!cn = CD CO 1 HANDBOUND AT THE UNIVERSITY OF TORONTO PRESS Ca^^ Ci't^^ ^ Je^^yf^t^^a^-i / OPERE MATEMATICHE DI EUGENIO BELTRAMI. Proprietà letteraria. Tipografia Matematica di Palermo, u, vii ViUarcalc. (370.1500.58) 4-<>-i9oa. OPERE MATEMATICHE DI EUGENIO BELTRAMI PUBBLICATE PER CURA FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA R. UNIVERSITÀ DI ROMA. TOMO PRIMO CON RITRATTO E BIOGRAFIA DELL AUTORE. ^// ULRICO HOEPLI EDITORE-LIBRAjO DELLA REAL CASA MILANO 1902 '3 1/ PREFAZIONE ALLE OPERE MATEMATICHE DI EUGENIO BELTRAME Ai Lettori, Nella seduta straordinaria del 19 febbrajo 1900 la Facoltà di Scienze dell'Università di Roma, appresa la dolorosa notizia della morte dell'illu- stre ed amato collega prof. Eugenio Beltrami, tra il generale rimpianto, deliberava di aprire una sottoscrizione internazionale allo scopo di ono- rare, in quel modo che sarebbe poi ritenuto il migliore, la memoria del- l'uomo insigne immaturamente strappato alla scienza ed all'insegnamento. Fu in seguito concorde opinione che il migliore modo di onorare chi aveva consacrata l'intera sua vita agli studi fosse quello di riunire in una nuova e completa edizione i suoi scritti scientifici : monumentum sere perennius. La Facoltà affidava al prof. Cremona, all'attuale Segretario prof. Ca- STELNUOVO ed al sottoscritto Preside l'incarico di porre in atto la presa deliberazione, e per quanto grave esso fu accettato, senza riguardo alle nostre forze, sentendoci trascinati dall'affetto e dalla venerazione per l'a- mico che ha lasciato grande rimpianto di sé, e fiduciosi che non ci man- cherebbe l'assistenza dei colleghi di ogni parte d'Italia. E ci è grato di porgere qui a nome della Facoltà i piìi vivi ringraziamenti ai professori Bianchi, Burgatti, Cerruti, Dini, Pittarelli (cui si deve il ritratto ri- prodotto in questo volume), Reina, Volterra, i quali ci furono cortesi di ajuto sia coll'opera sia col consiglio. VI PREFAZIONE ALLE OPERE MATEMATICHE DI EUGENIO BELTRAML Le signore Amalia Pedrocchi-Beltrami, Elisa Barozzi-Beltrami, vedova la prima, madre la seconda, del nostro amato collega e sue gene- rose eredi, rinunziando ad ogni diritto di proprietà, autorizzarono la pre- sente pubblicazione onde verso di esse, non solo la nostra Facoltà, ma chiunque abbia il culto della Scienza, deve sentirsi grato per aver così fa- cilitato l'attuazione di un'impresa di somma utilità per gli studi mate- matici. Abbiamo preferito di attenerci nella pubblicazione, il più strettamente possibile, all'ordine cronologico onde il lettore possa meglio seguire passo a passo lo svolgimento del pensiero dell'Autore, dando però la precedenza ai lavori originali scientifici e rimandando in fine le traduzioni, le biogra- fie, le critiche bibliografiche ed altri simili scritti, se si crederà opportuno di pubblicarli. In questo volume, il primo dei quattro di cui almeno si comporrà l'intera edizione, si raccolgono le memorie che dal 1861 vanno al 1868, e sebbene rappresentino i risultati dei primi 8 anni di studio, occupano un posto notevole nella Storia della Scienza. Basta ricordare che qui si contengono tra le altre le seguenti Memorie : Ricerche di Analisi applicata alia Geometria ; Sulla flessione delle superficie rigate ; Risolutone del problema : (c Riportare i punti di iuta superficie sopra un piano in modo che le linee geo- detiche vengano rappresentate da linee rette n; Delle variabili complesse sopra uiut superficie qualunque; Saggio d' interpetra^ione della Geometria non-euclidea; Teoria fondamentale degli spaii di curvatura costante. A questa breve Prefazione facciamo seguire un estratto della Comme- morazione letta dal prof. Cremona all'Accademia dei Lincei e nella quale ci sembra riprodotta al vivo la nobile figura del nostro compianto amico. Alla sottoscrizione aderirono amici ed ammiratori di ogni parte del Mondo, rendendoci così possibile di por mano alla impresa che si inizia colla pubblicazione del presente volume. L'edizione è stata assunta dal sig. comm. Dott. Ulrico Hoepli di Milano, per cui non possiamo, da ora in poi, accogliere nuove sottoscrizioni con diritto ad una copia delle Opere. Essendo però intendimento della Facoltà, col fondo che rimarrà dopo compiuta la pubblicazione, di istituire nel nome venerato del Bel- PREFAZIONE ALLE OPERE MATEMATICHE DI EUGENIO BELTRAMI. VII TRAMI, un premio da conferirsi ogni anno ad un giovane segnalato negli studi prediletti dal nostro caro Collega, saranno accolte con riconoscenza quelle offerte che venissero fatte per concorrere a questa istituzione, che ha per iscopo di accoppiare nell'animo dei giovani il sentimento di gra- titudine a quello di ammirazione pel compianto Maestro. Abbiamo posto la massima cura affinchè l'edizione riescisse ben cor- retta; ma se l'opera nostra presentasse qualche manchevolezza accetteremo volentieri consiglio, da qualunque parte ne venga, facendone tesoro per l'avvenire. La Tipografia Matematica di Palermo cui affidammo l'esecuzione della stampa ha dal canto suo fatto quanto di megho onde la presente edizione si presentasse anche sotto una forma esteriore decorosa. Roma, 19 maggio 1902. Alberto Tonelli Preside della Facoltà di Scienze della R. Università di Roma. EUGENIO BELTRAMI ESTRATTO DALLA COMMEMORAZIONE letta da Luigi Cremona alla R. Accademia dei Lincei, nell'adunanza solenne del io giugno 1900, onorata dalla presenza delle LL. MM. il Re e la Regina. Eugenio Beltrami nacque a Cremona il 16 novembre 1835 da Eu- genio B. cremonese e da Elisa Barozzi veneziana, tutt'ora vivente. Ebbe ad avo paterno Giovanni Beltrami (nato nel 1779 a Cremona, e morto ivi nel 1854) insigne incisore in pietre dure (cui fu mecenate il Beau- HARNAis), autore di bellissimi camei e di altri lavori divenuti celebri *). Anche il padre, Eugenio, fu valente artista, sopra tutto come minia- tore, studiò prima a Bergamo sotto il Biotti, poi a Milano sotto Hayez, donde passò air Accademia di Venezia, e colà conobbe e sposò Elisa Ba- rozzi. Partecipò ai moti patriottici del 1848, nel quale anno andò al campo di re Carlo Alberto, delegato dai suoi concittadini. Dopo i di- sastri di quella guerra, si rifugiò in Piemonte e di là in Francia, donde più non fece ritorno in patria. La madre Elisa, uscita da quella famiglia Barozzi la cui nobiltà ri- sale a tempi remoti, e che contò magistrati e guerrieri segnalati nella sto- ria della Repubblica di Venezia, è donna d'ingegno non comune, assai colta nella musica, in cui è stata allieva della celebre Giuditta Pasta, e conosciuta per lodate composizioni poetiche e musicali. •) Vedi: Antonio Mekeghelli, Giovanni Beltrami insigne incisore in gemme. Padova, 1839. COMMEMORAZIONE DI EUGENIO BELTRAMI. Il nostro Eugenio succhiò in famiglia l'amore alle arti belle ed alla patria; fanciullo e giovinetto fu educato dalla madre e dall'avo paterno. Frequentò le scuole elementari, ginnasiali e liceali di Cremona, salvo per un anno, 1848-49, durante il quale, in seguito alla catastrofe della guerra in Lombardia, avendolo la madre portato seco a Venezia ancora libera, fece la quarta grammatica in quel Ginnasio che ora ha nome da Marco Polo. Andò poi all'Università di Pavia e fu ascritto a quella Facoltà mate- matica negli anni scolastici 1853-54, 1854-55, 1855-56. Nel novembre 1853 era entrato nel Collegio Ghislieri per avervi ottenuto un posto di fondazione Castiglioni, ma nel febbraio 1855 ne fu espulso con altri, ac- cusati di aver promosso disordini in odio al Rettore Ab. Antonio Leo- nardi, sui quali investigò quella maligna polizia, che fiutava complotti e ribellioni anche fra i chiassi della scolaresca. La perdita del posto nel Collegio Ghislieri peggiorò le strettezze eco- nomiche già gravi per la morte del nonno Beltrami, il quale sinché visse avea prox'veduto alla nuora ed al nipote. Perciò a questi divenne impos- sibile indugiarsi all'Università e sostenervi i così detti esami di rigore che dovevano precedere la laurea dottorale ; e fu costretto a troncare d'un tratto la lieta vita di studente ed a portarsi (nel novembre 1856) a Verona ad assumervi un impiego amministrativo, ottenuto per le aderenze di uno zio materno *) : l'impiego cioè di segretario particolare dell'ingegnere DiDAY, direttore dell'esercizio delle strade ferrate del Lombardo-Veneto. Quell'ufficio non desiderato da lui, ma accettato, come quello che gli dava i mezzi, venuti totalmente a mancare, di mantenere se e la madre, gli tolse di attendere inoltre a studi e ad esami. E allora cominciò per il nostro Beltrami quell'esistenza di severo, inappuntabile adempimento de' propri doveri che non si smentì mai, nemmeno per un giorno, sino alla morte. Quelle strade ferrate erano esercitate da una Società privata, e l'inge- gnere DiDAY, eccellente persona, ebbe sempre pel Nostro cure benevole, quasi paterne; tuttavia la polizia austriaca, sospettosa di tutto e di tutti. ') 11 comm. Nicolò Barozzi, ora direttore del Museo .Trcheologico di Venezia. LETTA ALLA R. ACCADEMIA DEI LINCEI DA LUIGI CREMONA. XI sospettò anche di quel giovane silenzioso e riservato, i cui parenti, del resto, erano inscritti sul così detto libro nero. Con lettera io gennaio 1859 del direttore generale Busche, il Beltrami venne per motivi politici licen- ziato. Se non che, la fortuna sua si trovò d'accordo con quella d'Italia; pochi mesi dopo, il cannone di Magenta rese libera la Lombardia, e l'in- gegnere DiDAY trasferì l'ufficio a Milano conducendo seco il suo segre- tario particolare. A Milano divenne nel Nostro irresistibile la vocazione, già presen- tita a Verona, verso gli studi matematici ; ond'è che, vincendo l'innata mo- destia, egli si fece a domandare i consigli di Francesco Brioschi che a- veva avuto a professore a Pavia nell'anno 1855-56, ed a cercare la com- pagnia di giovani già avviati negli studi e nell'insegnamento. Dotato di una coscienza limpidissima, ben rara a venticinque anni, vide in piena luce la via che poteva e doveva battere per secondare quella vocazione. Ad un amico egh scriveva nel dicembre 1860 nei termini seguenti: «... Il corso universitario, io l'ho compiuto (parte per leggerezza, « parte per quell'indolenza che accompagna ordinariamente il malanimo « cagionato dalle frequenti avversità casalinghe) seguendo il malvezzo di « studiare quel tanto che basti per passare gli esami. Perdetti poi due « anni *) in occupazioni affatto aliene dalle mie tendenze. Dopo questa « dura prova, formai recisamente il proposito di rifarmi a studiare la ma- « tematica, e (questa è la sola cosa di cui sinceramente mi lodo) tolsi a « studiare con tutta diligenza una dopo l'altra l'aritmetica, l'algebra, la geo- « metria, la trigonometria, l'algebra superiore e il calcolo, come avrebbe « fatto uno che avesse percorso tutt'altra Facoltà, che la matematica ». — Aggiunge di avere studiato il calcolo sul trattato di Bordoni, i determi- nanti di Brioschi e buona parte della geometria analitica di Monge; e conchiude : « Ecco la mia suppellettile scientifica : sento che è molto scarsa. « Sopratutto mi sta assai sul cuore d'essere tamquain tabula rasa delle dot- « trine spettanti al calcolo delle variazioni, ai lavori di Jacobi c di Abel, « alle ricerche di Gauss sulle superficie, tee. ». *) I primi due anni di Verona. Xll COMMEMORAZIONE DI EUGEN'IO BELTRAMI. Si, la suppellettile era scarsa rispetto all'alta mèta alla quale egli ten- deva ; ma non già per un giovane forzatamente assorbito dai doveri d'un ufficio amministrativo, che ogni giorno più gli veniva a noia. Per libe- rarsene, cercò un impiego nell'insegnamento secondario; m\ gli fu d'osta- colo la mancanza della laurea. Questa fu anche cagione che venisse re- spinto (ben tre volte) dai concorsi ai posti di sottotenente nel Genio mi- litare, ai quali s'era presentato, perchè « nell'attuale rimutazione della pa- ce tria nostra (com'egli si esprime in una lettera del 15 dicembre 1860), « mi doleva al sommo di dovere per circostanze imperiose, ma ignote agli « altri, restarmi completamente estraneo al movimento universale ». A breve andare però, anzi quasi di slancio, il valore del giovane ma- tematico si rivelò a chi lo poteva apprezzare, ed ebbe il suo premio. Due memorie di lui uscirono negli Annali di Matematica editi a Roma dal ToRTOLiNi ; su di esse fu chiamita l'attenzione del Brioschi, allora segre- tario generale al Ministero dell'Istruzione; e il Beltrami, senz'altro, fu con decreto 18 ottobre 1862 nominato professore straordinario di algebra complementare e di g.eometria analitica nell'Università di Bologna. Svincolato dall'ufficio delle strade ferrate, che aveva tenuto per sei anni, e dove s'era guadagnata la stima e l'affetto dei capi e dei colleghi, il professore novello, seco conducendo la madre dalla quale non si era mai diviso, recavasi a Bologna, e saliva su quella cattedra che era la mèta agognata, e che sentiva di poter tenere con onore. Ma non passarono molti mesi e già il BeltraiMi era chiamato ad altra sede. Proclamato il Regno d'Italia, il Governo del Re si studiava di attrarre i migliori ingegni e i giovani piij promettenti alle cattedre nuo- vamente istituite nelle Università. Mancato ai vivi nel marzo 1863 il Mos- soTTi, a Pisa primeggiava nelle scienze esatte Enrico Betti, ed a pro- posta di lui fu offerta al Beltrami la cattedra di geodesia in quella Uni- versità, col grado di professore ordinario. L'imprevcduta e, per tutt'altri, seducente proposta, per poco non fu, per modestia, ricusata dal Nostro. Chiese il consiglio ad un amico in questi termini : « Io sarei deter- « minato di rifiutare l'offerta fattami dal Betti, per più ragioni. Prima di « tutto per la necessità di mut.ire l'indirizzo dei miei studi, il che porta LETTA ALLA R. ACCADEMIA DEI LINCEI DA LUIGI CREMONA. XIII « sempre con se degli inconvenienti e dei perditempi, tanto più che par- « landomi il Betti di studi preparatori da farsi in un Osser\'atorio, pare « che le materie da trattarsi nella nuova cattedra non debbano essere pu- « ramente teoriche. In secondo luogo la cattedra di introduzione al cal- ce colo mi piace di più e per la natura dell'argomento che ne forma l'og- « getto, e per la maggior latitudine che lascia nella scelta degli studi. Fi- « nalmente mi spiacerebbe occupare un posto che l'opinione pubblica ame- « rebbe meglio probabilmente affidare ad un distinto cultore di studi affini, vo- ce glio dire al Codazzi ; e che, anche prescindendo da ciò, potrebbe essere « ambito da professori più provetti di me e già benemeriti dell'insegnamento. c( Quanto al vantaggio pecuniario che potrei avere dalla nomina a profes- (( sore ordinario, esso non è che momentaneo, in quanto che io ho a « sperare lo stesso risultato dopo un tirocinio più o meno lungo anche (c nel posto che occupo adesso, e senza abbandonare l'Università in cui K ti ho a collega. Comunque sia, non ho voluto rispondere al Betti prima « d'aver chiesto il tuo consiglio, che ti prego volermi far conoscere libe- « rissimamente ». A questa lettera datata da Venezia i6 agosto 1863, l'amico consul- tato rispose esortando e persuadendo ad accettare. Ma nei passi ora citati, come risplende già l'anima onesta e pura del Beltrami ! e come quei tempi e quegli uomini erano diversi da tempi e da uomini posteriori, quando fu veduta una folla di postulanti far ressa alle porte del Ministero e del Consiglio superiore dell'Istruzione ! Il Beltrami cedette ed accettò la cattedra di Pisa, dove si recò ai primi di febbraio 1864. Aveva insegnato a Bologna per un solo anno sco- lastico; indi, ottenuta licenza per l'indugio, aveva dimorato in Milano per alcuni mesi (da ottobre a tutto gennaio) che consacrò a studi prepara- tori per la nuova cattedra, lavorando con l'astronomo Schiaparelli, sa- lito poi ad ahissima fama, onore della scienza e dell'Italia, ce Stiamo cal- ce colando (scriveva egli il 26 novembre 1863) la compensazione della rete ce trigonometrica che venne formata nel 1843 per servir di base alla pianta ce di Milano. Il problema si riduce a risolvere diciotto equazioni lineari a ce diciotto incognite, ed è precisamente ciò che da quattro o cinque giorni Xnr COMMEMORAZIONE DI EUGENIO BELTRAMI. « ci occupa esclusivamente, colla speranza di finire oggi o domani. È un « buon esercizio di applicazione del metodo dei minimi quadrati ». A Pisa strinse col Betti una amicizia fraterna, durata quanto la vita, ed ebbe frequente consuetudine col Riemann, che per ragioni di salute aveva fissato la sua dimora in quella città : i colloqui con questi due e- minenti matematici e l'ulteriore corrispondenza epistolare col Betti eser- citarono grande influenza sul Beltra.mi e sull'indirizzo delle sue ricerche scientifiche *). Nell'Ateneo pisano non rimase che tre anni scolastici ; quel clima si mostrò contrario alla salute della sua diletta madre, così che il Beltrami desiderò ed ottenne, nel settembre 1866, di essere restituito all'Università di Bologna, occupandovi la cattedra di meccanica razionale : disciplina co- desta verso la quale egli si sentiva, meglio che verso la geodesia, incli- nato. In quest'insegnamento e nel clima salubre di Bologna egli si trovò soddisfitto e tranquillo per buon numero di anni. Nel febbraio 1868 condusse in moglie Amalia Pedrocchi veneziana, che gli è stata compagna amorosa e fida per tutta la seconda metà della vita, circondandolo delle assidue cure del più tenero affetto, e che ora sopra\^ive a piangerlo, inconsolabile e derelitta. Nel settembre 1870 Roma era stata restituita all'Italia e poi vi si era insediato il governo del nuovo Regno. Divenuto ministro dell'Istruzione Antonio Scialoja, questi si accinse con nobile ardore a rialzare le sorti dell'Università romana, chiamando valorosi scienziati ad occuparne le cat- tedre vacanti. Dei desiderati e ricercati fu uno il nostro Beltrami, il quale si lasciò persuadere nell'ottobre 1873 a muoversi da Bologna, conservata la cattedra di meccanica razionale, come professore ordinario, e aggiuntovi l'incarico di un corso d'analisi superiore. A questo mutamento di sede il Nostro era stato però alquanto re- luttante : lo tratteneva il pensiero della madre, prevedendo di non po- terla trasportare a tanto maggiore distanza dai genitori che essa ancora *) Ckrruti, nei Rendiconti dui Lincei, 4 marzo 1900. LETTA ALLA R. ACCADEVUA DEI LINCEI DA LUIGI CREMONA. XV aveva più che ottuagenari a Venezia ; il quale molesto pensiero accresceva le dubbiezze proprie dell'indole sua d'uomo tranquillo, tutto dedito alla scienza ed alla scuola. Tuttavia lo vinsero per allora le istanze vivissime degli amici; ed il Beltrami accettò e colla moglie si trasferì a Roma. Se non che, non andò molto ch'egli credette aver ragione di pentir- sene. A Roma gli parve che il riordinamento universitario, promesso e sperato tale da compensare le agitazioni proprie di una grande città, fosse di dubbia e lontana attuazione; lo spaventarono o disgustarono le diffi- coltà del nuovo assetto, minaccianti le sue aspirazioni alla quiete per gli studi prediletti ; e, peggio ancora, lo impensierirono timori per la salute della moglie, alla quale sembrava non' confacente l'aria della città eterna, che per pregiudizi non ancora smentiti si accusava d'insalubrità. Perciò il Nostro aperse l'orecchio a seducenti proposte che gli venivano da altri Atenei ; e siccome da qualche tempo egU aveva rivolto i suoi studi alle applicazioni dell'analisi alla fisica, così si determinò a chiedere e ottenne il passaggio all'Università di Pavia, dove infatti andò nell'ottobre 1876, ad occuparvi la cattedra di fisica matematica, coll'incarico di un corso di mec- canica superiore. Non è a dire quanto dolesse ai colleghi di qui la par- tenza del Beltrami. Essi l'accompagnarono coU'augurio che nuovi casi lo restituissero a Roma in tempo non lontano : ma l'augurio non fu esau- dito che quindici anni dopo, nel 1891 *). A Pavia il Beltrami trovò, non clima migliore, ma quiete maggiore ed altri amici, fra i quali carissimo Felice Casorati, che gli tenne grata compagnia per quasi quattordici anni. Un po' più tardi, cioè nel 1880, si unì ad essi Eugenio Bertini. Morto immaturamente l'ottimo Casorati nel settembre 1890, il Beltrami n'ebbe una tristezza invincibile e sentì l'amarezza dell'isolamento. E poiché e a lui e più all'amata consorte le nebbie del Ticino non erano riuscite così propizie come sul principio s'era lusingato, si arrese ai rinnovati inviti degli amici di Roma. Per tal modo a cominciare dall'anno scolastico 1891-92 il Beltrami fu restituito all'Ateneo della Capitale, dove rientrò desiderato e acclamato *) Cerruti, 1. e. XVI COMMEMORAZIONE DI EUGENIO BELTRAMI. da colleghi e da scolari. E con noi rimase sino a che una morte imma- tura non ce lo rapì per sempre, il i8 febbrajo 1900, infliggendo una per- dita gravissima e irreparabile alla scienza ed alla patria. Dopo aver narrato la carriera scolastica del Beltrami, dirò brevissi- mamente della sua attività scientifica. Egli è stato quello che gli inglesi dicono un sclj-madc man : non fii l'allievo di una determinata scuola, o di questo o quel maestro ; dopo i corsi universitari, superficialmente seguiti, come egli stesso confessava, e dopo alcuni anni di occupazioni e lavori burocratici, rifece da capo e da sé solo la sua educazione scientifica. Egli, sempre modesto, si professava grato a consigli ricevuti ; ma del resto studiò ed apprese tutto da sé. E studiò così bene, così poderosamente e così ra- pidamente, che in pochissimi anni si trovò in possesso delle dottrine più alte e potè intraprendere e condurre a buon fine difficili ricerche originali. Nei pochi anni di Pisa, l'indole della sua cattedra lo portò allo studio delle superficie nell'indirizzo dato da Gauss; ed in particolare ad occu- parsi della teoria matematica delle carte geografiche. Di tali studi diede mirabili saggi nelle Ricerche di analisi applicata alla geometria, e nella me- moria delle variabili complesse sopra una superficie qualunque. Egli stesso racconta in una lettera del 25 dicembre 1872 ad Enrico D'Ovidio, come fosse condotto a cercare le superficie rappresentabili sopra un piano per guisa che le loro linee geodetiche siano figurate da linee rette; e come risolvesse il problema in una memoria del 1866, dimo- strando che tali superficie devono essere di curvatura costante *). Di qui fu breve il passo a quella interpetra^ione della Geometria non-euclidea, che proiettò una luce inaspettata nella controversia allora agitata intorno ai principi fondamentali della Geometria ed ai concetti di Gauss e Loba- TSCHEWSKY. E subito dopo. Svolgendo l'idea madre della predetta memoria del 1866 e coordinandola ai principi tracciati da Riemann in un celebre lavoro postumo, allora da poco venuto in luce, pubblicò le memorie sulla teoria degli spa:^i di curvatura costante, sulle superficie di area mininia e sui parametri dijfereniiali. •) E. D'Ovidio, negli Atri dell' Acc.ndemia di Torino, 25 fcbbnijo 1900. LETTA ALLA R. ACCADEMLV DEI LINCEI DA LUIGI CREMONA. XVII L'eleganza e la genialità di cotesti lavori diedero al Beltrami quasi di slancio quella riputazione che si andò sempre più diffondendo, sino a divenire ammirazione universale. Le questioni sino allora trattate, altamente suggestive di meditazioni sulla natura dello spazio fisico, e d'altra parte i metodi analitici da lui usati nella geometria differenziale, applicabili anche nella meccanica e nella fisica matematica, lo attirarono quasi spontaneamente verso i problemi propri di questi due rami della scienza. Ai quali studi di analisi applicata egli era del resto mirabilmente preparato, sia per gli insegnamenti di geo- desia e di meccanica, tenuti a Pisa e a Bologna, sia per quell'influenza del Betti che già ho accennata, sia per una tendenza del suo ingegno che le matematiche concepiva nella loro genesi storica, come mezzo per lo studio della natura, ed era meno inclinato alle astratte speculazioni dell'a- nalisi pura: tanto che, anche nei pochi suoi lavori strettamente analitici, si intravedono quasi immediate le applicazioni a cui mira, anzi può dirsi che queste reggono e promuovono le ricerche di analisi *). Lo strumento, del quale, oltre all'intuizione geometrica, si servì co- stantemente e che giunse a perfezionare ed a maneggiare da maestro, era bensì l'analisi matematica; ma questa non fu per lui, come talvolta per altri insigni, per es. per Brioschi, scopo a se stessa. Nella elegante com- memorazione del suo predecessore nella presidenza dell'Accademia dei Lin- cei **), il Beltrami distinse nell'analisi matematica due tendenze o scuole : la classica rappresentata da Eulero e da Jacobi, ed un'altra germogliata dalle opere di Lagrange, secondata dai metodi di Gauss e di Dirichlet, e definitivamente maturata con Cauchy e con Riemann. Delineata questa giusta distinzione, il Nostro dimostrò chiaramente che Brioschi appartenne alla prima scuola; ed ora si può affermare con pari sicurezza che Bel- trami è un esempio, altrettanto splendido, della seconda tendenza. A cominciare dal 187 1 Beltrami dedicò un'estesa serie di lavori alla *) SoMiGLiANA, nei Rendiconti dell'Istituto Lombardo, i marzo 1900. •*) Adunanza solenne del 12 giugno 1898. XVIII COMMEMORAZIONE DI EUGENIO BELTRAMI. cinematica dei lluidi, alla teoria del potenziale, ed a quelle dell'elasticità, della luce, dell'elettricità, del magnetismo e della propagazione del calore, abbracciando quasi tutto il vastissimo campo della fisica matematica. Nello studio delle equazioni generali dell'elasticità si trovò ricondotto alle sue celebri ricerche di geometria, poiché ebbe a scoprire che le equa- zioni di Lamé sono vincolate al postulato euclideo sullo spazio. Potè quindi spontaneamente estenderle agli spazi di curvatura costante, aprendo nuovi orizzonti alla teoria dell'elasticità. E pensò subito, sebbene con prudenti riserve, a giovarsi di codesta generalizzazione, per tentare di chiarire le oscurità delle teorie del Maxwell, dirette a sostituire, secondo le idee di Faraday e di W, Thomson *), alle azioni a distanza, quelle fra i punti contigui di un mezzo continuo diffuso in tutto lo spazio **). Dell'arduo problema il Nostro fece una discussione completa che lo condusse a ri- sultato negativo, senza però che egli abbia voluto concluderne il rigetto della dottrina di Maxwell. La grande innovazione dello scienziato inglese risiede nelle equazioni differenziali colle quali egli rappresenta l'universalità dei fenomeni elettro- statici, elettrodinamici ed elettromagnetici, ed alle quali le meravigliose scoperte di Hertz, illustrate ed ampliate dal nostro Righi, hanno dato credito ed appoggio. Maxwell le deduce per divinazione, più che non le dimostri, dalle equazioni di Hamilton della meccanica. Beltrami invece ha proposto di stabilirle partendo dal principio di d' Alembert generaliz- zato ed esteso all'elettrodinamica : metodo che, senza nulla mutare alla sostanza delle idee di Maxwell, conduce più rapidamente e più sicura- mente allo scopo ***). Per tutto l'ultimo periodo della sua attività scientifica Beltrami con- tinuò a consacrare lunghe meditazioni e importanti lavori ai concetti del sommo fisico di Cambridge, concetti la cui importanza dal punto di vista sperimentale è andata via via crescendo, fino ad acquistare un dominio •) Lord Krlvin. •*) SOMIGLIANA, 1. e. •**) Maurice Lévy, nei « Comptes rcndus», 12 marzo lyoo. LETTA. ALLA R. ACCADEMIA DEI LINCEI DA LUIGI CREMONA. XIX quasi assoluto nel nostro modo di concepire i fenomeni elettrici e ma- gnetici *). Gli scritti scientifici del Beltrami superano il centinajo. In tutti, al- l'importanza ed elevatezza della materia va congiunta la forma eletta, in- superabile per lucidità ed eleganza di dettato. Felice connubio dell'intui- zione geometrica colle finezze più riposte dell'analisi, e vasta comprensione di metodi generali con una rara abilità nel piegarli alle applicazioni parti- colari assicurano ai lavori del Nostro un posto durevole nella storia delle matematiche, pur prescindendo dalle idee nuove e dai nuovi risultati che l'universale consenso degli studiosi gli riconosce **). E quale lo scrittore tale era il maestro. Coloro che ebbero la fortuna di assistere alle sue lezioni attestano che le dottrine più ardue e spinose acquistavano dal magistero della sua parola tale grado di evidenza e di sem- plicità da generare, in chi l'ascoltava, l'illusione che avrebbe saputo perve- nire agevolmente da sé alla scoperta delle verità dichiarate dal professore ***). Tali erano l'ingegno e la valentia scientifica e didattica del Beltrami ; ne ai confini pur remoti delle matematiche si arrestava il sapere di lui ; che egli possedeva coltura non comune e varia, parola facile, arguta, adorna, come di chi ha domestichezza cogli studi letterari. Aveva una rara cono- scenza scientifica della musica, della quale era anche esecutore abile e ispi- rato -{-). Gli era stata maestra fin dai più teneri anni la madre ; poi s'era esercitato con A.milcare Ponchielli, suo coetaneo e concittadino. Questo talento-^ musicale egli nascondeva con ritrosa modestia, come se temesse d'essere accusato d'infedeltà verso la gelosa dea, la matematica, alla quale si era tutto consacrato ; ma i pochissimi intimi e intelligenti attestano ch'egli sapeva eseguire maestrevolmente al pianoforte i capolavori di Bach, Beethoven, Mendelssohn, Schumann -f-f-). *) SOMIGLIANA, 1. C. **) Cerruti, 1. C. ***) Cerruti, 1. e. — Frattini, nel Periodico di Matematica, marzo-aprile 1900. f) Celoria, nei Rendiconti dell'Istituto Lombardo, i marzo 1900. fi) Cassani, Atti dell'Istituto Veneto, 25 febbrajo 1900. Da un foglietto trovato tra le carte del Nostro, e che sembra essere la minuta di una lettera XX COMMEMORAZIOXE DI EUGEN'IO BELTRAMI. Rigido con se stesso e indulgente verso gli altri, spirito calmo, se- reno ; affabile, cortese di modi per innata gentilezza dell'animo, esercitava. all'amico dott. Gustav Wolff (nel 1886-87 professore al Consen'atorio di Lipsia), togliamo il brano che segue : « Il y a cntre la musique et les mathématiques un rapprochement que Fon n'a peut-ctre pas « encore remarqué. Si l'on con^oit le domaine general des idées comme étant un système continu, le « champ des idées mathématiques n'en forme qu'une très faible panie ; ou, pour mieux dire, elles n'y « figurent, à mon avis, que comme les raies de Fraunhofer dans l'étendue Ju spectre solaire. Ainsi, « il y a une gamme mathèmatique comme il y a une gamme musicale. De ce point de vue, un rai- « sonnement mathèmatique est comme une suite d'accords tirés de la lyre intellectuelle formée par les « raies mathématiques de la pensée humaine, et la découverte d'une branche nouvelle de mathéniati- « ques est comparable à celle d'une nouvelle modulation harmonique. Mais tandis qu'on peut très bien « dèplacer la gamme musicale sans altérer les rapports harraoniques, on ne peut pas déplacer la gamme « mathèmatique ; du moins l'on n'a pas d'exemple, dans l'histoire de la science, que le mèrae thèo- « rème se soit présente, à différentes époques, ou chez différents peuples, dans des tons différents. Les « accords mathématiques ont donc une existence absolue, tandis que les accords musicaux n'en ont « qu'une relative. « P.S. Si ces idées paraissent à M. Wolff trop étranges ou trop compromettantes, je suis prèt « à les supprimer ; pourvu qu'il laisse toujours subsister entre son esprit de musicìen et mon esprit de « mathématicien ce seul accord véritablement parfait, qui reprèsente l'amitié la plus sincère. E. B.» A proposito del ravvicinamento fra k matematica e la musica, mi sia concesso di citare alcuni passi di altra lettera (più antica) del Nostro, provocata da una nota dell'illustre Sylvester che si legge a pag. 613 della Memoria On the nal ani imaginary Roots of algebrica] Eiy/fa/io/zi (Philosophical Tran- sactions, parte III, 1864). La nota è la seguente: « Herein I think one clearly discerns the internai grounds of the coincidence or parallelism, which « observation has long made familiar, between the mathematical and musical i9o;. May not Music be « described as the Mathematic of sense, Mathematic as Music of the reason ? the soul of each the « sanie ! Thus tlie musician feels Mathematic, the mathe.natician thinks Music, — Music the dream, « Mathematic the working life — each to receive its consummation from the other when the human « intelligence, elevated to its perfect type, shall shine forth glorified in some future Mozart-Dirichlet « or Beethoven-Gauss — a union already not indistinctly foreshadowed in the genius and labours of « a Helmholtz ! ». E Beltrami nella sua lettera da Pisa, 7 aprile 1865 : « Credo che ci sia molto di vero nel pensiero del Sylvester che mi trascrivesti. Io non ho mai studiato profondamente la così detta Armonia, che è quella parte della scienza musicale che può in certo qua! modo riguardarsi come dottrina razionale, avendo i suoi postulati ed i suoi assiomi, da cui tutto il resto è dedotto. Ma per quel poco che ne so, parmi infatti che il processo mentale ad essa applicabile sia identico o poco meno con quello delle matematiche. Mettendomi per un istante nell'ipo- tesi materialistica, direi quasi che nell'una e nell'altra scienza sono posti in azione gli stessi organi. Quanto poi alla composizione, nel senso più lato, parmi che subentrino altri elementi, assai differenti dai primi. Comunque sia, è notevole che uno dei più grandi armonisti e compositori dei tempi moderni, Meyer- beer, abbia cominciato collo studiare matematiche, nelle quali si addottorò ». LETTA ALLA R. ACCADE.VUA DEI LIXCEI DA LUIGI CREMONA. XXI inconsciamente, in chi pur per poco l'avvicinasse, un fascino irresistibile ; a Bologna, a Pisa, a Pavia, a Roma, ovunque egli professò, divenne ben presto il centro intorno al quale si adunavano gli studiosi delle più diverse discipline, l'anima di una conversazione geniale e dotta, non mai pedan- tesca *). Della sua costante fedeltà al culto della scienza e prova indiscutibile il fatto che, nella sua carriera di oltre trentasette anni, non si lasciò mai adescare, ne per ambizione, ne per guadagno, ad accettare uffici che lo svagassero dagli studi. Non volle mai far parte di Corpi amministrativi, ne essere Preside di Facoltà o Rettore di Università; accettò soltanto di entrare nel Consiglio superiore dell'Istruzione, mandatovi dai suffragi dei colleghi. Non cercò alcuno degli onori soliti a conferirsi ai dotti, ma li ebbe tutti. L'Accademia di Bologna fino dal 1867, la Società Italiana (dei XL) dal 1870, la R. Accademia dei Lincei dal 1873, l'Istituto Lom- bardo, l'Accademia di Torino, la Società Reale di Napoli, le Accademie delle Scienze di Parigi, di Berlino, di Monaco, la Società di Gottinga, la Società Matematica di Londra ed altre lo aggregarono a se come Socio o come Corrispondente. Dottore honoris causa delle Università di Kazan (1893) e di Halle (1894). Cavaliere del Merito Civile di Savoia (1879). Della grande riputazione che egli aveva acquistata nel mondo scien- tifico, anche presso gli stranieri, mi sia concesso addurre quest'altra prova. Nel 1889 scadeva il quinquennio di professorato straordinario di analisi ma- tematica per la celebre Sofia Kowalewsky all'Università di Stoccolma. Per deciderne la conferma a vita, come professore ordinario, quell'Univer- sità chiese i pareri di tre scienziati che riteneva i più autorevoli in quel- l'indirizzo di studi : Hermite, Bjerknes e Beltrami. I pareri furono tutti e tre onorevoli ed in fa\-ore di quel savanl, iloiit le scxc ctait aiissi cxccptioiiìid qiie le inerite (secondo una frase del Nostro, da una lettera del 18 mag- gio 1889 a Hermite). Ma non erano compiuti due anni e una morte crudele toglieva immaturamente l'illustre donna all'Università ed alla scienza che da lei attendevano ulteriori frutti del suo miracoloso ingegno. *) CALORIA, 1. C. XXII COMMEMORAZIONE DI EUGENIO BELTRAMI. Ultimo onore la nomina a Senatore del Reirno : onore che a lui giunse assai gradito, perchè la sua modestia non gli toglieva di sentirsene degno, e sopratutto perchè, per atto di alta e cavalleresca cortesia, la co- munica/^ione gli venne dall'augusta bocca di re Umberto, nell'adunanza solenne dei Lincei, il 4 giugno 1899. Ed ora quello spirito eletto non è più fra noi. Se qualche cosa soprav- vive oltre la tomba, di certo egli è salito ad un astro superiore, più per- fetto del nostro pianeta, ed ivi si delizia nella beatitudine del vedere il- luminati e risoluti quei problemi che trascendono l'acume della mente umana, ma spesso la tormentano affannosamente. Di lassù egli implora rassegnazione e pace alle anime desolate delle due infelicissime donne, la madre e la vedova, che gli sopravvivono, anelanti di ricongiungersi a lui. A me ed a quelli che con me hanno oltrepassata l'età del Beltrami, non rimane alcun conforto, se non sia il ricordo della sua cara e preziosa amicizia. Ma i giovani non dimentichino che hanno un tesoro da custo- dire : l'esempio di una vita immacolata, tutta spesa nel culto della scienza e nella scuola del dovere, e la gloriosa memoria di un altissimo ingegno, che ha onorato la patria e l'umanità. INTORNO AD ALCUNI SISTEMI DI CURVE PIANE. Annali di Wateniatica pura ed applicata, serie I, tomo IV (1861), pp. 102-10 È notissimo che il sistema delle traiettorie ortogonali d'una serie d'iperboli equi- latere aventi in comune gli assi, è la serie delle iperboli equilatere che hanno per assin- toti gli assi delle prime. Questa proprietà può anche enunciarsi dicendo che, se il sistema delle iperboli equilatere che hanno in comune i due assi, viene ruotato intorno al suo centro pe/ un mezzo angolo retto, il sistema ruotato riesce ortogonale al s'.stema primitivo. Sotto quest'ultimo punto di vista si concepisce come la proprietà degli anzidetti si- stemi d'iperboli equilatere possa essere suscettibile di generalizzazione. Mi propongo perciò di risolvere il seguente problema generale : Trovare quei sistemi di curve piane, i quali, venendo ruotati per un angolo dato intorno ad un punto del loro piano, segaiw i sistemi primitivi sotto un angolo costante parimenti dato. In ciò che segue farò sempre uso di coordinate rettangole x ed y, aventi l'ori- gine nel centro di rotazione dei sistemi cercati ; denoterò inoltre con a l'angolo di ro- tazione, e con 1 quello d'intersezione delle curve dei due sistemi, misurato procedendo da una curva del sistema primitivo verso una del sistema ruotato. Tanto a quanto 1 si riterranno positivi quando saranno misurati nel senso in cui si procede dall'asse delle ,\- positive verso quello delle y positive. È chiaro che si potrà sempre supporre >. •^ TT, 5C <^ 2 IT. Indicando con a un parametro variabile da curva a curva, l'equazione di uno dei BELTRAMI, tomo I. I INTORNO AD ALCUNI SISTEMI DI CURVE PIANE. ' [l sistemi dotati della proprietà in discorso, si potrà mettere sotto la forma : (0 /(■^■0') = '^- Se questo sistema viene ruotato per un angolo z intorno all'origine degli assi, nel senso in cui si procede dall'asse delle .v positive verso quello delle y positive, si trova facilmente che, nella nuova posizione, esso viene rappresentato dall'equazione : (2) /(}' sen a -(- .V cos a., y cos a — .v sen a) =; a, ossia dalla equazione che si ottiene sostituendo rispettivamente ad .v ed v, nell'equazione del sistema originario, i binomi : (j) y sen a -j- x cos a, v cos x — x sen r. Derivando rispetto ad x le due equazioni (1), (2), se ne caveranno due valori di -r^; indicandoli rispettivamente con t'^,(t ), l;i condizione perchè le curve dei àx ax \rf^/ due sistemi (1) e (2) si seghino sotto l'angolo \ sarà espressa, come è noto, da Uìj\ _ dj \dxì dx (x) 7-1—^ — i — =^ tang A. ^'^ idy\ ./, ^ \dx} dx Ciò posto, indicando al solito con i l'immaginario |/ — i e ponendo : (5) y-\-ix = u, y~ix = v, facilmente si verifica che, sostituendo nei valori di ti e v in luogo di .v ed y i binomi (3), le !/, t; si mutano rispettivamente in uc"", ve"'"". Perciò, se si rappresenta con <^(u,v') il risultato che si ottiene sostituendo nella funzione /(.v, y) i valori di ,\- ed y dati dalle (5), le equazioni dei due sistemi di curve, l'originario ed il ruotato, formate con » e V, saranno rispettivamente : (6) 9 (h, v) = rt , ? (li <;'" , V <;-■') = a. Trasformando la (4) per mezzo delle (5) si trova : m dv du /dv\ ^^ dv \d 11/ du equazione che si può scrivere anche così : — i tang 1 , l] INTORNO AD ALCUNI SISTEMI DI CURVE PIANE. Ora, dalle (6) si ricava: (tu dv 59(«, v) _ 5ip(H, v) ^ « d II ' dv ' m- quindi, se si pone (8) _ ^ -^71— ■ d^T- = 'H", ^0 , è chiaro che si avrà : (£) = -^^''^0-",^'Ó, per cui la (7) diverrà : ( 9) ^ (w e", ^' i;-'') = e"'"-" 'I- (», i'). Introduco due nuove variabiU p e q, legate alle u e i' dalle relazioni : (io) j( = 6''"', i;=.e-'''?. Con ciò la (9) diventa ovvero, fatto ('2) ;:(;'+ 1, ^ + i) = .='--":(^ ^). Prendendo i logaritmi iperbolici di quest'ultima equazione si ha ■^log^Ci'- 1) = 2 /("A — a), dove con A è indicata la differenza finita lolale della funzione log^(/), q). L'integrale di quest'ultima equazione può mettersi sotto la forma : logCCi', v) = '0'-«)(/' + ?) + ^, A denotando una funzione di /> e di 17 che non varia cambiando h p hi p -\- i, n simul- taneamente la q in 0; epperò x("> "'O = '-°^^- ^'^''^ l'equazione dei sistemi richiesti. Ecco adunque in che consiste la soluzione del problema : Si assuma ima fiiii::;jone A di due variabili u e v, tale che non varii imitando rispet- tivamente u in iic"^ e V in ve~"'; indi si costitnisca l'cqHn:(ionc ^^^') J^ + ^Ìt) =° c si integri : sia F(«, V, C) = 0 l'integrale di essa, completalo da ima costante arbitraria C. L'equazione l] INTORNO AD ALCUNI SISTEMI DI CURVE PIANE. apparterrà ad uno dei sistemi cercati. Variando in lutti i modi possibili la forma della jun:^ione arbitraria A, si otterranno tutti i sistemi dolati della proprietà in discorso. Tale è la soluzione generale. Nondimeno è chiaro che, se i sistemi cosi ottenuti dovranno rappresentare curve a rami reali, bisognerà introdurre le opportune limitazioni nella scelta della funzione A, e dovranno rigettarsi alcune forme di essa che pure avreb- bero soddisfatto alla condizione unica cui, dal punto di vista analitico, è essenzialmente vincolata la natura di tal funzione. Per fare un esempio, mi limiterò al caso semplicissimo in cui A sia una costante assoluta, che terrò ancora rappresentata con A. In questo caso l'equazione (15), ossia la 1)" -j ì- All'' =0, dn integrata dà L À v"" -{-Ah'' = cost. Perchè quest'equazione rappresenti sistemi di curve a rami reali fa d'uopo, per es- nn a -{- bi ^= fé'" , l'equazione precedente diverrà sere u e v immaginari coniugati, che A sia della forma — . . , epperò supposto A. L e'^W^ _|_ e-'^ v" ^ cost. Ma poiché, facendo ruotare il sistema per un angolo r- , le //, v si cambiano ri- spettivamente in ;; i; >• , ve''- , è chiaro che dopo tale rotazione il sistema sarà rap- presentato semplicemente dalla equazione : 1 1 u" -{- v" =■ cost., ossia dalla (i 6) (^. -|- f .v) ^ 4- ()■ — / .v) " = cost. , la quale potrà assumersi, senza scapito di generalità, in luogo della precedente, come corrispondente al caso particolarissimo in cui al posto della funzione arbitraria si assuma una costante assoluta. Se in quest'ultima equazione si cambia a in — A, si avrà un altro sistema di curve (i é^'O (;. + i xj ' + (}■ — i -v)" ^ = cost. , INTORNO AD ALCUNI SISTEMI DI CURVE PIANE. [l che sarA dotato di una proprietà analoga a quella del sistema (i6), ditìerendo tra loro questi due sistemi unicamente per il senso in cui si dovrà procedere dalla tangente in un punto qualunque del piano alla curva passante per esso prima della rotazione, alla tangente nel punto medesimo a quella curva che passa per esso dopo la rotazione, affine di misurare l'angolo 1. È facile verificare, per mezzo delle note formole di trasformazione, che il sistema (16'"'=') non è altro che lo stesso sistema (16) trasformato per raggi vettori reciproci, assunta l'origine degli assi come centro d'inversione ; ed in generale, riflettendo al carat- tere fondamentale di questa trasformazione, si concepisce immediatamente che, applican- dola ad uno qualunque dei sistemi dotati della proprietà in discorso, si otterrà un nuovo sistema dotato della medesima proprietà del primo ; ben inteso ponendo il centro di inversione nel centro di rotazione. In tre casi l'equazione (16) riducesi a rappresentare linee del 2° ordine, quando cioè l'esponente -^ è eguale a 2, oppure ad — , oppure a — i . 1 . ■>. Ponendo — = 2 si ha a =: — e l'equazione (16) si riduce alla j^ — .v' = cost. , cioè rappresenta un sistema d'iperboli equilatere aventi in comune gh assi. Si ha così il teorema : La serie delle linee che segano sotto un angolo costante X // sistema di tutte le iperboli equilatere aventi in comune gli assi, è costituita da questo medesimo sistema ruo- tato intorno al suo centro per un angolo — . Nel quale teorema è compreso quello ri- chiamato da principio, e pel quale è >. = -^. Nella medesima ipotesi di ^- = 2, il sistema (16'''*) è costituito da lemniscate bernoulliane col punto doppio nel centro di rotazione, punto nel quale esse hanno an- che comuni le tangenti. A queste curve adunque, che sono appunto, come è noto, le reciproche delle iperboli equilatere, compete la stessa proprietà or ora enunciata per que- ste ultime. Sj si fa — z= — , si ottengono le parabole omofocali: x' + 2 f j = c% per le quali è x = 2I. Vale a dire : La serie delle linee che segano sotto l'angolo costante y. il sistema di tutte le parabole aventi in comune l'asse ed il fuoco, è costituita da questo stesso sistema di parabole ruotato per un angolo il intorno al fuoco comune. Si osservi che, nel caso particolare di >. = -^ , si ha a = •::, epperù, per avere l] INTORNO AD ALCUNI SISTEMI DI CURVE PIANE. 7 il sistema ortogonale al precedente, basta far ruotare quest'ultimo per un angolo a = 7: intorno all'origine degli assi, che è il fuoco comune a tutte le parabole componenti il si- stema stesso, mentre il loro asse comune è diretto secondo l'asse delle }'. Per tal modo l'asse positivo delle )■ dell'un sistema diviene negativo nell'altro ; e i due sistemi, sim- metrici intorno all'asse delle x, saranno rappresentati insieme dalla stessa equazione : .v' + 2 (■_)' = e' . >. Finalmente, facendo — = — i, ossia 1= — a, si ottengono infinite circonferenze a ^ •^" + ()■ - 0^ = c^ aventi i centri sull'asse delle )' e tangenti tutte nell'origine all'asse delle .v. È facile infatti convincersi che in questo caso gli angoli a e a sono eguali in grandezza assoluta, ma di senso contrario. L'equazione (to'"*) porge in corrispondenza un sistema di rette parallele, com'era da prevedersi. In generale, se con m si indica un numero razionale e si pone — =^ m, si ha manifestamente questo teorema : La serie delle linee che segano sotto l'angolo costante 1 il sistema di curve rappresentato dall'equazione: 0' + '-^O'" + ()- — '-^O'" = ';ost., non è che ciueslo sistema medesimo, ruotato intorno all'orinine per un ani'olo — . Ho supposto, nella precedente applicazione, che 1 non tosse nullo. Se si avesse avuto A = 0, l'equazione (15) sarebbesi ridotta a dv , , V ossia epperò si sarebbe ottenuto : ovvero , + A— = 0, da ' u I dv , A V d un ;(f = cost., ^•^ -}- j^ = cost.. equazione d'un sistema di circonferenze concentriche, pel quale è appunto ). :^ o qua- lunque sia a. I Novembre 1861. II. SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. Annali di Itfatematicn jntra ed applicatut serie I, tomo IV (1861), pp. 2;7-285. Iiidicliiaino con p, q, r le coordinate rettangole di una linea data qualsivoglia, con t l'arco di essa, compreso fra un punto determinato e quello di coordinate p, q, r, e chiamiamo sviluppoidc di questa linea un'altra linea tale che ciascuna sua tangente sia segata dalla prima sotto un angolo w, fiin:^ioìii qualsivoglia delle coordinale del pillilo di iniersexione. Quando quest'angolo sari costante, la sviluppoide si potrà chiamare ordi- naria. La linea di coordinate p, q, r si denominerà, come al solito, Irajelloria. Indiche- remo con .V, y, :^, s le coordinate e l'arco di una sviluppoide, ritenendo che il punto (x, y, :^) sia propriamente quello in cui la sviluppoide è toccata dalla retta che in- contra la traiettoria nel punto (]), q, r), ritenendo cioè che i punti (,v, y, :0 e (p, q, r) sieno punti corrispondenti delle due curve; inoltre diremo / la distanza di questi due punti e la chiameremo raggio della sviluppoide, corrispondente al punto (x, y, x.)- È evidente che le quantità p, q, r, ->, co, .v, y, :i, s, t si possono riguardar tutte come funzioni di una medesima variabile indipendente, che indicheremo con ii. Tutte queste denomina- zioni e segnature sono in gran parte conformi a quelle usate dall'illustre Brkischi nelle sue ricerche Intorno le svilnppoidi e le sviluppate *), in cui perù non vengono considerate che le sviluppoidi ordinarie. Ciò posto, ed ammesso come evidente : *) Annali di Scienze Matematiche e Fisiclio, t. IV (iSjj), pp. 50-61. 2] SULLA TEORIA DELLE SVU.UPPOini E DELLE SVILUPPANTE. 1° che ad una med-sima funziona w di n corrispondono infinite sviluppoidi esi- stenti in una medesima superficie continua ; 2° che il piano osculatore della svlluppoid; in un punto qualunque di essa contiene la tangente alla trajettoria nel punto corrispondente ; procediamo a dimostrare il seguente Teorema generale. — Qualunque sia la legge con cui varia da un punto all'al- tro l'angolo sotto cai le tangenti d'una sviluppoide sono segate dalla trajettoria, ciascuna sviluppoide e una linea geodetica della superficie luogo geometrico di tutte le svilappoidi generate colla medesima lenae. Di questo teorema non sembra noto che il caso particolarissimo di (o costante ed uguale a -^ - . Se dal punto (p, q, r) della trajettoria si conducono le rette tangenti a tutte le sviluppoidi componenti la tamiglia che si considera, è mani lesto che queste rette sono le generatrici d'un cono retto, il cui asse è diretto secondo la tangente alla trajettoria, e che inviluppa la superficie luogo delle sviluppoidi; quest'ultima superficie ed il cono anzidetto hanno dunque nel punto (.v, y, i) il medesimo piano tangente. Ciò posto, il piano osculatore della sviluppoide in questo punto è normah alla superficie conica, poiché contiene la tangente alla trajettoria, che ne è l'asse : dunque esso è normale anche alla superficie luogo delle sviluppoidi. Donde consegue che le sviluppoidi sono linee geodetiche di questa superficie. Crediamo bene aggiungere una dimostrazione analitica di questa medesima proprietà. Assumendo per semplicità come variabile indipendente la s, ed indicando con apici le derivazioni relative ad essa, si hanno le equazioni (fl) p = .V -f- / x' , q = _v + / v' , r = i-[-t-^ , (b) p'x-+q'y'-Jr>-~^' = c'coso^, da cui eliminando i coseni .v', y', :^' si ottiene la (0 (i'— v)p' + (<7-v)'/' + ('— 0'-' = -'coscol/(;,-xy + (?-ry + (r-0% equazione che rappresenta evidentemente la superficie conica suindicata, quando vi si riguardino le x, y, ;^ come coordinate correnti e le p, q, r, ecc. come costanti. Rap- presentando quest'equazione con M = o se ne trae dM , , , dM , , , dM ■^ — ^ p — X a cos 0) , -^ — = <7 — V 0- cos w , ^ — = r — ~ a cos co . dx ^ d y -^ ai Ora, derivanJa le equazioni (j) rispetto ad s si ha ^' = (i + 0-v' + '-v", ./ = (x + 0/ + 0'". '■' = (i-i-0^' + U", BtLTRAMI, tomo I. 2 IO SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPAXTL [2 da cui, per h (/'), I -|- r = e' COS OJ , epperò p' = x' 5' COS w -j- ' -^'" ) 1' = y' <^' *^os 0) -\- I y" , r' = :ì o' cos co -j- / :;;" ; eppcrù anche "^ ■^' "^ ~ dx • ay ■ di ■ Queste equazioni dimostrano il teorema, perchè le quantità x", v", ;^" sono propor- zionali ai coseni degli angoli che la normale principale della sviluppoide ia coi tre . , . . ... dM dM dM . . . ,. • assi, e le derivate parziali ^; — , -= — , ^^ — sono parimenti proporzionali ai coseni de- óx dy 0::^ gli angoli che la normale alla superficie conica, e quindi alla superficie luogo delle sviluppoidi, fa cogli assi medesimi. S'imm.agini la superficie luogo delle sviluppoidi ed uno dei coni retti che hanno il vertice in un punto della trajettoria e che sono circoscritti alla prima superficie. Queste due superficie si toccano lungo una linea, la quale ha le tangenti conjugate colie generatrici della superficie conica ; ma ciascuna di queste generatrici tocca una sviluppoide in un punto di quella curva di contatto : dunque k sviluppoidi e queste curve di coìilatto soiij linee a tangenti conjugate. Potendoci considerare la superficie luogo geometrico delle sviluppoidi come l'in- viluppo di tutti i coni rappresentati dalla (e) , equazione nella quale le derivate pos- sono ritenersi prese rispetto alla //, è chiaro che l'equazione di quella superficie risul- terà dall'eliminazione di ii ira la (e) e la derivata della (e) stessa rispetto alla sola u, variabile di cui sono funzioni le p, q, r, a e, in generale, anche co. Questa derivata, opportunamente combinata colla (r), fornisce quest'altra equazione, che si può sosti- tuire in sua vece \i.P — -v) ^jp- + ('7 — ;■) j4- + (/• - 0 'j^ + sen^ (oJ cos w , dbj r , . d p , , .da,. s dr~\ + ^sen. [(/>-. v)-^ + (?-v)7^ + 0--O77j=o. Ora quest'ultima equazione rappresenta evidentemente un piano normale al piano oscu- latore della trajettoria ; d'altronde essa appartiene alla linea di contatto del cono colla superficie luogo delle sviluppoidi, dunque questa linea di contatto è piana, epperù è una curva del second'ordine, poiché giace nella superficie del cono retto. Quando w è costante, il piano della linea di contatto diventa parallelo alla tangente della trajet- toria, ossia all'asse del cono, dunque in questo caso la linea di contatto è sempre un'iperbole. Tutte quelle superficie che si possono considerare come inviluppi di coni retti 2] SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPAN'TL I I aventi i vertici in una linea qualsivoglia, gli assi diretti secondo le tangenti a questa linea, e i rispettivi angoli al vertice variabili da cono a cono secondo una legge qual- sivoglia, contengono un sistema particolare di geodetiche (sviluppoidi della linea anzi- detta), la cui ricerca non dipende che dalla integrazione di una equazione alle derivate ordinarie del prim'ordine fra due variabili, anzi, quando la linea è piana, da una sem- plice quadratura. Si ha di ciò un esempio interessante nel caso delle superficie di second'ordine. È noto *) che la superficie conica avente il vertice in un punto dello spazio ed involvente una superficie dell'ordine ;; , è in generale dell'ordine ii (n — i). Quando n = 2, il cono involvente ò adunque un cono di second'ordine (Monge). Cerchiamo se questo còno possa, in certe particolari circostanze, ridursi ad un cono retto, cer- chiamo cioè se una superficie di second'ordine possa essere il luogo geometrico delle sviluppoidi d'una linea tracciata nello spazio. Sia ax"" -{- by' -\- cxj = i l'equazione della superficie di second'ordine, e sieno />, • (^" cos^ co — p") , bcqr = k q' r' , b{ìi' — b q') = /e (t" cos' oj — q") , carp = kr'p' , e (Ir — cr') = k (t" cos' 6j — r") , abpq =^ kp' q . *) Salmon, a Treatise on the analylic Geomctry of three dimensions, Dublin, 1862, pag. 190. Citiamo con piacere questo libro, or ora pubblicato dal dotto e benemerito geometra irlandese, per chiamare sovr'esso l'attenzione degli studiosi. 12 SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPAN'TL [2 Se nessuna delle quantità p, q, r (e quindi anche delle p', q', r' rispettivamente) è nulla, le equazioni del secondo gruppo, confrontate fra loro, danno a'p' = hp'\ b\f^hq'\ rr'^kr'\ epperò quelle del primo gruppo riduconsi alle seguenti: k <:'' cos" (o = fl /;^ = è /;^ := e /;' , le quali richiedono che sia a =^ b :=■ e, cioè che la superficie sia sferica ; le precedenti tre equazioni diventano in questo caso p q r ' equazioni di rette passanti pel centro della sfera. Se si prescinde da questo caso, per sé medesimo evidente, bisogna ammettere che sia p = p' =1 o oppure q = q' = 0 oppure r = r' = o , cioè che la trajettoria sia piana ed esistente in uno dei tre piani principali. Si consi- deri adunque quella trajettoria che può esistere nel piano xy. In questo caso le pre- cedenti equazioni si riducono alle seguenti : a (ir — ap') = À'(g'^ cos^ co — p") , b (/r — b q") = k (i" cos' w — q") , a bp q = kp' q, (// = ap' -\-bq' — i). cF = k e"- cos' w , Si cominci a determinare w. Sommando le due prime equazioni e dal risultato sottraendo la terza si ottiene (a -\- b — f) /;" — Qrp' -\- b'q') :z^ — k e' sen' w , e dividendo quest'ultima equazione per la terza si ha ia'p' 4- b' q' — h' (d -\- b — e) tg w = - — - — ■ ^-^^ ■ . h\'c La precedente tien luogo di una delle prime equazioni ed alle rimanenti si possono surrogar quelle che si ottengono eliminando oì, cioè le a'p' — (a — c)1r — kp'', b'q' — (b — e) ir — k q'\ abpq = kp'q'. Sottraendo dal prodotto delle due prime il quadrato della terza si ottiene (i) ac(b — c)p' -L bc(a — c)q' -^ (a - c)(b - e) = o , 2] SULLA TEORL\ DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. 13 equazione che si può di nuovo sosrituire ad un:i delle precedenti , per es. alla prima. Finalmente eliminando k fra le altre due si ha • [bc(j" — {b — c){ap' — iy]p' = abpqq'. È evidente che se esiste una trajettoria , la sua equaàone finita non può esser altro che la (i), la quale non contiene alcuna delle quantità k, co, p', ■ -, -r-^ — ^ + -r^^ ^ = i , ( cos co := ,- i , f- , q' ( YA'-^B'-a-p' — q'\ » ^ Xy, -r—- -Ti -f- ,„ .,- = I , ( COS (0, =; , l , ossia che le tre curve cercate son quelle che si sogliono denominare focali. Dal fin qui detto si ricavano le seguenti proprietà : Se F è una qualunque delle tre coniche Jocali d'una superficie di second'ordine S: 1° Tulle le superficie coniche (reah od immaginarie) avetiti il vertice in un punto di F e circoscritte ad S sono coni retti. 2° Gli assi di questi coni sono tangenti alla focale F *). 3° Le linee tracciate nella superficie S in modo che le loro tangenti incontrino costan- temente F sono geodetiche di quella superficie. *) Hesse, Vorlesungen iiber analytiscl:e Geometrie des Raumes, Lipsia, 1861, pp. 298-501. 14 SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. [2 4° Se una linea esistente mila superficie S ha dovunque le tangenti conjitgate con quelle delle lime di contatto fra S ed i coni retti aventi il vertice in F, quella linea è una geodetica di S. Ad una conica a'^ b' corrispondono infinite superficie di second'ordine a'±c'^y±c-—c- di cui essa è curva focale nel piano .vv, e il valore corrispondente di cos co è )/a' -{- y-±c'—p' — q' cos oj == — - . Va' + b' -f-q' Se si ammette che a' e b' sieno positivi, cioè che la conica sia un'elUsse, bisogna pren- dere e' col segno negativo per avere sviluppoidi reali. Adunque in un ellissoide non possono esistere sviluppoidi reali che di curve focali iperboliche. Il valore di cos w contiene le variabili /) e • _ ^ 5 71 3 2] SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. IJ le equazioni d'una retta condotta nel punto (p, q, r) della trajettoria ; x, y, ^i le sue coordinate correnti; i, r,, 3 i coseni degli angoli ch'essa forma cogli assi, per cui (I) e + V + .^ = I , e i la distanza variabile dal punto fisso (p, q, r) al punto variabile (.v, v, :^) . Af- finchè questa retta tocchi ima sviluppoide è necessario e sufficiente che iormi un an- golo uguale a co (;<) colla tangente alla Unea data nel punto {p, q, r), epperù che si abbia (II) Ip' -{- "'"' '/' + J '•' = (?' cos (,> (//) . Ora, affinchè al variare del punto (p, q, r) le corrispondenti rette t sieno tutte tan- genti ad una medesima sviluppoide, è necessario che il sistema di quelle rette, oltre soggiacere alla condizione (II), sia suscettibile di avere un inviluppo. Per istabilire questa seconda condizione si derivino rispetto ad h le tre equazioni: .V = ^ + ; / , y = q ^-r,'., r_— ,■ -\- si, riguardando come costanti le .v , y , ;;; ; si avranno in tal modo le p' + ;'/ + ;/' = o, i/' -|- ■/)'/ + -/li' = o, r' + 3'/ +;;<' = 0, da cui elimmando le indeterminate l e /' si ottiene: (III) ^'(.,,'_;,^') + V(^i^'-;r')-f ^'(;'/--^i'') = o: questa è la condizione cercata. Supposte conosciute le p, q, r, w in funzione di u, le tre equazioni (I), (II), (III) serviranno in ogni caso a trovare l'equazione alle deri- vate ordinarie fra due sole variabili, la cui integrazione fornirà la soluzione del pro- blema. Ciò potrà farsi in generale in molti modi, e converrà approfittare di questa larghezza? per isceghere nel modo più opportuno le quantità che conviene ehminare e quella che conviene assumere come variabile indipendente. Per l'appUcazione del pro- cesso basta che sia possibile, com.e sarà Sv;mpre, eliminare fra le cinque equazioni (I), (II), (III) e le derivate delle due prime, quattro delle quantità (e, ;'), (•/), •/)'), (j, 3') prese a due a due. Trovati che siansi, in un modo o nell'altro, i valori di i, r,, ::, si sostituiranno nelle equazioni X —p _y — q _ ^— r l ~ -n ~ :^ ' che rappresenteranno allora un sistema di rette dotate di inviluppo, e le cui due de- rivate prese rispetto alla sola ii, considerando le .v, v, ;^ come costanti, si ridurranno quindi ad una sola equazione: quest'equazione e le due precedenti serviranno a deter- lé S'JI.LA TEORTA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. [2 minare le .v, y, :;^ in funzione di n. Eliminando la « si avranno le due equazioni or- dinarie delle sviluppoidi, e di nuovo eliminando fra queste due ultime equazioni la co- stante introdotta dall'integrazione, si avrà l'equazione delb superficie luogo geometrico delle sviluppoidi medesime. Per mostrare con un esempio il modo di applicare questo processo, tratteremo il caso generale delle curve piane e dimostreremo il seguente teorema gii enunciato pre- cedentemente : Teore\l\. — La ricerca delle sviluppoidi a doppia curvatura di una curva piana qual- sivoglia dipende da una sola quadratura. Supponiamo che la curva piana data sia nel piano xy, laonde si avrà per essa r := 0. Assumiamo per equazioni della retta / le seguenti : (I) per cui f a. X = --P + y--^: > y = ' (C-/^^'"'"''" - i) sen co I „ ' / ' /O'cotuiiu \ 2C7 sen co. C« 2] SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. IJ Tali sono i valori da sostituirsi nelle (i) affinchè queste ultime equazioni rappresen- tino la retta tangente condotta dal punto (p, q, f) ad una delle sviluppoidi. Per avere le X, y, z^ del punto di contatto, ossia le coordinate del punto di quella sviluppoide, corrispondente al punto (/>, q, r) della trajettoria, bisogna trovare una terza equazione fra le x, y, ;(, e questa terza equazione si avrà, conforme al processo indicato, deri- vando rispetto ad u una qualunque delle equazioni, per es. la prima. Eseguendo tale derivazione si ottiene ^~ a' • Ora, dal valore di a [i^ equazione (8)] si cava: a =^ j J (C^(;'-"''^'""'"+i)[(a'j,"-^";)'+^'^'e')senwcosw-p'^'a>']) 2 CT'^sen'o. /*'''""''" j+(C ,r^9'-"-'" _i) [(^'^"_^"^'_;,'^'0') sen^ o. 4-//^'6'] S ' Questo valore si può semplificare moltiplicando il numeratore ed il denominatore del secondo membro per ^^ ! _ U (^L e -j-ijco — {^L e — i)^ (9) , q cos w -|- p' sen (o x = ;) + sen«^ ^^^-j^, , ); = <7 + senco -^-j-^, , equazioni dalle quali si possono dedurre assai facilmente alcune relazioni note. Se invece si volessero avere le sviluppate ordinarie della trajettoria, basterebbe far w = ^ 7c nelle formole (9) e si avrebbe : X —p Q, , }' — ? i- fj, , A. — (;^ _ j fj' ' ' — ^ c^ _ I 0' > ossia , se si rammenta che indicando con à il raggio di curvatura della trajettoria si ha tì'rf = g', , àq I j àp 2 C , , C+ I , ^ = ^-^^77' ^' = '^ + ''77' ^ = -(7^:^'^' ' = ±c^'^' espressioni che concordano perfettamente con quelle date da Fuss e citate da Brioschi iC {Intorno le sviliippoìdi, ecc.), sol che si ponga jr^ = + coth, h nuova costante, e quindi ,,, =: -f- t— . ^ L — I sen /; Si supponga che w sia costante e che la curva data sia l'ellisse 2] SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTL 21 ponendo p ^ acos H, q = b sen u , si ha in questo caso : to' := o, p' := — a sen /( , i'" = — " »^os », ì sen co e , ^ 2 , ,-■ 2 n — {a sen « -)- 0 cos »_) ^ ab {^L e — 1) alle quali si può dare una forma un pò più elegante ponendo C = cot 5^ , "k nuova co- stante, e scrivendole nel modo che segue : cos- )v. sen (oj — v). e — sen A. sen (co -^ v). e /'^=c«,i=„ _i_ ;,2rr,c=.,^T Iv — acosH sen co ^^ ^^ — ^; — {^ sen ti-]-b cos 11) , ^.\ U (.US H 3C11 lU . /• 2 •- vcotu „ 2 -1 ^_VCOtO)"\ *^ ' ■' ' a b (cos A. e — sen A. e ) , , ; cos }.. cos (oj — vj.i; + sen a. cosfco -f- vj. g , j ^ . „ : m- (I2J ^=isen»-senco \, .; ,...7 2, loJ ^ (« ^^" « + ^ ^"^ «)S J fl 0 (cos y..i — sen a. « ) > (a^ sen" » -j- b' cos' h) = . sen 2 )-. sen^ co 7 / 2 *, VCCtO) 2 -1 — VCOtW> a b (cos A. « — sen A. e ) 22 SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. [2 Si trova anche , . , cos A. e -4- sen A. e /^ ^ 2 , , 2 2 ^4- (i-s) /;=: + sen6j ! z(a sen u 4- b cos ?n^ . a b (cos A. <; — sen a. e ) Per avere, a cagion d'esempio, la sviluppata piana dell'ellisse si farà )^ = 0 , w = --, ed i valori risultanti di .v ed y, viste le (n), si potranno scrivere cosi: cos u . , , 1,2 2 \ X := a cos u (a" sen ;( + /' cos u) , a ^ , sen H , 2 ' 17 2 2 \ y = /; sen 11 -. — ((T sen /( -\- b cos ii) , ossia a X = (a- — /r) cos^ u , by = — (ti' — b') sen' 11 , da cui, eliminando ;(, 22 2 (axy -\-(hyy=(a'-by, risultato notissimo. Nelle stesse ipotesi la formola (13) diventa (a' sen^ ti -{- V cos" ti) ^ t = 1 j ab ossia 5 (iil + ilV a'b\ epperò, denominando /; la distanza dal centro alla tangente nel punto (/>,'/), a'b' ma indicando con 'ì il semidiametro parallelo alla tangente, si ha, come è noto, ìih =^ ab, dunque ^ = T' nota formola che dà il raggio di curvatura dell'ellisse in un suo punto qualunque. Nel caso della circonferenza, si ha. a =: b ^ d, v = h e dalle (12), (13) si cavano le forinole seguenti : cos /. sen (<•> — 11). e — sen A. sen (&j + in. e cos 11 — sen oj ^^ r^; — ' — , 2] SULLA TEORL\ DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. 2^ , r cos^ 1. cos (lù — h\ e"""" + sen^ X. cos (w + k). g-"'"'" | y = d\ senti — sen w ^^ ; — ■ :^; — , L cos l.e — sen l.e J , sen 21. sen^ w 1 = —d 2 * uCOtO) 2 *i — iiCOtli) ' COS A. e — sen A. t; 2 ^ ucoto) I 2 •, — ucotu , , cos l.e -+- sen À.e i = -f- a sen w ■ COS k.e — sen A. e Tali sono le formole che forniscono gli elementi delle sviluppoidi ordinarie di una circonferenza di raggio uguale a d. Come sopra si è veduto, queste sviluppoidi sono linee geodetiche dell'iperboloide di rotazione ^" + / l' _, \2 '■ 5 (d COS co)" ((/ sen co)" il quale è il loro luogo geometrico. Se si volessero cercare quelle sviluppoidi dell'ellisse che giacciono nell'iperboloide a tre assi a^ — e' b' — e* c^ ' (e che sono geodetiche di esso), bisognerebbe prendere per co la funzione delle p, q data, come si è veduto, dalla formola l/g' -\-b' — c' — p' — q' -^^— ^a^^b^-f-q' • Si avrebbe in til caso, conservate le segnature precedenti, Va' sen^ n -\- b' cos^ n — c^ COt (0 = ! , eppero , , ab Va" sen^ u -4- b' cos" ;( — c' 6' COt co = p-^ r— r— n t"^;^ — e {il sen II -\- b cos /() Questi funzione non è di quelle delle quali si possa conseguire l'integrale sotto forma finita. SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDt E DELLE SVILUPPAN'TL [2 Esporremo ora alcune considerazioni geometriclie che conducono in un modo sem- plicissimo alle note formole relative alle sviluppate ordinarie e ad altre interessanti con- seguenze *). Si concepisca che il piano normale alla linea data, partendo da quella posizione iniziale nella quale incontra la linea data nel punto m^ e tocca la superficie polare lungo la generatrice l^, ruoti senza strisciare su questa superficie, toccandola successi- vamente lungo le generatrici 1^, !^, . . . 1 corrispondenti ai punti in^ , in, , ... iti della linea (w punto generico di questa). È noto che, durante questa rotazione, quel punto del piano, m^, che apparteneva alla linea nel primo istante del moto, non esce mai dalla Hnea stessa e si sovrappone successivamente ai punti w, , in^ , . . . m di essa. Se si suppone che le generatrici della superficie polare lascino traccia di sé nel piano mobile, esisterà in questo piano, considerato alla fine delia rotazione, cioè quando passa pel punto m, una serie di rette segantisi successivamente a due a due in modo da dar luogo ad un inviluppo: siano i^, i^, i^, . . . i, i punti di contatto di questo inviluppo colle rette /^ , /, , /,,... /. La curva i^ , i, , z\ , . . . t è manifesta- mente quella secondo cui si svolge nel piano mobile la linea luogo dei centri delle sfere osculatrici. Si osservi anche che, essendo le rette 1^, /, , 1^, . . . l perpendicolari ai piani osculatori della linea data rispettivamente nei punti m^, ;«, , m^, . . . m, le loro suc- cessive deviazioni misurano la cosidetta torsioni della linea stessa, per cui l'angolo for- mato dalle rette / ed /„ (che si incontrano nel punto a) sarà il complesso degh an- •) Diipo avere scritto queste pagine mi è venuta alle mini una Memoria del valentissimo Chelimi [Siilhi curvaturii delle lina e delle superficie (Raccolta scientifica compilata Jal Dr. Palomba, anno I, Roma, i8).5)], in cui si fa uso di analoghe considerazioni e si dimostrano con somma semplicità molti importanti teoremi. Il Chhlini merita la riconoscenza di tutti gli studiosi per avere più volte applicato l'ingegno a render loro men dilTìcile l'accesso di parecchie moderne teorie. 2] SULLA TEORLA DELLE SVILUPPOID[ E DELLE SVILUPPANTI. 25 goli di torsione della linea per la porzione »t^in di essa. Si denomini f5 tale com- plesso *). Ora supponiamo che nella superficie polare sia tracciata una delle sviluppate ordi- narie della linea data. È noto (ed evidente, per la sua definizione) ch'essa si svolge nel piano mobile secondo una retta che passa pel punto iii e che incontra le genera- trici /^, /,, /,,... / nei punti t^, /, , t^, . . . t: la porzione mt, che diremo t, .sarà il raggio della sviluppata, corrispondente al punto m della linea data. È evidente che per individuare la sviluppata basterà conoscere l'angolo che la retta / fa colla generatrice • l^: chiamiamo /; quest'angolo. Dando ad /; tutti i valori possibili avremo tutte le svi- luppate della linea data. Ciò posto, se si osserva il triangolo 1^1 1 si vede subito che ang // = S -[- /;; inoltre, se si conduce dal punto in la md perpendicolare alla retta / e si dice d la sua lunghezza, si ha d = t sentì. Ora d è evidentemente il raggio di curvatura della Unea data nel punto m, dunque si ha la tormola : (0 t = sen Qi + /;) ' la quale venne dimostrata con altre considerazioni dai sig.^'MoLiNS e Brioschi. Si riferisca ora la linea data a tre assi ortogonali qualisivogliano. Alle projezioni del raggio t su questi tre assi si potrà sostituire la somma delle projezioni delle due rette md e dt := d cot(H -\- /;) : ora se si indicano con p, q, r le coordinate del pun'o III, con .V, y, - quelle del punto / e si segnano con apici le derivazioni rispetto all'arco t della linea data, i coseni degli angoli che le rette in d e dt formano rispettivamente coi tre assi sono: dp'', dq", dr; d(q;-" -q''r'), d{r' p" - r" f), d (p'q" - p"q'), dunque le somme di quelle projezioni saranno : *) È evidente che 3 è anche il co.iiplesso degli angoli di contingenza della linea luogo dei centri delle sfere osculataci della porzione i^ i di questa linea, la qual porzione è precisamente quella che corrisponde alla m^ m della linea data, per cui questi due complessi, relativi .i porzioni corrispondenti delle due linee, sono costantemente eguali fra loro. Si diiuoslra facilmente che, a vicenda, il complesso (ìejli angoli di contingeii:^a d'una poriione qualunque della linei data equivale a quella degli angoli di torsione della corrispondente poriione di linea luogo dei centri delle sfere osculatrici : infatti il primo com- plesso è misurato dalle successive deviazioni delle tangenti alla linea data, ossia dei piani normali ad essa, ed il secondo è misurato dalle successive deviazioni dei piani osculatori della seconda linea, i quali non sono altro che i piani normali della prima. BELTRAMl, tOmO i. 4 26 SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. [2 sull'asse delle x: d'p" ± d' (q'r" - q"r') cot (S + /;), » y : d' i]" ± d' {r'p" - r"p') cot ('ì + /;), » i: cPr" ±d'(p'q" —p"q')coi(<)-^b). Ma le projezioni della rutta / sono espresse anche da x — p, y — q, ;^ — r, dunque si ha finaln'.ente : f x=p-{- d'p" ± d'(q'r" - "P') ^01 (S + /;) , { .^^,. + d' r" ± d'(p'q" - p"q')cOl (S + /.,) , le quali forniole determinano completamente la sviluppata. Esse concordano con quelle date da Brioschi (citate ricerche) *). CoU'ajuto della figura pocanzi costruita si vede facilmente che: use si distende in un piano la svdnppabilc polare d'una linea quaìsivoi^lia, la linea luogo dei centri di cur- vatura di questa si svolge in quel piano secondo una curva, che è la pedale (podaire) di quella secondo cui si svolge la linea luogo dei centri delle sfere osculalrici » **). Questa proprietà rende manifestissimo che la prima di queste curve non può essere una retta passante per in, a meno che le rette l^, l^, . . . l non sieno tutte parallele fra loro, cioè che la linea luogo dei centri di curvatura della curva data non può essere una sviluppata di questa, a meno che questa non sia piana (nel qual caso la superficie po- lare è cihndrica). E evidente anche che l'angolo formato dal raggio di curvatura iniziale md col qualsivoglia ind equivale a quello delle due rette /^ ed /, cioè a 'ì. Ne risulta che se, dopo avere distesa nel piano la superficie polare, si riferirà la curva secondo cui si svolge la linea luogo dei centri di curvatura a due assi aventi l'origine nel punto ni e diretti, l'uno, che dirò delle i, secondo la retta nid^, e l'altro, che dirò delle v), se- condo una perpendicolare a questa, si avranno per quella curva (piana) le due seguenti semplicissime equazioni (3) ^ ^ ^ cos S, r, = d sen (5. È chiaro che si potrà sostituire a S un angolo S -|- cost. : non si l'ara cosi che far ruo- tare la curva intorno al punto /». *) h evidente che se dal punto qiunluiu]ue in d'una linea si conducono le tangenti a due qualsi- vofliano sue sviluppate, queste tangenti formano fra loro un angolo costante. Ciò serve a dimostrare il noto ed importante teorema che : se due superficie si se^^aiw Inuco una linea die sia linea di curvatura per entrambe, il loro angolo d'intersezione è costante. Infatti le normali alle due superficie nei punti della comune intersezione inviluppano due curve che sono due sviluppate dell'intersezione medesima, per cui quelle normali comprendono fra loro un angolo costante. *•) Lancret. 2] SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. 27 E altrettanto facile ottenere le equazioni di quell'altra curva piana secondo cui si svolge la linea luogo dei centri delle sfere osculatrici: basta osservare che èssa è l'in- viluppo delle rette /^, 1^, . . . ì. Si riferiscano queste rette ai medesimi due assi di po- canzi e si chiami [j. il punto in cui la re:ta ind^, ossia l'asse delle ^, incontra la retta /. L'equazione di questa sarà r, = {jn [J. — e) cot S, d ossia, per essere in 'i. = 5 , ' cos ò \ cos ^ -f~ '1 s^'^ h =^ à . Si de;'i\i quest'equazione rispetto alla variabile di cui riten?oasi funzioni le d, % (per es. l'arco 17), riguardando come costanti le E, -/i e si avrà — \V sen (ì -|- 71 V cos S ^ à' . Da queste equazioni si cava (4) l =^ d cos 'ì ^ sen f\ n = J sen '^ -f- "^r cos fi, le quah rappresentano appunto il cercato sviluppo della Hnea luogo dei centri delle sfere osculatrici. Indicando con D il raggio di quella fra queste sfere che corrisponde al punto ;;/, si cava dalle precedenti equazioni ;^ 4- rr = D'=d^+'^, formola conosciuta. Si trova anclie facilmente che il coseno dell'angolo formato dalla linea luogo dei centri di curvatura colla retta / è espresso da + -jy ■ Passeremo ora a trattare il problema inverso, cioè a determinare le curve che se- gano sotto un angolo variabile con legge data le tangenti di un'altra linea data, le quali curve, in mancanza di una denominazione speciale, chiameremo sviluppanti di quella. Per trovare le equazioni di questo genere di curve sotto una forma semplice ed elegante coirdncieremo a stabilire le equazioni generali relative al problema delle tra- jettorie, dando loro una forma che si presta in molti casi all'integrazione più di quella a cui conduce immediatamente l'enunciato stesso del problema. Supponiamo dapprima che il sistema delle linee di cui si cercano le trajettorie sia piano e rappresentato dall'equazione , (i) cp(.v, y, fl) = o, 28 SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPATATI. [2 dove fl è un parametro variabile ed .v, y sono coordinate rettangole ordinarie. Sia w l'angolo variabile sotto cui le traiettorie devono segare le curve di questo sistema: w sarà una funzione data di x ed y, la quale potrà contenere anche a. L'equazione del problema sarà la seguente: nell.1 quale le derivazioni indicate dagli apici si riferiscono ad una variabile qualsivoglia. Seguendo il metodo ordinario bisognerebbe eliminare a fra le (i), (2) ed integrare l'equazione risultante, con che si avrebbe l'equazione del sistema delle traiettorie. Ciò posto suppongasi che in seguito all'anzidetta eliminazione di a e successiva integrazione, siasi ottenuta l'equazione integrale "vO^'. ;'. ^0 = o> b costante arbitraria. Se dall'equazione (i) combinata con quest'ultima si ricavassero i valori di x ed y formati con a q b: X — X (a, b), y — y (a, b) evidentemente questi valori sarebbero taU che, tenendo in essi costante la a e facendo variare solamente b, si avrebbero le coordinate dei punti d'una delle curve del sistema (i), ed invece tenendovi costante la è e facendo variare a, si avrebbero quelle dei punti d'una traiettoria. Dunque le coordinate dei punti di qualsivoglia traiettoria pos- sono riguardarsi quah funzioni di a. Ora l'equazione (2), ritenendo prese le derivate rispetto ad a, si può scrivere come segue : ,, .dx ,, sdv r ,, ^(ìx , ,^ ^dyl 9 00 ^ - 9 W -jj = L? (-) -^ -r ? 