c. valores fuccedentcs indcterminatje 2; & ufur- pando unitatem pro T invenies '4 ^9 n 10^-25^36" &C. S: = ^- in 1 + - + t + — -+rr + &c X 1 y 1 3O ' IOO 1 225 1 In priore Denominatorcs funt quadrata numerorum naturalium, & in poftcriore quadrata numerorum Trungularium. Relatio autcm inter Serits S =~p" T + S2, fcribendo 2 pro 2, & unitatem pro T, da- bit S2 = S — ~ y & ducendoin 8, crit 8S— I2 = 8S2 = 1 +^-+ 1 36 Digitized by Google Summatio Serierum. 5 1 -I -\ — - — |- -— ■ + &c. Et fimilitcr cum Seric in qua Dcnominatorci 3 ^ funt quadrata numerorum naturalium comparari poffunt eas ubi Dcno- minatores funt quadrau Pyramidalium, Triangulo-Triangularium, Src . Atquc in genere poffunt comparari omnes Serics quae dcfiniuntur JE- quationibus fequentibus T _ Zltf-T, T'= J*+r-r. T, T'= -g&^ T, &c. Ubi numerator manet idem, Denominatores autcm formantur fcriben- docontinuc *+» P™ z - Propositio X. InvenirevaloremSeriei qnam proxime, qua definitur quatione bujus form T — _— ti T* + T2 ; unde num diffcrentia dabit T=— — 1 — q 1 T iZ » U1,uc x _ z zb£lhiT'— — — ^T. Pro T fubftitue fuum valorem j f ^ x -^-J, atqne proveniet T2 = X — X£~£p T _ g+f— ? T . iuaus ad corronunem Denominatorcm dat T2 = 5 2 Summatio Serierum. 12 ~ ~^7z_«-fl A ' 2-4- r Jamquo minor eft Summa S2, co proprius quantitas — ~-T accedetad valorem ipfius S ; & eo minor erit S2, quo minor eft Terminus ejas primus T2 : is vero evadet minimus ubi variabilis 2 eft minimarum dimenfionum in Numeratore ejus viloris •, nam hic z magna fupponi- tur: ponantur ergo CoefHcientes dignitatum z* & z nihilo aequalcs, & habebuntur dua: i_ quationes q — wi _= o, atquc - — ? x* — 1 — »— />X m -f- 1 = o, ad determinandum duas quantitates afTumptas />, q. Pri- ma dac q = m, ex qua & fecundi eruitur p = — 1 ., Undc crit tl.m — «i-i-i _, r „ iw-i- 1 . 2 — W_ = ■ CT -|-l.Z.2-,+ l T * atqUC fCrC S = + . ^ E ' L Et eadem prorfus ratione invenictur approximatio, ubi „Zquatio ad zzA-az-X-b Seriem eft T = az _|_ c2 _|_^ T, vel magis compofita •, fed Coefficien- tes poft & _ in hoc computo non ingrediuntur. Casus II. Sit jam -Equatio T x ZT+T -- * + r T x TT^TT^i = o, exiftente r numero quolibet , excepta unitate. Fingc S -c f x ~i~ T -4- S2 •, dein fcribe valorcs variabilium pofteriores pro prioribus, & emcrget S—T=/x^?^ T+S_ — T2, quarablata de priore relinquit z-\-m „ z4- — 4- 1 , T =; x ^r„ T — p X Z J{_™~^_ T-f T2 : haec ^quatio dabit _ 2 />Z— . . 2-4--J-1-I T2 = ^^i^^^+^X^^YT': fed per /Equationem ad Sericm S, eft T = — 7X ^j_^j _ji quo fcripto pro T, prodit- T2 = Digitized by Google Snmmatio Strierum. 53; ris mcmbra rcducantur ad communcm Denominatorem, & ponantur Coefficientcs trium akiflirrurum dignitatum ipfius 2 sequalcs nihil , 7E- quatio pritna dabit rp-\-p — fccunda mZm%t+\ —(•— a, tertia de- niqtie 7—4 x * » -\- &—b — m—n x rt-\-m-\-r-\-a -\-ma: & hx tres _ r b — i 1 , tf — c jEquationcs dant / s ;~T~7» »= M — TZ~ — r~^-~i' " — ~ + ~~T~.- Dantur itaque Quantitates aflumptae p, m, 8c n ; atque exinde etiam Quantitas /X ^ j^'" f T quse proximc aequalis eft Serici S. Q^E. L Propositio XI. Si T^^xjrSqptT ~**tf«« ~*A~f#f- w *» Termmorum Sertet S, /> &c. ~4-4 ~+3 ^4T6T^r-f-7 l4 + jr+~c,.Z+* — <; .» + 4 , w T 8.» T a *5T &c. 54 SunmaHo Serierum. Per Propofitionem praecedentem quantitas ■_ m _^_ t Tpro»me«- gualis eft Seriei S. Sit ergo S = ^~ppf^ T -f S2 accurate, & m- _ 1 » » «— .«-f-i _ _, z — m v C mc S t 2 = - x ^ x - x 2 --v+t T « at< i uc T2 =-^frrx g T2 jEquationem ad Terminos Serici S2 : ex qua data, per Propofitioncm priorem cruitur quantitas - ' "^^^X^m^^ ' Ta proxime sequalis Serici 92. Dein aflumendoS2 = 2±i^±i^!±l x 2 ^S 3 , mvemetur T 3 = -^X^X^ X 2 -_^ T2 ; & T 3 = X z ,L"7-f 3 T 3 ^quatio ad Tcrminos ScrieiSj: unde comperics quantitatem m _^ m _\_ 5 T3 proxime xqualem Sc- rici Si. Et fic porro proccditur. Igitur primus Tcrminus in vaJore ipfius S proxime aequatur ipfi S ; atque Terminus fccundus proxime aequatur ipfi S2 ; tertius vcro proxime sequaturlpfi S3 & ita in reli- quis: hoc eft, Terminus primus proxime sequalis cft Scriei cujus valor quaeritur ; lecundus proxime aequajis eft dcfcctui primi Tcrmini a vero-, tertius proxime sequalis eft dcfedtui duorum primorum a vero ; quartus proxime aequalis cft dcfeclui trium primorum a vero; & fic deinceps. Igitur valor Summa: S cft vcrus & cclcrrime convergens. E. D. Corollarium. Abrumpet vilor Serici S hic exhibitus, ubi « vel m »-}-i eftnihilaut nunu-rus integer & negativus: atque in aliis cafibus abibit in infinitum ad veriutem quam cckvrime accclerans prceterquam ubi, propter m nihil ant neg.itivam, valor Seriei cft infinitc magnus. EXEMPLUM I. ! Qjwratur valor Striei ' + 4 L + 9 L +^ + ^ + p-(-&c. "qua- tio definiens rclationcm Tcrminorum eft T'=r^^x— —T, exiften- Digitized by Google Sumtnatio Serierum. $ 5 tibus 2, 3, 4, 5« &c. vsdoribus indeterminatse z. Hsec autem collat* cum iEquatione in Theoremate dat m = i, »=i, quibus fcripti» prodeunc T , T T . J Tt Ta 27 lL T, 64 -- 4 . &c EtS=^T + i^Ta + ^t5T 3+ ^T4+^T 5 + &c. Collige jam decem Terminos initiales, eorumque aggregatum reperies i. 5497.6773.1 166.5406.9. Tum pro z fcribe ejus valorem decimum primum, five 12, & Terminum decimum primum ^proT.atque percomputum invenies T =.0082.6446.2809.9173.55 .0950.413J.2314.0495** Ti= -2869.6051.4233-24 x.2434-9556 ^77-4 T* = - - - - 22.6398.8277.97 65.6556.6006.1 T 4 = 3118.7593.62 7128.5928.3 T5= 63.3652.70 1 13.2102.5 T6= 1.7 188.93 2.9690.0 T7 = 583-9 6 9 2 °* T8 = - - - - - - - - 23.78 34-9 T 9 = 1.12 ^£ $=.0951.6633.5681.6857.4 Ex hoc computo habemus $ = .0951.6633.5681.6857.4, qu« adjefta aggregato initialium, exhibct 1.6449.3406.6848.2264.3 pro valore Se- riei propofitse. EXEMPLUM U. Summanda fit Serie, i + ^ A^B+|?C + H D+ ii E+ *c. ^quat» eandem denotans eft T'= -~X;qpf T, uti patebit fcri- bendo valores 1, 2, 3, 4, &c. fucceffive pro 2. ^quatio autem in Theorematc collata cum hac, dat »> = -, « = -» adeoque T2 = 5* Summatio Serierum. 2.I.I T «i: 3 I£+.i T « T3S 57^K 9 »+3 T2 ' T4 =9 »4V.U +S T > 6.2^1.2 &c. 22.^4 5.6 T+ ""t;-' - T ,+ r T 3+ &c. Per additionem reperits Summara decem Terminorum initialium efle 1.3916.94645943.2880.5 •, dcin ut eruatur Summa reliquorum fcribe 1 1 pro z, & Tcrminum decimum prknum pro T, & habebis T s= .0013.9002.5809.6168.1 5 T2= 2210.8921.7644.71 T3 = 15.1604.0349.56 T4= 1963.2742.16 T 5 = 38-8835-92 T6ss 1.0484.9+ T?=s 358.18 T8= 14.77 T 9 - 7i .1789.9383.0605.1587.3 1.0738.619 1.4274.3 45.9406.1665.3 4570.9051.0 76.0818.3 1.8 104.4 562.5 21.5 1.0 S=. 1791.0168.0851.6085.6 Addatur nunc S aggregato- initialium, & prodibit t.5707.9632.6794.8966.1 pro valore Scrici, id eft, pro fcmipcriferia Circuli, cujus Diamcter eft unitas. * ElIMFLVM III. » rep «. w j» &«. i+a^ B+|i! c + £|d quc definitur ^quatione V^r^^^^T^ in qua 1, 2, 3, 4, &c. fimt yalojes indetfcminatae z. Et erit m = » = ^ j & propterea &c. 6.z— 1.1 14. ^-^2.5 22.rn— 3-9 T , fl «&_ 1.3 l + " 5.7 ' T *+ ^Ta+aftc. Colligo f Digitized by Google Summatio Serterum. 57 Colligo jam novem Terminos inicialcs, quorum Summa prodic .5055.0041.4718.3195.8, &fcribens iopro z, decimum vero Termi- num pro T, habeo T =.0047.5565.5924.4791.67 .0935.2789.9848.0902.9 T2 = 921.6387.4505.41 4160.5406.2053.0 T3 = 6.8760.0058.48 T4= 995- 8 557-°Q 21*5*7755 9 T5 = 22.0991.75 40.9826.8 T6 = 6653.41 «-0937-5 T7= . 252.54 379.0 T8 = 11.51 j6.i T9 = 61 8 S = .093 5.6970.2649.4765.3 Summa denique inicialium addica ipfi S, conficic .5990.701 1.7367. 7961. 1 pro valore Scriei, id eft, pro Ordinaca Curvae Elafticse. Ec hunc numerum Jacobus BernouUius re£ce invenic concineri incra limices .5983 & .6004. E-EMPLUM 17. Propon™ Seric . +il A+gfH^C+£{f D+gZMfc quse dcfinitur iEquacione T = — — x — rr T, cxiftentibus 1, 2, 3 4, 21 1 3 &c. valoribus indeterminatse fucccdentibus. Eft vcro 1» = -,» = - j & proinde T,_- iit-T T, 3-*-7. - 5 -3" T . * 2 — 2^,+Z-j-I 1 ' 1 3 = lo-Z+i.+^f-j 1 2 » A4 ~ 18^-1^+^-9 &c. ' _ _ 22- — I_ . 2Z-f-2_ , 2Z-Ui;_ 22;4-8_ . 2r4-u_ , EtS= — T+-pT2+-3-.T 3 + -^--T44 r -^-T S +&c. Summa novem Terminorum initiatium eft 1.2157.0599.7306.1360.6. Et ut habeatur Summa reliquorum, pone 10 pro 2, & decimum Ter- minum pro T, ac per computum obtinebis 5 8 Summatio Serierrtm. T rr.0050.1271.8406.8S34.46 .0952.4164.9730.7854.7 T2 = -- -1833.9i13.6837.20 8069.2540.2083.7 T3= - - - - 15.5605.449438 43-2237.3595.5 T4= 2425.8219.16 , 5224.8472.0 T5= 56.8742.44 103.7118.6 T6= 1.7922.51 2.9017.4 T7 = 707-95 »047.8 T8= 33.45 46.1 T9 = 1.83 2.3 S= .0953.2277.9839.9238.1 Adjiciatur jam S aggregato initialium, & obtinebis 1.3 1 10.2877.7146.0598.7 pro valore Serici, id eft, pro longitudine Curvje Elafticz, modo in lineam redtam excenfa forct. Huoc auterrv numerum detcrminavit BernouUius confiftere inter limitcs 1.308 & 1.3 15. Quod fi longitudini Elafticse adjiciatur fua Ordinata, habebitur nume- rus 1.9100.9889.4513.8559.8 qui eft femiperifcria Ellipfeos habcnds 1 & */2 pro Axibus. Et harc Exempla fufficiant ; haud enim immo- ror Seriebus quse pcr hanc Propofirionera fummari poffint accurate. Scholi ON. Hoc Theorema nullo fere negotio exhibet Arcas Curvarum binomi- alium quarum Ordinatae continentur fub forma x'xe+/P\ in unico tamen cafu, fcilicet ubi eft e-\-fx'z=o t five ** = _j--, hoc eft in eo cafu in quo Series pro Area convergit lentiffime. Sed ubi Arese non produccndaE funt ultra octo aut novcm iiguras, fufficit quaerere Sum- mam quatuor Terminorum initialium, nam S dabit eam reliquorum ex- iguo labore ; imo fi nulli Termini initiales colligantur, fed inchoetur tranfmutatio ad primum Tcrminum, valor ipfius S approximabit ad valorem totius Seriei fat ccleriter. Series autem in Theoremate, rcd- ditur generalior, atque extenditur ad cafus qui ad Quadraruras non at- tinent, ut fequitur. Sit /Equatio ad Seriem T'= zz j^[Jj^ r T, & 1 Digitized by Google Summatio Serierum. 59 . r — ct+k+i _ T2 m£+„_4+jX~l-»-f 1 * = »+* - W + 2 T . T 3 - x ^gSP^ . r— a»+2»+4 - T3 CT r+;_7^xM- t »+4 <=»+« T4= »+? X ^+HR.^+"+4 - r— T4 w f /- ^-^-f6X'-t-3"-H> rf_»+6-- , 1 5 - „ +5 X S+^. 2 +r +3»+9 ' r_w+4fl+i6 ^,, T5 >«<+»— »+*XH-4»+ r = «+ 8 7 _p , T 6 =^X SW 3X+r+ 4 »+ • 6» &c. &c Eritque S = Z-fg—I _ Z+i_T_ , 2+£— I - , 2+4— I _ , T - ^ +tft +-qT 5 + t+t T4 +^+r T > + &c. EXEMPLUM. P ro po M tu,Scri«i +£A+jgB+_C+_,D+;_,«* 2 2 13 5 qux dcfinitur ^quationeT' = — rrX— ttT, exiftentibus — , — , ~» 2-, &c. valoribus Abfciflie 2 fucceffivis. H_c JEquatio comparari ne- 2 .1» 2— n quit cum T'= X — T, ea fcilicet in Propofitione ; in qua 1 2 2— W-J—I utique funt duo faftores 2 — », & 2— »+1 unitate differentes, quorum aJtereft in Numeratorc, alter in Denominatore : quum tamenin AJquati- one propofitam Seriem definiente differcntia: faftorum in Numeratore & Denominatore fint - & -. Igitur multiplico faftores in fe, & pro- di t T' = - ±* \- T, & pergo ad _£quationcm inScholio-, quam cum altcra comparans, habeo »1=0, »=2, &r = jp & hifcefcrLp- tis oriuntur a s Digitized by Google 60 Summatio Serierttm. II Tj ' . 9 T 8» 1 2 — 8 * 42z-J-Sz-f 3 1 » ,_ I__ T l _ 5 49 «p T r 7 - - . 8l T_ f ~ 4°* — 40 x 422+402+99 5 * &c. &c. * _» T, +^ T 3 +^lT 4+&c . Qujere jam aggregatum fex Terminorum mitialium, idemquc prodibit .6106.6818.2373.0. Tum fubftitne fcptimum Terminum pro T, & valorem feptimum pro 2 ; & per calculum invcnies T =.0036.3492.9656.98 .0258.9887.3806.0 Tz= 1825.5785.1 1 5 2l o-5°53-3 T 3 = 29.7131.92 59- 6 739-9 T 4 = 842.5.62 1 .3 879.7 T> = 339.30 491.0 T6= 17.50 23,1 T7— 1.09 14 $ = .0259.5158.9994.3 Invcnta iwc modo S, eadem addatur Sumnue inittalium & prodibit .6366.1977.2367.3 pro valore Seriei propofitx. Si vcro unitas divida- tur pcr hunc numerum, quotus dabit Aream Circuli. Et eadem rati- one rranfmutantur Scrics quae definiuntur j_quatione hujufmodi T'= ^j^^r^^jpj T, vcl cttam gencraliori. Ec notandum eft JEquz- tioncm in Scholio T'=^^^-T, non ad pauciores cafus idco ex- tendi quod in Numcratore defit membrum in quo 2 eft unius dimenfio- nis: illud enim femper tolli poteft mutando principium Abfciftis, co- quc pacto Thcorema rcdditur fimplicius. Propo- Digiiizfid by Google Summatio Serierum. 6 1 Propositio XII. Oporteat tranfmutare Seriem definitam Mquatione hu- jus form+. 5 == .ffquatio utique ad Termi- nos Seriei S2 > qua; collata cum illa in Propofitione dat r=? a = 1 9 -, * = o, f=-, «? = 5 j hinc fit « = 3, »=2> & proinde erit 3 2+3 4 X^|-;T2 proxime sequalis Sertei S2 ; adcoque Terminus fecundus Seriei tranfrotttatae. , Ad inveniendum tertium affumatur S2= 2- X^pj T2 + S 3 , & „. de per methodum Differentialem e.rtt S2— Ta = - X ^±* T'2 -USi 4 ~+ 3 ' — T3, quade priore fubdufta, manetT2=- x ^i^T2 — ^-v t 2 4 2^4 4 * 2+3 +T 3 , cx qua oritur T 3 = 1 X ^=i T 2 + L x i±i T ' 2 . Sed per >Equa- Digitized by Google Summatio Serkrum. 6 3 224-1 /Equationem ad Scriem S2, cft Ti =— ~X-}-;X 2 "~f-~* } quo fubftituto in valore ipfius T3, provenit T3 = — - "X^-p^X-^-X — j_ 6 T2 : ubi fcribendo valores variabilium confequentcs pro antece- dentibus, orietur T'3 = — J-x ^~.X x l£~j~l T 2 » vel fub- ftitucndo pro T'2 fuum valorem, erit T'3 = ^X^~;X ~pj X 2^fb x J x z^ x iz^J T2, Pcr valorcs Twmino * T3, & T3, 1 1 5 fi eJiminetur T2, refultabit zz^- -z T3 +3 T3 xzz+-f 2 + I4: ~ °» quse eft "quatio ad Tcrminos Seriei S3 •, eaque comparata cum illa in Theoremate exhibet * = *=o, '=^, , & c valonbus ipfius z ordinc fuccedcntibus. Hic erit a=o, b~o, /=2, J=i, r=i j unde »» = 1, »=0, & propterea^-x^T eft pri- mus Terminus Seriei tranfmutataj. Ut eruatur fecundus, finge S= ^x^±I T-f S2 } & per metho- dum Differcntialcm prodibit S- T = ^ x ^ T + Sz - T2 } qu* dedmfta Digitized by Google SummatioSerierum, $5 dedufta de priore relwquit T=^-x^~T— ^ X-£p-*T'+ T2; ox qua inventetur T2 = - x -^— T + - X : fed ^quatio ad Scri- em S datT '=5Tqp^q-7» quo fubftituto, provcniet T2 = g-x T — — . Scribe jam valores variabilium confcqucntcs pto antecedentibus, & orietur 22+2 T T'2= — 22 ^_ , X ^7» vel rurfus poncndo pro T' fuum valorem, T'2 =-X =->,- X "TT T - Per valorcs Terminorum T2 & T'2, ex- termina T, & habebis 2* +|- ^x Ti-fz 4 +^ 2 '+i 5 z'+i 42+4 x T'2, qua: eft .flJquatio ad Terminos Seriei S2: eique collata cum illa 3 15 in Propofuione, dat«=-, £=o, c — ~-> ^=15» r=1 > & pro- 1 „ 2+? _ . _ inde » = 3, w=: ^"> quapropter eft £^pr T2 valor Seriei S2 quam- proxime, five Terminus fecundus Seriei tranfmutatae. Atque fuper hilcc veftigiis progrediendo ut in Excmplo fuperiore, invenies 22+1 T 22+2 8T2 _ 22+3 27T2 T2 = -^^.T 3 =-^X^ J .T4«-^ 2 X==T.*o S = ir T + ^ T2 +^-F2 T 3 + 2^ T 4+^ Vel ob faciliorem computum, pone -, « A _ 8B ^ 27C „ 64D A = T,B==p„ C=— , D== _ E==^, &c. Eritque S= ^ in*+7A — J^B+Z^C— ^D+^E— .&c. Summa decem Terminorum Seriei fummandae fub propriis fignis eft .8 179.62 17. 56 10.985 1.3. Tum ut habeatur Summa reliquorum fubfti- t va- tuc Terminum decimum primum, hoc eft, pro T, & pro z lorem fuum refpe&ivum, fciiicet 11 ; ac habebis S A = 66 Summatio Serierum. ' EtS = ^ in 6A— 7B + 8C— 9D+10E— .