PARISIIS, 

Ex officina Andrew Wccheli, 
1 5 5 7 * 



PENAM REGIVM 

Matheraaticum, 



AD 

ftfcl LL VSTH. I JSIMV M PRINCIPZM CAROtVM 

LOTHARINCVM CARD IN ALt M« I, 



V C L I D I S 

Optica & Catoptrica e Greco 

VERSA PER IOANNEM 






MH 



wmmm 






. ' . • C2o%. <43,} a\1>o f 4 / wi 

iO s c>hJQOtr/ ';•<• 



J1& 



\y -v • 
J 



i/ A aV; WA.OI j*-h 

. 34 v : o r a ,r 

LECTORI. 



Scholia qux plerifque locis Interiedta funr , ad difficiliorcS 



!• • 



demonftrationu locos referurur: quos ideo afterifco norauimm, 

tula I 



vt ftudiofus le&or fciar que> fingulafcholiapcrtincanr.Porro er- 
rata emendentur hoc modo. 

^ag. 18. lin. ao. Quarc juy.maior apparetqu£m|U(J'. Sc. c. 
Erin Catoptricis primo phxnomcno lege- irem inplanis 
fpeculis occupato eolpeculi loco in quern cadir. & . c. 
Secundum phxnomenon ita legatur.itcm in conucxis fpc- 
culis occupato eo loco per quem . & . c. 

Pag. j$. lin. 13. a cerni no polTc occupato lftco in quo eft y. 
Ibid. lin. ja . cerni occupato loco in quo eft y. 

Pag . jtf . lin . 10 . ipfurn ce non ccrui occupato eo loco in 
quo eftd'. 






rl 




I 




dferNOL 




Carolo Lotharingo 

PRINCIPI ET CARD I- 

‘ KALI ILL VSTRISSIMO 

IoannesPena 

S. D. 

v c L I D I s Jo Sir in am earn qua 
docet naturam & proieSlionem ra - 
diorum 3 t vifus i luminum ) colorum > 6 “ 
formafum 3 quaque de omnium a/pe- 
cl abilium ftgura,firu , magnitudme , 
numcro , , 7 juiete , (^r dijlantia 
prudent er iudicare monJlrat 3 Larindmfecimus,& tibi , 
Principum clariJZimo , nuncupauimus . y^cTjr de noua 
•verfione cogitaremu 5 3 effecitvettts tranjlatio , rff/ro 
uerfuyVtinde fatis colhgi polity quod Maurolycus non 
t acuity interprctem ilium quanuis Grata di Si ion is non 
ignarum , art is tamen imperitia plurimis lot is lapfum 
ejfe . Cuius rei jidem faciunt eius tfanflatior.is tbeore- 
mata aliquot , a quibus demonjlratidncs adco ahena 
funt , vt prouerbium , Falces poflulabam , mtrito dhs 
congruere popit \aliud enim proponitur , aliud long? di - 
uerfiwt probat ur. Sed nccthcorcmata omnia illic fnnt, 
& plurima fcbolia dejunt , qua ad rem non mediocritcr 

A ij faci - 




V 



Thcorr.tf. 

Cr 3 9- 




faciut } vtbunc libcllu legend co flab it . Quare de nou.t 
•verflone merito cogitauimus/ed multo maxima radone 
earn tibi> Principum illuflriflimo,nuncupauimus:in quo 
non folum dfciplinas CP* virtutes cxcellenteis admira - 
mur fed flngularem etiam amorcm in artes & virtutes 
promouendas fuflicimus . Alec liter arum ornandarum 
dejyderium t ant urn cognofcimusfed incredibile quod- 
dam in te Jludium bums Mcademi* illujlrand * con - 
templamur.ltaque iam per re vnum , viuunt liter * , te 
vno nituntuTyte celebrant , tibi id quod Junt , acceptum 
ferunt.Sed cum reliqut; artes tibi mult urn debeanr>plu- 
rimum tamen debent Mathematic* yquas iacentes CP* 
pene defter at as , eo die inflaurafliy cum tantus Prin - 
ceps Matbematicam diflutationem augufla tua pr *- 
fentia bone flare >elquc non modo interejfe, fed etiam pr$ •• 
ejfe voluifli . Otd dies } mil/t ne an Matbemadciadi- 
fciplinis fcelicior il!uxerit> mibi incertum efl , certe perte 
( P rincipum clarifime)CP* ego Cp* Mathematic * artesl 
lucem fumus confecutiycum 6” me Kegium Matbema- 
ticum defignafliyCr mult a ingeniorum millia ad Ma-. 
tbemadca fludia incitafli . Ergo vt grad animi ffeci- 
men oflendamuSytibi b*c duo opufcula facramus : mole 
quidem exigua fed propter rerum contcntarum magni - 
tudinem.baud indigna qua tibi ojfeTantur. ValeyPrin - 
ceps illuflrifimc. 



EVCLI- 



* 

r 

i 







?Ol. 4 ? 
/*. lo 

Optica, 

LATINE REDDITA PER 

IOANNEM PENAM RE- 

gium Mathematician, 

AD 

llluflriftimum Principem Garolum Lotkaringum 
Cardinalem. 

v m eaqux ad afpciftum attinct,demon- 
ftrarct, iucundas aliquot rationcs adfcre- 
bat, quibus concludcrer, Omnem lucem 
fecundum re<ftas lincas fcrri: huiufquc rci 
maximum argumentum dabat , turn vm- 
bras b corporibus proic&as , turn radios 
per feneftras & rimas dclatos:quorum ni- 
hil fieri videremus,vt nunc fit, nifi radii 4 
Solemifsi,inrc<ftam lineam tenderent . Diccbat ctiam, radios 
ab igne hoc noftro cmifsos , caufam elTc cur obic<fta quxda cor- 
pora partim illuftrentur, partim vmbrasiaciant, nunc xqualcs 

obic&is corporibus,nunc maiorcs,nunc minores . Atque xqua- 
lcs quidem vmbras ab ijs corporibus proiici diccbat,qux xaua- 
lia client Iplcndidis Sc luccntibus ignibus: In his cnim acciacre 
aficrcbat, vt & extremi radii ficrcnt parallcli , Sc ncque concur- 
rendo,vmbram minucret, neque fefe cxphcando.cam augcrent, 
fed quale cflet obi#<ftum corpus,talcm vmbrz commcnfum radij 
ilii feruarent. Minores verb funr vmbrz corporibus, cum lumi- 
na illuftrantia maiora lunt.cxtrcmos cnim radios concurrcrc, ob 
ldquc vmbram minorem rcddcrc contingit. Maiorcs denique 
funt vmbrq obic&is corporibus, cum illuftrantia lumina, minora 
funt. Accidit cnim in his,vt extremi radij felcdilatent Scopaca- 

tam partem maiorcm faciant. Quod fieri poire negabat, nifi ra- 
il dij. 





z 



EVCLIDIS 



dij,quos lumen proijcit,in redam lincam tcndcrent. Sed id om- 
nium clarifiimc fpedari poteft in his,qu^ ad id demonftrandum 
pr^cipui comparara funt . Si cnim luccrnx cuipiam vt libet pofi- 
tx,apponatur tabclla , cui rimula per tenuem fcrrulam fada fir, 
ita vt rimula ilia medio luccrnx rcfpondcat, huic autem tabcllx 
ex altera eius parte, altera tabella prope admoueatur,in quam in- 
cidat radius per rimulam delatus,i nueniemus radium ilium, qui 
per prioris tabcllx rimulam in pofterioretabellam fcrtur.rcdis 
omnino lincis contincri : cum quoque qui medium luccrnx Sc 
rimula tabcllx concdit,in cade cfle reda linca. Itaque cu omne 
lueem ferri in redam lineam,cuidens cuilibct Sc cxploratum fie, 
inde fe ad afpedus explicanoncm conucrrcns,concedendum ce- 
fuit.vt radii ab oculo manantes, in redam lineam ferrentur, ita 
tamenvt alii ab aliis interuallo aliquo diftarent: Ex quo fieri di- 
ccbat ,vt nullum afpedabile fimul totum fpedarctur.hanc ratio- 
ne adferes: S^pcnumerocnim acu aut alio eiufmodi corpufculo 
aliquo in terram delapfo , cum plerique illud ftudiofius quxre- 
rent,eodcm modo f^pius fruftraquxiiuerunr,cum nihil impedi- 
rct,quo minus corpu(culum,quodqu$rebant,cerneret;Ettamen 

f >aulo poft.cum oculos in cum locum coniicercnt,in quo erat il- 
ud corpufculum,acum vidcrunt. Ex quo coftat.cum corpufculu 
ipfum in terram delapfum non ccrnatur,ncque locum ipfum,in 
quo illud collocatu erat, ccrni : ideoque non omnes partes loci 
fubiedi oculo fpedantis,videri:Si cnim omnes loci partes cernc- 
rcntur,ipfum quoque corpufculum , quod difquiritur , ccrncrc- 
tur. atqui id non ccrnitur. Quinctiam conucrlus ad cos, qui in- 
tends oculis libros infpiciunt,afleruit nc hos quidem viderc pofi. 
fe omnes litcras vnius paginq,cb quod fijpe coadi litcras quafda 
rarb Sc fparfim feriptas onendere,id nb poflent, propterca qubd 
oculorum radii non ad fingulas litcras feruntur,ncc continui Sc 
coiundi inter fe funt,fcd aliquo intcruallo alii ab aliis diftant:at- 
queidcoplcrafqucobiedarumliterarum non ccmunc . Ex quo 
patctjforc vt torus paginx locus non vidcatur: Hoc idem in aliis 
qux videnrur,vfu vcnit:Quo circa qux ccrnuntur, fimul tota no 
cerncntur.exiftimantur autem ccrni propter nimiam cclcritatcm 
radiorum nihil omittcntium,id eft, continue & obiter per rem 
fubiedam delatorum:nec ita falientium , vt aliquam partem in- 
tadam prxtcreant . Illud verb quod plerique dicunt, imagincm 
a re vifa ad oculum flucrc , qua motus oculus rem vifam com- 
prehendat, ita refcllebat : Nam Sc de corpufculo quod difqui- 
rebatur,& de co qui intends oculis librum infpiccrct , hanc du- 

bitadonem 



OPTICA. 3 

birationcmadfcrcbat: Sivifiofiat aftluxu fimulacroru adocu- 
lum,ab omnique corporc fimulacra contincnter fluanr,qux 
noftrum fcnfum moueant , qui fit vtacumquqrens, earn non 
vidcar,aut libru atrcncc infpicicns,omnia clcmcnta non ccrnat? 
ldne idco fit, quodmentem maioribus rebus intcntam habeant? 
Arqui nihilofcci'is ratiocinantur, dumrcm quqrunt, nec plani 
inueniunt : Etramen Iqpc dum alios alloquuntur,& mcnrem 
aliis rebus occupatam & diftra&amhabent,ciriusrcpenunt. At 
(inquiunt)non omnia fimulacrain vifum confluunt . Vndc igi- 
tur ht(inquam)vt quqdam non influant,fcd potius cxcludantur? 
Enimuero dicebat Euclides , naturam in animalibus,fenticndi 
inftrumcnra ita fccifle, vt corum qu^dam ad recipiendum acco- 
modata cllcnt,qu^dam non: Audirum quippe ,guftatu & odo- 
ratum intus caua fccir,vt rccipercnt corpora venientia exrrinfe- 
cus,qu?hos fenfus moucrent: Vox emm adauditumapplicans, 
locum idoncum reperire debuit,vtincoaliquandiu mancrer, 
ne fi ftarim poll applicationcm indc rcfilirct, lcnfum immotum 
redderer, voccmqucdelaram confundcret. Eadcm rationeodo- 
ratum cauum fecit natura : Nam dc guftaru, quid diccrc attinet? 
Concaui ergo & cauernx inftar a natura fadlifunt hi (enfus,vc 
eis adhibita corpora diutius immorentur . Quamobrem fi in vi- 
fione,corpora vifum mouentia ad vifum potius accedant extrin- 
fccus.quam vt oculus aliquid ex fe cmittat , deberet ipfe oculus 
cauusdTe,vtad rcceptioncm fimulacrorum cflet commodior. 
Idautcm aliccrfc habere con fiat: Globofum cnim cflcoculum, 
pcrfpicuum ell. Hxcigicurinprxfcnriacifiifficcrc vifa funt,vt 
confirmarcr, radios effufos & cmifios cfte,qui videdi affc<ftu mo- 
ucant.Porro vt oftcndcret circunferctias in cade fuperficic cu vi- 
fupofitas,rc<ftas hneas oculo vidcri,has rationcs adferebat.Quia 
vilus in code piano pofitus ,in quo eft res fpc(5lara,ralc habetfitii, 
vt neq, fublimior fit,qua res qux fpc&arur, ncque depreflior ( id 
cm eft efie in eode plano)Si ergo vifus neq; fublimior,ncque hu- 
milior fit , qua circufcretia, qux in code piano deferibiturrradi- 
osigitur proiicit no fublimiorcsquide ad has circuferenti? par- 
res , dcprdfiorcs verb ad illas:fcd radios omnes per planum dela- 
tos xqualiter ad omnes circumfercntix partes cmittit , vt eadcm 
caufla fit, cur & planu.in quo eft oculus,rcdtx lincx fpecic habe- 
ar,& circumfcrentia in code piano deferipta. Planuenim.'quod 
re<ftx line^ inftar ad oculum ponitur,id eft, quod produiftum fc- 
cat centrum oculi , ipfum quidem cerni non poteft , propterca 
quodnullus radiorum ab oculo cmifToruminilludcadit : cius 

B ij verb 



E V CLI D I S 

verb extremum ccrnitur , quod eft reda linca . Id veto idco di- 
cit,quia ca linca, qux oculo obieda manet , rcliquis plant parti- 
bus ofticicns,ptohibct planum ccrni . Eadem verbeaufla^u^ 
cfficit vt planum,<juod in redam lincam ^d oculum pofitum eft, 
redalincacfle videatur , efficit etiam vt circumfcrcntiarum in 
eodem piano iacentium,in quo eft oculus,partim maiorcs appa- 
rcant, cbm plurcs radij adeas applicant rpartim qquales, cum 
$qualcs:parrim minores.cum illi vcluti radiorum anguli , qui ad 
oculum fiunt , minorcs funt . 

I. Vonatur ergo y radios a. b oculo emijJos y in reftam lineam ferri, ali- 
quoque interuallo inter ft di flare. 

I. ltem,fguram a radii* comprehenfam, ejje conum.qui yerticem ha- 

beat in oculo ,bafim yero in extremv rerum yifarum. 

3 . I tem,ea cemi y ad qux radij perueniunt. 

4. I tem y ea non cemi,ad qux radij non perueniunt. 

5. Item, qux fub maiore angulo cemuntur.maiora exijlimari. 

6 . Item, qux fub minore angulo cemuntur, minora putari. 

7. Item, qux fub xqtuli angulo cemuntur, xqualia exiJHmari. 

8. Iff n», qux a fublimioribut radijs yidetur.fublimiora apparere. 

9. Qj*/t yero d deprefsioribw , deprefsiora. 

10. Item, qux a dexterioribut radijs fpeflantur, dexttriora apparere. 

I I . Qux yero d finifterioribuf.fmijleriora. 

ia. Item, qux fub pluribus angulu f}eflantur,accuratius yideri. 

c igitur a nobis pofira fint.c quibus fequen- 
tia thcoremata demonftrentur. 



OPTICA. 



THEOREMA i. 



N V L L V M afpe&abile fimul to- 
tum cernitur. 



Sit cnim afpedabilc aliquodjOt S. oculus ve- a 
to G , a quo radij pcrgant Gx t Gy, 

Quia igitur radij ab oculo cxilicntcs icafc- 
runtur,vr aliquo intcruallo alii abaliisdi- 
ftcnc,( per i.poftulatutn) non ergo continui 
incidunt in aipedabile a S . Sunt igitur ali- 
qua interualla in x S , ad qux radii non per- 
ucnient.Quarc totum a tS, fimul non ccrnc- 
tur . cxiftimatur autem totum fimul ccrni, € 

propter dclatorum radiorum celeritatem. 



accuratius cernuntur. 

Sit oculus G, afpedabilcs verb magnitudincs 
y S.&C x A,qux xquale: 
dx funt: propior auten 
x A .& emittantur ab o 
G A. nunquam diccmu 
G oculo ad x A tendent 
punda* .Alioqui trial 
maius diet latere y S t 
X A pofitaeft xqualis i 



pluribusradiisconlpicirur,quam x A. Accuratius igitur cerni- 
tury^quam xA. 



Qubd autem fi radii G x Sc G A tranleant per 
punda y & ^neceflc fit latus x A maius cfle 
latere y S,Cic fan£ oftendetur . Sit cnim vt in 
fubiedo triangulo fadum eft . Ciim ergo in 
redas parallclas x A Sc y S , redx linex G x 
& G A incidant : duo igitur anguli G x A 8c 
G Ax, duobus angulis GySScGSy funt x- 
qualcs (per 19 . primi Elemctorumjob ldque 




THEOREMA z. 

^Equalium magnitudinu inter fe di- 
ftantium , quse propius 





SCHOLIVM. ye 




B iij duo 



E V CL l LM 5 




duo rriangulaacquiangulafunt Gy S & Cx A.Ergo vrC x adx A, 
fic Gy ad y <T(pcr 4.fcxti Elcmentorum)& viciflun vt G x ad G y, 
fic x A ad y S ( per \ 6 .quinti Elem. ) Eft autem G k maior quara 
G y Ergo ctiam x A maior eft quam y S. 

THEOREMA 3. 

Alpe&abilium quodlibet certam ha- 
bet interualli longitudinem,qua ex- 
pleta,iam non cernitur. 

Sit oculus G , afpcdtabilc vero y S . dico y S * 

pofte collocari in aliquaintercapedine ab o- 
culo,cx qua iam non ccrnctur . Sit cnim y S \ 
in intcruallo quod eft inter radios Gy ScGS. y' 

Sc fupra illud lit x. «Nullus igitur radius ex G 
ocaloadx perucnict. Ad quod autem radii 
non perueniuntjillud non cerniturfpcr 4.po- 
ftul.) Quocirca vnumquodque afpc&abili- 
um.certum habet interualli modum,quo cx- 

{ >leto,iam non cernitur. Oportet tamcn inter afpedabile Sc ecu' 
um,aliquod efle intcruallum , alioqui ccrni non pofler. 

SCHOLIVM. 

Id fortaflis obiiciat quifpiam : Cum non folum Gy Sc GS radii 
tendant ad y S magnirudincm, fed multo plurcs Tint inter pu&a 
y &<T,qui adcandcm magnitudincm ferantur: igitur magnitu- 
dinc y S longius ab oculo fcmota , ctiam/i Gy ScGS radii ad cam 
non pcrueniant,tamcn radii intermedii ad earn pcruenienr.Nos 
igitur hxc obiicienti /ati/Facicmus,hoc modo. Quanuis'y S ma- 

f nitudo nonnihil femora ab oculo non atcingatur a radiis Gy Sc 
<T,led a radiis intermediis : tamcn ft cadem magnitudo longif* 
iime femoueatur ab oculo, ncab intermediis quidem radiis ar- 
ringetur. 

ALIA THEOREM ATIS 
demonftratio. 

Efto oculus £,afpedabilc verb /it y ^quod cernatur fub GyS an" 
gulo minimo.dico ccrni non po/Tc y S magnirudinem,fi longius 
remoueatur a G oculo. E fto ( inquam ) femoueatur longius ab o- 
culo , ponaturque in x . Ccrnctur ergo fub paucioribus radiis 
quim antea. Scd cernebatur fub pauciftimis,propterca quod an- 

gulus 



optica: 



gulus y G S ponitur eflc minimus . Daretur ergo pauciflimo pau- 
cius , quod fieri nequir. 



THEOREMA 4. 

^Equalium interuallorum in eadem 
re6lalineacollocatorum,quas e lon- 
giore interuallo (pe&antur , minora 



apparent. 

Sint enim xqualia mtcrualla G y , y S, S o- 
culus autem (it x,i quo proccdant radii x G, 
K y ,x S,k Sirque x G ad redos angulos ip- 
fi G £ • quia igitur in redangulo triangulo x 
G l xqualcs funt G y,y S,S £ *maior ergo eft 
Guy angulus angulo y x S' Sc angulus y x S 
angulo S x maius igitur apparet G y intcr- 
uallum quam y S- & y S quam S £ 

SCHOLIVM. 




Sit triangulus x C cuius angulus qui ad G, redus fit: funto autc 
Sc Gy,yS,S^, i nrcr ^ c xqualcs conncdancur y 'x &<Pxdico 

angulum G x y , maiorem efTe angulo y x S * Sc angulum yx<P 
maiorem efte angulo <fx a pundocnim y 
ducatur reda lincay A ,qux fit parallels ipfi 
«Tx (per ji.primi Element. ) Eft igitur vt Sy 
ad y G,fic x A ad A G (per z.fcxti Elem . ) ./£- 
qualis porr6 eft<P'y ipfi-y ^ * quare xqualis e- 
tiam eft x A ipfi A G . Et quia angulus qui ad 
G redus eft, maior igitur eft Ay reda, quam 
A G (per i^.primi Elem.) ipfa autc A £ xqua- 
lis eft ipfi A x . Quare A y maior eft quam A 
x: obidquc angulus Ax y, maior eft angulo 
Ay x(pcr i8.primi Elcm.)angulo autc Ayx xqualis eft angulus 
y x (T(pcr 29-primi Elc.)funt enim altcrni anguli. angulus ergo A 
x y , maior eft angulo y x <$*. Rurfum a pundo S ducatur S ir pa- 
rallel ipfi ^x 'conftat ergo lineam ttS maiorem cflc linea7rx. 
quocirca angulus tt x S , maior eft angulo ir S x • ipfi autc ir S K 
angulo , xqualis eft angulus S x £(pcr ij.primi Element. )quarc 
angulus 7r x S maior eft angulo S x 





Theore- 




z EV CL- I'D IS 

THEOREMA j. 