00 jt J ^°^ " ' ma dalla (i) considerata come appartenente ai punti della traiettoria, epperò come tale che in essa varii la a insieme colle -v, y, si cava W^ + 9'O0,^ = -9'0O; da ^ ■'■^ da dunque fra le derivate -7^ , -7^ ha luogo l'equazione precedente e la ,. ,dx ,. ,dy ,. > 2] SULLA TEORL\ DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTL 29 Da queste due equazioni si cava: dx_^ — [cp'(A-)4-?'(:y)cotco](p'(fl) il^ _ — [^y(j)_(p'(^-) cotto] y'(^) ^'^ da [?'(-v)r + L?'(v)r ' da- VA^)]' + bXy)Y chiamando poi n l'arco di trajettoria terminato al punto .v, y si ha dalle precedenti equazioni r^^ é^ ^ 9V) da Qenwt^iV sencancp'(A-)]^ + [?'O0]' Le equazioni (3) costituiscono le trasformazioni cercate. Se da una di esse, per es. dalla prima, si eliminerà la y col mezzo della (i) si otterrà un'equazione fra a, d X X e -T— che integrata darà x in funzione di a e di una costante arbitraria b. Elimi- nando a fra il risultato di questa integrazione e l'equazione (i) si avrà l'equazione generale delle trajettorie. Sia ora il sistema dato costituito da linee nello spazio, rappresentate dalle due equazioni (i'") , VC^", J. X, '0 = 0, '^C.v, y, -, a) = o. Ponendo ?'O0A'(O-9'(O^'O0 = ^, ?'(0'^'(-v)-?'(-v)'i''(0 = ^> ?'(-v)i'O0-9'O0'VW = c, [fCv)r + [v'Cv)p + ['y(or = G, A'-\- B' -\- 0 = E G — F' = \, si ha dalle (i^'")) mediante la derivazione rispetto ad una variabile qualisivoglia, A B ~ C ' quindi l'equazione del sistema trajettorio sarà . . dx dy di . , . . e tra le -r— , -f^ , -r— avranno luogo le equazioni da da da ° ^ 30 SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. [2 ('0 v'w^+^'oo:;ì+^'(o^=-v-oo, dalle quali e dalle (2'^''*) debbonsi ora, analogamente a quanto si è fatto pei sistemi ... dx dy di piani, cavare i valori di -p- , -r- , -r- ■ ' da da da Per abbreviare i calcoli necessarj a quest'uopo si pongano le seguenti denomina- zioni : 9'(«)f(-v)-?'(-v)V0O = A ?'OOV(v)-?'(v)vW = 2, ^'OOy'CO-T'CO'KOO^i?. BR — Cil^L, CP — AR^M, A Q — B P ^ N, e si notino le risultanti identità JP-{- B0+ CR = o, AL-}- BM^ CN = 0, L P -{- M 0-{- N R = o, U + M' -^N' = (P= + 2^ + i?0 A . Ciò posto, si scriva per un momento da da da e da quest'equazione, combinata colle (a), si cavino i valori di -7^ , — - , j^ . Avuto riguardo alle stabilite denominazioni ed alle risultanti identità si troverà facibnente (b) \''j^ = AU-\- L, l^=BU-{-M, \Ì^ = CU4-N, ^ ■' da ' da ' da da cui, quadrando e sommando : ^{j^y^ u^+p'+Q'+R\ Ora si osservi che la (2'''') può scriversi come segue: eliminando 1 j-^ 1 ira quest'equazione e la precedente si ha [/=cot(oV'P'+ 2' + ^', 2] SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTL 3I ed eliminando invece U si ha (4H.S) ^ = t/F + Q- + J^- d(i sencol^A Sostituendo finabiente il valore U ffovato or ora nelle (/'), si ottiene : dx _L-Jr Acot co|/f ^ -^ Q'-^R' da~ \ ^' ^ 1 da ~ A ^ _ iV+ Ccotcol/P^+ g' + J?' ^^ ~ A ' equazioni le quali costituiscono le trasformazioni cercate. Eliminando per es. ^ e ;;^ fra d X la prima di queste e le (i ''''), si avrà un'equazione fra a, x e -j- che integrata darà X in funzione di a e di una costante arbitraria b . Eliminando a fra l'integrale così ottenuto e le (i''"") si avranno le equazioni delle trajettorie di quest'ultimo sistema. Si noti essere ed moltre: L = [f Ò'OO - Gf'(a)] 9'(.v) + [f f 00 - E'Yia-)] f (.v), M = [f ^'00 - G9'(a)]?'O0 + [f ?'00 - ^f OOl'^'OO, A^ = [f -^'00 - G?'(«)] ?'(0 + [f ?'('0 - f '!'(«)] f (0 • Ciò posto procediamo alla ricerca delle sviluppanti d'una linea data, che suppor- remo a doppia curvatura e rappresentata dalle equazioni l (a, b, 0 = 0, r, (a, h, e) = o. Le equazioni della sua tangente nel punto Qi, b, e) sono b'x — y -\- {b — ab') =^ o, c'x — :^-\- (e — ac') =^ o, dove gli apici indicano derivate prese rispetto alla a. Queste due equazioni, parago- nate colle cp = o , i]> = 0 di pocanzi, danno, indicando con s l'arco della linea data, o'(x) = l'', 9'O0 = -i> ?'(0 = o> ^Xa) = (x-a)b", V(.v) = e', ^'(y) = 0, f (0 = - I , f 00 = Ov - '0^"; 32 SULLA TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. [2 epperò A=i, B = b', C = c', E=i -\- ir, F = b'c', G = I + e", A = s", ?=: (a- - a)(b"c' - b'c"), Q = (.V — a)c", R = — (x - a)b", P'-^o^-^R^=.(x-ay[b'"+c"'-{-(b'c"-b-'cy] = (x—ayQr--\-r — r)s'\ Z. = - (x — a)s's", M = (.V — a)(b"s' - b's")s', N = (x- - a)(c"s' — c'i") s'. Le Ibrmole (3'^''') danno adunque in questo caso d .V - (a- - a) (s" - cot si otterrà una serie di linee siffatte ed il loro luogo geometrico sarà una superficie che dirò -. Onesta superjicie è dei ter^^ ordine, e si può supporre generata nel modo seguente : si immagini la retta condotta dal centro del cir- colo osculatore della linea s nel punto in perpendicolarmente al piano di questo circolo, indi si concepisca che una circonferenza varii di raggio e di posizione, conservandosi sempre tangente alla linea s nel punto m e non cessando mai di avere il punto diametralmente opposto in comune colla retta suindicata. Questa circonferen:^a genererà la superficie '^. La considerazione di questa superficie porge il modo di esprimere il raggio di qualsivoglia sviluppoide in funzione unicamente del raggio di curvatura della trajettoria e di due angoli individuanti la posizione del raggio della sviluppoide. Chiamando a l'angolo formato dai piani osculatori della trajettoria e della sviluppoide si ha infatti d sen oj cos a formola che si trova anche nella citata Memoria del sig. Brioschi, poiché x è ciò che egh chiama e . La superficie IL è anche la trasformata per raggi vettori reciproci di una superficie cilindrica a base circolare, trasformata ottenuta ponendo il centro d'inversione in un punto della superficie cilindrica. La seguente proprietà è una conseguenza evidente di quelle che precedono : Se nello spa:^io si immagina un piano, per ciaicun punto di questo passa una svilup- poide della linea s; quei punii del piano in cui le tangenti alle sviluppoidi concorrono tutte in un medesimo punto della s, appartengono ad una linea di Icv^'ordine, qualunque sia la s. È bene osservare che se si pone / = \\p — x)^ ~\- (jj — jT "!"('' — ^)^ l'equa- 2] SULLA. TEORIA DELLE SVILUPPOIDI E DELLE SVILUPPANTI. 35 zione della superficie i è rappresentabile colla ritenuto che le x, y, :i sieno coordinate correnti e le p, q, r, i parametri individuanti la superficie stessa. La serie di tutte le superficie 2 corrispondenti agli infiniti punti della s dà luogo ad un inviluppo. Questo inviluppo tocca ciascuna inviluppata ^ lungo una linea piana di terx^ordine, intirstxione di 2£ col piano condotto per la retta rettificante e pel centro della sfera osculatrice. Anche la serie di tutte le superficie 5,^ corrispondenti agli infiniti valori di co am- mette un inviluppo. L'inviluppo di tutte le superficie analoghe ad S^ è identico all'invi- luppo di tutte quelle analoghe a ^. Questo inviluppo comune, che dirò II, ha dunque due caratteristiche distinte: l'una è la linea di contatto con 1, l'altra la linea di contatto con S^ . Rappresentando con D il raggio della sfera osculatrice di s, con .v, y, :;^ le coordinate correnti di 11, e cogli apici derivazioni rispetto a n, si hanno le formole d'(q'"r' — q-r"')sm'oi D'd'^' (q"r"'—q"'r")sen'o,cos(^ ^^ l' rf' cosco+rfS't/D^r senato— cosato' -^ Se in queste formole si considerano le w, i come variabili indipendenti, esse rap- presentano la superficie II : le linee t ^ cose, oj =: cost. ne sono le due caratteristiche, cioè le linee di contatto colle superficie 2 ed 5,^. Quando u = — - queste formole danno le coordinate del centro della sfera oscu- latrice, del che è facile persuadersi anche a priori. HI. DI ALCUNE FORMOLE RELATIVE ALLA CUR\'ATURA DELLE SUPERFICIE. (Lettera al prof. B. T o r t o I i n i). Annali di ?iateniati<-a pura ed applicata^ serie I, tomo IV (1861), pp. 283-284. Signor Professore, Ordinariamente l'equazione delle linee di curvatura, e l'equazione da cui dipen- dono i raggi di curvatura d'una superficie, formate con coordinate curvdinee p e q, si ottengono con processi alquanto laboriosi. Ali permetto di accennarle una assai fa- cile maniera di giungere a quelle formole, la quale con poche modificazioni si applica anche al -caso delle superficie rappresentate da equazioni della forma ir(^.x, y, -) = o. Usando le solite segnature di Gauss *) rappresentando con E, 'o e 3 le coordinate correnti della normale alla superficie nel punto (.v, y, ;^) e con p la distanza dei due punti (H, T,, i), (.Y, y, ;^), si hanno le Affinchè le x, y, :^ appartengano ad una linea di curvatura, bisogna che insieme colle equazioni precedenti sussistano le derivate loro prese rispetto a quella variabile di cui sono funzioni le p, q relative alla linea di curvatura, considerando le E, v), s come costanti, ed allora la p diventa evidentemente un raggio di curvatura della superficie. 1 *) Disquisitioiies gaieiales circa superficies ciirvas. 3] DI ALCUNE FORMOLE RELATIVE ALLA CURVATURA DELLE SUPERFICIE. 37 Si hanno cosi le Si moltiplichino ordinatamente queste equazioni prima per ^-^ , ^ ^ poi per ap op ap d X dy di . . . , . . , . ^ . . , . , ^r— , ^ , T-^ e SI sommino ciascuna volta i risultati. Le equazioni che m tal modo a q a q a q si ottengono £p'+Fq'-:^(Dp'-^D'q-) = o, Fp' + Gq'-j-^{D'p'-^D"q')^o, conducono immediatamente alle formole che cerchiamo. Infatti : 1° Se fra esse si elimina p, si ottiene {Ep' + Fq') ÌD'P' + D"q') - (Fp' + Gq') (D p' + D'q') = 0 , nota equazione delle linee di curvatura. 2° Se invece se ne elimina il rapporto p''-q', si ottiene equazione in p che serve a determinare i due raggi di curvatura. Milano, 1° settembre 1862. IV. SOLUZIONE D'UN PROBLEMA RELATIVO ALLE SUPERFICIE DI SECOND' ORDINE. Giornate di Matematiche f volume I (i86}), pp. 68-75 '). Nell'annata 1862 del giornale « Nouvelles Annales de Mathématiques » venne pro- posto il seguente problema : Data una superficie di secoui' ordine ed un punto, luogo d'uno spettatore, determinare l'angolo sotto il quale questi vedrà la superficie, ritenuto che quest'angolo sia misurato dall'angolo solido del cono tangente. La soluzione di questo problema forma l'oggetto della presente breve Nota. I. Sia (0 9(-^-. )'' 0 = 0 l'equazione della superficie di 2° ordine, riferita a tre assi ortogonali; (.v^ , y^, x.^ il punto fisso, luogo dello spettatore. Un raggio visu.ale qualsivoglia è rappresentxto dalle equazioni (2-) ^-^•o = 3'-^o^^-^o^ *) Una traduzione di questa Nota in lingua francese si trova inserita nel giornale « Nouvelles Annales de Mathématiques», 2*""= s6rie, tome II (1865), pp. 355-562. [N. d. R.J 4] SOLUZIONE d'un PROBLEMA RELATIVO ALLE SUPERFICIE DI SECOND'oRDINE. ^^ nelle quali 1, p-, v determinano la direzione del raggio, p la posizione di uno qualun- que de' suoi punti. Sostituendo nell'equazione (i) i valori di x, y, ^ dati dalle (2) e scrivendo per semplicità r). In tal caso si ha x„ = /;, j„ = :^^ = o, 2 9^ = /;' — r\ epperò A = r\ B = — (// — r'), C— — Qr — r), D = E = F — 0; do. cui A = (r^ - /-)(// — r^ + a)', fl = r% 44 SOLUZIONE d'un problema relativo alle superficie di second'ordine. [4 e finalmente i y. = — ; — r , dove / è ui seguente ri Ponendo X = — r— 5 , dove / è una nuova variabile, questa formola si trasforma nella Q da cui integrando si ha ; -tG-^) Ora è facile riscontrare l'esattezza di questo risultato mediante la nota formola per la quadratura della zona sferica. 2") Supponiamo invece che la superlìcie sia qualsivoglia, ma che il punto (x^ , y^ , ;(J sia preso in essa. In tal caso è evidente che per le fatte convenzioni l'angolo visuale deve trovarsi uguale a ^ • Ora, essendo per l'ipotesi fatta 9^, ^= o, si ha ^-m- ^-(M' ^-m- da cui, dopo facili sviluppi, risulta : ....-,, „mi=y+(||.)V(||:y. La formola generale porge dunque in questo caso li , ah . Ponendo X = — -7— tjv j dove 0 è una nuova variabile, la formola precedente si trasforma nella il = ■ — / — j — p , da cui si deduce immediatamente ii = v, appunto come Qoveva essere. Milano, ottobre 1862. V. INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI CHE NE DIPENDONO. lUeniorie dfW Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, serie II, voi. II (1862), pp. 561-395 '). (Letta nella sessione 12 marzo 186;). In un articolo inserito nel nuovo « Giornale di Matematiche » che si stampa a Na- poli **) il chiar.™" sig. prof. Trudi ha richiamato l'attenzione degli studiosi sopra alcuni assai eleganti teoremi relativi a quel che chiamasi circolo dei ìiove punti, ed ha mani- festato il desiderio di vederne una dimostrazione semplice e concisa, qual sembra che manchi finora. I teoremi a cui alludo vengono generalmente attribuiti a Steiner, che li enunciò dapprima" nel giornale « Annales deGERGONNE» ***), dappoi, generalizzandoli, in una Me- moria pubblicata a Roma nel 1844 ed inserita nel «Giornale Arcadico» f). Lo stesso Steiner però, nel suo opuscolo intitolato : Die gcomeirischcn Koiislrucìioncn rnittelst dcr *) Un'altra Nota sullo stesso argomento fu pubblicata dall'.^. nel Volume I (1863) del Giornale di Matematiche (pp. 109-118) sotto il titolo Sulìc coniche di nove punti. Tutti gli argomenti contenuti in questa figurano nella Nota qui pubblicata, mentre quest'ultima presenta con maggiori sviluppi la parte riguardante le trasformazioni quadratiche (Art. dal VII in poi). Perciò ritenemmo opportuno di riprodurre qui solo la Nota più completa, togliendo dall'altra le figure che ne rendono più chiara la lettura. [N. d. R.]. *•) Volume I (1863), pag. 29. •••) Tomo XIX (1828), pag. 42. f ) Tomo XCIX, pag. 147. 46 IXTORXO ALLE CONICHE DEI \OVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTION'I, ETC. [j geradcn Link und eines fesien Kreises, § 12 (Berlino, 1833), dichiarò che uno di essi era già stato enunciato da Feuerbach, prima ancora ch'egli, senza sapere d'essere stato prevenuto, lo avesse pubblicato negli « Annales de Gergon'ne ». Alcuni di questi teoremi vennero poi riprodotti nel 1842 dal compianto Terquem, nel primo volume del suo giornale « Nouvelles Annales» (pag. 196), e più recentemente ancora ridimostrati, come nuovi, dall'illustre Hamilton, come pure da Hart, Salmon e Casey *). Ne trattò con somma eleganza anche il chiar."'° sig. prof. Battaglini, nei « Rendiconti dell'Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli » **). La dimostrazione che ne ha data da ultimo il sig. Trudi, benché breve ed ele- gante, non si applica che ad un caso particolare dei teoremi enunciati dallo Steiner nella Memoria del 1844, e però nel presente breve lavoro mi propongo di ripigliare nuovamente quest'argomento, considerandolo nella sua generalità e traendone occasione per esaminare alquanto da vicino la natura e le proprietà di una trasformazione geo- metrica che si oifre quale spontanea conseguenza dei teoremi precedentemente dimo- strati. La discussione di un caso speciale di questa trasformazione mostrerà l'intima connession sua con altre assai conosciute e di uso frequentissimo nella geometria. L Cominciamo dallo stabilire alcune formole che ci saranno utili in seguito. Abbiasi in un piano un triangolo ABC i cui lati B C, CA, AB sieno rispetti- vamente rappresentati dalle equazioni x = o, y — o, t—o, e sieno a , ?>, , Yi ! ^2 ' r'j > ì'^ le coordinate trilineari di due punti M ed A'' esistenti nel piano stesso. Ogni volta che occorra fissare il significato di queste coordinate, sup- porremo ch'esse sieno proporzionali alle lunghezze delle perpendicolari condotte dai punti M ed A' ai tre lati del triangolo. Ciò premesso, proponiamoci di determinare le coordinate del punto P, coniugato armonico rispetto al segmento MA' di quell'altro punto Q nel quale la retta MN è incontrata dalla trasversale Ix -\- ììiy -\- n^^=^ o . •) Si veda ad es. il « Quarterh' Journ.il of pure and applicd Mathematics », voi. IV (i86r), pp. 152, 245. ••) Fascicolo I (1862), pag. 24. ossia, ponendo 5] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 47 L'equazione della retta MN è (^H. T. - K Y.) -v 4- (t. -. - T. ^)}' + (^ h-^.?',)l^o; dunque le coordinate del punto Q, in cui essa incontra la trasversale, son date dalle formole /k, -}- h;(ì, -f /;y, = /;, , '": + "'i^. + "Y. = '^.> dalle seguenti : X = /j_ a^ — /;^ a^ , ^1 = /;_ |i^ _ /j^ fi_ , - = /;^ y^ _ h^_ Y, , dove il segno ^ indica che le x, y, :;^ sono quantità semplicemente proporzionali ai secondi membri delle precedenti equazioni. Ne risulta che le equazioni delle tre rette A AI, A N, AP sono rispettivamente TO' - P.^ = o. Scrivendo l'ultima di queste sotto la forma '^.(Y.y-P,0-^(u>'-^^.0 = o, si vede subito che la conjugata armonica della retta da essa rappresentata rispetto alle altre due è data dall'equazione ossia dalla K^. + h^^,_ /^.y. + ^y/ Dovendo le coordinate del punto cercato P soddisf;ire a quest'ultima equazione ed alle analoghe in 7^, x ed x, y, è chiaro che si hanno per esse le formole oppure le seguenti: 7. . a X 48 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE Q.UISTIONI, ETC. [5 Supponiamo ora di avere nel piano un sistema di m punti disposti in modo qua- lunque e distribuiti in due gruppi, l'uno di r e l'altro di ni — r punti ; e sieno a. , P , V, le coordinate dell' j-esimo di tali punti. Poscia consideriamo un punto 0 le cui coordinate X, Y, Z sieno funzioni delle coordinate degli m punti del sistema, e due altri punti, 0^ ed 0„_, , le cui coordinate X^ , F, , Z, ed .Y„_, , 7„_, , Z^_, sieno rispettivamente formate colle coordinate dei primi r punti e degli ultimi m — r punti del sistema nello stesso modo in cui quelle del punto O sono formate colle coordinate di tutti gli in punti. Supponiamo finalmente che, per la natura delle fun- zioni X, A',, X„,_, ed analoghe, si abbia X = X, + A_, Y^ì\+ Y.-r, Z = Z^ + Z„_,. Ciò posto, se l'equazione I.V + Af). + Ar;^ = o rappresenta la retta che congiunge i due punti O^ ed 0„_^ , si avranno le due identità : L à; + m r, + N Z, = o , I X,„_, + U Y_, + .V Z„_, = o , e quindi anche la seguente : L{X, + X.„_,) + M{\\ + 7 ,_,) -f N(Z, + Z_J = o , ossia, per le fatte ipotesi , LX+MF+NZ=r o. Quest'ultima equazione mostra che \a retta in discorso contiene il punto O, e ciì), non solo quLììinique sia il numero m dei punti del sistema, ma anche qualunque sia il modo in cui questi ni punti sono distribuiti nei due gruppi considerati. Le condizioni imposte alle funzioni X, F, Z sono soddisfatte ponendo --ì-yt^- • + *„' Z = I1.4- li 4- 1 1m (b) dove h, = /«. + w^, + «Y. , ed allora il punto 0 diventa quello che dicesi centro armonico del sistema di punti ri- 5] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 49 spetto alla trasversale / X -)- ;;; V -4- " V = o . Quando ut = 2 le formole precedenti non differiscono da quelle trovate pocanzi direttamente. Quando m = 3 esse danno le coordinate del centro armonico di un sistema di tre punti rispetto ad una trasversale, ossia le coordinate di quel punto nel quale con- corrono le tre rette che congiungono ciascun punto col centro armonico degli altri due rispetto alla trasversale medesima. Quando m = 4 esse danno le coordinate del centro armonico di un sistema di quattro punti, ossia le coordinate di quel punto nel quale concorrono le quattro rette che congiungono ciascuno dei punti dati col centro armonico degli altri tre, ovvero le tre re:te che congiungono il cenrro armonico di ciascuna coppia di punti, col centro armonico dell'altra. Ecc. ecc. Torniamo ora alla quistione propostaci. II. Sieno dati in un piano quattro punti, che indicheremo coi numeri 0, i, 2, 3 : il sistema costituito da questi quattro punti e dalle sei rette che li congiungono a due a due, è ciò che si chiama giiadrangolo compìeto. Volendo investigare le proprietà di questa figura, conviene riferirla ad un sistema di assi coordinati che sia disposto simmetricamente rispetto alla figura stessa. Tale è il sistema delle tre rette che congiungono a due a due i punti d'intersezione delle tre coppie di lati opposti. Indicheremo con A, B, C questi tre punti ed assumeremo il triangolo da essi determinato come triangolo fondamentale, rappresentandone i lati BC, CJ, AB rispettivamente con x ^^ 0, y = o, ~ = o. In conseguenza di questa scelta del triangolo fondamentale è facilmente veduto che, indicando con a, b, e tre quantità i cui rapporti sono determinati dalla forma del BcLTRAMl, tomo I. 7 50 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. [5 quadrangolo, i quattro vertici di questo possono essere rappresentati dai seguenti quattro sistemi di valori dei rapporti x : y : ^ vertice o a : h: e, » I — a : b: e, » 2 a : — b: e, » ? a : b : — e . Infatti il punto i, per esempio, è l'intersezione delle due rette Jo e Bi, la seconda delle quali è, per le note proprietà del quadrangolo completo, coniugata armonica di Bo rispetto a BA ed a B C ; le equazioni delle rette Ao e Bi sono dunque f-^ = o, -1 + ^=0, b e e ^ a da cui si cava, pel loro punto d'incontro, .V : _y : - = — rt : /> : f , come qui retro si è indicato. Ciò premesso, conduciamo nel piano una trasversale qualunque (1) ìx -{- my -|- /; - = o , e determiniamo i punti conjugari armonici di quelli in cui essa sega i sei segmenti rettilinei determinati dai quattro punti o, i, 2, 3 presi a due a due. A ciò servono le formole (a) dell'articolo precedente. Se per es. si considera il segm.ento 01, si ha '^, : ^ : T, = '^ : ^' : '^ ' 5t^ : ?^ : y^ = — (Z : /' : e , e quindi, ponendo la -\- lìib -\- ìic = ì) , si trova /;_ = h , b^:= h — ila . Dunque le coordinate del centro armonico di quel segmento sono date dalle formole : .Y : ^ : - = — ì a' : b(Jì — ì ti) : c(Jì — / a) , ossia dalle seguenti: Ur X : y : :ì= p— : b : e . ■^ ììl 0 -\~ li e Procedendo analogamente si troverà che i pun:i armonici esistenti rispettiv.miente nei segmenti 01, 02, 03, 23, 31, 12 sono dciìniti dai rapporti seguenti: 5] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 5I 1 0.^ , ni b' , ;; c" in , ni u : t' : e , a : j — =— : e , a : b : — b + nc- •"' "■ nc-^la-"' ''■"■— la -\- mb ' /fl' , mb^ , ne' : b : — e , — a : t— : c , a : — b : mb — ne ne — la la — inb Ora e tacilissimo verificare che queste sei terne di valori soddisfanno all'equazione , ^ '''' , nib' , ne' (2) — + ^- + — = o , che rappresenta una conica circoscritta al triangolo fondamentale. Denomineremo que- sta conica: eoniea dei nove punti eorrisbondente alla trasversale (i), o semplicemente: conica corrispondente alla trasversale (i). Abbiamo così il teorema : Se nel piano di un qnadrangolo completo si conduce una trasversale, ed in ciascuno dei sei lati di esso si determina il punto coniugato armonico di quello in cui il lato è in- contrato dalla trasversale medesima, i sei punti cosi determinati giacciono in una conica, che passa anche per i tre punti d'incontro dei lati opposti del quadrangolo completo. III. Le quattro rette 02,03, ^- ^'^ ^3 sono rappresentate rispettivamente dalle equazioni ex — (7 :^ = o , /' .V — ay ^ o , /' a: -j- rtv = o , e x -\- a-:;^^ o; dunque il sistema delle coniche circoscritte al quadrangolo 0123 potrA rappresentarsi coU'equazione (/' -v — a y) Q) X -j- ny) -{- b (e x — «:;:) (e .v + (7 -) = o , ossia (b'-\-hc')x^--a'(f' + hi')^o, dove /; è il parametro arbitrario. Indicando dunque con k una indeterminata, il polo della trasversale (i) rispetto ad una qualunque di queste coniche sarà determinato dalle equazioni b\x -{-bc\x -^ kl ^0, — a' y -j- lem = 0 , — h a"" ;^ -{- k n =: o , da cui eliminando /; e k, si ottiene la'' , mb' , ne' x ' y ' i 52 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. [j quale equazione del luogo geometrico dei poli della trasversale (i) rispetto alle coniche circoscritte al quadrangolo. Quest'equazione concorda con quella della conica dei nove punti, dunque : // luogo gcoinclrico dei poli di una retta qualsivoglia rispetto ai sistema delie coniche circoscritte ad un quadrangolo è la conica dei nove punti corrispondente a quella retta. Notiamo che fra le infinite coniche circoscritte al quadrangolo, due sono tangenti alla trasversale (i), per cui il polo di questa trasversale rispetto a ciascuna di quelle due coniche è il punto di contatto rispettivo. Ma la conica dei nove punti contiene i poli della trasversale rispetto al sistema delle infinite coniche circoscritte al quadrangolo, dunque essa contiene anche quei due punti di contatto. Rammentando quindi che le coppie di punti in cui una trasversale qualunque è incontrata dalle coniche circoscritte ad un quadrangolo formano una involuzione quadratica, possiamo formulare il seguente teorema : I punti doppi dell' invùhi:^ioìie che le coniche circoscritte ad un quadrangolo determi- nano su di una trasversale qualunque, sono i punti in cui questa e incontrala dalla co- hica dei nove punti ad essa corrispondente. Importa osservare che le proprietà precedentemente dimostrate si potrebbero de- durre semplicemente dal teorema che le polari di un punto rispetto alle infinite coniche circoscritte ad un quadrangolo passano tutte per un medesimo punto. Infatti, in virtù di questo teorenia, basta considerare due sole coniche del sistema, e per semplicità si possono adoperare a quest'uopo due coppie di lati opposti del quadrangolo, per es. quelli che concorrono in A ed in B. Ora, la polare di un punto rispetto ad una coppia di rette è una retta unica ed individuata che passa pel loro punto di concorso ; e reci- procamente, data nel piano una trasversale, non esiste in questa che un punto unico ed individuato il quale abbia per polare una data retta, passante pel punto di concorso anzidetto. Dunque, mentre il punto si muove sulla trasversale, le sue due polari gene- rano due fasci projettivi, e quindi s'intersecano lungo una conica passante per i punti A e B. Questa conica passa anche per C, giacché essa avrebbe potuto essere generata egualmente dalle due coppie di lati opposti che concorrono in B ed ia C. Consideriamo specialmente in questa conica i punti che corrispondono a quelli nei quali la trasversale è segata dai lati del quadrangolo. La retta oi ossia Ai sega la trasversale in un punto O, epperò la polare di questo punto rispetto alla coppia di rette Ai, Ai coincide colla stessa Ai. É chiaro dunque che il punto d'incontro delle due po'ari di Q è il conjugato armonico di O rispetto al segmento oi : dunque la conica passa per questo punto conjugato arn^onico. Lo stesso evidentemente si può dire d'ogni altro segmento analogo. Le proprietà dimostrate nel precedente articolo ed al principio di questo sono dunque una facile ed immediata conseguenza del teorema surricordato. 5] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 53 IV. La conica dei nove punti incontra la trasversale (i) in due punti E ed E' pei quali passano infinite altre coniche. Sia A' una qualunque di queste. Se rappresentiamo coll'equazione (3) >.x-|- r^.y -f- V- = o la seconda corda comune ad essa ed alla conica dei nove punti, l'equazione di K sarà (4) '«\V^ + mh'-~^x -f- nrxy + Q x + my + ni) (l.x -f [J.y -j- v-) = o . È poi evidente che se la conica A' dovesse essere tangente alla conica dei nove punti, basterebbe che quest'ultima fosse toccata dalla retta (3), al che si richiede che sia soddisf;itta la condizione (5) a |/a -j- h \''m^. -j- e \'li^ =: o . Ciò posto è noto che fra le infinite coniche K passanti pei punti fissi E ed E' sono, in generale, quattro che toccano i tre lati del triangolo 123, ossia le tre rette rappresentate dalle equazioni b ' e e ' a a ' b siccome dunque queste quattro coniche devono, per sifiatta loro proprietà, potersi rap- presentare con equazioni della forma : ^■(i+t)+-"'(t+7y+-^iT+Ty ossia ,., /M—NV, , /N—LV, . /L — MV, . così le L, M, N, 7, ;/, v poti'anno sempre determinarsi in modo che le due equazioni (4) e (6) risultino fra loro identiche, ciò che consegue anche dal fatto che il numero di queste quantità è uguale a quello delle condizioni cui esse devono soddisfire. Sup- poniamo dati efl"ettivamente alle anzidette sei quantità i valori atti a rendere identiche 54 IN'TORXO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. [5 le due equazioni (4) e ((?) ; dal confronto dei coefficienti di .v", y', ;^^ in queste due equazioni si otterranno allora le seguenti relazioni identiche : /: (M — K y (N — LV [L — MV = i~^r-)' "''^• = (-T-)' '■■■' = (-7-) • Ora in virtù di queste relazioni l'equazione (5) è soddisfatta identicamente, dun- que le quattro coniche K passanti per i punti E ed E' ed inscritte nel triangolo 123 sono toccate dalla conica dei nove punti. È chiaro che lo stesso ha luogo per i tre altri sistemi di quattro coniche passanti per gli stessi punti E, E' ed inscritte nei triangoh 023, 031, 012. Dunque: Le sedici coniche passanti per i punii comuni ad una retta arbitraria ed alla conica dei nove punti corrispondente ad essa ed inscritte nei quattro triangoli formati da sci lati del quadrangolo completo, so?io tutte toccate dalia conica dei nove punti *). V. Le coordinate X, Y, Z del centro armonico dei quattro vertici del quadrangolo rispetto alla trasversale (i) sono date, in forza delle equazioni (b) dell'Art. I, dalle formole : ^-"(t-i + i + i)' dove b^, /;, , b^, h. sono i valori che riceve il trinomio Ix -\- iny -\- nx^ per la so- stituzione delle coordinate dei punti o, i, 2, 3. Ponendo H=bJ:jK^ + bXÌKÌK^ + b.J^^ + bJ,:), si possono alle formole precedenti sostituire queste altre : X^a[H-2 /;„ (/;„ - 2 ,/, /-) (/;„ - 2 n e)] , Y^b[H-2bSK-2nc) (b^-2la)], Z^c[H- 2hXK - 2la) (/;„ -2;«/0] • *) È questo il teorema che, per il ciso particolare del quadrangolo ortogonale e della trasversale a distanza infinita, era stato dato da Feuerbach priiiia che da Steiner. j] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 55 Ora si trova facilmente H ^^ — 2 /;_; -j- 8 ì>^ (lìi b . ìic -}- Il e . l d -\- l a . m h) — 8Ia . inb . tic ; dunque sostituendo si ha anche : X^4Ìcf [hXh^-2Ìa)-2mb.uc], r ^ 4 IH /r [b^ (/;^ — 2 in /') — 2i!C . I a ], Z=4iir [b/J}^ —2,1 e) — 2la . mb], ossu X = / a' (— r a' + ;;;,= b' -|- ir r) , Y ^ III /r ( /' cr — ;/■/' b' -f- "' e') , Z^nc' ( l' cV -\- III' b' — ;;"(■"). Se ora indichiamo con X', Y', Z' le coordinate del polo della trasversale (i) rispetto alla conica dei nove punti, abbiamo le equazioni Y' ,Z' Z' X' 3 A" , y da cui si cava X' = la' (— r-ir + iirb' + ire'), Y' = iiiy-( F .r — iir y -\- ir r) , Z' ^ ne' ( /' if -j- IH' b~ — /;■ 1;^) . L'identità di queste formole colle precedenti ci porge il seguente teorema : Il palo di una retta del piano rispetto alla conica che ad essa corrisponde è il centro annonico dei qiintlro vertici del quadrangolo rispetto alla trasversale medesima. VI. Supponiamo che la trasversale (i) sia la retta a distanza infinita: cioè poniamo 1 : m : n ^= sen A : sen B : sen C . In questo caso la conica dei nove punti risulterà rappresentata dall'equazione ^ X rt^ sen A , P sen B , c^ sen C (') ^ \ Z h — : — = 0; ^ } < 56 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. [5 inoltre i sei punti armonici esistenti nei sei segmenti diverranno i rispettivi loro punti di mezzo ; il polo della trasversale rispetto a qualunque conica del piano diverrà il centro di questa, e finalmente le sedici coniche di cui si è parlato nell'Art. IV, avendo in comune colla conica dei nove punti due punti situati a distanza infinita, diventeranno simili e similmente poste rispetto ad essa. Quindi le proprietà precedentemente dimo- strate si modificheranno in corrispondenza e daranno luogo all'ultimo dei teoremi ri- portati dal sig. Trudi alla pag. 32 del citato Giornale di Napoli (volume I). Se inoltre si supporrà a = b = e, il quadrangolo diventerà ortogonale, perchè i suoi vertici saranno i centri delle quattro circonferenze inserire nel triangolo fonda- mentale. L'equazione (7) assumerà allora la forma : sen A , sen D , sen C X y ^ ossia rappresenterà la circonferenza circoscritta al triangolo fondamentale : e siccome i punti comuni ad essa ed alla trasversale saranno i due punti circolari all'infinito, che apparterranno pure alle sedici coniche inscritte, così queste si trasformeranno in altrettante circonferenze, e si avranao pjr tal guisa i teoremi relativi al circolo dei nove punti, teoremi che ci dispensiamo dal trascrivere qui. Dal teorema dimostrato nell'articolo precedente, nelle ipotesi fatte or ora sui va- lori di /, in, il, a, h, e si deducono, come corollarj, questi altri : // ceiilro della conica luogo dei centri di tulle le coniche circoscritte ad un quadran- golo e il centro di gravità dei vertici di questo. Il centro del circolo circoscritto ad un triangolo t il centro di gravità dei quattro centri dei circoli inscritti nel medesitno triangolo. Se si supponesse a = b = e senza supporre in pari tempo 1 : ni : n ^ sen A : sen B : sen C , si avrebbero dei teoremi relativi al quadrangolo completo ortogonale, più generali di quelli enunciati dal sig. Trudi nel luogo citato. Si può anche osservare che, lasciando arbitrario il quidrangolo, cioè lasciando indetcrminati i rapporti a : b : e, si possono sempre determinare i rapporti l : in : n in modo che si abbia la' : nib' : ne' ^= sen A : sen B : sen C , il che è quanto dire che, qualunque sia il quadrangolo completo che si considera, esiste sempre una retta i cui poli rispetto alle infinite coniche circoscritte al quadrangolo stesso stanno nella circonjerenxa circoscritta al triangolo determinalo dai punti di concorso delle ire coppie di lati opposti. Per costruire questa retta, la qude è rappresentata dall'e- 5] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 57 quazione sen A , sen B , sen C = o, si dividano esternamente i Liti B C, CA, AB del triangolo fondamentale nei punti A', B' , C rispettivan-.entc, in modo che BA' ■.A'Cr= — r -.Ir, CB':B'A a' -.r, AC : C'B = — y- : a\ I punti A', B' , C cosi determinati risultano, pel teorema di Ceva, situati in linea retta, e si dimostra facilmente che questa linea retta è precisamente quella rappresen- tata dall'equazione precedente. II secondo teorema dimostrato nell'Art. Ili dà luogo esso pure ad interessanti corollarii. Indichiamo con E, E' i punti in cui la conica dei nove punti incontra la trasver- sale, e con H, K quelli in cui questa medesima retta è incontrata da una qualunque delle coniche circoscritte al quadrangolo. Per il teorema invocato, i punti E ed E' sono conjugati armonicamente coi punti H e K, per cui la retta polare di H rispetto alla conica dei nove punti passa per A" e la retta polare di A' passa per H. Denominiamo / il punto d'iacontro di queste due rette polari e quindi anche delle tangenti a questa conica in E ed E'. Il triangolo IHK è conjugato a sé medesimo rispetto alla conica dei nove punti. Conduciamo inoltre le due tangenti in H e K alla conica circoscritti al quadrangolo e denominiamo / il loro punto d'incontro (che giace nella conica dei nove pu.iti, per essere il polo della trasversale rispetto alla stessa conica circoscritta). Ciò posto trasportiamo la trasversale a distanza infinita. Il punto / diventerà il centro della conica dei nove punti, e le due rette IH, 1 K diventeranno due diametri conjugati della medesima. Cosi il punto / diventerà il centro della conica circoscritta, e le rette ] H, J K, tangenti ad essa nei due punti ch'essa ha a distanza infinita, di- BELTRAMI, loniu I. 58 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. [j venteranno i suoi assiaroti. Per la proprietà dunque che hanno i punti H t K della trasversale di appartenere, l'uno alle rette IH e J H, l'altro alle rette IK e J K, è resa manifesta la verità del seguente teorema : Gli assinloii d'ogni conica circoscritta ad un quadrangolo sono paralleli a due dia- metri conjugati della conica luogo dei centri di tutte le coniche circoscritte al quadrangolo stesso. Ma ha luogo anche un'altra proprietà che è come la reciproca della precedente. Conduciamo infatti le rette JE e JE', che risultano conjugate armoniche rispetto alle J H, J K. Quando la trasversale passa a distanza infinita, queste due nuove rette, essendo conjugate armonicamente coi due assintoti della conica circoscritta, diventano due suoi diametri conjugati. Ora, essendo i punti E, h' quelli in cui la cornea dei nove punti è toccata dalle tangenti condotte ad essa dal punto /, queste due tangenti, quando la trasversale passa airinfini;o, diventano i suoi assintoti, epperù le rette / E, J E' diventano allora parallele a questi assintoti medesimi; dunque: le due rette con- dotte dal centro di ciascuna delle coniche circoscritte ad un quadrangolo parallelamente agli assintoti della conica luogo dei centri di tutte le coniche analoghe, sono due diametri con- iugati della conica circoscritta. Ossia, in altre parole : Ciascuna dAle coniche circoscritte ad un quadrangolo ha una coppia di diametri con- iugati paralleli agli assiidoti della conica luogo dei loro centri. VII. Dalle cose esposte precedentemente risulta che, dato in un piano un quadrangolo completo, ogni altra retta del piano stesso dà luogo ad una corrispondente conica, circoscritta al triangolo formato dai punti d'incontro delle tre coppie di lati opposti del quadrangolo ; e, reciprocamente, che ogni conica circoscritta a questo triangolo può considerarsi come corrispondente ad una retta unica ed individuata del piano. Le equa- zioni (i) e (2) insegnano a trovare l'equazione della conica quando è data quella della retta, o l'equazione della retta quando è data quella della conica. Inoltre è facile dimostrare che quando una retta gira intorno ad un punto fisso, anche le coniche corrispondenti passano tutte per un medesimo altro punto fisso. In- fatti, se la trasversale (i) va girando intorno al punto (oc, ji, y), le quantità /, m, n varieranno continuamente rendendo sempre identi:a l'equazione / y. -j- ìli ''.i -j- H Y = 0 . Ora quest'identità può scriversi nel modo seguente: 5] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 59 / a'' , m b ne -^ J ^ e questa, paragonata coli'equazione (2), mostra appunto che le coniche corrispondenti passano tutte per il punto |— , — - , — j. D'altronde, avendo queste coniche già in comune tre punti, non possono avere altre intersezioni. Nello stesso modo si dimostra che quando più coniche circoscritte al triangolo fondamentale hanno tutte in comune un quarto punto (a, '^, y), anche le rette corrispondenti passano tutte per un mede- suno punto I _,_,_» . Abbiamo qui dunque una correlazione di punti la quale procede con questa legge, che ad ogni punto del piano corrisponde un altro punto unico ed individuato del piano stesso, e ad ogni retta corrisponde una unica ed individuata conica circoscritta ad un triangolo invariabile di forma e di posizione, e reciprocamente. Questa correla- zione rientra in quella più generale che venne già discussa da parecchi geometri, in particolare da Steiner *), da Magnus **) e più recentemente dal chiar.™" sig. prof. SciiiAPARELLi ***). Noi qui ne ricercheremo direttamente le principali proprietà. Rappresentando con a, [i, y; a', 'y, y' le coordinate di due punti corrispondenti, le tormole per la trasformazione sono le seguenti semplicissime : (7) y.x' -J^li' -.'('f = a':F: r, e la retta congiungente i due punti anzidetti è rappresentata dall'equazione (8) y. (y f - r r) X + li (e- yr - a' f) )' + T 0'^ ^ - b' ^-0 v = 0. Dalle equazioni (7) si deduce innanzi tutto che i soli punti del piano che corrispon- dano a sì medesimi sono i quattro vertici del gicadrangolo dato. Per questo motivo questi quattro punti potranno anche denominarsi punti doppi della trasformazione. In ogni linea retta non può esistere più d'una coppia di punti corrispondenti (reali od immaginar]). Essi infatti, dovendo giacere tanto nella retta quanto nella conica ad essa corrispondente, non possono essere che quelli in cui la retta medesima è in- contrata dalla conica, punti dei quali uno è il corrispondente dell'altro. Ciò posto, se la retta avesse la proprietà speciale di essere toccata dalla conica corrispondente, in *) Syslematische Entivickeliing der Abhàngigkeit geoiiielrisctier Geslallen von eìnander, Berlino, 1852, n° 59- *•) Jounwl fùr die rcine uiid angcwandte Mathematik, tomo Vili (1852), pag. 51. •**) Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino, serie 2', tomo XXI (1864), pag. 227. 60 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. [5 essa esisterebbero due punti corrispondenti raccolti in un solo, ossia essa conterrebbe un punto corrispondente di se medesimo. Ma qucsa proprietà non appartiene che ai vertici del quadrangolo, dunque: affinchè una retta del piano sia toccala dalla conica che le corrisponde, è necessario {e sufficiente') ch'essa passi per uno dei quattro vertici del quadrangolo, nel qual caso il contatto ha luogo in questo medesimo punto. Ciò risulta anche dall'osservare che la condizione per tale contatto si deduce dal- l'equazione (5) ponendo ;, = /, y. = ;;;, v = n, epperò è -{- al -{- h ni -\- cn =^ 0, la quale, perchè sia soddisfatta, richiede che la retta (i) passi per uno dei vertici del quadrangolo. La tangente nel punto (x^, y^, ;^J alla conica corrispondente alla trasversale (i) è rappresentata dall'equazione la' , ìnb' , nc^ •^o Jo \o Se dunque supporremo che la trasversale passi per il punto (a, [i, y), e che quindi la conica corrispondente passi per il punto I — ' "P' Tt) ' i'tqU'^zione della tan- gente a questa conica in quest'ultimo punto sarà (9) ^^ + ^^ + 7^^^°- Se ora noi consideriamo questa retta come una nuova trasversale, è chiaro che ad essa corrisponderà una conica passante per il punto (a, fi, y), e l'equazione della tangente a questa conica in questo medesimo punto si ricaverà dalla precedente mu- j , or • '''■^ "'''^^ f^l' ^' ^' '^' e- • tando /, m, n, v., p, v ordinatamente m — r-, — pr-, — 5- > — , tt ^ — • Si ritorna ''''"' fl /> e a ' [i y in tal modo ad ottenere la retta / X -j- /;/ j -j- /; :^ = o , cioè la stessa trasversale primitiva. Dunque : Se nel piano si fissa un punto (a, |i, y), e per esso si fa passare una retta qua- lunque, la conica corrispondente passa per il punto 1 — , —, — |, corrispondente di {."■) {^> y)) '-''^ /-"^ '^'' pi-''' tangente una retta alla quale, considerata come trasversale, cor- risponde una conica passante per il punto (y., [i, y) e tangente in esso alla trasversale primitiva. E manifesto che questa seconda conica è sempre la stessa qualunque sia il qua- 5] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 6l drangolo i cui lati opposti si incontrano nei tre vertici del triangolo fondamentale, poiché dovendo passare per qnattro punti dati, e dovendo in uno di questi toccare una retta data, essa risulta pienamente dererminata. Infatti dalla (9) deducesi facilmente che la sua equazione è X ' y i dove non entrano punto le ii, b, e. Se si riflette ch.e nel teorema precedente il punto (z, ^, y) può essere uno qua- lunque di quelli della trasversale primitiva, dal teorema stesso si deduce facilmente il seguente : Se h ìhJÌiiììc tangenti di una stessa conica circoscritta al triangolo fonda mentale si riguardano come altrettante trasversali, ad esse corrispondono infinite coniche tutte tangenti ad una medesima retta, che è quella cui corrisponde la conica data. Come caso particolare di questo teorema citeremo il seguente. Alla retta a di- stanza infinita corrisponde, come abbiamo veduto, la conica a'' sen A , h' sen B , c' sen C = 0- X y l^ Dunque alle infinite tangenti di questa curva corrisponderanno infinire coniche che sa- ranno tutte toccate dalla retta a distanza infinita, ossia che saranno tutte parabole ; ne è diffìcile dimostrare che alle rette che incontrano questa curva in due punti reali e distinti corrispondono iperboli, mentre a quelle che non la incontrano corrispondono ellissi. I due fasci di rette formati, l'uno dalle infinite trasversali condotte per il punto (''-) r*) v)) l''ilfi'0 dalle infinite tangenti condotte per il punto l — , -r- , -y- j alle co- niche corrispondenti, sono evidentemente projettivi. Dunque il luogo geometrico dei punti d'incontro dei raggi corrispondenti di questi due fasci dev'essere una linea di second'ordine. Per averne l'equazione è manifesto che basterà eliminare /, m, n, fra le equazioni : l X -\- 11^ y -\- M\.= o, / a -\~ ni [i -j- n y = 0 , la prima delle quali è quella della tangente, la seconda quella della trasversale, mentre la terza esprime che qucst'ultim.a retta passa costantemente pel punto (k, fi, y). Il ri- 62 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. [5 saltato dell'eliminazione è il seguente : ^ ^ X y :ì ' equazione che rappresenta evidentemente la conica corrispondente alla retta (8). Dunque: Le infinite trasvcrsaìi passanti per un punto fisso sono incontrate dalle tangenti con- dotte, nel punto corrispondente, alle coniche che loro rispettivamente corrispondono, in una serie di punti il cui luogo geometrico è la conica corrispondente alla retta che congiunge il punto fisso col suo corrispondente. Vili. La proprietà più importante della presente trasformazione è la seguente. Abbiamo già rammentato che le rette polari di un medesimo punto rispetto al sistema delle infinite coniche circoscritte ad un quadrangolo passano tutte per un me- desimo altro punto. Ed il luogo dei poli di una retta rispetto al sistema anzidetto è una stessa cosa col luogo dei punti in cui concorrono le infinite polari dei punti della retta stessa, siccome si dimostra facilmente colle formole dell'Art. III. Ora fra le in- finite coniche che si possono circoscrivere ad un quadrangolo sono da annoverarsi le tre coppie di rette che costituiscono i lati opposti del quadrangolo stesso. Dunque : Se da un punto del piano si conducono le rette ai tre punti di concorso dei lati op- posti del quadrangolo, e di queste si determinano le conjugalc armonich: rispetto ai lati passanti pei rispettivi punti di concorso, le tre nuove rette cosi ottenute passano per un solo e medesimo punto, che é il corrispondente del primo. Se il primo punto si muove nel piano descrivendo una retta, il punto determinato nel modo anzidetto descrive una conica circoscritta al triangolo fondamentale, e questa conica non è altro che la coidca corrispondente a quella retta *) . Tutti i punti di una retta condotta per il punto di concorso di una coppia di lati op- posti del quadrangolo hanno i loro corrispondenti in un'altra retta, passante per il mede- simo punto e conjugala armonicamente colla prima rispetto ai due lati del quadrangolo. Sieno ora M, M' due punti corrispondenti del piano, e conducansi le rette //A/, *) Da questa proprietà risulta, per es., il seguente teorema, quando il quadrangolo è ortogonale e quando la retta è a distanza infinita : Se per i tre vertici di un trianoolo si conducono tre rette p.irullele, indi tre nuove rette formanti colte bissettrici degli angoli del triangolo angoli rispettivamente eguali a quelli delle precedenti, queste tre ultime rette si incontrano in uno stesso punto, situato nella circonferenza circoscritta al triangolo. j] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE Q.UISTIONI, ETC. 6^ A M' che li congiungono con uno dei vertici del triangolo fondamentale. Dal prece- dente teorema consegue che tutti i punti della retta A M hanno i loro corrispondenti sulla retta A M' e reciprocamente ; esse inoltre sono coniugate armonicamente rispetto ai due lati del quadrangolo concorrenti in A, dunque : 5^ uno qualunque dei vertici dei l rinugolo joudanientale si co)i<;iuuge nicdianle rette con uii numero qualsivoglia di punti del piano, corrispondenti fra loro a due a due, si deleruiiua un fascio in involu:^ìom. Le rette doppie di questa involuzione sono i due lati opposti del quadrangolo concorrenti in quel punto, e soiuì rette corrispondenti di essa quelle che passano per due punti corrispondenti. In altre parole le rette doppie sono quelle che vanno dal vertice del triangolo ai quattro punti doppi del piano, punti che sono a due a due in linea retta col vertice medesimo. Mediante il teorema precedente si vede facilmente quali sieno i punti corrispon- denti di quei punti del piano per i quali una o due delle coordinate son nulle, ciò che non bene risulta dalle formole (7). È chiaro infitti che : 1° A ciascun punto di uno dei lati del triangolo fondamentale corrisponde il vertice opposto, giacché l'angolo di due lati del triangolo è diviso armonicamente dai due lati del quadrangolo concorrenti nel suo vertice. 2° A ciascun vertice corrisponde un punto arbitrario del lato opposto. Da ciò segue che ad ogni retta passante per un vertice A del triangolo fonda- mentale corrisponde propriamente il sistema di due rette. Una è quella che si men- ziona in un precedente teorema, l'altra è il lato BC, opposto al vertice A per il quale è condotta la retta. Ma siccome questa seconda retta non è che il luogo dei punti corrispondenti all'unico punto A, cosi se si fa astrazione da questo, si può ritenere che il luogo dei punti corrispondenti ai punti della retta sia una retta unica, deter- minata come s'è detto. V IX. In virtù del teorema relativo all'involuzione delle rette condotte da un vertice del triangolo a più coppie di punti corrispondenti, diventa sommamente facile risolvere qualunque problema relativo alla ti'asformazione che abbiamo di mira. Ed intorno a questa fa d'uopo osservare primieramente ch'essa può considerarsi sotto due aspetti, secondo che la si riguardi come generata geometricamente coU'ajuto del quadrangolo, o come definita analiticamente dalle equazioni (7). Tanto nell'una ipotesi quanto nell'altra essa dipende da otto costanti arbitrarie che sono, nel primo caso le coordinate dei quattro vertici del quadrangolo, nel secondo i parametri delle rette che si assumono come lati del triangolo fondamentale e i due rapporti a" :/r :r. 64 INTORXO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE Q,UISTION[, ETC. [j Noi prescinderemo ora dalla considerazione del quadrangolo, che abbiamo fin qui tenuta di vista, e supporremo che la trasformazione sia determinata dalla natura del triangolo fondamentale e da due punti del piano assunti come reciprocamente corrispon- denti. Le coordinate di questi punti individuano infatti, per mezzo delle (7), i valori dei rapporti a':b':c' . Osserveremo anzi che in tale ipotesi si ha una trasformazione più generale della prima, in questo senso che, se le a^ , b' , c^ risultassero avere va- lori negativi, la trasformazione stessa non si potrebbe ottenere da un quadrangolo reale. Chiamiamo E, E' i due punti assunti come corrispondenti. A, B, C \ tre vertici del triangolo fondamentale. Le rette AB, AC, A E, y^£' determinano un'involuzione di cui si possono determinare i raggi doppi (se reali). Altrettanto dicasi delle rette B C, B A, B E, BE'. Le quattro intersezioni di questi raggi doppi saranno i quattro vertici del quadrangolo generatore della trasformazione. La condizione che deve aver luogo affinchè il detto quadrangolo sia intieramente reale è che tutti e tre i lati del triangolo fondamentale, prolungati se occorre, incon- trino la retta E E' nel tratto compreso fra E ed E', o che nessuno di essi la incontri nel detco tratto. Negli altri casi, delle tre involuzioni una sola ha i raggi doppi reali, mentre le altre due li hanno immaginari. Perciò il quadrangolo generatore ha sempre almeno due lati (opposti) reali: ma i suoi vertici o son tutti reali o son tutti immagi- nari. Tutto ciò è una facile conseguenza dei nod criteri relativi alla reciproca dispo- sizione delle coppie di raggi corrispondenti nei fasci in involuzione. Supponiamo ora dato nel piano un punto F. Il suo corrispondente F' sarà pie- namente individuato. Per trovarlo si conducano le rette A F, B F e sì determini il punto d'incontro della sesta retta dell'involuzione AB, AC, A E, A E', A E colla sesta retta dell'involuzione BA, B C, BE, BE', B F. Questo punto d'incontro sarà il cer- cato punto E'. Abbiansi due coppie di punti corrispondenti E ed E', F ed E'. Conduciamo le rette EF', E' F che si incontrano nel punto 0, e le rette E F, E'F' che si incontrano nel punto 0'. Otteniamo cosi un quadrilatero completo i cui lati sono EF', E' E, O'F, O'F'. È noto che, tirando da un punto qualunque P le rette che vanno ai sei vertici di questo quadrilatero, si ottiene un fascio in involuzione, i cui raggi corrispondenti sono le tre coppie di rette PE e PE', PF e PF', PO e PO', che vanno dal punto P alle tre coppie di vertici opposti del quadrilatero. Se si fa dunque coincidere il punto P successivamente con due vertici del triangolo fondamentale, si vede chiara- mente che 0 ed 0' sono punti corrispondenti. Da ciò segue che dei sei vertici del quadrilatero completo in discorso, tre situati in linea retta haiino per corrispondenti i tre rimanenti. Ma i tre primi, appunto per j] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 65 essere in linea retta, devono avere i loro corrispondenti in una conica circoscritta al triangolo fondamentale ; dunque : Date due coppie di punii corrispondenti, congiungcndo ciasamo dei punti di una coppia coi due punii dell'altra, si hanno quattro rette intersecantisi in due nuovi punti. Questi due punti sono fra di loro corrispondenti, e ciascnuo dei triangoli formali da tre delle quattro rette anzidette t inscrivihile in una conica circoscritta al triangolo fondamentale, che ha per corrispondente la retta ritnaneìite. Supponiamo descritta la conica che passa per i tre punti E', 0, F' e per i vertici del triangolo fondamentale, ossia, in altre parole, la conica corrispondente alla retta O'EF. Se, tenendo fissa quest'ultima retta, si farà ruotare la O'E'F' intorno al punto 0', i puati E', F' muteranno, del pari che i loro corrispondenti E ed F; ma le rette EF', E' F passeranno costantemente per il punto O in forza del teorema pocanzi dimostrato. Così, per determinare i punti E, F corrispondenti dei punti d'in- tersezione E', F' della segante mobile colla conica fissa, basterà condurre, per ogni posizione della segante mobile, le rette E'O, F'O fino ad incontrare la retta fissa nei punti cercati E ed F. Si può anche supporre che la segante mobile E' F' giri intorno al punto E', cor- rispondente di E. Allora, per avere il punto corrispondente di 0', intersezione di essa segante mobile colla retta fissa, basterà condurre la F' E, che segherà la conica nel cercato punto 0, e per avere il punto corrispondente di F' sua intersezione colla co- nica fissa, basterà condurre la E' 0 che incontrerà la retta fissa nel cercato punto F. Sieno E, F, G, H quattro punti in Hnea retta. E', F', G', H' ì loro corrispon- denti, situiti in una conica circoscritta al triangolo fondamentale. Le quattro coppie di rette JE ed A E', AF ed AF', AG ed AG', AH ei AH', sono raggi corrispon- denti di un'involuzione, e però il rapporto anarmonico delle quattro rette A E, AF, AG, AH b eguale al rapporto anarmonico delle quattro rette A E', AF', AG' AH'. Poiché dunque A e un punto della conica in cui stanno i quattro punti E', E', G', H' possiamo formulare il seguente teorema : Il rapporto anarmonico di quattro punii situati in linea retta equivale al rapporto anar- monico dei quattro punti corrispondenti, situati nella conica che corrisponde alla reità. Da queste varie osservazioni emerge omai cliiaramente la legge di corrispondenza fra i punti di una retta e gli omologhi della conica corrispondente. X. Procediamo ora ad indicare le costruzioni geometriche lineari, mediante le quali si possono tracciare per punti i luoghi corrispondenti a luoghi dati nel piano. BELTRAMl, tOmO I. 0 66 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIOXI, ETC. [5 E primieramente supponiamo che si voglia costruire la conica corrispondente alla retta che passa per due punti dati, E ed E', fra loro reciprocamente corrispondenti. Il teorema dimostrato alla fine dell'Art. VII si può enunciare anche nel modo seguente : Se E ed E' sono due punti reciprocamente corrispondenti, K' un punto qualunque della conica che passa per A, B, C, E ed E', la conica corrispondente alla retta K'E è quella che passa per A, B, C e che tocca in E' la retta K'E', e viceversa la conica corrispon- dente alla retta K'E' e quella che passa per A, B, C e che tocca in E la reità K'E. Queste due coniche s'incontrano in un punto K della retta E E', il quale è il corrispondente del punto K'. Da ciò risulta per converso che : Dati due punti E ed E', fra loro reciprocamente corrispondenti, ed un punto qualun- que K della retta che li unisce, il punto K', corrispondente di K, è l'interse:iione delle due tangenti condotte in E ed E' rispettivamente alle due coniche circoscritte al quadrangolo ABCK e passanti, l'ima per il punto E, l'altra per il punto E'. Ciò posto, sia AB C 'A triangolo fondamentale, il ed £' i due punti assunti come corrispondenti, K un punto qualunque della retta che li unisce. Sia inoltre L il punto in cui la retta E E' è incontrata dalla retta AB. Or ecco come si costruirà il punto corrispondente di A'. Si tirino le rette A E, A E' che incontrano in iV, h\ la retta C K. Dal punto L si tirmo le rette L N, L N^ che hicontrano in M, M^ la retta B C. Finalmente si ti- rino le rette ME, M^E', che s'incontrano in K'. Quest'ultimo punto è il cercato. Fa- cendo percorrere al punto A' la retta E E' , il punto A'' descriverà la conica corrispon- dente a questa retta. Per provare l'esattezza della precedente costruzione, basta dimostrare che le rette EK', E' K' sono tangenti in E, E' alle coniche descritte rispettivamente per i punti A, B, C, K, E e per i punti A, B, C, K, E'. Per tal uopo si consideri la figura AB CK E come un esagono inscritto in una conica, esagono del quale due vertici sieno raccolti nel punto £". Allora A è il punto d'incontro dei due lati opposti .^iJ, AA" ed N è quello dei lati opposti CK ed A E; quindi la direzione del lato infinitamente pic- colo che si suppone esistente in E deve, per il teorema di Pascal, incontrare il lato opposto B C in un punto della retca A A\ Ora M ù il punto d'incontro di questa col Iato B C, dunque la retca ME rappresenta la direzione del lato infinitamente piccolo anzidetto, ossia è la tangente in E alla conica passante pei cinque punti A, B, C, K, E. Analogamente si dimostra che M _ A' è la tangente alla conica ABCK E'. Per costruire il punto corrispondente di un punto A'' situato fuori della retta A A', si immagini tracciata la conica AB CE E', e condotte le rette A'' A, K'E' che incon- treranno la curva in due nuovi punti P e Q. Sì tirir.o le rette A A', QE. La conica 5] IXTORXO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. éy circoscritta id A B C e tangente in E' alla retta PE' è, come abbiamo dimostrato, cor- rispondente della retta PK', e la conica circoscritta ad ABC t tangente in falla retta Of è del pari corrispondente della retta QK'. Dunque il punto K in cui s'intersecano queste due coniche è evidentemente il corrispondente di A". Di qui consegue, recipro- camente, che se si circoscrivono al quadrangolo ABCK due coniche, l'una passante per E, e l'altra per E', le loro rispettive tangenti in E ed E' incontreranno di nuovo la conica AB CE E' in due punti Q. t P tali, che le rette PE e QE' andranno ad intersecarsi nel cercato punto K', corrispondente di K. Da ciò emerge una costruzione analoga alla precedente, benché più complicata, per determinare il punto K'. Sieno L, H, H^ i punti d'incontro del lato AB colle rette E E', KE, KE'. Si tii-ino le rette A E, A E' che incontrano la CiiT in N ed A',, poscia le HN, H^N^ che incontrano 5 C in M ed M, rispettivamente. Le ME, M, £' sono le cercate direzioni delle tangenti in E ed E'. Ciò si dimostra collo stesso ragionamento di pocanzi. Per determinare sulle due rette cosi ottenute i punti P e Q, sì tirino le rette LM, LM^, che incontrano CE\ CE m R ed J?, rispettivamente. Il punto Q sarà l'intersezione di ME con AR, ed il punto P quella di M^E' con AR^, per cui con- dotte le PE', OE il loro punto d'incontro A"' sarà il cercato. Infatti consideriamo, per esempio, il punto Q. Questo punto dev'essere l'intersezione della retta ME colla conica AB CE E'. Ora nell'esagono inscritto in questa conica ed avente cinque vertici nei punti A, B, C, E', E ed il sesto vertice in un punto della retta ME, i due lati opposti AB ed E E' s'incontrano nel punto L, gli altri due lati parimenti opposti BC ed ME si incontrano nel punto M. Dunque anche il lato CE' dev'essere incontrato dal sesto lato passante per A, di cui è incognita la direzione, nel punto R in cui esso incontra la retta L M. Ne risulta che il lato incognito è A R, ed il sesto vertice Q è i! punto in cui AR sega la retta ME. Per conseguenza Q è il punto comune alia retta ME ed alla conica passante per i cinque punti A, B, C, E ed E'. Nello stesso modo si dimostra la proprietà analoga per il punto P. XI. Mediante la costruzione precedente si potrà, data nel piano una curva d'ordine qualsivoglia, descrivere linearmente per punti la curva ad essa corrispondente. È facile dimostrare che, se la prima curva è dell'ordine n, la seconda non può essere d'ordine maggiore di 2 n. Infatti sieno p, q, r ì massimi gradi a cui entrano le .Y, y, ::^ rispettivamente nell'equazione della curva data. 68 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE aUISTIONI, ETC. [j Se, dopo aver sostituito in essa — ^ , — , - — , al posto di .v, y, :^, si moltipli- cherà l'equazione trasformata per -v^)'';;.' è chiaro che tutti i divisori scompariranno e che il risultato sarà del grado p-\-g-\-r — «• Ora il massimo valore degli esponenti p, q, r è il, dunque il n.assimo valore dì p-\-q-\-r — n è in. Ma per meglio vedere da che propriamente dipenda l'ordine della curva trasfor- mata è opportuno ricorrere alle seguenti considerazioni. Sia r la curva data dell'ordine n, R una retta qualunque, ì" la curva corrispon- dente di r, K' la conica (circoscritta al triangolo A B C^ corrispondente di R. Siccome il lato B C Iia ;/ punti comuni con Y, a ciascuno dei quali (Art. Vili) corrisponde A, così la curva T' passa ;/ volte per A. Altrettanto si dica degli altri due vertici del triangolo fondamentale. La curva V è inconu'ata da R in ;/ punti, ai quali corrispondono altrettanti punti comuni a V ed a R'. Ma queste due ultime linee passano per ciascun vertice del trian- golo fondamentale l'una n volte, l'altra una volta, dunque i vertici di questo triangolo tengono luogo di 3 ;; intersezioni di r' con R' . Dunque il numero totale delle inter- sezioni di queste due ultime linee è 3 ;; -|- h = 4;;, ed essendo R' di 2° ordine, 1" sarà dell'ordine 2 u. Supponiamo che la data curva F passi oc volte per A, fi volte per B, y volte per C. Allora la curva F' si decomporrà in a rette coincidenti in B C, fi rette coincidenti in CA, -{ rette coincidenti in AB, ed una curva dell'ordine 211 — (7. -|~ 1-' ~l~ v)- ^^ lato B C incontra la curva F in ;/ — ((i -\- y) punti, se si fa astrazione dai punri mul- tipli B e C, ed a questi ii — (1^ 4" v) punti corrisponde il punto A, come punto mul- tiplo dell'ordine n — (1^-1- y) P'^'' ^^ curva F'. Dunque questa passa h — (Ji -j- y) volte per A, n — (y -f- *) volte pjr B, n — (a -|- ?■) ^'olt*^ P^r C. L'ultimo teorema dell'Art. VII può enunciarsi così : Data un.i rdtu R ed iti essa mi pillilo p, per avere la tangente alla coii,ca corrispon- dente R' nel punto corrispondente p', basta trovare il secondo punto d'interse:{ione q delia retta R colla conica corrispondente alla retta pp'. La retta qp' è la tangente cercata. Se il punto p ò quello in cui la retta R incontra uno dei lati del triangolo fon- damentale, per es. B C, il punto p' diventa il vertice A opposto a questo lato, e la conica corrispondente alla retta pp' è surrogata evidentemente dalla retta conjugata armonica di pp' rispetto ai lati del quadrangolo generatore concorrenti in A. Questa conjugata armonica è dunque la tangente nel vertice A alla conica R'. Se p fosse un punto della curva F ed R la tangente a questa in quel punto, è chiaro che la retta determinata nel modo ora detto sarebbe tangente in A ad uno dei rami della curva r'. Ora il lato B C ha n punti comuni colla curva F, che indicheremo con /_ , /,,... !,, : dunque le n rette conjugate colle Ai^,Ai,, ... Ai^^ saranno le tangenti agli ;; rami j] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI £ AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 69 della curva corrispondente f. Ne risulta che se il lato B C avesse a punti contigui in comune con F, la corrispondente curva F' avrebbe a tangenti riunite nel punto A. Per esempio, se F fosse del 2° ordine e toccasse B C, la corrispondente curva del 4° or- dine avrebbe una cuspide in ^ ; e ne avrebbe una in ciascun vertice, se la conica F fosse inscritta nel triangolo fondamentale. Volendo determinare una curva dell'ordine n che abbia per trasformata una del- l'ordine m (^in non può essere minore di yw, perchè la curva corrispondente ad una dell'ordine ni non può essere d'ordine maggiore di 2111), basterà, per quanto si è pocanzi dimostrato, fare in modo che 2 h — in punti della prima cadano nei tre ver- tici del triangolo fondamentale. Cosi, per esempio : 1° Ad una conica corrisponderà : una retta, se la prima passerà per tutti e tre i vertici (come già sappiamo) ; una conica, se la prima passerà per due vertici; una linea di terz'ordine, se la prima passerà per un solo vertice. 2° Ad una linea di terz'ordine corrisponderà: una conica, se la prima avrà un punto doppio in un vertice e se passerà, inoltre, per gli altri due vertici ; una linea di terz'ordine, se passerà per tutti e tre i vertici, o per due soli con un punto doppio in uno di essi ; una linea del quart'ordine, se passerà per due vertici o se avrà un punto doppio in un vertice; una l.nea del quint'ordine, se passerà per un solo vertice. Ecc. Ecc. XII. Facciamo alcune ipotesi sugli elementi che determinano la presente trasformazione. Supponiamo che il quadrangolo sia ortogonale. In questo caso i raggi doppi di ciascuna delle tre involuzioni formate dalle rette che vanno da ciascun vertice del trian- golo fondamentale alle coppie di punti corrispondenti sono fra loro perpendicolari. Ne risulta, come è noto, die le rette condotte da un vertice del detto triangolo, per esem- pio da A , a due punti corrispondenti, come sarebbero E ed E', formano angoli eguali con ciascuno dei due lati del quadrangolo che concorrono in J, ossia coi due lati A 1 e 23. Se quindi la figura cui appartiene il punto E si facesse ruotare intorno alla retta Ai, oppure alla retta 23, finche, dopo aver fatto un mezzo giro, essa si tornasse ad adagiare nel piano, ciascun punto della figura stessa, come E, si tro- verebbe in linea retta col suo corrispondente E' e col punto A, e sarebbe, nel primo 70 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE Q.L'ISTIONI, ETC. [5 caso, dalla stessa parte del suo corrispondente rispetto al punto A, nel secondi caso, dalla parte opposta. Lo stesso dicasi dei punti B e C. Per tal modo i sei lati del quadrangolo ortogonale hanno la proprieti che una mezza rotazione fatta intorno ad uno qualunque di essi da una figura esistente nel loro piano, la trasporta in tal posizione rispetto alla figura corrispondente, che due punti corrispondenti quali si vogliano stanno in linea retta col punto in cui il lato del qua- drangolo è incontrato dal lato opposto. Essi poi si trovano dalla stessa parte rispetto a questo punto, se il lato è uno di quelli che passano nell'interno del triangolo ABC, si trovano da parti contrarie, se il lato è interamente esterno al triangolo stesso. Supponiamo invece che il quadrangolo sia tale che due dei vertici del triangolo fondamentale, per esempio B t C, diventino i due punti circolari all'infinito. In questo caso a qualunque retta del piano corrisponderà una circonferenza pas- sante per il punto A. Per determinare completamente questa trasformazione assumiamo ad arbitrio due punti, E ed W, come corrispondenti, e tiriamo le rette A E, A E'. I due lati del qua- drangolo generatore concorrenti in A, dovendo essere conjugati armonicamente rispetto ai due lati del triangolo fondamentale concorrenti nello stesso punto, saranno perpen- dicolari fra loro, giacché questi due lati del triangolo vanno ai punti circolari all'infi- nito. D'altronde gli anzidetti due lati del quadrangolo essendo i raggi doppi dell'invo- luzione formata dalle rette die vanno dal punto A a tutte le coppie di punti corrispon- denti, sono conjugati armonicamente con ciascuna coppia di tali rette, e quindi colle rette A E, A E' in particolare. Dunque essi non sono altro che le bissettrici AM, AN, dell'angolo E A E'. Tutti gli altri lati del quadrangolo sono immaginari, del pari che i suoi vertici. Giù posto, alla retta E E' corrisponderà la circonferenza passante per i tre punti A, E ed E', e per trovare il corrispondente di ogni altro punto della retta E E', per 5] INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. 71 esempio di F, basterà condurre la retta J F' egualmente inclinata quanto A F rispetto ad A M. Il punto F' in cui essa incontra la circonferenza sarà il cercato. Il punto A corrisponde, come facilinente si può vedere, al punto situato a distanza infinita sulla retta EF'. I corrispondenti dei punti in cui le bissettrici dell'angolo E A E' incontrano la retta E E' sono evidentemente quelli in cai le stesse bissettrici incontrano la cir- conferenza. I triangoli simili AFE', AFE' danno d.i cui AE:AF ^ AF':AF', AF.AF' = AE.AE', per cui il punto A possiede, rispetto a due punti corrispondenti della retta e della cir- conferenza, la medesima proprietà metrica che ha il centro d'un'involuzione rettilinea. Ma questa proprietà ha luogo per due punti corrispondenti qualsivogliano. Sia infatti G un punto qualunque del piano. Conduciamo GÈ e troviamo il corrispondente, F, del punto F' in cui questa retta sega la prima circonferenza. La circonferenza passante per i punti A, E ed E' sarà la corrispondente della retta EF'G. II punto corrispon- dente di G si determinerà quindi conducendo la retta A G, indi la retta A G' egual- ir.ente inclinata quanto AG sulla A AL II punto G' in cui quest'ultima retta sega la seconda circonferenza sarà il cercato corrispondente di G. Ora, per il teorema prece- dentemente dimostrato, si avrà AG.AG' =^ AF.AF'; ma si aveva già AF.AF' := AE.AE', dunque AG.AG' = AE.AE' = cost. , equazione in cui G s G' sono due punti corrispondenti qualsivogliano. 72 INTORNO ALLE CONICHE DEI NOVE PUNTI E AD ALCUNE QUISTIONI, ETC. [5 Se quindi, come abbiam fatto precedentemente, faremo ruotare intorno ad una delle due rette A M, A N il piano della figura cui appartiene il punto G, tinche, com- piuto un mezzo giro, esso venga di nuovo ad adagiarsi nel piano primitivo, ciascun punto della figura, come G, si troverà col suo corrispondente G' in una retta passante per il punto A, e tali due punti giaceranno dalla medesima parte di A, nel primo caso, da parti opposte, nel secondo. Inoltre le loro distanze dal punto A saranno in ambe- due i casi vincolate dalla relazione AG.AG' = cost. Così le due figure, dopo la rotazione dell'una di esse, si troveranno in quella scambievole relazione, la quale, già usata dal chiar."'" prof. Bellavitis e riproposta da Thomson sotto il nome di principio delle iminagini, è ora universalmente adoperata e cliianiata col nome di trasforinuTJone per raggi veltori reciproci. VI. ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI ALLE CONICHE DEI NO\T PUNTI GiornaÌP ili Maifìnatichc., volume 1 (1863), pp. 208-217, 354-^60. I. La maggior parte delle proprietà che hanno luogo nel piano per il quadrangolo trovano il loro riscontro nello spazio di tre dimensioni, se si considera il sistema co- stituito da cinque punti disposti in modo che non più di tre fra essi si trovino in un medesimo piano. Noi indicheremo questi punti coi numeri o, i, 2, 3, 4. Essi non esercitano tutti il medesimo ufficio, come avviene dei quattro vertici di vin quadrangolo piano : l'un d'essi, quello che abbiamo indicato con 0, serve ad un uso speciale. Noi lo denomineremo perciò pniììo ceiitrah del sistema. Ciò premesso ecco qual'è la figura a tre dimensioni che si può riguardare come analoga al quadrangolo piano. Si immagini il tetraedro che ha i vertici nei punti i, 2, 3 e 4; poscia, per il punto centrale e per i sei spigoli di questo tetraedro si facciano passare altrettanti piani. Ciascuno di questi piani sega lo spigolo opposto a quello per il quale esso è condotto in un punto: indichiamo con (12) il punto d'incontro del piano condotto per lo spigolo 12 collo spigolo opposto 34, e così facciamo per gli altri punti analoghi. E evidente che, di questi sei punti, due esistenti in due spigoli opposti sono in linea retta col punto centrale. I tre piani condotti per il punto centrale e per i tre spigoli di una medesima faccia del tetraedro, per es. per quelli della faccia 123, segano i tre spigoli opposti, BELTRAMI, tOmO I. ìq 74 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 cioè quelli che fanno cipo al vertice opposto 4, nei tre punti (23), (31), (12). Se per qjesti punti si fa passare un piano, i tre piani anzidetti determinano in esso un trian- golo ABC i cui tre vertici sono evidentemente in linea retta col punto centrale e ri- spettivamente coi tre punti i, 2 e 3. Le altre tre faccie 234, 341 e 412 del tetrae- dro primitivo danno luogo a tre altri triangoli analoghi B C D, CD A, DAB, ed i quattro triangoli così formati, ciascuno dei quali ha, come è facile riconoscere, un lato comune con ciascuno degli altri tre, costituiscono un nuovo tetraedro AB CD, che diremo, per brevità, conjiigaio del primitivo rispetto al punto centrale. Così, per evi- tare equivoci, denomineremo: vertici coirispoiideiiti di questi due tetraedri quelli che stanno a due a due in linea retta col punto centrale, come sarebbero i ed A, 2 e B, ecc. ; spigoli corrispondenti e faccie corrispoiuìciìii quegli spigoli e quelle faccie che sono determinate da coppie o da terne di vertici corrispondenti, come per es. 12 ed AB, 123 ed ABC; denomineremo inoltre piani centrali quelli che passano per il pimto centrale e per i sei spigoli del tetraedro primitivo o del conjugato, che è lo stesso. In conseguenza della costruzion fatta è chiaro che : i") Due spigoli corrispondenti dei due tetraedri sono in un medesimo piano pas- sante per il punto centrale, ossia in uno dei piani centrali. 2°) Ciascuno spigolo di uno dei tetraedri ha un punto comune e quindi è in un medesimo piano con quello spigolo dell'altro che è opposto allo spigolo corrispondente del primo, e che diremo reciproco di questo. Chiameremo piani reciproci quelli che pas- sano per due spigoli reciproci e distingueremo col nome di piani reciproci ed opposti due piani reciproci, ciascuno dei quali passi per gh spigoli opposti a quelli contenuti nell'altro. Si h.mno cosi tre coppie di piani reciproci ed opposti, cioè : 23 AD ed 14/5C, 31 BD e 24CA, 12 CD e 34^^. 3°) 1 due tetraedri sono, rispetto al punto centrale, perfettamente reciproci l'uno dell'altro; talché, operando sul punto centrale e sui vertici A, B, C, D del secondo tetraedro nel modo in cui si è operato sul medesimo punto e sui vertici i, 2, 3, 4 del primo, si otterrebbe evidentemente di nuovo il tetraedro primicivo. IL Le proprietà della figura pocanzi costruita che interessa di conoscere per Io scopo che abbiamo di mira, sono le seguenti. Due spigoli corrispondenti, essendo in un medesimo piano (centrale), si incon- trano in un punto. Se dunque consideriamo due faccie corrispondenti, come 123 ed ABC, le tre coppie di spigoli corrispondenti che le determinano daranno luogo a tre punti d'incontro : ora questi devono necessariamente ti'ovarsi nella retta lungo cui si 6] ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. 