GIFT  OF 

Bern  Dibner 


OPERA 

GEOMETRICA 

EVANGELIST^ 

TORRICELLIl 

Di  Solidis  Sph^sraiihus  De  [olido  HyperMice 

De  Motu . Cum  Appendicibus  de 

De  Dimen[om  TArahola  cloidc:,  ^ Cochlea* 


s 


‘V  V' 


i»’V 

'tft' 


r 

..k. 


/- 


■f" 


c< 


. A 


T F' 

\ i' 


t 


4 


:<  - 


' ^ 
-'-^'■•-■n-v.  'C  ' 

- .;-  c-'-.  j • • 


;k 


i 


'k 


t 


33 
AS' 

«Kf 


DE  SPHiERA 

Et  Solidis  Sphaeralibus 

LIBKl  DVO 


In  quibus  Archimedis  Dodlrifta  de 
Sphcera  & cylindro  denuo  com- 
ponitur, latius  promouetur , 

Et  in  omni  fpecie  filidorum  :,qu£yel circa ^vel intra- 
Sph^ram^ex  conuerpone poltgonorum  r epularium 
gip^ipojjtnt  i yniuerfalius  Tropapatur . 

AD  SERENISSIMVM 

FERDINANDVM  IL 

Magnum  Ducem  Etruriae . 

A V C T O R E 

EFANGELISTA  TORRICELLIO 


emfdem  Serenifsimi  Mami  Ducis 


Fforcotj^  Typis  Amatoris  MalTe,  & Liurenrq'  de  L3.ndis  1644 
SV  PER  lORV  M P iTFJTTs  SF^, 


i 


i <L  9^' 

• . .»  • % % 


t 


i 

i' 

k 


f- 


-Sri- 


,»V 


. ->7 

-'t 

’^- 
■■V . 


/• 


'i? 

V 

‘i 


fi-' 


i 


K' 


'.A, 


f 


/ 


-\4 


'V 


X 


3 


Serenifsimo  Magm  Duci  Etruria 

FERDINANDO  II. 


RFBE  SCEREM  prafeSo , Seremf 
f me  Magne  Dux , oblaturus  libellum 
hunc  S er enifsim te  Celjitudini  T utSy  ni-- 
Ji haberem  maxima  Archimedis , et  Gte 
lilei  nomina^quicprtxtendere  pojjlm  au^ 
dacix  mea : Exigua  enim  Junt  opujcu" 
la  hac  de  rebus  at  at  e noBra  negle- 

Bis  y nempe  G eometricis  • Attamen  y niji  fallor^  duo  maxima 
Geometria  opera  promouebunty  cum  n)  et  er  em  De  Sphara^  et 
Cylindro  y nouamque  De  Motu  fcientiam  exequantur . Sed 
ego  frufira  Geometriam  excufo  apud  eum  Principem , cui  non 
Jolumhareditaria^fed  etiam  ingenita  e fi  Mathematicarum 
difciplinarumproteBio * Sereniffimus enim  CoJrnuslL  Pa- 
ter Tuus fiipendijs  celeberrimo  Galileo  oblati si  deinde  Ser. C* 
T ua  5 beneficijs  maximis  in  huiufmodi  fcientia  cultores  collo^ 
catis  p optime  demonfirauit  intelligerey  quanti  momenti  fint 

A z Mathe- 


4 ^ 

Mathematica fcientiae , njel in  difionendis  exercituum  acie^ 
hus ^weHn  muniendis ^ exornmdippe  njrbibus ^ utroque 
tempore  belli  ^pacijqtie.  Cum  enim  ( njt  de  Mechanica  facuU 
tate fleam ) totum  pene  ciuile  commercium  pondere  ^nmeroy 
^ menfura  adminiflretur  ^ quis  non  videat  omne,  hominu 
negotium  in  Mathematicis  ejf  ? qua  tria  quantitatis  genera 
cum  in  S cholis  noflris  quotidie  agitentur illiprofeBo  maxi- 
me  vtiles  Reip.  habebuntur  y qui  in  huiufnodi  Budijs  njerfa* 
ti  y exercitatique  erunt.  Libellorum  itaque  non  inutilium 
caufa  penitus  mala  non  erit  quatenus  Geometrici funt . Kti* 
ndm  mala  non  ft  eo  nomine  quod  funt  met : Fropterea  humilL 
ier  oro  y illos  qualefiumqsfnt.^  Tibi  tamen  debitosy  T ua* 
que  munificentia  edit  os  y S.C,Tua  fufeipere  dignetur  eo  vul- 
tu y quo  me  quoque fipplicem  fufeepit  y atque  ea  humanitate^ 
qua  cum  tanti  Principis  maieBate  coniunBay  amorem  eli- 
cit etiam  ab  ignoti  s % Faueat  Deus  omnibus  votisTuis  3 
S»C  T uamy  imperiumqs  diu  tueatur  3 ^ augeat  * 
Serenifs.C.Tua 


Humillimus  feruus 

lEu  angeli  ft  a T orrkellwsl 

PRO  E- 


i 


PROEMIFM. 


N T E R omnia  opera  ad  Mathematicas  difci- 
plinas  pertinentia, iure optimo  Principem fibi 
I ocum  vindicare  videntur  Archimedis  inuen- 
ra  3 quse  quidem  ipfo  fubtilitatis  miraculo  ter- 
rent animos . V erum  inter  omnes  libros  egre- 
gij  Authoris  longe  eminet  ille,  qui  De  S phsera, 
& cylindro  infcribitur : neque  enim  pofteritatis  tantum  confen- 
fu,  fed  etiam  iplius  Scriptoris  iudicio  primas  tenet . Certe  hunc 
ipfe  in  titulum  fepulcri  elegit,  dignumq;  pr^  ceteris  iudicauit  j 
qui  tanti  viri  tumulum  exornaret , oftenderetque . Hunc  tamen 
fi  quis  attentius  confiderare,  & perpendere  velit,  magnum  qui- 
dem inuenmm  fiitcatur  necelTe  eft , fed  fortalTe  non  abfoliitiim. 
Loquor  equidem  de  primo  tantum  libro , in  quo  partem  operis 
Theorematicam  , & omnem  dodrinse  inuentionem  exequitur: 
quo  veluti  iado  fundamento,  in  fecunda  parte  poftea,  quafi 
coronidis  loco,  problemata  quadam  tamquam  corollaria  ad 
eam rem.fpedantia ipfe fubne&t. Titulus librieft  De  Sphaera, 
& Cylindro ; que  quidem  verba  apud  nos  idem  fonant,ac  fi  di- 
xiffet  De  Sphtera , atque  vnico  folido  fphgrali ; fed  fphtera- 
lia  folida , quorum  vnum  eft  cylindrus,  multitudine  funt  infini- 
ta, vt  mox  patebit  « Ergo  abfolutior  fortalfe  contemplatio  vide- 
ri potuilTet,  fi  eximius  Author  proportionem,  non  tantum  eam, 
qute  efl  inter  fphteram , vnicumque  ex  fpheralibus  folidis  per- 
quififfct , verumetiam  omnem  aliam  rationem , qute  inter  ij^h^- 
ram  ipfam,  & vnumquodq;  ex  infinitis  fphteralibus  folidis  inter 
cedit,  oflendendam  fibialTumpfiiret.  Hoc  itaque  propofitum 

erit, 


/ 


^h€Cf» 
j^*Ub  }} 


'■** 

6 

& inflitutum  meum  in  prtefenti  libello . Dodrinam  non  foliim 
de Sph^ra,& cylindro^  leddc  fphi^ra,  & fphceralibus  foJidis 
omnibus  profequerrur;  Mutatifq;  plerumque  Archinied^is  fun 
damentis , vniuerfaliori  demonftratione  illam  complcdi  cona- 
bimur, atque  in  omni  fpecie  folidoruin,  vel  intra,  vel  circa  fph^ 
Tam  defcriptorum , propagabimus . 

Ex  libro  Archimedis  De  Sphccra  & Cylindro  duo  h^c  col- 
liguntur fpedantia  ad  illafolida,  quae  nos  fphseralia  appella- 
mus : Primum , quod  fphsera  dupla  cft  infcripti  fibi  rombi  folidi 
jequilateri  >quod  quidem  vnum  eft  ex  folidis  fphteralibus,  geni 
tum  ex  reuolutione  quadrati  infcripti,&  circadiagonalem  con- 
uerfi  * Alterum^ quod  cylindrus  ad  infcriptam  libi  fph;^ra;m  eft 
fefquialter.  quod  quidem  &vnum  ex  folidis  fphaeralibus  eft , 
genitum  ex  conuerftone  quadrati  circumfcripti , & circa  ipfius 
catetum  reuoluti . Stantibus  his , contemplatione  dignum  mi- 
hi videbatur  vniuerfalius  aliquod  problema  huiufmodf. 

Dato poligono  quocunque  regulari fue  intrUifiue  circa  cirem 
Ium  defcrtpto , ^ Jiue  circa  diagonalem,  jiueetrea  catetum  re- 
uoluto,  proportionem  dicere^  quamfa&um  expoljgono folidum 
habeat , ad  faBam  ex  circulo  jpheeram . 

Penitus  autem  ex  voto  fuccelTit  inftituta  contemplatio . Nam 
inuenta  proportione , fex  ifta  inferius  adnotata  Theoremata  ita 
fe  habere  comperi , quemadmodum  hic  fubijciuntur . 

Trima  fetidorum fph  oralium fpecies  • 

Si  intra  circulum  deferiptum  fuerit 
poligonum  regulare  habens  latera 
numero  paria , & conuertatur  figura 
circa  catetum  B.  Quafitur  ratio  fph^e 
tx  ad  fadtum  folidum , 

Continuetur  ratio  radij  poligoni 
ad  catetum  eiufdem , nempe  AadB 
in  quatuor  terminis  A,  B,  QD.  Erit 
que  fph^era  ad  folidum  infeript  um  ,vt  diame- 
ter iph.xxx,  hoc  eft  vt  dupla  ipfius  A ? ad  vtramqj  fimulB,  & D ^ 
“ ^ Secuti 


a 


ABC» 


Secunda fpectesl 

Si  intra  circulum  defcriptum  fueritpolfgS- 
num  regulare  habens  latera  numero  paria , & 
conuertatur  figura  circa  diagonalem  A B. 

Quseritur  ratio  iph^r^  ad  factum  fphscrale  fo- 
lidum* 

Oftenditur.  Sphseramefie  ad  folidum,v£ 
quadratum  A B.  ad  quadratum  cateti  A C. 

Tertia  /pectes. 

Si  intra  circulum  defcribatur 
poligonum  regulare  habens  late- 
ra numero  imparia, & conuertatur 
figura  circa  catetum  B.  Quaeritur 
ratio  fph^rf  ad  fadlumfph^ralo 
folidum . 

Continuetur  ratio  radi;  A.  ad 
catetum  B.  in  quatuor  terminis 

A,  B,  C,  D.  Eritq;  fphiKra  ad  folid  um,  vt  quadrupla  iplius  A»  ad 

B.  femel,  C.  bis,  & D.  femel  fimulq;  fiimptas  • 

Quarta  /pectes. 

Si  circa  circulum  defcribatur  poligonum 
regulare , habens  latera  numero  paria , & 
conuertatur  figura  cirpa  catetum  C.  Queri- 
tur ratio  folidi  ad  fph^ram . 

Oftenditur  folidum  effe  ad  infcriptam  fi- 
bi  fpbirram , vt  duo  fimul  quadrata , quoru 
vnum  fit  ex  radio  D.  alterum  ex  cateto  C, 
ad  d uplum  q uad rati  C. 

^mnta  Spectes  , 

Si  circa  circulum  defcribatur  poligonum 
regulare  ha bens  latera  numero  paria;  & con- 
uertatur figura  circa  diagonalem  A.  Queri- 
tur ratio  folidi  ad  fphsrfam . 

Oftenditur  folidum  ad  infcripta  fibi  fphcC- 

ram 


iiifo 


Mk 


ram  effe  vt  radius  A ad  catetum  B.hoc  eft  vt  axis  folidi  ad  axem 

fphser^ . 


lib.i. 


Sexta  9 &vltimc^  Species» 

Si  circa  circulum  defcribatur  po 
; ligonum  regulare  habens  lateranu 

\ \ mero  imparia,  &conuertatur  figu- 

ra circa  B catetum.  Queritur  ra- 
tio folidi  ad  Sphaeram . 

Continuetur  ratio  radij  A ad  ca- 
tetum po  ligoni  B,  in  tribus  terminis 
A B,C . Eritque folidum  ad  fph^e- 
*Iheor.  ram,vtAfemel,BbiSj&Cfemel  fimulque  fumptae,  adqua- 
druplamipfiusC. 

Sblidorum  itaq:  fph^ralium  fpecies .omnino  fex  emergunt, 
& vniufcuiufq;  fpeciei  ratio  ad  fuam  fphaeram  innotefeit . Pof- 
fent  fortafle  videri  tres  tantum  folidorum  fpecies , fi  folida  ab- 
^ . fblute, acfinefuisfph^ris  confiderentur.  Veriimiiillaadfphae 
' ; , ram  referantur,  ftatim  relatio  variatur,  &proportio  alia  con- 

furgit,  iprout cognata  folidis  ipfis  fphaera  inferipta  fuerit,  vel 
circumicripta . 

Quibus  demonftratis,  varia  pro  Corollarijs  Theoremata 
ftatim  emergebant ; cuiufmodi  flint . Datis  ex  predidarum  fex 
fpecierum  folidis  duobus  quibufeunque , alterius  ad  alterum 
rationem  notam  facere . 

Conum  ^quilaterum  circa  fphseram  deferiptum , effe  ad  ip- 
fam  fphf  ram  vt  p.ad  4.  Nempe  duplum  fefqui  quartum . Pro^ 
pterea  fi  circa  eandem  fphgram  coniis , cylindrufq;  ^rquilateri 
deferipti  fint , tria  folida , nempe  'conum , cylindrum , & iphf- 
ram  fore  inter  fe  in  continua  proportione  fefquialtera . 

Sph^ram  ad  conum  equilaterum  fibi  inferiptum  effe  vt  5 2. 
ad  9. 

Sphffam  ad  inferiptum  cylindrum  equilaterum  inefabilem 
ratione ) labere,  nepe  vt  diameter  quadrati  aiiciiius^  ad  3 late- 

' ' 4 “ 

ris 


9 

riseiufdem. 

Rombumfolidum  sequilaterum  fphserg  clrcumfcriptum  ad 
eandem  fph2Eramincomenfurabilemeire,  nempe  vt  diameter 
quadrati  alicuius  ad  latus  eiufdem . 

Sphaerale  folidum  exagonale  circa  catetum  reuolutum  eflci 
adinfcriptam  fibifph^ram  fefquifextum , 

Sph^ram  autem  ad  exagorme  folidum  fibi  infcriptum,&  cir- 
ca diagonalem  reuolutum , eife  fefquitertiam . 

Et  alia  huiufmodi , qug  quidem  altius  perfcrutanti  innumera 
patebunt.  Interim  fatis  fuperque  mihi  erit  aliqua  appofuiffe, 
qu^  propria  claritate  vitro  fe  fe  offerunt  etiam  afpernanti . Ho- 
rum maxima  pars  Corollaria  elfe  poterant  praecedentium  fex 
Theorematum  i attamen  illa  demonftrabimus  ex  fola  etiam  Eu 
didis  dodrina,fine  ope  illorum  qug  de  fphieralibus  pr^emifera- 
mus ; Vt  videre  efl  ad  Propofitiones  3 o.  & 9,  feqq.  in  fecundo 
libro . Caeterum  huiiis  contemplationis  occafionem , mox  etia 
& feriptionis  incitamentum  prtebuit  mihi  acutiflimus  librorum 
Archimedis  ferutator  Antonius  Nardus  Aretinus:huic  enim  re- 
fero , atque  ipfius  eruditis  colloquijs , fi  quid  vere  Geometrica 
in  hac  feriptura  exciderit  mihi . 

S vero  pleraque  mala  erunt,  dcfortalfe  omnia,  hoc  vnum 
culpandus  erit  ornatifiimus  vir , & genere,  dodrina , moribufqj 
confpicuiis  Andreas  Arrighettus  Florentinus , qui  poft  magna 
in  me  collata 'beneficia,  editionem  mali  libri  non  fuafit>  fed 
iusfit. 


B DEFI- 


DEFINITIONES. 

Viufcunquepoligoniregularis  latera  habentis  numero 
V>  paria  j Diagonalem  voco  lineam , qu^e  per  oppofitos  £~ 
gur^  angulos  ducitur . Camum  vero  voco  lineam , qujs  pun- 
dla  media  laterum  oppoiitorum  conneditdiue  earumdem  lemif 
fes.  Cuiurcunqiie  vero  poligoni  regularis  latera  habentis  nu- 
mero imparia,  voco  lineam,  qu^  abvno  angulo  per 

centrum  figura?  extenditur . 

2 . Si  poligonum  quodeunque  regulare  conuertatur,  fiue  cir 
ca  diagonalem,  nue  circa  catetum,  donec  ad  eum  loc  um  redeat 
vnd  e CcCpit  moneri , folidum  illud  quod  ex  reuolutione  circum- 
{ctThitwv.fphitrale folidum  appellare  vifum  eft  .Parilaterum  qui- 
dem fi  poligonum  habuerit  latera  numero  paria , Imparilatc- 
rum  vero,  quando  poligonum  latera  numero  imparia  habebit . 

Si  cylindrus,  fiue  conus,  vel  etiam  coni  fruftum  plano  per 
axem  dutlo  fedum  fit : communem  fecantis  plani , & curua?  lu- 
perficiei  fedtionem  vocabimus  latus  cylindri,  fiue  coni,  fiue  fru 
fti  conici. 

Suppofiiones  • 

Supponimus . cuiufcunque  prifmatis  circa  cylindrum  tequeal 
tum  deferipti , fuperficiem  maiorem  efTe  cylindri  ipfius  fuper  fi- 
cie.  Cylindricam,  vero  fuperficiem  maiorem  efse  fuperficie 
prifmatisinfcripti,  bafimhabentisregularem.exceptis  femper  ' 
bafibus . Item  pyramidis  circa  conum  defeript^  fuperficiem  ma 
iorem  efTe  ipfius  coni  fuperficie;  Infcript^e  vero  pyramidis  & re 
gularem  bafim  habentis,  fupponimus  fuperficiem  minorem  efi- 
fe  conica  fuperficie . 

D emonftrantur  haec  apud  Archimedem  propofi  9.  i o.  1 1 . 1 2 
lib.  I .de  Sph.  & Cyl.  Si  quis  vero  ea  tamquam  nota  adniittet  e 
velit , torum  iibellum  noftrum  percurrere  poterit . 


DE 


Ii 


DE  SOLIDIS 


SPHAER  ALIBVS 

LIBER  PRIMVS. 


PROPOSITIO  P%IMA. 


I Cylindriredifuperficies  fecetur  plano  op- 
pofitis  bafibus  parallelo  \ erunt  fegmenta  fu- 
perficiei  cylindricae  inter  fe,  vc  fegmenta  axis, 
fiuelateris  cylindri , homologe  fumpta  - 


Efto  cylindrus  re(5i:us  ABCDjfe- 
ceturq;  plano  E F oppofitis  bafibtis  G 
parallelo jDico cylindricam fuperficiem AEFD, ad  l 
cylindricam  EBCF  jcfse  vtaxis  ad  axem,  fiue  vtla-  n 
tus  AE,  ad  latus  EB . ^ 

Producatur  vtri  mque  in  infinitum  cylindrus, & ac- 
cipiatur reda  E G multiplex  ipfius  EA , iuxta  quam-  £ 
libet  miiltipJicitatem , fedaque  EG  in  partes  ipfi  EA 
jequales , agantur  per  punda  diuifionum  H,T,  G;  pia-  ^ 
na  oppofitis  bafibus  parallela . Eritque  tam  multi- 
plex recta  GE  ipfius  EA:  quam  multiplex  eft  cylindri- 
ca fuperficies  E L,  fuperficiei  ED.  ^ 

Sumatur  etiam  reda  E M multiplex  ipfius  EB,iux- 

B 2 


• r V 

— -fr 


D 

F 


ru 


ta 


I » De  SphAra,  0*  f olidis  fphAralih. 

taquamlibetmultipJicationemifimiliq.  perada  conitmetione 
vt  fupra  i erit  tam  multiplex  reda  E M redse  EB , quam  multi- 
plex ed  cylindrica  fuperficies  EN , fuperficiei  E C , 

Manifeftum  ergo  eft,quod  fi  reda  E G maior  fuerit, fiue  mi- 
nor, vel  aqualis , red?  E M : tunc  etiam  cylindrica  fuperficies 
EL  , maior  erit , fiue  minor,  vel  aqualis  fuperficiei  E N : & hotf 
femper : Propter  ea  erit,  vt  AE  ad  E B,  ita  fuperficies  AEFD,ad 
fuperficiem  E B C F.  Qi^d  erat  demonfirandum . 

Fropof  m IL 

SI  fuerit  quodcunque  prifma  redum , habens  bafim  poligo 
nam  regularem,  habenfque  altitudinem  iequalem  quartse 
parti  cateti  fug  bafisi  erit  perimeter  prifmatis  ajqualis  policrono 
fu^bafis. 

Edo  poligonum  regulare  ABGDEF,  fuper  quo  concipiatur 
prifma  redum,  habens  pro  altitudine  AL  quartam  partem  cate- 
ti  IH . Dico  perimetrum  prif- 
matis, condantem  ex  figuris 
redangulis  aqualibus  quaru 
vna  fit  L B,  aqualem  efse  poli 
gono  fuse  bafis . 

Ducantur  enim  diagonales 
AOD,  BOE,&  ereda  perpen- 
diculari I M , iungantur  A M , 

BMi 

Cum  ergo  IH  ponatur  quadrupla  ipfius  IM , erit  IO  dupla  ip 
lius  IM ; & ideo  triangulum  AOB  duplum  trianguli  AMB  ean- 
dem bafim  habentis  ; fed  etiam  redangulum  LB  duplum  ed 
trianguli  AMBi  propterea  redangulum  LB  sequale  erit  triangu- 
lo AOB ; & fic  de  reliquis  redangulis,  reliquifque triangulis  : 
Qu^re  totus  prifmatis  perimeter , condans  ex  figuris  re  dangu- 
lis , aqualis  ed  poligono  fute  bafis . Quod  erat  demondrandu* 

Ccf  ollarium* 

Cmjlat  ergo  yquod fi  altitudo prijmatk  maior p mimrue  fue* 


LiherVrimus ; 13 

fit » quam  quarta  pars  cateti fua  bafis , erit  perimeterpri/matis 
maior , minorue  quam  poligonum fua  bafis  • 


Tropo  fit  io  III. 


SI  fuerit  cylindrus  rectus,  cuius  altitudo  equalis  fit  quartse 
parti  diametri  fuf  bafis  i erit  cylindrica  fuperficies  aqualis 
circulo  fu£e  bafis , 

Efto  cylindrus  rectus , cuius  ba- 
fis circulus  circa  diametrum  A B 
defcriptus ; altitudo  vero  A C,  g- 
qualis  fit  quartf  parti  diametri 
AB. 

Dico  cylindricam  fuperficiem 
equaiem  efse  circulo  fii^e  bafis 


Ab.  vr- 

Si  enini  aqualis  non  efi:  j erit  circulus  vel  maior , uel  minor  cy- 
lindrica luperficie . 

Sir  primum  circulus  maior  quam  cylindri  fuperficies ; & fup 
pofita  differentia  G , defcribarur  intra  circulum  aliquod  poligo 
num  ADEB,  quod  quidem  deficiat  a circulo  minori  defectu , 
quam  fit  fpatium  G s &ideo  erit  poligonum  infcriptum  adhuc 
maius  quam  cylindrica  fuperficies  ( quomodo  fiat  hoc  confiat 
ex  Commentariis  in  Archimedem , & ex  XIL  Euclidis ; ) Tum 
fupra poligonum  ADEB  concipiatur  prifma  rectum  eiufdem 
cum  cylindro  altitudinis . 

Cum  ergo  altitudo  prifmatis  eadem  fit  ac  cylindri,nempe  quar 
taparsrecrtc  AB,  erit  altitudo  prifmatis  maior  quam  quarta 
pars  cateti  fu^  bafis  poligonse,  & ideo  perimeter  prifmatis  ma- 
ior erit  quam  p oligonum  fu^  bafis , & multo  maior , quam  cy- 
lindrica fuperficies  ( factum  enim  efi  poligonum  maius  cylin- 
drkafuperficie.)  ^^d efi abfurdum : efi  enim  contra  pr^- 
mifsas  fuppofitiones . 

Ponatur  deinde  circulus  minor  quam  cylinrdica  fuperficies; 
&fuppofita  difcentia  G,,  defcribatur  circa  circulum  aliquod 


£x  Corel 

lar. 

ced. 


14  DeSphara»  ^ filidis  fph^rali^. 

poligonutn regulare  D E F ''  ^ 

G,quod  excedat  circulum 
fpatio  minori  quam  fit  C. 

( quomodo  hoc  fiat  confiat  ^ 
apud  Commentarios  in  Ar  tVa 

chiim&in  XIL  Euclidis.) 
eritq,*  etiam  poligonum  mi- 
nus quam  cylindrica  fuper- 
ficies . 


^ Concipiatur  fupra  poligonum  erigi  prifma  eiufdem  altitudi- 
nis  cum  cylindro  i ericque  altitudo  prifmaris  quarta  pars  cateti 
fu^  bafis  poligong . ( cum  priimaris  altitudo  eadem  fit  atqr  cy- 
lindri; cylindri  autem  altitudo  eft  quarta  pars  recfi^  AB, 
.. , 3?qualis  efi  cateto  poligoni,quod  efi  bafis  prifmatis. ) 

^ Ideoperimeter  prifinatis  aequalis  eritpoligono  fue  bafis ; dc 

propterea  minorquam  cylindrica  fuperficies . Qwd  efi  con- 
tra pramiifias  fuppofitiones . 

Erit  ergo  fuperficies  cylindrica  eCqualis  circulo  fug  bafis , 
Quod  eratdemonfirandum . 


Vropofitio  IV. 

CYlindri  redi  fuperficies  ad  circulum  fug  bafis  efi  vt  latus 
cylindri  ad  quartam  partem  diametri  eiufdem  bafis . 


per  j.bu* 
im  « 


Efio cylindrus  redus,  cuius  redangulum  a 
per  axem  fit  ABCD ; fumptaq;  BE , qu^e  quar 
ta  pars  fit  ipfius  BC;  Dico  cylindricam  fuper- 
ficiem  ABCD  ad  circulum  fu^  bafis  efie,  vt 
ABadBE* 

. Producatur  cylindrus  verfus  F , fedaque 
B F aquali  ipfi  B E,  erit  per  procedentem, cy-< 
lindrica  fuperficies  F C oqualis  circulo  fuo 
bafis  BC. 

lam ; cylindrica  fuperficies  BDjad  cylindricam  fuperficiem 

FCefi 


Liber  Trimus ' I S 

F C eft  vt  AB  ad  B F i fuperficies  vero  FC  ad  circulum  BC  ( ob 
squalitatem)  eft  vt  F B ad  B E;  Ergo  ex  squo  erit  cylindrica  fu- 
perficies BD  ad  circulum  B C,  vt  AB  ad  BE,  nempe  vt  latus  cy- 
lindri ad  ^.diametri  bafis  eiufdem . Quod  erat  oftendendum* 

Propoftio  y. 

C|Ylindri  re<fti  fuperficies  ad  circulum  quemlibet , eft  vt  re- 
dangulum  per  axem  cylindri  ad  quadratum  femidiame- 
triipfius  circuli, 

Efto  cylindrus  redtus  cuius  redfan-  (;j  j 

gulum  per  axem  fit  AB,  & centrum  ba  ^ 
fis  H,  Ponatur  autem  circulus  quili- 
bet cuius  femidiameter  CD , Dico  cy 
lindricamfuperficiem  ad  circulum  ex  ' 

CD,  cfTevtredtangulum  ABadqua-  

dratum  CD,  -A.  E H L 

Fiat  ex  AE  ( qute  quidem  4,  pars 
fit  reds  AL  ) quadratum  FE,  producaturque  EG . 

Erit  ergo  cylindrica  fuperficies  A B ad  circulum  fu^  bafis,  vt  per  pr<e^ 
lAad  AEjhoceft vtL^adAFjhoceft vtrectanguIum^E  ad 

1 fet 

quadratum FE;fiue,fumptis quadruplis,  vt  rediangulumAB  Trm*6, 
ad  quadratum  ex  AH , Circulus  vero  bafis  A L ad  circulum  ex 
CD , eft  vt  quadratum  ex  AH  ad  quadratum  ex  CD  j ergo  ex  ^,duQdg- 
^quo  erit  cylindrica  fuperficies  ad  circulum  ex  CD , vt  redtan-  (im . 
gulum  per  axem  ad  quadi  atum  C D,  Quod  erat  demonftran- 
dum  • 

Coroilofium  t 

Pro  Corollario  erit  Propofitio  X IllMb,  i . Archim^  de  Spha^ 
ra  iy  Cylindro . Conflat  eni mquodfiCD.  media fuerit Ipropor* 
tionalts inter  lAy  AL^  quadratum  ex  CD  Aquale  erit  re&angu 
lo\  AB,  ^proptereui  ex  demonflratiSiCyUndricam  fuperfleiem 
AlBL  aqualem  ejfe  cireuk ex:CT)  neeejfe  efl, 

- _ . ■ I r ' 

Tropo^ 


per  prdi- 
ced. 


per  pr<^t* 
eed. 


1 € De  Sfhardi  ^ /olidis  fphsralik 

Frodofttio  V /. 

CYIindrorum  fuperficies  inter  fe  funt  vt  eorumdem  re(51:an- 
gula  per  axem  homologe  fumpta . 

Sint  cylindri  re6ti  quorum  redangula  per  axem  fint  AB,CD . 
Dico  cylindricam  fuperficiem  AB , ad  cylindricam  CD  efTcjVt 
redanguliim  AB  ad  redangulum  CD . 

Accipiatur  pro  circulo  quolibet,  cir 
culus  circa  diametrum  A E . * 

E it  ergo  cylindrica  fbperEcies  AB 
ad  cmcuiiim  quemlibet  AE , iitredEiog. 

AB  ad  quadratum  AF. Circulus  vero  ex  ___ 

AF  ad  cylindricam  fuperficiem  CDeft  A.  F 
vt  Iquadratum  ex  AF  ad  redangulum 
CD ; ergo  ex  ^quo  cylindrica  fuperficies  AB  ad  cylindricam 
CD , eft vt  redangulum  A B ad  redang.CD.  Quod  erat  ofien 
dendum  - 


Trofojitio  VIL 

SI  refe pyramis bafim habuerit poligonam regularemquc 
erit  bafis  pyramidis  ad  reliquam  ipfius  fuperficiem,  vt  femi 
catetus  bafis  ad  catetum  fuperficiei . 

Efto  pyramis  re61:a,cuius  ba- 
fis poligonum  regulare  AFED. 
vertex  vero  G,  & centrum  bafis 
fiti.  Sedo  deinde  vno  latere 
bifariam  in  H,iund:ifq;  GH,IH, 
erit  GH  catetus  fuperficiei  pyra 
midisdH  vero  femicatetus  bafisj 
quandoquidem  omnia  triangu- 
la in  fuperficie  funt  sequicruria,  & £equa]ia  inter  fe  5 quod  etiam 
verum  eftdc  in  bafi. 

Dico 


Liher  Primut  • 17 

Dico  bafim  ad  fiiperiiciem  effe  vt  I H ad  HG » 

Triangulum  enim  A I F,ad  triangulum  A G F ( cum  fint  in  ea 
dembaii)eftvrIH,adHG,  ergo  etiam  ipforum  ^quemulti- 
plicia , nempe  bafis , & fuperficies  pyramidis, in  eadem  ratione 
erunt,  nempe  vt  I H ad  HG . Quod  erat  oftendendum  • 

Vropofitio  VIll 

COni  re«flibaFs  ad  reliquam  conicam  fuperficiem^  eft  vt  fe- 
midiameter  bafis  ad  latus  coni . 

Efto  conus  redus , cuius  ba- 
fis AB, vertex  vero  C,axis  CD. 

Dico  circulum  bafis,  ad  reli- 
quam conicam  fiiperficiem,efle 
vtDA,adAC* 

Si  enim  ita  non  eft;  erit  circu 
Ius  AB  vel  maior,  vel min. qua 
oportet  efie , vt  ad  conicam  fu- 
perficiem  fir  cuernadmodum  DA  ad  AC  ♦ 

Sit  prim  iim  ma  ior ; & ponatur  tanto  maior  quantum  eft:  ipa- 
tiiiin  E . inferibatur  in  circulo  poligonum  deficiens  a circulo ) 
nnnori  defedu  quam  fpatium  E ; llabebitq;  huiufmodi  poiigo- 
num ad  conicam  (uperficiem  adhuc  maiorem  rationem,  quam 
DA  ad  AC . Sed©  deinde  vno  poligoni  latere  AF  bifariam  in 
H , iun gamur  DH,  CH-;  & fuper  poligono  concipiatur  pyramis 
qutc  verticem  habeat  in  C;  feceturque  DI  aqualis  ipfi  du 

cacor  ILparalclla  ad  BC,  iun  gatm^q.IC,  ‘ 

Cum  itaq.  poligonum  ad  conicam  fuperfidem  maiorem  ha- 
beat rationem  quam  D A ad  AC;  multo  maiorem  rationem  ha- 
bebit ad  fuperficiem  fuse  pyramidis, quam  DA  ad  AC , vel  D B 
adBC.  Sed  poligonum  ad  fiipdficiem  pyramidis  , per  proce- 
dentem, eft  vt  DH  ad  HC ; habebit  ergo  DH  ad  HC , fiue  D I 
adIC , multo  maiorem  rationem  quam  D B ad  BC,  vel  quam 
DIadIL.  EtpropterealCminorelfetquamlL.  abfurdum. 

G Nam 


1 5 
ti . 


ptf  f,  hu 
iut  * 


pef  pr<e> 


I * De  Sph^ra,  ©*  falidis  Jphjtralih, 

Nam  quadratum  IC  aquale  eti  duobus  quadratis  ID.DC; 
cum  quadratum  IL  aequale  fit  tantum  duobus  ID,  DL.  Pona- 
tur deinde  circulus  bafis  AB  minor  quam  oportet  efTe  vt  ad  co- 
nic  am  fuperficiem  fit  quemadmodum  reda  DA  ad  AC , fitque 
tanto  minor  quantum  eft  fpatium 
E . Circumfcribatur  circulo  AB 
poligoniim  aliquod  excedens 
circulum  minori  excefsu  quam 
fit  fpatium  E . Plabebitq.  poligo 
num  ad  conicam  fuperficie,  ad- 
huc minorem  rationem  quam 
DA  ad  AC;  ergd  poligonum  ad 
perirnetru  fuai  pyramidis  multo 

minorem  rationem  habebit  quam  DA  ad  AC.  Sed  poligo- 
num ad  perimetrum  fu^  pyramidis  eft  vtDF  ad  FC ; propterea 
DF adFC, multo  minorerationem  habebit  quam  DA  adAC; 
quod  efl:  impofTibile . Aequales  etenim  funt  tam  DF , DA,  in- 
ter fe , quam  FC,  AC , inter  fe . 

Erit  itaque  bafis  coni  redii  ad  reliquam  fuperficiem,  vt  D A 
adAC.  Qnpderatdemonftrandum. 

Corollarium  * 

Hinc  patet  quod  curuafuperficies  coni^pqualis  efi  circulo  cui» 
dam  9 cuius femidiameter  med.  prop,  fit  inter  C A 9 AD . nem^ 
pednter  latus,  iyjemidiametrum  bafis  coni . N am  fumpta  me» 
dia  inter  CA^^AD « erit  circulus  qui  fit  ex  media,  ad  circulum 
qui  fit  ex  A*I) . vt  CA  ad  AD  . Sed  etiam  curua  conijuperfi^ 
cies^ad  circulum  ex  AD  > e fi  vt  C A ad  AD . Ergo  aqualis 
ejl  curua  conifuperficiestcirculoy  cuius  femidiameter  media  pro» 
portionalis  fit  inter  CA9  AD  9 

Trof  optio  IX. 

CViuslibet  coni  redi  fuperficies,ad  fuperficiem  cuiufcunq; 

cylindri  redi  demptis  bafibus , eft  vtredangulum lub  Ia* 
terc,&  femidiametro  bafis  eoni^  adredangulum  per  axem  cy- 
lindri? 

Eflo 


Liher  'Primus' i 

Efto  conus  ABC, cuius  bafis  AC, axis 
vero  B H ; & cylindrus  cuius  tedapgu- 
lum  pcr  axem  fit  DE . Dico  conicam  fu- 
perficiem  ad  cylindricam  e{fe,vt  redan- 
gulum  BAH,ad  redangulum  DE . 

Nam  conica  fuperficies  ad  circulum 
fug bafis  efi:  vt  AB,  ad  AH , fiue  vr  reda 
gulum  BAH  ad  quadratum  AH . circulus  autem  ex  AH,  ad  cy- 
lindricam fuperficiem  DE,  efi:  vt  quadratum  AH, ad  redangu- 
Ium  DE*  Propterea,ex  sequo,  erit  conica  fiiperficies  ABC  ad 
cylindricam  DE,  vtredanguiura  BAH  ad  redangulum  DE. 
C^d  eratoftendendum^ 


A H 


tus 


Propojifio  X. 

C Onicse  fupetfici^idemptisBafibus,  inter  fe  funt  vt  redan- 
gula  fub  latet  ibus  conorum,  dc  fiib  femidiaraetris  bafiu 
comprsehefife.  V; ' ' 

Sint  duo  coni  redi  ABC, DEE.  quo 
rum  axes  BG,  EH . Dico  curuam  coni 
ABC  fuperficieni,  ad^  curuam  fuperfi- 
ciem  coni  DEF , efle  vt  redangulum 
B AG , ad  redangulum  EDH  . qug  ni- 
mirum fub  lateribus  coriorum , dc  fe-s , » 
midiametris  bafium  comprsehendun- 
tur,  , 

Conica  enim  fuperficies  ABC,  ad  circulum  AC,eft  yt  reda  0.3^ 
BA  ad  AG,fiue  vt  redanguluiri  BAG;  ad  quadratum  AG . Gii>  ms . * 
cuius  vero  AC  ad  DFicirciilumiefi:  vt  quadratum  AG,  ad  DH  j 
denique  circulus  DE  adcbniCajn  fuperfidem  DEF,  efi  vt  qua?- ; fer  8 
draturri  DH,ad  redangulum  EDH.  ergo  ext  sequo  curua  coni  fu , 
perficies  ABC  ad  curuam  DEF  , erit  vt  redangulum  B AG , ad 
redangulum  EDH.  Quod  erat  oftendendum . 


20  Be  Sph^ra^  Qf  folidis  fphsralik 


A I 


D 


\h 

Lemma . 

S i fuerit  ABCD  frujlum  coni  reBi^ab» 
fcijfum  planis  ad  axem  eredis  ( hoc  enim 
modo femper  intelligemusfrufia  conica  } 
fecenturque  latera  A B , DC  bifariam  in  g 
pungis  BtiyH.  iungaturq‘y  EH . Dico  ^ 

reBam  E H componi  ex  vtraque  BLyAU 

nempe  ex  femidiametris  bafium  oppofitarum  frujli  conici . 
Jungantur  BD  y E l yh  H y Et  quoniam  %Al  > ID . aquate» 
f^‘  funt ; item  AEy  EB  ^aqualeJ:  erunt  parallela  ETy  BJ)  • &ideo 
in parallelogrammo  aqualia  erunt  latera  ID  , EM  * Oh  ean* 
dem  caufam  aqualia  funt  BlyM H . Ergo  tota  EH  aqualis  ertt 
ipfis  ID  i BL Jimul fumptis . ^md  era(^c, 

Definitibnes . 

Vocabimus  impojlerum  breuitatis  caufa  Utieam  EM  medii 
tAritmeticamfrufti  conici* 

EeB angulum  vero  fub  EH  it*  AB  latere  frujli  conici  # dtce  - 
iwtfj  redangulum  proprium  frUUi  conici  . ; 

V r of  optio  XI  • 

CVrua  fuperficies  frufti  conici,  planis ; ad  axem  ere(5is  abj- 
fcitTi,  ad  conicam  quamlij3etfuperHciem,eft  vt  redtangu- 
lum  proprium  frufti, ad  reiftangultuiifub  larereadc  femidiametro 
ba&  ipfius  coni . 

' Efto  fruftum  conicS 
ABCD  abfcilTum  planis 
ad  axenl  eredisi  iitqud 
conu^  quilibet  EFG,eu 
ius  axis  EH  * Dico  cur^ 
uam  frufti  ACfnperfici- 
em,  ad  curua  coni  EFG 
fuperficiem,eirejVt  reda 


A L DE  H G 


gulutn  fub  AB,&  fub  utraque  A L»BI  contentum,  ad  redangulu 
FEH, 

^ -s. 

' i Com* 


liher 'Primus  . i i 

Compleatur  comis  AMD.  cuius  datum  erat fi-uftimi,  fa(floque 
angulo  M AN  redfco,  &fe<51:a  AN  ^quali  ipli  AL.  compleatur 
redangulumAP.  Du(5to  deinde  diametro  MN,  & fadaBO 
parallela  ad  AN.erit  BO  aequalis  ipfi  Bl.compleatur  etiam  figu- 
ra BQ^ 

lam  fi^erficies  curua  coni  AMD  ad  fuperficiem  curuam  co-  1^^*,  * •• 
ni  BMC  eft  vc  redangnlum  L AM  ad  redangulum  IBM ; nem-  ‘ 

pe  vt  redangulum  AP  ad  BQ;  & diuidendo>  erit  curua  frufti  co 
nici  ABCD  fiiperficies,ad  fuperfkiem  coni  BMC,  vt  gnomon 
A O P,ad  redtangulum  B Q^hoc  eft  vt  redangulum  fub  A B;  & 
vtraque  AN , BO , fiue  AL , BI , ad  reiftangulum  IBM . Curua 
vero  fuperficies  coni  BMC  ad  curuam  coni  EFG,  eil  vt  redlan- 
gul.IBM  ad  rc(fl:.FEH.erg6  ex  sequo  curua  frufti  conici  ABCD 
uiperficies  ad  curuam  coni  EFG  fuperficiem  eft  vt  redan.cou- 
tentum  fub  AB , & vtraque  AL,  BI  ad  redangulum  FEH . .j 

Corollarium* 

Patet  ergo  quod  frufti  conici  ABCD  fuperficies  fine  hafihus 
adfuperficiem  coni  EFG.eftvt  re&angulum proprium  frufti  ad 
teiiangulum  FEH.  ReHangulum  autem  proprium  frufti  com^ 
prehenditur fub  re&a  AB>  ir fub  vlraq;  A L^Bh  fiue  potius  fub 
A'B$  & media  Aritmetka,  quam  dcmonftraumus  aqualem  v* 
irfqueALfBL 

Propofttio  X 1 1. 

CViufeunque  ff ufti  conici  fuperficies  ad  fuperficiem  cy lin^ 
dri  redi,  eft:  vt  redangulum  proprium  frufti  ad  redangu-» 

Ium  per  axem  cylindri . 

Eftofruftum conicum  ABCD, 

& cylindrus  cuius  redangulum  per 
axem  fit  EF.  Secetur  AB  bifaria  in 
agatur  media  Aritmetica  H I 
gquidiftanter  ad  BC.  Dico  coni- 
cam frufti  fuperficiem, ad  cylin- 
dricam EF,efle  vt  redangulum  fub 

HI,5c  AB,  ad  redangulum  E F * 

Acci- 


/ 


fer  pruc- 
ed* 


per  pr4* 
ced, 

ithufuft 


2 2 De  Sfhuray  [olidis^ ffhdiralih. 

Accipiatur  conus  quilibet  LMN,  cuius  axis  MO  • Eritq;  cur- 
uafruilifuperficiesadconicam  cumam  LMN,vtre(5i:anguIuni 
fub  AB,  HI,adred:angulum  MLO;fed  curua  coni  LMN  ad  cur 
uam  cylindri  EF  fuperficiem , eft  vt  rcdiangulurn  MLO,  ad  re- 
dangulum  EF;ergo  ex  sequo  curua  frufti  conici  fuperficies , ad 
curuam  fuperficiem  cylindri, eft  vt  redlangulum  fub  AB,  & HI » 
nempe  vt  redangulum  proprium  frufti,  ad  re(ftanguluna  EF  per 
axem  cylindri . Q^d  erat  oftendendum . 

Corollarium . 

Cuma  fuperficies  cuiufcunq; 
frufti  conici  ABCD  sequalisde- 
monftratur  circulo  cuidam , cuius 
quidem  circuli  femidiameter  E 
media  proportionalis  fit  inter  la- 
tus AB  frufti  conici,  & inter  F H 
mediS  Aritmeticam  eiufdem  ffu- 
IH, 


Efto  quadratum  E sequalc  redangulo  fub  BA,FH . fum^ttur- 
que  cylindrus  quilibetlL  ;&erit  curua  frufti  conici  fuperficies 
ad  curuam  cylindricamlL,  vtredangufumfub  BA,  FH  ad  re- 
dangulumlL ; fiue  vt  qua  dratum  E ad  rccftangulum  IL ; libc  eft 
vt  circulus  ex  radio  E,  ad  curuam  cylindricam  IL  . Aequales  er- * 
go  funt  inter  fe  cuma  fuperficies  frufti  conici  AC,&  circul  us  ex 
radio  Efadus . quidem  Archimedis  Propofitio  eft  1 6,  li* 
bri  primi  de  Sph.  & cyl. 

• ' ' ' - ' ' • ■ ^ i''.' 


Tropejitio  X 1 1 1.  _ 

S I circulum  tetigerit  redfa  quapiam  linea  ^qualiter  vtrimq; 

producta  j &conueitatur  circulus  circa  quemlibet  fui  ax5 
( dummodo  axis  tangentem  non  fecet ) erit  conici  firuft  i fuper- 
ficies,quse  a tangente  linea  deferibitur,  sequalis  ftiperficiei  cy- 
lindri eanderri  altitudinem  cum  ftufto  conico  habentis,  & circa 

eandem  fphseramdefcriptibilis. 

' ' ' . ■ ■ ' . ' ' ■ ' ' . ' ' ' . ':■ ' 

Efto  circulus  ADBC,  quem  duse  diametri  AB,CD  fecent  ai 

' ‘ ‘ angur- 


LiberVnmus.  43 

angulos  redos . Duas  infuper  tangentes  habeat  alteram  DG 
in  extremitate  diametriCD,  alteram  vero  vbicunque  inI,iSc 
^qualiter  producatur  hinc  inde  IL 
IM  j dumodo  axem  A B produ- 
dum  non  fecent.  Agantur  deinde 
per  L,  & per  M parallelas  ad  CD, 
redas  LE , M F . tum  figura  con- 
uertatur  circa  axem  AB.  Tan- 
gens GH  defcribet  cylindricam 
quandam  fuperficiem  cuius  reda 
gulum  per  axem  erit  EFHG:Tan 
gens  vero  L M defignabit  fruftu 
conic^  fuperficiei  j deniq;  circu- 
lus ipfe  fphseram  circumfcribet. 

Dico  cylindricam  fuperficiem  a linea  GH  defcriptam , & coni- 
cam fuperficiem  alinea LM fadam  trquales  elfe  inter fe . 

Ducatur  IP  media  Aritmetica  conici  frufti ; & agatur  IR  per 
centrum  Qj^eritq;  IR  perpendicularis  adLM:  Ducatur  etiam 
MT  perpendicularis  ad  EG  . 

C^oniamduoanguliTMTjT  LM  vniredo  funt  trquales, 
nemp^e  ipfi  L IQ^demptis  alternis  TLMJJS,  erunt  asquales  re- 
liqui TML,  SIQddeoquetriangula.TML,SIQ;Cum  redan- 
gulafint,  fimilia  erunt  j Ergo  vt  T M ad  M L ita  S I ad  IQ^ 
hoc  ^fi: ( fumptis duplis ) PI  adIR;  & ideo  redangulum  fub 
T M , I R ( quod  quidem  eft  redangulum  EFHG. ) equale  erit 
redangulo  ftib  ML , IP . quod  proprium  vocamus  ff  ufti  conici  • 
Proptereaperprjccedentem  asqualis  eritfuperficies  conici  fru- 
Ri , qu^  a linea  ML  defcribitur , fuperficiei  cylindri  EFHG, ea- 
dem altitudinem  cum  ipfo  frufto  habentis,  dc  circa  eande  fphe- 
ram  ADBC.defcriptibilis.  Quod&c. 

VropfitioXIV. 

S I circulum  tetigerit  reda  linea  tequalitd  vtrinq;  produda, 
& conuertatur  circulus  circa  axem, qui  cum  tangente  con- 

ueniat 


i 4-  *DeSphxhra>  ^ [olidis fpharalth. 

ueniat  in  extremitate  ipdus  tangentis , erit  iliperficies  coni,  quje 
atangente  defcribitur  , sequalis  fuperficiei  cylindri,  eandem 
cum  cono  altitudinem  habentis , & circa  eandem  sph^^eram  d e-., 
fcriptibilis . 

Pofitis  ijfdem  vt  in  praecedentis 
propofirionisconflrudione;  fi  li- 
nea ML  incidat  in  axem  B L pro- 
dudu, finrq; ecquales vtrinque  IL, 

IM,  tunc  deferibet  ipfa  ML  coni- 
cam fuperficiem , Dico  conicam 
huiufmodi  fuperficiem  aequalem-, 
effe  fuperficiei  cylindri  EFHX^, 
eandem  altitudine  habentis  cum 
ipfocono,  & circa  eandem  fph^e- 
ram  deicripribilis. 

Fiat  enim  angulus  LMT  redus,  8c  cum  LM  dupla  ponatur  ip- 
fius  LI,  erit  MT dupla  ipfius  IR , hoc  efi  aequalis  diametro  Iph^g 
ra?,fiueipfiFH.cum  autem  , per  quarta  fextffitvtML  adLN, 
ita  TM  ad  MN.erit  redtangulum  LMN  aequale  redtaiigulo  fub 
TM,  LN,  boc  efi: recfiangulo fub  FH , L N,  quod  quidem  per 
axem  efi  cylindri  EFH<5 . Aequalis  eago  efi  fuperficies  coni 
e CLM,  fuperficiei  cylindri  EFHG.  Quod&c. 

Tropofitio  XV. 

SI  circa  circulum  defcribaturpoHgonumhabenslatera  nu- 
mero paria,  fiue  a quaternario  menfurentur,  fiue  tantum 
a binario , & conuertatur  figura  circa  diagonalem , erit  vniuer- 
fa  fuperficies  fadi  fphseralis  folidi , ecqualis  fuperficiei  cylindri 
circa  eandem  /phteram  deferiptibilis . 

Efto  poligonum  ABCDEF^parilaterum,  fiue  aquatepa- 
rionumerus  laterum  menfuretur , vt  in  prima  figurajfiuetantum 
a binario , vt  in  fecimda  i ^conuertatur  figura  circa  axem  AD3 

nem- 


Liher  "Primus  I 


A 


. -sr^ 

f 

\ 

nempe  arca 
diagonalem 
poligoni . Di 
co  vniuersa 
fuperiiciern 
fadi  folidi 
fphseralis  9- 
qualem  eife 
fuperficiei  ci 
lyndri  GH 
IL  eandem 
altitudinem 

habentis  cum  ipfo  folido , & circa  eandem  fph^eram  defciipti- 

bilis. 

Superficies  enim  coni  BAF,  aecpalis  eft  fuperficiei  cylindri 
MZ ; Superficies  autem  frufti  conici,  qux  inter  plana  BF , CE 
intercipitur , seqiialis  eft  fuperficiei  cylindri  inter  eadem  plana 
intercepti : & fic  de  fingulis  partibus  fuperficierum  , quae  foli-  ius, 
dum  Iphseraic  circomfepiunt ; Ergo  omnes  fimul  fuperficies  am 
bientes  fphcTrale  folidum  aquales  emnt  fuperficiei  cylindri 
GHIZ.  Qjpd  erat  ofiiendendum . 


9 


A 7% 


Lemmd . 

Si  circulum  duts  didmetri  AB,  CD,  dd an- 
gulos recios  secuerint , etmdemq;  circulum 
dua  dqudles  recia  lined  AF,  EG  tetigerint  in 
extremitatibus  axis  AB.  T umfgura  circa 
axem  AB  conuertatur , describent  AF , BG 
duos  circulos  aquales,  cum  tpsa  aquales  Jint, 

Oportet  segmentum  cylindri  etred  eandem 
spharam  descriptibilis  reperire,  cuius  super- 
ficies aqualis  fit  duobus  fimul  circulis  ex  AF, 

BG  descriptis . 

Fiat  angulus  H GI  reStus,  eritq;  BI  altitudo  quafiti  cylindri" 
N dm  propter  angulum  refium  jqGI^  erit  reSl angulum  HBI  aqua 

D lequa- 


k H 

> 

V 

K 


Mi 


2 6 V)e  SphAra3  foUdis  fph^raM» 

le  qpiAdr dto  BG  i re Angulum  ABI  hoc  eH  relfdngulum  LM 
j thuius:  duplum  erit  quddr Ati  BG.  Propt  er  eu  super fides  cylindri  L M du~ 
pia  erit  circuli  ex  BG  descripti  ^ dl  ideo  aqu Aid  Ambobus  circu^ 
Us  ex  BGj  AB  Jimul sumptis . ,^u.od (frc, 

Propofitio  XV L 


Sj  circa  circulum  defcribatur  poligoniim  habens  latera  nu- 
mero paria , liue  a quaternario  menfurentur  jliue  tantum  a 
binario , & conuertatur  figura  circa  catetum,  erit  vniuerfa  luper 
ficies  fadi  fphtEralis  folidi  , aequalis  fuperficiei  cylindri  circa 
eandem  fpha^ram  defcriptibilis  , altitudinem  vero  habentis 
qualem  iinetc  compofitte  ex  diametro  fphser^ , & ex  tertia  pro- 
portionalium , fi  fiat  vt  fphter^  femidiameter  ad  femilatus  poli- 
goni , ita  femilatus  ad  aliam . 


A H E A 


B 


C. 

/1^ 

H 


D 


V. 

V 

A 

E fio  circulus 
y^ECD , quem 
fecentducC  dia 
diametriv^  C, 

B D ad  angui. 
redos,&  circa 
ipfum  fit  poli-  p 
gona  figura  ha 
bens  latera  nu  Jsl 
mero  paria,  fi- 
ue  a quaterna- 
rio menfurentur , vtin  prima  figura ; fiue  tantum  a binario,  vt  in 
fecunda:  Tum  conuertatur  figura  circa  catetum  AC  ^ hoc  efi: 
circa  lineam  conned:entem  bifedtiones  laterum  oppofitorum ; 
Ex  reuolutione  poligoni  foiidum  fphserale  defcribetur  conten- 
tum iub  circularibus,  conicifque  fuperficiebus,  & vria  cylindri- 
ca, vt  in  prima  figura,  fiue  circularibus,  & conicis  tantum,  vtin 
fecunda  ^ Fiat  d.einde  vt  IC  ad  CL , ita  CL  ad  Ciif , quod  facile 
erlt  fi  fiat  angulus  XLM  redus  i & per  M . agatur  planum  NQ . 

ere- 


Liber  Trimus ; a 7 

eredum  ad  axem . Dico  vniuerfam  fuperficiem  folidi  Ipharalis 
sequalem  efTe  fuperfidei  cylindri  ENOH . 

Hoc  autem  patet  ex  prsemiflis;  Nam  rota  Ipheralis  folidi  fu- 
perfieies , demptis  circulis  oppofiris , asqualis  eft  fuperficiei  cy-  ^ 
lindriciginterplanaEH  ,FGcomprcehenfcev  Duo  verocircu- 
li  oppoEti  quorum  centra  A,  &C  aequales  funt(  per  praecedens  15.  hu- 
lemma  ) fuperEcieicylindricte inter  duo  plana  FG*NO.  con- 
tentg . Proprerea  vniuerfa  fimul  fphieralis  folidi  fuperfkies  x- 
qualis  erit  fuperficiei  cylindri  ENOH . circa  eandem  fpfijeram 
deferipti,  & altitudinem  habentis  AM,  qute  componitur  ex  dia- 
metro fphserse  jiC,  6c  ex  reda  C M , qute  quidem  tertia  propor- 
tionalis cfi:  ad  femidiametrum  Ic,  & femilatus,  CL . Q^d  &c. 


A 


Lemma . 

Si  circulum  ABCD  dua  diametri  AC , BD 
secentad  angulos  reclosy  reBa  autem  linea 
CE  e udem  contingat  irt  extremitate  axis  AC 
(dr  conuertatur  figura  circa  AC;  ipsa  CE  circu 
Ium  describet . Oportet  segmentum  cylindri 
circa  eandem  spharam  descriptireperire^  cu- 
ius super  f cies  aqualis  Jit  circulo  ex  CE  de- 
scripto . 

Fiat  angulus  AEH  rectus , ducto  que  plano 
per  H ad  axem  erecto  . Dico  cylindricam  su- 
per Jct  em  MILN  V aquari  circulo  ex  CE , E.JI  enim  oh  angulum 
r e cturn  AEH  ^ relt  angulum  AC  H ^ hoc  ejlrect  angulum  ML^  a- 
quale  quadrato  CE  . Propteredfuperf  cies  cylindri  MILN  aqua- 
lis erit  circulo  ex  CE . ^uod  c^c. 


C^. 

\ 

H 


per  f . htt 
iit/. 


Tropofim  X VIL 

S I circa  circulum  deferibatur  poligonum  habens  latera  nu- 
mero imparia,  & conuertatur  figura  circa  catetum  poligo- 
ni ; erit  vniuerfa  fuperficies  fadr  fphseralis  folidi  sequalis  fuper- 
ficiei cylindri  circa  eandem  fph^ram  deferiptibilis,  altitudine 

D 2 vero 


28  De  SphAra,  ^ /olidis /phAralik 

vero  habentis  aqualem  line®  compofit*  ex  cateto  poligoni,  & 
ex  tertia  propoitionaliuin , fi  £at  vt  diameter  circuli  ad  femila- 
tus  poligoni, ita  femilatus  ad  aliam . 


Eflo  circulus  circa  quem 
fitpoligonum  Ei^GHL  habens  late 
ra  numero  imparia  ; &conuertatQr 
figura  circa  catetum  EC,  nempe  cir 
ca  linea,  qii^e  ab  vno  angulo  £ per- 
ducitur ad  bifedion em  lateris  oppo 
liti ; orietiirq;  folidum  fphserale  coil 
tentum  fub  conicis  luperficiebus , 
vnicoque  circulo - 
jFado  deinde  angulo  redo 
dudoq;  per  X plano  MN  ad  axem 
credo . Dico  vniuerfam  folidi  fuperficiem  aequalem  efTe  fu- 
perficiei  cylindri  OMNP . 

^ Nam  fuperficies  folidi  fph^ralis,  dempto  circulo  ex  CEI.  de- 

^ fcripto, aquatur fuperficieicylindriiuter plana  OP, QR  con- 
tenti : circulus  autem  ex  C H fadus  equalis  e ft  (praecedens  lem- 
ma) fuperficiei  cylindri  inter  plana  Q^,  MN  contenti:  Propte- 
reavniuerfa  folidi  fuperficies  aqualis  erit  fuperficiei  cylindri 
OMNP.qui  quidem  circa  eandem  fph^ram  cum  ipfo  folido  de- 
feribitur , altitudinem  vero  habet  lineam  E X , qu^  componitur 
ex  cateto  XC,  & ex  linea  CX,  qu^e  tertia  proportionalis  eft,  fi 
fiat  vt  diameter  fph serte , ad  CH  femilatus  poligoni,  ita  €H 

ad  aliam.  Quod  erat  &c. 

Vropofitio  XVII L 

\ C ^ 

HXmisphterij  fuperficies  aqualis  efl  fuperficiei  curug  cylin- 
dri eandem  ipfi  bafim,  & eandem  altitudinem  habentis. 

Xflo  hemisphterium  ^^C,6c  circa  ipfiim  cylindrus  eiufdem 
altitudinis , A DEC  ♦ 


Dico 


Lihr  Primus . z 9 

Dico  fuperficiem  hemifphg- 
rij  aqualem  effe  fuperficiei  cy-  ^ 

YiXidn  ADEC , P 

Si  enim  non  eft  isqualis,  vel  p 
maior  erit  ,vel  minor.  Pona- 
tur primum  fph^rica  fuperfi- 
cies  maior  ; fiatque  vt  cylinr  .S' 
dri  fuperficies  ad  fuperficiem 
hemifpherij , qua^  maior  poni-  ^ ^ 
tur, ita  reda  AD  ad  AG:  inteiliga- 
turq;  cylindrus  produdusvfquead  GF.  Secetui*deinde  arcus 
AB  bifariam , iterumq;  pordones  eius  bifiiriam , & hoc  femper, 
donec  poligoni  circa  femicirciilum  A B C dcfcripti  femilatus 
VL  minus  fit  quam  reda  DG . (quod  fieri  pofle  confiat  ex  pri- 
ma Decimi ; femilatera  enim  poligonorum  circulo  circumlcri- 
ptorum  ex  continua  arcuum  bifedione  femper  minuuntur  pluf- 
quam  pro  medietate,  vt  ab  alqs  ofienfumefi.)  Fadum  ergo  fit ; 
&efio  poligonum  HILMN,  conuersaque  figura  circa  axem 
LO,  fiatexpoligono,  femifolidumfphisrale  fub  conicis  fuper- 
ficiebus  comprxhcnfuoi . Cum  itaque  red.i  DG  maior  fit  qua 
femilatus  LV , multo  maior  eadem  erit  quam  LB , & propterea 
planum  PQ^  produdum  per  L intra  piinda  D & G cadet , 
lam  quia  fuperficies  cylindri  AE  ad  fuperficiem  hemifphse- 
rij  eft  vt  A D ad  A G , hoc  efi  vt  cylindrica  fuperficies  A E ad  ^ 
cylindricam  A Fjerit  cylindrica  fuperficies  A F aequalis  fphteri- 
ca;..  Propterea,  fi  fph^^rica  fuperficies  sequaiis  fit  cylindrica  AF. 
maior  erit  quam  cylindrica  A Q^hoc  efi  quam  conicre  omnes 
H I £ M N , multoq;  maior  quam  omnes  A S I L M R C , quod 
eft  abfurdum . Eft  enim  contra  principium  ab  Archimede  prsEr- 
mifsum. 

A[fumpfimus  conicam  quA  deferibitur  a lined  HS  maiorem  ef- 
fe  quam  illa  fuperficies , qu£  dficribitur  d linea  A S.  quod  patet 
ex  11.  huius . ReEt angulum  enim  proprium  conica  fuperficiei 
multo  maius  eH  quam  reB angulum  per  axem  cylindricp^  quando 
quidem  fub  maioribus  lateribus  continetur . 

Pona- 


DOJHf 


so  Sph^ra,  folidis  fph^ralilf. 

Ponatur  iam  fphmca  ABC 
minor  qua  cy  lindrica  ADEC. 

Fiat  vt  fupcrficies  cylindrica.. 

ADEC  adfpiurrkam,  quse 
ponitui'  minor;  ita  reda  AF  ad 
FL.Fiatque  cx  FL  femidiame- 
tro  aliud  hemifphcerium  LNI> 
priori  concentricum,  & circa 
ipfum  intelligatur  cylindrus 
L H M I : Infcribatur  etiam 

inu  a femicirculum  ABC . figura  laterum  aqualium , ita  vt  late- 
ra ipiius  non  tangant  femiarculum  L Nl'.  (quod  Feri  poffe 
conflat  ex  Euclide . ) Defciibaturq;  alius  femicirculiis  femidia- 
metro  FO,  qui  contingat  fingula latera  fadteEgurp,  &coniicr- 
tatur  vnmerfa  figura  circa  FB . ita  vt  fiat  femifolidum  fph^erale 
A VBTC conicis  fiiperficiebus  circumfeptum;,  ex  femicirculo 

autem  FO  fiat  aliud  hemifpluerium,  circa  quod  concipiatur  cy- 
lindrus RQSP.  r / 

lamficjfuperficies  cylindri  ADEC  ad  fuperficiem  hemif- 
ph^ri  j efi , per  confirudionem,  vt  AF  ad  FL,  hoc  efl  vt  AC  ad 

€J)uius*  redangulum  LM,hoc  efl  vt 

cylindrica  AE  ad  cylindricam  LM , Quare  fph^rica  fuperficies 
aqualis  eiit  cylindricas  L M,  & propterea  minor  quam  cylindri— 
9b  1 5.^«  ca  R S , hoc  efl  quam  omnes  conic^'  AVBT C , abfurdum.fphg- 

• rica  enim  fuperficies  ABC  maior  efl  quam  omnes  conicg  AV 

BTC.» 


Hemifphgri;  ergo  fuperficies  f qualis  erit  fuperficiei  cylin- 
dri eandem  ipfi  bafim , eandemq;  altitudinem  habentis , Cum 
demonflratum  fit  neque  maiorem  efie , neque  minorem  • Quod 
crat&c. 


Tropopio  X J X. 

I . 

CViufeunque  minoris  portionis  Sphterje  fuperficies  fqnalis 
eft  curu^fuperficie-i  cylindri  circa  integram  fph^ram  de- 

feripti. 


Liber  Primus  • j i 

fcripti , & eandem  altitudinem  cum  ipfa  portione  liabentis . 

Efto  minor  fph^re  por  _ 
tio  A B C,  & portio  cy lin-  ^ 
dri  FDEGicirca  integram  S 
fph^ram  deferipd  5 eande  ^ 

^ tamen  altitudinem  HB  cu 
ipFi  portione  fphcrica  ha-r  p 
bentis . Dico  fph^ricam 
fupcrjficiem  ABC  aequa- 
lem eflcfuperficiei  cylin- 
dri FDEG. 

Si  enim  non  eft  equalis , vel  maior  erit  vcI  minor . 

-Ponatiu' primum  maior  j & ipfi  fphericc  fuperficiei  ABC. 
conftruatur  aqualis  (vr in  prccedenti)  cylindrica  FLMG:fed'0 
deinde  arcu  AB  bifariam , & portiones  eius  iterum  bifanam,& 
fic  femper , circumCribatur  arcui  A B C figura  multorum  late- 
rum I N O P Qjterminata  ad  diametros , qiie  ducuntur  per  pun 
. dtaA&C.  Sitqueperprgdidambifedioncm  arcuum,  femi- 
latiis  R O minus  quam  reda  D L , vt  propterea  planum  S T,  du- 
duniper  O,  cadat  intra  punda  D,&L.  Quemadmodum  in 
prgcedenti&c.  Conuertatur  deinde  figura  vniiicrfa  circa  OH, 
& cx  conuerfione  figiirf  I N O P Qnaicetur  portio  folidi  fphg- 
ralis  fub  conicis  fuperflciebus  conttiita . 

, lam  fic . Qma  fphqrlca  fiiperficies  ABC.  aqualis  efl  per  c5 
firudionem  cylindricae  F L M G,  maior  eadem  erit  quam  cy- 
lindrica FST G,  & multo  maior  quam  omnes  conicae  INOPQ, 
muitoqi  etiam  maior  quam  omnes  conicae  AVNOPXC.Q^od 
eft  abfurdum,  & contra  principia  Archimedis . 

Ajsumffimuscylmdricdm  fup  er  fidem  JF  ST  G mdior^m  ejfe 
omnibus conids'  INOP M^Hoc  enim  ^dtet . Ndm ex  1 3.14- & 
J S . huius  colligi  foteft , coni  cds  INOP  ^jequdes  ejfe  f uper  fL 
dei  cylindricd  ccntmtd  inter planum  ST , dl  pUnum  quod  du- 
ceretur per  punStd  I 

-Affumff fimus  etiam  ^ duU  a tangente  A V , conicam  fup  er  fi- 
ci em  j 


i 2 DeSphxhra,  ©*  foUSs [phirali^. 

ciem  yqu^ fit  a linea  IV y maiorem  efe  quam  illa  qua  fit  linea  AV. 
Muod  quidem  demonfiratur  apud  Archimedem  ad  Propofitionem 
S7,de  Sph^ra  (fi  cylindro . Sed  fi  ex  nofiris  deducipoteft  .Nam 
Y €Ct  angulum  proprmmfuperficieiyqua fit  Hinea  IV  y maius  e fi 
quam  r e cl  angulum  proprium  illius  qua  fit  a linea  AV . Conti^-- 
rietur  enim  fub  lineis  maioribus . 


Ponatur 
dcindo 
fphasrica 
fiiperfici 
cs  portio 
nis  ABC 
miD.  qua 
cylindri 
ca  FDE 

G.  y O T P (Ti 

Fiat  vt 

cylindrica  F D E G ad  fphsericam  fuperHciem  ABQqu^  minor 
ponitur,  ita  FH  ad  HM , & centro  T femidiametro  autem  HM 
fiat  hemifph^rium  OQP,,  circa  quod  intelligatur  cylindrus  OL 
NP  Intra  arcum  autem  ABC  figura  inferibatur  multorum  late- 
rum  A V B X C per  continuam  bifedionem  arcuum  ita  vt  lare 
ra  ipfius  non  tangant  femicirculum  OQP,  & conuertatur  vniiier 
fa  figura  circa  axem  BT . Intelligatur  autem  radio  TZ(qui3e  t e- 
da  perpendicularis  fit  ad  vnum  latus  figiu^te  infeript^  } deferibi 
fphirram , qute  tangat  fingula  figiirte  A V B X C bitera , & ck- 
cahuiufmodi  fphseram  deferiptus  concipiatur  fuus  cylindrus 


$. huius ; lam  fic . cylindrica  fuperficies  FDEG  per  confiriidionem  e(h 
adfphtericam  ABCjVtFFIadHM,  hocefl:  vtFGadMI.  hoc 
ex  6 hu-  eft  vt  redanguluni  FE  ad  redangulum  MN , hoc  efi:  vt  eadem 
* cylindrica  FE,  ad  cylindricam  MN . Entideo  Iph^rica  fuper- 
explica-  ficics  ABC  cCqualiscylindrlcaiMN  nempe  minor  cylindrica»# 
iursnfra  . hoc  cfi  miiior  omiiib.  conicls  AYBXCjquod  efl  abfurdu. 

Afium’- 


Lihef  Trimus  ••  '33 

Affumfjimus  cyUndricamfuferfciem  ® « xqudlem  ejjfe  omnib, 
ecmeis  AVBXC.  -patet  ex  demonBrdHs , Sunt  enim  tam 
cylindrus  ^t^quam  omne s ilU  conica  eiuf dem  altitudinis  HB i ^ 
circa  eandem fphardm  y i defcribuntur » 

Conftat  ergo  fLiperfidem  ABC  aqualem  elTe  cylindricae  DP 
GE.cum  demonftratum  fit  neque  maiorem  e fie,  ne  que  mino- 
rem . Qipd  &c. 


Corollarium  1. 

Ex  prima  duarum  pramijpirum  Propojitionum 
patet fup  er  fidem  integram  fphar^ , aqualem  effe 
fuper fidei  cylindri  fihi  drcumfcripti , eiufdem 
cum  ipfa  fphara  alti  tudinis . 

Cum  enim  hamifpharium  ABC  fuperfiidem  ha^ 
beat  aqualem  fup  er  fidei  cylindri  AEHC^  cfp  item 
hemtfpharium  alterum  ADC  ^fuper fidem  habeat 
aqualem  fup  er  ficte  i cylindri  APGC,  erit  coniunClim  totafpharce 
fup  er  fides  aqualis fuperfidd  cylindri  FEHG  i exceptis  fempef 
bafiibus . 

Corollarium  II. 

ManifeUum  etiam  efil  oxvltimapropofitionCy 
fupcrfidem  maioris  fphara  portionis  , aqualem 
ejfefpip  erfidei  cylindri  eandem  cum por  tione  al- 
titudinem habentis  ^ ^ circa  eandem  fphardm 
defcriptibilis . 

Cum  enim  integra fph^r^  fup  er  fides  aqualis 
ft  fup  erfidei  cylindri  IDGL  ^ demonflratum 

pt fup  er  fi  dem f e gm  enti  minoris  ABC  aqualem  effe fup  er  fidei  cy 
lindri  E EGE , erit  reliqua  fuperfcies fphara  AHC , aqualis  re^ 
liqua  fup  erfidei  EILF  . ^upd  oportebat  cfic» 


CeroUfZ 


Tropofmo  XX. 

SVperficiesfph^requadrupU  eft  maximi  eitculi  in  eadem 
fphara  defcriptibilis . 

E Sit 


3 4 S ^ foUdis  fph^rali^. 

^ Sit  Iphtera  ABCD  cuius  diameter  AQ  & cir- 
ca ipram.inteiligatur  cylindrus  eiufdem  altitudi-  E 
nisFEHG. 

pico  fuperficiem  fph^rse  quadruplam elfe  ma- 
ximi  circuli  in  ea  delcriptibilis , 

Superdcies  enim  cylindri  FEHG  fine  bafi-  F 

biis , eft  ad  circulum  fu^  baFs  circa  FG,  fiue  cir- 
ca  A C defcriptumsVt  EF  ad  quar.  partem  ipfius  FG , hoc  eft  vt 
FG  ad  quar.  partem  ipfius  FG ; hoc  efi:  quadrupla . Proptcrea 
corli^^'  fuperficies  fphaeraeiquae cylkdricae  eft aequalis  , qua- 
$7Jced',  circuli  circa  AC  defiriipti , qui  in  fphaera  maximus 

efi:  . Q^od&c, 

Aliter. 

Sph^ricdfuperjicies  ABCD  ^qudlis  eB  cylmdric^FEHG;cy^ 
lindrica  vero  F E HG  ddcirculHm.i  cuius  femidiameter fit  AC^efi 
vtreB angulum  per  axemEG  ^ ad  quadratum  ex  femidiametro 
AC  j nempe  ad  quadratum  EG ; ^ ideo  aqualis propter  e a etiam 
fph^ricaf  ^tperfcies  pqualis  erit  circula  cuius fiemidiameter fit 
AC^ergo  quadrupla  erit  circuli  cuius  diameter  fit  AQ.^md 

«f 

Propofitio  XXL 

CViufeiinq;  portionis  iphaerg  fuperficies  aequalis  efi  circu- 
lo, cuius  femidiameter aequalis  fit  lineae  quae  ex  polo 
portionis  perducitur  ad  circulum,  qui  in  eiufdem  portionis  bafi 
|efi. 

Efio  fphaerae  portio  fiue  minor 
fiue  maior  ABC . cuius  ex  polo 
duifia  fit  retfia  A B . Dico  fuper- 
ficiem portionis  aequalem  effe 
circulo  qui  fit  ex  AB  tamquam  fe 
midiametro. 

Cum  enim  quadratum  AB  ae- 
quale fit  redangulo  DBE  ob  circulum , aequale  erit  & re(fian- 
gulo  GFIH , quod  idem  eH  ac  re(fiang;ulum  DBE . Fropterea 


F B : 

] 

F 1 

1 1 

e'^ 

Li 

n 

a 

k. 

2 

G 

\L 

m 

circu- 


liber  Primas  i Jig 

circulus  ex  AB  aequalis  erit  fuperficiei  cylindri,  cui  per  axem  , » 
fit  redang.  GFIH , 6c  ideo  aequalis  etiam  fuperficiei  fphaeri- 
cae portionis f ABC.  Q^d&c. 

T ridhdc  T hepremMd , qudfeqmntut , ex  Archimede  defum^ 
ftdfunt  i quod quidemfecimus  ne  leBor  Archimedem  adire  con- 
geretur , fed  vniuerfam  hanc  doUrinam^  in  hoc  libello  haberet  o 

Profofmo  XX  II. 


SIntduo  coni  redi  ABC, DEF.  Sitqjcuruse  coni  ABC  fu- 
perficiei equalis  circulus  DF,  nempe  bafis  alterius  coni  D 
E Fi  redi^  vero  IH , qu«^  ex  centro  I du- 
citur perpendiculariter  ad  latus  A B , ae- 
qualis fit  altitudo  EL:Dico  conos  ABC, 

DEF , efie  aquales . jq- 

Nam  altitudo  B I ad  altitudinem  E L 

eft  vt  BI  ad  IH  ( ob  squalitatem  ) fiue  vt  I CD  1|  P 

BA  , ad  a I , nempe  vt  curua  fuperficies 
ABC  ad  bafim  AC  i fiue  vr  bafis  DF  ad  bafim  AC . reciproce . 
Quare  aequales  erunt  coni  ABC , DEF . Qipod  erat  &c. 

Corollarium . 


Hinc  f at  et  quod fi  conus  aliquis , ^uta  DOF . bafim  quidem 
habeatHF  aqualem  curuafiuper fidei  ABC , altitudinem  vero  O 
L non  ^ qualem -p  er fendiculari  IH  ,•  Ita  fore  conum  ABC  ad conu 
DOF  .^vt  cftiH  ad  OL  . Nam  conus  DEF  ad  conum  DO  Fi  efivt 
EL  . ad LO . Ergo  (fumptis  antecedentium  aqualibus J conus  A 
BC  ad  conum  EOF , erit  vt  I H MOL , 


per 
xti . 

S*  huim 


Tropojiiio  XXII L 

SI  fuerit  rombusfolidus  ABCD,  ex  duobus  conis  redis 
compofitus  i Sitq;  conus  EFG.habens  bafim  EG  aqualem 
fuperficiei  curu^  alterius  conorum  rombi , puta,  B AE%ltitudi- 
nem  vero  FH  sequalem  red^  CL,  qu^  quidem  ex  vertice  reli- 
qui coni  BCD  ducitur  perpendiculariter  in  latus  A B produdu- 

E ^ alte- 


3 ^ De  SfhAra,  ^ f olidis  fphsiralib. 

alterius  coni  B AD . Dicorombu 
folidum  ABCD  aqualem  elTe  co- 
no EFG. 

Ducatur  IN  perpendicularis  •- 
ad  B . lam , conus  BCD,  ad  co-  g 
num  B AD,  eft  vt  C1  ad  IA  3 & c6- 
ponendo , rombus  ABCD  ad  co- 
num BAD  eft  vt  C A ad  A 1 3 ftue 
vt  CL , ad  IN . Gonus  vero  BAD 
per  Cor.  ad  conum  EFG  eft  vtIN  ad  FH:  ergo  ex  ^quo  rombus  ABCD 
prsfud.  conum  EFG  eft  vt  CL  ad  FH . Ergo  aqualis . Q^d  erat,&c. 


Propofmo  XXIV. 

I fuerit  conus  ftue  rombus 
Holidus  ABCD  fcdiis  plano 
EF  a4  |)aftm  parallelo . Intelli- 
gaturque  ex  integro  folido  ABC 
D ablatus  rombus  folidus  EBF 
D . Dico  reliquum  folidum  ex 
cauatu  AEDFC  quod  ftipercft , 
equale  efte  cono  cuidam  M , cu- 
ius bafis  M fttirqualis  fruftocur- 
uiE  fuperftciei  conicae  AEFC  in- 
ter plana  E/*,  AC,  intere eptce,  ' 

altitudo  vero  M ftr  tequalis  perpendiculari  DI , qu«e  a vertico 
ablati  rombi  D ducitur  in  latus  B A . 

Intelligantur  tres  coni  sequealti  L,  M,  N . quorum  vnicuique 
altitudo  fit  aqualis  red?  DJ  3 bafis  vero  coni  L fit  aqualis  ciirug 
fuperficieiconiEBi^  . at  bafis  M tequalis  fit  fegmento  conicx 
fuperficiei  inter  plana  'EF  , AC  intercepto : coni  tandem  N ba- 
fis aequalis  fit  vtiifque  fimul  prtedidis  bafibus3  finc  ( quod  idem 
eft)  integre  fuperficiei  curu9 coni  ABC. 

. , Manifeil; um  eft  quod  integrum  folidum  ABCD  aequale  erit 
cono  N ( per  alterutram  prascedentium  duarum  Propof. ) fed 

u etiam 


LihnVnmus-  37 

etiam  duo  coni  X &M  iimul  fumpti  cequalcs  fiint  eidem  cono 
H.  ergo  integrum  folidum  ABGD  aequale  erit  duobus  conis  L 
& M fimul  fumptis . Demptis  itaque , rombo  EBi^D , dc  cono 
L , qui  per  prcecedentem  funt  aequales , reliquum  folidum  exca- 
uatum  AED/’C  ^uale  erit  reliquo  cono  M . Qrod  erat  &c. 

Tropofmo  XXV 

SI  ex  cylindro  auferatur  conus  eandem  ipfi  bafim,  dccan- 
dem  altitudinem  habens  , erit  reliquum  excauarum  foli- 
dum,  quod  ex  cylindro  fupereft,  aequale  cono  cuidam,  cuius 
bafis  j^qualis  fitpuperficiei  curuae  cylindri , altitudo  vero  aequa- 
lis femidiametro  bafis  iplius  cylindri . 


Edo  cylindrus  , cuius  redtangulum 
per  axem  fit  ABCD . & ex  ipfo  auferatur  ^ ^ 

conus  BEQvtdidtumeft.  Sumatur  au-  x /\  _ 
tem  alius  conus  FlL , cuius  bafis  Fh  x-  BON  ^ ^ 

qualis  fit  fuperficiei  curu^  cylindri,  alti- 
tudo i^qiialis  rect?  NB.hoc  eft  femidiametro  bafis  cylindri . Di 
co  reliquum  ex  cylindp  folidum  , dempto  cono  BEC,  mualc 
cfle  cono  i^IL . 

SecetLir  BN  bifariam  in  O . Conus  ergo  /IL  ad  conum  BE 
G,  rationem  habet  compofitam  ex  ratione  a iritudinum  H I ad 
BA  , hoc  ed  N B ad  BA  ,&  ex  ratione  bafium , hoc  efl  bafis 

qu;s  circa  i^L  ad  bafimqute  circa  BQfiue  quod  idem  edjfuper-  4.  bmm 

heiei  cylindrice  ad  bafiiTi  propriam  qux  circa  BC,hoc  ed,lineg 
AB  ad  BO . Erit  ergo  conus  i^IL  ad  conum  BEC , vt  NB  ad  B 
O,  nempe  duplus:  folidum  etiam  cylindricum  excauatum,dem- 
pto  cono  BEC,  duplum  efl;  eiufdem  coni  BEC . Propterea  fo- 
lidum  cylindricum  excauatiun  iequale  erit  cono  PlL,  cuius  ba- 
Es^quatur  fuperficiei  cylindri,  altitudo  vero  aqualis  edfemi- 
diametro  bafis  cylindri . Quod  &c. 


8 .huius, 
s^,fexn  . 


3 S • Sph/ira  > [olidis [phAtaliL 

Fropofitio  XXVI. 

SI  ex  cono  conus  auferatur  eandem  habens  bafim  altitudi- 
nem vero  minorem,  erit  excauatum  folidum  conicu,quod 
relinquitur,  sequale  cono  cuidam  , cuius  quidem ba fis  ecqualis 
fit  curuee  fuperneiei  totius  prioris  coni, altitudo  vero  aqualis  per 
pendiculari,quee  ex  vertice  ablati  coni  demittitur  in  latus  maio- 
risconu 


A L 


Efto  conus  retflus  ABC  ex  quo  aufe 
ratur  conus  ADc,  vti  didum  efi: . Po- 
natur autem  conus  E/* G, habens  bafim 
EG,equalemcuru9  fuperficiei coni  A 
B C ; altitudinem  vero  H-F  aqualem  re- 
dg  DI , que  perpendicularitd  a vertice 
ablati  coni  cadit  in  latus  AB . Dico  folidum  conicum  excaua- 
tum ADCB,  dempto  cono  ADc , aquale  effe  cono  Ef  G . 

Nam  cum  triangula  BLA^BID,  redangula  fint,  habeantque 
angulum  communem  A B L,  fimilia  erunt.  Sed  conus  EFG  ad 
conum  ADC  rationem  habeteompofitam  ex  ratione  bafiiim,. 
nempe  circuli  circa  E G,  fi ue  fuperficiei  curu^  coni  ABC  , ad 
circulum  circa  AC , hoc  efi:  red^  B A ad  AL ; fiue  BD  ad  DI , & 
ex  ratione  altitudinum , nempe  HF  ad  DL,  fiue  DI  ad  DL . Co- 
nus ergo  EFG,  ad  conum  ADC  erit  vt  linea  BD  ad  LD.  Sed 
conus  ABC  ad  conum  AD  Cefi:vtBLadLD,&diuidendo, 
etiam  folidum  excauatum  ADCB  ad  conum  ADC  efi:  vt  linea 
BDad  DL.  Propterea  confiat  folidum  excauatum  ADCB 
fquale  elfe  cono  EFG  ..  Quod  &c. 


Lemmd 

Si  ah  eadem  mdgmtudine  A B dua  magnitudines  inaquales 
auferantur  AC , maior:,  & AD  minor  fuentq;  DC,  nempe  differt 
tia  inter  ablatas,  aqualis  differenti^  fiue  exceffui , quo  maius  re^ 

fiduum  BD  fuperatquandam  magnitudinem  B . Dico  ipfam  E 

mino- 


Liher  Vrimus , . 39 

minori  refiduo  CB  aqualem  ef^ ? . ^ 

Patet  hoc . Cum  enim  maius  rejiduum  DB  fuperet  ^ 
magnitudinem  E exceJfuEC ; fi  excejfus  abijciatur  ^ 
erit  reliqua  CB  aqualis  magnitudini  E.Propterea  ma--  ^ ’ 
gnitudo E f qualis ejlmihorire/iduo  , £^od^c.  j;)  E 

Frofiofnio-XXVIL 

SI  ex  conico  irufto  conus  auferatur,  qui  pro  ba- 
£ habeat  maiorem  ff  ufti’  bafim,  altitudinem  ve-  A 
ro  eandem  cum  fruft  o j Biit  reliquum  excauarum  fo- 
iidum  sequale  cono  cuidam,  qui  bafim  habeat  arqua- 
lem  fuperficiei  curu^  friifti , altitudinem  vero  equalem  perpen- 
diculari qu^  ducitur  ex  vertice  ablati  coni  in  latus  alterum  coni- 
ci frufti . 

Edo  conicum  fruflum  ABcD, 
cuius  maior  bafis  fit  circuluscir- 
ca  JC.  Erexipfo  auferatur  co- 
nus BEC)  cuius  bafis  fit  idem  cir- 
culus circa  BC ; altitudo  vero  -FE 
eadem  cum  ffufto . Dico  reliquii 
folidum  excauatu  dempto  cono 
BEC , equale  effe  cono  cuidam , 
cuius  bafis  aequalis-  fit  curuac  fu- 
perficiei conici  frufti  ABCD . alti- 
tudo verofitlinea  EH.  quae  nimirum  ex  E vertice  ablatico- 
ni cadit  perpendiculariter  in  Ai?  latus  conici  frufli . 

inferibamr  alius  conus  ApD  habens  bafim  circa  AD,  & ver 
ticeminF’,  Ducaturque  A I parallela  ad  £ F , entque  totalC 
aequalis  vtrique  fimul  femidiametro  bafium,  r empeipfi^A, 

ipfiqj^F^.  Fiat  deinde  circa  FB  femicirciilus  FOF,in  quo 
applicetur FOaequalisipfiFt,fiue  ipfi  F^^eritqj  circulus  ex 
femidiametro  FO  differentia  inter  duos  circulos, quorum  femi« 

‘ diametri finr ,, FF, FO, fiue FF,  &FAamemp€  differentia  in- 


40  JDe  Sphdra,  foUdis  Jphdralih. 

ter  bafes  oppofitas  conici  Jfrufti,  hoc  cft  inter  bafes  conorum 
>/^^&>&propterca  conus  cuius  bafis  fi  circulus  ex  FO 
femidiamciro , altitudo  vero  FE , differentia  erit,  fiue  exceffus, 
quo  maior  conus  BEC  fuperat  minorem  AFD , 

Ponatur  reda  quaedam  L,  cuius  quadratum  aequale  fitre- 
per  Cor.  erifqiie  circulus, qui  fit  ex  L femidiame^ 

prop.xy,  tro,aeqiialis  conicae  fuperficiei  frufti  ABCD  .Demittatur  'deni- 
bmus . que  ex  F reda  FM,  perpendicularis  ad  , & ex  £ reda  E N 
parall.  ipfi  HM , eritque  fada  figura  -EHMN ..  parallelogram-- 
mumredangulum.  • 

lam  cum  propter  parallelas  HM , J?N,fint  aequales  anguli 
D,  N^D , demptis  redis  I^D , FEjy , erunt  reliqui  B^I , 
N£-F  aequales ; & ideo  triangula  N EF , cum  redtos  ha- 

beant angulos  ad  I&  Naequiangula  erunt . 
s.  fecu»  c um  autem  redangulum  BIC  fimul  cum  quadrato  Fl  aequa 

^ ' le  fit  quadrato  -F  B,  vel  quadratis  O , O B,  d emptis  aequali- 

bus BO,  Fl, . erit  reliquum  redangulum  BIC  quadratoF’  O . 
aequale., 

C oncipiatur  iam  conus  A FF>  detrahi  ex  conico  frufto  A b 
^,bu-  c Z),  eritq;reliquum  excauatumfolidumdcmptopraedido co- 

* no,  aequale  cono  cuidam  cuius  bafis  femidiametcr  fit  L,  altitu- 
do vero /'M, 

Iam : quoniam  ob  fimilitudinem  trianguIoru,efi;  N-F  ad  FE, 

, vt  BI  ad  B A,  hoc  eft  ( fumpta  communi  altitudine ) vt  redan- 
gulum BIC  ad  redangulum  B A in  IC , hoc  efi:,funiptis  aequa- 
libus,vt  quadratum  FO  ad  quadratum  ex  L reciproce,  aequales 
erunt  coni  reciproci  quorum  alter  altitudinem  habeat  FE,&  fe- 
•midiametrum  bafis  FO  j alter  vero  altitudinem  habear  F N , & 
femidiamerrum  bafis  L . Sed  conus  ille  qui  altitudinem  habeat 
FE,  & radium  hafis  F Oi,  efl  exceffiis  inter  ablatas  magnitudi- 
nes , nempe  inter  conos  BEC , AFD ; Conus  vero  ille  qui  alti- 
tudinem habet  FFT,  dc  radium  bafis  L , efl  exceffus  quo  maius 
»4.  hn-  refiduum  totius  magnitudinis  (nempe  conus  cuius  altitudo  FM, 

* & radius  bafis  L ) fuperat  quandam  aliam  magnitudinem,  nem- 
pe conum,  cuius  altitudo  , fiueEH,  radius  aurem  bafis  Li 


>Liher 'Primus  i «f  i 

erit  itaque  haec  magnitudo,  per  Lemma  prjemiflTum,  aequalk 
minori  refiduo ; ergo  conus  prsedidus , cuius  altitudo  EH^^c 
bafis  circulus  cx  L sequalis  fuperficiei  conici  frulli , srqualis  erit 
minori refiduo,  hoc  eft reliquo  conici  frufti  ABC D. dempto 
cono  B E C . Qiwd  erat  &c. 

Alifer . 

Sed  e anemur  idem  oBendere  minus  UboriofddemonBrdtionei 
fi pojjibile  erit  ex  dificultate  mdterU,^  verius  ex  tenuitate 
genjj. 

Sit  conicum  frufium  A BC D 
cuius  maior  bafis  B C , ex  iffh 
auferatur  conus  BEC  ^ altitudi- 
nem habens  eandem  cum  frufio , 
i^probafi^  maiorem  ipfiusfrufii 

bafim . Compleatur  conus  BGC  , 

cuius  datum  eratfrufium , duBa-  ® P 
que  EH  ad  angulos  reBos  ipfi  BG^ 
ponatur  IL  media  proportionalis  inter  GB,  BF , eritq;  circulus  ex 
iLfemidiametro  deferiptus , aqualis  fuperficiei  coni  BGC  .fiat  per  Crr; 
circa  ILfemicirculus  IMLyin  quo  aptetur  I M media  proportio-^ 
nalis  inter  G^A  ,AE  ^ eritq',  circulus  exfemidiametro  IM  faBus 
aqualis  fuperficiei  coni  AGD  ; Reliquus  circulus  exfemidiame^  %.buiLl 
troML  faBus aqualis  erit  fuperficiei  conicafruftiABCB.  (fi 
enim  ab  aqualibus  aqualia  demas  reliqua  funt  aqualia  ,J 

Bic 0 reliquumfolidumfrufti  conici  A BCD, ablato  cono  BEC^ 
aquale  effe  cono  cuidam.cuius  altitudo  fit  EH ; bafis  vero  aquL 
lisfuperficieiconicaipfiusfiiruBiihoe  e fi  circulus  ex  f€mtdiame-‘ 
tro  ML  defer iptus. 

Cum  .n,  duo  circuli  ex  radqs  IM.LM  faBixquales finteif- 
culo  ex  IL  de  fer ipto,  fi  altitudo  vnic  uiqut  eadem  ajfumatur  EH , 
erunt  duo  conifimul  ( quorum  altitudo  communis  EH , bafe s ve^ 

YO  circuli  ex  radqs  l M^LM (aquales  cono  , cuius  altitudo  eadem 

MH,bafisverUirCulus  ex  IL  i iBe  vero  conus  aqualis  eB  folido  w 

conteo  BECG, dempto  cono  BEC,  ergo  duo  illi  coni  aquales  erunt 
folido  BECG  , Propt  er  ea  ablatis  vtrinque  aqualibus  conis , nem 

F pe  CQ, 


4s»  Sphioem  &foUdis [pharaliL 

^econO  y CmuHaJis  ex  IM  eB^  Mtudo  EH,  dr  cono  AGU  (funt 
enim  a^qudl  es  per  2. 2 . huius ) remanebunt  aqualia  yfolidum  nem- 
pe  excauatumfrufiiABCDydetraBo  cono  BEC  ^ & conus  cuius 
altitudo  EH  JsaJis  circulus  ex  LM  radio  faBus^qui  quidem  aqua- 
lis ejlfup  er  fidei  conic^ fruBi  ABCD . ^od  drc . 

Definitio , 

S i ex  cylindro  cylindrus  auferatur  aquealtus  , ^ circa  eunde 
axem  defcriptus y folidum  excauatmn  quod  relinquitur , T ubum 
cylindricum  appellabimus . 


E G:  i.' 


Frofo/Itia  XXVIII. 

CYlindrus  ad  tubum  cylindricum  teqile altum, efl  vt  quadra- 
tum femidiamctri  bafis  cylindri  ad  redang  ulum  bafis  ip- 
fius  tubi  cylindt  ici, 

Efto  cylindrus  AB  cuius  axis 
GD . Tubus  vero  cylindricus  EF 
(dempto  nimirum  cylindro  GH) 

^'queakus fit  cum  cylindro  AB. 

Dico  cylindrum  AB  ad  tubum  E ^ ^ 

F cffe  vt  quadratum  AC  femidia- 
mctri bafis  cylindri , ad  redangulum  EGI,nempe  ad  rcclangu- 
Ium  bafis  tubi , hoc  eft  quod  fit  a differentia  EG . & ab  aggre- 
gato GI  femidiametrorum  bafis  ipfius  tubi . 

Nam  cylindrus  integer  EF  ad  cylindrum  GH,efi:vt  quadra- 
tum EL  ad  LG . quadratum . Et  diuid  endo  , Tubus  cylindricus 
EF  ad  cylindrum  GH  eft  vt  redangulum  EGI  ad  quadratum  G 
L.  Sed  cylindrus  GH  ad  AB  cylindrum  eft  vt  quadratum  G L 
ad  quadratum  BC . Ergo  ex  tequo  erit  tubus  cylindricus  EF  ad 
cylindrum  AB  vt  redangulum  EGI  ad  quadratum  AC.  Con- 
uertendo  igitur  patet  quod  propofitum  erat  • 


Fropofmo  XX  IX, 

D Ate  figurte  folidte  rotundae  figuram  infcribere,alteramqiie 
circumfcribere  ex  cylindris  cequealtis,  ita  vt  defcripta- 
rum  differentia  minor  fit  quolibet  dato  folido . 

Efto 


JB 

H 

I 


/ 

i 

r 

- -R  L 

- 

t 

f 

t 

0 

P 

V 

\ 

j 

“7 

/ 

r' 

M. 

M 

V 

1 




Trimus  i 4d> 

Efto  cylindrus  ABC 
D,cuius  axis  EF : datoq; 
intra  cylindrum  folido 
AED  circa  eundem  axe 
EF  reuoluto,  fiue  hemil- 
ph^riujfiue  conus,  vel  co 
noides  fit,  oportet  ipfi  fo 
lido  AED  duas  figuras 
ex  cylindris  sequealtis  c6 
pofitas,  alteram  quidem 

infcribere  ^ alteram  vero  circumfcribereita  vt  circumfcripta  fu- 
peretinfcriptam  minori  exceflu  qua  fit  quodlibet  datum  foli- 
dumK. 

Secctur  bifariam  cylindrus  AC  plano  HG  ad  axem  EF  ere* 
do ; iterumq;  cylindrus  HD  bifariam  fecetur  plano  I L j & hoc 
fiat  femper  donec  cylindrus  aliquis  puta  AL  minor  remaneat 
qudm  folidum  K . T unc  diuifo  toto  cylindro  AC  in  cylindros 
jcquealtos  ac  ipfe  AL , oriantur  in  folido  AED  fediones  M N, 
OP.  QR . Concipiamus  fuper  vnoquoq;  circulorum  MN,  OP , 
QR , duos  cylindros , alterum  quidem  verfus  E , alterum  autem 
verfus  partes  F conuerfum . Eruntq;  omnes  fimul  cylindri  qui 
verticem  habent  verfus  F , aequales  omnibus  fimul  cylindris 
verticem  verfus  E habentibus(cum  finguli  fingulis  aquales  fint) 
Ergo  fi  omnibus  cylindris  qui  verticem  habent  verfus  E,  addas 
cylindrum  AL,fuperabit  iam  figura  circa  folidum  AED  deferi- 
pta,figuram eidem inferiptam, differentia  AL;  Nempe  minori 
exceffu  quam  fit  folidum  K.  Qiwderat&c. 

Corollarium , 


Hinc  fatetqu))d  data  figura folida^ftue  hemif^herium fit,fiut 
conus  yfiue  conoides  dpfi  du^  figurpfoUd^  ex  cylindris  aque^ 

altis  comfofit a altera  infcrtbi foteft ^altera  vero  circumfcribiiita 
vt  differ entiainter  datam folidam figuram defcriffarualtetH 
tram.,minor fit  quolibet  dato  folido  K y 
Hfferentiaeniminter figuram  datam  (fi  alteram  def  cripta^ 
fum  minor  vtiqi  erit  quani  differ  entia  inter  deferiptas  (efl  enim 

P z pars 


fer  19^. 
humst 


44  foltdis  fph^ralih. 

fars  ewfdem ) ergo  mulio  minor  quam  f olidum  K . 

Fropofmo  XXX. 

SPbara  quadrupla  eft  coni  cuiufdam,  qui  quidem  cohus  ba~ 
fim  habeat  aqualem  maximo  fph^rae  circulo , altitudinem 
vero  eiufdcm  iphsere  femidiametro  £equalem . 


Efto  circulus 
cuius  centrum 
Ai  quadratum 
ipficircumfcri 
peum  iit  BCD 
E ; iundifque 
EA,  AD, 
conuertatur  E 


■ 

Y 

P l\ 

!i 

A. T 

\ 

[ — — . 

K 


gura  circa-, 
axem  F G ita 
vt  a quadrato 

fiat  cylindrus,  ,, 

a fphsrra  circulus ; a triangulo  £ A D , conus  £ A D , 

. Dico  fphseram  quadruplam  eile  coni  E AD . Niii  enim  qua- 
drupla iit,  non  erit  hsemilpharium  equale  folido  ^quod  de- 
feribitur  a triangulo  EHA . circa  axem  FG,  conuerfo  (cum  hoc 
folidum  duplum  iit  coni  EAD . ) Erit  itaq;  hemifphserium  vel 
maius,  vel  minus  folido  trianguli  E HA,  5 

Efto  primum  maius,!!  poteft  eile ; iitque  exccilus  seqiialif  fo- 

. . ,«  »/^4  . ^ 1 • 1 • • 


fitfoiidUm  K . Et  erit  figura  inferipta  adhuc  maior  quam  foli- 
dum uianguli  EHA.  Secetur  etiam  axis  AG  in  tot  partes  aqua- 
les in  quot  fedtus  erit  AF.  Dudifqjpcrpunifta  fe^tionum  pla- 
nis ad  axem  eredis  , intelligatur  in  folido  trianguli  E FI  A . in- 
feripta figura  ex  tubis  cylindricis,  sequcaltis  conflans , quorum 
vnus  ijit,. ‘cuius  fedio  eft  rcdangulum  HO. 
iam  cylindrus  IL  ad  tubum  cylindricum  HO^eft  vt  quadra- 
tum 


Liber  Trimus . 

tum  IP  ad  redangulum  MON . Sed  quadratum  I P aquale  eft 
redtangulo  FPG , nempe  ipfi  MON  ( nam  F Prequalis  efl  redas  ' 

BR , fiue  ME,  fiue  MO , & reliqua  PG  reliqu^  ON  ) ergo  cylin- 
drus IL  sequalis  efl  tubo  cylindrico  HO . Hoc  modo  proceden- 
do oftenduntur  omnes  cylindri  in  h^mifpherio  icquales  omni- 
bus tubis  in  folido  trianguli  EHA . Q^re  figura  in  hemifph^- 
rio  infcripta  ex  cylindris  conflans, cequalis  erit  figursein  folido 
trianguli  EHA  defcript^  ex  tubis  cylindricis  compofit^.  Sed 
figura  in  hemifphiKrio  defcripta  maior  erat  integro  folido  trian 
guli  EHA . Ergo  necefTe  efl  quod  figura  infcripta  in  folido  E 
HA  eodem  folido  maior  fit . pars  fuo  toto . Quod  effe  non  po- 
tefl . 


Efio  deinde, fi  fieri 
potefl , hemifphceriu 
minus  folido  triangu 
li  E H A s fitqj  ciefe- 
dus  aqualis  folido  k 
Circumferibatur 
ipfi  hemifph^erio  fi- 
gura folidaex  cylin- 
dris asqiiealtis  con- 
flans , ita  vt  excefiiis 
figurce  fuper  hemif- 
pherrium  minus  fit  folido  K . Tunc  enim  circumferipta  figura 
adhuc  minor  erit  folido  uianguli  EHA.  Concipiamus  deinde 
folido  trianguli  EHA  aliquam  figuram  effe  circumferiptarn  c6- 
fiantem  cx  tubis  cylindricis  cequeaitis  ac  cylindri  ex  quibus  c6- 
flat  figura  hasmifph  ^rio  circumferipta . 

lam  primus  cylindrus  HV  figurae  circa  hemifpberium  deferi 
pti^,j^qualis  efl  primo  tubo  cylindrico  figurse  circumferiptis  fo- 
lido trianguli  EHA ; nam  & ifle  tubus , cylindrus  eft  H F . 

Secundus  cylindrus  G lad  fecundum  tubum  LM , efl  vt  qua 
dratom  GN  ad  redangulum  LTF , nempe  seqiialis  (quadratum 
enim  GN , jequale  efl  redangulo  ONP,  fiue  LTF,  nam  reda  O 


huius» 


c 


pefr%. 
huius  , 


Nre- 


4 6 De  Sphara,  0*  f olidis  fikjiralilf. 

N redic  BQ^fiiie  L E , fiue  LT , ualis  eft , & reliqua  NP  relt 

quiE  T F . ) 

Ergo  omnes  fimul  cylindri  Egurse  circa  hernifphgrium  deicri 
pta>,  hoc  eft  eadem  figura , aequalis  erit  omnibus  ftmul  tubis  cy- ' 
iindricis  circa  folidum  trianguli  EHA  deferiptis,  cum  ftnguli 
ftngulis  ecquales  fint  * Sed  figura  circa  hemifphserium  deferip- 
ta  minor  erat  folido  trianguli  EHA.  NecefTe  igitur  eft  quod  fo- 
lidum rt ianguli  EHA  maius  fit , quam  figura  fibi  circumferipta . 
pars fuo toto.  Quod effe non poteft. 

^ Hemifpheerium  igitur  neque  maius , neque  minus  erit  folido ' 
trianguli  EHA,  fed  ipfi  erquale,foIidum  vero  trianguli  EHA  du 
pium  eft  coni  E AD,erg6  hemifphieriu  duplum  erit  coni  EAD , 
Sph^ra  vero  eiufdem  quadrupla  erit , Quod  erat  propofirum. 

CoroHdrium  • 

Hinc fdte tfphdTdmfi{hfefqmatter4m^Jf€ cylindri,  cuius  hd* 
fis  dqudlis  fit  mdximo  ffhdTd  circulo  r 4ltitudo  vero  diametro 
fphdra  aqualis . ' 

Hamjfh.  ofteditureffe  ad  conum  MAb  vt  4,  ad^unu, conus  ve- 
to EAD  ad  cylindru  EBCD  eB  vt  vnu  ad  (f.  ergo  ex  aquo  ffha- 
ra  ad  cylindrum  EBCD  erit  vt  4,  ad  ^ NcmpefuhJ  efquialtera . 


DE 


47 


DE  SOLIDIS 


SPHAERALIBVS 

LIBER  SECVNDVS. 

Propoftio  Prima. 


O N V S quilibet  circa  fph^eram  defcriptus,  ec- 
qualis cft  cono  cuidam,  quibafim  habeat  2C- 
qualemvniucrfelupcrficiei  circumferipti  co- 
ni accepta  etiam  bafi , altitudinem  vero  aequa- 
lem radio  fph^recs 


Efto  circa  fpheeram , cuius  centrum 
Ay  deferiptus  conus  BGD,  (qui  videli- 
cet fphseram  tangat  & lateribus , & ba- 
il ) Ponaturq;  alius  conus  EFG,  qui  Ba- 
! Em  habeat  EG  aequalem  tum  curule  fu- 
! perEciei , tum  etiam  bafi  coni  B C D , 
i altitudinem  vero  HF  habeat  iequalem 
1 radio  Iphfr^AL. 


i 


Dico 


4^  De  Sphdra,  £5*  foMis  Jph4ralih» 

Dico  conos  BCD , EFG  ecquales  cfle  ♦ 

Solidum  enim  conicum  excauatum  quod  Ht  cx  reiiolutione 
%6  p.par  trianguli  CB  A circa  axem  IC,  ecquale  eft  cono  cuidam, qui  ba- 
• fimiiiabeat  ecqualem  curiiee  fuperficiei  conicec  B CD » altitudine 

vero  ecqualem  perpendiculari  AL,  nempe  radio  fpha^rec  : Talis 
ergo  conus  vna  cum  cono  B AD  (cum  habeant  eandem  altitu- 
dinem) ecquales  erunt  cono  EFG;  CJuandoquidem  conus  EFG 
baiim  habet  vtriq^  fimul  bafi  ecqualem, altitudinem  vero  alteru- 
trec  ecqualem.  Propterea  & conus  BCD,  qui  duobus  praedidlis 
conis  eequatur , ecqualis  erit  cono  EFG . Q^d  &c. 

Aliter . 

Ducatur  JM  aquidi  ftdns  ip  fi  AL  . (fr  qud- 
^xti  l niam  angulus  CBI  diuidituriifariam  a linea 
BA , erit  vt  CB  ad  BI , ita  CA  ad  AI. 

8.  pnml  Superficies  ergo  coni  BCD  fine  bafiy  ad  cir 

pardf . culum  fua  bafis  efl  'vt  C B ad  BI  y nempe  vt 
CA  ad  AI  y (jp  componendo  y d^per  emuerfio^ 
nem  rationis  y erit  vniuerfa  fuperficies  coni 
BCD  cum  bafi  y ad  fuper  fidem  eiufdem  coni 
fine  bafi  y vt  IC  ad  C A,  hoc  efl  vt  IM  ad  AL. 

Propter  ea fi  reciproce  adhibeantur  bafies , dl  altitudines , erit 
conus  cuius  altitudo  AL  y bafis  vero  aqualis  vniuerfp  fuperficiei 
coni  BCDcurn  bafiiy  aqualis  cono  cuius  altitudo  fit  I Mybasisve-- 
ro  curua  tantum fuperficies  conica  BCDyhoc  e Ii  cono  BCD( tqud 
les  enim  funt , cornus  cuius  altitudo  IM , bafis  vero  conica  fupet'- 
fides  BCD  id  conus  BCD  .per  22.  huius .) 

4 

Vropofitio  I /. 

C'Oniis  quilibet  circa  fphetamdefcriptu$,  cil  adfpheeram  , 
vt  coni  ipfius  vniuerfa  fuperficies  acce)pta  etiam  bafi , ad 
fuperficiem  fph^r? . 

Efio  circa  fpheeram  ABC  deferiptus  conus  DEF;  Dico  hu- 

iufrno» 


Liher  SeeUndui"^  4p 

iufmodi  coQum  cfTe  ad  fph2eram,vt  co- 
ni fuperficies  vna  cum  bafi,  ad  fuperfi- 
ciemfph^r^  • 

Ponatur  conus  HIL  vtin  prseccdl- 
ti , cuius  bafis  aqualis  fit  integro  peri- 
m^etro  coni  D £ F vna  cum  hafi,  altitu- 
dovero  P I aqualis  radio  fph^re  O C^ 
eritq;  conus  HIL  aqualis  cono  DBF  • 

Agatur  per  centrum  O planum  MN  ^ P !• 

ad  axem  eredum,  & in  hemifph^rio  M 
CN  concipiatur  conus  MG  N . 

. lam  conus  DBF  ad  conum  HIL  ( ob  squalitatem  ) eft  v t to- 
tus perimcter  coni  DEFD  ad  bafim  HL , conus  autem  H I L ad 
conum  MCN,  (cum  eandem  habeant  altitudine)  eft  vt  bafis 
HL  ad  bafim  MN,  conus  denique  MCN  adfphsra , eft  vt  bafis 
MN  ad  fuperficiemfphgrsC  nempe  in  ratione  fub  quadrupla^ 
quare  ex  squo  erit  conus  DEF  ad  Iph^ram,  vt  vniuerfus  perime 
ter  coni  DEF  ad  fuperficiem  Tph^rg . Quod  &c. 

Propojitio  ///. 

COnus  quilibet  circa  Iph^ram  deferiptus , eft  ad  fphsram,vt 
redangulum  contentum  fub  latere  & femibafi  coni  tam- 
quam vnalinea , & fub  femibafi , ad  quadratu  diametri  fphgrs , 

Efto  circa  fphgram , cuius  diametei: 

DE,  deferiptus  conus  quilibet  ABC. 

Dico  conum  ad  fpheram  effe  vtredan 
gulum  fub  B AD  tamquam  vna  linea, & 
fub  ADcompraehcnfum,  ad  quadra- 
DE. 

Curua  enim  fuperficies  coni  ABC 
ad  circulum  fuae  bafis  eft  vtBAadA 
D,  & componendo  erit  totus  coni  peri- 
meter  ad  eundem  circulum  bafis  vt  B A , AD  fimul  ad  AD ; hoc 

G eftvt 


fer 

ced. 


zotet 
p.  imth 


8 *p.par» 


S 0 De  Sfhsra,  CJ*  foUdh  fphxraM, 

cft  vt  redangulum  fub  linea  BAD,  & fub  AD  ad  quadratum  A 
D j circulus  vero  bafis  coni , ad  circulum  circa  D E , eft  vt  qua- 
dratum AD  ad  quadratum  DF,  circulus  denique  circa  DE  ad 
fphaerae  fuperficiem , efi:  vt  quadrarum  DF  ad  quadratum  DE, 
ergo  ex  aequo  vniuerfus  coni  ABCA  perimeter  ad  fuperirciem 
fphaerae  f hoc  eft  conus  ipfe  ad  fphaeram  per  praecedentem  J 
erit vtredangulum  fub  reda linoa  BAD,  & fub  AD,  ad  qua- 
dratum DE.  Qupd&c. 

Corollarium^ 

Pro  Corollario  fote  fi  ofiendi  conum  aquilaterum  adihfcriftM 
fifh^rdm , cjfie  njt  p.dd  4.  Pofito  enim  latere  A C.  O".  erit  re^an^ 
gulumfub  later  e cum  femibafi^  ^femibafi  2 j,  quadratum  'uer^o 
PD  2 /.(jr  quadratum  DE  12,  ergo  conus  ad  ff  horam  erit  vt  2 y 
ad  12 .fiue vt p.  ad  4* 

Scholium. 

PoJJent  hic  T heorematdnon faucafrofoni  circafolidorum  cir 
cumficriftionem , (fi  inferiftionem : qualiajunt\ 

Si  circaffh^ram  frifimaconcifiatur^  quod fingulis fuis fdraE 
lelogrammisfifhdram  contingat; fit  que  eiufdem  altitudinis^Erit 
frifima  ad fif  haram  yVtferimeter  bafis frijmatis  ad  duas  tertias 
ferifhari(  maximi  circulififhara , 

Si  vtr)) non  eiufdem  sit  altitudinis ; ratio  frifimatis  ad  sph^^ 
tam  componetur  ex pr a di  Et  a , (fi  ex  ratione  altitudinum ; ait  it u^ 
do  autem  fph^ra  diameter  efi . 

Si  cylindro  circumferibatur prifma,  quod  singulis  fuis paraU 
lelo grammis  fuperficiem  cylindri  contingat ; sintq;  eiufdem  aE 
titkdinis . Erit prifma  ad  cylindrum vt  basis  ad  basim;  nem-^ 
pe , vt  perimeter  basis  prifimdtis  ^ ad feriphariambasis  cylindri; 
idem  verum  efi  de  cono  yfi pyramidibus  c irc umferiptis , 

Si  vero  prifma , (fi  cylindrus  non  eiufdem  altitudinis  fuerint; 
ratio  componetur  ex  ratione  perimetri  adperiph^riam,  fi  altitu-^^ 
dinis  ad  altitudinem . , 

Si  intra  cylindrum  infer ibatur  prifma  eiufdem  altitudinis  ^ 
habens  basim poligmam  ^regularem  ^ fi parilateram ; Erit  cylin 
drus  ad prifma , vtperiph^ria  basis  cylindri  ad f erimettum poli- 


liher  Secunius  i ff 

gbnlfegulAris  in  e&dem  circulo  defcriptl^quod  hahedtldteramul 
titudine  fubduplafoligombasis prifmdtis,  etidm 

dccom , ^ fyrdmidihus  infcriptis . 

^dndouero  busis  frifmatis  impdrildt  er d fuerit , siuereguld- 
fis  ysiue  irregularis : Erit  fylindrus  ad  infer iptum  frifmUy  ut 
feriph^ria  basis  cylindri  ad  omnes  sinus  arcuum  a late  ribus  ba^~ 
sisprifmatisfubtenforum  . Dummodo  nullus  arcus femicireuU 
maior  sit , Scando  uero  arcus  aliquis  femicircuio  maior  sit ; cJ* 
quando  figurarum  altitudo  non  sit  eadem , alia  huiufmodiyO  m 
nia  demonlirari pojfunt  facili  quidem  negotio ; fedinjiitutum  n§ 
firum  € fi  non  omnem folidorum  in feriptionemy  (fi  circumferiptio^ 
nem  profequi  i fed illam y tantum^qu^  circa fph^rameB  y uelin-^ 
tra  ipfam  y Er  opter  e a ad  inceptum  reuertamur , 


Tropo fitio  IV.  * 

SI  circa  circulum  deferibaturpoligonutn  habens  latera  nu- 

mero  paria , fiue  a quaternario , fiue  a binario  menfurata 
& reuoluatur  figura  circa  diagonalem,  erit  fa(5i:um  fphaerale  fo- 
lidum  aequale  cono  cuidam  qui  bafim  habeat  aequalem  fiiper-* 
ficiei  folidi , altitudinem  vero  femidiametro  Iphaerae  aequale. 


Hoc  autem  quandib  numerus  Ia 
terum  menfuratur  a quaternario 
demonfiratumfuit  ab  Archimede 
Prop.  2 p .fiue  mauis  2s.  lib.p,  de 
fph.  (ir  cylin.  ^piando  vero  lateru 
numerus  etiam  a binario  tantum 
fncnfuraturyofiendemus  fic , erit- 
que  demonfiratio  (exceptis  qua 
de  V It  imo  f olido  cylindrico  dic  en 
tur)  eadem  cum  ea  quam  ajfiert  Ar 
chimedes , 


/ 


EftopoIigonumABCDEFG  habens  latera  a binario  tan- 
tum menfurata,  vtin  prima  figura.  Ergo  femipoligonum  AB 

G 2 CDEF 


f % ‘De  Sph*i‘iii  i ^ JoUdtsJph/iraM. 

■ CDEF  habebit  latera  numero  imparia,  latufque  vnum  tanget 
eirculum  in  pun6i:o  T , atq;  ideo  cylindricam  fuperficiem  in  c6- 
uerfione  defcribet . Intciligatnr  conus  M NO,  cuius  bafisfit 
circulus  MO  sequalis  vniuerfe  fupcrficieifolidi  fphjieralis  j alti- 
tudo vero  PN,asqualis  Iit  radio  fph-^rje.  Dico  fph^rale  foli- 
dum  aquale  effe  cono  MNO . 