AEquales magnitudines inaequaliter 
diftantes,inqquales apparent, & per- 
petuo maior , quae propius ad ocu- 
lum pofita eft. 

Sit y S xqualis ipfi x A- oculus autem fit 6,a quo radii proccdant 
G S,G A,6 K t Gy . Cum igitur y S Tub maiori 
angulo fpedetur , quam k A , maior apparct 
^<r,quam x A(pcr j.poftulatum.) 

SCHOLIVM. 

Magnirudo y S fiib maiorc angulo ipedatur 
quam magnitudo x A . Si cnim yS Sc k A, 
altera alceri ita applicctur.vt pundum x cum 
pundo y ,8c pundum A cum pundo S con- 
gruat: cum dux linex GkScG A , duabus li- 
ncis By Sc B<T,maiorcs fint: igitur triangulus b yS, cadet infra 
G x A triangulum : quare lateta b y Sc b S contincbunt angulura 
y b maiorem angulo x G A(per 2i.primiElcmcntorura.) 

THEOREMA 6. 

Parallela interualla eminus fpe<ftata,in- 
aequalis latitudinis apparent. 

Sit cnim ipfius G y ad S £ intcruallum parallclum , oculus autem 
fitx. dicohasduas magnitudines G y ScS£ xquidiftares inter fe, 
videri tamcn inxqualiter diftarc , ma- (o A 

iufquc Temper apparcrc propius inter- * 
uallum remotiore . proccdant cnim 
radii x |,x tt,k £,x S , x v,x A .conne- 
daturq-, redx | A, 7 r v,8cG S. cum igi- 
tur maior fit angulus | k A, angulo 7r 
X v. maior ergo apparct redaj A, qua 
it »(pcr y. poftulatum ) cadcmquc ra- 
tionc7rv reda maior apparct, quam 
reda G S. Non ergo videntur parallela 
interualla, led temper coardari Sc in- 
xqualiter diftarc videnrur .Quare pa- 

rallcla interualla eminus /pedata, inxqualis latitudinis apparct. 

Hoc 




OPTICA. 



> 



Hoc igittft modo fit demonftratio , 
cfim oculus eft in codem piano , in 
quo fpedatum intetuallum : Quod ft 
no fit in eodc pIano,dem6ftratio fiet, 
rt fequitur. Sitcnim x oculus fublimi- 
or piano illo , in quo eft intetuallum, 

& ex x in fubiedum planum ducatur 
perpendicularis x ot. & ex ot in A ^ du- 
catur perpendicularis a ju,quz produ- 
catur verfus o , incidantque radii x C, 
x HjX £x <f,x v,x A . & coniungantur 
X /u,x |,x o . Quia igitur ex x pundo 
in fublimi pofito,ad fx pundum deduda eft reda linea x fr«per- 
pendicularis ergo eft x f*,ad A fx. eodcmquc modo x f ,ad ti w . Sc 
x o,ad 6 Triangula ergo redangula funt x [x A,x f v,x o <T . eft- 
que | v, ipfi fx A zqualis.parallclogrammum cnim eft fx v.vtraque 
au^em ipfarum f x,x v, maior eft vtraque ipfarum fx x,x A. maior 
igitur eft angulus fx x A,anjgulo f x v.Quare tota £ A, maior appa- 
ret quam tota n v . cademque rarionc tota A maior quam fc <P . 
inzqualitcr ergo diftare videntur duz magnitudines € y,<P f quz 
tamcn re vera zquidiftantes funr. 

SCHOLIVM. 

Quomodo autem x fx perpendicularis fit in /u A, fie demonftra-. 
bimus.Cumexx pundo in fublimiconftituto in fubiedum pla- 
num duda fir perpendicularis x oc*ad omnes igitur redas ipi’am 
tangentes & in futnedo piano iacetcs,angulos redos facit.Quia 
ergo fx ot perpendicularis duda eft ad ^ A* igitur x ot, redum an- 
gulum facir cum ot ju ducatur linea ex ot in A,fitque ot A*ergo ot x, 
cum ot A.rcdum angulum facit. Cum itaque triangulus redan- 
gulus fit x ot fi.redum habens angulum x o tfx' quadratum igitur 
quod fit ex x. fx fubtendente redum angulum,qui ad ot,zquaIc eft 
quadratis quz fiunt ex x ot.ot fx . Item quia triangulus eft redan- 
gulusotjuiA.redum habens angulum ct/u A ‘quadratum igitur 
quod fit ex ot Ajzqualc eft quadratis quz fiunt ex x[x t fx\. Qua- 
dratum veroquoa fit ex x A,zqualc eft eis quz fiunt ex x ot,ot/tx, 
fx A . Scd quadratis quz fiunt ex x ot,ot fx , zqualc eft quadratum 
quod fir ex x /u’triagulus enim redangulus eftx ot ju, redum an- 
gulum habens x otffquadratum ergo quod fit ex x A, xquale eft 
quadratis quz fiunt ex X fx,fx A.Qupcirca(per 48. primi Elcme- 
torumjrcdus eft x fx A'quod oftendendum erar. 

C A L— 




:a EVCLIDIS; ♦ 

ALTERVM SCHOLIVM. 

Porrb qubd angulus juk A, maior fir angulo f K v, demonftrabi- 
miu hoc modo . Com triangulus x at fx, fit rcdangulus . rcdum 
habensangulum x a /u- angulus ergo x^a.acutus eft: quare 
obtufus eft x /u | angulus. Trianguli ergo obrufianguli x | fxUc 9 
K f .fubtendit angulum obnlfum qui eft adfi. maius igitur eft x f 
quam x/u. Quia ergo triagula funtredangulax f ¥, x Afx,qux 
redos hab 5 t angulos,qw adf,& fx. quadratuigirurquod fit ex K 
VtZquale eft quadratis quz fiut ex x \ ,fic f *(pcr 47. primi Elem.) 
Eadem ratione quadratum quod fit ex x A, zqualc eft quadratis 
qux fiunr ex x /u & fa A . Quadrataaurequxfiunrcxx|,f v, raa- 
iora funt quadratis qux fiunt ex x fx, fx A.N am f v latus xqualc eft 
lateri/u.A,cumfitcioppofituin parallclogramouv Eft verb x| 
reda,maior quam rcdax/uiquadratuigirurquodfitexx v. maius 
eft quadrato quod fit ex x A. Quare x v maior eft qua x A.Oftcnfa. 
verb eft x | maior ,quam x /u:& f v,xqualis ipfi fx A.Si ergo lpfam 
H A aptauerimusipfi|v,itavtcaru extrema coueniar.cadet x fx A 
Triangulus,intra triangulum x f v.Ergofper zj. primi Ele.)maior 
erir/mx A aguIus,angulo f x r quod oftedere fuit operqprctium. 

THEOREMA. 7. 

Magnitudines acqualesin eadem re£ta 
liiiea procul a ieie pofitx , inxquales 




apparent. £ 

Sint enim xqualcs magnitudines £ y,A 
oculusautem fitx & ab oculox incidat 
radii x £, x 7, x , x £ . Sit autem redus y 
x angulus. Maior ergo eft angulus^ 

X ^.angulo C x 7 . Quare ( per 5 . poftula- ^ 
turn ) maior apparebit S' ^ , quim y £ . ob 
idque inxquales apparent £ y Sc S' ^ ma- ^ 
gnitu dines. 

THEOREMA. 8. 

^Equales magnitudines inaequaliter 
ab oculo diftantes,non feruant ean- 
a'tof. dem rationem angulorum, quam 
diftantiarum. 



A 



Sit 




v v 



optica: n 

Sit 67 magnitudo xqualis & parallclamagnitudini^- Sitquc 
o cuius x,aquo cducatur radii x{y,x 0 C,x £x i<P , quorum x y , 
fit ad angulos redos ipfi-y C. aflero fore vc non apparcat eadc ra- 
tio inter magnitudines Gy,8c <T^,quz inter intcrualla , yx,&£x. 
Quia cnim redus eft angulus <j^x. ergo ^ jv 

angulus ^ 0 x acutus eft (per ly.primi Ele- 
ment. )Quarc 0 x maior eft,quam H £ (per 
19 .primi Element. ) ob idque fi ccntro x, 
intcruallo autem x 0 , deferibatur circulus, 
cadet vltra ipfam x id cft,x £ erit minor 
femidiaraetro . Dclcripta igitur fit circuli 
portio, qux fit 1 0 h . Quia S' 0 x tmngulus 
maiore rationem habet ad fcdorcm 0 tx, 
quam ^ 0 x triangulus ad fedorem H 0 x: 

viciffimergofperi6.quintiElemcnt.)0($'x ( . 

triangulus ad { 0 x triangulum, maiorem rationem habet , quam 
fedor t0 x,ad h 0 x fedorem. Ergo per compofitionemrationis 
(qux eft in i 8 .quinti Element.) triangulus x,ad trungulum 
’ 9 x ,maiore habet rationem,quam fedor t k x, ad h 6 x fedorem. 
Sed st x triangulus ad ^0x triangulum , itai'^ad^O . (perr. 
fexti Element.) V t aute h t x fedor, ad H 0 x fedorem.ita S x ^ an- 

r ilus,ad 9 x ^angulumfper corollarium 33 . fexti Element. )Ergo 
7 ad 0 maiorem rationem habet, quam angulus tx^, adan- 
gulumOx^. Vt autem <J'^ad0^ ,ita*yx ad^x. Igitur x *y ad 
^ x maiorem rationem haber.quam u( angulus,ad 0 x ^ angu- 
lum. Sed ex tx £angulo,ccrnitur magnitudo S' cx angulo au- 
tem 6 x'y.cernitur magnitudo Gy .non ergo in eadem ratione 
ccrnuntur magnitudines, in qua interualla ( imbvcrh maior eft 
ratio maioris interualli ad minus,quam maioris anguli , fub quo 
(pedatur magnitudo propior , ad minorem angulum , fub quo 
fpedatur magnitudo remotior . ) 

THEOREMA 9. 

Re&angulas magnitudines^, 

eminus fpe&atae, rotundas 

- apparent. - ■ > _ 

Sit? y rcdangula magnitudo eminus con- 
fpeda : Cum ergo quodlibct afpedabilium 
babeat certain interualli longitudinem.qua 
explcta iam non cernitur: angulus igitur qui / 

ad y non ccrnitur,lcd punda tantum & 5c £ 

C ij appa- 




It 



EVCLIDI S 



apparent . Idem cuilibet rcliquorum angulorum accider . Qua- 
rc circularis apparebit cota magnitude* Gy. 

SCHOLIVM. 

Angulus y non ccrnicur : figurarum cnim reiftangularum latitu- 
do minor eft circa angulos quam alibi . Quocirca partes quz 
magis ad angulos acccduntjcitiiis cuancfcunt, & afpe<ftura fu- 
giunt,quam illz quz me dium figurz locum occupant. 

THEOREMA ro. 

Planorum oculo fubie&orum , qux 
remotiora funt,fublimiora apparet. 

SitoculusC fublimior pofit 9 qua lit planu y 
x.8c ex G oculo jpeedat radii Gy,G G {,G i.G 
x, quoru G K pcrpcndicularis fit ad x ^quod 
eft lubictftu planum ; dico y S planum fubli- 
mius apparere piano °quia eniin radii Gy t 
8c G JVub quibus ccrmtur y S planum , fub- 
Iimiorcs funt quam G{3cG s.fub quibus cer- 
nitur planum t ^ • fublimius igitur apparct 
planum y S , piano ^ t-eademquc rationc pla- 
num^ e, piano ix . Quae cnim per radios 
* fublimiorcs fpciftantur, iubbmiora apparent^ per 8 . poftularu.) 

SCHOLIVM. 




Quod autem radii G y,G J',fublimiorcs fine radiis G G e , hinc 

liquet . Ducatur cnim t h, quz fir reefta ad planum x y • Pumftum 
igitur H fublimius eft punefto A ’ & pumftum A, pumfto p. duci- 
tur autem radius G y , per pumftum h • radius ucr6 G S , per pun- 
<ftum A* radius denique£ per pun<ftum ju.Ergo radius G y fub- 
limior eft quam G £ , 8c G <T fublimior eft quam G 8c G{ quam 
C 6. Quarc G y,G S, radii fubhmiores funt, quam radii G {,G t. 



THEOREMA iu 

/ Planoruni oculo fublimiorum,qux 
remotiora funt , deprefliora ap- 
parent. 

Sit oculus G dcprcflior piano S' £,8c ab oculo G, proccdanr radii 



IJ 



OPTICA. 




C S,G y,C^ .* quia igitur dc radiis omnib* ab j\ 
oculo G, ad planum S ^ tcndentibus, humil- ” 
limus eft G triple aute 6 y humilior ipfo G 
ic per radios GS,Gy , ccrnitur planu Sy 
per radios autcm Gy,G^, ccrnitur planum 
y £ Igitur y S dcprcflius apparct quam y 
( per 9. poftulatum.J 

SCHOLIVM. 

1 \ I r 1 / 'j 0 I /. • f x »■» . % « j-« i,m » . , . * cry 1 1 * 

Quod autem radiorum omnium ex 6 oculo, ad S ^ planu , per- 
gentium humiihmus lit radius ^Sjhunc in modum monftrabi- 
mus.Sit enim planum G fc, parallclum quidem piano £S t breuius 
autem ipfo y ^.crigaturque e ft linca,qu$ reda lit ad planum G t. 
Igitur pundum v dcprcllius eftpundo [x . tranlit autem radius 
quidem G S , per pundum v . radius autem Gy per pundum [x. 
Quarc radius G S humilior eft radio G y . Eadcm demonftratio 
in ccliquis valcbir. 

THEOREMA n. 



Eorum quae in anteriorenL, partem 15- 
gitudinem habet, dextra laeuorfum 
&C laeua dextrorfum educi videntur. 

Sint vifx macnitudincs G y,S £ , extenf* in longitudinem ante 
oculum.qui ut k ,a quo proccdant radii K 7 ,K x,K G , K ^ ,K «,K. S' 
♦Igitur S magis ad lxua educi videtur qua g 
h: codemquc modo G magis ad dextram 
educi videtur quam ot . Quocirca corum A 
qux in antcriorcm partem longitudinem 
habent , dextra lxuorfum , & lxua dex- y 
trorfum educi videntur. 

SCHOL1VM. 

Qubd autem S magis ad liniftram procu- ? 
bere vidcatur quam xquam Item 
q, C ad dextram magis tendcre vidcatur quam ot. & ot magis qua 
Y.hinceoftabir. Efto cm redan vadagulos redos ipli S v, reda 
etiaJt fx ad agulos redos ipli G/x.radioru igitur oniu ex oculo K 
ad S v pergenriu minimus eft x * radi 9 perpcdicularis . Quocirca 
maxim£ dextrueft pundu v,& x. » radius magis ad dextra vergit 
qua k (,K h,h. ^radii.Quia aute x ^ppior eft ipli x v,qua lit radi- 

C iij us 





,4 EVCLIDIS 

u$ k S. Igitur radius* S adlxuam magis vcrgcre videtur,qulra 
radius r K-radius item H. h, magis quim radius Jt { . Ergo S lxuor- 
fum magis nutare videtur , quam h , & K magis quam ^ . Eodem 
modo oftendemus 6 magis ad dextram vcrgerc quimot,& et 
quamv. 

THEOREMA 13. 

^Equalium magnitudinum fub oculo 
pofitarum,quac remotiores ab oculo 
{imt,fublimiores apparent. 

Sint xqualcs magnirudines 6 y,S A, po- 
lks fub oculo quifitv,aquo proccdant radii 
v Av K-de his ergo omnibu,smaxim£ fub- 

limis eft radius y Square & pun&um 6 fub- 
limius apparet.quam pun Aa (P.h. . Igitur 6 y 
fublimior apparct quam S S ^quam x. A. 

Ergo xqualium magnitudinum lub oculo 
pofitarum , qux remotiores ab oculo funt, 
fublimiores apparent . 

THEOREMA 14. 

! ! Xqualium magnitudinu oculo fub- 
limiorum,quac remotiores funt, hu- 
miliores apparent. 

Sint xqualcs naagmtudines x. v , A ^,y (P,po- 
fits loco fublimiori.quam fit 6 oculus, a quo * 
pergant radii C v,6 <Miumillimus ergo eft 

radius 6 S . quare 6 c pun&um S humillimti 
crit. ob idque y S humilior apparebit quam 
A^* eademquc ratione A ^ , humilior vide- £ 
biturquamK v. 



2 . ^ 




xc 



iJlQOn 
'eatrr l 



THEOREMA ij. 

Magnitudinum oculo fubie&arum , 
quarum altera alteram excedit, ocu- 
lo quidem ad eas accedete , excelTus 

quo 



OPTICA. i S 

. . i , quo maior minorem fuperare vide- 
_ v <j i j tur, maior appare t : recedente vero, 
r ; minor. . : , nr . r/. 

Sit £ y maior quam 0 ^ponaturquc x,ocu- 
lus fublimiorc loco,quam fint (> y, 0 £ . & 
per pun&um 0, cadat radius x S. lgitur 6 y y 
exccdere videtur ipfam O^.totabd' ma- 
gnirudine. arqualis enim videtur 0 ipfi S <f 
•y,cum ab cocicm oculo, & codcm radio 
y «r,cernantur. Iam muterur x oculus , 8 c 
rcccdat ad A ,& per 0 pundum , proccdat 
radius A v . rurfum hie £ y maior apparet, 
quam 0 £ ,tanto exccflu,quanta eft magni- 
tude £ v . Recedente itaque oculo , maior magnitudo minorem 
cxccdcrc videtur minorc cxccflu.quam accedente. 

THEOREMA vS. 




Magnitudinum oculo fublimiorum, 
quarum altera alteram excedit,o- 
culo ad eas accedente, excefTusquo 
maior minorem fuperat, minor vi- 
detur, recedete verb multo maior. 

Sit £ £ maior , quam 6 irab oculo verb x,in - 
inferiore loco pofito , proccdat radius x y, 
per puniftum 0 . Igitur £ ^cxcedere videtur 
ipfam 0 h , ranta quantitate, quanta eft £ y. 

Mutetur oculus x, ad v , procedatque radius 
v <P,per pun&um 0 . ergo hie rurfum £ { ex- 
ccdit ipfam 0 n,tota magnitudine £ <T.Quarc 
oculo accedentc,maior magnitudo minorc 
fuperare videtur minori cxccflu, recedente 
verb oculo,maiorc cxccflu. 

THEOREMA 17. 

Magnitudinum, quarum altera alte- 
ram excedit,oculi radio ad inferio- 

ris 




c 






1 



i C EVCLIDIS 

ris vertice perpediculariter incidete,maior 
jrtinore Temper excedere videtur^quali ex- 
cefTu,fiue oculus accedat , fine recedat. 

Excedar cnun G <T,ipfam 0 x, magnitudinc 
Gy- Sc conncxa y 0 , producarur vfque ad 
£,in quo fit oculus . igitur radius ex < pro- 
ccdcns/ccundum redtam £y fcrerur.Iam 
mutetur oculus ad x * ergo ob eande caufi 
fam.radius ex x oculo emiflus , feretur fc- 
cundum x y lineam . Quare Hue oculus 
accedat,fiue recedat , eemem cxccflu per- 
petuo exccdet 6 <T maior magnitudo , ip- 
fam 0 H,minorcm magnitudinem. 

THEOREMA 18. 

Datam altitudinem cognofcere quata fit. 

Sitalritudo G y , cuius quanritatem cogno- p 
feere oporteat, Sc per pundtum G cadat Solis ® ' 
radius G S- igitur vmbra erit y ^.Sume igitur 
magnitudinc aliquam cognitam , cuiufrno- 
di efto x ^ • camquc ita aptato Tub angulum 
S,vt fit parallela ipfi G y . Eft itaque vt S y ad 
y C,ita S ? ad ^x . Eft autem cognita ratio ip- 
fius££»d£x- cognita ergo erit ctiam ratio 
S y ,ad y G. Scd S y, vmbra cognita eft : co- . 
gnofcctur ergo ipfa y G altituao. ' 

THEOREMA i ? . 

Cognofirere quanta fit data aItitudo,alio 
modo,quamperSolem. $■ s 

Sit G y altitudo , cuius quantitatem vefti- 
garc operarpretium fit. Sc ponatur (peculu 
X of oculus autem fit S,z quo procedat ra- 
dius S 0 , & i pun&o 0 refledatur verfus 




pundtu G (auodeftaltitudinis extremum) y 
fccundum lineam 0 G’ Sc a S oculo demit? • 
tatur perpendicularis S'?- arquale* igitur 
font anguh 6 0 y , Sc S 0 <. id enim often^ 




fum eft in primo thcorematc Catoptricorum. angulus ctiam qui 

ad 



•r\ 



optica: ; 7 

ad y.xqualis eft angulo qui ad funt enim amborc&i.ReliqHus 
igitur, qui ad G , rcliquo qui ad S acqualis eft (per 32. p. pritni Elc- 
mcnt.)Quare triagulus Gy 6 fimilis eft rriagulo $ fi { (per 4. fexti 
Elcmenr.)Eft ergo vc fly ady C,ira 0 ^ad Sed ratio ipfius 6 ^ 
ad data 8c cognira eft : Igitur ratio ctiam ipfiusy 6 aa y 6in- 
notefeet . nota autem eft quantitas ipfius y 0 • ergo nota ctiam e- 
rit quantitas ipfius altitudmis y G. 

THEOREMA 20. 

Cognofcere quanta fit profunditas quse- 
libet. 