75 intersecano i due piani, dunque: i tre spigoli d'una delle f accie dell' un tetraedro sono in- contrati dagli spigoli corrispondenti dell'altro tetraedro in tre punti situati in linea retta. Siccome ciascheduno spigolo è comune a due faccie del tetraedro cui appartiene, COSÌ è manifesto che la retta d'intersezione di due faccie corrispondenti nei due tetraedri incontra tutte e tre le rette in cui esistono le intersezioni delle altre tre coppie di fac- cie corrispondenti. Ora, quando quattro rette sono tali che una qualunque di esse in- contra le al;re tre, esse sono di necessità in uno stesso piano, dunque : le quattro rette lungo cui s'intersecano le faccie corrispondenti dei due tetraedri sono in un solo e mede- simo piano. Ossia: i sei punti d'incontro degli spigoli corrispondenti dei due tetraedri sono in un in:dcsiiiio piano. Indicheremo per brevità questo piano col simbolo fi. Consideriamo ora due piani reciproci ed opposti, come sarebbero 12 CD e 34^8. La retta lungo cui essi s'intersecano contiene evidentemente i due punti d'incontro degli spigoli corrispondenti 12, AB e 34, CD. Ora tutti questi punti d'incontro giac- ciono nel piano II, dunque : le tre rette d'intersezione dei piani reciproci ed opposti giac- ciono ìlei plano delle quattro rette d'iiitersc:^ione delle faccie corrispjndenti. I tre punti in cui si intersecano le tre rette d'intersezione dei piani reciproci ed opposti hanno la seguente importante proprietà : Si considerino due spigoli adjacenti del primo tetraedro, p. es. 12 ed 13, ed i piani reciproci in cui sono contenuti, cioè i piani 12 CD ed i^BD, che s'intersecano lunga la retta i D. In questi piani esistono due coppie di vertici corrispondenti, cioè 2, £ e 3, C. Siccome le rette 2 C e ^ B sono in un medesimo piano (centrale), così esse s'incontreranno in un punto, e siccome il loro incontro deve d'altronde avvenire nella retta d'intersezione dei due piani reciproci in cui esistono, cosi esse concorre- ranno in un punto della retta i D. Consideriamo invece i due altri piani reciproci, che contengono gli spigoli 42 e 43, e che s'intersecano lungo la retta 4.^. Con un ra- gionamento analogo a -quello di pocanzi si dimostrerà che le rette 2 C, 3 £ contenute in questi due piani reciproci concorrono in un punto della retta 4^. Dunque le quattro rette 1 D, 2 C, ^B e 4^ concorrono in un solo e medesimo punto, che indicheremo con I. In questo punto concorrono evidentemente i quattro piani reciproci considerati; ma questi piani sono opposti a due a due, cioè 12 CD a 4.3 AB ed i^BD a 42 AC; dunque il punto I è uno dei punti d'incontro delle tre rette in cui si segano le tre coppie di piani reciproci ed opposti. Analoghe proprietà si verificano per gli altri due punti, che indicheremo con II e III, ossia, riassumendo: nel punto I concorrono le 4 rette 1 D, 2 C, 3 B, 4 A, » » II » » 1 C, 2 D, 3 /J, 4 B, » » III » » 1 5, 2 ^, 3 D, 4 C. 76 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 Dunque: in quattro modi si possono congiungere a due a due con rette i vertici dei due tetraedri in guisa che le quattro congiungenti concorrano in un medesimo punto deììo spazio, ed i quattro punti di concorso sono: il punto centrale ed i tre punti d'incontro delle rette lungo cui s'intersecano i piani reciproci ed opposti. Si osservi che ciascuno dei punti I, II, III e contenuto in due piani centrali deter- minati da due spigoli opposti dell'uno o dell'altro tetraedro. Infatti il punto I, per es., essendo l'intersezione delle rette 2C e 3 5, giace nel piano centrale 023, ovvero oBC, ed essendo ancora l'intersezione delle rette iD e 4^, giace nel piano centrale 014 ovvero oAD. Questi due piani si segano lungo la retta ol, che si potrebbe chiamare retta centrale. Questa retta passa tvidentemente per il punto comune agli spi- goli reciproci 23 ed AD, 14 e B C, ossia pei punti (23) ed (14). Consideriamo nuovamente il piano n, ossia il piano dei tre punti I, II, III. In questo piano, oltre le tre rette che congiungono a due a due questi punti, esistono le quattro rette d'intersezione delle faccie corrispondenti dei due tetraedri, le quali quattro rerte si possono considerare come formanti un quadrilatero completo i cui sei vertici sono le intersezioni degU spigoli corrispondenti. In questo quadrilatero completo il vertice risultante dall'intersezione dei due spigoli corrispondenti 12 ed AB è opposto a quello risultante dall'intersezione dei due spigoli pure corrispondenti 34 e CD. In- fatti, il primo è situato all'intersezione di due delle rette componenti il quadrilatero, cioè di quelle lungo cui si segano le faccie corrispondenti 123 ed ABC, 124 ed ABD, mentre il secondo è situato all'intersezione delle altre due rette, cioè di quelle lungo cui si segano le faccie corrispondenti 341 ed A CD, 342 e BCD. Ne risulta che la retta congiungente i due vertici anzidetti è una diagonale del quadrilatero completo. Ora è manifesto che questa retta è la comune intersezione dei due piani reciproci ed opposti 12 CD e ^^AB, ossia, per quanto si è testé dimostrato, è la retta che passa pei punti I e II. Dunque : le quattro rette à'interse^one delle faccie corrispondenti dei due tetraedri formano un quadrilatero completo, le cui diagonali sono le tre rette d'interse:^ione dei piani reciproci ed opposti. Nella retta d'intersezione dei due piani reciproci ed opposti 12 CD e ^.\AB esi- stono quattro punti speciali, che sono: i due punti d'incontro degli spigoli corrispon- denti 12 ed WB, 34 e CD, ed i due punti I e II. Dall'essere i primi due, vertici op- posti del quadrilatero completo di pocanzi, e gli ultimi due, estremi della diagonale passante per essi, risulta evidentemente che queste due coppie di punti sono conjugate armonicamente fra loro. Dunque, se per la retta centrale 0 III si faranno passare quattro piani, due dei quali contengano i lati opposti A B e CD, e gli altri due i punti I e II, queste due coppie di piani saranno conjugate armonicamente fra loro. Il punto I si trova, abbiam detto, all'intersezione delle quattro rette 1 D , 2 C , 3/), 4.,-^. 6] ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. 77 Ora le due rette 1 2 C, 1 3 J5 formano, insieme colle 2B, ^ C, un quadrilatero com- pleto che ha per diagonali 23, BC e Io, l'ultima delle quali è incontrata dalle altre due nei punti d'incontro degli spigoli 23 ed AD, 14 e 5 C, ed è terminata ai vertici opposti Gel, dunque: ciascuna retta centrale è divisa annonicamcntc nei due punti in cui essa incontra gli spigoli opposti dell'uno 0 dell'altro tetraedro. Si suppone, nell'e- nunciato di questo teorema, che la retta centrale sia terminata al punto centrale e ad uno dei punti I, II, III. Dalla considerazione delle altre due diagonali del quadrilatero completo di pocanzi, cioè delle rette 23 e £ C, emerge che lo spigolo B C (ovvero 23) è diviso armoni- camente nei due punti in cui è incontrato dallo spigolo reciproco 14 (ovvero A D) e dallo spigolo corrispondente 23 (ovvero B C). Ma quest'ultimo punto giace nel piano I II III, dunque : se in ciascheduno spigolo di uno dei tetraedri si determina il punto con- iugato armonico di quello in cui lo spigolo stesso è incontrato dal suo reciproco nell'altro tetraedro, i sci punti cosi ottenuti sono in un inedcsiino piano e coincidono coi sei punti d'incontro degli spigJi corrispondenti. Possiamo anche enunciare questo teorema affatto indipendentemente dalla considerazione dei due tetraedri conjugati, nel modo che se- gue: se per ciascheduno spigolo di un tetraedro e per un punto dato si conduce un piano, questo sega lo spigolo opposto in un punto : i conjugati armonici dei sei punti cosi otteruili, rispetto agli spigoli del tetraedro, sono in un solo e medesimo piano *). Lungo uno spigolo qualunque di uno dei tetraedri, per es. lungo 12, si segano quattro piani, che sono: quelli delle due taccie 123 ed 124, il piano centrale 012 ed il piano reciproco 12 CD. Ora la retta centrale Io sega questi quattro piani ordina- tamente nei punti (14), (23), o e I, dei quali i primi due sono, per quanto abbiamo dimostrato, conjugati armonicamente cogli altri due. Ne risulta che l'angolo di due /accie d'uno dei tetraedri e diviso armonicamente dal piano centrale e dal piano reciproco passanti per lo spigolo comune a quelle due /accie. Ciascuno dei piani reciproci contiene due dei quattro punti i, 2, 3, 4 e due dei tre punti I, II, III. All'incontro ciascuno dei piani centrali contiene tre dei punti o, I, 2, 3, 4 ed uno dei punti I, II, III. Inoltre la distribuzione degli otto punti o, I, 2, 3, 4, I, II, III, fra queste due specie di piani ha luogo per modo che il piano reciproco ed il piano centrale passanti per un medesimo spigolo del tetraedro AB CD li contengono tutti. Abbiamo cosi sei coppie di piani, ciascuna delle quah contiene tutti gli otto punti an- *) Hermes, Journal fùr die teìne und angewandte Matheraatik, t. LVI (1839), pag. 20.). — Vcg- gasi anche una nota del sig. Fiedler nella Zeitschrift fur iMaiheinatik und PliVbik, t. Vili (1S63), 78 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 zidetti, e sono le seguenti: 23 AD e Z4AD, 31BD » 2sBD, 12 CD » 34 CD, 14 5 C » 23 BC, 24 C A » 31 CA, 34 AB » 12AB. Considerando dunque queste sei coppie di piani come superficie di 2° ordine, rica- viamo di qui che esiste un numero doppiamente infinito di superficie del second' ordine che passano per gii otto punti o, i, 2, 3, 4, I, II, III. III. Premettiamo all'applicazione delle precedenti considerazioni la ricerca di alcune formole. Sieno dati due punti nello spazio le cui coordinate quadriplanari relative ad un tetraedro fondamentale x = o, y ^ 0 , - = 0, zf=:o sieno de.terminate dai rapporti a : S : Y : S , a : B : y : '^ • III III' 2 "2 j 2 2 Abbiasi inoltre il piano qualunque ìx -\- niy -{- n:i-\- pu' = O . Questo piano segherà il segmento terminato ai due punti dati (che per brevità indi- cheremo con I e 2) in un punto, del quale ci occorre determinare il conjugato ar- monico rispetto al segmento stesso. Per tal uopo consideriamo la retta 12 come intersezione di due piani passanti l'uno per il punto x = _y ^ ;(^ = o , l'altro per il punto x = y ^ w =z o, e rappre- sentati dalle equazioni ( L.v + My + N- =0, («) ] ( L'x + M'y -^Nw^o, . (dove abbiamo indicati colla stessa lettera i coefficienti di ;( e di u; perchè facilmente si trova che il loro valor comune è N = y.^*^^ — k^ [i J. Avremo le identità 6\ ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATrV'I, ETC. 79 J i a, + M^, + A'y. =0, L' a, + M' ?. + X^. = 0 , ? I «, + M ;^^ + Ny, = o , L'y.^-{- M' fi, + .V-l = o . Eliminando le ;;;, iv dall'equazione del piano col mezzo delle (<;), si trova (f) (^Nl — Ln— L'p)x + (Nm — Mn — M'p)y = o , equazione del piano passante per Io spigolo ,v = j := o del tetraedro, e pel punto in cui il piano incontra il segmento 12. Ora i piani passanti per lo stesso spigolo e per i punti i e 2 sono bisogna adunque trovare il piano conjugato armonico del piano (r) rispetto a questi due. Per far ciò poniamo da cui iV.v = x^v — y., u , Ny = ji^ v — fi, ;( . Sostituendo nella (i:) si ha (A^ l — Ln — L -p) (a, V — a, u) + ( .V ,;/ — M n — M'p) (p., v — p, //) = o . Il piano -conjugato armonico di quello rappresentato da quest'equazione rispetto agli Il = o, V =: o è {NI — Ln — Lp) (z, V + a.ji) + {Km — .A/h — M'p) ([i, -y + fi, u) = 0 , ossia, per le identità (/'), Riponendo per u, v i loro valori, e ponendo inoltre, per brevità, si ha /^ G^ -^ - =^.}0 + /•'. a -v - ^ v) = o , ossia finalmente È questa l'equazione del piano passante per lo spigolo xy e per il punto armo- nico cercato. Le equazioni dei piani condotti per lo stesso punto e per gli spigoli 80 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 ,v:(, xw sarebbero, per ragione di simmetria, (^y. + /^ i,)-v - a^^-. + ^"0 ^ = 0 > epperù le coordinate del punto d'intersezione di questi tre piani, ossia del punto cer- cato, saranno date dalle formole od anciie -.:.:»=37 + t^Ìr + f t + t^t+t- Ci sia qui permessa una breve digressione. Supponiamo di avere nello spazio in punti, disposti in modo qualunque, ed indi- chiamo con OL. : {i. : y, : S;(f = i, 2, ... ni) le coordinate dell'/'-esimo di tali punti. Poscia consideriamo un punto 0 le cui coordinate X, Y, Z, W sieno funzioni delle coordinate degli m punti del sistema, e due altri punti, 0^ ed 0„,_^ , le cui coordinate X,, Y^, Z^, W^ ed X,„_^, r,„_, , -^,„_r, ^,„_r sieno rispettivamente formate colle coordinate dei primi r punti, e degli ultimi m — r punti del sistema, nello stesso modo in cui quelle del punto 0 sono formate colle coordinate di tutti gli m punti. Suppo- niamo finalmente che, per la natura delle funzioni X, X,. ed X„,_^; Y, Y^ ed F„_^; zcc, si abbia, per ogni valore di r, X = X, + x,„_, , Y = i; + F,„_, , z^z,^ z„_, , w = w, + [r _, . Ciò posto, cerchiamo le equazioni della retta che congiunge i due punti O^ ed 0„,_^ . Sia I..V + My -\-'Ni_=o l'equazione del piano passante per questa retta e per il punto x = ^' = :^ = 0 ; avremo la; + Ai F, + NZ, = o , LX,„_, + M F„._, + NZ„,_, = o , da cui, sommando, ed avendo riguardo alle ipotesi ammesse, ZX+ MF-f iVZ=o. Quest'ultima equazione mostra che il piano in discorso contiene il punto 0, e siccome la stessa proprietà si verificherebbe se il piano passasse per un altro vertice del tetraedro, cosi è chiaro che la retta 0^ 0„_, p^ssa pel punto O. Questa conclusione ha luogo 6] ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. 8l evidentemente non solo qualunque sia r, ma ancora qualunque sia il modo in cui gli m punti sono distribuiti nei due gruppi considerati. Poniamo, per es., ed '-i: + i,: + - •■+t' ''■=f+l:+- ■ + "■■■■ È evidente che le funzioni qui scelte per X, }', Z, JV soddisfano alla condizione prescritta. Il punto poi che viene da esse individuato concorda con quel che dicesi emiro armonico del sisteir.a considerato, rispetto al piano ì X -\- my -\- iix,-{- pw :^ 0 . Quando h = 2 esse non differiscono da quelle trovate sopra (i). Quando « = 3 esse danno le coordinate del centro armonico dei tre vertici di un triangolo rispetto ad un piano, ossia del punto in cui s'intersecano le tre rette condotte dai vertici di un trian- golo ai punti conjugati armonici di quelli in cui i lati opposti vengono segati dal piano. Quando n = 4 esse danno le coordinate del centro armonico dei quattro vertici di un tetraedro rispetto ad un piano, ossia del punto in cui s'intersecano le quattro rette che vanno dai vertici di un tetraedro ai centri armonici delle faccie opposte rispetto al piano, e nel quale s'intersecano parimenti le tre rette che congiungono i centri ar- monici di due spigoli opposti, relativi al piano stesso. Ecc. Ecc. Se il piano si trasporta a distanza infinita, si ottengono le formole per il centro di gravità di un sistema di punti. IV. Ritorniamo ai due tetraedri considerati da principio, ed assumiamo il secondo di essi come tetraedro fondamentale, per riferire ad esso tutti i punti dello spazio; nel che riterremo che le faccie BCD, CD A, D A B, ABC di esso, sieno rappresentate dalle equazioni x = 0, y = o, ^ = o, w := o. Se si indicano con a : b : e : d le coordinate del punto centrale o, quelle degli altri BF.LTRAMI, tOmO I. II 82 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 sette punti risultano pienamente determinate. Infatti il punto i , per es., è nella retta o A, rappresentata dalle equazioni ^ = -^ = —7- : d'altra parte esso si trova anche nel piano 12 CD, coniugato armonico di oCD, rappresentato dall'equazione (- ^ = 0 , dunque le sue coordinate sono — a : h : e : ci. Analogamente trovansi quelle degli altri punti 2, 3, 4. Quanto ai punti I, II, III, basta osservare che I, per es., si trova al- l'intersezione dei piani 12 CD, i^BD e 2^BC, le cui equazioni sono rispettivamente x y X a ' b a +-^ = o X a w per cui le sue coordinate sono — a : b : e : — d. Ed analogamente per gli altri. Per tal guisa gli otto punti o, i, 2, 3, 4, I, II, III hanno le seguenti coordinate: (0) a : b : e : d, 0)-a: b : e : d, (2) a : — b e : d, (3) a-- b . — e : d, (4) a : b C : -d. (I) - a : b: C : -'d. (II) - a : h : — e : d, (III) - a : — /; e : d. Il piano che passa per i punti I, II, III facilmente si trova essere rappresentato dalla equazione o . X a + -r + -^ + zc Congiungcndo a due a due mediante rette gli otto punti 0, i, 2, 3, 4, I, II, III si ottengono 28 segmenti. Segandoli tutti con un piano (2) Ix + my 4- i!:i-{-piu = o si ottiene, in ogni segmento, un punto d'intersezione, del quale si può trovare il con- iugato armonico rispetto al segmento stesso. Consideriamo per es. il segmento 01. Paragonando i dati attuali con quelli delle formole (i) e ponendo, per brevitA, la -{- lìib -\- ne -{- pd =^ h. 6] ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. 83 si trova *■ : P, : T, : ^ — ^ : ^' : ^ : '^ . a^ : ^^ : y^ : S^ = — a : /' : f : ri , /;, = /; , h^ = h — 2la . Per ciò le coordinate del punto armonico sono À'x„, = — 2lir , ky^^= 2{h~la)b, ^'^0.= 2{b~ìa)c, kw^^= 2(h—la)d, ossia - /a' ; , ■\. ■ Jo, • vo. • ^'o, - ,„^ ^nc-{-pd-^ ■' ■'^■ Analogamente si otterrebbero le coordinate degli altri 27 punti, che per brevità omet- tiamo di trascrivere, e che si deducono per simmetria da quelle dei punti armonici esistenti nei segmenti 01, 12, ol, il, III. Tutte queste coordinate soddisfanno alla equazione , . Ili' , ìli h' , n r , p lì' (3) -r+T + T+-=°' che rappresenta un luogo geometrico passante per tutti i 28 punti anzidetti, e che ap- partiene evidentemente ad una superficie di terz'ordine che contiene intieramente i sei spigoli del tetraedro fondamentale. Questa superficie fu già considerata da Cayley *), il quale ha dimostrato che ì piani tangenti ad essa lungo due spigoli opposti del tetraedro si segano a due a due in tre rette giacenti in un medesimo piano, e giacenti anco intieramente nella superficie. Infatti, rappresentando con A', Y, Z, IV le coordinate del piano tangente nel punto X, y, x^, w, si ha, per questo piano tangente, l'equazione (/;; b\w -f- n e' wy -\- p d' y -) X -\- (/ a' \ lu -[- n C w x -\- p d' x 0 Y -j- {la'yw -j- vib'w X -{■ pd' xy)Z -\- {I n'' y :i -\- iiib\x -\- ne' xy) /r= o . Quindi, i due piani tangenti alla superficie lungo gli spigoli x =^ y = 0, :^ = «/ := o , *) Journal de Mathéinatiques pures et appliquées, t. IX (1844), pag. 285. 84 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 sono rispettivamente rappresentati dalie equazioni ossia dalle la' , mb' ne' , pd' Sotto la prima forma, queste due equazioni manifestano che le tre rette d'intersezione delle tre coppie di piani tangenti giacciono nel piano la''^ mb'^ vc'~^ pd'~ ° ' sotto la seconda, che le medesime tre rette giacciono intieramente nella superficie rap- presentata dall'equazione (3). Si noti che questa superficie, avendo quattro punti doppi (i quattro vertici del tetraedro) non può contenere più di nove rette distinte, poiché ogni retta passante per due punti doppi conta per quattro. Dunque i sei spigoli del tetraedro e le tre rette pocanzi accennate formano il completo sistema delle rette esistenti nella superficie. Nell'ipotesi che le coordinate quadriplanari, di cui abbiamo fatto uso, esprimano distanze perpendicolari dalle faccie dei tetraedro AB CD, è chiaro che, nell'ipotesi i punti o, I, 2, 3, 4, I, II, III diventano i centri delle sfere inscritte nel tetraedro medesimo ; in questo caso abbiamo dunque il seguente teorema : / pilliti di ine:^o dei venlolto segmenti determinati dai centri delle otto sfere inscritte in un tetraedro qualunque, giacciono in una superficie di lerx^ordiue che contiene intiera- mente i sei spigoli del tetraedro stesso. Abbiamo veduto al § II esservi sei coppie di piani contenenti tutti g.i otto punti o, I, 2, 3, 4, I, li e III. Scegliamo fra esse le seguenti: 12 CD e 34 CD , i^DB » 42Z)L', 14 £C » 2^BC, cioè le tre coppie di piani rappresentate dalle equazioni 6] ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. 85 a ^ b a e X w .V a -i=o. X " -0, a e X w a d -°' ovverosia dalle seguenti y x' — if y'' = o , e' X' — a\^ =^ o , d' x' — a' u'" = o . Queste ultime equazioni si possono riguardare come appartenenti a tre superficie di 2° grado passanti per quegli otto punti, epperù l'equazione ([;. ^" -|- V c" -j- Tzd'^ x' — (y- V' -}- "^ 1' -j- ~w")fl" = 0 rappresenterà un sistema doppiamente infinito di superficie di 2° ordine passanti per gli otto punti anzidetti, e rispetto a ciascuna delle quali il tetraedro fondamentale è conjugato a sé stesso. I poli, rispetto a questo sistema di superficie, del piano / .V -)- in y -\- Il :;^ -\- p lu ^ 0 , sono determinati dalle equazioni seguenti, in cui p rappresenta una quantità indeter- minata , [I. V X ~{- ^ e' X -\- T. d' .V -j- ? ' = O , — ^■a"y -|-pw=ro, Vfl"~ -j-p«=:0, ■Ka^lU-\-Op =0. Eliminando le arbitrarie [j., v, tì e p si ottiene , - là^ . iiib' , ne , p d' equazione che rappresenta il luogo geometrico dei poli anzidetti. Quest'equazione è identica a quella trovata precedentemente per la superficie dei 28 punti. Si ha dunque, per questo riguardo, un teorema affatto analogo a quello già dimostrato per il piano. VI. Consideriamo la superficie di 3° ordine rappresentata dall'equazione (3). L'equazione del piano tangente ad essa nel punto (.v, y, :^, iv) può mettersi sotto 86 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 la forma [4:x + ^y + ^'z + ^^r = o. Affinchè dunque un piano dato IX + ;y. }' + V Z + - JF = o tocchi quella superficie, bisogna che dalle equazioni dove k è un'indeterminata, si cavino per x, y, ^, w dei valori che soddisfacciano al- l'equazione della superficie. Ora dalle equazioni precedenti si cava l^ = ],aYn, a^^kbv^i., — = kcy^., Pl = kdVp^, X y ^ w per cui sostituendo nell'equazione della superficie si avrà l'equazione (4) a^n -\- b^nr^.-]- c\^^ -\- d\^ — o quale condizione del contatto fra la superficie stessa ed il piano. Se quindi si considera il piano rappresentato dall'equazione ^'•'^■ + 'i'-'y + ''\ = o, il quale passa per il vertice D del tetraedro, la condizione del suo contatto colla su- perficie sarà a >. 1/7+ /' V. Vm + (- V |/^ = o . Se ora si cerca l'inviluppo del piano anzidetto nell'ipotesi che le >., [j-, v sieno legate dall'equazione precedente, facilmente si trova ch'esso è la superficie conica di 2° ordine rappresentata dall'equazione la' , vib' , ne' = o . X ' y ' i Dunque i quattro coni aventi il vertice nei quattro vertici yl, B, C, D del tetraedro ed inviluppanti la superficie di terz'ordine la' , mb' , ne' , pd' -\-^-- =0 , X y * :^ w 6] ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. 87 sono rappresentati ordinatamente dalle equazioni i , in b', ne' , p d' -\ [- — = 0 , y ^ w (5) X + * + ne' ' IV = 0, la' X + y 1 * pcV ' w = 0, la' X + mh' y + nc + * = 0 . È evidente che ciascuno di questi quattro coni contiene i tre spigoli del tetraedro concorrenti nel vertice rispettivo. Inoltre, siccome due qualsivogliano fra essi hanno il medesimo piano tangente lungo la generatrice comune costituita dallo spigolo in cui si trovano i loro vertici, cosi la loro linea di intersezione, fatta astrazione da quella generatrice (che tien qui luogo di due rette sovrapposte), è una conica piana. Sottraendo l'una dall'altra le equazioni dei due primi coni, ossia di quelli che hanno i vertici in A ed in B si trova la^ in Ir X y ~ ' equazione d'un piano passante per lo spigolo CD. È evidente che questo piano ha per suo conjugato armonico rispetto alle faccie .v =: o, ^ = o il piano rappresentato dall'equazione ìa' , mh' = o , . .V y ossia, come abbiamo veduto al § FV, il piano tangente alla superficie lungo lo spigolo CD. Inóltre i piani delle sei coniche d'intersezione anzidette contengono tutti il punto che ha per coordinate , . / fl^ m y nr p d' X ~ y ~ i ~ IO Abbiamo così il seguente teorema : / quattro coni aventi i vertici nei vertici del tetraedro e circoscritti alla superficie di terx^ordine, sono coni di second'ordine che si segano a due a due lungo sei coniche piane. Il piano della conica crinterse:^ione di due coni aventi i vertici agli estremi di uno spigolo, passa per lo spigolo opposto ed e conjugato armonica- mente, rispetto alle due faccie del tetraedro che si segano lungo questo spigolo, col piano tangente alla superficie huigo questo medesimo spigolo. Inoltre lutti i sei piani anzidetti passano per un solo e medesimo punto. 88 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 Scriviamo le equazioni (5) nella forma seguente: * -\- in b\u' -\- n e' zv y -\- p d' y :^ =^ o , la\iv-\- * -f- H e' ::• A- -j- p ii' A- ;;: = o , ì a' y lu -{- m b' w X -{- * -\-pd'xy=^o, la^yx^ -\-mh''i_x -\-nc''xy -\- * =0, e consideriamo la superficie di second'ordine circoscritta al tetraedro fondamentale e rappresentata dall'equazione Sì p a' d' y ■^ -\- fnpyd\x -\- npc^d^xy -\- in II b' e' X IV -\- III e' a' y tv -j- / w a"" b^:^w = 0 . La simultanea sussistenza di quest'equazione e della x ^ o definisce la conica d'inter- sezione di questa superficie colla faccia del tetraedro opposta al vertice A. Ma a que- ste due equazioni si possono surrogare le due seguenti mb^ , nc^ , p d' la seconda delle quali, appartenendo ad un cono col vertice in A, deve rappresentare il cono che ha il vertice in questo punto e che sega la faccia opposta lungo la conica d'intersezione della superficie (7) col piano .v =: 0. Questo cono non è altro che il primo dei quattro considerati sopra. Osserviamo anche che la completa intersezione di questo cono colla superficie (7) è rappresentata dalle due equazioni inb' , ne' , pd' \-^-— =0 , y :^ w npc' d' xy -j- p ni d' // x ^ -\- ni n b' e' xw = 0 , la seconda delle quaU si può scrivere cosi e rappresenta il sistema dei due piani 6] ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. 89 il primo dei quali è quello della faccia opposta al vertice A, il secondo è il piano tan- gente alla superficie di second'ordine nel punto A stesso, come facilmente si può veri- ficare. Ora, se immaginiamo il piano è manifesto ch'esso sega la faccia opposta ad A lungo la retta ' mb ' «f- ' pd- ' che è l'intersezione della faccia stessa col piano tangente precedentemente considerato. Inoltre, il piano (8) è quel medesimo in cui giacciono le tre rette che la superficie contiene oltre gli spigoli del tetraedro (§ IV), ed ha anche la proprietà che rispetto ad esso il punto (6) è centro armonico dei vertici del tetraedro, ossia è il piano ar- monico di questo punto rispetto al tetraedro stesso. Dunque: / quattro coni aventi i vertici nei vertici del tetraedro e circoscritti alla superficie di ter:^ordiiie, segano le f accie opposte del tetraedro secondo quattro coniche, che stanno in una medesima superficie di second'ordine circoscritta al tetraedro stesso, ed i piani tangenti a questa superficie nei vertici del tetraedro incontrano le /accie rispettivamente opposte lungo quattro rette situate in un medesimo piano. Il centro armonico dei vertici del tetraedro ri- spetto a questo piano e il punto comntie ai piani delle sei coniche d'intersezione dei quattro coni, considerati a due a due, ed il piano slesso è quello che contiene le tre rette della superficie diverse dagli spigoli del tetraedro. VII. Le precedenti considerazioni possono servir di base alla teoria di una trasforma- zione geometrica delle figure a tre dimensioni, analoga alla trasformazione conica nel piano, e di cui ci limiteremo qui ad accennare i principali caratteri. Quando il piano / .V -}- /;; V -f- n:^-\~ pw = 0 ruota intorno ad un punto (a, |i, y, (ì), le /, ni, n, p variano, in modo perù da ren- der sempre identica l'equazione Ir -\- /« fi -]- » y -]- i' ^ = 0 , o, ciò ch'è lo stesso, la seguente BLLTRAMI, tOmO 1. , 13 90 ESTENSIONE ALLO SPAZIO DI TRE DIMENSIONI DEI TEOREMI RELATIVI, ETC. [6 ìa' mb' ne' . pd a +— +— + V=°' a {i Y S per cui la corrispondente superficie di 3° ordine passa costantemente pel punto — , -— , — , -^ 1 , il quale è l'unico, prescindendo da^li spigoli del tetraedro, « H Y ** / che sia comune a tutte le superficie di 3" ordine corrispondenti alle varie posizioni del piano. In tal modo ad ogni punto («, p, y, f5) dello spazio ne corrisponde un altro U', t^', y', ^'), tale che si ha (9) aa' : ^{i' : yy' : SS' = a' : b' : e' : d\ Ad ogni piano corrisponde, come già s'è veduto, una superficie di 3° ordine circo- scritta al tetraedro fondamentale, e ad ogni retta corrisponde una linea a doppia cur- vatura, comune intersezione di un numero infinito di tali superficie: questa linea è una linea di terz'ordine a doppia curvatura, o, come la si vuol chiamare, una cubica gobba. Consideriamo intatti l'equazione (A + Fa').v + ([.. + ki.')y + (v + Av')v + (^ + À-:;')^ = O , la quale, se vi si riguardino )., a, v, tt, V, [j.', v', t.' come costanti individuate e k come una costante arbitraria, rappresenta, mediante la variazione di k, una infinità di piani passanti per una medesima retta, che si può considerare con-.e l'intersezione dei due piani Ix -\- !^-:y -f V - -f t: lu = o , Le superficie di 3" ordine corrispondenti a questi infiniti piani, sono comprese nell'equazione (-A + /cV)a- {y.-^kiJ.')b' (v + /,v')r (^ + kr.')d^_ X + ]' + z + ^ -°' ed è chiaro che esse hanno tutte in comune la linea lungo cui s'intersecano le due superficie individuali la' . lJ.b' , VC= 7T-'7:) v;^ -j- '^''0-'-'^' — ['-'''^)^^•■^' -\-d'(yT:' — v'7r).v^' = o , (7'(lv' — 'X'v)vK' -|- ^''(^tv' — [a'v)wx -|- d\~y' — r.''i)xy == O . Queste due equazioni rappresentano due coni di second'ordine aventi in comune la generatrice .v = j = o. Se adunque si prescinde da questa retta, che è comune a tutte le curve che consideriamo, resta appunto una cubica gobba, la quale è la linea che deve riguardarsi come corrispondente alla retta comune a tutti i piani anzidetti. Questa cubica gobba passa per tutti i vertici del tetraedro. Una superfìcie di 2° ordine circoscritta al tetraedro fondamentale, e del resto qua- lunque, Ly:i -\- M::^.x -j- jV.v^ -|- Pxw -j- Qyw -{- R:^iu = 0 , ha per corrispondente un'altra superficie di 2° ordine, parimente circoscritta a quel tetraedro e rappresentata dall'equazione Lb'c'xzv + Mra'yzv + Na'h\iu + Pa'd'yi + Qy-d\x + Rrd'xy = o. È questa una proprietà che non ha il suo riscontro nel piano. Cosi, alla superficie (7) considerata nel § precedente corrisponde quella rappresentata dall'equazione miiy^-\- ìiìx^x -j- ìmxy -\- Ipxw -(- inpyiu -|- iipz^xu = o, che è indipendente dalle quantità a, b, e, d e non dipende che dalla posizione del piano l X -{- in y -\- n x_ -\- p 11' ^= 0 ■ È facile riconoscere che i piani tangenti a quest'ultima superficie di 2° ordine nei quattro vertici del tetraedro, incontrano le faccie opposte di questo lungo quattro rette contenuta tutte in questo piano. Bologna, maggio-luglio 1863. VII. SULLE EQUAZIONI ALGEBRICHE. Giornate di Matemntichet Volume 1 (186;), pp. 123-124. L;i dimostrazione clie comunemente vien data dei teoremi di Cotes e di Moivre si fonda sulla considerazione delle radici delle equazioni binomie e trinomie, radici che per la forma speciale di queste equazioni si sanno esplicitamente determinare. Ciò può indurre nella credenza che quei teoremi non abbiano i loro analoghi quando si tratti di equazioni algebriche complete, delle quali non si possano assegnare in forma espli- cita le radici. Ma, se si ha riguardo all'oggimai notissima rappresentazione geometrica dei numeri complessi, è sommamente agevole stabilire per le equazioni algebriche com- plete di grado qualunque una proposizione generale, dalla quale scaturisce nel modo più evidente la ragione d'essere dei citati teoremi. Tracciati in un piano due assi ortogonali O.v, Oy, rappresento la variabile com- plessa s;^ = a: -{- iy per mezzo del punto Z, avente per ascissa x e per ordinata y. Indi considero l'equazione algebrica a coefficienti reali o immaginari /(O = <' + ^^"- + B--^ +...+1^0, della quale suppongo che le n radici sieno ^, = X, + '>■ , ^2 = -■^'2 + 2>2 . • • • 5:„ = -v„ -f ;■ v„ , iTientre Z^ , Z, , ... Z__ sono i punti-radici che rispettivamente le rappresentano nel piano. 7] SULLE EQUAZIONI ALGEBRICHE. 93 Nell'equazione identica sostituisco al posto di :z. il valore complesso x -f- iy e pongo : X -(- iy — (.v_ -(- /_v J = r, <;'■'■ , per trJe sostituzione risulta /(•v + 00 = '-,'-. ••• r„e'<«--^— "), da CUI (i) mod./Gv + ijO = ''■'■. ••• '■„• Ora, essendo '■,„'^""' = ■•' + Ó' — (-v„, + '■ v,„) = -v — -v„, + iiiy — yj, ha luogo la formola dalla quale emerge che r„, rappresenta la distanza dal punto variabile Z al punto radice Z^. Per tal modo l'equazione (i) contiene la dimostrazione della seguente proposizione: Si; nel primo mciìibro d'un equazioni algebrica a coejpcienti reali od immaginari della forma si sostituisce al posto della variabile il valore complesso x -\- iy , rappresentalo dal punto Z, il modulo dell'espressione risultante equivale al prodotto delle distante del punto Z dagli n putài-radici dell' cqiia:^io ne proposta. Quando l'equazione ha tutti i coefficienti reali, e quando inoltre si suppone y^o (cioè quando si prende il punto Z sull'asse reale O.v), il polinomio /(.t), fatta astrazione dal segno, non differisce punto dal proprio modulo. In questo caso dunque la prece- dente proposizione si può modificare come segue : Il risultato che si ottiene sostituendo un valore reale di x nel primo membro d'un'e- quaxione algebrica a coefficienti reali e della forma x" + Ax"-' 4- Bx"-' -j- ... 4- L = o, equivale, fatta astraiione dal segno, al prodotto delle dislan:{e degli n punti-radici dell'eqna- T^ione da quel punto dell'asse reale che ha per ascissa il valor particolare dato ad x. 94 SULLE EQUAZIONI ALGEBRICHE. [7 Se si suppone oppure f{x) — x'" — 2a"x"cosO + a", dove a è una quantità positiva e 0 un arco reale, si hanno due specie di equazioni in cui tutte le radici, come è notissimo, hanno per modulo comune il valore di a e per argomenti una o due serie di archi in progressione aritmetica. Dunque i punti-radici sono allogati in una circonferenza di raggio a col centro nell'origine, e propriamente: nel primo caso, sono ;; punti che dividono la circonferenza in ii parti eguali, inco- minciando dal punto in cui essa è segata dall'asse 0 x, ovvero da quel punto che dista dal precedente per un arco uguale a —, secondo che si considera l'equazione x" — a" ^o o la x" -|- fl" = o ; nel secondo caso, sono 2 n punti distribuiti in due serie di ii, cia- scuna delle quali divide la circonferenza in n parti eguali incominciando, l'una serie 0 , f) dall'estremo dell'arco — -, l'altra serie dall'estremo dell'arco ; quindi, applicando a H )l ' questi due casi la seconda delle due proposizioni stabilite precedentemente, si hanno immediatamente i teoremi di Cotes e di Moivre. Bologna, 15 aprile 1863. vili. RISOLUZIONE DI ALCUNE QUESTIONI PROPOSTE DAL GIORNALE « NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIOUES ». I. Soui'cffes --innaU^s de Jlutliétnaiifiues, deuxième sèrie, teme II (1863), pp. :8j-l84. L'cnoucé de la question est le suivant: Lcs qiiatrc faces d'un Ictraèdre passent, chaciiiic, par un point fixc ; les irois cólés de l'uiic dcs qiiatre faccs soni asstijettis à rc- sicr, cbacun, sur un pian fise; Irouver le ìicu géométrique dii sonunct dit tciraèdre oppose à celle pace. Ce lieu esl, en general, une surface du iroisiènie degre', qui se réduil à un céne da second degré qtiand les quatre points fixes sont siliiés sur un me'nie pian. (Salmo\). Soient H ^= o, V = o, w = o, les équations des trois plans fixes dans lesquels doivent se trouver les cótés de l'une des faces du tétraèJre; (.v^, y^, -;;J le point par kquel doit toujours passer le pian de cette face; (.v, , y^, -,), (x^, y^, ^J, (.v. , y., :^^) les trois autres points fixes. Nous désignerons ces quatre points par (o), (i), (2), (3), respectivement. Soient, cnfin, u^, v,, w,, les valeurs de /(, v, tv, correspondantes aux points (1), (2), (3), respectivement. Cela pose, désignons par Jx-\- By-\- C;^ + £) = o l'équation du pian de la face qui passe par le point (0). L'équation du pian de la face, passant par le point (i), sera de la forme Jx-{-By-\-C:i-\-D-{- A /( = 0 , 96 RISOLUZIONE DI ALCUNE Q.UESTIONI PROPOSTE, ETC. [8 et comme cette Jernière èquadon doit ctre satisfaite par les coordonnées du poinr (i), on aura J.v, + 5v, + C^. + £> + >«. =0. En éliminant X entre ces deux équations, on trouve pour le pian de la face du tctraèdre, qui passe par le point (i), l'équation Les plans des deux autrcs faces, passane par les points (2) et (3), sont représentés par des équations analogucs. En Climinant A, B, C, D entre ces crois équations et l'équation ^-Vo + 5)'o+C-„ + D = o, on obtient pour le lieu cherché l'équation ^■o )'o ^o I jix, — ?/,.v uy^ — iij »:;:, — », :: /( — », (I) VX, — i\x v)\ — v^y li' X — tu X u'v, — u'.y '\^ IV l^—w.z. '^ — ly, = o D'où l'ou volt immédiatement que ce lieu est du troisième ordre. On peut transformer l'équation précédente en celle-ci (2) Puis, en posant I X y X. I 0 ^"0 >'o le I ». nx, "V, "l, u V, vx^ vy^ vx^, V w, zvx. zvy, u'z, w A = -^0 yo xo «o -\ y. ^. «. '^■. y. i. «. •^'5 >'3 ^3 =^3 = o (a„ = a, = a, = a, = r), et en développant le déterminant (2) par rapport aux éléments de la première colonne, l'équation (2) se transforme en celle-ci 8] RISOLUZION'E DI ALCUNE QUESTIONI PROPOSTE, ETC. 97 (3) uvwS^ic^vw ^'o Jo ^o I X )■ ^ I -^'2 }■. ^. I ^i y-, ^i I -(- X/^H ZU yo \o -^'. >-. ^, I X y :; 1 -^'3 ^, ^, I -{-ivjiv ^o }'o ^o I ^. y^ X2 I X ^ - I Lorsque les quatre points (o), (i), (2), (3) sont dans un méme pian, représenté par l'cquation p=c7x-Jrby-\-cz-\-d = o, on a, comme on sait, non seulement A = o, mais aussi — ■ a — — ■ b dxr"~ dy^ ■ ' (1 = 0, I, 2, 3), et l'équation (3) se réduit à \ ' li ' ^ D ' ' W / ^ Par suite le lieu se decompose dans le systime forme par le pian et par la surface du second degré li V W- /^— + /^.— + *- — = 0- Cette surface est évidemment un cóne circonscrit au trièdre U = 0, V ^ O, IL' = 0 . II. yotiv&llps Aiinales de ^Tathrmatiques, deuxième sèrie, tome II (1865), pp. 209-212. Un angle trièdre trireclangle mobile a son sommet en un point fixe pris sur une surface quekonque du second ordre ; le pian déUrminé par les interscctions de. ses trois arétes avec cette surface passe constamment par un mime point de la normale issue dti sommet fixe de l'angle trièdre. On deniande le lieu de ce point, lorsque le sommet da trièdre parcourt la surface donnée. (Mannheim). BELTRAMt, tOmO I. 98 RISOLUZIONE DI ALCUNE QUESTIONI PROPOSTE, ETC. [8 Soient l'équatioii de la surface, (.v^, y^, x.^) "n quclconque de ses points; on aura identi- quement (0 En désignant par 'ì la dlstance de l'origine au pian tangent en ce point, les co- sinus des angles que la normale fair avec Ics axes des .v, y et x. seront respecti- vement o ' y O ' ^0 Cela pose, concevons un nouveau système d'axes orthogonaux des e, r, et C, ayant leur origine au point (.v„, }■„, :^J, et formant avec les axes primitifs des angles dont les cosinus sont indiqués dans le tableau suivant: l 7) ^ ,v a 1 ": a y k ^ 0 ^ T. T. Tj En nommant 1, [i-, v les cosinus des angles que la normale fait avec ces nou- veaux axes, on aura i ''• = — '^5 (« ''•, -^o + ^ t^3'c + f Y. ^o) . (2) ( . [j. = - 5 (a y.^ A-„ + i ^^, V„ + C Y, ^ J , ( V = — S (a 7., A,, 4- i 'pj^ + e v, ^ J , et les équations des droites e, r, et "(,, rapportées aux premiers axes, seront respecti- vement >'-;'o + ?f^> j = )'„ + -^!^., }'=jo + ^^, dans chacune desquelles Ics variables des deux systèmes se rapportent au méme point de l'espace. Au moyen de ces équations et des équations (i) et (2), on trouve, pour les in- 8] RISOLUZrONE DI ALCUNE QUESTIONI PROPOSTE, ETC. 99 tersections des trois nouveaux axes avec la surface, les valeurs suivances de e, •/) et K» que noLis déslgnerons par c^,, r\^ et ^^, _L _ Hl^+M+fiI) ^o" 2l I _ Ha.l : + ^p: + ^yD ^0 2[^. I _ ^(ac.\ • + ^P5 + ^yD de sorte que l'équation, en l, -ri et C, du pian mene par ces trois points, pourra se mettre sous la forme Or, l'équation de la normale étant la distance r^ du point (x^, y^, x„) au point d'intersection avec le pian (3) est doa- née par la formule 2 r„ = so^ + /' + 0' et comme celle-ci est indépendante de la direction des droites l, 71 et C, la première partie de la question se trouve ainsi démontrée. Si maintenant on désigne par x, y, z, les coordonnées (relatives aux premiers axes) du point que l'on vient de déterminer, on a 2ax^ 2hy^ 2C7 a + b^c' ^ ^° a^b-\-c' ^ ^° a + b-{-c' d'où l'on tire a -\- b -\- e a -\- b -\- e a -{- b -{- e ^""^ — fl + è + c ''"' y° — a — b-irc^'' ^°- a-\-b — c'^' En éliminant .v^, y^, ^^ au moyen de l'équation (i), on ohtient enfin a{a + b-\-cy bja + b-^cy p^g J^ b + c)\, _ (- fl + è + 0" {a — b^cy^ "^ (^a-[-b — cy^ ~ ' 100 RISOLUZIONE DI ALCUNE QUESTIONI PROPOSTE, ETC. [S équarion du lieu cherchc, qui, partant, est une surfacc de second ordre, ayant en commun avec la première le centre et la direction des axes. m. yottvPÌti'éi Amtuli'S (le Math''inattqiteSt Jeuxieme serie, lomc li (1865), pp. 302-307. Remarqiies au stijct de la questioii: Dénionìrcr que si 9 (2 w) = cp (w) cos w, on . . . sinw aura 9 (w) = 9 (o) — — . " (Valton). La solution indiquée dans cet énoncé n'est pas, à beaucoup près, la plus gene- rale que comporte la question. C'est ce qui ressortira de ranal3-se suivante, dans la- quelle je supposerai d'abord, pour plus de clartc, que la variable 01 se mainticnne tou- jours réelle et positive. Si l'on multiple l'équation proposée par 2 sin w, qu'on mette le résultat sous la forme sin 2 w sin w ' et qu on pose (0 ^Ef-H-): ?(^0 _,i, sm w on aura à résoudre l'équation suivante, plus simple que la proposée, (2) 2 ^ (2 w) = <}(..). En changeant successlvement dans celle-ci w en 2(0, 4(0, ... 2"'"' w on obtient 2v(4w) =';(20j). et, en multipliant toutes ces équations cntre cUcs et avec l'équation (2). il vient (3) 2'"K2"'co) = a(co). lei IH est un nombre entier et positil; mais si l'on remplace dans cette formule 8] RISOLUZIONE DI ALCUNE QUESTIONI PROPOSTE, ETC. 101 , où 71 est un noinbre eiuier et positif moinJre quo m, on trouve d'un autre còte, en changeant dans la mème formule ;;/ en in — «, il risulte donc l'équation (3) subsiste pour toute valeur enticre, positive ou negative de m. D'après cette mème équation (3) la valeur de la fonction 2'" 'h (2'" w) est toujours égale, tant que m est un nombre entier, à celle que cette fonction recoit pour in = o. Par suite, la valeur generale de cette fonction, c'est-à-dire celle qui répond à une valeur quelconque rationnelle ou irrationnelle de in, que je designerai par [j-, doit se rcduire à 'l (co) pour toute valeur entière de p-. Je pose donc 2^ V (2'' (o) ;= '^ (oj) cos 2 /; - ij. -f- F (y-, w) sin /o - [^. , où /; et k sont deux nombres entiers quelconques, et où F ([^., oj) est une fonction qui ne devient pas infinie pour des valeurs entières de [x. De cette équation, en fai- sant co r= I, on tire 2'^ 'i/ (2'') 33 'i (1 ) cos 2 /j 77 ;x -j- f ((J.) sin k r. [j. , où l'on a écrit f ([-'-) à la place de /■ ([x, i). Enfin, en posant d'où log co u. — log 2 ' et écrivant, d'après l'cquation ("i"), à la place de v(i\ on a , . «pCi) 2/;-n; log co , ,- . ^ . /: 7: log OJ sin co sin I log 2 log 2 ' ou ' ^ co \log 2 / La fonction F^ (co) n'est point arbitraire. En effet, si dans l'équation précédente on change co en 2 co, on obtient , , . 0(1) 2/;7:logco , . , ,. _ . , . /cTrlogco 2 i (2 co) = ^\ ' cos — i ?2 ^ 2 (— I ) f , (2 co) sin —, — 5^^ — , ' ^ ^ co sin I log 2 ' ^ J i\ j log 2 et par suite, d'après l'équation (2), 2/--,(2Co) = (-l)^F.(-)- 102 RISOLUZIOXE DI ALCUNE QUESTIONI PROPOSTE, ETC. [8 Si donc on prend pour k un nombre pair 2 h, 011 aura, pour ò (oj), la valeur . . , , . cp(i) 2h-\og(ù 2Ì:-\og(a '"•''' ' ^ -^ W SUI I log 2 I ■ V ^ log 2 et pour F, (w), réquation (6) 2F.(2oO = ^.W- Certe dernière équation, étant absolument de mème forme que l'cquarion (2), donnera, de la niéme manière, r, , ^ F", (l) 2//xlogOJ , r- ^ . . 2 Ì't: log W F, (o>) = ■> ^ cos — j 5 \- F, (oj) sin — j ^- , ' ^ ^ co sm I loa; 2 ' '^ -^ log 2 ■'o . 2À-"-logW sm et, pour la fouction Fj(w), on aura de nouveau 7- ^ V F,(i) 2/;"-logw , T- / N ^ ^ co sni I log 2 ' log 2 et ainsi de suite. En substituant successivement ces valeurs les unes dans les autres et dans les équations (5) et (2), on trouvera enfin , ^ sin OJ r , . 2/; 7: log co , r- /■ \ ■ 2^7: log co 2/;'7vlogco , o(co) = — , 0(1) cos — -. 5 \- F, (0 sm — j 5 — cos — j 2 L ^ ^ ■' oì sm 1 1_ ' ^ ^ log 2 ' log 2 log 2 ' , r- ^ , . 2 A' 7; log cj . 2/t'7: log co 2/j"7rlogoj , "1 + F ( i) sm — -, ^— sm — j ^— cos — ; f- .... I ~\ ■' log 2 log 2 log 2 J Or, on voit assez clairement que l'ensemble des termes renfermés dans les pa- renthèses, à raison de la valeur entièrement arbitraire qu'on peut attribuer à chacune des constantes ?(i), ^.(0, ^^(0, ••• h, h', h", ì h, k', k", . . . , dont le nombre est indéterminé, peut ótre censo repròsenter une fonction quelconque des dcux quantités . 2 r log co 217 log OJ sm — -, — - — , cos — i — - — , log 2 log 2 ou mème d'une seule d'entrc elles, ce qui ne diminue point la gcnéralitè de cette fonction. 8] RISOLUZIONE DI ALCUNE QUESTIONI PROPOSTE, ETC. 103 En dcsignant donc celle-ci par ,^ [ . 2 TT lO" OJ 2 TU log W \ 0 sin —. ^^ , cos — ì — 5_ ) V log 2 log 2 / ' on pourra poser r \ r \ sin w ^ / . 2 TU loa; oj 2 r log oA (7)

où A désigne le déterminant de l'cnoncé. Le développement de ce déterminant ne peut contenir, d'après ce qui a été re- marqué plus haut, que des puissances paires de :^; si donc on pose :^^ = /, on obtient une équation du degré — -^ en /, dont les racines sont les carrés des diftéren- ces entre les 11 racines de l'équation (i). C'est ce résultat qui constitue le théorènie de M. Roberts, que je me proposais de démontrer. V. youveltes Annales (If JìfathéinatiqitPSf deuxième sèrie, tome IV (186,), pp. 232-233. (Nota della Redazione del giornale « Nouvclles Aniiales de Mathcmatiques » a proposito di una lettera del Beltrami). La surface lieu des sectioiis circuìaìres diamétralcs des cllipso'idcs appartcìiant a un système l)Oìnofocal, coupé les ellipso'ides orlhogoìialemenl. (Strebor). Gomme M. Durrande *), M. Beltrami emploie les coordonnées elliptiques et ar- •) Nouvelles Annales de Mathcmatiques, 2'""= sèrie, tome IV, pag. 125 DELTRAMI, tOmO 1. 106 RISOLUZIONE DI ALCUNE Q.UESTIONI PROPOSTE, ETC. [8 rive à l't-quadon (l) ,a^ + v= = ^=; mais il conclut le théorème de M. Strebor de ce que cetce équation ne contient pas le paramctre p, parce qu'en general, dans tout systcme de coordonnées curviligues et orthogonales, tonte équatio.i qui ne rcnferire que deux paramètres (a, v) coupé ortho- gonalement toutes les surfaces caractérisées par une valeur constante du troisième pa- ramctre p. M. Beltrami fait en outre Ics observations suivantes: i° le lieu des sec- tions circulaircs dianictrales des hypcrboloidcs honiofocaux à une nappe coupé ortho- gonalement ces hyperboloides; 2° l'équation (i) reprcsente une surface du quatrième degrè et possedè une droite doublé qui est l'axe des y ; tout pian mene par cetre droite coupé la surface suivant un cercle. IX. RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. Oiortiale di Matematiche, vuL II (1864), pp. 267-282, 297-506, 331-J39, SSS-37S; voi IH (1865), pp. 15-22, 35-41» 82-9:, 228-240, 31I-314. I. Consideriamo un sistema di linee a doppia curvatura, distribuite nello spazio in modo che per ciaschedun punto ne passi una sola od al più un numero finito. Le equazioni di una delle curve appartenenti a questo sistema si potranno supporre ri- dotte alla forma : (i) l=l{U ", v), -n = -lO, », t')» ^ = ^0, >h -v), dove /( e v sono due parametri arbitrari il cui valore serve ad individuare le singole curve, e / è una variabile che definisce i punti di ciascuna curva in particolare; ?, vi, C sono le coordinate correnti, che supponiamo ortogonali. Cerchiamo la condizione che deve essere soddisfatta dalle funzioni e,, ti, "C, affin- chè esista una superficie che incontri normalmente tutte queste curve. Se nelle equazioni (i) si sostituisce al posto di / una funzione determinata di u e di V, le equazioni stesse rappresenteranno un punto (od al più una serie discontinua di punti) della linea (;(, t'), e variando k e v in tutti i modi possibili si otterrà un sistema continuo di punti, costituente una superficie. Le ;< e x» fanno l'uflicio di coor- dinate curvilinee (Gaussiane) rispetto a questa superficie, e le projezioni di un suo eie- I08 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 mento lineare sui ire assi sono de =-^dt-]-^du-\-^dv, dt ' a II ' av (2) { dr,— -^ dt-\- ^-du -^-^dv , \ dt Oli ' dv ^r ^y ^r dZ^X^dt-^^^duA-^^dv, di ' du ' dv ' dove si deve intendere sostituita per / una funzione di ;/ e di v. Per il punto (e, r,, ì^) di questa superficie passa una linea del sistema (i), che ha ivi per tangente una retta la quale fa coi tre assi angoli i cui coseni sono proporzionali alle quantità d^ dn dZ dt ' dT' dT ' Affinchè questa retta coincida colla normale alla superficie testé considerata, è neces- sario e sufficiente che si abbia, per ogni valore di ;; e di v, ossia, ponendo per brevità (H) +(!?)■+ (If) = -. dld?,^^d'rid'rid'(,dZ .. d t d7i '^ dT d~ii ~^ à t dTi ~ ' HH,drtdrtd^dK_y dtdvdtdvdldv ' ed osservando le (2), (3) Tdt-j- Udu -{- Vdv = 0. Perchè esista la superficie ortogonale bisogna dunque che si possa assegnare una fun- zione di H e di V tale, che messa al posto di / in quest'ultima equazione, la renda identicamente soddisfatta; e reciprocamente, se esiste una utl funzione, esiste anche la superficie ortogonale. In altre parole, è necessario e sufficiente che l'equazione diffe- renziale totale (3) possa essere integrata per mezzo di mia sola relazione finita fra le /, u, V, ossia che risulti soddisfatto il noto criterio d'integrabilità dei differenziali a tre variabili ,, ^(dU dr\ . ^idV dT\ . ../dT dU\ 9] RICERCHE DI A\ALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. IO9 Tale è la condizione dell'esistenza di una superficie ortogonale alle linee (i). Giova distinguere tre casi : i") Quando l'equazione (4) è identica, l'equazione (3) ha un integrale finito con una costante arbitraria, epperù le superficie ortogonali sono in numero infinito ; 2°) Quando l'equazione (4) non è identica, ma stabilisce fra le /, /(, v una relazione che soddisfa all'equazione differenziale (3), questa non possiede che un integrale partico- lare, che è la stessa equazione (4), epperù non esiste che una sola superficie ortogonale ; 3°) Finalmente, se non si verifica alcuno dei due casi precedenti, non esiste al- cuna superficie ortogonale e quindi il problema non ammette soluzione. Nei primi due casi l'equazione ordinaria in £, v), ^ della superficie ortogonale si ottiene eliminando le /, /(, v fra le equazioni (i) e l'integrale dell'equazione (3). n. L'equazione (4) si semplifica alquanto allorché la variabile / è l'arco della linea (;/, i'), contato da un certo punto, che si può considerare come l'intersezione della linea stessa con una superficie iniziale arbitraria, la cui equazione si otterrebbe ponendo t^o nelle (i) ed eliminando u,v. In questa ipotesi si ha T=i, e la condizione (4) assume la forma più semplice . . dU dF . ,,dV .,dU ^-"^ dv da ^ dt dt Questa circostanza si verifica particolarmente nel caso, degno di speciale conside- razione, in cui le linee del sistema (i) sieno rette. Infatti le equazioni (1) assumono allora la forma : (6) y, = y + iY, dove X, Y, Z sono i coseni degli angoli che la retta (;/, t') fa coi tre assi; x, y, :^ sono le coordinate del punto d'intersezione della retta variabile colla superficie iniziale, / la porzione di retta compresa fra questa superficie e il punto (i, ■/), C). Le sei quan- tità .V, _)', \^, X, Y, Z sono funzioni determinate delle due variabili /( e v. In questo caso si ha d II d n da' (7) , \ av o V 0 V no RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 du a r 57 = °' a7 = °' per cui la condi'^ione (5) diventa semplicemente m du_dF ^^^ dv ~ dn ' od anche, sostituendo i valori (7) e riducendo dX dx dYdy dZ d:i_dX dx dY dy dZd^ ^ -^ dv d li dv d II dv d II d it d v d 11 d v d 11 d v ' La condizione dell'esistenza di una superficie normale ad un sistema di rette venne data sotto questa forma dal sig. Kummer *). Si può supporre invece che i coseni X, Y, Z sieno dati in funzione delle coor- dinate X, y, :i del punto in cui la retta incontra la superficie iniziale ; in questo caso, esprimendo le derivate di A', 1', Z rispetto ad 11, v per quelle rispetto ad x, y, :^, si ottiene /dY dZ\/dydi dyd:^\ /dZ dX\/d::dx didx\ \ dy dy/Xdudv dvdii/ \dx d:i/\dndv dvdiij \ dy dx / \d u dv 5 v 3 11 f ' ossia, rappresentando con F(.v, y, -) ^ o l'equazione della superficie iniziale, ed os- servando che si ha dF dx , dF dy , dF dr dx du dy dn 8^ d;( ' d F dx d F d y ^^ d F d ^ dx dv dy dv d:i dv ' (dY dZ\dF (dZ dX\dF (dX dY\ ^'"■> \ d:i dy I dx ~^\dx di) dy + V dy dx } dF dz Se la superficie iniziale F=o si considera come data, quest'equazione, combinata colla F ^ 0, è la condizione cui devono soddisfare le funzioni X, Y, Z, affinchè le rette che partono da quella superficie formino il sistema delle normali di una medesima *) Alljemeine Tbeone Aer griidlinigeii Stiahlensysteme Ij.iurnal tur die reine und angcwandle Ma- thamtik, Bd. LVil (i85o), pag. 189]. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I I I superficie. Ma se, col sig. Abel Transon *), si considerano le .v, y, - come le coor- dinate di un punto qualiuiqui dello spazio, e la funzione F come indeterminata, es- sendo infiniti i valori di questa funzione clie possono soddisfare all'equazione (io), è chiaro che esistono sempre, ed in numero infinito, superficie dotate della proprietà di contenere i punti di partenza di un sistema di rette normali ad una stessa superficie. Ritorneremo in seguito su questa quistione. Se, attenendoci alla prima ipotesi, supponiamo già eliminata la - dalle funzioni X, Y, Z per mezzo dell'equazione F = ;^ — ;^(x, _y) = o, la (io) diventa od anche ^(X + /,Z) = ^(7+,Z). A questa tormola, dalla quale reciprocamente potrebbe ricavarsi la (io), pervenne il sig. DiEU **). Essa trovasi anche nell'eccellente Traili de calati différeniiel del sig. Ber- trand, § 648. L'equazione (8) esprime, come è notissimo, che l'espressione Ud 11 -j- Vdv è il differenziale esatto di una funzione delle due variabili u e v. Dalle (7) si ha poi Udii -\- Vdv = Xdx + Ydy 4- Zdi, cosicché l'esistenza di una superficie ortogonale richiede che quest'ultimo trinomio possa divenire, mercè l'equazione in x, y, x. della superficie iniziale, il differenziale esatto di una funzione di due variabili indipendenti. Questa proprietà si può interpretare geo- metricamente, come può vedersi nel citato libro del sig. Bertrand. m. Supponiamo che la condizione (8) sia identicamente soddisfatta e che esista quindi una funzione 9(//, v^ tale che si abbia Udu-\- Vdv = d.(/(, v), e l'equazione (17) diventa (ll)"+(ll) = '■■/«■ Per una superficie sviluppabile si può prendere >>=i, e si ricade cosi nella nota equazione del parallelismo nel piano *}. L'equazione (17) venne data anche da Gauss **), che la dedusse dalla trasforma- zione delle coordinate curviUnee; essa fu recentemente richiamata dal sig. Weingar- TEN ***), il quale ha osservato come essa corrisponda all'equazione del moto di un punto sopra una superficie, quando sul medesimo non agiscano forze esterne. V. Restituiamo a 9 il significato che ha nell'equazione (11), ed indichiamo con s l'arco della linea cp := cost. ; avremo do dn d'^ _ dv „ dv ' ds d II ' d s e quindi *) Bordoni, Sul parallelismo [Atti dell'Istituto Lombardo, voi. I (1858), pag. 209]. **) Disquisiilones generales circa superficies curvas, art. XXII. •**) Ueher die Flàcììeii deren Kormalen eiiie ^egebene Flàche berùhren [Journal fùr die reine und angewandte MathematiU, Bd. LXII (1863), pag. 61J. 5] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I I9 ds I /d.xdf d.xd':^\ H \d II dv dv da/ ' dy I /dyd'f dydo\ ds H \dii dv dv d n J ' d:^ I /dx.S'ù 5;^5'p\ ds Hydiidv dvdtij' da queste forniole, chiamando to l'angolo che la retta (X, Y, Z) fa colla tangente alla curva 9 = cost., si deduce . „. dv da (^lOj COS (0 = jj , ossia, per le (i i), COS (0 :^ o . Dunque: le curve 9(//, i') = cost. sono iiicontrak normalmente dalle rette del sistema. Non si deve credere che l'esistenza di queste traiettorie ortogonali sia caratteristica dei sistemi di rette normali ad una superficie. Qualunque sia la superficie iniziale, si può sempre tracciare in essa una serie di linee che segliino normalmente le rette di un sistema arbitrario. Questo fatto emerge da considerazioni geometriche che si aifac- cieranno spontaneamente alla mente del lettore : ma esso risulta immediatamente anche da ciò che qualunque siano le funzioni U e V, esiste sempre un numero infinito di fattori — , funzioni di /( e di v, che rendono il primo niembro dell'equazione Udii + Vdv = o difierenziale esatto di una funzione •!>(/(, i'), cosicché ^ — du ' dv ' epperù ^^ ^^-~ = °' OV 0 II donde consegue, in virtù della (i8), che le curve <1> = cost. sono incontrate normal- mente dalle rette del sistema, benché non obbediscano a veruna condizione speciale. Ma questa stessa circostanza ci conduce a dare un nuovo enunciato alla condizione perchè esse sieno normali ad una superficie. Infatti, chiamando zs^ il parametro diffe- renziale della funzione »!», si ha, rammentando la (14), sen (i = T! 120 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Ciò posto, se l'espressione UcÌk -\- Fdv è un differenziale esatto, è lecito prendere T= I ; e reciprocamente, se il fattore t che produce Udii -\- Fdv = '^d^^ può esser Amo utruale ad i, quell'espressione è un diflerenziale esatto. Ora al valore - = i del fattore (quando questo valore è ammissibile), corrisponde una forma o della funzione <1> per la quale si ha sen 6 = zujp . Possiamo dunque dire che : ajfinchè le rette del sistema sieno normali ad una super- ficie è necessario e sufficiente che le curve tracciate nella superficie iniziale ortogonalmente alle retti stesse, possano essere distribuite in modo che il loro parametro differen:(iale eguagli in ogni punto il seno dell'angolo che la retta corrispondente fa colla normale alla superficie. Richiamandoci in mente la relazione fra due sistemi di rette, derivati l'uno dall'al- tro nel modo esposto all'art. Ili, possiamo formulare nel modo che segue la loro di- pendenza geometrica : Le rette del sistema primitivo e di uno qualunque dei sistemi derivati sono incontrate ortogonalmente da una medesima serie di curve tracciate sulla superficie iniziale. Il rapporto dei seni degli angoli che due rette corrispondenti fanno colla normale a questa superficie nel punto comune, è costante in tutti i punti di una di queste trajettorie e varia soltanto da una trajettoria all'altra. Ranmientiamo che questa seconda proprietà è una conseguenza necessaria della prima, ammesso che i due sistemi debbano essere normah a due superfìcie. Reciprocamente se due sistemi sono connessi da queste due relazioni e se le rette dell'uno sono normali ad una superfìcie, anche quelle dell'altro sono dotate della stessa proprietà. Se la superfìcie iniziale si considera come limite di un mezzo eterogeneo, è chiaro che l'indice di rifrangibiliti, variabile da un punto all'altro di questa superfìcie, sar.\ costante lungo certe linee tracciate in essa : possiamo quindi formulare il seguente teo- rema, che è una nuova generalizzazione di quello di Malus-Dupin. Se un fascio di raggi luminosi, normali ad una superficie, si rifrange alla superficie di un mex^o eterogeneo, la condizione necessaria e sufficiente affinchè i raggi rifratti sieno pure normali ad una superficie è che le linee lungo le quali è costante l'indice di rifran- gibilità incontrino ortogonalmente i raggi incidenti. h chiaro che qui assumiamo come direzione di un raggio rifratto quella della tan- gente alla curva che esso descrive nel mezzo rifrangente. Nel caso attuale chiamando »(«, i') l'indice di rifrangibilità nel punto (ii, t'), si avrà (art. Ili) 5] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 121 quindi U'iin + V'dv = —f(ii)dt = — dt^, e la costruzione della superficie ortogonale ai raggi rifratti si otterrà dalla formola ', =^ JK") di -{-Cosi., dove n dovrà esprimersi in funzione di /, o / di n. VI. Consideriamo le rette del sistema primitivo conie invariabilmente connesse colla superficie iniziale (scelta ad arbitrio). Non farà difficoltà concepire questa connessione quando si supponga che la retta uscente da un punto dato debba formare angoli dati (variabili da punto a punto secondo leggi determinate) colle tangenti a due curve arbi- trarie tracciate per quel punto sulla superficie, per es. alle due curve dei sistemi M = cost., V = cost. che passano per il punto considerato. Nulla impedisce allora di supporre che la superficie, considerata come flessibile ed inestendibile, assuma una qua- lunque delle infinite forme conciliabili colla sua natura, trasportando con sé tutte le rette del sistema: a ciascuna di queste forme corrisponderà evidentemente una dispo- sizione pienamente determinata di quelle rette. Sieno a.Q.i,v), ^(u,v) gli angoli che la retta (X, Y, Z) fa colle curve u = cost.. Il = cost. nel punto (k, v), in cui essa incontra la superficie iniziale. In virtù dei va- lori (7) si ha , U = Ve. cos a , F = VG. cos p , e quindi la condizione dell'esistenza di una superficie ortogonale diventa ' ò(t/£'.cosa) _ a(yG. cosp) dv d II Ora le quantità E, G rimangono inalterate nelle varie flessioni della superficie ; gli angoU a e fi rimangono anch'essi, per ipotesi, formati sempre nello stesso modo con u e v: dunque se l'equazione precedente è soddisfatta quando la superficie ha una certa forma, essa non cessa d'esserlo in tutte le possibili trasformazioni della superficie stessa. Abbiamo dunque il seguente teorema : Se le rette coinpoiieiiti un sistema sono normali ad una superficie, e se queste rette si considerano come invariabilmente connesse ad una superficie arbitraria (nei punti in cui esse la incontrano), in ogni flessione di questa superficie esse si manterranno sempre nor- mali ad una superficie. BELTRAMI, tOmO I. l6 122 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Rammentiamo ancora che l'equazione (3), nel caso delle rette normali ad una su- perficie, dà / = Cost. — o (;(, t') , dove / è la lunghezza che si deve portare su ciascuna retta, partendo dalla superficie iniziale, per ottenere il punto d'intersezione con una delle superficie ortogonali. Questa lunghezza non dipende che dalla funzione 9, la quale è data dall'equazione ]/E. cos a d II -\- \/G. cos '^dv = J 9 , e che rimane quindi inalterata, per le ipotesi fatte, in ogni flessione della superficie ini- ziale. Dunque: comunque si trasformi questa superficie (supposta flessibile ed inestendi- bile), il luogo geometrico degli estremi delie lunghe^^e t, riteìinto che le rette restino sempre connesse alla superficie, non cessa mai d'essere una superficie ortogonale alle rette stesse. Queste proprietà, combinate con altre che esporremo in seguito, ci serviranno a mettere in piena luce i bei risultati otLcnuti recentemente dal sig. Wf.ingarten *), ri- spetto a certe classi di superficie applicabili le une sulle altre. VII. Fra le varie ipotesi che si possono istituire sulla disposizione delle rette rispetto alla superficie iniziale, merita speciale attenzione quella in cui tutte le rette che incon- trano una delle Unee 9 = cost. fanno un angolo costante colla superficie, per modo che si abbia sen 0 =: /(?) • • In questo caso, supponendo che tutte le rette del sistema sieno normali ad una mede- sima superficie, si ha \d%, poiché le curve ;= cost. sono, per ipotesi, parallele fra loro. Ma d'altra parte, per la costanza dell'angolo 0, si ha anche senO =/( è un differenziale esatto a due variabili. Come caso particolare del precedente teorema, possiamo enunciare quest'altro: se un sistema di rette, normali ad una inedesiina superficie, incontra sotto un ajigolo costante un'altra superficie, le infinite linee che si possono tracciare su questa, normalmente a quelle rette, sono le sviluppanti geodetiche di una medesima curva, ossia hanno per trajcttorie or- tozonali un sistema di lince geodetiche. Da questo teorema, nel caso che l'angolo sia nullo, deriva spontaneamente que- st'altro, conosciuto *) : Se un sistema di rette, tangenti ad una medesima superficie, e normale ad una me- desima altra superficie, esso si compone delle tangenti ad una serie di lince geodetiche trac- ciate sulla prima superficie; e reciprocamente : Se si traccia sopra una superficie qualunque una serie di linee geodetiche, le rette tan- genti a queste linee costituiscono il sistema delle normali ad una medesima superficie. Si dimostra facilmente che in questo caso la prima superficie è il luogo dei centri di curvatura della seconda. Le ultime proprietà si possono dimostrare direttamente mediante l'equazione d (VE cosai) _8(/Gcosp) dv du *) Veggasi Bertrand, TraiU de calcili différentiel, § 66i, 662. 124 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 stabilita nell'art. VI. Supponendo infatti che le linee v ^= cost. sieno quelle a cui le rette sono tangenti, e supponendo inoltre F^o, si avrebbe cos a e la precedente equazione si ridurrebbe alla dfÈ dv cos fi = 0, la quale esprime appunto che le linee v = cost. sono geodetiche. Si osserverà anche che nel caso attuale le linee 9 = cost. sono le trajettorie orto- gonali delle geodetiche. Per tutti i punti di una di queste trajettorie la disanza ( da una delle superficie ortogonali a tutte le rette è costante, perchè data dalla formola t = cost. — (p. D'altronde questa distanza è uno dei raggi di principale curvatura della superfìcie ; abbiamo dunque la seguente proprietà *) : il raggio di principale curvatura d'una superficie è costante lungo le linee che corrispondono alle trajettorie ortogonali delle geodetiche iìivilnppate dalle normali, sulla superficie dei centri di curvatura relativi al raggio stesso. Vili. Restituendoci nel caso generale considerato nell'art. I, supponiamo che le linee sieno rappresentate, come d'ordinario, da due sole equazioni fra le x, y, :^- con due parametri arbitrarli u e v, le quali supporremo ridotte alla forma : (19) «(-v, y, 0 = « . ^'(-^". ;'> 0 = "^ • Poniamo per brevità d u dv d~ydl dudv d-^dy = -P, dudv dudv ^ did.x 3 .V 5 : dudv dudv d x d y d y d X R, *) Notata dal sig. Weingarten, nel Journal fùr die rcine und angewandte Mathematik, Bd. LIX (1. e). Il teorema dato dal inedesiiio geometra nel t. LXII dello stesso Giornale, pag. 62, è una im- mediata conseguenza dell'attuale. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I25 e rappresentiamo con d^ = pJ x -\- qdy l'equazione della superficie (ipotetica) che sega ortogonalmente tutte le curve (19). Si dovrà avere — />_ — ?_ I P ~ O ~ R ' e poiché l'equazione differenziale d^=^pdx -\- qdy deve potersi integrare mediante una sola equazione fra le x, y, ;(, anche l'equazione Pdx-^ Qdy-\- Rdi^o dovrà essere dotata della medesima proprietà. Perciò la condizione necessaria e suffi- ciente per l'esistenza di una superficie ortogonale alle linee (19) è (») K4^-4f)+2(4f-4f)+*(4f-4f)- Si possono fare su questa equazione osservazioni analoghe a quelle cui diede luogo l'e- quazione (4). Essa può essere trasformata con vantaggio, nel modo seguente. Indichiamo per brevità cogli indici i, 2, 3 le derivazioni parziali relative alle va- riabili X, y, :{ e poniamo «..+ ".. + ";3 = ^' ^.. +^'.. + ^33 = ^> dO dR Si trova facilmente 5v dy ÒR dP dx di dP dQ 2 > = Uv^ — Fu, + //, — K dy dx ' > I . i per cui osservando le relazioni identiche ^«. + G»a+ ^"3 = O' Pv^ + Qv,_ -f- Rv. — o, 126 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 si vede clie la condizione (20) può scriversi PH^ -{-OH^-^RH. = PK\ -\- OK^ + RK. . Indichian-o ora con ^.v, ^y, S;: i differenziali di x, y, z. relativi ad uno spostamento infinitesimo lungo la tangente alla linea che passa per il punto (.v, )', 0- ^i ^""^ '-"^■'" dentemente ^x oy o^ quindi l'equazione precedente può scriversi anche cosi : //,^x -)- H,Jiy + H.Jìi = /v.^v + K^y + K.ìi-^. Se si ripongono in questa equazione i valori di H^ s K^, si scorge immediatamente che il risultato può essere messo sotto la forma : (21) », 'Vi', -\- n^^v, -\- n,ìiv. = t'j^", + ■^2'^ "2 + l'.^Kj , conservando alla caratteristica S il senso or ora dichiarato. Questa nuova forma della condizione (20) ci sarà utile in seguito. Se le due equazioni che definiscono il sistema non fossero sciolte rispetto ai pa- . dP . . rametri 11 e v, bisognerebbe sostituire nella (20) in luogo di -^-^ , acc. le espressioni dP dPdn dP dv 8^+ dn dx^ dv dx' ^^^•' dove per ^ ^r— ecc. sarebbero da surrogarsi i valori cavati dalle due equazioni a X a X proposte. Questa operazione non presenta alcuna difficoltà, tranne la lunghezza del cal- colo; ma converrà quasi sempre eseguirla in ciaschedun caso particolare. IX. Consideriamo le (19) come le equazioni di due superficie, per le quali u e v ab- biano due valori costanti, e poniamo dudvdndvdiidv d:xd~x^dj'd~y'^'dld^~' 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I27 Chiamando /., [^., v gli angoli che la normale alla prima superficie fa coi tre assi ; 1^ , y.^ , v^ le quantità analoghe per la seconda, si ha 1 òli 1 du 1 du cos / ^ — -=^ ^— , COS [J. =z —-=r- ^r— , COS V z= ——- ^— \/L dx' ' VL dy' ^L di' 1 dv I dv I dv cos A, := — = ^— , COS U. := —-^ ^— , COS V = —= •^— , da cui deducesi facilmente, per l'angolo w delle due superficie, l'espressione M cos 0) =: Vln L'equazione delle linee di curvatura della prima superficie si può mettere, come è noto, sotto la forma : (cosv dy — costi. d:i)dcosl -\- (cos>. (i;^ — cosv dx)d cosy. -\- (cosa dx — cos>v dy)dcos'j = o. Da quest'equazione e dalla COS "k. d cos 1 -\- cos [J.. d cos [j. -\- cos v. d cos v = o si deduce d cos 'X d cos [j. d cos v ^ 'nr'^^d^^i^ ^' ossia, ponendo per cosi, cos[;., cosv i valori precedenti e indicando con / un fattore indeterminato, Ldii. -ii.dL =^ Id X , Ldii, — —H^dL =^ lày , Ldii, -11, d L ^^ Id 7 . A queste equazioni, che sono in sostanza solamente due, si possono surrogar quelle che si ricavano da esse moltiplicandole ordinatamente prima per u^ , u^ , ti, , poi per v^, v^, V. e sommando ciascuna volta. Il primo risultato è una identità; il secondo è L(i\du^ + '^'^'■i":, + v.i-^ti.,) = -^MdL -f Idv , *) Le equazioni delie linee di curvatura furono date per la prima volta sotto questa forma uti- lissima dal sig. O. RoDRiGUES nella Correspondance sur l'Ecole polytechnique, t. Ili (i8i6), pag. 163. 128 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 dove i differenziali si riferiscono sempre a variazioni lungo una linea di curvatura della prima superficie. Se questa linea di curvatura fosse l'intersezione delle due superficie, si avrebbe lungo essa dv =^ o; quindi l'equazione (22) L(i\^H^ -}- t'jS", -{- v.^ti,) = -^MSZ, esprime la condizione perchè l'intersezione delle due superficie sia linea di curvatura della prima di esse ; purché i differenziali S s'intendano riferiti ad una variazione lungo la curva d'intersezione. Analogamente l'equazione (23) N(ii^^v^ + n^ì)v,_ + n.Jìv,) = |MSìV esprime la condizione perchè la stessa linea d'interseziona sia linea di curvatura della seconda superficie, ritenendo sempre per S il significato anzidetto. Quando le due equazioni (22), (23) sono simultaneamente soddisfatte, la linea di intersezione delle due superficie è linea di curvatura tanto dell'una quanto dell'altra. In questo caso si può dedurre facilmente da quelle equazioni un elegante teorema di Ter- auEM *). Sommandole dopo averle rispettivamente divise per LM, MN si trova M ossia ~ 2 \L ~^ N ) S ( log , ) = o. M In virtù del si:^nificato di ^, questa equazione esprime che la quantità — =- , os- sia l'angolo (0 delle due superficie, è costante in tutti i punti della loro comune inter- sezione. Questo teorema, di cui il sig. Brioschi ha dato una bella dimostrazione ana- litica **), si può stabilire anche geometricamente, come può vedersi nelle mie ricerche : Stilìa teoria delle sviluppoidi ***). Si può osservare che le equazioni (22), (23) possono scriversi nel modo seguente: *) Enunciato a pag. 402 del t. XI (1852) dei Nouvelles Annales de Mathématiques. **) Annali di scienze matematiche e fisiche (di Tortolini), t. IV (1853), pag. 129. La dimostra- zione precedente non differisce sostanzialmente da quella di Brioschi. ***) Annali di Matematica pura ed applicata, t. IV (1861), nota a pag. 274; oppure queste Opere, voi. I, pag. 26. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 129 «. «. «. ». "3 ^'. "-'. "'•'3 Sa, -ì». '^«3 «■ ». "3 ^. ^'. ^3 ^^ ^'. V K-, Si' Sx» = o, = o . Si possono anche eliminare intieramente dalle suddette equazioni i difFerenziali ^, e ridurle fra sole quantità finite. Osserviamo per ciò che, ricordando il significato delle lettere P, Q, R (art. prec), si ha dove ■/. rappresenta un opportuno fattore : qualunque sia la funzione W si ha dunque IW = y. (U-, P -j- «l^^ O + W. R) . In base a ciò le (22), (23) si trasformano facilmente nelle seguenti : L(PA', + 2 a; + RK^) = |Af(PZ., + 24 + RL^), N(PH^ -\-QH^-{-RH,) = \M{PN^ -{-0N^_+ RN^, nelle quali non entra più alcun differenziale. Supponiamo che i due sistemi di superficie rappresentati dalle (19), quando le n, V sono parametri arbitrarli, sieno ortogonali. Si avrà identicamente »i'^'i 4" "i'^'j ~1~ "■■^'- ^^ ^ ' e quindi anche (24) u^ìit\ -\- u,'hi\_ -(- »,SVj = — (^.^"i H~ ''■','^"2 4* ^'3'^»;) > qualunque sia la variabile cui si riferisce la caratteristica S. Ora, se questi due sistemi di superficie sono segati ortogonalmente da un terzo sistema, questo deve evidente- mente segare ad angolo retto anche tutte le curve d'intersezione fra le superficie dei due primi, e quindi dev'essere soddisfatta l'equazione (21). In virtù dunque di questa e della (24) si avranno le due identità u^^i\ -\- u^>. Ciò deducesi immediatamente dallo stesso metodo d'integrazione di Lagr.^xge, ma risulta anche da ciò che il Jacobiano di n soluzioni distinte è nullo in virtù dell'equazione proposta, per cui queste n soluzioni non possono essere indipendenti. Nel caso consideratj dal signor Transon le funzioni [i. ed F soddisfanno ad un'equazione della forma indicata, alla quale soddisfa pure l'integrale U per la proporzionalità di .Y, Y, Z a - — , ^ — , ^ — : dunque una di queste tre funzioni deve esser funzione delle altre due. I 34 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 delle rette in discorso, si ha (26) '; = .v + ix, -,=;. + / 7, ^ = --f/z, e se queste equazioni si suppongono risolute rispetto ad .v, v, :;;^ (di cui sono funzioni date le X, Y, Z), si avranno le coordinate dei punti da cui escono le infinite rette passanti per il punto (^, r,, C), espresse per la variabile indipendente t. La direzione della tangente alla linea luogo geometrico di questi punti si otterrà dunque per mezzo delle formole n-'^-^A-X^-tl^^ ^.v aX dy dX cì-,\ ^-jf + ^+'y-d^jf + jyjT + JTJT)' n - ^ 4- 7 4- / / il 1^ 4- ^ il + il i^ \ ^-~ di '^ '^ \dx di "^ dy dt '^ di di}' °— di '^ ~^ \dx dt ~^ dy di "^ d:^ di) ' ma se la linea si riduce ad una retta, essendo / la lunghezza di questa retta, e la di- rezione di essa dovendo coincidere con quella della retta del sistema passante pel punto (;, y,, T), si avrà, vista la direzione in cui si sono contate le /, d.\_ y (/_)'_ y !Ìl — 7. 77 ~~' di -''~ ' di ^ ^' epperù dalle equazioni precedenti si dedurranno le condizioni dX_d^ dX_ dy_ _8X d^ _ dx di ~^ dy di '^ di di ~°' dY_dx d^dy_ dì^di _ dx di '^ dy dt ~^ di di ~°' dZ dx ^^ dZ dy d Z di dx Ti ■" dy Ti ' di Tt ~ ° ' lo quali esprimono che i coseni X, Y, Z, relativi alle rette passanti pel punto ($, •/), ^), non dipendono punto da / ; ciò che è evidente, ed avrebbe potuto servire come punto di partenza, giacché se la linea direttrice della superficie conica (che passa già pel suo vertice) riducasi ad una retta, tutte le generatrici devono sovrapporsi l'una all'altra. Eliminando le -7^ , -p- , -^-^ , si perviene cosi alle condizioni cercate al al al 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 1 jj A^ H Y-^ \- Z^ — = 0 , ax óy ó:^ r-^ ì Y ^ ^ I V ^ ^' L 7 ^ ^' ^ dx ' dy ^ ói^ ax dy ' d:( Osserviamo che se, in luogo del punto (E, 'o, T), si considerasse il punto (c,-\-l^X, 'fì-\-tgY, ^-\-t^Z), appartenente alla retta che passa per il primo punto, le equazioni analoghe alle (26), per il secondo punto, non differirebbero dalle prime che per il cambiamento di / in / — l^. Ora poiché, supponendo soddisfatte le condizioni (27), i coseni X, Y, Z espressi per ?,, n, ^ sono indipendenti da /, è chiaro che i valori dei coseni stessi non varieranno, quando si sostituisca e -j- /^X, '/i -J- t^Y, % -\- t^Z al posto di E, Vi, ^. Con ciò rendesi pienamente ragione del come accada che il sistema di rette, benché dipendente da tre parametri, riducasi non pertanto ad un sistema semplice. Notiamo che le equazioni (27) equivalgono a due sole realmente distinte, perchè se si moltipHcano rispettivam.ente per A', F, Z e si sommano, si ottiene un risultato identicamente nullo, in virtù delle derivate dell'equazione X' -\- Y' -\~ Z' = i. Sottraendo queste derivate dalle precedenti equazioni, si ottengono le equivalenti [dy dx ) - ^\dx di ) ' ^U^ dy)—^\dy dx)' (dZ dX\_,,ldY dZ\ alle quali si possono sostituire le due seguend : dY dZ dZ dX dX dY di dy _ dx 5v _ dy dx (^^) X - Y a meno che non si abbiano simultaneam.ente le tre relazioni dY dZ dZ dX dX dY (29) ^r r = 0, -;- ^; =0, ^ ^ =0. ^ ^^ 5- dy dx d :i dy dx Consideriamo dapprima questo secondo caso. 1-6 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Quiind'esso si verifica, l'equazione (io) dell'art. II è soddisfatta indipendenten^.ente dalla funzione F: dunque le rette del sistema corrispondente sono normali ad una me- desima superficie. Inoltre le equazioni (29) esprimono evidentemente che X, Y, Z sono le derivate parziali di una stessa funzione 9 di x, y, :(. Questa funzione è tale che sod- disfa all'ejuazione e che, eguagliata ad una costante arbitraria, definisce la serie delle superficie ortogo- nali alle rette del sistema. Siccome queste superficie sono parallele fra loro, così i va- , . do do do , . ... r \ ■ lori delle derivate -^ , -^r^ , ^ non cambiano quando il punto (x, y, i) si muove dx a y a z, lungo una normale, cioè quando le coordinate .v, y, ;^ si mutano in .v-f-'A', y -{- tY, Z^-\-lZ: il che conferma quanto abbiamo osservato al principio. Del resto questo pa- rallelismo, che noi deduciamo a priori dalla natura della quistione, si può stabilire in modo diretto come segue. Rappresentiamo con x^, y^, ;^„ le coordinate del punto d'in- contro della normale alla superficie ? = cost., nel punto (.v, y, ^~), colla superficie ?:=o, e con /; la distanza di questi due punti ; avremo, per la (30), do do do ^■-^'° = "di^' y-yo = "j-y' i-io = n^^, la cui (x - o^.v -f 0- - -O^;' + a - io)^i = «^? . riferendo la caratteristica ^ ad uno spostamento nel senso della normale ;/. Ma d'altra parte si ha anche (a- - .rj ^ .V + (y - Y J ^y -\- (l — 0^l= n^7i dunque ^9 = ^;;, ed, integrando lungo la normale, 9 = ", poiché n deve annullarsi per 9 := o. Questo risultato si può enunciare dicendo che : ie 9 è una soluzione qua- lunque dell'equazione (30), il valore che questa funzione riceve per un certo sislema di valori (x'y y', :i') delle variabili x, y, z, misura la distanza delia superficie 9{.^, >'. 0 = ?(^''> }■'. O dalla superficie donde consegue che tutte le superficie contenute nell'equazione 9 :^ cost. sono parallele fra loro *). Ora qualunque sia la superficie iniziale da cui escono le rette (X, Y, Z), se *) L'equazione (;o), che definisce il paralleliiiiio delle superficie, fu data da Bordoni, nella Me- moria citata all'art. IV. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I37 si prende su ciascuna di esse, partendo da questa superficie, la lunghezza t data dal- l'equazione t -\- o ^ cost., si ottiene, in virtù dell'equazione (3) dell'art. I, una superficie ortogonale a tutte le rette. Questo fatto è, nel caso attuale, reso evidente da quanto precede, poiché