Rombus  enim  folidusfadus  in  conuerfione  figurae  atriangu 
iS-ppar  lo  ABQjjequalis  eft  cono  cuidam  cuius  bafis  aqualis  fit  coni- 
^ ’ e^  fuperficiei  defcript:e  a linea  AB,  altitudo  vero  fit  radius  QR, 

Solidum  autem  excauatum  fadum  in  conuerfione  a triangulo 
BCQrcequatur  cono  cuidam  cuius  bafis  aequalis  fit  conicae  fu- 
perficiei defcdptie  a linea  BC.  altitudo  vero  requalis  radio  fphg 
TtE QS . & fic femper  procedatur.  Vltimum  denique  folMum 
z^.ppar  cylindricum  excauatum  defcriptum  a triangulo  C T Q^,  sequa- 
' le  efi;  cono  cuidam , cuius  Bafis  ^gqualis  fit  fuperficiei  cylindri- 
cae a linea  CT  fato,  alritudo  vero  sequalis  fit  femidiametro  cy- 
lindri , QT ; Et  fic  dei  olidis  circa  alterum  hemifphserium  TF  V 
defcriptis . Ergo  vniuerfum  fphaerale  fGlidum,i;equale  erit  om- 
nibus pr^edidis  conis  fimul  fumptis,  .•  ijfdem  autem  omnibus 
pr^didis  conis  sequalis  efi  conus  MNO  (ciim  bafim  habeat  om 
nibus  fimul  illorum  bafibus  aqualem , nempe  fuperficiei  folidi 
fph^ralis,  -altitudinem  vero  vnicuique  illorum  equalem , nem- 
pe radio  Iph^re . ) Propterea  pr^didum  folidum  Iph^rrale  gqua 
le  erit  cono  MNO . Q^d  &c. 

"Prop  bfi  t io  P'. 

SI  circa  circulum  deferibatur  poligonum  habens  latera  nu- 
mero paria , & conuertatur  figura  circa  diagonalem : ha- 
bebit fadum  fphaerale  folidum  ad  fphteram  fuam  eam  rationi , 
quamvniuerfa  folidi  fphaeralis  fuperficies  habet  ad  fuperfi- 
ciem fphaerae. 

Manente  praecedentis  Propofitionis  confirudioneg  Efio 
fphaerale  folidum  cuius  diagonalis , atque  axis  fit  AB,  centrum 
autem  fphaerae  fit  C . Dico  fpliaerale  folidum  ad  inferiptam 

fibi 


Lihr  Stcmdtis  i 'S3 

fibi  fphaeram  ef- 
fe,vt  fuperfides 
folidi  ad  fuperfi- 
dem  fphaerae. 

Infcribatur.n. 
in  hemifphaerio 
conus  DEF,&po 
natur  conus  GIH 
cuius  bafis  G H 
aequalis  iit  vni- 
uerfacfuperficiei 
folidi  fphaeralis 
vtin  praecedenti 
altitudo  vero  LI 
aequalis  radio  fphaerae, & erit  per  praecedentem  fphaerale  fo- 
lidum  aequale  cono  G I H. 

Propter  aequalitatem  ergo , erit  fphaerale  foHdum  ad  conu 
GIH  vt  fuperfides  vniuetfa  fphaeralis  folidi  ad  bafim  coni  G I 
H3  conus  autem  GIH  ad  conum  DEF  (ob  aequalem  altitudinej 
efl:  vt  bafis  circa  GH  ad  bafim  circa  DF  3 conus  denique  DEF 
ad  fphaeram , efl  vt  bafis  circa  DF  ad  fuperficiem  fphaerae(nc- 
pe  in  ratione  fubquadrupla . ) Propterea  erit  ex  a equo  fphae- 
rale folidum  ad  infcriptam  fibi  fphaeram  vt  vniuerfa  fphaera- 
iis  iolidi  fiiperficies  ad  fuperficiem  fphaerae . Qi^d  dcc. 

Fropofiio  V L 

SI  circa  circulum  deferibatur  poligonum  habens  latera  nu- 
mero paria,  &conuertatur  figura  circa  diagonalem,  erit 
fadum  fphaerde  folidum  ad  infcriptam  fibi  fphaeram  vt  axis 
folidi  ad  axem  fphaerae . 

Manente  praecedentium  confirudione  .3  efto  fphaerale  foli- 
dum, cuius  diagonalis,  atque  axis  fit  AB,centroiii  verb  fphaerae 
fit  C,  & diameter  HI . 


-A.  jA. 


Dico 


fer  I 

p: fartis, 
liffar 
tis. 

prima  p, 
partis  . 


s^^fexsi. 


oi$ats 


p 


A 


M I: 


ON 


m 


De  Sphard, 

Dico  fphg 
rale  folidu 
ad  infcrip- 
tafibi  fphg 
ram  efle  vt 
AB  ad  HI* 

Circum 
fcribatur  n.* 
circa  Iphse- 
ram  cylin- 
drus NLM 
O . agantur 

que  per  extremitates  axis  A,  B, plana  ad  axern  cre«5i:a  DG , EF. 
per  extremitates  vero  diametri  HI.  plana  LM,  NO . 

Erit, per  prtecedentcm,  iphasrale  folidum  ad  fphceramvt  fu- 
perficies  fphseralis  folidi  ad  fuperficiem  fphicrte ; hoc  cft,  ( fum- 
ptis  aequalibus  )vtfuperficies  cylindri  DEFG,  ad  fuperficiem 
cylindri  LNOM , hoc  eft  vt  AB  ad  HI . Quare  fphterale  foli- 
dum ad  fphicram  eft  vtaxis  folidi  ad  diametrum  fphaerje . Q^d 
dcc. 


/ » 

J 

O 


Propofitio  V 11. 

SI  intra  circulum  defcribatur  poligonum  habens  latera  nu- 
mero paria,  &conuertatur  figura  circa  diagonalem  , erit 
fphaera  ad  inferiptum  fibi  fphterale  folidum , vt  quadratum  dia- 
metri fpheerte , ad  quadratum  cateti  poli  goni . 

Sit.n  .circ.  cuius  cent.  A,  & diamet.  BC  poligonum  regulare, 
cuius  diagonalis  fit  linea  BC,&  conuertatur  figura  circa  BC.Di 
co  fphicram  circumferiptam  ad  inclufum  fphserale  folidum,  dfe 
vt  quadratum  AC,  ad  quadratum  cateti  poligoni  AD . Ducatur 
enim  DE  ex  D . perpendicularis  ad  BC , & EF  perpendicularis 
ad  AD,eruntq;  in  continua  proportione  quatuor  red^  AC,  AD, 
AE , AF . Concipiatur  etiam  radio  AD  aliam  fph^ram  deferi- 


I 


Liher  Secundus  t 

bi,  qua*  fingulas  conicas  fuperficics  fo- 
lidi  Iphseralis  continget ; necnon  cylin- 
dricam, fi  quam  huiufmodi  fphserale  fo 
lidumliabebit* 

Erititaque  lph^ramaiar  ad  fphsera 
minorem,  vt  C A ad  AF  i minor  vero 
Iphasraadfphfrale  folidum,  quod  fibi 
circumfcribitur  { per  prsecedentem  ) cft 
vtDAad  AQhoceft,  vt  AFad  AE; 

Propterea  ex  sequo  erit  circumfcripca.. 
fphjera  maior,  ad  infcriptum  folidum 
fphserale,  vt  CA  ad  AEmempc  vt  qua- 
dratum CA  ad  quadratum  AD.  Quod 
erat&c. 

^ropofitio  V 11  /. 

SI  circa fphserale folidum,  natum  ex  reuolutione  poligoni 
circa  diagonalem  f euoluti , fphsera  circumfcribatur , & al- 
tera infcrib atur  • Habebit  circumferipta  fphsera  ad  folid um,du^ 
plicatam  rationem  illius, quam  habet  folidum  ad  inferiptam 
fpheeram . 

Repetita  figura  Propofitionis  prsecedentis ; cum  fit  circum- 
feripta fphgra  ad  folidum  vt  quadratum  C A ad  quadratum  ADj 
folidum  vero  ad  inferiptam  fibi  minorem  fphsera m,vt  C A ad  A <5.  hmmx 
D ; patet  rationem  cireumfcriptse  fphsera  ad  folidum  fphserale 
duplicatam  elfe  illius  quam  folidum  habet  ad  inferiptam  fphse- 
ram . Q^d  &c. 

Tropo/ttio  IX, 

SI  circa fphserale folidum,  natum  cx  reuolutlone.poligom 
circa  diagonalemreuoluti  , fph^ra  circumfcribatur, & alte- 
ra inferibatur:  Erit  fuperficies  folidi  fpheralis  media  proportio- 
nalis inter  fuperficies  duarum  fphaerat  um . 

Manan- 


s6  De  Sph/ira,  fblidis  fhhAraM, 

Manente  figura  , & conftrudione 
praecedentium  propofitionum  ^ Dico 
tres  fuperficies , nempe  maioris  fpha  e-  B 

raejfoiidi  fphaeralis,minorifq;  infcrip- 
tae  fphaerae  s effe  inter  fe  in  continua 
proportione. 

Superficies  enim  circumfcriptae  fphg 
rae  eft  ad  fuperficiem  infcriptae,  vt  qua 
. dratum  C A ad  quadratum  ADifuperfi- 
cies  autem  folidi  ad  fuperficiem  eiufde 
ojfendi-  infcriptae  fphaerae,  efi:  vt  reda  C A ad 

^huiu  AD:£rg6  tres  fuperficies  prae- 

* didae  funt  in  continua  proportione ; & 

quidem  perimeterfphaeralis  folidi  medius  proportionalis  cft 
inter  fuperficies  duarum  fphaerarum . Qi^d  &c. 


Fropoftio  X, 

SI  circa  circulum  deferibatur  poligonum  habens  latera  nu» 
mero  paria , fiue  a quaternario , fiue  tantum  a binario  men 
furata  j &conuertatur  figura  circa  catetum  j Eritfadum  fphae- 
rale  folidum  aequale  cono  cuidam , cuius  quidem  bafis  aequa- 
lis fit  vniuer- 


faefuperficiei 
folidi  fphac- 
ralis,  altitu- 
do vero  ae- 
qualis radio 
^h^rae . 

Efto  circa 
circulum  fi- 
gura poligo-. 
na  aequilate 
ra  ABCDE 
H.  habens  la 


- 

^ / 

Liier  Secundus  i $ f 

tcra  numero  paria , & conuertatur  figura  circaptetum  IL,oric* 
turq;  folidum  contentum  fub  conicis , circularibus , & vna  cy- 
lindrica fuperficie , quando  numerus  laterum  a quaternario  me 
furatur ; quando  vero  a binario  tantum,tunc  erit  folidum  fphsc- 
rale  fub  conicis,  & circularibus  tantum  fuperficiebus  comprjse- 
hcnfum . Dico  vtrumq;  fphserale  folidum  aquale  elTe  cono  cui- 
dam MNO,  qui  bafim  habeat  sequalemvniuerfie  folidi  fphsera- 
iis  fuperficiei , altitudinem  vero  FN  sequalem  radio  fph^rsc . 

Hoc  ofiendetur  fimiliter  vt propofitione  4.  fadum  eft.  Nam 
conus  qui  fit  d triangulo  I A Q^n  conuerfione  circa  axem  I L • 
aquatur  cono  qui  bafim  habeat  aqualem  circulo  qui  fit  ex  radio 
IA,  altitudinem  vero  aequalem  radio  fphserse  QI, quia  idem 
prorfus  eft . Solidum  autem  excauatum,quod  fit  a triangulo 
ABQ^sequaie  probatur  cono  cuidam  , cuius  bafis  sequalis 
fit  conicse  fuperficiei  fadse  a linea  AB  , altitudo  vero  fitQR.ra-  * 
dius  fphaerse . Vltimum  denique  cylindricum  folidum  excaua- 
tumjfadumatrianguloBQS (quando  poligoni  latera  a qua- 
ternario menfurantur,  alias  cylindricum  folidum  nullum  efl  ) 
3cquaaircono  cuius  bafis  aqualis  fitcylindric?  fuperficiei  fa(5i:2e 
a linea  BS.  altitudo  vero  fit  QS^;  & fic  de  altero  hemifph^rio  • 
Propterea  vniuerfum  fphasrale  folidum  aquale  erit  omnibus 
praedi^^is  conis  fimulfumptis  i & ideo  aequale  erit  etiam  cono 
MNO , qui  omnibus  illis  fimul  fumptis  aequiualeti(quandoqui- 
dem  bafim  habet  omnibus  fimul  illorum  bafibus  aequalem  ex 
fuppofitione  i altitudinem  vero  viiicuique  iliorum  aequalem , 
nempe  radium  fphaerae  # ) Qupd&c. 

Prcpojtiio  X /. 

SI  circa  circulum  defcribaturpoligqnum  habens  latera  nu- 
mero paria , & conuertatur  figura  circa  catetum , habebit 
fadura  fphaerale  folidum  ad  infcriptam  fibi  fphaeram  eam  ra- 
tionem , quam  vniuerfa  foiidi  fphaeralis  fuperficies  habet  ad 
fuperficiem  fphaerae  • 


3» 


v8  De  S^h^rait^ folidisJphArali^t 

rale  folidu 


CUIUS  carc- 
tus,  &axis 

Ait  l \U  i v-cil- 

trum  autem 
fphaerae  Iit 
C . Dico 
fphacrale  fo 
ad«ii 


^fcriptam  fibi 
iphabramef 


le  vt  ynmer  ■ 
fa  ipiiiis  foli 
diiuperfici- 
cs  ad  fiipcrficiem  fphaerae»  ^ ; 

Concipiatur  ciaimf  n hemifphacrio  conusDAE^&intelliga» 
tufalhis  conus  FGHo  Onius  balis^ffi  fit  vniuerfie  fu- 

perficiei  folidi  fphaeralis, altitudo  vcralG  aqualis  radio  fphae- 
rae i & erit  per  praecedentem  Iphaerale  folidum  aequale  cono 


FGH» 


Propter  aequalitatem  ergo,  erit  fphaerale  folidum  ad  conu 
FGH,  vt  fuperficies  vniuerfa  iphirralisfolidi  , ad  baiim  coni 
IGH  5 conus  aiitent  FGH , adconumDAE  fob,  i^equalem  alti- 
tudinem ) eft  vtbafis  circa  FH,  ad  bahm  circa  D.E3  denique  co 
nus  DAE , ad  Iphieram,  eft  vt  bafis  circa  DE  qd  fuperncicin 
fpbserae  (mepe  in  ratione  fubquadrupla:)Propterea  erit  ex  gquo 
Iph^rale.  folidum  ad  infcriptamiibi  Iphtcram, vt  vniuerfa  Iphse- 
ralis  folidi  iuperhciesad  fuperl(ji%af|liie^ . Quod  &c. 


hm 


SI  circa  circulum  de&ibatur  poligonuni  habens  lataa 
numero  paria,  & conuertaturhgura  circa  catetumjHabi^ 
bitfadumfph^rale  folidum  ad  infcriptam  fibifphasram,  pam 
rationem,  quanihabet  con^oEtareda  linea  ^ex  diametro 
ra?,&exteruapt^oruoifeli.(fifiatvtiemiterad:er  Ipi^ippad 
^ ' iemi- 


Tiher  StiiUtittsi > S9 

femilatus  poligoni,  ita  femilatus  ad  aliam,) ad  diametrum  Iphf- 
r^. 


Manente  pra? 
dentium  propo- 
fitionumcoftru- 
dione,efto  fphg 
ralefolidu  cuius 
catetus,  & axis 
fit  AB  ; centrum 
autem  fphiiere  fit 
C.  Fiat  angu- 


lus CDEretflus,  eritq;  BE  tertia  proportionalis  ad  femidiame- 
trum  CB>  & iemilatus  poligoni  B D . Dico  fphserale  folidum 
ad  itifcripta  fibi  {phxrS.  efle  vt  E A ad  AB ; nempe  vt  compofita 
ex  diametro  fph^er^e  AB,  & tertia  proportionali  BE,  ad  diame- 
trum fpheerir  AB  . Concipiatur  circa  fphaeram  deferiptus  cy- 
lindrus FLMI,&  perpuncta  A;  B;E  .producantur  plana  FI,LM, 
GH , ad  axem  ereda  r 


Erit  ergo,  per  prsecedentem,fpbxrale  folidum  ad  inferipta 
fibi  fph^ram,  nfuperficies  folidi  ad  fuperficiem  fpbser^j  hoc  i6,prn 
cft , fumptis  aequalibus,  vt  fuperficies  cylindri  FGHL  ad  fuper-  • 

ficiem  cylindri  FLMF;  hoc  ell  vt  linea  AE  ad  AB  • Qi^d  &c*  - 


"Tropoftio  X 11 L 

SI  circa  circulum  deferibatur  poligonum  habens  latera  nu- 
mero paria , &conuertatur  figura  circa  catetum ; erit  fadu 
Iphgrale  folidum  ad  faam  fpheeram , vt  duo  quadrata,  nempe  vt 
quadratum  diagonalis , & quadratum  cateti  limul , ad  duplum 
quadrati  eiufdem  cateti. 


Efto  circa  circulum , cuius  centrum  A , deferiptum  poligo- 
nurn  habens  latera  numero  paria, & conuertatur  figura  circa  ca- 
ttum BC  : fa^toq;  angulo  re^to  ADE,  erit  (per  preccedentemj 

H 2 Mi- 


De  Sph^rdi 

folidum  fphsEraic 
ad  fuam  fpha^ram 
vt  EB  ad  BC  Di- 
co infuper  folidu 
fphcerale  ad  fuam 
iphceram  cfTe , vt 
quadrarum  ex  A 
£>,  fimul  cum  qua 
dratocxAC,  ad 
duplum  quadrati 
ex  AC. 


M t * 


ms^ 


Nam  EA  ad  AC  cft  vt  quadratum  DA  ad  quadratum  A C ; 
& componendo,  erunt  EA  > & A C fimul , hoc  eft  tota  E B , ad 
AC , vt  duo  quadrata  DA , AC  fimul  ad  quadratum  AC ; fum- 
ftf  ptifque  confcqucntium  duplis,  erit EB ad  BC  (hoc  cfi  folidum 

Ijph jcrale  ad  fphirram  ) vt  duo  quadrata  DA  5 AC  fimul , ad  du- 
plum quadrati  ex  AC . Quod  &c. 


^ropofitio  XIV. 

SI  intra  circulum  defcribatur  poligonum  habens  latera  nu- 
mero paria , & connertatur  figura  circa  catetum;  erit  fphas- 
ra  adinfcriptum  fibi  folidum , vt  integra  diameter  fph^r^jad  fe- 
cundam fimul,  & quartam  proportionalium,  in  ratione  femi- 
diametri  iphaera e ad  femicatetum  poligoni . 

■4  - » ' 

Sit  in  circulo  cuius  diameter  AB  po- 
ligonum habens  latera  numero  paria, 

& conuertatur  figura  circa  catetu  CD : 

Ducanturque  perpendiculares  D E ad 
redaHE,&  FI  ad  HDj  deerunt  qua- 
tuor  lineae  EH,  HD,  HF,  HI,  in  conti- 
nua ratione  femidiametri  HE  ad  femi- 
catetum HD . Dico  fphaera  ad  infcii- 
ptum  folidum  efle,vt  dupla  HE  ad  v- 

' tramq? 


Liher  Secundus . 6x 

titamq;  fimul  DH,  HI . Vel  vt  integra  diameter  fphaerse  ad  C 1 • 
Intelligaturalia  fph^ra  intra  iolidum  infcripta.  Erit  ergo 
exterior  fphj^ra  ad  interiorem , vt  EH  ad  HI , fiue  vt  dupla  E H 
ad  duplam  HI;  interior  vero  fphaera  ad  folidum  fphserale  ell,  dueded- 
vt  duo  quadrata  ex  HD , ad  duo  quadrata  'HD , H£ , hoc  eft  vt  ' 
duo  quadrata  ex  HI , ad  duo  quadrata  ex  HI , HF , hoc  eft  {vt^er  , 

infra  oftendemus  ) vt  dupla  HI  ad  HI , HD ; Propterea  erit  ex 
sequo  fphsera  exterior  ad  inferiptum  fibi  fphaerale  lblidum,vt  du 
pia  HE , hoc  eft  integra  diameter  fpheera^,  ad  HI , & HD  fimul ; 
quas  quidem  funt  fecunda,  & quarta  in  ratione  femidiam.  Ijph^- 
rseadfemicatetumpoligoni.  Quod&c. 

^odautem\aJfumptum  eH  ofiendemus , Dico  vt  duo  qua- 
drata ex  HI  ad  duo  quadrata  fimul  HI,  HF . ita  elfe  duplam  H I 
adHI,HD. 

N am  ob  angulum  redum  H F D , erit  vt  quadratum  F H ad 
quadratum  H I , ita  redaDH  ad  HI , & componendo,  fumptif- 
que  confequentium  duplis,  erit  vt  quadrata  FH,  HI,  ad  duo  qua 
drata  ex  HI , ita  duas  reda?  DH , HI,  ad  duplam  HI.  Conuer- 
tendoergo,  erunt  duo  quadrata  ex  HI,  ad  duo  quadrata  HI, 

H F . vt  dupla  HI , ad  H I , HD  fimul . Quod  erat  &c. 

VTOpofltio  XV. 

SI  circa  circulum  dcfcribaturpoligonum  habens  latera  nu- 
mero imparia,  & conuertatur  figura  circa  caterum  poligo- 
ni,  erit  fadum  fphierale  folidum  sequale  cono  cuidam,  cuius  ba- 
fis  aqualis  fit  vniuerfa?  fuperficiei  folidi  5 alticu^  vero  radio 
Iphtersefitapqualis. 

Efto  circuli  centrum  A, polig.  vero  perimeter  BGDEFGH. 

Et  fint  latera  eius  numero  imparia ; conuertaturqiie  figura  circa 
‘caterum  BI , vt  oriatur  folidum  fphserale  contentum  llib  conicis 
fuperficiebusvnkoquecirculo  circa  diametrum  EF  defer ipto . 

Ponatur  iam  conus  L M N , qui  bafim  habeat  sequalem  vniucr- 
fe  fuperficiei  fphjeralis  lolidi , altitudinem  vero  Oivl  a?quaiem 

radio 


1 

6 i ‘DeSph^ra  , ^ [olidis fihAralih. 

radio  fpha^ra:  AI . Dico  folMum 
fphseraie  irquale  effe  cono  LMN. 

Agatur  per  centrum  fphcer^  pia 
nuin  PQad  axem  ere  dum , quod 
tranluerse,  fecahit  aliquod  latus 
poligonijputa  CD  ^ 

Erit  iam  rombus  foiidus , fadus 
a conaeriione  triang.  BCA,  ^equa 
»3  p-paf  cono , qui  bafim  habeat  sequa- 
th.  lem  conica  fuperiiciei  fadce  a li- 
nea BC ; altirudinem  autem  aqua- 
lem radio  iph^rg  AR*  Solidum 
vero  conicu  excauatum  quod  fit 
t^.p.par  gyro  trianguli  CP A, aquale  erit 

th,  cono,  qui  bafim  h ab  eat  gqualem  ruperficiei,  que  fit  a linea  C P» 

altitudinem  vero  gqualem  radio  iphgrg  AS.  Solidum  quoque 
47  *p.par  excauatum , fadum  ex  reuolutione  trianguli  PDA , gquatur  co- 
no,  qui  bafim  habear  equalem  fupcrficiei  conice  que  fit  a motu 
lineg  PD,  altitudinem  autem  gqualem  radio  iphgrg  A S . Ea- 
dem prorfum  eodem  modo  dicuntur  de  folido  conico  excaua- 
to,fado  a triangulo  DAE;  &de  vltimocono  fado  a reuolu- 
tione trianguli  EIA . Propterea  totum  fphgrale  folidum  gqua- 
le  erit  omnibus  prgdidis  conis  fimul  fumptis , vel  cono  L M N , 
qui  omnibus  illis  prgdidis  gquiualet .‘(habet  enim  bafim  omni- 
bus fimulillorum  bafibus  gqualem,  altitudinem  vero  gqualem 
vnicuiqs  illorum  .y  Quod&c* 

SchoUum . 

Attulimus  in  hdc  Propojitione  T heoT»2  s >2  2j,p.  pdrtis  i 

ISI am  ex  gyro  trianguli  BCA  oritur  rombus fol  idus  vt  in  2 3 p par 
tis . Mx  gyro  trianguli  CPA  oritur  folidum  quoddam  excauatu^ 
quale  relinquitur  Jt  ex  cono  auferatur  rombus  foiidus : vt  in  24, 
p.  par  tis . Denique  ex  conuerfone.  trianguli  DPA  oritur folidum 
quoddam  excauatum  hahens  bafm  circularem  P^^  quale relin- 
quitut  fi cxfrufto  conico  conus  auferatur  hahens  bajlm  eandem 

cum 


r 


Li  i er  Secundus . 63 

cummAtore  hdfifrufti  conici , altitudinem  c[uoqUe  eandem  vtin 
Pr0p.2y  .^.fartis  i 

Tropofitio  X 11» 

SI  circa  circulum  defcribatur  poligbniim  habens  latera  nu- 
mero imparia , & conuertatur  figura  circa  catetum  j habe- 
bit fadum  fpherale  folidum  ad  infcripram  fibi  fphgram,eam  ra- 
tionem quam  vniuerfa  Iph^ralis  foii  di  fuperficies  habet , ad  fu- 
perficiemfph^rg. 


Manente  procedentis  propofitio- 
nis  conftrii6tione , fit  fpherale  foli- 
dum cuius  catetus , fiue  axis  fit  AB, 


centt  um  vero  fph  aera  e fit  C . Di- 
co fphaeraie  folidum  ad  inferipta 
dbilphaerameffe  , vt  ipfius  folidi 
integra  fuperficies  ad  fuperficiem 
fphaerae^ 

Concipiatur  in  heniifphaerio 
conus  DEF ; & intelligatur  conus 


GHIcuiiisbafisGIoqualisiitvni- 

. nerfie  fuperficieiToiidi  fpha  altitudo  vero  L H aequalis 
j fitradib  iphaerae,,  deerit  per  praecedentem,  fphaeraie  iblidu 
aequaleconpGHI.  \ ^ 

Propter  aequalitatem  ergo,  erit  fphaeraie  folidum  ad  conu 
G HI,  vt  fuperficies  vniudrfa  fphaeraiisfolidi,  ad  bafim  coni-G  ’ 
HI ; conus  autem  GHI  ad  conum  I)EF  ( ob  aequalem  altitudi- 
nem) efi:vtbafiscikaGI,^dbafimbxrcaDll.  conus  denique 
.I)EF,  ad  fphaerame  circa  DF  ad  fuperficiem  fphae- 

rae (nempe in  ratione fubquadrupla. ) Propterea  erit  ex  aequo, 
fphaeble  folidum adinfeript^  fibi  fphaera,vt  vniuerfa  fphae- 
jalisfolidifuperficksadfttperficiemfphaerae.  Qupd&c. 


64-  De  SphoTA,  Cf  folidis  fphitrAlih, 

Tropofttio  XFIl, 

SI  circa  circulum  defcribaturpoligonum  habens  latera  nu- 
mero imparia, & couertatur  figura  circa  catetum  poli^^oni, 
habebit fadumfpiiaerale  foiidumad  inferipram  fibi  Iphaeratn 
eam  rationem  ,quam  habet  linea  compofita  cx  cateto  poligom 
& tertia  proportionalium  ( fi  fiac,vt  diameter  fphaerae  ad  femi- 
latuspoligoni,  ita  feiniiatus  ad  aliam,)  ad  diametrum  fphaerae* 

Manente  praecedentium  conflru6Ho 
ne, fit  fphaerale  folidum  c uius  catetus,at- 
que  axis  fit  AB , centrum  vero  fphaerae 
C,  & diameter  DB . Fiat  angui  us  redus 
DEF , eritq;  BF  tertia  proportionalium , 
pofita  diametro  DB  pro  prima,  & femila 
tere  poligoni  B E pro  fecunda . Dico 
fphaerale  folidum  ad  inferipta  fibi  fphae 
ram  effe  vt  tota  AF  ad  DB . 

Concipiatur  circa  fphaeram  cylin- 
drus MNOP , & per  punda  A,  D,  B,  F,  plana  agantur  ad  axem 
ereda* 

Erit  ergo, per  praecedentem, fphaerale  folidum  ad  inferipta 
fibi  fphaeram,  vt  fuperficies  fphaeralis  folidi  ad  fuperficiem 
, fphaerae ; hoc  cft , fumptis  aequalibus  , vt  fuperficies  cylindri 
cT iV./.  GHIL  ad  fuperficiem  cylindri  MNOP  j hoc  eft  vc  reda  AF  ad 
BD  per  primam  p.  partis.  Quod&c. 

Propojftio  XVI II. 

SI  circa  circulum  deferibatur  poligonum  habens  latera  nu- 
mero imparia,  & conuertatur  figura  circa  catetum  poligo- 
ni; habebit  fadum  fphaerale  folidum  ad  fphaeram  eam  ratio- 
nem quam  habent  quatuor  fimul  termini  nempe,  maximus,  mi- 
nimufq;  cum  duobus  medijs  j ad  quatuor  minimosjf quando  ra- 
tio 


Liher  Sccmdus  i 

do  redae  GB  ad  GD  continuata  fuerit  in  tribus  terminis  # 


Efto  circulus  cuius  diameter  AB»  cen- 
trum vero  Gj  ipfiq;  circumfcribatur  poli- 
gonum  habens  latera  numero  imparia, 
cuius  catetus  fit  CB , & conuertatur  figu- 
ra circa  CB ; Fadoque  angulo  GDF.  re- 
do, erit  ratio  redae  GB  ad  GD  continua 
ta  in  tribus  terminis  GB,GD,GF;  vtipro 
pofirum  eft . Dico  folidum  ad  fphaeram 
effe , vt  GF,  GB,  fimul  cum  GD  bis  fum- 
pta , ad  ipflim  GB  quater  fumptam . 

Fiat  alius  angulus  ADE  redus ; eritq? 
folidum  ad  fphaeram  per  praecedentem , vt  CE  ad  diametrum 
fphaerae  AB,  hoc  efl  vt  EG,  GD  fimul, ad  diametrum  fphaerae 
f funt  enim  aequales  G C ,G  Dj  hoc  ef!  vt  dupla  £G  ,&  dupla 

G D.  ad  duas  diametros , hoc  efl  vt F G , G B cum  dupla  G D , 
ad  quatuor  femidiamerros  GB.  Quod  erat  demon.  <Scc.  ' tutmfm 


G 

s \ 1 

N \ # 

V \ / 

' \ A 

\ /i 

\ \ /l 
/ 

/ 

E 

< 

^md autem  ajfumptum  fuit:,  oHendemus  ftc , Dico  ipfam  EG 
bis  fumptam , aequalem  elfe  duabus  FG,  GB . 

Quoniam  ob  angulum  redtim , redangula  ABE , G B F,  ae- 
qualia lunt  eidem  quadrato  BD,aequalia  erunt  & inter  fe;  ideo- 
que lafcra eorum  reciproca,  nempe  vtABad  BGfubduplam, 
ita  erit  FB  ad  BE  fubduplam,‘acquales  ergo  funt  FE,  EB.  & tres 
redae  GF,  GE,  GB . funt  in  proportione  Aritmetica  j ideo  E G 
bis  fumpta  aequalis  erit  duabus  F G,  GB . Q^od 


^rop[mo  XIX. 

SI  intra  circulum  defcribatur  poligonum  habens  latera  nume 
ro  imparia , & conuertatur  Egura  circa  catetum  poligoni , 
erit  fphaera  infcripmm  fibi  fphaerale  folidum , vt  funt  quatuor 
Emul  maximi  termini , ad-maiorem  reliquorum  femel , & me- 
dium bis  j de  minorem  femel  fumptura  { quando  proportio  CD 

I adCE 


i(S  De  Sph^rat  0*  foUdis  fphxraM. 

CE  continuata  erit  in  quatuor  terminis ,) 

Sit  circulus  cuius  diameter  AI , cen-  A. 

trumvero  C,  «Scinfcribaturpoligonum 
hsbcns  latera  numero  imparia;  tum  con 
uertatur  figura  circa  catetum  AD.  Fiant 
que  anguli  CEB  & CBF  redi , eritque 
ratio  CD  ad  CE  continuata  in  quatuor 
terminis  CD,CE,CB,CF.Dicofphae- 
ram  ad  infcriptum  fibi  folidum  fphaera- 
le  elTc,  vt  CF  quater  fumpta , ad  CB  fe- 
mel , C E bis , & C D femel , fimulque 
fumptas, 

Intelligaturaliafphaera  cuius  femidiameter  CD:  infcripta 
in  folido . Erit  ergo  maior  fph^ra  ad  minorem  vtcubus  EC  ad 
rntima  cubum  CD.  vel  reda  FC  ad  CD,uel  ut  FC  quater, ad  CD  qua- 
■uodeci-  minor  infcripta, eft  ad  folidu  fphf  rale,fperpre- 

cedentem ) ut  CD  quater  fumpta , ad  CB  femel , CE  bis,&  CD 
femel : Propterea  erit  ex  f quo,  maior , fiue  circumfcripta  fph^- 
ra , ad  fuum  fph^rale  folidum,  ut  CF  quater  fumpta , ad  CB  fe- 
mel , CE  bis  5 & C D femel  fumptas . Quod  &c. 

Scholium . 

Bd^emsfex ftdicifMd  T heoremdtd  de  fotidis  fphdrdlihus  de« 
mmjlrdta funt , S equuntur  nunc  quddam fcitu  non  iniucundd , 

dd  docirindm fpectdntid . 

Fropoftio  XX. 

SI  intra fph^ramdefcriptum  fit  fph^ralc  folidum  parilate- 
rum , circaq;  diagonalem  reuolutum:  erit  fph^ra  ad  excef- 
ium  , quo  ipfa  folidum  fiiperat,  in  duplicata  ratione  diametri 
fph§r^  ad  latus  poligoni . 

. Sit  in  circulo  cuius  ccutrum  A defcriptum  poligonum  habens 
^ latera 


Liher  Secundus^, 

latera  numero  paria , & coiiuertatur  cir- 
ca diagonalem  B C . Dico  fph^ram  ad 
exeefTum , quo  ipfa  folidu  fuperat,  efTe  ut 
quadratum  BC  ad  quadratum  CD. 

Ducatur  AE  ex  centro  perpendicula- 
ris ad  latus  CD>  & producatur. 

Quoniam  per  demonftrata,  eft  ut  fphg 
raadfolidum  fphf  rale  ita  quadratum  F 
A ad  quadratum  AE , erit  per  conuerfio- 
nem rationis  fph^ra ad  exceifumjVt quadratum  F A ad  diffe- 
rentiam quadratorum  F A , AE , hoc  eft  ad  redangulum  F E G, 
fiue  ad  quadratum  EC.  Conftat  ergo  fphseram  ad  exceffum 
quo  ipfa  fuperat  inferiptum  fphjiejale  folidum  effe  vt  quadratum 
F A ad  quadratum  EC,  fiue  vt  quadratum  B C ad  quadratum  C 
D.  QiK>d&c. 

Vropofitio  XXL 

SI  in  eadem  fphscra  duo  folida  parilatera , & circa  diago- 
nalem reuoluta,  concipiantur,  erit  differentia  vnius  a fph^- 
ra,  ad  differentiam  alterius  a f^hi^ra,  homologe  in  duplicata  ra- 
tione laterum , 

Sint  in  circulo  cuius  diameter  AB  duo 
femipoligona  ACB,  ADB;  & conuertatur 
figura  circa  diagonalem  AB . Dico  diffe- 
rentiam inter  fpheram , & fph^rale  folidu 
ACB  , ad  differentiam  inter  fph^rram  & 
fphjrrale  folidum  ADB,  effe  vt  quadratum  C 
CB  ad  quadratum  BD. 

Demonftratum  enim  efi  differentiam  ^ fcr  pmi 

ACB , effe  ad  fpheram , vt  quadratum  B C , ad  quadratum  AB, 
fed  fphtrra  ad  differentiam  ADB,  eil:  vt  quadratum  AB  ad  qua- 
dratum BD,  ergo  extequo  erit  differenria  A C B ad  differen- 
tiam  A D B vt  quadratum  BC  ad  quadratuni  B D . Quod  &c.  " 

- l % Propo- 


6S  ‘De  Sphafa , £5*  [olidis Jph^erali^, 

‘Propofitio  XXII.  . 

SI  eidem fphcerse duo folida parilate'ra, & fimilia , circaque 
diagonaiem  reuoiuta  ^ alterum  circumferibatur,  alterum 
: vero  inicribatur;  fuper£cie5  Iph serte  media  proportionalis  erit 
inter  fuperficies  duorum  folidorum . 

Sit  drculusj  cuius  diameter  AB 
atque  ipfiduo^oligona,  alterum 
drcumlcribatur  5 alterum  vero  in- 
feribatur,  habeatq^  vtrumq;  latera 
numero  paria » & fit  numerus  late- 
rum vnius  tequalis  numero  lateru 
alterius,  vt  fph^ralia  folida  fimilia 
euada  nt  • T um  conuct  tatur  figura 
circa  diagonalem  CD  % . 

Dico  fuperficiemfadse  fpbterte 
mediam  proportionalem  e (Te  in- 
ter fuperficies  fadorum  folidoru  * 

Ducatur  ex  centro  G reda  G L ad 
contadus  M & L ,&  radio  GM  fiatfph^ra  IM  H * 
lam  fuperficies  folidi  AF  ad  fuperficiemjJ)hter^IM  intra  ip- 
fum  infeript^  efi  vt  folidum  AF  ad  fphseram  IM,  per  5.  huius , 
nempe  vt  axis  AG  ad  GM,per  6,  huius,  hoceil  vtredangulum 
AGM  ad  quadratum  GM ; Superficies  'verb  ^hserte  IM  ad  fu- 
perfciem  fplwte  ALF  cft  vt  quadratum  GM  ad  quadratum  G 
A . Ergo  ex  aquo  fuperficies  folidi  AF  ad  fuperficiem  fpharx 
AL  erit  vtredangulum  AGM  ad  quadratum  GA^  nempe  vt  re^ 
da  MG  ad  GA.  vel  vtreda  LG  ad  GC.  'Sed  fuperficies  fphsc- 
XX  ALF  ad  fuperficiem  folidi  CE  eft  vtEG  ad  GC . (quod  pro- 
batur eodem  modo  vt  fadum  fuit  fupra  ) ergo  in  continua  pro- 
portione funt  fuperficies  vniuerfa  folidi  AMF,  fuperficies  fphse 
tx  AL  F « & fuperficies  folidi  CE  ^ Quod  erat  &c . 


CoroU 


l iber  Secundus  i 

Corollarium . 

Hinc  fAtet  etiam  quod  fi  eidem  fol  ido  ffhardli  fdrildtero  cir^ 
C4  diagonalem  reuoluto  dua ffhara , altera  circumferi^atur,alte^ 
ra  TJ  ero  inf cr ib  atur ^tr  e sjuf  er  fides  in  continua  frofortione  erunt 
mterfe^ 


Propofitio  XX IIL 

Phasralia  folida  parilatera  circa  diagonalem  rcuoluta,  & ci 
dem fphcer cT,  vel  aequalibus  fphseris circumfcripta , inter fe 
funtvtaxe^^ 

Sint  circa  circulum  cuius  centrum  A duo 
poligona  diffimlia ,,  quorum  latera  numero 
paria  fint , & conuertantur  .circa  diagona- 
lem, Sitq;  alterius  fadorum  folidorum  B 
FCjaxis  BGj  alterius  vero  nempe  DGE, 
cfto  axis  DE>,  Dico  folidum  BFC,  adio- 
Hd  um  DGE  eife  vt  BC  ad  DB . 

Hoc  autem  patet , Quoniam  folidum  B 
FC  ad  fphjcram  ell  vt  BC  ad  diametrum  HI;  fpEsera  vero.ad  aD  e.hmm. 
terum  folidum  D G E efl  vt  diameter  H I ad  axem  DE ,,  erit  ex 

teqiio, folidum BFC, ad folidumDGE,vtBCadDE,  Ouod 

crat&c, 

- H ine fac  ite  pftendi  fot.efiexceJJum.^:quo fotidum  B FCjuper at 
ffhdram , ad  cxcefium  quo  folidum  HGBfuperat  emdem  fpha-. 
ram^eJfevtB-H  ^adHF>,, 

C um  enim-pudum  BFC,ad  ffhmdm fit  vt  BA4dJH,em  di-A.huim. 
mdeudaexctfiMsBFCadfif:h.4ram,  vtBHadHA.  BMemra- 
time  fif  haa  ad  (xceJfiumBiGE  em,  Vt  H Aud H D;ergo  ex^que, 

txcejfius  BBC  adexceffumDCB.  ,fufr4 ffhxratn  erit  vt  BH , ad  ' 

BD ,,  J^uc  ^ ^ 


70 


De  Sph*rd,  (f  folidis  JphuraMi 
TropofiHo  XXIV. 

S Olida fphgraliaparilatera,  eidem,  vel  sequalibus  fpha^ris 
infcripta  , & circa  diagonalem  reuoluta,  funt  inter  ie  in  du- 
plicata ratione  catetorum . 

Infcribantur  in  circulo  cuius  diame- 
ter AC  duo  femipoligona  ABC,  AD C, 

& conucrtarur  figura  circa  diagonalem 
AC,  vt  defcribantur  duo  folida  fph^ra- 
lia  vt  imperatum  eft. 

Dico  folidum  fph^crale  facium  ex  po 
ligonoABC,  ad  folidum  fphseralefa- 
d:um  ex  poligono  ADC,  efle  vt  quadra 
tum  cateti  I E , Jld  quadratum  cateti  IH  • 

T, huius.  Solidum  enim  ex  ABC  ad  fphseram,  eft  vt  quadratum  I E ad 

quadratum  ICj  fph^ra  autem  ad  folidum  ADC,  eft  vtqua- 
^ * dratum  IC  ad  quadratum  IHj  ergo  ex  ccquo  folidum  ABC  ad 
folidum  AD C erit,  vt  quadratum  IE  ad  quadratum  IH . Q^od 
erat  &c. 

Vropofttio  XXV. 

SI  intra  aquales,  vel  eandem  fph^eram,  cuius  diameter  AB, 
deferipta  fuerint  duo  folida  fph^cralia  parilatera,  quorum 
duo  latera  fint  B C , BD  s demittanturque  cx  pundis  C,  D , per- 
pendiculares CE,  DF  ad  diametrum;  erit  folidum  cuius  latus 
BC , ad  folidum  cuius  latus  BD,  vt  AE  ad  AF  * 

Ducantur  enim  ex  centro  I ad  latera  BC , BD  perpendicula- 
res IG,IH, 

Reda  E A ad  redam  A B , eft  vt  quadratum  A C ad  quadra- 
tum AB  ( ob  angulum  in  femicirculo  redum  ACBJ  reda  autem 

BA  ad  AF , eft  vt  quadratum  AB , ad  quadratum  AD , ergo  ex 

sequo 


A 


71 


hiher  Secundus . 

^quo  reda  EA  ad  redam  AF,eft  vt  qua- 
dratum AC  ad  quadratum  A D , hoc  eft 

vtquadratumIGad quadratum IH, hoc  / \ per  prf 

cft  vt  folidum  cuius  iatus  eft  BC  ad  foli-  /T  / \ W 

dum  cuius  latus  eft  B D . Quod  erat 
6cc. 

Tropofitia  XXVL 

SI  intra  fphseram cuius  diameter  AB  defcriptum fttfolidum 
fphserale  parilaterum  , & circa  diagonalem  reuolutum; 
demittaturque  ab  extremitate  lateris  BC  quod  diametrum 
contingit,  reda  CD  perpendicularis  ad  diametrum  circuli  AB, 
erit  conus  cuius  bafis  circulus  A F- 
CBE^lritudo  vero  fit  AD  , fubduplus 
folidi  fph^ralis ; conus  vero , cuius  ea- 
dem fit  bafis,  & altitudo  DB , erit  fub- 
duplus diffcrenti£e,qu£E  inter  fphsrram, 

& iblidum  fphjerale  eft . 

Sphaera  enim  ad  inferiptum  folidum 
eft  vt  quadratum  diametri  ad  quadratum  cateti  AC  (eft  enim  ' * 

AC  ob  angulum  redum  ACB,^qualis  cateto  poligoni,)  hoc  eft 
vt  BA  reda  ad  redam  AD . 

lam  quia  conus,  cuius  bafis  AFCBE  altitudo  vero  fit  AB  5 
«qualis  eft  hamifphaerio  in  eadem  bafi  conftituto ; erit  didus 
conus , hoc  eft  hemifph«rium , ad  conum  cuius  bafis  eadem  A * 

FCBF,  altitudo  vero  AD,  vt  AB  ad  AD  . Sed  hemifph^rium 
etiam  ad  femifolidum  eft  vt  AB  ad  AD  j vt  oftendimus  fupra  • 
Propterea  conus  cuius  bafis  circulus  A F Cj^B  E,  altitudo  autem 
AD , erit  «qualis  femifolido  fph«rali,fiue  fubd  uplus  folidi  fphe 
ralis,  Quod&c.  ^ ^ 

Similiter  inferetm.tomm  cmm  bdfis  eadem  AFC  BE,  altita- 
donj€YbE>B^  [ubdu^Hm  effe  e^ccepsilUm , qm  fphara  Cdidum 
fuferat . j 


7»  De  Sphxra,  ^ foUdis JpharaliL 

SchoUum . 

Jbemonfiramus  etidm  JingulaUlafoUd/i rotunda  anmlarid^ 
defer ibuntUY  in  reuoluHone  figura  a hilineis  mixtis , quale 
vnum  eB  FC , dr  folidum  fpharale  circ undant  aqualia  effe  fin^. 
gulis fphar  oidibus  ^ quarumvnuifcuiufqy  maximus  circulus  Jit 
circa  diametrum  FC . Axis  v edo  aqualis  fit  jiortioni  reBa  ex  AB. 
qua  intercipitur  inter  duas  perpendiculares  ad  ipftm  A B duBas 
€X punBis  F <drC  fic  de  reliquis . S ed hoc  ali bi  • 

Tropoptio  XXVII. 

SI  eidem  circulo  duo  poligoiia  parilatera  alterum  circum- 
feribatur,  alterum^  veto  inferibatur ; & conuertatur  circum 
feriptum  quidem  circa  catetum  , inferiptum  vero  circa  diago- 
nalem ; erit  difFerentia  inter  circumferiptum  & fpharam,  ad  dif- 
ferentiam inter  fpharam  & inferiptum,  vt  quadratum  lateris  cir- 
cumferipti  ad  duplum  quadrati  lateris  inferipti  * 

Eflo  circuli  diameter  AB , latus 
. vero  poligoni  circumferipti  CD . & 
inferipti  A E.  Dicoexceflum,  quo 
maius  folidum  fphafam  fuperat,  ad 
exccfrum,  quo  fpheera  fuperat  minus 
effe  vt  quadratum  CD  ad  duo  qua- 
drata ex  AE  i. 

1 1#  'ha-  Solidum  enim  circumferiptum  efl 
iui . ad  fph^ram  vtduo  quadrata  CI , IA 

ad  duplum  quadrati  ex  I A ; ergo  dluidendo » erit  exceflus  folidi 
hu-'  fupra  fpbseram^  adipfam  fph^ramy  vt  quadratum  G A ad  du-; 
pium  quadrati  ex  lA,fiue  vtquadr.  GD  y ad  duplu  quadr.  ex  AB 
Sph^ra  autem  ad  exceffum » quo  ipfa  fuperat  minus  iolidum,eft 
vt  quadratu  AB  ad  quad  r attim  AE , vel  vt  duo  quadrata  ex  AB 
ad  duo  quadrata  ex  AE.  Proprerea  ex  tequo  excefliis  folidi  ma- 
ioris fupralph^ram , ad  excelTuti)  fphprte  fupra  minus  folidum , 


C A D 


liher  Secundus : 71 

erit  vt  quadratum  ex  CD  ad  duo  quadrata  ex  A E . Quod  tot 

Tropofttio  XXVI II. 

QVodlibet  fphserale  folidum  circa  diagonale  reuolutum 
(cuius  latera  numero  quidem  paria fint,  fed  nullo 
modo  a quaternario  menfurentur^vtfunt  6.  i o,  14, 
18. 2 2 . &c* ) inferipti  libi  rombi  folidi  dupliim  eft» 


' Sit  folidum  quale  didum  ell  AB 
CDEFG.circa  axe  liue  diagonalem 
DI  reuolutum . Manifeftu  eft  quod 
duo  latera  oppolira  BL.FM.  contin- 
gent fphseram  in  extremitatibus  Aj 
G,  diametri  AG,  quse  quidem  per- 
pendicularis Iit  ad  DI.  jquadoquide 
laterum  numerus  a binario  tantum 
menfuratur,  non  autem  a quaterna- 
rio. 

inferibantur  iam  duo  coni  ^ nempe  ADG  in  femifolido,  ba« 
bens  altitudinem  HD . ; conus  vero  AIG  in  hemifphirrio . Erit 
igiturfemifolidum  ABCDEFG  ad  IiemifphMum  vt  axis  ad 
axem,  nempe  vt  DH  ad  HI  , hoc  ejftvt conus  ADG  ad  conum 

AIG  ( cum  lint  in  eadem  bali & permutando  femifolidum  ad 
fuum  co  num  ADG, erit  vt  hemifphserium  ad  fuum  conum  AIG| 
quare  duplum  erit . Propterea  omne  folidum,  quale  diaum  eft 
duplum  erit  inferipti  libi  rombi  folidi,  Qiwd&c« 

Lemmd, 

Si  hetr^fphmum  J EC , conus  quicumque  reSius  X)BE  ean-^ 
dtm  dlmuctinem  habuerim  FS-,erithemiffhxriHm  adfrxdiitum 
conum  vt  duflum  bajis  hemiffh^rij  adbajm  eiufdem  coni. 

S it  vt  ponitur ; Et  infiribatur  in  hemifphxrio  conut  ABC. 
£mtrgo  conus  ABC  ad  conum  DBEvt  bajis  AC  adbafimDEi 

K fum~ 


74-  2)^  Sphaera , ^ foliSs  fiharaM- 

dntec edentium  dHflis\erit  he^ 
mifphdrium  ABC  ad  conmn  DBE  vt  du- 
ptum  bdjis  AC  ipfius  Bemifphar^ , ad  DS 
b4JlmconL^od  erat  (drc. 


•i:'.- 


kuHi  e 


Propcfnio  XXIX. 


p A 


Vod libet  fpb^rale  folidum  circa  diagonalem  reuolutum, 
cuius  latera  a quaternario  menfurentur , ad  iofcrip- 
tum  fibi  rombum  folidum , eft;  vt  fuperiicies  inlcrip- 
tiK  fi bi  fpbf  rae , ad  femifuperficiem  circumfcriptce , 

Sit  folidum  quale  df(ftum-  efl  ABCD- 
fi.  cui  infcribatur  femirombusjhoc  efi;  co 
nus  ACE;  ad  altitudinem  vero  hemifphe 

^ . 4. 

rij  fit  canus  AFE  in  ba fi  AE  ►. 

A Erit  ergo  femifolidum  ad  hemifphae^ 
rium  vt  axis  ad  axem , hoc  elF  vt  CG  ad 
GF,fiuevt conus  ACE,  ad  conum  AFE: 
f funt  enim  in  eadem  bafi;&  permutando 
erit  femifolidum  ad  fuum  conum  AG  E , 
vt hemifphgriumadalterumcoiiiim  AFE,  lioc  efi: per  lemma 
pr^miffum , vt  duo  circuli  ex  fil , ad  circulum  ex  AE , vel  fum- 
ptis  duplis,  vt  quatuor  circuli  ex  HI , ad  duos  circulos  ex  A£  ; 
hoc  efi:  vt  fuperficies  infcriptae  intra  folidum  fph^er^s  , ad  femi- 
fuperficiem circumfcriptae,  Propterca  etiam  dupla  eandem 
rationem  habebunt,  hoc  efl  totum  iphserale  folidum  ad  infcri- 
ptum  fibi  rombum  folidum  erit  vt  dxdum  cfc . Qiiod  &c. 

--  Voterat  etiam  concludi fili  dum  fpharaU  pradictum  ejfe  ad  in 
Jkyiptum  Jihi  rombum^vt  infcriptus  inpdigono  circpdus  ad  fe7nd 
circulum  circumfcriptumyruelvt  quddratutn  cateti  GHadfemi- 
quadr dtum  diagonalis  G A eiufdempoUgoni  . 

Lemma. 

Si  in  trpdnguhaquildterc  infer  iptus  fuerit  circulus . Erit 

cifcu^ 


Liher  Secdndm  7f 

eif  culus  ditet  culus  dldmet er  fit  Vatus  trUnguU  > 
t i circuli. 


I tficrih  at  ut  circulus  ABC  in  trhrtg,  ctquu 
latero  lyEF , Sit  que  G puuSlum  ^ centrum  eja 
circuli  ^ trianguli  > propter  e a DG  dupla  ip* 
s ius  G C , hoc  e fi  ipsius  GA . Ergo  quadr,  DG 
quadruplu  e B quadrati  ex  GA.  (jr  quadratum 
DA  triplum  erit  eiufdem  GA ; ^uaye  etiam 
circulus  cuius  femidiameter  sit  DA  triplus 
erit  circuli  cuius,  femidiameter  sit  CA.  ^jtod 
eratfdi^c. 


D A f 


Tropo  fit  io  XXX. 

SI  circa  circulum  d efcriptum  fuerit  triangulum  jequiIaterUni 
& reuoiuarur  figura,  c ritfadus  conus  tequilaterus  ad  inferi 
ptam  fibi  fpha:ram  v t p.  ad  -4. 


Efto  circa  circulum  ABC  trianguluni 
icquiiaterum  DEF , & conuertatur  figura. 

Dkofaiilom  conum  eqiiilateriim  cfie  ad 
inferiptam  fphseram  in  propoi  tionedupla 
fefqiiiquarta,  nempe  vt  p.  ad  4. 

Concipiatur  in  hcniifphpido  GAI  conus 
G AI . Erit  iam  per  lemma  prcecedens  cir- 
culus cuius  diameter  D F triplus  circuli 
cuius  diameter  GI ; fed  conus  DEF  ad  conum  G A I rationerti 
habet  compofitam  ex  ratione  altkudinum  EA  ad  AL ; qu^  trip- 
la eft : Et  ex  ratione  bafium , nempe  circuli  DF  ad  ckeuium  GI 
qux  fimiliter  tripla  eft  .*  quare  conus  D E F ad  conum  GAI  erit 
vr  9.  ad  vnum , fumptifqj  confequentium  quadruplis , erit  conus 
DEfe  ad  fphaeranifibi  inferiptam,  vt  p.  ad  4,  Quod  erat  &Gc 


E 


fi  De  Sfhuray&fiUdisfphAraliL 

Propofdo  XXX  L 


SI  ^irca  eandem fph^ramdefcripti fint eonus, & cylindrus^ 
ambo  cequilat^i;  erunt  tria  folida,  nempe  conus, cylia^ 
drus,  & Iphcrra  in  continua  proportione  fefqiiialtera » 

Hoc  autem  patet,  Pofita  enim  fphirra  vt  4.  etitfper  Corol« 
larium  Prop.  3 o,p,  partis^  cylindrus  vt  i conus  autem  often- 
fus  eil  in  pr^rcedenti  elTe  vt  9,  Quare  tria  folida  erunt  inter  fe  in 
continua  proportione  fefquialtera,  Quod&c® 


Fropejlth  XXXIL 


S PHcera  adinferiptum  fibi  conum  tequilaterum  eil  in  ratione 
numeri  3 2,  ad  9, 


Sit  in  circulo  cuius  centrum  Ain- 


C 


Ducatur  diameter  EF  ad  angulos  ^ : 

redos  ipfi  CH , & concipiatur  in  he- 
mifphserio  conus  ECF  : Pandum  A 
erit  centrum  tum  circuli^  tum  etiam  trianguli  ^quilateri  BCD , 
propterea  C H fefquialtera  erit  ipiiiis  C A , 

Sed  cum  etiam  ICL  Ft  triangulum  sequilaterum,  erit  CA  po- 
tentia tripla  ipfius  AI , ergo  ,&  circulus  ex  C A , Fue  ex  A E tri- 
plus erit  circuli  ex  AI;  ideoq;  conus  ECF,  triplus  coni  ICL , vi  - 
delicet vt  24«  ad  8,  Conus  autem  I G L ad  conum  BCD  ob  F- 
milirudinem , efl  vt  cubus  A C ad  cubum  CH,  nimirum  vt  80 
' ad  2 7«  Quare  ex  tequo  erit  conus  ECF  ad  conum  B C D vt  2 4« 
ad  27.  Redudaque  ratione  ad  minimos  terminos  , erk  conus 
ECF  ad  conum  BCD  vt  8.ad  9,  Sumptis  igiturantecedentium 


Liher  Secundus . 77 

quadruplis  fph^ra  ad  infcriptum  fibi  conum  s^quilaterum  erit  vt 
32.adp,  C^oderat&c. 


Fropofitio  XX XIII, 

ROmbusfolidus^equilaterus  circa  fphsrram  defcriptus  eft 
ad  ipfam  fpharam  vt  diameter  quadrati  ad  latus  eiufdem. 

Efto  quadratum  ABCD  circa  circu 
lUm  cuius  centrum  E i & voluatur  figu- 
ra circa  diagonalem  BD ; Dico  rombu 
folidum  sequilaterum  fadum  ex  reuo- 
lutione , efie  ad  fphasram  vt  diameter 
quadrati  ad  latus  eiufdem , 

Intelligatur  in  hemiTph^rio  conus  F 
GH,  cuius  bafisFH^  altitudo  EG,  & 
ducatur  IM, 

Erit  iam  conus  ABC  cuius  bafis  A€,  fimiliscono  FGH,vtcr 
que  enim  redus  & redangulus  efi: . Ergo  conus  ABC  ad  conu 
FGH  erit  vt  cubus  BE . ad  cubum  EG,  nempe  vtreda  BE  ad  E 
L.  ffiintenimEB,EG,EI,  EL  in  continua  ratione)  fumptis 
autem  confequentium  duplis,  erit  conus  ABC  ad  hemifph^riu^ 
vt  BE  ad  EG>  & propterea  totus  rombus  folidus  ad  totam  fph^- 
ramfibiinfcriptameritvtBEadEG,  hoceftvt  diameter  ali« 
cuius  quadrati  ad  latus  eiufdem,  Quoci&c, 

Trofofith  XX  XIV. 

SPh^ra  ad  infcriptum  fibi  cylindrum  srquilaterum  efi:  vt  dia- 
meter quadrati  ad  3 . quart.  lateris  eiufdem , 

Deferibatur  intra  circulum  cuius  centrum  A quadratum  B C 
DE,  & voluatur  figura  circa  catemm  AG.Dicofph^ramadcy-  '' 
lindrumBCDEjeflevt  diameter  alicuius  quadrati  ad  3.  quart, 
lateris  eiuidem,  ^ 


Intek 


/8  Sph^ra,  ^ foltdts  Jphxralt^» 

Intelligatiir  circa  fph^ram  aiter  cy 
lindrus  ^rquilatcrus  FILM.  &produ- 
da  AM  iunganrur  AD , GO . Erunt 
ob  fimilitudinem  triangulorum,  in  | 
continua  ratione  F A,  AD,  AG , AP  5 
Bt  quia  cylindri  funt  fimiles,  nempe 
^quilateri , erit  cylindrus  IFML  ad 
cylindrum  BCDE  vt  cubus  FMad 

cubum CD, hoc eftvtcubusFDadcubumDG,  fiuevt  cubus 

FA  ad  AD , hoc  eft  vt  reda  F A ad  quartam  AP . Sumptifque 
antecedentium  fubrequialtens , eritfphsera  ad  cylindru  BCDE 
vt  du§  terr.  ipfius  F A ad  AP ; hoc  eft  vt  tota  FA  ad  fefquialte- 
ram  ipfius  AP  i tiue  (quod  idem, eft}vt  FA  ad  3 .quar.  r edje  AD. 
Confiat  ergo  fphirram  ad  inferiptum  Ubi  cylindrum  i^quilate- 
rum  elTe  vt  FA  ad  3.  quar.  ipfius  ADj  hoc  eft  vt  diameter  alicu- 
ius quadrati  ad  3.  quar.  lateris  eiufdern , Qgpd  &c, 

Fropoftio  JCX  X V. 

S Olidum  exagonalea  hoc  eft  fphterale  folidum  gehitumab 
exagonq  circa  catetum  rcuoluto,  feptuplum  eft  coni  ean- 
dem fibi  bafim , & altitudinem;  habentis. 

■ Eft  o exagonum  a:quilaterum,&  ^qui- 
angiiliim  ACDEi-B  &conuertatur  cir- 
ca catetum  HI;  infcribatiirq;, conus  AI 
B,.  Dico  exagonale  folkium  fadtum  ex 
reuolutione 5 leptuplum  efte  coni  A I B . 

Producantur  G A,  FB  donec  concur- 
raait  in  aliquo  punfto  L>  eruntque  ob  exa 
ooniim , quatuor  triangiilacequilatera  O- 
GA,OABj  OBF,  ABL,-tequaliainterfe. 

Concipiatur  ergo  conus  CLF  perfedus;  eritque  conus  AIB  du- 
plus con  i ALBjqiiandoquidem  eande  habet  bafim  AB,,  fed  al- 

titu- 


/ 


Tlther  Secundus  l 


7 9 


dtudinemhabetHIduplamipfius  HL.  - 

lam  conus  CLF . ad  conum  ALB , erit  ob  fimilitudinetii , vt 
cubus  CL  ad  cabum  LA , nempe  vt  8.  ad  i j & diuidendo  femi- 
folidum  CABF  eritad  conum  ALB » vt  feptem  ad  vnuiTi  ► Pro- 
ptcreaetiamdupia  eandem  rationem  habebunt,  hoc  eft  folidu 
exagonale  integrum  feptuplum  erit  coni  AIB.  Q^d  erat  &c. 


S I circa  circulum  defcribamr  exagonum , & reiioluatur  fi- 
gura circa  catetum ; erit  fphsera  fextupla  coni,  qui  eandem 
bafim , & eandem  altitudinem  cum  folido  habeat  * 

^ Efto  circa  circulum  cuius  centru  C H D 


A G F 


lextuplain  efle  coni  AHF  r •* - 

Goncipiantur  duo  alij  coni;  nempe  LHM  in  hemifphjerio , & 
Alp  liiper  bafi  AF  conditurus  ad  centrum 

Eiit  ergo  propter  exagonum , triangulum  AIF  cequilaterurt;!»  - 
& ideo  ipla  IG tripla  erit  potentia. ipfius  GA . Condat  igitur 
quod  circulus  cuius  diameter  LM  ( dupla  fcilicetipdus  IG  ) tri- 
plus erit  circuli  cuius  diameter  AF , & propterea  conus  L H M 
triplas  erit  coni  AIF.  . Sphsera  autem  duodecupla  erit  coni  AIF » 

& ideo  fextupla  coni  AHF . . F^od  erat  &c^  * 


Fropofitio  XX  XVIL  • 


SI  Gircacirailum defcribamr  exagonum , & voluatur dgu- 
ra  circa  catetum  ; erit  fatonfolidum  ad  fatuam  fph^eram 
fciquifextuin»-  ■ 


JEdo 


per  pr^ 
ced. 


S o De  Sphttra,  f olidis  fpharaM. 

Efto  circa  circulum  cuius  centrum  I 
exagonum  ABCD  EF.  & conuertatur  fi- 
gura circa  catetum  GH . Dico  folidum 
^^hcErale  fad:um  , efie  ad  fph^ram  vt  7, 
ad  5. 

Concipiatur  enim  in  folido  conus  A 
HF,  vt  in  d uab  us  procedentibus  propofi- 
tionibus  • 

Erit  ergo  i^per  3 5. huius) folidum  exa» 
gonale  ad  conum  AHF  vt  7.ad  vnum,co 
nus  autem  AHF  ad  fphtera  efi  vt  i . ad  <^*iqaareex  ^quo  ericf6« 
lidum  ad  fphjKram  vt  7.  ad  6*  Qipod  &c* 

Lemmd, 

_ Linea  didgondis  exagoni  potentia  fefquitertideB  eateneiuf 
dem  ^ 

sit  exagonum  ABC  cuius  centrum  L)  ^ 

Dico  diagonalem  AC  potentia  effe/efqui 
tertiamcatetiEF  i B 

Hoc  autem  patet . IStam  duLta  DB.  erit  g 
ABD  triangulum  stquilaterum , ob  exagO 
numi  ^ AD  latus  erit  potentia ( '^fquiter  A 
tium perpendicularis  DE  j ergo  fumptis  li 
neis  duplis y etiam  AC  fefquitertia  erit po 
tentidipJiusEF . S^od^c. 

Vropofim  xxxvin. 

SPhsera  infcripti  fibi  folidi  exagonalis  circa  diagonalem 
uoluti  s fefquitertia  efi  e . - ^ 

Sit  in  circulo  cuiu^  centrum  A deferiptum  exagonum  BCDEF 
G 3 iuildtifqj  DH>DL  ^ DM ^ DI, conuertatur  figura  circa  diago- 
nalem DG#  Dico  Iph^ram  infcripti  folidi  exagonalis  fefqui- 

ter- 


Liher  Secundus  i $ I 

tertiam  effe  ^ Circulus  enim, cuius  dia 
meter  H I,  fefquitcrtius  eft  circuli  cu- 
ius diameter  LM  ( per  lemma  praece- 
dens ) ergo  conus  HDI  fefquitertius 
eft  coni  LDM,  fumptifque  quadru- 
plis, erit  fphaera  fefquirertia  folidi  exa 
gonalis.  Quod  erat  &c. 

AJfumf  tum  fuit foUdumexagonaUquddruf  Ium  ejfe  €emLI> 
M . emm fattt  ex frofofitione  2 S . huius . 


Propfuio  XXXIX. 

SI  idem  exagonum  dupliciter  reuoluatur,  nempe  circa  cate- 
tum,&  circa  diagonalem; Erit folidum  circa  catetum'  rc- 
uolutum , ad  folidum  circa  diagonalem,in  fubduplicata  ratione 
numerorum  49.  ad  48.  Nempe  vt  radix  q.  num.49,  ad  radicem 
q.  num.  48, 


Efto  exagonum  sequiangiilum , & ae- 
quiiaterum  ABCDEF,quod  vtroq;  mo- 
do concipiatur  reuolutum , nempe  circa 
catetum  HI  & circa  diagonalem  DA ; vt 
inde  fiant  duo  folida  fph^ralia  inter  fe 
diuerfa  fpecie;&  intra  vtruq;  intelligatur 
fphsera  inferipta . Manifeftum  iam  eft 
( per  lemma  Propofitionis  praecedentis) 
diagonalem  AD  potentia  fefquitertiam 
efTe  careti  HI . Si  ergo  ponatur  HI  ratio 
nalis  <5.  erit  AD  radix  quadrata  numeri  48. 

Manentibus  his . Solidum  circa  catetum  reuolutum , ad  in- 
fcriptam  fph^r.  eft  vt  7.  ad  5 ; Sphtera  autem  ad  folidum  reuo- 
lutum circa  diagonale  eft  vt  HI, ad  AD,  nempe  vt  ad  rad.  q, 
num.  48.  Qiiare  ex  jequo  erit , folidum  circa  catetum , ad  foli- 
dutn  circa  diagonalem  vt  7.  ad  radicem  quadratam  nun^eri  48. 

L Nem- 


D 


A 


57  Mei* 


S i JDe  Sphara,  0*  folidis  fphiralih. 

Nempe  in  fubduplicata  ratione  nmneromm  45.  48.  Quod 

ClTilt 


Lemma . 

Siymiffhmum4lthudmemhahueritfubdupi4malicuiusc» 

m;  erit  htmifphmum  4d  conum fnediaum , -vt  hajis  4d  h4(im . 

Habeat  hamiffharium  ABC  altittidinem 
H B fubdu^lam  aLtitudifzis  HE  coni  LE F. 

Lifo  hemtf^hdnum  ad  conu  F>EF , ej^e  vt 
€ir cuius  AC  ad  circulum  LF. 

C onciftantur  enim  duo  aly  coni  ABC  in 
hemif^hario  dr  LBFfu^er  baji  LF,  Erit 
ergo  conus  ABC  ad  conum  DBF  y vt  bajis 
AC  ad  bafim  DF  j fumftifqy  duplis^  erit  hc- 
fnifpharium  ad  conum  DE  F vt  bajis  AC  ^ ^ ^ 

4td bafm  DF . ^upd erat  cJc. 

Vropafiiio  X L. 

Solidum  paf-ilaterum  circa  catctum  reuolutum  ad  infcriptum 
fibi  conum,  rationem  habet  quam  AB  ad  B C i fado  fcili- 
cet  angulo  DEB  redo , 

Efto  poligonum  FGHILE  habens  Ia 
tera  numero  paria , deferiptum  circa  cir- 
culum cuius  centrum  D.  & conueitatur 
figura  circa  catctum  C A $ fiatq;  angulus 
DEB  redus . Dico  folidum  ad  infcriptri 
Ebi  conum  F AE , elTe  vt  AB  ad  BC . 
huiut  ■ Erit  enim  folidum  ad  fph^ram  vt  B A 
ad  AC  5 fumptifq^  confequentium  dimi- 
dijs,  erit  folidum  ad  hemi%ha?rium  vt  B 
A ad  DC , fed  ( per  lemma  prsecedens ) 
hemifphserium  eft  ad  conum  F AE,  vt  circulus  ex  DC  ad  circu- 
iumex  CE  rfiuevtredaDG  adCBsergoex^quo  eritfphasra- 

^ kfo- 


K A I 


Liher  Secundus  i SI 

le  folidum  ad  infcriptum  fibi  conum  F AE,  vt  AB  ad  BCrQ^od 
crat&c. 


Tropejitio  XLI. 

COnus  infcriptus  in  folido  circa  catetum  reuoluto , xqualk 
eft  exceflui  quo  folidum  infcriptam  fibi  fphseram  fiipcraf. 


Manente  figura  & conftrudione  praecedentis . Dico  fi  fphsc- 
f a auferatur  a folido  FGHILE , quod  rcfiduum,  quod  fupereft  t 
ablata  fphasra,  sequale  erit  cono  FAE . 

Eft  enim  fph^raie  folidum  ad  fphseram  vt  B A ad  AC;  dcper  i » hmus 
conuerfioncm  rationis,  folidum  ad  illud  refiduum  erit  vt  AB  ad 
BC . Sed  ( per  prcecedentem ) folidum  ad  infcriptum  fibi  conui 
eft  vt  AB  ad  BC . Aequalis  efi:  ergo  conus  FAE, in  folido  fph^- 
rali  infcriptus , omnibus  fimul  folidulis  annularibus  quae  circa 
fphaeram  funt;  fiue  differenti ?,quae  efi:  inter  folidum  infcriptam- 
que  in  folido  iphseram . Quod  erat  &c. 


Tropofitio  hXlL 

HEmifphsrrium  ad  exceffum  quo  fua  fphaera  fuperatur  a fo- 
lido  fphaerali  circa  catetum  reuoluto , duplicatam  ratio- 
nem habet  diametri  [phxrx  ad  latus  poligoni , ex  cuius  reuolu- 
tione  folidum  genitum  fuerat.  _ , 


Manente  praecedentium  figura,  &confi:rudione.  Dicohc- 
mifph^rium,  ad  differentiam  inter  folidum , «Sc  inclufam  fphse- 
ram,  effe  vt  quadratum  AC , ad  quadratum  FE . 

Efi;  enim  fphjera  ad  folidum  circumfcriptum  vt  CA  ad  AB;  whulm 
& diuidendo , fphsera  ad  differentiam  inter  fphaeram  & folidu , 
erit  vt  AC  ad  CB ; fumptifque  antecedentium  dimidijs,  erit  he- 
mifphseriumadprasdidamdifferentiamjVtDCadCB,  hoc  eft 
vt  quadratum  DC  ad  quadratum  CE ; vel  vt  quadratum  AG  ad 
quadratum  FE.  Quod  erat  dcc. 

L 2 wf//- 


L 2 


84  He  SfhdrA}  folidis  fphAraliL 

Aliter . 

1 j huma  f olidum  e Ii  vt  duo  quadrat  d ex  CD  ad  duo fimul  qua 

drat aCD , DE . Ergo  diuidcndo  erit  fphara  ad  differentiam  in- 
ter ipfam  olidum  %)t  duo  quadrata  ex  C D ad  quadratum  C E 

fumptifq-,  antecedentium dimidijs ^erit  hemifpharium  ad  dffe-:^ 
re  miam  inter  fpharam  ^ f olidum , 'vt  quadratum  EC  ad  quadr. 
C Effue  vt  quadratum- A C ad  quadratum  E E , M^od  c^c. 

Corollarium . 

Qonjl at  etiam  hemifpharium  ad  conum  F A E infcriptum  i» 
fpharali  f olido  ^effein  duplicata  ratione  AC  ad  FE , nempe  axis 
coni  ad  diametrum  bajis  eiufdem . ^ptandoquidem  conus  FAE 
demonftratus  eji  aqualis  dfferentia  inter folidum  fpharale  in^ 
Jcripiamq  Jihi  fph^ram  , 

Fropoptio  XLlIl. 

SI  cxagono  regulari  fimile  exagonum  infcribatur,  ita  vt  in- 
fcripti  anguli  punda  media  circumferiptorum  laterum  ob- 
tingant, &conuertatur  figura  circa  catetum  maioris  exagoni> 
erit  folidum  exagonale  circumferiptum  ad  inferiptu  vt  1 4.ad 
Sit  vt  ponitur Conuertaturq ue  figu- 
ra circa  A B 3 circaq;  A B diametrum  co- 
cipiatur  fphasra , qu^  quidem  maiori  po- 
ligono  inferipta  erit , minori  vero  circfi- 
fcripta.  ' 

fer  11.  £rit  iraq3  folidum  nmius  ad  fpli^ram 
^uius , y t y 2.6.  d.nempe  vt  1 4.  ad  1 2 ; fphaera  ve- 
1*6  ad  minus  folidum  erit  vt  1 2^  ad  9.  Er-  • 
go  ex  srquo  folidum  maius  ad  minus  erit  A. 

vi:i4.ad9^  QiKKierat&c. 


Lihr  Secundus . 8$ 

Propofttio  XLIV. 

Solidum fphgerale  fadumex  reuoliitione  alicuius  poligoni. 

circa  diagonalem, ad  folidtim  ex  reuoliitione  ciufdcm  po- 
ligoni circa  catetum ; eft  vtre^tangukim  fiib  diagonali,  &ea- 
teto , bis  fumptum , ad  duo  fikiul  quadrata , quorum  alterum  cx 
diagonali  fit , alterum  autem  ex  cateto , 

Eftopoligonum  regulare  quodeum- 
qiie , habens  latera  nnmero  paria , cuius 
diagonalis  fit  AB,  catetus  vero  C D.  Et 
concipiatur  poligonum  conuerti  duplici 
axe  5 nempe  primum  circa  diagonalem 
AB  5 & iterum  circa  catetum  CD . Dico 
foiidum  ex  diagonali  ad  folidum  ex  ca- 
teto efie,  vtre<5anguium  BED  bis  fum- 
ptum , ad  quadrata  ex  & ex  ED : fi~ 

ue  vt  eorum  quadrupla . 

Fiat  angulus  E B H redus , feceturqf  bifariam  DH  in  I;  eritq. 
EI  media  Aritmetica  inter  £D,EH : lam  folidum  ex  diagona- 
li ad  inferiptam  fibi  fph^ram  eft,  vt  AB,ad  GD  i fptera  vero  ad 
folidum  ex  cateto,  eft  vt  CD,  ad  CH;  ergo  ex  sequo  folidum  ex 
diagon.ad  folidum  ex  cateto, erit  ut  AB  ad  CH,fiue  utEB  ad  EI, 
(funt  enim  femifies  redarum  AB,  GH . ) Cum  autem  BE  me- 
dia Geometrica  fitinter  HE , ED  ] ipfa  uerb  EI  media  Aritme- 
tica sit  inter  eafd.  erit  folidum  ex  diagonali  ad  folidum  ex  ca- 
teto ut  media  Geomef.ad  mediam  Aritinetinter  redas  HE,ED 
Sed  ratio  red^  HE  ad  ED,ea(h  cfi:  ac  quadr.  BE  ad  quadr.ED; 
propterea  erit  foiidum  ex  diagonali  ad  folidum  ex  cateto,  ut  fpa 
tium  medium  proportionale  Geometricum  ad  fpatium  medium 
Aritmeticum  inter  quadrata  BE , ED . Spati um  autem  mediu 
Geometricum  inter  quadrata  B E , ED . cft  redingulum  B E D; 
medium  vero  Aritmeticum  eft  quadratu  ED,  cum  femiife  qua- 
drati DB.  Ergo  folidum  ex  diagonali  ad  ioiid  um  ex  cateto  erit 

yire- 


6,  huius 
1 X huius 


8 6 *De  Spbdra , foUdis  fphAralti. 

vcredangulimi  B SD ; ad  quadratum  ED  cum  femifle  quadrati 
DB ; Vel  ( fumptis  duplis ) vr  rcdangulum  BED , bis  fumptum , 
ad  quadratum  £D  bis , cum  integro  quadrato  DB . Siue  vt  re- 
dangulum  BED  bis  fumptum , ad  quadrata  B E , ED . Quod 
erat  &c. 

AffumpJimusreCidngulum  BED  ^ medium  froportionale  ej^e 
inter  quadrata  BEyED  . Hoc  enim  patet  in  propojitis  quih^uf^ 
cunque  reciis  duabus  lineis  ^ 

AJfump  fimus  etiam  quadratum  ED  cumfemtffe  quadrati  DB, 
ejs  f medium  Aritmeticum  inter  quadrata  BE^  ED  . M^d patet 
quadratum  enim  EEfuper  at  quadratum  ED  quadrato  BD. 

Corollarium , 

Hic  pro  Corollario  demonflrari potefl  ^folidum  ex  diagonali fa 
Bumfemper  minus  ejje folido  y quodft  ex  cateto ; quando  idem 
poltgonum  conuertatur  circadiagonalem,  c!r  circa  catetum . De^ 
monflratur  hoc  modo  \ 

Quoniam  reiiangulum  BED  his  fumptum,  minus  eji  duobus 
quadratis  BE,  ED  ( funt  enim  in  continua  ratione  quadtatum 
E Byreiiangulum  DE  B,  (jr  quadratum  E Dyideoq;  dupla  media  ^ 
minor  eft  duabus  extremis  magnitudinibus ,)  Etefivt  reH an- 
gulum BED  his  fumptum  ad  quadr,  BE,  E D fimul,  it  a f olidum 
ex  diagonali  ad folidum  ex  cateto ; Erit  f olidum  ex  diagonali 
minus  quam  folidum  ex  cateto.  S.uod  erat  rfrc. 

Si  quis  autem  quar at , qUo  e xcejfu  folidum  ex  cateto  Juperet 
folidum  ex  diagonali . Hoc  modo  illum proportione  notum  habe- 
btt 

Faciat  vt  duo  quadrata  BE , ED  fimul,  ad  quadratum  quod 
fit  ex  differ  enti  arcularum  BE,  ED , ita  maius folidum  ad  aliud: 
Bt  habebit  excefium  quo  maius  folidum  fuperat  minus . 


Fropo^ 


' Liher  Sccmd$ts>  • 87 

l^ropofno  X LV. 

SI  intra poligonum regulare parilatcrum  infcribatur  fimilc 
poligonum , ita  vt  anguli  infcripti  bife6iione$  laterum  cir- 
cumfcripti  contingant;conuertafurq;  figura  circa  catetum  maio- 
ris poligpni;  Erit  maius  fo licium  fph^rale  ad  minus,  vt  funt  duo 
fimul  quadrata  duarum  diagonalium , ad  duo  quadrata  minoris 
cateti . 

E fto  poligonum  parilaterum  ABC  &c. 
intra  quod  infcribatur  fimile  poligonum 
AlC  &c.  vti  didum  eft  , Conuertaturqj 
figura  circa  AC  catctum  maioris  poligo 
ni . Dico  folidum  fph^rale  A BC^ad  fo- 
lidum  A I C effe  vtduo  quadrata  fimul 
duarum  diagonalium,  nempe  BD,  DC. 
ad  duo  quadrata  minoris  cateti  DI.  Cir* 
cumfcribatur  folido  AlC  fua  fph§ra,qu5 
alteri  folido  infcripta  erit, 

lam  folidum  ABC  ad  infcriptam  fph^ram  , eft  vt  duo  qua- 
drata fimul  BD,DC  ad  duplum  quadrati  D C ( per  1 3,  huius ,) 
Sph^ra  vero  ad  infcriptum  folidum  efl:,vt  duplum  quadrati  DC 
ad  duplum  quadrati  DI  ( per  7,  huius  ) Ergo  ex  tequo  maius  fo- 
lidum fphterale  ad  minus  erit  vt  duo  fimul  quadrata  BD,DC  ad 
duplum  quadrati  DI . Quod  erat  dcc. 

Fropofmo  XLVI. 

Ilfdcm  pofitis:  fi  conuertatur  figura  circa  diagonalem  maioris 
poligoni  G C . Eritmaius  folidum  ad  miaus , vt  integer  axis 
AC  maioris  folidi , ad  vtramque  fimul , nempe  femicatetum  D 
G minoris^  & quartam  proportionalium  GF  s fi  fiat  vt  femidia- 
gonalis  minoris  ad  femicatetum  j ita  femicatetus  ad  tertiam , & 
tertia  ad  quartam  ♦ 

Eflo  folidum  quale  pofitumeil  ABCH*  cui  infcriptum  fit  fo- 

lidum 

M 


A 


S 8 De  foltdhfph^ralih 

iidumIBD.vtididumeft.  Duca- 
tur , D£  perpendicularis  ad  GB,& 


EF  ad  GCjeruntq;  in  continua  pro 
portione  CG,  GB,GD,  GE  GF.ob 
angulos  re(fios. 

lam  folidum  maius  ad  fph^am 
eft  vt  AC  ad  HB  Fper  d.huius^/fph^ 
ra  autem  ad  folidum  minus  eft  vt 
HB  ad  vtramque  fimul  D G.  GF 
( per  1 4.  huiiis^  Qimre  ex  sequo  fo- 
Edum  maius  ad  minus  erit  vt  h G 
ad  vtramque  fimul  DG.  GF . nem- 
pe quod  propofitum  fuerat . 


CorolUrium. 

Scando foltdd  fr^diBa  ab  exdgom  genita fuerint:  demo n frd 
tur  quod fojita  recta  aC  32.DG.(drGF  nota funt  * nempe  D G, 
GF,  p . Ergo  in  hoe  cafu folidum  maius  ad  minus  efet  vt 
sz.adzi. 

Super  eft  nUnc  vt folida  fpharalia  ahfolute  conftderata  inter fe 
conferamus^  dr  hoc  quot  modis  fieri  poterit : quemadmodum  in 
proemio  operis  nos  ejfe  f alturos promif  eramus , 


Propofitio  XLVIL 

Solida  fphfralia  parilatera  circa  diagonalem  reuoluta,  inter 
fe  funt  vtparalielepipeda  bafi  quadr.  cateti,  altitudine  ve- 
ro diagonali  eorumd  em . 


Sint  duo  folida  fphseralia  parilatera  cir 
ca  diagonales  AC,  DF  reuoluta . Sintq; 
HI,LV  perpediculares  ad  latera  CB , FE, 
Dico  folidum  fphaerale  ABC  ad  folidum 
DEF . elfe  vtpatallelepipedum  bafi  qua- 
drato HI  altitudine  uero  HC  jad  paralie- 


liher  Secundus  i 

cp.  bafi  quadrato  LV , altitudine  LF . 

Intelligatur  vtrique  circumfcripta  fph^ra  fua*  Tunc  enim  fo^  f , hum: 
lidum  ABC  ad  fphseram  fuam  erit  vt  quadratum  IH  ad  quadra- 
tum HC,fiue  ( fumpta  communi  altitudine  CH ) vt  parallelepir 
pedum  bafi  quadrato  IH, altitudine  HC , ad  cubum  HC. Sphig-^ 
ra  autem  ABC  ad  fphseram  DBF , eftvt  cubus  HC  ad  cubum 
LF . At  fphsera  DE F , ( vt  nuper  in  altera  oftendebamus ) ad 
folidumfuum  DEF.eil  vt  cubus  LF,ad  parallelepipedum  bafi 
quadrato  LV , altitudine  LF : ergo  ex  a?quo  erit  folidum  ABQ 
ad  folidum  fphicrale  DEF , vt  parallelepipedum  bafi  quadrata 
HI , altitudine  HC;  adparailelepipedum  bafi  quadrato  LV,  al- 
titudine LF.  Q^derat&c. 

SchoUum , 

idem  cencludetm  etidm fi  concipianturfphctrdtHxtd  ff, huius 
intra  data fol  id  a inferipta  ,*  fiue  altera  tantum  inferipa , dlterd 
vere  circumj cripta  iuxtd  d.dr  7 >huius ficut  experi enti patebit . 


Tropofm  X L F 1 1 1. 

Solida fphceralia  parilatcra  circa  catetum  reuoluta  inter  fc 
funt,  vtparallclepipcda  bafi  quadrato  diagonalis,aItitudi- 
neveroqucB  fitsequalis  cateto,  & quarcse  proportionalium,  fi 
fiat  vt  diagonalis  ad  catetum , ita  catetus  ad  tertiam , & ita  tertia 
ad  quartam . 


Sint  duo  folida  fphseralia  circa  catetos 
B,  & D reuoluta . Continueturqiie  ratio 
A ad  B in  quatuor  terminis  A,B,E,F . Ire 
ratio  diagonalis  C ad  catetum  D conti- 
nuetur in  quatuor  terminis  C,D,H,I . Di- 
co, primum  folidum  ad  fecundum  eflevt  T r I 
parallelepipedum  bafi  quadrato  A,  altitu  . . 1 1 1 ] ] I I 

dine  vero  B & F ; ad  parallelepipedum  AE  B ^ PK I 
bafi  quadrato  C.  altitudine  vero  D & L 


M 


Abis 


I 


90  SDe  Sphara , foltdts  fpharaM. 

A bis  fumptam.Mcceptaq;  communi  baii  quadrato  A ; erit  foli- 
dum  primum  ad  fphteram  fuam , vt  parallelepipedum  baii  qua- 
drato A , altitudine  vero  B &F  fimul,  ad  duos  cubos  A . Sph^- 
ra  autem  prima  ad  fecundam  fph^ra  eft  vt  duo  cubi  A ad  duos 
cubos  C . Sph^ra  tandem  fecunda  ad  folidum  fuum,  eft  vt  duo 
cubi  C , ad  parallciepipcdum  baft  quadrato  C altitudine  vero 
D,  Sc  I fimul  (quod  oftendirur  vt  nuper  fa6tiim  eft  in  prima  fph^ 
ra  ) ergo  ex  aequo  primum  folidum  fphaerale  ad  fecundum , erit 
vt  parallelepipedum  bafi  quadrato  A,altitudine  B & F fimiiftad 
parallelepipedum  bafi  quadrato  C altitudine  vero  D Sci  fimul  • 
Qupderat&c. 

Scholmm . 

Idem  concludi  foteB  fi fph^Tde.  eoncipantut  intrdipfa  fiolidd 
infcriptd  tuxtuPropofimonem  i ^.huiusj  fmeaUerainfcripta^dL 

teravero  circumfcriptdiuxtd  I 1 4.  huius . Quando  vero, 

termini  proportionis  Mij  euadant } prepofitis^  vtin  hdc , 
quentibus  ':ids proportionem  ft  mper  edndem  efie , in  quthufcUm 
que  tdndem  terminis  euenidt,  i/ 

Propofitio  I L. 

S Olida  fph^raliaimparilatera  funt  inter  fe  vt  parallelepipe- 
da , bafi  quadrato  perpendicularis , qu^s  ex  centro  pollgo- 
ni  ducitur  in  latus  eiufd em, altitudine  vero  aquali pr^did^e  per- 
pendiculari, vna  cum  dupla  eius , qute  ex  centro  ad  angulum  po 
ligoni  ducitur,  & cum  tertia  proportionalium  ad  duas  prsedi- 
das . . 

Sintfolida  fph3eraliaimparilateia,circacatetosB,&D.  re- 
uoluta  . Continuetur  ratio  perpendicularis  B ad  radium  poligo- 
ni  A in  tribus  terminis  B,  A,  E . Item  ratio  D.  ad  C in  tribus  ter- 
minis D,C,I,  continuata  fit . Dico  folidum  primum  ad  fecun- 
dum eflevt  parallelepipedum  bafi  quadrato  B,  altitudine  vero 
aquali  B femel , A bis , dc  Etfemel , fimuiq;  fumptis,  ad  paralie- 

lepipe- 


Liber  Secundus  i 91 

lepipedum  bafiquadr.  D.  altitudi- 
ne vero  aequali  D . femel , C.  bis , 

& I femel  limulq;  fumptis . v \ 

Concipiatur  in  vtroq;  folido  fph^  /vBr^ 
rali  fua  iph^ra  infcripta,  eritq;  foli-  - 

dum  primum  ad  fphseram  fuam  vt  , 

B & E fimul  cum  dupla  ipfius  A ad 
quadruplam  B.fumptaquecommu  j . 
ni  bafi  quadrato  B . erit  folidum  B -A.  Ei 
primum  ad  fph^ram  fuam  vt  paral- 
lelepipedu  bafi  quadrato  B.altitudine  vero  B & E cum  dupla  A* 
ad  quatuor  cubos  B.  Sphicra  autem  prima  ad  fecundam  efl, 
vt  quatuor  cubi  B ad  quatuor  cubos  D;  Sphaera  tandem  fecunda 
ad  folidum  fuumcft,  vt  quatuor  cubi  D.  ad  parallelepipedum 
bafi  quadrato  D«  altitudine  D &I  cum  dupla  ipfius  C ( quod 
oflenditur  vt  nuper  fadum  eft ) ergo  ex  aequo  patet  quod  propo 
fitum  fuerat,  dcc. 


Tropojitio  JJ. 

S Olidum  fphseraleparilaterum  circa  diagonalem  reuolutu, 
ad  folidum  fph^rale  parilaterum  circa  catetum  reuolutum, 
eft  vt  parallelepipedum  bafi  quadrato  cateti , altitudine  diago- 
nali bis  fulnptum , ad  parallelepipedum  bafi  quadrato  cateti  fi- 
mul diagonalifque , altitudine  vero  cateti . 


Sint  duo  folida  fph^- 
ralia , quoru  alterum 
circa  diagonalem  A 
fit  reuolutum, alterum 
vero  circa  catetum  G. 
Dico  folidum  primu 
circa  diagonalem,  ad 
folidu  fecundum  cir- 


Xf  pwfldepipedfibafiquadr.  Balti^^^  A 

M a bis 


■"i-  . 


$ X De  Sphai^a,  0*  foUdis  fpharalih. 

bis  fumptum,  5idparailclepipedumbafi^qiiaJiquadratisC,D, 
altitudine  vero  C.  - 

hmu$.  Intelligatiir  in  vtroque  folido  infcripta  fua  fph^era.  Et  erit  fo« 

lidum  primum  ad  fph ceram  fuam , vt  reda  A ad  Bjfiimptaq;  ea- 
dem bafi  quadrato  B ; erit  folidum  primum  ad  fph^ram  fuam, 
vt  paraliclepipedum  bafi  quadrato  B altitudine  vero  A , ad  cu- 
buiTiB.fiuevr  duplum  didi  parallclepipedi  ad  duos  cubos  B. 

, Spb^ra  vero  prima  ad  fecundam  eft , vt  duo  cubi  B,  ad  duos  cu 
13  mus  Sphara  tandem  fecunda  ad  folidum  fuum  eft,  vtduo 


quadrata  ex  C,  ad  duo  quadrata  C , & Dj  fumptaque communi 
altitudine  C,  efl,  vt  duo  cubi-  C,  ad  paralklepipedum  bafi  aqua 
Ii  quadratis  C&  D . altitudine  vero  C.  Propterea  ex  aquo  pa- 
tet  quod  propofitum  ei  ac  • 


Tropofitio  LI. 

Solidum fph^rale parilaterum circa  diagonalem reuolutumj 
ad  folidum  fpharaleimparilaterum  efl,  vtparallel epipe- 
dum bafi  quadrato  cateti, altitudine  diagonali  quater  fumptumj 
adparallelepipedum  bafi  quadrato  reda  illius  qua  ex  cenrro 
poliigoni  imparilateri  perpendiculariter  ducitur  in  latus  eiufde  i 
altitudine  vero  aquali  pradida perpendiculari^  vna  cum  dupla 
illius  qu^  ex  centro  ad  angulum  dmte,  & cum  tertia  propor- 
tionalium ad  duas  pradidas. 


Sint  duo  folida  fpharalia,  nempe 
primum  parilaterum  circa  diagonale 
A conuerfum,  alterum  vero  imparila- 
terum  circa  catetum  C reuolutum.Co 
tinuetur  ratio  C ad  D in  trib.terminis 


C,D,E.  Dico  primum  folidum  ad  ^ t 1 

fecundum  efre,  vt  paralielepipcdum  ] 1 ; 

bafi  quadrato  B,  altitudine  A quater  • ^ DM 

fumptum , ad  paralielepipcdum  bafi 
quadrato  Cjaltitudinc  ver6  ^eq^ali  redis  G>  6C  E cumdupla  D'. 

fimul 


Liher  Secundus  { . 95 

fimul  fumptis . 

Nam  iolidum  primum  ad  fphceram  fuam  eft,  vt  re(5la  A ad  B j 
fiue  fumpta  communi  bafi  quadrato  B-j  vtparalklepipedum  ba- 
fi  quadrato  B altitudine  A , ad  cubum  B 3 Vel  ut  parallelepipe- 
dum  pi ^edi(5tum  quater  fumptum , ad  cubum  B quater  fumptum 
fphserauerb  prima  ad  fecundam  eft  utquatuor  cubiB  ad  qua- 
tuor  cubos  C,  Sphasra  denique  fecunda  ad  folidum  fuum  ( ut 
oftenfum  eft  in  qp-,  huius ) efl  utquatuor  cubi  C , ad  parallele- 
pipedum  bafi  quadrato  C,  altitudine  uef 6 aquali redfis  C & E 
cum  dupla  D . limul  fumptis,  Proptcrea  ex  aquo  patet  quocf 
propofitum  erat , 

Trofofitio  L II. 

Solidum fpharale parilaterum circa catetum  reuolutum , ad 
folidum  fph.imparilaterumjefi;  ut  parallelepipedum  bafi 
aquali  quadratis  diagonalis  &cateti  altitudine  cateti  bis  jflim- 
ptum , ad  parallelepipedum  bafi  quadrato  linea  qu^  ex  centro 
ducitur  perpcndiculariter  in  latus  poligoni  imparilatcri , altitu- 
dine uerb  aquali  pr^di(5ia  linea , una  cum  illa  que  ex  centro  ad 
unum  angulum  perducitur,  cum  tertia  proportionalium  ad 
duas  pr  ad  idas  • 

Sint  duo  folida  fpharalia?  alterum 
parilaterum  circa  catetum  A reuolu* 
tum ; alterum  imparilateriim  circa  C 
conuerfum . Et  ratio  C ad  D , conti- 
nuetur in  tribus  terminis  C,D,  E,  Di- 
co primum  folidum  ad  fecundum  ef 
fe,  vtparallelepipedumbafi  aquali’ 
quadratis  B & A , altitudine  vero  A, 
bis  fumptum;  ad  paralleiepipedum 
bafi  quadrato  C , altitudine  vero  aquali  C , & E,  cum  dupla  ip- 
fiusD. 

, Nam  folidum  priaium  ad  fpharamfuameft,vt  duo  quadra-  ishmm 

ta  B ■ 


j?4  . De  Sphdra,  (f  Jolidis  fiharaliL 

r4iB&  A,  ad  duplam  quadrati  A.  iiuefumpta  commntii  altitu- 
dine A . vt  paralielepipedum  bafi  aquali  quadratis  B & A,  alti- 
tudine A ad  duos  cubos  A . Vel  vt  didlum  paralielepipedum 
bis  fumptum , ad  quatuor  cubos  A . Sphsera  autem  prima  ad  fe- 
cundam , eft  vt  quatuor  cubi  A ad  quatuor  cubos  C . Sphsera 
denique  fecunda  ad  folidum  fuum  eft  vt  quatuor  cubi  C,ad  pa- 
rallelcpipedum  bafi  quadrato  C altitudine  ecquali  C&  E,  cum 
dupla  D.(  ut  oftenfum  fuit  in  Propof.  49,  huius* ) Ergo  ex  ^quo 
patet  quod  propofitum  fuerat . 

FINIS, 


DE  M O T V 

G R A V I V M 

Naturaliter  defeendentium , 

£t  Proie6lorum 

L 1 B K I D V O. 

In  «quibus ingenium  naturae  circa  para- 
Dolicam  lineam  Ludentis  per  mo- 
tum oftenditur , 

Et  vntuerfa  TroieBorum  dcBrina  njnins 
de  [eri ft  tone  femicir  culti 
aifolmtur. 


1 


F 

f' 

-9. 


«i. 


• '-K-- 


f 


i 


..;^vr 


\ •• 


IT-.  . ^ 

-^p  .. 

u/i.  .\iL 

\«t  1-  (j  s’! 


•-f'' 


..■■•«  - yt  'i 
v-*;'  ■ .j,  ■>  . 


/ 


?■ 


r 


ot-^T 


. s 


•O'.' 


: '-•■  j." 


■i',:  ■ ‘ ' 


.:'  ':iri  . ■ 


■ i; .•-•■■"  ■ ■:'vV-’'  'Sr  ;u. 


i-M-. 


•i -4  ' 


' '-icO' 


" '-i  •■■'  •'  ,V 


f 


9? 


DE  MOTV  GRAVIVM 

Naturaliter  defcendentium . 


LIBEK  PMIMVS. 


CIENTI  A M demotuG.&Pr.apIu 
ribus  quidem  tradata,  ab  vnico  (quod 
ego  fciam  ) Galileo  Geometrice  de- 
monftratam,  aggredi iib et.  Fateor, 
quod  ille  totam  hanc  fegetem  tamqua 
falce  demefTuit,  nec  aliud  fuperefl  no- 
bis, nifi  vt  tam  feduli  melToris  vefligia 
fubfequentes,  fpicas  colligamus,  fi  qug 
ab  ipfo  vel  relid^e  fuerint, vel  abiedse : 
fin  minus, Liguftra falteiu,  &: humi  nafcentes  violas  decerpa- 
mus ; fed  fortalfe  3c  ex  floribus  coronam  contexemus  non  con- 
temnendam. 

Principio  qusedam  de  momentis  grauium  proponemus , vt 
aliqua  fuppleamus , quse  quodammodo  opportuna  videbantur 
ad  icientiam . Deinde  qusedam  de  parabola , qusr  nobis  ad 
propagationem  huius  do drin^e  vtilia  videbuntur,  Reli- 
quum libri  primi  propofitiones  erunt  de  motu  accelerato  j 
iilarumque  ordo  quo  . ad  fieri  poterit  in  tam  diuerfis  rerumu 
tnaterijs , negledus  penitus  non  erit*  Libellus  alter  de  Mo- 
tu proiedorum  tradabit,  ampliata  Galilei  dodrina  , & de- 
monfir  atlonibus  plerumq;  mutatis . Tabulas  certe , quas  ipfe 
iludio , ac  labore  compofuit , omnes  ex  tabula  finuum  a nobis 
foliustranfcriptionis  moleftia , decerptas  exponemus  nam  hy- 
pothefis  noflra,  iuxta  quam  proledhones  furfum  fiidas  contcm 
piamur,  aperte  indicauit  nobis  tabulas  a Galileo  elaboratas  in 
ipfis  finuum,  ac  tangentium  tabulis  exprcfse  inclufas , & infer- 

N tas 


p 8 ^De  motu  rmmm  defcsndent. 

tas  eife  debere ..  Poftreino  noriiias  ciuaidaiumilitarisconfir ii- 
dionem  fubijctmus , qu.^  cum  diueria  fit  a v ulgari  norroa , cu- 
ius ope  vniucrfa  res  tormentaria  adminifiratur,  cerre , & feien- 
tificephylofbphos  docebit  quantum  axis  cuiufq;  tnacbina?pro- 
icientis,  eleuari  debeat , vc  illius  iadrus  propoiit^ , ac  determi- 
natae menfur^  euadat . Quin  etiam  omnia  problemafa  iucun- 
da  fcitu,  vfu  non  inutilia,  qua  circa  hanc  materiam  proponi  pof 
funt,  foluta  vnico  intuitu  in  arpedum  dabit  .•  vt  ibi  fiifius  expli- 
cabimus . Definitiones  omi fimus, & genere  feriprionis  contra- 
do , laconicoq;  vfi  fumus , quia  dum  vniuerfam  Galik  i dodri- 
nam  pro  fuppofitione  praiiittimUs  ledori  erudito  feribere  pro-  ■ 
fitemtir^ 

AHuyus  de  Motu  nutur diter  Accelerato  Galileus prine ipum 
fupponit  ^ quod  ipf e non  admodum  euidens putat  dum  illud 
parum  exacto  penduli  experimento  nititur  comprobare . hoc  e.B . 

Suppo-  velocitatis  eiufdern  mobilis  fuper  diuerias  planoru  in- 

clinationes  aquifitos,tuncelIe  aquales  5 GumeoruiTide planoru  j 

li  lai  c^euationes  aquales  fint . Ex  hac  petitione  dependet  quafi^vni- 

aer f a illius  doctrina  de  motu  tmn  ac  celer  at b , tumproi  edi  orum . 

Si  quis  de  principio  dubitet  de  ijs  qup^inde  aBJEquuntur  certam- 
omnino f dentiam  non  habebit . Scio  Galileum  vkimis  <vjt£  fua  \ 

annis fuppojttion  em  illam  demonitrare  conatumyfed.  quia  ipfius  5 

argumentatio cumlib.de Motu  edita  non  ejt paucahacXdemo-^  4 
mentis grauium  libello  noBro  prdfgenda  duximus ; vt  appare-,  | 

atqu))dGalilHfuppofitio  demonfiraripoteft  t‘dr  quide}n  tmntp  | 
diate  ^ ex  illo  Th eoremate  quod' pro  demanBrato  ex  Methanicm 
ipfe  defumit  infecunda  parte fextcB.  Propofitionis  de  motu  acc  ei  S 
lerato^vide  licet . Momenta,  grauium  aqualium  fuper  planis  inge  J 
qualiter  inclinatis  efe  inter fe  vt  funt  perpendicula  partium 
aqualium  eorumdem planorum . V erbi gratia ..  |! 

Sintpland. ‘Cih  in<icquaUt  er  inclinata^  ^fumptisaqud-  b 
libas  a b y c b . ducantur  perpendicula  ad  horimntem 

b fit  Supponit  Galileus  pro  demonftrato  y momentum  in  plano  a 1| 
ad  mom  en  tum  in  plano  cb,  ita  ejje  vt  e B zc.  .ad  c f . Nos 
quia  m hniufmQdi  T heoroma  non  incidimus.,  hoc primumaliqua  ' \ 

demon^-  ;i 


Lther  Primus  i 

^emonfirdfioni  confirmaUmus:  protims 
ad  oflendendum  id  quod  Galileo  frincifi^ 
umjlue  petitio  e fi , accedemus . 

Ty  amittimus  ^ 

Duograuia  fimulconiunda  ex  femo- 


grauitatis  ipfomm  defGendat. 

^^i^^  duograuia  ita  inter fe  coniunB afuerint ad 
motum  vnius  motus  etiam  ait  erius  confeqUatur , erunt  duo  illa 
grauiatdmquam grauevnum etc duobus  compofitum^fiue  id li^ 
bra  fat,fiue  troclea  ,fiue  qualibet  alia  Mechanica  ratione.gr A* 
ue  autem  huiufmodi  non  mouebitur  *vnquam,  nificentrumgra^ 
uitatis  ipfius  defcendat  . ^ando 'vero  ita  conftitutum  fuerit 
njt  nullo  modo  commune  ipfius  centrum  grauitatis  defcendere 
pojft  ygraue penitus  in  fuapofittone  qmefcet\alias  enim  frufira, 
moutretur  i hori^ntali , fcilicet  latione ^ qua  nequaquam  deot^ 
fum  tendit* 

TROPOSir  101. 

SI  in  planis  inaequaliter  inclinatis»  eandem  tamen  eleuatio» 
nem  habentibus,  duo  grauia  conftituantur,  quae  inter  fe 
eaedem  homologe  rationem  habeant  quam  habent  longitudi^ 
nes  planorum,  grauia  aequale  momentum  habebunt . 

Sit  ^ . horizon  plana  in^qualiter 

inclinata  ca,cb,  Fiatvt^c  ad  cbykz 
graue  aliquod  adgraue  ir  Etgrauia  ^ 
hcTC  in  homologis  planis  collocentur,  in  ■ ^ ^ 

pundis  a,  3cb,  eiufdem  horizontalis 
line^i'"  Connedanturetiam  aliquo  imaginario  funicule^  per  a 
cb , dudo , adeo  vt  ad  motum  vnius  motus  alterius  confediia* 

. Dico  grama  fie  difpofita  aquale  momentum  habere:  hoc  eft 

N j in  ea 


loo  De  motu grmmm  defcenient. 

in  cainqua  funt  poiitione  aquilibrata  coiiquiefcerb,  neq^fur- 
fum  aut  deorfum  moueri . Oitendcmus  enim  centrum  commu 
ne  g-i\iuitatis  eorum  defcendere  non  polfe , fed  in  eadem  fem" 
per  horizontali  linea  ( quantumlibet  grauia  moneantur  ) repe- 
riri. 

Non  habeant  fi  poiHbile  efi:  aquale  momentum  ^ fed  altero 
pr^ponderante moneantur, &afcendafgraue  /sf  verfus  c,  de- 
fccndafq;  graue  h . AiTumpto iam  quolibet pundto  cum  gra 
ue  d futui  in  e,  & ^ in  ^5^,  erunt  iiriea  ^ aquales , quia 
idem  funiculus  efi: , tam  acb^  quam  ecd . Demptoq,mommu- 
ni  e ch  remanent  aquales  ae^  bd.  Ducatur  e/^parallela  ipfi 
&connedlanturpun(fta  e Eftigitur  graue  ad  graue 
Txempil  hoc  efi:  vt  ad  ^/,hocefi:  hd,  ad  ef^hoc 

Archim.  efi  dg  ad  g e reciproce . Eff  ergo  pundfum  g centrum  grauita 
^puipon  tis  commune  grauium  connexorum,  & efi:  in  eadem  linea  horD 
zontali  in  qiia  fuerat  antequam  grauia  mouerentur . Duo  ergo 
grauia  fimul  colligata  mota  funt , & eorum  commune  centrum 
grauitatis  non  deicendit . Quod  efi  contra  pr^mifiiim  aquili- 
brij  legem.  ' 

I 

PROPOSITIO  II.  I 

M Omenta  grauium  aqualium  fuper  planis  inaequaliter  in^  q 
clinatis , eandem  tamen  eleuationem  habentibus , iiint 
inreciprocaratione  cum  longitudinibus  planorum.  4 

Sint  plana‘ 4!  ^ ^ c insequaliter  incli-  : ; ^ | 

nata,  & ad  idem  pundum  eleuata-^.  ft  ^ 

Sintqj  in  eilHem  planis  aqualia  grauia  d 

& c , Dico  momentum  grauis  ad  mo-  I 

mentum  grauis  ^,  cfie  reciproce,  vt  4^,.  i 

ad  Fiatvt  4^,ad  graue  4 . $. 

ad  graue  aliud  deponatur  4^.  in  plano  : . | 

Ergo  per  procedentem  erunt ipforum  4,8cd.  momenta  | 
aqualia.  . 4 ■ I 

Momentum  autem  <■ . ad  momentum  ^ efi:  v t moles  ad  mo-  | 

!em  ( gula  iimt  in  eodem  plano^  hoc  efi:  vt  moles  4 , ad  molem  i 

dihoc 


Liber  Vrmtis . loi 

d\ hoc eft  vt  db  j ad  ^ . Eft  ergo  momentum  c.^A  vel  ad 
momentun^  d . ipfi momento  d . sequale bc . Quod 
eratdcc. 

AUtet . 

idem  t^uod hic  demcnflrauimits  exFrma.  Frofofmone 
fumpo  frincipo  deduc ehdt  ud impojjib/ie,  oslendetur  etiam  ab~ 
folute,  dr  djprmatiue  ex  iffis  Mechanica  princtfijs . 

Lemma, 

Momentum  totale  grauis  ad  momentum  quod  habet  in  pla- 
no inclinato,  eft  vt  longitudo  ipiius plani  inclinati  ad  perpendi 
culum . 

Sit  circa  centrum  z*  fphara  grauis  in 
fhno  eleuato  hc,tjrft plani perpendicu- 
lum c e . dico  momentum  totale  grauis  a 
ad  momentum  peculiare  quod  habet  in 
piam  hz^^effevthc.ddct. 

Produc aturrcB a d a . per  contaUum  d, 

^'per  centrum  a . qua  ideo  perpendicula^- 
ris  erit  ad  planum  hc.elr  quolibet  centro 
i.  jiant  quadrantis  portiones  6.  g,ah  . & ducatur  i ^ . heri- 
x,ontaUs  ^ (jr  d i , a 1 . adhorinmntem  perpendicularis  . 

lam  Angulus  f d c , vellus  ejl , ^ anguli  b , c .fimul  aquales 
funtreClo  , ergo  ablatis  l Ac,  dee,  alternis  parallelarum , re- 
manent aquales  lA\,^\i , Sunt  ideo  Jt milia  duo  triangulare- 
Uangulai  A i ,hct,Iamfic , 

Sed  quando  graue  circumfertur  d femi  diametro  f h , fue  f a , 
manente punil o f tunc  momentum  totale  eius , hoc  eB , momen- 
tum quod  habet  infitu  h , ad  momentum  qpiod habet  in  fiw  a , 
efi  njt  h£  . ad  i \ , jhe  a f . ad  fl , hoc  eB  d f . adii , velh  c. 
ade  e . ob  fmilitudinem  triangulorum . ^ttod  erat  (fc, 

flmd  autem  idem  momentum  fit  grauis  confiButi  , fiue  'in 
:■  pun Lio  a quadrantis  zh^fiu^ in punBo  d .quadrantis  A fi- 

uein 


102  I>e  motu  Crauium  defcendent. 

U€  in  fm&o  d,j?l4ni  tangentis.^  dubitandum  non  'videtur;  quan 
doquidem  angulus  contingentia  inclinationem  non  minuit  ^ ne’‘ 
que  auget . 

Hinc  Propoiltio  fecuada  iterum . 

Momenta  grauium  aequalium  fuper  planis  inaequaliter  inclina-^ 
tis  funt  in  reciproca  ratione  cum  longitudinibus  planorum  , 


Momentum  in  2L,ad totale  memen 
fer  pr  AC  e deus  Icmma^  efivt 
totale  autem  momentu  admo 
^.ejl'ut  ^c.ad  c d ; ergo  per  perturba 
rationem^momentum  a ad  momentum 
eji  reciproce , c f,  .ad  c hdrc. 


Corollarium . 

Hinc  colligitur  momentu  fphcera  granis  fupfr  diuerfas  pla- 
norum eleuationes  femper  efle  vtlinea  illa  horizontalis  quse  a 
contaduin  ipfa  fphirra  ducitur . 

Sit  fphara  granis  circa  centrum 
plano  b c 'utcunque  inclinato ; dr  duca- 
tur b d . hortTfntalis  a conta&u:  oflen- 
demus  momentumfphar^  in  fitu  in  quo 
eB , ejje  lineam  b d , {pofitafemper  dia- 
metro fro  momento  maximoyfiue  totali,) 

Pro  ducatur  horiZiOn  d b demittatur 
que  perpendiculum  c£,J  quolibet  fun- 
Mo ; df  ittngatur.  e d . 

Angulus  e Aqualis  efl angulo  d bh . per  $2,  tertq ; eidem 
d b h . ^ aqualis  c b i^  ad 'uetticemiergo  aquales  funt  inter  fe 
anguli  e 5 ^ c b { funt  infuf  er  triangula  e d b . b c £reBangu- 
la  5 ergo  fimiliafunt  inter  fe . Sed  tam  oBendimus  momentum 
tot  ait  fphara  ad  momentu  quod  habet  in  eleudto  plano  €jfcvth,C 
ad  c £ynempeujttp/a  diameter  e b • ad  horizontalem  b d,  qus 
intr  a Jpharam  a cora  aci u ducitur , 

Si  verograue  non  fit  fphArafed  quodcunqi f olidum  a * habe- 
bimus 


Lihsr  Primus^  l ioj 

bimUs  nihiUmmus  finguU  eius  momen-  ^ 
td  infingulis  planorum  eleuationibusfd  ^ 
citime . Solue.mus  etiam  Proh lemd Pap- 
pi lib*  8 .Propopp . famofum  apudGuido-- 
baldum^i  dp  Cabeum  (jrf,. 

Sit  gr  au  e di.  in  plano  -dih  , dp  q^<&Y  a- 
tM  in  hoc  fitu  momentum  eius\  fiue  potentia^  a qua  in  hoc  plano 
z\>  .fufiinetur .. 

Ponatur  momentum  totale grduis ; *vel-ipote  'ntiam  quafujli- 
net  pondus  a . in  plano  perpendiculari  ejie  bcyd^  circa  b c ere- 
ctam ad  harimntem  jiat  femicir culus  c d b, . qui  fecet  ab . in  d 

Dic  a momentum  granis  a ^Jiue  potentiam  qua  illud fu-Ttinet 
in  plano  a b .ejie  b d . Ducatur  perpendicularis  e f.a  quolibet 
punBo  e.  & erunt  triangula  c b d,  b e i.jimiliar,  quia  cum  jint 
'Vtraci\  reciangula  ^ anguli  etiam  c b d . c funt  alterni.  lam 
qttia  momentum  tot  ale  granis  ad  momentum  quod  hahet  in  pla- 
no c h .ejlvt^h  .ad  e erit  etiam  vt  cb  , adb  a.  ob  fmili- 
tndjnem  triangulorum  y Djl  igitur  mom  entum  grauis , in  plano 
a b . vt  linea  intercepta,  b d . ( po jit  a jemp  et  diametropro  totali 
momento.)': 

^t^o  ad propo fit ionem  Pappis  manifeftum  e ft\  f potentia  bc 
ttquatur  totali  momento  b c . potentiam  b d . t^quari  momento 
in  plano  b d .^uare  potentia:  b d fujiitiebit  pondus  a .in  propojittt} 

plano  btdpc, 

vSchoIlum:: 

Tam  d 't  monjir  ari  primum  pote  il  Pro- 
pojitio  fextardatitei  de  motu  accelerato .. 

Sit  enim  angulus  a b c reMusi  dr  2s:. pet 
pendicularis  ad  hon^pntem.  c d ..dpp^^- 
ducatur  a b d.Erunt  d a, a c-tfOiContinu^ 
proportionales  \ at  per  2. huius  momentu: 
in  a c.ad  momenta  in  a d.efi  reciproci  vt  ad  ad  ac.  hoc  ejUvt-d.  c*. 
ad:  a b -i  Ergo  eji homologe , momentum,  in.  a c ^ admomeMtumdn: 

a.b,,9, 


Ajfumi-* 
tuT  a Ga 
ULin  <5. 
de  Motu 
accel,^ 


1:04  De  motugrMium  defcendent. 

a b , vtfpatwm  a c , adf^^tmm  a b ; eodem  tempore perd- 

gentUY  ipfa  fpatid  a c a b;  Supponimus  hic  cum  ipfo  GalileOy 
^ijelocitMes  in  diuerjis  planorum  ihelindiionibus  ^ itd  ejfevt 
funt  momenta  qudndo  eadem  fuerit  moles , Sed  cum  angulus 
a b c.  ponatur  rcpfus.^erunt  b c.  ab  in  cirGulo  cuius  fublime  pun 
Cium  eJi  a,  dr  diameter  ac . S^od  c^c. 

p R 0 p 0 s I r I o III. 

M Omenta  grauium  ^'qualium  fuper  planis  inaequaliter  in- 
clinatis , funt  in  homologa  ratione  cum  perpendiculis 
partium  gqualium  eorumdem  planorum  • 

Sint  partes  jrquales  ah,  ac»  planorum  ingqiialiter  inclina- 
torum, & eorumdem perpendicula  Hmhd»  ce.  Dico  momen- 
tum grauis  in  plano  ^ ad  momentum  jeiufdera  in  plano  c d^^i 
ItQMt  b d y2id  c e . 

Ducatur  hf,  ipfi  c a . gquidiftans . Erit- 
que  per  fecundam  huius  momentum  in  b 
a , ad  momentum  in  bf  hoc  eft  in  ac, 

( funt  enim  plana  bf,  ac  parallela  )vc 
fhyS)i6.  b d.  hoc  eft:  vifby  adeaf  cum  fint 
^quales  partes  b a a)  vel  vt  bd,aAce,  ^ 

( iunt  enim  gquiangula  triangula/'^ a 
ge.  oh  lineas  parallelas , ) Ergo  momentum  In  b a,  ad  mo- 
mentum in  Cdy  eftvt  bdyzd  ce.  Quod  erat &c. 

Corollarium. 

M mc  manifefum  eji  motnenta  grduiUm  fhper  planis  indqud^ 
Uth  inc  linatis  ejfe  vt funt f^s  re  Cii  angulorum  eleuationis , 

Quando  vero fphfra  non  moueatdr  in  aliquo  plano  Uberafed 
alligata  ad  ex iremum  femidiametriy  manente  alio  extremo^  ipfa 
per  quaaramem  circumferatur^  erunt  mometa  tiusvt funt/mus 
gompkmmti  angulorum  eleuationis,  Uam  momentum  a,  ad 

momen^ 


Libet  ^rmns.  ?oS 


mminium  b , 'tBm  c ^ * d.  e » hoa  ^fi 

afvW h^nemfevtfinus  cj>f Umenti 4n" 
gukrum  eUnMionU^  ^ , 

Aliter  habebimus  menfurUm  momenU^ 
rumjph§rp  A ftmidiametro  circumduB a y 
invnoquoqy  quadrantis  f urici  & . OBende^ 
mus  enim. 