&C Computus autem fic fc habet A=r .0082.6446.2809.9173.5 B= 478.2675.2372.2 C= i-74»5- 2 944-5 D= 171.3604.0 E = 3- 2 495-o F= 99 '7 G = 43-6 H= 26 I = Deinde .0495.8677.6859.5041.0 .0000.3347.8726.6605.4 13.9322.3556.0 1542.2436.0 32.4950.0 1.0908.7 5 2 3- 2 33-8 — .0000.3348.0296.9983.9 2.8 .0495.8691.62 14.4073.0 Differentia harum Summarum divifa pcr 11, dat S = .0045.0485.7813.1280.8, quae adjefta aggregaro dcccm initialium, con- ficit .8224.6703.3424.1132.1 pro valorc Scrici. Quumque hic nume- rus dimidium fit illius in Exemplo primo Propofitionis decimar re- perti; condudendum eft utrumquc computum re&e inftitutum fuiffe. EtenimScrics i_^-+^ — ^ + &c. ubi Termini funt alternatim negativi & affirmativi, dimidium eft hujus 1 + % - + l - + ~ + &c. in qua omnes funt ejufdem figni. ExEMPLUM III. Proponatur Series 1— j + 7+9" "~ 77 + &c - 1"* definitur jEquatione zT+I+i T =o, in qua valorcs Abfciffic funt ^ i 2» Digitized by Google Summatio Serierum. 67 p j-, &c. Et incundo computum juxta hanc Propofitionem, deve* nietur ad reguUm fcquentem. Pohe A = T, deindc 1 _ * c — 7 Bx 2^F5 x ^r '■5 D ~2 CX 22+ 5 X -^ t ' E = 7 DX ^ X ^' &C. Eritque S = ^ in H+TA— I - ^B-J-I— ^C— 7Z+T i V-\-7Z£n'E--&cC. Summa duodccem Terminorum in Serie propofita eft .7646.0069.1481.8329.5, atquc Terminus dccimus tcrtius = T, & 2 = quibus fcriptis, habcmus A=-^ , 2 25 1.1.1 B = A, B= 2 3 3 B, D=- 3 5 5 C, E= }' 7 ' 7 D,&c. D — 13.27.27 »" 14.29.29 i5-3»-3» 16.33.33 ac S=^ in 13 A — 15 B + 17 C— 19D+ 21 E — &C A = .0400.0000.0000.0000.0 B = C = D = E = F = G = H = .5 200.0000.0000.0000.0 10.9694.91 74.0 7.9306.5 55-Q .5200.0010.9702.5835.5 422.0744.96149 6452.6422.0 33.5725.4 377 6 -5 2.2 1 .0000.633 1 .1 1 7442 23.5 637.8782.6 1688.2 27 — .0000. 6331.1812.4697.0 Dcin 6$ SumnMi* Serlerum. Dcin dividendo differcntiam Summarum pcr 25, prodit S =r .0207.9747.1915.61^53.5, quae una cum aggtrgaco initialium conficit .7853.9816.3397.4483.0 pro valore Scriei fummandae. SCHOLtON. ■ Sicut una TEquatio definit Series numero infinitas, ita una Tranf- mutatio infervit Sericbus numeio infinitis : Et unumquodque Exem- plum pro Thcoremate cft habcndumj fic Tranfmutatio in ultimo Exem- plo infervit Scrici gcnerali Obfervandum eft legem continuandi Serics per hanc Propofitionem tranfmutatas, non fcmper fe prodere ut in Exemplis quae l.icelegi: hoc vero neutiquam incommodabit opus» N«m poftqium colliguntur lex circiter Terrnini Seriei fummandx, tres vcl quatuor Seriei trunfmu- tatse dabunt qusefitura fatis accurate pro ufibus quibufcunquej in praxi enim raro opus cft continuare comptitum ultra novem aut decem figuras. Atque eodem res rcdit, five Termini Serici tranfmutandae fint iiidem vcl contrariis fignis affefti, fivc finc vcl non fint afiignabilcs. Labor enim femper erit levis, prreterquam ubi in /£t|uatione ad Sericm, qj-ui- titas r eft negativa & fimul proxime sequalis unicati; ui fi fit ; = — , vel =_ — 22. y computuscric luboriofus. Sed hofce c-fiis facilc eviwbit Analyfta pertcus, quibus igitur rcmcdium proferre non eft ope- rx pretium. Adjungerem quoqua nonnulla de Scricbus hujufmodi x ' 2 ' o 1 24 1 120 ' Ubi Termini in infinicum produtti non habent datam rationcmad fe in- viccm, ut in Scricbus de quibus hndtenus egimus, fcd antccedentcs funt mfinitc majores confcquentibus. H:e cxhibcnt Numerum ex dato Lo- gariihmo, vel Sinum ex dato Arcu, & funt fui generis fimpliciflima?. Tranfmutari poffunt pcr principia in fuperioribus pofita cneterum res commodius abfolvitur abfque Tranfmutationibus. Ut in Seric x-\- ~ x* -\- g- x» -\- x 4 -f- 5cc. quae exhibet Numerum cx dato Loga- rithmo Digitized by Google Stimmatio Serierum. 6) rithmo x, fi eflct x — 12.3785, rejicerem Characterifticam 12, & quse- rerem Numerum Logarithmi .3785 qui prodiret in Serie celeriter con- vergente ob Logarithmum jam unitate minorem ; quo dato non lateret Numerus Logarithmi 12.3785. Et eodem res redit five Logarithmus fit Tabularis five Hyperbolicus. Et fimiliter in quserendo Sinum ex dato Arcu, fi idem major fit Qua- drante, fubducatur ex Semicirculo, & manebit Arcus Quadrante minor cundem habens Sinum ac prior, utique ejus fupplementum ad Semicir- culum. Arcus autem minor Quadrante dabit fuum Sinum in Serie ce- lcriter convergente. Series quse definiuntur &quationibus quae involvunt tres vcl plures Terminos Seriei poffunt fummari accurate vel quamproxime ex Analyfi fupra tradita : fufficiat autem hujufmodi computationum jecifle funda- mentum & aperuifle viam aliis quibus eft otium cVanimus hac de ma- teria plura fcutari. Sed ne omnino neglecta videatur, dabimus Theo- rema generale-jx principiis Moxvrai, quod tam ad Summationem quam ad Tranfmutationem hujus generis Serierum extcnditur. • PROPOSITIO XIII. Jn Seriebus ex Divifione ortis f eadem eft relatio inter Terr minos ac Summas fuccejfivas. Sit Fra&io i " * » Quae in Seriem rcfoluta eft l +2x+$x'+zix 1 + 5 5x , + &c. Tum Summae fucceffivje erunt 1 J 3 s+x* = '+3H-8« , +-»*'+55*«+'44* f +&C' i- 3 T+x» = 8*'+2'* 5 +55* 4 +i44*'+&c. 1=^5 = »*>+SS*<+W+&c. &c. T Et 70 Summatio Serierutn. Ec fenfus Propofitionis eft quod hae Summae oodem numero fumptse eandem ubique habent relationem ac Tcrmini Seri»i totidem numero fumpti. txcmpli gratil, in cafu praefente relatio inter tres quofvis Terminos ordine fucccdcntes erit xxT — 3xT'-}-T" = o : atquc ea dc caufa rclatio inter tresSummas fucceffivas erit etiam .vxS — 3*S'-f- S" = o, ut expcricnti patebit. Tropofitio vero fic dcmonftratur. Sint r, j, / dattc quantitates, & affumatur iEquatio ad Summas rS-}- jS'4*/S"=o, dcin fubftkuendo valores variabilium fuccedentes pro pntfentibus, habebitur rS'-4-jS"-j-/S"' = o, quae fubducla dc priori, rclinquit rS— rS'+jS'— jS"-f /S"— /S' w =Oi in hac fubftitue T pro S— S\ Tpro S — S\ ac T pro S* — S~, & proveniet rT-f;T-|- / T"=o. Et hsec eft eadem rclatio ac ea Summarum primo affump- ta. Et fi plurcs vel pauciores fint Summar, codem prorfus modo Pro- pofitio demonftrabitur. CoreUaristm. Hinc hab«mus methodum fummandi hafce Series ex .daca relationc Termiiiorura \ ut fequentibm Esemplis fict manifeftum. ExiMPlUM I. Detur iEquatio ad Terminos rT«|-jT=o, & per hanc Propofitio- ilem crit etiam eadem rclatio Summarum, utique rS-]-jS' = Oi pro S' fubftituc fuum valorcm & — T, & orietur rS+jS— jT=o, un- de fit S =jrpT. Quare datur Summa S «c dato ejus primoTer- mino T. Ut fi Series fic i+7+7»+7. + *- + 7« + &c - . cujus JEqoatio eft 2 T— xT = o, erit r=«, s = — x ; quibus fcriptis, prodibic S = ^^- T, vcl S=~T. Subftituatur jam -quifibet Tcr- x minus pro T, & £^T erit Summa ejus & omnium fequentium ufquc minfinitum. Sit TaequalisprimaTermino nempe unitati, & habebi- x — i tur — pro valore totius Seriei. Exemplom IX Adeundem modum fi ^quatio ad tres Terminos fit rT-\-sTJt- /T = o, rclacio Summarum cric rS+jS'-}-/S"=0} in qua fcribcn- do Digitized by Google Summatio Serierum. 7 j do S — T pro S', & S— T_T pro S", emergct rS-f-;S~;T-f- r+TT I /T /S— ./T — /T = o, & cxinde S='-^|^j— -: adcoque datur S ex datts duobus Terminis. Sit Series fummanda i4-3*-}-8x*-f-2 ix-*-f-55af*-f-t44Ar T -f- &c. in qua relatio Tcrminorum cft xxT — 3*T'-|-T* = o, hinc eft r=.v*, j= — 3*, /=i; quibus- fcrjptis, habebitur S = 7~~ j x i xx • Subfti- tue jam primum Terminura pro T, & fccund.um pro T, 6r prodibit 1,.^ P ro va,ore S * riei - Similiter fi ^quatio ad Terminos fit rT-fiT-f /T"-ft;T"=o, erit S = '^^^pj ^^ • Et fic deinceps quando relatio cft inter plures Terminos. i ScBOLIQN. Notandum reiationem Terminorum quae variabilis cft, eo propius accedere ad invariabilem, quo magis Termini recedunt ab initio, & tandem in diftantia infinita evadere pmnino invariabilem ut in Seriebus cx Divifione ortis. Atque hanc appello ultimam rdationem Termino- rum ad quam relatio eorum continue approximat, nunquam tarmen perveniet accurate priufquam Termini remoti fueriat infinico intervallo a principio. i^Equatio autem D^fTerentiiilis definiens Seriem, rejiciendo dignitates Abfciflae omnes prseter akiflimam, & per hanc dividendo ^quatio- nem refiduam, dabit ultimam relationcm Tcrminorum. Proponatur jEquatio xxT x **-B* = T'x«— 5*4-*» rejice oranes dignitates Abfcif- fae iofra quadratum. & mancbit *#Tzz = T2z, qua: divifa per zx t dabit xx T =T. Et haec eft relatio ultima Terminorum. Ultima autcm relatio, quum conflans fit, fuppeditat methodum fum- mandi Serics quamproxime, in quibus relatio Terminorum eft varia- bilis. Si detor /Equatio quavis rTx -f-jT'x«+«4-i =o, ultitna rtlatio Tetminorum erit rT-|-;T=o, undeS=j7pT quanaproximc. Hsec iEquatio obtinet accurate quando Terminus T infinite diftat ab initio, & proxime quando diftantia eft notabUker magna. Similitcr fi yEquatio fit r T x ~H + * T 'X *~f~' + ' T rt xZ^, ultima 7 2 Sttmmatio Serierum. ultima relatio erit rT -f iT'-}-/T''=o, & S = ^ TT^ TT" P rox ' me « Adeoque colligendo aliquot Terminos initiales, priufquam inchoatur computus, Summa reliquorum habebitur proximc per hanc methodum. Ex iifdem principiis etiam corrigere licet approximationem continue- uc jn Propofitionc fequente. Propositio XIV. Omnis Series A-fB-fC-fD-fE-f &c. in qua ultima relatio Terminorum eft rT-f *T'-f *T"=o, ajjti- mendo n=r-\-s~\-t, &? fonendo A2=rA-fiB-f /C, A3=rA24-jB2-f-/C2, A 4 =rA3-f jBj-f/C^, Bz=rB-f jC-(-/D, B3=rB2+jC2-j-/D2, B 4 =rB3-f,C3 +/D3, C2=rC-fjD-}-/E, C3=rC2-j-jD24-/E2, C 4 =rC3-f jD3-f /E3, D2=rD-J-jE+/F, D3=rD2-fjE2-4-/F2, D^^rD^-f ;E3-f /F3/*' E2=rE-fiF-|-/G, E3=rE2-f iF2-f/G2, E 4 =rE3-f ^3+ /G3, &c. &c. &c. bipartitur in fequentes . A A 1 A» A 4 A r , . B , B2 Bi , B 4 , B5 Per hanc itaque Propofitionem, Series in qua ultima relacio Termi- jiorum definitur iEquatione involvente tres Tcrminos, tranfmutabitur in duas hic exhibicas: quarum tamcn prior evanefcit ubi eft j-f / = o. Si relatio fit intcr duos tantum Tcrminos rT-f jT' = o, erit / = 01 eaque de caufa, evanefcct Scrics poftcrior, & ea qua tranfmutanda proponitur, migrabit in unicam ; quo in cafu particulari coincidet hscc Propofitio cum Theorcmatc a D. Monmcrt invcnto. Si relatio fit in- ter plures Terminos quam in hac Propofitione, Series tranfmutanda mtgrabit in plures Senes. At in omni cafu res erit manifefta cx eo jam exhibito. Et nolim amitterc fimplicitatem, affectando njmium paucis complccU - EXEMPLUM Digitized by Google Summatio Serierum. 7 3 ExEMPLUM t Proponatur Series i-f4x+ 9 x*-t-i6x } +25x 4 -|-36x f -f- &c Ubi co- cfficientes funt quadrata numerorum naturalium: ^quatio differentialis eft xTx«+"-r-« — T'zz=o, & exinde ultima relatio xT— T'=o> adeoquc r=x, j=— .1, /=o, «=x— .1 j atque A=i, A2=— 3*, A3=2x', A4=o, B=4X, B2=— 5 x», B3=2x», B4=o, C= 9 x«, C2=— 7 x J , C3=2X», &c. D=i6x», D2=— S x\ &c. E=25x«, &c. &c. Omnes igitur Termini poft A3, evanefcunt ; & fubftituendo hofcc valores, Series tranfmutata fit Et hi tres Tcrmini in unum collefti dant pro valore Seriei. Quod fi mutetur fignum ipfius x tam in Serie, quam in ejus valore, habc- bitur |^?=i— 4X+9X»— i6x'+25x*— 36x'-f&c. Et inde etiam !^gt£=i+ 9 x*+2 5 *«+4 9 x<+8ix'+ &c. id quod colligi poteft direfte ex Propofitione abfque hifcc ambagibus. EXBMFLUM II. Proponatur Series i + 8x+27x*+64x , +i25x 4 +2i6x t +&c ubi Coefficientes funt cubi numerorum naturalium : & ^quatio ad Scriem eft xTx* , +j«. , 4-3*+i — TV = o j adeoque ultima relatio xT— T=oj & indc r=x, ;=— i, /=o, n=x—i j & 74 Summatio Serierum. A=i, Al=—-jx, A3=i2*», A4=— 5x», A5=o, B=8x, Bi=— i 9 x», B3=i8jf«, B 4 =—6*% B 5 =o, C=27*», C2=-_37x } , C3=24*% C4=— 6x', & c . D=64*', D2= — 61**, Dj=3ox', &c. E = i25**, Ei=— jix', &c. F=2i6x', &c. &c. Hic evanefcunt Termini poft A4-, & valores fubflituti in Theoremate, danc i 7 x 12 x 1 6x l — 1 in — r — " — ii -r =rr— - - ■» < x— .1 x~ p* 1 J~?' x— i 4 ' I «+-4X-1-X * & hi quatuor Termini colle&i in unum dant --_-^ 4 ■■ pro valore SerieL EXEMPLUM IIL Detur Series fummanda i— .6x-4-2 7 x' — io^x^-f^fix 4 — ,i2i2x r 4- 3842X'— n 7 84x , -{ r &c. quas definitur ^quatione xxTZ^-^xTrtl — T"2 = o, evadat jam z infinite magna, & ultima relatio erit xxT— 2xT— T=o: hinc fic r=xx, j=— 2*, / = —1, j»=xx— - 2x— 1 } atquc A=+i, A2= — i4x«, A3=4-29x«, A4=o, B=— 6x, B2=-|-44x», B3=— 70X', B4 =0, C=+2 7 x», C 2 =_ 13 ix*, C 3 =+i6 9 x«, &c D=— 104X 4 , D2=-j-3 7 6x 5 , D3= — 4o8x T , E=-f- 3 66x 4 , £2=— io 5 2x% &c. F=— I2I2X', F2=-|-2888X', . G=-"-3842x', &c H=— 11784X' &c. Subftitue jam hofce valorcs pro A, A2, A3, B, B2, B3, atquc Series propofita tranfmigrabit in fequentes duas numero Terminorum finitas, _7TvTin 2 9*\ ^ XX— 2X— I xx-ix-^i*^ xx-xx-X* 1 ■— 6x 44x» 7ox' XX— .:x — I ' xx-ix—t 1 — xx—lx—, sl * Quae duse in unam Summam collea* dant t ^J_ xx , t pro valore Serici. Ad eundem modum Theorema appiicatur ad Tranfmutationem Serterum qux fummari nequeunt. Dcmonftratio autem ex fequcntibus fiet Digitized by Google Summatio Serierum. 7 5 fiet manifefta. Sit Fraflio quarcunque -^'^*'^*- > «U«» Nume- rator fit quantitas conftans ex membris quotcunque, quorum tamen numerus eft determinatus. Sit vero ejus Denominator dignitas quae- libcc quantitatU, qu* etiam conftatur ex membns quotvis Numero fi- nitis. Tum quicunque fic index », fi Fractio refolvatur m Senem, ea- dem femper erit ultima relatio Terminorum, ac fi Denominator fuiffet fimplcx poteftas v-f /x+ix , + r *'- In ^nc igitur fi Series continuc mLilciplicctur, faftum tandem abrumpet, fi fit » integer & affirmati- vus • hoc eft, fi Scrics fummabilis fit per fimplicem ^quationem. Proponatur Serics 1—6*4-27*'— i04*»-f366*«— &c. in qua ulti ma relatio Coefficientium eft A — 2B — C=o } fumo quantitatem - 2*— .1 vcl mutatis fignis, 1-+-2* — **, in qua Coefficientes iidem func ac in ultima relatione, & concludo Seriem propofitam, modo fumma- bilis fit aequalem effe alicui Fraclioni cujus Denominator eft Dignitas qu*darn quantitatis 1+2*—**. Ergo pono S=i— 6*4-2 7* 104*» 4I366* 4 --- &c. &duco utramque partera in i4-2*— xx-, atqueprodic o - x _- =I _^yJ-i4*' 44* 1 4-i 3 ix 4 — &c. quam quoniam non- dum abrumpit, iterum duco in eandem quantitatem, & habeo Sx j-i^^j.— i_ 2X4-5* 1 — 12*'4-29* 4 — &c. dein tcrtia vice mulci- pHcaw candem, obtinco SXi+x^'='i Tcrminis omnibus poft primum evanefcentibus. n. feitur palameft hanc Propofitionem nihil ahud praeftare quam me- thodum compendiofam multiplicationis, & fimul difpofitionem Ter- minorum in Seriebus tranfmutatis quae efficit celerem convergent.am quando non abrumpunt. Quarc Dcmonftratianem Leaori indagandam relinquo, quse quidem eadem fere eft five Denominatores finc trmo- miaks, quadrinomialcs auc plurium nommum. Propositio XV. lnventre Mquationem five Algehraica five Fluxionalis fit, cujus Raatx erit Series qwecunque data qua definttur JEquaitone in qua Termini Sertei fmt untus tantum dimenftonis. Scrics datur ex datis aliquot Terminis initialibus & fimuHege for- mandi reliquos: ex hifce autem datis uivemetur ^quatio habena Scri- cra illam pro Radice, id quod pcr Exempla fequcnoa intclhgetur. EXEMPLCM 7 6 Summatio Serierum. EXEMPLUM I. Invenire JEquationem cujusRadix eft Series A4-B*-J-C*'+Dx»4- Ex 4 +&c. in qui relatio Cocfficientium eft conftans, fcilicet r4+ jB+/C+i>D=o. Quoniam relatio eft invariabilis, concludo Seriem jequari Fraftioni rationali, quam fic eruo. Fingo y jequalem Seric datse : & fumendo indices relationis r, s t /, v, in ordine inverfo, duco y ejuf- quc valorem fucceffive in v, tx t sx' t rx', atquc provenient vyz=vA-\-v Bx-{-vCx *+i>Dx *-\-vEx*-)-vFx '+ &c. /*)= /A*+/Bx'+ /C*'+/D*«+'E*'+& C . sx*y=z jA*'+;B*'+jC**+/D*'+&c. >-A*'+rBx«+rC*«+&c. Scd ex fuppofitione, eft rA+jB+/C+^D=o, rB-f-iC+/D-U-E=o & fic in infinitum. Unde evanefcunt omnes Termini in quibus x eft plurium quam duarum dimenGonum ; adeoque rcftabit vj-\-txy+sx*i+rx*y=vA ' bL». Qu« eft ^quatio determinans valorem Seriei. Exempli caufa, fit A=2, B=— 3, C=7, r=3, ;=_ 7, /=6, t,— 4 . & evadctjEquatio EXEMPLUM II. Invenire Asquationem quae pro Radice habeat Seriem 1—— *» + 8 16 128 2«6 3 '1" " ,1''+ iii 4i"-+ te - ta tium funt 2A4-3B=o, 4B+ 5 C=o, 6C+ 7 D=o, 8D+ 9 E=o, &c In hocExcmplo^quatmqiafita involvetFluxioncsprirnas, quoniam aumcn ia rdauonibus funt sequi differentes. Affume crgo >=A+ B*'+ C*«+ D*«+ E*'+& c . erit *}= 2B*«+ 4 C*«+6D*'+8E*"+ & c . y+xy= A+3Bx»+5Cx*+7Dx«+9E*«+&c. 2x»j+x'j=2Ax'+ 4 Bx*+6Cx < +8Dx'+&c. Adjiciatur nunc ultima JEquatio penultimae atque prodibit Digitized by Google Summatio Serierum. 