^0 . per cui i coseni corrispondenti si possono riguardare come {unzioni delle sole n, v. Le equazioni della retta generica sono, in quest'ipotesi, le stesse (33). Se da queste equazioni caviamo i valori di 11, v in funzione di x, y, ;^ e li riponiamo nei coseni 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I 39 X, Y, Z, avremo questi coseni espressi per le coordinate di un punto qualunque della retta, e queste espressioni, pel modo stesso in cui furono ottenute, rimarranno eviden- temente invariate qualunque sia il punto che si prende sulla retta, vale a dire non can- gieranno valore quando x, y, :^ diventeranno .v -f- ^X, y -\- l Y, i_-\- tZ. Otterremo dunque un sistema nel quale, sebbene entrino i tre parametri indipendenti x, y, 7^, pure non passerà che una sola retta, od un numero limitato di rette, per ogni punto dello spazio. Da queste considerazioni risulta manifestamente che le equazioni (27) o (28) non impongono alcuna speciale condizione geometrica ai sistemi semplici di rette che se ne ricavano: esse non determinano che la forma delle funzioni da cui sono definiti questi sistemi, quando vengono considerati come complessi. Osserveremo per ultimo, che il numero delle funzioni arbitrarie introdotte dall'in- tegrazione è solamente in apparenza maggiore di quello che la teoria richiede : non l'abbiamo ridotto al minimo, per conservare la simmetria delle formole ; del che ognuno potrà facilmente convincersi. Il problema trattato è un caso particolare del seguente : «Trovare i valori generali delle funzioni ?,, ?2, • • • ?,„ che soddisfanno alle w equa- zioni a derivate parziali ^■a^ + -^^a7,+ + "ó^--° o==i, 2, ...„o. in cui i coefficienti P_, P^, ... P^, canali in tulle le equazioni, sono funzioni qualisi- vogliano delle variabili indipendenti x, , .v, , . . . a;, e delle funzioni cercate rp, , 9^ , ... 9^,^ ». La risoluzione di questo problema, quale risulta dalla teoria generale e dalle conside- razioni usate precedentemente, consiste nel trovare gli n — I integrali completi JXx, , A-, , ... A-„ , O, , ?^ , . . . (p,„ , /(, , n^, ... H„_ J = O (, = 1,2, ... n~l) del sistema d'equazioni differenziali ordinarie dx^ dx^ ^x„ in cui le quantità cp_, 9^, ... o^_^, si devono considerare come costanti; nell'egua- gliare queste quantità ad altrettante funzioni arbitrarie delle costanti d'integrazione /( , "2 ) • • ■ "„_, > e nel sostituire in queste funzioni stesse i valori ricavati per queste co- stanti dalle n — i equazioni integrali, nelle quali esse entrano tanto esplicitamente, quanto implicite nelle ?, , 9^, . . . 9^. È chiaro che questa soluzione contiene il debito numero di funzioni arbitrarie. V 140 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 XIII. Le superficie si possono considerare sotto due aspetti assai differenti, cioè o come limiti di solidi, o come solidi flessibili ed inestendibili, una delle cui dimensioni si ri- guardi come evanescente *). Quando si adotta questo secondo punto di vista, le proprietà delle superficie ven- gono a dividersi in due classi : l'una comprende quelle proprietà che sono essenzialmente connesse colla forma speciale che si attribuisce attualmente alla superficie considerata, e che si modificano insieme con essa; all'altra classe appartengono invece quelle pro- prietà che sussistono indipendentemente da ogni particolare determinazione della forma stessa. Queste ultime possono chiamarsi assoliilc, le prime relative. Cosi, a cagion d'esem- pio, il celebre teorema di Gauss, relativo alla conservagliene della curvatura, esprime una proprietà assoluta la quale, e per la generalità di cui è dotata, e per la vastità delle ricer- che a cui apre la via, merita certamente di essere riguardata come una delle più impor- tanti conquiste dell'analisi moderna. Allorché si considerano le superficie sotto questo secondo aspetto, l'ordinaria rap- presentazione cartesiana rendesi poco opportuna, siccome quella che è troppo intimamente connessa colla posizione e colla figura attuale della superficie. Quando questa viene con- siderata come flessibile ed inestendibile, ciò che rimane inalterato è la lunghezza di ciascun elemento lineare, e tutte le proprietà assolute non possono essere che conse- guenze di questa inalterabilità. Quindi, nell'ordine delle ricerche di cui vogliamo ora occuparci, la superficie è perfettamente definita dall'espressione del suo elemento lineare, il cui quadrato ha la forma (34) Edu' -{- 2Fdittlv-{- Gdv\ ed in cui le E, F, G hanno il significato con cui si sono già usate nell'art. III. Le due indeterminate u e v, che fanno l' ufficio di variabili indipendenti, sono denominate coordinate curvilinee perchè, come è notissimo, possono riguardarsi come i parametri di due famiglie di curve tracciate sulla superficie, dall'intersezione delle quali vengono individuati i punti della superficie stessa. Tutte quelle superficie il cui elemento lineare è rappresentato dalla medesima espressione (34) sono riguardate, nel presente ordine di ricerche, come identiche fra loro. Ma non sussiste la proprietà reciproca : le tre funzioni E, F, G possono essere *) Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, art. XIII. Casorati, Ricerca fomlaiiientale per lo studio di una certa classe di proprietà delle superficie curve fAniiali di Matematica pura ed applicata, t. Ili (1860), pag. 363, t. IV (1861), pag. 177]. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 14! formate in infiniti modi diversi con due variabili indipendenti, senza che le superficie definite dalle corrispondenti espressioni (34) sieno perciò necessariamente distinte fra loro. E chiaro infatti che se nell'espressione (34) si surrogano alle u, v due funzioni arbitrarie di due nuove variabili n' , v', l'espressione risultante, riducibile sempre alla forma (34') E'dii" -\- zF'dn'dv' -{-G'dv'\ è atta, non meno della prima, a definire la superficie originaria (e per conseguenza anche tutte quelle che se ne possono dedurre mediante sempUci flessioni), giacché la trastormazione che si è eff"ettuata sulle variabili equivale all'assunzione di un nuovo si- stema di coordinate curvilinee. Per poter dunque giudicare se due espressioni della torma (34), (34') apparten- gano ad una medesima superficie o, ciò che torna lo stesso, a due superficie sovrap- ponibili l'una all'altra, bisogna cercare se sia possibile istituire fra le ;/, v, n', v' due relazioni tali, che in virtù di esse l'una espressione si trasformi identicamente nell'altra. Ed è manifesto che le condizioni di questa possibilità devono equivalere, geometrica- mente, all'eguaglianza di certe proprietà assolute delle due superficie, in numero ne- cessario e sufficiente a determinarne l'identità. Di qui si scorge quanto sia importante la conoscenza di queste proprietà, per la risoluzione dei problemi che si presentano nella teoria delle superficie flessibili. Ora l'espressione anahtica di queste proprietà assolute deve evidentemente essere somministrata da formole, in cui entrino quelle sole quantità che compajono nell'espres- sione dell'elemento lineare della superficie, cioè le ;/, v, E, F, G e le derivate delle E, F, G rispetto alle it, v; e se quell'espressione è la più generale possibile, cioè se le linee coordinate /( ^ cost., v = cost. sono del tutto indeterminate, quelle formole, dovendo essere indipendenti dalla scelta delle coordinate stesse, debbono conservare la medesima forma qualunque sia il significato geometrico attribuito alle variabili. Dunque ogni formola che esprime una proprietà assoluta dev'esser tale che, sostituendo alle va- riabili lì, V due funzioni arbitrarie, di due nuove variabili /(', v', essa si trasformi in un'altra formola, nella quale entrino le /(', v'. E', F', G' e le derivate delle E', F', G' rispetto alle u', v' nello stesso modo in cui nella prima entravano le /(, v. E, F, G e le derivate delle E, E, G rispetto alle u, v. Ora è facile provare, innanzi tutto, che tali formole o funzioni non possono contenere le //, v esplicitamente. Infatti se /(«, t-, E,F,G, ||, -||, . ..) fosse una di queste funzioni, ponendo /( = //' -}- a, v = v' -j- b, ed osservando che dE' dE . , , 1 f • -^—T = ^q — , ecc., SI troverebbe quale tunzione trasformata on du ' 142 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 /("'+«- .' + /', E',F, g; ^, ^, ...), la cui composizione non e identica a quella della primitiva, per la presenza delle co- stanti arbitrarie a, b, le quali non possono sparire in niun modo, a meno che non si suppongano mancanti le u, v. Da ciò concludiamo intanto che ogni tormola rappre- sentatrice di una proprietà assoluta è formata solamente colle E, F, G e colle loro derivate parziali *). Ma il concetto di queste funzioni, che si possono chiamare assolute come le pro- prietà geometriche che rappresentano, è suscettibile di un'utile estensione. Consideriamo, oltre le E, F, G, altre funzioni 9, ò, ... di ;;, v, e supponiamo che quello stesso cambiamento di variabili, il quale trasforma l'espressione (34) nella (34'), trasformi pa- rimente le 9, 'i', ... nelle '^', <];',.... Un'espressione formata colle E, F, G, 'i>, '{<,... e colle loro derivate parziali rispetto alle /(, t' si dirà invariabile quando, per l'anzidetio cambiamento di variabili, essa si trasformerà in un'espressione formata analogamente colle E', F', G', cp', '!'')••• "^ '^^Ws loro derivate parziali rispetto alle //', v'. È facile concepire di qual natura sleno le proprietà geometriche che corrispondono a queste nuove espressioni. Se si eguagliano le funzioni 9, iL, . . . ad altrettante co- stanti od a parametri arbitrarli, si ottengono le equazioni di certe curve o di certi si- stemi di curve tracciate sulla superficie : ora le proprietà rappresentate da quelle espres- sioni sono di tal natura, che non vengono punto modificate dai cambiamenti di forma di cui la superficie data è suscettibile, sebbene poi dipendano dalle curve cp, ']/,...; ossia sono relazioni geometriche che hanno luogo fra queste curve, indipendentemente dalla natura delle linee coordinate. Se le funzioni 9, '^, . . . fossero assolute, è chiaro che ogni funzione invariabile formata con esse fornirebbe una nuova funzione assoluta. È appunto in ciò che risiede, a nostro avviso, l'utilità delle funzioni invariabili, la cui ricerca sembra present.ire mi- nori difficoltà di quella delle funzioni assolute. 11 criterio che ci servirà per riconoscere le funzioni invariabili, quando esse non saranno l'immediata traduzione analitica di proprietà geometriche indipendenti dalla forma della superficie, è semplicissimo. Ogni volta che, considerando una superficie come riferita a due differenti sistemi di coordinate curvilinee (;«, t'), (/(', v'), perver- remo ad una eguaglianza fra due espressioni, in una delle quali entrino solamente le quantità E, F, G, 9, 6, . . . e le loro derivate rispetto alle /(, v, nell'altra solamente le E', F', G', 9', 'V, . . . e le loro derivate rispetto alle //', v', seu:ia che vi sia traccia *) I.'idcT di considerare e di cercare direttamente queste funzioni, partendo dalla loro proprietà caratteristica, è dovuta al sig. Casorati. Si vegga la citata Memoria. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I43 delle rcla:iioni che passano fra i due sistemi di variabili, saremo certi che ciascuna di queste espressioni è invariabile. Se le coordinate ;(, v, del pari che le /(', v', sono as- sunte ad arbitrio, è chiaro che i due membri dell'eguaglianza anzidetta devono essere identici nella forma. Questa circostanza non si verificherà, quando quelle variabili cor- risponderanno a s. celali sisten-.i di coordinate, ma si potrà sempre inferire legittima- mente dall'eguaglianza delle due espressioni, che esse sono tunzioni invariabili equi- valenti. Se poi nell'eguaglianza mancassero le funzioni (p, li, . . . e non s'avessero che le sole E, F, G colle loro derivate, si dovrà concludere che i due membri sono funzioni assolute, le quali, ciascuna nel rispettivo sistema di coordinate, esprimono una mede- sima proprietà geometrica, che sussiste in ogni punto della superficie, indipendente- mente da qualunque flessione di questa. XIV. Noi possiamo già fin d'ora citare due funzioni invariabili di prim'ordine, che ci sono offerte da considerazioni geometriche semplicissime. L'una di esse contiene un solo argomento od una sola funzione arbitraria o, ed è quella che abbiamo denominata parametro differenziale di prim'ordine della funzione stessa : il suo quadrato si ottiene formando coll'argomento 9 l'espressione ^(iiy-^^§?i^+o(i?y EG — F'- che indicheremo col simbolo (A_ r^y, già introdotto dal sig. Lamé. L'altra contiene due argomenti o due funzioni arbitrarie 9 e A, e si ricava facilmente dalla considerazione dell'angelo di due curve, angolo il quale si mantiene evidentemente inalterato, in ogni flessione della superficie su cui le curve sono tracciate. Ponendo infatti dvdv \dvd II d u dv I ~^ dudit = \9^ EG — F' e denotando con co l'angolo delle due curve 9 = cost., '^ = cost., si ha V?"!- = — (•^,?)-(-^/i)'^os(o, donde si vede che l'invariabilità di o>, A_9 e S^'li trae seco necessariamente quella di V?']'. Reciprocamente l'invariabilità di v9't' trae seco quella di A_9, il cui quadrato si ottiene ponendo 9 = ']>. Lioltre dalla moltiplicazione delle forme quadratiche si deduce 144 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 donde risulta che la funziono dii dv dv dti ^''^ \/EG-F' è anch'essa invariabile. Questa funzione non è indipendente, potendo esprimersi colle A , Vi nia in causa della sua semplicità è utile considerarla come una funzione distinta. Applicando a queste tre funzioni le considerazioni esposte nell'articolo precedente possiamo stabilire i seguenti teoremi : Se o è una Jaii'ione assoluta della superficie il cui ekineiito lineare t rappresentato da ^Eda' -\- iFdudv + Gdv\ l'espressione \dv/ dvau ' \du/ (\?y = EG — F'- è una nuova funzione assoluta. Se f, <} sono due funzioni assolute della slessa superficie, le dice espressioni dv d V \d V d u d 11 d V / d u d u EG-F' du dv d V d u T?' l/£G — F sono due nuove funzioni assolute *). Dalle espressioni generali di A^^, ^9'^, si cava (^") = £G-F ' ^"" = E-G-:rp ' (^^0 = £G-P ' laonde, scrivendo per semplicità /;, , h^, h^^ in luogo di A^ », A^i', \uv, si ha *) Le proprietà di queste espressioni risultano anche dalla acuta analisi usata dal sia;. Casorati, come può vedersi nel § VI della sua Memoria. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 145 < (36) Inoltre si hanno le relazioni (37) VEG~F' Vh]h:-h]/ G h: \ VhG — F' ' - Denominando 0 l'angolo delle due curve u = cost., v = cost., si hanno anche le forinole h.. (38) COS I b. ÌK ' sen b = — ——-, h. h. Ed H 4- 2 Ed II di' 4- G d v = — '- r^ n — — ' b:h- — h,. dall'ultima delle quali emerge che se si avessero sulla superficie due nuovi sistemi di curve p = cost., p^ = cost., e se le p^ , p^ si assumessero come coordinate curvilinee, in vece delle ;/, v, l'espressione del quadrato dell'elemento lineare, riferito a queste nuove-coordinate, sarebbe Per la medesima ragione è lecito supporre, nelle (36), che le u, v anziché essere *) Nell'art. XXI delle citate Disqnisitioiies geiierales etc. Gauss ha d.Uo le forinole per la trasfor- mazione delle coordinate curvilinee. Le ultime tre equazioni del detto articolo potrebbero servire a sta- bilire Vinvariabililà deUe espressioni A^ , y, ragionando secondo i principii precedentemente espost. Avvertiremo qui che nella seconda delle tre equazioni di Gauss bisogna mutare il segno ad uno dei due membri. BELTRAM(, tOmO 1. «9 146 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 le coordinate stesse, sieno due lunzioni qualisivogliano di queste coordinate. Comunque si parncolarizzino queste funzioni, quelle due formole riprodurranno sempre lo stesso valore per le espressioni A_(p, \"9(J'. XV. Supponiamo che sulla superficie il cui elemento lineare è espresso dalla (34) sieno tracciati, oltre i due sistemi coordinari, due altri sistemi di curve intersecanrisi in ogni punto ad angolo retto. Sieno P,(«> "') = ?,. P.("> ^') = P. le loro equazioni risolute rispetto ai parametri arbitrarii p_ ^ f^- Avremo le seguenti tre equazioni : £(|i.y_,,|i|^+c(|iy , «2 \dv / óv óu \ou / C^.PJ - EG — F' ' (3,) '.^,^ '^m'-^''^'^+'{^)' I^.PJ - EG-r ' r^P.^Pa f/^P.^P. I ^P, ^PA I g^P.'^P. ' òv dv \dv dii dii dv / d n du Rammentando la proprietà geometrica dei parametri differenziali ed avendo riguardo ali'ortogonalità delle curve p,, p^, si vede essere . ^P. j '^P- dove 5^, 5, sono gli archi delle linee p^ =: cost., p, ^ cost., ed i, , h^ sono messi per comodità di scrittura inMuogo di A,p,, ^^.p, • Le p,, p^ si possono evidentemente ri- guardare come coordinate curvilinee ortogonali della superficie, e il quadrato dell'ele- mento lineare riferito ad esse è K ^ K ' dove h^, h^ si possono considerare come funzioni delle p,, 0^. Poniamo, per brevità, 9J RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I47 a II ov ' av dii dii dv ^' dv du ^ ' EG — F' = r. Le (39) potranno scriversi nel modo seguente: M ^-LM ^ un un Le (40) danno ' dii- ' dv ' ' d II dv - du -dv ' du ' dv ' ^ - ' \du dv dv du / parimenti dalle (41', 41") si deduce il confronto di queste due ultime equazioni porge C42) ÈlAÌh^ÈhÈh^Thh ■ d II dv dv d n ' ^ [quest'equazione non è che un caso particolare della formola da cui, nell'art, prece- dente, venne ricavata la funzione invariabile (35)]- Quando si assumono le p, , p^ come variabili principali, le u, v diventano varia- bili dipendenti, e le ordinarie formole per la trasformazione delle derivate parziali danno, vista la (42), d n __ I df^ dv — ^ d?2 du — I ^?, ^^ I ^?, 5pj ThJ}^ dv ' dp^ Thjj^du ' 148 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Altre espressioni delle medesime derivate parziali di ti, v si hanno dalle (41', 41"). Infatti moltiplicando le due prime di queste equazioni per -^^ , -^-^ e sommando, indi per ^r — , -;- — e di nuovo sommando, ed analogamente operando sulle due seconde equa- zioni anzidette, si ottengono le tormole seguenti : (44) Queste formole sono notevoli massimamente per ciò che i valori delle derivate dì H a V rispetto a p, sono dati da esse mediante espressioni che contengono sola- mente le derivate di p^ rispetto ad /( ed a x', non comparendovi quelle della funzione p^ . Così dicasi degli altri due valori. Perciò se si ha una funzione qualunque x di « e V, e se questa funzione si suppone espressa per p^ , p^, coordinate di due sistemi ortogonali, le sue derivate parziali rispetto a p_, p^ potranno esprimersi così: óp, ~ a» òp, i" av dp,"" r/;jV 'du~^ ' dv } ' w; \ du ' ' dv f dn M, dv N, ap, rhy d II A/j dv N, à?- -rbl' ap,-r/;r ap^ a» ap^ ' dv d^^ -rirX ^du od anche, più brevemente, così: ^^^^ ap, h] ' VP,Z Se dunque / fosse una espressione formata colle E , F, G e colle derivate della p^ o a 7 a "/ della p,, le due derivate ^r-^ , -=-^ sarebbero due funzioni invariabili, contenenti ri- ap, ap, spettivamente la funzione p, o la p,. Confrontando le formole (43), (44) si ottiene du Th. ' dv ~ Ih, ' da cui, eliminando p,, si trae 1 d> 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 1 49 ovvero, sviluppando lo derivate, T du ~^ T dv "^ /;, V dn ^ dv l~ ' od anclie, per le (44), /; cioè ^ o A questa formola, ed a quella che si otterrebbe eliminando p^ con un processo analogo, si può dare la forma seguente: aiog-^ (46) d log -7^ I o ^j^ ó-T^ jj2 I'. I I 7 , f 8pj T \ da dv Ora i primi membri di queste due equazioni sono, o possono considerarsi, come fun- zioni delle p, , pj : i secondi invece sono funzioni delle u, v. Ogni traccia delle rela- zioni fra questi due sistemi di variabili è scomparsa. Dunque (art. XIII) : le due funzioni sono fiiii:^ioni invariabili. La prima di queste funzioni, oltre le E, F, G e le loro de- rivate, contiene la funzione p_ (che è arbitraria) ; la seconda contiene in analoga maniera la funzione p^ . Noi le chiameremo paraniclri differenziali di second'ordine delle funzioni p,, pj e le denoteremo col simbolo A^ prefìsso alle funzioni stesse. In generale dunque, riponendo per M, N, T i loro valori, e considerando una funzione qualunque o, si ha, come definizione analitica del parametro differenziale di second'ordine di questa 150 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 funzione, (47) A.l) \'EG - F' di òli dv d'i\ l'EG — f + al av a li ^^' V \'EG —b- Applicando a questa nuova funzione invariabile le considerazioni esposte nell'ar- ticolo Xni, si ha il seguente teorema: Se ^ è una jiin::}onc assoluta della superficie il cui eleinetito lineare è l'espressione yEdu'-\- iFdudv^ Gdv', VEG — F' _d"\yEG — F' / dv\yEG—F' /_ è una nuova funzione assoluta. Per verificare la invariabilità di quest'espressione, si può particolarizzare il sistema (m, v^ in modo da farlo coincidere col sistema (p^ , i^). Ciò si ottiene ponendo P., E F = o, G h] ' ' — bl e supponendo successivamente ^ = p_, (p ^ p^. Infatti si ha in tal modo . h. (48) ^t- Kf. = i:K^. ^. ?. = *,''. 57- espressioni le quali non differiscono che nella forma da quelle che trovansi scritte nei primi membri delle (46). Del resto se si confronteranno le espressioni i^^p,, A^p^ (formate colle p^, pj colle formole (22) del § XIII delle ammirabili Legons sur Ics coordoniiées curvilignes del sig. Lamé, apparirà giustificata la denomiaazloiie che abbiamo imposta a quelle funzioni. Ciò risidtcrà anche meglio dagli sviluppi che seguono. XVI. Facendo uso delle relazioni (37), l'espressione (47) assume la forma: (49) VKK- ^? I /.^^?' 'èu dv + • 'du z-hK dv J) n \ |//j; /;^ _ fc^^ / ^ dv\ |//;; If^ _ /;^^ J_ 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. IJI da cui si cava in particolare In virtù di queste due ultime formole la precedente può essere messa sotto la forma: ^■' ■' '• 'dir ' "diidv -dv ' - d ii - dv La tbrmola (^9), del pari che la (50), definisce la funzione A, 9 in un modo più vantaggioso che la (47). Infatti le u, v che, in quest'ultima equazione, rappresentano le coordinate curvilinee a cui si è riferita la superficie, possono, nelle (49), (50), rap- presentare due sistemi di curve tracciate comunque sulla superficie stessa indipenden- temente dai due sistemi coordinati; poiché siccome queste due uhime formole non contengono, oltre le derivate della -p, che i parametri differenziali delle funzioni u, v, cosi l'invariabilità di queste espressioni rende indifferente la scelta del primitivo sistema di coordinate. Lo stesso deve dirsi delle formole (36), rispetto alle analoghe in E, F, G. Nel caso che le /(, v corrispondano a due sistemi ortogonali, si ha /;,^ = o, ep- però, scambiando a in p^ e v in p, , si ottengono le formole (v.r=";(t)+"-(t)" dalla (49) si cava inoltre A/^ = /;,/;, 5?. + d?\ Le prime due di queste ultime formole presentano la più perfetta analogia colle (24), (25) del slg. Lam/- (Coorti cnrv. § XIV); la terza corrisponde alla (26) {ilnd.). Le funzioni A_ , A^ relative ad un certo sistema di curve tracciate sulla superficie possono avere infiniti valori differenti. Infatti il sistema di curve 9 = cost. non diffe- risce, geometricamente, dal sistema /( formolo che presentano una grande analogìa con quelle che nel calcolo differenziale, servono alla differenziazione delle funzioni composte Questa circostanza, che è massimamente notevole per la funzione A^, rende in certo modo ragione del perchè questa funzione si introduca spontaneamente in un gran nu- mero di ricerche « come se essa, dice il sig. Lamé *), fosse una derivata naturale, più essenziale, più semplice ed in pari tempo più completa di tutte le derivate parziali che si sogliono considerare e che si scelgono più o meno arbitrariamente ». I due sistemi ortogonali p. e p^ non vengono alterati considerando, invece delle corrispondenti variabili p^ , p, , le due nuove quantità p'^ , p^ delle quali la prima di- pende solamente da p,, la seconda da p^ . In questa ipotesi, dai valori di ds^, ds^ dati al principio dell'art. XV si ottiene ds.:ds, = b//^df::h/-^d?\. Ciò posto, cercliiamo le condizioni che debbono verificarsi affinchè i due sistemi di curve, mercè una variazione opportuna dei loro parametri, dividano la superficie in quadrati infinitamente piccoli. È chiaro che bisogna poter determinare le funzioni p', e p^ in modo che si abbia ds^ =^ ds^ per tip_' = d^[, ossia che si abbia lo" — — = lou' — ^ — lo" — ^-^ da cui Òp.òp, ~ ' reciprocamente, quando ciò ha luogo, è manifestamente possibile determinare le fun- zioni Pj', p^', poiché -p- è il prodotto di due funzioni, l'una soltanto di p,, l'altra sol- •) Lefons sur les coordonnées curvili gius (1S59), § XV. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I53 tanto di p^ . Ora l'equazione precedente equivale, in virtù delle formole 5 log 4^ do ad una delle due seguenti: a:^ = 0, ^?.= h: a log do 0, le quali rientrano l'una nell'altra, in causa della relazione ^.i ;.A 8-=ff^ d 212 ìf. .hi = 0, 8p^ ^?i che è una conseguenza immediata dei precedenti valori di A,p_, A,p^: bisogna dunque che il rapporto -yj^ sia funzione solaniente di p^. Questa condizione è necessaria e sufficiente, e non richiede punto la conoscenza della funzione p^. Possiamo quindi e- nunciare la seguente proposizione analoga ad una conosciuta: affinchè un sistema di curve,

? — '?' =H'^ — '^0 e quindi, osservando che 9' e 'y' sono quantici conjugate, df -^d'/' = (mod97(J»= + dir). Questo risultato ci insegna che i due sistemi isotermi p e p' sono ortogonali fra loro. Indicliiamo ora con ds l'elemento di una linea passante pel punto (;/, v), e con 6 l'angolo ch'esso fa coU'elemento della v ^ cost. ; si ha du =^ h cos'i ds, dv =: hscn'ìds e quindi (53) senO^M — cosO^if = 0. Di qui risulta che l'equazione [7. = u sen 0 — V cos ^ -\- e (dove [I. è un parametro arbitrario) rappresenta un sistema di curve che tagliano quelle del sistema isotermo v = cost. sotto l'angolo costante 0. Quest'equazione può anche scriversi nel modo seguente: (^ce^^-'±:tl^^ ,-0+ ^,,-0+ 'LlZJ^e^^ 9] RICERCHE DI .W'ALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 1 57 donde consegue che [x è il parametro termometrico di un sistema di curve isoterme. Siccome l'espressione di jjt. non contiene traccia della quantità /;, che definisce il doppio sistema (zi, v), e suppone solamente che le variabili ;/, v dieno all'elemento la forma (51), cosi l'equazione più generale [i ^ p sen 0 — p' cos ^ -\- e rappresenta un sistema di curve che tagliano quelle del sistema p' =: cost. sotto l'an- golo costante 0. Queste proprietà, che si possono anche dedurre immediatamente dal fecondo principio di Gauss *), potrebbero reciprocamente servire a stabilirlo geometricamente. Esse risultano anche molto semplicemente dalla proprietà che hanno i due sistemi u e V (oppure p, p') di dividere la superfìcie in quadrati infinitamente piccoli. Le formole precedenti srabihscono una evidente analogia fra gli infiniti sistemi isotermi che segano sotto un angolo costante un sistema isotermo dato, e gli infi- niti sistemi di rette parallele che si possono tracciare in un piano. Questa analogìa si estende ad altri sistemi isotermi, come avremo occasione di vedere. Cosi per es. le due equazioni X = log ^ , e = are tg — , rappresentano due sistemi isotermi ortogonali di cui a e è sono i parametri termo- metrici. Sostituendo x ed j ad m e v si avrebbero le ordinarie coordinate isoterme polari nel piano. Notiamo anche quest'altro risultato. Chiamando 6 l'angolo (variabile) del sistema isotermo p = cost. col sistema v = cost., si ha dalla (^^^^ fl^P I A ^P cos y — — \- sen H ■^— ^ o, du àv ossia, ponendo per un istante u -\- iv ^^ p, u — iv ^= q , dp ^ dq da cui, supponendo che p abbia il valore (52), log o ' — log <\i ' 21 *) AUgemeine Aiiflòsung ecc. nelle Astronomischen Abhandiungen, j Heft, Altona 1825. Una tra- duzione di questa importante Memoria trovasi nel tomo IV degli Annali di Matematica pura ed appli- cata (186:), pag. 214. 158 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Di qui si scorge che l'angolo 9, considerato come una funzione di u e di i\ è il pa- rametro termometrico di un sistema di curve isoterme, il quale dipende in un modo semplice dal sistema primitivo p. Possiamo dunque enunciare questo teorema : le linee luoghi geometrici dei punti in cui è costante l'angolo di due sistemi isotermi tracciati sopra una superficie quaìun(]ue, costituiscono un sistema isotermo. In questo teorema è compreso quello che il sig. Haton de la Goupillière *) ha dato rispetto alle linee piane da lui chiamate isocìiniche. Il sistema isotermo ortogonale logo' + logA' , mod 9' è costituito dalle linee lungo le quali l'angolo 0 varia più rapidaniente che in ogni altra direzione : esse corrispondono alle isodinamiche del sig. Haton. Ritorniamo all'ipotesi delle coordinate t( e v qualisivogliano, ed adottiamo la for- ma (38) dell'elemento lineare. L'equazione = 0, dudv la quale, nel caso delle coordinate ortogonali, esprime la condizione della loro isoter- mia, definisce, nel caso delle coordinate oblique, una proprietà delle medesime che comprende l'isotermia come caso particolare. È chiaro infatti che quando la precedente condizione è soddisfatta identicamente, è possibile surrogare ad // una funzione di u ed z V una funzione di v, per modo da rendere h^ = h^ . Ne risulta che, determi- nando convenientemente gli incrementi du, dv, la superficie viene ad essere divisa in rombi infinitamente piccoli. Supponiamo dunque b^ = h^ =/;. Osservando le (38) si vedrà che al quadrato dell'elemento lineare può in questo caso darsi la forma : du^ -\- dv^ -\- idudv cos 0 h'sen'h e ponendo u -\-v =^ 2p , u — V = 2q , da cui «=^ + '7. v=p — q, *) Journal de l"};colc Polylcclmitjue, t. XXII, Cahier 38 (i8ói), pag. 23. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I59 quest'altra 6 "^ , e ■ h' sen^ — /;^ cos" — 2 2 Questo risultato ci insegna che le curve ^ = cost., q = cost. sono ortogonali fra loro. Esse hanno inoltre le proprietà d'essere dirette secondo le diagonali dei rombi infini- tesimi che sono tracciati sulla superficie dalle curve u = cost., v = cost. Infatti denominando ds^, d s^, gli elementi delle curve v = cost., u= cost., si ha d u = b sen ^ ds^, dv =^ h sen ^ ds^,, quindi 2 dp = /; sen 0 {d s^ -{- d sj , 2d q =^ h sen 0 (J s^ — d sj) . Dunque per le linee q = cost. si ha. ds^=^ ds^,, e per le linee p = cost., ds^= — ds^, donde risulta che le linee q = cos:. sono le bissettrici interne dell'angolo 0, mentre h p = cost. sono le sue bissettrici esterne. Merita di essere particolarmente menzionato il caso in cui i due sistemi ii =^ cost., V = cost. sono costituiti da curve parallele geodeticamente fra loro. In questo caso, determinando convenientemente i parametri di questi due sistemi, si può prendere h^ = h^= I (vedi art. IV); e siccome quando ciò ha luogo le //, v rappresentano le distanze geodetiche del punto qualunque (;(, t') dalle curve iniziali u = o, v = o, così la proprietà or ora dimostrata conduce a questo teorema: i due sistemi formati dalle curve luoghi geometrici dei punti di cui è costante la somma o la differen:^a delle distante geodetiche da due curve fisse tracciate sopra una superficie qualunque, sono orto- gonali fra loro. In questo teorema, già enunciato dal sig. Weingarten *), è compreso quello ri- trovato dal sig. Betti **), nel caso che le due curve fisse riducansi a due punti, ov- vero che l'una sola d'esse si riduca ad un punto. xvm. È ora noto gen^Talmente che s'intenda per curvatura geodetica di una linea trac- ciata sopra una superficie. Fra le varie definizioni che se ne possono dare ***), ci ac- *) Journal fùr die reine und augewandte Mathenatik, Bd. LXII (1863), pag. 166. ") Annali di Matematica pura ed applicata, t. Ili (1860), pag. 336. •*•) Il lettore potrà trovarle enumerate ed accuratamente discusse nei § 714-718 del Trattato di calcolo iifiren\iaU del sig. Bertrand. l60 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 contenteremo perciò di richiamare la seguente, che conduce molto spontaneamente alla ricerca della sua espressione analitica: ìa curvatura geodetica di una linea tracciata so- pra una superfìcie e ìa proje:^ioiie della curvatura assoluta su! piano tangente alla super- ficie nel punto che si considera. In altre parole, fra gli infiniti raggi delle sviluppate della linea data, uno esiste nel piano tangente alla superficie : la curvatura geodetica è l'inversa di questo raggio *). Partendo da questa definizione si trova facilmente **) che se la superficie è ri- ferita a due sistemi di curve ortogonali p, e p^, cosicché il suo elemento lineare abbia la forma : ]/ h' "^ h' ' chiamando - — - , - — le curvature geodeti (52') r . , h, r. = "■"■ Si. ■ cost., p^ = cost., si ha r. ■ ^ 5p. ■ Rispetto ai segni di queste curvature, è da ritenersi che essi risultano positivi quando la convessità delle curve f_ =: cost., p, = cost. è rivolta da quella parte verso cui cresce il parametro del sistema rispettivo. Se le curve di uno dei sistemi, per es. le p = cost., sono geodetiche, si ha (art. IV^ ., ' = o e quindi — = o. Ojiesta proprietà deriva anche immediatamente dalla stessa definizione della curvatura geodetica. Prima di proceder oltre esporremo una proprietà della curvatura geodetica, dalla quale scaturisce una nuova definizione geometrica di questo ente. La tangente alla curva p^ = cost. può rappresentarsi colle equazioni *) Alcuni scrittori inglesi adoperano la denominazione di curvatura tangenziale. Se l'appellativo di geodetica non fosse già ricevuto nell'uso comune, avremmo preferito quest'altro, a parer nostro me- glio appropriato. La curvatura normale ò, secondo i medesimi scrittori, la proiezione della curvatura as- soluta sul piano normale, ossia la curvatura della sezione normale che contiene la tangente della linea considerata. ••) lÌRloscHl, Intorno ad alcuni punti della teorica delle superficie, Art. 7 [.annali di Scienze Ma- tematiche e Fisiche (di Tohtoi.ini), t. Ili (1852), nag. 293]. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. l6l in cui r rappresenta la distanza dal punto qualunque (l, -fi, K) di questa retta al punto di contatto (x, y, :(), misurata nel senso in cui si va dal primo al secondo. Si immagini il sistema delle linee che hanno le tangenti conjugate colle p^ = cost. Le tangenti a due curve consecutive di quest'ultimo sistema, nei punti in cui le curve stesse sono tagliate da una delle curve conjugate, s'incontrano in un punto. Indichiamo con Spj, Sp^ gli incrementi che ricevono p^ e p, quando si passa dal punto (p_, pj al punto contiguo, lungo la conjugata della linea p, = cost. Supponendo che E, t), ^, siano le coordinate del punto comune alle due tangenti consecutive, gli incrementi e/ ^, dr,, J^ sono nulli, e si ha quindi 8p, d?^ ap, v^p, a?./ da cui, moltiplicando per ^ " , ~— , -^r^ e sommando con riguardo alla ^ dp, a?, ' óp, ° dx dx dy dy _. d^ d::^ dp, óp, ■" ap, ap, "'~ ap, ap, ~ ' si ottiene /;, \ap^ ap, d?^ ap, ap, a?, / Ma dall'equazione precedente e dalle /;! si deduce facilmente d4- a ' ap, a?, ■ ap, ap, a?, ap, /;, ap, '^ /;, ap, •■ dunque sostituendo (53') S P. XELTRAMI, tomo I. lé2 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Se le linee del sisteir.a p^=cost. sono geodetiche, si ha ' i= o, e quindi r ■ ^ dp. • Ora il secondo membro di quest'equazione non è [eq. (52')] che la curvatura geodetica della linea p^ = cost. Abbian o dunque il seguente teorema *) : Sia . . . a^aa' . . . una curva qualunque, tracciata sopra uua superficie. Da ciascun punto di essa si facciano partire le linee geodetiche ortogonali ...a^b^, ab, a'b',... e si faccia passare pel punto (a) una linea a tan geriti conjugate con queste lince geodetiche. Il punto C, in cui la tangente in {a) alla geodetica ab è incontrata dalla tangente alla geodetica infinilamenle vicina nel punto (a') comune a questa ed alla linea conjugata ...aitaci.' ... , è il centro della curvatura geodetica della linea . . . a^aa' ... nel punto (a). (Quando la superficie è piana, le geodetiche ortogonali diventano le rette normali alla curva . . . a, rta' . . . , ed il teorema precedente si converte in quello notissimo relativo al centro dell'ordinaria curvatura). Supponendo /;^ z= i, ciò che è lecito nelle ipotesi ammesse, si ha semplicemente (54) ^- -''°^"'^ t> L'espressione della curvatura geodetica è una funzione delle /;, , h^ e delle loro derivate rapporto a p^, p^. Essa è dunque una quantità che non viene alterata da o- gni flessione della superficie alla quale essa si riferisce. È questa una delle ragioni che ne rendono importantissima la considerazione. XIX. I risultati dell'articolo precedente conducono molto spontaneamente alla dimo- strazione dei teoremi del sig. Weikgarten, cui abbiamo già fatto allusione alla fine dell'art. VI. Consideriamo infatti una superficie qualunque (5), ed il luogo (i) dei suoi cen- tri, relativi ad uno dei sistemi di linee di curvatura. Sia (L) una linea di curvatura dell'altro sistema ed M, M' due punti contigui di questa linea. Le normali in questi punti alla superficie (5) si incontrano in un punto C, centro di curvatura della se- *) Il lettore è pregato di tare la figura, che gioverà anche all'intelligenza dell'articolo seguente. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 163 zione normale tangente alla linea (L) nel punto M. Inoltre tutte le normali della su- perficie (S) nei punti della linea (L) toccano la superficie (-) lungo una linea ... a a a'... che ha le tangenti conjugate colle linee geodetiche . . . a^b^, ab, a'b', . . . inviluppate, sulla superficie (i), dalle normali della superficie (S). Ne risulta che i due raggi prin- cipali A*, , R^ della superficie (5) nel punto M sono (art. precedente) donde, per la (54), p D ^ ^' ^' ~ d log /;, ' ammesso che 1 / J p^ -] — j^ sia l'elemento lineare della superficie (II), riferita alle coor- dinate geodetiche p, e p^ , la prima delle quali rappresenti l'arco di geodetica . . . ab . . ., contato da una trajettoria ortogonale arbitraria, e la seconda sia un parametro che serve ad individuare le singole geodetiche. Giù posto, pel teorema dimostrato alla fine dell'art. VII, R^ è costante lungo cia- scuna delle linee p^ = cost., anzi da ciò che si è esposto nel detto articolo (nonché dall'ordinaria teoria delle sviluppate) risulta ehe si può sempre porre - ^. = ?. U purché si determini convenientemente quella trajettoria dai punti della quale vengono contati gli archi geodetici p,. Le espressioni dei due raggi principali di curvatura sono dunque ^■ = -p,. ^- "= ~ p- ~ a^p; • Se ora supponiamo che la superficie (S) sia tale che il valore di uno dei raggi di curvatura, R^, sia in ciascun punto determinato con una legge costante dal valore dell'altro, cioè se supponiamo *) .Si vedrà facilmente che R^ e p, si prendono con segno contrario per restare in accordo colla convenzione che ha servito a fissare il segno della curvatura geodetica. Credo di dover qui far notare che il sig. Lamé {Le(ons sur Ics coordonnées curvilignes, § XXVIII) ha adottato la convenzione con- traria. Io ho seguito l'esempio del sig. Bertrand (Tratte de calcai diffirentiel, §§ 509, 556, 739). 164 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 la seconda delle precedenti equazioni si potrà scrivere così: (31og-p- ° /;. I ^?. F. + ?(-?.)' da cui si deduce r ''fi dove H è una funzione arbitraria di p^, la quale può evidentemente supporsi uguale ad I, senza limitare la generalità dei risultati, poiché ciò equivale a prendere per seconda variabile / Hd p^ in luogo di p^ . Si ha dunque i J , '■'2 Lionde il quadrato deirelemento lineare della superficie (2) assume la forma da cui risulta che la superficie (-) è applicabile sopra una superficie di rivoluzione. Dunque: i luoghi dei centri di cnrvaitira di quelle superficie, in ciascun punto delie quali uno dei raggi di curvatura principali è ima determinala fu7t\ione dell'altro, sono super- ficie applicabili tutte l'ima sull'altra e sopra certe superficie di rivolu:;ione *). Reciprocamente, consideriamo una superficie di rivoluzione arbitraria (-). Il si- stema di rette costituito dalle tangenti ai suoi meridiani è incontrato normalmente (art. VII) da una serie di superficie parallele (S), ciascuna delle quali possiede la pro- prietà che uno dei suoi raggi principali di curvatura, per es. R^, è una funzione de- tcrminata dell'altro, i?^ . Infatti uno di questi raggi, per es. i?_ , può ritenersi eguale in lunghezza assoluta all'arco di meridiano p, contato da un certo parallelo e termi- nato al punto di contatto fra la superficie {!) e la normale secondo cui è diretto il raggio stesso. L'altro raggio di curvatura è eguale al precedente aumentato (o dimi- nuito) del raggio di curvatura geodetica r, del parallelo condotto pel punto di con- tatto, il qual ultimo raggio avendo per misura la porzione di tangente al meridiano compresa fra questo punto di contatto e l'asse di rotazione, è una funzione del solo arco di meridiano p^ e .quindi anche del solo primo raggio R^ . Dunque ciascuno dei due raggi è in ogni punto determinato unicamente dall'altro. *) Dal processo di dimostrazione risulta chiaramente che i/i generale le due falde della superficie dei centri non sono applicabili sopra una medesima superficie di rivoluzione. Questo si verificherebbe quando la relazione fra R^ ed R^ fosse simmetrica rispetto a queste due quantità. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 165 Ciò posto se la superficie (1), supposta flessibile ed inestendibile, viene a mutare di forma, e se le tangenti ai suoi meridiani si considerano, durante questa flessione, come invariabilmente connesse alla superficie medesima, i punti in cui queste tangenti erano primitivamente incontrate da una delle superficie (S), continuano sempre ad a- vere per luogo geometrico una superficie ortogonale a tutte le tangend anzidette (in virtù dei teoremi dati all'art. VI). Inoltre in ciascuno di questi punti i raggi principali di curvatura continuano sempre a coincidere coi segmenti che abbiamo denominati R ed Ri , poiché la normale in M non cessa d'essere incontrata da due normali infini- tamente vicine negli estremi « e C di quei segmenti, ossia in due punti la cui posi- zione non dipende che dall'arco p^ e dalla curvatura geodetica r^, quantità che non vengono alterate dalla flessione. È dunque manifesto che la relazione sussistente ori- ginariamente fra questi due raggi, continua ad avere luogo comunque s'infletta la su- perficie (-), e questa conclusione si mantiene vera fino a tanto che le flessioni della superficie (-) son tali da dar luogo realmente alla generazione di una superficie (S), ciò che, in generale, avviene per tutte le flessioni di cui la superficie (2)) è suscettibile. Dunque in generale tittte le superficie applicabili sopra una data superficie di rivo- luzione possono riguardarsi come luoghi dei centri di curvatura di altre superficie, i cui raggi principali di curvatura sono funzioni determinate l'uno dell'altro. Ma la conclusione in cui si fonda questa reciproca cessa d'essere esatta, quando la superficie (-) è tale, che certe sue flessioni rendono impossibile la generazione di una superficie ortogonale (S). Affinchè tale impossibilità si verifichi, bisogna che il sistema delle tangenti alle linee p^ cessi d'occupare tutto lo spazio, e si riduca ad una famiglia di rette con un solo parametro arbitrario. Perchè ciò succeda bisogna evi- dentemente che le tangenti a ciascuna delle linee p^ vengano a coincidere in una sola retta, cioè che le linee geodetiche p^ possano, per certe flessioni della superficie (2), diventare linee rette. Bisogna dunque, in ultima anaUsi, che la superficie (-) sia so- vrapponibile ad una superficie rigata. Ora è noto che il quadrato dell'elemento lineare d'ogni superficie rigata, a generatrici rettilinee reali, può mettersi sotto la forma : ds' = df: + [if^-y.y + ^^']d^,l, dove pj è la lunghezza di una porzione di generatrice rettilinea, contata da una tra- iettoria ortogonale fissa, p^ è un parametro che distingue le varie generatrici, a e S sono due funzioni della sola variabile p^ . Affinchè tale espressione coincida con quella dell'elemento d'una superficie di rivoluzione, colla condizione che le generatrici retti- linee si sovrappongano ai meridiani, bisogna evidentemente che a e G sieno quantità costanti : ciò che corrisponde ad una special classe di superficie rigate applicabili sul- l'elicoide a 'piano direttore e sulla superficie di rivoluzione d'area mitùma. Confron- l66 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 tando la l'orma spev;iale che assume in questo caso la funzione ò (p J, cioè col valore /•__£?i__ ■Hf.) = <=■■*'"•■', si perviene facilmente all'equazione (^, + -)(^= + -•) = -«% la quale esprime, come è manifesto, che la superficie (S) è parallela e distante della quantità a da una superficie di curvatura costante e negativa ^. Siccome le in- finite superficie parallele ad una data hanno tutte i medesimi luoghi dei centri di cur- vatura, così si vede che il caso di eccezione ora discusso corrisponde a quelle rela- zioni fra i due raggi principali di curvatura della superficie (S) alle quali può servire di tipo la seguente: Dal fin qui detto concludiamo, col sig. Weingarten, che in generale coni super- ficie applicabile sopra ima data superficie di rivoluzione può considerarsi come il luogo dei centri di curvatura di un'altra superficie, in ciascun punto della quale i due raggi principali di curvatura hanno fra loro una determinata rela:iione, dipendente dalla forma del meridiano della superficie data. Nel solo caso in cui questa sia la superficie di rivo- /;(;^w;;t' d'area minima, per ottenere tutte le superficie sovr'essa applicabili, bisogna associare agli anzidetti luoghi dei centri di curvatura, una special classe di superficie rigale. Osserveremo per ultimo che l'integrale indefinito /; ^P. P, + ?(—?■) introduce in 'l come fattore una costante arbitraria. Nei casi particolari accade spesso (come vedremo) che il valore di questa costante venga limitato dalla condizione che la superficie rappresentata dall'espressione sia reale. *) Le superficie a curvatura costante negativa sono state recentemente l'oggetto d'interessanti ri- cerche per parte del sig. Dimi. Alcuni dei suoi risultati sono consegnati nei Comptes rendus de l'Aca- démie des Sciences, t. LX (1865), pag. 340, 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 1 67 XX. Chiamiamo R[, R[ i raggi principali di curvatura della superficie di rivoluzione fin qui denominata (1), sulla quale sono applicabili le evolute delle superficie definite dall'equazione e propriamente sia R[ il raggio di curvatura del meridiano, R[ quello della sezione normale al meridiano. Indichiamo inoltre con ']/ il raggio del parallelo della superficie (-), il quale è una funzione nota dell'arco di meridiano p^, avendosi dall'articolo pre- cedente r ''Pi Da formole notissim.e si deducono facilmente per R[, R[ ì valori seguenti: v^^m" in cui il radicale dev'esser preso positivamente. Ora, ponendo per brevità, ^?(-P.) = ? SI ha '^?.~p. + ?' '^?: (p. + ?y' dunque sostituendo si ottiene p-_(p.+9)t/(p.+?y-'i'^ Da questi valori si trae C55; R,R.- -, , -jr- Y^, • Queste formole determinano i raggi principah della superficie di rivoluzione (1), in funzione di p, . Eliminando questa variabile si ottiene la relazione costante che sus- lé8 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 siste in ogni punto fra i raggi stessi. Reciprocamente, se si ammette fra R\ ed R[ una relazione determinata, eliminandone queste due quantità col mezzo delle formole precedenti, si ottiene un'equazione alle derivate del prim'ordine fra p_ e la funzione incognita o, integrando la quale si perviene ad assegnare la forma della funzione j. Ma da questo stesso teorema emerge che quando questa restrizione vien tolta, non ha più luogo in generale la proprietà che i due raggi principali della superficie evolvente sieno funzioni l'uno dell'altro. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 1 69 Ne risulta che quando la superficie primitiva (S) ha la curvatura costante positiva, bi- sogna che si abbia sempre c^ > i. Dai valori trovati precedentemente si deduce, per le (55), /?'/?■_ + (?li^ , I ^',-+(^'-00: + ^ La prima di queste due formole mostra che la curvatura della superficie (i) ha lo stesso segno di quella della superficie (S). Eliminando p^ fra le due ultime equazioni si ha (■+iy-±(^)>^:. equazione la quale esprime la relazione che lega i raggi di curvatura principali della superficie di rivoluzione su cui sono applicabili le evolute delle superficie di curvatura , I costante zìi -jr ■ Se la costante e si può prendere eguale all'unità, l'equazione precedente si riduce alla semplicissima R[-\. R[ =0, la quale caratterizza, come è noto, le superficie d'area minima. Ora noi abbiamo ve- duto che quando la curvatura della superficie (S) è positiva si ha necessariamente c" > i. Quando invece la curvatura anzidetta è negativa si può sempre render nullo il binomio e' — I. Dunque: le evolute delle superficie di curvatura costante negativa sono applicabili sulla superficie di rivolH:^wne d'area miniìna, teorema che si era già presentato alla fine dell'articolo precedente, e che venne pure notato dai signori Weingarten *) e DiNi *"). Fatta astrazione da questo caso particolare, non sembra che la natura della rela- zione trovata fra R\ , R[ , alla quale si può dare anche la forma U: + j?;)-^i k ) R'/ sia suscettibile di ricevere una interpretazione geometrica abbastanza semplice. Passiamo ora a trattare il problema inverso, cioè a ricercare le evolventi delle superficie di curvatura costante. E qui gioverà rammentare innanzi tutto, per evitare ogni equivoco, che il metodo di cui ci serviamo, non può fornire se non quella classe di evolventi alla quale si applica la restrizione precedentemente accennata riguardo al caso generale. •) Journal fùr die reine und angewandte Mathematik, Bd. LIX (1861), pag. 382. **) Comptes reiidus, t. LX, 1. e. nell'art, prec. BtLTRAHl, tomo lyO RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Supponiamo dunque che le quantità R[, R[ sieno legate dalla relazione R[R: = ±h\ la quale, in virtù della prima formola (jj), conduce all'equazione alle derivate ÌL±^ = + ,:: ? ~ Introduciamo una funzione ausiliare 1 di f^, ponendo _ Fa' ?, + ? = + ^- • Facendo questa sostituzione, l'equazione precedente si trasforma in quest'altra V— -Jl — Prendiamo dapprima il segno superiore, che corrisponde al caso della curvatura positiva. In tale ipotesi si deduce da questa equazione ÌE± -'li dove A e B sono costanti arbitrarie. Questo valore di X conduce immediatamente a quello di 9. Si ha infatti 'Pi 'Pi .,Ac''—Be ' o( — Z ) =z p ik : — > Ae^-^rBe ' e quindi, introducendo i due raggi di curvatura dell'evolvente, R-R=-ik- ìR, ìR, Ae'~— Be'" Ae ~-{-Be'' Se si astrae dal caso in cui le costanti A e B sono tutte due eguali a zero, bisogna ammettere che nessuna di esse sia nulla, poiché nel caso contrario la differenza R^ — R^ sarebbe immaginaria. Poniamo dunque dove M ed m sono due costanti reali. Sostituendo si ottiene 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. lyi Me''^ — I i?, — R^ = ik— i, ossia n _„ ik(M'--i) — 2/cMsen2f. ^ ' M^ -|- 2 M cos 2 p. -f- I Di qui risulta ciie affinchè la quantità R, — R^ sia reale bisogna che si abbia M^ — i =; e Prendendo M = — i si ha k sen 2 ;x R, — R, = ^ — = /: cot^ [J., ' I — COS 2 V. ° ' ossia od anche, surrogando alla costante in l'altra costante m , R .-/^, = /.tg(,„-^). Tale è la relazione che ha luogo fra i raggi principali delle evolventi delle superficie di curvatura costante e positiva -y^ , nel caso che consideriamo. k Indicando con — ■ la curvatura geodetica della linea p^ = cost. ossia R^ = cost. tracciata sulla superficie (i), abbiamo trovato, al principio dell'articolo precedente, r = R,-R^. Confrontando questo valore coll'equazione precedente, si ha la formola I I '■ /. -g('" + ^)' che somministra la curvatura geodetica dei paralleli della nostra superficie (1), ossia, in generale, di quelle fra le linee tracciate sopra una superficie di curvatura costante po- sitiva -jp, le quali possono diventare, mercè la flessione di questa, paralleU di una su- perficie di rivoluzione *). *) Queste linee si possono riguardare come circonferenze geodetiche, ossia come traiettorie ortogo- nali delle infinite linee geodetiche divergenti da un punto fisso. La curvatura geodetica di ciascuna di queste linee, sulle superficie di curvatura costante, è la stessa in ogni loro punto. Vedi Minding, Journal fùr die reine und angewandte Mathematik, Bd. VI (1830), pag. 161. 172 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Il valore della costante m dipende dalla curvatura geodetica della linea dalla quale si contano gli archi o,, ovvero i raggi R^, la quale e una linea cuspidale della su- perficie evolvente. Indicandone la curvatura con — si lia r„ = k tg m . O o Se la superficie (2) incontra l'asse di rivoluzione si può prendere r_,= o, purché si contino gli archi p, dal punto in cui la superficie incontra l'asse. In questa ipotesi si ha j« = 0, e quindi ° k Quest'ultima formola coincide con quella che porge la curvatura geodetica di una curva sferica, quando si intenda per o^ il raggio sferico della curva nel punto consi- derato *). È agevole concepire la ragione di questa coincidenza se si riflette che la nostra superficie (2) è appUcabile sopra una sfera di raggio k. Del resto è chiaro che mutando R^ ed R, in R^ -\- a, i^, -[- a si ottiene lo stesso risultato che variando convenientemente il valore di m, donde risulta che i differenti valori che si possono dare a questa costante corrispondono ad altrettante famiglie di superficie parallele tra loro. Basta adunque attribuire ad m un valore determinato, as- sociando poi alle superficie ottenute in quest'ipotesi tutte le loro parallele. Nell'ipotesi testé ammessa si può scegliere il valore ;« = o, al quale corrisponde la relazione semplice Passando ora al caso della curvatura costante negativa, si ha, dall'equazione in X, £1 -Pi 1 = Ae''-{-Be " , da cui Pi _Pi , ,Ae'' — Be ' ? = -?. + /'•■ —77 UT Ae'-l-Be * •) Cioò il raggio sferico del circolo osculatore in questo punto. Vedi Bertrand, Tniiti' de calcul dijférenliel, § 545. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I73 e quindi _ R, fi, J e ^ B R^ R, R, In questo secondo caso l'integrale particolare che risulta dal supporre nulla una delle costanti non conduce, come nel precedente, ad un risultato immaginario. A questo integrale corrisponde la relazione semplicissima dalla quale, conservando ad r il significato precedente, si trae r = ±k. Quest'ultima formola c'insegna che fra le superficie di rivoluzione su cui sono applicabili le superficie di curvatura costante negativa p-, ve ne sono alcune nelle quali lutti i paralleli hanno la medesima curvatura geodetica. Ora il raggio della cur- vatura geodetica di un parallelo non è altro, come già abbiamo osservato, che la por- zione di tangente al meridiano in un punto del parallelo considerato, compresa fra questo punto di contatto e l'asse di rotazione. Dunque le anzidette superficie sono ap- plicabili sopra una superficie di rivoluzione il cui meridiano è la linea dalle tangenti di lunghezza costante (uguale a /.-). Questo risultato è ben noto ai geometri *), ma le considerazioni precedenti ci conducono alle seguenti altre conseguenze: Le evolute delle superficie le quali hanno in ogni punto costante ed uguale a k la diffe- renxfi dei loro raggi di curvatura principali, sono superficie di curvatura costante negativa uguale a y^ . Le geodetiche inviluppate su queste evolute dalle normali delle evolventi possono trasformarsi, mediante un'opportuna flessione delle evolute stesse, nei meridiani di una superficie di rivoluxjone, ed acquistano allora la proprietà di avere le tangenti (ter- minate all'asse) di lunghexjfl costante uguale a k. Questo teorema avrebbe anche potuto essere stabilito mediante considerazioni a- naloghe a quelle sviluppate nell'articolo precedente. Infatti da queste emerge chiara- mente che le superficie ortogonali al sistema delle rette tangenti ai meridiani della su- perficie di rivoluzione generata dalla curva del sig. Liouville hanno la proprietà di *) Veggasi Liouville, Nota IV &U.' Application de l'aiialysc à la geometrie di Moì^ge (Paris, 1850), pag. 583, e un interessante lavoro del sig. Codazzi negli Annali di Scienze Matematiche e fisiche (di ToRTOLiNi), t. Vili (1857), pag. 346. Ij^ RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 avere costante la differenza dei raggi di curvatura principali. Ora se si riguardano quelle rette come invariabilmente connesse all'anzidetta superficie, in ogni flessione di questa esse danno luogo (pel teorema dell'art. VI) ad una nuova serie di superficie ortogonali, nelle quali la proprietà suenunciata non cessa mai di verif.carsi. In tal modo siamo pervenuti ad assegnare la generazione di una classe completa di superficie, la quale finora non pare che sia stata l'oggetto di speciali ricerche, ed il cui carattere distintivo consiste nell'avere costante dovunque la differenza dei raggi principali di curvatura. Una particolarità di questa classe di superficie sta in ciò che la proprietà che le serve di definizione è comune a tutte le superficie parallele ad una qualunque di quelle che ne sono dotate, cosicché la conoscenza di una fra esse con- duce immediatamente a determinarne un'intera famiglia. Limitandoci per ora ad aver toccato dei principi! che possono servire di base a questa ricerca, riserviamo ad un'altra occasione il più adeguato sviluppo della medes.ma. Quando nessuna delle due costanti A e B è nulla, si può porre e SI ottiene oppure R, — R, = kcwh secondo che si prende il segno superiore o l'inferiore. (Le segnature tgh, ctgh rappre- sentano la tangente e la cotangente iperbolica). In corrispondenza a queste due for- mole si ha, per la curvatura geodetica dei paralleli. oppure I I k ctgh I /M -|- -IT ) Anche in questo caso si può dare ad /;; un valore particolare ed associare alle super- ficie comprese nell'equazione risultante tutte quelle che sono ad esse parallele. Le relazioni trovate fra R^ ed R^ nei varii casi che abbiamo discorsi, risolvono, entro i limiti già dichiarati, il secondo dei problemi che ci eravamo proposti. 5] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I75 XXI. Abbiamo dati al principio dell'art. XVIII i valori delle quantità — , - — , curva- ture geodetiche di due sistemi di curve ortogonali p^ = cost., p^ = cost., assunte come coordinate curvilinee. Il calcolo diretto del valore di — , curvatura geodetica di un sistema qualunque p = cost. riferito a coordinate curvilinee arbitrarie u e v, non è molto semplice. Ma la considerazione dei secondi parametri differenziali conduce pront;unente alla deter- minazione di questo valore. Rammentiamo infatti che dalle (48) si ha, mutando le /jj, h^ in /ij, /:, (giacche riterremo in avvenire, come nell'art. XIV, b^ =AjH, h^^=^\uv, 4 ^.p.=M.,, ossia e quindi, per le (j2'). Se ne ricava (55l 2 1 I __ ^.=. dk, ^ K 5p, ' la seconda essendo ottenuta con un analogo procedimento, e quindi, in virtù delle (45), r. /r, k] ' In queste ultime formole le due funzioni p^, p^ compajono scparatammle l'una dall'al- tra, insieme coi rispettivi parametri differenziali, il cui valore è, come sappiamo, indi- pendente dal sistema delle coordinate a cui si riferiscono. Applicando dunque ad un sistema qualsivoglia p {11, v) = cost. ed alla rispettiva curvatura geodetica — la rela- 176 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 zione espressa dall'una o dall'altra delle due formo'.e precedenti, e ponendo A^ p ^ k, si ottiene la tbrmola generale I A^ p x?k ossia G6) ___ + vj-, intendendo colla scrittura v-7— che l'operazione v (art. XIV) dev'essere eseguita sulle duo funzioni p ed -7—. Per abbreviare lo sviluppo di questa ultima formola po- k niamo / s 1 ' d II a V '- Oli a V Ci 7) \ ^____ si ottiene cosi, per le (36), (49), I H / d m . d n \ k k^ o più semplicemente Tale è l'espressione generale di — , ridotta alla sua forma più semplice e più comoda nelle applicazioni. Nondimeno, per poter verificare l'identità della medesima con altre formole note, ci conviene assoggettarla ad una ulteriore trasformazione. In primo luogo introduciamo in luogo delle h], ì\^, h\ le E, F, G, ed osser- viamo che in virtù delle (37), (40), si ha in M n A'' H^T ' 'H~T ' e che, ponendo per brevità si ha pure Tk 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 177 per cui la (58) può scriversi nel modo seguente : ^'^^ T-TydTc-p+d-v-T) )• Indicando per semplicità cogli indici i, 2 le derivazioni parziali relative ad /( ed a V, si ottiene dapprima da cui, surrogando per P^ e P, i valori Si passa ali espressione Sostituendo i valori di M_ , N^ , Af, , N^ e facendo qualche riduzione nei coefficienti delle derivate seconde di 0, si trova poscia : + (Mp. + A-pJ[(G. -FJp, + (£,-F.)pJ - T P.['^^(G.? -F,p J+A-(G,p -F,p J]- 1 p^[M(£.p -F,p,)+N(£,p -F,p.)] j . Da ultimo, calcolando i valori delle quantità GP^ — M\ FP' -f~ M N, EP' — N' e raccogliendo i fattori M ed N, che si trovano in tutti i termini non contenenti de- •) Questa formola è già stnta data dal sig. Bonnet, nell'art. IX del Mèmoire sur l'empiei d'un ttouveau syslème de variahUs dans l'étude des propriétés des surfuces coiirhes [Journal de Mathématiques purcs et appliquès (2'""^ strie), t. V (1860), pag. 153]. BF-LTBAMJ, tOTTlO I. 2} iy8 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 rivate seconde, si ottiene il seguente valore finale : ■j(£G-F)(?:p,,-2c.p^p,^ + p^p„) \ +(^>.-fp.)[(T^;-f.)f^ + (^.F.p.-iG,p:]j. In particolare per le linee /( = cost., v = cosi, si ha r 2 r 1/ G \ du ~ dv ~' G dv } ' (éo) { I _ I (5E ^ dF F dE\ r,. ~~ 2 T\'E \ e»!' ^ du '^ E da J ' formole in cui riterremo posiavi i valori di t -£" e l^G, per restare in accordo colia convenzione fatta nell'art. XVIII rispetto al segno delle curvature geodetiche. Dall'espressione generale (59) si passa subito a quella in cui invece delle derivate parziah di p entrano i diiTerenziali primi e secondi eli 11, v relativi ad uno spostamento infinitesimo lungo una delle linee del sistema che si considera. Infatti si ha oda j j I j 2 o(dHd^v — dvd^n) da e ui e quindi £?:-2Fp,p. + Gp: = ^, , , , a'Cdiid'v — dvd'it') 00 — 20 e 0 4- p 0 = ^-^ r— ^ )^(EG — F')(dud'v — dvd'u) (Edir-^2FdHdv+ GdvysfTG^F' •^^'^ ^ -\- {Edu ^ Fdv)[{F^-~E)du' -{- G^dudv -\- {GJv'] — {Ed li + Gdv)[{F^ — ^G)dv' -\- E^dudv-\- \EJu''^ *). *) È bene notare che ponendo successivamente àu z=. o, dv=LO, si ottengono da questa formola valori di , i cui segni non pajono accordarsi con quelle delle (60). Ma è facile vedere che in U V realtà questi segni restano indeterminati per la presenza del radicale ds' . Noi ci atterremo ai valori (60) per la ragione già addotta. 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I79 Questa espressione coincide (dopo lo sviluppo delle moltiplicazioni accennate fra le parentesi) con quella che venne data dal sig. Minding *). Noi sappiamo (art. X\'III) che per le linee geodetiche la curvatura geodetica è eguale a zero. Dalla precedente equazione si può quindi ricavare l'equazione differen- ziale delle linee geodetiche sotto la sua forma più generale : basta fare — == o. Noi non istaremo a trascrivere quest'equazione, che raramente può riuscire più comoda di quella data da Gauss {pisquisiìioncs gencraìcs, etc, art. XVIII). Partendo dall'espressione (6i) è facile risalire al significato geometrico della quan- tità— . Infatti, siccome le coordinate curvilinee n, t^ sono intieramente arbitrarie, cosi r noi possiamo, dopo aver riferita la superficie a tre assi rettangolari 0 x, Oy, 0;^, sup- porre Il = X, V = y. In tale ipotesi, ponendo al solito, li - =z p J .V -(- q dy , d p ^ r d x -\- s d y , d q = sd x -\- t dy , si ha dx' + dy' + d-^' = (i + P^-)dx' 4- ipqdxdy + (i + r)dy\ da cui E=i-\-p\ F ^pq, G= 1 -\-q\ EG-t- = l+p'-\-q\ E d 11 -]- F d V =z d X -\- p d X,, F d u -{- Gdv =^ dy -{- qd:^, (F, — -^ £^) (/ H^ + G^diidv-Jr-,G,àv'= qQ-dx'-\- isdxdy-]- tdy'), (F, — 4- G) d v' 4- E, d II dv^^ F, d n' = p (r d x' + 2 5 c _ ZV'—IVU d log X _ Z [/'+ IF V ~d~ir~" q; ' ~ dv ~ Q' Eliminando •/- si ottiene Tale è la condizione cercata. Nel caso delle coordinate isoterme, le due equazioni che hanno servito a stabi- lirla ricadono nelle notissime che esprimono essere il binomio ■/.([/-{- ' ^) una fun- zione di u — I V. Infatti supponendo che si abbia y.{U-\-iV) = 2';(h — iv) e quindi •/.([/— !F) = 20(H4-fl'), (dove 9 e ij/ sono al solito funzioni coniugate) se ne deduce y.{Udii + rjf) = (i^ + ?)d« 4- ''^-^^dv = o{du + idi) +'yO'« — ''^^). epperù l'integrale dell'equazione proposta può riguardarsi come rappresentato dall'e- quazione / 9(2^ -J- iv') {lIu -f- idi') -\- / ■)(« — iv)(du — idi') = cost, la quale conviene appunto ad un sistema isotenno. XXIV. Passando ora a trattare delle funzioni assolute (art. XIII), osserveremo primiera- mente che una funzione di tal natura è subito trovata quando l'elemento lineare della superficie è posto sotto la forma (51). Intatti se («, t'), ("'> ^') so'io '^^^ sistemi di 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. 1 89 coordinate curvilinee isoterme relative ad una medesima superficie, talché si abbia du'-{-dv' _ d,r- + dv" devono sussistere (art. XVII) tVa queste due coppie di variabili due relazioni della forma u' -j- iv' = Cp(M -]- iv') , n' — it^' = ij; (/( — ; li) , (p e il* essendo due funzioni conjugate. Se ne deduce du" -\- dv" =^ '/f ('^"' + '^0 e quindi (71) . // = /;lVT, da cui log // = log /; -f I log 9' -[- I log '/. Ora le funzioni log'/, log']'' soddisfanno all'equazione differenziale parziale A^/= o, dunque la relazione precedente dà luogo a quest'altra (72) A, log // = A, log /; . Il primo membro di quest'equazione può riguardarsi come formato colle variabili u', v', il secondo colle u, v. Se dunque si osserva che in questa tormola non resta più traccia delle relazioni fra i due sistemi di variabili, e che non vi figura alcuna funzione diversa da quella che caratterizza l'elemento lineare, si può senz'altro conclu- dere (art. XIII) che : la funzione A^ log /; è una juiixione assoluta. Partendo da questo risultato e fondandosi sull'invariabilità del parametro A^ (art. XV) è facile trovare l'espressione generale di questa funzione assoluta, che rap- presenteremo con 6. Si vedrà in tal modo ch'essa coincide colla nota formola di Gauss, e si ottei'rà così una dimostrazione analitica diretta e semplicissima di questa formola memorabile. Continuando a designare con T la quantità ]/£ G — f e ponendo inoltre, per brevità, YE = u, ^4^= V, l^=S- = v, si ha identicamente Edii' J[- iFdudv-Y- Gdv' = (Udii -)- Vdv)(Udu-lr V'dv). Chiamiamo x., ■/.' i due fattori integranti (immaginarli conjugati) che rendono v.{Udu + Vdz^ = dn' -[-idv', -a' (Udii + V'dv) = da' — idv', IJO RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 e quindi Dalle cose premesse risulta che 0 =: A, log t^ìTì?", e siccome x e ■/.' sono quantità conjugate, così è chiaro che per avere il valore di O basta calcolare la parte reale di A, log •/., cioè (eq. 47) dell'espressione ^ ^ r \_dii T \ dn dv / ' dv T \ dv dii /J Ora il fattore d'integrazione x. deve soddisfare all'equazione a (y. U)_d(A. V) dv du ' ossia alla seguente dv du ' ' ' dove gli indici i, 2 indicano, al solito, derivazioni parziali relative ad u ed a t'. Ram- mentando i valori di U, V ed osservando che _ F -\-iT _ GU U ~ I —iT' si vede facilmente che la precedente equazione può scriversi nei modi seguenti : I /^dìogy. pd\ogy.\ _ .aiogx. [/(LT^ — F,) T \ dv du ; dn T ' I /a log-/. paiogx.\_ aiog-. (f-ìT)(u^- v,) T \ du dv }~ dv '^ TU Coll'ajuto di queste due relazioni si elimina immediatamente la funzione incognita x dall'espressione di A^ log /-, e si ottiene A lo.. --Lfi-a-' - '••Qc^. - i\)_±^iu. - ^Ji ^^ T La» TU dv T y Ora essendo _ _££, + £. F - 2 £F, £. F' + g' G. - ^JgfF. 2Fl'F 2TE\'E 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRL\. I^I la parte reale di (^F — i T^ (U^ — TJ risulta eguale a %ÌE ' si ha dunque finalmente {13) ^■>— 2T\_diiT\dn Edvì'^dvT\dv ^ dii'^ E du)j' È facile assegnare il significato geometrico di quest'espressione. Supponiamo che la superficie sia riferita (come nell'art. XXI) a tre assi ortogonali Ox, Oy, 0:{, e poniamo 11 = X, V —y, £=1+ f, F = pq, G = 1 ^ i]': in tale ipotesi si ha e l'espressione precedente si trasforma in quest'altra tì — _i_ FA '1'' _ A 1^ 1 - TldyT(i+p') dxT(i+p^-)] Eseguendo le derivazioni e riducendo si trova 0 = (i+r + '/y Ora il secondo membro di quest'equazione esprime, com'è notissimo, il prodotto reciproco dei raggi principali di curvatura della superficie. L'analisi precedente stabili- sce dunque che questo predotto rimane invariabile in ogni flessione della superficie medesima. In ciò consiste il celebre teorema dato per la prima volta da Gauss, nelle Disquisitiones gcneraìes circa superfcies curvas, art. XIII. La funzione assoluta che esprime (eq. 73) il valore di questo prodotto si con- verte nella formola di Gauss (1. e. art. XI) quando si eseguiscano tutte le derivazioni indicate, per cui sebbene priva di simmetria, essa ha sopra quella di Gauss il vantag- gio della concisione. Essa è stata data per la prima volta, senza dimostrazione, dal sig. LiouviLLE, in una Nota letta all'Accademia Francese nel 1851 *); venne poscia di- mostrata dal sig. Chelini **), con un processo al tutto diverso dal precedente. Lo stesso sig. LiouviLLE ha indicato (1. e.) un'altra forma assai elegante e simme- •) Inserita nel Journal de Mathématiques purcs et appliquées, t. XVI (185 1), pag. 150. ••) Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (di Tortolini), t. II (1851), pag. 291. 192 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 trica dell'espressione di B, che è stata parimenti dimostrata dal sig. Chelini. Essa si ottiene prontamente nel modo che segue. Dalle (60) si deduce 2T\dv ^ dn + E' du /"" r„ ' _^ aG^ _ t/G F fd log F _ aiog|/G\ iT òli r„ ' r \ ó t' dv } ' Quindi la (73) diventa '' = - T [^(-77) + 5^ V^ì + 5^« \T è ^°^ l^f^)] • Ora chiamando oj l'angolo delle due curve u = cost., v = cose, si ha, come è noto, F r cos co ^ , , tg co = t/FG ^ F ' quindi l'equazione precedente può scriversi '^^"^'' ~V^FG-Flò«at' ^"V^/ 5^\~/J" Tale è la seconda forma indicata dal sig. Liouville. XXV. La formola di Gauss si può ottenere anche con un semplice processo di elimi- nazione che noi esporremo per il caso di un sistema di coordinate curvilinee orto- gonali. Supponendo che le coordinate it, v sieno isoterme, le relazioni (39) diventano Introducendo una variabile ausiliaria co, si possono sostituire a queste tre equazioni le quattro seguenti : / a?, ^, cos co a?, ^', sen co (7)-) \ d a 11 ' dv I a p^ k^ sen co a p^ k^ cos w (a7~ " h ' dv h 5] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I93 Confrontando queste formole colle (40), (44), ovvero colle (43), si trova d u h cos w dv h sen m 5?. i. ' 5?,- A-. 8 ?( /j sen (0 d V b cos w d?,- k, ' do~ k. donde risulta che le derivate relative alle ti, v sono legate a quelle relative alle p, , p, dalle relazioni a , d kd cos (0 t; [- sen OJ -;r— = -r^- -i; — , OM ' av h a?, (76) ; a , a /e a — sen IO ^ H cos w ■^- = -~ ^^- ou ' àv h 0 3. coll'aiuto delle quali si possono facilmente eliminare dalle (75) le derivate di p, , p^ rapporto ad u, v e la variabile ausiliaria co. Infatti eliminando dapprima le p_, p^ si ottengono le seguenti equazioni: k k ;3 js ^ log y- a log -jf- cos w ^r \- sen w ^^ = cos w — ^ sen w ò u d V a t' a u ' , > I a log -y2- a log -p- aw , aw h . '=' b — sen (0 ^ 1- cos oì -^— ^= — l sen co — ^ -j- cos (O ■ d il d V \ dv d H ovvero, in virtù delle (76), ri Inor — ~ r) \cì*y — ^ a co k, "^ ^ h a CO k, '^'°^ b a?, k^ ap, ' ap, k^ a?. ' quindi, eliminando co, ^ (k^ a log k\ , d_(K à\ogh\ _ j_ /A. ^J^\ 4- A /A. ^i^\ ossia (art. XVI) La forma di questa equazione ci avverte (art. XIII) che ambedue i suoi membri BELTRAMl, tomO I. ZJ 194 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 sono espressioni equivalenti di una stessa funzione assoluta, la quale non è altro che la 0 dell'articolo precedente. Dunque _ r a / k, dhgk\ d / /s d\ogk\i ovvero (77) t) = - /:. k od anche, per le (52'), Quest'ultima coincide con quella che si deduce dalla (74) ponendo F = 0. Essa può scriversi, per le citate formole (52'), nel modo seguente: ora, indicando colle caratteristiche S^, S^ le variazioni che nascono da spostamenti ef- fettuati lungo le linee p^ = cost., p, =: cost., si ha (art. XV) dunque (78) S,5, S-L S^ 'li. ^ 'l/- "^ >■' + r! ~ i?.i?. Questa importante generalizzazione di una nota formola del sig. Lamé è dovuta al sig. Ossian Bonnet *). APPENDICE ALL'ART. XIL Prima di abbandonare la teoria dei sistemi di rette distribuite nello spazio (qui trattata dentro i limiti convenienti all'oggetto delle presenti ricerche) non crediamo inu- tile di mostrare come dalla formola (9) si deduca la notissima proprietà caratteri- •) Journal de l'Écolc Polytechnique, t. XIX, Cahier 32 (1848), pag. 53. 9] RICERCHE DI ANALISI APPUCATA ALLA GEOMETRIA. 