Momentafphar^  fer  quadrantem  cir<eumduB^  ejfevt  funt  li* 
ne  a horizjontaks  y qua  a funBo  connexionis  ffhar^  cum  diame^^ 
troyintra  fph aram  ducuntur  , A 

Sit  quadrantis  centrum  ^yj^hara  . 
grauis  circa  b ,:  dpunko  connexio-^ 
ms  c.  ducatur  horizontalis  c d . JDu 

€0  momentum f^hpr^  eJP  - 

femper  diametro  fpbp a pre  maximo. (t- 
ue  totali  momento  i)  Demittaturper^ 

.fendkulum  be«  'Momentum  totum 
fphs^a  ad  momentum  quod  habet  in  b. 
eB  vt  z iy  ad  a e , ^el'ut  b a ad  a 


hoc  eB  b c . ad  c i , ^ fumptis  duplis^  vt  h C ^ diameter  ad  C d 
horizontalem  in  fphara  y qua-ducitur  a punBo  connexionis ^ 
^uod  erat 


Si  ‘vero  graue  circumduBum  mn  fit 
fphara  dabuntur  nihilominus  fingula 
eius  momenta  hoc  modo . Sumpto  in  ho~ 
eizontali  linea  quolilf  et  interuallo  a b • 
fiatckculus  adg.  I>ko circulum 
fingula fingularum  eleuatvonum 
$a  metiri  : Es  momentum grauu 
fe  lineam  interceptam  a d . pofita  fem« 
per  diametre  d.%.pro  totali  momento  ) E fi  enim  momentum  /#- 

C0  ffioc  cBvtc  SLadaf.velvf 

ad  lineam  interceptam 
Eadem  d^  ^ ^eritfiotedtia  qdi^Jufiine^^^^ 


10  6 De  motu  gyamuin  aefcendent. 

fondmusfotentidm  qu<z  illud  fu flinet  i}i  e . ejfe  a g . 

, AJpifnp fimus  triangula  k c f , a d g . ^ fimiWa , quid  cum 
tcliangulafint  ah  ent  angulum  communem  ad  a.» 


Scholium* 


JD  emonfirari  fecundum  fote  fi  Propofitio  feuta  Galilel  dc  Mi 
m ac  celerato  fer  tertiam  huius , pr^milfb  hoc  Lemmate » 


^ ' tcmina, 

Si  circa  eandem  r ellam  lineam  a b fue* 
rit  femic ir culus y ifr  quadrans ^ ^ in  quadran 
te  ducatur  qualibet  femidiamet er  b c . Prit 
b d,  interce ftainficjnicir culo  dqualis  iffi  c 
e . ferpendieiilari  in  quadrante . 'BUcatur  B 
enim  a d . tunc  triangula  a d b i b c e . erunt 
•utraq;  reclangula , (B^angtili  a b H b c c , fuiit  alterni^  er^ 
funt  aquiangula  y hafies  autem  a b , b c . fiunt  aquales , qdard^ 
etiam  b d > c e . later  a aquali  a fiunt . Sjiod  erat  probandum* 


Propofitio  Galilei  Sexta  • 

^ um  tffio  G ahleo  Mechanici  d;emqnfirata^ 

S ft  circulus  ad  horihontem  ef  eBus  a c'  d , 
b.  Btco  tempora  lationum  fer  c b . d b.  ^ 
ejfie  aqualia. 

Sunt  enim fiu fer  planis  c b s d b . fert  er  ^ 
tiam  huius , momenta  ztt  t g,  fh , hoc  efivt  3 
ch  * ad  di  b.  fer  lemma  procedens , Brgo  cum 
fint  mome  nta 'Ut  longitudines  planorum  y€0^ 
dem  tempore  percurrentur  iffdplana  c b d b y quod  erat propofi» 
demonlirarec^c. 


CjAtitei  J 
^ €tm 


p R o p OS  I r I o I K 

T Emporalatiofiiiiio  ex  qiiiete  per  plaoa  eandem  eleiiatio- 
a‘e  m fuint  liomoioge  v i fongitudlnes  planoru* 


3. 


FrimM • i<>7 

Sint  p]#n^  ai  p4  f.  eandem  elenatio  - 
nem  habentia  * Dico  tempus  latio- 
nisper  ^ iT  ad  tempus  per  efTevt 

ad^^. 

Sit  ipfarum  ai , a c tertia  proportio-  ^ 

Halis  A e * Momentum  ergo  in  pJ  ano  ^ ^ 
ad  momentum  in  plano  ah  ^ ab  ^ 
ad  ^ r . ( per  fecundam  huius ,)  hoc  eft  vt  ^ ad  ^ if  *.  Quare 
lationes  per  ac  ^a  e temporibus  sequalibus  abfoluentur:  quan- 
doquidem ita  funt  momenta  vt  longitudines  fpatiorum . Pona- 
mus iam  tempus  per  a efle  mediam  proportionalem  a e . Erit 
tempus  per  a b . ipfa  ab  ,•  tempus  ergo  per  a <f  yfiue  per  aq  .(x\% 
«qualia  tempora  funt ) eft  ac , ^^^r  ah  eft  Iph  a b &c. Q^od 
erat  &c. 

Aliter. 

Prpcedens  T heorema  poter  at  demonftrari fine^ulla  fuppoJitl& 
ne . Demonfirat  ^nim  GaUleus  in  Prop.  (f.  demotu  accelerdm 
tOytempora  lationumpev  chordas  omnes  m circulo  aqualia  effe^ 
idqy  tribus  modis  probat  <,inpTimo  y ^ tertio  fub  e fl  principium 
fuum  non  fatis  euidens  lin  fecundo  ver)}  nihilfupponitur , pra-^ 
tertam  diUum  T heorema Mechanicum \ quod f^ipfo  teSlCy  defl> 
monliratum  antea fu  er  at y ex  ipfo  immediatey  tamquam  Corolla-^ 
riumy  necejfaria  illatio  fua  tertia  Propofitionis  y immo  dr  fu§ 
petitionis , denuari poterat . Sed  quia  ipf ? tertianifudm  Propo- 
sitionem y qu^  nobis  quarta  ef , mediante  fua  petitione  probat  ^ 
nos  illam  abfolute  oflendamus  ex propojitionibus  ipsius  Galileft) 
qu§  nullum  pojlulatum  includunto 

Sint  duo  plana  a b,  a c . quorum  eadem  ele 
uatiosif  ad»  Dico  tempus  lationis  per  ac» 
ad  tempus  per  a b yefe  vt:  a c . a b .faHo 

€ nim  angulo  a b e . reBo , agatur  circulus  cir 
ca  diamemm  z tyqui  transibit  per  hydr  pro- 
ducatur a c f Ltlt  ab » media  proportiona- 
lis inter  f a , a c , & erum  tempora  per  ab,  a f aqualia , vt 

2 ^ " 


A» 


I o 8 De  motu  grauium  defcendent. 

p endit  G alileus  smfliciter  illo  Theoremate  Michdnicd  sm^^ 

jua  fupfo siti  One  . 

Si  trgo  ponamus  temfusldttovis  per  f effe  ipfam  3.C  erit  me 

dia pYcportionalis  a b , tempus  per  ‘di  ^ hoc  eji  per  fe  ipfam  a b ^ 
c are  tempora  lationum  kx  quiete  per  plana  eandem  eleua- 

ticntm  habentia  funt  homologe  *ut  longitudines  planorum^  ^ 
hoc  dtmonBraumusJine  illap  e titione , cuius  v eruat  em f eque n 
uXheoremateoJienekmus . 


Gslfki 


p R 0 P O S I T 10  rv 

GRadus  velocitatis  eiufdein  mobilis  fuper  diucrfas  plano* 
ruminclinatioaesacquifiti  , tunc  aquales  fimt  cum  eo-^ 
rumdem  planorum  eieuationes  arqualcs  dnt . 


Sint  duo  plana  a B^  a r . in^qualiter  inclinata,  quorum  cie* 
uationesimt  Aquales,  vel  iit  eadem  ad.  Dico  gradus  veloci- 
tatis acquiiitos  in  per  defcenfum  ab , &in  c . per  defcenfuni 

A- . sequales  inter  fe  eife .. 

Quicunqj  enim  iitgradiis  velocitatis  aqui- 
fitusin  by  accepto  eius  iubdupio,  graue  mo-- 
tuiequabili,  .&  tepore  cafus  currit  idemipa- 
tiumcafus  ba.  iterum ; quicuncp  fit  gradus 
velocitatis  aquifitus  in  c , accepto  eius  fub- 
duplb,  graue  motu  irquabili*?  & tempore  cafus  currit  id  em  fpav 
tiuffi  cafus  ca,.. 

lempora  igitur , Sc  fpatia  fLiutproportionalia  nempe.  T em- 
pore b a curritur fpatium  b a.  motu  a^quabiliriempore  autem  cd 
fer  s.  dt  curritur  fpatium  m.otu  aquabilfergo  gradus  velocitatis  funt 

metu  jcqiialcs.Quare  etiam  iilorum  dupii  aquales  erunt,--  & ideo  gra 
fqmhiil  velocitatis  iii  b & in  c ..  funt  aquales  ..Quod  erat  &c..‘ 


Aliter  per  circulum fcxtdPropoJitionis  Galilei facile 
prabitur  eadem  conclupo  hoc  modo . 

Px  T heoremate  Mechanico  deduxerat  GaMeus  tempora per  ^ 
B . aqualia  efe„  Xtico  ergo yPmpetusmpunliisiyd&c» grd 


Liber  Primus  ‘l  109 

aium  ah  eadem  altitudine , de  ex  quiete  in  a defcendentium , 
aquaUs  ej^e  i 

^iaenim  z.h ^ ^ diqmUtemferefeYa^ 
gmnuT  ^ erunt  im fetus  in  b,c^  f . funeiis^vtfuut 
[fatiaferABa  ab,  af.  ( Acceptis  enim  eorum 
jubduflis  (Zquali  tempore^  ^ motu  Aquabili  cur-^ 
runtuT  fpdtia  b a . f a,  quure  fubdupU  iLU  impetus 
funt  ^fpatid  ^ ^propter  e a etiam  illorum  dupli 
eadem  fpatid  erunt  •)  Impetus  ergo  b ..  ad im 
petum  f . efivt  ab  ^ad  a f , impetus  vero  in  f.  adimpetum  in 
e i esi  vt  f a , ad  d.h- . ( nempe  vt  tempora , quia  ab,  media 
proportionalis  eji  inter  f a . a c^)  Ergo  ex  diquali , iinpetus  in 
b . adimpetum  in  c..  efi  vs  a b >.  ad  ipfotnmet  a b » £luare^ 
impetus  in  b,  dr  c . funt  aquales  • V elfia ^ 

Gr adus  impetus  in  ad -^adumin  efivt  ca»  ad  ab, 
vel  b a , ad  zb-,  cum  tres  g a , a b',  a f . fint  in  cant^nua  pro^ 
portione.  Se-dgradus  etiam  impetus  in  b.  ad  gradum  in  iy 
efi  vth^i  ad  a f ( vtfupra  demonfirauimus .}  ^jpare  vterque 
gradus  c,  db  .ad  eundem  f . eandem  ratione  habet  ; d ideo 
aquales junt . filuod  dfi^  ■ 


Coroliarium^^  • 

Bine  pro  CdYollarlo  extrhaemus  id  quod in  ipf& 
pTOgrejfu  demonfirationis  oBenfum  efim^mpe.  Im 
petus  graulum  in  fine  chordarum  circuli  ^ qUi&  ex 
punEtofublimidefcedantdtaeJJe  vtfunt  ipfitrnet 
chordig  vhoe  efi  mpetus  inpunBu  b j,  G > d itat 
eje  vtfunt  a b , a c ».ad  .dc..A . 


Scholium  r ■ ‘ 

Cum  deinceps fuiuTus fitfermo  de  lineis  quas  pOfabotas 
eant , non  erit  inconuenitns^  antequam  illarum  pafitones  in  or-^ 
dine  admotum  confideremus^  pauca  qu>ada§n  neceffasia  nobis 
pramonfirare  ^ SuenmfietvtparatktesacudeYepofiimns  ad’ 


per  prrnl 
G^l.  ae 

m,  AiQ. 


I IO  Demotu  Gramum  defcendent. 

Qontem^l/indAfn  lineam fro  moiibHs  non  fplum  proieSlorUm  ^feei 
etiam  ( quod  non  fcrtfJitGalileus ')  naturaliter  cadentiam^a  na^ 
tur a vnice faB am . Promittimus  ftmf  er  tamquam  Juj^fofitum 
*vniuerfam  Gali  lei  do  Br  i nam  de  motu : illius  enim  vejiigia  fe^  > 
quimur^  odppuucMlaqustdam  Theoremataahi^fo  negUBa  colli- 
gimus , H ic  fraci^uefu^ponuntur  dua  Propojitionis  de  Para- 
hola^quas  ipfe  operi fuo  de  Motu  ProieBorumprofigity  alteram 
Apollonqi  quidem  fed  Marte  proprio  demonjlratam  d Galileo 
ait  eram  vedo  penitus  ex  Apollonq  lih,  j.prop.  3 3 . defumptam  j 
^demonjlratam. 

Prima  eBhuiufmodi . 

Linese,  qux  intra  parabolam  bafi  paraiklse  ducuntur , fune 
in  lubdupla  ratio  ne  portionum  diametri  ad  verticem  paraboif 
interceptarum. 

Secundans  ero  ejlhu  . 

Siin  parabola  aliquod  pun dum  a fuma- 
tur ex  quo  linea  ducatur  bafi  parallela  a h , 

& portioni  dianle^ri^^  r , ad  verticem  inter- 
cept^V  ^qtialis  reda  linea  c d . ponatur  in  di- 
red:um.  Reda  linea  da^  qux  ab  extremo 
pofitse  lineae  termino :^rad  pundum  a in  parabola  fumptum  j 
ducitur^parabolam  continget, cJ  d nobis  aliquo  modo  0 Be^ 
detur poji  Prop.  i 0 . 

Hacipje.  Hisprfmijjis  reliqua  nobis  opoftuna  demonjlra- 
bimus  .*  Et  primo  animaduertendum  eB^quod  vnaquaqiparabo- 
laquandamrePlam  lineam pecuUar emchabet  y cuius  proprietas 
pracipuabac  eB  * DuBd  intra  parabolam  quacunq;  linea  bafi 
p araliela  y quadratum  duBaptquale  efi  reHanguloyquod  fub  illa 
peculiari  linea , (J portione  diametri  ad  nj enicem  parabolo  ah- 
fcifia y continetur ^ ExempLg.  Quadratum  reBa  ab 
eB  reB  angulo  fub  b c illa  peculiari  linea  contentOy  hoc fen^ 

per njbicumq-yfuerit duBa  a b 

Vocatur  autem  peculiaris  illa  linea  Latus  ReBum  ^ 
^uanjero  ducuntur  aquidifiantes  bafi  y Ordinat im  applipa-^ 
t a dicuntur . 


PRO^ 


Liher  Primus  i i i i 

P £ 0 P 0 S I T 10  V 1. 

^arahoU  latus jcUum  demftnftr Are  ^ 

M Anente  fi  gura  „&  conilrudione  ea- 
, dem  quam  ponit  Galileus  in  prima 
iam  didaram  propofitionum  de  Parabola  ► ^ 

Fiat  vt  ^^dad  ^r.ita  bb.zA  ue.  Dica 
efle  latus.redtum . 

Sumatur  enim  quodlibet  pundlum  in  pa- 
rabolaquod  fit^  & ducatur/^,  parallelaip 
db  y item  per  g.  agatur  i g / .parallela  ad  ^ 

eb,  eritq;  b glh  pai\iIlelogramiim.£rquia 
fadumeftvt  aby  ad  ita  bhz.dk  a e erit  Ag  ad  g t^ntAb  ad 
b c , hoc  eft  vt  b k ad  a.  e fiue  vc  gly  zd  a e w Redangulum  er- 
go ^ ^^.a?quaieeritredangulo  /^/>  hoceftquadratoy^  ,Eft 
ergo  latus  redum. 

" ' Corollarium . 

Hinc  manifejlum  efi  y fi  linea  fg  . ordinatim  AffUcAt  A fre>^ 
ducaturvfij^y  advltewiorem femiparAbolAm  in  miippim  gm 
qualem  for  e ip/i  fg.  e&dem  enim  mado  o fi eMdhurquadtAmm  g 
m , Atfy  ^uadramm  ^ .f^uAsiteUangulo  i g I etc. 

F R O F a S I T I O V T I. 

SVMlmitas parabolsc  apud  Galileum,  quarta  pars  efi late- 
ris redii  eiufdem  parabolae , 

Maneat  coniirudiio  Propofitionis  V..deMom  proiedoru 
Gaiilei,quafpfereperilfuMiim^^  parabefa.^ 

Fadum  ibi  fuit  vt  ab,  altktido>.ad'^«?/  aqualem  nempe  di- 
snidio bafis  de,Jka  b.er^. adafiam» qu^ fit  I dy Sc h^c erat  fub- 
limitas  apud  GalilemMfobahiamfqiipla^  efie  quartam  lare^ 

■flsre^.'parcem^d'.  . 


/ i $ motu  {^rmmmde^ 

Quadratum  ea. quadruplum eft quadrati 
y c . hoc  eft  redanguli  a h fper  conftrudio 
nem  ) ergo  etiam redangulum  fuh  ah , & la- 
tere redo  quadruplum  erit  ciufdem  ah  d \ fed 
communis  ab  altitudo  rcdangulorum,  er-  A 
gobafes,  hoc  eft  latus  redum,  quadruplum 
erit  fublimitatis  h <^.,Qupd  &c. 


d. 


17^ 


B 


A 


Definitio 

S^andOy  vt  'w fractdenti figura  fiumitarm  axe fdrahhlf  ex 
vertice  linea  b i . qu^  aqualis  fit  qudrt a farti  lateris  reBi^  tunc 
funBurn  i vecatur focus fdrabol^ , ManifeBum  ergo  eH\ f un-> 
Bumfuhlime  d , et focum  i , squali  ter  di  B are  dvertice  parahe^ 
la  i nempe  tantum  vtrinq;  quanta  efi  quarta  pars  lateris  reifi. 

P R 0 P 0 S I T f O r l P 

REda linea  qu3B  ex  foco  parabolae  ordinatim  applicatur, 
dupla  eft  portionis  axis  ad  verticem  interceptae , Vei  • 
aequalis  eft  femifii  lateris  Redi . 

Sit  latus  redum  ^ ^ & focus  d.  Redangu- 
Ium  quadruplum  eft  quadrati  ad.  ( quia 
cum  habeant  communem  altitudinem  ady  ba- 
fis  ^ ^ . quadrupla  eft  bafis  ad.)  ergo  etia  qua-  ^ 

dratum  c d . quadruplum  eft  eiufdem  quadra-  ' ^ 

Vi  ad.  Eft  igitur  c d dupla  ipfius  d a ; fiue  ^qua  c b 

lis  iemiffi  lateris  redi  * C^d  erai 


■ < i Ti' 


•i  ' ' J 


P r:;, 

S#  pattbol^quotcurtqfccirc^  eandemdiatri^tbih  fin 
quaeinillis  ordinatimducuntur,  prc^qrfiqnaleserunt. 

Sit  diameter  communis  ab,  ord  inatim  autan  dudis  fint  c d 
€0,^b/\bg^  Dico cfle vt  et  tidgb^  ita  dct^d  fb. 

Sum 


Sunt  enim  quadrata , e ^ , ad  ^ ^ , vt  re- 
^la  ^r.ad  dh^  Qjndrata etiam  de  ^Afh 
funt  n dc  y^A  ah . Ergo  in  eadem  ratio- 
ne funt  quadrata  inter  fe  5 quare  vt  reda  e c 
d,dL  gh  > ita  eft  ad/^ . Quod  erat  &c. 


-i 

-B 


PROPOSITIO  X. 


TEmpora  lationum , quseex  quiete  fiunt  per  plana  qu^cun 
que  funt  inter  fe  vt  linese  i n parabola  applicate  ad  fpatia 
per  qu^  grauia  defeenderunt . 


Sint  fpatia  qualibet  ah  ydCy£\- 
ue  perpendicularia  fiue  incHnata , 
& circa  diametrum  a cBat  parabo 
la  quselibet  ad  e . atqj  ordinatiin-. 
ducantur  hd,  ce.  Dico  tempus 


K 


per  ^^adtempusper^i^.effevt  ^ / p / / 

ad  e Sunt  enim  tempora  in  * 
fubdupla  ratione  fpatiorum  ex  Ga 

lileo,fed  line*  db,ec.  funt  in  fubdupla  ratione  fpatiorum  (quia 
quadrata  earu  funt  vt  abM  -«f  Oergoeademratioeft  &tem 
poru,&  linearu  ordinarim  ad  fptia  applicataru.C^od  erat.  &c. 


Aliter . 


Sfponmus  tempus  lationis  per  latus  reClum  niejjeipfumi. 
met  lamsredumy  erit  tempus  fer  ab  . media  frepor  nonalis  in^ 
ter  £a,  ab,  nempe  ipfa  b d . ^ tempus  per  a c medta  pfopor»» 

mnalis  ce^drc^c^jicdejtngulis,  ^are&c,  " 


Corollarium. 


Hincmanifejlum  eli  impetus  grauium  in fneponionumdia* 
metriparabold  ycjfe  inter fe^vt  linea  ^ quaordinatim  apphean^ 
tur  ad  extrema  ip Carum  portionum  pun^a . Sunt  enim  tx  Gali* 
leo  impetus  vt  ipfa  tempora  y fed  ordinatim  du^a  fmt  vt  ipfa 

^^^iOTdyergo  impetus fumvtordinatimduaat^c. 


P 


PRO~ 


‘DemQtfkQrMmm^e^mdent. 

1 , ^ ■ 

' ■ ■?  ' ' ■ ■”'.  !•>}'  -i  i ' ‘ ' ''■  --.l”'', 

PRO  p o s I t 10  Xi/, 

SI  Line« a vemce  parabolas vfq; ad  feiftionem  ducantur , 
erunt  impetus  ia  fiaeHnearum^^  vtfuat  ojrdiuatira  ex  ipfa* 
rum  terminis  applicatae* 

Sit  parabola  cuius  vertex  ducantur  ex 
venice  Abyde.  Dico  impetus  in  c.  elTe 
vt  b dSid  ce , Manifeftum  eft  i Quia  impetus 
in  & r . funt  iidem  ac  in  d,d)C  e.  In  d.  au- 
tem& in  e , funt  vt  b ad  c e.  { per  Corolla- 
rium prsecedensj  ergo  edam  in  ^ , dc  c.Iuntvs 
bdyzdse,  Quod&c* 

p R 0 F 0 sri  r I & X I r. 

> - - 

TEmpora  lationum,  qu®  in  circulo  fiunt  per  pordcMies  dia 
metri  ex  pun(5to  fublimi  ^funt  inter  fe  vt  chordas  quas  ex 
eodem  pundo  fublimi  ducunturjad  pun6ta  peripherif  in  quic  in 
cidunt  ordinadm  dudae  ex  terminis  didarum  portionum* 

Sumantur vtcunqi  dbydc.dc ducantur ordi 
natim  bd,  ce, iunganturq;  ddyd e , Dico tem 
pora  lationum  per  db,dc  portiones  diametri 
ita  efie  inter  fe  vt  funt  ddyd  e, 

Sienim  ponatur  tempusper  dftxit 

tempus  per  db  ipfa  dd,  cum  fit  media  propor 
donalis . Et  cum  tempus  per  dfy  erit  te- 

ptisper  dc.iph  de  media propordonalis * Quare &c. 

Lemmd, 

Temporalationum  ex  quiete  pervnumquodqi  latus  trian- 
guli redanguli , cuius  balis  ad  hori^oatem  ereda  fit , atqualia 
toitktejrfe* 

Bsc 


Liber  ^rimns  * ?r  s 

Bie  e!itdmqH/tm  CorellMum  fext£  ftopifi- 
tioms  Gdlilei  de  motu  Accelerato . Sit  enim/emi- 
circulus  a b c , cuius  ^unBum  fuhlime Jit 
chorda  a b , b c . infemkirculo  ad  idem  funSium 
b.  coAptAt^ . I>ito  tempora  per  a b , reSfam  esc 
quiete  /;»  a , cf  per  bc.ex  quiete  i»  b . ejie  aqua 
lia . Vtrumqi  enim  tempus  per  a b , cJ'  per  b c. 
aquale  eli  tempori  per  diametrum  ac  escGalileo 
ergo  funt  aquali  A interf t tempora per  tres  lineas  ac,  a b , b C . 
^^oddrc. 

PROPOSITIO  X I I P 

Tempora  lationum  per  femidiametros  quadrantis  cre<5ti  ae- 
qualia funt  temporibus  cum  fecantium,  tum  etiam  tangentium 
angulorum  complementi  eleuationis,  qua  fuerint  eleuatse  di- 
daefemidiametri* 

Sit  quadrans  eredus  ah  c,  femidiameter,  E 
qu^cunq;  hd,  ^ tangens  de,  quse  angulum 
V de , r edum  etBciet . Dico  tempus  per  dh,x^  A 

quale  elfe  tempori  per  fecantem  e by  fiue  per 
tangentem  e d . quarum  vtraq;,  nernpe  e hcH 
feca  ns , e d tangens  anguli  a h dy  nempe  com  ® 
plementi  eleuationis  femidiametri  db, 

^ Propoli  tum  autem  manifeftum  ell  per  lemma  praecedens  cfi 
triangulum#  litredanguliim,  & ideo  tempora- per  vnum 

quodq;  latus  gqualia  iint, 

PROPOSITIO  XIV, 

\ 

SI  ab  aliquo  punit o plana  diutrfimode  inclinata  digredi  ane- 
tur , ab  illo  eodem  punito  dimittantur  grauia  eodem  tem 
f orejimuli  oJiendie  Galileus  ex  Corollario  Propof,  6,  de  motu  ac 
celoratOygrauia  huiufmodi  femper  in pertpheria  alicuius  circuli 
tu  immnfum  crefeemis  reperiri . Stante  hoc  dicimus . 


Si 


tiS  De  motugrmmm  defi  enient. 

Sigraue,quod  perpend|cularit^r  dercendit,  centrum  terr» 
contingere  poiTet,  reliqua grauia eodem  fimui tempore  fingii- 
la  in  fuis  planis  conquiefcerent , 

Sit  planum  perpendiculare  dh  /m  quo  om- 
nino erit  centrum  terrse . Sit  ergo  terras  centru 
^ j & fiat  circulus  dci>,  qui  tranfeatper  centru 
terras  ^ , &c per pundum  d,  k quo grauia digre 
diuntur.Pofitodeindequolibet  plano  ,du 
catur  b c . Offendit  Galileus  grauia  eodem  te- 
pore ad  ^ . peruenire . Igitur  eodem  tem- 
pore conquiefcunt  omnia ; quia  cum  fit  terras  centrum  ^ & li- 
nea he  perpendicularis  ad  planum  -^Cjerit  ^r,  pundum  infi- 
mum plani  a cj  ergo  fi  aliquod  grauc  viterius  procederet,  afcen 
deret . Quod  efl  impoffibile.  Ergo  &c.  Supponimus  quod  gra- 
ue  illud  pertinens  ad  centrum  terrseftatimquiefcat,  quod  am- 
biguum efl 


Lemmd, 

Si  circulum  fn  eodem  pundo  duo  circuli  interius , & exteri- 
us contingant,&  per  conradum  duae  redae  lineae  agantur,  erunt 
intcrceptg  inter  duas  peripherias  in  eadem  ratione  cum  inter- 
ceptis in  reliquo  circulo . 


Sit  vt  ponitur ; & contadus  fit  • Di 
vt  ^c.ad  ^r,ita  v/'ad  Ducatur >^^.tan 

gens , quae  tres  circulos  contingat  in  ^ & iun 
gantur  dh.gf. 

Erit  angulus  qui  ad^  . ^ 

to ) aequalis  angulo  i a g . hoc  efl  ipfi  hdd 
hoc  eft  vtrique ipforum  ad  c.  Sunt  er 

go  > c , dh , j/’parallelae . Quare  vt  ch  zditd  interceptae  in- 
ter duas  peripherias,  ita  bd  ad  ^^jhoceft  df.  ad  4^.inter-?- 
ceptae  in  reliquo  circulo . Quod 


V 


JLther  Vrimus  - ' 1/7 

p & 0 p 0 s 1 r I 0 XV. 

SI  Plana  diuerfimode  inclinata  ad  vnum  pundum  concur-^* 
rant,&  grauia  dimittantur  eodem  fimul  tempore  ex  aliqua 
circuli  periphejria,cuius  infimum  pundum  fitconcurfus  plano- 
rum 5 i^a  grauia  femper  in  aliquo  circulo  fimul  difpofita  com- 
meabunt. 


Sintplana  ^^perpendiculum, & c ^ . vtciin 
que  inclinatum , quae  concurrant  in  per  co 

curfum  b tranfeat  quaelibet  peripheria  ^ c 4 . ita 
vt  h . fit  infimum  pundum  ipfius . Dico  grauia 
CK  4,  Sc  c.  eodem  tempore  demifla  femper  in 
aliqua  circuli  peripheria  commeare, quae  tran- 
feat per 

Si  enim  ponamus  graue  /^defccndilTe  vfq;in  e.  producatur 
aqualis  ipfi  ^^,&per  c.&per  agantur  duo  circuli  qui 
priorem  ciculum  contingant  in  pundo  b.  Erit  per  Lem.  praece- 
densvt  ^e,ad  c/.ita  ^^.  ad  bg.  er^o  %.  funt aquales. 
Sed  ex  quiete  in  b,  eodem  tempore  peraguntur,  er- 

go etiam  4 e,  c/.  eodem  tempore  peragentur  f funt  enim  aqua- 
les longitudine , & inclinatione  ipfis  bd^bg.)  Quare  grauia  4, 
c,  & infinita  alia  demifia  fimul  ex  peripheria  b c 4,femper  in  ali- 
qua peripheria  fimul  difpofita  repericntur  i Quod&c. 


P M O F 0 S / T J O XVI, 

DAtis  quotcunq;  fpatijs . deinceps  in  diredum  continuatis* 
vnicuiq;  fuse  lationis  tempus  adfcribere , 

Sint  fpatia  quotcunq,*  dein- 
ceps , fiue  aqualia  fiue  inaequa- 
lia 4^ , ^ c,  c vt  apparet  in  pri 
ma  figura  & circa  diametrum^ 

4 d fiat  parabola  4 g . ducan- 
turq;  ordloatim  be^cf^dg . & 
fint  parallela  diametro 
DkQdhi  hn  j tempora  e& 


mS  DetMtuCrauimn  dependent. 

ipatiorum refpediue  ah c ,xid . Hac enitn patet.  Nam ht^ 
’{\\x^  dh .tempus  eftipfius  ah . & cf  , vel  /i.  tempus  eft  ipfius 

.quare  tempus  eft  fpatij  h c , &c.  & fede reliquis . 

Totefl  enam^fine  par  aholaidem  per  fici  hoc  modo  infecutt 
da  figura . Ponatur  a e aqualis  ipfi  ab , primo  fpatiorum ; ^ 
ducatur  a o perpendicularis  ad  a ii,  fiat  deinde  femicirsuli circa 
diametros  e b,  e c,  c d.  (fic.  quifec€nt  re6lam  a o,mpu/dlis  f,L 
o . Dico  a.£ , fi , i o . ejfierefipe^u^  tempora  quafita  fpatiorum 
ab , b c , cd . (jrc*  Hamfiponamus  tempus  par  zhyefjh  abjhoc 
iefi  a i -i  erit  tempus  per  a c .media  proportionalis , quaejl  aiiCr^ 
^o  tempusidifierenti^  bc  . erit  ^ i ; eodem  modo  ofiendetur  Petn- 
f us  per  c d^effel  S^uare  patet 

Propofitum  fit  mhisypunUum  fublimeparahdarum  (fuedop 
time  (jr  ingeniose  r eperit  G alii ius)  diuerfo  modo  c onfiderare , 
-Fiet  enim  vt  nobis  plus  lucis  afferat  ^ ad  impetus  in  [mgulispa- 
irahoUpunclis  determinandos  clarius  mente  concipiendos  , 
pdacuit^haspropofitio-nes  fuh  titulo  Demotu  accelerato  ponere  y 
dicet fqpiant  aliquid  de  proklitoney  quia  funteire  a parabola  de 
s^tnere  e arumyquainitiumhuhent  ex  vertice  ab  ipfi  motu  na-^ 
aur aliter  accelerato  deriuare  conciptuntur  y finewUa  indlrumen 
torum  impellentiumppe , 


*— e- 


A 


Lcmrna, 

$i  mobile  aliquod  ex  a puMo  demifiumy  eodem 
aemporeperagat  duofpatia  ab,  b c . Dic oipfum 
fQmnino  tramJkeperpundlum  Cypuamcunq i lineJl 
idefiripferit pracedenti  latione, Tr  an feat  enim  Ji 
po  fiihileeU per  d , ergo  qma  difiejjit  ab  a . eodem 
aetnpotec offecit fpatia  a b y & b dyquod  effeon^ 
arafuppofitmn . enim  tempore  conficit  a b ynm  ahfiluk  b 

diffedlppfambc,  Jluar e condiat  ^c. 


a^c;  j> 


PFDPDSFTFD 

PRopafita  qualibet  parabola  cuius  vertex  lit^.  oportetpun- 
^lumaliquodfublimer^erife^ex-quqjSgrauecadat  vfqj 

in^. 


1 13ev  Trimuii  , iips 

in  &ex  pun<5to  ^ . cum  impetu  iam  concepto  * horrizontar 
liter  conuertatur,.ipfam  propofitamp^obolamdefcribat./ 


T.A. 

B 

Cl 


Sit  qucelibet  parabola  l^he  . Ponantur  dc 
hc  . vtraq.  aqualis  quartas  parti  lateris  redi  pror  i-iz£l 

pofit^parabol^  . Sumatur  iam  in  parabola  quam  ^ / 
tumuis  produda  aliquod  pundum  Dico  gra-  /~~ 
uepoftcafum  per/^4  horizontaliterconuerfum^ 
in  I . cum  impetu  iam  concepto,  per  ipfum  e pundum  tran. 

{ire.  Debetautempoft  horizontalem  conucrlionem  in  pun- 
do  b fadam5,grauitasJuam  defcenfus  operationcminchoarc.- 
Ducantur  ordinatim  c h^  efi,  Ponamufq;  tempus  cafus  per 
clTe  ch  . Ergo  grauehorizontaliterconucriumin  decurret 
motu  ffquabili  tepore  cafus  duplum  ipfiiis  cafus  fpatium.hoc  eft  ^bumss, 
tempore  ch,  ipfam  q h , vel  tempore  e.  ( eadem  velocitate ) 
ipfam/’^.  Graueigiturimpetupcr  fiueper  ah  acquilito 
conficit  horizontalem  fe . tempore  fic,  x.  hmuf, 

Sed  eodem  temporc/e.  decurrit  etiaimpcrpendicularem  bf 
(quando  grauitas  incipit  operari  in  4vtin  cafu  nofiro)  ergo  eo  fer  Um, 
di  tepore  conficit  & j(>.Quare  grauc  omnino  tranfibit  per  e». 

Trarilitergograuepodcafmm-^i:  per  fingula  propofiras  pa- 
rabolsrpunda., 

P R O P O,  S P T P O XVPIP. 

IN  Spolik&t ffUnbio farAboU du(yfimul impetus mfunt^Alier^ 
horizontdis^qmJ'mf  er  idem  '€lb:,  fqualktfibi  i fji  'y  Alter^^ 

ferpendiculmis  ^ qui  nunquam  idem  efis  pdfempm^  augetur 
Dk  o horizontalem  femper  c {fe  tamquam  linea  quf  ex  foco> 
ordinatim  ducitur . perpendicuiarem  vero  eife  vt  linea  quseor?^  ? ^ 

dinatim  ducitur  ex  eo  pundo , quodixaniinatur 
In  figura  praecedentis  PropofitioFiis . 

Sit  parabolacuius  vertex  ^ . & ponantur  ka^.b:c^.  aequales  * ^ 
ytraqjquarcagpartiiatcrisrecti.Quiaimpenisfantvtt^orascnt 
impetus  cadetis  ex  4in  A,fiiie  cx  4in  c,vt  ipfa  c^.per  Propofitio 


12  6 De  mtugrauium  defcendent. 

nem  X.  huius,&  eius  Corollarium.  Vbicunq';  ergo  fumatur  pun 
dum  in  parabola,  impetus  horizontalis  in  eo  erit  vt  c ^rQuan- 
doquidemimpctus  horizontalis  eft  indelebiliter  ^rquabilis . 
Examinetur  iam  pundum  quodiibet  e . Impetus  perpendicula- 
ris qui  eft  in  e , eft  idem  ac  impetus  naturaliter  cadentis  per 
ex  quiete  in  ^.Vtcrq;enim  defcenfus  venitab  altitudine  vbi 

habent  initium  accelerationis . Impetus  autem  cadentis  ex  ^.in 
eft />  . ergo  impetus  perpendicularis  in  pundo  e parabolae 
erir/V.  Quare  in  eodem  pundo  parabolse  funt  duo  impetus, al^ 
ter  vteh.  qu^  eft  ex  foco,  alter  ytfe  quse  ex  pundo  examina*^ 
to applicatur.  Quod &c. 


/ Scholium. 

Hinc  poftetoftendi  demonftradonedireda  proprietas  tan-’ 
gentis  parabole , ftue  Theorema  mauis , ftue  Problema  polito 
prius  hoc  principio. 

Si  mobile  aliquod  a in  prima  figura 
cx  angulo  parallelo grami  alicuius , vel 
ex  quolibet  pundo  diametri  feratur  £r- 
quabilitd  duplici  ftmui  latione,  nempe 
progrefliua  fecundum  lineam  ^ c,  & la- 
terali fecundum  ah  vtcunq;  inclinata, 
litqjproportio  duafum  velocitatum  eadem  ac  proportio  late- 
rum ac  zd  4 ^homologe.  Dico  mobile  iturmp  eftefecundu 
diametrum  a d hoc  eft  per  iplam  diametrum . 

Si  enim  poftibile  eft  feratur  mobile  extra  diametrum  per  ali- 
quod pundum  ^jducaturq;  eg  parallela  ad  ab»  Ergo  quam 
proportionem  habent  fpatia  perada  a mobili,  eam  habebunt 
& impetus : nempe  vt  fpatium  progreftiuum  per  adum  ag  ad  ia 
terale  peradum  ^ ^ , ita  impetus  progreftiuus  ad  impetum  late^ 
ralem, ideoq,' vt  ad  ge*\vd,  aezA  ah  oh  fuppofttionem, fi- 
ue  a c 2A  cdy  fiue  ag  2dg  i , elfent  ergo  ^equales^  e degi . to 
tum&pars. 


-.'i  s . Liher  "Brimus i ^ ■;  ■ li-r 

^ Elio  iam  in  fecunda  figura:  quodlibct  punctum  d incurua 
parabolica  d b c ^ & applicata  a fadifqi  «qualibus  , c f , 
ducatur  4^  , quam  dico  tangentem  eiTe . Eilo  fbcus/i  & ap- 
'plicata  ex  foco  reda . Erunt  iam  in  d duo  impetus  alter  pro* 
greffiuus  deorfum  fecundum  diredionem  line«  c d^  alter  late- 
ralis fecundum  ^/^,eftq;progrefTiui impetus  ad  lateralem  ra- 
tio vt  dd  ad  ^/^jperprsecedentemPropofit.  fiuevt  ed  ad  dd 
( cum  aquale  fit  redangulum  fub  c ^ & femilTe  lateris  redi/l^, 
quadrato  dd)  Ergo  mobile  dum  efi:  in  pundo  d feretur  fecun- 
dum diametralem  ^ ^‘jfed  fertur  etiam  iuxta  parabolicam  li- 
neam qua  percurrens  defcribif,ergo  reda  de,Sc  parabolica  no 
fe  interfecant  in  pundo  fed  tangunt  .*  dic.  H«c  demonftra- 
tid  peculiaris  eft  pro  parabola  ; fed  8c  vniuerfalem  habemus 
pro  qualibet fedione  Conica , confideratis  «qualibus  veloci- 
tatibus vniuspundi,quod  ^qualiter  mouetur  in  vtraq;  linea  qu^ 
ex  focis  procedit. 

Eadem  ratione  demonftratur  Propofitio  r <?.  de  lineis  fplra- 
iibus  Archimedis  vnicabrfeuiq;  demonftratione,  non  folum 
quando  tangens  confideratur  ad  extremum  prim«  reuolutio- 
nispiindiim;fed  vbicunq;pundum  fit  incurua  fpirali  femp^ 
oftenditur  periph«ria,  qu«  per  pundu  contadus  ducitur  ^qua- 
lis cuidam  redae  linese  &c.C^ae  Propofitiuncula  cum  olim  inter 
amicos  a me  vulgata  fuilfet , Glar.  Virum  Galileum  meruit  ha- 
bere laudatorem . vt  extant  ipfius  epiftolse  apud  me , 

Imm6&  hac  ratione  offenduntur  etiam  vnico  Theoremate 
tangentesquarumdamcuruarum, interquas,  omnium  linearu 
Cy cloidalium , vt  breuiter  attingemus  ad  finem  libri  de  Qua- 
dratura Parabolae,  omittentes  demonftrationem  tam  tangen- 
tium, quam  etiam  folidorum,  & centrorum  grauitatis  ipfius  Cy 
cloidis  ad  euitandam  molem.  Satis  fit  interea  ledorem  hic  ad- 
Hionuiffe  quod  fi  Cycloidis  fpatium  circa  bafim  conuertatur, 
erit  folidum  ad  cylindrum  circumferiptum  vf  5.ad  8.  fi  uero  cir 
ca  tangentem  bafi  parallelam  ut  7.  ad  8.  Centrum  Cycloidis 
axem  fecatita  ut  partes  fint  ut  y.ad  5 . Demonftratur  etiam  ra- 
tio Midi  circa  axem  ad  cylindrum  circumferiptum;  item  in  qua 

linea 


iza  *De  mofuQtditiumdefcendent. 

Jinca  axi  parallela  fit  centrum;  femieycMdis . Clar.  V jr^Anto- 
nius  Nardius  oftendit  quod  fi  Gyclois  circa  tangentem  axi  pa- 
rallelam conuertaturfolidumadfuum  cylindrum  eritfubfefqui 
terti umj  quse-omnia  fortafTe  aliquando  edentur, interea  ad  opus 
reuertamur* 

^ Lemmd, 

Si  in  diamen^o  parabolae  aequales  fint  ac  ex  vertice,  & dB, 
non  ex  vertice.  Erit  quadratum  Be , aquale  quadratis  df,  c 

Sit  ah . latus reSlum,  ^ compleantur  reBlangula  c b , d h • 
^id  -di  c,  Ah  ponuntur  aquale  Sierit 
teEi Angulum  b h ..  aquale  duobus  reEiangu^ 
lis  d h , c hifeu  ( quod  idem  eB  ) quadratum 
eb . duobus  quadratis  A i.  c^,  aquale  erit , 

£^od  drc. 

P R 0 P O SITI  O XI  X, 

IMpetus  in  pun(51is  parabolae  funt  inter  fe  vt  lineae  ordinarim 
applicatae  non  ad  ipfamet  punda , fed  tanto  longius  a verti- 
ce quantaefi  quarta  pars  laterisredi 

Sit  parabola  cuius  vertex  a,£QC\x$/,  Sumpto 
que  in  ea  quolibet  pundo  c ^ Dico  impetum  i tl» 
e elTe  vt  de^  quae  applicata  fit  tanto  longius  a ver 
tice,quamipfa  ci  , quanta  efi  ^^/^nempe  quar 
ta  pars  lateris  re<5^i^ 

Impetus  enim  qui  fimul  funt  in  c .Xunt  r b , hfy  ergo  momen 
iVw»  tum  impetus  ex  ipfis  compofitum  debet  elfe  potentia  ipfis  fqua 
ittd\  le.  Sed  de  redaVe^  aquatur  potentia  ipfis  per  lem- 

ma praecedens,  ergo  momentumV^.  efi  momentum  fiue  im- 
petus copoj^tus  ex  duobus  illis  qui  funt  in 


liiht  Wtinmi  > 

0 F)(y  s i o X X. 


IMpetus  in  quolibet  parabolae  puAo  idem  eft  ac  impetus  gra 
uis  naturaliter  cadentis  ex  fublimicatefimul,  & altitudine^ 
eiufdemparabolf.  - ; . 

Sit  parabola  cuius  altitudo  fi^,fublimitas  d 
b.  Dico  impetum  in  pundp  h eundem  elTe  ac 
naturaliter  cadentis  ex  a . in  r • 

Sumatur  c/.  aequalis  quart^  parti  lateris  redi , 
hoceftipfiv^^.Eritirapetus  in  pundo  hwxl  linea 
ef,  per  Procedentem . At  impetus  etiam  caden- 
tis naturalitdper  i/iiiueper  eft  eadem  linea  ef^  ergo 
idem  impetus  eft  in pundo  parabolo , ac  in  pundo  c . grauis 
delapft  ex  fublimitate  fimul  & altitudine  ab  Quod  erat  i 


PROPOSITIO  XXI, 


TEmpora  lationum  per  datas  lineas  horizontales  poft  ca- 
fus  e perpendiculo,  oqualia  erunt,  quando  altitudines 
perpendiculorum  duplicatarti  rationem  habuerint  Illius , quam 
horizontales  lineae  habent . 


Sint  horizontales  lineo  dato  ^ ^ , c & al 

titud ines  perpendiculares  fint  e a ^fc . Sitq; 

€ a , d.d  fc,  in  duplicata  ratione  illius  quam  db  35 
habet  ad  c Dico  poft  cafus  f a ,fc , eodem  , *“ 
tempore  peragi  ‘ 

Hoc  autem  patet  .quia  cnmGnt  ab  ^cd,  in 
fubdupla  ratione  ipfarum  e a erunt  etiam  vt  tempora  ca- 

iuum , & ideo  vt  velocitates , fiue  vt  impetus  qui  funt  ma,dc  a 
Proptereacumiint velocitates  in^-,  & 4,vtipfafpatia  cd,ab 
homologe,  eodem  tempore  ipfa  fpatia  peragentur  . Quod  &c, 


IS 


A 


Q-  2 


i 


Gal.  dc 
metu 


PRO, 


prR  0 p^  o\s-j^T^j:(y  xxJi. 


LI  nex  ordinatim  dutoin  parabola  eodem  tempore  omnes 
percurruntur  d mobili,,  quod  per  eas  eonuertatur  impe-r 
tu  prius  aquifito  per  cafum  diametri  ex  quiete  in  vertice . 

Sit  ah . diameter  parabola?,  ^hdyC  e , ordi- 
natim dudlce.  Dicomdbilepoftcafum^^jpsa  • ^ 
hdy^  poft  cafum  d f:.  ipfami?  e .;sequalibus  tem 
poribus  pertranlire . 

Sunt  enim  altitudines  perpendiculares  ahyd 
c.  in  duplicata  ratione  fpatiorum  horizontalium 
hd,f  e ,oh  parabolam . Qgare  per  praeceden- 
tem eod'cm  tempore  peragentur  ipfa  fpatia  horizontalia , hoc 
ipfx  ordinatim  applicatce^pofl:  cafus  ah,  jQuod  &c. 

\ 

PROPOSITIO  XXIII. 

' ' ‘ **  ^ - * ■ 'i 

TEmpora  lationum  quse  fiunt  cx  vertice  per  diametri  por- 
tiones fimul,  & fuas  ordinatim  dudas,  funt  vt  ipfe  ordi- 
natim du^^  y addita  tamen  fingulis  medietate  lateris  redi  . 

* 

Sit  parabola  cuius  vertex  ^jfocus  ^,ordi 
natimex  fccoduda  fit  chd,  qua*  aqualis 
erit  lateri  redo . Demonftrara  enim  fuit  ipfa 
chyBm  ^^duplaipfius  ^i^,&ideolubdup- 
la  latjeris  redi . Ducatur  per  d parallela  dia- 
metro //.Dico  tempus  lationis  per  ahf,  e£ 
fe  gfy  & per  aeiy  t^e  li\  ^ fie  de  fingulis . 

Tempus  cafus  per  ah  e^  fed eum  dupla  £\thc  , ipfius 

tempus  per  hc Ademerit,  ac  per  ah,  nempe  hc , Ideo 
h € .tempus  eft  omnium  bf,  e i . &c.  ( cum  eodem  tempore  otn 
nes  peragantur  per  Praecedentem)  Tempora  autem  cafuum  peC 
^ 4h,ae,innt\pix  hf.€i.  Propterea tempus  per  ahf,  ent  fb, 

- & c 


LC^ 

B 


Primus . laj 

vel /^.Tempus  iKm  per  erit  ie  fimulcuin 

th,  fiue  i l.  Quod  erat&c. 

Aliter  idem  oftendemus  • 

Sumatur  in  farahola  quodlibet  funBum  b . ^ ducatur  ordi^ 
natimhc  ffonaturq;hQ  ,duplaaltkudi"  , ^ 

nis  b a . Dico  iterum^  temfus  lationis fer 
a b e ejfe  b c . cum femiffe  lateris  re  Sii . 
fic  de Ji n gulis  ^ T emfus  enim  fer  2ih  . ejl 
bc.  ^ fer  h Q. duflam altitudinis foB' 
cafum  dih  .temfus  erit  eadem  hc.  Cum- 
itaq;  temfus  fer  e h.fit  c b . temfus  fer  c b tanto  minus  erit 
quantoffatium  minies  ejl  y cum  idem  imfetus  retineatur . Su.. 
matur  ergo  iff arum  e b , e b . tertia  frofortionalis  fb.  de  erit  £ 
b,  temfus  iffius  c b ,foficafum  a b. 

C at  erum  lineam  fb.  ejfefe?ni[fem  lateris  recii  fic  notum  fa-- 
cimus . ReSi angulum fub latere reeio ab  . aquale  eflreSld’' 
gulo  e bf.f  u frumq-;  enim  ttquatur  quadrato  b c . Aquare  reck 
froca  habebunt  latera ; JSlemfe  erit  vt  tb  ad  ha  .Juhduflam  j 
ita  latus  reSium  ad  b f,  qua  illius fubdu fla  erit . Ejl  itaqi  tem^ 
fus  fer  a b c -iffa  b c . cum  b {.femife  Lateris-reSii . Mn^d 
rat  dt^c,. 

Lemma’.  ; 

Sit  farah&la  a b c , ex  ^vertice  inclinetur 
nc.dr ordinatim d,ucamur  c d . exfunBo^c. 
b e vtc  unq^fecans'  a c . in  £.  ■'  ‘ 

Dico  b e . mediamfrofortionalem  elfe  in>‘ 
ter  c d , xk  £ t . Bfi  enim  ad  a r,  •velc  d 

tid  ^ fe  Jn\duf  litata  rdtione  iffius  c d .^ad  ba  ob  f ar aholam  . 
^uare  media  frofortionalis  eJl  b t.  inter  iffas  c d , fo.  ^od 
erat  dre* 


p Ro  p 0 s X p r 0 XXI  r. 

Empora  latiQnum  perpendicularium  ex  pundis  linece  ad' 
horizontem  inclinata, funt  vt  line  ^que  per  eadem^pun- 

<5ta  or- 


la-iT  DemtnCif^i^umdefcendent. 

daordinatimducuntur  in  parabola , cuius  diai^eter  fit  Hori- 
zon, vertex  autem  pundumincimationis  . 

'Sit  linea  ad  horizontem  inclinata  d S , 6c 
fit  horizon  4c,ydc  circa  diametrum  a c de- 
fcribaturparabolaqu^  fecet^^ . in  quoHbd 
pundo  :b  y & ducatur  ^ . ad  horizontem-* 
perpendicularis ; fumanturq;  punda  qua:!!- 
bet  e . & ; ac  ducantur  ordinatim  i g h^  de 
f.  Dico  tempora  cafuum  per  ^ h , & per  efie  dh,d)Cdf,  Si 

enim  ponamus  tempus  per  ^ c , eflfe  ir,  erit  tempus  per  g h,  me 
dia  proportionalis  ; &per  c/l  media  prqportionalts  df,  Vti 

(demonftratum  eft  inieinmate  prcEcedenti . Qi^re&c. 

£ R O P O S I T I O XXV . 

S I in  parabola  linea  d b ex  vertice  inclinetur , & ordinatim 
ducatur  quse inclinatam fecet in  f.  Erit ipfa  c/C tem- 

pus per  df,  & reliqua/y.  tempus  per  reliquam  fb . Qmindo 
motus  veniantex  quiete  feniper  in  a . 

Tempora  enim  per  jtf,  ah . funtin  fubdupla  ratione  fpatlo- 
rum  /«/i/^i.,fiuelinearum-4e,^^.  Sunt  ideo  tempora  vt  cb, 
e d,(  quia  ift^  funt  in  illa  fubduplif  rationej^  vel 
vt  ed^  ef  (funtenimeontiauig  bb^  ed,  ef 
Quare cumteinpus per (it  e/’.  &^er  . fit 
ed , erit/l:/.  nen^e  reliquum  tempuSjtempus  per 
fb,  reliquum fpatiumpoftquietemin-^.  Quod 
^rat&c. 

Lemma, 

JncUnetkfexveftice  fdrabolf  reBa  a b , ^fdraholam  tdnl 
gdtin  veYticereSid  ac,  Ducdtur  qumisdlid  d i . qua  occtirrdt 
fdrdboldin  i^&incU^dtdm  e . Jdico  dit  , mediam frof  or^^^^ 
Jialmijfemer  ch^  di* 


I 


Liher  Primus  l nj 

Bfi  enim  hc,  ad  di  Longitudine  ve  ca*  ad 
ad , vel  bc  ad  de  ,fotentid.^are  in  conti' 
nuafrofoYUonefunt  b c . d e . d i drc.&  d e»me 
dia  , ^Imd  oportebat  ofiendere . 

V R 0 V 0 s I r 10  X X VI, 

SI  Horizontalis lineai parabolam' contingat , tempora  ca- 
fuam  ex  pundis  parabol^  vfq;  ad  horizonte ; fiue  ex  pun- 
• dis  horizontis,yt  in  fecunda  figura , vfq;  ad  parabolam  i erunt 
ut  linea  parallelg  inter  horizontem,  & quamlibet  aliam  ex  con 
tadu  inclinatamintercept^ 


D c D A 


B 


F.  D E G 


Sit  parabola  b ac,  cuius  uertex^ 

& eam  in  c tangat  horizon  cd,  & 
ex  contadu  c , inclinetur  utcunq;  c a 
ducaturqrexpundo  a,  dd,  horizon 
ti  perpendicularis . Duda  iam  qua- 
libet perpendiculari  ef.  Dico  tem 
puscalusper  eb,  e^efe,  &c,&ficde  fingulis.  Ponamus 
tempus  per  erit  tempus  per  be,  ipfa  fe,  media 

proportionalis  uti  demonfiratum  eft  . Quare  &c. 


. p 

I R 0 p o s i r r o x x vii. 


TEmpora  lationumper  chordas  ex  uertice  parabol^  incli-^ 
natas,  compofitam  rationem  habent  , ex  ratione  longi- 
tudinum chordarum; ex  ratione  ordinatim  appiicatarum,c6- ■ 
trarie  tamen  fumptarum ..  . 


Sint  chorda  ex  uertice  a b , a e.  & ordina- 
rim ducantur  b dy  c e.  Dico  tempus  per  a b\ 
ad  tempus  per  ac,,  habere  rationem  compo- 
fitam ex  ratione  ab  ^d,  ^ c,,  &cx ratione  c 
e ad  bd  * Si  enim  concipiamus  lationes  il- 


las  accelleratas  ^quabiles  fieri , & grauia  per  fpatia  c a 

recurrere  cum  gradu  fubduplo  impettis  quem  habebantin 
i.Gai.dc  c , erunt temporaxecurfuumeademac tempora cafuum.  Xem- 
^”^erGa‘  ‘'lutcm  lationum  sequabilium  compofiram  rationem  ha^ 
iU:de  m 9 rafionc  longitudinum  fpatiorum  ^ ^ , ad  ac‘y^  ex  ra- 

tu.^qua.  tione  velocitatum  contrarie  fumptarum  c e y^di  bd,  ffunt  enim 
velocitates  in  c e^dem  ac  ia  ^ & velocitates  in 

& e funt  vttempora  ^ d.  c e , ) Ergo  etiam  temporacaiium  na- 
tura liter  acceleratorum  per  a b^ac.  corapofitam  rationemloa- 
bebunt  ex  ibidem  rationibus  a b , ad  bJ.  Qiw.d 

erat.&c 

P JR  O P O S I T I 0 XXVIII, 


TEmpora  lationum  per  chordas. ex  uertice  parabol^  , funt 
vt  linete  o^ux  ordinatim  applicantur  non  ex  terminis 
chordarum,  fed  ex  pundis  diametri  in  quas  cadunt linesB  rei^los 
angulos<continentes  cum  ipfis  chordis^ : 


. Sit  paraboIsE  diameter  ag . & chordas  ex  ver- 
liice fint  ab  ,ad,  fiantq:  anguli  a bf^  a dg  .redi, 

& ordinatim  ad  punda  applicentur  fh  ygi. 

Dico  tempora  lationum  per  a b ^ a d»  elTe  ipfas  or 
dinatim  applicatas/i^  /9 

T empus  enim  per  d b . aequale  eft  tempori  per 
isf/.exiftente angulo  4^/1  redo.  Item  tempus 
per  Ad»  ob  eandem  caufam  aequatur  tempori  per  ag . Tem* 
pora  autem  per  Af,Ag . funt  ipfae  hf,  ig , Ergatempora  latio- 
num per  chordas  ab,adA\xx\thf^dcgi,  Quod  eratdcc.  , 

Prefonetur  etiam  hoc  modo , 


Tempora  lationumper  chordas  ex  vertice  parabo!^  funtvt 
lineae qug  applicantur  non  ex  terminis  chordarum,  fed  tanto 
longius  a vertice  quanta  eft  lateris  redi  longitudo,. 


> lAheY*^nmui^. 

OjtenfUm  enim  efi  In  ft^eedenttytefusfef  a hi^ 

(fit^o angulo  abc  r€ilo)eJfe  lineam  c d.jDicS 
nuno  lineam  dc  tanto  longius avertie e dfflica^ 
tam  ejfe , quam  iffa  b e , quanta  e SI  lateris  reSli 
longitudo  • Hoc  e fi  ipfam  e c latus  reSSum  eJfe . 

Hoc patet  , Eft  enim  reH angulum  c e a.  aqua^ 
le  quadrato  th,oh  angulum  reHum  ad  h^proptered  c C . Utut 
r edum  € fi,  ^uoderatc^c. 


A 

E 


i 


Corollarium. 


Hinc  manifeSium  y efi  eodem  tempore  peragi 
quamlibet  inclinatam  tx  vertice  ,*  puta  ab,  ac 
portionem  axis  fibi  re fpondent  em  ac.  cui  tamen 
additum  fuerit  in  diredum  latus  reCtum  a e , ita 
vt  lationes fiant  per  a b quieti  i»  per  e 
C ex  quiete  in  t* 


PROPOSITIO  XXIX. 

TEmpora  lationum  per  lineas  quce  ex  foco  parabol»  Indi 
nantur,  funt  vt  linese  ordinatim  applicatas  non  ad  punda 
in  quas  cadunt  inclinatarum  perpendiculares,  fed  tanto  fupe- 
rius  ycrfus  verticem , quanta  eft  quarta  pars  lateris  redi . 

f Sit  parabola  cuius  vertex  a . focus  ^ & ex 
foco  inclinetur  be , fatq;  angulus  bed,  redus, 

& a pundo  d . fumatur  verfus  verticem  parabo- 
la linea  «^e.sequalisquartse parti  lateris  redi. 

Dico  tempus  per  ^c.  elTe  lineam  ef,  Temipus 
enim  per  bc  .sequatur  tempori  per  ^^.ob  angu- 
lum hed,  redum , hoc  eft  per  e . f funt  enim  scquales  bd^ae) 

fed  tempus  per  ^ e,  eftipfa  e/,  ergo  tempus  per  vcl  ht. 

erit  eadem  ef  Q^od  erat  dcc. 


R PRO^ 


f 


■r  fo  De  motu fr Miam  d'ej 

v''  ''x  ^ 

P P 0 P 0 S I T 10  xx  k. 

DAto  plano  inclinato  perpendiculum  erigere, quod: eodem 

tempore  ac  ipfuin  planuni  inelinatuna  conficiatur . 


D 

A 


Sit  inclinatum  planum  . cuius  el^uatio  ^r.  " 

fiat  Vi  ac , z.d  ab  ,it2i  a b,  ad  aliam , qu^  fit  c d. 

Dico  planum  ab . ex  quiete  in  ay  & perpendicu- 
lum dc  ,tx  quiete  in  eodem  tempore  confici ..  g 
Tempus  enim  per  a b , ad  tempus  per  ^ r , eft 
vi  ab  ad  tempus  etiam  per  dc . ad  tempus 

per  ac  ,^^vi  ab , media  proportionalis  ad  ac  \ quare  tempo*. 
ra per aequalia  erunt.  Quod  erat &c. 

PROPOSITIO  XX  xr. 

Ad  datum  perpendiculum  planum  infledlere  dat^  longi-^ 
tudinis,  ita  vt  perpendiculum  ipfum , & inflexum  planui 
eodem  tempore  abfoluantur . 

Bebet  aut  em  longitudo  dati  flani  minor  e fc 
i{fof€Yl>endiculo^ 


Sit  datum  perpendiculum  a b data  plani 


‘A 

B 


longitudo  fit  c . minoi  perpendiculo . Fiat  via  £ 3 

^ . ad  c . ita  c ad  aliam  quse  {\i  db  , Sc  ex  pun<^o 
d aptetur  d e . aequalis  ipfi  c . Dico  tempora  lationum  per  d e , 
& per  a b , effe  aequalia . Huiusdemonftratio  congruit  cum  pro- 
cedenti , quandoquidem  in  continua  proportione  fuiit  ab , /4 
Quoddcc  " ^ 

P R 0 P 0 S ITIO  XXXII 

D datum  perpendiculum  , planum  inflediere  Ita  vt 

cum  perpendiculo  quemlibet  datum  angulum  acutum 
"T  ' ' eon- 


Liher  Trimus:  Ut 

contineat,  puta  aqualem  ipfi  ^ ^ & eodem  tempore  ac  ipfum 
perpendiculum  abfoluatur . 

Fi3 1 circa  diametrum  4 k circulus  qui  fecet  4 c 
in  ^tDemifsaq;  perpendiculari  ^ . compleatur 
parallelogrammum  a d ef, 

Manifeftam  efl  planum/^- , qusefito  noftro  fa- 
tisfacerc.  Cum  enim />.  gquaiis  fitipli  ad,  Sc 
aequaliter  inclinata  ob parallelogrammum,  eo- 
dem tempore  abfoluentur/c  ^ad  vd  4 Quod  erat&c. 

PROPOSITIO  XXXIII, 

Ad  datum  perpendiculum  Vc,  in  figura  Propofitionis 
X X X.  & ex  dato  in  eo  pundto  .planum  infledlere, 
quod  eodem  tempore  ac  ipfum  perpendiculum  conficiatur  ex 
quiete. 

Repedatur  inter  dc a media  proportionalis  & ha- 
bebimus longitudinem  plani  alicuius  . Applicetur  h^c  longi- 
tudo ex  ^ , fitq;  illa  iam  applicata  a h : Manifeftum  efi  ex  prae- 
cedentibus Proportionibus  ipfam  ab , & perpendiculum  dc 
eodem  tempore  abfolui . cum  fintin  continua  proportione  dc 
ab  ac , Quod  erat  &c. 

PROPOSITIO  XXX IF. 

SI  ad  perpendiculum  aliquod  ab , planum  c d inflexum  fic 
ad  angulu  femiredum.Erittempus  per  c ^.a?quale  tempo 
ri  perpendiculi , quod  ipfius  c b , duplum  fit . Proponetur  etia 
hoc  modo.  Tempus  per  diametrum  quadrati  eredi,  «equale 
eft  tempori  per  dupl um  lateris  eredi . - 

Sit  cd.  flanum  vt fap-^onitur . 'uel fit  diameter  quadrati cu^ 
jus  latus  c b . eredum  fit  .fonaturq\  ab>  *duftaiffiusch , Dk 

R 2 CQ  tem- 


1 3 2 'De  motu  Gramum  defcendent, 

co  tempOYA per  c d , a b , ej^e  aqualia . ^uia  d C, 

Aof  cb  potentid  eB  ve  z.b  ad  eandem  c b . longi- 
tudine , nempe  in  ratione  dupla , erunt  continua 
proportionales  a b , c d , c b . £luare per praceden 
tes  Propojitiones  eodem  tempore  abfoluentur  per^ 
pendi  culum  a b , ^ planum  inclinatum  c d . ^ 

^oderatdrc. 


PROPOSITIO  XXXV. 

Ad  datum  perpend  iculum  a h , planum , vel  plana  incli^ 
nare  ad  datum  in  horizonte  pundum  c , ita  vt  inclinata 
plana  & perpendiculum  ipfum  eodem  tempore  abfoluantur . 

Debet  autem  pundum  c.  Diftare  a pun- 
do  ^ . no  amplius  quam  htfemiffis  ipfius  a b. 

Fiat  circa  ah,  c\rc\x\\is  a e d b y & erigatur 
€ e,  qu£E  omnino  incidet  in  circulum . ( alias 
problema  infolubileeflet)  incidat  in  d,  & e. 


dangulgeredj,  & ideo  aequales  ,&  ^qualiter  inclinate, eodem 
tempore  peragentur . Ergo  tempus  per  ^ , per  ^ ^ , vel  per  fc. 
vnumatqridemeft. 

Eodem  modd  infertur  tempus  per  aquale  elfe  tempori 
per  ^ ^ , Quod  erat  &c. 

PROPOSITIO  XXXVI. 


Dudiiq;  parallelis  horizonti  hc. 

Dico  plana  f^ygc  ,^d  pundum  c inclinata , 
eodem  tempore  abfolui . 

Cum  enim  e b ,fc.  fint  diametri  figurae  re- 


u i 


IN  dato  circulo  cuius  centrum  eft  a , Diametrum  aptare  ita 
vt  tempus  per  aptatam  diametrum  aquale  fit  cuilibet  dato 
tempori . 

Debet  autem  damm  tempus  maius  effe  tempore  c^fus  per 


Libeir  TritfMs  l 

diametrum  perpendicularem . 

Ponamus  tempus  per  diametrum  per- 
pendicularem c^.effe  cd.  ^ tempus 
datum  Iit  ^^.Repcriaturipfarum  cd^ed 
tertia  proportionalis  qu^  £\xfd,^dxczfd 
fiat  circulus/^  d,  in  quo  ex  puncto  d.  apte 
tur  ^ ^ . ^qualis  ipfi  e d*  Poftremo  ipfi  h d^ 
agatur  per  a,  parallela  iL  Dico  diame- 
trum ^7.  dato  tempore  e7.abfolui. 

Cum  enim  tempus  perr^,fitc7,  erit 
€ d , (^quia  media  proportionalis  eft ) tempus  per  fd , hoc  eft 
per  ^ d,  ( per  fextam  Galilei  de  motu  accelerato ) hoc  eft 
per  / /.  qu^  aqualis  & parallela  eft  ipfi  h d*  Tempus  igitur  per 
diametrum  / L cOl  e d.  Quod  erat  dec, 

PROPOSITIO  XXXVII, 

SI  fuerint  ah,d c, ad horizontem  perpen- 
diculares , & fumatur  v bicunq;  pundum 
fiue  intra , fiue  extra  parallelas , fiatque  ad  e, 
angulus  de  c redus.  Dico  per  interceptas  a 7, 
h c,  femper  efie  tempora  lationum  ex  quiete 
^qualia.  Ducatur  enim  per  a af,  parallela  ip* 
ixbc,  erit  angulus/’^  7.  aqualis  angulo  cj  & ideo  redus . Qua-  pf  lem. 
re  tempora  .ad.  latera  trianguli  redanguli , cuius  bafis  * ^ 

ereda  eft,  sequalia  erunt  inter  fe.  & ideo  etiam  per  bt,  ad,. 

( funt  enim  af,  b e , latera  oppofita  parallclogramnfi,qu^e  fem- 
per eodem  tempore  peraguntur . ) <^od  erat 

PROPOSITIO  XXXV  IU, 

SI  ab  eodem  horizontis  pundo  a . ad  idem  planum  per  pen 
diculare  b c , duo  plana  inclinentur  ab  .a  d ^qualiter  ab  in 
clinatione  femireda  diftantia,  tempora  lationum  per  ipfa  pla- 
na inclinata , gqualia  erunt  inter  fe  * 

Erigatur  ex  a perpendiculum  ae,  Fiatq;  circulus  circa  tri» 

angulum 


lis 


r«i  De  motu.^mium  Uefcenifnt. 

Quia  lineae  ‘db.ad.  per  hypot.  ^qiialirerdi-^^ 
flant  ab  illa  qu^  angukimM-edum  € 4G,  bi£iriam 
fecat , aequaliter  diftabunt  etiam  ab  iplis  ea^  a c^Sc 
anguli  ff, ^>^^;.£equales erunt, fed  bde,  Scjb 
d,  lunt  alterni,  ergo  aequales  erunt, r , & d b d ; 
quare  triangula  rcdangubi  ^ c b , d d c . tequiangu 
la erunt, &:vc  bG .id  c a^  ivditxit  cd»  zd  cdydt 
ideopervltimam  rerti  Eucl.  recta  circulum  continget* 
Sed  c d eft  horizontalis , ergo  pundlum  d . efl  pundum  infimu 
circuli , & ideo  tempora  lationum  per  hd^  da  tequalia  erunt. 
Quod  erat&c. 

Aliter . 

II  ec  idem  oflendemus fi>ne  circulo , curiof a quadam  inuerfio^ 
ne . Sint  eadem  f lana  ab  , ad  quamuis  b c non  /it  q>erp^endi~ 
■culum , dunmodo  ifulinatafldnd fdcidntanguloscumhorizion^ 
te  2iC  ,dr  cum  pldno  b c permutatim  aquales , hoc  e Ii  c a b aa 
qualem ip/i  zd  C:,&  c 2.  d ipji  zbc-. 

Jam pofitum  e/l  triangula  ab  c,  a d c. 

■e^e  (i milia , / magi  nemur  iam  conuerti  figu^ 
r amita  vtbefit  horizon^  (/  ac  (aBa/it 
perpendiculum . H abebunt  in  illo  fitu plana 
a b,a  d .eafdem  inclinationes  quas  anteinuee , 

Jionem  habebant  per  mu tatim  tamen,  nam, 
a b minus  decliue  erity  a d , magis ; habe^ 

huntque  plana  in  eo  fitu  eandem  communem 
eleuationem . Ergo  per  2.  huius , erit  in  eo  fitu  inuerfo  Momen  ^ 
tum  inclinationis  maioris  ad,  ad  momentum  inclinatimis  mi- 
noris a b iZft  a b . ad  ad . Eefiituamus  nunc  figuram  in peifii- 
num,  dr  habebimus  ( permutatis  planis)  e afdem  inclinatio^  ^ 
nes . Bicamus  igitur  iterum ; MomentumincUnationis  maio- 
ris ab.  ad  mom  e ntu  inclinationis  minoris  zd  aB  *vt  a b . ad  z 
d . ^arevumfint  momenta*vtfpatia^eodemtemporeabfolutn- 
tur  zh,  zd.  ficuoderate/G. 

Poterat  etiam  proponi  fic . Si  ab  eodem  horizontis  pun^lo 

4 duo 


; Likr  Primus . 1 3 S 

a duo  plana  ad  aliqilod  planum  ^£*indedantur,,itavt  ad 
ad  Svivt  bc  ad  c a,  erunt  tempora  lationum  per  vtrumq;  incli- 
natum planum  aequalia . 

P R 0 P O S / T 1 0 XXXIX.. 

■4. 

S i fuerit  quodcunq;  planum  eieuatum  ^ ^ & quodcunque 
'horizontale  fpatium  ac . fcd:um  bifariam  in  d.  Dico  fi 
ponatur  tempus  per  a b,  efle  a b . tempus  per  a c pofl  cafum  b a 
ede femiffem ipfius  nempe  ad.. 

' Pon atur  enim  a e . dupla  ipfiiis  a h . 

lam  fi  fupponamus  tempus  per  ab ..  cffe 
ab , erit  tempus  per  a e eadem  ab.  Sed  s q p 
fifpatij  a e eft  tempus  /^^,,eritfpatij  a c: 
tempus  ad . fefl  enim  vt  fpatium  a c,ad 
fpatiu  ac^  ita  tempus  a b,  ad  a d.)  Q\^xQ  cum  tempus  per  planii: 
eieuatum  ^^.fitipfa  ^^.eritpoit  cafum  bdy  tempus  per  ac 
dimidia Quod  oportebat&c.. 

Bac  Profofitio  re  ipfd  congYMtt  cMm  frofof.zsBalilei  de  Mo-^- 
tU: accellejato  . Bos  illam  diuerfo  mod^o  propofuimas  'confulen^ 
tes  oppoYtumtati  eorum  qua.  hinc [equuntur^vt  infra  apparebit. 

p R O P O S l T 1 O X L. 

SI  exterminis  4 ^ . alicuius lineie  horizontalis  duo  planai 

inigqualia  ad  idem  pundum  c.  compofita  fuerint, 
maius  icb  minus  . dc  differentia  longitudinis  planomm  qqualis 
fit  femiffi  horizontalis  ^ ^ . Erittempiis  lationis  diredacx''^ 
vfqi  in  4 aquale  terfiporiiationis  inflexteex  c per  i;  . vfqr  iU; 
eundem  terminuml^  horizontalis  fpatij . 

Diuidatur  4 bifariam  in  d-.  erunt  ergo  c ^ , bd>.  equaies; 
ipfi  e a ,,  Ponamus  tempus  per  effe  c b . hoc  fuppofico  erk 

tem- 


ex  Gal. 


/ 3 ^ moti*  ^yauium  defcendenL 

tempus  ipfa  c 5 & per  duas  cb^ha^ 
tempus, per  Praecedentem,  erit  c h d\  nem- 
pe aquale  ipfitempori  c a . Quod  erat  &<:• 

Problema. 

Hinc  manifefta  efifoluHc  p Yohlematis ; 
ddto  flano  inclinato  a c , ef  bori^nte  a h. oportet  minus  aliquod 
planum inuenire  c d . ita  vt  fi  ex  terminis  a , cf"  b . ad  vnum 
puncium  duo  illa  plana  componantur,  tempus  lationis  per  rnaius 
aquale  Jit  tempori  lationis  per  minus , horizjontem  Jimul, 

I>  ematur  ex  plano  a c . pars  c d aqualis  ipji  a 
e femijjt  horizontalis fpatj  reliquum  a d . erit  Qp 

planum  quajitum . / 

Siver))faciadetraldione  ex  ca  nihil  reli-  / 

quum  Jit , vel  feri  nullo  modo  pojjtt , problema  A £ 

infolubileerit , Demonflratio patet  ex  FrAQC- 
denti . 

Dato  vero  minori  plano  zdi^Jfpatio  horizontali  ab  in  ea^ 
dem  figura  ,f  ipfi  a d . addatur  d c . qudt  aqualis  Jit  z^yj ^miffit 
horizontis , maius  planum  quaftum  erit  a c . Bebent  autem  v» 
traq; plana  a d ; a c ,fimul , maiora  ejfe  fpatio  a b , alias  infolu* 
hile  ejjet problema ; nam  duo  latera  trianguli  reliquo  debent  eJfe 
maiora, 

fluando  dat  afuerint  ipfa  duo  plana  in  aqualia  a d , a c , ^ 
quaratur  quantum  fit fpatium  horizontale  ex  cuius  extremis 
pungis  erigi  data plana pojjtnt , (jr  ad  vnum  punHum  componi^ 
itavt  tempus  lationis per  maius  planum , aquale  fit  tempori  la^ 
tionis per  minus  ^ per  horizontem  fimul-y  Accipietur  difier entia 
planorum  d c yquf  duplicat  a fpatium  horizontale  quffitum  a b 
exibebit . Bebent  autem  tres  linea  ab,  a c , a d tales  ejfe  vt 
triang.  pcjfint  coponere;  alias probL  ejfet  mfioluhile.H orum  om^ 
mum  demonftratio  cum  iila  prae  edentis  Propofitionis  congruit  i 
ideo  rem  indic afe  fatis  duximus , Libet  hic  obiter  recenfere 
quajdam propojitiunculas , quamquam  ex  j.  Conicorum  depen^ 
^ ^atip/arum  dcmonftratiox  apparebit  enim  ex  ijs  naturam  etiam 
^ circa 


Ijiher  Primas  y /jf 

^Ircst  hyperbolen  quafdam  nugds  meditatdnifuijfe  dd  motumfpe 
antes , Si  cui  conica  non  placent,  digre[ftone  hac  pr^termilfa, 
pauca hdc euit are poterit,eir ad  Propofitionem  44- fc  conferre. 
Materiapr^cedentium  hanc  continuationem  nimis  expoftula^ 
bat . 


propositio  xli. 


SI  reda  linea  a h . in  quatuor  ^a!es  partes  a c,c  d,  d e, e bAi^ 
uifa fuerit,  & ex  pundis  excitentur  du^ hyperbolae, 

qute  fediones  oppoiic^  dicuntur,  quarum  foci  fint  a,3ch.  Sum 
pto  in  altera  earum  quolibet  pundo/'.  erit  tempus  ^txfa,  ae- 
quale tempori  per  fb,ha. 


Hoc  enim  patet  ex  praecedentib  us . Nam 
propter  hyperbolamlinea/’^,cequalis  ed 
vpiisfh  ,c  e . per  5 r . tertij  Conicoruin-» . 
Sed  r <? . femiilis  eft  fpatij  liorizontalis  a 
h . per  hypotefim , ergo  aequalia  funt  tem- 
pora lationum  tam  per  fa , quam  per  fb , 
^4»  Quod  erat  &c.  ^ 


PROPOSITIO  X Lll. 

S I datum  fit  horizontale  fpatium^^  terminatum,  & Ion 
tudo  alicuius  plani  /.  data  fit  maior  quam  ab.  Secare  o- 
portet  planum  f in  duas  partes  inaequales  ea  lege , vt  fi  ex  ter- 
minis a,b,  fada  plana  ad  idem pundum  componantur  , tem- 
pus lationis  per  maius  planum,  aquale  fit  tempori  lationis  per 
minus  planum  & per  horizontalem  fimul  . : 

Hoc  duplici  modo  abfoluemus.  Primum  contemplati ue, 
flue  per  refolutionem , deinde  pradice . 

Kefolutiuehocmodo.fadumiamfit  quod  faciendum eft. 
ac  fine  duo  plana  e a ^eb^vt  imperatum  eft , nempe  aqualia  fi- 

S mul 


1 5 8 De  mota  Gratiiurft  dejcendeaf. 


mulipfi  f,  & eiufmGdi  vt  tempus 


& ^ % ita  Vt  tota  r/,  i^qualis  fit  ipfi 
fxh  h fy^  c 4 rhd*  aequales  fint  inter  te  ^ 
G^ntcor,  Certum  eft quia  4e,e^, fimul  ^equa 


per  eayddquakdt  tempori  pcry^ 
1 4 , Producatur  a h , vtrimq>  in  c , 


les  funt  ipfi  c d , punduin  e cfle  in_4 
ellipfi , cuius  axis  maior  efi  c dy  & foci  funt  4j , pun^a Cer- 
tum etiam  e ft , quia  tempus  per  ea  Aquale  efl  tempori  per  r K 
b a y idem  pumStUm  e efle  in  hyperbola  cuius  foci  fint  dyby^ 
vertex  h . ( diuisd  nempe  ab  yk  quatuor  partes  aequales,  qua- 
rum vfia  fit  h h .)  hoc  autem  demonftratum  eft  in  prsecedenti . 
Erit  ergo  pumftum  e . in  communi  concurfu  duarum  feCtionu , 
fed  du^  fecftiones  dat^  funt  ,■  quandoquidem  dantur  foci  com- 
munes vtriufqj  dydick  y dic d , data  eft axi§  maior  ellipfis  j da^ 
turq;  i h . diameter  hyperbolse , nempe  femiflis  ipfius  a h i qua- 
re etiam  pundum  c . datum  erit , 

Componetur  hoc  modo  •.  Fadis  igitur  duabus  fedionibus 
hyperbola,  & ellipfi , quse  Goncurrant in  e,  fi  a pundo  t ducan 
tur  e dy  eb  y erunt  e dy  chy  fimui  a?quales  ipfi dc erit  tempus 
per  idy  2equale  tempori  per  e bybdy  fimui , ob  hyperbolani-, , 
Quod  oportebat  drc.. 

Facilius  tamen  hoc  modo  pradiee  m figura  fequenti  * 

Secetur  ab  ipfa  linea  F.  pars 
aqualis  fit  femifii  fpatij  horizontalis  d:  ^ 
b . & reliqua  i n . diuidatur  bilariam  in  B 

0.  Yylco  myQm  effe  plana  qii^fitai 
qua  fi  a pundis  db  irrelmehfur  ad  "vim 
pundum-i  aqualia  facient  tempora  iationum  ,.  tatnpermams 
planum  o quam  per-mittUs  ^ d fimui  cum  hofizontciij . Hoc 

autem  pcrfpicuum  eft  ex  Propofirione  4 1 . cumdifterentia  lon- 
gitudinis planorum  Iit  petCbhftrMoftcm  aqualis  ftmifix 
ipatii  horizontaiis  db,  Watfe 


f 'E  o - 


LihrWfimml 


J^ROPOSITIO  XLUI. 

DAto  horizontali fpatio  dh , datoq,*  angulo  ^ , qui  mi- 

nor fit  angulo  trianguli  ^quilateri , (alias  enim  pro- 
blema infolubileeflet)  oportet  triangulum  conftituere  qupd 
habeat  bafim  angulum  hdc  tempus  per  latus  c d)  f- 
i^uale  fit  tempori  per  c b yh  4 • 

Diuidatur  ab,  in  quatuor  aequales  partes 
quarum  vna  fit  dbd>CQyL  vertice  focis  dy 

hy  fiat  d c hyperbola  qu^e  fecet  redamer, 
in  c r(  fecabit  enim  omnino,  vcinfra  demon- 
llrabimus.^  Dico  eOfe  tertium  qu^rfiti  tri- 
anguli pundum . Duda  enim  f b,  patet  diflfe-  A 
rentiam  inter  ac  ycby  efle  femiflem  ipfius  a b, 
propter  hyperbolam,& propter  diuifipnemlinete  in  qua- 
tuor jequales  partes . Quare  tempus  per  aquale  erit  tempori 
per  r^,^^:Qtwderat&c. 


fodantem  in  fr£c edenti  figurd  {fuppejito  dngulo  bac 
minore  quam  fit  angulus  trianguli  aquUat  eri ) linea  a ccumhy 
perbola conueniat yfic  demonHrabimus  infequenti figura. 

Sit  dfymptptp^  ,b  c . Brge  reBangulum  e 
a f dquaie  e fi  quartf  parti  figura  per 
tertij  Conicofum^,  ^^adrafum  etiam  fc. 

Aquate  eB  eidem  quarta  parti  figur^  y per 
primam  fecumdi  Conicerum : erunt  ergo  <e- 
qualia  inter  fe  r£0 angulum  e a f , (i*qua-> 
dratmn  f c . £luar.e  vt  a f,  ad  fc.  ita  f c. 


ad  a Cyhoc  ePt  ad  fd^^. Sunt  igitur  punCta  d ca  in fiemictrculo  cuius 
dtameter  eB  da»  centru  b.^S* ed c u fint  aquales  b f.  a f. per  con 
'firuBionein  propofiuione  procedenti  anguli  ad  freBi  fmty 
eB.nh^L  axis.dr  fc  ad  axem  applicata,  erunt  aquales  c b,c  a.  & 
triangulum  zifiCyaquilat erum  erit,  ^^alibet  ergo  linea  qua 

$2  adpun* 


»14°  Mgrai^wn  defeendent. 

^dfuncfum  d.  angulum  contineat  cum  da.  minorem  angulo 
a b c , trianguli  aquilateri,  conueniet  omnino  cum  b c ,*  S^are 
in  ji gura  pr  ace  dent  is  propojitionis  linea  a c conueniet  cum 
afymptoto^iy  ideo  etiam  cumhyperhola . 


PROPOSITIO  XLIV, 

EX  infinitis  fpeciebus  triangulorum  red:angulorum,vna 
tantum  eft  qu^  habeat  hanc  prerogatiuam , quod  fcilket 
tempus  per  hypoteimfam^quale  fittempori  per  reliqua  duo  la- 
tera. 

Et  h^c  fpecies  illa  eft  quse  prima  omnium , hoc  efl: , quae  in-, 
minimis  numeris  habet  tria  latera  eomenfurabilia  j Nempe  in 
Aritmetica  proportione  numerorum  3.  & 5. 


Exponatur  triangulum  ah  r;  cuius  fatus- 
ab  horizontale  fit  q.dc  b c,  ereClura  fit  3* 
hypotenufa  autem  ac . fit  5.  Perfpieuum 
eft  angulum  cba,  redum  cfTe ; cum  qua- 
dratum ac » 2^.  aquale  fit  duobus  quadra- 
tis c b,ba ,g.dc  i <5.  Manifei^umetiameft 
tempus  per  r ^ . aquari  tempori  per  c b)  b a, 

€um  differentia  inter  ^ c . c ^ , fit  2*  femifiis  fpatij  horizontalia 
^^.quodeftq. 

Dico  praeterea  nullam  aliam  fpeciem  triangulorum  redan- 
gulorum  habere  illam  proprietatem . Nam  fi  pofiibile  eft , ha- 
beat . dc  fit  triangulum  illius  fpcciei  ipfum  adb. 

Quia  tempus  per  d a . tequale  efi  tempori  per  dba,  erit  difi- 
ferentia  inter  ad,dh,  tcqualis  femifii  horizontalis  a b . Pona- 
tur in  diredum  ipfi  dh  .linea  h e aqualis  fit  femifii  hori- 
z ontalis  i erunt  iam  a de*  aquales  inter  fe ; & , r e , ob  ea- 
dem caufa  aquales  inter  fe  5 quod  impofiibile  efl . lunda  enim 
A e . efiet  vterq^  angulus  dae^cae^  f qualis  angulo  e.  quod  eft 
abfurdum.^Nulla  ergo  fpecies  trianguloruredangulorumtepe 
ritUr  5 prester  iam  didam  qu|  habeat  fuperius  enarratam  pro- 
prietatem» 


Liher  Trimus  i i 

Telemus  etiam  demonBrare  ex  infinitis  fpeciebus  triang»-- 
' lorum  oblitfuangulorum  i angsdlum  datum  habeant^ 

^uta 40» graduum , vnam  tantum  fpeciem  ej^e  qua pr<zdi6lam 
•proprietatem  habeat . Sluinetiam  0 penderetur  ex  infinitis  hy^ 
perbolarum fpeciebus iWam tantum fpeciem  ejsequa  illam ha-^ 
beat  prdtrogatiuam  . Sed  non  e fi  tanti  omnia  hac  minuta  enu-* 
cleatim percenfere ^ vt  leUeris patienti a-^  beneuolentiaqi  vlte- 
rius  abutamur  ^ j 

PROPOSITIO  X LV, 


SI  Fuerit quodeunq; triangulum  abcfis.% 
bens latera  ab^hc  inaequalia,  pota  ab 
maius,  b c minus  & bafim  horizontalem . Di^ 
eo  eodem  tempore  fieri  lationem  per  b a.  fo-  ^ 

]am,  &per^r,  fimul  cum  tanto  horizontali 
fpatio  quanta  eft  bis  differentia  inter  ipfa  latera . 

Sit  enim  differentia  inter  latera  cd,  cuius  dupla  ponatur  c e. 


E D 


FerTpkuum cfl  ^ r,£r^,  firaulaquafiipfi  ba.  lam  fifuppona- 
mus  tempus  per  b a^  effe  ba^  erit  tempus  per  b c . ipfli  ^ e , & 
poft  cafom  kc , tempus  per  ^ ^ . erit  dimidia  ipfius  c e , hoc  eft 
c d,  Aequal  e eft  igitur  tempus  per  b a tempori  per  bc^c  e &■> 
mui.  Quod  erat  &c. 


Ijfdem  pofitis  .•  quando  re  finead‘cm  figura)'  minor  inerit 
quam bafis trianguli.  DicoduGgrauia  eodem  temporis  mo- 
mento demiffa  ex  ^ perlatera  ^ /^j^cpoftconuei-ficaem  ho- 
rizontalem fa^am  in  a,8c  c.conucimeinpudebaihfi.quod 
quidembifariamfecetipfam  Oftenfum  enim  eft  eodem 
m mpore  peruenire  duo  grauia  ad  punCta  a & e.orgo  etiam  re- 
liqua fpatia  af^efi^  aquali  tempore  peragentur, cum  fint  t^qua- 
ha  per  hypothefim  gradus -velocitatis  zqiuks  ftnt  .per  V,- 
huius , 


PKO.- 


1 4^  ^ motugrauium  dejcmdent. 

PROPOSITIO  Xlri, 

POfito  quolibet  triangulo  dhc , cuius 
horizonti  parallela  fit.  Si 
graue  ex  quiete  in  vertice  a per  alterum 
latus  a c cadat, & inde  per  bafim  c h eum 
impetu  concepto  conuertatur,  bafiq;  per 
ada  cum  eodem  impetu  per  alteram  la- 
tus b a afeendat,  impetus  iiie  perducet 
graue  per  afcenfum  ba,  vfquead  idem 
pundum  a . ex  quo  difcciTerat . 

Compleaturparallelogramum  abed*  eritq^  dd.,  horizon- 
talis, & quia  impetus  aquifims  per  defcenlum  d perducit  gra- 
ue per  planum  cd,viqi3.d  d*  perSchoIium  Prop.  2 i.  Galilei 
de  Motu  Accelerato  , idem  im.p<ct.iis  (pofi:  traiiGoiihim  baiim 
motu  ^quabili)  perducet  mobile  ex  b vlprin  d , iimt  enim  ^4?, 
cd  tequales , & aequaliter  inclinatae . Quare  &c. 

Lemma . 

Si  inter pardllelds  horizontales  a b,  C d. 
dud  linett  fuerint  b d , d a . erit  terttpm  ca- 
fusfervndm  bd,  ad  tempus  afcenfus  per 
alteram  dz.y  vtefiipfa  hd  ad  da.  EB 
enim  tempus  cafus  per  ^uamcumq^  lineam 
ex  GdlileOy  aquale  tempori  afcenfus  per  ^ an 
dem  y quando  jiat  afcenfus  eum  impetu  per  defcenfum  aquijito . 
Sedtemporacafuum  per  b d , u d /unt  vth  d ad^^dy  erge 
etiam  tempus  cafus  per  hd^adtempMsa/eenfus  per  da>  trit 
vt  bd  / ad  da^  ^noddrc, 

P R 0 P O S I r J O XL  V I I. 

POfito  quolibet  triangulo  ^ ^ . cuius  bafis  ^ horizontalis 
fit,  fi  fiant  lationes  ex  quiete  in  vertice  a,  vtrinq;  per  tria 

latera. 


A 


B 


143 


Liher  Primas , 

iatera , erit  tempus  lationum  per  ac 
qua  le  tempori  lationum  ah  yb  c yC  a^ 

Ponamus  enim  tempus  calus  per  ab,  elTe  ipsa 
4 b y erit  tempus  per  bc,  femiffis  ipfius  b c . per 
Propofit..  40.  huiuSjCum  hcXxx.  horizontalis:  tran 
fmilla  vero  bafi  motu,  aequa  bili,  tempus  afccofus 
per  ca  erit  ipfa  ca  per  lera.  praced..  Eode  m modo:  cum  fit  te 
pus  cafus  per  ab  ipfa  /ii,erit  tepus  cafus  per  ac  ipfa  per 

horizontalem  i*  ^ erit femifiis  ipfius  r inde  per  afcenfum  b a 
erit  ba,  per  lemma  praecedens.E fi  ergo  tepus  p er  vtramqivia 
tamquam  duo  latera  trianguli  fimul  cum  dimidia  bafi . Quare 
tempora  per  vtramqi  viam,  fiuc  a h.  cdy  fiue  aeba,  aequalia  in- 
ter le  erunt.,  Quod&c.. 

^ojpntjimilia  demoMjhari  de  figuris  pollgcmsy  (jf  irr  egula- 
tibus : S ed  cum  h^c  omnia fio  Ut  a breuitate  excqui  non  fofitnt , 
exifiimaui  eorum  demonfirationem.  agud  eruditos  glus.  moleBid: 
allaturam , quam  doHrina 

P R 0 ROSIT  IO  XTV III,. 

AI)  aliquod  perpendiculum  data  duo  plana  diuerfae  lon- 
gitudinis ab  eodem  horiz  ontis  pun  do  iniedere , ita  vt: 
te mpora  per  infesca  plana  aqualia  fint . Ycl 
Proponit  aliquis  geminos  alTeres  a y&  b,. 
diuerfelongitudinis  , ealegevtab  vrro  co-  ^ 

demqyiindo  in  pauimenroiofiedi  debeant:  ^ J fi 

ad  parietem, grkuia  ex  fiifiigiis  eoiil  co-  -yfi  • y/jr 
dem  tempore  demfira , fimul  eodemq;  tem- 
pore  ferantor  in  terram . ^ 

Componantur  ad  angulfire(fiumj:  ^ 

fintqi  c dyd e produdia  c^e , ipfi^perpen- 
dicularis  fit  df,  Accipiatur  iamin  pauimento  difiantia  gUx 
pariete  , qu^ aqualis  fit ipfi/.d; Tum  d piinao  h.  inficaan- 

mM  pariet» hd, ^quales  ipfis  m ip.fis  de „ 

Dico 


i 4+  *i>e  motu<jyaHmmdefcendettt. 

Dico  tempora  per  i ^ per  / aequalia  effe  . 

Concipiamus  bafim r e . trianguli  c dc , eiTe  ad  horizontem 
eredam , Manifeftumefttemporalationumper  edy  de,  ^qua- 
lia e (Te  .per  lemmaPropof.  13.  Sed  cum  duo  Tirera  4*^,  df, 
duobus  lateribus  ih , hg,  iequalia fint  vtruiBq;  vtrique,  & an- 
guli cfdy  ig  h . re(5ti,  fi  ex  quadratis  aqualibus  dc,hi,Atmm^ 
tur  quadrata  aequalia  df,hg . remanebunt  a’quai ia  quadrata^ 
fc yg i , & ideo/i* ,gi.  linea? equales  erunt ; & propterea inte^. 
gra  triangula  cdfjhg,  tequalia,&fimiliaerunt.&tempus 
per  / h , sequaie  tempori  per  cd^ 

Eodem  modo  oftendetur  tempus  per  Ih,  asquale  tempori 
per  d e , Quare  cum  tequalia  fint  tempora  per  cd  .de,  ^qua-- 
lia  erunt  etiam  per Quod  erat  &c. 

PROPOSITIO  I L, 

SI  ex  4 pun(5i:o  fublimiori  cir- 
culi ad  horizontem  eredi 
graue  cadat  vfque  in  centrum  by 
& inde  per  quodeumq;  planum 
fiue  eleuatum,  fiue  decliue,  con- 
uertatur  cum  impetu  iam  conce- 
ptojgrauehuiufmodi tempore cafus  db  abfoluetfpatium  bdi 
quod  nempe  aequale  fit  vtrifq,  tura  femidiametro  bc  ^ ttirn  etia 
ipfius perpendiculo  ce. 

Seda  fit  c d aqualis  ipfi  c e . Dico  tempus  per  d by  ox  quie- 
te in  4 , ^quafe  elTe  tempori  per  b d,  poft  cafum  4 ^ . Eft  .n.  ob 
^qualitatemvt  d c 2A  c b yix^  c e b dy  hoc  efi  cf2.dfb,dc 
permutando  vt  cd  zd  cf,  ita  cb  ad  b f,  in  vtraq.  figura . 

Sed  in  prima  tantum  erit  componendo  vt  dfzd  cf,  ira  cf 
ad  bf.  In  fecunda  vero  erit.  Conuertendo^  per  conuerfione 
j:ationis,&iterumconuertendo,vt  df^d  cfy  ita  cfzd  bf* 
Quare  in  vtroq.  cafu  tres  iine^  dfy  cfy  hf,  funt  in  continua  pro- 
portione. / ^ 

lam  fi  tempus  per  d,  b ponatur  cfle  4 b » erit  tempus  per  fh  ip 

hfbi 


Liher  Primus  J i 4/ 

f^/lfySc  tempus  erit  media  proportionalis  fc,  Qtiar e 
tempus  per  reliquum  liixe^ , nempe  per  h d,  erit  reliquum  tem- 
poris, nempe  ^ . Idem  ergo  tempus  eft  lationis  per  ab 
quiete  in  ^ & per  b d poft  cafum  a b . 


In  hac  fropojtmne  reiffa  demonfirantHr  duo  "Theoremata 
Galiltt , De  Motu  accelerato  : fed  quia  valde  ad  rem  noliramfa* 
ctunt , eadem  diu  er fa  iterum  ratione  contemplabimur  > vt  lucem 
fequenti  Corollario  proferant . 


Si  graue  natur  alit  er  cadat  ex  a in  b, 
ef  ex  h cum  impetu  cenc epto^per  quod- 
libet  planum  b c ~conuertatur . ^uari~ 
tur  quantum fp  at  q per  planum  bc  abjol 
uat  mobile  tempore  cafus  ab. 

Fiat  circa  diametrum  a b . circulus 


a d b , centroqi  b , & interualto  b a cir^ 
culus  a c . Dico  gr  au  e delapfum  per  zh  ^ fi  ex  pundo  b cum 
impetu  concepto  conuertamr  per  planum  inclinatum  b c,  tempo 
re  aquali  tempori  cafus, per  currere fpatium  aquale  vtrifqi  fimul 
bc , cd. 


Si  emm  poft  cafum  zbgraue  conuer  teretur  per  planum  quod- 
cunq  }*  b c , motuq',  aquabili  proc  ederet,  graue  huiufmodi per  pia  tx 
num  b c tempore  aquali  tempori  cafus  fpatium  perageret  duplu 
ipfius  b a , er gop  er  curr  er  et  fpatium  duplum  ipfius  hc,  tempore 
cafus  ,fipoB  cafum  aquabili  motu  procederet . Sedfuperuenie- 
te  operationegrauitdtis,mobile  non  proc edet  motu  aquabili  fu- 
per  plano  b c ; ^in  imm))  tempore  cafus  a b ,grauitas  promoue 
bit  mobile fup  er  plano  b c tantum  fpatium  quanta  ed  inclusa  in 
circulo  linea  d b f quo  enim  tempore  grauitas  trahit  mobile  cx 
2.  in  h,  eodem  tempore  trahit  etiam  ex  d in  b per  <1,  G alii  ei  de 
Motu  Accelerato  .)  Ergo  dupla  hcinprimafgura  addenda  erit 
d b , confpirant  enim  deorfum  tam  motus  aquabilis,  quam  motus 
^auitatis  In  fecundavero  f gura  a dupla  bc  detrahenda  erit 
d b f quia  motus  gr  auitatis  c ontrarlus  efi  motui  ttquabili)  tfific 

T 


“4" 


/ 4^  ^De  motu  (^rauium  defcendent. 

concludemus  mobile pofl  c onuerjionem tempore  dequdli  tempori 
caJ us  a b 5 perc urrerefpatia  b c » c d,  tn  vtraq;  figura . 

Corollarium. 

Pro  Corollario  dnimaduertimus  quod 
fi  gr  au  e aliquod  expmtido  a impella- 
turmotu  ^velocifitmo  per  horiZiOntalem  . 
a b , peragatqi  certo  aliquo  temporefpa 
tium  a b i at  que  eodem  tempore  quo  fit 
latio  2l\>  grauitasmotu naturali  deor^ 
fum  trahat  per  tantum fpatq  quata  e fi 
a c , fi  centro  a interuallo  a b fiat  circulus  b d e f,  circa  dia- 
pnetrum  ^L  c alius  circulus  a h ic,  mobile  imput fum  ab  eodem  fem 
per  impetu  per  plana  a d , a e,  a f , eodem  tempore  p er  aget fingu- 
Las  int ere ept as  c f ,d  e , h d a b.  etiam  infra  horiz^ontem  * 

PROPOSITIO  L, 


SI  duo grauia  demittantur  eodem  temporis  momento  ex' 
-diuerfisplanieleuatipundis,  & poPceaiiim  per  eandem 
horizontalem  lineam  conuertantur ; grauia  in  quodam punclo 
i(imul  conuenienf,  quod  in  horizontali  tantum  di  ftat  a plano  e- 
leuato  quanta  eft  dupla  medif  proportionalis  inter  altitudines 
cafuum'. 


Sit  planum  eleuatum  a b . in  quo  fuman- 
tur duo  qutelibet  punda  c . ex  quibus  duo 
grauia  demittantur  eodem  hmul  tempore. 

Sit  aiiterft  ^ ^ mediainter  * &.  ipiius 
h e * dupla  fit  horizontalis  ^ Dico  grauia 
eod.  teporis  pundto  demifla  ex  & c.  in  pun(fl:o  d,  conuenire . 

lurgatur  enim  e compleatur  parallelogrammum  b c/g . 
Cumqj  fit  h dupla ipfius  b e , erit/c . hoc efi;  g b , dupla  c e. 
larn  fic ..  Mobile  pofi  eafum  c b , fuo  impetu; crrrit  hprizonta- 
iirer  tempore  cafus  c ^ duplam  c b , ergO’  tempore  e c . curret 
eodem  impetu  duplam  hoc  e ft  ipfam  bg  . Tempore  igitur 

inte« 


Lihei^  Primus  i r^f;^ 

integro  e h fiunt  lationes  per  c & eodem  cem  porc  Ht 

cafus  per  ^ ^ , quare  eode  teporis  m omento  erunt  grauia  alter u 
quidem  in  g ; alterum  autem  in  ^ . Sed  reliqua  etiam  fpatia  ^ 
^qualibus temporibus  peraguntur.  /"Velocitates  enim 
funt  vt  tempora  cafuum,hoc  eft  vt  e b . ad/^ . fed  fpatia  b d,g  d 
ob  dmilitudinem  triangulorum  funt  vt  velocitates, quare  vti  di- 
dum  eft  aqualibus  temporibus  peragentur ,) 

Sunt  ergo  coniundirn  tempora  per  ab  ^hd,  ^qualia  tempo- 
ribus coniund:im  per  cb ,bd.  Qiare  duo  grauia &c.  conue- 
nienc  in  pundo  d.  Quod  erat  &c . 

Idem  aliter  demonftrabimus  . 

Sumatis  vtcunq'^  altisadimbas zc  bc.  Demittantur  dud 
grauia  eodem  tempore  ex  a,  & b . Sitq-,  d c.  media  inter  cafuSy 
cuius  dupla  ponatur  horiz^ontaiis  c e . 

Dico  tempora  lationum  a c e . b c e . 
qualia  ejfe . 

Fiat  circa  diametrum  c a parabola 
quacunque , qua  verticem  habeat  in  c . 
ducanturq\  ordinatim  a f . b h . Notum 
ejl  in  parabola  ita  eJfe  a f . ad  hh.vt  ejl 
13lC  ad  cd  yvelvt  c 6.  y ad  ch , 

lam . T empusper  a c . ^7^  a f,  per  c e ,poB  cafumzc  . efl 
b h . (y?  enim  tempore  f a .graue  currit  duplam  a c,  tempore  b h, 
curret  duplam  Ac  hoc  efl  ipfam  ce  cum  fint  proportionales'  £ 
a ad  ac, 'z^t  hh,  ad  Ac  Fodem  modo  . T empus  per  hc»  efi 
hh  ,&p€Tct,  pofi  cafum  b clefi  a£ ,(  fl  m.  tempore  b h . currit 
duplam  b c tempore  a f . curret  duplam  d c.  hoc  eft  tpfam  c e , 
quia  funt  proportionales  vth  h . ad  b c . ita  a f ad  d c . ) 
Ergo  tempora  lationum  ace  . funt  linea  a f . b h . Tempora  au* 
t em  lationum  b c e .funt  linea  b h , a f . ^uareconiunllim  tem* 
poraper  a c , c e . aqualia  funt  temporibus  per  b c . c e.  coniun-* 
Him.  fluod  erat  <f;^c. 

C or ollarium  Primum . 

Hinc  manifeftum  eft  dato  quolibet  fpatio  horizontali  ac^ 

T 2 cuius 


e 


148  De  motu  gramum  defcenient, 

cuius  fubdupla  ponatur  c d.  Si  circa  media 
c d,  dux  in  continua  proportione  fumantur 
c €,cb^  Tempora  per  ipfas  e c^c  a ^ j^qua- 
lia  efle  temporibus  per  bc^c a, 


X 


Corollarium  II, 

Manifeftum  etiam  eft  tempora  perpendictifarium,  & tempo 
ra  horizontalium  lationum  reciproce  «equalia  effe . 

Nam  in  hgura  vitime  demon  ftrationis , tempus  perpendicu 
li  . eft  eademq;  af,  eft  tempus  horizontis  c e . poft  ali- 
um cafum  bc. 

Tempds  autem  eft  tempus  cafus  bc,  idem  vero  tempus 

eft  horizontalisiationis  poft- alium  cafum  d c , 

PROPOSITIO  LI, 

SI  fuerint  duo  plana  ^qualiter  inclinata,  a h,  maius,  c d, mi^ 
Ru  Sydib  d.  Iit  horizon . Sumarurq;  h e . media  propor- 
tionalis inter  longitudines  planorum  ;&du6ia  ecf,  ponatury^ 
g . dupla  ipfius  b e . Dico  grauia  eodem  tempore  demifla  ex  ^ » 
& €,  poft  cafus  dhy  C d>  in pundo  g. conuenire . 

Sunt  enim  per  praecedentem  tempo- 
ra lationum  per  dh^fg,  (imul  aqualia 
temporibus  per  . d . defg,  fimul . Sed 
etiam  tempus  per  bf,  poft  cafum  dh' 
sequatur  tempori  per  df,  poft  cafum  c 
fcumftntfpatia  bf,  df.  vt  veloci- 
tates eh  -i  ergo  coniungendo  tempus  per  omnes  ah^ 

bf.  fg,  aequale  erit  tempori  per  omnes  c d\  dffg , & ideo 
grauia  conuenientin  Quod  erat  &c  . 


s 


, . P R 0 P 0 S I T I 0 LII^ 

I Fuerint  dub  plana maius,  cd,  minus , sequaii- 
ter,  inclinata,  ita  vt  lationes  horizontales  poft  ca- 
fus 


Liher  trimus . 1 49 

fus  in  prima  figura  contrari?  inuicem  fint;in  fecunda  vero  ad 
eafdem  partes . Sumaturq;  media  proportionalis  inter  longitu- 
dines planorum  ^ & fit  df  dupla  g e -,  hoc  eft  differenti^ 
intermediam,  he,  & minus  planumjduCta  deinde  aequa- 
li ipfi  parallela  ad  ^^  , iungatur  ek.  qu^  fecet  horizoa 

temiii  / 

Dico  gra 

iiiaeiK 

r , eodem  re 
pore  demif- 
fa,  fiverfus 
i conuertan 
tur  in  pu6io^ 
i conueni- 
re. 


Ponamus  tempus  per  cd,t^tcd\vt\hg.  fibitrqualem. 
Ergo  in  horizonte  graue  c . tempore  h g,  curret  duplam  bg\ 
& tempore  g e . curret  dupkm  g e , nempe  df,  Eft  itaq,-  tota 
t b , tempus  per  r df.  Eadem  quoq;  e b ; tempus  efi  per  ab'. 
Quare  eodem  tempore  peragentur  cdf,  ^ ab,  Reliqiijse  au- 
tem fi  ,hi,  eodem  tempore  peraguntur  ( cum  propter  fimilitu* 
dinem  triangulorum  fpatia  ffbi,  fint  vt  velocitates  hf  e b,) 
ergo  coniundim  idem  tempus  erit  tam  per  cdi^  quam  per  a b u 
(^are  graiiia  conuenient  in  i . . Quod  erat  &c . 

In  fecunda  figuramn  debent  lationes  horizontales  effe  con- 
fraris^  namgrama  nunquam  eonuemrentfed  amh^  'iieifus par^- 
tea  i , 


B R O P 0 / r 1 0 LUI.. 


DAtis  duobus  perpendiculis  ab^cb^  inuemre  i^tium  ho* 
rizontale  quod  cum  alterutro  datorum  perpendkulora 
eodem  tempore  conficiatur . 


Ponatur  W.  qualis  ipfi  hc^^evetz: ad,  fiat femicirculusi 
ponat  urq;  horizontalis  b si,  duplaipfius.  b f . Dico  iariones  a 

b 


i 9. 

de  metu 
Acfel» 


1 5 o De  motu  Crauium  defcendent, 

b €,cb  e,  to^^m  tempure  abfolui . 

Hoc  enim  patet  per  Corollarium  primu 
Propofitibnis  5 1 . Nam  altitudines  perpen- 
diculares ah^bc , (unt continua  proportio 
nales  circa  bf,  femiiTem  fpatij  horizontalis. 

Quare  fadum  eft  quod  &c. 


PROPOSITIO  Lir. 

DAto  quolibet  perpendiculo,  & quolibet  fpatio  horizon- 
tali ,*  aliud  perpendiculum  reperire , quod  cum  dato  fpa- 
tio horizontali  eodem  tempore  conficiatur  ac  primum  perpen- 
diculum cum  dato  horizonte . 

Sic  perpendiculum  datum  ho- 
rizon b c . cuius femifiis ^\ibd.  Junga- 
tur ^^/.  fiatq;angiilus  bdfij^d  horizonte 
aequalis  angulo  b a dy  qui  efi:  ad  perpen- 
diculum . Dico  tempora  lationum  per 
fb  ,bc  fimul , & per  a b,  b c,  fimiil,  ^qua 
lia  elTe.  Triangula  enim  redangula 
b dyddb, fadla funt  sequiangula . Qm- 
ttvtfb.  ad  bd.ka  bd,  ad  Eccum  ^^/.fcmifiis  horizon- 
talis fpatij  media  fit  proportionalis  inter  perpendicula  fb.ab. 
erunt  tempora  ^tvfb  c , & per  abc,  sequalia . Quod  erat  dcc. 

PROPOSITIO  L V, 


S I fuerit  horizontalis  dupla  perpendiculi  d iy  Dico 
iplas  eab ^ breuiori tempore  percurri,qua 
aliud  quodcunq;  perpendiculum  cum  eodern  fpatio  horizonta- 
li . 


Erigatur  ^^.perpendicularisad  dby 
& per  €yb,  punda,  circa  diametrum  e a 
agatur  parabola ^ ccb.  cuius  focus eric 

4.(po- 


Liber  Primus . m 

^ . ( pofita  enim  eft  dupla  ipfius  a e.)  Sumaturiamquod- 

iibct  aliud  perpendiGulum  ^ & ducatur  horizontalis  / d. 
Tempus  per  e d . cft  . tempus  autem  per  . eft  idem  ac 

tempus  cafus ,,  ergo  tempus  per  e a ipfa  db  bis  fumpta . 

Sed  tempus  per  e i\  eft  i c\  tempus  autem  per  i d . quantum  iit , 
lic venabimur^'  Velocitatem^. tempore  curritur  m^^.Sed 
velocitate  c i\  tempore  d h . non  curretur  eadem  db.  Fiat  igi- 
tur vt  velocitas  £ i,  ad  velocitatem  a by  ita  tempus  m ^ . ad  aliud 
ml  ,¥1  erit  m /.tempus  ipfius  ^ / . po  ft  cafum  e i Patet  ergo/^? 
l.ci . primam  & tertiam  proportionalium , maiores  eflfe  quam 
dupla  mediae,  hoc  eft  quam  db . bisiumpra . Quare  &c. 


PROPOSITIO  LV I. 

SI  db.  horizontalis  dup 
la  fuerit  eleuat^  d e . Di- 
co ^ quo  longius  a pundo  e . 
demittatur  graue , eo  tardius 
lationem  fuam  vfq;  in  b abfol 
nere . 

Demittatur  ex  pun dis  c,  & 
d.  Duo  grauia;  oftenden- 

dum  eft  niaioii  lenipore  fieri  lationem  per  d dh,  quam  ner  c d 
h.  Fiat  de  a e. 

ftt  tertia  proportionalis  dg . IpOs  autem  dd^ae  . tertia  fit  a hy 
te dticantur ordinarim linete ex pundis  d^c ygyb . 

Quia  qiiacirato  eidem  d e , aequale  eft  vtrumq;  redan<^iiIom 
dd h j c ag.  erunt  hfc  eadem  redangula  scqualiainier  fe  r pro- 
pterca  latei  a reciproceproportionalia  habebunt  . nempe  vt  h d 
ad  . ita  C4  ,ad  Sed  in  hac  eadem  proportione  ob  pa- 
rabolanis funt  quadrata  s a^g  m y te  c /ad  dl , ergo  propor 
tionaliafurmetiamiaterasnerapevt  ^/.ad  gm  .ita  cl  ad  di. 

extremas  autem  hf , di  maiores  funt  quam  medise  gt^  y c l\  te:  * 

extrema  ftmul  iunt  tempus  lationis  d dby  at  medi#  funt  tempus 
lafionls  cdb.  Quare  tardius  abfoluetiirlatioiper  j quam  -/voT 

^evcdb  . Quod  erat  &c.  ^ ^ 


a. 

ia: 

iicntJ» 


Idem 


15  i De  motu  grmmm  defcendent. 

Idem  infertur  etiam  de  piinais^,&4iupra  ipfum  f . fun^tk. 
Sunt  enim  tempora  eorum , trcjitalia  temporibus  pundorum  r . 
ivide  ean  & v^trumquc  vtriq;  &c. 

dem  . 

PI^OPOS  ITIO  L P’  II. 

SI  ab  aliquo  pim<5l:o  lineae  circulum  tangentis  in  pmidto  fu- 
biimi,  grauia  cadant  in  periph^eriam  & inde  per  chordas 
horizontales  coniiertantur . erunt  tempora  lationuniper  vtram 
que  chordam  & eius  perpendiculum , aequalia . 


Tangat  linea  circulum  erecluin,  in  pun(5lo  fablimi  h. 
Et  hc  rangens  horizontalis  omnino  erit . Sumpto  deinde  quo- 
libet pundo  graiiia  demittantur  perpendiculariter  in  peri- 
phteriaiT],  & conuertantur  hue  in  c , hue  in  d . Dico  tempus  per 
ac  £ ,^  per  a df.  idem  clfc  . 

Sunt  enim  horizontales  ce,  df.  a:qua- 
leSjCum  fitparallelogrammum  reda 
gulum ce , df. fedte fint  bifariam  in g 
& ^.pundis. 

Quia  ergo  femiflisfpatij horizonta 
lis  tnedia  proportionalis  eft  inter  altitudi- 
nes perpendiculares  ac,ad.( linea  enim 
a h . tangit,  & ad.  circulum  fecat)  erunt  per  CoroIIariiim  pri- 
mum propofitionis  50.  huius , tempora  lationum  ace,  adf, 
sequalia . . Quod  erat  dcc. 

Et  per  fecundum  eiufdem  Propofitionis  Corollarium  ea- 
dem tempora  reciproce  gqualia  funt 

PROPOSITIO  LV III. 


TEmpus  per  axem  parabola,  & eius  ordinatim  applica- 
tam fimul  3 aequale  eft  tempori  per  quartam  lateris  redi 
partem?  & eandem  ordinatim  applicatam . 


Sk 


LiherVrimm,  ix/ 

Sit  axis  parabolse ^ ah  ^ eius  ordinatim ap 
plicata  he.  "Ei fecetur  hd,  ^EqlIaIis  quartae 
parti  lateris  redi . Dico  temporaper  ahc  ^ 

& per  dhc . aequalia  efle  inter  fe . Diuida- 
tur  b c . bifariam  in  : 

Erunt  tum  quadratum  e h , tum  redangu- 
lum  a b d 3 fubquadrupla  quadrati  cby.  Sunt 
ideo  aequalia  inter  fe , & ipfa  e b . media  proportionalis  eft  in* 
IQX  a b \bd , Quare  per  Corollarium  primum  Propofitionis  fo. 
huius , tempora  per  ab  c.  & per  dbs"  sequalia  funt  &c. 

Sunt  etiam  per  fecundum  eiufdem  Propofitionis  CorGlla* 
rium , reciproce  aequalia . Quod  fatis  fit  oft endilTe  circa  motum 
grauium  naturaliter  defcendentium  e 


Primi  Libri . 


*54 


DE  M O T V 

Proiefitorum . 

LIBE%  S ECFNDFS  . 