7 7 ... +2A} +4BV +6CV 4 +8DV , , , Sed ex hypothcfi relationes Coefficientium funt 2A+3B=o, 4B+ 5 C=o, 6C+7D=o, &c. ideoque Termini omncs poft primum A e- vanefcunt, & rcftat -ffiquatio finita j+xj+2x*)+x 'j=A=i, five yX 7^5+xjxTtS=i : fubftituta fcilicet unitatc, five primoTer- mino Scrici pro Coefficiente A. EXBMPLV M m. I 3 Invenienda fit JEquatio cujus Radix eft Sertes 1 — -x» — *« — -^- x*—&c. ubi relationcs Coefficientium funt 256 2048 — 1.1A— i.iB=>, 1.38—4 40=3, 3.jC-C.6D=o, j 7D-8.8E=o, &c Vd — A— 4B=o, 3B— i6C=o, 15C— 36D=so. 3jD— «^Fssj, &c. In hoc cafu JEquatio defiderata neceflario involvet Fluxioncs fecundas, quoniam numen qui indicant relationem Coefficienttum, funt duarum dimenfionum, five factt fub numeris aequidifferentibus binatim furop- tis. Sit itaquc y=A+Bx«+Cx«+Dx«+Ex'+ &c. j = 2Bx+ 4 Cx'+6Dx'+8Ex*+ &c. xy = 2BX+1 2Cx»+3oDx'+56Ex'+ &c. j+xj *= 4 Bx+i6Cx'+36Dx'+64Ex'+&c. x » y_L.,' j— x } =— Ax+3Bx'+i 5 Cx'+3 5 Dx'+ &c. Denique fubducendo hanc ultimam^quationem de penultima, manebit hoceftxj— x'-+'_x>j+x } =o, vcl j+xj'+ ^£- = 0. Nam prop- ter relationem Coefficientium, omnia membra ex una parte ^quatio- nis evanefcunt. EXEMPLUM IV. Quxratur JEquatio, cujus Radix cft 1 +~ Ax 1 + j- Q Bx« + 4 C* :* x +E1 7 8 ownfHMio oetwrttm. 4_^?bx , 4-&c. ubi relationes Cocfficientium funt A — iB=o, 9B— T 64 1 j'6C=o, 25C— 36D=o, &c. Finge j^A+Bx^+Cx^+Dx^+Ex^+Fx' * + &c. Erit 3= 2Bx+ 4 Cx'+6Dx<+SEx'+ioFx' + &c. ac x>= _Bx+i2C*'+3oDx«+ 5 6Ex*+ 9 oFx'+&c. Dein per computufn inverfits x^x^+x^Ax+^Bx^+JsCxf+^pDx^+SiEx' + &c. j+xj=4Bx+i6Cx»+36Dx'+64Ex'+iooFx' + &c. - Harum /Equationum pofteriorem fubducito de priore & habebis + &c. Etinde propter relationem CoefBclentiam, iEquatio crit x)=jm-3*x+ ■ ■ m X)»t—XX. EXEMPLUM V. Quaeratur JEquatio cujus Radfac eft x+^- x* + ^ x' +-^*« + &c. nbi Denominatorcs funt quadrata numerorum 1, 2, 3, &c. Aflume , = x+ix' + ^x»+lx^+^+&c. Erit *y=x+^x' + jx'+^x« + ^x' + &c. Cujus Fluxio eft xj+y = i+x+x , +x'+x 4 +&c. hoc eft xy+y^^—. Similiter fi Series fit *+^*'+ — x'+ ^x 4 + &c. ubi Denomina- tores funt Cubi, invenies ^quationem efiTe j+3xy+x'y= j. Et fi Serics fit x+ ^x'+^x' + ,^^ 4 &c.cxiftentibusDenoranu- toribus Digitized by Google Summatw Seritruw* 19 X toribus biqaadratis, prodibir .«quatio /+6*y-f 7X 1 j'4-.v'y Et fic deinceps. Sch OLI o N. Eac drt» igitur relatione Cocfficientium, Series reducuntur vcl ad Frac~tiones veYad Fluxiones, idque eadcm prorfus facilitate in omnibus cafibus; fivc Series determinerur pcr relationem plurium vel paucio- rum Tcrminorum. Nam quoniam fumendo Fluxionem Seriei, Termi- ni ducuntur in indices digniutum, qui femper funt aequidirTerentcs; & rurfus in alias quantitacesa-quidirTercntes, fumcndo FJuxioncs fecun- das ; & fic porro, formare licet bac rationc relutioncs Tcrminorum qujecunque fint, infiftcndo veftigiis mox traditis. Ad fummationem autem pcrfedtam oportct FJuxiones reduci ad Flu- entes; quod ubi fieri nequit, concludendum eft, Scricm dc qua agitur non cfle ex ipfarum numero qus fummari poflunt. Multum autem confert ad promovendam hanc doctrinam uc Summationes reducantur ad Fluxiones, quoniam mcthodus regrcdicndi a fluxionibus ad Flucntcs, licct imperfefta fit, eft umen melius nota & magis exculca quam ea re- grediendi a Diflferentiis ad Summas. Sed & altera altcri mutuo pracbe- bit opem: Flucntes enim fi invcniri poflint, cxhibcbunt Summas; vel e contra Summae invcnta: dabunt Fluentes. Ex Propoficionibus jam traditis, aliifque ex Hfdem principiis facile deducendis, invenire licec Radicem ^iquationis cujufcunque accuratif- fime in numcris modo reducr poflic in Scriem fimplicem, etiamfi len- tiflime convergentem. Scdetiamnum rcftat difHculcas, fi ncque Series cito approximec neque Gt rclatio Terminorum fimplex & idonea quae definiatur ^quatione differcntiali. Quippe fi in iEquatione refolvcnda reperiatur Radix ejufve Fluxiones plurium quam unius dimenfionis, vel fi in fe mutuo multipliccncur ; & hujufmodi membra nequeant elimi- nari: in iis inquam cafibus Radix non cft rcducibiJis in Sericm fim- plicem cocnpofitam ex dignitatibus Abfcifla?, falccm per artcs mihi ha&enus notas. At dignitates Abfciflse utcunque altae fint in ^iquati- one refolvenda, nullatenus obftant fimplicitati Seriei. Sed hac oblata occafione, conabor tollcre difHcultatem haftenus in- tactam, quse tamen in reductionc ^quationum Fluxionalium maxima eft Sciendum igitur eft eas JEquationes Fluxionalcs qua; invoJvunt omnes conditiones Problematis, ideoque detcrminant omnes Coeffici- entcs in fuis Radicibus, refolvi pofle perinde ac JEquationes litcralcs afie&ae, idque per regulas a Newlono dudum traditas. Attamen ple- rumque fit /Equationcs non determinarc omnes CocfBcicntcs Tcrroino- 80 Summatio Serierum. rum in fuis Radicibus; fcilicet quoniam quantitates conftantes evanef- cunt & omnino amittuntur ex Aiquatione tn progrefiu a Fluentibus ad Fluxiones. Sed & variis modis evanefcere folent prout Fluxio fumitur, id quod Excmplo declararc libet. Proponatur JEquatio y=:a>+bx+- i & fl ue nte * uniformiter, atque fcripu unitate pro ejus Fluxione > habcbitur per Mcthodum di- redlam 2 *>=*+--- : cujus Radix per methodos Newtoni extractt, eadem erit ac Radix Fluentis y> =**+£, idque propter quantitatem ca jam amiflam. Et hoc in cafu non determinatur primus Terminus Sexiei, qui utique pendct ex evanefcentc quantitatc aa. Similiter fi ^quatio propofita prius dividatur per *, exibit - = X -^ + ^cujusFJuxiocfi^^^^^f+^ vd in x\ ixyy-y*=~aa+¥l. Et hujus Radix pure fumpta ea- dem eft ac Fluentis, y' =a' + Quo in cafu non determinatur fcctmdus Tcrminus Scrici, qui dependct ex Cocfficiente b nunc a- ouua. Dcnique fi ^quatio fluenj dividatur per x\ habebitur - = - 4. 1 x* ' - + I & exindc Fluxio erit ^ — _ 3* . 4? » --4^-3^;. quse rcfoluta per regulas vulgarcs, eandem da- bit Rad.cero atque Fluens y'= a>+bx : adeoque Terminus Seriei quin- " "° n H - ?atet 2 *J7— 4>'=— 4 ( id eft, »sco, vel »=i, evanefcet valor fecundae; idque ablque aiiis inembrU bomologi* quaj ea$ deftruere poflint. Et haec func principia per que enodanie funt d/fficultatcs univerfie quae occur- runt in refolutione ££quatiom»m fluxionahum. Proponatur ^quatio refolvenda r *j* = r'i vel pofitauni- tatc pro x, r J j'=r* — y*. Per paraUelogrammum vel alias Ntw~ tx>m mcthodos, invenies Radicem *~ h + T^F - ~^Sr~* + &C * Hujus cnim quadratum fcriptum pro & Fluxionu quadtatum pro y* cffieiet omnia membra ^Equationis refultantis fefc deftrucre per ronrntrietatcm fignerum. Videcmus autem an alia fit radix quse hoc modo inveniri nequcat. Illum in finem finge Ax" effe primum Ter- minumSeriei, five y = Ax- proxime; eritque 'y = nAx— »; adeoque 5 , 3=* , A , **»-*, 8e y»at= A»*" i qutbus fcriptis, rerultau^A***^*^ »*_A*a; 1 % vcl duccndo totam in x*. h*r* A*x* , = r*x*-—A* **"+». Ubi patet membrum «'r^A** 1 ' evanefcere quando cft «=o: fubfti- tuatur ergo o pro », & evadct iEquatio ox»*A*** n=r*x*— A*a» hoc igitur in cafu evanefcit membrum r» A*x" in quo x eft minimaram dimenfionum : eaque de caufil erit Ax*, five conflans quantitas A pri- mus Tcrminus Sertei eo citius convergentis quo minor eft x. Atque huoc computum prof equendo invcnies p er mcthodos vulgarcs y = Ax i — — + —< — j^p -j- &c. Sed quantitas A cx ^quatione FjuxianaJi non determinarur. Quod fi JEquationis i * >» = r* — )*, capiatur Fluxio habebitur 2 r ' y j= —iy y vel dividendo & tranfponendo ; * j + ? = <>• Ponamus jam cffe >=A.v\ 1 erit Digitized by Google Suwtuttifi Smmm. 83 erit y=»Ax—«, *'y'*ckfr=3A«*-», qofblu fobftitutis, prodit ^r^X'"* Ax^^-f-A»"*:©» ubi patet widicem »—.2 non comparari pofle cutn indice »; & proinde nullam Radicem ilU methodo emi poHe. Attamen ponendo Coefficientcm »» — » = 0, habebitur » = o, & » = 1 ; adeoque potcft A vel Ax efle primus Terminus Sertei, uti prius invenimus. • Prior Series dat Sinum, & poftefior Cofinum exdaCo Arcu*. Eftque Cocfficiens A in pofteriorc xqualu Radio r. Etenim five ponas y pro Sinu vel Cofinu, femper incides in anEqOationem r 1 y* s=r*~. y* y quse nulla R&dice explicabuis eft pTSeTer dua* jam exhibttas. E* hoc autcm Exemplo notife lictrformam Seriei-femper dcTCfminatamcifc exiEqt»» tione, otiamfi Ceefficientcs non d««rmiaentur. Et ubi Coefficiens cu- jufvis Tertnini non dete«ninatur, ifldex ipfias x in eodem femper in- venietur ponendo mcmbfum xlrquod jEqaationii rvfultantis a;quaJt nihi- lo. Ubi v*ro Coefficiens Termini detcrminatur, index ipfius * in eo- dem invenitur per companuionem duorum indicum in &quatkrac re«i fultante, idque pcr rcgul» NevMoni. R«fertv»ndafit ^.quatio y+s l y^My**.x*'yjao, iftw * Buit uni- formitpr, & owim fcnbicnr pto ejtts Fioxione. Ffcge 5 = Ax» pfoximc, erieque j = »Ax*~\ } = »T^A*-~M tjuibus fubfKtutfs «qaatL one refultK ZT^» A x— 2 4~ A #" = o. Pone jam Coeffieientesn Mn—Hsao, & prodibk »=0, vel »=1 : bi valores Cubftituti pro n in ^quatione, ^xUibent oxAjt *-\-aoA.x* =0, & o X A x- ' -j- A * = o ; quumque in utroque cafu cvanefcat membrum in quo x eft minima- rum dimenfionum, concludo e(T« o vcl 1, indicem ipfius x in primo Terrhino Seriei quae convergit eo ckius quo minor eft x : adcoquc ufur- pare licct y = A 4-,"C «• + D* • -f &c. vel j = A,*4-B* , 4-Cji'-4- i Dx'-|-&c. In ^quatione refulowee m^n A*****4«-«4-»»i Ax' = o, pone nunc Coefficientem aa-~ «»=6 ; «rftqne »*= + «: fcribe igitur 4-a, & — a pro », & prodibic 7^1 Ax«- 2 -foX A x' =0 A x — - » 4- o x A x — — o. In utnooue igitur cafu evanefcit membrum in quo x eft maximarum di- menfionum ; eaque propter erkque +a vcl — a indcx primi Termini Scriei co citius convcrgentis quo major eft x. rsam aflumere Iicec 84 Summatio Serierum. y = A*--f Rx— »-f-C**-4-}-D*— « -f- &c vel y = A*— *+C*-— -»-f D*-— « -f&c. Harum quatuor Serierum coefficicntes dcterminate dant valores Radi- cis fequentcs *"+ , ^'+^-+^c.. + a^ +8te • **~~4.-~1 *'""" 8.4+1. ***~" 12— 1-3 '**» 16.^-4 x * Duae priores attinent ad multiplicationem aut diviflonem Arcus circo- Iaris. Pofteriores vero fpectant ad aream Hyperbolar. £t haec Exem- pla fufficiant ad illuftrandam resulam hic addu&am pro dtterminando mdice. £a deduckur ex Propoh tionc quin t i : aicpie per eandem & re- gulas Nrwtoni, extraclio radicum in Seriebus infinxii adumbilicum per- ducitus , uti quivis facile percipiet qui mediocrirer verfatus eft in iis qtue hic de re Authores haftenus protulere. Etenim facile demonftrabitur A£quationem non admittere Seriem pro Radice quar hac methodo non eruttar. Sed bic non loquor de Seriebus quae conflantur e ' in quibus indctenninau * habet indices indeterminatos. PARS Digitized by Google 85 PARS SECUNDA. D E Interpolatione Serierum. I T rccta qusevis pofuione d.ua PQ^ fuper quam cri- gantur Ordinaue quotcunquc A, B, C, D, &c. fibi mutuo parallelje, & «qualibus intervallis ab invicem diftantes: defignent autem has Ordinatae Terminos Se- riei rcgularis, continue increfcentes vel decrefcenles, & codcm figno affcctos ; acquc una eademquc Curva tranfi- bit pcr cxtrcmitates omnium, quce quidem determinabitur ex data A a P B b D d E e F / Q^G g jEquatione ad Seriem, id eft, ex data /Equatione generalitcr expri- mente relationem intcr duas vel plures Ordinatas qualvis fucoeflivas. Z Si 8 6 Interpolatio Serierum. Si ex data ^quationc illa differentiali erui poflit JEquatio hujus Curvse Algcbraica, utpote quse definii rtlationcm inter Abfciflas & Ordinatas correfpondentes, habcbitur Ordinata qusecunque ex data ejus Abfcifla pcr rcfolutioncm .flLquarionum altcdarum, adcoque Interpola- tio Seriei abfoluca; qu« utique confiltit in aflignatione cujuflibet Tcr- mini primarii vel intermedii ex d.uo cjus loco in Seric. Ubi vero ./Equatio Curvae Algcbraica nequit inveniri, id quod plcrumque fit, nihil ultcrius fperandum c(t quam exhibere valorem Termini cujuflibec quasfiti per Scricm convcrgcntcm, vel force per Quadraturam Cur- varum. Hic autem loquor de Terminis xquidiftantibus, quorum quippe rela- tioncs prodcunt fcribendo numeros aquidifferentes fucceflivc pro Ab- fcifla 2 in JEquatione diffcrcntiali Serirm definiente. Nam intervallum communeOrdinatarum fupcr Abfciflam confiflcntium, proportionale eft incremento invariabili indeterminata: z. Propositio XVI. Si idem fit intervallum commune Terminorum primarto- rum £f tntermedtorum, detur unus ex tnterme- dtis, dabtmtur cmites ex data /Equatione ad pri- rnarios. In figura fupcriore defigncnt A, B, C, D, &c. Tcrminos primarios, & a, r, d, &c. uucrmedios ; lintque intcrvalla primariorum AB, BC, CD, &c. tequalia intervallis intermeoiorum u!\ &c. J p p-\-i p-\-i p-\-$ interpolare licet Series Numeratorum & Denominatorum feorfim, hoc cft, Series 1, r, r.r-r-ii r.r+i.r+i, &c x » f» ?-7+i> /-FT" •/-*-*» &c - Deinde Terminus quilibet in Serie Numeratorum divifus per refpecli- vum in ea Denominatorum, dabit correfpondcntem in Serie propofita. Si differentia inter r & p fit numerus parvus, non opus eft hujus ar- tificii. Caeterum quando praedifta dirTercntia eft magna, necefle eft interpolare Numeratorcs & Dcnominatores feorfim. A a Scholion'. $ o Merpolatio Serieru?». SCHOLION. Huc etiam referri debent prurimae hujufmodi prxparationes. Ex- empii gratia, fi Seriei &c. e, d, c, h *, A, B, C, D, E, &c. hinc inde excurrentis in infinitum defideretur Terminus in medio in* ter duos medios primarios a & A. Duc Terminos primarios zqua- liter a medio diftantes in fe mutuo •, hoc eft, A in a, B in b, &c. & componetur nova Series utrinque cxcurrens in infinitum &c. Dd, Cc, Bb, Aa, Atf, B£, Cf, Dd, &c. cujus Termini a medio arqmliter hinc inde remoti funt inter fe a»quales : & cujus Terminus in medio inter A c& A a erit quadratum Tcrmini quaifiti qui confiftit in medio inter a & A in Serie prius propofita. Igitur Terminus ille quxfitus erui poflit pcr interpolationem alterutrius Seriei. Notandum eft Terminum defideratum confiftere poffe in diverfis Seriebus, & ex ea confideratione facilius nonnunquam inveniri. Ut fi Terminus quilibet quaefitus latcat in medio inter pnmum & fccundum in utrivis Scnerum fequentium i, r, r.r+i, r, r-J- 1 .r-f-2, &c. i i i „ Tum duceodo Terminos refpe&ivos in fc mutuo producetui 1 nova Se- rics inter cujus Terminum primum & fccundum is qui mcdium Iocum te- nct, sequalis eft quadrato ejus primo propofiti. Nonnunquam etiam interpolatio profpere furredet per Logarithmos, f>r*fertim fi Terminorum pcrmagnae fint differentiae. Scd harc & imil'ta addifcenda funt experientia. Nam ficuti in Algcbra vulgari tota ars Analyfbe non conliftit in refolutione iEquationum affeflarum, fed in perducendo Problcmata ad eafdcm } ita etiam in hac Analyfi, minus folcrtiae requiritur ad refolutioncm ^Squationum differcntialium aut interpolationem Scrierum ; in inveniendis enim Seriebus quae detcr- minant quantitates incognitas, qua.quc idonear fint intcrpolationi, con- fiftit longe major difficultas. P&OPO» Digitized by Google Interpolatio Serierum. $ i Propositio XVIII. Si Termtnt duavum Serterttm formehtur ducendo in fe con- itntte FraBiones quarum Numeratores Denomina- tores increfcant perpetua additione unitatis 3 & ft iidem ftnt Numeratores tn utraque - y Dico Terminum ttnius cujtts diflantia ab initio ejl differentia fatlorum in aftera aqttalem effe Termino bujtts cujtts dtflantia ab initio efl diffhrentta faclorttm in tlla Serie, modo prtmi Termtnk fibi invicem tequentur. Sint duse Serics quarum primi Termini A & a fibi mutuo arquentur B=JA, C=^ I B,D= ? -- r2 C,E = » = <=£> '- +2 - - r±3 D, &c. dy &c. ?i-3 & in quibus iidem funt Numeratorcs, dico Terminum prioris cujus di- ftantia ab initio aequalis eft differtntix factorum in poftcriore, nempe q—r t squalem efie Termino pofterioris, cujus diftantia ab initio cft f — r, fcilicet differentise fa&orum in Serie pnore. Et notandum, ubi p — r vel q — r eft quantitas negativa, Terminos de quibus agitur confiftere ante primos hifce intervallis. . Afiumamus Terminum quemltbet Seriei prioris, verbi gratia fepti- mum, pofita A=i, fcilicet Et primo fi fit p — r = o, Gve /> = r-, erit f-\-i=zr-\-i, /+2=r4-2, &c. adeoque omnes Numeratorcs & Denominatores fcfc mutuo deuru- unt, & rcrtat G = i. Si fit p — r=i, erit /=r+i ; & indc /-|-i=r+2, /-f-2=r-f-3, &c. quo in cafu evanefcent omnes Numeratores praster primum, & r Dcnomiiutores omnes prxter ultimum i exiftcnte G = ix^jp^« vel r ' G=iX r _T_6 proptcr/>+ 5 asqualem r+6". 