195 dx dy di X Y Z dX dY dZ stica delle rette normali ad una superficie, che è quella di formare due sistemi di su- perficie sviluppabili ortogonali fra loro. L'equazione o, già ottenuta nell'art. X, mostra che quando le x, y, ;^, anziché essere variabili indipen- denti (come ivi si è presupposto), dipendono da due parametri /( e v, non vi sono che due direzioni secondo le quali si passa dal punto {11, v') ad un punto contiguo della superficie iniziale, in modo che la retta corrispondente al primo punto sia incon- trata da quelle che immediatamente le succedono in queste due direzioni. Dunque le rette di ogni sistema semplice formano due serie di superficie sviluppabili, le quali de- terminano sulla superficie iniziale due famiglie di curve. Non nuoce alla generalità dei risultati il supporre che queste curve sieno le stesse u, v. In quest'ipotesi si hanno le due relazioni dx du dy da di du X Y Z dX dY dZ du d II du = 0, dx dv dy d V di d V X Y z dX dY dZ dv d v dv ^ o. Dalla prima di queste, scritta sotto la forma \ du dii/àu \ au ou/du \ du du/dn dalla ^dX dY . ydZ d u d II du si deduce facilmente, indicando con H un fattore da determinarsi e ricordando le (7), H^J^^^^-UX, du à u dY d\ à u a u ^dZ^di d II d u UZ. 196 RICERCHE DI ANAUSI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [9 Dalla seconda si ottiene analogamente a V ov av o V av av Sommando i quadrati delle prime tre equazii^'iii, i prodotti delle prime colle seconde (membro a membro), ed i quadrati delle seconde, si ottengono le formole \du a V OH av ' au a v j I due fattori H e K non possono essere nulli ad un tempo, poiché in tale ipotesi si ricaverebbe dalle precedenti tre equazioni Edu'-{- 2Fdudv-^ Gdv' ^(iUdu-{- Vdvy, risultato che non può verificarsi per alcuna superficie propriamente detta. Dalle due prime terne di equazioni si deduce inoltre \du dv du 5i''5m dv ) dv dn dv dii "^ dv du ' \du dv du dv du dv ) du dv du dv ~^ du dv ' Dunque se le rette sono normali ad una medesima superficie, si deve avere, in for^a della (9), ,„ ^^./dXdX , dYdY , dZ dZ\ \du dv d u dv ' d u. dv / Ora è facile riconoscere che affinchè sussista quest'ultima equazione, bisogna che sia nullo il secondo fattore. Se // ù differente da K, ciò è evidente. Nel caso che H sia 9] RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. I97 eguale a K, basta osservare che alla superficie assunta come iniziale si può sostituirne un'altra qualunque. Facendo questa sostituzione, le X, Y, Z rimangono le stesse, ma le .V, y, :^ diventano altre funzioni delle //, v. Ora è chiaro che in questo modo si può sempre rendere H differente da K. Per esempio, se si prendesse per nuova su- perficie iniziale l'inviluppo di una delle famiglie di superficie sviluppabili, tutte le rette del sistema sarebbero tangenti ad essa, epperù, chiamando x', y', ;^' le sue coordinate, H', A", U', V i valori corrispondenti di H, K, U, V, si avrebbe da cui dx' òli dy' dn ~ Y au da da' au X ~ Z " X'-^ Y'-\- Z' ^/ U'X^o, au du du u\ e quindi //'=o. In questo caso è certo che K' non potrebbe essere parimente uguale a zero, e perciò non si avrebbe H' =^ K'. Dunque l'ipotesi che le rette sieno tutte normali ad una medesima superficie con- duce necessariamente alla condizione dX dX dY dY dZ dZ __ du dv d II dv du dv Ciò posto consideriamo una sfera di raggio i, col centro nell'origine delle coor- dinate, e immaginiamo condotti i raggi paralleli alle rette del sistema. A ciascuna retta corrisponde in tal modo un punto della sfera avente per coordinate X, Y, Z; ed alle due famiglie di superficie sviluppabili corrispondono due famiglie di curve sferiche (m ^ cost., V = cost.), le quali, come è manitesto, formano in ciascun punto lo stesso angolo delle due superficie sviluppabiH che si intersecano lungo la retta corrispondente a quel punto. L'equazione precedente esprime evidentemente che le due famiglie di curve sieriche sono ortogonali : dunque anche le anzidette due famiglie di superficie sviluppabili sono fra loro ortogonali, ossia i due piani che passano per una retta qua- lunque e per le due rette infinitamente vicine dalle quali essa è incontrata sono perpendi- colari fra loro. È questa la proprietà caratteristica, enunciata per la prima volta da MoNGE, nella Memoria citata all'art. X. 198 RICERCHE DI ANALISI APPLICATA ALLA GEOMETRIA. [? L'ultima equazione, combinata con una delle precedenti, dà F= UV, equazione semplicissima, che può tener luogo della (9) quando le curve «, v sieno quelle particolari di cui abbiamo fatto sceka. X. INTORNO AD ALCUNE PROPRIETÀ DELLE SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE. Annali di Matematica pura ed applicatu, serie I, tomo VI (1S64), pp. 271-279. Sia dx l'equazione differenziale di un sistema di curve, riferite a due assi ortogonali O x, Oy. Dalla torma speciale di quest'equazione risulta immediatamente che le curve del sistema da essa rappresentato non differiscono fra loro che nella posizione, altro non essendo che una sola e medesima curva spostata parallelamente all'asse della x. Ciò premesso consideriamo la superficie di rivoluzione generata da una qualunque di queste curve, col girare intorno all'asse delle x, e sieno i?_ il raggio di curvatura del meridiano, R, quello della sezione normale al meridiano, cioè la porzione di normale compresa fra il meridiano e l'asse. Da note formole si ha donde ?? Consideriamo ora il sistema delle curve ortogonali alle precedenti. La sua equa- 200 INTORNO AD ALCUNE PROPRIETÀ DELLE SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE. [lO zione differenziale è evidentemente Jx i_ dy ~ 9 (v) ' e quindi chiamando R\ ed K,_ due quantità analoghe alle A', , ìi^ e relative alle super- ficie di rivoluzione generate dalle seconde curve, nei punti corrispondenti allo stesso valore di }', si ottiene immediatamente il valore di i?', i?j mutando 9 in — nell'e- spressione di R^R, dianzi trovata. In t.il modo risulta cioè Il teorema contenuto in questa formola può enunciarsi come segue : St si considerano le diverse posizioni di mia superficie di rivolu:(wne successivamente spostata lungo il proprio asse, e si determina una nuova superficie di rivolu:^ione avente lo stesso asse, ed ortogonale a tutte le precedenti, la misura della curvatura di quest'ul- tima superficie è eguale in valore assoluto e di segno contrario a quella di una delle su- perficie precedenti, nei punti del parallelo comune ad entrambe. Da questo teorema risulta, come caso particolare, che spostando lungo il proprio asse una superficie di rivoluzione di curv.atura costante e positiva uguale ad -r^ , e deter- /v minando le superficie di rivoluzione aventi lo stesso asse ed ortogonali alla precedente, considerata nelle sue diverse posizioni, la curvatura di una qualunque di queste seconde superficie è parimente costante, ma negativa ed uguale a rr ■ Quando la prima su- perficie è una sfera, il meridiano della seconda è evidentemente la curva dalle tangenti di lunghezza costante : in tal guisa siamo condotti al noto ed elegante teorema del sig. LiouviLLE *). In generale si vede che, in virtù del teorema precedente, i meri- diani delle superficie di rivoluzione a curvatura costinte, positiva nelle une, negativa nelle altre, sono in certo modo conjugati a due a due. Consideriamo di nuovo un meridiano di forma qualunque ed il suo conjugato (nel senso testé dichiarato). I centri di curvatura di queste due curve nel punto ad esse comune hanno fra loro una relazione semplicissima. Essi si trovano sopra una stessa retta perpendicolare all'asse di rota:;ione. Infatti sia AB i\ meridiano primitivo, A'B' il suo conjugato. Sieno ON', ON le rispettive loro tangenti nel punto comune 0, *) Nota IV a\\\lj>plication de l'An^ilyse à tu Geometrie di Mongb, Paris 1850. IO] INTORNO AD ALCUNE PROPRIETÀ DELLE SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE. 201 terminate all'asse. Sia C il centro di curvatura della prima curva, nel punto 0. Si conduca la retta CC, perpendicolare all'asse di rotazione NN', fino ad incontrare in C la tangente alla prima curva. I due triangoli simili ONN', OCC, dinno OC _0N OC ~ 0 A' ' ossia OC.ON = OC'.ON', relazione che equivale a quest'altra salva la differenza nel segno, la quale proviene da ciò che non si è tenuto conto delle direzioni relalivc dei due raggi di curvatura della prima o della seconda superficie. Rispetto alla curva dalle tangenti di lunghezza costante si ottiene da quanto pre- cede \s seguente semplicissima costruzione (nota) : nel piiiiìo dato sulla curva si con- duca la tangente e ìa normale, e dal punto in cui la prima retta incontra l'asse si con- duca una perpendicolare a quest'asse: l'inter sezione di questa perpendicolare colla normale è il centro di curvatura della curva nel punto considerato. La superficie di rivoluzione generata da questa curva possiede una proprietà note- volissima, la quale consiste in ciò che quando essa viene trasformata per via di flessione (supponendola al solito inestendibile) in un'altra superficie di rivolu:^ione, per modo che i meridiani primitivi si trasformino nei meridiani della nuova superficie, questa è assolu- tammte identica alla prima, nuU'altro accadendo se non che quei punti che appartene- vano dapprima ad un parallelo d'un certo raggio, passano a far parte di un altro pa- rallelo, di raggio maggiore o minore. BELTRAMI, tOmO I. 26 202 INTORNO AD ALCUNE PROPRIETÀ DELLE SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE. [lO Infatti il raggio della curvatura geodetica di ciascun parallelo rimane inalterato nella flessione : d'altronde questo raggio ù la lungi]cz:ia della porzione di tangente al meri- diano, nel punto del parallelo considerato, compresa fra questo punto e l'asse; dunque questa lunghezza rimane la stessa, in ogni punto del meridiano, prima e dopo la fles- sione. Ma prima della flessione questa lunghezza era, per la natura della curva meri- diana, costante in ogni punto, dunque essa deve esser tale anche dopo la flessione, cioè la nuova curva meridiana ha anch'essa le tangenti di lunghezza costante ed eguale a quella della prima. D'altra parte è facile riconoscere, dalla nota forma dell'equazione differenziale di questa specie di curve (e dalla stessa loro generazione), che ad una data lunghezza della tangente corrisponde una curva unica, poiché i varii valori della costante introdotta dall'integrazione non fanno che spostare questa curva lungo l'asse. Si può domandare: esistono altre superficie di rivoluzione dotate della medesima proprietà ? Ecco come si può rispondere a questa dimanda. Siano sempre x, y le coordinate rettangole della curva meridiana, s il suo arco, Ox l'asse di rivoluzione. Considerando y come una funzione di s, ed indicando con 0 l'angolo che il meridiano variabile fa con un meridiano fisso, si ha per il quadrato del- l'elemento lineare della superficie la nota espressione Se questa superficie si trasforma colla flessione in un'altra superficie di rivoluzione, i cui meridiani sieno le curve trasformate dei meridiani primitivi, _)' e 6 divengono y^ e 6 , s rimane invariato, ed eguagliando le espressioni di due elementi corrispondenti si ha ds'-{-y'd^' = ds'-\-y]dH], cioè yd^ = yjh^, da cui, per essere }', _)■, funzioni della sola s, si trae r, = iny , ml\ = 0 -f «, dove in ed /; sono costanti arbitrarie. Indicando dun-]ue con x^ l'ascissa della nuova curva meridiana, si ha d^ e quindi dy, = m-^Vdx]-{-dy], io] intorno ad alcune proprietà delle superficie di rivoluzione. 203 intendendo sostituito nel secondo membro, prima di eflfettuare l'integrazione, il valore di s espresso per v, , fornito dalla y^:=:iiiy(_s). Affinchè la nuova curva coincida colla primitiva, è chiaro che dopo questa sosti- tuzione bisogna che l'espressione soggetta al vincolo integrale non contenga più la co- stante m. Ciò richiede che si abbia _d_ / d dm {"''!h) = °' ossia Ma dalla v, = tny si cava dy , d^ y d s ds ds dm , d y d s ds din dunque, eliminando -j — , si ha d ti! da cui, integrando, yds dy ~ Ora è facile riconoscere che il primo membro di quest'equazione rappresenta il valore della porzione di tangente compresa fra il punto di contatto e l'asse delle x; dunque la superficie, di rivolu:^ioiic i^cnerala dalla curva avente le taiiiienti di lunghcxj^fi coslaiUe (^uguale ad r) e la soia che goda della proprietà in discorso. Abbiamo prefisso alla costante r (che supponiamo positiva) il segno negativo, perchè è chiaro che la curva di cai ci occupiamo ha per asintoto l'asse delle x, al quale va accostandosi indefinitamente da ambe le parti ; essa ha inoltre una cuspide che corrisponde all'ordinata y := r, donde risulta che tacendo passare per questo punto l'asse delle y, e contando gli archi s dal punto stesso, nel senso delle x positive, gU incre- menti ds e dy sono di segno contrario per quella metà della curva che giace nella regione delle coordinate positive. Dall'ultima equazione si deduce, nelle ipotesi ammesse, s ^ r log — . ^ y Inoltre si ha — rdy = yds = y ]/d x' -\- d \\ da cui V? dx = -'' -y dy. 204 INTORNO AD ALCUNE PROPRIETÀ DELLE SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE. [lO che è l'equazione differenziale conosciuta. Noi prendiamo il radicale positivamente. In- tegrando, e determinando opportunamente la costante, se ne deduce '• + iv-y .v + lV^? = rlog ^ e quindi s-x^ Vr' - y' — r log '" "^ ^^' ~ ^' , da cui, ponendo y = o, lim (i — .v) = '■ (i — log 2). Abbiamo dunque il teorema seguente : La differen::;/! fra la lunghe:j^a (infinita) della curva dalle taiigoìti costanli e quella (parimente infinita) del suo asse è Jìnila ed eguale a 2r(i — Ioga), r essendo la lun- ghe:;ja costante delle tangenti. Chiamiamo S(^x^, x,) l'are.i della porzione di superficie di rivoluzione generata dalla linea in discorso, compresa fra i paralleli corrispondenti alle ascisse positive .v^, x, (^. > -O- Si ha 5(-Vo, O = 2T. j 'yds = — 2-r 1 'dy = 2~r(y^ - ;■,). 1 •'>o ''yo I È evidente la coincidenza di questa espressione con quella della superficie di una zona sferica di raggio r, avente per altezza y^ — y^. Rappresentiamo analogamente con V(^x^, .v^) il volume del solido contenuto fra la superficie anzidetta e due piani paralleli, condotti normalmente all'asse nei punti cor- rispondenti alle ascisse positive .v^, , -v^ . Si ha y (-v„ , -V.) - ^ ry dx^-2. f'y i^^^ dy = ^. [(,- - yy - (,- - y^^] . Quest'espressione coincide visibilmente con quella del volume compreso fra due super- ficie cilindriche di raggi y^ ed y^ , aventi lo stesso asse, ed una superficie sferica di raggio r avente il centro su quest'asse. Per avere la superficie ed il volume relativi all'intiera superficie di rivoluzione, estesa indefinitamente da ambe le partì, nel senso dell'asse, basta porre y^ = r, y^ = 0 e raddoppiare i risultati. Si ottiene in tal guisa 5 = 47:r% F = ^T:r\ Dunque : // solido di rivoluzione generato dalla lima delle tangenti di lunghe::j;fi costante uguale ad r, ha la stessa superficie e lo stesso volume di una sfera di raggio r. io] INTORNO AD ALCUNE PROl^RIETA DELLE SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE. 2O5 Chiamiamo E, ri le coordinate del centro di curvatura della curva che abbiamo fin qui considerata. Dalla costruzione precedentemente richiamata si ha facilmente e quindi r y Per questi valori l'equazione finita della curva, eliminandone x ed y, dà r r da cui si deduce Vi = — -U-' +1; ' } , equazione di una catenaria. Tale è dunque l'evoluta della curva dalle tangenti costanti uguali ad r. Questo risultato conosciuto poteva anche essere dedotto a priori da un teorema del sig. Weingarten, intorno al quale può vedersi l'articolo XIX delle mie Ricerche di analisi applicata alia geometria *). Si possono determinare facilmente anche le evolventi della curva dalle tangenti costanti. Infatti supponiamo che il punto comune a questa curva e ad una delle sue evol- venti sia quello che corrisponde al valore 5^ dell'arco .<;. Chiamando E, •/) le coordinate dell'evolvente, si trovano le relazioni = -- - (^- - o^-^V^^ ' •' = >' + ^' - '°^-r • Ma si aveva -^ = e ' r da cui — -^ =y i — t ' ^ log -^ — '- = -I- log ^ I + [/ 1 — g r ; , erù » X =^ s -{- r \og\ i -\- y 1 — e~'~} — r ]/ 1 — e~~ . *) Giornale di Matematiche, voi. Ili (1865), pag. 18; oppure queste Opere, voi. I, pag. 162. 206 IKTORNO AD ALCUN'E PROPRIETÀ DELLE SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE. [lO Eliminando dunque le a-, v dalle espressioni trovate per e, r,, si ha ^ = 5 + r log ( I + ]/ 1 — e~^} — (s — i„ + r) ] i — e'^ Tutte le curve rappresentate da queste due equazioni hanno una cuspide nel punto che corrisponde al valore s=^s^, tranne quella che si ottiene facendo ^0 = 0 e le cui equazioni sono (mutando E in — ?, per avere il ramo situato nella regione delle coor- dinate positive) \ '! = (5 + olA _ r^ — 5 - r log ( 1 4- "j/i - r^) , Se in queste equazioni si fa 5 = co , e se si osserva che per questo valore si ha lini s\i — )/ I — e~~ / = o , si trova un risultato che venne già dimostrato precedentemente. Le superficie di rivoluzione generate dalle evolventi della curva dalle tangenti co- stanti hanno tutte una proprietà molto mteressante, la quale consiste in ciò che la dif- ferenza dei loro raggi di curvatura principali è la stessa in ciascun punto, ed eguale alla lunghezza costante delle tangenti della curva anzidetta. Ciò risulta immediatamente dall'osservare che il raggio di curvatura del meridiano ha per valore s — s^, mentre quello della sezione normale al meridiano, cioè la porzione di normale compresa fra il meridiano e l'asse, ha per valore s — ^o~\~ ''■ Riferendo queste superficie di rivoluzione a tre assi ortogonali delle .v, j, ;^, as- sumendo quello delle ::_^ per asse di rotazione, e chiamando Ù l'angolo che un meri- diano qualunque ìi col meridiano .v:;^, si hanno per le superficie in discorso le equazioni X = (5 — 5„ + r) c~ ' cos 0 , y = (i — s,^-r')cr^' sentì, ;^ == i + r log ( I -f t/i - r^) - 0- - 5„ + r) \l i - T^ . La misura della curvatura di queste superficie, nel punto definito dai valori delle due variabili i e tì, è I (i-O(i-5„ + 0 • io] INTORNO AD ALCUNE PROPRIETÀ DELLE SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE. 2O7 Dalle considerazioni esposte nelle già citate Ricerche risulta che la classe completa delle superfìcie determinate dalla condizione di avere in ogni punto costante ed uguale ad /■ la differenza dei raggi principali di curvatura, è generabile nel modo seguente. Si immagini la superfìcie di rivoluzione avente per meridiano la curva le cui tan- genti hanno la lunghezza costante r, e si concepisca che questa superfìcie, considerata come flessibile ed inestendibile, prenda successivamente tutte le forme conciliabili colla sua natura. In ciascuna di queste forme, il sistema delle rette tangenti alle curve tra- sformate dei meridiani primitivi è suscettibile di essere attraversato ortogonalmente da una serie di superfìcie, per le quali ha luogo appunto l'enunciata proprietà. Tutte le superfìcie reali, dotate di questa proprietà, sono comprese nella genera- zione ora esposta; donde risulta, invocando l'ordinaria teoria delle superfìcie evolute, che la determinazione finita della detta classe di superfìcie dipende da quella delle su- perfìcie la cui curvatura è costante e negativa. Infatti supponianio che le equazioni rappresentino una di queste ultime superficie, s essendo l'arco di una delle geodetiche trasformate dei meridiani, e 6 un parametro atto a distinguere queste geodetiche, per es. l'angolo che si è già rappresentato colla stessa lettera. In tali ipotesi, indicando con X, Y, Z le coordinate della superficie evolvente, si hanno le equazioni Dando ad 5^ tutti i valori possibili si ottiene una serie di superficie parallele, dotate tutte della proprietà d'avere costante la differenza dei raggi principali di curvatura. Le forme generali delle funzioni x(^s, 0), y(^s, 0), :^(^s, 0) non hanno ancora po- tuto essere determinate *) ; ma è chiaro che ciascuna delle forme note dà luogo ad una serie di superficie della specie da noi considerata. Tali sarebbero per es. quelle corrispondenti agli elicoidi trovati recentemente dal sig. Dini **). Per non uscire dal- l'argcmento principale di questa Nota, ci accontenteremo d'aver date le equazioni finite delle superficie di rivoluzione appartenenti alla classe di cui parliamo. Pisa, 14 aprile 1865. •) Intorno alla teoria delle superficie la cui curvatura è costante, ricordiamo un elegante lavoro del sig. Codazzi negli Annali di Scienze matematiche e fisiche (del Tortoi.ini), t. Vili (1857), pag. 346. **) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. LX (1865), pag. 540. XI. SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE *)• Annali <ìi Mnteìnatlra pura fd applicata, serie I, tomo VII (1865), (>p. 105-1)8. Le ammirabili ricerche istituite da Gauss sulla teoria generale delle superfìcie, da lui consegnate in due Memorie divenute giustamente celebri **), hanno aperto la via alla soluzione di alcuni problemi, nei quali le superficie stesse sono considerate sotto un punto di vista essenzialmente diverso da quello dei geometri che lo aveano prece- duto, tra i quali, per non ricordare che i sommi, citerò Eulero e Monge. Infatti mentre questi aveano riguardate le superficie come limiti dei corpi, epperò come enti che non possono subire nello spazio altri spostamenti che quelli comuni ai solidi da esse terminati. Gauss fu tratto naturalmente, dal suo metodo di applicare l'analisi allo studio delle superficie, a considerarle altresì come solidi in cui una delle dimensioni è vanescente; in tal moilo, supponendo che questi nuovi enti geometrici sieno suscetti- bili di essere inflessi, ma non d'essere estesi o contratti, è chiaro che gli spostamenti *) La prefazione a questa Memoria è tolta dalla Nota dell'A. Intorno alla flessione delle super- ficie rigate, letta all'Ateneo di Venezia il io agosto 1865, Nota che non viene qui riprodotta per in- tero, perchè contiene salo un riassunto della Memoria più estesa stampata nel testo. [X. d. R.|. •*) Allgcmeine Auflòsung dar Aufgabe die Theile einer gegebenen Flàche... Memoria premiata dal- l'Accademia di Copenhagen nel 1822 e pubblicata per la prima volta da Schumacher nelle Astrono- mische Abhandlungen. — Disquisiliones generales circa superficies curvas. Memoria pubblicata nel t. VI delle Comnientaliones recentiores dell'Accademia di Gottinga (1828). 1 I J SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 209 delle loro parti sono, entro certi limiti, indipendenti fra loro, e lo studio di questi spo- stamenti relativi non ha più niente di comune con quello degli spostamenti assoluti di una superficie rigida, quale si era sempre supposta nelle ricerche anteriori. Queste stesse ricerche aveano perù gi:\ otì'erto un caso, particolarissimo invero, relativo alla teoria delle superficie flessibili e inestendibili : voglio dire quello delle su- perficie sviluppabili od applicabili esattamente sopra di un piano, le quali è notissimo di quanto uso sieno in molteplici quistioni cosi della matematica pura come dell'appli- cata. Ed è anzi strano che prima di Gauss nessuno, che io sappia, avesse pensato a generalizzare il concetto nuovo che queste superficie, riguardate come flessibili, intro- ducevano spontaneamente nella geometria. Checché ne sia è certo che, fatta astrazione dal caso semplicissimo che or ora ho menzionato, la teoria delle superficie flessibili presenta gravissime difficoltà, le quali debbono invitare i geometri a farne oggetto di diligente studio. L'importanza e la bellezza del teorema fondamentale col quale Gauss ha inaugurato questo nuovo ramo di analisi, non lascia dubbio alcuno che altri teo- remi di eguale o maggiore fecondità non sieno per essere il premio di chi saprà pe- netrare piià addentro in questa spinosa quistione. La difficoltà della quale, per quanto mi sembra, procede principalmente da ciò, che non possedendo noi una chiara idea del modo in cui, nel caso generale, può ef- fettuarsi la flessione di una superficie curva, anco in un tratto di poca estensione, siamo obbligati ad affidarci intieramente alla nuda analisi, partendo dalle formole che carat- terizzano la inestendibilità ; e non possiamo quasi mai giovarci di quelle considerazioni ausiliari, dirette od indirette, che, nella maggior parte degli ordinarli problemi di geo- metria analitica, conducono cosi prontamente ed elegantemente allo scopo finale. La verità di questa osservazione mi sembra confermata dagli sviluppi in cui sto per entrare, e nei quali prendo a considerare più particolarmente le superficie genera- bili dal moto di una linea retta. In queste superficie, considerate come flessibili ed ine- stendibili, la difficoltà della quistione viene in gran parte rimossa dal fatto che, se si fa astrazione da quelle flessioni per effetto delle quah le generatrici primitive cessano d'essere rettilinee, ci è possibile avere un'idea assai chiara e facile del modo in cui la flessione può prodursi. Infatti ogni superficie di questa classe si può decomporre men- talmente in un numero infinito di zone infinitamente sottiU, ciascuna compresa fra due generatrici contigue, e si può immaginare che la flessione della superficie avvenga me- diante una rotazione infinitesima eseguita da ciascuna di queste zone intorno alla ge- neratrice che essa ha in comune colla zona precedente. In tal guisa si rende palese che la nuova superficie proveniente da una determinata flessione è definita completa- mente dagli elementi che caratterizzano la superficie primitiva e dalla serie di valori delle successive rotazioni infinitesime accennate poc'anzi; anzi fino dal 1838 il valente geometra sig. Minding aveva espresso per quadrature i valori delle tre coordinate della BELTRAMl, torao 1. 2? 2IO SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [li superficie trasformata, introducendovi una funzione arbitraria, che rappresenta appunto la legge con cui si succedono quelle rotazioni. La soluzione del sig. Minding, che fu discussa di nuovo, in seguito, dai signori BoNNET (1848) e BouR (i86g), è senza dubbio dotata di tutta la desiderabile genera- lità analitica. Ma la presenza di una funzione arbitraria nelle formole finali fa sì che, quando si deve determinare la natura della superficie trasformata dipendentemente da condizioni speciali prescritte a priori, si incontrano serie dlfììcoltà di analisi. Cosicché sembra che in questi casi sui di gran lunga più vantaggioso introdurre fin dal prin- cipio le condizioni prescritte alla trasformazione, in guisa da pervenire ad una solu- zione particolare ad esse : processo non dissimile da quello che si suole seguire da lungo tempo in moltissimi rami dell'analisi, e mercè il quale si è resa possibile la risoluzione di molti problemi che, trattati coi metodi generali, presentavano assai maggiori difficoltà. § I- Rappresentiamo con e, r,, Z le coordinate ortogonali di una linea qualsivoglia trac- ciata sopra una superficie rigata, che riguarderemo come direttrice di questa superficie, e che asscggetterem.o alla soLi condizione di non confondersi con una delle genera- trici rettilinee; con /, in, n i coseni degli angoli che la generatrice passante per il punto (e, r,, ^) la coi tre assi, e con v la lunghezza della porzione di generatrice compresa fra il punto anzidetto ed un altro punto qualunque della generatrice stessa. La superficie potrà rappresentarsi colle equazioni (i) ,\- = ; + !•/ , y z^-n -\-vm , - = "C -j- V II , in cui le /, /;/, n sono legate dalla solita relazione (2) l' + in' -f n' = I. Noi supporremo tanto le /, in, 11, quanto le t, i], ^ funzioni dell'arco /( della diret- trice, epperù avremo parimente la relazione (3) i" + V^ + r^ - I , in cui gli accenti indicano derivate prese relativamente ad .'(. Poniamo per brevità i l'I' -\-ni'-n' ^n'r.' = x, (4) ] ( r + m" 4- II" = &" , e rappresentiamo con 0 l'angolo formato dalla generatrice colla direttrice, cioè poniamo (5) II' -j- l'i'fi' + 1'^' ~- cosO. Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 211 Quest'angolo, come gli altri che si presenteranno in seguito, sarà misurato nel senso in cui si procede dalla dire^.ione positiva della direttrice (cioè da quella secondo cui cresce ;() alla direzione positiva della generatrice (cioè a quella secondo cui cresce v). Riguardando le ;(, v come coordinate curvilinee eJ adottando le note segnature di Gauss, si trova (6) £ = I + 2 y. V + £" t'% F = cos 0 , G = i . Supponendo ora che la superficie, considerata come flessibile ed inestendibile, venga a cambiare di forma, in modo perù che le sue generatrici rettilinee si conser- vino tali, è chiaro che la direttrice si trasformerà in una certa altra curva, di cui in- dicheremo con $, , ■/), , C, le coordinate, nel punto corrispondente al punto (^, vi, C), mentre le /, >«, n si muteranno in /, , m^ , n^ . Le variabili /(, v avranno lo stesso valore nei punti corrispondenti delle due superfìcie, epperù affinchè l'elemento lineare sia, come dev'essere, identico per le due superficie, ossia affinchè le E, F, G sieno le medesime per l'una superficie e per l'altra, è evidentemente necessario e sufficiente che sussistano le tre equazioni / c +< +«r =^^ (7) j hK + '"/< + »X =<:os6, alle quali debbonsi aggiungere le due seguenti (8) /: + m] + //; = !, V; + -n': + "C; = i . Notiamo che per essere (/;' 4- wn' + «^')' = •'- + '^" + '«-i" + "'". si ha (9) /c" + ;«-n" + «^" = - (/. 4- O'senÒ). Ora chiamando p il raggio di curvatura della direttrice primitiva nel punto (/() ed co l'angolo che questo raggio fa col piano tangente della superficie, si ha (io) /?"4-,„V' + H2:" = sene^^ii:^, quindi (11) senO!^^Ì^ = -(x-j-0'sen6). Dunque all'ultima delle equazioni (7) si può, in virtù di quella che la precede, 212 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il , . COS 0) COS OJ (-) ^ = — ' la quale esprime che le curvature geodetiche delle due direttrici sono le stesse nei punti corrispondenti. Questo risultato poteva essere stabilito a priori, come conseguenza della nota proprietà fondamentale di queste curvature : ma il processo tenuto ci insegna, ciò che è assai importante pel nostro scopo, che le tre proprietà espresse dalle due prime equazioni (7) e dalla (12), come sono condizioni evidentem.ente necessarie per l'iden- tità degli elementi lineari delle due superficie, cosi sono anche succienti a determinare questa identità. Chiamando ^lu la minima distanza delle due ^generatrici infinitamente vicine cor- rispondenti ai valori 11 ed u -j- ìiii, si ha (13) hiu = - ; Su, £ = sen'6 — x.' = / in n /' ìli' ;;' e' ■fi' C per cui la quantità sempre reale ^z'^ sen^ 6 — x.^ non può essere nulla che quando la superficie ò sviluppabile. Questa formola non sussiste, o, per meglio dire, diventa in- determinata per le superficie cilindriche, nelle quaU si ha al tempo stesso e' = x, = 0 : in questo caso particolarissimo si ha evidentemente (15') tiu = ììu sen 0 . Le funzioni e, , •/)_ , C, , /, , '«, , n^ , che determinano la superficie trasformata, debbono soddisfare a cinque equazioni, equivalenti alle (7), (8). Quindi è chiaro che una di esse deve potersi scegliere ad arbitrio, ovvero che le espressioni generali delle anzidette sei quantità debbono involgere una funzione arbitraria. Cosifatte espressioni generali sono state assegnate dal sig. Mixding *), che pel primo si è occupato di questo argomento, e dagli altri autori che hanno seguito le sue traccie **). Ma se coU'intro- duzione esplicita di una funzione arbitraria può dirsi che il problema sia risoluto ana- liticamente in tutta la sua generalità, non è lo stesso quando si abbia di mira la qui- stione geometrica. È chiaro infatti che, per determinare completamente la natura della superficie trasformata, si può prescrivere una nuova condizione, esprimibile per n;ezzo di un'equazione finita o differenziale fra le t_, ■/)_, C,, /, , '«, , ", , ", v. Volendo de- *) Journal i'ijr die reine und angcwandte Mnthematik, Bd. XVIII (1838), pag. 297, 365. **) O. BoNNET, Journal de l'École Polytcchniquc, t. XIX, Cahier 32 (1848), pag. i; BouR, ibid., t. XXII, Cahier 39 (1862), pag. i. Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 21 3 terminare la funzione arbitraria del sig. Minding per mezzo di questa equazione, si incontrerebbero il più delle volte difficoltà analitiche assai più gravi di quelle che si devono superare trattando direttamente le sei equazioni fra le quantità anzidette. Noi ci proponiamo di mostrare l'applicazione di questo secondo metodo ad alcuni casi scelti fra i più interessanti, colla speranza che la sempHcità dei calcoli e dei risul- tati possa invogliare altri a proseguire in queste ricerche, le quali sembrano promettere una messe abbondante di nuovi ed eleganti teoremi. S 2. Se, ritenute soddisfatte le prime due condizioni (7), si suppone che la curvatura geodetica della primitiva direttrice sia nulla, risulta manifestamente dalla (12) essere necessario e sufficiente che sia nulla la curvatura geodetica della direttrice trastormata: vale a dire che, se la direttrice della i" superficie è una linea geodetica, è necessario e sufficiente che sia geodetica anche quella della seconda, posto che sieno soddisfatte le altre due condizioni. Ciò premesso vediamo se la direttrice trasformata possa essere una retta. Assumendo questa retta per asse delle :(_ e contando le sue lunghezze n dal- l'origine, si avrebbe cos co. E_ = o, Yi, = o, K, ?■ Per soddisfare alla seconda delle condizioni (7) basta evidentemente supporre uguale a 0 l'angolo che la generatrice della superficie trasformata fa coU'asse delle ;^ : noi por- remo dunque (14) Ij := sen 0 cos 9 , w, ='sen 6 sen

" ^^ '^1 ^'^^ ^ ~i~ '-- ^'^'^ ^ > *) En>ìeper, Zeitschrift tur M.ithc.ii.iàk und Physik, Jahrg.ing IX (1S64), p.ng. 398. 21 6 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il da cui, per le note forinole del sig. Serret *), si deduce /' = (:^ + ^) a^ - e'(a. sen 0 - a^ cos 6) , „,' ^ (£^ + !£^^ l^ _ 0' (i. sen 0 - /,, cos 0) , /cosO senO\ . « = \—^ + -7-) f. - '^ (e, sen 0 — e. cos H) , e quindi r r\ c'= /cosO sen fi \' ^„, (16) s =|^__ + __j + C . Per questo valore la (15) diventa -/C^ + t)-- Quando si determina 0 coll'equazione cotgO . 1 ? '' la superficie trasformata è un piano, e si ottiene cosi la sviluppabile rcllificanìc, che è la sola superficie rettificante alla quale i geometri abbiano fin qui rivolta la loro atten- zione. Infatti il noto valore di 0 relativo alle generatrici di questa superficie coincide col precedente. L'equazione (16) rientra in una formola più generale che verrà stabilita altrove. S 3- Il teorema dimostrato nel ^ precedente può rendersi intuitivo col mezzo di con- siderazioni geometriche semplicissime, le quali conducono altresì alla conoscenza di una proprietà più generale. Infatti ogni superficie rigata si può considerare come formata da infinite strisele, ciascuna compresa fra due generatrici rettilinee contigue. Si immagini una linea qua- lunque tracciata su questa superficie. Il piano tangente alla superficie in un punto di questa linea è determinato dalla direzione della generatrice passante per quel punto, e dalla direzione dell'elemento di curva terminato al punto stesso. Ora è chiaro che si *) Veggasi Bertrand, TraiU lie calciti différentul, §§ 590, 591. Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 217 può far girare la striscia contenente il successivo elemento intorno alla generatrice con- tenente il punto comune a questo ed al primo elemento, finché l'altro termine del secondo elemento, e quindi tutto l'elemento stesso, venga a giacere nel piano tangente che contiene il primo elemento. Nello stesso modo si può far girare la terza striscia finché l'elemento in essa contenuto si disponga nel piano determinato dall'elemento precedente e dalla generatrice comune alla seconda ed alla terza striscia; e cosi di se- guito. In tal guisa la primitiva superficie rigata viene a trasformarsi in un'altra sulla quale la curva trasformata si trova tracciata in modo che ciascuna coppia di elementi consecutivi esiste nel piano tangente la superficie stessa. Vale a dire la curva trasfor- mata ha tutti i suoi piani osculatori tangenti la superficie trasformata, e però è una linea asintotica di questa superficie. Dunque : Ogni superficie rigata può sempre essere trasformata in modo che una linea qiiahtn- qne tracciata sovr'essa dive/di una linea asintotica della superficie trasformala. Quando la linea primitiva é geodetica, comunque si infletta la superficie sulla quale è tracciata, essa deve sempre continuare ad essere una geodetica della superficie tra- sformata, e quindi i suoi piani osculatori debbono sempre mantenersi normali alla su- perficie stessa. Essa dunque non può diventare una linea asintotica senza trasformarsi in una retta, giacché in ogni altro caso è impossibile che i suoi piani osculatori sieno al tempo stesso normali e tangenti alla superficie trasformata. Così si ricade sul teo- rema del § precedente. Se la linea che si considera é una trajettoria ortogonale delle generatrici, è chiaro che quando essa è stata trasformata in linea asintotica, le sue normali principali sono dirette secondo le generatrici della superficie trasformata. Di qui si conclude che 5/ può sempre, con una flessione opportuna, rendere tutte le generatrici di una superficie rigata normali principali di una qualunque delle loro trajettorie ortogonali *). È facile trovare le formole relative alla trasformazione in discorso. Infatti la (12) dà primieramente I cos 0) T ^ ^7~ ' \ I \ poiché w_ = 0 per le linee asintotiche. Di qui é confermata l'osservazione che se la prima direttrice è geodetica, la trasformata e una retta. L'equazione precedente può scriversi, in virtù della (11), . sen 0 *) BouR, Journal de l'École Polytechnique, t. XXII, Cahier 59 (1862), pag. 52. FELTRAMI, tOttlO I. 28 2l8 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il Quando la curva clie si considera è la linea di stringimento, si ha /. = o, epperù I du ?■ — ¥ ~ ~ Ih ' ovvero, chiamando d-n l'angolo di contingenza della linea trasformata, d r, -\- di) = 0, forinola da cui si deduce un teorema noto *). Chiamiamo ora a_ , '^^ , y^ ; a, , p^ , y^ ; a, , ji. , y^ i coseni degli angoli fatti coi tre assi dalla tangente, dalla normale principale e dalla perpendicolare al piano oscula- tore della direttrice trasformata. Osservando che la generatrice della superficie trasfor- mata è nel piano osculatore di questa curva e fa l'angolo 0 colla tangente ad essa, si vede essere (i8) /_ = Zj costì -j- a^senO, ;«_ = (i^cosO -j- fi^senO, h_ := y, cos 0 -)- y^sen6, da cui, ricordando le già citate relazioni del sig. Serrf,t, si deduce 1=0 K + w. 4- «, = -77- + (^y + 9 ) , dove i\ è il raggio di torsione della curva trasformata. Di qui si cava [(7), (17)] , ^ sen= 6 (19) ^ = Yz" sen^ 6 — a' Le due equazioni (17), (19), insieme colla (5), definiscono completamente le tre fun- zioni ^j , •/)_ , C, , conosciute le quah le /, , w, , h, sono date dalle (18). Il valore di r, non diventa infinito che per ^t'^ sen^ 6 — yJ = 0, cioè la curva trasformata non può essere piana che quando la superficie primitiva è sviluppabile, lo che è anche chiaro per sé. Bisogna però eccettuare il caso in cui la direttrice coincide collo spigolo di regresso della superficie sviluppabile, giacché allora si ha 0 =r o, •/. = 0 e la formola precedente diventa indeterminata, come dev'essere: infatti comunque si pieghi una superficie sviluppabile, purché le sue primitive generatrici si mantengano rettilinee, è chiaro che il suo spigolo di regresso conserva sempre la propriet.i carat- teristica delle linee asintotiche, e, mentre la sua curvatura di prima specie si mantiene invariata in ciascun punto, la torsione può ricevere valori variabili con legge arbitraria. *) Paul Serret, Thèorie tiouveìle géoméiriquc ci mccunique des ìigiies à doublé ccurbiire, Paris, 1860, pag. 150. Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 21 9 Quando h direttrice coincide colla linea di stringimento della superficie (supposta non sviluppabile), si ha dalla (19) la formola semplicissima sen G che per 0 = 90° coincide con una che abbiamo già incontrata nella penultima applica- zione del § 2. La direttrice trasformata risulta definita, nella presente trasformazione, dalle espres- sioni dei due raggi di i" e 2^ curvatura in funzione dell'arco : il problema di deter- minare una curva con queste condizioni è stato recentemente trattato dal sig. Hoppe *). Del resto è chiaro che l'integrazione completa delle tre equazioni (17), (19), (3), che sono del 2°, 3° e 1° ordine, deve introdurre sei costanti arbitrarie, che si possono de- terminare fissando la posizione assoluta della nuova direttrice nello spazio. Tutte le superficie trasformate in questo modo non possono dunque differire fra loro che per la posizione, come emerge anche dalle precedenti considerazioni geometriche. S4. Ponendo per brevità A = III il' — in' Il , B =: III' — n'I , C ^= 1 in' — /" in , dalle tre equazioni Jl' -|- „ir^' -|- nV =cosf), /'e' 4- w':fl' + h'^' = --e , ^'= + v= + -c- = 1, si deducono i valori seguenti : Q =: / COS 9 -f- (20) <| •/,' — wcosO -|- K' = n COS 0 -f ' e" formole nelle quali il radicale deve esser preso collo stesso segno in tutte tre. s'" •-t ;«' ■± B]/s" sen' e — -/.' t" y.n' ± cv^" sen' e — ■a' •) Journal fùr die reine und angewandte Mathe..iatik, Bd. LX (1862), pag. 182; Bd. LXIII (1864), pag. 122. 220 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il Se escludiamo il caso delle superficie sviluppabili, i due sistemi di valori delle ;', r,', ^' sono sempre essenzialmente differenti, poiché la quantità l'e'^sen^O — x.^ non può esser nulla indipendentemente da ii. Quindi è chiaro che uno solo di questi si- stemi coinciderà con quello dei valori già precedentemente noti delle derivate ^', n') ^'■ in altri termini, affinchè la sostituzione dei valori dati di ^, vi, ^, /, m, n renda iden- tiche le tre formole precedenti, bisognerà dare al radicale un segno determinato. Ciò posto osserviamo che se si ponesse (21) ^ = ', '», = m , '•', = «, le cinque equazioni (7), (8) si ridurrebbero alle sole tre seguenti : /;,' + '«'i; + "^i = cosO, l e, + in •/;, -\- Il C, = •/. , ^:: + < + ^;^ = I , le quali non differiscono che per la sostituzione di ;', , •/]' , X[ a e', n', ^' da quelle che ci hanno torniti i valori (20) e che devono dare quindi per le prime tre quantità valori identici ai suddetti. Se dunque si prende in queste formole il radicale col segno opposto a quello che rende i loro secondi membri identicamente eguali a e', r,', ^', si hanno i valori di c.[ , -/ij , ^[, corrispondenti ad una superficie gobba distinta dalla data, il cui elemento lineare è identico a quello della prima e le cui generatrici sono paral- lele alle corrispondenti generatrici della stessa. Dunque : È sempre possibile Irasjonnare una superficie gobba in modo che ciascuna generatrice della trasformata sia parallela alla corrispondente generatrice della primitiva. Facciam.o alcune applicazioni di questo teorema. 1° Consideriamo dapprima una superficie dotata di una direttrice rettilinea e po- niamo donde = 0, ti — o , X l = sen 0 cos 9 , m = sen 0 sea 9 , n = cos 6 , e' = |/e'= 4- 9" sen' 6 , /. = — 0' sen 0, ]/t" sen' 6 — x.' = 9' sen= 0 . Sostituendo questi valori nelle formole (20), e prendendo il segno conveniente, si trova Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 221 ., (L'sen 6 ^ , ,, , / , N rp sen "3 . , ,, G. N ■'■ = 0'- + 9- sen- e <^^^ '''" ^ ^^ '^^ '^ " - ^ '°' ■ ^ ' ^, _ 6'^ + y'^ cos 2 6 sen' 0 ^' ~ 6'^ + 9'^ sen' e ' le quali forniole, quando 0 è costante, si risolvono nelle semplicissime ^ _ z= sen 2 0 / cos '^ du , 'i , = sen 2 0 / sen oda, Z,^ = u cos 2 0 . 2" Supponiamo che la superficie primitiva sia costituita dalle normali principali di una linea a doppia curvatura, e quindi poniamo / = a^ , Ili =^ b^, n ^ c^, da cui si deduce l Si troverà 2 ' p' ^ r ' ? »- ' ^^£i_A, B=.Ì1_A., c=A__A. P r ? '• e '' Sostituendo questi valori nelle formole (20), prendendo i segni opportuni, e ponendo -^ = tg^0, r 2 si trovano le formole seguenti : ^,' =: flj cos 0 -j- a. sen (•) , r,'^ ^= b^ cos 0 -|- /', sen 0 , 'C[ = c^ cos 0 -|- e, sen 0 , dalle quali, nei casi particolari, si deducono coll'integrazione le coordinate della diret- trice trasformata. Da esse si ricava la relazione i:a,-\-y,:b^^::c, = cosp>, la quale ci insegna che l'angolo delle tangenti alle due direttrici nei punti corrispon- denti è uguale a 0. 222 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [li Derivando le stesse formole si trova E" = — ^ -}- (a, CCS 0 — a, sen 0) 8', L •/■/,' = -^ + (/;, cos 0 — ^, sen 0) 0', da cui si trae inoltre '" = — ^ + C"^. ^os 0 — Cj sen 0) 0', ^ = -!- + 0-- e quindi, chiamando A rangole che la normale principale della direttrice trastormata fa con quella della primitiva, cos^]/ = p 1/l+p^0'^ Affinchè le normali principali delle due curve fossero parallele (e quindi anche le normali principali della trasformata coincidessero colle generatrici della seconda super- ficie), bisognerebbe che si avesse cosò = i, e quindi p, = ?, 0 = cost., — = cost. Quest'ultima equazione non appartiene, come è noto, che alle eliche cilindriche. Si ri- conosce agevolmente che in questo caso particolare la direttrice trasformata è un'elica tracciata sul medesimo cilindro, eguale e simmetrica alla prima rispetto ad un piano normale alle generatrici del cilindro stesso. Due punti corrispondenti si trovano sulla medesima generatrice. 3° La superficie abbia la linea di stringimento ortogonale alle generatrici, cioè sia costituita dalle perpendicolari ai piani osculatori di una linea a doppia curvatura. In questo caso si ha cos 0 = 0, y. ^ o , 1 = a , m =^ b , n ^ e. , da CUI s'=-L, A=-^, B = -^, C = -^, r r r r e quindi Integrando si ottiene V _ V _ ^ _ y ^ V li] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 223 donde si vede che la direttrice trasformata è semplicemente simmetrica della primitiva rispetto al punto che ha per coordinate ~x^, \y„-, 7^0» vale a dire che questo punto (arbitrario) divide per metà tutte le rette che congiungono due punti corrispondenti delle due direttrici. Troveremo nel § 6 un altro esempio di parallelismo delle generatrici corrispon- denti in due superficie trasformata l'una dall'altra. S 5- Considereremo ora il caso che la direttrice debba trasformarsi in una curva piana. Assumendo il piano della curva trasformata per piano delle xy, si avrà C, = o, e le equazioni della trasformazione saranno le seguenti : UX + '«, < = cos 6 , /;;; -f- m'x = >'- , l': + -n: = I , (22) ' K + K + "; = !> K' + '«," + "■' = 2 ' > il cui numero è eguale a quello delle funzioni da determinare. Incominciamo coli' escludere il caso in cui si abbia simultaneamente cos 0 = 0, ■/. ^ o . cioè in cui la linea di stringimento sia una trajettoria ortogonale delle generatrici, caso già considerato più volte. In questa ipotesi le prime due equazioni (22) si possono scrivere '■ K + '«, K = 0, /, l" -f m, w; = 0 , e per soddisfarle bisogna supporre '. = '«. — o , «, = I , ovvero >- I ir "Ctt r La prima soluzione non è ammissibile che quando e' = o, il che richiede che la super- fìcie data sia cilindrica : in questo caso la trasformazione resta indeterminata, come è evidente anche a priori. Nel secondo caso si avrebbe — = o, e quindi la direttrice Pi trasformata sarebbe una linea retta, cioè si ricadrebbe sul teorema del sig. Enneper, già dimostrato nel § 2. Escludendo dunque questi due casi, le due prime equazioni (22) danno (/, )ìì[ — /; w,) ;', = in\ cos 0 — /«, ■/. , (/, m\ — /; w,)r,; = /,/. — /; cos 0 , 224 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [l I da cui, quadrando e sommando, si deduce (/, ,„; _ /; m,y =. (.'^ - „';) cor 0 + (i - «;)// + 2 .. «, «; cos 0 . Ma (/, m: - l\ my = (/: + ,.,.;;) (/'; + m';) - (/, /', + m, m'J = s'^ (i - «0 - n'; , dunque sostituendo (e'* — h',") sen^ 6 = /.' -f- {t" — >■') /;J -j- 2 /. «, n[ cos 0 , da cui (23) n', sen' 0 + /. h, cos 0 = |'sen' 0 — n' Vs" sen' 0 — // . Quest'equazione differenziale serve a determinare n, ; conosciuta questa quantitA, le /, , ;«, , E, , 7), sono date da semplici quadrature. Infatti, se si pone (24) /, = sen o cos •]/ , ;«, =; sen 9 sen •]/ , n, = cos 9 , si ha z" ■=^ cp" -f- ^'^ sen' (p, e quindi ■^■^ J sen

' e forniscono coU'integrazione le coordinate della direttrice trasformata. Siccome tutte le operazioni necessarie per la risoluzione del presente problema non implicano veruna impossibilità, cosi possiamo in generale enunciare il teorema : Ogni superficie rigala può sempre essere trasformata in modo che una sua linea qual- sivoglia diventi piana. Consideriamo alcuni casi particolari. 1° La direttrice sia una trajettoria ortogonale delle generatrici. Avendosi 0 ;= -^ , la (23) diventa da cui, confrontando colle (24), (25), si trae J J sen 9 Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 22^ Sostituendo nelle (26) i valori di /, , ;h, , 'h' si hn ;; = — seir^ , "/;,'= cos 'i , da cui ^" = — cosij/.ij/', 10" = — seni.tj'', e quindi , sen 9 ■77 espressione che avrebbe potuto dedursi dalle (11), (12), le quali, per 9 = - — -, dinne cos (lì. osservando che 9 è manifestamente il complemento dell'angolo che il piano tangente della superficie trasformata fa col piano della nuova direttrice, cioè 9^-^^ w^. Se supponiamo che la superficie sia costituita dalle normali principali di una linea a doppia curvatura, e quindi che si abbia , , „ I . I I " - - f ' r' p troviamo _ rdii r du ^ - ~ j T" ' '^-~ J VT^^ ' da cui $, = — / sen 'l* d n , r,^ = 1 cos'ì^ du , P, = p sen 9 , /, = sen 9 cos i , ni, = sen 9 sen 6 , h, = cos 9 . In questo caso si vede che i coincide, in valore assoluto, col complesso degh angoli di torsione della linea considerata. Delle quattro costanti arbitrarie che entrano in queste formole tre corrispondono ad un semplice spostamento della direttrice trasformata nel piano .vy, ma la quarta somministra, in generale, trasformazioni realmente distinte fra loro. 2°) La direttrice sia una linea geodetica. Avendosi in tal caso, dalli (n), '-'- = — 0' sen 6, l'equazione (23) diventa «; sen 0 — H, cos 6.6' = j/sen' 0 — n\ \I-S- — 6" . Quest'equazione ha per integrale generale BELTRAME, tOmO I. 29 226 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il 11, = sen 0 sen U"^-]- e possiede inoltre un integrale singolare, che è »j = sen 9 . Una considerazione semplicissima mostra che la soluzione del nostro problema è con- tenuta in questo integrale singolare. Infatti quando una linea geodetica si trasforma in linea piana, essa continua ad essere linea geodetica della superficie trasformata, e quindi le rette normali a questa superficie nei punti di essa debbono trovarsi nel suo piano ed essere normali alla curva stessa. Per conseguenza le generatrici della super- ficie trasformata debbono projettarsi sul piano della nuova direttrice tangenzialmente alla direttrice stessa, epperò debbono fare l'angolo 0 col piano xy sul quale essa è tracciata. Dunque dev'essere n, := sen 0, appunto com'è espresso dall'integrale singolare. Questo ragionamento cessa d'essere esatto solamente quando la direttrice si tra- sforma in una linea retta. A questo caso, già trattato nel § 2, corrisponde appunto l'integrale generale, del quale perciò non ci occuperemo. Poiché dunque si ha 9 =; -^^ 0, dalla (25) si trae quindi /_ =:: cos 6 cos (J^ , 111^ = cos 6 scu ù , ", =^ ^eu 0 poscia dalle (26) si deduce ^, = I cos'indù , •/;_=/ s sen ^ dìi Si ha poi V, = — sen (|/.i|^', •/;" = cos ']/.v{;', da cui j_ Vt" — h-' P, cos 6 Cosi sono determinati tutti gli elementi della superficie trasformata. Rammentiamo, a scanso d'equivoci, che ia presente trasformazione non può es- sere applicata al caso in cui la geodi^tica incontri tutte le generatrici ortogonalmente, o, per meglio dire, che in questo caso la trasformata piana non può essere altro che una linea retta. Osserveremo anci^e chj la trasformazione considerata in questo § poteva, nel caso Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 227 della linea geodetica, essere trattata più direttamente deducendo dalle equazioni /_ ;j -[- m^ri[ = cos 0 , K + < + «: = !> i valori di /\ , /H, , «, e sostituendoli nella l- + m'; + «;- = £'S nel qual modo si sarebbe ottenuta un'equazione alle derivate seconde in ;, , -n, equi- valente alla I _ |/s'^ — 0" p, " cosO ' ottenuta anche coU'altro metodo, e che poscia, combinata colla l': + ■<' = I , avrebbe dati gli stessi valori trovati pocanzi. Applicheremo questo processo alla dimo- strazione del teorema che forma l'oggetto del § s-guente, e ce ne serviremo più tardi per istabilire una formola generale. § 6. Ogni siiperficii rigata può sempre essere trasformata in modo che una qualunque delle sue linee geodetiche si trasformi in un'elica cilindrica. Supponiamo infatti che il cilindro sul quale l'elica dev'essere tracciata abbia le generatrici parallele all'asse delle 5^, e chiamiamo [a, l'angolo costante formato dall'elica colle genfiratrici stesse. Bisognerà porre (27) l\ = cos -y., , e quest'equazione, combinata colle cinque seguenti ( /, ;; + m, n[ = cos 6 — «, cos [a, , /, l'[ -{- w, -/i" = 0 , ;'/ -{- -n'' — sen' p., , ( K + < + ": = !, i': + < + n': = ^\ determinerà completamente le sei quantità relative alla superficie trasformata, ciò che dimostra la possibilità della trasformazione, nella quale è evidente che il valore di [i., può assumersi ad arbitrio. Bisogna eccettuare il caso in cui si avesse simultaneamente 228 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il cos fi, = o , cos 6 = 0, caso che venne già escluso nel § precedente e del quale si è già parlato ; o, più in generale, in cui s'avesse (a, = o , posto che 6 fosse costante. Osserviamo anzitutto clie essendo in generale p. = r + ^r + r. si ha nel nostro caso -4 = (;r + v;ncos>, + a'x - v:wy = i? + <\ p. quindi -^ -I I ■!' -l'I -l'I - P, P. Dalla seconda di queste equazioni, dalla terza delle (28) e dalla si deducono inoltre i valori seguenti : (30) i': = — '-^ , v; = -^^ . p, senfx, p, sena, Ciò premesso, le due prime equazioni (28) danno, viste le (30) , /, sen' fx, = (cos 0 — h, cos y.,) ;[ , OT, sen';/, = (cos 0 — ;;, cos j-'-,)^;' , da cui, quadrando e sommando, si cava n] — 2 », cos u, cos 0 -\- cos^ 6 — sen' w-, = o , e quindi ;;, = cos ([J-, + 6) , cos 0 — ?;, cos [^., = sen [;., sen (^\i.^ + 6) . Per conseguenza, prendendo il solo segno intcriore, affine di restare in accordo colla convenzione stabilita nel § i, si ha f \ , ;! son ([J-, — 0) ■/)' sen (;^., — 0) (31) /, = -! ^i-! '- , m,—-^ 5^-^ ^, n, = cos(;-t, — 0). Sostituendo questi valori nell'ultima delle (28) si trova „ _ sen' (g, - 0) ,„ Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 229 da cui ^'"^ P, senC"-, -6) • Chiamando R' il raggio di curvatura della sezione retta del cilindro su cui è tracciata l'elica, si ha, come è noto, R' = p, sen'' y., , e quindi I Vt (53) ^ R' sen [^., sen ([j-, — 0) ' Sostituendo nelle (30) ii valore di p, dato dalla (32) e osservando la terza delle equazioni (28), si trovano le lormole i/e"— 6'^ •/)'; \/t' — 0"- l/sen= [/., — e'/ sen ([y., — 0) ' l'seu^ (^., — -z);^ sen ([^., — 0) ' da cui, ponendo si cava (35) ;, = sen [J.^ l cos 9 (^ » , -i, = sen ;y., / sen o J « , (^, = /< cos y., , e quindi (36) /, = sen (y-, — 0) cos 9 , w, = sen ([^., — G) sen o , ?/, = cos ([^., — 0) . Cosi si hanno per mezzo di sole quadrature tutte le formole relative alla nostra quistione. Le generatrici della superficie trasformata risultano manifestamente tangenti al cilindro, come doveva essere, perchè l'elica è per ipotesi una geodetica non solo della superfìcie cilindrica ma anche della superficie rigata. Faremo le due seguenti applicazioni. 1° Le formole , u sen u. Il sen a „ ; = fl cos ^ , ■/) = rt sen . L z= a cos u. r ' , Il sen u- ti sen v. / = — sen V sen , 711 =; sen v cos ^ , n = cos v (/ a rappresentano un elicoide rigato, la cui elica di stringimento (di cui n è l'arco) è tracciata sopra un cilindro di raggio a, e fa colle generatrici di questo l'angolo [i., mentre v è l'angolo che le generatrici dell'elicoide fanno con quelle del cilindro. 230 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il Se poniamo per breviti a sen (v + [>., — f/-) san [/-, ^^ sen V sen [^. ' ' dove [J-, e una costante arbitraria, si trova che 9 può prendersi eguale ad '-^ -\ , poiché i valori della costante da aggiungersi all'integrale (34) non influiscono che sulla posizione assoluta della superficie trasformata ; sostituendo questo valore di ^ nelle forinole (35), (36), si ha ,. /( sen ,a, u sen ,u., .. e. = a, cos '— , -n, = a, sen — , C, (^ + I^-, — ['■) sen -^ , m, = sen (v + [j., — ;x) cos u sen a, sen "■ = <:os (v -)- [y._ — ;/) , formole perfettamente analoghe a quelle che rappresentano il primo elicoide, e che mostrano essere a, , [-'., , >* -|- I^-, — [-"- quantitA di egual significato delle a, \i., v, rispetto all'elicoide trasformato. Facendo ,"-, ^ o si avrebbe l'elicoide a direttrice rettilinea, e facendo y-, = — -f- ,"- — "^ si avrebbe l'elicoide a piano direttore. Finalmente facendo \j.^ = — si avrebbe un i- perboloide di rotazione, superficie sulla quale sono applicabili, come è noto, tutti gli elicoidi contenuti nelle precedenti equazioni. Le formole relative a questo caso sono y a cos fy. — v) ;( sen w- sen v a cos (a — v) u sen w- sen v ^ ^^ 1^ i (;os ^ 71 ^^ ^^ — sen ' ' sen (/. sen v a cos ([a — v) ' ' sen y. sen v a cos (u- — v) ' , , , ;( sen [>. sen v . . ;/ sen <}. sen ^ /, = — cos {\i. — v) sen 4 ^< , in, = cos (7. — v) cos i r , ' ^' ^ a cos (;.». — v) ' ^' ^ flcos(jj. — •) ?j, = sen (rx — v) , che sostituite nelle (i) danno, coll'eliminazione di », x\ x' + f "^' = ""' . cos' ([^. — v) sen' ([x — v) sen' [x sen' v Il caso di eccezione, già menzionato da principio, si verifica attualmente per ij., ^ |J- — V , come è facile riconoscere a posteriori. Questo valore della costante ,u., deve peranto ritenersi escluso. Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 23 1 2° Supponiamo che la direttrice della prima superficie sia l'asse delle ;^ e poniamo quindi 1 = 0, •/i=o, ^ = «f, l = sen 0 cos i , /;i i= sen 0 sen . l'angolo che le generatrici del cono fanno col suo *) Memoria citata, pag. 45 232 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il asse, che supponiamo parallelo ad 0:^, si può porre /, =: sen A cos 9 , ;«, = sen 1 seii 9 , ", = >^os 1 , da cui s' = o' sen /. . Le equazioni che devono essere soddisfatte dalle funzioni e, , /,, , !^, sono quindi le seguenti : ( '•>■: + <- + Cr = I , (37) < (e,' cos o -j- T,[ sen 9) sen a -)- "C^ cos ). =; cos 0 , \ — (e,' sen 9 — T,[ cos 9) e' = •/. . La proiezione sul piano xy della generatrice trasformata è rappresentata da (.V — ^,) sen 9 — (v — •/■,,) cos 9^0, epperò l'inviluppo di tutte le projezioni analoghe deve soddisfare all'equazione [(*• — ^.) <:os 9 + (y — •/;,) sen 9] 9' = ;[ sen 9 — ■/■,; cos 9 , ossia, per le (i), (38) e', sen 9 — r.l cos 9 ^ t'9' sen )> . Questa equazione fra u e v, alla quale si perverrebbe egualmente supponendo variabile l'angolo 1, rappresenta sulla superficie trasformata, la curva secondo cui la superficie stessa è inviluppata da una superficie cilindrica avente le generatrici parallele all'asse delle ;^. La curva corrispondente sulla superficie primitiva è rappresentata dalla stessa equazione fra 11 e v, che, in virtù dell'ultima equazione (37), può scriversi, nell'ipotesi di A costante e quindi di 9' sen X = e', X. -|- t e" = 0 . Sostituendo il valore di v cavato da quest'equazione nelle (i), si hanno le coordinate rettangole della curva in quistione, che sono •aI /.in Y y-u A- = e; — -^ , y — r, ^ , i — i, — -^ . Da queste si deduce ■/.ni' / ■/- \' r = r, Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 233 e quindi r x' -{- m' y' -]- ,l' i' = 0, risultato il quale c'insegna che la linea in discorso non è altro che la linea di strin- gimento. Dunque : La linea di stringimento d'una superficie rigata avente tutte le generatrici egualmente inclinate rispetto ad un piano fisso è la linea di contatto fra questa superficie e la super- ficie cilindrica normale al piano ed involvente la superficie data. Reciprocamente : Se la linea di contatto fra una superficie gobba ed una superficie cilindrica invol- vente è la linea di stringimento della prima superficie, le generatrici di questa sono tutte ugualmente indi iurte rispetto a quelle della seconda. Infatti se si suppone 1 variabile e si considera come direttrice la stessa linea di stringimento, cioè si pone /. = o , si ottiene al posto della terza equazione (37) la seguente : [(e,' cos o -}- •/)' sen 9) cos 1 — ^[ sen ).] 1' =-- (^\ sen 'p — ■/)', cos (p) o' sen \ , e quindi, in virtù della seconda equazione (37), che rimane invariata, e della ^' = cos (a -[- 0), l'equazione (38) diventa V sen 6 = vo' sen' "k . Ora la linea di contatto della superficie trasformata colla superficie cilindrica deve, per ipotesi, coincidere colla direttrice, cioè colla t' =: o, dunque >.'sen 6 =: 0. Se la superficie non è sviluppabile, sen 0 non può essere nullo, dunque bisogna che si ab- bia >.' = o, cioè X = cost. Del resto queste proprietà si possono rendere evidenti per mezzo di facili con- siderazioni geometriche. Infatti quando due rette concorrenti in un punto dello spazio sono egualmente inclinate rispetto ad un piano fisso è chiaro che, projettando su questo piano la nor- male comune condotta ad esse dal loro punto d'intersezione si ottiene una retta che divide in due parti eguali l'angolo formato dalle projezioni delle due rette. Di qui ri- sulta che se due rette infinitamente vicine e non situate in un medesimo piano fanno lo stesso angolo con un piano fisso, la direzione della loro minima distanza deve pro- jettarsi su questo piano parallelamente alla bisettrice dell'angolo infinitesimo formato dalle projezioni delle due rette. Ora la lunghezza della minima distanza essendo infi- nitamente piccola, anche la sua projezione deve esser tale e quindi, avuto riguardo alla direzione che prende questa projezione, è chiaro che le projezioni dei piedi della minima distanza anzidetta debbono cadere sulle projezioni delle due rette, in punti in- finitamente vicini all'intersezione di queste due projezioni. BELTRAMI, tOmO I. JO 234 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [n Applicando quest'osservazione alle successive coppie di generatrici infinitamente vicine di una superficie gobba avente tutte le generatrici egualmente inclinate rispetto ad un piano fisso, se ne conclude immediatamente che « la linea di striìigimenio di una tale superficie gobba si projetta su questo piano secondo l'inviluppo delle piojcTJoni delle generatrici ». Inversamente, se due generatrici contigue non tanno lo stesso angolo con un piano fisso, la direzione della minima distanza projettata su questo piano forma un angolo finito colle projezioni delle generatrici. Dunque affinchè la projezione della mi- nima distanza sia infinitamente piccola dello stess'ordine dell'angolo compreso dalle due generatrici e quindi anche dalle loro projezioni, bisogna che le projezioni dei piedi di questa minima distanza cadano ad una distanza finita dall'intersezione delle due projezioni, donde risulta evidentemente che la projezione della linea di stringi- mento non può coincidere coll'inviluppo delle projezioni delle generatrici. Dunque in- sieme col teorema precedente sussiste il teorema inverso, e quindi anche il reciproco. Le considerazioni precedenti rendono intuitive alcune propriet.A notate dal signor BoNNET *), le quali del resto sono una conseguenza immediata della formola (ii). Se le generatrici di una superficie gobba sono tutte egualmente inclinate rispetto ad un piano fisso, esse fanno pure un angolo costante colle generatrici della superficie cilin- drica normale a questo piano ed involvente la superficie gobba lungo la sua linea di stringimento. Dunque se questa linea facesse un angolo costante colle generatrici della superficie gobba, farebbe del pari un angolo costante con quelle della superficie cilin- drica, ossia sarebbe un'elica cilindrica, epperù una linea geodetica tanto della superficie cilindrica quanto della superficie gobba tangente. Reciprocamente se la linea di strin- gimento fosse una geodetica della superficie gobba, essa sarebbe tale anche rispetto alla superficie cilindrica e quindi farebbe un angolo costante tanto colle generatrici di questa quanto con quelle delia superficie gobba. Ora ogni superficie gobba può tra- sformarsi in un'altra avente tutte le generatrici egualmente inclinate sopra un piano fisso, e le proprietà caratteristiche delle linee geodetiche e della linea di stringimento si mantengono inalterate nella trasformazione ; è dunque chiaro che le osservazioni precedenti conducono a questo teorema : Se la linea di stringimento d'una superficie gobba incontra tutte le generatrici sotto *) Journal de l'École Polyttchnique, t. XIX, caliicr 32 (1848), pag. 71. Un teorema molto più generale è stato ciato dal sig. Brioschi nel Giornale dell'Istituto Lombardo e Biblioteca Italiana, t. IX (1856), pag. 40Q. I teoremi del sig. Bonnet sono stati dimostrati geometricamente dal sig. Paul Serret : vedi Théorie nouvelle. . pag. 149. ir] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 235 un angolo costante, essa è al tempo stesso linea geodetica ; e, reciprocamente, se essa è linea geodetica, essa attraversa little le generatrici sotto un angolo costante. Sussiste anche l'altr.i proprictA, già enunciata dal sig. Bonnet (ibid.), che « se una linea geodetica incontra tutte le generatrici sotto un angolo costante, essa 'e la linea di stringimento ». Infatti trasformiamo la superficie in modo che la geodetica in questione diventi una linea retta : tutte le generatrici della superficie trasformata risulteranno egualmente inclinate su questa retta e quindi, per un precedente teorema, la retta stessa sarà linea di stringimento della superficie trasformata. Dunque ecc. §8. Chiamando a, b, e i coseni degli angoli che fa coi tre assi la normale alla su- perficie rigata nel punto (/() della direttrice, avremo , ^ r, n — , in , (, t — e n e, m — -/i / (^9) ^= sene ' ^= sen6 ' '" sen 0 " Affinchè la superficie trasformata sia tangente, in tutti i punti della nuova direttrice, ad un cilindro normale al piano xy, bisognerà che si abbia (40) ^'. '". — ^W, = o, e quest'equazione, combinata colle solite cinque (7) ed (8), potrà servire a determinare le sei funzioni ^, , r,, ,?[,,/,, m, , ;;, . Per questa ricerca si potrà procedere nel modo seguente. Dalle (20) si ricava ^' m -•/,'/= ^ T- X. (/ m' - /' in) ± n' ^/s'^ sen^ 6 — // 1 , e quindi la condizione (40) può essere surrogata dalla seguente : y-' (/, '«; - '; my = n': (t- sen^ 6 - ■/.=) , ovvjro )/'/ sen'' 0 :=•/.'' (i — II]) , da cui si cava (41) «, = COSCf-, ponendo /'/.d u senT ■ Quindi, ponendo di nuovo (42) ^— ì A ^U, ^^ ^ J sen 0 sen 9 236 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il si hanno i valori di /, , m, , «, , dalle formole (43) /, ;= sen 9 cos >}/ , »;, ^ sen 9 sen J/ , «, = cos 9 . So )c fosse uguale a 0, si avrebbe 9 = cost. e si ricadrebbe sopra un teorema dimostrato nel § precedente. Se la superfìcie primitiva fosse sviluppabile, st avrebbe V&" sen' 0 — y.' = 0, e quindi 1^ = cost., cioè la superficie trasformata sarebbe piana. Ma se la direttrice fosse lo stesso spigolo di regresso, si avrebbe simultaneamente x = 0, 0 ^ 0 e le formole di trasfornìazione diventerebbero indeterminate, come è manifesto a priori. È chiaro che l'angolo fatto dalla direttrice trasformata colle generatrici del cilin- dro involvente è uguale a f-\-^, e che l'angolo fatto dalla tangente alla sezione retta del cilindro stesso coU'asse delle x è uguale a (L. Ne risulta che (44) ^: = sen (9 + 0) cos 4/, r, ; = sen (9 -f- 6) sen ^ , C; = cos (9 -{- 0) , valori che potrebbero dedursi dalle (20), cambiando /, 111, n in /, , ;«, , », . Da queste formole si deduce j_ _ (x -f- 6' sen 6)' (e" sen' 9 — x') sen' (9 + 6) pi ~' sen'O •" sen' 9 sen' 6 ' od anche, per la (i i) , , I _ /cos (oV , (e" sen' 6 — x') sen' (9 + 6) ^"^^^ P! ~ \ P / "*" sen^ 9 sen' 6 Si determina facilmente anche la curvatura —^, della sezione retta del cilindro. Infatti denominando -=- la curvatura della sezione normale fatta nella superficie trasformata tangenzialmente alla nuova direttrice, si ha dalla (45) I _ sen (9 4- 6). t/s" sen' 0 — •^' i?, sen 9 sen 6 e quindi I \/z" sen' 6 — X.' (46) R' sen 9 sen 0 sen (9 -\- G) Gli sviluppi che precedono ci permettono di enunciare il seguente teorema Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 237 E sempre possibile trasformare una super fide rigata in modo die una sua linea qualunque diventi linea di contatto fra la superfide trasformata ed una superfide dlindrica. Quando la direttrice è una linea geodetica, si ha •/. = — 6' sen 6, quindi 0 — 6 , r; = cos 0 o ' donde emerge essere la nuova direttrice un'elica, come doveva essere. Si ha pure in questo caso I sene j/s'^ — H'' i \/t" — 6" p. ~ sen(e„ — 6) ' i^' ~ sen 0^ sen (6^ — 0)' formole che concordano colle (32), {^f). Quando la direttrice è la linea di stringimento, si trova I _ fj,, , s"" sen' (9 -|- B) _i_ £^ pj ^^ sen""