RO I ECT A mnCyhellormnq^y minds , dtqm 
arcium  tormenta  dicemus  : Sufremus  hic  la- 
borum GaltleifruBus  y fuprema  etiam  gloria^ 
Ofiendit  Galileus  in  ltbro 
de  MotuProieBorumyqmd 
fi  mobile  aliquod  a flano  B A 

horizontali  zh  decidat yimfetu prius  hori-  s 
%ontaliter  concepto  y parabolam  dliquamyVt 
b c . cafufuo  de  fi gn  abit . Verum  efii  dummodo  linea  a b quM 
efi  diremi 0 proie&ionis  ad horizontemfuerit parallelay  (fi  quan-- 
do paraholainitium  h ^fallum fuerit  ex  vertice  fupr emo  ip(ius 
parabola  ^fiue( quod  idem  e fi ) ab  extremo  axis  paraholici  pun- 
lio  b , ^andovero  linea proieUionis  dihmnhoriT^ntaliSyfed 
fnrfum  fmrit , *vel  deorfum  inclinat a.y  erit  quidem  Uneaproielfi 
qutZdamcurudy  ^fefe  comingcntmukem  tumimea  reUa  dk 
teBionisiutetd  quamfali afuerit proieMio  ^ tum  curua  qua  erit 
femitaproieUi  i dp punchm  contaMus  erit  idem,  ac  punilum fe- 
parationis  ipfius  proielfi  ab  mfirum.ento  impellente . Sed 
hanc  lineam  £ mnam  &ejf€  parabolam , (fi  eandem  prorfuspara- 
holam  efie  yqutt  ab  eodem  mobili  honzont  alit  er  pri  use  onc itato 
ex  ipfius  par  ab  olOi  vertice  defcriheretury  kaUenus  defideratur 
magis  y e^udm probatur . EBprofecfo  eadem  parabola , velut  ip~ 
fe  Galileus  afiirmati.n  CoroHario.  Propojl  j.  de  motu  ProieCloru , 
mqtverifirrfile  erat  adeopculatum  ingenium  non  bene  prius  cir- 
>eumfpeMa  pofuijfie , Attamen , veritas  illius  Cor  olla  fi  manife- 
Mapenitusmen  erit  illis,  quibus  obliquitates  par  abolarumigno-^ 


a Galileofrd^mifas  ftofojttionc^  Apollo^^ 
mus  familiaris  mn fuerit , Cum  it  aqi  froieclienes  vt  plurimum 
fant  per  lineas  ad  horizontem  inQlinatas^  ex  quibus  oriuntur p a 
raboU  obliqUa^mn  habentes  initium  ex*v€rtice^  quales freque^ 
tijjime  occurrunt  in  omnibus  fere  ia^Hbus  machinarum  y immo 
etiam  neq;  'verticem^  neq^  axem  habent eSy  quales funt proieBio 
nes  inclinat^  aeorfum  y lucem  Corollari(r  Galile i afferre  conabi-- 
mury  & cuiufmodi  fit  linea  curua proieElorum  •vniuerj alius  de* 
terminabimus . 

Definitio» 

Difedio  proiedionis  dicitur  linea  reda  qu^  tangit  lineanu 
curua riiproiedi  in  primo  pundo  eiufdem  linea?  curule,  quas 
quidem  diredio  in  tormentis  bellicis  eft  eadem  ac  ipiius  ma- 
chinseaxis. 

PROPOSITIO  PRIMA. 

SI  grauefurfumproiedum  ex  ^^afcendatmotunaturaliter 
Deficiente  vfq;  ad  fublimius  pundum  fuas  lationis  h»  idem 
vero  mobile  aequali  tempore , & eadem  velocitate  quam  in  pu- 
do  a habebar, fed  motu ^quabiliafcendat  vfqsin  c.  Dico  4 
c , duplam  efTe  ipfius  ab . 

Si  enim  non  eft  dupla , ponamus  aliquam  ad  dup- 
lam efte  ipfius 

Concipiamus  iam  cadere  naturalitd  mobile  ex  b 
in  a»  Gradusilleimpetusacquifitipoftcafumex  bm 
a.  eft  ille  prorfus  qui  vehitmobile  ad  eandem  altitudi 
nem  L eod  em  tempore  , & motu  naturaliter  deficide*  * 

Idem  vero  gradus  i mpetus  eodem  tempore,  fed  mo-  ^ 

tu  ^quabili  perducit  mobile  ad  altitudinem  ^^duplam  cafiis 
^ ^ . Sed  ille  idem  impetus  qui  per  fuppofitionem  perducit  mo- 
bile ex  a ix\  b motu  naturaliter  deficiente , illud  perducebat 
etiam  motu  equabilieodemq]  tempore  ex  a in  Vnus  era6 

V 2 idemq.,^ 


'/  5 <5  *De  mota  Vroie^omm 

ideniq;gradus  impetus  eodem  tempore ; motuq,-  aquabili  per« 
ducitmobileperduofpatia  insequaiia^^,^^.  Quod  eft  ab- 
furdum. 


P R O P € I r I O I I. 

SEmita  proiedorum,qii^Gunq;  illa  fit/ubJimiori  fui  punifio 
bifariam  fecat  perpendiculum  quod  inter  horizonteiU  j & 
lineam  diredionis  intercipitur. 

Proiciaturmobileex  ^ iuxta  diredione 
vtcumq  j eleuatam  ^ Patet  quod  fine  tra- 
<5tione  graukatis  procederet  mobile  motu 
xedo  ^ & sequabili  per  lineam  diredionis  << 
l?.  Sed  grauitate  intus  operante  ab  ipfa  di- 
redione  fiatim  declinare  incipiet,  crefcen- 
te  femper  d euiationis menfura;&  defcribetaliqujMn  lineam  cur 
uam  a fd.  quj^cunqj  fit.  Haec  linea  pundum  aliquod  fublimius 
emeteris  habet  ;Jllud  nempe  quod  efi;  alcenfionk  extremum , & 
primum  defcenfionis  . Sit  huiufmodi  pundum  , & per  c du- 
catur perpendiculum  Dico^^,  duplam  efieipfius 
Abftrahamus  momm.horizontalem;hk  enim  motus,quo  ad 
lationem  perpendicularem  de  qua  agemus  efi:  tamquam  non  ef 
fet  5 cum  illam  neqfiuuet , neq;  impediat . Concipiamus  etiam 
mobile  habere  femper  fecum  luum  perpendiculum  hb . hori- 
zontali quadam  latione  vna  cum  ipfo  translatum  ex  d verfus  h 
in  quo  pa*pendkul©  afcefjdit  graue,  motu  quodam  continuo , 
fed  femper  magis  ac  magis  deficiente  jl  pundo  h vfq;  ad  pun  - 
itum c . Conficit  ergo  mobile  m fuo  perpendiculo  tem  pore 
iExempli  gratia  . fpatium  >h  c . fed  fi  mom  aequabili  .afeendif- 
fet  cum  impetu  (Scrempore  eodem  5 ureperiretur  in  b ( deberet 
■enim  ob  motunirequabilem  elTe  femper  in  communi  fedione 
linearum Quareperprjecedentem , Ipatium Ji* ip- 
fcs  dujduiireft^Quod^ral&a 


1 


Lther  Secundus . 1 5 7 


PRO  posirio  III,' 


LIneacuma,qu5edefcribituramobili  fecundum  quamlibet 
cleuationem  proiedo , parabola  eft,&  prorfus  eadem, 
quam  defcriberet  mobile  ficum  horizontali  impetu  proicere- 
itur  a vertice  eiufd em  linese  curuse . 


Sit lineaproiedionis dire dfiua  ab,  yt- 
cumqjeleuata,  & linea  curua  aed  e ^ cu» 
ius  fublimius  pundum  fit/’.  Ducatur  per- 
pendiculum ^/^.&  erunt  per  pr^ceden» 
tia  aequales  bf,fg  • Ducatur  horizonta^ 
lis/i^j& perpendicularis  ah,  erunt iteiu 
aequales  fi . ih-^  ^c  afib , Diuidatur  a 
b , in  quotcunq, partes. ^quales  alyl if  m 
mb,dz  agantur  perpendiculares  per  pun- 


da i, i ym , Manifefirum efi; quod fpatia sequalia  aljijm^m 
i,  percurrerentur  a moi>ili  temporibus  sequalibus,  fi  motu 
quabili  ^ & fine  acceflu  noui  motus  deorfum , ab  interna  graui- 
tate  procedentis,  moueretur.  Sed  quiaei  ftatimatq;  a proicien- 
te  dimittitur  in  a . fuperaduenit  attradio  grauitatis,  incipiet  c6- 
liniio  a linea  diredionis.deorfum  deuiare , & deuiationes  tales 
erunt  vt  linea  la: . defcenfus  vnius  temporis  fit  vt  vnum : linea^ 
■vero  iJ , defcenfus.  duorum  temporum  fit  vt quatuor , dc  ^e,  . 
trium  temporum  vt  nouem,  ibf,  quatuor  temporum  vt  i 
fic  deinceps  ea  lege  vtfemper  defcenfuumfpatia  fint  vttemp® 
rum quadrata  . Quia  vero  a IJ i funt aquales , erunt 

h 0,0 i (quod inter eafdem parallelas fint)  sequales 

& cum  fit  i/,  I & s erit  8.  ergo  reliqua  n e efi:  vnum.  fquan- 

doquidem  tota  m e erat  g, ) Ipfa  vero  i d , pofita  fuerat  vt  4.ne€ 
immutatur  . qI  aiifemfqualisipfi;^>j  ;?i  . eil:^.&addita  /^squsi 
pofitafuerat  vnum , erit  tota  ^ c vt  j?, At  h a.,  aqualis  ipfi  l/erk 
id  .Ergo  cum  fpatia/l^,.^  fi  o^ob,  fint  aqualia ; & ^eyid^^Cy 
h a , fint  vt  1 5 4,  p . I & fic  deinceps  vt  reliqui  feniper  nume<- 
ri  quadrad^erit  linea  projccdens  ex  j\per  punda  e . c.  a . pa- 

rabdla 


motu  TroieBomm 


rabola  reda  culus  vertex /,  & de  qua  agit  Galileus . Sed  'h^c 
eadem  linea  e 11  tradus  proiedioms  obiiqug  ex  ^ vfad|  per  fiip 
politionem  nollram  ;Erg6  linea'curiia,quf  deferibitur  a mobi- 
li lecundum  quamlibet  eleuationem  proiedo^  eadem  parabo- 
la eft  quam  delignaret  b cumimpetu  harizontali  opportuno  ex 
vertice  ipfius  proiedumfuiflet . 

Manente  eadem  conllrudione  ^ & figura , dico  edam  poli 
culmen, iiue  verticem/,  mobile  ex  ^ proiedumj  in  eadem  pa 
rabola  continuare  motum  fuum . 

Sumantur  bp  .pq . ipfi  h m ^quales-i 
erltdcfcenfus /r.quinq; temporum  vt 
25.  & fex  temporum  vt  36.  Sed 
cum  - bf.  Iit  I <5,  iplii  p f,  ell  24,  & q u 
3 2 . Relique  ergo  funt  vt  unum 

&4.&C.  Quarepuncla/,r,/.  per  que 
incedit  mobile  funt  in  eadem  continua- 
ta parabola  in  qua  funte,  dt/ 

Linea  criam  curua^  qug  deferibitur 
a mobili  fecundum  quamlibet  diredio- 
neni  deorfum  proicdo , parabola  e0:,& 
eadem  prorfus  quam  deferiberet  mobi- 
le li  horizontaliter  concitatum  a ueru- 


Ce  ipfius  proiceretur 

Manente  eadem  figura  propofitionis 
tertie . Sit  linea  proieddonis  deorfum 
fato  & fit  impetus  idem  qui  fuerat 

in  proiedione./^  / .iurfum Manifeftum 
eri  quodmobilerii^^^  moue 

retur  percurreret  lineam  r edam  af.  Su- 
mantur iam  aquales  tpm  inter 

fe  j tum  etiam  ipfi  aL  patet  etiam  quod 
ipf^  a b . bf..  motu^quabili,  temporibus 
aqualibus  abfolucrentur  cum  gquales 
Sed  quia  grauitas  riatim  incipit  de- 
^ orfuni 


Liher  Secundus  . tjp 

^rfum  trahere , mobile  a linea  reda  /^/cleuiabit,  & eritdefGen- 
fus  . unius  temporis  ut  uxmmj  eritqj  t qualis  ipli  Ic  qui  fue- 
rat delcenfus  unius  eorumdem  temporum . Defcenfus  autem 
fd . duorum  temporum  erit  ^ 4., & & femper  deinceps  . Q]]ia 
uero  ^^.eft  i6.,,erit  ^^.24.  & addita  ^^,tota  eg  erit  2 5. 
Eodem  modo ; ^ ^ /‘^•4*  ergo  tota  id,  eft  3 

Cum  itaq^.fint  aquales  0 h e ^ei,^  o c , ha  yCg\,id  fiat  (co 
tinuato.ordine  numerorum  quadratorum, )ut  16,  2 5.  3 ^.  erit 
linea  c ^^  <a^  . por.tiaeiufdem  continuator  parabolf : ergo  linea 
curua  que  defcribitur  a mobili  deorfum  proiedo  parabola  eft , 
& proriuseademqiiam  defcripftff^  fi  a uertiee  ipifus^  ciim  ho- 
rizontali impetu  oportiino  proiedum  fuiifet » 

fiximus  fum  hon^i^ontali  impem  opportuno  \ quia  fi  mobile 
sum  eodemimpetu proiseretur  ex  horiz^ontaliter  deorfum  •>  & 
ex  2i  fecundum^  a Xfiurfum , nequaquam  e andempar  ab  olam  de-> 
ficrib€Yet  v t'^^qi  latiom  . Requiritur  e nhn  mator  impetus  in pr(h- 
ie^ione  ex  z.  fur fum falja.  ad  hoc  ^t  eandem  parabolam  J efcri~> 
hat  quamdefignauijfetfi  ex  p hortz.ont  diter  pr  oie  Cium fui  fiet . 
Ratia  veromius  impetus  adMmm-vteadempar ah.  euAdat.,€rit 

hac  p., 

Simobile  h oTiz>o  nt  adit  er  pr  oie  Cium  ex  p.  quolibet  impetu  de-^ 
ferip fit  parabolam  p c ad  hoc  %st  ex,z.proieClum  defer  ibat  e an 
dem debet  impetus  ex  a ad  impetum  ex  p ^effeut.  a vi  adCz  m . 

Id  unce  mtafimoh  ile  iuxt a n pToiciatur  c um  im-^ 

petu  dicio  eandem  parabolam  a c p ^percurret . 

propter  nurnerorumapplicationem , ea  qua  au  - 
tudimusnom  demonUrajionempmet  ^ fideomputum:^  velexem^ 
f tum  ^ habeat  hic  demonfirationem  puram pramlffp  hoedem^ 
mate^ 


la 


Si  fuerit  WZ.C  ad  dh.  potentia,  itac^tadh  d. 
longitudine , &fint parallela  c e ,.b  d , loico  { con^ 
iunCl  a 01  e ) ipfamh  dcmediamfepoftMna^^^ 

inter  duas  cctfo  A,.  " 

R fi  enim-  c ^ adh  A doMgitudim^  K a ad:''z  b,-  ^ 


B 


1^©  Demotu  ProieS^mm 

hoQ  e c e > Ad  b i.Pote^ftia  * S^Are  , media  eB  inter  CQ^ 
hd,&c.^ 

S i ^ero , vt  funt  a b , a c , a d .pten^ 
tia , it  A fuerint  pralleU  b e , c f , d g. 
lengitudine  yf  ntq ; a h,  i g . ^qudesyBi 
co  etiam  h e , i f , ^qudles  ejfe  . Eji  enim 
ad  2ii  vt  g d ad  icy  vel  per  prae  e- 
dens  yVt  i c ad  cf.  ergo  diuidendo  erit 
vt  ad  i^yita  i fad  f c.  eirdoft  modo  ojlendemus  effe  vt  g b 

ad  h^y  ita  h e ad  e b . His  demonBratis . E/i  { c ad  h c . lon^ 
gitudine  y Vt  c a ard  a b,  vel  i a ad  ah,  vel  g h W h a,  vel  h e 
ad  e b . pot  entia  . Ergo  h e media  efi  inter  f c . b e . Iterum , 
Esi  £c  ad  b e longitudine  vt  ca  ad  dby  vel  id  ad  d h , vel 
ai  asl  i^gyvel  c£  ad  fi  potentid . ergo  fi  me  di  a e fi  inter  cf , 
b e . Inter  eafdem  vero  media  erat  etiam  e h , ergo  f i , e h . £• 
quales  funt . ^^od  erat  promittendum,. 

Refumpta  iam  figura propo (itionis  s»  huius  y fiat  vt  amea  ex^ 
pofitum  eB proieBio per  lineam  aede  f .dueaturqi  reBa  dfc^ 
accipiantur  aquales  dp,fq.  Erunt  obdefcenfionem  natur  ali-^ 
ter  accelerata?nfpatia  I c.  m c , bf . in  duplicata  ratioue  tempo- 
rum a 1 > dxddydb , ^ tdeo  per  praced ens  lemma  aquales  erunt 
cp  y e qydr  propter  e a remanent  aquales  1 c , n e f nam  tota  1 p , 
toti  n q . aqualis  efiyproduBa  enim  i d r . erunt  aquales  a r,  r fi 
&ipfa  ir  eandem  rationem  habebit  ad Vpy  (fi  ad  nqy  nempe 
quam  habet  ra  ad  dp.  vel  r f W f q . ) Ergo  omnes  linea  qua 
ex  f verfus  i d fuccefftue  defeendunt  d linea  fb  funt  aquales 
omnibus  (fi  fingulis  illis  refpedmey  qua  ex  a 
verfus  lineam  id.  fuc  c e ^lue  defeendunt  d li- 
nea ab  ^Jingulafingulis  ( quod  enimoBenfum 
€ fide  fola  n e.  ofiendi poteB  de  omnibus , ) Sed 
emnes  iBuy  quarum  feries  ex  a incipit  per  fup 
pofitione  funt  inter  fe  longitudine  vt  funt  a 1 , 
a m 5 a b , pot  entia , ergo  etiam  omnes  illa  qua- 
rum ordo  incipit  ex  f.  erunt  longitudine  vt  om 
nes  in  j f o , f h fotemid . filare  Une  a e urna 

a ce  fi 


Ltker  Secundus . idii 

a c e f , qudi  defcrihitur  ) mobili fecmdum  qUdmlibet  e letid^ 
tionem  frokBo^eadem  fdrdbold  efl^  qudm  dejlgn dret  fi  ex  verti 
ce  f cumimfetH  horkontaU  of  ortum  froieilum  fuijfet . 

Lemma. 

Si  mobile proieSlum , dum  parabolam  a b c per-- 
currit  y in  aliquo  ipfius  puftclo  b . omnz  gr duitate 
fipoliaretur^  tunc proQulduhio per  lineam  reilam  b 
d » tangentem parabold  lationem fuam  cotinuaret 
motu  femper  aquahili . ^ujtndo quidem  dempta  ei 
e^et  omnis  caufa  qua  motum  aut  inflexere  poffet^dut  dc celer d--- 
re^  vel  retardare , Manifeflum  etiam  eB,  impetum  ipfius  mobi- 
lis in  qualibet  portione  tangentis  b d , eundem  femper futurujn 
fore  qui  fuerat  m puniio  b. 


PROPOSITIO  IV. 


IMpetus  in  pumflis  parabolae  vt  funt  portiones  tangentia , ia* 
ter  duas  parallelas  diametro  interceptae . 
propofita  parabola  ducantur  ^ 
tangentes  ae^bg ,cb.i quibufcunque 
pun(5tis  a,  b .c.  tum  duae  line^  parallel^ 
diametro  vbicunque  fint  di^eh.  Dico 
lineas  interceptas  d e . fg  fh,  ipfos  im 
petus  qui  funt  in  pundtis  a.h.c.  propor 
tione  reprefentare . 

V naquaeq.  enim  ipfarum  d e yfg^  i k .eodem  tempore  abfol* 
ueretur  a mobili^quandoquideprogrelTio  horizontalis  quae  in- 
ter duas  parallelas  di,  e eodem  femper  tempore  debeat 
abfolui,  vbicunq.reperiatur mobile,  & perquamcunq;  incli« 
nationem  procedat.  Sed  motus  in  ipfis  lineis  interceptis  funt 
aequabiles  ,ergo  impetus  erunt  vt  fpatia . Quare  impetus  ipfius 
^e,velpunai  ^.erit  vtlinea  de.  Ipfius  autem  velpun(^Ii 
b • erit  vifg*  ^ fic  deinceps . Quod  erat  &Ci 


X 


PRO- 


102 


De  motu  TimhBomm 


PROPOSITIO  V. 


I Mpctus  in  pundis  parabolae  sequalitcrvtrimq;  a vertice  di- 
ft antibus,  aquales iunt  inter  fe,.  licet  alter afcendat,  alter 
vero  defccndat 

, Sumatur  in  parabola  proiedionis  fad^  verfus: 
b & Cjpundaquseuis qu^  sequalitd  diftent 
a vertice  b , hoc  eft , quce  fintin  eadem  horizon- 
tali linea  a c . Dico  impetus  in  d8>L  c aquales  ef- 
fe  *.  Accipiatur  b e trqualis  ipii  b d,di  ducantur  d 
€^c  e,  quarum  vtraq;  tangens  erit . Ducantur  etia 
line^  q/, gh,  diametro parallelg ubicunq;uifum 
fuerit  i & producantur  tangentes  ah^eg  .Erit  er 
go  per  praecedentem  impetus  in  a ut fh,  &in  c ut  cgy  quse  fi 
^quales  fucrint,aequaies  erunt  impetus  in  pundis,  a dz  c . 

Latera  dd^dc  . funt  aqualia , «5c  d£  commune  y anguli  aute 
ad  d redi , ergo  anguli  de  d^d  e e funt  igquales . Angulo  airt 
tem  d ed  aqualis  eft  e hg . oLparallelas , & ipfi  de g,  ^^qualis 
efl  c gh , item  ob  parallelas  jeil  ergo  triangulum  chg  ^quicru; 
re,  linea  fc.  bafi  parallela^,  quare/i^,  e g^  aquales  funt*. 
Quod  erat &c,.  vv  . 


A 25 


Corollarium..  ‘ cj; 

'Bine  colligere  foJfumusfdCid  pr  oie  Bione  ab  a,  quod /imobi-^ 
le  exfunBo  c refieBdiurretrorfum per  e anden^  fudm  ^tdm  cum 
impetu  eodem^  eademq;  direBicne  qudm  hdbet  in punBo  c iper 
edndem  par  dholdmrecMrr  ere  debere ; Habetenimin  ‘vtopen 
dimur  eundem  impetum^i  ^dr  eundem  direBione^rtiqudm  hdbe^^ 
in  a , quare  eandem  parabolam  dejignare  debet  qUdm;  de 
tat  ex  d.. 


P H O P O S I T J O FB  ' 

1 T parabola  a b cuius. altitudo  ^ c p & fiiblimitas  ady  o-. 
flendeodiim  cft  aliter  ac  in  primo.li  bro , eundem  efle  im- 

' , petum 


\ 

E 

/ 

/ 

r 

f . 

n 

A 


K 


3 I 


Likr  Secundus : 16% 

petum  parabol^,  in  h , aq  grauis  cadentis  naturaliter  ex  pundto 
lublimitatis  d , ufq.  in  s,,  rf 

, : : ' > 

Ducantur  tangentes  ae  e 

paralielaipfi  dc . Notum  ergo  eft  per 
4.  huius  impetum  parabolf  in  b,  adim 
petum parabo4in, d e0e ut  ad  de^ 

cum  iint  & 4 c inter  eaid  em  ad  dia- 
metrum parallelas  intercepta . Agatur 
per  ^ & e alia  parabola  d e h , &impe 
tuscafusper^  /^j  ad  impetum  cafus  per 
^c.eaitutAppiicata:  ^^  ad: applicatam  c Si  ergo  fuerint 
^quales  tangens  appplicata  c h , erit  ex  gquo,  impetus  in 
b ad  impetum  in  c ut  ^/ad  c h.  nempe  aequalis . Oftendo  bf 
nh.  aquales  elle,  fic.  Sccetur  cb  bifariamin  /,  & erit  per 
demonftrara  io  procedenti  libro,  c / media  proportionalis  in- 
ter dd.  lam  lic  . Quadratum  c a ad  redangulum  c ad 

fub  eadem  altitudine  , eflut  ad  dd^  ergo  quadratum 
ad  quadratum  ci  efiut  cd  ad  dd.  Sumptis  autem  quadrato- 
rum quadruplis  erit  quadratum /c  ad  quadratum  cb  ut  ad 

dd.&.  componendo  quadrata /c,  c b,  uel  quadratum  fb  ad  qua 
dratum  c b erit  ut  c ^ ad  d d , hoc  eft  ut  quadratum  c h 2A  qua- 
dratum /^f.-fed quadrata  cb^de.  aqualia  funt,  ergo  etiam 
quadrata ch.  Quare  aquales  funt  line?  ch.  Quod 

erat&c. 


PROPOSITIO  VII, 

I ab  eodem  puniflo , cum  eodem  impetu , & eadem  dire- 
tftione  fiant  proiediones  utrinqiie , furfum  nempe  , & de- 
orfum:  mobile  uninque  per  portiones  unius  eiufdemq.  conti- 
nuatse  parabo]  0 percurret. 

Fiatexpundo  ^ cumdiredione  ^ ^ . proiedio  furfum  dcl 
ac  abeodempundodiredione  ^^fiatproiediodeorfum  dd. 

'V  X 2 Dico 


I € 4 De  motu  Protelorum 

Dico  c 4^  vnam,  & eandem  continuatam  pa- 
rabolam efle . Si  enim  continua  non  eft, demit- 
tatur mobile  ex  vertice  <rverfus  per  parabo 
lam  c a.  Tunc  mobile  cum  ^^^.non  fit  con- 
tinua parabola,  non  peripfam  ad,  fed per  alia 
lineam  meabit , quas  fit  ^ ^ . Verum  mobile.iru 
pundo  a eundem  habet  impetum  fiue  ante  afcenfum  a c , fiue 
poft  defcenfum  c a . Mobile  ergo  expun(fld  a . quando  venit 
ex  c ineat  per  cae,qud.ndo  vero  proiciturex  a cum  ebdem 
impetu  , Sc  dirediolie  currit  per  ad , Quod  eft  abfurdum  . 
Cum  enim  in  vtroque  cafu  difcedat  ab  a cum  eodem  impetu^ 
eademq;  diredione , debet  etiam  in  vtroq;  cafu  per  eandem  li- 
neam ad  ambulare . Qitod  &c. 

PMOPOSIT  IO  V I 1 I^ 


DAta  qualibet  parabola  a mobili  furfum  proiedo  defcrip- 
ta,  proiedio  perpendicularis  fuiTum  eiufdem  mobilis 
fada  cum  eodem  impetu,  tantum  afcendet , quanrmn  eft  aggre 
gatutu  altitudinis  3 & fublimitatis  fimul  datijeparabol^ . 

Sit  parabola  aBy  oms  altitudo  r & fabli- 
snitas  i d . ponaturq;  a e aqualis  & p.arallel  aip. 
fi  ^d,  Fada  autem  fit  parabola  a proiedidne 
ex  a verfus  b . Dico  fi  fiat  proiedio  cumeode 
impetuperlineam  rfi  e furfum,  mobile  vfq;  ad 
pundum  e pcruenturuni  efle . Impetus  enim  parabole  in  ^ , fi- 
5?.  Ffo-  ue  fiat proiedio ex  4, in  ^,fiue  ex  b in  a,  idem  eft fvtoften- 
dimus  .;  atex  Galiieo  idemeft  ac  naturalirer  cadentis  ex  ^ in 
t , fed  impetus  naturaliter  cadentis  ex  d in  c ille  eft  qui  reuehit 
mobik  ex  cmd,  ergo  etiam  ex  ^ in  ^ . Qgod&c. 

Definitio. 

quando  datum  impetum  u&miuabimus , illum  ift 
fyMus-ditttTmiiiabzmus  GdUU^vlfumtJl  s aUaemmTatians 


Liher  Secundus . ^6 

fuh  certam  ^ vniuerf  dem  menfur<&  reguUm  c dd ere  no 
foteU,  Exempli  gratia,  ^ando  dicimus  fit  impetus  b’* 

datus  ab.  tuncfienfus  nofier  efl , Sit  impetus  datus 
tantus  quantus  requiritur  ad  proiciendummobile  ex  a 
*vfqi  ad fummum punCium perpendiculi  b . Siue , quod 
idem  € fi  ^quantus  efi  impetus  naturaliter  cadentis  ex  b 
vfq\  in  , 

Lemma » 


a). 


c 


cire  a diametrum  ab.  per^uerticem  a, 
quoduis  puncium  c . alia , atq\  alia  parabola  non 
conBituetur . Si  enim pcfiibile  efi  ,fint  circa  dia 
metrum  a b perpunSla  a c .duaparaboh^)  ^ 
ex  c ducatur  ordinat  im  cb.  tum  alia  qu&libet 
ordinetur  d f . ^gtadratum  ergo  c b , ad  duo 
illa  'quadrata  in&qualia  f d , f e eandem  rationem  habet , nempe 
quam  habet  h^L-^ad  af.  ^od  efi  ahfurdum . Ergo  circa  dia^ 
metrum  (jrc. 


B 


PROPOSITIO  IX, 


DAtoimpeiii  ba  f^hoc  efi  quantus  ed:  naturaliter  cadentis 
ex  b in  a iuxta  definitionem /dataq.  diredione  a /,  iux 
ta  quam  facienda  proie6tio  cum  impetu  dato . Oportet  amplia 
tudinem , altiriidiiiem , totaraq;  faturam  parabolamhuius  pro- 
icdionis  reperire . 

Ducantur  per  ^ d>ch  horizontales  li- 
nee ad,  h L & fiat femkirculus  afh cir 
ca  diametrum  ab , qui  lineam  a c omni- 
no fccabit,  cum  ipfa  ad  tangens  fit . Se 
cet in/, Seducatur  fe  horizontalis,  & 
producatur fg  aqualis ipfi  fe,  demum 
agatur  per  ^ perpendiculum  Ig  d,  Fiat  fam  chta  diametrum 
g d per  punda  ^ & a,  parabola  ag , qu^ ynica erit  per  lem^ 

/ ma  procedens,  neq;  alia  parabola  circa  diametru  ^ d perpun- 
^ .f  s & 4 iicripotaiu  Dico  hanc  eife  parabolam  qu^fi- 

tam. 


N 


1 ^ 6 De  motu  Trok^omm 

tam  Huius  enim  parabo!^ linea  dire<5liua  efl:  ^ cum  ipfa 
tangat  parabolam  in  d,  Eft  enim  eg  uel  dd*  ipfiasy^.dui- 
pla  per  conll;rudionem,& ideo  aquales  funt  dg,giy  quare  ^ i 

tangens  eft. 

Infuper  . Dico  banc  parabolam  ab  impetudatodefcribi. 
Sunt  enim  d c,  ef , elf,  fiue  tres  ipfjs  aequales  dg  altitudo,  gf 
femibafis,  & g /,  in  continua  proportione  .•  quare  g l fublimi- 
tas  eft  ( per  5.  propof.  & eius  Corollanum  Galilei , ) 

^ lamftc.  Impetus  parabo!^  ag  inpuuifto  ^tantus  eft  qua 
tus  naturaliter  cadentis  ex  / in  d,  per  i o.  Galilei . hoc  e ft  ex 
h in  d.  fiueproiecfti  afeendentis  ex  'd  in^.  Habet  ergo  pa- 
rabola in  pundo  d etiam  impetum  datum  . Qijarcfadtumeft 
quod&c. 


Sed  quid  h£c  propojitio  mdgm  erit  momenti  pro fequentilus 
illam  oHenddjnus  etidm  alio  modo , 


B 


o L c! 


b 

p 

Sit  impetus  datus  idem  db.S>c  eadem 
diredio  d,fc,  Quarritur parabola  qug 
fiet  ab  hac  proiedione . Fiat  iit  ante  cir 
ca  diametrum  d b femicirculiis,  qui  fe- 
cabit  lineam  4r,cum  fit  tangens  . 

Secetin  /i  dudaq.  horizontali  efgita 
ut  gquales  fint  e/,  fg  y deferibatur , 1iue 
tamquam  deferipta  concipiatur  parabo-  . >i 

iaperpunda^  d,g,^  circa  diametrum  gd.  Dico  hanc  effe pa- 
rabolam proiedi,  fi  a pundo  d iaciatur , iuxta  diredionem  d 
c , cum  impetu  d b . Nifi  enim  currat  mobile  per  hanc  iam  di- 
dam parabolam,  curret  omninoper  aliam , qu^  (xidp.  Repe- 
riatur  uertex,  fiue  pundum  altius  cf  teris  huius  parabole  4 d,  dc 
illud  fit  /. 

Patet  primo  quod  pundum  / efie  non  poteft  in  linea  Id,  quia 
cum  linea  d c tangat  utramq,  parabolam,  fecaretur  i d axis  co 
munis  bifariam  in  duobus  pundis  a uerticibus  parabolarum  j 
abfurdum . Neque  poteft  efte  in  linea  . Quia  duda  per  uer- 


ticem 


Liber  Secundus . 167 

cem diametro , putd , mn . bifariam fecarctur  mnz  linea  e g» 
abfurdumifola  enim  i fecatur  bifariam  ex  omnibus  fibi pa- 
rallelis in  angulo  c ad,. 

Sitiampundium . vbicunq,-ducaturq;  prf,  horizontalis . 
Qma  f n m . funt  aquales  per  fecundam  huius, er  unt  nr^r  a, 
pr^rf,  sequales  ,*& quia  parabola  ap  impetum  habet  b a , 
hoc<"ft  ^?;;^,erit  pundumfucefubliiTiiratis, &ideolinese  op^ 
pr^pmdm  continua  proportione  erunt ; & redangulum  opm, 
quadrato  p r aquale , commutatifq;  lineis  cum  libi  aequalibus , 
redfangulum  bfa  aequale  erit  quadrato  f r . Piindum  ergo  r eft 
in  femicirciili  peripheria . Quod  eft  abiurdiiiT!,reda  enim  linea 
^/in  duobus  tantum  pundis  peripharia"  occurrit . Quare  &c. 


Corollaria . 


manifeBum  eB,  dato  imp  e tu  alicuius  ma  ^ 
china  qui  fit  verbi  gratia  ea.  Si  deferibatttr  cir-  _ 
ca  e a femicircuUis  a d e , dari  altitudines^  (fi  am 

JT' 

plitudtnes  omnium  proieBionum , qua  ab  eadem 
mac hi ft^a fieri poffiint  ^ '^xempli gratia,  Manen  ^ 
tef rmper  eodem  impetu  e a .fiant proieBiones per  A 
lineas,  diucrfimode  eleuatas  z c , a d , a b . Proie- 
Bto  faci  a fecundum  direBionem  ac  aficendetvfiq'^  adhorizon-- 
talem  f c preduBam  ,•  iaBus  aufcmfaciusiuxt  a dire  Bionem  ad 
apicem  habebit  in  linea  h d produBq . P^raicBionis  autem  fe-> 
eundum  lineam  tihf aBa , maxima  altitudo  erit  in  horiz^ontali 
gb  preduBa  . 


In  libro  Qalilei  de  motu  natur  alit  .er  accelerato  ofieditur^prO'-^ 
ieBaab  eodem  i-^pe.tu  ex:'(i..,fi.d planis  diuerfmode  ineUnatid 
fulciantur  ^femper  ad  vnum  id emq  ,•  planum  horizjQntale  petuB 
nire  ,Hic  v erit  apparet  fin  gulas  proieaorum  afic  enfiones.oaaria-^ 
rii  qudndoper  aerem  purum. fine  %tllo  fubieBo  fulcro  proiciuntur 
iuxta  diu  er  fas  eleuationes  s M inus  enim  afic  endit  mobile  quod 
per  lineam  ab . minus  el  e uatam  emittitur,  quam  illud  quod  per 
lineam  zd  , magis cleuatam proieBumfiuerit  ,. 

Patet  etidm  nullam  altitudin.fm  adt  'o  afeendere pofife  r ttd 

ipfam 


»20/»  Protelorum 

i^fam  purallelam  horizontalem  ^qu£  ducitur  per fuMfnum  pro* 
icUionis perpendicularis panBum  e yperuenire pojjit . 

Mamfefium  etiam  ejl  amplitudines  omnes  femper  augeri  ah 
illaprcieBione  qua  dicitur  tiro  di  piinto  in  bianco  'vfq-^  ad pro-^ 
ieclionemfacfamr-ad.  angulum  femireCvum . 

A femirecta  %tero  njjque ad perpendicularem , femper  minuis 
donec  penitus  euanefcant  ,*  qmd  accidit  in  proiedfione  perpendi 
culari , qua  nullam  hab  et  amplitudinem  \ 

Denique  ohf ^fruare  licet  amplitudines  parabolarum  ab  eodem 
imp  et  uf aliarum  ^quarum  cleuationes  aqualiter  ab  angulo  femU 
recio  difient , inter j e aqtcales  ejfe . 

Cum  enim  linea  a b , a c . aqualiter  diUcnt  ab  eleuatione  fe^^ 
mireCia^  erunt  arcus  d b , d c aquales . quibus  infijiunt  aquales 
angulii  (dr  ideo  arcus  b a , c e reliqui  ex  quadrantibus  aquales 
erunt , ergo  etiam fnus  eorum  b g,cf  aquales  erunt ^ ^ propte-- 
rea  amplitudines  integra  parabolarum , qua  quidem  quadrupla, 
funt  finumn  b g , c f\  erunt  aquales . 

Patet  etiamproieliionum  aqualiter  afemirelia  diB antium 
altitudines , ^ fub  limi  tat  es  reciproce  inter  fe  aquales  eJfe , hoc 
ef  altitudinem  vnius , fublimitati  alterius  aquari . 

Corollarium  ergo  erit  quod  Galileo  Theorema  fatis  arduum 
fuerat,^  nempe  proieliionem femiredlam  omium  maximam  effe  ab 
eodem  impetu  faU arum . Si  enim  ponatur  angulus  c 
ad  femireBus  erit  cd  f emidi  amet  er  hoc  e fl  maxi- 
mus omnium  finuum  qui  in femicir culo  dari  pojfnt . 

Patet  etiam  integram  amplitudinem  par  ab  olaf emi 
reBaduplamef  e linea fubUmitatis,,fiue  impetus  a b 
quia  demon  Pirata  eH  quadrupla  relia  c d , hoe  e fi  du-  A 
plaiffiuscib, 

PROPOSITIO  Sr.  V 

DAto  impetu  & altitudine  inlienienda  fit  diredio  iuxta  qua 
fkda  fuit  proicdio:  inuenienda  etiam  fit  amplitudo  pro- 
ledionis.  Sic  in  praecedenti  figura,  impetus  datus  ab,8cdau 

- altitu- 


Liher  Secmdtts\~  i6 p 

altitudo  fit  fiat  circa  db  femicirculus  ducantur  c d» 

horizontalis  ^,ad  autem  ad  pundum  d,  M antfefium  efl  ex  prg 
cedentibuSsdiredionem  qusefitam  efle  a d,  amplitudinem  vero 
integram  eiTe  c d . quater  fumptam . Nulla  enim  parabola  pr^- 
ter  illam  qu^  fit  iuxta  directionem  ad,  cxxm  habeat  impetum  d 
^ , habebit  altitudinem  ^ . 


PROPOSITIO  XI, 


c 


) 

/ 

Ato impetu,  & amplitudine  iniieniendafitdiredid  iuxta 
quam  fadafuit  parabola ; inuenienda  etiam  fit  altitudo . 
Sit  datus  impetus  ^ ^ fit  ^ <3^  quarta 
pars  datse  amplitudinis.  Fiat  circa  ab 
femicirculus  acb  ,&  erigatur  dee  (qute 
fiin  femicirculuiii  non  iiicid  it  problema 
impofiibile  efi:,^  lecetq;  femicirculum 
in  pundk  ^ & e . Dico  vtramq;  dire- 
dionem  fiue  a e,  fiue  a e,  {i  datus  impe- 
tus adhibeatur, parabolam  defigna- 

re, cuius  amplitudo  quadrupla  erit  linese  ad.  Hoc  enim  cx  pr^d 
cedentibus  liquet.  Nam  proiediones  fadcC  cum  impetu  ab 
iuxta  dirediones  /^  c vel  a e amplitudinem  habent  quadrup- 
lam ipfius  g e , vel/’ r . vel  ad . qu^e inter  fe  oequales funt . Al- 
titudo vero  eiTe  poteil  tum  linea  tum  etiam  ag . Vtappar 
ret&c. 


K 


a? 


PROPOSITIO  XII. 

DAta amplitudine  dediredione  c . inueniendus fit 
impetus , & altitudo  parabol^ . 

Datis  ijfdein,  inuenienda  fit  menfura  line^  perpendicularis 
ad  cuius  apicem  afeenderet  mobile  fi  cum  eodem  impetu  fur- 
fum  perpendicularitd  proiceretur . 

Sumatur  a d , quarta  pars  ipfius  ah^^  erigantur  perpendi- 

Y -cula- 


1 7 De  motu  Froie^omm 

culares  dc . de*  fiatq; angulus  ^ c ^ re- 
d:us . Dico  d e . efTe  impetum  proie-  u 
(Bionis,  ^ dc , altitudinem*  Semicir 
culus  enim  circa  diametrum  ^ c . tranfit  r 
perangulumjredum  Ergo  para- 
bolae, cuius  amplitudo  Et  diredio 
ac ^ impetus  e a * 

Patet  etiam  altitudinem  parabol^  efle  lineam  //c.vel  di. 
Cum  autem  impetus  fit  ^ c manifeftum  eft  proiedionem 
perpendicularem  furfum  ex  a fadam  afcenfurara  eife  vfque 
ad  € pundum , fi  proiciatur  mobile  cum  eodem  impetu  a quo 
fadafuitparabola  . 

Bx  hac  ^propofitione  colligere  'poffkmus  qtidntu  afeen^ 

ddtferr  eas  globus  ^ fi  quando  ab  (Zneo  quoUbet  tormento  furfum 
perpendiculariter  iaciatur : cuius  quidem fp at ij  menfura  tantd 
erit , vt  ex  nulla  perpendiculari  altitudine  (lue  arteffiue  natura 
fadafieprehendjpofitt  ^ aut  aliter  experimento  fuhiac ere  , 

PROPOSITIO  XIII, 


DAta  altitudine  ^ & dlredione  a c , reliqua,* 
reperire , 

Ducatur  per  pundum  h,  horizontalis  h c qu^  in«, 
cidatjuipfam  ^cinpundo  c.  Fiatq;  angulus  ac  d 
redus : & circa  triangulum  redangulum  ac  d,  tran 
fibit  femicirculus  propofitionis  9.  huius  - Amplitu- 
tudo  ergo  quadrupla  erit  ipfios  hc,  ^ impetus  erit 
ad,  Qimd&c. 

i 

PROPOSITIO  XIV, 


Dp^ia  altitudine  ab , & bafi  (cuius  tamen  quar- 
ta pars  fit  ^ c ) ^Reliqua  reperire . 
Compleatur  redangulum  i & diameter  d 


recto 


Liht  Secundus:  ) 

recSlo  , erit  di  impetus  >vt  facile  ex  praecedentibus  colligi- 


tur &c. 


A A 


TROPO  S I T 10  X r. 


PRoiedio  perpendicularis  furfum  aequalis  eft  dimidiae  bafi 
proiedionis  femiredce , 'fi  fuerit  ab  eodem  impetu  fa(iiJL-i 
V traq;  tam  perpendicularis , quam  femire(5ta  proiedio  . 

Sit  parabola  femireda  dbcydz  fuper 
dd  media  amplitudine  fiat  quadratum 
a d ef,  erit  d e diameter  ipfa  diredio  fe- 
mire(5ta . Fa  dloq,*  circa  ^/’(emieirculo, 

^ tranfibit  femicirculus  per  i centrum  qiia 
/ drati, deerit  af  impetus  j quare proie- 
' dio  perpendicularis  furfum  vfq;  ad / pundum  af  cendet . Pa- 
tet ego  propo  fit  um. 

PROPOSITIO  XVI, 

fada fuerit proiedio  ad eleuationem  anguli  femiredi; 
O amplitudo  integrae  proiedionis  erit  latus  redum  def  crip- 
tae parabolse,  " 

Sit eleuatio  femireda  iuxta lineam fada- 

que  fit  a proiedo  qualibet  parabqiax^r/.  Dico 
d d\  efle  latus  redum  huius  parabdlcC . Cum  enim 
angulus  e ah  femiredusfit,  aeh  redus,  erunt  a 
^qualia  latera  ae  y eb , ergo  a e,  dupla  erit  ipfius 
f-r.Sedcum  media  proportionalis  fit  inter  latus  redum  ^ 
t c . erit  latus  redum  duplum  ipfius  d e * nempe  aequale  ipfi  ad^ 
Qioderat&c»  * ^ ^ 


PRO- 


172  De  motu  T^mteStoram 

t . » ■ _ 

N.  • . , ‘ .i  , : , » < . . 

; . V " 

PROPOSITIO  XVII, 

Ad  proie(ftionessequaIesfa):idndas,  min  impetus  re- 
quiritur in  ea,  quai  ad  eleuationem  femire(5tam  fieri  de- 
beat, . ' ‘ ^ 


Demonftratum  iam  eft , fi  ab  eodem  impe- 
tu fadee  fint  proied:iones , longius  procedere 
eam  quse  ad  angulum  femiredum  fuerit  expio 
fa . Sint proieSiones  ah . femireda , & c,  c,  ^ 
non  femireda . Dico  impetum  ipfius  c . non  " 
feraireto  maiorem  fuifle  quam  ipfius  h.  femiredi.  Si  enim 
fuifTet  aequalis , tunc  amplitudo  iadiis  ac  ex  demonftratis  fuif 
fet  minor  quam  ae.vt  verbi  gratia  a d\  fed  cum  aqualis  pona- 
tur amplitudo,  maior  omnino  impetus  fuit  per  ac,  quam  per  d 
b ; vel  minor  impetus  requiritur  in  femir  eda  quam. in  alia^ 
Quod  erat 

'i  i" 

PROPOSITIO  XVIII, 

Empus .,  fiue  durationem  vniufcuiufque  proiedionis  de- 
finire. 

Conftruda  folita  procedentium  fi- 
gura,  fit  proiedio  ab  c , oportet  tempus , ~ 
fiue  durationem  eius  Teperirefhoc  eft  B 
quanioaepore  fiat  latio  per  parabolam  ^ 
abe  . Scimus  iam  ex  Galileo  idem  tem 
pus  efie  lationis  ab  e , i&:  cadentis  ex  ^ 
in  d . bis . Ponamus  ergo  tempus  cadentis  naturaliter  ex/’in 
elTeyd^  eritq;  tempus  per  ca  media  proportionalis  ag  , Sc 
koucfemper  • ergo  linea  ag  metitur  tempus  lationis  per  edt  fi- 
ue per  fiue  periemiparabolam  ^ vel  per  integram  eria 

parabolam  abs^  Eandem  enim  rationem  inter  fe  habebunt 
. durationes  parabolarum,quam  habent  femiparabolaru : & nos 
loquimur  de  proportionibus,  non  de  menfuris  . . 


hiber  Secundus . 


P R 0 P 0 S I T I 0 X I X. 


; i 


. r 


DVrationes  proiedionum  funt  vt  linc^  ordihatiin  applica^- 
in  aliqua  parabola  ad  fuam  vniufcuiufqi  altitudinem  • 
Sint  altitudines  duarum  parabolarum ^ 
dc,  (a  quocunq;  impetu  fiue  eodem, fiue  no, 
factsefint,  &quafcuaqj  bafes  habeant,  fiue 
^quales , fiue  in^quales . ) Fiat  circa  c a . pa- 
rabola inuerfa  afdy  & femicirculus . dge , ^ 

Eruntquc  tempora  parabolarum  vt  funt  tem- 
pora cadentium  per  ca^  ^^ihoceftvt  cd, 

X procedentis  libri . Quod  erat  &c. 

Suntinfuper  £dyg4.  in  eadem  ratione  ac  cd^bf.,  quare 
edam  ,gd, chordsein  femicirculo  erunt  vt  tempora  para- 
bolarum dcc. 


l c 

\ B 

— t C 

A: 


PROPOSITIO  X X, 

PArabolarura  aequalem  bafim  habentium  impetus  in  puncto 
fiiblimiori  funt  in  contraria  ratione  temporum,  fiue  dura- 
ti onumcarumdem. 

Sint ete parabolo  rffr.  quse eandem 

habeant  bafim,  & eundem  axem  bc  . fiatq^ 
circa  h c . parabola  inuerfa  b de . Dico  im- 
petum in  c ad  impetum  in  y^effe  mfdy  ad 
c £ . Impetus  enim  in  punctisV  ,•  &/funt  pu- 
ri illi  impetus  horizontales , fecundum  quos 
conficitur  latio  horizontalis 

Cum  itaq;  eadem  latio  horizontalis  a h abfoluattir  temporibus  P^e, 

eruat  impetus  horizontales  reciproce  ut  fdy  ad 
per  3 . Propof.  Gah  De  Motu  naturaliter  accelerato , 


p p a p 0 s I T 10  X X /. 


IMpetum purum  horizontalem,  qui  inuariabilis  eft  femper 
ideminunoquoqj  parabolg  puncto  de^hire. 

. Item  etiam  & perpendicularem  uariabilem , Re  ^ 
petita  prsecedentiumpropofitionum  figura , fuppo- 
nimus , ut  femper,  impetum  totalem,  fiue  compofi- 
tum  proiectionis  , quem  habet  mobile  in  puncto  4 , _ 
effe  tamquam  naturaliter  cadentis  ex  ^ in  & 
hunc  ponimus  eflfe  ut  linea  A' 


Sit  4 d altitudo fublimicas  parabolf  . Er 
go  impetus  cadentis  per  fublimitatem  parabol^,  eritutii- 
nea  ^ c , media  proportionalis  inter  ^ ^ ^ 

At  ifte  impetus  cadentis  ex  b m d eft  ille  purus  horizonta- 
lisqui  lationi  inefi:  in  quolibetpuncto  parabol^,  & elt  inuaria^> 
bilis . Quare  in  vnoquoq;  puncto  parabol^  impetus  horizonta- 
lis erit  ut  linea  ^ c . 


Perpendicularis  uero  impetus  qui  eil  in  pri 
mo  lationis  puncto  fic  determinabitur.  Ma- 
nente femper  unica  fuppofitione, impetum  fi- 
licet  cafus  e4,  elfe  ipfam  e 4.  Impetus 
perpendicularis  in  fine  parabola;  h , eft  tam- 
quam naturaliter  cadentis  ex  h in  c,  uel  ex^ 
in  4,  Eli:  ergo  ut  media  proportionalis 
Q^d  dcc* 


\ 


Sed  oBendamus  etiam  !pTQ  CorolUrio  , quomodo  varietur  irn^ 
^etus  reffeliiue  ad  horix^ontem  i eiuf dem  globi  ferrei  ab  eodem 
tormento froieBi i crefcit  enim  imf  eius ;perpendieuUris  non  que 
ddmedum  crefcunt e^leuationes  tormenti , aut  altitudines  par 4« 
hola , fed  e a ratione  qua  crefcit  in  femicirculo  chorda  a f . Hinc 
animaduertere  licet  futurum fore  vt  idem  globus  ferreus  eodem 
tormento  eteplofus dum  ad horixontemredit  aliquadoteBa  for-^ 
mcefq;  domor  um  traiciat  ^ quandoqi  vero  neque  glaciem  alicu* 
mslacmal^dere fo^tt  ^ 


Uota^ 


Liher  Secundus  . 

N otabimu^  etiam  *vim  in  f ere  ut  i endo , grauium  3 
f er  fe  naturaliter  cadentium  perffatia  b a , c a . ^ C 
/ (faBo  femicirculo  quolibet  a e d per pundlum  a ) 

*vt  funt  a e 5 a f , unt  enim  a e , a f . tempora  cafuu 
c umfint  in fub  dupla  ratione fpatiorum  ,*  ergo  funt  ^ 
etiam  menfura , Jiue  indices  momentorum  vekcita  ^ 
tit  i aggregatorum  per  fpatia  ba , c a. 


PROPOSITIO  XXII, 

1Mpetumcompofitum,fiueabfolutam,  quantus  fit  in  quoli- 
bet pundo  parabol^  demonftrare 
Infolita  priEcedentium  propdfitionu 
figura , fumatur  quodlibet  pundum  a in 
parabola  gh a, h. ducatur  horizontalis 
abid, Ducaturq b • Dico { fada fem-  3 
per  eadem  fuppofitione  impetum  filicet 
per  cg  efle  cg)  quod  impetus compofi  a 
tus  in  a ^ fiue  in  /,  eft  t^daeb^  Cum 
enim  impetus  in  pundo  parabole  a fit  vtnaturaliter  cadentis 
ex  pundo  fublimj tatis  € vfq;  in/,  vel  ex  c vfq.in  d.  erit  ille 
impetus  vt  c b media  proportionalis  inter  gc^  cd*  Qimd  erat 

id em  etiam  hoc  alio  modo  con f der  abimus .. 

Si  expuncto  fubUmi  alicuius  datet  paraholf  alia  parabola  cir^ 
ca  eandem  diametrum  dejfcribaturdine^  ordinatim  ducltt  in  de-‘ 
jeripta^  determinabunt  impetus  abfilutos  i/?  fingulispundiis  pa 
rabol^  dat^  * 

S it  data  p0dbola  ab,  cuius punllum 
fub  lime  Jit  c . Circatommunem  diame 
trum  Jiat  per  c parabola  qualibet  c d , 

Z>ud'lifque  ordinatim quotcunq;  lineis  a 
c , f g . h i , b d . Dko  impetus  in  pun^ 
ilis  a,  f,  h , b 5 ejfev  t funt  Une ^ a e,  Ig. 

a * C h . b \^pu0}hfmt 

'"I  %ttim- 


/7^  . imorum 

vt impetus Cttdentium fer  c ^yQ\yCm^(:x\:,mmpe^tlme§^^^ 
1 §,mi,  nd,  ^oder^t 


xmma . 


Linea  a b ^ ^uam  in  prae  edentibus  pro 
menfura  impetus  ponebamus , ^ circa  quam 
femicirculum  deferibebamusy  quarta  pars  elf 
lateris reBi parabola  b c ^faLta  ab  horizonta 
li proiecdione  • Patet  hoc  exprimo  libro\  cum 
ab  Jtt -impetus  ^ hoc  esi fublimit as  parabola 
b c fecundum  Galileum . attamen  demon  sire 
tur  aliter. 


Cadat  mobile  ex  a in  b,  inde  horizont  aliter  conuerfum 
deferibat  parabolam  b c . Sumatur  b d . dupla  ipfius  b a . 
Lrgo  'mobile  tempore  cafus  percurret  horizontale  fpatium 
b d , critq\  omnino  poB  tempus  cafus  in  perpendiculo  d c. 
Sed  efi  etiamfcTnper  in  parabola  hc  ^ergo  in  c communi  concur 
fu  erit . Cum  ergo faci  a fit  defcenfo  d c tempore  cafusy  erit  d c 
aqualis  b a . Patet  autem  quadratum  b d aquari  reB angulo 
fub  c d^et  quadrupla  b a {eum.  ‘Vtraqi  c d,  b a /emijjis fitipfius  b 
d,J  JB fi  ergo  ba  quarta  pars  lateris  reBi  parabol^  horizonta^ 
lis  b c# 


P M 0 P 0 S 1 r I 0 XX XII. 


O Mnes  parabola  ab  eodem  impetu 

fadf  idem  habent  latus  redum.  (dum 
modo intelligatur  punctum  ex  quo  £un 
proiediones  elTe  vertex  omniu  oblio 
parabolarum  Sit  horizontalis  pu 
non  horizontalis  a f\  fumanti 
)us ipfaru sequales  ac^ae. 

Quia  idem  impetus  eft  per  , «Se  per  a e^ 
ipfse  ^ e, abftrada  grauitatis  operatio- 
ne, eodem  tempore  abfoiuerentur  j effentq.  grauia  eodem  tc^^ 


pore 


Si  U%er  Secundus''.  s ff 

fore  in  c ^ i i fed  eum  gmuitas  operetur  * & idem  fit  tempus, 
seqoales  erunt  defcenfus  e Quadratum  autem  .aequa- 
tur re^tangulo  fub  cd^  quadrupla  a b , cum  demonfiratum  fit 
in  Lem.  praeced.  redam  ^ h efTc  quartam  partem  lateris  redipa 
rabol^  quare  etiam  quadratum  de  sequalc critredangulo 
lub  & quadrupla  . Eft  igitur  eadem  quarta  pars  la- 
teris redi  omnium  parabolarum  ab  eodem  impetu  fadarum. 
Qj^od  erat  dcc. 

- ^ Corollarium. 

Bhie  mdnifeflum  ^ftf ^nsfer fublimitdtem  farAbeldrum  afeen 
'^dennam  ^fiueUnean^  impetus,  quartam  partem  ejjt  lateris  reBi 
illms  pertiem^  paraholieMiquce  i habeat  in pun-^ 

Bofep  arationis  proieUi  ab  inHrumento  impellente , 

V er bi gratia . Si  mobile po  fi  cafum  $.hejc  quiete 
in  a j conuertatur  nom  horwontaliter  ^^fedper  quam-^ 
libet  inclinatam  b c;parabolamq;  defer  ibat  b d , Pa 
tet  lineam  impetus  ^fiu  e fublimitdtem  ab  e/fe  quar 
tam  partem  lateris  reUiparaboldh  d . confderata 
Samen  parabola  obliqua  bd  ita  vt  eius  vertex  fit 
punBum  b y & applicatarum  regMla  fit  tangens  b c . 

Sjtod  autem  h^c  conueniant  cum  doUrina  Co-. 
nicorumy  fic  demonHr  abimus . Si  parabola  ab 
duas  tangentes  habuerit  a c per  verticem  b c 
non  per  verticem  \fumptaqi fuerit  a d quarta  pars 
lateris  reCli^  p>ic 9 iunBam  d c angulos  re&osfa- 
cere  cum  b c ♦ 

Agatur  b i ordindtim  * Cum  fint  aquales  fa » 
a e.  erit  quadratum  b £ quadruplum  quadrapd  fed  idem  quA 

dratum  b f qMadruplum.efireW anguli  f a d , hoc  e fi  reU anguli 
e a d , aqualiu  ergpjunt  quadratum  c ay  d"  reBangulum  c a ds 
angulufqi  Qcd.rehus^ 

Hic , nifi penitus  abs  re  nofir aefiet , facillimi  eliceremus 
fnonBrationemfoci . Si  enim  produc  tr  et  ur  b d * egent  perquatm 
tam  primi  elementorum  aquales  anguli  d e c 3 d b c ged  ad  rem 
nofiraf^. 


Dbmoiu 

His  dejmmfiYdtis  ^ dataparAbola  a b £UtHs  axis  bd  ,icb^ 
Cfisfit  c .fifimatur  qtsodlibetfunUum  in  fcB ime 
.natim  dueatp^r  a d . Hico  latusreBumfaraboUoh- 
hq^a  wcriiccm  hakenus  in  a , epe  quadruplum  li- 
' nearumfimul  d h yh  c-jpu-e linea  c t ^pue linea  ca 
fi  producatur . Hucatur  tangms  2.Q  ydt^  e X b,  agd 
tur  b f parallela  tangenti  a c icfi  a i ducatur  par  al 
lela  axi  b d . Urit  per  iam  demonftrata  quadratum  : 
h e . aquale  reBtangulo  b e c;  quadrupla  etiam  aqua 
lia  erunt  ihcc  e fl quadratum  a e f b , aquale  critreBan-^ 

gulofiub  b c yclf  quadrupla  c.  c y^elfub  iz  quadrupla jeiufl 

dem  ec.  ^are ipfa  tc yV^el  dih y hc  fimulfmt quartapars 
Lateris  reUi parabola  obliqua  cuius  vertex  fit  3l^  cjr  diameter 

Nos  autem  dicebamus  in  prae edentKlQ^ 
rollarioy  lineam  a b,  qua  metitur  impetum 
proieBionum  yfiuequafuhlimitas  eU parabo 
ia  obliqua  h diverticem-habentisin  b,  ejfe 
quartam  partem  laterisreBidufdemparabO: 
lah^  .^uodejfeverumconjkmammus.eud  . , 
ex  doBrina^Apollonq  ycum  linea  a b confiet  ex  d Qy  dr  cx  fubli^ 
mitate , vel  quarta partedatcrisreili  pavAbolarecls  quoi  verti- 
cem habet  d,.  ' 


T K o^F  o s r ^ i>o  -X  X f r. 


Vcelibet  parabola-infinitas  habm  rublitnitates-. 


Si  enim  fer  pun(finin4ib1im€  isf  .quod 
reperit  Galileus , Ikea  horizontalis  produca- 
tur;; qualibet  linea  perpendicuiarisquie  ex^hac  de 
inittaturimparabolam  fubBmitaseiufdem  parabo- 
Iss  erit»  dummodo  impetus  a mobili  per  defcenfutn 
aquifitus  eonuertatur  non  j)cr  Jineam  horizonta- 
lem >iedtai^ense^ 


Propolita  fit  parabola  ab  e.  cuius  fublimitas  a d.  &per  d 
agatur  horizonti  (jquidiftaas  <3?  e..  Demittatur  iam  quaelibet  e 
h,  paraifelaipfi  ^=4.  Dico  ^ ^ fublimitatem  eiTe  paraboIsB  4 
dummodo mobile.inpun<^io  k conuenienti  modo  conuec 
tatur , hoc  eft  per  tangentem  in  pundo  b , Vel . Dico  grduc 
poft  cafum  per  tangentem  fiue  conuerfura,,propo* 

litam  parabolam  percurrere^  Eft  enim  idem  impetus  caden- 
tis ex  e in  ^ , ac  venientis  ex  d per  ^ in  ^ . Cum  ergo  in  vtro 
que  cafti  reperiatur  in  ^ idem  impetus , eademq,%diredio,fiuc 
venerit  mobile  ex  ^in'  ^ , fiueex  per in  continuabit 


tiiobile  per  eandemlineam  bc  curfumfuum.  Eadem  dicemus 
de  conuerftone  per  ^ ^ poft  eundem  cafum  e b . Quare  e b fu- 
blimitas eft  parabolae  ^ ^ c . Q^od  &c. 


F RO  P 0-S  ITIO  XXF. 

D Atis  binis  quibufcunq; , fiue  impetu  & diredione , fiueim 
petu  & amplitudine>fiue  amplitudine,  & dire^ftione  j 
cum  parabolae  reperire » 

Ilixta  duo  data  conftruatur  figura  propofi 
tionum  praecedemium  , & producatur  ah  c 
donec  concurrat  cum  axe  paraboie  d c . Di- 
co c focum  elfe  parabolae . Cum  enim  per 
conftrudionem  aequales  fint  ebybd^  aequa-  ^ 
les  erunt  etiam  inter  eafdemparalk 

ias,  &i  f . Sed  f ftibliraitas  eft  para^ 
boiae/i^,  ergo  di  quarta  pars  eft  lateris  redi » & ptopterca  r. 
ibeuserit*  ^od&c. 

Corollarium. 

Hinc  patet  parabolas  qua  femireiiafiht  habere focum  in  ho- 
rizontali Umav Minores weto  pprtiones  qu4m  femm6lafi^ 

hahm fubhotizonte%&  maior  es fupTA^^^^  ^ 


■ Tl 


18^9 

^ 1 ■ ':  : .-tii!-  . ,:  , , \ -■■  Xf‘ 

5 [P  R O P V S I T I & xxhl.  A ;, 

PArabola.praie<5tionis  horizontalis  maxima  omnium  €ft  >\ 
quas iieri  polfint  ab  eodem  impetu . 

Sit  impetus  4 h . fiatq;  drculus  4 dh  . Sit  , 

etiam  parabola  iadus  horizontalis  hc^  Sc 
alia  parabola  ^ e . Dico  maiorem  effe  para- 
bolam ^ c . quam  ^ ^ . Eft  enim  ^ a redafub  ' ^ 
liniiras  parabole  ^ ^ , 8c  i;  4 reda  fubiirnitas  3 
parabolf  ^are  omnium  maxima 
erit  reum  maiorem  habeat  fublimita  tem, ideoq.  maius  Jatus  re^ 
ctum.  Q^derat&c. 


P R b P o s Itio  ICXV  TI, 

P Arabo! ^ ab  eodem  impetu  fada^yquaru  dirediones  ^rgua*^ 
-liter  ab  horizonte  vtrimqj  diiMnc  forium,  & deorfonkarf 
dem  parabol^  portiones  funt , 

Sit  impetus  ab^  fiant  proiediones  iuxta 
dirediones  b c , b d^  .^qualibus  an^gulis  ab  A 
horizonte  bi  vtrimqi&tantes,  Dico  para- 
bolam ^ e & parabolam  portiones  eiuf 
dem  parabolas  effe . Producatur  enim  c hg, 

Demonftratum  eft  Piopofitione  7.  huius  , 
quod  (i  fiat  proiedio  cum  eode  impetu  iux- 
ta diredionem  ^ fiue  bg,  paraEolle  harum proledionum 
i^ham  eandemq;  continuatam  parvolam  efocient.  Erit  ergo 
bh  eadem  parabola  ac  ^ e 5 quare  eriam  ^^eadem  parabola», 
erit  ac  be^  quandoquidem  sequalitd  inclinantur  dirediones 
ideraqj  eft  impetus  r 

^ ^ 2 T 1 0 ICICVlll.  ^ 

SI  ab  eodlerhpundo  ^ icnm^eodemfap^tu  jObdemte-» 

poris  momento  fimul  proiciantur  grauia  per  diuerfas 
' indi* 


Li^wSeeuMusi  igi 

inclinationes furfumveideorfum, eriint  omnia  grauiafempcr 
in  periph  |ria  alicuius  circuli  cuius  centrum  erit  in  perpendicu- 
lo 

Sit  fada  proiedio  horizontalis  ^ c,  & non 
horizontalis  quaslibet  alia  ^ h iuxta  diredio 
nem  h d . Sumptoq;  in  horizontali  parabo- 
la quouispundo  e,  ducatur  perpendiculum 
horizontalis  reda  tf.  Seceturq,-  bd 
■ aqualis  ^ & demittatur  perpendiculum  dh 
iequale  ipii  c e , vel  hf.  Dico  grauia  eodem 
fimul  tempore  e fle  in  c &in  Cumenimaiquales  fint 
b d , eodem  fimul  tempore  grauia  eflent  in  c & in  ^ • fi  ^quabi- 
Ji  motu  procederent . Sed  cum  grauitas  operetur , erunt  graui- 
umdefcenfus  eiufdem temporis 3 ^-quales,  at  per  fuppofitione 
defcenfus  vnius  efi:  cc,  ergo  defcenfus  alterius  erit  d h.  Qua- 
re grauia  fimul  erunt  in  ^ &in  &proptcrea  in  periph^ria». 
circuli  3 cuius  ce ntr uni  eft/,  nam/>  ^fh  aquales  funt , cum  fint 
ktm  paraiielogrammorum  op^  lateribus  h c y b d,  ^qua- 
libus r-' 


Verm  £Ygo  cfij  fionf<^imngf ama  cadent  id  £tb  ecdem  fMn&c^ 
f er  diuirfas  f lariorummciinatione^  etiam  prok& a femper 

ejf ? in  eiufdem  circuli  peripharia . Exempli  gratia  ,•  fi  quis  ex 
aliquo  pun6H  grauia  proiceret  cum  eodem  impetu  per  diuerfias 
inclinationesyaliudqigrjtueemitieret  eodem  temporis  in  flanti 
ex  quiete , e^  ab  eodem pdnMit  y videret  grauia  proiedia  fiempet 
Jn  aliquo  circulo  difpojt^aflommeare^  cfi  hmufinadfcircuimpeml' 
pet  haberet  centrum  Wo'^  fluod nattettflifier  ddlflchdd^ 

tiflum  ex  quiete  : ~ 

ERO  B O I T T a XXIX. 


I ‘ ab^eoddn  pundo , ^ cum  leodem  femper  impetu 
proiediones  j vertices  parabolarum,  fiue  quod  iderh  ell  ^ 

tus 


fffQiplPfQitMofUfn 

ius  quidem  maiordiameter  horizontalis  fit,  & dupla  minorisi 
Sitimpetus  ab , & circa  Fiat femicir 

culus  ad b,  tura  fiant proied^iones  iuxta  tan  -n 
gentes  ad^ae^  Dico  vertices  paraholam  h 
eifeinfupeificie  fphaFoidis  ; quiE  habeat  a-  p 
xem  aby  & diametrum  horizontalem  dtipw 
lamaxis^^.  Deraonfiratum  enim  eft  Pro-  k 
pofitione  9.  huius , quod  produtflis  horizon 
talibusy^  perpunaum  d,  & /^iper  pundam  <r,:qu^e  dupla5' 
fint linearum  fd  e ^ deraonflratum  inquam  eflpunda  g 3c 
4'efie  vertices  parabolarum . Sed  punda  g Sc,  i funt  in  fphas^ 
roidis  fupgrficie,  de  qua  diximus  (eft  enim  vt  j;/ad  fd^  ita  ib 
ad  ^ i ergo  patet  propofitum  . 

Sphpra  ergo  acliuit  at  i s afeendentis.proieBoYum.  eB  in fuperf- 
cie  fphproidis  illias  fpeciei  qup  dia?netrum  hdbeat  duplam  axis* 


> "! : 


: : ‘ Lemma 

Si  reBa  linea  duas  par  abolas  contingas  in  eodem  ptinBQ^  fint 
que parabolarum  diametri paralldpy  ipfp patabdUfe  mutuo  con*. 
tingent  in  illo  eodem  punBo , 

Sit  recta  linea  a b qus  inpund^o  b 
duas  parabolas  cbd,  fbh.  contingat  y 
^ habeant  parabola  parallelas  diame-^ 
tros , Dico  huiufmodiparabolasfe  mutuo 
contingere  * Si  enim  non  contingunt  y 
fecent ; ^ intelligatur  alteram  parabola 
tumejje  Qhh\alteyamver\ihdi  * Aga , 
tuf  h i paralleladtdmetrisy^  *f4Tallelatangenii  * Brtint 
erga  aquales  c i , i h ; item  p quales  ii  ,i  d « Sluod  e fi  impo^thU 
Uy  ^arec^c  * 

^ Lemma  /A 

Si  dup parabola  a b c , d b e ./^  mutuo  contingant  in  b,  ^ ha 
heant  diametros  pardlelasiDico  has  parabolas  numquam  ampli 
m conuenire  . . . r/  Cj 

Si  enim poJf$bileefi  eonueniant  m t . & dueatur  b b parallf  *? 

ladia* 


LUerSecmdfM. 

iddtdmemsy  ^ ih.  wdmAtimitumAUd 
quduis  ci  Mdmdtim^^^  Hd^  " 

bebii  er^o  ^uddrdtum  f h Aandem  ratio*  ^ 
nem  ad  duo  quadrata  c i , e i , nempe  qua 
habet  h b , adh  L ^^^d  eH  mfo^tbiU 


\ 

# R O P ^ R I T J 0 XXXf 


SI  ab  eodem  pundocumeodemfemper  impetu'  proie£^:io- 
nes  fiant,  parabolg omnes  contingent fupcr fidem conoi- 
-dis  paraboliciycuius  latus  te^um quadruplum  fit  proiedionis 
iiiriumperpendiculantd 


Sit  impetus  ah  .Mmcz.  di  fiatdke^us 
db  £atmvemeei  parabe^4/^.euiusfccus  filW . Eiadaik 
ffroiedk)  iuxt^quamlibet  deuationem  adjfimstuxqi  d 
lis  & demiffo  perpendiculo  i fiat  te  parabolai^ 

drca  diametrum  r/  -expuncto  ^/^eikqjli^cparabola 
prakiai  abimpetui^iuxta  lineam  dire^^iuamw^^^^ 


Demotu  WrouUorum 

fublimitashuius  iqu^  CQmemdcutri 

parabola  h tc.  Conuf,niit.iq  / . ©ico  paraboiam  Af  cvconti- 
nuatam  contingcr^e  parabolam  bh  vk  /.  iDucantur  orcfink* 

Sunt  per  Lemma  Ptopof.  24.  praecedentis  libri  in  condnna 
ratione  Im^  of,  Quadratum  i?/'.  quadruplum  eft  redangu- 
li  ^^/bb  parabolam  cuius  focus  efl:  a,  & quadratum  efcum 
fitperconflru^qnemquadruj^um  quadrari  quadruplum 
etiam  erit redanguli  afb  . His  dcmonlirads  dc  procedemus  • 
Reda,  «?/^fad-redam  ^^perq^fextieO;  Vt  >%?/ad  /c.,.  fiue  vc 
^quadratum/tf  ad  quadra tum/^^,fumptirq;  eorum  fubquadri^'- 
pUs_^  vt.redangulum  ^^/'ad  redangulum^q^  , hdG.eft  fomif 
hi  communi  altitudine ) vt  reda,^.^*  tdA^jfat.  Q^rc  diuMmdo 
erit  vt  mf  didi  fh , ita  bf  didfa,  Sc  proptera  in  continua  ratione 
(mt  mfj  b/t/^ ",  ne/he^ei, 

Tranfeat  iam  parabola  d e . per  pundu  f , erit  quadratu  ad 
quadr.p  , vt  /> , ad  ^ . hoc  eit  vt  quadr.  e b d.d  quadr.  e n hoc 
eft  vt  quadratum  ^ ^ . ad  quadratum  /?  /;  & permutando , qua- 
dratum ai  ad  quadratum  b hy  eritvrquadratum  p»  ad  qua- 
dratum n l.  Quare  aquales  funt.  & ideo  parabola  d 

f e . cum  tranfeat  per  f . tranfit  etiam  per  /.  Sumatur  tandem 
br  sequalisipfi  ^ w.&iungatur  r/.  Manifeftum eft  rl  vtram 
que  parabolam  contingere , cum  fint  aquales  tam  mb  ^br^  in- 
ter ie , quam  n e , fe . Ergo  parabolae  dc  b Ic  (q 

mutuo  contingant  in  pun  do  / per  primumlemmajneq;  ampli- 
us conueniunt  per  fecundum  lemma.  Quod  erat  &c. 

SfhATd  ergo  totalis  aCiiuitatis proieBotMm  eB  in  fuperflcie  co» 
noidis  farabolici^c  mus  focus  efi  funBum  ex  quo  fiunt  froieBio^ 
nes  \ ^ taius  reBum  conoidis  quadruplum  e fi proieBionis  per^ 
fepdkularhfiktfu  ^tmmBrHtdm  imnfuBfingulasfingu» 

dafiumipropeBionumparab^ldsfimM/^diconoi^^fue^^f^^^ 
attingere  ymmqdamewdef^^  Pr  oHBd  igitur  i eodem  tempor 
f e funt  in  Jphfrdfuperficie  y mfineaftenfionisftntmfphtroi^ 
di^fiperfitefup^maiUoTiitn  dBiuitas  eB  in  mnoidisifardkt^ 
itSiftpetfiCf^^ 

Lem- 


vjLikrSecmdm  ^ 1 1 1 

. Lemma . 

pMrahot^  Aquales  ab  c , d e f,  circd  eandem 
diametrum  a h defcripta  afymptoti Junt ; hoc  e fi 
cum  femper  magis  accedant  imicem , mnquam  ta-^ 
mincomemunt  ^ 

Re£l angulum fuh  ad  ^latere  reB&  dijferentia 
efi  inter  quadrata  b g , g e , item  etiam  inter  quadrata  c h , h f. 
Ergo  redangula  etiam  fub  e b , b g e tamquam  vna  linea^^ 

fub  f c,c  hf  tamquamvnalinea  ^ aqualia  erunt  inter  fe  ^ cum 
fint  differentia  quadratorum\reciproca  ergo  habebunt  latera^ 
nempe  vt  e b ad  i c ita  erit  c h f linea  ad  hge  lineam , efi  au^ 
sem  ch^  linea  maior  quam  bge,  dr  tdcu  xzh  maior  erit  quam 
fc.  ParaboU  ergo  femper  magis  accedunt , fluod nunquam 
conueniant  patet , 

Nam fipofiibile  ell,  conueniant  ducatur  c 

ordinatim  a b.  Cum  parabol^  fint  aquales habe^  ^ 
bunt  idem  latus  reClum eritq-,  quadratum  a b . ^ 

quale  vtriqi  reB angulo  quod  continetur  fub  latere 
reffoy  clr  alterutra  ipfarum  c b > d b . fluod  efi  im’- 
pofitbile . 

PROPOSITIO  XXX  T. 

PArabola  proiedionis  horizontalis  nunquam  conuenitcS 
fupcrficie  conoidis  praecedentis  propofitionis,  etiam  ii 
jfemper  magis  ac  magis  ad  illud  accedat . 

Sit  in  figura  praecedentis  propofitionis  impetus 
abi  parabola  genitrix  conoidis  fit  parabola 
autem  horizontalis  proiedionis  fit  ad.  Dico  has 
^parabolas  femper  quidem  accedere , nunquam  ta- 
men conuenire  . Sunt  enim  circa  eandem  diame- 
trum ab  i & funt  aquales quandoquidem  reda  ab  tik  quarta 
pars  lateris  redi  parabolae  bc^  per  confirudipnem  , & para- 
bola a d , quia  eft  ipfius  fublimitas . Ergo  per  lemma  praece- 
dens afymptoti  eruntV<;^d 

Aa  ‘Coro- 


Demotu  Pmedtomm 


Coronarium. 

Bwc  mAnifeftum  eJlfArabolas faSiasiuscta  dire  Bione s deof* 
fum  inclinatas  nmiquam  contingere  fuperficiem  conoidis  j At* 
tamen  fi  continu  at  g tntdligantur  illud  contingent  ad partes  op 
pofittas fiuperiores . D emonBrauimus  enim  Propofi,  7,&  2 j ,Pa- 
raholas  diriBionum  deorfum  vergentium  easdem  ejfie  ac  dire 
Bionum  furfium  vergentium ^ dummodo  line^  dircBionUm  ^qu4 
liter  db  horizonte  diJIcnt  vtrimq\ 

PROPOSITIO  XXXII. 

DAto impetu fiue fublimitate  ac^cvixas prokaio  fcmire- 
da  jfirparabola  a eb.  Dico , ii  proiedio  fiat  cum  eodem 
impetu  horizontaliter  ex  pundo  fublimitatis  c , iadum,  fiue  pa 
rabolam  cadere  in  ^ . 

Cadat  enim,  fipoilibile  efl,  iadus 
horizontaliter  fadus  ex  pundo  e in  pu 
dum  d.  Et  quia  parabolae  cd  impe- 
tus, huefubiimitasponitur  reda  ac^ 
trita  e , qu^ta  pars  lateris  redi  parabo 
Ise  cdy  ergo  4 d applicata  ex  foco  d up 
Ja  erit  ipfius  ac , Sed  etiam  ab  dupla  erat  ipiius  a c;  cum  fup- 
ponatur  ab  amplitudo  fada  a proiedione  femireda,  ergo 
aequales  elTent  ad , ab  ^ impoffibile . Paret  ergo  propofitum  ^ 
Patet  etiam  quod  iadus  e b defcribit parabolam  genitricem 
Illius  Conoidis , cuius  fuperficiem  tangunt  omnesproiedio- 
nes  fadsB  ex  pundo  4 cum  eodem  impetu . 

PROPOSITIO  XXXIII. 

DAto  impetu , dc  quocunque  plano  £m  ere  dq,  fiue  ad  1 10- 
rizontem  inclinato,  reperire  in  dato  plano  remotiflimu  j 
iiuealtiffimumpundum  ad  quod  cum  dato  impetu  fieri  poffit 
iadus. 

Item  reperire  ifiae  remotiffimS 

iiim  iadum  faciat « 


x>  JS 


Liher  Secundus . iS^j 

Sit  impetus  aif  & parabola  conoidis 
fit  b c\  lam  dato  plano  ad  horizontem 
eredo  d eritpundum^  e-  altiflimum  om 
nium illorum,  ad  qua? potefl  ex  a cum 
impetu  ab,  iadus pcruenire . Sivero 
inclinatum  fitplanum  vt  fb^  erit  pundu 
h altillimum  omnium  illorum  ad  qu^ecu  dato  impetu  expun- 
do  a poteft  iadusperucnire  * Diredionem  vero  quae  facit  pa» 
rabolara  pertinentem  ad  pundum  h ficinueniemus.Fiantcir- 
ca  axem  circulus,  &cllipfispropofitionis  2p,iundaq.  hb,, 
fecetur  ellipfis  in  / , & ducatur  im  . horizontalis  quae  feceteir-» 
culum  in  /:  erit  a l dire  dio  quae  parabolam  emittit  tangentem 
^ conoides  inpundo  h . Hoc  enim  demonftratur  in  Propofitio* 
30.  huius. 

Propo^tid  Archimedis  eftfequ ens  lemma  in  libro  de fpbproi^ 
dihus  ConoidibuSi  quam  tamen  expeditius  demon Br abimus^ 

Lemma . 


Si  fuerit  parabola  a hc,euius  hajis  a c , tangens  a 
d ^parallela diametro  c d ,•  ducaturq,  alia  parallela 
diametro^  e f i Dico  ejfe  vt  ad  ita  ib  ad  hc, 
Bfi  enim  cdadbc  longitudine  vt  ad  2.^  poten 
tia , vel  vt  cd  ad  potentia . Sunt  ergo  continua 
cd,fc,be.  Iterumejl ,vt  cd.  ad  zi ita  cd  ad 
f e , vel  fe  ad  bCiCb diaidendo vt  c f ad  i 2^  ita 
fb  ad  be.  Slaod erat dpc , 


A 


A W ^ 


Manente  eadem  figura  eStAemonfiratione^ 
dico  fi  producatur  reSla  a b vfq^  in  h,  ^ iun* 
gatur  f h , quod  f h , a d parallela  erunt « 

DemonBratumemmeB  vt  q,£ ad  ia.  itd 
e/e  fb  ad  bt^hoce/  ch|4<^hd  . ^ate 
f b ^parallela  ait  ip/^i^ 


^ Aa  ^ 


/88  ‘De  motu  Proie^forum 


PROPOSITIO  XXX ir, 

DAtaeleuatione  & aiiiplitudine  parabalse  in  pJano  hori- 
zontali, quaeritur  amphiudo  in  plano  inclinato . 
Sitiiiprseccdenri  figura  data  clcuatio  ad^  amplitudo  autem 
/i/r,planuiTiq;datum fit  quaeritur tranfitus parabolae  ^.Du- 
cantur «2^ parallela  diamttrc^^/^vcroparallela  tangenti, & fb^ 
parallela  diametro  i Dico  b efle  tranfitum  parabolee . Hoc  au 
tem  patet  ex  dcmonflratis. 

Datain  eadem  figura  eleuatione  ad  &bafi  planoque 
ad  horizontem  eredo , queritur  pundum  b . m eodem  pla- 
no/^. Ducatur  c// e reda  ad  horizontem  ,/^  parallela  tan- 
genti adi  8c  iungatur  h a , fecans  e/'in  b^  Patet  iterum  tran- 
iitum  parabolas  efTepundum 


R o p o s 1 r 1 o XX xr, 

DAta  bafi  parabolte,  vnkoqjpundo  per  quod  ipfa  tranlir  i 
Vel  datis  tribus  pundis  in  parabola , eieuationem  pro- 
iedionis  demonftrare . 

Sit  in  eadem  figura  data  amplitudo  d c , datumque  piindum 
. Vd  demur  tria  punda  vtcumq. . r. 
lungantur  ■db  ,J^c.c  & per  c , b punda.fini:  pa  rallel^  diame- 
tro cd^  %cfb  e . & dabuntur  punda  h Scf’.  Producatur  ergo 
Mf.  quce  parallela  tangenti  ent.  angulus  ergo  h ^rerit  angulus 
cleuationis. 

Ivlanente  eadem  figura . Dato  angulo  eleuatianls\^  ^c  da- 
tlsqppundis  ^ ^ .inuenire punctum  ex  quo  facta  fuerit  proie- 

■ctio . Agantur  per  puncta  ^ , horizonti  perpendiculares 

ag/,  d € 3 qmedabuntpimcta;^^  in  linea  ^data « Ducantur 
iam  ^ii^jquascemcurrantVetbigratiainvi.  Et  ex  puncto  4 
iactaerit  proiectio  nifi  concurrant  impoffibile  datain  .erit . 

Demma^ 


xmim  hdfis  c d , a 


— 

/ 

Jvl 

Liher  Secundus  i 

ponatur  enm  c Uatus  reUu^i  & comfka  ^ - 

tuY  Yt!^ angulum  e i . Suta  cd  fekaefi 

bifariam^  non  bifariam.^  erit  quadratu  j.  - ^ S 

i d 3 hoc  ept  rek angulum  t i aquale  reka 

gulo  cad  ^qu^rato  la  . Demptis  • 7 « 

qualibus  (nempe  hinc  quadrato  1 a , fiue  m b , &inde  reaangu 

lo  e h ) reliqua  aqualia  erunt  ^ hoc  eU  angula  m i > c a d . 

Suod^Cs. 

lam fi rek<B  a h jC  d . fuerint parallels  dia- 
metro , erit  red angulum  Qahad rek angulum  e 
ci  ah  y ad  edi , E 

Sunt  enhn  illa  recf  angula  aquali  arebd angu- 
lis fiub  a b laterereBo , efi  fub  cd  ac  latere  vello  refipeCli- 

ue  fift a vero  cum  habeant  aqualem  altitudinem  ^ erunt  vtba- 
fies  ah,cd.  Saare  etiam  reli  angula  e a f , e c f . erunt  vt  a b, 
ad  cd^ 


A Q 


p p 0 p 0 SITIO  XXX  n, 

D Ata diredione  ab^Sc  baii  ad . data  eO:  altitu- 
do paraboli^  iiipra  quoduis  pundum  c , Di- 
iiidaiur  bifariam  in/,  & erigatur //6 . Q^ni» 

ani  datur  angulus  b ad  diredionis , & baiis  a d , 
dabituriii  triangulo  redanguio  latus  ^ & ideo  / 

h -i  quse  quidem  eft  qoartapars  ipfius  hd  ob  para-  -£  q 
bolam . Fiat  ergo  vt  redangulum  afd , fiue  quadra 
tum  femibafis  afad  redangulum  a c d,  ita  altitudo/^ . ad  ali* 
am  * dc  quarta  reperia  erit  aJfctitudo  qu^fita  c e , Quod  erat  &c« 

. Lemma . 

Si conoides  parabolicum  ah ^r/ecetur plano  def  arquidi-» 
ftantdaxi,  fedio parabola  erit,  & j^qualis  femper  eiqu^  co- 
. Boides  generauit , hoc  eft  eequale  latus  redum  habes  Siimp^ 
$0 emtii quolibet pundo  i infedione  applicetur  ii , du« 

caturq. 


190  De  motu  ^roieBorum 

carurq;  w/»  parallela  ad  . lam:  cura 

sequale  fit  quadratum,  df  rcdangulo^ 
f c , erit quad#  d /> ad quad.  dh^vl reda 
p e 2idihb  ob  parabola  a h ^-Jed  quad.  a h 
ad  quad,?5%«  efl  vtreda^^  ad  quad. 
mo  ad  redatigulum  m l ^,fiue  ad  quad./  / 
eftvtreda  ob  ad  /^-/erga  ex  sequo  , quad.  ^//>.ad  /7,  eft  ve 
reda  />  e ad  e l,  Propterea  fedio  die  parabola  erit . 

Amplius.  Quoniam  vero  redanguium  fubdiametro 
& latere  redo  parabolg  i^e/kquale  efi:  quadraro  applicatae  d p 
fiue redangulo  ap c , cui redangulo  ape  sequale efi; redangu 
Ium  fiibreda  / e,  & latere  redo  parabolse  abc\{  per  lemma». 
Propofi  pr^ced.^  asqualia  eruntdnter  fe  illa  pr^dida  redangu- 
la  j fed  altitudo  p e eadem  efi:  vtriq;,  ergo  bafes  sequales  erunt, 
nempe  latus  redum  para  bolse  7 /> , sequale  erit  lateri  redo  pa« 
fabol^/^^^*.  Quod&c. 

PROPOSITIO  XXX  rii, 

SI  ab  eodem pundo,  cum  eodem  femper  impetu,  proie- 
diones  fiant  per  omnes  lineas  horizontales,  omncfq;ia« 
dus  excipiantur  in  aliqua  fuperficie  plana  ad  horizontem  ere« 
da , Dico  omnes  illos  iadus  in  quandam  lineam  parabolicam 
cadere  aqualem  femper  parabolse proiedionis . 

Hoc  autem  patet  ex  lemmate  prsemifib.  Nam  omnes  illi  ia« 
dus  horizontales  fuperficiem  quandam  deferibunt  conoidis 
parabolici , quam  fuperficiem  fecat  planu  illud  eredum  in  quo 
feriunt  iadus , ergo  fectio  in  quam  cadunt  iactus , erit  parabo- 
la sequalis  parabolse  genitrici  conoidisj  Propterea  patet  propo- 
fitum. 

Si  vero  iactus  omnes  terminentur  in  horizonte, fectio  circu- 
lus erit ; quando  vero  in  planis  inclinatis,  fectiones  erunt  ellip-p 
fes , quod  facile  colligi  potefl:  ex  demonftrationibus  antiquo-» 
rum,quiDemonftrauerunt  obliquam  fectionem  conoidis  elU« 
pfimeifce 


Liber  Secundus . 


i9l 


DE  MOTV  AQVARVM. 

I^m  vero  ^ de  aquis  aliquam  huic  libello  c ontemflationem  i» 
fer  ere  non  erit  inconueniens : aquis  enim  procet  eris  corpori^ 
bus  fublunarihus  adel) peculiaris^  S*  cognatus  videtur  motus^vt 
fere  nunquam  quiejcant . Omitto  magnum  illum  nutantis  maris 
motum  3 Pr^tereo  etiam  omnem  fluminum y aquarumqi  currentiu 
tum  menfuramy  tum  vfum , quarum  omnis  doUrina  repertapri^ 
mumfuit  ab  Abbate  Benedico  CaBellioprac eptore  meo . Scrip^ 
Jit  ille fcientiamfuamy  filiam  non folum  demon frationey  veru 
etiam  opere  confirmauit  ymaxima cum  Principum  populorum 
vtilitatey  maiore  cum  admiratione  phylofophorum , Ext  at  illius 
liber , vere  aureus . EI  os  minuta  quadam , (Jr  plerumq;  inutilia , 
mn  iamenpenitus  incurtdfa  circa  hanc  materiam pr ofequemur , 

Supponimus . 

Aquas  violenter  erumpentes  in  ipfo  eruptionis  punU o eunde 
'y  impetum  habere  y quem  haberet graue  aliquod  y Jtue  ipjius  aqua 
guttavnayji  exfupremaeiufdemaquafuperfcievfq»  ad  orifi- 
cium eruptionis  naturaliter  cecidijfet . 

Exempli  gratia  . Si  tubus  a b conuenientis  ca- 
pacitatis yhoc  e ji  magna  laxitatisyintelligatur  fem 
per  aqua  plenus  vfq,  ad  libellam  a , et  perforetur  an 
gufo  orifeio  in  b . Supponimus  aquam  ex  b erum 
pentem  eundem  impetum  habere , quem  haberet  gra 
Me  aUquodJi naturaliter  ex  a in  b cecidi/fet . 

Boc  ratione  quodammodo  confirmari  poffe  vide- 
tur nam  fi  ad  oficulum  b aliustubus  inferat uty  et  e tc 
squifite  coaptetur  y aqua  ex  h influens  in  tubum  bc, 
tantam  vim  hab  et  vt  fe  ipfam  euehat  vfq  \ ad  eadem  jq 
libellam  hormontidem  czduciam  per  orificium  a-» 
fluar  e verifimile  vtdetur  etiam  quando  ipfa  ex 
b libera  erumpitybabere  vim  redeUdi  vfqiadhorizib- 
talem  lineam  qu^ per  a ducitur  i vel  quod  idem  ejl 
hdher e tantum  impetum  quantus  efigrauis  alicmus. 


A 


M 


a 


U/ 


fme 


i pj?  De  Motu  TrokBoxum 

Jiue  vniusguttjs  libert  cadentis  ex  z.  in  h , 

Bxferimentum  etiam  Miqm  Tnodo  princifium  noflrumfW^ 
hat^quamquam  aliqm  ex parte  reprobare  videatur . Nam  fi  efictt 
ium  b fkrfumjiirigatur , efi  fit  apte  rotundum  , ^ leuigatum^ 
fitq\xetiqua totius  tubi latitudo.multo  capacior  quam  orificiu  bj> 
videbimus  aqua  fallente  per  linea  h c^quafi  ad  libe l 
lam  fuam  a d afc edere.  DefeSiionis  aut  e c d caufam 
ddfctibere  pojfumus  partim  impedimento  aeris  qui 
cotra  quodcunqi  corpus  mobile  luclatury  partim  etia 
ipfimet  aquata  qua  dum  exfaHigio  c reditum  ajfieBat 
deorfum , f ? ipfam  venientem  impedit , ^ retardat , 
neque  finit  fuh  euntes  guttas  adillud  ipfum  fignum 
ad qucdfuo  impetu peruenitenty  afcendere pojfie.  Hoc 
manifefie  patebit^  quando  oppofitd  manu  foramen  b penitus  oc* 
€ ludatur  i deinde  r e traH  a quam  citi^tme  manu  repente  dperia>> 
tur : vid.ebuntur  enim  prima , praeuntes  guttst  altius  perue- 
mfe  -tqudmfit  deinde  Gulmen  aqua  q . poflquam  aqua  deorfum 
fluere  c aperit . illa  enim  pr  iores  gutta pr  aeedent  em  aquam  mn 
habent , qua  contraipfas  refluens  motum  ipfarum  in  fine  afc  en-* 
fionis  impediat  fuppono  emm  duBum  b c perpendicularems, 
Adde  etiam  quod fi  quis  obf eruet  aerem  ipfl  aqua  b c ctrc^ 
fufurn-iteperiet  tpfum  agitari  ^ ^fiurfium  moueri,  qua  quidem 
latio  non  fit  fine  vi , ef  propterea  cum  impedimento  motus  aqua 
afcendentis . Vnde  e fi , quod fi  quis  velit  de  hoc  principio  expe 
rimentum  facere  fumendum  efifet  argentum  vimm^  quod  ob  in^ 
timamgrauitatem  magis  aptum  efl^^  ad  conferuandum  diu  c*b 
€€ptum  impetum  adjuperandam  aeris  refiHentiam . Aqua 
autem  ob  leuitatem  multum  aberrare  videbitur  :^  efi  pracipue  fi 
tubus  magna  fuerit  altitudinis:  tunc  enim  oh  maximum  impe* 
tum  fpargimr  in  guttulas  minutijftmas  tamquam  rons^  neqi  di- 
fnidiam , (fi for tafie  tertiam , quartaniue  partem  afcendit  illius 
interuallt  quod  re  ipfa^  theorie  e loquendo  ^ ds  remotis  impedime 
# tis  omnibus  concepto  impetu  totum  exaquare  deberet . Ceterum 
fi  quis  prediH  is  rationibus  non  ac  quiefc  at  y videat  an  inter fe^ 
quemesfropofitiones  vUam probet  iquod fi  ita  erit y fac  ile  per  re-. 


Ltl>er  Secundus . 1^3 

lutionem  ex  dfjrohdta profofaione primdmfuppojitionem  derm 
flr abimus  minus  totam  hanc  appendiceifn  demotu  aquarum 

'velfaltupratermittat , vel  funditus  e libello  euelUt,  quod  equi 
dem  libentijfime  concedo  yCtJif alium  experimentum  omnidili^ 
genti  a magnamp  artem  f ^quentium  propo /itionum  €xaliijf$mh 
confirmauit . 

His  expo/itis  confideremus  aquam  recidiuam  in  e , nempe  in 
plano  horiz^ont ali  duci 0 per  libellam  ori ficij  b.  ExGalileo  habe^ 
mus  impetum  aqu^  cadentis  ex  c in  Q,  tantum  ejjlquantus  vc^ 
here potefl  eandem  aquam  ex  e in  c . Ergo  impetus  in  e idem 
e ii  ac  in  b ^fed  in  e impetus  tamquam  grauis  cadentis  ex  c 

in  Q.  vel  ex  a in  b (diximus  enim  quod punUumc  reipfade^ 
b er  et  ejjetn  libella  ad  abBraBis  impedimentis  qua  aquam  re^ 
tardant)  ergo  impetus  in  b eft  tamquam  grauis  cadentis  natu^ 
r alit  er  ex  a in  b . 

Hisfuppofitis  quadam  demonBrabimus  de  aquis  erumpenti» 
bus  j qua  mire  cum  doBrina proieClorum  conuenire  videntur  - 

PRimum  manifeBum  efl  omnes  aquas  erumpentes  exforami 
nihus  tubi  alicuius  perforati , parabolas  deferibere . Pri»> 
mp  enim  gutta  fc at urient  es  e tubo  funt  de  natura  proieBorum 
quandoquidem  ipf<it  ^quamquam  liquida  attamenfunt  fph^ru» 
la  graues  (jr  coherentes , dr  ideo  par  ab  olam  certe  defignabunt\ 
Omnes  autemfubfiequentes^  quet  cum  eodem  impetu  emittuntur 
{fupponimus  enim  tubos femper  aqua  plenos) f emit  am pr^caden 
tium percurrent ; quare  continuus  ille  aqua  fluentis  troBus pa» 
rabolaerit. 

Obijcetfortafife  aliquis  hoc  non  videri^  pr^fertim  quando  ta^ 
bi  orificium  valde  anguftum  erit,  dr  impetus  vehemens . Tunc 
enim  (vt  videre  e /l  in  linea  illa  aquea,  qu^  exfontium  fifiulie 
violentius  erumpit)  prior  pars  orbita  illius  aficendentis  magis 
tenfaapparet , et  adparabolamverius  tonformatai  pofierior  ve» 
To , hoc  eB  ea  quam  aqua  defeendens  percurrit,  magis  pruna , et 
vt  ita  dicam , languida  atq',  curua  confipicitur . ObieBioni  ref» 
fondem  5 non  filum  prpe  edentem  propo fitiumuUm  ^fed  etiam 

maio^ 


1 9 ^ motu  TrouBomm 

maiorem  partem fequemium  huic  .mBanti^fHbiatere . C au fa  eft 
impedimentum  medq , quod  ad  momenium. corporis  mobilis  val 
de  fenfibilem  habet  rationem  ^multoqvm  ai  orem  quam  in  proie- 
Bionibus  qup  fiunt d machtnis  helltcis , Siquidem  illic  materia 
proieBionis fiunt  -globi plumbei  fierrei^*uelfialt  em  marmor  ei  \ hic 
vero  linea  cB , & qnidemi  aquea . Nulli  igitur  mirum  fit , quod 
cum  fundamentum  huius  doBrin^  ^que  veru  fit  Thorice  doqUe- 
do , ac  in proieBis  Galilei  ^praBice  tamen  multum  ah  lipfis  con^ 
temptationibus  aberrent  experimenta , qua  ad  hoc  vt  exaBiora 
euaderenf  ^vel fieri  deberent  in  medio  non  ob fiant  e y vel f ait  em 
grauifitmamateria  effiet  adhibenda . Jdluamquam  fi  quis  modica 
altitudine  y fioleriiqy  diligentia  experirih^c  omnia  velitymini- 
mum  quoddam  y firplerumq;  infienfibile  de ejfie  icomperiet,  Expe 
rimentum^quod  nobis  confirmauit  has  pene  omnes fipeculatiun-’ 
culas fdBufuit tubo  quodamdmo  capfiula pardllelepipeda^cuius 
altitudo  paffiumG£om:etricumiexc  e flebat  ycuius  bafis  vno  palmo 
quadrato  noner at  minor  .FotamUfa  vedo  erant  rotundaycircu- 
lo que  humana pupitlf  maiora , nonperperamfiaB dyfiedfiolertifii" 
me  txc a uatjt  in  lamellis  cupreis  y tenuibus  y (f  ad  horiz>ont  em 
creBis , Aqua  enim  *violenter  erumpensfiemper  direBion  e exit 
perpendiculari.ad  illud  planum  ex  quo  erumpit  yideoqy  fiebat  mt 
emifiiones  noBri  tubi  horizontales  effient 

DAto  tubo  ferapcr.pIeno,&  ^te,perfbrato  Jbraminibus 
e de  . hoc  eft  quse  fint  figurse  circuiaris,fttq;iHoru'  dudus 
horkontalis,hoc  eft  in  tenui damella  plana  penciicularLDatoq; 
horkontequolibet^^,inueniEeatnplitudinevniLifcuiufq;para- 
iboIsEoFiatcirca  diametm  femiciEculus  i^.Eritq,”  parabolas 
iBuetis, ex. e amplitudo  duplalineie  #2  qu^  ftorizontaliter  duci- 
itur  in  femicirculo*  Et  amplitudo  para- 
bolas erumpentis  ex  d erit  dupla  line^ 
dh.  Et  lioc  probatur  , q[uia  cum  aquaEt 
velutpraiedumquoddam,Etq;  (per  fup 
ipoiitum)ipftuspun(ftu  fublime  a^  erunt 
^periPrqpoEtionem  5. -Galilei, femifles  " 
^^rnpHtudimimmedio  Joco  prqportiona- 


IjthcT  Secundus^*  1 9 S 

les  inter  fublimitatem,  & altitudinemiquarcfemiffes.  amplitu- 
dinum aequales  erunt  lineis  eiydh. 


Corollaria . 

Hinc  manifesiUm  e fi  quod  (1  tubus  ab  ferf oretur  in  ^ pun^^ 
Ho  medio  altitudinis ytunc  emi^ionem  ex  6.  faciam  longius  qud 
qualibet  alia  cadere 

Foramina*uerb  qua  aqualiter  a puniio  medio  d.  dijlant 
t et  aquales  amplituiiines facere » 

Manifejlum  etiam  eli  inferior  es  par  abolas  femp^^  fiperiori* 
bus  maiores  effe  y cum  habeant  maioremjublimitatem^i  hoc  e fi 
matus  latus  regium , eii  enim  fuhlimitas  quarta  pars  laterts  r#« 
Hi yVt  ojlenfum  eft  ^ 


DAto  dolio,  fiue  tubo  ah  quod  apte 
perforatum  fit  in  <• , & emiflionem  fa- 
ciat ^-^a^.Inueniendafitaqugintubo  laten- 
ris  libella  horizontalis  ? fiue  fuperfides 
fuprema. 

Sit  horizon  df  & producatur  ch  \x\fi 
& fecetur  bifariam/^f  in  fiatq;  vt  c/’ al- 
titudo , ad/> . femibafim,  'Vizfe , ad  aliam  ^ 
quae  erit  Xublimitas  cg.  Patebit  ergo  libel 
km  aquae  in  tubo  latentis  effe  per  pundum  g ® 


SI  tubus  apte  perforetur  vbicunq;  in  #,  emiflio  fluentfs 

aquae  coni  redangulifuperficiem  continget , cuius  axis 
fit  ipfe  tubus , vertex  vero  fit  in  aquse  lib  ella 

Sic  angulus  coni  h a €\  femiredus  /8c  A 

dh  tubusjboceftlineaeainquifunt 
ramina,, ponatur  axis  coni  . Sumatur  te- 
qualis  r^  ipfi  cd-.>  Ducaturqr  horizon 
talis  d e . Dico  parabolam  tranfire  per  e^ 

Si  enim  potefi , tranfeat  per  h , & cum 
aquse  fubliraitas  fit  e- a,  erit  femiflis  linef 

Bb  I Wme- 


ip(f  DemotuVroieBomm 

hd  inedia  propcrtionaiis  inter  duas  «quales  Vi-,  «-(i.&pro- 
preica  tota  dh . aqualis  erit  ipfi  ddyWtl  de»  quod  cft  abfurr 
dum . Si  ergo  parabola  traniit per  pundum  e»  ipfa  ea  tangens 
eft  , cum  jsequales  (int  0 <3^ . 

Hinc  manlfeUum  eft  ^ubd fi  tubus  in  omnibus fuis  fundis  df 
te ferf oratus  fuerit  y omnes  emi fitones  quodammodo  confpirare 
^videbuntur  ad  formandam  coni  redi  anguli fpeciem  »Si  ^ere  non 
tubus  yfed fph  arula  in  vtrtke  ipfius  pofta , apte  perforata  fit  in 
omnibus fuis pundiis,  emifiiones  omnes  cuiu/dam  comidis para- 
b otici  imaginem  conformabunt , ex  Propofi  3 0 . huius . 


A Quarum  ex  tubo  ab  perforato  criimpentium  velocita- 
tes funt  vt  linese  in  parabola  applicatg  ad  fuam  vniufcu- 
iuiq;  fublimitatem , 

Sit  tubus  ab  femper  aqua  plenus  ex 

foraminibus  Cyd  erumpant  fluentes  iine^.» 
deferiptaqj  parabola  circa  axem 
ducantur ordinatim  ceydf  Erit  ergo vc» 
locitas  in  c ad  velocitatem  in  d , vt  impetus 
grauis  cadentis  ex  ^ in  . ad  impetum  gra^ 
uis  cadentis  ex  a in  dy  nempe  vt  c e,  ad  df. 
ex  demonftratis  in  primo  iibro  dc  motu . 


Corollarium. 

Hinc  f equitur  ex  dodtrina  Abbatis  Cafiellij  quantitate  aqua 
exeuntis  per  oBium  c »ad  quantit  ate  aqu^  exeuntis  per  d ( qua 
doforamin afuerint  aquali  a)  e ff e vt  c d iMoc  ejt  aquas  erU 

pentes  ex  foraminibus  aqualibus  ef e in Jub  dupla  ratione  fubli- 
mitatum , fiue  altitudinum fuarum . Veritatem  huius  Corolla' 
rtij primus  omnium  experimento  mdagauit  eruditifs,  viry  aque 
Uteris  yfcientqfq-y  omnibus  ornatmy^ziphze^  Magiotius , S^ve- 
titatem  noflram  exitus  f ekcitate  confirmauit  ^ 

fluando  vedoforamina  inaqualia  erunt  y quantitates  aqua 
exeuntis  compofitamwathmm  hahebMnt  ex  ratione  velonitatu  p 
^ ex  ratione  oBiorum^ 


Liher  Secundus . i p/ 

SI  tubus  ah  cylindricus,fiueprifmaticus 
perforatus  in  fundo  Afluat,  neque  alius 
hiunor  fuperinfundatur  , velocitates  fupre- 
niae  fuperficiei  humoris  latentis  decrefeent 
cum  eadem  ratione , qua  decrefeunt  etiam 
iineae  ordinatim  applicatse  in  parabola  b dy 
quse  axem  habeat  h a verticem  vero  h . 

Hoc  manifeftum  eft.  Nam  quando  aqu^ 
fumma  fuperficies  erit  r , velocitas  erit  c d 
& quando  fumraafuperfides  erit  velocitas  erk  ef*  ex  iam 
demonftratis  j & hoc  modo  femper . 

CViuimodi  fit  folidum  ab  aquis  cadentibus  conformatum 
inueftigare, 

Sit  vas  aqua  femper  plenum  a h am- 
pliliimum , cuius  foramen  in  fundo  cir- 
culare fit  c^sf^folidum  autem  aquas  ex 
eo  fluentis  fit  c o fd^d^  Iblidi  axis  ikfh , 

Dico  lineam  £3^ ^ p folidi  huius  genitri- j 
cem talem  cfle , vt  numerus  biquadra- 
tus  diametri  c d,  ad  biquadratum  dia- 
metri 0 p.  fit  reciproce  vtaltitudo/'i'  ad 
altitudinem  fi. 

Ofiendit  Abbas Cafiellius  fedionem  ed  ad  fedfonem  opy 
efle  reciproce  vt  velocitas  in  i?/ , ad  velocitatem  in  c d.  nempe 
vx  hl  i m in  parabola/)^/.  Hispr^mifiis,  QuadratiMnu^* 

mems  diametri  ad  quadratum  op  efi  vt  circulus  ad  dr 

^ culum  ep.  nempe  vt  ad  . Numerus  autem  quadratus  ex 
kl  ad  quadratura  ex  i m efi  vt  hfzA  fi . ergo  biquadratus  nu^ 
merus  diametri  c /.ad  biquadratum  efi  reciproce  vt  aiti- 

tudo/’^,  adaltitudinerajfD  Qiiod&c. 

Data  fit  eadem  figura  altitudo//’  i oo/^  i dataq;  fitdia 
meter  foraminis  s i 5 0.  Queritur  quata  futura  fit  iblidi  diaiiie-^ 
ter  op  . Fiat  vi  fh  ad /4  nempe  vt  i4o.  ad  roo  Jta  numerus 
biquadratusdkmetri  c /nempe  62  5 0000.  ad  alium  j qui  erit 
o ddemq^erit  numerus  biquadratus  diametri  op  i fiei? 


1 9 s He  motu  ^roisBomm 

go  ab  eo  extrahatur  radix  bicjuadrata,proaeniet  44.01101/.  vn« 
decimis  proxime  , tantam,  ergo  proaum:iabimus  eife  diame- 
trum 0 p . 

DAca  i?  d diredione  fiflulse  a B ^ . 

& puncto  i'  in  quod  incidit  aqua 
fluens  i inuenire  fummam  latentis  aqug 
libellam,,  fiue  fiipefliciem  Producatur 
abdf  ^Qx  c erigatur  perpendiculum  c 
d.  Deinde  fiat  vt  c ^,ad  dh  ita  d h ad 
aliam  3 cuius  quarta  pars  fit  be.  Dico 
per  € tranfire  libellam  aqu^  latentis 
fupremam . Eft  enim  hd  tangens parabolx,,  & paralle- 
la diametro  j.  ergo  quadratum  ^/ccquale  erit  re dan gulo  fub 
cdi^  latere  redo  >,quare  reperta  illa  linea  f cuius  quartam  par 
tempofuimus  c)  latus  redum  erit,&  ^ e fublimitas  .Quod  &c. 

Monemus  iterum  dd  hoc  vt  experimenta  cum  demonfiratio^ 
nihus  congruant , quod  foramen  b debet  ejfe  in  lamella  tenui^^ 
plana  r ad  quam  perpendicularis  Jit  reBa  b d . Reliquum  ver& 
interioris  tubi  cJc.  vfq  i ad  initium  aquiducius  ^ debet  ef- 
Je  capacijftmum ; quo  enim  laxius  erit  elo  exaBius  experimen-^ 
tum  euadet . fluotiefcunqv  autem  aqua  per  tubum  latent  em  de^ 
currens  per  angujlias  tranjire  debuerit  Jalfa  omnia  reperienturi 
^luemadmodum  accidet  etiam^Jipra  nimio  impetu  y aquajla-^^ 
tim  atqi  emijfa  ejl , in  tenui fftmum  rorem  difpergatur « 

DAta  diredione  adyxvhi , fiue  fi- 
fiule  h & pundo  c in  quod  in- 
cidat aqufe  emiflio  , totam  parabolam 
aqu^  fluentisdeferibere  •. 

Producatur  b a dy  & erigatur  perpen^ 
dicufum  cd^  Deinde  connedatur  dc^ 

Ducantur  iam  tres  line§  a e,  efyfh , qua- 
rum prima  fit  ex  angulo  vtcunque,  fe- 
cunda parallela  tangenti , tertia  paralle- 
la diametro . & pundu  h\  erit  tranfitus  parabolf , vt  confiat  esc 
demonftratisi  dc  fic  defingulispundisparabote  quffitse. 

Pofi- 


Liher  Secundus . 

POfito  vafe  dh  fiue  cylindrico,  (iue priC* 
inatico  quod  in  fundo  perforatum  fit 
foramine  b , Velocitas  aquse  exeuntis  ex  b 
velocitati  Jibellse,  fiue  fupremte  fuperficiei 
defcendentisinyafe,  femper  eadem  ratio- 
ne refpondebit. 

Quando  libella aquse  in  vafe  eft  fit 
velocitas  c aquse  exeuntis  per  Tum  fiat, 

vt  fcdio  vafis , adfedionem  orificij  h ^ 
ita  4 c ad  a e . Eritq;  per  do^arinam  Cafiellij , ipfa  a e.  velo- 
citas libeiise  da  in  defcedendo , lam  circa  diametrum  £«• 
ant per  c , & ^ , dute  parabolte  mc  ^ m e , 

Confideretur  deinde  alia  libella/^.  Quando  fb . libella 
erit,  tunc  per  demonftrata  erit  velocitas  in  b vt  linea  h l . Sed 
velocitas  in  b ad  velocitatem  libellccy^^  erit  per  dodrinaCa- 
lieUij  vt  fcdtio  fh  adiei^onem  ^,nempe  vt  ca  a e & fic 
femper,.  Quare  velocitas  aquse  exeuntis  ad  velocitatem  libel- 
la dcfcendentis  inquocunq;  loco  confideretur , femper  erit  vt 
linea  applicata  in  maiori  parab,  ad  applicatam  in  minori  j hoc 
eft  in  eadem  femper  ratione . 

Aliter  etiam  oflendetur  idem  hoc  mod o , telligatur  in  '3^4- 
/c  ab  qualibet  feBio  ^hiqutononfitfummafuperficies:  fttAU» 
tem  fumma  fuperjicies  d a , Jdm  j sum  eadem  quantitas  .aqua 
trdnjeat perfeBionem  h drper  ihi  erittvelocitAsih  b ad  ve- 
locitat  em  in  f h reciprocae  vtfeBioi\x  ad fei^ltomm  h ifedfum* 
ptafe^io  f h aqueuelox  eB  ac fupremafuperfcies  d a {cumf^tas 
ponatur  cylindrus  y fiue ptifma ) (rgo  veloci t as  in  b aa  veloci- 
Aatemfuprema fuperficiei  d a defcendentis  in  vafe  femper  ea- 
dem ratione  refpondjcbits  nimirum  femper  erit  vtfeBitt  vafisAd 
feBionemforaminish^ 


199 


Corollarium . 

iErgo  quando  altitudine sinvafe  erunt  a m , h m , erit  v^ 
sitas  aqua  exeuntis  ex  h pojk a altitudine  a tn , dd  velocitate 
dmuntis  ex  h poftaditkudine  li  myvt  eft  velocitas fupima^ " 


sQo  Demotu  VfoieB  orum 

perficiet  A3.dd velocitdtemjummafuperficiei fh./hee enintpa^ 
tet  ,N am fumptaftiperiori  concLufione  ferii^Htando  tantum  de^ 
ducitur  hvc  Corollarium,  . 

QVantitates  aquarum  ab  eodem , (lue  ab  sequalibus  fora- 
minibus erumpentium  eodem  tempore,  funt  inter  fe 

^ in  fub  duplicata  ratione  altitudinumV 

Sit  vas  ab  prsecedcntis  figurae  perforatum  in  b . & aliquan- 
do maneat  femper  plenum  vfque  ad  lignum  ^4;  aliquando 
vero  vfque  . Dico  quantitatem  aquse  exeuntis  quando 
altit.  eft  a «?,ad  quantitatem  aqug exeuntis  quando  altit.  eft  ^ ^ 
( inteliige  femper  eodem  tempore^  elfe  in  fiibduplicata  ratione 
altitudinum  am  ad  hm.  Nempe  vtreflia  ac  ad  hl . Nam 
quando  altitudines  funt  am^  & Velocitates  in  b fune  ex 
CorolL  precced»  vt  velocitas  fumm?  fuperficiei  , ad  veloci- 
tatem fummsc  fuperficieiyv^ ; liue  vt  applicata  de  hi  .'Ergo 

quantitates  aquarum  erumpentiu  ex  eodem  foramine  b erunt 
a e 2A  nempe  in  fubduplicata  ratione  altitudinum  am. 
z^hm. 

Haec  fpeculatio  conuenit  exa(5iilfime  cum  experimeto  a no- 
bis fumma  cum  diligentia  fa do  • 

^ V oddam  vas  cuius  fummitas  a perfora- 
tum eft  foramine  b itavt  fuper|nflue 
te  quodam  aqu^  dudu  in  a femper  ^ 
plenum  permaneat . Quaeritur , quo  foramine 
perforari  debeat  in  c vt  eadem  fuperinfluete 
aqua  plenum  prgeise  licut  antea  permaneat. 

Sumatur  inter  ab  ^ ac  media  a i . Fiatqi  vt  al-*’ 
titudo  c 4 zA  mediani  a i ita  ofculum  ^ ad  o fcu 
Ium  c»  Erit  ergo  ofculum  b . ad  ofculum  <r,vt  applicata  ce  ^ 
ad  applicaram  hoc  eft  vt  velocitas  foraminis  c ad  veloci- 

tatem ^ reciproce . Proptera  eadem  quantitas  aqug  effluet  per 
vtrumq;  ofculum  b & ^‘jpropolitumq;  vas  femper  plenum  ma- 
nebit. 

^Udddamver))v4s  zheumperfiraeum/it  infundo  fotamir 

m b ffuferinfiumte  fmdam  dato  ajmdu0u  d j flenum  fer^. 

" ' ' 


Lther  Secundus . 

mAmt  vfq\  ddpgnum  c , it ur  quanti tdS  Aqfid^ 

inid^^m  vas  ingerenda  ad  hoc  vt  refleatur  vfqiad 
Jtgnum  a . Sumatur  inter  a b , b c . media 
atqs  vt  e h ad  b a,  ita  quantitas  aqua  data  d ad 
diam  quantitatem ; qujt  ingefla  omnino  vasreple^ 
bit  vfqy  adjignum  a,  neq;  illud  excedet , ^uod 

ius  generis  facile  demonliratur 


cum  multis  alqs  h 
ftiZQedentibus 


AQi^arumjfluentium  ('qu^  tamen  aliquo  vafe  excipi  pof- 
{int)proportionem dicere > fine vlla temporis,  veloci- 
tatis , feddonifqj  menfura . 

fumatur  vt  in  prsecedenti  figura,  quodcunque  uas  a b , cuiuf 
cunq;  figurae  fit,  ita  tamen  perforatum  in  fundo,  ut  minor  ex 
^datis  aquis  fluentibus  ingefla  non  efiluat  ftatim  tota,  fcd  iilcre- 
fcat,  & aliquam  altitudinem  fiiciat  in  uafe , pura  altitudinem  b c 
&deinde  non  crefcat  amplius  ; fed  tantum  aquteprorfus  uas  e- 
mittat , quantum  recipit . M aior  uero  aquae  quantitas  altitudi- 
nem faciat  ab.  Patet  ex  praecedentibus  aquam  maiorem  ad 
minorem  effe  in  fubduplicata  ratione  re(5ltc  ad  ^ r , Nam 
cum  utraque  aqua  tranfeat  per  eandem  fe(5lionem  & altera 
earum  altitudinem  habeat  altera  uero  erunt  uelocita- 
tes  aquarum  per  dicSlamfedionem  exeuntium  in  fubduplicata 
ratione  ad  ^ ^ . Ergo  & quantitates  aquarum  fluentium  e- 
runtin  fubduplkata  ratione  fadarum  altitudinum  ab^bc. 


Lemma. 

Sit  diameter  alicuius parabolcZ  a b , ef  mobile  ali  A 

'quod  moueaturper  a b ealege^  vt  inquocunqi pun- 
£lo  linep  a b confi deretur femper  impetus  eius  fit  ut 
linea  ordinatim  exilio  punllo  intra  aliquam  para*  ^ 
holam  applicata  Dico  hunc  motum  eundem  ejfie  ac 
grauium  naturaliter  cadentium , InteUigatur  enim  aliquod 
graueipoueriex  zin  b motu  natur  alit  er  accelerato  ^ (ficonci’-^ 
piatur  eius  momentum  eiufmodi  ut  tam graue  quam  etiam  mobi 
kfimuldmi£k  ex  d>^  eodem  tempore  peruemam  ad pundum  b 


sx  lem. 
pr^ced* 


20 2 I^e  motu  VroitBorum 

patet  amborum  mobilium  vnum  atq-y  eundem  fututum  effe  mo^ 
tum , iV amin  quocunqy  punBo  linea  a b confderetur  altetu» 
irum  dirorum  fue  mobile.,  Jiue grane^eundem  impetum  habebit 
ac  alterum , quare  pariter  etiam  tranfibunt fpatium  a b , partef 
que  ipfius.  & hoc  uerum  etiam  erit  fi  mobile  moueatur  ex  b tn  a> 
non  crefc ente -i  feddecrefc ente  impetu , 


A BJ 

I'  / 

VAfa<ylindnca  fiue  prifmatica  in  fundo  perforata  ea  lege 
exhauriuntur , ut  diuifo  toto  tempore  in  partes  aequales, 
emiffio  ultimi  temporis  fit  ut  unum,  emilTio  autem  penultimi  te- 
poris fit  ut  3.  antepenultimi  temporis  ut  5.  & ii c deinceps  ut nii 
meri  impares  ab  unitate . 

Sic  lias  ut  pofitLim  eft ; perforatum  in  fun« 
do , ipfiq;  adfcrihatur  parabola  e d*  lam  de- 
monftrauimus  fluente  ex  fundo  aqua,  libel- 
lam a € ita  defcendere  ut  femper  uelocitas 
ipfius  iit  ut  linea  iibi  refpondens  in  parabo- 
la , neiTipe  impetus  me  a yfit  ut  ad^  'vcifh  fit 
, ut  h i , & fic  fe  mper  j erit  ergo  motus  libellae 
tamquam  motus  deficiens  grauiumfur- 
fum  reflexorum , fiue  proiedorum  ,*  & diui- 
fo toto  tempore  emilfionis  in  partes  aequales,  erit  fpatium  i e 
decurfum  a libella  ultimo  tempore , ut  unum ; fpatium  autem  h 
i ut  tres , Szhdxxt  quinque  • Nam , ex  lemmate  pr? milfo , mo* 
IUS  libellse  ^ e eft  tamquam  motus  grauium  non  cadentium  j fed 
furfum  perpendiculariter  proiedorum  ( quod  idem  eft  ) ergo 
motus  libellae  a e eadem  fpatia  tranfibit  temporibus  gqualibus, 
atq;  graue  aliquod  furfum  proiecftum  , nempe  ultimo  tempore 
unum,  penultimotriai&  fic  deinceps.  . 

Si  fiat  uat  tomidale  parabolkum  cuiws  axis  fit 
ab,  ^perforatum  fit  in  fundo  b uideri poterit  emif. 
fo  eius  eitfmodi  ut  motus  fuprema  fuperfieieidtfGfi^ 
dentis  yaquahi lis -fit ::  hoc  efiMt  aqudihus  tempori- 
husaquahs  ait  itudine  moles  eMkuMrianmr  ^ quod 
■mmmfdfMmefl  ^ S^tpmmie^mideapatahika  ’ 

, ^ ^ intet 


'A 

\ T 

’‘’f 

A ^ 

‘ Vd 

. ' J ■■  ■ 

' A 

- 

yX  i. 

"Liher  Secundus . 'ioV 

inter  f e Ut  quadrata  axium  ^fiue  altitudinum , Si  ergo  diuida^ 
mus  totam  a b in  partes  aquales , erit  comi  des  cb  ut  unum,  ^ 
db  ut  quatUor  ,*  ipfumq;  e b ut  dei  nceps fem  per  ut  nu-^ 

meri  quadrati . Erunt  ergo  conoides  c b ut  unum , d iffer entia 
autem  c d ut  tria  ,dt  ut  s-^^->ut  j.&fic  deinceps  dtfferentite 
erunt  ut  numeri  ah  unitate  impares . £^are  uidebitur  alicui 
quod fingula  huiufmodi  differenti^  aqualibus  temporibus  exau- 
riri  debeant  per  ia  demonfiratain  prae  edent  i',  fed  quoniam  in 
huiufmodi  uacuatioue  plurimi  refert  cuius  figura  fit  ipfum  uas , 
abfhlute falfum  hoc  efe pronuntiamus',  demonBrationemq,  unuf 
quifiq . colligere  poterit  ex  his  qua fequuntur. 

E Sto  uas  irregulare  ah  perforatum 
in  fundo  foramine  ; & confideren- 
mr dwx ipfius fediones  ae,bd.  Dico ue- 
iocitafeni  fummse  fuperficiei  aqute  defeen- 
dentis , quando  erit  ae  , ad veiocltatern fu 
perfidei,  quando  erit  b d,  rationem  habe 
re  compofitam  ex  ratione  fubduplicara  al- 
titudinu  fc  ad  r & reciproca  fedionum, 
nempe  fedionis  ^ ^ ad  a e . Concipiatur  enim  fuperibafi  fedio 
nis  qu^cunq. illa fit, ’aas  prifmaticum  ai  me  cuius  altitudo 

(ity>.  lam  velocitas  fedionis  prifmaticse  aezd  no  erit  ut  reda 
ffc  ad  c ^ mediam  inter  altitudines.  V elocitas  uero  fedionis  n o 
ad  uelocitatem  fedionis  bd,  cum  eandem  altitudinem  habe- 
ant, eff  reciproce  ut  fedio  bd  ad  no*  Ergo  patet  quod  ratio 
ueiocitatisfedionis aduelocitatemfedionis  bd  compo- 
nitur ex  ratione  redse  fc  ad  ex  ratione  fedionis  bd  ad 

n 0 , iiue  bd  ad  ae , 

Hinc  manifeftum  e fi  quod  nuper  de  Conoide  parabolico  dice^ 
hamus , nempe  motum fuprema  fuper fidei  defeendentis  non  ef 
fe  dtquahilemf edfubinde  acceleratum . ^auer^i  ratio  ne  ac  e e-» 
letetur  \eir qua  ratione  uarientur  uelodtates  fuprema  fuperfi^ 
ciei  aqu^  defeendentis  in  fph^ra  perforat  a,  fphttroide,  atq,  alijs 
uafikuj  regularibusffagil}  ex  conteplatione procedenti  patebit  • 

Cc  2 DE  JAr 


20^  'De  motuVmeBerum 

. - \ ■ K-,  ■■‘A 

B T A B V L I S . 

SEquuntur  Tabulsenoa  quidem  do(5Hs  calculi  vigilijs  ela^ 
borafi , vt  a Galileo  fadum  eft , fed  cx  ipfa Tabula  iinuu 
ac  Tangentium  facili  breuiqj  negotio  tranfeript^ . Quocunq. 
tamen  m.odo  colledae  fuerint, Ton  minus  augent  Gaiilei  glo- 
riam,quam  laborem  noftrum  comminuerint  . Cuius  enim  in- 
duftrisB  tanta  folertia  eft , vt  per  innumeras  multiplicationum, 
diuifionum  , & radicum  ambages, adeofdem  pene  numeros  ap- 
pellere potuerit,  quos  ex  Tabula  defumere  nobis  conceflum 
fuit  ^ Prsedidum  hoc  volo , nos  fupponere  voluiife  eandem-, 
maximam  amplitudinem  femiparabolarum  cum  Galileo  par- 
tium 1 oooo.  item  maximam  altitudinem  partium  toooo.  vl 
e?dem  omnino  Tabulas  euaderent , & aliqua  interdum  differen 
tia  inter  illius  numeros  & noftros  appareret.  Ideo  in  folum  la- 
borem bifTedionum  incidimus . Si  vero  fuppofitionem  varia- 
re, hoc  efl  numerum  hunc  duplum  20000.  fupponerevoluiifi- 
femus,  tunc  integrasTabulasdiuerfe  quid  em  eualiffent  a Gaii- 
lei T abulis,fed  immeri  poterant  fine  vlla  biiTedione  ex  finibu% 
& Tangentibiis  prout  ibileguntur  mutuari  ^ 


Taiula  tontlnens  \4mplitHdims  ^ eodem  impetu 

fabarum,  Suppofitamdximd  dmplitt4cime partium  loooo.  Suntau-^ 
tem  numeri TahuU ftnusreBi arcuum deuationis  duplorum* 


GRAD.  , 

Amplitudo  GRAD. 't  | 

femipar.  1 Eleuat.  f J 

*J  1. 

GRAD 

Ampliiudo  GRAD,  1 

£kuac.  ' 

- 

Eleuat. 

Semipar. 

Eleuat. 

. 

o 

0000 

90 

1 

23 

7'93 

<^7 

f 'l' ' 

349 

89 

24 

743^ 

66 

’ -2  : 

698 

88 

25 

7660 

65 

1045 

87 

26 

■7880 

64 

4 

1392 

8d 

27 

8090 

^3 

S , 

J,73^ 

__8s 

28 

8290 

62 

6 

2079 

84 

29 

8480 

6 I 

7 

2419 

83 

30 

8660 

6g 

8 

2756 

82 

31 

8829 

59 

9 

3090 

81  ^ 

32 

8988 

58 1 

JO 

3420 

80 

33 

9135 

57 

1 1 

374*5 

79 

34 

9272 

5^ 

12 

4067 

78 

35 

9397 

55 

'3 

4384 

77 

3^ 

95 

54 

^4 

4695  : 

7^ 

37 

9613 

53 

^5 

5000 

75_ 

3^ 

9703 

52 

i6 

5299 

74 

39 

978;  i 

*7 

3591 

73 

40 

9848 

50 

i8 

• 

5870 

72 

41 

9903 

49 

^9 

6157 

7* 

42 

9945 

4S 

' 

20 

6428  ‘ 

70 

43 

9976 

47  i- 

21 

6^91 

^9 

44 

9994 

46 

2 2 

6947 

68  1 

45 

j ocool 

45 

* ..  'l  . \ 

7 

l “i 

i' 

' i 

1 1 

■ 

©<r  mo^u  Troie^oTfef» 


.■X: 


> 


' ‘St 55.1'. 


POfoimus  maximam  amplimdinem , hoc  eff  Bafim  (S^ipiT 
rabola?ad eieuationeingrad.45.a^|^eflfep$rtiu  iox>oM 
(quot  quadrantes  patom  /geometricqffia  prb^ 
max.  iemiadtus  machinarum  quas  appellmt  GoMrine  da^  o.  )l 
Manifeftum  ergo  cft  fi  ponamus  (in  figurapropofi  9.  proredo^ 
rum)  alf  efle  partium  loooo  . tunc  amplitudinem 'maximam 
Icmiparaboise  eile  partium  1 0000.  (^demonftrata  enim  eil  am- 
plitudo parabola*  maximcC  dupla  ipfiu^  ^rgo  amplitudo  {e4 
mi-parabolsemaxim^  2equaiisentipfi’i^i^.)  " S 


Ponamus  igitur  partium  1000Q  .& datus  fit  angulus  elc-^ 

^uationis  dac  gr.  40.  quseritur  dupla  ipfius  #^'  ( nempe  arapli-^ 
tudo  lemiparabol^ ) quanta  fit  relpedu  ipfius  t ^ 1 

Dato  angulo  d4c  datur  arcus  anguli  duplus  nempe  gr# 
80.  Ergo  datur  c e 9848.  finus  arcus  dc , fed  refpe<5tu  fcmidia 
metri , quse  fit  partium  1 0000.  Datur  ergo  etiam  longitudo 
quxfita  /i^jduplaipfius  ec,  ab  eodein numero 
^uipfius  partium  1000 o>  ^ ^ . ; / K 

TfAxis.  . -i: 

Duplicetur  eleuatio,eiufq.  finus  redus  accipiatur  j & fic  nu- 
meros Tabulse  habebis,  qui  longitudines, fiue  amplitudines  fe^ 
miparabolaripi metiuntur,  j ^ 


Tetlula  c&ntinens  Altitudines ^miparaholaru  (puaru  impetus  ide  fit  eu  impetu 
} f recedentis  Tubule . Supponitur  maxima  altitudg  part,  loooo.  Sunt  autem 
numeri  T abule  finii ffes  finuum  tier forum  arcuum  ehuationis  duplorum  % 


1 f GRAD 

Altit. 

f T 

GRAD 

ALTIT. 

1 1 grad 

ALTIT.  1 

Eleuat.  1 

femipari 

1 1 

Eleuat. 

5emipar. 

j 1 Eleuat. 

Semipar.  1 

i 

a , 

'i 

3 

, ■ ■ 'I' 2.  ■ 

tmmmrnm  ««■* 

31 

-!1. 

2<?73 

2808 

61 

62 

7650  1 

7796 

WmmtmmKUtU  a 

■fci  ^ a» 

Mi , - 

* 

' ^ i 

A 

2 7 

A9  ^ 

j ‘ ' - 

33 

34 

2^66 

3127 

^3 

64 

19 '^9 

8078 

i 

. 76 

37 

32^0 

67 

8214 

6 

lop 

3<5 

3475 

6^ 

8346 

. - - 

7 

149 

37 

3622 

67  . 

8473 

S 

194 

38 

37^0 

68 

i!!L. 

9 

245 

35» 

35)60 

65) 

8716 

lo 

302 

40 

4131 

70 

.„8830 

' — 

■■I  1 ,»»»■■ 

II 

la 

3<^4 

432 

- 

41 

42 

4304 

4477 

71 

72 

8^40 

<65»047 

506 

4.3  : 

• ««r 

4651 

73 

5»I47 

-585 

44 

4826 

74 

5)240 

ii 

670 

47 

5000 

77 

$»330 

r i6 

760 

• , : 

46 

7174 

76 

^417^ 

17 

, SS.1 

4 7 ; 

7 34P 

77 

5»4P4 

1 ' 

’ . 9lf~  , ,. 

7713 

78 

5)568  [ 

'1  -■  ij 

^ 

L~— 

— ■ ■- 

■ ■ 1 

I 19 

1060 

45» 

565)6 

79 

9636 

20 

1170 

70 

5868 

80 

5)6518 

— «1* 

«»1^  — 

■r^  ■ ■ •- 

1'^  ■■■»  . - f 

- — 

1 

1284 

fi 

6040 

81 

9711 

i 

i.3ta 

1403 

- , f.  \ 

117,1 

6210 

82 

9806 

1 

- - ^ - . 

>—  - 

, : 

-15.^7  . 

. ' - -j 

<5378 

83 

98$  i 

24 

1654  , 

r ~ '3 

\fA;u^ 

.'t654'5,-_ 

, 84 

5)85)1 

■: 

1786 

fi 

6710 

85 

5)5)24 

1 26 

ipaa 

1 -76 

6873 

86 

9^7  f 

i 

.1 

— - 

27 

206  1 

! 7 7 

7034  ^ 

87 

99  7 ^ 

18 

2204 

! 78 

71^2 

88 

9983 

T 7T7» 

r I 1™*-« 

1— — 

• 

— - 

2350 

1 

7347 

89 

9997 

•3Qa 

45^ 

1 1 

7500 

90 

lOOOO  |i 

• »fl  lillJiiM  ^ 1 

? 

ioz  De  motu  TroieBorum 

Bxflanatio  prosedentis  T dhulo  . = ^ 

POnimus  maximam  altitudinem  omnium  proiedionutrL^ 
ab  eodem  impetu  fadtarumeflfe partium  loooo..  Poni- 
mus ergo  infubieda  %ura  lin&m  ab  effe  loooo. partium  ^ 
Dato  deinde  anguio  d a c eleuationis  gr.  40.  queriturxjuaa- 
ra  iit  altitudo  a e refpc(^iuipiius  ab  quae  eil  i 0000. 


Datur  quidem  a e 82^^,  ex  Tabula  finuum,  cum  fit  {j.nus 
verfus  arcus  ac  gr.  8a.  qui  arcus  duplus  eft  anguli  eleuationis 
d a Sed  datus  numerus  red:a»  a e 82  ^4.  erit  refpedu  femi- 
diametri,  qu^  fit  partium  1 0000.  Cum  vero  nos  ponamus^  to- 
tamdiametrum  eflfe  partium  loooo.  tunc  ic  erit  , 41/2« 
hoc  eft  tantummodo  femiffis  illius  numeri  ex  Tabula  fintium 
yerforum  excerpti*  ' 

Praxisl 

Duplicetur  data  eleuatiojilliufq.  finus  verfi  femiifis  acclpia-^ 
turi&fichabebisnumerosTabuIsepr^Ecedentis,  qui  altitudi* 

nes  parabolarum  jfiue  proie<ftionumtpetiuntur.  t ! 


Mcidi 


Lthr  Secundus  i iop 

I>ecldr4tio  Sequentis  T dhuU , 

POnimits  dh . amplitudinem  omniu 
femiparabolaru  effe  partiu  i oo  o o F 
Dataiam  eieuatione  c ad  gr.  30.  iuxta 
quam  dirigendum  eft  tormentum.  Quse 
ritur  parabolte  a h Altitudo , & fublimi 
tas  • 

Secetur^^  bifariam  in  Cy  erigatur 
que  ad  angulos  rectos  c d .Fiatq.  angu 
lus^^redus.Manifeftum  eft  circa  dia 
metrum  df  deferibi  femicirculum  qui  tranfeat  per  d cunu 
redus  iit  angulus  ad  d donec  concurrat  cum  diredlione  ad  ^ 
Cum  ergo  fiat  proiedio  cum  impetu/'^ , & diredione  a dy  erit 
amplitudo  femiparabol^ linea  dupla  ipfius  e ^nempeipfa  ab  ; 
altitudo  vero  bhyVtX  acy  fublimitas  ef.  Queritur  ergo  quan-^ 
titas linearum  aeycf. 

Cum  db  fit  partium  loooo.  erit  ed  nempe  fenrifiis  ipfiusi 
partium  2 5oo.fcmper,  qusecunque  fit  eleuatio.  Si  ergo  ed 
fit  finus  totus,  erit  altitudo  ea  5 774.  tangens  anguli  eleuatio- 
nis  ^4^,hoc  eft  Sublimitas  vero  e/"erit  17320*  tan- 

gens complementi  eiufdem  anguli . FIa?c  autem  vera  funtqua- 
do  ed  fit  iQOoo.  fedquiaincafunoftro  ed  tantummodo 
partium  2500,  nempe  femifiis  finus  totius , erunt  e a , e/’femif 
fes  didarum  tangentium;  hoc  eft  altitudo  a e z88q,ipfa  vero 
fub^mitas  e/' 8 66o.propterea  tormentum  illud , quod  eleua- 
bitur  gr.  j o.  ad  lioc  vt  faciat  amplitudinem  femiparabol^  par- 
tium 1 0000.  debebit  habere  fublimitatem,  fiue  impetu  8660. 
Quod  quidem  idem  eft,  ac  fi  diceremus  quod  impetus  proie- 
dionis tantus efse debet,  quantus  eft  grauis  alicuius  naturali- 
ter cadentis  ab  altitudine  8660.  earumdem  partium.  Altitu- 
do vero  talis  parabol^  erit  2 887. 

Praxis . 

Pro  altitudine,  fume  femiflem  tangentis  anguli  eleuationis. 
Pro  fublimitate , fume  femilTem  tangentis  complementi  an- 
guli ekuatiqnis.  Dd  Tabu-  | 


^ lO- 

TabuU  confmens  altitudines  , & fublimit^tes  Semiparabotarum 
rum  amplituSnes  <zquales  ftnt»  Tartiumfilicet/emper  loooo^  Sunt 


grad.  > 

A1.TITV- 

SVBLIMI. 

I GRAD. 

ALTiTV- 

SVBLIMI 

Eleuat. 

DO 

TAS 

Eleuat. 

DO 

TAS 

..  ^ 

* 4^  . ^ 

, 

O 

00 

infinita 

# 

23 

212  2 

1 1 779 

I 

87 

28^450 

24 

; 2226 

. 

1:230 

I7S 

143186 

25 

2332 

10723 

[ 3 

262 

95406 

26 

2439 

10252 

4 

i 350 

7'S°3 

27 

2548 

9813 

5 

, 43  7 

. 57»5° 

28 

2659 

9404 

6 

525 

47572 

29 

2772 

9020 

1 

614 

40722 

30 

2887 

866g 

8 

7°3 

35577 

' 31 

3004 

8521 

9 

792 

31569 

52 

3124 

8002  j 

IO 

882 

28356 

33 

3247 

' i 

7699] 

II 

972 

25723 

34 

3373 

7413' 

12 

1063 

23523 

3S 

3501 

7141 

13^ 

1 1 54 

21657 

3^ 

3^33 

6882 

14 

1247 

20054 

37 

3768 

6635 

IS 

1 340 

18660 

38 

3906 

6400 

• 

\6 

»434 

■ 17437 

39 

4049 

^»75 

1 *7 

1529 

16354 

■ 4^ 

4196 

5959 

1 

1625 

; 15388 

41 

4346  : 

5752 

t i '^ 

1722 

14521 

; 42 

4502 

S553 

(1 

1820 

13737: 

43  i 

4663 

5362 

1919 

: 130^5 

44/  ' 

4.828 

5 » 78 

;i  '22  . 

2 0 20 

: 1237'v 

-45  - ^ 

jOOO 

5 000 

# 

.1  '»T#i«frtifcWrni  WiWi 

MI  iVW 

*vi  A 1}  ssMffA 

71  1.  ■■tiHMiir 

_ • ^ y , 

' ] 

1 

aj 

■'i 

' 

/ 


II  t 

Muteff^ynAltitudines/emifieffangentiuM  angulorum  eleuationis  Suk 

Imitates  funt  femiffm  Tangentium  complememorumeleuaiionis  • 


'iGRAD.  AITT- 

SVBLI 

jEieuat. 

TVDO. 

? 

MIT. 

46 

5178 

4828 

47 

5362 

4663 

48 

5553 

4502 

49 

5752 

4346 

50 

5959 

4196, 

5^ 

6iT} 

4049 

52 

6400 

3906 

5 3 

^835 

3768 

54 

68  8 2 

3^33 

55 

7141 

0 

l-H 

56 

74«  3 

3373 

57 

7699 

3247 

58 

8002 

3124 

59 

8321 

3004 

60 

8660 

2887 

, 

902  I 

UIl\ 

9404 

2659 

^3 

9813 

2548 

64 

I 02  5 2 

2439! 

10723 

2332 

66 

I 1230 

2226 

6i 

1 1779 

2122 

6.8  1 

12375 

2020 

Od  2 


GRAD. 

ALTI. 

SVBLI 

Bleuar. 

TVDO. 

MlT. 

69 

I 3025 

1919 

70 

' 3737 

1820 

7* 

I452I 

1722 

72 

15388 

1 625 

73 

16354 

1529 

74 

^7437 

1434 

75 

18660 

'1340 

76 

2005^ 

1247 

77 

2 I 6j;7 

1154 

78 

23523 

1063 

79 

25723 

972 

80 

28356 

882 

81 

3«  5159 

792 

82 

35577 

703 

40722 

614 

84 

4757* 

525 

85 

57150 

437 

86 

71503 

350j 

87 

95406, 

262 

88 

143186 

^*75 

89 

2S6450 

87 

II II  ^ 1 IH 

9? 

infimtar 

00 

12 

Tabula  contiftens  durationes  ^ fme.imp/siui  od horizonum  €omp»ratos  prpielth 
ftttm  ab  todem  impata  fabarum  , Supponitur  maxirrta  dttratio  , 
fue  impetus  maximus  effe  loooo.  Sunt  autem  numeri 


1 grad^ 

j £ieuat. 

Duracio 
fiue  Imp, 

1 

GRAD 

Eleuat. 

Duratio 
fiue  Imp. 

i 

, GRADI  Duratio  f 
Eleuat.  jvel  Imp,  I 

3 

4 

? 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

II 

13 

14 

15 

16 

17 
iS 

20 

21 

22 

2-3 

24 

n 

%6 

I mm»i 

2 7, 

28 

2@  ;j 

S<3  .. 


345> 

52-3 

65>8 

872 

1045 

I2lp 

I3S>2 

I7<54 

1736 

ipo8 

2079 

% 

2250 

2419 

2788 

2776 

2924 

2990 

3276 

3420 

■■wavM»  ***' 

3584 

3746 


4067 


4384 

»w  i^mm 

4540 

4695 


5000 


31 

5150 

1 

7299 

33 

544^ 

34 

7792 

j -T.,  1 

—■  ..»■ 

35 

573'^ 

36 

S87S 

37 

601  8 

38 

615  7 

3^ 

6293 

40 

6428 

41 

6j6i 

42 

66pi 

43 

68  zo 

44 

^94  7 

45 

7071 

46 

7193 

‘ 

47 

7314 

48 

7431 

49 

7547 

50 

7660 

51 

7771 

5^ 

7880 

5 3 

7986 

54 

S090 

55 

8192 

$6 

8290 

■ 5 7 

8387 

58 

8480 

59 

857^ 

60 

, 8^60 

1 

8746 

<52 

8S92 

<5} 

8910 

54. 

89S8 

67 

9063 

6i5 

9137 

<57 

9207 

68 

9272 

69 

933<5 

70 

9397 

‘ 71 

9455 

72 

9710 

73 

95^3 

74 

9^13 

75 

9679 

76 

9703 

77 

9744 

78 

97S1 

■ 

9816 

80 

9848 

81' 

98  78 

82 

9903 

.,.-8:3  ... 

992-5 

: 84^  r , 

9945 

87 

9962 

8<5 

9976. 

87 

. 99S6 

88 

9994 

S9 

999S 

90 

toooo 

' " 

Libey  Secundus  . 3x3 

•1 ' ; 

ptio  fY^Qcdmns  T abulg  * 

IVxta  ea  ,qu3e  4enionftrata  funtin  propofidonibus  i & 2 1 . 

Proiedorum , quando  a b fiierit  maxima  duratio , fiue  ma- 
ximusimpetus  ad  horizoncem comparatus , erit  ac  intercepta 
in  femicirCulo,  duratio , fiue  impetus  eleuationis  a c,  ad  hori- 
zontem  comparatus.  v 


Supponimus  ab  effe  partium  i oooo. nempe  finum  totum . 
& dato  angulo  eleuationis  eae  gr.  3 o>  quaerimus  ac, 

Manifeftum  eft , fa  do  quadrante  b df,  quando  a b fuerit  fi- 
' nus  totus,  tunc  c a effe  finum  red:um  eleuationis  ^ hoc  efi:  angui 
eae ^ quandoquidem  ea  aqualis  efi:  ipfi  de , Vt  oftendi- 
{ mus  in  praecedenti  libello . Ergo  cum  4^arcus  fit  gr.3  o.  erit  re- 
fiue  ac..y  ^Qocurelpefiuipfius  ^^qu^  efi  loobo.  Hoc 
■ autem  fignificat^  quod  impetus  grauis  naturaliter  cadentis  ex 
: h m a adimpetum  parabolse  in  extremo pundo  {dummodo 
: ad  horizontem  tantum  comparetur  ) erit  vt  i o o o o.  ad  5 000. 

: Duratio  vero,  fiue  tempus  lationis  naturalis  per  perpendicula 
j j f a ad  tempus , fiue  diirationem  parabolae  erit  vt  eadem  i a ad 
^ wcj  nempevt 


TrAxis,^  ■ 

Sume  ipfos  finus  re^os  eleuationu,  & habebis  numeros  Ta 
-bule  rexhibeptes  dumtiones  ^ ^impetus  parabolarum  ad  ho- 
tizontem  eomp^tos^fc , ■ ^ 


f c/  ■ <4^ 

i 


Tabii- 


■> 


spatia  fiue  mrmenta  prokSfionum  ^^nalia  • 


fahiU  cmtinens  Gradus  eleuatlnis  aqua  Met  adhiberi  j vt 

doproieBionisftatdi^atnenfura» 

GRAD.  Comple-  f 

Eleuat.  men.  I 


I Spatia 


grad. 

Eleuat. 


Comple 

men. 


IO 


n 


j 


89-  43 


— — 

3° 

40 

5 2 

I.  9 

89.  8 

88.  51 

50 

I.  2 5 

88.  34 

60 

i.  43 

88.  17 

70 

2.  0 

88.  0 

80 

1,  18 

87.  42 

90 

2.  35 

87.  25 

1 00 

2.  52 

87.  8 

110 

3*  9 

85.  51 

120 

86.  33 

130 

3*  44 

85.  16 

140  1 

4.  I 

85.  59 

150 

4.  19 

85.  41 

i5o 

I4.  36 

85.  24) 

170 

[4-  54 

85.  6 

180 

|5- 

84*  49 

1 190 

5.  29 

84.  31 

200 

5.  45 

84«  14 

210 

5.  4 

83.  56 

220 

5.  21 

00 

• 

230 

<5.  39 

83.  21! 

240 

57 

83.  3 

250 

7.  14 

1 82.  45  1 

. ’ 

1 

I Spatia . 

n-  f 

260 
270 


2' 80 


300 

310 


320 

33° 


340 

350 


360 

370 


3S0 

390 


400 

410 


420 

430 


44° 

45° 


460 

47° 


7‘ 

7- 


3^ 

50 


• i 


8.  ^ 
8.  25 


IO*  33 
IO.  51 


II.  10 

II.  29 


11.  47 

12.  6 

I 2.  25 

1 2.  44 

'3-  5 

1 3.  22 


82.  28 

82*  IO 

81.  fl 

34 

81.  r5 
80.  58, 


hIm  i 


80.  40 
80.  2 2 


^3 

77*  54 


77-  35 
77. 16 


^6.  57 
76.  38 


13.  42 

14.  1 


j6t  18 

75-  59 


14.  21  75.  39 

14  40  1^5.  20 


spatia  fine  incrementa  proieClionum  aqu  « 


i Suppdnimus  proiefiionei  dmnes  mniem  impetuinhahere  > hec  efis  effi 
eiufdem  machina  • ^ maxifMm  proieCiionem ponimus  part»  4000. 


Spada . 

GRAD. 

Bleuat. 

CotnpJe- 

oien. 

Spatia .‘ 

GRAD. 

Eleuar. 

Cotnple- 

men. 

51 0 
530 

15.  20; 
rj.  4® 

74.  40 
74. 20 

0 0 

24  44 
25.  I 1 

65.  i6| 

64*  -4P  j 

530 

i6»  0 

74. 0 

780 

25.  38 

64.  22 

540 

16»  21 

73-  39 

790 

26.  6 

63. 54 

550 

16.  41 

73'  ‘9 

800 

26.  34 

63.  26 

5<5o 

17.  2 

72.  58, 

8 10 

27.  3 

62.  57 

570 

17.  23 

72-  37 

820 

27-  33 

62.  27 

580 

17.  44 

72.  16 

830 

28.  3 

61.  57 

590 

18.  5 

7>"  55 

840 

28.  34 

6i.  26 

600 

18.  2(5 

7'-  34 

850 

29.  6 

60.  54 

610 

1 8»  4^ 

71.-  1 2 

860 

29.  39 

60.  21 

610 

1 9.  1 0 

70.  50 

'870 

30-  14“ 

59.  46 

630 

ip*  32 

70.  26 

880 

30.  50 

5P.  10 

640 

19. 54 

<59.  6 

890 

gr.  27 

)8.'  3 3 

650 

2 0»  \6\ 

^p.  44- 

900 

32.  , 5 

57'  55 

660 

20.  39 

69.  2 1 

I 

910 

32*  45 

57*  i 5 

670 

2 1.2 

68.  58 

920 

33'  28 

56. 32 

680  ' 

2 1.  25' 

68.  35 

930 

34-  '3 

5 5-'  47 

6go 

2 I.  49 

68.  21 

940 

35.  2 

54-  58 

700 

22.  Ig 

67.  47 

950 

35-  54 

54.  6 

710 

22.  37 

67.  23 

960 

gd.  5 2 

ttt 

720 

2 3.  2. 

66.  5 ^ 

970 

37-  58 

52.  2 

730  i 

23.  27 

33 

980 

39.  i6 

50.  44 

740 

66.  8 

990 

|4o.  57 

49*  3 

750 

24* 

65.  42 

» «aKMasmwMM 

p ' ! 

1 OO0I45  . 00 

45.  00, 

..CT.f^^Sj»yoaMU  «••5« 

A ■ . ' i-  ■-■.  , ■ . ,v  v-i 

BxfUcdth pY^c edent h^T abitU , s ^ ^ -V 

DV  M fupponitur  maxima  proie(^io  efle  partium  40061 
tunc  iupponitur  quarta  ipfiuspars,  hoc  cft  f^idiamei 
ter  circuli  Propofitionis  p.proiedorum  eife  l ooo^qui  jaume^ 
rus  fupponitur  etiam  pro  finu  toto  in  Tahula  iihuutu* : S * ^ 


Quandoergo  data  erit  futura  amplitudo  ^^partiu  2 1 2 0/qug  ■ 
maiornon  fitnumcro  4000J  dabitur  etiam  5 3o,ipfius  db  ~ 
quarta  pars, hoc  eft  d e erit  5 3 0 . Ergo  ex  Tabulis  finulim  ha-  ■ . 
bebitur  quantitas  arcus  a e gr.  32.  cuius  femiffis  gr.  i6.rerit  ’ 
menfura  anguli  c de.  Nempe  eleiiatio  quaefita,  iuxta  quam 
flet  propofita  amplitudo  d h partium  2/20.  talium  qualium  - 
aiaxima  proiedio  integra  fit  4000. 

Trdteis  pro  conflruendd  T dhuld  j ^ dd hec  vf  qmuis  ' - 

per  folds Jinuum  tdbulds  probl.filuerepo^tt . 

Dat^futurse  Amplitudinis  quartam  partem  fume . hanc  in  ' 
. tabula  finuum  quasre , arcumq.  ipfi  refpondentem  bifariam  fe-; 
ca . Sic  habebis  eleuationemj  quse  amplitudinem  qusefitam  fa 
cit  .Sed  fufius  h^ec  in  fequentibus  explicabimus . 


rfidelk 


Vfo  della  procedente  Tauola  # 

SVppomamo  che  il  mafftmo  tiro,cioe  il  tirofattd  dl'eteU4&ii^ 
ne  dei fe fio  punto  dellafquadra  da  vna  colubrina  fia  pew 
tf empto  40  0 0, pa^  geometrici , V ogUofare  con  la  medejtma 
vn  tiro  di  manter  a tale,  che  riefca  per  appunto  longo  pa[fi  2 s(f  9, 
piglio  la  quarta  parte  di  1 $60  .la  quale  e spo.  e guardo fu  la  ta-- 
uola,€vedo  dirimpetto  adeffo  numero  laeleuauone  dadarfilt 
detto  gezz^o  ejfer  gradi  1 8 , e minuti  s -ouero  gradi  j i . e minuti 
SP^fuo  complemento»  E dico  per  le  cofe  dimoHrdte,  chc  il fudet- 
topez^zo  con  'vnadiquefie  due  eleuadoni  tir  er  dia  palla  lontd-» 
nopaffi  2 j(8o,fopra  Vorizonte  . ^e  bene quelle eleuaT^oni ,le 
quali  pajf ano  ii  felio  punto  dellafquadra,  nonfipongono  per  l*  at 
tiglierie , ma  folamente per  Ivfo  de’  mortari , 0 trabocchi , 0 faU 
tamartini . 1)  euc peri  auuertirfi che  con  quella  prima  eleua^i 
ne  la palla  fard  vnaftrdda  bajfa , ma  njeloc e , 
come  la lineafegnata  ^,econ  impeto  grande 
orizontaie  opportuno  per  sfondaremuraglie,  A. 

0 dare  altro  impulfo  laterale . Ma  con  l’ altr a 
eleuazionefard  la  firada  b,  la  quale  fard  pi- 
gra di  moto  orientale  , macon  ajfai  impeto perpendicolare  nei 
fine  , bportum  per  sfondarevolte , tetti , e far  altrepajfate  per-- 
pendicoUri  ali’ orizonte  \ ouero  per gettarrobbe  in  vn  certo  de- 
terminatofegno , come  farebbero  facchetti  imb allati  con  corde^ 
pieni  di  zolfo  alni  tro , 0 farina ; ouero  palle  con  iettere , ifr  al- 

tro dentro , In  fomma  l” vna , e l’ altr a eleuazione , che  egualme 
te fia  diliante  dal  fefto punto porterd  la palla  nelloBeffo  luogo  , 
pero  con  la  prima , e minor  eleuazione  caderd  in  terra  ( come  ef 
fi dicono  )Di  ftrifeio > e con  la  fecpnda  e maggiof  eleuazione  bat 
tetd  qua  fi  perpendicolare . 

Sl  che  rarijjtme  •volte,  e for  fi  anco  mai  s^incontreri  che  ilmaf 
fimo  tiro  d’vn  artiglkria  fia  per  appunto  quefaffi  4009,  come 
parchefifupponga  nel  calcolo  della  Tauolanoflra,  (graneo  in 
quelle  dei  Sig.  Galileo aperio  la  detta  Tauola potrebbe parere  inu» 

E e tile. 


31  S 

t ile . Ma  noi rnofireremc  che it mmero fuffoH(f di 4000 »fer  cio 
non  ftrue  ad  al cuna  machina particolaUiac.ctb  f ojja  feruir  a tMt 
te  *vniuerfalmente . Bijogna  dunque  auuerttre  che  quel  nume^ 
Yofufpoflo  di  4000 . non  e di pajjt , ne  di  canne , o braccia ^nedi 
altre  determinate  mifure , ma  Jcbtnedi pArtiafirattey  tali  quali 
effe  fi 'fiam , che  pero  potendo  conuerttrfi  in  tutte  le  forti  di  mi- 
furepffiihiii  fanno  la  Tauola generale  tanto  per  le  colubrine , 
quanto  per  i mortario  ballelire  .B  per  dare  'vno  efempio  come  el- 
lajipoff^  addattare  a tutte  le  fpez^ie  deW artiglierie  ^ eridurre 
le  parti  aHratte  in  pajjt  geometrici  faremo  cosi,, 

lima  fimo  tiro  di  un  C anno  ne  per  efiperienz,afatta  trouo  ohe 
e per  efempio  pajjt  2 30  o>e  voglio  con  lo  fi  e fio fare  vn  ttro  ilqua- 
le  fi  a di  pajjt  Sd  0 .fac  cio  cosi . Seil  majjtmo  tiro  23  0 oi  mi  dd 
Sdo . ttro  que  fit  9 , il  numero  2000.  majjtmo  della  T auola  che  mi 
dard  fi  aceto  l op  er azio  ne  y e trouo  '^74^  il  qual  numero  c er  cato 
ne  lia  T auola firitroua fra  37  0 , e 3S0 . P ero  adoprando  agiudi- 
Ziiola  parte  proportionale  trouerajjt  Idrco  dellafua  eleua^iome 
douer  efier  e gradi  II . in  circa^  ouero  7 p.fuo  complemento  . E 
cosi  e certo  che  quella  tale  artiglieria  -y  la  quale  eleuata  (7,pun 
ti tiraua pajft  2300. eleuata gradt  1 1 . ouero  7^ . dei  quadrante 
tirerd  pajjt  860,  come  defiderauamo  * 

P ere  h e poi  ad  alcuno  potrebbe  parer  dijjicile  il  trouar  per  efpe 
fitnza  il  tiro  majftmodell^artiglieria , mofireremo . 


Vome  da  qualunque  tiro fafto  anco  cafualmenteifipofifa 
trouar  il  tiro  m a fimo  di  vnpeffiod\artiglieria . 

Slii  vn  pezzo  dirizzalo  CDiiforme 
la  lin  c a a r,d  el  la^uaie  fia  l*'ejeua- 
zione  i^angolo  b acy  qualunque  £ fk . Y 
Si  naifuri  dettoangcJlo  con  lalqua- 
dra , e trouili  per  efempio  gr . 3 o • poi il 
fpari  Ikrtiglieria?  e vada  la  palla  finoal  punto  e li  mifuri  di« 
iigentcmentelaji inea  ab , che  lia  perelempio  2 400.  palli  Geo 
mmki  » Dirochedatequelledu€cole,cioelaekuazione,.e 

ia  luo- 


^ r ^ 

la  lunghezz^ic^el  tiro  cafuale  /#^^  . viene ad  effer  data  ancol^ 
linea  ^ la  qii^le  e la  meta  cjd  maflimo  tiro,  conforme  fi  e di- 
moftrato  nellVltimo  Corollario  della  Propofizione  9.  de  pro 
ietti.  ' 

Effendo dato fangolo della  eleuazione  gr.  30.  fara 

ilmangoiorettang^olo  ^^cdatoinfpezie/eperche  e data  la 
ab  in  paUl » fara  data  la  d e . quarta  patte  di  effa , cioe  6.0  o.  paf- 
fi.  Opereremodunquecosipertrouar  laquantita  di  ad,  per 
via  di  caleolo,  e de  i feni# 

Facciafi  . Come il feno retto  ^6602,  delPangolo  ace  gr. 
^o.cioedelfupplemento  della eleuazione#  allato  ae^  che  h 
600.  CosHIfenoiotale  l aooco...  ad  vn  quarto  numero  693. 
E cosi  la  hipotenufa  a c fara  paffi  693.  Ma  per  che  anco  il  tria- 
gote  rettangolo  aede  dato  in  fpezie , ficciafi  di  nuouo . Co- 
me il  feno  retto  j 0000.  dell  angolo  ad  c,  il  quale  e eguale  al- 
Eangolo  dato  della  eleUazione  e a c , alia  retta  4^  che  fi  troua 
693.  paffi:..  cosi  il  feno  totale  ad  vn  quarto  numero  1 3 8 d.  & co 
sila  retta  cereata^W  fara  palTi  138(5.  Maperche  ad  effendoja 
ImeadelllmpetO  j o fuMiinitaeeguak  metd  dei  maflimo 
tiro , fenoi  raddoppieremo  1 3 8d#  veirra  a farfi  il  numero  di 
2772.  pafli , che  tanta  fara  la  lunghezza  dei  maflimo  tiro , che 
fi  cercaua  di  qitella  machina  da  quale  eleuata  gn  30.  fi  trouo 
tirar  pafli  2400*  * 

Ma  con  molto  maggior  breuita , e con  vn  calcolo  folo  po- 
tremo  operare  cosi . Pongafi  che  ilfeno  totale  fia  c/i  faran- 
no  /a , d>[/d  le  tangenti  vrta  d elPangolo  della  eleuazione,  PaU 
tra  dei  fuo  fupplemento . Facciafi  dunque . - Come  il  feno  to-^ 
tale , alia  c/che  e doo.  cosi  2 30940.  ( che  e Ia  fomma  d’atn- 
bidue  le  fudette  Tangenti ) ad  vn  quarto  numero  1 3 8 (5 . e cosi 
la  retta  ad  C\  trouera  come  prima  i i 8 d.pasfi . la  quale  raddop 
piata  dara  come  fopra  Ia mifura  dei  tiro  femiretto , o maflimo » 
come  vogliam  chiamarlo . 

j>er  Corollario  (i pm  auuemr  e che  que Bo  e il  modo  diargome^ 
tarcyda  qualfiuoglia  tiro  d^nartiglieriayquanto  la  medejima 
fia  fer  tirareaWinsufer  linea  ferfendkulare  ,*  che  fara  quanto 

E e s ll^ 


220 

la  linea  a d . ritrouata  fer  via  dei  calcolo . 

Laflejsa  linea  ad  ciinfegna  da  quanta  altes^^^ahifognereh^ 
h € lafciar  cadere  vna  falla  d* artiglieria , accio  arriuajle  in  terra 
con  il  medejtmo  im^^eto-^  che  conferifce  la  Bejla  artiglieria  aflra~ 
endo perofemp^re  dahi  impedimento  che puo  apportare  la  corpole- 
x>a  deW arta  ^ che  fappiamo  effer  fenftbile  per  vanare  le  propor- 
x>ioni  dimojlrate  de’  tiri^  ma  molto piu per  impedire  queHo  effet* 
to , ^ 

Come cojelefoletaudle  defenipofftamofaperela  mafftma  altestt^ 
&a  alia  quate  e peruenuta  per  aria  la  palla  di  vn  tiro.  Data 
pero  l’ eleud^ione  ^ elonghesdi^adiejfotiro , 

NEll^iftelTa  precedente  figura,  fia  dato  Tangalo  dclla  ele«- 
uazione  c ab.  lunghezza  dei  tiro  a b.  Sicerca  Fal- 
tezza  malIima,aHa  quale  e peruenuta  la  palla  per  aria:  E queiia 
fara  ia  linea  f<r,Pre(iafi  pure  di  nuouo^r  5oo.pafli,doe  la  quar 
ta  parte  di  tutta  laiunghezza  ab,  e poiikcciafi . Come  il  leno 
8(5do2.deirangolo  ^ee  fupplemento  della  eleuazione , alia 
a e che  e 600,  pasfi , cosi  5 0 000*  feno  della  eleuazione  e a e 
ad  vn  quarto  numero,  e troueremo  3 46.pairi  per  mifura  delPal 
tezza  c cycioh  della  maggiore  altejiza  aUa  quale  fia  peruenuta 
la  palla  per  aria  , 

Deu  e dUUertirfi^  che  non  fempre  fi adoprano  le  artigliefie  di 
manter  a tale  che  lap  alia  vada  4 terminat  e nelmedefimo  piano 
,$rizontale  j dal  quale  tra  partita^  fi  come  fuppongom  le^MO» 
ie  dilGalileo,  e nofire . Pero  dmendofi  tirare fopra  vnafpiaggia 
dlvn  coMe  deciiui , mero  aceiiue  \parimente  douendo fi  tirare 
dalla fcmmita  dfvna  Rocca  fui  pi  ano f&t  topo  flo  oriz>ontale , fin 
hora  non  h abbi amo  fcied^  alc una  i ntomo  alia  mifura  di  que ft i 
tiri , Fotrebhe  cale  olar  fila  tauola , maciafcuno  s^accorgerache 
douendofiquelld  comporreperognigrado  d’ eleuazione  dei pe^ 
ko^epoiper  ogni  ^ado  d’inclmazione  della fpiaggia , e per  ogni 
papd^dteziP^  della  Rocca^  iimoltipiko  mderebbejquafimmK 


\ 


22  t 


jimto . Mo firertmo  pero  per  regoU  gener dU  il  medo  di  cdlcoldrc 
ifudetti  tiri  quando  occorrerd , 

iirpj^ione  aif . fail 


V na  tale  artiglieria  con  la  direz^zione  a^.  diX 


S 


A . ^ 


E 

.x> 


tiro  ac d.  fopra il piano horizontale  ^ . Ma io  vo 
glio  tirare  fopra  ii  piano  a c inclinato , e cerco  qua 
to  fara  Ia  lunghezza  d e dei  detto  tiro  fopra  quefto 
piano  • Si  tirino  h d per  il  punto  d^^hf  per  il  pun 
£0  c . perpendicolari  alPorizonte  j e ficongiunga 
fe . quale  per  le  cofe  moilrate^  parallela  alia  ab. 

MifurMi-conqualcheilrumentoPangolo  da  e^  cioe  laele- 
uazione  deila  fpiaggia,e  dalla  Tauola  aelie  amplitudini  fi  tro- 
ui  la  lunghezza  dei  tiro  orizontale  ad.  Dopo  quefto  facciafi. 
Come  tangente  deirangolo  delFeieuazione  delPArtiglie 
ria ,alia  b e,  che eia  diiferenza delle tangenti  de  duoi angoli 
dab,  dae  noli,  effendo  vntl  la  eleuazione  delFartigiieda  j 
1’altro  la  eleuazione  della  fpiaggia  fopra  Torizonte ; co$l  da 
nota  in  pafli,  ad  vnquarto  numero;  e fitrouera  lare  tta/-*i  in 
pafli^  Facciafi  poi  di  nuoiio . Come  il/eno  tota  le,  a quel  xro- 
liato  quarto -numero  vche  e la  mifura  di  af  ln  paffi , cosi  a^c  fe- 
caote  deirangoio/ii ad  vn  quarto , e cosi  aueremo  noto  il 
numero  dei  pafli,  i quali  mifureranno  la  linea  d r,  cioe  la  iun- 
ghczza  dei  tiro  che  fara  quella  tale  artiglieria  fopra  ilpiano  a e 
quando  ii  lira  airinsu  ^ ' ^ 


Ma  quando  dalpunto  ^bifognafle  tlrare-giu  per 
vna fpiaggia defecndente come  ab.  Cosi trouere- 
moiaquantitadi  ah,  cioedoue  vada  a ferire  lapal 
la . Sia  data  la  direzzione  a e,  cio^  fia  dato  fango 
Io  deiia  eleuazione  dei  pezzo.,  c a fia  daio  anco- 

^^ra  Pangolo  della  i nclinazione  della  ipiaggia  c:  a b , 
Immaginiamoci  i’  orizonte  a c * e tiriamo  perpen- 
dicolari ad  e-flo  le  b & kdf^  e congiunghiamo  c h .la  quale 
fara  parallela  alia  a e . Hora  fu  la  tauola  delle amplitudini  tro- 
lieremo  quanti  pi^^a  ^ is^i  vma  noi  cerchian^  quanto  fia 
ikro  laGeia€U^afcoio  cosi  k Come^  tangente  4eli-angolo 

\ Uella 


V- 


ZZZ 

ddhh  elem^me  ddl^migUcrk , alia  dk ta&g^iite dellaincli- 
nazionedelpianojCosi  ad notaiiipaflij,a^d\?iiq^^ 
ro  . Et  auerenoo  la  mifuradi  dc  in  paffi  f e pe^o  anco  tutta  Ia,# 
ac  faranotainpaffi.  Facciafidunqjye  dinuouo.  Come  ac 
feno  totale , alla  a c nota  in  pairi:,  cosi  iecanre  delFangoIo 

ca  b ad  vn  quarto  numero-;  e fara  h mifura  cercata  delia  retta 
a b in  pafli ; cioe  la  lunghezi^a  dei  droftiia  fpiaggia  defcen- 
dente  ab,  ^ 

Occorre  ancora  fpejfe  volte  di  ftrare.  inpam^erfendicolari 
aW oriz^onte,  comeinmurdglie  diCittdiio dt  Torrido  d^ altro , 
Pero  anc  o in  quefto  cafo foggimgeremo  il  cale  olo  pertromjtllaU 
. a di  qmipmto  doue  nelfudetto  muro f eri ra  ia  paiU . , 

Siala dkezzione delpezzoialinea \a% C: el^orizote  ac^^ 
il  muro  della  torre  d e perpendicolare  all’or  izonte  e da  la  dk 
flanza  ad  notainpalli.  Immaginiamoci  chelapalia  paffiii- 
bera  fenza  battere  ncl  muro,  e vadaacoipire  nelFo 
rizontein  c , Ia  Tauola  delle  amplitudini  da  iaquaxi 
titadella /ir.  Manoicerchiamoi  ytezzaV^-  . Ti- 
rifi  c b perpendicolare  alForizonte,  & '^paralle- 
la ad  ^^,epoicongiungafi///,laqualepafreraper 
Ia  comun  fczzione  della  parabola , e dei  muro , co- 
me fi  puoraccorredallecofegiamodrate  . Facciafihora,co- 
ea  lunghezzadcltiro  orizontale,alla  r ^difterenza  trale 
linee  ac  yad.^ii  note  ^ Cosi  la  b e tangente  delFangolo  del- 
la  eleuazione  dell'artiglieriaa:  alla  ejf  tangente  delFan  goio/4 
£ Facciafi  di  nuouo . Come  il  feno  totale , alla  a d nota  in 
- pasfi , cosi  la  gia  trouata  tagente  delFangolo  e, ad  vn  quar- 

to numero ; il  quale  fara  la  cercata  mifura  della  retta  de  in  paf 
li,  etroueremo  ilpunto  r^  nel  quale anderebb e a ferire  quel 
tiro . Lo  ftcfso  caicGlo  fi puo anco ridurre quando  il  muro  de^ 
non  fia  perpendicolare,,  ma  a fcarpa,,  come  quelli  delle  moder 
ne  fortezze;  ma  dubitando  di  apportar  piiitedio  , che  vtile  la-» 
fcierb  Ia  cura  di  cio  a quel  Geometra  che  fe  ne  curera . 

Le  afnflittidini  detle parahoU;delle  qualitrattailQalileOy 
amc  nohjappongono  cheil  tiro  nontermirtifuiptamdelUcam 


A 

B 


\K 


A 


tzs 

fAgnA^  main  quelfidm  honzontdleyChe  p4j^4fer  U hoccA  dei 
fez>z,o,  ^uelio  non  far  a vero,  f e non  quando  l*  arti^ieridfi 
mettejfe  con  le  ruote  in  vna fofsa  ^ fi  ch  eia  bocca  venifse  fer  af~ 
fdnto  nel  Uuellodella  campagna:  Ma  fer  che  cto  non  fi  cofluma^ 
€fer  c hei  piri  vanno  a terminare  neW  eriz^ont  e , che  toccal’ infi- 
mo funto  delleruoteyCercheremo  Geometric  ament  e quanto  fojfit 
frolungarfivn  tiro  Ituell aio  3 0 vogUam  dire  orimntale^  fer 
gione  deWaltezTfidella  bocca  dei  fez^ico  fofra  il fiano  de  Ha  cam 
fagna . Pare  che  ilfiemidiametro  delle  ruote , e la  geoJfez,i{a  dei 
metallo  cdgionino  che  la  bocca  dejiarti^ierie  ordinarie  venga 
altafiofrail fito  orizontale  intorno  a 
due  braccia , Suffongafi  dunque  in 
a la  bocca  eH  vna  colubrina , e fi  a Hho 
rizonte  b c . altezza  della  bocca fia 
id  retta  a b fuffofta  2 . braccia^  efi  la 
farahola  a c d fia  il  tiro  liueUatOi  fi 
tere  ala  retta  bc.  Sia  il  tiro fiemi- 
rettOt  0 mdfitmo  dellamedefimaarti- 
glitria  fia  farahola  aef,  efongafi 
ohe  a f fia so  0 0 pajji  Geometrici,  cio}  ijooa.  braccia  Fioren- 
tine . F ac  ciafi  il femicircolo  fio  lito  della  Profofizione  p.  a h i. 
frodotta  ai  egualealla  zi yfi affUchi  Id  . Perlecofe  rnofird" 
tefiara  lar  etta  a i imfeto  della  far ahola  a e f,  ouero  della  a c d 
{ferehe fiono  della  mede  simam  ac  hiyia ) feron  1 fiard  ia  quarta 
farte  dei  lato  retto  della  farabola  a c d . adunque  i d fiard  dof- 
fia  di  \2i\ma  anche  fi  mofrogid  doffia  difii,  ferhfiem  e- 

guali  i d,  ^ a fi  (fi  vengomadejfierdate  tre  linee,  cioel  ivrsoo 
I d i j-o  0 0 , ^ a b 2 ' l)Mnquefe:npifar€mofer  laxegola  del  tre, 
iQome  la  retia  1 a a b not  e , cosi  il  quadrato  della  retta  1 d 
adviealtro  nu,  troueremo  d 000  0 il  quale  fiard  il  quad, della  r et 
ta  h c,  e cauatane  laradice  quadra , troueremo  che  la  retta  bc 
fiard  2 4s  • braccia . Concludafi  dunque  che  que  lia  machina  , Ia 
quale fa  ilmajjimo  pirodi  isoo  0 . bruccia  fie  kaue^ed  ia  bocca  fio  l 
leuatadue  hracciafofralfirizonte  ^ fiard  iltko  tiueUato  , cioc 
con  niente  d^eleuqzidne,  iungo  in  ogni  modo  braccia  24S, 


X24 

^anto  foipoJpifYolungdYjtqudlunque  altYo  tho^mn  orizontd-* 
Icy  md  t nclindto  tn fu^oucro  in giUyfeY  cdgime  deW ait delle 
Yuote^  0d’vn  baBione.o  d*vnd  Roccd,  o di  qudlunque  dltrajito^ 
eheldfollieui  fopYd  ilpidno  horizontdle  ^ fi  c ere  hera  in  que  fio 
modo, 

JE  certo  che  douendofi  tirare  dddd  cimd  d^vndRocca  ^ onero 
di  *vn  cdBcUo pofio  in  cimd  d*vn  fidfio  ^o  da  qualanque  luogo  aL 
to fu  l piano  orizontale  delta  campagna fott&po fla , i tiri  riufei^ 
Ydnno  dffai  piu  lunghi  che  i notatifopra  la  tauola  delle  amplitu^ 
dtni  I e quefid  differ enzdfard mdggior e tdnto piu  quanto  piu  aU 
tafardldfituazionedeWartigUeridfopra  quelpiano  orizontale 
nel  quale  deuono ferir  It  palle y e terminare  i tiri  • 

Sia  l*alr6:iza  deila  Rocca,o  d’ai 
tro  luogo  gf,  e debbafi  dal  puiato 
y.rirare  fopra  ilpiano  deila  cam- 
pagna Immaginiamoci  l’o- 
rizonte/<^,  e fatro  il  tiro  feb  e con 
qualunque  eleuazione,  fi  eercala 
mifiira  di  ^ ^ . 

Dalla  Tauola  delle  amplitudini  fi  trouerala  quantitd  di  ah 
c dalla  Tauola  delle  altezze  fi  trouera  h,  ac  * altezza  della  pa- 
rabola . La  pfatica  poi  dei  ealcolo  fi  potra  fare  in  piu  modi . 

Quadretur  numerus  ab;  quadratufqrdimdatter per  ac,  S* 
quotus  erit  latus  reSiumparaboU  feb  . Ducatur  deinde  quo~< 
tus  iam  diBus  fin  cd,d!^  produBi  radix  quadrata  dabit  d e . 

Ouero  potr  emp  operare  cosi . 

Ducantur  fimut numeri  d c , c a , & produBi  radix  quadra^ 
ta  erit  medio  loco  proportionalis  inter  d c , c a . Fiat  vt  cz,  ad 
pradiBam  radicem , ita  ab  ad  alium  numerum . ^ quartus  nu 
merus  erit  iterum  de. 

Ouero  finalmente  aquefio  niodo, 

Diat  vt  numerus  c a * altitudo  parabol^  ex  tabula . Adnu^ 
merum  c d altitud,  parabola  cb"  arcis fimuf  Ita  a b .femiam- 
plitudo  parabola  ex  T abula , Ad  alium  quartum  numerum . 

Sumatur  deinde  numerus  medio  loco  proportionalis  interdia 

Bum 


qUMtum numerum ^ ^ inter  ab,  quUmedius ille pnforthna^ 
lis  exhibebit  i ff Hin  d e • Bt  eum  d g aquulis  ifji  a b n^ta  fit  ^ 
erit  totd  g e nota . 

Ma  potrebbe  foggiuiigere  alcuno  chc  dalla  fomraita 
fpeflb  forfi  occorrera  tirarc  cori  Tartiglieria  inchinaca  all*ingiii 
cheaMnsUjpero  farebbe  neceflfariofapere  p^rregoia  Geo- 
metrica ia  lunghezza  de’tiri,  ilche  iiauera  inqueilo  modo, 
Siaiitirodafarfiairingiuilfegnato/’^  conqualuaque  ango- 

10  d'inclinazione  fotto  Torizonte,  ficerca  gh » fingadconTim 

maginazionecheiltiro  abia  da  farfifopra  l’orizonte  conia», 
medeiimainclinazioneperPappunto,  &per  le  regole  prece- 
denti fi troui la  quantita  Ai  de  come  fopra,  ouero di  dh^  daHa 
quale  fe  ieueremo  la  gla  nota/’^ , ouero  dg  rimarra  nota  la-« 
quantita  cercata  g ^ . ' 

Ma  fe  data  la  eleuazione  gr.  40.  dei  _B 

tiro e labafc  i6oo.paiIinoi 
voleffimo  fapere  tutte  le  diuerfe  altez- 
ze  dei  tranfito  della  palla  fopra  qualun 
que  punto  dcila  linea  a c . Faremo  cosk  Diuifa  per  mezzo  k 
ac  alzata  d b . quefla  fara  Paltezza  fuprema , e fi  trouer  a fu 
la  Tauola  delle  altezze , e delle  amplitudini,  operando  in  que- 
fto  modo . Nella  tauola  delle  amplitudini  dirimpetto  alii  gra- 
di  40.  di  eleuazione  trouo  la  linea  ad  effere  parti  9848.ina^ 
neila  Tauola  delle  altezze  trouo  ia  linea  b d eflere  parti  4132. 
Poi per larcgola dei tre, dico.  Sq  ad  9848.midapafli  800. 
conforme  alia  foppofizione ; db  cheeparti  41 3 2.  quanti  pal- 
£ dara  ? e ritrouo  che  la  retta  bd  e paffi  33^.  Sia  ora  propo- 
ftoqualunque  punto  e fopra  di  cui  fi  vuole  faper  Paltezza  dei 
tranfito  della  palla,  cioe  la  linea  e h . Suppongafi  che  la  retta 
ae  fia  r6oo,&ia  ec  6oo.e  facciafidinuouolaregoladeltrc 
in  quefto  modo  * Se  il  numero  quadrato  di  ad^che  e ^40000. 
Mi  da  il  numero  rettangolo  delle  rette  ae,ec.che  e 600000, 

11  numero  Mche  fu  trouato  3 3 d.che  mi  dara?E  ritroiio  s 1 5paf 
fi  adunque  Taltezza  della  parabola  fopra  il  punto  ^ fu  pafli  3 1 5, 
Chc  e quello  che  fi  cercaua . 

Ff  Ta^ 


i2^ 

Bajlera  au€Y*  dccenndto  queflopoco  fer  tl  calcolo  di  dic  une 
v arieta  le  quali poffono  occorrere  intorno  a.  queBi  tiri . Poteud- 
no  forji altri  cajijimili  d quelli,  e particoldrmente  i conuerfi  le^ 
ro , md  ddlldinteUigenza  di  queBt  fi  pofifbnofacilmente  dedurre 
que  Ili , e finge gno  di  qualunque  Geometra  applicando  ui  troue- 
ra  minor  dijp^oltd  nellofciorre  molti  di  quefli prohlemi  da  fe  me 
defimo , che  ml p affar  e le  lunghezze , (fi  le  ofcutita  delle  noBre 
efplicdz^ioni  , Ver))  pajfier emo  allafabbricd  della  fquadra^  laqud* 
le  pare  ver  ament  e appropriata , anziifdtta  dalla  natura  d poBd 
per  mifurar fcientificamente  ,fi  Geometricamente  i tiri  de  pro  * 
ietti  . 

DBLLA  SCABRA, 

RIducafi  ora  in  pratica , e fciolgafi  per  mezzo  di  vno  ftru- 
mento  alcune  delle  gia  dimoftratepropofizioni.  Fabri- 
cheremo  vnafquadra  milirare  , la  quale  con  ceriezza  inuaria- 
bile  infegni  (almeno  alii  Filofofi  Geometri, fe  non  a^  Bombar- 
dieri  pratici}  quanta  eleuazione  debba  darfi  a qualfiuoglia-. 
machina  , accio  la  lunghezzadel  tiro  riefca  dellapropofta  mi- 
ftira . Sciorremo  anco  per  mczzo  d efla  tutti  i Problemi , che^ 
foprail  tirar  delle  artiglierie  fipoflino  formarei  quali  gia  furo- 
no  promefli  dal  T artaglia , e poi  ridotti  in  T auole  dal  ‘Galileo, 
c6  alcun^^altro  dipiu.Si  accorfe  nnduftria  militare,ehe  IVfo  di 
vna  macliinatanto  nobile,  e di  tanta  confeguenEa,  q[uanto  e 
rartiglieria , farebbe  ato  troppo  ritretto,  fi  dipoco  benefi- 
cio, fe  quella  nd  fi  fuflfe  potuta  adoperare  fe  non  dentro  a quei- 
lapocadirfatizaycifellatira  dipunto  inbianco,  o vogliarn  di- 
re di  mirafehzadargli  conia  fquadra  ainto  yantaggiofo  di  al- 
cuna  ereuazione  i J u pero  pen  fato  come  lipoteJOfe  fare , accio 
con  quei  medefimo  pezzo,  ii  quale  per  fe  ftelfo  non  tiraua  pid 
Ac onero  a 5 o.  pafii  Geometrici  fi  potelfe  tirarne  e 400^ 
^nnco^oci.cpiu , epiudinoallaiunghezza  defmafiimo  tiro, 
Aepofla  farfi  da  qud  t4epezzO:.Mnnenzione&  quefta  i 

jaain- 


minciarono  ad  aiutare  il  pezzo  con  Telciiazione  i cioe  non  lo 
dirizzauano  a dirittura  verfo  l*oggetto  in  che  doueua  colpire  * 
ma  tenendolo  nello  ftefTo  verticale  dell  bggetto,  Io  eleuauano 
fopraquella linea  retta,  la  quale  vadal  pezzo  airoggettore 
i:i6  faceuano ora  piu*.  & ora  meno , conforme  che  la  sforzatu- 
ra  dei  tiro  doueuaeffere  maggiore,  o minore . Artifizio  che  fi- 
no  dal  principio  def  mondo  e flato  noto  anco  a i putti  inefper- 
ti.  Vediamochedouenda  efficonvna  palla  di  neue,  od’aI- 
tro,  colpire  in  vn  fegno  viciniffimo,  la  fcagliano  a dirittura  ver 
fo  elTo  fegnoi  madouendo  poi  giuocare  a chitira  piu  fontano^ 
ouero  fare  a faffi  tra  di  loro,  nontirano  gia  orizontalmente» 
ne  a dirittura  verfo  i loro  contrarij,ma  volgendo  i colpiamez- 
z^aria , fenza  auer  fatto  altra  fpeculazione , tirano  tutti  all*ele- 
uazione  dei  quinto , & anco  dei  fello  punto  della  fquadra  mi- 
litarealoroignota.  Itombardieripoiebberocol  progreflb 
dei  tempo  vno  flrumento,  ilquale  facilmente  mifura  quefte  ele 
' uazioni . ' 

Fu  inuentata  da  Niccolo  Tartaglia  Brefciano  Matematico 
infigne  vna  fquadra  con  legambe  difuguali  congiunta  con  il 
quadrante, la  quale  gia  pifit  di  cento  anni  d fempre  flata  in  yfo  » 
& e ancora  iVnjca  regolatricede’Bombardieri,  nonfoloper 
adoprarl*artiglieria,  &alzarfa  inquei  tiri,  che  effichiamano 
di  volata,  ma  anco  perii  uellarla  negli  orizontali,  Diuifeil 
Tartaglia quel quadrante  in  i2,  partieguali,  cominciandola 
numerazione  di  effe  dalla  gamba  minore ; fuddiuife  anco  cia- 
fcuna  di  effe  in  altre  1 2.  parti  eguali  j nominando  quelleprime 
Punti , e quefle  feconde  Minuti  della  fquadra . Ponghiamo  la 
figura  della  fquadra,  c moflriamo  come  efsa  mifuri  Peleuazio- 
ne  dei  pezzo. 

Sia  t anima  delCannone  a b ^fermo 
in  qualche  ^oJitHYa^  Mettafi  in  hocca 
dUffbla  maggior  gamba  ^dellaf quadra 
c a .y?  che  fi  addattiful  fondamente  di 
detta  anima , e cafchi  il piombc  in  d Joi 
dicQ  che  Tangoh  e c d?  cioe  L‘ ano  e d,  e la  mifura  della  eleua* 

Ff  2 


2ll 

ziOf^edelpe^zo  . Tkifi  vnd  orhontd e ^i.fardmo  gl^dngdi 
intorno  algunto  g , retti , ma  anco  rangolo  a c f . ^ retto , adun-- 
que  gl^dngoli  c af,  d'  f c^  fono  eguali  per  l'S.  delfefto  .Ouero 
fost . T iri  fi  per  c orizo  male  hi.  Se  da  gli  angoli  retti  h c d, 
a c e , /^ leuerd  il  comme  a c d , reftera  V angolo  e c d della [qua- 
dra eguale alV augolo  deW artiglieriafotto  l^orizome  h i,  ofopra 
l* oriz>ome  a f , che  e lo  Hejfio per  ejfere  alterni . 

' Coi  mezzo  poi  di  quefta  fquadra  fi  e fatta  dalli  Bombardie- 
ri  con  lunghe  ofieruazioni  vnapratica  tale,  ch^efii  fanno  quan- 
ti punti  debba  eleuarfi  vcrbigrazia  vna  Colubrina  da  40. 
per  colpire  in  vn  fegno  iontano  per  efempio  pafli  700.  geome- 
trici , o in  qualunque  altra  diftanza . 

Ma  vaglia  ilA^ero , le  olTeruazioni  fono  tanto  fallaci ; fono 
Cosipochi  i Bombardieri  che  le  abbiano  fatte,  eleabbiano 
fatte  efquifitamente,  che  IVfo  delBartiglieria , leuatone  ii  tiro 
di  punto  in  biailco , non  puo  auere  fe  non  pochiffimo  di  certez- 
za . Volendofi  acquiftare  qualche  fcienza  ficura  intorno  alia 
Iquadra  ordinaria , farebbe  neceflario  di  fare  Pcfperienze  non 
folo  con  tuttele  forti  di  palle,  e<;on  tutte  ledifferenzedipoL 
uere , ma  in  tutte  le  fpezie  de  i pezzi,  & anco  in  tutti  quelli,che 
efTendo della  medefima  fpezie,fono  differenti  di  granciczza,  e 
poi  a tutti  i gradi  delle  eleuazioni  pofiibili . Moltiplico , che 
quafi  anderebbe  in  infinito , E notiamo , che  conuerrebbe  fa- 
re qu  efte  efperienze  tutte  ad  vna  ad  vna ; poiche  no  e vero  che 
per  via  diproporzioni  fi  poflTa  da  tre,  o quatcro  tiri  di  vn  Can- 
none , fatti  a diuerfa  eleuazione , argoment^re  alcun^altro , ne 
pur  dello  fteflb  Cannone  caricato  con  la  ftefsa  poluere,e  palla  • 
Che  quefto  fiacosi,  fidimoftra  per  mezzo  delle  Tauolepo- 
fic  dal  Sig.  Galileo , e da  noi . Per  efempio . Quel  Cannone 
che  elcuacoal  fello  punto  tirapaffi  400 o.  eleuato  advn  punto 
douerebbetirarla  fella  parte,  &a  duepunti  ia  terza,  &a'tre 
pumila  meta.  Malacofapaffamokodiuerfamente.  Perche 
eleuato  ad  vn  punto, tira  1 0 3 2.  in  cambio  di  666.cht  e ia  fella 
parte  dei  fudettomaffimo  tiro  4000.  AI  fecondo  punto  poi 
(dt  offeruifi  che  con  quefta  eleuazione  l’ artiglierie  tira^ 

nofem- 


no  femprela  meta  delfnafllmo  tiro)nel  cafo  noftro  tirera  2000 
incambio  di  1 3 3 3 . che  e la  terza  parte . Ai  terzo  punto  tife- 
ra  2824.  in  cambio  di  2 000. che  eia  meta  dei mailimo  tiro 
AI  quarto  punto  tirera  34^4.  in  cambio  6x2666»  PA  quinto  ti- 
rera 3 8 do.  in  cambio  di 23 3 3, che  fono  cinque  fefti  di  quel 
maffimo.  Vedefi  dunque  come  accrefcendo  egualmente  le 
eleuazioni  dei  pezzo , cioe  tirando  prima  ad  vn  punto  folo,poi 
a due , & a cre,  € quattro  &c*  fino  al  fello,  gi’accrcfcimenti  del- 
lalunghezzadeitiri  non  crefcono  egualmente  9 cioe  con  la 
medefima  proporzione  con  la  quale  crefcono  le  eleuazioni.- 
Ma  mentre  ii  primo  punto  tira  1 05  2*  il  fec  ondo  accrefce  fopra 
efso,  9^8. Ii ter^o  accrefce  824; il quarto  ^40.  Ii  quinto  3i?d. 
Ilfeflo  140.  Per  cauar  dunque  qualche  rcgola  dalle  efperien- 
, era  nccefsario  il  farle  efattamente , a tutti  i gradi  deila  ele- 
uasionc , in  tutte  le  forti  de  i pe^i^:.i , con  tutte  le  varieta  dellc 
polueri,  e lediuerfe  materie  ddle  palle , e Ford  anco  direj  che 
era  necefsario  che  lefacefseogniBombardiere  dafeliefso  . 
Cofe  quali  impoflibili  a ridurjS  fotto  rcgole  > e cauarne  certe;2i- 
za  alcuna,  fe  la  Teorica,  e la  Geometria  non  ce  ne  daua  mani- 
fefla  Icien^zsa  mediante  quellVnica  propoli^ione  dei  Galileo , 
nella  quale  primo  di  tutti  egli  ha  auuertito,  & infegnato  a noi , 
che  i proietticamminano  tutti  per  vna  linea  parabolica.  Su 
quella  fuppolizione  fonderemo  lo  hrumento  promefso.-fe  poi 
per  Pimpcdimcnto  deimezzo  le  parabole  yenghino  troppo 
deformate , o per  molti  altri  accidenti  i tiri  liefcono  incoflan- 
tislimijciballerd  auerfodisfatto  indubitata  mente  allafcuola 
de  Matematici , fe  non  a quella  de  Bombardieri . 

Noi  auanti di  |iorrelafabbricadclla  iioBra  fqtiadra , quale 
non  colille  in  altro  che  nel  defcriucre  vn  folo  femicircolo , di- 
uideremo  lafquadra  ordinaria  in  ponti  difugiiali,  61  mamera 
tale  che  mifurino  non  le  eleuazioni  dei  pezzo  , ma  le  fuiighez- 
zede  i tiri,  che  equello  di  cheiVfo  nollro  ha  bifogno . '‘Cosi 
aueremo  cercezza  che  Partigiieria , fe  fara  alzata  kd  v n punto 
diefsafquadra,  tirera  alia  lungbezza  dVn’ta!efpaz!o,  qua- 
lunqueii  fia  lalzata  pdi  a due  pumi  raddoppiera  precilaitiente 


2^0 


tiro ; fe  a trc  punti , tireritrc  di  quci  fpa2i/,fe  a quattro  c mez- 
20,  tirera  quattro  e me22o : fe  a dnque  &;  vn  quarto,  tirera  cin- 
que  & vn  quarto ; e cosi  fino  al  fefto  punto  crekeranno  fetn- 
prenelloftefso  modo,  e conia  ftefsa  proporzione  i punti  dei 
lafquadra  nello  rtrumento,  e glifpazij  dei  tiri  nella  campa- 
gna,  e dalfefto  fino  alduodecirnopunto  anderanna nella  fi ef 
ia  manieradecrefcendo  * Lacofiruzione , e dimoftrazione  e 


Geometrica,  cauandofi  dalla  propofizione:da  noi  pofta  al  nu- 
mero XI.  de  proietti , la  quale  dalla  data  amplitudine  infegna 
tro'«arl’eleiia2ione#  E ferue  comunemente  per  qualfiuoglia 
forte d’artigiieria,  edi mortari, per  qualunque  fpezie  di  palla,, 
odipoluere.' 

le  gdmbe  , 

ddUfquadrA  ab  la 
maggiore,  ^ a c Id 
minore  :foifatto  ce 
iro  in  a fdcciaji  it 
quadrante  cAt  .fi 
pra  it  quale  Jt  hanno 
a notare  i pdnti  di- 
fugualiyd"  intorno  at 
diametro  a c ./aOcid 
Ji  ilf ^,mic  ircolo  a f c 
i tirata  ld£o  perpe- 
dic  olar  e ad  a b,  f* 
gente  alfemicircoto 
diuidafi  ag  in  fei 
parti  vgudli  per  aue 
fe  i fei  punti  della 
fquadra^epoi  ciafiu 
na  parte  in  12.  per 
au  er  e i minuti  ( qua 
do  pero  la  grande^ 

dello  ftromentofark  e ap  ac  e di  qHeflafeeonda  diuifione.)  Ho- 
tafiavna  dede/ei parti  la  gh.,  Ahifi  lahmi  *parallelaa  gf. 

la  qua- 


531 

$d  qmh  ffghi  Ufmicircolo  ne  i funu  m , i . Tirifi poi  dal  cen- 
tro a la  Y<ett4^  f d?  & il funto  d far  a il feBo  della fqaadra . Ti- 
rifila  ai  X^^it funto  XJardilquinto  dellafquadrai  tirifila  a 
m ^/7 pumo  n >f4rdU fettimo , t cosi  di  tutti gli  altri . Au- 
uertafi perochefoperaT^omfard  pih  giuft a, f e dopo  auer  troua- 
1 0 i puntt  former  emo  con  ia  trafportaz»ione  'd^ejft  il 

nono , decimo^  ^ vndecimo . I mezzi punti  , i quarti  y dt*  i mi- 
nuti fi  trouer  anno  nello  flefifb  modoy  coldimdere  in  me^9 , o in 
^uattro  partiy  ouero  in  do  dici  ciafcuna  de  Ile porzioni  della  linea 
a g . con  alzar  leperpendicolari  dalli  punti  dede  diuifioni  i fe- 
gh  er  anno  dette  perpendicolari  il femicircolo  y deperi  punti  del- 
fi tir€r4nno  i fiemidiamietri  nel  quadrante , che  quefii 
fegheranno  il  quadrAnte  ne  ipunti  defiderati  yde'  me\zi puntiy 
de^  quarti  yO  minuti. 

Hora  hnanifeftoper  la  Propofizione  JX.  noRra, chefe 
la  linea  deiia  direzione,  'o  vogliam  dire  della  elcuazioiie  dei 
pezzo  fara  a o , puero  ap  j la  amplitudine  e lunghezza  dei  tiro 
lara  come  la  quadrupla  di/’ o y e fe  la  direzione  £ira  a my  ouero 
An . il  liro  fara  come  la  quadrupla  di  rm\  e quando  laeieua- 
zione  fude  fecondo  la  linea  afd  y il  tiro  fara  come  la  quadru- 
pla di  , HalellmQ  foyrmyqf.  per  la  codruzione nodra 
c€guairaente  ii  cccedqdo  j e pero  anco  le  loro  quadruple , oucr 
iroitiri  fopradetti  ^ualmente  ii  eccederanno  pvnPaltro  , 

yfo  dellapredetta  diuifionCyfatt a ne^llafquadr a ordinaria . 

Slaci  propofta  qualunque  artiglieria , o mortaro , e con  eOa 
facciafi  vnafola  efperienza i cioe  fia  clcuata  a qualunque 
punto , come  percfempioal  quinto . Sparifi,  e fi  miluri  la  lun- 
ghezza dei  tiro, cjxpuili,yerJjigrazia5  effere  2ooo,parti . fatto 
queftopofliamo  fapere  quanto  tirera  la  medcfima  artiglieria 
caricat^^  nello  fteffo  modo , dceleuata  a qudfiuoglia  punto  > o 
minuto,  che  fara  facile  per  laregola  dei  tre , effendo  in  queflo 
frumento  tantoipiintiquantolalunghezza  de  i tin  proprzio 
^ali.cJLiapratieaequefta#  yoglioiapere  quanto  tira  jl  iedp 


punfo . F6  cosi ; fe  5 . punti  diedcro  2 000  pafii  quanto  daran- 
no  6,  punti  ? e trouo  2400.  pafTi . Dico dunque  cfae  qudla  ar- 
tiglieria  al  fefto  punto,cioe  col  maffimo  tiro , tirera  due  mila  c 
quattrocento  di  queile  parti  delie  quall  al5.punto  ne  tiraua 
iooo,  ■■ 

Auuertafi  pero  che  iti  cambio  di  fare  quefta  operatione  co 
i punti  7*  8.  9. 1 o.  / 1 . & 1 2.  fi  fa  con  i loro  complementi,  i qua 
iifono  5.4. 3.2. 1. &o. 

Ma  fe  ci  fuffe  comandato  f & importa  molto  piu  ) che  noi  e- 
leuaffimo  il  fudetto  pezzo  in  tal modo , che la  liingiiezza  dei  ti- 
ro douefse  riufcire  per  efempio  padi  1 joo.opereremp  cosi.  Se 
2 000. paflt fuiono flitti  da  5 .punti,  o per  dir  meglio  da  So. mi- 
nuti di  fquadra  ,1300,  paffi  da  quanti  minuti  fi  faranno  ecco 
Poperazione  2.000.  do.  1300.  ? ^9.  E troueremo  che  per  fa> 
re  ii  tiro  di  lunghezza  di  paffi  1300.  bifognerebbe  dare 
alPartiglieria  i^eieuazione  di  minuti  trentanoue  di  fquadra , 
ouero  di  punti  tre  Sc  vn  quarto . 

Modo  ferfabhricdre  UfquadrA  mftrd , 

Ma  fe  noi  vokdlmo  formare  vno  flr  umento , ilquale  n5 
folomifurafsela  lunghezza  de  i tirifatci  adiuerfe  ele- 
uazioni,  tna  anco  Paltezza  deila  parabola , la  durazionc,  o tem 
po  dei  viaggio , Ia  fublimita , e Paltre  cofe  dimoflrate  nel  pre- 
cedente  libro  de  proictti ; tutro  fi  fara  coi  folo,  e femplice  femi- 
circolo  della  propbfizione  p.Ma  venghiamo  alia  coftruzione . 

Preadafi  ^ 

Ia  lamina  ret  E 
tangola  ^ ^ 

^d  . di  otto- 
ne,  od'altra 
foda  materia 
la  quale  hab 
bia  Ia  gam- 
ba lungadapotcrHietterfiinboccadclpczzo.  Facciafifo 
. ^ pmil 


friiyial^etrp  46  vnofcmfcircplo 
Ip  deiiapropofizioncp.  dcproietd  j & in^  pongafi  il  filo  coti 
11  pioinbo,e  diuidafi  il  femicircolo  dfb  in  90.  parti  eguali,chc 
iaranrip  ii  90,  gradi  dei  quadrante;  oucro  in  1 44  parti  eguali, 
cte farannoipuntij  C minuti  eguali  della  fquadra ordinaria. 
Moftriamo  ora  Geomctricamete  come  que  fquadra  fiaatt* 

a mifurare  con  fomma  fimplicita  le  lunghezze , Paltczze  de  i ti- 
ri,  iitempo  dellc  durazioni^  le  fublimica  dellc  parabole  t C 
le  ekuazioni  de*pezzi . E poi  porremo  la  diuifionc  dclle  linee 
in  cfsa,fenzaauerbifogno  diTauoIaalcima  per  operar  detta 


PoiigafiyCtimenellaJegUf 

detta  c a b c d . in  bocca  di 
vn  J^exze  e a . qualunquefi 
cafchlitfiornbo  sulfa 
M f delfemicircolo  a £b  di 
uifiin pe.  farti  eguali*  £ 
certo  frimier amet  e,  chel^Of 
cp  b f mifitra  t eleua^ionc 
kelfezto  e z.  fo pr a l^ori&pn- 
te . impero  chehauendd  mi 
fpuM  dmifone  dei femicir» 
colo  in  p 0, parti  fplamente 
valutato  Qgni  duegradiper 
/olo ^ abbiamo  fam  che  . 
tarco^fjiami/uradel^^  ^ 

3 ^tjj^keUa  eleuapione  dei feid{p fopra  tori^nteiqtta^ 
U erizonte/arafempre  la  linea  z f . JOico  dipiu , chefe 
^rtmoihe  lalme:q  zh,  diametro  dei  femicircolo  pa  tmfeti 
della  pYopop a Wtigferia  ^ ouero  la  meta  dei  majjtmo  tiro  i ia  Ip 
mdt  f/^f^pdicplare  nl diametrOi  /kra  la  quarta  parte  della 

"^9  langhe^adeltiroi  la  b b ./^ra  l*alte^zafiipre^ 
wta  della  parabola  \l4  z h y/ardlajfkilmita  1 4^  b f far  a tltem^ 
f9  0 duraziom  deltm^ 


Che 


p^em  .;0 . de proiehii dlefuk 'Mrdtjjt,)  fr^lmghlfi 
'ne  a ddlladirf£iM'k  ici  'fB  1 ii^ 

defMtdtHeme^^d^fbi  cdM^tfnwd^rid^dtk  W^f0t4ifM 
Btn^rc\£dch€fi^e^ilk 

^eikhofirdppfbfi4'4rW^er^fj^'i£ti^UddfdtMmetro'hJ 
'iinfi  cdPpei^ervil grdn^tmMfcdU ^]!\^¥df^tla  B i 
^iinqiiefmto’  W oHzbfftMe  iiti\  Binar^ftbvp^  ^ 

'ditata  / rof  d fizione  p . de frouttu  dhe  la  linta  vdxfard  ta  quar* 
dkfart e reale d ella luwghezza dcltird: furimente che  d mfark 
dal  tezza  nonfnta , tna  re  ale  d^ejjb  tiro ; e cosf  daltre  mifure  ttel 
f mnircolo  b i 1 far  amo  tutte  vere  'i  e re  ali . Bota  Mtif  che  il 
tri angelo  b b f,  ^ fmile  altrtangolo  hvesiyfer  legere dmbiduete^ 
t angeli , e fer  auer  due  angoli  allacma  b.  lAdm^teenHUtne^ 
defme  froforzioni  faranno  tradi  loro  tutU  le  mifure  fkcoUy  0 
fint  € a ella J quadra  a c , netle  quali profor^omfom  tutte  le  mi-* 
furevtre  nelVmmaginato •>  e vajfofemeircolq  'btie  ^Cfbe,  /k 
linee  a b , b f,  f h ^ h b , auerannofrUeHiddd  'ine^ 

defme  che  hanno  reffettiuamente^fe  Ib,  bi,  i bi  >tn  b ffei^ 
quanto  ali*  argomentar  nelle  profor  ^Uidfpkemo  fen^  klcum 
errore feruirci  honmeno  delle  fntefuldfquddta , ehe  delle  vite 
immaginate  neld  ampiez&a  deitariad 

Reda  hora, che  ponghiamo  come quefladottrina,  che fin 
qui  e Rata  mera  /pcculazione,  poffa  ridurfi  in  pratlca  maiiqui- 
le, e con  facilita . Ciafcheduno  vedecheper auernoicqghi- 
zione  della  quantitJ delle  linee 
zioni  nelia  precedente  figura , farcbbe  neceflaridVehe  t 
ppedette  linee  fuflero  diuife  inpam  mihutiffime  con  qualche 
comnne  miiura*  A queRo.^  diuideremo  in  pard 

^i}aM>e  minteiffime^^<^ametro^  # i8i  il  fefnidiahietro^ei^ 
eome  appareneila  reluente  fignra,douedipmghiamo  Ia  fqiia- 
dra  finitaie  pr>i  darejMO  I ciafcuna  diuifibhedella  cueon 
zalerueguide parallele ^ dfetiidiametri,  aedd  in  effifipolfa^ 
leggere  il  rinmero^  e4a  qtofita  delle  linee , che  faranno  indi- 
ci della  lunghezza?  dcaltezza  detirhe  helpunto  deli*angola 

> dei 


3. 


V 


dei  femidrcolo  ^ metteremoilffiycoIpjdmboJ 

Quanto  al  numero  dellepa^eeire,nelle  quali  Edpuera  dl- 
uidere  il  diametto  a h potraeiferc  in  arbitno  di  eiafcheduno  i 
fara  pero  bene  eleggepe  il  numero  2 o66.per  chcfacilitera  To- 
perazioni  Aritmedene , 

Deue  ben  no|Crfi , cheie  alcuno  fabbricafTe  vna  fquadra  co 
me  li  ^ detto  pofla  per  v^ai^ied*ardgiierie  ibla,  auercb- 
bc  fenza  vn^idima  iaticidi  calicolo  la  miluradi  tutti  i tiri  di 
efla . La  dinidd^^  di  quefta  tale  fquadra  dpuerebbe  farfi  a 
poftcriorlirrqderip  prodo . [Facciafil’eiperien2^del  maffimo 
tiro  di  quella  ta|e  atdgjreria,  jper  la  quale  vogliapio  far  la  fqua- 
dra a pofta  j e tjroni  eflere  verbigrazia  paffi  3 odo.  piuadafi 
poi  il  diameirojdella  fquadra  in  parti  1 500^  & il  femidiametro 
pcrpendico|fe|d|n  i^rtii  j^jo^egu^r  3 cioe  fingafl,  e fupponga- 
fi  che  ii  dii^^^q idaffiino  tiro  3 ooo. 
parimentcebeiliepiidiarnetp^  perpendicolare  ed  750.  fiala 
quarta  parte  deihied:efimo  tiro:  inal|imo,e  cosi  data  poi  qualu- 
que  altra  eieuazione;,  fubito  chc  inetteremo  quefla  fquadra  in 
bocca  dei  fuopezzoi,  imnrediatamente  vedremo: quanti  paffi 
fara  la  iunghezza,  e qiiantil^altezza  dei  tiro , &cJMa  pero  que- 
fta tale  fquad^^tta  verbigrazia  per  vn  Cannone  da  <fo.  fareb 
be  anco  btfena  per  ogn’altro  Caniione  da  dd.  che  fusfe  della 
medcfima  lunghezza,  & altre  propori^ioni  come  quello  • 

E ben  vero  chc  volendo  noi  fare  la  fquadra  vniuerfale,  che 
ferua  indilferentemente  per  tuttele  fpezie,  e tutte  le  grandez- 
ze  deirartiglierie , faremo  cosl . Diuidafi  neila  figura  prece- 
dente  il  diametro  a b in  parti  2 000 . eguali  tra  di  loro . Pari- 
tnente  fi  diuida  il  femidianieirjp  r ih  pmiidoby  eguali  fira  di 
loro.(Noi  per  ia  piccolezza  della  figura  abbiamo  diuifo  folo  in 
3 oo.pigliado  Ic  parti  a dieci  a dieci.jFatto  queftb  fi  tirino  dalle 
diuifioni  della  eirconferenza  fegata  in  gradi  eguali  al  folito , 
ie  guide  parallele  alii  diametri  j accio  fi  pofla  fqpra  efli  diame- 
tri kggere  la  quantita  delle  linee  rette , confornie  oceorrcra  • 

Siaci  ora  propofta  vnVtiglieria  ignota/^  .Facciafi  ia  pre- 
liaefpericrizainqueftoaaQdo®  Pongafi  in  bocca  di  effa  ia,» 

fqua- 


, c (cafchiil  filq  in  qq^nquii 

guida  la  quatitita  di  ^ a fui  femidiame- 
tro  diuifo  > eii  tenga  amenioria , e poi. 
fparifi  lartiglieria,  e fi  mifuri  il  tiro,che 
Ja  pa®  ( per  ef^mpio)  12  5 q ..  Carichi- 
fi  di  puouQ  PartigUeria  neUp 

^j^^uJzicjiuerlamente, tanto . ; , , 

filo  <^chi  altrpue  in  »» la  lunghe^M^  tiro .. 

Facciafi  cosi . Se  il  numero  di  i o da  la  lunghczza  di  i ^5© 
palfi^^l  il  numero  di  ml^  chefilegge  fui  femidiametro  diuifo» 
quanti  paifi  dara?  e trouerai  parimen^e  la  lungfiezza  dei  tiro 
numerata  in  paifi . ^ ■ ' 

Chi  voletfe  Paltczze , e non  klupghezz  e dentiri,  facciala 
fieffa  dperazlpne  comc  s’e  detto > raagon  qqn  le  linee  # o ^:  mi 
che  dahno  le  iuitghczze,  m fi  bene  con  le  le  quali 

danno  ie  altezze  ...Se  poi  vokffimolefublim^h^^^ 
bc operare conle  go,gL.  Ma quehpi>che «nporta piu^  aleu^ 
no  dopo  fatta  la  preuia  efperienza  , volefle  che  quella  medefi- 
ma  artiglkria  faceffe  y,n  tiro  propoftoci,  long^,  per  efciqpio 
22do.paiIl  .'Si  cefca  quanta  ekuazione  dcbba  t^fi  al  pez^o . 
Operificosi . Se  lipam  1 2 50.  dellapreuia  efperienya  mi  dan- 
no io  numerata  .lipaffi  2 z 00.  che  mi  daranno ; e trouerai  vn 
numero  ilquak  fia  per  efeippio  nd^^  fquadra  afcritto  alia  li- 
nea ml.  Sidoucra  dunque  alzar  Fartiglieria  tan|ordie  il  filo 
paffi  peril.puntd  m.  St  aHoriii  tirariufcira  di  palB  2 zooa • 

^ I tpmpr  puero  durazioni  de  i iirifi  dafinodalelihee  h%hm* 
e per  auer  la  quantita  di  qiiefie  fi  pub  far  in  due  modi . Primo 
per  via  di  caleolo , perche  il  quadrato 
dei  tepo^ilneila  paffata  figurare  fempre 
eguaie  aHi  duequadr^i,  dell^ltezza  h 
e ^e  dellaqiiarta  parte  jdella  lunghezza 
Second o j epn  lare  atuflte  le  diuifio; 
niHelk  perileria  h , c j ^/y|hella  prefeii- 
t e figura)dal  centro  a . kguide  circo” 

Gg  3 lari 


lari  b e , cfy  d h , che  cosl  ^iTchdd  Ia  dh  ditiifa  g|d  in  te» 
nutiflSme  eguali , eila  citmfii-eraitntte le  rctte  ^ b ^4^,  kd^  che 
lbnoitempide’tiri,  - 

Confe^amo  fero  che  (jadnto  all^vfe  milkdre , foUmente  l*4m 
flitHdiniyolHnghez\edeitm  f4re  che  imfortmo  , e fidm  di 
tnolto  momento  Valtre  fom  tutte  curiofita  dccefforie  y le  quMi 
fetuom  molto  ftu  fer  gufto  di  GeometrU.che fer  'Vtile  di  guerrd, 
Pero  cht  veltff  \ U fquMrdfolo  f er  que Bo  riffemdelle  lungheT^ 
z>e ; io  frenderei  tlfemicircol&z  b e di  ottone  ( come  ne  lia  fre^ 
f ente  jtgur4)ilqu4le hauejjela gamba  zdy  ^ 

€ coi femidiametro  thdiuifo  in  farti  mi^ 

nutijftmeeir  eguali  fac  endo  ilf  rincif io  dei 

la  numeratione  dalfunto  t m Di f iit  dar ei 

dtuttii  funti  della  fer^ma  f,  g , h , i , ?//  B 

le  loro  guide  g h , f i . far  alie  le  alia  zCy  e 

Cost  snauerebberofofra  la  Qb  , diuife  yi 

Humer ate  tutt  e le  £n  y gOyle  quali  fer  udno:j^ff  i 

ferleamfUtudiniiolunghe^edetiri, 

Takola  Ld  quale  moftra  quanti  gradi  e minuti  dei  qu  adrante 
ordinario  contengaciafihedunfHntodelldnoftrdfq^^^ 
che  hdifuntidifugu4liyfoBaac4r.iso. 


Per  eieingio^fi^er  ^ 
ca  doue  cafcMk.  di- ' | 
uiiione^K  dei  ieitimd 
punto doftrodifugua  ^ 
le . Guardo  la  prefen  'f 
fcTauola,  dirimpet-  g; 
to  ai  nuiTierQ  VII.  e g 
trouochecafcafopra  § 
II  grado  6 i . € 47.  mi  r; 
Buti  dei  «quadrante  ^ * 
lordinario» 


rmesio 

tnezzo 

I 

4.  48 

VII 

mezzp 

7*  if 

me220, 

II  ^ 

9-  44 

vin 

mezzo 

'la.  ipl 

mezzo 

III 

If  0 

• 

IX 

iiiezzo 

^7* 

njezzoj 

jy  . 

54. 

■ X ■' 

111^220  p 

134. -18 

mezK) 

. V'\  ■ 

1$ 

, 

XI 

meno 

15-34 

mP2ze 

VI 

4f.  0 

- '■ 

X ^ .1  - 

.4^’ 

€U 

47; 

6f, 

4» 

69^ 

7%* 

30, 

77. 

41S 

$9*. 

3«! 

4f|- 

84» 

■I2j 

s?. 

$0» 

Hi 

* 

.. 

'■.a. 

n 

9 

» 

13. 


n 

0 ; 
3* " 

a 


Jdk 


MA  (jH  che fidmo  entrdHd  eofijtderdre  il  mot^A  ^ inifeto  de 
froietti  ^»0»  fi  fuo  sfiiggir  Voccafione  di  foggifingere 
quale  h e cofa  circa  U varie  tk  d^e for&e  loro , nel  b at  ter  e fopra  le 
fuferjicie  refifienti^ora  con  maggiorcy  oracon  minor  angolo  dlin^ 
clmaztpne,  llGalikocontemplalHmfeto d'eJjiproiettiin cgni 
funto  della  loro  parabola  y e lo  mi  fur  a folamente  quanto  e in  fe 
mede  fimo , cioe  rtfpetto  a quel piano , in  cui  perpendicolarmente 
€gli  percuoteffe , 

Notfupponendo  che  vn  impeto  mentr e arriua  4 percuotere  y 
quanto af e fiafempre l* iftejjb ylo  confidereremo  , e mtfureremo 
quanto  eglijiarijpetto  al piano  refiflentCy  variato y folamente 
dalla  diuerfita  de  gldngoli  deW inuidenza.N  on  e Babardiero  tan 
to  inefpertOy  il  quale  non  fiappia^  che  le  palle  delt  artiglieriay?ne» 
tre percMOtono  in  vn  muro , hanno  fempre  minore,  e minor  forzay 
(data  ognaltra  partta')  quanto  / angolo  deWincidenza far  a pik 
epiu  acuto . Si  chcyfe  quel  cannone  con fejfanta  libbre  di  ferro, 
e quaranta  di  poluere , non folo  sfonda  ma  ancora  fconquajfa  con 
ilmoperpendicolarevna  Oortina  Appena  poi  la  offenderayben- 
che  abbia  la  me  de  fima  carie  a , e la  mede  fima  difianz^a , con  pro 
iezzione  dei  tiro  y ch^efit  chiamano  diftrifcio,  Il  Problema^ 
per  quanto  io  fappia  ycintatto . Per'bf e fiprodurra  qualche  cofa 
meno fufiiftente , e non  pura  geometrica , &fi  compatifea  fin  che 
altritratti  meglio  ladottrina  yO  fi  rifiuti  affatto,  che  poco  im- 
porta* 

Suppofizioni^ 

1.  iParlercmo  folamente  per  i tiri  deirartJglierle  : pero 
Supponiamo  5 che  queila  porzionedellaliheaj  che  fala  palla 
poco  prima  e poco  dopo  ai  colpire , ha  come  iioea  rerta . 56 
cheh  tratta  di  linea  veramentecuruafmaauendo-qucfta  (fe 
fuife  intera j la  fua  lunghezza  di  piiidi  tre  mila  palll  geometri* 
ci , h potra  bene  conifiderarne  vn  braccio,  ouero^n  pa!mo  fo* 
los  ouero  yn  dito  fenza  errore feniibile , per  linea  retta  . 

Supponiarnofecondariamente  cheieforzej  onero  ioi- 
peddeprokttifiaiKJ^  comefoflOiipa^  che  DeilafteiI6.rcm- 

poh 


Gai.%.  po  fi^C0rfon©:^cio^  .Segliipad|  4^i.i^^.&^  ‘ 

de  m9tu  fcorfi  daLttlobik  ttelmedefi  tempo , gPiimpeti, 
eequa  ili  q forzenci  cdlpire  iaranno  Come  gli  /pazij  if  is, 
rcipettiuamentc.  ^ ^ i , > 

3.  Mafe  iInkdefimo^pa^mverra  fco^ 
mobile  in  dmerfitcmpi,  gl^mped  o forzedel  mb-  ) 
bilempercuotereaueranno  Ja^pmposzio^^^^  reci-r . 

GaL  proca  de  i tempi . cioe  Seilmedciimorpazio  i^V.. 
de  motu  fara  fcorfo  vna.v^aka  nel  tempo  «j^V-  lc  vn’altranel 
aquahiii  tempo/’.  la  forza  dclla  prima  fara  comc/i  e delia 
fecondacome  e . 


4»  Supponiamo  poi  che  tutti  i tiri  abbino,:^uan 
toafeileflfi,  fempre  ilmededmo  impeto  i iichefe?: 
guircbbe  quando  dado  jPcrraa  liartigHma^  fempre 
ncl  medeiimo  iuogo , con  kmedefimaearica^  me- 
dcfima  eleuazione,  e didanza  &c. folo:  fi  variaiTe 


Jk  X 


D 


I 


T 

f 

„1 

i 


i 

t; 

^ I 


t , 

'■!  ' 

i 


l\)bliquita  dei  muro.  . ,V > 

Suppoft o queft o : mentre  vna  paMa  dr  cannoae  fi  amiicina 
al  muro  oppodo , la  linea,  e difittiira  dei  tiro , o e perpendico- 
lare , al  muro , o no  * Se  eperpendiGplar© , la  pereoflfa  opera 
con  vna  tal  foza  (^che  proueremo  efier  la  maflima  che  pofla 
auer  quel  tiro . J Se  farg  ad  angoli  obliqui , corae  la  linea  db  , 
alia  parete  bc.  \o noto  che  riipetto  alia  parete  b c . fono  nel- 
la  linea  db  delproietto  due  motiinfie 
me  compofti:  vno  cioe,  di  auuiclnameii 
toperpendicolare  alia  parete  ^ 1’altro  di 
palfaggio  laterale,  6 parallelo  alia  ftefi- 
ia . II  perpendicolare  ci  viene,  e moftra- 
to , e mifurato  dalla  linea  a c * il  parallel 
lo  dalla  linea  ,•  poi  che  nei  medefirao 
tempovengonopafTati  dalla  palla  ambi  ; > 

glilpazij ^ ' 

Hora  ofTeruiamo  che  di  quede  dae  ibrti  d’impcto , vna  fok 
ea  propofito,  per accrefcerle forzerifpetto arompere  il  mu- 
ro ,&  internar  ia  palla  in  efso,  doe  rimpeto  delia  lazioneper- 


pen- 


24r 

fendicolarc  L^altrOjancor  chefuOfeinfinito,  non  accre- 
fcera  mai  ia  forza  dei  prdictto  contro  alia  refiftenza  dei  muro, 
fe  pero  non  gli  acceileralTe  anco  lalazione  perpedicolare.An^ 
zife  fufse  i^orizontale  femplicejefolo,  fenzamiftura  alcuna 
dei  pcrpendicolare , chealtro  farebbe  Ia  palla , fe  non  correre 
equidiftante  dal  muro , fenza  mai  toccarlo,  non  che  romperlo,: 
fe  bene  fufse  vn  fottilisfimo  vetro/*  Qiiando  dunque  data  la  di- 
rittura  di  qualfiuoglia  proiezione,  noi  fapremo  quanto  di  que- 
flo  impeto  perpendicolare  entra  ncllacompofizione  dei  mo- 
to 5 fapremo  anco  l^attiuita , o momento  dei  proictco  verfo  la»# 
refiftenza  della  muraglia  contrapofta . 

Sia  la  linea  di  qualiiuoglia  in- 
cidenza,  ^^.fopra  ilpiano  hf^ 
prefa  con  qualunque  inclinanaio 
ne,  ma  pero  fia  laporzione  ah 
tanto  piccola  che  pofsa  confide- 
rarfi  per  retta.  Tirifi  perpendico- 
Jare al piano hac,^  e R congiun 
ga  ch  . Tanto  dunquedimoto 
parallelo  fara  nellalinea  . rif- 
pctto  alia  parete  ^/.,quanta  c la  linea  4’  h . Ma  di  quefto  non 
facciamo  ftima , perche  moltiplicato  non  aiuta,  e diminuito  no 
debilita  il  momento,  mentre  l’altro  impeto  non  alterato  refti  il 
medefimo.  Di  perpendicolare  poineliaftef^av  fara  quanto 
la  linea  ac  tth  forza  dei  coipo  fara  magior  ejC  minore, fccon- 
do  cheneiloftefsotempo  farafcorfala  wc.  maggiore  o mi- 
nore. 

Supponiamo  hora  che  la  fbixa  dcl  incide^ja  a hSiOL  come  a c,. 
Perfapcr  la  forza  di  qualunq;al£ra  incidenza  /a^^jprendafi  d 
h , eguale  2i  ha  tirata  hc  de , perpendicolare  al  piano  fara  Ia 
for;5adiqueflaincidenzacome  Piflefsa  linea  de.  Poiche  fe 
ah.  db . fono eguali , e fono i tiri delPiftefso cannone , faran- 
no fcorfe nelmedefimO tempo.  Adimque anco le  ac.  de.iof-  /uppojt^ 
no  fatte  neli^iftelsotempo/  pero  gli  impeti  rifpetto  ai  muco  fo;- 
nocome 


fuppofi^^ 

gjme» 


2df^Z 

Irifmremcdmqm  che\  ie,4Uimt4 , 9 memnti 4^  i tin  d$im 
J^mente  mclindti  fono come  ifemrettideglian^golid 
des^z^e,  -i  ■ >,  ; , 

Si  caua  di  qui  per  Corollario  che  la  i nciden  za  perpendico- 
lare  ^ ^ . ha  inaggior  forza  di  Cutte  le  alere , efse  ndo  la  forza  di 
efsa  come  il  feno  totale.  Elaproiezioae  paralleia  non  ne  ha 
nientC)  efsendo  la  forza  fua  come  feno  nullo..  L’incidenza  db^ 
ad  angoio  di  3 o.  gradi  ha  la  meta  deila  forza  totale, efsendo  il 
feno  fuo  Ia  meta  dei  lemidiametro . Le  aitre  pol,  conforme  aue 
ranno maggiore  ominor  fenoretto,  aueranno  raaggiore,o 
minorforza* 

Le  forze  deile  proiezzioni  hanno  reciprocamence  la  mede- 
fima  proportione,  che,  hanno  i lati  dei  triaiigolo , che  fulpia- 
Xib  vien  formato  dalle  linee  delPincidenzef 

Sia  vna  proiezione  fatra  per  la  linea 
AC  1’altra  per  la  linea  ah  • Efailpiano 
dei  triangolo  abe . perpendicolare  al 
muro. 

Perche  dunque  lo  fpaziio  ac  S\  corre  ^ 
dalla  palla  nei  tempo  ac;  elo  fpazio 
ah  cioe  fleuato  il  moto  parallelo J lo 
ftefso  fpazio  ac  fi  corre  ncl  tempo  ah.  * 
faranno  le  forze  reciproche  de  i tempi . 

Cioe  la  forza  per  ac » fara  come  a h • e per  ^ ^ come  ac, 

Allorai  proietti  aueranno  Ia  ftefsa  for^a  nelpercuoteres 
quando  ghmpcti  faranno  come  le  fecanti  angoli  dei 
complemento  dclle  incidenze . 

Sia  rtmpeto  per  la  perpendkolare  a h 
come  A h . & abhia  vna  tal  forza ; Accio 
1’impeto  per  rinclinata  a c . abbia  la  me- 
defiraa forza,  dico  chePimpetoper  ac 
alPimpeto  per  a h deuc  efsere  come  a c 
alia  4^;laquale  ac  e fecante  dell*angolo  hdc  complemen- 
to delPinclinazione «, 

Poiche 


241 

Poiche  fefaranno gPimpetipcr  ^^5  & cohie  fono  gli 

fpa:zij  dhid^  ^^-.imobili/correrannonelmedefimotempole 
due linee  .cioeloftefsoauuicinamentoperpendicok-  Periai 


XQ  ah» Dunque aucranno Ia medefima  forza  contro al muro . 

Di  piu  fe  coi  tale  cannone,  e per  Ia  Ii 
nea  c ^.la  palla  s'’internafse  tutta  per  l’ap 
punto  nel  muro  ; adunque  per  tutte  le  A 
linee  eleuate  non  foio  s’immergera  tut- 
ta ne  jlafolidita,  mafara  fempre  mag- 
gior  pafsata , perche  ha  maggior  forza . 

Ma  delle  meno  eleuate,  per  checifeuna 
auera  minor  forza , niuna  entrera  total- 
mente nelia parete,  maalcune  ancori- 
falteranno,  e sfuggiranno  dalhaitra  parte. 

Sia  f eth  detto  tutto  quejio  aBraend0  da  vn  ctrto  effetto  di 
f tegam ento , 0 refrazz^ione  chefamoifroietti  nel fa(faY  con  in^ 
clina^ione  dalmezzo raro almezzo f iu denfo, incuruandofi lali 
nea  al  eonttario  della  refraT^one  della  lucere ffe^e  vijibili » 


/ujjpog* 


JFJNE  D£"  LJBKl  DEL  MOTO» 


PE  DIMEN^ 


K 1 


^ l ". 


5 C '3:1^ /i! i f:  > i?  :’^!  ; ■ •».  .■  ’ ■'<' 

*■ -vlV^^  » <:''i*'iK -.'iOrnO-i  . 'ii.^A  j^;Ty.|.ij>-n  :;I  oii  ~ ,-.'^i',v  t- 

.‘••'vtv:,  ^ ' -f  ? ; 

t\ i\l ':m 'i  > ',11  Yii  iiov 


t • 


qii^i  i jq luun  bKi,;"..  i:"'  f " . ,\ - K'>ri 

'V  ^1  IjH ’j'f J :oj'i,fv3 

* ^ ' • • ’ ■ ■■  ■ t 

-tifi  -arniV^-JL-ta 

',i  ,>-3-f 'i  X>'i'9 

jk  , i 


, Ai..>l 'n. 5. ,;'/■■  1-^  r_ 


4.  03  ,.r3n'i>  li-rfUit^udViorivrfj  jn>iJi5 

2> 

u a'3q^»v:  .>v;«!  ■■••4  Av-.4  ■ 

v^'  3 lO  ■'  3-;^,  -.. . 'l  ^ 


\- 


' ■'  \v  * \i  V.  ■ » ‘ 


iNi 


0 4in.^i^,.\:  aai3.fiS(«  ;VH<^  . 


O . ■.  ; ■ ->-  :-  '2  f f-'^  ■*'  ■'  ■ ■ 

:.r^ : 

n.-^  !:<]0?:^  4 jv" 


' .( 

t'*:  , • • : 


'1.0 


« i • ■ i •'-. 


• V I , .i  V''-'  »^'  ' 

.1  • ■ % ->■>■(■•  -■ 


i 

•'V 


'<•4; 


i%'iU^-'..''-  -•' 


) r 


f ^ 


J[ ; ^ ^ - k-  *>  V* 


■'j  ■ 


,!-r  ■';  ^ V J 


:':  ■ 

n / .• 


■ .•  : ■•%?‘-J.^-  ^-  *-■  't;^'-  *-  •-  ■•-■'■"«.i  ' t - 

-•  r '^4?'  ■ :-  4 ■' 

-'  ^'4  - 

4X  r-  V - - ~ " ■ • '■  . ^- 

: iOl  ♦ Ol-  ••'.  ! 'i-4  < ‘ 

^ ' J-  ■ ' ' ' ' ■ ■ 'i  - * - 


■ ; V /„V-  '.  - ' ;- 

■■,  . ',  : A V i i-4  4 4 -I  ® '^■'  ■ ■ 


T':il 


.*  -i  ; <i;,:''*  uO>0'  -'% ' 


u ■■ 


*>■  ^ ) n 7 i t 

^ f i l-fl  &.  ,i''  A T .i>: 


.ol::  Ua 


< . •‘,  ■"  .'  *>  V i 


£ 


‘1 


•«.»  j 


DE  DIMENSIONE 

PARABO  LM 

Solidique  Hyperbolici 

TKOBLE  MAT  A DVO: 

ANTI  Q^V  VM  ALTERVM 

In  quo  quadratura  parabola  XX.  modis  absoluirurjl 
. partitn  Geometricis  ^ Mecanicifque , partini  ex 
indiuifibilium  Geometria  dedudts 
rationibus; 

N 0 F F M A L T E R F Mi 

Inqm  mirahiliscmufdam filidi  ab  Hyperbata  genit  f 
accidentia  nonnulla  demonfirantur , 

GVM  APPENDICE 
De  Dimenlione  fpatij  CycIoidalis.&CocUc»; 


Ad  SerenfJJimumVrincipem  ’ 

LEOPOLDVM 

AB  ETRVRIA 


I F F I C I L E reorjSereniP 
fime  Princeps  Leopolde,fer 
rea  hacaetate  libros  confcri- 
bere  5,  difRcllius  dedicare  :: 


quandoquidem  bonarum  Artium  flu.- 
dia  vbique  in  bella  degenerant  j & Re-^ 


goantes  vjrt  non  exigunt  ingeniorunt 
vires , fed  corporum . Etrufea  tameu 
^egia  5 non  minus  foecunda  virtutum  j, 
qu^m  Principumjmundum  edocet>eau 
dem  effe  Mineruam  & Bellona,  vnum- 


que  Apoiline qui  arcum  limul  amat ,, 
& citharani . iSereniffima  enim  Celfitu- 
do  Tua  ( vt  reliquos  omittam)  littera- 
rum,& icientiarum  omne  genus  pcrin» 
de  foiiet,  eolitq: , ac  fi  mundus  alta  pa- 
ce frueretur,  pulfifq^  Furijs  folsE  Mulas; 

A z.  domi- 


I 


■ . 


dominarentur.  Verum  alia  rtie  maior 
difficultas  terret  > dum  ego  tenuitatis 
mea2  eonfcius  mecumipfe  cogito,  libel 
Ium  hunc  ad  eum  Principem  ire,  qui  il- 
lum non  folum  protegere  poteft , fed 
etiam  iudicare . Qy  icquid  eft,  non  acre 
iudicium  Serenift.  Celfitudinis  Tuae  , 
led  incomparabilem  humanitatem  in- 
uoco,illam  inquam  humanitatem,quae 
nuper  ampliffima  in  me  beneficia  con- 
tulit, ■&  humi  iacentem  erexit  fortuna 
meam  . Audiat  preces  meas  Dominus 
Regnantium,  talemq;  Principem  diu 
cuftodiat : fiquidem  diuinitatis  interest 
huiufinodi  viros  profperari , vt  aeterna 
Prouidentia  magis  elucercat,&  coniun 
£lam  aliquando  cum  poteftate  fapien- 
tiani  in  terris  dehionftrare  valeamus . 

Serenifs.Celfitud.Tu9 


Humillimus,  &obfequentifs.  femus 

EuangelifidTomcellms , 

AdLe- 


AD  LECTOREM  ’ 

Procmium . 