5 2 Interpolatio Seriertim. Si fit /w=2, vel/=r-j-2-, erit /-fi=r4-3, /-^-2=^4.4, &c. 6 nunc evanefccnt Numeratores omnes praetcr duos pnmos, & omnes r r-|-i Denominatorcs praeter duos ultimos, manente G = ixjqp^x^q^> vel G^iXq^Xq^. prop«* {+*=*+** & T+5=*+7- Et fimiliter fi fit p— -r=3, vel /> = r-f-3j evanefcent Numcrato- res omncs praster tres primos, & Denominatorcs omncs pnctcr tres ultimos : & in illo cafu erit G = 1 X;^ X^ X Jq^. Atque u- niverfaliter in valore Tcrmini G, tot fcmper erunt Numeratores toti- dcmque Dcnominatores quot funt unitatcs in p—r, ut in Tabula fe- quente p — r = o, G=i, r />— r=i, G=iX^pg r r4- 1 p-r=i, G=ixqr- 6 x^p- 7 ' r r-f-i r-f-2 ?—r= 3 , G=ixqr 6 xr^r 7 x^p, r r-f-i r+2 r + 3 ^_r=4, g = j x x r — ? x r qr 8 x^r 9> &c. Adeoquefi ponatur j=r-j-6, five}—r = 6j Terminus hujus Sc- rici 1, j A, ^pj B, &c. cujus intcrvaJlum ab initioeft q— r fivc 6, jeq«ialis eft Termino hujus 1, -a, -fr - " *> &c. cujus intcrvallum ab initio cft p r. Et codcm modo manifcfta erit Propofuio inaliis ca- fibus. Q^E. D. Corollarium. Hinc fi differentia faftorum p & r non fit permagna, Terminus Seriei prioris utcunque longe rcmotus ab initio femper deter- minabitur pcr Terminum in Serie pofteriore qui parum diftat a prin- cipio. Ut Exemplis fequcntibus patebit. ExEMPLOM 1 Digitized by Google Interpolatio Serierum. 9 3 EXEMPLUM L Sit r=3, f> = 5, j=io; & hifce valoribus fubftkutis, cvadcnc dux Serits 1 3j4 3j4J 3-45-6 „ * 5 7 5-6' 5.6.7' 5.6.7.8' &C - 3.4 3-4-5 3.4.5-6* , &c. ' 10" 10.11' 10.11. 12' 10.11.12.13 1 Eft vero $— r = 7, <> — r=2; adeoque Terminus in priore cujuS incervailum ab initio eft 7, aequalis erit Termino in pofteriore, cuju* intcrvallum ab initio eft 2 ; five quod idcm cft, o£tavus Terminus Se- . . . 3.4.5.6.7.8.9 . /1-3.4 ^ nei pnoris ^ ^ 7 8.9.10 1 1 aEI T ua l |S e " terci ° poftenons j^-^- Et no- tandum eft ubi differentia inter /> & r eft numerus integer, tum Ter- minum quemvis Serici prioris femper sequari primario alicui in pofte- riore. ElEMPLDM IL 2 4. 6 8 Slt prior Series 1, — A, ~ B, - C, — D, &c. & quoniam factorum 1 3 5 7 incrementum cft binarius, dividc Numcratores & Dcnominatorcs per 12 2 binarium; & prodibit Scries 1, 7-A, .7-7-7 B, 7-7— C, &c. ubijamin- crementum faftorum eft unitas ; & per confequens haec Series compa- rari poffit cum illa in Theorematc, prodcuntibus r = 1, / = j- : Sit etian» m intervallum intcr primum Terminum Scrici & quemvis alium* &erit « = f— r, vel » = $ — 1, atque j=»i-J-i; quo fubftituto c" vadet Scrics poftcrior a 2b y iri *» ^XT» «_U 7 » I7I-L-3' wi-f-4' cujus Tcrminus ab initio rcmotus intervallo f — r, five — p sequalia erit Tcrmino prioris cujus intervallum ab initio eft quantitas qua?cun- que m. Hoc eft, Terminus prioris utcunque longe remotus a princi- pio, fcilicet diftantia utcunquc magna m femper aequabitur Termino poftcrioris, qui confiftit ante priraum dimidio intcrvalli communis. B b Vd $4 Interpolatio Serierutn. Vel fi fumatur Series i, 7 A, |- B, §- C, D, &c. cujus Tcr- mini funt reciproci ejus de qua nunc egimus, erit r = *-, p= 1 ; & fi m Ct intervallum inter Terminum primum & quemvis alium, erit m-q—r, vel m = j — ac ? =ro-|-~, & pofterior Series evadet x ' 2M-f i' 2»i-|-3* 2m-f-5' *»H^7' In qua Terminus ab initio remotus diftantia j>— r, fivc •, id eft, Terminus in medio inter primum & fecundum, aequalis erit Termino cuicunque prioris cujus diftantia ab initio eft quantitas qusclibct m. Ut fi defideretur Terminus Seriei millefimus priraus, cujus utique interval- tum ab initio eft raille, erit m— : 1000, & Terminus Serki . _i_ __ II JL &c *• 2001 * 2003* 2005' 2007» qui confiftit iu medio inter primom 1 & fecundum — - - aequalis crit millefimo primo Termino hujus 1, ~ A, | B, | C, J-D, &c. Cujus etiam Termini intcrmedii eodem modo inveniuntur j nam fi pro » fcri- 9 99p provenict Series * _J__ _5f_ _7_. & *' 2000' 2002' 2004' 2006' cujus Terminu» in medio inter primum & fecundurn, asquali* eft Ter- mino hujus Seriei 1, A, j B, |-C, j D, &c. qui confiftit in me- dio inter millefimum & millefiimum primum. Exemplc M _1 Si quacratur Tcrminus hujus Serici 1, 7- A, — B, C, — D, &c. cujos intervallom a principio fit quantitas qualibet *: primo divide Numcratores & Denominatores per incrementum ipforum commune 3, £ z 21 & evadctSeries 1, rA^B, &c. adeoque erit r=— , />=-, j — T 1 3 3 Interpolatio Serierum. $ 5 r _ j — = j & indej = w+-: unde Series pofterior cvadet *' 3*+^ 3*-F5* i^F»' 3«+»*' * cujus Terminus ab inicio diftans intervallo p — r, Gve — -, id eft, Terminus qui confiftit ante primum tertia parte intervalli communis, aequalis eftTcrmino Seriei prioris, qui diftat a principio, intervallo quan- tumvis magno m. De Quaniitatum Differeniits. Sit a, b, c, d, e, Series quotcunque quantitatum, & fi priores aufe- rantur de pofterioribus, manebunt Ditferentiae prima? b—a, c — b, j c t d: dein fi harum Differentiarum priorcs fimilitcr aufcrantur dc poftcrioribus, relinquentur Diffcrenciae fecunds r — 2/> + a, d — 2f JL£ t id-\-c ; quarum rurfus Differentiae conftituunt Differenrias terms V— 3 <+3 * — * <— 3 <* + 3 quantitatum r 3» 5> tertias 8, 2 ; & ultimam — 6. 3 — 2 1 6 Dein juxta pratfcrirxa in folutione Propofiti- —5 3 5 onis, pro A, B, C, &c. ponantur Ordinata 8 2 prima, & prima quzque differentia refpe- 6 ttnre •, hoc eft, A = i, B=3, C=— 5, D=8, E=— 6, at F, G, &c. erunt nihil. Hifce autem vaJoribu» fubftitutis, prodit Aiquatio ad Parabolam T _. * K iZLL . R l „iz_ x * *—t t—i T-i+3 t -s , *— + 8 7"— 6 7"~T* "~" 4 • quae in ordincm reducta fit T = l2 + Il6z — »tiiz +242:*— .32:^ ^ que 1 Digitized by Google Interpolatio Serierum. i o i que ad probandum opus, fcribe o, i, a, 3, 4, fucceffive pro Abfciffa z, & pro T provenient Ordinata: quinque propofit*. Ceterum Ordinatse poffunt fumi in ordine inverfo, modo mutentur figna differentiarum in ordinibus alternis: tunc ponendum eft A=o, B= — 6, C= 5, D = — .2, E= — 6-, quibus fcriptis & JEquatione prodeunte in ordinem redacta, candem obtinebitur T= sx>8— oaz-f-9^ jH 42 . in q U a fi pr0 2 fubftituantur o, 1, 2, 3, 4, prodibunt Ordinatse propofitse in ordine inverfo. Atque hic obtinentur duae jEquationes pro efidem Paraboli, quoniam Abfcifla initium ducic nunc a prtmd, nunc ab ultima Ordinata. ExEMFLUM II, Oporteat nunc invenire Aquationem ad Parabolam quae tranfit per extremitates fcx Ordinatarum sequi- diftantium 5, 3, 7» 57». "5- C«|- 5 3 7 *3 57 H5> lige earum differentias primas, reli- —2 4 16 34 58 quafque ufque dum perventum foerit 6 12 18 24 ad ultimas, ut in margine, Et inve- 6 6 6 nies A= 5 , B=— 2, C=6, D=6. Quibus fubftkucia, oritur Z , , Z Z— 1 , ,% Z — I Z— 2 T= 5 -2 r + 6 7 X— +67X— X — , quse reducU fit T= 5—3 ^-f 2 '' Et fi pro z fcribas fucceffive ©, 1, 2, 3, 4, 5, provenient fex Ordinatae propofitse. ' Linea refla tranfit per duo pun&a, Parabola Conica per tria, Cubica per quatuor, Biquadratica per quinque, & fic in infinitum. Nonnun- quam vero accidit Curvam inferioris ordinis tranfire per plura pun eo inquam cafu Curva erit dimenfiooum infinicarum, valore ipfiu» T excurrente in Seriem infinitam. SCKOLION. In hac folutione pofuimus diftanrjam communem Ordinatarum efle- unkatemv verura fi pro cadem ufurpaflem quanticacem quaravis n r prodiiffet Dd Te 1 02 Interpolatio Serierum. T = A + Bx-+Cx-X— +DX-X — X- 17 - + ter. * . ■ - • Fingejam Ordinatam Jecundam Aic=A-j- A», tcrtiam.o A2=A-J-2A»+" A»*, .quartam A3=A-f 3A»4-3A»*-f- A«», - quintam A4=A-f 4A»-}-6A« , -f-4A« , -l r A»\ &c. Et invenies viciffim B = A«, C = A»', D = A»\ E = A»\ &c. quibus valoribus fubftitutis pro B, C, P.» E>. & c< orietur T = A + A 7 + A r x— + A 7 X — X— -f &c. Evadat jam intervallum commune » nihil, & A, A, A, &c, evadenc fluxiones Ordinaue prirme A, dummodo fluxio Abfciflae z fit, Jinitaa j atquc proveniet , > . „ T = A+Az-}-j 'Az;+ 7 Az'+j + Az 4 -}-&c. ' ; Igitur coincidentibus Ordinaris xquidilbntibus, mcidimas-iit Seriem-tibi Coefficientes T«rmir» pun&o D : igitur pro Area Curvas ufurpare licet Are- am ejufdem Parabolae, qtwe pcr methodum Fluxionum invcrlam pro- dit ABED = A 2 +jA 2 »+g-A 2 »+^A^ + ~ A 2 < +&c. Et eidem prorfus ratiooe fi BE dicatur y, cxiftente AB = BC = z, ertt Arca < BCFE=y x + 7>'+ 0 -?2 , +~ y* 4 + 7_o? *' + ««• In qua fi mutetur fignum Abfciflae 2, obtinebitur Area B E D A ne- gativc exprefla, fcilicet mutando fignum Abfciflse obtihetur Area jacens ad alteras partcs Ordinafce. Scd Arca illa affirmative exprcfla evadit B E D A =az — »J- y z' ; + j J «» — ±'i + ~y x< -&c Et hsec eft Series D. Jobattnis BermuUii cxhibens Aream per Ordina- tam ultimam ejufque Fluxibnes cxpreflam •, quamque nos jam dedimus pcr Fluxiones Ordinatx primae. Notandum autem cft Scriem priorcm non extendi ad c.ifus in quibus Ordinata prima tangit Curvam, & Sc- riem D. Bernoullii non cxtcndi ad eos in quibus Ordinata ultima tan- git Curvam. Nam Parabola cujus Area ufurpatur pro Arca Curvse quadrunda? nutlam Ordinatarum tangere poteft-, adcoque coincidcre ne- ?uit cum altcra Curva Ordioawm fuam tangefltc. Hujufmodi cnim ;xprefliones pro Areis & Ordinatis Curvarum praefupponunt formans Scriei A+B?+Cz»+ &c. in qui exponentes Abfciflse z funt numcrj inwgri & affirmativi. r ROPC- 1 04. Interpolatio Serierum. Propositio XX. Detur Series Ordmatarum aqutdiflanitum tttrinque excur- rens m infinrtum, &* oporteat invenire Lineam Para- boltcam quilI % vlUlJUb Wl UlllUvd. ^ ,-|_ «^ «X ~ 1.2 r 757 _ ^.i, !; *...<_, ^ * «p * /0 ' -**•••• *T *.../o I _ 2Cz-ffZ2 zz-K^x^T -V 1.2 ^ 3.4 / * 6 ^-.-s. 3.4 x 5.0 ^x^ ^^^-^ 1.2 4 V-^-txz zz — 1 zz — 4 aa — q \?-l.t< i.z X 3.4 X ~5.6 X 7.8 * 5 F -f-/ 2 z zz—i zz — 4 zz— .9 zz. X 3-4 X 5- b X 7-8 X 9.10 &c. /• y *2 2 --■»/) i~.>_> 9 A 7A 5A 3A 1AOA1 A3T A 5 A7 A9 Za 6a +a ia a az a\ a6 a8 7B 5 B 3B iB Bi B3 B 5 B7 6b 4* ih b bi £4 b6 5 C 3 C iC Ci c 3 c 5 4c 2f e ci t-4 3 D iD Dx D3 ii d dz 1E Ei E e Excerpe Digitized by Google i o6 Interpolatio Serierum. Excerpe nunc differentias medias a, b, c, d, e t &c. ut & duas medias in aliis ordinibus, fcilicec iA & Ai, iB & Bi, iC &Ci, iD & Di, m • iE & Ei, &c. & ponantur A=iA-|-Ai, B=iB-fBi, C=iC-|- ^ <•» Ci, D=rD4-Di, E=iE-f-Ei, &c. Ct vero O punttum in me- « dio mter Ordinatas duas medias iA & Ai. Et cujufvis Ordinatae T diftantia a medio punfto, nempe OT fit ad intcrvallum com- , mune acquidiftantium uc z ad Binarium : Eritquc T = -±£ ^ S + 7^ C 4 - &c. Et in hoc quoque cafu z eft affirmativa quando T jacet ad eafdem partes puncti medii O ac in Schemate, & negaciva quando jacet ad • ■ f O " " . M> contrarias. Uterque autem cafus facillime demonftratur ad modum ~\ Propofuionis fuperioris. EXEMPLDM I. Dentur quinque Ordinatse —3, —8, 1, 12, 37, per quarum ex- tremitates ducenda fit Parabola. Qujere ^ earum ditTcremias primas — 5, 9, 1 1, 25 . —3 3 1 12 37 /7 fecundas 14, 2,14. tertias — 12,121 — 5 9 n 25 ^^jt-j. ~ ultimam *4- Dein quoniara mime- 14 2 14 rus Ordinatarum eft impar, procede per -—12 12 c Cafum primum. Et inchoando ab Or- 24 ~ lit*'*' ~ dinata media, perge ad ditFerentias me- dias in ordinibus alternis, poncndoa=i, £=?., ^=24; dein B=g-U • * 11=20, C = — 12 12=0. Et hifce fubftkutis, prodic T = i X *1 20Z-1-22Z 24ZZ z?—\ — i.z h — X-^--, five T=i-f io2-j-zV Eftque hax Ordi- nata Parabolaj quatuor dimenfionum tranfeuntis per extremitates quin- x. + Z quc ° rdinataruni propofitarum , ut conftabit fcribendo numeros —2, —1, o, 1, 2, fucccffive pro 2. In hoc cafu Curva decuflac bafin, Digitized by Google Interpolatio Serierutn. 1 07 bafin , quontam Ordinatas funt partim negativac & partim affirma- tiva?. EXEMPLUM H. Dentur jam fex Ordinatx i, 5, 10, 10, 5, 1 per quarum extremi- tates oportet ducere Parabolam. Quaere / 0, earum differentias ut in margine: & 1 5 10 10 5 1 f o * c quoniam numerus Ordinatarum eft par, 4 5 o —5 —4 t\ Q adhibeatur Cafus fccundus. Tum inci- 1 — 5 —5 1 ! 3 ', 3 I piendo ab Ordinatis duabus mediis, & — 6 o 6 ' 1 ' progredicndo ad binas medias differen- 6 6 io (•> tias, erit A=io-}-io=2o, B= — 5 — o 5= — 10, C=6-|-6=i2i dcinde a=o t b—o, r=o. Quibus valoribus fubftitutis, erit T= — — — X — ~- -\- So * ' — X ~ x 8~io '' quaE ^l 1131 ' 0 in ordinem redu&a evradit T = _ )o *• - ' ~ f; * ^ — "t"* . Atque ad probandam operationem, fcribe — 5, — j, ^jhfo/h-t — i» '» 3» 5» fucceflive pro 2, & exibunt Ordinatae propofitae. Ete- nim in cafu Propofitionis fecundo, intervallum commune Ordinata- tarum, five, quoa perinde eft, incrementum Abfciflae squatur Binario. In hoc Exemplo defunt dignitates Abfciffe imparium dimenfionum, quoniam Ordinatae a principio Abfciffas hinc inde aequaliter diftantes funt ejufdern figni, & inter fe aequales. Nam hoc in cafu jtquatie ad Parabolam cadcm manet, ctiamfi mutetur fignum Abfciffae. Quod fi Ordinatae propofitae fuiffent 4-t, — 5» +10, —10, -f-5, — 1, vel -j-i, 4-5, -|-io, —10, —5, —1, ubi Ordinatas a medio aequaliter remotae funt etiamnum aequales, at diverfis fignis affectae •, in eo in- quam cafo defuiffent dignitates Abfciflae parium dimenfionum. SCBOLION. De dcfcriptione Curvae Parabolici generis per data quotcunque punfta, egcrunt plurcs celcbres Geometrae poft Newlonum. Sed ort> nes eorum folutiones casdem funt cum hifce jam exhibitisi quae quidem a Newtonianis vix difcrepant, uti conftabit ex Lemmate quinto Libri tertii Principiontm & metbodo Differentiali a D» Jones edita. Newtonus quidem defcribit Parabolam per data puncta » alii confideraverunt afli- gnationem Terminorum ex datis differentiis ; fed quocunque modo con- cipiatur, fub quacunquc forma profctatur, idem eft Probkma. Et fane 6« Digitized by Google 1 08 Interpolatio Serierum. fane invcncio formarum quas habcnt valorcs Ordinatse T, eft pcrquam ingeniof.i & fummo Auftorc dlgna : at poftquam habcntur forma:, in- veftigatio Problcmatis eft facilis, in quam utique nihil aliud requiritur quam refolutio ^quationum fimplicium. Std notandum eft formam Ordinatae A-f-Bz-J-Cz'-}-Dz»-f- &c. ex poteftntibus compofitae, quam aflumic Newtonus in demonftrando fuas methodi fundamento, male huic negotio deftinatam efle. Nam valor cujufque CoefHcicntis prodit in Scnc infinita \ fi quis vero aflTumferic formas hic ufurpatas, incidec minimo labore in conclufioncs fuperiorcs. PROPOSITIO XXI. Data Serte Terminorum primariorum ittvemre ittterme' dios, qui nott lottge dtjlattt a prtrtcipio. Supcr re&am poficione datam ad anglos rcclos, & in xqualibus ab inviccm diftantiis erigantur Ordinatse rcfpeclive aequales Terminis pri- mariis •, dein per Propoficiones duas fuperiores quatracur Linea Parabo- lica quac cranfic per omnium excremicaces, & eadcm quoque cranfibic per excremicaces incermediorum ; qui icaque dabuncur cx daca ^qua- tionc ad Parabolam. Q^E. I. EXEMPLUM I. * 3 5 35 &2 Interpolanda fit Scries 1, -, g-, yg, j^, &c. cujus Ter- mini producuntur per mulciplicacionem continuam numerorum «357 -, |-, j-, &c. quaere differentias Tcrminorum & diffcrentias dif- ut fequicur. 