M-\- A' cosO = 0 TU 2 precedente *). Indicando con N^ ciò che diventa N quando si passa dalla superficie primitiva alla trasformata, è chiaro che aggiungendo alle cinque relazioni (7), (8) la (47) iV, cos 6 ± |/£"sen'6 — -^ = o , si potranno, in gcmerale, determinare le sei funzioni ^, , •/;, , !^, ; /, , w, , h, , lo che e:jui- vale a dire che « in generale si può trasformare una superficie gobba in modo che una linea tracciata sovr essa, e che non sia ne una generatrice ne una trajettoria ortogonale delle ge- neratrici, diventi linea di curvatura della superficie trasformata ». Il valore di N, non contiene, oltre le quantità 0, x, e', che il raggio di curvatura *) La proprietà che " ogni superficie rigata avente per liiie-u di curvatura una trajettoria ortogo- nale delle sue generatrici !■ necessariamente una superficie sviluppabile 0 può riEjuardarsi co;iie una con- scf^enza dell'altra die " le tangenti condotte dai punti di una linea a due differenti sue sviluppale for- mano fra loro un angolo costante 11. Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. ' 239 p, della direttrice trasformata. Intatti dalle tre equazioni '■^', + '«,■'■'', + "X = cosH , , '., , .. I r,, , cosci r 1] + '"' + "; = I si deducono i valori seguenti di /, , /«, , //, /, = a^cosO -]- 37p, 7.^ -|- a, |.'sen' Ò — ^' P, , (48) { w, = p, cos 0 + - p, li. + [i. l/sen^ e - zrr^ p; cos fi -f 57 p, Y^ + Y. |/sen^ e — 37^ p^ dove , COS ù) =: sen y ■ ro =: sen P e le quantità a, ^, y hanno i significati con cui si usarono nel § 5. Da questi valori si deduce l/sen'0 — g^p; (49) J^. = , • ri Sostituendo questo valore nell'equazione (47) si ottiene j_ ]/z"sen'H — x.'4-ro^cos^9 ^^°J 77" senOcosO valore sempre reale perchè s"^ sen'' fi — v.^ è quantità positiva (§ i). Chiamando -75- la curvatura normale della direttrice trasformata, si ha, pel valore di TS, j^ t/e'^sea'6 — -/:' ^^^■> i?, ~— senOcose ' valore che diventa indeterminato quando la direttrice primitiva è una trajettoria orto- gonale delle generatrici di una superficie sviluppabile, come è evidente a priori. Quando la direttrice è geodetica si ha sr ^ 0, /- ^ — O'senO, e quindi j_ _ j_ lV^ — 6' y^, ~— cosO ' valore che coincide con quello trovato nel § 5, applicazione 2"; cosi doveva essere 240 SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il infatti, poiché, come è notissimo, una linea geodetica non può essere al tempo stesso linea di curvatura, senza essere piana. Se la direttrice fosse la linea di stringimento, si avrebbe v. = o, zs ^ — O'senO, eppcrù j_ ]/z" 4- e" cos'è j_ e' p, ""— cosO ' M, " cosfJ ■ 5 IO. Noi non vogliamo moltiplicare maggiormente questi esempi, sufficienti a mostrare l'opportunità del metodo. Ognuno vedrà che molte delle quistioni da noi trattate sono suscettibili di gene- ralizzazione. Cosi per es. il problema del § 5 è un caso particolare di quest'altro : trasformare una superficie rigala in modo che una linea data sovr'essa si disponga sopra un'aìira superficie data; quello del § 6 rientra nel seguente : trasformare una superfi- cie rigata in modo che una delle sue linee ge.idetiche diventi linea geodetica di un'altra superficie; e quest'ultimo è alla sua volta contenuto in quest'altro, generalizzazione di quello risoluto nel § 8 : trasformare una superficie rigata in modo che una linea data sovr'essa diventi linea di contatto fra la superficie stessa ed un'altra superficie data; e cosi via. La risoluzione di queste e d'altrettaH quistioni sarebbe certamente meno semplice di quella che abbiamo potuto conseguire nei casi sf)eciali da noi trattati, ma appunto perciò meriterebbe d'essere fatta argomento d'ulteriori ricerche. Termineremo coU'osservare che in generale non è possibile trasformare la diret- trice (che è del resto una linea arbitrariamente tracciata sulla superficie) in un'altra linea di specie data, poiché ciò imporrebbe due condizioni alla trasformazione. Può ac- cadere però in certe circostanze, che questa trasformazione sia possibile, e ne abbiamo un esempio assai ovvio nella quistione trattata nel § 6. Per poter giudicare in ogni caso della possibilità di queste trasformazioni noi stabiliremo un'equazione, che deve ri- guardarsi come fondamentale nella teoria delle superficie rigate, poiché esprime una condizione che deve essere necessariamente soddisfatta da ogni curva trasformata indi- pendentemente dalla superficie in cui si trasforma la superficie primitiva. Quest'equazione si ottiene eliminando le tre quantità /, , ;«, , ;;, tra le tre equa- zioni (48) e la prima delle (8). Ponendo per un istante /; =: p_ ro , /e = l/sen' 0 — p' 37' , si ottiene dalle (48), mediante le formole del sig. Serret, Ponendo li] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 24I da cui, quadrando e sommando, seno 1/1 -p:(S5!Ì^V P = // + A = (p_ seno i^V+ t^ ^V_iJ_ , quella formola può scriversi nel modo che segue *) : . ,^, (6'cose-Pp,i°i^y V p. / i_pj(e£i^y e costituisce una relazione fra le quattro quantità d?, "' P" ''" ^« ' che si mantiene sempre la stessa, qualunque sia la trasformazione operata sulla super- ficie rigata (purché tale da conservar rettilinee le sue generatrici primitive). In altre parole, essa è un'equazione differenziale che appartiene a tutte le curve in cui può trasformarsi la direttrice della superficie rigata. Così per esempio, quando la direttrice è una linea geodetica, si ha cos o> sen 6 o- b = 0 , P = , •/. = — ()' sen fi , *) Questa trasformazione esclude solamente il caso, verificatosi nel § 3, in cui si .ibbia = . P. P In tale ipotesi però s'avrebbe nella formola precedente h =: sen 9 , k ^ 0, e se ne ricaverebbe subito il valore di r, dato dall'equazione (19) del § 3. BELTRIUI, tomo I. 31 242 SULL.^. FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. [il e la forinola precedente si riduce a quest'altra semplicissima CCS 6 , sen 0 (53) t^ + ì^^^F^rr, che ha la stessa forma della (16) § 2, come manifestamente doveva essere. Ponendo — =: o, quest'ultima forinola si riduce a quella che dA il valore di p, nella applica- ci zione 2', § 5. Se invece la direttrice fosse una trajettoria ortogonale delle generatrici, si avrebbe cos OJ : — /. , IJ ^ o , cos y = 0 , ? e la (52) darebbe I (p,'')' (54) -^--^At^^^^rr— ^., equazione dalla quale, facendo ■ — ^ 0 , si ricava per p, il medesimo valore ottenuto con altro metodo nell'applicazione 1% § 5. Se la direttrice è la linea di stringimento, si ha COSO) ,,, -c = o, — — = — 6, P e la (52) riducesi facilmente alla seguente: 1-,.^ cos 6 — p, (p, 9' sen 6)' sen 9 P.Ki— P?9 r, Le formole precedenti possono servire a determinare una delle quantità p, , r, quando l'altra è data, o determinata da certe condizioni. Cosi nel § 4, applicazione 2', abbiamo trovato il valore P.= ' 1/1+ p^0'^' dipendentemente dalle relazioni 9 = ^, /. = - — , y?^zzi:'=.J-. 2 ' p ' ' r Applicando la formola (54), si trova I _ I I (pe')' r, r "T" I + p^ e'^ ' valore che si sarebbe potuto dedurre, meno prontamente, dalle formole del § citato. Il] SULLA FLESSIONE DELLE SUPERFICIE RIGATE. 243 La formola (32) del § 6 fornisce il valore di p, relativo ad una linea geodetica trasformata in elica cilindrica. Sostituendo nella (53) questo valore, si ha I _ cos [A, |/e'^ — 0" r, sen ((a, — G) ' forinola che combinata colla predetta riproduce la nota proprietà delle eliche cilindriche. Noteremo finalmente che eliminando r, fra l'equazione (52) e la che caratterizza le linee tracciate sopra una sfera di raggio g, si otterrebbe un'equa- zione differenziale del 1° ordine fra p, ed u, l'integrazione della quale farebbe cono- scere la trasformata sferica della direttrice primitiva. Pisa, Maggio 1865. XII. RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA DELLE SUPERFICIE GOBBE. Annali di jìZateinatiea jntra ed applicata, serie I, tomo VII (1865), pp. 139-150. Le recenti ricerche del sig. Dini intorno aUa quisrione di sapere se , fra le su- perficie definite da certe relazioni particolari fra i due raggi di curvatura principali, esistano superficie gobbe , mi hanno dato occasione di trattare questo argomento col metodo adoperato nella precedente mia Memoria sulle superficie rigate. Per tal uopo ho trovato acconcio anzi tutto di cambiare l'enunciato del problema e di concepirlo nel modo più generale possibile. La quistione che io risolvo nel pre- sente scritto può infatti formularsi nel modo seguente : Trovare tutte le superficie gobbe i cui raggi principali di curvatura hanno fra loro in ciascun purità una rcla^jone costante, non data a priori. In tutto ciò che segue intendo escluse espressamente le superficie rigate svilup- pabili, siccome quelle alle quali la proposta quistione, nel suo senso proprio, non può essere applicata. Poniamo, come nella Memoria precitata, _>' = ■/] -|- V in, 5^ = ; -)- i; /; , 12] RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. 245 ed indichiamo, come ha fatto Gauss, con A, B, C \ tre binomj d y dz^ d y dx^ d[ d x d/^dx d x d y d x d y dn dv dv du ' du dv dv du ' dii dv dv du ' Rammentando che E, ■/), C, /, m, n sono funzioni della sola //, si trova facilmente A =^ -n' n — ^' m — v{_m n'— m'ii) , B = l'I —l'n —vQiV — n'ì) , C = V»i—r,'l —vQm'— l'm) . Indichiamo inoltre con 1 , [i. , v 1 coseni degli angoli che la generatrice della super- ficie fa rispettivamente colla tangente , colla normale e colla perpendicolare al piano osculatore della direttrice nel punto pel quale passa la generatrice medesima. Avremo le formole / = la^ 4- i).a^ + ^"; , tn = a/;^ -[~ l^-K H~ "■'''• > « = ^^ e, + [^- c^ + V e, , dalle quali, tacendo uso delle tormole di Serret, e ponendo « \ = v-f . ,=,■ + } + -. ^ = v--f fcosicchè (2) A>_ 4- [..,y._ -j- vv_ = O) , si deduce, colla derivazione rispetto ad /(, Da queste formole si trae la^ -j~ '"''', ~f" '"^i =^ cos 6 = >. , e quindi \ = — /O'sen 0 4- -^1 . Se dunque assumiamo come direttrice la linea di stringimento , per la quale si ha, 24^ RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. [12 come e noto, l' a^ -f" ni' b^ -)- «'e, = o , Otteniamo per a, y., v i valori seguenti : / X = cos 0 , (3) [;.= -?f)'sene, ( V = senOt/i — p^f/% che potrebbersi anche dedurre da formole date nella citata Memoria. Per essere >, = o, la formola (2) si riduce alla (4) r-y, + ^^ = o. e per la stessa ragione si ha semplicemente "' — ."-, K + \ l'; . «' = y-, f. + ^ ^3 ■ Da queste espressioni, ponendo di nuovo (5) > = — f^-. 1^-: + -r . r p - • ' . . ■ f. si deduce, con una seconda derivazione, Coll'aiuto delle formole precedenti si trova facilmente mn' — in' n = (;-'. v^ — l^-, '')'', — ^^,'^2 4" ^i"-."- > n/' — «'/ = (av Im' — /' m ^= ([J. V h^n — e cj — a a in — b 12] RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. 247 e quindi, sostituendo nei valori di A, B, C, A = — v([>.^^ _ a,v),i_ - Q, — vl^^)a^ + ([.. - vli>.^)a^, B = — t,(y.v_ _ 1^.^ v) /;_ — (v — 1' Av_) b^ -f- (^. — f >[y.J b^ , C = — t'(;^.v_ - [y._v)c, — (v — vlv^)c^-j-{iJ. — vly.;)c. . Si trova pure — — - — z=z u. a + V fl , ,^7 = M- /' 4- V /^ , dndv i'' ^^ -■ " d /( 3 V d'x _ d'y _ d\ _ dv'~°' dv'~°' dv'~°' Da queste varie espressioni risulta che, ponendo per brevità (6) \ (2= „.V^_j,.,V-[-^, p R =1 ([7., V^ — IJ.^ V,) + 1^ ([.. v_ — ,x_ v) , e usando i simboli D, D', D" nel senso delle Disquisitiones gcneraks, si ha D =P+ Qv — Rv\ D' = [iv, — [^.,v, Z)"=o. 248 RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. [l2 Rammentiamo inoltre che si ha E =i + t'^(K + -:) = i + ^^^'% F = cos 0 , G =1, EG — F' = sQn'(^-\-v't'\ ed osserviamo che, per essere, per le (3) e (4), (j;.v_ _ v.^ v)= = (j7.^ -j- v^)(;;.; -f- v;) — (;;.y., -f vvj^ == e'^sen^O , si può scrivere (7) D' = 1^. v_ — fj.^ V = e' sen 0 . Per questi valori l'equazione generale in R dei raggi di curvatura *) \R ^eg-fV\R Veg-fV [r Veg-fì'""' indicando con R^, R^ i detti due raggi, porge le due relazioni seguenti : I e'"sen^6 ~R^^^(scirf>-\-v't'y' R,-\- R,_ Rv'— Qv~P, R R — i- ' dove si è posto (8) P, =P— 2£'senOcosO. Eliminando v fra le due equazioni precedenti si trova -^-Ì;ir(.sen0)^^^^+Pl. L V-R,R. J sen (9) Siccome quest'equazione non contiene più, insieme coi due raggi principali R^, R^, *) Vedi Annali di Matematica pura ed applicata, t. IV (1861), pag. 284; oppure queste Opere, voi. I, pag. 37. 12] RISOLUZIONE DI UM PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. 249 che la variabile u , sotto le funzioni e', 0, etc, cosi il nostro problema è ora ridotto a trovare le forme che devono avere queste funzioni (e quindi le ?,, ri, C, /, tn, n), aflinchè dall' equazione medesima sparisca identicamente la variabile ii. Ora poiché in luogo delle due quantità R^ , R^ è lecito introdurre due qualunque loro funzioni indipendenti, così poniamo per un momento V-R,R, =X, A±A=7, e consideriamo le X , Y come variabili principali in luogo delle R^ , R,. Ponendo di nuovo, per brevità, h, t'senO = k, R -j- h' P^ := R' , senO ed innalzando al quadrato i due membri dell' equazione (9) si trova , dopo aver di- viso per h^ k' , / 0' , 2RR'\,^ R' _ R ^v , /v , R' \\ Irk' Notiamo bene che la quantità h*k', ossia t, , non può essere mai né nulla né ' sentì "^ infinita. Infatti tì si annulla soltanto sulle superficie sviluppabiH, ed s', più in par- ticolare ancora, sulle sole superficie cilindriche, due casi che abbiamo escluso fino dal principio. Dunque le conclusioni che dedurremo dalla precedente trasformazione del- l'equazione primitiva non possono andar soggette ad alcuna eccezione , finché si tratti di superficie gobbe. Ora siccome nell'equazione precedente si é isolato il quadrato di Y , così l'equa- zione stessa può risultare indipendente dalla variabile u solamente quando , per la natura delle funzioni che entrano nella composizione dei suoi coefficienti , questi stessi coefficienti risultano costanti, cioè quando, indicando con a, b, e, d quattro co- santi indeterminate, si ha R Q , R' hk' hk' h'k Q' ,2RR' bk' ' h'k' BELTH^-MI, tomo I. 250 RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATrV'O ALLA TEORIA, ETC. [l2 Ora dall' ultima di queste relazioni, in virtù delle prime tre, si deduce d — 2ac h = b' dunque la quantità /;, ossia j , deve essere costante. [Questa deduzione cessa d' essere rigorosa nel caso in cui b sia nullo , cioè nel caso in cui si abbia nella (9) 2^0. Ma, facendo uso di alcune trasformazioni che ve- dremo fra un momento, si trova facilmente che se /; è variabile con ti, si ha sempre Dunque, poiché 0 non può essere nullo, se Q è zero dev'esser tale anche /;', e quindi h dev'essere costante. Del resto da quest'ultima formola emerge che Q è appunto nullo in ogni caso : ma noi non faremo ora uso di questa conclusione , che non è per anche dimostrata]. Si ha poscia e' = /; sen tì , À- = /; sen" 0 , X -L -L K = ah'sen'^, Q = bh' sen'O, i?' = d;= sen'6 , P, = /;"^(c/; — fl)sen'0, o più semplicemente, mutando le costanti e ricordando la (8) , ( 2 = «sen'0, i? = /;sen'0, P, =i;sen'0, ( P = sen" 0 (e sen 0 -j- 2 /j cos 0) . Lo stesso valore e' = /; sen 6 , sostituito nella (7), dà (j. V, — [x_ V =: /;sen''6 , e quest'equazione combinata colla (4), osservando che (x'' -[- v^ = sen^Q, porge (11) p., :^ — /;v, v_ = /;[A. Sostituendo questi valori nella (5), si trova Ma dalle (i) si ha pure, per le sresse (11), 12] RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. 25 1 quindi possiamo scrivere Cosi abbiamo i valori di a,, v_ , \, f^.^ , v^, espressi per le sole quantità 1, [/, v, p. Da essi si deduce quindi, (6), M-Vj — u V = — /;• P K = /rsenO (/; sene cose + ^ ^-~\ , (13) ( Q = o, _ senOt/i — p^O'^ [Se /; non fosse costante, i valori (ii) rimarrebbero esatti egualmente, ma quelli di [1., e V,, (12), dovrebbero essere accresciuti rispettivamente di — /;'v e di -{- h'y-, e la loro sostituzione nel valore di Q darebbe per risultato Q = /;' sen' 0 , come si è detto pocanzi]. Di ciascuna delle quantità P , R abbiamo ora due valori : i precedenti , cioè , e quelli dati dalle (io). Eguagliandoli si trova 1/1 — o'H" — " = sen e (csen 0 + 2 /;cos 6) , bscn'D = //(/; sen 0 cose -f- LiZ^fJ^J , ^I — P^O" ed eliminando si ottiene P (/' + <://)sene -[-/;' cose = 0. Ora affinchè quest'equazione fosse identica per ogni valore di 6 , bisognerebbe che si avesse h ^ o, b ^ o. Ma /; non può essere zero, perchè tale non può essere e', dunque bisogna che 0 sia costante, epperù , per un noto teorema di Bonnet , che la linea di stringimento sia anche linea geodetica della superficie. Si giungerebbe allo 252 RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. [l2 Stesso risultato quando, volendosi supporre p ^ ih -p- , si rendesse impossibile la pre- cedente eliminazione. Dovendo essere costante l'angolo 0 , l'una o l'altra delle due precedenti equa- zioni dà : p = costante. Avendo stabilito in tal modo che fi' = o e che quindi e' = cost., p ^ cost., è facilissimo completare la determinazione della classe di superficie gobbe della quale ci occupiamo. Si ha infatti dalle (3), (n), (12), X = cos 0 , ij. = 0 , V =:; sen ^ , A, = o , [;.,= — /; sen h , V, = o , /;sene , /, . , cosO\ \ = —r-, i': = o, v^ = — /;^/;scn6 + — j . Confrontando il valore di [^., qui ottenuto con quello dato dalle (i), si trova ^ N cosO senO C14) = — /jsentì, \ T/ p ' r e poiché in questa equazione 0 e p sono costanti, è necessario che anche r sia costante: bisogna quindi, per un teorema di Puiseux, che la direttrice sia un'elica tracciata so- pra un cilindro di rivoluzione, donde consegue essere la superficie un elicoide rigato avente quest'elica per linea di stringimento. Ora daremo all'equazione (9) la sua forma finale. Si ha dalle (8), (13) P, = — (— + 2/;sen9cos6|sen6, R = // (^ + h sen 6 cos 0 j sen fJ , epperò l'equazione anzidetta si trasforma nella seguente : (—-^b sen 0 cos b\ (/; V—R,R, — i ) sen 0 _ /,T A-iA. sen'O -f (— + 2/;senbcosOjsenO = 0, y- R. K ^ 12] RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. 253 ossia, dopo qualche riduzione, o = i//7A+AsenfJ ~(— + /jsen0cos0\|''— /e.ie, — cosO. 4 , sen y \ p / Si può eliir.inare la costante /; introducendo le sole quantità p, r, h, che sono più di- rettamente connesse colla natura della superficie. Abbiamo inlatti la tormola (14) che ci permette di fare questa eliminazione, compiuta la quale si trova finalmente , , R +R ./ /cose , sen6\ ,, , /cosO sen9\ , --— V-R,R.^ Il risultato finale della nostra investigazione è contenuto, quanto alla determinazione della superficie cercata, nelle equazioni 6 = cost. , [J- = o , p = cost. , ;■ = cost. , le quali, riassumendo il già detto, esprimono che : le sole superficie gobbe jra i cui raggi principali di curvatura sussiste in ogni punto una rela:{ione costante, sono gli elicoidi. Reciprocamente : tutti gli elicoidi rigati posseggono questa proprietà *); e la relazione costante che si verifica per questi elicoidi è rappresentata dall'equazione (15). È chiaro poi che nulla impedisce di supporre — = o , cioè di supporre che l'è- Uca di stringimento sia una retta. In questo caso la quantità r che, per la sua defini- zione, resterebbe indeterminata, deve ricevere un valore costante, che può scegliersi comunque: ciò emerge dalla formula (14). Non fariemo che due applicazioni della formola (15). 1° Meunier ha dimostrato pel primo che esiste una sola superficie rigata d'area minima, cioè soddisfacente alla relazione i?, + i?, = o, ed è l'elicoide a piano direttore ed a direttrice rettilinea. Questo teorema è una con- seguenza immediata della nostra formola : infatti, se ha luogo la precedente relazione in ogni punto della superficie , si deve avere sen 'J cos 0 . • = 0 , cos 0 = 0, •) È anzi evidente che in qualunque superficie elicoiddle si verilìci la proprietà che uno dei raggi di curvatura i jun\ione dell'altro. 254 RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA RELATIVO ALLA TEORIA, ETC. [l2 cioè equazioni che caratterizzano appunto l'elicoiiie testé menzionato. 2° Quando si suppone — ^o, l'elica di stringimento diventa una circonferenza e la superficie una superficie di rivoluzione. In questo caso l'equazione (13) diventa, ponen- dovi p = — a , (R, -\- 7?Jl/flsen6cos'J + (— R, A'^sen 'i - «(- R^ i?J~cosO = o , e si decompone in due fattori nel modo seguente : j. j_ j_ j_ [ i?J j/sen 6 — (— Ry \/a cos 6 ] [ R] ]'a cos h + (— Ry l^sen f) ] = o , donde emerge la sussistenza dell'una o dell'altra di queste due relazioni -§- = {acot(ìy, _|ì = (acote)=, le quali concordano nell'esprimere la notissima proprietà delle superficie di rivolu- zione del 2° ordine, d'avere uno dei raggi principali costantemente proporzionale al cubo dell'altro. Si potrebbe, in alcuni casi, trovar preferibile di introdurre nell'equazione (15), in luogo dei raggi di i" e 2" curvatura p ed r, il raggio a della base del cilindro sul quale è tracciata l'elica di stringimento e l'angolo w che quest'elica fa colle generatrici del cilindro stesso. Facendo uso di relazioni note si trova facilmente che l'equazione (15) viene allora a trasformarsi nella seguente : o — '-^ — - ia sen 0 sen w sen (w — ^) + / — R^ R^ sen oj cos (co — fJ) — (X cos 6 = 0. Ma sotto questa forma essa non si presta più ai casi in cui A = + //(/5 Si donc on appelie d'\i la déviation de la normale à la surface le long de l'are ds, on a simplement A = + //JiJ'^, et par suite 2hds'd'\ P = ± i2 Cette dernière formule donne lieu à quelques remarques, que nous ne croyons pas devoir passer sous silence, quoique étrangères d notre sujet. Lorsque tp (x, y, ■() est une fonction entière du second degré, ses dérivées troi- sièmes étant nuUes, il en est de mème de li. Par suite, les deux systèmes de lignes asymproriques ont partout un rayon de courbure infini, et ne peuvent ètre par con- séquent que des lignes droites. Nous retrouvons ainsi le théorème connu, que chaque surface da second degré est le lieu géométrique de deux systèmes de lignes droites (réelles ou imaginaires). BELTRAMl, tOmO 258 SUR LA COURBURE DE aUELQUES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE. [13 La tangente à une ligne asymptotique ótant conjuguèe à elle-mème, il est évident que pour tonte surfoce léglée une des scries de lignes asymptotiques est formée par les génératrices rectilignes de la surface. Il faut donc que la quantité 11 soit annulèe par la substitution des valeurs de li x, dy, d:^ répondant à la direction d'une genera- trice. Donc si l'on élimine d x, dy, d:^ Ciitre les équarions a X a y 'y + U^-^ o. O X dx A- d^ . d\ -\- d ^ . d7^= 0 , d y ' ' riT di il = o le ròsultat de cettc élimination sera une équation aux dérivées partielles du premier, deuxième et troisième ordre de la Ibnction 9, qu'on devra regarder conime apparte- nant à toutes les surfaces qu'on peut concevoir engendrées par le mouvement d'une droite. Ce résultat s'accorde avec celai auquel Monge est parvenu d'une manière dif- ferente au § XXI de son grand ouvrage sur l'Application de l'Anaìyse à la Geometrie. Revenons à notte question. La ligne piane, intersection de la surface par le pian tangent au point {x, y, i) est représentée par le S3stcme des deux cquations suivantes : ? (s, -f', 0 = 0, (9) |c-^)|| + c^-4^c^-of| où ;, VI, 'C sont les coordonnces cournntes. Désignant par e l'are de cette courbe, on déduit de La première de ces deux équations, par trois dérivations successives, / òljJc 3 9 tir, 89 JC _ d^ 3 9 ij' •/: a 9 if C I d'i de. d 9 89 d-ri dc^ ó ^ di d(j da (IO) d_^ d'I drf d'-n .d(f d^K _. drt dfi , d<^ dì^i da d<7 89 da da = 0 da da''^ da da' dC^^C d a d a" ' da' ' où il' a une signification analogue à celle de il. La seconde des équations (9), où 13] SUR LA COURBURE DE Q.UELQ.UES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 259 X, y, 7^ entrent comme des constantes, donne de son coté ^ d ^ d^ d f^ d-fi d 'i^ dX, ~d~xT^ ^ d~yin7 '^ 'dl'J^ ~ ° ' d ^ d'I (5 9 J' /) d^f d'^ dl<17' '^ dj TV' ~^ ~dl~d? " ° ' d 'f d'c, 8 9 J' •/! 5 9 "lo == 4^- + • • • • Or en nommant p' le rayon de courbure de cette dernière courbe et appliquant à celle-ci les formules (ii), on aurait La comparaison de ces valeurs avec les précèdentes donne io-— J_ p; ~ 4 ■ [La dénionstration précédente aurait été rendue plus rigoureuse par l'introduction d'un terme en 5*, à coefficient indéterminé, dans les formules (ii). J'ai omis cette précaution dans le désir d'abréger]. Ainsi, la tangente mobile d'une ligne à doublé courbure décrit, sur un quelconque de ses plans osculateurs, une courbe piane qui iouche cette ligne au point d'osculaiion; le rayon de courbure de le ligne à doublé courbure est toujours, en ce point, les trois quarts da rayon de courbure de la courbe piane au mime point. On sait que M. Mòbius a démontré que la tangente mobile d'une cubique gau- che décrit sur chacun de ses plans osculateurs une ligne du deuxième degré. D'après le théorème qui précède, on volt que la détermination du rayon de courbure d'une cubique gauche est ramenée a celle du rayon de courbure d'une section conique. Je termine en exprimant le désir que mes théorèmes puissent ètra vérifiés par des considérations géométriques directes, ce qui ne pourra pas manquer d'avoir lieu, si quelqu'un des savants collaborateurs de ce journal veut bien s'en occuper. XIV, RISOLUZIONE DEL PROBLEMA : "RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE SOPRA UN PIANO IN MODO CME LE LINEE GEODETICHE VENGANO RAPPRESENTATE DA LINEE RETTE,.. Annnfi di ^Tatnmatìca pura od applicata, serie I, temo VII (1865), pp. 185-204. I. Nella maggior parte delle ricerche che sono stale fin qui istituite dai geometri intorno alla teoria delle carte geografiche, si sono prese le mosse o dal principio della conservazione degli angoli (cioè della similitudine fra le figure infinitesime), o da quello della conservazione dei rapporti d'area. Benché questi due principii sieno da riguardarsi come i più semplici ed i più im- portanti, può darsi tuttavia il caso che se ne debba prescindere, per adottarne qualche altro più rispondente al fine speciale della carta che si vuol costruire. Così, se la carta dovesse principalmente servire alla misura delle distanze, con- verrebbe escludere quelle projezioni per le quali le curve di minima distanza sulla su- perficie terrestre venissero ad essere rappresentate da linee troppo sensibilmente di- verse dalla retta. Fra quelle considerate fin qui, la sola projezione centrale nella sfera ha la proprietà di trasformare in linee rette le curve summenzionate ; e Lagrange riguarda a ragione questa proprietà come un pregio speciale di essa *). Siccome, fra le proprietà di cui può essere dotata una carta, quella di prestarsi alla facile misura delle distanze non è certamente la meno utile, cosi io aveva pen- •) Nelle Memorie di Berlino per l'anno 1779; oppure Qiuvns, t. IV, pag. 635 (P>-»ris, 1869). 14] RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. 263 sato che la risoluzione generale del problema formulato nel titolo di questo scritto potrebbe essere di qualche giovamento. Oltre la sua applicazione alla teoria delle carte geografiche, essa mi sembrava promettere un nuovo metodo di calcolo geodetico, nel quale tutte le quistioni relative a triangoli formati da linee geodetiche sopra una su- perficie sarebbero ridotte a semplici quistioni di trigonometria piana. Ma l'investigazione da me istituita in proposito mi ha condotto a riconoscere che il detto problema non ammette una risoluzione generale, e che il caso della projczione centrale nella sfera è sostanzialmente il solo nel quale sia realizzabile la condizione prescritta. La singolarità di questo risultato mi sembrò atta a giustificare la pubblicazione delle mie ricerche su questo soggetto, quantunque ne risulti dimostrata l'impossibilità di raggiungere pienamente lo scopo pel quale esse vennero iniziate. IL Sieno X, y le coordinate rettiLnee dei punti del piano, non importa se rettango- lari od oblique ; X, 7 le coordinate curvilinee dei punti corrispondenti della superficie. Supposto che sia possibile soddisfare alle condizioni del problema, le x, y saranno le- gate alle X, Y da due relazioni X = a (X, Y), y = v (X, Y) , la natura delle quali dovrà esser tale che ad una retta qualunque del piano a X -\- hy -\- e ^= 0 , corrisponda sulla superficie una linea geodetica. Ora l'equazione in coordinate curvi- linee della curva corrispondente a questa retta è evidentemente a a (X, Y) -{-hv{X, F) -f e = o ; bisognerà dunque che quest'equazione rappresenti una linea geodetica, ovvero che, ri- guardando le a, b, e come costanti arbitrarie, essa rappresenti l'integrale completo dell'equazione delle linee geodetiche. Ma nulla impedisce di riguardare come coordinate curvilinee della superficie le stesse funzioni h (X, Y), v (X, Y), anziché le X, Y. Quindi è chiaro che il nostro problema si riduce a trovare come e quando sia possibile integrare l'equazione delle linee geodetiche per mezzo della relazione lineare a H -\- b V -{- e =^ o , o, ciò che torna allo stesso, come e quando l'equazione differenziale delle linee geo- 2^4 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UXA SUPERFICIE, ETC. [14 detiche sia riducibile alla forma ( I ) dud'v — dvd^ u = o . Trovate le superficie e le variabili per le quali ciò abbia luogo, basterà porre x = /( , J = f , od anche X =z au -\- bv -\- e , y =^ a' a -\- b' V -j^ e' , od anche più in generale alt -\- bv -\- e __ a'n -\- b'v -\- e' ^ — a"ii 4- b"v 4- e" ' ^ ~ a"u + b"v + e" " Queste ultime formole corrispondono ad una trasformazione omografica della figura rappresentata dalle formole x =^ n , y =^ v . III. Per trovare le condizioni sotto le quali l'equazione differenziale delle linee geo- detiche è riducibile alla forma (i), rammentiamo che, rappresentando al solito con ds'= Edu' -\- 2Fdndv-\- Gdv' il quadrato dell'elemento lineare della superficie, la suddetta equazione differenziale è la seguente : o = (£G — F'){dnd'v — dvd'ii) J^^Edu + Pdi^\{^^-^^-P^dn^ + ^-^dudvJr-^-^dv^^ ' ^ L \ 5 " 2 av J 'da 'adi' J -(Fdu+Gdv)[(^^-^^^]dv'' + ^^dvdn + ^^J-d,A*). Dovendosi annullare i coefficienti di du\ d u" d v , dudv'', dv^ si avranno queste quat- tro condizioni (2) E{^ r— ) F^r— = 0, ^ ^ \du 2 av j 2 au *) Veggasi per cs. l'articolo XXI delle mie Ricerchi di Analisi applicata alla Geometria nel Gior- nale di Matematiche, tomo III; oppure in queste Opere, voi. I, pag. 175. 14] RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. 2^5 (3) -C-S r-rl-;^ -^r— )— F-^r G^r— = 0, a» \a!( 2 av J av 2 om , . ^3F , ^(ÒF I 5G\ ^5G I ^d G (4) G 3— + F I -=: -:r— ) — F -^ E -^— = O , av \dv ioni au 2 av f N ^/5F I aG\ I paG ^ \av 2 auf 2 dv Il nostro problema dipende adunque dalla integrazione simultanea di queste equa- zioni, e poiché il loro numero è maggiore di quello delle funzioni da determinare, si può gii prevedere l'impossibilità di risolverlo generalmente. IV. La (2) e la (5) si possono mettere sotto la forma _a_/_F\_aj/F a / f \ a t/ g dn\yE)~ àv ' dv\yG)~ 5" ' e quindi esprimono che i due binomj Edu-\-Fdv Fdu-\-Gdv (6) ]/E ' \/G devono essere differenziali esatti a due variabili. È bene osservare che queste due equazioni non impongono alla superficie veruna condizione speciale. Infatti, annullandosi per esse i coefficienti di du^ e dv' nell'equa- zione differenziale delle linee geodetiche, l'equazione stessa è soddisfatta tanto per dti =: o, quanto per dv =^ o, il che significa semplicemente che le linee coordinate ti = COSI., V = cost. devono essere geodetiche. Giù si deduce anche dalle note espres- sioni delle curvature geodetiche relative alle linee h = cost., v = cost., le quali sono annullate dalle (2), (5) [come si può vedere nelle citate Ricerche, eq. (60)]. dE d G Consideriamo ora le (3), (4). Eliminando -3 — fra la (2) e la (3), e 3— fra la (5) e la (4), si ottengono le due equazioni ^ dG r „ dF r-ó/" , 3^' 5E a II 2 au a 11 2 1 a ti BELTRAMl, toniO 1. 34 266 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA : RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. [14 av 2 ov dv 2U av che hanno il vantaggio di contenere le derivate relative ad una sola variabile. L'eliminazione effettuata è sempre possibile. Infatti quand'anche, per una deter- minata scelta delle variabili, le due derivate ^ — , ^r — fossero nulle, cesserebbero d'es- ca i' OH sere tali surrogando alle «, v le nuove variabili aii -{- bv -\- e, a'u -j- b'v -\- e', sur- rogazione che non altera punto le condizioni del problema. Si può verificare facilmente che le due precedenti equazioni sono riducibili alla forma A /£G - F'\ _ d_ (EG — F'\ _ à'\ ÈVE j~°' à'A G)/G ;"°' laonde se indichiamo con U, V due funzioni da determinarsi, la prima della sola u, la seconda della sola v, possiamo porre ^'■' £l/£ ' G\rG ~ Bisogna ora vedere se sia possibile determinare le U, V in modo che i due bi- nomj (6) diventino differenziaH esatti. VI. Introducendo una funzione incognita di u e di v, che diremo X, possiamo sod- disfare alle (7) ponendo (8) VT =■/[/, F^\[^UV, \/G = \V, dove si è fatto per brevità (9) (. = fA()._[;F). I due binomi (^) diverranno \UdH-\- ^.Vdv, Y-Udu^-kVdv, o più semplicemente \du^ -\- \j.dv^, [;. (/ ;(j -)- A dv^ , ponendo (io) du^=Udìi, di\ = Vdv, ed immaginando sostituite le k, , i\ alle ii, v tanto nelle funzioni /, (/., quanto nelle U, V. 14] RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. 267 Le condizioni per l'integrabilicà dei due ultimi binomj sono d'k diJ. dy. di'. Se ne deduce dCK + rì a (^ + y-) dii, dv^ 0, e quindi, integrando. d (>- - !^-) I a fi — rì _ _ dove f, ']< sono caratteristiciie di funzioni arbitrarie. Ponendo finalmente (11) K, -}- V, = a, n,— v^ = ^, (12)' ). = 9(a) + .K!i), (A = ?(a)-^(lì). VII. Restano ora a determinare le cp, <]/, C/, F in modo che risulti soddisfatta la (9), ossia la lUV = r — il\ cioè, per le (12), Per tal uopo poniamo talché la precedente equazione diventerà (14) i'W + ^^(W = -[^, donde log QP 4- U') = log 4 — log U — log F. a 4- B . ... a — p Ora U è funzione di u ossia di -—^ — , V è funzione di v ossia di , '2 '2 quindi il secondo membro è della forma /(, + !,)-|_F(a-!i), 268 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PU\T1 DI LXA SUPERFICIE, ETC. [14 epperò soddisfa all'equazione 0, 8a^ dr alla quale deve quindi soddisfare anche il primo membro. Si ottiene cosi ^^ /d (15) ^'^-w'j^ = Ji.)-BiP), ponendo ^d'4> / d^l^y ,, . A Finalmente derivando la (15) due volte di seguito prima rispetto ad a, poi ri- spetto a '^, si ha à ^'W _ d^ d^ _ ^ -^ "dir rfii' d^ T^""" Se nessuna delle quattro quantità che entrano in quest'equazione è nulla, è chiaro che l'indipendenza delle variabili a e [i richiede necessariamente che sia , . d'>l» J^ d'W ,dW ('7) ^7::r='-7r. -n:i=' dx' ~ d d^W 07) 7^ = °' 7F = °' quando nessuna delle derivate prime è nulla ; oppure (17") W = cost. quando una delle derivate prime, per es. quella di ^~, è nulla. Se fossero costanti ambedue le funzioni «l>, U", la superficie risulterebbe sviluppa- bile. Noi non ci occuperemo punto di questo caso, per sé stesso evidente. 14] RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. 269 vm. Consideriamo dapprima le (17) dalle quali si deduce W(^^) = B^ + B,e"''-i-B^e-'^ donde ^ W = r K(^, e"' + A,_ e-") + 4 J,J^] , B aO = r^lB^B, c'^ + B^e-'^) + 4 5, fij , valori che riducono l'equazione (15) alla seguente: o = r[(A^-{. BJ {A, e'- + A^ e- - 5, t"^ - B^ C^) + 4 (^, A^ - B, £ J]. Essendo r diverso da zero bisogna dunque porre A^ + B^ = o, A,A^=.B,B^, condizioni alle quali si può soddisfare cambiando le costanti e ponendo A^ = -B^=-2b, A,=--A, A, = kk'A, B, = k-A, B^ = kA, nel qual modo si avrà (18) \ ( W= A{k'e''^-j-ke-'^)-^ 2b. Così tutte le condizioni imposte dal problema alle funzioni «^, *!' sono soddisfatte. IX. 'A Bisogna ora determinare le U, V. Per tal uopo osserviamo che si ha 0) -j- H" = ^(i -(- ke-"^^'^') (e'^ + k'c'^), e, riponendo le variabiH 11^, v^ in luogo delle a, fi mediante le (11), O + ^f — A{e"'' + ke-'"') (e"' -\- k'e-'"') . Confrontando quest'equazione colla (14) si vede doversi porre (19) U= ~ i(e"- + ke-'"') ' w'(e"'- -f- k'e-'"') ' 270 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. [14 A = min'. purcliè si faccia Si avrà poscia, per le (13), \ ? ^"'^ = mm\e'^ -\-kk'e-'^) — 2h (20) •K'^) = mm'{k'c''^-\-hc-''^)-\-2h' e finalmente, dalle (8), (21) E = {:^ + >\yu\ F = (r-^')uv, G = (9 + ;yr. X. Prima di dedurre dai risultati precedenti la forma finale delle E, F, G espresse per il, V, osserviamo che dalle (21) si deduce ds' = (o + ■l)[o(Udu + Vdvy- + ò{Udu — Fdvy] , ossia, per le (io), (i i), (22) ^5^ = (o^-^)(?Ja^ + ■}^ìi=)• Questo risultato c'insegna che le a, [i sono coordinate isoterme della superficie, e che la forma dell'elemento lineare ad esse corrispondente è una di quelle che danno luogo all'integrazione completa del problema delle linee geodetiche, come dimostrarono i sigg. LtouviLLE e Brioschi. Ma l'equazione (22) è suscettibile di una ulteriore trasformazione. Infatti il suo secondo membro può riguardarsi come il prodotto di due somm^e di quadrati e può quindi, colla nota regola, esser messo sotto la forma di una somma di due quadrati, nel modo seguente : ds' = (9Ja ±^d'^y + o'ì^(dx Zf d'^y. Quindi se si pone (21') = dz, si hanno le due espressioni (22') ^ì^ = ^/^ + 4?'Vk; z^dz'- -^^r^^di'l, le quali insegnano che le linee geodetiche ;<, =; cost., v, = cost. lianno per trajettorie ortogonali le linee / = cost., t =; cost. rispettivamente. 14] RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. 27I XI. Veniamo ora alla determinazione delle E, F, G, in funzione delle ;/, v. Dalle (io) si ha quindi, viste le (19), „ = il (/«. _ /, ,-'.) , v = — (e'"- - k'e-"'') , omettendo per semplicità le costanti d'integrazione, che si possono riguardare come implicite in «, v. Dai valori precedenti si deduce r. + A-.-"- = ^^''''»' + ^-'"' r^ + vr-^ = 'Jll±l talché le espressioni di U, V in /(, v, sono ]/r'u' -\- km' ' ir'v' -[- k'm" Inoltre ponendo W = (r u- + k m') (r'v' -f- k'in") , si trova facilmente 2(IV — r uv) ^ . -,- i' ' '' — — e quindi, (20), k'c''''4-ke- ' in in' 2?=rrri-7rJ— r^, 2"^= Tir Finalmente, cambiando k m\ k' m" in k, k', ciò che è lecito ora che le costanti k, III non compajono più separate, e ponendo quindi (23) lF' = (r'u' + k){rv' + k'), si trovano i valori seguenti : 272 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE l PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. [14 (24) F — r 'f' + À-' [ir - {r'uv - m' ' F = r' uv — h [IV — (r^ Il V -hyr ' G = r ' n' + k W — (j^'llV — hyr ' Fr; P^ — I [PF' — (^r' uv — hy]> XII. Dalle cose dette alla fine dell'art. II risulta che alle variabili /(, v soddisfacenti al problema possono essere surrogate altre variabili legate linearmente ad esse, senza che le condizioni del problema vengano mutate. Poiché dunque le formole (24) danno una soluzione del problema, bisogna che in particolare ogni sostituzione della forma u ^ aii' -{- bv', V = a' II' -\- h'v' lasci inalterata la composizione di quelle formole. Verifichiamo questa proprietà. Rappresentando con ds' = E'du" + iF'dii'dv' + G'dv" la nuova espressione dell'elemento lineare, si ha E' = Eli' -\- 2 F a a' -j- Ga'\ F' =z Eab-\- E(iib' + a'b) + Ga'b', G' = Eb' ^ iFbb' -{- Gb"-. Quindi, ponendo per brevità k' a" -\- 2 h a a' -{- ka'^ „, (fl /;' — a'by ■ ~ ' k'ab-^h(_ab'-{-a'b)-\-ka'b' __ (ab' — a'by " ' k'F -\-2bbb' -\-kb" _ (ab' -a'by ~ ' 14] RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. 273 SI trova p, ___ {(ih' —a'by(j'u'v' — H) ^— \^iv^ -(r^uv — hyy ■ Ma è noto che si ha E'G' - F" = (a b' — a' hy (E G — P) , quindi, ponendo IV" = (,' h" + K) Q'v" + A") , si ha IV^ — (^r'uv — hy = (ab' — a'by[lF" — (r' n'v' — Hy], epperò £,_ I rW^ + K' F' (ab'—a'by [PF" — (r' u'v' — Hyy ' — I r'u'v'— H (ab' — a'by [W" — (r'u'v' — HyY ' I r'u"-\- K ~ (ab' - a'by [W" - (r'u'v' — Hyy ' Ora egli è evidente che queste espressioni hanno la stessa forma delle (24), e ne differiscono soltanto in ciò che alle costanti r% /;, /.-, ì;' si trovano sostituite le lj.r\ IJ.H, U.K, ^.K', dove [/. ^ (ab' — a'b') ' . Dunque la proprietà in discorso è realmente verificata. XIII. Disponiamo delle costanti a, b, a', b' talmente da rendere // = o , A' = A", ciò che è sempre possibile, ed in molti modi, quando non si escludano valori imma- ginar] di quei coefficienti. SELTRAMI, tomo I. 3S 274 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. [14 1 SI trova Osservando che in tal caso si ha IV — (^r'u'v' — Hy = K(r'tr + r'v' + A') , E' = F : ^.' K\r' u" -\- r' v" -\- Ky G' r'u"-{-K Poniamo finalmente, per maggiore semplicità, — — ^' ^ — 1f' e scriviamo u, v in luogo di u'. v' : avremo -R-Ct-' + O - Or + v^ + ay ' (25) — R'uv Qi' + f' + ay ' - (H^ + X.^ + «^)^ XIV. Abbiamo per tal modo determinata la forma dell'elemento lineare della superficie, vale a dire individuata una classe di superficie, tutte applicabili l'una sull'altra e tutte soddisfacenti al problema proposto. Per formarsi un'idea della natura comune di tutte queste superficie bisogna dun- que fare appello alle proprietà assoluti-, prima delle quali è la misura della curvatura, data dalla forinola *) dG I- dE\ /dE df , FdE K,R/ 2)1 EG — P 5(du E òv \ d \ Bv du E dn à"\ \/EG — F' /^ dv\ yn G — E' ') ^'<^Kgasi per es. l'art. XXJV delle citate mie Riurcìn. 14] RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. 275 ovvero, nel caso nostro, vista la (2), /dG F dE 1 I 518 » E dv KR'. ~ ~ 2\fEG— f die \ )/EG — P~ Ponendo per un momento A^ = u' 4- v' + a' , si trova dE _ 2Ì?^(A' — 2u')v dG _ 2R'(\' — 2V')U dv ~ A6 ' dn ~~ A^ donde dG F dE 2fl 3a \6 dG > F dE du E dv i/pn p^ v'-^a'du ' quindi I I A' a^A I R,R,~ R'v'-\-a' dir R' ' Dunque le nostre superficie sono quelle di curvatura costante. In particolare, se R è quantità reale, le formole (25) competono a tutte le superficie applicabili sulla sfera di raggio R. XV. È noto che le espressioni finite in u, v delle coordinate ordinarie X, Y, Z rela- tive alle superficie di curvatura costante non sono ancora state determinate in gene- rale. Quelle relative alla superficie sferica tipo sono le seguenti : y — ^JL ^ " r=fi + ^ = T + :7r, Rv j/„= + v' + a' Ra )/n' + v' + a' donde eliminando u, v, si trae (X - a)^ + (Y _ <^y + (Z - y)^ = R\ 276 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUN'TI DI UKA SUPERFICIE, ETC. [14 a, p, Y essendo costanti arbitrarie. Infatti le precedenti espressioni danno (u -\-v -f- a) ' donde si deducono per E, F, G \ valori precedenti. Le M, V hanno un significato geometrico semplicissimo. Infatti trasportiamo il centro della sfera nel punto di coordinate X^ o, F= o, Z = — a, e si avr;\ (26) l F = Ra Z = , = — a. Il raggio passante pel punto (X, Y, Z) è rappresentato dalle equazioni _L — JL _^ + ^ X "~ F — Z+a' epperò le coordinate del suo punto d'incontro col piano A' Y sono e = TJ—, , m = Z-\-a ' '~ Z-\-a' ossia per le (26), Dunque le variabili u, v non sono altro che le coordinate rettangole della proie- zione centrale di quella sfera sulla quale tutte le nostre superficie sono applicabili, e questa proiezione, insieme colle sue trasformazioni omografiche, costituisce l'unica so- luzione del problema, almeno finché si considerano le equazioni (17) dalle quali siamo partiti. Vedremo ora che anche le equazioni (17') e (17") conducono alle medesime conclusioni. Ma per abbreviare il discorso ci contenteremo di dimostrare che anch'esse corrispondono a superficie di curvatura costante, senza punto risalire alle espressioni di E, F, G per u, v, che ognuno potrà facilmente ottenere procedendo in modo a- nalogo a quello che si è usato or ora, e che si possono agevolmente ridurre alla me- desima forma (25). 14] RISOLUZIONE DEL PROBLEMA: RIPORTARE I PUNTI DI UNA SUPERFICIE, ETC. 277 XVI. Incominciamo dalle (17'). Esse dinno a. = J„ + ^.a + .^,,.^ epperò la (15) diventa 2(^, + £j wa + j^a^ - i^, li - B^r) = 2(^„ + Bj(j^ - fij - ^: + £:• Porremo quindi J^^B^ = Q, 2(^„ 4- BJiJ^ - BJ = A\-B\. Quest'ultima relazione, in forza della precedente, può scriversi ^a^a^-a\ = aB^b^-b:. Se fosse A^ = B^ ^= o , si avrebbe quindi a. = ^„+^.a, ^'=B^±A/^, o più semplicemente (27) a> = 2^a, W = ±2A<^, poiché in forza delle (io), (11) si può alle a, p aggiungere una costante. Se invece A^ e B^ non sono nulli, si soddisferà alle condizioni trovate ponendo 4> = ^ [(a - ay -r], W = -A [(ji - ^0^ - C] , o più semplicemente (27') 4- 2/;) a»" (a) — '{y.y = 0, donde

donde si deduce agevolmente la legge generale di composizione dei secondi membri, la quale può esprimersi simbolicamente cosi : per n pari Ìsen (9 — 9,) sen (9 — 9 J ... sen (9 — 9,,) ti = ,„-?" \^os[,i 9-a. J — Scos[ (h-2) 9-*I.„_ J+Scos[(;/-4) 9— „_ J + (— i)^Scosa>^| ; per H impari Ìsen (9—9,) sen (9 — 9J ... sen (9 — 9,,) = fc^il^jsen[H9— <^„]-Ssen[(H— 2)9-«I>_J-f-Ssen[(;;-4)9-4>„_J + (- i)'^Ssen[9-a.^]i. Ne' secondi membri di queste formole il>_,, rappresenta uno qualunque degli ag- gregati che si possono formare cogli n angoli 9_ , 9^ , ... 9__ , prendendone m col segno positivo e i rimanenti n — m col segno negativo (cosicché per esempio 4>,, ^ 9^ -j- 9^ • • • -|- 9__) ; i segni sommatorj 5 si riferiscono a tutti i valori possibili di questi aggregati. È perù da osservare che l'ultima sommatoria della formola (3) deve comprendere solamente quegli aggregati che differiscono fra loro nel valore asso- luto, per modo che il numero dei termini contenuti in essa non è (h) „ , ma soltanto i(«)„- 284 t)I ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. [15 Ciò posto sia p un numero intero positivo; sostituiamo in ambi i membri delle (3), (3') i seguenti valori di o: 77 27: (p — i)t: p ' ' • p ' ' ■ p indi sommiamo i p risultati. Indicando col segno 2. 'e somme parziali relative a queste sostituzioni nei singoli termini, è chiaro che il secondo membro della (3) fornirà una serie di termini della forma (4) ±^-=.4p|-^['"'(? + y)-'^J. dove m può ricevere tutti i valori pari compresi fra o ed ii ; mentre il secondo mem- bro della (3') porgerà i termini (4') ±^at|:-"['«(^^+y)-V"]' in cui IH può avere tutti i valori impari compresi fra i ed >i. Osserveremo ora che da note formole si ricavano le relazioni /•-' / \ sen _ , . _ 2P m TU nelle quali ni è un numero qualunque, non però multiplo intero di 2p. Quando que- sto numero è pari, la prima dà %cos[. + ':f)=o; e siccome il primo membro di questa formola coincide coU'espressione (4) quando si ponga 2 COSÌ tutte le somme analoghe alla (4), in cui m non sia un multiplo di 2py sono nulle; Ij] DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. 285 e poiché III ha i valori o, 2, 4, . . . 11, cosi se si prende p > — , saranno tutte nulle ad eccezione di quella che corrisponde ad in = o, la quale ha per valore -|-T5cos<^„, quantità indipendente da cp. Dunque quando ;; è pari, il valore dell'espressione fui P' è dato, vista la (2), da a^ S cos

^P,P. •■• ?.. P-U{x, y) è indipendente tanto da 9, quanto da p. Possiamo dunque enunciare il teorema seguente : St da un punto del piano di una curva algebrica di grado 11 pari si conduce un fascio di p rette formanti fra loro angoli uguali a — ^ , la media aritmetica dei prodotti re- ciproci dei segmenti intercettati su ciascuna retta fra il punto fisso e la curva, è indipendente ti dalla dir e:f Olle del fascio e dal numero p, purché questo numero sia maggiore di — . La reciproca di questa ir.edia costante si potrebbe acconciamente denominare po- ienxa. del punto fisso rispetto alla curva. Indicando con P la potenza del punto (.v, y) si avrebbe quindi (7) P = %Jl. Della quantità k noi conosciamo già l'espressione (6) formata cogli angoh «p, , «Pj, .•• sen*- 9 = ^ -'^ J(_ i)'/(„ _ Of (O,, ';'''"'"^*""- 2 (— l) Per ottenere la parte indipendente da 9 basta tener conto di quei soli termini in cui 2p -\- 2q ^ n, il che suppone primieramente che n sia pari, altrimenti tali termini mancherebbero. Si vede inoltre che anche r deve essere pari, senza di che la parte costante risulterebbe immaginaria, e quindi dovrebbe essere identicamente nulla. Am- messo dunque che n ed r sieno pari, ponendo r =^ 25, e rappresentando con ì;_ la somma dei termini costanti nello sviluppo di cos"~" 9 sen"9, avremo ^<=^^S(-0'("-20^_/20, Bisogna però osservare che in questa formola si è supposto 2s ^ — ; se fosse H 11 2 i > — bisognerebbe considerare soltanto i termini in cui l'indice — — ij è compreso Ij] DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. 287 , ... . . ..... ..... n " ,, 1 tra 0 ed n — 2s, e quindi sostituire ai limiti o e 25 i limiti 25 , — . Ma basta il TC esaminare il caso di 2 i ^ — , perchè, mutando nella primitiva eguaglianza cp in 9, si vede che À'^ =^ ''jl _ • Il precedente valore di k^ può ridursi ad una forma semplicissima. Infatti si può scrivere h (ni. = t^ 5 (- 0" («). (« - 2 s)^ (2 5), : 2 -^ 2 ' ma è chiaro che (8) (")„(»- "),_,(-). = ("),(^)^(i)^,^^, dunque '^(«)2> = -^.r^ 5 (- 0" (-r)„ (tL; Ora se si moltiplicano insieme le due equazioni " -IL si vede subito che il coefficiente di x^' nel prodotto dei secondi membri è ?^->'(t).(t)._; mentre il prodotto dei primi membri, cioè (1 — .v")^ , contiene .v"' col coefEciente (— i)'(^j ; Junque epperò (n) Sostituendo finalmente nell'espressione 11 (cos 'f , sen 9) il valore trovato per À-, in luogo di cos"~^' 9 . sen^' ip, ed omettendo tutti i termini di posto pari, si trova 288 DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. [15 cioè Applicando le cose esposte alle linee di 2° ordine, si ha primieramente il teorema seguente : La media aritmetica dei prodotti reciproci dei segmenti che mia linea di 2° ordine intercetta sopra p rette divergenti da un punto fisso e formanti fra loro angoli ugnali a — , è indipendente dalla dire:(ione del fascio e dal numero p, purché quest'ultimo non sia minore di z. (È un caso particolarissimo di questo teorema la nota invariabilità della somma dei quadrati inversi di due diametri perpendicolari). Per calcolare il valore di k poniamo [/=rt^x=-j- 2a^xy+a,y-{- 2t„.v+ ih^y -[-c^, ed avremo dalla (5), per h = 2 , quindi dalla (7) _^o + ^ 2 U{x, y) ao -(- a^ Da questa formola si scorge che il luogo dei punti in cui P ha un valore co- stante ed individuato, è una seconda conica, concentrica ed omotetica alla prima. Quando a^ -\- a^ =: 0, cioè quando la conica è un'iperbole equilatera, la potenza P è infinita in ogni punto del piano (purché non appartenente alla curva), laonde per questa particolar specie di coniche ha luogo la proprietà che la somma dei prodotti re- ciproci dei segmenti determinati su p rette divergenti da un punto fisso sotto angoli uguali a — ■ è sempre nulla, purché sia p^ 1. Per una seconda conica U' =alx' -{- 2a[ xy + a^y' + 2// x + 2b[y + rj , si lia parimenti F 2U'ix,y) e la curva luogo dei punii d'egual potenza rispetto al'e due coniche è altra conica passante per i punti comuni alle due prime. Sviluppando quest'equazione Ij] DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. 289 si trova {aX — '^.OC^' — >'0 - 2 K«'. -"!.< — ". < + (i^ò^y + ■ • • = o, donde risulta che la conica luogo dei punti d'egual potenza rispetto a due coniche date è sempre un'iperbole equilatera. Bisogna escludere naturalmente il caso in cui le coniche date sieno ambedue iperbole equilatere, giacché ogni punto del piano sarebbe d'egual potenza. Affinchè l'equazione precedente diventi lineare in .v, y, è necessario e sufficiente che sussistano le due relazioni a'o ^ (i\ ^ < «o '^l «. ' cioè che le due coniche sieno omotetiche, ed in questo caso alla retu che congiunge i due punti (reali od immaginar]') in cui esse s'incontrano a distanza finiu, fa d'uopo associare la retta all'infinito. Quando le due coniche sono circonferenze, esse sono per ciò stesso necessaria- mente omotetiche, epperò la linea dei punti d'egual potenza è sempre una retta, come è noto dalla geometria elementare. Date tre coniche, è evidente che le tre iperbole equilatere rappresentanti i luoghi dei punti d'egual potenza rispetto a ciascuna delle tre coppie che si possono formare con quelle, hanno in comune i medesimi quattro punti. A ciascuna terna di coniche corrisponde dunque un sistema di quattro punti aventi la stessa potenza rispetto a cia- scuna delle coniche e dotati della proprietà che per essi passano tre e quindi infinite iperbole equilatere. Questi punti sono dati dalle due equazioni U _ U' __ U" ^o + «. "" «ó + 'h ~~ ""o + < ' Quando le tre coniche sono omotetiche, uno solo di questi punti è situato a distanza finita. Ponendo il punto fisso (x, )■) nel centro di una conica si ha il seguente teorema (che per ^ := 2 riducesi al già rammentato) : la media dei quadrati reciproci di p semidiametri iticUnatifra loro di un angolo uguale ^— ^ indipeìidente dal numero p( ed uguale ad ° ' ' j , purché questo numero sia maggiore di 1. Le considerazioni istituite da principio per dimostrare il teorema generale non si possono applicare immediatamente alle curve di grado impari, per le quali nelle som- 8ELTRAMI, tomo I. 37 290 DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. [15 me (4') il numero m è impari, donde risulta che il secondo membro della (3') non può mai essere zero indipendentemente da a. È facile rendersi ragione a priori della differenza che passa, sotto questo punto di vista, fra le curve di grado pari e quelle di grado impari. Abbiasi infatti un fascio di p rette divergenti da un punto fisso, in modo che le drezioni dei segmenti positivi contati sovr'esse dal punto stesso formino angoli uguali a -^ . In tale stato di cose i prodotti reciproci dei segmenti determinati su queste p rette avranno valori determinati, che indicheremo per un momento con /;, , h^, ... h . Supponiamo ora che questo fascio venga ruotato di un angolo uguale ad — ^ , cosicché la retta che in esso era contata come 1°, passi ad occupare il posto della r-esima. In tal caso è chiaro che le prime p — '' -)- I rette del secondo fascio concideranno colle ultime p — r -{- i del primo, tanto rispetto alla direzione assoluta che rispetto al senso dei segmenti positivi : ma le ultime r — i rette del 2° fascio, sovrapponendosi alle prime r — i del i", avranno i loro segmenti positivi contati in senso contrario, cosicché i prodotti reciproci relativi ad esse saranno Quando dunque n è impari, questi prodotti cambiano segno, e la somma ^/; può assu- mere in generale 2p valori differenti (a due a due eguali e di segno contrario), se- condo che si assume come direzione iniziale del fascio l'una o l'altra delle 2p dire- zioni considerate. È chiaro dunque che la media — y /; non può rimanere costante quando la curva è di grado impari. 2 ~ D'altra parte se si considerassero invece p direzioni formanti angoli uguali a ^^^ , si vedrebbe analogamente, facendo ruotare il fascio per una mezza circonferenza, che tutti i prodotti reciproci mutano segno, laonde non potrebbe la loro somma rimaner co- stante a meno che non fosse costantemente nulla. Questo è ciò che appunto accade ; come si verifica ponendo 2 t: in luogo di t: nella (5'), nel qual caso la somma J^sen^a+^j è sempre nulla, qualunque sia m, del pari che l'analoga somma formata coi coseni. Ciò nondimeno si può trar partito dal teorema trovato per le curve di grado pari, per ricavarne uno dello stesso genere rispetto a quelle del grado impari. Infatti se U(^X, F) è un polinomio di grado impari tt, l'equazione [U(X,Y)Y = o si deve considerare come rappresentante una curva di grado pari 2 «, che risulta dal Ij] DI ALCUN'E PROPRIETÀ GHMERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. 29 1 complesso di due curve coincidenti del grado impari n. Si può quindi applicare a que- sta curv'a doppia il primo teorema, osservando che siccome ciascun punto della curva 17 = o viene in tal modo a considerarsi due volte, cosi tutti i prodotti di segmenti determinati da questa curva devono essere innalzati al quadrato. Si ottiene così il se- guente teorema, valevole per le curve di ogni grado : Se da un punto nel piano di una curva algebrica di grado n si conduce un fascio TU di p rette J'onnanli fra loro angoli uguali a — , la media dei prodotti reciproci e quadrati dei segmenti intercettati su queste rette fra il punto e la curva è indipendente dalla direzione del fascio e dal numero p, parchi questo numero sia maggiore di n. Volendo far uso di questo teorema per avere una deiìnizione della potenza quando la curva è di grado impari, sembrerebbe conveniente rappresentare l'anzidetta media con -pj , chiamando P la potenza, cosicché si avrebbe (.0) P=[£(^. Per formare il valore di /.- si supporrà [('Zo. «.. ''.. ••■ 0(^-> ;')'?= (^o> A^, A^, ... AJ(_x, yy, e si avrà Bisogna perù notare che il valore di P ottenuto in tal guisa non coincide punto, quando ;; è pari, con quello che si ricava dalla prima definizione. Il luogo dei punti d'egual potenza per due curve di grado impari U uà U' è la curva kU"—k' U'^o, che si decompone nelle due U'Vk± U \'k' = 0, passanti entrambe pei punti comuni alle due date. Applicando l'ultimo teorema al caso della retta, si ottiene un teorema particolare il quale, nel caso di p = 2, non è che una semplicissima trasformazione di quello di Pitagora, e che è compreso alla sua volta in un altro che daremo fra poco. Sup- ponendo SI trova A^ = al, A=a^a^, A^ = a\, A- = <-±< , 292 DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. [ij e la (io) dà Val + a] laonde la potenza di un punto rapporto ad una retta viene per tal guisa ad essere definita come la distanza dal punto alla retta moltipliaita per 1^2. Il luogo dei punti d'egual potenza rispetto a due rette è il sistema delle due bi- settrici dell'angolo formato da esse, ecc. L'osservazione che ci ha servito per estendere il teorema primitivo alle curve di grado impari, può essere applicata con maggiore generalità, innalzando il polinomio .U(X, Y) ad una potenza intiera e positiva m, la quale deve perù essere pari quando n è impari. Oj erando in tal modo e rammentando l'avvertenza già usata, si ottiene il teorema seguente (il quale del resto, come il precedente, è implicitamente compreso in quello enunciato per le curve di grado pari, giiicchè nulla impedisce di considerare una di queste curve come costituita dal complesso di più altre curve di grado infe- riore, alcune delle quali, od anche tutte, possono coincidere fra loro, purché la somma dei singoli loro gradi sia un numero pari) : Se da un punto nel piano di una curva di grado n si conduce un fascio di p rette fornianli fra loro angoli uguali a — , la inedia delle potente in-esiine dei prodotti reciproci dei segmenti intercettati su ciascuna di esse fra il punto e la curva, è indipendente dalla dire- :^one del fascio e dal numero p, purcht questo numero sia maggiore di , ed m sia pari quando n è impari. Applicando questo teorema alla retta Y — a =^ 0 e ponendo l'origine nel punto fisso, si trova semplicemente 7, _ (^ "O... "■ 5 MI » donde si conclude che: La media delle polente reciproche 2 m-esime dei segmenti determinati da una retta fissa sopra un fascio di p rette divergenti da un punto fisso e formanti fra loro angoli uguali a — , ha per valore purché sia p >> m {it è la distanza dal punto alla retta). Se invece si considera una conica e si pone il punto fisso nel suo centro, si ha il seguente teorema : La media delle potente reciproche 2 m-esime di p semidiametri formanti fra loro angoli uguali a — , è indipendente dal numero p, purché sia p ]> m. Ij] DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEURICHE. 2^3 Per calcolare il valore costante di questa media sia l'equazione della conica. Ponendo ni o si trova quindi fl. «. ossia per la (8) , " o Da questa formoki si deducono i valori seguenti : per m= i, k = —(a^-\- fl J , m = 2, À' = -|- [3 (rt; + ni) + 2 (7„ rt J , '« = 3. ^ = Tó'L^ ^"^ + '^'^ — 2''o«J(«o + '^.) > ni = 5, A' = ^[é3« + 'O-28a„a,« + «;)+58.r.z;]07, + .O, ecc. ecc. È facile vedere che per tutti i valori impari di in, k contiene il fattore a^-\- a^, e quindi si annulla quando a^-{- a^ — o, cioè quando la conica è un'iperbole equila- tera. Abbiamo così per queste curve la proprietà seguente, che ne comprende una già enunciata precedentemente : la sùiniiui delle polente recìproche di grado impari m dei prodotti dei segmenti determinati da un'iperbole equilatera sopra p rette divergenti da un punto fisso sotto angoli uguali a-^, è sempre nulla qualunque sia questo punto, purché sia P > »'■ 294 DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. [I: Per la circonferenza a^{x' -f- _>•') ^= i si sa a priori che deve risultare k = a'^ Se ne conclude la relazione 1 ovvero (12) (2 5)X2W— 2i),„_, = 2' L. (2 m).. (2 w)„ È facile mettere in rapporto i risultati precedenti colla teoria degli invarianti. Siccome l'origine degli assi può essere situata in un punto qualunque del piano, così ponendola nel punto fisso ed ammettendo che il termine costante nel polinomio U sia l'unità (ciò che è sempre lecito, dovendo il punto fisso essere preso fuori della curva), si ha dalla (7) Ora la potenza P, in virtù del teorema generale, rimane inalterata quando si fa ruo- tare la curva nel proprio piano intorno all'origine come centro : dunque la quantità k, che sappiamo essere una funzione lineare dei coefficienti di U, deve rimanere invariata quando si trasformino le variabili x, y con una sostituzione della forma X = x' cos y. -j- _)•' sen a , y = — x' sen a -J- y' cos a , cioè con una sostituzione ortogonale ; vale a dire che formando l'espressione k coi coefficienti della forma binaria u, trasformata dalle formole precedenti, si deve ripro- durre identicamente l'espressione primitiva, mediante la spontanea eliminazione dell'an- golo a. Per dedurre la forma di k dalla considerazione degli invarianti, supponiamo n pari ed uguale a 2 >n, e prendiamo la forma binaria (13) («„, «,,a,, ... 0(-v, vr + '(^^ + )'T> dove / è una indeterminata. Sia T un invariante di questa funzione, e quindi un'e- spressione della forma dove T^, r, , T^, ... sono funzioni intere dei soli coefficienti fl„, a^, a^, ... a^,,, . Quando le variabili x, y vengono trasformate ortogonalmente, il binomio .v' -f- v' si trasforma in sé stesso, quindi la quantità t non è alterat;a dalla sostituzione : invece i Ij] DI ALCUNE PROI^IUETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. 295 coefficienti a^, a^, ... a^^^^ assumono altri valori. Poiché dunque T deve avere, per ipotesi, lo stesso valore prima e dopo la sostituzione, e ciò qualunque sia /, è evidente che tale proprietà deve competere, rispetto alla medesima sostituzione (ortogonale), a ciascuna delle espressioni T, , T^, T^, ... le quali sono perciò altrettante funzioni dei coefficienti a^, a^, a^, ... invariabili per ogni sostituzione ortogonale*). Ciò premesso, rammentiamo che ogni forma binaria di grado pari («o. ''.. ••• «.JC^'. }')"" possiede un invariante quadratico, la cui espressione in funzione dei coefficienti è ^o'hn.— (2"0,«.".,„- +(2'«).«.^.,„-. — •••+(— 0"'t(2"0,„"1> e che, espresso invece in funzione delle radici dell'equazione equivale, salvo un fattore costante, alla funzione simmetrica Per formare l'analogo invariante, relativo alla forma (13), basta osservare che in que- sta i coefficienti di posto pari sono gh stessi a^, a., ... a2„,_, della forma primitiva ; mentre i coefficienti di posto impari si ottengono mutando a^^ in Dunque l'invariante quadratico della (13) sarà: per in pari *) duesto ragionamento non differisce da quello che serve nella ricerca degli invarianti simultanei di due forme binarie, che nel nostro caso sono la u {x, y) e h x' -\- y^ . È evidente la ragione di questa coincidenza. 296 DI ALCUNE PROPRIETÀ GENERALI DELLE CURVE ALGEBRICHE. [15 per ni impari J(-"4""+(4à][--"+(^] I ovvero, ordinando rispetto a /, per III pari 7^0 + ' ^ ("').(".. + «.,„- J + 0")^ «- + '= per ;» impari V ^"'^' 4- — ~ 4- (2 »0.. 2 (2 III),, ('«): Queste formole si possono concentrare nell'unica seguente, sussistente pjr ogni va- lore di IH, ossia, per h (i 2), u V ^m Applicando il ragionamento precedente ai coefEcieiiti di /, /', dei quali soltanto il primo è funzione dei coefficienti, si trova che l'espressione è dotata della proprietà di rimanere invariabile per ogni sostituzione ortogonale ope- rata sulla forma m(.\-, y). Si riconosce di più ch'essa non differisce che pel fattore costante - — j^ dall'espressione che si è precedentemente designata con h. Le proprietà di cui ci siamo occupati, considerate nel loro aspetto geometrico, sono suscettibili di essere trasformate coi soliti metodi della geometria moderna ; in particolare con quello delle polari reciproche. Su tal proposito ci limiteremo a notare che alcuni dei teoremi dati dallo Chasles nei luoghi citati, si possono dimostrare per questa via. Allo stesso scopo si giungerebbe usando altri sistemi di coordinate, p. es. le tangenziali di Plucker. XVI. DIMOSTRAZIONE DI DUE FORMOLE DEL SIC. BONNET. Oiorntilp. ili Matcììiatlche, voi- IV (1866), pp. IJ3-127. n sig. O. BoNNET ha fatto recentemente conoscere *) due eleganti ed utilissime formole, relative alla teoria delle linee tracciate sopra una superfìcie. Mi propongo di darne qui una breve dimostrazione. Sia l'equazione di una superficie, riferita a tre assi passanti per un punto 0 della superfi- cie medesima e diretti secondo la normale, e le tangenti alle due linee di curvatura che si intersecano in quel punto. Chiamando R^ ed R^ i raggi principali di curvatura, relativi ad un punto pochis- simo discosto da 0, si trovano facilmente, per mezzo della nota equazione di 2° grado, i valori seguenti : ^ = «o + ^o^ + '',:y H — . -j- = '\ + K>^ + ^,y + ••■> dai quali si ricavano non solo le notissime formole *) Nouvelles Annales de Mathématiques (deuxìème sèrie), t. IV (1865), P^g- 267, BELTRAMI, tOmO I. 3S 298 DIMOSTRAZIONE DI DUE FORMOLE DEL SIG. BOXNET. [16 ma altresì le seguenti suscettibili di molte applicazioni. L'indice o esprime che le quantità a cui e apposto si riferiscono al punto 0, cioè al punto x = o , j = o . L'equazione difterenziale delle linee asintotiche nel caso nostro dà e, derivata nuovamente, ossia Queste formole non sono reali che quando a^ ed a^ hanno segno contrario : per fissare le idee supporremo a^^ o , a^ <^o . Ciò posto rammentiamo che il raggio di curvatura di una linea nello spazio è e- guale a quello della curva piana, projezione di essa sul piano osculatore nel punto con- siderato. Chiamando quindi p^ il raggio di curvatura dell'asintotica nel punto 0, si avrà ^° — (d'y\ e quindi, pei valori precedenti, j_ _ j^ (^, K— 3^0 K) y^^^, + (^o ^3 - 3 g. K) V^o _ Per le (2), (2') si ha ab -^ab -\-L1A.^^ K. _{Rl -Ri i6] DIMOSTRAZIONE DI DUE FORMOLE DEL SIC. BONNET. 299 K: ^ R R, .R: ■ dy ovvero , , al ldH\ . , a] /dH\ ponendo per semplicità R. -R. donde ''^- RI ' ^o = (HHl)ì, a^ = -(HlHX Sostituendo si trova ^° 2ÌH^HX(R,-RX equazione che si trasforma facilmente in quest'altra ^-^t^m.^m ?. Ora è chiaro che chiamando s^ , 5, gli archi delle linee di curvatura corrispon- denti ai raggi R^ , i?, nel punto 0, si ha dx = ^j dy — ^s^ Riponendo dunque per H^, H, \ loro valori, si può scrivere ki formola prece- dente riel modo che segue : (3) ^° (R, - Rùt ^ !M.!Miì (R \ R '-nj I indica l'accrescimento che riceve la quantità ^ , quando si percorre sulla linea 5^ l'arco S5,, partendo dal punto O, etc. La formola precedente è una di quelle di cui devesi la scoperta al sig. Bonnet. Da essa egli ha dedotto l'immediata dimostrazione dell'importante teorema di Lamé sul sistema triplo di superficie ortogonali ed isoterme. 300 DIMOSTRAZIONE DI DUE FORMOLE DEL SIC. BONXET. [l6 Nell'altra formola, oltre il raggio p^, entrano i raggi di curvatura e di torsione p ed r di una linea tracciata sulla superficie ed avente, nel punto al quale corrisponde il valore p^ , il piano osculatore tangente alla superficie medesima. È facile riconoscere che, in tali circostanze, la linea considerata è tangente in quel punto ad una delle a- sintotiche. Per istabilire questa seconda formola, incominceremo col supporre che, mediante una opportuna rotazione degli assi 0 x, Oy nel loro piano, si sia trasformata la (i) nella seguente : (n -. = c^-^y + i ^./ + T ('^o-^-' + 3^.-v"j + 3'^.-v/ + d.j^) + ••■, per modo che l'asse delle x sia tangente ad una delle asintotiche. Procedendo come si è fatto pocanzi si trova, per questa asintotica, \dx)^ °' \dx'), e quindi 2C, d^ Ma si ha facilmente quindi d = ^ Ciò posto osserviamo che, estendendo alle linee dello spazio il processo esposto per le linee piane nei §§ 516-517 del Trattato di Calcolo differenziale del sig. Ber- trand, si ha facilmente, nei punti vicini all'origine, ^ = s + -, y = - + ..., - = _ + ..., dove p, r esprimono i raggi di curvatura e di torsione nel punto 0, s l'arco contato da questo punto, e si suppone che Ox sia tangente alla curva nel punto 0, mentre il piano xy coincide col piano osculatore nel medesimo punto. Se questa curva deve esistere in- teramente sulla superficie (i'), la sostituzione dei valori precedenti deve dare un risul- tato identico, qualunque sia s. Ora il confronto dei termini in 5' dà e, sostituendo i precedenti valori di c^ e d^. l6] DIMOSTRAZIONE DI DUE EORMOLE DEL SIG. BON\ET. 3OI se ne ricava (4) p = ^[3-(£^5AX]. Tale è la seconda formola dovuta al sig. Bonnet. Nel caso in cui la linea considerata sia uno dei rami della curva che nasce dalla intersezione di una superficie con uno dei propri piani tangenti, si ha — = o e quindi p = ~ p^ . È questo il teorema che, essendo stato da me pubblicato nei « Nouvelles Annales » *), ha dato occasione al sig. Bonnet di far conoscere le formole delle quali si trovava in possesso. Dall'equazione (4) si potrebbero dedurre moltissime conseguenze interessanti. Mi limiterò alla seguente. Per p ^ p^ si ha risultato il quale c'insegna che i raggi di torsione di due asintotiche sono, nel punto ad esse comune, eguali fra loro ed alla media geometrica dei raggi di curvatura (con- siderati nel loro valore assoluto). Dunque se la superficie è flessibile ed inestendibile, la torsione delle sue linee asintotiche si mantiene costante in ogni trasformazione. Si deve considerare come caso particolare della formola r^ = \V—-K^X)o un teorema già dato precedentemente dal sig. Bonnet e riportato dal sig. Bertrand nel § 655 del citato suo Trattato. *) Deuxième sèrie, t. IV (1865), pag. 258; oppure queste Opere, voi. I, pag. 255. X\II. DI UNA PROPRIETÀ DELLE LINEE A DOPPIA CURVATURA. iUornatr di SIate»iatiche, voi. V (1867), pp. 21-23. Sia s l'arco di una linea a doppia curvatura, contato da un'origine arbitraria e terminato al punto in ; sia M un punto qualunque dello spazio. Le coordinate dei punti 711, M rispetto a tre assi ortogonali sieno rispettivamente x, y, :{; X, Y, Z. Consideriamo il sistema d'assi, pure ortogonali, m^, iiir,, in'^ aventi l'origine nel punto m della linea considerata e diretti rispettivamente secondo la tangente, h normale primaria e la normale secondaria *) della linea stessa nel punto m. Il primo di questi assi deve essere diretto dalla parte verso cui cresce s, il secondo dalla parte del centro di curvatura, il terzo dev'essere disposto, rispetto al primo ed al secondo, come l'asse ;^ lo è rispetto a quelli delle -v e delle y. Chiamando (Z, , è,, e,; a^, b^, f/, a., h., e, i coseni degli angoli che il nuovo sistema d'assi forma col sistema primitivo, e ;, n, K le coordinate del punto M nel nuovo sistema, si hanno le lormole (0 X ^ X -\- a/^ -\- a/r, -\-a/^. *) Con queste due ultime denominazioni vogliamo indicare le due normali condotte per jh, l'una nel piano osculatore, l'altra perpendicolarmente a questo piano. ly] DI UNA PROPRIETÀ DELLE LINEE A DOPPIA CURVATURA. 3O3 nelle quali possiamo riguardare le coordinate x, y, - del punto in ed i coseni a, b, e, come altrettante funzioni note di s. Ciò premesso, diamo un incremento infinitesimo 'ìi all'arco, cioè spostiamo il punto m sulla curva, ed immaginiamo che la seconda terna d'assi si sposti in corri- spondenza trasportando con sé il punto M, che supponiamo invariabilmente connesso colla medesima. In questa ipotesi le coordinate E, r,, ^ non variano punto per lo spo- stamento effettuato, epperù si ha S X = a^^s -\- e (5 a^ -j- •/) ^ a^ -j- ^^a , ^ Z =^ c^<) 5 -\- l^ c^ -{- -ri () c^ -\- 'C J5 Cj . Ma è noto che mercè le convenzioni fatte sul senso dei nuovi assi e indicando con p, r i raggi di i" e 2" curvatura, si hanno le formole (dovute a Serret) insieme colle analoghe per /; e e. Dunque donde, quadrando e sommando, ed indicando con ^S lo spostamento del punto M ri- spetto agli assi fissi. Cerchiamo quali sieno le posizioni del punto M per le quali lo spostamento oS è minimo. Eguagliando perciò a zero le derivate parziali del 2° membro rispetto a e, •/), C, si ottengono tre equazioni, riducibili alle due seguenti : Queste equazioni manifestano che i punti cercati appartengono ad una retta ca- 304 DI UNA PROPRIETÀ DELLE LINEE A DOPPIA CURVATURA. [17 ratterizzata dalle proprietà d'incontrare la normale primaria, e d'essere parallela alla retta rettificante corrispondente al punto m. Quindi la retta in discorso non è altro che la minima distanza delle normali primarie relative ai punti 5 ed 5 -f- ^5. Infatti dalla prima delle due equazioni (3) si deduce -2 y IS = r ) I = I 7 + I r proprietà che appartiene, come è noto e facilmente si dimostra, al punto in cui l'an- zidetta minima distanza incontra la prima normale. La minima distanza è poi parallela alla retta rettificante, perchè quest'ultima è la intersezione di due piani perpendicolari alle due normali contigue. I valori (3), introdotti nella (2), danno (4) dove Da quanto precede, considerando il moto continuo del triedro i cui spigoli sono m\, inr,, /« ^, e ricordando la definizione di quella retta che, nel moto di un sistema rigido, prende il nome di asse istantaneo di rota:^ione e strisciamento, ovvero d'asse di moto, si conclude la proprietà seguente : // sistema delle tre rette, tangente, normale primaria e normale secondaria di una linea a doppia curvatura, considerato come un sistema di forma invariabile mobile nello spazio, ha per asse di moto, in ciascuna sua posiìjone, la retta di minima distan::ji fra la normale primaria corrispondente e la consecutiva. Se fra le due equazioni (3) si elimina l'arco s, del quale sono funzioni note f ed r, si ottiene l'equazione in E, r.., '(, di quella superficie rigata, invariabilmente con- nessa al triedro mobile, che è generata dalle successive posizioni (in questo triedro) della minima distanza anzidett.i. Questa superficie ha una direttrice rettilinea che è l'asse delle r,, ed un piano direttore che è il plano ;C- Se invece fra le cinque equazioni (i) e (3) si eliminano le quattro quantità ;, r,, X,, s, si ottiene un'equazione in X, Y, Z che rappresenta un'altra superficie rigata, fissa nello spazio, e generata dalle successive posizioni della stessa minima distanza, considerata nello spaziO assoluto. Il moto del triedro mobile è dunque dovuto ad una rotazione accompagnata da strisciamento della prima superficie rigata sulla seconda. La rotazione elementare, che ly] DI UNA PROPRIETÀ DELLE LINEE A DOPPIA CURVATURA. 3O5 ha luogo intorno alla generatrice comune, è espressa da lo strisciamento elementare, che si effettua lungo la medesima generatrice, è equiva- lente alla minima distanza delle due normali contigue ed ha per valore r come si sapeva già dalla tbrmoLi (4). Lo strisciamento è nullo quando la curva è piana, e non è nullo che in questo caso. La rotazione non e nulla per alcuna curva propriamente detta. Bologna, Dicembre 1866. BELTRAMl, lOmO 1. 39 XVIII. INTORNO AD UNA TRASFORMAZIONE DI VARIABILI. ftlornattì dt ìHaternatichef voi. V (1867), pp. 24-27. La trasformazione delle variabili in una funzione omogenea e del 2° grado ri- spetto alle derivate parziali di prim'ordine di una medesima funzione, dà luogo ad una singolare corrispondenza che ci proponiamo di stabilire in questa Nota. Consideriamo n variabili x, , .r, , . . . , .y,, , le loro derivate x[, x'^,..., x[ rispetto ad una variabile indipendente /, e la funzione quadratica ed omogenea di queste de- rivate (0 x = ^^J^x<, nella quale i coefficienti J^^ sono funzioni qualisivogliono delle x^, x^,..., .v„ e di altre quantità, soddisfacenti perù alle relazioni A^^ = A^^ per r ^ 5 , e la sommatoria si estende a tutti i valori da i ad >i tanto dell'indice r quanto di s. Sostituendo alle primitive variabili x le n nuove variabili y^, )',,-■■, _y„ e trasfor- mando la funzione A' dalle x alle y, mediante le relazioni ammesse fra questi due si- stemi di variabili e le relazioni che ne conseguono per le loro derivate, della forma (2) y^=^.|^y,_, (r=,.2,...«) dove li deve ricevere tutti i valori da i ad ^/, la funzione (i) si cambia in un'altra l8] INTORNO AD UNA TRASFORMAZIONE DI VARIABILI. 3O7 che rappresentiamo con (3) y = ^'^'Ky:y:> dove (4) ^^. = ^..^=5^'^^^-|?^''- dx Moltiplichiamo ambedue i membri dell'equazione (2) per A^^ 3—^ e sommiamo ri- spetto agli indici r ed ì; otteniamo un risultato che può scriversi nel modo seguente: ossia, in virtù della formola (4), Ma dalle (i), (3) si deduce quindi dX dx, dY (5) Ora poniamo (6) dx[ dy, dy[, ■ ^^r = l,, (1=1, 2,... «) dY dy[. \> (t'= I, 2, ... n) e, dopo aver dedotti dalle prime n di queste equazioni lineari i valori delle x\ , x[,. . . x'^ in funzione delle $,, ;,,... $„, dalle seconde quelli delle ;y',, y[,... y'„ in funzione delle •/],, vij,... io„, sostituiamoli rispettivamente nelle funzioni quadratiche X ed Y. Queste funzioni vengono per tal modo a trasformarsi nelle loro reciproche e, rappre- sentando queste ultime con (7) x^^^aJX, Y = -L^ K.-n,-n, , si ha, come è noto, _aioga , _d\ogb '''■~ ÒA„ ' '^"~ ÒB,. ' jOS INTORNO AD UNA TRASFORMAZIONE DI VARIABILI. [l8 dove Ciò posto osserviamo che, in virtù delle (6), le equazioni (5) possono scriversi nel modo seguente (8) 2:|3r^. = ^- (.= ...,...«) e che coll'aiuto di queste n relazioni lineari fra le variabili ^ e le variabili r], le due funzioni X, Y sono trasformabili l'una nell'altra, ammesse le primitive relazioni fra le X e le j che entrano rispettivamente nei coefficienti di quelle due funzioni. Ora, se V è una funzione qualunque delle variabiH x^, x^, . . . x„, le sue derivate parziali rispetto a queste variabili sono legate alle analoghe derivate rispetto alle variabili v, dalle re- lazioni ^ ÒV dx^ dV <^9) Zal^ 877=57:' (.= ., 2,...«) aventi gli stessi coefficienti delle (8). Quindi, nello stesso modo che le equazioni (8) rendono identiche fra loro le due funzioni (7), cosi le equazioni (9) devono rendere identiche, ossia trasformare l'una nell'altra, quelle due funzioni che si deducono dalle oV ^ dV (7) col sostituire le derivate parziah -^ — alle ; e le derivate -^j — alle y; , vale a dire a x^ a)\, le due funzioni i^ dF dV i^.aFdF 2 Z_ " d x^ dx^ ' 2 ^ "'■ d)\ d)\. Di qui, ricordando che dalla funzione quadratica reciproca di una data si ripassa alla primitiva colle stesse leggi con cui si è dedotto la prima dalla seconda, si raccoglie il teorema seguente : Sia data la fun:^one ì Z— " óx^ a.v, quadratica ed omogenea rispetto alle n derivate parziali di una finizione V delle varia- bili indipendenti x_ , x^, . . . a„ , nella quale i coefficienti a^, possono contenere in modo qualunque queste variabili e la funzione V. Per trasformare la funxjone T dalle varia- bili anxjdette alle nuove variabili )\, }\, ■ ■ . y„, si costituisca l'espressione differcn'^iale ±-'^AJxJx^, i cui coefficienti A^^ sono reciproci di quelli della T; per me:;j:;p delie rela^joni fra le x e l8] INTORNO AD UNA TRASFORMAZIONE DI VARIABILI. 3O9 le y, si trasfonni quest'espressione nella sua equivalente ~^B„dy,dy^, e finalmente si costituisca la juu:^ioue dV ÒV 2 Z- " dy. a coefficienti reciproci della precedente espressione differcìf{iale. Quest' ultima funzione è la trasformala richiesta. In questo enunciato è contenuta la legge di corrispondenza alla quale abbiamo ac- cennato da principio. La medesima legge si può enunciare più concisamente dicendo che quelle relazioni fra le variabili -v, , -v^, ... x_, ^ li y^ , y^, ■ ■ ■ y„ che rendono iden- tica Fequa'iione ^A^^dx^dx^ = ^B^^dy,dy^, rendono pure identica la sr- dV dV V- , ar dV Z_ " dx, dx, Z."" dy, dy^ ' ammesso che i coefficienti A ed a, B e b sieno reciproci fra loro rispettivamente. Ha luogo del pari la reciproca. Supponiamo p. es. che le relazioni fra le x, y diano d< + dx\ + ■ ■ ■ + dx: = BJy] + BJy; + ■ ■ • + BJyl ; le stesse relazioni daranno pure Il risultato testé esposto è implicitamente contenuto nel bel metodo col quale Jacobi ha latto dipendere le equazioni della dinamica da una equazione a derivate parziali non lineari. Ma stante la sua natura puramente analitica ci è sembrato utile rivocarlo ai suoi principi più semplici. Bologna, Dicembre 1866. XIX. LETTERA AD A. MOGNI. Qlornaltì di ?fatenint(cìie, voi. V (1867), pp. 89-92. Chiarissimo Signor Professore, Avendo letto un di Lei articolo contenuto nel « Giornale di Matematiche » che si pubblica in Napoli *), mi è sembrato ch'Ella lasciasse pur sempre sussistere un certo equivoco circa la supposta discrepanza delle due formole di Eulero e di Binet; giac- ché sebbene sia verissimo che la differenza dei secondi membri delle sue equazioni (i), (8) proviene da un cambiamento operato nella variabile indipendente, pure mi sembra ch'Ella non abbia ben fissato il punto nel quale questo cambiamento incomincia a pro- durre i suo effetti. Inoltre mi sembra inammissibile la maggior generalità che Ella vor- rebbe atttibuire alla formola di Binet in confronto di quella d'EuLERO. Queste due formole si convertono perfettamente l'una nell'altra, quando si tra- sformino debitamente le derivate. Infatti, indico per chiarezza cogli accenti le derivate prese rispetto al tempo /, e colla lettera d i differenziali e le derivate prese rispetto a h, cioè nell'ipotesi di d^ costante; indi, sviluppando la derivata seconda di — , scrivo la formola di Binet nel modo seguente r' L' "^ r^ \d(^) r d^' ] *) Sofìra le diverse espressioni della for^a aculeratrice nella teoria delle for\e centrali, voi. IV (1866), PP- 339-344- I 9] LETTERA AD A. MOGNI. 3 I I Per le note regole di trasformazione si ha dr r' d'r b'r" — h"r' dH' ~ 6'5 ma, pel principio delle aree, 0'- c •■■- =?■. quindi dr _ rV 'Hz — IL r " -L '^^ db ~" C ' db'~ e ^"' ~^ -'' ^' e, sostituendo e riducendo, F = K - ," ; r' ma —r- = ?-tì , quindi F = r6" — r", che è la formola d'EuLERO. Da questa si ripassa col processo medesimo a quella di Binet. Infatti, prendendo di nuovo per variabile indipendente 0, si ha dt tfV dr d^l „ Ib ■ d¥~'d% 'W (.#)' ma dt _ r' dU _ 2r dr db ~^~c ' dW~l:Jb' quindi ' ~ r'\_r' db' r' \dbj J ~ r' db \r' db}^ r' ~ db' " D'altronde dunqi rb" r b" e r' r' d'±- r'\_r ^ db' ]' appunto come volevasi dimostrare. Or ecco dove comincia precisamente l'apparente discrepanza della sua formola (8) 12 con quella d'EuLERO. L'ultima equazione della pag. 339 contiene la derivata -77-, , cioè LETTERA AD A. MOGNI. [19 il quoziente per i^O^ del differenziale secondo rf^r preso nell'ipotesi ). La direzione po- sitiva di una curva n (oppure i'), nei varii suoi punti interni ad Sì, non può mai cam- biare di senso dall'uno all'altro, perchè E (oppure G) non può mai, per ipotesi, di- ventare uguale a o. Ne risulta che, se in un punto qualunque interno ad 12, si condu- cono le tangenti alle due curve coordinate, nelle rispettive direzioni positive, e si fa poscia muovere il punto entro Sì in modo continuo (del resto arbitrario) insieme colle due tangenti positive^ mobili intorno ad esso come due aste riunite a cerniera, ha luogo la proprietà che queste due tangenti conservano sempre la medesima disposizione re- lativa, cioè che il senso della rotazione atta a condurre la tangente della curva u su quella della curva v attraverso l'angolo 0 (<^ 180") interposto è sempre il medesimo. Infatti esso non potrebbe mutare che o con continuità, o per salto : ma non può mutare con continuità perchè l'angolo 0 non può mai raggiungere né 0° né 180°, come si é già veduto ; e neppure può mutare per salto, perchè la direzione positiva della tangente si mantiene costante lungo ciascuna curva u o v, come si é pure os- servato or ora. Conseguentemente se si conduce una normale alla superficie, dalla parte conveniente acciò essa si trovi disposta rispetto alle tangenti delle curve ;(, x' come l'asse delle ;^ lo è rispetto a quelli delle x e delle y, si vede che questa normale po- sitiva non può mai mutare di senso, nell'interno di Sì, epperò, assumendo come faccia positiva della superficie quella sulla quale è eretta la normale positiva, un punto il quale sia mobile comunque con continuità, entro i limiti di Sì non deve mai attraver- sare la superficie per mantenersi sulla faccia positiva. Solamente fa d'uopo notare che se l'area Sì è composta di più pezzi distinti (circostanza che non è esclusa dalle ipo- tesi fatte) può accadere che la faccia positiva di uno di questi pezzi non sia nel pro- lungamento di quella d'un altro : ma in questo caso il punto mobile non potrebbe passare dall'un pezzo all'altro con continuità, e le conclusioni precedenti varrebbero in ciascun pezzo in particolare. Queste considerazioni, alle quali converrebbe dare una maggiore estensione, se non fossero qui subordinate ad uno scopo speciale, sono assai utili per togliere di mezzo le dillicoltà che potrebbero altrimenti insorgere in certe circostanze. 21] DELLE VARrABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. 321 Compleriamo questi preliminari col richiamare alcune formole ed espressioni note. Abbiansi due elementi lineari ds, ^s uscenti dal punto (», v), al primo dei quali corrispondano le variazioni dn, dv, al secondo le ^u, ì)v, e sia s l'angolo che for- mano, contato, nel senso positivo, da ds verso <ì s. Qualunque sia il valore di s, si hanno le seguenti formole, facilmente dimostrabili. (2) d s^s cos £ =: E dicali -{- F(^du^v -\- dv^u) -{- Gdv^v , J 5 S 5 sen £ = H(^d ii^v — dv^ 11) . Chiamando Aoj il valore assoluto dell'area del parallelogrammo formato sui due elementi ds, Si, ed osservando che A&j = + ^i(Ì5sen£, secondo che £ è minore o maggiore di 180°, si ha, dalla seconda delle precedenti formole, Aco z= + H(^du^v — dv^ii^ , formola nella quale si deve scegliere il segno superiore o l'inferiore secondo che la rotazione di d s verso ()s, attraverso l'area del parallelogrammo, avviene nel senso positivo o in senso inverso. Finalmente rammentiamo le espressioni generali di certe quantità che abbiamo chiamate altrove *) parametri differenziali di 1° e di 2° ordine. Se

= \dv) H' dvdv \dv d II dii dv/ ~^ dudii H di da dv\^.d d7i\ H j'^dT' -5? p5? dv F d li H AjO e A^ip sono rispettivamente i parametri differenziali di 1° e di 2° or^»i« della fun- zione cp ; Ajipi]/ è il parametro intermedio delle due funzioni f e ti, che si riduce ad un parametro di 1° ordine quando le due funzioni sono eguali. Fra le proprietà di •) Ricerche di analisi applicala alla geometria, art. XIV, nel Giornale di Matematiche, voi. II (1864); oppure queste Opere, voi. I, pag. 145. Qui abbiamo leggermente mutate le segnature e le definizioni. BELTR&Ul, tomo I. 322 DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. [21 questi parametri, oltre quella comune della loro invariabililà (vedi le citate Ricerche'), ricorderemo le seguenti: i° Che chiamando ^ti la distanza normale delle due curve