Sit G h profunditas, cuius quantiratem cognofccre oporreat,po- 
naturque oculus in J\a quo procedat radi- 
us S Ax., in profundum,& a pundlo S du- « 
catur S { , qui fir parallcla ipfi G K . Ciim 
igitur in redas lineas Gm 8c Sf parallels, 
rcifta lineal x incidat.altcrnos angulos 
6 k A 8c \S ^.xquales inter fc facit ( per 
29 pnmi Element. ) Sunt verb anguli 6 A 
x 8c S A qui circa vertieem , inter fe x~ 
quales (per ij.pnmi Element. ) Reliquus 
igitur angulus ad ^,reliquoqui adC xqualiseft (peril. primi Ele- 
ment.) Sunt igitur duo rriangula xquiagula G K A 8c A S Qua- 
re( per 4. fexti Element. ) ent vt ^ A ad^ , fic G A ad 6 x.darur 
autem ratio ipfius £ A ad ^cJ^dabitur ergo ratio ipfius A G ad G m . 
datur verb quantitas ipfius A G' ergo ctiam dabitur quantitas ip- 
fius G M profunditatis. 

THEOREMA ax. 

Data: logitudinis quantitate cognofcere. 

Sit G y longitudojCuius quantitas cogno- « 
firendafit: ponaturque oculus in <P,aquo 
procedanr radii S M' y • 8c a pundo ^ du- 
catur^x,qux parallcla fit ipfi Gy. Eft igi- 
turvt^x adx^.itaGy ady<P (pcraj.pri- ^ 
mi,& 2 & 4. fexti Element. ) Sed ratio ip- 
fius ^ m ad x S cognofcitur: ergo ctiam ra- 
tio ipfius Gy ad yS cognofcctur . Sed ip- 
fius y S quantitas cognofcitur : Quarc ip- 0 
fius ctiam Gy longitudinis quantitas co- 
gnofeetur. 

D Thcore- 





IS 



• EVCLIDIS 
THEOREMA n. 

In eodem piano, in quo eft oculus, defcri- 
pta circuli circumferentia , videbitur efle 
re<fta linea. 

Sit enim circumferentia G £ 7,oculus autera in eodem piano, 
in quo eft G ^ y circufcretia, Sc ex S' oculo proccdat radii S' G> $ 
^^•Quia ergo nullum afpedabilc fimul 
rotum cernitur (per primam huius ) cir- 
cumfcrcntiaquidcm6^non apparebic, 
led eius extrema punda£&^. Quarc 
circumferentia G <( , videbitur eftc reda 
linea: eodcmquc modo circumferentia 
• Tota igitur 6 y circumferentia, li- 
nes re<ftxinftar videbitur. * 

AL ITER EX P APPI DE- 

* monfhrdtionibus. 

Ab oculo <F pofito in eodem piano, in quo eft circumferentia G 2 
7,proccdant radii <f 6, <T e, cP 0,<r k,<P A,^ y . radius autcmJ^cx- 
tenfus producarurvfque ad centrum^, a quoconncdarurredx 





,c]uam fa. \,Sc u. A maior , quam fx k,Oc [xk maior , quam 
f*^‘°b idquc,piidu ^apparetpropinquius eftc ipfi fx ccntro, qua 
pundum k-& idem pundum h propinquius videtur cidcm cen- 
tro,quam pundum A’& A quam y . Igitur circumferentia ?k A 
7 .* re<fta linea cfle videtur. Eodcmquc modo oftendetur,^ 0e£ 
circumferentiam , reds lines fpecicm prx fc ferre . Quaproptcr 
tota circumferentia ad inftar reds lines apparebir 

THEOREMA 23. 

Quomodocunque fphjera vnico oculo 
ipe£tetur,femper minus hemifpharrio de 
ea cernetur: ea aute Iphxrx pars, qua: cer- 
nitur ,circulo comprehendi videtur. 

Sit enim lphsra,cuius centrum K'oculus verb fit 6, & conneda- 
tur recta U, cui per pundum Had angulos redos ducanir-v 
H (!'•& per lmeam G h,& y k ^ fphsre diametrum,ducarur planu: 
aciet igitur in iphxra circulum . faciat ( inquam ) fitquc illc 



cir- 



OPTICA. j, 

circulus y £ v A . 8c circa G x diamcrrum , deicribatur circulus 
C ^ A • 6c conncdantur rcdx linex k(,xA ,G 2 , 6 A , A 
Cum ergo x ^ G 8c x A G , anguh fine in lemicirculis : funt igitur 
rcdi.(pcr jr.tcrtii Elemcnt.^Quarc G £8c 
G A rcdx linex ipfas k(&rA cdudas cx 
X cccrOj in vnico fphxr? pundo tangent. 

Radii ergo cx G oculo proccdcntcs, cadet 
fecundum lineas G £,G A . Quia ergo om- 
ncs anguli,qui funt circa pundum 0 redi 
funt, co quod parallcla eft reda ^0A, 
rcdx'y<J',&xqualiscft ^0 ipfi 0 A*fiigi- 
tur manctc latere 0 6,ipfc triangulus 0 G 
circunducatur quoadufque ad lllud pudu 
reftituatur.vnde circunduci ccepcrat , fiet 
vr 8c G^ circunduda , fpbxricam fuperficicm tangac in vnico 
pundo,ncmpcin £,8c circulus deferibarur perpunda^ A. Qua- 
re circulo comprchcnditur ca fphxr? pars,qux cerniturrqux fa- 
n£ minor eft hemifphxrio,quia portio A, minor eft fcmicir- 
culo.Quod ergo ab oculo cernitur,cft minus hcmifphxrio. 

SCHOLIVM. 

Quod autem ft fphxra piano fecetur,communis fedio fit circu- 
lus.fumptum quidem eft tanquam ccrtum in phxnomenis , dc- 
monftratum autem in fphxricis. 

THEOREM A 14. 

Oculo propius ad fph^ram accedente, 
minus de (phxra cernetur, qua oculo pro- 
cul pofitoiplus tamen cerni exiftimabitur. 

Sit fphxra, cuius centrumx,&abo- 
culo^ ad centrum x connedatur li- 
nea reda S x • 8c per pundum x duca- 
rurGy , qux fit ad angulos redos ipfi 
S'K'Sc circa <Tx diamcrrum, deferiba- 
tur circulus S' v A,8c' p ducantur rcdxd' 
v,v k,S A, A x.Angulicrgo S\x.,8cS 
Ax redi funt, quia funt in femicircu- 
lis. Quarc redx S' v , 8c S A , in vno 
pudoTphxram rangunt: ob idque ra- 
dii, qui cx^ oculo proccdunt,cadent 
in fphxram fecundum lineas S A, 8c S 
i.Mutetur iam oculus ex S pundo in g pundum, 8c circa iineam 

D ij 5 k 





xo EVCLIDIS 

k dcfcribatur circulus, conncdanturquc line* 
ine* igitur 5 £ Sc g o', in vno pundo rangunt fphxram y A o' £ v 
G .Qua re radii eriam ex § oculo proccdentcs, cadent in fphxram 
(ecundiim redas 5 £,& 5 0*. Ergo ex angulo quidem f , ccrnicur ^ 
o'* ab angulo verb S, ccrnitur v { of A . Eft autem v ^ o' A,ca nempe 
Iphxrq pars, qu? ex S fpcdatur.maior quam ^0” & tamen minor 
apparer,proptcrca quod angulus 5 maior eft angulo J'.qu? autem 
fub maiorc angulo fpedantur ,maioravidcntur(per j . poftui.) 
maiorigitur apparct fphxr$ porno ^ o*,quamv^O’A,6c umen 
minor eft. 

THEOREM A 
Sphqra cminus fpedata, 
videtur circulus. 

Sit enim h centrum fphxrx.in qua ma- 
ximus circulus fit G y S , ad quern ex 8 
oculo procedant radii 8 6,0 y , 8 S . Er- 
go GyS circumfcrentia , videtur cfle 
reda linea . Similiter 8 c circumfcren- 
tixrcliquorum circulorum in Iphxrx 
fuperficic defcriptorum.rcdx lincx vi- 
debuntur . Quarc tota Iphxra procul 
ab oculo difiita.circulus cxilhmabitur. 

THE OREM A 16 . 



2 5 * 




Si (phxrx ambobiis oculis con fpedx, di- 
ameter acqualis fuerit rc€tx lineq,qua ocu- 
lorum alter ab altero diflat, dimidiu fphx- 
ra: cernitur. 



Sit fphxra aliqua , cuius diameter Gy , 8 c \ 
pundis G 8c y , cxcitcntur G^Scy A redx, 
qux finr ad angulos redos ipfi Gy ‘ 8c per g 
pundum £ ducatur ^ A , qux fit parallela ip- 
fi G 'y.ponaturquc oculorura alter quidem in 
falter verb in A Sc cx ( J'ccntro,ducatur<J'x, 
parallela ipfi G Si ergo manen^ x larere, 
parallclogrammum Gk circumagatur quo- 
adufquc in idem pundum reftituatiir.vnde ^ 
circumagi catpcrat, figura quam defcribcrlatus£<T circuadum, 

crit 




n 

. 



21 




optica: 

erit cir cuius qui per centrum fphxr? rranfibit:quare dimidia tan- 
tum fphxrx pars cernetur ex ^ & A oculis. 

THEOREMA 27. 

Si oculorum interuallum maias fit (phq- 
rx diametro, Ipharrq pars qu<£ cernitur,ma- 
iorhemilphaerio videbitilr. 

Sit enim fphzra cuius centrum h , oculorum verb interuallum C y 
maius fphxrx diametro 7 r x g. Per C y autem &c x centrum , cx- 
tcndaturplanu,quod faciat infphxra cir- 
culum 7 r S' v ^ 5,& ab oculis C & 'y.cadanc 
radii 6 7 £ , qui fphxram ipfam tanganc 

in vno pun&o.hi ergo radii in redum pro- 
du di alicubi concurrent , cum f'yfitma- 
ior quam fphxrx diameter 7r concurrat 
ergo in pundo 0 . Quia ergo a pundo 0 , 
ad fphxram tt S' v { 5, cadunt line? 0 ^,0 <P, 
fphqramin vno pundo tangentes : igiturfl/ 
minus eftfcmicirculo . Angulienim 
0 ^x,& 0 S' X redi funt.Rcliquum igitur fphxr§,quod per radios 
C S' 5c y { ccmitur , maius eft hemifphxrio. 

THEOREMA 28.' 

Si oculorum interuallum minus fit Iph^r^ 
diametro, fph^rq pars qu^ cernitur , minor 
eft hemifphxrio. 

Sit fph?ra cuius centrum x,oculorum verb interuallum 6 *y,quod 
minus fit quam fphxrq diameter ir x g 

per C y , Sc x traiiciatur planum , quod in 
fphxra faciat circulum H,& ex C/y,ocu- 
lis,dcducantur radii 6 h , qui fphxram 
tangant in vno pundo, concurrantquc in . 

f >undo 0 . Concurrent cnim, cum in^qua- V 
es fine 6y .oculorum interftitium , & ir 5 _ 

diameter fphxrq . ergo radii a pundo 0,in A\ 
fphqram cadcntes.minils comprchcndcnt 
quam dimidiufphxrx.Quahrc K,minus 
eft hcmifphxrio , ob ldquc fphxrx pars ca qux ab oculis C & y 
ccrnitur,minor eft hcmifphxrio . 

D ili Theo- 




ti EVCLIDIS 

' THEOREMA i>. 

Quomodocunque columnavnico ocu- 
lo cernatur, minus dimidiaparte column^ 
cernetur. 

Sitx. centrum circuli,quibafi$ fit alicuiiis columns, & ab oculo 
v,ducaturrcdEalineaadipfumx.,quxfir v k.&c a pundlo K cxci- 
tetury K 6,quxfitadangulos rcdlosip- 
fi , KV.& circa xv deferibatur circulus^ 
v<P, connedEanrurque redEx v^x.vd'.cJ' 
x.rcdEicrgo funt anguli v £x, SCyS'K. 
ob idque v 5c v <P, in vno pundlo colu- 
nam tangunr,& radii ab oculo v dclati, 
cadent in colutnnara fecundumlincas v 
^ & vd'. Quarc ^ A S' tantum cernetur. 

Sed ^ Acf 1 minor eft fcmicirculo y A C. 

Igitur^AcTapparebit minor femicircu- 
lo,id eft, minus Temper cernetur, qua di- 
midia column® pars. Quod cnimdc column® bafi monftraui- 
mus/dludidcmflcqualmct alia parte columnaris fupcrficiei dc- 
monftrabim’.Quarc minus dimidia parte toti 9 colunx ccrnitur. 

^THEOREMA 30. 

Pars column^ qua: cernitur oculo ad co- 
lumnam accedente, minor eft qua ea qua: 
cernitur oculo recedente,maior tamen ex- 
iftimatur. 

Sit x centrum circuli cfficicntis bafim 
alicuius column?,5c ab oculo G ad cc. 
trum x ducatur £x,A pundlo verb x 
ctcitctur y x J', qux fit ad angulos rc- 
dlosipfiCx, deferibatur ctia circulus 
circa G x,5c conedlantur redEx G v, v x, 

G A,A x.Igitur(per prxeedentem pro- 
pof.) A l v circumfcrcria ell minor fc- 
micirculo.& quemadmodum minus 
quam dimidium bafis,ita ctiam minus 
<juamdimidium colunx TpedEabitur. 





Iam 



optica: 13 

Iamoculuspropiilsadmoueatur,fitque 4 >,& circa 4 > * delcriba- 
tur circulus <$ § x <f,&c ducantur linear tj> 5,5 x,<$ o*,o* x . Radii er- 
go ex <J> oculo proccdcntes.ferentur ficcundum lincas 4> £,& 4> <f. 
radii verb ex G dcdu<fti,ferentur fecudum lincas £ A,€ v.maior eft 
igitur A^vcircumfercntia,quam 5 ^o*circumferentia.& tamen 
afpeAuscxiftimatmaiorceHc ^ o’, quam A £v, propterca quod 
angulu s 5 4> o*,maior eft angulovA G v . Quare minor colunz pars 
cernerur.quz tamen afpe&ui maior videbitur. 

THEOREMA 31. 

Turbinis circularem bafim habencis vno 
tantum oculo (pe&ati , minus dimidia par- 
te cernitur. 

Sit turbo aliquis habensprobafi circulum, cuius centrum eftx. 
& ex G oculo, ad centrum x conc&atur G x. £ pun<fto aute xcxci- 
tetur v x A.qux fit ad agulos redtos ipfi G 
x.& circa £ x dcfcribatur circulus £G£ t 
coiugaturquc redlx G £ x,£ x.an- 
guli igitur b ^x,& £ (S' x, cum fint in fc- 
micirculis, re&i funt . Quare in vnico 
pundto circulum tangent dux line* 6 £ 

& G tP. radii autem ab oculo G in circuit 
circumfcrcntiampcrgentes, cadent fe- 
cundum lincas £<&*£ (S' . Quod igitur 
ccrnecur,crit (P , quod minus eft qua 
v g A. Atqui v p A eft fcnaicirculus . ergo 
minus eft fcmicirculo. Quare tur- 
binis pars quam ccrnitoculus, minor eft dimidia parte turbinis. 
Idem demonftrabimus dc rcliquis circulis qui in turbinis fuper- 
ficic funt. 




THEOREMA 31. 

Oculo per idem planum propius ad tur- 
binem accedente,maier turbimsjpars cer- 
nctur, quam oculo recedente: nuneFtame 
afpcdui apparebit. 

Sit bafis coni circulus, tuius centrum x,oculus aurem fit at, & 
cxfltad x ducacurrcdUocx. &apun<ftoxcxcitetur0x £,qux fit 

ad 



*4 



E V CL I D I S 




ad angulos redos ipfi et h. . dcfcribatur 
auccm circulus circa ipfam xk , connc- 
danturauc et £{k,o£ k, Mucctur au- 
tem oculus ex a pundo in pundum v & 
circa redam k v, dcfcribatur circulus,co- 
nedanrurquc rcdx v K,v h . Ergo 
radii ex a oculo pergentes, cadent fccun- 
dum lineas a ot^. Quarecx pundo 

a,ccrnctur cade rauonc radii pro- 

cedures ex v, oculo , cadent in circuli cir- 
cumfercnriara fccundum lineas v 5 , &C 
v o'-igi tur ex v pundo,ccmcrur 5 0*. maius aute eft ^ <P , quam 

P d> o\apparet tamcn minus, proptcrca quod angulus g v ^maior 
eft angulo^atJ'. 

THEOREMA jj. 

Si ad turbinis circulare bafin ducantur 
ab oculo radij iplam bafin tangentes,&: a 
pun&is in quibus radij tangunt bafin du- 
cat ur re<5be linear per turbinis fuperficiem 
vlque ad cius verticem : per eas verb lineas 
& radios ab oculo ad bafin turbinis proce- 
dentes , duo plana educantur,in quoru co- 
muni fe&ione oculus collocetur , turbinis 
pars lpe&ata aequalis perpetuo videbitur. 

Efto enim turbo cuius bafis fit y <f circu- 
lus , vertex autem fit pundum G , oculus 
verb fir x,a quo proccdant radii >t <f & k 
y , qui tangant iipfum y circulum , in 
pundis y & S', a quibus ad G verrtee tur- 
Dinis,ducantur red® lincx,^ G ScyG. c- 
ducarur autem duo plana , alccru quide 
per lines Gy radiuy K.alteru aute co- 
de modo per lmca<TC, 5 c radiu H. co- 
current igitur hxeduo plana, proptcrca v . 

quod rcdx linex'y G SiS'G concurrunt* &radii Ky &x. eriam 

concur. 




OPTICA. i S 

concurrunt . Concurrent igitur,fcque mutuo fccent duo ilia pla- 
na.firquc corum communis fcdio , linea C x. Iam fore aflero vc 
ab oculo in quolibet pundo lincx € x collocaro, cacicm turbinis 
portio ccrnarur. Sumaturenim inlinca €x,aliquodpundum, 
quod fit ^ , in quo fit oculus, Sc per pundum ^ clucatur reda li- 
nea^vqux firparallclaipfi x d'.ipfiautem x % parallcla duca- 
tur ^o*.Igitur redx lincx &^o* tangunt turbinis fuperficicm 
in pundhs o' Sci.Sediones cnim circulorum parallclorum in tur- 
binis fiipcrficic6'y<J' > fimilcsfunt. Intcrualla lgitur qux cernun- 
tur in Gy S' fupcrncic turbinis, xqualia apparent . Cum enim an- 
gulus o’ ^», quern comprchcndunt radii (o* xqualis fit ipfi 

•v x <T angulo.qucm comprchendunt radii X’y&K lgitur fuper - 
ncici turbinis iteruallu o* v,xqualc apparebit interuallo y S'.Qud- 
circa vbi vbi ponatur oculus in reda x 6, femper fpedata turbi- 
nis portio xqualis apparebit. 

THEOREMA 34 . 

Oculo moto per Iineam aequidiftantem 
fuperficiei turbinis, fi in fublime attollatur 
oculus , turbinis portio quae cernitiu*, mi- 
nor apparet: fivero oculus deprimatur, 
maior. 




Sit turbinis vertex in pundfco <T, bafis autem eiufdem turbinis fie 
circulusx€t,& ducaturx 9,parallclaipfi|f<r , colloccturquco- 
culus in 6. aio turbinis fpedatam por- 
tioncm minorem apparcre oculo po- 
. fito in pundo 0,quam in pundo o'.Co- 
nedantur enim a pundo d^ad punda 
6 Sc <f,tc£tz lincx d' 0,^ cf.Sc produca- 
tur ufquc ad punda v & A . lgitur por- 
tiones turbinis qux cernutur, inxqua- 
les apparent,!! oculus conftituatur nuc 
in v, nunc in A.& minor quidem tur- 
binis portio apparet ex vmaior autc ex 
A. (proptercaqubd angulus <Nx,mi- 
nor eft angulo lAx) portio aute tur- 
binis qux cemitur ex »,xqualis eft ci qux cernitur ex 0.8c por- 
tio qux cernitur ex A, xqualis eft ci qu? cernitur ex tf.vt in prece- 
dents theoremate oftcnlum eft . Quare oculus pofitus in pundo 

e e. 



1 



2.6 



EVCLIDI $ r 



fi,minorcm turbinis portioncmfc vidcrc cxiftimat , quimcfim 
collocatur in pundo o'. 

THEOREMA 35. 

In circulo fi a centro excitetur linea re&a 
ad angulos re&os piano ipfius circuli, ocu- 
lufque in ea linea conftituatur, dimetien- 
tes circuli acquales apparebunt. 

Sit enim circulas cuius centrum k,& a pundo* erigiturreda 
linea H C,qnx angulos redos faciat cum circuli piano, ponatur- 
que oculus in pundo ducantur dia- 

metric x,$ ^.dico diametrumy at,xqua- 
lem vidcri diametro S ^ Ducantur enim 
redx lincx C at, C ^ , C y , 6 ^.dux igitur 
redx C k. & k { , duabus C x. & x “y/unt 
xqualcs , altera alteri , & angulus 6 x y, 
angulo 6 x ^ eft xqualis: quarc bafis C 
xqualis eft ball Q y . eademquc ratione 6 
S xqualis eft ipfi C at . Dux igitur redx S 
C & C £ , duabus redis y 6 at funr x- 
qualcs & S £ xqualis eft ipfi y at. angulus 
igitur.J'C^, xqualis eft angulo yQ at Scdqux fubxqualibus an- 
gulis fpedantur, xqualiaapparcnt(per 7-poftula.) xqualis igitur 
apparct y ot dimctiens,ipfi S ^ dimetienti. 




THEOREMA jtf. 

In circulo, (i oculus collocetur in fummi- 
tate linear quq & iemidiametro xqualis eft, 
&C ad planum inclinatur, dimetientes ae- 
quales apparebunt. 

Sit circulus cuius centrum x,&cxx cen- 
tra in fublimc ducaturxC, quxnonfa- 
ciac angulos redos cum piano circuli, ftt- 
que xquabs fcmidiametro iplius circuli. 

& a pundo £, in quo eft oculus.ducantur 
line^ ( ut in pr^cedcntc prop.fadum eft) 

6 S& {.e-y/at. Cvim igitur xqualcs inter 
fe fint ^ x,x 6,x redus crit agulus { 6 S. 

cadcm 




OPTICA. 27 

-eaderoque tatione rc£his eriam crir agulus x C ^ob idque $qiia- 
les inter Ce fun t hi duo anguli. Que autcm ab sequalibus angnlis 
•ipettanrur, q qualia apparcnt.^qualis ergo apparet S ^ dimcticns, 
ipfi x y dimeticnri. 