NVllm  m njniuerfo  Mathematicarum  difciplinarum 
Theatrofortajfe  tritior  puluis  reperitur^  qukm  pa* 
rahoU  quadratura . ^uare  ergo  (inquis  amice  Le* 
Bor ) circa  tritum  argumentum  tam  diu  defudafli  ^ libenter 
equidem  excipio  obie Bione s tuas ) fedn^tinam  yltimus  deju*^ 
dauerim  • ^mm  tamen  njenlam  mihi  negas  ^fcias  eandem 
plurtmis  egregie  laudatis  Scriptoribus  te  denegare , Ob>* 

ieSium  enim  de  par  ab  oU  quadratura , quod  noHra  hac  eeta^ 
te  confiteor  mihi  nimis  iam  inueterafife  ^ crediderim  neq^  no^ 
uum  fui^e  Caualerio^  Galileo , Luc^  Valerio . ^ alijs^^uin 
immo  ipfum  Archimedem  accufat  5 qukumque  improbat 
mbrationes  arca  fubieBum  yetus  inHitutas , Audiamus 
ipfum  in  Froe  mi  0 Quadratur  £ pairaboU/vbi fcnbens  lyofim 
theo  inquit.  Eorum  enim,  qui  antehac  Geometrise 
operam  dederunt  > nonnulli  id  ioueftigarcj  & memo- 
ria mandare  ftuduerunt  , circulo  dato  ^ vel  circuli  por- 
tione quacunque  > fpatium  rcd:ilineum  aequale  illi  pef- 
fe  inueniri.  Item  fpacium  a coni  totius  redanguli  fedio- 
ne  compra^heoium  & Irnea  re&a , ad  quadrati  formam 
& menfuram  reducere  conati  funti  fumentes  non  faci-  ; 
Je  conceffibilia  fundamenta,  ^mbus  njerbis  difertiffi^ 
me  fatetur  Geometraru  Princeps  argumentum  librorum  De 
dsmenfione  ctrcuu  ^ cjt*  de  quadratura  parabola  ■.  neque fuum 
fuife  ^ neque  nomm . Sedf  quis  attente  confideret  Froe>- 
miaUm  epiflolam  Jibro  de  Imcis/piraiibMspr^fixam  ^ mteU 


s 

liget  pr^cipud  Archimedis  Theoremda^  altorum  inuint a fui f 
fe  3^  magm  ex  parte  Cononis . Maximae  etiim  Fropoftio» 
nes  librorum  Dc^phsBra&  Cylindro;  De  ccnoidibus, 
&fph^eroiJibuS:,&  De  lineis  fpiralibus(^ qui  libri  inter 
opera  Archimedis  Principem  locum  tenent ) Cononis  funt : 
Qui  f inquit  AuCior)  non  fatis  temporis  ad  hsec  exco- 
gitanda fortitus,  vitam  permutauit,  & ipfa  reliquit  inex- 
plicata^*  cum  illa  inueniflfet,  Sc  alia  quamplurima  per- 
quifiilet>  ac  multum  adeo  Geometricas  facultates  am- 
pliaflfet  * S t ergo  licuit  admirabili , ac  prope  dimno  AuSlori  , 
circa  aliorum  inuenta  labor ar ecquis  negabit  ignofcendum  in-> 
geni  olo  meo  mutuata  theoremata  contemplanti^  Sed  ejla 
quod  conclu[io  antiqua fit  j argumenta  certe  ^quibus  illa  con» 
firmabitur plurimum noua erunt ^ inaudit a\  Immo 
cum  ad  alteram  partem  libelli  accedemus^  tn  qud  de  folido 
acuto  hyperbolicQ  dicendum  efi  ^ nonfolum  ipfum  Theorema 
inexcogitatum ^t  ita  dicam  paradoxicum  erity  fed etiam 
demonBrandi  ratio  inufitata^  Qd  penitus  noua . V num  ( i n^ 
quis ) reliqui  Scriptores^  qui  hmufmodi  quadraturam  aggref 
fi funty  yel  pngulas  y n^el  ad fummum  binas  prodideruntsne^ 
que  tamen  mediocrem  laudem  confequuti  funt . Fate or  3 fed 
nec  ego  libellum  hunc  ex  profijfo  infiitui  ^compofuiquei  immo 
quod  gy  alijsy  mihi  quoq^  accidit  ifingulas  hafie  quadratu» 
Tds  diuerfis  temporibus  inueni  j quas  m ynum  colk 3 as  nunc 
demum  y olentibus  fimul  exhibeo » T u tamen  exclamas  3 heu 
nimis  e fi : quotus  enim  quifq^  repertetur  tam  famelicus  Geo» 
metra^qui  legat  pene  yicies  repetitam  propofitionemy  cum  nu« 
mero  lemmatum  fere  duplo  i Huic  Jane  obieBtoni  libet  con- 
tradicere. Cum  enim  libellus  in  Fropofittonesy  yt plurimum: 


non 


li^&ncoherentes  ii^ejhipt  \fid  difpojtus  ^hicunque 

libmrk  initium  focm^ojjli  > ^ finem^dicam  mn^  Mttrtiak 

tibi  earta  plrcetur 

Altera  s diuifu^  fic  breue  fiet  opu$ , 

Si  veri  matiis probare  confilium  eorum  quivnam,  aut  aU 
teramtamumquadraturam  edidere  i qms  prohibet  f ^ in 
hoc  legere  potes  ynam^  aut  alter  am^ fi  tamen  hoc  quoq^  nimis 
naidebitut , nullam . Vtilitatem  exigis  ^ concedo  s ^ in  hanc 
partem  libellum  excufare  non  aufim . attamen  non  deerit  for 
tajfe  aliquis  qui  penitus  inutilem  non  exifiimet , cum  Geo* 
metricus  i fit , Sola  emm  Geometria  inter  liberales  difciplk 
nas  acriter  exacuit  mgenium  y idoneumque  reddit  adciuita* 
tes  exornandas  in  pace  m bello  defendendas:  cateris  enim 

paribus  ^ ingenium  quod  exercitatum  fit  in  Geometrica  pale* 
Hra  3 peculiare  quoddam , ^ virile  robur  habere  folet:  pr^m 
Uabttqhfempef  s)  ^ antecellet  y circa fludia  AfchiteSiurte^^ 
rei  belUm)  nautiaeqs  puemamscirca  Aritmeticamy  artemqs 
metiendi  3 vnde  totum  cimle  commercium  dependet  ^ regitur-, 
que-  ^uinetiam  circa  minifietia  fimnorum ^ ^ aquarum 
fiagnamtmm  ^ vnde  non  ni  fi  magna  percipiuntur  fiue  damna  , 
fim  beneficia  'aprovt  bene  ^ me  l male  intelleQ a fuerit  huiuf» 
modi  rerum  natura . Sed  efio  qmd  inutilis  penitus  habeatut 
libellus  i fiue  quia  Reipub-jmhil  intere  fi  paraboU  quadratu^ 
rai  fiue  qma  multis  ab  hinc faculis  excogitata  fuerat , de., 

imonfirata.  Huk  ‘uero  obiedduoni  refpondeat  Ideuerendifsm 
BenediSius  Cafie litus  M.agtdier  meus » Ipfe  enim  dicet  3^ 
iquod fi  Principes  terra  3 folam  illam  vulgarem  ^ Qfi  apparen<* 
tem  vtilitatem  tn  Artibus  magni  facerent  ^ exigerentque  ^dam 
mandi  penitus  ^ffint  Sculptores^  Celatorefque  egregtj^eijcien-^ 


3 

di  cmtdtihmTioidres  j,  Mtijtci  y CiihcLTkdi^Voet^yAtqm  H 
gentes  Mij  • Contra  ^ero  ditandi  efjent^atqy  ophm  ^ o^cijfq} 
omnibus  demerendi  pi  Hor  es  ^quorum  utilitati  nulla  alia  par 
eft  y caupones  yfinores , Qd  quicunque  artem  colunt  ^tt a 
minum furnmopere  ^'vtilem . ^uinetiam  f njtilitas  fola  aU 
tendatur  5 damnandus  erit  yim  yfus , ^ detentanda  cultu-- 
ra  cvinearum . At  in  fummo  pratio  habenda  aqua  y cuius  y-- 
uhtates  tam  facile  efi  numerare  y quam  difficile  fit  ifs  nonm- 
digere  ^ . ' 

: Vt  cum  que  ea  res  fefe  habeat  y y emamus  ad  ohieUiones 
qua  circa  artis  fundamenta  ^-ver fantur . Indignor  equidem 
Lucam  Valerium  y ^erenof  nfieculi  Archimedem  y cum  op^ 
UmamcaufamfiuficepiJJetj  pefilmd  defenfone  wjum  fuijfi. 
Scient  ab  eruditis  culpari  figurarum  Geometricarum  dimen» 
fionesy  qua.  Mecamcis fundamentis  innixee  Bahdiunturytam 
quam  duplex  falfum  fupponant  : alterum  y quod  fuperfi- 
cies  grauitaiem  non  habentes , habere  tamen  concipi- 
untur: quod  fila  quse  magnitudines  ad  li- 

bram fufpenduncsequidtftantia  (upponuntur:,  cum  ta- 
men in  centro  terrae  concurrere  debeant . Ego  naero  in 
ea  funi  fient  enti  a y yel  nullam  ex  bis fiuppofitionib»  ejji  fal fiam ^ 
yelrehqua  omnia  principia  Geometria  falfa  exiUere  eodem 
modo*  Falfum  enim  eB  , qucd  circulus  habeat  centrum  i 
fphara  fuperficiem^  conus fili  ditat  em  • Loquor  de  figuris  ab-- 
firaBis  quales  Geometria  confider are  filet  s non  autem  de  fi» 
ficis  y ^ concretis . Neceffi  igitur  erit  fateri  quod  circuli  cen 
trum  yfuperficies  sphara  yfilidiias  coniy  ^ reliqua  huiufi 
modi  non  controuerfa^  nullam  aliam  habeant  exlBentiam^ 
er  illam  quam  accipiunt  per  definitionem  y p^r  intelk* 


Uum*  Eodem  ^forfusm^dogr  duitas  efl  in  figuris  Geome* 
tricis^  quomodo  in  ijfdem  efi  centrum^  ^erimeter^Ju^erficies^ 
fiolidttas  ^ c.  Laudarem  igitur  in  Mecanicis  contem^UtionL 
bus  noud  definitione  pgurasgener  are  shoc  3 aut  alio  non  ab  fi 
tnili  modo . 

Quadratum  eft  quadrilaterum quod , cum  ^equila- 
tcrum  , & asquiangulum  fit:,  fingula  ipfius  punda  mo- 
mentum habent  procedendi  ver fus  aiiquam  mundi  pla- 
gam per  lineas  inter  fe  parallelas . 

Huiufmodi  enim  definitio  omnem  demeret  occafionem  du» 
bitandi  3 illis  5 qui  lldecantca  Archimedis  o^era-^fe  eundum  ipm 
fius  mentem  non  accipiunt . Sedhucufque  diSiumfit  proob^ 
Uter andapnm<efalfitatis  nota ) quod  figura  Geometricae  gra* 
uesfint» 

Venionunc  ad  fecundum  (^t  aliqui  euifiimant)  falfum 
Erindpio » njulgatijfimaefi  etiam  apudgrauijfimosyiros  ob* 
ie^io  illa 3 yidelicet  Archimedem  fuppofuifle  aliquod 
falfum , dum  fila  magnitudinum  ex  libra  pendentium 
confiderauit  tanquam  inter  fe  parallela  ^ cum  tamen  rc 
vera  in  ipfotetrar  centro  concurrere  debeant.  Egoye^ 

ro  (quod pace  clarijfimorum  dirorum  diSium fit)  crediderim 
fundamentum  decanicum  longe  alta  ratione  ejfi  confideratsm 
dum^  Concedo  fi  Fi  fica  magnitudines  ad  libram  libere Jkf 
pendantur  3 quod fiU  materialia  Jufpenfionum  conuergentin 
€runt ^ quandoquidem fingula  ad  centrum  terra  rejpiciunt^ 
Verumtamen fi  eadem  Itbr a > licet  corporea  3 confideretur  non 
in  fuperficie  terra  ^fid in  altijfimis  regionibus  nsltrd  orbem 
Solis  stum  fila  (dummodo adhuc  ad  terra  centrum  re fpici» 

I ^rum^ fidquafiaquU 

& diffan^ 


IO 

diBantia  . ConcipamUsUmij^famlibraniM  *vU 

trk  Bellatam  libram  firmamenti  in  infinitam  di  fiant  i am  ejfi 
froueSiam  i qt^is  non  mtelligitfilajt^fpenfionum  iam  non  am^ 
plilts  conuergentia  ^ fed  exaMi parallela  fore  ? ^ando  ego 
con fidero  libram  ^ figuras  Geometricas  ponderantem  ^ non  co^ 
cipio  illam  efie  inter  cartas  librorum  in  quibus  depiBa  con- 
fpicituri  neque  Juppono  punSlum  ^ ad  quod  magnitudines  ip  - 
fius  tendunt , ejfe  centrum  terri^s  fid  libram  fingo  in  infimtu 
remotam  ejje  ab  eopunSlo  ^ ad  quod  ipfius grauia  contendunt . 
Si  pofied  ibi  conclujero  triangulum  aliquod  triplum  ejfi  cmuf 
damjpatij  ^ retrahatur  imaginatione ipfa  libra  adnofirasre^ 
giones  s concedo  quod  retraBd  libra  deflruetur  aquidi flantia 
filorum fufpenfionissfed  non  ideo  deflruetur  proportio  iam  de^ 
monBrata figurarum . Peculiare  quoddam  beneficium  habet 
Geometra-^  cum  ipfi  ab  BraBionis  ope ^omnes  operationes  fuas 
mediante  intelkBu  exequatur . ^uis  igitur  mihi  hoc  nega*^ 
uerit fi  libeat  confider  are  figuras  appenfas  ad  libram  s,  qu0 
quidem  libr a wltr a mundi  confinium  in  infinitam  diB antiae 
remotafupponaturf  Pkl  quis proibebk  confider are  libram 
in juperftcie  terra  conBitutam^cmus^  abBraBamagnk 

tudimsUndanhnonadmedmmierr^pHnBum^  fedadcen^ 
trumcamcuU  ^fimfielkpolarisl  Triangula^  parabolie-^ 
imm^etiamfihpr^  cylindrlqs  Geometrici  ycum  nuUamperfh 
habemt  motus,  diffirentiam^mn  magis  ad  ipfius  terr a y quam 
ad  Saturni  centrum  contendunt er^  beneficium^ 
fiuum  quifquis  figuras illasy  tamquam  ad  unicum  terra  cen^- 
trumemdernes^  comemjfiMm^*Cmdemque:mniicebiti^^ 
confiderar^punbia  emtfitmqifi^^eiufmodi  wirtute  pm^^ 
dataiytfiM^ae^erfitsemhmi^afimafiifil^ 

ter 


terfc^AfdUhsltiiudi  momento  cmtendaHti  His 
fus:,qm  ^era fmty  qumadmodumjuntyep^s  paeones fign-» 
rarum^  qu^  in  definitionibus  adhibentur  ^ mra  etiam  erunt 
quacunqiT heoremata  per  Mecanicas  rationes  ab  ipfisahBrst* 
hentibus  fuerint  confiderata^  neque  per  falfas  pofitiones  de^ 
monflrabuntur . T unc  itaque  fdfum  dici  poterit  fundamen'* 
tum  Me  carneum^  nempe fila  librae  parallela  ejje  ^ quando  ma^ 
gnitudines  ad  libram  appenfie  fi  fica fint^  realefquCfS^S*  ad  ter  • 
r a centrum  confpir antes  n Non  autem  falfum  erit  ^ quanda 
magni  tudines  (fiue  abfira^a  ^fiue  concreta  fint ) non  ad  cen^ 
trum  terra  yne  que  ad  Mi  ud  punSlum  propinquum  libra  ref 
piciant  sfed  ad  aliquod  punBum  infinite  di slans  connitan^ 
tur^ 

Caterum  ybreuitatis p ^ facilitatis  gratik  d vocabulis 
cmfuetismn  difcedemus\pmSiumque  illud  ad  quod  magni** 
tudines  libra  contendere/upponuntur^  Centrum  terra  nomL 
nabimus s Planum  illud  :,  quod  ereUum  efi  ad  lineam  co* 
neBtentempraiiBumpunBum  cum  centro  libra , Morittpn*» 
t em  de  more  appellabimus » 

Suppofitiones , <5c  definitiones. 

I. 

POBatur  eatn  effe  centrigrauitatis  naturam , ve  ma- 
gnitudo liberi  lufpenfa  ex  quolibet  fui  pundio 
nunquam  quiefeat  nifi  cum  centrum  grauitatis  ad  infi- 
mum fuse  fpharg  pumflum  peruenerit. 

Cmipimusfigurm  ABC,/uffenfm  ex  fui  pun^o  Z), 

B 2 mediatt~ 


medUnujilo  EDdih^vhhoc  efl^ 
ita  in  quamcumque  partem 
conaertifojjit , Sit  centrum ^ a 
uitatis  F.  j^onamufque  reCiam 
EDG  .pr^endicuLarem  ejje  ad 
horizontem . 

C ertum  e (i ,,  donec  centrum 
F fuerit  extra  "perpendiculum 
EG^  figuram  ipjam  numquam 
manfuram  eJJe , Quando  ruero 
punSifum  F,  fuerit  in  perpendiculo  fujpenfionis  EG  ^ tunc  fi-* 
gura  omnino  quiefcet : Centrum  enim  grauitatis  ipfus  nuf 
quam  poterit  amplius  inferius  defendere : ^in  immo  fi  fi- 
gura moueretur^  centrum  ipfium  aficenderet^  quod  ejfi  non  po-* 
tef*  Si  quis  enim  centro  Efnteruallo  EDF>  tamquam  nj7id 
reda  linca^/pharam  concipiat  ejfi  defcriptam  i ipfa  erit  Jpha- 
ra^  in  cuius Juperficie feretur  punSium  F ^quando  EDF.exten 
fa  fuerit y O*  adreSiitudinem  reda&a  • certumque  efi  infimu 
punUum  huiufmodi fphane  ejfe  in  perpendiculo  E G . 

II. 

jEqiiiponderarc  fibi  ipfi  figura  dicetur , quse  ab  ali- 
quo fui  pundo  libere  fufpenfa  maneat,  & ad  nullam  fui 
partem  inclinetur . 

IU. 

j£quiponderat  fibi  ipfi  figura , quando  ( cum  liberi 
fufpenia  fit)  in  ipfo  fufpenfionis perpendiculo  centrum 
grauiratis  reperitur . fi  enim  adhuc  moueretur^centrum  ' 
gi:auitatisafcendete(.  ([j^uodefiimpofiibile. 

Cen- 


IV. 

CcntrQra  grauitatis  tunc  repetitur  in  ipfo  fufpenfio. 
nis  perpendiculo>quando  figura  libere  fufpenfa  libi  ipfi 
SBqaiponderac . Alias  enim  figura  quiefcerec,  & cen- 
trum grauiracis  ipfius pofiec adhuc  inferius  defeendere* 
Quod  eft  abfurdum  • 

V 

Ceniraliter  ad  illud  libra?  pundum  appendi  figura 
dicetur:,  in  quod  cadit  perpendiculum  5 ex  centro  gra- 
uitatis figura?  produdium . 

Efto  enim  libra  AB  ^ cuius  fuU 
crumJitC^  ^ ad  ip/am  appen» 
fa fit  figura  CEB  ^ita  njt  totum 
latus  CB  cohereati  ^ fit  ^elu^ 
ti  ad  ipfam  libram  conglutina^  £ 

tum  s Efto  centrum  grauitatis 
figur  a punUum  T>0*  eoe  D agatur  perpendiculum  DE  ad 
rizpfitem  ereSium . 

lam  figura  CEB  dicetur  ^ ^ confiderabitur  ^ tamquam 
appenfa  centraltter  ad punCium  F • ConHat  enim  ex  pr^edU 
dis^quod fi  figura  latus  CBjoluatur  yndiq^  a brachio  libra  ^ 
filumque  remaneat  filum  connexionis  DF-^  nihilo  tamen  mi» 
nus  ^gur a adhuc  manebit  nut prius  manebat  5 eandemqi  fer» 
uabit  nrerfus  libram  pofitionem , quam  antea  habebat  • Vide 
Arch,  Prop,  6 • De  Quadratura  parabola  • 

VL 

-/Equalia  grauia  ex  aequalibus  diftantijs  a?quiponde- 
rani  , fiue  libra  ad  horiiontem  parallela  fuerit,  fiue  in- 
clinata • 

Et  gra- 


14 

Et  grauia  eandem  reciproce  rationem  habentia  j 
quam  aequiponderant , fiue  libra  fit  ad  hori* 

zontem  parallela, fiue inclinata* 

H,(£cfine  dia  explicatime pmmim  p&terMtj  qumd&fui^ 
dem  in  doflrina  aqm^onderantmmnBmquamfu^^mitur  ii* 
bra  hom^Mti  <^qmdiHans : Attamen  qum  *dBmdi  paffmt , 
mn  ommittendam  cenfeo  demonflrationem  s ^rajertim  cum 
nonnulli  ex  libra  materiali  mde fabricata^  errorem  f^e^e* 
rint  inintelleSiumadmiJerint* 

EJlo  inclinata  libra 
A C fuf^enfa  ex  ^unfio  H 
B ad filum  BD  • Sintqi  \ 
magnitudines  BFC  i ^ 

G.  centraliter  appen/k 
ex  punBis  E A ^ Et 
ponatur  ejfi  ^yt  magni- 
tudo BFC , ad  magnitu^ 
dinem  G ^ ita  reciproce 

difiantia  AB  ad BE*  Dico  libram  A€ s quamuis inclina^ 
tam  j magmtudmefque  abipfitpendentes^penmis  conqutefce-» 
re  aquiponderare  * 

Producantur  enim  perpendicula  G AH  iLEI^  per  centra 
grauhatis figurarum  G tranfeuntia , ducaturqs  hori- 

Tpntahs  libra  C H ^ qu<ie  item  appenja fit  ad  filum  MD . Ao- 
niam igitur  eB  per  JuppofitionemyVt  magnitudo  BFC^  ad  ma^ 
gnitudinem  G , ita  reciproce  A B ad  B E5  fiue  (oh  parallelas) 
H M ad  M £quiponderabunt  magnitudines  B F C ^ ^ G ^ 
ad  libram  horizontalem  HC  appenfie . Ergo  commune  centrn 
grauitatis  erit  omnino  in  perpendiculo  D F • Propter  ea  ma^ 


Dl 

M. 

1 f 

B 

s . 

/ 

/ 

T 

i 


gnitudineskqmfondemlmntetUmdimad-^  A C fuf. 

penduntur  X alias  mmerentuT^  commme  centrum  grauU 
tatis  ip/arum  3 quod  demonUratum  eB^eJJe  'jn  perpendici*l& 

^od  ejlimpojjihile, 

nmt/fri  hveUtiUS 

toncludentmhocmodo.  ^ 

ConneBantur  (in  eade 
figura ) centra  gramta- 
tis  duBi  reBd  G h . 

Quoniam  magnitudo  B 
F C ad  magnitudinem 
G i efi  njt  AB  adBE 3 
fiue  ( ob  parallelas ) yt 


y 


GN  ad N Ij  erit  N centrum  commune grauitatis  magnitudU 
num  appenfarum  • Si  ergo  libra  A C non  quiefieretj  centrum 
grauitatis  AT,  afcenderet , Cum  enim fit  in  perpendiculo  DF^ 
moueri  non  potefi  quin  afcendat . 


Flon  me  latet  AuBorumcontr ouer fiam  ^ circa  libram  in- 
clinatam  ^ an  redeat , maneatue  ^ Jupponere  centra  magnitu* 
dtnum  i n ipfa  libra  ejje  collocata  • N os  tamen  ^ quia  in  hoc  li 
bello  i femper  conftder abimus  magnitudines  irfid  tpfam  li^ 
br am  appenjas  3 malmmusrei  noBr^  firuire  ^qudm  aliorum 
controuerftd  demonBrationemacconiodare. 

C aterum  fajfiones parabola  quas  m operis progr e jju  fuppoZ 
n emus  tamquam  notas , yel  ipfius  Apollonij  erunt ^ ^*el  Archi 
medis  s njel  faltem  ex  Apollonio  ipfo  facili  negotio  deducen^ 
tur  j cuiufmodi fiunt  h^  ^ quae  fequumur . 

S i Farabola  reEtam  lineam  tangentem  habuerit  quibuf 
libet  autem punBis  ipfius  tangentis  reBoi  line<&  wfique  adpa^ 

rabo« 


l6 

rabolam  demittuntur  dquidiBmtes  diametro , erunt  demij^ 
Jk  mter  fe  longitudine  yt  Jknt  portiones  tangentis potentii 
interfe.  Deducitur  enim  hoc  ex  lo.prim , Conic.  Idam  re  ^ 
au  demtjfc  portionibus  diametri  rejpondents  at  partes 
ipjius  tangentis , ordinatim  applicatis  aquales/tint  • 

Item  ^ fi  intra  parabolam  d punElis  quibuslibet  reUaiU 
tms  ordinatim  duSia , qua  bafis parabola  dicitur reSla  lineas 
erigantur  diametro  parallela . Erunt  ereBa  inter Jeyt 
funt  reBangula  faBa  a portionibus  bafis^  qua 
ab  ipfis  ereBts  abfcinduntur . Hoc  enim 
O*  d Caualerio d nobis tn fe- 
cmdo  libro  de  motu  oHen^ 
ditur. 


17 


QVADRATVRA 

P A R A B O L AE- 

Pluribus  modis  per  duplicem  pofitio- 
nemjmore  antiquorum,  abfbluta. 


Lemmd  Primum, 


jl  PARABOLA  duas  tangentes  habuerit  ^ 
alteram-ex  termino  bafis, alteram  vero  ex  ver- 
tice: tangens  ,qu^  ad  bafimeR,  bifariam  fe- 
cabitur  ab  illa, quas  per  verticem  ducitur. 

Bjiopdr  ahoLa  a b c , cuius  diurnet  er  b i , ordi^ 
nuttm  vero applicut a (fmehajis ) fit tan^ 
gens  eu  termino  bufis  ftt  cdii  per 
verticem  vero  tangens  b e . i)/- 
co  ipfdm  c d bifariam  fecari  in 
funldo  e . 

Cum.n.c  d fit  tangens  i didi. 

met  er  i erunt  aquales  interfe  d b*  xt  ^ 

bi.  Ut  quia  a c itdinMmapplU 

G * cata 


? % PTimt 


t 


1 8 De  Dimenfione  Parabolae 

*fu/d.  diametrum  b i,  ipfa  ver))  h c ta/^git  in funBo  b,  erunt 

fer  t/er  faralUlp  a c , b e . jE"/  ideo  erit  vtdh  adb  i , ita  A^adt  c.  ^4- 
* re  aquales  erunt  etiam  d e,  e c , ^od erat  ofiendendendum  drf. 

Lemma  //. 

Si  parabola  duas  tangentes  habuerit  ex  bafis  terminis ; xtdtx 
linea  quse  ab  occurfuduarumtangentiumducituf  diametro  pa- 
rallela , propofitieparaboIiE  diameter  erit. 

Ljlo  parabola  a b c , cuius  ex 
funLtis  a cjr  c^dua  tangentes fnt 
a d 5 edi  concurrentes  in  d . Ex 
"functo  autem  d , re£ta  ducatur 
d e diametro  parallela . I>ico  ip-^ 
fam  d e propofij^a parabola  diame 
irum  ejfe . 

Sit  enim^Jl pojjibile  eft-,  diame 
ter  f g . Erunt  ergo  ob  tangentem 
/ Conio  ^ ^ aquales  inter  fe  diametri  por- 
sum,  tionesihyb^.Iterumobtangen 

tem  c i , aquales  erunt  i b , b g . Et  ide))  aquales  erunt  inter  f e ip 
fa  f b,b  i .*  totum^edr pars . quod  fieri  non  poteB.  Non  ejl  ergo  alia. 

diameter prater  ipfam  d e . filuod  erat  oBendendum  &c . 

•• 

Lemma  1 1 It 

Si  parabola  tres  tangentes  habuerit;  duas  ad  bafim,  & ter- 
tiam per  verticem ; erit  triangulum  fub  tangentibus  compraehen 
fum  oduplum  triangulj , quod  oritur  ex  duitu  quarta  tangentis 
per  verticem  alterutrae  femiparabol;^ . 

Efto parabola  abe , cuius  bafts  a c,  diameter  b d i duatangen-- 
tesadbafimdiCy  ce . Tangens  per  verticem  fit  f b g . Demitta- 
tur  ex  f , concurfu  tangentium  a f , g f , rect  4 f i > diametro  par  dT 
ftr  Lem,  leld : eritque  fi  diameter  par abolp  a i b . E>uc  atur  deniqutl  m > 
t angens femiparabolam  aib  per  verticeml.  Dico  triangulum 
f e fub  tangentibus  comprahenfum , oBuplum  ejje  trianguli 

° ' Ifuij 


19 


Problema  Primum  • 


1 f m , quodnAfcituT  esc  duBu 
qudrta  tangentis  Im  fer  verti 
cem  i fortionis  a i b . 

Imgatur  ab  ba(is  parabo^ 
a i b , erunt qi  faralleU  a b 
1 m;  cum  fint  aquales  f bla 

eb  tangentem  a f,  erit  af  dupla 
ipfiusiX ; ideoque  triangulun$ 
a f b quadruflum  trianguli 
hi  Jimilis  1 f m . Ergo  etiam 
{ht  quadruplum  erit  triangu 
li  If  m (funt  enim  per  Lem.pri 
mum  aquales  bafes  a f , f e Proptered  totum  triangulum  f e g 
eBuplum  erit  trianguli  1 f m.  £luod  erat  oBendendum  r. 


f .Cef. 

ferheml 

frimuu^ 


Corollarium  Primum . 

Ergo  triangulum  f c ^^faBum  a primis  tribus  t angentibus 
tuflum  oftendetur  eodem  modo  etiam  trianguli  n g p . ^ profte* 
rea  femp er  quadruplum  erit  duorum  fimul triangulorumlfjaXyVig^i 
quapoft  ipfum  (duBd  vtrinque  alia  tangente ) oriuntur , 


Corollarium  fecundum . 

Ilanifeflum  etidm  eB  triangulum  ^^ojub  tangentibus  con^ 
tentum , auferreplufquam  dimidium  ex  trilineo  mixto  abce ; /*- 
quidem  triangulum  f e g dimidium  eft  duorum  simul  triangulo^ 
rum  e b a , c b c * Ergo  erit  plufquam  dimidium  trilinei  mixti 
abce. 

H inc  fequitur  quod poffibile fit  intra  figuram  mixtam  abc^f . 
fguramreBilineam  infer tb  er  e per  continuum  duBum  tan^n- 
iiutn  i qu*  quidem  figura  inferi fta  deficiat  d figura  mixta,  defe-  ZTl.  ^ 

Oumineri  quam  fit  qualibet  datamagnitudo . ' 


Lemma  IF. 

Si  parabola  duas  tangentes  habuerit  adbafim:  deinde  per 
ygmcesfaaarumpotCionuniAlig  tangentes  ex  ordine  ducan- 

G 2 “ tur 

^ _ . 


2,0  De  Dimenfione  Parabolse 

turj& hoc  fiat quotiefcunq;  libuerit:  figura  a tangentibus  cir- 
cumfepta,  fi  ex  vertice  parabol^  fufpendatur  f^pofitd  diametro 
ad  horizontem  perpendiculari ) sequiponderabit- 

BIfo  pdrdhold 
abcj  cuius dU- 
met€r\s^^&  dust 
tdngentes  ud  bu- 
fimfint  a e , c e ; 
per  verticem  ve- 
ro h tangens  fit  f 
bg  . Deinde  i de^ 
vnijjis  (vt  in  fra- 
cedenti  Lemma- 
te) diametris 
%i-)per  vertices 
portionum  d.\ih  i 
b'i  c , tangentes  ducantur  1 m , n o . It  erumque  per  vertices  re- 
liquarum quatuor portionum  tangentes  ducantur  p q,  r f , t u,xzi 
^ fic  femper  donec  libuerit:  Dico  figuram;  fiue potiur  duas  figu- 
ras reClilineas  a tangentibus  p qx  f f p , t ii  x z g iieircumfieptas , 
€x punbloh pquiponderare : fiatuta prius  diametro  h d ad  hori- 
ZiOntemperpendiculari , 

Ponatur  it aquehd  diameter  par  ah  oU  ad  horizontem  perpen-* 
dic ul aris ; ^ reClam  fg  , i quamcunq;  inclinationem fortiatur ) 
concipiamus  ejje  libram  ^ euius  fulcrum  fit  inh  > 

^mniam  igitur  applicata  a b bifariam f h at ur  a diametro  fh 
inpunlUo  y ; fiunt  q a b , Im  ^parallela , erit  etiam  1 m fieBa  bifa- 
riam in  h ; ^ ide)}  duorum  trianguloruml  f m > n g o,  centra  gr  a* 
rtitatisfunt  in  fh , g i ; funtq;  fh,  g i adhorizontemperpendicu-i 
lar  es  ^ideo  appenfacentr  aliter  erunt  diB a triangula  ad  libram 
fg. ex punBis f ^ g. Aequiponderahuntque ex dift.antqs  aqua- 
libus b f>  b g . Cum  ipfa  quoque  triangula  fint  aqualia ; nempe 
fuboBupla  eiufdem  trianguli  f e g . Badem  prorfus  ratione  pofi- 
ealibrd\myduomangulap\<i^xm{appenf^  erunt  expunBis 
- - --  drmifqui^ 


Problema  Primum  ^ a i 

^ m > Aquifonderdhuntqi  ex  fun6io  h , ^deo  affenfd  erunt  ex 
"funBo  f.  ( quandoquidem  filum fuffenfionis  f h ferfendiculare 
£ fi  ad  horizontem .)  Duo  vero  triangula  t n u , x o z , fr  adibis 
aqualia  ( cum fint fingula fuboUufla  aqualium  1 f m , n g o . ) fon 
derabunt fimul  ambo  ex funBo  g . Ergo  quatuor  fimul  pradiCfa 
triangula  aquifonderabunt  cx puncio  b ^ nempe  medio  totius  //• 
hra  f ‘gv  Eodem  modo  concludemus  reliqua  triangula,  quotcun^ 
que fint , ex  puncto  b aquiponderare . Vniuersa  ergo  figura  a tan 
gentibus  circunfiepta  ex pundlo  b aquiponderabit . Jduod (frc. 

Corollarium  I. 

Hinc  pro  Corollario  animaduertemus  centrum  grauitatis  prf- 
diCl^  figur^  5 a tangentibus  comprahenfg , ejfie  in  diametro  para- 
boU . Cum  enim  figura pr^diHa  ^quiponderet  ex pun6io  b , erit 
centrum  grauit at  is  illius  in  linea  qu^  ex  punUo  b ducitur  perpen 
dic ularis  ad  horizontem  \ quapropter  erit  in  bd  diametro  para- 
bol^ . 

Corollarium  IL 

Colligemus  etiam  c entrum gr duitatis  emnium  trilineorumix 
torum , quf  fub  linea parabolica  a b c fub  omnibus  tangenti- 

bus a p q r f t ii  X z c , eompr^henduntur,  ( emper  in  diametro  par  a- 
bol^  exi  fler  e . Patebit  autem  hoc  modo  . Centrum  trapetq  a f g c > 15  ptmt 
efi  in  diametro  ;centrum  etiam  pdrabolf  e fi  in  diametro-,  ergo  cen 
irum  reliqua  f^ure  mixte  erit  in  diametro  . Si  erfro  centrum-  hu~ 
fujmeat pgura  est  matametro;  centrum  ettamfigurp  a tangenti-  di  emfd, 
bus  circumfept^  demonftratum  efi  ejfie  in  diametro  propter  ea  ce- 
trum  omnium fimul  trilineorum,qu§  continhurfiub  tangentibus 

hneaparabolic  a,  erit  in  diametro  per  8 prim.  Aequipond,. 

Lemma 

Si  parabola  duas  tangentes  habuerit  alteram  per  verticem^ 
alteram  vero  ad  balim , &ex  altera  parte  bafis  habeat  paralle- 
lam diametro ; figura  fub  tribus  prjedidis  redis  lineis » & curua 

ex  pundo/tangeixr 
tisver« 


^ X D6  Dimenfione  Parabolae 


tis  vcrcicalis , in  quo  ea  fic  diuiditur,  vt  pars  ad  reliquam  C angen 
tcmterminata,  dupla  fitiliiusqua^ ad  parallelam  diametro  ter- 
minatur. 

BJio  jfdrahola  a b c , cuius  tmgtns  4d  bdjim fit  e d ; fer  verti- 
cem  vero  f b g j ^ a ^Jit  fdrdllela  diametro . Secetur  deinde  f g 
in  e , ita  vtfc  dufla fit  reliqua  e g . Dico  figura  a b c f g Hatu-^ 
t a diametro  adhoriz,.ferf€ndkulari)aquifonderare  exfunke  c. 

Concipiamus 
enim  diametr. 
parabola  efe 
horizjonti  per- 


do sepcr  intel» 
ligendumeB) 
cfuamcunq;  td 
dem  inclinatio 
nem  fortiatur 
libra  g f . Dt 
duBa  tangen- 
tem di  ( qua  om 

nino  tranfibit f er  €y  vt  infr)  oBendemus  ) int illigatur  g f.  libra 
efie , cuius fulcrum  eft^i  ex  qua  pendent  ab  vna  parte  triangu- 
lum m^t\ab  altera  vero  ifigttra  mixta  a b c f e . J^a  quidem 
figura fiinterfe  non  aequiponderant,  ponamus  alteram  iffaru 
praeponderare . B fio  igitur ; ^praeponderet  frinio  a b c £e,  tan- 
to excejfu  quantum  eB fpatium  k . 

Infcribatur  intra  ipfam  alia  figura  a tangentibus  h i I m n o p 
qfeh,  terminata  y it  a vt  reliquae  portiunculae fub  diBis  tan- 
gentibus (fi  curud paraholica  contentae  yfimul  minores  fintfpa- 
tio  k (quod fieri pofie  confiat  ex  Corollario  Secundo  Lemmatis 
Tertq ,)  Vr deponderabit  igitur  adhuc  figura  fub  tangentibus 
compraehenfa ; quandoquidem  pars  ablata  minor  efi  exc  e fu  K , 
(fi  in  eodem  punBo  b ponderat  fimul  cum  tot  a magnitudine  ^ tam 
enim  ablatae  y,  quam  totius , centrumgrauitatis  efi  in  diametro  , 

' " ' ' vtoBen- 


pendicularem 
(hoc  autem  mo 


/ 


Problema  Primum . 2,5 

oBendimus  ad  CorollaMum  Secundum  Lemmatis  Quarti . 

Accipiatur  iam  g r quarta  pars  totius  g a ducaturqi  e r . Su-^ 
matur  etiam  e 1 dupla  reliquae  lgi&  ex  punBo  1 centr aliter fuf-  ^^adm 
penfum  erit  quodlibet  triangulum  habens  verticem  in  e punSto^  t urapa-- 
clr  bafim  in  reBa  g a , quae  ad horiZiOntem  reUa ponitur . 

lam  fic  .*  duo  triangula  z e x 3^  u f t , ad  triangulum  e d {.funt  j 
vt  duo  ad  8.  (ir  ad  triangul.  t\>6.vtz,ad  4,  dr  ad  aequate  age. 
vt  2^  ad  4^  ergo  ad  triangulum  are.  erunt  vt  z.ad  nem-^e  vt 

\t  ad tg,  hoc  ejl vtl eadeb  reciproci . fluore  in  libra  1 b duo 
praediila  triangula  2 e x > u f t aequiponderant  triangulo  a r e ^ .v 
puncto 

S umatur  it  erum  g f quarta  pars  totius  g r , iungatur  ef.  Cu 

ergo,  g r e Jit  quarta  pars  ipsius  g a e , vel  ipjius  e d b , erit  g r e 
e It  au  a pars  totius  e d f . ^apr  opter  aequale,  erit  g r e , alterutro 
ipforum  z e x , u ft Sed  quoniam  bxiejj:  ootaua  pars  ipjtusztis.^ 
erunt quatuorfmul triangula hzi,lxm5.nuo,ptq.^ quoniam  mau 
aequalia funt  inter  f e ) ad  triangulum  zcxvt  4.  ad  8;  Jiuevt  2 . 
ad  4 & propter  e a etiam  ad  triangulum  g r e , erunt  vt  2.  ad  41 
ad  ipfum  vero  f r e erunt  vt  2.  ad  nempe  vtl  eadeb . LquL 
ponderant  igitur  ex  punito  e hinc  triangulumix  e , inde  qua* 
tuor  praedi  It  a triangula  h z i , I x m , n u o > p t q Lodcm  pror-> 
fus  modoySiJub  quat.uor  his  tr iang^ia fuerint  i.n  rejiduisportiu* 
culis  triang.  ex  ordine  defiripta^  ojlendemur-aequiponderare  ex 
. eodem  puncto  c,  cum  quodam  triang^  cuius  vertex  fit  eybafis  ve^ 
to  c ontine at  s , quarapfius  g { drc..S€dm  nofho  cafu^  cum  demon 
ftratum fit primaduo  triangulaz  ex,  ufc,  aequiponderare  trian. 
guloi  r e.  E eliqua  item  quatuormangula  ^quorum,  vnu  efib  z i., 
aequiponderare  trianguh:  (v f i Aequiponderabit  mafimulfigu 
ta  ex  praedictis  triangulisdompofitaytriangulode  f,  expunito.e^. 

Sed  demon  B ratum futti  eandem  figurampr deponderare  triangu^ 
lo  a egi  nec  efife  igitur  eB.  vt  triangulum  a e g minus  (it  triangm 

to zeiytotumjua parte iJluodeB  impo^ibile 
Sivero  ponamus  praeponderare trianguldmzeg figurae 2ibc-^ 
f c ..  M Bo  y drfit  excefjfis  quo  praeponderat.fpatium  k , Ac  cipia-- 

tmgx  e quarta  pars  triangulis  getdfjtemm  accipiatur  g fe> 


±4  Dimenfione  Parabolg 

qti  an  a p4rs  trianguliora 'i  (^hocfcmperfiat , donec  ventaiUat 
ad  altqucd triangulum  g f e,  quod  minus  Jit  fpatio  k , Tunc  enim 
triangulum  a f e adhuc  praeponderabit jigurae  a B c f e . Sed  eo-- 
dem  mcdofut  fupra  demonf trahimus  triangulum  ipfum  afe  aequi 
ponderare  alicui  f gurae  reti  ili  ne ae  infcriptae  intra  figuram  miti 
t am  a b c f e . Neceffe  ergo  it  erum  erit  vt  infcripta  figura  reiii- 
linea  maior Jit  quam  figura  mixta  abcfe,cui  ipja  infcribiturpars 
fuo  toto . ^Juodejl  abfurdum  cffc. 

Aequiponderat  ergo  ex  puncto  e 'vniuerfa figura  a b c f 
fub  curua parabolica.,  duahufq.  tangentibus , ^ linea  ipjidiame^ 
tro parallela  continetur . ^i^od &c. 

^^od  ajiumptum  e fi  ita  ojiendemus : Nempe  tangentem  a d 
tranfireperpunctumtihocetiy  ita  fiecare  rectam 
f e 5 dupla Jit  reliquae  e g . -i"  ecet  enim  a d tangens  rectam  f g vt- 
cunq-t  in  e . Idm  \ cum  parallela Jint  a g , b d,  aquales  a e,^  d; 
erunt  aquales  etiam  g e , e b , Sed  aquales  funt  f b,  b e , ergo  f c 
dupla  eB  ipjius  e g . Ideo  a d transit per  illud  e punctum  , quod 
ttb  initio  dixeramus , 

Tropo fitio  Trima , 


V AE  LIBET  parabola  fefquitertia  eft  trianguli  ean- 
dem ipfi  bafim , & eandemaltitudinem  habentis . 


Efto  parabola  ABC,  cuius 
diameter  B D , iunganturq.  AB, 
B C,  Dico  parabolam  fefqui- 
tertiam  effe  trianguli  ABC , ean 
dem  cum  ipfa  bafim,  & eandem 
altitudinem  habentis, 


1 Ducantur  tangentes  A E,CF 

ad  bafim : F H vero  per  verticem  B;  A H fit  ipfi  diametro  pa- 
rallela. concipiamufq.  parabolse  diametrum  credam  efle  ad  ho 
rizontem . lam  feda  H E in  I,  ita  vt  E I dupla  fit  ipfius  IH , erit 
fifiangulum  HAE  centr^ta  appenfum  ad  pundum  I ( habet  e- 

' ■ ' " ' ^ nira 


" Problema  Primum. 

mm  centrum  grauitatis  in  .reda  quse  ex  i ducitur  parallela  ad 
H A , & propterea  ad  horizontem  perpendiculari . ) Erit  infu- 
per  figura  mixta  A B C F E centraliter  appenfli  ad  pundum  B . 
(quandoquidem  habet  centrum  grauitatis  in  diametro  BD  ad  ride  c» 
horizontem  perpendiculari  .J  Sed  vniuerfa  magnitudo,  com- 
pofita  ex  dido  triangulo  HAE,  didaq;  figura  mixta, sequipon-  **^^-'*‘ 
derat  cx  pundo  £;  erit  ergo  triangulum  HAE  ad  figuram  mix-  Lemm» 
tam  ABCFE , vt  reciproce  B E ad  E I , nempe  vr  3 . ad  2 . , Pro- 
pterea  trapezium  AEFC  fextuplum  didi  trianguli , erit  ad  figu-  oftende* 
ram  mixtam  ABCFE,  vt  18.  ad  2.  &per  conuerfionem  ratio- 
nis , ad  parabolam  erit  vt  1 8,  ad  1 6.  C^ilium  ergo  partium  pa- 
rabola efl  1 6,  earum  trapezium  AEFC  efl  1 8.  & triangulum  A 
BC  1 2 . Quare  parabola  ad  triangulum  ABC  erit  vt  1 6,  ad  1 2 
nempe  fefquitertia . Quod  erat  oflendendum. 


trapezium  ztief  extuplum  fit  trianguli  hae,  patet . 
iV am parallelogrammu  \\6 ^duplum  eH  trianguli  h a b ^ propte- 
rea quadruplum  trianguli  hac.  ergo  trapezium  a e b d trip- 
lum erit  trt anguli  hae.  totum  vero  trapezium  a e fc . fextu- 
plum didfi  trianguli  hae.  ^md  (fic. 

C um  autem  trapezium  a e £c '’xtuplum  fit  trianguli  h a e, erit 
feY.tuplum  etiam  trianguli  e a b ,*  ideo  triplum  duorum  e a b , 
b c f , iV  empe  vt  i s .ad  d.  Per  conuerfionem  vero  rationis , erit 
ad  triangulum  zhc  vt  iS.ad  iz . ^od&c. 

Lemma  VI, 

Si  du^ parabola  vtraque  duas  tangentes  ad  bafim  habuerit ; 
erunt  inter  fe  trilinea  mixta  fub  tangentibus , & curuis  parabo** 
licis  contenta,  vtfuntipfa  triangula  fub  tangentibus  compiaj-' 
henfa. 

Sint  du£ parabola  a b c , d e f*.  quarum  vtraque  duas  tangen 
tes  ad  bafim  habeat  a g,  g c prioris,  d b , f h ,poH  er iorh pa- 
rabola , Hico  trilineummixtum  a b c g,  ad  tr  Hin  eum  mixtum 
defh,  efievt  triangulum  age’,  ad  triangulum  dhf. 

I)  Si  enim 


±6  De  Dimenfione  Parabolse 


' tj!  itd : habebit  diter um  ex  trilweis,f  Uta  a b c g, 

dd reliquum , maiorem  rationem  quam  triangulum  Si^Cydd  dhfi 
EBo  fpatium  k excejjusy  quo  trilineum  a b c g , maius  eft  quam 
vtfit  in  ratio nwiangulorum . 

Ducatur  fer  verticem:  b,  tangens  i 1 ,*  demlfftfqi  ex fundis  i, 
Im,  1.  &'  1 3 lineis  diametro  farallelis  ( qua  diamem  femifarabolarum 
emnt)  ducantur  tangentes  o m , , n p .*  d"  fun6lis  o j m j n,p, 
demittantur  alia  diametri  vtfup a \ ducanturqy  alia  tangentes: 
Bthocfemfer fiaty  quoufq^reliqu^  fimul  omnes fortiuncuUyqua 
. fubt  amentibus  cuma  parabolica  continent  uri  minor  esjint 

Um,i . fpatmk . T une, ntjsnmerfa' figura  tangentibus  circumjeftay&  m 
trilineo  mixto  a b c g infer  i ftay  habebit  adhuc  ad  trilineum  dc 
fh  5 rationem  maior  em^quatriang.  a g Cj  ad  triangulum  d h f . 

Inlcribaturiam  etiam  inaltero  trilineo  mixto  d e f h . figura 
iotidem  laterum  y dubiis  mmrum  tangentibus  toties  ^ quoties 

dublafuerint  in priori  trilineo  ^ 

fii0niamvero  ejl  yVt  tr  iangulum  i g I ad  triangulum  q r h , 
, ita  duo  Jimul  triangula  o i m , n 1 p , ad  duo  fimul  u q f , UZ:. 
enim fortes  cum  foriter  multif  licibus  in  eadem  ratione . ) 
Etvtduo  fimultriangidit  oim,  nlp>  adduo:  xxe^iyXrZyita 
quatuor  triangula  quafunt irtfrafunBa  o,  m > n , p > Udquatuor 
. Mky/quajmtjfhhfunldis  \^iyty:ziyok 

etiam  ornnirymtm^miidfimM  (mmfeJhtmaMfkrifta  infrio^ 

ritri- 


Problema  Primum  • iq 

tlttilineo  mixto , ) ad  omniavonfcquenttd  Jimul  ( Adfigu^ 
rdm  infcriftAm  in poHeriori  trilineo  mixto ) vt  vmm  dd *vnum  ; 
nempe vt  i^\,4d  q h r . Sine  fxmptis  eorum  quadruplis  , *u§ 
zgc  ad  dh£ . Sed  eadem  in fcripta figura  habebat  ad  trilineum 
d e f h maiorem  rationem  quam fit  trianguli  ad  d h f . 

nus  ergo  erit  trilineum  mixtum  d e f h , quam  figura fibi  inferi- 
pta : totum  fua parte  , £luod  efi  impojfibile . T rilinea  ergo  fuh 
tangentibus , ^ curua parabelica  comprahenfa  yfunt  inter fe  vi 
triangulafub  ^dem  tangentibusxfi  bafibus  contenta . 

Fropofltio  1 1» 

PAraboIa  fefquitcrtia  eft  trianguli  eandem  ipfi  bafim,^  can* 
dem  altitudinem  habentis . 

Sit  parabola  ABC, 

cuius  diameter  B D ; X 

^fitinferiptum  trian 
gulum  ABC*  Dico 
parabolam  fefqiiitcr- 
tiam  effe  trianguli  A- 
BC, 

Ducantur  du^  tan- 
gentes ad  bafim,qiia; 
fintAE,CE.&FG. 
tagat  per  verticem  B 
Demiflis  deinde  F I , 

GH  diametroparallelisjvt  fint  diametri  portibnnnlAIB,EHCj  iXtmi 
ducantur  per  I,&HtangentcsLM,  NO.  ‘ 

Erit  ergo  per  Lemma  procedens,  trilineum  ABCE,  ad  tri- 
lineum AIBF , vt  eft  triangulum  AEG,  ad  AEF  . iiue  ad  FBE . 

Idem  vero  trilineum  ABCE  ad  aliud  trilineum  B H C G,  erit  vf 
idem  triangulum  AEG,  ad  triangulum  BGC  jhoc  eft  ad  BGE, 

Coniundimergorerittrilineum ABCEad duo trilinea AIBF,  »4 

BHCG.yt  triangulum  AEG  ad  triangulum  FEG,  nempe  vt  4;  « . ^ 

^ * advnum 


\ 


^8  De  Dimenfione  Parabolas 

ad  vnum , & diuidendo , erit  triangulum  F E G ad  duo  trilinca 
AIBF , BHCG  i vt  3,  ad  vnum . Trapezium  autem  AFCG , ad 
eadem  trilinea  erit  vt  ^.ad  vnum;  & per  conuerfionem  rationis, 
ad  parabola  erit  vt  9.  ad  §.  ad  triangulum  ABC,  vtp.  ad  5, 

Qualium  ergo  par  tium  parabola  eft  8,  talium  triangulum  ABC 
^ cft  <5.  Conftat  ergo  parabolam  inferiptifibi  trianguli  fefquiter- 
tiamelTe.  Quod  erat  6cc. 

Lemmd  VII» 

Si  in  parabola  inferibatur  triangulum : eandem  habens  cura 
parabola  bafim,  eandemq;  altitudinem,  inferibantur  etiam 
pariter  & in  reliquis  portionibus  duo  alia  triangula : Erit  trian- 
gulum primo  inferiptum  ,0 duplum  alterutri  pofterius  inferipti 
trianguli. 

Hemonfirdtur  hoc  Lemmd  ab  Archimede  Prop.  2 /.  He 
dratura  parabola. 

Lemma  V 1 1 1 , 

Si  in  parabola  euidentd  inferibatur  hgura  ex  triangulis  eon- 
Hans . Tam  bina  ipfius  triangula  (fi  prout  fibi  mutuo  refpondcnt 
ita  fumantur)  quam  etiam  tota  inferipta  figura,  sequiponderabit 
cx  pondo  medio  bafis  ipfius  parabolse. 

JEjlo parabola  a 
b c , cuius  diame^ 
ter Jit  h & in» 
uerfa  Jlatuaturfi^ 
gura^  ita  ^t  dia» 
meter  ad  hori\on» 
tem  fit  perpendi» 

€uldris . SeLiade» 
indevtra^i  ad,dc 
htfidridm  in  e f ; ite 
fumqueJeCiis  par» 
tibus  hfiarid in  g , 
h,  i , I . DucdntHf  g ttl  ^ C n , h 0 , i p , f q , 1 r . &c^  Paralie-» 
la  ad  diametr  um , 

Inficri» 


Problema  Primum . xp 

infcrthdturque in f^rahoQ figura  amnobpqre.  ( qua  di:^ 
shur  euidenter  infcrlbi ,)  Jjico  triangula  qua  figuram  inficrif^ 
tam comfonmn^  fthina^  ^ ^rout fibi mutuo,  reff  ondent  ka fuma- 
tur j aquiponderare  ex ^unko  d . Vr^tercd  v ni u er fam  figuram 
infcriftam , ex  iffis  triangulis  com^ofitam , ab  eodem j funClo  d , 
fquiponderare , 

Sumantur  enim  duo  triangula  fibi  mutuo  refpondentia  ^futat, 
n o b J b p q , qua  interfie  aqualia  erunt  ,•  cum  triangula  a n b , t» 
b qc  fuboBufia  .fint  eiufidem  triauguli  a b c ; ffa  vere  n o b , 
b p o^yfuboBufia  fiint  aqualium  triangulorum  a n b , b q c.  Ha- 
bebunt infiuf  er  centra  grauitatis  inreclis  ofjpt  5 qua  quidem  imprimi 
ab  angulis  Ojp,  ducuntur  adpmclamediabafium  y.  nb,.  bq,  aquifsM 
Cum  vedo  o s h , p t i reB^  ad  horlz^ontem  pfit^  fint  perpndi- 
culares  „ erunt  padiBa  triangula  n o b , b p q centrali  ter  appen 
faexpunBis  h^cf’  i.,  ^^amobrem  ab  equatihus  difiantqs  hd, 
di,  ^quiponderabunt^Et file  de  reliquis  figur^  triangulis . ^md  8.  ptmi 
erat prirno propofitum » dup 

Eigura  autem  vniuerfia  euidenier  inferi pt a eemponitur  expdr-^ 
tibus  aquiponder antibus  a punBo  d ; quare  etiam  ipfia  ex  d pun-- 
B 0 aquiponder  ab  it  * ^uod  erat  ofiendendum^ 


Lemma  I 

Po/itisijfdein.  SI  a parabola  dematut  vLiiuerfa  figura  eui- 
denter inferipta,  etiam  omnia  fegmenta  parabolica,  quiscir- 
eumrelinquunr ur , ex  pundo  D . cequiponderabont . 

E €p  et  ita  ''enim  eadem  figura  demon jlr  at  um  e fi  figuram  inficri- 
ptam  aquiponder  are  expunBo  d.  Ergo  figura  inj cripta  centru' 
grdmtatis  habet  in  perpendiculo  hoYi\o  mali  d b . (per  a-fiappo-^ 
(itionem)fied  etiam- parabola  centrumgrdui.tatis  habet  in  diAme-. 
tro  db,  {per  4. fecundi  aquiponder  antium ) ergo  centrumom-. 
niumreliquorumfegmentorum  erit  in  diametro  db.,  Mudre  ex: 
punBo  d aquiponder abunt , per  $ fuppofitionem ..  S^pd  dre.. 

" , CotoHariuin  V.  . ■ ' v-  ■ 

Confiat  etidm  eodem  prorfius  argumenro-^reiiquum  figma  euk 

deU’’ 


jo  De  Dimenfione  Parabolas 

denter  infcriftA , detraSio priks  triangutd  a b c , xqmpmderArt 
expunUa  d . Item  rtliquum paraboU , dempts  manguh  a b c , 
fquiponderare  ex 

Lemmd  X. 

Si  ex  parabola  auferatur  diinidiiim  trianguli  irifcripti,tota  re- 
liqua figura  mixta  ^quipondcrabit  ex  puns^o  bads  reliqui  triaia 
' • guli , in  quo  fic  ea  diuiditur , vt  pars  ad  curuam  terminata  qua- 

drupla fit  illius , qu^  terminatur  ad  diametrum.^ 

E fio  pdrdhetd  a 
* hc  inucrfdi  eiufq; 

diameter  hditdfid 
tuatur  vt  ad horlz^o 
tem fit p^rpendicu^ 

^ laris  I Eetra^oq; 

Jemitridngulo  in~ 
fcrtpto  d b c ; feee- 
tur  ad  hafis  reliqui 
femimanguli  , in 
quinqypartes  ^qua 
leSiquarHmvnafitdt,  Eko  hmufmodi  figuram  ex  punffo  e 
fufpenfdmydquiponderdre' 

Nifi enim aquiponderet ; Cum reBa  zdfit libra , cuius fulcru 
efiin  e,d"  magnitudo  a fb  ^Q^confians  ex  duabus  portionibus 
€ohU,  parabolicis^  appenfa fit  ad pundum  d fecmdum  centrum  graui 
tatis  ipfius  t Reliquum  autem  triangulum  a b d altera  rnagnim 
do  appenfa fit  ad pun£ium)\  (fumpta  d h tertia  parte  totius  da;/ 
Altera  ex  his  duabus  magnitudinib.praponderare  necejfe  erit . 

’ Ponamus  prim>  praponderare  duas  portiones  a f b , b g c ; & 
fit  excejfus  quo  praponderant , aqualis fpatio  K , 

In fer  ibat ur  emdemer  intra  duas  portiones  pardbolicasfigurM 
multilatera , itavt  omnia fimul fegmentaparabolica  circumrelk 
Hdminorafintfpatio  K.  T une  enim  praponder abit  adhuc  figa 

ra  inferipta  multUdtera  a i f I b m g n c b a • 

, , Acci* 


Problema  Primum  . 51 

"Accifidtur  d o qudrta  -pars  totius  d b ; cf  duda  a o , mn  fo- 
tum triangulum  a d o , aquifonderahit febiiffi exfUnBo  hiftd 
ttiam  quodcumq'^  aliud  triangulum  habens  verticem  in  a*  ba- 
fminrecla  dh  ,fbi  iffi aquiponderabit  ex pun^o  eodem  h. 

Jam  fc : Sualium partium  a d eli  js,  d h ejl  s r & d e eB 
Jdrgo  d e ad  e h ^ erit  vt  s,  ad 2,  Cum  autem  demonfiratum  Lm . 8 . 
f t duo  triangula  2,  y b gc,  aquiponderare  expunElo  6.1  tri- 
angulum vero  boa » ex punBo  li ; ^ cum  duo pradicia  triangu- 
lajint  ad  totum  triangulum  abd  vt  duo  ad  4.  i erunt  eadem  ad  tx  Lm, 
triangulum  a b o , 'i'/  2,  ad nempe  vt  hc ad  e d reciproce . ?• 
^^amobrem  duo  illa  triangula  a f b , bgc,  cum  triangulo  abo, 
aquiponderabunt fufpenfa  ex punJlo  e . 

Sumatur  deinde  d p quarta  pars  ipfius  d o ,*  ducatur  que  a p , 

Jam I quia  duo  triangula  i\h ^ b rn  g ^quiponderant ex  d tm>%» 
itemque  duo  a i f,  g n c , aquiponderant  ab  eodem  puncto  d ,• 
omnia  fimul  pmdiBa  .quatuor  triangula  ^quiponderabunt  ex 
puncto  d;  Suatuor  aut  em  prodici  a triangula  adtriangulu  a f b 
funt  vt  duo  ad  4.  Sunt  autem  a fb , a o d , fub quadrupla  eiuf 
dem  trianguli  abd  (^propterea  ad  triangulum  d.o^ , erunt  vt 
2.  ad  s . nempe  vt  \\.^  ad  ed,  reciproce . Aequiponderant  er- 
go  quatuor  illa  triangula  cum  triangulo  a o p , ex puncto  c Er 
go  vniuerfafimul  figura  euidenter  inferi pt a a i f i b tn  g n c b a 
aquiponderat  triangulo  a b p . Sed,  eadem pr ^ponderabat  trian- 
gulo abd.  Minus  ergo  e H triangulum  a b d quam  triangulum 
a b p . totum fua  parte : quod  e ft  impo flbile . 

Ponamus  1 ieinde pr^ponderare  triangulum  a b d i excef-  ' = 

fus  quo prp ponderat  aqualisfpatio  K 

Accipiatur  a.o  d quarta  pars  totius  trianguli  abd,*  iterum 
q0e fumatur  a p di  ^quarta pars  trianguli  a o d ict  hoef  emperf  ar^^ 
donec  ventatur  ad  aliquod  triangulum  ,pura  a p d , quod  minus 
fit  quamfpatiumK.  T unc  enim  reliquum:  a b p adhuc  pr^pon-^ 
der  abit  duabus  portionibus  paraholicis  a fb,  bgc.  Sed  idem 
triangulumcfimdetur  ( eod,e?n.  pr  or fus  modo  vt  fupnt)  ^quipon^ 
der  are  alie M.t  fg^ir^intrapaTabsilicas portione  s-i,nfcTipt^:  .*  nccef 
fe  igitur  erit  quod poxmms  paraibohcj^  minores fint  quhnyjlgUTdi 


De  Dimenfione  Parabolg 

ilU fibi  infcrifta  j telum  fua parte . ^upd  ejl  impojjtbiU . 'Aequt- 
ponderant  ergo  parabola  muerf a ( de  mpto  f ^mitrtangulo  infcripr, 
to')  expuncto  quod  didi  ume Ji  y ^md  erat  oflendend,(^e, 

Coroilariuiii 

Blnc  inferre  pofumus  y qmdf  ex  puncto  e,  redi  a ducetur 
diametro  aquidiJianSy  centrum praedidtae figurae  erit  in produ^ 
dta.  siquidem  f gura  ex  pundio  c aequtponderat  y linea  ex 
c ducta aequidiftans diametro  yCdt  ad  horizontem  perpendicu^ 
laris . Poffet  etiam  demo nfir ari  y nifi extra  rem  ejfiety  centrum 
praedidtae  f gurde  didtam  parallela  ita/ecarty  vt  pars  quae  tetr- 
minatur  ad  curuam fit  ad  reliquam  vt  ii.  ad  u. 


Vrofoftto  III. 

PAraboIa  fefquitertia  eft  trianguli  eandem  fibibafim^  & eas 
dem  altitudinem  habentis  ♦ 


ftacei. 


Efto  parabola  ABC,  ex  qua 
demptum  fit  dimidium  trianguli 
inferipti : Siimptaq;  DH , qiite  fit 
tertia  pars  totius  DA  & DE  quin 
ta  pars  eiufdem  j fi  parabola  liu- 
iufmodi  ftatuaturinuerfa,  itavt 
diameter  fit  horizonti  perpendi 
cularis,  tequiponderabit  figura 
expundlioE,  Sed  triangulum  ABD  appenfum  eft  fecundum 
centrum  grauiratis  ad  pundium  H librae  HD . Du^  autem  pa- 
rabolict^  portiones  refidu^  appenfse  funt  fecundum  centrum 
grauiratis  ad  pundum  D ; Ergo  triangulum  ABD,  ad  duas  re- 
liquas portiones  erit  vt  DE  ad  EH,  reciproce, nempe  vt  3.  ad  2: 
Sumptis  autem  antecedentiu  duplis  erit  totum  inferiptum  trian- 
gulum ad  reliquas  portiones  vt  6*  ad  2.  Conuertendo  igitur, 
componendo,  erit  ipfa  parabola  ad  inferiptum  fibi  triangulum 

vt  8,  ad  Nempe  fefquitertia . Quod 

' ■ ^ Libet 


Problema  P«mum  ”•  jp 

Zihet  htc  demonfirare  LemmdLued  Valerjj^uoBft  Hmm  ma* 

diuerfifqutfemtHs  Mefhdnied frincifqs , Iffe  enim  vHtw 
Zrofofitime  ilU , qua  dnte  demonftrauerat  centrum  gruuita/h 
hemiffhdtrij . Nes  autem fmiU  ratione , de  in  prae  edent  ibus , 
monHrabimus  (jr  Lemma  y ^ ipfamVdUr^  e oncluJtQnem  ^ 

Lemma  X /. 

Omnis  femiparabola  sequipondcratcx  pun(5lo'bafis,  in  qu® 

{ic  ca  diuiditur  vt  pars  ad  curuasn  terminata  fit  ad  reliquam  vf 
quinque  ad^triar: 

Bfiofcmipardbola  a be  , cuius 
diameter  ab  fiatuatur  ad  horiz^on^ 

Hm perpendicularis : Se^ia  deinde 
ac  in  £,  itavt  ci  ad  fa  , 7?/ 
vt  j. ad s . 'vel vt  \s -ad p. Dico 
guram  ex pun^fo  ffufpenfatTipquu 
ponderare.^ 

ScceturiterJfm  ac  hifariamin 
d,  demifsa  d e parallela  dia- 
metro ytrit iffa  de^  diameter p a- 
rabolf  bec . Sumatur iam  ai  ter- 
tia pars  utius  ac-  J^alium  igitur  partium  ac  efi 24.  taliu 
ad  ai  Brgo  d.f/rr/,  dr  fi  'una . Iam  fi 

figura  non  aquipondir  at  ex  punBo  f;  Cum  id  fit  libra  quadam 
cuiusfulcrumefi  f,  ^ ad punelum  iapfenfum  fit  triangulum 
a vb  C a expunUp  vero  d appenfa  Jk parabola  bec;  altera  ex  his  - 

figuris praponder abit . P-onamus  prim)) praponder are  parabolam 
bec,  fitqi  exc ejjus  quo praponderat  aqualis /patio  K. 

Jnferibatur  euidenter  intra  parabolam  b c c figura  rePf  ili. 

.nea  ritaojt  ornntsfimul  rrfidua^por Hunc  ula  quibus  parabola  ex^ 
cedit inferiptamfibi figuram, minores fintfpatio^,  Manifeftu  j 
aft , qu  od  infer  ipt  a euident  er  figura  adhuc praPonder abit  trian* 
guloixhc. 

Accipiatur  ah  c quarta  pars  totius  trianguli  a b c . Qum  au-  i 
Hm  ii  ^ fit  adhtptiMntemperpcndiculdris  '"^  (^  triangulum  bec 

£ habeat 


f 4 Dimenfione  Parabolse 

1 3 fnmi  cintrumgTdmtdtis  in  reCia  g e j eritdioium  tridngulum 

fquipon.  dfffnfum  ad  d . iri  angulum  vero  b hc  appenfum  adpunBum 
x^y quandoquidem  a \ tertia p^rs eft totius x-Cy  ipfdvero  ab  per- 
.pendkdiaris  ad  hori’i^ntem  confiltut a eji^  ,^oniam  autem  b 
e c ad.zhc  efl  vt  vnumad  4.  y erit  idem  h^c  ad  hhc  vt  vnu 
ad  s. nempe  reciprocevt  ii  ad  idyAequiponderant  ergo  expun 
ifo  f , triangula  b e c , ^ h b c . 

Sumatur  iterum  2l\c  quarta  pars  trianguli  ahc;  quonia 

duo  triangula  b m e , e n c aquiponderantex  g {vti  demonlira 
Ltm . 8 . tum  eii ) aquiponderabunt  etiam  fufpenfa  ex  d . Cum  autem  duo 
^ diif  a triangula  bme,  enc,  fnt  ad  triangulum  b e Cyjiue  ad  ip 
Ji aquale  ah  c , vtvnum  ad 4.3  erunt  ad  i hx  y vtvnum  ad  ji 
nempereciprocevt  i i ad  fd^  Aequiponderant  ergo  ex  punClo 
f . duo  triangula  b m € , e n c , eumtriangulo  1 h c.  Figura  ergo 
vniu  erf a euidenier  infcripta  intra  parabolam  bec.  aquiponde- 
rat  ex punllo  f . cum  triangulo  1 b c . Sed  eadem praponderabat 
triangulo  abc . Necejfe  igitur  eil  quod  triangulum  abc  mi» 
nus  Jit  triangulo  1 b c . totumfua parte , ^md  eH  abfurdum . 

Ponamus  deinde praponderare triangulum  abc,  .^  Jit  excef 
fus quo praponder at  aqualis  fpatio  K . Sumatur  ahc  quarta 
pars  totius  trianguli  abc.  Iterum  fumatur  al  c quarta  pars 
trianguli  ahc,  Ft  hoc  femper  fiaty  donec  ventumfuerit  ad  ali* 
quod  triangulum , puta  a i c,  minus  fpatio  K . 'T unc  enim  tridn* 
gulum  1 bc  adhuc  pYaponderahitparabol^  b c c . Sedeodem  mo- 
do,quo fupr a, demonslr abimus  di^um  triangulum  I bc  aquipom- 
dLrareemdamf gura  euidenter  infcriptaintrd  par  dbolamhtc^ 
Vndcfequereturipfamparakolam  bec  minorem  e Jle  aliqua figu 
rd  fbi  in  f cripta ; totumvidelicetfua  parte , ^upd  e JI  abfurdum.. 
Jequiponderat  ergo femiparJboia^vtidiBumeH  confli  tuta , 
expundlo  l fufpenfa.  ^luod(J'C. 

Corollarium . 

Bine  patet  y quod  ( cumfemiparabolaaquiponderetexpunllo 
(i ah  t dcfrdttaturreBahorizmti perpendicularisjnhac de- 
m f . ./7>/ dddrit-eentfumgrauitatisfemiparabo.la  yaliasenimnon pqu$ 


Problema  Primum . 5 5 

ponderdref  ex  £ , Verum  quoniam  etiam  diameter  parabolg  a d 
horiZiOntem  perpendicularis  conBituta  eft  i concludemus 3 quo  d 
reSla  qua  ex  punBoi  ducitur  diametre  fquidiBans , tranfit  p er 
centrumfemiparabola , 

Propofttio  IV» 

PArabola  fefquitcrtia  eft  trianguli  eandem  ipfi  bafim^  & cati 
dem  altitudinem  habentis,- 


P 


Efto  parabola  ABC,  cuius  dia- 
meter BD,  triangulum  veroiii- 
feriptum  (it  ABC,  Dico  parabo- 
lam didi  trianguli  efle  ftfquiter- 
tiam. 

Sumatur, qualium  partium  to- 
ta D C efl;  2 4.ralium  D E 8.;  D F 5^;  & D G , 1 2 . Eritque  ca- 
r undem  E F vna , &FG  tres  y Dudis  vero  E H ,.F  I,  G L , dia- 
metro parallelis  , erit  in  E H centrum  trianguli  B D C j in  F I 
centrum  iemiparabolte  D B M C,  &in  G L centrum  portionis 
BMC, 

•Ponatur  centrum  trianguli  effe  pundum  quodeumque  H . 
Item  centrum  femiparabolse  elfe  pundum  quodcunque  I 
(quamquam  huiufmodipunda  extra  ipfas  figuras  vbicunq;  li- 
buerit fumantur,  tamen  verum  femper  eod  e modo  inferemus . ) 
iunda  deinde  H I,  &produda , in  ipfa  H I erit  centrum  portio- 
nis parabolic^B  M C ; quod  cum  fit  etiam  in  reda  G M produ- 
da , necelTario  erit  in  communi  concurfu  L . Parabola  ergo  B 
M C ad  triangulum  D B C erit  reciproce  vt  H I ad  I L,  hoc  efl, 
vt  E F ad  F G , nempe  vt  vnum  ad  3,  Componendo  ergo , fum 
ptifq;  duplis , erit  tota  parabola  ad  totum  triangulum  vt  4 . ad  3. 
Nempe fefquitertia.  Quod  erat propofitum,&c. 

Poterat  h^c  demonBratio  produci  etiam  hoc  modo , prpmi^o 
\ hoc  Lemmate » 


t S .frimi 

Lemprn 

ced. 

^./e6s,n^ 

quif, 

t.  prim^ 
aqui^Qm 


•M 


Sipa^ 


De  IMmeiidoneParabolise 

Si forabila id cxtremumifdjis lineam  habuetit  didmiffB  f i* 
falleUm,(!r di dmetri quadruplam,  duUoqi  tertio  latere,  €om» 
fleatur  triangulum  ^Vniuerfa  hae  figura  fquiponderabit  ex  pu» 
€io  tertij  lateris,  in  quofic  dtuiditur  vt pars  ad  €HTMamJ§rminA*^ 
$a fit  ad  reliquam  vt  j.  ad 

Efioparabola  abc,  euius diameter 
d b fiatuatur  ad  horizontem  perpendi* 
eularis ; confidereturque  ipfia  parabola 
inuerfa:T umad  alterutrum  bafis  a c 
extremum  ,puta  ad punllum  a , adiunt 
gatur  reffa  a e , diametro  aquidifians , 

^ ipfius.  diametri  quadrupla . Duclo^ 
deinde  tertio  latere,  ec  triangulis  ac,, 
feceturin  f,  itavt  c i,  ad  £e  fitvt- 
j,  ad  s » Dico  huiufmodi  figuram,  ex: 

Cfiendc  f fquiponderare,  ^^oniam 

m infra  enim  ce  ordinatimapplicatur  ad  diametrum  zs;  erit  tota  figu* 
ra  e a b c fiemiparabolai.  Ergo  ijfdem  rationibus  , eodemq; pro*- 
grejfu , quo  vfi  fumus  in  lemmate,  i z,oHendcmustotam  figuram 
aquiponderare  ex  f.  Sumatur  iam  e i oElo  earum  partium , qua*^ 
liumtota  sc  ell  i a.  dr  el  12.  cf  p,Eritq\  if  earumderm 

*vtta,(^  fli  3.  Ergo c.um parabola  Tnhc  pendeatexpunclo  l, 
appenfa  ad  ipfum fecundum  centrum  grauitatis;tr i angulum  <ue,»- 
a e c ex punlio  i ; erit  parabola,  abc  ad  triangulum  a e c 
rvt  reeipToee  i f ad  FI , nempe  v tvnum  ad  3 ]. ; fiue  ut  4 1 ad  12  \ . 
«I  eom  • ^ propter  e a ad  triangulumv  ti.hc  ut  4.ad  j.drc.  E fi  enim'  abc 
muni  ha  quartdpars  ipfius zcc  c!rc .Confiat ergo parabolam fiefiquitertiii 
ft7*  AC  (ffe infcripti fibi trianguli . 

sltitudi-  ^ 


me 


inver^ 


$n  mw-  Sfipd affumptum  ell , nempe  rectam  c c ordinanm  applicari  ad 
me  quai  diametrum  a e , oftendemus  hoc  modo , 

fupla  . jy  enim  non  e fi  ordiuattm  applicata,  c c , applicetur,  ordinatim 

c m y eritq-,  m abc  ferniparabola  ,*  fr  qui t funt  aquales  ad , dc, , 
4h  fetni-  erit  mc  fect a bifariam  in. XX,  Ergo  mxx  fefquiterti  a efi' ipfius  n 
parabtUhi fedetiom  ea  ob  consiructionem  fejquitertia  e H .ipfius  Ib^, 

ergo. 


if£if  rettqUA  e m fefquitcrti a eB  reliqnp  l n ; ^ e c 1 9 ,« 

ifjtffs  c 1 . quod  efi  imfoj^thile . B Ji  enim  dufld , non  du-  ti . 
temfefquieerHd , ^jtare  nuUd  dlidfrfter  ct  tx functo  c ordi- 
fidtim  dfflkdri fote  fi  ad  diametrum  a e ..  2^od(^c . 

Fropo^iio  V. 

P>AraboIa  fefquitcrtia  eft  trianguli  camdcmipfi  bafim , ean* 
demq,*  altitudinem  habentis 

Eflo  paraBoIk' 

A B G t cuius  dia^ 
meter,  B D, trian- 
gulum inferiptums 
ABG  v Bieo  pa- 
ra bollim  elTe  fef- 
quiterdam  trian- 
guli ABC.  fibi 
inferipti.. 

Si  enim  ita  non-  A H M.  P C 

cft,.ncq;triangu- 

Ium  A B G crittripliim  duarum  fimul  reliquarum  portionum  h 
E B,  B F C Sed  erit.vel  magis  quam  triplum, fiue  minus  quam 
triplum*. 

Sit  primo  mihus  quam  triplum , eruntq;  dua?  reliqu»  portio- 
nes magis  quam  tertia  pars  trianguli  A BC,  Efto  exceflfus  ae- 
qualis Ipatio  K , & inferibanturintra-portiones  primum  trian- 
gula A E B , B F C ; iterumque  ih  reliquis  portiunculis  quatuor 
triangula  A G E , E H B , BFF , F E C j deinde  odto  &:c.  & hoc 
femper  donec  excelTus  portionum  ftipra  inferiptas'  euidenter  fi- 
guras fit  minor  fpatiok.  Tunc.n.  erunt  inferiptar  figur;^  adhuc 
maiores  quam  tertia  pars  trianguli  ABC. 

Sumatur  iam  triangulum  A B M'  quarta  pars  totius  trianguli 
AB  C . Et  quoniam  ABC  quadruplum  eft  tam  trianguli  ABM  , 
quam  triangulorum  A E B,  B F G fimul  fumptorum, aequale  erit 

irian- 


58  D&Dimenfibne  Parabolas 

triatiguium  A BM  duobus  fiinul  triangulis  A E fi,  BBC 
propterca triangulum  M B G triplum  erit  duorum  Emul  trian-^ 
giilorurh'  AEBVBFC. 

Accipiatur  iterium  triangulum  A B N quarta  pars  cotiqs  trian 
guli  A B M..  Cum  ergo  A B M quadraplum  fit  ipfius  A BN;  Sc 
ltm,7^  duo  A E B , B F C , quadrupla  fintquatuor  fimul  fubfequenciu 
triangulorum  AGE,EHB,BIF,FLC;  cumque  anteceden 
tia  fint  trqualia  , tequalia  erunt  etiam  confequentia;&  propterea 
cum  triangulum  NB  M triplum  fit  trianguli  ABN,  triplum  etia 
erit  id  cm  irian  gulum  N B M . quatuor  fimul  triangulorum  A G 
1 a E E H B , B I F , F L C.  Et  vt  vnum  ad  vnum  ita  omnia  fimul 
ad  omnia  * Qmare  totum  fimul  triang  ulum  N B C,  triplum  erit 
figurarum  euidenter  intra  portiones  i nfcriptarum . Sed  triangu 
Ium  A B C minus  erat  quam  triplum  earundem : Ergo  A B C 
minus  cfi;  quam  NBG  totum  fua  parte . Quod  efi  abfurdum  &c. 

Ponamus deinde-triangulum  AB  Gefie  plus  quam  triplum 
duarum  fimul  reliquarum  portionum . Efto : & excefiui,  quo  eft 
magis  quam  triplum  , tequale  fit  fpatium  k . 

Accipiatur  A B M quarta  pars  totius  trianguli  A B G 5.  Ite- 
rum fumatur  A B N quarta  pars  ipfius  A B M . Et  hoc  femper 
fiat  donec  veniatur  ad  aliquod  triangulum, puta  ABN,  quod 
minus  fit  %atio  K . Eritq:  adhuc  triangulum  NBG  magis  quam 
triplum  duarum  portionum  * Sed  eadem  prorfiis  ratione,  & or- 
dine quo  fupra , oftendemus  triangulum  NBG  triplum  elTe  cu- 
iufdam  figurae  intra  portiones  euidenter  infeript^ ; Necefie  igi- 
tur erit  quod  portiones  ipfe  minores  fint  quam  figura  intra  ip- 
fas  defeript^ : T otum  fua  parte . quod  eft  impofiibile . 

Triangulum  ergo  A B C duatum  reliquarum  portionum  tri- 
plum efi  5 componendo  j & per  conuerfionem  rationis  para- 
bola ad  fiium  triangulum  erit  vt  4.  ad  3.  Nempe  fefquitertia  * 

Quod  erat  propofitum  &c* 

Lemmd  XII* 

Si  parabola  tres  tangentes  habuerit,  duas  ad  bafim,  tertiam 
ver6’per  verticem : Erit  triangulum  fub  tangentibus  comprae- 
henfum,  reliquae  figure  ( 4?mptd  parabola^  triplum . • 


Problema  Primum  # 39 

Mfio  fdrahold 
abc  ^cmusdid^, 
meter  b dy  td/^^ 
gentes  ad  bafim 
ZQyCtifitrumtt* 

€emvtfa^hg. 

Bico  trian^u 
Ium  f e g , Juk 
tangetibus  com^ 
frfhenjhm  reii- 

qudi  jigiir^  mia^ 

tae  abegf  (dc 

ftdfcihcetfaYaholaJtrtflumeffe, 

Sientmmn  eB  triflnmyerit  e erthm^^  uel  minus  quam 

triflum.  ' 

Si  tfrimb  minus  quam  trif  Ium  l eritq i reliqua  figura  mixta 
abegi,  magis  ,qukn  tertia  fart  trianguli  f e g - Sit  exi efifus 
K . Ducanturq;  fer  uertices  ahfciffkfum  fort.ionum  tangentes 
h i , I m ,*  Jterumque qer  uerticesfiubfequentium  fortiomtmi  ta^ 
gentes  agantur  n o , p q,  r s , t \i  . c^  hoc  fiemper ; donec  excejfius 
figurae  mixtae  abegf,  fupra  figuram  ex  iriangulis  conii  an-  , 
tem  nopqrftu  g f , mimis  aliquando  relinquatur  quam  fpa-- 
tium  K . T une  enim  eritadbuc  figura  ex  triangulis  inferipta 
maior  quam  tertia pars-trianguli  . 

Accipiatur  triangulum  f e i quarta  pars  trianguli  f e ,g  y erit 
que  triangulum  f e i aequale  duobus fimul  triangulis  h f i,igiii  .• 

( c um  tam  ifia  dito  y quam  illud folum  ^fubquadrupla  pM  eiufde  qitm, 
trianguli  { q Ergo  tri  angui,  i e g triplum  erit  duorum  [imul  - 

triangulorum  hfi,Igm. 

Sumatur  it  erum  triangulum  f qx  quarta  pars  ipfius  fe  i..  Cum 
que  fit  f e i quadruplum  trianguli  fex  yduo  ‘vero  triangula  h f 
i , 1 g m quadrupla  fi rit  q u at  uorfiimultr i angulorum  n h o , p i q Lem 
I r 1 f , t m II , ffi Antecedentia  aqualia ; etiam  conficquentia  aqua- 
. lia  erunt  yeritqyjriangulum  f e x , aquale  quamorpr  adiB  is  trt^ , 

. angulis  n h o , p i q , 1 1 s , t m li  .•  propter  e a x e i triplum  erit 

eorum- 


40  De  Dlmenfione  ParaboI^ 

eorumdem  quatuortrianguhrum . €umq,Jtt  vt  vnumMdvnum^ 
itd  omnidAd  omnia. : Erit  totum /imui triangulum  x-e  g triflum 
vniuerfa  figura  reCtilinea  intra  figuram  mixtam  irficrtfta , Sed 
aiufdem  figurf  inficrifta  triangulum  f e g minus  erat  quam  trU. 
f Ium  ineeeffe  igitur  efivt  triangulum  fcg  minus  fit  quam  if* 
fumxt^  totumvidelieetfua farte » Ssi^dtUimfofftbile • 

Tonamus  deinde  triangulum  f e g ejfe  flufquam  triplum  reU^ 
quf  figura  mixta  dempta  parabold  E fio  & fit  excefius  aqualis 
/patio  k , 

Mcipiatur  tridngtelum  quarta  pars  totius  fcg.*  & ite^ 
tum  fumatur  triangulum  fex  quartapars  trianguli  fe  i:(jrhoc 
fiatfemperdome  veniatur  ad  aliquod  triangulum ^ puta  fex, 
quod  minus  fit  [patio  K . Er  itq.  triangulum  x e g adhuc  maius 
quam  triplum  reliqua  figura  mixta  abegf.  Sed  eadem  peni^ 
tus  ratione , atque  ordine  vt  fupra , ofiendemus  triangulum  xcg 
effe  triplum  cuiu/damfigurf  intra  figuram  mixtam  a b c g f,  d^^ 
fcriptf^  Hecefie  ergo  erit , vt  figura  mixta  a b c g f . minor  fis 
quam  aliqua  figura  (ibi  inferipta ; totumfuaparte ^ed  e fi  ah 
fur  dum . 

Si  ergo  parabola  tres  tangentes  hahuerit , vt pofitum  sfi , erit 
triangulum fub  tangentibus  contentum^reliqua  figurae j dempta 
parabola  triplum  , filuoderatpropofitumt^e. 

Propoftio  VI. 

PArabola  fcfquitertia  cft  trianguli  eandem  ipfi  ba(iiTi,&  e^0 
dem  altitudiaem  habentis* 

Eflo parabola  ABC,  cuius 
diameter  BD  ; dua:  tangentes 
A E,  CE  ad  tertia  F 

BG  per  verticem.  Dko  para- 
bolam fc  fquitertiam  elTe  mfcrip 
li  f bi  :trianguli  ABC. 

Tiian  guium  enim  F EG  .ad 


duo 


Problema  Primum.  41 

duo trilineai mixta  AFB,  BGC  per pracedens lemma,  eft 
vt 3 .ad vttum ..  Ergd  trapezium , A F G C (cura  triplum  fic 
trianguli  F EG/adduo  eadem  trilinea mixta  eritvt^.ad  vnu. 
Et  ad  parabolam  erit  fperconuerfionem  rationis^  vt  9.  ad  8.6c 
ad  triangulum  ABC,  erit  vt  9.  ad  <5.  Qualium  ergo  pardum 
parabola  eft  odo  »taliumtriaugulum  ABC  cft^;  Quare  pa- 
rabola ad  infcriptumfibi  triangulum  eft,  vt8.  ad  d.  nempe  fet* 
quitcrtia..  Quod  erat  &c,. 

Lemma  XII  1\ 

Si  parabola  tres  tangentes  habuerit  ;:duas  ad  baiim  ^ tertiani 
vero  per  verticem  i & ex  vniuerfa  figura  dempta  fit  parabola» 
dimidiumq;  trianguli  fub  tangentibus  contenti . Reliqua  figu- 
ra aequiponderabit  ex  quodam  pundo , quod  ita  integram  tan?- 
gentem  lateralem  diuidit,  vt  pars  quj]e  ad  contadum  curuse  ter^ 
minatur  fit  ad  reliquam  vt  9.  ad  vnum  • 

‘ E Ho parabola  a 
bc  , cuius  diame^ 
ter  bd  concipia^ 
tur  ad  hori^ontem 
perpendicularis  i 
Sint  que  dua  tang^ 
tes  ad  hafim  ac, 
cd,  verticalis  *ve^ 
ro  tangens  e b f . 

SeUd  deinde  late^ 
tali  cd  in  \i^ita 
vt  e h ad  h d fit 
vt  g.  ad  vnum '3,  Di 
( 0 figuram  huiufmodi  ( dempti parahoQ  y ^ fiemi triangulo-  ver*, 
ticali  eb  dj  aquiponderare  expunUo  h . 

Sumatur  d i quinque  partium  earum , quarum  d f efiisfiue 
quarum  d h ei?  j . Eritq-,  d h h i vt  3 . ad  2.  Cum  autem 
b d fit  ad  horiziont em  perpendicularis , portiones  mixt^  a b e , 

F bef, 


r 


42»  De  DimenfioneParabolae 

b c ty  aff^enf^  erunt  fecundum  centrumgramtdtis  ad  fune^um 
b , fiuead fundum  d . Xnangulum  vero . b d f ^ ^ eandi  m cau^^ 
famy  fr  eodem  modo  f^endebit  centr aliter  exfundlo  u (quando- 
quidem  ii  dufla e Jiipfius  id  ; &ipfa  d b ad  horizontem per^ 
pendicuUris,)  lamfitBa  magnitudines  non  aq  uiponderane  tx 
h punBo  libra  d i , altera  ipfarum praponderabit  ,Efo  i pra- 
ponderent  primo  dua portiones  mixt^  a b e , b c f , Sitqi  excef- 
fus  quo praponderant  i aqualis  f patio  Yi. 

Infcribatur  intra  mixtas  portiones f gura  ex  tangentibus , vt 
idm fapefaEtum  e fi . Donec  e xcejfus  portionum  fuprd figuram  re^ 
Uilmeaminfcriptamminor  sit  f patio  YLT unc  enim  figura  inf cri- 
pta adhuc  praponderabit  triangulo  b d f . 

Accipiatur  triangulum  dio  quartapars  totius  trianguli  df 
fjf  tm*  b;  erit  q i triangulnm  dfg  aquale  triangulo  nfo  ( cum  ambo 
fintfubquadrupla  eiufdem  trianguli  d £h)dr  propter  ea  triangu- 
lum d f g ad  duo  triangula  1 e m , n f o , erit  vt  vnum  ad  2 . er- 
go h^i  ad  duo  triangula  1 e m , n f o , erit  vt  ad  2.  nempe  re- 
ciproce vt  d\\  ad h.i , T riangulum  igitur  b gf,  duotrian 
gula  1 e m , n io  ytx punBo  h aquiponderan  f inuicem . 

Sumatur  iterum  dfp  quarta  pars  totius  d/g,m>^;  dfp. 
aquale  duobus  (imul  triangulis  qua  fiunt  infra  pundia  n , cf  o . 
'II  ( Sunt  enim  quarta partes  aqualium  triangulorum  d f g , n f o , 

Tropureatriangulum  dfp  ad quatuor fimul triangula \,myXiOy 
erk  vt  vnum  ad  2 . Sed  triangulum  ip  i ad  eadem  qudtuor  tri 
angula.  erit  vt  i.  ad  2.  nempe  reciproce  ‘i//  d h , ad  hi . Aequi- 
ponder at  igitur  triangulum  p f g , cum  quatuor  diCfis  triangulh. 
I,  m,  n,  o,  ex pundlo  h . filuamobrem  vniuerfa figura  intra  por- 
tiones infcnpta  aquiponderabit  cum  triangulo  bp  i ex pundlo. 
\i  .Sed  eadem pff ponderabat  triangulo  bdf.  NecefiejgttureB 
vt  triangulum  b d i minus  fit  quam  triangulnm  hp  ii  totum/ua 
parte,  ^upd  ejfe  non  pote 

Tonamus  deinde pr ^ponderare  triangulum  bdf  dudiusfimul 
portionibus  mixtis  a b e , b c f id" ponatur  excejfus  quo  prapon- 
der  at  yf  qualis fpatioY., 

Accipiatur  triangulum  dfg  quarta  pars  ipfms  d f b.d"/V^. 

rum 


Froblema  Primum  • 4^ 

fumfum4tur  dtp  quartd  fars  ipfius  d f g , cJ- fic Jempet , donec 
•veniatur  addit  quod  triangulu,puta  d f p minus fpatio  K.  Tunc 
enim  reliquum  ttiangulU  adhuc pr^ponderabit portionibus  mix- 
tis a b e , b e f . Sed  ojiendemus  eodem penitus  argumento^  atq; 
erdinevtfupray  idem  triangulum  pfb  fquiponderare  alicuifi- 
guYf  intra  portiones  ■^h  e y bef,  deferiptp , Necejse  ergo  erit 
quoa  ipfa  duae  portiones  mixtf  minores  sint  quam  aliqua Jibi  in- 
fcriptafgura totum  fua  parte  i quod  e fi  ab  fur  dum . ConUat  er* 
go  quodpropofitum fuerat . 

Frbpopm  V th 

PArabola  fefquitertij  cft  tiianguli  eandem  ipfi  eS- 

d em  altitudinem  habentis .. 

Efto,ut  in  prrecedenti  lemmate, para^ 
bola  A. BC. cum  duabus  tangentibus 
lateralibusjfiue  ad  bafim,  AE,  GDi  at-  D» 

que  EBF  per  uerticem . Concipiaturq; 
diameter  ad ) lorizontem  perpendicu-  % 

laris;:&  ablatd  parabola , detradoque 
dimidio  uerticalis  triangulij  accipiatur. 

D l tertia  pars  totius  DF,  & iit  DH  feF- 
quialtera  ipfius  HI . Aequipond erant 
ergo  ( per  lemma  prsEcedens  ) ex  pun- 
do  FI  librse  DI,  due  magnitudines. 

Nempe  hinc  dutr  portiones  A B G F|E  appenfse  ad  pundum  D ; 
inde  uero  triangulum  DBF  appenfum  ad  pimdum  I . Qu;im- 
obrem  D B Fad  A B C F E , erit  ut  reciproce  DH  ad  HI,  nem- 
pe uf:  ad  2. Sumpiifqj antecedentium  duplis, ^rit  totum  uerti- 
cale  triangulum  E D F ad  reliquam  figuram  rrixtam  triplum, 
Propterca  / ut  in  Propofitione  lexta  d emonfiramm  efi:)para bo- 
la inferipti  fibi  trianguli  fefquitcrtia  erit . Qnod  erat  propefi. 
tumdemonllrare» 


¥ % 


Lem- 


44  Dimenfione  Parabolae 


Lemmd  X IV^ 

Si  duorum  conofum  latera  trianguli  per  axem  f€(51a  fuerint 
in  partes  «quales  numero , & magnitiidinc^  du(5iifque  per  pun- 
i^la  fedtionum  planis  bafi  parallelis  , fuper  fedtioiium  circulis 
intelligantur  cylindri  «queaiti  intra  conos  deferipti:  Erit  ut  pri- 
mus conus  ad  fecundum,  ita  omnes  cylindri  primi  coni,  ad  oni- 
nes  cylindros  fecundi  coni , 

duorum  conorum  tridngu 
Id  fer  dxem  a b c , de  f , duo 
eorum  Idtcra^f  utd  a b,  d t^fecen 
tur  in  fdrt es  numero  d qudles; 
nemfe  in  totidem  fdr te s diui^ 
ddturtdm  a b , qudm  d c ,•  Jintq\ 
fdrtes  Idteris  a b pqu^les  inter 

fe  y&  fdr  te  s d e itemdqudlesinterfe,.  TiuBls  deinde  fer fin* 
gula  feUionum  funBd  f lanis  g h , i\&c,  bafi  a c fdr  alie  lis  ; 
itemflams  mn  , opdre.  baji  d f farallelis;  Concifiantur  cy^ 
Undrl  .eiufdem  altitudinis  intra  conum  a b c dejeri 

fti  ,*  itemq;  irt  altero  cono  alq  cylindri  aquealti  intelligantur  i 
JDicoeJfevt  conus  ab  c ad  conum  dtiyita  omnes  cylindros  c$^ 
ni  a b c std  omnes  cylindros  coni  d ef , 

‘Concifiantur  duo  coni  g a h>  m d n ; quorum  tertie  es fint  t 
d , bafes  'uero  circuli  g h , m m 

Jam  i Cylindrus  zh  dd  conum  g a h,  efl  vt  cylindrus  dn  ad 
conum  mdn^  (nemfe  in  ratione  trifla)  conus  vero  gah  ad  co- 
num g b h in  eadem  baji^  ejlvt  ad  gb ; fiut  (frofter  diui- 
Jionemin  c onBruBiojs  e adbibit amjvt  dm  ad  me,  hoceH  vt 
conus  m d n ad  conum  m en . Conus  demque  gb  h conum 
fimiUm  ahcyefl  vt  cubus  g b ad  cubum  ha; fiu^  (frofter  cen* 
JlruiHoncni)  vt  cubus  m e ad  cubum  e d,  nef  e vt  conus  mea 
ad  conum  fnniltm  d e f.  £luareexaquo  cylmdrus  ab  ad  conii 
ab  Cycrit  ut  cylindrus  d n ad  conum  d e f.  Btfermutando  cy- 
lindrus ah  ad  cylindrum  d n er  it  vt  conus  a b c ad  conum  def, 

, V Iterius  ^Cylindrus  etiam  gl  ad  cylindrum  eodem  fe- 

nitus 


Problema  Pnmum  45 

mttHsmoh  demmftrdiur  ejfe viamus  g b h adeofium  m c n,^- 
vt  conus  ad  conum  d e fi  ^ /f&c  modo femfer , Ptoffe-  * * 

rea vtvnus cylindrus  ah  advnum  dn,  itdquilihct antcceden 
tium  ad  quemlibet  confequentium , er£o  vt  vnus  ad  vnum^nem^  ti , 
pe  vt  conus  a b c adconum  d e f , ita  omnes Jimul  cylindri  coni 
a b c , ad  omnes  Jimul  cylindros  coni  d e f » ^t^od  c^c^ 


Lemma  XV* 

Dato  trilineo  mixto , fub  linea  parabolica , eiufq;  tangente » 
& alia  reda  diametro  parallela  compr^henfo;  poflibile  eftin 
dato  trilineo  figuram  inferibere  conliantem  ex  parallelogram-^ 
mis^quealtis,quie  figura  deficiat  a trilineo  mixto  minori  difi* 
ferentia  quam  fit  qu^cumq»  data  magnitudo . 


Bjlo  linea  parahoUca  a p 
b c , cuius  tangens  c d , d* 
diametro  aquidijlans Jit  a 
d.  Dico  intra  trilineumin- 
tum  a b c d • deferibi pojfe 
f guram  conjlantem  ex  pa^ 
rallelo grammis  f que  altis  ^ 
quae  figura  deficiat  a trilix 
neo  mixto , minori  defeBu 
quam Jitfpatium  quodeun* 
quedatumYL, 

Secetur  enim  d c bifari- 
am in  X i iterumq')  partes  bi  L 
foriam  diuidantur  in  h d* 
in  p 5 femperq'^  hoc fiat  ^do- 
nec veniatur  ad  feBionem 
aliquam  puta  d e , eiufmo^  ^ 
di^  vt parallelogram.  a d e , 
mimsfitfpaM  K.  {SuodMUtmht fieri  pnp.p^tet. Si  enim 
compleatur fardUkgrammum  adc.ex  ipfo  per  continuam  bU 
JeCUenem/tmper  detrabim dimidium  i ergo  tandem  remane^ 

Mt 


46  De  Dimeniione  Parabolj 

a e minus  quolibet  duto  ffatio  .)  Ducantur  dande  eotfUn* 
itis  fi  itionum  reilp  e f,  h g &c.  aquidi  It  antes  ipf  d a ifer pun. 
ita  autem  i , b vhi  p ar aliti ffecant  parabolam , ducantur 

i g,mn  ^ c .aquidif antes  tangenti  cd  . Etfaitum  erit  quod 
oportebat . 

r arallelogrammum  e nim  co,  aquale  efi  ipf  & addito 

communi  o i , erunt  duo  ( o , o r , aqualia  ipji  r q ,f  u€  ipfi  r f / 
additoq;  c emuni  r t , erunt  tria  c o o r , r t , aqualia  ipf  t p,  hoc 
af  ipfWy  additeqi  comuni  tz  . fefemper procedendo  ^ trunt 
dtniq,  omnia /mulparallelograma  cortz.ybia  aqualia  ipjipa 
rdlUlogramo  a e . nempe  n inora  fpatio  k.  M ulio  igitur  minor  erit 
defiitus  fgurain/criptf  ex  parallelo  grammis  aquealtts  compo* 
ftfyatrilineo  m^xto  abed,  quam  Jhpropoftumfpatium  iC. 
d^od  erat 

Corollarium  ► ' 

Hinc  no  t abimus , quod  eodem  prarfus  modo , e}demq;  opeta- 
tioncyfgura  etiam  circumferibitur  dato  tri lineo  mixto  ^conflans 
€x parallelogrdmis  aquealtts^  ita  vt  e xcejjus f gura  circumferip 
ta fupra  ipfum  trilineum , minor ft  quocunque  fpatio  dato  K. 

Lemma  X V /. 

Si  parabola  tangentem  habuerit : & infuper  duas  redas  dia- 
metro parallelas , quas  duo  triiinea  abfdndant  fub  tangente , & 
iineaparabolicacompr2ehc  nfa5  Erit  figura  cx  paralielograra- 
tiiis  sequealtis  conflans  in  maiori  trilineo  dekcripra , ad  figuram 
t iufdem  fpeciei  in  minori  trilineo  defci  iptam,  vt  cubus  maio* 
ris  tangentis  ad  cubum,  minoris , 

Lito  parabola  a b c , cuius  tangens  c A i diametro  paralie^ 

la ft  vtraque  d a , e f ; fant  duo  triiinea  mixta  a b c d ma^ 
iusy  f b c e minus . Dico^fi  in  utroque  trilineo  inferibatur  fi- 

gura eonfians  e x parallelogrammis  aqualibus  utrimque  numero^ 
{ut  in  prae  edenti  Lemmate  expofitum  efi J figuram  tri  line  i a b c 
d;,  ad  figuram  trh 
iamus^ 


in  ei  f b c e , effe  ut  cubus  6.C  ad  cubum  c C . 

( ad  euitandam  linearum  multitudinem^dr  con 


Pf  oblema  Primuffli  i 47 

fUjtontm  } tfu 
angulum  gcc 
€um fud  porth 
ne  pdrdholf  m*> 
terccptd  fhc, 
transfern^tttf 
fe  idem  quod 
pojttum  efifuh 
Jignis  h i 1.  /ri 
lineumq,  f bc 
c ejfe  idem  eu 
triliueomnVu 
InfcribMUf  ^ 
idm  in  utroque 

trilineo  abcd,  ^ mnli,  {quod  quid  em  repfdf ent  dt  ipfum 
fbcc  trujldtum) jiguYdconftdnsexpdrdllelogrammis  dqu edi- 
tis i fit  idem  numerus parallelogrammorumin  utroq»  trilineo, 
Intelligdtur  et  idm  eonut , cuiusuertex  c,  fiue  1 ; ^ didmeter 
bafis  fit , hinc  quidem  ad,  inde  uero  h i . Smtquein  fingulis 
eonifegmentis cylindri iquedlti  op,  qr^e. 

Idmpardllelogrdmmumh^  dd  (diy  efiutrebfd  hv  dd  fp, 
hoc  cft ut quddrdtum  rc  dd  cp;  hoc  eH uiiquddrdtum  rt  dd*^P^m\ 
quddrdtum  pu,-  hoc  efi ut  cylindrus  qx  dd  cylindrum 
Eodem  modo , erit  pdrdlelogrdmmum  x r dd  fd,  ut  cylindrus 
yr  ad  ud  . Ergo  erunt  duo fimul par dllelogrdmmd  bp,  xr, 
dd  lA;  Mtdm fimul  cylindri  cp,  yYyddcfimdrumud,  Pro- 
cedendo itdquefemper  hoc  modoy  dr  denique  componendo ycrit  to 
tdinfcriptafigurdexpdfdllelogrdmmiscGnftansinmlmeo  ab 
c d , ddpdrdlUiogrdmmum  f d,  ut  omnes fimul  cytmdrlyqm  in 
sono  acd,  dd  cylindrum  ud* 

Amplius ipdrallelogrdmmum  fd  dd  til  compositum hah ei 
TdtiomnHtxrdtioneretffip  dd nz ^ siue quadrdti  pc  ddzl 
{funt  enim  dua figura , fed  circa  eandem  parabolam  translatam ) 
siue  quadrati  p u ad  zKp  Et  ex  ratione  re6ld  Ap  ad  \z,  E B 
ergo  par dlklogrammum  [d  ad  ni  m cylindrus  ud  ad  ki, 

lieni- 


Ijcnique faralUlogTdmmum  n i dd  tot am figuram  infcriptamin* 
4pnde-^  tratriiincum  mnii,  e fi  ut  cylindrus  ki  ad  omnes  cylindros 

conum  hli.  Propter  ea  ex  ^quo  erit  figura  ex 
in  MterO'  p ar alUlogrammis  conBans  infcripta  in  maiori  trilineo  a b c d , 
pgura  . aa  figuram  ex  parallelo  grammis  infcriptam  in  minori  trilineo 
m n 1 1,  ut  omnes  cylindri  in  cono  a c d W omnes  cylindros  in  co- 
j^Q  hli.  Nempe  ut  conus  a c d ad  conum  hli,  hoc  e fi  ad  conum 
g c c f qui  idem  e fi . ')  Nempe  ut  cubus  Ac  ad  cubum  c e . fifuod 
erat  (fi  c. 

Lemma  XV 11* 

Si  parabola  tangentem  habuerit,  &infuper  duas  diametro  ' 
parallelas  redas  lineas,  qu^  duo  trilinea  mixta  abfcindantiE- 
runtinter  fe  abfcilTa  trilinea  vt  cubi  fuarum  tangentium . 

Lfio parabola  a b c , cuius  tan* 
gens  c d : ffi’ diametro  parallela 
fit  utraque  d a , cb . Dicotriline* 
um  mixtum  a b c d ad  trilineum 
mixtum  b c e , efje  ut  cubus  tan* 
gentis  d c,  ad  cubum  t agentis 
ce. 

Si  enim  ita  non  eByit  alterum 
illorumyi  pojjibile  efi,  maius  qud 
Ht  habeat  dUlam proportionem  ad 
reliquum  ; fir  ponamus  illud  ejjfe 
a b c d,  maius  quam  quod efie  de- 
beret exciffa  K. 

Infcnhatur  intra  trilineum  a b c d figura  ex  parallelo^am^ 
mis  f que  altis  con  lians ; ita  ut  a trilineo  deficiat  minori  defeClu 
Ifm.  15  qitam  sit fpatiumV  (h^c  autem  fieri  pofife  ofiendimus)  H ahebiu 

que  adhuc  figura  infcripta  ad  reliquum  trilineum  bce  m at  ore 
rationem  quam  cubus  Ac  ad  cubum  cc , 

Infcribatur  intra  alterum  trilineum  bce  figutL  eiufdemfpi 
cici  /d  eiufdem  numeri  par  alie  logrammorum  c umdeferipta  tn- 


Preoblma  Primum . 4p 

' tfd  trilineum  a b c d . Erit  er^o  figura  inf cripta  trilineo  a b c d 
ad  figuram  infcriptam  trilineo  bce  vt  cubus  ad  cubum 
ce.  Sed  eadem  figura  infer ift  a trilineo  abed  ad  trilineam 
bce  habet  maiorem  rationem  quam  euhus  d c ad  ce.  Mi- 
nus ergo  efl  trilineum  bce  quam  in fcrifta  fibi figura . totum 
Jua parte , ^md  efi impofitbtle , Conflat  ergo  propofitum  ^ 

Propoftio  V i IL 

PArabola  fefqukertia  eft  tria ngiili  eandem  ipfi  bafim,  Ik 
eandem  altitudinem  habentis . 

Efto  parabola  ABC,  cuius 
diameter  BE,  tangentes  vero 
A F , C F , produ eoufque , 
donec  occurrant  ipfis  A D , C H, 
diametro  parallelis . lunganturq; 
red^  line^  AB,  B C.  ( licet  in  fi- 
gura omifig  fint.^  Dico  parabola 
trianguli  ABC  efse  fefquitertia. 

Erit  enim  A B C D ad  triline- 
um  B C F , ut  cubus  D C ad 
cubum  CF,  nempe  ut  odo  ad 
unum . ( cum  enim  fit  ut  A E ad 

ECjita  DF  ad  FC,  erit  DF  aequalis  ipfi  FC;  cubufqj 
D C oduplus  cubi  CF  .^  Item  tiilineurn  CB  A H ad  tri- 
line  um  B A F,  eft  ut  odo  ad  unum . Coniundim  ergo  erunt 
duotrilinea  ABCD,  CBAH,  ad  fpatium  A BCE.  ut 
odo  ad  unum . Et  diuidendo  bis,erunt  duo  triangula  A F D, 
CFH,  ad  fpatium  ABCF,  ut  ad  unum  . Quamobrem 
triangulum  AFD,  fiue  AFG  ad/patium  ABCF  erit  ut 
3,  ad  unum  5 & ad  prabolam  erit  ut  ad  2,  uel  ut  6,  ad  4.  Pro- 
pterca  parabola  erit  ad  triangulum  ABC  ut  4.  ad  3.  Nem- 
pe fefquitertia . Qupd  erat  propofitum  demonftrare,  6cc. 

G 


Eem*> 


50  De  Dimenfione  Parabolae 

Lemma  XVIII. 

Si  fuerit  yx  prima  magnitudo  ad  Iccundamsita  tertia  ad  quar- 
tam ; Et  hoc  quoticfcunq;  libuerit . Fuerintq;  omnes  primse  in- 
ter fe , item  omnes  terciiE  magnitudines  inter  fe  aquales . Erunt 
omnes  primse  limul  ad  omnes  fecundas,  vt  funt  omnes  tertias  fi- 
mul,ad  omnes  quartas  magnitudines . 


aI  e!  il 

BlE,  Et 


1 


1 

I 


c 


D<iDj.D  Q 


JW- 

>rr 


E fio  vt  a j)rima  ad  b fec  undam 
c tertia  ad  d quartam . Et  iterum  vt 
c prima  ad  f fecundam^  ita  g tertia 
ad  h qMartam':,Et fic  quotiefeunq-i  libue- 
rit . Sintqi  omnes  prima  a,  e,  i,  &c. 
item  omnes  tertia  c , g , m , d^c.  inter 
fe  aquales . 

Dico  omnes  primas fimul  ad  omnes fie-  p jsf 
eundas fimuldtaejfievt funt  omnes fimuL  fl  D jj| 

teYiia^ado7nnes  quartas  magnitudines , ^ 

£luoniam  enim  conuertendo  efivth 
ad  a ita  d ad  c.  Itemvt  £ ad  e ; 

(tue  ad  aqualem  a , ita  h ad  fiue 
ad  a erunt  fimul  bf  ad^^y  vt  funt  d h fimulad  c.  Hoc 
modo  procedendo , oHendemus  omnes fecundas  fimul  cfie  ad  a , 
vt  funt  omnes  quarta  fimul  ad  ipfam  c.  Ipfavero  a ad  omnes 
1 5 ^um- primas  € fi  vt  c ad  omnes  tertias  (funt  emm  aquefubmultiplices) 
Ergo  ex  ^quo  omnes  fecunda  ad  omnes  primas  y funt  vt  omnes 
quarta fimul  ad  omnes  tertias . C onu  er  tendo  igi  tur  coli  at  quod 
eratpropofitumdemonjlrare . . _ 

♦ ^ 

. Lemma,  XIX. 

Si  parabola  tangentem  habuerit  ad  bafim  j ex  alia  vero  par*^ 
te  redam  diametro  parallelam  - Erit  triangulum  fub  tangentCj 
& parallela  diametro,  ipfaq;  bafi  compri^henfum,  ipfius  para- 
bolse  triplum. 


24.  ^utn 
ii . 


il 


£Jlo 


51 


a t 


Problema  Primum 

EBo  pdrdbold  a b c , 

€Uiustdngensc  d,  pdrdl- 
leld didmetro fit  a d;  Di^ 

€0  trUngulum  a d c efih 
pdrdbold  tpfius  a b c , trt 
pium . 

Si  enim  non  e fi  triplum 
pdrdbold  jper  conuerfione 
rdtionis^non  erit fej qui dl 
terum  mlinei  a b c d ; 
proptered  f duplicdto  dn^ 
te  cedente ) totum  par  dlle- 
iogrdmmum  a e non  erit 
triplum  tnlinei  abcd  . 

Trilineum  ergo  abcd  -er it  'uelplus  ^ vet  minus  quum  tertid 
pars  parallelo grammi  a e . Pmaturprimum  efie  plus  quam  tertia 
pdrs  ^^(j  ftt  exeefiui  fqualefpdtiurn  K . 

Infcribdtur  intra  trilin  eum  abcd,  figura  con jlans  ex  pardi 
lelogrammis  aque altis ^ deficienfque  ab  ipfo  trilineo  minori  defe-- 
Ciu  quam  fit  ipfumfpatmm  K . Btinfcripta  idm fit  e iufimo  di 
gura . Erit  ergo  adhuc  figura  inf cripta  plus  quamt mia  pars pa^ 
rallelogrammi  ae.  - 

C onctpidtur  cma  rectam  a d , circulus , qut  fit  bdflscumjfi 
dam  emi  'vertice  habentis  in  punBo  c . fuper  eMebaJi  intel^ 
ligatur  cflindrus  a e eiufdem  altitudinis  cunp  ipfo  cono ; feciufi 
que  Jit  tam  conus  quam  cylindrus  planis  bafi parallelis  per fingu 
las rectas  hi,  c. duitis . Concipiantur  etiam  intra 
conum-  ^ edi  cylindri dquealti  po  , i./m/-., 

lamfic:  Parallelogrammum  zi  ad  n d , efivt  reltd  ail^ 
o n .nempe  vt  quadratum  dead quadratum  c o,-  fime , m qua  - ' 

drdtum  d a ad  quadratum  o g , nem  pe , rut  cylindrus  a f ad  cy*  ? • 
iindrumap  O y Etficfiemper  . Suntq\  omnes  prima  magmtudi- 
nes  ^oyiales pdrdllelogrdmmo  dfitl^o- aquales  inter fie  om» 

nes  autem  tertia  magnitudines  aquales  cylindro  a f,  atyue  idett 
^e.  Etmt  ergo  omnes  prima Jimuf  hoc  efiparalleldgya.^ts- 

G 2.  mum 


guk 


5 1 De  Dimcnfione  Parabolas 

nmjn  a q , dd  omnes  fecundas fimuf  nem-pe  ad  figuram  infcripta 
tntrilineo  abcd,  'ut funt  omnes  tertia  nempe  cylindrus 

ad  omnes  quartas fimulfoc  ejl  ad  omnes  cylindros  intra  co^ 
ntim  a c d defer iptos  . Conuertendo  igitur  ,*  erit  figura  tnlinets 
infcripta  ad  par  allelogrammum  aq  v temnes  cylindri  intra  co- 
num  aed  ad  cylindrum  aq  . Par  allelogrammum  vero  2l(\  ad 
par  allelogrammum  a e eflvt  Ao^ad  hoc  e fi  vt  cylindrus  a q 

ad  cylindrum  a e * Propterea  exaquo , figura  inftripta  in  trili- 
neo  ad  totum  par  allelogrammum  a c , erit  vt  omnes  cylindri  in 
cono  inferipti  ad  cylindrum  a e . Sed  figura  infcripta  in  tr it  ineo 
' efi  (ex  iam  diSlis ) pUfquam  tertia  pars  parallelogrammi  a e , rr 

go  omnes  cylindri  in  cono  defbripti  erunt plufqua  tertia  pars  cy-^ 
lindri  -xt  -i  nempe  maiores  quam  conus  a c d . pars  videlicet  fuo 
toto»  ^od  efi  impofiibile , , 

Sed pondmns  nunc  trilineum  xhc  A efie  minus  quam  tertia 
pars  parallelogrammi  a e yfitqydefeBus  aqualis  j patio  K.  Cir- 
CofelLt  cf^pffcYihatur  trilineo  abcd  figura  conHans  ex  parallelo gram- 
* * mts  aque  altis  excedenfq;  minori  exceffu  quam  fit fpatium  K;  dt 
erit  fgut a circumfer ipta  adhuc  minor  quam  tertia  pars  paralie- 
logrammi  ac  * 

Concipiatur  iterum  cir 
carePlam  ad  circulus 
pro  haji coni , qui  vertice 
habeat  c;  itemqiproha^ 
fi  cylindri  a c e d eiufde 
altitudinis  cum  ipfo  co* 
no  xc A* 

IntelligatUY  infuper 
circa  conum  def cripta  fi- 
gura folida  conflans  esc 
cylindris  aque  altis  aq* 

^i&c^ 

Jam  parallelogram^ 

mum  X f ad  par  allelogrammum  aq  (ob  aqualitatem ) eB  vt  cy^ 
lindrus  a d f g 4d  cylindrum  a d q r . Amplius  * Parallelogram 

mum 


Problema  Primum . 55 

. mum  ad 'paralltlogrammum  li  efi  adlo^i 

nempe  vt  quadratum  6.C  ad  quadratum  c q , fiue  vt  quadratum 
da,  vel  i ad  quadratum  gq,*  nemf  e vt  cylindrus  gh  adcy^ 
lindrum  g i.  ^ hoc  modo femper . Suntqi  omnes  fingilla- 

tim prima  magnitudines  aquales  parallelogrammo  af,  (^ideo 
inter fe:  item  omnes  terti^  aquales  cylindro  oh  id  interfa 

ergo  erunt  omnes  prima  [tmul^  hoc  eB  parallelogrammum  a e,  ad 
omnesfecundas Jimul^  hoc  e fi  ad  figuram  trilineo  circumfcriptdy 
vt  omnes  tertia fimuly  nempe  cylindrus  z.c,  ad  omnes  quartas 
fimuly  nempe  ad  cylindros  conum  acd  circumferibentes , Con- 
uert  endo  igitur  y erit  figura  c irc  um fer  ipt  a trilineo  <^ad  parallelo^ 
grammu?n  ae,'r//  omnes  cylindri  circumferibentes  conu  ad  cy- 
lindrum a c . Sed  figura  trilineo  circum  fer ipt a minor  e fi  quam 
tertia  pars  paralio grammi  a e ,•  ergo  etiam  omnes  cylindri  circu- 
/cribentes  conum  minores  erunt  quam  tertia  pars  cylindri  ae> 
Nempe  minores  cono  acd.  T otum fu  a parte : quod  eff f non  p§-- 
tefi . Triangulum  ergo  a d c ipfius parabola  omnino  triplum  erit, 
^teodpropofitumfuerat , 

) Propofitio  / X* 

PArabola  fefquitertia  efl:  trianguli  eandem  ipfi  bafim,'& 
eandem  altitudinem  habentis  • 

Efto  parabola  ABC,  cuius  dia- 
meter E B , triangulum  inferiptum 
fit  A B C , Dico  parabolam  trian- 
guli ABC  cfTe  fefquitertiam ; 

Ducatur  enim  tangens  CD,  & 
fit  reda  AD  diametro  iequidiftans: 

Erit  ergo  per  priEcedens  lemma , 
triangulum  ACD  parabolae  triplu; 

& propterea  erit  parabola  partes 
quatuor  carum,  quarum  triangulum 
A D C eft  duodecimjnempe  qualiu 


I ./exii, 
«h  par»^ 
hdsm . 

ob  pmili 
tud.tria* 
gPiU 


trian- 


54  Dimenfione  ParaboI^ 

triangulum  ABC  eft  tres . (triangulum  enim  A B C ajquale 
eft  triangulo  EF  C,cumvtrumq;  duplum  Iit  trianguli  EBC, 
ergo  triangulum  ABC  quarta  pars  erit  totius  A D C . j Con- 
flat ergo  parabolam  ad  infcriptum  fibi  triangulum  elfe  vt  4.  ad 
3.  Nempefefquitertiam.  Qupd&c. 


Fropofitio  X. 

r 

PArabola  fefquitertia  cft  trianguli  eandem  fibi  bafim  > can- 
demq;  altitudinem  habentis . 


Efto  parabola  ABC 
cuius  diameter  BD. Di- 
co parabolam  ABC  in- 
fcripti  libi  trianguli  elTc 
felquitertiam . 

Compleatur  parall  elo- 
grammum  ADBE,  & 
nili  parabola  fefquitertia 
Iit  trianguli  libi  inferipti, 
neque  (fumptis  dimidijs ) 
femiparabola  ABD  fef- 
quitertia erit  trianguli  A». 

B D j neq;  eadem  femipa- 
rabola ABD  erit  2 . tert.  parallelogrammi  ED>  fed  vel  plus, 
vel  minus  quam  2.  teft.  eiuidem . 

Elio  primum  fi  fieri  potell  femiparabola  ABD  magis  qua 
2.  tert.parallelogrammi  E D s ■&  ponatur  exceffus  sequalis  fpa- 
tio  K • Ipliqj  femiparabol^e  figura  inferibatur  conflans  ex  pa- 
rallelograiTimis  aequealtis  ( more  apud  Geometras  vlitato,  pro- 
ut flidum  efi  Lemmate  HY,)  ita  vt difeentia  inter  figuram  in- 
feriptam  , & ipfam  femiparabolam  minor  fitfpatio  K.  Tunc 
enim  infcripta  figura  adhuc  maior  erit  quam  a .ter.paralielogri 
mi  ADBE.  ... 

Duca- 


Problema  Primum  * 55 

Ducatur  circa  diametrum  A C femicirculus  AXC,  com- 
pletoq;  redangulo , fiue  quadrato  A F X D . ducantur  G L,  H 
M,  IO  perpendiculares  ad  AC,&  compleantur  redangula 
D L , G M , H O ; Tumintelligatur  figura  A F X D circumuer 
ti  circa  axem  A D ; ita  vt  quadrans  ADX  hemifphsrrium  de- 
fcribat , quadratum  vero  A F X D , cylindrum  j & redangula 
in  quadrante  infcripta  totidem  cylindros  faciant  in  ipfo  hemif- 
phcrrio  comprsehenfos . 

lam parailclogrammum  BG  ad  PD,  efivt  BD  ad  GP, 
fiue  vtredanguium  C D A ad  redtangulu  C G A ; fiue  vt  qua- 
dratum X D ad  quadratu  L G i fiue  vt  cylindrus  X G ad  L D. 
Ethocmodofemper.  Suntque  omnes  primae  magnitudines  as* 
quales  parallelogrammo  B G,  & omnes  tertiae  aequales  cylin- 
dro XG.  Ergo  erunt  omnes  primaefimul , hoc  efi:  parallelo-  Lm.it, 
grammura  T D,  ad  omnes  fecundas  fimul , nempe  ad  figuram 
inferiptam in  femiparabpla , vt  funt  omnes  terti^  fimul , nempe 
cylindrus  V D ad  omnes  quartas  fimul,  hoc  efi:  ad  omnes  cylin 
dros  in  hemifphaerio  inferiptos . Parallelo  grammum  vero  TD 
ad  E Deftvt  cylindrus  VD  ad  FD,  ergo  ex  aequo,  erit  pa- 
rallelo grammum  E D ad  figuram  in  femiparabola  inferiptam 
vt  cylindrus  FD  ad  omnes  cylindros  in  ipfo  herrtifpliaerio  c6- 
pr^henfos.  Sed  parailclogrammum  ED  minus  eft  quam  fef* 
quialterum  figurae  intra  femiparabolaminfcriptcc;  Ergo  cylin- 
drus FD  minor  erit  quam  fefquialter  omnium  cylindrorum  . 
in  hemifphaerio  deferiptorum . Quod  efi  abfurdum.  Scimus 
enim  di  dum  cylindrum  hemifphjrr  j eife  fefquialterum  • 

Efto  deinde  ffi  fieri  potefi:)femiparaboIa  minor  quam  2.tetf. 
ipfius  parallelogrammi  E D . Ponaturq;  defedus  aequalis  fpa- 
tio  K. 

Tum  ipfi  femiparabolae  figura  quaedam  circum feribatur,  con 
ftans  ex  parallclogrammis  aequealtis  (more  folito,vt  fadum  efi: 
in  Lemmate  X V.  ieiufque  Corollario  ) ita  vt  differentia  inter 
circumferiptam  figuram  ipfamq;  fcmiparabolam  minor  fit  fpa- 
tio  K.  Tunc  enim  manifefium efi , quod  figura circumfcripca 

- h . adhuc 


De  Dimenfione  Parabolae 


B Q, 


5^ 

adhucminor  erit  quam  2^ 
ter.  paraiiciogra  mmLED . 

Fiat  circa  diametrum  A 
C feraicircLiius,  vt  inde- 
fcriptione  procedentis  con 
ilrudionis , completoque 
quadrato  A O F D,  perfi- 
ciantur reliqua  redangula 
FL,GM,  HNJA.cir- 
ca  quadrantem  defcdpta. 

Tum  re uoluatur  figura  AF 
circa  axem  AD,  itavtfo 
iida  generentur  iam  dida: 
nempe  hemifpli^rium  ex 

quadrante  , cylindrus  ex  quadrato  A F ; totidemquc  cylindri 
quot  redangula  erunt  ipfi  quadranti  circumfcripta . 

Iam  paralleiogrammum  B L ad  fe  ipfurn eft  vt  cylindrus  fa- 
dusex  F L ad  fe  ipfurn.  Amplius.  Paralleiogrammum  Q_M 
ad  PM  ;efl: vt  ad  LPrfiue  B D ad  LP, fiuevtredang. 

C D A ad  C L A , fiue  vt  quadratum  F D ad  L G,  fiue  vt  qua- 
dratum R L ad  L G ; nempe  vt  cylindrus  fadus  ex  R M ad  cy- 
lindrum ex  GM:&:}iocmodofemper.  Suntq;  omnes primiE 
magnitudines  aequales  parallelogrammo  B L , omnefq;  tertiae 
Lm.i  8*  cylindro  fado  ex  F L . Ergo  erunt  omnes  primae  fimul 

nempe  paralleiogrammum  A B ad  omnes  iimul  fecundas,  ne- 
pe  ad  Fguram  femiparabolse  circumfcriptam , vt  funt  omnes  ter 
ciae  fimul,  nempe  cylindrus  ex  O D fadus,ad  omnes  quartas  ^ 
nempe  ad  cylindros  hemifph^rio  circumfcriptos . Sed  paralle- 
iogrammum E D magis  eft  quam fefquialterum  figuro  circum- 
fcriptoad  femiparabolam,  ergo  cylindrus  ex  OD  magis  qudm 
fefquialter  erit  ad  omnes  cylindros  hemisphaerio  circumfcrip- 
tos. Quod  eft  abfurdum:  Scimus  enim  cylindrum  hemifphae- 
rio  circumfcriptum  ipfius  hemifphaerij  effe  fefquialterum , 

Patet itaqjparallelogn  £D  fefquialteru  effe  ad  femiparabo- 
ia  m A B D ; & idcoXemiparab.  fefquitercia  trianguli  A B D, 

oyA- 


P A R A B O L AE- 

per  nouam  indiuilibilium  Geometriam 


'^1  ACTBN  VS  de  dimenfione pdrahoU 
more  antiquorum  di6tum Jit ; Reliquum 
€U'vt  eandemparahola  menfuram  noua 
quadam  ^fed mirabili  ratione  aggredia^ 
murjope  fcilicet  Geometria  Indiuijibi- 
lium , hoc  diuerfis  modis : Suppofms 

enimpracipuis  T heorematib.  antiquotu 
tam  Euclidis  ^ quam  Archimedis  ^ licet 
derebus  interfe  diuerjijjtmisjint^miru 
exvnoquot^i  eorum  quadr aturam par aholajactli  negotio  elici 
poffei  vic  e 'verfa  . quaji  ea  Jit  cornmune  quoddam  vinculum 

veritatis . P oftto  enim  quod  cylindrus  infcripti  sibi  coni  triplus 
ftt,  hinc f equitur  parabolam  infcripti  fibi  trianguli  eJJ}fefqui- 
tertia; Si  vero  mauis pr^mitt ere  cylindrum  infcriptae  fbifphae^^ 

H rae  ejse 


fS  De  Dimenfione  Parabolae 

*'ir£  ejje  fefquidltemm  , continuo  faraboU  quadratura  infera- 
tur. Eadem  concludtiur  fupfofta  demonflratione^quafrohat 
centrum  gr  duitatis  coni  pojitum  efein  axe it  a "vt  fOrs  qua 
ad 'verticem  reliqug ft  tripla . Parabola  non  minus  quadra- 
tur etiam  fupponendo  fpatium  a Imeafpiraliinprimareuolutio 
ne  deferipta^  cd  a recia  qua  initium  efreuolutionis^  compr^hen- 
fum  ^fubtriplum  effe primi  circuli . Contra  vero ; fuppofita  pa- 
rabola quadratura^  prodici  a omnia  T heoremata faczle  demonfra 
ripojfunt . ^uod  autem  h^c  I ndiuifibtlium  Geometria  nouum 
penitus  inuentum  sit ^ equidjem  non  aufim  afrmare . Crediderim 
potius  beteres  Gcoznetr as  hac  futtodo^fosin  inutntione  Theo- 
rematum dife illimor um , quamquain  demonstrationibus  aliam 
viam  magis probauerint  ,fue  ad  occultandum  artis  arcanumf- 
ue  ne  vlla  inuidis  detr  aci  oribus proferretur  eccafio  contradicen- 
di. ^uicquid  efl ^certum  eSi  hanc  Geometriam  mirum  ejfe pro  in- 
uentiene  compendium^ekinnumera  quafi  imperfcrutahiUaprheo-^ 
remata^  brekihusfireiiis,  afirmatiutfq;  demonftratiombus  c on 
frmare;  quod  per  doUrinam  antiquorum  fieri  minimi  potesi . 
Hac  enim  esi  in  Mathematicisfpinetis  via  vere  Regia^quam pri 
mus  omnium  aperuit,  (jr  ud publicum  bonum  eomplanautt  mira- 
bilium inuentorum  machinator  Caualerius . 


Fropofitio  XI. 

PArabola  fefquitertia  eft  trianguli  eandem  ipfi  bafim,&  ean 
dern  altitudinem  habentis . 


Efto  parabola  A B C,  cuius  tangens  C D,  & diametro  i^qui- 
diftans  iit  A D . Perficiatur  paralielogrammum  A E 5 & circa 
diametrum  A Dintelligatur circulus, qui  fit  bafis  coni  cuiufda 
verticem  habentis  in  pun(fto  C , & item  fit  bafis  cylindri  alicu-- 
ius  A C E D eiufdem.  altitudinis  cum  dido  cono . 

Ducantur iamquselib et  reda  FG  parallela  ad  AD,  &per 

ipfam  intclligatur  tranfire  planum  parallelum  circulo  A D. 

Erit 


Preoblma 


Erit  ergo  F G ad  I B vt  rciSa  DA  ad  IB 
hoc  cftvt  quadratum  D C ad  quadra- 
tum C t,  fiue  vt  quadratum  D A ad  IG, 
hoc  eft  vt  circulus  D A ad  circulum  IG 
nempe  vt  circulus  F G ad  eundem  I G. 

Ethocfemperj  funtque  omnes  primse 
magnitudines  aequales  red^  DA.  & 
ideo  inter  fe;omnes  etiam  tertise  aequa- 
les circulo  DA , & ob  id  inter  fc  j ergo 
per  Lemma  1 8,  erunt  omnes  primae  li- 
mul , nempe  parallelograramum  A E » 
ad  omnes  fecundas  fimul,  nempe  ad  tri 
lineum  ABC  D,vt  funt  omnes  territe  fimul, nempe  cylindrus  A 
E , ad  omnes  quartas  fimul  hoc  eft  ad  conum  A C D . Eft  igi-- 
tur  paralieiogrammum  A E triplum  trilinei  A B C D . Sump- 
toque  dimidio,  erit  triangulum  ACD  fefquialterum  trilinei 
A B C D;  & per  conuerfionem  rationis , erit  triangulum  ACD 
triplum ipfiusparabolse.  Propterea,ex  demonftratione  pro- 
pofitionis  9.  erit  parabola  inferiptifibi  trianguli  fefquicertia . 
Quod  erat  &c. 


•h 

holam . 
ob  fimi^ 
Ihud»  tf9 


Alia  quoque  ratione  parabolam  quadrabimus  , demonfiratU 
prius , qua  feri  poterit  breuitate,indiuif bilium  principijs  . 

£ Unabimus  aut  e ab  immerfo  C au  aler i an^  Geometria  oceano , mi» 
nori audaciaradentes  terram . J^i  volet,  hac  omnia  videre 
poterit  (in fonte  dicam,  aninpelago  ? J circa  medium  fecundi 
iibri  Geome  tria  Jndiuif bilium  Caualerf 


Lemma  XX, 

Quadrata  omnium  partium  cuiufcunq;  refiae  lineae  fubtripla 
funt  totidem  quadratorum  totius , 


EBo  qualibet  reBa  linea  a b . E>ico  omnia fimul  quadrata  om* 
mum partium  reda  zh  efie  fub tripla  totidem  quadratorum  eiuf 
dem reBa linea  zh  . 


Fiat 


ff  2 


d E 


A 


/ 

U 

f 

\ 

l 

\ 

\ 

« 

. 

B 


H 


Fiat  enim  quadratum  a c d b,  dutdaqi  dia^- 
metro  a d . conuertatur  fgurd  circa  atce  ab 
donec  in  eum  locum  tedeatnjnde  cepit  moueri  . 

Manifejlum  e H > quod  d quadrato  cylindrus  c 
h defc  rihetur , a triangulo  vero  a b d conus  d 
ah,  quiverticemhabebtt in  a.  Fucaturiam 
qualibet  e f parallelaipji  c a i eritq^  a f,  fiue 
fg  ( funt  emm  aquales  )vna  eu  infinitis  farti 
hus  totius  ab. 

lam  I quadratum  toPius  ^ ad  quadratum 

fartis  a f , efl^oh  aqualitatem , vt  quadratum 
zlDu*-  ad  ^^^nemfe  vt  circulus  diametro  el  fa- 
dectmt.  l^f^s^ad  circulum  diametro  Btfic  erit  femfer , Suntqi  ffi* 

ma  magnitudines  fingula  aquales  quadrato  a b , tertia  fem^ 
Ltnf.1%»  fer  aquales  circulo  dh.  Ergo  omnes  frimf  fimut-,  hoc  eft  tot 
quadrata  line  a 2i.h  ^ quot  iffia  habet  f artes  ^ ad  omnia  quadrata 
f artium^  erunt  vt  omnes  tertie fimuty  hoc  efi  vt  cylindrus  chad 
omnes  quartas  fimul  ^nemf  e ad  conum  d ah.  Sunt  ergo  tot  qua 
drata  aticuis  linee  quotiffa  habet  partes  y ad  omnia  quadrata 
partium  iffius  vt  cylindrus  c h ad  conum  d a h , nempe  mpla.Et 
couertendo  confiat propofitum  quod demonBrandumfuerat  (dre. 


Lemma  XXI. 

Omnia  redangula,  quse  continentur  fub  aliqua  reda  linea 
cum  lingulis  fuis  partibus , & reliquis  partibus , lubfefquialtera 
funt  toiidem  quadratorum  eiufdem  red^  linea; . 

Afiumfta  prae  edentis  Lemmatis  figura^  acc  eptumfiit  in  rebl a 
ab  quodlthetfunlium  f.  Eellanguiumfub  hzi  tanquam  vnd 
relta  linea  , ^ fuh  f b . contentumy  erit  vnum  exommbuspra'^ 
diclis  r e B an  gulis  (vnum  enim  latus  componitur  ex  tota  a b,  c um 
parte  a f;  alterum  vero  efi  ih , nimirum  reliqua  pars . ) 

XeB angulum  autem  pradiclumfiub  b a f tamquam  vna  reB a , 
^fuh  fb  contentum  yidem  efl  yob  aqualitatemlaterum  y ac  re- 
Banq-uhm  e i i . Et  hoc  femp er  verum  erit  hc modo  y vbicunqi 

fit pun- 


Problema  Primum . 59 

JltpunBum  f . Sed  omnia  reBangula  fub  reBis  interceptis  in 
trapeto  c a h d (qualium  ‘vna  eft  ^ fffh  reliquis , qualium 

*vna  efii\ ; vnd  cum  omnibus  quadratisintermediarurnfeBionu 
(qualium^vna  eji  fi ) aquamur  {propter  y fecundi  elementoru) 
omnilms  quadratis  dimidiarum , qualium  vna  ejl  fl . Omnia  ve 
rb  quadrata  intermediarum feBionum  (qu aliam  vna  efi  (\)  ad 
omnia  quadrata  dimidiarum  { qualium  vna  eB  £1,)  funt  vt  vnd 
ad  s . St  ergo  demantur  omnia  quadr ata  intermediarum  ^ rema-^  Lsm. 
nebunt  omnia  reBanguia , quorum  vnum  ^ e i 1 , fu  e omnia  re^ 

B angula  contenta  fub  a b cum  fi ngulis fui  s partibus^  (fi  reliquis 
panibus  f ubf e fquiak  er  a omnium  quadratorum  ^ qua  fiunt  a dk 
midqs^  (tue  totidem  quadramum  totius  dih  ^,^od fu  erat  ofien^ 
dendumcfic. 


Propofith  XII. 

PArabola  fefquitertia  eft  triangulicandem  ipfi  bafim , & ea 
dem  altitudinem liabentis , 

Efto  parabola  ABC  euius 
diameter  B E , & circa  parabola 
fit  parallelogrammiim  DC  .Du- 
catur qualibet  F G diametro  pa 
rallelaieritq;  FG.  ad  GI,  vt 
BE  ad  GI,  fiuevtredf angulum 
CEA,  ad  C G A , hoc  efl  vt  quadratum  C E ad  red:angulu 
C G A . Et  hoc  modo  femper ; Suntq,  primtB  magnitudines 
femper  ^qualesr  edite  B E ; terdte  autem  femper  sequales  qua- 
drato C E . Er  go  omnes  prim^  hmul,  hoc  eft  parailelogram-  ^ ^ 

mum  AB,  ad  omnes  fecundas  fimul,  nempe  ad  femiparabola 
A I B E ; erunt  vt  omnes  iimul  tertite , videlicet  tot  quadrata  li- 
ne^ C E quot  ipfa  habet  partes , ad  omnes  quartas  limuhnem 
pe  ad  omnia  reciangula  lub  C E cii-m  fingulis  fuis  partibus,  & 
fub  reliquis  partibus . Ergof  ex  pra?cedenti  lemmate ) paralie- 
logrammum  AB  erkipfiusfemiparabolf  fefquialterum:  To- 

temq; 


do  De  Dimcnfione  Parabolg 

tumqueparalleiogrammum  DC  erit  totius  parabola  fefquial- 
terum » nempe  vt  d",  ad  4.  Propterea  parabola  ad  infcriptum  fi- 
bi triangulum f quod  quidem  f arallelcgrairnii  DC  fub du- 
plum eft ) erit  vt  4.  ad  3.  Nempe  fefquitertia  * Quod  erat  &c. 

PoJJumus  fine  mate H id  illorum  lemmdtum^parahoUm  quddra^ 
re  eodem  drgumento  ^ diuerfis  tdmen  frincipijs^  nempe  perfup^ 
pofitionem proportionis  , qudjn  cylindrus  habet  ddfiphfram fibi 
infer ip  tam  \ qua  quidem  proport  io  fefquialtera  efiy  vt  oPienditur 
ex  Archimede ; libro  Primo  de  Sphfra  edt  Cylindro . 

Fropofith  XI II  * 

PAraboIa  fefquitertia  eft  trianguli  eandem  ipfi  bafim,  & ea- 
dem altitudinem  habentis .. 

Efto parabola  ABC,  circa 
quam  fit  parallelogrammu  AD ; 

& circa  diametrum  A C fiat  fe- 
micirculus , circa  quem  fit  redan 
gulumAE.  Tum  manente  axe 
A C , intelligatur  circumuerti  ip- 
fum  fcmiicirculum , ita  vt  ex  ipfi- 
us  reuoiutione  Sphsera  circum- 
feribatur : ex  couerfione  vero  redang.  A £ cylindrus  nafcatur . 

Sumpto  iam  quolibet  pundo  G.  ducatur  reda  G F paralle- 
la diametro  H B ;&  per  idem  pundum  G agatur  planum  G L ere 
dum  ^d  axem  A C. 

Erit  reda  FGadGI,vtBH  adGI  ( ob  aequalitatem) 
hoc  eft  vtredangulum  C H A, ad  redangulum  C G A,  fiue  vt 
quadratum  H N ad  quadratum  G M dob  circulum ) fiue  vt  qua 
dratum  G L ad  quadratum  G M ; nempe  vt  circulus  ex  femi- 
diametro  G L in  cylindro,ad  circulum  ex  femidiametro  G M 
in  fphsera . Et  hoc  lemper,  vbicunque  fumatur  pundum  G.Sunt 
autem  tequalcs  inter  fetam  omnes  primse#  quam  omnes  tertise 

magni 


Problema  Primum.  6t 

magnitudines.  Ergo  omnes primje,  nempe paraHelogrammu  ^ 
A D ad  omnes  fecundas , nempe-  ad  parabolam  A B C,  erunt 
vt  omnes  tertia , hoc  eft  cylindrus , ad  omnes  fimiil  quartas,  vi- 
delicet ad  fphicram . Sed  cylindrus  ad  fphaeram  eft  fcfquialter ; 
ergo  parallelogrammum  etiam  A D parabolae  fefquialterum 
erit:  deipfa  parabola  inferipti  fibi  trianguli  fefquitertia  j vtin 
praecedenti  conclufum  eft . Qupd  &c. 


Lemma  XXII. 

Si  magnitudines  quotcunque  ad  libram  appenfe  fuerint  cx 
quibufcunq;pun(ftis:  totidemq;  magnitudines  alterius  ordinis 
ex  ijfdem  pundis  pendcaiit , pariter  cum  prcedidis  magnitudi- 
nibus proportionales . Erit  vnum  idemq;  libree  pundtum  cen- 
trum aequilibri  j vtriusque ordinis  magnitudinum. 

Sint dd libram  ab  magnitudi 
nes  ^rimi  ordinis  quotcunque  c , 
djC,f,  ex  quibu/cunque  fun~ 
ctis  dfgenf^ . "Totidemque  magni 
tudines  g,  h , i , 1,  fecundi  ordu 
nis  pendeant  ex  qfdem  punclis 
(d''fnt proportionales : nempe  '.Vt  c ad  ita fto  ad  h.  Ite- 

rum ut  c ad  e , ita  ft  g ad  i . (^c.  Dico  idem  pundlum  Ubra 
ejfe  centrum  commune  aquiUbrq  utriufque  ordinis  magnitudi- 
num fufp  en  far  um . 

Cum  enim ft  ut  c ad  d,  ita  ^ ad.>  h , ex  eodem  puniio  f-quipon- 
derabunt  ^tam  du^  magnitudines  c ^ d,  quamdu^  g h. 

Amplius . Cum  fit  ut  c ad  d ita  g ad  h,  erit  conuertendo 
(fi  componendo  dc  ad  c,  ut  ad  c autem  ad  e tB  ut  g 
ad  i ergo  ex  ^quo  c d fimul  ad  e , ent  ut  g h fimul  ad  i . ^a- 
r e magnitudines  cd,  (fi  e,  ex  eodem  punelofquiponderabunty 
ex  quo  (^quiponderant  duf  g h , ^ i . 

Vlterius , Cum  autem  per  iam  diBa  yfit  ut  c d e , ita  g h 
ad  i 5 erit  compenendo  cd  Q ad  ut  ohi  ad  u Sed  e ad  c efi 
ut  i ado  i (fi  c ad  i^ut  ^ adi,  ^^u/tre  ex  ^quo  ede  fimul  ad  f, 

erit 


§t>  fatA’ 
bolam , 


6%  De  Dimenfione  Parabolae 

tfitut  fimul  dd  \ . Ergo  du^  magnitudines  cdcj  f. 

habebunt  idem  puntlum  aqutlibr^.qued  habent  duf  maiinitudu 
g hi  . Et  sie  etiam  si  sint  plures  magnitudines  ^ufqut 
in  infinitum , quod  erat  propofitum  &c. 

Lemma  XXIII, 

Si  parabola  tangentem  habuerit  ad  bafim,  ex  altera  vero  par 
te  lineam  diametro  parallelam  .Trilineumcomprjshenfum  lub 
curua  parabolica , fub  tangente, & fub  parallela  pr  iedida,sEqui« 
ponderabit  ex  pundo  tangentis  vbiea  hc  diuiditur,  vt  pars  ad 
Gontadum  terminata  reliqua  (it  tripla . 


Elio  parabola  abe,  euiui  tangens  ad 
hafim fit  cd;  fquidifians  diametro  fit  zd 
Dico  trilineum  mixtum  a b c d ^qmponde 
rare  ex puniio  tangentis  c d , ubi  ea fiic  di-- 
uiditur  ut  pati  uerfus  cont  alium  c > reli- . 
qua  sit  tripla . 

Concipiatur  figura  ita  ut  ds.  ad  horizon 
tem fit  perpendicularis , ^ circa  diametru 
d a intelligatur  circulus^  qui fit  bafis  coni 
uerticem  hab  entis  in punlio  c . 

Sumpto  iam  quolibet funUo  e ducatur 
e f ^quidiftans  ipfi  da;  per  ipfiam  tranf  'i at planu?n paralie* 

Ium  bafi  coni. 

Erit  ergo  relia  d a ad<:  b , ut  quadratum  dc  ad  c c ; siue 
ut  quadratum  d 2i  ad  cf,  hoc  efi  ut  circulus  dav^ef.  Et 
hoc fiemper ^ubicunqi  fit puncium  e . Ergo  cum  ad  libram  d c 
pendeant  ab  qfdem punliis  magnitudines  duorum  ordinum  pro- 
portionales ut  in  praecedenti  lemmate  imperatum  efi , habebunt 
omnes  magnitudines fimul primi  ordinis  ( hoc  e Ii  omnes  lineae 
trilinei  a \>  c d tfiue  ipfum  trilineumyidem punUurn  aequilihrq ^ 
quod  habent  omnes  magnitudines  simul  fecundi  ordinis  ( hoc  efi 
omnes  circuli  coni  a c d , siue  idem  conus. ) Conus  autem  aequi- 
ponderat  expunlio  quodfiecat  cd,  ita  ut  pars  ade  reliquae  sit 

tripla 


Problema  Primum  i 

trlfld  -i  qtidndo quidem  re£ia  dd.  ^fiud  hofi^i^ontem  ferpendicu- 
laris ergo  etiam  triiineum  abcd  aquiponderabit  ex  eodem 

pun^o*  ^t^od  erat  propositum 

-Profofitio  XIV. 

P AraboIa  fcfquitertia  eft  trianguli  eandem  ipfi  bafim,  & ea- 
dem altitud  inem  habentis . 

Efto  parabola  ABC,  cuius  diameter  p 
DE  inteliigatur  ad  horizontem  perpendi- 
cularis ; fintque  C F , & A D tangentes  \ 
ipfavero  AF  diametro  ^equidiftans . 

Sumatur  deinde  FH  quarta  pars  totius 
F C i & ex  pundto  H ( per  Lemma  praece- 
dens ) a:quiponderabit  triiineum  mixtum 
A B C F . Accipiatur  etiam  F I tertia  pars 
totius  F C,&cx  I tequiponderabit  totum 
triangulum  AFC.  Parabola  vero,  cum 
habeat  centrum  in  diametro , sequiponde- 
ratexD.  Ergo  triiineum  ABCF  ad  ipfam  parabolam  erit 
reciproce  vt  D I ad  I H , nempe  duplum  rqualium  enim  par- 
dum  F C aft  1 2.  talium  ipfa  F D eft  FI  vero  4.  & F H j 
&ideo  DI  2,  & I H vna.)  Propterea  componendo  erit  to- 
tum triangulum  AFC,  parabolae  triplum . Reliquum  quadra- 

mr^abfoluiturvt  in  Propofitione  IX.  fadumeft.  Quod  erat 

&c.  ^ 

Aliter. 

Positis  ijfdem^vtfuprk, fumatur  fh,  quarta  par s,mius  fc, 
aquiponderabitq-,  ex  punlfo  h triiineum  mixtum  a b c f . Su- 
matur etiam  ii, tertii  pars  ipsius  iA-,tunc  emm  aqulpondera- 
itt  ex  punSlo  i triangulum  f d a . Triiineum  uero  mixtum  a b 
c d , aquiponderat  expunlfo  d . ( nam  triangulum  totum  a d c 
aquiponderatexpunao  S,  parabola  etiam  ablata  exeodempun- 

^ clo  d 


64  Dim€iifioEpe  Parabolae 

fj^o  d"  ^t^tii^anderdty  ergo  etpam  rdiquu 
irilweum  a b c d ex  functo  d^qmfon^ 
dcYdre nccejp efi ^ ) Erit  itaque  trian- 
gulum fcia  ad  trilineum  ab  cd  ut 
recifroce  dh  ad  h.  't  nempe 'ut  j.,.  ad 
unum  i (jr  per  conuersionem  rationis 
triangulum  a d c ad par  ah  olam  erit  ut 
^ . ad  2.  siue  ut  a. ad 4 . ^ttare parabolo, 
ad  triangulum  a b c erit  ut  4. ad  s.  Ne- 
p e fefquitertia . ^ttod  erat  propo  situm 
demonjlrare . drt. 

Alqs  etiam principijs  parabola  qua^ 
dr  at  uram  aggrediamur  fpramifs  a /equenti  progrcjjionum  Geo- 
metri e arum fpeculatione’. 

Eemma  XXI  V. 

Si  duse  redse  linese  inuicem  concurrant,&  inter  ipfas  dcfcrip- 
tumfitquoddamflexiiineum  eonftans  ex  lineis  alternatim  pa> 
ralielis ; erunt  omnes  lineae , quse  inter  fe  paralieli^  funt.  in  con- 
tinua proportione. 

Concurrant  inuicem  duae^  re.. 
cd;o  line^ , a b , c b in  puncto  b,- 
dt'  inter  ipfas  de fcriptum.sit flexi 
lineum  c a^d  ef  g . &c  . ita  ut  c a , 
de,  f g sint: inter  fe  paralie^  A-  ^ ^ 

If ; item  a d , c f,  dr  reliquae  ui~ 

cisimfumptae  inter  fe  parallelae  sint . Ei  eo  a c > e d , g f , effe 
in  continua  proportione . 

^ ^ Ef  enimy  ohpdrallelas^^  ut  3, e odPrdy  ita  ad  b e,  siue 
s'exti.  db  adih  i yhiKc  e H td  ad^^:.  Conflat  ergo  quod  propositum 
fuerat. 

Lemma  XXF\ 

Pofitis  duabus  redis  lineis  inuicem eoncurre^ntibus,vt  fupras 

Sikiter 


B 


P 


Problema  Primum. 

fi  inter  ipfas  fuerint  dux  parallela  A C , D E , 8c  iun(51:a  C O* 
continuatum  intelligatur  flexilineum  A C D E in  infinitum  vf- 
que  ad  pundum  concurfus  B.  Dico  inhtiiufmodi  flexilineo 
efle  omnes, & fingulos  ad  vnguem  terminos  qui  funt  in  progref* 
fione  proportionis  A C ad  D E . in  infinitum  continuata?. 

Ponatur  f aqualis  ipjt  & 
g aqualis  ip fi  d e : Et  concipiatur 
proportio  f ad  g continuata  tn 
finittsfiuis terminis  f H. 

lam,fipofiibile  efi^  aliquemy 
fiue  aliquos  terminos  ejfie  in  pro-- 
grejjtone  iEl^qui  no reperiantur 
in  flexilineo . EHo : cjr  fit  maxi- 
mus terminus  illarum^  qmchm  fint  in  progreffione  fH,n0n 
funt  in  flexilineo  . Erit  ergo  terminus  I ipft  procedens  ^ in  fle- 
xilineo, Sit  ille  m n.  Et  quoniam  \ ad  i eltvt  i ad  fiue  vt 
a c d e , fiue  mn  m ad  p o^proximefequememyfuntq',  aqua- 
les \ ^ & nm\  erunt  aquales  etiam  i pfi  p o . Terminus  ergo  i 
qui  ponebatur  non  efie  in flexUineo  ^ in  eodem  repertus  efl. 
Eodem  penitus  modo  demo  nitr abimus  nullum  terminum  ejf e 
in  flexilineo^  qui  non  Jit  etiam  in  progrejjione  fH . &c.  Cone  lu- 
demus igitur  effle  in  fexilinco. omnes  pr^cise  terminas  proportio- 
nis 2.C  ad  dt  in  infinitum  continuat  f ^ cum  demonfiratum  fit 
nullum  in  flexilineo  terminum  defiderari  qui  fit  in  progrejijione 
f H ; neqi  ^dlum  flu per  abundare  ^ qui  non  reperiatur  etiam  in 
progrejjtone  f H . dtc. 

Lemma  X X FI. 

Suppofitis  mfinitis  redis  lineis  in  continua  proportione  maio 
nsin^qualitatis,redam  lineam,  qu^e  pr^edidis  omnibus  fitie- 
qualis  reperire  ► 

Ponantur  prima  dua  linep  dat^  progrejjionis  effle  a,  b ; quib, 
ponantur  aquales;  edi  makril  i minor  i b .Sintq;  cd,  ef 

I 2 paral- 


pri- 

mi» 


66  De  Dimenfione  Parabolg 

l^ralleU  ,■  ^ iungantur  d f , te,  neceffkno  concurrent X2o* 

currdnt  itaq-y  in gunBo  g , ducta  e f,  ipji  aquidijians Jit  g 1, 

Dico  rectam  d 1 aqualem  ejje 
omnib.  infinitis  terminis progrefi- 
fionis  a b m fimul  fumptis . 

Concipiatur  enim  continuatu 
fiexilineum  d c f e (fic.  in  infinu 
tum^  'vfqi  ad punctum  g , eruntq-y 
in  ipfo  omnes  line^ , fiue  termi- 
ni dat^ progrefitonis  a b m . 

Producantur  iam  h e , n i . 
reliqua ipfis parallel^ '^fq i tid  A\. 

Eritq;  ef.  aqualis  ipfi  cp,  ^ ^ Q . 
j aquahs ipfi  (fi  no tpfi r,‘ 
tfi  fic  de  fingulis . Qualibet  enim 
linea  qua  fit  in  flexilineofidbebit  L 
fuam  portiunculam  refpendentem 

in  retta  d 1 , fibi  aqualem ; donec fi  exili  ne  um  peruenerit  ad  vl- 
timumpunBum  g:  T unc  amem  neque  de  flexilineo  , neque  de 
linea  d 1 quidquam fup  er  er  it ; fed  tamtpfium  fiexilineum^  quam 
etiam  rePta  d 1 penitus  abfiumpta  erit : BB  enim  ipfa  g 1 , qua 
ab  ultimo  fiexilinei puncto  ^ ducitur •vl t ima  (ymnimn  paralle- 
larum , qua  produc  untur  ufique  ad  6.\.  Ergo  omnes  fimul  linea 
fiexilinei,  quarum  prima  efi  c A,  alternatim fumpta  (hoc  efi  om. 
nes  lineae progrefiionis  a b va) aequales  funt  omnib.poriiuncuUs 
reEtae  d 1 simul Jumptis : hoc  efi  ipsi  d J . ^od  erat  oBenden- 
dum^c*  . 


Lemma  XXVII. 

Suppofitis  infinitis  magnitudinibus  in  continua  proportione 
Geometrica  maioris  ingquali|atis,  erit  prima  magnitudo  media 
proportionalis  inter  primam  differentiam  & inter  aggregatum 
omnium. 


Afiumpta  enim  prae  e denti  confiruEtione  ^ ducatur  {m  a qui* 

difians 


Preoblma  Primum.  6’^ 


diBansipst  g c ; erit  d u fri- 
ma  differ entU , Sed  d.\x  4d  pri~ 
mdm  magnitudinern  dc  eB /et  f d 
/td  d g , hoc  eft  ut  dc  dd  d 1 dg- 
^egdtum  omnium.  Sj^od  erdt 
demon  Hrdndum  &c. 

SCHOLIVM. 

Hoc  ejs'e  uerum  etidm  in  nume 
ris  5 cuiufcunq.  generis  magnitudinibus  non  dubitabimus  af- 

frmare.  Afferremus  etiam  uniuerfdliorem  demonftrdtionem  ^ 
praecipue  c/im  admodum  hreuis  sit . Huius  u er  itatis  conclusio^ 
cum  a nobis  obiter  celeberrimo  Caualerio  collatafuiffct.  ipfe  etia 
idem.  T heoremafequenti  demonftratione.que  a nobis  i am  inpru 
ma  inuentione  adhibita fuerat.,  c onfrmauit . 

Prpnittitur  hoc . .^dbd  sifuennt  quotcunq.  magnitudines 
siue  fnitf  numero , siue  tn  finit^,  quarum  antecedens  femper  fe- 
quentemaior  sit.,  erit  prima  omnium  magnitudo  aqualis  omnib. 
differ  e ntijs  simul  cum  ipf a minima  magnitudine fumptis . 

N otum  cjl  hoc  apud  Geometras., demonftraturq.  ut  a nobis  fa- 
tiume  fi  in  lemmate  ij.  Vbt  ostendimus  par  alie  logrammum  a c 
'aquale  effe  omnibus  difi er  entis  inter fequentia  parallelogrammdy 
Cg  minimo  par  allelogrammo  oc  . 

Supponantur  iam  in fini  tde  numero  magnitudines  in  continua 
proportione  Geometrica  m4ioris  inaequalitatis ; manifefium  eB 
quod  minima  omnium  magnitudovel  non  erit , uel punctum  erit . 
Ergo  in  hoccafu  erit  prima  magnitudo  aequalis  omnibus  tantum 
dffrentijs . 

Cum  dPitem ponantur  magnitudines  in  continua  proportione 
Geometrica .)  erunt  etiani  differentia  in  eademratione proportio-' 
ndlesicfi'  ideo  ( fact a c onuerfione)erit  vt prima  differentia  ad pri^ 
mam  mdgnituainem , itdfecundd  differentia  ad  fecundam  ma.~ 
gnit  u dinem , fic f ^,mper . Fr  opter  ea  vt  vna  ad  vnam , ita  eol- 
lectim  erunt  omnes  ad  omnes . Nempe  vt  prima  differentia  ad 

pri*  . 


6S  De  Dimenfione  Parabolae 

ynmammdgmtudmem  \ itd  erunt  omnes Jimul differ cntidi^hae 
efi  ipfa primd  mdgnitudo)  dd  omnes  mdgnitudines fimul . Con~ 

Hat  trgoprimdm  mdgmtudinem  mediam proportiondlem  effe  in- 
ter primam  differentiam^  ^ aggregatum  omnium  ^ 

Propoftio  X V. 

PArabola  fefquitertia  eft  trianguli  eandem ipft  bafim , & ea 
dem  aldtudinem  habentis  ► 

Euo  parabola  ABC  in  qua 
infer  iptiim  fic  triangulum  ABC. 

Dico  parabolam  trianguli  ABC 
elTe  fefquitcrtiam . 

inferibantur  enim  etiam  in  re- 
liquis portionibus  A D B , B E C , duo  triangula  AD B»  BEC. 
Eritq;  triangulum  ABC  quadruplum  duorum  Emul  triangulo- 
Lem.f.  rum  ADB,  BEC.  Concipiantur  etiam  in  reliquis  quatuor 
portiunculis  AD,  D B,  B £,  E C. inferipta quatuor  triangu- 
tem.7\  ia ; eruutq;  duo  ftmul  triangula  ADB,  B E C quadrupla  prte- 
didorum  fimul  quatuor  fubfequentiiim  triangulorum;  &hoc 
modo  femper . Parabola  igitur  nihil  aliud  eft  c|uam  aggrega- 
tum qiioddara  infinitarum  numero  magnitudinum  in  proportio 
ne  quadrupla,  quarum  prima  eft  triangulum  AB  C,  fecunda 
^ veroconftat  ex  duobus  triangujis  ADB,  BEC.  Propterea 
prima  magnitudo  ABC  media  proportionalis  erit  inter  prima 
differentiam , & aggregatum  omoiu m,  nempe  parabolam . 

Ponatur itaqjriiangLilum  ABC  eile vtq. &ideo  duo  fimul 
triangula  A D B , B E C erunt  vt  vnum : eritq;  prima  differen- 
tia finimirum  inter  4.  & vnum J vt  j . Ergo  aggregatum  omni- 
um infinitarum  magnitudinum , nempe  ipfa  parabola,  erit  f per 
lemma  27.)  ad  primam  magnitudinem,hoc  eft  ad  inferiptu  tri- 
angulum A B C » vt  prima  ipfa  magnitudo  ad  primam  differen- 
tiam ; videlicet  vt  4.  ad  3.  nempe  fefquitertia . Q^d  erat  pro- 
pofitum  demon  ftrare  &c. 

Aliter,. 

; ! 

'U 


Frobteiua  Primum . <5^ 

Aliter. 

E flo pdrdhoU  a b'  e . cuius  di dme- 
ter  d b,  tdngenus  dd bdfim  a d , c d, 
perverticemver))  ef.  Lnfcrihdntur 
dutem  in  reliquis  tr Hin  eis  a b e , b c 
i y duo  tridnguld  g c h , i fl , / vt  im- 
perdtum  fuit  pro  conflruHione  lem- 
matum  T er tf  ef  ^ut_artL  ) Item  in 
reliquis  quamor  tri  lineis  mixtis.qud- 

tuor  triangula  concipiantur  i &hoc  moda  femper . Eritq;  'vni- 
uerfum  trilineum  a b c d nihil' aliud  quam  dg'^€gatU’mquoddd 
infinitarum  multitudine  magmtudinum  in  proportione,  quadru- 
pla, quarum  prima  eji  triangulum' fecunda  vm  confiat' ex 
duobus  triangulis  g e h , i f 1 ; tertia  ver})  ex  quatuor  fequenti- 
bus  (jrc.  Proptered  aggregatum  omnium , nempe  trilineum  mix- 
tum a b e d , dd primam  magnitudinem , nempe  ad  triangulum 
edf  j erit  vt  ipfa  prima  magnitudo  ad  primam  d\filir€ntiam,vi- 
deiicetvt  4.  ad  j. 

Cum  itaque  trilineum  a b cd  ad  triangulum  t A^,fitvt  4, 
ad  tria,  ertt  idem  trilineum  ad  triangulum  2idcvt  4.  ad  1 2.  (Ir 
ideo  parabola  ad  triangulum  a d c eritvt  S . ad  12  fr  ad  inferip- 
tum  (ibi triangulum  vt  8.  ad 4.  Kempe  fefquiterlid . SHpd erat 
demonfirandumft^c, 

A-- 

Lemma  X XV IU. 

Si  fuerint  infinita  numero  redse  line^  AH',vC  D,  E F.&; 
inxontixiuafpropoitione  Geometrica  maibrisr  inaequalitatis^;  al- 
tera autem'ponaturprogreirio  B G,  DH^,  F I-&C.  ita  vt  fit  quem- 
admodum A Bprima  ad  B G primam;,  ita  C II)' fecunda  ad  D 
H fecundam : & ita  tertia  E F ad  tertiam  F I & fic  femper . Di- 
co vniuerfum  aggregatum  progrefiionis  A B,  CD:,  E F , &c.ad 
aggregatum  progreSionis  B G , D :H , F I,  eBe  vt  AB  ad  BG-s 

Intel- 

"i. 


CoToi.  I. 
Lem.i. 


Lem.n, 


iuxsa  Li 
ma  ij. 

Ler».i6. 

h«m,z6. 


4.  fexti. 


oB  para^ 
helam  , 


70  De  Dimenfione  Parabolse 

Intelligantur  omnes  termini  dua 
rum  progreljtonum  ejfe  in  flexili- 
neis  c^c.  iunSiifqi  a d , g d , duco,  TA. 
tur  o 1 parallela  ip  fi  ad,  dr  om 
parallela  tpfi  dg,  Eritq;  b 1 aqua- 
lis omnik.  infinitis  terminis  ab,  ^ 

c d , e f . (fic.  ipfa  vero  o m aqua 
lis  omnib  us  infinitis  terminis  re-  ^ 

liqua  progrejjtonij  b g , d h , f i . A 

lam : vt  l b ad  ba,  ita  ejl  o 
b ^^2'  b d , hoc  e fi  m b ad  b g . 

Permutando  igitur , Aggregatum 
Ib  3 ad  aggregatum  b m , efl  vt 
ab  ad  b g;n emp e vtvna magni-  L 

tudo  ad  vnam . ^od  erat 

Hoc  T heorema  poterat  fiupponi  tamquam  demonfitdtum  in 
Propofitione  1 2 .libri  V . Euclidis:  vnum  enim  atq\  idem  eH  cum 
Theoremate  dibl  a Propofitionis : Verum  3 quoniam  fere  omnes 
opinantur  Euclidem  ibi fiupponere  multit udinem  magnitudinum 
finitam  / voluimus  auxilio  flexilineorum  vti , 

s 

Propofmo  XVI . 

PArabola  fefquitertia  eft  trianguli  eandem  ipfi  bafim,  & ean 
dem  altitudinem  habentis. 


Sit  parabola  ABC,  cuius  dia- 
meter D E , tangentes  ad  bafim  A 
D , C D : per  verticem  vero  FBG. 
triangulum infcriptum  ABC. Di- 
co parabolam  trianguli  ABC.ef- 
fe  fefquitertiam . 

Cum  enim  ipfa  E B iequalis  fit 
ipfi  B Q , re(^a  vero  A C dupla 


Problema  Primum.  71 

ttdix  F G ; erit  infcriptum  triangulum  ABC  duplum  triangu- 
li F D G fub  tangentibus  compr  sehenfi . Et  hoc  lemper  verum 
cft  etiam  circa  reliquas  portiones  parabolicas  AIB,  BOC; 

enim  AIB  parabola , cuius  tan  gentes  ad  ba  fim  funt  A F , 

BF,  ideoq;  triangulum  infcriptum  AIB  duplum  erit  trian- 
guli tangentium  L F M . Idemq,-  verum  etiam  cft  ex  altera  par- 
te ; Ergo  duo  fimul  triangula  A I B,  B O C,  dupla  funt  duoru 
fimul  L F M , N G P . j ergo  cum  fint  duce  progrcfllones  vtraq; 
in  proportione  continuata  magnitudinum  infinitarum  multitu- 
dine,( altera  nempe  intra  parabolam,  cuius  primus  terminus 
ell  triangulum  ABC,  fecundus  vero,  duo  triangula  fimul  AI 
B,  BOC  &c.  altera  vero  progreffio  extra  parabolam , cuius 
nempe  primus  terminus  efl  triangulum  F D G ,•  fecundus  au- 
teiTi  duoiimul  triangula  L F M,  N G P . &c, ) funtq;  finguli  ter- 
mini progrefiionis , quas  intra  parabolam  eft  , dupli  fingulorum 
terminorum progreffionis,qutE  extra  eft : Erit  ergo  aggregatura  , 

vniuerfum  primg  progrefiionis  duplum  totius  aggregati  lecun-  * 
d^  progreflionis ; Nempe  ipfa  parabola  dupla  eru  trilinei  mix- 
ti A B C D . Componendo  igitur , & per  conuerfionem  ratio- 
nis , erit  triangulum  A D C ipfius  parabolg  fefquialterum,nem 
pe  vt  <5.  ad  4.  ideoq; parabola  ad  triangulum  ABC  erit  vt  4 . 
ad  3 . videlicet  fefquitertia . Quod  erat  oftendendum  &c. 

Faraholf  quadratura  haberi  foteft fumftis  alijs principqs^opt 
tdmen  indiuifibilium . Supponimus  qu^  Archimedes  demonjlra- 
uit  in  libro  de  lineis  Spiralibus  ad  Propojitiones  14..  edr  2 s-  Pra» 
mi£o  L emmate  huiufmodi, 

LernmdXXIX, 

Si  fuerit  vt  prima  magnitudo  ad  fecundam, ita  tertia  ad  quar- 
tam , & hocquotiefcimq;  libuerit,:  fuerintq;  omnes  prim^ , itera 
& omnes  tertie  eodem  ordine  proportionales:  Erunt  omnes 
prima’  fimul  ad  omnes  fecundas , vt  funt  omnes  teiti^^  fimul  ad 
omnes  quartas . 

Sit 


K 


Lemti%. 


tem.  I S. 


oi  Pi  q1 


1k.. 
B 


El 

FI 


il 

i 


■ I 
I t 


Ru 
0 


SliT 


n 


t> 


M. 


0 


7^  De  Dimenfione  Parabolae 

Sh  3.  frimaad  b fecundam  ^'vt  c tertia 
ad  d quarta  ad  i ^ vt  g ad  E ; & hoc  ^ 

quottefcunqi  lihutrtt . Sint  que  omnes q^rima 
a , c , i , &c.  & omnes  teriif  c , g r m > drc. 
frofortionales  ex  ordine  y Nempe  TJt  3 ad  e 
ita  fit  Q ad  g ^ Amplius  t ut  3 ad  i y ita  fit 
c ad  m dfC.  etficjemper . Dico  omnes  prL 
mas  fimul  a , e , i , ete^  ad  omnes  fecundas 
fimul  b , f,  1 ete,  e^eutfunt  omnes  tertia Jh- 
mul  c , g ^ m , ete,  ad  omnes  quartas  fimul  d» 
h y n etc  . 

Accipiantur  o , p»  9 >'  finguU  aquales pri^ 
ma primarum  y hoc  eii  ipfi  a ; et fint  totidem 
quot  funt  omnes  prima  a , e,  i;  etc.Itemfu- 
mantur  r,  f , t ; totidem  quot  funt  yomnes  ter- 
ti^ i et  fint fingul^  r , f , t , aquales prim^  ter 
tiarum  nempe  ipfi 

lamob  squalitatem  erit  vt  o ad  3 y ita  X 
ad  c*  Amptius : Cum  p fit  aqulisipfi  a , et  f ipfi  c , erit  ( pro- 
pter fuppofitionem  )vt  yp  ad  ty  ita  { ad  et  hoc  femper  ifunt 

que  omnes  o > p , q aquales  y itemq^  omnes  iv  f,  t , aquales , ergo 
erunt  omnes  fimul  o , p , q , etc.  ad  omnes  a , c , i,  ete,  ut  omnes 
Xyiyt  y fimut y ud OMnes  c , g , m . Denique  conucr tendo , om- 
nes 3 y e, i,  ad  omnes  o , p , q , erunt  ut  omnes  c , g , m , ad  om- 
nes r , f , tt  filuffd memento . 

Suoniamueio  ut  o ad  Zy  ita  x ad  c:  et  ut  a ad  hy  it  a c ad 
d : erit  ex  aquo  o ad  h,  ut  x ad  d : Eadempenitus  ratione  con 
eludemus  ex  aquo  efie  ut  p ad  f,  ita  i ad  h t et  fic  de  ceteris . 
Erunt  ergo  omnes fimul  o > p , q , etc,  ad  omnes  by  fyl  y etc.  ut 
funt  omnes  fimul  r , s , t , etc.  ad  omnes  d , h , n ,*  etc.  ^are  ex 
Squo  erunt  omnes  3y^  •fiyetc.ad  omnes  b , f , 1 , etc.  ut  omnes  Cy 
g s m , etc.  ad  omnes  d , h , n ete*  £uod  erat  oHendendum 


HQ  N[j 


Sit  parabola  A 
BC  , cuius  tan- 
gens fit  A E ; 
diametro  vero 
jequidiftans  fit 
C E j & duca- 
tur quaelibet  F 
D,  parallela  ip 
fi  C E,  Eiitq; 

E C ad  F B . Ion 
gitudine  , vt  E 
A ad  AF,  fl- 
ue E C ad  FD 
potentia . Prop- 
terca  erunt  in  c5 
tinua  proportio 
ne.  ECjFD, 

FB. 

Fiant  deinde 

centro  A,  interuallis  AC,  AD,  duo  circuli;  & ponatur  Eli- 
cis initium  exfemidiametro  A C . Sitq; ipfa  elix  A G C. 

Eritiiaq;  DF  ad  FB,vtCE  ad  DF  ; fiuevt  CA,  ad  A 
Djhoc  eft  vt  C A ad  A G , fiue  vt  periph^riaiota  C L H C,  ad  1 4 
arcum  C L H:  hoc  efl:  vt  periph  gria  tota  D.P  GD,  ad  arcum  D 
P G . Atque  hoc  erit  femper^  vbicunque  lumatur  pundum  D . 

Suntq;  omnes  primte,  item  omnes  terti;^  magnitudines,  eo  mo- 
do quo  debent  proportionales  f vt  infra  oftendetniis . ) Quare  ^ 
©mnes^rimtefimul,  nempe  triangulum  A E C,  ad  omnes  fe-  ifmmji 
eundas  fimul  nempe.ad  triiineum  mixtum  ABC  E, 
rr  omues  tertia  fimul,  nempe  vt  circulus  CLH , ad  omnes  quar 
- K 2 tas 


Problema  Primum  • 


P 


Propofuio  X VII. 

Arabola  fefquitertia  eft  trianguli  eandem ipfi  bafim , & ca 
dem  altitudinem  habentis . 


■x^^.de  li- 
neis fpi- 
ralibus  • 


74  De  Dimeiiflone  ParaKblae 

tas  iiiiiul,  hoc  cft  ad  reiicjuuni  iphus  circuli,  dempto  helicis  fpa~ 
tio  CAGC.  Circulus  autem  CL.B,  didi  fpatij,  dempto  he- 
licis fpatiojfeiquialter  eO:  ,•  Ergo  etiam  triangulum  A GE  fef-^ 
quiaiteruai  erit  tnimei  mixti  A B CE:  Et  per  conuerfionem  ra-- 
tionis , triangulum  AGE,  triplum  erit  parabole  ABC.  Re- 
liquum quadrature^  abfoluetur  vtin  9.  Propolitione  Eidum  eR. 

^tiod  Autem  Ajfumptum fuit , nunc,  oflendemus  ifcilic et qmd 
omnes primp , omnefque  tertia  mugnitudines  fint proportionAles 
eo  modo  yVt  requiritur  in  lemmate  pYstc  edenti . 

Ducatur  in pr^mijfa  fgura , quHibet  m o , £,quidifians  ipfi  f 
d ,•  (f"  ponamus  ipfam  f d ejfe  primam  primarum\  ipfam  vero  peri- 
pharid  dp  g prima/n tertiarum . Brit  ergo  d f ad  om , vt  d a ad 
2l  o , (tue  vtperiph^ria  d p ^ad penpb^riam  cuius  femidiameter 
efizo  &c.  E4  Jic femper . fluod  oportebat  dre,. 

Par  ah  olam  etiam  quadrabimus  intentata  adhuc  via ; nimiru. 
quajito  eius  centro  grauitatis  a pr tori  ope  indiuifibilium . S up- 
ponimus  autem  temma,  quod  Archimedes  oBendit  in  fecundo 
Aequiponder antium  . Hoc  ejl parabolarum  centra grauitattSyin 
tadem proportione  fuas  diametros  f fcare . 

Lemma  X X X. 

Centrum  grauitatis  parabolte  diametrum  ita  diuidit  , vtpars 
ad  verticem  terminata , reliquas , fit  fefquialtera . 

B fto  emus  quilibet  a b c,  cuius  bafis  a m c , axis  b d , tria- 
gulum  vero  per  axem  //  a b c ydrfeBusfit  conus  plano  e f g , vt 
iuhetur  inX  I,  Propofitione  lib. primi  Gonicorum . jEritquefe- 
Bio  qua  v&caturparabolay  illmfque  diameter  erit  f h , pfio  iam 
centrum  grauitatis  parabola  efg,  quoduis  punBum  y puta  i. 
OBendendum  ejl  rectam  fi  fefqmalteram  ejie  tpfius  i h . 

Jgaturper punitum  i rebta  ^ihfeceturque  conus  aUopU-> 
no  m n o y ipfi  tigparall::  eritq.  febtio  mno paraboldy  dr  eius 
cmtrumgramtatts  erit  yp  ( ejt  mmebparallelas  ^ vt  fi  ^^/ih, 

itA 


Peoblema  Ptimum. 

itd  n^dd  i fed  i j^onitur  ce- 
trum  gr duitatis  farabol^,  e f g r 
ergo  per  PropoJJt.  y dib  .fecundi 
aquipond evantium  p c entrum 
gr duitatis  erit parabol^  m n o.) 

Mt  fic femper , vbicunq.ft  pla- 
num nin  o . Omnium  ergo fin- 
gillatim  parabolarum  quf/unt 
in  cono  a b c , centra  (^rauitatis 

O 

reperiuntur  in  reda  a I satiare 
etiam  commune  centrum  graui 
tatis  omnium  e arumd em  fimul 
pr^didarum parabolarum  erit  in  reda  2. 1 . Omnes  autem  para- 
balf , atq,  ipf  ? conus  idem  funt  l ergo  centrum  coni  esi  in  reda  a 
1 i quod  cum  ft  etiam  in  axe  b ci  c erit  c entrum  coni  in  communi 
concurfu  i,id eeq.  b f erit ipfius  f d tripla . 

Bucatur  ex  centro  bafis  reda  dq,  ^quidijians  ipfi  2.h  erunt 
que  aquales  c q , q 1 . Cum  autem  ob  centrum  comipfa  h s tri- 
pla ft  ipfius  f d 5 erit  etiam  b i tr  ipla  ipfius  1 q : ideo  b \ fef- 
quialtera  ipfius  \c:^4re  etiam  fi  fiefqmaltera  erit  ipsius  ih. 
^uod  erat  propositum  ^Cy, 


oCitio  XV  IU. 


Arabola  fefquitertia  eft  trianguli  eandem  ipfi  bafim,  & ea- 
dem altitudinem  habentis?. 


Efio parabola  ABC,  cuius 
diameter  B D : inferiptum  vero 
triangulum  ABC.  Dico  para- 
bolam fefQuitertiam  efTe  triangu 


j?  11 , aiamcTO  asquidiftantes,q 


ob  x.fex . 
ti . 

a.  fexti. 


7^  De  Dimenfione  Paraboiae 

iie  diametri  erunt  portiofiu  AGB,  BHC.  Sint  centra  graui- 
tatis didarum portionum  0,&Nieruntq;  vtraq.  GO,  HN, 
fefquialtera reliquae  OI,  NL,  lungatur  ON,  &inipfii  ON- 
s.  primi  eritccntrum  commune  grauitatis  duarum  portionum:  fed  eft 
• e tiam  in  B D f nam  in  B D efl  tam  centrum  totius  parabola?, qua 
etiam  trianguli  A B Qu^re  pundum  P.  centrum  erit  portio- 

num A G B , B H C . Ponatur  B D partium  (f  o.  eritque  G E , 
( cum  fit fubfcfquitertia ipfius  B D) partium 45.  ipfa  1 E 30.  & 
ipfa  EO,  hoceftDP.  3d.SitQ^centrum  grauitatis  trianguli 
lem  pTA  ABC.  Eritep  D Q^.  2 o.  Sit  R centrum  parabol^,  eritq.  R D 
24.  Erit  ergo  P R , 12.  & R C>^4*  Sed  vt  P R ad  R Qjta  re- 
ciproce triangulum  A B C ad  duas  portiones  AGB,  B EI  C . 
Quar  etriangulum  ABC  ad  duas  portiones  A G B , B H C erit 
vt  12. ad  4.  nempe  vt3.  advnum;  ComponenddquCj&per' 
conuerfionem  rationis , erit  parabola  ABC  ad  inferiptum  fibi 
niangulum  vt  4.  ad  3 . Nempe  fefquitertia . Quod  erat propo- 
iitum&c. 

N 0U4  adhujc  ratione  quadraturam  faraboU  inuademusfum^ 
ftpft  quinti  lemmate , quod  quidem  e Schola  Caualeriana  prodijf- 
fe  rt  latum  e si . Infer  uiebat  enim  menfurp  cuiufddm  ( dtdi  ab  if 
fa parabola. circa  ordinatim applicatamreuoluta, geniti . Eli  au- 
tem lemma  huiufmodi  ^ Authore  Io*  Antonio  Roccha  pr^ftanti 
Geometra . 

Lemma  XXXI, 

Si  figura  plana  fuper  aliqua  fui  redta  linea  figuram  ipfam  fe-. 
cante  libretur , erunt  momenta  fegmentorum  figura,  vt  funt  fo- 
iida  rotunda  ab  ipfis  fegmentxs,  circa  fecantem  lineam  reuolu- 
tis , defer  ipta . 

Efio  figura  plana  qualibet  a c d b f c , quamfecet  reBalinea^ 
a b : & concipiatur  figura  librari  fuper  relid  a b . Hico  momen- 
tum figmenti -eii:  d b y ad  momentum  f e gmenti  a e f b . efienttfa 
lidum  rotundum  genitum  ex  reuolutime fegmenti  a c d b ^circa 

axem 


Problema  Primnm  • 77 

axem  a b , [olidum  rotundum  genitum 
exeonuersionereliqutfegmenticircdeu^ 
dem  axemremluti  ^ A. 

Sumatis  entnt  duobus  quihufcunq.pun 
Bis  h , i . in  reBd.  a b .*  ducdntnr per 
h fer  i ^ reBd  c e , d f . ferpendicuU^ 
res  ad  ipfam^  b ifecenturqy  btfuriam  feg^ 
mentd  dh.yhi,in punBis  1 , 

H dbebit  erga  momentum  re0d  dh  dd 
momentum  reBde  hf,  rdtion^m  compo- 
situm e Ktdtione  magnitudinum  d h dd 
bf>  ^ exrdtione  di  ii  antiarum  Xh  dd 
hm;  siue  dh  ad  hf.  ProptcreamomentumreB  a dh  dd  mo- 
mentum h f erit  ut  quadratum  dh  dd  quadratum  h f . j 

Eodem  modo  osiendetur  momentum  reciae  ci,  ad  momentum 
redae  i e , effle  vt  quadratum  c i ad  quadratum  i e > sicf 
per. 

Amplius  momentum  d h ad  momentum  c i , efi{ob  eandem 
rationem  utfuprd ) vt  quadratum  dh  ad  quadratum  c i : hoc 
femper , Erunt  ergo  omnes  primae  simul  magnitudines , nempe 
omniamomentaf gurae  acd  b,  ad  omnes  fecundas  simul^  nem- 
pe ad  omnia  momenta  reliqu^  ^ ^ b .•  vt  funt  omnes  terti^ 

fimul,  nempe  omnia  quadrata  figurae  a c d b , omnia  quadra- 
ta reliquae  figurae  . Siue  vt  funt  omnes  circult  figurae  a c d b 
( nempe  foLiaum  rotusidum  ex  ipsius  conuersione  ctreaaxem  a b 
defcrtptum ) ad  omnes  circulos  reliquae  figurae  a e f b (nempe  ad 
folidumrotundum  ex  ipsius  reuolutione  circa  eundem  axem  a b, 
genitum . ) ,^od  erat  oitendendum  (jrc. 

H oc  promijfo  ( quod  quidevtifiuprd  ediximus  penitus  ab  dljjs 
defumptum  e H hic  infertum  tamquam  alienum  > neque  quod 
^gejetam  adhuc  vulgatum ') parabolam  quadrabimus , fuppo [ita 
demonflr  atione , qua  multis  modis  probatur  Cylindrutn  tnferipti 
fibi  comidis  par abolicieffe  duplum , 


B 


De  Diflienfione  Parabolf 


Propofitio  XIX . 

PAi;abolafefquitertia  efttrknguli  eandem  ipfibafitn,  &ean 
dem  aititudinem  tobentis. 


E 


B. 


Lsm.ix, 


T 

S ■ ^ 

M 

R 


X 


Efto  femiparabola  A B G D , 
circa  quam  /it  redangulum  DE . 

Siiniatur  pundum  F , ita  vt  A F . 
ad  F D iitvt  5. ad  3.  dudaq.  F G 
diametro  crquidiftans^critin  ip- 
fa  F G ccntruni  grauitatis  femi- 
parabola^  Efto  illud  pundum 
quodlibetyputa  I,&per  I duca 
tur  LIM  parallela  ad  A D ,ac- 
cipiaturq;  I N . icqualis  ipft  i M. 

Intelligatur  etiam  produda  P Q parallela  diametro  C D /Vbi- 
cunq;  cadat ) ita  vt  paralklogrammumredangulum  D P, aequa- 
le {itipfifemiparaboite.  Tum  concipiatur  applicatum  ad  reda 
C D , redangulum  D R , ita  vt  aequiponderet  femiparabolte  fa 
da  libratione  fuper  reda  C D . Sitq;  centrum  didi  redangu- 
ii  pLindum  S ; & duda  T S X parallela  ipfi  A D iungatur  reda 
IS. 


Iam  ;manifeftum€fl:  ex  lemmate  praemifTo  quod  cylindrus 
Fidus  aredangulo  DR  circa  axem  DC  reuoluto,  trqualis 
erit  ccrnoidali  parabolico  fado  a coniierftone  femiparabolce  A 
G D , circa  eundem  axem  GD  reiiolut^;  cum  aequalia  fiippo- 
nantur  figurarum  planarum  momenta.  Erit ergo  cylindrus  a re- 
dangulo  D R fadus , fubduplus  cylindri  a redangulo  D E fit- 
di,  de  ideo  quadratum  TX  fubdiiplumerirquadrati  MLfcy- 
lindri enim  ^quealti  funt  inter  fe-vtbalium  quadrataj  quod  me- 


mento,. 

Verum  MN  adTX,eft  vt  tM  ad  TS  ffuntenimfubdu- 
pise  earumdeiiD  fine  vt  I V ad  V S ; nempe  (quia  .aequiponde- 
rant  figurse  pkn^  fuper  linea  G D , fiue  ex  pundo  V ) vt  redan 

gulum 


Problema  Primum . Si 

gu!um  DR  ad  femiparabolam  reciproce,  fiuc  ad  re^anguluin 
D P . ipfi  femiparabolse  cequale ; fiue  vt  eorum  bafes  T X ad  M 
O . Ergo  T X media  proportionalis  eft  inter  M N,  MO : Qua- 
re re(^angulum  N M O , cum  sequale  iit  quadrato  T X , fubdu- 
pium  erit  quadrati  L M . 

Ratio  vero  quadrati  L M , ad  redangulum  N M O , compo- 
nitur ex  ratione  L M ad  M N (quas  fefquitertia  eft  per  conftru- 
dionem ; fumpiimus  enim  pundum  F;  ira  vt  A F ad  F D , eflec 
vt  5. ad  3 .)  & ratione  L M ad  M O ; quas  quidem  ignota  erat, 
fed  neceiTario  fefquialtera  nunc  apparet . Ratio  enirn  dupla  c6~ 
ponitur  ex  fefquitertia  , &fefquialtera,  vtipfis  etiam  Cantori- 
bus vulgatum  eft  ,•  vt  videre  eft  in  his  tribus  numeris  4. 3,  2. 

Redangulum  ergo  D E ad  ipfum  D P , iiue  ad  femiparabo- 
lam  , fefqiiiaiterum  eriti&ipfafemiparabola  ad  triangulum'  A 
C D . fefquitertia  erit . Quod  erat  oftendendum  dcc. 

Zemmd  XXXII. 

Sitparabola  A BC,  cuius bafis  AC, 
tangens  C D ; diametro  asquidiftans  fit  A 
D . Sumpto  quolibet  pundo  E . ducatur 
E F diametro  asquidiftans . Dico  ciTe  vt 
F E ad  E B , ita  C A ad  A E . 

Eft  enim  DAadFB  longitudine , vt 
D C ad  C F potentia , fiue  vt  D A ad  F E 
potentia  i Sunt  ergo  in  continua  ratione  D 
A , F E , F B . Quod  memento . 

lamvt  ACadCEitaeftADadEF,  E 
fiue  E F ad  F B ; & per  conuerfionem  ra- 
tionis , vt  C A ad  A E , ita  eft  F E ad  E B . Q^d  erat  often- 
dcnd.&c. 

LemmdXXXIII. 

Qualibet  parabola  ecqualis  eft  duabus  parabolis  fimiil  fum- 
. ptis , qnx  quidem  g qualem  ipfi  bafim  habeant,  diametrum  ve- 

L rb  fub- 


BfiofarahoU  abc,  cuius di4^ 
meter  b h ; Jintq,  du^  dita  fdra» 
boU  a e c . a g c . in  eadem  bajt . 
Diametri  vero  h e,  h g , vtraq, 
fubdupld  fit  diametri  h b \ fed  f- 


rb  fubduplam , & sequaliter  incliaatam 


fgurazQC^.  ^ 

Sumatur  enim  quodlthet  fun^ 

(dum  in  hafi  ax ; fit  xn  j duitaque  p m n aquidifiante  ad  didk 
metrum  b h ..  Erit  bb  ad  n m vt  reiidngukm  a h c , ad  re* 
B angulum  zmc ; fiuevtreUa  he  ad  mo Etfermutando  vt 
bh  he,  it  a erit  nm  ad  mo^  ^^re  nm  du^la  eriti^fius 
mo.  Eodem  penitus  modo  ofiendetuf  ntn  dupla  etiam  ipjius 
m p , Ergo  tot  a n m aqualis  ejlipfi  o p ^ Et  hoc  femper . Prop* 
ter  ea  omne  sjimul  line  ^figura:  ab  €,(  nempe  ipfa parabo  la  a b c) 
aquales  erunt  omnibus  fimul  lineis  figura  a e c g , i^nempe  dua- 


bus parabolis  a e c ^ag  c ./»  filuod  erat  (jtt 


P:  Arabola  fcfquitertia  eft  trianguli  eandem  ipfi  bafim^^  eS 
dem  altitudinem  habentis .. 


Efto  parabola  A 
B C,  cuius  diame- 
ter BE  concipiatur 
ad  horizontem  per- 
pendicularis, & ip- 
ja  parabola  inuerfa 


pendicularis,  & ip-  ^ 
fa  parabola  inuerfa  . 


ftatuatur  .Produca- 


tur C A in  D , itavt 
sequaies  fint  C A» 

ADi&fitDeiib- 


sequaies  fint  C A 


Problema  Primum  • Sj 

bn,  cuius  Metum  cA  A.  Ducatur  CF  tangens  parabolamj 
& A F diametro  EB  aequidiftans  .Ponatiiretiam  GHa?qua- 
Fs  ipfi  A C , & diuifa  bifariam  G H in  I , fit  vtraq.  I L , I M,  fub 
dupla redf  EB.Sc sequaliter ad bafim inclinata  vc eft ipfa  E B 
ad  A C . Fiantq;  duse  parabolae  G L H,  G M H»  quae  f [)er  iem 
ma  pr^eced.^  fimul  aequales  erunt  parabolae  ABC;  Et  fulpen- 
datur  figura  G L H M ex  pundo  D . 

Accipiatur iampunda  0,&  Nsequalitcrdiftantiaapundis 
I , & E refpcdiue . Dudifq.  N C^^quidiftanter  ad  E B , dc  R 
O S ad  L M i Erit  vt  in  procedenti  lemmate  N P aqualis  ipfi 
RS. 

lam  QN  ad  RS  eft  fob aequalitatem )vt  QN  adNP,fi- 
uc  vt  D A ad  A N reciproce . Aequiponderant  ergo  redo  QJi 
N,  & RS,  &fic  femper.  Ergo  omnes  fimul  lineo  trianguli 
A F C ( nempe  ipfum  triangulum^  aequiponderant  omnibus  fi-» 
mul  lineis  figuro  G L H M , ( nempe  ipfi  figur^  G L H M . ) 

Accipiatur  AV  tertia  pars  totius  AC.  Manifeftumcft, 
quod  fi  ex  V demittatur  reda  ^quidiftans  ipfi  A F . in  ipfa  erit 
centrum  grauitatis  trianguli  A F C ,*  eritq.  ipfa  ad  horizontem 
perpendicularis . Propterea  erit  triangulum  A F C . appenfum 
centraiitd  ex  pundo  V • Eriiq,  triangulum  A F C ad  ipatium 
G L H M . reciproce  vt  D A ad  A V , nempe  triplum* 

Cum  autem  fpatium  G L H M oquale  fit  parabolo  A B C| 
erit  triangulum  A F C triplum  etiam  parabolo  ABC* 
Reliquum quadrAttir^ dbfoluitHr  vt  iuPrcfoJtttQne 
Uumeli^ 

Fropofmo  XXL 

PAraboIa  fefquitertia  eft  trianguli  candcm  ipfi  bafim,  3ic 
eandem  altitudinem  habentis . 

Eftofcmiparabola  ABC,  cuius  diameter  CE,  ordinata 
AE,  tangensvero  CD,  & compleatur  par  aUelogrammum 
A E C D . Manifeftum  eft  quod  omnes  lineo  trllinei  mixti  D 

L % ABC, 


§4  De  Dimenfione  Parabolae 

A B C>  quas  quidem  diametro  paralle- 
las fint,  inter  le  funt  in  eadem  ratione  in 
qua  funt  omnes  circuli  coni  alicuius, 
qui  axem  habeat  D C , & verticem  C. 

Ergo  centrum  grauitatis  omnium  linea 
rum  trilinei  D A B C , erit  in  illa,  quas 
diuiditlibram  D C;  quemadmodum 
diuidit  eandem  centrum  grauitatis  co- 
ni 5 nempe  vt  pars  ad  C terminata , re- 
liquiE  fit  tripla . Fiat  ergo  CF  tripla  ip 
filis  F D . & du6ta  F M parallela  ad  C A INV  L 
E , erit  centrum  grauitatis  trilinei  D A 
B C in  reda  F M . vbicunq.  fit . 

Item,  omnes  linece,  quae  in  femiparabola  AB  CE  ducun- 
tur ad  diametrum  parallelae,  inter  fefunt  in  eadem  ratione,  in 
qua  funt  omnes  circuli  alicuius  hemifphaerij,  cuius  axis  fit  A E, 
Lem.%%,  vertex  vero  A . Ergo  centrum  grairitatis  omnium  linearum  ad 
libram  A E appenfarum,  fiue  ipfius  femiparabolae,  erit  in  illa  , 
quas  libram  A E fic  diuidit  vt  diuidit  eandem  centrum  grauita- 
tis hemifphaerij  jNempevt  pars  ad  A terminata,  fit  ad  reliquam 
vt  5.  ad  3.  Fiat  ergo  AI  ad  lEvt  5.ad  3.;& duda  I H paral- 
lela ad  C E , erit  centrum  femiparabolae  in  reda  I H , vbicun- 
quefit.  Ducatur  tandem  GL,  quse bifariam fecet latera  AE, 
D C.  & in  G L erit  centrum  grauitatis  parallelogrammi  D E . 
quod  fit  O . Ponatur  centrum  grauitatis  femiparabolcelTe  pun 
duquoduis  P. dudaq.  PO,producaturinN;&eritN.centru 
grauitatis  trilinei  D A B C . lam , femiparabola  ad  irilineum 
eft  vt  N O ad  O P , fiue  vt  M L ad  L I ; nempe  vt  2.  ad  vnum ; 
( qualium  enim  partium  tota  A E eft  8 , talium  A M eft  2,  M L 
ell  2,LI  eft  vna,&teliqua  lE  3.perconfttudionemjErgo 
femiparabola  ad  parallelogrammum  erit  vt  2.  ad  3,  fiue  vt  4.ad 
i j & femiparabola  ad  triangulum  inferiptum  vt  4.  ad  3 . Nem- 
pe fefquitertia . Quod&c. 

F I N IS. 

APPEN- 


D V dH  c; 


r~ 

N 

r 

' 

/ 

1 

\/i 

j 

B/ 

/ 

A 

\ 

\ 

N 

/ 

E 


A P P E N D I 

De  Dimenfione  Cycloidis . 

IBET  hic  Affendicis  loc 9 Addere folunonem 
problematis  non  iniucundi  ^ (ir  Jl materia  ^fro* 
- pojttionemquefpedies , primo  intuitu  difficilu 
mi . T orjit  hoc  ^fefellitq. pluribus  ab  hinc  an^ 
nis  MJtthematicos  no  siri  foculi  primario s ;frH* 
Jira.enimtentatademonHrdtto  euafit  ab  illorit 
manibus  ob  fallaciam  experienti^ . Appenfis  namque  ad  libram 
manufa^am fpatijs  figurarum  materialibus^nefcio  quo  fato , e4 
proportio  qua  vere  tripla  efi , fjempe)r  minor  qua  tripla  apparuit , 
Vnde fa^um  ejl , quod potius  ob  fufpicionem  incommenfurabim 
litatis  (vt  ego  credo ) quam  ob  defperationem  demonUrationis  ^ 
infiituta  contemplatio  ab  illis  dimijfafit . 

Suppofitumeji  huiufmo 
di.  Concipiaturfuper  ma» 
nente  aliqua  reSla  linea 
a b . circulus  a c , contin- 
gens rectam  ab.  in  pun- 
dio  a . Noteturq;  punBum  a , tamqua fixum  in  p er  ipharia  circuli 
ac.  T um  intelligaturfuper  manente redia  a h.conuerti circulum 
a c 5 motucireulari fimul  progrefftuo  verfius  partesh  : ita  vt  fu 
bind e aliquo  fui  punci  o redi  a linea  a b femper  c ontingatquoufq, 
fixum  punctum  iterum  ad  centadium  reuertatur.puta  in  b . Cer^ 
tumciiyqubd pundium  a fixum  in periph^ria  circuli  rotantis  a c, 
aliquam  tineam  def cribet , furgentem prim})  a fiubiedda  linea  a b, 
deinde  c ulminantem  v erfus  d i pofiremo pronam  ^ de fc  endetem^ 
que verfus punctum  b. 

V oc.ata.€dijpradec e fforihus  nostris  . Pracipue  aGaliieo  iam 
fupra  jfs • annumy  huiufmodi  linea  ad  b.  Cycloisy  redtavero  i\  b^ 
bafis  cycloidis y lAt  circulus  '!  c , genitor  cycloidis . 

Proprietas  j cjr  natma  cychidis  ea  efi^  vt  bafis  ipfus  a h.f* 


8(5  _ 

qualis  Jit  perlpharid  circuli  genitoris  zc , quidem  nete 

adeo  objc urum  eB  ■:  Nam  tota peripharia  a c fe  ipfam  in  comer* 
ftene commenfHrauitfuper manente reBa  2ih , 

£^aritur  nunc  quam  proportionem  haheat  fpatium  cycloida* 
le  d.db  ad  circulum  fuum  genitorem  ac  / OjlendemufqueyDeo 
dante , triplum  effe.  DemonBrationes  tres  erunt , inter  fe peni^ 
tus  diuerfae . Prima , ^ tertia  per  noudm  Indiuijibilium  Geome* 
triam  nobis  amici^imamproc edent : fecunda  ver)) per  duplicem 
pofitionem , more  veterum  reeepto  ,•  vt  vtrifque fautoribus fatif 
fiat . Cperum , hoc  moneo principiafere  omnia , quibus  aliquid 
per  Indiuisibilium  G eometriam  demonUratur , ad  folitam  anti*> 
quorum  demonjlrationem  indir  ellam  reduci pojfe : quod  a nobis 
f alium  ellt  vt  in  multis  alijs,  ita  etiam  in primo  ^ ejr  tertio fequem 
tium  T heorematumi  fed  ne  lelloris patientia  nimium  adhuc  abu 
feremur  plura  omittenda  cenfuimus  ^trefq^  tantum  demonjha* 
tioms  exib  emus 


THEOREMA  II 

Omne  fpatium  quod  fub  linea  Cy cloide , & ret^a  cius  bafi 
continetur,  triplum  eft  circuli  fui  genitoris ; fiue  fefquialterum 
trianguli  eandem Mfim. 5 & ca;ndem  altitudinem  habentis . 
Ejlo  Cjclois  linea  ^hc  de* 


o 


H 

Q 

i 

T' 

f 


fcripta  kpunHo  c circuli  cd 
c f dum  ipfe  circumuertitur 
fuper  manente  basi  a f . (fon- 
sideramus  automfemicyclm- 
dem ie^rfemicir culum  tantum 
ad  euitandam  figura  confu^ 
sion  emi)  Dico  fpatium  a bc 
f triplum  tffefemicirculi  cd 
ti;  smefjquidlterum trianguli  Victf 
Accipiantur  duo  punita  h,^  i in  diametro  c f.  aqu^remo* 
ia  a centro  g ^ DuHifq.  h b , i 1 c m aquidifianter  ipsi  f a , tra» 
feantperpunBabr<^\ fcndcirouU  obp,  mlxiif quales  ipsi  c 
contingentes  basimin pun£iis 

Nanife* 


A 

A:\ 

'Lr  ' 

DeCycloide.  87 

M4mfeBHm  efirelias  h d , i e , x b , q 1 aquales  ejje  ,f  er  14 
Tenqy^qudlefq,  erunt  urcus  o b , 1 n . Item  cum  ^qu des  sint  ch 
i f , aquales  erunt  c r y u a ob  pdrdlelas . 

^ota. feriphprU  mln^ob  cycloidem,  squdis  eft  recf^  a f. 
que  arcus  1 11  reida  a n eandem  caufam , cum  arcus  i n -feip* 

fum fu  fer  recia  a n commenfurduerit  y er ge  reliquus  arcus  1 m , 
reliqua  re^p  nf  fqualiserit . Eadem  ratione  arcus  b p.  reU^ 
apa  parcus  bo  reclf^iy  aqualis  erit  ^ 

Jam reBa  a n aqualis  eli  arcui  In  yfue  arcui  b o yfue  reUf 
pf.  Ergo  ob  parallelas , quales  erunt  at,  (c.  Verum  quiaa^ 
quales  erant  etiam  c r , a u . rdiqu^  u t,  fr  aquales  erunt . Pro^ 
pterea  in  triangulis  aequiangulis  u t q , r f x , aequalia  erunt  la^ 
ter  a homologa  u q , x r .Patet  itaque  quod  duae  re6ta  lu,br^- 
mulfumptae  aequales  erunt  duabus  reclis  1 q,  b x , nempe  ipfis 
ei,  dhy(jr  hoc femper  verum  erit  vbicunq.  fumantur  duo  fun» 
Hahyd^  lydumodo  aequaliter  a centro fint  remota . Ergo  om^ 
nes  lineae  f gurae  a 1 b c a aequales funt  omnibus  lineis femicir 
culi  ede  i 3 (df  ideo  figura  bilinearis  a l b c a aequalis  erit  femi^ 
circulo  edti. 

Sed  triangulum  a c f duplum  e ft femicir  culi  c d e f . (nam  tri 
angulum  acf  reciprocum  e Jl  triangulo  Propof:pr(  Arch.de  dU 
tnenf.circ.  cum  latus  a (femiperiphaertae  y latus  v edo  fc  dia^ 
metro  fit  aqualcy  vndefie quit ur  triangulum  a C iaequale  ejf e in-- 
legro  circulo  cuius  diameter  fit  c f.)  Ergo  componendo,  totum 
cycloidalefipMiumfiefiqmalterum  erit  trianguli  inficripti  acb; 
f riplum  vero  fiemicircuU^  ede  f . .Spipd  erat 

Lemma  T. 

Si  fuper  lateribus  oppolitis  alicuius  re(5ianguli  A F , duo  fe^ 
micirculi  deferipti  fint , E I F , A G D erit  figura  fub  periphas- 
rijs^,  &iub  reliquis  lateribus  eompr^enfa  Aqualis  pr^dido  re» 
dangulo. 

Vocetur  amem  talisfigura  Arcuatum ‘3  tam  fi  fuerit  integra^ 
quam  etiam  ipfius partes  3 quando  feHa  fuerit  a linea  ipsi  £ d 
parallela^ 


8 8 Appendix 

D emori Br dtitr ; quoniam  cum  sint  aequd-^ 
lesfemicirc. dempto  communifegmento  b g c, 
additifque  communibus  trilineis^  b a,  c fd . 
clarum  ei  it  propositum , 

J^ando  uero  detur  cafus  quod fegmentum  l 
nullum  sit ^t une  breuior  fociliorq,  demonjlra^ 
tioerit , Facile  etiam  per  eandem  proflaphe- 
refim  oftenditur  arcuatum  fectum  a linea  ipfi 
f d parallela  aquale  ej?e  rect angulo  aquealto» 
fuper  eadem  bafieonHituto  . 

Lemma  II, 

Ffio  linea  cy- 
cloidalis  a b c 
deferiptd  d pun 
Ho  c femicircu 
//  c d e dum  con 
uertitur  fuper 
manente  a e. 

Compleatur  re- 
Ilangulu2iicQi 

fiatq.  circa  diametrum  a f f micir culus  a g f . Dico  cycloidem 
ab  c f ?care  bifariam  arcuatum  a g f c d e . 

Si  enim  ita  non  efi^  eritvtiq.  alterum  eu  duobus  trilineis  f g a 
b c j a b c d e , magis  quam  dimidium  etufdem  arcuati . E Jio  ^ 
ponatur  alterum  ex  ipsis  ( quodeunq,  sit)  puta  a b G d e maius 
quam  dimidium  arcuati . Sitq.excefusy  quo  trilineum  fuper  at 
femiffem  arcuati^  aequalis Jpatio  cuidam  K. 

Secetur  bifariam  a e in  h ; & iterum  hc  in  i .*  dr  sic  fiat  fem 
per  donec  reBangulum  aliquod  ie  c minus  reperiatur  fpatio  K. 
Funediuidatur  integra  a zinparticulas  aquales  ipsi  i e , drper 
puniiadiuisionum  1 , h , i , tranfeant  femicir culi  aequales  ipsi 
c d e femicir cuto  r tangentes  basim  in punilis  1 , h , i . fecantefiq, 
cycloidem  in  o , b , m yper  quae  puncta  agantur  recta  g o , p b, 
aequidifiantes  basi  ^ Q s 

fEri 


F 


De  Gydoide . 8P 

Erit  kdqu e arcuatum  o \\  fqnale  iffi  g 1 .*  arcuatum  vero  b i 
aquale  arcuato  ph:  (^arcuatum  aquale  arcuato  qi.  Pro- 
fterea^fniuerfa  figura  mjcrifta  in  trilineo  a b c d e confians  ex 
arcuatis , p qualis  erit  figura  eidem  trilineo  eircumfcrift^^  exce~ 
po  tamen  arcuato  i m rc  d e . ^od fi  figura  circumfcripta  ad* 
das fuum  arcuatum  i m r c Atfiuperabit  circumfcripta  figura  ip^ 
f am infer iptain  e xceJfupradiBi arcuati fmereci angulo  xt^nem 
pe  mineri  exceffu  quam  fit fpatium  K . Propter  e a inferipta  in  tri-> 
lineo  figura  adhuc  erit  plu/qudm  dimidium  arcuati  a g fc  d e.cJ* 
ideo  maior  quam  trilineum  f g a b c . Sed  eadem  aqualis  eli  alte^  eflendi- 
ri  figur^  ex  arcuatis  compofit^  & in  trilineo  f g a b c deferipta : tur  tnfta 
ergo  h^c  inferipta  figura  maior  ejfetfuo  trilineo  f g 3,  bc.  pars 
fuo  toto . quod  effie  non  pote  fi . 

^od  inferipta  figura  fi nt  f quales  patet, Nam  arcus  o I ^qua^ 
lis eBrecl a Ia,  hoc efireBae  ie,  h^cefi arcui  rm  {obcyclok 
dem .)  Ergo  arcuatum  o h aequale  erit  arcuato  m f . c^  fic  de 
fingulis . 

Si  vero fupponeremus  trilineum  f g a b c maius  quam  dimk 
dium  arcuati  a g fc  d c , confiruBio  figurae , ^ demon Brati» 
penitus  eadem  erit . Ergo  concludemus  cycloidcm  lineam  a b c 
bifariam fecare  arcuatum  a g f c d e . ^od  erat  propo fitum . 


THEQREMA  II. 


Spatiom  cycloidale  triplum  ed: 
circuli  fui  genitoris . 

Eflo  cyc  tois  a b c deferipta  a pu 
cto  c circuli  di  ,dtco  Ipatium  a 
b c d trip  lu  e fi f emicir  culi  c f d . 

Compleatur  rect angulum  a d 
ce;  factoqfuper  a e fiemicir  cu- 
lo 2.^^%  ducatur  ac. 

T r i angulum  a d c duplum  efijemicirculi  c fd  {nam  bafis  a d 
aequalis  efiperiphaeriae  cfd  oh  cycloidew-,  altitudo  vero  dc 
aqualis  diametro)  ideo  reUangulum  ed  quadruplum  erit  eiu fi 

M 


dem 


dem femicmuli  cfd.  Erga  dr enatum  agecfd  quddrMplum 
erit  eiufdemfemicirculi : propterea  trilmeum  a b e ^d(per  tem^^ 
ma  prae  edens ) duplum  erit femieirculi  , camponenda fpatiun^ 
zhcA  triplum  erit  eiufdemfemicireuU  c£  d» 

theorema  1II\ 


Omne  fpatium  cycloi 
dale  triplum  eft  circuli 


fui  genitoris. 

E Eia  eyelaidalis  linea 
a b c deferipta  a punEfo 
c femicireuli  c e d . Z>/ 
eo  fpatium  a b c d trip* 

Ium  effifemieire,  cfd. 

Compleatur  reH angulum  a fc  d 'faHoq.femieireuh  a g iy4em 
eipiatur  dua  punEla  h,  c^i  in  diametro  c d eque  remota  d een- 
tra , fr  dmantur  h 1 , i g aquidiEt antes  ad  d.d,  qua  eyelaidem 
feeentinquibufuispunEiis  hy&  o . Agantur  denique  per  b, 
e^  o duo femicir culi  p bq,  mon,  vtinprecedentibusfaHum 


ell. 


lam  re  Ha  g o , e qualis  efireHe  f u (^cum  aquales fnt  g r , o 
u , & communis  r o j fue  aqualis  eft  reHf  an , nempe  arcui  o n 
(ah  cycloidem ) vel  arcui  p b i fue  reH^  p c , vel  t h , vel  b f . 

Eodem prorfus  modo , quo  demonEirauimus  reHam  g o aqua* 
km  ejfe  reHae  b f,  demon Etrantur  omne t (f  fingulae  linede  tri- 


rea  dicta  trilinea  interfe  aequalia  erunt . Ergo  vt  inpraeeeden-^. 
ti  Theoremate  demon Etr abit ur  cyckidale  Jpatium  triplum  eJfe 
femicirculi  ccd,  ^^derat^c, 

J J n I 


SCHO' 


S C H O L I V M ‘ 

De  Cydoidibus  aliarum  ipede- 

rum . 

HActems  deCycloide  dicfum  fit:  ^Itmus  eniM  tOHtemf  lA 
tionemharfc  demonftrdndo protrahere  odtdfum  ej^et  yd* 
ix  appendice  liber  fieret.  Proponi  tdinen  poterant  adhuc  non  pau 
ca  citea  hanc  figuranr planam  y quani  Cycloiden$  Primariam  ap* 
peUare  non  tfset  iMcrtueniens  ^ qUandoquidcrn  infinitae  aliae 
fpecies  huin/hiodi  figurarum  ah  ipfa  iam  confiderata  primaria 
Cycloide  oriunfUt . C encipiafnUs  ehiin  ( in  figura  paginae  Sj. ) 
nim foluin periphaeriark  circuli  ai  e aequabili  conUerJione  rotari^ 
fedetiam^vmuerfkfHpldnumtaWiintefhnmy  quani  externum  ip^ 
fius  circuli  a c in  in  finitum  extenfi , Mamfefiurn  ejl  quod  circu- 
li centrum  reBam  likeafn  defctiheiipfi  a b aequidiBantem.Pun 
Ba^efoy  quaeintrapBifihaeriafn  a C funt  Cdnfilkuta , Cycloides 
defcribent  humiliores  qudfn  ipfd prifnaria  a d b . quafdam  etiam 
fiquod  incredibile  qUafi  v^^^  fleXudfds  y rfi^  non  ad  eafdem 

partes  concauufn  hahWtes : tales  autem  fient  ^puncth  prope  ce- 
if  um  cWculi  rot antis  exiBentihuf . PUnCMA/ero  y quae  ex- 

tra periphaer  iam  ac  erunt  y Cycloide  s defcribent  y ipfa  primaria 
altiWes  y^ojfque  in  infinitum  crefcenfes . 

Circulum  cuiufcunq.  cycUidispropriumgenmrem  dicere  pof 
fumus  eum  y cuius  pe  concentrica  fit  periphaeriaezQt 

iranfedtq.p^rpunctumcycloidemipfam  deferibens . 

Tnh&c  c'dmueniunt  omne  , qUdd  aequakbus  bafibus  infi fiunt  y 
■hMMittOres  tamen  cycloides  bafim  habent  genitrici  periphaeria 
maiorem:  altiores  ver'o  minorem  genitrici  periphaer^  bafim  ha- 
bent . 

Matio  y qudmvnaquaeq.  cycloidalis  figura  habet  ad fuum  trk 
dngulumymel ad  cir culum fuum proprium  genitorem , femper  efl 
maioris  in^qualitatisy^  variatur  in  in finitum  . Si  tamen  vtrum 

M 2 aue 


px  Appendix 

que  JJmul  c$jefidtres  triangulum^  circulumy  fqudli tatis  ra-- 

tiserif, 

Onine  fpatium  fub  qualibet  cycioide  linea,  & reda  eius  bali 
contentum,  ad  triangulmriiuper  eadem bafi fub  ea/i em  alti- 
tudine conflitutum , eH  vtperiph^ria  circuli  prbpfij  genitoris 
vna  cum  duplo  bafis  cyclaidis , adklupium  balis  cycloidis . Ad 
circulum  vero  proprium  genitor  em  vnumquodque  cycloidale 
fpatium  efi:  vt  duplum  baliS  cycloidis  vna  cum  peripheeria  geni- 
toris circuli  ad  eiufdem  circuli  peripheeriam . If  ^ 

. Hinc  ■pYoblemau  locus  pararetur  ^data  quacuj^q^rationema^ 
ieris  in^  qualitatis^  cycloidale fpatium  inuenire , quod  ad  tyian-^ 
gulum  ffue  circulum  fuum  ftin  data  ratione , (^in  data  baji , ^ 
Cuiufcunq.  cycloidalis  fpatij  ad  qiiodliber  fpatium  cycloida-' 
le  ( etiam  fi  mn  ah  eadem  primaria  cycioide  ortum  ducant)  ratio 
,eompon itur  ex  ratione  altitudinis  ad  altitud,  ^ & ex  ratione  du- 
pli bafis  cum  peripha^ria  genitrice ,,  ad  duplum  baiis  cum  perir 
pbfrkgenitfke*  _ ' ^ ■kvV;, 

7 ange }7icm  ad quodlihet  mp^tatumpunHum  dari pop  certu 
eft ; peculiari  primum  ratione  pro  Cycioideprimaridideinde  vnir 
ucrf ali  etiam  pro  omnibus  alijs . Tangens  ad  darum  qiiodiibet 
pundum  primaria  cycloidis  ducitur  ex  pundo  fublimiorigenb 
toris  circuli  per  ipfum  datunipundum  tranfeuntis . 

Tangens  ad  datum  puiidum  cuiufcunque  cycioiois  ducitur 
hoc  modo . Tranfcat  per  datum  pundum  cycloidis  circulusip- 
lius  genitor , quem  in  dato  eodem  pundo  contingat  redacon- 
ueniens  vel  cuni baii  cycloidis , vel  cum  alia  ipii  ^quidiftante  • 
Fiatqj  vt  radius  circulipoprij  ad  radium  circuli  priniary , ita  tan 
gens  pr^dida  inter  datum  pundum5^&  baiim  j vciasquidiftante 
intercepra,ad  aliam  quandam  lineam  apte  fumendam  a termi- 
no tangentis  in  ipfa  v el  bafi,  vei  ^quidiftante  .Tum  ab  extrerni 
tate  huius  ailuiTiprae  tangens  ad  imperatum  pundum  cycloidis 

emittatur . _ . • 

Nonmdla  e tid?n ‘Theoremata  pro  Mecanicis  contemplatonr. 
bus  eae  hac  f gura  derluari  poffent  ^ ni  fi  cornfukndum  iam  tandem 

ef 'et  m jtmul  cum  mole ftia  tedium  fiat  ^ 


t 


SOLIDO  ACVTO 

H YPE  R B O L I C O 

Problema  alterum  • 

Frotmium  ad  Leffonm . 


G G R E D I O R iam  opus  quod  ipfis  Geome- 
ix\x  candidatis  non  folum  difficile  videatur  ve 
rum  etiam  impoffibile . Ha^icnus  enim  in  Ma- 
thematicis Scholis  reperta  funt  dimeniioncs 
figurarum  ab  omni  parte  £nem  habentium: 
quandoquidem  inter  omnia  foiidaj  quce  ah  an- 
tiquis 5 & modernis  Auctoribus  miiitipMei  conatu  ad  menfuram 
redada  funt,  nullum  adhuc , quod  ego  feiam,  vllam  dimenfio- 
nem  habuit  cxtcnfione  infinitam  . Imo  flatimatq.  propona- 
tur fiue  folidum  aliquod,  fine  figura  plana , cuius  aliqua  exten- 
fio  in  infinitam  diftantiam  procedat,  vnufquifque  cogitabit  hu- 
mfmodifigLiraminfinite  magnitudinis  cile  debere  . Attamen 
foiidumhabetGeometria,  longitudine  quidem  infinitum,  led 
tanta  praeditum  fubtilitate , vtlicetin  infinitum  producatur,  exi- 
gui tamen  cylindri  molem  non  excedat . Tale  erit  folidum  illud 
ab  hyperbola  genitum, quod  huius  libelli  eontcmplatione  pro- 
fequemur  5 intactum  huciifque  ab  alijs,  & multipliei,curiofaque 
Theorematum  varietate  fiecuiidiffiinuiTi;  eo  vfq.  vt  , nifi  me 


Praemium . 


lat  affedhis,  vniucrfa  Geometria  inter  haiflenus  confideratas  fi- 
guras nullam  habeat  curiofitalis  abUtidantiorcm. 

Qu9  ad  methodum  demonfirandi , vnicum  quidem , & pre- 
cipuum  Theorema  duplici  conatu  oftendemus  * & per  indiuifi- 
biiia,  dc  more  Yeteruili . (^am^uaiti  ( vt  veta  fatcalnur^  pn- 
mb  inuentum  fit  per  Indiuifibilium  Geometriamiqui  fane  verus 
eft  demonftrandi  modus  fcientificus , femper  diredius,  &ipfi 
naturae  germanus.  Miferet  rtie  teteris  Gedmetri2^,qu^  tu  Indi- 
uifibilium  dodrinam,  fiue  non  nouerit , fiue  non  ad miferit,  cir- 
ca dimenfionemfohdorum  adeo  pducas  y^itates  inuenic,  vt 
ipsd  penuria  infelix  ad  aetatem  noflram  peruenerit . Antiquo- 
rum enim  Theoremat:!  circa  doddnaiii  foiidorum , quota  pars 
funteontempiationum,  quas  mirabilis  noftro  seuo  Caualerius 
f omifis  alijs  J in{lituit,circatot  clafles  foiidorum,  fpeci  e diifere- 
tium,  multitudine  abundantium  ? Methodus  noftra,quam  vfur- 
paturi  fumus  in  praefato  Theoremate, procedet  per  Indiuifibiiia 
curua,  fine  aliorum  exemplo,  non  tamen  fine  prirmiiTa  Geome 
trise  approbatione , Gonfiderabimus  enim  omnes  cylindricas 
fuperficies  circa  communem  axem  in  noftro  folido  deferiptibi- 
les . Cuius  rei  cum  nullum  Gaualerius  ipfe  tradiderit  in  fua 
Geometria  elementum , exiftimauimus  noftram  arguendi  ra-^ 
tionem  exemplis  aliquot  elTe  corroborandam . (^lamqiiam 
hoc  apud  me  fuperf  luum  fit ; cum  iam  totum  huius  libelli  pro- 
grelTum  ratum  habeam , eb  quod  ipfum  admiferit , probauerit- 
que do(5tifiimus , & eruditifiimus  vir  RaphaelMagiettus ; cui, vt 
in  plurimis  alijs  fcientijs,  artibufq;,  ita  & in  Mathematicis  di- 
fciplinis  neminem  quis  iure  antepofuerit.  Prjemittemus  ita- 
que ante  ipfum  opus  , fub  Exemplorum  nomine  , quafdam 
Geometri^  propofitiones  iam  pridem  notas, fed  a nobis  per  In- 
diuifibilia  curua  demonfiratas:  Sic  enim  magis  manifefium  fiet 
hunc  modum  demonftrandi  non  elTe  negligendum , prsefcrcim 
cum  in  rebus.diificillimis  maximum  ipfius  momentum  reperia- 
tur . Indiuifibilia  verb  curua  qu^e  ad  hiiiufmodi  demonfiratio- 
nes  idonea  funt,  in  planis  quidem  figuris  folx  circulorum  peri- 
phseri^  fe  fe  offerunt  j in  folidis  autem , fuperficies  fph  tricae, cy- 


9f 

lindricse  conic^eque  ^ fantum  confidera- 

biles  funt»  tamquam  ipfas  figuras  perfede  adasquantea»  & vn-^ 
dique  aqualis.  vniformifque  fvt  ita  dicamj  fpiflitudini$  - Pro- 
mittimus igitur  ante  operis  aggreflionem » prpmifla  aliquot 
Theorematum  Geometricorum  E^cempla  , 

EXEMPLVM  PRIMYM. 

E Sta  circulus^  cuius  centm 
a iJlmidiametcTtdi  b % tan 
gemveri) Jit  hc 
tur  aqualis  penfhdrtA  h d ..  T u 
conimMur  a c . Dka  circu^ 

Ium  b d . triangulo,  a b c e([h 
aqualem . 

Sumatur  inpmidiamcpo  a b , qmdlihetfunilum  it  & ftrd 
agantuTtyfcrphpia  io  cmaidcmccntrum  drrc04  U f4- 
ralkta  ad  b c.  Mrit  itaque  ftripJar  ia  b A y ad penjhariam  io* 
mftmidiameur  b a yod  ^ i • (demonfiratur  enim  4 frim > 
non  fufpodtd  circuli  dimenfione ) Jiue  'vt  b e ad  i 1 ^ ^permu.-^ 
tan  do  i eritpetipharia  \x4y  ad  reMam  hCyVt pcrip^aria  i Oj  ad 
r cedam  i | . Mrgopcripk§ria  i p , reila  i 1 erit  aqualis  i hgc 

Jmper  yvbicunquejdt pmdlum  x ^ MB:4Pck  om^is  ppjfjmria 
Jimulfumf  tfy  amnijus  reBis^mulJumptis  aqpalcs  frmf  e nem- 
pecir culus  igt  b d,  aqualk  erit  pimguk  a S C ^rc. 

emevT^at  am  ho^  l^iiem^au  Frima  Jit  3meHjhm 

mguki^ 

Exemplum  II*' 

Estucmuksyfmmradim  ab,  tangcpjqmhc  Jkaqualis 
diametro  y &comuneldzccometttC4tm  figura  ab* 

itanft fiatfphara  b conusreSius  c a d . DkdfpScram  b f, 

com  c a d ejfe  aqualem  ..Sumatur  enimm  a b quoduispumiu  i, 
^ per  ipfum  i tranfieatfuperficies fphpicai  h , circa  centrum  d.; 

circu-^ 


circulufq\  lim  incomcx  A .Iam:fk- 
perficies ffh^ric a bf  /tqualis  eritcircu- 
lo  cd  .ffh^YicA  %!eY'b  bf>  ddfphAricam 
1 h , eBvt  quadratum  b a , ad  quadr at m 
ai; fiue  vt  quadratum  b c ad  quod,  i 1 ; 
nempe  vt  circulus  cd,  ad  circulum  1 m. 

Sed  antecedentes  aquales funtiCrgo  etia 
conjequentes : nempe  fph^ric a fuperfici 
es  ih  , f qualis  erit  eirculo  1 m . Et  hec  femper , vhicumque  fit 
pun^um  i . Propterea  omnes fphaericaefiuperficies  fimul( fiue, 
ipfa  sphaera  b ?)  aequales  erunt  omnibus  circulis fimul  fumptis, 
fiue  cono  c a d . ^od  erat  &c. 

■ Aliter.. 

ESto  fphaera  , cuitis  diameter  a b , 
tangenfq.  hd  fit  aequalisfemidia 
metro  fphaeraiEt  coniunctd  a d , comer 
tatur triangul.  adb  eirca  axem  bd. 
ita  vt  fiat  conus  reclus  a d c . 

Ibico  fpb aeram  a b aequalem  ejfie  co» 
no  ad  c.  Sumatur  enim  in  diametro  a b quoduis  punBum  i , 
per  quod  tranfeat  circulus  ih,  ad  axem  eremus  in fphaera;fir fu 
perficies  cylindrica  Ii  m n , circa  axem  dh  in  cono . 
fexti.  ‘ I am:  cum  ah  dupla  fit  ipfius  hd^  erit  ai  dupla  il^  ergo 
quadratum  {i^quod  aequale  ellreclangulo  aib,  duplum  erit 
^ p de  teCl anguli  1 i b , ^ aequale  reB angulo  lim.  Propter ed  erit  cir 
piidts  culus  fh  aequalis  fuperfieiei  cylindricae  limn  . Ethoc fiem^ 
/phxr . vhicunque  fit punBum  i . Ergo  omnes  circuli  fimul, fime  ip- 

fafph^ra , aquales  erunt  omnibus  fuperficiebus  cylindricis  pmul 
fumptis , nempe  ip fi  cono  a d c , concordat  cum  3 2 . liba* 

Me  Sphaera  & Cylindro  Archimedis . 

. { 


EX5M. 


Exemplum  IIL 

E Std  qMadrMum  a bcd  (nifienim 
qmdrAtum fuffonatur^  ratiocina- 
tiofalfd^uaderet , oh  indiqudlemfuperji- 
cierum fpij^itudmem^  fitie  oh  diu  er  Jit  d- 
Um  tranfitus)  cuius  quadrdti  e Jio  did~ 
meter  ac  y&  cmuertMur Jigura  circd  dxem  c d , itd  'vtjidtcf-^ 
lindrus  ceuus  acf-  Sumdtur  deinde inreei a d.Cyquod'- 

Uis  funUtim  h i ^er  quod  inulligdtur  aCius  circulus  h 1 , intra 
e:onum  com;pr^h€nfus I (dr  ir/fu^er  fuferjicies  cylindrica^  cuius 
feBiofit  h i s axis^erx)  c d . Erit  ergo  fuperjicies  cylindrica  h i 
ad  circulum  hljuam  hajim,  ^t  reBa  hi,  ad  quartam  partem  Sfhdt,  * 
diametri  h 1 Et  hoc  njerum  eritjemper,  •vhicunq ; JitpunBum  h, 

E rgo  mm^s Jimulf up  er f cies  cylindricjt  {nempe folidum,  qmd  ex 
cylindro  relinquitur  ydempto  cono  z.c%)  ad  amnes  Jimul  circu- 
los  {hoc  eM , adconum  acQ  erunt , vt  funt  omnes  Jimul  reU^ 
trianguli  a b c , ad  quart am  p art  em  omniumreci arum  triangdli 
a c f nempe  inramme  dupla . Suod  concordat  cum  Theorema^ 
te  xMh.  XII,  Euclidis., 

r 

Exemplum  I V. 

E Sto  conus  rcBus  a b c yruius  axis  b d>* 
drproduBa  b c in  Cyit a ut  circulus, 
cuius  diameter  c e , Jit '^qualis  curua  fu^ 
perficiet  coni  a.  bc  , comipidtur  circa  dia- 
metrum  c e circulus  er  eilus  ad  planum  a 
b c ,•  &fiuper  circulo  c c , inteUigatur  aL 
ter  conus  c dc , habens  uerticem in  d. 

Eico  conum  a bc  , cono  e d e,  ejfie  fqua^ 
iem. 

Sumatur  in  reBa  d c quoduis  punBum  h , qmd  duBa  g 
h ri  pATalleUad  h t ^mtelUgatur  per  h g fuperficies  conica  m* 

iV  g h ; cir-- 


p8 

g h ; circ^q^  ipfdm  h ti  circulus  fdralletus  circule  e e . Idm  t c4^ 
nicdfuperfictes  a b c , dd  c ir culum f ud  bdjis  a c , ejf  vt  recld  b c 
dd  z&  yfiue  vt  g h ad  h d i;  nemf  eyVt  comcdfupcrfcics  m g h, 
ad  circulum  h m . C irculus:4utem  a c ^ ad  circulum  ce,  ellvt 
quadruplum  quadrati:  d c , ad  quadr^.  _c  e i ^uc  vt  quadruplum 
quadratiA  \\  ^ ad quddrat)xr\ ; hoc  e B vt  circulus  m bj  ad  circu 
Ium  h n Ergo  ex  dquo  y erit  comca  fuperfi^  a b c , ad  circu^ 
Ium  ctyVt  conica  m g h y.  ad  circulum,  h n Et.  hoc  femper  ve-^ 
rum  erit  , vbicunqr  fueritpuncium  h ,,  Ergo  omnes /imulconic^ 
fuperficir.s.i^nempe  conus  a b z)  aquales  erunt  omMibusfimul  cm 
culity  nempe  cono.cdQ  .Quod  erat  (jrCf... 

Concordat cumhoc  Tbepremate  Prof  og,  xvij  Ub*  f rimilTe  xylin,^. 

dra.Arehim^.. 

ExeiTiplum  ¥», 

E Sto  circulus , cuius  diameter^  a b ,,  pondturque  tangens^  h c 

. didmeE^qualisy  idgiun^ d 2.c^  conuertatur  f gurae trej  ax^ 

a b , it dvt Jiat  fp hara  a e b f , cd  conus  r e5l:.us  c a ii . 

I>ico  conum  c a n , ipjtusfphara  dup- 
lum e (f  e. 

Accipiatur  in  diametro  zh  quodtihet 
punclmn  d , p er  quod  agatu  r ptdnmn  c £ 
ad  axem  a b ereifum  i quod  quidem  pkt- 
ntim  duo sctr culos  e-^  iet%  alterum  f in, 

/ph  ardy  alterum  vereE  t meono  i Conci- 
5.  p,“  ie  piaturfuperbafi  h i cylindrus  reciUs;h.Xml\.  lam  7 fuperficles: 
poli:  fpb::  cylindri  h Imi , ad  cireulmui  e £,  e, E v.t-  reEangulMm  ii,  ad, 
quadratum  e d ,•  nempe  duplax  Et  hac  femper  iv.btcunq.  fit  pun 
Bum  d ::propterea,vt  vna  ad vna,  ita,omnes  ad,omne.s.,Erunt  er-^ 
go  omnes  fuperficies  cylindric.d  ,.  nempe  cenus-c  a n ,,  ad.  omnes: 
circulos  i nejnpe  ad  fp heram:  a e b f yinratione  dupla  ...dluod  (fc,^ 

Comrrdat s.umMm  Theoremate  Propopr  xxsxij  . Te  Sfhera.,^  ter  eylmdrj 


fexemplum  VI. 


h i tangenti  a c ^parall eia , circa  axem  e f 
reuoluta , 1 am  c a ad  a e ejl  Ih  ad  h ^ fumatis  eonfe-^ 

quenfium duplis , c a ad  2ih  ^ vtWs.  ad  h i . Proptered,  1 h 
ad  h i aqualis  erit ; ^ ideo  fuperjiciescurua  cy  lindri  1 h i o aqua 
lis  erit  fuper fidei fpharka  hi.  Et  hQcfeniper , vbi  unp'^  fuerit 
pundum  h . Fropteredonmes  omnibus^  nempe  omms  fuperficies 
fph^ric^ fimul  fiuefph^ra  a b , ^quales  erunt  omnibus  fuper yf- 
ciehuscylindytcis filmul  ^ hocefifolido  excauato  c a b d . dempto 
cono  c td.^od (fit. 

Concordat  cum  hoc  ‘theor,  Vropoptio  i xM  Sfhtsra  iST  cylimltQ  . 


|j€mma^ 

SV per  fi  cies  csnuficunque  cylindri  >*<?■* 
cii  a b ( intelligo  femper  fine  baf^ 
bus ) adfuperficiem  curuam  cuiujcunque 
fegmcntifpharici  c ficytfi  *vt  r e cl angu- 
lum per  axem  cylindri  ^ ad  red angulum 
f d i ,/ub  catetofiegmenti  ^ fi  diamem  fphgra  . 

Nam , fuperficies  cylindrica  ab,  ad cir culum  cuius  fiemidia- 
meterft Imeaexpolo  ycf  vt  refiangulum  ab,  ad  quadra- 

- ■ dd  •:  'jg  tum 


i) 


B' 


roo 

t/im  d c : ^r^^pimptu  confiqu&nrtltim  ^quatihui  ^ ertt  cyBn^ 

drkiJdjMperjicies-iddcurUdmfph^rici  fegmenti  ede  fuperficie^ 
tt^angul^mz.  b ad r€,^angulHm  f d i ..  ^l^od  erat 

Exemplum,  VIE 

EStctifpBdra.,  vna  cum^cylinim;  fibi  circumferipro  ^ querum 
axis  fit  rt^a  Seetntarq:,  pldno  ixh  ad.  axem  ereUo 

cylindrum  2ihiy,fefq^^  ejfie  (olidi  feMoris  fpk^rici 

ercfg. 

Accipiatur  ct  aqualis  tp fi 
cn.,  dr intelligatur  cylindrus 
1 c d m 5 cuius  ahtuado.  1 c . erit 
que  ^qurdis  cylindro  a h . €on--  A 
aipiatur  etiam,  demptus  conus 
1 g m^ci^/dmpto  in  axe  c ^ quo- 
uispunBo  o fiant  aquades^^o  y 
g r 5 ^ tran((eat  per  ipfumpun-^ 
iiu  o fph pica fuper fides- o U; 
infectore-^  cyLindriea  i o,r  f,, 
in  folida  cylindrico»  le  d ra  ex-- 
cauato  ahlatime  coni\  ^mfit 
que  tamfphpic^,  fup  er  fidei  quam  tylmdm^  tranfieuntisper  a, 
diameter  ipfia-QX.- 

lam ::  tota:  c g , adtotamrectam  g o , eii  vt  e g;  ad  g q,  nertp- 
pe^vtabiata: ag,, 423?' gp ddebreliqua  c n ^ad o p , erit  vt  to- 
ta cgydd  g ©fifiue  vt  c 1 j.  ado  i ..  Sed  ant  ec  e dent  es  fiunt  aquOr- 
les  yergoredi-f  o p^,.  at  f quales  erunt  ^ Froptered  rectangula  r 
o p,  r oi  aqudid  erunt yfi^fiupe^fiei es fip hpka  ,.e\  o \x  aqualis 
efitfiuperfitcieicylmdric^  i ari..  Et  he  femper  y vbicunque  (it 
punctumo.  ^ Erghomnesfiuperfitciesomntwsmfiegmentorum  fpha~ 

ric orum  (nempe fidlidusfec tot  e cf  aquate s er UMt  omnibus fii- 
perficiebus  cytmddad^^  kor  e fi /olido  excauato  Lc 

d m ^ Cuifi.  addatur  conus  iam-abtatus^  l gna,  patebitpyo-pofi— 
tum ::  nempe  cylindrum  \cd.-myfiue  -XAifiefqui  ait  erum-  efifie  fi^e- 

€Uris fpkpid  e c;f  g . 


K \ 

!>=- 

f 

/ 

fx 

; \ 

7 

R.  J 

-/VI 


D 


Leni- 


lOi 


Lemma. 

Rem  circulorum  ab,  cd.  inter 
Je  rdtionem  hdbent  com^o fit um  ^ 


txrationejemtdiamettorum  ag 

ex  r ut  tone  angulorum  a g b ad  c fcl . \ jt 

7^ am  yfiat  angulum  c f h aqualis  angulo  G r 
agb.  Erit  igitur  arcus  ab/^^ch, 

femidiameter  a g ad  e f ,*  fed arcuc  ch.  ad  efivt  angulus 
c f h , mei  agb,  ad  angulum  z f d . Ergo  patet  arcum  a b , ade  d> 
tationem  habere  compofitam  ex  rationibus fiemidiametTorum  a 
ad  cf j angukxum  a g h ad  c f d , 


& 


Exemplum  V I II. 


E Sto  circulus  ^ cuius femidi amet  et  a b 
fit  initium  tine  a fpir  alis  a eib  . Se- 
cetur  bifariam  ixh  in  c;  & eredi  a perpen^ 
diculari  c d , quantacunque  ^fiat per pun 
€ia  a d b parabola cuius  diameter  c d . 

' ^ centro  a , interuallo  a c fiat  arcus  c e, 

Jbico  fpatium  /ubtpsafpiralfcfiredfdzh' 
comprahenjum , adfadtdparabdldm  a d b, 
cjfe  'vt  arcus  c e,  ad  redtam  c d . 