1 1 i_ 35. 63 2 8 16 128 256 ac - i_ _L __ _5_ _7_ 2 8 16 128 256 3. * J_ 3 8 75 128. 256* _5 _5_ _7_ 16 128 256 _35 _7_ 128 256 _il 256 Quoniam Digitized by Google Interpolatio Serierum. 109 Quoniam haec Series ex una tantum parte excurrit in infinitum, pcr- agenda eft Interpolatio per Propofitionem decimam nonam. Et fi primus Terminus i adhibcatur pro Ordinata prima, erit A=i, B = -pC= + |,D = _^,E=+^, &c. quibus fubftitutis, prodic _ 12,32 Z-_t C. Z 7 1 Z— 2 , „ T = .- r x 7 +jx 7 x— -^x r x — x— +&c. id _. T = , -f A , _| B 5=! -f C *-=±-\ D^!__. Ubi jam A, B, C, D, &c. defignant Terminos hujus Seriei, more New- toni. Ccterum Tcrminus quilibec primarius ufurpari poteft pro Ordi- nau prima, cricquc A=J-, _= — £-, C = + ^ D = — -^, 7 E = -J- — — r, &c adeoquc _ 1 1 z r z z__i '24162 83 10 4 Sed fciendum eft 2 efle diftantiam inter Terminum quaefitum & illum qui adhibecur pro Ordinata prima. Ut fi Tcrminus defideratus T ftet in mcdio inter primum & fecundurrv, pone -f- j- pro 2 in priore valore ipfiusT-, & — j pro cadem in pofteriore valore •, atque pro codem Termino habebis duas Serics fequentes ■- 4 L A + ^B + l|c + M D+ ^ E + & . f + ? A +^ B + ^ C + g D +,^ E + &c - Et quoniam hse Scrics convergunt quam lenciflime, fummanda; funt pcr Theorema in Scholio Propofitionis decimae primx. Atque fcien- dum eft valores Terminorum prodire fimplicifiimos quando Tcrminus qui confiftit proximus incermedio quxfico, adhibetur pro Ordinata prima. Sed ^uando Terminus quaefitus longiflime diftat ab initio, ufui venit Propofuio dccima octava , ut monftrabicur in fcquentibus. Ff ExEMPLUM I io Interpolatio SerUrum. ExEMPiUM II. Interpolanda fit Series i, i, 2, 6, 24, 120, 720, &c. cujus Termini ge- nerantur per multiplicationem continuam numerorum 1, 2, 3, 4, 5, &c. Quoniam hi Termini increfcunt celerrime, eorum differcntire conficient progreflionem divergentem, id qttod impedit quo minus Ordinata Fara- bolx accedat ad veritatem. In hoc igitur & fimilibus cafibus interpolo Logarithmos Terminorum, quorum utique diflVrentiae conftitucre que- unt Scriem cderiter convergentem, etiaoifi ipfi Termrai increfcunt ce- lerrime ut in Exemplo prsefente. ter dccimum primum 3628800 & decimum fecundum 39916800: & ex eo dato regrediar ad Terminum qujefitum per Propofitionem de- cimam fextam. ■Quumquc habeantur aliquot fermini confiftentes ex utraque parte intermedii qui primo cruenaus eft, inftituo opemioncm per Cafum fecundum Propofitionis vigefimae. Etenim ubi computus non eft in fpeciebus, fed in numerts, procedere licet hic methodo quotiefcunque datur fatis ampius Terminorum numerus ex utraque parte Termini quaefiti confiftentium, etiamfi ipfa Scries interpolaada re- apfe non excurrat utrinque in infinitum. Excerpo nunc ex Tabula Logarithmos duodecim Terminorum, quorum primus eft is Termini fexti 120} fic nt habeancur fex ante, to- tidemque poft illum qui quaeritur. Dein quoniam Terminus ille defi- deratus confiftit directe in medio omnium, erit in Cafu fecundo Pro- pofitionis vigefimas primas Abfcifla z=.o t & propterea differenti* primse, tertise, reliqusque ordinum imparium quse in z multiplicantur, non ingredientur computum; igirur tantummodo colligo duTcrcntias fecundas, quartas, cctcrafque in ordinibus parrbus ut vides Logtrithmi Digitized by Google Interpolatio StrtfrM iii Logarithmi 2.0791812460 2.8573324964 , 3.7024305364 4.6055205234 5.5597630329 6.5597630329 7.601 1557180 8.6803369641 9.79+2803164 321846834 10.9404083521 12.1164996111 13.3206195938 669467S9C 579919470 511525224 4575749^ 413926852 377885601- 347621063 299632234 280287236 quartas z 1154180' fextas 14443928 2568588 10302264 1446210 1 m.T 7606810 5776699 4490316 3559 62 9 2869602 8 6 5343 543 72 1 355V 24066C Excerpo jam binos medios Logarithmos, binafque medias differentiasi eorumque Summas pono aequalcs A, B, C, D, &c. rcfpeftive uc vidcs 6.5597630329 7.6011557180 413926852 377885608 7606810 S776 6 99 A = 14.1609187509, 8 = 791812460, C= 13383505, 865343 543728 259252 *335»3 156590 65082 0=1409071, £ = 392835, F = 221672, Tum in Cafu fecundo Propofitionis vjgefimx primae i fubftituo o pro 2, &habeo Scribe jam ipforum A, B, C, D, E, F t valores mox rcpcrtos, & cocn- putus fic fe habebit . 7.08045937545 494882787 1568380 34401 2098 266 + 7.08047508023 —494917454 Ac fubducendo Summam Tenninorum negarivorum ab el afErmativo- rum, remanet ^ = 7.07552590569. Eftque hic Logarithmus numeri 11899423.08, uriquc qui confiftk in medio inter Terminos 3628800 & 39916800. Jam j 1 2 Interpolatio Serierum. Jam ficuti Termini primarii formantur ducendo primum continue in numeros i, 2, 3, 4, &c. ita per Propofitionem decimam fextam, inter- medii generantur ducendo intermedium inter primum & fecundum in numeros 1 j t 2 ~ t 3 4 J-, &c. continuc. Verbi grati4 productum fub dccem fadtoribus 1 -, 2 -, 3 -, 4-, 5 -, 6 -, 7 -, 8 -, 0 -, io^-, 2 2 J 2 2 •> 2 * 2 ' ' 2 2 " 2 2 & Termino quiconfiftit in medio inter primum & fecundum, xquale eft intermedio mox inyento 11899423.08, cujus utique locus eft in medio mter decimum primum & decimum fecundum. Igitur fi Terminua ille intermedius dividatur per 10 & quotus per 9 j t & quotus noviflimus per 8 & fic porro ufque ad diviforem 1 j ; ultimus quo- torum aequaJis erit Termino in medio inter 1 & 1. Tcrmini vcro in- termedii per divifioncm Ulam prodeuntcs funt Primarii j ... 3 00 16800 Intcrmcdl1 399 -11899423.08 2628800 „ „ 6 w -i 133278.389 3 288o -i 19292.4620 ^ 20 -! 4O34.4O729 5 0 *°., 87I.254305 72 °-287.8852777 120 -52.34277777 2 *-i 1.63 172839 6 -3.323350969 -I.32934O388 Unde conftat Terminum intcr 1 & 1 efl*e .8862269251; cujus qua- dratum cft .7853 . . . &c. fcilicct Area Circuli cujus Diametcr eft uni- tas. Atquc illius Termini ciuplus 1.7724538502, fcilicet qui confiftic ante pnmum pnmarium dimidio intcrvalli communis, sequalis eft Ra- dici qwdrati numeri 3.1 41 5926. . . . &c. qui dcnotat Circumferentiam Circult Digitized by Google Interpolatio Serierum. 113 Circuli, cujus Diametcr cft unitas. Eccnim fi quadrata primariorum conftituanc novam Scriem 1, 1,4, 36, 576, 14400, &c. Terminus in niedio inter primum & fecundum crit ad unicatem ut Arca Circuli ad quadratum circumfcriptum : & Terminus qui confiftit ante primum di- midio intcrvalli communis eric ad unitatem ut Circumfcrcntia Circuli ad Diametrum. Ceccrum in fequentibus monftrabicur hujufmodi Sc- ries interpolari poflc abfquc Logarithmis. EXEMPLUM III. Quadranda fit Curva cujus Ordinata eft x X^+7*- • Scribe o, 1, 2, 3, &c. fucceflive pro indicc a, & proveniet Scries Ordinatarum aequidiftantium **- x~+fx'f t x' -1 x~+ / *'\ *'~ ' X '+/*«*• &c. inter quas Ordinata propofita locum obtinet intervallo \ diftan- tem ab initio. Igitur Arca quiefica eundem ctiam obtinebit locum inter Areas illarum Ordinatarum, quas conftituunt progrcflionem fcqucn- tcm Terminorum zequidiftantium, Jam fi ha; Arese intcrpolarentur per Propofitionem dccimam nonam, provcniret pro Area quaefita, eadem Serics ac per methodum vulga- rem reducendi Ordinatam in Seriem convergentem ut exinde invenia- tur fluens. Attamen fi Termini in Serie Arearum primo dividantur per Terminos hujus progrefilonis Geometrica: rcfpective, nempe 7+7?°, 7+-/xJ', *+/*'' 1 , T-ffx 73 , &c, Hoc eft, fi ponantur e+fx- 1 &c. 1 1 4 Into*polatio Scriemm. & inftituatur computus juxca Propofitionem dccimam nonam, invenicn- tur ditTcrentue p C = -±^Dfc D_ -T_^_l + '' &c quibus fubftitutis pro A, B, C, D, &c. & a. pro z; invenies Tcrmi- num diftantia k ab initio rcmotum, efle ** _ a»/xM" A. ~.;;'/"'y»-r*» _ Ajp.ZT;.,,*/ V-r-»' Scd quia Tcrmini interpolandi divifi erant pcr dignitates ipfius tf-J-/*'', quifque fcilicct per dignitatem cujus index erat diftantia Tcrmini ab initio; e contra ducTcrminum mox invcntum in dignitatem pnedi- cli binomii, cujus index eft A, fua utique diftantia ab initio, & pro Area Curvae habcbitur Vel ponendo }= 7— — ., r = -— -; atqucfcnbendoScricmmorciS^tf- ioni, prodibic - x"""" - 7 A>-— - B. - — - a C D) _ &c. t— i pro Area Curvse cujus Ordinata in gcnerc eft x x^-p7* • Et Iijec Series tranfmutata per Propofitioncm fcpttmam, migrabit in cam New- toni pro qoadratura Curvje binomialis. Abrumpit quando index a eft integcr & affirmativus; fed poft debitam Ordinata? pneparationcm a- brumpet femper ubi Curva eft quadrabilis. Ccterum ejus ufus praci- puus eft qnod exhibeat Arcas in Scrie admodum fimpfici. Si Cocfli- cicntes e, )\ contrariis fignis afficiantur, prasferenda cft Serics Newtoni ; & noftra ubi iifdem. ExEMPLUM IV. Oporteat afljgnare Uncias Binomii ex data Uncia media in dignitate cujus index eft numerus par. Si « denotet indicem dignitatis, & Un- cia mcdia ducatur continue in fractioncs — ?— , ^p 1 , ^r|. &c. facta /!-}-2 "-t"4 «-J-O erunt Unciae reliqua? confiftentes ex utraque parte medi-. Digitized by Google Interpolatio Serierutn. 1 1 5 « tl — 2 V 4. » ff— 1 2^-xjqpj, « «—2 * 4 .=ax^r 2 x^qr 4 , » n — 2 » — 4 Et fi dcfignct Unciam mediam, tum ai, a\, a6, &c. cx una parte* & la, 4«, 6a, &c. ex altera defignabunt reliquas Uncias. Dem meun- do computum per cafura primum Propofitionis vigefimas invenies efleTerminum Seriei interpolandae , cujus diftantia a Termino medix a eft ad intcrvaJlum commune primariorum ut r ad Binarium. fc.xcm- pli gratia, in dignitate dccima fecundaUnciac funt 1,12, 66, 220, 495, 792, 924, 792, &c. cxiftente Uncia media ^1 = 924. Et fi quxratur ea qus temario diftat a media, erit r=;6> quo fubftituto, & 12 pro »; prodit pro Uncia quifita, abrumpente Serie : & hi Termini liberati a fracli- onibus funt 925 — 1188 + 594— 1 10, quorum rumma iub proprns fignis eft 2 20, qui eft valor Uncim quaefitae. Et ad eundem modum fi index n fit numerus impar, & A altera e mediis Unciis ; tum erit A_£=I A--32-B-^ C- r p& D-&C. z.n+l 4.1,4-5 6. w + 7 e.«H-y Uncia cujus diftantia a punclo inter duas medias Uncias intermedio, eft ad intervallum commune ut r ad Binarium. , Et hae Series in permagna dignitate convergent dummodo mterval- lum inter Unciam mediam & quaeGum fit cxiguum refpectu indicis poteftatis. Scholion. 1 1 6 Interpolatio Serierum. SCHOHON. Poftquam Scriei interpolancU dcbite praparatur pcr Propofitionem de- cimam feptimam; etiamfi eadcm utrinque excurratin infinitum procedere licet per Propofitionem decimam nonam prietcrquam ubi Termini a medio hinc inde xqualiter dilrantes funt intcr fe xquales : ubi hoc ac- cidit, adhibeatur cafus primus Propofitionis vigefims, fi Terminus qui- vis primarius quodam jure vindicet locum in medio omnium : vel fi duo Termini eodem jurc locum medium vindicent, adhibeatur cafus fecundus ejufdem Propofitionis. E^t in aliis cafibus ad libitum fcre proceditur. Propositio XXII. Data Serie Termtnorum m +,' OT + 2 ' ^fl* ^if^ & c - qui confiftit ante primum dimidio intervalii communis, rcqualis ertt Tcrmino Serici prioris cujus intervallum ab initio eft w. Conftat au* tcm pcr Excmplum fecundum Propofitionis vigefima: prima?, Termi- num dimidio intervalli communis diftantcm ante primum in Serie Nu- meratoruin, i,i.i, 1.1.2, 1.1.2.:;, &c. id cft, in hac 1, 1, 2, 6, 24, 120, &c. efie Padxem quadratam Numeri 3.141^926 &c. Quarc tan- tum mterpolo Dcnominatorcs nempc t 1 1 1 » W+l' JB+| lW +2» W+I.W+i.m+j' &C ' Ec Digitized by Google Interpolatio Serierum. 1 1 7 Et quoniam hxc Series continuari poteft utrinque in infinitumi ac"b_ contmuabitur, & evadet &c. £-7.^.*, m, ,1, w+1 ' m _|_ a , &c. Ubi Te rminus quae fitus confiftit in medio inter duos medios m & i : fcd quta differentiae horum Terminorum funt permagnas i ducantur ii a medio hinc inde acqualiter diftantes in fe mutuo ; hoc eft, m in i «U^i'» in -q-j j & fic porroi & prodibit nova Series o_ «r— .2 m — -i m— .1 «t— . 1 w— 1 rn i utrinque excurrens in infinitum, & habens Terminos inter fe aequales qui aequaliter diftant a medio. Sed & Terrainus in medio conuftens inter duos medios primarios m & m eft quadratum ejus in medio in- ter/n & i in Seric priore. In novilfima igitur Serie quasratur T.ermU nus ille inter m & m per Cafum fecundum Propofitionis vigefimas, & idern invenietur . . • ■ m gm 75CT m ~* 4.m-{-i "T"32.m-j-i.iB-^2 i^B.w+ijw-f-^./»-^ "» Quam ducito in Circumferentiam Circuli, fcilicet Terminum refpe&i- vurn in Seric Numeratorum, & habebis pro quadrato Termini qua;fiti 3.14.59 • • - fcc. in m+ 7= ■ + +77^ + T^gf +&c. Igitur Terminus Seriei propofitae 1, — A, — B, — C, &c. diftans 1 3 5 intervallo m ab initio xqualis eft mediae proportionali inter Circum- fcrentiam Circuli & Seriem illam ; quae eo citius convergit quo rnajor eft m, hoc cft quo Jongius diftac ab inicio Terminus quaefitus. Exempli gratia fit m = 100 & primus Terminus Seriti erit Circumfe- rcntia Circuli duclain 100, five ^=314.15927-, dein crit A oB 0 . _ 2<;C 3i4.»59»7 R = 4~ = - 77762 » C =8^ =to858 * D -ITT^ 777«* — .0001 7 ; atque fumma horum quatuor Terminorum eft ^ 314.94564, cujus Radix quadrata 17.7467079 cftTerminus ? centefimus pnmus Seriei interpolandje ; five productum 314.94364, fub faaoribus ^-x -X-xf-, &c. quorum numerus cft 3 5 7 Centum. Et eadem rationc invenire licet Terminum quemvis inter- Hh raedium:. m8 InttrpfiUtia&mwm. medium: nam fi pro tn fcribatur 997, habebkur Terminus in medio 2 inter ccntcfimum & centeftmum primum. Vcl ii fubftituatur 99 j pro m % habebfcur Terminus confiftens poft centefimum tertia parte in- tervalli communis. Notandum cft, pofle Terminorum alkujus Seriei reciprocoa interpo- lari : fic reciproci Terminorum in Serie noviffima. conftituunt Sericm l 5 c 7 1, — A, B, -~ C, |- D, &c. ia qua Terminus ab initio rcmotua intervallo quovis aequali «j iw, sequajk erit Termino Seriei a jb_ _5£_ 7d *• a»+i» m+? m+s 1 m^f * qui confiftit in medio inter primum & fecundum ; quique proindc in- venietur efle media proportionaJis inter Seriem fequentem ffi+1 ' 2 .»»-|-3 ' 4.m+s ~ ' 8.m+9 ~ & numerura .6366197723676 qui aequajis eft unitati divifae per femi- circumfcrentiam Circuli: id quod conftabit infiftendo veftigus. prioria partis hujus Exempli. EzEMFLUM H. 2 C 8 II Quatratur Terminus hujus Seriei 1, — A, |- B, —C, — D, tcc. quantumvis remotus ab initio; fcilicet intervallo m : & per Propofi- tioncm dccimam oftavam Tcrminus ille aequabitur Tcrmino hujusSeriei 24 5& 8f \ld '» I^F*' 3^B' 3^f8* iM^i' qui confiftit ante primum tertia parte intervalli communis. Igitur in- tcrcalcntur Numeratores & Denominatorcs fcorfim ut in Exemplo fe- cundo Propofitionis vigefima; primse, fcilicet per, Logarithmos \ & habebitur Terminus quasfitus. Scmolion. Hinc conftat Terminos Serierum longiffimc diftantes erui pofle non jninus accuratc ac intermedii fub initio, Sed in Serie intcrpolanda 1, r 1 Digitized by Google tnterpQlatia Sericrum. 