Sed fir alius circulus cuius centrum a, a quo in fublirac dutfaot 
^,nequezqualis fit fcmidiamctro.ncquc ad planu circirli agulos 
rc&os faciat,fcd angulos Sx^.^xy ,&ckx^,^xG squalcs fa- 
ciat.dicohoc ctiam modo fore vt diame- 
tri equates apparcant oculo in ^ conftitu- 
to.Quia cnim qqualis eft <1* ut,ipfi x y , ipla 
Verb x ^vtriquc carum communis eft , 8 c 
$qualcs agulos cum eis facit, ergo bafis S 
Equalised bafi^ , y,& angulus^ ^ «,an- 
gulo ot^'y.eodem modo oftendemusan- 
gulum x^ot, equalem cflcanguloot^C. 

Quarc totus S £ G angulus, roti x ^ y an- 
gulo eft qqualis,ob ldquc dimetientes S G 
& x y , $qualcs apparebunr , cum radius 

3 ui ab oculo tedit m centrum circuli,£quales angulos facit cum 
iaractns,fiuc radius illc tcdlus fit ad planum circuli,fiuc non. 

THE OR EM A 37. 

' In circulo , fi radius ab oculo in centrum 
tendes , neque re<5his fit ad planum circuli, 
neque qqualis femidiametro, nec angulos 
qquales contineat cum femidiametris , fed 
maior fit vel minor femidiametro , dimeti- 
entes in^quales apparebut. 

Sit circulus cuius centrum a,& ab oculo 
C,ad circuli centrum x, ducarurrc&a G x, 
qux neque re&os angulos fiiciarcum pia- 
no circuli , neque xqualis fit femidiame- 
rro circuli , nec zquales angulos conti- 
ncat cum femidiametris: AflTero forevr 
ipfius circuli dimetientes inxquales appa- 
tcant.ducaturcnim'y ^ dimcticns ad an- 
gulos rctftos ipfi x Cducatur item S x ,qu£ 
inxqualcs faciat angulos cum linea x £ • 8 c connc&antur retftx 

E ij Gy, 





it E VCLIDIS 

C y,G <T,C k,G ^-Sitque primo G x maior femidiametro a K.rru- 
ior igitur eft angulus y G £,agulo x. G <T.(vt in theorematis dcmo- 
ftratur. ) Quxautem fccundumaiorcm agulum fpcdantur, nu- 
iora apparent.igitur dimeties y ^maior apparet dimeticntc 
Quod fi G x minor Hr quam x x., maior apparcbir J'k quam y £ 
AD HORVM DEMON ST RATIONEM, 

prxcoffiiu ejje oportet qua fequuntur. 

Si ab oculo m aere pofito cadant dux re- 
&x lineae,alteraad cetru circuli, quae perpe- 
dicularis non fit piano circuli , altera verb 
quq perpendicularis fit circuli piano : &a 
pun Ao in quod cadit perpedicularis,con- 
ne&atur re&a linea ad centrum circuli-.an- 
gulus coprehenfus Tub hac linea, & ea quae 
a centro ad oculu duefta eft, minimus eft 5- 
niu anguloru contentoru Tub linea ab ocu- 
lo ad cetru difcfta, &£ lineis per cetru dueftis. 

Sir circulus cuius centrum x , oculus vero He G‘a quo perpendi- 
cularis duda in planum circuli,cadar non in or centrum, led ex- 
tra centrum in y nempe , fitquc Gy ‘Sc a 
pundo y in pundum x conncdatur rc- 
da y x . item ex pundo x in pundum G 
ducarur xG . Dico angulorum omnium 
qui fieri poflunt ex cocurfu linez G x, cum 
alia qualibet linea tranfeutc per pundum 
^minimum efle angulum yxG. ducatur 
enim per pundum ot,reda linea £xv&C 
a pundo y in S' t ducatur perpendicularis 
y ^ , quz lit in eodc piano , in quo <T t:co- 
nedaturque reda G { . • Igitur G £ perpendicularis eft in li- 
nca«r t.Cbm ergo angulus y£ x redus fir, angulus igitur xy ^ 
minor eft redo.maius ergo eft latus x y, latere x Quare G x ad 
x £,maiorcm rationcm habcbit,quam ad at^ Scd duo anguli xy 
GySc G ^otredifunt,& y x ^ redz linez mzquales funt.«Ergo 
rcliquus angulus ^otC,rcliquo anguloy eft maior . Eodcra 

modo 




optica: 



19 




tnodo oftendemus omnium angulorum, qui hunt cx concurfu 
line* a C,cum lincii triiedis per pun&um ot, minimum efie an- 
sulumvotC. 

LEMMA PRIMVM. 

Quod autem reefta {G ,ad angulos re&os 
fit ipfi * *, oftendemus hoc modo. 

Quia eaim G 7 rettos angulos facit ad planum circuli : ergo pla- 
na omnia traie&a per linea G “y.angulos redlos faciunt cu piano 
circuli . Sed triangulus G y ^.cft vnum dc V g 

plants traie&is per lineam G y ergo trian- 
gulus C7 ^ ad angulos re&os iniiftit pia- 
no circuli. Cum ergo duo plana , planum 
nempe circuli \.S,t > c planum trianguli G y 
£fc mu tuo fecenr,& adipforum commu- 
ne fe&ionem (qux eft y ^)ipfa<Tt angu- 
los roftos faciat, in c»lano circuli ( du<fta e- £ 
nim eft y ^ perpendicularis in ipfam t S ) 

Igirur t S angulos retftos facie cum piano 
ipfius trianguli G y ^.quarcad omnes lincas i quibustangitur, 
pofitas in codcm piano triaguli y ^ €, angulos redlos facit . idco- 
que t ad ipfam ^ G angulos redos facit . Conuerfim igitur 
eft ad angulos rettos ipfi S € diametro circuli. 

LEMMA SECVNDVM. 

Praeterea oftendemus angulum i «A, ma- 
iorem efle angulo 7**. 

Sint duo triangula Gyx, 8 cG^et, qui re<ftos habcant angulos 
pofitosad*y& ^.habcat autem C«, maiorem * 

rationem ad ^ a.quam ad y ot . dico angulum 
?ocG, maiorem elTc angulo y xG. Cbm enim 
Caad^ot maiorem rationem habeat quam ad 
y ofConuerfim igitur ^ ot ad ot C,minorem ra- 
tionem habet, quam 7 ot ad ecG. Quare 7 ot ad 
a G, maiorem rationem habet, quim ^ ot ad ot 
6. Fiat ergo vt7 otadot C.ita^ot, ad lineam ot 
<T,qu? minor fit quam otC . jtquiangulacrgo 
funt triangula G 7 ot,& S£ ot . Quare angulus 
7 x G zqualis eft angulo ^ ot S . idcbque angulus ^ ot G , maior eft 
angulo 7 otC. Ex his igirur oftendemus propofitionc fcquentem. 

E iij T H E- 




E V C L I D I S 



THEOREMA j8. 

In circulo, fi radius ab oculo in centrum 
tendens,8£ inqquales angulos comprehen- 
dens,cum diuerfis diametris,non fit re&us 
ad planum circuli , fed fit maior femidia- 
metro, dimerientes inaequales apparebunt: 
& ea maior videbitur,ad quam radius ab 
oculo ad centru tedens, eft perpedicularis. 

Sit iain circulus ot G y <£,ducanturque dux dimctietcs ot G & y J', 
fc mutuo fccantcs ad angulos redos: Sit verb oculus t, a quo ad 
centrum^, conncxarcdalinca faci« redos quidcra angulos 

cum y qualcflibct autem cum ipfa at 
€. Sit autem ipfa & { maior femidiame- 
tro circuli. Quia ergo y ad angulos 
redos eft vtrique ipfarum a G ,& t ^ • 6- 
nia igitur plana traieda per Iineam y 
d'.ad angulos redos erunr piano traic- 
do per tineas t ^ & otG Igitur ex i pun- 
do,ad planum (ubiedum ducaturper- 
pendicularis ; Cadet ergo in commit- ^ 
ncm iplorum planorum fedione, quz 
ell ot b. Cadat ergo, fitque tit, ducatur- 
que diameter k 0 * Sumaturquc linea A 

jl.xqualis diametro circuli,quz bifariam lecetur in pundo ri 
quo cxcircrur linea fublimis v f , quz fit ad angulos redos ipfi A 
^x.Sit veto linea vf xqualis ipfit^.dclcripta igitur fedio circuli 
tranfiens per punda Af ju , maior eft femicirculo } proptcrcacp 
linea v |, maior eft vrrarns duarum linea- 
ru A v, & [a » . Sit ergo ea circuli fedio 

A | fx, & connedantur lincx f A,f /a. an- 
gulus ergo in pundo J pofitus, cjm fub li- 
neisA f ,& fx § contincrur, xqualis eft an- 1 
culo pofito in pundo t , qui continctur 
iub lincis conncxisapundot ad punda 
y & <P,id cft,angulo y t ARurfum angu- A" 
lo contcnto fulj t { , Sc £ u,id cft,angulo t 
Z HjZqualis conftituatur ad pundura v, angulus A v o , contenrus 

Iub 





optica: jt 

fob lincis A »,& v o. Sumatur ergo v o,xquaIis ipfi t ^.connedarur- 
que redx A o & /u o.Sc circa triangulum \oft, dcfcribatur circu- 
li fedio A ofi. Angulus igitur pofous in pundo o . contcnrus fob 
lincis A 0,0 u,xqualis eric angulo h t fl.Rurfom ad pundum »,po- 
narur angulus A v tt, xqualis angulo t ^ at, feceturquc v tt xqualis 
ipfit^,& connedanturrcdx Att&tt^. Sc circa triangulum A 
T /u,dcfcribatur circuit fedio A 7 r fx. Eric ergo angulus A 7 r fx 
xqualis angulo ote£ contento fob redis lincis etc &t£ .Quia 
ergo angulus A f|u,maior eft angulo A 0 ft ( angulus cnim A l ft, 
xqualis eft angulo A o* /u.,eo quod ambo font in codcm circuli 
fegmcntojangulus autem Ao*/u,maior eft angulo A o^i( eft cnim 
exterior agul 9 triaguli A o/a)angul 9 igitur A Jm, maior eft agulo 
A 0 fx. Angul 9 verb A f /u,xqualis eft agulo y 1 o' ,&agulus A oft,x- 
qualis eft ipfi N 1 0 ’maior igitur eft angulus y td' , angulo m t 8 , ob 
idque diameter 'yJ^apparebic maior diametro h O.Rurlii angulus 
A 0 [x , xqualis eft agulo H e 0 - agul 9 aur 6 A tt ^a,agulo a t £ , maior ve 
rb eft agul 9 A 0 ju,agulo A tt [x. Quarc k 8 diameter maior apparc- 
bicdiamecro ot£. 

THEOREMA 3?. 

Quod fi ab oculo ad centrum connexa 
re£ta linea , non fuerit maior femidiame- 
tro,fed minor, contrarium diametris eue- 
niet: quas cnim antea maior videbatur,nuc 
minor apparebit:& quae minor, maior. 

Sit circulus at £ y £ , in quo ducanrur duz 
diametri fe mutuo fccantes ad angulos re- 
dos, quz Tint at £, & yf-Sc alia ^rzterea 
diameter k 8 . Sit verb oculus t , a quo ad 
centrum concxa reda linea t ^ , minor 
fit fcmidiamctro.faciatque redos angulos 
ca diametro. Ponatur ia A ft recta x- 
qualis diametro circuli, feccturque bifaria 
in pundo v,& a pudto v erigatur ad agulos 
redos lineqvf,quz fit xqualis finest 
circa punda A,| ,fx, dcfcribatur circuli fc- 
dioA | p.Erit igitur h^c fedio minor fcmicirculo.quandoquidc 
v f , minor eft femidiametro. Sit ergo ea fedio A f fx,8c conneda- 
tur redx | A, | ft. angulus igitur in pundo f pofitus.qui conrinc-. 
tur fob lincis A | & j fx, xqualis eft agulo pofito in pudoi,qui co- 

tinctur 




OPTICA. 



54 



quam circa circuli centrum fefc verlet fpe- 
dlata magnitucio , ea femper xqualis ap- 
parent. 

Sit fpedara magnitude at ?,fublimior fubiedo piano, cui ad an- 
gulos redos infiftat: oculus autem fit 7, & conncdatur reda-y 
G-Sc ccntro , y,interuallo autem y ?,dclcribatur circulus G S' t; fo- 
re a lfcro,vt fi magnitudo ot G , vcdcrur in 
circuit circunferentia , xqualis perpetub 
apparear ipfi'y oculo.Quia enim *b ma- 
gnitudo reda eft ad planum, facitcrgo a- 
gulurcdum cum linea? y iaccntc in pia- 
no circu/i.Quarc omnes linex qu$ a ccn- 
tro 'y.in ipfam * G magnirudincm incider, 
angulos inter le xquaics facicnr. ob ldque 
fpedata magnitudo eiufdcm quantiratis 
perpetub apparebit.Eode modo fi ex ccn- 
tro y fublimisducaturrcda linca,qux parallcla fit Ipedatx ma- 
gnttudini,& in eius culminc ftatuatur oculus, magnitudo veda- 
ta in circuli circunferentia , perpetuo fibi ipfi xqualis apparebic. 

THEOREMA 42. 




Si Ipe&ata magnitudo redta fit ad fubie- 
&um planum , oculus autem ve&ctur in 
circunferentia circuli , cuius centrum fit 
pundtii illud,in quo eredla magnitudo tan- 
git planum , Ipedtata magnitudo femper 
xqualis apparebit. 

Efto fpedara magnitudo*? ,qux &fubfi- * 
mis fit,& angulos redos faciat ad fubiedum 
planum ‘.oculus verb lit -y Sc ccntro ?,inrcr- 
uallo autem Gy .deferibatur circulus y ^.Fo- 
re alTl-ro.vt fi y oculus in circunferentia vc- 
detur, ipfa * G magnitudo xquilis perpetub 
apparcat.Id autem hinc perlpicuucft: Om- 
nes cnim radii ex ccntro y, ad ot? magnitu- 
dincra tcndctcs,ad xquaics angulos tendur. 




F 



propre; 



34 



E V CLIDIS 



propter angulum in pundfo 6 pofitum , quiredtus eft. quire fpe- 
dfata magnuudo fibi ipfi xqualis perpetuo apparebit. 

THEOREMA 43. 

Si oculo pofito in centro circuli , magni- 
tude qua: ad circuli planum re&a non lit, 
in circuli circumferentia vectetur , femper 
inasqualis apparebit. 

Sitcirculus S», in cuius circumferentia fumatur pundtum^i 
quo fubhmis crigatur rcdla linea S ^.quxad circuli planum ad 
angulos redfos non fit,ponaturque oculus in t centro . Fore dico 
vtiiJ'^in circuli circumferentia tranfponatur,nunc maior nuc 
minor apparcat . Ipfa S ^,aut maior eft fe- 
midiametro,aut xqualis,aut minor.Sit pri- 
mo maior femidiametro, ducatiirque ex 
i centro redta linea t y , qux parallcla fit Sc 
xqualis ipfi<f & apundto y in fubie- 
dtum planum ducatur pcrpendicularis 
y v , quae planum tangat in pundto v , con- 
ncdtatiirquc rcdla sv, quq producatur Sc 
ad circumferentia applicct in pundlo *,\Sc 
ex or pundto ducatur otC parallcla ipfi t y. 

Sitautcm a£ xqualis ipfid' £ dico omni- 
um redtarum linearum in circuli circumferentia circumlatarum 
minimam apparcre ipfam x C. conncdtantur cnim redtx y £,t 
€ y,t 6 Habemus iam in theoremate quod appofitum eft chcorc- 
mati triccfimo ieprimo.omnium linearum traiedtarum per pun- 
dtum t ,& an^ul’os facicntium cum linea « y,lincas y t,& t «, mi- 
nimum angulum continere,qui eft y torCum ergo y t parallcla 
fit & xqualis ipfi a £• igirur t a, ipfi y C,x- 
qualis Sc parallcla cft.Parallclogrammum 
ergo eft t £• eademque rationeparallclo- * 
grammum ctiam eft ^ «.Quia verb dem5- 
ftrandumcft<x6 minoremefte quam<T<J, 
non dubiumeft quin prius demonftran- 
dum fit, angulum C minorem efte an- 
gulo ^ « S . quod hoc modo ficr. Cum cm 
demonftratum fit omnium linearum tra- 
iedtarum per pundtum «, & facicntium 





angu- 



OPTICA. 



3 S 



angulos cum linca y 6,lincas ytSci ^minimum omnium angu- 
lutn continerc.qui eft y e a- Ergo angulus y t «. , minor eft angu- 
lo y e (J'.Ponatur iam x ot A fedio circuli xqualis fcmicirculo/fu- 
maturque cius centrum v,& ponatur angulus x v /^xqualis angu- 
lo y t otangulus autem x v o,angulo y t^.fttque vtraque ipfarum 
fj. VjSc o VjXquahs ipfi {S . Sc per pundum fi , ducatur reda u tt, 
xqualis & parallcla ipli x v,conncdaturque reda 7 r x . Parallelo- 
grammum ergo eft V7r , xquale Sc fimile ipfi 6 tparaUclogramo. 
Rurfum per pundum 0 , ducatur reda 0 §, xqualis Sc parallcla ip- 
fi x v.conncdaturquc reda £ x . Igitur parallclogrammum p v,x- 
quale & fimile eft parallelogram mo ^ t. ducantur iam diametri 
ab angulo in angulum,7r » Sc 5 v Ergo angulus x v vr , minor eft 
aneulox v^.Eft autem angulus x»7r qqualis angulo at t G.an- 
gulus autem x v ^xqualis angulo S 1 2 . minor ergo eft angulus cl 
1 6,angulo S e Square magnitudo ot (^ap- ( 

parebit minor magnirudine^ . Eodem 0 
modooftendemus 6 ot minorem cftc qua 
^^fiipfa £S ponatur xqualis vcl minor 
femidiametro. 

Enimuerb fit^ ^ xqualis iemidiametro, 
coftruaturqj rcliqua omnia vt in prqccdcn- 
ri figura fadum eft. ponatur item fcmicir- 
cirius 6 S' A.qui xqualis fit fcmicirculo pr$- 
cedcntiscirciili: Sumatur centrum femi- 
circuli quod fit v . Quia ergo S£ xqualis 
pofita eft femidiametro circuli:igitur<T^xq ua ^s eft ipfi 0 v . Por 
natur angulus 0 v x xqualis angulo/y t ot,d u caturquc x f paralle- 
la& xqualis ipfi 0 v , conncdarurque rcd a 1 6 • ponatur ctiara 
angulus 0»<T xqualis angulo ■ytd'.aucatur 
autem S o.xqualis Sc parallcla ipfi 0 v , du- 
caturqirc reda 0 0. parallelogramma ergo 
firnt 0<^,& 0 x,fimilia ^qualiaquc parallc- 
logrammis t^&tC.quare angulus quide 
0 v (T, xqualis eft angulo : angulus au- 

tem 0v x, xqualis eft angulo yioc. minor 
autem eft angulus *yt ot,angulo y tJ'.mi- 
nor eft igitur 0vx angulus , angulo 0 v S. 

Conncdantur parallclogrammoru dime- 
tientes | v , Sc 0 v . minor igitur eft 0 v f angulus, angulo 0 v 0. 
xqualis autem eft angulus quidem 0 v |,angulo ot 1 6 . angulus ve- 
to angulo minor igitur eft ouG angulus , angulo S t £ 

F ij quarc 






, tf E V C L I D I S 

quarc magnitu Jo cl G apparcbic minor magnitudinc S quod 
dcmonftrandum crat. 

Scdenim fit ^ minor fcmidiamctro circuii, rcliqua verb con- 
ftruaturvcatcarponaturq-, 9 /x fe&ioxqua- 
lis femicirculo/umaturquc circuit ccnrru 5 
cx 6 v fccctur v \ xqualis ipfi S ? . con- 
ftituarurque angulus ivx, xqualis an- 
gulo y t ot.anguius autem 6 v A, xqualis an- 
gulo y t Jerque vtraque ipfarum v K,v A,* 1 
figillatim aequalis ipfi S £.& per pun&um j\' 

H ducaturx. o.parallcla Sc xqualis ipfi v f, 
connc&atiirquc o |.pcr pumftum autem A 
ducatur A tt pa.rallcia ipfi J v,&connecla- 
tur rc<fta tt J . duo igitur parallclogramma funt | k , & \ A, 
quorum f k quidem xquale acfimilccft ipfi e f poraliclogramo: 
ipfum autem f A parallclogrammum x- 
qualc item Sc finule eft parallelogrammo 
1 1 .Qufrc anpulus 6 v k xqualis eft ancu- 
lo y t oi -angulus autem 0 v A xqualis ell a- 
gulo-y iS .maior ergo eft y iS angulo-ye, 
cl . nuior iraque 0 v A angulu$,angulo 0 v 
K.conne&anturparallclogrammorumdi- 
metientes vo,vr. igitur angulus f vo,mi- 
nor eft angulo J v -rr.Eft autem angulus quidem f v o xqualis an- 
gulo a t 6,angulus autem | » tt, xqualis angulo S t ^ • minor ergo 
eft angulus cttC.anguloJ't^.Ccrnitur autem magnitudo qutde 
ct G cx angulo cl t G. magnitudo verb S cx angulo S t £ . minor 
itaque apparebic magnitudo a G, magnitudinc S quodmon- 
ftrari debuit. 

THEOREMA 44. 

Eft aliquis locus, vbi manente oculo,res 
(pe&ata e loco in locum mutata, xqualis 
temper apparet. £ 

Sit fpedara magnitudo G Y,oculus autem 

a quo proccdant radii ^ C.^jefficictcs Vi 
triangulum^6'y,circaquem defcribatur f 
circur^Yd' ^.dicomagnitudineCy,tra- \ 
ilaram in quemlibet locum circunfereti? 
circuii, eiufdem quatiratis femper apparc- 
rc.tranffcraturcnim^Y magnitudo,in y 





ized 



optica; 



17 



S, & connedatur rcda^. xqualis ighur eft rircunferentia 6 
y , circunfcrentix , y< 5 v .ob ldquc xqualis eft angulus 'y £ 6 , artgu- 
lo y £<J'.qux autem lub xquaiibus angulis ccrnurur , xqualia ap- 
parent,xqualis ergo apparcr y G, ipfi y S. 

THEOREMA 4 j. 

Eft aliquis locus, vbi alpe&abili manente, 
oculo verb tran{lato,aljpe£l:abile Temper ac- 
quale apparet. 

Sic cnim fpedata magnitudo Gy, oculus 

aurem a quo procedant radii £G , £ y: 8 c G 

circa triangulum G ^ y.dcfcribatur circuit * 




fcdioSJ' ^'y,rran(Tcraturquc oculus a pu- 5^ 
do ^,in pundum <P,cx quo ducantur radii 
SG,Sy. xqualis igitur eft angulus 'yd' 6 , 
angulo^^7,cutn iintin codem fegmen- 
to circuli . Qux autem fub xquaiibus angulis confpiciunrur 
xqualia apparent : Quare magnitudo G y.eiufdc quantitatis per- 
petuo apparebit oculo per y £S G circufercntiam vedato. 

THEOREMA 4 tf. 

Eft aliquis locus, ad quem fi oculus tranf- 
feratur,rem alpe&abilem immoram,nunc 
maiorem nunc minorem exiftimabit. 

Sit fpedara magnitudo x <P,reda verb linea G y , qux concurrac 
cumrcda^x. prodndainredum &c longumad pundum “y.Sc 
fumatur ipfarum Sy,Sc y x, media propor- 
tionals 7 ^,( per i6.rcrriiElcmcn.)& con- 
nedantur red^ ^x,^. deindc circa data 
redam lincam x d'.dcfcribatur fedio cir- 
culi,qux capiat angulum acutum x ^(per 
33. tertii Elc. ) Igitur reda G {y taget fedi- 
onis circufcrcntia (per jy.tcttii Element.) 
ciimd v 'y fchabcatad'y£ > vt'y ^adyx.Po- 
natur ergo oculus in pundo G , a quo du- ^/ jy 
catur radii G S,G x, 5 c conedatur reda or S' 
itqualis igitur eft angitlus x ^J^angulox o^per u.tcrtii Ele.) 
cum Tint in codcm fegmento. Eft autem angulus x or S , maior a- 
gulo x G S', (pet \6 . primi Element.) Quare angulus etiam x { S t 
angulo x G S maior eft.oculo igitur fpedanci b pundo { , maior 

F iij appa- 







,8 EVCLIDIS 

apparcbit magnicudo x. S, quam ex pundto G (per j.poftulat. ) 

THEOREMA 47. 

Idem accidet ft linea,per quam tranfit o- 
culus, parallela fit fpe&atas magnitudini. 

Sitenim Gy linea parallela fpe&atx magnitudini (T £,fecerur . 
autem bifariam ipfa perio.primi Element.) in pun&oH, ^ 

quo cxcitccuDcv, &cone<ftatur reiftx 
v d'jV circa autc redial deferibatur 
fedtio circuli capicns angulu S v ^ , fper 
33.tcrtii Element. )Quja ergo linea k v, 
eft diameter cius circuli, cuius fedtio eft 
S v ^,(pcr corollarium i.tertii)ab extre- 
mitatc verb ipfius h. v , nempe a pundio 
v,dudta eft redta G y, ad angulos redtos 

ipfi v h -igitur ipfa G y , tangic circumfcrentiam ipfius fcgmcnti S 
v ^(per corollanum \6 . tertii Element.) transferamr iam oculus 
in pundhimy,£ quo proccdant radii *y S.Sc conncdfatur redta 
p <xquahs igitur eft angulus v ^.angulo S g ^ . (pcr.21 tertii E- 
Icm.)agulus aute S 5 maior eft agulo S y ^ (per 16. primi’ Elc.) 
maior igitur eft anguluS S » £ angulo S y ^ • qux aurem fub ma-. 
iorc angulo lpedtantur,maiora apparent: maior igitur apparcbit 
ipfa ^ magnitudo oculo collocato in pundlo *, quam in pundto 
^-oculo igitur diicurrcti perlineam67 parallelam magnitudi- 
ni S ^.ipfa S ^ magnitudo, nunc maior nunc minor apparcbit. 

THEOREMA 48. 

Eft aliquis locus communis , vnde cequa- 
les magnitudines,inaequales apparent. 

Sit enim G y magnitudo xqualis ipfi 
7<T,&ci rca ipfamC-y, deferibatur femi- 
circul” G ^y . circa autem iplam y S, de- 
feribatur ledtio y£ S , qux fit maior fe- 
micircu!o( j?cr 31 . Sc 33 . tertii Elem.) 
conncdtantiirquc rcctx ^ G,{y,{ S . Er- 
go angulus y < G , in fcmicirculo pofit®, 
maior eft angulo y{S, qui eftinmaiorefegmento ('per. 3 i.rertii 
Element.) Qux autem fub maiori angulo fpcdlanrur,maiora 
apparcnt(pcr y. poftul.)Quare oculo collocato in puuifto ?, ma- 
aor apparct G y quam y S. arqui G y ipfi y S pofita eft xqualis . eft 

.... , . . ergo 





optica: 3 9 

ergo aliquis locus communis, vndc (pedatx ^qualcs magnitudi- 
ncs* inzqualcs apparent. 

THEOREMA 4 9- 

Eft aliquis locus comunis, vnde inacqua- 
les magnitudines,<^quales apparent. 

Sit cnim Gy magnirudo maior quam y S,&: circa ipfam G , y,de- 
fcribatur circuli ledio G ^y^qu* fir maior fcmicirculo : circa ire 
ipfam 'y (J'.dcfcnbatur circuli fcdlio’y ^(f,qux fitfimilisipli£ £y 
fcdioni.id cft,qux angulum coprehcn- 
dat'y ^.xqualcm angulcy £C(pcr 33 . 
tcrtii Elcment.Jconnedarur autem re- 
6tx^G,^y,^S. Cum igitur anguli , qui 
funt in fimibb 9 fegmetis,fint inter fc x- 
quales ( per dccimam definitioncmtcr- 
ni Element.) xqualcs ergo funr inter Ce 
y{G8cy^S anguli in iimilibus fedionibus deferipti .Qu£ au- 
tem fub xqualibus angulis cernuntur, xquaba apparent ( per 7 . 
poftul.)Quare oculo collocato in pundo ^,xqualis apparet ma- 
gnitude G -y ipfi y S’cft autem maior: Eft igitur locus aliquis c5- 
munis, vndc ipedatx inxquales magnitudinc$,xquales apparet. 

THEOREMA 50 . 

Sunt qujedam loca,e quibus fpe&ata vna 
magnitudo,cx duabus inqqualibus inter fe 
additis compofita, vtrique inxqualium as- 
qualis apparet. 

Sint dux magnitudines inxquales , maior quidc G ■y,minor vero 
y S', 8c circa vtranque catum deferiba- 
tur fcmicirculi G x. y ,8c y ^ d'-circa cti- 
ara totam G S compofitam ex duabus 
Gy ,8c y S', defetibatur fcmicirculusC 
a j'.angulus igitur qui eft in G x S femi- 
circulo,xquatis eft angulo qui eft in G x g 
y fcmicirculo: vterque cnim reduseft 
(per ji. tcrtii Elemct.)iEqualis ergo ap- 
parct £ y ipfi G S . Similiter 8c G (F,ipfi y S $qualis apparet, oculis 
politisinpundis«& duorum fcmicirculorum GetS8cy^S. 
Sunt ergo loca quxdam , vndc fpedata vna magnirudo c duab* 

in- 











4 o EVCL1DIS 

inxquahb* inter Cc additis compofita, vtrique inxqualiura appa- 
retxqualis. 

THEOREMA ft. 



Inuenire loca ex quibus eadem magni- 
tude appareat dimidio aut quarta parte 
minor , &C omnino in data ratione, fecundu 
quam fecatur angulus. 

Sitcnimrcdalinca A circa quam de- 
feribatur pro arbitrio iedio circuli,in 
quainferibatur angulus A K ^-ipfiautc 
A ^ qqualis fit C 'y.circa quam defcriba- 
rur etiam circuit (cdiocapicns angulu 
dimidio minorem, quam lie angulus A 
K ^ (per 33 -tcrrii Elcm . ) Angulus ergo 

A K ^,duplus eft anguli 6 J* y . Quarc A ^ magnitudo duplo ma- 
ior videtur magnitudinc C y , cum oculi collocantur in 6 S' y Sc 
A k ^ circunfercnriis . 




THEOREMA $ i. 

jEquali celeritate delatorum & in eade 
re<5ta lineapofitorum,prope oculum , vlti- 
mumreliqua omnia pr^cedere videbitur. 
fad:o autem tranfitu in contrarias partes, 
quod antea prqcedebat,fubfequi exiftima- 
bitur : quod autem fubfequebatur , prae- 
cedere videbitur. ^ 

Feranturcnim cadcmcclcriratcC'y 
A* Sc ex fx oculo , proccdant radii [x y.y. 

/a A . radius igitur/uy , eft dexterrimus Sc 
fublimifsimus radiorum ab oculo ju procc- 
dentium. Quarc £ y videbitur pr^ccderc, 
migrationc verb fada in contrarias partes, 
finempef y,$Z > K A, mutenturad partes 
* I. tt 9, o’ r , proccdant radii fx v,[x i r,[x o'. 

Omnibus ergo radiis rcliquis ab oculo [x emifsis , dexter,^ 
^o'/miftctior autem eft ipfe/x » . Igitur ipfa magnitudo <rr,relt- 

qua* 







OPTICA. 



quas prxccdcrc videbitur, ipfa verb vf.fubfcqui. Quarefy nu- 
gnitudo.qu? antca prxccdcoat,poftquam tranflata hieric in v | , 
lubfequi vidcbitur.magnitudo autem Ax, qu$ antca fubfcqui vi- 
dcbatur.prqccdcrc cxiftimabitur,cum tranflata fucrit in o* r. 

THEOREM A j 3 . 

Inxquali celeritate delatorum eo vor- 
fum quo fertur oculus, ca quidem quae x- 
que velociter feruntur atque oculus , qui- 
efcere videntur oculo: quq verb tardius , in 
contrariam partem moueri : quq autem 
celerius , in prqcedentia ferri apparent. 

Magnitudines enim 6, 7, J^moucanturvclocitatc in^quali, Sc 6 
quidem rardifllmc fcrarur,7 autem perindc 
celerirer atque x oculus: ac<P denique cclc- ^ ^ P, 

rius feratur quam 7- abipfo autem x oculo 
procedant radii x 6,x y,H.$ . Si ergo oculus 
x ad cafdcm partes feratur ad quas tendunt 
C,7 ^.magnitudines, ipfa quidem 7 magni- 
tudo,qu*^quc celcritcr fertur atque oculus 
X, flare Sc quiefeere putabirur: b autem re- . 
linqui Sc retro ferri cxiftimabitur: denique 
cum vclocius moueatur, quam y , igirur £ 
in prxeedetia ferri videbitur : remouebitur cnim magis ac ma- 
gis ab ipfa y magmtudine. 

THEOREMA 54. 

Si magnitudines aliqux ad eandem par- 
tem feratur, vna verb quiefcat,ea quq qui- 
efeit, in contraria partem mo- £ y 
ueri videbitur. 

Feratur enim 6,<T, magnitudines, 7 verb ma- 
gnitude immora maneat : Sc ab oculo pro- 
cedant radii ^7,^. Si ergo C& <£, ma- 
gnitudines ferantur(cxempli gratia)dextror- 
lum,6 quidem propibs accedct ad 7-at verb 
^.rcccdcns a7,longibs indc diftabit.Quarc 

G 7 qui- 





4 * E V C L I D I S 

y quicfcens magnitudo,in cotrarias partes, finiftrorfum ncmpe, 
. ferri vidcbitur. 

THE OREM A 55. 

Oculo ad rcm vilam acccdenti, res vifa 
augeri videtur. 

Oculo cnimin ^pofiro , cemarur magniru-^ 
doGy,pci radios^£, & ^ylam accedato- 
culus propiusadmagnirudinem 6 *y,collocc- 
turqucin<P, ccrnatquc magnitudmem 6 y, 

f >cr radios <f £ Sc £ y . Cu ergo maior fit agu- 
us cP agulo^.qux aute Tub maiori angulo ccr- 
nutur,maiora apparcary'perj.poft.joculo igi 
tur in «P collocato,au<ftior apparebit magni- 
tudo C equina fi ide oculus collocctur in 

THEOREMA 5 6 . 

■^quali celeritate delatorurrijqua: Jongi- 
us diftantjtardius ferri videntur. 

Ferantur cnim cadem cclcrirarc £&k ma- 
gnitudes ad partes { , ducanturquc ab x o- 
culo J radiia'y,aJ',ot £lgitur radii aba oculo 
ad k. magnitude tendenres , minorcs funt, 
quam llli qui tendqnt ad £ magnitudincm. 

Quarex minus lnreruallum percurrcr, vidc- 
bitiirque citius ferri,quia ciriuspcrucnict ad 
radium x £ 

ALIA THEOREMATIS 

dcmonftrjtio. 

Duo pun Aa x & ^ arquali celeritare feratur 
per reftas parallclas x <P } & £ t • vEquali cr- ■ 
go tempore pertranfibunt . Sint ltaquc x- ^ 
auales a S' & £ fc,3c ex ^ oculo proccdat ra- 
Quia angulus£^ S', minor 
eft angulo £ ^ y minus ergo apparebit in- 
tcruallum ot<P ,intcruallo^t qua re x tardi* 
fern vidcbitur quam £. 

THEOREMA 57 . ^ 

Oculo celericer moto,resfpe<5fcit£proci]I 
^ ^ pofitx, 





43 



OPTICA. 



polite, relinqui videntur. 

Sic oculus £,a quo ducantur radii £ y,6 S,€ 
res vero fpcftarx fintx.A. Oculo igitur cclc- 
ritcr dclato.radii ab oculo £,vcrfus y proren- \ 
fi,ciriuspercurrcnt x magnitudinem , quim 
ipfam A . Quire x rclinquiexiftimabitur,A 
vero in conrrarium tendere, nempc dextror- 
fum verfusparresqux funtad 

THEOREM A 58* 

Magnitudines au&<£ , propius ad oculum 
accedere exiftimantur. 




Sic magnitudo y £ , quae confpiciatur per 
radios x y,M.G- augcatur ipfa y £ ranra ma- 
gnirudine.quanta eft £ S’ ab oculo vero x, 
procedar radius x S . maior ergo eft S x y 
angulus,angulo £ x y . Quae aur£ Tub ma- 
iori angulo fpc&antur , maiora apparent: 
maior igitur apparet y S , quam y £. Qu^ 
vero maiora vifui apparent quam prius, 
aiida efte putantur.Igitur au&x magnitu- 
dincs ad oculum acceftifte uidebuntur. 




THEOREMA 

Qu£ neque qqualitcr ab oculo abfunr, 
neque extrema extremis &C media mediis 
parallela habent, neque in re&a linea funt: 
totam figuramfaciunt nunc cauam, nunc 
conuexam. 

Ccmantur cnim 6,y,S, ab oculo pofito in 
x,iquo procedant radii x £,x , y,x ei'-To- 
ta igitur figura y £ tJ^caua efte vidcrur . Ia 
alio modo ponarur ipfa res fpeftara, ira vc 
pundum £, propms oculo x fir, quam 1 ). 
aut S . Ipfa ianc S £ y figura,conucxa efte 
cxiftimabirur. 

THEOREMA *0. 

G ij 




Si 



,4+ 



EVCLIDIS OPTICA. 




Quod fi radius ab oculo in diametroru 
interledrionem dudhis , neque redtus fit ad 
planum quadrati , neque asqualis alterutri 
lemidiametrorum quadrati , neque sequa- 
les angulos contineat cum ipfis femidia- 
metris,inacquales apparebunt diametri. 

Idem enim quod in circulis, hie ctia cuenirc monftrabimus. 

FINIS OPTICORVM 
EVCLIDIS. 










Euclidis Catoptrica, 



SEV PARS EA OPTICES, QV^ 

DO CET FALLACIAS SPECVLORYM, 
Latinereddita per loannem Penam R egium 
Mathematician , 

A D 

Illuftrifllmum Principcm Caroltim Lotha- 
ringum Cardinalcm. 

1 P onamus radium tffe redam lineam , cuitu media omnia extre- 

mis officiant. 

x ltem,omne afpedabile fccundum redam lineam eerni. 

3 Item , ft ffeculum collocetur in piano, cm ad redos angulos altit udo 

altcjua erefla fit, quam ratione habet lined interieda inter fpe- 
datorem fir fpeculum.ad lineam interiedam tnterjpeculum &• 
eredam altitudinem.eandem rationem habere fpcdatortt altitu- 
dtncm, ad altitudinem infifientem ad redos angulos ei piano, in 
quo efi [beculum. 

PHENOMENON 

primum. 

4 item, in pldnis fpeculu.oculo pofito in eo fpeculi loco, in que cadit peri 

pendicularv duda a re afpedabilt ad fpeculum.rem afpedabile 






noncerm. . 

PH ANOMENOJ, 
fccundum. * 

Item, in conuexis fpecults oculo occupante locurXfft&qucm area) 
dabili ad centrum fphxrec lined redd ducetur,rem afpedab 
non cemi. 

PH EEN O MEN ON 

tertium. 



>e- 



idemque in c oncauis fpeculis fieri. 



G iij 



Item, 




4 * E.VCLIDIS 

7 He, ft res aiiqtta in \as iniiciatur ab oculo rcmoucatur yat ipfu> 
quoad res in fundo yafis pofitactrni non pojfit.cam yifum iri ab 
tadem reniotione y faqud in yas infundatur. * 

THEOREMA x. 

A fpeculis planis conuexis &C cauis, radii 
ad jcquales angulos refledimtur. 

Sir oculusquidcm G , planum aurcmfpc- ^ 
culum x y • radius vero ab oculo fcrarurC k 
x , qui refledatut ad pumftum S • dico an- 
gulum rcftexionis.quiadt, xqualem die 
angulo incidcnrix,qui eft ad ^ . ducantur 
cnim Gy, S' a,pcrpendicularesa pundisiP 
& G , ad fpcculum a x y . Eft igicur vt G y A 
ad y x ,fic S x ad a x -id cnim in dcfinicio- 
nc cercia pofitu cft.Quare triangulus Gyx, fimilis eft triangulo S 
a x ob iclque angulus t, xqualis eft angnlo Trianguli enim fi- 
milcs,zquianguli ctiamfunt. 

IN CON VEXO SPECVLO. 

Sic conucxum fpcculum a x y, radius aurc 
G X.qui refledatur ad punctum J'.dico an- 
eulurn reflexionis t 0 , xqualem cfl’c angu- 
lo incident^ o A* Si cnim applicem planu 
fpcculum v/u,ita vc rangat fpcculum con- 
ucxum in pun<fto x,angulus 0 , xqualis eric 
angulo A . Scd angulus t xqualis eft angu- 
lo o , propccrca quod planu fpcculum fx v, 
tahgit conucxum fpcculum a x y . cotus J 
. igicur 1 0 angul 9 , xqualis eft coci A o agulo. * 

IN CONCAVO SPECVLO. 

Sic rurfus fpcculum cauum , «. x y • radius J' 
aurem G x,qui refledarur ad S. dico angu- . 
lum 0,xqualc c(Tc angulo A’appofuo cnim 
piano fpcculou v , xqualis eft angul 9 0 t, . 
angulo A.o.Sca Sc angulus e xqualis eft an- 
gulo j . Quarexcliquus angulus 0 r J rdiquo ' 
angulo A xqualis cric. . } 




THEOREMA t. 




Si 







CATOPTRIC A.' 47 

Si radius in qualecunque (peculum ca- 
dens , aequales faciat angulos, ipfe infcip- 
fum refledetur. 

Sit planum fpcculum ooty, oculus aurem 
£• a quo radius proccdat G K , xqualcs an- 
gulos facicns cum fpeculo,angulum ncm- 
pc t ^.xqualem angulo 0. fore aflero vt ra- 
dius G x. fefe rcflcdcns,in fe ipfum rcdcar, 
hoc eft, ad € oculum: alioqui refledatur, ft 
poffit,in pundum . Quia igitur radii ad 
xqualcs angulos refleduntur , xqualis eft 
angulus £,angulo 0 . oftenfus vero eft agu- 
lus t xqualis angulo 0. igitur angulus t 

angulo ^ xqualis crit,maior minori: quod fieri nequit. Igirur ra- 
dius G k ,infeipfum refledetur. Eadcm demonftratio congru- 
ct fpeculis turn conucxis turn cauis. 

THEOREM A 3. 

Radius in qualecunque ipeculum cades, 
angulofque inaequalcs faciens, neque in (e- 
ipfum refledetur , neque verfus minorem 
angulum. 

Sit planum fpcculum a radius aurem 
G H,in fpcculum profiliat. taciarque angu- 
lum maiorem angulo 0 A . fore affero vt ^ 

C k radius fefe refledcns,ncque in feipfum 
refledatur, neque ad angulum 0 A.Si enim 
redeat in fc ipfum, in G k , xqualis crir agu- 
lus ^angulo 0 A , quodabfurdum eft:»n- 
gulus emm ^,pofitus eft maior angulo 0 A., A ^ ^ 
quod fi G k refledatur ad S' , a qualis erit { 4 ^ 

angulus angulo A.eft autem maior. Quare 
radius G x. refledetur verfus maiorem angulum , qui eft ad Po- 
tent cnim a maiorc angulo auferri angulus xqualis minori. Eadc 
demonftratio valebit in conue*ts A: cauis fpeculis. 

THEOREMA 4. 