Sumatur  in  ab  quoduis  punBum  aliud  d puelo  c,  putah  ; ^ 
per  h fiat  arcus  hi  infpatiofpiralis,  recta  hi  in  parabola  ^ 
ip ftus  diametro  equidifians . 

lam  z arcus  c e adh.  i rationem  habet  compofitam  ex  ra- 
tionem femidiametrorum  c d.  ad  di  h.  y (tr  ex  ratione  angulo- 
rum , fue  ( quod  idem  e fi  oh  lineam  fpiralem  ) ex  ratione 
temporum  , nempe  recta  c b ad  b h . Ergo  arcus  ce,  ad 
hi,  efi^t rect angulum  zcb^ad rectangulum  a h b ^fiue vt  re- 
ctae d ^ad  h i , ob parabolam  . Permutando  ifritur^  arcus  zt  ad 
rectam  cd^efivt arcus  hi  udYectam\i\',(^hoc?mdofemper  y 

uhicun- 


. J O J 

f.kktinque Jit  functum  h . JErgo^mnssJimulurcus,  Jiuk  ffdtiU 
ffirdis  j ad  omnes  fimuL  rectas , memfe  adf  ardboldm  j ^runt  m 
unus  arcus  c tYddunamrectam  c A»  Jijuod  erat  ^c. 

Si  qui$  ergo  potiat  redapn  ^^^qual^Ti  atcpi/emicirc 
erit  parabola  a d k aequalis  fpatio  fpirali . (^idque  arfbu^  4iijs 
modis  fpatiumipimlisline^,  in  par^olainttansfbrniatdi^qilS-- 
quam  non  omnes  per  curua  indiuiiibilia  proc  edant « Et  Thed* 
rema  concordat  cum  2 5.  delineis  fpir^libus  Archimedis»  : 

Exemplum  IXj 


n.duede' 
cimi : 


E Sto  hamiffharium  2ih  c , cuius  axis 
b d . conus  uerloinJicriftusSi  b C . Z>/- 
cOi  hemiffharium  if fius  coni  effe  duflum . IvT 
Sumatur  in  rectd  a b functumquoduis 
\'i  fer  quod  trdf tat  circulus  sxoinhemif^  -A.  F D L C 
fhario  erectus  ad  axem}  (Jfuf  er f cies  cy^  . . 

lindrica  f i h U //s*  cono  circa  axem  p 4i 

lam  : circulus  n o^  ad  i h j e B:jut  quadratum  n p p i ? 
diuidendo  ^ armtll a circularis^  cuius  latitudo  ni,  ad  circulum 
i6  Sex*  ^h,  n\o , ad  quadratum  {'fifedrectangu^ 

p , Ium  n i o fme  a i b , f quale  fejlrectangulo  f h Jnamq^  er  ^Jextii 

2.1  ad  \ f , eB  ut  ii  i ad  ib . ) Ergo , armilla  n i^  ad  circulum  ib, 

^ de  crk Ut  rcctangulum  f h , ajquadratkm  i ^ i jiue  ut  cylindrica 
/oli:  Bh.  Juferft  ies  ad  eundem  circulum  ih,  Aequdes  er^Junt 

armilla  cir cidaris^  cuius  latitudo  ni,  cJfuf  erficies  cylindrica 
fi  h \:rdr  hoc femfer , ubicunqjh functum  i Ergo  omnesjimul 
armillf,  nemfe  folidum  hamiffpjaricum  excauatum  demfto  cono 
a b c , aquales  eruntomnibus  fimulfuferficiebus  cylindricis^ne». 
f€  if fi  cono  a b c . Eroftereaconiungendo^fatethemffhm^^^ 
inj cr i fti  coni  duf  lum  ejje , ^^odcfc. 

Exemplum  X 

Vodlibet  minus fegmentum  ffhaerku^^  ab  C , aequale  ejl^ 
conoidi  cuidam  hyferboU^^^^  eandem  altitudine 

idi  ha- 


10/ 

Ed  habenti ^ fuf  er  hajlm  uiro  e f,  fqua- 

i.emcuruaefu^erJicmfegmenti-,eonJi:i~  ^ 

tuto  '.  cuius  latm  uerfumjit  d ^yfciUc et 
differentia  inter  catetumpgmenti^e^  r A 
diumphaerae .. 

N ampumatur  in  fagitta  b d quoduis^ 
functum  n , '^er  quod  tranfeat  ffhaerica 
fuperfteies  o nr,  frior  i concentrica  in 
fegmento  -,  ^ circutHs  cuius  radius  n m», 
ka(ifarallelusinconoide.i^ 

V.ruq^.curuafuferfic)es;2ihc:yadcur^ 
ttam,  o s V y Ut  ck  ulus  exradm  a b , ad:  circulum  ex  radm  an  j . 
qM aequalitatem  tjju e ut  quadratum  a b ad.  o n , ue/  ut  re6ian~ 
gulum  ib  d,;  ad  r e cf  angulum,  h n d .ffucy  infubduflis  y utre^ 
cranguium  g bd , ad  g n d i ffue  ( oh  hyf  erbolaml)  ut  quadratu 
\y  i->ad  quadratum  n is  ,* Jiue  ut  cirmlus  radia  b f,  ad  circulum 
eu  radia  s |;TI  Sed  ant  ec  e dentiafunt  aequalia  ferfuffojfftioney, 
ergo  aequalis  eritfuf  erficies  mrua  O n r , circulo  cuius  radius 
n m E/  kocfimfer ; ergo  omnes  omnibus ; nempe ffhaerae feg~ 
mentmn  minus  aequale  erit  CMnoidi  hjperbolico..^od erat 
' Quando  vero  fegrncntum  fpharse  fuerit  Hemifph2erium,de- 

' sionftratiir  aequale  cono  , qui  bafim  babcat,^qualcm  curu^  fu.-- 
' f erficki  hcmilpberij , &altitudiliem  eandem 

Quando  vero  kerit  fegoienmm  fpba?r^  maius,  tunc  oflen-- 
detur  ^quaie duobus  {olidis  nempe  friifto  cuidam  redto  conoi- 
dis  hiperbolici,  cuius  maior  bafis  fit  ^rqualis  curuae.  fuperiiciei 
fegmenti.  fpbariei , latus  verfum  fit  excefrus  fiigittte  fegmenti 
fupra  radium  fpharir,  altitudo  vero  exeeflus  dia.metri  fiipra  fa- 
gittam . Et  cono  cuidam  , fupcr  minori  baii  pr^didfi  frufti  c6- 
ftituto , cum  altitudine , quae  fit  tequalis  lateri  verio  ipfius  frufti .. 
Eaeiiis  demonfiratio  eft,quamqiia^  propofitio  difficilis  videan- 
tur.,. 

QoncM  dantia  praecedeMtis  demmMrattomSj 
cMmJoMrmdArcMmedisf^. 


SMm^ 


ittde  Co 
notd:  tS" 
fph^roid: 

dem ; 


w 

e^f- 

G 1 

T J 

I 

V 

/04- 

Sumptd  pYdtcedenti  ciinfiriiBlme  ^ 
figura  \ Efia  Comid^s  hyperbolicum  c d f 
quod  ofienfum  eji  aquale  minori fiegmen-- 
tojphara  a b c , Dico  illud-i€tiam  exdo^ 

Eirt na  Archimedis  ^ pquale  ejfie  pruidi^o 
fegmemo  fpharico  a b c. 

Tiro  ducatur  i u qualis  radio  fiphara  ^ 
eritqifiegmentum  minus  a b c y ad  conum 
a b u d ad  Ai , Tetnatur  -etiam  td . 
fefquialtera  ipfius  g d . Eritq\  comides 
e d f , ad  c onum  ^ d f , vt  t b ;ad  b g , 
lam:fegmentmnfiph4rieumyadGonum 
fuum  a b Cy  eJi  vt  \xd  ad  d^  i t conus  autem  2ih  C y ad conu  Squfi 
altum  c d f » e fi  vt  quadratum  a d yadquadratum  e b \ fiue  ad 
^uadr  , a b j n emp  e vt  reSl angulum  i d b , ad  reblang-.  i b d yfi^ 
m njt  eorumde  altitudinesydi  ad  i bi  Ergo  ex  f quo  yfiegmentum 
fiphdra  a b c > ad  conum  e d f,  eJl  ut  u d^  ad  i b fiue  ( fum^ 
ptis  earumdem  redarum  fuhduplis)  m r b ad  b g . Etejnpe  uf 
Conoides , ad  eundemsionum  . e d f.  Aequantur  ergo  fiegmentB 
f philtra,  y .&  ipjum  Conoid:  etiam  ex  doEirind  Archimedis .. 

Afrumpfimusre<5tas/i,^^.  ciTefemiifesrcdar^^^^ 
re fptdiu€,  & hoc  patet  . Nam  , ex  duabus  femi^ 

diametris,  Scexipra^^  j fed  condat  ex  vnka  femidiametro, 
& femiffe  dgy  ob  conftrudlionem.  Reliquum  manifcdum  ed, 

Latus  Redum  pr^ediai  Canoidis  uon  eft  necefiaiium^quan- 
doqiiidem  datur  latus  Verfum,  & femidiaTOter  baii^  fed  fi  quis 
illud  requirat  inueniet  duplum  efle  lateris  verii. 

Exemplum  XL 


iafis  a d , axis  ^ere  p e , mtelligatmque 
Matus  ab  ipfio  conus  b e c > ita  ut  relin- 
flUatur  cylindrus  excauatus , Produc a^ 
Uf  deinde  c d in  i yitast  d duf^ 


\ t 

U ■ 

tum 


ro  5 

reBdnguU  c d e,  imBa  e f contimdtrn  nidfsg.xA  i(faU 

'4^m  tnMgmationeynmi  ferfe&a)  ita  vt  oriatur  qo~ 

■MUSf  Gums  bafisfemidiameter fit  Ai , axis  tvcro  e d • Dko  talem 
Gonum  aqualem  effiefr^diBo  cylindro  excauato . Sumatur  enim 
in  axe  c d , quoduis  fundum  i y (fi  fer  iffium  tranfeat  fuferficies 
cylindrica  i 1 m n , circa  axem  (.^in  f olido  excauato  cylindrico  ,* 

:cfi  circulus  cuius  radius  i o in  eo  cono , qui  axem  habet  e d . 

lam  circulus  ex  radio  d f , ad  circulum  ex  radio  i o qua 

dratum  d f ad  i Oy  fiuavt  quadratum  d e ad  e i -ifiue  vt  redan- 
gulum  ede  adrcBang,  Viti-Sed quadratum  df  fonitur  duf>^ 

Ium  red anguli  ede;  (rgb  quadratum  i o duflum  erit  rcBangu- 
/i  li  e v(fi'  ideo  aquale  red  angulo  1 i n m . Prof  tere  ficir  culus  ex  ^ 
radio  io  aqualis  erit fiuf  er ficieicy  lindric  a linnii  (fi' hoc  fem-'  fiU:  fth. 
f er  vbicunq^  fit  fundum  i.  Brgo  omnes  circuli  fimul^  fiue  co^ 
nus  cuius  axis  efi  e d , aquales  erunt  o mnibus  fiuferficiebus  cy^ 
lindricis  fimMl , fiuefoli  do  cylindrico  excauato  a b e c d « ^uod 
€rat(fic. 

Quod  autem  concordet  cum  Euclide  1. 1 2.  oftenditur . Nam 
conds  ^^c,ad  conum  eum  qui  habet  axem  ed^  rationem  ha- 
bet compohtam  ex  ratione  altitudinummempe  reto  f e ad  e d^ 

Eue  re^tanguli  f e d , ad  quadratum  ed^  & ex  ratione  bafium , 
nempe  quadrati ad  quadratum  df.  Ergo  conus  ^c/,ad 
conum  cuius  axis  eft  e eft  vt  redangulum  f e dy^d  quadra- 
tum dfy  nempe  fubdupliis,ob  conftrudionem ; fed  idem  conus 
hec  fubduplus  eft  folidi  excauati  ^ ^ e r ergo  etiam  ex  do- 
tona  Euclidis  patet  folidum  cylindricum  excauatum  ah  e c dy 
aquale  elbe  cono , cuius  axis  eft  ^^,radius  vero  bafis  df,  ^cc„ 


Exemplum  XIL 


Vilibet  cylindrus  r edus  zdo  y cuius  axis  fit  dy  actualis  i 
ed  conoidifaraholicoycums  altitudo  fit  c d ifiemtdia’- 
* meter  veri  bafis fit  d(y  qua  quidem  fotent  id fit  <squa 
lis  red  angulo  a b tfir  erit  circulus  ex  radio  d e aqualis  fiuferfi-  5 paefv 
cieicylindricg  ab. 


Intel-' 


IO(f 

InteltigMur  comem  ffmipdrSoU  ec  d 
circa  axem  c d , itavt  fr<iedictum  coneides 
eriamr , fumpto  deinde  in  axe  cd,  cjMolibet 
^ punBo  per  ipfum  tranf  tat  in  cylindro  fu^ 

perficies  cylindrica  1 1,  circa  axem  c f;  at  A C 
in  conoide  ycirculus  ^ cuius  fiemidiameter fic 
i h , ba(i parallelus  . 

lam  ifupcr fides  cylindrica  a b .•  ad cylin-- 
dricam  ii,  eH  vt  red angulum  ab,  ad  re- 
dep  B angulum  il,  fiue^t  eorundemfiemtbafies^  dc  ad  cufiuemfi 
effpara  d^  ib,*  nempe  *vt circulus ^ exradio  dt  ad 

bQlam,  circulum  CY.  radio  i h . Sed  antecedentes  ponuntur  aquales,  er^ 
go  etiam  confequcntes  ,•  nempe  fiuperficies  cylindrica  \ 1 , aqua~ 
lis  erit  circulo  ex  radio  i h .•  ^ hoc  f emper , u^bicunque  fit  pun~ 
Bum  i.  Pr Opter ed  omnes  cylindrica  fimul  fiuperficies  omnibus 
ctr culis  aquales  erunt . videlicet  cylindrus  cmoidi  .^od  cfic: 

Demonftratur concordare  cum  Archimede  hoc  modo . cy- 
lindrus ab  ad  conum  in  conoide  inferiptum , rationem  habet 
compofitam  ex  ratione  altitudinum , nempe  ex  ratione  fi  c ad 
tertiam  partem  c d\  ( pro  cono  inferipto,  accipio  cylindrum  in 
eadem  quidem  bafi,  ied  cum  altitudine  fiibiripla /&  ex  ratione 
bafium,  nempe  quadrati  cdzd  de,  fiue  quadrati  .c  ad  re- 
(ftangulum  ab,{im  redcC  ad  duplam  c/iiiue  in  fubmplis 
vt  tertia  pars  c d,  ad  duas  tertias  ipiius  efi,  Propterea  cylindrus. 

^ , ad  conum  in  conoide  inferiptum,  ent  vtfe , ad  d uas  tertias 
ipfius/ir , nempe  fefquialter ..  Concordat iraq;  cum  .-deGo- 
noid.  & fpha^roid. 


Exemplum  XI  IL 


Vilibet  conus  reBus  a 5 c , cuins  axis  fit  b d , aqualis  efi 
fiph(&roidi , qua  axem  habeat  d c,  nempe  fiemidume-^ 
trumbafis  conii  (fi  fieBd  dc  bifariam  in  ifiemidia- 
meter fiphproidis  fi  e potent  id fit fiub  dupla  trianguli  a b c , 
Compleatur  rcB  angulum  f h 1 u ; eritq. , ob fiuppo finio  nem, re- 

B a {c 


I 

dms  io:  i aqualis  mpfiiferfcki  eyiMfk^i  fh 

circ^  4x^m  b d , 

SumMmiam  qdedUhet  functu 
i in  axe  dc.c^per  Itranfeatfu^ 
fer fetes  cylindrica  i m n o ; cir  • 
culus  in  ffharoide.,  cuius  radius  fit 
ip.  Superficies  itaque  cylindrica 
fi , ad  cylindricam  in,  eB  vt  re^ 

Ct angulum  f 1 ad  i n . NernpCy  ra^  ^ 
tionem  habet  copo  fit  am  ex  ratione 
f h ad  i m yfiue  f cad  c i ; cfi  ex  rap- 
tione fu  ad  ioyvel  fd  Wdi. 
erit  itaq.  cylindrica  f 1 , ad cylindric amTi  n ^ rectang,  d fc  ad 

rectang,  d i c ;fiue njt  quadratum  £e  ad  ipy  nempe  vt  circulus 
ex  radio  f e , ad  circulum  ex  radio  i p . Sed  antecedentes  aqua 
le s fiunt  y ergo  etiam  coHfiequent es : nimirumy  fiuper fides  cylin-* 
drica  i m n o,  aqualis  erit  circulo  ex  radio  i p.  (fi  hoc  femper^hi 
cunq. punctum  i , Ergo  omnes  omnibus:  hoc  efl  conus  a b c^aqua 
iis  erhfipharoidipradicta . ^uod  erat  (fic. 

Concordare  cum  Archimede  oftendemus.  Nam;  conus 
ab  conum  in  hemifph^eroide  inferiptum , rationem  habec 

compofitam  ex  ratione  bafium,  nempe  quadrati  d c , ad  quadra 
twca  fie ; vel  quadrati  dc  ad  redtangulum  fil ; (iue  (cum  redtan-. 
gula  habeant  sequ^em  baliinj)  red^e  d cy  ad  ; fiue  ^ c ad  dh. 

Et  ex  ratione  altitudinum,  nempe  b d ad  df.  Erit  ergo  conus 
ad  conumin  hemifphseroide  inferiptum,  vtreda^c  ad  re- 
dam dfiy  nempe  quadruplus.  Concordat  ergo  cum  Prop.2^^ 
dc  Conoid*  & fphteroid. 


Mi;  ppk; 


'6 p:  iefa 
lid;  fibt 


oh  ellk* 
Jim , 


.'i 


Exemplum  XIV* 


E 


Sto  parabolay  vel hyperholay  vel  ellipfis  ^ vel  circuli  circumi' 
fierentiaycuiusaxis  ‘ixhi  fiemilatusreBum  fit  ad  am^ 

O 2 gulos 


gulosreBoscttm 
axe  a 

iuncia  bc  ab 
extremitMe  a~ 

.Su 

matunam  qua^ 

Uhet  ordinatim  . 
apflicata  dc,. 

■jjrodMcfain  f; 

f onucrtatur  ipfa  feBk  eonicd  ctrcd axem  a e ; fed quadrildd 
terum  a e £c  conu enatur  circa  a c . Bico  folidum  fadtum  A 
contierfione trilinei  dae,  f quate  ejje foUdo  efcih,  fattoA 
cfimerfione quadrilateri  aefc,  circa  axem  ac  reuduti. 
Nam  i cum  a C'  fit  Jemilatus  r edum  ^ erit  quadratum  applid 
cats  d e , duptum  red anguli  a e f , dr.  ideo  aquale  reBkngu- 
lo  hef.  Fropterea-iCfrculuSiCuinsradius fit  <&qualis erit 

fiuperficiei  cylindricf , qua  de  fer  ibit  ur  a reda-  e f , circa  axem^ 
a c conuersa.  Bt  hoefemper  -)  ^bicunq\  fit pundum'  e . Ergo 
omnes  omnibus . Nempe  omnes^circulifimul \fiuefdlidum  qonoi 
dale  i aquale  erit  omnibus  fuperficiebus  cylindricis  fimutfium~ 
ptis^nempefolidddefcripto  d quadrilatero-  aefc , circA  axem 
ac  conuerfo . ^uod&c^ 

Seholiumv, 

S I quis  vero  dubitet  , an  procedens  Tfieoreina  concordet 
ciiin  Propofitionibus  Archimedis,  omnem  dubitandi  oc- 
cafionem  delebunt  tres  feqiientes  demonftrationes  ^ 

€oncordantia  pro  G onoid t par  ab  otico , 

EOio  conoides  pa  raboliciiin  a b c . Qftendit  Archim.  Prop 
23.de Conoidv&Sphseroid.  Conoides  ahe^  eiTefelquiaL- 
terum  coni  * 


xis procedat 


Eftb  folidum , quale  difcriptum^  eft  a 
quadiilatero  dhhg^  ia  procedenti  con^- 
ftrudione;  quod  quidem  folidum  in  para-r 
bola,erit  cylindrus.  Sccetur  in  tres  par- 
tes^Oqualcs  tam  ^/^,quam  etiam  ^ ^.Eritq;^, 
eonus  abe  aqualis  cylindro  fuper  eadem 
■ bafi  a e conftitutOjfub  altitudine  vero 
confiderabimusq;  cylindrum  hunc,  pro. 
di(^ocono/f^c. 


£ 


A j)  G <i 


lam : cylindrus  g emd  conum  4 h c,  flue  ad  cylindrum  cius 
vicarium,  rationem  habet  compoiitam , ex  ratione  altitudinum 
' hbzd  /(!/  .&  ex  radone  bafium, nempe  circulie«^,ad  circit- 
lum  a c,  fiue  quadrati  bJ,  ad  da  j (lue  red?  b ^,ad  duplam  b h. 
cum  enim  iit  femilatusredum,  erit  quadratum  a^  d 
reaangulofub  ^<!/,&dupla  ^A)fiueinfubtripJis,redo  /^ad 
duastern  ipiius  b A Ed  ergo  cylindrus  ^ e , ad  conum 

vt  >^^ ad  nempefefquialter.  <^od concludit etw^  Archi- 
medes de  Goxioide  parabolico  * 

ProComideHyferhoUco, 

Eflo  deinde  conoides. 


hyperbolicum  ^ c,  cuius' 
latus  verfum  b e ,*  fitq; 
fefquialtera  ipiius  b e^  O- 
llendit  Archimedes  Prop: 
27.  de  Gonoid.  & fpbfro- 
id.  quod  ■ concides  a hs^ 
ad  conum  ah c,eEivx  f,g{ 
ad  ge , Dico  etiam  foli-  • 
dum  km  n o g genitum  in 
Exemplo  14.  ad  conum  dd 
kc  eife^vtj^,ad  ge, 
Secenturin  tres  partes 
aequales  red^e  hg  h n^  n /, 
eritq; conus  abe  oqual' 
dem  a c ^ , aldcudo  vero  1 


L 


! IO 

hm no g aliud  fit,  mii cylindrus  quMmn  cui  decl co^ 

‘ nus  pnnoj  gquale  erit  cylindro  fuper  ead ea^  bafi  ij*  conili* 
tuto, cum  altitudine  vero  b t , Conftdcrabimus  igitur  tam  foii« 
dum  hmnog^  quam  etiam  , conum  abo^  tanquam  ii^eflent 
cylindriiam  didi , eoruradentlblidorum  vicarij , 

lam : folidum  hmnogi  ad  Gonum  ab  c y rationem  habet 
compoiitam  ex  ratione  altitudinum  ^ ^ ad  ^ at  , & ex  ratione 
halium,  nempe  circuli  4gy  ad  circulum  ac;  fiue  quadrati 
bgy  ad  quadratum  ag;  iiueredse  bgy  ad  duplam  ipfius  g o 
f cum  enim  bn  . lk  femilatusred:utn,eritquadratum  ag  mqm- 
ieredangulofub  bgy  &dupla  ipfius  ^ ^ fiue,  furnpris  fub- 
triplis,  vt  ^x,  ad  duas  tertias  ipfius  g O j vel  ad  duas  tertias 
b l . Erit  ergo  folidum  h mn  ogy  ad  conum  abc , vt  kt  ad 
tu,  Qu^od memento^ 

Reda  zd  egy  efkvt  b^  ad  gOy  fiue  vt  hn  ad  bty 
fiue  ( in  fubfefquialterisy  vt  nu  z.dM,  Sumptis  ergo  ante* 
cedentium  dimidijs,  erit /'e  ad  >cgy  vt  ^^,;ad  ut.  & com- 
ponendo, ad  gCy  vt  bty  ad  tu.  Propterea  folidum 
hmnog  y ad  conum  abcy  { quodiam  oftendimus  elfe  vt  b ty 
ad  tuj  erit  etiam  vt /^,  ad  Quod  prorfus  de  conoide 
concludit  etiam  Archimedes  Prop.  2 7.  de  Gonoid.&  fphgroid, 
Pro  fegmentofpk^roidali  yVelffharico., 

'Efto  portio  fpharoidis,  fiue  fphg 
rse  aht;y  vel  maior,  vel  minonpo- 
naturq;  e/aqualis  ipfi  eiiyntm^ 
jpe  dimidio  axis . Oftendit  Archi- 
medes Prop.  3 1 . & 3 3.  de ConoL 
& fphar.  portionem  ab  c , ad  co- 
nu  infcriptu  a b e,  effe  vt  fg  ad^^. 

Dico  etiam  iolidum  Sm  n^ygy^- 
mitum  in  exeiupio  14.  ad  eundem 
conum infcriptum  ab Cy  efle vtfg 
ad  g e.  Secentur  in  ires  partes  a- 
quales, re(^^i^r  bg ih /,  In.  eritque 
conus  tcquaiis  cylindro^  cuius 

bafis 


Haflieadem  fitcum«)no,  nempe  4 f i altitudo  autem  fubtripla, 
nempe  g x . Solidum  vero  ^m  ngg^  quia  componitur  ex  cy- 
lindro hme  gy^!^x  cono  m no , aequale  erit  cylindro  fuper  ea- 
dem bafi  conftituto. , ewmaliiipd^ae 

igitur  tam  folidum  ^ quim^edw^<2jnu^^^ 

deflent  cylindri iamdiiSieorTOdern  folid^um  y^  ^ 1 
lamrfolidum  hmnog^  ad  conum  curationem 
pofitam  ex  ratione  altitudinum  ^ /ad  g x\  & ex  ratione  bafiurn, 
nempe  circuli  hg  ad  a c .,  fiue  quadrati  ad  quadratum  g a^ 
liue  redae  ad  duplam  iplius^<?  .(cum  enim  bin,  fit  femila- 

tus redum ^ ,erit quadratum  ag  aequale redangulo fub  bgyd)C 
dtipla  fiuefumptisfubtriplisjVt^AT  adduas  tertias  ipfius 
go , vel  ad  duas  tertias  bil . Ergo  folidum  h m n og  ad  conum 
a b erit  vt  / ^ ad  b p . quod  memento . 

Reda  bg  ad  g efi;  vt ;/  c ad  o e ^ fiue  vt  n l ad  /i,  fiue  (fia 
fubfefquialterisy  vt  tl  ad  Componendo  autem  ^ c ad  egy 
erit  vt  / ^ ad  u l i fumptifq  j antecedentium  dimidijs , erit  f e ad 
egy  vt  ip  ad  u ly  fiue  ad  fS : Etcomponendo  yfg  ad  ^ c , erit 
vt  / ^ ad  bp.,  Propterea , folidum  hmno gyzA conum  ahc 
fquodiamoftendimus  eflfe:  vt  /^  ad  b pP)  erit  etiam  vt 
ad  ^ c. , Quod  prorfiis  de  portione  fph aero idis  concludit  etiam  > 
Archimedes Prop.  3 1 & 33.de  Conoid.&fphj^roidibus, 

Plura  adhuc  exhibere  poteram  exempla  demonftrationum  1 
per  Indiuifibilia  curua  procedentium , nifi  fuperflua , immo  etia 
& molefta  exiftimaifcm.  Hoc  vnum  admoneo  ledorem,inma-. 


gna  parte  praecedentium  Theorematum  mefiicllitatis  gratia  fe^ 
cxife  cafum  Propofitionis  particularem , cum  tamen  facere  po- 
tuifremvniuerfaliffimum . Exempli  caufa . Poteram  ( in  figura  . 
primi  exempliy  fupponere  tangentemir  cuiufcunq;  longitudi- 
nis, 6c  deinde  oftendereita  effe  circulam  ad  triangulum  , vtpc — 
riph  seria  ad  tangentem : fed  faciliorem  conclufionem  iudicaui  1 
tequalitatem  inferre , quam  proportionalitatem  i prsefertim  cum  ^ 
infolido  Hyperbolico  de  sequalitate  tantum  ratio  habeatur»  - 
Si  itaqi  Corollaria  limitata  plerumq;  demonftraui vice  Theo<— 
y^u|rfaliUm  ^ fcks:  data  opera  fadum  elfe . 


C;:-'  a. 


itM  . 

’Dcfinitior  ^ 

'SlhypeyioU  eirci  Afymftmny  tdmqu^m  circa  axem , e ornei* 
iatmy  folidum fiet  (fi fecundum  axem  confideretur)  longitudi* 
ne  infinmm^qm4  quidem  Acutum  foUdmihyferboliGfm  mmi* 
nabimus  f ‘ 


) 


r^- 


DE  SOLIDO 

Hiperbolico  Acuto . 

Lemma  Primum, 


ST 0 hyperboUy  cuius  afym 
ftoti Jmt  ab,  ac , angu- 
lum reHum  continentes 
dr  reuoluta  figur^  circa 
axem  a b , facium  fu f po- 
natur folidum  acutum  hy- 
y er  b oticum  in finite  longu  ver  Jus  b ,*  quem- 
admodum de  fnitum  eJl  . Intelligatur  iam 
intra  ipfum  acutum folidum , reJl angulum 
altqMod per  axem  a b dudfum  ^puta  d e f g . Dico  hoc  reBdn- 
gulum  aquale  effe  quadrato femiaxisipfius  hyperbold . 

Ducatur  ex  a centrohyperbola^femiaxis  ah,  qui  angulum 
b a c bifariamftcabit ; fiatq\  re£lang.  a i h c ; quod  omnino  qua^ 
dratum  erit  ( nam  cum  reSlangula  figura fit , angulus  a hifa- 
nam  ab  axe^  a h diuiditur)  . Ergo  quadratum  redfa  a h du-> 
pium  erit  quadrati  aihe,  fime  duplumreBanguli  af.  drideh 
^ quale  rcdl angulo  defg,  \Suoderatpropofitumdrc*  eundi  c§ 


Lemma  IL 

OMnes  cylindri^  circa  camunem  a- 
xem  intra  folidum  acutum  hyper 
hdUcum  deferipti  , ifoperimetri  fiunt . 
intellige  femp  er  Jine  bajibus.  Esto  acu- 
tum fio  Udum,  cuius  axis  ab,  df intra 
ipfum  intelligantur  deferipti  circa  co- 
munem  axem  gb  quot  libet  cylindri 
edefj  ghli.  EruntUi  aqualta  redi  di  ^ A*  x 

^ gula 


4 De  Solido  Hy per  Mico 

1 1 fecun  dxem  c e , g I . er^o  aquales  erunt  etUm  curudt  cylindro^ 

diConic.  rumfuyerficies . ^Imderat.  ~ 

^.p  de  fo 

Lemma  IIL 

O M ne s ifoperimetri  cylindri  ( cuiufmodi  funt  illi^qui  in  dcu 
tofoLido  hyperbolico  deferibuntur ) inter  fe funt  Dt  dia-* 
metri fuarum  bdfium . Quoniam  enim , in pracedentt  figura , dS* 
qualia Junt  rebiangula.  a e , al;  erit  vt  f e ad  i 1 , ita  i a ad 
a f . lam  cylindrus  cq  ad  cylindrum  g I , rationem  habet  com 
pojitam  ex  ratione  quadrati  fa  ad  quadratum  a i ; ex  ratio- 

ne redi  ^ fe  dd  i \ ;/iue  ex  ratione  re  ffa  ia  ad  af,  velqua- 
drati  i a dd  recl  angulum  ia  f.  Propter  e a cylindrus  ct  ad  cy- 
lindrum g 1 , erit  'Ut  quadratum  ia  dd  redi  angulum  i a fi  nem- 
pevtredia  fa  ad  ai.  ^odcfrc^ 

Lemma  IV. 

E Sto  folidum  Acutum  abc,  cuius 
axis  d b j centrum  hyperbola Jit 

punBum  d . in  quo  fcilicet  afymptoti  con 
ueniunt . dxis  autem  hyperbol^  Jit  d f.  In 
telligatur  ex  centro  d , ad  interuallum 
d f defcripta  fphard  a e f c , qua  maxi- 
ma erit  omnium  intra  acutu  folidum  de- 
fcriptibilium excentro  d.  Sumptoqi  cy- 
lindro quocunquc  intra  acutum  folidum 
defcriptOyputa  g i h 1 . Dico  cylindri  g h fuperfciemfuhqud- 
druplamefe^uperfcieifphttra  aefc. 

Cum  enim  redi  angulum  f a per  axem cylindri  y aquale  fit 
-Ati  df>  erit  cylindrica  fuper fides  aqualis  circulo  qui  fit 

fpbat . ex  radio  d f nempe  circulo  aefc.*  Propterea  eademfiuperficies 
cylindrica  gihl  fubquadrupla  eritfiperficieifiphara  aefcs 
cuius  etiam  circulus  a e f c fub  quadruplus  e fi . Jfuod  &c , 


B 

I 

rf 

i 

/ 

v4— 

Z 

D L g 


Lcm- 


TroUema  Secundumi  1 1 $ 

Lemma  V. 

CViufcunque  cylindri  g h i 1 intra  folidum  dcutum  defcriqy 
ti  (*utin  yr^cedentifigurd  ) fuperjicies  fine  bafibus 
hs  e fi  circulo  cuiusfiemidiameterfit  linea  d i . nempejemiaxlsy 
fiuefiemilatus^jerfiumiy>fius  hyperbole . Hoc  enim  in  ipjopro^ 
grejfiu  pY<^c  edentis  lemmatis  demonfivatum  e fi , 

Theorema  • 

Solidum  acutum  hyperbolicum  infinite  longum, fedtum  pla- 
no ad  axem  eredo,  vna  cum  cylindro  fujie  bafis,^equale  eft 
cylindro  cuidam  redo,  cuius  bafis  diameter  fit  latus  verfum , fi- 
ue  axis  hyperbolae,  altitudo  vero  fit  aqualis  femidiametro  ba- 
fis ipfius  acuti  folidi . 

; Efto  hyperbola  cuius  afymptoti  IB 

ah^  ac  angulum redum contineant; 
fumptoq;  in  hyperbola  quolibet  pun- 
do  d^  ducatur  dc  -aquidifians  ipfi 
abi^  d p aquidifians  dc\  Tucon- 
uertatur  voiucrfa  figura  circa  axe  a b . 
ita  vt  fiat  folidum  acutum  byperboli- 
cum  ebd^  vna  cum  cylindro fu^ ba- 
fisfedc.  Podiicatur  b a in  h . ita  vt 
d /^aequalis  fit  integro  axi,  fiue  lateri 
verfo  hyperbola.Et  circa  diametrum 
4!/^  intelligamr circulus  eredus  ad  afymptoton ' ac  : &fuper 
bafi  ab  concipmmcylmdmsredus  dcg  b,  cuius  altitudo  fit 
nempe  femidiameter  bafis  acuti  folidi.  Dico  folidum  vni- 
uerfum  febde,  quanquam  fine  fine  longum,  arquale  tamen  efi. 
fe  cylindro 

Accipiaturiareda  dc  quodlibet pundmn  & per  ^ in^ 
telligacur  duda  fuperficiescylindrica  onli  in  folido  acuto 

P 2 com- 


liS  - lye  foTtdo  Hyperholico 

coiBprsehenfa  Girca  axem  irem  circulus  im  in  cylindr®* 
acgh  j:equidiO:ans baii  ah. 

Ei  it  ergo  prr^dida  fuperficics  cylindrica  o n ti  ad  circulum 
i m y vt  rcdangulum  per  axem  o ly,  ad  quadratum  radij  circu- 
li nempe  vr  redlaiigulum  o t , ad  quadratum  femiaxis  hy- 

perbotej  & ideo  aequalis  ex  lemmate-  Et  hoc  femper  verum 
erit,  vbicunq;  fumatur  pundtum  / . Propterea  omnes  fimul  fu- 
perficies  cylindricae,  hoc  eft  ipiiim  folidum.  acutum  eh  dy  vna«. 
cum  cylindro  baiis/V  d c , aequale  erit  omnibus  circulis  fiaiu4. 
hoc  cll cylindro  ac gh.  Quod  erat &c.. 

' ' Scholmm». 

Incredibile  videri  poteft , cum  fblidum  hoc  infinitam  longi- 
tudinem  habeat,  nullam  tamen  ex  illis fuperficiebus  cylin- 
dricis quas  nos  confideramus, infinitam  longitudinem  habqre;. 
fed  vnamquamq;  efTc  terminatam ;;  vcvnicuiqipatebit,  cui  vel 
modice  flimiliaris  fitdodrina  Conicorum 

Veritatem^  praecedentis  Theorematis  fatis  per  fe  claram  , 
per  exempla  ad  initium  libelli  propofita  confirmatam  fitis  fu-* 
perq;puto  -Tamen  vt  in  hac  parte  fatisiaeiam  le(5tori  etiam  Ta- 
diiiifibiliiun  parum  amico  j iterabo  hanc  ipfiim  demonftratio- 
nem  in  calce  operis » per  folitam  veterum  Geometrarum  viami 
demonfirandi,  longiorem  quidem,  fed  non  ideo  mihi  certiore^ 

Interim,  quia  demonftrariones  exhibebimus  de  illo  tantum- 
acutoTolido, cuius  hyperbok  genitricis  afymptoti  angulum  re-» 
^um  contineant,  dicamus  hic  obiter , omifsd  demonfiratione  „ 
quibus  figuris  ^Bqual^a  fint  acuta  folida  r quando  afymptoton. 
angulus  obtufus  fuerit,  vel  acutus- 

D emonflratwne^ , quas  ad  e uitaniam  mdlem  frp erimus^ 
BM'oY‘  induMTius^facili  nego  m comparabit-*. 

Efio  hyperbola  cuius  afymptoti  aby  ac  angulum  obtusu: 

coJQuneanti dc-  reuQlutaiigura  circa  axem  fiat  folidura  acui- 

mm:. 


v 


XI  f 


Prohkma  Secundum, 

tu  infinite  lon- 
gum vcrfus  b, 
icceturq;(vtia 
prima  fig.^pla 
no  de  ad  axe 
credo.Eritlo- 
lidum  acutum 
dh  e ijequale  cy 
iindro  dilcy 

& cono  idl.  In  fecunda  vero  figura  fit  planum  fecans  d e . erit 
folidum  acutum  vniucrfum  quod  imponitur  fuper  circulo  de 

icy  &cono  i a c.  fi- 


to  etiam  cono  o au , x 
mul  fumptis . 

Quando  vero  angulus' 
afymptoton  acutus  pona 
tur,  & fit  planum  fecans 
cd  in  prima  figura . Erit 
folidum  acutum  c hdvm. 
cum  cono  e ai  xqualo 
cylindro  ce  id,  Atinfe 
eunda  figura  eritvniuer- 
fum  folidum  acutum 


<^um  ex  conuerfione  quadrilinei  mixti  a b a d a-  fine  fine  longi , 
d upliim  c y I ind ri  /V  • 

Sequuntur  iam  fub  nomine  Corollariorum  Propofitiones 
quadam  ex  prxcedenti Theoremate  promanat es  ] qux  quidem 
aliquot  prxrogatiuas  huius.acuti  folidi  hyperboiici  fortaffe  no 
contemnendas,  c!  eraonftrabunc .. 


Corollarium  Primum . 

Acma  fhUda  hyperboUca  e b d , n b 1 , qua  in  figura pag,  ny 
ex  fefiiomb.  e d , n 1 ad  axe  erectis  Jiunt,  vna  cum  cylindris  fua 
Tsim.  hajium , inter  Je  funt  vt  diametri  earundembajium  ,- nempe: 
vt  rebla  oA  ad  n l . 

Mam  rej^umpta procedentis  T heermatisjigura^  dr  cm (iru^ 


if  s 


De 


Ilione^  eritfolidum  f e b d c , aquale  cylindro  a c g h . & foU-^ 
dum  o n b i r aquale  cylindro  a i m h , iErgo  f olidum  ad  [oli- 
dum entvt  cykndrus  ad  cylindrum^  nem^e  vt  C2l  ad  Ki-, 
fumpis  duflis  vtreEla  f c acC  oi  i Jiue  vt  e d ad  ni. 


erat  c^c. 


Corollarium  IL 


B 


B 


G GAIB 


Acuta  [olida  hyperbolica  d b e , h 
b 1 , etiam  (ine  cylindris [uarum  ba- 
fium  [umpta^  ititer  f e funt  vt  diametri 
e-arumdem  bafmm  , nempe  vt  de  ad 
hl.  Deferiptis enim  bafium  cylindris 
edefj  ghlij  erit  totum [ ilidum  c d 
b e f)  ad‘totum [olidum  o]\b\ivt  cf 
ad  gi.  Sed  ablatus  cylindrus  ct  ad 
ablatum  cylindrum  g lejlvt  cf  adg  i . Ergo  reliquum  etiam 
[oUdum  dbe,  adrtliquum  hbl  erit  vt  totum  ad  totum  i n'em^ 
pe  vt  ci  ad  g i . Hoc  ejlvt  dc  ad  b \ , ^uod  c[c. 

5^  Corollarium  IIL 


E flo  f olidum  acutumfeBum 
planis  ab,  c d , e f , gp 
ita  vt  feclionum  [emidiametri 
(int  vt  numeri  naturaliter  ab  v- 
nitate  progredi  et  es  (quod facile 
fiet  ^ fi  accepta  ad  libitum  i 1 , 
quales  ipfi  i 1 f ^centur  1 m,m  n, 
n o &c.  duHisqi  1 g , m c , 


ONiVlL  I 


n c &c.  ad a^em parallelis, per punBd  g>  & e,  clr  c drc.  agan- 
tur [ecantia  plana .)  Dico  ommafrusiaititercepta  aqualia ejfe 
tum  inter [e , tum  etiam  acutofolido  g u p . 

Patet  hoc  . Nam  c um  acutafolida  flnt  vt  diametri  baflum\^ 
in  hoc  c afu  dtametri  haflumponantur  vt  nutneri  naturaliter  ab 

vni^ 


TroUema  Secundum,  1 1 

witdte frogredientes^etiam dema folida  gupjeuf,  cud 
in  eadem  Aritmetied  ratione  ertd-nt . Ergo  omnes  exceffus^nem^ 
fe  omnid/ruBa  tzqualia  erunt  tdminterje.iquam  etiam  acuto fo- 
Udo  g u p . erat profofitum 

Scholmm . 

Poterat  etiam  proponi  hoc  modo . Si  fuerit  folidum  acutu 
fedum  plano  g p vbicunque.  Surnaturq.  h q femiffis  axis 
^/.Deinde  fumatur  ter. pars  axis  ^/;iteruniq;  accipiatur  rt 
quar.pars  axis  r i : poftea  ac  cipiatur  quinta  pars  reliqui  axis . 
hoc  femper;  & per  puncta  fe(5tionum  plana  agantur  3 erunt  ead . 
utiupra  &c» 

Corollarium  IV. 


Acutum  folidum  hyperhoUcum  abfcifsum  plano  ad  a^aem  ere 
dfo  j aquale  esi  cylindro fua  bafis . 

E Bo  folidum  acutum  abe  abfcijfumpldno  ac  ad  axem  ere^ 
dio  ( hoc  enim  modo  intelligemus  femper plana  f meantia , quod 
oportet  mcminifje ) (frf  Hpponatur fo liduniinfinite produdi um  ad 
partes  b.  E ico  folidum  a b c , aquale  effe  cylindro  fua  bafs  nem-^ 
\peAzct, 

Eiat  enim  cylindrus  f e i g vt  in  T heore-^ 
mate  pag.  1 1 s ^Elntq^totum  folidum  d a bc  e, 
ex  demonflratis  aquale  cylindro  fi . lam  cy- 
lindrus ad  cylindrum  A c ^ rationem  ba^ 

bet  compof  tam  ex  ratione  quadrati  htad  fe 
cb"  ex  ratione  red/f  fc  ad  cc  i fu  e quadrati 
{c  ad  r e ci  angulum  f e c . Cylindrus  itaq\  fi 
ad  cylindrum  dc,  e B vt  quadratum  fh  ad 
re  di  angulum  fc  , nempe  duplus . Propter  e a 
folidumuniuerfum  d a b c e d cum  aquale  ft 
cylindro  f i ) duplum  erit  cylindri  d c . Et  di- 
uifm , er  tt  folidum  acutu  a b c aquale  fu  a bafs  cyli  ndre  ci  a c e* 

' - CoroL 


126 


l^e  ptUdo  I^periolici 

Corollarium  V* 
hemiffh^timn  f b e , in^ 
tra  f olidum  acutum  infcriptihile  ex  d 
€entfO  hyperboUf  fubjefquialterum  e fi 
ntmuerfijolidt  f h a c e ip  fum  hemifpha- 
rium  ambientis . Solidum  autem  f h a c e 
conH at  ex  acuto fb  Udo  infinite  longo  h a 
e , ^ ex  cylindro  bafis  hemifpharium  tan 
gente  f h c e . 

FaUo  enim  cylindro  'vt  in  Tbeore^ 

mate  pag.ns-  erit  hemispherium  fbe 
[ubfefqut  ait  erum  cylindri  i e Cum  ean^- 
dem  altitudinem  habeat^  ^ bafim  eandem , nempe  circulum  cu- 
ius  radius  eUfemiaxis  d b . Suhfefqui ait  erum  ergo  erit  ipfum 
hamifpharium  etiam f olidi  f h a C e , quod  e quale  demonllratum 
efi  cfilindro  i e . 

' Corollarium  V I. 

FSlofolidum  acutum  cuius  axis  a b , f in  figura  pag.  1 1 8 .)  fe^ 
Pium  vbicunq;  plano  d c . Secetur  vero  {jr  altero  plano  h 1,  quod 
capiat  portionem  axis  duplam . Dicofrufium foltdum  d h i e , a 
fec  antibus  planis  intere  eptum  (tcquale  efi^e  f olido  acuto  h b 1 jibi 
fuperimpofito . 

Cum enimre&angula  ce,  fint aqualia , (jt' latera  eorum 
reciproca , erit  re 61  a d e dupla  ipfius  h 1 , ideo  folidum  acutu 
d b e duplum  erit  acuti folidi  h b 1,  diuidendo  frufium  d h 1 e 
equale tnt acuto folido  hbL  ^ode^c, 

Scholium, 

Hinc  manifeftum  el?,  quod  fi  acutum  folidum  fccetur  vti  di- 
dum  efi,  frufiuin  intere  eptum  dh  le  quod  duas  bales  habe- 
bit ) aquale  lemper  erit  cylindro  minoris  bafis  ghli*  Subdu- 
plum  uero  erit  cylindri  maioris  bafis  c d ef. 


-CoroUarium  VI  I. 

'EflofoUiu^ 

ha^pianisf  ab  i td,  e f,  fecanti^ 
bus  axemf olidi  profonionaliterihoc 
eU yfavt  gh  ^d  gi,  ifa  gi  4d 
g 1 . Difo fruflum  a c d b adfrujlu 
cefd  cjfeut  Vi  ad  ih.  nemfe  in 
reciproca  ratione  altitudinum . 

C um  enim  r exanguia  g f , g d , 
gb . fint aqualia y (ir latera  eorum  reciproca y erunt  tresreB^ 
bb,  id,  If,  i in  ead em-  continua  proportione  in  qua  funt  g 1 , 
g i , g h . Sed foiida  acuta  aob,cod,eof  funt  vt  bafium f ?- 
midiametri  hb,  id,  If,  Jiue%ft  gl,  gi,  gh,  ergo  excejfus' 
f olidorum  inter fe  erunt  vt  exceffus  linearum . Id  empe  fruBum 
foluium  d.c  d b , adfruBum  c e fd  erit  vt  Vi  ad  ih.  ^uod  e^c. 

S.ch  ollum . 


Ex  demonftratis  patet  primo , quomodo  datum  fruftum  d ef  m 
h fecari  peflit  plano  cd , ira  vt  fato  portiones  inter  fe  fint  vt  ai-  ^ 


CL 


tum 


tum  fededuplum : & fic  femper ; quo  magis  ad  centrum  4 accc 
demus, maiora  praecedentibus  erunt  fofta,  & multiplicia  fecun- 
dum numeros  in  proportione  dupla  progredientes  ab  vnitate. 
Si  vero  fupaatur  quodlibet feginentum  axis  ^ e > cuiusdup- 
lum  ponatur  4 d ; & ipfius  4 d duplum  fecetur  4 e , &fic4e^- 
inceps ; eadem  euenient , vt  fupradidum  eft . 

Qu^cunq; autem  diximus  exemplo  allato  de  ratione  dupla,, 
verum  etiam  eft  de  tripla , quadrupla ; iefqiiialtera  > & de  qua- 
cunq,- alia  ratione.. 

Corollarium  VII T. 

Si f olidum  4CUtHm  feclum fue- 
rit f lanis  a b i c d , e f , g h,^c. 
it4vt  axis  portiones  acetro  i in- 
cipientes , nempe  i 1 , 1 m , m n > 
n Q aquales Jint  ,•  erit primu 

frujlum  ad,  ad  fecundum  c f 
njt  s.  adwum  fecundum,  njerl) 
f rufium  adtertiuerit  nji  4,  ad  2 ; 

T ertium  ad  quartum  erit  vt  s -ud 

quartum  ad  quintum  vt  4.  ad  4.  ,•  iEt  sic femper  vt  numeri  bi- 
nario differentes  ,*  additafcilicet femper^vnttate  vtrique  termi- 
no rationis . 

idam fotidum  acutum  a u b adfolidum  acutum  ciid^eBvt 
a 1 c m j nempe  vt  m i , i 1 , hoc  e fi  duplum . Btdiuid en- 
do , erit fruHum  a d aquale f olido  acuto  c u d ..fide  vt  3 . ad  ^ . 
Solidum  vero  c u d adfolidum.  e u f vp;  cvn  ad  en,  fiue  vt 
n i i m,  nempe  vt  j . ad  2 . Bt per  conuerfiont  rationis  erit  fo- 

Udum  c\xd  ad  f rufium  cf  vt  s^advnum . Brgo  ex  ^quo  erit 
frufium  2idi  ad frufium  cfvt  3.  ad  unum . J^uod  cfc . 

Bodem  modo  penitus  ratio  r eliquor  umf rufi  orum  confequen- 
tium  ofienditur  efie  talis  qualis proppfita  esi . 

Scholium 

Patef  in  progreffu  demonllrationis  primum  Bn{knxn.  ad 

quak. 


*v 

ik 

t 

• 

Jh 

Jf 

rxB. 

■ 

Problema  Secundum . 

quale efle folido  acuto  fibi impofito cud.  At fecutidum frultu 
€f  duplum  eft  lolidi  impoliti  j Tertium  vero  triplum  > 

quartum  quadruplum  lic  in  infinitum . 

Corollarium  IX. 

Si foUdum  Acutum  a cylindricis fupcrficiebus  diuifum fuerit^ 
erunt  folida  annularia  inter  cylindricas  fup  er  fides  intercepa , 
inter  fe , vt fiunt  portiones  afiymptotiah  ipfis  cyltndricis fiuferfi^ 
ciebus  ahficijfifi 

Sitbyperbola  zhc,  ^ linea  quotcun^  zdi  be,;  ci,pd* 
ratlela  afiymptoto  conuer  tat  ur  figura  circa  afiymptoto  hi. 

Vico  [olidum  deficriptum  d quadrilineo  e b cf,  adfiolidHm  de^ 
ficriptumdquadrilmeo  dabe,  efifevtre^a  ic  ad  ede 

Fiat  enim  cylindrus  1 f , vt  in  T heo- 
r emat  e pag.i  i sierit qyfiolidum  n m i c f 
aquale  cylindro  1 f,  Ftfilidum  p o i b e , 
aquale  cylmdro  1 e , al?ldm  ergo  aquali 
hus  yr  emanebit  cylindrus  ff  ^qualts  fio- 
Udo  [bi  refpondentifadle  d quadri  lineo 
e b c f , P ariratione  cylindrus  t e ^qua^ 
lis  ofiendetur  fidlido  fibi  refipondentifiay 
61 0 d quadriiineQ  dabe;  erit  igitur  ob 
aquaUtatem  fiolidum  quadrilinei  e b c f 
adfiplidum  quadrilinei  dabe  vt  cylin 
drus  ff  ad  cylindrum  tt^nempe  vt  re* 

^6Ia[tadtd^  Muodcfic-^  LTiS 


Corollarium  X, 

Acutafiolidaz.hCy  dtf,  fiuperbafibus 'Aqualibus  aCj  di 
confitmta , &d:conuet(ionem^uatiumhyper[^  deferip- 
ta  yfuntdnterfiemduplicata  ratione  axium fiuarum  hyperbola- 

tum  . ^ . • ■ . . 

IntelligantUT  enimjub  baj^tysfiolidorum  cylindri  h 1 f 

^ a erit 


f 1X4 

^ eritq  foUdum 
abc  diqualecy 
Undro  hc;  S" 
folidum  d e f . 
dqiidle  cylind, 
If.  Pr  opter  e a 
foUdu  abc  tid 
folidum  d e f , 
€rit  vt  cylind, 
\iC  ud  cylind. 
(tue  (cum  ct 


De  Solido  Hypferbolico 


quales  bufes  habeant ) vt  altitudo  hz  adaltitu^. 
dinem  1 d , reci angulum  \\c  ad  recl angulum  1 f.  hoc 

ifamptis  ecqualibus , vt  quadratum  axis  in  ad  quadratum 

Corollarium  X L — 

•^cutafolidu  abc,  d e f 
foMa  ab  iu^qualibus  hyper- 
.holisy  & (e pf a planis  ac » d f 
ita  vt portiones  axis  1 h,  o i 
f quales fnt  i erunt  inter  f e 
*i)t  bafes  5 nempe  vt  circulus 
ac  ad  circulum  , 

H oc  autem  patet . Idam 
folidum  2ihc  etqualeept  cy 
lindro  cuius  bafs Jit  a c altitudo  *verb  1 h . ^ fohdum  d e jf  et- 
quale  ejl  cylindro  cuius  bafisjif  ^(altitudo  vero  oi.  Prgofo- 
hdum  abc  ad  folidum  der  erit  vt  pradiBus  cylindrus  ad  di 
Bum  cylindrum  ^nempe  (cum  etquales  altitudines  habeant ) vt 
bajls  a Q ad  bajlm  d f . Suod  erat  eje , 

Corollarium  X II. 

dlcutafolida quetcunqi  fmt  abc,d  ef^  inp.fg.huiuspaganl 
li^p/um  vt  fokddrjBand^faf  quadrato  a 

alti’" 


\ 

a/  i 

\c: 

H 

; \ 

Problema  Secandum  T 1x5 

Jiltitudtne  vero  diametro  haJiMm  eorumdemfoUdofUm  .Hoceji^ 
folidum  a b c \adfolidum  d e f ertt  vt folidum  ■parallelefipedum 
baji  quadrato  axis  i 11 , altitudine  a c . adparallelepi^edum  baji 
quadrato  axis  m o , altitudine  d f . 

tFaclh  enim  de  more  cylindris  h c , 1 f j ratio  cylindri  h.c  ad 
cylindrum  1 f componetur  ex  his  tribus  rationibus . nempe  ex 
ratione  altitudinis  ha  ad\e^.(dr  ex  ratione  bajiuyfiue  ex  ratio- 
ne reclp  d,cad  df,  iterumq\  ex  ratione recla  ac  ai 6.£.  Ergo 
ratio  cylindri  h.c  ad  If,  componitur  ex  ratione  reblanguli  hac 
ad  r e ct  angulum  idf,  siue  quadrati  in.  ad  quadratum 
m o , ex  ratione  recta  ad  rectam  d f . Propter  ea  etiam 

ratioJolLdi  acuti  ah  c ad folidum  acutum  d-€  f compojita  erit  ex 
ratione  quadrlt  i in  ad  1110,  c^ex  ratione  re  Et ^ ac  adrcEtam 
Ai.  Ergo  patet  pYopofitum  , 


Gorollariam  XIII, 


Dato  acutifb 
Udi fruflo  quo- 
CMnq\  a d c b , 
aqualem  ipficy- 
lindru  exhibere 
fuper  altera  fui 
hqfe  quacunque 
sit . puta  ab. 


TiatvtreBa  a b ad  A c ita  q E ad  £^,  Dico  cylindrum  hb 
cuius  altitudo  sif  £ g ^ vero  a b aqualem  ejje  frufio  a c . 

Ducatur  d^  parellelaad  ef.  Dritq\  £0  ad oc,vt  de, 
Jiue  K£  ad  f a . propter  e a o£  ad  £c  erit  vt  £\i  ad  Vz,  Sed 
t:£  ad  £^  eB  {Y^^ergoper perturbatam  erit  O i ad 

fg  vt  £z  ad  aK,.  ^uod  memento^ 

lam  acutumfoliduiii  a^  b ad  acutum  folidum  d m c eP}  vf 
zh  reEta  ad  d c ^uel  ut  4f  ad  de,  hoc  ejiut  a f ad  f k , Erget 
erit  folidum  deutn  m fue  cylindrus  1 b ipfi  aqualis^  ad 

fruftum  a dc  b ut  £ z ad  zK  ^ hoc  ejt  q £ ad  £ ^^  hoc  efl  ut  cy- 
lindrus 


I z6 

lindrtts  1 b ad  cylindrum  b h • ConHat  igitur  cylmdrHm  1 b tM 
dem  habere  rationem  ad fruHum  a d c ad  cylindrum  bh , 
^yeare  cylindrus  b h aqualis  erit  dato  frujio  acuti] olidi , ^ fu^ 
feralteraeiu/dembaji*  S^oddrc, 

tCor ollarium  XIV, 


^Circumfcriptus  cylindrus  aefb  ad 
f rufium  acuti folidi  adcb , eJlut  dia- 
meter ab  maioris  basis  ad  diametrum 
d c minoris bafis.  Fiat  enim  ut  z.b ad 
dc  ita  ad  hi,  erit  cylindrus 
a m l b aqualis frufio fili  do  ,p£r  Cor.  pr^ 
cedens . ^Cylindrus  aut  em  afW  cylin- 
drum  zl  eH  ut  ad  hi;  hoc  efi 
ut  ab  ad  dc.  ^luare cylindrus ciramdfcriptus  acfb 
. ad  f rufium  a c erit  ut  reiia  ab  ad  > d c. . ^uod,c]c. 


3 a c ^ 

4' 

I 

^ : 

\l 

V7 — 

\ 

A 


H 


etM 


^Corollariuin  TX  V- 

Frufium  quodlibet- acuti  folidi  a d g b 
ad  infer iptum  fibi  clyndrum  e d c f , efi  ut 
diameterbafis maioris ..z b sdd  diametrum 
minoris  bafis  d c dFiat  enimvt  a b ad  d cr 
. Cml. % a ita  g h Ad h i , eritqi  cylindrus  a h aqua- 
lisfrufio  a c . Frit  infuper  cylindrus  z \ i fo^ 

6,  primi  perimeter  cylindro  ec»  quandoquidem la^ 
de  feltd,  eorumfaBafuntreciproca^^ideore^ 

’ ci angula per.  axem  aqualia . Frit  ergo  {per 
lemma  y,  huius) cylindrus  a 1 fiue  fruHum  d c b,  ad 
drum  inferiptum  ec  vt  iiametribafiumyfiue^vF  rebiA 
w£f^  hoc efivt  zb  ad  dc.. 


A EHT.  B 


cylin^ 
a b di 


Coroh 


Corollarium  XVI> 

'i 

Truflum  quoilihet  acuti f olidi  a d cb . 
iium  proportionale  e fi  inter  infcriptumi& cir^ 
cumfcriptum fibi  cfiindrum . 

Btmonfiratum  enim  e fi  in  duobus  praceden 
tihus  CorolL  quod  circumfcriptus  cylindrus  a 
e adfruBum  ^dich  efivtredfa  ab  ad  d c. 

Frufium  *vero  a d c b ad  tnfcriptum  cylindru 
tBvt  zh  ad  dc.  Ergo  conBat  quodfrufium 
eB  mediuproportionale  inter  duos  cylindros . 
foderat  d^c. 

Corollarium  XVI I- 

Datum  acutum  folidum  aeb  in  da-, 
ta  ratione  ficcare  *vt  ^ ad  Fiat  vt 

g ad  ^ ita  dat  abi  ad  i I ,^per  1 aga- 
tur planum  c d . Erit q 'i  conuertendoydr 
coponendo  f ^ simul  ad  ^vt  \ bad 
h.i  yfiuevt  2,h  ai  cd,  vel  ut  folidum 
a e b ad  folidum:  c e d ; dr  diuidendo-  p*  Q 
patet  propofimm  . 

Sivero  bafis  acuti folidi  fit  cdy  dt"  oporteat  illud fecare  ite- 
rum inferius  verfus  hyperbole  centrum  plano  ab,  ita^t frufiH 
ac  dh  ad  reliquum folidunt  c e d quamlibet  datam  rationem 
habeat  ut  i ad  ^.Ita  imperata  e xequemur.  Fiat  ut  f d"  o fi^ 
mul  ad  g,  it  a dat  a {haabi^dr  per  i ducatur  planum  a b . erit 
que  ut  b,dr  %fimul  ad  gfita  ah  ad  cd ; fiue folidum  aeb  ad 
c e d ; ^ dimdendo  patet propofitum . ^yiod  erat 

• Corollarium  X V 1 1 L 

Dat  0 f olido  ac  utofeFlo  plano  ab.  fruBum  accipere  c a b d 
uerfus  n centrumd/yperboU  , quodfit  aquale  cuicumq;  datocy- 
Mndro:>^\i  molis  etiam  immenfe 

Fiat 


/ 


1x8  De  iSolido  Hyperbolico 

Fi  Ut  cylindrus  z\  ad  cy 
lindrum  g h ita  reida  n 1 da- 
ta adre^a^  !£•  cf"  credlA  £d 
du^oq, plano  dc,  Dicofru- 
finm  c b nquale  ejje  cylindro 
gh. 

Jd am  cjdinjrus  ;i\  ai  g h, 
ejl utreBa  n 1 ai ifyC^ con- 
uertertio , cornponendoyiteru-  E ^ E 

. que  conuertenio  ^ erit  cylin- 
drus zi  ai  cylindros  a/,  g'h,  m \n  ai n£y/lue  ut  oh  ai 
md  j*  Jiue  ut f olidum  acutum  zxxh  ai  [olidum  acutum  c ud; 
fiue  ut  cylindrus  al  ai folUum  acutum  cud.  Aequales-ergo 
funt  duo  Jimul cylindri  a 1 ^ g h,  acuto folido  cud.  Bemptifq, 
aqualibus^  nempe  cylindro  zl  fohdo  acuto  a u b , remanet  cy^ 
lindrus  g h aqualisfrufio  c a b d . ^^d &c. 

V erfus  uertic£m  uero  limitatione  opus  e fi . EBo  D atum foli- 
dum  acutum  feBum plano  c d , debeatq-,  fumifruBum  c a b d uer 
fus uerticem^aquale cylindro.dato  (dummodo cylindrus  gh 
minor  fit  cylindro  ecdf.) 

Fiat^  ut  cylindrus  e d ai  ghyita  reBa  n £ data^  ad  fl , dF 
er^cla  1 b , dicofruBum  c a b d aquale  effe  cylindro  dato  g h , 

Fiam  reB  a f n ad  n 1 , efi  ut  d m ad  b o^fiue  ut  acutum fib- 
Udum  cud  ad  acutum  a ub  ;c^  per  conuerfionem  rationis  n 
f ai  f 1 , erit  ut  ac  ut  umf olidum  cud,  siue  ut  cylindrus  td  ad 
fruBum  c a b d . Sei  ut  n f ad  fl , ita  efi  etiam  cylindrus  idem 
td  ad  aquantur  ergo frufium  czh  d ^ et  cy linirusy^h , 

SuoddFC. 

Scholium  s - 


'Ex  priori  parte  huius  demonhrationis  patet  folidum  hyper- 
bolicum  vcrfus  infinitam  planitiem  ef  magnitudine  in  finitum 
efTe . poteft  enim  ex  ipfo  fumi  pars  ipfius  quse  aqualis  fitcuicii- 


que  imgnituawu  aat^e : 


Corel 


Problema  Secundum  t lap 


.1 


A 


Corollarium  XIX* 

Bfio  f olidum  acutum  fedlum pla- 
no ab.  Oportet  illud  fecare  item 
alio  plano  pi,  itavtjtujlum  apt 
b ad  cylindrum  (ibi  circumfcriptu  ^ 

Jitvt  c ad  d ; dummodo  ratio  c 
ad  d.  Jit  minoris  inaqualitatis . 

Fiat  ^ 'Ut  c ad  d,  it  a dat  a ef 
ad  f g ^per  g ducatur  planum 
hl.  Eritq;  c ad  d,  'vt  ad  £ 
g , nempelpb  aqualia  reclangula)  vt  i g ad  b e i hoc  e Bvt  fru 
Bum  ai  ad  cylindrum  aK  ^odcJc. 

Si  v edo  datum  planum fecans fit  pi,  & folidumfecandum 
Jit  inferius  ver fus  f iterum  eademlege  ^itaprocedemus , Fiat 
vt  c ad  d , ita  t£  ad  datam  per  e ducatur  planum 

ab.  EritqifruBum  ai  ad  cylindrum  gi  ad  th^Ji* 

uevt  ef  ad  fg,  hocejlvt  c ad  d.  Suoderat&c. 

Corollarium  XX. 

E Jiof olidum  acutum fe^umplano 
a b . oportet  illud  iterum  fecare  verS- 
fus  f.  ita  vt  frustum  interfecliones 
comprahenfum^  adinferiptum fihi  cy- 
lindrum quamlibet  datam  rationem 
maioris  inaqualitatislhabeat ^ vt  c 
ad  d. 

Fial,vt  c ad  dy  ita  data  ad 

fg;  du^oqiper  Apiano  ih.  Erit 

fruBum  ib  dd  cylindrum  infer iptum  ob,  vt  gh'  ad  eb, 
fiue vt  ti  ad  fg,  fiuevt  c ad  d . ^od eje» 

Sivero  planum  fecans  datum  fit  ih,  cjfecandum  ftfolidii 
iterum  eadem  lege  verfus  infinitam  longitudinem,  f at  vt  c ad 

F dita 


C' 

'-I 


D' 


A 


TAO 


G 


1 


B 


-d  ita  ef  addatatn  fg.  Erltqifruflum  ib  ad  cylindrum  o 
b vt  Q.i  ad  fg,  nemfcvt  c ad  An,:^od(^c, 


Corollarium  XXI. 


EflofruBum  ac  mi f olidi  a b C d 
■ponat  urq'^  circulus  e f medius  pro 
portionalis  intrr bafes  a d,  b c,  ^ 
erigatur  cylindrus  e g cuiufcunq; 
altitudinis  . Dico  f rufium  a c ad 
cylindrum  q ^ efievtreBa  i\  ad 


o 1 

In 

A 


DE 


Fiat  enim  vt  reBa  ad  ad  bc 
ita  i\  ad  \o & ad  altitudine 

lo  erigatur  cylindrus  aw^^qui^qu^Userbfrufio  ac  (pereo- 
roll.  ly . ) Jam  cylindrus  aXi  ad  cylindrum  e g , rationem 
habet  eompofitam  ex  ratione  bafium^  nempe  quadrati  ad  ad  t D 
hoc  eB  ex  ratione  reBa  ad  adb  c-  fiue  potiusreclf  i 1 1 o 

^ exratione altitudinumynempe  1 o ad  fg.  Frgo  cylindrus. 
an  ad  eg,  eritvtreBa  il  ad  fg,-  propter  ea  etiam  frufiu 
ac  ad  cylindrum  eg  eritvt  il  ad  fg.  ^od&c. 


Scholium. 

Ergo  fi  altitudo  fg  fiat  aqualis  ipfi  i / erit  cylindrus  eg 
«equalis frufto  ac^ 

Corollarium  X X II . 

FBofruBum  acuti  f olidi  a bc 
d , quod  habeat  alteram  ex fuis  b a 
fibus  f quacunqi  illa  fit)  puta  a d, 
p qualem hafi  e m cylindri  t^.Di  ? T>  P 

c of rufium  2,c  ad  cylindrum  Q^ef 
fe  vtreBdgulumfub  diametro  in§ 

qualis 


r : 

o 

l: 

/ 

\ 

Problema  S ecundum  ^ 

qUdlis  hdJ^Si  ^fuh  altitudine  fruBiy  ad red angulum  per  axem 
cylindri.  Id empevtr exanguium  bq/,  hi  ad reB angulum  eg. 

Fiat vt  ad  ad  b c ita  h i ad  io;  ereBoq\  cylindro  a 1 
cum  altitudine  io,  eritfrufium  aquale  cylindro  2il,lam 
cylindrus  al  ad  eg,  ob  aquale^s  bafes ^ efl^t:  oi  ad  giii, 
Sed  ratio  recta  o i g m , componitur  eu  r at  tone  reBa  oi  ad 
i h , Jiue  b c ad  ad,  hoc  eft  b c ad  e m > ex  ratione  h 
i ad  g m . Frgo  ratio  oi  ad  g m erit  eadem  qua  eft  reBang, 
b c , \\  \ ad  reB angulum fub  em,  m g . Propter  e a etiam  cylin 
drus  al,  fiue  fruBum-xc  ad^cylindrum  eg  erit  vt  reB  an-- 
gulum  bc,  hi,  ad  reB  angulum  emg.  Muodc^c, 

Corollarium  XXIII, 

SifruBum  ac  uti f olidi  a b c d 
(df  cyli  ndrus  e f aquales  ait  it  u^ 
dines  habuerint . BritfruBum 
ac  adcylindrkm  ti^treBan-' 
gulum  fub  bc,  ad,  ad  quadra^ 
tum  e g . 

Fiatvt  ad  ad  bc,  ita  lu 
ad  MO . eritqfruftum  a c aqua- 
le  cylindro  a i cuius  altitudo  fit 
uo.  lam  cylindrus  ai  ad  cylindrum  rationem  habet  c'o^ 
pofttam\ex  ratione  altitudinum  iio  ad  gf;  ftue  uo  ad  ul 
fiue  hc  ad  iSidiinempe exrationereBang»  bc,  ad,  adqua-^ 
dratum  . Et  ex  ratione bafium ; nempe  quadrati  2,d  ad 
eg.  Ergo  cylindrus  z.iy  fiue fruftum  ac,  ad  cylindrum  ody 
eritut  reBang, fub  bc,  ad,  ad  quadratum 

Corollarium  XXIV* 

Eruftum  acuti  foUdi  a b c d , ad  cylindrum  quemlibet  e f, 
rationemhabet compofitam exrationereBanguli  bc,  li  adre- 
B angulum  ad,  'gfi&ex  ratione  quadr.  ad  quadratu  e g. 

R ' 2 Fiat 


bl  -G 


j 0 

• 

'a 

7 

\! 

/ ^ 

a . \; 

/ 

-J 

Fiat  ad  ad  \>c^  ita  li 
ad  io;  eritijjae  cylindrus  a u <2- 
quahs  fruFto  ac.  lam  rei} a io 
adre6tam  g f , eft  vt  reCf  angulum 
fub  bc,  li  ad  rcB angulum  fub 
ad,  g f , ( nam  ratio  rcbfa  '\o  ad 
gfj  componitur  ex  ratione  io  ad 
i J , Jiue  b c W a d ; ex  ratione 
i 1 ad  g f . Frgo reila  io  ad  g f , 

€ B'vtr  e f} angulum  hc^  i \ ad  re~ 

B angulum  ad,  gf.J  Sed  cylindrus  ad  cylindrum  ti  rk^ 
tionem  habet  compofitamexratione  io  ad  gf,  nempe  ex  ra~ 
tione reB anguli  b c ii , ad rebl angulum  ad,  g f ; ra- 

tione  quadrati  a d ^«5/  e g . Propter  ea  etiam  frufium  a c ad  cy- 
lindrum  e f rationem  habebit  compofltam  ex  ratione  reB  angui  i 
b c , 1 i ad rectangulum  a d , g f ; ratione  quadrati  a d ad 

€g*  ^od(jrc> 


A 1 'D 


Scholium. 


Poterat  etiam  proponi  fic.  Frufium  ac  ad  cylindrum  ef^ 
rationem  habet  compofitam  ex  ratione  redanguli  ad^il-^zA 
re(flangulum  b c yfg  \ 3c  ex  ratione  quadrati  bc,  3.deg, 


Corollarium  XXV. 


Sint  duo firufi a acutorumfoli- 
dorum  qualiacunque , Dico  fru- 
Bum  h b c c ad  fruftum  d f g a , 
habere  rationem  compofitarn  ex 
ratione  reUangulorum  hafium  , 
^ ex  ratione  altitudinum^  nem^ 
rpe  ex  ratione  reB  anguli  bc,h  e 
ad  reB  angulum  f g , d a i ^ 
ratione  reB  a ixi  ad  m\* 


Problema  Secuadum . 155 

Fiat  enim  er  bafi  d a cylindrus  d o cum  altitudine  a o, 
dynafit  aqualts  i^fi  Vi  i . Fritq\  ( fer  CorolL  2^,) frufium  h c ad 
cylindrum  d o , *vt  rcCt angulum  b c , h e ad  quadratum  d a . 
Cylindrus  autem  d Q.adfruBum  d g f/?  {]fer  CorolL  2 2. )vtre^ 
cl  angulum  6.2,0  ad  re  di  angulum  f g,  m i . Nemfe  adillud  ^ ra- 
t io  nem  hahet  comqo fitam  ex  ratione  redi  dii  Ad  f g , fiue  ex  ra 
tione quadrati  da  adredl angulum  d a^fg.  Ft  ex  ratione  re- 
ci<&  O a ad  m 1 , fiue  in  ad  m 1 . liat  io  itaqfirufii  h e ad fru- 
fium d g cemfonitur  exrationibus^redianguli  b c,  h e , ad  qua 
dratum  da;  sj  e xratione  quadrati  d a adredl  angulum  da,fg; 
.(fi  ex  ratione  redi  a i n ad  111 1 . Denrptoq.  medio  tllo  terminofu- 
perfluo  nempe  quadrato  6 '2. , Frit  ratio frustt  ha  ad frustum  d 
g compofitaexrationereciangulih  C',ho,  ad  re  di  angulum  d 
a 5 f g 3 fi  ex  ratio  de  re  di  a i n ad  ra  1 . filmd  erat  fic. 

Corollarium  XXVI. 

- ' Ffi 0 frufium folidi  Acuti  abcd  fediu 
plano  h i ; ducatuYq:^  b n parallela  ad  axe . 

Fico , totum  fvuflum  ab  c A ad  partem 
h b c b effie  vt  a n ad  h i . 

Nam  folidum  acutum  a g d , adfioUdu 
b g c , eji  %}t  a i ad  b e ^fiue  vt  a i ad  i 
n ; fi  diuid  endo  frufium  abcd  Adfioli- 
'dum  acutum  b ^ terit  vt  2in  ad  ni  ^ fi- 
ue .vt  a n ad  i 0 4 Solidunt  vero  b g c ad 
frufium  hcf fmtli  argumento)  efivt  o i ad  i h . Frgo  ex  aquo  . 
/rufium  a c , ad  h c erit  vt  an  adhi.  filuod  fic, 

Scholium  * 

Hinc  patet  quomodo  datum  fruftum  acuti  folidi  in  data  ra- 
tione fecari  poiTibquod  tamen  ad  finem  Corollariorum  elegan 
tiori  problemate  ex  equemur  . 


154  De  iSolido  Hyperboltco 

Corollarium  X'X VII, 

Bjlofrufiumfolidi acuti  abcd.  cuius  g 

axis  m i . fitq\centYum  hyperbol<zpunBu 
h . S ecetUY  deinde  ftufium  a c plano  quo- 
cunq\  C f ad  axem  erecto . Bicofruftum  a 
f , ad  ftufium  c c « efje  vt  y e 6t angulum  fub 
i 1 , h m , 4^  Y e df  angulum  fub  hi,  i m . 

NamfYuBum  af  adfrujlum  cc,Yatio- 
nem  habet  compoftam  exYationefYufli  a f 
ad  acutum [olidum  e g f ; (f  ex  y at  ion  e [olidi  longi  e g f j adfru 
flum  CQ , Sed  quiafolidum  acutum  agd  ad  acutum  [olidum  e 
gf  efl^tYecla  ai  ad  t\‘,  [ue^jtYeSta  I h ad  hi , cy it diuid e n^ 
dofYuftum  a f ad  [olidum  egf^vtliadih.  Amplius : Solidum 
ad  J olidum  b g c eH  vt  t\  adhxx\y  [mevt  m h 4^  h I ; 
(jrpeYconueYfionemYationis,  eYit [olidum  cgf  adfYUsium  ec, 
^t  hm.  ad  Patet  CYgo  qui)  d ratiofYufii  ad fruFiurn  e c , 

QomponitUY  exrattone  i i ad  ihy^  exratione  hm  ad  m 1 Pr  op- 
tet e d[YU  Itum  2t.£  ad  e c , erit  vt  reBangulut^ [ub.  / i , h m , ad 
relt angulum [ub  i h , 1 m . Spipd 

SchoUum , 

Ideafi  Gat,  vtmb  2iG.  hi,  ita  mi,  ad  //.  Bifariam fecabi- 
turfruftum  ac  ^ plano  per  pundum  i dudo.  Aequalia  enim 
erunt  ipfa  redanguia . 

Corollarium  X X V I II. 

Si  axis [rulti  abcd  bifariam  [e^ 

Qeturd  plano  e { * Erunt  portiones  in- 
ter /f,  nempe  a f . ad  tc  'ut  re  Id  a a d 
ad  hc  . [cilicet  vt  diametri  bafum 
remotarum . 


Problema  Secundum 

Truftum  enim  2.{  ad  ec,  tB 'vt r ect angulum fab  h-  Oy^i  ad 
f€ct  angulum fub}\o , i^ger  frsced:  Sed  o i , i g , altitudi- 
nes reB angulorum  funt  aquales , Brgo fruHum  zi ad  e C j erit 
vt  g h h o ,fiue  vt  a d b c » ^Imd &€\  ^ 

Scholium . 


Hincpatetiquo  d fi  in  folido  longo  hy 
perbolieo  quotcunq;  fumantur  axis  por- 
tiones deinceps  aequales  a^  b-y  c,dye,  vbi 
cunqi  fiat  initium  . Eritfrufialmy^  ad  g 
h vtreda/’-^  ad  Frufium  vero  gh 
ad  hi  erit  ut  mb  ad  &frufi:um  hi 
ad  il  ut  h c j ad  le . & fic  in  infinitum 

Coroiiarium  XXIX» 


B t C 


Datum  acuti  folidifrujium 
ab  c d in  dat  aratione f€care'y, 
futavttadi». 

Fiat  y njt  reBd:  a d ad  b c , 
ita  e adaliam  qua  fit  g . De- 
indefidty  'Vt  g ad.  i y. it  d h i ad 
ily  dt' ^er  l ducatur fiand  mw- 
lam frufium  a n ad  m c e fi 
'v.trecl angulum  Io  5,  i hydd reB angulum  I i , o h . Brgo  ratio fru 
sti  2.  nad  mc  comj>onitur  exratione  laterum  \q  ad  o hyfiue  a 
d b c yfiue  e ad  g . Et  exratione  laterum  h.  i ad  i\y  fime  g 
ad  i^Drgoratiofruftizn  ad  mc . componitur  ex  ratione  e ad 
& g ad  i , Proptered  erit axnfrujtum  ad  mc  vt  e ad  L 


.. 

r m/  I 

I. 

X H 

E G FA 

u 

0. 

lamifia  fufficiat  demonftrauifre , ex  plurimis  Theoremati- 
bus ,quse  ex  fiecundifiimo  hoc  folido  deriiiari  poterant . Inte- 
rim  ad  promifram  demonfi-rationem  accedamus , quam  tamen 
pE^terire  poterirquicunq;  iam  allata  contentus  fuerit . 

T>E  ! 


^£>e  Dimenfone  Acuti  folidt  Hyperhlici 
iuxtd  methodum  Antiquorum . 

SVpereft  nunc  vt  Theorema  illud , quod  poft  lemma  Quin- 
tum oftendimus  per  methodum,  &dodrinam  Indiuifi- 
bilium , demonftremus  iterum  more  Antiquorum , & praecipue 
Archimedis^  impoidibiic  enim  quodammodo  videtur,  infini- 
tamlongitudine  figuram  fub  folka  figurarum  infcriptlone  ,& 
circLimfcriptione  poife  comprsehendi.  Tamen  id  non  folum  a 
nobis  £idtum  eft,  verum  etiam  a Clarikimo  viro , & Geometra 
prxflantifiimoRoberualliOjqiif  noftrum  folidum  hyperbolku 
inuetis  arduis,  fublimibus,  aeutiffimis,&  vt  brduiter  dicam  fuis , 
menfurauir,  eiufq;  fruftum  in  data  ratione  difTecuit.  Abftineo 
ab  illius  demoftratioms  editione  inuitus . comparuit  enim  cius 
epiftola  eo  prorfus  tempore , quo  iam  hgc  prelis  fubijcerentur» 
neque  de  voluntate  Authoris  fatis  conflabar,  neque  iam  per  te- 
pus  licebar  expedlare,  donec  illius  beneplacitum  ex  Gallia  Pa- 
nfijq;fignificaremr.  Veniamus  itaq;  ad  lemmata  opportuna , 
quorum  primum  fit. 

Lemma  Primum. 

Ibi^erentid^  qUA  eft  inter  iuos  circtdos , di circnlum  quemli- 
het  tertium  ,•  eft  vt  rectdngulum  comprAhenfum  fub  differentia  , 
^ t^ggt‘^gdto  femidiam e tr orum  eorundem  circulorum^ad quadra- 
tumfemidiametri  tertij  illius  circuli , 

Vocetur  amem  talis  differentia  duc^rUm  ciftulorum^  qudnio 
concentrici  fuerint , Armilla , 

Vfto  Armilla  fue  differentia  duo- 
rum circulorum.conc  entricorumdl-' 

ta  cuius  latitudo  a b , centrum  vero 
c . JDico  Armillam  a b , ad circulu 
quemlibet  d f \ effe  vtreld angulum 

abci 


Problema  Secundum , i>p 

ab  e,  dd quadratum fermdiametri  df. 

Nam  circulus  ex  radio  ac,  ad  circulum  ex  radio  ch , e fi 
*Ot  quadratum  ac,  ad  quadratum  ^cbi  & diuidendo  Armilla 
z.hy  ad  circulum  ex  radio  cb;  erit  vtrell  angulum  ab  e,  ad  tx 
quadratum  cb.  Circulus  ver)t  ex  radio  cb,  ad  circulum  ex  . 
radio  d f , <fi  vt  quadratum  c b , adquadratum  d f . Ergo  ex  ^ 
aquo , erit  Armilla  ab,  ad  circulum  d f , vt  r e ll angulum  a b 
ad quadfAtum  df.  ^oderatdrc. 


Lemma  II. 


AG^IYO  FiLH 


Si  ex  cylindro  reUo  ab,  ab- 
latus fuerit  cylindrus  c d , cir- 
ca coTfimunem  axem  i e conHi^ 
futut\teliquum [olidum  e xc ana- 
tum quod remanety  aquale  erit  cy 
lindro  cuidam  relio  fg,  cuius 
quidem  hajis  fh  aqualis  fit  Ar- 
milla ^qu^  circa  centrum  ^lati- 
tudinem habet  a c ,*  altitudo  vero  I m aqualis  fit  altitudini  e i. 
V occtur  autem  tale [olidum  excauatumy  tubus  cylindricus , 
filuoniam  ires  cylindri  ab,  c d , f g , aque  alti  fiunt ; Erit 
cylindrus  ab  ad  c d , vt  circulus  z<y  ad  circulum  c ii , ^ 
diuidendo  erit  tubus  cylindricus  ad  cylindrum  cd,  vt  armilla 
ac  ad  circulum  cu,-  fied  cylindrus  cd  ad  cylindrum  i^^eB 
vt  circulus  cu  ad  circulum  fh.  Ergo  ex  aquo  erit  tubus  cy- 
lindricus ab,  ad  cylindrum  fg,  vt  armilla  ac  ad  circui 
Ium  fh*  Sed  armilla  ac  circulo  f h fiupponitur  aqualis  i er- 
go tubus  cylindricus  ab,  aqualis  erit  cylindro  fg.  Sluod 
trat&c. 


Lemma  II L 

filmlibet  cylindrus  rellus  a b , ad  quemlibet  tubum  cylin» 
dfkum  reBum  c d^  rationem  habet  comfofitam  ex  ratione  al- 

S titudi- 


^5 


H' ' 

./ 

D 


A H 


titudinum  y nempe  e b ad  fd, 
cH  ratium  kafium^ 
eje ratione q^mdrad  ah  4drer 
..Iqtft  yMangulum  ci  f.  (demonBrar 
tum  enimefl  ita  efpe  circulum 
a e ad  armillam  ci,  vr.qua^ 
dratuna  ^.h  ad  r e Cl angulum 
cif.) 

Ponatur  cylindrus  1 m,  cu- 
ius altitudo  11  m fit  aqualis  altitudini  f d ; hafis  vero  In,  s^ua 
lis  fit  armilla  di  Et  erity  per  prae  edens  lemma  y tubus  cylin^ 
dricus  cd  aqualis  cylindro  \ m . 

lam  cylindrus  2ihy  ad  tubum  c d eandem  hakebil  rationem., 
quam  habet  ad  cylindrum  1 m ; nempe  compofitarn  ex  ratione  a fi 
titudinis  Q.h  ad  nmy fiue ad  ^d‘yfir e xratione  bafium yhoc eft 
circuli  ad  circulum  l n ; fiue  quadrati  a h ad  quadratum  l 

vel  quadra  ti  a h , W rell angulum  <:  i f . Ssoderap-^c. 

Lemma.  IV» 

Efio  hyperbola  cuius  afymptot.i  fi0 
zh  y h e y angulum  reBurn.  coippy^het^ 
dentes  yfitqae  hyperboU  femiaxis  h d - 
(femiaxemappello  y quia  b punEl-Urn  in 
quoafymptoticonearruntycentrum.byy. 
perbplaaB  »fiDicb  quadratum  reBa  b d^ 
dupiumefiecuiufcunqMereBanguicz^.y 
inter  afymptot&S  y (fi  hyperbolamipfiamp&lttprd^ 

^ J^ucantur  dc:»  dx^yrnptotiaquid  ^ b i 

dc  yquadratumy  cum  anguei  ad.  h fiemirriii  fin^  A » d* 

ad  i reBi » Ideo  quadratum  iine^  bd,  duplum  erit  quadraB 
#jf  * b i d c ; fiue  reB anguli  a e , inter  afiymptotos , d"  hyperholam  ip^ 
^^y^^Q^^Yahenfi » filmderat efie,, 

Lemana  . 

EUa  hyperbola  a b ? cums  afiymptoti  angulum  Te0um,  c onti^ 

neth- 


td , d’  e 1 

duobus pmBis  ^ , b,  vtcumq; 
i^hjfethold  iducantUT  duA  te- 
b e , a i idfyntptoto  c d . <e- 
quidift antes,  a n , b m alu- 

ri  afymptoto  d e parallele , qua 
concurrant  in  1 . ST um  conuer^ 
taturvniuerfd  figura  circa  axe 
cd. 

Hico  cylindrum  quemdam  i 
e p o ( cuius  quidem  bafis  i o 
habeat femldiametrum  it  aqua 

lemfemiaxihyperhola\  altitudo  veri)  fit  interccptd  \ c fi  fHdto- 
rem  efie  tubo  illo  cylindrico , qui  fit  ex  conuerfione  reildriguli  i 
b circa  axem  c d ,•  Minorem  vero  tubo  illo  qui  fit  e tc  clnuerfione 
reU anguli  i\,  ctrc  a eundem  auemr  euoluti  ^ 

Inprimis]quia  h eJl  aqualis femiaxi  hyperbold , efit  quO-  lem.pfl 
dratum  it  duplum r e ll anguli  dh ,fiue aquale  reSlanguldxxh  . €edt»t^ 
lam : cylindrus  o e,  ad  tubum  qui  fit  ex  r e ll  angulo  i b ( Intel- 
ligefemp er  circa  axem  c d ) rationem  habet  compofitarh  eU  ra-  jJ 
tione  bafium ; nempe  ex  ratione  quadrati  i t ,fiue  redlangultxx  b, 
adr  e cl angulum  u i e . Hoc  e fi  ( abi  e His  rell angulis ) e^ratid^ 
ne  lateris  Me:  ad  ^i\^  ex  ratione  lateris  c b aid  i u'.  Et  infii* 
per  ex  ratione  altitudinum ; nempe  reH^  ei  ad  eb . Ergoraiia 
cylindri  o e.  ad  tubum  i b,  componitur  est  pradiH  is  tribus  r a- 
tioHibus \fcilic et . exrationereila  ue  ad  ei:  ^ exrattoHe  ei 
ad  eb  i & exratipne  eb  adi\x.  propterea  cylindrus  oe^  ad 
tubum  i b i erit  vf  primus  terminus  ad  vltimurn  ; Hempe  ^t  re^ 

Ha  ue  ad  i wyhoc efi minor , S^oderatofie^deddtm  primo . 


Eatioixerb  cylindri  oe,  ad  tubum,  quifi f eidrellan^ld  i\^ 
coponitur  ex  ratione  bqfium  ,ficilicet  ex  ratimtqUadfdti\  t , vd 
red anguli  i h ^ adreli angulum  u i e i hdc  efl(abicHiiteHdn^ 

Usfiixramne  lateris  fii,  ad  iet^e^raiidnoyet^ 

e^XW^Btinfiifer^rmiomakiiudmm^nemp^ieadt^  Er- 

S s gora* 


if 53^  Solido  Hyperbolico 

go  ratio  cylindri  o c,  ad  tuhum  i I,  componitur  exhis  tribus prA^ 
didis  rationibus^  nempe  ex  ratione  fi  ad  icj  i e.  ad  a.i;  (jr 
zi  ad  i u . Ff  opter  e a cylindrus  o e , a,d  tubum  i 1 , erit  'utpri- 
mus  terminus  fi  ad  v It  imum  ^ ideo  minor,  foderat 

oftendcndum  (frc. 


Lemma  VI. 


k 

\! 

^Jio  hyperbola  cuius  afympto-f 
ti  c d , d e angulum  redum  corn- 
prahendant  yfumptifq.  in  hyper- 
bola  vtcumque  duobus  punBis  a 
dr  b i ducantur  a i,  b e afympto^ 
to  c 6.  parallela . 

Dico /olidum  illud  annulare 
quod  defcribitur  ex  conuerjlone 
quadrilinei  mixti  [i ab  e,  circa 
axem  c d.  reuoluti^aquale  e/f e cui 
damcylindro  redo  i^^  po  .Debet 
autem  huius  cylindri  altitudo  ej/e 
i e ; diameterverltbafts  i o , debet 
ej/e  aqualis  integro  axi  ipjtus  hy’> 
perbola . 

^it  enim  (fi po//ibile  e Jl)  /olidum  illud  annulare  fadum,  ex 
quadrilineo  i a b e , circa  axem  c d reuolutOy  minus  cylindro  o 
e.*  &pmaturd€f edus  aqualis  cuidam /olido  K. 

Secetur  bl  bifariamin  f.  deindereliqua  fl  fecetur  Ftfaria 
in  g 'j  Et  hoc  fiai/emper  donec  tubus  aliquis  cylindricus^  qui  de-e 
fcnhitur  ex  reuolutione  red  anguli  alg,  minor  fit /olido  K. 
T uns  enim  feBapotd  b 1 , in  partes  aquales  vltim^  g I , ducan^ 
tur dfingulis pundlis  diuifionum , reda  gh,  fn, yr,  aquidi- 
fiantesipfi  ^tldExpundis  vero  mj  nx.  in  quibus pradidf 
paraltelf  hyperbolamfecant  y demittantur  reBs  .fiue  potius  pia 
na  mif  %xXyt)X^ad afymptoton  d e ereda . Denique  ex  con- 


P^oblemaSecundumi. 

uerfiam  jinguloYum  re£f  angulorum  ^ qualium^  quorum  *vnum  efi 
a g , totidemttiht  cylindrici  dcfcrthantur  circa  axem  c d, 
lam:  tubus  qui  fit  a rc^f  angulo  rb  l'  intellige  femper  circa 
axem  cdjob  aqualem  altitudinem , eandemque  hafim , aqualis 
erit  tube  r f . addit oq^  communi  tubo  r n . erunt  duo  tubi  b r,  r ii 
fimulfiumpti  aquales  tubo  n y-ifiue  tubo  n g . Additoq,  commu- 
ni n m . erunt  tres  tubi  b r n in , aquales  tubo  m i^fiue  m 1 ,•  ^ 
addito  communi  %>ltimo  iti^a , erunt  omnes  tubifimul  b r n m a , 
f quales  tubo  nempe  minores  folido  K.  ob  conHruclionem , 
Propter  ea  vniuerfa  figura fiolidaconH  ans  ex  mbis  er,  & n , z in 
X a yCircumficripta folido  annularifadlo  d quadri  lineo  i a b e,  mi- 
nus addit fupr  a ipfum  foiidumannulare.iqudm fit  folidum  K. Er- 
go ipfa  fgura  ciYCumfcripta  adhuc  nfinor  erit  cylindro  o Q.,^uod 
efi  ah  fur  dum . Idam  tubus  a x . ffip  er  at  cylindrum  x o ,*  Tubus 
item  m z fiuperat  cylindrum  zi.ifr  (Ic  de  reliquis  per  lemma  j. 

Ponaturdeinde(fipofitbUeefl ) folidum  annulare  genitum  ex 
quadriiineo  i ab  e , matus  effie  cylindro  o e . ponat urq.  excefius 
aqualisjolido  (tuidam%., 

F er  agatur fimilis  conUruEtio , ^t fupr  ita  vt  omnes  tubi  ey-r 
Undrici  b r n m a , minores  iterum  osiendantur  folido  k . Tunc 
enim  figura  tnfcriptain  folido  annulari pradiEUo , conflans  ex  tu 
& b , z r , X n , i m , minus  deficiet  ab  ipfo  folido  annulari^qud. 
fit folidMm  k Propter  e a eadem  infcripta  figura  adhuc  maior  erit 
eylind,  o t^^uod  eli  ab  fur  dum.  Nam  tubus  x h minor  efi  cyliru 
dro  X o ’r&  tubus  x n minor  efi  cylindro  x t . Etfic  de  reliquis  , 
Patet  ergo  ^ quod  folidum  annulare  genitum  ex  conuerfione 
quadrilinei  i a b e , circa  axem  c d , aquale  efi  cylindro  o e . SU 
quidem  jodienfum  efi , neqi  minus , neq.,  maius  effe poffe 


Lemma  VIb 


EftohyperboU  ^ duius  dfymptoti  angulumrcBum  commen^ 
f es  fine  a B , b c i ^ eo  nu  er  t at ur  figura  circa  axem  a b,  tta  m fi,- 
Mt folidum  hyperbolicumyeMius  infinita  fit  longitudo  ^erfius par^ 
eessL»  Sefiio  deinde huiufmodi folido ypiam  dc  ad  axem  ere- 

clo , 


Ho  d e concifiAtur.  cylindrus  df 

g e , hdbens  altitudinem  df . IntelUgaturr 
qm  alius  cylindrus  b g 1 i , cuius  altitudojtc 
b g , balisverltfemidiameter  b o fonatura^ 
qualis femiaxi  hyperhalf  . Dico  cylindrum 
h \ duplum  ejp  cylindri  iQ  ^ 

Nam  cylindrus  b 1 ad  cylindrum  fe , 
tioncm  habet  compofitam  ex  ratiane  ba* 
sium y nempe  ex  ratione  quadrati  oh  ad 
b g ratione  altitudinum , nempe  ex 
ratione  re6t^  b g ad  g c , siue  quadrati,  b g 
adre^angulnmh^t.  ErgocylmdrushX  y 
ad  cylindrum  i ejl  vt  qHadratMm joh-iiadreviaitgulumh  e. 
Nempeduplus^  £lm  der  at  clrc. 


2) 

y 

F 

B 

GG 

0 

I 

L 

Theorema. 


Efto  hyperbola, cuius  afympto^ 
ti\angulum  redu  continentes  fint 
ac.  Et  fumpto  in byperbo- 
la  quolibet  pundo  ducatur  d 
c:  parallela  ad  Tum  couer- 
tatur  figura  circa  axem  ab;kx 
vt  fiatfolidum  acutum  hyperbo- 
licum  infinitas  longitudinis  ver- 
fus  partes  (intellige  femper 
pundum  b in  infinitam  diftantia 
efTe  remotum*)  Conftabitq.pr^^ 

didum  folidum  hyperbolicum  ex  duobus  folidis,nempe  ex  cy- 
lindro redXo/^e dCiSc  ex  folido  acuto  e bd,  cuius  quidem  ba- 
fis  erit  circulus  ed,  altitudo  vero  fine  fine . 


Dico  vniuerfum  huiufmodi  folidum/^’  ^ asquale  efTe  cy- 
lindro cuidam  redo  ac  ih.  cuius  altitudo  fit  a c ( nempr  femi- 
diameter  bafis  acuti  folidi)  diameter  vero  bafis  a h ^ asqualis  fit 
Integro  axi  hyperbole , 

Sic 


Problema  Secundum , 155 

$k  enim  ( fi^olTibile 'eft/ fblidum  hy  perbolicum  febdc  mi- 
nuscylindro  Pon^mrq,- ex  cylindro  cylindrus  aliquis 
nsili  qui sequalis  fit  jfolido  hyperboBlico ; 6c“|5roducatur  In m 
donec  hyperbolae  occurrat  in  m»  (occurret  enim,  cura  afym- 
ptoto  fupponatur parallela.) 

lam  cylindri^s  aequalis  erit  folido  annukri, quod  defieri- 

bitur  areuolutione  quadrilinei mixti  nmdcy  &propterea 
nus  oranind  erit iblido  integro  hyperbolico ^ d f . Hon  dr- 
go  eidera  eft  lequalis . Quod  eft  contra  fiuppofitum.. 

Ponatur  deinde  ( fi  poifibile  efi  j folidum  hyperbolicum /V 
i /c  maius  cylindro  Quoniam  igitur  folidum  hyperbo- 
Ikum  f^bde  , finitse  magnitudinis  fit,  fiueinfinitg^  maius 

fupponitur  q uam  cylindrus  d i . Erit  aliquod  ipfius  fegmentu, 
puta/c#;j^;f/c,  aequale  Cylindro  di.  Quodeftabfurdum.  Na 
loiidum  annularefadumsa  reuolutionequadriiinei  n m de, 
quale  eft  cylindro  n i \ Cylindrus  autem  0 n fubduplus  efi:  cy- 
lindri n h . Ergo  tota  portio fiolidi  hyperbolici/V  omde ^ mi- 
nor erit  cylindro  di.  f 

Patet  ergo,  quod  vniuerfium  folidum  acutum  hyperbolicum 
febds -i,  quamquam infinitselongitiidinis fit , sequale tamen  cA 
pr^  di (5io  cylindro  d i . Quandoquidem  neque  minus,  neq;  ma- 
ius elfe  potefl: . Quod  erat^oilendendum  &c. 


Ltm(y 

Lemif: 


APPEN- 


A P P EN  DI  X 

^De  Dimenjime  Cochlu  r 

CV  M adhuc  a neuiinc*  quod  ego  fciam, Geometrica  con- 
(ideratione examinatum  fit  folid um  vulgatum,  .&  anti- 
quiifimum , meoq;  iudicio  aliqua  animaduerfioae  non  indignu 
( Cochleam  incelligo , ) non  abs  re  fore  iudieaui  illud*  breui  eo- 
templatione  profequi . Non  enim  aliena  erit  a procedenti  li- 
bello prsefens  fpeculatio , quie  per  Indiuifibilia  curua,faperfi- 
ciefq/ cylindricas  procedit.  Neq;  ingratum  Geometris  opus 
futurum  exiftimo,  ii  demonftrauerp  cui  hguras  notSEiam  dimea 
fionis,  aquale  fit  folid  um  quiddam  neque  re(g:um,  neque  rotua- 
dum/ed  fpirali  rcuoliitione  contortum, quale  nullum  adhuc  in^ 
ter menfuratas  figuras poffidet  Geometria.  Premifla  itaq;  defi- 
nitione veniamus  ad  lemmata,  qua  fieri  poterit  breuitate,  expe- 
dienda . 


Definitio . 

SI  eodem  tempore  moueantur dute 
plana  figurae , quae  femper  in  eode 
plano  Gonfiftant,  nempe  redagulum^  ^ 
e d.  circa  axem  a b motu  circulari  aequa- 
bili, & figura  quaecunq;  i e motu  pro- 
grefiiuo  fuper  latere  4 c . Solidum  quod 
agfigura  genitrice  d e deferibitur , Cochleam  appello  • 

Lemma  Primum. 

XUo  folidum  qmdlibet  rotHndHm  a C b g ,*  cu- 
iUs  sit  a b,  figura  genitrix  a b c hfe^uq . sh 

flano  dfe  aquiitfiamer  a^ii  cb*  ai  figuram  ge^ 
mtricem  ereBo , quod  quidem  faci  at  infuferficie 
foliii  rotundi femifeCiionem  lineam  dfe . Dia 


DeGocMea  145 

pltdkm  tRud  YOtundum  quo^dontar  cx  reuoSutimefigUt^  d £e, 
tircd  4xem  d c , dquarifolido  qi4oddefmUtm  4 figxra  dee 
circa  axem  a h reuoluta  , 

Intelligamr  enimfolidum  Ydtundum  fec ari  alio  flano  fev  c f. 
^ducl&i^adaxem  ab  ere4Joy  erunt q\punCla  cf^mfemL 
circuWperipharia  cuius  diameter  ejl  c g ; ideo  quadratum 
l?  tsquale  erit  reB  angulo  c i g , ^ propter  ea  ( per  lemma  primu 
procedentis  demonjirationis)  circulus  cuius  radius  if , ^qua^ 
lis  armill^  quam  reBa  c i de feribit  circa  axem  a b . Bt  hoc fetn 
per  verum  erit  vbicunqi fit  planum f ^cans  c f g . Brgo  omnes fi^ 
mul  circuli , nempe f olidum  rotundum faBum  dreuoBttione  figu~ 
re  dfe  circa  axem  ^ty  ecquales  erunt  ommbus  armillis  fimul 
fumptis  5 hos  eBfiolidofaBp  a figura, ficx  reuoluta  circa  axem. 
%h  0.,  foderat dt^c.  ; V 

Eemma  IL  . 


E 

H 

G 

T 

i’ 


A. 


o 


M 


'-N 


Bfio  cylindv^usreBus.  -z  h exH  <?x 
reBa  ,e  d tam.quam  termino  dua  reBa . 
linea  infiMpcrficie-cylindrtca  aquales  - 
ipfi  exi  moMcantur  : quarum-  altera 
puro  circulari  motu  Zonam  e f a d de^ 
ficrihat  ^ altera  vero  quocunque  motu 
fipnam  e h ^xy^x  defignansemQueatur^' 
donec  amha:ai  vnum , id  em  que  latus  - 
cylindri  ,pma  a h peruenerint  ^Bico  huiufimodi x^onas^fiue ZjQ-^ 
narumporttones  inter fe  efifioquales . „ 

Concipiatur  enim  trigonus, cylindricus fitptYtor\\it  tranfl- 
ferri  y dfupr  a inferiorem  g a d collocari,  itavt  periphecria  f e 
ipfi  zd  fiuperponaturyqua necefiario congruent , cumfint dreus 
aqualumtirculorumd^reB  ad,  (Ji ducantur) 

aquales fintf  erBropofitionem  s tBrimielemeniorjim  Buclidk,  . 

Ipfa  etiamreBaiih  congruelcum  reBafibioquaU  a g-,  alias 
du&reBafie  interfec arent  m/uperficie  cylindrica,  qmdeffe  non-.,f 
pptefi . rpfatandemcurua.  h n e^  qualifiunqrfit-nmgruft/cqmjc 

Ti  curua,-. 


\ 4f 


cuma  g o d ) iV ijt  enim  c ori  gruat ; eMo : Et  (it  g m d tfAnstdU^ 
cuTua  h n e,  qua  mn  congruit  cum  g o d * du^aq,  i n infufer^ 
fete  cylindri , trit  m i in^qualisip/l  i o ; erga  etiam  n 1 , cum^* 
qualis  Jit  m i , erit  in  ts  qualis  ifji  i quod  ej^enon  potejl } Cum 
enim perfuppofitionem  aquales Jlnt  i 1 , o n , additaf,  Jiue  ahla^ 
ta  communi  J o,  erit  tota  io  ^dqualistoti  x\  \ , Propterea  totum 
triangulum  cylindricum  h ie  aquale  esi  triangulo  cylindrico  g 
a d . ideo  iperprojlcaph^refim^  ^na  e fa  d , z»onf  e h g d VJ? 
f qualis,  ^odjrc. 


Lemma  IIL 


J 


£.  S O 


cd^&fnemin figura  Ifh  . Deinde inteUigaturdefcrilf ere  d» 
nulum  cirsularem  in  fe  redeuntem^  qui  h ah  e at  initium  ^ & fi-^ 
nem  in  figura  eadem  hc  A» 

Mcipiatur  in  figura  b c d qualibet  Telia  i o parallela  axi  a 
t \ quf  quidem  relt a i oin  reuolutione  duas  zonas  cylindricas  ^ 
dr  aquales  (per  kmmaprpcedens)  deferihet,  in  vna  eademf,  cy- 
lindricajup  er  fici  e , alteram  quidem  in  cochlea , alteram  vero  in 
dnnulo  * JE.t$qudlesfemper  etuntyvhicunqi  fumatur  reCtai  o * 
ergo  omnes fimul^np  cylindrica  qu^  funt  in  cochlea  y pquales 
erunt  omnibus  Jimul^ynis  cy  lindricis  qu^  funt  in  dnnulo , pr<t^ 
f terga  B Ipfa  coshlea  fqualtseritipfiannulo^ 


Corollarium 


Hincjiunifeftumeft  omnes  cochleasprimac  reuolutionis  cf* 


fein* 


De  Cochlea  r '147 

fc  inter  fc  aequales  i quandoquidem  fingulf  ri^cm  anniUocir^ 
culari  sequalesfunt*  ^ 

Lemma  IV. 


M Anentibus  ys  quA  Apollonius fuppo^ 
nitin  x4  X 1 1 X 1 II i primiCo^ 
nicotum  * EBo  conus  a b c yfecius  plano 
non vetticaUpef  int^faciente  in fuper^ 
fcie  conifeBionem  f n r j quaecunq\  illa 
P \cmus diametef  cBo  fe^  X>ucaturq\ 
fi  dequidiftans ipfi  ac « T umfaty  vt  f 
t ad  ( part  em  hajis  trianguli  per  axe 

avertke  cOni  auuerfdm)  ita  if  ad  fL 
Dico  fl  ejfelattis  reBum  [epiionis , 

Ponatur  fl  adpunBum  f vtcumque^ 

^ ducatur  d I ah  extremitate  axis : Accepto  deinde  quolibet 
punBo  n in feClione i applicetur  no  per  o agatur  qp  ae^ 
quidifiansipfi  ac  j at  om  ducatur  parallela  ad  fl « Brit  iam 
fo  ad  oc\^  'Vt  fe  ad  ea,  fiue^t  if  ad  fl,  nempe^vt  po  ad  q 
m,  oh  parallelas  r Ergo  reiiangula  fom  , poq  funt  dqualia% 
quamobr em  reB angulum  fom  aquale  erit  quadrato  on»  d® 
propteredil  reBum  figura  latus . ^oddpc. 


Licet  hoc  •verum  fit  in  omni/eBione  coni  fiolam  hyperbolam 
depiximus^  quoniam fola  hyperhola facit  ad  rem  noBram » 

Lemma  Y* 

Si  reB angulum  ac,  in  eodem  exU 
flens  plano  cum  triangulo  orthogonio 
ebf.  conuertatur  circa  manens  latus 
a d donec  ad  locum  redeat  'vnde  capit 
moueri . Dico  annulum  circularem  de-- 
fmpmm  a triangulo  ebf  aqualem  ef- 

2;  ■»'  (fj»z 


.ft^c  onoidi  cuidam  hyperboltc  o , cuius  altitudo  Jit  b e ; tulus  ia» 
tus  rcbiuntjit  tpuarta  froportionalium  Ji jiat  ^t  e b ad  bf  ita 
dupla  b z ad  aliam . Verjum  vero  latus  quarta  sit  proportiona* 
lium , si  fiat  vt  fb  ad  bc,  itadupl  ab  z ad  aliam , 

C onuertatur  figura  njti  dicium  e fi , ^ reSfartgulum  a c de- 
ficfiiMPij linar um  cuius feclioprer  axem  c m i intelligaturque 
produdiam  effer  eUam  it,  donec  cum  axe  c^nueniat  in  h, 
^aum  m i in  i . Manifcjlum  ejl  triangulum  'Ka  f defcrihere 
tonum  gTif,  cuius  axis  eB  ah.  Concipiatur  iamfiec  ari  co^ 
num  g h f (ZquidiBanter  axi  plano  per  e b , siue  per  i n nidu- 
Bo , quod  quidem  planum  erectum  stt  ad  figuram  genitricem  co» 
ni  j nemyc  ad  planum  g h f . BritqffedHo  in  cono  g h f hyperho^ 
Li  i Xtproptereafolidumquod  defer  ibit  ur  d triangulo  m n g> 
siue  e b 1' , circa  axem  a d , aquale  erit  (per  lemma  primum)  co* 
noidi  lyperholico  d pradictadjypcrhola  deferipto  , Huius  autem 
ccnoidts , siue  huius  hyperhola  Idms .rectum  habetur  (^per  kmm, 
^./ex  fi^tvt  n m , ad  m g,  rta  e ti,Mue  dupla  b^  adaiid* 

V erfum  vero,  quod  ejl  n i,  habebitur,  si  fiat  vt  g m ad  m n,  ita 
^siue  dapla  b a ad  aliam  qua  erit  ni.  S^od  erat  cd^c* 

Biheorema^  ^ ^ / 


Cochleaprimasreuoiiitionis, qusB^deferibitur a triangulo  'c 
hf  in  praecedenti  figura,  aqualis  cft  conoidi  cuidam  hyperbo- 
lico,  cuius  altitudo  fit  ; latus  replum  fit  quarta  prdportiona- 
Jium , fi€at  vt  ed  ad  hf,  ita  diipia  ba  ad  ttMm,  ¥erfum 
vero  latus  fit  quarta  proportionalium  ^ fi  fiat  vt  fb  ad  he^  ita 
•dupla  ^ ^ ad  aliam. 

Hoc  enim  patet  ex  iam  deifionftratis  i Pra^dii^la  enim  cochlea 
SEqualis  eft^per  lem.eprimum  ) ahnullo  fa^o  a triangulo  tbf. 
Sed  aniiuIiTScircularis  trianguli  ebffrx(di6lo  conoidi  eft 
xjualis(perJemniapr^cedeiis^  Ergo  patet  quod  propofitum 
erat. 

Scho- 


De  Cochlea.  I4P 

Scholium . 

Cochlea  ver})  cmus^fgafagemtrix parallelogrammum  redtan 
gulum  jtty^qualis  eB  cylindro  cuius  altitudo  fit  e eadem  cum 

altitudine  figura  genitricis  yfemidiamet  er  vero  bajis  inedia  pro-^ 
portionalis  Jit  inter  f b redfam  compojitam  ex  ex  f a , a b • 

Si  vedo figura  genitrix  circulusfuerit , er  it  f adi  a cochlea  pri^ 
ma  reuolutionis  ad  [pharam  circuli gemtorisyVt  periphxria  qua 
deficribitur  a radio , qui  Jit  aq  ualis  vtriquey  nempe  rtdf§  ab  in 
pracedenti  figura  fifcmidtametroqi  circuli  genitoris  ^ ad  duas 
tertias  diametri  eiufidem  circuli  genitoris , 

Reliquum  ejfiet  vt  MechamcaetUm  Theoremdtahorumfo» 
lidorum  e^&equeremur , pritfiertim  quando  Coc  hlea  gigni-- 
tur  d triangulo  : Centrum  enimgramtatis  in  axe  efl , diuiditcii 
portiunculam  quandam  ipfius  axis  ( aqualem  abficindendam  la^ 
teri  th,  & circa  'puneium  medium  tpjius  axis  collocandam ) 
*ueluti  comidis  cmufdam  hyperbolici  centrum  fecat propriam 
diametrum  \Jiue pradiBa portiuncula fiemijfem  ita  diuidit , *uti 
eandem  ftc aret  centrum grauitatis  cuiufdamfcgtnenti  fpharici 
duplam  habentis  altitudineybajimqydatoetuidam  circulo  aqua-^ 
iem . Sed  tanti  non  eB  fingulas  ifi as  nugas  longids  prvtrafj4;re^ 
Ut  te  beneuolum  LeBorem  vlterius  adhuc  torqueamus^  For-- 
tajle  etiam  fiet  ynijivniuerfia  hac^qua  in  i Bis  libellis  continen 
turdibi  JifplicuiJfe  comperiam , vt  ea  qua  htc  dejiderantur  ^ ejr 
fnulibplura  circagramtatem  ^ ipflufqy  centrum  ^peculiari  libel- 
lo Geometrice  comprehendam . Interimficto  me  patrocinium  de- 
bere longifitma  tot  fnenfium  dejidia  cccum  iamfupra  dnnum  fOx 
quo  opujcula  hac  maximis  Geometris promifisa  funtyproducatm 
lentijfin^^  eorum  imprejfio . quod  quidem  pluribus  de  caufisfa- 
Bum  efl  i neq\  hoc  tam  negligentia  mea  iTnputandum  eft  ^ quam 
fortuitis  quibufdam  cafiibus , infperatifque . Accidit  cnirn  in- 
termedio hoc  tempore  y *vt plurium  menfium  Budio  atqi  labore 
inciderim  infolutionem  optici  illius  Problematis  tamdiuper- 

qui- 


ijo  Appendix 

quifitiycuius  videlicet  figat  di  ejfie  debeant  fuf  et  fides  vimtum  ^ 
quts  ad  vfium  T e lefcapij  elabotamat . Etcitus  d emoniitationem 
confirmauit . quamquam  enim  neque  optatam  figuram  ( vt  cre^ 
dibile  efi ) petfeCle  haberent  j neque  vndequaque  abfoluta , ^ 
perpolita  dEirone  adhuc  inexperto  ^ isiextrcitatovideren^ 
tur , ope  tamen,  vi  figura  illius  ad  quam  proxime  tantum  ac^ 

e edebant, ad  eum  vfq\ perfeUimis  gradum  peruenerunt,  ^t  T e- 
tefcapia  optimi  cuiufq-,  artifueis,  cuius  ad  hunc  diem  fama  in  hac 
Vrbe  innotuerit  ,fHp(tauerint . Neque  iudicium  hoc  per  petam 
prolatum  efi ; fed  repetitis fapius  ,fummaq',  cum  diligentia  va^ 
fijs  experimentis  , node , dieque  ^ ^ adhibitis  erudit  fiimis  te^ 
Bibus,  quorum  iudicium  nemo  iure  damnauerit . C erte^  quale* 
cunqi fuerit  inuentum , nefeio plufne  gaudq  > laudifqi  mihi  at* 
tulerit, an prsemij \quandoquidem  Serenijjimi  Magni  Ducis  efik- 
P vere  Regia  liber  alit  as  magno  auri  pondere  donatum  me 

non femelvoluit , Mirum  itaq;  videri  non  debet  quod  omifsk 
per  integrum  femefire  libeUorum  curd,  totam  operam  nouo  infi* 
fo , mihiqi  in  primis  exoptatijfimo , ne  dicam  vtilifiimOf  impen* 
derim . Fa^um  etiam  efi  vt  hac  de  caufa  libelli  minus  cafiU 
gati  euaferint,authore  nimirum  diflradlo,  elr  ad  alia,  eaq;  diuef 
fijfima , conuerfo . ^apr opter  orandus  etiam  atq',  etiam  es  be* 
neuole  leSlor , vt  hac  qualiacunq',  te  qui , boniq ; facias , ^ erra* 
ta  vel  toleres , vel  corrigas » prpfertim  cum  tam  mantfefiaple** 
rUnq.fint , vt  neminem  fuger  e valeam , fedvhrbfefe  ipfa  offe^ 
rant ; vt  videre  efi  in  prima  fiat  im  epifiola  nuncupat  ori  a,  fr ft 
hin  de  fatis frequenter  in  qs  qua fequuntur . Correi^ i oms  non 
addemus  infime  operis,vt pleriq.  folenti  quia  neque  jatis  vaca* 
uit  temporis  ad  mendofa  omnia  adnotanda  , neq.  voluimus 
mutila  breuiq.  recenfione  aliquot  erratorum,  omnem  deinde  ex*> 
cu  fationi  mef  locum  erripere , dum  tacita prftermifjio  eorum  ^ 

^ qup  € e nfum  effugi jfent,  tamquam  approbatioms  quoddam  genus 
.mihipotuiffet  imputarim 


FINIS. 


n 

11$ 

Ii  Reu,  M,  Cado  Mariotti  veda  fe  adla  prcfentc  Opera  fi  con- 
tenga  cofa  che  repugni  alia  Pieta  Criftiaaa , e buoni  coftu-i 
mi , e rifcrifca , £)♦  il  di  30,  di  Marzo  1 544; 

Viiieertz^o  Kab4tt4.  Vk,  Of»,  di  Fir^ 

Ego  P*  Carolus  de  Mariottis  nullam  in  hoc  opere  contra  pie* 
tatem  ac  bonos  mores  inueni  labem  , immo  maximam  in  ip- 
fo  mathematicae  findentibus,  ac huiufcemodi  incumbenti- 
bus arti  in  legendo  fum  expertus  vtiiitatemi  in  quorum 
demfcripfi 

Idem  Bgo  qui fufra  mmu  fropria  • 

Attenta  prgefenti  relatione  imprimatur  opus  feruatis  feruan« 

D»  die  9,  Aprilis  1 544, 

Vincentius  R4b4tt4,Vk.Gen.  Fkr* 

Sipuo  fiamparein  Fiofenza  Ii  1 3 . Aprile  1 544, 

FrJ4CQmgd4  CuHigliom  Qam . delS.Off.de  m4nd%> 

Aleffundre  F meri  Sen4tere  Aud.  ai  SA.  Serenifs^ 


i 

.s 

i 

! 

'i