1 1 9 T T -t* I — A, ^TT d 'ff""">tu inter p & r fit magna, magnus itcm crit labor in invenicndo quovis Termino. Cafus autem omnium facil- limus eft ubi f — r eft aequalis ± ut tn Exemplo primo, prxter- quam ubi differentia illa eft numerus integer quo in Cafu Series erit ac- curate interpolabilis. Propositio XXIII. Invenire rattonem quam hahet Uncia medta ad Summam omritum Unciarum in quacunque digtitate binomii. Solutio prior. Si index dignitatis fit numerus par, appelletur n\ vel fi fit impar, voceter *— n eritque ut Uncia media ad Summam omnium ejufdem dignitatis, ita Unitas ad mediam proportionalem inter femicircurafe- rentiam Circufi & alterutram Serierum fcquentium , i A j_ 9 B , 15C , 49P , 81E . • + 33^ + 4Th + 6^6 + Siff + ISTps + &c * Vel _A_ 9B 25C _ 49D 81E Exempli gratia, fi qu_ratur ratio Unciae mediae ad Summam omnium in dignitate centefima vel nonagefimJi nona, erit » = 100 ; qui multiplicatus in femiperiferiam Circuli, 157.079632679 producit primum Terminum A = 157.0796326794 769998*99 A _ 9B _ 25C 16658615 dein erit B = — , C = D = &c. atquc J perficiendo computum ut in margine, invcoietur Sum- 37 '37 ma Terminorum 157.866984459, cujus Radix qua- 2734 drata 12.5645129018 eft ad unitatcm ut Summa om- 246 nium Unciarum ad mediam in dignitate centefimi 26 vel nonagefima nona. Eft autcm hic computus per 3 priorem Seriem : nam licet exigua fit difFercntia, prae- Fero cam in qua Tcrmmi funt omqcs ejufdem figni. >/-° w y°4459. Soluti» i2o Interpolatio Serierum Solutio pofterior. Manente » ut antea \ erit Sutnma omnium Unciarum ad mediam in^ fubduplicat- ratione periferlae Circuli adalterutram Serierum fequentium, 4t+ 2.»+ 3 ~ 4-H-J ~ ~ «•»+9 lo.» + n ' Vel' i_ _ _____ _ __, 2,_C 4qD^ 8iE Vel quod eodem redit, ponatur a = .6366197723676, quoto fcilfcet qui prodit dividendo unitatem per femicircumferentiam Circuli; & me- dia proportionalis inter numerum a & alterutram illarom Sericrum erit ad uniutem ut Uncia media ad fummam omnium. Ut- fi fit index » = 100, ut in computo fuperi- .00630316606305 c « a r% A 3059789351 ore, ent per Scnem primam A = — , B = ^, * §5566914 9B _ 25C _ _ 2553 22 9 C = 4^0' D = 0T2' &C Ex ca,Cul ° autem »43473 fito patct Summam Terminorum efic 10469 .00633444670787, cujus Radix quadrata 934 .0795892373872 eft ad unitatem ut Uncia media 9 8 ad Sumrnam omnium in dignicate nonagefima nona 12 vcl centefima. __j_ Et ficomninofuntquatuor Scri« ejufdem fim- ^,^707^7 phcitatis pro folutione hujus Problematis. Cete- ' rum in praxi non opus cft recurrerc ad Series: nam fufficit fumere mc- diam proportionalem inter femicircumferentiam Circuli & »-| — ; haec enim femper approximabit propius quam duo primi Termini Serici, quorum etiam primus folus plcrumque fufficit. Excmpli gratia, fi fit m=_ioo, erit = 100 p qui ductus in femicircumferentiam Cir- culi producit 1 ^7.865, cujus Radix quadrata cft 12.5644, unitate defi- ciens in ultirna figuri. Eadem vero approximatio aliter & praxi forte commodior fic enun- ctatur. Pone c ad unitatcm.uc quadratum Diametri ad Circulum ■, hoc cft, fit c = 1.2732395447352» eritqucfumma Unciarum ad mediam uc Uncia Digitized by Google Interpolatio Serierttm. i 2 1 Unitas ad \ quamproxime, cxiftcnte errore in cxceflu circiter iTwi ^ 2^7* Sit w= I00 ' erit 2^PT = - oo6 3345 2 5> e i uf que Radix quadrata .07958973 accurata eft in fextii dccimali : qua: vero divifa pcr i6n;.', hoc eft pcr 160000, dabit corrcftionem .00000050; & hsc fubdu&a de Approximatione, relinquit numerum qusefitum .07958923 accuratum in ultima figura. Similiter fit » = 900, erit ^Ji - — .000706962545, cujus Radix quadrata .026588767 fuperat verum binario in ultima figura. Sin ve- ro corrcftio compucetur ac fubducatur de Approximatione, habebitur numcrus qiKcfitus accuratus in decimi tertia decimali. Hem vero Approximationem a?que facilem & magis accuratam. Dif- ferentia inter Logarithmos numerorum n-\-i & ;.— 2, dividatur per 16, & quotus adjiciatur dimidio Logarithmi indicis », huic dein fummse addatur Logaritnmus conftans .0980509385151, fcilicet dimidium Lo- garithmi femicircumferentise Circuli, & fumma noviflima erit Logarith- mus numeri qui eft ad unitatem ut fumma Unciarum ad mediam. Verbi gratia, fic » = 900, computus eric 7 h 9°° 1. 4771 2 12547 16) DiflF. Log. 902 & 898 .0001206376 Log. conftans .0980599385 Summa 1-5753018308 EthaecSumma verum fuperat binario, in ultimd figura, eftque Lo- garithmus numeri 37.6098698 qui eft ad unitatem ut fumma Unciarum ad mediam in poteftate 900 vel 899. Et fi vis illius numeri recipro- cum, fume complementum Logarithmi, fcilicet —2.4246981692, & numerus eidem correfpondens eric .0265887652 qui monftrat rarionenr Unci* mediae ad fummam omnium in pnediciis dignitatibus. Demonstratio. Dignitatcs Binomii, quarum indices funt numeri pares, habent unam Unciam mcdiam j ear vero, quarum indiccs funt impares, habent du- as Uncias medias. Et hinc oriuntur duo Cafus Problematis. Primo quando index eft par, divide fummas Unciarum 1, 4, 16, 64, 256, 1024, &c. per fuas Uncias medias, 1, 2, 6, 20, 70, 252, &c. & quoti ' 8 16 128 256 2 .4«6^8^„ «, 2, j. J» "63 » &C " five '» 7 Af 3" » 5 ' 7* c * I i runt i22 Interpolatio Serierum. runt ad unitatem ut fumms: Unciarum ad Uncias mcdias in diverfis dignitatibus. Similitcr fi fumma; Unciarum in dignitatibus imparibus, fcilicct 2, $, 32, 12S, £,12, &c. dividantur per Uncias fuas medias 1, 3, 10,35, 8 16 128 126, &c. rurfus prodibunt idem quoti, utpote 2, —» — , — , &c. .1 5 35 Nam eadem eft rclatio inter fummam Unciarum & Unciam mediam in quavis dignitate pare, quse cft inter fummam Unciarum & Unciam me- diam in dignitate impare proximc inferiori. Adeoque interpolatio Se- 2 4 6" 8 riei, 1, - A, - B, — C, — D, &c. ut in Exemplo primo Propofi- 1 3 5 7 r tionis vigefitrue fccunda, folvit utrumque Cafum Problematis. Sed hic dabimus inveftigationem harum Serierum abfque methodo Diffcrentiali. r ts Soluuonh prioris. 2 4 Series interpolanda 1, — A, — B, &c. dcfinitur ^quatione T' = r+2 ^j-j- T, ubi n cft quantitas variabilis, cjufque valores fucceffivi o, 2, 46, 8, &c. fcilicet indices dignitatum quando funt pares, vel indices au- £U unitate quando funt impares. Quadra utramque partem ^quati- onis refolvendae, & habebitur T'T'=^j^t± TT ve j quod idcm T'T' cft 2T'T'-f. + 1 x 1 j — 1 T — jjp^ = 0. Affumejam TT = K*+£r 2 + w+2 C ; +4 + Zfz-Jjk^ + &C ' Et poft debitam rcdixfcionem juxca prarccpta jam cradita, invcnies TT = A. + B + ^ +T £_*L+fe. In qua fcribe valores variabilium confcquentes pro antecedentibus, hoc cft, T'T' pro T T, & /+?. pro », & emerget Tum fumendo horum valorum diiferentiam, & duccndo candem in /+i, proilibit _ # 2C— 4 B 4 D-.i(iC -■t-.X 1 I - l 1 2 A. + 4 + - ;; _j_ r + " + — _j_ 6 + &c Ccterum Digitized by Google Interpolatio Serierum. 1 2 3 Ceterum in valore ipfius TT prius aflumpto, fi fcribatur »-f-2 P»"0 »» habebitur TT=~- in A + £ 4- + 1^+*.«+« + &c " Atque dividcndo per r.-\-2, H*_ B C D „+ x - A + „_f_ + + „_]_ 4 .„_i_6 + «+4.«+i..«-f-_ "h &c - Subftituejam in .fl-quationc refolvenda, valores ipforum T'T', -^fTx TT-rr & —7—, ad eandem formam reduttos, & refultabit n ■ 1 " 2 u a , 4C— qB 6D-.15C 8E— 49D . „ -B-A+^- + ,7+1^+ »+4. W -T-6. W 4-8 + &C - = °' Denique ponendo Numeratores nihilo zquales, habebis 2B— A = o, 4C—_jB__:o, 6D — z$Q—o, 8E — 490=0, &c. Et hae funt relationes Cocfficientium in prima Serie. Et ad eundem modum eruitur Scries pofterior in Solutione priore. Anahyfts Solutionis pojlerioris. 2 " 4 6 I - r Solutio pofterior pcrficitur interpolando Seriem 1, --, r, ~- d, &c. cujus Termini funt reciproci eorum in priore : ea vero defi- nitur yl.quatione T = ~^-T, in qua valores ipfius n fucccflivi funt _ , . >in-X-ln-\-i o,2,4,6,8,&c. utante. Et quadrando evadit T T = nn ^y^_ T T, hoc eft, n-lT-2.»~TT-T'T'_:o. Fingamus nunc _A_ B C D TT — K _|_ t -h ,.4.1.^3 "h k4-,. w 4_3., ; 4_ 5 "h ,i-j-i.«4-3.«_}-5,;4r 7 + &c. Et fubftituendo n-\-i pro «, provcniet , A_ B C D T'T__ + „_j__. fc -|__ "h ;;4 r i^+5.«-h7 »+3-»+5-*+7-*+ji -h-&c. adcoqui 1 2 4 Interpolatio Serierum. adeoque , A , 4B , 6C 8D .^.,..+3.1 r- 4 i - ^ A+-p; + ^4.7747 + , J _ 1 _ 3 ., i+7 .,,_ H + &c. qux ad dcbitam formam rcducta fic . I 4B ■ 6C — S B 8D-49C » a+^ + + ^r +5 r„+- 7 + &c - Scribc jam hofce valores in iEquatione refolvenda, atque rcfultabit 2B— -A 4 C— 9B 6E— 25C _ 8E^ 4 qD *+3 ~*~ »+ 2 -«+5 «+3-»+5-«+7 " f "w+3 «+5-«+7-»+9 + &c.=o. XJbi Numeratores sequati nihilo, dabunt rclationem Cocfficientium Se- riei prioris in Solutione pofteriore. Quod autem Coefficicns A fic in uno Cafu femicircumferentia Cir- culi, & cjufdcm reciproca in altero, fic demonftratur. Pcr Sericm priorcm eft TT = Aa in 1 + g -\- &c. Et quo major eft », eo propius ^Equatio TTs= A», accedet ad veritatem, quoniam Termini pofteriores tandem evadent infinite minores prioribus. Igitur in JE~ TT quatione TT=A», vel A=- — fi pro n fucceflive fcribantur ejus yalores, 2, 4, 6, 8, 10, &c. & fimul quadrata Terminorum correfpon- d entium pro T T •, orientur /Equationes continue approximantcs ad verum ipfius A valorem, fcilicet A = 2, A 8 A = ax-, 8 24 &c. Quare valor ipfius A eft fadtum fub omnibus 2 x - X — X — XjpX&c. 9 *5 49 ufque in infinitum-, quod arqualc cft fcmicircumfcrentia: Circuli per Arilbmeticam Infinitorum WalUjiu Propositio Digitized by Google Interpohtio Serierum. 125 Propositio XXIV. Si in Ordinata Cuw ffl^ J^T 2 C > $r/> * f* qualis unitati. Sint enim Areae & Ordinata; correfpondentes Aree Ordinatse A B C D E &c. Tum comparando hafce Areas per Propofitionem feptimam Newtoni de Quadratura Curvarum, invenies B = rA-/ x ~~?^ P * r +' v 7=?f' P + * D ~~ — FT" F _ ^-+3 p — * r * 3 x ~~~T &c. Kk Sit 1 2 6 Inttrpdatio Serimtm. Sit jam x xqualis unitati, ut in Theoremate ponitur; eritque i — . x = oi quo in cafu relatio Arearum fit B = — A, C= B, D = j^-j C, E = D, &c. Adeoque eadcm eft relatio intcr A- reas harum Curvarum & Terminos Seriei propofita:, quando AbfcnTa * eft unitas. E. D. Corollarium. Hinc in Serie a, -; = i, r= 7- •, quibus fubftitutis, erit ut Arca Or- tiinatse x~ 4 X 1— x 1- ' ad Aream Ordinatse X 1— * ideft, ut I x*" Area hujus -7= ad Aream hujus - y » ita primus Terminus Se- J Vx— xx J Vx— xx * riei, five unitas ad alium quemvis primarium vel intermedium intcrvallo z diftantem ab initio. Ut fi Terminus defidcratus confiftat in mcdio intcr primum & fe- 1 x T cundum, erit z = -, q»o in Cafu fit Ordinata pofterior j^——* five —X — : adeoque ut Area Ordinata: /-^ 3 »- ad Aream Ordinata; ,~ - Vi— x n V x—xx Vi— x id eft, ut Circumfcrentia Circuli 3.1415926 — &c. ad 2, itaunitasad Terminum in medio inter primum & fecundumj qui hoc pafto prodit .63661977 - - - &c. Si Digitized by Google Interpolatio oerierum* 127 Si ejufdem Seriei quseracur Terminus cencefimus primus, erit z=s 100 i adeoque ut 3.1415 — &c. ad Aream Ordinatac —.„-. , itau- nitas ad Terminum Propofitum. Ec fimilker ponendo z = iooj-, Terminus in medio incer centefimum primum & cencefimum fecun- dum determinabitur per Circumferentiam Circuli & Aream Ordinatac : ubiquc umen fumendo partes Arearum quse jacent fupra Ab- fcuTam unsuti xqualem. PoflTun: eciam Terminorum reciproci incerpolari, idque nonnunquam magis commodc quam ipfi Termini. Reciproci Terminorum in no. viffima Serie funt 1, 7 «, — b t &c adeoque eft rz= 1, />=— j & inde ut Arca Ordinacae x° x 1 — ad Aream Ordinatae x z x 1— x * ita pi imus Terminus ad illum diftancem intervaJIo z ab ini- tio : id eft, ut 2 ad Aceam Ordinatx ^^^^ ; nam pr ior Curvac eft quadrabilis. EXEMPLUM II. Intcrpolanda fic Scries 1, ^a, jb, g-r, ^ d t &c. Divide Nume- ratores & Denominacores per eorum incrementum 3 ; & invenies p=z ■7, r = — ; hinc fit Ordinata prior x — rx i— •x — T, five 3 3 1 x x , •- & pofterior - . Dein ut Area illi- W— 2 vV — 2X'+X* us ad Aream hujus ica primus Terminus Seriei ad alium quemcunque cujus diftancia ab inicio eft z. Propositio XXV. Si in Ordinata Curva? x*~~* x 1— x yr + t -~ l fcribantur fuccef- ceffive numeri tntegri o, 1, l, 3, 4, &c. pro z t eadem erit relatio inter Areas Ordinatarum provenientium qute 128 Interpolatio Serierum. qua ejl inter Terminos Seriei a, ja y &fc. Ubi Numeratores continue increfctmt, De- nominatores vero decrefcunt. Et hic quoque ponoAb- fciffam x unitati aqualem. Haec Propofitio demonftratur ad modum fuperioris. Corollarium. Hinc in Serie a, ^-a, rr-^-a', &c. ut f p — I f — 2 f — 3 Terminus primus a ad alium quemvis intervallo z diftantem a princi- pio, ita Area Curvse cujus Ordinata cft J xT — /~ l ad Aream Cur- va: cujus Ordinata eft * x i— x^" 1 . ExEMPlUM I. Detar Series interpolanda r, — a, ^~^ b, ^~—c t —^■J, fcc. cu j as Termini funt Unciae binomii in dignitate cujus index eft n. Quoni- am hxc Series non cadit dire&e fub hac Propofitione, interpolo Ter- 1 2 , % „ minorum reciprocos i, — —— -t, jp~£'> & c « quo pa£to ent r=r, />=«; adeoque ut Area Ordinatae x* x • — *° ad Aream Ordinata: * X i-—* , ita unitas ad Terminum intervallo z diftantem a prin- cipio, in Serie pofteriore : vcl ut Area Ordinatae *"~ *xT^x* ad -^, ita unitas ad Terminum in priore Serie, intervallo z remotum ab initio. Ut fi defideretur Uncia Tcrmini quinti in dignitate nona, erit » — 9, * = 4i quibus fcriptis, erit Area Ordinatae xi^3 4 ad ^ ut u - nitas ad Unciam quaefitam. Ordinata autem evoluta eft x' — 4 x<4- 6^-4*'+*', cjufque Area L_± + | _i + f o , fivc -L_ . Tum i i . ut 1260 a 10 lta unitas ad 126 ' 1 uae cft Uncia propofita. EXEMPLUM Digitized by Google Interpdatio Serierum. 129 ExtMPLCM U • • Si io potsftate fimplici Binomii, quaeratur Termiaus qui confiftit in medio inter duaUndai i & i j erit index binomii »=i, z = j"i & cxindeutAreaOrdinataex T xi-^j? r ad — , hoceft, ut Area Circuli ad quadratum Circumfcriptum ita unius ad Terminum inter Unciat i 8e i. SCHOLION. Quando Corre quadrandae funt plurimarum dimenfionum, inveni- endae funt aliquot earum Ordinatae per TabuUm Logarithmorum ; ex quibus dabuntur Arese per Parabolam Newtonu Quod fi relatio Ter- minorum in Serie interpoianda fit inter plurcs Terminos, abfolvetur interpolatio per Comparationem aliarum Curvarum. Sed hanc materi- am miffam fecicns adjungam quacdam de aliis methodis interpolandi. Propositio XXVI. Si Series interpolanda fit i, j a, r ^b, j^c, j^j*». & ponatur n=r—p, atqtie B --._ 1* A, »— I »— 2 • T» I " A Cas _._«B+ F A, E= ^/-=- 4 i«D + — C+— — B+ r . — .— A, FsB »..^i»E+— D+ — . 4 C+ ^ . ^ . ^ » » »— 1 »—2 »—3 A ~3 4 5 6 &c. L 1 ^ Digitized by Google 130 Interpolatio Serterunh Tum erit z* in A+5 + § + £ + £+ ftTc. «tf irrwi imerpolawU primarim vel intermtdius, cu- jus dijiamia ab irittio efi z — p. Notandum eft Coefficientem A, per Propofitionem decimam oOa, vam zqualem efle Terminoin Serie Numeratorum r, ra, 7+i.b, 7Tl.e tcc diftantem intervalfo p — r ab mitio •, eamque determmari pcr Ex- emplum fecundum Propofitionis vigefimae primae. DEM ONSTRATIO. '"Serics propofita definitur .ffiquatione differentiali T'=2±?T, ubt eft n_r_ p u t in Theoremate & fucceffivt valores indeterminat* 2 wnt /, /+i, /+2, &c. Finge jam r =^ inA +!+p+?+i+&c. dein pro T & 2 fcribe «anim valorcs fuccedentes T' & 2+1 r c- ipcdive» & emerget * T.=fJ. fc A+^ + £. + £ + ^ + &e . Vel evolvendo dignitates T_ z « i n A+ ^a+b .A- fiM.;rn-r-2C rq^B,,T7.r^4-6.~n.C4-6p , - ^ z* • ~ ! h &c. JEquatio refolvcnda T=5±2? Ty hunc in modum fcribatur Tz _ Tz— T»==o; & in eadem fubftituantur valores ipforum T & T" atque rcfulttbrt . v w * » n._^A_2B ■•aTFS^— _ iaC , 22 1 gj: J-&c=o. Ponantur>mNumeratoresxquaIesnihil,&habebunturB_- — 1 ;„ 1 2 m A r- "~~ x K — 2 • « 1 * * • 2 ' 2 mB +J A »&c Atque produccndo computum, reliquse Coefficicntes prodibunt in Theoremate. Q^E. D. Digitized by Google Interpolatio Serierum. 1 3 1 EXEMPLVM I. Proponatuf Serio »» 7 «. ^ *, <■» \^ &c. quas dcfinitur _E- quatione T'=— ^ T, in qua vafores fucceffivi ipfius z funt 1, 2, 3, 4, &c hasc comparata cum &quatioae T=— — T, dat »= — j & exinde B = f-i„A =*x|, C=i|i„B_^A = Ax£ 8 , __»___*.+£* =A X ^, E_&___|c + £-_£a =Ax£f 8 , F=a_E^D + gc-2. + j J;A -Axjgfr &c. Adeoque T _A : n , I 3 f 25 IQ^ 1659 62 3 7 1 — V- ' ^ 8z^ 1 282* ^ io.^ ^3 2768-«^ -621445' ""T 0 ^* Quantitas autem A in hujufmodi Exemplis fic dcterminari poflic. Per relarionem Terminorum interpolandorum qurere primarium quem- vis fatis longc diftantem ab iuitio» verbi gratia decimum fextum, qui- hic prodit. 144464448 &c. Hunc fcnbe pro T & interea pro z. valorem fuum corrcfpondentem, ncmpe 16-, atque habebis .144464448 = ^ in 1 + + ng^l6 + &c « vel colligendo Terminos in unam Summam, .144464448 = — in 4 1.02422627, unde prodit A -=.5641 8^583548 : quo dato dabitur T ia alio quovis cafu per Terminos pauaffimos fui valoris. EXEMPLUM 1 3 2 Interpolatio Serierum. ExEMPtUM II. Intcrpolanda fit Series^ i, j a, £ B> L c> ii i% & c qux dcfinitur JEquatione T' = ^pT, exiftentibus j t ± 1 ~, &c valoribu» Abfciflse z fucceffivis: harc comparata cum ^quatione in Thcorcmate dat » = - i quo fubftituto obtincbitur T = A^zini— -i » -4-- 5 - | *5S i 5 6, ° « * 92 ~ 21872' t 196832* *T 1771472' T" * & Jam ad eruendum Cocfficicntem A, quiero Tcrminum decimum quartum Senci interpolandse, qui prodit 4.652136 : hunc deinde va- lorem fcribo pro T, & pro 2 vaJorcm fuum dcciraum quartum — , at- que habco 3 4.65*136 =A^ in 1 L j ^-4-&c. 3 120 ~ 345600 ~ Vd extrahendo radicem cubicam numcri j, & colligendo Terminosin unam fummam obrineo 4.652136 = ^*2.351505, adeoque A = 1.978365. Data nunc A, Tcrrainus quilibct alius invenietur fumma facilitate Quarratur >s qui confiftit tertia parte intervalli comZi ante miHcfimum pnmum: pro z fcribe fuum valorem correfponden- tcm 1000, & valor ipfius T prodibit 10 A in 1 — — , five T = 19.78343. Nam ubi Terminus defideratus longe diftaVTprinciojo & SCHOLION. Eodcm modo quo in hac Propofitione Radix extrahitur cx M- quatione T'=^±?T, extrahitur ctiam cx alia quavis quse fub hac forma continetur Tx^+V^i^r + &c. =T x* 1 +«»-i + <&'-a +&fc Nam ■ Digitized by Google Interpolatio Serierum. 1 3 3 Nam eft index n=a — ; per Propofitioncm fextam ; & inde forma Se- riei pro T aflumenda erit T = At" + B2*"" 1 + C2""" 1 + &c. Quippe in hujufmodi Seriebus quai funt Radices /Equationum Differcn- tialium, indices ipfius 2 habent Unitatem pro decremento, praster- quam in quibufdam cafibus valde particularibus. Habito ieitur indice ipfius 2 in primo Termino habetur forma Seriei afiumendle pro Ra- dice T : dein fcribendo 2+1 pro 2, & T pro T, prodibic T'= A^T»" ^B^i^+C £f?"~ l + &c. Tum reducendo hunc valorem ad formam ipfius T, ut fupra often- fum eft, & ducendo utrumque valorem in quantitates quas prsecipic JEquatio refolvenda-, dabuntur Coefficientes aflumptse ex collatione membrorum homologorum in JEquatione refultante Propositio XXVII. i$5 Mquath ad Seriem fit T=^pT, ertt Radt* T=A+^A + *B + ^C + ^D + ^E+&c 1 2 1 2.«+-i " 3**-t-3 4-*+4 ' 5-*+f 22 /Equatio rcfolvcnda T=^_|_ r T huncin modum fcribatur 22 T— 22T'— rT =0, & aflumatur . B C D E *Z "•2.2+l" T " 2.2+1.2+2 ■ 2.2+1.2+2.2+3 +" **** Eritque B C . D . E + &C. Unde , Et ducendo in 22 b* ir* . 3D* | aVz " T -" T =*+7 + -fT-fi + i+TVf-^+l + M-i.*+».*-h3*+4 +&c - Atque per reductionem 2C— B . 3D— 4C , 4E—9D , . zzT- 22 T = B + -qpj- + + 1 + q^X+t^+i + *«• M m Hune 134- Inttrpolatio Serierutn. Hunc v.ilorem fcribe pro zz T — zz T', & pro T' fuum valorem ha«- c~tcnus rcpertum, atquc refultabit B_r A+ + +i +7f7X+TH-l + &c - =°- r r I 1 Et per collationem membrorum homologorum, B = — A, C — —~ B, D = ^j^ C, E = ^-i^ D, &c. Hi funt valorcs Coefficientium : quod fi A, B, C, &c. denotent totos Terminos, prodibit valor ipfius T jam affignatus. Q. E. D. % ExEMPLOM. Invenic WaBf\us % ultimum Terminum huius Seriei 1, - A, — B. 8 80 9 25 — C, D, &c. efle Aream Circuli cujus Diameter eft unicas ; ubi Denominatores funt quadrata numerorum imparium, & uni* tate majores Numeratoribus. Videamus autem hic quifnam fit ultimus Terminus hujus 1 , A, ^ B, |£ c, |^ D , &c. ubi J^umeracores funt quadrata numcrorum panum & unitate majores-De. nominatoribus. JEquatio ad hanc Seriem eric T '= 22 , T,exiften- ZZ — j tibus 1, 2, 3, 4, &c. valoribus Abfciflje 2 fucceflivis: crgo compa- rando hanc ^quationem cum illa in Propofitione, eric r = — , quo fubftituto prodic T _ A _. , ___ , '5 C ■ .JS® 1 6 3 E , ., 1 ~ A ~4* ^ 8 ZT1 ^ 12.^ ~T 76^f 3 T + &C Et ad determinandum CoefHcientem A, qusere Terminum Seriei de- cimum, nempe 1.5300.1727.35, quem fubftitue pro T, & interea pro z valorem fuum correfpondenteni 10 } atque obcinebis 1. 5300.1 727.35 = Ain 1 — 771 — A y V» . — o 1,3,15 — &c 33 ' ' ^ 4,10 4.8. 10.11 4.!.l2.IO,IU2 ac - Hoc cft, colligendo Terminos in unum, 1.5300.1727.35 =A in ^9740.392454» & cxinde A= 1.57079633, utiquc femicircumferentia; Circuli : quo dato, facillime dabitur Terminus quilibet Seriei interpo» landa: primarius vel intermedius. Conftac autem ultimum ejus Tcr- minum, Digitized by Google Interpolatio Serierum. 135 , r , 4 16 36 64 100 _ minum, five factum fub ommbus — X — X — XrX — X «c. aequale 3 *5 35 °3 99 efle primo Coefficienti A, adeoque femiperiferiae Circuli. Propositio XXVIII. Inventre fummam qmtcunque Logartthmorum> quorum numeri funt in progrejfione Arithmetica. Delignent x-}-«, x-J-3», *-j-5"i *+7»»-— z— *, quotcunque numeros in progrelfione Arithmetica, quorum primus & x-\-n, ultimus 2 — n, & communis difFerentia 2». Infuper aenotent /,2 & /,x Logarithmos Tabulares numerorum 2 & * •, fitque a — . 43429.44819.03252, fcili- cet reciproco Logarithmi naturalis Denarii. Atque fumma Logarith- morum propofitorum acqualis erit differentiae inter Series duas fequentcs* "^T — 2» — i22"i 3602' 12602' 16802» — 11882' • * c * */,x «x an_ , 7°»* 3i£lL _l ilZf^I 2» m"""' i2x"i"36ox J — 1260X' "*"i68ox»"~ 1188*' ' c ' Hae autem Series fic continuantur in infinitum \ pone 3-4 — — A + 3 B » _^ = A + ioB+ 5 C, -T^^A + ^.B+ssC+^D, _ -2— - A+36B + 126C + 84D+9F, 11.20 r j 1 &c. Ubi numeri qui multiplicantur in A, B, C, D, &c in diverfis valo* ribus funt Unciae alternae in digniutibus imparibus binomii. Hifce praemiffis, erit Coefficiens Termini tertii — — ss A, i« quarti +^- == B, quinti _ ^ = C & fic deinceps. DSMON- i $6 Interpolatio Serierutn. Demonstratio. Minuatur variabilis z decremento fuo in ; vel quod idem eft, fub- ftituatur z—tn pro 2 in Serie z/,z az an_ , yan % j\an J . , 2» ™~ 1« 1 22 3602» ~" 1 2602' ' & proveniet valor ejufdem fucceffivus I^T»h7ZT» _ _ _ 7*»' ?,\an< _ , 2» 2« X * ln 12.C— 1» ' 360^-1«»» 1 26o.r^I7 ' + " c Hunc fubducito de valore priore, Terminis prius ad eandcm formam pcr Divifionem reduais, & rclinqiietur /2— ^ — &c. id eft, Logarithmus numeri 2—». Adeoque.univerfalitcj de- crementum duorum valorum fuccelfivorum Seriei, x-quatut; Loga ; mo ipfius.2— 1» ; quiexprimit in genere quemvis Logarithmorum qui erant fummandi. IgiturSeries erit fumma Logarithmorum propofu - rum, fi ab eadem lubducatur altera Series. Kam fummse perinde xc Arese oofinunquam corrigendx funt, ut evadant vcrse. ExEMPLUM I. Froponatur invenire fummam Logarichmorum decem numerorum 101, 103, 105, 107, 109, iii, 113, 115, 117, 1191 hi collati cum hifce x-f*, *"T"3 W » *"T"5 W » z — "» ^ ant differentiam communem 2»= 2, & rt—i ; atque primum x-4-i = 101, fecundum vero 2—1= 119: unde x— 100, 2=120. Hifce autem fubftitutis, 6c .43429.44819.03252 pro a; atque Logarithmis ipforum 100 & 120 refpective pro /, * flr /, 2 ; valores duarum Serierum invenientur 78.28491. 4001 2.1 & 98.69290.42601.6, quorum differentia dat 20.40799.02589.5 pro Summa Logariihmorum defiderata. ExEMPLUM IL Quaeratur jam Summa Logarithmorum numerorum n, 12, 13, — -iooo, quorum pnmus eft 11, & ultimua 1000, & differentia communis unitas. . 11 1 21 Eft igitur »= — , x -J-— = io, 2— — = 1000 ; unde x = --, 2= 2001 21 2001 — -— quibus fcriptis, & Logarithmis ipforum — & — — - pro /, x & prodeuot pro valorikus Scrierum 2567.20555.42879 & 6.16067.309 87, Digitized by Google Interfolatio Serierum. 137? 6.16067.30987, quorum differentia relinquit 2561.04488.11892 pro> Summi Logarithmorum quaefitiL Ccterum fi velis fummam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalium 1, 2, 3, 4, 5, &c pone 2 — n effe ultimum numerorum, ex- j iftentc r=- ; & tres vel quatuor Termini hujus Serici z/,2— .«2— - 2^2 28802* — &C ' addit ' Lo 8 aritnmo circumferentisc Circuli cujus Radius eft Unitas, id eft, huic 0.39908.99341.79 dabunt fummam quas- fitam, idque eo minore labore quo plurcs Logarithmi funt fummandi. 1 2001 _ . . Sic fi ponas z — — = 1000, vel 2= valor Scriei ent 2567.20555.42879 ut antea; qui adje&us Logarithmo conftanti efficit: 2567.60464.42221 pro fumma Logarithmorum, primorum mille nu-. merorum hujus Serici . 1,2, 3, 4, 5, &c Exx mplum nr; Oporteat invenire Unciam quingentefimam in dignitate Binomii mil' lefima. Conftat per Theorema Nevitoni pro cvolvcndo Binomio Un- - ciam illam acqualcm effe produdlo fub quadringenti 6c nonaginta no- «.m fa^orlh.,* 999 99 8 997 99^ 502 . vem ractonous — , -jS <^-, — , . qqorum pn- 1000 . 502 rous eft — - — , & ukimus — ; exrfteotibus tum Numeratoribus tum« Dcnominatoribus in progreffione Arithmetica. Ad inveniendam fum~ mam Logarithmorum Numeratorum 1000, 999, 998, 997, 502 ; pone diflferentiam communem 1=2», maximum corum 1000=2 — 2 *' . 1 . 1 i rainimum 502 = x-\- — \ entque n = j,z= 1000 — , x=$oi : qui- bus fubftitutis, prodibit 2567.20555.42879 pro valore prioris Serici, & 1 136.38715.63268 pro valore pofterioris: horum autem- differcntii 1430.81839.796n aqualis eft fummac Logarithmorum Numeratorum. Dein ut obtincatur fumma I ogarithmorum Denominatorum 1, 2, 3, 1 1 r » 4, 499; pone «=-, 2— - =499» "ve 2 = 499- i & Mce fcriptis in Serie priore, prodibit ejus valor 1130.9883485966, cui ad- jiciatur Logarithmus .39908.99342 juxta regulam in Exemplo priorc traditam: & habcbis 1131.38743.85308 pro fumma. Logarithmorum ■■ Denominatorum. Quam dcnique fubducito dc fumma f^garithmorum> Numeratorum, atquc mancbit 299.43095.94303 Logarithmus fciJicet, UAciae defideratae. N n Sjdrousmw. i38 InterpoUtio Serierum. ScHOtlOK. "Hujufmodi Series i, -A, ^jB, j~C, &c interpolatur pcx Propofitionem vigefimam fextam, ubi differentia inter r & /> eft ex- tgua : & per hanc Propolitionem generaliter nulla ratione habita iftius difTerentis. Atque eodem plane modo invenire licct fummam Loga- rithmorum Numerorum, qui funt longe magis compofiti quam sequi- dirTerentcs ; eoque paclo aflignare Terminos Serierum quarum interca- latio pro difficillima haberi folet. Per hoc quoque Problema inveniun- 4rur Area; Curvarum quarum Ordinatae funt hujufmodi i — x ubi index Binomii eft permagnus •, fed in eo cafu folo quando pars Areae quxfita jacet fupra partem Abfciflie aequalcm Unitati. Et fane omnia fere Problemata de Interpolationibus huic Analyfi fub- jiciuntur, imo etiamfi tres vel ptures Termini Seriei intercalandae ingre- diantur ^Equationem Differentialem : harum enim refolutionem in po- teftate habeo. Atque hic notare libet Series quae prodeunt per Para- bolam Ntwtoni, prodire etiam pcr noftram methodum. Proponatur enim intercalatio Seriei ijuse definitur ^lquatbne T'=^^~ T, in qua valores Abfciflse 2 fucce flivi fu nt o, 1, 2, 3, &c. Ea vero fcribatur in modum fequentem *-r* X r— T — »T=o i & fingatur t = a -j-Bz-f- Cz.r^i-j-^ 2 *— • i^r+Ez.ir7.*^i.X^7 + & c - Atque fubftituendo T' pro T, & 24-1 pro 2, obtinebitur T'= A+ B^i .+ Ci~i.z + T>~\.x.—- X + Ei+i .z.—~x.Z~ + &c. Unde T'— T = B-f 2C2 + 3D 2.^=7+ 4 E 2.IZ7.£ri + &c. Hifce autem valoribus fubftitutis in /Equatione refolvenda, & membris reductis ad eandem formam, refultabit + rB7+2.— C1 +3-'~ ;D> _+4„+5EV TJcnique poncndo mcmbra homologa ajqualia nihil, habebitur B = « . ^ 1 » — 1 „ ^ 1 » — 2 t r, 7 7 A > C = lXr+7 B > D =3-Xr+I C » E^X^D, &c. Adeoque T = Digitized by Google LtterpdatioSerierum. 139 Hoccft T = A4--A- 4- — i — B r— C \- — P — - 5rc. Ubi A, B, C, D, &c. non amplius denotant Corfficicntes, fcd Tcr- minos totos. Et prima Coefficiens A quae ex &quarione non drrer- minatur, squalis eft Tcrmino Seriei interpolandx qui tranfit per ini- tium Abfciffe z. Et hic eft ipfiffimus valor Termini T q ji prodiiffec per Propofitionem decimam nonam. Atque ctiam Serics quas exhibec Propofitio vigefima invenientur per rcfolutionem wflEquationum Diffe- rentialium, aflumcndo dcbitam formam radicis. Propositio XXIX. Detur Series Ordinatarum intervallis quibufcunque ab in- vicem dtftantium y pergens vero ex una tantum parte in infinitumi cjf oporteat invenire LineamParabolicani qu — , &c. B-^, Ca = **=5-\ fcc " &c Atque erii Ordinata Tb A-f* Bx£3+ Cx^xI=i+_ DXt-4X^4Xt-< + F xX^«x*3 X ~ *x «~ < x*^-^ &c. Notandam eft principium Abfciffie, nempe pun&um R fumi ad arbi- trium, vel inter Ordmatas vel extra omnes uc in Schemate dummodo. fignorum -4; & — debitt habeatur ratio. PropoCtio autem dcmon- ftratur fubftituendo Ordmatas A, Ai, A?, &c. fucccffive pro T, & interea pro z longitudines ejus ordine fuccedentes a, b t c, &c. Nam fu- mcndo differentias /Equationum provenientium & dividendo eafdem Ser intervalla Ordinatarum, obvenient valores Cocfficientium fupra af, gnati. ExEMPXU M T. Sint Ordinatarum a principio Abfciffie, intervalla «ss, f=<, d=6 i ipfa vero Ordmatas Cnt A= 2, B=r, C=o, D =7» Ai=3, B»=t, Ci=2, A2-5, B2=7, A3 = !2, Et ineundo computum juxta pnefcripta Theorematis, invenietur B— 1,. C=o, D=^-; quibus fubftitutis & 2 pro A, invenietur T = 2-f* ^r+-X*-i*-3*-s, quse in ordiaem redocla fitTx Digitized by Google Interpohtio Serierum. 1 4. i z » toz — 2° Etcnim fi inibi fcribantur 2, 3, 5, 6, pro 2j prodibunt OrdinatJe propofiUE 2, 3, 5, 12. EXEMPLUM II. Oporteat determinare tempus Solftitii ex datis aliquot SoJis altitu- dinibus meridianis circa idcm tempus. Defignent Ordinatx alcitu- dines folis, earumque intervalla denotent tempora inter obfervationes tum tranfeat Parabola per extremitates Ordinatarum, & Abfcifla ejus quae correfpondct minimse Ordinatse, five ea fit una e datis vel quasvis intermedia, determinabit momentum temporis quo Sol ingreditur Troptcum. Exempli gratia B. Walterus Anno 1500, Morimberga ob- fcrvavit diftantias folis a Zenith ut fequitur 44975 8«. 44934 9»o 44883 44990 i6*° Junii Sit jam diftantia obfervata die oftavo Ordinata prima, & in eadem fit principium Abfciflje s eritque a=o, r=4, hoc eft, T= 44975— iZi z-\- z' -f- 2*. Jam quoniam Abfcifla quzfita correfpondet Ordinatas minimse, ponatur Fluxio ipfius T jcqualis nihil, & habebitur 3224-3742=1500, cujus Radix 3.889355 exprimic dies elapfos intcr roeridiem octavi diei Junii & momentum Solftitii : quod itaque accidic 21 hor. 2cr- min. pr. poft meridiem dici decimas primz, fccundum 3 hafce Obfervationes. Poteft etiam tempus Solftitii detcrminari per plu- res Obfervationes & Parabolam plunum dimcnfionum ; vcl pcr tres O o Obfer- 1 4.2 Interpolatto Serierum. Obfervationes adhibendo Parabolam Conicam, uti docutt HmIUm. Sed oportet diffcrentias intcr altitudines obfervatas, efle fenfibilicer majorcs erroribus qui committi queant inter obfervandum, alias nihil ccrti concludi potcrit. SCHOLI ON. Ntwtoms utitur hac Propofitione in determinando locum Cometx qui cadit inter aliquot loca Obfervationibus nota. Nimirum fi obfer- ventvrr quotvis longitudines defignatae per totidcm Ordinatas, quarum intervalla proportionalia funt temportbus tntcr Obfervationes, 6c de- fcribatur Parabola per Ordinatarum extremitates ; Ordinata» hujus li- gurx intermedias denotabunt longirudincs Cometa; intermedias pro temporibus quse funt proportionaha Abfciflis. Et eadem methodo da- bitur latitudo pro quovis tempore ex datis aliquot latitudinibus. Ex longitudine autem & ladtudine datis datur locus Cometas in Caslis. Et hunc in modum plurima obfervatu difficilia determinari pofllnt fatis accurate ex Obfcrvationtbua aliquot anterioribus & pofterioribus. Applicabilis eft etiam hjcc Propofitio ad refolutionem .Squatio- num purarum afTectarumve. Nam tn JEquadone refolvenda fcribendo pro radice numeros ab eadem haud multum difcrepantes •, provenient corum intervalla, qui dein interpolati exhibebunt radicem. Sed poft refolutionem ^quationum Hallei fruftra compendioftor fperanda eft. In cafu quando intervalla Ordinatarum diminuuntur in infinitum hoc Problema dabit radicem ^Equationis fluxionalis, etiamfi nec radix neque altcra indeterminata fluat uniformitcr; & hoc mcra fubftitutione flu- xionum Radicis pro diffcrentiis Ordinatarum, & pro earum iatervallis fluxiones Abfcifls. Nam ficuti cafus Ordinatarum aequidiftantium re- fpondet fluxionibus Abfcifise uniformiter crcfccntibus; iu haec Propo- fitio fluxionibus quacunquc lege variantibus. Et rcfolutio /Equationis fluxionalis in qua utraque indctecminaxa fluit quacunque lejge, non eft Corollarium ex hac Propofitione, fed Cafus ejufdem omnium fimplt- ciflimus : quod obiter hic monere vifum eft, ut pateat Methodum DifFcrentialem generaliffime complccti univerfam Serierum do&rinam, quod forte alii non perccperint. Propositio XXX. Jnvenire /Jfymptoton Hyferbola generis Logarithmici ex datis ejus Ordinatts aliquot aquidiftantibus. Sint Ordinatae sequidiftantes A, B, C, D, E, &c. infiftentes fuper Abfciflam PL in angulis rectis: fitque QJR Afymptotos Curvas pa- Digitized by Google Interpolatio Serierum. 143 rallda Abfciffse, & intervallo P Q^ab eadem diftans. Apelletur vero Abfciffa qusevis AL z, & Ordinata correfpondens L»y. Hyper- bola autem Logarithmica HmK definiatur JEquationc •» ; p y — 4 _ _ rr« — . rfr»*— .*r4*— &c R H . Tll I » I L 1 CL D l : f +. Ubi r, d, J>, c, , &c. In primoautemTerroinoeft»=r*, in fecundo »=r l , in ttrtio' jr=r* f in quarto n=r», & fic porro. Exempli gratia, in quar- toTermino Cocfficicntes fumpti ordinc inverfo funt i, i+r+r*, r + r «+r», r», negleftiB fignis, eft vero i Xjz^T = , + r + r "» iq^Pxr^^r+r^+r», denique r+r'+r»x£_7 = r>; fic itaque inveniuntur Coefficientes. In hfc autcm Propofitionc exci- 1 P»o 1 Digitized by Google 144 Interpolatio Serierum. pio cafun» in quo eft r=+i; tunc enim degenerat Hyperbola in li- ncam rectam. Scrics vcro fic inveftigatur. In yEquatione aflumpta y=a—br*- «. rr"— .&c. mueetur fignum AbfcuTs: z, & prodibit y=« — ^ c *— . &c. fcribe Ordinatas aequidiftames A, B, C, D, E, &c. fuccef- five pro y, & interea o, i, 2, 3,4,&c. pro Abfcifla z: ac prodibunt A=<* — b — c —d — ? — &c. B=a — ir — f r* — i/r 3 — rr" _&c. C =a— br « — cr 4 — Jr * _rr ' _ &c. D=a — br l — cr s — Ar* — tr" &c. E=j — br*—cr* — dr" _ :^ c - ^ 11 ™ 8 omnium sequahs erit PQ intervallo inter Abfciffam & Afymptoton : vcl ftylo Gregoriano dabitur Terminatio Seriei. EZEMPLUM. Datis Polygonis aliquot regularibus Circulo infcriptis, invenire ulti- mum Polygonorum five Aream Circuli. Ea funto Digitized by Google Inierpolatio Seriernm. 14 5 4 l 2.00000.00000.0000 = F 3.1 4033.1 1 569.5475 8 2.8284271 247.4619 =: E 126.08888.0294 16 3.06146.74589.2072 = 0 6072.7439 32 3.12144.51522.5805 = 0 5-5652 64 3- l 3 6 54-%49°5-459* = B 119 128 3.14033.1 1569.5475 = A - 3.141^9.^6535.8979 Dicatur jam ulcimum Polygonum A, penuhimum B, antepenultimum C, & fic retro. Et quonum corum difftrentiae A — B, B — C, C — D, &c. funt quamproxime ut Tcrmini 1, 4, 16, 64, 256, &c. id eft, uc dignitates Quatcrnarii, erit 1=4 ; quo fubftituto, Series generalis evadit , A — B , 4A— ;B-|-C , 64A— 84B+21C— D , „ A + — + a .t 5 + i^V"'+ &0 In qua fcribe pro A, B, C, &c. fuos valores, & primi quinque Tcr- mini dabunt Aream Circuli ad quindecem loca figurarum, ut ex com- puto appofito manifeftum eft. Et fimUiter res confit pcr Polygona circumfcripta. Hac autcm ratione qurcvis Series fummari poteft. Nam fi Ordina- tse sequidiftantes denotent fummas fuccefiivas, vaJor totius Seriei aequa- bitur diftantise inter Afymptoton & Abfciflam. Si Series fummanda fic hujufmodi a-\-bx-\-cx* -\-dx l -}-&c. ubi *, **, x», &c. denotant par- res Terminorum quje funt in progreflione Geometrica, erit r=xj & valor ipfius PQ_converget eo celerius quo longius Summae fuccefiivas diftant a principio, quae denotantur per A, B, C, D, &c. In cafu au- tem quando eft r = + 1, aflumenda cft Hyperbola quse definitur hu- jufmodi /Equatione ;s - in a-f- - + ^-\-- % -f- &c. vioe Hyperbo- Ise Logarithmicae 1 atquc index n decen#iabitur ex natura Serici futn- mandse. Nocandum eft Series infiniiaa scquc fummarf pofle pcr Parabolam Newtoni ac per hafce Hyperbolas. Nam Ordinata» quas in HyperbolU funt atquidiftantes, fi ad cerus quafdam diftantias conftituanturi ex- hibebunt, ope Parabolre, eafdem exprefijones pro valoribus Serierum. Numerus figurarum quae veras funt in Polygono A, duplicantur pcr duos Tcrminos Seriei, criplicancur pcr treB, & ita deinceps. Sic in Ex- emplo allato funt cres verse figurse 314 in Polygono Aj & indc quin- que Termini dederunc Aream Circuli ad quindecem figurarum loca. Ec hae funt Approximationes quales olim invenerunt Jacobus Gregorius & Hugenius: hic quidem triplicavit veras figuras, ac ille eafdem quadru- plicavit, quintuplicavit, imo fine limite produxit, uti vidcre eft in Ap- pcndice ad Vtram Circuli & Hyperbola guadraturam. » »" < P p Propo- 1 4* Interpolatia Serierum. Propositio XXXf. Inveritre Aream cujufvis Curva quamproxime ex datis alt- quot ejus Ordtnatis aquidtfiantibus. Per extremitates Ordinatarum defcribe figuram Parabolicam, ejufque Area quse invenitur per mechodos notas, proxime aequabitur Ares Curae propofitse. O^, E, I. Scholiom. Quoniam laboriofum efiet fempcr recurrere ad Parabolam, compu- ravi Tabulam fequentem quae exhibet Aream Curvse dire&e cx datis aliquot ejus Ordinatis aequidiftantibus. 3 5 7 9 3 5 7 9 Tabula Arearum. A£B R 7A4-32B-f-i2C R 90 4iA4-2i6B 4- 27C-f-272D „ 840 R 989A4-5888B~9 28C +i0496D — 4540E 28350 Tabula CorreBionum. P-4A4-6B 180 P— 6A-J-I 5B— 20C „ P— 8A4-28B— 56C+70D 930 R P 1 OA4-45B— 1 2QC4-2 1 0D^2 52E 1600 ~ R In hifce Tabulis A eft fumma priraas & uhimse Ordinatas, B feeundae k pcnultimae, C tcrti* & antepenultimae, & fic porro ufque dum devcntum Digitized by Google InUrpdatio Serkrum. 147 deventum fueric ad Ordtnatam in medio omnium qu* per ultimam li- terarum A, B, C, &c. reprcfentatur. R eft bafu fupra quam jacet A- rea, feu pars Abfcifia: inter primam & ultimam Ordinaram intercepta. P eft fumma duarum Ordinatarum quarum una confiftit ante primam, altera poft ulcimatn ad diftantias -quales intervallo communi reliqua- rum Ordinatarum. Numcrus autem Ordinatarum qui hic eft impar, fignatur ad latera Tabularum. Exprelfiones in Tabula Arearum iunc Arcas contentas intcr Bafin, Curvarn & Ordinatas binc indc extremas. Ese vcro in Tabula Correttionum funt ejufdcm circitcr magnitudinis ac differencias inter Areas veras & eas per Tabulam prodcuntes: adeo- que fi prima Egura CorrcAionis inveniatur, dcin adjiciatur ubi Correftio eft ncgativa, vel fubducatur quando eadem cft afBrmativa j concludcre tuco liccc Arcam fic correfbim, veram efle in eo Ioco decimalium in Suo intrat prima figura Corredtioois, nec ultra. Itaquc^pcr Tabulam brrectionum Area invenca corrigicur, & fimul numcrus figurarum vcrarum dignofcicur. ExEMPLUM* Sit j^j-; Ordinatx Hyperbola: «quilaterse , & quaa-atur Area eju* qusc jacet fupra Abfciflam unitati sequalem. Pro * fcribe fucceflive 8~' sf' 8*' 8' 8"' 8~' 8~' 8* & pro vemcnt novem Ordinatar _ _ _. JL 8 £ I j. | 8» 9* 7o' 11' 12* 13* 14' '5' *6 8,8* 8 8 64 _ 8 , 8 48 Igiturcft A = g- + 76 = -, B=- + - = ~, C= Vo + ~ = ~, D = — -i- — = E_r^- = |-: & hifrc fuhftitutii in ultiraa ex* 11 • 13 143' 12 3 preflione Arearum, & unitate pro R, oritur Area .69314721. De- indc in Ordinata ^j- fcribc -y & -f 9 - fucceffive pro *, & provcni» 8 S ent duse Ordinatse — & — •» quarumprior ftat ante primam, & pofterior poft ulcimam ; adcoque P = y -f ~j = : quem fubfticue pro P r & pro A, B, C, D, E, fuos valores, & CorrecYio pro novcm Ordina- tis dabit -f- .0000000?, quse quum alfirmativa fic, fubducatur a valore Areac orius invento, & rcftabit .69314718 accurata in ultima figura. Comru» 14*3 Interpolatio Serierum. Computaveram hafce Tabulas ulrerius, ceterum Exprefliones pro undecem aut pluribus Ordinatis funt ufibus inepti propter immenfam magnitudinem CoefEcientium numeralium. Sin vero novem Ordinata; non dent Aream fatis accuratam ; dividatur bafis in duas vel plures par- tes ; & inde Area dividetur in totidem, quarum quamque fi quarras feor- fim per novem Ordinatas, habebis totam Arcam pro lubitu accuratam. Sed & nonnunquam convenit quxrere partem^Areas per Seriem infini- tam, prscfertim fi Curva decuflet bafin in angulo recro. Atque hifce praecognitis, Area quaevis habebitur fatis accurate per Tabulam jam appofitam. Sed & Areas Curvarum haud incommode exprimi pofilnt per Dif- fcrentias Ordinatarum aequidiftantium ad modum fcquentem. Tabula Arearum per Differemias Ordirtatarum. A A "T-gT B A +f B +£ c A +r B +r 0 c +£ D 13 86 A-f - B + -C 4- -V D 4- ■§-, E «75 1 3445 , 4045 3 25 94 A + SB + ^C+^D+^E + ^ 10 1 ai 1 700 » 1^350 In hac Tabula A eft Ordinata in medio omnium, _ , 66 _ F4 G ^3050 B eft differentia fecunda trium Ordinararum in medio, C eft differentia quarta quin- que Ordinatarum in medto, & fic porro ad ultimam literarum A, B, C, D, E, F, G, qua; eft ukima differentia omnium Ordinatarum. Ut fi fmt quinque Ordinaue a, d y e; erit A = e, B = i — 2<"4- su duarum quas hinc inde fcqountur, & fic porro, tum pone. B—b— 2A, C=r— 2A— 4B, D= c, d, e, f y Terminos aquidijlantes con- ttnue tendentes ad rationem aqualttatts, $3* JEquattones jequentes approximabunt ad eorumdem relationes, a — l—O a — ib-\-(=o a— 3 i-J-3 c — rfc=o a — 4^+6 c — -\d-\-s = o ^i-^-iof — tod-f-5'— /= o a— jb+i i 35^-1-35?— 2 1/4-7^—4=0 9 j 4 — 8J+28f— 56^4-70*— 56/4-2 8g— 8£-|-/=o I0 I a — 9 ^-[-3 65 2 -K 54=3-448397 »034 (»5i+/. 55=3-44793^8656 /,50-K 56=3.447» 5' 8o 3 »«? 4 6 8 10 1. !. .. • Dcin 152 Interpolatio Serierum. Te C im£;,° £' fubftituc ho , fcc va,ores in Expreffione pro fex SnTJ , w Rrodlb,t - '-72427.58695 pro Logarithmo numeri 53, «- .ftentc unitate errore u . ultima figura. Hinc in Tabulis LogaShmi- cis, Tngonometricis, Aftronomicls, aliifque rjufmodi •, fi dcfit Se S^fi n ^^ ,S • infC " P Cf ^ Propofitionm , vd fifuf! SrW M T q ^ CmV,S , e . rroncum c »" e > P«eft eadem methodo "L^ E *P^mones hic cxhibit* funt generalcs, utique q_« non depcndcnt ex natura Tabute cujufvi, particularis. R * Propositio XXXIII. Deftgnent &c. e ,t, y, /3, a, a, b, c, d 9 e, ®c. Terminos alternos tn Serie utrinque excurrente in infinitum, 6f ponatur A = a+a, B = _-f-/3, C = c+y, D = d+t, & f tQ P orro \ Mque Terminus in medio in- ter a & oc confiflens, aqualis erit ^XA-B-f- i | s X2A_ 3 B+C + ^X 5 A_c>B+ 5 C__> + •^— X mA—Is B~+_oC_ 7 D+E + Coeflfcientes numerales literarum A, B, C, D. &c dmt ,«ff_-_ • Unciarum in divcrfis dignitatibus Binomn' Et Cotmcttct ^Td': cuntur in totos Terminos, fcilicet I -^, &c . gcnerantur ^ continuam multiplicationem numerorum -2- --L. _Z_ a, U / - 4.2' 4.4' 46' i _g» < *c.riilce vero praxognms, Series ad libttum producitur v ?Jfii eriC t inVCfti$arU _'_ 0 _ Cnd0 ^ 2 = o in Cafu { ™*o Propofitionis ca,ra haUtur 0rdinau fivc t *™™w cS: Poffinc Digitized by Google Interpolatio Serierum. 1 5 3 Poffint autem Tcrmini Serici in unam fummam colligi ut hic vides, A A 6 8 10 a qA-B 150A— .23B-4-3C 1225A— 245B4-49C— 2048 8C— 405D+55E 65536 Prima Expreffio eft primus TermiMis Senei,;feTuoda eft Summa primi & fccundi, tertia eft Summa trium prfmorum Terminorum, & fic deinceps. Ex daris itaqae Terminis alternis, intcrmedii confeftim, dabuntur per hanc Tabulam vel per ipfam Seriem. Prima Expreffio - fufficit quando fecundus Terminus Seriei minor eft quam qui ingre- diatur computum. Et fimiliter In reliquisi nam Tertfoiai Seriei fiint differenti?e inter Exprefiioncs & vcritatem quamjproxmre : adeoque fem- per fcire licec qusenam expreffio fufficit propofito. Exempli gratia, fi quseratur Logafithmus numeri 53 ex datis iis. numcrorum 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60 ; pone A 52+/» 54=A=j.44839-7»035 h 5<*-H 56=8=3.44715.80313 /1 4«-f-A 5 8 = c — 3-44466.92309 /, 46-p, «bs=D*£:3.44P9o.9082a . Et hifce valoribus fcriptis in Serie; vcl in Expreffione pro oc"to Ter* minis, habcbitur 1.72427.58696 prc^^ogtrithmo^rtirtleri 53. Ec ci- dem ratione invenire licec quemvis alium intermedium. In Conftru- ctione ergo Tabubrum fufficit primo quaerere aliquos Terminos in de* bitis diftantiis ; nam reliqui poffun t hsk methodo mfcri. Etenim con- tinue intercalandi funt Termint primcr inventi, ' ufque dtim perventum fuerit ad ultimos qui ingrediuntur Tabulam. Et notandum eit, opoc- tcre omnes Terminos computari circa initium Tabul» propter magnas differentias s dein per faltum pertranfire licet alternos decrefcentibus diffcrentiis ; & poftea ternos, feptenofque ubi differentiae funt minores. Et hacc eft methodus quam prsccipit Newtmus : ceterum prsefcrcndse funt rcgulse particulares deducWex natuirii labife rthitruend* j nim hse minorc laborc plerumquc abfolvcnt opus. F I N I S, Digitized by Google E R RAt A. 2 pAG. 4. |. 5 . pro z-f-j, lege z-f |-. Pag. 8. L 18. pro a-J-4, lege 2 — 4. Pag. 44. i. 8. pro Ty.f'—, lege Tx ~ Pag. 67. 1. 12. pro B= 2 ' 3 ' 3 B, letre C= 2 ' 3 ' B B Pjg. 76. I. 26. pro y+xy y lege jf+*) : . Pag. 80. J. 13. pro 2^)i)-, lege axvi. Pag. 83. 1. pcn. pro eritque, lege ent. pAg. 91. 1. 21. delc &c. Pag.94.L12.pro lege Pag. 115. 1. 12. pro media, lege medio. Pag. 120. L 3. pro periferiz, lege femiperiferise. Pag. 122. 1. 1 5 . pro 46, lege 4, 6. Pag. 136. 1.28. pro *-J-j- = io, legex+j- = tt. Pag. 137. L 5 . pro r=7, lege »= J-. ' 1 Ibid. L21. pro *=#>i, legex = 5 oi— . Pag. 147. I. 18. pro Ordinatae, lege Ordinata. Ibid. I 1$. pro K lege f-. t Date Due ■ i 9 Digitizedb AHH ^i|g&3 by Google # Google:.-