Radiiaplanis conuexifque fpeculis reflexi, 

neque 




4 «f E V C L I D I S 

ncqj mutuo cocurret,neque erut paralleli. 

Sit rurfus planu fpeculum x y, oculus aute £ , radii verb rcflcxi C 
y S,C at t.aico duos hos radios reflcxos y S, 

& a t , nequc parallclos ciTcjticquc produ- 
«ftos ad partes S 5c t,pofTc concurrcre.quia 
entm zqualis eft angulus ^angulo 0,5c an- 

f ;ulus k angulo fx , maior autem eft angu- 
us l angulo K,propterca quod eft cxtrin- 
l'ecus angulus , in triangulo Cxy. maior 
igitur eft angulus { angulo fx . Quarc radii 
rcflcxi ySSc a e, ncquc paralleli inter fc 
funr,ncque concurrent aa partes 1 5c <T. 

IN CONVEXO SPECVLO. 

Sit rurfus conucxum fpeculum ot k ^ y, o- 
culus autem £,radii autem rcflcxi £ £S,£ H 
I’dico radios reflexos ^SSc Hfc,nequepa- 
rallelos cfle.nec pofle cocurrcrc ad partes 
i^.Connc&aturcnim rc<ftan 5c produ- 
catur vtrinque ad o 5c x. * Quia igitur an- 
gulus £ ^ y acqualis eft angulo S ( A, co cj 
radii ad zqualcs angulos rcflc<ftunrur,ma- 
ior igitur eft angulus S ^ /n, angulo £^h. 

Sc angulus £ ^ K , maior angulo £ H [x , 5c 
angulus £ « fx , maior eft angulo e h ot.angulus em£« A, zqualis eft 
angulo t h ormaior igitur eft S {fx angulus, angulo t hx . mulro 
igitur maior eft angulus S £ M.angulo t M o.igitur radii t, ne- 

que concurrcnt,nequc paralleli erunt. 

THEOREMA j. 

In cauis fpeculis fi oculum colloces aut 
in centro , aut in circunferentia , aut extra 
circuferetia,id eft, inter cetru &C circufere- 
tia , radii reflexi cocurret. 

Sitcauum fpeculum x y ^.centrum au- 
tem fphxr^cuius portio eft ipfum fpc- 
culum concauum, fir £ , in quo ponatur 
oculus , ab eoque ad circunrcrcntia du- 
cantur radii £ x,6y,€ S‘ zqualcs igitur 
funt anguli politi ad pun&a ot, y,S • funt 







enim 



CATOTRICA. 49 

enim anguli fcmi::irculorum.RadiiigirurCa,Cy,C<J\ab oculo ad 
fpcculum mifsi.in fc lpfos refledctur.id cnim oftenfum eft.Qua- 
rc concurrent in pundo G . 

OCVLVS IN CIRCVNFERENTI A. 

Sit cauum fpcculum a y 8 C,oculus autem 
fit G, colloccturquc in lpfius fpcculi circu- 
fcrcntia,& ab oculo G ptofiliant radii G y, 

G a, qui reflcdantur ad pundad^i; Quia 
Tegmentum ay 6 , maiuscft TegmentoC 9 
ymaior igitur eft G ay angulus , angulo G 
y 9. Quarc angulus ian (per primam pro- 
pofitioncm ) maior eft angulo S y a. duo 
igitur anguli G ay,t at»,maiorcs (imt duo- 
bus angulis G y 0, Sc S y a . quarc rcliquus 
angulus G a t.reliquo angulo S y G , minor eft, ac multo ctia mi- 
nor ipfo S v £.igitur radii reflcxi y S,x i , concurrent ad eas par- 
tcSjinquibuscft^-idcmoftcndctur oculo pofito extra circunfc- 
rcntian,vt in icquenti theorcmate. 

THEOREMA 6. 

In cauis {peculis,{i inter centrum & cir- 
cunferentiam colloces oculum , radii re- 
flexi interdum concurrent, inter dum non ' 
concurrent. 

Sit cauum fpeculu a y , cuius ccntru d^oculus autc ponarur in pu- 
do£,inter centrum Sc circunfcrcnriam: radii vero fint G x,Gy , 
qui reflcdantur ad punda k Sc£ , ipfi autc 
radii ad fpeculum vfquc protrahatur , qui 
finr a 0,y it. Iam radius a 9 aut maior eft, 
aut minor,aut zqualis radio y x. . Si ergo 
radius a 9,zqualis fit radio y it, zqualis e- 
riam eft circunfcrcntia a y 9 , circunfcre- 
tix y a it . Quarc angulus [x xqualis crit a- 
gulof •acquaFtum cnim fedionum anguli 
(unt inter ic iquales.duo item anguli [x Sc 
A,?qualcs crunt duobus angulis v Sc ^pp- 
rcr qqualitatcm angulorum reflexionis Sc incidentix • Quocirca 
rcliquus angulus o,zqualis crit reliquo angulo 7 T.igirur £ angulus 
maior crit angulo o.quia cnim angulus f , maior eft angulo tt ( eft 

H cnim 



a 






J 6 E V C L I D I S 

quarc magnitude) tt C apparebit minor magnitudine ^ quod 
demonftrandum crat. 

Sedenim fit J' ^ minor femidiametro circuli, rcliqua verb con- 
fttuaturvtatca:ponatiirqi 0/x fe&ioxqua- 
lis femicirculo/umaturquc circuli centru S 
ex 0 v fecetur v f xqualis ipfi S 2 . con- 
ftituatiirque angulus 0 v x , xqualis an- 
gulo y t ot.angulus autem 0 v A.xqualis an- 
gulo -y CcJ'jfitqucvtraque ipfarum v x,v \, n 
figillatim arqualis ipfi per pundum 
x ducacurx o,parallela & xqualis ipfi vf, 
conncdatiirquc o |.per pundum autem A 
ducatur A -tt parallcla ipfi f v,&conneda- 
tur reda 7 r | . duo igitur parallclogramma funt f x , A, 
quorum J x quidem xquale ac fimilc eft ipfitf porallclogramo: 
ipfum autem f A parallclogrammum x- 
qualc item Sc fimilc eft parallclogrammo 
1 1 .Quarc annulus 0 v x xqualis eft angu- 
lo y t ot -angulus autem 0 v A xqualis ell a- 
gulo-y ceP.maior ergo eft 'ycJ' angulo-yt 
a . maior itaque 0 v A angulus, angulo 8 v 
x.connedanturparallelogrammorumdi- 
metientes vo,VTT.igitur angulus |vo,mi- 
nor eft angulo j v 7T.Eft autem angulus quidem f v o xqualis an- 
gulo tt t C,angulus autem f v Tr.xqualis angulo S t ^ • minor ergo 
eft angulus etc C.anguloJ't^ Ccrnitur autem magnitudo quide 
ot 6 ex angulo tt c 6. magnitudo verb S ex angulo S t ^ . minor 
itaque apparebit magnitudo a C, magnitudine S quodmon- 
ftrari debuit. 

THEOREMA 44 . 

Eft aliquis locus, vbi manente oculo,res 
fpe&ata e loco in locum mutata, xqualis 
temper apparet. 

Sit fpedara magnitudo C 7 ,oculus autem 

a quo proccdant radii ^ 6,^Y» e fli c ictc$ H 
triangulum ^ 6 y , circa quern defcribatur n 
circur 6yS{. dko magnitudine C y,i ra- 
llatam in qucmlibct locum circunfereti^ ' 
circuli.ciufdcm quatitatis femper apparc- 
rc.tranffcratur cnim C -y magnitudo,in y 





optica; 



17 



S, & conncdatur redial £ xqualis igitur eft circunfercntia G 
y , ctrcunfcrcntix y d'.ob idouc xqualis eft angulus 7 £G, angu- 
1° y £J'.qu x autem fub xqualibus angulis ccrnutur , xquaba ap- 
parenr,xqualis ergo apparct y G, ipfi 7 S. 

THEOREMA 4 f. 

Eft aliquis locus, vbi alpe&abili manentc, 
oculo verb tranflato,afpe<ftabile Temper ae- 
quale apparet. 

Sit cnim fpedata magnitudo Gy, oculus 

autem a quo procedant radii £G , {y: 8 c G y 

circa triangulum G ?7,dcfcribatur circuli *' - 




fedioC^ ^7,rranffcraturquc oculus a pu- 
do ^,in pundum^.exquoducantur radii 
SG,Sy. xqualis igitur eft angulus 7^ G , 
anguloC^7,ci)m fintin codem fegmen- 
to circuli . Quae autem fub xqualibus angulis confpiciuntur 
xqualia apparent : Quarc magnitudo G 7,eiufde quantitatis per- 
peruo appatebit oculo per 7 ^S G circufercntiain vedato. 

THEOREMA 4 6 . 

Eft aliquis locus, ad quem (i oculus trant 
feratur,rem afpe&abilem immotam,nunc 
maiorem nunc minorem exiftimabit. 

Sit fpedara magnitudo x <£,rcda verb lineal 7 , qux concurrat 
cum reda S x prodnda in redum & longum ad pundum 7. & 
lumatur ipfarum S y,Sc 7 x .media propor- 
tionalis7^,(per i6.tertiiElcmcn.)& con- 
nedantur red? ^x,^<T. dcindc circa data 
redam lincarn x ^.deferibatur fedio cir- 
culi.qux capiat angulum acutum x £<T(pcr 
33. tertii Elc. ) Igitur reda 6^7 tageefedi- 
onis circufcrentia (per 37-tcrtii Element.) 
cum ^7 fc habeat ad7^,vt 7 £ad 7 x.Po- 
natur ergo oculus in pundo G , a quo du-^ 
catur radii G S,G x, & concdatur reda o’ S' 
jEqualis igitur eft angtilus x ^.angulox o*<r(pcr ai.tcrtii EIcO 
cum Tint in codem fegmento. Eft autem angulus ko’J' . maior a- 
gulox S^.fper itf.primi Element.) Quarc angulus etianix^, 
aneulox G S maior cft.oculo igitur fpedantii pundo maior 

5 F iij appa- 




jg EVCLIDIS 

apparcbit magnitudo x ^quamcx pundo 6{pcrj.poftulat.) 

THEOREMA 47 - 

Idem accidet fi linea,per quam tranfit o- 
culus, parallela fit (pedate magnitudini. 

Sitcnim Gy linea parallela fpcdatx magnitudini S £ ,fccetur 
autem bifariam ipfa S ^,( pcrxo.primi Element.) in pundo x f 
quo cxcitcturxv, &conedatur redx 
v S,v circa autc reda S deferibatur 
fedio circuit capicns angulu S v ^ , ( per £ 

33-tertii Element.) Quia ergo linea x v, 
eft diameter cius circuli,cuius fedio eft 
S v ^,(per corollarium i.tcrtii)ab extre- 
mitatc verb ipfius k v , nempe a pundo 
v,duda eft reda G y. ad angulos redos 
ipfi v R -igitur ipfa G y, cangit circumfcrentiam ipfius fegmenti S 
V ^(per corollarium \ 6 . tertii Element.) transferaturiam oculus 
in pundum^ji quo proccdant radii y £,y S.Sc cohncdatur reda 
p <xqualis igitur eft angulus v ^.angulo <T g ^ . (pcr.u tertii E- 
lcm.)agulus autc S (> maior eft agulo S y ^ (per \ 6 . primi' El e.) 
maior igitur eft anguluS S * angulo S y { • qux autem fub ma- 
iorc angulo fpedantur,maiora apparent: maior igitur apparebic 
ipfa <1^ magnitudo oculo collocato in pundo v, quam in pundo 
7-oculo igitur difeurreti perlineamf'y parallelam magnitudi- 
ni <T^,ipfa<^ magnitudo, nunc maior nunc minor apparebit. 

THEOREMA 48. 

Eft aliquis locus communis , vnde jequa- 
les magnitudines,inxquales apparent. 

Sit cnim G y magnirudo xqualis ipfi 
y <r,&circa lpfam G 7,dcfcribarur femi- 
circul 9 G ^y. circa autem ipfim y S, de- 
feribatur icdio'y^, qux fit maior (e- 
micirculo( per jr . & 33 . tertii Elem.) 
conncdanturmic redx ^ G,^y,{ S . Er- 
go angulus 7 { G , in fcmicirculo pofit 9 , 
maior eft angulo 7 ^S t qui eft in maiorc fegmento (per. 3i.rcrtii 
Elemeut. ) Qux autem fub maiori angulo fpcdanrur,maiora 
apparcnrfpcr j. poftul.)Quare oculo collocato in puudo ma- 
ior apparct G 7 quam 7 S. atqui G 7 ipfi y S pofita eft xqualis . eft 

• L "go 






■ 



- 



optica: 39 

ergo aliquis locus communis,vnde (pedatx ^qualcs magnitudi- 
ncs,. inzquales apparent. 

THEOREMA 4 9 . 



Eft aliquis locus comunis, vnde inaequa- 
les magnitudines,^quales apparent. 

Sir enim Gy magnitudo raaior quam y S,&c circa ipfam G y,de- 
feribatur circuli iedio G ^y^ux ^ m *i° r icmicirculo : circa ice 
infamy (J'.dcfcribatur circuli fedioy ^<T,quz fit fimilis ipfi G 
(edioni.id cft,qux angulum coprehcn- 
daty ^.xqualcmanguloy £6(per 35. 
rertiiElcmenr.Jconnedarur autem re- 
dx^ 6>^y.^<i\ CumigiruranguLi ,qui 
funt in fimilib 9 fcgmccis,fint inter fe z- g\ 
qualcs ( per dccimam dehnitionem tcr- 
tii Element.) zqualcs ergo funt inter fc 
y ^ G Sc y £S anguh in iimilibus fedionibus deferipti .Qu$ au- 
tem Tub zqualibus angulis cernuntur, zqualia apparent ( per 7. 




poftul.)Quare oculo collocatoinpundo ^,xqualis apparet ma- 
gnitudo G y ipfi y (f'cft autem maior: Eft igitur locus aliquis co- 
munis, vnde (pedatx inzquales magnitudincs,xquales apparet. 



THEOREMA jo. 

Sunt quiedam loca,e quibus fpedtata vna 
magnitudo, ex duabus in<^qualibus inter ft 
additis compofita, vtrique inarqualium x - 
qualis apparet. 

Sint dux magnirudincs inxqualcs , maior quidc G y, minor vcr& 
y S', Sc circa vtranque earum dcfcriba- 
tur fcmicirculi G k y,Sc y £ S'circz cti- 
am totam G S' compofiram ex duabus 
G y , Sc y S', deferibatur fcmicirculus G 
a j'.angulus igitur qui eft in G x S' femi- 
circulo,xquatis eft angulo qui eft in G x. g 
y femicirculo: vterque enim reduseft 
(per jt.rcrtii Elemct.)/Equalis ergo ap- 
parct G y ipfi G S' . Similiter Sc G <T,ipn y S $aualis apparet, oculis 
politis in pundis «. Sc ^ , duorum fcmicirculorum G a S Sc y ^ S. 
Sunt ergo loca quxdam , vnde fpedata vna magnitudo £ duab* 

in- 




/ 









4 «> 



E V C L I D I S 




inxqualib* inter (c additis compofita, vtrique inxqualium appa- 
rctxqualis. 

THEOREMA jr. 

Inuenire loca ex quibus eadem magni- 
tudo appareat dimidio aut quarta parte 
minor, &C omnino in data ratione, fecundu 
quam fecatur angulus. 

Sit cnim rcifta linea A ^.circa quam de- 
feribatur pro arbitrio lc<fbio circuli , in $ 

quainferibatur angulus A x ^‘ipfiaute 
A ^ ^qualis fit C 'y.circa quam dcfcriba- 
tur ctiam circuit feiftio capicns angulu 
dimidio minorcm, quam lie angulus A 
K l (P cr 33-rcrrii Elem . ) Angulus ergo ® 

A x ^,duplus eft anguli 6 S' y . Quarc A ^ magnirudo duplo ma- 
jor videtur magnitudinc Q y , cum oculi collocanrur in t S 1 y Sc 
A x ^circunfercnriis. 

THEOREMA 52. 

-^Equali celeritate delatorum & in eade 
re&a lineapofitorum,prope oculum , vlti- 
mumreliqua omnia pr^cedere videbitur. 
fa&o autem tranfitu in contrarias partes, 
quod antea pr^cedebat,fub(equi exiftima- 
bitur : quod autem fubfequebatur , prae- 
cedere videbitur. ^ 

Feranturcnim cadcmcclcrirarc Gy 
A* & ex fx oculo , proccdant radii fx y,/u 
lx A . radius igitur /u-y , eft dcxrerrimus Sc 
fublimifsimus radiorum ab oculo fx procc- 
dentium. Quarc G y videbitur pr^ccderc, 

ofadtar 



migrationc vero tadta in contrarias parres 




fincmpcC 7,^, x A, murenturad partes v 

v f. tt p,o*t, proccdant radii {x v.ju-n-./a o'. t* J 

Omnious ergo radiis rcliquis ab oculo /u emifsis , dexterito eft 
^.obliniftcrior autem eftipfe^x v . Igitur ip(a magnitudo o*r,reli- 

quas 



OPTICA. 



4i 



quas prxccdcrc videbitur, ipfa verb v|,fubfcqui. QuarcCy ma- 
gnttudo,qu?anrca prxccdcbat,poftquam tranflata fuerit in v J , 
iubfcqui videbitur.magnitudo autcm Ax., ou^ antca fubfequi vi- 
dcbatur.prqccderc cxiftimabitur,cum tranflata fucrit in ff r. 

THEOREM A j 3. 

Insequali celeritate delatorum eo vor- 
fum quo fertur oculus, ca quidem quae x - 
que velociter feruntur atque oculus , qui- 
efcere vidcntur oculo: qu^ verb tardius , in 
contrariam partem moueri : quq autem 
celerius , in pr^cedentia ferri apparent. 

Magnitudmes enim£,y,(J v ,moueanrurvelocitatc in^quali, 
quidem tardiflime fcrarur,y autem perinde 
celeriter atque x oculus: ac<T denique cclc- ^ % P, 

rius feratur quam y ab ipfo autcm x oculo 
proccdant radii x C,x yjXd' . Si ergo oculus 
x ad eafdcm partes feratur ad quas tendunt 
Cjy.^.nugnitudines, ipfa quidem y magni- 
tudo.qux^quc cclcritcr fertur atque oculus 
x, flare & quiefeere putabitur: 6 autem re- ; 
linqui & retro ferri cxiftimabitur: denique 
cum <P vclocius moueatur, quam y , igitur J' 
in prxeedetia ferri videbitur : remouebitur cnim magis ac ma- 
gis ab ipfa y magmtudine. 

THEOREMA j 4 . 

Si magnitudines aliquae ad eandem par- 
tem feratur, vna verb quiefcat,ea quq qui- 
efcit,in contrariapartem mo- £ y 
ueri videbitur. 

Feratur cnim 6,<P,magnitudines, y verb ma- 
gnitude immora maneat:flf ab oculo ?, pro- 
cedant radii . Si ergo C& ma- 

gnitudines ferantur(exempli gratia)dextror- 
lum,£ quidem propids accedct ad y.at verb 
<P,rcccdcns ay,longids indc diftabit.Quare 

G y qui- 






E V CLI D I S 

y quicfcens magnirudo,in cotrarias partes, liniftrorfum nempe, 
ferri videbitur. 

T H E O R E M A 5 j. 

Oculo ad rem vifam acccdcnti, res vifa 
augeri videtur. 

Oculo enim in ^ pofiro , ccrnarur magnitu - g 
dof ^,pcr radios^, & ^ylam acccdato- 
culus propius ad magnitudincm G 'y.collocc- 
liirquc in(P , cernatquc magnitudincm Gy, 

f >cr radios J'GSc £y . Cu ergo maior fit agu- 
us agulo^.quz autc Tub niaiori angulo cer- 
nutur,maiora apparcatfpcr j.poft.)oculo igi 
tur in collocato,au<ftior apparebit magni- 
tude G *y,quim fi ide oculus collocctur in 

THEOREM A 5 . 

^quali ccleritate delatorum,quae longi- 
us diftant,tardius ferri videntur. 

Ferantur cnim eadem cclcrirarc G 6c k ma- 
gnirudines ad parres ^ , ducanturquc ab x o- 
culo,radii xy,x <P,x ^-Igitur radii ab a oculo 
ad k magnitudine ten dentes , mmorcs Hint, 
quam 1II1 qui tcndqnt ad G magnitudincm. 

Quarc h minus inrcruallum pcrcurrcr, vidc- 
binirque cicius ferri,quia ciriuspcrucnict ad 
radium x£. 

ALIA THEOREMATIS 

dcmonpr.il io. 

Duo pun&a a & ^ xqunli ccleritate Feratur ^ 
per reftas parallclas x G t • ASquali er- 

go tempore pertranfibunt. Sint itaque z- ^ 
oualcs x & G t,& ex ^ oculo proccdat ra- 
xiii ~ ~ 

eft an 

terua _ „ 

ferri videbitnr quam G. 

THEOREMA 57. 

Oculo celcriter moto,res Ipe&atse procul 
— . v " pofica:. 





43 



OPTICA. 



pofitae,reIinqui videntur. 

Sit oculus £,a quo ducantur radii G y,G £ } G ^ 
res verb Ipciftatx fine x,A. Oculo igicur cclc- 
ri'tcr delato, radii ab oculo G ,verfus y proton- A 
fi,citius pcrcurrcnr x magnitudincm , quam 
ipfam A . Quire x rclinquiexiftimabitur 3 A 
verb in concrarium tendere, nempe dextror- 
futn verfus partes qux funt ad 

THEOREM A 58- 

Magnitudines au<% , propius ad oculum 
accedere exiftimantur. 




Sit magnitudo y G , qux confpiciaturpcr 
radios x y,x.G. augcaturipfay G tanta ma- 
gnitudine.quanta eft G ab oculo verb x, 
proccdat radius x ^ . maiorergo eft ^x y 
angulus,angulo G x y . Qux aut£ Tub ma- 
iori angulofpcdanmrjmaiora apparent: 
roaior igiturapparety <5* ,quam y G. Qu C 
vero maiora vifui apparent quam prius, 
auda cftc putantunlgitur auctx magnitu- 
dincs ad oculum accefsifle uidebuntur. 




THEOREMA ; 9 . 

Qu$ neque qqualiter ab oculo abfunt, 
neque extrema extremis &C media mediis 
parallela habent, neque in redta linea funt: 
totam figuram faciunt nunc cauam, nunc 
conuexam. 

Ccrnanturcnim G,y,$, ab ocufo pofito in 
x,iquo proccdanr radiix6,xy > xJ'-To- 
raigiturhgura'yC^caua dlcvidctur. Ia 
alio modoponatur ipfa res fpe&ara, ira vt 
pundum G , propius oculo x fit, quam y 
aut <T . Ipfa lane <P G y figura,conucxa die 
exiftimaDitur. 

THEOREMA <?o. 

G ij 




Si 



Si ab interfe&ione diametrorum qua- 
drat], excitetur linea re&a ad planum qua- 
dratic in eaponatur oculus:quadrati dia- 




planum quadrati , neque aequalis alterutri 
lemidiametrorum quadrati , neque aequa- 
les angulos contineat cum ipfis femidia- 
metris,inacquales apparebunt diametri • 

Idem enim quod in circulis, hie etia cucnirc monftiabimui. 



FINIS OPTICORVM 
EVCLIDIS. 




Euclidis Catoptrica, 



SEV PARS EA OPTICES, QV^ 

DOCET FALLACIAS SPECVLORVM, 
Latinereddita per loannem Penam R egium 
Mathematician, 

A D 

Illuftriflimum Principcm Caroltim Lotha- 
ringum Cardinalcm. 

* P onamus radium efje redam lineam , cuius medid omnid extre- 
mis officiant. 

a \tem,omne afpedabile fccundum redam lineam cemi. 

3 1 tcm , fi fpcculum collocetur in plano,cui ad redos angulot altitudo 

alicjua ercCla fit, quam ration e habet lined interieda inter fpe - 
{fa tor cm (y fpeculum.ad Itneam interiedam inter jfeculum (y 
eredam altitudinem.candem rationem habere fpedatoru altitu- 
dinem, ad altitudinem infiflentem ad redos angulos ei piano, in 
quo efl fpeculum. 

PHENOMENON 

primum. 

4 item, in plants fj>eculu,oculo pofito in eo fpeculi loco, in quecadit peri 

pcndicularu duda a re afpedabilt ad fpeculum, rem afpcdabili 
non cemi. 

• PHENOMEN OJfc. 

fccundum. * 

j Item, in conuexis fpccultt oculo occupante locur^ffaqucm a re afbe - 

dabilt ad centrum fphxrx lined rtda ducctur ,rcm afpedabilem 
non cemi. 

PHEENOMENON 

tertium. 

idemque in concauis fpeculu fieri. 

G iij Item, 



€ 




E.V CLIDIS 

7 I ie.fi res dliqtu in yas iniicutur ab oculo rcmoueatnr yas ipfu, 

quoad res in ft undo yafts pofiuctrni non pojjit.cam yifum in ab 
eudem remotione ,fs aqu.t in yds infundutur. <* 

THEOREM A i. 

A fpeculis planis conuexis &C cauis, radii 
ad aequales angulos refle&imtur. 

Sir oculus quidcm G , planum autcm fpe- ^ g 

cirlum ct y • radius vcro ab oculo feratur G N 
K, qui reflcftatut ad punftum S • dico an- 
gulum rcHcxionis.quiadt, xqualem cffc 
angulo inddcntix,qui eft ad £ . ducantur 
cnim Gy,S et.pcrpendicularcs a pundis.i' 

& G , ad fpcculum at x y . Eft igicur vt 6 y 4 
ady H,(ic Sx ad at x*idcnim in definitio- 
nc tertia pofitii eft.Quarc triangulus Gy, X, fimilis eft rriangulo S 
at xob idque angulus t, xqualis eft angulo Trianguli enim fi- 
milcs.xquianguli criam funt. 

IN CONVEXO SPECVLO. 

Sic conucxum fpcculum airy, radius autc 
C x,quircfle<ftaturad punctual <T.dico an- 
gulum reflexionis t 0, xqualcm cfic angu- 
lo incident^ o A* Si cnim applicem planu 
fpcculum v /u,ita vt rangat fpcculum con- 
ucxum in pun&o x.angulus 0,xqualis crit 
angulo A. Scd angulus tqqualis eft angu- 
lo o , proprcrca quod planu fpcculum pv, 
tatigit conucxum fpcculum a x y . rotus 
.igitur 1 0 angul 9 , xqualis eft tori A o agulo. * 

IN CONCAVO SPECVLO. 

Sit rurfus fpcculum cauum, at K*y* radius S 
aurem G x^qui reflc&atur ad S. dico angu- . 
lum 0,xqualc c(Tc angulo A'appofito cnim 
piano fpeculou v , xqualis eft angul 9 0 e, , 
angulo A.o.Sea & angulus t xqualis eft an- \ 
gulo i . Quarc-rcliquus angulus , rdiquo 
angulo A xqualis crit. . i 




THEOREMA *. 







S l 



CATOPTRIC A« 47 

Si radius in qualecunqiie fpeculum ca- 
dcns , aequales faciat angulos, ipfe in fe ip- 
rum refledtetur. 



Sit planum fpcculum ot x y , oculus autcm 
C’a quo radius proccdat G x , xquales an- 4 
gulosfacicns cum fpcculo, angulum ncm- 
pc t ^.xqualcm angulo 0. fore aflero vt ra- 
dius G x fe(crc 0 cdcns,in fc ipfumrcdcat, 
hoc cft,ad G oculum: alioqui refledatur, fi 
poffit,in pundum S . Quia igitur radii ad 
xquales angulos refleduntur , xqualis eft 
angulus ^.angulo 0 . oftenfusvero eft agu- 
lus t xqualis angulo 0. igitur angulus t 
angulo ^ xqualis erit,maior minori: quod fieri nequit. Igitur ra- 
dius £x ,in leipfum refiedetur. Eadcm demonftratio congru- 
et fpcculis turn conuexis turn cauis. 




THEOREMA 3. 

Radius in qualecunque fpeculum cades, 
angulofque inaequales faciens, neque in fe- 
ipfum refledtetur , neque verfus minorem 
angulum. 

Sit planum fpcculum ol x y, radius auttm 
G x,in fpeculum profiliat, faciatque angu- 
lum maiorem angulo 0 A . fore aflero vt 
C x radius fefe refledens, neque in feipfum 
refledatur. neque ad angulum 0 A. Si cnim 
redeat in fc ipfum,in G x , xqualis erit agu- 
lus ^angulo 0 A , quod abfurdum eft:an- 
gulus cnim ^,pofitus eft maior angulo 6 A., . 
tjuodfi £ xrcfledaturad<J v ,aqualiserit£ a 
angulus angulo A.cft autcm maior. Quare 
radius G x refledt tur verfus maiorem angulum , qui eft ad £ Po- 
tcrit cnim a maiorc angulo auferri angulus xqualis minori. Eadc 
demonftratio valcbit in conuexis & cauis fpcculis. 




THEOREMA 4. 

Radii a planis conuexiique fpeculis reflexi, 

- neque 



CATOTRICA. 49 

enim anguli femicirculorum.RadiiigirurCat,C'y,6 <J\ab oculo ad 
fpcculum mifsi,in fe lpfos refledctur.id cnira oftcnfum cft.Qua- 
rc concurrent in pundo G ■ 

OCVLVS IN CIRCVNFERENTI A. 

Sit cauum fpcculum x y 0 C.oculus autcm 
fit G, colloccrurquc in ipfius fpcculi circu- 
fcrcntia,& ab oculo G profiliant radii G y, 

G ot,qui reflcdantur ad punda(P,t; Quia 
fcgmentum xy G , maius eft fegmcnto 6 0 
y maior igitur eft G x y angulus , angulo G 
y O.Quarc angulus txn ( per primam pro- 
pofitioncm ) maior eft angulo S y x. duo 
igitur anguli G ory.t x tf.maiores (unr duo- 
bus angulis G y 0, Sc S y x . quarc rcliquus 
angulus G x t.rcliquo angulo SyG, minor eft, ac multo ctia mi- 
nor ipfo S v G . igitur radii rcflcxi y S,x t , concurrent ad eas par- 
tcsjinquibuscft^-idemoftcndetur oculo pofito extra circunfc- 
rentian,vt in fcqucnti thcorcmate. 

THEOREMA 6. 

In cauis (peculis,{i inter centrum & cir- 
cunferentiam colloces oculum , radii re- 
flexi interdum concurrent, interdum non 
concurrent. 

Sit cauum fpeculu at y , cuius ccntru d^oculus autc ponaturinpu- 
do£,inrer centrum & circunferentiam: radii vcrofint G x ,Gy, 
qui reflcdantur ad punda h , ipfi aute 
radii ad fpcculum vfquc protrahatur ,qui 
finr x S,y x. Iam radius x 0 aut maior eft, 
aut minor,aut xqualis radio y k . Si ergo 
radius x 0, xqualis fit radio y x, xqualis e- 
tiam eft circunfcrcntia x y 0 , circunfcre- 
tix y xx . Quarc angulus ju xqualis crit a- 
gulof -xquauum enim fedionum anguli 
funt inter (c xquales.duo item anguli ( u 8c 
A.qquales crunt duobus angulis v &: ^pp- 
tcr ^qualitatcm angulorum reflexionis & incidcntix . Quocirca 
rcliquus angulus o, xqualis crit rcliquo angulo 7 r.igitur g angulus 
maior crit angulo o.quia cnira angulus g,maior eft angulo it ( eft 

H cnira 



ct 





CATOPTRICA 

Sir altirudo 0 t/pcculumque conucxum a, 
y S, radii aurcin GS ,Gy, qui rcflcdantur 
ad t & 0.Oftcnfum antca eft radios refle- 
xosy non poftc cocurrere verfus 

eas partes, in quib 9 funt t Sc e.reliqua mo- 
ftrcnrur vtin plants (pcculis. 

DE PROFVNDITA TE 

dcmonjlratto. 



S* 




Sirprofunditas 0t. conuexum aurc fpe- 
culum fit at S y , deque oculus £.radii au- 
te reflexi ad pundit Sc 0,& fint£y iScGS 
6. rcliqua moftrentur vt in planis Ipcculis. 

THEOREMA 9 . 




Obliquae longitudines in 
planis Ijpeculis , vt re ipia fe 
habent, ita apparent. 

Sir oculus £,longitudo uerb oblique pofita,id eft 
horizonti parallcla,fit<f e planum autem fpcculu . 
ay.Igirur per radios reflexosccrnitur pundum d N 
quidem S in pundo a, pundum verb t in pundo 
y. apparenrque in codcm firu in quo re vera funt, 
id nempe quod propius cft.propi 9 apparct,quod 
autem remotius cft,remotius videtur. 

THEOREMA 10 . 

Obliquq longitudines in conuexis fpe- 
culis in eodem ntu apparent, in quo reue- 
ra funt. 




Sit obliqua longitudo iS, oculus autem £,fir- 
que conucxum fpcculum a y radii autem £ 
y Sc Get, refledanrur ad punda t , S. rcliqua 
concludatur eodem roodo vtin prxeedenti 
demonftratione. 



THEOREMA ir. 




In cauis fpeculis fublimitates &C profun-f^H-^'^*^ 1 ^ 4 ' 

H ij dica- 



5 * 



EVCLIDIS 




ditatcs quq funt intra concurfum radioru, 
eucrfq apparent, v tin planis fpeculis: quae 
autem funt extra concurfum , apparent vt 
re ipfa fe habent. 

Sit cauum fpcculum ot y , oculus autem 
C, radii verb reflexi £ ot, £ -y , qui concur- 
rant in pundo ^ . Sint aurc fublimitatcs 
dux Kv&ifi, quaru x v quidem lit intra 
concurfum ^ • id eft fublimitas h v lit in- 
terpundii ^ ic fpeculi circunfcrcntia co- 
cauam.Sublimitas autem S t , fir extra e- 
undem concurfum . Produdisigiturra- 
diis quemadmodu in planis Scconucxis 
fpeculis , apparct pundum quidem x in 
pundo fx , pundum autem v in j>undo A* 
eucrla igitur apparent . Contra vero fit in <f t fublimitate,qux ell 
extra concurfum . apparct enim pundum S in pundo K,pundu 
veto t in pundo 0,co nimirum modo quo fe habent. 

DEMONSTRATIO DE 

profundiute. , 

Sunto rurfum profunditates dux^eSex 
6, cauum autem fpcculum a y, oculus vero 
£,radii denique reflexi £ y <T,£ a t, qui co- 
currant in pundo ^.11 igitur radii produ- 
cantur, apparebunrpundax &c 6 eucrla, 
pundum quidem x in pundo A,pundu 
verb 0 in pundo fx , quemadmodu in pla- 
nis & conucxis fpeculis. Contra verb pun- 
da (T^apparebunt eo modo quo fe haber, 
pundum quidem * quod inreriore loco 
eft, in pundo h’ pundum autem S quod fuperiore lococft,in 
pundo v. 

THEOREMA n. 

In cauis fpeculis obliquae logitudines intra 
concurfum radioru pofitse, apparct vt funt: 

jqu^aute extra cocurfu fut,euerfeapparct. 

Sint 




n 



CATOPTRICA. 

Sint obliquq longitudincs tS, 0 k, cauum 
aurcm fpeculum cry , oculus verb G, fintq } 
radiircflcxiGx S, C'yt.quiconcurrantm 
pundo h . & obliqua quictcm longitudo x. 

8, fit intra concurfum fub h. reliquavcrb 
longitudo obliqua S t , fic cxwa eundcm 
concurfum . Punda igirur8,>c,infuona- 
turali fitu ccrnuntur ,qucmadmodum in 
planis Sc conucxisfpeculis . punda verb 
S, e . eucrfa apparent . pundhim cnim S 
apparct in pundo a,pundum autem t in pundo y. 

THEOREMA 13. 

Res eadem cerni poteft: per plara (pe- 
cula plana. 

Sit afpedabile * , oculus verb G , tria autem fpecula lint y S,Si, 
1 ^ . ducatur pcrpendicularis a pundo G in y S Ipcculum , qux 
fit G T'jCui ponatur xqualis y o' . rurfufq; 
a pundo at ad fpeculum ^t, ducatur per- 
pendicularis ot £ , cui xqualis fit 1 0 . & a 
pundo 0 ducatur 0 k. pcrpendicularis ad 
fpeculum S t . fitque x A xqualis ipfi 0 x, 

& connedatur a pundo Ain pundum 
O’, reda lincaA|uo'.&: a pundo /a in pun- 
dum 0, reda linca [xf 6 . conncdantur 
denique red^ ot £, G CJ> . quia igitur reda 
Gy xqualis eft redhry o*,redi autem funt 
anguli ad pundum *y pofiti , dux igitur 
G y Sc y 4 > , duabus ffyScyQ funt xquales vtraque vtrique: rc- 
dus item angulus G 7 cj>, xqualis eft redo angulo o"y 4 >‘& rcliqui 
anguli reliquis angulis xquales erut , quos qqualia latera fubten- 
dunr , angulus nempe G angulo o*,& angulus f angulo r.Scd an- 
gulus t, xqualis eft angulo v , quia corn vtcrque eft circa verticc. 
angulus igitur v,xqualis eft angulo f .quo fit vt radius G f rcflcda- 
tur verfus pundu |u.Rurfum quia xqualis eft reda 0 x,rcdxx A* 
redi verb iunr anguli ad pundu x pofiti, xqualis ergo eft aculus 
o,agulo tt ’ipfc igitur radi* G f p refleditur ad pundu eacTcquc 
ratione ide radius refleditur a pundo p,ad pundu at,co nubd an- 
gulus ^ p a.xqualis eft agulo t § /u* quod code modo oftedi poteft, 
vt in reliquis agulis demoftratu eft. Radius igitur emiftiis cx G o- 
culo,vidct pundu a per tria plana fpccula,qux funt y S,S 1,4^ . 

H iij T H E- 





54 



EVCLIDIS 



THEOREM A 14. 




theorema 15. 

Fieri etiam potefl:,vt eadem res fpe&etur 
per quotlibet ipeculaconuexavel cocaua. 

Sit afpcdabile a , oculus autem £, dcfcri- 
baturquc vcluti tn prxccdentc demonftra- 
tionc, polygonia figura fquilatera 8c x- 
quiangula xGyfi- 8c in pundis y , f , t, 
ponanrur fpecula iis nimirum Iocis,in qu- 
dus radii aboculo cmiffi inciduntin fpc- 
cula .xoualis ergo eft angulus ^ angulo 0, 

& angulus x angulo A torus ergo angulus 
X,^, toti angulo 0,A,cft xqualis. radius er- 
go C y rcflcdlctur a conucxo (pcculo y ad 




conuexu 



CATOPTRICA. jy 

conucxum fpeculum <T-5c a conucxofpcculo<r,ad conuexu fpc- 
culum t-5c a conucxo fpcculo i ad a afpcdabile. V ndc liquet , fi- 
eri pofTc vt res eadem ccrnatur per quotliber fpccula , fiue ca fine 
conucxa tantum,fiuc caua tantum,fiuc mifh. 

THEOREMA i*. 

Afpedtabile quodlibetin planis fpeculis 
cerniturin perpcndiculari dudta abalpe- 
6babili in fpeculum 

Sit fpeculum planum y ^oculus autem £, Cirque 
afpcdabilc a: 5c ex ot afpedabili in ipfum fpecu- 
lum ducarur pcrpcndicularis ot y . Quia lgitur 
primo Phxnomcno pofitum 5c conccfiumeft, 
pundum oteerninon pofle ab oculo politom 
pundo y • igitur pundum ot videbitur in aliquo 
pudo lincx cty produdxin cotinuum 5c redu. 

V idebitur aute in aliquo ctiam pundo radii 6 S, 
in cotinuu reduque produdi: videbitur ergo in pundo fc. Eft e- 
nim pofitum prima definitione huius libri, redum id cftc, cuius 
extremis media officiant: quarc radii ott 5c 6 t,rcdi funt. • 




THEOREMA 17 . 

Inconuexis fpeculis quodlibet afpedta- 
biliu cernitur in linea redta dudta ab afpe- 
6babili ad centrm eius fph^rae, cuius portio 
eft ipfum conuexu fpeculum. 



Sit conucxum fpeculum y S , oculus autem 

€, radius ab oculo emiflus (> ^qui refledarur \ * 

ad afpcdabilc, quod fit orfit verb ^centrum \ / 

fphxrq, cuius portio eft ipfum y S fpeculum: 

connedaturque redaot ^,Sc producaturra- 

dius 6 S vfquc ad pundum t. Quia igitur in / Je \ 

fecundo Phxnomcno pofitum eft, otnon { J \ 

ccrni ab oculo collocato in pundo y igitur 1 /C j 

afpcdabilc (quod eft ot ) ccrnctur in aliquo ' 

f uindo liner ay. produdxin redum 5c continuum, in covide- 
icct loco, in quo radius € S produdus in rcdum.concurrit cum 
linca ot y, nempe in pundo t, vcluti in planis fpeculis. 

THE- 






PVCLIDI S 
THEOREM A i 8. 



In cauis fpeculis,afpe£tabilium quodlibet 
cernitur in redta linea du<fta ab afpe&abi- 
liad centrum fphqrq, cuius portio eft ip- 
fum fpeculum. 

Sic cauum fpeculum y (P, radius verb ab oculo emiflus C y,qui re- 
fledatur ad afpedabdc , quod fit ot*cfto aurem t g 
centrum fphxrx, cuius portio eft ipium y S fpe- \ 
culum:connedaturquc reda at e , &: producatur \ y? ^ 
in redum . Quia igitur in rertio Phxnomenol I 

pofitum eft , ipium at non ccrni ab oculo occu- \y\ / J 

panre cum locum, in quo cft<Hgirur fimuIacrii^N. \ / y 
ipfius at afpedabilis , ccrnctur in aliquo pundo ^ 

ipfius ot elinex redx in continuum rcdumque 

{ >rodudx.Cernctur ergo in ^,in con curfu nempe ipfius at S redx > 
inez cum radio £ y. 

THEOREM A 19. 

In plants fpeculis dextra apparent finiftra 
&C ftniftra dextra : itemque fimulacrum ae- 
quale apparet afpe&abili : fimulacrum etia 
6c afpedtabile aequaliter diftant a fpeculo. 

Sit planum fpeculum at y, oculusautcC, radii 
vero £ 0 1,& £ -y,qui refledantur ad afpedabile 
quod fit e S,cx quo ad fpeculum ducantur per- 
pcndiculares e ^ , S 0 , quz producanrur. pro- 
ducantur criam radii £y, Cat , & concurrant 
cumpcrpendicularibusin pundis>t& A.con- 
nedatiirque redan A . Apparet igitur equi- 
dem in >t, ipfum autem S in A. (id cnim anrea 
oftenfum eft 16. Theorcmate.^Siniftra igitur 
dextra apparcnt,& dextra finiftra. Et quia an- 
gulus k y l xaualis eft angulo £y t.rcdi autem funt anguli pofi- 
ti ad 2 . yEqualis ieitur eft reda red? { e . Ead^mquc rationc 

xqualis eft reda S 8 ,rcdx 8 A . Quarc intcruallum quo e S afpe- 
dabile diftat a fpeculo, zqualc eft intcruallo quo fimulacrum 
quod eft k A, diftat ab codcm fpcculo. Item e S aipedabile xqua- 

le 





/ 


\\ 


t 


\ 

J 


t 






CATOPTRIC^ 57 

lc eft ipfi x A fimulacro , eb quod t ^qualis eft ipfi ^ x,& S 8 ipfi 
0 A.carum verb venque communis & ad angulos redosipia 0 £ y . 

THEOREMA io. 

In conuexis (peculis finiftra apparet dex- 
tra,& dextra finiftra.& imago propius ab- 
eft a fpeculo quam alpe&abile. 

Sicconuexum fpcculum A ay, centrum aute fphxrx.cuius por- 
tio eft ipfum A x y fpcculum , fit 0 , fitquc 
oculus 6 . radii autem fint Q x £ y, qui 
refledantur ad afpedabile , quod fit S t . 
ex cenrro autem 0 ad<f t, ducanrurred? 

0^,0 1, producanturque £ x 8 c £y ra- 
dii , vique ad punda ^ Sc h . Concdatur- 
qucreda^M, qu^ erit imago ipfiusJ'i a- 
(pcdabilis . Igirur S apparet in h, & t in £ 

Quire dextra apparent finiftra & finiftra dextra. Dico prxrerca 
maiorem effee A,quain A^. Perpundum cnim aducarurrcda 
linca x x »,qu? tangat circulum in pundo x . Quia ergo 6 x, x a 
xquales faciunt angulos cum circuli ctrcunfercntia , propter x- 
qualirarcm angulorum reflexionis. Rcda autem x x r,circulum 
tangit igitur linca x av.bifariam diuiditangulum eot^.Obtufus 
autem eft angulus x maior eft igitur t x.quam x { . ergo multb 
maioreftt Aquam A^. Miniks crgodiftar^Hfimulacrumaipc- 
culo,quami < J' afpedabile vt dcmccpsctiam oftendetur. 

THEOREMA ar. 

In conuexis fpcculis imagines funt mino- 
res afpedtabilibus. 

Sitconuexum fpcculum xo y, oculus 
C, radii autem £ x ,£y , qui refledantur 
adpundaJ', t. igitur afpedabile <T t cer- 
nitur in fpeculo conuexo fub angulo x£ 
y. apponaturhuicconucxo fpeculo pla- 
num fpcculum ,quod fit xy , tangarque 
ipfos £ *,£ y , radios in pundis y Sc x Ra- 
dius igitur qui reflexus a piano fpeculo vi 
furus fit pund’im c.non eft £ x t.Non ent 
facit xqualcs angulos cum piano fpeculo. Necverbrcflcdctur 





JS 



ifv C L I D I S 



adt.ab aliquopundo pofito inter 7.rcfledaturenim, fi fieri 
pofsit,fitquc radius G (/Equalis ergo eft n angul 9 , angulo 0 ,prop- 
rcr rcflcxioncm. Angulus autem 0 maior eft angulo v,& angulus 
/u.angulo h. Quarc angulus [x maior eric angulo v, quod ablurdu 
eft. Angulus cnim v maior eft angulo u, cum angulus v fit 
lis tori angulo ad circunfcrcntiam pofito,cuius pars eft angul 9 fx. 
Ergo radius a fpcculo reflexusadt , refledeturab aliquopundo 
pofito extra oty. Refledatur crgo,fitque 6 x. t.Eodcm modoG A t 
radius a fpcculo reflexusadt, cadet extra <t y. Igituripfiustti- 
mago in lpeculo piano cernitur Tub angulo x G A , qui maior eft 
quam angulus a d*y,fub quo cernitur cadcm imago in conucxo 
fpcculo. Oftenfum eft autem in theoremate 19, imaginem xqua- 
lcm afpcdabili apparere in fpcculo piano . Conftat ergo in con- 
uexis lpcculis imaginem apparere minorem afpcdabili. 

THEOREM A 



2 a. 



In conuexis fpeculis minoribus,minores 
imagines apparent. 

Sunto circa idem centrum 0 , duo fpharrica fpecula conuexa, 
quorum oty fit maius , t A verb fit minus. fitqucoculus£ , con- 
nedaturque reda G * 0.& ex y pundo fphirici fpcculi refledatur 
radius Gy S ', ad t afpcdabile.Dico fieri non polfe vt radius qui £ 
minorc fpcculo fphzrico refledetur ad t , cadat in idem minus 
fpeculum per y pundum maioris fpcculi, vcl per ahud pundum 
pofitum extra y ,id eft, contentum inter y 
& £Si enl id fieri poteft,cadat priusper'y ( 
pudu,& refledatur a minorc fpcculo fph^ 
rico ad t.firquc G 1 S . Connedaturque re- 
da 0 y Sc producatur vfque ad M.lgitur re- 
da 0 y h , bifariam fecabit angulum Gy S, 
eo qubd G y Sc y S aequalcs.faciunt angu- 
los ad y pundum circunfercnrix, propter 1 1 * 

reflexionem . Eademquc ratione connexa reda linea ex 0 in t, &r 
produda,bifariam fecabit angulum S . Sccct(inquam)fitque 
ilia linea 0 1 Quja igitur angulus G y S maior eft angulo G 1 S 
illiusdimidiumdimidio huius maius cft:maiorcrgo eft angulus 
G y M,angulo G t ^ .eft verb cnam minor, quod abfurdum eft. Fie- 
ri ergo non poreft.vr radius qui ab oculo pergit ad minus fpccu- 
lum fpharricum,ab cbquc refleditur in t , tranfeatperpundum 
7.H1S pofitis cadat extra pundum y , radi 9 G A in minus fphxri- 
cum fpeculum, a quo refledatur ad S afpcdabilc.Sccctquc idem 

radius 




r 



— 




CA TOPTRlIjA. 



radius £ A , m .1 i u s fpcculum fph^ricuni in pundo ^.radius autem 
ab oculo tcndens in { , Sc a pundo ^reflcxus in Jt , frt£ {x . is 
radius minimi concurrer cum radio y S ( idcnim oftcnfilm 
eft theoremare 4. ) Concurrar igitur cum A S in pundo x. Igitur 
radius € ( x rcflcxus i maiorc fp"cculo,ccrnit pundum x Iplc ire 
radius £ Ax rcflcxus a minorc fpcculo, cernit idem pundum x. 
Id autem fieri non pofTe fupra oftenfun eft. Radius igirur qui ab 
oculo cmifTiis in minus fpcculum, refledetur ab codem fpcculo 
in pundum S , cadet per aliquod pundum pofitum inter yScoc. 
Eadem demonftratio valcbit in altera ctiam parte , id cft,codcm 
modo oftcndemus,radium ab oculo miftiim in minus fpcculum, 
ab eoque reflexum in <P,non poflc cadcrc per pundum y, aut ex- 
tra pundum y , fed ncceftario cafurum per aliquod pundorum 
contcntorum inter at Sc y. Igirur angul 9 6, fub quo ccrnitur S' a- 
fpedabilc,minor fit a minorc fpcculo qua a maiorc . Quarc ima- 
go rei afpedabilis, minor apparebit in minorc fpcculo. 

THEOREMA 23. 

In conuexis {peciilis,alpe<fbibilium ima- 
gines plerunque apparent conuex«e. 

Eftoconuexumfpeculum ot'y.oculus aur£ 
e,a quo cmittanrur radii tat,t , y> c l u i tefle- 
dantur ad afpedabile, quod fit S t • radius 
autem t ^ rcflcdarur in lcipfum,redearquc 
ad t oculum. Radiorum igirur longi fUmi 
funr,qui ad rcmotifilmas partes tedut: qui 
autc ad mediu rei afpedabilis tcndut,funt 
breuiflImi,cuiufmodl eft radius t ^.igitur e 
propius videtur a fpcculo diftarc,quaro pu- 
da £ Sc <£.Itaq-, tota imago c 5 uexa apparct. 

THEOREMA 14. 





Si oculus ponatur in centro ipeculi 
caui,(e ipfum dernet tantum. 

Sit cocauum fpeculu ot y <P,eius verb centrum £, ra- 
dii autem ab oculo in fpcculum mifli,funto£at,6 
y,C S . Igirur angul 9 t,atqualis eft angulo ^ . Quarc 
radius a £ oculo ad y pundu fpccuu perges, ab 
dem y pundo fc rcfledet ad fe ipfum,redibitq; 
oculu. Idem facicntrcliqui radii. QmireipfeC oculus in 

I *j 



Co EVCLIDIS 

4 

pofitus fe ipfum rantum ccrncc. 

THEOREMA ij. 

In cauis fpeculis fi oculum colloces in cir- 
cunferentia aut extra circunferentiam , ip- 
fe oculiis non apparebit. 

Elio concauum fpcculum x y C,oculus au- 
tcm C,qui ftaruacunn ipfius lpccuh circu- 
fercntia.ab coque cinirtantur in fpcculum 
radii G x,G y ,& reflcdatur.Quia ergo agu- 
lus^u 0,maiorcft angulox., & angulust A, 
maior angulo Igirur radii G x, Gy, non 
reflcdcnturadC oculum. Si cni rcflcderc- 
tur ad G oculum , aequales edent anguli, 
quos radii faciunr cum circunfercmia in 
pundisa&'y . Qu6d fioculus ponatur 
extra fpeculi circufcreria , idc ei accidcre demonftrabitur, nempe 
ipfi 9 imagine in fpcculo no ccrni.co q> rcflcxiones ad ipl u no fiat. 

THEOREMA 2 




In fpeculis cocauis fi a cctro ad circuferen- 
tia excites reda linea, qua agulos redos fa 
ciat cueiufde fphqrici fpeculi ^pduda dia- 
metro, &£oculuftatuas ad alterutra parte: 
oculus nil cernet eoru qu^ flint in ea parte, 
in qua ipfeeft:nihil(inqua)eoru cernet, quae 
funt vel ltra diametru, vel extra diametrii, 



velin ipfa diametro. 

Sir cocauu fpcculum x yS 1 , diameter vcr6 
fphxrx,cui 9 portio eft iplu fpeculii, fit x S', 
in qua fit cetru a quo excitctur reda ^ y, 
qu? fit ad agulos redos ipfi or cMitq-, ocuP;6 
extra diametru, fitqj radi 9 G t . igitur G t ra- 
di 9 fefc rcficdes.nec ad C.ncc acl fc refle- 
dct.rcfleditur cm ad arqualcs agulos: fe igi- 
tur reriedet vt linca 1 6. Similiter fi ocul 9 ftaruatur ?rra diametru, 
in co loco,? quo eft 0,aut in ipfa diametro in co loco,in quo eft p, 
radii 8k& ( u »,fc refledet vt H A & v J.ocul 9 igirur nulla imagine 

ccrnic 




— 



— — 



CATOPTRICA. 61 

cernit eoru.qux fun tad cade femidiamccri parte,ad qua ipfc eft, 
ncq-, cot u qu<j hint i n i pfa diamctro,ncq; coru qux hint extra dia- 
metru, ncq; coru qu$ iiinr intra. 

THEOREMA 27. 

In cocauis fpeculis ii oculi ita coftituatur in 
dimetiete,vt vterq; a cetro qqualiter diflet, 
neuter ocnlorum cernetur. 

Efto cocauu fpcculu xy ^.ciuiq; dinieticns 
a J^cetru aute ^,a quo excitctur < y , ad an- 
gulos redos ipli at S' • Sint verb oculi £ ,t,x- 
qualitcr diftares a cetro ?. Sitq; radi® £ y. is 
ergofercflcdes,venictad t.reHcdirureni fecudu xqualcs agulos. 
Null® aute alt® radi® ex £ oculo cmiflus , refledetur ad t. Sit ciuf- 
modi aliquis £ 0,qui(fi fieri poffit)rcflcdatur ad t • Conedatiirq; 
redx 0 1 , 0 £ Igitur agul* £ 0 tbifaria fccatur a linea ^ 0 . Sue ergo 
in cade ratioc,vt £ 0 ,ad 0 t,Gc £ l ad { t(pcr j.fcxti Elc.)quod fieri 
ipfi ^ t -proptcrca q> £ 0,maior eft qua 0 1 . ipfa aute £ ^ xqualis eft 
nequie . Null® igitur radi® cmiflus ab oculo £ , refledcrur ad », 
prqtcr radiu £ y.W n®igitur radi® ad vtruq; oculoiu reflcdcrur,nec 
cernetur t^pptcrca cjuod radi® £ y ^pdudus in cotinuu he redum, 
nuquam cocurrct cu £ S ,ad partes -y &<T. Demoftratu cnim eft, 
imagines afpedabihu apparcrc in co loco.in quo radi® ab oculo 
cmiflus cocurrircu linea dudaab afpedabili per ccrrum lpeculi 
cocaui.Nec verb t y radi® cocurrct cu t at , ad partes cas,in quib® 
funt punda*y fc ot.in cocauis enim fpeculis, afpedabihu fimula- 
era vifunrur in linea qux ducitur ab afpedabili ad centrum ipfius 
iphxrici lpeculi. 

THEOREMA 28. 

Sicaui fpeculi femidiametrubifariafeces,&: 
a pudo fedionis, linea ad agulos redos vtri 
que ducas,oculos aute ita colloces,vt a:qua 
liter diflet ab excitata femidiametro:neu- 
teroculoru cernetur , fiuc hi fint inter dia- 
metru &C linea ad agulos redos dudam, fl- 
ue in ipfa, quq angulos redos facit cum fe- 
midiametro. 




iiij 



Efto 






tfx EVCLIDIS 

Efto concauum fpcculum ory <T,cuius diameter quidem ot<T,ccn- 
trum aurem x,a quo ad angulos redos cxcitctur lemidiamctcr x 
•y,qux bifariam lccctur in pundoTT • per 
quod ducatur linca t tt ^ , qua: ad angulos 
redos fie ipfi y x . Sint autem oculi C 8c 0, 
collocati inter diametrum x S' lincam t 

cui fit parallcla linca G 0,ipfiquc G 8c 6 o- 
culixqualitcrdiftcntafcmidiamctro ny. Eftodenique radius £ 
>y,qui refledatur a pundo y ad 0.igitur angulos xqualcs facit in 
circunfercnria,cb quod linca parallcla eft ad linca G 0 , Sc linca 

G v xqualis eft ipfi v0. Connedanturx C&x 0,& producanrur 
vfq; ad A 8c H.producatur ctiam linca y G vfquc ad . Qua ergo 
maior eft G y ,quam G x ’maior igitur eft angulus £,quam angul 9 /. 
Quocirca angulus y G 0, maior eft angulo 0 G x ,ia eft , angulo G 
0x .non igitur concurrent G y 8c x 0.Ergo 0 non ccrnctur : debe- 
ret cnim ccrni in concurfii lincarum G y 8c x 0. 
Sintrurfusreliqua omnia vt in prxeedente 
figura : oculi autem G 8c 0 collocentur in ca 
linea,qux femidiametrum fecat bifariam 8c 
ad angulos redos,id eft in linca x <P . Quia 
igitur C y, xqualis eft ipfi 6 8c y 0 ipfi ^ 0* 
parallcla ergo eft G y ipfi ^ 0 . Quarc radius 
Gy non concurrct cu linca duda a ccntro ad afpedabile, id eft, 
cum linca ^ 0,vcrfiis partes cas,in quib 9 funt punda 0 8c y. quarc 
0 oculus non ccrnetur:fi enim ccrncrctur,dcbcrcr ccrni in cocur- 
fu lincarum G y 8c ^ 0. 

tftIMbiiSi nt rurfiis rcliqua vt in prxeedenti figura,oculi aurem G ^collo- 
ccnturlocofupcriorc,quam fitpundum illud, in quo lcmidia- 
meter bifaria leda eft : diftenrque xquab - 
ter ab ipla ^ x femidiametro : dico fore vt 
G 8c y apparcant , 8c dextra vidcantur fini- 
ftra,& finiftra dextra,& faciei fimulacrum 
appareat maius facie, & longius afpeculo 
diftet, quam facies ipfa.Sit cnim 6otradi 9 , 
qui refledatur ad y, 8c a centro^ ad pun- 
da 6,y,conncdantur redq ^6,^y,produ- 
. caturque G * . quia igitur ^ x feraidiame- 
ter bifariam feda eft in h • maior ergo eft 
G £quam G <*.ob idque maior eft x angulus , angulo t . yEquali* 
autem eft angulus x angulo^* maior igitur eft angulus <T angulo 
t. Quarc linex £G 8c yx produdx,tandem concurrent: concur- 

rant 






T 









C AT OPT R 1C A. • fi 

rant in pundo tt. Eadcm rationc lincx G*8c£y produdx con- 
current inpundo6.Ergo , yapparcbitin0,& G imr,& dextraap- 
parebunt finiftra,& finiftra dextra. Quincriam imago qua: eft tt 
e.maior apparcbit,quam facies quae eft G ^-parallel^ cnim funr ir 
6 8c G y. Imago ergo maior apparet,quam facies ,& magi s diftat 
a fpeculoimaior eft enim /u «, quam * A. 

THEOREMA 19 . 



Sin autem oculi extra diametrum pona- 
tur,dextra apparebunt dextra , & finiftra 
finiftra, fimulacrum apparebit minus fa- 
cie ipfa inter faciem &£ fpeculum. 

Sine cnim oculi G y, centrum autem fpeculi fit per quod du- 
catur x £S ad angulos redos ipfi diametro : 8c per pundum 
a,ducatur G x y , a d angulos redos ipfi x 
^ J'.fitquc xy ^qualis ipfia G • radius autem 
G S rcricdatur ad 7 , & per £ centrum du- 
cantur G^k 8cy ^t ,8c connedatur a pun- 
do tin pundum xredat x..Igitur?appa- 
ret in k* y verb apparet in t . Quarc dextra 
dcxtra, 2 c finiftra apparet finiftra : 8c fimu- 
lacrum,quod eft tx. , minus apparet ipfa? 
y facie .Parallcla nanqueeft tx. ipfi Gy, 
apparetque ipfum fimulacrum in locoin- 
teriedo inter faciem & fpcculum . Quod fi facies rctrahatur 1 
fpeculo, fimulacrum adhuc videbitur minus: efto enim /u. v facies 
eadcm qux crat in G y, fed remotior a fpcculo,quam cflet G 7 ,ha- 
beatque cudem fitum ad fpeculum. Ergo reda linca duda a pun- * 
cto ( u ad ^centrum 8c produda, cadet in locum fuperiore , quam 
fit XjVerbi gratia , in A. Linca autem duda a pundo v ad pundu 
^ & produda,cadet fupra t , in pundum nempe 9 . Imago igitur 
ipfius uv.eft ipfa 0 A- minor autem eft SA^quamtH, 8c propioc 
ad fpcculum. 

THEOREMA 30. 

Speculum eiufmodi conftrui poteft,vt in 
eo plures facies appareant , qua:dam maio- 
res,quxdam minorcs, qu^dam propiorcs, 

qua:- 









<? 4 vEVCLIDIS CATOPTRICA. 

da remotiores,& earn dextrx partes a dex- 
tris, &C finiftrae afiniftris appareant. 

Sit cnim planum ct^u ergo in eocfie ^ # 

pofTimt fpecula coucsa quidc.qualia funt xC ^ /'“x 

>,0 k A. caua autcm.quaha Cunt y A », J « 0. pla- f ^ * 

na vcr6,qualia funt t £ Sc A/s-Facie igitur po- £ at 

fita in co loco, in quo eft r,apparcbunt cius i- 
magincs xqualcs quidem,Sc xqualitcr a fpc- - ^ — - 

culo dj dates, ip. fpccuhs plants : in conuczis 

ante minorcs Sc minus diftan;es:in cauis aut cm. Sc maiorci, Sc minorcs, Sc 
plus, Sc minus diftantes,vc autca oftenfum eft. 



THEOREMA 31. 

A concauis fpeculis Soli oppofitis, ignis 
accenditur. 

Sic cauu fpcculu a C y,Sol ante t J,centru vero fpe- 
culi lit 0‘8c ab aliquo Solis pudo,</( vidciicet,ad cc- 
trueconcxa re da linca<Ae , producatur vfque ad 
(radius auto <Ay incidat in fpcculu, Sc 1 pundto y 
rcfiedatur ad punduin z. pundit ergo it, ad quod 
radius a fpcculo rcfleditui, cadet fupra 9 centrum. \ 

Angulus cnim* ad circunfereua pofitus, minor 
eft angulo C y <A pofico ad circufercntiam. Sit ctgo 
Circufcrcntiiftcxqualis circuferctix Cy.Sc a puo- 
do c/l,cadat aliquts alius radius ad fpeculum,qui fit A x . Conftat ergo fore rt 
radius J [ <z fc rcflcdcs i pundo a, cadat in x,eoqu5d circufcrctia *6,xqua - 
lis eft circuferecixCyEodcm modooftcdcrurfor£,vt omnes radii apundo 
/in fpcculu ca Ictcs, 4c xqualcs circufcrctias coprclicndcntcs , concunant 
cu C 0> in pundofupcriorc quaro fitpundum 0 . 

Sicrurfum fpcculu cauum a £y, Sol autedtf, Sc ab 
cius aliquo pundo, quod fits, ducaturrcda linea 

# *0C per rentru 0.3c aijalnspundis,quxfint<A Sc 

* ducatur radii A 9 y,ti f e » . Iam igitur monftraui- 
mus fore, vt radii a pundotin fpcculu cadttcs, in 
feipfos rcfJcdatur.proptcr angulos x Sc p, qui, in- 
ter fc xqualcs funtifunt cnim anguli fcmicirculo- 
ru. Similiter ScradiusfO* in fc ipfum rccurrct, 
propter angulos. z Sc A inter fc xqualcs. toddmque 
modo A By redibit per fc ipfum, propter angulos » 

Sc \ inter fc xqualcs.Qiin 1 cnim hi oes raffu in fc ipfos rcfledantnr, patet 
nine, quia cum per0 cetru tranfcant,diuiduc fpcculu in femiciriulos: femi- 
circubrum autc anguli xqualcs funr . Quire radii I 11 omnes refledutur 
Iccu lu xqualcs agulos:ergo in fc ipfos rccutrunt. Omnes igitur radii a Sole 
per edru fpcculoru mifsi.a pundis quibuflibetcircur.fcrctt£ in centru redi- 
but Sc cocurrcnr.His igiturradus incalclccDtib*, cogcrctur ignis circa ccq- 

irum.Quocircafi ibidem ponaturftupa.incendctur. b 
n NIS catoptricorvm. 









LABORATORY 
DI RESTAURO