(costante) contato verso l'interno della curva e indichiamo con \p, \ q le variazioni di p, q corrispondenti al termine dell'elemento così spostato, conservando la caratteristica A per le variazioni lungo la curva primitiva. Per la proprietà stabilita al principio dell'articolo precedente avremo Facendo quest'operazione per tutti gli elementi, avremo, nei termini degli elementi stessi dopo la rotazione, i punti di una linea contigua alla primitiva, e indicatone con 328 DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. [2I p^y <;, le coordinate, potremo scrivere />, + '■'/.= Po + i 'lo + «''^ ^ iPo + '■ lo) . ovvero, usando una notissima segnatura simbolica, ;-■ + "/, = (i + '-'"--^)0o + ''/o)- Operando su questa seconda curva come si è fatto sulla prima, si trova una terza curva, ed indicandone con p^ , q^ le coordinate, si ha, pure simbolicamente, p. + ^^. = i^ + ^'''-^npo-\-'%), poscia Z'. + i?, = (i + ''■■' ^yC/'o + ^'O, e, dopo /; simili operazioni, Ora, se per brevità si pone dalle due formole (ii) si deduce Po+^'lo = izJ_ rV(a).-'«-'Ma, ■^—00 »/ O e da questa, continuando ad usare la precedente segnatura simbolica, (13) (i + /'-lyCp^ + t O = -^y (I + ;«U''^A«)" rV(a)."""-"^a . Il luogo dei punti (p^^, (jj corrispondenti ai successivi valori di n e ad uno stesso valore di /(, e una curva di cui chLimeremo v il parametro, ed è chiaro che potremo porre v = n.^ii, talché la curva primitiva sarà rappresentata da x; = o. Per tal guisa chiamando p, q le coordinate del punto (h, v) e raffrontando le due equazioni (12), (13), potremo scrivere ^ + '■'? = iX r rr(.^)c"""-^'à^\\m. (i + mic^'-l,^ ■^ — co l_»/ o J per A ;( = o . Ma è noto che hm (1 + m ic'^liiY" =z e"""' , 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. 329 quindi p -\- il] = — V / f (a) «'■"■("+'"''■-') rfx , ovvero, pel teorema di Fourier , (14) p^ig = F(a + vc% cioè P + Ì'l= Poi" + ^^•''') + ''/o(» + ^' '''■') • Quest'equazione complessa, decomposta in due reali, determina completamente i due sistemi di curve u = cost., v = cost., in coordinate p e q, sistemi la cui natura di- pende da quella della curva primitiva e del suo parametro ;/. : questa stessa curva ap- partiene al sistema v = cost. e corrisponde al valore ^) = o. Dalla costruzione infinitesimale che abbiamo effettuata emerge chiaramente che i due sistemi /( = cost., v = cost. si tagliano dovunque sotto l'angolo costante "k. Ciò è confermato dall'osservare che l'equazione (14) dà dp' -f- d q' = (mod FJ (d ir + 2 o, riportata in tutti i trattati. Ora noi invece abbiamo trovato che un analogo spostamento sulla curva isoterma che parte dal punto (p^, q^ sotto l'angolo /. dà luogo alla for- mola (12), la quale, nel caso particolare dell'angolo retto, diventa (i^ A, + '■?., = (i +'-^)"(A + ''/o)- I secondi membri delle equazioni simboliche (ij), (i6), (12) differiscono pei fattori rispettivi i+A, i + !A, i + c:''-\, e la forma dei medesimi conduce naturalmente all'osservazione che, nello stesso modo che il simbolo A nel primo di essi accenna notoriamente ad una differenziazione nel senso della curva primitiva, cioè ad una differenziazione diretta o reale, così il simbolo j A del secondo accenna ad una differenziazione ortogonale od iinagìnaria, ed il simbolo e''\ del terzo ad una differenziazione obliqua o complessa. E, mentre la differenziazione diretta (A) che è l'ordinaria, corrisponde allo spostamento del punto sulla curva pri- mitiva, così la seconda (ÌA) corrisponde allo spostamento lungo l'isoterma ortogonale e la terza (e''' A) allo spostamento lungo l'isoterma inclinata dell'angolo indicato dal simbolo di differenziazione complessa. Per tal guisa la difierenziazione ordinaria si pre- senterebbe qui come caso particolare di una operazione più generale, la quale trove- rebbe nelle precedenti considerazioni geometriche una definizione ed un'imagine altret- tanto semplici e chiare quanto quelle della prima. 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE aUALUNQ.UE. 33I IV. Le funzioni /'o("), '/o('0 usate nelle considerazioni dell'articolo precedente pos- sono assumere moltissime forme diverse, senza che la curva da esse individuata cambi sostanzialmente di natura. A ciascuna delle forme conciliabili con questa condizione corrisponde uno speciale sistema isometrico, di cui essa fa parte, precedentemente de- signato con V = cost. Si può determinare la forma di quelle funzioni introducendo opportune condizioni. Ne daremo un esempio, supponendo che, insieme alla curva anzidetta, sia data la curva isometrica clie deve succederle a distanza infinitesima nel sistema isometrico, del quale fLicciano parte due curve infinitamente vicine, date ad arbitrio. Le due curve contigue siano definite dalle equazioni p = po(>0, \P.=PoOO + yPOO. 1 dove Y è una costante infinitamente piccola. Gli incrementi delle coordinate p, q cor- rispondenti all'estremità dell'elemento ds della prima curva sono p^(u)du, q'^(^iC)du; all'incontro gli incrementi corrispondenti all'estremiti dell'elemento Ss compreso tra il punto (m) della prima curva e il punto (it) della seconda sono p^ — p^, q, — ?o> °^^^^ •(P{ii), ■]■ OQi). Quindi si ha ai— ^ , OS— ^ ed il seno dell'angolo 1 compreso dai due elementi ds, S5 [eq. (2)] è dato da ,^„, (P'oQ-^'oP)ydu_ ^" k'ds^s se dunque si chiama S ii Li distanza normale delle due curve nel punto (k), si ha h^=^ss.nl^i^^É^. kVp': + i: Ora, se si vuole che la nuova variabile indipendente, che diremo w, determini, coi suoi incrementi eguali, i lati dei quadratelli compresi fra le due curve e gli elementi normali ad esse, bisogna manifestamente che per essa risulti ds =^^n, cioè: k " kVp:^q': ' 332 DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNaUE. [2I e, poiché l'infinitesimo y è costante, come dev'esserlo dw, si può porre y = Cdw , C essendo una costante finita. Sostituendo questo valore nella precedente equazione ed integrando, si trova 08) CV=/J£ +J---J.., quadratura che serve alla determinazione della variabile w, la quale non è altro che il parametro isometrico del sistema ortogonale a quello definito dalle due curve pros- sime date. La costante C rimane essenzialmente arbitraria, ma nei singoli casi si può determinare dietro considerazioni di speciale opportunità. Facciamo due esempi semplicissimi, relativi ad un piano. Le coordinate isometriche p, q sieno le ordinarie coordinate rettangole x, y e la prima curva sia l'ellisse a' ^ b' che rappresenteremo colle due equazioni equivalenti (19) X = a cos ti , y = b sen u . La curva infinitamente vicina sia un'ellisse omofocale. Indicando i semiassi di questa con a — a, /; — [i, (a, [i infinitesimi), si dovrà avere Qt - y.y ^ (^b - <^y =. a' - b\ quindi ax — b^. Rappresentando con cy il valor comune di questi due prodotti, dove y è un in- finitesimo e e una costante finita, si può dunque porre ^ u ^ e l'ellisse contigua alla precedente è rappresentabile colle formole ^, = (« — 7 T j "'s H , y^ = ^b—j y j sen u . Paragonando le equazioni attuali alle (17) si trova 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. 333 TI ^ p^^ = a cos ;( , r ^ cos u , (/o ^= è sen H , Q=^ j- se!i ii , e conseguentemente dalla (i8) si trae ab 0, più semplicemente, w = ?(, se si determina C in modo che le due variabili ti e w vadano contemporaneamente da o a 2-. Per tal modo si vede che le formole atte a rappresentare la prima ellisse dietro la condizione prescritta sono le stesse (19), col semplice cambiamento di u in w. Ciò premesso, se si vuole ottenere il doppio sistema ortogonale u =; cost., v = cost., di cui fanno parte le due ellissi omofocali contigue, basterà fare X -{- iy = a cos (/( -{- iv) ~\- i h sen (ji -j- ; r) , ovvero, ponendo a = ^a'' — /)'. cosh v^, b = \/a^ — b\ senh v„ e scrivendo poscia, ciò che è evidentemente lecito, r in luogo dì v — v^ , X -f- iy = i cC' — i^ cos (/( -\- iv) , formola donde si ricava, come è notissimo, il doppio sistema ortogonale delle coniche omofocali. Se invece si ponesse X -\- iy = \ a"" — b'. cos (/( -{- v e' ") , si avrebbe il doppio sistema formato dalle stesse ellissi omotocali del sistema prece- dente e dalle curve (trascendenti) che le tagliano sotto l'angolo costante 1. Il secondo esempio sar;\ quello di due circonferenze infinitamente vicine, l'una interna all'altra. Ponendo i loro centri sull'asse delle y, sia (20) x^ + (y - ay- = e' l'equazione della circonferenza esterna, alla quale sostituiremo le formole (20') x =^ e cos u , _y = rt 4- e sen 11 . Indicando con e — Se, a — ?>a il raggio e l'ordinata del centro della circonfe- renza interna, e supponendo ^a positivo, si deve avere ^a <^ 'ìc, quindi si può porre S e = Y ^ > (5 a = yc cos [J. , o <^ [J- <^ -^ , 334 DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. [21 e l'equazione della seconda circonferenza risulta, per y infinitesimo, •^■'+ (}" — '0' + 2rc(y — a)cosii. = e' — 2c'^, cosicché l'asse radicale delle due circonferenze è la retta (j — rt) cos a -j- f = o . È lecito prendere questa retta per asse delle x ed in questa ipotesi, essendo _y = o, si trova fra fl e e la relazione e = a cos p., la quale determina quel punto dell'asse delle y nel quale si deve collocare il centro della prima circonferenza. Se ne conclude che [X è l'angolo fatto coll'asse delle x dalla tangente condotta a questa dall'origine. Avuto riguardo ai precedenti risultati, si trova che nel caso attuale si ha p^ ^ e cos /( , P = — e cos II , q„ =^ e sen ;( -J , O = — e ("sen u 4- cos u.) , lo ' cos IJ. ^ ' ' ■' talché la formola (i8) diventa àu Cu. = /^ -\- cos (x . sen u Eseguendo l'integrazione *) e determinando convenientemente le costanti, si trova A questa formula si può dare la forma e'" + I u- w — ! — . = i tg -^ tg — , 1 / 'NIX .« ^ + Ó' '' • • 1 e siccome le (20 ) danno i = ■ — • , cosi si ha pure ^ ■' e cos y. x-i-iy-iìtg-^ ^ ==ng^tg-^. X -\- iy — l'/cot — *) Abbiamo cambiato le parole « ed aggiungendo la condizione che u e w vadano contempora- neamente da o a 2 ir » perchè non corrispondenti alla formula che segue. [N. d. R.]. 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. 33J chiamando / la lunghezza della tangente condotta dall'origine alla circonferenza data, cioè / = e tg IJ.. Per avere il doppio sistema isometrico ortogonale, bisogna porre h-{-ìv in luogo di w. Si riduce l'equazione risultante a maggior semplicità cambiando l'origine delle v col porre w := /t -(- !(t' — i'„), ossia col cambiare w in w — iv^ (se w = ii -\- f v). Infatti si trova cosi X ^ ly - ti tg ^ tg — - ngh -f 2_=tg^C0th-^ ^ , X + I V — ! / cot -^ tg I coth — ' -^ 2 2 2 1} li. ossia, determinando v^ in modo che tgh — ^ =- tg — , X + iy - -//tg ^- ^ 2 w tg — 2 '• tg '"• '^ 2 X + iy - - i l cot -'— 2 ^g 2 — ICOt-^ 2 donde si trae manifestamente .V+!^ = /tg— L_ . Ecco dunque come si risolve la questione proposta : data la circonferenza primi- tiva di raggio e, si faccia passare pel centro di essa e della contigua l'asse delle y, e si prenda per asse delle x l'asse radicale delle due circonferenze ; indi si determini la lunghezza / della tangente condotta dall'origine, e finalmente si ponga x-f- !jy = /tg ^ . In virtù di tale relazione le variabili u, v diventano i parametri di due sistemi iso- metrici ortogonaH : le due circonferenze primitive appartengono al sistema v = cost., e propriamente la equazione (20) si ottiene ponendo v ^ v^^, dove ,v^ . a — e a — e Il doppio sistema ortogonale così ottenuto è formato di due tamiglie di circon- ferenze, ed è tanto noto che è inutile sviluppare ulteriormente la soluzione che vi ci ha condotti, bastando accennare le espressioni delle coordinate ortogonali .v, y in fun- 33^ DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE ClUALUNaUE. [21 zione delle u, v, che sono / seii u / senh v cos u -j- cosh V ' cos u -j- cosh v ' e quella dell'elemento lineare, che è Se invece si ponesse "^ ^ (cos u -\- cosh vy si otterrebbero due sistemi di curve, l'uno dei quali, cioè v = cost., sarebbe formato di tutte le circonferenze d'eguale equazione dell'esempio precedente, e l'altro dalle curve che tagliano queste circonferenze sotto l'angolo costante >. V. Passiamo ora ad un altro genere di considerazioni, che ci serviranno poscia a stabilire le proprietà del fattore integrante /.. Nell'interno dell'area il immaginiamo tracciata una linea chiusa, costituente il contorno completo di un pezzo di superficie appartenente alla regione ordinaria consi- derata ; sia li' l'area di questo pezzo. Se il contorno di Lì' non è per sé stesso tale da essere intersecato in due soli punti da ciascuna delle curve u = cost., v = cost. che lo incontrano, è chiaro che si potrà sempre suddividere l'area Lì' abbracciata da esso, mediante linee A' opportuna- mente tracciate, in modo che tale condizione sia soddisfatta. Ciò posto consideriamo l'area co di uno dei pezzi risultanti da questa suddivisione, e chiamiamo doi il suo elemento, dato da ^w = Hdudv, formola nella quale gli in- crementi du, dv devono essere supposti positivi. Sieno ('^)--'(i)]-'-.a'(^+^)-'-- Ma si ha è Mi, d Ni, rr . 1 r/J J J du av quindi L'integrale semplice può assumere una forma più comoda. Infatti, pei valori di M,^, A^^ si ha , dv ^jdn I rt du , ^dvXòif 1 ,du . ^dv\d^ij~\ 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNaUE. 339 Ora se s'indicano con <)ii, ^v i^Ii incrementi che ricevono ii e v passando dal punto (//, v') del contorno ad un punto infinitamente vicino nella direzione normale interna all'area, e con S ;; la distanza di questi due punti, si ha, (art. II), Edu-\- Fdv + iHdv _ _ . E^n-j- F^v-{-iHìiv Ts " ' Sn donde (21) Fdii -\- Gdv -\- i Hdit .FS;<-j-G^t'-|- ìH^ u Ts ~ ' U ' „du , j. dv „ Sv du . ^ dv „^m ds ds òli ds ' ds òn F^ \-G^—= -"-j— • f) Il 011 ds ì E^ + F^^-H^, \ ò ;/ rt ;/ d i Di qui si trae dv du _ /di Sj(_ aj; S_x^\ _ _H ^^U ~ ^^'d7-'~\duìin~^dv?in}'~ ^« ' e quindi finalmente (22) -n^ j\^.ds-\~JJrf.\^.do,, formola in cui l'integrale duplicato è esteso a tutta l'area w e l'integrale semplice a tutto il contorno (il quale ora non è più vmcolato a dover essere percorso in un senso determinato, perchè nella funzione da integrare non figura più l'arco s finito). Se si fosse considerata la funzione 'J^ al posto della o, e reciprocamente, si sa- rebbe trovato, in modo analogo, (22') - li z= f^^ds + J f'i- \"^ -à"^; confrontando i due risultati si ottiene quindi (23) //(?-^.'^-^^/?)''- + /(?-^-'^|f)'^^ = 0' formola molto importante, la quale esprime, rispetto alle superficie riterite a coordi- nate curvilinee qualunque, il teorema correlativo di uno notissimo rispetto allo spazio di tre dimensioni riferito a coordinate ordmarie. Questa formola rimane cosi dimostrata per un'area w soggetta alle restrizioni suenunciate. Ma se si imagina che una formola analoga venga scritta per ciascuna 340 DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE dUALUNaUE. [21 delle aree w in cui fu suddivisa l'area i2' col mezzo delle trasversali A', facendo la somma di tutti i risultati, spariscono gli integrali lineari relativi alle trasversali, poiché ciascun d'essi figura due volte, con segno contrario, in causa dell'opposta direzione della normale n. Si ottiene dunque una forniola di eguale aspetto, relativa all'intiera area il'. Anche la formola (22) è evidentemente suscettibile di un'eguale estensione. All'equazione (23) si può pervenire altresì nel modo seguente. Consideriamo una delle aree elementari (», ed una funzione w, monodroma, finita e continua in tutti i punti di essa. Nelle ipotesi già fatte precedentemente si ha / d n du = u>^ — w^ , / / a^'^"^^" /«-'i,'^^'/. — J ''■'■'adv, — J wi^Jds, ed analogamente Jj^dndv=-j^.i^-^^ds, formole nelle quali gli integrali duplicati sono estesi a tutta l'area oj, gli integrali sem- plici al suo contorno, percorso nel senso positivo. In luogo di queste formole si pos- sono, per le (21), scrivere le seguenti: ff^dudv = _ ji^E^Lj^F^y^ds, più simmetriche, benché meno semplici, e nelle quali gli integrali lineari sono indi- pendenti dal modo in cui viene percorso il contorno. Si ponga ora : nella prima formola w — '^M^ — ^M^, nella seconda lu = 9 N^ — .1/ N^ , valori i quali suppongono monodrome, finite e continue non solo le funzioni 9 e ^j/, ma anche le loro derivate prime, che entrano nelle M, N. Sommando i risultati ed osservando che si ha da "•" dv ~\ du '^ dv J^ \ dn "^ dv )^ 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. 34I ed inoltre che £M, + FN, = //|^ , FM, + GA; = //|| , si ritrova immediatamente l'equazione (23). Questo processo non conduce, come il già usato, alla formola (22) che è inte- ressante a conoscersi. È però facile ricavare questa formola dalla (23). Infatti scri- viamo dapprima quest'ultima come segue : Se s (24) //? .\^. do. +/?^ ^^^- = ff^ • A/? • dco +J\ ^ d Poi osserviamo che dalla stessa (23), per f^ := i, tj/ := u', si deduce C24') f fl^w.iUo-{- j ~ds=^o. E lecito porre in questa formola w =

p[<^-+O^+^0^-+Or|^ + -^], quindi il suo valore per r =; o, cioè nel punto O, è nullo, finito od infittito secondo che (A è maggiore, uguale o minore di 2. Quando dunque l'esponente \i., positivo, è minore di 2, la superficie non ha nel punto 0 una curvatura ordinaria. La formola (28) esprime, rispetto alle superficie, un teorema analogo a quello di Green per lo spazio di tre dimensioni. VII. Poiché il binomio -/.{Udii -j- V dv') dev'essere un differenziale esatto, si deve avere dv d n ' ossia (31) U—^ F ..^ =^ ^— . ov a ti a ti dv 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE aUALUNaUE. 347 Ponendo in questa equazione, ed in quella che se ne ottiene moltiplicandola per V, i valori (4) di U, V, V, si trovano le due formole equivalenti ^aiog. _ . dbgx ^ fF^, dv au ^aiog. _ . abg. _ _ ^^ a II dv dove per brevità si è posto du dv Le precedenti due equazioni si possono scrivere come segue : „ 8 log ■/. p 5 log )c "J^ ^tr .dìog-A l'VV' — i - H ~ dv H d log x. pd log ^ dv d H .d log x W U H - ' du ^ H ' donde si deduce, rammentando l'espressione della funzione A^ log x (art. I) , . . . 1 fd ìwu\ d /fFr'\-i equazione notevolissima, in quanto manifesta che il valore della funzione A^ log x. può essere ottenuto mediante le sole quantità E, F, G, che caratterizzano l'elemento li- neare della superfìcie, insieme colle loro derivate. Chiamando k il modulo della funzione •/-, si deduce dalla precedente equazione, calcolando la parte reale del secondo membro, ( 33; -^^ log /r_ 2H(diiiH\dii E dv}ydv\_H\dv ^ du^ E du}])' formola nella quale si riconosce l'espressione data da Liouville per la misura della curvatura. Abbiamo già mostrata la ragione d'essere di questo risultato *). Consideriamo un'area 12' nella quale k si mantenga finita e maggiore di zero: *) Citate Ricerche d'analisi applicata alla geometria, art. XXIV. 348 DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNdUE. [il applicando ad essa la forinola (24'), dopo avervi posto w = log }c, si trova ^h loe k /A'-""=-/^-- II primo membro non è che la curvatura integra o totale della porzione i2' di super- ficie : denominandola T', si ha quindi S log k (H) r. = -/^ ds, formola nella quale l'integrale del secondo membro è esteso a tutto il contorno del- l'area considerata. Bisogna osservare che, mercè questa formola, le aree sferiche r', che secondo la teoria di Gauss servono a misurare la curvatura totale, ricevono un segno determi- nato. Infatti l'elemento dell'integrale doppio V è , essendo R ed i? i due raggi principali di curvatura della superficie, e quindi l'elemento stesso è positivo o negativo secondo che i due raggi anzidetti hanno la stessa direzione o direzioni contrarie : quindi l'area sferica T' risulta generalmente formata dalla somma algebrica di più parti aventi segni diversi. Ne consegue che più porzioni contigue di superficie possono avere, se- paratamente considerate, una curvatura finita, mentre il loro complesso potrà avere una curvatura totale nulla. La quantità — sr^ — è suscettibile di una trasformazione notevole. Chiamando — òn p la curvatura geodetica di una linea qualunque s tracciata sulla superficie, il cui elemento lineare è della forma k' ' (l'orma che conviene appunto, pel significato di k, alla superficie da noi considerata), si ha da formole note *) I _ I Idp d^q dq d'p\ d log k dp_ __ d log k dq ~ ~ J^ \dJ d7"~ 17 17] "^ ~dq~ U df~ di • Ma, (21), dp ciq dq h p dJ~h'i' J7 " ^ hi ' quindi l _ 1 (dp d'q dq d'p\ MogJL' p ~ k' \ds ds' ds ds')^ in • *) Citate Ricerche di analisi applicata alla geometria, art. XXI. 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNaUE. 349 Chiainiamo r, l'angolo che l'arco s fa colla curva ti, ed avremo evidentemente donde dunque C35) -^ = iì+ S« dp , àq -i- =z k cos •/) , -r- = k sen n , ds US dp d'tj di] d'p 1,1 d 'ti Jsl7~Jsd7~ ' ^ ' I _d-f\ . ^ log k p — ' Questa formola dà a p il segno positivo od il negativo, secondo che p è diretto nel senso di 'ì ii od in senso contrario. Chiamando dr l'angolo di contingenza geodetica, cioè ponendo . ds dr^-, si deduce, dalla precedente, questa relazione Mogi' , , sr^— d s =: dri — d t, ò // dunque, sostituendo nella (34), (36) r' = E-T, dove K e T sono le somme, relative a tutto il contorno s, degli angoli d'n e Jt corrispondenti a questo contorno stesso. Per determinare con sicurezza queste somme in tutti i casi, conviene far in modo che in nessun punto del contorno gli angoli Jn, d- sieno finiti, cioè conviene togliere i punti angolosi del contorno, se ve ne sono, sostituendovi delle piccole curve d'ar- cordù, che tolgano le discontinuità dell'angolo -/i e impediscano al raggio p di essere nullo in' qualche punto. Quanto all'angolo t è bene osservare che, in virtù deUa con- venzione circa il segno di p, i suoi elementi infinitesimi d' sono positivi o negativi, secondo che le due geodetiche, tangenti consecutive al contorno, dalle quali sono for- mati, si incontrano esternamente od internamente all'area lì'. Supporremo anche, in quel che segue, che quest'area sia semplicemente connessa. La somma / (ir, ^ \\ si eseguisce agevolmente. Infatti dividiamo dapprima l'area 11', come nell'art. V, in un certo numero di pezzi co, ciascuno dei quali abbia il pro- prio contorno attraversato in due soli punti dalle curve u. Sieno u = t;^ , t' = v, , le due curve ti entro le quali è racchiuso uno di questi pezzi (vedi la figura dell'art. V). Nel punto di contatto a colla prima curva l'angolo •/) è nullo, e da questo punto, va- 350 DELLE VARLA.B1LI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. [zi riandò uniformemente, va ad acquisure il valore t. nel punto di contatto y colla se- conda ; poscia cresce da 7; a 2-, quando si ritorna per S al primitivo punto %. Dun- que per questo pezzo la somma in discorso è 2-, epperò, chiamando T^ la somma algebrica degli angoli di contingenza geodetica, si ha per esso r:, = 2--T„. Per un secondo pezzo si avrà analogamente e così di seguito. Ora torniamo a ricongiungere i varii pezzi (o, oj^, ^cc, per il che basterà con- siderare il risultato della congiunzione di due pezzi w, w^ aventi in comune una parte m n del loro contorno. Chiamiamo T^ , Tu^ le parti di T^ , Tu, relative alle curve npm, mqn rispettivamente, e / quella relativa alla trasversale w k, parte che è comune ai due contorni, ma con segno contrario. Si avrà T„ = n + / + ;4-:, t,.. = t:,.-/ + ^, + :,, qumdi ''■« + '•'-. = '^; + T'.. + 2 7: = T„^«. + 2 T.. Ne risulta che, sommando le due formole precedentemente ottenute, si ha r' or- 'P formola analoga alle anzidette, ma roLuiva al complesso delle due parti w ed co^ . Cosi continuando si trova finalmente (37) r'=277-T. dove T è la somma di tutti gli angoli di contingenza geodetica relativi al contorno 2l] DELLE VARUBILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNaUE. 35 1 dell'area li'. (Donde si conclude eziandio che, nelle condizioni ammesse circa alla di- sposizione delle curve coordinate, si ha in ogni caso, per un contorno chiuso, E=2 tt). La proprietà espressa dalla equazione precedente è stata indicata, sotto forma un po' diversa, dal sig. Bonnet *). Se il contorno è un poligono geodetico, sono nulle, nella somma T, tutte le parti relative ai lati successivi di esso, e non rimangono che quelle dovute alle piccole curve d'accordo che abbiam detto doversi sostituire agli angoli del poligono, cioè non ri- mane che la somma delle deviazioni di ciascun Iato sul precedente. Chiamando dun- que A queste deviazioni, si ha r' = 2 - - X -^ , formola che esprime un celebre teorema di Gauss **). Se la superficie è riferita ad un sistema di coordinate geodetiche r ed e, come si suppone nell'art, precedente, in prossimità del punto 0, dal quale divergono le geo- detiche, l'espressione dell'elemento lineare si può scambiare colla seguente ds' = dr' -{- r'dt\ per la quale il modulo k del fattore d'integrazione /. può porsi uguale ad — . Ne ri- sula che la funzione log A: diventa, in questo caso, infinita in 0 come log — . Se dunque si suppone che il punto 0 sia nell'interno dell'area li', bisogna sostituire la formola ds [dedotta dalla prima delle (30)] a quella da cui siamo partiti per istabilire la (37). Si trova così mentre, nelle ipotesi ammesse precedentemente, si aveva / S los^ k , ^ds = T — 2'. ò n <) log k Di qui si conclude l'interessante proprietà che: l'integrale / — s ds, esteso ad un *) Journal de l'École Polyteclinique, t. XXIV, Cahier 41 (1865), p.ig. 209. **) Disquisitiones getieraìes, etc, art. XX. 352 DELLE VARL\BILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQ.UE. [21 contorno chiuso, è uguale a T — 2 -, oppure a T, secondo che il punto in cui la funzione À* diventa infinita come — , è interno od esterno all'area chiusa da quel r contorno. Nel piano, riferito a coordinate polari ordinarie, si ha k = — , T= 2-, quindi la proprietà precedente fornisce, come caso particolare, il teorema, facilissimo a veri- ficarsi, che : se r è la distanza di un punto fisso del piano da un punto variabile lungo un contorno chiuso, l'integrale / — 2,-^= — ds esteso a questo contorno, è uguale a o oppure uguale 327:, secondo che il punto fisso è esterno od interno all'area limi- tata dal contorno. Un caso particolare interessante della formoli (37) si ottiene supponendo che la curva s sia una di quelle dotate della proprietà di contejiere, sotto un dato perimetro, la massima area, o di avere, per una data area racchiusa, il minimo perimetro. È noto infatti che per queste curve la curvatura geodetica è dovunque costante, e che quindi T = — , essendo s il perimetro totale : dunque si ha, per la curvatura totale P dell'area racchiusa, (38) r'=2r-i-. r Il valore della curvatura totale può anche essere espresso facihnente per un in- tegrale lineare, dipendente dalle sole E, F, G e loro derivate. Si ponga infatti, per brevità , 2H\E dv du)~~' 2H\dv ^du'^Edii)~ ' e la (^^^) diverrà Quindi, moltiplicando per doì r= Hdiidv, ed integrando a! modo che si è fttto verso la fine dell'art. V, si troverà (39) r = J(Pdn+Qdv), dove l'integrale del secondo membro è esteso alla curva chiusa che limita la porzione di superficie di cui T' è la curvatura totale. Si connette con questa espressione di V una trasformazione notevole che può I 2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. 353 essere effettuata sulla quantità — r-^ — . Si ha infatti hn S log •/. d log /.ì) Il d log X. S V () Il d II S K d V S ìt ' ossia, per le (21), Ma essendo, per le (4) , E^u^, f = £ZzLD, G=vv; ^ = ^'. a questa equazione si può dare la forma seguente : òn \ dv óH / \ ds ' d s / ds quindi, (31), , , Slogx ^ W(Udu-\- V'dv) , . ,, (40) -^2^ds= ^ j^ l^iJlogy., forinola che contiene la trasformazione alla quale alludevamo. (La caratteristica d serve sempre a designare spostamenti nel senso dell'arco 5, mentre la S indica spostamenti normali). Da essa si deduce, integrando lungo una curva chiusa qualunque, p_^,,^jrv(Udu-i-V'd.) _^ .p^^^_ Ma se questa curva è il contorno già considerato nella formola (34), nell'interno del quale abbiamo supposto che k = mod /. non diventasse mai uguale a o, è chiaro che neppure /. diventerà zero in esso, epperù si avrà / d log y. =: 0, e quindi r^ log x. _ cw{Udu-[- V'dv) J ^>,'-J H Eguagliando le parti reali dei due membri di questa equazione, si ricade, per la (34), sulla (39). Bologna, Dicembre 1867. BELTRAUI. turno I. 4S XXII. ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. Rendiconti del Beale IstltiiUi Lombardo, serie seconda, vcl. I (1868), pp. 130-157, 407-419. I. Il seguente metodo per la trattazione algebrica di queste curve importantissime sembrerebbe raccomandarsi per la simmetria delle lormole a cui conduce. Prendo l'equazione la quale rappresenta un piano, riferito a tre assi obliqui. Le quantità a, b, e sono co- stanti, u è un parametro variabile. A ciaschedun valore di /( corrisponde un piano unico ed individuato, che determina sui tre assi i segmenti a -\- u, b -\- ii, e -{- ii, donde si scorge che le sue intersezioni coi tre assi medesimi generano tre punteggiate eguali. Uno dei piani del sistema è il piano all'infinito, e corrisponde ad « = oo . Per ogni punto dello spazio passano tre piani (reali od immaginar)'), e, detti ii, !/, , ii^ i parametri dei tre plani passanti pel punto (.v, y, :ì), si hanno le formole X = (g + ")(« + ■•■•,) C^ + 'O (fl — /;) (a — e) ^^^ W— (è_c)(è — fl) __ (c + »)(c + «,)(c + ».) 22] ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. 355 affatto simili a quelle che si trovano nella teoria delle coordinate ellittiche. Ma, mentre in questa teoria i tre parametri // sono sempre reali e diseguali, nel caso presente pos- sono invece diventare immaginar) od anche eguali. L'eguaglianza di due parametri interviene quando il punto {x, y, ^') appartiene ad una delle rette d'intersezione di due piani infinitamente vicini, cioè quando il detto punto esiste sulla superficie sviluppabile formata dai piani del sistema ; fatto dunque n^ = «, > le formole X ^ (3) rappresentano la detta superficie sviluppabile, esprimendo le coordinate della stessa in funzione di due parametri indipendenti. L'eguaglianza di tutti tre i parametri si ve- rifica quando il punto (x, y, :Q appartiene allo spigolo di regresso della superficie svi- luppabile ora considerata, poiché ivi si segano tre piani consecutivi del sistema ; dun- que, fatto H ^ Hj = it^, le formole (A r- ^^ + ")"' , _ (l' + "y . _ (^ + '0'' ^4^ ' (a — è)(a— 0' ^ ~ {b- c){b — a)' '^~ (e - a)(c — b) ' rappresentano la curva gobba che costituisce il detto spigolo di regresso, dandone le tre coordinate in funzione di un parametro indipendente. I punti comuni a questa curva ed al piano qualunque (5) lxJf-ìny-j-ni + p = o sono dati dall'equazione l(b-c)(a-\-Hy-}-mU — a)Q>-lrny-\-n(a — b)(^c-{-Hy—p{b—c)(c—a)(a — b) = o, epperù sono in numero di tre (reali od immaginar;) : dunque la curva rappresentata dalle formole (4) è una linea del terzo ordine a doppia curvatura. Questa linea è pro- priamente una parabola gobba, poiché ha uno dei suoi piani osculatori all'infinito ; ma basta una trasformazione omografica per distruggere questo suo carattere, epperò le proprietà projettive che si riconoscono coH'ajuto delle formole precedenti sono estendi- bili a tutte le cubiche gobbe. La sviluppabile (3) è della terza classe. L'ordine se ne riconosce facilmente osser- vando che, dei due parametri 11 ed u^, il secondo è costante nei punti appartenenti ad 356 ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. [22 una medesima generatrice, che è la retta comune al piano (i/^) ed al piano contiguo, mentre il primo è costante nei punti d'intersezione della sviluppabile col suo piano tan- gente (/(). Ora la curva luogo di questi punti sega il piano (5) nei punti dati dall'e- quazione /(/; - c)(a + n){a + uj + m(c - a)(b + .)(/' + "J + u(a - h)(c + ,00- + ".y -PQ'- c){c - a){a - b) = o, la quale, per 11 = cost., fornisce due valori di 11^ : dunque quella curva è una conica, e, riunita colla generatrice (/(), che tien luogo di due rette coincidenti, dà in totale una intersezione del quart'ordine. Concludesi pertanto che la sviluppabile è di quart'ordine e di terza classe. Si può osservare anche che dalle (3) si trae > /(a —b)(a — c)x ' \ a -j- u donde, moltiplicando per b — e, e — a, a — /; e sommando. . /(b — c)x . /(e — d)y . /{a — b)^ _ ]/ a + u +1/ b-^u +]/ c+u, -°' equazione di un cono di 2° ordine inscritto nei tre piani coordinati, il quale è segato dal piano (m) secondo la conica testé considerata. La retta tangente la cubica (4) nel punto (;/ J è rappresentata dalle equazioni (3), ritenuto ;<_ costante ed u variabile. Il piano osculatore della cubica nello stesso punto u^ è rappresentato dalla ( i ) per u = ;/ ^ . 2. È facile riconoscere il legame che sussiste fra il precedente metodo e quello di cui si è servito il signor professore Cremona nelle prime sue pubblicazioni sull'at- tuale argomento. Infatti, mettiamo l'equazione (i) sotto la forma (i') «'+ 3P/r + 30,/ + i^ = o, e si avrà manifestamente, chiamando come prima ;(, ?,_, ((pietre radici dell'equazione (i) corrispondenti ad un determinato sistema di valori delle .v, )', -, epperò delle P, Q, R, (5') — 3^= « + ". + ".. 3 C = "«, + "".+ ","., —R = itu,u^. 22] ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. 357 Quanto alle relazioni fra P, O, R ed .v, y, ;;;, il confronto delle (i), (i') di / 3 p = ,, _|_ /, + , _ (^- _|_ y _|- -) , (6) < 30= bc + ca + ab -[(b ^ c)x -}- (c -\- a)y^ (a + b)-^]. R =^ il bc — (/' e X -f- e a y -\- a Z';^) ; mentre, per converso, il confronto delle (2), (5') dà _ a' — jPa' -j- sQa — R ""' ~ (a — b){a- e) ^'■> \ y- (^b — c){b — a) _ e'' — 3Pc'-{- sQc —R ^ - (, _ ,) (, _ /,) Poiché dunque le P, (2, R sono l'unzioni lineari delle x, y, :;^, nulla impedisce di ri- guardarle come coordinate rettilinee, e di surrogarle alle x, y, :^. Allora le equazioni (5') terranno luogo delle (2), rispetto a queste nuove coordinate. Così si otterranno le e- quazioni analoghe alle (3) facendo, nelle (5'), 11^ = m,, e quindi la sviluppabile sarà rappresentata dalle forinole (3') — 3-P=" + 2"., 30=21111^-^11', —R = uu\, nelle quali i parametri u ed /(, hanno gli stessi significati di prima. Finalmente le e- quazioni della cubica gobba si otterranno, in coordinate P, Q, R, ponendo nelle pre- cedenti formole u^ = 11, e saranno quindi (4') —p = u, 2 = «% — R = u\ Queste formole sono appunto quelle dalle quali è partito il signor Cremona, e che MóBius ha fatto conoscere per il primo. Eliminando 11, 11^ fra le tre equazioni (3'), si ottiene (3") sFO' — 4P''R-\- 6 POR — 4O' — R' = o, equazione della sviluppabile osculatrice. Il suo primo membro non è altro che il discri- minante dell'equazione (i'). Sostituendo i valori (6), si avrebbe l'equazione della stessa superficie relativamente ai primitivi assi. 3. Sieno ((', /(", ;('" i valori di 11 relativi a tre determinati punti della cubica ; si 358 ANNOTAZIOMI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. [22 indichino con analoghi accenti le loro coordinate P, O, R. Affinchè il piano (8) r-3 bisogna, in virtù delle relazioni (4'), che l'equazione «' -|- Spii' -{- 3 i] i( -{- r =: o sia soddisfatta da u = «', u = /;", ;/ = //'", e quindi bisogna, in virtù delle stesse (4'), che p, (j, r sieno le coordinate P, Q, R del punto d'incontro dei piani osculatori nei tre punti considerati. In conseguenza di ciò, osservando che l'equazione (8) è verifi- cata dal porre P = p, Q=q, R = r, si conclude primieramente un teorema di Chasles, il quale consiste in ciò, che il piano passante per tre punti di una cubica gobba contiene il punto d'intersezione dei piani osculatori in questi punti. Ma, più general- mente, se ne conchiude che, rispetto ad una data cubica gobba, si verifica una legge di reciprocità fra punti e piani, poiché ad ogni punto dello spazio corrisponde un piano (determinato dai tre punti della cubica i cui piani osculatori passano pel primo), e re- ciprocamente ; il punto è contenuto nel piano corrispondente ; a punti posti in un piano corrispondono piani passanti per un punto contenuto in quel piano, ecc. Questa cor- rispondenza fu messa in luce da Mòbius, che la fondò sopra considerazioni di statica, e ne trasse interessanti conseguenze rispetto all'esistenza di tetraedri simultaneamente inscritti e circoscritti l'uno all'altro. Ora mi propongo di dimostrare che una cubica gobba dà luogo ad un'altra re- ciprocità, che si può riguardare come di ordine superiore alla precedente, e che forse condurrebbe a risultati non meno interessanti della prima, specialmente se potesse, come non dubito, essere trattata colla pura geometria da chi sia più di me famigliare coi processi di questa fecondissima scienza. Da quanto si è notato poc'anzi risulta doversi porre nella (8), per avere il piano ("', "", "'"X — 3 ^ = ;(' -}- ;/" -[- II'", 3 '/ = "" "'" -j- "'"/(' -j" /(' II", — r =z II' II" II"'. Quindi, ponendo /// = n, 11'" = 11", si otterrà il piano che passa per il punto (;/) e p;r la generatrice (;/") della sviluppabile, piano la cui equazione può scriversi (9) 0,'- + iPll" + 0 H + Pll"' + 2QU" + A' = o . Io ho cercato di determinare 11 in modo che questo piano passi per il punto di coordinate .. _ Qz + OO^ + H-y ^, _ (/; + »„) (/; + .-)- ^ _ 0- + 'OG- + "T (a- b){a-c) ' ^ ~ (b -c)(b — a) ' ^ ~ (_c - a) (e — b) ' 22] ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. 359 cioè per il punto in cui la tingerne alla cubica nel punto (/(') è incontrata dal piano osculatore nel punto (»J, ed ho trovato la relazione (io) 2 ;( 11^ -]~ (il" — 3 u') 11^ -\- (il' — 3 II") M -j- 2 II' II" = o . Analogamente (10') 2 II 11^ -f- (li.'" — 3 »') 11^ -j" ("' — 3 "'") " + 2 //' //'" = 0 esprime la relazione necessaria acciocché il piano passante per il punto (li) e per la generatrice (/('") contenga il punto di cui abbiamo scritte le coordinate. Se dunque dall'equazione (9) si elimina « colla (io), e se dall'equazione che si deduce dalla (9) cambiando ti" in 11"' si elimina del pari ii, colla (io'), le due equazioni in P, O, R che si ottengono, rappresentano i due piani condotti pel punto (.v, y, -) e per le ge- neratrici (h") ed (;<"'). Siccome poi il punto (.v, ;', :^) è un punto qualunque della generatrice (/('), in causa del parametro 11^ che rimane arbitrario, cosi è chiaro che, eliminando questo parametro fra le due equazioni risultanti, si deve ottenere l'equazione del luogo geometrico di una retta che scorre simultaneamente sopra le tre generatrici (;('), (h"), (»'")) '^io'^ l'equazione dell'iperboloide determinato da queste tre rette. Avendo eseguito quest'eliminazione, sono pervenuto alla seguente equazione, nella quale p, q, r hanno i significati di poc'anzi : ( i8(prP' -{- p' PR)-\- iS(ij Q' -^ ir 0)+ 2(ir--{- r')- I2(p OR + grP) ( —6(c]RP-{- rp O) - 9(r P 0-]- p q R) - 2j p q P Q-{- s r R = o . Ora quest'equazione presenta, come la (8), il carattere della reciprocità fra le coor- dinate P, O, R G p, q, r, epperù se ne conchiude il seguente teorema : chiamisi iper- boloide corrispondente ad un punto dello spazio quello che è determinato dalle tre rette tan- genti alla cubica nei punti i cui piani osculatori passano pel punto dato; e reciprocamente. Allora tutti gli iperboloidi corrispondenti a punti situati sopra uno stesso iperioloide deter- minato dà tre tangenti della cubica passano per un solo e medesimo punto, che è il punto corrispo}tdente a quest'ultimo iperboloide. Questo punto non si trova suU' iperboloide corrispondente ; infatti, se nel primo membro della precedente equazione si fix P ^= p, Q ^ q, i? == r, si trova per risultato l'espressione - 9(3p''f — 4p''r + C^P'ir - 4'/' — O. che è nulla solamente quando il punto (p, q, r) si trova sulla superficie rappresentata dal- l'equazione (3"), cioè sulla sviluppabile osculatrice, ossia, in altri termini, quando due dei parametri 11', 11", u'" sono eguali fra loro; nel qual caso, propriamente parlando, non esiste più iperboloide. 3^0 ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. [22 Determiniamo l'intersezione dell'iperboloide (i i) colla tangente alla cubica nel punto (/(^). Se le P, Q, R si riguardano come funzioni di n, h,, ii^, è chiaro che nel cer- cato punto d'intersezione, dei tre parametri /(, »_ , u^ , due avranno il valore it^, e quindi, facendo », = ti^ = «^ , si avrà — 3 P = 2 ;(„ + « , 3 2 = H^ + 2 // //„ , — R=^ ulti. Facendo queste sostituzioni nella precedente equazione (ii), si trova un risultato che è riducibile alla forma seguente : ("o + SP< + 3 '/"o + '•) [(»' + 2/"' + '/)»„ + pu' ^ 2g„-\-r] = o. Ora il fattore "o + 3 i' "o + 3 '7 "o + '' è diverso da zero, finché la generatrice (/f^,) è distinta dalle (;/'), («")> ("'")> '^i'-' che mostra al tempo stesso come quattro distinte tangenti della cubica non possano mai trovarsi sopra uno stesso iperboloide, poiché la precedente equazione dovrebbe ri- sultare soddisfatta indipendentemente da u. Dunque i punti d'intersezione della tan- gente (;/J coU'iperboloide (ii) sono dati dall'equazione (ir -\- 2 p n -j- q) 11^ -\- p n' -j- 2 q H -\- r — 0 . Ora, se in quest'equazione le quantità /(, it^ si riguardano come costanti, e le p, q, r come coordinate di un punto (nel sistema P, O, K), l'equazione stessa rappresenta il piano tangente alla cubica nel punto (/i) e passante pel punto (ji^, come risulta im- mediatamente dal suo confronto coU'equazione (9). Rammentando dunque il signi- ficato che avevano le p, q, r, se ne conclude che il piano in discorso deve contenere il punto (j>, q, r), cioè il punto di concorso dei piani osculatori nei punti ('('), ("")> (" ")• Per tal modo ecco la costruzione semplicissima che fa trovare i punti d'intersezione dell'iperboloide (11) colla quarta tangente della cubica nel punto (u^: pel punto nel quale s'incontrano i piani osculatori della cubica nei punti («t'), (m")> ("'")' °' P'"^ breve- mente, pel punto corrispondente all'iperboloide considerato e pel punto (/(,) si fac- ciano passare dei piani tangenti alla cubica in punti distinti da {11^ : questi piani sono due, perchè il piano tangente in (k^) conta per due e la curva è di quarta classe (la sua sviluppabile osculatrice essendo di quart'ordine). I piani osculatori dei due punti di contatto cosi ottenuti intersecano la generatrice (h^) nei punti cercati. 4. Riprendiamo la considerazione dell'iperboloide rappresentato dall'equazione (11) per mostrarne il legame colle interessanti proprietà delle figure conginnic, introdotte dal prof. Cremona nella dottrina delle cubiclie gobbe. 22] AXNOTAZIOXI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. ^6l Per rendere più comod:i la scrittura delle formole introduciamo coordinate omo- genee, sostituendo -j- , 1- , -L- , e — , M. , — [n luogo di p, q, r, e di P, Q_, R ; e poniamo //= i8(prP^ + nqO:-\-f-PR-\-ifNQ)^2{,rR'-^r'N') — i2(npOR-{- qrNP) — G(nqPR +prNO) — 9("rPQ-^pqNR)~ 2-] pqPQ-\- siirNR, talché sarà l'equazione dell'iperboloide determinato dalle 3 tangenti della cubica gobba nei punti i cui parametri sono le radici della equazione (12) nir -{- ^pir -{- ^qn^r ^O, cioè nei punti comuni alla cubica ed al piano rappresentato dall'equazione (13) rN — iqP J^ -jPQ — uR = o. Indicando con H^ ciò che diventa il polinomio H quando vi si pone N := h, , P ^n p^^ Q ^ q^^ R 7= r^ , l'equazione 8«, àp, ' 3(/, ~ ' 5r, rappresenta, come è notissimo, il piano polare del punto («.> />, . '7.. '•.) rispetto all'iperboloide. Questo piano ha il suo fuoco nel punto le cui coordinate sono determinate dai rapporti ^ d)\ dq^ dp^ ^ 8h, Quando il punto di cui si prende il piano polare è quello stesso a cui corrisponde l'iper- boloide // = o (vedi n° 3), cioè è il punto (», p, q, r) fuoco del piano (13), le de- BELTBAMI, tOmO I. 46 362 ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. [22 rivate parziali del polinomio H assumono i seguenti valori speciali : y-QyJ = Ì-9Ì?P r—pq —nqr), /dn\ r ^ 2 \òj) ^ 3-9(2«'y'— i' q — l'pr), Questi valori presentano la notevole proprietà che, designando con 1 il discriminante dell'equazione (12), cioè ponendo A = «V' + 4 j>' ;■ 4- 4 H 5' — 5 p' if — Gnpqr , possono essere espressi colle formole \d^)~ T'oli' \dp)^ 2 dp ' \èq)~ 2 dq' Vdr/~ 2 dr' talché il piano polare del punto (;;, p, q, r) è dato dall'equazione (14) ^r — N -{- ~^-— P -{- -^ — Q-\ ^^ — R = o. ^ ^^ dn ^ dp ' dq ' òr Questa equazione manifesta che il piano cosi ottenuto è nel medesimo tempo il piano polare del punto (h, p, q, r) rispetto alla sviluppabile osculatrice della cubica gobba, su- perfìcie che è rappresentata, come sappiamo, dall'equazione omogenea A =r o. Il fuoco («', p', q', )•') di questo nuovo piano è individuato dai rapporti , , , , dA dA dS d\ n -.p -.q -.r = 3 -^ — : ^ — : -^r — : — 3 -^r — ; ^ ^ ' dr dq dp ^ d n ' e sostituendo nelle espressioni delle quattro derivate dH' dH' dir dH' T;^' ~dp^ ' dq' ' dr' ' 22] ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. 363 le quantitA cui sono proporzionali le ;;', p', q', r', si trova djr_ d H' djr_ dJT _ "dTT- dp' '■~d^'-'d7'-''-~^'^'-'^- "• Dunque il piano polare del punto («', p', q', ;■') rispetto alla iperboloide H^ o è quello rappresentato dall'equazione (13), ossia è di nuovo il piano passante pei punti di con- tatto della cubica gobba colle tre tangenti che determinano l'iperboloide H=o (altri- menti detto il piano focale del punto cui corrisponde questo iperboloide). Di qui risulta che il punto (_n,p,q,r') insieme col suo piano focale (13) forma, ri- spetto all'iperboloide che gli corrisponde, una figura polare reciproca di quella composta del punto (11', p', q', /') e del suo piano focale (14). E conseguentemente la congiun- gente dei due punti e la comune sezione dei due piani sono due rette reciproche, tanto rispetto alla cubica, quanto rispetto all'iperboloide. Osserviamo ancora che i tre piani osculatori passanti per il punto (//, p, q, r) sono tangenti all'iperboloide, poiché ciascun d'essi contiene una sua generatrice: dunque il piano focale del punto {ii',p',q',r') può riguardarsi come individuato dai punti di contatto dell'iperboloide coi piani osculatori nei tre punti comuni a questo ed alla cubica, epperò sega l'iperboloide secondo una conica che è inscritta nel triangolo formato dalle sue intersezioni coi detti tre piani osculatori. Ora consideriamo la cosa da un altro aspetto. L'equazione (14) definisce, per ogni dato piano (13) (avente il fuoco nel punto di coordinate n:p:q:r), un certo altro piano, che si può riguardare come ad esso corrispondente. Abbiamo già notato che questo secondo piano non è altro che il piano polare del fuoco del primo, rispetto alla sviluppabile osculatrice. Ora il piano (14) è tale che, cercandone colla stessa legge il corrispondente, si ritrova di nuovo il primitivo piano (13). Infatti poniamo I aA , I aA , I óA , I aA 2 dn ' ' ^ ~~ 2 dp ' ^^ "~ 2 dq ' 2 dr ' e rappresentiamo con A' ciò che diventa A quando le ;/, p, q, r si mutano nelle n', p', q', r'. Da un teorema di Eisenstein *), dimostrato e generalizzato dal prof. Brio- scHi **), si ricava che le relazioni precedenti danno luogo alle seguenti formole inverse : I aA' ,, I aA' . I aA' . i aA' -^"■«=-:r^7^' -^•3/' = — ^-^, ^-ìq^ — ^zr, -^--r 2 dr' ' ^-^r— 2 g^^, ' ^^'^ 2 dp' ' 2 du' *) Journal tur die reine und angevvandte Mathematik, Bd. XXVII (1S44), pag. 105. **) Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (del Tortolini), t. V (1854), pag. 409. 364 ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. [: talché f5A' d\' 3A' d\' d>i' dp' d q' dì' Dunque l'equazione del piano corrispondente al piano focale del punto («', p', q', r'), la quale sarebbe dn' ^ èp' ^ dq ' òr equivale alla (13), che rappresenta appunto il piano focale del punto (h, p, q, r). Poiché la relazione sussistente fra i piani (13) e (14) è, rispetto alla cubica, di natura reciproca, riesce manifesto a priori che le proprietà polari testé riconosciute in essi relativamente all'iperboloide // := 0, che corrisponde al fuoco del primo, devono verificarsi eziandio rispetto a quell'altro iperboloide H' = o, che corrisponde al fuoco del secondo, cioè che contiene le tre tangenti della cubica nei punti comuni a questa ed al secondo piano. Dunque il punto (^11, p, q, r) col piano (13), ed il punto {11', p', q', r') col piano (14), formano due sistemi reciproci tanto rispetto alla cubica, quanto rispetto alla sua sviluppabile osculatrice, quanto rispetto ai due iperboloidi menzionati. Esaminando le formole date dal prof. Cremona nell'art. 5 delle sue ricerche Sidld linee del ter:;^ ordine a doppia ciirvaliira *), si vede che i due piani (13) e (14) sono Ira loro congiunti rispetto alla cubica; laonde, combinando le proprietà ritrovate dal medesimo autore con quelle che risultano da quanto precede, si giunge a nuove pro- prietà delle figure congiunte (fra le quali figure si potrebbero annoverare anche i due iperboloidi testé considerati). Per esempio, si può osservare che, siccome la conica secondo cui un piano oscu- latore é segato dalla sviluppabile osculatrice passa per il punto di osculazione ed ha ivi la stessa tangente della cubica, cosi i tre poli di un piano qualunque rispetto alle co- niche esistenti nei piani osculatori dei suoi tre punti d'intersezione colia cubica, sono i punti d'incontro delle tangenti alla cubica in questi stessi punti col piano congiunto al dato. Questi poli esistono dunque sui lati del triangolo secondo cui il piano congiunto è segato dai piani osculatori passanti per il fuoco del piano primitivo. Ma, per un teo- rema del signor Cremona, la conica congiunta deve toccare in questi punti i lati del detto triangolo : dunque essa coincide colla conica secondo cui il piano congiunto sega l'iper- boloide corrispondente al fuoco del piano primitivo, conica che vedemmo già essere inscritta in quel triangolo. Si ha quindi il teorema : la conica congiunta ad un dato piano ') Annali di Matematica pura ed applicata, t. II (1859), pag. 22. 22] ANNOTAZIONI SULLA TEORIA DELLE CUBICHE GOBBE. 3(^5 è l'interse^wne dell'iperboloide corrispondente al fuoco di questo piano col piano polare del fuoco medesimo rispetto all'iperboloide. In virtù di un altro teorema del prof. Cremona, questa stessa proprietà ha luogo per un altro iperboloide, che è il luogo delle coniche congiunte a tutti i piani passanti per la retta d'intersezione di due piani o.sculatori. Ne risulta che : gli iperboloidi corri- spondenti ai vqrj punti di una corda della cubica sono tutti inscritti in un medesimo altro iperboloide, che è toccato da tutti i piani osculatori della cubica, e che è quello conside- rato dal citato autore *). *) A questa Nota seguono alcune considerazioni di carattere polemico, che non si crede opportuno di riprodurre. [X. d. R.]. XXIII. SULLA TEORIA DELLE LINEE GEODETICHE. liendiconti del Reale Istituto Loinhrtrilo, serie II, voi. I (iS68), pp. 708-718. È noto che le mirabili scoperte di Jacobi sul nesso che vige fra le equazioni di- namiche, le equazioni isoperimetriche e le equazioni a derivate parziali del primo or- dine non lineari, hanno ricevuto un'utile applicazione nella teoria delle linee geodeti- che. Sebbene tale applicazione non presenti alcuna difficoltà per chi abbia conoscenza del nesso sovraccennato, tuttavia ci è sembrato che vi si verifichino alcune particolarità le quali, mancando di riscontro nella dottrina generale, rendono forse non inopportuna una dimostrazione speciale. Quella che segue presenta i caratteri della maggior sem- plicità. Si abbia l'integrale il quale debba esser reso massimo o minimo. La equazione indefinita del problema o, come diremo più brevemente, la equazione isoperimetrica è per questo caso dy dx \dy- ) ' vale a dire df 87 , 87 „ 87 — — — — — y — — y ~ == o . dy dxdy' ■ dydy' dy'^ Supponiamo che si conosca un integrai primo di questa equazione e quindi un valore 23] SULLA TEORIA DELLE LINEE GEODETICHE. 367 di }'' in funzione finita di ,v, y. Immaginando sostituito questo valore nella data fun- zione si trova lacilmente che l'equazione isoperimetrica assume la forma dove si deve intendere sostituito nelle espressioni rinchiuse fra parentesi il valore di y' in funzione di x, y. Ora si osservi che l'elemento dell'integrale, cioè la quantità / [x,y,^yx.. è una funzione omogenea e di primo grado dei differenziali àx , dy , talché chiamando X, Y le derivate di essa rispetto a questi differenziali, si ha identica- mente ^("■'>'77)'^"' = ^'^^+^'^^ dove quindi l'integrale proposto può assumere la forma fiXdx+ Ydy). Si ha cosi quest'intéressante proprietà che, sostituendo nelle X, Y il valore di y' dedotto da un integrai primo del problema, l'equazione isoperimetrica prende la forma dX _dY dy dx ' cioè diventa la solita condizione d'integrabilità del differenziale a due variabih indipen- denti in cui si ò convertito l'elemento fdx. 368 SULLA TEORIA DELLE LINEE GEODETICHE. [23 Sia r(x, j) la funzione primitiva, cioè sia si avri ^''' dx "J y dy' ' dy ~ dy' " La determinazione della funzione F non dipende, come si vede, che da una sola qua- dratura, ma si può trovar modo di determinare tal funzione senza supporre eseguita una prima integrazione dell'equazione indefinita. Infatti, eliminando dalle due precedenti equazioni la derivata y', si ottiene un risultato della forma , . , / dF dF\ 0, cioè un'equazione a derivate parziali del primo ordine non lineare, cui deve soddisfare la funzione F e che può quindi servire a determinarla. Siccome questa funzione non entra nell'equazione che colle sue derivate, così delle due costanti arbitrarie contenute in una soluzione completa, l'una è semplicemente additiva. Se è noto un integrai primo dell'equazione isoperimetrica, si ottiene, integrando la (3), una soluzione dell'equazione a derivate parziali (4), soluzione che è particolare o completa secondo che quell'integral primo è alla sua volta particolare o provveduto di costante arbitraria. Ma reciprocamente dalla conoscenza di una soluzione dell'equazione (4) si può ricavare facilmente, mediante una delle due equazioni (3'), il valore di y', cioè un integrai primo dell'equazione isoperimetrica. Perù la considerazione seguente è più feconda di risultati. Se l'integrai primo dell'equazione isoperimetrica contiene una costante arbitraria, è chiaro che al variare di questa costante il valore di y', ricavato dall'integrale stesso, riceve pure una variazione e che, per la (3), varia del pari in corrispondenza la fun- zione F. Segnando con D queste variazioni simultanee di y' e di F, la (3) dà (5) DdF = ^,{dy-y'.dx)Dy. Ne segue che, per si ha dy — y'.d X = ( DdF = 0, dDF = 0, e quindi (6) DF = cost. ovvero 2$] SULLA TEORIA DELLE LINEE GEODETICHE. 369 equazione nella quale è lecito attribuire a D il significato di una derivazione rispetto alla costante arbitraria (non additiva) contenuta in F, la qual costante può essere in- diiferentemente tanto quella proveniente dall'integral primo, che ha servito a formare l'equazione (3), quanto quella contenuta in una soluzione completa della (4). Ora l'e- quazione (6), essendo finita rispetto alle .v, y, e contenendo due costanti arbitrarie, non è altro che l'integrale della d y — y'.dx = o , ossia l'integrale completo dell'equazione isoperimetrica *). Da quanto precede risulta dunque che l'integrazione completa dell'equazione iso- perimetrica (2) dipende sostanzialmente, sia dalla ricerca di un suo integrai primo (con una costante arbitraria) e da una quadratura, sia dalla ricerca di una soluzione com- pleta di un'equazione a derivate parziali del primo ordine non Hneare, dove non entrano che le derivate della funzione incognita. La forma in cui si presentano cosi queste proprietà, fatte già conoscere da Jacobi, le rende più direttamente applicabili alla teoria delle superficie. Sia infatti ds' = E da' -\- 2F dudv -\- Gdv^ il quadrato dell'elemento lineare di una superficie. La ricerca delle linee geodetiche equi- vale a quella della relazione fra u, v, per la quale è minimo il valore dell'integrale /» VEdir -{- iFdudv -[- Gdv\ Chiamando U, V le derivate dell'elemento di questo integrale rispetto a dn, dv, si ha __ Edu -\- F dv ., F dn -{- Gdv ^^ Ts ' Ts ' epperc in questo caso l'equazione (2) diventa d /E()u -[- Fiiv^ d /F<ìu -{- G^v^ d_ /E?>u-{- F^v\ _ d_ /Fì)u-{- G?iv\ •) È chiaro che la supposizione DF=cost., e quindi dDF=o, non può fornire che dy — y'.dx = o, nell'equazione (5). Infatti, delle due quantità la prima evidentemente non può esser nulla, e la seconda non lo diventa che quando / è lineare rap- porto ad y', caso nel quale, come è noto, non vi è luogo ad una vera soluzione del problema isope- rimetrico. BELTKAMI, tOmO I. 47 370 SULLA TEORIA DELLE LINEE GEODETICHE. [23 dove S/(, ììv, ^s indicano i valori di du, dv, ds relitivi alla geodetica del sistema con- siderato, passante pel punto (k, v^. Quando è dato l'integrai primo che rappresenta il sistema stesso, è facile calcolare i valori di —— , —— relativi a quella curva. 05 05 La precedente equazione, notevole per la sua semplicità, non è forse ancora stata messa in rilievo. Essa potrebbe perù essere dedotta senza difficoltà da una l'ormola del signor BoNNET *) ; ed anche il signor Chelixi ne ha data una equivalente in una Me- moria letta nel corrente anno (1868) all'Accademia di Bologna **). Cliiamando 9(/(, v) la funzione primitiva, precedentemente segnata con F(x, }'), si hanno, in luogo delle (3'), le equazioni dTi ~ fs ' dv ^ fs ' donde, eliminando -s— , -5— per formare l'equazione analoga alla (4), si ricava O 5 0 5 \dv } dv du ' \d II } EG — F' cioè (7) ^.?=I, = I, secondo la segnatura già da noi più volte usata. La funzione o è suscettibile di un'interpretazione elegante. Infatti essendo ,„. , E^u-}-F^v , , F^n-\-G^v , (8) d(p = ^^ du-j ^^ dv, si vede che le curve rappresentate dall'equazione cp = cost., ossia (ìf

(? + ''?) passanti per essi, e sia M^ l'intersezione della seconda trajettoria colla geodetica orto- gonale passante per M. Questi punti formano un triangolo rettangolo in M, , il cui cateto M M ha per valore d 9. Il far variare la costante nell'espressione (8) equivale a tener ferma l'ipotenusa M M' , variando la direzione del cateto MM^. Ora egli ò chiaro che la variazione di questo cateto è nulla (cioè d'ordine superiore al secondo) solamente quando la direzione di esso coincide con quella dell'ipotenusa, ossia quando il punto M' è situato sulla geodetica passante pel punto M. Il porre uguale a 0 quella variazione equivale dunque allo stabilire la relazione che ha luogo fra gli incrementi d u, dv relativi alle geodetiche del sisten-.a; ed il porre la equivalente relazione finita Z)(p = cost. equivale a scrivere l'equazione finita di queste linee. La forma che assume la variazione Dd'^ per le linee geodetiche, particolarizzazione della (5), merita d'essere notata, ed è la seguente : (EG — F')(nn.dv — ^v .du)niu.D^v — ^v.Dììu) Ddo ^= — ^-^ ^ , ^ — . Facciamo due applicazioni semplicissime. 1° Quando la superficie è di rotazione, chiamando 11 l'arco di meridiano contato da un parallelo determinato, v la longitudine, r (funzione di 11) il raggio del parallelo, si ha ds'^du'-{-r'dv\ e l'equazione differenziale delle linee geodetiche ha il seguente integrai primo rdn dv=^ ■\lr rvr — ;■ dove r^ è la costante arbitraria. Questo integrale rappresenta tutte le geodetiche tan- genti ni parallelo di raggio r^ ed è facilmente traducibile in un notissimo teorema do- vuto a CLAiR.\ur. Partendo da questo integrale si trova ryr'-ridu. 23] SULLA TEOIUA DELLE LINEE GEODETICHE. 373 equazione che rappresenta, in virtù di quanto precede, il completo sistema delle svi- luppanti geodetiche del parallelo di raggio r^, e dove il parametro 9 è la lunghezza dell'arco compreso sul parallelo r^ (al quale corrisponde il valore 11 = uj fra il punto di longitudine nulla e l'origine della sviluppante che passa per il punto (n, v). 2° In una Memoria inserita negH Annah di Matematica pura ed applicata *) abbiamo trovato che le superficie le cui hnee geodetiche sono rappresentate da equa- zioni Hneari in u, v, si contengono tutte nella formola j (i'" -\- a') lì u'' — 2UV d udv -j- («' -j- d^) d v' C« + -' + ^ ; dove a è una costante. Cerchiamo la minima distanza di due punti (/(, v'), (; «. È chiaro dunque che il con- torno espresso dall'equazione (4) e rappresentato nel piano ausiliare dal cercliio limite. 380 SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. [24 non è altro che il luogo dei punti all'infinito della superficie, luogo che può considerarsi come un cerchio geodetico descritto col centro nel punto (« =; ti = o) e con un raggio (geodetico) infinitamente grande. Al di là di questo cerchio geodetico di raggio infinito non esistono che le regioni immaginarie od ideali della superficie, talché la regione dianzi considerata si estende indefinitamente e continuamente in ogni senso ed abbraccia la totalità dei punti reali della superficie. In tal guisa dentro il cerchio limite viene a rappresentarsi tutta la regione reale della nostra superficie, e propriamente in modo che, mentre lo stesso cerchio Lmite corrisponde alla linea dei suoi punti all'in- finito, i cerchi concentrici ed interni ad esso corrispondono ai cerchi geodetici della superficie col centro nel punto (h := x; = o). Se nelle equazioni (5) si riguarda r come costante, y- come variabile, quelle equa- zioni convengono ad un cerchio geodetico, e la formola (i) dà (7) < dove (7 è l'arco di cerchio geodetico rappresentato nel piano ausiliare dall'arco circolare il cui raggio ère l'angolo al centro [/.. Essendo a proporzionale a ,u. qualunque sia r, si vede facilmente che le geodetiche p fanno tra loro, nell'origine comune, angoli eguali ai raggi che loro corrispondono nel piano ausiliare ; e che la piccolissima porzione di superficie im.mediatam.ente circostante al punto {11 = t; = 0) è simile alla sua rappre- sentazione piana, proprietà che non si verifica per alcun altro punto. Dalla (6) si trae (7') r = l/;?i:^=:atgh-|-, cosh-|- = ^. dove w indica il valore positivo del radicale ^ a'' — u'' — ^'^ In virtù del precedente valore di ;• la (7) può scriversi p G =: ly. i? senh -^ , A cosicché il semiperimetro della circonferenza geodetica di raggio p è dato da (8) T,Rstnh-^, K ossia 4-j?(,«_, r) Dalle cose precedenti risulta che le geodetiche della superficie sono rappresentate, nel loro totale sviluppo (reale), dalle corde del cerchio limite, mentre i prolungamenti di 24] SAGGIO DI INTERPETRA.ZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 38 1 queste corde fuori del cerchio stesso sono destituiti d'ogni rappresentanza (reale). D'altron- de due punti reali della superficie sono rappresentati da due punti, parimente reali, interni al cerchio limite, i quali individuano una corda del cerchio stesso. Si vede dunque che due punti reali della superficie, scelti in modo qualunque, individuano sempre una sola e detcrminata linea geodetica, che è rappresentata nel piano ausiliare dalla corda passante pei loro punti corrispondenti. Cosi le superficie di curvatura costante negativa iioìi vanno soggette a quelle ecce- zioni che si verificano sotto questo rapporto in quelle di curvatura costante positiva, epperù sono ad esse applicabili i teoremi della planimetria non-euclidea. Anzi questi teoremi non sono in gran parte suscettibili di concreta interpetrazione, se non vengono riferiti precisamente a queste superficie anziché al piano, come ora procediamo a diftu- samente dimostrare. Per evitare circonlocuzioni ci permettiamo di denominare pseudo- sferiche le superficie di curvatura costante negativa, e di conservare il nome di raggio alla costante R da cui dipende il valore della loro curvatura. Cerchiamo primieramente la relazione generale che sussiste fra l'angolo di due linee geodetiche e l'angolo delle corde che le rappresentano. Sia (», t') un punto della superficie, (U, V) un punto qualunque di una delle geodetiche uscenti da esso. Le equazioni di due fra queste geodetiche siano V — v = m{U—u), V — v = u{U — ti) . Chiamando x l'angolo delle geodetiche nel punto (h, v) si ha, da una formola nota, (/; — ni) \fE G—F' ^^'^— £-{- (« + m) F + mn G ' ossia, pei valori attuali di E, F, G, a (h — ni) ■ tga (i -j- "' «) «' — ('^ — '" ") ('^' — " ") ' Indicando con cu' l'angolo delle due corde e con [j., v gli angoli formati da esse coU'asse delle X, si ha m ^ tg [j- , 7J =: tgv , a' ^ v — y. , e quindi a w sen a tg a = a^cosx' — (x/cosjJL — M sen [^.) (f cos V — «senv) ' Il denominatore del secondo membro si mantiene sempre finito in ogni punto reale della superficie, quindi l'angolo a non può essere nullo che quando è nullo il nume- ratore. Ma sen a' non è nullo finché le due corde si intersecano dentro il cerchio 382 SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON'-EUCLIDEA. [24 limite e non coincidono in una sola retta : dunque a non è nullo che per w = o, cioè quando il punto in cui s'incontrano le due geodetiche è all'infinito. Conseguentemente possiamo formulare le regole seguenti : I. A due corde distinte che s'intersecano dentro il cerchio limite corrispondono due geodetiche che si intersecano in un punto a distanza finita sotto un angolo diffe- rente da o" e da 180°. II. A due corde distinte che s'intersecano sulla periferia del cerchio limite corrispon- dono due geodetiche che concorrono verso uno stesso punto a distanza infinita e che fanno in esso un angolo nullo. III. E finalmente a due corde distinte che s'intersecano fuori del cercliio limite, o che sono parallele, corrispondono due geodetiche che non hanno alcun punto comune su tutta l'estensione (reale) della superficie. Sia ora pq una corda qualunque del cerchio limite, r un punto i,iterno al cerchio ma esterno alla corda. A questa corda corrisponde sulla superficie una geodetica p'q', diretta verso i punti all'infinito p', q' (corrispondenti a p, ij); al punto r corrisponde un punto r', situato a distanza finita ed esterno alla geodetica />' q'. Da questo punto si possono spiccare infinite geodetiche, delle quali alcune incontrano la geodetica p'q', le altre non la incontrano. Le prime sono rappresentate dalle rette che vanno dal punto r ai varii punti dell'arco pbq (<^ 180°), le altre sono rappresentate da quelle che vanno dallo stesso punto ai varii punti dell'arco pcq O 180"). Due geodetiche spe- ciali formano il trapasso da quelle dell'una schiera a quelle dell'altra : sono quelle rappresentate dalle rette r p, r q, ossia soni) le due geodetiche che partono da ;■' e concorrono all'infinito co\h p'q', l'una da una parte, l'altra dall'altra. Siccome gli angoli rettilinei rqp, rpq hanno i loro vertici sulla periferia del cerchio limite, cosi (II) i corrispondenti angoli geodetici r'q'p', r'p'q' sono nulli, benché i primi sieno finiti. All'incontro, essendo /• interno al detto cerchio ed esterno alla corda p q, l'an- 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 383 golo pri] c ditì'erente d;i 0° e da 180° e quindi (I) le geodetiche corrispondenti r'p', r'q' formano in r' un angolo pure differente da o" e da i8o°. Dunque se le geodetiche r'p', r'if si dicono parallele alla /)'(/', in quanto segnano il trapasso dalla schiera di quelle che intersecano la p' q' alla schiera d; quelle che non la intersecano, si può enunciare il risultato dicendo che : da ogni punto (reale) della superficie si possono sempre condurre due geodetiche (reali) parallele ad una medesima geodetica (reale) che non passi per quel punto, e queste due geodetiche tanno tra loro un angolo ditìerente tanto da o" quanto da 180°. Questo risultato s'accorda, salva la diversità delle espressioni, con quello che torma il cardine della geometria non-euclidea. Per iscorgere subito, nella geometria pseudo- sierica, l'interpetrazione di qualche altra affermazione della geometria non-euclidea, consi- deriamo un triangolo geodetico. Ognuno sa che quando si studiano figure esistenti sopra una superficie la quale non sia sviluppabile sopra un piano, riesce spesso opportuno, per la più facile intelligenza, di delineare in piano un'altra figura, la quale, senza essere ricavata dalla prima secondo una determinata legge geometrica, serva tuttavia ad iiidicanie approssimativamente la disposizione generale, riproducendone le più sostanziali relazioni di sito. Perchè la figura indicativa adempia a tale condizione, bisogna che tutte le gran- dezze, si lineari che angolari, della figura data, vi si trovino sostituite da grandezze di eguale specie (rispettivamente); bisogna inoltre che le lunghezze di due linee corrispon- denti, e i seni di due angoli corrispondenti abbiano sempre fra loro un rapporto finito, poco importando poi che tale rapporto varii arbitrariamente da una parte all'altra della figura, purché non diventi mai ne nullo né infinito. È ovvio del resto che, in tanta latitudine di scelta, conviene far si che nella figura indicativa il rapporto anzidetto non presenti eccessive deviazioni da un certo valor medio. Ciò posto, se il triangolo geodetico testé immaginato ha tutti i suoi vertici a distanza finita, é chiaro che ogni triangolo piano può servire ad indicarlo. Questo triangolo piano potrebbe essere lo stesso triangolo rettilineo che ne forma la rappresentazione nel piano ausiliare, trian- golo., che sarebbe totalmente interno al cerchio limite. Si potrebbe ancora, secondo le circostanze, preferire un triangolo curvilineo, i cui angoli fossero p. es. eguali a quelli del triangolo geodetico. Ma se si suppone che i vertici del triangolo geodetico vadano allontanandosi indefinitamente e passino a distanza infinita, é chiaro che, mentre il triangolo stesso continua ad essere una figura esistente sulla superficie, con tutti i suoi punti, tranne i vertici, a distanza finita, la figura indicativa non potrebbe essere finita in ogni senso senza violare in qualche parte le condizioni che abbiamo formulato. Per es. il triangolo rettilineo rappresentante il triangolo geodetico sul piano ausiliare avrebbe i suoi angoli finiti, mentre quelli del triangolo geodetico sarebbero nulli. E un triangolo curvilineo coi lati tra loro tangenti nei vertici violerebbe del pari le condizioni anzidette in ciò che, prendendo due punti b, e sui lati che concorrono in un vertice a, si otter- 384 SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. [24 rebbero degli intervalli ab, he il cui rapporto sarebbe finito nei triangolo indicativo, infinito nel geodetico (fig. i"). Per togliere questa discordanza bisognerebbe che tutti gli intervalli analoghi a te fossero nulli nella figura indicativa, il che non potrebbe ottenersi altrimenti che dando aJ essa la disposizione (fig. 2"), dove il punto 0 concentra in sé stesso la rappresentanza di tutti i punti posti a distanza finita nel triangolo geo- detico. Una tale figura potrebbe concepirsi come risultante dall'osservare il triangolo geodetico con una lente dotata della proprietà (fittizia) di produrre un impiccolimento infinito. Infatti, in tale ipotesi, tutti gli intervalli finiti apparirebbero come nulli e gE infiniti come finiti. Giù concorda sostanzialmente con quello che ha notato Gauss nella sua lettera del 12 luglio 1831 a Schumacher *) nella quale è pur detto che il semiperimetro del cerchio non-euclideo di raggio p ha per valore .A ) dove k è una costante. Questa costante, che Gauss dice esserci offerta dall'esperienza come estremamente grande rapporto a tutto ciò che noi possiamo misurare, non è altro, secondo l'attuai punto di vista ed in base alla formola (8), che il raggio di quella superficie pseudosferica che noi introduciamo inconsapevolmente nella planimetria al posto del piano euclideo, ogni volta che le nostre considerazioni si appoggiano a quelle sole premesse che sono vere tanto per il piano quanto per tutte le superficie della detta classe. Volendo ora procedere a mostrare in modo più concreto l'accordo della geometria *) ^sggasi l'appendice alle Ètudes gèomélriques sur la thèorie des paralìiles di LoB.\TSCHEWSKY (tr.id. HoùKi,), Paris, 1866. 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 385 pseudosferica colla planimetria non-euclidea, si rende necessario di esaminare attentamente l'espressione analitica che abbiamo usata per rappresentare l'elemento lineare della su- perficie pseudosferica. E innanzi tutto si affaccia la seguente quistione : le due geodetiche che abbiamo chiamate fondamentali debbono essere scelte in qualche modo particolare perchè l'elemento abbia la forma anzidetta ? Veramente sembrerebbe che esse potessero essere scelte ad arbitrio, poiché se ogni pezzo di superficie è sovrapponibile in modo qualunque alla superficie stessa, chiaro è che due qualisivogliano geodetiche ortogonali esistenti in quel pezzo si possono far coincidere con due altre qualisivogliano, purché ortogonali del pari. Siccome però la quistione che abbiamo sollevata è essenziale per lo scopo nostro, così abbiamo creduto di dedicare ad essa la Nota II, nella quale, di- mostrandosi direttamente che le geodetiche fondamentali sono arbitrarie, risulta al tempo stesso provato, senza bisogno di ammettere preliminari conoscenze in proposito, che ogni pezzo di superficie è applicabile in modo qualunque sulla superficie stessa. In conseguenza di questo fatto e delle ragioni già esposte, i teoremi della plani- metria non-euclidea relativi alle figure rettilinee piane diventano necessariamente validi per le analoghe figure geodetiche esistenti sulle superficie pseudosferiche. Tali sono per esempio quelli dei n' 3-10, 16-24, 29-30, ecc. delle Elude:, géomélriques ... di Loba- TSCHEWSKY. Prendiamo ora a considerare le due geodetiche spiccate da un punto dato, paral- lelamente ad una geodetica data. Sia (ì la lunghezza della normale geodetica condotta dal punto a questa geodetica. Questa normale divide per metà l'angolo delle due paral- lele. Infatti staccando la striscia di superficie compresa fra la geodetica normale, una delle parallele e la corrispondente metà della geodetica data, invertendola, ed applican- dola di nuovo sulla superficie, in modo che la normale coincida con sé stessa, mentre la metà della geodetica data si sovrapponga sull'altra metà, é chiaro che la parallela limitante la striscia si deve sovrapporre all'altra parallela, senza di che dal punto dato si potrebbero condurre più di due parallele alla geodetica data. Chiamiamo angolo di pa- rallelismo l'angolo formato da ciascuna delle parallele colla normale e denotiamolo con A. Per calcolare questo angolo, facciamo uso della nostra solita analisi, ponendo l'origine (w := i; = o) nel punto dato e dirigendo la geodetica fondamentale v := 0 normalmente alla geodetica data; talché quest'ultima risulta rappresentata dall'equazione (( = atgh-^, come facilmente si rileva dalle formole (7'). A questa geodetica corrisponde nel piano ausiliare una corda perpendicolare all'asse .a delle X, bisecata da questo asse, uno dei cui termini ha per ordinata la quantità ^. cosh- BELTRAHt, tOmO I. 49 386 SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. [24 Questo punto del cerchio limite determina il raggio d'equazione senh-=- K al quale corrisponde sulla superficie una delle parallele considerate ; e poiché gli angoli intorno all'origine sono eguali sulla superficie e sul piano ausiliare, si deve evidente- mente avere (9) tg A. sen h ^ = I , formola che contiene la relazione cercata fra la distanza normale (5 e l'angolo di paral- lelismo A. Essa coincide con quella trovata dal sig. Battaglixi *). Per confrontarla con quella di Lobatschewsky basta scriverla sotto la forma e *-|-2e *cotA — 1=0, e dedurne - -j- — cos A + I sen A Il segno inferiore è inammissibile perchè -73- è quantità reale, quindi A tu — A = '^ 2 e R la quale è appunto la formola di Lobatschewsky (1. e, n° 38), salva la differenza dei simboli e quella che proviene dalla scelta dell'unità. Indicando, come fa Lobatschewsky (n° 1 6), con 11 {i) l'angolo di parallelismo rela- tivo alla distanza normale :^, si ha dalla (9) (IO) coshA^__l_, senh-^ = cotn(0. Ora, per una osservaziene del sig. Minding **), sviluppata dal sig. Codazzi ***), è noto che le ordinarie formole relative ai triangoli sferici si convertono in quelle rela- tive ai triangoli geodetici delle superficie di curvatura costante negativa, apponendo il *) Giornale di Matematiclic, voi. V (1867), pag. 225. • ••) Journal fùr die rciiic und angewaiidte Mathematik, Bd. XX (1840), pag. 52;. **•) Annali di Scienze fis'che e matematiche (del Tortolini), t. Vili (1857), pag. 346. 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 387 fattore ^ — i ai rapporti dei lati col raggio e lasciando inalterati gli angoli, ciò che equivale a mutare le funzioni circolari dei Iati in funzioni iperboliche. Per es. la prima formola della trigonometria sferica diventa a he, he. cos -Tj- := cos -5- cos -tt — \- sen -jr- sen -5- cos A A K K A A , a , h , e , h , e . cos h -5- = cos h -75- cos h -^ sen h -rr- sen h -^ cos A . K K K K K Introducendo invece dei lati a, h, e i corrispondenti angoli di parallelismo mediante le formole (io), questa relazione si converte nella seguente : A ^,/i\ ,, /■ \ , sen ll(i). sen n(c) cos A. cos li (h). cos li (e) -{ „ , . — ^^^ = i , e questa è una delle equazioni fondamentali della planimetria non-euclidea *). Analo- gamente si possono ottenere le altre. (Il passaggio inverso da queste equazioni a quelle della trigonometria sferica è stato indicato da Lobatschewskv, alla pag. 34, ma come un semplice flitto analitico). I risultati precedenti ci sem-'orano manifestare pienamente la corrispondenza vigente fra la planimetria non-euclidea e la geometria pseudosferica. Per verificare la stessa cosa da un altro punto di vista, vogliamo ancora stabilire direttamente, colla nostra analisi, il teorema relativo alla somma dei tre angoli di un triangolo. Consideriamo il triangolo rettangolo formato dalla geodetica fondamentale v = o, da una delle geodetiche perpendicolari /( = cost., e dalla geodetica uscente dall'origine sotto l'angolo [a, la cui equazione è 1) =: M tg U. . Chiamiamo [i.' il terzo angolo di questo triangolo. L'angolo corrispondente ad esso, nel piano ausiliare è 90° — ;x, epperò la relazione stabilita precedentemente fra gli angoli corrispondenti nella superficie e nel piano dà , w cos f/. a sen v- donde si scorge che quando y. è un angolo acuto, lo è pure [i-'. Essendo f = a tg y-, questa formola può scriversi, prendendo il radicale positivamente. tg(^ = l^fl^ cos'' (A — u^ a sen jì •) LoB.\TSCHEWSKY, I. C, n° 57. 388 SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA MON-EUCLIDEA. [24 donde a sen |/.. n d a di>.' = - (a' — u')]a' cos' y. — «= espressione dell'incremento che riceve [j.' quando, rimanendo costante y., si sposta il cateto opposto a quest'angolo. Giù posto se dell'elemento superficiale diidv \/EG — F\diidv = R'a- , (a^ — u' - vy si prende l'integrale rispetto a v, fra i' = o e v ^ h tg y, che si trova essere R'a sen y..tidn ossia -R'dy:, si ha l'incremento che riceve l'area del triangolo considerato, quando si sposta il cateto opposto all'angolo [j.. Integrando di nuovo tra y.' = 90° — [/.e y.' = y. (dei quali valori il primo evidentemente corrisponde ad u = 0), si ottiene «■(^ -,-,■) espressione dell'area totale del triangolo rettangolo. Da questa si passa tosto a quella di un triangolo geodetico qualunque AB C, dividendolo in due triangoli rettangoli con una geodetica condotta da un vertice normalmente al lato opposto, e si trova R\- — A — B— C). Questa espressione, dovendo riuscire positiva, manifesta che la somma dei tre an- goli di un triangolo geodetico qualunque non può mai eccedere 180°. Se essa fosse eguale a 180° in un solo triangolo, di dimensioni finite, bisognerebbe che fosse R = co , ed allora in ogni altro triangolo finito si avrebbe parimente A -\- B -{- C ^= r:. Ma per i? ^ co la (9) dà A = — , quindi l'angolo di parallelismo sarebbe necessariamente retto ; e reciprocamente. Queste sono pure le conclusioni cui giunge la geometria non- euclidea. Il triangolo formato da una geodetica e dalle due geodetiche ad essa parallele con- dotte per un punto esterno, ha due angoli nulli ed il terzo eguale a 2A; quindi la sua area è finita e data da R^(^-2\), 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 389 ossia, per la (^), da 2 R' arctg I sen h -^ j , dove S è la distanza dal punco alla geodetica. Per R molto grande questa quantità è prossimamente eguale a 2Ì)R, ed è quindi infinita per il piano, come è noto, ma non lo è che in questo caso. Un triangolo geodetico i cui vertici sono tutti all'infinito ha un'area finita e deter- minata, il cui valore r: R' è indipendente dalla sua forma. Un poligono geodetico di ii Lui, cogli angoli interni A, B, C, ... ha l'area R'[(n - 2)- - A — B - C — •••]. Se il poligono ha tutti i vertici all'infinito, la sua area, che non cessa d'essere finita, si riduce a (« — 2^~ R' ed è quindi indipendente dalla sua forma. Passiamo ora ad esaminare quelle curve che abbiamo chiamate, secondo un uso già adottato, circonferenze geodetiche. Alla fine della Nota II abbiamo trovato che la circonferenza geodetica col centro nel punto qualunque (ji^, v^) e col raggio geodetico p è rappresentata dall'equazione (11) =: cos h -^ ■ Quest'equazione generale ci diventa utile in seguito, ma ora possiamo approfittare delle semplificazioni che risultano dal supporre collocata l'origine (/t =i v ^ o) nel cen- tro della circonferenza considerata. Dando all'espressione dell'elemento lineare (come nella Nota II) la forma , , --, u>' (d ir + J v') 4- (;( i? log — , talché la circonferenza p = o non può diventare realmente un K parallelo se non si prende r^ ^ R. Il parallelo massimo ha il raggio R e corrisponde 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 395 al valore p = ^log-^ ; quindi con una opportuna determinazione di r^ esso può es- A sere occupato da una qualunque delle circonferenze considerate ; p. es. facendo r^ = ^ si ha la stessa circonferenza iniziale p := o. Il parallelo minimo corrisponde a p = co ed ha il raggio nullo, cosicché la superficie di rotazione si avvicina asintoticamente al suo asse da una sola parte, mentre dall'altra è limitata dal piano del parallelo massimo col quale si accorda tangenzialmente. Su questa superficie si ravvolge infinite volte la superficie pseudosferica, terminata alla linea p = o, se r„ = R. La curvatura tangenziale di un parallelo qualunque si trova essere -p-, cioè eguale per tutti. Ora il raggio della curvatura tangenziale di un parallelo non è altro che la porzione di tangente al meridiano compresa fra il punto di contatto (sul parallelo con- siderato) e l'asse. Dunque per l'attuale superficie di rotazione questa porzione di tan- gente è costante, la curva meridiana è la nota linea dalle tangenti costanti, e la super- ficie generata è quella che si suole riguardare come tipo delle superficie di curvatura costante negativa *). D'altra parte le circonferenze geodetiche col centro all'infinito corrispondono manife- stamente agli oricicli della geometria di Lobatschewsky (1. e. n' 31 e 32). Conservando questa denominazione noi possiamo dunque dire che un sistema di oricicli concentrici si trasforma, mediante una flessione opportuna della superficie, nel sistema dei paralleli della superficie di rotazione generata dalla linea delle tangenti costanti. Per avere una riprova della corrispondenza dei nostri oricicli con quelli di Lo- batschewsky, osserviamo che all'angolo diedro -p- di due piani meridiani corrispon- dono sui paralleli p, e p, i due archi s^, s^ dati da s, ^ Gè , J, =: «JC donde, chiamando t la distanza p^ — p^ , si trae formola che coincide con quella di Lobatschewsky (n° ^^'), salva la solita differenza nella scelta dell'unità. L'espressione (17) dell'elemento lineare è indipendente dalle coordinate {11^, v^") del centro degli oricicli considerati ; inoltre abbiamo veduto che ciascuno degli oricicli di un dato sistema può prendere il posto del parallelo massimo. Possiamo dunque con- *) LiouviLLE nella nota IV alla Application de ì'Aiialyse à la Geometrie di Mokge, Paris, 1850. 39^ SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON- EUCLIDEA. [24 eludere che due oricicli qualisivogliano della superficie possono sempre essere sovrapposti l'uno sull'altro. Per due punti della superficie pseudosf'erica passano sempre due oricicli, che sono determinati conducendo pel punto medio della loro congiungente geodetica una geode- tica perpendicolare, i cui due punti all'infinito sono i centri degli oricicli cercati. Gli archi di questi oricicli, compresi fra i punti dati, hanno una stessa grandezza, che di- pende unicamente dalla distanza geodetica dei due punti. Chiamando p questa distanza e <7 la lunghezza di quegh archi, si trova agevolmente col mezzo delle equazioni (15), (i(^) (dove p ha però un significato diverso) ^^^+ ^" ~ ^' ~ '^>^"^+ ^^ ~ ' - ""^''^ [ -\- 2 II V d u dv -\- 2 V t d V d t -\- 2 1 II d t d li] , formola la cui composizione a priori con tre variabili /, ;(, v è suggerita dall'ispezione di quella della (i) colle due variabili u, v, si verifica agevolmente che le deduzioni ana- litiche cui dava luogo l'espressione (i) sussistono integralmente per la nuova, e che il valore dì ds dato da essa è effettivamente quello dell'elemento lineare di uno spazio in cui la stereometria non-euclidea trova un'interpetrazione altrettanto completa, anaìilica- mente parlando, quanto quella data per la planimetria. Ma se alle variabili /, ;/, v se ne sostituiscono tre nuove p, p_ , p^ ponendo / = r cos Pj , ;( = SI trova ^5^ = Jp^+^A'senh-|-y(t?p;+sea^p..Jp;), formola la quale mostra essere p, p, , p, coordinate curvilinee ortogonali dello spazio considerato. Ora il sig. Lamé ha dimostrato *) che assumendo come coordinate curvi- linee "dei punti dello spazio i parametri p, p,, p^ di tre famiglie di superficie ortogonali, nel qual caso il quadrato della distanza di due punti infinitamente vicini è rappresentato da un'espressione della forma ds' = Wdf + H\d.]-{-H\d2\, le tre funzioni di H, H^, H^ di p, p^ , p^ che figurano in quest'espressione sono neces- sariamente soggette a soddisfare due distinte terne di equazioni a derivate parziali, che *) Le(ons sur Us coordonnées curviligiies, pag. 76, 78 (Paris, 1859). 398 SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. [24 hanno a tipo le due seguenti : d'H _ I dH dH I dH dH, 8p,5?, //, ap, 5f, //, 5p, d?, d_ ( I dH\ J_ / I dH\ 1 ÒH^dH^ P P Nel nostro caso // = i, //^ ^ i? sen h-^ , //, = i? sen h -^ san p , e per questi va- lori le prime tre equazioni riescono identicamente soddisfatte, ma le seconde lo sono solamente nel caso di R = co. Dunque l'espressione (i8) non può appartenere all'ele- mento lineare dell'ordinario spazio euclideo e le formole appoggiate ad essa non pos- sono essere costruite cogli enti forniti dall'ordinaria geometria. Per completare la dimostrazione dell'impossibilità di conseguire una costruzione della stereometria non euclidea, senza uscire dal campo della geometria ordinaria, biso- gnerebbe poter escludere la possibilità di attingerla altrove che in una estensione del metodo seguito per la planimetria. Noi non pretendiamo di provare che ciò non si possa assolutamente fare : diciamo solo che la cosa ci sembra molto improbabile. Abbiamo detto di passaggio che l'espressione (i8) serve di base ad una completa interpetrazione analitica della stereometria non-euclidea. Questa interpetrazione viene da noi indicata altrove *). Qui facciamo solamente osservare che ponendo nella (18) i = cost. si ottiene l'espressione dell'elemento Uneare di una superficie reale di curva- tura costante negativa ; talché quella superficie sulla quale abbiamo veduto verificarsi i teoremi della planimetria non-euclidea, può considerarsi come esistente tanto nello spa- zio ordinario, quanto nello spazio non-euclideo. NOTA I. La riduzione dell'elemento lineare di una superficie di curvatura costante negativa alla forma sotto la quale esso viene usato nelle presenti ricerche, si fonda sopra i ri- *) 111 uno scritto che deve comparire sugli Annali di Matematica pura ed applicata [serie 2", t. II (1868-69), pag. 232; oppure queste Opere, voi. I, pag. 406J, dove i principi! più generali della geometria non-euclidea sono considerati indipendentemente dalle loro possibili relazioni cogli ordinarli enti geometrici. Col presente lavoro abbiamo avuto principalmente in animo di attirare qualche interesse sopra tali ricerche, offrendo lo sviluppo di un caso nel quale la geometria astratta trova riscontro nella concreta ; ma non vogliamo omettere di dichiarare che la validità del nuovo ordine di concetti non è punto su- bordinata alla possibilità o meno di un cosiffatto riscontro. 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 399 sultad di una nostra Memoria col titolo di : Risolii-ionc del probhma : riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentale da linee rette *). Il principio che ha servito a risolvere questo problema è il seguente. Quando i punti di una superficie si fanno corrispondere, secondo una legge qualunque, con quelli di un piano, si possono sempre prendere per le due variabili indipendenti u, v che devono individuare i punti della superficie le stesse coordinate rettangolari x, y dei punti corrispondenti del piano. Ciò ammesso, se la rappresentazione dev'essere tale che alle geodetiche della superficie corrispondano le rette del piano, bisogna che l'equazione dif- ferenziale di 2° ordine delle linee geodetiche abbia per suo integrale completo un'equa- zione lineare fra u e v, e quindi bisogna che la detta equazione ditferenziale si riduca semplicemente a questa du.d^v — dv .d^'u =: o. Ora dalla forma generale dell'anzidetta equazione diflerenziale si ricava che ciò succede solamente quando le funzioni E, F, G componenti l'elemento lineare ds = iEdu' -\- 2Fdudv -(- Gdv' soddisfanno a quattro relazioni, le quali insegnano che all'elemento stesso si può sem- pre dare la forma _ p \/(a' + v') du' — 2 u V d u dv -^ (a' + ?/) d v' a s — A 21212 ? a -f- u -f- V dove R ad a sono costanti arbitrarie. Per riconoscere la natura delle superficie conte- nute in questa forma si è calcolata l'espressione della curvatura sferica (prodotto inverso dei due raggi di curvatura principale) e si è trovato per essa il valore -^ , donde si è concluso che le superficie in discorso hanno la loro curvatura sferica costante, epperù che queste sole superficie ammettono la rappresentazione piana colla condizione prescritta. Nella citata Memoria si sono supposte reali le costanti R ed a, perchè lo scopo in vista del quale quelle ricerche erano state instituite dava speciale rilievo a questa ipotesi. Ed appunto per ciò si è osservato che quell'elemento conviene in particolare ad una superficie sferica di raggio R, tangente al piano figurativo nell'origine delle coor- dinate e rappresentata sul piano stesso per mezzo della projezione centrale ; nel qual caso le variabili u, v sono precisamente le coordinate rettangolari della projezione del punto a cui quelle variabili si riferiscono. *) Annali di Matematica pura ed applicata, t. VII (1865), pag. 185; oppure queste Opere, voi. I, pag. 262. 400 SAGGIO DI IXTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. [24 Ma siccome i valori delle costanti R ed a sono realmente arbitrari, cosi è lecito supporli anche imaginarì, se conviene. Ed infatti cambiando quelle costanti in R\^ — i , a^ — I , l'elemento lineare risultante corrisponde ad una superficie di curvatura costante negativa — -^ , le cui linee geodetiche non cessano di essere, come nel caso prece- dente, rappresentate nel piano da linee rette, e quindi date da equazioni lineari rispetto ad II, V. Questo è il modo in cui si passa dalle formole della Memoria citata a quelle del presente scritto. La sola differenza essenziale fra i due casi è che in quelle le va- riabili u, V possono ricevere tutti i valori reali, mentre in queste esse sono contenute entro certi limiti, che vengono facilmente assegnati. NOTA IL Scrivendo l'espressione dell'elemento lineare sotto la forma , ^^, _ ^,w\dn' -\- dv-) -\- {udii -f vdvy si vede subito che per passare dalle primitive geodetiche fondamentali a due altre pas- santi per la medesima origme ed ortogonali fra loro, servono le solite formole della trasformazione delle coordinate rettangole in un piano, quando l'origine è comune, cioè Il = n' cos [X — v' sen [a , V = u' sen [J. -(- v' cos f/- , u', v' essendo le nuove coordinate e [j. l'angolo che la nuova fondamentale u' := o fa colla primitiva v := o. Lafatti da queste formole si trae u' -{-v' = u" + v"- , d h' 4- dv' = d ir + dv" , e quindi la (i) diventa (J-) ^^.. ^ j>. ^" (^^ »'' + d v") + (» ' du'-{-v'd v'Y ^ conservando la primitiva sua forma. [Di qui si vede che le geodetiche ortogonali a quelle che divergono dall'origine sono rappresentate dalle corde del cerchio limite per- pendicolari ai diametri che rappresentano queste ultime. Reciprocamente, affinchè due geodetiche intersecantisi ortogonalmente nel punto (ti, v) siano rappresentate nel piano ausiliare da due rette ortogonali, bisogna che l'una o l'altra di quelle geodetiche passi per l'origine (/» = i» = o), come facilmente si rileva dalla formola data nel testo por 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 4OI la trasformazione degli angoli. Questa proprietà diventa evidente nella projezione cen- trale della sfera]. Anche la lunghezza di un arco geodetico uscente dall'origine conserva nel secondo sistema la forma che aveva nel primo, essendo data da Vediamo ora l'effetto di un cambiamento d'origine. Per tal uopo prendiamo un punto qualunque Qi^, v^ e supponiamo che la fon- damentale v' = 0 del secondo sistema passi per esso, cioè supponiamo cos jj. ^ — - , 'o V^ . .. sen \>. = —2- e qumdi ''o , , uu' — vv' v„u' 4- ti^v' (3) " = ° , ° , ^ -= ° T ' dove r^ = \/ul -j- v^ . Indi formiamo un /(,t;-o sistema, colle coordinate u" , v" , avente per fondamentali la geodetica v' = o s l'altra geodetica condotta normalmente a que- sta per il punto (ii^, fj. Conduciamo dal punto (m' , v') qualunque una geodetica perpendicolare alla v' = o e chiamiamone q la lunghezza, p la distanza dalla primitiva origine (misurata sulla v' = 0). La (2) dà tosto mentre dalla (i') si deduce agevolmente, ponendo da' =^ o. . - R i/a' — «" + V' (5) 5 = 1" ^°- J ^ n , ■ La distanza geodetica p^ delle due origini (» = u ^ o), (^u^, v^) ha per valore Po = — 'og ^ ° , talché l'arco geodetico compreso sulla geodetica fondamentale v" ^ o del terzo sistema (che è la stessa cosa della v' = o), fra il punto (; — ^ ^f) — j — ^( . Ma chiamando a^ la costante analoga ad a nel terzo sistema, ed osservando che in que- BELTRAMl, tOmO I. $1 402 SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. [24 Sto sistema le quantità analoghe alle p, q del secondo sono p — p^ t q, è chiaro che in analogia colle (4), (5) si deve avere R , a+ u" R , tV — ir + v" P — P = — log ° ^ „ . o = — bg -- ° -^^ . Eguagliando queste espressioni con quelle date dalle (6), (5) si ottengono due relazioni, le quali forniscono (7) »"- ^-r/' -"-Vtf^" K = |V-0. La costante a^ rimane propriamente indeterminata, perchè non si possono avere che . . , . . n' v' , . . u" v'' , , . . equazioni ira 1 rapporti — , — ed 1 rapporti — , — . bembra pero conveniente de- terminare a^ colla condizione che per u" =^ o, cioè u' = r^, si abbia v' = v" , ed allora si trova a^ =z w^ ^= Ya' — u^ — l'I . Ritenuto questo valore le formole prece- denti danno _ a(a„r^ + du") _ aay - aa^-}-ry ' ' "aa^ + r^»"' e questi valori, sostituiti nella (i'), danno ^,. _ p. « - ^ndn"' + 2u"v"dH"dv" + (al-,r)dv"' («o — " — ^ ) Dunque anche il trasporto dell'origine non altera la forma dell'elemento lineare, il quale non ditierisce dal primitivo che per la sostituzione della a^ alla a, •cambiamento che non è punto essenziale. Per ottenere finalmente un quarto sistema alf;itto scevro da legami col primo, sur- roghiamo le due fondamentali ;(" = o, v" = o con due nuove geodetiche ortogonali aventi la stessa origine (((^, vj, il che sappiamo farsi ponendo u" = u'" cos V — v'" sen v , v" = /('" sen v -]- v'" cos v , e sappiamo pure che tale sostituzióne non cambia punto la forma dell'elemento. Ve- diamo cosi che la forma ammessa primitivamente per l'elemento lineare non è punto peculiare ad una determinata coppia di geodetiche fondamentali : il punto (u = v =^ o) può all'incontro essere uno qualunque della superficie, e la geodetica fondamentale i» = o può essere una qualunque tra quelle uscenti da questo punto. Tenendo conto delle relazioni trovate fra le coordinate dei successivi sistemi, e 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 4O3 ponendo per breviti p = — - cos V sen v , /> =: — — sen v -\ 2. cos v , ff :=: — ^ cos V -\ sen V , (7 = ^ sen v 5. cos v , "o ' o ' o "o ' o '0 )- cos V r sen v si trovano le seguenti relazioni finali fra le ;(, i» e le ;('", v'" " — 1 j^rn'" — ry" ' i^ru"'—ry ..'" U _1_ " a — fl„ Considerando tanto le ;(, v quanto le /('", v'" come coordinate rettangole dei punti cor- rispondenti di due piani, queste formole esprimono una dipendenza omografica fra i piani stessi, circostanza di cui si è parlato nella Memoria citata nella Nota I. Se si confronta la primitiva espressione dell'elemento lineare in funzione delle u, v, con quella finale in funzione delle ;('", v'" , si trova che esse si possono far coinci- dere ponendo od anche la scelta del segno essendo arbitraria in ciascuna forinola. Giù dimostra che la super- ficie pseudosferica, considerata come flessibile ed inestendibile, si può sovrapporre a sé medesima in modo che uno qualunque del suoi punti {a^, v^) passi ad occupare la po- sizione di un qualunque altro punto (/« = v = o), e che una qualunque delle geode- tiche uscenti dal primo punto (p. es. ki v'" = o) coincida in tutta la sua estensione con una qualunque di quelle uscenti dal secondo (p. es. colla v = o). Anzi la dupli- cità dei segni fa vedere che la sovrapposizione di due angoli geodetici di egual gran- dezza formati intorno a quei due punti si può operare tanto direttamente quanto in- versamente. Per es. l'angolo retto delle geodetiche u'" = o, v'" = o può essere ap- plicato su quello delle 11^=0, x; =: 0, tanto facendo coincidere u'" = 0 con w = o e v'" = o con v = 0, quanto facendo coincidere ;*'" = o con u = o e v'" = o con ti ^= o. Dunque ogni pezzo di superficie può essere sovrapposto, tanto direttamente quanto inversamente, su qualunque parte della superficie stessa ; epperò se in quel pezzo esi- 404 SAGGIO DI IN'TERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NOM-EUCLIDEA. [24 Stesse una figura (p. es. un triangolo geodetico) essa potrebbe ricevere sulla superficie tutti quegli spostamenti che una figura piana può ricevere nel suo piano, senza mai cessare d'essere eguale a sé stessa. Naturalmente quest'eguaglianza non si deve riferire che alle lunghezze delle linee ed all'ampiezza degli angoli, giacche la curvatura assoluta delle linee non entra qui in considerazione *). La proprietà ora dimostrata era già nota, ma la dimostrazione precedente ci sembra possedere quel rigore che la natura del nostro soggetto richiede. Del resto il teorema di Gauss stabilisce che se la proprietà in discorso può competere a qualche superficie, questa superficie è necessariamente fra quelle la cui curvatura sferica è costante. Non tralasciamo di notare un risultato utile che si deduce facilmente da alcune delle formole precedenti. Il cerchio geodetico col centro nel punto (//^ , vj e col rag- gio p è rappresentato, nel terzo sistema, dall'equazione u"^v-- = altgV^, come risulta dalla formola (6) del testo. Ma dalle (7) di questa Nota, per essere «o = "'o = ^^^' — ''o > si trae ""^ + "'"' = (a--r„»y^^^^^"' - ''"^^ + ^'^J - (''o^')^' ' e dalle (3) si ha pure H _ , V — o o donde „, , _ "o("-"o) + ^0(^-0 „' _ »c(^-0 — ^'oO'— 0 ° r r dunque finalmente a' [(» — O' + (y — ^oY] — (»o^ — " O' _ ,„ ,,._L (ji- — jiu^ — vv^y ~ => R ' Quest'equazione fornisce la distanza geodetica p di due punti qualunque (h, i'). •) L'eguaglianza relativa di cui si parla sarebbe eguaglianza assoluta per un essere i cui concetti geometrici non eccedessero il campo a due dimensioni della superficie considerata, come i nostri non eccedono quello a tre dimensioni dell'ordinario spazio. 24] SAGGIO DI INTERPETRAZIONE DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA. 4O5 ("o » O- Quando questi punti sono infinitamente vicini essa riconduce immediatamente all'espressione dell'elemento lineare da cui siamo partiti. Sostituendo il cos h alla tg h la precedente equazione assume la forma più ele- gante u H„ — vv„ == cos h - - ^(a^-u^-v^)(ia^-ul-vl) R XXV. TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE *)■ Armali di Xatematiea pura ed applicata, serie II, tomo li (1868-69), pp. 132-2$$- In una Memoria inserita negli Annali di Matematica pura ed applicata **) ho cer- cato le superficie dotate della proprietà di avere le loro linee geodetiche rappresentate da equazioni lineari, ed ho trovato che questa proprietà si verifica per le sole super- ficie di curvatura costante e per certe variabili speciali che l'analisi del problema ha spontaneamente introdotte. Nel presente scritto espongo i risultati molto più generali a cui mi ha condotto l'ulteriore evoluzione di quel concetto, coordinato ad alcuni principi tracciati da Riemann nell'insigne suo lavoro postumo : Ueher die Hypothesen ivelche der Geometrie xu Grande liegen, non ha guari pubblicato dal sig. Dedekind nel XIII volume delle Memorie di Gottinga. Spero che le mie ricerche possano ajutare l'intelligenza di alcune parti di questo profondo lavoro. Certe locuzioni di cui, per amor di brevità, faccio uso frequente non parranno, io credo, né stentate né oscure a chi guardi più alla sostanza che alla forma. L'attento lettore non avrà da fare alcuno sforzo per intenderle senz'altra spiegazione, restandogli del resto piena facoltà di non attribuir loro che un significato meramente analitico. •) Una traduzione francese (dovuta ad HoOel) di questa memoria si trova inserita nel periodico (t Annales scientifiques de l'Écolc normale supérieure », t. VI (1869), pp. 345-375. [N. d. R.]. *•) Risoluzione dei problema : riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette, t. VII (1865), pag. 185; oppure queste Opere, voi. I, pag. 262. 25] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 4O7 L'espressione differenziale (i) d: - R ^^^^+'^^! -\-dx\+... +7^ ^ dove X, A-_ , x^, . . . x^ sono n -\- i variabili legate dall'equazione (2) ^^ + ^; + -^-ì + • • • + -v; = a' , mentre i? ed a sono due costanti, può risguardarsi come rappresentante l'elemento li- neare, ossia la distanza di due punti infinitamente vicini, in uno sparjo di n dimen- sioni, ciascun punto del quale è definito da un sistema di valori delle >i coordinate x^ , x^ , . . . x„ . La forma di quell'espressione determina la natura di questo spazio. Ponendo per brevità iì = ]/dx' -\- dx'^-{- ■■■ + dxl, le linee geodetiche dello spazio in quistione sono quelle che sodisfanno all'equazione colla condizione x^ x -\- x^^x^ -{- ■ ■ ■ -j- x„ S x„ ^ o . Mercè le solite trasformazioni della variazione dell'integrale, la prima equazione può svilupparsi così : e, stante la relazione che vincola le variazioni Sx, S.r^ , ... fV\'_, , dà luogo alle equa- zioni seguenti : dove k è un fattore da determinare. Ora, moltiplicando queste equazioni ordinatamente per .V, X, , ... x^ e sommando, si ha quindi, con riguardo alla (2), k ^ 0 ; epperù (4) dx^ = c^xlì, dx^ — C2xlì, ... dx^ = c„xiì, 408 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPA7.II DI CURVATURA COSTANTE. [2$ dove e, , c^ , . . . c^ sono costanti. Queste ultime n equazioni, quadrate e sommate, danno (5) " = - ■" dov e fi —c'x' yc] + cl^ ... ^d Questo valore di il rende identica la (3), della quale è perciò inutile tener conto; mentre !e (4), colla eliminazione di xiì e susseguente integrazione, danno Dunque le linee geodetiche dello spazio considerato sono rappresentate da h — i equa- zioni lineari fra le n coordinate .v_ , x^ , . . . x^ , a simiglianza di ciò cha ha luogo nel piano e nello spazio ordinario, quando si fa uso di coordinate cartesiane, e nelle super- ficie di curvatura costante, quando si fa uso delle variabili 11, v della citata Memoria. Fra i sistemi di linee geodetiche sono da notarsi specialmente quelli che si ottengono eguagliando tutte le coordinate, tranne una, ad altrettante costanti. Per ogni punto dello spazio passa una geodetica di ciascuno di questi sistemi, cui appartengono gli stessi assi coordinati delle .v^ , delle .v^ , . . . delle .v„ , per ciascuno dei quali le restanti coordinate sono tutte nulle : conviene chiamarli sistemi delle x^ , delle x^ , . . . delle x^^ . Per ottenere la lunghezza dell'arco geodetico p compreso fra due punti dati, si osservi che per la (5) si ha — i?— — — ^^^ ^' xYi —c^x'- donde ex = cos h ^ ■,^° Pg essendo una costante arbitraria ed x la funzione ^a^ — x\ — x\ — • • • — lc\. Indicando con x°, x\, ... x° i valori delle coordinate al punto p = o , cioè all'origine dell'arco, e con x° il corrispondente valore della funzione x, si ha (6) ..v e quindi, eliminando e, cosh ''°- x^cosh-^"- R P R cos h ?- ^ R 25] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 4O9 equazione cui si può dare la forma ( ^ ;c'senh'-^ ^''^ — = 2 -v x° cos h -^ — x' — x"' . cosh=-^ ^ K D'altra parte, avendosi dalle equazioni precedenti xi2 = -:^ = -i,itghP-^, le (4) danno ^■. = «. + -7-tgh^-^, ^. = «. + 7-tgh^-^, ..., ovvero, sostituendo alle costanti fl, , a^, ... le x° , x° , . . . , 0 p Xj — x° = Cj X x° sen h -k- , -t^^ — ^l =^ ^z^ ^° ^^^ " p > • • • > donde, quadrando e sommando, 2(a' — x,x° — x^x° — ... — x„x°) — .r — x°" = c'x'x"' senh' -|- . Quest'equazione, in virtù delle (6), (7), dà finalmente (8) ,-n.h4- _ a^^xX-^X ^.< R M{a^ -x\-x\ ^^) («^ _ ^f _ ^f ,0^) e questa è la formola generale che porge la lunghezza di un arco geodetico in fun- zione delle coordinate dei suoi termini. Supposte reali le variabili x, x, , ... x,^ e le costanti R, a, il limite dello spazio di n dimensioni qui considerato è lo spa:(io di ;/ — i dimensioni dato dall'equazione (9) ^: + ^-ì+--- + -< = ^^ Dentro questo limite, cioè per il primo spazio è continuo e semplicemente connesso. Dalla (8) risulta poi che i punti appartenenti allo spazio limite sono tutti a distanza infinita *). •) Le linee .virgolate del testo non compariscono nella Memoria originale, bensì nella traduzione BELTRAUl, tomo I. S' 410 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. [25 «In tutto il campo reale che abbiamo definito, il valore dì d s dato dall'equa- « zione (i) resta sempre positivo per ogni sistema di valori dei rapporti d x : d X-. • • • : d x . I 2 n « Se si considera un secondo sistema di incrementi ^n ^ Xj « ossia, per la (9), M'M" =MM' ~\- MM" — 2MM'.M.W".cos6, « dove 6 è un angolo reale. Quest'equazione dimostra la proprietà asserita, e fa com- « prendere come si possa assimilare ogni sistema di valori delle variabili x^, x , . . . x^ « ad un punto definito dalle sue coordinate. Egli è nello stesso ordine di idee che « due elementi lineari d s , ^ s si considerano come ortogonali, quando per essi si ha « ^ ^ — • , cioè, (9), quando gli incrementi (/, ^ ad essi relativi soddisfanno alla con- « dizione « che può chiamarsi, per comodità di linguaggio, condi:^ione di ortogonalità ». Consideriamo per esempio lo spazio di h — i dimensioni x^ = 0 e supponiamo che da un punto di esso escano due elementi lineari, l'uno ds esistente nello spazio stesso, l'altro hs diretto secondo la geodetica del sistema x^ passante per questo punto. In tal caso si ha . x, = o , dx^ = o , S x^ = S X = • • • = ^ ,v„ = 0 , <)x = o , epperù la condizione di ortogonalità è soddisfatta : vale a dire che ciascuna geodetica del sistema x^ (o più in generale x^) è ortogonale allo spazio x, =: o (risp. x^ = o) nel punto in cui lo incontra. In particolare modo dunque all'origine delle coordinate le direzioni degli n assi sono tutte ortogonali fra loro. Si dimostra con eguale facilità che l'asse x^ è ortogonale a tutti gli spazi x^ = cost. Le n geodetiche condotte da un punto arbitrario dello spazio nei sistemi x_ , x^ , ... x„ riescono perpendicolari agli spazi di M — I dimensioni x, = o , x^ = o , ... x,, = o , analogamente a quel che ha luogo nel piano e nell'ordinario spazio quando si usano coordinate rettangole. Chia- mando X, , X^ , ... X_ le porzioni di queste geodetiche comprese fra il punto dato e 412 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZH DI CURVATURA COSTANTE. [25 gli spazi cui sono rispettivamente perpendicobri, si ha 2 Vx' + Xl — X^ Consideriamo il completo sistema delle geodetiche uscenti dal punto determinato (x" , x° , ... x°) . Esso è rappresentato dal seguente sistema d'equazioni differenziali, l'ultima delle quali è una conseguenza delle prime, dx. dx, d X.. dx ^l ^l ^2 ^2 ^n ^u „ ^ dove si è posto per brevità La condizione (io) fornisce come equazione differenziale dello spazio di w — i dimen- sioni ortogonale a tutte queste geodetiche la seguente donde integrando dx, dx (12) " , "■"■ "'"' '" ^^^ = C. Ìa^-x\-x\ x\ Confrontando questa equazione colla (8) si vede che lo spazio definito da essa è anche il luogo dei punti equidistanti dal punto (x° , x° , ... x°), e chiamando p la distanza costante, si ha C = lV — x°l — xf — ... — xf . cosh-|- = x"cosh -|- . Siccome l'equazione (12), pel modo in cui fu ottenuta, sussiste anche quando il punto (x° , x° , ... x°) va all'infinito, cioè quando x° diventa nullo e p infinito, cosi si vede che in questo caso il prodotto x° cos h -~- converge verso un limite finito, che A I ^ . . non può differire da quello del prodotto — x°t' ^ . Quindi scrivendo p' — p invece di p e facendo andare all'infinito il punto (x" , x° , ... x°), mentre p rimane costante, si ottiene al limite l'equazione 2 0 0 0 0 (13) g — X, X, — x,x, — oc^, ^ ^^-^ f a - X, — X, - • • • - x„ 25] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZI! DI CURVATURA COSTANTE. 413 dove -< + •<+ ... +.xr=:a% e quest'equazione rappresenta un sistema di spazi ad ;; — i dimensioni, che possono essere definiti come le trajcllorie ortogonali di tutte le geodetiche convergenti verso uno stesso punto all'infinito (x° , x° , ... .\'°). Le varie traiettorie sono distinte fra loro dai valori del parametro p , che esprime la distanza costante fra una qualunque di esse e la traiettoria determinata p = o. La costante /; è data quando è dato un punto di que- st'ultima traiettoria. Ora si dimostrerà che la natura dello spazio fin qui considerato è tale che, limi- tandone una porzione qualunque e trasportandola in una posizione diversa da quella che prima occupava, si può sempre ottenerne la sovrapposizione con un'altra porzione corrispondente dello stesso spazio. Per concepire come ciò possa accadere si immagini disseminato in quella porzione di spazio un numero co" di punti, infinitamente vicini tra loro, e riuniti a due a due dagli archetti geodetici che ne misurano le mutue di- stanze. Ciò posto, la sovrapponibilità della quale si tratta consiste in questo, che in ogni altra parte dello spazio considerato si possono disseminare dei punti ad esso ap- partenenti, i quali hanno fra loro le medesime distanze mutue e la medesima disposi- zione che avevano quelli della porzione immaginata ; dimodoché il reticolo w'''''' formato dalle lince congiungenti i punti contigui di questa può essere completamente identifi- cato col reticolo analogo dell'altra porzione, senza che i legami di essi devano essere in alcun punto rotti o duplicati. Le alterazioni che il primo reticolo deve subire per identificarsi col secondo non possono del resto riescLre apparenti che quando si con- siderano l'uno e l'altro in rapporto ad uno spazio avente pia di n dimensioni : finché ciò non accade i due reticoli presentano il carattere dc\Veguaglian:^a per congruenza o per simmetria. Quest'ultima osservazione si collega con un ingegnoso riflesso di Moebius *). Suppongasi dapprima riferito lo spazio ad un nuovo sistema di assi geodetici delle y^, y^, ■ ■ ■ y„ , aventi la stessa origine dei primi ed ortogonali fra loro al pari di questh Siccome tutte le linee geodetiche sono rappresentate da equazioni lineari, così è chiaro che le sostituzioni per passare dalle variabili x alle variabiU y devono essere lineari: ma è facile convincersi inoltre che la loro forma dev'esser quella denominata ortogonale. Infatti la forma (8) mostra che la distanza dall'origine ad un punto qua- lunque (x, , x^, ... .v„) dipende solamente dalla funzione .v^ -f- -t^ -)- . • . -|- x'I . Si avrà dunque <+ <+ ■■■ + ■<= >•:+ yl+ ■••+ )•:, dx^ + dxl-i- ... +dx: = dy: + dyl+ ... ^dyl, *) Der barycmlrische Calcili, pag. 184 (Leipzig, 1827). 414 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. [25 epperò dx'-\-dx]+ ■■■ ^dx:,_dy'^dy]+ ■■■+dy: x' ~ y' ' Questa identità di forma dei due elementi rende manifesto che due reticoli in cui i vertici corrispondenti fossero legati dalle equazioni ^, = y, . ■^■. =)\' ■■■ ^„ = Jn sarebbero perfettamente sovrapponibili. Ora è chiaro che il secondo di questi reticoli non sarebbe altro che il primo girato intorno all'origine insieme coi primitivi assi, fino a che questi prendessero le direzioni dei nuovi. È dunque provato che la sovrapponi- bihtà di cui si parlava ha effettivamente luogo quando lo spostamento si riduce ad una semplice rotazione intorno all'origine. Anzi, siccome si potrebbe porre più gene- ralmente X, = + >',, ^', = ± ;', , ... A-„ = ±y„, con libertà di combinare i segni in modo qualunque, così è chiaro che oltre l'eguaglianza per congriienxji vi sono più specie d'eguaglianza per simmetria. Poiché un cambiamento d'assi, restando fissa l'origine, non muta la forma dell'ele- mento lineare, resta ora a cercare l'effetto di un cambiamento d'origine. E poiché, preso nello spazio un punto qualunque, si può già supporre diretto verso di esso l'asse delle x, , così é lecito prendere la nuova origine su questo stesso asse, nel punto Xj = a, . La nuova transformazione da eseguire consiste dunque nel mantenere l'asse delle X, ed i precedenti sistemi coordinati delle x^ , x, , . . . x,_ , e nel sostituire al sistema delle geodetiche perpendicolari allo spazio x, = o quello delle geodetiche per- pendicolari allo spazio x^ ^= i,, fra le quali si trova il primitivo asse delle x^ . Le nuove coordinate si chiameranno y, , y,, ■ ■ ■ y„ e si chiamerà b una costante avente, rispetto a queste. Io stesso ufficio della costante a rispetto alle x. Cosi si denomineranno F, , Y^, . . . Y^ le geodetiche analoghe alla X, , X^, ... X„ e si avrà manifestamente, come nella (ii), F = A log Ì^^2+2r . Ciò posto, si osservi che, rimanendo invariati i primitivi sistemi delle -v^ , x,, ... x„, si ha dapprima, per essi, Z^ = F^ e quindi (14) ^ = ±^' r = 2,3,...n. Quadrando e sommando prima queste equazioni, poi le loro differenziali, si hanno le aj] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 4I5 due forinole dove 0^ ^ dy' -j- dy' -f- • • • -f" ^>'^ • In secondo luogo se si considerano, sull'asse delle A-j , le porzioni X° , Y° intercette fra le due origini e il punto in cui l'asse stesso è intersecato dallo spazio x^ = x^ , si ha X^ = A log^ + ^ , 7° = -A log A+1. ° b — mentre la distanza delle due origini è data da — - log — ! — '- . 2 ° a — a, È chiaro dunque che bisogna porre ■ ' ' 2 ^ a — a/ cioè (fl + .V,) {a — fl.) ^ b + y, (a — A-,) (a + a,) b - j, ' donde /•,rN „ _ ^^(^'. — ''■) ^ _ ^O'V, + ^.^) Queste due formole danno luogo alle relazioni le quah, combinate opportunamente colla prima delle (15), conducono a queste altre due • — )/ à" — a- = ir \- a, -^ , X ' y y ^ ya' — a' = iz, — + a A X y y donde 41 6 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZZI DI CURVATURA COSTANTE. [25 In virtù di quest'ulrima equazione, la seconda delle (15) dà ^■v- + ^.v;+ ••• + ,/A-:_^/ + ^y;+ ••• -\-dy: f donde consegue che l'espressione dell'elemento lineare conserva la stessa forma anche mutando l'origine, e quindi, per un ragionamento analogo a quello di pocanzi, che la sovrapponibilità lia luogo in ogni caso, poiché basterebbe ora far uso di una nuova sostituzione ortogonale per rendere i nuovi assi affatto indipendenti dai primi. Le (14), (15, 1'), (17) danno ^•- = ± ab^aj/' r = 2,3,-..n, da cui e dalla (16, 2") si conclude che la più generale trasformazione d'assi ha luogo per mezzo di sostituzioni omografiche. Prescindendo da questa trasformazione delle coordinate x^ , x^, ... x„ in altre della stessa specie, vi sono altre trasformazioni che danno all'elemento una forma no- tabile. Quella che si potrebbe chiamar polare si ottiene ponendo primieramente ^, = '■>, , x^ — rl,, ... x„ — r\ , colla condizione ^? -|- ^! + ' " " ~f" ^%, = '• ^^ ^^'' s' ricava d<-\-àx:+ ■■■ +dx: = dr^ + r\ÌK\ dove d S."" ::^ d'k\ -{- d\l -\- ■ ■ ■ -\-d a' , epperò \ a' — r / ' a — r Ma chiamando p la distanza geodetica dall'origine, o polo, al punto (x, , x^, ... x,,), si ha Radr . r' , , p dunque (18) ds' = d?' -\-(Rscnh^^X d\\ forma che giustifica la denominazione di polare, poiché in essa le variabili sono il raggio vettore p, e le quantità 1 che definiscono la direzione di questo raggio. Da questa forma si passa facilmente ad un'altra che si potrebbe chiamare stcrcogra- 25] TEORIA FONDAMANTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 4I7 fica, e che si ottiene ponendo H, = 2Ì^tghJ^.>,., dove p e >.^ hanno i significati di pocanzi. Di qui si cava ' '^ ' R ' '' 2 A cos h — ^ 2^ , e: + c! + --- + e:' e quindi, quadrando e sommando le equazioni che risultano dalla penultima col fare r = I, 2, ... ;;, con riguardo all'ultima ed alla (i8). (19) ,,^iJi\-Vài\^----^^K ^ £: + ^: + --- + ^: 4^^ Questa forma è stata indicata, senza dimostrazione, da Riemann nella citata Memoria postuma (II, § 4). Riemann ha indicato un altro sistema di coordinate, dal quale egli trae la misura delle curvature di un dato spazio intorno ad un punto (II, § 2). Queste coordinate sono per certi rispetti analoghe alle ortogonali cartesiane, poiché si ottengono dalle po- lari col porre ^:, = p\. ^. = p^. . •••> ^„ = p\- Da queste si ha a k — — , P epperù, quadrando e sommando, àK^ , ossia n4 • ' dove il segno y comprende tutte le combinazioni binarie degli indici. Si ha pure d?^ = ^.; + ^.; + . . . + dc - ^ -. , BELTR&MI, tomo I. 41 8 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZI! DI CURVATURA COSTANTE. [25 laonde, sostituendo nella (i8), si ottiene finalmente (20) ds' = ck] + ch^i + . . . + d',: + -^ [(A sen h -^J- 1] y a, J^, - - A,)= , ossia (20') jr=: ••• d^,X ^' secondo dei quali è infinitamente vicino al- l'origine. Se dunque si divide la somma dei termini di 4" ordine nella (20') per il qua- drato dell'area del triangolo infinitesimo anzidetto, si ha il quoziente — ry^ ; e poiché, secondo la definizione di Riemann, tale quoziente moltiplicato per — — esprime la mi- sura della curvatura nel senso dell'elemento superficiale anzidetto, si vede che nello spa- zio qui considerato tale misura è costante ed uguale a ^ in ogni direzione in- torno a ciascun punto *). Egli è perciò che questo spazio può acconciamente esser chia- mato di curvatura costante. •) Per vedere la coincidenza della definizione di Riemann con quella di Gauss, si rammenti che, secondo Gauss, la misura della curvatura della superficie definita dall'elemento 25] TEORIA FONDAMENTALE DEGÙ SPAZI! DI CURVATURA COSTANTE. 4I9 Una quarta trasformazione, importantissima, è quella che si ottiene introducendo ;/ nuove variabili indipendenti r,, ■/;_ , ... r,^_^ e ponendo Rx Rx, Rx„ ■1.. Se ne trae immediatamente (21) ds = R a — -v., ' a — X.. ■10 donde si conclude intanto che la lormola (i) rappresenta l'elemento lineare di uno spazio di curvatura costante anche quando le ;; -|- i variabili x, x , . . . x_^ sono in- dipendenti fra loro e non punto legate dalla relazione (2), salvo che in questo caso il numero delle dimensioni dello spazio è h -f- i e non sussiste più la proprietà che le linee geodetiche sono rappresentate da equazioni lineari *). Ma una conseguenza assai notabile che si deduce dalla espressione (21) è che lo spazio ad n — i dimensioni Y] = cost. ha la sua curvatura nulla in ogni punto, poiché il suo elemento Hneare ha la forma ds = cost. Vd-r,\ -i-d-r>l-[- ■■■ -j- ti-<_, . Ed infatti, se si pon mente alla formola di Riemann (19), si vede subito che l'elemento non può ridursi ad essere la radice quadrata della somma dei quadrati di tanti diffe- è espressa da ^-^ , m essendo funzione in generale di 0 e di 0. Se la variabile 0 è la lun- m 0 p or r ghezza di un arco geodetico uscente da un punto della superficie nel quale questa abbia una curvatura ordinaria, la funzione in è della forma ih = p ( i -|- iii' p- ) dove in' è una funzione che per p = o non è né nulla né infinita [veggansi p. es. Annali di Matematica pura ed applicata, serie II, t. I (1867), pag. 358; oppure queste Opere, voi. I, pag. 342], e quindi la misura della curvatura nel punto p = o è uguale a — £ m'^ . Ciò posto, le coordinate di Riemans ^, = p cos 9 , 5;^ = p sen 6 danno all'elemento testi considerato la forma epperò la misura della curvatura nel punto p ^ o è, secondo Riemann, — lira — ° . Ora 4 p4 lim = 2 tu' ; dunque le due espressioni coincidono. p-o p* È chiaro che »/ , cioè (w') , dev'essere una quantità indipendente da 9. *) La forma (21) è stata indicata, per il caso di due sole dimensioni, dal sig Liouville, nelle sue note all'opera Application de l'Analyse à la Geometrie di Monge, pag. 600 (Paris, 1850). 420 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. [25 renziali esatti quante sono le dimensioni, se non si abbia -„- = 0. Lo spazio r, = cost. A è dunque uno di quelli che Riemann denomina piani (II, § i), e nei quali rientrano il piano e lo spazio ordinario, definiti dalle formole Ora l'equazione n = cost. ammette una molto semplice interpretazione, dietro quanto precede. Il punto all'infinito sull'asse delle .v^ ha per coordinate x_ = A-, = • ■ • = A-„_, = 0 , .v„ = a , e quindi l'equazione (13) diventa per esso ^ = k'e " dove k' = — . Dunque a epperù l'equazione ■/) = cost. equivale a quest'altra p = cost. , donde si conclude (poi- ché è arbitraria la direzione dell'asse delle .v_^) che lo spazio ad h — i dimensioni n = cost. non è altro che una delle trajettorie ortogonali di tutte le geodetiche conver- genti verso uno stesso punto all'infinito, cioè di un sistema di geodetiche parallele fra loro. Reciprocamente ciascuna di queste trajettorie ortogonali ha in ogni punto la cur- vatura nulla, epperò due qualunque di esse (appartenenti o meno al medesimo sistema) sono sovrapponibili l'una all'altra in tutti i modi possibili. Introducendo nella (21) la variabile p al posto della •/], si ha l'altra forma equi- valente (21') ds' = d^/-\- k" e " (d-A] + dr/^ + • • • + dr,l_^) . Si è già veduto che il complesso di ;/ — i equazioni lineari fra le coordinate x, , A-j , . . . x^ rappresenta una linea geodetica. Vediamo cosa rappresenti, più in ge- nerale, il complesso di h — m equazioni lineari. Supponendo dedotte da queste equazioni le espressioni di 11 — in coordinate in fun- zione delle rimanenti in, riesce manifesto che il numero dei parametri indipendenti con- tenuti in un tal sistema è {iii-\- 1) (« — in). Si immagini ora che tutte le n coordinate A-j , A'j , ... x„ vengano espresse linearmente in funzione di m variabili «,, m^, . . . //„, . Queste espressioni comprendono fra tutte (m -\- i) ii parametri, ma se si assoggettano 25] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 42 1 questi parametri a verificare l'identità ^: + K-\- ■■■ +< = «; + "!+ ••• +"l,-\-b\ (h restando indeterminata), è chiaro che si aggiungono con ciò — '^^ — — — - -\- dizioni, talché il numero dei parametri indipendenti rimane di (;h -|- i) ?ì — ^ ' -2 Ora questo numero eccede di — ^^ ^ il numero (/« -f- i)(n — /;/) ; dunque le re- lazioni ammesse fra le x e le u, colla indicata condizione, sono tali da poter sempre tener luogo, senza restrizione alcuna, del dato sistema di ii — in equazioni. Giù posto, da quelle relazioni, ponendo ir -J- „; -f- . . . -|- ul_ = a' — ìf = a" , J.r + ,f .v; -I- . . . + d.x: = dn^^d,r^ \- d u^ , III con- 2 ni. si deduce dunque colla condizione X = u ds = R Vdu'-{-du]+ ••• +dul tr -|- ;/; 4- ... -j- ul Conseguentemente il luogo dei punti rappresentati dal complesso delle ii — in equazioni lineari fra le coordinate ,v_ , x, , ... x„ è uno spazio ad in dimensioni, la cui curvatura è dovunque costante ed eguale a quella dello spazio primitivo. Così per es. ;/ — 2 equazioni lineari rappresentano una superficie di curvatura costante l uguale a j-j- \ , che conviene distinguere col nome di superficie di priin' ordine ; n — 3 rappresentano uno spa:^io a tre diineiisiùiii di curvatura costante Mugliale a ^|; ecc. Una hnea geodetica reale è individuata senza ambiguità da due punti dello spazio: nelle ipotesi fin qui ammesse non è possibile alcuna eccezione a questa proprietà. Una superficie di prim 'ordine è individuata senza ambiguità da tre punti dello spazio. Essa contiene tutta intera la geodetica che passa per due suoi punti reah, talché se due superficie reali di prim'ordine hanno due punti reali in comune, hanno del pari in co- mune tutta la geodetica individuata da questi. Un triangolo geodetico giace sempre sopra una determinata superficie di prim'or- dine, la quale è individuata anche quando il triangolo è infinitesimo. Perciò se si pro- lungano secondo linee geodetiche tutti gli elementi lineari contenuti in uno stesso eie- 422 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. [25 mento di superficie, le linee geodetiche cosi ottenute hanno tutte un luogo geometrico che è una determinata superficie di prim'ordine. Quando due superficie di prim'ordine si intersecano lungo una linea, necessaria- mente geodetica, il loro angolo ù dovunque costante ; cioè condotti da un punto della loro intersezione due elementi lineari normali ad essa, l' uno nella prima, l'altro nella seconda superficie, la distanza infinitesima dei loro termini è costante, se sono costanti le loro lunghezze. Infatti *) supposto diretto l'asse x, secondo la comune sezione delle due superficie, le equazioni di queste possono evidentemente esser messe sotto la forma {x^ = '», x„ , X. = /«. X, , . . . x„_, = m„_ , .vj , (x^ = in: .v„ , A-, = in. x„ , ... .v„_, = hi;,_, .vJ , dove le in, ni' sono parametri costanti. Queste due superficie sono intersecate dallo spazio -Vj =: a, secondo due geodetiche che, per una precedente osservazione, sono or- togonali all'asse x^ . I due punti di coordinate (a-, =^ a, , X, = m^ .v„ , ... .v„_, = »;„_, x„ , x„ = xj , (x, = «, , x^ = m\ x\, ... X ,_, = m;,_, A-;, , A-„ = x'J , giacciono rispettivamente sulla prima e sulla seconda superficie, e precisamente sulle due geodetiche anzidette, e la loro distanza p è data, (8), dalla formola , p a' — a^, — M A- x\ cosh- "^ — ' » « _. R Yia^ ^a]- nf xl) (a^ -a]- m'^ a-;;) ' dove si è posto m^ :^ I -j- mi -{-■■■-{- inl_, , m'^ = i -|- »;/' -|- . . . -j- ;;;['__ , M = I -)- wi, m[ -\- ■ • • -\- '"„_, '"!,_, • Da essa, chiamando e, a' le lunghezze delle due geodetiche comprese fra il punto co- mune Aj = flj ed i due punti considerati, si trae cos h -yj- = — , , cos h -jj- ^ , - , ^ |/fl^ — a\ — m'x\ R ya' — al — m"x'„' e quindi , e mx„ ,5' m' xl sen h ^r- ^ — . , sen h -rr = ^ Va' — al — m'xl ' K Va' — a] — vi" x'^' •) La seguente dimostrazione, che poteva a rigore essere omessa, si è inserita in grazia delle for- mole a cui conduce. 25] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 423 valori i quali mostrano che cos h -jr- = cos h -r- cos h -j^ ; sen h -yp sen h -jr- . K K K ìli in K K Siccome in questa formola non resta più traccia del punto a^ preso sull'asse x, , cosi si vede che da qualunque punto di questo asse si conducano nelle due superficie le geodetiche di lunghezza n, a', la distanza geodetica dei loro estremi è sempre costante. E poiché questa proprietà sussiste per lunghezze a, a' qualunque, necessariamente sus- siste per lunghezze infinitesime, donde scaturisce il teorema annunciato. Ricordando che in virtù di ciò che fu dimostrato precedentemente i triangoli in- finitesimi sono soggetti alle relazioni della ordinaria trigonometria piana, si riconosce M immediatamente, rendendo infinitesime le lunghezze p, n, a' che : è il coseno del- ^ ' HJ ìli l'angolo fatto dai primi elementi delle due geodetiche n, i', cioè delle due superficie. D'altra parte è facile vedere che il triangolo ora considerato può essere un triangolo geodetico interamente arbitrario ; dunque fra i lati a, b, e t gli angoli opposti A, B, C di un U"iangolo geodetico esistente nello spazio considerato, sussiste la relazione , . , a , b .e . b , e , (22 ) cos h —r-r- = cos h -7T- cos h -y. sen h -j^ sen h -^ cos A , insieme colle sue analoghe, la quale non difl^'erisce dalla formola fondamentale della trigonometria sferica che per il cambiamento di R in R"^ — i (R raggio della sfera), rimanendo invariati i lati e gli angoli. Ciò concorda pienamente con un fatto già av- vertito dal MiNDiNG *) e dimostrato dal Codazzi **), se si rammenta che il triangolo geodetico qui considerato giace intieramente sopra una superficie di prim'ordine, cioè di curvatura costante negativa, rispetto alla quale esso è pure geodetico nel senso or- dinario. Se si suppone retto l'angolo C, le due formole che si deducono dalla (22) colla permutazione degli elementi danno, opportunamente combinate, (23) tgh-|- = tgh-|-cosB. Se ora si imagina che il vertice dell'angolo A vada indefinitamente allontanandosi sul cateto b, mentre il lato a rimane invariato di posizione e di grandezza, l'ipotenusa e crescerà fino all'infinito, ed a questo limite le equazioni (22), (23) daranno cos ^ = I , tg h -=- = cos B . K •) Journal tur die reinc und angew.indte Matheraatik, Bd. XX (1840), pag. 323. ") Annali di scienze matematiche e fìiiche (del Tortolini), t. Vili (1857), pag. 346. 424 TEORIA FON DEMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. [25 La prima formola insegna clie A ^o, cioè che i due lati b, e si accostano asintoti- camente, quando il vertice dell'angolo A è all'infinito ; la seconda che il limite dell'an- golo B non è l'angolo retto, come nel piano, ma un angolo minore di 90°, la cui grandezza dipende dalla distanza a, mediante la formola (24) ^S— = <^ " (equivalente alla superiore). Se si chiamano parallele due geodetiche convergenti verso un medesimo punto all'infinito, come già si è fatto, si vede dunque che da un punto si possono condurre due distinte geodetiche parallele ad una geodetica data, che que- ste due parallele sono egualmente inclinate da una parte e dall'altra della geodetica condotta dallo stesso punto normalmente alla data, e che la loro inclinazione B sulla normale è legata alla lunghezza a di questa stessa normale mediante la relazione (24). Questo risultato s'accorda pienamente con quello che forma la base fondamentale della geometria non-euclidea, i cui principi, già famigliari a Gauss, sono stati compendiati mae- strevolmente da LoBATSCHEWSKY *) sotto uua veste sintetica. La possibilità della sua co- struzione col mezzo dell'ordinaria sintesi (limitatamente allo spazio di tre dimensioni) dipende in primo luogo da ciò che, come si è dimostrato, negli spazi di curvatura co- stante (positiva o negativa) ogni figura può essere mutata arbitrariamente di posizione senza subire alcuna alterazione nella grandezza e nella disposizione mutua dei suoi ele- menti contigui, possibilità da cui dipende Vesisten:ia delle figure eguali e quindi la vali- dità del principio di sovrapposizione. In secondo luogo negli spazi di curvatura costante negativa le geodetiche sono caratterizzate, come la retta euclidea, dalla proprietà di essere individuate senza ambiguità da due soli dei loro punti, talché vige p^r esse Vas- sioina della retta. E del pari le superficie di prim'ordine sono ' caranerizzate, come il piano euclideo, dalla proprietà di essere individuate senza ambiguità da tre soli dei loro punti, talché vige per esse l'assioma del piano. Inoltre le relazioni delle linee geode- tiche colle superficie di prim'ordine e di queste fra loro, sono le stesse di quelle delle rette coi piani e dei piani fra loro, poiché una di quelle superficie contiene tutui una geodetica tosto che ne contiene due punti, e due di quelle superficie si segano secondo una geodetica (e sotto un angolo costante) se s'incontrano in un solo punto. Da que- sta corrispondenza consegue che se si ammettono gli assiomi fondamentali della geo- metria ordinaria, escludendo il postulato delle parallele, i teoremi che si ottengono sono eguali a quelli della geometria dello spazio di curvatura costante negativa, poiché questa seconda geometria ha le stesse basi di quella, tranne il postulato anzidetto. I teo- •) Étiides ^éométiiqiies sur la tliéorit des p.irallèles (trad. IIoùEL), Paris, 1866. 25] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 425 remi di essa sussistono per ogni valore della curvatura, che è il parainelro della geo- metria non-euclidea (la quale io propongo di denominare pseudosferica), e le sole mi- sure prese nello spazio obbiettivo possono far riconoscere che il valore speciale della sua curvatura è :(ero, cioè che i? = oo per esso ; nello stesso modo che per sole misure si può assegnare la curvatura di una sfera data, che è il parametro della geometria sferica. Effettivamente si può verificare che la teoria di Lobatschewsky coincide, salvo nei nomi, colla geometria dello spazio a tre dunensioni di curvatura costante negativa. Chi ami vedere sviluppata questa corrispondenza ne potrà trovare altrove una più mi- nuta esposizione *). Qui, per non fare una troppo lunga digressione, mi limiterò ad alcuni cenni sommarli. La planimetria non-euclidea non è altro che la geometria delle superficie di cur- vatura costante negativa. Le circonferenze di quella corrispondono alle linee che tagliano ortogonalmente tutti i raggi geodetici uscenti da uno stesso punto della superficie, ossia alle circonferenze geodetiche. Il perimetro ne è dato in funzione del raggio geodetico /' dalla formola ■KRye^ — e~^), come aveva già enunciato Gauss. Per tre punti della superficie non si può sempre far passare una circonferenza geodetica avente il centro in un punto reale. Gli oricicìi o curve-limiti di Lobatschewsky non sono altro che le circonferenze geodetiche il cui centro è all'infinito, cioè i cui raggi formano un sistema di geodetiche parallele. Facendo nella (21') n:=2 si ha ds' = d?' -^]re~^d-rt\ espressione dell'elemento lineare della superficie di curvatura costante negativa riferita ad un sistema di oricicìi concentrici ed ai loro raggi. La forma di quest'espressione insegna che gli oricicìi possono diventare, mercè una flessione opportuna della super- ficie, i paralleli della superficie di rotazione il cui meridiano è la curva delle tangenti di lunghezza costante uguale ad R. La stereomjtria non-euclidea non è altro che la geometria degli spazii a tre di- mensioni di curvatura costante negativa. Si è già detto a che corrispondano, in questa geometria, le rette ed i piani. Alle superficie sferiche corrispondono le superficie che •) Si vegga il Giornale di Matematiche di Napoli, voi. VI (1868), pag. 284; oppure queste Opere, voi. I, pag. 374, dove le particolarità svolte per il caso di due dimensioni si possono agevolmente ripe- tere per quello di tre, massime se si tien conto dei risultati del presente scritto e se si ricorre ad una sfera ausiliare. BELTRAMI, tOmO I. 54 426 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. [25 tagliano ortogonalmente tutti i raggi geodetici uscenti da uno stesso punto, cioè le sfere geodetiche. Anche qui può danii che per tre punti, e molto più per quattro, non si possa far passare una sfera geodetica col centro in un punto reale. Le orisfere o siiperfick-Umìti di Lobatschewsky *) non sono altro che le sfere geodetiche il cui cen- tro è all'infinito, cioè i cui raggi formano un sistema di geodetiche parallele dello spazio di cursatura costante negativa. Facendo nella (21) «^3 si lia (25) is:=. R^''-^ +'< + '< , 'fi dove Rx Rx^ Rx^ a — .V. a — Xj ' a — x^ ' e reciprocamente 2aR-/], laRr,, X. — -T—. 5—1 T-. FJT , A- = ■1^ + < + < + ^^ ' ' ^ " ■')^ + ■< + < + R' ^■'- v + ,; + ,; + F La formola (25) rappresenta l'elemento lineare dello spazio non-euclideo riferito ad un sistema di orisfere concentriche ed a quello dei loro raggi. La forma di questo elemento insegna che ogni orisfera, essendo rappresentata da -n = cost., è una super- ficie di curvatura niilìa, poiché il suo elemento lineare ha la forma ii = cost. ^d-fi] -\- dr,l ; e che le variabili -/i^, r,^ sono le coordinate rettangole dei suoi punti. Una superficie di prim'ordine Zx, -[- '"^2 -\- nx. -\- p = o è rappresentata in coordinate /), -/j^, yi^ dall'equazione 2aR(h^-{- m VI J + Qi n -\- p) (v + r,; + r,;) = {a n - p)R\ epperò taglia l'orisfera (per la quale •/) = cost.) secondo un cerchio. Questo si riduce ad una retta solamente quando p ^ — an, cioè quando l'equazione della superficie di prim'ordine ha la forma /.v_ 4~ "^^2 4~ "C^- — '0 ^^ 0 , *) Ossia le superficie F di J. Bolyai. 2j] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 427 il che accade quand'essa è una superficie diametrale dell'orisfera, ossia passa pel cen- tro (all'infinito) di questa. In questo caso la linea d'intersezione è evidentemente un oriciclo di questa superficie diametrale, mentre rispetto all'orisfera è tale che si con- verte in una retta quando questa venga distesa secondo un piano. Di qui emerge che il triangolo tracciato sopra un'orisfera da tre superficie diametrali è in sostanza un triangolo geodetico esistente in una superficie di curvatura nulla, il quale perciò sod- disfa a tutte le relazioni dell'ordinaria trigonometria piana, poiché è esattamente appli- cabile sopra un triangolo rettilineo. Così tutti i concetti della geometria non-euclidea trovano un perfetto riscontro nella geometria dello spazio di curvatura costante negativa. Solamente fa d'uopo osser- vare che mentre quelli relativi alla semplice planimetria ricevono in tal modo un'inter- pretazione vera e propria, poiché diventano costruibili sopra una superficie reale, queUi all'incontro che abbraccLmo tre dimensioni non sono suscettibili che di una rappre- sentazione analitica, poiché lo spazio in cui tale rappresentazione verrebbe a concre- tarsi è diverso da quello cui generalmente diamo tal nome. Per lo meno l'esperienza non sembra poter essere messa d'accordo coi risultati di questa geometria più gene- rale, se non si suppone infinitamente grande la costante R, cioè nulla la curvatura dello spazio; il che per altro potrebbe non essere dovuto che alla piccolezza dei trian- goli clie noi possiamo misurare, ossia alla piccola estensione dello spazio a cui le no- stre osservazioni si estendono, non altrimenti da ciò che accade per le misure prese sopra una piccola parte di superficie terrestre, la precisione delle quali non è sufficiente a mettere in evidenza la sfericità del globo. Fin qui non si è parlato che di spazi ad ii dimensioni la cui curvatura è costante, ma negativa; del che è causa l'aversi avuto principalmente in vista il ravvicinamento dei concetti ad essi relativi con quelli della geometria non-euclidea, rispetto alla quale l'ipotesi opposta ha minore interesse. Nondimeno se ne diranno qui alcune poche cose. L'elemento hneare (.6)^ i. = i?Ì^STM+Z:+ZSZZ^, dove x^ = «^ + .v: + x:+ ... +.v:, appartiene ad uno spazio di ii dimensioni la cui curvatura è dovunque costante ed uguale ad -jj^ . Esso si ottiene da (i) mutando R, a ed .v in R]/ — i, ay — i, xV — I, e tutte le proprietà e le equazioni fondate sopra mere trasformazioni analiti- che dell'elemento (i) valgono evidentemente, coi cambiamenti indicati, anche per que- st'altro. Per es. la (8) si muta nella seguente 428 TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPA7.II DI CURVATURA COSTANTE. [25 (27) cos -^ = , I ■ . I 2 2 I I . .., ^ ^ J^(a= + -v; + ■ • ■ + -vD Or + .vf + ■ ■ • + A-r) formola che dà per p un valore reale, qualunque siano i valori reali di .y_ , x, , . . . .v„ ; x\, .v°, ... A°. È chiaro che per questi spazi sussiste integralmente il teorema della sovrapponibilità di due loro porzioni qualunque. Se nella (26) si suppongono reali le variabili .v, x, , ... .v„ e le costanti i?, a, i valori amn.issibili per le coordinate x^ , .v, , ... -v^, non hanno limite alcuno, e pos- sono variare fra — co e -|~ ^ • Pct tutti i valori reali di queste coordinate lo spazio è conliiiHO e sanplicemenU connesso, ma non infinito (Riemann, III, § 2), perchè se si fa nella (27) x: = \r, x: = \T, ... x: = \r, dove )-' + ^'^ + ■ ■ ■ ~(~ K = I, si ha per t = co , formola che dà per p un valore finito e determinato. Le linee geodetiche continuano ad essere rappresentate da equazioni Hneari, ma, stante l'ammissibilità dei valori infi- niti per le coordinate, il principio che due punti individuano senza ambiguità una geo- detica cessa d'esser vero sen:{a restiÌÀ^ione. Infatti siano ^■, = K -^"n + K . X. = b,X„ + // , le equazioni d'una geodetica. Finché uno almeno dei punti pei quali essa deve passare ha le sue coordinate finite, i coefficienti possono esser tutti determinati senza ambiguità. Ma se ambedue i punti hanno coordinate infinite bisogna mettere le equazioni sotto la forma X ' ^ .V ' X '~ X ' n n ti n e sostituire ai primi membri i valori limiti a cui convergono nei due punti. Se questi limiti sono eguali in entrambi, i valori dei secondi coefficienti restano indeterminati e la linea geodetica non è più unica ed individuata. Se poi i limiti sono diversi le coor- dinate della linea geodetica sono infinite in ogni punto. Le considerazioni che hanno condotto all'equazione (13) non sono apphcabiU agli spazi di curvatura costante positiva, poiché non esistono, per questi, punti all'infinito. Quindi gli enti rappresentati da quella equazione non hanno riscontro in questi nuovi spazi, come non lo hanno le geodetiche reciprocamente parallele. 25] TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTANTE. 429 Si vede che la geometria degli spazi di curvatura costante positiva [che può ac- conciamente esser chiamata geometria sferica in senso largo, stantechè, come insegna l'equazione (22), i triangoli geodetici vi soggiacciono alle leggi della trigonometria sfe- rica], differisce molto notabilmente dalla pseudosferica, sebbene abbia con questa in comune l'esistenza delle figure eguali. Del resto la geometria pseudosferica conduce spontaneamente a considerare gli spazi di curvatura costante positiva. Infatti ponendo nella (26) a X, X, SI trova colla condizione ds=RVdf + dy:-\- ■■■ -]-dy:, risultato il quale, posto a riscontro colla equazione (18) in cui siasi fatto p =: cost., insegna che le sfere geodetiche di raggio p nello spazio ad n dimensioni di curvatura costante negativa 7^ sono spazi ad 11 — i dimensioni di curvatura costante posi- tiva / \ . Quindi la geometria sferica può riguardarsi come contenuta nella R sen h -~ pseudosferica. Bologna, agosto 1868. XXVI. DUE LETTERE A J. A. GRUNERT. I. SOPRA UX TEOREMA DI GRUNERT •). Archlr der Mathetnatlk und P}t]/xik, Theil XLII (1864), pag. 117. Pour ce qui est du théorème fonJamcntal, il est s:ins doute trcs remarquable, surtout si on le rapproche de celui qua Gauss a donne relarivement à la mesure de la courbure et qui n'en devient que plus important et plus signifìcatif. Je remarque que sa véritè peut ètre rendue presque evidente par la considèration de l'indicatrice, qui, dans l'hypothèse T <^o **), est une ellipse. Soit en effet p un des rayons de cette ellipse. Le rayon de courbure R de la section normale correspondante peut étre de- signò par p^, et par suite on a, suivant vos notations, M(R)= — / fdw. ° ~ Jo Or f^dw est le doublé du secteur elliptique compris entre deux rayons infiniment *) La media aritmetica dei raggi di curvatura di tutte le seiioni normali di una superficie in un punto ellittico è la media geometrica fra il minimo e il massimo raggio di curvatura in quel punto. — Il teorema trovasi enunciato nell' « Arcliiv der Mathematik und Physik», Tlieil XLI (1864), pp. 292-293. [N. d. R.]. •*) Corrispondente a un punto ellittico. [N. d. R.]. 26] DUE LETTERE A J. A. GRUNERT. 43 1 proches p(u') et f(tv-\-dzv), donc / p^^izc est l'aire totale de l'ellipse, ■:z\/R'R", d'où • 'o M(R) = VR'R". Q Mais très probablement cette remarque ne vous a pas échappé, bien que vous a3'ez prcféré, et avec raison, de démontrer le thóorème à Faide des seules formules fondamentales de la théorie des surfaces, sans vous appuyer sur des notioiis moins simples ou moins directes. Celles-ci, du reste, pourraient se tirer bien facilement de vos formules, dans lesquelles elles sont implicitement contenues, ainsi que beaucoup d'autres dont vous avez peut-étre donne le développement dans le Mémoire intitulé : Aìlgcmàne Tbeorie dcr Kriimmuiig der Flàcben, que vous citez au commencement de celui-ci, et que je regrette de ne pas connaìtre. Pise, 20 avril 1864. II. SOPRA UN TEOREMA DELL'AUTORE *). Archiv der Sfatliematik und l*Iiysikt Tlieil XLIIl (1865), pp. 481-483. J'ai re^u de mème deux envois de feuilles sóparées de votre «Archiv» contenant des démonstrations de quelques théorèmes de geometrie donnés par moi dans un de mes travaux. Je vous remercie infìnimcnt de la peine que vous avez prise d'appeler l'attention des géomètres sur ces théorèmes, et beaucoup plus encore du soin que vous avez voulu prendre d'en chercher les démonstrations par la voie purement analytique ') Si allude al teorema : Se per i tre vertici di un triangolo si conducono Ire rette parallele, indi Ire nuove rette formanti colle bissettrici degli angoli del triangolo angoli rispettivamente eguali a quelli delle precedenti, queste tre ultime rette si incontrano in uno stesso punto, situato nella circonferen;^a circo- scritta al triangolo. (Vedi queste Opere, t. I, pag. 62, nota). [N. d. R.J. 432 DUE LETTERE A J. A. GRUNERT. [26 en y déployanc votre élégance accoutumée. J'avais, il y a quelques annces de cela, développé par l'aualyse trigonométrique les nombreuses relations auxquelles donne lieu la considóration du triangle rectiligne, des centres de ses cercles inscrits, exinscrits et circonscrits, etc. Mais la plus grande paride de ces relations ayant été trouvée par d'autres, il serait inutile de publier mon travail. Je dois citer, en particulier, comme tris riche en résultats, le petit mémoire de M. Noeggerath cité par ce mème auteur à la page 89 de vos Archives, t. XLIII. L'extension à l'espace de trois dimensions a été, presque en méme temps, l'objet de deux travaux, l'un de M. Prouhet *) et l'autre de moi-mème **). Je crois vous avoir envoyé un exemplaire de ce dernier article. Mais la matière est loin d'étre épuisée. Pour moi, il m'est impossible de m'en occuper à présent. En réflcchissant de nouveau sur le théorème démontré par vous, page 102, t. XLIII ***), j'ai reconnu qu'on peut le rendre évident par les élcments de geometrie de la manière suivante. Soit ABC \s triangle donne f), auqucl je circonscris un cer- cle. Prenant les milieux A', B', C des arcs soustendus par les cótés E C, C A, AB respectivement et joignant A A', BB', CC, j'obtiens les bissectrices internes du trian- gle. Cela fait, soient AD, B E, CF les parallèles menées des sommets suivant une certaine direction. Pour mener par A une droite faisant avec A A' le méme angle que AD, il suffit évidemment de prendre un are A'J=A'D et de joindre AJ. De mème, pour mener de B une droite faisant avec E E' le méme angle que B E, il faut prendre de E' un are égal à E' E, du coté oppose à B' E, savoir, à cause de E'C^=B'A, il faut prendre de C vers E un are égal k AE: mais, à cause des parallèles AD, E E, on a AE=:^DB, et, à cause que CD=^]B, on a aussi DE=CJ, donc AE^CJ, et la droite qu'on doit mener par B passe par le point /. Il en est de méme de la troisième droite, car on a AF—CD = EJ, AC =C'B, donc C F — C'J, et par suite la droite CJ fait avec C C le méme angle que C F. Ce qui démontré le théorème. On peut aussi le faire dépendre d'une proposition plus generale et très facile à démontrer. Voici de quelle manière. Soit A, B deux points et AO, EO deux droites fixes. Posons OAB^^x, OBA — ?>. Par les points A et B menons deux parallèles AD, 5£formant un angle 0 avec AB; puis par les mémes deux points menons deux nouvelles droites AJ, BJ également inclinées que les deux parallèles sur les droites fixes A 0, E 0, respective- •) Nouvelles Annales de Mathèmatiques, 2'""= sèrie, t. II (1863), p. 132. *•) Giornale di Matematiche, voi. I (1863), pp. 208 e 354; oppure queste Opere, t. I, p. 73. ••*) È il teorema dell' A. sopra riprodotto. [N. d. R.J. ■}■) Il lettore è pregato di costruirsi le figure. [N. d. R.j. 26] DUE LETTERE A J. A. GRUNERT. 433 ment. On aura évidemment /£^ = 2{i + fl, JAB = 2x — h, et par suite AJB= i8o° — 2(a + r^)= 2AOB— 180°. Donc l'angle des deux droites Al, BJ est indépeudant de celui que forment avec ^5 les deux parallèles AD, B E. Il s'eusuit que, quand la direction de ces deux droites varie, le point / se meut sur une circonférence, passant par les deux points A et B *). De cette propriété generale dècoule immédiatement le théorème ; car, lorsque les deux parallèles se superposent le long de A B, le point / se trouve en C, au som- met d'un triangle ABC dont les bissectrices eu A, B sont A 0, B 0, et dont par suite CO serait la troisième bissectrice. Ainsi la circonférence en question passe par ce troisième point C. Il est facile d'apercevoir l'identité de ce dernier résultat avec le théorème dont il s'agit. Mais c'est assez pour cet objet ; et je vous prie instamment de me pardonner ces faciles développements. Pise, 7 avrU 1865. •) Cette propiiété subsiste ancore quand on substitue aux deux parallèles AD, DE deux droites concourant en un point variable d'une circonférence passant par A et B. BELTRAKI, tOmO I. $S INDICE DEL TOMO I. Pagine Prefazione alle Opere Matematiche di Eugenio Beltrami ; per Alberto Tonelli, Preside della Fa- coltà di Scienze della R. Università di Ro.iia v Eugenio Beltrami. — Estratto dalla Commemorazione letta da Luigi Cremona alla R. Accademia dei Lincei, nell'adunanza solenne del io giugno 1900, onorata dalla presenza delle LL. MM. il Re e la Regina ix I. Intorno ad alcuni sistemi di curve piane i Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo IV (1861), pp. 102-108. IL Sulla teoria delle sviluppoidi e delle sviluppanti 8 Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo IV (1861), pp. 257-2S3. III. Di alcune formole relative alla curvatura delle superficie (Lettera al profes- sore B. TORTOUNI) 36 Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo IV (1861), pp. 283-284. IV. Soluzione d'un problema relativo alle superficie di second'ordine. ... 38 Giornale di Matematiche, voi. I (1863), pp. 68-73. V. Intorno alle coniche dei nove punti e ad alcune quistioni che ne dipendono. 45 Memorie dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, serie II, voi. II (1862), pp. 361-395. VI. Estensione allo spazio di tre dimensioni dei teoremi relativi alle coniche dei nove punti 73 Giornale di Matematiche, voi. I (1863), pp. 208-217, 354-36o. 43^ INDICE DEL TOMO I, VII. Sulle equazioni algebriche 52 Giornale di Matematiche, voi. I (1863), pp. 123-124. Vili. Risoluzione di alcune questioni proposte dal giornale « Nouvelles Annales de Mathómatiques » ^j Kouvellcs Annales de Mathématiques, dcuxième sèrie : tome li (1863), pp. 181-184; tome II (1863), pp. 209-212; tome II (1863), pp. 302-307; tome III (1864), pp. 64-66; tome IV (1865), pp. 232-233. IX. Ricerche di Analisi applicata alla Geometria 107 Giornale di Matematiche, voi. II (1864), pp. 267-282, 297-306,331-339, 355-375; voi. Ili (1865), pp. 15-22, 33-41, 82-91, 228-240, 311-314. X. Intorno ad alcune proprietà delle superficie di rivoluzione 199 Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo VI (1864), pp. 271-279. XI. Sulla flessione delle superficie rigate 208 Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo VII (1865), pp. 105-138. XII. Risoluzione di un problema relativo alla teoria delle superficie gobbe . 244 Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo VII (1865), pp. 139-150. XIII. Sur la courbure de quelques lignes tracées sur une surface . . . . 255 Nouvelles Annales de Mathématiques, deuxième sèrie, tome IV (1865), pp. 258-267. XIV. Risoluzione del problema : « Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette » 262 Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo VII (1865), pp. 185-204. XV. Di alcune proprietà generali delle curve algebriche 281 Giornale di Matematiche, voi. IV (1866), pp. 76-92. XVI. Dimostrazione di due formole del sig. Bonnet 297 Giornale di Matematiche, voi. IV (1866), pp. 123-127. XVII. Di una proprietà delle linee a doppia curvatura 302 Giornale di Matematiche, voi. V (1867), pp. 21-23. XVIII. Intorno ad una trasformazione di variabili 306 Giornale di Matematiche, voi. V (1867), pp. 24-27. XIX. Lettera ad A. Mogni 310 Giornale di Materaariche, voi. V (1867), pp. 89-92. XX. Sulla minima distanza di due rette 314 Giornale di Matematiche, voi. V (i867_), pp. 351-354. INDICE DEL TOMO I. 437 XXI. Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque 318 Annali di Matematica pura ed applicata, scric II, tomo I (1867), pp. 329-366. XXII. Annotazioni sulla teoria delle cubiche gobbe 354 Rendiconti del Reale Istituto Lombardo, serie II, voi. I (1868), pp. 130-137, 407-419- XXIII. Sulla teoria delle linee geodetiche 366 Rendiconti del Reale Istituto Lombardo, serie II, voi. I (1868), pp. 708-718. XXIV. Saggio di interpetrazione della Geometria non-euclidea 374 Giornale di Matematiche voi. VI (1868), pp. 284-312. XXV. Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante 40^ Annali di Matematica pura ed applicata, serie II, tomo II (1868-69), pp. 232-255. XXVI. Due Lettere a J. A. Grunert 430 Archiv der Mathematik und Physik, Theil XLII (1864), p. 117; Theil XLIII (1865), pp. 481-483. Fine del Tomo I delle Opere Matematiche di Eugenio Beltrami. TipogiHifia Matematica di Jt*filertìto, ii, via Villareale. (270.1500.58) 4-6-1902. BINDINGsrCT. mism QA 3 B45 t.l Beltrami, Eugenio Opere matematiche Physkal & Applied Sci. PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY